Б. В. ОРЛОВ, Г. Ю, МАЗИНГ
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ
И БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
ИЗДАНИЕ 2-е,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия
для технических вузов и факультетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
Москва 1968

УДК 629.13:621.455(075.8)
В книге излагаются термогазодинамические основы расчета ракетных
двигателей на твердом топливе (РДТТ), инженерные методы расчета процессов
теплообмена, основы теории горения твердых топлив и расчет индикаторной кривой
давления в камере сгорания двигателя. Приводятся основные сведения о
твердых ракетных топливах п теплозащитных покрытиях, применяемых в РДТТ.
Рассматривается регулирование тяги в РДТТ по величине и направлению, а
также общая методика баллистического проектирования ракет на твердом топливе.
По сравнению с первым изданием книга значительно переработана и
дополнена. Основными дополнениями являются: решение упрощенных задач
внутренней баллистики классического артиллерийского и безоткатного орудий;
подробное решение задачи внутренней баллистики РДТТ для всех характерных
периодов его функционирования. Решение дается для трех выражений закона горения
твердого топлива; более подробное решение задачи тепломассообмена для
термоизоляционных покрытий с уносом массы; решение задачи эрозионного
горения твердых ракетных топлнв н расчетное определение времени вспышки
топлива. n *
Книга является учебным пособием для студентов высших технических
учебных заведений. Она представит интерес также для инженерно-технических
работников, специализирующихся в области ракетных двигателей на твердом
топливе. Табл. 40, иллюстр. 111, библ. 170 назв.
3-18-6
10-68

ПРЕДИСЛОВИЕ
Основным назначением данного учебного пособия является
изложение необходимых для специалиста сведений по термодинамике,
газовой динамике и теплообмену в РДТТ, а также решений
основных термогазодинамических задач, которые могут встретиться при
проектировании ракет на твердом топливе.
Исходным материалом для книги послужили многочисленные
журнальные статьи и монографии по газодинамике РДТТ,
опубликованные в отечественной и зарубежной печати. В книге
обобщаются эти разрозненные материалы, а термогазодинамический
расчет двигателя увязывается с общей задачей проектирования
ракет на твердом топливе, т. е. с определением в -первом приближении
их весовых и габаритных характеристик.
Специфической особенностью газодинамических процессов,
протекающих в РДТТ, является их тесная связь с процессами
горения твердого топлива и теплообмена, которые, в свою очередь,
нельзя рассматривать в отрыве от газодинамики двигателя. Это
и обусловило выбранную авторами структуру изложения
материала. В книгу включены основные сведения о твердых топливах,
поскольку это необходимо для решения задач газодинамики и
теплообмена в РДТТ. Кроме того, даются решения ряда задач
практической газодинамики, которые могут быть использованы при
проектировании газовых приводов, отражательных устройств, систем
топливоподачи ЖРД и других вспомогательных устройств
ракетных двигателей и установок.
Опыт использования первого издания книги показал, что ее
содержание должно быть дополнено рассмотрением
термогазодинамических задач артиллерии и конкретных числовых примеров
для наиболее типичных задач инженерной практики'
ракетостроения.
Огромный опыт проектирования артиллерийских орудий
различных термодинамических схем может быть весьма полезен в
ракетостроении. Поэтому в настоящем издании книги изложены
решения упрощенных задач внутренней баллистики классического
артиллерийского и безоткатного орудий, а также некоторых
надульных газоотводных устройств. Наряду с этим расширен круг
3058 з

инженерных задач, касающихся обтекания плоских и конических
преград.
Существенно расширена задача перетекания газа из одного
резервуара в другой. В частности, рассмотрен случай, когда
оболочка резервуаров имеет большую податливость.
Более подробно рассмотрена прикладная теория решения
задачи внутренней баллистики РДТТ для всех пяти характерных
периодов его функционирования: автономного горения
воспламенителя, воспламенения заряда, совместного горения воспламенителя
и заряда, стабилизации давления и последействия тяги.
При решении этой задачи для закона квазистационарного
горения твердого топлива были взяты наиболее распространенные
в литературе зависимости скорости горения топлива только от
давления: u = Uipv; u = a + bp; u=pj(a + bpn).
Статическая чувствительность выходных характеристик РДТТ
к изменению геометрии сопел, заряда и его физико-химических
констант изложена из расчета обеспечения потребных пределов
регулирования. Характер собственно переходного процесса между
этими пределами, описываемый уравнениями его динамики, найден
лишь для некоторых частных задач регулирования РДТТ.
Поскольку книга рассчитана на студентов, уже изучивших
курсы механики и математики, теоретическим принципам
прикладной газовой динамики посвящена лишь вводная глава,
предшествующая изложению специальных вопросов.
С целью более детального изучения отдельных вопросов в конце
каждой главы приведена библиография. Для облегчения усвоения
и закрепления излагаемого материала во всех основных разделах
приведены числовые примеры с подробным решением. Там, где
в примерах использованы характеристики двигателей, топлив,
материалов, заимствованные из иностранной литературы, это
оговаривается в тексте. В остальных случаях, поскольку примеры
приводятся с чисто методической целью, в них используются
произвольно взятые величины, не связанные с конкретными РДТТ.
Главы III и IV книги написаны Г. Ю. Мазингом, § 5 главы VI—
В. В. Зеленцовым.
Все замечания и пожелания по книге следует направлять в
издательство «Машиностроение» (Москва, К-51, Петровка, 24).

Глава I
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ПРИКЛАДНОЙ
ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Теория газовой динамики, на основе которой решаются
практические задачи, в конечном итоге сводится к трем законам: закону
сохранения импульса сил, закону сохранения вещества и закону
сохранения энергии, записанным применительно к одномерному
стационарному процессу течения газа. Последнее определяется
приемлемой степенью точности решения и простотой построения
инженерных задач. Приближенность результатов такого решения
вследствие искажения природы процессов изменения состояния
газа, связанного с упрощенным их представлением, общеизвестна.
Так, несмотря на явно нестационарный процесс истечения газа из
ствола артиллерийского орудия, закон изменения давления в его
канале после вылета снаряда, найденный в предположении
квазистационарного течения, обладает вполне допустимой точностью.
Теория так называемой промежуточной баллистики орудия
построена на основе этого принципиального допущения.
Плодотворность и приемлемость такого подхода к решению многих
практических задач газовой динамики подтверждена многолетней
практикой расчета и проектирования надульных газовых устройств
(газовые тормоза, эжекционные устройства, усилители отдачи, газовые
локализаторы) и различных подствольных газоотводных узлов
автоматического орудия.
Теория внутренней баллистики классического артиллерийского
орудия и ракетного двигателя на твердом топливе в своей основе
также содержит допущение о стационарном характере
протекающих процессов изменения мгновенного состояния газа.
В общем случае для фиксированного сечения газового потока
непрерывно изменяются во времени следующие параметры его
состояния:
р(х; t) — статическое давление;
Q(x;t) — массовая плотность;
Т (х; *) —статическая температура;
v(x; t) — скорость;
где л:— координата положения рассматриваемого сечения;
t — время.
5

Такой одномерный газовый поток принято называть
нестационарным (неустановившимся).
Течение газа, когда в фиксированном сечении проточного
резервуара параметры состояния газа р(х), q(x), T(x), v(x) не зависят
от времени, называют одномерным и стационарным
(установившимся). Условие стационарности режима течения выражается так:
dt ' dt dt dt
Для большинства практических задач площадь F
фиксированного поперечного сечения потока газа не изменяется во времени
OF/dt = O и зависит от координаты F(x). Однако в каналах
порохового зерна (шашки) из-за выгорания массы непрерывно
увеличивается площадь поперечных сечений каналов, а поэтому
дР1дгфО. Поток газа, для которого dF/дхфО, нельзя называть
одномерным вследствие поперечного перемещения газа,
определяемого заданным законом изменения функции F{x), т. е. профилем
проточного резервуара. >
На практике исследование осесимметричного газового потока
проводят на основе теории одномерного течения газа, компенсируя
получаемую неточность решения задачи соответствующими
коэффициентами. Точно также с помощью коэффициентов уточняют
решение задач, в которых не учитывается влияние диссипативных
сил (вязкость и теплопроводность газа). Иными словами,
практические задачи газовой динамики обычно решают в 'предположении,
что числа Рейнольдса и Пекле равны бесконечности. Отсюда во
всех теоретических результатах решения задач появляются
коэффициенты потерь скорости и расхода потока газа, которые часто
называют коэффициентами согласования с опытом или
коэффициентами незнания. Иногда допускают более грубые решения —
не учитывают теплообмена газового потока с окружающей средой,
надеясь согласовать теоретическое решение с опытом введением
соответствующего коэффициента. По существу это попытка
решения задачи без учета закона сохранения энергии. Такой подход
к решению газодинамических задач может привести к
недопустимому искажению описания физических процессов и их
результатов, т. е. в этом случае качественная и количественная стороны
решения практически оказываются неприемлемыми. Поэтому
допущение о теплоизолированности газового потока следует
применять сознательно. Особенно недопустимо смешивать понятия
теплоизолированности газового потока от внешней среды и изэн-
гропичности течения.
Газовый поток является теплоизолированным, когда
отсутствует тепловой обмен между веществом потока и окружающей
средой. Частный случай потока, в котором энтропия газа
сохраняется постоянной, называют изэнтропическим. В изэнтропическом

потоке параметры состояния изменяются в соответствии с
уравнением адиабаты Пуассона, являющимся следствием закона
сохранения энергии. ■>
При течении газа с возрастанием энтропии (такой поток
называют неизэнтропическим) определение параметров его состояния
представляет сложную задачу и требует использования всех трех
законов сохранения.
Условием постоянного значения энтропии (или уравнением
адиабаты Пуассона) следует пользоваться крайне осторожно и
прежде всего сознательно. Иногда можно строить решение задачи
на уравнении изэнтропы (например, истечение газа из канала
орудия или из баллона высокого давления в атмосферу), но
принципиально недопустимо рассматривать на основе изэнтропы
обратный процесс — втекание газа в резервуары.
Обычно решение газодинамических задач сводится к
определению параметров состояния газового потока р, q, Т, v в зависимости
от размеров и формы проточного резервуара (например,
исследование рабочих процессов в газовых узлах и устройствах заданной
конструкции). На практике эти задачи называют поверочными
расчетами. Большое практическое значение имеют задачи
проектирования газовых устройств, обеспечивающих заданные
характеристики рабочего процесса.
Исследование практических задач газовой динамики строится
на основе трех законов сохранения:
— импульса сил (уравнение механики);
■— вещества (уравнение неразрывности течения);
— энергии (уравнение первого начала термодинамики),
решаемых совместно с уравнением состояния газа.
В качестве критерия правильности решения (точнее сказать,
для оценки допустимости рабочей гипотезы исследования
газодинамических процессов) используется второе начало термодинамики —
результатом любого процесса изменения состояния однофазной
изолированной системы является повышение энтропии AS>0.
Когда заранее доказана допустимость уравнения процесса
изменения состояния газового потока (например, изотермический
r = const, изэнтропический S = const, изобарический p = const, изо-
хорический W=const), использование всех трех законов
сохранения при решении подобных задач является излишним. Так как для
определения четырех неизвестных р; q; T; v достаточно четырех
уравнений, и лишнее соотношение оказывается тождественным
принятому уравнению процесса изменения состояния или его
следствием. Так, уравнение адиабаты Пуассона представляет собой
закон сохранения энергии, написанный в интегральной форме для
изэнтропического процесса течения газа.
Однако и в этих случаях все законы сохранения выступают
по-прежнему в роли принципиальных критериев правильности
выбора рабочих гипотез исследования и результатов решения задачи.

§ 1. УРАВНЕНИЕ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Уравнение механики, или закон сохранения импульса сил
потока, является одним из принципиальных теоретических
положений теории газовой динамики, позволяющих понять физическую
сущность газодинамических процессов и объяснить природу силы
реакции газового потока. Это уравнение связывает параметры
состояния газового потока р, q, v с площадями F сечений проточного
резервуара. С формальной точки
зрения уравнение механики
является результатом, совместного
решения двух уравнений
(движения элементарной струйки и
сплошности течения),
полученного прямым суммированием.
Правильнее представить, что
уравнения движения и сплошности
течения являются следствием
уравнения механики,
определяемым особенностью
сплошной среды — ее непрерывностью
ъ (6т)=0-
Возьмем проточный резервуар
произвольной формы (рис. 1.1)
с переменной площадью
поперечного сечения F{x, t). Выделим
Элементарный участок газового
потока, протяженностью бх. Из рис. 1.1 видно, что на элементар-'
ную массу газового потока bm = FQ&x действуют две силы:
р'
Рис. 1.1.
ЬП =\f р -\ (Fp)bx I —Fp =
дх
■■= р
ОХ
Ьх — внутренняя, порождаемая
упругостью газа;
Ьх — внешняя, обусловленная реакционным воздействием
стенок резервуара на газовый поток.
Диссипативными силами и силой тяготения Земли
пренебрегаем, считая их малыми по сравнению с силой статического
давления. По физическому смыслу:
6Я — внутренняя сила, определяемая градиентом силы
статического давления вдоль газового потока d(Fp)jdx=£O;
Ш — внешняя сила, вызываемая реакцией воздействия стенок
резервуара на поток газа и появившаяся вследствие
градиента площади поперечного сечения проточного резервуара вдоль
потока dF/дхфО. Тогда уравнение движения элементарной массы
сплошной среды, ограниченной твердой стенкой проточного
резервуара, запишется так:
— (Ыт)-Ь ЪП = Ш. (1.1)
dt

Подставляя в уравнение (1.1) выражения для 6т, 6П и bN,
получим
dt У ■ ' J ~ дх У дх
ИЛИ
х=р д£ъх.
Но —8х = 8г» — скорость деформации рассматриваемого элементар-
dt
ного объема газа вдоль направления движения потока. Величина
этой скорости, выраженная через его градиент, равна lv = — Ьх.
После сокращения на ЬхфО уравнение (1.1) примет вид
d i с \ i / с \dv | d(Fp) dF
{f<ov) + (FQv)^LJlp
dr " ' ' 'дх ' дх ' дх
Используя известные соотношения
JL(Fqv)=— {Fqv)-\-Vj-(Fqv);
(Fqv) \-v —-I r ov) = — (г ovz),
У У ; дх ~ дхV У ; их V v ;'
получим уравнение механики сплошной среды* в общепринятой
дифференциальной форме
dt дх дх
или
дО idR dN
где
g
В каждый данный момент времени:
G — весовой расход газового потока через площадь F
поперечного сечения проточного резервуара;
R — полная реакция газового потока в том же сечении;
N — осевая реакция воздействия статического давления
газового потока на стенки проточного резервуара.
Функция G выражает количество газа, переносимое потоком
в единицу времени через фиксированную площадь F поперечного
сечения проточного резервуара.
В газовой динамике функцию G — gFQV называют весовым
расходом газа, a Gjg = FQV — массовым.

Сообразно с физическим смыслом функции G/g выражение — v
представляет собой количество движения газового потока в
единицу времени. Вследствие этого ранее найденная функция
R= — v + Fp, (1.3)
g
имеющая размерность силы, является полной реакцией (напором)
газового потока и может быть обнаружена при полном его
торможении. Составляющая этой силы — v называется динамической,
g
a Fp — статической.
Частные выражения уравнения механики
1. Неустановившийся осесимметричный поток в проточном
резервуаре с профилем, неизменным во времени (dF/dt=O):
^^(FQv) + F^^0. (1.4)
dt дх дх
2. Неустановившийся одномерный поток (или течение газа
в трубе с постоянной площадью поперечных сечений dF/dx = 0)
~
3. Установившийся осесимметричный поток в проточном резер-.
вуаре с профилем, неизменным во времени (— (Fqv) = Q; —=0*;
——0 V
dt" )'
Отсюда следует, что dR=dN.
dR
Так как при установившемся газовом потоке — dx = dR;
дх
д rj1
— dx=dF и dN=pdF, то уравнение примет вид
дх
— = р. (1.6)
dF y v !
* Отсюда не следует, что G=const, так как С(х; t), то для выполнения этого
условия должно быть
dG dG dG
— + — v — 0.
dt д
dt dt дх
10

В теории газовой динамики уравнения (1.5) и (1.6) имеют
принципиальное значение. Первое утверждает, что при
установившемся газовом потоке на любом участке проточного резервуара
осевая реакция N равна приращению (изменению) полной реакции
потока на том же участке N=AR = R2—R\-
Второе — вскрывает природу осевой реакции N. Ее величина
вычисляется как сумма сил статического давления газового потока
на стенки проточного резервуара, взятого в осевом направлении
N— С pdF, и, как следствие третьего принципа механики Нью-
F,
тона, через приращение полной реакции потока (" pdF=,Rz—Ri-
Fi
Отсюда сумма осевой реакции N и начальной величины полной
реакции газового потока Rx равна ее конечному значению Rz\
N+RX = R2. (1.7)
Таким образом, уравнение (1.7) содержит принципиальное
положение о природе сил реакции газового потока, имеющего
значение закона: изменение .полной реакции потока AR = R2—Я\фО,
порождающее осевую реакцию воздействия потока на резервуар
{N=/=0), возможно только при наличии градиента площади
поперечного сечения резервуара dF=/=0. В резервуарах с постоянной
«тощадью поперечных сечений (f=const; dF=0) величина полной
реакции газового потока постоянна
R = const; p + QV2=const. (1-8)
Пример 1. Найти осевую реакцию N воздействия Ъил статического давления
стационарного газового потока на стенки диффузорной части сопла между
сечениями ** —ее (рис. 1.2).
Согласно закону (1.7) искомая осевая реакция N равна
7V = /?B — #•,
GvB
где Re = + FBpB —полная реакция газового потока в выходном сечении
S сопла;
R* — полная реакция газового потока в критическом
сечении сопла.
Пример 2. Определить осевую реакцию N воздействия сил статического
давления на полузамкнутый резервуар при установившемся истечении газа через
сопловой насадок в пустоту (рис. 1.3).
На боковых стенках резервуара между сечениями 00—ев осевая реакция
воздействия сил статического давления согласно закону (1.7) равна \N=RB—Ro,
где Ro=FopQ—начальная величина полной реакции потока газа в сечении 0—О,
так как у дна резервуара и=0. Полная осевая реакция N воздействия сил
статического давления на резервуар с учетом давления на его дно Fopo равна
N = Д/V + FoPo = RB — Ro + FoPo = RB. (1.7')
Пример З. Найти закон изменения сил статического давления газового потока
в трубе с постоянной площадью поперечного сечения (рис. 1.4).
11

Движение газа в трубе F = const происходит при сохранении полной
реакции потока (/?= const), поэтому вправе записать R~Fp +/?qi>2 = const.
Рис. 1.2.
Учитывая, что F = const, получим />i+Qifj = />2 + б2и2- Отсюда— =
/*2
так как в соответствии с уравнением состояния газа p = gQRT, имеем
QI/2
Р
где
V
М = — ; а* =
а
Пример 4. Найти реакцию воздействия газового потока на дно
цилиндрической трубы, имеющей постоянную площадь поперечного сечения (F=const),
7
1
Р,
Р.
л,
г
Рг
2
Рис. 1.4.
Рис. 1.5.
в зависимости от параметров состояния потока в выходном ее сечении (рис. 1.5).
Эта задача имеет большое практическое значение в теории проектирования
лафетов артиллерийских орудий и надульных газовых устройств.
При определении реакции газового потока на дно трубы будем считать,
что после вылета поршня параметры мгновенного состояния газового потока
в выходном сечении трубы являются известными (рв, vB, qb). Уравнение
механики для этого случая нестационарного процесса течения газа имеет вид
— (Fqv) + —(Fp + Fqv2) = 0, так как dFjdx—О. Интегрирование его по
dt дх
координате х в пределах от 0 до I
dt
I J в
LvFdx+ Г
о р
12

Р = RB +
dt
(1.9)
приводит к выражению
где Fqbvb=— массовый расход газа при истечении из трубы;
P=Fpm—реакция воздействия газового потока на дно трубы;
Rn —FpB +FqbvI — полная реакция газового потока в выходном сечении
трубы;
I
L~ [qvFdx — количество движения газа в объеме канала трубы.
о
Добавочный член dLjdt в выражении (1.9), появившийся вследствие
нестационарности процесса истечения газа, выражает скорость изменения количества
движения газа в объеме
канала трубы. В артиллерийском
орудии величина dLjdt
соизмерима с величиной /?„,
поэтому нельзя пренебрегать его
значением, особенно при

расчете параметров движения
откатной части орудия с
надульным устройством.
Значительно подробнее эта задача
рассмотрена в § 8 гл. II.
Пример 5. Определить
полный импульс силы реакции
газового потока на дно трубы
с постоянной площадью
поперечного сечения (F=const) за время истечения газа из нее. Искомое выражение
найдем в результате интегрирования уравнения (1.9) по времени
Рис. 1.6.
г
где JB— [RBdt— полный импульс реакции газового потока;
о
Z.Q — количество движения газа в момент вылета поршня.
Примеры 4 и 5 с достаточной для практики степенью точности можно решить
на основе уравнения механики для стационарного процесса течения газа в
цилиндрической трубе с постоянной площадью поперечных сечений (рис. 1.6). Так как
dF=0, то реакции потока на входе и выходе трубы равны Ro=Rs- Используя
гипотезу осреднения параметров состояния в канале ствола (см. пример 1 § 3),
можем принять, что реакция Р на дно трубы равна статическому члену, входя-
Go
vB. По физическому смыслу
g
щему в выражение (1.3), тогда P = Fpo =
Go и и0 являются весовым расходом и скоростью газа в момент выхода поршня
из трубы. При этом Go и Do, как и #Е, зависят только от времени. Сравнивая
между собой уравнения (1.9) и (1.3), в первом приближении можем принять
dt
Г = — — Щ-
Подробно эта задача рассмотрена в § 8 гл. II.
13

§ 2. УРАВНЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ ВЕЩЕСТВА
В общем случае элементарная масса газового потока bm — i
является функцией двух независимых переменных — координаты х
и времени t. Так как рассматриваемая масса газового потока
зафиксирована, а стенки резервуара непроницаемы, то субстацио-
нальная производная может быть равна только нулю
•—(8/я) = 0. Отсюда после преобразований получим
dt
dts ' dt ' '
где -^-(bx) = bv = ^-bx.
dt дх
Исходя из определения субстациональной (полной) производной
J-(Fq)=±(Fq) + v±
dt dt dx
и учитывая, что
дх дх дх
для закона сохранения вещества получим общепринятое выражение
— (/Ч>)-| (Fqv)~Q (1-Ю)
или
dt [ v ) ' дх
Очень часто выражение закона сохранения вещества (1. 10)
называют уравнением сплошности или непрерывности потока.
Частные выражения уравнения сохранения вещества
1. Неустановившийся осесимметричный поток в проточном
резервуаре с профилем, неизменным во времени (dFjdt = 0):
dt дх
2. Неустановившийся одномерный поток в цилиндрической
трубе (dFfdx=0)
^T ^(QV)O. (1.11)
dt дх
3. Установившийся осесимметричный поток. Для этого случая
— (/гд):=0, а следовательно:
dt
— (FQv) = 0; FQV = const; G = const. (1.12)
14

§ 3. УРАВНЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
сходя из закона сохранения в
механики (1.1) можно записать так:
Исходя из закона сохранения вещества — 6т=0 уравнение
dt
r (1.13)
dt
Помня, что bm=Fobx: bJ7~bN=F —Ьх, получим искомое урав-,
дх
dv ■ dp =0
нение движения о ——
dt ' дх
Переходя к частным производным — ■= —-f-1»—, будем иметь
dt dt дх
уравнение движения в форме Эйлера
E!L + v^Ljr±dJL==0_ (1.14)
dt дх q дх
С точки зрения математики уравнения (1.1) и (1.13) являются
тождественными. Однако физический смысл их различен. Первое
из них представляет закон сохранения импульса сил потока,
второе — закон сохранения механической энергии потока идеального
газа. Для стационарного потока dvldt = O уравнение (1. 14)
примет вид
-5-= - qv или d(—\~\- — = 0 (уравнение Бернулли).
dv \ 2 / Q
Учитывая механическую работу LM, совершаемую газовым
потоком, и работу на преодоление сил трения LT, приведем уравнен-ие
Бернулли к следующей обобщенной формуле [3]:
= 0. (1.15),
Пример 1. Показать, что допущение о равномерной плотности газового потока
дд/дх=0 в закрытой с одного конца трубе с постоянной площадью поперечного
сечения (F=const) приводит к линейному закону распределения скорости вдоль
потока внутри канала трубы v=cx (см. рис. 1.6).
При условии, что F(x)=const; dq!dx=0, уравнение сплошности (1.11)
приводится к виду
do dv д dv
— + Q J— = 0 или — In q + — = 0.
dt dx dt дх
Интегрирование его по координате х дает зависимость с (t) x -f vx —
d
= D(t), где с (t) == — In q. Значение постоянных для заданного момента
времени найдем из граничных условий х = 0, у=0, D = 0 и х = I, v = V(,{t),
F -=~ vq/1.
Подставляя найденные значения с и Д получим искомое выражение для
скорости потока газа вдоль канала трубы
х
vx = v о —.
15

Пример 2. Определить закон изменения плотности внутри канала трубы с
течением времени для условий примера 1. Исходя из того, что, с одной стороны,
с = д In Q/dt, с другой, с = —Vo/i, вправе записать д In Q/dt = —vajl Отсюда после
интегрирования и потенцирования получим
.) f
_ dt
I
где
сек
£>о — начальная плотность газа в трубе.
Пример 3. Показать, что для условий примера 1 закон мгновенного
распределения давления по длине канала трубы является параболическим
Р = Ржи. — (Ржи — Ро) ~J^ ■
Уравнение движения (1.14) при v =—х приводится к виду
_х_дщ ± /_^о_ ^Л 1_ др_ _
I dt дх \ 2 р/+ е й^ '
Интегрирование его по координате х при фиксированном значении t дает
выражение сх — + v\—- + — = D\. Здесь cx=dvuldt и Dt зависят только
от времени. Граничные условия: х = 0, v = 0. р = рю — текущее давление
на дно трубы, т. е. в данный момент времени; х----1, v=vq, P=Pq— текущее
статическое давление потока в выходном сечении трубы для Cj и Dj дают
Ряп 2 ( Ряа-рр vl \
выражения D, =— и С\ = —I — I, так как q (лс) = const.
р I \ е 2 /
Подставляя найденные значения с\ и D\ в интегральное уравнение движения,
будем иметь
«-Ро vl
2/ L / \ Q 2/|2/2 е е
После приведения подобных членов получим искомый закон мгновенного
распределения статического давления потока вдоль канала трубы.
§ 4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ, ИЛИ ПЕРВОЕ НАЧАЛО
ТЕРМОДИНАМИКИ
Введем термодинамические функции E = cvT — удельная
внутренняя энергия идеального газа и / = срТ — его теплосодержание
(энтальпия). На основании соотношения Мейера F{ — cp — cv =
16

RT kRT
= (&— \)cv функции E = ; /==- -. Используя уравнение
k — 1 k — 1
состояния идеального газа pw = RT, получим E = ——; / = pw,
k — 1 k — 1
где w — удельный объем газа.
Термодинамические функции I та Е связаны соотношениями
I = kE; / = E + RT; d/ = kdE; dl=^dE + RdT.
В соответствии с этими обозначениями закон сохранения
энергии (первое начало термодинамики) в дифференциальной форме
записывается так:
dQ = dE+pdw^dI — wdp, (1.17)
где dQ — изменение тепла в газовом потоке вследствие его
взаимодействия с окружающей средой.
Совместное использование уравнений сохранения (1.15) и
(1. 17) позволяет решить ряд практических задач, например,
исследование течения газового потока с учетом трения (§ 2 гл. II) и
конденсированной фазы (§ 14 гл. V).
Следует иметь в виду, что левая и правая части уравнения
записываются в одинаковых единицах измерения энергии: либо в
тепловых ккал/кг, либо механических кГ -м/ккал. Переход от одних
единиц измерения к другим осуществляется при помощи
термического эквивалента Л = 1/427 ккал/кГ ■ м или механического —
1/Л = 427 кГ-м/ккал.
Совместное решение уравнений (1. 15) и (1. 17) дает
обобщенное выражение для закона сохранения энергии газового потока
Q + £)
В уравнении (1. 18)' член dLT исчезает вследствие полной
обратимости работы сил трения в тепло dqT (dqT = dLT). При этом член
dqv входит в левую часть уравнения, а равный ему член dLT —
в правую часть того же уравнения, вследствие чего они
взаимоуничтожаются. Для стационарного течения газа без теплового
обмена с окружающей средой (dQ = 0) и при отсутствии работы,
совершаемой газом (или над газом), уравнение сохранения
энергии приобретает вид
^- + / = /о. (1Л9)
где /0 — энтальпия потока в заторможенном состоянии.
Уравнение (1.19) показывает, что перенос тепловой энергии
газовым потоком происходит в виде теплосодержания, т. е.
определяется теплоемкостью при постоянном давлении ср. В замкнутом
объеме, где газ находится в покое, его тепловая энергия равна
17

внутренней энергии, величина которой пропорциональна
теплоемкости при постоянном объеме с„. Это формальное толкование
закона сохранения энергии требует особого к себе внимания, ибо
в отдельных процессах изменения состояния газа объясняет
парадоксальное явление с точки зрения закона сохранения энергии:
в случае перетекания газа из одного резервуара в другой при
отсутствии подвода тепла извне происходит существенное повышение
температуры газа по сравнению с ее начальной величиной. Так,
при втекании газа в вакуумированный резервуар его полная
температура (температура торможения) повышается в k = cp/cv раз
по сравнению с начальным значением.
Этот эффект подогрева газа вытекает из очевидного равенства
где dQ = Iudv> — количество тепла, перенесенное первой порцией
газа dw в вакуумированный резервуар;
/0 = срТ0 — полное теплосодержание, переносимое порцией
газа rfm;
Eoi = cvTo\~внутренняя энергия той же порции газа в вакуу-
мированном резервуаре постоянного объема.
Отсюда Г01 = — То. Так как cp>cv, то Т01>Т0.
cv
Более детально это явление рассмотрено в § 4 гл. II.
§ 5. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ,
ИЛИ ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Уравнение (1. 17) можно проинтегрировать в общем виде для
газа, подчиняющегося соотношению Клапейрона pw = RT. Для
уравнения (1. 17) интегрирующим множителем будет 1/Г
dQ dT . dw dT w ,
V ~l r* ' п У •
Так как согласно уравнению состояния p/T = R/w, вправе записать
dQ __ R dT , dw
Т k~\ T w '
где
R 1
k — 1
Отсюда
R
где
18
(1.17')

После потенцирования имеем
e
Исключая Т\ и Т2 с помощью уравнения состояния
окончательно получим
"" (1.20)
Интегральную форму уравнения сохранения энергии можно
получить в более обобщенном виде, записанном через текущие
значения полного объема W и веса газа со. Такая форма записи
уравнения сохранения энергии содержит определенные удобства для
решения многих задач (см. § 5; 15; 16 и 17 гл. II). В этом случае
дифференциальное уравнение сохранения энергии примет вид
На основании уравнения состояния газа pW=a>RT можно записать
{k—l)dQa>=d(pW)-{-(k—\)pdW
или
После интегрирования и потенцирования для осредненных
параметров состояния получим
K ы . (1.21)
Закон сохранения энергии в интегральной форме (1.20); (1.21)
иногда называют уравнением процесса изменения состояния.
Частное его выражение для газового изэнтропического потока
А5 = 52—Si = 0 носит название уравнения адиабаты Пуассона:
pwk=cons\; /?\Ts = const. (1.22)
Процессы изменения состояния газа, протекающие в
соответствии с уравнением Пуассона, называются изэнтропическими или
адиабатическими. Здесь следует подчеркнуть, что изэнтропический
процесс относится к частному случаю термоизолированного потока,
когда rfS = 0. Однако в природе ввиду внутреннего трения
существуют лишь процессы течения термоизолированного потока (dQ = O)
с возрастанием энтропии А5>0. Такой класс процессов изменения
19

состояния параметров потока называют неизэнтропическим или
адиабатным.
Следствие из закона сохранения энергии dS= R R —~> О
k—\ т р
имеет глубокий физический смысл принципиального значения:
все реальные процессы обладают природной склонностью к
качественной потере энергии, так как
dT ^ k — I dp_
~Т' k ~р '
В термодинамике 5 называют энтропией. Она так "же, как
параметры /, Т, w, р, определяет состояние газа. Любой процесс
изменения состояния газа,можно представить в координатах Т, S или
I, S и т. п. Все реальные процессы изменения состояния
однородной (однофазной) замкнутой системы, как свидетельствует опыт,
протекают с возрастанием энтропии dS>0. Это условие является
аналитическим выражением второго начала термодинамики. Оно
утверждает необратимость процессов изменения состояния газа:
без подвода механической энергии извне нельзя
термоизолированную (замкнутую) систему вернуть в исходное (начальное)
состояние, не претерпев качественного изменения энергии. Таким
образом, величина энтропии характеризует качественное изменение
энергии системы (или, в частности, процесса течения газа),
а именно: с ростом энтропии доля организованной энергии
(механической, электрической, химической и т. п.) в общем ее балансе
постоянно уменьшается и соответственно возрастает хаотическая
(неорганизованная) форма энергии — тепловая.
Обратный процесс изменения качества энергии,
сопровождающийся уменьшением энтропии системы, характеризовал бы
постоянное стремление к переходу тепла в организованную форму
энергии, не нарушая эквивалент закона сохранения энергии. Для
однофазной системы существование процессов с dS<.0
принципиально невозможно, что может быть подтверждено мысленным
экспериментом. Например, тогда бы в любом нетермоизолирован-
ном сосуде газ независимо от величины собственной температуры
(даже в том случае, когда она выше температуры окружающей
среды) непрерывно повышал бы свое давление за счет тепла
окружающей среды в соответствии с условием
ат <-k—\ dp_
т k р '
Рассмотрим интегральную форму закона сохранения энергии
применительно к газовому потоку. В общем случае, как следует из
закона сохранения энергии (1. 17'), изменение энтропии равно
J. (1-23)
20

Выразим Тир через полные параметры состояния газа ТОо, р<ю,
найденные в предположении изэнтропического торможения потока
dS — O. Эту связь получим из уравнения (1.22). Следует иметь
в виду, что изэнтропическое торможение принято в целях замены
текущих статических параметров (Г, р) текущими физически
условными параметрами потока — полным давлением и полной
температурой. В этом случае, кроме обеспечения известного
удобства решения задачи, не сделано никакой подмены фактического
процесса изменения состояния газа изэнтропическим. Иными
словами, динамическая связь между статическими параметрами
произвольных сечений потока выражена соответствующим законом
изменения полных параметров для этих же сечений.
В произвольном сечении любого потока статические и полные
параметры состояния газа при условии изэнтропического процесса
ь—1
/ \ ft
торможения связаны соотношением Г=ГОо(—) . Поэтому вправе
\Лю/
записать
рг
Исключая из уравнения (1-23) Т2/Ти получим
P02
Для термоизолированного потока dQ = O; T02 = TOi изменение
энтропии равно
d in Poi
Р02
(1.24)
В случае изэнтропического потока dS = 0 и Poi = Po2- Таким
образом, для термоизолированного потока (dQ=O) процесс изменения
состояния газа может протекать только при Рсн^Рог- Иными
словами, в термоизолированном потоке процессу изменения состояния
газа присуща тенденция падения полного давления, т. е.
постоянное уменьшение организованной доли энергии. Отсюда становится
понятна нереальность класса течений, для которых dS<0 или
Poi<Po2, ибо в этом случае наблюдалось бы непрерывное
повышение полного давления при сохранении общего запаса энергии
ГОо = const. В самом деле, согласно процессу cfS<0
последовательный разгон и торможение потока позволили бы получить любое,
наперед заданное, повышение полного давления (давление тормо-
21

жения). Естественно, что такое накопление потенциальной
энергии (энергии давления) газа без подвода механической работы
от внешнего источника (компрессора) противоречит здравому
смыслу. Поэтому для реальных процессов изменения состояния
однофазной замкнутой системы тенденция постоянного падения
полного давления приобретает значение принципа в смысле закона
о постоянном рассеивании организованной формы энергии. В
идеальном случае, когда диссипативные силы отсутствуют,
теоретическим пределом возможного процесса течения газа является из-
энтропический поток рОо—const, dS = Q, который в смысле
восстановления параметров начального состояния газа будет обратимым.
По этой причине условие dS^O должно служить критерием
правильности решений газодинамических задач, несмотря на то, что
эти решения строятся на основе трех законов сохранения.
Второе начало термодинамики не позволяет определить
постоянную энтропии So, так как функция энтропии задана
дифференциальным уравнением dS=dQ/T. Кроме этого, вычисление энтропии
требует установления температурной зависимости теплоемкостей
ср(Т); cv(T). Для газовой динамики также имеют принципиальное
значение условия, при которых газ, определяемый уравнениями
Клапейрона или Ван-дер-Ваальса, вырождается, т. е. перестает
подчиняться соответствующим уравнениям состояния. На эти
принципиальные вопросы отвечает теорема Нернста (или третье начало
термодинамики) [1], утверждая, что в равновесных системах при
температурах, близких к абсолютному нулю (Т-+0), изменения
свободной энергии (F=E—TS) не зависят от температуры
(dAF/dT->0), т. е. нулевая изотерма и нулевая изэнтропа совпа-
т-г t л. 1 / dw \
дают. Поэтому термические коэффициенты расширения —(
1 /др \ „ / dS \
и давления— — ,а также теплоемкости с„ = Г и ср =
Ра \Тд jw \ ОТ /щ,
= 7(—) при Г-^0 обращаются в нуль; при этом температура
абсолютного нуля остается недостижимой, а энтропия —
конечной (So) и независящей от параметров состояния (р, w).
ЛИТЕРАТУРА
1. Базаров И. П., Термодинамика, Физматгиз, 1961.
2. Больцман Л., Лекции по теории газов, ГТТИ, 1953.
3. Жуковский В. С, Техническая термодинамика, ГТТИ, 1952.
4. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, ГТТИ,
1953.
5. Л е о н т о в и ч М. А., Введение в термодинамику, ГТТИ, 1952.
6. Станюкович К. П., Неустановившиеся движения сплошной среды,
ГТТИ, 1955.
7. Фредерике В. К. и Афанасьев А. П., Курс общей физики, ЛГУ,
1935.

Глава II
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
РАКЕТОСТВОЛЬНЫХ СИСТЕМ
В гл. I были изложены основы элементарного аппарата
инженерного решения газодинамических задач. Настоящая глава
преследует две цели: методическую и практическую. Первая состоит
в том, чтобы научиться сознательно пользоваться основными
законами газовой динамики, увязанными в необходимую логическую
последовательность решения задачи. Вторая — получить
обобщенное решение задачи, содержащее практическую ценность
результата и познавательную сторону физики процесса.
При решении практических задач газовой динамики приходится
пользоваться полными параметрами состояния потока.
Полными параметрами состояния потока принято называть
параметры, которыми обладал бы газ при изэнт ропическом
торможении потока до скорости, равной нулю. Иногда полные параметры
называют параметрами потока в заторможенном состоянии или
параметры торможения.
В этом смысле заключается некоторая физическая условность,
так как из-за диссипативных сил или отличительных качеств
сверхзвукового течения (постоянной склонности сверхзвукового потока
к ударному уплотнению) торможение газового потока по закону
изэнтропы (1.22) не может быть осуществимо на практике. В
противном случае изэнтропическое уплотнение означало бы
обратимость процессов течения. По этой причине, кроме удобства
построения решения задач, вычисление полных параметров состояния р00
или Qoo диктуется необходимостью проверки правильности
результатов решения с точки зрения законов термодинамики при
принятых рабочих гипотезах физических процессов.
§ 1. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ
СТАЦИОНАРНОГО ПОТОКА
Найдем выражение параметров состояния стационарного
потока в любом его сечении в зависимости от % или числа М.
Напомним, что к параметрам состояния относятся: статическое
р и полное р00 давления; статическая Т и полная Тоо температуры;
23

статическая q и полная q00 плотности массы вещества, а также
полная реакция R газового потока.
Так как функции параметров состояния потока имеют одни и
те же аргументы k; G; а*; К или k; G; а*; М, то их следует
рассматривать как обобщение решения задачи определения характеристик
стационарного газового потока. При этом весовой расход G и
критическая скорость газового потока а* в общем случае определяются
законами сохранения вещества и энергии. В частном случае, когда
поток стационарен и изолирован от теплообмена с окружающей
средой, величины G и а* в силу законов сохранения вещества и-
энергии остаются неизменными.
Связь между аргументами X и М
По определению
Х = 4-; М = ^-, (2.1)
а а
но a2 = kgRT и a*2 — kgRT*, поэтому вправе написать
Здесь а* — скорость газа в сечении потока, где она численно равна
местной скорости звука (А=1). Поэтому скорость а* является
критической и характерной величиной для заданного потока.
Следует подчеркнуть, что из-за изэнтропической природы
распространения слабых возмущений скорость этого распространения равна
скорости звука
В силу этого величина а*, выраженная через местную температуру
газа, оказывается функцией показателя адиабаты Пуассона k:
a*=VkgRT*.
Замена показателя адиабаты показателем политропы является
чисто формальной операцией и физически недопустимой.
Согласно закону сохранения энергии (1.19) полная и
статическая температуры в каждый данный момент в фиксированном
сечении потока связаны соотношением
_^ или 1«L =
2gcpT T
24

так как = М2. Полагая М = 1, т. е. v = a* и Т = Т*.
2gcpT 2
найдем связь между полной и критической температурами:
г *4-1 г* \+^Гт
Tqo k+ I __ Т I
T* 2 И Т k±\
2
Подставляя T*jT в соотношение для К2, получим искомые формулы
г. I 1 О
ft -\- 1 Z
Следствием этих формул будет соотношение
-—X2 Vl +£^М2 1 = 1.
k+\ }{ '2 j
Отсюда следует, что величины комплексов 1 — X2 и 1 -) М2
А + 1 2
являются обратными
Статическое давление потока
В любом сечении потока идеального газа для статического
давления справедливо соотношение p = gQRT (уравнение состояния).
Статическая плотность газового потока согласно закону
сплошности речения (1. 12) равна gQ = G/Fv; v = %a*.
Местная статическая Т и полная Тоо температуры в
соответствии с их определением согласно уравнению (1. 19) связаны
зависимостью Т = Тоо( 1 ^Х2). При этом в общем случае совер-
шенно необязательно выполнение условия термоизолированности
потока —52-=_0 (т. е. постоянства полной температуры вдоль по-
дх
тока 70o(^) = const). Иными словами, связь между Т и 700 сохранит
свою силу и при дТ001дх ф 0, только в этом случае Тоо принимает
смысл местной (в данном сечении) температуры торможения.
Исключая из уравнения состояния gqT и учитывая, что ап =
Ik
■ gRTQ0, окончательно получим
A J- I Ga*
( }
25

Иногда q1(k) = — называют газодинамической функцией.
X
статического давления потока.
При выводе зависимости р(%) не было сделано предположения
о каком-либо конкретном процессе изменения состояния. И если
допустить, что в рассматриваемом сечении потока известны
истинные (местные) значения расхода и полной температуры (например,
экспериментально определены или теоретически вычислены на
основании законов сохранения вещества и энергии),.то формула"
для р(л) может быть использована для потока, изолированного от
внешней среды G = const; a* = const и неизолированного G^const;
а*Ф const.
Пример. Показать, что в критическом сечении потока (т. е. в том сечении,
где v=a*) динамическая составляющая полной реакции в k раз больше статиче-
Ga* Ik X
ской Ga*lg — kf*p*. Из выражения (2.2) имеем = ■.
gFp k + 1 1 _ k — \ X2
k+ 1
Полагая X = 1, получим
X k+1 Go*
*i 2
Полное давление потока
Величина полного давления потока определяется из
предположения, что процесс торможения является обратимым, т. е.
протекает в соответствии с уравнением адиабаты Пуассона. Однако
полное давление в отличие от полной температуры не может быть
зарегистрировано экспериментом, так как реальный процесс
торможения газового потока необратим и сопровождается постоянным
падением (потерей) полного давления. Поэтому полное давление
{или полная плотность) является величиной фиктивной и
представляет теоретический интерес как этап в логике решения задачи или
как критерий правильности его результатов. Полная температура
может быть легко определена на практике, так как пограничный
спой газового потока (у стенок проточного резервуара или у
поверхности термопары) неподвижен и имеет полную температуру.
В случае термоизолированного и нетеплопроводящего потока, как
показывает закон сохранения энергии, величина полной
температуры будет неизменной (1. 19)
Тоо = r^-j—=const. (2.3)
1W
k+\
Статическую (истинную) температуру газового потока также
трудно замерить, так как для этого необходимо передвигать
термопару со скоростью газового потока.
26

Используя найденные выше выражения для р и Т, получим
величину полного давления при изэнтропическом процессе
торможения
Pw=,
Функцию q2(K)=
gM. (2.4)
2k gF Ч2 W У '
часто называют газодинамической
функцией полного давления.
Пример, Найти связь между площадями сечений потока и безразмерной
скоростью для изэнтропическо'Г© течения.
При условиях р01 = рО2, Сг = О2, а* ~а*2, справедливых для изэнтропи-
ческого потока газа, имеем
1
Go* k + l / k— 1 .
= -Г л I 1 — г.
Х2
= const.
Отсюда непосредственная связь F(l)
1 —
k+l
^
j
ft-i
А-1,2
~I+~\h
Взяв характерное сечение потока F\=F*, Xi = l, получим
F*
ч ft—1
2. 6)
k+l
Формула (2. 6) позволяет вычислить F, если известно X, либо найти Я при
заданной F.
Полная реакция потока
В отдельных практических задачах полная реакция газового
потока R = ~ +Fp является самоцелью решения. Поэтому весьма
g
удобно найти ее обобщенное выражение в зависимости от
аргументов G, а*, К, к, характерных для газового потока. Если из
уравнения для R, пользуясь соотношениями (2.1) и (2.2), исключить
v и р:
_Offi i ,
— ■ к-\
g
\Ga*
k+l
2k g
27

то после простых алгебраических преобразований искомое
выражение примет вид
Ч9? (2>8)
По аналогии с qu q2 функцию ^з(^) =А. + А,~1 называют
газодинамической функцией полной реакции.
Сопоставляя формулы для р(%), РооШ и RCk), можно заметить,
k + 1 Ga* R*
что все они имеют одинаковый множитель = — и
отличаются только составом газодинамических функций а-{%).
Используя это формальное структурное сходство, можно сделать
обобщение:
Физический смысл R* — полная реакция потока в сечении,
где v = a*, K= 1.
Для потока, изолированного от внешней среды, величины R*,
G и а* остаются неизменными, откуда следует, что связь между
параметрами состояния в любых сечениях изолированного потока
является функцией его безразмерной скорости в этих сечениях
и их площади:
Р\ ^2 gl(^-l) . POI ?2 ?2(^l) . #1 <?3 (^l) /о Q\
^ —— - ^ ^ t у£. хз)
Р2 ^\ ^1(^2) /^02 ^1 ^2(^2) ^2 ^3(^2)
Если не требуется учитывать переохлаждение газового потока,
статические параметры его состояния р; q; Г в выходном сечении
полубесконечного насадка (F = oo) будут стремиться к нулю. Это
означает, что вся иотенциальная энергия потока перешла в
кинетическую.
Для решения практических задач (например, расчет соплового
блока двигателя) полную реакцию потока на выходе из сопла
удобнее вычислять, пользуясь формулой
R^R*KB, (2. 10)
где /Св = д3/2 — коэффициент реактивности сопла. Его величина
показывает относительное увеличение полной реакции потока в диф-
фузорной части сопла по сравнению с ее значением R* в
критическом сечении F*. Значения Къ (А,) даны в приложении 1.
Формулы, полученные для параметров изменения состояния
потока в зависимости от безразмерной скорости К, являются
приближенными не только из-за неучета диссипативных сил, но прежде
всего потому, что они выведены для случая одномерного течения
идеального газа.
Пример. Найти пределы изменения коэффициента реактивности для диффу-
зорной части соплового насадка. При изэнтропическом движении газа poo = const
по диффузорной части сопла изменение безразмерной скорости потока в
зависимости от размеров площади поперечных сечений происходит в соответствии
28

с уравнением (2.6). Из уравнения (2.6) следует, что при F=F*, X=\, а при
ft —1
Теоретический предел коэффициента реактивности будет конечным и
совит
К+ К1 *
Таким образом, при l<X<Xra имеем К /(в</Своо; откуда вытекает, что
в сопловых насадках заданных размеров приращение реакции потока в диффу-
зорной части существенно зависит от k. Так, при k = 1,25; Къ « = 1,67, а при ft =1,1
/Своо=2,41. Это обстоятельство требует сознательного выбора величины k в
зависимости от размеров насадка, т. е. от статической температуры газа в
выходном сечении сопла.
Изэнтропическое течение газа
Как было отмечено выше, выражения параметров состояния
потока (2.2); (2.4); (2.8) справедливы для любого процесса
изменения состояния как при G = const; a* = const, так и при G = var;
a* = var, если в рассматриваемом сечении потока известны расход
G и полная температура ГОо- Там же было показано, что для
случая G = const, a* = const в любых сечениях потока его параметры
состояния связаны зависимостями (2.9). Для изэнтропического
потока, как уже отмечалось, справедливо условие обратимости:
для любого его сечения полное давление остается постоянным
Poi = po2- Следствием этого условия является формула (1.22).
Исключая F2/F1 (2.5) в уравнении (2.9) для Р\1рч, получим
или р=рЛ *ТТ
На основании уравнения закона сохранения энергии (2.3) и
уравнения состояния p=gQRT имеем
ix?
т-=—гЦ— или г=
iL=| j—j | илие = е0СД 1-7ХТл* ) • (2.13)
Q2

Эти же зависимости для параметров изэнтропического потока
можно получить непосредственно из уравнения адиабаты Пуассона
Р2
исключив Ti/T2 в соответствии с законом сохранения энергии (2.3).
Необходимо обратить внимание на то, что уравнения
\ Ga* k+\
tи p =
p Tи p Poo 1 >
нельзя считать равноценными при выполнении условия
термоизолированности потока (а* = const). В действительности эти
уравнения тождественны только для случая изэнтропического потока
(dS = 0, т. е. poo = const), когда выражение (2.11) следует
рассматривать, как частное решение более общего уравнения (2.2).
При решении практических задач для определения
безразмерной скорости удобно пользоваться формулой
L \P00/
* ' L (2-14)
I
которая является результатом решения уравнения (2.11)
относительно А,2.
§ 2. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В СОПЛЕ
Настоящее исследование течения газа в сопле и расчет его
размеров для обеспечения заданной эффективности проведены для
случая, когда статическое давление потока в выходном сечении
больше или равно окружающему. На практике под
эффективностью сопла обычно подразумевают величину коэффициента его
реактивности К, характеризующую относительное ускорение
газового потока в диффузоре или относительное увеличение реакции
воздействия потока на питающий сопло резервуар. Пренебрегая
влиянием диссипативных сил, процесс течения газа в сопле
считают изэнтропическим. Для уменьшения влияния радиального
расширения газа на величину коэффициента реактивности диффу-
зорную часть сопла профилируют таким образом, чтобы по выходе
из сопла поток был плоскопараллельным. Конфузор сопла
профилируют также из условий наименьших потерь. Однако не всегда
целесообразно делать канал сопла специального профиля, так как
повышение коэффициента реактивности сопла, как показывает
формула (2.20), при этом не превосходит 1 —1,5%.
30

Параметры состояния изэнтропического потока
в критическом сечении сопла
Для изэнтропического процесса течения площади поперечного
сечения потока и безразмерные скорости связаны уравнением
(2.5), где Xi и Fx зафиксированы.
Из рис. 2.1 видно, что функция v имеет максимум при F% = F*,
гак как F*<Fu F*<F2. Поэтому значение X*, при котором
функция v = Fi/F2 достигает максимума, находится из уравнения
I I 1 k ~ ] )2
rfX2
ИЛИ
Отсюда следует, что в сечении наименьшей площади сопла
= F* скорость газа численно равна скорости звука 7,2 = Я* = 1 или
Рис. 2.1.
o* = a*. На основании этого в критическом сечении параметры
состояния газового потока согласно уравнениям (2. 11); (2. 12); (2. 13)
соответственно равны
1 у?
о /9 \*—1 / 9 \ft—1
1 — , , 1 i ooi У — ' , , Gooi P — : :) Poo- (z-lD)
k+ 1 \£ + 1/ \A+ 1/
Согласно уравнениям (1.12) и (1.3) расход и реакция
стационарного потока в его критическом сечении выражаются
формулами:
■/■
••ш
Роо
/RT
оо
(2-16)
Па*
I 9
( ——
U+i
Сам факт, что в критическом сечении скорость газа равна
местной скорости звука, величина которой зависит от температуры
3]

газа, с физической точки зрения является примечательным: как бы
не повышали давление газа в резервуаре, скорость его потока в
критическом сечении сопла остается неизменной, если сохраняется
температура.
Эта закономерность объясняется тем, что истечение газа
происходит из среды с большим давлением в среду с меньшим
давлением. При этом перепад давления, формирующий поток,
распространяется со скоростью звука в направлении, обратном истечению
газа, — от среды с меньшим давлением в среду с большим
давлением. Абсолютная же скорость распространения перепада
давления (так называемых волн разрежения) равна разности между
скоростью звука и скоростью перемещения газового потока
оа=а—v. Поэтому волны разрежения не проникают в среду с
большим давлением через сечение, где их абсолютная скорость иа = 0.
Отсюда следует, что при иа>0 скорость газа в критическом сечении
сопла меньше скорости звука у* <а* и определяется перепадом
давления. По мере увеличения перепада давления величина и*
будет возрастать, приближаясь к своему предельному, критическому
значению а*.
Иногда при вычислении величины а* пользуются уравнением
политропического процесса изменения состояния параметров среды
p/Qn = const, учитывая таким образом взаимодействие потока
с окружающей средой а*— У ngRT*, где пФ-k. Однако такой
подход к определению а* является произвольным и противоречит
природе образования критического потока, так как процесс изменения
состояния параметров среды при распространении слабых
возмущений является изэнтропическим
-4-= const,
е
Поэтому с физической точки зрения для скорости звука
справедливо единственное уравнение
Таким образом, недопустимо отождествлять процесс изменения
параметров состояния потока при его взаимодействии с
окружающей средой и процесс распространения слабых возмущений в среде
газового потока, так как в общем случае они могут быть
различными по своей природе. Первый может быть любым
политропическим, второй — только изэнтропическим.
Расчетное сопло
Расчетным соплом принято называть сопло, у которого
избыточное давление в выходном сечении равно нулю рв—ра = 0. Тяга
такого сопла по сравнению с любым другим соплом будет наиболь-
32

шей, если не принимать во внимание преждевременный отрыв
потока от стенок диффузорной части сопла или не учитывать
возможность течения со скачком уплотнения при глубоком
перерасширении. Это положение доказывается следующим образом.
Уравнение тяги (1.7') с учетом противодавления внешней среды
(ра) имеет вид
Р=£>в-/>а (2.17)
или
Р v + F(pp)
где RB =— ■Ув~г-/::'в/7в~110Лная реакция потока в выходном сече-
£ нии сопла.
В пустоте (ра = 0) тяга двигателя численно равна полной
реакции потока на выходе из сопла. Во всех других случаях (раф0)
тяга двигателя будет несколько меньше полной реакции P<RB.
Если эта функция в зависимости от рв имеет максимум, то
должно быть dP/dpB = 0; d2P/dp2B<0. В самом деле
dp, g dPB^apB{Pa Р»> + в '
так как в соответствии с уравнением Бернулли —— = — qbvb;
dvB
JL^E-==_jf Поэтому при pa=p.d; dPjdpB^0.
Определим характер экстремума, т. е. найдем знак второй
производной
dpB dpB dpR
Ее знак при рв = ра определяется знаком члена dFJdpB. Из
уравнения G = gQvF имеем
F ' v ' Q
Но известно, что dp/dQ = a2-; dp/dv = —qv; M.2 = v2/a2, тогда вправе
написать
dq dq dp .,„ dv
Q dp g v
Поэтому уравнение расхода в дифференциальной форме
приобретает вид
(М2 — 1) — = (уравнение Гюгонио).
2 3058 33

Подставляя в уравнение Гюгонио dv/v = —dp/qv2, получим
искомое выражение для dFJdpB в следующем виде:
^*±-= _ (М2_ 1) -£а_ < О,
так как для диффузорной части сопла М>1. Полученный
экстремум имеет следующее физическое объяснение. Пока избыточное
давление в диффузоре сопла было больше нуля, увеличение его
выходной площади приводило к росту тяги. Но с того момента, как
избыточное давление потока в диффузоре достигло нуля,
дальнейшее увеличение выходной площади сопла создает отрицательное
приращение тяги, потому что атмосферное давление стало больше
статического давления потока. Однако при достаточно глубоком
разрежении потока образуется скачок уплотнения, за которым
резко повышается статическое давление потока, превосходя по
величине атмосферное, и тяга при этом существенно возрастает.
Расчет соплового насадка
На практике процесс изменения параметров состояния газа
в сопле принимают изэнтропическим poi = Po2=const. Поэтому
размеры площадей поперечных сечений канала сопла и безразмерные
скорости связаны уравнением (2.5).
При изэнтропическом процессе течения газа в сопловом
насадке параметры состояния газа в зависимости от безразмерной
скорости выражаются уравнениями (2.11), (2.12) и (2.13). Для
тяги двигателя с учетом внешнего противодействия ра (2.17) на
основании уравнения (2. 10) можно получить формулу
f,.^, (2.18)
х + l~l
где /Св=— —--—коэффициент реактивности сопла;
Хв —безразмерная скорость потока в выходном
сечении сопла.
Использование зависимостей (2.6); (2.11); (2.12); (2.13) и
(2.18) на практике может привести к заметным ошибкам, если
не учитывать угол раструба, конического диффузора. Так как
указанные зависимости получены для одномерного стационарного
потока, то при больших углах раструба диффузора появляется
радиальная составляющая потока, которая теорией одномерного
потока не учитывалась. Поэтому при расчете размеров
конического соплового насадка должны учитываться не только диссипа-
тивные силы, но и угол его раструба 20. В противном случае будет
получаться заниженная эффективность сопла, т. е. несколько
меньшее значение коэффициента реактивности Кв по сравнению с
требуемым. Учет влияния указанных потерь на полную реакцию по-
34

тока приводит к следующей зависимости для коэффициента
реактивности сопла:
/С. = хЛ1+Хв(/С,.и-1)1, (2.19)
где у# =ё 0,98 — потери от диссипативных сил;
Хв — потери от радиального расширения газа в сопле
In (l+tg"2(
(2. 20),
Значения коэффициента %9 приведены в табл. 2. 1.
28°
х«
28°
0
1,00
100
0,62
10
0,99
ПО
0,54
20
0,98
120
0,45
30
0,96
130
0,37
40
0,94
140
0,28
50
0,92
150
0,19
60
0,87
160
0,11
Таблица
70
0,81
170
0,04
80
0,75
180
0,00
2.1
90
0,£9
Расчет размеров сопла, обеспечивающих фактическое значение
коэффициента реактивности Кв, следует производить исходя из
величины коэффициента реактивности для идеального сопла.
На практике, когда проектируют сопло, обычно задают величину
избыточного давления в его выходном сечении рв—ра=пр&,
где п — коэффициент нерасчетности сопла.
В этом случае рекомендуется придерживаться следующего
порядка расчета размеров сопла:
1.
2-
h—\
3. vB= ii- =
в *
2 \ft-i
>.„.„!-■
—1
k+ 1
2 \*->
8.И /
(2.21)
(2. 22)
(2.6)
„0,5
4. — = ■
d* tg 6 '
где / — длина диффузора сопла;
5. /Св=0,98 [1 +Х8 (АГВИ -1)]-
2*
(2.19)
35

■ Специальное профилирование сопла на основе волновой теории
уменьшает потери полной реакции потока приблизительно на 1%
за счет коэффициента %о, значение которого в этом случае равно
единице.
Интересно отметить, что значения функции (2.6) очень
медленно увеличиваются в начале, а начиная с >,=2,25 настолько
быстро возрастают, что при Х=ХХ = 3 величина vB равна бесконечности
{см. табл. 2. 2)
Таблица 2.2
1.00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25-
2; 50
3,0
1.00
1,07
1,32
1,89
3,30
7,80
28,2
В некоторых случаях необходимо определить тягу при
заданных площади выходного сечения сопла и полном давлении р0о- Для
этой цели удобно использовать зависимость
F*Pn-F*P» (2-23)
где
)=q^ {\)q3
Диссипативные силы и неодномерность течения учитываются
при вычислении Кв по формуле
где Къ определяется уравнением (2.19).
При расчете реактивного усилителя отдачи к артиллерийскому
стволу автоматической пушки уравнение (2.19) следует
записать так: t
/Св=0,98[1+хвХн(Кв.„-1)], ' (2.24)
где %н^0,9 — коэффициент, учитывающий нестационарность
газового потока.
Реактивный усилитель отдачи имеет ограниченную
эффективность.
Опыт проектирования реактивных усилителей .отдачи
показывает, что угол 6 нежелательно брать более 12°. В противном случае
может наблюдаться заметное снижение их эффективности из-за
отрыва потока пороховых газов от стенок диффузора вследствие
большой нестационарности течения. На . практике величина
/Св^1,25, хотя дульное давление составляет несколько сот
атмосфер. Иногда реактивный усилитель отдачи называют
пламегасителем. Такое название им получено вследствие заметного снижения
свечения пороховых газов из-за падения их статической
температуры по выходе в атмосферу. '
36

Течение газового потока в термоизолированных трубе и сопле
при наличии трения
В гидравлике работу потока жидкости, затрачиваемую на
преодоление сил трения (гидравлического сопротивления), оценивают
по формуле [1]:
dLTn = — dx.
D 2g
Эту формулу совместно с уравнением обращения газового потока
под действием внешних воздействий (2. 132) Г. А. Абрамович
использовал для установления аналитического закона изменения
безразмерной скорости газового потока (К) по длине трубы (х)
>-з 4-21н — — л-2 — -2*— Г —
' Хо ~~ ° k + 1 D '
Давление и температура газа по длине канала трубы с
постоянной площадью его поперечного сечения определяются формулами
(2.9) для Fi/F2=l:
k +
=/0
k — \.
где \{х); ао(л-).
При некоторой длине трубы и неизменном значении Ло скорость
потока в ее выходном сечении достигает критической (Л=1).
Назовем эту длину трубы критической. Она определяется по формуле
= л0 — л' —.
2k
Уравнение х(Л; Яо) справедливо как для Я,о-< 1, так и для
При Ло<1 будут справедливы следующие режимы течения:
X < Xя:, 1 > X > Xg = const;
Для Хо>1:
При х>л;* возникает скачок уплотнения, после которого течение
потока в трубе будет протекать в соответствии с условиями
дозвукового течения ^<1).
37

Для получения приближенного прикладного решения некоторых
задач применительно к сжимаемой жидкости, например, течение
газа в сопле, целесообразно исходить из .предположения, что для
ограниченной области перепада давлений элементарной
энергообмен в газовом потоке, определяемый силами трения,
пропорционален соответствующему приращению кинетической энергии
где | — постоянный коэффициент, зависящий от технологического
качества поверхности, диаметра трубы D и числа Рей-
нольдса (Re). Его величина берется из опыта.
На практике величина параметра (|) обычно ограничена
пределами от 0<£<0,05. Заметим, если коэффициент | известен и
расчет параметров состояния газа в канале сопла производят с учетом
его величины, то при определении коэффициента реактивности
сопла (К) в формуле (2. 19) значение %ь учитывающее влияние
диссипативных сил, следует принять равным единице (%i = l).
Рассматриваемая задача применительно к ламинарному и
турбулентному течениям в более общей формулировке была решена
И. П. Гинзбургом [11]. Здесь же эта задача подробно рассмотрена
только для частного случая, когда турбулентный газовый поток
имеет большое число Рейнольдса, например, в соплах РДТТ.
Для турбулентного газового потока, в котором поперечный
градиент скорости относительно мал, т. е. коэффициент Кориолиса
близок к единице, искомое решение задачи описывается следующей
системой дифференциальных уравнений:
dQTp = d (pW)-^-pdW — закон сохранения (1.17) энергии;
Wdp-{-d (■—\JrdLrp = 0 —уравнение Бернулли (1.15).
Здесь
Подставляя вместо dLTP и dQTp их выражения, получим
Из первого уравнения имеем
38

Согласно обобщенному уравнению Бернулли
1 + 6
Поэтому
V
. I Т1 Г "
'2gWp 1 + 5 />
о
и формула процесса изменения состояния параметров газа в канале
сопла принимает вид политропы Цейнера
где n = k показатель политропы.
1 +Ы
Для указанных выше значений | величина п будет ограничена
пределами &>я> — k.
85
Интегрирование обобщенного уравнения Бернулли
для W = W0\^-\ приводит к выражению
так как
л_1 й-1ч ' '
Полагая i)2=0; p0W0=RT0 и ро = рОО! получим очевидные
зависимости:
где роо; ^оо и qoo — соответственно полные давление, температура
и массовая плотность потока;
39

Анализ формул показывает, что силы трения влияют на давление,
плотность и скорость потока, сдвигая их процесс изменения в
сторону изотермы (п=1). Температура, как и следовало ожидать при
отсутствии теплообмена с окружающей средой, не зависит от
трения. Вследствие этого скорость (а*) постоянна для любого сечения
канала сопла, а уравнение сплошности потока с учетом сил трения
принимает вид
_i
2
f* ~~ х е
■О-Ьт
где
1 ' i_
U+1/ \ *+1 J я—1 k—l
Найдем минумум функции F (X; ^; %)
dF _ rfX . 1 Н- Sfe *— 1
F ~ X
X k— 1 A+ 1
1 ■—
Откуда
Подставляя найденное значение Хт в уравнение сплошности,
получим
_1 л + 1
F* , /*+
/„_1
Это неравенство означает, что скорость потока достигает
скорости звука в диффузорной части сопла.
Введем обозначение к2=Х2/Х2т. Тогда уравнение сплошности
приводится к обычному виду
9 чл—1
Ря
Л+1
так как
1+5*
40

Уравнение сплошности потока показывает, что при наличии
сил трения для обеспечения заданной скорости (К) 'потоку в
фиксированном сечении диффузора сопла требуется несколько большая
площадь поперечного сечения его канала, чем в случае отсутствия
сил сопротивления
^ ^
dF F
где
k— n
^tp I 2 \(ft—i)(n-i) /, ft— 1 . »\Г*-1) (i-i
I ■ 1 i у '4 ■
F Vft+1/ V ft+1
ft — n » ft
( )( ) k—\
Изменение полного давления потока в результате преодоления
сил сопротивления составит
EA
При этом приращении энтропии согласно уравнению (1.24)
будет
k+l
§ 3. ОТКЛОНЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА В КОСОСРЕЗАННЫХ СОПЛЕ
И ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ НАСАДКЕ
В зоне косого среза газовый поток наряду с дополнительным
разгоном вдоль оси сопла претерпевает и боковое отклонение от его
оси на угол Дг[) (рис, 2.2). Разгон потока и увеличение его полной
реакции от R\ до Ro происходит в соответствии с уравнением
механики
f
f
так как непрерывно растет площадь поперечного сечения в зоне
косого среза диффузора от F\ до Fo. Боковое отклонение потока
или отклонение вектора его полной реакции RQ от оси сопла также
происходит в соответствии с уравнением механики
F
_ ,Л!
^2-#o = J pdF>0
4!

и с физической точки зрения объясняется односторонним
воздействием стенки диффузора на газовый поток в зоне косого среза,
площадь которого меняется от 0 до Fm=F-R.c cos г|з. Предположим,
что на всем протяжении диффузорной части сопла, т. е. между се-
Рис. 2.2.
чениями *—* и 2—2, процесс течения стационарный и изэнтропи-
ческий, поэтому
где
d =/e p*- p =j( %*• p =A" p*
= const; G = const; a* = const,
* g
^■0,1,2 + ^0,1,2
; Vl,2 = A"o,l,2+ К /Co,l,2—
На основании закона сохранения вещества (G = const) для
изэнтропического потока (/o0o = const) имеем формулу (2.6)
v=-
2 \»-
тГ
All—-
Подставляя ~к = К-\-у К2— 1, после преобразования получим
1)] А
42

Тогда
с- 1г.— <ь—л\к Лк,-^Л/ и"1.—1Н *~~1
(2. 25)
v* =
Fo К i +
Fi Ко +
F2 Ко +
2U ^o Л"2+
Fl [k~
F*
Vk\-\
V Kl~\
IS 1
k~{k-
k- (k —
(к — У a:2—i)
-i)Ui+l//c?-i
i)Uo+ У"^-1)
A){kq + V~K\-
!) U2+K/Cl-I
^o J
l) /Co
Э
1
i—1
1
ft—1
(2.27)
Так как по выходе из косого среза (см. сечение 2—2)
горизонтальная составляющая (проекция на ось сопла) полной реакции потока
R?_ равна Ro, то согласно рис. 2. 2 /?2 и /?0 связаны соотношением
cos Дф
или /С2 =
Значения v*; voi ("ф; 0); v2o(^; Аг|з) уравнений (2.25), (2.26) и
(2.27) определяются непосредственно из геометрии косого среза,
поэтому считаем их известными или заданными. Тогда в общем
случае искомые значения К\, Ко', -Кг; А-ф соответственно будут
равны
is — / (v*\. is f/v . is v
^2=/(v2Cb Ko)i Aj=arccos—.
£7
Значение v*=-7^ определяется по чертежу кососрезанного
сопла, так как Fi является площадью поперечного сечения
диффузора у основания косого среза. В зависимости от площади косого
среза FK.C (рис. 2.3) площади Fo и F% (см. рис. 2.2) соответственно
равны
F0 — FK csiii'-l»; F2 = FK csin('l)-}- д-li),
откуда
sin (ф -)- Дф)
v20=-
Площадь Fj в зависимости от FK.C (см. рис. 2. 3) определяется
системой уравнений
43

Найдем малую полуось а эллипса косого среза. Из уравнения
эллипса х2/Ь2 + у2/а2=\ при y = d/2 имеем
й" 2
Из рис. 2. 3 вытекает, что
62
У
/
(
\
\
ь
0
X
0
о' ~-~-
—
0'
откуда
Рис. 2.3.
= 6ctg6tg6; й?/2 = 6(1— ctg ф tg 6) (sin <b+ cos Ci tg- 0);
,o tg ф — tg В sin ф 4- cos Ф tg 6
tg
01
Л tg Ф— tg
(2.28)
V
1--
Так как параметры v01; v* известны, то величины К\ и Ко
могут быть найдены из уравнений (2.25) и (2.26) методом
подбора или сняты с графика функций v* (Ki) и v01 (Ки Ко). Уравнение
(2. 27) дает искомую связь между 6; д*; Ко:
sin (ф + Дф)
sin di
=-Х
X
COS Дф "1~ (/ СОв2Дф
k- (k— 1) /Co (Д'о+ VkI—\)
— 1
cos Дф \cos Дф "' у cos2 Дф
1
Т—Г
(2.29)-
44

Здесь Ф и Ко являются известными величинами, а дф —искомой.
Если ввести обозначение ———=seccp, т. е. дф == arc cos (ЛГ0 cos <p),
cos Дф
ТО
1
. cos <р С 1 — sin <р г, /« "ПА'), ■■^*"~1
1 + sin tp ( 1 — k sin 9
где Xo = /Co+ V^ATg—1.
Уравнение (2.29) не дает явной зависимости от Дар и может
быть решено только относительно ар:
. (2.30)
v2o — cos
При истечении газа из кососрезанного насадка в пустоту
пределы изменения для Дг|з найдем из условий г|з = 9О° (прямой срез)
v20=l;
и 4) = 0"
совДфХсовДф V сов2Дф
ИЛИ 1 — &sincp=0.
Отсюда
k '
I
Кос
Ко
cos Дф
Ко
где K^= /■ —предельное теоретическое значение коэффи-
у W— 1 циента реактивности, определяемое условием
v=bo.
Предельный случай, когда -ф —^0 при зафиксированном значении
Ко<Ксс, предполагает сохранение условия а|з>8, хотя оба угла
стремятся к нулю. Физически это означает, что Fo остается
конечной величиной, большей или равной F\, а зона косого среза
вырождается в кососрезанный полубесконечный цилиндр. Соотношение
для предельного значения угла Дяра, показывает, что с ростом .Го
уюл Д-ф,» стремится к нулю, так как при F,0-*oo Ко^Кю- Отсюда
следует, что с увеличением Ко эффект расширения газа в косом
срезе уменьшается, т. е. величина угла Aij; убывает. Таким образом,
значение угла Дф ограничено пределами 0<Дг[)<Аг|зОо.
Задаваясь значениями угла Аг|з в найденных пределах его
значений, можем для конкретных величин Ко, взятых в диапазоне
\<Ко<Коо, найти отвечающие им углы ijj. Результаты расчетов для
45

fc=l,25 сведены в табл. 2.3 и представлены кривыми на рис. 2.4.
Наличие таблицы и кривых для ■ф(А'ф) позволяет по г|з
находить Агр.
Рис. 2.4.
Для кососрезанного цилиндрического насадка расчетное
уравнение углов ар (Аар) является частным случаем общей
зависимости (/Со = 1)
tg Дф /9 on
1
1 — sin Лф \fc-i
1 —fe sin Дф /
1 -;- sin Дф \1 — k sin Дф
так как при Ко=1 значение coscp —cosA'b и
V20 —"
cos Aii
1 — s i n Дф
1 4- sin Дф \l — k sin Дф
it—l
(2. 32)
Таким образом, наибольшее отклонение потока в косом срезе
наблюдается у цилиндрического насадка. При этом угол
отклонения потока от оси насадка всегда будет значительно меньше А\|3оо:
дф.
Полученные результаты исследования эффекта расширения
газа в косом срезе, найденные для случая истечения в пустоту
(ра = 0), справедливы и для реальных условий, если поток по
выходе из зоны косого среза (см. рис. 2. 2 сечение 2—2) имеет
избыточное статическое давление больше нуля р2—/0а>0. Статическое
46

Таблица 2.3
5
Ю
15
20
25
30
35
40
45
50
1,0
Ф
81°12'
71°53'
61°41'
50°ЗГ
38°55'
27°34'
17°8'
8°28'
2°32'
0°8'
£
0,435
0,461
0,503
0,558
0,627
0.699
0,784
0,875
0,955
0,997
1,1
Ф
75°42'
62°14'
48°21'
Зб°б'
24°51'
15°13'
7°35'
2°22'
0°10'
0,657
0,665
0,698
0,734
0,784
0,843
0,907
0,965
0,907
1,2
Ф
69°51'
51°35'
36°14'
24°3'
14°20'
6°59'
2°40'
0°13'
£
0,771
0,778
0,804
0,836
0,881
0.929
0,958
0,997
1,3
Ф
61°52'
41°
24о27'
13°55'
6°32'
1°57'
0°8'
0,836
0,852
0,878
0,910
0,948
0,980
0,998
1,4
Ф
49°33'
2j°37'
13°32'
5°52'
1°31'
0°3'
£
0,897
0,912
0,936
0,953
0,988
0,9994
Предельное
значение
Ко
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
Аф„
53°
48°35'
44°
38°36'
32°48'
£»
0,384
0,516
0,754
0,836
0,926

давление и температура газового потока в сечении 2—2
определяются по формулам
(2.33)
где )^=Кг+УЩ=\.
Если в зоне косого среза между сечениями 1—1 и 2—2 поток
испытывает перерасширение (р2—ра<0), угол А-ф может
существенно отличаться от значения, найденного по уравнениям (2.31) и
(2.30). При этом его фактическая величина может оказаться не
только равной нулю, но и стать отрицательной (Дг|з<0): поток
отклонится в противоположную сторону — к вершине косого среза.
Отклонение газового потока при его перерасширении
в зоне косого среза
Рассмотрим случай, когда статическое давление потока в
каком-то сечении зоны косого среза диффузора становится равно
окружающему (р2 = ра)- Решение производим приближенно,
допуская, что дальнейшее движение потока в зоне косого среза
сохраняется неизменным, т. е. отсутствует глубокое перерасширение
и возможный скачок уплотнения.
Скорость потока в сечении, где избыточное статическое
давление равно нулю, найдем из уравнения (2.33)
откуда
\ J
Искомые значения углов Дг|з и г|з по-прежнему определяются
системой уравнений:
л0 р— (k— 1)Коур
= т~Т—77—ТГТТтЧ
sin ii
{2 35)
где
o == %o 4~ V Ко —
48

Здесь углы Лг[) и -ф являются неизвестными, а параметры /(2; Xi', Xi —
заданными. Связь между углами ч|) и Д-ф определяется уравнениями
(2.34) и (2.35).
§ 4. ПЕРЕТЕКАНИЕ ГАЗА ИЗ ОДНОГО РЕЗЕРВУАРА В ДРУГОЙ
При перетекании газа из одного резервуара в другой
наблюдается некоторое повышение температуры газа в резервуаре, в
который втекает газ, и понижение ее в объеме, откуда вытекает газ.
Повышение температуры газа в зависимости от соотношения
начального количества газа в сообщающихся резервуарах (т. е.
предшествующее началу истечения) может быть настолько
существенным, что превысит начальное значение температуры в любом из
двух резервуаров. Такое
повышение температуры
вследствие неочевидности Л л
физической сущности
процесса перетекания газа .,
представляется парадок- '
Т
02
сальным.
Поставленную задачу Рис. 2.5.
сформулируем так.
Найти закон изменения осред-
ненных значений температуры и давления газа для каждого
резервуара в процессе перетекания. Будем считать, что природа газа
одинакова cv^ = cv2 = cv; cpl/cBl = Cp2/c,!2=6, тепловой обмен с
окружающей средой отсутствует, а оболочки резервуаров могут иметь
любую податливость. В общем случае схема перетекания газа
представлена на рис. 2.5.
Введем обозначения
Е== ш02/ш01> Ч =;Аш/ш02>
где (о01; о)02 —начальный вес газа;
Aoj — количество газа, перешедшее из одного резервуара
в другой.
Перетекание газа в абсолютно жестких резервуарах
Для определения осредненных значений температуры и
давления при перетекании газа в абсолютно жестких резервуарах
используем:
— уравнение сохранения вещества
, = (1), -4- оз,
2,
где ш1 = оз01 (1-j-eri); w2 = (o02(l—т]) —текущее количество газа в
резервуарах 7 и 2;
49

— уравнение сохранения энергии
Дш
ш,
oi'V 01Т \ <V 2wt0= «i^i —для резервуара 7;
о
Дсо
(Uo2(Vro2~ I cpT2d^ = u>2cvT2 — для резервуара 2.
о
Следствием этих уравнений является
или
(2.36)
Соотношение (2.36) иногда называют уравнением теплового
баланса.
В дифференциальной форме уравнения сохранения энергии для
каждого резервуара в отдельности имеют вид:
или
zT2dr\. (2.37)
Из уравнения (2.37) следует, что
(£_1)^Л_=_^. (2.38)
После интегрирования уравнения (2.38) получим
^2 = ^02(1 -Ч)"-1 или рг = Рог(1-П)к. (2.39)
Подставляя найденное значение Т2 в уравнение теплового
баланса (2.36), определим закон изменения температуры в
резервуаре 1
т = Го1 + еГрв [1 — (1 — tp*]
1 1 + ЕЛ
или в безразмерной форме
1 + еТ)
Для резервуара 2 в безразмерной форме
Здесь
Г~ 5 •< 02 '" V~ > У2— -7Г
01 ; 01 ; 02
50

Проведем анализ формул для Тг и Г2. Прежде всего отметим,
что Т% не зависит от начального соотношения количеств газа
системы (е) и определяется только относительным изменением__плот-
ности газа в резервуаре 2 (1—ti = 102/0)02) • Уравнение для Т2
является уравнением адиабаты Пуассона.
Выражение для Т\, характеризующее процесс изменения
параметров состояния газа в резервуаре /, представляет более сложную
функцию, чем адиабата Пуассона Т\(г; ц) ■ Поэтому функция Т\
в отличие от Т2 имеет значительно большее число решений,
определяемое возможными значениями параметров начального
состояния системы е; Гог- В реальных условиях параметр е ограничен
пределами 0>'е<оо. Иными словами, параметр е может быть
равен любому значению чисел натурального ряда. Параметр Г02 также
может принимать любые значения при условии сохранения его
физического смысла 0<Г02<»о. Нижний предел параметра е = 0
характеризует случай истечения газа в атмосферу, когда величину
соси можно принять равной бесконечности (вес воздуха атмосферы
Земли). Верхний предел параметра е = оо может быть как для
о)о2 = оо при tL»oi=/=O, так и для tooi = 0 при (l>02=£0. (Д02 = с>о и е = оо
отвечают случаю втекания воздуха из атмосферы в резервуар с
частичным вакуумом; (o0i = 0 и е = со имеет место при перетекании
газа из резервуара конечных размеров в резервуар с вакуумом,
близким к абсолютному.
Величина параметра ц ограничена пределами 0<т]<1. При
анализе выражения для Тх следует иметь в виду, что при 1002 = °°;
cooi=£0; г| = 0 комплекс ег) = До)/(йо1>0. Однако при o)oi = 0 и (йО2=£О
ег| = оо.
Рассмотрим различные варианты перетекания газа.
1. Втекание газа из атмосферы в резервуар с полным вакуумом
(оо1 = 0. Для этого случая о)02 = с»; (о01 = 0, а поэтому е = ©о; eii = oo;
12=0._Значения параметров е и г\ определяют значения температур
Тч и Т\ соответственно
'Г 2 = 1; Т2 = Т02;
f = l-(l-ti)» , 1
1 +ЕТ1
Отсюда по правилу Лопиталя
т.—О
Полученные результаты показывают, что температура
атмосферы не изменилась, а температура воздуха в резервуаре
увеличилась по сравнению с атмосферой в k раз.
51

2. Втекание газа из атмосферы в резервуар с частичным
вакуумом cooi=£0. При 002 = °°; cooi>0 параметры е; т];_ег) соответственно
равны е=оо; rj = 0; ет1=Дсо/<»оь а выражения для Т\ и Т2 примут вид:
7\=lim
0
Да) 1 г ил
1 + [l-(i-ii)*] 1 +
•ц-*0 Дм Д(о
1 -f- 1 -\
ШО1 МО1
Здесь, как и в первом случае, температура атмосферы осталась
неизменной. Это физически вполне очевидно, так как масса
воздуха атмосферы Земли практически бесконечно велика. Однако
температура газа в резервуаре
hf при частичном вакууме после вте-
п — кания порции воздуха Аи
возрастает, но меньше, чем в k раз,
и зависит только от
относительного количества газа,
поступившего в резервуар из атмосферы.
При этом по мере снижения ва-
куума Асо/ио1—«-0 повышение тем-
о Лш. пературы газа в резервуаре
' уменьшается, а ее величина стре-
р о, 6 мится к начальной Т\—Л. В
противном случае, когда вакуум
растет (cooi—«-О; Aw/cool—>-оо)
температура газа, поступившего в резервуар, повышается и стремится
к предельной йГ02(рис. 2.6).
3. Истечение газа из резервуара в атмосферу. В этом случае
имеем е = 0; г|=Дсо/шог; 0<-п<1. Из этого следует, что Т\ = Тп, т. е.
температура атмосферы неизменна;
Г2=Г02(1—ц)*-'1—температура газа в резервуаре падает по уравнению адиабаты Пуассона.
4. Перетекание газа из одного резервуара в другой, имеющих
конечные размеры 0<е<оо. Здесь возможны два случая,
определяемые условиями:
а) Г02>1; б) Г02<1.
Пределы изменения Г, в зависимости от ц равны
и имеют вполне очевидный физический смысл. Однако, как не
трудно показать, функция (2. 40)
1 1 + щ
52

па отрезке, определяемом конечными ее значениями 7\=1 и 7\ =
V ^дЦ^О; d27V(^2<0. В самом деле
+
-, имеет максимум
1 +
-1) Г02в (1
1 +
ет)
(1
дц 1 + ЕТ1 ' ' (1 +
Так как третий член, а также сумма второго и четвертого
членов по условию задачи равны нулю:
дТ\ п kTms2{\—Г)) . = e2
II. . . .. ' L_ / =U,
1 Q. кл 02^-у х — Ч)
бт) ' (1 + £Т))2
то величина второй
производной всегда будет отрицатель- _
ной d2Tijdr\2<l). \
Решая уравнение dfi/щ^
= 0 относительно Ти получимх
выражение для максимальной \
температуры в зависимости/
от г\:
Т1т&х=кТ02(\-ц)^. (2.42)
В каждом конкретном
случае значение ц, при котором
температура газа в резер- ;
вуаре 1 достигает наибольшей
величины, определяется
пересечением КрИВЫХ Г] И Т\ шах
(рис. 2.7).
>=кТ,
02
Рис. 2. 7.
Перетекание газа из жесткого резервуара в упругий,
деформация которого описывается параболическим законом
W
В некоторых случаях изменение объема упругого (эластичного)
резервуара может быть выражено одночленной степенной
зависимостью W = Wnpn.
Показатель п, характеризующий чувствительность объема
резервуара к изменению давления в нем, ограничен пределами
0<и<оо. Нижний предел (п = 0) отвечает случаю, когда объем
резервуара не зависит от давления (W=WH), т. е. сосуд является
абсолютно жестким. Верхний предел (« = оо) также имеет
физический смысл и характеризует истечение газа в резервуар бесконечно
большого объема, например, в атмосферу.
53

Определим изменение параметров состояния газа в
резервуарах в процессе его перетекания и выявим особенность этого
процесса при наличии упругой податливости стенок резервуара.
Исходная система уравнений в соответствии с законом
сохранения энергии будет:
(2.37)
^ (2.42)
где dW1 Wy~1d
Уравнение (2.37), характеризующее изменение осредненных
параметров состояния в жестком резервуаре, осталось прежним
и является уравнением адиабаты Пуассона Т2=Т02(1—т})*"1.
Уравнение (2.42) получено из закона сохранения энергии (1.17)
где dQ = ■/?Г2гшО1а?л—подвод тепла;
k — 1
[RT Л
(1 —]— £>т)—-1—изменение внутренней энергии в уп-
k~l\ ругом резервуаре;
pdW=nWBlp1dpJ — работа, совершаемая газом при
изменении объема резервуара.
Эта работа газа затрачивается на преодоление упругого
сопротивления оболочки резервуара и аккумулируется в виде ее
потенциальной энергии, т. е. тепловая энергия газа переходит в упругую
энергию оболочки резервуара.
Интегрирование уравнения (2.42) приводит к зависимости
Откуда текущее значение температуры
п k~\ WHl
l R <л01 1 + £Т)
„ Г01 + еГ02[1— (1 — л)*]
где Л^^ J —температура газа при отсутст-
1 + щ
вии деформации резервуара (2.40).
Исключая Pi,oi!po = (WhO1IWnl)n , получим
(
54

Так как в соответствии с уравнением состояния и деформации
Л 4-1
й 1 WHl [Wm \~^~ „
объема резервуара—-^ (~-) =^оь то
л + 1
V —
/i /ioo;/ oi ;> ()
П + 1 1 -г гц
где v = W1/W01— степень расширения объема резервуара.
Полученная формула (2.43) показывает, что температура газа
в упругом резервуаре по сравнению с абсолютно жестким (п = 0)
уменьшается "вследствие работы, затрачиваемой газом на
преодоление сил сопротивления деформации резервуара.
Рассмотрим поставленную задачу в общем виде и найдем ее
инженерное решение.
Перетекание газа из одного упругого резервуара в другой
Будем считать, что податливость упругих резервуаров известна
из опыта и выражается зависимостями Wi = WBipi'', ^2=^2^2".
Как отмечалось выше, параметры щ и п2 ограничены пределами
г^оо, к поэтому могут быть равны любому числу
натурального ряда. \.
Поскольку IF^HFhP", to уравнение состояния газа a>RT = pW
для упругих резервуаров примет вид
I
uRT^WHp«+\ (2.44)
где WH — начальный объем, например, объем при р=1 кГ/см2.
Изменение параметров состояния газа в резервуаре, из
которого вытекает газ, описывается уравнением закона сохранения
энергии (1.17)
-k&io01^r3fm = d[B%1{\-i\)Rr2] + (k — \)p1dW2. (2.45)
Совместное решение уравнения (2.45) с уравнением состояния
(1—r\)RT2 = P2W2 приводит к выражению
p2. (2.46)
Подставляя в уравнение (2.46) функцию изменения объема
- kew0lRT2d4=:WB2kn2p2*dp2 + WB2p2'dp2
или
(АЛ2+1).
1— Ц р2
55

После интегрирования и последующего потенцирования
получим искомую формулу
Р2 = Ро2{1-Ч)тР, (2.47)
где
т„—
р
р kn2+\ ^
Для абсолютно жесткого резервуара («2 = 0) фор]мула (2.47)
обращается в уравнение адиабаты Пуассона (2.39).
р2 = р02(1-У))*.
При п,2 = оо имеем р2 = Ро2- Иными словами, в бесконечно большом
резервуаре давление остается без изменения, так как отбор
конечного количества газа не может привести к заметному уменьшению
массы и изменению параметров состояния газа.
Совместное решение уравнений состояния и изменения
параметров состояния приводит к следующей зависимости для осред-
ненного значения температуры газа в резервуаре, откуда вытекает
газ:
Т2 = Т,2{\-Щтт. (2.48)
В соответствии с формулой (2.48) температура Т2 не зависит
от начального количества газа в резервуаре, но весьма чувстви-
тельна к его упругости (п). Так, на практике параметр шт=
может принимать значения 0<mT^k—1; ^
Изменение параметров состояния газа в резервуаре, куда
втекает газ, также определяется уравнением закона сохранения
энергии (1.17)
Bk%1RT2cm^d[^ol(l-{-eri)RT1} + (k~l)p1dW1. (2,49)
Решая уравнение (2.49) совместно с уравнением состояния
(l + er\)aoiRTi = piWu получим
kzuQ1RT2dr] = WHl (knr + 1) pVdPl. (2. 50)
Интегрируя уравнение (2. 50) в пределах от 0 до г\ и от pOi до Рь
пслучим
PoiI+1
Так как WHijPoiI+1==0)oi^ob T0 вправе записать
56

откуда следует, что
г {+
Р<л
где т=^- mls=
т
knu2+l ог Т01
Помня, что ^i'+1 = u)1ri/oj017"oi=^(l + e'n)r1, для температуры газа
получим
Т - !
1
1 +
Рассмотрим некоторые частные случаи перетекания газа.
1. Резервуары одинаковой упругости /г, = п2=п; ml —
kn+ 1 ■
В этом случае получим
т 1 + ^02[1-(1-л)т]
м=
—П)»]}1"1-;
й—1
(2.51)
2. Абсолютно жесткие резервуары я = 0; m=fe.
В этом случае общая зависимость обращается в формулу (2.40)
г
ет,
При этом давление в этом резервуаре возрастает в соответствии
с формулой rti = l + efo2[l —(I—Ti)h].
Температура и давление в другом резервуаре уменьшается в
соответствии с уравнениями (2.39)
2{f; 2()
Поскольку А——<C.k, то из сравнения формул (2.39); (2.51)
kn + l
следует, что температура газа Т2 в упругом резервуаре падает
медленнее чем в абсолютно жестком резервуаре.
Физически этот результат легко объясняется: потенциальная
энергия оболочки резервуара переходит в тепловую энергию газа
вследствие непрерывного поджатая его оболочкой резервуара.
57

3. Втекание газа из атмосферы (п,2 = оо; со2 = оо) в полностью
вакуумированный абсолютно жесткий резервуар («i = 0; co0i = 0).
При данном процессе изменение температуры характеризуется
уравнением
lim T
1 +
так как
л,^-0 ЙЯ] + 1 П2 + 1 л2->-«
Л2->-оо
Учитывая, что еЛ = д<»/ш01 = оо, будем иметь
При этом Т2 = Т02, так как г\=Аа/(йО2 = О. Найденные значения
Т2 и Г, приводят к выводу, что температура воздуха атмосферы
осталась без изменения, в то время как воздух (Асо), вошедший
в резервуар, существенно подогрелся и приобрел температуру
в k—Cplcv раз больше атмосферной. Количество воздуха,
поступившего из атмосферы в резервуар:
kRT02
4. Истечение газа из упругого (эластичного) резервуара
(нг>0) в атмосферу (0)01 = °°; ti\=oo). В этом случае изменение
температуры описывается уравнением
Для параметров состояния газа в резервуаре, откуда вытекает
газ, будут справедливы формулы (2.41) и (2.42):
5. Наддув упругого резервуара (щ>0) газом из абсолютно
жесткого резервуара высокого давления (п2=0). В этом случае
температура
Г 1+«1»702[1-(1-Л)*]
/ I —
1 + ЕТ1
58

7-2 ==(1-Л)*"1; я2 = (1-л)*,
где щ=^ = ^±^-.
Полученный результат показывает, что в упругом резервуаре
(л1>0) температура поступившего в него газа растет медленнее,
чем в абсолютно жестком резервуаре («i = 0), так как mi<l.
Физически этот факт объясняется тем, что часть тепловой энергии газа
затрачивается на работу деформации оболочки упругого
резервуара.
Количество газа в резервуарах
после окончания процесса перетекания
Если не учитывать теплоотдачу в окружающую среду, процесс
перетекания газа прекратится, когда давление в обоих
резервуарах будет одинаковым рК1 = Рк2- При этом температура газа в
резервуарах не будет одинаковой. Поэтому в дальнейшем по мере
выравнивания температуры газа в резервуарах (прежде всего
веледствие теплоотдачи в окружающую среду) наступит вторая
стадия перетекания. Этот процесс перетекания будет медленным и
закончится, когда температура газа в резервуарах станет
одинаковой и равной температуре окружающей среды Т: = Т2 = Та.
Если в момент достижения равных давлений резервуары
разобщить, например, перекрыв вентиль, то вследствие теплоотдачи
давление газа в резервуарах будет разным: рк2>Рки Предельное
количество газа в резервуарах после первой стадии процесса
перетекания согласно условию рК2 = Рк\ определяется из уравнения
—(1—Т1..Г']}1-1-"1
или
[ti*+l Ъ] Ш (2.52)
где Po2 = Po2lPoi-
В общем случае уравнение (2. 52) относительно г)оо может быть
решено только графически. При п\ = п,2—п возможно аналитическое
решение уравнения (2. 52)
_i_
\т
п. ==1-1^,-
/ 1 + Е^02 V
"I Z,l + n,pr )
\Р02 +£J02/
59

В практических задачах Го2=1, а поэтому
где
kn
Так как г\=Аа>/соо2, то абсолютное количество газа, перешедшее
в резервуар с меньшим начальным давлением (р<ц):
Во второй стадии перетекания, т. е. к моменту выравнивания
температур ГК1 = ГК2 и давления (рк\ = рК2), количество газа
согласно уравнению (2.44) определяется условием coi/co2= WlW
Используя уравнение закона сохранения вещества
получим
Увеличение количества газа вследствие выравнивания
температур газа в резервуарах составит б(Асо)=со2—ti°°g>02-
Если в момент выравнивания давления резервуары разобщить,
то после выравнивания температуры газа в резервуарах и
окружающей среды давление в них согласно уравнению состояния
(2.44) будет
К1
Так как
Та
Рк\ — Fk2, 1 к2 — '02V1 Чр; \к1 Т^Гё
и Т1Л>Тй, ТО ПОЭТОМУ /?1<С^2-
Перетекание газа в резервуарах,
деформация которых описывается биноминальным законом
W=W0{l+ap)n
При изменении объема резервуара от давления газа в нем
принятие биноминальной зависимости позволит при наличии двух
постоянных более точно аппроксимировать фактический закон W(p),
найденный эмпирическим путем.
60

Пусть объем резервуара, из которого вытекает газ,
уменьшается в соответствии с уравнением №2=^02(1+ О2/*2)™2> где W7o2 =
= —5—-. Тогда согласно закону сохранения энергии (1. 17) имеем
(1+я) 2
— ktw01RT2d4 = kp2dW2 + W2dp2
или
так как
Отсюда после интегрирования получим
А)2 W02/
В соответствии с уравнением состояния
а поэтому
Параметры состояния газа в резервуаре, в который втекает
газ, определяются системой уравнений:
%T2dr\ == kp2dW2 + U^A;
Складывая уравнения, получим
где
Интегрирование их приводит к результату
«2 ("2+
(1 + члш - ■ _ (2.53)
01(П] + 1)
61

Нетрудно показать, что соотношение (2. 53) приводится к виду
: —1 1 N w I—_i _ л—1 1 \__
\ * """ «2+1 Л2/ \ ' "1 + 1 Й1
ИЛИ
Л
Л
1
а2
1
1-
Ж01
+
,2
02
"2
/ ^2
1Го2
= ^01,2
Для функций 1Г(/э) = 1Гн/э« и l^i = const = 1ГИ1; It72 = const = 1Гн2, т. е.
п — 0, уравнение (2.54), являющееся принципиальным уравнением
связи между давлениями в обоих разервуарах, соответственно
записывается
m; (2.55)
, (2.56)
— «
где т — -
kn+ 1
Соотношения (2.55); (2.56) являются следствием уравнения
теплового баланса. Так как выражение для р2 известно, то при
биноминальной зависимости W(p) из уравнения (2.54) можно найти
давление р\ только графическим путем.
Из сравнения выражений для изменения параметров состояния
газа в резервуарах абсолютно жестких (2. 56) и упругих (2.54)
следует интересный практический вывод: суммарная тепловая
энергия газа в процессе перетекания непрерывно изменяется вследствие
упругой работы оболочек резервуаров
упр ^{2) + 1)
3 v a2 1 + п2 ах пх + 1
Поэтому в общем случае уравнение теплового баланса для
упругих резервуаров имеет вид
p2W2 + ^-PlW, + k-^m^Eynp= p02W'O2 -f- -^- Ди^т .
В частном случае, когда ах = а2 = а; п\ = п2 = п, после окончания
перетекания газа Л£уПр = в,
62

Отсюда следует, что конечные объемы резервуаров с
одинаковой податливостью оболочек (после выравнивания температуры и
давления газа в резервуарах) равны между собой
§ 5. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ИЗ ПОЛУЗАМКНУТОГО ОБЪЕМА С ПОДВИЖНЫМ
ДНОМ ПРИ НАЛИЧИИ ТЕПЛООТДАЧИ
Для практических целей обычно эта задача заключается в
определении закона давления внутри объема. Схема
рассматриваемого устройства представлена на рис. 2.8.
Рис. 2.8.
Для любой системы, имеющей в качестве рабочего тела газ,
справедливо уравнение сохранения энергии в интегральной форме
(1.21)
где ро — начальное давление газа в цилиндре;
Wo—начальный объем цилиндра;
Qm— тепло, отданное системой в окружающую среду;
со — текущий вес газа в объеме цилиндра;
Т— текущая температура газа в объеме цилиндра.
Вычислим интеграл (ft —1) 1 —— .
J
Элементарное изменение количества тепла системы равно
dQm=dQr\-dQ2,
где dQx— —GCpTdt — уменьшение количества тепла вследствие
истечения газа;
dQ^=—v-yF(T — Tc)dt — уменьшение количества тепла вследствие
теплоотдачи в окружающу среду;
F — поверхность охлаждения 1аза;
Гс —температура стенок цилиьдра,
соприкасающихся с газом.
63

При критическом режиме истечения расход газа (2. 16)
. I/ , / 2 \*-i
где Л1= I/ «g ) —постоянная расхода.
\*+ 1/
Если отверстие истечения мало, то полное давление можно
принять равным статическому (pot = pt)-
Коэффициент теплоотдачи <хт, как показывает опыт, в первом
приближении линейно зависит от плотности
где
ккал-м _ кГ
кГ-град-сек ' м?
На основании этих соотношений можно написать
где
Предполагая, что для ограниченного перемещения поршня можно
принять Г0( = Гср; и = иср, получим
1
-£-Л=Н ^—In—, так как dW= + Fnvdt,
где t)cp — средняя скорость перемещения поршня;
Fn — площадь поршня.
Знак «—» указывает на уменьшение объема цилиндра, а знак
« + » — на увеличение.
Таким образом, изменение состояния газа в полости цилиндра
свелось к политропическому процессу
W J '
Pot — Poo
где « = ^^0
Однако следует иметь в виду, что для любой ограниченной
области перемещения поршня показатель политропы не является
величиной постоянной, но чем уже эта область, тем меньше
пределы его изменения. Отсюда можно утверждать, что политропиче-
64

ский процесс изменения состояния параметров газа имеет место
в каждой точке области перемещений поршня, но характеризует
лишь мгновенное изменение этого состояния.
На практике иногда удобнее пользоваться формулой
-», (2-57)
где
Если поршень неподвижен W=W0, формула (2.57) приобретает
вид
t. (2.58)
Формула (2.58), как показывают сделанные при ее выводе
допущения, содержит две принципиальные неточности У Ты = У Тср
и v = const. От первой из них можно легко избавиться
( t
— i с„ = k\n—, так как и>:=и>0— \ Gdt.
.) R (*Т ш0 J
о о
Тогда для pOt получим зависимость
Аи = Лю(— e~~bt, (2.59)
\ №о /
где
ft v (jfe1).
Рассмотрим два частных решения этого уравнения:
а) при отсутствии теплообмена с окружающей средой 6 = 0
процесс падения давления в полузамкнутой системе является изэнтро-
пическим
Pot—Pool
V ыо
б) в замкнутой системе (а = а0) процесс падения давления
ьследствие только теплоотдачи протекает по экспоненте
Уравнение (2. 59) позволяет утверждать, что процессы
изменения параметров состояния газа в полузамкнутой системе,
вызываемые истечением и охлаждением, являются независимыми. Так как
процесс падения давления в системе вследствие только истечения
газа является независимым и изэнтропическим, то представляется
нозможным выразить закон изменения давления в полузамкнутой
системе постоянного объема в зависимости от одной переменной t.
3 3058 65

Закон изменения давления в системе при изэнтропическом
процессе истечения газа в зависимости от времени определяется
совместным решением уравнений состояния и изменения состояния
газа:
1
и со (РоЛ "
w ffi0 \ POO I
Запишем уравнение состояния в дифференциальной форме
Z°L = i!l_L~ ——
Pot и Tot W '
где W't = 0; m't= — G.
На основании уравнений изменения состояния вправе записать:
zk—х±. т'°1 _ к~х x>t 1l~-_2-.
Pot X Tot k X и to
Poo
Подставляя найденные соотношения в уравнение состояния,
получим
dX , Oq ,,
,, , Я (II.
х г
Интегрируя это уравнение, получим
ЛГ = (1 + /3'Г Л~. (2.60)
где 5 = —показатель интенсивности истечения;
2 со0
G0=AjF* -—£Щ=—начальный расход газа;
У -^00
«о — начальный вес газа.
Так как X = pQtfpC0= (co/coo)ft, то уравнение (2.59) падения
давления в полузамкнутой системе с учетом теплоотдачи примет вид
2 'г
*-! о-Ы
Ранее для этого случая была получена формула (2.58).
Преобразуем выражение ее показателя |3
, w0 wt
66
wTp + V! —(й- 1)1

К ВИДУ —— = 1
oo
где .]/ — =:-— (см. пример 1 § 5 гл. II).
Для решения практических задач при W—const можно принять
_ 2ft
Ак = Аю(1 + Д0 к~1е-"^Р(Юе-^, (2.61)
где
— 1
При истечении газа из полузамкнутого объема вычислять
расход следует с учетом его скорости на подходе к отверстию
истечения
где г/^F"-
/„—площадь отверстия истечения;
7'0; р0 — статические температура и давление газа на входе в отверстие;
s— коэффициент расхода вследствие диссипативных сил и
сжатия потока на выходе из отверстия истечения.
Для идеального газа коэффициент расхода равен коэффициенту
сжатия струи.
Если площадь отверстия истечения по сравнению с площадью
поперечного сечения объема мала /о<С^о, то величиной \0 можно
пренебречь. При Хо<\/3 ошибка в вычислении расхода не
превосходит 5%.
Определим начальное значение скорости Хо для критического
режима истечения. Известно, что при изэнтропическом процессе
течения закон сохранения вещества (2.6) для сечения потока на
входе в отверстие и для критического сечения вытекающей из
отверстия струи приводит к равенству.
В том случае, когда е берут из опыта как коэффициент расхода,
то уравнение (2.62) необходимо решать графически или методом
последовательного приближения результата.
За первое приближение можно принять
3* 67

