Текст
Коэн
Время частотные распределения:
Обзор
// ТИИ'}Р. 1989. Т.77.
Х!! 10. с. 72 120.
21.391.246 : 519,224
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989
\ .
I
ремя частотные распредеnения: Обзор
1. КОЭН
'ime---Frequency Distributions A Review
EON COHEN
lаказnая статья
Статья посвящена обзору и систематнзнрованному обсуж
,ению ндей н методов определения совместных время частот-
ых распределений, с тем чтобы показать, каким образом
:пектральное содержимое Toro или HHoro сиrнала меняется
10 времени, и изложить процесс развития физическнх и мате--
sатических идей, необходнмых для понимания Toro, что
Iредставляет из себя изменяющийся во времени (т. е. HeCTa
lионарныА) спектр. Основная задача в данной области
lТыcKaTЬ некоторое распределение, которое позволяет оха-
)актеризовать энерrию, или ннтенснвность, произвольноrо
:иrнала одновременно во времени и по частоте. И хотя наи-
олее важные понятия в этой области начали формироваться
ще 40 лет назад, заметные успехи достнrнуты в ней и в по-
l:JIедние rоды. Данная обзорная статья написана для Toro,
ЧТобы соответствующне вопросы стали по.иятными неспециа-
листу в этой области, в связи с чем основное внимание yдe
лено рассмотренню Bcero Toro разнообразия идей и мотивиро-
вок, которые способствовали ее формированню.
1. ВВЕДЕНИЕ
. Возможности стандартноrо . спектральноrо aHa
лиза, oCHoBaHHoro на использовании преобразования
Фурье, обусловлены тем, что он позволяет осущест
вить разложение исследуемоrо сиrнала на отдельные
частотные компоненты и установить относительную
мощность (или интенсивность) каждой такой компо
ненты. Однако энерrетический спектр ничеrо не rOBo
рит нам о том, коrда появляются эти частоты. Так,
например, частотный состав достиrающеrо нас света
при длящемся очень короткое время заходе Солнца
будет, очевидно, очень сильно отличаться от ero ча
cTOTHoro состава, который он имеет в течение большей
части дня. Если выполнить спектральный анализ сол
нечноrо света от восхода до заката, то спектр плот
ности энерrии ска1Кет нам о том, что спектральный
состав солнечноrо света значительно изменился в те-
чение этих последних пяти минут. В том случае,
коrда изменения относительно медленны, мы можем
выполнить спектральный анализ 5-мин выборок сиr
нала и получить достаточно хорошее представление
О'ТОМ, чем ,спектр солнечноrо света во время заката
отличается от спектра 5 мин интервалов в полдень.
Этот подход МО1КНО усовершенствовать, сдвиrая 5-мин
Получеиа 21 марта 1988 r., в исправленном виде 30 мар-
та 1989 r.
Рroе. ТЕЕЕ, 1989, уо1. 77, No. 7, р. 941 981.
Manuscript received March 21, 1988; revised March ЗО, 1989. Thi5
work w s supported in part Ьу the City University Research Award
Program.
The author is with the Department of Physics and Astronomy.
Hunter College and Graduate Center, City University о/ New York,
New York, NY 10021, USA.
IEEE Log Number 892844З.
I
интервалы вдоль оси времени, т. е. определяя спектр
в каждый момент времени с помощью 5 мин BpeMeH
Horo окна и отображая энерrетический спектр как
непрерывную функцию времени. До тех пор пока на
этих 5 мин интервалах отсутствуют быстрые измене-
ния, они будут хорошо характеризовать изменение
спектральноrо состава солнечноrо света в течение дня.
Если же будут возникать значительные быстрые изме
нения с периодом, существенно меньшим 5 мин, то
следует соответствующим образом уменьшить длитель-
ность BpeMeHHoro окна. Описанный подход лежит в
основе так называемоrо KpaTKoBpeMeHHoro преобра-
зования Фурье (или cneKTporpaMMbl), которое в на-
стоящее время является стандартным методом иссле-
дования нестационарных сиrналов. Однако сущест
вуют естественные и искусственные сиrналы, спект
ральное содержимое которых изменяется столь быстро,
что трудно подобрать подходящее короткое временное
окно, поскольку может просто не существовать вре-
MeHHoro интервала, на котором исследуемый сиrнал
оказывается более или менее стационарным. Кроме
Toro, уменьшение длительности BpeMeHHoro окна, с тем
чтобы оно позволяло локализовать события во вре-
мени, ухудшает разрешение по частоте. Следовательно,
мы имеем дело с неизбежным компромиссом между
временным и частотным разрешением. Возможно, наи-
более типичным примером сиrналов, спектр которых
быстро и сложным образом изменяется во времени,
является человеческая речь. Именно это послужило
причиной анализа речи, что привело в 1940-х п. к
изобретению cneKTporpaMMbl [113, 1601, которая сов-
местно с последующими достижениями была положена
в основу стандартноrо и мощноrо средства анализа
нестационарных сиrналов [5, 6, 68, 75, 111, 112, 126,
150, 151, 158, 163, 164, 174]. В тех случаях, коrда
недостатки, присущие кратковременному пробразова
нию Фурье и ero различнЬiМ вариантам, проявляются
слабо, оно остается rлавным методом анализа сиrна-
лов, спектр которых меняется во времени.
Начиная с классических работ fабора [801, Виля
[1941 и Пейджа [154],для изучения нестационарных
. спектров применялись различные подходы. И хотя
теперь принято rоворить, что это объяснялось жела-
нием улучшить характеристики спектроrраммы, сей
час с точки зрения исторической ретроспективы стало
ясно, что rлавными причинами были поиск фундамен-
тальных основ анализа и уточнение тех физических и
математических идей, необходи ых для понимания
Toro, что представляет собой изменяющийся во вре-
мени спектр. Основная идея здесь связана с отыска-
ВРЕМЯ ЧАcrОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
73
rде
'"
нием некот!>рой совместной функции времени и часто-
ты (т. е. HeKoтoporo распределения), которая будет
описывать плотность энерrии, или интенсивность,
произвольноrо сиrнала одновременно во временной и
частотной областях. В идеальном случае с подобным
совместным распределением можно было бы обращать-
ся как с любой функцией плотности более чем от
одной переменной. Так, например, имея совместную
плотность ДЛЯ роста и веса людей, мы моrли бы полу
чить распределение их роста, просто прои'нтеrрировав
эту совместную плотность по весу. Мы моrли бы
определить относительное количество людей с весом
более 75, но менее 80 Kr, имеющих рост от 152 до 182 см.
Аналоrичным образом мы моrли бы получить распре
деление веса при том или ином значении роста, опре
делить корреляцию между весом и ростом н т. п.
Основной aprYMeHT, обосновывающий поиск COBMe
cTHoro время-частотноrо распределения, это тот
факт, что мы сможем использовать это распределение
и обращаться с ним точно таким же образом. Иными
словами, при наличии TaKoro распределения мы моrли
бы определить относительную долю энерrии на той
или иной частоте в требуемом интервале времени, рас-
считать распределение частоты в конкретный момент
времени, найти rлобальные и локальные моменты этоrо
распределения, такие как средняя частота и ее ло-
кальный разброс, и т. п. Кроме Toro, если бы мы имели
в своем распоряжении метод, позволяющий связы
вать то или иное распределение с конкретным сиrна
лом, то мы обладали бы мощным средством для синте-
за сиrналов с требуемыми свойствами. Процедура
синтеза сводил ась бы при этом к построению COB
местной время-частотной функции с требуемыми свой
ствами и последующем получении сиrнала, который
соответствует данному распределению. Иными сло-
вами, мы моrли бы синтезировать сиrналы, обладаю-
щие требуемыми временными и частотными xapaKTe
ристиками. Следует, конечно, отметить и тот факт,
что время частотный анализ обладает рядом уникаль
ных особенностей (так, скажем, он подчиняется прин-
о ципу неопределенности), что, естественно, дополни-
тельно расширяет и обоrащает ero возможности.
Обращаясь к стандартному анализу на основе
преобразоввния Фурье, напомним, что под мrновенной
энеI'rией сиrнала s(/) понимается абсолютное значе-
ние квадрата этоrо сиrнала, т. е.
15(t)1 2 == интенсивность на единицу времени в момент времени t
110
6
или
Is(t)1 1 t.t == ОТtlоситеn ая знерrия 80 времвнн6м инте вanе lJ
в момент времени '.
(1.1)
Под интенсивностью сиrнала на единичном частотном
интервале н, или спектром плотности ero энерrии,
понимается абсолютное значение квадрата преобра
зования Фурье этоrо сиrнала, т. е.
15(w)1 2 == интенсивность на ед ницу частоты на часТоте ы
или
i5("')12 ",
ОТНОсительная энерrия 8 частотном интервале &J
На частоте "'.
(1.2)
1) Мы используем в статье уrловую частоту, а все интеr
ралы берутся, если 9ТО специально не oroBopeHo, в пределах
от "" до +"".
1 r .
5(",) .JЪr J s(t)e ''''' dt.
(1.3)
Условие нормировки выбирается таким образом, что-
бы выполнялось следующее равенство:
J Is(t)1 2 dt J \5("')12 d", поnная знерrия 1, (1.4)
('де для удобства всеrда полаrается, что величина
полной энерrии равна единице 2). Основная наша
цель найти некоторую совместную функцию вре-
меии и частоты, характеризующую энерrию, или ин-
тенсивность, сиrнала одновременно на единичном
временном и единичном частотном интервалах. Сле-
довательно, обозначая совместное время-частотное
распределение через Р (t, (0), мы можем записать что
P(t, (&}) == ИНТ8НСИВНОСПt 8 момент времени t на частоте (IJ
или
P(t, "') t '" относитеnьная знерrия е ячейке рuреllения 4,&>
в момент времвнИ' I на частоте 111.
в идеальном случае, суммируя это распределение
энерrии по всем частотам в некоторый момент времени,
мы должны получить мrновенную энерrию сиrнала, а
суммируя это распределение по времени при том или
ином конкретном значении частоты, должны полу-
чить спектр плотности энерrии:
J P(t, ",) d", Is(tiI 2 ,
J P(t, ",) dt 15("')12.
(1.5)
(1.6)
Величина полной энерrии Е, выраженная через
это распределение, будет определяться выра]Кением
Е J P(t, "') d", dt
(1.7)
и должна быть равной полной энерrии сиrнала, если
выполняются условия существования одномерных
(или безусловных) распределений. Заметим тем не
менее, что возможны распределения, которые дают
правильное значение полной энерrии сиrнала, но не
удовлетворяют условию существования одномерных
распределений.
И здесь мы ДОЛ]КНЫ задаться мноrими вопросами.
Существуют ли совместные время частотные распре
деления, удовлетворяющие нашим интуитивным поня
тиям о нестационарном спектре? Можно ли интерпре
тировать их как истинные плотности или распределе-
ния? Каким образом можно строить такие функции?
Будут ли они действительно характеризовать Koppe
2) Снrналы. не уДовлетворяющие условИlU нормировки,
можно рассматривать как предельные случаи нормируемых
сиrналов или же использовать для операций с ними обобщен-
ные функции.
74
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989
ляцию между временем и частотой? Ка'Ковы разумные
условия, при которых можно определить подобные
функции? Если положить, что они действительно
существуют, но не являются в полном смысле истин
ннми плотностями, то В чем состоит то наилучшее, что
мы сможем сделать? Существует ли KaKoe TO одно наи
л}чшее распределепие или, скажем, в различных
случаях следует использовать разные распределения?
Имеются ли какие либо оrраничения, присущие тому
или иному совместному время частоТlЮМУ распределе
нию? Все это относится к области теории время-ча
стотных распределений.
Краткое содержание статьи, обознаЧЕния и тepм.u
нолоzuя. Основные идеи и методы, разработанные в
данной области, не требуют от читателя какой либо
специальной математической подrотовки, поэтому в
последующем изложении основное внимание уделено
фуидаментальным идеям, арrументации инерешенным
вопросам. Хотелось бы надеяться, что все это окажется
-интересным и для специалистов соответствующих
профессий.
Сразу же оrоворимся, что мы намерены оrраничить
свое обсуждение теми видами распределений, которые
были предложены Виrнером, Вилем, Пейджем, Риха-
чеком и друrими исследователями, и будем paCCMaT
ривать только детерминированные сиrналы. Возмож
ны, конечно, и друrие весьма плодотворные, но
качественно отличные подходы к совместному время-
частотному анализу сиrналов, однако здесь они рас-
сматриваться не будут. Следует, в частности, отме-
тить теорию эволюционных спектрnв Пристли [)62]
и тот факт, что выполненный им анализ основных
понятий, связанных с изменяющимися '130 времени
спектрами, относится к числу наиболее rлубоких.
Не будем мы также рассматривать и подход [абора,
хотя он и связан со спектроrраммой. обсуждаемой в
разд. VI.
При рассмотрении множества частных случаев и
примеров мы, как это обычно бывает, очень быстро
скатываемся в <!'Трясину» мноrочисленных подстрочных
и надстрочных индексов. В связи с этим в статье
используются простые обозначения, а различие между
обсуждаемыми случаями и примерами проводится,
если это не приводит к путанице. на основе их KOH
текста, . а не применяемых обозначений.
Некоторые термины MorYT оказаться непривыч
ными и даже трудно воспринимаемыми рядом читате
лей. Мноrие термины, подобные распределению в
вероятностном смысле, используются по чисто исто-
рическим причинам. Эти распределения стали впервые
использоваться в квантовой механике, rде такие Tep
мины, как «плотность вероятности» и «распределение»,
применяются вполне корректно. Однако при анализе
детерминированных сиrналов элементы теории вероят
ностей не вводятся, поэтому распределения следует
рассматривать как «интенсивности» или «плотности» В
общеупотребительном значении этих слов или же
просто как «распределения» энерrии в элементе (ячей-
ке) разрешения по времени и частоте. Разумеется,
мноrие понятия теории вероятностей применимы и к
интенсивностям, скажем средние (выборочные) зна
чения и их разброс, поэтому при аиализе случайных
сиrналов понятия теории вероятностей вводятся и
используются вполне корректным образом. Как мы
увидим ниже, мноrие из известных распределений
MorYT становиться отрицательными и даже комплекс-
ными, в связи с чем их иноrда называют квазираспре-
делениями или псевдораспределеНIIЯМИ. Кроме тoro,
заимствованный нз теории вероятностей термин
«марrинальное (или частное:) распределение.» будет Ц""
пользоваться для обозначения одномерноrо распреде-
ления только по времени или только по частоте. Мар-
rинальные распределения по той или иной перем!:нноА
получаются из cOBMecTHOro распределения посредст-
вом ero интеrрирования 110 остальным переменным.
Следовательно. 18(t)l2 и IS(w)l2 определяемые форму-
лами (1.5) и (1.6), являются марrинальными, или
частными, распределениями cOBMecTHoro время ча-
cToTHoro распределения Р (t, ы).
..
11. КРАТКИй ИСТОРИЧЕСКИй ОБЗОР И ПРИМЕРЫ
Хотя мы будем подробно обсуждать свойства не-
которых частных распределений, целесообразно все
же дать вначале краткий исторический обзор данной
области. Прежде Bcero следует упомянуть о двух
основополаrающих статьях [абора [во] и Виля [194J,
касающихся функции cOBMecTHoro распределения в
рассматриваемом здесь смысле. [абор и Внль руко-
водствовались некоторыми сходными построениями
из квантовой механики, в которых прослеживается
частичное математическое подобие с время частотным
анализом. Это подобие мы обсудим позже, а сейчас
лишь отметим тот факт, что физические интерпретации
результаi"ов в этих областях резко различны, а про
слеживающаяся аналоrия носит только формальный
харю<тер. rабор разработал математический метод,
тесно связанный с так называемыми коrерентными
состояниями в квантовой механике, и в упомянутой
выше статье ввел важное понятие аналитическоrо
сиrнала. Что касается Виля, то он получил распре
деление, которое Виrнер [199] использовал в' 1932 [.
для исследований' по квантовой статистической Mexa
нике. Мойял 1I43] примерно в то же время, что и
Виль, использовал идентичный вывод в контексте
квантовомеханической задачи. ХQТЯ мы и упОтребили
здесь слово «вывод», следует отметить некоторую
неопределенность в методе Виля и Мойяла, и MHoro
позже этот метод вывода был использован в ряде ЗЗ'lдач
для получения друrих распределений. Распределение
Виrнера Виля описывается следующим выраже
нием:
W(t, "') 2 I 5*(t т) е /Т<"5(t + т) dT. (2.1)
Оно обладает марrинальными распределениями, но
останавливаться на этом мы сейчас не будем. Позднее
мы покажем, как по виду распределения можно бы-
стро установить, обладает ли оно данным свойством.
I(ирквуд [1071 спустя rод после публикации статьи
Виrнера получил еще одно распределен не и показал,
что в некоторых задачах ero проще использовать, чем
распределение Виrнера; оно имеет следующий простой
вид:
1
e(l, "') 5(1) S*(",)e /",r.
v21f
(2.2)
o распределение и ero варианты МО)КНО получить
мноrими способами и независимо использовать при
ВРЕМЯ ЧАСТОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
анализе сиrналов. Б частности, один новый метод ero
вывода, основанный на ряде физических соображений,
был предложен Рихачеком [1671. Левин [125] выводил
ero, несколько изменив эти исходные условия, что
привело к распр делению Пейджа (152). MapreHay и
Хилл [J331'получили ero с помощью методов Виля и
Мойяла. Заметим, что распределение (2.2) является
комплексным, поэтому ero иноrда называют комплекс-
ным энерrетическим спектром. Действительная часть
этоrо распределения также является некоторым рас-
пределением, которое обладает марrинальными рас-
пределениями.
В 1952 r. Пейдж [1521 разработал 110нятие TeKY
щеrо спектра. Используя простой в концептуальном
отношении подход, Пейдж получил новое распределе
нне и ввел термин «мrновенный спектр мощности».
Распределение Пейджа имеет следующий вид:
д 1 1 I ' .. 1 2
P (t,..,) s(t')e /"" d/' .
at .J2; oo
(2.3)
Тернер [190) и Левин [1251 отмечали, что метод вывода
Пейджа можно использовать и для получения друrих
распределений.
rлубокое всестороннее исследование было выпл
нено в 1970 [. Марком В381, в работе KOToporo были
развиты мноrие идеи, широко применяемые сеrодня.
Марк отметил трудности, связанные с ложными зна
чениями в распределении Виrнера, ввел понятие
«физическоrо» спектра, который, по сути дела, npek
ставляет собой спектроrрамму, и показал ero связь с
распределением Виrнера. Фундаментальные понятия,
касающиеся время-частотных распределений и HeCTa
ционарных процессов, были введены Бланк-Лапьером
и Писенбоно [24], Лойнсом [1281 и Лакумом и Кофма-
ном [1211.
Одна из rлавных трудностей при построении лоrи
чески' последовательной теории время частотных pac
пределен ий обусловлена тем фактом, что д:!же эти
несколько распределений сильно различаются по
своему виду и каждое из них обладает какими либо
особыми, присущими только ему свойствами. 1'ем не
менее каждое из них удовлетворяет условиям ще
ствования марrинальных распределений, обладает
рядом друrих полезных свойств и, по-видимому, впол.
не может претендовать на роль время-частотноrо спек
тра. Кроме Toro, при выводе каждоrо из них были
использованы вполне реальные идеи. Неясным OCTa
валось лишь то, сколько подобных распределений
существует, а также то, являются ли наблюдаемые
особенности общими для всех распределений или же
они присущи только отдельным распределениям.
Впоследствии было установлено [58], что бесконечное
число подобных распределений можно получить из
распределения вида
P(t, ..,) 4:2 111 е i81 i7"'+18иф(8, Т).
. s.(u т) s(u + т) du dT d8, (2.4)
rде Ф (8, 't) некоторая произвольная функция, наз-
ванная ядром 81 В работе Класена и Мекленбраукера
[56]. Выбирая различные цдра, можно получать раз-
личные распределения. Так, например, распределе-
7S
ниям Биrнера, Рихачека и Пейджа соответствуют я'n'ра
Ф (8, t) 1, е,ОЧ 2 и e iOI "[I/2. Наличие npocToro M
тода для rенерации всех распределений позволяет
доказывать общие результаты и определять, какие
особенности присущи тому или иному частному pac
IIределению, а какие являются общими для всех рас-
пределений. Не менее важен и тот факт, что, налаrая
на ядро определенные оrраничения, можно получить
некоторое ПОДМНОJКество таких распределений, KOТO
рые будут обладать каким либо конкретным свойст-
вом [58]. Иными словами, свойства распределения
определяются выбором соответствующеrо ядра.
Б течение примерно 10 последних лет наблюдается
значительное оживление активности вданной области,
начальным стимулом которой послужили работы
Класена и МеклеНб r аукера [54 56), Я:нсе и Кайзера
[971, Буашаша (35 и ряда друrих исследователей.
BaJКHOCTЬ всех этих работ состоит в том, что в них были
развиты идеи, наилучшим образом подходящие для
время частотноrо анализа, и продемонстрированы
полезные методы для их реализации. Кроме Toro, в
них по новому прозвучал подход к использованию
сходства и различий с квантовой механикой. В своей
серии статей (54 56] Класен и Мекленбраукер разра
ботали исчерпывающий подход к анализу совместных
распределений и предлоJКИЛИ MHoro новых идей и про
цедур для их исследования. Буашаш [351, возможно,
был первым, кто применил совместные распределения
для решения реальных задач и разработал целый ряд
новых методов. В частности, он показал, что, если
некоторое распределение даже и не обладает в пол
ной мере всеми требуемыми свойствами или интерпре
тациями, оно все же MOJКeT быть использовано, если
одно ero частное свойств.о, а нменно мrновенная ча
стота, достаточно точно определено. Отметим TaKJКe,
что Буашаш. "первоначально применнл совместные
распределения к задачам, возникающим при rеофнз.и
ческой разведке. В работах [71, 771, выполненных
Эскудье'с коллеtами, некоторые из ранних KBaHTOBO
механическJ.t.х. результатов, в частности результаты
работ [58, 1321, посвященных общему классу распре-
делений, были перенесены непосредственно на язык
анализа сиrналов. Работа я.нсе и Кайзера [971 приме-
чательна широтой охвата материала и введением но-
вых методолоrий. В ней разработаны новые Теорети-
ческие и практические методы, необходимые для
использования совместных распределений.
Для уточнения смысла, интерпретации и исполь
зования подобных распределений в последующие rоды
было применено MHoro различных подходов, начиная
от попыток описать изменяющийся во времени спектр
и кончая простым использованием этоrо спектра в
качестве носителя информации Toro или иноrо сиr-
нала. Различные точкн зрения и цели способствовали
уrлублению понимания этих распределений и улуч-
шению свойств их реализаций. Некоторые из этих
81 В общем случае это ядро может явно зависеть от времени
и от частоты, а таКЖе Быьь иекоторым функционалом от сиr-
нала. Для устраиения трудиостеА, связанных с использова
нием сложных обозначений, мы будем обозначать ядро просто
через Ф (6, 't"), а возможная зависимость от друrих перемен-
ных будет ясна из контекста. Ниже в разд. IV мы покажем,
что распраделениямн, иивариантными относительно сдвиrов
по времени и по частоте, являются распределения, ядро ко-
торых ие зависит от времеии н частоты.
76
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989
;'",:::, :. i'li' !!, H' \ :*:/: " :':.
,....:k ..:l. 1."'.... :.'
,,: ; : ! "' } :\\ . . ,
1
,id \ f..
J ll:
J"
, \.'..'"
'lj t' 0'-
J,31 : ,'
т
:'
'*
1:]1
11 / ..
О.
. ',.,.', :.",
'J.. r
:
".
' ;::;.
.,... J.i\,
,,'. ,llt :i
"'Р" \ .")
". . .
...... ". ., .
. . I. '.
.'. Jt:\
i'llД'j'
. tJ. . ,.
.jp'
"'1
"'2
"'1
(а)
i II ': lj
,. 11,1
:. ';.
". ." ::j........:.
"'2
". :'i;' 1 "::1
" W';:
"'1
"'2
Частота
(Ь)
(с)
Рис. 1. Распределеиия Виrнера (а), Рихачека (Ь) и Пейджа (с) для сиrнала, показанноrо в левой части 9Toro рнсунка.
Сиrнал, представляющий собой синусоидальное колебание, включается в нулевой момент временн и имеет частоту ,
затем выключается в момент времени 11 и снова включается в момент времени 12' но теперь он имеет частоту 002' а затем сно--
ва выключается в момент времени 13. На всех трех распределениях 9нерrия сиrнала прнсутствует там, rде ее наличие не
ожидалось. Для распределеннй BHrHepa и Пейджа покаэаны ИХ положительные части, а распределен не Рнхачека пред
ставлено ero действительной частью, которая также является распределеНl!ем
общих подходов и нерешенных вопросов будут pac
смотрены в заключительном разделе статьи. Данная
область быстро развивается, и поэтоы"у мноrие вопро
сы остаются в ней пока открытыми.
П редварительн.ые иллюсmраmu.вн.ые nримеры.
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению
материала, рассмотрим один простой пример упомя
нутых выше распределений, с тем чтобы читатель cMor
получить большее представление об их сходстве и
различиях. Пусть задан сиrнал. вид KOToporo показан
слева на рис. 1. На начальном интервале (О, /1) это
синусоидальное колебание имеет некоторую частоту
(111, затем на интервале (/1' /.) оно выключено, а на
интервале (/2' / 3) снова включено, но теперь оно имеет
....друrую частоту (112' Этот простой сиrнал представляет
собой некоторую идеализацию мноrих обычных ситу
аций, к K TOpЫM, как мы полаrаем, можно с успехом
применить наши распределения. Данный сиrнал Becь
ма нестационарен, имеет участок, rде он равен нулю
(так называемый участок молчания, или паузы, ха-
рактерный для акустических сиrналов), а также
моменты внезапноrо включения и выключения. Здра-
вый смысл подсказывает, какое распределение следует
для Hero ожидать. Оно должно иметь максимум (пик)
на частоте (111 в интервале (О, /1) и еще один пик на
частоте IO,a в интервале (/1' /.) и, разумеется, должно
иметь нулевое значение на интервале (/1' /2). На
рис. 1 показаны три упомянутых выше распределения
для этоrо сиrнала. Нетрудно видеть, что все они
имеют ненулевые значения интенсивности там, rде
это никак не ожидалось. Распределение Виrнера OT
лично от нуля на интервале (/1' /.), хотя сиrнал здесь
равен нулю. Это составляет одно из фундаментальных
свойств данноrо распределения, которое мы обсудим
несколько позже. Распределение Рихачека имеет
ненулевые значения на частоте (11. в интервале (/J'
е.,'. /.), хотя следовало бы ожидать нулевую интенсив
иость на этой частоте в этом интервале времени.