Если пренебречь влиянием диссипативных сил, то коэффициент
расхода будет равен коэффициенту сжатия струи. Коэффициент
сжатия струи е при заданной форме кромок отверстия также
является функцией Я.*. Произведем вычисление е для потока
идеального газа, вытекающего из отверстия с острыми кромками. Из
уравнения механики (1.8) коэффициент сжатия струи для
отверстия с острыми кромками
k+ 1\*-
[ k + 1
Исключая из уравнения сохранения вещества (2.62)
коэффициент е, получим
/о
Отсюда
-и ■ / i — i _ 1 - Jn
/о
Интересно отметить, что Я.о является функцией только размеров
объема и отверстия (Fo; f0) и не зависит от параметров состояния
газа и их природы. Кроме того, Fo/fo = Ko, т. е. отношение F0/f0
численно равно коэффициенту реактивности потока на входе в
отверстие
(2. 63)
Для отверстия со скругленными кромками коэффициент сжатия
струи 8Г с достаточной для практики точностью выражается
формулой
S, =
•0 + 1- ■
где rf — диаметр отверстия истечения в свету;
г — радиус притупления острой кромки.
* Более подробно задача о сжатии газовой струи рассмотрена в § 10 гл. II.
68

В этом случае для Хо будет справедлива формула
где
При этом коэффициенты реактивности потока будут связаны
соотношением
где Ког=-~-
В более общей формулировке эта задача рассмотрена в §7 гл. II.
Пример 1. Найти среднее весовое значение температуры газа в резервуаре
при изэнтропическом процессе истечения в пустоту. Эта температура в
соответствии с ее определением равна
Гер
ыо J
0
1
Учитывая, что Tot =TqqX и da = —ы0Х dX, получим
k
dX = ——, где X = Pot I Poo-
Найденный результат представляет интерес не только с физической точки
зрения, но имеет определенное практическое значение при расчете газоотводных
устройств артиллерийских систем, заполнение которых в основном происходит
за время истечения газа из канала ствола, при тепловом расчете ствола
артиллерийского орудия, а также при определении закона изменения давления в
ракетной камере после сгорания заряда.
Пример 2. Найти связь между полным давлением потока на входе в
отверстие истечения и давлением на дно резервуара цилиндрической формы. Газ
в резервуаре образуется от сжигания топлива, расположенного вдоль оси
резервуара (см. § 9 гл. V).
При рассмотрении задачи истечения газа из полузамкнутого резервуара без
учета теплообмена с окружающей средой было установлено, что процесс
изменения состояния параметров газа в резервуаре является изэнтропическим. Однако
это утверждение справедливо только, когда скорость потока газа внутри
резервуара пренебрежимо мала. В противном случае изэнтропическое изменение
температуры газа внутри резервуара следует отнести лишь к ее среднему значению.
В действительности по длине цилиндрического резервуара процесс изменения
69

параметров состояния газа не является изэнтропичееким, а характеризуется
уравнением механики. В связи с этим полное давление потока внутри резервуара в
любом его сечении не равно давлению на дно резервуара. Согласно уравнению
механики dR=pdF для цилиндрического резервуара с постоянной площадью
сечения справедливо dR=0 нли p,,H = p+QU2, откуда следует, что статическое
давление и плотность потока в любом его сечении внутри резервуара равны
Р = fe + 1 . _0_ = _J_
Ан 1 +/v2 ' едн" 1ч-л2'
так как
Здесь рцп-—давление на дно резервуара;
Qua'—массовая плотность газа у дна резервуара;
7"те>— полная температура или температура у дна резервуара.
Температура газа у дна резервуара и в заторможенном состоянии (полная
температура) по закону сохранения энергии равны. Полное давление или
давление газа при изэнтропическом торможении потока (2. 11) составит
k — 1 \ k"1
Роо=Р\г~^~Z]12 )
Сравнивая выражения для рдн и роо. получим
Роо V А + 1
При К=0 функция я=1, а при к = 1 достигает наибольшего значения
к
ft-1
В сверхзвуковой области функция я быстро убывает, стремясь к нулю. Так
как скорость потока на подходе к отверстию истечения не может быть
сверхзвуковой, то можно утверждать, что Рдн>роо для любого сечения потока внутри
резервуара. Поэтому при вычислении расхода газа из резервуара через отверстие
истечения по формуле (2. 16) нельзя полагать роо = Рдн- В противном случае
будет допущена не только принципиальная неточность, но существенная
количественная ошибка. Так, при ?ьо = 0,5 эта ошибка превышает 10%.
Пример 3. Вывести выражение реакции газовой струи иа полузамкнутый
резервуар в функции давления на его дно (см. рис, 2.8).
а) Изэнтропическое истечение газа из цилиндрического резервуара через
отверстие с острыми кромками в пустоту. Согласно уравнению механики (2. 8)
реакция потока на резервуар при ?ь=1
70

С другой стороны, в соответствии с уравнением (1.8)
k + 1 Ga* _,
РоРт = -^Г — (*о + К )■
На основании этого получим искомую функцию
+ К г
Ло
, где*0 =
По, как было показано выше (2.63), для отверстия с острыми кромками
Ko=F0lfo, поэтому
Таким образом, существует тождество
kg Ко
б) Изэнтропичсское истечение газа из резервуара через насадок в пустоту.
Для реакции газовой струи на резервуар с соплом справедливо
уравнение (2. 10)
где к,=
Исключая R* с помощью найденного выше соотношения, получим
г, Кр,
Rb = — РоРпв-
До
При решении практических задач полезно помнить тождество
С 9 ч/г —I д-
КвР РйО = 'Т7~ ГоРлв- \^-М)
k-\- 1/ Л о
Пример 4. Найти связь между статическим давлением и плотностью для
случая течения с прямым скачком уплотнения.
На основании уравнения механики (1.8) имеем
где Я] — скорость потока до скачка уплотнения;
%2 ■— скорость потока после скачка уплотнения.
В силу законов сохранения вещества G\ = G2 и энергии а} -~а2это равенство
приводится к виду
X] + Xj = Х2 + Х2 .
Отсюда следует, что наряду с обычным решением Х\=Х2 имеет место
• X2=Xf1. (2.65)
71

Следует помнить, что равенство (2. 65) имеет физический смысл только для
1, т. е. для скачка уплотнения. При А,]<1 это решение не имеет физического
смысла, так как скачок разрежения приводит к увеличению полного давления
и падению энтропии. Иными словами, сверхзвуковой поток при помощи скачка
уплотнения возможно перевести в дозвуковой, ио дозвуковой поток при помощи
скачка разрежения нельзя обратить в сверхзвуковой.
В соответствии с законами сохранения вещества и энергии имеем
QjXj = Q2^2 ИЛИ
Так как Fр = Ga* — '^т-—:^=7^то справедливо соотношение
2k ~ ^
Исключая Xj, получим уравнение ударной адиабаты Гюгонио
ilL = U Щ_ или «i. = L_£i_ _ (2. 66)
Ql A + 1 /;2 А+1
Ударная адиабата обладает характерной особенностью: при неограниченном
возрастании давления за скачком уплотнения (р^-^оо) плотность вещества
потока стремится к конечной величине
k+ 1
Последнее указывает на то, что ударная адиабата (2. 66) дает существенно
большее повышение давления по сравнению с адиабатой изэнтропического
процесса уплотнения (1.22)
Pi
§ 6. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ТРУБЕ ПРИ ВНЕЗАПНОМ РАСШИРЕНИИ
СЕЧЕНИЯ ПОТОКА
Рассмотрим случай стационарного течения при отсутствии
взаимодействия потока с окружающей средой dQ = 0; dG = 0 (рис. 2.9).
Эта задача обычно формулируется так. Определить параметры
состояния потока в широкой части трубы (см. сечение 2—2), считая
заданными характеристики потока в ее узкой части (см.
сечение /—/).
В области внезапного уширения трубы, т. е. между сечениями
3—3 и 2—2, имеются две зоны состояния газа: подвижная и
неподвижная (застойная). Неподвижная зона, прилегающая к стенкам
72

трубы, характеризуется^отсутствием поступательной скорости
движения газа. В подвижноазоне газ находится в движении, при этом
поток непрерывно увеличивает свое поперечное сечение от
площади Fi до площади F2. Давление газа в застойной зоне
неизвестно, однако можно утверждать, что величина ръ ограничена
пределами: 1) Р\<Ръ^Р2 ИЛИ 2) Рх^Ръ^Рч.
Первый случай соответствует уплотнению (торможению)
потока и возникает, когда имеет место противодавление р2>Ри
Второй — определяет ускорение потока и возможен при р2<р\.
При торможении потока его скорость уменьшается K2<Ki.
Ускорение потока сопровождаётся\величением скорости %2>h- Для
потока, изолированного от внешней среды, исходная система
уравнений сохранения^ имеет
G G *
вид: Gi = G2 — вещества; а*=
= а*—энергии; Ri+(F2—
—F\)P3 = R2—импульса
потока, где Ru R2 — полная
реакция потока в сечениях 1—1 и
2—2.
На основании уравнений
сохранения вещества и
энергии
'I !J
ь
t A., i
r
i л,
u:
1Ы
-r
лг
^z
^
где
Л1.2 '
Рис. 2.9.
В соответствии с этим уравнение механики (уравнение
сохранения импульса потока) приводится к виду
К2=К: + ^К, (2.67)
где
В уравнении (2.67) два неизвестных К2 и р3. Выбор давления
рь ограничивается не только установленными выше пределами
изменения его возможной величины, но должен быть согласован
со вторым началом термодинамики AS2, i>0 или Po2<.poi-
Иными словами, физический смысл будут иметь только те
значения %2, которые удовлетворяют неравенству
_J
ft—1
или уравнению изменения состояния (1.20) и (1.24)
01
Р02
—l
73

Поскольку оба условия ограничения величины рз(р1^ Рз^ Рь
Рси>Рог) предполагают множество ее значений, задача выбора рз
остается неопределенной. Для нахождения р3 обратимся к графику
К(%) (рис. 2.10). Согласно графику функции K(h) и условию
^2>Ki дозвуковой поток тормозится, а сверхзвуковой ускоряется.
При торможении дозвукового потока должно соблюдаться условие
Р2>Ри а при ускорении сверхзвукового рг<Р\. Возможен случай тор-
к
А
0
i
1 1
1 1 1
\ \ \
кгк'4 1
!
I
к,
f
к
i
i
i
i
i
!
i
"Г
I
i
|
■ff л
Рис, 2.10.
можеиня сверхзвукового потока при условии скачкообразного
перехода его в дозвуковой по месту сечения 3—3 (см. рис. 2.9)
i = Ki\ ai = aj . Ьсли
k+ 1
то
произойдет дальнейшее его торможение за скачком уплотнения до
скорости fa, определяемой уравнением К2 = К\ +АК. При li<l;
Р\>Р2\ Я,2>1 уравнение механики теряет свой смысл, так как АК
не может быть отрицательной величиной. В этом случае процесс
ускорения потока будет происходить по изэнтропе (2.11)
до тех пор, пока позволит противодавление
Р02
2 \ft-i
а величина ?i2 не достигнет единицы. Так как при этом предельная
величина h\ также равна единице, то согласно уравнениям (2. 9) и
74

(2.15) полные и статические давления будут связаны
соотношениями
Pai ?2 Л / 2 \»-1 / 2 у-
\»-1 / 2 у-1
Рассмотрим решение задачи определения параметров
состояния потока в сечении 2—2 (К2; pi, Р02) для предельных значений р3-
Торможение дозвукового потока %\<\.
Обратимся к формуле (2. 67), в которой для случая торможения
дозвукового потока ЛК>0 и определяется из условия
— _k+l Ga* k+\
Тогда
Как указывалось выше, увеличение коэффициента реактивности
дозвукового потока Ki возможно при его торможении, т. е. когда
АК>0 (см. рис. 2. 10). В этом случае решение уравнения механики
имеет смысл для %2<%\ или
(2-69)
Предполагать, что поток из дозвуковой области переходит
в сверхзвуковую и приобретает скорость "к2 = %~1>\ (при которой
обеспечивается нужная величина К%), недопустимо, так как в этом
случае Ро2>р<м- В самом деле согласно (2.4)
1
i-^4x? ^
Р02 _,2 / k+ 1
Р01 \ l_k~l1-2
где
Откуда следует, что при <[Х? <; 1 полное давление'pQ%>pQ\.
Закон изменения функции т^ —poi/рог представлен на рис. 2. 11.
75

Торможение сверхзвукового потока Я,[>1.
При ?и>1 и pi>P\ поток в сечении 2—2 (см. рис. 2.9)
приобретает дозвуковую скорость %2<\. В этом случае в сечении 3—3
образуется скачок уплотнения, после которого К\ = К[; К = ^~1 > а затем>
если
Область
Возможных
решений
Р2 > Р02 М —
А+1
где
1
*—I
произойдет дальнейшее торможение
потока в соответствии с уравнением
механики K2 = Ki+AK2-
Пределы изменения К2 при
торможении потока р2>Р\ в зависимости от
степени внезапного уширения
трубы FJFi обозначены границами
Рис. 2. И.
> 0 — для дозвукового потока >ч<^1;
^1 — Для сверхзвукового потока Хх^> 1.
Ускорение сверхзвукового потока Рг=р2-
Уравнение механики в этом случае приобретает вид
/С2=/Г1+(1-^)^
(2. 70)
или
где
Р2Р2
Отсюда
k+\ 2
X =-J- ■
+ ^ = 0,
~k+\
(2.71)
Из уравнения (2.70) следует, что /(гЖьЭто означает, что
возможно только ускорение сверхзвукового потока ?ч>1 (см. рис.
2. 10). Поэтому найденное выражение для %2 справедливо в случае
76

P^P\ ^i^l- Пределы значений %2 в зависимости от степени
внезапного уширения трубы обозначены границами:
Границы значений К2 определяют диапазон неравенства полных
давлений (2.4) и (2.9) I<poi/po2<°o.
При F2/Fl = \ будем иметь poi = po2, а при F2/Fi = oo полное
давление ро2 = О,.так как
Пример 1. Найти параметры состояния потока в сечении 2—2 при F2=2F1;
?и=0,5; £=1,25; Рг>Р\.
Скорость Я2 найдем по формуле (2.69), для чего сначала определим
h =К2~]/~К22-1=0,23.
Потеря полного давления (2. 9) составит
1
■ --—;*1 \
k+l 1 \ =0,96.
Poi г2 А2 | к_х 2
L"~™ An
Повышение статического давления (2. 9) будет равно
h
гг 1 ил '
■" ■* Л —-_^_ 1 *
k+l l
Пример 2. Найти изменение полного давления дозвукового потока при
F2lF\ = co; Я[<1; А= 1,25; pi</?2.
Скорость найдем по формуле (2. 69)
12 = *-^ = 0.
1
так как Ад; = | — — 1 5 = °°; Кч = Kt + &К = оо.
77

Потеря полного давления составит
_ k+l
Для л3 = 1 получим
ft
jOOD, /?2 ™ /^02*
A» \* +
При определении пределов функции F2X2IF1X1 следует помнить, что Яг (2.69)
зависит от FtfFi (2.68), поэтому
Ига
HI1
Пример 3. Определить параметры состояния потока в сеченин 2—2, имеющего
в сеченин 1—/ характеристики %\=2; /y.Fi=2; ^=1,25; р[<рг- Так как поток
сверхзвуковой, то скачок уплотнения переведет его в дозвуковой при
X 1=Х~1 = 0,5. Дальнейшее его торможение будет происходить в соответствии
с уравнением (2. 69)
А-1-- ^ =1,25;
2Х"1
/,2 = Кч — ~\f К\— 1 = 0,23.
Потеря полного давления составит рог/poi = 0,42. Увеличение статического
давления равно p2lp\ = 7,8-
Пример 4. Определить параметры состояния при ускорении сверхзвукового
потока в сечении 2—2, если дано /?2/fi=2; ?ч = 1,5; £=1,25; pi>p2- В сечении 2—2
поток сохраняет сверхзвуковую скорость.
Ускорение можно определить по формуле (2.71), для этого определим
Х[ + Х-1
Ki = 7. = 1.08;
+
_^.) = 1,055.
F
л2 —
Потеря полного давления составит yt?o2/poi=O,91. Падение статического давления
потока будет равно P2/Pi=0,33.
78

Пример 5. Найти параметры состояния сверхзвукового потока в сечении 2—2,
если дано /7i//?2=0; A.i=l; £=1,25; Р2</7Ь При этих условиях будем иметь
2k
18
Так как ).2<X«, ^ l
;
= 0, то />02 = />2 =
§ 7. ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПРОТОЧНОМ РЕЗЕРВУАРЕ С ВНЕЗАПНЫМИ
УШИРЕНИЯМИ
Эта задача имеет практическое значение и прежде всего там,
где при заданном расходе газа требуется обеспечить заданное
давление. Потребное давление достигается соответствующим выбором
расширяющейся части проточного резервуара, которая приводит,
как было показано в § 6, к необходимой потере полного давления
потока газа. Форма профиля проточного резервуара показана на
рис. 2. 12.
При решении задачи будем считать, что начальные значения
полных давлений и температуры заданы, а процесс течения газа
происходит без теплообмена с окружающей средой. Отсутствие
массообмена с окружающей средой характеризуется условием
G = const, а термоизоляция потока от внешней среды а* = const.
В соответствии с формой проточного резервуара на участках 0—1,
3—4 поток.является изэнтропическим, т. е. течение газа
происходит при сохранении 'полного давления роо = Роь Роз = Ро4- На участке
1—2 имеем неизэнтропическое течение, сопровождающееся потерей
полного давления Apoo = poi—Роз>О. Так как сечения 2—2 и 3—3
выбраны в том месте потока, где полные давления равны, то^2=^з.
так как F^^Fi.
79

Параметры Ко) ^Г, Хз", А,4; роз и G могут быть определены из
следующей системы уравнений:
(2-72>
(2-73)
Уравнения (2.72), (2.73) являются следствием равенства
полных давлений poo—poi', Роз = Ро4- Связь между безразмерными
скоростями Хх и %3 устанавливается уравнением механики
ИЛИ
Решая уравнение (2. 74) относительно hi, получим
: или ^~т; /-г-рГл
где
Решение уравнений (2.72), (2.73), (2.74) можно провести для
тех случаев, когда Я,4=1; ^4<1 и &i = &4= 1. Если окружающее дав-
ь
ление ра меньше критического ра<!| ) /?03, то А.4=1. В про-
\k + V
тивном случае Я,4<1- Коэффициенты сжатия струи ei,4 будут равны
единице только при соответствующем радиусе притупления острых
кромок на входе в каналы (см. участки 0—1 и 3—4). Если же
в указанных местах кромки острые, коэффициенты &i и е4
определяются соотношениями:
80

Отсюда
1 + Xf
2 I I —•
L. 1 1 <J I
.76)
Подставляя ei и 64 в уравнения (2.72) и (2.73), получим связь
между Яо и Яь Яз и Я4 в более простом виде:
i)Oil; (2.78)
%A. (2.79)
Решая уравнения (2.78), (2.79) относительно Яо и Яз, получим
•; (2.80)
-—1
• —1
На основании обобщения соотношений (2.78) и (2.79) можно
сформулировать следующее правило: при наличии острых кромок
на входе из одного канала в другой коэффициенты реактивности
потока изменяются пропорционально площадям поперечных
сечений каналов Ki/K2—Fl/F2.
Полное давление потока на участке 2—3 определяется по
формуле
Роз—Роо
81

При /%-<(—г—) ра для 14 справедлива формула (2.14)
\Роз
где
г—1
* , (2.83)
— 1
Частные решения задачи
k
(к + 1\*-1
Ра
В соответствии с уравнениями (2. 73) и (2. 75) имеем
*+1
1 а
с у с^ а Гг
1 1
При некотором критическом значении (Fi/F-i)* безразмерная
скорость %i достигнет величины, равной единице. Дальнейшее
уменьшение Fi/F2 по сравнению с критическим не повлияет на
величину Кг, она сохранится неизменной и равной единице. В случае
Fi/F2^(Fi/F2)* полное давление /?оз определяется формулой
Роз-Роо^- (2-85)
Критическое отношение площадей (F2/Fi)* находится из
уравнения (2.75) для Ki = l
откуда
-А. (2.86)
Таким образом, область значений К\ определяется условиями,
зависящими только от размеров проточного резервуара: при
82

F2/F1^(k+l)K3—k будем иметь А,, = 1; при F2/F1<(k+l)K3—k
безразмерная скорость Я,1^1.
Для значений F4/F2<l/2 можно пользоваться приближенными
соотношениями:
2 N*-i
[k +
2КЧ =
2 \k-i
+ 1
^l+1
— k.
2 V*-'
Зная Яз и фактические отношения F2/Fi; F3/F4, определяем A,t
и роз соответственно по формулам (2.75), (2.82), если F2/Fj<
(F/F)*
При F2/Fj> (F2/Fj) * значение роз определяем по уравнению
(2.85), так как в этом случае A,i = l.
4 ' ' ' I 2 / а>
Согласно уравнениям (2.79) и (2.86) имеем
(2. 87)
Как и в первом случае, имеем две области значений Х\,
определяемые условиями F2/Fi>(F2/Fi)* и F2/Fi<(F2/Fi)*. При
(F2/Fi)* справедливы зависимости
) — - I/ c2 A ' P03~i
Для
необходимо пользоваться формулой
1
/
1
(2. 88)
83

а также уравнениями (2.84) и (2.87). Расход газа для >4=1
определяется формулой
*4-1
При наличии острых кромок на входе в каналы (см. участки
О—1 и 3—4) расход газа для Я,4<1 наиболее просто определяется
уравнениями (2.75), (2.80), (2.81), (2.83) и формулой
2k
Поскольку в формулу (2. 83) для Я,4 входит роз. то задача
определения расхода в общем случае еi = еi = 1; Я,4<1 решается методом
последовательных сближений (2.72), (2.73), (2.75), (2.82) и
(2.83).
Решим несколько примеров, имеющих практическое значение
для инженерных задач по расчету потерь полного давления
звукового и дозвукового потоков в дроссельных устройствах с тупыми
и острыми кромками.
Пример 1. Найти потери полного давления звукового потока (?ц = 1) в
одноступенчатом дроссельном устройстве.
Звуковое течение в сечении /—/ (см. рис. 2. 12) возможно только при вполне
определенных соотношениях площадей поперечных сечений /—/; 2—2; 3—3 и
4-4: F2/Fr, Fs/F2; F4/Fs.
Прн наличии острых кромок (ei<l; е3<1) искомые соотношения для случая
^4=1 связаны уравнением (2.86)
При Fs[F4=4; £ = 5/4 скорость течения газа будет равна звуковой (Xi = l
если выполняется условие
Примем Fi/Fi = 8, тогда безразмерная скорость (2.81) в сечения 3—3
7
Хо= — = 7 = 0,127.
Ы$1
Потеря полного давления при ei = e4 согласно уравнению (2.85) будет
роз F, _Fi F* _ 1 4_0^
Роо Рц F2 FA 8
Прн уменьшении ^з/^4 до 2 полное давление потока упадет в четыре раза
Роз О25
84

При Fo/Fi=B в сечении 0—О безразмерная скорость газа
Х £0,068.
Пример 2. Для исходных данных примера 1 найтн потерю полного давления
при дозвуковом течении (?ц<1).
При условии F2/Fi<(F2fFi)*=7,75 будем иметь дозвуковое течение. Примем
?y.Fi = 5, тогда согласно уравнению (2.88)
1 +
1
Потеря полного давления определяется по формуле (2. 84)
1 1
/ 9 У* 4 / 1 \4
= i^j-j v °'6511 ~Т (0l65)2J==0'68'
При FolFi=8, как и в примере 1, ?*о=0,068.
Пример 3. Рассчитать многоступенчатое дроссельное устройство с
переменным расходом газа. Сравнение результатов примеров 1 и 2 показывает, что при
звуковом течении газа (?ч = 1) потери полного давления потока существенно-
больше, чем в случае дозвукового течения газа (Я|=0,65).
Таким образом, дросселирование звукового потока позволяет получить
наибольшие перепады давлений. Поэтому для построения эффективного
многоступенчатого дроссельного устройства площади поперечных сеченнй его ступеней
согласно уравнениям (2.85) и (2.87) должны удовлетворять соотношениям
^ F3i),
где а>\ — коэффициент надежности сохранения течения со скоростью звука.
В таком дроссельном устройстве суммарное падение полного давления
где п — число ступеней дроссельного устройства.
85

Расход газа через дроссельное устройство определяется формулой (2.89) Gn = <
так как F4=Fifon; роз=/>о4=РпЛх>,
где
1
сек
Из формулы для Gn следует, что расход газа через дроссельное устройство
не зависит от числа ступеней дросселя и определяется только величиной
площади F] начального канала.
При проектировании дроссельного устройства следует иметь в виду, что
изменение расхода газа путем изменения величины F\ нли Ft неминуемо приведет
к соответствующему изменению перепада давления. Поэтому варьировать
расходом газа в заданных пределах при сохранении заданного перепада давления
(Р) можно только путем одновременного изменения площадей н до тех пор,
пока коэффициент а не будет равен единице. При этом для фиксированной
величины F2 допустимое минимальное значение площадей F\ и F* составит
а уменьшение расхода газа G=
~
р (1 + k) — 1
Так, при а=1,25; £=1,25 и (i = 0,5 допустимое уменьшение расхода газа
- 0,5(1 + 1,25)—0,8
С увеличением а допустимое снижение расхода газа возрастает. При а = 2
изменение расхода газа возможно до 5 раз. Дальнейшее снижение расхода газа при
заданном перепаде давления (р=0,5) за счет увеличения а нецелесообразно, так
как при а->оо (F2-* oo) G-* 9.
В общем случае заданная производительность (G) n-ступенчатого
дроссельного устройства, обеспечивающего заданный суммарный перепад давлений
(т) = Р"), достигается путем соответствующего выбора величин
параметров р, п и а.
Теоретически можно создать дроссельное устройство, которое обеспечит
любую производительность при заданном перепаде давления. Такое устройство
должно иметь р = Роо= . Однако осуществить его нельзя, так как в этом случае
F2— °о или Fi-+Q. Кроме того, величина рто при £=1,25-5-1,4 отличается от
принятой в примере (Р=0,5) на Пч-17%. _
Большая чувствительность производительности (О) дроссельного
устройства для идеального газа к величине относительного падения давления после
86

dG r - -г i
каждой его ступени (р) — _ — | — — — не
позволяет теоретически достаточно точно рассчитать величину (О), так как уже
прн |3<О,5 необходимо учитывать влияние диссипативкых сил и уравнение
состояния реального газа. Поэтому окончательную доводку размеров дроссельного
устройства следует производить экспериментальным путем.
Пример 4. Определить влияние скруглення острых кромок на параметры
состояния дросселируемого газа для исходных данных примера 1.
Примем, что в результате скругления ei = e4=l. Прн острых кромках согласно
уравнениям (2.76) и (2.77) ei=ae4=0,8, тогда из уравнения (2.62) прн £=5/4 и
FJF3=\[4 получим Яг=0,159 вместо ^=0,127 и Я0=0,080 вместо >.0=0,068.
При Хз=0,159 н F2/Fi=8 имеем
0,159 + 0,159~1
К3 = — ~^ ■= 3,23;
-г-) =,(1 +fe)/<3-ft--= —-3,23——^6,0.
fi I 4 4
Так как /у/7, > (F2IF1)*, то \г = 1.
Таким образом, при скругленни острых кромок увеличивается скорость
течения газа через дроссельное устройство вследствие роста расхода в е~! = 1,25 раза.
При этом перепад давления (|3) остается неизменным.
§ 8. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ РАСЧЕТА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ГАЗООТВОДНЫХ УСТРОЙСТВ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ГАЗОВОГО
ПОТОКА
Примером работы газоотводных устройств на нестационарном
газовом потоке могут служить газоотводные устройства сопла
ракетного двигателя после окончания горения топлива и надульные
устройства артиллерийских систем. Главной особенностью
истечения газа из канала ствола является неустановившийся характер
истечения: Это усугубляется и тем, что газ сгоревшего заряда ш0
к моменту вылета снаряда приобретает количество движения
LG = (j)Ovo/2g, соизмеримое с полным импульсом реакции на дно
канала ствола за время истечения газа j Fpmdt. Реакция давления
о
на дно канала ствола (1.9) равна
P = R^7^FpMl, (2.90)
где F — площадь поперечного сечения канала ствола;
Рдп — давление газа на дно канала ствола.
При расчете тяги ракетного двигателя величиной локальной
производной от количества движения газа внутри камеры сгорания
пренебрегают ввиду ее малости*. При расчете надульных газовых
* Обоснование этого положения изложено в § 6 гл. V.
87

узлов учет локальной производной от количества движения газа
внутри канала ствола является обязательным, так как в этом
случае ее величина соизмерима с величиной полной реакции потокаi?.
Предлагаемая задача с инженерной точки зрения представляет
интерес и относится к общему случаю расчета газоотводного
устройства при нестационарном потоке в его полости.. Решение задачи
расчета реакции давления на дно канала ствола обычно
основывается на предположении изэнтропичности и квазистационарности
процесса истечения газа. Иными словами, определение параметров
состояния газа внутри канала ствола за время его истечения после
вылета снаряда (т. е. в периоде последействия) строят на основе
уравнений для скорости и расхода, выведенных для условий
стационарного режима истечения, предполагая, что они сохраняют
свою силу в каждый данный момент времени. При этом начальные
(в момент вылета снаряда) и мгновенные (текущие) параметры
состояния газа (средние по длине канала ствола давление и
плотность) связывают уравнением адиабаты p/gft = Po/Qo или изотермы
q Pq
Задача истечения газа из полузамкнутого объема была решена
именно в такой постановке, но для малого отверстия, т. е. для
малых скоростей внутри резервуара (см. § 5).
В момент вылета снаряда количество движения газа внутри
канала ствола, называемое начальным, равно
Спустя время t, когда фиксированный слой газа в момент
вылета снаряда ^=0 подойдет к дульному срезу, начальное количество
движения газа уменьшается до величины
L=§vax, (2.91)
где со — вес газа, оставшегося в канале ствола, к моменту, когда
фиксированный слой подошел к дульному срезу;
Уох — скорость фиксированного слоя газа в момент вылета
снаряда.
При допущении, что плотность газа по всей длине канала ствола
является величиной достоянной dQ/dx = O, вправе записать
(см. пример 1 § 3 гл. I):
ш=мо у; %=«оу; шо=ео^*; °>=с^*, (2.92)
где х — координата фиксированного слоя в момент вылета
снаряда;
WK — объем канала ствола;
/ — длина канала ствола.

Найдем приближенное выражение функции L и dL/dt.
Соотношения (2.92) позволяют привести зависимость для L
к виду
В соответствии с уравнением (2.91) имеем — = —
К ' dt dt
dt dt{ 2g
ы ди> ^
как '»Ол. = г)о— и —— =— G, то
cog Ot
dL Gvox (2 94)
dt g
По аналогии с ранее найденным уравнением (1.16)
предположим, что для L (2.93) справедлива зависимость
Отсюда следует, что
д1 _д/ e-at
dt - пЦе •
С другой стороны, на основании уравнения (2.94) можно
принять
Сравнивая два последних выражения для dL/dt, получим
Трак как WK = const; dQJdx = O; Go = <aovujl, то в соответствии
суавнениями (2.92), (1.16) вправе записать
-*-= — = e-bt, (2.96)
Qo ио
где b = G0l<o0.
Далее, полагая процесс истечения газа изотермическим (Г =
= const), получим известную формулу проф. Е. Л. Бравина для
закона изменения давления на дно канала ствола после вылета
снаряда
P = poe-bt. (2.97)
Обычно считают, что давление р0 и плотность q0 по длине
канала ствола остаются неизменными, поэтому р0 — рдн и до=дДн
(см. § 15).
89

Отдача орудия без надульного устройства
На основании зависимости (2.97) сила давления газа на дно
канала ствола
P = Fpoe-bt. (2.98)
Подставляя в уравнение для Р (2.90) найденные значения
dL/dt (2. 95) и Р (2.98) и решая его относительно R, получим
выражение для текущего значения реакции газа в дульном срезе:
yat- " (2-99)
Импульсы сил Р я RRt за время истечения газа соответственно
равны
Д/« = [ F poe->'dt =?&- ; (2. 100)
(2.101)
0
Обычно выражение для / записывают так:
y = pJ2>°A. (2.102)
g
Тогда импульс отдачи орудия за время последействия
дЛ. = (Р-0,5)^-г>0. (2.103)
g
В соответствии с ранее принятыми допущениями (дд/дх = 0;
Go=a0vo/l) совместное решение уравнений (2.100), (2.101) и
(2. 103) приводит к соотношениям:
: = рдп (2.180).
Опыт проектирования артиллерийских систем показал, что
экспериментальное значение показателя Ь, равное
(2. 104)
и его теоретическая величина практически совпадают.
На практике очень часто пользуются эмпирической формулой
(2.105)
90

При этом величина рио=13ОО м[сек и по физическому смыслу
является средней эффективной (импульсной) скоростью истечения
газа из ствола для подавляющего большинства артиллерийских
систем. Большая стабильность ее объясняется незначительным
изменением теоретического к. п. д. орудий в диапазоне начальных
скоростей снаряда 600<t»0<1000 м/сек.
Если при выводе уравнений для р и |3 исходить из
предположения изэнтропического процесса истечения газа (2.60), то
_ 2k
"-1 ; (2. 106)
\о,з 1
k \k+ 1/ Мо
где В = -; Мо —число Маха в момент вылета снаряда.
2 м0
При &=1 формула (2.106) превращается в ранее полученную
зависимость проф. Е. Л. Бравина (2.97). На практике обе эти
формулы будут равноценными, если выполнить условие
*=*+! в.
Отдача орудия с надульным устройством
после вылета снаряда (период последействия)
При прохождении потока газа через надульное устройство
полная реакция, как будет показано в § 11, получит приращение
AR=(\—a)R. По третьему закону механики Ньютона приращение
реакции потока будет равно изменению силы отдачи орудия, т. е.
силе воздействия надульного устройства на ствол Р—Py = AR.
Поэтому с учетом уравнения (2.90) суммарная сила отдачи орудия
на ствол с надульным устройство будет равна
P7=aR + d±. (2.107)
С учетом противодавления (р&) формула (2. 107) имеет вид
Подставляя в уравнение (2. 107) значения R и dL/dt, получим
р =aFp№e-bi + {a - 1)^° e~at. (2. 109)
у g
91

Текущее значение импульса силы Ру, характеризующее
приращение количества движения откатной части с надульным
устройством, определяется по уравнению
При ^ = оо; д/ =(аВ — 0,5) —5-S- — полное приращение ко-
7 g
личества движения откатной части с надульным устройством за
время истечения пороховых газов.
Выражение для конструктивной характеристики надульного
устройства (а) обосновано в § 11. При а=1 имеем случай, когда
надульного устройства нет. Пределы изменения величины
параметра а означены границами:
1<<^2 — для усилителей отдачи;
1 —для дульных тормозов.
Выражение для Ру имеет большое прикладное значение в
теории проектирования лафетов артиллерийских орудий, так как
позволяет в любом конкретном случае определить параметры
свободного движения откатной части орудия:
QoV'ot =gPy.
Отсюда после интегрирования получим:
Vot = V0-\-gbJ — скорость отката;
t y
Xot = XQ-\-V0t-^g <\ Uydt — путь отката.
о
Здесь Qo — вес откатной части орудия;
^о; Vo — путь и скорость свободного отката к моменту вылета
снаряда.
Материалы настоящего параграфа, относящиеся к
артиллерийским системам, представляют теоретический интерес для
проектирования различных газодинамических тормозных устройств к
ракетным снарядам или сбрасывающих пиромеханизмов. Прежде
всего потому, что теоретический расчет надульных газовых
устройств орудий является общей задачей, изложенной применительно
к явно нестационарному процессу течения газа.
Использование этой теории в случае стационарного потока газа
не вызывает никаких затруднений, достаточно только положить
dL/dt=O.
92

Пример. Найти выражение функции dLldt для гипотетического орудия,
имеющего характеристики <в=6,0 кг; 1=6,0 м; уо = 1000 м[сек. Согласно
выражению (2. 95)
dt
кГ.
Здесь Go = — =1000 кг/сек; а=—-=335 1/сек; # = 9,81 м\сек\
§ 9. РАСЧЕТ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ГАЗА НА ПОРШЕНЬ В ПОЛУЗАМКНУТОМ
ЦИЛИНДРЕ. АКТИВНЫЙ УСИЛИТЕЛЬ ОТДАЧИ СТРЕЛКОВОГО
ОРУЖИЯ
Эта задача имеет большое практическое значение. Подобные
газовые узлы ставят на ствол артиллерийских автоматических
систем, а также там, где необходимо получить энергию движения от
статического давления потока, свободно вытекающего в атмосферу.
Устройство газового двигателя представлено на рис. 2.13.
Рис. 2. 13.
Будем считать, что в застойной области полости цилиндра газ
неподвижен и его давление рц равно статическому давлению в
потоке с площадью поперечного сечения Fq. В соответствии с этим
предположением задачу расчета давления можем свести к случаю
течения газа в трубе с внезапным расширением сечения потока
от площади F до Fo (рис. 2. 14). Тогда для критического режима
течения газа в сечении /—/, т. е. на входе в полость цилиндра, и
сверхзвукового течения в сечении 2—2, при выходе из цилиндра
в атмосферу, уравнение механики может быть записано так:
R2~Ri = {Fo-nP2, (2.110)
где
■fe+Г
k+ 1 Ga*
93

После преобразований уравнение механики (2.110) приводится
к безразмерной форме (2. 70)
— \.
2А2
где
Отсюда имеем
^
Зависимость (2.111) представляет собой частное выражение
более общего уравнения (2.71). Подставляя найденное значение
Д'г в уравнение механики (2.110), определяем статическое
давление потока в полости цилиндра
Сила давления газа на поршень согласно рис. 2. 13
Если учесть, что доля реакции на резервуар, из которого
вытекает газ в полость цилиндра, равна R*, то суммарная сила
воздействия на подвижной агрегат (2. 108) составит
где
(2.112)
Для заданной природы газа параметр а является функцией
только размеров полузамкнутого цилиндра .F4; F; Fo.
Для нестационарного потока, например, в случае истечения
пороховых газов из канала артиллерийского орудия, полная сила
их воздействия на ствол определяется зависимостью
где FpRt — текущая сила давления газа на дно ствола;
/?д 4 — полная реакция потока пороховых газов.
В § 8 было показано, что
94

поэтому выражение для силы отдачи ствола с газовым
ускорителем принимает вид (2. 109) и (2. 107). Такое надульное устройство
артиллерийского орудия называют активным усилителем отдачи,
а параметр а — его конструктивной характеристикой. Активный
усилитель отдачи относится к классу надульных газовых
ускорителей.
Таким образом, уравнение активной силы отдачи Р7 (2.109)
является обобщенным. Оно справедливо для любого надульного
газового устройства как для газового тормоза, так и для активного
и реактивного газовых ускорителей.
Для реактивного усилителя отдачи параметр а~Кв (2.24). Для
активного усилителя отдачи параметр а может иметь значения
существенно большие, чем пламегаситель. Для пламегасителя
величина не может быть больше 1,5, в то время как для активного
усилителя отдачи ее значение превышает 2,5. Откуда следует, что
активный усилитель отдачи, выполненный в приемлемых
габаритах, приблизительно в два-три раза эффективнее реактивного
газового ускорителя (пламегасителя). Зависимость конструктивно-
импульсной характеристики а при A'i=l активного усилителя
отдачи от его размеров представлена в табл. 2.4.
Таблица 2. 4
F
~~F0
1,0
0,9
0,8
0,7
€,6
€.5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
1
1,000
1,032
1,056
1,077
1,095
1,112
1,127
1,141
1,154
1,166
1,178
2
1,445
1,338
1,337
1,334
1,334
1,336
1,340
1,343
1,348
1.351
1,356
3
1,890
1,665
1,618
1,590
1,572
1,560
1,552
1,545
1,541
1,536
1,534
4
2,335
1,982
1,900
1,845
1,812
1,772
1,7о5
1,746
1,735
1,722
1,710
5
2,775
2,300
2,180
2,105
2,080
2,000
1,975
1,950
1,927
1,907
1,890
Сила, действующая непосредственно на цапфы оружия (кожуха
ствола) в направлении, противоположном отдаче, определяется
уравнением
р р„
7
95

§ 10. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ГАЗОВОГО ПОТОКА
МЕЖДУ БОКОВЫМИ КАНАЛАМИ ПРОТОЧНОГО РЕЗЕРВУАРА,
РАСПОЛОЖЕННЫМИ ПОД ПРОИЗВОЛЬНЫМ УГЛОМ К ЕГО ОСИ
Рассматриваемый вопрос представляет практический интерес
для проектирования реактивных двигателей с отбором газа4 в
систему газодинамического управления, а также для расчета
артиллерийских газоотводных устройств (газовые тормоза, эжекционные
устройства и т. п.).
В общей постановке задача может быть сформулирована так:
определить изменение плотности потока б на входе в боковые
каналы в зависимости от угла г[) пересечения их осей.с осью цент-
Il.-^-H
Рис. 2. 15.
рального проточного резервуара (рис. 2.15). Величина
чена пределами 0°<г[)<180°. По определению

ограни(2.ЦЗ)
где (Qf)6 — плотность потока в критическом сечении бокового
канала;
(qv)^— плотность потока в центральном проточном
резервуаре.
Из рис. 2. 15 видно, что газ при заходе в боковой канал имеет
начальную скорость 1>б = уц cos г|), величина и направление которой
зависят от угла -ф. При -ф<90° вектор «б совпадает с направлением
бокового потока и тем самым начальная скорость способствует
истечению.
При -ф = 90° начальная скорость обращается в нуль и расход
газа через боковой канал определяется только статическим
давлением в центральном канале. Дальнейшее увеличение угла <ф
приводит к изменению направления начальной скорости на входе в
боковой канал и росту ее величины. Поэтому в диапазоне углов
900<"ф<)800 скорость препятствует истечению газа через боковой
канал. Описанная гипотеза формирования бокового потока
показывает, что его удельный расход непрерывно уменьшается по мере
увеличения угла г]э и достигает наименьшей величины при -ф = 180°.
Решение поставленной задачи проводится в предположении, что
в наименьших сечениях потока скорость газа равна критической,
96

а площадь поперечных сечений боковых каналов достаточно мала
по сравнению с соответствующей площадью центрального канала.
В этом случае удельный расход бокового потока с учетом его
начальной скорости на входе для диапазона углов 0°<л|э<90о
определяется формулой
(2Л14>
В горловине центрального резервуара для удельного расхода
справедливо выражение
.-/.
Поэтому для функции б можно написать уравнение
(2.115)
Полагая а* — const, принимаем Хб = ?1ц cos tJj. При изменении
угла -ф в диапазоне его значений 0°<i[><90° величина функции б
ограничена пределами
В зависимости от Хд значения функции 8 определяются
пределами 0 < 3 < 1; Xi > 4 > О,
,2
где л00 =
—1
В случае, когда т|)>90°, процесс втекания газа в боковой канал
предположительно можно разбить на две фазы. В первой
происходит гашение начальной скорости, сопровождающееся потерей
статического давления рц (изэнтропическое торможение):
Во второй фазе наступает истечение газа через боковой канал
под давлением р& при отсутствии начальной скорости потока.
4 3058 97

В соответствии с предполагаемой схемой процесса
формирования бокового потока искомые удельные расходы и их отношение
будут равны:
=У kg
k 4-1
*-1 Рб
+l) { k+l
(2Л16)
В зависимости от значений 1Ц и -ф величина функции б
ограничивается пределами:
'= к-Ш
*-И к + 1
k+\
; 90°<-Ь<180°.
Таким образом, при заданном значении Яц величина функции б
монотонно убывает по мере увеличения угла ф и достигает
минимума при ^=180°:
С увеличением скорости потока в полости центрального
проточного резервуара функция б уменьшается и при некотором
значении Лщ его величина обращается в нуль. Физически это объясняется
тем, что величина статического давления в полости резервуара,
определяющая расход газа через боковые каналы, достигает
величины окружающего давления. При отсутствии окружающего
давления расход через боковые каналы будет равен нулю (6 = 0)
в том случае, когда газ в центральной полости достигнет
предельной скорости (Коо). В этом случае величина статического давления
будет равна нулю.
Если в полости центрального проточного резервуара имеются
местные сопротивления в виде кольцевых выступов или выточек,
сверхзвуковой поток 1Ц> 1 в результате возникновения скачка
уплотнения переводится в дозвуковой и величина функции б
возрастает.
98

Предполагая, что обращение сверхзвукового потока в
дозвуковой протекает в соответствии с кинематическим уравнением
Прандтля Х{Х2= 1, для функции б получим выражение
2(*-1)
f 1
ft+1
(2.117)
Полученные зависимости для функции б будут справедливы для
практических задач, если давление в центральном резервуаре
обеспечивает перетекание газа через боковые каналы в атмосферу
с критической скоростью.
В общем случае, когда боковой канал является криволинейным
(рис. 2. 16), скорость Хв вычисляется через угол захода потока
Отсюда следует, что для повышения производительности
(расхода) боковых каналов целесообразно -фвх выбирать минимальным.
Это условие позволит создать газоотводное устройство
наименьших размеров при заданной его эффективности.
Рис. 2. 16.
Рис. 2. 17.
Коэффициент сжатия газовой струи
Наибольшее сжатие получает сечение струи при вытекании из
отверстия с острыми кромками. Наличие скругления
(притупления) острых кромок уменьшает сжатие струи.
Определим сжатие газовой струи при истечении через круглое
отверстие с острыми кромками без учета диссипативных сил и при
наличии противодавления ра.

Сжатие струи характеризуется отношением e,=FH/F0, которое
называется коэффициентом сжатия или сужения (рис. 2.17).
Напишем уравнение механики
Л>(Л + ^о2)= ^в (Л + Ов^) + (/?о-^в)Л, (2- И8)
где р0, q0, v0 — дараметры состояния потока в резервуаре;
Рн> Qb« vh — параметры состояния потока в наименьшем сечении
струи.
Отсюда
(2.118')
н л
так как — =£М2. Для дозвукового потока Мн<1; /v=/V На
р
основании этого можно написать
где
—1 LVa
Величина в уменьшается с уменьшением Мо и ро/Ра- При М0=0 и
Ро = Ра функция е(Мо; Ро/Ра.) имеет минимум
0,5.
Наибольшее значение е=1 будет при Мо = Мн=1
+
k
~l =1.
Таким образом, реальные значения коэффициента е
ограничены пределами 0,5<е<1. С физической точки зрения нижний
предел значения е отвечает течению несжимаемой жидкости через
малое отверстие с острыми кромками и, как известно из
гидравлики, величина коэффициента сжатия струи в этом случае равна
100

половине. Верхний предел величины е соответствует критическому
течению газа в резервуаре, что возможно только при равенстве
площадей отверстия и поперечного сечения резервуара.
Наличие противодавления приводит к некоторому увеличению
сжатия струи (е уменьшается).
Найдем частные выражения функции е для некоторых случаев
истечения газа в окружающую среду с критической скоростью
Мн=1. Тогда, подставляя
в формулу (2.118'), получим
1 + ftM?
Для случая, когда ра^Ро, можно принять
2 \ft-i / k—
) (1
В функции безразмерной скорости формула (2. 119) примет вид
1 ■ - _j
е = 0,5(1 + >-§) (-2—) *~1 (l — — XoY"1 , (2.120)
2
так какМо —^о .
При ^о — О1 получим
2 \ft-i
Зависимость (2. 121) может быть получена непосредственно из
выражения полной реакции потока в критическом сечении (2.16)
101

Выявим влияние частичного скругления острых кромок на
величину коэффициента сжатия струи (рис. 2. 18). Согласно рисунку
коэффициент сжатия струи при наличии частичного скругления
равен
Так как FJF0 = e; Fo/F= (d0ld)2;
do=d+2r, то приближенная
зависимость для ег приводится к виду
Физически ег не может быть
больше единицы. Поэтому
существует предельное значение радиуса
Рис. 2.18. притупления кромок Гоо, при
котором ег=1. Дальнейшее увеличение г
не изменит величину е.
Таким образом, в зависимости от радиуса притупления острых
кромок круглого отверстия величина коэффициента сжатия струи
ограничена пределами е<ег<1. При этом диапазон изменения
радиуса притупления острых кромок составляет Гоо~
),2d, так как е>0,5.
Так, в случае критического потока газа при 2r~^0,ll2d
величина ег достигает уже предельного значения:
-^-У = 1,25е=1, где
0,8(2.121); £=1,25.
На практике это означает, что отверстия диаметром менее
10 мм, изготовленные в соответствии с техническими условиями
чертежа при г = 0,6 мм, не дадут сжатия критической струи.
Поэтому при истечении горячего газа через отверстие с острыми
кромками величина е с течением времени может достигнуть
верхнего предела. При этом реальное значение коэффициента расхода
<рг, учитывающее, кроме коэффициента сжатия струи, влияние дис-
сипативных сил (%), можно принять равным срг = %ег — 0,95.
Доля газа, отведенного в стороны из проточного резервуара
через боковой канал произвольного размера
Пусть площади поперечного сечения бокового канала и
горловины проточного резервуара соответственно равны Fe и Fn.
Рассмотрим изменение расхода в сечениях /—/ и 2—2 (рис.
2.19). На основании закона сохранения вещества можно записать
G4i = Gh2+G6, где G4,6={eFqv)u.6. Отсюда
102

о„
а
ц2
(2. 122)
Используя уравнение (2. 113), получим
а6== доля газа, отведенного в стороны через бо-
l i Iil J_ fk. ковой канал.
еб ь /="б
Здесь ец — коэффициент сжатия струи при истечении газа из
полости центрального резервуара через его горловину;
ее — коэффициент сжатия струи на входе в боковой канал;
6 — соотношение удельных расходов.
Рис. 2. 19.
Вид функции — — будет определяться, как было показано
выше, неравенством -ф^ЭО0 (2.116), (2.117), (2. 120).
Полагая, что в наименьших сечениях потока скорость вещества
равна критической, а противодавление пренебрежимо мало по
сравнению с давлением в полости резервуара рц^ра, при наличии
острых кромок будем иметь
1
для ф < 90°;
k+3
н 1
-для ф>90°.
(2.122')
Значения коэффициента плотности потока ve ' (2.122') при
6=1,25 и х=0,95 приведены в табл. 2. 5 и на рис. 2.23.
103

т
30
45
60
90
120
135
150
170
180
0,16
0,92
0,88
0,85
0,81
0,78
0,75
0,72
0,69
0,68
0
0.
0,
0.
0,
0,
0,
0,
0
0
25
90
85
80
75
70
68
61
58
57
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,50
,86
,78
,70
,61
,54
,47
,41
,36
,36
2
0
0,
0,
0,
0,
0,
0.
0,
0,
0
64
85
75
65
56
47
40
38
28
28
0
0
0
0
.J0
0
0
0
0
0
Таблица
,81
83
73
61
51
41
,33
.27
,22
,22
■ 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2.5
,00
,82
,69
.57
,45
,34
,26
,20
,16
,16
При г|;>90о принято, что коэффициент сжатия ее определяется
формулой (2.120) для случая Qofljj =0 в уравнении (2.118). При
■ф = 90° доля газа, отведенного в стороны из центрального
проточного сосуда, составит *
где
0,5
Для ^ц= 1 и -ф = 90° (поток в проточном резервуаре имеет крити-
ческую скорость) v£ = 2( ,
Если кромки имеют достаточное скругление г = гоо, то можно
принять
=£б И
* Уравнение механики R6=-^^+Рбрц позволяет найти параметр <Тб без
предварительного вычисления б и е
оц = 1 — об =
k+l
Хц cos 41
1 —•
in cos ф + JL №ц) (i _ jLj-J x») '
104

При наличии нескольких рядов боковых каналов (рис. 2.20)
доля газа, отведенного из центральной полости резервуара в
стороны, подсчитывается по формуле
аб = Чх 4" ^62 (1 — °6i) + абз (1 — об1) (1 — об2) -I-.
где
«--число рядов боковых каналов;
°ei— доля газа, отведенного в стороны
через первый ряд боковых
каналов;
l—°6i—доля газа, оставшегося в
полости резервуара после первого
ряда боковых каналов;
1 — °6i)— доля из оставшегося (после
первого ряда боковых каналов)
газа, отведенного в стороны через
второй ряд боковых каналов;
-°6n-i) — доля из оставшегося газа (после
п—1 ряда боковых каналов),
отведенного в стороны через
последний ряд боковых каналов.
V//
1
V
/ш
ц
У/А
2 \
\/Л
^ V
V///A
ч
р
V/////A
Рис. 2.20.
Для краткости записи выражения об удобнее принять
, 1
где
тогда
После простых алгебраических преобразований получим
(2.123)
(2.124)
105

Исходя из закона сохранения вещества
доля газа, оставшегося в центральном проточном резервуаре после
п-го ряда боковых каналов, составит
°ц=ац1ац23цЗ---ац«- (2.125)
§ 11. ИЗМЕНЕНИЕ ПОЛНОЙ РЕАКЦИИ ИЛИ ПОЛНОГО ИМПУЛЬСА
ПОТОКА ПУТЕМ ОТВОДА ГАЗА ИЗ ПРОТОЧНОГО РЕЗЕРВУАРА
В СТОРОНЫ. ГАЗОВЫЙ ТОРМОЗ АРТИЛЛЕРИЙСКОГО ОРУДИЯ
В общей постановке эта задача может быть сформулирована
так. Найти полную реакцию потока Rn или ее полный импульс
\ RBdt на выходе из горловины газоотводного устройства, а также
определить силу Р воздействия газоотводного устройства на
питающий его резервуар и ее импульс \ Put. При этом полная
реакция потока R на входе в газоотводное устройство может быть
величиной постоянной (ракетный двигатель) или переменной (ствол
артиллерийского орудия).
Согласно уравнению механики dP=xlR запишем
LP=RT-R={a-l)R, (2.126)
где а = RrjR; R — реакция потока на входе в газоотводное
устройство;
Rr — горизонтальная составляющая реакции потока на
выходе его из каналов газоотводного
устройства.
Коэффициент а является функцией размеров и формы
газоотводного устройства и практически не зависит от параметров
состояния потока. Вследствие этого параметр а, характеризующий
эффективность газоотводного устройства, называют конструктивно-
импульсной характеристикой.
Газоотводные устройства, имеющие а>1, увеличивают
начальную реакцию потока, и поэтому их называют газовыми
ускорителями или усилителями отдачи, а газоотводные устройства с а<1
выполняют роль газовых тормозов.
При отсутствии внешнего давления и потерь внутри
газоотводного устройства предельные теоретические значения параметра а
равны
аса= — К с, — —~ — лля газовых тормозов;
k
а*, — Кх=-у : —для газовых реактивных ускорителей.
у ft 1
Здесь k — показатель адиабаты.
106

С физической точки зрения величина параметра а<х
соответствует случаю, когда весь поступающий в устройство газ посредством
сопловых насадков бесконечно больших размеров или
отбрасывается строго назад 1)з=18О° или отводится вперед -ф = 0. При
отсутствии газоотводного устройства ЛР = 0; а=1.
Таким образом, реальные значения параметра а будут
ограничены пределами:
1 <а</С» — для ускорителей;
1^>а^> — Кос — для тормозов.
Найдем функциональную зависимость параметра а от размеров
и формы газоотводного устройства, предполагая поток газа
критическим и изэнтропическим.
Рис. 2.21.
Спроектируем реакции боковых потоков (рис. 2.21) на ось
центральной полости газоотводного устройства
где
cos ДФ2
(2. 127)
cos Дф3
k 4-1 Ga* ,,
— К —реакция потока на входе в полость уст-
8 ройства;
k
k 4- 1
:
Д1
К\ — полная реакция потока на выходе из пер-
k 8 вого ряда боковых каналов, взятая по
месту сечения 1 — / (перед косым
срезом);
R2 —
Л- \
АГ2—то же для второго ряда боковых кана-
ЛОВ;
107

R3=—: '■—К3 — то же для третьего ряда боковых кана-
k S лов;
с *
Л?в=— 1L±_/Cb_ полная реакция потока газа, неиспользо-
k 8 ванного в газоотводном устройстве.
Пренебрегая тепловыми потерями, примем
На основании закона сохранения вещества G = G1+G2 + G3+GB,
как было показано в формулах (2.124) и (2.125), Имеем
Gi = (l-Oi)G; G2 = o1(l—o2)G;
G3 = ai32(l — a3)G; GB=a1o2o3G.
Разделив левую и правую части уравнения (2. 127) на R,
получим искомое выражение для параметра а:
а= Къзгя2% + K&i (1 — oj) cos ф! -f ^2?2ai (1 — °2) cos Л2 +
где ?f= cos(r<+ ri> _! — tg ф, tg лф( — коэффициент, учитывающий
cos д^ cos ф/ эффект расширения газа в
косом срезе*;
Кв = —; Ki=-—— относительные величины ко-
К К эффициентов реактивности.
Для m-рядного (т-камерного) газоотводного устройства по
аналогии с уравнением (2.128) будет справедливо
m
(2.129)
При расширяющейся форме каналов коэффициенты их
реактивности определяются по формулам (2. 19) и (2.24). Для параметра
О; было выведено уравнение (2. 123). Если форма и размеры
боковых каналов одинаковы Ог — а; ■фг=1ф; Кг—Кь\ \% = \, уравнение для
параметра а приводится к виду
a=^Bo»+^e$(l--o»»)cos<li. (2.130)
Такое устройство отвечает условиям наименьшего веса и
габаритов. Если при входе в полость г_азоотводно,го устройства
критический поток Х=1 не ускоряется К=\, а боковые каналы имеют
* Расчет коэффициента \ изложен в § 3 гл. II.
108

постоянную площадь поперечных сечений, то расчет параметра а
для этого случая проводится по формуле
a=am+Z(l — Ocos<l>. (2.131)
Проведем анализ уравнения параметра а. Легко заметить, что
уравнение (2. 130) является общим и охватывает как газовые
тормоза, так и ускорители.
При от=1 (боковых каналов нет) выражение для а
вырождается в зависимость а=Кв, характеризующую ускорение потока
в сопловом или ступенчатом цилиндрическом насадках:
—для сопла;
а<[1-| для ступенчатого цилиндра.
Предельное теоретическое значение параметра а для газовых
тормозов выбранной конструкции получим в случае, когда весь газ,
поступающий в полость газоотводного устройства, отводится в
стороны от = 0. Полагая |=lJ6oKOBbie каналы не имеют косого среза)
и -ф=180°, получим а=—Къ.
Для случая истечения газа в пустоту через бесконечно большое
сопло а=—Кос. Все реальные значения параметра а значительно
меньше и составляют: К,а<1,35— для реактивных ускорителей
(усилителей отдачи), l^ct^—1 —для тормозов.
Импульс реакции воздействия газоотводного устройства на
питающий его резервуар
В зависимости от характера процесса течения газа для R
справедливы формулы (2.64) или уравнение (2.99).
Пример 1. Определить размеры активного усилителя отдачи, обладающего
конструктивно-импульсной характеристикой а=1,5, при Fo/F=l,2, /г = 1,25. Без-
ргзмерная скорость потока на выходе в атмосферу (2.111)
Где
Коэффициент реактивности потока при Яг=1,36
g,^'36^'36-1 -1,049.
Площадь поршня определяется из уравнения (2. 112)
109

откуда
Для 23-миллиметрового орудия, имеющего в момент вылета снаряда дуль-
WQf Q
расход газа Go= = 15,5 кг[сек
большая сила отдачи составит (2.109):
WQf Q
ный расход газа Go= = 15,5 кг[сек при ро=900 кГ1см2 и ио=7ОО м[сек, наи
OnVn 15,5-700
1)—— = 1,5-4,155-900 + 0,5—-——=6150 кГ.
S 9,81
Пример 2. Показать практическую невозможность применения реактивного
(соплового) усилителя отдачи для условий примера 1. В соответствии с
условиями примера 1 коэффициент реактивности соплового насадка Кв = 1,5. С учетом
потерь величина коэффициента реактивности сопла составит (2.24)
хГХ—1
Кв.и= +1=1.565,
Х2ХЗ
где Хз = 0>96 — коэффициент, учитывающий неполноту работы диффузора
сопла вследствие нестациоиарности истечения газа из канала
орудия;
^2 = 0,98 — коэффициент, учитывающий потери импульса потока от
радиального расширения в диффузоре при 6 = 11°;
Xi = 0,98 — коэффициент диссипативных сил.
Безразмерная скорость на выходе из сопла
Площадь выходного сечения сопла (2.6) для й=1,25
1
: = 440; — £
"l-^i-г
Длина диффузора сопла
Сопло длиной, равной 51 калибру ствола, строить нецелесообразно, так как
оно будет длиннее ствола. *
Пример 3. Определить размеры боковых щелей, расположенных в области
критического сечения сопла ракетного двигателя и обеспечивающих
регулирование величины силы тяги до 20% (а=0,8Кв). Сопло расчетное с коэффициентом
реактивности /(=1,25. Для каждого из четырех рядов щелей (т=4), проведенных
в стенке сопла под углом i|j=90° к его оси, необходимое количество отводимого
в стороны газа на основании уравнения (2. 131) составит
(*7) =1-(°.в£1 =0,055.
ПО

Здесь в первом приближении К„ принят равным выходному коэффициенту
реактивности Ка=Кв- Уточним величину Ка. Давление в двигателе для
расчетного сопла с коэффициентом реактивности /Св = 1,25 (2.11) будет
k+l
4 \—5
■т1 -м
где
ЪВ=КВ
- 1 = 1,25 + ]Л,252-1 = 2.
Величины безразмерной скорости и коэффициент реактивности после отвода
газа в сторону уменьшаются до
= 1,95;
•= 1,233.
При этом значении Ка не следует уточнять величину 1—а, так как она прак-
(Кв \0'25
тически не изменится \jr~\ ~1- Из уравнения (2.123) при 8б = ед=1
относительная площадь боковых щелей каждого ряда
Fa 1 —а 0.055
0,45
= 0,122,
где 6=0,45 — коэффициент плотности тока для if = 90°. Фактический предел
регулирования тяги составит 21%:
Кв
Кв
Пример 4. Найти размеры надульного устройства, позволяющие снизить
импульс отдачи орудия на 50%. Тип тормоза — щелевой цилиндрический
(рис. 2.22).
Рис. 2.22.
Искомое снижение импульса отдачи выстрела
где /в.у=
+ Д-'у —
S
о— импульс выстрела с надульным
устройством;
111

Я Я + 3
S S
о—импульс выстрела без
надульного устройства;
Э = (3 — — коэффициент баллистической эф-
Ч фективности орудия;
q — вес снаряда орудия.
Величину коэффициента Э будем считать равной 0,7. Решая уравнение для
Д/в относительно а, получим
-= 1-0,5^=-—0,21.
В соответствии с уравнением (2. 130) имеем
Из конструктивных соображений принято ч^ = 135°; /Св=/Сб=1. При
ф=135°(45°), как следует из табл. 2.3, 6=0,59. Для т = 8 получим 0=0,79.
"Г
V///////J
й-ft
0
Рис. 2. 23. Рис. 2. 24.
Относительная площадь боковых щелей каждого ряда
где 6=vE : =0,26 — взято из табл. 2.5 для Л~2=1 (рис. 2.23).
Условие равенства производительности боковых каналов и отражательной
способности экрана диафрагмы (рис. 2. 24) дает связь между диаметром полости
тормоза и размерами боковых каналов:
O3=G6 или— = тЬ—- == 8-0,26-1 = 2,04,
112

где FB = FK~Fa— площадь экрана диафрагмы;
я 9
/-"к = Dg — площадь поперечного сечения полости тормоза;
Я г,
Fa = —£г— площадь снарядного окна.
Угол выхода газа из бокового канала тормоза согласно табл. 2.3 составит
Пример 5. Оценить снижение эффективности тормоза, приведенного в
примере 4, вызываемое косым срезом боковых каналов. Пользуясь формулой (2. 131)
при |=1 и 0=0,79, имеем
а = а"1 + (1 — ат) cos if =— 0,46;
— Э —
д;в=(1 — а) ^=0,6 вместо ДУв = 0,5,
1 + j
откуда искомое снижение эффективности надульного устройства составляет
приблизительно 17%.
§ 12. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА СО СКАЧКОМ УПЛОТНЕНИЯ
Течение газа может быть дозвуковым, когда скорость движения
газа меньше местной скорости звука и сверхзвуковым, если
скорость движения газа больше скорости звука. В этом состоит их
формальное отличие. По существу оба потока имеют глубокое
принципиальное различие, приводящее в определенных условиях
к несовместимости процессов качественного и количественного
изменения параметров их состояния. В дозвуковом потоке любое
местное возмущение с течением определенного времени
распространяется на весь поток. В сверхзвуковом потоке любое возмущение
охватывает только его часть, лежащую вниз по течению от
источника возмущения. Иными словами, особенность сверхзвукового
потока состоит в том, что возмущения от любого препятствия не
передаются вверх по потоку и носят локальный характер. В этом смысле
сверхзвуковой поток по образному выражению Прандтля является
«слепым».
Описанное качественное различие дозвукового и сверхзвукового
потоков дает физическое объяснение тому, что возмущение
одинакового знака вызывает изменение скорости потока
противоположного знака. Например, подвод газа или тепла в среду
дозвукового потока приводит к увеличению его скорости, а в среду
сверхзвукового — к ее уменьшению; при отводе газа или тепла имеем
обратную картину: дозвуковой поток тормозится, а
сверхзвуковой — ускоряется. Этим же обстоятельством объясняется знак
изменения скорости потоков в зависимости от формы канала
проточного резервуара: в суживающемся насадке дозвуковой поток
ускоряется, а сверхзвуковой — замедляется.
В самом деле подвод тепла или газа в среду дозвукового
потока с течением времени приводит к повышению температуры или
113

давления всей массы потока и вследствие этого скорость вещества
возрастает. Подобное воздействие на сверхзвуковой поток
вызывает повышение давления и температуры только в нижней части
потока, которое в определенном смысле является «пробкой» для
его верхней части; в результате этого сверхзвуковой поток
тормозится.
В общей постановке эта задача впервые была решена Л. А. Ву-
лисом.
Качественное изменение параметров состояния газового потока
при его взаимодействии с окружающей средой, а также условия
ею перехода через критическую скорость могут быть описаны
следующей системой уравнений:
(- — И——= уравнение сплошности потока;
F v q G
k i>2
rfQ = ARdT-\-d — -\-dLM — уравнение сохранения энергии;
k~ I 2g
—-f-rf — + rfZ.M+dZ.o = 0 —уравнение механической энергии;
gQ 2s
p = gQRT — уравнение состояния.
Дифференцирование уравнения состояния приводит к
зависимости
>\ dT
где
/dp \ „- «2 (др \
\dQ/T k \дТ JQ
Подставляя найденное выражение dp/dq в уравнение
сохранения механических работ и исключая из него ф/д с помощью
уравнения сплошности потока, получим
, й2 / dF , dv dO
Ltp = -j[—+———
Определяя из последнего выражения dT и подставляя его
в уравнение сохранения энергии, приходим к обобщенному
уравнению, характеризующему особенность каждого в отдельности
фактора воздействия и их сумму на изменение скорости потока:
(2.132)
Анализ уравнения (2.132) показывает, что в случае
дозвукового потока М<1 его скорость увеличивается dv>0 при условии,
что
fifZ.M>0; o'Q>0;
114

Ускорение сверхзвукового потока М>1 возможно только при
воздействии противоположного знака
dF>0; rfIM<0; fifQ<0; dG<0.
Поскольку работа сил трения LTp физически не может изменить
знака cfLTp>0 и постоянно приводит к нагреву потока, то под
воздействием сил трения дозвуковой поток ускоряется, а
сверхзвуковой — тормозится. Это же уравнение показывает, что торможение
дозвукового потока и ускорение сверхзвукового принципиально
возможны только в расширяющейся части канала проточного
резервуара dF>0, а также при охлаждении dQ<0 или при отводе
потока в окружающую среду dG<0, или при отводе механической
энергии c?LM<0. Отсюда следует, что сохранение тенденции
ускорения или торможения движения газового потока требует в момент
перехода его через критическую скорость изменения знака
воздействия на поток.
Нетрудно представить недостаточность этих условий для
перевода потока реального газа через критическую скорость, так как
постоянное наличие работы сил трения не позволяет сделать
скорость потока критической. В действительности ее величина
асимптотически будет приближаться к критическому значению, но
практически никогда его не достигнет, так как в момент наступления
критической скорости знак воздействия должен измениться на
противоположный. Однако знак работы сил трения, приводящий к
нагреву вещества потока, физически не в состоянии измениться.
Поэтому для потока реального газа постоянство сил трения
необходимо компенсировать с помощью преждевременного изменения
знака, сопутствующего трению воздействия, так, чтобы в
надлежащий момент суммарное их воздействие на поток обратилось
в нуль. В действительности в силу этого критическая скорость
потока в геометрическом сопле наступает только за критическим
сечением — в его диффузорной части.
Проведенное исследование характеризует лишь качественную
сторону течения газа, отражающую тенденцию изменения скорости
потока. Более детальное исследование показывает, что монотонное
изменение скорости потока при любом виде воздействия присуще
только дозвуковому потоку. Сверхзвуковой поток при
соответствующих воздействиях может лишь монотонно увеличивать свою
скорость. Всякое замедление движения сверхзвукового потока
сопровождается внезапным падением его скорости и скачкообразным
ростом параметров состояния. Иными словами, сверхзвуковой поток
имеет природную склонность к скачкообразному уплотнению. При
этом область непрерывного изменения параметров состояния
потока настолько мала, что практически величины скорости, давления
и температуры вещества вдоль потока имеют разрыв, т.е. меняются
внезапно, скачком в одном и том же сечении.
115

При торможении стационарного сверхзвукового потока в
определенных условиях могут возникнуть как прямой, так и косой
скачки уплотнения.
Прямой скачок уплотнения характеризуется нормальным
расположением фронта скачка к вектору скорости потока. Если фронт
скачка расположен к вектору скорости потока под углом,
отличным от прямого, то такой скачок уплотнения называют косым.
Изменение параметров состояния потока в прямом скачке
уплотнения значительно выше, чем в любом косом: больше перепад
скорости, давления, температуры и больше потери полного давления.
Потеря полного давления потока при течении со скачком
уплотнения указывает на рост его энтропии и принципиальную
возможность существования течения с разрывом параметров состояния.
По этой же причине принципиально недопустимы скачки
разрежения, приводящие к возрастанию
полного давления и падению энтропии.
Прямой скачок уплотнения
На практике прямой скачок
уплотнения может возникнуть при набега-
,,,,,., нии свеРхзвУкового потока на препят-
77777777777777777777777777 ствие, расположенное под прямым
углом к его скорости или под достаточ-
Рис. 2.25. но большим, отличным несколько от
прямого угла.
Изменение параметров состояния потока при прохождении его
через фронт скачка определяется законами сохранения — энергия,
полная реакция (2. 8) и расход вещества до и после скачка
сохраняются неизменными (рис. 2.25):
Полагая, что до и после скачка уплотнения теплоемкость газа
остается неизменной cPi = cp2; cv\ — cV2, равенство полных реакций
потока приводит к уравнению
ИЛИ
Это уравнение имеет два решения:
116

Первое решение отвечает случаю, когда скачка уплотнения нет.
Второе — определяет безразмерную скорость потока за скачком
уплотнения.
Абсолютную скорость потока после скачка уплотнения найдем,
если вместо Х\ и К2 подставим A,i = —; ?i2= —; v~r=—- . Поль-
а* а* 2 я*2
зуясь обобщенными выражениями для параметров состояния по-
гока (2.9) и (2.3), получим зависимости для статического
давления, температуры и полного давления потока после скачка
уплотнения:
2 ft—1
-^ = ' k + l ; (2.133)
Pl i — k ~] х2
k—\ ,_2
1 I--,
Тп Ъ Л- 1 1
72 * ' ! ; (2.134)
i_*=ix
ft+1
(формула Релея). (2. 135)
Для массовой плотности потока за скачком уплотнения имеем
i*. = i^ = X?. (2.136)
Ql Щ
Если из уравнения (2. 133) с помощью формулы (2. 136)
исключить X2, получим уравнение ударной адиабаты Гюгонио
ft—1
. (2. 137)
ft-1
Для плотности и температуры газа за скачком уплотнения
имеем
Ql
l (k+ l)P + (k])P /2 139)
Pi (k
117

Уравнение ударной адиабаты представляет собой равнобочную
гиперболу с асимптотами (рис. 2. 26)
k + 1 р2 k+l
62
Ql
k~ I
—1
Реальные значения давлений лежат на верхней части
гиперболы, выше точки 02/01 = 1; Рч\Р\ = 1.
Анализ формул (2.137), (2.138), (2.139) показывает, что
давление и температура газа за скачком уплотнения могут быть
какими угодно большими, в то врег
мя как плотность--стремится к
конечному предельному
значению, равному
_ k+l
k— 1
Приращение энтропии потока
за скачком уплотнения по
выражению (1.24) равно
Рис. 2.26.
Р02
Нетрудно показать, что при
любом значении &>1 будем иметь
AS>0 для Jii>l и AS<0 для
%\<\. Область значений %\<\,
отвечающая скачку разрежения, не
имеет физического смысла, так
как энтропия в таком процессе
убывает А5<0. Поэтому процесс течения газа со скачком
разрежения, характеризующийся внезапным ростом скорости потока
Vi=a*2lv{^>Vi нереален, т. е. дозвуковой поток с помощью скачка
разрежения принципиально невозможно перевести в сверхзвуковой.
В этом смысле процесс уплотнения сверхзвукового потока с
помощью скачка уплотнения является необратимым.
Проведем исследование уравнений (1.24) и (2.135). Изменение
энтропии в зависимости от скорости потока перед скачком Х:
однозначно определяется функцией /Wpoi или (po2lpoi)k~1- Производная
от выражения (po2/poi)h~l равна
P02
P01
2k
■,1k -1-1
(к + 1)2
так как Х2=Х~1.
Знак производной определяется знаком члена, стоящего в квад-
ратных скобках. Для всего диапазона значений
k—l
118

знак этого члена всегда будет отрицательным. Отсюда следует, что
функция Ак/Лл непрерывно убывает от оо до 0. При X2_*zii
величина функции Po^Poi обращается в бесконечность, а при
Ц = - - — в нуль. Значения, равного единице, эта функция дости-
ft 1
гает при Xt= 1. Поэтому в области значений Xj<[1 функция
всегда больше едицицы и д5 меньше нуля.
Для области значений ^i>l имеем обратную картину:
Таким образом, скачок уплотнения %:>1; ^2<1 находится в
согласии со вторым началом термодинамики, в то время как скачок
разрежения не совместим с ним.
Косой скачок уплотнения
Особенность косого скачка уплотнения состоит в том, что
сверхзвуковой поток, пройдя его фронт, как правило, сохраняет
сверхзвуковую скорость V2>a*. Меньшая интенсивность косого скачка
уплотнения по сравнению с прямым определяет меньшие потери
полного давления.
Косой скачок уплотнения
возникает вследствие
внезапного изменения
направления движения потока,
например, при обтекании
плоского клина или конуса.
Интенсивность косого скачка
приближается к прямому по
мере увеличения угла
встречи потока с препятствием.
Опыт показывает, что косой
скачок переходит в прямой
значительно раньше того момента, когда угол наклона препятствия
(по отношению к вектору скорости набегающего потока) достигнет
90°. Этот угол называют предельным.
Учитывая, что потери полного давления в косом скачке меньше,
чем в прямом, на практике оказывается возможным с помощью
ряда косых скачков провести торможение сверхзвукового потока
при обеспечении более высокого уровня полного давления. На этом
принципе работают диффузоры сверхзвуковых ПВРД.
Определим параметры состояния потока после косого скачка
уплотнения. В соответствии с геометрическими соотношениями
(рис. 2.27) имеем
Рис. 2. 27.
l = vl sin v; x/n2=z>2sin(v —3);
= Vl COS V; VX2 —
(2. 140)
(2.141)
119

На основании уравнения сохранения количества движения
в плоскости косого скачка Uxi(oiUni) = Ут2 (бг^пг) и условия
неразрывности потока, пересекающего по нормали плоскость скачка,
QiVnl=Q2vn2 имеем vz\ = v&. (2.142)
Равенство тагенциальных скоростей приводит к
дополнительным кинематическим соотношениям
1/.2 —z/isinv—42V-• v =v «j^; (2.143)
cosv
— — = tgv; v2x = v2cos p. (2.144)
Так как v\= v2nl-\-v\; v22=v2n2-{-v^, уравнение сохранения
энергии (1.19) приводится к виду
Введем обозначения
v2
г Г — г Т
где
В этом случае уравнение сохранения энергии можно
переписать так:
v2 v2
ft 1 I '/^ ГТЛ ft 2 I *T~* *7~* / О 1 А С Л
Отсюда получим
T2 = TQn(l — ^=L^'^n.2); T^ToJl — —-Х2Х V (2. 146)
где
"л "л « . 1
Найденные выражения для 7\ и 7г позволяют уравнение
полной реакции потока, пересекающего по нормали плоскость скачка,
привести к известному виду:
k + I Ga* ..
120

Формула (2.147) является результатом совместного решения
уравнений (2.7), (2.2), (2.146) и
rvnl,2
gQi,2Vni,2=G=const.
Условие сохранения полной реакции потока приводит к
зависимости
Отсюда получим связь между Xni и Хп% аналогичную связи для
прямого скачка:
Ki = Ki- (2. 148)
Подставляя в формулы (2. 133), (2.134) и (2.136) вместо Х\
величину К2п1 , получим значения параметров состояния потока за
косым скачком уплотнения.
Выражение для %2п1 с помощью формул (2. 148), (2.142), (2. 140)
и (2.146) приводится к виду
\\s\ifiv
k + l
1 —■
k+l
—— Mj sin2v
Подставляя в формулы (2. 133) и (2. 136) вместо %i последнее
выражение Хп\, получим
Pi __
P\
Pi ^
Pi
k+l
62
Qi
.61
k+l 1
k + l
(2.149)
sin2 v
i
Mj sin2 v
1 —
k + l
(2. 150)
Если в уравнениях (2. 149) и (2.150) принять v = 90°, получим
зависимости для определения параметров состояния за прямым
скачком (2.133) и (2. 136). Нетрудно заметить, что формулы Релея
(2. 135) и адиабаты Гюгонио (2.137) сохраняют свою силу для
121

косого скачка уплотнения. В этом случае в формулу Релея вместо
А2 следует подставить ее выражение
л* sin2 v cos2 v + 11 —
l\ sin2v
(2.151)
Эта зависимость для Я2 является результатом совместного
решения уравнений
•о2 = II? sin2 V; z>2 = II2— z)2cos2 v.
Уравнение ударной поляры
Ударная поляра представляет функциональную зависимость
вертикальной составляющей скорости потока за скачком
уплотнения Viv от ее горизонтальной v%x (рис. 2.28). Уравнение этой кри-
Рис. 2. 28.
вой определяется формулами (2.140), (2.143), (2.145), - (2.148),
приводящими к очевидным соотношениям:
(2. 152)
(2.153)
«т1
Приравнивая правые части уравнений (2.152) и (2.153),
получим
k — \
(2. 154)
122

Исключаем tgv с помощью формул (2. 144) и после несложных
алгебраических преобразований уравнение ударной поляры
приводится к виду
. — 7)„ ^ ■
I
Эта кривая пересекает ось v2y в двух точках (см. рис. 2.28)
1) v2x = vi и 2) Viv2x = a*2.
Первая точка отвечает случаю течения без скачка уплотнения,
вторая — с прямым скачком уплотнения. При этом соответственно
имеем sinv=l/Mi; sinv= I. Пусть v2y=0{v2x = Vi) из формулы
(2.154) имеем
sm2v=-
Для v2x = — (^2у=0) согласно уравнению (2. 144)tgv=oo или
sin v= 1. Угол р, при котором поток достигает наибольшего
отклонения, определяется по формуле
1 + tg2 v + Ц
ctgp=tgv— ь 1/+1 , (2.155)
где
Величина tgvmax найдена из уравнения °g =0. Формула
d tg v
(2.155) получена из соотношения (2.154), так как в соответствии
с уравнениями (2. 141), (2. 142) и (2. 143)
^2jrtg v(l-)-ctgvctgB) = z)1.
123

k — 1
При Х2=л^ = —!— ударная поляра вырождается в окружность,
имеющую уравнение:
I 1 • *2\ 2 / 2 i *2\2
Z)^-^IZ)2j; 1 =1 I ~a
или
Эта окружность пересекает ось v2y в двух точках
1) v2x = voc и 2) v2xvoo = a*\
Наибольшее значение угла отклонения потока ртах в этом
случае
ctgpmax= УС*2—1) или pmax = arcsin — ,
так как
Из рис. 2.28 следует, что с помощью поляры графическим путем
весьма просто определяются угол наклона скачка и скорость
потока за скачком.
При обтекании кругового конуса с углом при вершине, равным
углу плоского клина, интенсивность скачка уплотнения будет
меньше. Внешне это проявится в том, что угол наклона конической
волны относительно оси конуса будет значительно меньше, чем для
случая клинового препятствия. Для обеспечения одинаковой
интенсивности ударных волн угол раствора конуса должен быть больше
соответствующего угла клина. Анализ результатов теоретических
расчетов дает следующую приближенную связь между ними:
pKOH^O.SK. + flJ-l0 ДЛЯМ>2; ?пл>10°.
§ 13. ОБТЕКАНИЕ КОНУСА СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ
При решении этой задачи будем исходить из того, что
положение скачка уплотнения задано, т. е. задан перепад параметров
состояния набегающего потока в результате его прохождения
через фронт скачка. Расчет параметров состояния потока после
скачка уплотнения производится по формулам для
плоскопараллельного потока. Таким образом, наряду с параметрами состояния
потока после скачка уплотнения будет известен и угол плоского
клина, определяющий начальный угол излома поверхности тока.
Эти величины будут начальными для дальнейшего конического
течения. Коническое течение сверхзвукового потока за коническим
фронтом скачка уплотнения обладает следующим свойством:
124

вдоль образующей фиксированной конической поверхности,
имеющей общую вершину с обтекаемым конусом, параметры состояния
потока остаются неизменными.
Вследствие того, что за скачком уплотнения поток оказывается
коническим, т. е. двухмерным, то по мере удаления его от вершины
обтекаемого конуса произойдет искривление поверхности тока.
Поэтому угол наклона касательных к образующим поверхности
тока будет непрерывно увеличиваться и асимптотически стремиться
к величине угла наклона образующей обтекаемого конуса.
Причиной такого искривления линий тока является переменная кривизна
обтекаемой поверхности конуса.
В бесконечности, где кривизна боковой поверхности конуса
обратится в нуль, поток вновь станет плоскопараллельным. На
практике, как показывают расчеты, поток оказывается близким
к плоскопараллельному при сравнительно небольшой длине
обтекаемого конуса. Чем больше угол при вершине обтекаемого конуса,
тем быстрее характер течения приблизится к плоскопараллельному.
Точное решение этой задачи дано Н. Ф. Красновым [16] и
основано на следующей системе уравнений:
d.Vr 0 19 О
dp
+ 0
2i-{-v2 = const; p = gqRT.
Эта система уравнений в каждом конкретном случае может
быть решена методом численного интегрирования или на ЭВЦМ.
Но из нее нельзя найти аналитические выражения для образующей
поверхности тока и для изменения параметров состояния потока
при переходе от одной поверхности тока к другой.
Для проектирования РПД, когда требуется исследовать
функционирование сверхзвукового диффузора в стартовом режиме,
целесообразно иметь простую инженерную методику расчета
выходных характеристик диффузора.
Упрощенное решение задачи уплотнения стационарного потока
в межскачковой области можно получить на основе уравнения
механики (1.6)
dR = pdF,
0 + к~х)
где R = — — 0- + к~х) — полная реакция потока, совпадающая
е по направлению с вектором скорости
(2. 8);
1W
Oa* k+\ ,n ns
статическое давление потока (2.2).
2k gF X
125

При отсутствии диссипативных сил конический поток сохраняет
неизменным проекцию полной реакции на образующую
обтекаемого конуса (рис. 2.29)
(2.156)
так как вдоль прямолинейной образующей обтекаемого конуса
на пути потока нет препятствий (dF=0), воспринимающих
воздействие статического давления. Для конического потока постоянное
значение полной реакции потока вдоль образующей обтекаемого
конуса физически вполне очевидно вследствие неизменности
параметров состояния потока на фиксированной конической
поверхности.
JL.
Рис. 2. 29.
Уравнение (2.156) определяет связь между безразмерной
скоростью потока и углом ее наклона по отношению к оси конуса
и представляет собой годограф безразмерных скоростей. Поскольку
величина угла 0 ограничена пределами р<О<рк, вправе записать
iK-f)0). (2.157)
Так как в силу закона сохранения вещества и энергии G== const;
а* = const, то уравнение (2. 157) приводится к виду
где К=0,
K-p0)=/r., (2. 158)
— коэффициент реактивности потока в любом
его сечении после скачка уплотнения;
— коэффициент реактивности потока на границе,
т. е. на тыльной стороне фронта скачка
уплотнения;
-]-Х-1) —коэффициент реактивности потока для
плоскопараллельного потока, т. е. на бесконечно
большом удалении от вершины конуса.
126

Решая уравнение (2.158) относительно Я, и Я,оо, получим
+1 [к\ i (2.159)
Хте = /Co cos (PK - ft,) + VKl cos2 фк - %) - 1. (2.160)
Из формул (2.159) и (2. 160) следует, что величина Я, монотонно
убывает и асимптотически стремится к Я,», т. е. сверхзвуковой
поток в межскачковой области непрерывно уплотняется (тормозится).
Когда величины Ко; Ро и рк заданы, то безразмерная скорость
потока определяется однозначно. Нетрудно показать, что
уплотнение потока происходит в соответствии с уравнением изэнтропы
(2.4)
k + 1 Оа*
В дифференциальной форме последнее уравнение имеет вид
dF 2 Idl dl
(2. 161)
k+ 1
Из уравнения механики (2.157) d7?cos(рк — 6)-f/?sin(Рк — 6)^8 = 0,
откуда
rf/?=-/?tg(pK-6). (2.162)
С другой стороны, вдоль поверхности тока (1.6)
dR=pdF,
где F — площадь поперечного сечения потока между
фиксированными поверхностями тока.
Совместное решение уравнений (2.161), (2.162) и (1.6) при
условии G = const; a* = const приводит к результату
Отсюда после интегрирования и потенцирования получим
1 + Х2
С08(Рк-в)—— =
Л
127

Деля левую и правую части последнего уравнения на два,
получим исходную формулу (2.158) закона движения потока за
скачком уплотнения. Таким образом, изэнтропическое торможение
сверхзвукового потока после фронта скачка уплотнения находится
в полном соответствии с принципиальным положением: проекция
полной реакции стационарного конического потока на поверхность
обтекаемого конуса сохраняется неизменной (см. рис. 2.29). Это
заключение вполне очевидно, так как для конического потока все
его параметры состояния вдоль образующих конических
поверхностей имеют одинаковую величину. Так как в межскачковой зоне
сверхзвуковой поток изэнтропический, для параметров состояния
будут справедливы формулы (2. 11), (2. 12), (2. 13)
1 — / п
_!-,2
где То; р0; q0 — статические температура, давление и плотность
потока на тыльной стороне конического скачка
уплотнения.
Изменение (поджатие) площади поперечного сечения потока может
быть найдено из уравнения неразрывности (2. 5)
Предельное поджатие поперечного сечения потока составит
1
i z 1 l2
ft+1 -
Так как величины Хо; %<„ известны, а X задана в функции от 6, то
при заданном 8 всегда можно оценить отклонение параметров
р; q, T от их предельного значения.
128

Уравнение образующей поверхности тока
Уравнение образующей поверхности тока найдем в виде
функции г (со). В соответствии со свойством конического стационарного
потока исходная система уравнений имеет вид
ft—1
F sin со=nr2 sin (ш — 9);
(2. 163)
где
Поскольку исходная система содержит три уравнения при
четырех неизвестных со; 6; г; к, необходимо найти дополнительную
связь между углами со, б.
Эта функциональная связь может быть определена из условия
конического течения: параметры состояния газа сохраняются
постоянными на поверхности любого промежуточного конуса, в том
числе на поверхности фронта скачка уплотнения (co = v) и
обтекаемого конуса (со = рк) и меняются лишь при переходе с одной
поверхности на другую, т. е. с изменением угла со.
На рис. 2. 29 имеем '
a —8); Хш = л sin(co — 8).
Отсюда следует, что
_L=_-Xsin((o —6); —- = Ып((о —6).
дХ„ / dlr. dm
Допустим, что /-— = —. Тогда, деля второе уравнение на
первое, получим
o?u)/a?e= — 1 или e-f <" = const = c3. (2.164)
Величина постоянной находится из граничных условий: co = v; 6=|3o;
ы = Рк; 0 = Рк, поэтому
Из выражения для постоянной с3 вытекает приближенная связь
между углами плоского клина Ро и конуса рк для случая, когда они
5 3058 129

дают один и тот же угол наклона фронта ударной волны v:
3,^0,5 (v + B0). (2.165)
Формула (2.165) дает хорошее совпадение с точным решением
[16] для М>2 и ро>10°.
В соответствии с уравнением (2.164) имеем 0 = с3—со.
Совместное решение уравнений (2. 163) позволяет найти искомую
функцию г(со):
7-2 = Г2 С : ^^— Г' (2. 166)
° * in2(p)'
k + 1
где
! * sin (v-
X= ^ J 1 / 1= 1; (2.167)
COS («-Эк) V C0s2(03-Pk)
r0 — начальная координата фиксированной линии тока на
образующей фронта скачка уплотнения (см. рис. 2.29).
Из формулы (2.166) следует, что при со—► рк; г—>оо. Этот
результат имеет два смысла: формальный и физический. Первый
обозначает, что любое конечное поперечное сечение конического
потока в случае обтекания полубесконечного конуса должно
выродиться в бесконечное тонкое кольцо, т. е. все поверхности тока
пересекаются с обтекаемым конусом в бесконечности. Второй
определяет условие, при котором конический поток переходит в
плоскопараллельный и указывает, что реально такого перехода не может
быть.
Таким образом, найдена функция изменения радиального
положения образующей фиксированной поверхности тока в зависимости
от угла контрольной конической поверхности в межскачковом
пространстве. Для графического построения граничной поверхности
тока, определяющей потребный расход воздуха через контур
двигателя, достаточно соотношений г(со) и S = г (со) /sin со (см.
рис. 2.29).
Угол наклона образующей контрольной конической поверхности
(со) является независимой переменной. Задаваясь углом со в
пределах pK^tt»^v, строим график г (со). Иногда удобнее иметь два
графика г(Х) и Я(со). Точка пересечения образующих поверхности
тока с образующими контрольной конической поверхности
определяется уравнением S = r sin-1 со, в котором г; со являются уже
известными.
130

Пример. Найти параметры состояния воздуха в межскачковом пространстве
и уравнение образующей поверхности тока, если требуется обеспечить за скачком
уплотнения статическое давление набегающего на конус потока ро=3,55 кГ1см*.
Статическое давление невозмущенного потока ря=1,0 кГ/см2, а величина его
безразмерной скорости 5iH=2(M0=3,16).
При заданном перепаде давлений согласно формуле (2. 149) угол наклона
плоского скачка уплотнения
где к =1,4.
Угол плоского клина, определяющий потребный угол косого скачка
уплотнения, находится по формуле (2. 155):
_J2_ 2
Ро = arc ctg : tg v =
2-22
= arc ctg — —-—--!—: 0,69 = 18°30'.
22(0,692+ '■ I — (1 + 0,692)
V 1 + 1,4/
Угол кругового конуса, обеспечивающий тот же угол наклона образующей
конического фронта скачка уплотнения (2.165) (v = 34°40'):
2 2 '
Безразмерная скорость потока после скачка уплотнения (2. 151)
Ik 1 о \
Х„ sin2 v cos2 v + 11 — X" cos2 v 1
,9 \ k + 1 " )
16-0,32-0,68 -I- (1—4/6-0,68)
4-0,32
= 2,97.
Отсюда Яо= 1,714.
Уравнение изменения безразмерной скорости за скачком уплотнения (2. 167)
имеет вид
I
где
к== + I/ , _j
COS ((О — ^k) ' C0S2 ((О — рк)
1,714+ 1,714-1
cos(26°35' — 18°30')= 1,137.
K^ K0cos (Экр0)=
Подставляя значения постоянных Яет; |3К, получим
? 1,137 ^ / 1,31
"^cos((o — 26°30')+ у cos2((o —26°30') ~
5* 131

Уравнение образующей поверхности тока (2.166)
с
sin ш
/■*=/•;
о
XI — -
где
с =
sin (v —i
1 Л,
sin v
sin(30°40' —18°30') .
~ sin34°40'
Уравнения изменения параметров состояния потока за скачком уплотнения:
— —.1,7142) 2,5=-0,156.
6 /
1 —
k —
3,5
-Г / Х2 М'2,5
o = [l,98(l--)] .
Результаты расчета сведем в табл. 2. 6
Таблица 2.6
X
1,714
1,694
1,685
1,680
1,679
1
1
1
2
г
,00
,150
,390
,078
оо
т
1,00
1,022
1,032
1,038
1,039
Р
1,00
1,079
1,117
1,140
1,143
Q
1,00
1,056
1,081
1,097
1,100
34
32е
30
28е
26
и
40'
00'
'00'
00'
35'
§ 14. ОБТЕКАНИЕ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ПЛОСКОСТЕЙ,
РАСПОЛОЖЕННЫХ ПОД ТУПЫМ УГЛОМ
Полная скорость v безвихревого потока и акустическая
скорость (местная скорость звука vx = \f kgRT) связаны
соотношением v2 = vl +vl (рис. 2.30),
где vr — составляющая скорости вдоль луча-характеристики.
Условие отсутствия вихревого движения rot(v)=0. Для нашего
случая (рис. 2.31) это условие имеет вид
dvr=vxdy. (2.168)
132

Таким образом, поворот вектора акустической скорости ут на
угол Лр вызывает соответствующее приращение величины скорости
потока вдоль луча-характеристики dvr.
Рис. 2. 30.
Рис. 2.31,
Найдем функции у,-(<р); vT (q>); t>(q>). Для плоскопараллельного
потока уравнение сохранения энергии (1. 19)
1-\ = /0 можно записать так:
так как
k—1 k—\ g
Дифференцирование уравнения сохранения энергии приводит
к соотношению
где
vr d v, -f- У1^ vz d v t = 0,
Подставляя в последнее условие вместо dvr его выражение
(2. 168), получим
Повторное дифференцирование дает уравнение
dvr
■+ц
так как
= 0 или
dvr
df
133

Решение этого уравнения имеет вид
*), = *>,„ cos X-i<p, (2.169)
где
Гоо — полная температура потока.
Формула (2. 169) определяет изменение местной скорости звука
в зависимости от угла ф наклона луча-характеристики.
Совместное решение уравнений (2. 169) и (2.168) дает выражение для
составляющей скорости вдоль луча-характеристики
т = а4„ sin -¥-. (2.170)
Полная скорость потока
9 «*a (и 2
v1 =- Ik — cos —
k— 1 \ Лео
откуда безразмерная скорость
k 1
(2Л71)
С другой стороны, для изэнтропического потока (2. 14)
ft—I
где
Роо — полное давление потока;
р — текущее статическое давление потока.
Приравнивая правые части уравнений (2.14); (2.171) и решая
полученные соотношения относительно яь получим
(2. 172)
Из уравнения (2.172)
ср = 0,5Хтеагс cos LA - (£+l)(l - я^
Полагая Я1 = 0, получим предельное значение угла
сроо=0,5лХте, так как arccos(—1) = ;
Для k = 5/4; ср,„-—1,5я = 270°.
134

При cp = t?~; vT = 0; vT = v^=1.«,a*;
Угол поворота потока согласно рис. 2.30 определяется
формулой е = ф—г|>. Найдем связь -ф(ф). Из геометрии рис. 2.30 имеем
В соответствии с уравнениями (2.169), (2.170) отношение
составляющих скоростей
vT , , f
Найденные выше формулы позволяют решить ряд практических
задач. Например, по заданному углу поворота потока (е)
определить параметры его состояния или найти угол раскрытия границ
струи, вытекающей из сопла двигателя при движении ракеты на
весьма больших высотах.
Параметры состояния потока в зоне его расширения
определяются по формулам для изэнтропического процесса расширения
газа (2.11), (2.12), (2.13). Если в начальном сечении скорость
газа сверхзвуковая (Яо>1), то за начальные углы отсчета следует
принять
?о — — arc cos [£ — (&— 1)^];
Поэтому угол поворота сверхзвукового потока Ае = е—е<>,
где ео = фо—ipo-
Уравнение линии тока
Для изэнтропического потока уравнение сохранения вещества
(2.4) имеет вид
При фиксированной ширине свободно расширяющегося потока
начальная Fo и текущая F площади его поперечных сечений
связаны очевидным соотношением (см. рис. 2. 30)
_L^JL^Lt (2.i73)
Fo г о sina0
где г — текущее значение радиуса-вектора фиксированной линии
тока (г0).
135

В функции безразмерной скорости синусы углов Маха
(ао=90°—-фо; а=90°—г|з) соответственно записываются
sin а,
'0-
sina
1 f{ k-\
k + 1
(2. 174)
in a = — |
1-
*+i ; v 2
Для Яо=1 (sinao=l; ao = 90°) согласно уравнению сохранения
вещества (2.4) и формул (2.173), (2.174) имеем
2 t*-1
Х2
В соответствии с уравнением для № (2.171) имеем комплекс
к— 1 /
( 1 -А2 )=
2 ,
= COS2
\
Подставляя найденное выражение комплекса безразмерной
скорости в соотношение для г (к), получим в полярных
координатах искомое уравнение линии тока свободно расширяющегося
потока
xos]/hrif) к '•
Пример. Найти закон расширения стационарного свободного потока при
сохранении начального импульса (рис. 2.32).
Рис. 2. 32.
Приведенное выше классическое решение задачи расширения свободного
потока после схода с твердой стенки, являясь математически строгим, основано,
однако, только на трех уравнениях сохранения:
у2 -j- 2gl = const — энергии;
р
—£■ = const — энтропии;
l
k—\ \*-i
— X2j —вещества.
136

В качестве четвертого уравнения было взято условие безвихревого движения
dvr = vxd<f. Строго говоря, закон расширения v(<f); i|)(cp) и е(ср) был найден с
помощью только двух уравнений (первого и четвертого) второе и третье —
использовалось для вывода формул v(p) и г(ср). При этом уравнение сохранения
импульса потока не использовалось.
Для потока, свободно расширяющегося в пространстве, когда на его пути
нет каких-либо твердых границ, стесняющих его движение, величина начальной
реакции (Ro) в любом произвольном поперечном сечении должна сохраниться
неизменной (см. рис. 2.32):
где
Так как в соответствии с законами сохранения вещества и энергии G = const;
а* = const, то сохранение начального импульса потока можно записать в
безразмерной форме
К cose = Ко,
где
Для критической скорости потока в начальном сечении 5io=l, т. е. на границе
твердой стенки коэффициент реактивности Л*о=1- Поэтому уравнение сохранения
импульса (или механики) приобретает вид A*coss=l.
Легко показать, что общепринятая схема расширения свободного потока
не удовлетворяет уравнению механики.
Вектор К cos s не только непрерывно изменяется по величине, но и меняет
знак своего направления.
Тгк, при ф=ф<» его значение
К cos е = Кх cos — (Ает — 1))
где
is
Для й=5/4;&=7/5 соответственно получим A*ooCosSoo=—Л*<»; Л*<» cos eS—0,65л*«>.
Отсюда следует, что с ростом показателя k, модуль вектора Л* cos e уменьшается.
Если на схему расширения свободного потока, кроме G = const; a*=const
наложить условие Л* cos e=const=A*o, то она совпадает со схемой расширения
газового потока в зоне косого среза цилиндрического насадка (§ 3 гл. II).
Поэтому
1 / i
(2.175)
cos <pj r/ cos' cpi
или
где
137
COS
COS <fi =
n '
COS г
/
+ s
cos
;
cos2
■in ?i
n '
COS E
n
Ко
К '

Текущие значения независимой переменной е ограничены пределами
0< в<8те = агс cos Ко/К™. Предельные отклонения угла потока и его скорости
при Яо=1; ft=5/4 и Ко=1 соответственно будут:
1 1
t — arc cos -ТТ- = arc sin — = 53°;
•^oo ft
sins
COSEoo
где
1
sine = ; cos e =
С увеличением 5io(5\.o>l) предельное значение угла поворота потока (ете)
уменьшается и стремится к нулю. Так, при Л,0=2 (Яо=1,25)- й= 1,25; еоо!»41о30', а для
^о=Яго(/Со=Яте = 5/3), вет = 0°.
В случае, когда расширение потока жестко ограничено, т. е. угол задан
(е<всо), параметры состояния потока определяются по формулам для изэнтропи-
ческого процесса расширения газа (2.11), (2.12), в которых безразмерная
скорость X найдена по уравнению (2. 175) для заданного значения е.
Уравнение линии тока (см. рис. 2.32) вытекает из закона сохранения
вещества (2.4), в котором для плоского движения газа (2.173) при Яо=1:
— = — cos (ф —в) = — sin a.
Найдем связь между углами ср и е.
В соответствии с кинематикой расширения потока (см. рис. 2.32) имеем
Л,
?_Е = ф; —i- = X • Хг = X sin (<p — е); Х. = Х cos (<? — £). (2.176)
d<f
С другой стороны, для безразмерной скорости Х_ справедливо выражение
^=ib (2Л77)
Приравнивая левые части уравнений (2.176) и (2.177), получим
1
cos (ф — е) = —— = sin a
М
или
Подставляя выражения (2.173); (2.174); (2.178) в формулу (2.4), получим
уравнение линии тока
(2.179)
Наибольшая кривизна линии тока будет при Ао=1 н <fi = е. В предель-
, ft + 1 1
ном случае, когда Ко=Коа, т. е. Х^ =- -и <Pi = arc cos -ту— , функция
(2.179) вырождается в уравнение прямой линии г = г^= const.
138

§ 15. УПРОЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ
КЛАССИЧЕСКОГО АРТИЛЛЕРИЙСКОГО ОРУДИЯ
Эта задача — чисто термодинамическая, результатом решения
которой являются параметры состояния пороховых газов в засна-
рядном пространстве и закон движения снаряда по каналу ствола
во время горения и после сгорания порохового заряда.
Точное решение задачи весьма сложно потому, что нельзя
пренебречь инерцией газопороховой смеси в заснарядном
пространстве, так как ее вес соизмерим с весом снаряда. Поэтому без
допущения о ее равномерном распределении вдоль канала ствола,
с одной стороны, и об усреднении давления по длине заснарядного
пространства, с другой, — не представляется возможным получить
аналитическое инженерное решение задачи внутренней баллистики
артиллерийского орудия.
Для динамо-реактивного орудия это (принципиальное
допущение достаточно правдоподобно вследствие большого оттока
пороховых газов через казенную часть в направлении, противоположном
движению снаряда.
Для ствола классического артиллерийского орудия
газопороховая смесь у дна ствола неподвижна, а у дна снаряда движется
с его скоростью. Такое распределение скоростей порождает
градиент давления, приводящий в орудиях с высокой начальной
скоростью снаряда к весьма большой неравномерности давления
вдоль канала ствола.
Кроме того, ускоренное движение ствола, определяемое
разностью сил давления на дно его канала и сопротивления
противооткатных устройств, также влияет на градиент давления в
заснарядном пространстве.
Прежде чем перейти к решению поставленной задачи,
рассмотрим характерные давления в заснарядном пространстве и
установим связь между ними.
Характерные давления в заснарядном пространстве
классического орудия
Вследствие наличия ряда второстепенных работ, производимых
пороховыми газами (преодоление инерции газопороховой массы,
нагрев ствола, вращение снаряда, выталкивание столба воздуха
снарядом из канала ствола, прорыв газов через ведущее
устройство снаряда и его форсирование), во внутренней баллистике
различают три вида давления (рис. 2. 33):
рев. — давление на дно снаряда;
рб ■— баллистическое (среднее) давление пороховых газов
в заснарядном пространстве;
рдн — давление на дно канала ствола.
139

Связь между давлениями на дно канала ствола р№ и
снаряда рсн может быть найдена из следующих дифференциальных
соотношений:
mv't=Spca~уравнение движения снаряда;
<?mv6t==1^P6 — уравнение движения снаряда, записанное через
среднее (баллистическое) давление;
R-}-MV't=SpAa —уравнение движения откатной части с учетом силы
сопротивления откату R;
^6=^ + ^ — скорость изменения длины заснарядного
пространства или скорость снаряда относительно дна
канала ствола;
где M=Qojg — масса откатных- частей орудия;
т—41ё~масса снаряда.
\си
\s
\дн \0 \сн
Рис. 2. 33.
Совместное решение этих соотношений приводит к зависимости
~==/7сн + <7^£2-—г • (2. 180)
Для линейного закона распределения скорости газопороховой
смеси в заснарядном пространстве (см. рис. 2. 33) скорости снаряда
и откатных частей связаны соотношением
■V — -
о
где ц =0,5;
со — вес заряда.
Дифференцируя последнее соотношение и подставляя в
уравнение кинематической связи тело орудия — снаряд, получим
откуда после подстановки v'6 = Sp6\<fm, v't^SpCsjm следует, что
и.=«л ч + " + Qq
SQQ + (1 — (i) ш
(2. 181)
140