Аналоrичный вывод справедлив и в отношении ча
стоты (111 на интервале (/2' /8)' Это распределение
имеет такой вид, что все составляющие спектра при
сутствуют в нем в каждый момент времени. Распреде-
ление Пейджа аналоrично распределению Рихачека,
2 тииэр Н. 7
НО В нем присутствуют только те частоты, которые
уже появлялись до этоrо. Следует также отметить и
тот факт, что пики распределения Виrнера COOTBeт
ствуют серединам трех отрезков рассматриваемоrо
сиrнала, распределение Рихачека и еет плоскую оrи
бающую, а интенсивность распределения Пейд
постепенно растет по мере увеличения длительности
сиrнала во времени.
Отметим еще раз и тот факт, что все три распреде
ления удовлетворяют условиям существования MrHo-
венной энерrии и спектральной плотности энерrии.
И хотя они очень различны по своему внешнему виду,
все они эквивалентны в том смысле, что каждое из
них можно лишь единственным образом получить из
любоro друrоrо и что каждое из них содержит одно и
то же количество информации. Конечно, они очень
сильно различаются участками локализации энерrии
сиrнала, но тем не менее все они находят широкое
применение. Заметим также, что это Bcero лишь три
возможных распределения из бесконечноrо их числа,
но и эти три распределения обладают очень сильно
различающимися свойствами.
ш. РАСПРEДE.JIEНИЯ и МEfOДЫ их ПОЛУЧЕНИЯ
Изучая время частотные распределения, нельзя не
обратить внимания на тот удивительный факт, что
для их получения к настоящему времени предложено
множество внушающих доверие подходов и методов;
тем не менее все они дают распределения с резко раз
личными свойствами. Именно поэтому важно понять
те идеи и арrументацию, которые будут даны ниже,
поскольку их варианты и интерпретации, несомненно,
выводят на путь, способствующий развитию данной
области. При обсуждении различных подходов мы бу
дем придерживаться не хронолоrическоrо порядка их
появления, а последовательности, соответствующей
лоrическому развитию идей и методов. Тем не менее
различные подразделы naнHoro раздела можно читать
независимо дрyr от дрyrа. Заметим также, что в инте
ресах нашей конечной цели мы несколько «OCOBpeMe
1iИJIИ» некоторые из ранних выводов.
ВРЕМЯ ЧАcrотньm РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
11
А, Расiфеделеиие Пейджа н ero варианты
ПеЙ,ДЖ [152J считал, что при рассмотрении сиrнала
наши знания о нем состоят из отрезка ЭТОI"О СНl"нала
вплоть до текущеrо момента времени (, но никакой
'.mформации О ero поведении в будущем мы не имеем.
Иными словами, мы можем рассматривать HeKOTO
рый новый сиrнал 5, (t' ), определяемый выражением
[ S(t'),
s,(t')
О,
t' s; t;
t' > t,
rде (' текущее время, а t настоящий момен.т вре-
мени. Преобразование Фурье сиrнала 5t( (' ), ОfiRеде-
ляемое выражением
1 1 "" . .
S;(",) sr(t')e /"" dt'
,JЪr ""
1 l ' . .
s(t')e ''''' dt
,JЪr ""
(3.2)
называется текущим спектром. Знак « » в данном
случае означает, что мы наблюдали сиrнал от СО.
ПО аналоrии с выражением (1.6) можно ожидать, что
энерrия на единичном частотном интервале, наблюда
емая вплоть до момента времени t, будет равна
["" P (t', "') dr' '= IS;(",1I 2 .
Это выражение можно использовать для определения
Р: (t, ",), так как, дифференцируя по (, получаем рас-
пределение
д
P (t. ы) '= дi IS;(tAJ)1 2 ,
которое представляет собой распределение Пейджа.
Получить ero можно также и из выражения (2.4) для
общеrо класса распределений, используя для этой це-
ли подстановку
ф(О, Т) '= ejll1rll2.
Пqдставляя спектр (3.2) в выражение (3.4) и выполняя
далее операцию дифференцирования, получаем еще
одну форму записи распределения Пейджа:
1 .
P (t, "') '= 2 Re ,JЪr s*(I) S;(tAJ)e/"", (3.6)
которая удобна для ero расчета.
Относительно общеl"О поведения распределения
Пейджа следует заметить, что чем дольше наблюда
ется какая либо конкретная частота, тем больше ин-
тенсивность СИl"нала на этой частоте. Этот факт от-
ражен на рис. 2а, I"де показано распределение для сиl"-
нала конечной длительности
s(t) '= е/""", О s; t s; Т. (3.7)
Распределение Пейджа для этоrо СИl"нала определяет
ся выражением
[ !.. sinc ('" <AJo)l, О s; t S Т;
P (t, ",) '= 11"
О 11; nr.тan"ныx СПVЧВЯХ:
(3.1)
с ростом времени в этом распределении появляется
все более и более выраженный максимум на частоте
"'о. На рис. 2Ь показано также распределение Виrнера
дЛЯ TOI"O же сиrnала. Оно понадобится нам ниже, а
пока лишь эаметим, что вплоть до момента времени
t == Т/2 оба распределения идентичны, но эатем их
вид становится совершенно различным. Распределе
нне ВИl"нера всеl"да стремится к нулю в начале и в
конце СИI'нала конечной длительности, однако к рас-
пределению Пейджа это утверждение не npименимо.
Впоследствии Тернер [190J показал, что определе-
ние и процедура вывода, данные Пейджем, содержат
два произвольных момента. Во-первых, прибавив к
распределению Пейджа функцию p(t, ",), которую
Тернер назвал дополнительной функцией, можно по-
лучить новое распределение
P;;"",(I, ",) "'" fr IS;(",)1 2 + p(t, ",). (3.9)
4
Это распределение по прежнему будет обладать мар-
rинальными распределениями, если дополнительная
функция удовлетворяет условиям
! p(t, ы) dt "'" о, 1 p(t, ",) d", "'" О. (3.10)
(3.3)
BO BTOPЫX, Тернер отметил, что вовсе не обязательно
использовать интервал от со до (; можно использо-
вать и дрyrие интервалы, на которых мы будем полу-
чать дрyrие функции распределения, связанные дрyr с .
дрyrом некоторой дополнительной функцией, удов-
летворяющей приведенным выше условиям.
Левин [125J дал следующее определение текушеl"О
преобразования вперед:
(3.4)
1 1 ""
5:(",) "'" s(t')e /"" dt'.
...п; ,
(3.11)
Используя это определение, можно записать
Р+(с, ",) dt' "'" 15:(tAJ)1 2 .
(3.12)
(3.5)
Дифференцируя выражение (3.12) по времени, по-
лучаем
P+(t, ",) "'" fr 15:(",)12 '=
1
'= 2 Re s*(t) S:(tAJ)e/"". (3.13)
,,211"
Левин показал также, что при определении MI"HOBeH-
HOI"O спектра энеРI"ИИ следует с одинаковыми весами
использовать прошлое и будущее сиrнала, т. е. опре
делять среднюю мощность в соответствии с выраже-
нием для арифметичесКОI"О среднеrо
1 +
P(t, "') '= 2 [Р (1, ",) + P (t, ",)] '=
(3.14)
1
'= Re s*(t) e/""[S;(",) + S;'(",)] =' (3.15)
" 21r
(3.8)
1
'= Re s*(t) e/""S*(tAJ).
"2.,,
(3.16)
78
' T
ТИИЭР, т. 77, Щ октябрь 1989
Рис. 2 Распределение Пеllджа (а) и Виrнера (ь) ДЛII
сиrН8Ла конечной длительиости s(') eJ ', О"," Т.
Значение распределеИИII Пеllджа На час:тоте'"", непре.-
рывно рас:тет со временем. АналоrиЧRое значение )'
распределения 8иrнера до момента Т/2 рас:тет, а за
тем начинает )'МеньшатЬCtl, так как в тоЧICах, cooтвeт
с:твующих началу и концу сиrнала конечной длитель-
ности, распределение Виrнера всеrда обращается в
нуль.
(а)
(Ь)
Это распределение представляет собой действитель
ную часть распределения: (2.2), и ему соответствует
ядро ф(8, т) == COS8TI2. Ввиду симметрин времени и
частоты можно также записать текущее преобразова.
ние сиrнала
1 f '"
. s (t) S(",')e'''''/ d",
...27
(3.17)
что даст распределение
. а
P (t, ",) == а", Is (t)12
1
== 2 Re s;:;(t) S(",)e '''''.
...21r
АналоrнчныM образом получаем
(3.18)
...'"
w
P+(t, ",) == I r ;и :" dt' 1 2.
а", ...27r J",
(3.19)
Суммируя выражения (3.17) и (3.18), снова получаем
рщ:пределение (3.16).
Метод i!ребенки фильтров. rрейс [83] предложил
интересный метод вывода распределения Пейджа. В
данном случает сиrнал пропускается через набор (rpe
беНJC.У) полосовых фильтров и рассчитывается оrибаю
щая выходноrо сиrнала. Квадрат оrибающей опреде
ляется выражением
IG(t, L<J)1 2 I [ s(т) h(t r)e i "" drl2, (3.20)
[де h(t)еj"'t импульсная. характеристJ1kа опноrо
фильтра. Полаrая. значение h (t) равным единице в
момент. 'времени t и нулю в остальные моменты Bpe
мени, получаем спектральную плотность, т. е. пра
вую часть выражения (3.3), после чеrо распределение
Пейджа получается по методике, описанной выше.
в. Комплексный энерreтический спектр
Как отмечалось выше, распределение Рихачека BЫ
водилось и использовалось мноrими способами, но
сам Рихачек [16J и Эккройд [2, 3] получили ero, OCHO
вывая.сь только на физических соображениях. Pac
смотрим переменное во времени напряжение V(t) на
некотором чисто реактивном сопротивлении, KOM
nлексная проводимость KOToporo равна нулю на всех
частотах, за исключением узкой полосы вблизи часто
ты "', [де она равна единице. Разлarая это напряже
ние на спектральные компоненты, получаем
1 f .
V(t) V е''''' dL<J
.,f2; '" ,
(3.21)
т. е. напряжение на каждой частоте равно
(l/.Jh)V",e'''''. Ток на каждой из этих частот равен I
i ( t ) == V е''''' ( 3.22)
'" ..ji;""
а полный ток в полосе частот от '" до '" + /1(JJ будет
определяться выражением
1 ",+4", 1 1 ",+4", .
i(t) == i",(t) dL<J == V",e''''' dL<J.
'" ...27r '"
(3.23)
Комплексная мощность в момент времени t равна
V(t)i*(t), и, следовательно, энерrия во временном
интервале At равна
r t + 4t
Щ, ",) == J/ V(t) i*(t) dt
1 1 '+4/ J "'+
V:V(t)e /"" d", dt.
...27r' '"
(3.24)
Далее посредством пределъноrо перехода по '" и t по
лучаем спектральную плотность знерrин:
f(t, L<J) 1 * , I
e(t, L<J) lim V'" V(t)e "'. (3.25)
4',.\.", O At А", JZ;
Применительно к сиrналу s(t) с напряжением V(t) [В
данном случае V.. == S(",})] получаем распределение
1
e(1 ",) s(t) S*(",)e ,,,,t (3.26)
'.,f2; ,
которое совпадает с распределением (2.2).
С. МетОД Виля Мойяла и ero обобщение
Подход Виля [194], концептуально отличный от
рассмотренных выше, основан на традиционных Me
тодах построения распределений по характеристичt'
ским функциям, но с использованием некоторой новой
идеи. Виль использовал этот метод для получения
распределения Виrнера, однако он не заметил HeKOTO
рой неопределенности процедуры вывода и Toro, что
таким же образом MorYT быть получены и дрyrие pac
пределения. Как отмечалось выше, аналоrичный под
ход был использован Мойялом [1431
ВРЕМЯ-ЧАСТОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Предположим, что имеется некоторое распрепеле
ние.Р(t, ",), представляющее собой функцию двух пе
ременных t и "'. Тоrда характеристическая функция
этоrо распределеЩIЯ определяется как математическое
ожидание величины eiВt+j'Т"'; иными словами,
М(8, Т) = (e i81 + J ТO") = 1 1 e i8 1+ I тo"p(t, ",) dl d",. (3.27)
Оперировать с характеристической функцией несколь
ко проще, чем с самим распределением. Так, нanри
мер, совместные моменты можно вычислить с по
мощью операции дифференцирования:
1 д л + m I
(tл",m) = --:;;:;;; д8"дт т М(fI, Т)
11 8,.=0
(3.28)
Разлаrая экспоненту в (3.27) в ряд, нетрудно пока-
зать, что
М(8, Т) = (j8)Л(jт)т (tл",т). (3.29)
л=о т O п!т!
Это выражение показывает, как, зная совместные MO
менты, можно вычислить характеристическую функ
цию. В общем случае характеристическая функция
комплексна, однако не каждая комплексная функция
является характеристической функцией, поскольку она
должна представлять собой преобразование Фурье от
некоторой плотности. Заметим также, что в ряде слу
чаев знание совместных моментов не позволяет OДHO
значно определить соответствующее распределение.
Функцию распределения можно определить по ха-
рактеристической функции М(О, Т) с помощью обрат
Horo преобразования Фурье:
1 J [ .
P(t, ",) = 411"2 J М(8, T)e J81 /тo" d8 dT.