Тогда соотношение (2. 180) с учетом зависимости (2.181)
принимает вид
_ Qo Я + ц.01 , (!—(*)"> R
Р™ Рсв q Qo+d-ji).*"1" 00 + (l-rt« S '
При Qo—»oo получим общеизвестную формулу Пиобера jji=—J:
Во внутренней баллистике классического орудия величину
коэффициента фиктивности массы снаряда, учитывающего
второстепенные работы заряда, подсчитывают по приближенной
формуле
<Р = К+4-— • (2Л82)
3 q
В зависимости от калибра и начальной скорости орудия для сна»
рядов с ведущим пояском параметр К находится в пределах
1,02</С<1,05. С уменьшением калибра величина К возрастает и
уменьшается с ростом начальной скорости. При отсутствии
ведущего пояска, т. е. для пуль, имеющих калибр меньше 14,5 мм,
параметр К может достигать весьма большеш значения вследствие
больших тепловых потерь и работы форсирования. Так, для оружия,
калибром менее 7,62 мм, параметр К =1,25—-1,35.
Вследствие ряда допущений, при которых теоретически
вычисляют величину параметра ср, коэффициент \i следует определять
из опыта и рассматривать его как величину нашего незнания.
Теоретический расчет коэффициента фиктивности весьма
сложен. Названные выше второстепенные работы пороховых газов,
определяющие величину ер, затруднительно вычислить не только
иЗ-за нестационарного процесса, но и потому, что значительная
часть этих работ зависит от конструкции и технологии производства
ствола и снаряда.
Расчет скорости снаряда и параметров состояния
пороховых газов в канале ствола
Решение данной задачи, как и задач внутренней баллистики
РДТТ, безоткатного орудия и промежуточной баллистики
классического артиллерийского орудия основано на использовании одних
и тех же фундаментальных законов термодинамики и имеет своей
целью показать общность методического подхода к их решению.
Исходная система дифференциальных уравнений этих задач
в рамках квазистационарного процесса является точной. Однако
решение ее в общем случае возможно только на ЭВЦМ. Получение
решения в виде аналитических выражений для параметров
состояния газа в камере РДТТ или в заснарядном пространстве орудия
141

возможно при некоторых допущениях или -для частного случая
задачи.
В общем случае решение задачи внутренней баллистики этого
орудия является достаточно сложным и, например, изложено
М. С. Гороховым [7] и М. Е. Серебряковым [23].
В частном случае, когда используется баллиститное топливо
(пороха) с постоянной поверхностью горения, решение данной
задачи при некоторых допущениях имеет аналитическую форму. Для
орудий большого калибра трубчатые и ленточные пороха имеют
практически постоянную поверхность горения: 5Г= —■ =const.
Решение поставленной задачи найдем в предположении, что
давление форсирования (ро) снимается мгновенно, горение пороха
подчиняется линейному закону u=Uip, а тепловой обмен между
пороховыми газами и стенками канала ствола является
квазистационарным. Последнее допущение вполне согласуется с трактовкой
М. Е. Серебряковым опытов Мюраура, состоящей в том, что
скорость отвода тепла в окружающую среду прямо пропорциональна
давлению газов.
Период форсирования
В периоде форсирования порох горит в замкнутом объеме, так
как снаряд неподвижен. Параметры состояния пороховых газов
с учетом их теплообмена со стенками камеры определяются
системой уравнений сохранения энергии и вещества
(2. 183)
Так как время нарастания давления от атмосферного ра до
величины давления форсирования достаточно мало, вправе положить
W't зёО. Тогда система уравнений (2.183) сводится к
дифференциальной зависимости
(А-1)Л fQ-^— ^Fn)^d-£-
\ J-, R IWv, p
откуда
ai AQ(1
1 WH Ji\ RQ (o
где Q —калорийность пороха для жидкой воды при
начальной температуре заряда;
ш — вес заряда;
142

WH = WKK начальный свободный объем камеры заря-
8 жания;
WKU — полный объем камеры заряжания;
'к
j = —= I pdt — полный импульс давления;
£к —полное время горения заряда;
1 \
2-^^4 —площадь внутренней поверхности камеры
<^км/ заряжания;
• dKU "~ средний диаметр камеры заряжания;
/км —длина камеры заряжания;
постоянная коэффициента теплоотдачи;
1
кг-град-сек
Т
v=l ^=^0,9 — относительный перепад температур газов и
т стенки камеры;
2е1 — толщина горящего свода зерна пороха.
Количество пороховых газов при давлении форсирования
f «.'=^(е«.<-1). (2.184)
о
Так как
то
со,
ИЛИ
h «1
J
н А-1
Найденная зависимость для сон при гипотезе осреднения
параметров состояния равноценна очевидным соотношениям
Приращение свободного объема камеры к концу периода
форсирования
(2. 185)
где
143

Если вследствие выгорания пороха изменение объема AWn более
10% от начальной его величины, для закона изменения давления
в периоде форсирования следует пользоваться уточненной
формулой, выведенной с учетом скорости горения пороха
где
, AQl
Ръ
При Иср -*- 0; р—> /7аем.
При достижении давления в камере ствола, равного р0, снаряд
приходит в ускоренное движение.
Период дв и жени я снаряда по каналу ствола
при горении заряда
При заданном законе (и = тр) горения заряда параметры
состояния пороховых газов в заснарядном пространстве однозначно
определяются законом сохранения энергии (1.19) и уравнением
движения снаряда. Эта исходная система уравнений имеет вид:
h
-г —а —- р;
(2. 186)
где ср=АГ-| — — коэффициент фиктивности массы снаряда;
3 q
т — масса снаряда;
АГ= 1,02-*-1,05 — коэффициент потерь энергии вследствие
прорыва газов через ведущий поясок снаряда,
вращения снаряда и выталкивания снарядом
воздуха из канала ствола;
Q't — скорость изменения тепла в заснарядном
пространстве вследствие горения заряда и
теплоотдачи от пороховых газов стенкам ствола;
W't — скорость изменения заснарядного объема
вследствие движения снаряда и горения заряда;
144

о/, —весовая скорость прихода газов от горения
заряда;
а — коволюм пороховых газов;
^оз) ^з — начальная и текущая поверхности горения
заряда.
Система дифференциальных уравнений (2.186) может быть
положена в основу и для пороховых зерен с переменной поверхностью
горения (S3#l). В этом случае решение задачи внутренней
баллистики орудия удобнее вести на ЭМУ или на ЭВЦМ, одновременно
отыскивая ее оптимальное решение с конструктивной точки зрения.
В теории внутренней баллистики параметр а до некоторой
степени служит коэффициентом согласования опытных и
теоретических результатов. Величина коволюма а в соответствии с
уравнением состояния реальных газов Ван-дер-Ваальса не может быть
постоянной и зависит от давления. С увеличением давления
величина а убывает. В качестве независимой переменной примем
скорость снаряда (о). Тогда совместное решение уравнений (2.186)
приводит к зависимости
1 5
+(k-\)A —Fp
или
i\(k—\\ AQ — RT\(a\'. = (k—-\\\A— — +
5
(2. 187)
где шг = а>н-)--^-<р/яг> —текущий вес пороховых газов;
SJ\
S—площадь поперечного сечения канала
ствола;
т1 = ш — шн — вес несгоревшего заряда к началу
движения снаряда.
Величина %<^«>,, поэтому в инженерной практике можно допустить
0)1~(И> Хн —1- Величина члена —(1 —ей)—, характеризующая ско-
]х - в
рость изменения свободного объема заснарядного пространства
вследствие выгорания пороха, при интегрировании уравнения
сохранения энергии принята постоянной и равной среднему
значению. Такое упрощение уравнения вполне допустимо, так как
влияние этого члена на общий баланс энергии практически
пренебрежимо мало: -2— <0,03.
bAQ
145

Интегрируя уравнение (2.187), найдем связь между скоростью
снаряда (v) и температурой газов (Т) в заснарядном объеме
в виде обобщенного уравнения Резаля:
k— 1
R S Г Y 2
(2.188)
Необходимый объем канала ствола для обеспечения заданной
скорости снаряда в период горения пороха определяется
интегральным уравнением закона сохранения энергии (1.21)
(* (k-l)AQ,
„„ dt
где
н — начальный свободный объем при давлении
форсирования
Исключая
k— 1
(2.188) из интегрального уравнения, получим
dv
где
—-2ciU — с2
(2.189)
_^_ =2я — средняя величина относительной поверхности охлажде-
5 ния;
/с
п = —-—полная длина ствола в калибрах.
d
В практических расчетах для с^ удобнее иметь формулу
' В SJX
Выполняя интегрирование, получим
g _ С . Рд 1
где
(2. 190)
146

Согласно уравнению (2.188) V\ — скорость снаряда в
полубесконечном стволе (Г—>0).
На основании соотношения (2.190) вправе записать
или
\W0) pW \\-vi
где PW = urRT;
(2. 191)
Функцию скорости ср(о) можно записать через постоянные
следующим образом:
£1 (1=Щ*-*\ (2. 192)
Если известна длина пути снаряда /к к концу горения пороха
или полная длина канала ствола в калибрах (п), то рср
оценивается по формуле
(2. 193)
где /к=е;0,7/д^—путь снаряда к моменту конца горения заряда.
В том случае, когда /к неизвестно, можно принять
l^0)97.
AQb
~ . „ Pep
С физической точки зрения величина учитывает влияние на
AQb
внутреннюю энергию газа изменения свободного объема канала
ствола от выгорания пороха.
На практике при расчете параметров состояния пороховых
газов в заснарядном пространстве, а также скорости снаряда для
артиллерийских орудий малого калибра и в особенности для
стрелкового оружия, где тепловые потери достигают относительно
большой величины, удобнее пользоваться уравнением
где Vi — —г; Vi— -—; fi,2—ci -\-\
147

(£1);
Это уравнение является результатом интегрирования
соотношения Pi, в котором член, учитывающий теплоотдачу —Fр, делится
не на a>rRT, а на величину, ей численно равную pW. Решение задачи
внутренней баллистики в этом случае производится методом
последовательных сближений: вначале решаем ее при р2 = 0(сг=0), а
затем, когда найдено время движения снаряда для его заданного
пути, используем уравнение изменения параметров состояния
пороховых газов при Рг = 4Л (k—1).
fid
Найдем связь между скоростью v и путем / снаряда. Так как
текущий свободный объем заснарядного пространства
SJj
TO
W , . v ' SJrb
где Д = u>jWKU — плотность заряжания^
\z=fji0 — относительный путь снаряда;
/0=——приведенная длина камеры заряжания.
5Д
Подставляя найденное выражение для W/Wo в уравнение
(2.191) и решая его относительно К, получим явную зависимость
пути снаряда от его скорости
-И (l--f)(l + ^J-=-f 0-
Для определения закона изменения давления по длине канала
ствола р(К) следует воспользоваться соотношением
~
148

или согласно уравнениям (2.189); (2.191) и (2.192)
ft
(2. 195)
где
У; = 1— (1— ab)—— — — —У,.
к ' AQb RQ «i l
Зная функции p(v) и К(v), можно построить кривую р{%).
Период движения снаряда
после окончания горения заряда
Скорость снаряда в конце горения заряда (t\)
vu=^-. (2.196)
Подставляя vn в ранее полученные зависимости для W(v, X), K(v)
и p(v), получим объем заснарядного пространства, путь снаряда
и усредненное давление к моменту конца горения:
д .
где
Tj; Pi, Wy, \ — температура, давление, объем заснарядного
пространства и относительный путь снаряда в конце
горения заряда.
После конца горения пороха интегрирование системы уравнений
приводит к соотношению
ту
k—\ k— 1 ' 2cpm ' /? 5 2 /? S '
149

Подставляя найденное выражение для шЦТ в уравнение изменения
С (k-l)AQt
состояния параметров pWk =
получим
pW*=PlW*m (v) = Pl
где
; с=Л(*-1) — /— L; сх = 0,5с;
2 ">*Г. • S2;L+2C^.
«! —I
k-—• 1 <ftn
Используя уравнение состояния pW = u>RT, получим
1
с другой стороны,
■<р/и (с2—и
1 + >• —
— аД
поэтому относительный путь снаряда
-с
— cymv
-1 + ад, (2.198)
где
Давление в заснарядном пространстве р = -—■ .
Если пренебречь теплоотдачей (с = 0; ф1 (t>) = 1), то процесс
изменения параметров состояния будет описываться уравнением
адиабаты Пуассона (1.22). Поэтому
— аД \*
(2. 199)
где q=gm— вес снаряда.
150

Для расчета скорости снаряда после конца горения заряда можно
также использовать формулу
1 k\ q I
являющуюся результатом решения уравнения движения
где dl=ludi;
Инженерная теория истечения газа из канала ствола после
вылета снаряда, так называемая «промежуточная баллистика»,
изложена в § 5 и 8 настоящей главы.
Полученные выше основные расчетные зависимости учитывают
теплопотери через стенки ствола. Поэтому решение задачи
внутренней баллистики должно производиться методом
последовательного сближения результатов. Однако, если теплопотери учесть, как
обычно, в коэффициенте фиктивности массы снаряда ф, то решение
задачи существенно упрощается.
Пример. Найти дульную скорость снаряда и дульное давление для
76-миллиметровой пушки образца 1936 года.
Исходные данные, заимствованные из книги М. Е. Серебрякова [23],
следующие:
WKM== 1,515 дм*; / = 950000 кГ-дм'кг;
S = 0,4692 дм1; а = 0,98 дмЦкг;
/Л = 33,91 дм; Ь = 1,6 кг\дм£;
q = 6,2 кг; 2ei= 1,357 мм;
/>0= 3-104 кГ/дмЧ; £=1,25.
со= 1,08 кг;
дм-сек
Скорость горения щ пороха при р=\ к//<Эм—0,0000074
Определение некоторых постоянных величин
Калорийность
или Q =
ЛОж/з8010 или Q = 890
k — 1 кг кг
Газовая постоянная
кг ■град
при Г1=2750°К (обыкновенный пироксилиновый порох).
Поверхность горения
151

Полный нмпульс давления
ei 0,00078
0,74-10-5
Плотность заряжания
Площадь внутренней поверхности камеры
/=•„=, — = — = — = 7,973
Ad 0,7128-0,76 0,7128-0,76
Свободный объем камеры (начальный)
«о 1,08
н= км— g = . 1,6 '
Приведенная длина камеры
со 1,08
°~ AS ~ 0,7128-0,4692 ~ '
Период форсирования
Величины, характеризующие теплоотдачу,
о = 1 ккал-дм =4270 кГ-djfi
кг-град-сек кг-град-сек
v = 0,9.
Давление в камере заряжания после воспламенения заряда
где
1 ~~ WB Jx \ RQ а
= ^-38-105. 1'<»
0,84 9,15-103 \, 330-89-1,08 / ' сек
Откуда
Количество топлива, сгоревшего в период форсирования (2.184):
<* Ро-Р* 1,08 3-104-100
О)« = — = • = Z.DD • 1U *• KZ
}х аг 9,15-102 1,333-102
(/)а 2 100 KfjdM^).
Приращение свободного объема к концу периода форсирования (2. 185)
<^_ 2,66-10-2
к~ 5 1,6 ~ ' М'
152

Свободный объем к концу периода форсирования
Wo= Wh+AWk = 0,84+0,0166=0,8566 дм3.
Так как Д№„<10% от WB, принятая зависимость для р вполне
удовлетворительна.
Период движения снаряда по каналу ствола
Движение снаряда по каналу ствола может быть разбито на два периода:
— период движения при горении заряда (основной),
— период движения после окончания горения заряда.
Пер.иод движения снаряда при горении заряда
Коэффициент фиктивности массы снаряда (ср) с учетом тепловых потерь
(2. 182)
Активный импульс заряда в конце его горения
SJi 0,47-915 кГ-сек
уа==т_.= __ _ _
Среднее давление в канале ствола (2. 193)
- . 98,1-0,47-9152
^ = ^Г = 2.1,09-6,2-2,9 - 105 КПдМ"'
где /i=0,85/H=29 дм—путь снаряда к моменту конца горения заряда.
Баллистические постоянные орудия (2. 189):
АО 3,8-105
с = 2-^ = 2~ = 19-103 дм/сек;
;а 4со
Рсх> 105
С1=0,5с — (1—а5)—^ = 0,5-19-103 —(1 — 1-1,6)——— =9,6-103 дм'.сек,
оУа 1,6-400
i^ 2X = 3.104.0,86.2.98л =
2 k—\ <?q (1,25—1)1,09-6,2
где Wo=0,86 дм3 — свободный объем камеры заряжания к началу движения
снаряда.
При вычислении постоянных с и Су тепловые потери не учитывались, так как
они вошли в коэффициент <р через К-
Характеристические скорости (2. 190)
c2 = (9,6 +1^9,62 + 2,98) 103=19,3-103 дм/сек,
со 2,98-106
=- т дм'сек-
Показатель функции теплоподвода
с 19-103
vl—v2 19 300+154 ~0>975-
153

Скорость снаряда в конце горения заряда (2. 196)
98,1-0,47.915
""-V" 1,09-6,2
Относительные величины характеристических скоростей
Vi 19 30O и2 —154
Функция теплоподвода
с
1 -^2к У^ /14-40,5X0.975
Функция скорости снаряда (2. 192)
.91.
Cj 2,98
Функция давления и пути
i ' =1,914=13,4.
Давление в канале ствола к концу горения заряда (2. 195)
k=T(l-V2\*-v' 300-53,7
=-——— = Ь30 кГ/сж2.
\ 1 —^1/ ^0,0
Относительный путь снаряда (2. 197)
Период движения снаряда после окончания горения заряда
Полный относительный путь снаряда
!п 33,91
X« = t = l^ = 10'5-
Дульное давление (2. 199)
+Xj —аД\* /1+7,8—1.0,7145/4
J = 63° () 450 ^'^
+ 10,5-1-0,71
154

Дульная скорость снаряда (2.200)
= 47-104; 1/д = 675 ж/сек.
Период последействия выстрела
Коэффициент полного действия пороховых газов на ствол (2. 105)
1300 1300
3 = = S 1,90.
1>д 675
Показатель интенсивности истечения пороховых газов из канала ствола
(2. 104)
b_ SSp, __ 9,81-47-450 2QQ I
О —0,5)m^ (1,9 — 0,5)1,08-675 сек'
Уравнение падения давления в канале ствола (2.97) при р0 = рд
Продолжительность периода последействия
Полный импульс отдачи орудия
i ? + {JM 6,2+1,9-1,08 п„
JB~ vR— 675 = 578 кГ-сек.
§ 16. УПРОЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ
ДИНАМО-РЕАКТИВНОГО ОРУДИЯ
Динамо-реактивное орудие построено на принципе
динамического уравновешивания силы действия выстрела на ствол (Sp№)
реакцией пороховых газов (GJ), вытекающих из заснарядного
пространства через сопловые насадки в направлении, противоположном
движению снаряда (рис. 2. 34)
Sp№=GJ,
где S — шющадь поперечного сечения канала ствола;
Ран~~~давление на дно канала ствола;
Cj = A1F*-^M=- —весовой расход газов через сопла;
К удельный импульс соплового блока орудия;
k F g
y.~-l ——коэффициент влияния атмосферного давления рп;
Sp
FB; F* — площади выходного и критического сечений
соплового блока;
155

2k
Г~Т S^T —скорость газов в критическом сечении соп-
1 ла.
По физическому смыслу параметры р; Т являютоя полным
давлением и температурой пороховых газов на входе в дозвуковую
часть соплового устройства (2.3), (2.4).
Рассмотрим частный случай задачи внутренней баллистики
когда порох имеет постоянную поверхность горения, а давление
форсирования снаряда (в начале его движения) по величине равно
давлению разрушения мембраны (заглушки) сопла. Пороха с
трубчатой (Макаровной) и ленточной формой зерна практически обладают
постоянной поверхностью горения (sr =-^ -const], так как длина
их зерна в несколько десятков раз больше толщины горящего по-
Рис. 2.34.
лусвода (ei). В целях упрощения решения задачи примем, что
давление пороховых газов в заснарядном пространстве постоянно по
длине его'и равно полному давлению. В общем случае при
переменной поверхности горения эта задача не имеет решения в виде
аналитических формул. Очень часто динамо-реактивное орудие
называют безоткатным. Для безоткатного орудия справедливо
интегральное условие равновесия
(?niv=
= Г JGdt;
для полного времени выстрела это условие можно записать так:
где
m=cllg — масса снаряда;
9=^ 1,05 — коэффициент фиктивности массы снаряда,
учитывающий второстепенные работы
пороховых газов;
ю, = | Gdt — вес пороховых газов, вытекающих из ка-
о нала ствола через сопловое устройство в
атмосферу к моменту вылета снаряда;
tA~полное время движения снаряда по каналу
ствола;
^д — дульная скорость снаряда.
156

Коэффициент реактивности /Св сопел можно принять
постоянным, так как за время выстрела избыточное статическое давление
газов в выходном сечении сопел больше нуля. Для расчета /(в
справедливы формулы (2.6), (2.19), (2.21), (2.22), выведенные
применительно к расчету сопел реактивного двигателя. На практике
значения коэффициента /(в реактивности соплового блока динамо-
реактивного орудия находятся в пределах 1,15</Св<1Д В
большинстве случаев величина /Св= 1,25. Эта величина Кв сохранится
неизменной для давления в канале ствола
где
Среднее значение удельного импульса соплового блока орудия
можно выразить через среднюю температуру газов в канале ствола
Для артиллерийских тюрохов при 7(в=1,25; & = 1,25 величина
/ср=200 кГ • сек/кг. Найденное таким образом среднее значение
температуры используем для вычисления энергии, уносимой
пороховыми газами из канала ствола через сопловой блок за 1 сек:
Так как
приходим
где
/ и 1 2 N |
V U + w1
к зависимости
( 2 '
1
Г
}
1 Кс
X2 К\
1
г
)
h
о g<
/г* — .
- ^ср,
2
п 1 2
S
1
lj
Дифференциальное уравнение закона сохранения энергии для
динамо-реактивного орудия .применительно к линейному закону го-
157

рения порохов {и = ихр) с постоянной поверхностью горения имеет
вид
^ pW',, (2.201)
k— 1
где
—скорость изменения тепловой энергии системы вследствие
горения пороха, теплоотдачи стенкам ствола и выброса газов через
сопловой блок;
W't=Sv-\-—- р — скорость изменения объема заснарядного
пространства вследствие движения снаряда и выгорания пороха
о)г — текущий вес пороховых газов в заснарядном пространстве;
Л =4270 кгдм/ккал — механический эквивалент.
По аналогии с терминологией внутренней баллистики
классического артиллерийского орудия назовем:
/1 = -^—импульсом пороха;
ш — весом заряда.
Совместное решение уравнений движения снаряда q>mv't —Sp и
энергии (2.201) приводит к зависимости
Btfpmvt — (<nrRT)'t-\-<?m (-—-) , (2.202)
где
В =Ао{~ —— " Р'У _К" gJcv _L
2 \SJi RQ S SJi bAQ K\ 2x2 AQ
При расчете параметра В2 требуется предварительное значение
величин со; рСр; F/S. В первом приближении их можно оценить по
формулам:
где л —длина канала орудия в калибрах;
Jr= (fmv'1._удельный реактивный импульс, развиваемый сопловым
"^ блоком ствола;
Уа= ч>7П1/д—импульс пороха, снимаемый с одного килограмма за-
Ыа ряда при активном метании снаряда.
158

При баллистическом проектировании орудия дульная скорость
снаряда (уд) известна. Из статистических данных или специальным
расчетом устанавливается вес заряда (соа) для классического
артиллерийского орудия, обеспечивающего ту же дульную скорость
снаряда при одинаковой баллистической длине ствола, что и у
проектируемого динамо-реактивного орудия. После чего
вычисляется вес заряда (со) для динамо-реактивной пушки.
Значение параметра /а в отличие от параметра Jr, величина
которого для данного пороха стабильна, может колебаться в
широких пределах: 500>/а>200 кГ-сек/кг.
С увеличением дульной скорости снаряда (од) параметр /а
резко уменьшается и стремится к величине /а=/г = 200 кГ • сек/кг.
Так, для 76-миллиметрового орудия образца 1936 года
, vmvj, 1,09-6,2-690 ЛЛГ, г ,
J =->■—i-= =440 Kl -сек кг,
а со 9,81-1,08 '
а для 100-миллиметрового орудия образца 1944 года
———— = 280 кГ -сек\кг.
а со 9,81-5,6 '
При дульных скоростях снаряда>1400 м/сек величина/а<!—г»д
g
практически уже равна /г. Поэтому с точки зрения полезного
использования заряда реактивное метание снаряда с большой
скоростью более выгодно чем активное. Для баллистически подобных
орудий (т. е. орудий, имеющих одинаковые значения Л; ■—; Хд;
величина /а стабильна.
Интегрирование уравнения (2.202) приводит к следующему
выражению для текущей внутренней энергии пороховых газов
в заснарядном пространстве:
(2. 203)
wf + Z,
где р0 —давление форсирования;
Wo^( \ (о — начальный свободный объем камеры заряжа-
^ д ь > ния к моменту начала движения снаряда.
Подставляя найденные выше выражения для AQ't и —— в урав-
k— 1
нение процесса изменения состояния (1.21)
J
t ,
(• Vi-l)AQt
at
<»гяг
159

получим, что давление и объем заснарядного пространства связаны
той же по внешнему виду зависимостью, что и для классического
орудия, лишь с той разницей, что постоянные с; сх существенно
меньше их прежнего значения вследствие большого выброса
энергии заряда через сопла:
dv
pWb=p0W\e °
где
с =
2
k — I </q
Если решение задачи построить с учетом коволюма (а), то перед
параметром рср в выражениях для В2 и с появится множитель
(1—аб). Поскольку исходные уравнения (1.21); (2.191)
одинаковы, то все рабочие формулы (2.194); (2.195); (2. 198); (2. 199);
(2.200), полученные для расчета внутренней баллистики
классического артиллерийского орудия, будут справедливы и для динамо-
реактивного.
При этом функции скорости ср(о) и показателя $2 также имеют
прежний вид
£2
"'. ра=4А-^-(А-1). (2.204)
После окончания расчетов, когда будут найдены точные
значения t, со, уд, полученные результаты решения задачи внутренней
баллистики могут быть уточнены. Для этого достаточно повторить
решение этой задачи при новом значении постоянных с; с\. В
последующем сближении результатов решения нет необходимости, так
как при наличии надежной статистики величины со; t для заданной
д>льной скорости снаряда могут быть предварительно достаточно
точно определены.
Изменение давления в канале ствола безоткатного орудия
после вылета снаряда определяется по формуле для классического
артиллерийского орудия (2. 106)
где
В = ^—1 9*.. G =Л (f I 5) ^ fi - *~ЬЛ~ 2(*-!).
2 (Од ' л yf RTA \
160

; ХД = ;
Безоткатное орудие в периоде последействия динамически не будет
уравновешенным, начиная с того момента, когда давление в канале
ствола достигнет величины
*—1
При давлениях ниже этой величины диффузорные части сопел
орудия полностью работать не будут вследствие перерасширения в них
потока пороховых газов, и тело орудия получит импульс назад.
Поэтому в целях снижения импульса отдачи величину
коэффициента реактивности соплового блока орудия Кв иногда
сознательно уменьшают до величины 1,1-4-1,15.
Пример. Для уяснения методики решения задачи внутренней баллистики
безоткатного орудия решим числовой пример для следующих произвольных
исходных данных:
Л) = 300 кГ/см* S =- 0,47 дм?; Д= 0,7 кг/дм*;
ао=6,5 кг; Ож= 890 Кп ; а = 0;
кг
кГ-Ъм%
о = 4270 ; 5 = 1,6 кг/дм3;
кг-град-сек
jcT^ * cpic
R^. 330 дм/г; ./, = 915 ; v = 0,8;
дл&
кГ-сек кГ-сек
ft = l,25; /a^-440-5 ; ;ср = 200-——; Л"в = 1,25
и построим кривые давления и скорости снаряда в функции его пути X для
«д'_= -—- = 6230 дм; сек.
Вес заряда,
и __= Ш*. J'+ Jr = з, 15 кг>
где
„ кГ-сек кГ-сек
/а = 440 ; 1, = 200 .
кг кг
Объем камеры заряжания
6 3058 161

Приведенная длина камеры заряжания
/0=-^=,9,56 дм.
Свободный начальный объем камеры
Wo = WKM (— — —) = 2,54
Среднее давление в канале ствола
д.п~250КГ
см*
Эта величина выбрана малой потому, что порох взят толстосводным, т. е.
с относительно малой поверхностью горения. В действительности толщину свода
зерна пороха (е,) следовало бы уменьшить или соответственно увеличить Д
в (! + ~s~) раз'
Величина параметров
Баллистические постоянные орудия
дм/сек;
3l_
k — \
I Pcp \
с = 2 C!+ =18900 дм/сек.
\ bSJx/
Характеристические скорости
vi=c1 + Vc\+ c2=18 800 дм/сек;
v2 =— <?гМ =— 490 дм/сек.
Относительные значения характеристических скоростей прн f=6230 дм/сек:
5"!= —= 0,334; «2= — =-.— 12,64.
Vi V2
Функция теплоподвода
1 "=^| = 20,4.
с
Показатель функции теплоподвода =0,98.
162

Значение функции скорости
.(») = ■
= 2,20.
Дульное давление в канале ствола
k-l
= 115 к
-
— I--
\
\
V
—
\
.—
\
/
/
Ю0 200 300 kOO 500 BOO
Рис. 2. 35.
р нГ/см1
j
Полный относительный путь снаряда
1
Остальные координаты для построения кривых р(К) и v(X) сведены
в табл. 2. 7 и представлены на рис. 2. 35.
Таблица 2. 7
v м/сек
р кГ[см2
1
100
385
0,35
150
390
0,65
200
360
1,42
300
285
2,78
450
180
6,12
623
115
12,7
§ 17. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ ЧАСТИЧНО
УРАВНОВЕШЕННОГО ОРУДИЯ
В отличие от безоткатного орудия, в котором импульс выстрела
и сила отдачи, действующие на лафет, полностью уравновешены
силой реакции газов, вытекающих через сопловой блок в
направлении, противоположном движению снаряда, в частично
уравновешенном орудии сила отдачи компенсируется не полностью.
163

Иными словами, для частично уравновешенного орудия
справедливы соотношения
п Г Spdi=arJn
где t4 — полное время действия давления пороховых газов на дно
канала ствола.
Величина коэффициента уравновешенности (п) ограничена
пределами 0<п<\. Для классического орудия п = 0, для
динамо-реактивного п= 1.
Обеспечение заданного коэффициента уравновешенности
возможно путем построения орудия по схеме безоткатного орудия
с площадью критических сечений сопел
■ft—1
KBi
+-1
или путем использования для орудия классической схемы дульного
тормоза с конструктивной характеристикой
где 3 = — —коэффициент баллистической эффективности ору-
q Дия;
о 1300
р ~ коэффициент полного действия.
vo
Выбор способа уравновешивания зависит от конкретного случая
и определяется баллистической эффективностью орудия
?__ 1—га
где а<х> — предельно допустимая величина конструктивной
характеристики дульного тормоза.
Величина а<*> зависит от условий эксплуатации орудия,
определяемых зоной безопасности для боевого расчета или для
конструкции самолета,
С уменьшением а«. возрастает угол отвода газов в стороны (ар),
сужая зону безопасности. Для полевых орудий а^—0,4 в
противном случае угол -ф будет более 135° и на местах боевого расчета
избыточное давление может достигнуть недопустимой величины
(0,4 кГ/см2).
1 Кроме этого, при использовании дульного тормоза следует
помнить, что в период движения снаряда по каналу ствола дульный
164

тормоз не работает и поэтому уменьшение импульса отдачи
происходит только в периоде последействия. При а<0 наибольшая
скорость откатной части орудия будет в момент вылета снаряда из
ствола; в периоде последействия скорость их непрерывно
уменьшается, а величина импульса воздействия выстрела на лафет
стремится к предельной
Г — ? + а$Ш т
g
Использование дульного тормоза весьма выгодно для орудий
с высокой дульной скоростью снаряда (уд>1000 м/сек), так как
у этих орудий баллистический параметр Э достаточно велик
(Э>0,5). В орудиях с невысокой начальной скоростью для
снижения импульса отдачи более целесообразно использовать схему
ствола безоткатного орудия. В тех случаях, когда требуется
уменьшение силы отдачи во время движения снаряда по каналу ствола,
используется только схема ствола безоткатного орудия.
Внутренняя баллистика орудия с дульным тормозом рассчитывается по
тем же уравнениям, что и для орудия без дульного тормоза.
Для частично уравновешенного орудия, имеющего схему ствола
безоткатного орудия, задача внутренней баллистики решается так
же, как и для динамо-реактивной пушки.
В этом случае изменяются только формулы для определения
постоянной С] и веса заряда со, которые будут содержать
коэффициент уравновешенности п:
Лр \ (л vo F К"&> gJ n
SJi R~Q ~5~~"х2~Г AQ
nJa +
gJr ' gh
■ <tqvR ^
В целях упрощения решения можно принять а=0, а тепловые
потери учесть приближенно в коэффициенте фиктивности массы
снаряда (2.182) с помощью параметра К:
3 q
где К= 1,05.
Импульс воздействия выстрела на лафет такого орудия подсчи-
тывается по формуле
где
F* — суммарная площадь критических сечений сопел.
165

Для определения реактивного импульса справедлива формула
где
-, 1 РвРа ^ n qq. v 1
Sp
Вычисление Jr и соа производится методом последовательного
сближения результатов. При этом первое значениекоэффициента);
принимают для /г~200 кГ • сек/кг. На практике оказывается
достаточно одного сближения.
§ 18. РАСЧЕТ ЭЖЕКЦИОННОГО УСТРОЙСТВА АРТИЛЛЕРИЙСКОГО
ОРУДИЯ
Эжекционное устройство расположено на дульной части ствола
и предназначается для продувки его канала от пороховых газов.
Ресивер эжекционного устройства наполняется пороховым
газом в период выстрела; затем, после того как давление в ресивере
Рис. 2. 36.
и в канале ствола выравняются, пороховые газы вытекают обратно
в канал ствола через наклонные сопла (рис. 2.36). Клапанное
устройство, перекрывающее наполнительные каналы ресивера,
обеспечивает необходимую продолжительность действия
эжекторов и потребную эффективность продувания.
Период наполнения ресивера
Изменение давления в ресивере согласно закону сохранения
энергии Q/' = Ut +Lt (1.17) описывается дифференциальным
уравнением
р к т к cJ k — \ dt
166

Для надкритического перепада давления приход газов из ствола
в резервуар ресивера
k
Учитывая, что СрГк = RTK; ат = су (см. § 5 гл. II) и W^^^c
получим
kAtF*pK VRTK={k - \yJL.Fp + WPit (2 205)
к
где рк; Тк — давление и температура пороховых газов
в канале ствола;
р — давление в ресивере;
Л,=.1/ ks( 2 У 1 —постоянная расхода;
' \k+l)
W — объем резервуара ресивера;
F* — эквивалентная суммарная площадь
критических сечений клапанов и сопел;
т
v=l — относительный перепад температур;
Тс — температура стенки ресивера;
Т — температура газа в резервуаре.
После разделения переменных получим
dp -=A где a =
apKVRTK-bxP W' ' R
Для периода движения снаряда по каналу ствола на пути от
эжектора до дульного среза / вполне допустимо принять
7К — 0.5SM0.5
2SI
так как средние величины давления и температуры за 'период
движения снаряда по каналу ствола
2о/ (о
где S — площадь поперечного сечения канала ствола; ■ -
/ — расстояние от дульного среза до каналов эжекционного
устройства;
■г;д —дульная скорость снаряда;
WK; ад — объем канала ствола и вес заряда;
v — скорость снаряда по месту эжекционного устройства.
167

Замена истинных значений рк и RTK средними не внесет суще->
ственной ошибки в расчет, так как давление и температура газов
в дульной части канала ствола меняются слабо. После
интегрирования и потенцирования получим закон нарастания давления
в ресивере
р = р„{\-e~bt) + pae->< s/».(l- e~bt), (2.206)
где
Без учета теплоотдачи (ат=0; fri = 0)
p = pa-\rr?'2l, ?2=—, (2.207)
где ра — атмосферное давление.
Для периода последействия в соответствии с формулой (2.61)
текущее значение комплекса будет
где
d—диаметр .поперечного сечения канала ствола;
д)/0—полная длина канала ствола с учетом бутылочности
камеры заряжания;
/0— приведенная длина камеры заряжания;
——степень расширения газов в канале ствола;
'о
/сн— полный путь снаряда в канале ствола.
Подставляя в уравнение (2.205) текущее выражение комплекса
V получим
Откуда
или
р = -^-{е-ы — е-^)-\-pxe-bt, (2.208)
где
a2=kA1F'VWA^-, b= ^~] Л^-v;
168

/7Д; Гд —дульные давления и температура;
dx; d2 — наружные диаметры ствола и ресивера.
Для коэффициента а2 после преобразования можно получить
более удобную формулу
a —b ^£- Рд Ря
nw l0 1 + Ад
где
пР=~=0,015^-0,03;
«w = ^=0,1-ь 0,25.
Без учета теплоотдачи (а = 0; 6 = 0) закон нарастания давления
в ресивере описывается формулой
где
Время конца наполнения ресивера tK определяется пересечением
кривых (2.208); (2.61). Давление рй2, отвечающее этому времени,
будет наибольшим и начальным для продувания канала ствола.
Без учета теплоотдачи
„ _ Р\ + АА> __ Р\+
Р02~ "
. — г-
\р2 1 + пу k
■
Рл
так как
где tm=—In——время падения давления в канале ствола до
Pi Pw величины р02;
169

Если в уравнение (2.208) подставить выражения для tm=
—— ln^- и а2, то для наибольшего давления с учетом теплопотерь
Р Р02
можно получить формулу
где
Для суммарной величины F*, если -фк=90° и г^с>90°, согласно
уравнению (2.114) будет справедлива формула
(2.211)
так как множитель У ( ) вошел в параметр Ах (2.205),
где Fк — наименьшая площадь канала клапана;
F * — суммарная площадь критических сечений сопел;
Фс — угол наклона сопел эжектора относительно оси канала
ствола.
Вес пороховых газов в ресивере в конце его наполнения
К' 02
При lF = const; coo2 = const относительное падение температуры
равно относительному снижению давления Р2/Р02 = T2fTo2- Поэтому
в формуле (2.212) величины параметров р и Т могут быть взяты
с учетом и без учета теплопотерь. Для вычисления параметров RT2
и RTQ2 используют формулы
'2 2 Р2
170

Период продувания канала ствола
В периоде продувания канала ствола давление в ресивере
будет падать согласно уравнению (2. 58)
где
/г
; иО2=А1Гс ==,
wo2 У КТю
р02 — наибольшее давление в ресивере.
дм1''2
При £ = 1,25 параметр Л! = 6,3 .
сек
Полное время продувки канала орудия согласно уравнению
(2.58)
Потребное количество воздуха, обеспечивающее надежное
продувание канала ствола:
">m=1iYb,(1+*«)'oS, (2-213)
где п\= l,3-f-2 — коэффициент надежности продувания;
Yb3=1>29'10~3 кг/дм3 — удельный вес воздуха атмосферы.
С другой стороны, количество воздуха, подсасываемое в канал
ствола:
j
о
где G\ — расход воздуха через казенный срез ствола.
Расход воздуха (Gi) определяется исходной системой
уравнений сохранения:
G1-f-G2 = G3 — вещества; "1
(2.214)
потока. J
Индексы 1, 2, 3 относятся к сечениям, проведенным
соответственно через казенный срез, по месту эжекторов и по месту полного
смешения потоков воздуха и пороховых газов.
В системе уравнений (2.214) параметры G2; h', Rr, h; Ri
известны, а параметры Gf, /3; A,3; G3 являются неизвестными. Для их
определения исходная система должна содержать четыре
уравнения. Величина статического давления потока для дозвукового
течения в канале ствола сохраняется постоянной. Поэтому четвертым
уравнением будет
Р1 = Рг- (2-215)
171

С учетом последнего соотношения уравнение механики приводится
к виду
(2.216)
g s
так как
tfi=—ti + Sa; Яз = — v3 + Sps-
g g
Скорости потока v\t 3 могут быть записаны через его полные
энтальпии
где
J kz
1 о ■
кг-дм
газовая постоянная воздуха;
кг ■град
Га — температура воздуха атмосферы.
Энтальпия смешанного потока
В первом приближении для текущих параметров G2 и /2
справедливы формулы:
(1 Г, р~^\г . J . / р—Ы
и2 — и02е , у2—jQ2e ,
где
Поэтому
где
Введем обозначения
*2
О] ai /j
а2 а/ /2
172

Тогда в соответствии с уравнением механики (2.216)
или
так как
k— \
cos
(2.218)
Фс, где К2 =
h+Kl
= 1,3.
Из уравнения для полной реакции воздушного потока
имеем
где
ft, = 1,4;
(2.219)
/7а — атмосферное давление.
Найденные выражения для Хг и А,з (2.219), (2.218) подставим
в соотношение (2.215), тогда
5Х,
/fe. 1 ч
записанное для дозвукового' течения (A,i<l), когда ( ^2)
\k+l /1,3
Поэтому можно принять V=^3
или
gi
+ •
173

После упрощения имеем
или
(2.220)
Решая уравнение (2.220) относительно сгь получим формулу
для коэффициента эжекции
(alYi -
т)
/
2oiYi-l
где
Расход подсасываемого воздуха согласно уравнению (2.217)
будет
|
h
i/
у L
М
J si
- О2)
(2.221)
где
В уравнении (2.221) имеется Gz(t), поэтому для определения
количества воздуха, прошедшего через канал ствола, строят
кривую Gi(t) или берут величину Gi(t) средней:
г; ° + °
1ср
1,6
где Goi — начальный расход воздуха;
GiK — конечный расход воздуха.
Конечный эффективный расход воздуха
величиной
определяется
где ^ = -
По физическому смыслу G2K является предельным значением
расхода, после которого величина коэффициента реактивности /С2
сопел эжектора начинает уменьшаться вследствие перерасширения
пороховых газов на выходе из них.
174

Время эффективного продувания канала ствола
Вес эжектируемого воздуха, т. е. количество воздуха, вошедшего
в канал ствола через его казенный срез:
<oB,sn,25Glcp/£(M>. (2.223)
«Пример. Найти производительность эжекциоииого устройства для
76-миллиметровой полевой пушки образца 1936 года [23], имеющей следующие данные:
со = 1,08 кг; 5 = 0,47 5^2; q = 6,2 кг;
i/д = 700 м/сек; 10 = 3,23 дм; WKH = 14,8 длё;
1 = 7 дм; v = 665 м1сек; <р=1,09;
^•* = 0,05аж2; /7Д = 370 кГ{см1; Хд=10,3;
d2~-d1 = 0,5 дм; W = idM^.
Период заполнения ресивера
Давление в ресивере в момеит вылета снаряда (2.206) ' '
Pi = />.(!- z~btl) + Р,е-Ы'= 40 кГ1слР,
где
= kAlF*pK V~RTK = 1,25-6,3-0,05-3,94-107= 1,55-10? кг-дм\сек\
300 сек
4W 4-4
F = — — =■" ^ = 32 дм*;
d2 — d1 0,5
b, 80
*=^ = Т = 20 1/Сек;
Л=—^—= 1,025-10-3 сек;
*^! = 2,05-10-2; рае-"' s 1 «Г/сл2.
Без учета теплового обмена с окружающей средой (2.207)
рх = Ръ + Р^1= ] +3,89-104-1,025-10-3= 41
175

Наибольшее давление в ресивере без учета теплопотерь (2. 209)
Pi + nV"kPn. 40 + 0,394-370-1,12
где
П/ = — = — =--0,1064;
Наибольшее давление в ресивере с учетом теплопотерь (2. 210)
РО2 -
где
7=— =0,108; 7г = 0,27; 3j = ———=1,034;
Рк h~b
4e^ = ^e2
d2 — d1 R 4-0,5 300
Суммарная площадь критического сечения сопел (2.211)
где
F* ~ 5 сж2; f * = 4
Время наполнения ресивера
iK=t1 + tm= 1,02-10-3 + 5,48-10—3=, 6,5-Ю-з сек,
где
Коли.чество пороховых газов в ресивере (2.212)
poaW 10 600-4
(йП9 = —. =-0,10 кг,
02 /?Г02 4,25-105
где
176

Закон изменения давления в ресивере при продувании канала ствола (2.58)
где
Gm 2,05
:—= 20 + 1,12 -^— = 43 1/сек;
«02 " > *
=2'05 кг1сек-
Расход подсасываемого воздуха через казенный срез ствола (2.221)
G\ = —;— («2 — °2> +1/ —Гг («2—
: 0,256 (1,55 — G2) + I/ 0,0655(1,55 —
5,66
где
aV
а,
т= -sj— = 0,43; а[ = 330 ж/сек;
а2ср
сР = 505 л/сек; Aj = 1,3;
4,25-105.0,76
^226105
„
(-!
Р V ^2+1 V Ь(1-0ЛЗ-22Г4'43
.— ^ -_
/7 02 Р02 1°6
,;
Р
2,3
cos фс = — 1,25-0,86=1,9;
=1,92+ 1,432 = 5,66;
0256
Начальный расход воздуха при G2—G02 (2.221)
|/о,с
О01 = 0,256(1,55—2,05)+ "|/ 0,0164+ (3'10- 2'°Д)2'05=0,40 кг/сек.
О , UU
177

Конечный эффективный расход пороховых газов (2.222)
I \ ' Т~ 2 I
Р02' \ «2 + 1 /
Конечный эффективный расход воздуха (2. 221)
= oJ^-Y (l-^^X^f =0,56 кг/сек.
|/о,с
(3,10 — 0,56)0,56
<3Ок = 0,256 (1,55 —0,56) + 1 / 0,064 + - . fi = 0,80 кг/сек.
5, DO
Средний расход воздуха
Glcp s 0,67 °01 + °Ок 35 0,80 кг/сек.
Количество воздуха, прошедшего через казенный срез ствола (2.223):
ювз =-- Glcyts = 0,80-3,33-10-2= 25 г,
где
, 1 , Аи 1.43
^ = -—In = —3,33-10—2 сек.
h Р 43
Количество воздуха в объеме канала ствола (2.213)
<">1вз = WkYbs = 14,8-1,29.10-3= 19 г.
Коэффициент надежности продувания канала ствола
п = =1,3.
">1вз
Сравнение величин Got и Gok убеждает в том, что для повышения
надежности продувания канала ствола необходимо снизить начальный расход пороховых
газов из ресивера в канал ствола, т. е. уменьшить площадь критических сечений
сопел (Fc). Дальнейшее увеличение площади Fc неизбежно приведет к
самозапиранию эжекциоиного устройства и подсос воздуха через казенный срез
ствола прекратится, так как статическое давление смешанного потока
превысит атмосферное. •
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамович Г. Н., Прикладная газовая динамика, ГТТИ, 1953.
2. А р ж а н и к о в Н. С, С а д е к о в а Г. С, Аэродинамика больших
скоростей, Высшая школа, 1965.
3. Б а б е н к о К. И. и др., Пространственное обтекание гладких тел, Физ-
матгиз, 1965.
4. Базаров И. П., Термодинамика, Физматгиз, 1961.
5. Б а й - Ш и - И, Введение в теорию течения сжимаемой жидкости,
ИЛ, 19.62.
6. Бетехтин С. А. и др., Газодинамические основы внутренней
баллистики, Оборонгиз, 1957.
7. Бондарюк М. М., Ильяшенко С. М., Прямоточные воздушно-
реактивные двигатели, Оборонгиз, 1958.
8. Борисенко А. И., Газовая динамика двигателей, Оборонгиз, 1962.
9. В и н о г р а д о в Б. С, Прикладная газовая динамика, Университет
дружбы народов им. Патриса Лумумбы, 1965.
10. Герман Р., Сверхзвуковые входные диффузоры, Физматгиз, 1961.
178

11. Гинзбург И. П., Прикладная гидрогазодинамика, ЛГУ, 1958.
12. Дейч М. Е., Техническая газодинамика, Госэнергоиздат, 1953.
13. Жуковский В. С, Техническая термодинамика, ГТТИ, 1952.
14. И р о в Ю. Д. и др., Газодинамические функции, Машиностроение, 1965.
15. Корнер Д., Внутренняя баллистика орудий, ИЛ, 1953.
16. Краснов Н. Ф., Аэродинамика тел вращения, Машиностроение, 1964.
17. Л ан д а у Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, ГТТИ,
1953.
18. Леонтович М. А., Введение в термодинамику, ГТТИ, 1952.
19. Липман В., Рошко А., Элементы газовой динамики, ИЛ, 1960.
20. Л о йця н ск и й Л. Г., Механика жидкости и газа, Физматгиз, 1959.
21. Орлов Б. В., М аз инг Г. Ю., Газодинамические и баллистические
основы проектирования ракетных двигателей на твердом топливе,
Машиностроение, 1964.
22. Садовский В. Г., Основания устройства материальной части
артиллерии, Воениздат, 1956.
23. С е р е б р я к о в М. Е., Внутренняя баллистика ствольных систем и
пороховых ракет, Оборонгиз, 1962.
24. С е р е б р я к о в М. Е., Г р е т е н К- К-, О п п о к о в Г. В., Внутренняя
баллистика, Оборонгиз, 1939.
25. Т о л о ч к о в А. А., Теория лафетов артиллерийских установок, Оборои-
гиз, 1960.
26. Ч арный И. Л., Основы газовой динамики, Гостоптехиздат, 1961.

Глава III
ТЕПЛООБМЕН В РДТТ
Теплообменом или теплопередачей в технике называют
перетекание тепловой энергии от одной физической среды к другой,
вызванное различием, температур этих сред. Интенсивность
теплообмена измеряется количеством тепла, 'передаваемым в единицу
времени через единицу поверхности, нормальной к направлению
распространения тепла, и называется тепловым потоком q.
Теплообмен в РДТТ протекает в условиях высоких температур,
больших скоростей движения газа и относительно высоких
давлений. Совокупность этих факторов, которая в некоторых случаях
дополняется значительным содержанием в продуктах сгорания
топлива твердых частиц, обусловливает высокое значение тепловых
потоков,,направленных от газа к элементам конструкции двигателя.
Интересно сопоставить тепловые потоки в РДТТ с потоками,
наблюдаемыми в других областях теплотехники. Как будет показано
ниже, тепловые потоки в ракетной камере даже при использовании
двухосновных топлив достигают (3-г-10)'106 ккал/м2час, а в
сопле— более 12- 106 ккал/м2час. Это более чем в 100 раз превышает
величину тепловых потоков в топке парового котла и в 10—30 раз
величину тепловых потоков в камере сгорания авиационного
газотурбинного двигателя. В перспективе применение новых топлив
с высокой температурой горения вызовет дальнейшее повышение
уровня тепловых потоков в РДТТ.
Интенсивная передача тепла от газа к элементам конструкции
двигателя может привести к нагреву этих элементов до температур,
при которых резко падает прочность материала. Поэтому выбор
материала конструкции, проведение расчетов на прочность и
изыскание дополнительных мер тепловой защиты немыслимы без учета
температурного состояния элементов конструкции. Отсюда
вытекает первая основная цель изучения теплообмена в РДТТ,
состоящая в определении температурного режима конструкции двигателя.
Вторая цель, преследуемая при изучении теплообмена в РДТТ,
заключается в установлении зависимостей для определения
тепловых потоков, направленных к поверхности горящего заряда.
Величина этих потоков определяет скорость горения твердого топлива.
180

Третья цель сводится к определению тепловых потерь в
двигателе, оказывающих влияние на воспламенение заряда, рабочий
процесс-двигателя и его выходные характеристики.
У двигателей с малым временем работы (от десятых долей
секунды до нескольких секунд) стенки корпуса не успевают
прогреться до высоких температур, и необходимая механическая
прочность корпуса может быть обеспечена утолщением стенок.
В РДТТ с большим временем работы высокие прочностные
характеристики несущей конструкции можно сохранить лишь на-,
дежной изоляцией материала от горячих продуктов сгорания
топлива. Для этого в РДТТ со свободным заполнением всю
внутреннюю поверхность двигателя покрывают теплозащитным
материалом. Функции тепловой защиты в РДТТ со скрепленным зарядом
в значительной степени выполняются самим зарядом. Однако- и
в этом случае участки поверхности, незащищенные топливом,
приходится покрывать теплоизоляционным материалом. К таким
участкам относятся поверхность обоих днищ, сопел, а при
применении щелевых зарядов либо зарядов с коническими торцами
также некоторая часть цилиндрической поверхности корпуса.
Известные в настоящее время теплозащитные покрытия для
РДТТ можно разделить на пассивные и активные.
Пассивные теплозащитные покрытия изготовляют из
материалов, сочетающих высокую температуру плавления (выше
температуры горения топлива То) с низкой температуропроводностью.
Толщина этих покрытий в процессе работы двигателя должна
оставаться неизменной.
При применении активных теплозащитных покрытий
происходит унос массы покрытия, который сопровождается поглощением
значительной доли тепла, подводимого к поверхности покрытия.
Активные покрытия делятся на покрытия с поверхностным и
внутренним уносом массы. Покрытия с поверхностным уносом массы
иногда называют аблирующими покрытиями. Абляция
представляет собой сложный физико-химический процесс, протекающий
на поверхности некоторых материалов при интенсивном подводе
тепла из газового потока. В поверхностном слое покрытия
происходит термическое разложение вещества, переход отдельных
компонентов из твердой фазы в жидкую или газообразную. Это приводит
к ослаблению механической структуры покрытия. Унос материала
с поверхности происходит из-за механического воздействия
газового потока (срезающие аэродинамические усилия, сдувание с
поверхности расплавившегося материала), термических эффектов
(сублимация и испарение). Главной особенностью этого процесса
с точки зрения теплообмена является то, что основная доля
подводимого к стенке тепла расходуется на фазовые превращения и
эндотермические реакции в поверхностном слое. Вследствие этого поток
тепла, отводимого в глубь материала, невелик по сравнению с
теплом, подводимым к стенке. Поверхность аблирующего покрытия
(фронт абляции) непрерывно перемещается в глубь материала,
181

однако подъем температуры, опережающий перемещение самой
поверхности, при достаточной толщине покрытия не успевает
достичь несущего элемента конструкции. На самой поверхности
в процессе абляции температура остается равной температуре
разложения вещества TS<TO.
Покрытия с внутренним уносом массы состоят из жесткого
пористого каркаса и заполняющего поры вещества, которое при
нагреве газифицируется и уносится.
Выбор типа покрытия определяется назначением и устройством
предохраняемого узла конструкции, а также условиями его работы.
§ 1. МЕХАНИЗМ ТЕПЛООБМЕНА В РДТТ
В теплотехнике различают два способа переноса тепла —
соприкосновением и излучением. В первом случае 'предусматривается
непосредственный контакт двух физических сред, имеющих
неодинаковую температуру. Во втором случае передатчиком тепла
является электромагнитное поле,
которое может существовать и в пустоте.
Полное количество тепла,
переданного стенкам двигателя,
рассчитывается как сумма двух независимых
друг от друга слагаемых —
количеств тепла, переданных
соприкосновением и излучением.
Передача тепла
соприкосновением горячего газа с твердым телом
представляет собой сложный
процесс, суммарный эффект которого
определяется двумя простейшими
формами распространения тепла в
газе •— конвекцией и
теплопроводностью. Этот процесс в технике
обычно называют конвективным
теплообменом.
Для того чтобы установить, от каких параметров зависит,
интенсивность конвективного теплообмена в РДТТ, необходимо
рассмотреть явления, протекающие в непосредственной близости от
стенки.
На рис. 3. 1 схематически показано изменение скорости и
температуры газа в поперечном направлении турбулентного потока.
В турбулентном ядре потока эти параметры по сечению потока
меняются мало. Вблизи стенки силы вязкости в газовом потоке
становятся соизмеримыми с инерционными силами, вследствие чего
наблюдается резкое падение скорости вплоть до нулевого значения
на самой поверхности. Зона, внутри которой происходят изменения
параметров потока из-за проявления сил вязкости, называется
182
Рис. 3. 1.

динамическим пограничным слоем. Строго говоря, тормозящее
влияние стенки должно проявляться на любом от нее расстоянии,
асимптотически стремясь к нулю при удалении в бесконечность.
Тем не менее, без особой погрешности можно принять, что действие
сил вязкости ограничивается пограничным слоем, за пределами
которого в турбулентном ядре потока течение остается
потенциальным.
За толщину динамического пограничного слоя условно
принимают расстояние от стенки, на котором скорость составляет 99%
от скорости в ядре потока. Толщина динамического слоя Ь„
возрастает вниз по течению.
Для ламинарного слоя на плоской пластине bv/x ~ I/ ]/Re, для
турбулентного слоя bjx ~ I/Re0'2, где Re = vt/v — критерий Рей-
нольдса, характеризующий соотношение сил инерции и вязкости
в потоке жидкости.
Зону, в пределах которой температура потока меняется от ее
значения в ядре потока до температуры поверхности стенки,
назовем тепловым пограничным слоем (бт).
В общем случае толщина динамического и теплового
пограничных слоев различна. Однако для продуктов сгорания твердого
топлива, как будет показано далее, выполняются условия, при
которых dv и 6Т практически равны.
В пограничном слое, образующемся при обтекании поверхности
твердого тела турбулентным потоком, различают турбулентный
слой и ламинарный подслой, прилегающий к поверхности.
Рассмотрим механизм переноса тепла от ядра потока к стенке
двигателя. Современные теории теплообмена основаны на
предположении о единстве процессов переноса тепла и количества
движения. В турбулентном слое передача тепла к стенке осуществляется
перемещении отдельных макроэлементов газа, которые, попадая
в слои с более низкой энтальпией и ассимилируясь, отдают им
свое тепло. На место частиц, переместившихся к периферии, из
ядра потока непрерывно поступают новые с более высокой
энтальпией.
В ламинарном подслое решающую роль в передаче тепла
к стенке играет теплопроводность газа. Теплопроводность
представляет собой процесс распространения тепла путем
непосредственного воздействия молекул, обладающих большей кинетической
энергией, на молекулы с меньшей кинетической энергией. В газе
этот процесс осуществляется при столкновении молекул, в
твердых веществах — при действии упругих сил сцепления между
атомами. Таким образом, при теплопроводности передача тепла
в среде происходит без перемещения самого вещества этой среды.
Роль теплопроводности в суммарном эффекте теплоотдачи
возрастает по мере приближения к стенке. У самой стенки, где скорость
газа стремится к нулю, конвекция полностью исключается и
перенос тепла осуществляется только теплопроводностью газа.
183

Величина удельного теплового потока для одномерного
процесса теплопроводности определяется зависимостью
д=-^, (3.1)
дх
где К — коэффициент теплопроводности газа, равный количеству
тепла, передаваемому в единицу времени через единицу
поверхности при перепаде температуры на единицу длины нормали к этой
поверхности в один градус.
Как следует из уравнения (3. 1), передача тепла к стенке
возможна лишь при отрицательном перепаде температур в
пристеночном слое. Так как газ обладает малой теплопроводностью, при
больших тепловых потоках этот перепад должен быть очень боль»
шим. Очевидно, влияние стенки будет проявляться в пределах зоны,
для которой эффект теплопроводности по меньшей мере соизмерим
с конвективной передачей тепла — переносом горячих вихрей газа.
Это позволяет уточнить определение теплового пограничного слоя,
как слоя, за пределами которого переносом тепла посредством
теплопроводности можно пренебречь.
В зависимости от причин, вызывающих движение газового
потока, различают движение свободное и вынужденное, а в
соответствии с этим, рассматривая сопутствующий этому движению
конвективный теплообмен, различают конвекцию свободную и
вынужденную. Движение газа называется свободным, если оно
обусловлено неоднородностью плотностей из-за разности температур газа
при отдаче тепла стенке. Движение газа называется вынужденным,
если оно обусловлено причинами, не связанными с местным
переносом тепла, например, если оно вызывается перепадом давлений
по длине двигателя.
В РДТТ свободная конвекция может иметь место в застойной
зоне у переднего днища двигателя, где вынужденное движение газа
почти отсутствует. Она может проявляться в предсопловом объеме
при горении торцового заряда с малой линейной скоростью, когда
средняя скорость движения газа в камере мала. В обоих случаях
газ, охлаждаясь при соприкосновении со стенкой, имеющей
относительно низкую температуру, становится более тяжелым.
Вследствие этого он перемещается вниз, а место у стенки занимает более
горячий газ. Для перемещения слоев газа с различной плотностью
необходима массовая сила любого происхождения. В стендовых
условиях перемещение газа будет определяться действием силы
тяжести. В условиях полета определяющими станут силы инерции,
связанные с ускорениями ракеты /.
Вынужденная конвекция играет основную роль в теплопередаче,
везде, где газовый поток движется с большой скоростью (ракетная
камера, сопло). При наложении движений газа, вызванных
перепадом давлений и разностью плотностей, получается сложное
движение, скорость которого не равна сумме скоростей исходных ви-
184

дов движения. Отсюда следует, что сложный конвективный
теплообмен не может обладать свойством аддитивности но отношению
к обусловливающим его простейшим формам. На практике при
расчетах обычно оценивают интенсивность обоих видов конвекции
и менее интенсивным — полностью пренебрегают.
Удельный тепловой поток, подводимый из газовой среды к
поверхности твердого тела, обычно представляют в форме,
предложенной Ньютоном:
д = а{Т0-Тел\ (3.2)
где Го — температура газа;
Гс.в — температура поверхности;
а — коэффициент теплоотдачи, рассчитываемый как сумма
коэффициентов конвективной и радиационной
(лучистой) теплоотдачи а = сщ+;ал.
Теплообмен между продуктами сгорания твердого ракетного
топлива и внутренней поверхностью двигателя отличается большим
разнообразием условий и определяющих параметров. В
соответствии с преобладанием в механизме теплообмена тех или иных
факторов внутренний объем РДТТ можно условно разделить на
несколько зон:
1. Зона осевого движения газа в зазорах между цилиндрической
поверхностью корпуса и зарядом, которая охватывает всю
цилиндрическую часть камеры при использовании зарядов, горящих по
боковой поверхности (заряды из одноканальных цилиндрических и
эллиптических шашек, из бесканальных шашек цилиндрической,
крестообразной и многолепестковой формы и т. д.), а также может
появиться в виде отдельных участков у некоторых форм
скрепленных зарядов (участок щелей у щелевого заряда, участок
конической поверхности у заряда с обгорающим коническим торцом
и т. д.). Эта зона характеризуется большими скоростями движения
газового потока в начальный период с постепенным их
уменьшением в процессе горения заряда по мере увеличения проходных
сечений. Преобладающим фактором теплопередачи является
вынужденная конвекция. Интенсивность теплопередачи возрастает
в направлении движения газа с ростом весового расхода. Высокие
тепловые потоки сочетаются с относительно высоким скоростным
напором, обусловливающим механическое воздействие потока на
поверхность корпуса.
2. Объем, заполненный газами, между передними днищем и
торцом заряда характеризуется беспорядочным вихревь м движением
газа. В двигателях со свободным заполнением и при скрепленных
зарядах с горящим передним торцом это движение будет
определяться перетеканием газа из одной области горения в другую. У
зарядов с бронированным торцом объем представляет собой застой-
185

ную зону. Преобладающими факторами теплопередачи является
свободная конвекция и излучение, а тепловые потоки сравнительно
невелики.
3. Предсопловой объем. В нем имеют место завихрения,
вызванные внезапным расширением потока газа на выходе из полости
заряда в объем с большим свободным сечением. В случае много-
сопловой конструкции поток ударяется в поверхность днища и
растекается по нему, распределяясь между отдельными соплами. Та- ■
ким образом, поверхность днища и камеры омывается
беспорядочными вихрями и направленными потоками, движущимися в
различных направлениях с относительно высокой скоростью.
Основным фактором теплоотдачи остается вынужденная конвекция.
В двигателях больших размеров в предсопловом объеме
значительную роль играет теплоотдача излучением.
4. Область критического сечения и выходной раструб сопла.
Сопло ракетного двигателя является наиболее теплонапряженным
элементом его конструкции с преобладанием конвективного
теплообмена. Наибольшие тепловые потоки имеют место в области
критического сечения. Интенсивный нагрев поверхности дополняется
динамическим воздействием газа, движущегося со скоростями,
близкими к скорости звука (горловина сопла) либо
превышающими ее (выходной раструб), а также абразивным действием
твердых частиц.
5. Коммуникации горячего газа, используемого во
вспомогательных агрегатах ракеты (силовые приводы, устройства для
вдува горячего газа в сверхзвуковую часть сопла, узлы огневой
связи в пакетах двигателей и т. д.). Своеобразие условий
теплообмена в таких коммуникациях, зависимость параметров
теплообмена от конструкции и режима работы бортовых исполнительных,
механизмов заставляют эту область отнести к курсу
проектирования вспомогательных агрегатов ракеты.
Роль отдельных областей меняется в зависимости от
конструкции двигателя; в ряде случаев некоторые из них могут выпадать
вообще. Например, при использовании зарядов, горящих только
с канала, будет отсутствовать первая область и т. д.
§ 2. ПЕРЕДАЧА ТЕПЛА ОТ ГАЗА К СТЕНКЕ ДВИГАТЕЛЯ КОНВЕКЦИЕЙ
Расчетные методы определения коэффициента конвективной
теплоотдачи основаны на использовании теплового подобия.
Критериями теплового подобия при конвективном теплообмене
являются:
Nu = критерий Нуссельта, представляющий собой безраз-
х мерный коэффициент теплоотдачи;
Re = критерий Рейнольдса, характеризующий соотношение
v
v сил инерции и вязкости в потоке газа;
186

Pr=— -критерий Прандтля, характеризующий теплофизиче-
* ские свойства газа и являющийся мерой сравнения
переноса количества движения и тепла;
Gr=— критерий Грасгофа, характеризующий условие свобод-
у2Т° ной конвекции.
Иногда вместо критерия Нуссельта используют критерий Стан-
п Nu
тона Сн = .
RePr
В теории конвективного теплообмена используют
критериальные зависимости, полученные при экспериментальном изучении
этого процесса:
а) при вынужденной конвекции
Nu = CiRe"Prm;
б) при свободной конвекции
Nu=c2Gr"Prm,
где с, п и т — постоянные безразмерные числа.
В критериях подобия за определяющий размер d принимают
размер, который играет решающую роль в процессе теплообмена.
В качестве определяющей температуры, при которой берутся
теплофизические параметры газа К, ср, у, v, обычно принимают
температуру, легко определяемую из общего термодинамического
решения, например, температуру ядра потока.
В теплотехнике наиболее полно изучены условия конвективной
теплоотдачи в гладких трубах круглого сечения. Для случая
развитого турбулентного течения в длинной трубе наиболее часто
используют эмпирическую зависимость Крауссольда
Ntttf = 0,023 Re0-8 Pr0-4. (3.3)
Здесь в качестве определяющего размера принят . диаметр
трубы, а все свойства газа отнесены к средней температуре потока
' опр= 2 '
При использовании критерия Стантона формула (3.3)
принимает вид
Сн = 0,023 Re-°'2Pi-0'6.
Экспериментальная проверка зависимости (3.3) в условиях
камер сгорания ЖРД, несмотря на отличие от условий, при которых
она была получена, дала положительные результаты [17].
Зависимость (3.3) позволяет с достаточной точностью оценить
теплоотдачу в сопле и горловине сопла, если радиус кривизны контура
в продольном направлении равен либо более диаметра сопла [31].
• 187

Однако при этом определяющую температуру рассчитывают
по формуле
7Vnp = Тс.в + 0,23 (Го -Гс.в) + 0,19(7-00-7^),
где Гоо — температура торможения. При определении теплового
потока к стенке в формуле (3.2) в качестве температуры газа
также используют температуру торможения.
Советскими учеными А. А. Гухманом и Н. В. Илюхиным
предложены зависимости для случая, когда скорость газа близка к
скорости звука
Nu^O,O162RerPro'82(r00/rc.B)°.«8, (3.4)
где физические константы газа определяются при
термодинамической температуре, а сжимаемость газа учитывается последним
сомножителем.
Экспериментальное определение локального коэффициента
теплоотдачи при течении сжимаемого газа в гладких трубах для
широкого диапазона скоростей (М = 0,5—4,0) и относительных
длин канала (x/d=l—27) было проведено Б. С. Петуховым и
В. В. Кирилловым [30]. В результате обобщения опытных данных
была предложена зависимость
Nud = 0,044s Ref3 Рг0'43 [т (X)]0'33, (3. 5)
где в качестве определяющего размера принят диаметр канала,
а за определяющую температуру — средняя температура по
сечению потока. Здесь
s=l,3(x/fif)-°.12 при x/d<10;
е = 1 при x/d>10.
Для случая, когда в качестве определяющего размера
используется расстояние от входа в канал до данного сечения,
предлагается зависимость
N4^ = 0,034 Re°'77 Рго>43[т (X)]0'33 (xjdf06. (3.6)
При этом в качестве определяющей температуры принята
температура ядра потока. В обоих случаях местный коэффициент
теплоотдачи относится к разности температур стенки и
торможения.
Коэффициент конвективной теплоотдачи при обтекании
турбулентным потоком плоской пластины обычно рассчитывается по
формуле Эккерта
Nu,=0,036Re°'8Pr0'33, (3.7)
где за определяющий размер принято расстояние от переднего края
пластины.
188

Согласно литературным данным [31] зависимость (3. 7) хорошо
согласуется с экспериментом для сверхзвуковой части сопла при
с = 0,025—0,028. Определяющая температура и тепловой поток
рассчитываются как и для дозвуковой части сопла.
В иностранной литературе в последнее время для расчета
местных коэффициентов теплоотдачи в РДТТ часто используется
формула Дейви [52]:
Nud = 0,036 Re0/ Pr0'4 {x\d)~^ (Г00/Гс,)°д8. (3.8)
Здесь влияние начального участка канала учитывается
поправочным сомножителем, в который входит расстояние х от входа
в канал до данного сечения. Последний сомножитель формулы
учитывает влияние сжимаемости.
Приведенные выше эмпирические формулы свидетельствуют
о большом разнообразии выбора определяющей температуры, что,
р свою очередь, обусловливает и разнообразие коэффициентов
правой части, меняющихся от 0,023 до 0,044. Поскольку для газа
критерий Прандтля обычно близок к 1, выбор степени, в которую
возводится этот критерий, мало сказывается на результатах.
Решающую роль при вычислении Nu играет критерий Рейнольдса,
в отношении которого всеми исследователями проявляется полная
согласованность: в зависимостях (3.3); (3.7); (3.8) он равен 0,8;
в зависимостях (3.4); (3.5); (3.6) имеет значение, очень
близкое к 0,8.
В дальнейшем в своих выкладках мы будем пользоваться
формулой (3.3) как наиболее распространенной, что, очевидно, не
должно повлиять на общность получаемых выводов и рекомендаций.
Зависимости, полученные из экспериментов в круглых трубах,
широко используются при расчетах теплоотдачи в трубах
некруглого поперечного сечения. При этом переход к новым условиям
осуществляется введением в расчетные зависимости
эквивалентного гидравлического диаметра. Такой путь оказывается
единственно возможным -при расчете коэффициента теплоотдачи для зоны
осевого движения газа, где сечение газового потока между зарядом
и поверхностью камеры имеет сложную конфигурацию.
Решая уравнение (3.3) относительно коэффициента
теплоотдачи, получим
или
_ 0,023 (yvfs X ,-„■ .
"к— ^0,8 rf0,2 ^0,8^ \ ) ' ( '
Формула (3.9) представляет в явном виде зависимость ак от
различных факторов. Выделим параметры К, ц, ср, определяемые
составом и температурой сгорания твердого топлива. Заметим, что
189

критерий Прандтля в зависимости от состава газа меняется в
узких пределах. Для воздуха Рг = 0,72, для продуктов сгорания
твердого топлива значение Рг приближается к единице. Для продуктов
сгорания топлива типа JPN Уимпресс [39] указывает значение
Рг = 0,74. Для топлива заданного состава совокупность
рассматриваемых параметров представляет постоянную величину
Так, например, для топлива JPN, продукты сгорания которого
имеют при температуре горения коэффициент теплопроводности
Л,=0,14 ккал/м -час0 С и коэффициент вязкости |д,= 6,65 • 10~6/сГХ
Хсек/м2, при Рг = 0,74 получаем i<T = 6,44. Для других топлив
уточнение значения Кт может быть проведено на основании расчетных
значений К и ц. Формула (3.9) указывает на основной фактор,
определяющий величину ак. Таковым является удельный весовой
расход G — yv, т. е. весовой расход газа, отнесенный к единице
площади 'Проходного сечения двигателя.
Если площадь для свободного прохода газа между стенками
камеры и зарядом сохраняется по длине заряда постоянной,
величина G нарастает пропорционально расстоянию от верхнего торца
заряда. Максимального значения G достигает в сечении у торца
заряда, обращенного к соплу, где величина ак для условий камеры
будет максимальной. За нижним сечением заряда расход газа
остается постоянным и удельный весовой расход изменяется
обратно.пропорционально площади проходного сечения
где G* — удельный весовой расход в критическом сечении сопла,
равный
EEl
2 \fe-i ро
/
Заметим, что характерный размер, входящий в критериальную
зависимость, так называемый эффективный тепловой диаметр
канала, зависит от конфигурации проходного сечения. Выразим эту
зависимость следующим образом:
d=DF.
Так, например, для кольцевого прохода между одношашечньш
цилиндрическим зарядом и камерой можно согласно общим
рекомендациям гидравлики принять »
П '
190

где П — смоченный периметр камеры и шашки. Следовательно,
в этом случае
~~rf"
Для сечения камеры, свободного от заряда:
Хотя для заряда сложной формы не всегда представляется
возможным указать точное значение D, использование его
приближенного значения не должно приводить к существенным ошибкам при
определении ак, так как величина d входит в формулу (3. 9) в
степени 0,2.
Возвращаясь к исходной зависимости (3.9), получим
0'8
Н 10,4 р0'8 IF* \0.8
l
или, вводя обозначение
ft 4-1
получим
/С*ХП\ (3.10)
Формула (3. 10) справедлива также для нижнего крайнего
сечения заряда. Для него по мере выгорания заряда будет возрастать
площадь свободного прохода, а вместе с этим непрерывно падать
величина ак. Таким образом, если рассматривать сечения камеры
на участке заряда, для них коэффициент ак будет изменяться по
длине и во времени. При оценке температурного состояния
конструкции нас в 'первую очередь будет интересовать нагрев
элементов, подвергающихся воздействию максимальных тепловых
потоков. Для камеры расчетное сечение совпадает с нижним сечением
заряда.
Рассмотрим возможности определения ак для соплового днища.
Если контур соплового днища представляет собой плавный переход
от сечения камеры к критическому сечению сопла, определение
локального коэффициента конвективной теплоотдачи для каждого
сечения может быть выполнено по рассмотренным выше
зависимостям. При этом, как показывают экспериментальные данные
[31], обеспечивается удовлетворительная сходимость расчета с
экспериментом, за исключением узкой области непосредственно перед
критическим сечением сопла,
191

Расчетное определение коэффициента конвективной
теплоотдачи для поверхности днища многосопловой конструкции
оказывается затруднительным, ввиду того, что теплообмен при ударе
струй по нормали к поверхности является малоизученной областью
теплотехники. Известны лишь отдельные экспериментальные
работы, посвященные этому вопросу [43], [53]. Результаты, полученные
для чисел Re=103—104, свидетельствуют о том, что как локальные,
так и средние коэффициенты конвективной теплоотдачи для
поверхности, нормальной к струе, могут определяться на основании
зависимостей (3.3) и (3.7). При этом число Re рассчитывается по
диаметру выходного сечения струи и по параметрам газа в этом
сечении. Получаемое при этом значение коэффициента теплоотдачи
несколько ниже (на 10—15%) экспериментального. Сведения об
исследованиях при Re=105—10s отсутствуют. Как показывают
экспериментальные данные, коэффициент ак с удалением
выходного сечения канала от экрана (x/d<.6) меняется настолько слабо,
что эту зависимость можно не учитывать. На основании
изложенного приближенный расчет ак для многосоплового днища можно
проводить по рассмотренным ранее зависимостям для канала с
подстановкой параметров газа в конечном сечении канала и с
последующим умножением полученного результата на коэффициент 1,2.
В двигателе наибольшего значения коэффициент ак достигает
в критическом сечении сопла, для которого при F — F*
• D0'8
а =/С р
В рассмотренных выше зависимостях сильное влияние на
величину ак оказывает рабочее давление в двигателе. Это нашло
отражение в методике расчета индикаторной кривой давления, где
величина тепловых потерь связана с давлением коэффициентом а,
пропорциональным давлению или весовой плотности газа. В
настоящее время за рубежом в связи с переходом на смесевые топлива
наметилась тенденция к снижению уровня рабочих давлений
в РДТТ. Это само по себе должно было бы способствовать
снижению тепловых потоков к стенке двигателя, если бы не высокие
температуры горения новых топлив, превышающие в некоторых
случаях 3400° С.
Рассмотрим в общих чертах определение коэффициента при
свободной конвекции, что может представлять интерес для
некоторых случаев проектирования узлов РДТТ. Согласно
экспериментальным данным Барского и Зельдовича [2], Тодеса и Карандина
[37] условиям свободной конвекции в цилиндрическом сосуде
отвечает критериальная зависимость
192

откуда
„ PgRTn
Подставив значение v=——-, получим
Ро
V/
а —0 327) V/ ^- — —^~
Заметим, что в отношении
ьт ==то—тСш1, = 1 тс.в
То То То
величина Тс.в/Т0, значительно меньшая единицы, находясь под
корнем четвертой степени, очень мало влияет на величину ак.
Принимая АТ/Т0= 1, получим
При горении ракетных топлив с добавками металлов
образуются окислы, составляющие твердую фазу, весовое содержание
которой в продуктах сгорания может достигать 15—20%. При
наличии в потоке большого количества твердых частиц размером
~5 мкм [11] интенсивность конвективного теплообмена возрастает.
Как полагают некоторые исследователи [8], вследствие высокой
интенсивности межфазового теплообмена температурный градиент
в ядре потока с твердыми частицами практически отсутствует.
Кроме того, турбулизирующее воздействие частиц, постоянно
вторгающихся в 'пристенную область, препятствует образованию
развитого ламинарного подслоя. Передача тепла в пограничной
пристенной зоне осуществляется в основном теплопроводностью. При этом
передача тепла к стенке лимитируется не толщиной ламинарного
подслоя, как в случае гомогенного потока, а толщиной тонких
газовых прослоек между стенкой и ближайшими к ней частицами. Сами
частицы, поскольку теплопроводность их материала на один-два
порядка выше теплопроводности газа, выполняют роль
своеобразных тепловых мостиков.
В настоящее время механизм теплообмена в двухфазном
потоке изучен слабо, отсутствуют строго обоснованные инженерные
зависимости, позволяющие производить точные расчеты
конвективного теплообмена с учетом влияния твердой фазы.
7 3058 193

Приведем одну из приближенных зависимостей, позволяющих
оценить коэффициент конвективной теплоотдачи при наличии
твердых частиц [8]:
NuT = Nur (1 + ^ ~ р)ол (1 - ft1-12 (±t^J£
\ 1 + Р-в
В ,
где ft,=——- Y-r/Y — весовая концентрация твердых частиц;
1—р
р —объемная концентрация твердых частиц;
гт — удельная теплоемкость материала твердой
фазы;
YT — весовая плотность материала частиц.
§ 3. ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В РДТТ
Рассмотрим расчет теплового потока, обусловленного
излучением газообразных продуктов сгорания. Известно, что двухатомные
газы практически прозрачны для теплового излучения. Однако
трехатомные и многоатомные газы при высоких температурах
обладают достаточно высокой интенсивностью излучения. Излучение
газовой фазы продуктов сгорания твердых топлив обусловлено
в первую очередь содержанием в них водяных паров и углекислого
газа.
Газ, в отличие от твердых тел, излучает тепло не во всем
диапазоне длин волн, а селективно — только в определенных узких
областях спектра. Так, например, спектр излучения углекислоты
состоит из ряда полос, среди которых можно выделить три,
наиболее интенсивные полосы, учитываемые в теплотехнических
расчетах.
Второй отличительной особенностью излучения газа является
объемный характер излучения. Это сказывается на эффективной
степени черноты газа, определяемой, как и для твердых тел,
сопоставлением интенсивности излучения газа с интенсивностью
излучения черного тела при той же температуре. Степень черноты
чистого газа связана с толщиной слоя газа зависимостью
где кя — коэффициент ослабления луча в слое. С увеличением
толщины газового слоя степень черноты возрастает, стремясь
к единице при х—*оо. Коэффициент ослабления луча в слое
пропорционален числу молекул на единицу пути луча в слое, а
следовательно, зависит от давления газа
ч=\-е-п*р$, (3.11)
где k\ — монохроматический коэффициент ослабления луча,
приведенный к 1 ат и отражающий, кроме того,
температурное состояние газа;
5 — эффективная толщина излучающего слоя.
194

Зависимость (3. 11) симметрична относительно р и 5, т. е.
влияние этих двух параметров равнозначно.
Законы излучения тепла газами НгО и СО2 в настоящее время
для низких давлений изучены достаточно подробно. На основании
опытных данных Хоттелем, Шмидтом и Эккертом построены номо-
грам|мы для определения величин есо2 и ен;0 в функции от pS и
от Го [19]. При использовании номограмм в качестве р необходимо
брать парциальное давление газа в смеси. Поскольку излучатель-
ная способность смеси двух газов меньше суммы излучательных
способностей каждого из них в отдельности, составлены таблицы
поправок Ае. Степень черноты смеси газа определяется как
В Советском Союзе А. М. Гурвичем и его сотрудниками [9]
была разработана новая методика, позволяющая определять
степень черноты дымовых газов в один прием:
где &г—коэффициент ослабления, отнесенный к суммарному
излучению СО2 и Н2О;
Для вычисления kv рекомендуется [9] эмпирическая формула
^Рт=:_01\ Л _ о,37^). (3. 12)
Заметим, что исходные экспериментальные данные, по которым
составлены графики и зависимости для определения эффективной
степени черноты газа, получены для условий излучения в печах и
котельных установках и соответствуют низким температурам
(до 1500—1800° С) и давлениям (1 кГ/см2), которые не отражают
условий РДТТ. Хоттель предложил учитывать влияние высоких
давлений на излучение СО2 и Н2О поправочным коэффициентом,
значения которого приведены в работе [36]. Экстраполяция
имеющихся данных в область высоких температур и давлений позволяет
для условий РДТТ производить расчеты ориентировочного
характера.
Некоторые затруднения возникают при определении
эффективной толщины излучающего слоя S для условий РДТТ. Само
понятие эффективной толщины 5 отражает особенности излучения
ограниченного со всех сторон газового объема. Значения 5 для
некоторых простейших геометрических форм, приближающихся к
геометрии газового объема в РДТТ, приведены в табл. 3. 1.
Для продуктов сгорания современных ракетных топлив
характерно высокое содержание конденсированной фазы. К сожалению,
в настоящее время в литературе неизвестны экспериментальные
материалы по излучению конденсированной фазы в условиях
7* 195

Таблица, 3.1
Форма газового объема
Эффективная
толщина слоя
5
Цилиндр неограниченный, диаметром d
Цилиндр высотой d, излучающий на боковую
поверхность
Цилиндр высотой d, излучающий на центр основания
РДТТ, которые можно было бы использовать в качестве опорных
данных при проведении подобных расчетов. Известные в
теплотехнике зависимости для учета излучения золовой пыли в
промышленных топках получены при температуре газа ~1500°К и
атмосферном давлении. Тем не менее эти результаты позволяют выявить
некоторые общие закономерности, которые могут быть
распространены и на другие условия теплообмена.
Так, например, в работе [7] сделан вывод о равноценности
влияния концентраций и толщины слоя на степень черноты газового
слоя с твердой фазой, а также, что одинаковым численным
значениям удельных поверхностей частиц соответствуют одинаковые
значения ет. Это позволяет для определения степени черноты
конденсированной фазы рекомендовать зависимость
где \х — весовая концентрация твердых частиц в единице объема.
Эффективное сечение ослабления луча
где d — средний диаметр твердых частиц;
у — удельный вес конденсированной фазы;
А — коэффициент, характеризующий форму и поверхность
частиц, для промышленных топок колеблется в пределах
0,1-0,2.
Поскольку излучение продуктов сгорания ракетного топлива
складывается из излучения трехатомного газа и конденсированной
фазы, степень черноты продуктов сгорания
s , — 1 — e~KS
где K = krpv\-kTF)>. — эффективный коэффициент ослабления луча
в газовом потоке с конденсированной фазой;
Р* = Рнм~\- Рсог~суммарное парциальное давление водяных
паров и углекислоты;
kr — вычисляется по формуле (3.12).
196

Значение эффективной степени черноты стенок находится между
степенью черноты материала ес, учитывающей поглощение тепла
при первом падении на стенку, и единицей, соответствующей
полному поглощению тепла при многократных отражениях от
внутренней поверхности двигателя. Обычно принимают
с.эфф 2
Тепловой поток излучения, воспринимаемый поверхностью
стенки двигателя:
oj V юо) \
Коэффициент теплоотдачи излучения ал определится по
формуле
а„ = -
oo;
TrU-'-?
или
1—-
(Т \4
-^-) <^1, можно пользоваться упрощенной зависимостью
a=4,96-10-8ErbL±! II—.
1 —■
Прикидочные расчеты, позволяющие оценить роль излучения
в процессе теплообмена в РДТТ, были проведены профессором
Франк-Каменецким для двигателя малых размеров [15]. Результаты
расчетов приведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
т°к
■ дл ккал/мЪ час
ал ккал/м^час °С
1800
4-105
270
2100
6,8-105
380
2400
12,28-105
600
2700
20,6-105
860
197

Согласно этим данным при температуре газа 2100° С доля
лучистого теплообмена изменяется от 20% в начале до 40% в конце
горения заряда.
Особый интерес представили бы непосредственные замеры
лучистых тепловых потоков в РДТТ с помощью чувствительных
термопар, воспринимающих тепловое излучение продуктов сгорания
через сапфировое окошко в камере [17].
В литературе нет сведений о проведении таких исследований
в РДТТ, а данные подобных экспериментов в ЖРД существенно
расходятся с результатами расчетов по рассмотренным выше
зависимостям.
Величину лучистого теплового потока можно также получить
из экспериментально определенной зависимости общего теплового
потока q=f(G) экстраполированием этой зависимости до значений
С = 0. Такой прием используется в работе [39] для
экспериментальной зависимости, полученной на двигателях малого калибра от 51
до 298 мм. Пересечением графика с осью ординат определяется
приближенное среднее значение ал = 500 ккал/м2час° С. В
инженерных расчетах в первом приближении можно ориентироваться на это
значение.
§ 4. СРЕДНЕЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ТЕПЛООТДАЧИ
Снижение коэффициента конвективной теплоотдачи ак за счет
угзеличения проходных сечений камеры по мере выгорания заряда
приводит к значительному изменению суммарного коэффициента
теплоотдачи а = ак+ал в процессе работы двигателя. Некоторое
представление о пределах изменения а дают расчетные значения,
полученные Франк-Каменецким [15] для модельного двигателя
с относительно низкой плотностью заряжания (см. табл. 3.3)
Таблица 3. 3
Время горения
Начало
Конец
Передняя часть
камеры
Предсопловая
часть камеры
Среднее по
камере значение
а ккал/м2 час° С
1200
1000
5000
1800
31С0
1400
Для двигателей с высокой плотностью заряжания а будет
меняться в более широких пределах, причем начальные значения а
будут выше указанных в табл. 3.3.
198

Для инженерных расчетов необходимо знать среднее
эффективное за время работы двигателя т значение аЭфф, определяемое
из условия:
т
а (Го — Гс.в) dt
где
— средняя по времени температура на внутренней
поверхности стенки.
Среднее эффективное значение а можно определить из опыта
по замеренному количеству тепла, переданного стенке двигателя
за время работы. Это количество
тепла в расчете на единицу
площади стенки может быть
определено по показаниям термопар,
размещенных по толщине стенки:
Q=\cyu(T-T11)dx,
где с—.теплоемкость материала
стенки;
ум — удельный вес материала;
jr — температура слоя стенки
к концу работы
двигателя;
Г„ — начальная температура
стенки;
А — толщина стенки.
Можно также
воспользоваться значением равновесной темпе-
t мин
Рис. 3.2. Изменение температуры
наружной поверхности двигателя
Мк-1 диаметром 298 мм
ратуры которая устанавливается после окончания работы
двигателя при выравнивании температуры по толщине стенки. При
этом можно обойтись термопарой, размещенной на наружной
поверхности камеры, записав изменение температуры на этой
поверхности во времени. Спустя некоторое время после окончания
работы двигателя, подъем температуры, фиксируемый термопарой,
прекратится и сменится очень пологим спадом ее за счет
теплоотдачи в окружающее пространство (рис. 3.2) [39]. Величина
максимума кривой определяет величину равновесной температуры
стенки Тр. С учетом ее величина Q может быть рассчитана как
Q=(Tv~TB)cyub.
Среднее по времени эффективное значение коэффициента
теплоотдачи
— Тс.в
199

Поскольку Гс.в входит в формулу в виде отношения Tc.JTo,
которое для толстостенного стендового двигателя всегда значительно
меньше единицы, для инженерного расчета с достаточной
точностью можно принять Тс.в=Т}?. Тогда
усА(Тр~Ти)
6000
2000
На рис. 3.3 представлена зависимость ^ежду средними
значениями коэффициента теплоотдачи аОфф и (GCp/g)°'s, полученная при
экспериментах с РДТТ диаметром от 51 до 298 мм.-
Экспериментальные данные
подтверждают пригодность
рассмотренных ранее об-
тоо\ | | | [ | | | уу ( щих критериальных
зависимостей РДТТ; коэффи-
$ооо\ | | | j | \*У\ I 1 циент а изменяется с
ростом G°p8 линейно. На
основании рис. 3. 3
эффективное значение
коэффициента теплоотдачи
может быть рассчитано по
формуле аЭфф = 500 +
+ 18,5G°p8. Первый член
этой формулы учитывает
тепло, передаваемое стен-
Рис. 3.3. ке излучением, второй—■
посредством
вынужденной конвекции. При
расчетах (7ср подставляется в формулу в кГ/м2сек, при этом
размерность аЭфф получается в ккал/м2час°С. Хотя эта зависимость была
получена на основании экспериментов с топливами JPN и JP, в пер-
еом приближении ею можно пользоваться и при расчете аЭфф для
двигателей на других марках двухосновных топлив.
При определении среднего значения удельного весового расхода
продуктов сгорания через рассматриваемое сечение двигателя
можно исходить из того, что площадь свободного сечения камеры при
постоянной скорости горения топлива изменяется линейно во
времени. Для произвольного момента времени t
ш
—
/г
Ю 20 30
50 SO {С
(I)
G
1 + U '■
где Go — начальное значение удельного весового расхода.
Для конца горения
bx'
200

Значение коэффициента b находим следующим образом.
Поскольку
где s — коэффициент заполнения поперечного сечения камеры
топливом (для начала горения);
t(l-e)
Среднее значение удельного весового расхода
У"1 J
cp~Vj \+ bt bx
о
Произведем преобразования:
1 _ С'О — С'к
GK GK GK
Подставляя полученные выражения в исходную формулу, получим
§ 5. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ СТЕНКИ РДТТ
Нагрев стенки двигателя определяется не только внешними
условиями, т. е. законом теплопередачи от газа к внутренней
поверхности двигателя, но и законом распространения тепла внутри
материала стенки. В большинстве случаев, с которыми мы
сталкиваемся при расчете нагрева отдельных элементов конструкции
двигателя и в первую очередь его стенок, процесс теплопроводности
с достаточной для практики точностью можно полагать
одномерным. При этом условии закон распределения температуры в стенке
определяется уравнением теплопроводности
дТ д^Т
dt dxt
где а = коэффициент температуропроводности материала.
В условиях РДТТ, как правило, приходится рассматривать
нестационарные температурные поля, когда температура изменяется
не только от одной точки стенки к другой, но и в данной точке
не остается постоянной во времени. Для определения
температурного поля стенки необходимо, кроме основного уравнения теплопро-
201

водности, задать краевые условия и теплофизические
характеристики материала. При задании начального условия обычно
принимают для начального момента времени равномерное распределение
температуры по толщине стенки
Т (х; 0) = 7H = const.
Пространственное краевое или граничное условие,
выражающее процесс передачи тепла через поверхность тела, для
внутренней поверхности задается в виде
(дт \
ОХ /с.в
Для наружной поверхности стенки обычно полагают тепловой
поток, направленный в окружающую среду, пренебрежимо малым
Следовательно, кривые распределения температур в стенке
РДТТ должны проходить через минимум, лежащий на наружной
поверхности.
Температурное поле стенки находится решением системы
уравнений:
dt су дх"
Т(х; 0) = Гн;
(df) =0;
с.в
Точное решение этой задачи усложняется тем, что
коэффициенты теплопередачи и температуропроводности представляют
собой величины, изменяющиеся в процессе работы двигателя.
Изменение а обусловлено изменением давления в камере и проходных
сечений между зарядом и поверхностью камеры, изменение
коэффициента а обусловлено зависимостью теплофизических
характеристик материала (Я, с, \) от его температуры. Учет изменения этих
коэффициентов возможен при использовании методов конечных
разностей и элементарных энергетических балансов.
Рассмотрим вкратце один из них — так называемый метод
конечных разностей. Сущность его состоит в том, что
дифференциальное уравнение, отражающее непрерывность процесса
теплопроводности во времени и пространстве, заменяется зависимостями, куда
входят конечные разности, т. е. формулами для дискретного счета.
202

Уравнение теплопроводности в конечных разностях приобретает
вид
*£^L (3.13)
At (Дл:)2
где Ах— толщина элементарного слоя стенки;
Д^— временной интервал.
Приращение температуры в n-ом слое за интервал времени
составит
где Tn,h+\ и 7\,,ь— значения температуры, соответствующие
моментам времени 4+i и 4-
Производная по времени в конечных разностях для данного
слоя
At
Разности между температурой в середине п-ro слоя и двух
смежных с ним элементарных слоев будут:
Вторая производная по координате х в конечных разностях будет
иметь вид
—1— = -* 1~ х 2 ~—n+uk ■—ч=^А М- . (3. 15)
(Дл-)2 (4-Ю2 (Ах)2 ■
Подставляя производные (3.14) и (3.15) в уравнение (3.13),
получим
-г y ==- д (Т -\~Т IT 1 (3 16)
Рассчитывая по зависимости (3.16) приращения температур
за шаг времени А^ для каждого слоя, можно получить
последовательность распределения температур по стенке двигателя на
протяжении всего периода нагрева (рис. 3.4). Градиент температур
на внутренней поверхности стенки для каждого момента времени
определяется из граничного условия
откуда
/АТ\ a fT
\Дх/св X
203

6- хмм
Рис. 3.4. Распределение температуры
в стенке двигателя Мк-1 диаметром
298 мм во время горения заряда
0,1 0,1 0,3 0,4 0/ 0,61 сек
Рис. 3. 5. Изменение во времени
температуры на внутренней и наружной
поверхностях двигателя Мк-1
204

На рис. 3.4 представлены кривые распределения температуры
для различных моментов времени в стенке ракетного двигателя
диаметром 298 мм [39]. На рис. 3. 5 приведены графики изменения
во времени температуры на внутренней и наружной поверхностях
этого двигателя. Как видно из последнего графика, в течение
первой половины времени горения температура внутренней
поверхности двигателя резко возрастает, достигая 90% своего
максимального значения. В дальнейшем она меняется мало, хотя
температура наружных слоев стенки продолжает расти. Для двигателей
с малым временем работы наружная поверхность стенки не
успевает нагреться до высокой температуры.
§ 6. ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАГРЕВА ОДНОСЛОЙНОЙ
СТЕНКИ РДТТ
Для инженерной практики необходимы простые методы
расчета, позволяющие при минимальных затратах времени оценить
в первом приближении ожидаемый нагрев конструкции.
Разработка таких методов становится возможной при введении
допущений, упрощающих решение задачи:
1. Коэффициент теплоотдачи от газа к стенке двигателя
принимается постоянным, равным некоторому эффективному
значению (Хэфф-
2. Основные теплофизические характеристики материала стенки
(Я, с, \) полагаются постоянными, не меняющимися с
температурой.
Рассмотрим расчет температурного поля однослойной стенки
без теплоизоляции. Искомое уравнение температурного поля
должно включать восемь параметров, в том числе теплофизические
характеристики материала:
7=/(х, т, а, X, а,Г0, 7\„ Д). (3.17)
Разумеется, построить универсальные расчетные графики или
таблицы с таким большим числом входов не представляется
возможным. На помощь приходит теория подобия и размерности,
указывая пути к сокращению числа независимых переменных.
Обратимся к исходному уравнению и заметим, что после того, как мы
приняли величину а независимой от температуры, температура
входит в уравнение теплопроводности только под знаком
производной. Это дает право производить отсчет температуры от любого
уровня. Представляется удобным за начало отсчета принять
температуру газа То, при этом число определяющих параметров
сократится до семи:
Т0 — Т = /(х, х, а, X, а, Тя, Л).
205

В качестве основных единиц-измерения выберем единицы
измерения для длины, времени, температуры и количества тепла.
Найдем размерности определяющих параметров:
Из семи определяющих параметров только четыре являются
параметрами с независимой размерностью, так как размерность
для х и А одинакова, размерность коэффициента теплоотдачи может
быть выведена из размерности А делением последней на I, а
размерность коэффициента температуропроводности является
производной размерностей хит. Согласно основному выводу л-теоремы
из данного количества параметров нельзя составить более 7—4=3
независимых безразмерных степенных комбинаций.
Такими комбинациями будут:
х аД _ ах
Д ' А ' Д2 "
Для того чтобы левую часть уравнения представить в виде
безразмерной величины, необходимо разделить ее на величину,
имеющую размерность температуры. В качестве таковой выберем
постоянную величину Го—Гн. Тогда уравнение температурного поля
выразится критериальной зависимостью
b=L.=f IJL, ^l. £1). (3.18)
Итак, вместо уравнения (3. 17) с восемью независимыми
переменными мы получили уравнение, в котором их число уменьшено
до трех. Решение такого уравнения нетрудно представить в виде
расчетных графиков и таблиц. Безразмерным комбинациям,
входящим в уравнение (3.18), присвоены следующие названия и
обозначения:
температурный симплекс;
То — тн
Fo = критерий Фурье;
ЕИ = ^ критерий Био;
Л
х= относительная длина.
д
Для уяснения физического смысла критерия Фурье его следует
представить в виде
Fo= .
Д2/Д
206

Поскольку знаменатель представляет собой некоторое время,
характерное для процесса теплопроводности, критерий Fo можно
интерпретировать как условное безразмерное время.
Физический смысл критерия Био раскрывается, если его
представить в виде
Числитель дроби согласно понятиям теории теплопроводности
представляет собой тепловое сопротивление стенки. Знаменатель,
который согласно формулам (3.1) и (3.2) можно представить как
— = —, характеризует термическое сопротивление теплового
а Хг
пограничного слоя. Следовательно, критерий Bi является мерой
сравнения «внутреннего» и «внешнего» тепловых сопротивлений.
Из теории теплопередачи известно решение задачи о нагреве
неограниченной пластины толщиной 2А с равномерным
распределением температуры в начальный момент, которая подвергается
двустороннему воздействию среды с температурой Го. Ввиду
симметричности нагрева тепловой поток, пересекающий среднюю
плоскость пластины, должен равняться нулю. Следовательно, это
решение определяет одновременно температурное поле неограниченной
пластины половинной толщины, но при одностороннем нагреве
и при отсутствии отвода тепла с наружной поверхности, что
совпадает с основными допущениями, принятыми для расчета
температурного поля стенки РДТТ. Не рассматривая хода решения этой
задачи, обратимся к конечному результату:
2l^£ е~Ф>° со8(Ф,х). (3. 19)
^ ^;
1 = 1
Здесь Ф, представляют собой последовательные значения корней
(от i=l до оо) трансцендентного уравнения
Bi = OtgO. (3.20)
Бесконечный ряд в правой части формулы (3. 19)
характеризуется хорошей сходимостью", при Fo^O',3 все члены ряда,
следующие за первым, могут быть отброшены, при этом погрешность
составит не более 1%. При Fo^0,5 погрешность подобного
преобразования будет около 0,1%- Благодаря этому можно, ограничиваясь
небольшим количеством членов бесконечного ряда, рассчитать
величину 0 с очень высокой точностью.
На основании решения уравнения (3. 19) различными авторами
были составлены таблицы fj=/(Bi, Fo, х), позволяющие
определить значение относительной температуры для любого х, т. е.
дающие возможность построить кривую распределения температуры
по толщине стенки двигателя.
207

На рис. 3.6 и 3.7 приведены номограммы для определения
температуры на поверхности и в средней плоскости пластины,
предложенные Д. В. Будриным [18]. График на рис. 3. 6 позволяет для
наших условий определять температуру на внутренней поверхности
стенки двигателя, график на рис. 3.7 — температуру на наружной
поверхности. Графики построены в полулогарифмической системе
координат: по оси абсцисс в линейном масштабе, но с
увеличивающейся ценой деления откладывается переменная Fo, по оси
ординат в логарифмическом масштабе нанесены значения 0. Сетка
линий построена для Bi = const с частотой, допускающей линейную
интерполяцию.
Если, воспользовавшись хорошей сходимостью ряда, в
выражении (3. 19) ограничиться только первым членом, для расчета
нагрева стенки двигателя можно получить следующие простейшие
зависимости:
1. Для внутренней поверхности стенки
ec.B=pe-4l'Fo. (3.21)
2. Для наружной поверхности стенки
0сн = ^^Ф?Р°. (3.22)
3. В среднем для всей массы материала стенки
ФРо
(3.23)
В показатель степени во всех случаях входит квадрат Фг
первого корня трансцендентного уравнения (3.20), зависящий только
от Bi. Величиной Bi определяются также значения коэффициентов
N, Р и М:
ЛГ_ 2sin4>x
ф
ф
ф
1 -
1 -
I ~т
г sin Ф-
2 sin
f sinO
2 sin
- sin Ф2
LCOSOi
Фг
I COS Ф2
*1
COS Ф1
-cos Ф2;
sin Ф!
Ф1 '
Численные значения этих коэффициентов приведены в табл. 3.4
[26].
Для промежуточных значений Bi коэффициенты могут
определяться с помощью простой линейной интерполяции. Выражения
(3.21) и (3.22) могут применяться при Fo^0,3. Выражение (3.23)
применимо также при значительно меньшей величине Fo, а при
Bi = 0,5—во всей области Fo.
208

60S
т> -г"
Температурный критерий для внутренней поверхности стенки Ос g = ——-—
——
' О * Н
JS> _cs J=2 Л „сэ „-i
C*j -fc- Ol О) DO C>
СП
S о,

210

Таблица 3.4
Кр
рий
а
к
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
о,
0,
о,
0,
0,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
2
нте-
Био
- Д
00
01
02
04
Об
G8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
35
40
45
50
55
60
70
80
90
00
20
.40
,60
,80
,0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
о,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
ф»
0000
0100
0199
0397
0584
0778
0938
1154
1337
1518
1697
1874
2048
2220
2390
2558
2723
3125
3516
3894
4264
4624
497
564
625
684
740
,841
,931
,016
,090
,162
1,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
о,
0,
о,
0
0,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
р
000
997
993
987
981
974
937
960
954
948
942
936
930
924
918
912
906
891
877
863
849
836
823
798
774
751
729
,689
,653
,619
,587
,559
М
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1, G00
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,999
0,999
0,999
0,999
0,998
0,998
0,997
0,99.5
0,995
0,994
0,992
0,990
0,988
0,986
0,981
0,977
0,972
0,968
0,964
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
N
,000
,002
,003
,006
,010
,013
,016
,020
,023
,026
,029
,031
,034
,037
,040
,042
„045
,052
,058
,064
,070
,076
,081
,092
,102
,111
,119
.134
,148
,159
,169
,179