(3.30)
Можно ли отыскать характеристическую функцию в
рассматриваемом случае и, следовательно, получить
распределение? На первый взrляд, для начала надо
было бы иметь само распределение. Вспомним, o.lX1'ra
ко, что характеристическая функция представляет со-
бой некоторую усредненную величину. Для вычисле-
ния средних величин Виль предложил метод, в основу
KOToporo был положен квантово механический метод
ассоциативных операторов с обыкновениыми пере-
менными. Если имеется функция gl (1), зависящая
только от времени, то ее среднее значение можно pac
считать nвумя способами используя либо сам сиr-
нал, либо ero спектр. Иными словами,
(gl(t» = !5(t)\2 g ,(t) dt =
= 5*(",) g{j :"' ). 5(",) d",. (3.31)
Этот результат нетрудно получить, если положить,
что функция gl(t) разложима в степенной ряд. Имен-
но поэтому время в частотной области «представля
ется» оператором jd/d", . Аналоrично получаем, что
среднее значение функция К2 (",), зависящей только от
частоты, будет определяться выражением
(В2("'» = 15(",)12 В2("') d", =' s*(t) В2( j :t ) s(t) dt. (3.32)
и, следовательно, частота во временн6й области пред
ставляется оператором jd /dt.
Поэтому.время и частоту можно связать с такими
операторами 3 и 'W, что
з.... 1,
.d
W .... ! dl
80 временн6Й обпасти,
.d
3 .... J d", '
w....'"
8 Ч8СТО1ноА обпасти.
Но как быть с функцией g(t, ",), зависящей и от вре-
мени, и от частоты? Как в данном случае рассчитать
ее среднее значение? Виль предложил использовать
для этой пели тот же способ, а именно выражение
(g(t, ",» = s*(t) G(t, W) s(/) dt (3.33)
во временной области и выражение
(g(t, "'» = J 5*(",) G(З, "') 5(",) d",
(3.34)
в частотной области, rдe G(З, W) onepaTop, «ассо-
пиированный)) (или «связанный))) с Функцией g(t, ",).
Поскольку характеристическая ФУНIЩИJI определяется
как математическое ожидание для ее получения мож
но восспользоваТЬСЯ'выраже iИем (3.33). В частности,
имеем
М(8, Т) = (ej8I+/'''') .... J s*[t)е/ 8З + i ''W s (t) dt. [3.35)
Применим это выражение для расчета характеристи
ческой функции. Поскольку входящие в Hero величины
являются некоммутативными операторами, то
ЗW WЗ = j,
(3.36)
поэтому следует очень внимательно оперировать с ни-
ми. Для разложения экспоненты можно воспользо-
ваться' частным случаем формулы Бейкера
Хаусдорфа [201]
е I8З +/.'W = е /8.f2е/''Wеi8З = еj8. f2 е i 8З е ,.'W. (3.37)
Оператор ei"W это оператор переноса:
ei''Ws(l) = e'(dld'Js(t) = s(1 + Т), (3.38i
Подставляя ero в выражение (3.35), получаем
М(8, Т) = J s*(t) ei/lт/2ei8's(t + Т) dt. (3.39)
Производя замену переменных и = t + т/2 и dи = dt,
получаем
М(8, Т) = J s*(u Т) e J8u s(и + i Т) dи. (3.40)
Вычисляя, как в (3.30), обратное преобразование
Фурье, получаем распределение
P(t, ",) = 4:2 J н s*(u T)e i8U s(u + Т),
. e i81 j.", d8 dT du. (3.41)
80
ИнтеI'рирование по '" дает дельта функцию, поэтому
окончате,льно получаем следующее выражение:
P(t, (А» 2: s*( и T)e iT"c5(и 1).
. s(и + i т) dT dи (3.42)
2: s*(t T)e i"'s(t + т) dT, (3.43)
которое представляет собой распределение Виmера.
Впоследствии отмечалось [58, -132], что в этой про
цедуре вывода содержится некоторая неопределен
ность, IЮскольку характеристические функции записы
ваются через классические переменные, а это допуска
ет использование мноI'их операторных соответствий.
Позтому процедуру можно обобщить, применив Ka
lюй либо простой метод порождения соответствий и
распределений [58]. Вместо
;e'+iT" ..... eie +/т'W
.
(3.44)
которое называется соответствием Вейля, можно бы
ло бы воспользоваться преобразованнями
ei8t+iTW ......... еj8ЗеjТ'W.
eie'''/T'' ..... e/т'Weie .
(3.45)
(3.46)
которые называются нормальными упорядоченными
соответствиями. Симметричное соответствие пред
ставляет собой арифметическое среднее этих COOT
ветствий:
eiet+i T '" ..... (еiЮеiТW + еiт'WеiSЗJ. (3.47)
Существует MHOI'O дрyrих выражений, которые приво
дят к левой части даннОI'О выражения в том случае,
КОI'да операторы :1 и 'W рассматриваются не как опе
раторы, а как обыкновеlПlые функции. Процедура ле-
рехода от некоторой классической функции к HeKOTO
рой операторной функции называется правилом cooт
ветствия. Процедура эта не единственна, и, как
показано в работе [58], .существует бесконечное число
таких,Правил, которые дают различные характеристи
ческие функции, а следовательно, и различные распре
деления. Так, используя правило соответствия, опре
деляемое выражением (3.46), получаем
М(8, т) s*(t) e/т'We/e's(t) ==
s*(t) eill('+T)s(t + т) dt
s*(t т) eie's(t) dt.
Вычисляя обратное преобразование Фурье, получаем
распределение
I)UI
P(t, (А» 4:2 J s*(и) eiIl(U+T)s(и + т) . e ier iT" d8 dT dи
2.. s(t) r S*(I т)е /T" dT (3.49)
27/" J
1
s(t) e /''''S.((A» (3.50)
JЪ: '
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989
представляющее, собой распределение Рихачека (2.2).
Используя правило соответствия (3.45), получаем pac
пределение, КОМlШексно сопряжеиное распределению
(3.50). Если же воспользоваться правилом COOTBeт
ствия (3.47), то мы ПЩIYЧим действительную часть
ЭТОI'О распределения.
Дрyrой способ получения соответствия основан на
использовании произвольных смешанных произведе
ний времени и частоты [58]. Иными словами, пспо-
льзуем
'.
tn(A)m ..... С(З, 'W),
(3.51)
{'де С(:1, 'W) указывает некоторое соответствие, а за
тем с помощью выражения (3.29) hычислим xapaкTe
ристическую функцию. После определения характери
СТЩlеской функции. соответствующее ей распределение
получается, как ОШIСано выше. Предложено большое
число соответствий вида (3.51). Одно из первых таких
соответствий введено Борном и Жорданом [33]. При
выполнении описанной выше процедуры получается
распределение с ядром [58]
sin 8T
ф(8 т) (3.52)
, 8T '
которое обладает рядом интересных свойств [58, 51,
76, 26, 123] 4).
Таким образом, один из подходов к проблеме по
лучения cOBMecтHOI'O распределения состоит в записи
всей совокупности возможных соответствий и после-
дующем повторном выполнении описанной выше про-
цедуры вычислений. Причина столь ШИрОКОI'О выбора
соответствий обусловлена тем, что операторы време-
ни и частоты некоммутативны, И, следовательно,
применимым оказывается целый ряд правил соответ-
ствия. Разработана общая процедура связывания
функций с операторами, используемая в целом ряде
различных областей.
Некоторой обыкновенной функции g(l, "') поста-
вить в соответствие оператор G(:1, 'W) можно следу-
ющим образом [58, 132, 181]:
G(З, 'W) 'У(8, т) ф(8, т)еiЮ+iт'W d8 dT, (3.53)
{'де
'У(8, т) 4:2 8(1, <oJ)e /e' /T" dl d<oJ, (3.54)
или, что эквивалентно,
(3.48),
С(3, 'W) 4:2 8(t, (А» ф(8, т).
. е;е(З I)+iт('W "') d8 dT dt d(A). (3.55)
{'де ф(8, т) произвольная функция, удовлетворяю-
щая условию ф(8, О) == ф(О, Т) == 1. Это условие необ
ходимо для I'арантии TOI'O, что функции только вре-
мени t или частоты будут преобразовываться в cooт
ветствии с выражениями
81(t) .... 81(3)'
8i(A»..... 82('W)'
(3.56)1
4) Заметим, что это ядро и соответствующее ему распределение
иноrда называют ядром и распределением Борна и Жордаиа, OДHa
ко эти исследоватenи НllJ:оrда не завималвсь совместными pacnpe..
делеllШlМИ. Распределение на основе соответствИJI Борна и Жорда
на было получено в работе [581.
'8У "1'oJ\R '-\."""С'У """1.':,","Ь"\.""Е. ......<:. ?'Е. n.::e.n"- "'-я-
Если теперь применить эту процедуру к характери
стической ФУНКЦИИ, то мы получим обобщенное пра
вило соответствия
ej8!+in.> ---+ ф(О, т)е;вЗ+i' W .
(3.57)
Подставляя ero в (3.33), получаем, как и ранее,
М(О, Т) ф(О, Т) I s*(u 7) eiBUs( и + 7) du.
(3.58)
t:
Вычисляя .палее обратное преобразование Фурье, по
лучаем выражение (2.4), соответствующее общему
классу распределений.
Формальный математический аппарат, возможный
при использовании этоrо подхода, и- связь с ЮJассиче
ской теорией были проанализированы в работах [84,
181, 171].
D. Локальные автокорреляционные методы
Один из общих подходов к получению переменных
спектров основан на обобщении соотношения между
спектром мощности и автокоррeruщиоииой Функцией.
Подход, основанный на использовании локальной aв
токорреляционной функции, был разработан Фано
[72] и Ш дером и Аталом [175], а связь их работ с
переменными спектрами рассматривалась Эккройдом
[2, 3]. Локальный автокорреляционный метод испо-
льзовался Лампаром [122] для вывода распределения
Пейджа, а впоследствии рядом исследователей отме-
чалась связь этоrо метода и с друrими распределения-
ми. Основная идея состоит здесь в записи спектра
энерrетической плотности в следующем виде:
l5(w)1 2 I J s(t)e J",r dt/ 2
2: J J s*(t') s(t)eJO>(I' r) dt' dl. (3.59)
Выполняя преобразование т =о t t', dT =о dt'. имеем
15(",)12 2: J J s*(t Т) s(l)e i"" d7 dt
1 J .
R(T)e J"" dT
211" '
(3.БО)'
rде автокорреляционная Функция определяется Bыpa
жением
R(T) 1 s*(t) s(t + Т) dt J s*(t 7) s(t) dt
I S*(I Т) s(t + 7) dt. (3.б1)
Выражение (3.60), обобщающее связь между энерrети
ческим спектром и автокорреляционной функцией
R (Т). означает, что переменный спектр мощности,
т. е. совместное время частотное распределение, мож-
но записать в следующем виде:
P(I, w) r R,(T)e J"" d7 J (3.62)
211" j
rде теперь R 1 ( Т) это зависящая от времени, или ло
кальная, автокорреляционная Функция. для записи
Функции R,( Т) предложено мноrо выражений. Мы
приведем некоторые из них, а потом дадим обобще-
ние. Так, можно просто положить
R,(7) s(l) s*(t + 7). (3.63)
ПодставJ1ЧЯ это выражение в (3.62), получаем распре
деление Рихачека. Марк [138] использовал симметрич
ную Форму
R,(T) s*(t T) s(t + T)' (3.64)
которая приводит к распределению Виrнера. Марк от-
метил, что возможно также использование более об
щей Формы
R,(T) s*(t k7) s[t + (1 k)T], (3.65)
rде он полаrал k =о 1/2, поскольку для автокорреляци-
онной Функции мы имеем R(T) =о R*( T), И если Tpe
буется, чтобы это соотношение оставалось справедли
вым и для локальной автокорреляционной ФУНКЦИИ,
т. е. чтобы ВЫПОЛШlJ1ось соотношение
R,(7) R;( 7),
(3.66)
то необходимо использовать k = 112. Однако суще-
ствует бесконечное число и дрyrиx возможных' Форм.
Обобщенную, переменную во времени авТОКQРреляци-
онную Функцию можно определить по обобщенному
распределению (2.4), что было проделано Цзуем и
Уильямсом [51]. Сравнивая выражении (2.4) и (З.62),
получаем следующее обобщенное выражение для пе
ременной во времени автокорреляционной фуНКЦИИ:
R,(7) 2: н еi8(u ,)ф(о, 7) s*(u 7)'
. s( и + 7) du dO. (3.67)
I
Приведенные здесь частные случаи можно получить,
воспользовавшись ядром соответствующей формы.
Выражение (З.67) можно записать в следующе
удобном виде:
R,(T) 2: I (и t, 7) s*(u i 7) s(u + i 7) du,
(3.68)
rде
(и, 7) J е i8u ф(о, 7) dO. (3.69)
Теперь следует задаться вопросом: для каких. ти-
пов ядер эта автокорреля.ционная Функция удовлетво-
ряет соотношению (З.66)? Используя величину, ком-
плексно-сопряженную велИЧШfе (З.67), и вместо Т под
ставляя Т, получаем
R:( 7) 4:2 н еjд(U ')ф*( о, T)S*(U iT).
. s(u + i Т) du dO. (3.70)
82
Отсюда следует, что для выполненuя условия (3.66)
нео&tодимо положить
ф(О, Т) ф*( о, T).