Критерий Био
а
тд
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
7,0
8,0
9,0
10
12
14
16
18
20
25
30
35
40
50
60
70
80
90
100
ОО
*?
1,222
1,277
1,332
1,380
1,420
1,52
1,59
1,65
1,73
1,78
1,82
1,90
1,95
2,00
2,04
2,08
2,12
2,16
2,20
2,24
2,27
2,30
2,33
2,35
2,37
2,39
2,40
2,41
2,41
2,42
2,467
0,
0,
0,
о,
о,
0,
0,
0,
0,
0,
о,
0,
о,
0,
0,
0,
0
0
0,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
р
535
510
488
468
448
403
370
338
314
293
273
241
216
193
180
152
132
116
104
094
076
065
0560
0500
0400
0333
0285
0250
,0222
,0200
,0000
м
0,950
0,956
0,952
0,948
0,944
0,935
0,926
0,919
0,912
0,906
0,901
0,892
0,885
0,879
0,874
0,866
0,859
0,855
0,851
0,847
0,841
0,836
0,832
0,829
0,82)
0,824
0,822
0,820
0,819
0,818
0,810
1,186
1,193
1,200
1,205
1,210
1,221
1,229
1,235
1,240
1,244
1,248
1,254
1,257
1,250
1,262
1,265
1,257
1,268
1,269
1,270
1,271
1,271
1,272
1,272
1,272
1,273
1,273
1,273
1,273
1,273
1,273
211

Рассчитав 9 с.в; 9 с.п и 0ср, нетрудно определить
соответствующие им абсолютные значения температуры
Пример 1. Определить температурное состояние стенки ракетной камеры
двигателя Мк-2 [39] вблизи сопла для конца горения заряда.
Исходные данные: время горения заряда т=0,73 сек при 7н=+60°С,
толщина стенки Д = 3,05 мм. Материал стенки — сталь с теплофизическими
характеристиками:
Y=7850 кГ/м3; с=0,1305 ккал/кГ С, ^=37,2 ккал\м- час°С.
Температура продуктов сгорания топлива JPN с учетом тепловых потерь
принимается равной Г0 = 2600°С. Коэффициент теплоотдачи а для
рассматриваемого сечения задан равным 7500 ккал/м2час° С.
Рассчитаем критерии:
X 37,2
а — — = = 36,4-10-3 м?/час;
су 0,1305-7850
ах 36,4-10-3-0,73
Fo _ __ _ _________ = о _ 795.
аД 7500-3,05-10-3
Ш 0615
По табл. 3. 4 находим
Ф^ = 0,507; Р = 0,819; М = 0,9937; jV = 1,0826,
при этих коэффициентах получим:
ec.B=Pe~*lF°=0,819.e-0'507-0'795=0,819.e-0'403=0,546.
Гс.в = 2600 (1 — 0,546)+ 0,546-60 =1213°С.
—fc?Fo
6c.H=jVe =1,0826-0,6683 = 0,724.
Гс.н = 2600 (1—0,724) + 0,724-60 = 761° С.
—«&Jfo
Оср=Ме =0,994-0,6683 = 0,665.
Гср = 2600(1 — 0,665) +0,665-60 = 911° С.
Количество тепла, переданное стенке:
Q = -уДс (Гср — Тн) = 7850-3,05-10-3-0,1305 (911—60) = 2660 ккал!м^.
При оценке снижения прочности материала за счет нагрева будем
ориентироваться на среднюю температуру стенки 911° С. При такой температуре предел
прочности углеродистой стали составляет всего около 10% от его величины при
нормальной температуре. Таким образом, для обеспечения прочности камеры
толщину стенки необходимо увеличить.
Пример 2. Оценить эффект увеличения толщины стенки двигателя Мк-2 до
4,8 мм. Исходные данные те же, что и в примере 1.
212

Вычисляем критерии:
36,4.1И.0,73
(4,8-10-3)2 3600
Из табл. 3.4
Ф,^ 0,723; Р =0,7356; М =0,9866; N =■ 1,1166,
откуда
0с.в= 0,7356- е-о,723.о,з2== 0>584.
Гс.в = 2600 (1 — 0,584) + 0,584-60= 1115° С.
Осн = 1,1166-0,7937 = 0,887;
Гс.„= 2600 (1—0,887)+ 0,887-60 =--347° С.
0ср = 0,9866-0,7937 = 0,783;
Тср г- 2600 (1 — 0,783) + 0,783-60 = 611° С.
Количество тепла, переданное стенке:
Q=7850 ■ 4,8 • 10-3 ■ 0,1305(611—60) =2700 ккал/м2.
Сопоставляя результаты решения примеров 1 и 2, мы видим, что
увеличение толщины стенки в 1,6 раза привело к снижению средней температуры
материала в 1,5 раза. При средней температуре стенки 611° С снижение предела
прочности для углеродистой стали составляет около 50—60%. Если в качестве
отправной величины принять предел прочности при температуре 20° С, равный 60—
70 кГ/мм2, то при Гор=611° С получим ав=30—35 кГ/мм2.
Достаточная прочность камеры обеспечивается непосредственным
утолщением стенки двигателя и достигнутым при этом повышением механических
характеристик материала за счет снижения температуры. Заметим, что утолщение
стенки привело к незначительному снижению температуры на внутренней поверхности.
Вследствие этого общее количество тепла, переданного стенке, которое при
заданном значении а определяется разностью Тп—Гс.в, изменилось всего на 5%.
Как будет изменяться температура стенки двигателя при
геометрическом моделировании, когда все размеры корпуса и заряда
изменяются в одинаковой линейной пропорции?
Изменение размеров двигателя мало скажется на величине
коэффициента теплоотдачи а. Коэффициент конвективной
теплоотдачи ак будет изменяться пропорционально ch0-2. Коэффициент
лучистого теплообмена ал с ростом размеров двигателя повысится
за счет увеличения эффективной толщины излучающего слоя.
Следовательно, суммарный коэффициент теплоотдачи будет
уменьшаться слабее, чем rf^°>2. Для упрощения задачи, учитывая
преобладающее влияние конвективного теплообмена, примем a~d~0-2.
Толщина стенки двигателя будет изменяться пропорционально его
калибру, следовательно1, Bi~rf0'8.
Время горения заряда при сохранении рабочего давления
неизмененным определяется толщиной горящего свода, которая
изменяется пропорционально калибру двигателя, следовательно Fo<-~uH.
213

Пример 3. Рассчитать изменение температурного состояния стенки двигателя,
геометрически подобного двигателю Мк-2 с тонкой стенкой (см. пример 1) при
увеличении линейных размеров в три раза.
При определяющих критериях для двигателя с утроенными размерами
Bi=3°-8-0,616= 1,48; Fo = (^? = 0,265,
о
получим
7-с.в--=П342!'С; Гс.н = 330°С; 7ср=,685°С.
Таким образом, при геометрическом моделировании РДТТ
не соблюдается тепловое подобие. С увеличением калибра
двигателя несколько возросла температура на внутренней поверхности
стенки и резко упала температура на наружной поверхности.
Средняя температура стенки, а следовательно, и суммарные
тепловые потери при пропорциональном увеличении размеров
двигателя сокращаются. Так, в рассматриваемом случае при увеличении
всех размеров втрое средняя температура стенки и тепловые
потери уменьшились на 33%.
Данные обстоятельства должны учитываться при оценке
результатов испытаний материалов корпуса и покрытий и переносе
этих результатов на другой калибр.
Если увеличение калибра двигателя происходит при
сохранении постоянной толщины горящего свода, например, при переходе
к заряду с большим числом шашек, средняя температура стенки
с ростом калибра падает еще резче.
Например, при расчетах, проведенных для двигателя калибром 298 мм с
таким же временем работы и относительной толщиной стенки, как у Мк-2, были
получены 7'с.в = 1320|ОС; 7'С.„ = 149ОС; 71Ср = 538оС. Итак, при увеличении калибра
двигателя в 2,34 раза при сохранении времени горения заряда постоянным
средняя температура стенки снизилась в 1,7 раза — с 911° С до 538° С, т. е. до
уровня, приемлемого по условиям прочности материала.
Приведенные данные показывают, что толщина стенки
двигателя большого калибра при малом времени работы может в
первом приближении выбираться из условия прочности при
нормальной температуре. При этом автоматически обеспечивается
достаточная теплоаккумулирующая способность стенки. У двигателя
малого калибра для обеспечения приемлемого уровня температур
относительная толщина стенки должна выбираться значительно
большей, чем это следует из прочностного расчета, проведенного
без учета нагрева.
Было бы неправильным распространять выводы, полученные
выше для случая геометрического моделирования, на все случаи
увеличения размеров двигателя. Как правило, при создании
двигателей больших калибров условия геометрического моделирования
для элементов конструкции не соблюдаются, и материал корпуса
оказывается в более тяжелых условиях, чем в однотипном
двигателе малых размеров.
214

§ 7. РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ СТЕНКИ РДТТ С ПОМОЩЬЮ
МОДЕЛИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
В. И. Ленин в своей работе «Материализм и
эмпириокритицизм» писал:
«Единство природы обнаруживается в «поразительной
аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к
различным областям явлений»*. Использование этого свойства природы
и положено в основу метода аналогий, получившего широкое
применение в исследовательской практике при решении разнообразных
технических задач. Аналогия физических явлений представляет
Рис. 3. 8. Схема гидроинтегратора
собой наиболее общий случай подобия. Общность математических
зависимостей, управляющих разнородными физическими
процессами, позволяет процесс, трудно поддающийся
экспериментированию, исследовать на модели, в которой используется другой
процесс, аналогичный первому с математической точки зрения, но по
своей физической сущности более доступный воспроизводству в
лабораторных условиях и наблюдению.
Как уже отмечалось, аналитическое решение задачи
теплопроводности для стенки двигателя возможно лишь при некоторых
упрощающих предпосылках и пригодно для приближенной оценки
нагрева конструкции. Более точные расчетные методы — конечных
разностей и температурных балансов — чрезвычайно трудоемки и
громоздки. Для целей проектирования двигателя тепловое
состояние его стенки проще всего воспроизвести на модели с
использованием электротепловой либо теплогидродинамической аналогии.
Рассмотрим устройство модели, основанной на аналогии между
теплопроводностью и течением вязкой жидкости (рис. 3. 8).
В. И. Ленин, Соч., т. 14, Госполитиздат, 1947, стр. 276.
215

Модель представляет собой набор вертикальных открытых
сверху цилиндрических сосудов — пьезометров, сообщающихся
между собой капиллярами. Площадь сечения сосудов во много раз
превышает сечение капилляра. Слева к системе подсоединен сосуд
большой емкости с практически постоянным уровнем жидкости.
Разность уровней в сосуде и пьезометрах вызывает перетекание
жидкости через систему капилляров и пьезометров.
Распределение уровней жидкости в пьезометрах по направлению перетекания
является аналогом температурного поля стенки. Такое
моделирующее устройство, называемое гидроинтегратором, было впервые
разработано и предложено советским ученым В. С. .Лукьяновым [45].
Перейдем к выводу дифференциального уравнения для
гидравлического аналога температурного поля в стенке двигателя. Будем
полагать, что система состоит из бесконечного множества
пьезометров и капилляров. Такой методический прием, позволяющий
представить систему как однородную среду, избавляет нас от
трудностей, связанных с анализом дискретной модели. Выделим в
нашей системе бесконечно малый участок, протяженностью dx
(элементарный блок модели). Рассмотрим изменение количества
жидкости, заключенной в этом блоке, за время dt. Расход вязкой
жидкости в капилляре при стабилизированном ламинарном
течении определяется зависимостью
dx Jk
где dzfdx — градмепт напора вдоль течения жидкости, образуемы
падением уровней в пьезометрах;
k — коэффициент, характеризующий гидравлическое
сопротивление капилляра;
/к — площадь сечения капилляра.
Заметим, что выражение для расхода жидкости имеет общую
структуру с выражением для теплового потока через площадь /т:
За время dt no капилляру слева в блок поступает количество
жидкости, равное
За это же время из блока через капилляр справа вытекает
количество жидкости, равное
Gdt + — dxdt = -k — fjt - k — fKdxdt.
! dx dx Jk dx2 J K
216

Разность притока и стока составит
— dxdt= -k— fjxdt. (3. 24)
дх дх2
Изменение количества жидкости в блоке за время dt:
dG= — fn — dtdx, (3.25)
где /п—суммарная площадь поперечных сечений пьезометров,
приходящаяся на единицу длины.
Приравнивая правые части уравнения (3. 24) и (3. 25), получим
— =— —. Обозначив Ь = —, получим
dt /п дх* /п
b
dt дх%
Таким образом, для рассматриваемой гидравлической модели
мы получили, дифференциальное уравнение с такой же структурой,
которую имеет уравнение для тепловой системы. Итак, в данной
модели изменение уровня жидкости является аналогом изменения
температуры по толщине стенки двигателя, изменение количества
жидкости в элементарном блоке — аналогом изменения
теплосодержания элементарного слоя стенки, расход жидкости в
капиллярах — аналогом теплового потока. Роль погонной площади сечений
пьезометров /п, определяющей их емкость, аналогична той, которую
в процессе теплопроводности играет теплоемкость материала
стенки. Теплопроводности материала в данной схеме
соответствует величина fjk, обратно пропорциональная гидравлическому
сопротивлению капилляра, характеризующая его гидравлическую
проводимость.
Для полной аналогии с моделируемым процессом, помимо
тождественности структуры дифференциальных уравнений, необходима
тождественность структуры уравнений, описывающих граничные
условия. При тепловом расчете стенки РДТТ задание начальных
условий сводится к заданию начальной температуры стенки,
постоянной по всей толщине. В гидродинамической модели этому
соответствует задание некоторого одинакового уровня жидкости
в пьезометрах. Для внешней поверхности стенки двигателя
краевым условием является отсутствие теплоотдачи в окружающую
среду. Для модели это означает отсутствие стока жидкости. Для
внутренней поверхности стенки краевое условие задается
равенством тепловых потоков, подводимых к поверхности из газовой среды
и отводимых в глубь стенки:
c.ra(7WcJ- (3-26)
217

В гидравлической модели ему соответствует равенство
количеств жидкости, вытекающих из сосуда постоянного уровня и
поступающих в крайнюю ячейку системы, имитирующую
элементарный поверхностный слой стенки. В сечении С—С (см. рис. 3.8),
соответствующем поверхности стенки, основной капилляр
встречается с подводящим внешним капилляром с площадью /вв и
проводимостью kBU, которые в общем случае отличны от их значений
для основного капилляра. Следовательно, краевое условие для
гидравлической системы выразится следующим образом:
-k (
где /вн — длина внешнего капилляра;
zu — разность уровней сосуда постоянного уровня и крайнего
пьезометра.
k f
Введем обозначение т = mJm , тогда краевое условие приоб-
^вн/к
ретает вид
№)=mza. (3.27)
Из сопоставления уравнений (3.26) и (3.27) видно, что
краевые условия выражены одинаковыми по структуре зависимостями,
при'этом величина т в гидравлической модели выполняет роль
коэффициента теплоотдачи. Изменяя в процессе работы модели
длину внешнего капилляра, например, за счет телескопического
сочленения его с основным капилляром, можно менять величину т
в соответствии с заданным законом изменения коэффициента а
во времени. При настройке модели подбирают масштаб времени,
обеспечивающий удобство наблюдения за изменением уровней
жидкости в пьезометрах. В отличие от процесса теплопроводности
гидродинамический процесс можно в любой момент «заморозить»,
перекрыв краники в гидравлических коммуникациях системы. Это
позволяет в процессе моделирования заменять отдель'ные элементы
аналогии — капилляры и пьезометры, воспроизводя изменения
теплофизических параметров материала (с, К), обусловленные
изменением температуры.
К недостаткам гидравлических моделей следует отнести их
громоздкость, относительно высокую стоимость изготовления и
сложность эксплуатации.
В настоящее время все более широкое распространение
получают электрические модели, которые по сравнению с аналоговыми
устройствами других типов обладают такими достоинствами как
надежность, стабильность результатов, высокая точность,
компактность, простота эксплуатации, обусловленная быстротой и
удобствами электрических измерений, невысокая стоимость при
использовании стандартных злектродеталей [22].
218

В схеме, показанной на рис. 3.9, термические свойства
материала стенки моделируются набором сопротивлений,
последовательно включенных в цепь постоянного тока, и параллельно
включенных емкостей: сопротивления в электрической цепи выполняют
роль теплового сопротивления материала (1Д), электрические
емкости воспроизводят способность материала к аккумуляции
гепла. Аналогом температуры в электрической системе является
электрический потенциал в рассматриваемой точке цепи, аналогом
RI
2
СИ
El
2
Z
кг
т
С2 Z
п
2
•
R3
2
C3Z
R3
г
Рис. 3.9. R—С-сеточная схема электроинтегратора
теплового потока — сила тока. Основное уравнение
электропроводности для такой цепи
ди __ 1 д^и
dt ~~~ RC дхч '
где R и С — погонные сопротивление и емкость на элементарном
участке цепи. Для моделирования граничного условия на
внутренней поверхности стенки РДТТ может быть использовано
дополнительно внешнее сопротивление Rn. Краевое условие для
электрической системы выразится следующим образом:
где AU — разность потенциалов на концах дополнительного
сопротивления.
Рассмотренная схема получила наименование R—С-сеточной
схемы. К недостаткам этой схемы следует отнести трудности
изменения параметров в процессе решения задачи.
В настоящее время для решения задач нестационарной
теплопроводности наиболее удобной считается модель, основанная на
использовании R-сетки (рис. 3.10). В такой модели допустимы
изменения в широких пределах параметров в процессе решения
задачи с переменными теплофизическими свойствами материалов,
а также представляются большие возможности выбора масштаба
времени, наиболее удобного для условий данной задачи. Для
решения уравнения нестационарной теплопроводности используется ли-
219

нейная цепочка омических сопротивлений R.r, к узлам которой
подключены сопротивления Rt. При электрическом моделировании на
R-сетках используется аналогия между уравнением
нестационарной теплопроводности в конечных разностях (3.16) и законом
Кирхгофа, записанного для узла модели:
[ n,k
■ — а-
U2
Измерение UL-T(xL,t)
V
К А] А'
Задание и-^-Т(х^-М)
Рис. 3.10. R—R-сеточная схема электроинтегратора
Электрические напряжения в узлах модели будут
пропорциональны температурам в соответствующих точках стенки при
условии:
Г> ^Xi Л/
— N:
2
2At
будут
(су) (Дл-;_1 -f Axt) .
(Ug — U,w)kT ЛТ
R =-i W-L-L. JV,
Я
где jV — масштаб моделирования;
kT—масштаб моделирования температур;
Rg — сопротивление, реализующее граничные условия.
При этих условиях напряжения в точках Ао, А\...Ап
соответствовать температуре в момент 4, а в точках A$,A\...An-
температуре в момент 4+ь Следовательно, если в концевых точках
модели реализованы граничные условия, то по заданной
температуре ТпЛ можно найти температуру Tlhk+1. Далее, при задании в
точках Ло,, А\...А'п напряжений, соответствующих температуре
Tk+1, в точках Ао, Ах. .. Ап возникнут напряжения,
соответствующие Tk+2 и т. д.
Максимальная ошибка расчета при использовании R—R и
R—С-сетки не превышает 1—2%.
220

§ 8. РАСЧЕТ ПАССИВНОГО ТЕПЛОЗАЩИТНОГО ПОКРЫТИЯ
Основными требованиями, предъявляемыми к материалу
пассивного теплозащитного покрытия РДТТ, являются:
— высокая температура плавления;
— низкая температуропроводность;
— высокая адгезия с материалом несущей конструкции;
•— достаточно высокое сопротивление вибрационному
воздействию, механическому и тепловому ударам.
Применяемые с этой целью материалы весьма разнообразны
по своему составу и теплофизическим свойствам. Основным
компонентом этих материалов являются тугоплавкие соединения и
элементы, приведенные в табл. 3.11 [10]. Кроме того, в состав
покрытия входят связующие вещества и различные технологические
добавки.
Теплопроводность покрытий зависит от множества факторов,
основными из которых являются:
1) состав материала;
2) пористость материала;
3) температура нагрева;
4) размер зерен;
5) влияние связки и ее технологических свойств;
6) особенности технологического процесса изготовления.
С ростом пористости материала улучшаются его
теплоизоляционные свойства, однако снижается сопротивляемость
механическому воздействию. Как показывают исследования, с увеличением
среднего размера зерен теплопроводность теплозащитных
материалов возрастает. С увеличением содержания связки, являющейся
аморфным веществом, за счет объема кристаллического
компонента эффективная теплопроводность материала снижается.
Влияние; температуры нагрева на теплопроводность материала
связано с изменением его химико-минералогической структуры,
соотношения кристаллической и аморфной составляющих и т. д.
Насколько существенно влияет температура нагрева материала
покрытия на его теплопроводность можно судить по
экспериментальным данным для различных веществ в сплошном и пористом
состояниях, приведенным в табл. 3. 5 [44].
На рис. 3.11 показан характер распределения температуры
в стенке двигателя с пассивным теплоизоляционным покрытием.
Здесь и в последующих выкладках индекс «М» относится к
металлу, индекс «П» — к покрытию. В теплоизоляционном слое
наблюдается резкое падение температуры. На границе покрытия и
металла ТЛ=ТМ. Тепловые потоки слева и справа от контактной
поверхности равны
i-
221

-о
*2
<3
гг
а
о
о
га
5-
в
15
га
g
Ъ6
i—1
со
о
о
**<
о
р
г—
о
о
GO
О
О
о
о
^г
о
с
о
о %
1—1 -^
со
К
сх
о>
н
та
оо
CN
<С
Oi
ю
■*cj*
S
СП
Ю
ю
со
о
со
со"
GO
*ct<
CN
СО
t-
lf
СП
CO
СП
СО
со"
СО
о
CN
<
ю
со
<м
ю
СО
1Л
оо
сд
СО
1Л
GO
f-"
СО
СО
19,
о
со
CN
о
ь-
со
КЗ
СП
о
^о
о
со
СП
СО
СО
CN
23,
СО
СП
CN
а
ОС
00
со
i
CN
со"
о
ой
со
аз
ю
о
CN
VO
о
СО
го
с"
СП
СП
CN
%
т
24,
о
, ,
го
о
,—t
GO
СП
сх
■*,
CN
'—'
со
со
о
ю
о
СО
,35
16,7,
ь-
о
езо
CN
о
н
<м
СО
сч
2
CN
СО
ел
СО
i2
Ui"
to
CO
t—
со
CO
о
со
1
со
^ч
CN
СО
■—'
ю
ю
оо
3—1
CN
й
ю
1
CN
ьО
о1
N
1—1
сп
о
CN
со
СП
СП
со
"—'
со
со
С»
со
, 1
со
г—*
о
Так как Лп<^м, в точке
контакта температурная кривая
претерпевает резкий излом. В слое
металла температурный
градиент невелик.
Распределение температуры
по толщине двухслойной
стенки можно найти при графп-
Рис. 3.11.
аналитическом решении
уравнения теплопроводности.
Известны также приближенные
решения, позволяющие
определить температуру в
характерной точке — на границе
покрытия и металла. Д. Гровер и
У. Хольтер [54] получили такое
решение, основываясь, кроме
рассмотренных нами ранее
допущений, на предположении о
бесконечно большой
теплопроводности металла (Ам = °о). На
первый взгляд такое
допущение представляется грубым
искажением действительности.
При оценке его правомерности
222

следует однако учесть, что коэффициенты теплопроводности
покрытия и металла разнятся почти на два порядка. Подъем температуры
в слоях металла почти не лимитируется его теплопроводностью; он
определяется условиями подвода тепла через покрытие. Поэтому с
учетом масштабов изменения температуры по толщине покрытия и
металла можно в первом приближении принять температуру по
толщине металлической стенки постоянной, что равносильно
условию Ям = о°-
Из решения уравнения теплопроводности при принятых
допущениях было получено выражение для определения температуры на
границе покрытия и металла
T0-TK U \ B12/V уМ2
1
^ м V J I
(3. 28)
где (3,- — последовательные положительные значения корней
трансцендентного уравнения:
М Bi — f,
P/(Bi + M) '
Критерии Bi и Fo, подставляемые в решение, рассчитываются для
покрытия. Итак, согласно полученному решению 6=f(Bi, Fo, M).
По сравнению с однослойной стенкой решение усложняется
зависимостью от дополнительного параметра М. Заметим, что
зависимость (3. 28) симметрична по отношению к М и Bi, т. е. при
перестановке численных значений этих критериев результат не
меняется. Полученное решение может быть представлено в
графической форме. На рис. 3. 12—3. 16 приведены графики зависимости 9
от Fo при Bi = const, построенные для различных значений М.
На практике использование графиков с тремя входами связано
с неудобствами двойной интерполяции. Для устранения этого
недостатка авторами рассматриваемого решения был введен новый
критерий
__ \_ , J. 1_
Bi M Bi Л1
Как показывают расчеты, если Bi и М изменять в широких
пределах, но так, чтобы значение ц при этом оставалось постоянным,
величина симплекса в меняется не более, чем на 3—4%. Поэтому
223

ж. ..1л
Р Д/
1 • *
r—
fl$ шУ jy
у! 11,1 I j
tjf fj. /
т/г t j
Ш 7""//
t
/
/
/
j
У
^ !l
У
\\
PQ
■ '"{^
—,
Ц
ski
1
j
/1
I/
та
1
/.
//
/
/
/
/
/
A
4
1
-F
A
/
г
/
Г
to
Q
II
■г*
CM
CO
u'
s
a
224

с достаточной для практики точностью зависимость 0 от трех
параметров Fo, Bi и М можно заменить упрощенной зависимостью от
двух параметров — Fo и ц. Аппроксимирующая функция имеет вид
I
e '
sec Ф;
1 -1- р. -|- U.2 ф?
где Ф; — положительные корни трансцендентного уравнения
> о
д Fo
\
6 То
Рис. 3. 15.
Рис. 3. 16.
На рис. 3. 17 представлен график зависимости 0 от Fo для
значений \х от О1 до 50, использование которого избавляет от
необходимости двойной интерполяции.
Пример 1. Определить температуру стенки двигателя Мк-2, защищенной слоем
теплоизоляции толщиной 0,25 мм. Исходные данные такие же, как в примере 1 § 6.
Характеристики теплоизоляционного покрытия [39]: Яп = 0,89 ккаа/м ■ час°С-
С, =0,2 ккал1кГ"С; Yn=2550 кГ/.и3.
3058
225

070
226

Определим критерии:
Х„ 0,89
М = -^Al „ 2550-0,2.0,25__ ^ 40
WAAi 7850-0,1305-3,05
дпт 1,745-10-3-0,73
Fo = —тг — -= 5,67;
Д^ 3600(0,25-10-3)2
_ иДп 7500-0,25-Ю-з
(Л = м + вГ ^ШЛ* " 0,0408 ^ гТЙ + 2,11-0,0408 ^36'
По рис. 3. IГ находим 0=0,88, при этом температура стенки
Г=2600(1—0,88)+0,88-60 = 365DC.
Количество тепла, переданное стенке камеры:
Q — см(Т — Г„) Лмум = 0,1305 (£65 — 60) 3,05 • 10~з - 7850 -= 955
Сравним результаты расчета, проведенного для стенки с теплоизоляцией,
с полученными ранее для незащищенной стенки такой же толщины (Дм = 3,05лш).
Благодаря теплоизоляции средняя температура стенки снизилась с 911° С до
365° С, т. е. до температурного уровня, при котором углеродистая сталь имеет
почти такие же прочностные характеристики, что и в холодном состоянии.
Количество тепла, переданное стенке, снизилось почти в три раза.
По сравнению с вариантом двигателя, имеющим утолщенную стенку (см.
пример 2 § 6), применение теплоизоляции обеспечивает вдвое меньшую
температуру стенки при одновременном снижении веса конструкции в полтора раза.
Пример 2. Найти потребную толщину покрытия стальной стенки двигателя
толщиной Дм = 4 мм, температура которой должна оставаться ниже 400° С в
течение 60 сек. Температура газа 2000° С. Коэффициент теплоотдачи от газа к
покрытию 600 ккал/м2час°С Характеристики стали:
кГ[м3; сн = 0,1305 ккал/кГ°С.
Характеристики теплоизоляции на основе асбеста:
Лп = 0,194 ккал/м-час°С; сп = 0,25 ккал/кГ°С; Yn = 580 кГ/м3.
Так как обе переменные Fo и ц являются функциями искомой величины Дш
задача должна решаться методом подбора.
Первое сближение. Задаемся ДП1 = 2,3 мм, тогда
0,194
13
«Л^ 600-2,3-10-3
Хп 0,194
М = ^^ ^ 58°-°'25-2'3-10-3 .= 0,0815-
УмСмДм 7850-0,1305-4-Ю-з
227

11111 1
Bi M Bi M~7,11 0,0815 7,11-0,0815 = ' '
= 1600 =
1980
e
2000—20 1980
Из рис. З. 17 находим Fo=3,41. Вычисляем
/anx
А„,=
Второе сближение. Задаемся Дп = 2,45 мм и вновь повторяем все
вычисления. В результате получаем Дп2-2,48 мм.
Принимаем для проектирования Дп=2,5 мм.
§ 9. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ГАЗОМ И СТЕНКОЙ ДВИГАТЕЛЯ
ПРИ АБЛЯЦИИ
В настоящее время уделяется большое внимание использованию
в РДТТ различных аблирующих покрытий.
Знание основных зависимостей теплообмена между газом и
поверхностью при абляции необходимо для определения толщины
аблирующего покрытия, предохраняющего металлическую стенку
корпуса РДТТ от нагрева. Если корпус двигателя проектируется
из пластмассы, необходимо заранее оценить, насколько в процессе
работы двигателя уменьшается толщина его стенки вследствие
абляции,
При выводе этих зависимостей нам придется отвлечься от
химической стороны явления. Рассмотрим конечный тепловой эффект
реакций разложения и фазовых превращений материала в
поверхностном слое, характеризуя его удельной теплотой абляции Qs,
отнесенной к 1 кг аблирующего материала. Эта характеристика
аналогична скрытой теплоте плавления или испарения.
Энергия, поглощаемая при абляции в единицу времени, равна
разности тепловых потоков
uyQs = qi—q2, (3.29)
где
q\ —поток, подведенный к поверхности;
q% — поток, отведенный в глубь материала;
и — линейная скорость абляции, т. е. скорость перемещения
аблирующей поверхности в глубь материала.
Рассматривая тепловой поток q2, пренебрегаем поглощением
тепла во внутренних слоях покрытия при реакциях разложения,
стимулируемых повышением температуры. Предположим, что все
химические и фазовые превращения происходят непосредственно на
поверхности раздела фаз в слое, толщиной которого при изучении
распределения температуры в покрытии можно пренебречь. Для
упрощения выкладок рассмотрим стационарную абляцию (« =
= const). Введем подвижную систему координат, перемещающуюся
228

в глубь покрытия со скоростью абляции и. Связь ее с неподвижной
системой координат определится зависимостями:
%=x-ut; -^=1; —=—и.
дх dt
Для того чтобы вывести уравнение распределения температуры
перед фронтом абляции, воспользуемся дифференциальным
уравнением теплопроводности, выразив его в новой системе координат.
Поскольку
dxi~~ <Э52 ' dt~ dt dt ~ di '
уравнение теплопроводности примет вид
а =—tt—. (3.30)
В рассматриваемой системе координат при стационарной
абляции распределение температуры не меняется во времени и зависит
только от координаты |, следовательно, уравнение (3.30) можно
переписать в виде
где
X
о, =
Решая уравнение (3.31), получим
r=--Cl3Te-5/8T+CQ.
Найдем значения постоянных интегрирования:
при ? = оо Т = Ти- с2 = Тв;
при S--0 T = TS; С!=
Уравнение температурного поля перед фронтом абляции
приобретет окончательный вид
Пример. Оцепим, на какую толщину материала распространяется при
абляции сколько-нибудь заметное повышение температуры. Примем в качестве
условной границы прогрева точку, в которой температура материала отличается
от начального значения на 10%.
Примем характеристики материала равными: у= 1700 кГ/м3; с = 014ккол//сГ°С;
« = 0,5 - Ю-3 м!сек= 1,8 м/час; T's = 320oC; Г„ = 20°С; Я=0,12 ккал/м- час" С.
Получим
Т Тн\ 0,12 / 0,1-20 N
— In s = : — In '- == 0,49- Ю-з м.
yuc \ TS—TJ 1700-l,8-0,4\ 320 — 20
229

Итак, при принятых нами условиях глубина зоны прогрева
исчисляется десятыми долями миллиметра.
Температурный градиент у поверхности покрытия
(дТ \ __ Ts — Та yuc /rr T ■.
I ) — — \ S н/*
\ d£ /s ST X
Величина теплового потока, отводимого от поверхности в глубь
покрытия:
?2=—*(—) =yic(Ts-Tu). (3.32)
\ds Is
Количество тепла, аккумулированное материалом в расчете на
единицу поверхности:
о о
В результате интегрирования получим
V2— •
и
Пригодность материала для изготовления из него аблирующего
покрытия определяется соотношением количества тепла,
отводимого в глубь материала и поглощаемого при абляции. Материал
считается пригодным, если обеспечивается условие Q2<C^it.
Относительное количество тепла, отводимого в глубь материала:
2 к\* S — I п) /о оо\
qxx uqfi
Поскольку ql==Qs~iuJv\uc{Js — Тя), то
„_ Ч\
Подставляя полученное значение и в формулу (3.33), находим
qxx
или, полагая Гн = 0:
Qi ._
qxx
q\X
i^Ts (Qs + cTs)
Величину qY будем полагать заданной. К определению ее мы
перейдем позже. Формула (3.34) указывает на противоречивость
требований, предъявляемых к материалам для аблирующих
покрытий. Для сокращения весового расхода материала при абляции
необходимо стремиться к увеличению Qs, в то время как пропор-
230

ционально ему возрастает бесполезно поглощаемая доля тепла.
Очевидно, для эффективного использования абляции необходимо
иметь высокое Qs при наименьшей величине произведения
T(Q T)
Сама по себе величина Qs не является достаточным критерием
пригодности материала для аблирующего покрытия. В качестве
примера сошлемся на обычный графит, теплота абляции которого
составляет более 5560 ккал/кг [3]. Однако вследствие высокой
теплопроводности (А, = 160 ккал/м ■ час° С) в условиях РДТТ он
будет играть роль теплового стока, отводя основную массу тепла
с поверхности в глубь стенки. С другой стороны, использование
графита в ином состоянии, например, в смеси с материалом,
обладающим низкой теплопроводностью, либо за счет придания ему
особой структуры, характеризуемой малым X, позволит эффективно
использовать его высокую теплоту абляции в двигателе с
температурой горения более 3500° С (температура сублимации графита).
Расчет теплообмена между потоком продуктов сгорания
твердого топлива и поверхностью аблирующего покрытия осложняется
поступлением в поток продуктов газификации твердой фазы,
существенно отличающихся по своим физико-химическим свойствам
от основного состава газа. Продукты газификации могут химически
взаимодействовать между собой и с газом основного потока с
поглощением либо выделением дополнительного тепла.
Рассмотрим процесс переноса тепловой энергии при наличии
подвода вещества и химических реакций для ламинарного
пограничного слоя. Эти зависимости сохраняют силу также для
ламинарного подслоя турбулентного пограничного слоя.
При изучении данного вопроса целесообразно использовать
понятие полной термодинамической энтальпии /-го компонента
газа, представляющей сумму теплосодержания этого компонента
при данной температуре и теплоты его образования из молекул
элементов /° :
Энтальпия смеси газа представляет сумму энтальпий
отдельных компонентов:
V/, (3.35)
где Кг — весовая доля i-го химического компонента.
При термохимических расчетах используются значения теплот
образования, отнесенные к некоторым стандартным условиям
и к стандартному состоянию элементов, образующих сложное
вещество. За стандартные условия принимают давление, равное 1 ат,
и температуру, равную 18 или 25° С. За стандартное состояние
принимают состояние, которое для данного элемента является наибо-
231

лее распространенным в природе. Например, для газа таковым
является молекулярное состояние: Нг, Ог, N2. Теплоты
образования, определенные при этих условиях, приведены в химических
справочниках [6], [35].
Перенос продуктов газификации от поверхности раздела двух
фаз к внешней границе ламинарного подслоя будет осуществляться
двумя путями — конвекцией и диффузией.
Поток вещества, переносимого при молекулярной диффузии,
подчиняется закону Фика:
v дх '
где trii — весовое количество г'-го компонента, диффундирующего
в единицу времени через единицу поверхности,
нормальной к направлению диффузии;
D — коэффициент диффузии.
Поток вещества, переносимого конвекцией, равен rrii^KiQu,
где и — скорость движения газа в направлении, нормальном к
поверхности.
Поскольку поверхность раздела фаз является непроницаемой
для компонентов основного потока, включая продукты их
взаимодействия с газами, поступающими с поверхности, для этих
компонентов должно выполняться условие
К ivQUo —- — Do
3±Л
дх Л
т. е. на поверхности раздела двух фаз диффузионный приток
рассматриваемых компонентов компенсируется их конвективным
потоком, направленным от поверхности.
Для газов, поступающих с поверхности, массовая скорость
компонентов является полной массовой скоростью на поверхности.
Следовательно, для них должно выполняться условие
I дх
Рассмотрим суммарный поток энергии в направлении к
поверхности раздела двух фаз:
или
су — — ] л | t ^~~ i_/y у / j ■■■■ 1 1 . V"* t-'1^'/
232

Поскольку согласно уравнению (3.35)
где ср= ^KiCpi, уравнение (3.36) можно представить в виде
S, дКЛ
дх / i -. з.. i . ■, /_i . а.. (^- 37)
Выражение, стоящее в круглых скобках, определяет долю
тепловой энергии, передаваемой к поверхности за счет
теплопроводности. Величина этой энергии определяется градиентом полной
энтальпии газовой смеси и изменением состава смеси по толщине
пограничного слоя. Второй член в квадратных скобках выражает
долю тепла, передаваемого за счет диффузии.
Соотношение долей тепловой энергии, передаваемой
посредством теплопроводности и диффузии, зависит в значительной
степени от параметра ——- . Этот параметр, обозначаемый обычно
А
символом Le, известен в литературе как параметр
Льюиса—Семенова. При исследовании процессов тепло-массообмена широко
используется упрощающее предположение Le=l.
Впервые это предположение было применено советскими
учеными Н. Н. Семеновым и Я. Б. Зельдовичем в их работе [16]. Такое
упрощение основано на том, что для газа и газовых смесей,
компоненты которых имеют одинаковое число атомов в молекуле,
коэффициенты молекулярной диффузии D и температуропроводности
а=—-—в соответствии с кинетической теорией газа имеют близ-
QCp
кие значения. Это позволяет в первом приближении принять a = D,
а
При этом зависимость (3.37) принимает вид
q=—4-~. (3.38)
с р дх
Энтальпийный градиент для пограничного слоя можно
приближенно выразить в виде
где 1е — полная термодинамическая энтальпия газа на внешней
границе слоя;
Is — полная термодинамическая энтальпия газа у поверхности;
б — толщина пограничного слоя.
233

При этом
По аналогии с обычной ньютонианской зависимостью введем
для рассматриваемого случая коэффициент теплоотдачи,
определяемый выражением:
а=Гс —1l—. (3.39)
Р г г ч ;
Заметим, что при Le=l уравнение (3.39) выполняется
независимо от механизма теплообмена и от скорости отдельных
химических реакций в пограничном слое, т. е. тепловой поток
определяется химическим составом и температурой газа на внутренней и
внешней границах слоя и почти не зависит от протекающих в слое
химических реакций.
Последние могут оказывать влияние на величину теплового
потока только посредством изменения характеристик переноса
(X, сР). Подробно этот вопрос рассмотрен в работе [41].
В исследованиях теплообмена при наличии химических реакций
часто пользуются безразмерным коэффициентом переноса
тепловой энтальпии (число Стантона)
Сн=- ^ . (3.401
QeVe (Ig — Is)
Для характеристики переноса массы обычно используется
параметр
В' = ™UJS . (3.41)
QgVg Сн
Отметим, что в это выражение входит значение Сн,
определяемое по величине теплового потока к поверхности с учетом вдува
массы в пограничный слой. Наряду с В' используется так
называемый параметр вдува
Д=-Ц^-, (3.42)
куда входит значение Сн0, рассматриваемое для теплопередачи
без вдува массы.
Тепловой поток, отводимый в глубь покрытия, можно с учетом
формул (3.40), (3.41) и (3.29) представить в виде
q,=QgVeCn[Ie-ISt-B'Qs]. (3.43)
Приравнивая правые части уравнений (3.43) и (3.32) и решая
полученное равенство относительно В', находим
234

Поскольку В/В' = Сн/Сно, получим
Сн0
(3.44)
При известных характеристиках Qs, Та, ст и по перепаду
энтальпий (1е—1st), который может быть получен из
термодинамического расчета, выражение (3.44) позволяет для произвольных
значений В рассчитать Сн/Сн0. Отношение Сн/Сн0) представляющее
отношение конвективного теплового потока при введении массы
з пограничный слой к тепловому потоку без введения массы, иногда
называют функцией блокирования, а сам эффект снижения
теплового потока к поверхности аблирующего покрытия за счет подачи
Сн/Сн
Рис. 3.18.
массы — тепловой блокадой. Экспериментальные исследования
показывают, что при фиксированных значениях критериев подобия
Re и Рг величина Сн/Сн0 может быть представлена в виде функции
одного переменного В (рис. 3.18).
Если на график наложить семейство прямых, отвечающих
формуле (3.44) для произвольных значений В', точки пересечения
прямых линий с экспериментальной кривой определят истинные
значения Сн/Сн0 и В, соответствующие данному значению В'.
Последовательность определения скорости уноса вещества с
помощью такого графика при заданных характеристиках внешнего
потока и материала покрытия следующая:
1. По характеристикам материала покрытия и по расчетным
значениям энтальпии продуктов газификации покрытия при
температурах Т8 и Го определяется параметр В'.
2. На графике по найденному значению В' проводится луч
Сн/Сно = В/В'. Из пересечения его с экспериментальной кривой
Сн/Сно=/(В) определяются соответствующие значения Сн/СноиВ.
235

3. По характеристикам газового течения вдоль аблирующего
покрытия определяется по обычным зависимостям (3.3) — (3.7)
значение Сн0.
4. Массовая скорость уноса вещества определяется как
где В — значение параметра вдува, снятое с графика.
Эмпирическую зависимость отношения Сн/Сн0 от параметра
вдува можно аппроксимировать формулой
Сн/Сно=АВ~т.
При использовании этой зависимости в широком диапазоне
изменения параметра вдува невозможно подобрать постоянные
значения Акт для всех значений В. Весь диапазон приходится
делить на отдельные участки и для каждого из них принимать свои
значения А и т. Так, например, для области низких значений
В<2 А = 0,66; т = 0,41. Для области 5<В<100 Марксман и Джиль-
берт [55] рекомендуют значения Л = 1,2; т = 0,77. Если полагать
область изменения В заданной, т. е. значения Ант известными,
то расчет уноса массы покрытия сводится к решению двух
уравнений:
Сн/Сн0 =
откуда B=(AB'f+°l.
Поскольку выражение (3.42) можно представить в виде В =
1Р .
= — ms, массовая скорость уноса определится зависимостью
а0
1
1 :- т
или в развернутом виде
_Оо_
ср
Cr\Ts-
Qs
При наличии лучистого потока тепла к поверхности покрытия
д.-, выражение для В' приобретает вид
В' ==■
23)

При этом массовая скорость уноса рассчитывается по
приближенной формуле
cp(T0~Ts)
. Тн -4- -^- 111- —^—\
1
1+ m
Выведем, используя простейшие физические предпосылки,
теоретическую зависимость, связывающую функцию блокирования
с параметром вдува.
Решим уравнение теплопроводности для пограничного слоя
с заданной толщиной Ь. Располагая начало координат на
поверхности стенки и совместив положительное направление оси с
направлением распространения газа, запишем граничные условия:
при x=Q T = TS; при x=b Г=--Го.
Нетрудно заметить, что постановка задачи в данном случае сходна
с той, которая рассматривалась выше для распространения тепла
в стенке из аблирующего материала. Различие состоит в том, что
там тепло распространялось в неподвижной среде, граница которой
перемещалась в направлении распространения тепла со
скоростью и. Здесь же рассматривается область с неподвижными
границами, заполненная веществом, перетекающим со скоростью и
навстречу тепловому потоку *. Следовательно, уравнение
теплопроводности для данного случая, составленное в неподвижных
координатах, должно быть аналогично уравнению (3. 30) и отличаться
от последнего знаком правой части:
где
утиср
Решая уравнение (3.45) при указанных выше граничных
условиях, получим уравнение температурного поля
Конвективный тепловой поток, подводимый к аблирующей
поверхности, определится как
, /дТ
Br(e*'er-l)'
* По сравнению со скоростью и скорость перемещения аблирующей
поверхности и невелика и ею можно пренебречь.
237

При отсутствии вдува
Для стационарного режима теплопередачи в ламинарном
пограничном слое толщиной Ь можно записать
Если полагать, что вдувание (инжекция) газа не влияет на
толщину пограничного слоя, из приведенных выше зависимостей
получим корреляционную формулу
9ко ако е ' г—1
Применяя обозначение В = Ь/6Г, получим
6 = ~р (3.46)
Выражение (3.46) определяет снижение конвективного
теплового потока к аблирующеи поверхности за счет вдува газа в
пограничный слой. Для того чтобы представить коэффициент -ф в виде,
упрощающем его расчетное определение, произведем подстановку
тогда
<х0 <х0
Нетрудно заметить, что полученный параметр ничем не
отличается от ранее введенного параметра вдува, поскольку последний
можно представить в виде
<7i a(Te~Ts) a
Полученную зависимость можно преобразовать, разлагая
показательную функцию в степенной ряд:
Для случая малых В (малые скорости абляции), не внося
особой погрешности, можно ограничиться первыми двумя членами
разложения. Тогда формула (3.46) преобразуется к виду
238

или согласно правилам приближенного вычисления
: 2 '
Следовательно,
? в mc (T T
Ф=1-4-—(Го-Ъ). (3-47)
2 9ко
В ряде работ [1], [3] приводится корреляционная формула,
выведенная на основании результатов экспериментальных и
теоретических исследований транспирации (просачивание газа через
пористую стенку) при малых В:
где /о — удельная энтальпия газа на внешней границе
пограничного слоя;
Is — удельная энтальпия газа у стенки.
В этих работах приводится зависимость для напряжения трения
на поверхности, величина которого также меняется под
воздействием инжекции газа:
т=т0 — ^msv,
где и — скорость в ядре потока.
Зависимость (3.47) можно переписать в виде
4=1-4, —Ср(Т0-Т5). (3-48)
Зависимость (3.48) отличается от формулы (3.47),
выведенной на основании упрощенной схемы процесса,
величиной.коэффициента rig, который в формуле (3.47) получен равным 0,5. Скала
и Саттон [40] рассчитали значения щ и х\х для случая инжекции
воздуха в воздух (Рг=1). Для широкой области скоростей
инжекции и уровней энтальпии на стенке было получено ■% = 0,8; г)т =0,67.
Бете и Адаме [3] принимают r)g = 0,66. Бейд показал, что щ~М1^,
где ./ИСр—молекулярный вес инжектируемого газа [40].
Исследования, проведенные для турбулентного потока,
показали, что в этом случае г)9 снижается и составляет ~0,4—0,5.
Следовательно, для турбулентного потока, профили скоростей и
температур которого наиболее близки к принятому при выводе
формулы (3.47), зависимости (3.47) и (3.48) тождественны.
Суммарный тепловой поток
<7Л - \
239

Количество тепла, подводимое к аблирующей поверхности
излучением, определяется по ранее рассмотренным зависимостям.
Обозначим
где 9ю — суммарный тепловой поток, который был бы подведен
к поверхности при отсутствии инжекции газа в
пограничный слой. ■'
Возвращаясь к исходному уравнению теплового баланса д^я
поверхности (3.29), получим \
<7i = QSyu -Ь(^) = <7ю-%№ (/о - /*)• (3. 49)\
В предыдущих выкладках мы полагали массовую скорость
абляции yu — iris заданной. Для полимеров она является функцией
температуры на поверхности аблирующего вещества.
Предположим, что разложение органической основы пластика
Следует мономолекулярному уравнению [34] и что массовая
скорость абляции, определяемая скоростью разложения органики,
может быть выражена зависимостью
ПОТ
yu-=Kse s, (3.50)
где Кs — химическая константа;
Es — Энергия активации;
R — газовая постоянная.
Подставляя выражения (3.32) и (3.50) в уравнение (3.49),
получим
q(/0-/s)}. (3.51)
Решая уравнение (3.51) подбором относительно Т8, можно
найти значение Т8, удовлетворяющее условию стационарной
абляции. Подставив полученное значение Ts в уравнение (3.50), найдем
массовую и линейную скорости стационарной абляции.
Иногда для инженерных целей данную задачу решают в
упрощенной постановке, не рассматривая кинетику разложения
вещества. Поскольку на практике величина Ts колеблется в сравнительно
узких пределах*, она принимается некоторым средним
постоянным значением, т. е. вводится в расчет как заданная
характеристика материала. Скорость абляции рассматривается при этом
как величина, определяемая непосредственно условиями подвода
* Согласно данным работы [34] для фенольного стеклопластика изменению
массовой скорости разложения на целый порядок соответствует изменение
температуры на фронте пиролиза всего на 25—30%.
240

тепла извне. При такой постановке задачи из зависимости (3.49)
с учетом уравнения (3. 32) имеем
Y IQs + (Ts — 7"h) c + 4q'l Co— Is)]
Толщина слоя, аблировавшего за время работы двигателя:
Минимально необходимая толщина аблирующего покрытия
определится как
Д А . Л- А
где Дос — толщина остаточного слоя, при котором температура на
тыльной стороне покрытия становится равной предельно
допустимой температуре конструкции Гдоп.
При постоянной скорости абляции толщину Аос, используя
указанные выше допущения, можно определить по формуле
ts - т»
Пример. Рассчитать покрытие предсопловой части двигателя со скрепленным
зарядом, имеющим форму звездки. Характеристики двигателя и заряда
см. в § 8 гл. V.
Исходные данные:
Диаметр камеры £>к = 454 мм;
Диаметр критического сечения сопла d* = 93 мм;
Время работы двигателя ^=18,25 сек;
Средний расход газа G=36,15 кГ/сек;
Калорийность топлива Q,K=875 ккал/кг;
Среднее давление в двигателе р = 70 кГ/см2;
Температура горения топлива 7"0 = 2300оК;
Газовая постоянная /?==31,8 кГ ■ м/кг°К.;
Коэффициент теплопроводности Яг = 3,90 • 10~s ккал/м ■ сек" К;
Критерий Прандтля Рг = 0,74.
Коэффициент конвективной теплоотдачи ак
v =- —— = ——-• 10"4^ 7,65-10—5 М2'сек;
р 70 '
р 70-104
о = —— = = 0,978 кг'м*-
gRT0 9,81-31,8-2300 '
I* = j)v^= 7,65-10-6-0,978 = 7,48-10-6 кГ-сек/яА
Расчет 65'дем проводить для двух сечений:
1) у нижнего основания заряда;
2) на входе в сопло.
241

l
1. Площадь сечения F = —— = 0,1619 л
4
X / dG \o,8
ао =— 0,023 I PrO.4 =
d \ F
0,023-3,9-10-5
0,454-36,15 \
0,8
0,74°'4 =
0,454 \ 0,1619-9,81-7,48-10v6
= 0,1428 ккал/м?-сек "К. "\
2. Площадь сечения F = 4F* — 0,0272 м2; d ----- 2 d* =11,186 .«.
cto = -
0,023-3,9-10-5
0,186-36,15
0,186 \ 0,0272-9,81-7,48-10-е
= 0,714 ккал1л&-сек"К-
0,8
0,Y40'4 =-.
Коэффициент теплоотдачи излучением для обоих вариантов примем по
данным § 4 гл. III равным ал =0,150 ккал!'м2сек° К.
Суммарный коэффициент теплоотдачи: otj =0,143 + 0,150 =
= 0,293 kkuajm2 сек°К; а2 — 0,714+ 0,150 = 0,864 ккал\мР- сек"К.
Скорость уноса покрытия
В качестве материала покрытия примем феиольный нейлон, основные
термодинамические характеристики которого приведены в работе [32]:
ст = 0,44; Ts = 1033° К; Qs = 330 ккал]кг\
X = 0,73; JpS =0,6; у = 1200 kF/m*.
Примем .4 = 0,66, лг = 0,41, тогда
«о
яг„ = -=—
А
cP(T0-Ts)
0,6(2300 — 1033)
0,44(1033-293+
= 1,38 а0 1-
ад+а0;
TTii
1
'1,41
Проверим правильность принятых значений А и т. При полученном
значении ms параметр вдува В= <5, что и соответствует диапазону
использования принятых значений Л = 0,66, т=0,41.
242

Скорость уноса материала
1_
1 QQ / \ 1 ,41
к_ = ■ а0 1 — лц сек:
s 1200 °\ ал+W
— в сечении 1 ия=0,273- 10~3 м/сек;
— в сечении 2 Us=0,94- 10~3 м/сек.
Толщина уносимого слоя:
— в сечении"/ Да6л = м8т=0>273- Ю-3 • 18,25=4,98- 10-3 м-
— в сечении 2 Да6л =0,94 • Ю-3 • 18,25=17,15 • 10-3 м.
Толщина прогретого слоя
Температуру границы слоя примем равной Г,1+20°С = 313°К. Коэффициент
температуропроводности материала примем равным таковому для феноло-фор-
мальдегидного полимера
а=0,143- 10-" мЧсек (см. табл. 3.6):
— для сечения /
a TS — TK 0,143-10-6 1033 — 293
-- и т~Тн 0,273-10-3 313-293
— для сечения 2
0,143-10—6 1033 — 293
ос== 0,94-10-3 " 313 — 293 ~ ' М'
Толщина покрытия
В сечении / Д„ = Да6л + Дос = 4,98 + 1,85 = 6,83 мм;
В сечении 2 Дп =- 17,15 + 0,54=17,69 мм.
§ 10. РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ АКТИВНОГО ТЕПЛОЗАЩИТНОГО
ПОКРЫТИЯ С ВНУТРЕННИМ УНОСОМ МАССЫ
В настоящее время теплозащитные покрытия с внутренним
уносом массы представлены, главным образом, армированными
пластиками и слоистыми композициями на их основе. Такие покрытия
используются во многих образцах ракет на твердом топливе. Так,
например, защита нижней части корпуса и днища двигателя
первой ступени ракеты «Минитмен» обеспечивается слоем
стеклотекстолита, максимальная толщина которого достигает 50 мм.
Известны образцы с корпусом из стеклопластика, внутренние слои
которого выполняют роль теплозащитного покрытия.
При воздействии на поверхность армированного пластика
потока горячих газов происходит разложение органического
связующего вещества: каучука, эпоксидной или фенольной смол и т. д.
При разложении связки образуются газы (Н2, СО, СН4, Н2О, С2Н4
и т. д.) и твердый остаток в виде жесткого углеродистого
соединения. Твердый остаток совместно с матрицами наполнителя (стекло-
или асботкань, рефразил и т. д.), а также с остатками неразложив-
шейся связки образует пористый слой. В частности, фенольные
смолы дают при разложении ~55% веса твердого остатка, а эпок-
243

сидные смолы ~20%. Твердый остаток, образовавшийся после
полного разложения связки, как правило, представляет собой
стабильное вещество, не претерпевающее изменений вплоть до
температур 1600—2000° К. Газообразные продукты разложения,
просачиваясь сквозь пористый слой, в зоне высоких температур могут
разлагаться с выделением пиролитического графита на
поверхности пор.
При высоких температурах вблизи нагреваемой поверхности
происходит взаимодействие углерода с окисью кремния,
сопровождающееся выделением тепла. При относительно высоких
давлениях, характерных для РДТТ, наиболее вероятной "является
реакция [5]:
/
Интенсивность протекания этой/ реакции оказывает влияние на
температуру поверхности. /
Одновременно на поверхности возможно окисление углерода
за счет кислородосодерж,ащих компонентов, диффундирующих
к поверхности из основного потока.
На поверхности покрытий из стеклопластика при нагреве
образуется пленка расплавленного стеклообразного материала.
Касательные напряжения от воздействия потока, омывающего
поверхность, и динамическое воздействие газа, просачивающегося из
внутренних слоев покрытия, вызывают диспергирование и унос
расплавленного материала с поверхности.
Оценивая роль факторов, определяющих разрушение
поверхности армированных пластмасс при нагреве, одна группа
исследователей отводит первое место химической эрозии (окисление
углерода на поверхности, взаимодействие углерода с кремнием) [5].
Другая группа исследователей считает, что разрушение
поверхности обусловлено в первую очередь растрескиванием обугленного
слоя вследствие внутренних напряжений из-за перепада давления
и сил поверхностного трения [28], [34].
Как показывают экспериментальные исследования, механизм
пиролиза органической связки может быть представлен как
реакция первого порядка по отношению к исходному веществу.
Скорость мономолекулярной реакции, в результате которой
относительный вес неразложившегося вещества т непрерывно убывает,
определяется зависимостью
е_
dm г. W
dt
где Кт— предэкспоненциальный множитель;
Со— плотность исходного материала;
'р— относительное содержание разлагающейся связки в
покрытии;
/г— относительная доля связки, обращающаяся в газ;
244

е— пористость, т. е. доля объема, занимаемого порами,
которые образуются в результате разложения связки;
Т— температура в данной точке покрытия,
Е— энергия активации для определяющей реакции
разложения.
В уравнении (3. 52) выражение в скобке, умноженное на
плотность исходного материала, характеризует концентрацию
реагирующего вещества, которая в ходе пиролиза непрерывно убывает.
Экспоненциальный множитель характеризует зависимость скорости
реакции от температуры (закон Ар-
рениуса). Величины Km и Е
являются химическими константами,
характеризующими кинетику разложения
данного вещества.
Будем полагать, что разложение
связки при прогреве покрытия
представляет собой процесс,
протекающий с различной интенсивностью (в
зависимости от местной
температуры) по всей толще материала. Это
означает, что уравнение (3.52)
выполняется при любых температурах,
начиная с нормальной. Это
предположение не противоречит здравому
смыслу, поскольку при значениях Т,
близких к начальной температуре
материала Гн, скорость разложения, Рис. 3.19.
вычисляемая по формуле (3.52),
практически получается равной нулю. В то же время это упрощает
решение, избавляя от введения какой-то пороговой температуры,
величина которой является сугубо условной. Содержание неразло-
жившейся связки по толщине слоя в направлении к нагреваемой
поверхности монотонно убывает. В некоторый момент времени для
псверхностного слоя содержание связки становится равным нулю.
Появляется обугленный слой, толщина которого в процессе работы
двигателя непрерывно возрастает (рис. 3.19).
Незначительная часть образующегося при пиролизе газа
остается на месте, заполняя образовавшиеся в материале поры, основная
же масса перемещается через поры к поверхности. Массовый
расход газа на единицу площади, нормальной к направлению
движения газа, в некотором произвольном сечении слоя составит
(3-53)
где х — расстояние данного слоя от нагреваемой поверхности
покрытия;
Дп — толщина покрытия
245

Сомножитель (1—Qr/eo) учитывает количество газа, остающееся
в зоне образования на заполнение пор. Для упрощения записей
введем обозначение %=%(1—Qr/Qo).
Входящее в выражение (3.53) значение е определяется для
каждого сечения как
t Е_
A--)e~Rfdt. (3.54)
О
При этом необходимо иметь в виду, что максимально
возможное предельное значение е, которое достигается при полном
разложении связки, составляет епр=р%г- Интегрирование^яыражения
(3. 54) ведется до этого значения, после чего для любого
последующего промежутка времени в данном сечении е=епр = const.
Навстречу переносу вещества направлен тепловой поток от
поверхности в глубь стенки. Ввиду малых размеров пор можно
полагать, что в любой точке покрытия соблюдается местное равенство
температур твердого остатка и просачивающегося через него газа.
Исходя из этого выведем уравнение теплопроводности для
покрытия, в котором идут процессы термического разложения связки.
Выделим в покрытии элементарный участок длиной dx (см.
рис. 3.19), ограниченный контрольными плоскостями,
нормальными к направлениям распространения газа и тепла. За
положительное направление координаты х примем направление
распространения тепла. В рассматриваемый элемент через единицу
площади в единицу времени за счет теплопроводности слева поступает
количество тепла
где Апр — эффективное значение коэффициента теплопроводности
пористого материала.
За это же время через контрольную поверхность справа
посредством теплопроводности отводится количество тепла
. дТ д ( , дТ
#2= ~Лпр т—гт~\ — пр ■;
1 дх дх \ 'о
Вместе с газом, поступающим в рассматриваемый элемент
справа, вносится количество тепла, равное
где G — расход газа в рассматриваемом сечении.
Газ, вытекающий из элемента через левую контрольную
поверхность, уносит с собой количество тепла, равное
g4=GcrT.
246

Реакция разложения органических связок эндотермична. В
самом объеме за единицу времени при разложении материала
поглощается количество тепла, равное
dm ,-. ,
где Qs — тепловой эффект реакции разложения связки.
Изменение теплосодержания элемента за это же время равно
где Qnp — приведенная плотность материала с учетом газа,
заполняющего поры;
сПр — приведенная теплоемкость пористого слоя с учетом
теплоемкости газа.
Уравнение теплового баланса выделенного элемента
или после подстановки соответствующих выражений и сокращения
на dx получим
дТ д /, дТ \ , „ дТ dm „ ,о сс.
Разделив обе части равенства на спрдПр и подставив в
уравнение (3.55) выражение (3.52), получим уравнение
теплопроводности разлагающегося покрытия
Е
CnpQnp дх \ пр дх J dt Qn^Cnp дх сп,.епр \ уг
(3. 56)
Для решения уравнения (3.56) используются граничные
условия:
— на нагреваемой поверхности покрытия
где а/ — эффективный коэффициент теплоотдачи от газа к
поверхности покрытия;
Тс.в — температура на поверхности покрытия;
— на границе несущей стенки и покрытия
В качестве начального условия примем Г (0, х) =7"п = const.
247

Температурное поле стенки несущей конструкции определяется
обычным уравнением теплопроводности
д*тк_дтк
и
dt
с граничными условиями (3.57) и при х = Дп+Ак
где <7с.н — тепловой поток через наружную поверхность стенки.
Для внутренних деталей ракеты в первом приближении можно
полагать qc.n=Q- Если несущим элементом конструкции является
корпус ракетной камеры, омываемый снаружи набегающим
потоком воздуха, величина qc.n определяется условиями
аэродинамического нагрева оболочки.
Если в процессе работы покрытия происходит разрушение
и унос его поверхностного слоя, граничные условия необходимо
дополнить уравнением, описывающим перемещение поверхности
раздела фаз: xc,B=f(t).
Итак, температурное поле несущего элемента конструкции и
покрытия, подвергающегося пиролизу при нагреве, определяется
системой,уравнений:
Для покрытия
пр дх
{
dt
дх
| KmQSQo U
cn(jQnp \
s = enp = const
Е
' RT
e=f Л (?-—)* RT dt при
J \ Xr /
0
при
при x — xQB=(
при x=^u
пр
дх
дТк
, 1
а ~~ 'h дх
пр дл:
248

Для несущего элемента
д2Тк дТк
а,-
dt
при *=ДП Хпр^-Р
при л; = Дп-|-Дк —
при ^ = 0 Тк{0,х) = Ти=- const.
Если несущий элемент конструкции изготовлен из металла
(сталь, титановый либо алюминиевый сплав), отношение A,tAnp
составляет ~103. При этом можно, принимая температуру металла
Тк по толщине несущего элемента Ак постоянной, условие на
границе покрытия и несущей конструкции представить в виде
Теплофизические параметры материала (Kav, cnp, Qnp),
вошедшие в состав коэффициентов, существенно зависят от состояния
материала (температура, пористость). При расчете численные
значения этих параметров могут задаваться эмпирическими
зависимостями
Для того чтобы привести указанную систему уравнений к
безразмерной форме, перейдем к безразмерным переменным:
т
безразмерная температура;
л:—я/дп —безразмерное расстояние;
~t = t\x —безразмерное время.
Введем также относительную пористость е = е/еПр- При этом
расход газа через произвольное сечение покрытия выразится
формулой
1 i_
${-z)e~ B dx.
Представим зависимости теплофизических параметров
материала от пористости и температуры в виде
*ир=*аЛ(з~, 6),
249

где Ко, с0, до — значения теплофизических параметров для
исходного состояния материала покрытия.
При использовании новых переменных система уравнений
примет вид:
Для покрытия
-^ ^Kmf ((1 -
а0 «о дх J
где ao = WcoQo— коэффициент температуропроводности для
исходного состояния материала покрытия;
7 -' 1_
eft при
б
;=1=^const начиная с
при х =хсв ■ ("с
при х=1 —-
при J=0 6 [х, 0)
несущего элемента
акт dt
при л:=1
при
при
(Я о) = ен.
Для случая металлической стенки граничное условие для
контактной поверхности покрытия и металла можно представить
в виде
дх
аох dt
250

Из анализа полученной системы уравнений следует, что
комплексами и характеристиками, определяющими подобие
температурных полей при использовании покрытий из обугливающихся
материалов, являются:
А -К х- [< (3'58)
1> 2, 3
/, G, 9); Л (г, б); Ап1А или М.
Основная трудность выполнения точного подобия процессов,
протекающих в покрытиях из различных материалов, состоит
в том, что теплофизические параметры материала существенно
зависят от его состояния (температура, пористость). Эта зависимость
является, строго говоря, индивидуальной, присущей только
данному материалу.
Следовательно, речь может идти лишь о приближенном
моделировании процесса для отдельных групп материалов, для которых
зависимости Сщ>дпр и Хар от температуры и пористости можно
полагать сходными, т. е. считать, что функции /i(e, 6) и /2(е, 9) для них
примерно одинаковы. В этом случае основными определяющими
критериями остаются комплексы (3.58). Первый из них
представляет критерий Фурье для покрытия, рассчитанный при значении
коэффициента температуропроводности для начального состояния
материала. Второй является критерием Био, рассчитываемым при
значении коэффициента теплопроводности для поверхностного слоя
материала. Поскольку на поверхности материала пористость и
температура в течение очень короткого времени достигают своего
предельного значения, для всего процесса этот коэффициент с
незначительной погрешностью может быть принят постоянным, равным
своему значению при е=еПр, Т = ТС.Ъ.
Критерий Л] представляет отношение теплоемкости газа,
образующегося на единицу веса покрытия, к .теплоемкости исходного
материала.
В критерий А2 входит комплекс ^~ , имеющий размерность
Ci j г\
теплоемкости и характеризующий количество тепла, выделяемого
на 1 градус в процессе пиролиза 1 кг исходного материала.
Следовательно, критерий Л2 характеризует соотношение количеств
тепла, аккумулируемого при нагреве исходного материала и
выделяемого при пиролизе. Критерий Л3 представляет отношение
продолжительности процесса нагрева х к характерному времени
реакции пиролиза I/Km и является некоторым безразмерным временем
пиролиза, подобно тому, как критерий Фурье является
безразмерным временем процесса нагрева.
251

При использовании критериев (3.58) основное уравнение
теплопроводности для покрытия принимает вид
/2(г,
Fon
Fon
di
Fon
(1-1)/
Полученная система уравнений является универсальной,
охватывающей широкий круг условий, встречающихся- "при
использовании различных теплозащитных материалов при различных
условиях подвода тепла к поверхности покрытия.
Рассмотрим некоторые предельные случаи, которые позволяют
упростить эту систему уравнений.
Перемещение внутренней поверхности покрытия
с некоторой постоянной скоростью при высоком уровне
тепловых потоков к поверхности
Такое перемещение характерно при использовании
армированных пластиков в условиях сильного эрозионного воздействия
газового пртока, например, на поверхности входного либо выходного
раструбов сопла. Как показывают
экспериментальные исследования [27], [42], в
пластике образуется резко выраженный
фронт пиролиза, делящий материал на
две зоны: зону, в которой происходит
нагрев материала без заметного
термического разложения, и зону за фронтом
пиролиза, представляющую обугленный
слой. Все реакции пиролиза при этом
начинаются и завершаются в относительно
узком слое (фронт пиролиза), который в
первом приближении можно
рассматривать как плоскость разрыва
термохимических свойств среды. Скорости
перемещения фронта пиролиза и внутренней
поверхности покрытия, изменяясь во
времени с начала процесса, очень быстро
уравниваются. После этого толщина
обугленного слоя, заключенного между этими поверхностями,
сохраняется постоянной во времени.
Подобный случай имеет место также при использовании неар-
мированных пластиков и каучуков в условиях малых скоростей
газового потока, когда при пиролизе материала на поверхности
образуется тонкий слой углеродистых остатков и неразлагающихся
частиц наполнителя (например, мел, окись магния, окись цинка
Рис. 3. 20.
252

и т. д.). Толщина слоя частиц, уносимых потоком, при
стационарной абляции остается постоянной. Определение температурного
поля этого слоя с помощью методики, излагаемой ниже, позволяет
внести уточнения в расчет покрытия, рассмотренный ранее.
Итак, в данном случае применима следующая упрощенная
схема процесса (рис. 3.20). Используя подвижную систему
координат, получим:
— для зоны перед фронтом пиролиза
д?-Т дТ
а — = —и —;
dxi дх
— на фронте пиролиза
&Un«PQa, (3-59)
дх !s ll\dx )s
где и — скорость перемещения фронта пиролиза.
Здесь Хпр берется при е = епр-
Ыа внутренней поверхности покрытия
пр
дх ,
с.в
(3.60)
В уравнении (3. 59) первый член в правой части, представляющий
тепловой поток, отводимый от фронта пиролиза в глубь покрытия,
согласно (3.32) равен
Обозначим
' * ' н
тогда
В этом случае массовый расход газа по всей толщине
пористого слоя принимается постоянным, равным на единицу площади
покрытия и
Уравнение теплопроводности обугленного слоя принимает вид
= —QUV. , (3.61)
с t о дх^ дх
где
253

Переходя от частных производных к полным, поскольку
единственной переменной является координата х, дважды интегрируя
уравнение (3.61), получим
Т--
где
QUX
(3. 62)
Найдем постоянные интегрирования.
При x=L
Откуда
При х=0
Откуда
дТ_
дх
— s пд (т — Т'\ еы-
— } V s i s) e •
Лпр
Сг,ча„
Лпрх
После подстановки постоянных интегрирования уравнение
температурного поля обугленного слоя (3.62) примет вид
т=тсл —
стйп
(3. 63}
Лпр*
Полагая x = L, T = TS, решим уравнение (3.63) относительно
толщины обугленного слоя:
(3. 64)
Величину Тс.в определим из условия
<1х с.в
Подставляя величину Сх и используя граничное условие (3.60),
получим
1
(Ts - Ts) е"- = -г-— (а - \msXcT) (То - TCJ.
(3. 65)
254

Поскольку согласно уравнению (3.64)
^гтлЯ-лр * q * $
подставляя эту величину в уравнение (3.65) и решая последнее
относительно Гс.в, получим
\ т5сид пл ) \ спла„р
Неподвижная внутренняя поверхность покрытия и постоянная
температура на фронте термического разложения
Схема тепловой защиты, рассмотренная выше применительно
к армированным стеклопластикам, успешно реализуется также при
использовании пористых металлов (вольфрам, молибден),
заполненных специальным охладителем — материалом, который при
нагреве газифицируется с поглощением больших количеств тепла.
Из таких комбинированных материалов целесообразно
изготовлять детали, размеры которых во время работы РДТТ должны
оставаться строго постоянными (сопловые вкладыши, клапаны
вдува горячего газа в сопло для регулирования вектора тяги,
газовые рули и т. д.) [12], [50]. При разработке подобных материалов
открывается более широкий выбор компонентов, в особенности
уносимого вещества — охладителя, чем при использовании
пластиков, расширяется диапазон теплоэнергетических характеристик
материала. Этим объясняется возрастающий интерес к данному
способу тепловой защиты и проведение специальных
исследований в этом направлении [47].
При работе такого покрытия имеет место начальный период,
предшествующий кипению хладоагента. Для этого периода
используется система уравнений:
при х=0
при х = Ап
(3.67)
Здесь Ям, ом — приведенные коэффициенты теплопроводности и
температуропроводности для всей композиции
с наполнителем.
255

После того, как на внутренней поверхности покрытия температура
достигает точки кипения хладоагента (ТС.В = ТН) и образуется
перемещающийся в глубь -покрытия фронт кипения, появляются две
области:
а) область за фронтом кипения хладоагента
д^'Г д'Г а дТ
прах2 dt дх
при х=0
при x = L
а; (3.68)
ТВР = ТМ-ТК = const;
б) область перед фронтом кипения, для которой остается в силе
уравнение (3.66) при граничных условиях (3.67) и (3.68).
Здесь к —скорость перемещения фронта кипения;
Хпр, алр — коэффициенты теплопроводности и
температуропроводности, определенные для каркаса, заполненного парами
хладоагента;
QK —скрытая теплота кипения.
Известны аналитические решения несколько измененной
системы уравнений, основанные на упрощающем предположении
о постоянстве температуры поверхности. Такой подход является
слишком грубым и главное обесценивает решение задачи,
поскольку основное назначение рассматриваемой модели состоит
в обеспечении температуры поверхности ниже некоторой
допускаемой величины. Решение представленной выше системы уравнений
возможно лишь численным методом.
Такое решение на цифровой вычислительной машине было
получено в работе [12] для сопловых вкладышей из пористою
вольфрама с использованием в качестве наполнителей меди, серебра,
тефлона и цинка. Расчеты проводились для температуры газа
в сопле 7'о = 37ОО°К, превышающей температуру плавления самого
вольфрама (3600°К), и показали эффективность такого метода
тепловой защиты.
Как показывает анализ расчетных данных, температура на
нагреваемой поверхности пористого вкладыша следует зависимости
где t — время нагрева в сек;
А и Ь — коэффициенты аппроксимации.
Коэффициент А представляет собой предельную равновесную
температуру поверхности, которая может быть достигнута при
256

t—+oo. Эта температура определяется из условия равенства
теплового потока, направленного к поверхности, теплосодержанию паров
хладоагента, уходящих с единицы поверхности в единицу времени::
Коэффициент b характеризует темп нагрева.
§ 11. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ АКТИВНЫХ ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ
ПОКРЫТИИ
Теплофизические параметры активных теплозащитных
покрытий можно разделить на три группы:
а) теплофизические параметры исходного материала, от
которых зависит интенсивность отвода тепла в покрытие перед
фронтом пиролиза, Ям, -ум, См, аы;
б) параметры, характеризующие кинетику разложения
органической связки, Кт, Е, Qs;
в) таплофизические параметры пористого слоя ЯЭфф, сЭфф, аафф>
' предельная пористость еПр-
Как показывают исследования, проведенные В. С. Биль и
Н. Д. Автократовой [4] в области температур 20—170° С,
коэффициенты теплопроводности и температуропроводности большинства
полимеров могут быть выражены формулами:
\ = Х0 + АТ; (3.69)
ал = аа — ВТ, (3.70)
где ).о и а0 — значения коэффициентов при 0° С;
А и В — постоянные величины, зависящие от природы
материала.
В табл. 3. 6 приведены экспериментальные значения аа, Яо, А и
В, полученные для ряда полимеров [4]. Из материалов,
приведенных в таблице, наилучшими теплоизоляционными свойствами
обладают полиамидная смола 54, а также модифицированные смолы
Ф-10 и ТФЭ-9.
Теплопроводность покрытий возрастает с увеличением
наполнителя. Так, теплопроводность покрытий из сырого и
вулканизированного каучука с увеличением содержания окиси цинка возрастает
от 0,00032—0,00044 кал/см ■ сек° С для чистого каучука до 0,00053—
0,00059 для каучука с 30% ZnO [35]. Зависимость коэффициента
теплопроводности от температуры с увеличением наполнителя
также возрастает.
Рассмотрим параметры, характеризующие кинетику пиролиза
материалов, используемых в теплозащитных покрытиях с уносом
массы. Для материалов с аблирующей поверхностью основной
характеристикой пиролиза является зависимость линейной скорости
пиролиза от температуры поверхности.
9 3058 257

Таблица 3.6
Материалы ,
ккал/м-сек °К

Температурные
пределы
применения
формулы
(3. 69)
°С
а0
м21сек
В

Температурные
пределы
применения
формулы
(3. 70)
°С
Феноло-формальдегидный
полимер
Фураиовый полимер ФГ-2
Кремнийорганический полимер
КМ-9
Эпоксидная смола ЭД-5
Полиамидная смола 54
Поливини лбу тира ль
Полистирол
Полиметилметакрилат
4,9-10-5*
0,205
-2,78-10-5
0,116
4,1-10-5
0,170
4,37-10-5
0,183
3.45-1С-5
0,144
6,48-10-5
0,271
2,23-10-5
0.С93
3,88-10-5
0,162
2,87-10-8
12-10-5
17,3-10-8
72-10-5
9,1 -Ю-8
38-10-5
0,СО
8,14-10-8
34-10-5
21,3-10-8
89-10-5
7,9-10-8
33-1С-5
20—110
20—55
110-170
70-170
20—120
20—100
20—90
20-80
0,143-10-6
0,136-10-6
0,155-10-0
0,170-10-6
0,092-10—с
0,132-10-G
0,170-10-6
0,129-10—0
0,129-10-6
0,00073
0,00026
0.0С0215
0,00108
0,0
0.С0044
0,0006
0,00038
0,00038
20—110
20—170
20—170.
20—70
70—170
20—120
20—100
20—90
20—80
1210
1200
1160
1260
1150'
1270
1025
1210

о
CS1
c
1
> о
O4 00
Ю00
ОТ 00
о о
88
о о
с
со
? О
СО О
со оо
о о
о
с
э
см
со
-01
СО
ю
1
О
СО
т
о
ОО
СО
см
от
о
170
«!
О!
то
о
о
о"
- 1
с
о
о
о
t~
с
О!
-01
■*
16,
1
о
со
ю
-01
со.
со
см
от
о
В качестве примера на рис. 3.21
представлена такая зависимость для сополимера на
основе полистирола и для эпоксидной смолы. Эта
зависимость, как показывает эксперимент,
следует закону Арреаиуса [20]. Значения Ктв и
энергия активации определяются из графика,
сек
7
о-1
in-?
Ю'3
<п-Ь
Ю'5
\
к.
N
^,
\
\
\
\^
N.
N.
\
ч
\
г
3
Ч
^^
\j
\
\
\
1,0 1,1 1л Кб
2 0 zz
Рис. 3.21. Зависимость линейной скорости
пиролиза от температуры:
/—Р-13 сополимер на основе каучука;
2—эпоксидная смола (эпон-562): 3— перхлорат аммония
подобного рис. 3.21. При построении графика
в полулогарифмическом масштабе в
координатах In и и 1/Т8 энергия активации опреде
ляется как
о к
к о
S S
о о
йо
ид
га
S.
о
х та
<и ч
•©■2
5«н
lit ^
Эп
is
>>ra
•в- *
9*
5
ч
0)
H
К
си
s
га
s
Г0
Щ
где ui и и2— линейные скорости пиролиза,
соответствующие температурам поверхности 7"Si
и Т82. Предэкспоненциальный множитель
определяется как
Основная трудность при эксперименте
состоит в точности определения температуры
поверхности Ts, фиксируемой обычно с помощью
микротермопар. Для этой цели может быть
259»

также использован метод нагрева поверхности материала
пластинами из пористого металла [23]. При этом температура пластин
контролируется посредством омического пирометра. В табл. 3.7
приведены характеристики пиролиза некоторых полимеров.
Таблица 3. 7
Характеристики
Энергия активации Е в
ккал/моль
Предэкспонент KmS в
см/сек
Материал

Эпоксидная смола
эпон-552
18000
8,6
Р-13
сополимер
на основе
полистирола
21500
22 400
18

Полистирол
36 400
12 000
Каучук
QRS-32
22 000
2,9
Константы, определяющие линейную скорость пиролиза
покрытий с внешним уносом массы, могут быть использованы для расчета
покрытий с внутренним уносом массы, если при их нагреве
образуется резко выраженный фронт пиролиза, в котором практически
сосредоточивается весь процесс разложения газифицируемого
компонента покрытия. Однако во многих случаях при внутреннем уносе
массы процесс разложения этого компонента носит объемный
характер и характеристики кинетики пиролиза должны определяться
применительно к объемному процессу. Характеристики Kmv и Е
при этом должны определяться по убыли веса образца при нагреве
его в условиях постоянной температуры для ряда температур.
Энергия активации, определяемая при этом, очевидно, должна
совпадать со значением, определяемым по формуле (3.71) для линейной
скорости пиролиза. Необходимо заметить, что равенство обоих
значений предполагает использование для линейной скорости
пиролиза зависимости с показателем экспоненты — E/2RTS. Для
типичного стеклопластика на основе фенольной смолы Бичер и Розен-
свейг [5] указывают значение 7(т7,= 1-106 сек-1 при Е =
= 11 000 ккал/моль.
Для эпоксидной смолы Мэтью [28] приводит значение
Kmv= 1,1 • Ю5 сек-1 при £ = 36 900 ккал/моль.
В табл. 3.8 приведены значения теплоты разложения Qs,
определенные из эксперимента для некоторых полимеров [14].
Как следует из табл. 3.8, для достаточно широкого круга
полимеров величина Qs изменяется в относительно узких пределах
от 80 до 130 ккал/кг.
Значительное количество исследований было посвящено
определению теплоты пиролиза фенольных смол, являющихся основой
большинства армированных пластиков, однако полученные
результаты имеют значительные расхождения. Экспериментальное опре-
260

Таблица 3.8
Полимер
Полиметилметакрилат (С5Н8О2)/г
Полистирол (С4Н8)„
Полиизобутилен (C4Hg)n
Полибутадиен (С4Н6)Л
ккал
Qs
моль
13,0
16,4
12,6
17,9
ккал
Qs
кг
130
102
92
82
деление теплоты пиролиза фенольной смолы, проведенное при
различных температурах [24], показало, что Qs является переменной
величиной, возрастающей с ростом температуры пиролиза. Так,
в диапазоне температур Г = 400—880° С величина Qs меняется от
206 до 412 ккал/кг.
Очевидно, ори решении на ЭВЦМ рассмотренной выше системы
уравнений возможно задавать Qs в виде функции от локальной
температуры материала. Второй возможный подход состоит в
определении некоторой характерной температуры пиролиза, в
окрестностях которой происходит деструкция основной массы материала,
характеризуемая некоторым эффективным значением Qsf. Так,
например, в работе [24] для фенольной смолы в качестве характерных
значений рекомендуются rsy = 538°C, Qs/ = 256 ккал/кг.
Состав и свойства летучих продуктов пиролиза фенольной
смолы, полученные при различных температурах пиролиза,
приведены в табл. 3. 9.
Таблица 3.9
Свойства и компоненты
Доля летучих продуктов /Г
Средняя удельная теплоемкость сГ ккал/кг °К
Средний молекулярный вес
Теплота пиролиза Qs ккал/кг
Состав газа в весовых (%):
Н2
СО
Н2О
сн4
Температура пиролиза
400
0,107
0,47
26,2
206
0,4
0,4
47,0
1,8
600
0,377
0,46
26,0
281
1,7
17,8
13,0
9,4
880
0,494
0,52
15,4
412
6,3
54,4
7,0
5,3
261

Продолжение
Свойства и компоненты
с2н6
N2
СО2
О2*
Бензол
Толуол
Ксилены
Фенол
Крезолы
Диметнлфенол
2-пропанол
Ацетон
Температура пиролиза
400
0,1
6,1
ИЛ
0,0
0,3
0,3
1,2
6,1
12,1
4,6
4,8
3,7
в °С
600
4,0
9,6
3,4
3,8
3,0
5,3
2.8
9,0
12,5
4,7
—
—
880
1,2
9,4
4,6
2,7
1,5
2,4
1,3
1.8
2,1
—
—
—
* Частично мог попасть из воздуха.
При выводе уравнения (3.56) мы исходили из эффективной
теплопроводности обугленного (разложившегося) слоя.
Рассмотрим, от каких факторов зависит величина АЭфф.
Передача тепла от поверхности в глубь разложившегося слоя
будет осуществляться:
1) теплопроводностью вдоль твердого каркаса, образовавшегося
вследствие разложения материала;
2) молекулярной теплопроводностью газа, заполняющего поры
разложившегося слоя;
3) излучением в порах от более нагретой поверхности к менее
нагретой;
4) конвективными потоками газа внутри пор.
Как показывает сравнительный анализ эффективности каждого
из перечисленных способов, решающая роль в передаче тепла
внутри разложившегося слоя принадлежит первым двум факторам.
Третий и четвертый факторы при малых размерах пор и при
незначительном температурном перепаде внутри каждой поры не могут
иметь существенного значения и при расчете теплопроводности
разложившегося слоя не принимаются во внимание.
Лабораторные исследования теплопроводности различных
пористых систем показывают, что природа каркаса системы
сказывается на ее теплопроводности главным образом через пористость
и размеры пор. Опыты, проведенные при одной и той же пористости
262

системы (е = 0,63) с материалами каркаса, отличающимися по
коэффициенту теплопроводности почти в 20 раз, дали примерно
одинаковые значения эффективной теплопроводности. Влияние
теплопроводности материала каркаса начинает сказываться на величине
Яэфф при низкой пористости, однако и в этом случае, если
рассматривают сходные между собой материалы, роль теплофизических
свойств в определении эффективной теплопроводности остается
второстепенной.
Как показывает эксперимент, эффективная теплопроводность
возрастает с уменьшением пористости материала и с увеличением
размера частиц (зернистости).
Зависимость ЯЭфф от размера зерен выражается эмпирической
формулой
Кфф = Л(\~е-^), (3.72)
где of —диаметр зерен;
А и т — эмпирические константы, являющиеся характеристиками
данного материала.
Как следует из формулы (3.72), изменение размера зерен
начинает сказываться на величине Яэфф лишь для грубо дисперсных
систем лри превышении некоторого предельного диаметра dnv,
который согласно экспериментальным данным составляет около 1 мм.
Для мелкодисперсных систем изменение размера зерен на
эффективную теплопроводность влияет слабо и кривые зависимости ЯЭфф
от пористости или объемного веса, построенные для систем с
различными размерами зерен, сливаются в плотный пучок. Это
позволяет в первом приближении с достаточной для инженерных
расчетов точностью не учитывать влияния диаметра зерен.
Многие исследователи пытались подойти к определению
эффективной теплопроводности дисперсных материалов, исходя из
упрощенных структурных схем.
Согласно одной из таких схем дисперсный материал
рассматривается как система, состоящая из брусков вещества, уложенных
определенным образом (например, в шахматном порядке) (см.
работы Д. Ф. Старостина, Русселя, Рибо). Некоторые работы
основаны на схеме, представляющей материал в виде твердого
монолита с включенными в него отдельными, не связанными друг с
другом порами (В. И. Оделевский, Г. М. Серых). Наиболее
распространенная схема представляет дисперсный материал в виде
различных укладок шарообразных частиц (О. Е. Власов, В. 3.
Богомолов, Б. Н. КаУФман, А. С. Ляликов, Эйкен и др.). Грубые
допущения, используемые при выводе аналитических зависимостей,
обусловливают значительное расхождение расчетных и
экспериментальных данных. Для материалов с высокой пористостью (почва,
уголь, шлаки) наилучшее совпадение теории с опытом достигается
при использовании формул, выведенных в предположении, что
дисперсный материал представляет собой укладку шарообразных
263

частиц. В качестве примера такой зависимости приведем формулу
В. 3. Богомолова:
nJ7=Si-' (3"73)
где е — пористость в % •
Экспериментальные данные качественно подтверждают
зависимость (3.73) [8].
На практике чаще используются эмпирические формулы,
выражающие эффективную теплопроводность в функции объемного веса
дисперсного материала.
Примерами такой зависимости являются формулы Б. Н.
Кауфмана:
— для неорганических сыпучих материалов зернистого
строения с размером зерен 0—0,15 мм
^эфф = 0,13ч + 0,016ч2+ 0,022;
— для органических связанных материалов тонковолокнистого
строения
)^фф =- 0,136\-2 + 0,072-y3 -|- 0,097у + 0,022 -f 0,0073y0-8,
где - у — объемный вес в т/м3;
^эфф —.в ккал/м ■ час ■ град.
Заметим, что указанные зависимости получены для температур
20-f-25o С. С повышением температуры эффективная
теплопроводность системы газ—твердое тело должна возрастать, поскольку
теплопроводность обоих компонентов с ростом температуры
увеличивается. Влияние температурного фактора предлагается
учитывать эмпирическими формулами, связывающими величину
с^эфф/dT с объемнцм весом и размерами зерен [44]. Так, Б. Н.
Кауфман предлагает зависимости:
— для зернистых материалов
— = 0,0065 (2,45у + 1) + 0,095 [d - 0.66)1-1;
dT
— для волокнистых материалов
— ^0,085 [2,55y2 +1,&у+ 0,0325 (rf-3)0-8
riT l у
Интересующее нас произведение эффективной плотности на
приведенную теплоемкость пористого материала можно представить
как
264

§ 12 НАГРЕВ И ЭРОЗИЯ СОПЛА
Сопло ракетного двигателя является наиболее теплонапряжен-
ным элементом конструкции РДТТ. Поскольку коэффициент
теплоотдачи при конвективном теплообмене пропорционален G°>8/d°>2,
наибольшее его значение соответствует критическому сечению
сопла, для которого обеспечивается максимальная величина G,
поскольку q(X) = 1 при минимальном диаметре.
Для определения коэффициента теплоотдачи в сопле Бартцем
[51] была предложена зависимость
где b — радиус кривизны стенки сопла в меридиональном сечении
Параметры газа g/, \if взяты при определяющей температуре,
рассчитываемой по формуле:
Т} = 0,5 (70+7-с.„) + 0,22 Рг"3 (700 - Го), ,
где ГОо — температура торможения;
То — статическая температура.
Экспериментальная проверка зависимости Бартца показала
удовлетворительную сходимость расчетных и экспериментальных
данных по всей длине сопла, за исключением небольшого участка
перед критическим сечением.
Для небольших двигателей при использовании топлив типа
JPN полный коэффициент теплоотдачи в критическом сечении
сопла может определяться по формуле [39]
а = 500 +0,33 (р)
0,8
Высокоскоростной поток газа, воздействуя на нагретую до
высоких температур поверхность, производит унос материала. Это
явление называют эрозией сопла. Основную роль в эрозии играет
механическое воздействие потока на поверхность сопла,
вызывающее пластические деформации поверхностных слоев с
последующим нарушением оплошности и уносом частиц.
Основными факторами, определяющими степень эрозии,
являются:
1. Параметры газового потока (плотность, температура,
содержание твердых частиц).
2. Тепловое состояние поверхности сопла.
3. Материал сопла.
4. Продолжительность работы двигателя.
5. Форма конструкции.
Эрозия сопла приводит к изменению режима работы двигателя.
На рис. 3.22 приведены типичные диаграммы давления, получен-
265

ные при сжигании зарядов весом в 1,15 кг с различной начальной
температурой в ракетной камере диаметром 76 мм [39]. Слева
воспроизведены диаграммы, полученные при незначительной эрозии
сопла. Диаграммы справа получены при значительной эрозии сопел,
обусловленной их малым диаметром. Во втором случае
наблюдается резкое падение давления к концу горения заряда. Для
двигателей со строго регламентированным режимом работы,
например для тех, которые применяются в управляемых ракетах,
изменение размеров сопла вследствие эрозии может привести к
недопустимым отклонениям тяги от заданного значения.
р .
<гкмг Одинарное сопло
200
100
О
t
100
о
100
Шесть стальных сопел с диамет]
ром критического сечения7,3мм
40
11
-23
0,2 0,4 0,5 0,8 1,0 0 0,2 0,4 0,6
1,0 t сея
Рис. 3.22. Влияние эрозии сопла на диаграмму
давления
Основными направлениями, которые могут быть использованы
в борьбе с эрозией сопла, являются:
1. Применение материалов, хорошо проводящих тепло, но
имеющих относительно низкую температуру плавления.
2. Применение жаростойких материалов (температура
плавления выше температуры торможения газового потока).
3. Применение охлаждения.
Применение в соплах материалов, у которых температура
плавления ниже температуры торможения газового потока,
целесообразно при относительно малом времени работы двигателя. Данные,
приведенные в табл. 3. 10, позволяют оценить зависимость эрозии
сопла при малом времени горения заряда (0,45 сек) от
характеристик материала и температурного состояния поверхности сопла.
Эксперименты были проведены на двигателе калибром 82,5 мм
с шестью соплами (с?* = 6,35 мм).
Из табл. 3.10 следует, что значительная эрозия сопла
наблюдается в тех случаях, когда расчетная температура на внутренней
поверхности сопла близка к температуре плавления материала.
Таким образом, не вдаваясь в подробности механизма эрозии,
266

Таблица 3.10
Металл или сплав
Гастелит (сплав
хрома, никеля, молибдена с
добавкой кобальта)
Стеллит (сплав
кобальта, вольфрама и
хрома)
Инконель (сплав
никеля и хрома)
Нержавеющая сталь
Монель К (сплав
никеля и меди)
Хромистая сталь
Холоднокатаная сталь
Тантал
Железо
Бериллий
Хром
Алюминий
Медь

Коэффициент

проводности X
ккалш-час
°С
10,9
12,6
12,9
14,0
22,3
25,2
31,2
47,5
t8,5
138
238
238
312

Удельный вес
Ym-10-з
8,9
8,4
8,5
8,0
8,5
7,8
7,8
16,8
7,8
1.8
6,8
2,7
8,9
Объемная

теплоемкость
ккал/м3°С
917
838
925
—
1060
847
1310
С 00
1255
940
1290
747
1120
Предел
прочности
на
растяжение ав
—
1400 при
850° С
0 при
1000 ° С
0 при
850° С
—
0 при
1000° С
—
—
0 при
300° С
0 при
550° С
Расчетная

температура
внутренней
поверхности сопла
Тс.в. "С
1480
1450
1480
1450
1200
1150
1120
955
955
670
580
565
510

Температура

плавления
1 П.1 *-■
1290
1300
1390
1480
1320
1480
1430
2850
1540
1350
1(20
660
1080
Эрозия,

полученная во
время
опыта
AF*jF*
%
65
59
46
—
45
40
—
—
—
—
Качество
рассматриваемого
металла, как
материала
для сопла
Очень плохое
То же
Плохое
Отличное
Очень хорошее
Хорошее
Очень плохое
Очень хорошее
Примечание. Давление в ракетной камере 175 кГ/См*2, время горения 0,45 сек.

можно в качестве условия, гарантирующего эрозионную стойкость
сопла, принять ТС.В^.ТДОТ1. Продолжительность работы сопла" без
существенного выгорания критического сечения определится
временем, необходимым для достижения этой температуры. Рост
температуры на внутренней поверхности сопла можно замедлить,
утолщая стенку.
Рассмотрим, в какой мере удается увеличить допускаемое
время работы сопла и каковы в соответствии с этим пределы
использования сопел рассматриваемой категории. Для выводов
воспользуемся зависимостью (3.21). Заметим, что правомерность
использования этой зависимости, пригодной для плоской стенки, в данном
случае оправдывается целью исследования, состоящей в получении
выводов преимущественно качественного характера. В работе [36]
приведены результаты расчетов нагрева полого цилиндра с тол^
щиной стенки, равной диаметру канала, и плоской пластины такой
же толщины при Bi=l. Расхождение расчетных значений
температуры в диапазоне 0,3<Fo<l,3 лежит в пределах 15—20%.
Исходим из значения температурного симплекса 0ДОП,
определяемого допускаемым значением температуры Гдоп. Из
уравнения (3.21)
и- In Р— 1п610П ,„ 74д
Ьо=2■ {i-'V
Как показывает анализ, трансцендентные зависимости In Р и Ф
от критерия Био можно аппроксимировать в диапазоне Bi =
= 0,4—4,0 зависимостями следующего вида:
1пР=-й1В1; (3.75)
Ф1=Л2ВГ. (3.76)
Коэффициенты аппроксимации для. рассматриваемого
диапазона равны: &i = 0,3; &2 = 0,7; v = 0,7.
Подставляя зависимости (3.75) и (3.76) в уравнение (3.74),
получим
где
±-DW->, (3.77)
А— *1п6допI • £) = —
Решая уравнение (3. 77) относительно т, находим
268

Исследуем полученное выражение на максимум
отсюда
__ 2 —v _А_ Х_
пр~~~ 3 —v D а
Величина Апр является предельной толщиной стенки,
превышение которой уже не приводит к увеличению времени работы сопла.
Рассчитаем значение Binp, соответствующее предельной толщине
стенки сопла:
B д
Bnp х ДИР3_Г D ■
Таким образом, величина Binp определяется только значением
6ДОП. Подставляя величину Binp в уравнение ,(3.77), получим
предельное значение Fo:
ро dо pni-v
п
Biv ьпР ■
и1пр
Предельное время работы сопла из материала с низкой
температурой плавления при неограниченной толщине стенки можно
определить по формуле
_ рпр = Pnp
пр а аа-2
Следовательно, основными параметрами, определяющими тпр,
являются а — коэффициент теплоотдачи и теплофизические
характеристики материала Я, с, у.
Пример. Оценить предельно допускаемое время работы сопла в условиях, при
которых были получены данные табл. 3. 10, полагая
Гдоп=1000оС; Г0 = 2600°С; Гн = 20°С; а = 9500 ккал/м^-час °С.
Оценку произвести для двух материалов:
а) холоднокатаная сталь;
б) железо (характеристики материалов см. в табл. 3. 10).
Определим основные критерии:
й ^о-^доп 2600-1000
6 °620
0,7
0,7
2600-20
269

Binp^2-^fA^-3-0.682
1 3 —v D 2,3-0,428
Fonp = -DBi|,7" =-^-\1 — 0,428-0,90°'3 = 0,320.
Binp 0,90 ■
Для сопла из холоднокатаной стали
Лщ, = В1пп =0,90-'
^ 78Оо!оЛ68 -23-8-10'3
л2 л поп о пй9 m—6
_у — 3600 = 0,425 сек.
FonpA^p 0,320-2,962-10
Тпр =; а ~ 23^KV
Для сопла из чистого железа
68.5
Д =0,90 = 6,5-10-3 м-
9 9500
68,5
а = =54,6-10-3 м^час;
7800-0,157
_ 0,320-6,52-10~6
%пр^ 54,6-10-3 36 ~~ ' СвК'
Полученные результаты согласуются с экспериментальными
данными, приведенными в табл. 3. 10. Для сопла из холоднокатаной
стали допустимое время работы сопла получилось меньше полного
времени работы двигателя. Согласно данным эксперимента для
этого сопла получено значительное выгорание. Для сопла из
железа предельное время работы вдвое превышает
продолжительность работы двигателя. При эксперименте работа сопла протекала
без заметного выгорания критического сечения.
Живучесть сопла в значительной мере зависит от температуры
горения топлива, определяющей величину 6ДОп. Так, для условий
нашего примера при использовании в двигателе топлива с
температурой горения 1800°С (расчетная температура без учета потерь
2000° С) получается увеличение предельного времени для первого
варианта сопла до 1,34 сек и для второго —до 8 сек.
Разумеется, полученные цифровые данные нельзя
рассматривать как абсолютные характеристики. Необходимо помнить, что
сами предпосылки расчета (значение Тдоп) являются условными,
и полученные результаты следует рассматривать как оценочные.
Решающую роль в увеличении живучести сопел данной
категории играет коэффициент теплопроводности материала. На рис. 3.23
показано, как в зависимости от этой характеристики меняется
распределение температуры в стенке сопла [39]. Роль этого фактора
подтверждается структурой формул для Апр и tnp.
270

С увеличением диаметра сопла уменьшается величина
коэффициента теплоотдачи айв соответствии с этим предельная толщина
стенки возрастает пропорционально d* °-2. Предельное время
работы сопла увеличивается пропорционально d* °>4. Для сопел с
диаметром <i*=100 мм время работы по сравнению с вариантом,
рассмотренным в примере, возрастает в 4 раза.
Из проведенного анализа видно, насколько ограничены
возможности сопел, изготовленных из материала с ТПЛ<ТО. Применение их
становится недопустимым
в двигателях с большим
временем работы горения
зарядов при повышенных
требованиях к
постоянству режима работы. В
подобных случаях в
конструкциях сопел приходится
применять вставки либо
покрытия из материалов,
имеющих Тпл > То (табл.
3. 11 [10]).
Из жаропрочных
материалов, нашедших
применение при изготовлении
1200
WOO
800
600
400
200
^ Коэффициент теплопроводносг
\/ А = 18 ккал/м-час °С
\\
15 0\
300^
25
,36
\
"—• ;
1
——1
■-—-
пи
1 300
...150
_75
7
0 113 4 5b
Расстояние от внутренней поверхности
сопла 8 мм
Рис. 3.23. Влияние коэффициента
теплопроводности материала на температуру
стенки сопла в критическом сечении
сопловых вставок,
следует отметить ©илицирован-
ный пирографит.
Пирографит получают при
пропускании газа,
содержащего углеводороды, через
вакуумную печь с
высокой температурой.
Углерод, выделяющийся при разложении газа, откладывается
на оправке, приготовленной из обыкновенного графита.
По сравнению с обычным графитом пирографит обладает
повышенной плотностью (до 2220 кГ/м3), более высоким пределом
прочности на растяжение и большей стойкостью к эрозии.
Значительное повышение эрозионной стойкости графита
достигается введением в его структуру кремния, т. е. силицированием
графита [48], [49].
Успешное .применение могут найти жаропрочные металлы,
сочетающие механическую прочность при высоких температурах со
стойкостью к тепловому удару, например, молибден и вольфрам.
Рассмотрим процесс эрозии соплового вкладыша, вызываемый
химическими факторами. Продукты сгорания твердого топлива
содержат ряд соединений и элементов, которые могут вступать
в химическое взаимодействие с материалом соплового вкладыша
(графит, молибден, вольфрам) с образованием окислов углерода
271

Таблица 3. И
Материал
Элементы:
Углерод
Молибден
Осмий
Рений
Тантал
Вольфрам
Окиси:
бериллия
кальция
гафния
магния
тория
циркония
Бориды:
гафния
вольфрама
циркония
Карбиды:
гафния
молибдена

Температура
плавления Тпл
3500*
2650
2700
3C00
2850
3350
2500
2550
2800
2800
2800
2950
3050
2900
2900
4150
2550
Материал
ниобия
кремния
тантала
тория
титана
вольфрама
циркония
циркония-тантала
Нитриды:
бора
гафния
скандия
тантала
титана
циркония
Цирконаты:
бария
кальция
стронция
тория

Температура
плавления Гпл
°с
3500
2550
4150
2800
3100
2850
3550
3900
2750
3300
2650
3300
3200
3000
2700
2660
2700
2800
* Температура сублиматами.
либо металлов. Как показывают некоторые исследования [13], [38],
высокой химической активностью в условиях температуры РДТТ
обладают водяные пары, а также СОг. Так, например, возможны
следующие реакции взаимодействия их с графитом:
с+со2-
С + Н2О-
• 2СО;
>со+н2.
Механизм химической эрозии включает в себя:
1) диффузию окисляющих компонентов через пограничный слой
к поверхности вкладыша;
272

2) химические реакции на поверхности;
•3) диффузию продуктов реакции от поверхности.
При высоких температурах поверхности скорость протекающей
на ней реакции не является лимитирующим звеном процесса и
скорость химической эрозии материала будет всецело определяться
диффузионным переносом вещества через пограничный слой.
Расход окисляющего компонента продуктов сгорания топлива
через пограничный слой выражается как
m^-QD^. (3.78)
ОХ-
Используя уравнение (3.38), представим формулу (3.78.)
в виде
Qipq дс,
' I д!
Текущее значение энтальпии газовой смеси в пограничном слое
можно представить в виде
д/п = /е — /5 —полный перепад энтальпии поперек
пограничного слоя.
Тогда
га,
1
Ш„ dl
Если принять, как это было сделано ранее,
получим
га,- = — J-.
Д/п dl
Поскольку
расход окисляющего компонента к поверхности можно выразить
формулой
m JL^L. (3.79)
ср dl
273

Использование зависимости (3.79) упрощается, если
предположить, что на поверхности раздела двух фаз концентрация
окисляющего компонента равна нулю *. При этом
дГ е"
где cei — концентрация этого компонента на внешней границе слоя.
Практически она равна средней концентрации
компонента в продуктах сгорания твердого топлива.
Тогда
т, = ^-се1. (3.80)
Если полагать, что скорость окисления материала поверхности
mSi управляется в основном процессом диффузии окисляющего
компонента газовой смеси, используя уравнение (3.80), получим
Si — —— у
ср MgiK
где MSi и Mgi — молекулярные веса окисляемого и окисляющего
компонентов (элементов);
К — стехиометрический коэффициент в уравнении
реакции окисления при окисляющем компоненте;
ср — доля поверхности, приходящаяся на окисляемый
компонент материала вкладыша, если этот
материал неоднороден.
По мере разработки и использования в РДТТ новых топлив
с повышенными энергетическими характеристиками условия
работы сопла становятся все более тяжелыми. В табл. 3. 12 [46]
приведены ориентировочные данные, характеризующие по этапам
ожидаемое изменение параметров газового потока в сопле. При этом
наряду с ростом температуры продуктов сгорания будут
усиливаться дополнительные факторы, благоприятствующие эрозии:
в газе возрастает содержание конденсированных частиц и
продуктов диссоциации, обладающих высокой химической активностью.
С ростом энергетических характеристик топлива возникает
необходимость в изыскании новых более эффективных средств
тепловой защиты сопла, так как известные в настоящее время
жаростойкие материалы уже при Го = 3600—3900° С окажутся на пределе
своих возможностей, а при больших температурах будут вообще
не в состоянии обеспечить работу сопла. Поэтому ведутся работы
по использованию внешнего охлаждения сопла [56]. В качестве
хладоагентов предполагается использовать щелочные и
щелочноземельные металлы К, Na, Mg с низкими температурами
плавления и кипения. Сопло, изготовленное из тугоплавкого материала
* При высоких температурах поверхности вкладыша химическая кинетика
не лимитирует протекания на ней реакции.
274

Таблица 3.12
Характеристики
Температура газового
потока в сопле в °С
Характеристика
газообразных продуктов сгорания
Состав конденсированных
продуктов сгорания
Материалы,
обеспечивающие длительную работу не-
охлаждаемого сопла
Тепловая защита
критического сечения сопла
Годы
1960—1935
-3500
1935—1970
3900
Диссоциированы
В основном
А12О3
Вольфрам и
некоторые
карбиды
Вставки из
материалов
Окислы
Al, Li, Be
Некоторые
карбиды,
нитриды ибориды
жаропрочных
1970—1975
4600
Весьма
диссоциированы
Окислы
Li, Be
Нет

Использование хладоаген-
та
с высокой теплопроводностью, окружается рубашкой с твердым
хладоагентом. Во время работы двигателя хладоагент
расплавляется и доводится до температуры кипения. Охлаждение сопла
обеспечивается поглощением больших количеств тепла при
испарении хладоагента. Так, например, при использовании магния (Гпя =
= 651° С; ГК1Ш=П00°С) на 1 кг испаряющегося вещества
поглощается 2574 ккал. Эффективность такого метода тепловой защиты
была доказана экспериментами с соплом из молибдена с толщиной
стенки 1,5 мм [56]. Стенки сопла, омываемые изнутри потоком газа
с температурой торможения Г0 = 3350°С в течение 60—80 сек,
сохраняли температуру 1100° С, т. е. температуру кипящего
Хладоагента — магния.
Для защиты критического сечения сопла может быть
использовано также завесное охлаждение, при котором между основным
потоком горячего газа и поверхностью сопла создается пелена
(завеса) газа с относительно низкой температурой. В качестве
источника газа могут быть использованы аблирующие покрытия,
располагающиеся во входной части сопла. В простейших конструкциях
они представляют собой кольца из полиэтилена либо другого
пластика с высокой скоростью разложения. На рис. 3.24 представлена
схема, в которой газовая завеса создается за счет разложения
гидридов и боргидридов щелочных металлов (LiH, LiBH4, NaBH4
и КВН4). Вокруг вкладыша из пористого материала располагается
набор металлических пластин со слоями хладоагента между ними.
При нагреве пластин происходит разложение гидридов с выделе-
275

нием водорода, который поступает через пористый вкладыш,
обеспечивая тепловую защиту сопла [29].
По мнению ряда зарубежных исследователей [42], сопла РДТТ
большого калибра целесообразно изготовлять целиком из аблирую-
щих пластических материалов.
Как известно, с ростом диаметра
критического сечения сопла
начиная с некоторого размера
относительный разгар критического
сечения снижается настолько, что
вызываемое им падение давления
и тяги либо становится
несущественным, либо при необходимости
может быть компенсировано
прогрессивным изменением
поверхности горения за счет подбора
формы заряда. Для цельного
сопла из пластмассы обеспечиваются
простота устройства и
изготовления, а также повышается «адеж-
ность работы.
Рис. 3. 24. Сопло с внутренним
охлаждением:
/—вольфрамовая облицовка;
2—набор металлических пластин; 3—слои
гидридов легких металлов
ЛИТЕРАТУРА
1. Адаме, Последние достижения в теории абляции, «Вопросы ракетной
техники»,-ИЛ, 1960, № 4.
2. Барский Т. А. и Зельдович Я. Б., ДАН СССР, 1938, т. 21, стр. 114.
3. Бете и Адаме, Теория абляции стекловидных материалов «Вопросы
ракетной техники», ИЛ, 1960, №2. г- г
4. Б и л ь В. С, А в т о к р а т о в а Н. Д., Температурные зависимости
теплопроводности и температуропроводности некоторых полимерных материалов
«Пластические массы», 1965, № 10.
5. Бичер и Розенсвейг, Механизм абляции пластмасс с
неорганическим армированием, Ракетная техника (ARS Journal русский перевод), 1961, № 4
6. Б р и ц к е Э. В., К а п у с т и н с к и й А. Ф., Термодинамические константы'
неорганических веществ, АН СССР, 1949.
7. Вопросы аэродинамики и теплопередачи в котельно-топочных гроцоссах
Сборник статей под ред. Г. Ф. Кнорре, Госэнергоиздат, 1958.
8. Горби с 3. Р., Теплообмен дисперсных сквозных потоков, «Энергия» 1964
9. Г у р в и ч А. М. и М и т о р В. В., Излучение дымовых газов,
«Теплоэнергетика», 1955, № 12.
10 ИЛ П1<№)РТ' НоВые виды кеРамических покрытий, «Вопросы ракетной тех-
11. Детонация и двухфазное течение, Сб. статей под ред П Ф Похила
«Мир», 1966.
12. Джесснер, Сидер, Ингрем, Каултас, Анализ процесса
самоохлаждения материалов из .пористого вольфрама с наполнителем Ракетная
техника и астронавтика (AIAA Journal в русском переводе), 1965, № 1.
13. Дилэни, Иглтон, Джонс, Полукачествеиное определение эрозии
графитовых сопловых вкладышей, Ракетная техника и астронавтика (AIAA
Journal русский перевод), 1964, № 8.
14. Душив Ю. А., Скорость разложения (горения) полимеров в
высокотемпературной газовой среде, ИФЖ, 1961, № 10.
276

15. Зельдович Я- Б., Ривин М. А., Ф р а н к - К а м ен е ц к и й Д. А.,
Импульс реактивной силы пороховых ракет, Оборонгиз, 1963.
16. Зельдович Я- Б., Франк-Каменецкий Д. А., Семенов Н, Н.,
ЖЭТФ, 1940, т. 10, стр. 1427.
17. Зиблэнд, Проблемы теплопередачи в ракетных двигателях, «Вопросы
ракетной техники», ИЛ, 1956, № 4.
18. Иванцов Г. П., Нагрев металла, Металлургиздат, 1948.
19. Исаченко В. П., О сипов а В. А., Сукомел А. С.,. Теплопередача,
«Энергия», 1965.
20. Исследование ракетных двигателей на твердом топливе, Сб. статей
под ред. М. Саммерфилда, ИЛ, 1963.
21. Кирпичев М. В., Теория подобия, АН СССР, 1953.
22. К о з д о б а Л. А., Применение электрических моделей для решения
технических задач, ИФЖ» 1962, т. V, № 3.
23. Ко уте, Измерение скорости линейного пиролиза ТРТ, «Ракетная
техника и астронавтика» (AIAA Lournal русский перевод), 1965, № 7.
24. Л а д а к и, Гамильтон, К о ц, Теплота пиролиза смолы в фенольно-
кремнеземистых аблирующих материалах, «Ракетная техника и астронавтика»,
(AlAA Journal русский перевод), 1966, № 10.
25. Л и з, Конвективный теплообмен при наличии подвода вещества и
химических реакций, Сб. статей «Газодинамика и теплообмен при наличии
химических реакций», ИЛ, 1962.
26. Лыков А. В., Теория теплопроводности, ГТТИ, 1952.
27. Макэлистер, У о л к е р, Рой, Разработка и развитие
разрушающихся материалов для сопел ракетных двигателей, «Вопросы ракетной техники»,
ИЛ, 1964, № 2, ч. I.
28. Мэтью, Механическое растрескивание коксующихся разрушающихся
материалов в высокотемпературном потоке, Ракетная техника и астронавтика
(AIAA Journal русский перевод), 1964, № 9.
29. Патент США, кл. 60—35 6, № 3115746, заявл. 18-07-60.
30. Петухов Б. С, Кириллов В. В., «Теплоэнергетика», 1960, № 5.
31. Реактивные двигатели, Сб. статей под ред. О. Е. Ланкастера, Воен-
издат, 1962.
32. Р е й н и к а, Уэллс, Обугливающиеся покрытия для защиты аппарата
при входе в атмосферу, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1964, № 6.
33. Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, ГТТИ, 1954.
34. Скала, Гильберт, Тепловое разрушение теплозащитного
обугливающегося пластика при гиперзвуковых полетах, Ракетная техника (ARS Journal
в русском переводе), 1962, № 6.
35. Справочник химика, Госхимиздат, 1952.
36. Турбулентные течения и теплопередача, Сб. статей под ред. Линь Цзя-
Цзяо, ИЛ, 1963.
37. Тодес О. Н. и Карандин Б. Н., ЖФХ, 1940, т. 14, стр. 1447.
38. Уилхелм, Анализ абляции сопловых вкладышей из рефразилфеноль-
ного пластика, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1966, № 5.
39. Уимпресс Р. И. Внутренняя баллистика пороховых ракет, ИЛ, 1952.
40. Фледдерман, Теплопередача к испаряющейся поверхности,
подвергающейся абляции, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1960, № 3.
41. Хиршфельдер, Теплопроводность многоатомных
электронно-возбужденных или химически реагирующих смесей, Сб. статей, Пламена и химическая
кинетика, ИЛ, 1961.
42. X о р ч е р, М и т ч е л, Разработка разрушающихся материалов для сопел
ракетных двигателей, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1964, № 3, ч. II.
43. X у а н г, Исследование коэффициентов теплоотдачи для потока воздуха
в круглых струях, ударяющихся нормально в теплообменную поверхность. Труды
американского общества инженеров-механиков, ИЛ, 1963, т. 85, серия С, № 3
44. Ч у д н о в с к и й А. Ф. Теплофизические характеристики дисперсных
материалов, Физматгиз, 1962.
45. Э й г е н с о н Л. С, Моделирование, «Советская наука», 1952.
277

46. Astronautics, 1961, vol. 6, No. 4.
47. Astronautics and Aeronautics, 1964, No. 10, p, 86.
48. Aviation Week, 1959, vol. 71, No. 23.
49. Aviation Week, 1960, vol. 73, No. 4.
50. Aviation Week, 1965, vol. 82, No. 25, pp. 91, 93.
51. Bart z D. R., A Simple Equation for Rapid Estimation of Rocket Nozzle
Convective Heat Transfer Coefficients, Jet Propulsion, 1957, No. 21.
52. D a v e у Т. В., Entrance Region Heat Transfer Coefficients, Heat
Transfer, 1963, No. 59.
53. Gordon R., С о b о n q u e J., Heat Transfer Between a Flat Plate and
Jets of Air Impinging on It, 1961, International Heat Transfer Conference, Port II.
54. Jet Propulsion, 1957, vol. 27, No. 61, pp. 1252, 1294.
55. Marxman Q. A,Wooldr igeC. E., Muggy R." "J., Fundamentals
of Hybrid Boundary-Layer Combustion, United Technology Center, Synnyreale,
Calif, 1964.
56. Missiles and Rockets, 1961, No. 10, p. 31, SAE, Journal, 1961, vol.
69. No. 2.

Глава IV
ГОРЕНИЕ ТВЕРДЫХ РАКЕТНЫХ ТОПЛИВ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТВЕРДЫХ РАКЕТНЫХ ТОПЛИВ
И ЗАРЯДОВ
Топливо, используемое в современных ракетных двигателях,
выполняет одновременно две функции: является источником
рабочего тела в виде газообразных продуктов реакции горения и
источником энергии в виде тепла, выделяемого при горении. Это
справедливо для всех видов химических топлив твердых и жидких.
Для установления основных требований, предъявляемых к
ракетному топливу, достаточно обратиться к формуле Циолковского
1 + -J—\
где fmax— максимальная скорость одноступенчатой ракеты
в конце сгорания топлива, полученная без учета силы
тяжести и сопротивления воздуха;
J\— единичный импульс;
Япя—' вес полезной нагрузки, которую несет ракета;
<«— вес топлива;
а = —^-—отношение веса конструкции двигателя к весу топлива
ы (весовой коэффициент двигателя).
Максимальная скорость ракеты, определяемая по формуле
Циолковского, в значительной мере характеризует ее
баллистические возможности — дальность стрельбы либо боевой потолок.
Формулой определяются два основных пути повышения
баллистических характеристик ракеты:
1) повышение единичного импульса;
2) увеличение относительного веса топлива, что при заданной
нагрузке требует всемерного облегчения конструкции двигателя.
Единичный импульс Jt = P/G называют характеристикой
экономичности двигателя, так как величина его обратно пропорциональна
расходу топлива на единицу тяги двигателя. Единичный импульс
зависит от ряда параметров, определяемых конструкцией двига-
279

теля и сопла. Однако влияние изменения этих параметров в
пределах их отклонений от оптимальных значений, наблюдаемых на
практике, относительно невелико. В основном величина единичного
импульса определяется энергетическими характеристиками
топлива, поэтому часто говорят об единичном импульсе как о
характеристике топлива, имея в виду единичный импульс эталонного
двигателя, полученный при сжигании в нем данного топлива.
Опережая выкладки последующих глав, укажем, что из характеристик
топлив на величину единичного импульса решающее влияние
оказывают температура продуктов сгорания в камере Го, называемая
температурой горения топлива, и газовая постоянная продуктов
сгорания R. Повышение температуры горения связано с рядом
технических трудностей, обусловленных термостойкостью камеры и
сопла двигателя. Повышение величины газовой постоянной связано
со снижением среднего молекулярного веса продуктов сгорания.
Этого можно достичь, повысив в продуктах сгорания содержание
свободного водорода — вещества с наименьшим молекулярным
весом или легких элементов. Следовательно, чтобы получить
топливо с высокой эффективностью, необходимо выявить комбинации,
обеспечивающие наибольшее тепловыделение в процессе горения
при возможно меньшем молекулярном весе продуктов сгорания.
Основной энергетической характеристикой топлива является
приведенная сила топлива. Она выражается произведением
температуры горения топлива в условиях ракетной камеры на газовую
постоянную, отнесенную к 1 кг продуктов сгорания:
/о = -/?Го кГ • м/кг.
Величина единичного импульса связана с приведенной силой
топлива зависимостью /i-^ У fo-
Для снижения весового коэффициента а необходимо применять
при изготовлении двигателя высокопрочные материалы, снижать
уровень давления в двигателе, повышать плотность топлива. Выбор
рабочего давления в двигателе в значительной мере определяется
характеристиками топлива, его способностью гореть при низких
давлениях и больших скоростях движения газа вдоль горящей
поверхности заряда. Назначаемая величина расчетного давления
зависит, кроме того, от стабильности горения топлива, величины
возможных выскоков давления, роста давления с увеличением
температуры заряда. Более высокая плотность позволяет при заданном
весе заряда уменьшить объем камеры, снизить вес оболочки и
весовой коэффициент двигателя а. Таким образом, характеристиками
топлива в значительной мере определяются два основных
параметра двигателя, входящие в формулу Циолковского JY и а.
Помимо основных требований по обеспечению высоких
значений /] и низких а, к твердым ракетным топливам предъявляется
ряд дополнительных требований. Существенное значение имеет
химическая стойкость топлива, т. е. способность его сохранять
280

постоянство энергетических и баллистических характеристик при
хранении. При оценке пригодности топлива к использованию в
образцах вооружения учитывается его физическая стабильность, т. е.
способность противостоять растрескиванию при хранении.
Нарушение сплошности заряда при выстреле неизбежно вызывает
повышение давления, а в некоторых случаях — разрушение двигателя.
Химическая и физическая стабильность обусловливают допускаемые
сроки хранения топлива. Механические дефекты заряда могут
появляться и вследствие низких прочностных характеристик топлива
при воздействии на него перегрузок, связанных с эксплуатацией
ракеты. Кроме того, топливо должно быть безопасным в
производстве и обращении. Технология изготовления топлива и снаряжения
двигателей должна быть по возможности несложной,
обеспечивающей высокую производительность, и опираться на широкую
отечественную сырьевую базу.
Топлива, применяемые в настоящее время в ракетной технике,
делятся на двухосновные и смесевые.
Двухосновные топлива
Двухосновные топлива, или коллоидные баллиститные пороха,
появились во второй половине прошлого века и нашли широкое
применение в артиллерии, а затем и в ракетной технике. Основные
компоненты топлив этой группы — окислитель и горючее входят
в структуру одной молекулы. Основой механической структуры этих
топлив является нитроклетчатка — продукт нитрации целлюлозы,
содержащейся в больших количествах в хлопке, древесине и т. д.
Для производства данных топлив может применяться
нитроклетчатка с содержанием азота от 11,5 до 13,8% [41].
В зависимости от степени нитрации (содержания азота)
различают: коллоксилин (11,5—12,2% N), пироксилин № 2 (12,0—■
12,5% N) и пироксилин № 1 (13—13,5% N). В производстве
применяется также пироколлодий (12,5—12,75% N), разработанный
великим русским ученым Д. И. Менделеевым.
При смешении нитроклетчатки с некоторыми веществами
(пластификаторами или растворителями) образуется пластическая
масса, которой при продавливании через матрицу можно
придавать любую желаемую форму (трубка, крестообразная шашка,
цилиндр и др.). Растворители нитроклетчатки делятся на летучие
и труднолетучие. В качестве летучего растворителя используют
спиртоэфирную смесь или ацетон. В процессе производства летучие
растворители почти полностью удаляются. На летучем растворителе
изготовляют пироксилиновые пороха, которые применяются в
артиллерии. В ракетной технике они не получили распространения.
К труднолетучим растворителям относятся нитроглицерин, динитро-
диэтиленгликоль и динитротолуол. Топлива (пороха) на основе
этих растворителей называются баллиститными. Перечисленные
растворители, как и нитроцеллюлоза, являются активными компо-
281

лентами, имеющими в своем составе и горючее и окислитель. Из
них наиболее высокими энергетическими характеристиками
обладает нитроглицерин.
В процессе хранения топлива нитроцеллюлоза подвергается
медленному разложению. Продукты разложения, а также следы
кислот, остающиеся в нитроцеллюлозе даже три тщательной
промывке ее после изготовления, оказывают каталитическое
воздействие, ускоряющее процесс разложения. Действие этих химических
агентов может быть нейтрализовано стабилизатором — веществом,
вводимым в состав топлива для обеспечения его химической
стабильности при хранении. В качестве стабилизатора н-аиболее часто
применяют дифениламин и централит (асимметричные диэтил-
дифенилмочевина или диметилдифенилмочевина)-.
В состав топлива вводят в небольших количествах так
называемые технологические добавки—вазелин, воск, мел,
способствующие улучшению технологического процесса. Кроме того, могут
быть введены специальные добавки, обеспечивающие
определенные баллистические качества: изменяющие скорость горения,
повышающие устойчивость и стабильность горения.
В табл. 4. 1 приведен состав двухосновных топлив, а в табл. 4. 2
даны их основные энергобаллистические характеристики [12],
[36], [39].
Энергетические характеристики двухосновных твердых топлив
определяются соотношением и выбором двух компонентов —
нитроклетчатки и растворителя (пластификатора). При максимальном
содержании нитроглицерина и сильнонитрованной целлюлозы
достигается теоретическое значение единичного импульса, равное
255 кГ ■ сек/кг [41]. Эта величина может рассматриваться как
предельная для классических баллиститных составов.
Энергетические характеристики двухосновных топлив,
нашедших применение в ракетной технике, за счет введения добавок
и более низкого содержания нитроглицерина получаются
значительно ниже. Так, например, американское топливо JPN,
отличающееся наибольшим содержанием нитроглицерина (43%)*, имеет
единичный импульс 216—230 кГ • сек/кг.
Для придания двухосновному топливу требуемой формы
пластифицированную массу выпрессовывают через матрицу (рис. 4. 1).
Масса, выжимаемая из изложницы / при движении плунжера 2,
смыкается за крестовиной матрицы 3 вокруг иглы 4,
обеспечивающей образование в шашке осевого канала. Наружный профиль
шашки и профиль канала определяются конфигурацией иглы и
матрицы. Такой метод изготовления шашек накладывает
ограничение на максимальный диаметр. Дальнейший прогресс в этом на-
* В настоящее время принято считать, что максимальное содержание
нитроглицерина в двухосновном топливе, допустимое по условиям технологии и
длительного хранения, составляет немногим больше этой величины [3].
282

Таблица 4,1
Компонент
Нитроцеллюлоза*
Нитроглицерин
Динитрат диэтиленгликоля
Динитротолуол
Этилцентралит
Диэтилфталат
Дифениламин
Дифенилуретан
Этилфенилуретан
Акардит
Графит
Газовая сажа
Сульфат калия
TiO2+ BaSO4
Нитрат калия
Воск
Краситель
СаСО3
КС1О4
MgO
АТО
64,7
(12,0)
29,3
—
—
—
—
1,3
3,5
0,2
0,1
—
—
0,9
—
—
—
—
—
—
JPN
51,5
(13,25)
43,0
—
—
1.0
3,25
—
—
—
—
—
0,2**
1,25
—
—
0,08**
—
—
—
—
JP
52,2
(13.25)
43,0
—
—
—
3,0
0,6
—
—
—
—
—
—
—
1.2
—
0,1**
—
—
—
J
М-7
54,5
—
35,5
—
—
0,9
—
—
—
—
—
__
1.2
—
—
—
—
—
7,8
1.0**
йарка топлива
14400
59,9
(13,22)
39,0
—
—
0,9
—
0,2
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—.
_
—
HFS
1 IL.O
4016
54,0
(13,25)
43,0
' —
—
3,0
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
.—
SC
49,5
(12,2)
41,5
—
—
9,0
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
0,07**
—
0,35**
—
.
HSC
49,5
(12,2)
47,0
—
—
3,5
—
—
—
—
—
—
—
—
—
0,07**
—
0,35**
—
Медленно-
горящий
порох
56,5
(12,2)
28,0
—
11
4,5
—
—
—
—
—
—
_
—
—
0,08**
—
—
—
.
* В скобках указано процентное содержание азота в нитроцеллюлозе.
** Содержание компонента указано сверх 100%.

Таблица 4.2
Характеристики
Калорийность Qx в ккал/кг
Температура горения То в °К
Сила топлива /0 в кГ-м/кг
Показатель адиабаты k
Единичный импульс Ji в кГ-сек[кг*
Скорость горения в мм сек при р ~
= 70 кГ/см, Т = + 20° С
Показатель степени v в законе горения
Нижний предел давления pm-m в кГ\смР-
Плотность Yt b кГ/дм3
(д\пи \
™ — D в // С
V дТ )р
д In p o
дТ В %/
Марка топлива
R-61
890
2390
87400
1,24
—
—
—
—
1,60
—
—
JPN
1230
3160
103400
1,21
230
16,5
0,(9
20
1,61
0.С038
1,22
JP
1230
3160
103400
1,22
230
17
0,71
—
1,60
0,0050
1,73
М-7
1250
3210
104000
—
220
—
—
—
—
—
HES
4016
1260
ЗС87
—
—
—
14,3
0,75
—
0,0041
—
SC
9S5
2535
90700
1,22
190
7.8
0,69
—
—
—
HSC
1170
3030
1С0600
1,22
160
—
—
—
1,64
—
—
Медленно-
горящий
порох
880
2340
—
—
—
7,5
0,70
40
—
0,0038
1,26
* Значения единичного импульса даны для эталонного двигателя (р = 70
, рв = 1

правлении возможен за счет применения литых топлив,
допускающих изготовление шашек с наружным диаметром более 1 м [3].
При изготовлении из двухосновных топлив литых зарядов
в форму засыпают сначала небольшие таблетки нитроцеллюлозы,
а затем заливают нитроглицерин.
Форму с топливом в течение
нескольких дней подвергают термоста-
тированию (Г~70°С). В
результате полимеризации смесь затвердева-
ет [3], [27].
Требуемый закон изменения
поверхности горения достигается не
только за счет выбранной формы
заряда, «о и путем частичного
-покрытия поверхности 'бронирующим
слоем. Для бронирования боковой
поверхности шашек обычно применяют
термопластики на целлюлозной
основе, по химическому составу и
физическим свойствам подобные
двухосновному топливу, например, аце-
тилцеллюлозу [36]. Боковую
поверхность шашки обертывают лентой из
атецилцеллюлозы, толщиной около1
0,15 мм, смоченной ацетоном или ме-
тилцеллюлозой для склеивания
слоев ленты друг с другом и с
поверхностью шашки. Такая шашка горит
только с торца. Чтобы обеспечить
горение шашки только по боковой поверхности, кружки из ацетил-
целлюлозы приклеивают к торцам шашки.
Рис. 4. 1. Устройство для
прессования зарядов из двухосновного
топлива:
J—изложница; 2-—плунжер; 3—
крестовина матрицы; 4—игла
Смесевые топлива
Смесевые топлива представляют собой механическую смесь
тонко измельченного минерального окислителя и органического
горючего-связки. Использование смесевых топлив значительно
расширило возможности повышения энергетических характеристик
твердых топлив за счет увеличения их кислородного баланса. Для
двухосновных топлив величину кислородного баланса
предопределяет соотношение основных компонентов, выбор которых подчинен
условиям образования коллоидного раствора, а также узкий круг
исходных компонентов. Для смесевых топлив соотношение
горючего и окислителя можно варьировать в более широких пределах.
Разработка смесевых топлив в первую очередь преследовала
цели расширения сырьевой базы и упрощения технологии
производства твердых топлив. Однако в дальнейшем стало очевидным,
285

что, применяя новые рецептуры, можно существенно повысить
эксплуатационные и баллистические характеристики РДТТ.
Примером простейшей композиции смесевого топлива является
GALCIT, представляющий смесь 75% хлорнокислого калия с 25%
асфальта. Однако применение асфальта в качестве связующего
вещества не обеспечивает стабильности физических свойств
топлива: оно хрупко при низких температурах и размягчается при
высоких.
Первые серьезные успехи в создании эффективных смесевых
топлив были достигнуты при использовании в качестве горючего-
связки полисульфидов (тиокола). Полисульфиды- представляют
собой органические соединения, которые применялись для
изготовления одного из видов синтетического каучука. Полисульфиды
состоят из длинных цепей атомных групп, каждая из которых
содержит два атома серы.
Существенный недостаток полисульфида как горючего-связки
для ракетного топлива обусловлен наличием в полисульфидном
соединении двух атомов такого тяжелого элемента, как сера
(порядковый номер 16), что значительно увеличивает средний
молекулярный вес продуктов сгорания и уменьшает газовую
постоянную R. Это в свою очередь приводит к снижению скорости
истечения, а следовательно, и единичного импульса. Впоследствии была
разработана горючее-связка с пониженным содержанием серы.
Удельный импульс вследствие этого повысился на 5 кГ • сек/кг [44].
После того, как на практике были доказаны эксплуатационные
и некоторые баллистические преимущества смесевых топлив на
основе тиокола, начались поиски горючего-связки, не содержащего
серу и обладающего хорошими связующими свойствами. В
результате изысканий появились топлива на основе полиуретана —
связующего вещества, состоящего из углерода, водорода, кислорода
и азота, т. е. из первых элементов «периодической системы с
порядковым номером не выше 8. Единичный импульс топлив на полиуре-
гановой основе оказался на 2—5 единиц выше, чем у топлив на
основе тиокола [38].
Второе направление замены тиокола горючим-связкой с более
высокими энергетическими показателями привело к появлению
топлив на основе высокомолекулярных углеводородов, многие из
которых также представляют собой каучукообразное вещество.
Углеводородные связи могут быть созданы при реакции между
эпоксидной и карбоксильной группами. Согласно проведенным
исследованиям углеводородные и полиуретановые толлива равноценны
в энергетическом отношении, однако первые обладают большей
устойчивостью при длительном хранении и имеют лучшие
механические характеристики при низких температурах [38].
Применение в смесевых топливах алюминия, вводимого в виде
гонкодисперсного порошка, приводит к повышению температуры
горения топлива. Хотя при этом увеличивается содержание в
продуктах сгорания твердых частиц, что является неблагоприятным
286

фактором; в целом, с повышением температуры получается
выигрыш в величине единичного импульса. Так, например, для
топлива, состоящего из 68% перхлората аммония, 17% горючего-
связки полиэфира С23Н28О4, 15% алюминия, обеспечивается
единичный импульс 254 кГ-сек/кг* [3]. Ведутся исследования
возможности повышения энергетических характеристик смесевых топлив
за счет введения металлов с высокой теплотворной способностью:
бериллия, бора, лития и соединений бора с водородом. Однако
токсичность бора и его соединений препятствует использованию боро-
содержащих топлив в РДТТ.
В качестве окислителя в смесевых топливах нашли
применение перхлорат калия, нитраты калия и аммония и перхлорат
аммония. Последний получил наибольшее распространение, так как
является наиболее эффективным из применяющихся окислителей
п в то же время отличается низкой стоимостью и удобством
изготовления. В настоящее время за рубежом исследуются составы
с применением в качестве окислителя перхлората лития, который
имеет высокое содержание свободного кислорода, что обещает
дальнейшее повышение единичного импульса смесевых топлив.
Изучаются возможности использования новых окислителей,
таких как перхлораты нитрония NO2C1O4 и нитрозила 2NOC1O4,
отличающихся от применяемых более высоким содержанием
кислорода и меньшей теплотой образования [48]. Весовое содержание
свободного кислорода в различных окислителях приведено
в табл. 4.3 [3], [48].
Табяаца 4.3
Окислитель
NH4NO3
КСЮ4
NH4CIO4
Весовое
содержание свободного
кислорода в %
19,99
45,19
34,04
Окислитель
LiC104
2NOCIO4
NO2C1O4
Весовое
содержание свободного'
кислорода в %
60,15
62,1-.
66,7
В качестве типичного примера смесевой композиции приведем
известный из литературы состав [35]:
Перхлорат аммония 72%
Сополимер бутадиен-каучука и акриловой кислоты
(связка) . . ' ' 18,8%
Алюминий 9%
Окись магния 0,2%
* Значение единичного импульса
(р=70 кГ/см2; рв=1 кГ/см2).
дано для эталонного двигателя
287

/
1
A
2,
—'-■«
1
55
1
\
■I-
|
§
\
V
To К
3000
2500
WOO
1500
WOO
500
Хотя в смесевом топливе относительное содержание горючего
и окислителя можно изменять в более широких пределах, чем
в двухосновных топливах, однако и для них существуют
ограничения, препятствующие достижению оптимального соотношения
основных компонентов. Так, например, оптимальное соотношение
между органическим горючим и кристаллическим окислителем
типа перхлората аммония, при котором обеспечивается максимум
/ь составляет 88: 12 [3] (рис. 4.2). Однако даже при соотношении
весов кристаллического окислителя
и горючего-связки 80:20 из-за
низкого содержания в топливной массе
связующего не представляется
возможным получить топливные
заряды однородного состава с
удовлетворительными физическими
свойствами [23]. В некоторой мере качество
смешения при большом содержании
окислителя может быть улучшено за
счет .придания его частицам
сферической формы (грануляции) [43].
Однако такой технологический
прием не является коренным решением
проблемы. Это привело к
развертыванию работ по получению
связующих 'веществ, в состав которых
входили бы атомы и горючего и
окислителя. Использование таких связок
позволило бы создать топливо,
имеющее оптимальный кислородный
баланс при приемлемом содержании
связующего вещества, оцениваемом
в 30—40%, при котором обеспечиваются хорошие физические
свойства заряда и однородность его состава.
Одной из таких новых связок явился нитразол, разработанный
в США фирмой Grand Central Rocket [23]. Основу нитразола
составляет нитроцеллюлоза, которой придана высокая плотность и
вязкость. На основе нитразола возможно создание топлив с
оптимальным соотношением между связкой и кристаллическим окислителем
40:60. В состав нитразола входит пироксилин и два
пластификатора. Он обладает высокой плотностью и вязкостью, сохраняет
эластичность при низких и прочность при .повышенных
температурах.
Специалисты в области разработки новых топлив считают, что
весьма перспективным является применение в качестве горючего-
связки фторуглеродов, поскольку фторуглеродные соединения
содержат в своем составе окислитель и горючее. Плотность фторугле-
родных связок в два раза выше, чем углеводородных. Фтор
образует с металлами газообразные соединения, что повышает эффек-
<_Г_с_ек
кг
300
250
200
150
10В
SO
D60 70 80 8772 100%
Содержание окислителя
4.2. Зависимость J\ и То от
содержания окислителя.
1—температура горения топлива;
2—единичный импульс
Рис.
288

тивность топлива при использовании металлических добавок.
Прочность фторуглеродных связок значительно выше, чем
углеводородных. Кроме того, фторуглеродные соединения обладают хорошей
эластичностью [37]. Основные энергобаллистические
характеристики для характерных смесевых композиций приведены в табл. 4.4
[5], [42].
Смесевое топливо после смешения компонентов имеет подобие
жидкой глины или густой пасты. Чтобы удалить включения
воздуха, массу пропускают через небольшое отверстие в вакуумную
камеру. Затем топливо под давлением подается в двигатель,
который во время снаряжения присоединяется к шнековой подающей
установке. Для образования в заряде каналов требуемой формы
(звезды, цилиндрического канала, щели и т. д.) в двигатель перед
снаряжением вставляют иглу. После окончания заливки двигатель
отсоединяют от подающей установки и помещают в печь. В печи
(термостате) двигатель выдерживают при повышенной температуре
в течение времени, необходимого для завершения процесса
полимеризации связки. В результате полимеризации связующего
вещества образуется твердая резиноподобная масса с равномерно
распределенными частицами окислителя. После охлаждения
двигателя до нормальной температуры удаляют иглу. Технология
изготовления смесевых топлив и снаряжения двигателей не
накладывает никаких ограничений на диаметр заряда и его вес. В
настоящее время признается возможным изготовление зарядов из смесе-
вого топлива весом до 1500 г при диаметре более 6—8 м [29].
Интенсивная работа в области создания новых твердых топлив
с высоким единичным импульсом потребовала проведения больших
теоретических исследований. На основе термодинамических
расчетов большого количества топливных композиций, включая и
гипотетические, представляется возможным оценить предельные
характеристики твердого ракетного топлива.
Результаты таких расчетов представлены на рис. 4.3 [30] в виде
зависимости Д для эталонного двигателя (р = 70 кГ/м2, рв =
= 1 кГ/см2 истечение расчетное) от удельного веса топлива. На
графике обозначены области, соответствующие различным
комбинациям окислителя и высокоэнергетических добавок. Влияние вида
связки оказалось для этих предельных систем незначительным.
Наибольшие теоретические значения единичного импульса 280—
290 кГ • сек/кг достигаются для композиций на основе перхлората
нитрония и алюмогидрида лития, однако они имеют относительно
низкий удельный вес (1,3—1,5 г/см3). Наиболее тяжелыми
композициями, сохраняющими значение /i>230—240 кГ • сек/кг,
являются составы на основе перхлората аммония и циркония.
Виды топлив, нашедших применение в некоторых образцах
вооружения, приведены в табл. 4. 5 [27], [30], [31].
10 3058 289

"Таблица 4.4

Характеристики
Окислитель
Горючее

Температура горения" То
в °К
Единичный
импульс* У] в
кГ-сек/кг
Скорость
горения в мм[сек
Alt-161

Перхлорат
калия
Асфальт
2073
185
40
А

Перхлорат
аммония
2о73
200
13
Б

Перхлорат
аммония
Полибт-
тадиен +
+
акриловая
кислота
+А1
(порошок)
—
250
11,7
Марка
В

Перхлорат
аммония

Полиуретан
—
238
5,ез
ми условное обозначение топлива
Г

Перхлорат
аммония

Перхлорат
калия

Полиуретан
—
236
12,8
Д
Нитрат
аммония
Ацетат

целлюлоза
—
171
21,5
Е
Нитрат
аммония
1673
—
3
Ж

Перхлорат
калия

Полиэфир-
стирол
—
178
17,5
3
Топливо
фирмы
„Амери-
кен
Рокет-
дайн"
—
200
0,5
OALCIT

Перхлорат
калия
Асфаль-
тонефте-
лродукт
2240
195
35—38
NDRS
Пикрат
аммо-
НИЯ-т-ПИ-
крат на
трия

Смолистая
связка
2020
200
—

при
р^=70 кПсм?,
Т„ = 20° С
Показатель
степени v в
законе горения
Нижний
предел давления
Рт\п в кГ'см?
Плотность Yt
Гд3
Коэффициент
истечения
_ О
А=-—— в IIсек
pF*
д In a
в /,°С
0,70
50 (70)
1,77
0,00816
0,002
0,40
14
1,75
0,00654
0,002
0,235
1
1,70
0,00637
—
0,05
1
1/8
0,00576
—
, .
14
1,70
0,00695
—
0,50
1
1,52
0,00935
—
0,4
7
1,55
0,00816
—
0,74
28
1,84
0.C0S08
—
—
1.80
—
—
—
15
1,74
—
—
Значения единичного импульса дамы для эталонного двигателя {р=-70 кГ\см^, ра---\ кГ(см2),

Таблица 4.5
Образцы
Минитмен
Поларис
„Титан ЗС"
I ступень
II ступень
III ступень
А-1
А-2
I ступень
II ступень
(стартовая ступень)
Сержант
Онест Джон
Состав топлива
Перхлорат аммония
Сополимер бутадиена и акриловой кислоты (связка)
Эпоксидная смола (отвердитель) + алюминий
Перхлорат аммония
Полиуретановыи каучук
Алюминий
Нитроглицерин
Нитроцеллюлоза
Перхлорат аммония
Алюминий
Перхлорат аммония
Полиуретановыи каучук
Легкие металлы
Перхлорат аммония
Полиуретановыи каучук
Легкие металлы
Двухосновное топливо
Перхлорат аммония
Сополимер бутадиена и акриловой кислоты (связка)
Эпоксидная смола (отвердитель) + алюминий
Полисульфидиое топливо
Двухосновное топливо

к г-сек
нг
130
но
по
ISO
150
7kO
7 7/7
гго
/ ^
Л:1
КЗ !.
,
V п;V.I
™}*£
1
n-.г
+ 1,5 1,6 1,7 )
/йи
? '.5 1
-^^^
(? /./ г.2 г.? z^ v
■Пси
Рис. 4. 3. Энергетические возможности различных топливных
композиций:
/ - N02C104; U - NH4C104; 111 - NHtNO,;
1 — LiAlH4; 2 - Al; 3 — MgH2; 4 - Zr
Основные формы зарядов РДТТ
До появления смесевых толлив единственной схемой
снаряжения РДТТ была схема со свободным заполнением (рис. 4.4). В ней
заряд состоит из отдельных шашек, уложенных в камеру с
зазором. Недостатками этой схемы являются сравнительно низкая
плотность заряжания и наличие контакта горячего газа с корпусом
двигателя по всей внутренней поверхности. Последнее
обстоятельство обусловливает большую толщину стенок либо теплоизоляцию
Д-Й
Рис. 4. 4. РДТТ со свободным заполнением:
/—воспламенитель; 2—изоляция; 3—камера; 4—диафрагма; 5—уплотнение; б—сопло;
7—вкладыш в критическом сечении; S—заряд; S—узел соединения с боевой частью
внутренней поверхности камеры. Поэтому весовой коэффициент а
для такой конструкции двигателя получался высоким. Утяжелению
конструкции РДТТ со свободным зарядом из двухосновного топ-
293

лива способствовали сравнительно высокая температурная
зависимость и высокие рабочие давления, необходимые для
устойчивого горения заряда. Значения коэффициента а достигали 0,85—
1,25 [25].
Поскольку в большинстве случаев от ракетного двигателя
требовалось постоянство тяги во время горения заряда, шашкам
твердого топлива придавали такую форму, чтобы их поверхность при
горении оставалась постоянной. Простейшей формой шашки,
обеспечивающей постоянство поверхности горения, является
цилиндрическая трубка, у которой при горении уменьшение наружной по-
Рис. 4. 5. РДТТ с зарядом, скрепленным с корпусом двигателя:
/—воспламенитель; 2—камера; 3—заряд; 4—вставка в критическом сечении;
S—сопло
верхности компенсируется равным увеличением поверхности
канала. В зависимости от необходимой поверхности горения
проектировали заряды из одной, трех, семи и большего числа шашек.
Наряду с этим применяли шашки более сложной формы. В некоторых
случаях для обеспечения постоянства поверхности горения в таких
зарядах применяли частичное бронирование шашек (например,
торцов цилиндрической шашки, боковых опорных поверхностей
крестообразной шашки и т. д.). Реже применяли заряды
прогрессивной формы, например, многокальные шашки. При горении таких
зарядов наблюдалось увеличение поверхности горения к концу
горения заряда, что приводило к росту давления в двигателе.
Существенным недостатком такой формы является распад шашки
в конце горения на дегрессивно горящие элементы, выброс
которых из двигателя приводит к увеличению разброса полного
импульса реактивной силы.
С появлением смесевых составов, допускающих снаряжение
двигателя заливкой и обеспечивающих прочное скрепление
(адгезию) заряда с корпусом двигателя, возник новый тип заряда,
связанного со стенками двигателя и горящего изнутри (рис. 4.5).
294

В таком двигателе материал корпуса защищен от воздействия
горячего газа всей толщей топлива и входит в соприкосновение
с газом только после полного выгорания заряда или на самой
последней стадии его горения. Благодаря этому возможно
применение легких высокопрочных материалов, как титан и пластмассы
[27], [30]. За счет снижения температурной зависимости и рабочего
давления, поскольку смесевые топлива устойчиво горят при более
низких давлениях, чем двухосновные топлива, возможно снизить
расчетное давление, определяющее толщину стенки двигателя. Все
это благоприятствует облегчению конструкции двигателя и
снижению а до 0,1—0,08. Для РДТТ, работающих на больших высотах
(двигатели верхних ступеней ракет), возможно достижение
« = 0,06—0,05 [25].
Рис. 4. 6. Формы зарядов, скрепленных с корпусом двигателя:
а—заряд с каналом звездчатого сечения; б—колесообрЬзный профиль;
е-телескопический заряд
Поскольку и для новой схемы в большинстве случаев
сохраняется требование постоянства тяги при горении заряда, формы
нарядов с постоянной поверхностью горения являются
преобладающими.
Распространенной формой заряда является заряд с осевым
каналом звездчатого сечения (рис. 4. 6, а). При горении такого заряда
пока вырезы, продвигаясь в глубь топлива, не достигнут
внутренней поверхности камеры, можно обеспечить постоянство
поверхности горения. Однако на последней стадии горения происходит де-
грессивное догорание остатков, сопровождаемое резким падением
давления и единичного импульса. Для устранения этого недостатка
г. больших двигателях иногда устанавливают несколько (по числу
лучей звезды) треугольных вставок из пенопласта, которые
заменяют дегрессивно догорающую часть заряда [27]. Это уменьшает
нес «остаточного» топлива при небольшом увеличении пассивного
псса ракеты. В зарядах с каналом звездчатого сечения отношение
толщины горящего свода к диаметру заряда не может выбираться
произвольно (оно связано с характером изменения поверхности во
времени) и для вариантов, обеспечивающих постоянство поверх-
295

ности, обычно невелико. Отсюда сравнительно низкая
плотность заряжания. Эти же недостатки свойственны заряду с колесо-
образным профилем (см. рис. 4. 6, б).
Идеальное постоянство поверхности может быть обеспечено для
телескопического заряда (см. рис. 4.6,в). Однако крепление
центрального стержня из топлива (сердечника) приводит к
конструктивным трудностям [25], поэтому такая форма применяется редко.
Более распространенным является щелевой заряд (рис. 4. 7). В таком
заряде горение топлива происходит по цилиндрической поверхно-
v Радиальные щели
под углом 120
Рис. 4. 7. Щелевой заряд
сти канала и по поверхности щелей. Увеличение поверхности
горения вследствие разгара канала компенсируется уменьшением
поверхности секторов заряда на участке со щелями.
Рассматривая основные формы зарядов для РДТТ, нельзя не
упомянуть о заряде, горящем с торца, который на первый взгляд,
представляет оптимальный вариант, поскольку обеспечивает
максимально возможную плотность заряжания. При более
пристальном рассмотрении этот заряд обладает серьезными недостатками.
При торцовом горении возникает необходимость в специальной
тепловой защите для участка камеры, обращенного к соплу,
который с самого начала горения заряда оголится и вступит в контакт
с горячими газами. В этом отношении торцовый заряд является
антиподом заряда, связанного со стенками и горящего изнутри,
который обеспечивает оптимальное решение тепловой защиты.
Кроме того, при торцовом горении, основанном на использовании
минимальной поверхности горения, во многих случаях невозможно
получить достаточную тягу [14].
Формы зарядов нельзя анализировать в отрыве от
конструктивной схемы двигателя. Появление новых конструктивных схем будет
порождать новые формы зарядов. В настоящее время в связи с
разработкой больших двигателей нашла применение схема
секционного ракетного двигателя [29], состоящего по длине из отдельных
296

секций (рис. 4.8). Изготовление заряда, состоящего из секций,
упрощает производство, облегчает обнаружение брака, позволяет
при осмотре забраковать поврежденную секцию, не бракуя весь
заряд, а также быстро
вернуть двигатель в
строй, заменив
неисправную секцию. Кроме того,
обеспечивается
возможность перевозки больших
ракет по шоссе и желез- п „ Q n
v Рис. 4.8. Секционный ракетный двигатель
Эти же цели
преследует разработка модулярной конструкции заряда [7]. Модулярный
заряд состоит из нескольких отлитых -и заполимеризованных в
отдельности топливных элементов (модулей). Сборка заряда в корпусе
двигателя из модулей может быть произведена непосредственно на
месте запуска ракеты.
Стремление к всемерному облегчению конструкции РДТТ
привело к созданию опытных образцов бескамерных двигателей
Рис. 4. 9. Схема бескамерного РДТТ:
/—силовой привод; 2—винт; 3—топливный заряд; 4—матрица; 5—шарнир;
6—поверхность горения; 7—сопло; 8—газозаборная трубка; 9—переднее днище; 10—тазовая
турбина
(рис. 4.9). В таком двигателе используется цилиндрический заряд
с торцовым горением [8]. Торец заряда, обращенный к соплу, имеет
куполообразную форму. Боковая поверхность заряда защищена от
распространения пламени слоем бронесостава. Связь заряда с
соплом обеспечивается соединительными стержнями, по резьбе кото-
297

рых перемещаются матрицы, жестко связанные с соплом. Стержни
воспринимают осевые усилия, создаваемые давлением,
действующим на сопло и на торцовую поверхность заряда. Через заборную
трубку, проходящую по осевому каналу заряда, небольшая часть
газа из зоны горения отводится на газовую турбину,
расположенную в области переднего днища. Посредством приводов турбина
приводит во вращение соединительные стержни. При этом сопло
по мере выгорания заряда непрерывно перемещается вперед,
оставаясь на одном и том же удалении о? торца заряда. Бронепокрытие
после выгорания топлива в виде эластичного чулка проталкивается
через сопло, предохраняя при этом его стенки от нагрева.
Схема заряда обеспечивает повторное включение двигателя.
Для этого в одном из сечений заряда размещается слой инертного
вещества. Когда горение дойдет до этого слоя, работа двтоаягеля
прекратится. Повторное воспламенение обеспечивается в задаяный
момент времени по команде от часового механизма воспламенением
состава, располагающегося выше инертного слоя. Прекращение
работы двигателя в произвольный момент времени может быть
осуществлено подрывом соединительных стержней — при отделении
сопла наступит резкий спад давления, при котором заряд погаснет.
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПЕРЕНОСА ДЛЯ ПРОДУКТОВ
СГОРАНИЯ ТВЕРДЫХ РАКЕТНЫХ ТОПЛИВ
Точность расчетных методов, применяемых при изучении
теплообмена и горения в РДТТ, а также при проектировании элементов
тепловой защиты двигателя, в большой степени зависит от наличия
достоверных значений коэффициентов переноса продуктов сгорания
твердых топлив.
Учет разнообразных явлений, протекающих в газах при
переносе тепла и количества движения, чрезвычайно труден. Поэтому
в настоящее время определение характеристик переноса для
многоатомных газов осуществимо только с помощью полуэмпирических
методов.
Вязкость газов и их теплопроводность растут с увеличением
температуры. Известен ряд зависимостей, учитывающих эти
изменения. Как показывает сопоставление данных эксперимента и
расчетных данных, полученных с помощью различных формул,
наиболее надежной из них и в то же время достаточно простой является
формула Сатерленда
l
■JV fJ-дг 'OT^
где \хт и Хт — коэффициенты динамической вязкости и
теплопроводности газа при температуре Тй;
V-n и kn~~ значения этих коэффициентов при температуре
7^=273° К;
С —постоянная Сатерленда.
298

Значения %N, \iN и постоянной Сатерленда для различных газов
приведены в табл. 4.6 [11], [18]. {
Таблица 4. о
Гя-э
1 аэ
со2
Н2О
со
н2
N2
°2
Xyv-Юз
ккал\м ■ час ■ град
12,42
13,89
19,80
150
21,38
21,55
fi.W-105
кг1м-сек
1,384
0,818
1,656
0,850
1,667
1,943
С
град
274
650
156
94
114
ПО
Из других расчетных зависимостей заслуживает внимания формула
Хиршфельдера [49]:
где [ап и [аГ2— коэффициенты динамической вязкости при
температурах Тх и Т2;
k— постоянная Больцмана;
s— константа, характеризующая химическую природу
вещества, значения e/k 'для*различных газов
приведены в табл. 4.7а;
jz)—функция, значения которой приведены в табл. 4.76.

Вещество
Воздух
о2
н2
N2
СО
со2
NO
NO2
°.ik °К
97
ИЗ
413
91,5
110
190
119
220
Таблица 4. 7а

Вещество
НС!
СН4
С12
с3н8
Н2О
С5Н12
СбН]2
С2Н9
е/ЙрК
зео
136,5
357
254
Зоб
345
324
185
*77е
1,00
1,50
2,00
3,00
4,00
5,00
6,СО
7,00
8,СО
9, СО
10
/(«"/О
0,6302
0,9325
1,2048
1,6728
2,0719
2,4264
2,751
3,053
3,337
3,607
3,866
Таблица 4. 76
kT'jt
20
30
40
50
60
70
80
90
100
200
400
/(«70
6,063
7,880
9,488
10,958
12,324
13,615
14,839
16,010
17,137
26,80
41,90
299

Входящее в аргумент отношение e/k либо само значение
аргумента могут быть рассчитаны по приближенным зависимостям:
г\к =£ 0,7577, кТ\г =* 1 ,337\; e}k =s 1,397ft,
где Тс и Ть—критическая и нормальная температуры кипения
вещества;
Тг—относительная температура, равная Т\ТС.
Коэффициент динамической вязкости многокомпонентной
газовой смеси может быть определен по формуле
^ 1-..., (4.1)
Ф2, + (Х3№) Ф23 + ... + (Х„1Х3) Ф2„
где [ib 1*2> • • • ^л—коэффициенты динамической вязкости чистых
компонентов;
Хъ Х2,...у Хп — молярные доли этих компонентов;
ф
2^2(1 + Afi/Ara)°-B
Ми М2...—молярные веса компонентов.
На рис. 4.10 и 4. 11 приведены графики зависимости параметра
Ф от отношения М\1М2 при различных значениях цц/цз- Точность
расчетов по формуле (4.1) для большинства газовых смесей
составляет около 2%.
Для типичных баллиститных топлив в литературе указываются
следующие значения вязкости. Коэффициент вязкости продуктов
сгорания топлива JPN в работе [36] принимается равным
jli = 6,50 ■ 10~5 кг[м-сек. Для баллиститных топлив с калорийностью
800—900 ккал/кг (средний состав продуктов сгорания которых
близок к среднему составу продуктов сгорания нитроклетчатки
с 12,5% N) ц=6,68• 10^5 кг/м• сек [18]. Коэффициент
кинематической вязкости для них рекомендуется рассчитывать [18] по формуле
5 35
v= —— м2[сек, где р — давление в кГ/м2.
р
Указанные значения носят сугубо ориентировочный характер.
Для продуктов сгорания смесевых топлив с высоким содержанием
конденсированной фазы эффективная вязкость может значительно
отличаться от вязкости газовой смеси, определенной без учета
твердых частиц.
300

Поскольку суммарный объем конденсированной фазы
составляет незначительную долю общего объема продуктов сгорания
твердого топлива, для расчета эффективной вязкости можно
использовать формулу Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [24]
—
12
где d — средний диаметр частиц;
п — число частиц в единице объема;
' ц — вязкость газовой смеси (без учета твердых частиц).
0,006 0,0! С,02 0,03 0.0k 0,06 0,! 0,2 0,3 0,<* 0,6 0,8 1 2
0.008 О OS
Рис. 4. 10.
Теплопроводность газовой смеси в общем случае не обладает
свойством аддитивности: она может быть больше или меньше
теплопроводности любого чистого компонента.
301

Коэффициент теплопроводности бинарной газовой смеси может
быть определен по методу Васильевой [40]
) Ч. 1 ^2 (Л п\
1 + А]2 \Л2\л.\) 1 + Л21 (A]/A2)
где \ и Х2 —коэффициенты теплопроводности отдельных компо-
нентов;
А --
L
'751
С12/Г0
1 + C2/r0J
Af, \о.75 1 + С2/7"0П0.5Л2 1 +С,2/Г0
С2/Г0
(4.3)
(4.4)
i, С2 — константы Сатерленда для чистых компонентов;
Ci2 — константа Сатерленда для смеси.
о,в
Рис.
10
4.
11.
70
kO SO
wo
200
м,/мг
Формулу Васильевой используют иногда для приближенного
определения коэффициента теплопроводности продуктов сгорания
твердого топлива. Поскольку теплопроводности большинства ком-
302

понентов продуктов сгорания, за исключением водорода, близки
друг к другу, газовую смесь, образующуюся при горении топлива,
можно в первом приближении рассматривать как бинарную смесь,
состоящую из водорода и второго газа, для которого
теплопроводность определяется как среднее арифметическое теплопроводностей
отдельных компонентов. Так, например, для продуктов сгорания
двухосновного топлива, имеющих при температуре горения
2400° К равновесный состав в моль/кг: СО2 —5,21; НоО — 8,92;
СО—17,02; Н2 —5,09; N2 — 4,46 [18], при температуре Г = 273°К
среднее арифметическое теплопроводностей СО2, CO. N2 и Н2О
составляет 1.66 • 10~2, а теплопроводность Нг—15,0-10~2 ккал/мУ
Хчас°К.
Если рассматривать продукты сгорания этого топлива как
бинарную смесь двух газов с указанными коэффициентами
теплопроводности, то, используя зависимости Васильевой, получим
коэффициент теплопроводности смеси Я,\- = 2,33-10~2 ккал/м-час'К
(Т = 273° К). Подобный расчет, проведенный для Г0 = 2400°К, дает
Ът= Ю,4 • Ю-2 ккал/м • час0 К.
Подставляя значения X,v и Хт в интерполяционную формулу
Сатерленда, можно определить постоянную Сатерленда для смеси,
которая в данном случае получается равной С=104°К [18].
Наиболее совершенной зависимостью для определения
коэффициента теплопроводности многокомпонентной газовой смеси в
настоящее время является формула Линдсея и Бромлея [49]<
х =- h l
см 1 + Ап (Х2/Хг) + А12 (Х3/Хг) + ... + Ахп (XIXi)
-| -^ + ..., (4.5)
1 + Ап (*i/*2) + А» №/*2) + • ■ ■ + А2П (ВД)
где все константы вычисляются по зависимостям, аналогичным
(4.3) и (4.4).
Формула (4. 5) была проверена ее авторами для 85 различных
композиций газовых смесей. При этом среднее расхождение
расчетных данных с экспериментальными составило около 2%.
При использовании зависимостей (4.3) и (4.4) константы
Сатерленда для газов, не указанные в табл. 4. 6, могут быть
рассчитаны ,по приближенной зависимости С=1,5ГВ, где
Тъ—-нормальная температура кипения вещества в °К-
При этом, как показывает анализ, ошибки в определении
величины С относительно слабо сказываются на конечном результате
расчетов: например, ошибка в определении С порядка 20%
обусловливает погрешность определения Хсж около 1%.
Константа Сатерленда для газовой смеси может быть
выражена как
С^^^ V С^Сг.
303

Если один из компонентов смеси является сильно полярным
соединением (например, вода, аммиак), то
Ci2= 0,735 у С1С2.
Учет влияния давления на теплопроводность газовой смеси можно
осуществить умножением Хси, полученной по формулам (4. 5) либо
(4.2) для низкого давления, на корректирующий множитель КРх,
который находится по графикам рис. 4. 12. Входными величинами
являются Тг и Рг. Предварительно необходимо вычислить
псевдокритические температуру и давление газовой смеси:
РС см = Х\РС\ 4" ^2^02 + • • • ХпРсп,
где ТсЪ ТС2 и РсЪ Рс2~критические температуры и критические
давления отдельных чистых компонентов.
Затем вычисляются Тг = Та/Тссш и Рг=Ро/Рссм-
При известном значении коэффициента динамической вязкости
для приближенного определения коэффициента теплопроводности
пользуются формулой Эйкена
, 5 Ro\
^ 4 М)'
где Ro — универсальная газовая постоянная;
М — молекулярный вес смеси.
Температура газа в тепловом пограничном слое возле стенки
двигателя будет изменяться от температуры в ядре потока То
до температуры на внутренней поверхности стенки Гс.в. При
расчете теплопередачи от газа к стенке необходимо брать среднее
интегральное значение коэффициента теплопроводности газа [18]
^^-V-f 4T)dT.
Приняв, что изменение коэффициента теплопроводности от
температуры следует зависимости Сатерленда, проф. Франк-Каменец-
кий [18] для интегрального значения коэффициента
теплопроводности получил следующую формулу:
В табл. 4. 8 приведены значения %, рассчитанные им для газовой
смеси указанного выше состава при 7о=24ОО°К и различных
температурах на внутренней поверхности стенки Гс.в.
304

■3
S
7
е
0
2
1
\('
/
,11)
/ \
/у
0,5 0,8 1
2
1
_ —
0,1 0
Рис. 4.12. Графики
/ /
/
' /
/
-
— ■-
//
х-"
^Н
^——'
—-—-
J
Ja
,
V"
у
у
t
У^1
у
у
Z 3 k 5 S 7Pr
—
——
■
.. ■
л
ф
уС "У*
1 0,3 0,k 0,5 0,6 0,8 1,0 Рг
для определения корректирующего
множителя Кр>-
305

Тс
X ккал
.в°К
J4CIC
■град
6
300
,35-10-2
6
500
,69-10-2
7,
8С0
16-10-2
7
10С0
,44-10
Таблица ^
-2
1300
7,83-10-i
Как следует из табл. 4. 8, в широком диапазоне изменения Гс.в
величина X изменяется в сравнительно узких пределах, что
позволяет осреднить ее при расчете нагрева стенки двигателя. Так, если
в рассматриваемом случае принять Хср = 7-10"2 ккал/м- час°К, то
максимальное отклонение К от среднего значения составит около
10%. Учитывая приближенность используемых при расчете
зависимостей, такую погрешность при осреднении % следует считать
вполне допустимой.
Пример. Определить коэффициент динамической' вязкости продуктов сгорания
твердого ракетного топлива HES 4016 при температуре горения 3200° К при
р=40 кПсмг. Состав газов, взятый из работы [12], приведен в табл. 4.9. В этой же
Таблице приведены значения вязкости чистых компонентов при той же
температуре.
Таблица 4. 9
i
1
2
3
4
5
6
Компоненты
СО2
СО
н2
Н2О
N2
NO
Моли/кг
7,7
11,4
3,5
9,45
5,15
0,7
М,
44,011
28,011
2,016
18,016
28,016
30,018
Xt
0,203
0,301
0,092
0,249
0,136
0,0185
Щ-105
кг, м-сек
8,40
7,50
3,70
8,60
7,60
9,30
По данным табл. 4.9 рассчитываем отношения
Xt/Xi,2 ... е. n/m-i.2 ■ • ■ 6. Mi'Mla
Результаты расчетов сведены в табл. 4. 10.
. 6-
Таблица 4.10
Xi!Xi
1
1,48
0,455'
1,23
0,67
0,091
XiJX2
0,67
1
0,31
0,83
0,45
0,062
Xi/X3
2,21
3,26
1
2,7
1,47
0,2
XiIX4
0,81
1,21
0,37
1
0,55
0,74
Xi/Xs
1,49
2,22
0,68
1,83
1
0.14
Xi/X6
11,0
16,3
5,0
13,5
7,35
1
MJMi
1
1,57
22
2,44
1,57
1,47
M2jMi
0,64
1
14,0
1,55
1,0
0,93
Afg/Af,
0,045
0,071
1
0,111
0,071
0,067
306

Mi!Mi
0,41
0,64
9,CO
1
0,64
0,60
MSjM;
0,64
;,o
1 .55
1
0,93
0,
1,
15,
1,
1.
1
68
07
0
67
07
1
1,
2,
0
1
0
'f-l
12
27
97
11
90
Ын
0,89
i
2,03
0,87
0,99
0,80
0,44
0,49
1
0,43
0,49
0,40
V-
1
1
2
1
1
0
*'и
,02
,15
,32
,13
,93
Продолжение
№/*
0,90
1,01
2,06
0,88
1
0,82
V-
1
1
2
1
1
1
б/w
,11
,24
,52
,08
,22
По рассчитанным значениям Mt/M:,t...6 и p.»/Hi,2...6 из рис. 4. 10 и 4. 11
находим соответствующие им значения Ф,-. Далее определяем Z(Xi/X\: 2, • ■ • б)Ф; и
нахоДИМ
. Результаты расчетов приведены в табл. 4. 11.
Таблица 4. II
i
1
2
3
4
5
6
Хн'Хри
X2/X^2i
XZ';Xi<bU
Х^Х^ц
X-JX^si
Х6/Х1Ф61
2 (Xn/X,)
Ф,
1
0,83
■ 0,23
0,65
0,83
0,8
1
1.23
0,105
0,80
0,55
0,073
3,77
2,23
Ф«
1.2
1
0,3
0,75
1,0
0,9
0,805
1
0,093
0,62
0,45
0,055
3,02
2,48
Фа,
2,2
1,95
1
2,0
1.8
1,85
4,9
6,36
1
5,4
2,64
0,37
20,67
0,18
Ф«
1,5
1,3
0,37
1
1,3
1,2
1,21
1,57
0,133
1
0,715
0,89
5.52
1,56
1,15
1.0
0,3
0,77
1
0,95
1,71
2,22
0,204
1,41
1
0,133
6,78
1,12
Ф«
1,3
1Д
0,3
0,9
1,05
1
14,3
17,9
1.5
12,2
7,70
1
54,6
0,17
Суммируя эти данные, получим
Нем = (2,23 + 2,48 + 0,18 + 1,56 + 1,12 + 0,17)-10-3 = 7,74-10-5 кг]м-сек.
307

§ 3. МЕХАНИЗМ ГОРЕНИЯ ТВЕРДЫХ РАКЕТНЫХ ТОПЛИВ
Горение твердого ракетного топлива представляет собой
последовательность физико-химических процессов, начинающихся в
твердой фазе и завершающихся в газовой фазе на некотором
расстоянии от поверхности заряда образованием равновесной смеси
продуктов сгорания.
К настоящему времени наиболее полно изучено горение
двухосновных топлив, являющееся предметом многочисленных
теоретических и экспериментальных исследований. Ранние теории горения
бездымных порохов впоследствии получили общее название теорий
температурного скачка. Авторы этих теорий (Летан, Швейкерт,
Ямага, Кроу и Гримшоу) исходили из наличия разрыва температур
на границе раздела твердой и газовой фаз и взаимодействие фаз
сводили к бомбардировке поверхности заряда газовыми
молекулами, сопровождающейся активацией и распадом пороховых
молекул.
Первая фундаментальная теория, способствовавшая
утверждению взгляда на горение порохов как на многостадийный процесс,
в котором решающая роль принадлежит теплопередаче, была
разработана советскими учеными А. Ф. Беляевым и Я. Б. Зельдовичем.
В 1939 г. А. Ф. Беляев [4] выдвинул новую теорию горения
вторичных взрывчатых веществ. Им было показано, что при подводе
энергии к поверхностному слою таких взрывчатых веществ, как нитро-
гликоль, она не обязательно должна расходоваться на активацию
молекул взрывчатого вещества, приводящую к термическому
разложению. Более вероятным для них является процесс испарения.
Поэтому под воздействием подведенного извне тепла нитрогликоль
испаряется, а затем, уже в газовой фазе, сгорает. При перемещении
поверхности в глубь взрывчатого вещества температура
поверхности сохраняется постоянной, равной температуре кипения.
Математическая сторона теории была разработана Я. Б. Зельдовичем,
который затем развил ее применительно к горению бездымных
порохов [19]. Поскольку основной компонент пороха—-нитроклетчатка
нелетуча, Я. Б. Зельдовичем была выдвинута гипотеза о
газификации пороха. Под газификацией пороха понималось эндотермическое
превращение пороха в газообразные продукты, реагирующие затем
между собой с выделением тепла.
Последующими исследованиями в схему горения порохов,
предложенную Я. Б. Зельдовичем, был внесен ряд дополнений и
уточнений. Так, например, было доказано, что процессы разложения
твердой фазы являются экзотермическими. В настоящее время
известен ряд теорий, объясняющих механизм горения твердых
топлив, которые по существу являются дальнейшим развитием и
усовершенствованием схемы, предложенной советскими
исследователями.
Рассмотрим схему горения двухосновных топлив (рис. 4. 13)
[39]. По мере перемещения фонта горения в глубь заряда
температура слоев топлива, прилегающих к поверхности горения, возра-
308

стает. Распределение температуры в толще заряда под
поверхностью горения можно рассчитать по формуле, выведенной ранее
для аблятивных покрытий:
(4.6)
где m = yvu — массовая скорость горения топлива.
С ростом температуры в непосредственной близости от
поверхности начинается плавление легкоплавких включений и
термическое разложение основных компонентов. Для двухосновных топлив
Твердое топливо -у
Поверхность
трения
\\W\\\
.Зона подлобер-i-
, ностью
R.ONO,
R'CHO
NO,
NO + CO
+ HCHO
+H20
N,
-t
+ C0
• H2 +
+ co2
■HjO
Рис. 4. 13. Схема горения двухосновного топлива
определяющими реакциями на этой стадии горения являются
разложение нитроцеллюлозы и нитроглицерина.
Самопроизвольное термическое разложение нитроцеллюлозы
происходит и при низких температурах в процессе хранения
твердых топлив. С повышением температуры реакции разложения резко
ускоряются. На первой стадии разложения нитроцеллюлозы
происходит разрыв связи RO—NO2 с последующим расщеплением
отдельных углерод-углеродных связей. Затем при взаимодействии
первоначальных продуктов с NO2 образуются соединения более
высокой степени окисления. Разложение нитроцеллюлозы
сопровождается выделением тепла. Количество тепла, выделяемое при
реакциях, протекающих в твердой фазе Qs, зависит от состава
топлива. Представление о порядке этой величины дает значение Qs,
определенное для двухосновного топлива HES 4016, равное
140 ккал/кг [12].
Исследования показывают, что разложение основных
компонентов твердых топлив следует мономолекулярному уравнению реак-
309

ции, а массовая скорость образования газовой фазы, определяемая
этим процессом, выражается уравнением
m = KmSe s' (4.7)
где KmS — некоторая химическая константа;
Es — энергия активизации;
R — газовая постоянная;
Ts — температура поверхности.
Правомерность зависимости (4.7) для нитроцеллюлозы была
доказана С. 3. Рогинским [32], Уилфонгом, Пеннером и Даниэлем,
для перхлората калия — Отто и Фраем, для нитрата аммония —
Робертсоном.
На поверхности заряда образуется жидко-вязкий слой, в
котором диспергированы мельчайшие пузырьки газа. Толщина этого
слоя согласно экспериментальным данным составляет 10—80 мк
[12].
Температура поверхности горения Ts является одной из важней-
щих характеристик процесса. Величина ее определяет скорость
образования газовой фазы, т. е. скорость горения топлива.
Трудности экспериментального определения температуры поверхности
обусловлены очень высоким температурным градиентом в этой
зоне горения, а также некоторой неопределенностью положения
самой поверхности (вспенивание, плавление, диспергирование
твердой фазы). Различными исследователями предпринимались
попытки определения этой температуры. 3. И. Аристова и О. И. Лей-
пунский [2] калориметрическим путем после прерывания горения
определяли количество тепла, аккумулированное пороховой
шашкой при горении. Если полагать, что распределение температуры
в заряде следует зависимости (4.6), запасенное количество тепла
можно определить из уравнения:
~ тех
-су% (Т$— Гн) \ е '■ dx=
о о
СР f \ '-Yt
— \J S ' н' >
т
откуда
Ts = Tn + ^.
•утА
Температура, рассчитанная по этой зависимости, оказалась
равной 330±45°С. В табл. 4. 12 [39] приведены расчетные значения Ts,
полученные различными исследователями для топлива HES4016.
К поверхности заряда примыкает несветящаяся или темная
зона. В ней в результате взаимодействия продуктов разложения
твердой фазы выделяется примерно половина общего количества
310

Таблица 4.12
Температура
°К
TS
Бойс и
Корнер
750
3050
Дачпэльс, Уть
фонг к Пеннср
1273
Райе
и Джине лл
700
1400
3370
Кроуфорд
и'Парр
700
5100
тепла, выделяемого при горении топлива. Здесь получают
развитие реакции окисления за счет восстановления двуокиси азота,
протекающие при относительно низких температурах. В результате
Рис. 4. 14. Экспериментальные температурные профили
темной зоны для топлива — нитроцеллюлоза (13,15% N)
и 1% этилцентралита:
/—при давлении 49,2 кГ?см2; 2—пои давлении 42,2 кГ/смг; 3—Бри
давлении 28,1 кГ/см2; 4—при давлении 26,4 кГ/см2
реакций образуются большие количества окиси углерода и окиси
азота. Вследствие выделяемого при реакциях тепла температура
газа по мере удаления от поверхности заряда повышается. При
использовании термопар с высокой чувствительностью удалось
замерить и определить температурный профиль темной зоны (рис.
4.14) [39]. По характеру изменения температуры и протекающим
реакциям темн*ую зону делят на два участка: на так называемую
зону газификации, прилегающую к поверхности горения, где
происходит резкий подъем температуры, и подготовительную зону,
311

в которой температура изменяется незначительно. Температура
подготовительной зоны 7]= 1100—1400° К.
Общая протяженность темной зоны зависит от давления. При
низких давлениях ширина темной зоны составляет от десятых
долей до нескольких миллиметров. При высоких давлениях она
исчезает. Зона газификации занимает лишь малую часть темной зоны
(~lO-2—io-i мм).
Состав продуктов сгорания в конце зоны газификации для
топлива HES4016 по данным газового анализа [12] приведен
в табл. 4.13
Таблица 4.13
Продукты сгорания
СО2
СО
н2
NO
Н2О
N2
NHg
СН2О
Содержание
В конце зоны
газификации
3,65
12,85
2,0
7,82
6,4
0,95
1,3
2,6
В
моль\кг
конце зоны пламени
7,7
11,4
3,5
0,7
9,45
5,15
—
—
Примечание. Элементарный состав твердого топлива (г-атом/кг):
19.G9C; 25,9Н; 11.2N; 30,960.
Окись азота является относительно стабильным веществом,
разложение которого на N2 и О2 при температурах 1200—1300° С
протекает медленно [39]. Окись азота при низких температурах может
взаимодействовать с водородом и окисью углерода в такой
последовательности:
ОПГ\ I U .
2N2O^2N2 + O2.
Пары воды играют роль катализатора. Однако даже при
температуре порядка 900° С реакция между NO и Н2 протекает очень
медленно. Таким образом, дальнейшее взаимодействие продуктов,
образовавшихся в результате реакций зоны газификации по
израсходовании NO2 прекращается, и за пределами зоны газификации
простирается область низкой химической активности. Для
дальнейшей активизации химических процессов необходимо накопле-
312

ние большого количества активных центров. Этот процесс
накопления совершается по всей толще подготовительной зоны.
В зоне светящегося пламени происходит догорание СО и Н2
за счет восстановления азота из его окислов:
= 2CO2+N2;
Скорость реакций между СО или Н2 и N0 в сильной степени
зависит от давления. При падении давления в РДТТ ниже
определенного уровня эти реакции за время пребывания газа в камере
могут не завершиться. В таком случае продукты сгорания будут
содержать окислы азота, а- тепловой эффект сгорания топлива
вследствие недогорания СО и Н2 окажется значительно ниже
расчетной калорийности.
Рассмотренная выше схема горения твердого ракетного топлива
построена на основе изучения механизма горения двухосновных
топлив. Хотя эта схема и отражает ряд закономерностей, общих
для обоих типов твердых топлив, однако применительно к смесевым
топливам она нуждается в дополнениях, отражающих специфику
этих топлив.
При нагреве поверхностных слоев смесевого топлива
происходит термическое разложение неорганических окислителей и
связующих веществ. Разложение перхлората аммония начинается при
температуре Ts около 200° С. При температуре ниже 300° С процесс
разложения следует реакции [39]
4NH4C1O4 -»2С12 + ЗО2+8Н2О + 2N2O,
а при температуре свыше 350° С
2NH4C1O4 —4
При температуре около 500° С начинает разлагаться перхлорат
калия с образованием хлористого калия и кислорода.
Горючее-связка, окружающая частицы окислителя, при нагреве
образует горючий газ, в котором находятся частицы углерода.
Чтобы смесевое топливо горело устойчиво, необходимо равенство
средних линейных скоростей выгорания частиц окислителя и
горючего:
Поскольку скорости выгорания обоих компонентов подчиняются
экспоненциальной зависимости Аррениуса, то
313

Так как для горючего и окислителя предэкспоненциальные
коэффициенты и энергии активации имеют различные значения, из
последнего равенства следует, что в общем случае температура
частиц окислителя на поверхности горения должна отличаться
от температуры горючего (постулат двух температур).
Большинство минеральных окислителей имеет температуру
разложения более высокую, чем температура пиролиза горючего
связки. Вследствие этого при горении топлива кристаллы
окислителя, соизмеримые с толщиной реакционной зоны газификации,
выступая над выгоревшими участками горючего-связки, попадают
в более горячие слои газа над поверхностью заряда. Таков
механизм возникновения разности температур Т80к и Т8То$-
Необходимая разность этих температур поддерживается свойством
авторегулирования процесса. Если в начальный момент времени горючее
и окислитель находятся на поверхности заряда при одинаковой
температуре, то скорость выгорания горючего будет преобладать
над скоростью разложения окислителя до тех пор, пока из-за вы-
ступания кристаллов окислителя над поверхностью горения
поверхностная температура для него не достигает величины Т80к,
соответствующей равенству скоростей разложения обоих компонентов
топлива.
В качестве примера можно сослаться на разобранный в работе
[39] случай смесевого топлива на основе перхлората калия и
двухосновного топлива, используемого в качестве связки. Температура
поверхности кристаллов окислителя по определению Раиса
составляла 1100° К, что намного превышало возможную температуру
поверхности двухосновного связующего.
Для топлива из перхлората аммония и каучука [33] вероятная'
температура разложения NH4CIO4 составляет около 1200° К,
вероятная температура лиролиза каучука Р-13 около 1000° К.
Процессы разложения (пиролиза) органической связки эндотер-
мичны, разложение окислителя сопровождается выделением тепла.
Поскольку окислитель является преобладающим компонентом,
в целом процессы, протекающие на поверхности горения смесевого
топлива, являются экзотермичными. Вопрос о состоянии горящей
поверхности смесевого топлива может быть решен с помощью
силуэтного фотографирования [33]. Как показывают фотоснимки,
смесевые топлива на основе перхлората калия имеют мокрую
поверхность с пузырчатыми включениями. Это объясняется тем, что
при разложении перхлората калия образуется КС1, температура
плавления которого (1044° К) намного превышает температуру
разложения КСЮ4.
Топлива на основе перхлората аммония имеют сухую
поверхность.
При разложении органической связки и окислителя возникают
направленные от поверхности заряда потоки горючего и
окисляющего газов. Таким образом, гетерогенность структуры смесевых
гошшв обусловливает гетерогенность газовой фазы над поверх-
314

ностью горения в плоскостях, параллельных этой поверхности.
Химической реакции между газообразными компонентами должно
предшествовать их смешение. Газы горючего и окислителя,
вытекающие из расплавленной поверхности, поступают в зону пламени
частично перемешанными. При сухой поверхности горения
предварительное перемешивание отсутствует.
Исследованиями температурного профиля в газовой фазе вблизи
поверхности горения посредством платино-родиевых термопар
и оптическим методом [33] было установлено, что нарастание
температуры ограничивается узкой зоной (50—100 мкм), за пределами
которой устанавливается постоянная температура пламени
(температура горения Го). Толщина темной, несветящейся зоны, как и
для двухосновных топлив, изменяется в зависимости от давления.
Следует отметить, что особенности механизма горения смесевых
гоплив по сравнению с двухосновными изучены недостаточно.
§ 4. СКОРОСТЬ ГОРЕНИЯ ТВЕРДЫХ РАКЕТНЫХ ТОПЛИВ
В настоящее время связь между параметрами рабочего
процесса РДТТ и химической кинетикой горения твердого топлива
при термодинамических расчетах устанавливается посредством
эмпирического закона горения. Из литературных источников
известно, что в настоящее время усилия ряда исследователей
направлены на разработку аналитических зависимостей, связывающих
непосредственно термодинамические параметры рабочего процесса
с термохимическими характеристиками топлив. Возможно в
дальнейшем эти исследования приведут к созданию новых более
совершенных методов расчета РДТТ. Однако полученные результаты
уже сейчас представляют большую познавательную ценность, так
как помогают уяснить роль отдельных факторов в горении
твердого топлива и их влияние на рабочие параметры двигателя.
Основными факторами, определяющими скорость
газообразования, являются подвод тепла к поверхности заряда из газовой
фазы, выделение тепла за счет химических реакций в
поверхностном слое топлива и отвод тепла с поверхности в глубь заряда.
Уравнение энергетического баланса для поверхности заряда при
стационарном горении можно записать так:
где Хт и Хг—коэффициенты теплопроводности для топлива и газа.
Нетрудно заметить, что процесс горения твердого топлива с
точки зрения теплообмена на поверхности имеет много общего с
абляцией. Это позволяет нам воспользоваться выведенными ранее
зависимостями. Обратим внимание на некоторое различие этих
процессов. Превращение твердой фазы в газообразное состояние при
абляции сопровождается поглощением тепла, при горении твер-
315

дого топлива это превращение происходит с выделением тепла. При
горении твердого топлива химические преобразования
продолжаются в газовой фазе с выделением больших количеств тепла.
Как и в аблятивном покрытии, зона прогрева твердого топлива
имеет незначительную толщину. Характерные кривые
распределения температуры в заряде за фронтом горения при различных
скоростях горения топлива представлены на рис. 4.15.
-10 -15 -10 -5
Расстояние от поверхности горения КЗ3 см
Рис. 4. 15.
Типичные теплофизические характеристики твердых топлив
приведены в табл. 4.14 [3].
Таблица 4.14
Характеристики
Двухосновные
топлива
Смесевые
топлива
Удельная теплоемкость с в
ккал/кГ °С
Коэффициент теплопроводности 1 в
мсал/сек-см °К
Коэффициент
температуропроводности а в смЦсек
Линейный коэффициент
термического расширения в 1/°К
0,35
0,50—0,53-10-6
0,22-10-4
1,2—2,0-10-4
0,30
0,7—0,75-10-6
0,30-10-4
0,5—1,5-10-4
С увеличением скорости горения толщина зоны прогрева
уменьшается. Из выражения (4. 6) найдем
316

Подставляя последнее выражение в правую часть равенства
(4. 8), получим
Сумма Тп-\- s составляет температуру, которая установилась
ст
бы на поверхности горения за счет выделения тепла в твердой
фазе при отсутствии подвода тепла извне. Обозначим ее через T's.
Тогда
(4.9)
При расчете величины потока, направленного к поверхности
горения из газовой фазы, необходимо исходить из того, что
согласно рассмотренной выше схеме между поверхностью горения и
пламенем с высокой температурой простирается широкая темная
зона со сравнительно низкой температурой. Теплом, передаваемым
из зоны пламени к поверхности горения излучением, в первом
приближении можно пренебречь.
Расчеты, проводившиеся в предположении, что все излучаемое
пламенем тепло поглощается поверхностью заряда, показали, что
даже при высоких температурах пламени (Г0=3000оК) излучение
может увеличить скорость горения топлива всего на 10% [39].
Следовательно, подвод тепла к твердой фазе всецело определяется
параметрами зоны газификации шириной х\ с температурой на
верхней границе зоны Т\.
Рассмотрим вначале простейший случай, когда поток газа
является одномерным и направленным нормально от горящей
поверхности. Передача тепла из подготовительной зоны к поверхности
горения обеспечивается теплопроводностью газа в зоне
газификации. Изучение явления осложняется молекулярной диффузией и
выделением тепла в зоне газификации из-за протекающих в ней
химических реакций.
Для удобства изложения будем полагать, что в зоне
газификации протекает одна химическая реакция с образованием вещества
А, безразмерная концентрация которого изменяется от ns в
исходной смеси газа у поверхности заряда до щ на границе с
подготовительной зоной. Такое представление не противоречит
действительности, поскольку многообразие химических процессов зоны
газификации можно всегда свести к одной определяющей реакции.
Уравнение теплопроводности газа для условий зоны газифика-
317

дни с учетом выделения тепла при химических реакциях
приобретает вид
** *L*JL«L (4.10)
a ut
дх2 дх су
где Q(T, n)—количество тепла, выделяющееся при реакциях
в единице объема газовой смеси в единицу времени.
Заметим, что величина Q(T, n) является функцией температуры
и концентрации реагирующего вещества в рассматриваемом
элементарном объеме. Эту величину можно представить в виде
у (г,/0=3^,
где Qi — тепловой эффект образования вещества А;
М-—скорость образования вещества А вследствие реакции,
являющаяся функцией температуры и концентрации.
Таким образом, последний член уравнения (4.10)
характеризует скорость повышения температуры в рассматриваемой точке
пространства вследствие химических реакций.
Суммарный удельный весовой поток продуктов разложения
твердой фазы (см. § 9 гл. III) равен
дх
Производная от этого выражения по координате х, взятая с
обратным знаком, будет равна скорости образования вещества в
единице объема смеси за единицу времени. Если при
дифференцировании произвести замену п<= 1—щ — п, получим
л, дп г-, д2п
М~уи yD —.
дх дх2
Итак, получена система уравнений, описывающая диффузионно-
тепловое распространение горения в зоне газификации:
д2Т дТ ■ \j\ivi г\
а и \-~—=0;
5л;2 дх су
г^я дп , М
дх
В рассматриваемой области Т изменяется в пределах от Ts
(при х = 0) до Г[ (при х = х\), при этом п изменяется в пределах
ns—п\. Введя новые переменные
п — п
5
318

получим систему уравнений
я*«-а*1+М. 1 =0;
9X2 дХ !Y W* (4.11)
*L+4-—J =0.
дх у "1~П5
При рассмотрении уравнений (4.11) обнаруживается их
аналогичность, которая обусловлена родством процессов диффузии
и теплопроводности, имеющих общую молекулярную природу.
Аналогичность уравнений становится полной, если заметить,
дГ 1
что последние члены тождественно равны, т. е. — ss
c(I\~Ts) nl — ns
поскольку с(Т\—Т&) представляет собой изменение
теплосодержания 1 кг смеси, а отношение его к величине Q\ представляет
собой не что иное, как изменение относительной концентрации
продуктов реакции в смеси.
Следует учесть, что для газа и газовых смесей, компоненты
которых имеют одинаковое число атомов в молекуле,
коэффициенты молекулярной диффузии D и температуропроводности а
в соответствии с кинетической теорией газа имеют близкие
значения. В первом приближении можно принять D~a.
Совпадают также граничные условия:
при х = 0 T = TS; 6 = 0; n = ns; a = Q;
при x = Xi T = Tu 6=1; n = nl; a= 1.
Отсюда следует, что уравнения (4.11) являются
тождественными дифференциальными уравнениями с тождественными
граничными условиями. Следовательно, они имеют тождественные
решения, т. е. поля температур и концентраций вещества в зоне
газификации являются подобными. Это позволяет концентрации,
входящие в уравнение скорости химической реакции, выразить
через температуру, вследствие чего при решении задачи
представляется возможным рассматривать только уравнение
теплопроводности. Входящее в него значение Q(T, n) можно представить
как Q(T).
Вследствие экспоненциальной зависимости скорости химической
реакции от температуры реакция в основном протекает при
температуре, близкой к Т\ [20]. Выделяющееся при реакции тепло
частично идет на повышение температуры газа в зоне реакции,
частично посредством теплопроводности передается в смежные более
холодные слои. Поскольку химическая реакция фактически
локализуется в слое, температура которого до реакции была близка
к Т\ (рис. 4. 16), количество тепла, расходуемое на разогрев
реагирующего газа до окончательной температуры реакции Т\, будет
319

невелико по сравнению с общим количеством выделяющегося при
реакции тепла. Это позволяет упростить исходное уравнение (4. 10),
опустив в правой части первый член, характеризующий расход
тепла на нагрев реагирующего вещества. Тогда получим
Область химической реакции
52Г
Зона газификации | Подготовительная
зона
Q{T)
су
или, учитывая, что
распределение температуры является
стационарным:
Умножив обе части
равенства на dTjdx, получим
(4. 12)
Рис. 4. 16.
В пределах активной
реакционной зоны температура
газа растет от Т\ — AT до Гь а
температурный градиент при
этом меняется от некоторого
значения dT/dx^>0 до 0.
Интегрируя уравнение (4. 12) в указанных температурных
пределах, получим
f
2 (dx) ~ J
7\
(?(Г) dT
По мере увеличения AT верхний предел интегрирования будет
смещаться к величине Ts. При этом величина интеграла будет
меняться мало, так как с понижением температуры резко падают
скорости химических реакций, а с ними и количество тепла,
выделяющееся на единицу объема. Поэтому температурный градиент
на нижней условной границе реакционной зоны можно определить
по формуле
(4. 13)
320

В качестве граничного условия используем равенство теплового
потока из зоны реакции и полного количества тепла,
выделяющегося в реакционной зоне в единицу времени:
—)=miQu (4-14)
где Qi — количество тепла, выделяющегося в результате реакций
зоны газификации на единицу веса газовой смеси.
Из уравнений (4.13) и (4.14) лолучим
или
Гг
/n?=J- f XM{T)dT. (4.15)
1 ts
Такая зависимость применительно к скорости горения в газовой
смеси была получена акад. Я. Б. Зельдовичем в работах [19], [20].
Выразив величину Q как функцию температуры, концентрации
реагирующих веществ и порядка химической реакции, Я; Б.
Зельдович получил формулы для скорости горения при некоторых
простейших случаях.
Для суммарно-экзотермической реакции зоны газификации,
которая рассматривается некоторыми исследователями как
реакция первого порядка, величину М можно выразить как
М = К^-^--^е~^г, (4.16)
где £р — энергия активации;
К р — предэкспоиенциальный множитель;
М р — средний молекулярный вес продуктов зоны газификации.
Множитель учитывает изменение скорости химической
реакции с падением концентрации реагирующего вещества как за счет
образования нового вещества, так и за счет снижения плотности
газа с ростом температуры. На скорость реакции существенно
влияет давление р, повышающее концентрацию реагирующего*
вещества в единице объема.
Обозначим
11 3058 321

Будем полагать, что величина Мр в пределах зоны газификации
постоянна, а коэффициент теплопроводности не зависит от состава
в пределах его возможного изменения и изменяется
пропорционально температуре смеси
X=h.T = \1b. (4.17)
Из подобия температурных и концентрационных полей
Л,-п„ Тл~Г5
О
Отсюда, если положить П\ — \, получим
\-n = {\—ns)~~. (4.18)
Заметим, что
Подставляя выражения (4.16), (4.17), (4.18), (4.19) в формулу
(4.15), с использованием принятых обозначений получим
Введем обозначение
А--
тогда
/Л /2/
т1 = - —
где
/=\ (1 — G)<? 6 d6. (4.20)
Значения интеграла (4.20) представлены в виде графиков
/=/(0а, 0s) на рис. 4. 17.
Как следует из рис. 4. 17, величина / существенно изменяется
в зависимости от us только при низких значениях 9а(<2); при
высоких 0а величина / от 6S почти не зависит.
Как было показано Карманом [21], чтобы получить лучшее
приближение при расчете скорости распространения ламинарного
пламени для реакции первого порядка, необходимо использовать уточ-
322

ненную зависимость, которая применительно к нашему случаю
записывается в виде
т1=У А
21
— 6.? — У 21
При стационарном процессе горения твердого топлива скорости
процессов газообразования и образования продуктов подготови-
OJO0
0,075
0,05
0,025
Рис. 4. 17.
тельной зоны должны быть равны, т. е. ms=mi
или
2/
Если известны основные термохимические характеристики,
определяющие величины А и 0а, задаваясь произвольными значениями
Ts, можно рассчитать соответствующие им значения ms и т.\ и,
построив графики, из пересечения их найти истинные значения Т$
и m\ = mB, соответствующие данным условиям (рис. 4.18).
И*
323.