(3.71)
Заметим, что соотношение (3.71) характеризует усло
вие, необходимое для получения действительноrо pac
предел\:ния (подробнее мы остановимся на этом ниже,
в разд. IV).
Цзуй и Уильямс [51] предложили весьма интерес
ный способ выявления эффектов, обусловленных BЫ
бором ядра, основанный на анализе локальной aвTO
корреляционной функции. Они отметили, что, по
скольку основной интерес к этим распределениям
связан с изучением локально проявляющихся явлений,
целесообразно приnисывать относительно большие
веса значениям s*(и 1'/2)S(и + 1'/2), у которых и
близко к t; в остальных случаях не следует «подчерки
вать» события вблизи момента времени t. ЦзуА и
Уильямс весьма эффективно использовали этот под
ход при выводе новото распределения. Важность их
работы состоит в том, что она раскрывает новые
перспективы и дает конкретные рекомендации для по
лучения распределений с требуемыми свойствами. Все
эти идеи были ими унифицированы и выражены через
свойства переменной во времени автокорреляционной
Функции и обобщенной функции неопределенности
[63, 58, 76]. Распределение Цзуя Уильямса мы pac
смотрим в подразд. III.G.
Е. Метод псевдохаралеристичеСIШЙ ФУНlщии и
оБО8щенный билинейный масс
В подразд. II.С мы показали, каким образом мож
но обобщить метод Виля для получения бесконечноrо
числа распределений. В этом подразделе мы дадим
дрyroй вывод, который позволяет устранить испо
льзование операторов и основан на соотношении меж
ду характеристической функцией двух переменных и
характеристическими Функциями марrиналъных pac
пределений. Предположим, что имеется совместное
распределение Р( t, "') и что соответствующие ему
марrинальные распределения определяются Bыpa
жениями
P,(t) 1 P(t, ",) d""
Pz("') 1 P(t,p) dt. (3.72)
Характеристические функции этих марrинальных pac
пределений имеют следующий вил:
М,(О) J e j8 'P,(t) dt, Mz(T) J e'T"'pz("') d",. (3.73)
Сравнивая их С характеристической Функцией (3.27),
получаем
М(О, О) М,(О),
М(О, Т) Mz(T).
(3.74)
Предположим теперь, что некоторая характеристиче
екая Функцня удовлетворяет марrинальным распреде
лениям, т. е, выполняются соотношения (3.74). Тотда
характеристическая функция
'"
(3.75)
Mnew(O, Т) ф(О, Т) М(8, Т)
также будет удовлетворять им, если положить
ф(О, Т) := ф(О, О) 1. (3.76)
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989 )
Следовательно, любая характеристическая функция,
помноженная на функцию, удовлетворяющую COOTHO
Illениям (3.76), будет давать некоторую новую xapaK
теристическую функцию, которая также будет YДOB
летворять марrинальным распределениям. Используя
функцию (3.40) в качестве «исходной» характеристиче
ской функции, получаем некоторый полный класс Ta
ких Функций из характеристической функции
М<О, Т) Ф(О, Т) 1 s*(u Т) e i8U S(U + Т) du,
(3.77)
которая после ее подстановки в выражение (3.30) дa
ет, как и ранее, обобщенный класс распределений, а
именно выражение (2.4).
В заключение данното подраздела заметим, что,
хотя мы и использовали термин «характеристическая
функцию), все такие функции в нем не являются ис
тинными характеристическими функциями, так как yc
ловие (3.75) не является достаточным. Поэтому пра
вильнее называть их квази" или<псевдохарактеристиче
скими функциями. Заметим также, что выбор
выражения (3.40) для определения М(б, Т) в (3.75) HO
сит ПРОИЗВОЛIIНЫЙ характер.
F, Положительные распределения
Вопрос о существовании истинно положительных
распределениD., обладающих марrинальными раслре
делениями, относится к числу центральных в данной
области. Известно множество «доказательств» невоз
можности их существования, и в течение долrоrо Bpe
мени обычно полarали, что они не существуют. Для
доказательства тото, что они не мотут существовать,
очень часто использовался принцип неопределенности.
Недостатки этих доказательств, обусловленные нали-
чием скрытых допущений, были вскрыты Муrур Шах
тером [144], а связь совместных измерений, COMecт
ных распределений и существования положительных
распределений была rлубоко проанализирована Пар
ком и Мартенау [254]. Положительные распределения
действительно существуют, и нетрудно построить
процедуру для получения бесконечноrо числа таких
распределений [62]. Выберем положительную Функ
цию двух переменных О (и, v), такую чт()
1 Щu, v) dv 1,
.
(3.78)
1
!о Щu, v) du 1,
и построим распределение следующеrо вида:
P(t, ..,) 15(",1\2Is(tI\2щu, у).
(3.79)
В качестве переменных и и v используем теперь сле
дующие подстановки:
u(t) J .. IS(I')1 2 dt',
(3.80)
v(..,) 1:.. 15(..,'1\2 d",'.
Q,PЕМЯ ЧАСТОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Чтобы показать, что это распределение обладает
марrинальными распределениями, проинтеrрируем
ero по "';
J P(t,.",) d", IS{/Jl2 J \S(",)1 2 Щи, у) d",
Is(t)j1 J: Щи, у) dv Is(t)1 1 . (3.81)
При переходе к второму равенству здесь использован
тот факт, что dv Is(",) 1 1 d",. Аналоrичное справед
ливо и при интеrрировании по (. Нетрудно построить
и функции, удовлетворяющие условию (3.78). Было
показано [73, 176], что данная процедура порождает
воэможные положительные распределения. Заметим,
что положительные распределения не являются били
нейными функциями сиrнала и что в общем случае
функция {} (и, и) может представлять собой HeKOTO
рый Функционал от сиrнала. Связь билинейности с вo
просом О положительности обсуждается в заключи
тельном разделе статьи. Заметим также, что может
быть получено ядро, которое порождает положитель
ные распределения на основе обобщенноrо распреде-
ления (2.4).
Вопрос о том, может ли любое из этих положи
тельных распределений давать интенсивности, COOT
ветствующие нашим ОЖЩI8l1иЯм, остается пока OT
крытым. Как отметили Янссен и Класен [101), pery
лярных методик однозначноrо выбора n (и, и) нет.
Аналоrичное утверждение справедливо, разумеется, и
[ В отношении билинейных распределений. Янссен [1О2а)
показал, что положительные распределения не MorYT
удовлетворительно отображать сиrналы, подобные
ЛЧМ сиrналам. Вместе с тем он отметил [102b), что
'они будут приrодны для этой цели-; если ядро сделать
зависимым от сиrнала. Проблема построения co
JI eCTHOro распределения, обладающеrо марrинальны
ми распределениями, возникает во мноrих облас.тях
прикладных и теоретических исследований и ОТНОIOJfТ
ся К числу rлавных нерешенных проблем. Вообще ro
воря, по заданным марrинальным распределениям
можно построить бесконечное число совместных pac
пределений, хотя способы их построения далеко не
очевидны. Поскольку марrинальные распределения не
содержат информации о корреляции, для определения
Toro или иноrо KOHKpeтHoro cOBMecTHoro распределе
ния необходима какая то дрyrая инФормация. Такая
инФормация вводится через задание Функции О, OДHa
ко реryлярной методики для этоrо пока не разработа
но. В теории сиrналов и квантовой механике возника
ют также друrие вопросы, касающиеся сиrнала и вол
новой функции, а также построения по ним
марrинальных распределений. Два марrинальных pac
пределения Is(l) 11 и IS(и) 11 не дают однозначноrо
определения сиrнала. Но это указывал Р8Йхенбах
[166), который приписывал Барrману один из методов
построения различных Сiirналов, обладающих paBHЫ
ми абсолютными величинами мrновенной энерrии и
одинаковыми спектрами плотности энерrии. Анало
rичные методы построения таких Функций были пред
ложены Фоr:том [195) иОлтесом [7). Поскольку сиr
нал содержит информацию, отсутствующую в марrи
нальных распределениях, o Функция {} (и, и) должна,
вообще rоворя, зависеть от сиrнала. Однако вопрос о
том, какое количество инФормации необходимо для
однозначноrо построения cOBMecTHoro распределения,
11-'
а также вопрос о том, насколько больше информации
содержится в сиrнале, чем в комбинации плотности
энерrии и плотности спектральной мощиости, еще
требуют дальнейшеrо rлубокоrо исследования.
G. Метод Цзуя Уильямса
Принципиально новый подход был недавно пред
ложен Цзуем и Уильямсом [51), которые анализиро
вали одну из основных трудностей, связанных с испо
льзованием распределения Виrнера. Как мы уже виде
ли (см. рис. lа), распределение Виrнера иноrда
указывает на' присутствие энерrии СИI'Пала там, rде ей
следовало бы иметь нулевые значения. Эти ложные
значения, которые обусловлены наличием так называ
емых взаимных (или перекрестных) членов, типичны,
в частности, для мноrокомпонентных сиrналов [26,
41, 51, 91, 141). Причины их появления, иноrда назы
ваемые «артефактами», обычно объясняются били
нейным характером распределения, и мноrие uсследо
ватели полаrаtoт, что от них никоrда не удастся изба
виться. В случае распределения Виrнера были
выпОлнены обширные исследования и предложены
методы для их (в той или иной степени) устранения,
однако все ОIOl ухудшают свойства этоrо распределения,
в частности свойства ero марrинальных распределе
ний. Цзуй и Уильямс показали, что вместо поиска
процедуры устранeJiИЯ из распределения Виrнера лож
ных значений можно попытаться Qтыскать распреде
ления, у которых эти значения минимальны. Им yдa
лось отыскать некоторое распределение, которое
вполне удовлетворяет интуитивным представлениям о
том, rде должна быть сконцентрирована энерrия сиr
нала и rде в наибольшей степени должны быть yмeHЬ
шены перекрес:rные члены дJ1я мноrокомпонентных
сиrналов. К 'l'OMY же эти распределения удовлетворя
ли требуемы от них свойствам.
Следуя Цзую и Уильмсу, рассмотрим некоторый
сиrнал, состовщий из -суммы N компонент Sk(t);
I
,
j
N
s(t) = 2: Sk(/)'
k 1
(3.82)
Подставляя это выражение в формулу для обобщен
Horo распределения (2.4) и записывая это распределе
ние в виде суммы автономных и взаимных членов,
получаем
N N
P(t, "') = 2: Pkk(t, "') + 2: Pk,(t, ",), (3.83)
k 1 k.' 1
'''k
[де
Pk,(t, "') 4:1 1 J I е /еl /Т"'+lеиф(8, Т).
. s:( и Т) s{u + Т) du dT d8. (3.84)
Цзуй и Уильямс [51} показали, что посредством тща
тельноrо выбора формы ядра можно минимизировать
перекрестные члены, сохранив при этом требуемые
СВОЙС'I1Ва автономных членов. Этот подход был иссле
дован с использованием обобuценноrо принципа Heo
пределенности [63) и автокорреляционной Функции
(см. подразд. I11.D). Цзуй и Уильямс рекомендуют, в
частности, использовать ядра
ф(8,. т) е e'T"O ,
(3.85)
84
[де u некоторая константа. Подставляя это ядро в
выражение (2.4) и выполняя далее интеrрирование по
8, получаем
Pcw(l, "') 1312 JJ e [(u ')'1(4.'1и)] i'''' . ( )
4-1I"..r;rт;, S и 2 7 .
. s(и + 7) dи d7. (3.86)
Изменяя значение и, МОЖНО управлять уровнем пере
крестных членов. Действительно, функция rcw(t и,
Т), определяемая выражением (3.69), имеет в данном
случае следующий вид:
(и 1, 7) е [(и ')Ц(4.'1и)]
(3.87)
Она максимальна при u == t, и, следовательно, KOHC
танта u может быть использована для реrулирования
относительноrо веса переменной т.
Ядро, определяемое выражением (3.85), удовлетво
ряет условию (3.71), а это означает, что локальная aв
токорреляционная функция удовлетворяет условию
(3.66) и, следовательно, получаемое распределение яв
ляется действительным. В разд. IY мы используем
это ядро в качестве примера, для Toro чтобы пока
зать, как, анализируя ядро, МОЖНО быстро опреде
лить свойства требуемоrо распределения.
Важность работы Цзуя и Уильямса состои,\" в том,
что они сформулировали и эффективно реализовали
средство для выбора распределений, которое позволя
ет минимизировать ложные значения, обусловленные
наличием перекрестных членов. Кроме Toro, они в
весьма нarлядной форме связали свойства распределе
ния со свойствами локальной автокорреляционной и
характеристической функций. Ядро, определяемое BЫ
ражением (3.85), характеризует собой некоторое OДHO
параметрическое семейство, но метод Цзуя и Уильям
са можно использовать и для отыскания мноrих дpy
rих ядер, обладающих требуемыми обобщенными
свойствами.
Приведем теперь три примера, на которых проил
люстрируем, насколько леrко интерпретируются pe
зультаты при использовании распределения Цзуя
Уильямса. Рассмотрим сначала сумму двух rармони
ческих колебаний
s(t) A,e l ""1 + A 2 e i ""'.
(3.88),
\
J
' ,
f
" - oo j
",
"",
""" (
\"
\. ..
""1
""2
(а)
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989 1
Получить для нее распределение Цзуя Уильямса He
трудно, оно имеет следующий вид:
Pcw(t, ",) A 6(", "'1) + A 6(", "'2) + 2А , А 2 .