Как следует из рис. 4.18, скорость горения твердого ракетного
топлива при постоянном давлении обладает свойством статической
устойчивости, т. е. сохраняется неизменной при случайных
колебаниях температуры поверхности заряда вокруг стационарного
значения Ts ст.
При случайном отклонении температуры поверхности в сторону
увеличения (Ts>TSCt) скорость газификации ms растет быстрее,
чем тх. В результате внешняя граница зоны газификации начинает
удаляться от поверхности
заряда, толщина зоны
увеличивается, вследствие
чего тепловой поток,
подводимый к поверхности,
падает. При этом
температура поверхности
снижается до тех пор, пока
система не придет в
стационарное состояние.
Наоборот, при случайном
снижении температуры
поверхности (Ts<^TSci:)
при Ш\^> ms граница
газификации начинает
перемещаться к поверхности
заряда, что усиливает
подвод тепла к
поверхности заряда и приводит к
росту Ts.
Таблица 4.15
Ш 500 600 700 800
Рис. 4. 18.
300 /000"~Ts°K
7\, °С
+25
—55
и
см/сек
0,2
0,4
1,0
1,4
0,2
0,4
1,0
Р
кГ/см*
3,0
10,0
44,0
71,2
6,2
19,5
71,0
к„
пр
0,56
0,58
0,67
0,74
0.58
0,63
0,87
D
1/°К
0,0049
0,0048
0,0044
0,0041
0.С055
0,0053
0,0042
см
68,8
22,7
5,0
2,8
37,2
12,8
, 2,5
7V°K
756
808
890
924
756
808
890
Оэфф
ккал\м?-яас °К
683
3140
19600
39300
.—
—
—
В работе [10] был проведен расчет параметров процесса горения
двухосновного топлива (см. табл. 4.2 HES4016) при следующих
исходных данных:
324

K; £s=32 000 кал/моль; ст = сг = 0,35 кал/г0 С;
Г, = 1085°К;
£"^ = 21000 кал/моль; ^т = ^г=4- 10~4 кал/см- сек- град;
Мр =27 г/лси&; Яр = 0,93 • 1010 сек-1;
/Cms = 0,875-104 сл/шс.
Результаты расчетов приведены в табл. 4.15
Рассмотрим определение ширины зоны газификации. Для этого
целесообразно вновь использовать предположение о том, что
тепловыделение в зоне газификации из-за химических реакций
локализуется в сравнительно узком слое на границе с подготовительной
зоной. Тогда для остальных слоев зоны, толщина которых и
определяет ее протяженность, в уравнении теплопроводности (4.10)
можно пренебречь последним членом в правой части, переписав его
в виде:
d4 , ciT
а — —uk..— ,
dxi dx
где kc — коэффициент, учитывающий выделение тепла в
рассматриваемых слоях зоны газификации, который при
ориентировочных расчетах можно принять равным единице.
Тогда температурное поле зоны газификации определится
выражением
Здесь по аналогии с уравнением (3.31)
где ХГ и ср — теплопроводность и теплоемкость газа зоны
газификации.
За положительное направление отсчета принято направление
распространения горения. Найдем постоянные интегрирования.
При х = хг
При х=0
откуда
325

Подставляя значения постоянных интегрирования в исходное
уравнение, получим
Найдем производную
(4.21)
Приравнивая правые части уравнений (4.9) и (4.21), получим
или, подставляя значение Sr:
е |
сТ TS~T'S
Ввиду того, что значения удельных теплоемкостеи для твердой и
газовой фазы близки, можно принять ср/ст = 1. Прибавляя затем
к обеим частям уравнения по единице, получим
Т,— Т'ч —X
Ts-Ts'
Отсюда толщина зоны газификации определяется как
Хг , 7-1- T's
Хх = т— In г- .
Расчетные значения хь полученные в работе [10], приведены
в табл. 4.15.
Определим эффективное значение коэффициента теплоотдачи
от газа к поверхности горения заряда
Подставляя значение (—-г| из уравнения (4.9), получим
\дх Js
mc7(Ts~T's)
«эфф ■
326

Значения аЭфф, рассчитанные на основании данных табл. 4. 15,
приведены в крайней колонке этой таблицы. Обращают внимание
очень высокие значения этого коэффициента. Хотя разность
температур подготовительной зоны и поверхности горения заряда
сравнительно невелика, однако малая ширина зоны газификации
обусловливает высокий температурный градиент, обеспечивающий
рассматриваемые значения аЭфф. С ростом давления скорость
реакций зоны газификации возрастает, что приводит к сокращению
величины Х[ и к резкому росту эффективного значения
коэффициента теплоотдачи. Вследствие усиления подвода тепла к
поверхности заряда возрастает температура поверхности Ts,
определяющая скорость газообразования.
Аналитическая зависимость массовой скорости горения
твердого топлива от давления была представлена В. Н. Вилюновым
[10] в виде
p!rs
Ti-Ts " ES J
Расчетные значения этого коэффициента приведены в табл. 4. 15.
В зоне светящегося пламени протекают экзотермические
бимолекулярные реакции взаимодействия между СО, Н2 и N0. Скорость
этих реакций пропорциональна концентрациям реагирующих
веществ, которые в свою очередь пропорциональны давлению.
Следовательно, скорости этих реакций должны быть пропорциональны
квадрату давления. Массовая скорость распространения- пламени,
определяемая на основании рассмотренных выше предпосылок,
составляет:
_£l
l '* JW (4.22)
где E-j — энергия активации для реакций зоны светящегося
пламени;
K-i — предэкспоненциальный множитель;
Го — температура пламени.
При горении твердого топлива в РДТТ стадией процесса,
определяющей скорость горения, является газообразование на
поверхности заряда. Однако в некоторых случаях при низких давлениях
лимитирующим звеном .процесса горения может оказаться стадия
дожигания, в сильной степени зависящая от давления в двигателе.
В связи с этим следует упомянуть о так называемом
аномальном прерывистом горении, наблюдаемом в РДТТ при падении
давления в двигателе ниже некоторого предельного значения pmin-
Снижение тепловыделения из-за незавершенности реакций зоны
светящегося пламени приводит к падению температуры газа, что, в свою
очередь, обусловливает дальнейший спад давления. Поскольку
с уменьшением давления уменьшается и приток газа, спад давле-
327

ния в этом случае представляет самоускоряющийся процесс,
приводящий к прекращению работы двигателя. Однако вследствие
некоторой автономности процессов, протекающих в твердой фазе,
термическое разложение твердого топлива будет продолжаться и
при атмосферном давлении. При накоплении газообразных
продуктов в камере возможно их воспламенение от соприкосновения с
нагретыми стенками двигателя. Это приведет к повторному подъему
давления. Такое чередование подъемов давления со спадами с
постепенным затуханием получило название «чихания» двигателя.
Газовая фаза
ТЗепдое топливо
Рис. 4. 19.
Отсюда вытекает требование к выбору рабочего давления в
двигателе, которое при самых неблагоприятных условиях работы не
должно опускаться ниже уровня, при котором возможно появление
аномального горения.
Изложенное выше теоретическое решение не распространяется
на смесевые топлива, механизм горения которых осложняется их
гетерогенной структурой и не соответствует схеме, использованной
для двухосновных топлив. Ниже рассматривается простейшая
одномерная физико-химическая схема горения смесевого топлива,
которая позволяет получить приближенную аналитическую
зависимость, учитывающую основные факторы процесса горения
(рис. 4.19).
Сделаем ряд упрощающих решение допущений. Отказавшись от
использования иостулата двух температур, будем рассматривать
среднюю эффективную температуру поверхности горючего и
окислителя Ts. Разумеется, условная температура поверхности будет
являться неявной функцией температур разложения горючего и
окислителя.
328

Уравнение теплообмена на поверхности представим в виде
Передачей тепла к поверхности излучением пламени, как
показывает эксперимент [6], можно пренебречь. Действительный
профиль температур в темной зоне заменим линейной
характеристикой, совпадающей с касательной к профилю в точке S. Тогда из
построения
(Щ
•где хт — условная толщина темной зоны. Тогда
т = К ,То~Т\ -■ (4.23)
c(TT)x
В дальнейшем температуру Та в первом грубом приближении
будем полагать независимой от давления. Правомерность такого
подхода при упрощенном решении для получения зависимостей
преимущественно качественного характера вытекает как аналогия из
результатов расчета, проведенного В. Н. Вилюновым для
двухосновного топлива. Как следует из табл. 4. 15, при изменении давления
в 7 раз (от 10 до 70 кГ/см2) температура поверхности заряда
изменяется в пределах 808—924° К, т. е. всего на 14%- При этом, как
следует из той же таблицы, величина (Ts—T's) меняется в
значительно более узких пределах, чем Х\. Рассмотрим два возможных
предельных случая.
При очень низком давлении скорость диффузионного
перемешивания газообразных продуктов разложения окислителя и горючего
будет значительно выше скорости реакции горения в газовой фазе.
В этом случае мы имеем дело с кинетическим горением.
Наоборот, при высоких давлениях, когда скорость химической
реакции велика, для топлив с сухой поверхностью горения типа
яерхлоратных, скорость горения топлива будет лимитироваться
перемешиванием газообразных компонентов, т. е. будет
наблюдаться диффузионное горение.
Для первого случая условия расчета совпадают с таковыми для
зоны газификации горения двухосновных топлив. Однако в отличие
от зоны газификации горения двухосновного топлива, где
протекают преимущественно реакции первого порядка, здесь
преобладают бимолекулярные реакции. Поэтому в отличие от формулы
(4.22) массовая скорость горения в газовой фазе для смесевого
329

топлива определяется зависимостью для реакции второго порядка,
в которую давление войдет во второй степени
_ е_
4lTKMcvRTi e Rr°
m2 = ^-^L^L__^ рч_ (4. 24)
Толщину темной зоны определим из уравнения (4. 23)
ХлХ —— т=- . . (4. z
Подставляя выражение (4.24) в (4.25), получим
либо, объединив константы в один коэффициент К?;
V (To—Ts)' (To—Ts) К'
i'1 —: Т^ ~\ 2-Е 2RT '
Во втором случае (диффузионное горение) при разложении
частиц окислителя в газовой фазе у поверхности горения будут
образовываться скопления продуктов разложения. Размеры этих
скоплений определяются диаметром d:
л —,
где m — масса газа, заключенная в таком скоплении, равная массе
частицы окислителя.
Время существования такого скопления можно оценить
зависимостью
где D — коэффициент диффузии.
Если, пренебрегая временем химической реакции, полагать, что
скорость горения определяется только временем на перемешивание
компонентов, расстояние от поверхности горения до слоя, в котором
протекает реакция, определится как
где v — линейная скорость фронта пламени, или
jn_
330

Подставляя значение т, получим
l2~" о0г '
Поскольку
d-=(mJQcy!3,
то
т2'''т ,л осч
д:Т2 = ^з— . (4. 26)
Подставляя выражение (4.26) в уравнение (4.23), получим
Так как
получим
l }
Используя выражение (4.27), из уравнения (4.23) можно получить
т —\ -г,„°—-
Итак, мы получили приближенное решение для обоих предельных
случаев.
В общем случае в широком диапазоне давлений и при
различном состоянии поверхности горения («мокрая», допускающая
предварительное перемешивание компонентов, либо «сухая»,
исключающая его) скорость горения смесевого топлива будет определяться
как скоростью диффузионного перемешивания, так и химической
кинетикой горения.
Будем полагать, что в общем случае проявляется некоторая
аддитивность этих факторов, позволяющая толщину темной зоны
представить в виде:
Подставляя значения хТ1 и хт2, получим
г,А" (Гп—ГоУ;2(Гп—Гс)3/2 „.. „И/а]
(fs~T's)
(4.28)
331

Подставляя выражение (4.28) в уравнение (4.23) и решая
уравнение относительно линейной скорости горения топлива, получим
или в общем виде
откуда
а
Р
„1/3
где а — параметр времени реакции;
b — параметр времени диффузии.
Определение этих параметров расчетным путем затруднительно
ввиду отсутствия достоверных значений ряда входящих в них
физико-химических констант. Однако, определив из отдельных
экспериментов для заданного топлива опытные значения а и Ь, можно
рассчитать теоретическую кривую u = f(p) и сравнить ее с
экспериментальной. Такое сопоставление проведено в работе [33] для сме-
севого топлива на основе перхлората аммония и каучука Р-13.
Расчетная кривая хорошо согласуется с опытными данными в
широком диапазоне давлений (от 1 до 100 кГ/см2), в то время как
степенной и линейный законы горения совпадают с
экспериментальной кривой лишь на отдельных участках. Таким образом,
эксперимент подтверждает обоснованность физико-химической
модели, использованной при выводе аналитической зависимости для
скорости горения смесевого топлива.
Определенные из эксперимента значения а и b для топлива
NH4C1O4 + Р-13 приведены в табл. 4. 16 [33].
Таблица 4.16
Топливо
„Холодная"
помола
„Холодная"
помола
„Горячая"
помола
„Горячая"
помола
сыесь^
смесь
смесь
смесь
грубого
тонкого
грубого
тонкого

Содержание
окислителя
%
75
75
80
80
Средний
размер частиц
окислителя
мкм
120
16
120
16
а
9,
10
4
6,
9
8
35
6
b
6,25
3,2
4,5
2,Г
332

Из табл. 4.16 видно, что значения коэффициентов а и b зависят
от состава смеси и размеров частиц. С ростом температуры
горения топлива при увеличении содержания окислителя время
реакции уменьшается, что находит отражение в снижении
коэффициента а. Из сравнения коэффициента b для топлив одинакового
состава, но различного помола окислителя видно, что с
уменьшением размеров частиц окислителя коэффициент Ь,
характеризующий время диффузионного смешения, снижается.
Скорость горения большинства твердых топлив в значительной
мере зависит от начальной температуры заряда. При расчетах
обычно используется следующее выражение этой эмпирической
зависимости:
U u J* (4.29)
о — (Г— TN)
где В — физико-химическая константа, являющаяся
индивидуальной характеристикой данной марки топлива;
Т— температура заряда, для которой определяется
единичная скорость;
TN — нормальная температура;
«ш — единичная скорость горения при нормальной
температуре.
В литературе часто встречается и другое выражение
температурной зависимости
ulT = a1NeD(T-TN), (4.30)
где D — постоянная, являющаяся характеристикой топлива.
Зависимость для перехода от формулы (4.29) к формуле (4.30)
имеет вид
B=l/D.
Для оценки температурной зависимости часто пользуются
температурным коэффициентом скорости горения
При определении температурного коэффициента из уравнения
(4.30) т=Д Коэффициент скорости горения имеет размерность,
обратную температуре М=1/[Г]. Значения D=l/B для различных
топлив приведены в табл. 4.2 и 4.4.
Из зависимости (4.9)
дТ_
дх
{dxJs
333

либо, раскрывая значение 7\ получим
/дТ
III с
Начальную температуру заряда Тп можно представить как
Тн= (Тп—TnN) +TnN, где TvN — начальная температура заряда,
принимаемая за нормальную. Тогда, вводя В = Т8 —TnN,
dx
При постоянном давлении Т8 и | —| имеют фиксированные
\dxjs
значения. Следовательно, с изменением Тп при р = const изменение
массовой скорости горения топлива относительно нормальной
температуры заряда составит
В
В — (Тп— Тп ,v)
Итак, аналитическим путем мы пришли к зависимости,
выражаемой эмпирической формулой (4.29).
Поскольку Т8 несколько изменяется с давлением, величина В
также должна зависеть от давления. Однако эта зависимость
весьма слабая.
Согласно табл. 4. 15 три изменении давления от 10 до 70 кГ/см2
величина D=l/B изменяется всего на 17%. Поэтому В можно
рассматривать как некоторую термохимическую константу топлива.
Покажем возможность определения величины В расчетным путем
на примере топлива HES4016. Для него с=0,35 ккал/кг° С,
Qs=140 ккал/кг. Для диапазона давлений р=10—70 кГ/см2
среднее значение Ts из табл. 4.15 равно 874° К, й = 874— ^—233 =
= 241.
Согласно табл. 4.2 для этого топлива D = 0,0041, что
соответствует эмпирическому значению B = l/Z) = 244.
§ 5. ВЛИЯНИЕ СКОРОСТИ ГАЗОВОГО ПОТОКА НА СКОРОСТЬ ГОРЕНИЯ
ТВЕРДЫХ РАКЕТНЫХ ТОПЛИВ (ЭРОЗИОННОЕ ГОРЕНИЕ)
Эффект увеличения скорости горения твердого ракетного
топлива при обтекании поверхности заряда газовым потоком с
высокой скоростью известен со времени отработки первых ракетных
334

двигателей. Учет этого явления при расчете внутренней баллистики
РДТТ осуществляется посредством корреляционной функции,
представляющей собой отношение скоростей горения топлива при
обтекании газовым потоком и в спокойной среде
«10
Эту величину иногда называют эрозионным отношением, а само
явление увеличения скорости горения топлива при обтекании
газовым потоком — эрозионным горением. Несмотря на условность
этих терминов (увеличение скорости горения вызывается тепловым,
а не эрозионным фактором), они получили широкое
распространение в литературе и в настоящее время могут считаться
общепринятыми.
Исследование эрозионного горения в основном проводилось на
модельных двигателях со специальными устройствами для
прерывания горения. Обмеры шашек, погашенных на различных стадиях
горения, позволяли установить величину сгоревшего слоя и по
времени гашения определить скорость горения. По обмерам шашек
определялась также соответствующая этому времени площадь
свободного сечения камеры, а следовательно (при известном давлении
в камере), скорость газового потока.
Так были получены эмпирические зависимости, связывающие
величину е с газодинамическими параметрами газового потока,
либо с геометрическими параметрами камеры.
Для баллиститных порохов Я. М. Шапиро предложил
зависимости [34]:
для х>100
ф(и) = 1+3,2- 10-3(х—100); (4.31)
для х<100
ср(к) = 1.
Величина е была представлена им как функция текущего
значения параметра Ю. А. Победоносцева
S-ST
*/. = -
FK-ST
Поскольку, при фиксированном отношении S/F* для заданного
топлива параметр % однозначно определяет скорость газового
потока в выходном сечении заряда, приведенные выше формулы
выражают в неявном виде зависимость между относительным
увеличением скорости горения топлива и скоростью газового потока.
В настоящее время эту зависимость представляют обычно в виде
s=\ + Kv>(v-vnp) (4.32)
или в функции безразмерной скорости потока
г=\-\-К-Лк-КР\ (4.33)
где ^пр(^пр) —так называемая «пороговая» скорость потока;
Kvs и Ki— коэффициенты эрозии.
335

Некоторые исследователи предлагали формулу для
корреляционной функции в виде
&=l+hvv. (4.34)
Грином [12] была предложена зависимость
(4-35)
где fiv;Km — коэффициенты эрозии применительно к данным
зависимостям;
Qrv — массовая скорость потока в рассматриваемом сечении;
q*"u* — массовая скорость потока при М = 1.
Используя газодинамическую функцию q, формулу Грина
можно переписать в следующем виде:
г=\ + К„д(Ц. (4.36)
Отметим, что зависимости (4.34), (4.35) и (4.36) отрицают
наличие порогового эффекта при эрозионном горении. Грин, отвергая
само существование пороговой скорости, считал, что пороговый
эффект при эрозионном горении является кажущимся и
обусловлен особенностями структуры газового потока на начальном
участке заряда. На этом участке вследствие большой неравномерности
скоростей потока по сечению канала скорость в периферийных
слоях будет существенно ниже средней скорости потока, к которой
относят определяемые при опыте изменения скорости горения
заряда [15].
Концепция Грина, однако, опровергается опытами Уимпресса,
Герона и других исследователей, которые проводились на горящих
образцах в газовом потоке, созданном посторонним зарядом.
В этих опытах наблюдался ярко выраженный пороговый эффект,
обусловленный пороговой скоростью сПр-
Накопленный к настоящему времени экспериментальный
материал подтверждает универсальность эмпирических зависимостей
(4.32) и (4.33).
В качестве иллюстрации на рис. 4. 20 представлены результаты
экспериментов для серии баллиститных и смесевых топлив три
р = 67 кГ/см2 [14].
Из рис. 4. 20 следует, что увеличение скорости горения топлива
проявляется лишь, начиная с некоторой скорости газового потока
^пр(^пр), называемой пороговой скоростью, и следует примерно
линейной зависимости от Я (у).
Более точная аппроксимирующая зависимость имеет вид
где D\ — эмпирическая константа.
335

Как показывают исследования, эрозионные константы KVt, K\
и пороговая скорость vnp(knp) зависят от состава топлива, скорости
его горения в спокойной среде и давления.
С увеличением скорости горения топлива в спокойной среде
чувствительность топлива к эрозии снижается. Это подтверждается
исследованиями Грина [12],
который применительно к ,
предложенной им зависимо- '
ста (4.35) получил
эмпирические формулы ДЛЯ Km'-
— для баллиститного
топлива
2,0
где «68-
—ill
i бал — .
«68
■скорость
при р = i
(4.37)
горения
В кГ/см2
за-
и температуре
ряда 25° С;
для смесевых топлив
Ктсм=^, (4.38)
'1,0
0,8
А
0.5 А.
Рис. 4.20. Зависимость эрозионного
отношения е от безразмерной скорости
потока X
где «68 — скорость горения
при р = 68 кГ/см?
и температуре
заряда 15° С.
Грин также показал, что
для обоих типов топлив
величина Km уменьшается с
увеличением температуры
горения топлива.
В первом 'Приближении
Km обратно пропорционален
(RT0)0'5. Хотя формулы
(4.37) и (4.38)
неприемлемы для расчета констант
Kv= и АГ*, однако совершенно очевидно, что выражаемая ими
обратная 'пропорциональность Кт от и должна сохраняться для обоих
коэффициентов. Это соответствует экспериментальным данным Геро-
на, представленным на рис. 4.21 [14].
Из рис. 4.21 следует, что К\ в сильной степени зависит от
давления. Пунктирные линии на графике соответствуют зависимости
у, (4.39)
Кривая
;
г
3
4
5
6
7
8
Топливо
Смесевое
Двухосновное
Смесевое
Скорость горения
при 67 кГ1см-
мм/сек
2,4
8,1
8,6
11,7
12,0
12,3
12,9
21,8
где Кх{р) — значение константы при давлении р;
К\ (67) — значение ее при давлении 67 кГ\см2.
337

Расположение немногочисленных экспериментальных точек
указывает, что зависимость (4.39) соответствует действительности.
Следовательно, эрозионную константу К\ можно представить
в виде
^„ (4.40)
где А\ — некоторая константа.
Эмпирические формулы корреляционной функции е делятся на
две группы: одни из них выражают локальное изменение скорости
1
1
j
1
\ 2 \д
j \\'
S
7
1
-
0 1 0,2 0,5 1,0
Скорость горения *0,39 см/сек
Рис. 4.21. Величина К\ в зависимости от
скорости горения топлива и давления:
V — 18 кГ/см'-; • - 42 кГ'см';
С —67 кГ/см2; д - 140 кГ!смг. Цифры
2—7 см. в подписи к рис. 4. 20.
горения топлива, связанное со скоростью газового потока в данном
сечении заряда, другие позволяют вычислить значение скорости
горения, осредненное по длине заряда, по скорости газового потока
в конечном сечении.
К зависимостям первой группы относится формула Грина и
некоторые выражения вида (4.32). К зависимостям второй группы
относится формула (4.31).
Рассмотрим возможность перехода от формул, выражающих
эрозионный эффект в функции скорости газового потока, к
зависимости его от локального значения параметра Ю. А. Победоносцева.
Скорость газа в произвольном сечении i заряда
GPi bUtSiRTo
где Gpi— весовой расход газа через рассматриваемое сечение;
338

^"св— площадь свободного сечения камеры;
S;— площадь участка поверхности горения,
располагающегося выше данного сечения;
и,-— скорость горения топлива, осредненная по длине
участка от начала заряда до данного сечения;
Pi, Qt—давление и плотность газа в данном сечении.
Поскольку отношение S/FCB представляет собой локальное
значение параметра х, то
yHtRT0 % 4
Pi
Подставляя выражение (4.41) в формулу (4.32), получим
(хЪ, -*„„«„„), (4. 42)
где хпр, мпр — значения параметра % для сечения, в котором Уг = ^лр,
и скорости горения, осредненной на участке выше
этого сечения.
Будем в тервом приближении полагать, что средняя скорость
горения топлива на участке от начала заряда до данного сечения
равна
иг = 1±^и, (4.43)
где и — скорость горения топлива при данном давлении в
спокойной среде. Очевидно, что ипр=и.
Величину Kve можно представить в виде
к -J±=k I /i±i
А" а- Х У 2kg У
Используя выражение (4.40), величину /С„Е можно выразить
формулой
A%E=^ Avp0'l,, (4.44)
где
Подставляя выражения (4.43) и (4.44) в уравнение (4.32)',
после элементарных преобразований получим
■ 1
(4. 45)
339

О 9
Поскольку р ' i —величина, мало изменяющаяся с изменением
давления, она может быть осреднена в достаточно широком
диапазоне р.
Например, даже при изменении р вдвое, осреднение может быть
произведено с ошибкой, не превышающей 7%. Кроме того,
необходимо учесть, что зависимость К\~1/р0'8 является приближенной.
Это позволяет сомножитель, стоящий перед квадратной скобкой,
в некотором диапазоне давлений рассматривать как константу.
Обозначим его буквой А. Решая уравнение (4.45) относительно е,
получим
Заметим, что если принять А = 3- 10~3, то даже в случае
предельно высоких значений и=200—240, второй член знаменателя
составляет около 30% от единицы. Это позволяет формулу (4.46)
переписать в виде
После перемножения получим
Третий член даже при высоких значениях % составляет менее
3—5% от суммы двух первых и при инженерных расчетах может
не учитываться. Итак, остается зависимость
e = l + A(*-*np). (4.47)
Как рабочая зависимость для расчетов формула (4.47)
обладает несомненным преимуществом по сравнению с формулой
(4.32), поскольку она использует в качестве аргумента простой
геометрический симплекс.
Константа А отличается большим постоянством по сравнению
с коэффициентом Kv % зависящим от многих, существенно
меняющихся от опыта к опыту и даже в пределах одного опыта
параметров.
Рассмотрим физическую модель явления, построенную на
основе современных представлений о механизме горения твердых
ракетных топлив.
Подвод тепла из газовой фазы к поверхности горения
двухосновного топлива, определяющий интенсивность процесса
газификации, осуществляется благодаря молекулярной
теплопроводности слоя газа, прилегающего к поверхности горения.
340

Величина подводимого из газовой фазы теплового потока
пропорциональна температурному градиенту у поверхности горения,
который, в свою очередь, связан с разностью температур Тх — Та
и толщиной зоны газификации х\.
Скорость газового потока не оказывает влияния на скорость
горения топлива до тех пор, пока зона газификации находится за
пределами турбулентного ядра потока. При этом распределение
температуры вблизи поверхности горения заряда остается
неизменным, а следовательно, не меняется и тепловой поток,
направленный к поверхности горения.
С ростом скорости газового потока начиная со значения
v = иПр границы турбулентного течения перемещаются в глубь
зоны газификации. Турбулентный перенос тепла и вещества
характеризуется значительно большей интенсивностью по
сравнению с тепломассообменом, который осуществляется в зоне
газификации посредством молекулярной диффузии и молекулярной
теплопроводности газа. Поэтому в первом приближении можно
полагать, что на границе турбулентного течения завершаются все
процессы химического взаимодействия, характерные для зоны
газификации. При этом на границе турбулентного течения
устанавливается температура подготовительной зоны Т\ (концепция
Ванденкеркхове [9]).
Итак, влияние скорости газового потока на скорость горения
двухосновного топлива проявляется в сокращении глубины зоны
газификации хь что приводит к увеличению температурного
градиента внутри этой зоны, а следовательно, и к увеличению
теплового потока, подводимого к заряду.
Пороговая скорость опр соответствует скорости потока, при
которой границы турбулентного ядра, расширяясь, достигают
внешней границы зоны газификации.
При горении смесевого топлива (см. рис. 4. 19) к поверхности
заряда примыкает зона диффузионно-кинетического горения,
в которой протекают процессы смешения и химического
взаимодействия продуктов разложения основных компонентов
топлива— горючего и окислителя. В этой зоне температура газа
возрастает от величины Ts — средней эффективной температуры
поверхности горения до температуры, устанавливающейся в
равновесной смеси продуктов сгорания Го.
Скорость процессов горения, протекающих в этой зоне, в
большинстве случаев лимитируется скоростью молекулярной
диффузии (посредством диффузии осуществляется перемешивание
реагирующих компонентов, пока зона располагается в пределах
ламинарного подслоя). При вторжении турбулентного движения
в пределы зоны диффузионно-кинетического горения изменяется
механизм переноса вещества. Перемешивание компонентов
осуществляется молярным переносом вещества, имеющим более
высокий порядок скорости чем молекулярный перенос.
341

Поэтому в первом приближении можно полагать, что на
границе турбулентного течения будут завершаться процессы
перемешивания компонентов, являющиеся «узким» местом горения,
и должна устанавливаться температура То.
Таким образом, несмотря на различие механизмов горения
баллиститного и смесевого топлив, наблюдается некоторая
общность механизма воздействия газового потока на скорость
горения топлива, проявляющаяся в обоих случаях в сокращении глу-
и см/сек
W
0,9
0.8
о:,
0,6
0,5
О Л
0,3
0,2
0,1
100 200 300 1*00 500 600 700
900 WOO 7V°K
Рис. 4. 22. Аппроксимация экспоненциальной
зависимости u = f(Ts):
1—линейная; 2—параболическая
бины пограничной зоны с постоянной температурой на ее
внешней границе {Т\ — в случае двухосновного топлива, То— в случае
смесевого), что в обоих случаях приводит к увеличению
температурного градиента у поверхности заряда и теплового потока,
подводимого из газовой фазы.
Поэтому в первом приближении можно говорить о единой
физической модели явления для обоих типов топлив.
Согласно уравнению (4. 9)
Лдх
(4. 48)
Весовая (массовая) скорость горения толлива ms связана с
температурой поверхности Ts зависимостью (4.7).
342

Как показывает анализ формулы (4.7), при известных в
настоящее время для ряда топлив значениях Кт и Е экспоненциальная
зависимость в диапазоне рабочих значений Т8 может быть
аппроксимирована прямой. Образец такой аппроксимации для топлива
HES 4016 представлен на рис. 4.22. Уравнение аппроксимирующей
прямой имеет вид
), где r's = TB+^. (4.49)
Из выражения (4. 49)
Ts-T's=mslBm. (4.50)
Подставляя выражение (4.50) в формулу (4.48), получим
(4.51)
ст
Согласно выражению (4.51) основным параметром,
определяющим скорость газификации твердого топлива, является производ-
/ dTr \ ' д. л.
ная —- , зависящая от профиля температур в зоне газификации.
\ dx }s
С достаточной для практики точностью можно полагать
(f) .
Подставляя формулу (4.52) в выражение (4.51), получим
(4.52)
Разность температур Т\—Ts можно преобразовать к
следующему виду:
(4.54)
Используя зависимость (4.50), имеем
T1-T5 = T1-T's-^-. (4.55)
Подставляя выражение (4.55) в уравнение (4.53), получим
квадратное уравнение относительно ms:
B
343

Квадрат корреляционной функции выразится как
]Sv_ £ip
mso xlv
ftl л
т т' Sy
1 l~ ' S~ r,
71,-:
B
Здесь индекс «О» относится к случаю горения топлива в
спокойной среде (при У<опр), индекс «о» — к случаю обтекания
поверхности горения потоком газа со скоростью v>vap; х10 — глубина
зоны газификации при v^.unp; X\v — глубина ее при v>vap.
Поскольку
получим
£2=_fio. S__J^i_ _ (4_ 56)
* Г ' y 5 R
Решая уравнение (4. 56) относительно е, имеем
где
Поскольку
m50
2BmD
ХЮ
xlv
4-l/f m
OT50 _. т
50^10 \2 , JtI0
p SO
s' вт-
( mso \
\ BmD/
Bm
зависимость (4. 57) можно также представить в виде
— TSo) x\v
У'+ТЦ1- (4-58)
xlv \ J I — 'SO'
Полученную рабочую зависимость для расчета е можно
использовать только в том случае, когда известна связь между
параметрами газового потока вдоль заряда и толщиной ламинарного
подслоя (зоны газификации).
Для определения хх необходимо рассмотреть условия, при
которых происходит переход ламинарного движения в пограничном
слое в турбулентное.
344

Состояние теории турбулентного пограничного слоя не
позволяет пока на основе точного решения определить толщину
ламинарного подслоя при вдуве газа.
Из опытов известно, что вдув газа, с одной стороны, оказывает
на пограничный слой дестабилизирующее влияние, поскольку
приводит к созданию менее устойчивого профиля скорости и
увеличивает толщину слоя. С другой стороны, отвод тепла к поверхности,
имеющей температуру более низкую, чем основной поток, создает
у поверхности отрицательную кривизну профиля скоростей, что
способствует повышению устойчивости пограничного слоя.
Учитывая противоположное действие этих факторов,
большинство исследователей в подобных случаях исходят из
предположения, что приток газа со стороны стенки мало влияет на общий
характер течения. Это дает право полагать, что скорость газа и
касательное напряжение на внешней границе ламинарного подслоя
остаются примерно такими же, как и при течении в гладкой трубе
с непроницаемыми стенками.
Как известно, для турбулентного течения в гладкой трубе
толщина ламинарного подслоя с приемлемой точностью определяется
из универсального закона распределения скоростей,
подтвержденного многочисленными экспериментальными данными.
Универсальный закон выражает зависимость безразмерной скорости от
фрикционного расстояния.
Безразмерная скорость v представляет собой отношение
скорости газа к так называемой фрикционной скорости
Заметим, что величина Vf имеет одинаковый порядок со
средней квадратичной скоростью турбулентных пульсаций.
Фрикционное расстояние представляет собой безразмерный
параметр, равный
Vf
X — X .
где х— абсолютное расстояние от стенки.
Такой выбор переменных позволяет получить обобщенную
критериальную зависимость, охватывающую все возможные режимы
движения газа в трубе, либо вдоль пластины.
Аналитический закон распределения относительной скорости v
может быть получен в предположении, что по диаметру трубы
величина касательного напряжения т остается постоянной. Условие
т=const тождественно предположению о постоянстве
передаваемого в направлении стенки импульса от быстродвижущихся слоев
газа, расположенных в ядре потока.
345

Согласно схеме, предложенной Прандтлем, закон
распределения скорости выражается формулами:
при 0 <3с<11,6 щ=Зс; (4.59)
при Зс > 11,6 п = 5,5 + 5,75 \gx. (4.60)
При этом течение делится на две зоны: ламинарный подслой,
в котором пульсации отсутствуют и передача импульса и тепла
осуществляется исключительно молекулярным путем, и турбулентную
зону.
JlCLI»
и нас
1НЫ
V =Г
a nc
'''
t
/■
дслой
>
i
X
X
/
;/
i
i
/
/
t
l
X
ту
р5
цленп
\
о Никура
дзе
• Рейхард-Мотцсрельд
x Рейхарс
-Шу
4
20
15
10
1 5 Ю Z* 30 W 100 '" ЮООх-
Рис. 4.23. Универсальный закон распределения скорости
Закон распределения v, выражаемый зависимостями (4.59) и
(4.60), представлен на рис. 4.23. Нанесенные на этом же графике
экспериментальные точки подтверждают, с какой высокой
точностью указанные зависимости передают действительное
распределение скоростей в потоке.
Нас универсальный закон распределения скоростей интересует
постольку, поскольку он указывает путь к аналитическому
определению границы ламинарного подслоя и пороговой скорости.
Из уравнения (4.59) следует, что при течении турбулентного
потока вдоль пластины, либо в гладкой трубе, удаление границы
346

ламинарного подслоя от поверхности однозначно определяется
характерной величиной фрикционного расстояния
_
л —
откуда толщина ламинарного подслоя
■*л-—• (4.61)
vf
Для того чтобы получить удобные для практического
использования зависимости, воспользуемся очевидным соотношением
■°/ = \/~tv' (4-62)
где Су=—- — коэффициент трения.
2
Эмпирическая зависимость коэффициента поверхностного
трения определяется обычно в виде
_ 1
Cf = KfRe ". (4.63)
В диапазоне 5000<Re<200 000 обычно принимают /£/ = 0,046;
Н — D.
При более высоких значениях Re /(/ = 0,0262; л = 7.
Подставляя выражение (4.63) в формулу (4.62), получим
л
vf^--——f- v. (4.64)
г. 2^
Re
Подставляя равенство (4.64) в формулу (4.61), находим
1
x*vrRe^
\f'Kt
V\ 2
Отношение толщины ламинарного подслоя при некоторой
скорости потока u>t>np к толщине его при и^опр, входящее в формулу
(4.57), определится как
xi0 v /Renp\2"
xlv va?\ Re
347

Характерное расстояние х* не вошло в это отношение, которое,
следовательно, определяется только отношением скоростей потока
и соответствующих им чисел Рейнольдса.
Перейдем к определению пороговой скорости fnp. Согласно
рассмотренной выше физической модели явления пороговая
скорость представляет собой скорость потока, при которой толщина
ламинарного подслоя" сокращается до толщины зоны газификации.
Если известна толщина зоны газификации при f^onp, равная х10,
пороговая скорость найдется из соотношения (4. 65) как
" v Р(=_пр_ _ (4.66)
Итак, для определения vnp необходимо знать характерную
величину х *, при которой происходит переход ламинарного течения
в турбулентное.
Безразмерное расстояние
X =-
можно рассматривать как некоторое число Re, характеризующее
устойчивость границы ламинарного подслоя. Согласно схеме
Прандтля этот переход совершается при х* = 11,6.
Пример. Рассчитать зависимость e = f(v) для баллиститного топлива JPN при
условиях эксперимента, указанных в работах [9] и [36], и сравнить ее с
экспериментальной кривой.
Исходные данные:
Радиус канала г=1,45 см;
Давление в двигателе р=22 кГ/см2.
В расчете используем физико-химические характеристики топлива HES 4016,
близкого по химическому составу и баллистическим характеристикам к
топливу JPN. Для него £/^=8000° К; 7"i = 1400°K; 7^=700° К.
Согласно данным работы [9] при р=22 кГ/см2, rs = 840°K, хш=0,00114 см.
Коэффициент кинематической вязкости продуктов газификации топлива
HES 4016, рассчитанный для состава продуктов, определенного по данным
газового анализа и приведенного в работе [12], при давлении 22 кГ/см2 составляет
Г,76- 10~6 мУсек.
Произведем проверку зависимости (4.66).
Примем х*= 11,6; Kf=0,0262.
При определении Renp будем полагать значение пороговой скорости
заданным. Согласно экспериментальным данным упр=180 м/сек*
vnv2r 180-0,029
Re = = : г = 6,73-105,
р vr 7,76-10~6
* Использование заранее известного точного значения уПр при вычислении
Renp не должно рассматриваться как нарушение законности проверки, поскольку
Re входит в формулу для расчетного определения ипр в степени 1/14.
348

следовательно,
11,6(6,73-105)1/14-7,76-10
• = 179 ле!сек.
1,14-10
-5
Рассмотрим расчет одной из точек теоретической зависимости при
= 360 м/сек.
*-
xlv 180 \13,46/
Для расчета воспользуемся зависимостью (4.58).
В нее входят:
7-50 — T's = 840 — 700 = 140° К;
Г, — Tso -= 1400 — 840 = 560° К;
140
1,2382 +1,903
560/
= — 0,238+ 1,561 = 1,323.
Согласно экспериментальным данным при этой скорости 8=1,35. Таким
образом, для данной точки расхождение между расчетом и экспериментом составляет
около 2%.
3. Результаты расчетов, проведенных для других скоростей потока,
следующие:
v MJceK
£
1
0
270
,179
,00199
1
0
360
,323
,00180
1
0
140
,440
,00163
1
0
540
,548
,00153
1
0
720
,721
,00134
Из рис. 4.24 видно, что максимальные расхождения между
экспериментальными и расчетными данными не превышают 2—3%.
Значения эрозионного коэффициента определены по формуле (4.32)
е—-1
v — vnp
В рассматриваемом диапазоне скоростей величина Kvs меняется в
значительных пределах. Осреднение Кг г на участке у =180—500 м/сек приводит к
значению At* =0,00172 сек/м. Максимальная ошибка в определении е при
использовании зависимости (4.32) составляет менее 3%. В диапазоне скоростей v —
= 180—700 MJceK величина /С« еср =0,00163 сек/м. При этом ошибки расчета за
счет осреднения Kv* возрастают до 9%.
349

К сожалению, провести подобное сопоставление результатов
расчета и эксперимента для широкого круга топлив при различных
условиях горения оказалось невозможным ввиду отсутствия
необходимых для расчета физико-химических данных топлив.
В настоящее время имеются разрозненные экспериментальные
данные, которые в большинстве своем не позволяют составить
необходимый для расчета комплекс величин, характеризующих
кинетику горения топлива.
100
О 100 ZOO 300 Ш 500 600 700 Ум/сек
Рис. 4.24. Зависимость эрозионного отношения е
от скорости газового потока для топлива JPN:
расчетная кривая; ■ — опытная кривая;
С — экспериментальные точки
Выведенные нами формулы выражают эрозионное отношение
как функцию пяти параметров: /nso, Bm, D, xi0, xlv. Они позволяют'
аналитически представить зависимость е от таких факторов как
давление, скорость горения топлива в спокойной среде, начальная
температура заряда, абсолютный размер канала.
В целях упрощения математических выкладок был рассмотрен
случай, когда начальная температура заряда Тп равна температуре
Гдг, т. е. когда T's=TSn, где TSN определяется пересечением
аппроксимирующей прямой (4.49) с осью абсцисс.
В общем случае при Ttl=£TN расчет коэффициента производится
по формуле
'so
1 ^SN
'50
350

где
ЛЛ Вт
Расчет по указанным зависимостям для начальной температуры
заряда 7"ii = —40° С при v = 360 м/сек дает е= 1,379, что всего на
5% больше значения, которое было рассчитано выше для
Г«=+27°С.
Полученные результаты указывают на крайне слабую
зависимость эрозионного эффекта от начальной температуры заряда, что,
как известно, подтверждается многочисленными экспериментами.
Согласно полученным зависимостям абсолютные размеры
канала, по которому движется газ, оказывают незначительное
влияние на величину пороговой скорости, поскольку характерный
размер входит в расчетную формулу в степени 1/2я~1/14. Хотя в
литературе отсутствуют сведения о специальном эксперименте,
поставленном с целью количественной оценки влияния абсолютных
размеров двигателя и заряда на эрозионное отношение и величину
пороговой скорости, однако из имеющихся экспериментальных
данных следует, что эрозионные константы нечувствительны к
размерам канала. Это обстоятельство находит объяснение в полученных
нами аналитических зависимостях.
Согласно формуле (4.58) эрозионное отношение является
функцией двух безразмерных комплексов: - £- и Хк) .
Эмпирические формулы (4.31), (4.32) и (4.33) также можно
представить в виде зависимостей е от двух безразмерных критериев:
Эти формулы, равно как и исходные, являются приближенными,
поскольку в действительности зависимость е от v или х нелинейна.
Как показывает анализ расчетных данных, график значений е,
построенный в функции X\qJX\v, отклоняется от линейной
зависимости не более, чем при использовании формул (4.32), (4.33).
Следовательно, с такой же степенью точности, которая допускается при
использовании эмпирических формул, можно написать
е= 1 -j- L
— Л.
v I
351

Поскольку вторым определяющим критерием является
температурный симплекс, константа С должна представлять собой
некоторую функцию этого симплекса, т. е.
или
Зависимость (4. 67) устанавливает соответствие между
эмпирическими формулами и теоретическим решением и на основе
последнего определяет круг параметров, от которых должна зависеть
эрозионная константа Kv"onv или К\%щ>. Такими параметрами
являются значения температур Tt, Ts, Tso или, если перейти к
выражению этого комплекса через mso, получим
Tso — Ts I
- — 1
§ 6. ВОСПЛАМЕНЕНИЕ ТВЕРДЫХ РАКЕТНЫХ ТОПЛИВ
Процесс воспламенения твердых ракетных топлив занимает
в теории РДТТ особое место, поскольку в нем переплетаются
воедино несколько различных по своей природе, а следовательно,
требующих и различных методов исследования явлений:
1. Горение воспламенителя и распространение в свободном
объеме двигателя продуктов его сгорания.
2. Теплообмен между продуктами сгорания воспламенителя и
поверхностью заряда.
3. Поведение ракетного топлива и продуктов его первичного
разложения в условиях нестационарной теплопередачи при
воздействии воспламенителя.
Каждое из этих явлений представляет самостоятельный объект
исследования. Горение воспламенителя рассматривается в гл. V.
Отправные зависимости, необходимые для изучения теплообмена
при воспламенении, были изложены ранее в гл. IV. Здесь будут
рассмотрены процессы, протекающие при воспламенении на
поверхности и в газовой фазе вблизи этой поверхности.
Известные в настоящее время теории воспламенения твердых
ракетных топлив можно разделить на три группы:
1. Теория воспламенения топлива в газовой фазе (Саммерфилд
[47], Мак-Алеви [26]), основанная на том, что наиболее медленной
стадией процесса, определяющей время воспламенения, является
химическая реакция, протекающая в газовой фазе вблизи
поверхности топлива.
352

2. Тепловая теория воспламенения, сторонники которой считают,
что воспламенение происходит на определенной стадии нагрева
поверхностного слоя топлива (Фрейзер и Хикс [13], Бир и Райан [22]).
3. Теория воспламенения с помощью гетерогенных реакций,
базирующаяся на предположении, что время воспламенения
определяется спонтанными гетерогенными реакциями между
газообразными продуктами разложения окислителя и твердым горючим-
связкой (Андерсон, Браун и Шеннон).
В настоящее время ни одна из этих теорий не может считаться
достаточно строгой и законченной. Однако на основании известных
из литературы экспериментальных данных автор отдает
предпочтение тепловой теории воспламенения, поэтому материал
настоящего параграфа излагается в соответствии с основными
положениями этой теории.
Рассмотрим процесс воспламенения двухосновного топлива.
Основным результатом воздействия продуктов сгорания
воспламенителя на поверхность заряда является подвод тепла,
обеспечивающий прогрев его верхних слоев.
На яротяжении некоторого периода это воздействие
сопровождается неуклонным ростом температуры и количества тепла,
накопленного в заряде. Одновременно с ростом температуры поверхности
Ts увеличивается скорость газификации твердой фазы ms, и',
которая связана с величиной Ts экспоненциальной зависимостью (4.7).
Процессы газификации ракетного топлива, с одной стороны,
сопровождаются выделением тепла при экзотермических ^реакциях
разложения твердой фазы, с другой стороны, с продуктами
газификации уносится тепло, накопленное в заряде при прогреве. Примем
за момент вспышки состояние, при котором прекращается рост
тепла, накопленного в заряде, и устанавливается равновесие между
теплом, подводимым извне и уносимым продуктами газификации.
Будем полагать, что реакции, протекающие в твердой фазе с
выделением тепла Qs на 1 кг топлива, сосредоточены в поверхностном
слое, толщиной которого по сравнению с толщиной прогретого слоя
можно пренебречь, т. е. полагаем ее протекающей на поверхности
горения. Правомерность такого допущения определяется тем, что
вследствие экспоненциальной зависимости скорости химических
реакций-в твердой фазе от температуры, они в основном протекают
при температуре, близкой к температуре поверхности.
При такой постановке решение задачи может быть получено
посредством интегрирования обычного уравнения
теплопроводности, которое в неподвижной системе координат имеет вид
дЧ дТ
а = —,
дР dt
где а==— коэффициент температуропроводности твердого топ-
ctYt лива;
YT, cT, ^т — удельный вес, удельная теплоемкость и удельная
теплопроводность твердого топлива.
12 3058 353

Будем полагать, что скорость разложения твердой фазы
подчиняется закону Аррениуса, сообразно с чем скорость перемещения
поверхности заряда выразится как
u = -^- = ^e *s. (4.68)
Yt Yt
Будем полагать, что уравнение (4. 68) выполняется при любых
температурах поверхности.
Для упрощения системы уравнений целесообразно процесс
теплопроводности рассматривать в подвижной системе координат,
начало отсчета которой связано с поверхностью заряда. Связь
между обеими координатами выразится формулой
t
х=г— [ ua't.
о
В подвижной системе координат уравнение теплопроводности
д^Т дТ дТ
дх2 dt ' дх
Подставляя в это выражение уравнение (4.68), получим
Е
——■ — е 2 5—. (4.69)
дх1 dt у дх
В качестве начального условия принимается постоянство
температуры по толщине заряда Г (0, х) —Тп = const.
Граничное условие для поверхности заряда запишем в виде
(4. 70)
где nisQs — количество тепла, выделяемое на поверхности горения
вследствие экзотермических реакций разложения
твердой фазы.
Рассматривая заряд как полубесконечное твердое тело, в
качестве второго граничного условия получим T(t, oo)=TH.
Величина теплового потока, подводимого к поверхности заряда
извне, может задаваться либо в виде некоторой функции q(t), либо
в ньютонианской форме <7 = ат(Го—Ts)-
В связи с этим получим две формы записи граничного
условия (4.70)
f) ; (4.71)
\дх Js
£_
ат (t) (Го - Ts) -f KmQse 2RTs = -(£)
354

Уравнение теплового баланса прогретого слоя топлива можно
представить в виде
^ s , dH
н' ' dt
Моменту вспышки топлива отвечают условия:
dH
=0; ~).(?Ц -=mscy(Ts-TK). (4.72)
at \дх . .
Интегрирование системы уравнений проводится до выполнения
условия (4.72), достижение которого и определяет время вспышки.
Для того чтобы привести систему уравнений к безразмерной
форме, перейдем к безразмерным переменным:
— безразмерная температура
(4. 73)
' Е/2 R'
— безразмерное расстояние
I __ x2RKmQs . /4 74)
— безразмерное время
т==/—— [• ——I . * (4.75)
сту \ ).Е )
Определив Т, х и t из выражений (4.73), (4.74) и (4.75) и
подставив их в (4.69), получим
i_
m =аб Ест с~У а0 ^ (476)
d/2 at 2RQs dl
Обозначая
„ Ест
2RQS '
имеем
1
дЧ дб ~ Т^ дО
а/2 at di
Граничное условие (4.71) принимает вид
1
q(t)\KmQse *s = ~KmQs (|-)5 . (4. 77)
Разделим обе части равенства на KmQs
(4.78)
KmQs \dlJs
12* 355

Для <7 = const граничное условие можно переписать
). (4.79)
где Mi — безразмерный параметр, характеризующий соотношение
количества тепла, подводимого к заряду извне и выделяющегося
на его поверхности: Mi = q/KmQs-
Система уравнений (4.76) — (4.79) принимает вид
дР дх dl ' \dtJs
е(т,оо) = ен; |-(г,оо) = 0; 6(0,/) = в„.
Предельное условие (4.72), определяющее момент вспышки,
будет
или
1_
М1==е~ 6s[£(65-QH)-l]. (4.80)
Решением уравнения (4.80) определяется безразмерная
температура поверхности заряда Gs, соответствующая моменту вспышки.
При значении М\, рассчитанном для заданного теплового потока,
находим 9s-—безразмерную температуру начала стационарного
горения, которой соответствует абсолютное значение T's-
Таким образом, безразмерное время вспышки тВСи определяется
при решении системы уравнений (4.76) — (4.79) как функция двух
безразмерных критериев.
Время вспышки определится как
" f(Mu Б).
Если тепловой поток задается в ньютонианской форме,
граничное условие (4. 70) в безразмерных переменных принимает вид
di)s
356

Для случая ат = const граничное условие будет
где TVj = безразмерный параметр, аналогичный пара-
2RKmQs метру Мх.
Система дифференциальных уравнений при этом станет
дР дх dl ' ' 1К ° 5;"Г [dljs
8(т, oo) = 6H; — (т, оо) = 0; 6(0, 1)=вн.
Предельное условие (4. 72) примет вид
1
В этом случае безразмерное время гВСп является функцией
критериев Ny и £ и время вспышки определится как
4ВСП j
Рассмотрим приближенное решение задачи.
Как показывает анализ формулы (4.7), при известных в
настоящее время для ряда топлив значениях KmS и Е экспоненциальная
зависимость в диапазоне возможных значений Ts при
воспламенении может быть аппроксимирована параболой (см. рис. 4.22)
Ws = Bm(Ts-- fsf, (4.81)
где
В соответствии с этой зависимостью процесс теплообмена на
данном участке заряда можно условно разбить на две стадии:
1. Прогрев поверхностного слоя заряда до достижения на
поверхности температуры T's. При этом процессами газификации
твердого топлива можно пренебречь.
2. Нагрев с изменением температуры поверхности от T's до Ts
с одновременным протеканием процессов газификации твердого
топлива, учет которых обязателен.
На первой стадии распределение температуры в заряде
находится из решения классической задачи теплопроводности для
полуограниченного тела при граничных условиях второго или третьего
357

рода. Рассмотрим вначале решение задачи для граничного условия
второго рода при <7 = const. При этом распределение температуры
в заряде выразится формулой
^(y, (4.82)
где ierfc — интеграл функции ошибок Гаусса при аргументе —-~=.
\2у at.
При х = 0 (поверхность заряда) ierfc(0) =0,5642. Из уравнения
(4.82) при х — 0; T = T'S продолжительность первой стадии
определится как
ИЛИ
*,=.
1,277^2
Чтобы получить простое решение для второй стадии нагрева
заряда, выразим профиль температур в заряде, непрерывно
изменяющийся во воемени, некоторой аппроксимирующей зависимостью.
В конце второй стадии в заряде устанавливается распределение
температур, соответствующее стационарному процессу горения
топлива (4.6). Поэтому целесообразно в качестве
аппроксимирующей кривой принять экспоненту
7"" Т1 ("V Т \ п — hx (Л QQ\
— н — \ 5 н/ ' \ оо}
где h — коэффициент согласования, определяемый для каждого
момента времени из граничных условий.
При х = 0; 0 = 8s
_ Ч-
дх s \
Поскольку из уравнения (4.83)
— — е
дх s
получим
h=-l±RsVL_ (4.84)
Для стационарного процесса горения q = yucT (Ts — Ts) и,
следовательно,
s- T's) + C?5Y ^ Уист (4
(TT) я
или h = u/a — что и соответствуют зависимости (4.6).
358

Количество тепла, аккумулированного в заряде, составит
^dx=c-f(Ts-TB). (4.86)
Подставляя выражение (4.81) и (4.84) в уравнение (4.86),
получим
Н= cyK{TsrT")2r^-. (4.87)
Уравнение теплового баланса прогретого слоя топлива можно
представить в виде
или, используя формулу (4.81):
q-crB(Ts
Для стационарного процесса горения
q-crB(Ts-TsT=-~. (4.88)
UX
irdx = ~(Ts-~Ts). > (4.89)
Зависимость (4.89) может быть получена из уравнения (4.86)
подстановкой в последнее значения h, соответствующего
стационарному процессу (4.85). Продифференцировав уравнение (4.87),
получим
v [? Qs (Ts~ T'sf] - QsB (TS - Гн) (Ts~ Ts) dTs
x [ X
Подставляя уравнение (4.90) в формулу (4.88), после
элементарных преобразований находим
2cylT(Ts-Tn) ст ^
q> [qcB(TTy\[q + QSB(TT)Y ' ^ ]
Введем новую переменную 6= Ts—Ts и примем обозначения:
а
359

Тогда уравнение (4.91) примет вид
В результате интегрирования выражения (4.92) получим
— & °Г" (6+ a)(\~abb)db
.„ — ,_ ^
а
где 9" из условия стационарного горения равно
3/
(4. 92)
(4. 93)
Значения интеграла, вошедшего в формулу (4.93), приведены
на графиках рис. 4.25.
Fid)-10
а=600
4
300 ^Jr
500 л
Г_1
1
b-2-W's
__
—
О 50 ЮО 150 200
tf ZO 40 ffO SO ЮО НО 9
Рис. 4.25.
360

Рассмотрим решение задачи при граничном условии третьего
рода для случая а = const.
Распределение температуры в заряде для первой стадии
нагрева определяем решением классической задачи теплопроводности
для полуограниченного тела
erfc ^~
Т =
При
Из этого уравнения можно определить время, потребное для
достижения температуры на поверхности заряда T's.
Для второй стадии нагрева заряда используется
аппроксимирующая зависимость (4.83). Поскольку
_ a(T0-Ts)
дх s К
коэффициент согласования равен
К конечной зависимости для данного случая mcjkho прийти
очень просто, если в уравнение (4.91) подставить значение
теплового потока q = u(TQ—Г8)=а(6о—9s), где 6о = ^о—T's.
Для преобразования уравнения (4.91) к конечному виду
используем также обозначения:
ет а%
тогда получим
dt= А
1 — сё— — &\ (i — сь + *е2)2
В результате интегрирования получим
, , . ^ (б+д)[1-(с +
(l_CB- —
где 6* из условия стационарного горения равно
2b ^ У \2Ъ) ' й
361

Рассмотрим механизм воспламенения смесевых топлив.
Существенное различие теплофизических и физико-химических свойств
основных компонентов смесевого топлива обусловливает различие
их поведения при нагреве продуктами сгорания воспламенителя.
В табл. 4. 17 приведены основные характеристики горючего Р-13
и перхлората аммония.
Компоненты
Перхлорат
аммония
Нитрат
аммония
Горючее-связка
Р-13
Y
кг/м3
1970
2260
1210
с
ккал
кг °С
0,30
0,26
0,40
1
ккал
м-
11
16
4
сек °С
10-5
10-5
10-5
1
2
0,
а
2
сек
,86
,72
825
10-7
10-7
10-7
Таблица
Qs
ккал
кг
400
193
—100
м:сек
46
120
0,18
4.17
Ei2R
СК
10000
3550
5400
Температуропроводность у горючего-связки в несколько раз
ниже, чем у окислителя, поэтому при одинаковых условиях подвода
тепла при нестационарном нагреве температура на поверхности
горючего нарастает быстрее, чем на поверхности окислителя.
При этом разность температур на поверхности кристаллов
окислителя и участков горючего может составлять несколько сот
градусов. Расчет температурных полей, проведенный для одномерной
модели нагрева, свидетельствует, что при gs~1000 ккал[м2сек
перепад температур по диаметру частиц окислителя — 100 мк достигает
700—800° К. Термическое разложение компонентов смесевого
топлива, следующее экспоненциальной зависимости от температуры
нагрева, становится ощутимым при температурах поверхности
~500—600° К. На рис. 3.21 представлены графики зависимости
линейной скорости разложения перхлората аммония и связки Р-13
от температуры. Как следует из графика, при температуре
поверхности ниже 750—800° К горючее разлагается быстрее окислителя.
При дальнейшем росте температур скорость разложения
перхлората аммония в несколько раз превосходит скорость разложения
связки. Выделим основные стадии процесса нагрева заряда:
1. Инертный прогрев поверхностных слоев горючего и
окислителя.
2. Прогрев с разложением горючего.
3. Прогрев с одновременным разложением горючего и
окислителя, скорость разложения горючего выше скорости разложения
окислителя.
4. Совместное разложение горючего и окислителя при более
высокой скорости разложения окислителя.
362

На рис. 4.26 приведены графики линейной скорости
термического разложения связки и окислителя, построенные в функции от
времени. Как следует из графиков, первая стадия оказывается
очень короткой ввиду быстрого подъема температуры на
поверхности связки и начала ее разложения. Наиболее длительной является
вторая стадия. Ввиду того, что температура поверхности
перхлората аммония растет очень медленно, а начало эффективного
разложения соответствует
высокой температуре
поверхности, между началом
разложения связки и окислителя
существует большой разрыв
во времени. В течение этого
периода с поверхности
заряда в поток омывающих ее
газов поступают только
горючие компоненты — продукты
пиролиза связки. Прн
наличии в газовой среде
кислорода горючие компоненты,
нагретые до высокой
температуры, могут
взаимодействовать с ним с выделением
значительных количеств
тепла в непосредственной
близости от поверхности заряда.
Это должно усилить нагрев
и приблизить момент
воспламенения заряда. Таким
образом, становится
понятной отмечаемая многими
исследователями зависимость
времени задержки
воспламенения смесевых топлив от
концентрации кислорода в газе. Отмечается также, что
эпоксидные горючие, которые отличаются от других связок высоким
содержанием кислорода в молекуле, менее подвержены изменению
концентрации кислорода в воспламеняющем газе. Так, при
эксперименте задержка воспламенения для топлива на основе Р-13
изменялась пропорционально весовой доле кислорода в степени 1,5,
а для топлива на эпоксидной связке — в степени 1,2.
Было также экспериментально установлено, что старые заряды
из смесевого топлива воспламеняются хуже, чем новые. Это
объясняется тем, что в процессе старения смесевого топлива происходит
обогащение поверхностного слоя горючим, ввиду чего для
образования способной к воспламенению газовой смеси требуется нагрев
зерен окислителя, а следовательно, и всей поверхности топлива
до более высокой температуры.
5
w
Рис. 4. 26. Изменение во времени
температуры и скорости термического
разложения перхлората аммония и связки
Р-13 при <7=const=1000 ккал/м2 -сек:
температура; скорость
разложения
303

Соотношение расходов продуктов разложения окислителя и
горючего определяется их линейной скоростью разложения и
отношением площадей участков поверхности, занятых компонентами.
г-т SqK Q ПК ^ГОр __
Последнее, очевидно, определяется как • = . Для ти-
^гор Угор Yok
пичных композиций это отношение равно 1,5—2,0. Следовательно,
соотношение продуктов разложения компонентов, поступающих
в газовую фазу, определится как
'7гор \'горигор"гор мгорУгор
или при обычном соотношении окислителя и горючего
_^=3-4-^.
4 гор
Как следует из рис. 4.26, процессы ускоренного разложения
перхлората аммония и образования в непосредственной близости
от заряда газовой смеси с высоким содержанием окисляющего
компонента протекают очень быстро, начиная с некоторой температуры
нагрева поверхности окислителя, примерно равной 750° К, которая
при данных условиях нагрева, по-видимому, может быть принята
в первом грубом приближении за температуру воспламенения
заряда.
§ 7. ВИБРАЦИОННОЕ ГОРЕНИЕ
При горении зарядов в РДТТ иногда наблюдаются скачки
давления, необъяснимые с позиций теории стационарного горения твер-
р кГ/см г
t сек
Рис. 4.27. Кривая давления в РДТТ при
вибрационном горении
дого топлива (рис. 4.27). Высота скачков может значительно
превышать расчетное давление, что представляет опасность для
прочности двигателя. Явление неустойчивого вибрационного горения
364

16
1
I
10
N
впервые было обнаружено при опытах с шашками трубчатой
формы. Для выяснения причин этого явления были проведены
опыты с прерыванием горения после нерасчетного скачка давления.
При осмотре шашек на поверхности канала была обнаружена
волнистость, рябь, в то время как наружная поверхность этих шашек
оставалась гладкой. Было установлено, что такая форма горения
наблюдается также и у зарядов других типов, но наиболее
предрасположены к ней шашки с цилиндрическими каналами.
Используя малоинерционные приборы, способные
регистрировать колебания давления частотой до 25000 гц, Смит и Спренгер
[46] установили, что скачкам давления в двигателе сопутствуют
высокочастотные колебания
давления большой амплитуды.
Частоты колебаний, измеренные при
сжигании трубчатой шашки
длиной 50 см, бронированной по
внешней поверхности и горящей
только с канала, представлены
на рис. 4.28. По мере разгара
канала частота колебаний
уменьшается. Было установлено, что
при высокочастотных колебаниях
скорость горения возрастает
в полтора раза по сравнению
с тем значением, которое
рассчитано на основании наблюдаемого
среднего давления в двигателе.
Хотя экспериментальными исследованиями была установлена связь
скачков давления с высокочастотными колебаниями
тангенциального типа, это еще не объясняло механизм такого горения,
получившего наименование вибрационного или резонансного горения.
В последнее время было сделано несколько попыток объяснить
это явление. Хотя вибрационное горение по-прежнему остается
наименее изученным вопросом теории РДТТ, сейчас, несмотря на
отсутствие единства взглядов, все же можно говорить о схеме этого
явления. Построение схемы явления, согласующейся в целом с
экспериментальными данными, является важным фактором,
определяющим пути дальнейших исследований и позволяющим наметить
меры борьбы с этим явлением при создании новых образцов
ракетной техники. При изложении этого вопроса мы будем следовать
схеме, предложенной Грином [16].
Для рассмотрения механизма вибрационного горения
целесообразно использовать упрощенную модель горения твердого
топлива. В упрощенной модели вводится понятие пограничной пленки,
в которой теплообмен между турбулентным потоком с
температурой Г] и поверхностью горения с температурой Ts подчиняется
обычному уравнению стационарной теплопроводности
365
Диаметр канала в см
Рис. 4. 28.

g=a(T1-Ts)=-~-{T1-Ts),
°эфф
где 8Эфф —эффективная толщина пленки;
X—средняя величина полной теплопроводности газа в
пленке.
Выше отмечалось, что поток газа, исходящий от поверхности
(инжекция газа), приводит к снижению эффективного значения
коэффициента а. В принятой модели горения инжекция газа
должна проявиться в увеличении эффективной толщины пленки 6Эфф.
Эффективный коэффициент теплоотдачи определим как a = Ffu,
где комплекс F характеризует зависимость коэффициента а, от
параметров газового потока. Этот комплекс назовем «фактором
коэффициента пленки». Нестационарные изменения температуры и
скорости горения представим в виде суммы стационарных величин
и возмущений:
T = To{x) + LT(x,t); (4.94)
Ts = TS0 + &Ts(t); (4.95)
u = uo(TSQ)+Au(ATs). (4.96)
Представим фактор коэффициента пленки в следующем виде:
F = F0 + bF(f). (4.97)
Можно допустить, что колебания параметров газового потока
(v; v; p) приведут к периодическому изменению факторов
коэффициента пленки F. Это, в свою очередь, повлечет за собой
периодическое изменение температуры твердого топлива как на
поверхности, так и в глубине заряда:
' p c'lWt.
ЬТ=/{х)еш;
(4. 98)
Между изменением температуры и обусловленным им
изменением скорости горения топлива существует некоторый разрыв
во времени—так называемое время задержки х. Для объяснения
физической сущности этого разрыва необходимо помнить, что само
понятие поверхности раздела двух фаз, на которой происходит
мгновенное преобразование вещества из твердого состояния в
газообразное, является условным. В действительности поверхность
горения не является поверхностью в геометрическом смысле, а
представляет собой переходную зону, хотя и малой, но конечной
толщины, в которой вещество находится в некотором промежуточ-
366

ном состоянии. То, что мы ' называем температурой поверхности,
является лишь средней температурой этой зоны.
Таким образом, время задержки представит собой промежуток
времени, необходимый для завершения преобразования вещества
из твердого состояния при температуре Ts—0 в газообразное при
температуре Г8+0. Для смесевых топлив условность понятия
температуры поверхности усугубляется значительным различием
температур разложения горючего и окислителя. При горении смесевых
топлив во время задержки включается подготовительное время,
потребное для смешения продуктов разложения горючего и
окислителя в некотором околоповерхностном слое.
С учетом сказанного, изменение скорости горения, вызванное
изменением температуры поверхности, можно представить
следующим образом:
du „, ,, .
Д« = —~tf s{t~x).
dTs
Подставляя значение du/dTs, полученное дифференцированием
выражения (4,7), а также (4.98), получим
Рассмотрим качественную картину взаимосвязи между
колебаниями в газовой фазе и горением заряда. Пусть вследствие
периодического изменения параметров газового потока в некоторый
момент времени произойдет увеличение эффективной толщины пленки,
что приведет к уменьшению теплового потока, направленного к
заряду, и снижению температуры на его поверхности. Следствием
этого явится снижение скорости горения. В свою очередь, с
уменьшением скорости горения (инжекция газа) сократится эффективная
толщина пленки, что должно привести к росту теплового потока.
При одновременном проявлении этих двух воздействий произошло
бы их взаимное ослабление. Однако обратное воздействие
изменения скорости горения на процесс теплообмена происходит со
сдвигом по фазе. Именно наличие такого сдвига и обусловливает
возможность усиления колебаний. Если снижение толщины пленки
от собственных колебаний газового потока сложится со снижением,
обусловленным ослаблением инжекции газа, это приведет к резкому
увеличению теплового потока к поверхности заряда. В противном
случае произойдет резкое падение теплового потока.
Для нестационарных условий уравнение теплопроводности-
в твердой фазе приобретает вид
£ ^ £ (4.99)
dt дх^ ' дх
367

Подставляя в уравнение (4.99) зависимости (4.94) и (4.95),
получим
-(Г0 + дГ)^-ат^ + ^) + («0 + Д«)-(Г0
Для решения задачи нестационарного горения, ограничиваясь
членами возмущения первого порядка, получим
дАТ
-=ат
дТ0
(4.100)
Найдем производные
at
дх
Подставляя их в уравнение (4.100), после деления обеих
частей уравнения на aTeiwt, получим
/'И
—
(4.101)
где
aj 2RT2
S0
Граничное условие для упрощенной модели горения твердого
толлива запишется в виде
Подставляя сюда (4.94) — (4.97) и преобразуя для решения
задачи нестационарного горения, получим
д\Т
дх
Г дх
- Tso). (4. 102)
Преобразуя уравнение (4.102), получим граничное условие
на поверхности горения
где
2yTQ
■ 1 '
368

Дополнительное требование состоит в том, что амплитуда
периодического температурного колебания f(x) должна стремиться
к нулю при х—*оо вследствие рассеяния температурных колебаний
в толще вещества с низкой теплопроводностью: f(oo)=0.
Частным решением уравнения (4.101), удовлетворяющим
этому требованию, явится
Произведем замену /=const eKx.
При этом характеристическое уравнение дифференциального
уравнения (4. 101) будет иметь вид
22-)-—Z-( = 0.
Корнями характеристического уравнения будут
Анализ полученного выражения был проведен Грином
применительно к двум предельным случаям:
а) низкочастотный режим колебаний, когда ш мало и мнимой
частью радикала можно пренебречь;
б) высокочастотный режим колебаний, когда единица мала по
сравнению с мнимой частью.
Анализ показал, что низкочастотный режим колебаний не может
привести к большим температурным возмущениям; максимальные
отклонения температуры поверхности составляют всего 2% от
стационарной величины.
Для высоких частот колебаний фактора коэффициента пленки
как показывает анализ, амплитуда температурного
сек)
возмущения для поверхности может составлять более 105° К.
Почему же периодические отклонения температуры в двух
противоположных направлениях приводят к одностороннему
изменению средней скорости горения топлива? Объяснение следует искать
в зависимости скорости разложения твердой фазы от температуры
поверхности, выраженной функцией Аррениуса (4.7). Кривая
u=f(Ts) имеет S-образную форму (рис. 4.29) с нулевым наклоном
в точках rs = 0 и Г8=оо и с точкой перегиба при TS = E[4R. При
TS<E/4R кривая направлена выпуклостью вниз, при Ts>Ef4:R
кривая обращена выпуклостью вверх. Характер воздействия колебаний
на среднюю скорость горения топлива зависит от положения на
кривой Аррениуса точки стационарного процесса. Если точка
стационарного процесса располагается влево от точки перегиба,
колебания относительно средней температуры поверхности приведут
369

к увеличению средней скорости горения, поскольку повышение
скорости горения, соответствующее полупериоду положительного
изменения температуры, будет больше по абсолютной величине
снижения ее для полупериода отрицательного изменения температуры.
Для некоторых топлив с низкой энергией активации точка
стационарного процесса может располагаться правее точки перегиба, что
приведет к снижению средней скорости горения при колебательном
процессе в камере [17]. Возможность снижения скорости горения
при вибрационном горении доказана опытами Прайса, Сойфериса
и других исследователей [45].
Ts °К
Зависимость изменения скорости горения
от колебаний температуры поверхности:
а - TSo < EjiR; б - TSQ > EUR;
О—точка стационарного процесса.
топлива
Итак, как показывает теоретический анализ, подтверждаемый
в целом экспериментом, каждой совокупности термических и
баллистических характеристик твердого топлива соответствует
определенная частота колебаний параметров газового потока, при которой
резко возрастает амплитуда колебаний температур поверхности и
изменяется (в большинстве случаев в сторону увеличения) средняя
скорость горения топлива.
Появлению резонанса благоприятствует низкая
теплопроводность твердого топлива, ограничивающая отвод тепла в массу
заряда и тем самым препятствующая рассеянию температурных
колебаний в поверхностном слое. В этом же направлении влияет
величина температуры Тх. Чем она выше, тем выше при колебаниях
коэффициента фактора пленки амплитуда колебаний теплового
потока, направленного к поверхности заряда. Выделение тепла при
370

реакциях, протекающих в твердой фазе, играет роль усилителя
колебаний температуры в поверхностном слое, поэтому для топлив
с более высокой теплотой фазового превращения Qs вероятность
появления резонансных условий возрастает.
С помощью скоростной киносъемки было обнаружено, что
некоторые из пиков давления при вибрационном горении связаны с
появлением вихрей в потоке.
Зарегистрированное время существования вихрей ~0,1 сек.
Возникновение вихрей обусловливает большие местные скорости
газа возле поверхности горения, что сопровождается сильным
эрозионным эффектом. Кроме того, при поступлении единичного вихря
в сопло может существенно уменьшаться эффективная площадь
критического сечения сопла. В обоих случаях действие вихря
сопровождается повышением давления в двигателе.
Вследствие недостаточной изученности механизма
вибрационного горения в настоящее время нет теоретически обоснованных
критериев, позволяющих оценить новую конструкцию двигателя
при заданных характеристиках топлива с точки зрения
возможности возникновения резонансного горения. В процессе отработки
различных образцов чисто эмпирически были выявлены основные
меры устранения вибрационного горения. По утверждению
иностранных специалистов, наиболее эффективными из них являются
следующие:
1. Размещение по оси канала стержня из негорючего-материала.
При этом, как показывает опыт, безразлично из какого материала
изготовлен стержень и каковы его размеры. Высказываются
предположения, что стабилизация горения при введении центрального
стержня достигается за счет демпфирования колебаний газового
потока колебаниями самого стержня.
2. Применение каналов некруглого сечения.
3. Применение в трубчатых шашках, горящих по всей
поверхности, сквозных радиальных отверстий. Опыты показывают, что
стабильность горения трубчатой шашки повышается при наличии
радиальных сверлений диаметром 0,4 диаметра канала,
размещенных вдоль шашки по винтовой линии. Предельное расстояние между
радиальными отверстиями определяется составом топлива и, по-
видимому, не связано с толщиной свода шашки и диаметром
канала. С ростом калорийности и скорости горения предельное
расстояние уменьшается. Так, для топлива JPN ((2ж=1230 ккал/кг)
предельное расстояние составляет 25 мм, в то время как для
нитроглицеринового топлива с калорийностью 890 ккал/кг оно
повышается до 200 мм.
4. Введение демпфирующих частиц. Как показывает опыт,
введение в состав топлива в тонкодисперсном состоянии таких
включений как сажа и алюминий способствует стабилизации горения,
так как присутствие в газах взвешенных частиц обеспечивает
демпфирование колебаний.
371

ЛИТЕРАТУРА
1. Ангел у с Т. А., Явление неустойчивого горения двухосновных топлив.
Исследование ракетных двигателей на твердом топливе, Сб. переводов, ИЛ, 1963.
2. Аристова 3. И., Лейпунский О. И., ДАН СССР, 1946, т. 54.
3. Б а р р е р М., Жомотт А., Вебек Б. Ф., Ванде пкеркхове Ж-,
Ракетные двигатели, Оборонгиз, 1962.
4. Б е л я е в А. Ф., К вопросу о теории горения бризантных ВВ, Сб. статей
по теории взрывчатых веществ. Оборонгиз, 1940.
5. Б е с с е р е р К- У-, Инженерный справочник по управляемым снарядам,
Воениздат, 1962.
6. Б л э й р Д. В., Б а с т р е с с Е. К., Г е р м а н с С. Е., X о л л К. И., С а м-
м е р ф и л д М., Некоторые проблемы исследования установившегося горения
смесевых твердых топлив. Сб. Исследование ракетных двигателей на твердом
топливе, ИЛ, 1963.
7. Бойд А. Б., Берке В. М., Медфор Д. Е., Проблемы проектирования
крупногабаритных ракетных двигателей. Исследование ракетных двигателей на
твердом топливе. Сб. переводов. ИЛ, 1963.
8. Бэкстер, Ракетный двигатель твердого топлива без корпуса, Ракетная
техника (ARS Journal русский перевод), 1961, № 12.
9. Ванденкеркхове Ж-, Эрозионное горение коллоидальных твердых
теплив, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1959, № 3.
10. Вил юн о в В. Н., К математической теории стационарной скорости
горения конденсированного вещества, ДАН СССР, «Физическая химия», 1961,
т. 136, № 1.
11. ВукаловичМ. П., Кириллин В. А., Ремизов С. А., Силец-
кий В. С, Тимофеев В. Н., Термодинамические свойства газов, Машгиз, 1953.
12. Гекклер, Механизм горения твердых ракетных топлив, Сб. переводов.
Жидкие и твердые ракетные топлива, ИЛ, 1959.
13. Гекклер, Нерешенные проблемы сжигания твердых ракетных топлив,
Сб. переводов «Жидкие и твердые ракетные топлива», ИЛ, 1959.
14. Г е р о н, Проблемы внутренней баллистики РДТТ, «Вопросы ракетной
техники», ИЛ, 1963, № 6.
15. Грин Л., Эрозионное горение некоторых твердых взрывчатых веществ,
«Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1954, № 6.
16. Грин, Некоторые особенности горения упрощенной модели твердого
топлива, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1959, № 2.
17. Грин и Нахбар, Замечания по поводу неустойчивого горении РДТТ,
«Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1959, № 6.
18. Зельдович Я. Б., Р и в и н М. А., Ф р а н к - К а м с н ец к и й Д. А.,
Импульс реактивной силы пороховых ракет, Оборонгиз, 1963.
19. Зельдович Я. Б., К теории горения порохов и ВВ, ЖЭТФ, 1942,
г. 12, вып. 11.
20. Зельдович Я. Б., Ф р а н к - К а м ен е ц к и й Д. А., Теория теплового
распространения пламени, ЖФХ, 1938, т. XII, вып. 1.
21. Карман Т., Современное состояние теории распространения
ламинарного пламени, Сб. Пламена и химическая кинетика, ИЛ, 1961.
22. Келлер, Б и р, Р а й а н, Воспламенение смесевых твердых топлив на
основе перхлората аммония с помощью конвективного нагрева, «Ракетная
техника и космонавтика», 1966, № 8.
23. К р у к, Большие двигатели на твердом топливе, «Вопросы ракетной
техники», ИЛ, 1961, № 5.
24. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Механика сплошных сред, Гостех-
георетиздат, 1954.
25. Максвелл, Юнг, Большие ракетные двигатели на твердом топливе,
«Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1962, № 1.
26. Мак-Алеви Р. Ф., Кауан П. Л., Саммерфилд М., Механизм
воспламенения смесевых твердых топлив горячими газами, Сб. «Исследование
ракетных двигателей на твердом топливе», ИЛ, 1963.
372

27. Межконтинентальный баллистический снаряд «Минитмэн» фирмы
«Боинг», «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1963, № 6.
28. Похил П. Ф., Мальцев В. М., Лукашеня В. П., О горении балли-
ститных порохов, ДАН СССР, 1960, т. 135, № 4.
29. Разработка крупных РДТТ в США (обзор), «Вопросы ракетной техники»,
ИЛ, 1966, № 3.
30. Ракетные двигатели твердого топлива (обзор), «Вопросы ракетной
техники», ИЛ, 1964, № 6.
31. Ракетные снаряды (обзор), «Вопросы ракетной техники», ИЛ. 1963, № 4.
32. Рогинский С. 3., ЖФХ, 1932, № 1, стр. 640.
33. Саммерфилд М., Сатерленд Г. С, Уэбб М. Д., Табак X. Дж.,
Холл К- П., Механизм горения топлив на перхлорате аммония. Исследование
ракетных двигателей на твердом топливе, Сб. переводов, ИЛ, 1963.
34. С е р е б р я к о в М. Е., Внутренняя баллистика ствольных систем и
пороховых ракет, Оборонгиз, 1962.
35. С и п л а ч, Влияние быстрого понижения давления на горение твердого
топлива, Ракетная техника (ARS Journal в русском переводе), 1961, т. 31, № 11.
36. Уимпресс Р. И., Внутренняя баллистика пороховых ракет, ИЛ, 1952.
37. Фтор и его соединения как окислители (обзор), «Вопросы ракетной
техники», ИЛ, 1966, № 7.
38. Холмс, Прогресс в области производства твердых теплив, «Вопросы
ракетной техники», ИЛ, 1959, № 5.
39. Хуггетт, Горение твердых ракетных топлив. Жидкие и твердые
ракетные топлива, Сб. переводов, ИЛ, 1959.
40. Э к к е р т Э. Р и Д р е й к Р. М., Теория тепло- и массообмена, Госэнерго-
издат, 1961.
41. Энгель, Пределы эффективности классических твердых ракетных
топлив, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1959, № 5.
42. Aero Digest, 1956, Jan., No. 1, p. 72.
43. Aviation Week, 1961, No. 7, p. 75.
44. Missiles and Rockets, 1960, vol. 6, No. 24, p. 23.
45. Price E., Sofferis I., Jet Propulsion, 1958, No. 28.
46. S m i t h R. P., Sprenger D. F., Fourth Symposium on Combustion,
Baltimore, 1953.
47. Summerfield M., Shinnar R., Hermance С. Е., Weno-
gr a d J., A Critical Review of Recent Research on the Mechanism of Ignition oj
Solid Rocket Propellants, 14 Congr. internat. astronat, 1963, Paris.
48. S h u m а с h e г Е., Perchlorates, Their Properties Manufacture and Uses,
New York, Reinhold Publ. Corp. London, Chapman and Hall, 1960.
49. R e i d R., Sherwood Th. The Properties of Gases and Liquids, there
Estimation and Correlation, MeGraw-Hill Book Company, Inc., New York, Toronto,
London, 1958.

Глава V
ВНУТРЕННЯЯ БАЛЛИСТИКА РДТТ
Обычно задача внутренней баллистики РДТТ решается
применительно к одночленному степенному закону горения топлива
u = Uipv. Предлагаемый метод позволяет найти процесс изменения
давления для любого закона горения баллиститного и смесевого
топлив.
и
Ритах
^всп
ь
■ч
\
Рис. 5.1.
При выходе РДТТ на режим наблюдаются три явно
выраженных периода функционирования двигателя (рис. 51):
— автономное горения воспламенителя (г^сп);
— совместное горения воспламенителя и топлива (^i);
— стабилизация давления в камере РДТТ (t2).
Продолжительность первого периода автономного горения
воспламенителя определяется моментом вспышки топлива. Для
вспышки топлива и последующего устойчивого его горения
воспламенитель должен не только нагреть поверхность заряда РДТТ до
температуры вспышки, но и обеспечить необходимую интенсивность теп-
лсподвода, достаточную для возбуждения устойчивого горения
заряда. После наступления момента вспышки необходимость в тепло-
374

подводе от воспламенителя отпадает. Толщина зерна
воспламенителя определяет продолжительность его горения tB. Горение
должно быть несколько больше времени, необходимого для нагрева
поверхности топлива до температуры вспышки. Поверхность
горения воспламенителя SB обеспечивает требуемую интенсивность
теплоподвода *.
Второй период начинается от момента вспышки топлива и
продолжается до конца горения воспламенителя. В течение этого
периода воспламенитель и топливо РДТТ горят совместно.
Совместное горение топлива и воспламенителя является основной причиной
образования «всплеска» давления в камере сгорания
(промежуточного максимума) вследствие добавочного прихода газов от
воспламенителя.
После сгорания воспламенителя наступает третий период, в
течение которого происходит стабилизация (выравнивание) давления
в камере РДТТ. При этом величина давления асимптотически
стремится к предельному значению рос.
После сгорания топлива наступает период «последействия»
тяги. Продолжительность этого периода равна времени истечения
газов из камеры РДТТ в атмосферу.
Решение задачи произведем при гипотезе осреднения
параметров состояния продуктов сгорания в камере двигателя. При
небольших значениях и<100 средние параметры состояния могут быть
приняты равными полным параметрам потока газа на входе в кон-
фузор сопла. Связь между полными параметрами продуктов
сгорания и их параметрами у дна ракетной камеры, а также закон их
изменения вдоль поверхности горения устанавливаются на основе
уравнения меахники. Особенности эрозионного процесса горения
при и>100 изложены в § 5 гл. IV.
В качестве исходной системы уравнений для процесса
изменения давления в камере РДТТ используют:
— закон сохранения энергии
_ (5.1)
— закон сохранения вещества
Gn-Gp = o>;; (5.2)
— закон горения топлива
— текущий объем камеры
t
W = W0 + jj Stldt;
о
— уравнение состояния газов
* Индексом «в» обозначены параметры, характеризующие воспламенитель.
Параметры, не имеющие индекса, относятся к основному заряду.
375

§ 1. ПЕРИОД АВТОНОМНОГО ГОРЕНИЯ ВОСПЛАМЕНИТЕЛЯ
Скорость подвода тепла вследствие горения воспламенителя
dt
Унос или отток тепла из камеры в атмосферу происходит
вследствие истечения газов через сопло и теплоотдачи от продуктов
сгорания к стенкам камеры РДТТ со скоростью, равной:
dQ п . т.
— v р' '
dt
dt
<L=-aTF(T-Tz). (5.3)
Для скоростей притока и оттока продуктов сгорания
справедливы формулы:
где A-l—У kg I j s 6,3 дм 2 / сек — постоянная расхода.
Дегрессивность формы зерна воспламенителя будем учитывать
коэффициентом m
5в=5Ове"тТв. (5.4)
Величина коэффициента m ограничена пределами 0<т<3. При
m = 0 SB = S0B; при т = 3 получаем закон изменения поверхности
горения, близкий к изменению поверхности зерна шаровой формы.
Величина т определяется из опыта на основе статистики обмера
зерен воспламенителя.
Влияние воздуха, заполняющего свободный объем камеры,
на кривую p(t) учтем приближенно
^=:П^. (5.5)
Величина коэффициента п также устанавливается опытным
путем. По физическому смыслу она ограничена пределами 0<п<1.
Совместное решение уравнений (5.5) и (5.2) приводит к
зависимости
'фп.в = 0р. (5.6)
Вследствие малости изменений свободного объема камеры за
время горения воспламенителя примем
376

Для коэффициента теплоотдачи ат в соответствии с
критериальной зависимостью Нуссельта примем
где для стенки с термопокрытием ат = 0,4 ккал-дм/кГ • сек2, для
стальной стенки ат=1,0 ккал-дм/кГ • сек2.
На основании выражений (5.7) и (5.3) получим
где Vl = l-7c/r = 0,5^-0,7.
Примем, что закон горения и(р) воспламенителя типа ДРП или
КЗДП имеет вид и(р) = const.
На основании изложенного выше уравнение закона сохранения
энергии (5. 1) приводится к виду
(k- ■
так как
d_L~ аЖ.. dU — х Л.
где
dW __ „
dt B
Из уравнения (5.6) имеем
тогда дифференциальное уравнение кривой p(t) примет вид
Г Р*
Л ив SB SB ! bB^bBuB SB dt
Величина члена k— мала (менее 1%) по сравнению с величи-
ной (k—l)AQB, а поэтому ею можно пренебречь или учесть
приближенно, изменив калорийность воспламенителя:
___ h в max
о
377

Введем обозначения
(5.8)
тогда получим
Так как — =——, то уравнение приводится к виду
dt SB tB
„ , , , du , m W 1 „
с = с1ул-{- c2y -j- c3 -JL-, где c2=c2 . После разделения пе-
dt tB uB 5B
ременных получим
du du C\ ,
У~У1 У — У1 сз
где ух и v2 — корни квадратного уравнения;
h2_l£21 »__£- —о-
(5.9)
{5Л0)
При этом г/!>0; у2 <0.
Интегрируя уравнение (5.9), получим
где
г/^1—:—:—> i/oi ==~7;— » 1——\У\ — Учи \°- 1Z)
У01—1''2 ^Ов С3
рн — начальное давление в камере сгорания;
Sob — начальная поверхность горения воспламенителя.
В соответствии с принятым обозначением y = pB'SB для кривой
pB(t) получим
с , ~m ^ - (5- 13)
Отыщем время, определяющее максимальное давление при
'автономном горении воспламенителя.
378

Условие экстремума —— =0 приводит к уравнению — = — у,
откуда на основании соотношения (5. 9) имеем
f 77 • (5-14)
Сопоставление формул для у\ и утах позволяет установить, что
величину r/max можно определять одновременно с расчетом
значения параметра у\ по формуле (5. 10). Для этого достаточно
величину постоянной с'2 принять равной с2, откуда следует, что
параметры у\ и г/max связаны соотношением
/ее,
l-f-4—г|-
С2 1+1/ 1+4-
Искомое время
Р Wraax — У\ I
На основании формул (5. 13) и (5. 15) максимальное давление
Если величина рВтах задана, то для определения веса
воспламенителя получим формулу
<ов=50в«в8в I е в at = S0/eB\ 1—f— , (5.17)
J /n
0
где 2ев — толщина горящего зерна.
Полное время tB горения воспламенителя и его начальная
поверхность Sob определяются уравнениями:
t,=b. (5.18)
и согласно уравнению (5.16)
т
5„в=^1 \ПУ Утах~У2-Гв. (5. 19)
Утах L Утах —yiJ
379

Подставляя выражения для ^в и Sqb в уравнение (5. 17), для
навески воспламенителя в зависимости от потребной величины
наибольшего давления получим формулу
пу У""-уд|р<- 1~е т . (5. 20)
Утг.х
i л—тп
Для 0 < от < 2,75 имеем 1 > -—-— > 0,34.
Величина коэффициента согласования /С^0,8.
Вес воспламенителя с учетом поправки на воздух, находящийся
в свободном объеме камеры сгорания, приближенно оценим
по формуле
1>^=-. (5.21)
С учетом конденсированной фазы в продуктах сгорания
воспламенителя решение этой задачи должно быть построено на
дифференциальном уравнении кривой p(t) для смесевого топлива.
§ 2. ВЫБОР НАИБОЛЬШЕГО ДАВЛЕНИЯ ВОСПЛАМЕНИТЕЛЯ
Эта задача является весьма сложной. Настоящее ее решение
основано на грубой физической модели теплопередачи от газов
к топливу. Однако при наличии идентичности закона нарастания и
сохранения природы воспламенителя можно обеспечить
приемлемую надежность решения при одном опытном коэффициенте.
Максимальное давление воспламенителя определяет его
начальную поверхность горения, обеспечивающую требуемую
интенсивность теплового потока для устойчивого процесса горения топлива.
Динамическое равновесие теплового обмена между продуктами
.сгорания воспламенителя и реакционным слоем топлива
выражается формулой
ar(T-Tl) = cTbu{Tl-TB), (5.22)
где cit = 0VYb — коэффициент теплоотдачи от продуктов сгорания
к топливу;
Ст — удельная теплоемкость топлива.
Уравнение (5.22) приводит к следующему условию
достаточности интенсивности теплового потока, воздействующего на
поверхность воспламеняемого топлива:
—{П-ТВ)+^, (5.23)
380

где u—
— скорость горения топлива в момент его вспышки;
Г —температура продуктов сгорания воспламенителя в
момент вспышки топлива;
(5.24)
Ts — температура вспышки топлива;
Гн — начальная температура топлива.
Выражение (5.22) можно представить в виде инварианта
подобия динамического равновесия теплового обмена между
продуктами сгорания и поверхностью заряда
D (т* Т \ г,2?2
Для момента вспышки топлива, лежащего на восходящем
участке кривой p(t), после несложных преобразований
неравенство (5. 23) приводится к формуле
/>всп =
-8„,(>
ят:
1 —■
A2Fn 1?
Л1] »тах
<рвша. (5.25)
В формуле (5.25) параметр г/max, как показывает уравнение
(5.14), зависит от условий заряжания и скорости горения
воспламенителя. Величина неравенства /оВтах>/Овсп устанавливается
опытом.
Если неравенство (5.25) при выбранном Рвтах выполняется, то
процесс горения топлива после его вспышки будет' устойчивым.
Тепловое воздействие продуктов сгорания воспламенителя на
поверхность воспламеняемого топлива должно распространяться
до тех пор, пока в любом месте поверхности горения температура
не достигнет величины, необходимой для вспышки топлива. Это
условие будет выполнено, если обеспечивается необходимый
уровень накопленной тепловой энергии в реакционном слое
воспламеняемого топлива посредством конвекционной теплоотдачи,
лучеиспускания и контактной теплоотдачи конденсированной фазы от
продуктов сгорания воспламенителя:
(5. 26)
где ер — толщина реакционного слоя топлива в момент его
вспышки;
381

1 д ~~Y~ * С
Tst— среднее значение температуры поверхности топ-
2 лива;
tBCn — время необходимого теплового воздействия нэ
поверхность топлива.
Для баллиститных топлив толщину реакционного слоя можно
подсчитать по формуле
&п \* S— 1 и/)
* U
где ат = — — коэффициент температуропроводности топлива;
и = и1/7ч — скорость горения топлива.
Решим уравнение (5.26). Для этого с помощью равенств (5.24),
(5. 13) исключим из него рв и Т
ат с Г У\ — У2^Уе г" "" * rli °T lS~r'* °0в"вив ^
~R Ов \-n,,e~9t 6 aat — -^ 2 A2F*°
всп Р' —m-r-
Х1
о
f" всп 1 /
о
Левая часть этого уравнения имеет решение только при т = 0,
т. е. для случая SB = const;
111
\-Пу у,Пу \-П
у
(5. 27)
Уравнение (5.27) по отношению к параметру tBCU является
трансцендентным и может быть решено графически или на ЭМУ.
Найденное из этого уравнения tBcn не должно быть больше времени
полного горения воспламенителя ts (см. рис. 5.1).
Если пгфО, то при прочих равных условиях (ив; F*; SOb; crT)
необходимая величина времени воздействия воспламенителя на
топливо может быть приближенно вычислена по уравнению (5.27).
Для этого вместо S0B следует подставить среднее значение SB.cp>
найденное по формуле:
t
—— \
—m-
? '*d{ = S0B-
т
Решение задачи о моменте вспышки топлива, как уже
отмечалось, дано для квазистационарных условий теплового обмена
382

между продуктами сгорания воспламенителя и топливом основного
заряда РДТТ. При этом сделано допущение, что коэффициент
теплоотдачи зависит только от весовой плотности газов,
воздействующих на поверхность заряда двигателя.
Необходимость знания требуемой величины давления газа рвсп
воспламенителя для обеспечения динамически устойчивого горения
топлива после его вспышки побудила дать приближенное
инженерное решение этой задачи (5.25); (5.27). В противном случае было
бы весьма трудно вследствие неопределенности выбора
достаточности давления воспламенителя назначить требуемый вес
воспламенителя ©в, так как при расчете его рВтах должен быть больше рвсп-
Коэффициент надежности воспламенения топлива р = рв тах/Рвсп
устанавливается опытным путем для нижнего предела диапазона
отрицательных температур заряда топлива.
Принятая модель процесса теплопередачи, содержащая в себе
очевидные неточности, может быть до некоторой степени
компенсирована соответствующим выбором параметра сгт, который следует
рассматривать как коэффициент согласования с опытом. При
наличии опытного материала коэффициенты т, п, стт позволяют
получить достаточно надежную инженерную формулу (5.20) для
выбора требуемого веса воспламенителя, так как структура этой
формулы определена теоретически.
Решение задачи определения времени вспышки на основе более
точной теплофизической модели теплопередачи от газов
воспламенителя к топливу приведена в гл. III.
Пример. В методических целях рассмотрим решение задачи расчета периода
воспламенения гипотетического твердотопливного заряда, имеющего следующие
физико-химические характеристики и условия заряжания:
<ЭЖ = 870 ккал'кг; То = 290° К;
/Joo = 7000 кГ/дм*
S ^ 388 дм*
«1 =1,16-10-4 дм^\сек-кг; v = 0,7; F = 4,65 <Э.и2;
F* = 0,73 дм?;
R = 320 кГ-дм/кг-град; рв тах = 2/3 р^;
а=~=0,40 ккал-дм!кг-град-сек: сТ = 0,18 ккал/кг-дм? сек.
Ъ = 1,65 кг/д.иЗ;
Ts = 550° К;
В качестве воспламенителя выбираем зсрненое топливо со следующими
•условными характеристиками:
<Эв.ж = 730 ккал\кГ; m =-. 2; k=-.\, 25;
5В .---, 1,65 kz/<5.#; 2eB = 0,04 дм;
к,,— 0,5 дм/сек; ^„—0,04 сек.
Вычислим постоянные коэффициенты исходного дифференциального
уравнения (5. 8):
с = (k — 1) Л<Э„.Ж =-- 780000 дм; с'2--= с2 — — с3 = — 8395 дмр.'кг;
383

k— 1 Via F Л-уГ
Co = A — =■ 5 дм5! кг; с л = k —5—5- = 38,5
R Ь„ и„ Ьли
"В В В
Сз = —~= 168 дм°-сек\кг.
tisbR
Корни характеристического уравнения (5. 10)
= 109 ± 180;
Наибольшее значение параметра у при автономном горении
воспламенителя (5. 14)
Со \2 с
Необходимая начальная поверхность горения воспламенителя (5.4), (5.15)
t
ОВ = е в = 97 дм%,
Ув шах
где
1
^в шах == ~7Г ^Пу =0,0218 сек;
Р г/тах — У\
Пу= — = — 4,06,
ci
Р = — (г/1 — г/2) = 83 1/сек;
Необходимый вес воспламенителя (5. 17)
гв—— = 1,35 кг.
m
Вес воздуха в камере сгорания
(ов3 = yb3W0= 1,293-0,134 = 0,173 кг.
Вес воспламенителя с учетом веса воздуха (5.21)
Г
У «в
= 1,45 кг,
где п £ 1.
Координаты кривой давления при автономном горении воспламенителя (5. 13)
t
/7Z
Результаты расчета для интервала времени 0<t< tB сведем в табл. 5. 1.
384

Таблица 5.1
t
pB(t)
0,001
430
0,008
2840
0,014
4220
0,0218
4700
0,030
4300
0,040
3170
Давление вспышки холодного заряда двигателя, имеющего температуру
Ги = 240°К (5.25):
1
Рвсп =
1
1—
0,18
1,65-1,16-10-4.320-310
1
1 —
320-600-0,52-1,65
6,32-0,732-1442
оТз
= 4200 кГ1дм*.
При нормальной температуре заряда Г„=290°К давление вспышки топлива
рвсп = 2400 кПдм2.
Таким образом, условие рв тах>Рвсп выполняется. Согласно данным
табл. 5. 1 рв (t) время вспышки заряда топлива составит:
— для холодного заряда ^Всп = 0,014 сек;
— для заряда при нормальной температуре ^ВСп=0,0067 сек.
Параметры рВСп; (всп являются начальными условиями для расчета кривой
давления в периоде совместного горения топлива и воспламенителя,
§ 3. ПЕРИОД СОВМЕСТНОГО ГОРЕНИЯ ВОСПЛАМЕНИТЕЛЯ И ТОПЛИВА
После момента вспышки заряда РДТТ наступает период
совместного горения воспламенителя и топлива, когда приток
продуктов сгорания и тепла в камеру двигателя происходит от горения
как воспламенителя, так и топлива.
Совместное горение топлива и воспламенителя описывается
следующей системой уравнений:
dt
dt
dt
dt
dt
t
W = Wo + j (5b + SBuB) dt;
о
(5.28)
Здесь —1-!- =
u = u1p->; uB — const. (5.29)
—aTF (T — Tc) — отток тепла вследствие теплоотдачи;
13 3058
385

—~=CnAQ —приток тепла от горения основного за-
dt ряда;
—^-= GnBAQs — приток тепла от горения воспламенителя,
dt
где Gn n.BBBB
Дифференциальное уравнение кривой p{t) при допущении
одинаковой плотности продуктов сгорания воспламенителя и топлива
(Yb=y) в соответствии с законом сохранения вещества (5.28)
Тут _ AxF*p
VRT
при а/( ^Syu-f-SByBuB примет вид
l^I^. _L (5.30)
5 TSS и X
R S 8 xi « 5 ь ' Й в xi
где
Q ' ^ ' S«S
На практике уравнением (5. 30) пользоваться весьма
затруднительно, так как при наличии грубого значения ucv(p) его нельзя
аналитически точно решить относительно р или t.
Для выбора оптимального решения задачи внутренней
баллистики РДТТ, обеспечивающего устойчивое воспламенение заряда
во всем заданном температурном диапазоне и состоящего в
исследовании изменения кривой p(t) для выбранной навески
воспламенителя в зависимости от начальной температуры заряда Гн, условий
заряжания (и), толщины и формы зерна воспламенителя (tB, m),
использование дифференциального уравнения (5.30) не
представляет принципиальных затруднений при наличии аналоговых
электронных машин типа ЛМУ-1 или МНБ-1. При этом осредненное
386

(или интегральное) количественное влияние параметров Гн и и на
скорость горения и калорийность топлива можно учесть по
формулам
где
■/ — параметр заряжания Ю. А. Победоносцева;
D* — физико-химическая константа топлива;
TN — нормальная температура заряда, т. е. температура, при
которой была установлена единичная скорость горения
топлива иш\
Зависимость констант эрозионного горения А и Хпр от различных
факторов была рассмотрена в § 5 гл. IV.
Рассмотрим более подробно прикладное решение задачи
определения функции p(t) на участке совместного горения
воспламенителя и топлива.
Явно решить дифференциальное уравнение (5. 30) относительно
давления, как указывалось выше, можно только при постоянном
значении коэффициентов xi; X2 и %г- Для этого допустим, что на
достаточно малом отрезке Ati = ti—U-\ параметры xi,2, з постоянны
и равны средним значениям
Хи= 1 + to,-— 1) ^ ; Х2,- = Хзг = 1 ir-тг- .
где вср/ а/? 5 5e"~m^P'^ ^=^
ср
^ ' 2t
Здесь
"V—i —
ИЛИ Рср1-=
() f ^r
7.2/
В этом случае для Zi и pi получим следующие формулы:
J -e
(5.31)
* Значения D для различных составов смесевых и баллиститных топлив
приведены в табл. 4. 2 и 4. 4.
13* 387

где
' = c-k
Pep i
(5.32)
Формула (5.31) является результатом решения
дифференциального уравнения
(5.33)
где
c = (k~l)AQ[dM];
A2F*2
C,—k —^
(5. 34)
S/? 5 Hi
Соотношение (5. 33) получено из уравнения (5. 30), в котором
величина &—— пренебрежимо мала по сравнению со значением
{k—\)AQ.
При допущении, что —/?= — г1"4»—z2 можно принять
k
■— Х2Х3.
Тогда формулы (5. 32) приводятся к виду
2(1,2)/ =
(5. 35)
Х2/С2 ,
(5. 32')
388

Обычно с2<^с', a Cj =ё с/, поэтому на практике допустимо
пользоваться формулой
2(1,2)/= ± 1 / ХиХ21—, (5- 36)
где
Таким образом, полученное решение задачи определения p(t)
на участке совместного горения свелось к формуле (5. 31), в которой
постоянные величины Z(\,2)x, Рь -^гг заменены их локальными
значениями на отрезке Д^.
Это решение задачи наиболее приемлемо при отсутствии ЭМУ.
Методическую сторону задачи определения функции zi для периода
совместного горения воспламенителя и топлива можно уяснить из
примера, приведенного в § 8 данной главы.
§ 4. ПЕРИОД СТАБИЛИЗАЦИИ ДАВЛЕНИЯ В КАМЕРЕ СГОРАНИЯ
Этот период характерен тем, что в течение всего времени
стабилизации давления происходит горение только основного топлива
двигателя.
Закон изменения давления в камере сгорания точно
определяется из дифференциального уравнения (5. 33) для случая, когда
l
(5-37)
При этом изменится только параметр nzi (5.31). Его величина
будет постоянной и равной
где ръ — давление в камере двигателя в конце горения
воспламенителя, т. е. в конце совместного горения воспламенителя
и топлива.
Время t следует отсчитывать от конца периода совместного
горения топлива и воспламенителя.
Таким образом, изменение давления в камере сгорания РДТТ
при одночленном степенном законе горения топлива описывается
формулой
ft^f (5'38)
,389

Анализ формулы (5.37) показывает, что предельное давление
в камере сгорания устанавливается в течение весьма малого
времени, исчисляемого сотыми долями секунды:
t=— In
Z~Z2 ZB—Zt
p z~zx zB — z2
Так время, за которое давление в камере сгорания достигает
величины, на 1 % отличающейся от ее предельного значения, будет
-*8 21~2в]. (5.39)
*i zB — z2 J
При этом полное время выхода двигателя на режим (см. рис. 5. 1)
составит h =^ + ^2, а величина предельного давления
/>»=*;-'. (5.40)
Для zx и z2 при Х1 = х2 = х.з=1 справедливо уравнение (5.32)
2C
l
где с' = с р^я^ с, ас, си с2 определяются по формулам (5.34).
5
Для РДТТ малого калибра (<200 мм) и с нетермоизолирован-
ной поверхностью камеры сгорания величиной Сг пренебрегать
нельзя. При вычислении с\ (5.34) величина шг< =Syu не
учитывалась, поэтому логично принять с\ =С\ (5.32').
Для больших двигателей при определении кривой p{t)
вследствие непрерывного увеличения свободного объема камеры
величина р оказывается переменной ?
р = (1-у)(г1-г2)А-1—^-. (5.41)
В этом случае уравнение кривой p(t) имеет биноминальный вид
1 —/7Z[1+Bi
где
390

Формула (5.42) может быть получена из уравнения (5.37),
в котором следует положить
w „ Г dt
где согласно выражению (5.41) W$ = const. Но
W
W
и поэтому
0 t
Г dl ■ = ■¥— $
J l + B^t-t») Su^
Время конца горения заряда РДТТ (см. рис. 5.1) найдем по
формуле . !
Для закона горения и=const будут справедливы все приведенные
зависимости для степенного закона горения. При этом достаточно
положить v = 0; p = z\ ur = u.
§ 5. ПЕРИОД ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ ТЯГИ
Изменение давления в камере двигателя после сгорания
основного заряда найдем из уравнения (5.30), положив %i = %2=l; 5 = 0
и W = W«.
Условие 5 = 0 означает, что заряд полностью сгорел. В
действительности вследствие отклонения фактического закона горения
от геометрического (прежде всего из-за эффекта «раздува»)
поверхность горения исчезает хотя и очень быстро, но не
скачкообразно. В этом смысле 5 = 0 является допущением.
Второе условие W=const = WK (объем камеры после сгорания
заряда сохраняется неизменным) •—следствие первого.
При принятых допущениях уравнение закона сохранения
энергии (5.1) имеет вид
Присоединяя уравнение сохранения вещества и состояния, взятые
в дифференциальной форме:
после совместного решения получим
391

Так как для осредненных параметров состояния газов в камере
сгорания справедливо соотношение
-£-=Д-, (5.43)
aRT WK
то после преобразования исходное уравнение приводится к виду
* In «, + -*-1пГ+Л £i^
t
(£!) In + 1пГ+Л / ().
v ' dt dt R WK
T
Интегрирование этого уравнения при vi= 1 -= const и
последующее его потенцирование приводит к формуле
Используя уравнение состояния (5.43), 'получим
е"*> (5'44)
где
WK
Так как уравнения (5.44) и (2.59) совершенно одинаковы, то
для закона изменения давления в камере РДТТ будет справедлива
формула (2. 61)
где
k—\ . 2 »„'
&—1
RT ,
oo .2ft
(5.47)
Если в уравнении (2. 61) из условия J (\-\-Bt) к~~1 dt=\ е~ь^ dt
о о
биноминальную функцию заменить экспонентой, то для Ьх и °
получим несколько иные по внешнему виду формулы Ьг = ——— В
вместо Ь1 = ^-^- В и p = i±i B + b вместо р^-^1^5+*.
Однако оба выражения для ^ и р дают практически одинаковый
количественный результат, так как при 1<^&<Ч,4 множитель
S£ 1
&+ 1
392

§ 6. ВЫХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТНОГО ДВИГАТЕЛЯ
НА БАЛЛИСТИТНОМ ТОПЛИВЕ
Под выходными характеристиками ракетного двигателя обычно
понимают его тягу (Р) и удельный импульс (/i). Для расчета тяги
при выбранном давлении в камере сгорания (/?оо) необходимо
знать площадь критического сечения сопла (F*) и коэффициент
реактивности (Кв) диффузорнои части соплового блока двигателя,
а для вычисления его удельной тяги, кроме этого, требуются
физико-химические характеристики топлива (AQ!K; k = cp/cv),
найденные с учетом тепловых потерь. Таким образом, выходные
характеристики ракетного двигателя зависят не только от природы
топлива, но и от размеров сопла, определяющих его коэффициент
реактивности. С увеличением давления в камере сгорания коэффициент
реактивности (2.19) растет, а с уменьшением этого давления—•
падает.
Реализация возможной величины коэффициента реактивности
достигается соответствующим уширением диффузорнои части сопла
{vb = FJF*; 6) с таким расчетом, чтобы давление в выходном
сечении сопла было близким к атмосферному (/?в^/?а). При этом для
выбранного давления в-камере ракетного двигателя (/?«>)
коэффициент реактивности соплового блока (2.19) и скорость потока в
выходном сечении (2.21) будут максимальными.
Расчет площади критического сечения сопла РДТТ
Обычно при проектировании РДТТ площадь критического
сечения сопла выбирают с таким расчетом, чтобы на рабочем участке
кривой давления обеспечить заданную величину давления в камере
сгорания. Иными словами, задаваясь величиной предельного
давления, находят необходимую площадь критического сечения сопла
путем совместного решения уравнений (5.28) и (5.30)
так как при р = р«, величина dpjdt
г г d Р^
с
Из первого уравнения с учетом коволюма газов (а) получим
(5-45)
S 6 ите k-1 AQX i
393

где Л = 4270 кГ-дм/ккал; Qm в ккал/кГ; рх в кГ/дм2;
и» в дм}сек; 8 в кГ]дмъ; S в дм2; а=1 дм?\кГ;
^ = 6,3 дм112\сек; ак1 ккал-дм]кГ-град-сек; y~= •
Решение второго уравнения относительно F* приводит к
зависимости
(5.46)
Приравнивая выражения для F* в зависимостях (5.45) и (5.46),
находим температуру газа в камере сгорания
(5.47)
где
x=:l_J!ii.AZ=L.. (5.48)
Из выражения (5.48) следует, что величина % определяется
только теплообменом с окружающей средой, который при
заданных условиях заряжания и природе топлива зависит от давления
в камере сгорания
Параметр Дт=-^ ^— учитывает природу топлива (QM; R;
В; и,») и условия заряжания (vt; a; Z7; S; и^,).
Для зарядов, горящих по поверхности внутреннего канала
и скрепленных с оболочкой двигателя, величина коэффициента %
близка к единице. В этом случае нагрев стенок камеры РДТТ будет
наименьшим.
Заметим, что тепловые потери, как и следовало ожидать, явно
не зависят от коволюма продуктов сгорания. Наличие коволюма
оказывает влияние на давление в камере РДТТ (/?«>) и критическую
площадь сопла (F*). Обычно при расчете /?«> и F* коволюм не
учитывают, так как при давлении сжигания топлива, меньшем
100 кГ/см2, его влияние пренебрежимо мало.
Из выражения (5.48) следует, что если не учитывать
диссоциацию газа в камере сгорания, снижение температуры прямо
пропорционально давлению. Подставляя найденное значение RT,*, в
уравнение (5.46), определим необходимую площадь критического
сечения сопла РДТТ, обеспечивающую заданное давление в камере
сгорания.
394

Единичный импульс и тяга РДТТ
Рассмотрим определение тяги РДТТ и его единичного импульса
при работе двигателя во втором периоде. Зная RTX, можно
вычислить единичный импульс соплового блока РДТТ по формуле
Формула (5.49) является результатом преобразования
уравнения силы тяги (2.18)
где /7а — давление окружающей среды.
По определению единичный импульс, развиваемый двигателем,
равен
К k+l а* FeP*
J =
1
а в k g G
и представляет собой импульс, снимаемый с одного килограмма
веса топлива. Иногда это отношение тяги к расходу топлива
называют удельной тягой. Так как
k+\ ° Р V °\k+l
ft+l
kg
то после алгебраических преобразований выражение для У\
приобретает вид уравнения (5.49). При К<*> — Къ, /?а=0
(5.50)
По физическому смыслу /«> представляет собой единичный импульс
РДТТ с полубесконечным соплом в пустоте.
Таким образом, для удельной тяги ракетного двигателя на бал-
листитном топливе имеем
(^) (5.51)
где Кв= KJKco — относительная величина коэффициента
реактивности соплового блока двигателя;
Rcv^GJk — тяга двигателя с полубесконечным соплом
в пустоте.
395

Для РДТТ с расчетным соплом (рв=Ра)
J.=J. V !-(-£-) ■ (5-52)
Из сравнения формул (5.51) и (5.52) вытекает, что
коэффициент реактивности имеет наибольшее значение для расчетного
сопла
Отсюда следует, что реальные значения единичного импульса Л
ограничены пределами /]^/а</оо.
Коэффициент % подсчитывается по формуле (5.48). В
большинстве случаев для нетермоизолированных стенок двигателя величина
коэффициента % ограничена пределами 0,90<%<0,96.
Во втором периоде тягу двигателя удобно подсчитывать по
формуле (2.17) или с учетом выражения (2.16) по уравнению
Ц1) KBF*p^-^F*pa (5.53)
или
P=GJ1. (5.54)
Интересно отметить, что тяга не зависит от калорийности
топлива и определяется только давлением в камере сгорания. Это
объясняется тем, что расход при заданном давлении рх с повышением
температуры уменьшается, а скорость истечения газа при этом
во столько же раз увеличивается.
Снижение расхода топлива с повышением температуры газа
в камере сгорания при сохранении тяги (F* = const; /?<x> = const)
позволяет для заданного запаса топлива соответственно увеличить
время работы двигателя и величину полного импульса,
сообщаемого ракете. Вследствие этого скорость движения ракеты растет
с увеличением удельной тяги двигателя (7.3); (7.11').
Уравнение тяги РДТТ с учетом нестационарной составляющей
В общем случае тяга определяется уравнением (1.9)
d-~-F»fP!L, (5.55)
2 \ я—l
где R=(l -\-k) (——-) KBF*p — стационарная составляющая тяги;
396

dL
нестационарная составляющая
dt тяги;
шг
г Г v
L==\ — dmT —полное количество движения газа
о g в камере сгорания.
Нетрудно показать, что L =а <"г °д- и — <^/?. В самом деле, из
уравнения сохранения вещества (2. 6)
г 1
FL (-^-У-1 =l0 f 1_*=1^ следует, что X0=const.
FK\k+\) Ч А + 1 /
Далее, предполагая, что распределение скорости вдоль оси
камеры является линейным v — — ©g (см. § 9 гл. V), а плотность
газа — равномерная, т. е. dwr—wr , получим
t
о
Для первого и второго периодов, т. е. выхода двигателя на
рабочий режим, имеем
dL ^ Xpfl* do>r = Ход* ,Q
dt ~ 2g dt 2g К п р;^ '
Без учета скачка уплотнения в диффузоре сопла (5.55) тяга
для первого периода
ft
или
, Хоя(Оп-Ор) .
Л. k Xp °n
-г- —— —
й + 1 2
^ 1 2 Gp
где
Для третьего периода работы двигателя, полагая процесс
истечения изэнтропическим, получим
dL ^ 'Wco «„ d ( р
dt 2g dt
397

Но для изэнтропического процесса истечения, как было
показано в § 5 гл. II, давление в камере двигателя изменяется по
уравнению (2.60)
1к
где
поэтому
р \ 2ft
dt \ Pv, J 2 Woo Poo
Подставляя это выражение в уравнение для dL/dt, получим
—== — — KR*\ Р=-(к t — — h)R* — v.F*p , (5.56)
dt 4 \. в* 4 / а
где
/??= R* — ; /?• s Цг^ —!L^!1- ■
Оценим величину нестационарной составляющей. Для этого
1 3L
найдем выражение относительно величины г= • . Для второго
R dt
периода величина нестационарной составляющей тяги в
соответствии с уравнением (5.56) равна
k+l 2 GPKBt dt k+l 2KBt G
p
Для третьего периода относительная величина нестационарной
тавляющей тяги определяется по формуле г= —5- .
Исключая Хо и полагая Kst^k, получим
rSi( ^o i
4 \k+l) FK KBt ' FK '
где ,FK — площадь поперечного сечения камеры сгорания.
При определении тяги двигателя нестационарную
составляющую не всегда следует учитывать вследствие ее небольшой
величины. Так, для числового примера, приведенного на стр. 403,
г<1%.
398

При вычислении суммарного импульса следует помнить, что
С Л/ С til P df
— dt+ — at+ — л=о,
J dt ' J ^ ' J d/
так как
— dt=dL; L(0)=0; L{tl-\-t<2-\-tz-\-t^)=i0.
§ 7. РАСЧЕТЫ ЗАРЯДА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ КАНАЛА
При заданной величине /?«>, природе топлива (а; Ь или щ, v)
и времени его горения t2 необходимая толщина горящего свода
шашки: 2е = 2м«,/2 — при двустороннем горении и e = uxt2 — при
одностороннем горении.
Поверхность горения при заданной толщине горящего свода
определяется весом заряда
S = —. (5.57)
Пусть заряд состоит из п одноканальных цилиндрических
шашек, горящих с наружной и внутренней поверхностей. При этом
число шашек определяется наибольшей плотностью укладки
где т — число шашек по диаметру камеры сгорания и выбирается
из условия
dK . dK
т <Г
dK
-
/ I \ Ае
4в 1 +
\
Для т=\, 3, 5, 7 наивыгоднейшее число шашек в заряде п=1;
7, 19, 37. Допустимая длина I шашки определяется системой
уравнений:
Ч—ffi, (8.58)
— критерий нормальности заряжания Ю. А. Победоносцева;
S = 2nn{dn — 2e)l (5.59)
— поверхность горения заряда.
Решение этой системы зависимостей приводит к кубическому
уравнению
(!^ + — *+- = 0.
я 4я2
399

Учитывая, что обычно Kn^lfdx, это уравнение можно свести
к квадратному.
Из уравнения (5. 58) наружный диаметр шашки равен
1 I или й„
1
2л/
V
Отсюда приближенные выражения
Vп
(5.60)
при этом dH<^da<^dH.
Из уравнения (5. 59) имеем
2nnl
(5.61)
Полагая в последнем уравнении dH = d'u или dH=d"H (5.60),
определим длину заряда
S
1Г
1
iK \
fn ~2e)
+ ..
AS
(5. 62)
где
h
2/;
2л У n%HdKe
Так как действительное значение rfH ограничено узкими
пределами d'n<^du<^d"n, то и для / справедливо условие 1'^>1^>1". В
отдельных случаях, когда vPdyinl2 мало отличается от единицы,
величину / следует оценивать по формуле /=0,5 (V-\-l").
При определении I по приближенным зависимостям необходимо
уточнить dn и %н по исходным уравнениям (5.58); (5.59):
400

Для обеспечения нормальных условий горения заряда на
поверхности внутреннего канала необходимо, чтобы его размеры
удовлетворяли следующему условию:
М
Пример. Найти условия заряжания ракетного двигателя с одношашечным
зарядом, обеспечивающим при давлении в камере /?оо = 100^Р;/7сж2, калорийности
топлива 900 ккал\кГ и расчетном сопле силу тяги 400 кГ в течение 10 сек.
Размеры соплового блока
Безразмерная скорость в выходном сечении расчетного сопла (2.21)
У
ft—1
.ft
1—[ —| =3]Л — (Ю0)-°'2=2,32,
где /7м = 100 кГ/см2 — давление в камере сгорания;
Коэффициент реактивности сопла для 6=12° (2.19)
Степень расширения диффузора сопла (2. 6)
1
ft—1
Площадь критического сечения сопла (5. 53)
Р
2 \*—i
4000 =25,6^,
1,24-1,33-100 — 9,4-1
/ 2 \ft-1
где (! + *)( I =1,24; A =1,25.
\*+ 1/
401

Размеры заряда и условия заряжания
Единичный импульс двигателя (5.51)
J
■ = 204 кГ-сек!кг,
1 +
где
-=218 кГ-еек]кг; Л:„—
■/&— 1
= 1,67.
Расход топлива (5. 54)
Полный запас топлива
a =Gt =196 кг.
Скорость горения топлива при роо = 100 кГ/сек? (5.65)
Ис» = а + 6/>°о = Ю мм)сек,
где
O-i дм/сек; 6 = 5.5-10—6
дм[сек
кГ/дм* '
Толщина горящего свода топлива
Поверхность горения топлива (5. 57)
со 196
S= — = =122,5 дм*.
еЬ 1-1,6
Длина заряда при dK = 450; %H=100; n=l по формуле (5.62)
S
/ =
л —г= — 2е
W п
1 +
1
у— /е
= 840
Наружный диаметр шашки (5.61)
S
dH = • + 2е = 433
Фактическое значение параметра т.н (5. 58)
, = 97.
Внутренний диаметр шашки
, = аГн — 4е = 33.
402

Парамет4» -л,
ть=~=102.
Температурный, комплекс газа в камере сгорания (5. 47)
k
где
=0,2-0,95-4270-900 ^=712000 дм,
л v'° F P°° 1 '0.65-0,20-1,2-104
RQX S Uo°b 320.900.0,1-1-6
vi = 0,65; ot=0,20 ккал-дм\кг-град-сек;
= 1,2.
Сближение результатов делать не нужно, так как при расчете единичного
импульса было принято %=0,95.
§ 8. ПРИМЕР РАСЧЕТА КРИВОЙ ДАВЛЕНИЯ В КАМЕРЕ РДТТ
ПРИ СТЕПЕННОМ ЗАКОНЕ ГОРЕНИЯ u=u,1pv
Результаты баллистического проектирования ракеты являются
исходными данными расчета РДТТ. Пусть эти данные будут
следующими:
Р = 7350 кГ — тяга;
/1=204 кГ■ сек\кГ — удельная тяга;
<о=:660 кг — вес топлива;
D=454 мм — калибр ракеты;
/?в = /?н = 0,75 кГ\см2 — давление окружающей среды.
Физико-химические константы баллиститного топлива и его
продуктов сгорания следующие:
Q = 875 ккал\кг\ ^ = 0,
£=1,25; v1==0,7.
Примем р^ = 70 кГ\смг и ^=0,98; ор = 84 кг(мм2 — временное
сопротивление корпуса двигателя; пр = 2 — запас прочности.
Размеры соплового блока
Безразмерная скорость газа на срезе сопла без учета
потерь (2.21)
где /?в = 0,75 кГ/см2 — статическое давление в выходном сечении
сопла.
403

Коэффициент реактивности сопла при истечении без
потерь (2.22)
т,—1
Ав.и
Л-в.и
Коэффициент реактивности реального сопла (2. 19)
Кв=ъП+Ъ(Кв.п- 1)1 = 1,33,
где %i = 0,98; a уд при 8 = 15° согласно уравнению (2.20)
Относительный коэффициент реактивности сопла
^=^ = 0,8; /^=—^=-==1,67.
Уширение диффузорной части сопла (2.6)
s 10.5.
*^R U 1 1 ' Л r м I
где dB\d" = 2>,2.
Теоретический единичный импульс топлива (5. 50)
0,98-4270-875 = 273 кГ-сек\кг.
S у 9,81
Потребный расход топлива и время горения основного
заряда (5. 54)
G=P//1 = 36,15 кг\сек; *1 = <o/G = 18,25
Площадь критического сечения сопла (5.46)
/;* ¥
=^68 см2; Z7 =690 см2,
в
где Л1 = 6,5 дмХ12\сек\
4270-875 = 855 Л^/2.
404

Удельная тяга двигателя (5. -19) (поверочный расчет)
^Г g Ю,.? 0,75
При рв = рн = 1,033 кГ\сек2 удельная тяга двигателя
л: 199 кГ -сек\кг.
Расчет размеров заряда
Толщина стенки оболочки РДТТ
ripP^D 2-70
06
2[0]р 2-8400 '
Диаметр камеры сгорания
DK = D — 2г!о6=446 мм.
Поверхность горения топлива (5.57)
5=Л= 660 =388 дм\
еЬ 1,06-1,6
Толщина горящего свода заряда звездообразной формы
е=Uoot = 0,3 • 700'7-18,25=106 мм.
Площадь поперечного сечения канала шашки
^к„ = А=^=3,88 дм\
%в 100
где Ив — критерий Ю. А. Победоносцева.
Длина заряда
№^ g
/
STS 11,82-1,6
где
Коэффициент тепловых потерь (5.48)
- —1 _^1 JL JL^- J_— I 0.7-0,3 40 7000
~l~ RQ S и "
RQ S 5 и» 320-875 388 1,6 0,06
где ^—2,5(5!+^) ^=40 дм2 — поверхность предсоплового
пространства камеры с учетом конфузора;
сгт = 0,3 ккал ■ дм/кг • град ■ сек — для термоизолированной
поверхности.
Поскольку % больше принятого (% = 0,98), то удельная тяга /i
будет около 205 кГ • сек/кг.
405

Период автономного горения воспламенителя
и расчет веса воспламенителя
Исходные данные для воспламенителя:
5в=1,6 кГ\дм?\ QB==750 ккал\кг; £ = 1,25;
wB=0,5 дщсек; \F0=134 дм5; зт — 0,3 ккал-дм\кг-сек-град.
Время горения воспламенителя по формуле (5.18)
гв = 0,04 сек.
Рассчитываем вес воспламенителя для обеспечения
= — А» = 47 кГ/см2.
О
Корни характеристического уравнения (5. 10) для п = 0
с1
где
г/i = 289 кГ/Эл4; г/2 = - 71
Коэффициенты характеристического уравнения (5. 8):
с=-0,25-4270-750=800000 о»л;
0,25-4270 0,7-0,3 40 „_ „ , -.
^350 дмъ
40 „_ „ , -.
=35,0 дмъ кг;
320 1,6 0,5
с ——1^—=168
3 0,5-1,6
<=35 — 168= -8365 дм5(кг;
, _ 6,52-0,682 ПО Г- I Q; О
с,—-1,25— !— = 38,5 дм9 кг2.
1 ' 0,52-1,62 ' '
Наибольшее значение функции у (5. 14)
(±2\ +~ = 143,5 кГ1дм*.
При помощи равенств (5. 12)
„ ^, t/i 289 . пп
уо1^:О; /7„=—'- = =—4,06
^° у г/2 —71
определяем время достижения давления /?Втах (5.15)
406

Необходимая начальная поверхность воспламенителя (5. 13)
тяхе 'в 4700е1'09
р ев
Лвтах
On — 1/|О
U/max 143,5
Вес воспламенителя при /(=1 (5.17)
сов=5оАув Ь^ =97.0,5-1,6-^-
-=97 дм2.
-0,04=1,35 кг.
Поправка на воздух дает (5.21)
V
где
0,95
V=-Y,3^o= 0,173 кг.
Координаты кривой автономного горения воспламенителя
(5.13):
t ъ сек 0.С01 0,008 0,014 0,0218 0,03 0,04
рв в кГ/дм* 430 2840 4200 4670 4300 3170
Период совместного горения
воспламенителя и топлива
Расчет произведем для момента вспышки £всп = 0,0135 сек
(Вариант I) и давления вспышки топлива /?всп = 4000 кГ/дм2
o,os t сек
(2Всп=/0д7п = 12,2), разбив время совместного горения на четыре
интервала (рис. 5.2).
407

Первый интервал: ^ = 0,0135-^0,017 сек; Д^ = 0,0035 сек.
Средняя площадь поверхности горения воспламенителя в
первом интервале
=48
5в.ср = 44,6 дм\
откуда
5^5_ 286.10_8= 242,
6Ю"4 ' ' '
1 +
388 1,16-Ю
где
И 116Ю-4 I
I;
сек \дл&
и, следовательно,
У1=(х,_1) -^+1=1,42 —+1=2,22.
/л V/.2 1^т '875
Корни характеристического уравнения (5. 32') на расчетном
интервале
21,2= —'
■ + ■
где коэффициенты характеристического уравнения (5.34), (5.35)
с == — .4270-875 = 935000 [дм]; ^ = 4600 [дм];
7.2Хз А = 4,7 « г1; г2 = 0,07 « с-
О
134-104
а 388-1,6-1,16
Поэтому можно пользоваться формулой (5. 36)
У1У2 —= ■+-1/ -^^-2,42-2,22
шл ci —у 46Q0 . .
!-2,22= + 33.
*" ~ \ '*"" сх —у 4(500
408

Определим параметры Пх и
12,2 + 33
?(y(Zl-z2) = 0,3 _Ё°°_ 66=19 /
V ' Х2с3 2,42-1980 '
Давление в конце первого интервала определяется по
уравнению (5.31)
_ 33 -33-0,46 е- 19-0.0035
^~ l+fMfie-"70"-0035
откуда
1
p2 = zl-' = 13,23.34==55OO «Г/Лк2.
Второй интервал: ^ = 0,017 :-0,024 сек; А^2 = 0,007 сек; гВС11=13,2.
Средняя площадь поверхности горения воспламенителя во втором
интервале
откуда SB.cp = 35,l дм2.
Давление на участке A^2
Рз = р2 -f (р2 - рг) = 5500+ 1500 = 7000 кГ\дм?;
рср = 0,5 {ра + р2) = 6250 «г/^2;
Параметры
— +1 = 1,735.
»75
Корни характеристического уравнения
7 = 1 _i (U^l 22.10-з= 1 858;
А ' 388-1,16-Ю~4 '
4600
Параметры Пг, р и z:
1,858.1,735 = 4-25,6.
„ _ 13,2 — 25,6 _ _ „
z ~~ 13,2 + 25,6 ~ ' '
i=0,3 — 51,2=19,2 \\сек\
1980-1,858 '
_ 25,6 — 25,6-0,з2е~ 19'2'0'007 _ .
Z~ l+0,32e-19'2-0'007 -"-^'4-
409

Давление в конце второго интервала
„ 1 о /13,34 £ОПП vV\r)u^
//о— Ю,^ —(J^VJU /w iUJvu .
Трешай интервал:
/ = 0,024^-0,032 сек; д/3 = 0,008 сек; 2ВСП=13,4.
Средняя площадь поверхности горения воспламенителя
5в3 = 29,0 дм?; 5в4 = 20,0 дм2; 5в.ср = 24,5 дм-.
Определим давление р^'
р4 = 6300 кГ\дм2; /7ср = 6100 кГ\дм?;
/>-'== 2,24 -Ю-.3.
Параметры /:
X2=l,61; Xi =1,522.
Корни характеристического уравнения
г, 2 = + ,/^^~[^ГпЙ2= + 22,3.
— }/ 4600 —
Параметры П2, 3 и z:
/7 = 13.4-22,3 = 025.
г 13,4 + 22,3 ' ' '
3 = 0,3^^—44,6=19,3 Цсек;
1980-1,61 '
22,3-22,3-0,гзе-19-3-0'008 1О с
= 13,5.
1+0,25е-19'3-0'008
Давление в конце третьего интервала
/74 = (13,5)3.34 = 6030 кГ\дм?.
Четвертый интервал:
/^=0,032^-0,04 сек; Д/4 = 0,008 сек; 2ВСП=13,5.
Средняя площадь поверхности горения воспламенителя
5в4 = 20,0 дм2; 5в5=12,9 дм2; 5ср = 16,45 дм2.
Определим давление р-"1
р5=6\60 кГ\дм?; /;ср = 6095 кГ\дм?; //-- = 2,24- Ю"3.
Параметры %;
/л = 1,275; /2 = 1,321.
410

Корни характеристического уравнения
i.2 = =n I/ ^^-1,321 • 1,275 = + 18,6.
' у 4fiOO
Параметры Пг, риг:
Яд 0,1Д9;
13,5 + 18,6
8 = 0,3 — 37,2=19,6 \\сек\
1980-1,321 '
1+0,159-е-19'6'0-008
Давление в конце четвертого интервала
р5--- (13,6)3'34 = 6160 кГ\дя2.
Выход двигателя на режим после сгорания воспламенителя;
/985 000 _ 1 . о
4600 ~~ '
Параметры Пг, риг:
'3 =-0,025:
3
13,6 + 14,3
3 = 0,3 28,6 = 20,0 \\cetc;
1980 ' '
__ 14,3— 14,3-0,025-е- 2Ш
Z~ 1+0,025-е-20" '
откуда для / = 0,06 сек и / = 0,08 сек соответственно имеем:
Д/ = 0,02 сек; № = 0,04 сек;
г= 13,85; z = 14,25;
р=6620 кГ\дм2; /7 = 6920 кГ\дм2.
Период совместного горения воспламенителя и топлива
рассчитывался, кроме того, для двух моментов вспышки (рис. 5.3).
Вариант II: fBCn=0,032 сек; /w=4000 кГ/дм2 (точка 5).
Вариант III: fBcn=0,005 сек; /?всп=2000 кГ/дм2 (точка 1)
Результаты расчетов следующие:
Вариант II
t в сек . , 0,032—0,040 0,060 0,080 0,010 0,012 0,014
р в кГ\дмР- 4900 5700 6250 6600 6820 6980
411

Вариант III
t в сек 0,005—0,0135 0,0135—0,017 0,0170—0,021 0,024—0,032 0,032—0,040 0,06 0,08
рвкГ;длР 1000 8290 9950 10900 10800 8000 7100
Результаты расчетов совместного горения топлива и
воспламенителя показывают большую чувствительность величины
промежуточного максимума к моменту вспышки (см. рис. 5.3).
Для момента вспышки /всп = 0,005 сек (точка 1) величина
промежуточного максимума составила рт;1Х = 109 кГ/см2, т. е. в 1,6 раза
больше роо, а для моменты вспышки hcu=0,032 сек (точка 3) вели-
,635 teen
Рис. 5.3.
чина промежуточного максимума равнялась р"тах =47 кГ/см2 или
68% Роо. При ^всп=0,0135 сек (точка 2) получается плавный выход
РДТТ на режим.
Суммарный импульс РДТТ
л 1 = 135000 кГ-сек.
Время периода последействия тяги для рк=\,Ъ кГ/см2 (2.61)
1 р 1 70
L = —In——= In — = 0,5 сек,
3 р рк 7,85 1,5
где
5,15
7000-545
740 000
7,85 Ijceu;
- = 5,15 кг;
412

/?7\.=—хЖ?ж^740000 дм;
k
WK = W0 + — = 134+—=545
о 1,6
Полное время работы двигателя
/L = *BCn+*1 + *3=0,0135+18,25 + 0,5 = 18,635 сек.
Особенности расчета выходных характеристик для РДТТ на сме-
севом топливе изложены в § 14.
§ 9. ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ ПОТОКА ГАЗА В КАНАЛЕ ЗАРЯДА
И ИХ СВЯЗЬ С ПОЛНЫМ ДАВЛЕНИЕМ НА ВХОДЕ В КОНФУЗОР СОПЛА
Задача определения закона изменения параметров состояния
потока газов, омывающего поверхность горения заряда, имеет
принципиальное значение для расчета скорости горения топлива с
учетом эффекта его «раздува» или эрозии.
Согласно распространенной модели горения заряда скорость
его горения и определяется статическим рх (или полным рОх)
давлением и плотностью потока (qu)k
Распределение параметров рОх, и , (qv)x вдоль поверхности
горения определяется на основе законов:
— сохранения энергии (2.3)
механики (1.8); (2.8)
1Ji2! (5.63)
сохранения вещества
X
[xdx. (5.64)
Здесь для фиксированного сечения канала заряда х—х
(рис. 5.4) введены обозначения:
Tqx — полная температура потока газа;
Rx — полная реакция потока газа;
У.х — безразмерная скорость газа;
Gx — расход газа через фиксированное сечение канала заряда;
2 — длина канала;
х—координата фиксированного сечения;
их— скорость горения заряда вместе фиксированного сечения;
413

Отметим, что уравнение механики в принятой записи (Rx=
= const) справедливо только для постоянной площади поперечного
сечения канала заряда (dF/dx = 0). При эрозионном горении
dF/dx>0 найденные ниже
формулы для рх, и, (qv)x
являются приближенными.
Прежде чем приступить
к решению поставленной
задачи определим параметры
состояния потока в сечениях
0—0, /—/ (см. рис. 5.4)
камеры РДТТ в зависимости
от величины поверхности
горения.
При заданном значении
площади критического
сечения сопла F* полное давление р00 на выходе в конфузор
определяется уравнением сплошности потока
G-Gr
I; \о
Рис. 5. 4.
dt
Sbuc.y~AxF*—^=
V ш
00
откуда
Рм = -^ (8 - Too) -f V
F Ai
bRT00
Su
cp
1 Г
где иср = —\ иxdx — среднее интегральное значение скорости
- J ГППРИИЯ'
г
горения;
kg
/г+1
2 хй~"1
k+l
— постоянная расхода;
— полная плотность газов на входе в
конфузор.
Величиной yoo можно пренебречь, так как на практике обычно
Poo
Безразмерная скорость дозвукового потока при входе в
конфузор согласно уравнению сплошности для изэнтропического потока
U+1
i-i F*
414

так как для \,<^0,5 можно принять
1
Если для >-0<.0,5 функцию П— ^ } разложить вряд и огра-
\ ft ~Т" -I /
ничиться первым членом
то
1
9 X*—1 F*2
2 X F
k+l
где Fo — площадь поперечного сечения камеры.
Связь между безразмерными скоростями ко и Xi найдем из
уравнения механики для дозвукового потока
или
h
откуда искомая величина
уо 1 ^о
а? а
ИЛИ
j/1-^!
1 +
где /Со=—'— коэффициент реактивности потока на входе в
2 конфузор;
При решении практических задач отношение FQ/Fi удобнее
записать через поверхность горения S и параметр %
Fo ._*fo
Fx S •
415

Тогда для Х\ получим приближенную зависимость
где А,=-
S 2К0 ' ' * 2K0S
Таким образом, безразмерная скорость потока %х на выходе из
канала заряда прямо пропорциональна параметру заряжания
Ю. А. Победоносцева.
Полное poi и статическое р\ давления потока в выходном
сечении канала заряда определяются формулами (2.9), (2.11):
При допущении, что площадь поперечного сечения канала
заряда сохраняется неизменной по длине (dF[dx = Q), величину
давления на дно камеры рт найдем из уравнения механики (1.8)
I О
откуда
Рх 1 + amj i + x2 I а+1 ■i-j-
Подставляя найденные значения /?i и A,i вместо рх и X.v для рт,
получим
1+xf ^_w/, ,
где
Величину Xx(Xj) определим также из уравнения механики (5.63)
Ч±1 9*^ (x+x-i)-_*±i
или на основании уравнения (2.3)
416

где в соответствии с уравнением (5.64)
i
\uxdx
j7__o J_
о
Решая квадратное уравнение относительно Хх, получим
или
X1 I I
так как Х-1 =/Сг-}-VК\— 1 , а величина дроби
i + У а:?- 1
мало отличается от единицы и ограничена пределами
У к\-\
<а-<1, так как
2/Ci
Таким образом, в первом приближении закон изменения
статического давления продуктов сгорания по длине канала заряда
выражается уравнением
k + 1 !
1+Х? —
На основании очевидного соотношения (QV2)x = kMixpx" для
закона изменения плотности потока вдоль оси канала заряда]Гимеем
Ik 1 i
Р
k+\
так как
14 3058 * 417

Газодинамические потери давления в камере сгорания РДТТ
Л» ^о 1 + ^ I А -г 1
где
F, s
+ lJ FQ ' ° 2
Коэффициент r\ характеризует общий относительный перепад
давления вдоль камеры РДТТ.
§ 10. ОСНОВНОЕ ТРЕБОВАНИЕ К ТОПЛИВУ ДЛЯ РДТТ
Стремление получить топливо с высоким удельным импульсом
(удельной тягой) определяется желанием иметь ракету
наименьшего веса. Однако на практике можно прийти к обратному
результату. Поэтому разработка высококалорийных топлив с высоким
удельным импульсом является актуальной только в том случае,
когда перспективное топливо обеспечивает нужные потребные
скорости горения *.
Иногда на практике выгоднее использовать топливо с
потребленной скоростью горения, не считаясь с возможным при этом
снижением удельной тяги. Подобное заключение вытекает из анализа
уравнения чувствительности запаса топлива к его скорости
горения и удельной тяге РДТТ.
Покажем справедливость высказанного положения на простом
примере. Рассмотрим ракету, движущуюся с постоянной скоростью
по эквипотенциальной поверхности. Для этого случая запас
топлива
. — -f-1 — % х ,2
J х 4 v.l
где х\ v — путь и скорость ракеты;
d да2е±d0 — калибр ракеты;
сх — коэффициент лобового сопротивления;
аГ0 —эквивалентный диаметр внутреннего канала заряда;
q = ——скоростной напор.
* Под потребной скоростью горения следует понимать такую ее величину,
при которой калибр ракеты не определяется диаметром корпуса РДТТ.
"418

а\ = 1 / —
"о I/ >
ях
я 1 с/ ev
— f ,.<"/ ; U = — ,
4 Ъ и] х
Так как поверхности горения одноканального заряда («звездка»
или «щелевой») связаны для заданного критерия Ю. А.
Победоносцева х соотношением
где
то можно записать
или
Поэтому
е
/ С q
' /
1 1 /
dJ
' ,/
,.
X
2й
г
de
' X
(л
J [a
2е
х Ч
Ъ
/
1
— 1
1 '
1
cxq
1
Учитывая, что сумма последних двух членов мала, можно принять
d(o cyde dJ
(о ~~ е 3
Так как при заданном времени горения топлива t — x/v
de — t du = — сй,
v
то
« a J '
где cfu — превышение скорости горения топлива над потребной
величиной.
14* 419

Следовательно, запас топлива приблизительно в два раза
чувствительнее к скорости горения, чем к удельной тяге. Вследствие
этого может оказаться, что топливо, имеющее весьма большую
скорость горения и высокий удельный импульс, недопустимо
увеличивает вес ракеты по сравнению с весом ее варианта на топливе с
малым удельным импульсом, но обеспечивающим потребную
скорость горения.
Таким образом, наименьший вес ракеты с РДТТ может быть
получен только в том случае, если твердое топливо обеспечивает
высокую удельную тягу при нужных скоростях горения.
Проведенный элементарный анализ указывает, что твердое
топливо в отличие от жидкого не может быть универсальным и
пригодным для любой ракеты, независимо от ее тактико-технических
характеристик. Очевидно, для каждого класса ракет должно быть
выбрано топливо со своим диапазоном скоростей горения.
Поэтому при расчете и проектировании РДТТ особое внимание
следует уделить выбору топлива. От величины удельного импульса
топлива и его скорости горения зависит стартовый вес ракеты.
Выбор топлива следует производить на стадии баллистического
проектирования ракеты при минимально возможном калибре.
§ 11. ОСОБЕННОСТИ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ РДТТ ДЛЯ ТОПЛИВ
ПРИ АППРОКСИМАЦИИ ИХ ЗАКОНОВ ГОРЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ
ЗАВИСИМОСТЬЮ и = а + Ьр И ФУНКЦИЕЙ ТИПА САММЕРФИЛЬДА
a+bpn
Стремление получить теоретическую зависимость для скорости
горения, а также обеспечить приемлемую стабильность постоянных
а и Ъ в широком диапазоне изменения давления сжигания топлива
в РДТТ привело к появлению новых выражений для скорости
горения
ti = a + bp; (5.65)
(5.66)
а+Ьрп
Формула (5.65) иногда используется для баллиститных топлив.
Выражение (5.66) предложено М. Саммерфильдом для горения
смессвых топлив (га = 2/3). Оно имеет теоретическое обоснование,
построенное на приближенном решении термохимических
соотношений и уравнений теплопередач.
Решение задачи выхода двигателя на режим
для линейного закона горения и = а1 + 61р
Все промежуточные выкладки для уравнения p(t) при линейном
законе горения остаются теми же, что и для степенного. Подставив
420

в уравнение (5.30) зависимость для скорости горения и разделив
переменные, получим
^±hHt (5.67)
с (аг + *цр)2 — сцр2 — с2р {ах + Ьхр)
Характеристическое уравнение знаменателя
можно представить в виде квадратного уравнения относительно р:
са\-\- {^2саф1 — c2aY)p-\-{cb\~cx — c2bx) p1 = 0,
откуда
vn+-' (5'68)
где
Приведем дифференциальное уравнение (5.67) к виду, удобному
для интегрирования
£*£—£*£). (5.69)
+ , (
\P-Pl р— Рч) \Р—Р\ Р—P2
Интегрирование уравнения (5. 69) от 0 до t и от рв до р
позволяет получить зависимость t(p) в следующем виде:
J^P± In ^=Ж
Рн~~ Pi Рв~ Р2
„ 1„ Р—Р1
Рв — Pi Рв — Pi
откуда после потенцирования имеем
L.IJ1 а-\ =ew 5.70)
Рв — Pi \ Р — Ръ 1
или
3l L Рв—Pl \ Р — Р2
где
И2со 1*2 Pl —
Уравнение (5.71) решают аналитически, задаваясь рядом
значений р; в интервале pB^p<Pi находят соответствующие значения
времени и строят зависимость p(t).
421

Пример. Рассчитаем выход двигателя на режим при автономном горении
основного заряда, скорость горения которого выражается зависимостями
Дано:
S = 120 дм*
/7:-- = 0,256 дм?;
Wo = 25 дмЗ;
R = 320 кГ-дм'кг ■ град;
Л = 4270 кГ-дм\ккал;
гв = 81 400;
a, = 4,03-10-2 дм/сек;
4l=i=4f9.10-6J* /JfL
сек / дж2
F = 144 дм?;
ккал■ дм
ат = 0,39 ;
кг-град-сек
£=1,25;
.4] =6,56 Mi сек;
/>!= 76,62-102 к
дм
«! =4,684-10-6-
v = 0,573;
Q = 900 ккал\кг.
кг
;
дм?
Линейный и степенной закон скорости горения твердого топлива выбраны
для выполнения очевидных условий:
Результаты расчетов усредненной величины давления сведены в табл. 5.2
и показаны на рис. 5. 5.
р кг/см? Роо
80
70
ВО
| 1.1 !
^"
^-—
и =
. -~
а + Ь
^—J
о !
!
_
ЗЬ-Ю-гсек
Рис. 5. 5.
Сравнение расчетных кривых p(t) показывает, что они в
периоде выхода двигателя на режим заметно не совпадают. Это
несовпадение указывает на влияние вида закона горения и(р) на
кривую p(t). Как следует из анализа кривых, расхождение значений
давления в камере сгорания при замене линейного закона
степенным может достигать 15% и более.
422

Таблица 5. J
t сек
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0.030
58,5
64,5
68,5
71,5
73,2
74,2
и = aj -j- AjjP
52,6
55,2
57,5
59,7
61,5
63,0
£ сек
0,035
0,040
0,060
0,080
0,100
и = aljPv
75,0
75,4
76,45
76,52
76,6
U — Я] + *цР
64,50
65.40
70,00
73,00
74,80
Решение задачи выхода двигателя на режим
для зависимости Саммерфильда
Для скорости горения смсссвого твердого топлива Саммерфиль-
дом была предложена формула
а + Ьр2» '
Следуя Саммерфильду, ее можно обобщить для смесевого
топлива в виде зависимости (5. 66)
а + Ьрп '
придав ей более гибкий характер при аппроксимации опытной
кривой и(р) вследствие введения третьей постоянной п.
Уравнение для скорости горения (5.66) в отличие от
рассмотренных выше равенств (5.29); (5.65) содержит три постоянных
(о, Ь, п) и поэтому позволяет более точно воспроизвести
экспериментальную зависимость и(р) на достаточно большом отрезке
изменения давления. Иными словами, постоянные а, Ъ, п слабо
зависят от давления сжигания топлива. Их величины в основном
определяются природой топлива, т. е. его физико-химическими
константами.
При такой зависимости для скорости горения
дифференциальное уравнение кривой изменения давления в камере сгорания
РДТТ при его выходе на режим интегрируется, если ввести
переменную
Тогда исходное дифференциальное уравнение (5.30)
приводится к виду
c2lz-\-
«si
п z ~а
423

так как
zt=nbp"~~ pt или р\ = -
то
и 'г — an
После разделения постоянных получим
zdz
-= — д-^-
1 «31
СИ Сц/
или
г-йг- / 1 1
z~a \z—zi z~z2l с31
где
.2
Так как
_±_1_Л 1 )= ] ( 1
■ — й \г- — г-j г-—г2/ zY — a\z—.
L/J
— a\z — z2 z — a
то дифференциальное уравнение приводится к виду
1 zdz I zdz 1 zdz i 1 zdz
Zi~a z—z\ Zi—a z—a z2 — az—z2 z2 — az — a
где
(5.34)
(5.72)
Если параметры a; Z\ и z2 постоянные, то любой член может
быть приведен к виду
zdz . . dx , ,
=(a; «,; z2) —M-«.
x
(a; ,; z2)
г- — (a; zx; z2) x
где
x=z — (a; zi; z2).
424

Интегрирование в пределах от Zo = a + bpon до z = a + bpv и от
О до t приводит к зависимости
1 / , z — z, , z — а \
z1 In a In '
zx—a\ zq — гг zq — a
1 / . z— z9 ,z — a
z2— a V zQ—z2
так как
л-=г—zL
1Ъ-
— \ [а —
J V х
zo~a
zo—a
Найденное выражение после алгебраических преобразований
приводится к виду
> /foz^\? f^±\l (_£!£1Ъ-У= _ 3lf, (5. 73)
/ \z~aj \zo~a,l \ z — zo /
где
a =; j =; \ = ; o = —^
z-2 — a
На практике, чтобы получить кривую p(t), необходимо
построить зависимость z(t), задаваясь значениями z от zo до zaa = zx
и получая отвечающую им величину t. После этого кривая z{t)
перестраивается в координатах р; t, причем используется
соотношение
(5-74)
Рассмотрим приложение найденных уравнений p(t) к решению
задачи отсечки тяги двигателя в случае, когда горение топлива
в процессе отсечки подчиняется закону u = Uipv или и = .
а + Ьр
Пример 1. Необходимо найти закон падения давления в камере сгорания при
отсечке тяги путем мгновенного вскрытия дополнительных сопел. Задачу решим
в предположении, что скорость горения не зависит от производных давления
по времени duldpt =0.
В этом случае закон падения давления может быть найден по любой
формуле p(t), взятой для любого закона скорости горения. Для этого достаточно
изменить площадь критического сечения сопел на величину площади критического
сечения дополнительных сопел А/7*, а постоянную С( подсчитать по формуле:
425

— при одночленном степенном законе горения
А\ (F* + Д/7*)2
Cl" &ъЦ ;
— при законе горения типа Саммерфильда
(5. 75)
Л\ (F* + AF*)2
с, =--= , (5. 76)
1 S2&2
а затем найти рх2, Р-
При определении параметров гв вместо начального давления (при t = Q)
следует подставить величину давления в камере сгорания до момента отсечки (р*,\).
Время переходного процесса t\ с точностью до 1%, т. е. продолжительность
спада давления от р,*,] до 1,01/7м2, может быть найдена по формулам (5.39)
и (5.73).
При проектировании узла отсечки удобнее задаться величиной рх-2, при
которой наверняка горение заряда затухнет, и, пользуясь формулой (5.75) или (5.76),
найти необходимое значение с\, а затем определить потребную величину
AF* =-- -5—1 L — F*
Для определения необходимого значения С\ (ртг) можно пользоваться
уравнением (5.33) или (5.72), положил г = 0:
где г^0= р~с,"' — при одночленном степенном законе горения;
г^,-, = а-\-bр'[г,— при законе горения типа Саммерфильда.
Тогда для С] получим формулу
где с --- (k— I) AQ;
oTVj F 1 1
c2= (k—I) A -7- — при одночленном степенном законе горения;
R S В Hj
aTVj F 1
£0= (k—1) Л — — при законе горения типа Саммерфильда.
R S Ь
Кривая уравнения спада давления в камере РДТТ в общем случае
представлена на рис. 5. 6.
Пример 2. Найти изменение параметров состояния газа в ресивере при
внезапном изменении площади отверстия истечения (рис. 5.7).
Пусть по каким-либо соображениям требуется поддерживать давление рз
в ресивере, питающимся стационарным потоком газов от газогенератора, на
любом требуемом уровне.
Обеспечение требуемого уровня давления рз достигается путем внезапного
изменения площади f3 на величину Af3. В общем случае может быть Af3=gO.
426

Параметры состояния газов в полости газогенератора (р,; Т\)
определяются по формулам для твердотопливного ракетного двигателя с учетом
теплоотдачи в окружающую среду через боковую поверхность F{ (5.47); (5.48)
где
VO F] 1 /7 ] V1
__ __ __ ___
Ри;. 5. 6.
Рис. 5. 7.
Для давления в камере газогенератора, после выхода его на режим при
1;
соотношение (5.42) при ta ■— 0:
Pli -i > р3, справедливо
\к -г •'
где
£]—tl-*\ —
w0 '
1 ^
; nz-=
-g] — -gp
4с?
v,j 1 \ F
S—поверхность горения заряда;
Wo — начальный свободный объем газогенератора;
Q — калорийность топлива заряда;
Ро — давление в камере газогенератора в момент вспышки его топлива.
427

Для инженерной практики можно принять pi=po и p\=Z\l v. Параметры
состояния газа в объеме ресивера, имеющего постоянный объем (W) и
критический режим течения через отверстия ft; f2; /з, описываются уравнениями
сохранения энергии и вещества
Q't ----U't +pW't ^(~:) . так как W't - О
\k — \]t
и
. ^4 / — Рх " '- * ' - г - Ря ' '
где
> £2> £з — коэффициенты расходов.
Для стационарного режима работы газогенератора
(О, =- з<ЛЛ, . — const; Пл —const и 7", =-const | имеем
1 I'll / fiT" У Г I 1 J
Q't=-.GlcpTl-(G2 + G3)cpT-A;
Поэтому
или
a2
A\ W
так как
С учетом тепловых потерь вследствие теплоотдачи через поверхность F2
ресивера в окружающую среду:
уравнение сохранения энергии принимает вид
A2, Vlo F2 W ,
(k - 1) x^Q =-■ * г? (е2 /2 -I" ^з/з)2^ Н*-1)-^Г-й + - Л«. (3- 77>
где о =(0,3-^-1) ккал- дм/г- сек-кг;
А =427 кгм!ккал.
428

После интегрирования и потенцирования, получим формулу
Fi i—noe-?t
где
i/T~ „ Роя — Pai
Рз (1 2) = .ui ± У l'i + К /7о "= ;
Роз — Ръъ
_ k — i _via_ /^ «i_ ^l2
"Ul " * ' Л 4 </)2 ;'"'" * X ^(
При отсутствии теплоотдачи (0 = 0) для установившегося режима работы
ресивера t^-oo при фиксированных значениях Gi; f2; (з в ресивере согласно уравнению
(5. 78) устанавливается давление
уГПГ
Если площадь f3 внезапно изменить на величину А/з, то давление в ресивере
будет стремиться к новой предельной величине
^1 Л Л
И,(е2/, -Мз/з + ЗзД/з) (/
k
При этом р3оо в уравнении (5.78) следует рассматривать как начальное
давление роз-
В этом случае относительное приращение давления составит
^2/2 -!- -з/з + -з^/з Рз~
Эту величину можно найти приближенно из уравнения, характеризующего
собственно переходный процесс. Это уравнение является результатом линеаризации
дифференциальной зависимости процесса изменения параметров состояния (5.77),
полученный в результате раскладывания его в ряд Тейлора по параметру
возмущения fa.
Для скорости изменения приращения давления, ограничившись
производными первого порядка, получим
где
dp'3t
%/2+£s/:i)5 ft—I
2, р^А ^ь
Поэтому в результате линеаризации имеем
Ар'ш + аАр3 + АД/з =- 0.
429

Интегрирование этого уравнения дает формулу
\P3---jbfsC—e-at). (5.79)
После подстановки выражений для а и Ь получим
где Го-Л— рл — предельное давление в распвере, отвечающее площади
истечения /о+/3.
Оценим погрешность приближенного решения. Приращение предельного
давления it-i-oc) в результате внезапного изменения площади на А/3 согласно
формуле (о. 79)
=- роз
Ошибка приближенного решения составит
Роз Ы2 + *1/з+*зШ&Г2 + *а/з)
Если А[з<(Ь + [з) и их величины отличаются на порядок, то ошибкой
приближенного решения можно пренебречь.
§ 12. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ РДТТ
ПРИ НАЛИЧИИ КОНДЕНСИРОВАННОЙ ФАЗЫ В ПРОДУКТАХ СГОРАНИЯ
В целях обеспечения более высокого единичного импульса в
современных ракетных двигателях применяются топлива с
металлическими компонентами. При сгорании такого топлива образуются
окислы металлов твердой или жидкой конденсированной фазы.
Наличие их в продуктах сгорания топлива приводит к снижению
уровня газообразования и нагрева газовой фазы, так как
определенная доля тепловой энергии, полученной от сгорания топлива,
аккумулируется конденсированной фазой. Это обстоятельство при
заданной площади критического сечения сопла неминуемо
приводит к некоторому уменьшению давления в камере сгорания и
увеличению расхода топлива, т. е. к снижению его к. п. д.
Поскольку конденсированные продукты сгорания (в виде
металлических окислов), в отличие от газообразных, не могут
совершать работу расширения, их присутствие в ракетном сопле
снижает эффективность преобразования тепловой энергии продуктов
сгорания в кинетическую. При этом потери энергии будут двух
видов:
— потеря тепловой энергии, объясняющаяся более высокой
температурой конденсированной фазы по сравнению со
статической температурой газа;
— потеря частицами конденсированной фазы кинетической
энергии вследствие их отставания от потока газа. Кинетическая
430

энергия конденсированной фазы представляет собой ту полезную
часть тепла газовой фазы, которая затрачивается на разгон
конденсированных частиц продуктов сгорания.
Теплоподвод от конденсированной фазы в газовую по тракту
сопла позволяет снизить тепловые потери. Для частиц
конденсированной фазы очень малого размера полезный межфазовый
теплообмен существенно1 снижает общие потери энергии. Зго
объясняется тем, что часть тепла конденсированной фазы,
аккумулированного ею в камере сгорания, благодаря межфазовому
теплообмену восполняет затраты тепловой энергии газового потока на
разгон частиц конденсированной фазы.
Непрерывный подогрев газового потока конденсированной
фазой делает течение в сопле неизэнтропическим. Процесс изменения
параметров состояния газа вдоль тракта сопла в этом случае
является комбинацией процессов, характерных для
геометрического, теплового и механического сопел.
Дифференциальное уравнение кривой давления в камере РДТТ
с учетом конденсированной фазы
Тепловое и динамическое неравновесие фаз будем
характеризовать коэффициентами Kv и AV-
Kk = ~oJv — отношение скорости частиц конденсированной фазы
к скорости газа;
Кт = Тг/Тт — отношение статической температуры частиц к
полной температуре газа в камере сгорания.
По физическому смыслу /С,- — коэффициент проскальзывания
частиц конденсированной фазы относительно потока газа, а Кт—■
коэффициент, учитывающий теплоотдачу этих частиц в газовую
фазу потока за время нх движения по соплу.
Чтобы судить о величине коэффициентов К.,, и /Ст, нужно решить
задачу течения двухфазового потока в сопле. Независимо от
совершенства схемы расчета точность результатов зависит от того,
насколько хорошо известны исходные параметры. Особенно важными
являются размер частиц, коэффициент сопротивления н вязкость
порохового газа, поскольку эти параметры непосредственно влияют
на скорость частиц. Наши сведения об этих величинах довольно
ограничены.
На практике для заданной формы профиля сопла (конфузора
и диффузора) параметры Кч и Кг могут быть найдены опытным
путем. Из опыта также может быть определена доля
конденсированной фазы в продуктах сгорания.
Для этого достаточно иметь три экспериментальные величины
единичного импульса для одной и той же модели РДТТ, имеющей
три разных длины диффузора: расчетное сопло, очковое сопло и
среднее между ними. Ниже даны уравнения, позволяющие но
опытным значениям удельных тяг вычислить коэффициенты инерциаль-
ности конденсированной фазы Kv, Ki-
431

Найденные таким образом величины этих коэффициентов могут
быть использованы при расчете и проектировании других
двигателей, но только при условии соблюдения геометрического подобия
профилей конфузорной части сопла, так как в противном случае
возможно существенное изменение закона распределения
конденсированной фазы в критическом сечении сопла, что существенно
меняет величины коэффициентов инерциальности.
Так как дифференциальные уравнения кривой p(t) одинаковые
для баллиститного и смесевого топлив, то можно приспособить для
расчета индикаторной кривой и выходных характеристик
двигателя все те уравнения § 3, которые были выведены применительно
к топливам, не содержащим в продуктах сгорания
конденсированной фазы.
Выпишем исходную систему уравнений, определяющую кривую
изменения давления в камере РДТТ:
— скорость горения топлива
и = и{р);
— уравнение состояния газов
— закон сохранения вещества
и — Gp==— ! (о. oU)
— закон сохранения энергии
Q't==U'r]rpWt. (5.81)
Здесь и(р) —закон скорости горения топлива, который
определяется природой топлива. В принципе может быть любая
зависимость и(р), важно лишь точно знать ее.
Для смесевого топлива расход продуктов сгорания
где Gr = A1F*—-~r= расход газовой фазы через сопла двига-
У #,Тоо теля;
GT — расход частиц конденсированной фазы
через сопло двигателя;
Тоо, р00 — полные температура и давление газовой
фазы на входе в конфузор сопла;
| = GT/Gn —относительная доля частиц
конденсированной фазы в продуктах сгорания
топлива*.
* Величина | находится термохимическим расчетом или определяется
из опыта.
432

Изменение объема камеры вследствие выгорания топлива
выражается формулой
W = WK - — - а'в)г+ Г Sudt,
о
где WK —полный объем камеры;
о)г — текущее количество газовой фазы в камере сгорания;
<о — полный вес топлива;
RT — газовая постоянная только газовой фазы;
а' — коволюм продуктов сгорания с учетом конденсированной
фазы.
Величина коволюма а определяется из уравнения
ae>r-f-WT —«'»>,., откуда u'=a-]
где WT — ~ объем, занимаемый конденсированной фазой.
Скорость изменения количества тепла в камере сгорания
n'-
4t~
, dQ4
at + dT^ dt ^ dt
где —*-L=GIIQJK —скорость притока тепла от сгорания топ-
di лива
^^oo_скорость оттока тепла вследствие исте-
dt чения газовой фазы через сопло
двигателя;
—^-= — ar/"4(7'00 — Тс)~ скорость оттока тепла вследствие тепло-
dt отдачи стенкам камеры сгорания;
2
=—GTI <:T7\.-j-f—l —скорость оттока тепла, уносимого части-
dt ^ ^8 ' цами конденсированной фазы через
сопло двигателя;
ст — удельная теплоемкость конденсированной фазы;
Гт; ут — статическая температура и скорость частиц
конденсированной фазы на срезе сопла.
Оставшееся количество тепла, полученного от сгорания
топлива, идет согласно первому закону термодинамики на увеличение
внутренней энергии газовой фазы продуктов сгорания
U--=<»TcvT,
00
и на работу, совершаемую ими при расширении, вследствие
непрерывного роста свободного объема камеры по мере выгорания
топлива.
433

После очевидных преобразований уравнение энергии (5.81)
сводится к прежней форме
S2 62 o-Ycm «2 5
+ (^1)^-JLJ_J1 + ^ А, (5.82)
где
b i£(l) + i=I*M]}- (5.83,
— отношение коэффициента тепловой инерции Кт в общем
случае к коэффициенту тепловой инерции в равновесном течении
Кг
т —-
k—j. .,2
Величина коэффициента Кт находится в пределах 1^-Л'т^-1~-
k — 1 . ■:
Верхний предел относится к случаю, когда частицы
конденсированной фазы покидают сопло при температуре, равной
температуре газа в камере сгорания. Нижний предел отвечает случаю,
когда температура частиц конденсированной фазы равна местной
статической температуре газа.
Таким образом, для кривой р(() справедливы все прежние
формулы (5.38), (5.70), (5.74), (5.34), (5.32), (5.46) при условии
замены в них параметра F* на Хт^*-
Тепловые потери в камере РДТТ
Температуру газа в камере сгорания Тоо и коэффициент х
тепловых потерь вследствие теплоотдачи стенкам камеры РДТТ можно
получить, если из дифференциального уравнения энергии (5.82)
исключить комплекс ^——^- , пользуясь уравнением сохранения
Sub
вещества (5. 80).
После некоторых преобразований уравнение (5.80) примет вид
GII(l-?)-Gr---Yc»Sa
или, подставляя значение Gr, получим
откуда
где Ycm -
434
A
- удельный
Sal
вес
'00
продуктов
ъ г
сгорания.
(5.84)

Полагая в уравнении (5.82) р = рж\ p't=0, что вполне
правомерно для рабочего периода индикаторной кривой — периода
стационарного горения топлива — получим
k "т г °° ' 5 о ' k Rr S ul
откуда следует
KToo = ~- AxQ —27^ гг • (7l■ S5)
Коэффициент х характеризует тепловые потерн в ракетном
двигателе на смесевом топливе
^ >2 (1 ~ =) - 1 . (о. 86)
При | = 0; Хт—1 формулы (5.85), (5.86) вырождаются в ранее
полученные выражения (5.47), (5.48) для баллиститного топлива.
Площадь критического сечения сопла
Площадь критического сечения соплового блока находят по
формулам (5.84), (5.85), исключив из них температурные комплексы:
— из уравнения сохранения энергии
k
— из уравнения сохранения вещества
— S)2 (5 — уем)2
Поскольку (RT00)i=:(RTQ0)2, можно записать
(о. 87)
где
Удельная тяга РДТТ
Зная RT00, можно вычислить удельную тягу РДТТ при наличии
конденсированной фазы в продуктах сгорания.
По определению единичный импульс, развиваемый двигателем,
равен J = P/G и представляет собой импульс, снимаемый с одного
килограмма топлива.
435

Для тяги в общем случае с учетом конденсированной фазы
справедливо выражение
Р = Р А-Р —F d
' —' гТ' t J аИн
ИЛИ
где Рт =~ г>т —количество движения конденсированной фазы
&г в единицу времени (в секунду) на выходе из
сопла;
Pr = '^z ^—Кв — полная реакция газовой фазы на выходе из
k 8 сопла;
Тогда удельная тяга РДТТ
Исключая комплекс RrT00 с помощью формулы (5.85), получим
искомое уравнение удельной тяги для РДТТ на смесевом топливе
г Т? У-т т РвРи
J /\ д -J ТС С- "^ *
Хт
При у^=/_т==1 (1 = 0) имеем формулу (5. 51) удельной тяги для
РДТТ на баллиститном топливе
где
V
B = KJK=o — относительный коэффициент реактивности,
зависящий только от конструкции сопла, Хг и
природы газов k = cp\cv;
=5им?)Ус» — тяга РДТТ с полубесконечным соплом для
пустоты;
—Y.AQ —удельная тяга РДТТ с полубесконечным соп-
g лом для пустоты без учета конденсированной
фазы в продуктах сгорания топлива;
■ , : коэффициент реактивности полубесконечного
' *2—1 сопла для пустоты.
436

Выражение для удельной тяги показывает, что ее увеличение
за счет введения металлических добавок в топливо, возможно
только при условии роста величины комплекса —- YQ . В против-
ном случае повышение калорийности топлива за счет этих добавок
приводит к ее снижению.
Если предположить, что течение газовой фазы по каналу сопла
является изэнтропическим, то величины Кг и Кт могут
рассматриваться как коэффициенты согласования с опытом. Это допущение
используется только при определении скорости газов Яг в выходном
сечении сопла (2. 6)
Fn \k-\-
i)
*-l , Л Л? — 1-2
Ниже приводится пример расчета пучка кривых удельных тяг
по предлагаемой методике в зависимости от разброса значений
коэффициентов инерциальиости конденсированной фазы (§ 13).
По данным расчета построены кривые, иллюстрирующие
относительное влияние различных видов неравновесности на величину
удельной тяги РДТТ (рис. 5. 8). Пунктирной прямой линией пока-
. нГ- сен
кг
750
2<*0
230
ПО
2W
200
190
^—*~
^—
^-—
^7 ^
^T^ 05 0,1
h-1
I
Яг
■——'
^ i ^^^^^^
___ ■
0,2
0.S
0,8
Рис. 5.8.
зано значение удельной тяги при отсутствии конденсированной
фазы (1 = 0). Верхняя сплошная кривая показывает изменение
удельной тяги при соблюдении полного температурного равновесия
К —1 ._ k ~~ 1 Хг, нижняя кривая — при отсутствии температур-
ного равновесия (/(т = 1,0).
Из рассмотрения кривых /(/С-) следует, что уменьшение
удельной тяги при | = 0,17 по сравнению со случаем отсутствия
конденсированной фазы (|=0) составляет примерно 5%. Полное
отсутствие температурного равновесия снижает удельную тягу для всех
Kv(0-^-1,0) также примерно на 5%-. При наличии теплового равно-
437

весия полное отсутствие кинетического равновесия (/(,,=0)
уменьшает удельную тягу примерно на 16,5% и при отсутствии теплового
и кинематического равновесий — примерно на 20%.
Как видно из рисунка, наличие неравновесности фаз
существенно снижает удельную тягу РДТТ. При наличии полного
равновесия, что возможно при малом размере частиц (не больше 1 мк),
потери удельной тяги будут наименьшими. Однако вероятность
осуществления полного теплового и кинетического равновесия
мала, так как средний размер частиц конденсированной фазы в
камерах современных РДТТ составляет примерно 10-: 30 мк. Поэтому
следует ожидать, что наиболее вероятные значения коэффициентов
неравновесности фаз лежат в пределах: 0,5</\„<1,0; 0,5</Ст<1,0.
§ !3. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ВЫХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РДТТ
К ИНЕРЦИИ КОНДЕНСИРОВАННОЙ ФАЗЫ ПРОДУКТОВ СГОРАНИЯ
Стремление получить высококалорийное топливо,
обеспечивающее значительно более высокий единичный импульс по сравнению
с баллиститпым, привело к введению в его состав различных
металлов. Образующиеся при сгорании такого смесевого топлиза
окислы металлов пребывают в жидкой или твердой фазе. Поэтому
характеристики РД на смесевом топливе весьма чувствительны
к тепловой н механической инерциям конденсированной фазы.
Наличие конденсированной фазы в продуктах сгорания
приводит к снижению газообразования и полезного тепловыделения
с каждого килограмма топлива, так как определенная доля
тепловой энергии уходит на ее нагрев. Это обстоятельство при
фиксированной площади критического сечения сопла неминуемо приводит
к некоторому уменьшению температуры и давления газовой фазы
в камере сгорания, т. е. к снижению к. п. д. двигателя.
В целях наглядности анализа влияния инерции
конденсированной фазы на удельную тягу ракетного двигателя решим числовой
пример ее расчета для произвольно взятого топлива и при
различных значениях коэффициентов Kv и /Ст, характеризующих инерцию
конденсированной фазы.
Пример.
Исходные данные:
а„ --=
рх=
<?----
k =
Kv =
Кг - 1
17,29 кг/сек;
100 ат = 10* к/;,
1177,5 ккал/кг;
1,29
кГ
335 —/кг-г рад.
1,0; 0,8;
/С 1 . 9
/г + 1 'Ч'
XU2;
0,6:
; о
и,
; о.
.5;
£ =
DO =
=
6 =
4; 0,2; 0;
0,7; 0,9; 1,
0,17;
120 дм1'-;
0,0403 + 5,07
0,091 дм, сек;
1,6 кг;дмЪ;
144 дм\
0;
дм
438

Последовательность расчета показана для одной комбинации из коэффн-
fe, ]
циеитов Kv — 0,4; /fт = 1— а2.
k+ i
Расчет коэффициента у^ по формуле (5. 83)
■£= 1,2048 [1 + 0,2048 (0,2613 + 0,1032)] = 1,2048-1,0746 = : .2947.
Коэффициент тепловых потерь по выражению (5. 86)
1,414-0,(35-1-2-КН 1,29-1(Н-0,074в
1 ~ ~ 335,3-0,091-1,6-1177,5 0,29-4270-1,6-1177,5 ~
-- 0,9433 + 0,0009 --' 0,9442.
Температурный комплекс газов в камере сгорания по формуле (5.85)
0,29-4270-1177.5-0,9442
1,29-1,2947-0,0889
дм.
Площадь критического сечения соплового блока без учета конденсированной
фазы при Xi = 1 определяем из формулы (5. 46)
6,6-104
Площадь критического сечения с учетом конденсированной фазы при '
Хт = 1,2947 определяем по формуле (5.87)
120-0,091-1,5891 1/ -^--4270-0,9442-1177,5
F* = i = -=0,2540 дм\
6,6-104 у 1,2947
Наличие конденсированной фазы уменьшает необходимую площадь
критического сечения на 4,89 см2 или приблизительно на 17%.
Единичный импульс РДТТ (без учета противодавления)
"У о "j "j
J = KBJ°° = ^B-;Li~ =.0,83 1,0793 = 244,82 кГ-сгк[кг\
7.т 1,138
Где
— yAQ =311 ^~^- ; -,, = 1,0793;
8 ' Кг
Хт = 1,138.
С учетом противодавления
J ~j — -5-^i- = 244,82—13,5 ■= 231,32 кГ-секЫг.
Sub
Значения параметров RTm и Ja для других комбинаций коэффициентов
Кч, характеризующих неравновесность фаз, представлены на рис. 5. 8.
439

Относительный коэффициент реактивности сопла в формуле для /
определяется следующим образом:
Ка ,^.
где Кк — коэффициент реактивности сопла (2. 19)
Л'в- 7л[1 + Х2(Кв.„-1)];
Кв.и — коэффициент реактивности идеального сопла
Кв.и -0.5(лв.и + А-');
Ян.и — относительная скорость на выходе идеального сопла
лв.и = f г/а*;
Xi =0,98;
/Соо — коэффициент реактивности полубесконечного сопла получается, как
теоретический предел величины Кв.п
при
у я
Влияние вязкости газа, обусловливающей появление силы сопротивления,
действующей на частицы конденсированной фазы и ускоряющей их, как и
влияние теплопроводности газа при межфазовом теплообмене, учитывается
коэффициентами Kv и Kt.
Поскольку расчет газодинамических параметров сопла основывается на
теории одномерного течения газа, вводится коэффициент (2. 20)
hi(l+tg?6)
7 9 ^^ f
учитывающий потери от радиального расширения газов в сопле (0 —угол
полураствора конической диффузорной части сопла). При 0=12° величина %2 = 0,973.
Так как течение газовой фазы в сопле принимается нзэитропическим, то
относительную скорость газа на выходе из сопла можно рассчитать по формуле
(2.21)
/—■
Роо
где п — коэффициент нерасчетности сопла.
__ Рв— Ра
Ра
Ра — давление атмосферы.
440

В данном примере сопло берется расчетным (п=0), поэтому Я,г=2,257.
к+к1
Тогда К„м=^ = 1,3о;
АСВ = 0,98 [ 1 + 0,973(1,35=-- 1)]--- 1,3137;
1,29
Ко« =-. у =- 1,583;
— 1,3137
в " 1,583
=.0,83.
Относительный коэффициент реактивности сопла Ки существенно зависит
от показателя адиабаты k, что неминуемо сказывается на величине удельной
гио
тяги. Поэтому при расчете выходных характеристик РДТТ очень важно знать
точное значение k. Характер изменения величины удельной тяги РДТТ в
зависимости от величины параметра k показан на рис. 5. 9.
Коэффициент, характеризующий относительный прирост удельной тяги РДТТ
за счет разгона конденсированной фазы, вычислен по формуле (5. 88)
0Д7 1^29 0,4-2,257
0,83 2,29 1,3137
В действительности, как упоминалось выше, непрерывный подогрев газового
потока конденсированной фазой делает течение газа неизэнтропическпм. В
результате безразмерная скорость газового потока Хт на выходе из сопла
оказывается несколько ниже расчетной. Неточность определения величины ^г в данной
методике расчета выходных характеристик РДТТ учитывается через коэффициент
Хт, который можно рассматривать как коэффициент согласования с опытом.
§ 14. ТЕЧЕНИЕ ДВУХФАЗОВОГО ПОТОКА В СОПЛЕ И РАСЧЕТ
ВЫХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РДТТ НА СМЕСЕВОМ ТОПЛИВЕ
Решение этой задачи, изложенное в § 12 и 13, содержит
принципиальное допущение об изэнтропичности течения газовой фазы
продуктов сгорания по каналу «шла. Выведем рабочие формулы
для расчета выходных хаарктеристик РДТТ при более строгом
учете неизэнтропичности течения двухфазового потока. Искомое
441

решение поставленной задачи построим на обобщенном уравнении
Бернулли (1.15), представляющем собой выражение сохранения
механической энергии газового потока, и законе сохранения энергии
в целом для продуктов сгорания (1.17). Согласно последнему
закону, записанному для равновесного состояния фаз в камере
сгорания, имеем
d pW , dW
+ />
или в отличие от § 12, введя обозначения ^ = GTjGT и ср = ст1ср,
получим
^\ л
Из уравнения сохранения вещества для стационарного периода
работы двигателя (p't = 0) Gn=Gr + GT + S\u<x расход газовой фазы
продуктов сгорания
1 + £ 1 + ?
где Gn^=5H«o.
Тогда из уравнения сохранения энергии при p't =0 температура
продуктов сгорания
) 1±J (5 89)
Учитывая, что \iy' =SUoo, a y«8 и ^ — <^(^— 1) ^Q^., диффе-
ренциальиое уравнение кривой индикаторного давления в камере
сгорания приводится к известному виду
1^ 1 Л av
R
~с
1
А
р* \
/=• 1
S s
■С 2
^ !
и
с3
Л?!
и
l2/r*2
5252
где
и — вес заряда.
Решение этого уравнения было изложено выше (§§ 3, 4 и 11) для
широко известных квазистатических законов горения твердого
топлива и(р):
u = ulpv; u==al-\-blp; u==-
a+bp"
Ail

При допущении, что полная температура газовой фазы в
выходном сечении сопла равна температуре продуктов сгорания в камере
двигателя (^Гов = ^?'оо) для удельного импульса получим формулу
_2_ yAQ k+l^= - -££*-, (.5. 90)
где
Ph — давление окружающей среды на высоте h; у Земли ри = Ра-
Без учета межфазового энергетического обмена площадь
критического сечения сопла
y.-.= 'V V ^:~ . (5. 91)
Ниже будет показано, что в результате межфазового
энергообмена наименьшая площадь поперечного сечения канала сопла
и удельный импульс несколько изменятся.
Коэффициенты инерциальности конденсированной фазы (Кт\
Кл), характеризующие неравновесное состояние твердой и газовой
фаз, влияют на скорость и параметры состояния фаз в канале
сопла. Попущение о изэнтропическом процессе расширения газовой
фазы было вынужденным в целях упрощения расчета размеров
сопла для заданного значения удельного импульса.
Несмотря на принципиальность этого допущения большой
ошибки не будет, так как межфазовый тепловой обмен в
значительной степени компенсирует расход тепловой энергии газа на
разгон конденсированных частиц продуктов сгорания. В
результате этого не следует ожидать большого отклонения фактического
процесса изменения параметров состояния газа от идеального, т. е.
адиабатического. Ошибка в величине удельной тяги двигателя
в этом случае исключается соответствующим выбором значений
коэффициентов Кт\ Kv или |.
Более практически приемлемое решение задачи определения
скорости течения продуктов сгорания в сопле получим из
обобщенного уравнения Бернулли (1.15)
где w= удельный объем газовой фазы продуктов сгорания;
Y
dLM — механическая работа газа, затрачиваемая им на
разгон конденсированной фазы.
443

При постоянном значении параметров %i\K.v величина dLM равна
приращению кинетической энергии конденсированных частиц
продуктов сгорания
Поэтому обобщенное уравнение Бернулли приводится к следующей
интегральной форме:
^—^ \ wdp.
Аналитическую зависимость квазистационарного процесса
изменения параметров состояния газовой фазы w(p) при движении
ее по каналу сопла найдем из уравнения сохранения энергии (1. 17)
(v) + tKT^(r) + p^- = Q, (5.92)
так как Q = zcT(Tao—TT); Тт = КтТ и Q't = —
В уравнении (5. 92) теплообмен продуктов сгорания со стенками
сопла можно учесть соответствующим выбором величины Кт-
п
Так как cv= и RT = pw, то уравнение закона сохранения
k — 1
приводится к виду
KTpwyt + pw- = 0, где "cv=c\cv.
k—\
Откуда после интегрирования и потенцирования получим
искомую функцию w(p):
w = w01 —
где п = ^ показатель политропы.
1 + ZKTC
Нетрудно заметить, что n<k. Физически это неравенство
объясняется непрерывным подогревом газовой фазы со стороны
конденсированной и указывает на то, что фактический процесс течения
сопровождается меньшим падением температуры газа по
сравнению с ее изменением при адиабатическом процессе.
444

При найденном политропическом процессе течения скорость
газовой фазы продуктов сгорания в любом сечении одномерного
потока определяется по формуле
1 -f zK2
где a2— ^- — коэффициент межфазового энергообмена в
1 + (cv —- продуктах сгорания при их движении по
k каналу сопла.
Учитывая, что для относительно малых скоростей на входе
в конфузор сопла (и0) можно принять
окончательно получим
v-=-^-x j^HT, \\-[-±-\" | , (5. 93)
где
,,2
В безразмерном виде формулу (5.93) можно записать так:
я—1
где
. а = —; а2
ft— I a'
Решая последнее уравнение относительно р, найдем изменение
давления в сопле в зависимости от скорости газовой фазы
Проведем качественный анализ полученных зависимостей
X (/7; а; п.; k) и /7 (А; а; П; к).
п
Как нетрудно показать для справедливы соотношения
И i
п—\ k—\\ ' v k ) k—\ a2
445

При отсутствии теплоподвода к газовой фазе (Кг =
т. е. при разгоне твердых частиц параметры состояния газа
изменяются в соответствии с уравнением изэнтропы. В случае чистого
теплоподвода (Kv — 0) имеем
1 + ZevKr ' n—l k—l'
Это означает, что процесс изменения состояния газа сдвигается
в сторону изотермического п=1; ■ = оо).
\ п ■— 1 /
При теплоотводе соответственно будет
1-5?.^
,- Кг ] — c,Kt<-'v п — 1 k— '
Эти формулы указывают, что процесс изменения состояния
газового потока при наличии в нем холодной конденсированной фазы
сдвигается от адиабатического в сторону, противоположную
изотермическому процессу, т. е. в направлении к изохорическому
л==оо; —— = 1) . Оценим количественно параметры а2 и п. На
л — 1 I
практике продукты сгорания смесевых топлив могут иметь
В этом случае для £=1,25 получим
а2 = 1,П; л= 1,235; —^-=1,048
л—1 k—l
Из уравнения сплошности течения газовой фазы Fqv = const найдем
связь скорости К и площади поперечного сечения канала сопла F:
£-
Я
Исключая с помощью уравнения политропы q*/q, получим
k — 1 "
„ о-:
F = F\ -± *±±-l _ , (5. 95)
k+ 1
где q* — массовая плотность газового потока в сечении сопла, где
для случая адиабатического истечения скорость газовой
фазы равна местной скорости звука (Х=1).
446

Покажем, что скорость газового потока (v* = a*) установится за
наименьшей площадью сечения канала сопла, т. е. в диффузорной
части сопла. Определим наименьшее значение функции ^(а; К; n;k)
к — 1
JLT-I a2}
а У
2}2 __
Откуда следует
при п ^k; /.,„<1.
Подставляя найденное значение Хт в уравнение (5.95), найдем
наименьшую площадь поперечного сечения канала сопла
н+1
Площадь Z7! можно найти из уравнения сплошности течения
газовой фазы
Учитывая, что у* —У-П — а2) ; p<*=\™RT^, a также вы-
ражения для а* и F" (5.91), получим
1 , 1
k+
я —i
Площади F\ и F*m практически равны. Так, при а2 = 1,11; п =
= 1,235; А = 1,250 имеем F*m\F\ = 0,985.
При этом отличие безразмерных скоростей газовой фазы
продуктов сгорания, взятых соответственно по месту Fm и F\, будет
более заметным и составит порядка 8% (Хт = 0,920).
Для вычисления площади выходного сечения сопла,
реализующей потребный перепад давления (рв/Роо), удобно пользоваться
формулой
и -л
447

Если исключить F*u то формула (5.95) примет вид
Влияние расширения газового потока в сопле учитывается с
помощью уравнений (2.19) и (2.20).
В выходном сечении сопла полная температура газовой фазы
продуктов сгорания определяется соотношением
ЯТОа = ^— = RT „ ^т^, (5. 96)
1 Х
Ik 1 з\
где RTn-= RT*. \\ а'2Ав' — статическая температура газовой
\ k~\- \ I
фазы в выходном сечении сопла.
Из формул (5. 96) и (5. 94') следует, что в данном конкретном
случае (£=0,2; К0 = Кт = 0,9; с„=1/3) полные температура и
давление газового потока по длине сопла убывают и достигают
наименьшей величины в выходном сечении сопла.
Вследствие этого формулы для удельной тяги (5. 90) и площади
критического сечения сопла (5.91), найденные без учета
межфазового энергообмена должны быть скорректированы следующим
образом:
г 1 Ч- ЧКу а^_ -, , FHpB _ Fnph
и — , , » в Г г; п 1
1/1
2 / J/ ft + 1 и-1
где Хв(^; п\ а); /-'„(я; ^; а); a* (k; Г»); pB(^; ^' а)-
При а —1; « = й имеем F*i = F*m = F*; J = Jn.
Для приведенных выше значений (а2 = 1,11; А = 1,250; га = 1,235)
величина ssl,14, т. е. Fm^>F*.
Таким образом, межфазовый энергообмен в продуктах сгорания
смесевого топлива приводит к некоторому увеличению площади
критического сечения сопла по сравнению с ее величиной для
изэнтропического течения (5.90).
448

Параметры состояния политропического потока
Выше были получены формулы для трех характерных площадей
канала сопла F"m; F"l; F'\ величины которых связаны неравенством
Площади F т и F[ определены с учетом межфазового
энергообмена (а>1; n<^k) и относятся к соплу для политропического
истечения продуктов сгорания смссеного топлива. Так как F" <^
<^Fm, то площадь F" относится к другому соплу, найденному
без учета межфазового энергообмена (а—1; k = n), т. е. из
условия адиабатического (fc —я) течения газа продуктов сгорания по
каналу сопла. В этом случае площадь будет наименьшей
(F*m = F* = F\) и критической {a* — vm — vx). При наличии же
межфазового энергообмена, т. е. в случае политронического потока,
скорость газа продуктов сгорания достигает величины
критической скорости адиабатического течения (а*) лишь в диффузорной
части сопла по месту площади F\. По месту наименьшей
площади канала сопла {Fт) скорость газа продуктов сгорания
1 Гп
ът=—1/ -
а у п
-1 А+1 . ^ ,
+ 1 k— 1
Определим площадь сечения канала сопла, где скорость газа
продуктов сгорания смесевого топлива с учетом их межфазового
энергообмена достигает скорости звука
-а^), (5.97)
Решая уравнение (5.97) относительно а, получим
,2 , i и
где ка^=а1\а г
Подставляя выражение к2а в уравнение сплошности двухфазового
потока, получим связь между площадями F* и искомой Fa:
Совместное решение уравнений для Fn и F*m приводит к
зависимости
13 3058 449

При а2=1,11; £=1,25; л = 1,235 имеем F*m = 0,99 F*a; F*a =
= 0,995 Fl.
Таким образом, при конкретном политропическом процессе
течения продуктов сгорания критическое сечение сопла (Fa)
лежит, так же как и Fu в диффузорной части; Fm<^Fa<^F\. Для
практических расчетов диффузора сопла ракетного двигателя на
смесевом топливе в качестве исходной площади удобно взять
наименьшую площадь (F*m).
В этом случае уравнение сплошности политропического течения
продуктов сгорания смесевого топлива принимает тот же вид, что
и для адиабатического процесса их расширения (см. стр. 35, 40)
F
F"'
1
п—г
m-—^
где
Ът у л — 1 k+l
Для абсолютных скоростей фаз продуктов сгорания будут
справедливы формулы
а у л+1 k~\
Параметры состояния политропического потока вдоль канала
сопла также могут быть определены по формулам адиабатического
течения газа при условии замены в них показателя адиабаты
Пуассона (k) показателем политропы (и)
Р=РЛ) x
П — 1 Г2\"—1 (, П
л+1/ \ л
П — 1 Г2\"—
+ 1
л+1
Таким образом, уравнения газовой динамики политропического
потока являются обобщенными и могут быть использованы для
расчета сопел ракетных двигателей на смесевом топливе.
450

Проведенный анализ процесса течения продуктов сгорания
смесевого топлива показал, что этот процесс является
политропическим (п</е), смещенным в сторону изотермического
(я=1). Для этого процесса течения критическая площадь
{F*a) не совпадает с наименьшей (fm) и лежит в дифсрузорной
части канала сопла {Fl^> F*m). Наименьшая площадь поперечного
сечения сопла (fl), найденная для политропического процесса
течения продуктов сгорания в отдельных случаях, может быть
существенно больше критической площади поперечного сечения
адиабатического потока газа (F*).
Пример. Определить для двухфазового потока с учетом непрерывного
энергообмена в нем характерные размеры сопла и единичный импульс гипотетического
ракетного двигателя, имеющего следующие исходные данные:
S = 120 дм2; о ..= 1,6 кГ\дмР-\ k = 1,25;
к кал — 4
F=144d^2; Q =- 1150 ; со = Т7:
кг р 15
= 7000 кГ/дм» а == 0,39 ^^ ; А =
кг-г-сек ккал
и„ = 0,075 дм\сек; v2 =-- 0,65;
^^ = 0,2;
кг-г
А: = 6,5 дм1!2/сек; Кт = Kv =- 0,9;
pK = Ph = 70,0 кГ/дм?; 7V^-^-.
Размеры сопла и единичный импульс двигателя
без учета межфазового энергообмена
в продуктах сгорания
Коэффициент тепловых потерь в двигателе (5. 48)
(OV, F р \
1-— -^-1 = 0,955.
RQ S Ucob)
Температурный комплекс продуктов сгорания в камере двигателя (5. 89)
RTco =^^-x-4Q i^—s 1,06-106 дм.
Расход продуктов сгорания через сопло
Gnoo = S«coS = 14,4 кг/сек.
Площадь критического сечения сопла без учета энергообмена (5.91)
F* = — = 0,272 дм\
1 + £ А
15* 451

Безразмерная скорость газовой фазы в выходном сечении идеального
расчетного сопла
ft—I_
-£"—) --.= 2,32,
f \ />~ /
где
1 fk + г о
Лео = I/ = 3.
Коэффициент реактивности идеального сопла
Коэффициент реактивности сопла с учетом потерь в нем осевой скорости газа
Кг =■ Xi [ 1 + Х2 (Кв.и — 1) ] =-- 1,33,
где
7.1 =- 0,98; х2 ^ " SeC --0,97; 8-= 12°.
Фактическая скорость потока газа а выходном сечении сопла
;-1-2,21.
Уширение диффузора сопла, реализующего потребную скорость Хв при изэи-
тропическом течении газовой фазы:
1
2 kl
= 10,5; FB -= vBF* = 2,85 (3^2.
1
А—1.
k+ 1
2 I
в. и]
Единичный импульс двигателя без учета межфазового энергообмена в
продуктах сгорания при их движении по каналу сопла
k 4- 1 FKPh кГ-сек
^241
где
452
ab ,_, -^- -= 1,66; KB == — = 0,796; К„ = 5/3.
А в ^ °°

Размеры сопла п единичный импульс д в и г а т е л я
с учетом м е ж ф а з о в о г о энсргообмспа
в продуктах сгорания
Площадь поперечного сечения сопла, где скорость газовой фазы
2ft
А --
1
V
к"х I к —
f ,___ р* i _г_ ] ! _ _.. : а2 ) -_. 1 09 F* = 0,296 дм*,
1 1 t~ i 1 I \ t-.il •
где
Минимальная площадь поперечного сечения канала сопла
1 i
„-0,292
I /
V k+l п-\ \ '2
Площадь поперечного сечения капала сопла, где скорость газовой фазы
достигает местной скорости звука v = a= у kgRT:
Л-i-l II- I
- 0,294 дм2.
Безразмерная скорость продуктов сгорания и выходном сечении идеального
расчетного сопла (pn — pi,)
г,_ 2,18.
р-
Коэффицпепт реактивности идеального сопла
/Св.и= °'Н 2 "'" -1'32-
Фактической коэффициент реактивности сопла
Фактическая безразмерная скорость в выходном сечении сопла
Безразмерная скорость в наименьшем сечении сопла
0,92.
л-1-.l fe—1
15** 3058 453

Потребное уширенио сопла для реализации скорости *,„.„
где
Площадь выходного
ч
сечения
( 2
л
Л
в X
сопла
■lJ
— 1
+ 1
в
т
1
—1
\*
■2,
)"
28.
1
—1
г- = '.«.
Г2
0,75 KV\KT
Рис. 5. 10.
Единичный импульс двигателя с расчетным соплом (рв=рЛ)
j
где
у;
^ 10 850
А+1
Изменение единичного импульса двигателя в зависимости от величин
коэффициентов инерциальности фаз Кт; Kv представлено на рис. 5. 10.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ал ем асов В. Е., Теория реактивных двигателей, Оборонгиз 1962
2. БаррерМ., ЖомоттА., Вебек Б. Ф., Ванденкеркхов'е Ж
Движение ракет, ИЛ, 1959. F '
3. Баррер М., Жомотт А., Вебек Б. Ф., Ванденкеркхове Ж
Реактивные двигатели, Оборонгиз, 1962.
4. Куров В. Д., Д о л ж а н с к и й Ю. Н., Основы проектирования
пороховых ракетных снарядов, Оборонгиз, 1961.
454

5. Кутателадзе С. С, Основы теории теплообмена, Машгиз, 1962.
6. Н и к о л а е в Б. А., Термодинамический расчет ракетных двигателей,
Оборонгиз, 1960.
7. Орлов Б. В. и М а з и н г Г. Ю., Термодинамические и баллистические
основы проектирования ракетных двигателей на твердом топливе,
Машиностроение, 1964.
8. Сполдинг Д. Б., Основы теории горения, Госэнергоиздат, 1959.
9. С течки н Б. С. и др., Теория реактивных двигателей, Оборонгиз, 1958.
10. Уйм пресс Р. Н., Внутренняя баллистика пороховых ракет, ИЛ, 1952.
11. Феодосьев В. И. п Синя рев Г. Б., Введение в ракетную технику,
Оборонгиз, 1960.
12. X е м ф р е с с Дж., Реактивные двигатели и управляемые снаряды,
ИЛ, 1958.
15***

Глава VI
РЕГУЛИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ТЯГИ РДТТ В ПОЛЕТЕ
ПО ВЕЛИЧИНЕ И НАПРАВЛЕНИЮ
Рассмотрим некоторые способы регулирования вектора тяги.
Отвод продуктов сгорания из критической области сопла в стороны
позволяет менять вектор тяги по величине и направлению,
сохраняя давление в камере сгорания. При симметричном отводе газов
в стороны вектор тяги меняет только свой модуль. Несимметричный
отвод изменяет модуль и направление вектора тяги, поэтому
позволяет по любому наперед заданному закону менять траекторию
полета ракеты.
Использование косого среза на выходе диффузора сопла в
основном позволяет менять только направление вектора тяги, так
кяк в зоне косого среза возникает поперечная составляющая тяги.
При вращении сопла вокруг своей оси вектор этой составляющей
также вращается, но в плоскости, перпендикулярной к оси сопла.
При изменении площади косого среза вектор тяги меняет свое
направление и величину. Однако при этом изменение модуля
вектора тяги будет небольшим.
Вдув газа в диффузорную часть сопла образует боковую
составляющую тяги при ничтожном снижении се модуля. Поэтому
этот способ регулирования вектора тяги позволяет эффективно
управлять направлением полета ракеты.
Существенное и экономически эффективное изменение величины
тяги двигателя можно получить только путем регулирования
критической площади сопел ракетного двигателя.
§ 1. ИЗМЕНЕНИЕ СИЛЫ ТЯГИ РДТТ ПРИ ПОМОЩИ ГАЗООТВОДНОГО
УСТРОЙСТВА
При симметричном отводе газа в стороны из сопла двигателя
достигается изменение его силы тяги по величине. Несимметричный
отвод порождает боковую составляющую тяги, т. е. позволяет
менять вектор тяги.
В критическом сечении сопла плотность потока наибольшая,
поэтому газоотводное устройство заданной эффективности, располо-
456

женное в критическом сечении сопла, будет наименьших размеров.
Чтобы сохранить устойчивый режим горения твердого топлива и
необходимую величину давления в камере сгорания двигателя,
газоотводное устройство размещают, не нарушая расчетной величины
площади критического сечения сопла (рис. 6. 1). Во избежание
боковой составляющей тяги двигателя, возмущающей ракету в
полости тангажа или курса, боковые каналы в стенках сопла
располагают строго симметрично.
На практике газоотводное устройство рассчитывается для
заданного диапазона регулирования силы тяги, величина которого
определяется нижним пределом ее значения.
А-А
Рис. 6. 1. Схема размещения газоотводного уетройства в
критическом сечении сопла
В общем случае тяга двигателя Р„. согласно уравнению (2. 108)
при наличии на сопловом насадке газоотводного устройства с
учетом атмосферного давления ра для dLjdi^O выражается формулой
P,=-aR-FR7p:r (6. 1
Для регулируемой тяги двигателя зависимость (6. 1)
справедлива лишь при отсутствии перерасширсния потока в днффузорной
части сопла. Наличие персрасширения потока усложняет
определение силы тяги двигателя вследствие возможного появления скачка
уплотнения и прежде всего из-за трудности расчета его
местоположения в сопле.
Для конструктивной характеристики газоотводного устройства
а имеет формулу (2. 130):
Коэффициент реактивности потока в диффузорной части сопла
ограничен пределами 1^К^КВ. Нижний предел (К=\) отвечает
случаю, когда весь газ отводится в стороны газоотводным
устройством в критическом сечении сопла (сг=О); верхний — когда
газоотводное устройство не работает (ст=1). Величина коэффициента
реактивности потока на выходе из боковых каналов газоотводного
устройства Ко — Кв зависит от их формы и подсчитывается по
формуле (2.19). Так, для расширяющейся формы бокового канала
457

/<б>1; при отсутствии у бокового канала диффузора Кб^Х^ =0,98.
Предельное давление в камере двигателя Роо=ри приблизительно
равное полному давлению, определяется формулами (5.40) или
(5.68). При расположении газоотводного устройства в
критическом сечении сопла в формулах (6. 1) и (2. 130):
б^К6 и
Изменение площади поперечного сечения потока FS1, в котором
статическое давление равно атмосферному, ограничено пределами
F*<FBa^FB. Нижний предел -FB* имеет место при ст=О; верхний —
при (т=1. Фактическое значение FBX определяется по формуле (2.6)
2 \»-1
— 1 с, \'>-1
Совместное решение уравнений
* *
"^ [ ' \ ) —полное давление в диффузоре сопла
'^k8 V ■i / с газоотводным устройством;
роо = —-^— /— ) ^рх — полное давление в диффузоре сопла
F*kg \ 2 / ge3 газоотводного устройства;
GGt=3mG— расход газа через диффузор сопла
с газоотводным устройством
приводит к зависимости /70«= —— атрос. При отсутствии
тепловых потерь а* = а*.
Для изэнтропического процесса истечения газа рОа и ав, связа-
k
1 Хва) . Отсюда следует, что
k + 1 /
458

Условие отсутствия перерасширения потока в диффузоре сопла
(рв^Ра) вследствие отвода газа в стороны определяется
уравнениями:
О -
Учитывая, что FB% = Fs и ХВ1 = ХВ при п ~^> 0, получим
Знак величины п определяет принципиальное различие в
расчете размеров газоотводного устройства.
При п^О расчет размеров газоотводного устройства заданной
эффективности ат имеет следующий порядок;
1. Доля газа, вытекающего в атмосферу через диффузор сопла:
Кв — «Кб COS ф
2. Относительный удельный расход газа через боковые каналы,
имеющие достаточное притупление острых кромок на входе,
определяется по формуле (2.117). Для газоотводного устройства,
расположенного в критическом сечении сопла:
ft-И Р±}_
b = (~-J{k~l)h~^^-cos2A Ш~~1) 7 Для ф<90°;
1 cos2 Л / для
3. Наименьшая площадь каждого ряда боковых каналов в
соответствии с уравнениями (2.122); (2.123):
При п<0 и отсутствии скачка уплотнения в диффузоре размеры
газоотводного устройства рассчитывают методом
последовательного сближения результатов. В первом приближении величину ат
вычисляют по формуле (6.3). По найденному значению ат
определяют ХВа и К, пользуясь формулами (6.2) и (2.19). После этого
по формуле (6. 3) уточняют величину ат и вновь определяют К-
Зная К и АВс( по формуле (6. 1) определяют силу тяги двигателя.
При проектировании газоотводного устройства параметры Кб,
%. т и •ф обычно выбирают из конструктивных соображений; вели-
459

чины а, а, К и FBv определяют расчетом в зависимости от заданного
предела величины ат.
Пример расчета газоотводного устройства для изменения
величины силы тяги ракетного двигателя изложен в § 11 гл. II.
При несимметричном отводе газа, определяемом разницей
площадей поперечных сечений диаметрально противоположных
боковых каналов в каждом ряду А/7,-, при суммарной их площади F,-,,
поперечная (боковая) составляющая тяги
P!/ = (ayR*--mF6pa) —A,
где
§ 2. РЕГУЛИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ТЯГИ РДТТ ПРИ ПОМОЩИ
КОСОСРЕЗАННОГО СОПЛОВОГО НАСАДКА
Теория течения стационарного газового потока в зоне косого
среза сопла изложена в § 3 гл. II.
При отсутствии перерасширениого потока в зоне косого среза
поперечная составляющая тяги согласно рис. 2.2 находится по
формуле
Параметры Ко и tg Aip могут быть рассчитаны с помощью
таблицы 2. 3.
Поперечная составляющая тяги действует перпендикулярно оси
сопла и лежит в плоскости, проходящей через его ось и вершину
косого среза диффузора.
Если в зоне косого среза поток неперерасширен, т. е. в сечении
2—2 (см. рис. 2. 2) избыточное давление больше нуля, осевая
составляющая тяги
где R* — полная реакция потока в критическом сечении кососре-
занного сопла.
Центр приложения поперечной составляющей тяги Ру
находится на расстоянии х (см. рис. 2.3) от оси сопла и сдвинут в
сторону к вершине косого среза, т. е. лежит в центре эллипса (О'),
образованного косым срезом.
Создание поперечной составляющей тяги в нужной плоскости
управления достигается вращением управляющего сопла вокруг
собственной оси. В период доворота сопло обычно выключают,
чтобы снять ненужные возмущения для ракеты.
460

Проекция полной реакции потока
на плоскость косого среза сопла
Практические задачи, связанные с учетом эффекта расширения
газового потока в косом срезе, обычно сводятся к определению
величины проекции полной реакции потока (или ее импульса) на
плоскость косого среза (например, турбореактивные снаряды,
газовые тормоза артиллерийского орудия и т. д.): /?2 cos (г|^ + Лг|-).
На практике искомую проекцию реакции удобно вычислять
через полную реакцию потока на входе в зону косого среза (Ri = KiR*)
или на выходе из нее (Rn = K0R*):
#2 COS (■{-+ Д'!-) = Щ,д COS -| = Rfy COS 6.
Отсюда следует, что
^ = eo^±Ai)=1_tg^tg ,i = ^_
По физическому смыслу параметр t, представляет собой
отношение проекции векторов R2 и Ro или R2 и /?] на плоскость косого
среза. Если поток стационарный, то проекции импульсов сил R2,
Ro и R{ будут связаны между собой соотношением:
J2 COS (JJ -f Лу) = Л:0 COS 'Ь== Jfy COS i>,
где
Для нестационарного потока эта связь будет справедлива, пока
статическое давление на выходе из зоны косого среза будет больше
или равно окружающему, так как только в этом случае параметры
/\'о, Ki и Ai|) остаются неизменными. Эти параметры подсчитывают
по уравнениям (2.6), (2. 19) и (2.30) или берут из табл. 2.3.
Предельное значение функции |0 при Дгр = 0 (г|: = 90°); Д'о>1
выражается формулой
;ск =
,Ло~- [k— (к— 1) /\Vc
где
л0 = Ко -\- \ Ко — 1.
Для цилиндрического насадка (/Со=1; Ло=1) после раскрытия
неопределенности по правилу Лопиталя предельное значение
коэффициента ' |о будет равно lOx = k/(2 + k). Таким образом, для
°0 параметр |0 ограничен пределами |о«><|о<1.
461

Пример. Найти турбореактивный момент с учетом эффекта расширения газа
в косом срезе.
Обычно момент М, направленный вдоль оси снаряда, вычисляют по формуле
где
! 2 У
Я:— (1 -f/с) ( -I K\ Fl ре» —полная реакция потока на входе в зону
\& + '■' косого среза;
•у — 90° — Ь—угол наклона сопла к оси снаряда;
d\ — расстояние между соплами по месту
сечений сопла на входе в зону косого среза.
В соответствии с определением параметра gi турбореактивный момент с
учетом эффекта расширения газа в зоне косого среза будет равен
где
«0=1— ctg Y tg Дф-
Отношение коэффициентов KqIKi может быть найдено из уравнений (2.25)
и (2.26) для
^1 ГТ .■.о...-оп!-:1КУ^Р
F0 ' n ' " 1+tRYtgO
§ 3. ПОПЕРЕЧНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ РЕАКЦИИ ПОТОКА ПРИ БОКОВОМ
ВВОДЕ ГАЗА В СОПЛО
Решение задачи проделаем приближенно для обычной модели
течения, не затрагивая теорию пограничного слоя и отражения
волн.
При вводе рабочего тела в сопло под произвольным углом
к его оси (рис. 6.2) предположим, что направление суммарного
потока определяется уравнением механики
RE cos s-[- R± = Rs cos [i; RE sin г = R?. sin3,
откуда
' R- cos e + /?t '
где jRs — полная реакция потока, вводимого в сопло;
/?! — полная реакция основного потока газа по месту ввода.
Несимметричность статического давления вдоль потока в
диффузоре сопла порождается скачком уплотнения, возникающим
по месту ввода. Поэтому поперечная составляющая реакция потока
зависит от угла наклона скачка, разделяющего поток на
несимметричные зоны повышенного и пониженного давлений.
462

Если предположить, что возникший скачок уплотнения
вследствие поворота потока на угол р находится в полости сопла,
боковая проекция площади поверхности скачка согласно формуле
(2.28) будет
3 = /-\ctgv
(6.4)
1 — t V 1 - T'2 '
где F{—площадь поперечного сечения сопла по месту ввода;
T=tgO/tgv;
20 —угол раструба диффузора сопла;
v — угол наклона скачка уплотнения относительно оси сопла;
пч — относительная часть площади фронта скачка уплотнения,
расположенная в полости сопла.
Рис. 6. 2.
Формула (6.4) справедлива только для 0<v, т. с. когда
уплотнения не выходит полностью из полости сопла.
Поперечная составляющая тяги, возникшая от косого
уплотнения внутри сопла, равна
где
/г—1 ,
k + l !
скачок
скачка
(6.5)
(6.6)
pi — статическое давление потока по месту вдува газа.
Поперечная составляющая тяги Pv, как правило, действует на
ту часть сопла, где размещено устройство для ввода газа.
463

Приращение давления за скачком уплотнения в соответствии
с формулой для плоскопараллельного потока (2. 149) равно
где
Pi — P\ = Pi ~~ (Ml Sill2 V — 1 ), (6. 7)
k -4- 1
AT SHI- V — 1 + AT COS-! V
L sm2 v — 1 =
В действительности поток неплоскопараллельныи, а фронт
скачка непрямолинейный и прежде всего из-за различных
скоростей потока перед скачком уплотнения.
На основании уравнений (6.5), (6.4) и (6.6), (6.7)
k и* i -ft r\ . ь\
11 k н 1 ' Г
где /?* — полная реакция потока в критическом сечении сопла;
/(v; 0)^^--- - . '~^;
, А-1 , <
at sin2 v — 1 -!- -• " " ЛТ cos- v |
cp(v; ■?) = AU . I
Суммарная сила поперечного воздействия на сопло с учетом
реакции присоединенной газоподводной трубки
где дА?Е —реакция газоподводной трубки на сопло.
Так как силы д/?е и ^£sins являются внутренними в системе
„газоподвод —сопло", то ARB-\-Re sin s = O.
Поэтому коэффициент усиления поперечной составляющей
реакции потока b = RJRe определяется по формуле
4-ctgv/(v; 6)?(v; 3).
k+
Угол наклона косого скачка v, необходимый для вычисления
функций / и ф, определяют графически с помощью поляры или из
уравнения (2.155), пользуясь формулой Кардана.
464

Для v<50° его величину можно определить по приближенной
формуле
2 tg v,
Х^ —l)rtg?-l
Л>—1 ,
L(A?-l)ctg?-l .1 ' A?— 1 — tg в "
Второе приближение результатов будет равно
(6.9)
о , v к -;- 1
) ТГТ Л • __
J/
1+А -
1 /г + 1
(Х1 — 1) ctg Э — t
Xf — 1 — tg p tg V!
(В. 10)
Пример. Определить поперечную составляющую тяги ^п и коэффициент ее
усиления б для следующих исходных данных: >ч = 2, 0=lOD, e = 90°, ft =1,25,
7?Е=0,1Я*, nv ~1.
^'гол отклонения потока за скачком уплотнения (3 определим по формуле (6. 1)
0,1 R*
= 4'34'-
где
-—1
1
-1,25.
Угол наклона плоскости скачка уплотнения v находим, пользуясь
уравнениями (6.9) и (6. 10):
1+4-0,89
5
■-= 1,01;
9 4 — 1 —0,08
2tgvn-=l,00.
При tg v -=0,5; sin v = ■ y^0,2; v = 26°30' значения функций / и tp в
соответствии с формулами (6.8) будут
1 + 0,35
/ (v;0)=-
1
1 — 0,35 V 1 — 0, 352
4
-, = 2,22;
4-0,2 — 1 +—0,8
<Р (v; р) =• — =- 0,078,
где
465

5
Искомая величина коэффициента усиления 6='—• 10 • 2-2,22 ■ 0,078=1,92,
при этом поперечная составляющая тяги Rn = bR Е=0,192Я*.
§ 4. РЕГУЛИРОВАНИЕ СИЛЫ ТЯГИ РДТТ ПО ВЕЛИЧИНЕ
Теоретическое исследование чувствительности выходных
характеристик РДТТ (Р, J) к определяющим их параметрам (F*; S; Q;
FB) представляет практический интерес для осуществления
необходимого или заданного закона изменения силы тяги,
обеспечивающего оптимальный или наперед заданный режим полета ракеты.
Установление динамической закономерности изменения силы тяги
в зависимости от определяющих ее параметров является составной
частью перманентной задачи повышения кучности или точности
стрельбы ракетными снарядами.
Создание системы автоматического регулирования полета
ракеты требует точных зависимостей для чувствительности тяги
РДТТ, выраженных дифференциальными уравнениями.
Интегральное уравнение силы тяги в зависимости от закона регулирования
определяющих ее параметров необходимо для правильного
установления энергетики РДТТ, запаса топлива и потребной глубины
регулирования его выходных характеристик.
Статическая чувствительность давления в камере сгорания
к изменению площади критического сечения сопла двигателя
Для периода стационарного горения (p't = 0; ул — у2 — \) согласно
внению (5.33) им<
откуда следует, что
уравнению (5.33) имеем с2 —-\-с1 — =
-£2
2c
где
V1 г1
4:*=*:
S S252
Таким образом, для величины предельного давления в
зависимости от принятого закона горения получим следующие формулы:
Чувствительность или относительная скорость изменения
предельной величины давления в камере сгорания в зависимости от
площади критического сечения — может быть найдена путем
р 6F*
дифференцирования уравнений (6.11).
466

Например, произведя дифференцирование для u = uxpv при
щ = const; v = const, получим
dpx 1 dF*
P} 1-v F*
или в интегральной форме
Рю
При использовании уравнений чувствительности для любой
аппроксимации закона горения топлива следует помнить, что
константы аппроксимирующих функций сами зависят от давления и
поэтому должны варьироваться. Для этого при составлении
уравнений чувствительности выходных характеристик РДТТ должны быть
из опыта найдены зависимости констант принятого закона горения
v(p); Щ(р) или а,(р); Ьх(р).
Искомые константы v; щ и ах; Ь{ определяются
уравнениями (6,11).
Здесь параметр Z\ при отсутствии теплопотерь (с2 = 0)
характеризует условие заряжания двигателя
ра
F* Ах «м
Для определения величин констант достаточно иметь два
надежных замера предельного давления рх и рю в термоизолируемой
модели проектируемого двигателя при двух размерах площадей
критического сечения сопла F\ и F*o. В этом случае величины искомых
констант для выбранного диапазона давлений pi-t-pw вычисляются
по формулам:
In
7
•?io (.Pi—
г-Ю
где
467

В каждом опыте величины р\ могут отличаться друг от друга
вследствие допусков на изготовление шашек заряда. Поэтому
изменение характеристик заряжания вычисляется по формуле
гю F* So
При отсутствии теплопотерь для расчета величин z, и zi0
коэффициент х (5- 86) можно принять равным 0,98.
Статическая чувствительность давления в камере сгорания,
единичного импульса и тяги двигателя к изменению условий
заряжания, характеризуемых функцией zx и степенью
уширения сопла vB
Решение поставленной задачи произведем для топлив,
подчиняющихся законам горения: и = щр^ и u = al + b\p.
Изменения предельного давления (6. 11), возникающие
вследствие отклонения определяющих параметров от их номинального
значения, описываются дифференциальными уравнениями:
— при степенном законе горения
при двухчленном линейном законе горения
.
dax
Pi 1 — ^1^1 zx 1 —
где
dzx 1
zx zx \dS ' db ' dQ dF*
Частные производные от функции заряжания zx по определяю-.
щим параметрам соответственно равны:
_L ^£.1— _L . J_^£l—_L.
zx dS ~~ S ' zx дЪ ~~ 8 '
J_dsi_J___ J_ ^£i___ 1_
zx dQ~~1Q ' ^j dF* ~~~ ~~ F* '
Тогда получим
dp, 1 /dS . db , dux , dQ dF*\ . dv , .„ 1 ..
_£2-= L_|__X J lnZjU, (6.14)
pj 1-vl, S Г 8 V tii 20 /=•*/' (l—v)2 ' ! ^ ;
ИЛИ
dpx _ 1 / dS ,db . йГИд , rfQ rff*\ 2lrf6, . rfa,
P! 1 — bxzi { S Ь Ui 2Q F* ) 1 — 6^! fl! '
468

Приравнивая правые части уравнений (6. 12) и (6. 13), получим
локальную связь между константами этих законов горения.
Исследование статической чувствительности единичного
импульса и тяги двигателя к изменению функции заряжания zx и степени
уширения сопла vB проведем в предположении, что течение газа в
сверхзвуковой части сопла происходит без отрыва от стенок
диффузора и скачков уплотнения.
Принятое допущение снижает практическую ценность
результатов, так как делает их справедливыми в ограниченной области
значений нерасчетности сопла pjpn^i, при которых скачок уплотнения
еще не заходит внутрь диффузора сопла. Однако в рамках теории
одномерного течения для pJpB<\ найденное решение является
точным.
При отрыве потока, сопровождающемся образованием скачка
уплотнения, для тяги и единичного импульса не найдены точные
уравнения, так как существующая теория одномерного течения без
учета пограничного слоя не позволяет определить положение скачка
уплотнения по длине диффузора.
При отсутствии отрыва перерасширенного потока от стенок
диффузора безразмерная скорость его в зависимости от размеров сопла
(xB—F*IFB) однозначно определяется уравнением неразрывности
одномерного изэнтропического потока (2. 6)
/ 2 \*-1 ,
При этом величина единичного импульса определяется по
формуле (5.51). Дифференциал единичного импульса
dJ . , dJ ,
длв dPi
Так как
dJ __J ^ дКв dJ _ FhPzK д#„
дК К„ dlB ' dPl Ri dPl
TO
dJ _ J_ dKB r> , FbPu dpx
3 OO A"B dlB " ^OO jt>]
где
dhB 2X R^ &P] P\
Из выражения сплошности потока (2.6) имеем
k— I 2
ыАв = Ав S-. (Ь. 1О)
1 ~ *в vb
469

Отклонение давления в камере сгорания от его номинальной
величины вследствие изменения функции заряжания zx определяется
формулой (6. 12). Исключая из уравнения dpilpx и йКв, получим
dJ
J~
1
1—V
FBpa
dvB
1
[7
1-
1
rf/7*
A—1
2ab
"1
rfFB
B dvB
vB
1—v
где
(6.16)
Чувствительность тяги двигателя к изменению функции
заряжания найдем, пользуясь формулой (2.23):
которая является результатом совместного решения уравнений (2. 6)
lKBF*Pl~FBPi. (6.17)
Так как Pa—const, то после логарифмирования и
дифференцирования функции RB=:P>+Fbpn можно записать
, 2 1В ,. . rfFB .
B B k+l k-Л 2 ' fB
fe1 B
Подставляя вместо d%B его выражение (6. 15), получим
d P Rv Г k ^n u?vb i /-, FBps \ dFB , d p\ ~\ ,n
= 5 . _JL 1|1 *p-\ —Л. -|- -ill- I (6.
P «в— ^вРа [k+l KB VB ' \ RB ) FB Pl J
После исключения rfvJvB и dPx\px с помощью формул (6.14);
(6. 16) уравнение изменения тяги относительно ее номинального
значения для 1 — ^а "■ яа 1 приводится к виду
#в
А„ 1 \ dF \ (-t k AB \ drB ,
77- -1Г +
Кв 1-v/ F* V * + 1 АГв
(6.19)
470

Для очкового сопла (FB=F*) имеем
P R* — F*pa 1 —v V S ' F* ' и, 2 Q 1— v X *
(6. 20)
При v = const; ui = const; S = const; Q = const соотношение (6.20)
принимает вид
dP _ v R* dF*
или в интегральной форме
av
где
Отсюда следует, что при очковом сопле изменение удельного
импульса двигателя и его тяги определяется только приращением
давления в камере сгорания.
Члены, зависящие от А,в, характеризуют приращение единичного
импульса и тяги двигателя вследствие изменения размера
диффузора vB- В общем случае изменение размера диффузора происходит
как за счет одновременного изменения площадей критического и
выходного сечений сопла (6. 16), так и вследствие изменения одной
из них при фиксированном значении другой
rfvn dF* dvn dFn
Нетрудно показать, что в уравнении (6.18) член —Яв —
k+lKn vB
равен приращению динамической составляющей тяги в диффузор-
ной части сопла
k lB p <tov_G_v dy_B
k+\KB BvB g B vE '
так как
Изменение статической составляющей тяги вследствие изменения
функции Zi в уравнении (6.18) учитывается третьим членом RB — .
Pi
Необходимо помнить, что уравнения (6.19) и (6.20) сохраняют
свою силу, пока способ механического регулирования площади
критического сечения сопла не приводит к заметному нарушению из-
471

энтропического течения на входе в диффузор. Изэнтропичность
течения практически не нарушается, если обеспечивается достаточная
плавность перехода от проходного сечения регулятора к профилю
диффузора. __..,
Регулирование тяги РДТТ по величине
для степенного закона горения u = u1pv
Выше было найдено уравнение чувствительности величины тяги
к изменению функции заряжания Z\ и размерам сопла vB.
На основании уравнения (6. 18) можно решить ряд
практических задач по регулированию величины тяги двигателя, например,
задачу компенсации отклонений силы тяги от заданной величины,
вызванных градиентом единичной скорости горения топлива,
непостоянным значением поверхности его горения как в самом
процессе горения, так и за счет допусков изготовления заряда.
Нестабильность тяги вследствие разгара критического и выходного
сечений сопла также может быть компенсирована путем
соответствующего выбора закона изменений поверхности горения. Наконец, так
решается задача получения необходимого закона изменения тяги
двигателя в заданных пределах ее регулирования для обеспечения
оптимального полета ракеты.
При этом следует иметь в виду, что найденные ниже формулы
необходимого изменения тяги не характеризуют собственно
переходный процесс, а определяют лишь предельное значение тяги,
которое устанавливается в конце этого процесса.
Сохранение постоянной величины силы тяги путем
регулирования площади критического сечения сопла получим из
уравнения (6. 19) при dP = 0, откуда необходимая глубина регулирования
площади критического сечения при v = const составит
Fo \fb0/ [So u10 \Qo
где
v=l — (l_v)—^— ^-. (6.21)
k + 1 KB
При ра = const; v = const уравнение изменения тяги в общем
случае согласно (6. 19) имеет вид
и х т 1
472

или
где
So«io\Ooi J V/7*/ \F
1 ft+l KB l-v' Po
Необходимая глубина регулирования площади критического
сечения для обеспечения заданной величины тяги при фиксированном
значении FB согласно уравнению (6.22) составит:
(6.23)
F* \Р0 ) I Su, \Q
Из уравнения (6.23) можно получить закон изменения
поверхности горения или единичной скорости горения топлива,
позволяющей обеспечить постоянную величину силы тяги или заданный закон
ее изменения вследствие разгара критического сечения сопла:
Jo. Л1О.=
S Ul \F*
Определим пределы изменения показателя и:
v = \—(\ — v) k —
^ ' Ь Л- 1 К
Величина параметра -^- = —^ достаточно стабильна и в сверх-
звуковой области l<I^B<Cl/ : ограничена пределами 1 <
|/ k — 1
«<—- <; . В действительности ее колебание при регулировании
критического сечения будет значительно меньше 1,4 < —- <^^— =
= 1,8, где yfe=l,25.
Таким образом, для показателя степени v можно рекомендовать
приближенную формулу
16 3058 473

При поджатии критического сечения давление в камере
двигателя растет. При этом тенденция изменения величин (1—v) и kJKB
для баллиститных топлив будут всегда противоположными:
при rf<0(l)<0|
F ^ dF* v ;^ dF* \K
а при ^
Это обстоятельство способствует стабилизации величины
показателя V.
Суммарное изменение предельного давления в камере сгорания
вследствие изменения условий заряжания и единичной скорости
горения для v = const согласно выражению для dpjpi (6. 12) будет
Пренебрегая тепловыми потерями и изменением объема камеры
вследствие выгорания топлива, получим формулу Бори
1
I S ^ю ил \
\S,0 F* ню/
являющуюся результатом условия, что Ga—Gv, т. е.
Отсюда при отсутствии тепловых потерь Т\ — const и заданной
природы топлива имеем известное соотношение
Suxp\-X Ax 1
F*
- = const.
§ 5. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ДЛЯ ДАВЛЕНИЯ В КАМЕРЕ И ТЯГИ РДТТ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ
ПЛОЩАДИ КРИТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ СОПЛА*
При анализе временных характеристик переходного процесса для
давления в камере РДТТ p(t) при изменении площади критического
сечения сопла могут быть использованы уравнение (5.30) и закон
изменения площади критического сечения
-1 р
'-S^kp^; \ ^6-24)
* Написан В. В. Зеленцовым.
474

Для малых изменений площади критического сечения (AF*IF*0 =
= 0,1-г-0,2) можно провести линеаризацию уравнения давления по
малому параметру, сведя его к виду:
^&p = k1bF, (6.25)
T1
at
где
т _
X ~J- (2 - v) p1^1- Saxk (1 + v) plt
. ZkAW-S
1
кЛ. г
р„\ — давление в камере при стационарном ргжиме работы РДТТ
в случае F'* = F0;
го—начальная площадь критического сечения сопла.
При решении уравнения (6.25) необязательно прибегать к
преобразованиям Лапласа. В отдельных случаях для определения Ap{t)
удобно использовать решение Лагранжа
При этом постоянную D находят из начальных условий
Преобразуя уравнение (6.25) по Лапласу, получим
!^ (6.26)
Выражение (6.26) позволяет получить зависимость для
давления Ap — Ap{t) при заданном законе изменения площади
критического сечения сопла. Характер переходной функции (6.26) показы-
16* 475

вает, что давление в камере является простым апериодическим
звеном в случае мгновенного изменения площади
где AF0 —• конечная величина изменения площади критического
сечения сопла.
Тогда
и, переходя к действительному изображению, получим
L
p 10{— e
где
р„2 — давление в камере РДТТ при стационарном режиме
работы в случае F* = F*0-\-kF0.
Окончательно для давления в камере запишем
= Р~2+(Р=о1 — /7=о2)б '. (6.27)
Аналогично для апериодического закона изменения площ'ади
(6. 28)
^■^ л \ / О / ГТЛ С4 I 1 \ / *7*
откуда давление
В том случае, если площадь изменяется по колебательному
закону, уравнение (6.26) приобретает вид
476

и .
Лг V от2 \г , ит2т4 "Т^
где
со = arc te —-=—TF '. л arc tg •
откуда в соответствии с уравнением (6.30) закон изменения
давления в камере РДТТ
_
+B7^ sinH + ?)]. (6.31)
J
При чисто синусоидальном законе изменения площади
где
&=-^ — arctg шГь
477

Постоянная времени давления 7\ является функцией свободного
объема Wo. Поэтому в процессе работы двигателя она меняется в
пределах
где
B=(k- 1) SbUlQAvp7i-(k- 1) А
R S
Используя уравнения (6.27) — (6.31), можно получить
выражения, описывающие переходной процесс в тяге двигателя.
Подставляя в формулу (6. 17) выражение для закона изменения
площади и давления, получим зависимость для расчета переходного
процесса P=P(t). При этом, учитывая малое изменение площади
критического сечения сопла, величину коэффициента
реактивности Кв положим постоянной. Тогда для приведенных выше законов
изменения площади AF* = AF(t) получим изменения величины тяги:
■— для единичной функции AF(t)
— для апериодического звена AF(t)
t
e
— для колебательного звена д/*1 (()
1 ' 47?7"*
2AF
4т2т-4 „о X
X I e—^ e-^~ VA'*+B'* Sin (со/ +?)]) X
L 27W ы II
X {^о+ Д^о [l - e^(cos <■>* + —- sin
478

На рис. 6. 3 представлен характер изменения давления в камере
и тяги РДТТ при различных законах изменения площади
критического сечения сопла.
ж
ж
1
'оо;
—\.щ
W2 -;
PooZ (
1ХК[^- j
Р°°2
Росг
г
t
t
pl
I
Л
t
J
л,
p,
wz
[ wz
Щ
Pz
V
i
Pz
>w2
't
Wj>Wz
a) t 5> *
Рис. 6.3. Характер изменения давления (а) и тяги (б) РДТТ:
/—для единичной функции AF(t):
II—для апериодического звеяа AF(t);
///—для колебательного звена
Более точное решение для переходного процесса по давлению
и тяге может быть получено путем численного интегрирования
системы (6.43) либо решением ее на электронных моделирующих устрой-
\ РШ
Рис. 6.4. Схема решения на ЭМУ задачи определения давления в камере
сгорания н тяги в РДТТ:
Кг ~~ К7 — коэффициенты машинных уравнений;
К — коэффициент реактивности сопла.
479

ствах (примерная схема набора задачи представлена на рис. 6.4),
причем в этом случае можно учесть и изменение коэффициента
реактивности Къ-
ЛИТЕРАТУРА
1. Гейтс н Пинт о, Регулирование тяги ракетных двигателей на твердом
топливе механическими средствами, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1960, № 6.
2. Циолковский Э. К-, Труды по ракетной технике, Оборонгиз, 1947.
3. Engineer, 1961, 20/1 vol. 211, No. 5478, pp. 91—92.
4. Missiles and Rockets, 1961, No. 23, pp. 26—27.
5. Прайс, Некоторые методы регулирования тяги ракетных двигателей
на твердом топливе, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1962, № 6.
6. S u m га е г f i e I d M., Using a acoustic Energy for Burning Rate Control
solid Propellant, ARS Journal, 1959, vol. 29, No. 1, pp. 791—792.
7. Interavia, 1959, No. 4361.
8. Дерю, Комбинированные двигатели на твердом топливе, «Вопросы
ракетной техники», 1962, № 11.
9. С и п л а ч, Влияние быстрого понижения давления иа горение твердого
топлива, Ракетная техника (ARS Journal, в русском переводе), 1961, т. 31, № 11.
10. S her win К., Thrust Termination insolid Rocket Motorsevaluation of
Ballistic Teest Data, ARS Journal, 1961, vol. 31, No. 1.
11. Kennet A. D., Thrust Control for solid Propellant, Ordnance, 1960,
No. 243.
12. Interavia, 1960, No. 4415.
13. Missiles and Rockets, 1959, vol. 5, No. 5.
14. Пир с, Будущее ракет на твердом топливе, «Вопросы ракетной техники»,
ИЛ, 1959, № 10.
15. Aviation Week, 1958, vol. 69, No. 11.
16. Mo а к, Схема управления вектором тяги ракетных двигателей на твердом
топливе, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1962, № 10.
17. Flight, 1961, 13/1, vol. 79, No. 2705, pp. 42—43. Aeroplane, 1961, 20/1.
vol. 100, No. 2570, p. 74.
18. Aviation Week, 1961, 20/Ш, vol. 74, No. 12 Astronautics, 1961, vol. 6, No.'9.
19. Э ш е p, Система, заменяющая поворотную камеру сгорания на кардано-
вом подвесе, «Вопросы ракетной техники», ИЛ, 1961, № 3.
20. В е г m a n K-, G r i m p F. N., Performance of Plug Type Rocket Exhaust
Nozzles, ARS Journal, 1961, vol. 31, No. 1.
21. Aviation Week, 1961, vol. 74, No. 12, 15, 20. Astronautics, 1961, vol. 6, No. 3.
22. К r a s e W. H., Performance Analysis of Plug Nozzles for Turbojet and
Rocket Exhausts, Poper Amer. Soc. Mech. Eugus. No. 58—A—2248.
23. Rao G. V. R., Spike Nozzle Contour for Optimum Thrust, Planet and
Space, 1961, No. 4.