. cos ("'2 ",,)t 1)("" "'1, "'2, о), (3.89)
rде
1)("" "'1' "'2, о)
1
4-11"("', "'2)210
[ ['" ("" + и1 2 )]2 ")
. ехр 4("'1 "'2)210 J (3.90)
Заметим .:начала, что
lim 1)("" "'1, "'2, о) 6[", ("" + "'2)], (3.91)
и '"
и, следовательно, в этом случае распределение имеет
бесконечный максимум при", == ("'t + "'2)12. В дей
ствительности же при о...... 00 оно превращается в pac
пределение Виrнера, поскольку при этом предельном
переходе ядро оказывается равным единице. Пока
значение константы конечно, значенИя перекрестных
eHOB также конечны и пропорциональны величине
Заметим, что при малых u перекрестные члены
также малы, и, следовательно, интерпретация распре
деления не затрудняется наличием ложных знаЧенИЙ.
Эффекты, обусловленные влиянием константы о, ил
люстрирует рис. 3, на котором значение дельта Функ
ции представлено символически, но расчетные значе
ния перекрестных членов отражены точно. Нетрудно
видеть, что, выбирая соответствующее значение о
уровень перекрестных членов можно понизить прак
тически до любоrо требуемоrо уровня.
В качестве BToporo наrлядноrо примера paCCMOT
рим сумму двух ЛЧМ сиrналов [51]
s(t) А1( :1 ) 114е О>"I2+ilЫ'/2+1"'" +
+ А2( ': ) 1/4е а"'/2+ifЫ'/2+i""'. (3.92)
MrHoBeHHLIe частоты которых изменяются вдоль осей
'" == fЗlt + "'1 и '" == fЗ2t + "'2. Можно ожидать, что энер
rия этоrо сиrнала будет сконцентрирована вдоль осей
..
,.
.. .
;-:..
.:!
Частота
(Ь)
(с)
Рис. 3. Распределение Виrнера (а) и Цзуя Уилъямса (ь) и (с) для суммы двух синусоидальных колебаний 5(/) е'''''' + eI"". Распределение
Виrнера принимает бесконечные значеНИII иа частотах "'1, CII2 И паразитной частоте", + ("'1 + CII2 )/2. ОсЦИЛJIllPУЮЩИЙ средний член обус
ловлен JlllJПlЧИем взаимных (ПepeiCрестных) членов. Распределение цзуя уиJIыIма показано для случаев а 10" (ь) и а IOS (с). Заметим,
ЧТо Все три распределеНИII удовлетвЬряют условиям существования марrииальвых распределений. использов8ны"'начениII "'1 1 и CII2 9.
Дельта-функции иа частотах "'1 и CII2 изображены условно, а их максимумы оrраничены значеl1Ием 700.
ВРЕМЯ ЧАСТОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
/'
,ф"
<0<1 r ;
/'
,
'/' '1'' .....':''''''
I ..\.... ,
11....1
. ..:II: ' :- .
...
'.f<i'ffn' ........
.//!'
I 7=
Частота
(а)
(Ь)
Рис. 4. Распределения Виrнера (а) и Цзуя Уильямса (Ь)
для суммы двух ЛЧМ сиrналов. Распределение Виrиера
имеет ложные детали, расположенные на линии между MrHO
веиными частотами ЛЧМ сиrналов. В распределеиии Цзуя
Уильямса ложные члены сделаны пренебрежимо малыми за
счет соответствующеrо "Выбора значения ВeJlИЧИНЫ и.
'.
, I
j1щ.r- fJI " .
< . .1". oНi r !
'. ' I :
J .. - .
.i- o>ft........,r A r!,
. ......w ab ..;. , I
-;:;,.L,....,.: ,., )";! I ';. '!'
I ,,' -...7 ltlt: }f'fI111111 ,.!
.1 ."
Частота
(а)
(Ь)
Рис. 5. Распредenеиия Виrнера \а) и ЦЗУJl Уильямса (Ь)
АЛя сиrнала вида s(t)==A 1 eI<iJ,'8'8+/ш,t+eI<iJ 8 t+/<iJ 8 SiП<iJ/JI'.
Концентрация знерrии у обоих распределениА соответствует
мrиовеИИЫII частотам ю==w.+lltt и ю==ю.+Ь.ю", cos ютt.
В распредenеиии Виrиера присутствуют ложные члены, pac
положенные между этими мrиовенными частотами. В распре-
делении ЦЗУJl Уильямса вenнчина зтих ложных членов
очень незначитenьиа.
указанных мтновенных частот. Распределения Виrне
ра и Цзуя Уильямса для рассматриваемоrо сиrнала
показаны на рис. 4. Отметим срединную «возвышен
носты) на распределении Виrнера. В то же время pac
пределение Цзуя Уильямса вполне понятно и леl;КО
интерпретируемо. Обратим лишь внимание на то, что
оно удовлетворяет условию существования марrи
нальных распределений при любом значении и.
На рис. 5 показаны распределения Виrнера и
Цзуя Уильямса для сиrнала, представляющеrо co
бой сумму ЛЧМ сиrнала и сиrнала с СlUlусоидальной
частотной модуляцией:
s(t) A,e ifJ "'I2+,,,,,, + A 2 e i ""t+ i fJ25in",m'.
(3.93)
Нетрудно видеть, что энерrия сиrнала в обоих распре
делениях концентрируется вдоль осей мтновенных ча
стот. Однако в случае распределения Виrнера присут
ствуют «перекрестные» члены, уровень которых Becь
ма незначителен в распределении Цзуя Уильямса.
IV. унифицировAюIый ПОДХОД
В предыдущем разделе мы убедились в существо
ванllИ большоrо числа распределений, различающихся
функциональными формами и свойствами. Тем не Me
нее нетрудно сформулировать унифицированный под
ход, позволяющий исследовать свойства всех этих
распределений с некоторых единых непротиворечивых
позиций. Возможен, по видимому, и некоторый Me
тод, позволяющий выделять из них распределения с
8S
требуемыми свойствами. Как мы увидим ниже, свой
ства каждоrо конкретното распределения зависят от
условий, которые налаrаются на ето ядро. Следова
тельно, анализируя ядро, можно определить и общие
свойства самото распределения. К тому же, распола
rая общим методом представления любых распреде
лений, можно, скажем, успешно разрабатывать прак
тические методы анализа и фильтрации сиrналов [70).
Очень удачные обзоры, касающиеся связи свойств
распределений и их ядер, приведены в работах [ 97 9 8
56, 26). ' ,
Для удобства изложения последующеrо материала
перепишем (2.4) для обобщенной формы распрt
деления:
1 l' [ [
P(t, ",) 411"2 J J J
е iб' iт",+,бuф(о, Т).
,
'S*(U T)S(U+ T)dUdTdO. (4.1)1
Ядро этоrо распределения может быть функцией Bpe
мени и частоты, а также сиrнала. Однако там, тде
это не отоворено особо, мы далее будем полarать,
что оно не зависит ни от времени, ни от частоты, ни
от сиrнала. Независимость ядра от времени и часто
ты rарантирует инвариантность распределения oтнo
сительно времени и сдвиrа (см. ниже). Если ядро не
зависит от сиrнала, то rоворят, что распределения
билинейны, поскольку сиrнал входит в них только
дважды. Один важный подхласс составляют распре
деления, ядра которых зависят от произведения apTY
ментов, т. е. имеют вид
ф(О, Т) ФРR(ОТ)'
(4.2)
Для упрощения обозначений мы будем далее опускать
нижний индекс PR, поскольку он используется лишь
для указания тото, что рассматривается либо общий
случай, либо произведение, характеризуемое числом
переменных, приписываемых функции ф(IJ, т). Bыpa
жения для некоторых распределений и соответствую
щих им ядер приведены в табл. 1.
Подставляя спектр (1.3) в (2.4) [в данном случае в
(4.1»), получаем следующее выражение для общеrо
класса распределений:
P(t, "') 4:2 е ,б' ,тw+,тuф(о, Т).
. s*(u + о) s(u о) du dT dO. (4.3)
На практике нанлучuшй метод определения ядра для
тото или иноrо заданноrо распределения это ето
подстановка в распредление (4.1). Для этой же цели
может быть использовано и выражение
е,бt+iТ""Р(t, ",) dt d",
ф(О, Т) (4.4)
е,бus*(u T) s(u + T) du'
которое получается из выражения (4.1) с помощью
обратноrо преобразования Фурье. Удобно также
определять функцию взаимноrо распределения двух
86
Таблица 1. Некоторые виды распределений и их ядра
ТИИЭР, т. 77, 10. ОКТJlбрь 1989
ИСТОЧНИJ:
ядро ф(8, т)
Виrнер [t99], Виль [194J
Mapreнay и Хилл [1331
cos От
Кирпуд [1071. Рихачех [167]
e itJT / 2
Коэн [58]
sin аОт
аОт
Пellдж [152]
eJBITI/2
Цзyll и УИЛЬJIМС [511
e tJ2il/11
Спектроrpaмма
I h"(U T) e ,.и
.h(u + T) du
Распределение P(I. 01)
r e /'" s*(1 1 т ) 5(1 + 1 т ) dT
211" J 2 2
1
Re 5(/) e /T" 5*(",)
.n;
5(/) e /T" 5"(",)
.n;
1 I 1 I ' +От
e / T 5"(u 1 т ) s(u + 1 т ) du dT
41ra т , a7 2 "1.
д 1 1 I ' . l '
5(/) e /'" d/'
д/..{i; ф
r r "'и /I'/4,' JT "( 1 )
411'")/2 J J ;2 е 5 и "1. т
s(u + T) du dT
I I e / T S(T) h(T /) dTI2
сиrналов, используя выражение (3.84). Основная идея
здесь здесь сводится к тому, что распределение cyм
мы двух сиrналов
s(t) S1(t) + S2(t)
удобно записывать в следующей форме:
P(t, ",) P 11 (t, ",) + P 22 (t, "') + P 12 (t, ",) + P 21 (t, ",).
(4.6)
Есля амплитуды сиrналов 51(1),52(1) нормированы к
единице, то может быть введена и общая нормализа
ЦИЯ, с тем чтобы сиrнал 5(1) и распределение также
были нормированы к единице.
А, Физические свойства, зависящие от ядра
Покажем теперь, как свойства распределения свя
заны со свойствами ЯДРfl. Поскольку соответствую
щие процедуры довольно просты, мы дадим Bcero
лишь несколько примеров их вывода, с тем чтобы
только проиллюстрировать общую идею подхода.
МzновеннQЯ энерzWl и MZHoeeHHbtu спектр. Если
функция P(t, "') должна представлять собой HeKOTO
рое совместное распределение, то необходимо, чтобы
она удовлетворяла требованиям к ее интенсивности,
раздельно предъявляемым к ней во временной и ча
стотной областях. Иными словами, мы ожидаем, что
после интеrрирования этой функции по частоте полу
чим мrновенную мощность 15(1) 12, а после интеrри
рования по времени спектр плотности энерrии
18(",) 12. Интеrрируя распределение (4.1) по "', по
лучаем
1 Р(/, "') dw 2 111 6Ы еI8(и I)Ф(8, т).
. s*(и T)S(и + т) d8 dи dT
2 1 1 еi8Iи I)Ф(8, 0)IS(и>l2 d8 dи. (4.8)
(4.5)
Единственная возможность сделать данную величину
равной 15(1) 12 это положить
r е,8(и I)Ф(8, О) d8 6(/ и). (4.9)
211" .1
что приводит К
ф(8, О) 1.
(4.10)
Аналоrичным образом, если надо, чтобы выполня
лось условие
1 P(t, ",) d/ 15("'>12,
(4.11)
необходимо положить
ф(О, Т) 1.
(4.12)
Отсюда также следует, что для сохранения. полной
нерrии сиrнала, т. е. для Toro, чтобы выполнялось
условие
J P(t, ",) d", dt 1 полная энерrия, (4.13)
необходимо, чтобы выполнялось условие
фЮ, О) 1
(4.14)
(4.7)
которое называется условием нормировки. Заметим,
что оно слабее условий, определяемых выражениями
(4.10), (4.12). Иными словами, возможно совместное
распределение, полная энерrия Koтoporo равна полной
энерrии сиrнала, но которое тем не менее не удовлет
норяет условию существования марrинальных распре
делений. Одним из примеров является спектроrрамма,
обсуждаемая в разд. lV.
Реальное положение дел. Билинейные рапределе
ния в общем случае не обладают свойством положи
тельной определенности, что серьезно затрудняет за
дачу их интерпретации. Обычно утверждают, что они
являются по крайней мере действительными. Взяв Be
ВРI;.МЯ ЧАcrОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
личину, комплексно сопряженную распределению
(4.1), и сравнив ее с исходной формой, нетрудно пока
зать, что для Toro, чтобы распределение было дей
ствительным, необходимо и достаточно, чтобы ядро
удовлетворяло условию
ф(8. Т) ф.( 8, T).
(4.15)
Cдви и по времени и частоте. Если сдвинуть сиr
нал по оси времени на величину 10, то можно ожи
дать, что и распределение в целом также сдвинется на
ту же величину. Полarая s(t) .....So(l) = s(l + (0) и noд
ставляя такой сиrнал в (4.1), получаем
P'D(t, "') 4:2 ))) е /8t /т"'+i8иФ(8, Т).
. s.( u Т + (0) s( U + Т + ( о ) d8 dT du
(4.16)
4:2 ))) е /8t iТ"'+i8Iи 'D)ф(8, Т),
. s.(u Т) s(u + Т) dб dT du (4.17)
4:2 ))) е /811+tD) i""+i8иФ(8. Т).
. s.(u Т) s(u + т) dб dT du (4.18)
Р(! + ( о , "'). (4.19)
Следовательно, сдвиr сиrнала по времени приводит
также и к соответствующему сдвиrу распределения.
Заметим, что в этом доказательстве требовалось,
чтобы ядро рыло независимым от времени и часто
ты. Аналоrичный результат справедлив и в частотной
области. Иными словами, если мы сдвинем спектр'на
некоторую фиксированную величину по оси частот,
то и распределение будет сдвинуто на ту же величину.
Если
5(w) ..... 5(.., + "'о)
или s(l) ..... s(t)e I""', (4.20а)
т()
P(t, "') ..... P(t, w + "'о).
(4.20Ь)
Тлобальные и локальные величины. Пусть задана
функция g(l, (0), зависящая от времени и частоты.
Тоша ее rлобальное среднее значение определяется
выражением
(8(1, ",» ))8(1, "') P(I, "') dw dl. (4.21)
Локальное, или условное среднее, значение функции
g(l, (0), т. е. ее среднее значение в некоторый момент
вюемени, определяется выражением
(8(t, ",», P t) )8(t, "') РН, ",) dW J
(4.22)
Р 1 т ) P(t, ",) dW J
(4.23)
87
плотность по времени, равная Is(l) ,1, если выпо
лняется условие (4.10). Аналоrичные выражения име
ют место и для математическоrо ожидания этей
функции на заданной частоте.
Условное среднее и M HoвeHHoe значения частоты.
Локальное, или условное среднее, значение частоты
определяется выражением
(w), p 1 r wP(t, "') dw. (4.24)
1т J
Мы отказались от термина «мrновенная частота» по
причинам, которые кратко обсуждаются ниже. Пря
мые вычисления приводят к выражению
1 rr [ дФ(б,Т) \ ]
(w),P,(t) J J A 2 (1) ф(б, О) .р'(и) i .
2 , o
. e/8{и ') dб du,
(4.25)
rде для сиrнала s(l) использовано представлени;е в ви
де функции ero амплитуды и фазы:
s(t) АШе/,р(').
(4.26)
Для ядер, зависящих от произведения apryмeHToB, по
лучаем
(w),P,(t) Ф(О) A 2 (t) .p'(t) + 2ф'(О) A(t) А'(О, (4.27)
rде штрихи означают операцию дифференцирования.
Теперь необходимо ответить на следующий вo
прос: чему, на наш взrляд, должна равняться эта Be
личина? Прежде Bcero заметим, что, полаrая в (4.25)
ф(8, О) 1,
дф(8, т) 1 О
дт , o
(4.28)
либо полarая в (4.27)
ф(О) 1, ф'(О) О, (4.29)
мы сделаем P1(/) равным А1(1) и тем самым
получим
(w), .р'Щ,
(4.30)
т. е. удобное соотношение, напоминающее обычное
определение мrновенной частоты. На самом деле
это не так. Мrновенная частота это производная
фазы аналитическоrо сиrнала (см. разд. VHI), а Bыpa
жение (4.30) справедливо для любоrо сиrнала. Кроме
Toro, определение понятия «мrновенная частота» име
ет смысл лишь для некоторых типов сиrналов [79,
153, 168, 191], а выражение (4.30) применимо к всем
сиrналам. В работах [21, 56] высказано предположе
ние о том, что этот результат может быть положен
в основу обобщенноrо определения мrновенной часто
ты, применимоrо при любых условиях, однако дe
тальная проработка этой идеи требует дальнейших
исследований. В то же время Боашаш [26], например,
считает, что поскольку выражение (4.30) COOTBeтCTBY
ет мrновенной частоте лишь в случае аналитическоrо
сиrнала, то в этих распределениях следует всеrда ис-
пользовать именно такой сиrнал. Подробнее эти BO
просы обсуждаются в разд. VIH.
Коэффициент корреляции и ковариация. MHoroe
сказать о взаимосвязи двух переменных очень ча.сто
88
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989
позволяют их ковариация и коэффициент корреляции
(см. разд. V, rде этот подход использован примени
тельно к распределению Виrнера). При анализе квa
зисраспределений ковариация впервые была использо
вана Картрайтом [46]. В нашем случае ковариация
определяется выражением
СОУ (1",) (t",) (0("'),
а коэффициент корреляции выражением
СОУ (1",)
(== ,
O'tO",
14.31)
(4.32)
rде (Jt И (J", длительность и ширина полосы сиrнала,
соответствующие их обычным определениям [см. BЫ
ражение (8.10)]. Проще Bcero расчитать (/",) , испо
льзуя выражения (3.29) и (3.77). В результате получа
ем весьма интересное соотношение
( t", ) д 2 М(д, Т) I r t '(1) л 2 (t) dt (4.33)
дддт j \Р .
8,7"=0
в котором производная фазы ведет себя как частота.
Следует также подчеркнуть, что ковариация и коэф
фициент корреляции в том виде, в котором они испо
льзуются здесь, не всеrда ведут себя подобно своим
стандартным аналоrам, так как рассматриваемые pac
пределения не обязтельно являются положительно
определенными функциями.
Разброс и второй условный момент. Если требу
ется получить значимый результат для средней часто
ты, соответствующей некоторому моменту времени,
то вполне естественно ответить сначала на вопрос,
каков разброс (какова «ширина») частоты в этот MO
мент времени. Такой подход был использован Класе
ном и Мекленбраукером [54] при анализе сиrнала в
случае распределения Виrнера, а также рядом друrих
исследователей применительно в квантово механиче
схим задачам [82]. К сожалению, и здесь, как мы уви
дим ниже, возникают определенные трудности.
Рассмотрим сначала второй условный момент
(",2), r ",2p(t, "') d",.
Р1т j
(4.34!
знание величины KOToporo важно по мноrим причи
нам. В частности, в квантовой механике он использу
ется потому, что соответствует локальной кинетиче
ской энерrии. Второй условный момент анализиро
вался в целом ряде работ, и для Hero предложено
несколько разных выражений, однако впоследствии
было показано, что все они являются частными слу
чаями реализаций различных распределений. Мы при
ведем здесь результат, полученный для ядер, завися
щих от произведения apryмeHToB [123]:
(",2), [1 + 4 Ф "(О>ll :' ; J
1 Л"(I)
[ 1 4ф " (О) ] :.............. + ,2щ. (4.35)
7 A(t) \Р
Вполне очевидно, что величина BToporo условноrо MO
мента должна быть положительной, однако в данном
случае это условие не выполняется для большинства
распределений, включая распределение Виrнера, что
делает невозможной обычную интерпретацию таких
величин. Тем не менее ниже мы увидим, что суще
ствуют раслределения, для которых второй условный
момент и дисперсия явно положительны.
Рассмотрим теперь разброс значений средней ча
стоты в некоторый момент времени:
(0-;), ('" (",)ip(t, "') d", (",2), ("'):.
(4.36)
Используя выражение (4.35) и (4.29), получаем
(0-;) [1 + 4 ф "ю)] [ А'(t) 1 2
I 2 ЛШ
.! [1 4ф"Ю)] А"Ш .
2 А(п
(4.37)
Эта величина также отрицательна для большинства
билинейных распределений и потому не может быть
интерпретирована как дисперсия. Однако в случае
[123]
ф"(О) (4.38)
разброс характеризуется величиной
2 [ Л '(1) J 2
(O- ), Л(t)
2
IS(:>l2 1[} :t \P,(t)}(t)I, (4.39)
которая явно положительна. Кроме Toro, в этом
случае
2
2 [ Л'(t) J + '2(1)
<'" ), A(I) \р
(4.40)
также явно положительна. Существует бесконечное
число распределений, которые обладают этим свой
ством, поскольку существует беспонечное число ядер
с такой второй производной в нуле.
rрупповая задержка. Возьмем полосу частот, сим
метричную относительно частоты и предположим,
что фаза спектра представляет собой медленную
функцию частоты и, следовательно, в окрестности ча
стоты хорошо представляется линейной аппроксима
цией [153, 168]:
1/-(",) ,., 1/-("") + ('" ",')>/; (",-), (4.41)
rде ф(",) фаза спектра
5(",) IS(",)le'''''''I.
(4.42)
Если взять сиrнал, исходный спектр KOToporo цели
ком спектр сконцентрирован в окрестности частоты
",', то ему будет соответствовать сиrнал
S",.(t) ,., 5(", ",')ei["(",)+(", ,,,'),,'("")],
. e i "" d",.
(4.43)
Используя теперь для спектра ero представление через
исходный сиrнал, определяемое выражением (1.3), по
ВРЕМЯ ЧАСТОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
89
лучаем
S", (t) "" 2 I I s(t')e'( ("')"("' "') '("")].
e''''' '(''' '''')'' dw dt'
e'( ("") "" '("")] I s(I')e i "'....
. Б[ t' + 1//(w') + t] dt'.
Поэтому
s",.(t) "" s[t + ф'(w')]е' ("')"i""1
s[t + ф'(w')]е'''''[I''' ('''')I",.].
ожидать, что и распределение будет равно нулю в той
же области, однако это верно не для всех расnpeделе
ний. Нетрудно видеть, например, что распределение
Рихачека всеrда равно нулю там, rде сиrнал равен HY
(4.44а) лю, но, скажем, для распределения Виrнера это не
так. След:vт заметить, что в общей постановке вопрос
о том, коrда распределение равно нулю, достаточно
rлубоко пока не исследовался. Класен и Мекленбрау
(4.44Ь) кер [56] получили следующие условия, позволяющие
определить, будет ли некоторое распределение равно
нулю до начала сиrнала и после ero окончания:
(4.45)
Отсюда следует, что оrибающая этоrо сиrнала на ча
стоте w' оказывается задержанной на время 1)0 ( w' ),
а Фаза запаздывающей на 1)0 ( w' ) / w'. Задержка
оrибающей, называемая rрynnовой задержкой (или
rрупповым запаздыванием), для произвольной Функ
ции частоты может теперь быть записана в следую
щем виде:
t g ""(w).
(4.46)
Применительно к совместным время частотным pac
пределениям эту rрупповую задержку можно paCCMaT
ривать как среднее значение времени на некоторой за
данной частоте. Заметим, что симметрия, существую
щая между выражениями (4.1) и (4.3), позволяет сразу
же записать соответствующие результаты 11 для ожи-
даемоrо 'значения времени на некоторой заданной
частоте.
В частности,
в случае ядер, зависящих от произведения apryмeH
тов, эти условия совпадают с условиями, определяе-
Щ,IМИ выражениями (4.29).
Преобразование сиzнала и распределение. Свой-
ства некоторых преобразований распределений и xa
рактеристические Функциии ряда простых преобразо
ваний сиrнала приведены в табл. 2.
Область определения распределений. Если сиrнал
равен "улю в некоторой области, то следовало бы откуда видно, что это ядро зависит от произведения
Таб..аа Свойства распредепеииА и хврактеристические функции для преобразоваииА сиrиала
и)", ""(w),
если ядро выбрано так, что
дф(8, Т) \ о.
д8 8 O
ф(О, Т) 1,
(4.47а)
(4.47Ь)
ф(8, T)e i81 d8 О,
ITI < 2111.
(4.48)
Однако даже выполнение этоrо условия вовсе не ra
рантирует Toro, что это распределение будет равно
нулю в тех областях равенства сиrнала нулю.
ДействитJ!ЛЬНал и мнuмал части распределений.
Если некоторое комплексное распределение удовлет
воряет условиям существования марrинальных pac
пределений, то этим условиям будут удовлетворять и
комплексно сопряженное ему распределение, и ero
действительная часть. Величина же комплексной ча
сти должна быть равной нулю при интеrрировании по
каждой переменной, т. е.
1т P(t, ",) dl О,
1т P(t, ",) dw О. (4.49)
Комплексно-сопряженное распределение
P*(I, <д)
ф*( 8, T),
(4.50)
имеет ЯДРО
а действительная часть распределения
Re P(I, <д)
Нф(8, т) + ф*( 8, T)].
(4.51)
имеет ЯДРО
Например, используя выражение (4.51), нетрудно по-
казать, что ядро действительной части распределения
Рихачека равно COs(8T/2).
Прuмер. Для иллюстрации Toro, как с помощью
простоrо анализа ядра можно быстро определить об-
щие свойства распределения, воспользуемся одним из
примеров распределения Цзуя Уильямса [51]. Ядро
этоrо распределения имеет вид
Фrw(8, Т) е 8'7". ,
(4.52)
ХаракпристичеСК8Н Ядро, 388ИСJIЩее от
произведенИJI
СиrН811 Р8спределение функцня Ядро apryмeвTOB.