Глава VII
БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ РАКЕТ С РДТТ
В общей постановке основная задача баллистического
проектирования'может быть сформулирована следующим образом:
определить необходимый запас топлива ракеты для доставки заданного
полезного груза в заданную точку пространства при обеспечении
заданной скорости ракеты у цели или заданного полетного времени.
Решение этой задачи сделано приближенно и приспособлено для
случая эскизного проектирования, когда о будущей ракете по
существу ничего неизвестно, кроме ее полезного груза, вес которого
подлежит уточнению в процессе дальнейшего проектирования.
Таким образом, на стадии баллистического проектирования ракета
представляется в виде материальной точки, масса которой
неизвестна. В результате баллистического проектирования должны быть
определены запас топлива, веса ступеней ракеты, их калибр и
длина. Все эти величины являются функцией аэродинамической формы
ракеты, кинематических параметров траектории и дальности полета.
В этом смысле баллистическое проектирование является задачей
со многими неизвестными, которые определяются методом
последовательного сближения.
Первое приближение ее решения находим в предположении, что
материальная точка имеет аэродинамический коэффициент
сопротивления, одинаковый с существующим образцом аналогичной
ракеты. Калибр и длину проектируемой ракеты также определяют
на основании статистических материалов по весовой плотности
компоновки конструкции аналогичных ракет. Полученные в первом
приближении калибр, длина и вес ракеты позволяют выбрать ее
аэродинамическую схему и уточнить принимаемые в расчете
аэродинамические характеристики с учетом потребных поперечных нагрузок.
После уточнения исходных данных ракеты проводят повторное
решение задачи баллистического проектирования. Сближение
результатов задачи производят до тех пор, пока принимаемая и
получаемая в расчете величины поперечной нагрузки ракеты Qo/FM не
совпадут.
При решении задачи баллистического проектирования в
зависимости от кинематических параметров траектории получается не-
481

сколько вариантов тактико-технических характеристик ракеты, из
которых выбирают оптимальный. Оптимальным считается вариант
ракеты, который при заданной дальности ее полета обеспечивает
наилучшую зону поражения или наименьший стартовый вес.
Найденные характеристики оптимального варианта ракеты принимают
в качестве исходных для ее эскизного проектирования.
Рассматриваемое решение задачи баллистического
проектирования позволяет определить основные характеристики двигателя,
необходимый запас топлива и величину силы тяги.
И
Рис. 7. 1.
Определение необходимого запаса топлива ракеты,
обеспечивающей решение поставленной задачи, основывается на уравнении
движения (рис. 7.1).
где
——- = /3cosa — cxFuq — QsinS,
g dt
QO(1—^) —текущий вес ракеты;
(7.1)
о
относительный вес сгоревшего топлива;
о
Qo—начальный вес ракеты;
u. = G/Q0 —скорость изменения веса ракеты;
а —угол атаки;
/^ — площадь миделя рекеты;
сх=сОх-\ — а2 — аэродинамический коэффициент лобового со-
да противления;
q = 0,5QV2~скоростной напор;
6 —угол наклона траектории;
P = GJH — тяга двигателя на высоте Н;
482

— J1JrFB 3-—удельный импульс на высоте И;
G
q— массовая плотность воздуха на высоте Н;
G — расход топлива;
У! —удельный импульс при // = 0.
Запишем уравнение движения в безразмерной форме
п5Ш
1 О. 1 (Л
где
(7.2)
* ^г; Чн&„; сх
g dt 2qu
Qo
qu — ——начальная поперечная нагрузка.
Ли
При написании уравнения движения ракеты, имеющей
переменную массу m — Qlg и тягу двигателя Р с учетом силы сопротивления
среды Rv и тяжести gm, пользуются уравнением (7.1)
= P — Rv — gm sin6, (7.3)
представляющим проекцию сил на касательную к траектории
полета ракеты.
Однако для движения переменной массы уравнение (7.3) не
является очевидным и вытекает из более корректного выражения
— (mv) = — (u~v)-Rv — gm sine, (7.4)
где и — v—абсолютная скорость продуктов сгорания;
"V— абсолютная скорость движения ракеты;
— (и — v>— скорость изменения количества движения ракеты
8 вследствие убывания ее массы, выбрасываемой со
скоростью и;
и — эффективная скорость истечения продуктов сгорания
относительно ракеты;
—= скорость убывания массы ракеты;
Р = -тяга двигателя.
g
После дифференцирования левой части уравнения (7.4) получим
его общепринятую форму (7.3), так как v— = v. Изменение
dt g
кинетической энергии ракеты на основании уравнений (7.3) и
(7.4) описывается зависимостью
G
483

§ 1. РАСЧЕТ ЗАПАСА ТОПЛИВА ПРИ ДОЗВУКОВОМ РЕЖИМЕ
ДВИЖЕНИЯ РАКЕТЫ
Для небольших высот полета #<5000 м и при скорости ракеты,
не превышающей 290 м1сек, можем принять
6=QcP; В — сх~^- = const;
Ра — Р
где ра — давление атмосферы у земли;
Рн — давление атмосферы на расчетном участке высоты Н.
Интегрирование уравнения движения (7.2) при jx = const и
sin 0 = const
Г gdt } dv
}\—\>t J A — Bvi
о о
приводит к зависимости
где
2Qo
v= ^ ^/P/Q
2
АВ
Подставляя в уравнение (7.5) конечное значение скорости,
определим необходимый запас топлива.
При вычислении коэффициента А величины параметров jxcp и a
в первом приближении принимают равными нулю, во втором
Hcp=m</2. Если относительный запас топлива задан, то скорость
ракеты в конце активного участка траектории находим по
уравнению
2Е'.t=l. b=-(l — v. )-'■ a— 2gJiyrjB (7 6)
В b + \ ' ' т]
Путь ракеты за время работы двигателя, зная v(\k), можно
оценить по формуле Симпсона
f\ Ъп
где п — четное число равных отрезков вдоль оси jx кривой v(n)
на участке от |ы = 0 до ц,= ц,к;
Vi — скорость, определяемая по формуле (7.6), в которую
вместо и,к подставляют его текущее значение щ= — цк.
п
4S4

При двухступенчатой ракете стартовый двигатель обеспечивает
быстрое нарастание скорости до выбранной величины. Затем ов
прекращает работу и вступает в действие двигатель маршевой
ступени, поддерживая скорость ракеты на заданном уровне на всем
пути ее движения (х\—х0). Как правило, тяга стартового двигателя
значительно больше маршевого.
Рассмотрим особенность расчета запаса топлива для каждой
ступени в отдельности и его суммарного запаса. Формулы для v и
ц существенно упрощаются в том случае, когда скорость полета
ракеты после ее старта слабо меняется на траектории.
Так, при движении ракеты на марше с постоянной скоростью
запас топлива найдем из уравнения движения, положив г5 = Ои
dt ё 1— (х
Интегрирование при ц = const приводит для щ к формуле
Вгу\+ (1 — O,5[xi)sin6
fh= : *и
J\
где
_ ХХ — Х0
Решая относительно щ, окончательно получим
ТУ — *** I г*п D
h. sine
h + 2
Полный относительный запас топлива с учетом топлива
стартовой ступени определяется соотношениями:
(о j -\~ dug ci)q ct>j .
Qo ' Qo Qo — Mo
Отсюда имеем
~Ро) Qo'l'V'oQo или !лп==
где [i0 — относительный запас топлива стартовой ступени ракеты,
определяемый но формуле (7.5);
Qo —стартовый вес ракеты;
Qo — u)0 — вес ракеты в конце стартового участка траектории.
Строго говоря, при sinO#0 постоянное значение скорости
ракеты для ti = const обеспечить нельзя, так как выгорание топлива
приводит к уменьшению торможения движения ракеты от силы
веса. Уравнение движения показывает, что постоянное значение
скоростей может быть обеспечено при переменной тяге,
изменяющейся по закону
485

Отсюда следует, что при sin 0=0 имеем и = const и т] = const.
Если sin 0#O, то значение скорости в конце маршевого участка
в
т
где
"Ж.
А
vQ~скорость в конце старта, определяемая по формуле (7.6);
\ — тяговооруженность маршевой ступени;
/j — единичный импульс топлива маршевой ступени.
§ 2. РАСЧЕТ ЗАПАСА ТОПЛИВА ПРИ СВЕРХЗВУКОВОМ РЕЖИМЕ
ДВИЖЕНИЯ РАКЕТЫ
Рассмотрим расчет запаса топлива для двухступенчатой ракеты,
представляющий общий случай задачи. Предположим, что вывод
ракеты за сверхзвуковую скорость осуществляется с помощью
стартовой ступени, двигатель которой имеет большую
тяговооруженность t]o = /VQo>10.
При этом путь и время движения ракеты на стартовом участке
траектории оказываются сравнительно небольшими. Подобная
организация старта характерна для зенитных ракет.
Решение задачи проведем при определенных допущениях, но
гарантирующих приемлемую точность расчетов для случая эскизного
проектирования, когда еще в первом приближении
устанавливаются вес и габариты ракеты.
Стартовая ступень
Запишем уравнение движения (7.2) следующим образом:
dv __ (a/j
dt 1 — [л
где
X = 1
■"о
Полагая ^ = ^cp=-const и р, = ry/0 = const, получим
■"о=xgJoln YZT~t' н ~l ~ e~v°'
где
v — v°
486

Величина коэффициента % при большой тяговооруженности
является небольшой, как показывает его выражение, и определяется
в основном силой сопротивления воздуха.
Расчеты показывают, что величина % для 400<и<1000 м/сек
и т]ЗЭг2О лежит в сравнительно узких пределах от 0,75<%<0,95.
Если при проектировании по тем или иным соображениям
скорость старта известна, то для Уо>400 м/сек приближенно
1
sine Bva
■По Зло
Здесь величину коэффициента сопротивления воздуха в первом
приближении можно принять равной 1,5-10~5 сек2/м2, так как на
практике она ограничена пределами 10~5<5<2-10~5. Если
стартовая скорость не задана, то задача решается методом
последовательного сближения результатов или при наличии опыта расчет
величины До ведут непосредственно для выбранного значения
коэффициента %.
Маршевая ступень
Если стартовый двигатель сообщил ракете сверхзвуковую
скорость (уо), то на нее будут действовать силы сопротивления
воздуха, линейно зависящие от скорости ее движения. Опыт внешней
баллистики артиллерийского снаряда, а также сверхзвуковые
аэродинамические продувки ракет с достаточной точностью*
подтверждают справедливость зависимости сх№ = const в интервале от
М=1,2 до М = 3,5. Таким образом, для М^1,2 при решении
уравнения движения ракеты (7. 2)
__ Мо
^-^0 —.
Тогда уравнение движения ракеты со сверхзвуковой скоростью
приводится к виду
1 dv \\—cv
g dt 1 —[x
где
■-sine, (7.7)
а — скорость звука в воздухе на высоте полета ракеты;
Qoi — вес ракеты в начале маршевого участка траектории.
Поперечная нагрузка qM для заданного калибра ракет
сравнительно стабильная величина. На практике для ракет с одинаковой
плотностью укладки аппаратуры величину qM можно установить на
основе статистических материалов, пользуясь соотношением
? ?
487

где da; <?м.э — калибр и поперечная нагрузка эталонной ракеты.
При интегрировании уравнения движения допустимо ввести
осреднение плотности воздуха и скорости звука для изменения высоты
полета ракеты не свыше 5000 м. В противном случае диапазон из-
1менения высоты полета ракеты на маршевом участке необходимо
разбить на несколько участков, протяженностью не свыше 5000 м
каждый. При этом средние величины плотности воздуха и скорости
звука определяются по формулам
1_(1_2,19-10-5ДЯ)5'4 /т а,
Qi CP = Q'-1 11.82.10-5Д// ; (7< 8)
п^п^ 3.285.10-5ДЯ ' (7>9)
где Qi-i; o-i-x — плотность воздуха и скорость звука, взятые
в начале г-го отрезка высоты.
Начиная со второго расчетного отрезка высоты при условии,
что A#! = A#2=A#3= , вместо формул (7.8) и (7.9) удобно
пользоваться соотношениями
Ccpt-l Q,-_2 _ flcp;-l O/_2
Qcp i Qt—i acpi a-i—i
Естественно, что путь и скорость ракеты в конце
предшествующего участка траектории будут начальными условиями для ее
движения на последующем отрезке высоты.
В зависимости от поставленной задачи уравнение движения
ракеты можно записать так:
где
с n + sinB \ dv
Pv. = g~ ; Pv=—: ; я=— —
I—и- Ji g dt
Первое из этих уравнений позволяет найти закон движения
ракеты для заданного режима работы двигателя.
Второе решает обратную задачу — определение режима работы
двигателя при заданном законе движения ракеты.
В общем случае уравнения (7.10) имеют следующие решения;
- P.. dt
488

Постоянные D^; Dv находят из начальных условий ^=0; (i = 0;
v — v0. Решение уравнения для скорости при [л=т)1/У1 = const;
sin6=const имеет вид
(7.11)
так как
SC
- sine) (1-^)""л;
)
При этом путь ракеты равен
],[(|)] +
V[l-(l-^)v+1]. (7-12)
[Л
где t — ограничено пределами 0<:^
Исследуем уравнение скорости (7.11). Для безвоздушного
пространства с=0 и уравнение скорости обращается в известную
зависимость
*> = «„+£/, In—Ц-£*sine, (7.1 Г)
1 — \d
так как
т[(^)|е1 ,.
с->0 С 1 — yi
При этом путь, пройденный ракетой, будет равен
-g^- sine.
489

После окончания работы двигателя jx = O, поэтому скорость
и путь ракеты' на пассивном участке траектории изменяются
согласно уравнениям
с
x-x1 = ^-(\-e-Sci)^J^\t-±(\-e^)\, (7.14)
gc с \_ gc ]
так как
где vi; %\ — скорость и путь ракеты в конце маршевого участка
траектории.
Уравнениями (7.13), (7.14) можно пользоваться пока скорость
ракеты не перейдет нижний допустимый предел 420ч-450 м[сек,
а изменение высоты полета не превысит 5000 м.
Для решения практических задач определения относительного
запаса топлива на маршевом участке траектории удобнее
пользоваться упрощенными соотношениями, представляющими результат
совместного решения следующих уравнений:
fio = -ql — cvo~ sin 9;
^=4'-™'-sin6,
где rii = V'^u
до= - — относительное ускорение ракеты в начале марше-
& dt вого участка траектории;
«! = —относительное ускорение ракеты в конце марше-
g dt вого участка траектории.
. С другой стороны, предполагая движение ракеты на маршевом
участке траектории с постоянным ускорением, равным среднему
значению, имеем
ц _ji.==EL±i!_ ±lZl-
ti xj — x0 2
2 2
2д =д1 + д0=— ———.
g X1~X0
Исключая из выражения для пСр параметры пг; По, г\\, получим
2
490

Отсюда относительный запас топлива маршевой ступени
где
7 —\ \ Аг>ьо | с УрЬ*ио | оsin
gh Ji vi + vo Ji
Необходимые тяговооруженность и время работы маршевого
двигателя определяют по формулам
2Л-*1,о 41
Для прикидочного расчета допустимо пользоваться
зависимостями
ri, = cx)i-j-sm6; [А] = —-—; -. ('-15)
Подставляя найденные значения jii = ji^; tji в уравнения (7.11)
и (7.12), уточняем скорость и путь ракеты в конце маршевого
участка траектории. Однако прикидочный расчет запаса топлива
для маршевого двигателя дает хорошую сходимость в том случае,
когда скорость ракеты на маршевом участке близка к постоянной
величине. При ускоренном движении (dv/dt^O) приемлемая
точность решения сохраняется, если потребное приращение скорости
ракеты не превышает 15%. В противном случае конечное значение
скорости на марше может существенно отличаться от заданного и
потребует соответствующего изменения тяги двигателя, т. е.
подбора ее величины по уравнениям (7.11), (7.12). На практике
иногда более удобно вести расчет относительного запаса топлива
через тяговооруженность двигателя по формуле (7. 15). Для
равноускоренного или равнозамедленного движения ракеты при
постоянном значении-тяги двигателя формула (7.15) для (.ц дает вполне
удовлетворительный результат, если тяговооруженность двигателя
определить из уравнения движения (7. 7)
1 dv Tii — cv . n , dv
— sm 6 = const; — — v,
sm 6 const;
g dt 1—Hep dt
где
49!

Отсюда находим необходимую связь между скоростью и тяго-
вооруженностью
тц—с
gh
1 —
(7. 16)
где
tip
Решая уравнение (7.16) относительно параметра тг|i, получим
искомую величину тяговооруженности
0,5с
sine +■
(7. 17)
где
, g XX — Xq
t'l + tip
Расчет запаса топлива маршевой ступени
и выбор тяги двигателя для #>5000 м
Методика расчета относительного запаса топлива маршевого
двигателя через тягу в отличие от предыдущей, где непосредственно
запас топлива определялся из уравнения движения ракеты (7.15),
(7.17) является более удобной для
случая, когда маршевый путь
ракеты разбивается на несколько
отрезков. При этом на каждом отрезке
высоты плотность и температура
воздуха принимаются постоянными
и равными средним значениям
(рис. 7.2), вычисляемым по
формулам (7.8), (7.9).
Тягу двигателя находим по
формуле (7. 17), задаваясь
необходимым приращением скорости vv—v0
на первом отрезке пути
1
10
15Нкм
Рис. 7.2.
*р, AUi=i
&V 1
sin 8
(7.18)
где
2t/0 + Atij
492

Необходимое количество топлива для обеспечения заданного
приращения скорости (At»i)
Вследствие приближенности выражения для r|i необходимо
уточнить величину скорости ракеты vi по формуле (7.11), приняв
Если найденное значение скорости v\ отличается от принятого
не свыше 2—3%, то величину пути ракеты {xi—х0)
не следует уточнять.
Для второго участка пути х2—xl = AH/sm 0 скорость ракеты v2
по-прежнему находим по уравнению (7.11), в которое подставляем
следующие значения параметров:
1 —
Расчетный участок высоты АН не должен превышать 5000 м.
Время для второго участка пути
1 + 1/ 1 + 2 2.,2 t.2
У
где
^2==g"(^2 — С2Щ— Sin 6).
Сближение результатов необходимо производить в случае
недопустимой разницы (свыше 2—3%) во времени Д/2 и д^2' =
=2— — . Для остальных участков траектории определение ско-
vl + V2
рости ракеты производится так же, как и на предшествующем.
Суммарное значение относительного запаса топлива маршевого
двигателя находим по формуле
где
493

Тяга двигателя маршевой ступени может быть определена по
зависимости Pi = riQoh записанной для любого участка траектории,
если она была принята неизменной:
^i = tl,Qoi = n2Qo2 = Tl3Qo3=..., (7.19)
где
— вес ракеты в начале каждого участка траектории.
Постоянство тяги маршевого двигателя приводит к очевидным
соотношениям
Соотношение (7.19) целесообразно использовать для проверки
точности произведенных вычислений.
§ 3. ВЫБОР ТЯГИ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕЙ ДВИЖЕНИЕ РАКЕТЫ
С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ
Согласно уравнению (7.7) закон движения ракеты с
постоянным ускорением возможно обеспечить только при переменном
режиме работы двигателя. Необходимый для этого режим изменения
тяги двигателя определяется уравнением
где
п 4- sin й
\ Qz,p»+j
Полагая, что n = const; sin 6 = const; с = const; v = v0-f- vot,
получим
494

При t — 0; [i = 0 имеем
На основании последнего уравнения
ML(e-V). (7.20)
()
+ sinfl
При этом скорость и путь ракеты подсчитываем по формулам для
равноускоренного движения. Из уравнения (7.20) следует, что для
обеспечения постоянного ускорения движения ракеты величина
тяги двигателя должна быть переменной. Величина тяги остается
переменной даже при реализации движения ракеты с постоянной
скоростью (м=0). И только в частном случае при горизонтальном
полете ракеты (0=0) с (постоянной скоростью тяга становится
величиной постоянной и равной r\ = cv0.
Найдем такое значение тяги двигателя, при котором
приблизительно обеспечивается условие движения ракеты с постоянным
ускорением. Для этого уравнение движения запишем в следующем
виде:
/£ — !sin 8
1 ,,
1 rep
где
При интегрировании уравнения движения параметры vu v0; хп х0
будем считать заданными. Таким образом, решение поставленной
задачи сводится к определению постоянной величины тяги, при
которой обеспечиваются заданные значения конечной скорости vi
и пути ракеты х\. Решение этой задачи приводит к формулам
(7.17) и (7.18). При использовании этих формул, как и прежде,
принимаем среднее значение коэффициента сопротивления
воздуха с на заданном отрезке высоты Д#= {х\—xo)sin 0^5000 м:
§ 4. СТАРТОВЫЙ ВЕС МНОГОСТУПЕНЧАТОЙ РАКЕТЫ
Стартовый вес ракеты может быть определен только когда
известны полезная нагрузка на борту ракеты, относительный запас
топлива для каждой ее ступени и конструктивно-весовая
характеристика двигателей. Под конструктивно-весовой характеристикой
понимают отношение веса снаряженного двигателя к его запасу
топлива. Статистика показывает, что величина этого коэффициента
сравнительно стабильна и ограничена пределами 1,1<|3<1,8.
495

Нижний ее предел относится к ракетам большого калибра, свыше
500 мм; верхний — к ракетам калибра менее 100 мм. Для ракет
среднего калибра его величина близка к 1,3—1,4.
Стартовый вес ракеты с отделяемыми ступенями
Величина стартового веса ракеты в соответствии с уравнениями
весового баланса равна
1
где AQ — вес полезной нагрузки;
Qc — вес стартовой ступени;
Q] —вес второй ступени;
Qn_i — вес последней ступени.
Полезной нагрузкой ракеты принято называть вес боевой части,
приборов управления, источников питания, оперения и части
корпуса ракеты.
Введем обозначения:
[х,- = т^ относительный запас топлива ступени;
1
1-Х
Qo — ^ ?,со, —оставшийся вес ракеты после сброса ступени
$t=——конструктивно-весовая характеристика двига-
со< теля i-й ступени.
На основании этого
л—1
Исключая из уравнения весового баланса Qo; Qu ■..; Qn~u
получим формулу для стартового веса ракеты с отделяемыми
ступенями п—1:
(1 — РоСо) (1 — Pl^l) • • • (1 — Pn—lM-n—1
496

Для двухступенчатой ракеты, имеющей одну отделяемую ступень:
Стартовый вес ракеты с неотделяемыми ступенями
Уравнение весового баланса остается прежним, как и в случае
ракеты с отделяемыми ступенями. Введем обозначения:
1
1
где Qo—V <о, — оставшийся вес ракеты после выгорания топлив
1 в ступени / — 1.
На основании этих соотношений:
Подставляя в уравнение весового баланса выражения Qc; Qu
Qn-u получим для стартового веса ракеты с неотделяемыми
ступенями п—\ следующую формулу:
. — pn_!Hn_i (1 — (J.o) .. . (1 — (J.n_2>
Для двухступенчатой ракеты
^Я. (7.22)
W)
Нетрудно показать, что ракета с неотделяемыми ступенями
всегда тяжелее ракеты с отделяемыми ступенями.
Отношение весов двухступенчатых ракет равно:
Qo—
" 1-РоМо
откуда следует, что Qq>1, так как (30>1.
§ 5. ВЫБОР СТАРТОВОЙ СКОРОСТИ РАКЕТЫ
Оптимальной величиной стартовой скорости ракеты будем
считать значение, при котором обеспечивается наименьший стартовый
вес ракеты. Такое условие равносильно требованию наивыгодней-
497

шего распределения запаса топлива между ступенями ракеты,
позволяющее при наименьшем стартовом весе ракеты вывести ее
в заданную точку пространства с заданной конечной скоростью.
В соответствии с уравнениями для стартового веса
двухступенчатой ракеты (7.21), (7.22) условие наименьшей его величины
будет выполнено в том случае, когда функция
или г„=(l —
— Mo)
достигает максимума. Отсюда
вытекает, что наименьший стартовый вес ракеты с отделяемыми
ступенями будет при условии (1—РоЦо)~0—PiM-i)» так как ФУнк-
ция z=xy формально имеет максимум, когда величины
сомножителей равны друг другу, а сумма их остается постоянной. В
действительности параметры ц0 и цх являются зависимыми, а поэтому
условие максимума в данном случае будет справедливым в пределах
допустимого отклонения суммы от постоянной величины. Для
ракеты с неотделяемыми ступенями условие экстремума сводится
к условию
На основании этих приближенных уравнений оптимальное
распределение запаса топлива между ступенями ракеты определяется
соотношениями:
lxi==[io —Для ракеты с отделяемой стартовой ступенью;
i
= ^0 ~~№о
1 —
—для ракеты с неотделяемой стартовой ступенью.
Для ракеты с отделяемой стартовой ступенью при одинаковых
конструктивно-весовых характеристиках двигателей условие
оптимума требует равенства относительного запаса топлива стартовой
и маршевой ступеней. В общем случае оптимальные значения (д,0; jxi,
а также скорость старта определяются системой уравнений
Ро '
(1 4- А) + sine + ^-^—-
sine
(7. 23)
где
v, ==■
498

Для приближенного решения системы уравнений (7.23)
относительно параметра k можно использовать метод
последовательного сближения результатов. Примем, что при k<\
о=1-е-**=Л*, (1-0,5^);
1+* i] Vi
тогда
или
JL} Hi l7.24)
Я в, 1—0,5*»!
Отсюда
(7.25)
За начальное значение параметра 1—0,5fo;i, можем принять
величину 1—0,5wi.
Порядок вычисления параметра k поясним на примере. Пусть
2Ji = 0,4; fi = 700 м/сек; 0=30°; а=0,086;
м; [\ = %; Jx = 200 кГ-сек\кг;
! = 4,25-10-3 сек\м;
1 — 0,5*t/i ' 1 — 0,5ui
Ha основании этого в первом приближении
Второе приближение
= kvl = A\Q м/сек; ^1 = 0,24; tx = 2 Xlx° =10,9 сек;
v1 +v0
0,5c (t/0+ t»i) +sin e+ —L—
Vi — f0 sin6
290
0,5-4,25-Ю-з.1110+0,5+
+
9,81-10,9 г 1.
2-9,81-200 + 2-2-200
-0,5+1 Л)»25+^- 5Л =0,72.
[/ 0,4 1-0,12
499

Третье приближение
г'0 = ^г»! = 500 м\сек\ й^1==0,29; ^ = 10,0 сек;
0,5-4,25-10-3.1200 4-0,5+
200 1
1 +
9,81-10 , я
2-9,81-200 2-2-200
-0,5 + т/
| 0,4-0,85
Четвертое приближение
■г)0 = ^г'1=490 м\сек; &г>1 = 0,28; ^ = 10 сел:;
П1 = 4,65; £ = 0,69.
Таким образом, стартовая скорость ракеты, при которой
обеспечивается наименьший стартовый вес, равна wo=48O—500 м/сек.
Для случая, когда &<1 (или а< — вычисление napa-
\ Pi 2rii /
метра й можно произвести по приближенной формуле, не прибегая
практически к сближению результатов:
-Р
где
2
(7. 26)
_2 | ai«i 1
vi 2g x1 — x0
Г1
Формула (7.26) получена в результате совместного решения
системы уравнений (7.23) и (7.24) при допущении, что
jt/j 1 + k
Для данных рассмотренного примера значение параметра k,
вычисленного по формуле (7.26), равно
£ = °-76
0,213+ /0,2132+0,76
500

При этом значении k тяговооруженность маршевого двигателя
и стартовая скорость ракеты составят t]i = 4,85; i>0 = 480 м/сек.
После сближения результатов по формуле (7.25) окончательно
получим & = 0,7; Tii = 4,9; i>0 = 490 м/сек. На практике уравнениями
(7.23), (7.25) и (7.26) можно пользоваться, когда общая высота
полета не превышает 5000 м.
Выявим чувствительность стартового веса к изменению скорости
старта. Для этого, приняв прежние значения Xi—х0; vx произвольно
будем задаваться величиной скорости старта v0. В этом случае
порядок расчета будет следующим:
3% Ло
i суХ^ — Xp _
0,5c
Л1 .
v = ^[l --(1 -
с
sin6
1—Vn Sin I
Qo=
(1—
Произведем расчет для заданных значений параметров
т]0 = 30; /0 = /1==200 кГ-сек\кг\ Ci = 4,25-10-3 сек\щ
Результаты расчета сведем в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Щ
400
500
600
630
700
805
По
30
30
30
30
30
30
1
0,95
0,94
0,92
0,92
0,90
0,88
Но
0,195
0,236
0,275
0,290
0,325
0,375
«1
697
700
700
700
697
703
5,20
4,80
4,25
4,00
3,40
2,40
0,282
0,240
0,195
0,180
0,146
0,095
h
10,9
10,0
9,2
9,0
8,6
7,9
Qo
2,44
2,41
2,42
2,43
2,50
2,65
501

Из анализа данных табл. 7. 1 следует, что экстремум веса
ракеты является очень пологим. Так, при изменении стартовой
скорости от 400 до 630 м/сек вес ракеты практически сохраняется
постоянным, находясь в пределах точности расчета. Из табл. 7. 1
также видно, что положение экстремума функции fo находится
в районе равных величин относительных запасов топлива.
Колебания конечной скорости ракеты на марше относительно
заданной ее величины (t»i = 700 м/сек), характеризующие точность
рассмотренной методики решения задачи в целом, являются вполне
допустимыми с инженерной точки зрения.
§ 6. ЗАМЕЧАНИЯ К ВЫБОРУ НАИМЕНЬШЕГО СТАРТОВОГО ВЕСА
ДВУХСТУПЕНЧАТОЙ РАКЕТЫ
Выше было изложено приближенное решение этой задачи.
Более точное определение наивыгоднейшего соотношения между
стартовой и маршевой скоростями, дающего наименьший вес ракеты
при постоянной силе тяги двигателя, можно получить в результате
совместного решения следующей системы уравнений.
А. Для ракеты с отделяемыми ступенями
dk dk
dk dk
4: ^
Б dk
(А1 Б'\
( )
где
g
l
g
Б. Для ракеты с неотделяем ы ми ступенями
В этом случае изменится только первое уравнение
dk
502

Остальные уравнения системы сохраняют свою силу. Эта
система уравнений решается графическим путем. Искомое значение
величины k определится соответственно в каждом случае
пересечением двух кривых:
1 — ЭоР-о dk aiK 1-Pim dk
Напомним, что, несмотря на общий характер постановки
задачи —■ отыскания экстремума, решение ее является приближенным
и без особых затруднений может быть использовано только в
случае, когда г|о>Ю; #<5000 м. Это решение, сохраняя
принципиальную нестрогость, как легко заметить, является сравнительно
громоздким и трудоемким. Использовать его целесообразно лишь при
наличии дискретной или аналоговой электронно-вычислительных
машин. На практике для ведения эскизного проектирования
достаточно приближенное решение, изложенное в § 5.
§ 7. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТИПИЧНЫХ ЗАДАЧ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Общая постановка задачи баллистического проектирования
сводится к определению веса и размеров ракеты, предназначаемой
для доставки полезного груза с гарантированной скоростью в
заданную точку пространства. В качестве исходных данных обычно
даны: вес полезного груза, дальность действия ракеты и ее
конечная скорость. Необходимо определить ее размеры, стартовый вес
и вес ее ступеней, а также необходимые запасы топлива двигателей
и их тяги.
Отсутствие точного значения аэродинамических характеристик
проектируемой ракеты и ее закона движения делают задачу
баллистического проектирования неопределенной, решение которой
производится методом последовательного сближения результатов.
Существенная зависимость веса ракеты от закона ее движения
приводит к необходимости рассмотрения нескольких вариантов
решения задачи с тем, чтобы найти оптимальный режим работы
двигателей, обеспечивающих наименьший вес ракеты.
Оптимальность решения достигается соответствующим выбором стартовой
скорости ракеты и тяги маршевого двигателя. Величина стартовой
скорости ограничивается наивыгоднейшим распределением топлива
между ступенями, при котором получается наименьший вес ракеты.
Для конкретизации решения поставленной задачи необходимо
предварительно задаться величиной аэродинамического
коэффициента лобового сопротивления, пользуясь данными статистических
материалов по аналогичным ракетам. Также ориентировочно
выбирают стартовую скорость.
503

После того, как в первом приближении определен вес и калибр
ракеты, уточняют величину ее аэродинамического коэффициента
лобового сопротивления и одновременно корректируют стартовую
скорость и тягу маршевого двигателя, обеспечивая тенденцию
понижения общего веса ракеты. На основании уточненных значений
стартовой скорости ракеты и аэродинамического коэффициента
лобового сопротивления с учетом углов атаки повторно решают
задачу определения запасов топлива, его распределения между
ступенями, тяги маршевого двигателя, весов ступеней ракеты
и ее размеров.
Пояснение методики баллистического проектирования
проиллюстрируем на числовых примерах ее типичной задачи для расчета
и проектирования РДТТ. Рассмотрим три примера, особенности
решения которых заданы высотами полета ракеты соответственно
// = 5000 м, Я=10 000 м и Я=15 000 м.
Пример 1. Найти стартовый вес и необходимые характеристики двигателей
двухступенчатой ракеты для доставки полезного груза весом 1 кг на высоту
5000 м при угле наклона траектории 6 =30°. Калибры маршевой и стартовой
ступеней одинаковые. Будем считать, что стартовый двигатель при л = 30
обеспечивает ракете скорость ио=7ОО м/сек, величина которой на маршевом участке
траектории поддерживается на заданном уровне. Это условие выполняется, если тяга
маршевого двигателя, как было показано выше, будет задана уравнением (7. 17).
Маршевая ступень ракеты имеет форму, обеспечивающую в конце старта
величину коэффициента сопротивления атмосферы Со=4,5-1О-3 сек/м. В величину
баллистического коэффициента с0 входит вес топлива стартовой ступени.
I. Вариант ракеты с неотделяем ой стартовой ступенью
Расчет баллистики
а) Стартовой ступени:
Коэффициент сопротивления движению ракеты
sine Bvl 0,5 1,5-10"5-7002
У _ 1 __ _ _ 1 =0 9
Ло Зло 30 3-30 ' '
где В= 1,5- 10—5 секЧм2 — коэффициент сопротивления атмосферы.
Относительная скорость
- у0 700
V°~ l.gh ~ 0,9-9,81 -200 ~ '
Относительный запас топлива
Но = 1 — е~ v°= 1 — е~0'4 --= 0,325.
Время работы двигателя
0,325-200
Путь ракеты
1 700-2,16
= 760 м.
б) Маршевой ступени:
504

Время движения ракеты ,
2АХ1 Х1~х0 Ю000-760
.*1 = 1^Г=~^~г 1= 700
где хх = Я/sin 6 = 10 000 ж; И = 5000 ж.
Тяговооруженность
sinB 5,25-10-3.700 + 0,5
= "
Со П —(1 — 2 19-10~5//)5-4
в1==Т^1 11,32.10-Я J*
Здесь принято #=5000 л«, так как величина Яо=Хо sin6 =380 jm
сравнительно мала.
Относительный запас топлива
■п, 4,1
^ 132027
Скорость ракеты на заданной высоте
P [1 пи
Po(1
где
4 9
— (1— H-i)v] = 780-0,545 + 700-0,455 — - ' _2 0,275 = 700 м/сек,
Ш 4,Ы03 . ti, ,
— =- = 780 м/сек; fi = — = 2,05-10~2 1/се«;
с 1 5,25 У!
v = ^ = 2,5; (v — 1)[1 = 3,Ы0~2 1/сек; (1 — (xj) = 0,73;
(1 — fJ.1)v = 0,455; (1 — (xj) — (1 — [ц)' = 0,275.
Полное время полета ракеты
in = ^о + ^1 — 15,36 сек.
Расчет веса ракеты
Стартовый
Qo = = 4,2 кг.
1 — Ро^о — PiP-i С1— Но)
Стартовой ступени
Qc = PoP-oQo = 1,5-0,325-4,2 == 2,06 кг.
Маршевой ступени
Qoi = Qo(1 — R)) =4,2-0,675 = 2,83 кг.
17 3058 505

Характеристики двигателей
Вес топлива стартовой ступени
<»о = [ло(?о = 0.325-4,2= 1,37 кг.
Тяга стартового двигателя
Л) = г1о<?О = 30-4,2 = 126 кГ.
Вес топлива маршевой ступени
Ш1 = M-iQoi = 0,27-2,83= 0,778 кг.
Тяга маршевого двигателя
/>1 = Л1<?01 = 4,1-2,83= 11,6 кГ.
Общий запас топлива
(О = (Dg + COj = 2,14 КГ.
II. Вариант ракеты с отделяемой стартовой ступенью
Относительные характеристики стартовой ступени ракеты остаются
прежними. Параметры маршевой ступени изменяются вследствие увеличения
баллистического коэффициента
c — = 6,9-10-3 сек/м; р0 = 1,5.
Тяговооруженность маршевого двигателя
Sin 6
Hi =o,z.
sin 6
1+0,5—-<!
Ji
Относительный запас топлива маршевой ступени
тц*1 5,2-13,2
fi, = JLi = — — =--=0,344.
1 Jx 200
Скорость ракеты на заданной высоте (поверочный расчет)
4,9
= 755-0,662+ 700-0,338 — !—^-0,318 =700 м1сек.
4;16-10 z
Стартовый вес ракеты при Pi = 80
Вес топлива стартовой ступени
a)o = fioQo= 1.3 кг.
Тяга стартового двигателя
=120 кГ.
506

Вес маршевой ступени
Qoi
Вес топлива маршевой ступени
«! =
Тяга маршевого двигателя
Р,= ^iQoi =Ю,7 кГ.
Результаты решений сведем в табл. 7. 2.
~Ро№) = 2,05 кГ.
= 0.69 кГ.

Варианты
I
II
V-o
0
0
325
325
1
1
,37
,30
По
30
30
Ро
126
120
v0
700
700
0,
0,
1
270
344
0
0
Л1
,77
,690
■П1
4,
5,
1
2
Р
11
10
1
6
7
700
700
Таблица
Qo
4,2
4,0
2
2
У. 2
Ooi
,83
,05
Анализ данных табл. 7. 2 убеждает в нецелесообразности отделять стартовую
ступень, так как в рассмотренном примере вес ракет обоих вариантов отличается
не более 5%.
Пример 2, Найти вес двухступенчатой ракеты с отделяемой стартовой
ступенью для доставки полезного груза весом 1 кг на высоту 10 000 м при угле
наклона траектории 30э и скорости ракеты у цели 700 мкек.
Для расчета относительного запаса топлива высоту полета разделим на два
участка по 5000 м каждый. В соответствии с данными табл. 7. 1 при стартовой
скорости Со=500 Шеек, и тяговооруженности маршевой ступени rii"=4,8 уже на
высоте 5000 м ракета приобретает скорость 700 м/сек. Для того чтобы обеспечить
эту скорость ракете на высоте 10 000 м, тяговооружеиность должна быть
понижена до величины, обеспечивающей скорость ракеты 500—600 мкек на высоте
5000 ж. Искомая величина тяговооруженности маршевого двигателя определяется
соотношением (7.17)
sine
1
U] — ^о sin 6
где
Va — стартовая скорость;
v\ — скорость ракеты на высоте 5000 ж;
Ati — время полета ракеты на высоту 5000 м;
сг=5,25 • 10—3 сек/м — баллистический коэффициент ракеты.
Решение задачи проведем для двух вариантов ракеты, имеющей различные
стартовые скорости с тем, чтобы впоследствии выбрать наиболее
удовлетворительный.
I. Вариант ракеты со стартовой скоростью vo = 600 м1сек
Фактическое значение скорости ракеты на высоте 5000 ж
Р = ~ [1 (1
v0 (I
— (1 —
gC— 1Ц
= 597 MJceK,
- [(1 - Д
17*
507

где
— = 725 м/сек; v1=^1= 2,71; ^ = —= 1,9.10-2 \/еек.
С\ p-i h
gcx — й-! = 3,25-10~2 \\сек: ио=500 м/сек;
Д^ ='НЩ =0,318; А^ = 2 •*1~~Xo-;
(1 — А^)"1 = 0,355; (1 — Др.,) — (1 —Д^)"1 =0,328;
тц = 3,8.
На втором участке маршевого пути движение ракеты будет происходить
в более разреженной атмосфере. Необходимый запас топлива, обеспечивающий
полет ракеты на высоту 10 000 м при наличии у нее скорости 600 м/сек иа высоте
5000 м, определим по тем же уравнениям, что и для первого участка маршевого
пути. При этом начальная скорость ракеты на втором участке будет равна
скорости в конце первого участка маршевого пути fo = fi = 597 м/сек.
Тяговооруженность маршевой ступени для второго участка траектории
должна быть пересчитана в соответствии с условием постоянной величииы силы тяги
двигателя
" I-ДР!
Новое значение баллистического коэффициента
с, Ti (6iai)cP 5,25-10~3
с2-=-—* L- ■ = ; 0,63=4,85-10 3 сек/м,
1—Др.! т2 (б2а2)ср 1—0,318
гДе Tigo«o= (ga)icp — среднее значение произведения плотности и скорости
звука на первом участке траектории;
T26iai = (ба)гср—-среднее значение произведения плотности и скорости
звука на втором участке траектории;
1—(1—2,19-10-5ДЯ12)5'4 1—(1—2,19-10~5A//li2)ll!i
Xl 2 = ^g~ ' Г7"5 '
при
Д//1 = ДЯ2; Tj=t2 и
Для высот Я0 = 400 м и Я! = 5000 ж
ли,
S0.63.
(ба)2ср
Время движения ракеты на втором участке маршевого пути
2 ДЯ2
М2 = ^— = 14 сек.
sin6 v1 + v2
Необходимый запас топлива
508
= — Д/j =0,39.

Тяговооруженность в начале второго участка маршевого пути
Ш3,8
1 — Д[Х1 1 ■—>0,328
Скорость ракеты иа высоте 10 000 м
~ '
(V2— 1)[Х2
где
^ МП -- [(1 — Д^) — (1 — Д^)"2] = 850 м/сек.
— = 1145 м',сек; v2 = ^i=
С2 [12
,12 = -^- = 2,78.10-2 1/сек; (1 — Д^Г^О/Л1'71 = 0,43.
■'г
П. Вариант ракеты со стартовой скоростью ио=5ОО м1сек
Полученное значение скорости vz=850 м/сек существенно больше требуемого
а2=700 м/сек. Для снижения скорости v% необходимо уменьшить скорость vu
Примем uo = fi = 5OO м/сек. Это означает, что на первом участке маршевого пути
ракета будет двигаться с постоянной скоростью. В этом случае начальная
тяговооруженность при Ci=5,25-10-3 сек/м
e1vl + sin 6
11
Необходимый запас топлива
Д[И = —Д*х = 0,286.
h
Время движения ракеты на первом участке
д*1= Xl~X° =48,5 сек.
Фактическая скорость ракеты на высоте 5000 м при vi = 3,33, r)i/ci = 590; Hi =
= 1,55- Ю-2; щ = 500 м/сек.
Результаты расчетов параметров движения ракеты на втором участке
маршевого пути:
П2 = -^ =4,25; f3=— =4,65-10 ;
1 — iflj 1 — i[lj QoaO
Д2== 2,13-10~2; gc2— M2 -2,42.10~2; v2 = 2,14;
2 ДЯ9 ti,
Д^2= — = 16,6 сек; Д[х2= 0,363;-м- = 915;
sin 6 Vi + V2 C2
v2 = 555 + 197 — 51 = 701 м/сек.
Второй вариант решения задачи дает требуемый результат.
Полное время движения ракеты на высоту 10 000 м
in = to + Д*1 + Щ — 37,0 сек.
509

Суммарный относительный запас топлива маршевой ступени
M-i = Д[*1 + Дм-2 (1 — дн) = 0,512.
Стартовый вес ракеты при (3О=1,3; f3i=l,5
_ 1
Qo ^(1 — 1.3-0,235X1 — 1,5-0512) = 6'16*2-
Произведем расчет ориентировочных размеров ракеты и характеристик ее
двигателей для полезного груза на борту ракеты 100 кг. Калибр ракеты при
весовой плотности ее конструкции y=1500 кг1мъ
-,3/ 4Q0 I/ 4-616
й = Л/ —^- = 1/ = 350 мм,
У ппу У Я12-1500
где п—12 — длина ракеты в калибрах;
Qo=lOOQo=616 кг — стартовый вес ракеты.
Длина ракеты /=лсГ=12 • 350=4200 мм.
Пссле определения калибра ракеты вычисляют площадь миделя и
фактическое значение баллистического коэффициента С[. В случае недопустимого
отличия его величины от ранее принятой, расчет производят заново для необходимого
уточнения результатов. Поперечная нагрузка при rf=350 мм составит <?м =
= Qo/Fm = 685O кГ1м\
Возможная величина аэродинамического коэффициента лобового
сопротивления в начале маршевого участка траектории
= 2с0ди = 2-4,5-10"3-6850 =
х0 ' voqo 500-0,12 ' '
где Qo=O,12 — массовая плотность воздуха на высоте 400 м.
Характеристики двигателей
Вес топлива стартовой ступени
fc>o = R>Qo= 0,235-616= 145 кг.
Тяга стартового двигателя
Л) = TioQo= 30-616 = 18 480 кГ.
Время работы стартового двигателя ]
Jo 200
<0 = ,л0-У- = 0,235 — = 1,6 сек.
Ло 30
Вес топлива маршевой ступени
Ш1 = P-iQoi = 0,512-435 = 223 кг.
Тяга маршевого двигателя
^1 = mQoi = 3.1 -435 =--1350 кГ.
Время работы маршевого двигателя
tl = ^L Jx =33,2 сек.
Л1
Результаты расчета сведем в табл. 7. 3.
510

5oO
0,235
145
Po
18480
Jo
200
*o
1,6
701
V-i
0,512
Mi
222
Pi
1350
Таблица 7.3
■Ji
200
<i
33,2
Пример З. По заданной наклонной дальности, скорости снаряда у цели,
выбранном угле бросания и заданной полезной нагрузке определить стартовый вес,
запас топлива стартовой и маршевой ступеней, время работы и тягу двигателей.
Примем за исходные данные следующие величины:
г,3= 1100 м1,сек; 8 = 30°;
70 = 7j = 200 кГ-сек/кг; AQ = 100 кг; Н = 15000 м.
Расчет баллистики . ,
а) Стартового участка
Учитывая, что конечная скорость и дальность ракеты достаточно большие,
для получения ракеты наименьшего веса целесообразно ее стартовую скорость
выбрать также высокой.
Принимаем в конце стартового участка и0=900 м/сек и о =4,7 се/с/ж.
Полная наклонная дальность полета
Ня 15000
Хз ~ sine ~ 0,5
Коэффициент сопротивления движению ракеты
= 30 000 м.
sine Bv20 0,5 1,5-10~5 (900)2
где
В = 1,5-10~5 секУм?; тю=30.
Относительная скорость
900
= 0,540.
и XgJ0 0,850-9,81-200
Относительный запас топлива
[ло^1 —е-°° = 1 — 2,718-°'54= 0,415.
Время работы двигателя
р-п 0,415
tQ=— Jo = ———Ш = 2,77 сек.
г|о 30
Путь ракеты
t0 900-2,77
б) Маршевого участка.
При высоте полета ракеты 15 000 м допустимо ее маршевую траекторию
разбить на три участка.
Первый участок (#0=625 м; #1=5000 м).
511

Баллистический коэффициент
с0 1— (1— 2,19-1(Г5Я1)5-4 1—(1—2,l9-10~5rti)''5
С1=1_,Ло 11,82-10-5Я1 3,285- 10~5tfi
Х
4,7-10~3 1—(1 — 2,19-10~ 5 • 5000)
1
1 — (1 —-2,19-10~5-5000)1-5
1—0,415 11,82-Ю""5 -5000 Х
3,285.10-^.5000
Заданная скорость на высоте 5000 м i>i = 700 м/сек. Время движения на
первом участке
лг, — х0 10 000—1250
A^2J ^ = 2 = 11 сек,
v0 + vi 900 + 700
где
Я 5000
х _ _ _ jo 000 м.
sin8 0,5
Тяговооруженность
^1—^о , . . , xi — х0
-j~ sin о Ч~ с 1
V] — Vn Sin
700 — 900 6,02-10—3(10000 — 1250)
_ 9.8Ы1 + >5+ 11
700 — 900 0,5
+ 2-9,81-200 + 2-200
Скорость ракеты i>i на заданной высоте
[
i —(i —
-1
go —
= ~ ,[1 — (1 — 0,0178-H)3'3] + 900(1—0,0178- ll)3-3
60210~3
6,02-10~3
где
. _ ти _3i56 .,
'6,02l0
0,0178 ~ '
512

Расхождение полученной скорости t»i = 712 м/сек с предполагаемой 700 м/сек
712 — 700
До=___10о=1,7и.
Принимаем £>i=i712 м/сек.
Второй участок (#t = 5000 ж; Я2=10 000 ж).
Исходные данные для расчета второго участка траектории:
v1 = 712 м\сек; ri! =3,56; сг = 6,02-10~3 сек\м.
Относительный запас топлива, сгоревшего на первом участке:
Д(х1 = ^1Д^= 0,0178-11 = 0,196.
Тяго вооруженность
т)1 3,56
443
Баллистический коэффициент
с, (еа)2сР 6,02-10~3 ,
с _1 = -J 0,63 = 4,71 -Wz сгк\м,
2 1 —Д^ (еа)1ср 1-0,196 ;
где
(Qfl)2cP 6а(Я=5000)
=, s 0,63.
(ва)1ср еа(Я 625)
Время движения на втором участке
~ Л? i//_712
= ~5,69 + V l5,69
712\2 „20 000—10 000
— = 13 сек,
5,69
где
v\=g 0i2 — sin 8 — c2v1) =
= 9,81 (4,43— 0,5 — 4,71-10"3-712) = 5,69 M\cet&.
Относительный вес топлива, сгоревшего на втором участке:
Д;л2 = ]х2М2 = 0,0221 • 13 = 0,287,
где
п J1 200
Скорость ракеты в конце второго участка траектории
(V2—
4,43
4,71-10
9,81-0,5
—з(1—0,494) + 712-0,494 —
=782 м/сек,
(2,09+1)0,0221 (
513

где
е = 1 — Д[Х2 -= (1 —0,287) = 0,713;
v= = (1 — Д(л2 У* = (1 — 0.287)2'09 ---- 0,494.
Уточняем Д/2; Д^г! V2'
20 000 — 10 000
712 + 782.
nx9xi 20 000 10 000
2 = 2 — L = 2 = 13,4 сек;
2 v + v 712 + 782
Д;л2 =-= (12д^2 = 0,0221-13,4= 0,296;
v2 = 2,09; e = I —Afi2= 1 — 0,296 = 0,704;
eV2 = (1 — A(i2)V2 = 0,7042-09 = 0,489;
4,43
Щ = 47Ы0~з
~з(1 ~°'489> + 712-0,489-
№.704-0,489)^782 «сек.
(2,09— 1)0,0221
Третий участок (#= 10000-М5000 м).
Исходные данные для расчета третьего участка траектории:
т)2 = 4,43; #=10000 лс; Д(л2 = 0,296;
с2 = 4,7Ы0~3сйк/л*; (i2 = 0,0221; v2 = 782 л/сек.
Тяговооруженность
"П1 3,56
% 1-Vc =1-0,434= 6>30>
где
А(лс = A(xj + Дм-2 (1 — Д."Ч) = 0. ^6 + 0,296 (1 — 0,196) = 0,434.
Баллистический коэффициент
с, (е«)зсР 6,02-Ю-3
сг^- L_ = --~-0,29 = 3,08-10-3се^
1—Д[лс fga)icP 1—0,434
где
(еа)3ср да (Я =10 000)
p да (Я = 625)
Время движения на третьем участке
782 , / /782 \ 2 30 000 — 20 000
где
^2 == ^ (Пз— sin 8 — c3w2) =9,81 (6,30 — 0,5 — 3,08 • 10~3-782)
=^33,2
514

Относительный вес топлива, сгоревшего на третьем участке:
Д[л3 = jj,3 Д^3= 0,031-10,5 = 0,326,
где
т)3 6,30
и,3=-^ = = 0,031.
rd Jx 200
Скорость ракеты в конце третьего участка траектории
3,08-10
9,81-0,5
1 -—g(i —0,685) -f-782-0,685 —
(0,96—1)0,ОЗ
где
(0,674 —0,685) = 1136 м1сек,
е = 1—0,326 = 0,674; v3 = — : -=0,96;
е^==0,674°'96 = 0,685.
Уточняем время движения на третьем участке
Хо — х9 30 000 — 20 000
Дг!3=2 — — = 2 •= 10,4 сек.
3 v3 + v2 1136 + 782
В результате расчета третьего участка получим:
т1з = 6,30; Д/3= 10,4 сек;
Д[л3= 0,326; с3 = 3,08-10~3 сек!м;
|13 = 0,031; г>3 = 1136 м,сек
Расчет веса и размеров ракеты
Относительный запас топлива маршевой ступени
Hj = Д(лс + Да3(1 —Д(л2) = 0,434 + 0,325(1 —0,434) = 0,616.
Стартовый вес ракеты с неотделяемой стартовой ступенью
ДО
' ' 100 >
(1—1,2-0,415) —1.2-0,616(1—0,415) "~
Вес маршевой ступени ракеты
Ooi = 0о(1 — Но) •= 1430(1 —0,415) =835 кг.
Калибр ракеты при весовой плотности ее конструкции у = 1200 кг/м1
з / з / '
* / 4Оп ., / 4-1430
d=i/ -^-=1/ =501 мм.
У яуп У 3,14-1200-12
515

Длина ракеты
= nd = 6000 мм.
Поперечная нагрузка ракеты
1430
FM ~ 0,785-0,5012
= 7200 кГ\лР.
Принятая в расчете поперечная нагрузка при реальной величине Сз: = 0,
для ракеты i>q=900 м/сек или М0=2,7
Qo cxMOQOao 0,3-2,7-0,12-330
^м = с~о = 4,7-10~3
= 7400 кГ\м\
Ошибка менее 3%, поэтому уточнять результаты решения задачи
нецелесообразно.
Характеристики двигателей
Вес топлива стартовой ступени
«0 = (i0Q0 = 0,415-1430 =594 кг.
Тяга стартового двигателя
^о = 4oQo = 30-1430 = 42 900 кГ.
Вес топлива маршевой ступени
coj =n1Q01 = 0,616-835=-- 515 кг.
Тяга маршевого двигателя
Р\ = П1О01 = 3,56-835 = 2970 кГ.
Общий запас топлива
<о = соо+ со! = 594 + 515 = 1109 кг.
Полное время работы
tn--=t0 + Д*1 + Д*2 + Д^з = 2,77+ И + 13,4+ 10,4 —.37,57 сек.
Результаты расчета сведем в табл. 7. 4.
Таблица 7А
1430
Wo
900
Jo
200
ш0
594
/>о
42900
*0
2,77
*>з
1136
h
200
Ш1
515
Pi
2970
h
34,8
§ 8. ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА ЗАПАСА ТОПЛИВА РАКЕТЫ
С УЧЕТОМ КРИВИЗНЫ ЕЕ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА
Выше была изложена приближенная инженерная теория
баллистического проектирования ракетных снарядов с РДТТ.
Приближенность этой теории состоит в том, что она построена на
зависимостях для прямолинейного движения ракеты. В действительности
плоское движение ракеты описывается двумя уравнениями, так как
в общем случае ее траектория имеет кривизну.
516

Первое из них — уравнение движения вдоль касательной к
траектории, второе — вдоль- нормали к касательной.
Рассмотрим в общем виде решения нескольких частных задач
баллистического проектирования с учетом кривизны траектории
движения ракеты.
Hi
Рис. 7.З.
В общем случае уравнение плоского движения ракеты,
(рис. 7.3), совершающей маневр с заданной поперечной
перегрузкой n = v2lgR в естественной системе координат имеет вид
где
I
— vt~P cos a — cxqf — Q sin б;
g
Qn = P sin a \-cyqf — Qcos8,
б— угол тангажа;
Q— текущий вес ракеты;
(7.27)
<7 = -r-Qt>2—скоростной напор;
/— площадь крыла ракеты;
Р— тяга двигателя.
Согласно выражению для сил, действующих на ракету по нормали
касательной к траектории:
, Q (п + cos 6) — Р sin a
QJ—
(7. 28)
Подставляя выражение (7.28) в первое уравнение (7.27), получим
iL v't = P cos a — Q sin G — -^ [Q(n-\-cos 6) — Р sin а]. (7.27')
517

Запасы топлива для РД при движении ракеты
с постоянной скоростью
Так как —=—-^—; т]=[а./, то для частного случая, когда
Q 1—м-
= 0, согласно уравнению (7.27') вправе написать
I 1 —м-
где К = су/сх ■— качество крыла.
Величина параметра К при неизменной высоте и скорости
полета ракеты зависит от угла атаки а. Откуда следует, что
(sin a-\-K cos a) / — In—— = /i + cos 9 + K sine. (7.29)
Рассмотрим решение уравнения (7.29) для некоторых частных
случаев полета ракеты, когда угол атаки крыла сохраняется
постоянным или допустимо принять, что sin a + К cos a = К.
Движение ракеты с постоянной скоростью v't = 0
i по дуге окружности
В этом случае dt=Rdb/v, а поэтому
К /!Linl^i^==:W(6_60)-f (sin 6 — sin 60) — AT (cos в — cos в0), (7.30)
где R — радиус кривизны траектории.
В зависимости от пути ракеты (х) формула (7. 30) имеет вид
KJv In bzi^o = nR !_£—e\_|_#/sin_£ sineo
1 — \i. \ R 1 \ R
+ Ar(cos60-cos—
Откуда относительный запас топлива двигателя для реализации
движения ракеты с постоянной скоростью по заданной дуге
окружности
_ F_
Р = 1 -(1-Н)е ]\ (7.31)
где
xQ ^ х — путь ракеты.
518

Потребная тяговооруженность
1 —
или
Здесь [х0 — запас топлива ракеты, обеспечивающий ракете
стартовую скорость:
1 — Но
где 7=1—■s ° коэффициент потери скорости от со-
По 3По противления атмосферы и силы
тяжести Земли;
В = сх ——коэффициент сопротивления воздуха.
2Qo
При определении абсолютной величины тяги следует
воспользоваться формулой P = t)Qo, где Qo— стартовый вес, т. е. вес ракеты
с учетом [Ло- Если в уравнениях (7.30), (7.31), (7.32) \х.о принять
равным нулю (цо = О), то тогда
где Qoi = Qo(l—(хо) —вес ракеты в начале маршевого участка ее
траектории, т. е. при G = 6о-
Величину (1—цо) для большой тяговооруженности можно под-
считать по формуле (1—цо)=е 18J° . Исключая из уравнения
(7.32) член (1—[Ло), получим
/<sin6 n
е
Движение ракеты с постоянной скоростью
по эквипотенциальной поверхности
В случае, когда R очень велико (и б0 очень мало), а путь
ракеты мал по сравнению с радиусом эквипотенциальной поверхности,
например, для Земли, то функция F стремится к пределу:
R х R I х\
\ + х — sin — + Кх — 1 — cos —-
х Я х \ Я)
hm i ^-=—, так как
хп ■
X JJ
К К
519

lim—sin—=1; Hm — M-cos — ) = 0; xn =
R x R « x \ R )
sin; m cos ) 0; xn x^O;
x R «_>eo x \ R ) gR
/?4=-e0s0.
g
Подставляя найденное предельное значение параметра Fao = x/k
в формулы (7.31) и (7.32), получим
JvK
_
При допущении, что 1—jio=e хгУ° , приходим к выражениям
/с '
Если ввести тяговооруженность двигателя относительно
начального веса маршевой ступени ракеты, то
»!„ ==_!-= _Le-1^7. jxM=l_e-W, (7.33)
1 — Мо К
где t = x/v — время активного движения ракеты на маршевом
участке ее траектории.
Для заданного запаса топлива (им) путь x = KJvln .
1 —м-м
Движение ракеты с постоянной скоростью
под постоянным углом к эквипотенциальной поверхности (Ь°Ф0)
Раскроем неопределенность функции
Р Rn (9 — 60) + R (sin 9 — sin fl0) + KR (cos 60 — cos 8)
К
где 6 = 60 + i.
к
Тогда при R-^oo будет lim Rn(Q — 60) = lim— (6 — 60) = 0;
R-*°° 9-в„ g
(XX \
sin60cos--|-sin— cos 60 — sin60 =xcos80;
R R j
lim KR (cos 60 — cos 6) = lim RK (cos 60 — cos 60 cos — -f
л-оо д-*~ \ R
-f- sin 60 sin —\=Kx sin 60.
Предел функции F при /? =? oo будет lim F = — (cos 60-f/C sin 80).
520

Поэтому необходимые запас топлива и тяга двигателя для мар ■
шевой ступени определяются формулами:
- -— (cos в„+К sin в0)
а=1 — е кз ;
'~
— -тгг (cos во+f sin 8»)
e KJ
К
(7.34)
При Оо=0° формулы (7.34) вырождаются в найденные выше
зависимости (7. 33).
Ускоренное движение ракеты на маршевом участке траектории
с заданной поперечной перегрузкой \п — —
\ Rgl
В общем случае уравнение плоского движения ракеты вдоль
касательной к траектории имеет вид (7.27') или
J<-v't = Jp——(/Ccosa + sina) — (/С sin 9 +cos 8+л), (7.35)
g 1 — f*
где
at
Интегрирование уравнения (7.35) npna = const, ii=const, /C = const
и допущении, что [J. = ^cp=—pi; К cos a -(-sin a =ё К; R = <Rcp =
= /?,-_! -| : , приводит к зависимости
2ng
2g
где
2
/e [(Sin8-sin
У f + f о
" 1\ ДО'
Откуда следует, что необходимая тяговооруженность
521

■к+.
— sin80)
2g
■K+ #cp [(sine— sin 60) +
+/gcosf)0—cos fl)+n(fl —Op)]
+ К (cos 60— cos 6) + n (8 — 60)]} + К (х—х0)
2ng
При этом запас топлива определяется формулой
1 С ,
* X — Х(\ v
х— х0
(7.36)
J v + -
Для случая, когда траектория ракеты прямолинейна (R = oo)
и • проходит под углом 6 —6о к эквипотенциальной поверхности
Земли, найденная формула (7.36) после раскрытия
неопределенности приобретает вид
AT + (cosao+ATsin60)
х0)
J V + V0
■ К+ (cos 60+ A: sin 60)(л:—х0) + К (х—х0)
При полете ракеты по эквипотенциальной поверхности (90=0)'
необходимая величина тяговооруженности двигательной установки
маршевой ступени составит
Если при интегрировании уравнения движения ракеты по дуге
окружности (/? = const) (7.35)
g 1 — v-
осреднить величину v = vcp=v v° в его правой части, то
получим приближенную зависимость для необходимого запаса топлива
522

2g 2 1 — ц.
+ /C(cos90-cos9)+rt(8-e0)].
При 6 = 6О; 1^ = оо имеем
2g 2 1-fx ч
cos %+K (sin 9o+ яос)
Откуда р=\ — е KJ
l
где nOc = средняя осевая перегрузка ракеты;
2 (х *)
г1 = 2 •*~J:o—время активного движения ракеты.
При решении задачи баллистического проектирования ракеты
на основе приведенных формул необходимо ее траекторию полета
разбить на несколько участков и заменить их дугами окружностей.
Таким образом, траектория полета ракеты будет состоять из ряда
сопряженных между собой дуг окружностей. При этом в местах
сопряжения конечные параметры движения ракеты на
предшествующем участке будут начальными для последующего отрезка ее
траектории. В точке сопряжения отрезков траектории радиус
кривизны изменяется внезапно.
Результаты расчетов весовых характеристик ракеты для
прямолинейной и криволинейной траектории, имеющих одну и ту же
траекторную протяженность, отличаются менее 10%.
ЛИТЕРАТУРА
1. БаррерН., ЖомоттА., Вебек Б. Ф., Ванденкеркхове Ж-,
Движение ракет, ИЛ, 1959.
2. Бесс ер ер К. У., Инженерный справочник по управляемым снарядам,
Воениздат, 1962.
3. Б о н н и Е. А., Ц у к р о в Н. Д., Б е с с е р е р К- У-, Аэродинамика, Теория
реактивных двигателей, конструкция и практика проектирования, Воениздат, 1959.
4. Гантмахер Ф. Р. и Левин Л. Н., Теория полета неуправляемых
ракет, Физматгиз, 1959.
5. Гинзб.ург И. П., Устойчивость движения и кучность боя мин и
реактивных снарядов, ЛГУ, 1949.
6. Дэвис Л., и др., Внешняя баллистика ракет, Воениздат, 1961.
7. Л о к к А. С., Управление снарядами, ИЛ, 1957.
8. Орлов Б. ВиМазинг Г. Ю., Термодинамические и баллистические
основы проектирования ракетных двигателей на твердом топливе,
Машиностроение, 1964.
9. Ш а п и р о Я. М., Внешняя баллистика, Оборонгиз, 1946.
10. Ш а п и р о И. И., Расчет траекторий баллистических снарядов, ИЛ, 1961.

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
ТАБЛИЦА ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
X
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0.018 ■
0,020
0,022
' 0,024
0,026
0,028
0,030
0.032
0,034
0,036
0,038
0,040
0,042
250,001
125,002
83,3363
62,5040
50,0050
41,6727
35,7215
31,2580
27,7868
25,0100
22,7383
20,8453
19,2438
17,8711
16,6817
15,6410
14,7229
13,9069
13,1769
12,5200
11,9258
X
0,044
0,046
0,048
0,050
0,052
0,054
0,056
0,058
0,050
0,062
0,064
0,066
0,068
0,070
0,072
0,074
0,076
0,078
0,080
0,082
0.084
0,086
11,3856
10,8926
10,4407
10,02500
9,64140
9,28626
8,95657
8.64969
8,36333
8,09552
7,84450
7,60876
7,38694
7,17786
6,98044
6,79380
6,61695
6,44926
6,29000
6,13856
5,99438
5,85695
X
0,088
0,090
0,092
0,094
0,096
0,098
0,100
0,102
0,104
0,106
0,108
0,110
0,112
0,114
0,116
0,118
0,120
0,122
0,124
0,126
0,128
0,130
К (к)
5,72582
5,60056
5,48078
5,36615
5,25633
5,15104
5,05000
4,95295
4,85969
4,76998
4,68363
4,60046
4,52029
4,44297
4,36835
4,29529
4,22667
4,15936
4,09426
4,03126
3,97025
3,91116
х
0,132
0,134
0,136
0,138
0,140
0,142
0,144
0,146
0,148
0,150
0,152
0.154
0,156
0,158
0,160
0,162
0,164
0,166
0,168
0,170
0,172
0,174
3,85388
3,79835
3,74447
3,69219
3,64143
3,59213
3,54422
3,49766
3,45238
3,40834
3,36548
3,32376
3,28313
3,24356
3,20500
3,16742
3,13078
3,09505
3,06019
3,02618
2,99298
2,96057
524

Продолжение
1
0,176
0,178
0,180
0,182
0,184
0,186
0,188
0,190
0,192
0,194
0,196
0,198
0,200
0,202
0,204
0,206
0,208
0,210
0,212
0,214
0,216
0,218
0,220
0,222
0,224
0,226
0,228
0,230
0,232
0,234
0.236
0,238
0,240
0,242
0,244
2,92891
2,89799
2,86778
2,83826
2,80939
2,78117
2,75358
2,72658
2,70017
2,67432
2,64902
2,62426
2,60000
2,57625
2,55298
2,53019
2,50785
2,48595
2,46449
2,44345
2,42282
2,40258
2,38273
2,36325
2,34415
2,32539
2,30698
2,28892
2.27117
2,25375
2,23665
2,21984
2,20334
2,18712
2,17x18
X
0,246
0,248
0,250
0,252
0,254
0,256
0,258
0,260
0,262
0,264
0,266
0,268
0,270
0,272
0,274
0,276
0,278
0,280
0,282
0,284
0,286
0,288
0,290
0,292
0,294
0,295
0,298
0,300
0,302
0,304
0,306
0,308
0,310
0,312
0,314
К (I)
2,15558
2,14013
2,12500
2,11013
2,09551
2,08113
2,06699
2,05308
2,03940
2,02594
2,01270
1,99967
1,98685
1,97424
1,96182
1.949.-Ю
1,93756
1,92572
1,91405
1,90257
1,89125
1,88011
1,86914
1,85833
1,84768
1,83719
1,82685
1,81666
1,80663
1,79674
1,78699
1,77738
1,76791
1,75857
1,74936
X
0,316
0,318
0,320
0,322
0,324
0,326
0,328
0,330
0,332
0,334
0,336
0,338
0,340
0,342
0,344
0,346
0,348
0,350
0,352
0,354
0,356
0,358
0,360
0,362
0,364
0,366
0,358
0,370
0,372
0,374
0,376
0,378
0,380
0,382
0,384
К (I)
1,74028
1,73133
1,72250
1,71384
1,70521
1,69574
1,68839
1,68015
1,67203
1,66401
1,65610
1,64829
1,64059
1,63299
1,62549
1,61809
1,61078
1,60357
1,59646
1,58943
1,58250
1,57565
1,56889
1,56222
1,55563
1,54912
1,54270
1,53635
1,53009
1,52390
1,51779
1,51175
1,50579
1,49990
1,49409
X
0,386
0,388
0,390
0,392
0,394
0,396
0,398
0,400
0,402
0,404
0,406
0,408
0,410
0,412
0,414
0,416
0,418
0,420
0,422
0,424
0,426
0,428
0,430
0,432
0,434
0,436
0,438
0,440
0,442
0,444
0,446
0,448
0,450
0,452
0,454
1,48834
1,48266
1,47705
1,47151
1,45604
1,45063
1,45528
1,45000
1,44478
1,43963
1,43453
1,42949
1,42451
1,41959
1,41473
1,40993
1,40517
1,40047
1,39584
1,39125
1,38671
1,38223
1,37779
1,37341
1,36908
1,36479
1,36055
1,35637
1,35222
1,34813
1,34408
1,34007
1,33611
1,33220
1,32832
525

Продолжение
X
0,456
0,458
0,460
0,462
0,464
0,466
0,468
0,470
0,472
0,474
0,476
0,478
- 0,480
0,482
0,484
0,486
0,488
0,490
0,492
0,494
0,496
0,498
0,500
0,502
0,504
0,506
•0,508
0,510
0,512
0,514
0,516
0,518
0,5.10
0,522
0,524
1,32449
1,32071
1,31696
1,31325
1,ЗС959
1,30596
1,30238
1,29883
1,29562
1,29185
1,28842
1,28503
1,28167
1,27835
1,27506
1,27181
1,26859
1,26541
1,26226
1,25915
l,25iO7
1,25302
1,25000
1,24702
1,24407
1,24114
1,23825
1,23539
1,23257
1,22977
1,22699
1,22425
1,22154
1,21886
1,21620
X
0,526
0,528
0,530
0,532
0,534
0,536
0,538
0,540
0,542
0,544
0.546
0,548
0,550
0,552
0,554
0,556
0,558
0,560
0,562
0,564
0,536
0,568
0,570
0,572
0,574
0,576
0,578
0,580
0,582
0,584
0,586
0,588
0,590
0,592
0,594
К(Х)
1,21357
1,21097
1,20840
1,20585
1,20333
1,20084
1,19837
1,19593
1,19351
1,18112
1,18875
1,18641
1,18409
1,18180
1,17953
1,17728
1,17506
1,17286
1,17068
1,16853
1,16639
1,16428
1,16220
1,16013
1,15808
1,15306
1,15405
1,15207
1,15011
1,14817
1,14624
1,14434
1,14246
1,14060
1,13875
X
0,596
0,598
0,600
0,602
0,604
0,606
0,608
0,610
0,612
0,614
0,616
0,618
0,620
0,622
0,624
0,626
0,628
0,630
0,632
0,634
0,636
0,638
0.640
0,642
0,644
0,646
0,648
0,с50
0,652
0,654
0,656
0,658
0,660
0,662
0,664
К 00
1,13693
1,13512
1,13334
1,13157
1,12982
1,12809
1,12637
1,12467
1.123С0
1.12133
1,11969
1,11806
1,11645
1,11486
1,11328
1,11172
1,11018
1,10865
1,10714
1,10555
1,10417
1,10270
1,10125
1,09982
1,09840
1,09700
1.0G561
1,09423
1,(;9287
1,09153
1,09020
1,08888
1,08758
1,08629
1,08501
X
0,666
0,668
0,670
0,672
0,674
0,676
0,678
0,680
0,682
0,684
0,686
0,688
0,690
0,692
0,694
0,696
0,698
0,700
0,702
0,704
0,706
0,708
0,710
0,712
0,714
0,715
0,718
0,720
0,722
0,724
0,726
0,728
0,730
0,732
0,734
1,08375
1,08251
1,08127
1,08005
1,07884
1,07765
1,07647
1,07530
1,07414
1,07300
1,07187
1,07075
1,06964
1,06855
1,06746
1,06639
1,06533
1,05429
1,06325
1,06223
1,06122
1,06022
1,05923
1,05825
1,05728
1,05633
1,05538
1,05445
1,05352
1,05261
1,05171
1,05082
1,04993
1,04906
1,04820
52J

Продолжение
X
0,736
0,738
0,740
0,742
0,744
0,746
0,748
0,750
0,752
0,754
0,756
0,758
0,760
0,762
0,764
0,766
0,768
0,770
0,772
0,774
0,776
0,778
0,780
0,782
0,784
0,786
0,788
0,790
0,792
0,794
0,796
0,798
0,800
0,802
0,804
КО)
1,04735
1,04651
1,04568
1,04485
1,04405
1,04324
1,04245
1,04167
1,04090
1,04013
1,03938
1.038КЗ
1,03790
1,03717
1,03645
1,03574
1,03504
1,03435
1,03367
1,03300
1,03233
1,03168
1,03103
1,03039
1,02976
1,02913
1,02852
1,02791
1,02732
1,02673
1.02614
1,02557
1,02500
1,02444
1,02389
X
0,806
0.8С8
0,810
0,812
0,814
0,816
0,818
0,820
0,822
0,824
0,826
0,828
0,830
0,832
0,834
0,836
0,838
0,840
0,842
0,844
0,846
0,848
0,850
0,852
0,854
0,856
0,858
0,860
0,862
0,864
0,866
0,868
0,870
0,872
0,874
КО)
1,02335
1,02281
1,02229
1,02177
1,02125
1,02075
1,02025
1,01976
1,01928
1,01880
1,01833
1,01787
1,01741
1,01696
1,01652
1,01609
1,01566
1,01524
1,01483
1,01442
1,01402
1,01363
1,01324
1,01286
1,01248
1,01211
1,01175
1,01140
1,01105
1,01071
1,01037
1,01004
1,00972
1,00940
1,00908
X
0,876
0,878
0,880
0,883
0,884
0,886
0,888
0,890
0,892
0,894
0,896
0,898
0,900
0,902
0,904
0,906
0,908
0,910
0,912
0,914
0,916
0,918
0,920
0,922
0,924
0,926
0,928
0,930
0,932
0,934
0.936
0,938
0,940
0,942
0,944
к а)
1,00878
1,00848
1,00818
1,00790
1,00671
1,00734
1,00707
1,00680
1,00654
1,00629
1,00604
1,00580
■1,00556
1,00533
1,00510
1.00488
1,00466
1,00445
1.00425
1,00405
1,00385
1,00366
1.00348
1,00330
1.00313
1,00296
1,00280
1,00264
1,00248
1,00233
1.00219
1,00205
1,00192
1,00179
1,00166
X
0,946
0,948
0,950
0,952
0,954
0.956
0,958
0,930
0,962
0,964
0,9%
0,968
0,970
0,972
0,974
0,976
0,978
0,980
0,982
0,984
0,986
0,988
0,990
0,992
0,994
0,996
0,998
1,000
1,002
1,004
1,006
1.008
1,010
1,012
1,014
КО)
1,00154
1,00143
1,00132
1,00121
1,00111
1,00102
1,00092
1,00084
1,00075
1,00067
1,00060
1,00053
1,00047
1,00041
1,00035
1,00030
1,00025
1,00021
1,00017
1,00013
1,00010
1,00008
1,00005
1,00003
1,00002
1,00001
1,00000
1,00000
1,00000
1,00001
1,00002
1,00003
1,00005
1,00007
1,00010
527

1,
1,
1,
1,
1
1,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
I
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A
016
018
020
022
024
026
028
030
032
034
036
038
040
042
044
046
048
050
052
054
056
058
,060
062
,064
,066
,068
,070
.072
,074
,076
,078
,080
,082
,084
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
]
1
1
1
1
1
«CM
00013
00016
00020
00024
00028
,00033
,00038
,00044
,00050
,00056
,00063
,00070
,00077
,00085
,00093
.00101
,00110
,00119
,00129
,00139
,00149
,00159
,00170
,00181
,00193
,00205
,00217
,00229
,00242
,00255
,00269
,00282
,00297
,00311
,00326
X
1,086
1,088
1,090
1,092
1,094
1,096
1,098
1,100
1,102
1,104
1,106
1.108
1,110
1,112
1,114
1,116
1,118
1,120
1,122
1.124
1,126
1,128
1,130
1,132
1,134
1,136
1,138
1,140
1,142
1,144
1,146
1,148
1,150
1,152
1,154
1,00341
1,00356
1,00372
1,00388
1,00404
1,00421
1,00438
1,00455
1,00472
1,00490
1,00508
1,00527
1,00545
1,00564
1,00584
1,00603
1,00623
1,00643
1,00664
1,00684
1,00705
1,00726
1,00748
1,00770
1,00792
1,00814
1,00837
1,00860
1,00883
1,00907
1,00930
1,00954
1,00979
1,01003
1,01028
X
1,156
1,158
1,160
1,162
1,164
1,166
1,168
1,170
1,172
1,174
1,176
1,178
1,180
1,182
1,184
1,186
1,188
1,190
1,192
1,194
1,196
1,198
1,200
1,202
1,204
1,206
1,208
1,210
1,212
1,214
1.216
1,218
1,220
1,222
1,224
/CM
1,01053
1,01078
1,01104
1,01130
1,01156
1,01182
1,01208
1 ,'01235
1,01262
1,01290
1,01317
1,01345
1,01373
1,01401
1,01430
1,01459
1,01488
1,01517
1,01547
1,01576
1,01606
1,01636
1,01667
1,01698
1,01728
1,01760
1,01791
1,01823
1,01854
1,01886
1,01819
1,01951
1,01984
1,02017
1,02050
Продолжение
X
1,226
1,228
1,230
1,232
1,234
1,236
1,238
1,240
1,242
1,244
1.246
1,248
1,250
1,252
1,254
1,256
1,258
1,260
1,262
1,264
1,266
1,268
1,270
1,272
1,274
1,276
1,278
1,280
1,282
1,284
1,286
1,288
1,290
1,292
1,294
t
1,
1
1,
1
1
1,
1,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
02083
02117
02151
02185
02219
02253
02288
02323
02358
02393
02429
02464
02500
02536
02573
02609
02646
02683
02720
02757
02795
02832
02870
02908
02947
,02985
,03024
,03063
,03102
,03141
,03180
,03220
,03260
,03300
,03340
528

Продолжение
1
1,296
1.298
1,300
1,302
1,304
1,306
1,308
1,310
1,312
1,314
1,316
1,318
1,320
1,322
1,324
1,326
1,328
1,330
1,332
1,334
1,336
1,338
1,340
1.342
1,344
1.346
1.348
1,350
1.352
1.354
1,356
1,358
1,360
1,362
1,364
К (Ц
1.03380
1,03421
1,03462
1,03503
1,03544
1,03585
1,03627
1,03668
1,03710
1,03752
1,03794
1,03837
1.03879
1,03922
1,03965
1,04008
1,04051
1,04094
1,04138
1,04182
1,04225
1,04269
1,04314
1,04358
1,04403
1,04447
1,04492
1,04537
1,04582
1,04628
1,04673
1,04719
1,04765
1,04811
1,04857
X
1,366
1,368
1,370
1,372
1,374
1,376
1.378
1,380
1,382
1,384
1,386
1,388
1,390
1,392
1,394
1,396
1,398
1,400
1,402
1,404
1.406
1,408
1,410
1,412
1,414
1,416
1,418
1.420
1,422
1.424
1,426
1,428
1,430
1,432
1,434
1,04903
1,04950
1,04997
1,05043
1,05090
1,05137
1,05185
1,05232
1,05280
1,05327
1,05375
1,05423
1,05471
1,05520
1,05568
1,05617
1,05666
1,05715
1,05764
1,05813
1,05862
1,05911
1,05961
1,06011
1,06061
1,06111
1,06161
1,06212
1,06262
1,06313
1,06363
1.06414
1,06465
1,06516
1,06568
).
1,436
1,438
1,440
1,442
1,444
1,446
1.448
1,450
1,452
1,454
1,456
1,458
1,460
1,462
1,464
1,466
1,468
1,470
1,472
1,474
1,476
1,478
1,480
1,482
1,484
1,486
1,488
1,490
1,492
1,494
1,496
1,498
1,500
1,502
1,504
ATM
1,06619
1,06671
1,06722
1,06774
1,06826
1,06878
1,06931
1,06983
1,07036
1,07088
1,07141
1,07194
1.07247
1,07300
1,07353
1,07407
1,07460
1,07514
1,07568
1,07622
1,07676
1,07730
1,07784
1,07838
1,07893
1,07948
1,08002
1,08057
1,08112
1,08167
1,08223
1,08278
1,08334
1,08389
1,08445
X
1,506
1,508
1,510
1,512
1,514
1,516
1,518
1,520
1,522
1,524
1,526
1,528
1,530
1 532
1,534
1,536
1,538
1,540
1,542
1,544
1,546
1,548
1,550
1,552
1,554
1,556
1,558
1,560
1,562
1,564
1,566
1,568
1,570
1,572
1,574
КО)
1,08501
1,08557
1,08613
1,08669
1,08725
1,08782
1,08838
1,08895
1,08952
1,09009
1,09066
1,09123
1,09180
1,09237
1,09295
1,09352
1,09410
1,09468
1,09526
1,09584
1,09642
1,09700
1,09758
1,09817
1,09875
1,09934
1,09993
1,10052
1,10110
1,10170
1,10229
1,10288
1,10347
1,10407
1,10466
529

Продолжение
X
1,576
1,578
1,580
1,582
1,584
1,586
1,588
1,590
1,592
1,594
1,596
1,598
1,600
1,602
1,604
1,606
1,608
1,610
1,612
1,614
1,616
1,618
1,620
1,622
1,624
1,626
1-.628
1,630
1,632
1,634
1.636
1,638
1,640
1,642
1,644
К (I)
1,10526
1,10586
1,10646
1,10706
1,10766
1,10826
1,10886
1,10947
1,11007
1,11068
1,11129
1,11189
1,11250
1,11311
1,11372
1,11434
1,11495
1,11556
1,11618
1,11679
1,11741
1,11803
1,1.1864
1,11926
1,11988
1,12051
1,12113
1,12175
1,12238
1,12300
1,12363
1,12425
1,12488
1.12551
1,12614
X
1,646
1,648
1,650
1,652
1,654
1,653
1,658
1,660
1,662
1,664
1,666
1,668
1,670
1,672
1,674
1,676
1,678
1,680
1,682
1,684
1,686
1,688
1,690
1,692
1,694
1,696
1,698
1,700
1,702
1,704
1,706
1,708
1,710
1,712
1,714
1,12677
1,12740
1,12803
1,12867
1,12930
1,12993
1,13057
1,13121
1,13184
1,13248
1,13312
1,13376
1,13440
1,13505
1,13569
1,13633
1,136S8
1,1,3762
1,13827
1,13891
1,13956
1,14021
1,14086
1,14151
1,14216
1,14281
1,14347
1,14412
1,14477
1,14543
1,14609
1,14674
1,14740
1,14806
1,14872
к
1,716
1,718
1,720
1,722
1,724
1,726
1,728
1,730
1,732
1,734
1,736
1,738
1,740
1,742
1,744
1,746
1,748
1,750
1,752
1,754
1,756
1,758
1,760
1,762
1,764
1,766
1,768
1,770
1,772
1,774
1,776
1,778
1,780
1,782
1,784
1,14938
1,15004
1,15070
1,15136
1,15203
1,15269
1,15335
1,15402
1,15469
1,15535
1,15602
1,15669
1,15736
1,15803
1,15870
1,15937
1,16004
1,1,6072
1,16139
1,16207
1,16274
1,16342
1,16409
1,16477
1,16545
1,16613
1,16681
1,1,6749
1,1,6817
1,1,6885
1,16953
1,17022
1,1,7090
1,17159
1,1,7227
X
1,786
1,788
1,790
1,792
1,794
1,796
1,798
1,800
1,802
1,804
1,806
1.8С8
1,810
1,812
1,814
1,816
1,818
1,820
1,822
1,824
1,826
1,828
1,830
1,832
1,834
1,836
1,838
1,840
1,842
1,844
1,846
1,848
1,850
1,852
1,8,54
1,17296
1,17364
1,17433
1,17502
1,17571
1,17640
1,17709
1,17778
1,17847
1,17916
1,17986
1,18055
1,18125
1,18194
1,18264
1,18333
1,18403
1,18473
1,18543
1,18613
1,18783
1,18753
1,18823
1,18893
1,18963
1,19033
1,19104
1,19174
1,19245
1,19315
1,19386
1,19457
1,19527
1,19598
1,19669
530

Продолжение
X
1,856
1,858
1,860
1,862
1,864
1,865
1,868
1,870.
1,872
1,874
1,876
1,878
1,880
1,882
1,884
1,886
1,888
1,890
1,892
1,894
1,896
1,898 -
1,900
1,902
1,904
1,906
1,908
1,910
1,912
1,914
1,916
1,918
1,920
1,922
1,924
1,19740
1,19811
1,19882
1,19953
1,20024
1,20096
1,20167
1,20238
1,20310
1,20381
1,20453
1,20524
1,20596
1,20668
1,20740
1,20811
1,20883
1,20955
1,21027
1.21099
1,21172
1,21243
1,21316
1,21388
1,21461
1,21533
1,21606
1,21678
1,21751
1.2Т824
1,21896
1,21969
1.22042
1,22115
1,2218
X
1,926
1,928
1,930
1,932
1,934
1,936
1,938
1,940
1,942
1,944
1,946
1,948
1,950
1,952
1,954
1,956
1,958
1,960
1,962
1,964
1 ,£63
1,968
1,970
1,972
1,974
1,976
1,978
1,980
1,982
1,984
1,986
1,988
1,990
1,992
1,994
к а)
1,22261
1,22334
1,22407
1,22480
1,22553
1,22627
1,22700
1,22773
1,22847
1,22920
1,22994
1,23068
1,23141
1,23215
1,23289
1,23363
1,23437
1,23510
1,23584
1,23658
1,23733
1,23807
1,23881
1,23955
1,24030
1,24104
1,24178
1,24253
1,24327
1,24402
1,24476
1,24551
1,24626
1,24701
1,24775
1
1,996
1,998
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,С8
2,09
2.Ю
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,20
2,21
2,22
2,23
2.24
2,25
2,26
2,27
2,28
2,29
2,30
2,31
2,32
,24850
,24925
,25000
,25370
,25752
1,26130
1,26510
1,26890
1,27272
1,27654
1,28038
1,28423
1,28809
1,29196
1,29585
1,29974
1,30364
1,30756
1,31148
1.31541
1.31936
1,32331
1,32727
1,33124
1,33522
1,33921
1.34321
1,34722
1,35124
1.35526
1.35930
1,36334
1,36739
1.37145
1,3755
1
2,33
2,34
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2,40
2,41
2,42
2,43
2,44
2,45
2,46
2,47
2,48
2,49
2,50
2,51
2,52
2,53
2,54
2,55
2,56
2,57
2,58
2,59
2,60
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67
,37959
,38367
,38776
,39186
1,39597
1,40008
1,40420
1,40833
1,41247
1.41661
1,42076
1,42492
1,42908
1,43325
1,43743
1,44161
1,44580
1,45000
1,45420
1,45841
1,46263
1,46685
1,47106
1,47531
1,47955
1,48380
1,48805
1,49231
1,49657
1,50084
1,50511
1,50939
1,51368
1,51797
1,52226
531

Продолжение
X
2,68
2.69
2,70
2,71
2.72
2,73
2,74
2,75
К (к)
1,52656
1,53087
1,53518
1,53950
1,54382
1,54815
1,55248
1,55682
X
2,76
2,77
2,78
2,79
2,80
2,81
2,82
2,83
К (к)
1,56116
1,56550
1,56985
1,57421
1,57857
1,58293
1,58730
1,59168
X
2,84
2,85
2,86
2,87
2,88
2,89
2,90
2,91
К (к)
1,59605
1,60044
1,60482
1,60921
1,61361
1,61801
1,62241
1,62680
X
2,92
2,93
2,94
2,95
2,96
2,97
2,98
2,99
3,00
К (к)
1,63125
1,63565
1,64007
1,64449
1,64892
1,65335
1,65778
1,66222
1,66665
Приложение 2
ТАБЛИЦА ПЕРЕВОДА РАЗМЕРНОСТЕЙ В СИСТЕМУ СИ
Основные единицы: масса — кг, длина—■ м, время — сек.
Физическая величина
Тяга (сила) Р
Давление р
Работа, энергия,
теплота A, Q
Мощность iV
Импульс силы J
Массовый расход G
Весовой расход G
Массовая плотность q
Удельный вес у
Единичный импульс 1\
Удельная
теплоемкость с
Энтальпия /
Внутренняя энергия U
Энтропия S
Удельная энтропия Sq
Размерность
принятая в книге
кГ
кГ/см2
кГ-м/кал
кГ-м1сек
кГ-сек
кг/сек
кГ/сек
кг/мз
кГ/м3
кГ/см3
кГ-сек[кг
ккал/кГ ■ град
ккал/кг
■>
кцал\град
ккал\град-кг
по системе СИ
н
HJM2
дж
дж\сек-вт
н-сек
кг,'сек
н\сгк
кг/м3
н/мз
н-сек/кг
дж/н-град
дж-кг
дж]град
дж/град-кг
Переходной

коэффициент
9,81
9.81-104
9,81-4,18
9,81
9,81
1,0
9,81
1,0
9,81
9,81-10 + 6
9,81
4,18-103
4,18-Юз
.4,18-103
4,18-103
532

Продолжение
Физическая величина
Тепловой поток q
Удельный тепловой
поток
Коэффициент
теплоотдачи а
Коэффициент
теплопроводности X
Коэффициент
температуропроводности а
Кинематическая
вязкость V
Коэффициент
динамической ВЯЗКОСТИ fi
Сила топлива /о
Газовая постоянная
Механический
эквивалент
принятая в
ккал/м2
ккал1м?-час
ккал/м2час •
ккал/м-сек
ккал/м-час-
М2\час
м2{сек
кГ-сек/м?
кГ-дм'кг
кГ -м\кг
Я=8,32-103
1/Л=427 кГ
Размерность
книге
град
град
град
■ м/ккал
по системе СИ
дж/м2
дж1м2-час-вт1м2
вт1м2град
вт/м ■ град
м2/час
м2/сек
н-сек/м2
н-м/кг
дж/град ■ кмоль
А=\ дж/н-м
Переходной

коэффициент
4,18-103
4,18-103
1,16
4,18-103
1,16
1
1,00
9,81
9,81-10
9,81

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Глава I. Теоретические принципы прикладной газовой динамики 5
§ 1. Уравнение механики сплошной среды 8
§ 2. Уравнение сохранения вещества 14
§ 3. Уравнение сохранения механической энергии 15
§ 4. Закон сохранения энергии, или первое начало термодинамики . . 16
§ 5. Интегральная форма закона сохранения энергии, или второе
начало термодинамики 18
Литература 22
Глава II. Практические задачи газовой динамики ракетоствольных систем 23
§ 1. Газодинамические параметры состояния стационарного ногоха 23
§ 2. Течение газа в сопле 30
§ 3. Отклонение газового потока в кососрезанных сопле и
цилиндрическом насадке 41
§ 4. Перетекание газа из одного резервуара в другой 49
§ 5. Истечение газа из полузамкнутого объема с подвижным дном
при наличии теплоотдачи 63
§ 6. Течение газа в трубе при внезапном расширении сечения потока 72
§ 7. Движение газа в проточном резервуаре с внезапными уширениями 79
§ 8. Теоретические обоснования расчета и проектирования
газоотводных устройств для нестационарного газового потока 87
§ 9. Расчет силы давления газа на поршень в полузамкнутом цилиндре.
Активный усилитель отдачи стрелкового оружия 93
§ 10. Распределение стационарного газового потока между боковыми
каналами проточного резервуара, расположенными под
произвольным углом к его оси 96
§ 11. Изменение полной реакции или полного импульса потока путем
отвода газа из проточного резервуара в стороны. Газовый тормоз
артиллерийского орудия ., 106
§ 12. Течение газа со скачком уплотнения 113
§ 13. Обтекание конуса сверхзвуковым потоком 124
§ 14. Обтекание сверхзвуковым потоком полостей, расположенных под
тупым углом 132
§ 15. Упрощенное решение задачи внутренней баллистики
классического артиллерийского орудия 139
§ 16. Упрощенное решение задачи внутренней баллистики динамо-
реактивного орудия 155
§ 17. Особенности расчета внутренней баллистики частично
уравновешенного орудия 163
§ 18. Расчет эжекциониого устройства артиллерийского орудия . . . 166
Литература 178
534

Стр.
Глава III. Теплообмен в РДТТ 180
§ 1. Механизм теплообмена в РДТТ 182
§ 2. Передача тепла от газа к сгенке двигателя конвекцией .... 186
§ 3. Лучистый теплообмен в РДТТ 194
§ 4. Среднее эффективное значение коэффициента теплоотдачи . . . 198
§ 5. Температурное поле стенки РДТТ 201
§ 6. Инженерные методы расчета нагрева однослойной стенки РДТТ 205
§ 7. Расчет температурного поля стенки РДТТ с помощью
моделирующих устройств 215
§ 8. Расчет пассивного теплозащитного покрытия 221
§ 9. Теплообмен между газом и стенкой двигателя при абляции . . . 228
§ 10. Расчет температурного поля активного теплозащитного покрытия
с внутренним уносом массы 243
§ 11. Теплофизические параметры активных теплозащитных покрытий 257
§ 12. Нагрев и эрозия сопла 265
Литература 276
Глава IV. Горение твердых ракетных тогошв 279
§ 1. Основные характеристики твердых ракетных топлив и зарядов 279
§ 2. Определение характеристик переноса для продуктов сгорания
твердых ракетных топлив 298
§ 3. Механизм горения твердых ракетных топлив 308
§ 4. Скорость горения твердых ракетных топлив 315
§ 5. Влияние скорости газового потока на скорость горения твердых
ракетных топлив (эрозионное горение) 334
§ 6. Воспламенение твердых ракетных топлив " . 352
§ 7, Вибрационное горение . . ■ 364
Литература ,... 372
Глава V. Внутренняя баллистика РДТТ 374
§ 1. Период автономного горения воспламенителя 376
§ 2. Выбор наибольшего давления воспламенителя 380
§ 3. Период совместного горения воспламенителя и топлива .... 385
§ 4. Период стабилизации давления в камере сгорания 389
§ 5. Период последействия тяги 391
§ 6. Выходные характеристики ракетного двигателя на баллиститном
топливе 393
§ 7. Расчеты заряда с цилиндрической формой канала 399
§ 8. Пример расчета кривой давления в камере РДТТ при степенном
законе горения a=«ipv 403
§ 9. Параметры состояния потока газа в канале заряда и их связь
с полным давлением на входе в конфузор сопла 413
§ 10. Основное требование к топливу для РДТТ 418
§ 11. Особенности внутренней баллистики РДТТ для топлив при
аппроксимации их законов горения линейной зависимостью и=а + Ьр и
функцией типа Саммерфильда м= — 420
§ 12. Особенности расчета и проектирования РДТТ при наличии
конденсированной фазы в продуктах сгорания 430
§ 13. Чувствительность выходных характеристик РДТТ к инерции
конденсированной фазы продуктов сгорания 438
§ 14. Течение двухфазового потока в сопле и расчет выходных
характеристик РДТТ на смесевом топливе 441
Литература 454
535

Стр.
Глава VI. Регулирование вектора тяги РДТТ в полете по величине и
направлению 456
§ 1. Изменение силы тяги РДТТ при помощи газоотводного устройства 456
§ 2. Регулирование вектора тяги РДТТ при помощи кососрезанного
соплового насадка 460
§ 3. Поперечная составляющая реакции потока при боковом вводе
газа в сопло 462
§ 4. Регулирование силы тяги РДТТ по величине 466
§ 5. Временные характеристики переходных процессов для давления
в камере и тяги РДТТ при изменении площади критического
сечения сопла 474
Литература 480
Глава VII. Баллистическое проектирование ракет с РДТТ 481
§ 1. Расчет запаса топлива при дозвуковом режиме движения ракеты 484
§ 2. Расчет запаса топлива при сверхзвуковом режиме движения
ракеты 486
§ 3. Выбор тяги, обеспечивающей движение ракеты с постоянным
ускорением 494
§ 4. Стартовый вес многоступенчатой ракеты 495
§ 5. Выбор стартовой скорости ракеты 497
§ 6. Замечания к выбору наименьшего стартового веса
двухступенчатой ракеты 502
§ 7. Методика решения типичных задач баллистического
проектирования 503
§ 8. Зависимости для расчета запаса топлива ракеты с учетом
кривизны ее траектории полета 516
Литература 523
Приложения
1. Таблица газодинамических параметров 524
2. Таблица перевода размерностей в систему СИ 532
Борис Викторович Орлов,
Георгий Юрьевич Мазинг
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ И БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
Редактор Т. А. Валединская Художник Я. Т. Дворников
Техн. редактор В И. Орешкина Корректор В. Е. Блохина
Г-52551
Формат
Бумага
Цена 1
60X90'А,
№ 1
р 24 к.
Сдано
в набор
Печ.
15/ХП 1967 г.
л. 33,50
Тираж 7500 экз.
Подписано в печать 6/VIII 1968 г.
Уч.-изд. л. 29,70
Тем. 1
Бум. л. 16,7Г>
Заказ 3058/1878
глан 1968 г. № К).
Издательство «Машиностроение», Москва, К-51, Петровка, 24
Московская типография № 8 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР,
Хохловский пер., 7.