ПPfl'БР88088RRе s(/) Р(/, ",) М(fI, Т) Ф(fI, Т) ф(flт)
Сдввr ПО вреllеии 5(t + /0) P(t + /0' ",) М(fI, Т) е/и" любое любое
CдвRr ПО частоте 5(", + "'о! НJIН 5(t) e /"" P(t, '" + "'о) М(fI, Т) e /7'" любое любое
МасmтаБRрование s(at) P(at, ) М ( , ат) Ф ( , ат) ф(fI, Т)
по вреllенн любое
Маоmтабвроваиие "'iI3f S(/3",) ВJТИ 5 ) Р ( , /3", ) м (/Зf1,Ю Ф (tifl, ) Ф(fI, Т)
по чаототе любое
ОбращеИRе ,
по в реllеИII s( 1) P( t, "') M( fI, T) Ф( fI, T) ф(fI, Т) любое
КОllплеконое
сопряжеиие s*(t) Р{/, ",) М(fI, T) ф(8, T) = ф(fI, Т) ф( х) ф(х)
90
apryмeHToB:
фсw(х) e x21.,
(4.53)
rде х == Вт. Из выражений (4.10) и (4.12) сразу же полу
чаем, что марrинальные распределения существуют,
средняя частота равна пронзводной от фазы [проверя
ется с помощью выражения (4.29)J, автоматичесlШ
удовлетворяются свойства к сдвиrу, а также все свой
ства и преобраЗОВR!fИЯ, перечисленные в табл. 2, по
скольку это распределение имеет ядро, представляю
щее собой некоторую функцию от произведения apry
ментов.
В. Обращение и репрезентативность
Для получения сиrнала по заданному распределе
нию необходимо вычислить обратное преобразование
Фурье от (4.1), что дает
s*(u T) 5(и + T) ==
== ..!. r r r Р(х, ",) еlдХ+iТ"' /дu dx d", d8, (4.54)
211" J J J ф(8, т)
или
1 r r r Р(х, "')
5*(t') 5(t) 211" J J J ф(8, t t') .
. е,(I /')"'+iд[х (I+О/2] dx d", d8. (4.55)
ИСПQЛЬЗУЯ для t' то или иное конкретное значение,
например нуль, получаем
== r r r Р(х, ",) еlt"'+iд(х t/2) dx d", d8. (4.56)
5(t) 211"5*(0) J J J Ф(8, t)
Отсюда следует, что сиrнал может быть BOCCTaнOB
лен по распределению с точностью ДО постоянной фа
ЗВ!. Приведенные выше выражения можно записать,
используя обобщенную характеристическую функцию
[58, 63J, определяемую выражением (3.58):
5*(и Т) 5(и + Т)
== ..!. r М(8, t t') е iдu d8,
211" J Ф(8, т)
(4.57)
или
*' ..!. r М(8, t) iд(t +1")/2 d8 (4.58)
5 (О 5(t) 211" J ф(8, t (') е ,
или
s(t) == r М(8, Т) е iдt12 d8. (4.59)
211"5*(0) J ф(8, t)
Приведенные соотношения можно использовать для
выяснения возможности существования сиrнала, по
рождающеrо заданное распределение P(t, ",». Мы Ha
зываем такие распределения релрезентативными или
реализуемыми.
Необходимое и достаточное [61] условие репрезен
тативности состоит в ТОМ. что правая часть выраже
ния (4.55) иЛи (4.58) порождает некоторую форму ти
па произведения, стоящую в левой части этих Bыpa
жений. Наттолл [148] высказал ряд важных идей,
тииэр, т. 77, 10, октябрь 1989
касающихся проблемы обратимости. Ему удалось
охарактеризовать распределения, по которым воз
можно однозначное восстановление сиrнала. Заметим,
что по заданному распределению всеrда можно OДHO
значно определить характеристическую функцию М( В,
т), поскольку она представляет собой преобразование
Фурье от распределения, определяемоrо выражением
(3.30). Однако для получения сиrнала необходимо по
делить эту характеристическую функцию на ядро Ф(В,
т), значение KOToporo может оказаться равным нулю
при некоторых значениях В и т. Наттолл [148J пока
зал, что возможно однозначное восстновление сиrна
ла, если ядро имеет лишь изолированные нули. Число
нулей может быть бесконечным или же ядро может
быть равным нулю на некоторой кривой в плоскости
(В, т). Но если ядро равно нулю в ненулевой области
сиrнала, то восстановить сиrнал нельзя. Объясняется
это rлавным образом тем, что для ИЗ0ЛИРОВаных HY
лей отношение М(В, t)/ф(В, 4) может быть определе
но лишь посредством предельноrо перехода в точках,
rne это ядро равно нулю. Однако если ядро равно HY
лю в некоторой области, то это отношение оказыва
ется неопределенным.
С. Взаимосвязь распределений
В литературе приводится MHoro частных случаев
взаимосвязи между различными распределениями. He
трудно получить общее выражение, характеризующее
связь двух любых распределений [61J. Зная ее, не co
ставляет труда получить соответствующие результа
ты для HeKoTbporo HOBoro распределения, если уже
известны ответы для какоrо либо npyroro распределе
ниЯ. Кроме Toro, сама процедура вывода этих резуль
татов проясняет связь между распределениями. Пусть
заданы два распределения Pt и Р 2 , которым COOTBeт
ствуют ядра Фl и Ф2. Их характеритичесlШе функции
имеют следующий вид:
М , (О, Т) ф,(tJ, Т) f е /дU 5*(U Т) 5(и + Т) du,
(4.60)
Mz(tJ, т) == фz(tJ, Т) 1 еiдUS*(U i Т) 5(и + Т) du,
14.61)
Поделив эти функции друr на ДDуrа, получаем
ф,(tJ, Т)
М,(О, Т) == (8 ) Mz(8, Т)
Ф2 ,т
(4.62)
или после вычисления обратноrо преобразования
Фурье (что необходимо для получения распре
делений),
P , (t, (0) == JJJ r Ф,(tJ, Т) еiд(t' t)+iтl"" "').
411" J фz(8, Т)
. Pz(t', ",') dtJ dT dt' J",'. (4.63)
Иноrда это соотношение бывает удобно записать в
следующем виде:
P,(t, "') == g(t' (, ",' ",)Pz(t', ",') dt' d",', (4.64)
ВРЕМЯ ЧАСТОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
91
тде
g(t, "') JJ eJfJt+jT ф,(8, Т) d8 dT. (4.65)
411" Ф2(8, Т)
Весьма полезной является также запись соотношения
в операторной форме. Заметим, что применение к co
отношению (4 64) общей теоремы [60]
4:2 J J J J С(8, Т) elt!(' "I+/ "' ""IH(t', ",') d8 dT dt' dw'
с( . д . д )
/ дi' / дси H(t, си) (4.66)
дает
( . д . д )
ф, /дi'/a;;,
P,(t, си) ( . ) P2(t, си).
. д . д
Ф2 / дi'} д",
(4.67)
D, Дрyrие вопросы
Средние значения время частотных функций. Bы
ше мы уже определили и использовали rлобальные и
локальные величины. Сушествует не!<оторое обобщен
ное соотношение между средними значениями и пра
вилами соответствия, которое представляет опреде
ленный теоретический интерес и очень часто обеспе
чивает наилучший способ для вычисления rлобальных
средних значений. Можно показать [58J, что если co
ответствие между функцией g и оператором G опреде
ляеТСJ!: выражением (3.55), то процедуру нахождения
ожидаемоrо значения, вычисляемоrо в соответствии с
обычным выражением
(g(t, ",» J g(t, "') P(t, си) d", dt, (4.68)
можно упростить, вычисляя вместо нето величину
(g(t, си» J s*(t) с(з, 'W) s(t) d/. (4.69)
Билинейные преобразования. Обобщенное били
нейное преобразование можно записать в форме
P(t, си) J J K(t, си; х, х') s*(x) s(x') dx dx', (4.70)
как это делалось в работах Виrнера [200], Крюrера и
Поффина [114] а также ряда друrих исследователей
[90, 130, 170J. Отыскивая распределение, которое об
ладало бы требуемыми свойствами, Виrнер опреде
лил условия, которым должно удовлетворять ядро К.
Если, скажем, потребовать, чтобы распределение бы
ло инвариантным к сдвиry по времени, то можно по
казать [114, 2ooJ, что ядро К должно быть некоторой
функцией от 1 х и Т х " или, что эквивалентно, от
21 х х' и х х '. Кроме тото,_ если распределение
должно быть инвариантным к сдвиrу по частоте, то
ядро К должно иметь вид
K(t, си; х, х') e/(x ''''''кet, о; Х, х'). (4.71)
Следовательно, ядра, которые дают распределения,
инвариантные к сдвиrам по времени и частоте, имеют
форму [114, 200, 130]
K(t, си; х, х') ei(' ") Ko(2t х х', х х'), (4.72)
тде новое ядро Ко представляет собой функцию толь
ко двух переменных. Сравнивая выражения (4.70) и
(2.4), получаем
i(" .,,,, J
K ( t ",. х х' ) е e /ei2t . ,'12
, , , 411'"2 .
. ф(8, х' х) d8,
(4.73)
или
Ko(t, Т) r е iеtl2Ф(8, T) d8. (4.74)
411" J
Заметим, что Ko(t, т)есть не что иное, как функция
r(t, т), определяемая выражением (3.69). Дополни
тельные свойства, требуемые от распределения, pac
сматриваются как условия [90, 114, 170,200, 130], Ha
лаrаемые на ядро К таким же образом, каким мы Ha
лаrали условия на ядро 1(8, т). Однако, как показали
Крюrер и Поффин [114], условия, налarаемые на /(8,
т), намното проще сформулировать и записать; чем
условия, налаrаемые на К, и именно этим объясняется
тот факт, что с выражением (2.4) леrче работать на
практике, чем с выражением (4.70). Так, например,
требование инвариантности к сдвиrам во времеIЩ и
частоте формулируется просто как требование незави
симости ядра от времени и частоты.
Характеристические функции и моменты. В разд.
111 мы убедились в том, что характеристические функ
ции представляют собой одно из мощных средств по
лучения распределений. Отметим также, что xapaKTe
ристические функции тесно связаны с функциями Heo
пределенности (см. разд. VI). Хотелось бы также
подчеркнуть тот факт,. что характерtlстические функ
ции часто оказЪЩwотся наиболее эффективным cpeд
ством анализа распределений. В качестве примера
рассмотрим свойство f1Р,еобразования характеристиче
Сl'ой функции, определяемой выражением (4.62), cpaв
НJ(В ето со свойством преобразования распределений,
определяемых выражением (4.63).
Отметим сначала взаимосвязь обобщенных xapaK
теристических и автокорреляционных функций. Cpaв
нивая выражения (3.67) и (3.77),получаем
R,(T) 2: J М(8, T)e /e, d8. (4.75)
Это выражение можно использовать для определения
свойств преобразований автокорреляционной Функ
ции. Пусть R,(l) и RP>( т) автокорреЛJЩИонные
функции, соответствующне двум различным распреде
лениям. Тотда, используя выражение (4.62), получаем
RP)(T) J... r М,(8, T)e ie, d8
211" J
(4.76)
2.. r ф,(8, Т) М iet
211" J Ф2(8, Т) 2(8, Т)е d8.
(4.77)
Записывая характеристическую функцию в форме aв
токорреляционной функции, получаем далее
........
92
RP)(T) 2 J gтlt (') R )(T) dt', (4.78)
rде
gД) 2. J Ф,(О, Т) e ,8' dO.
211" Ф2(О, Т)
(4.79)
Используя характеристическую Функцик.., можно TaK
же получить выражение для преобразования смешан
ных моментов. Так, с помощью выражений (3.29) и
(4.61) получаем
1 д п +т ф,(О, Т) I
пт MOT
(t '" >, jпjm допдт'" Ф2(О, Т) 2(') 8,т=0'
(4.80)
Прямые вычисления дают
п m
(tп",m>, == L L a7.;;,.m k(t'",k>2'
' o k o
(4.81)
rде
a7.;;'.m k jп+:+k ( ) (:).
дп+m / k Ф,(О, т) 1
. (4.82)
дО'д!' Ф2(О, Т) B., o'
Заметим, что это очень удобные выражения для опре-
деления моментов распределения в том случае, коrда
они уже получены для HeKoтoporo друrоrо распре
деления.
У. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВИЛlEРА
Распределение Виrнера первое описанное в лите
ратуре и, по всей видимости, наиболее широко иссле-
дованное и применяемое распределение. Анализ ero
сильных и слабых сторон составляет основу наиболее
значимых работ в данной области. Распределение
Виrнера получается из выражения для обобщенноrо
класса распределений в случае
Фw(О, Т) 1. (5.1)
Оно определяется выражением
W(t, "') == 2 5*(t i T)e i""5(t + i Т) dT (5.2)
или, при записи с использованием спектров, Bыpa
жением
W(t, "') 2 J s*(", + i o)e il8s(", i о) dO. (5.3)
А. Общие свойства
Поскольку ядро распределения Виrнера равно еди-
нице, определить ero свойства не составляет особых
трудностей. Используя обобщенные выражения, при
веденные в разд. IV, получаем, что распределение
Виrнера удовлетворяет условиям существования Map
rинальных распределений; иными словами, оно дей-
ствительно, а сдвиrи сиrнала по времени и частоте
приводят к соответствующим сдвиrам времени и ча
стоты в этом распределении. Удовлетворяются и все
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989
свойства преобразований, перечисленные в табл. 2,
поскольку ядро преобразования Виrнера представляет
собой функцию, зависящую от произведения apryмeH
тов. Свойства обращения нетрудно определить, запи-
сав выражения (4.54) (4.56) для случая Ф 1:
5*(t i T)5(t + i Т) W(t, ",)e,TW d""
(5.4)
S*(t15(t) J w[i (t' + (), ",Je/(' "'" d""
(5.5)
5(t) r W ( ! (, "' ) ei'l> d",.
5*(0) J 2
(5.6)
Среднее локальное значение частоты, zрупповая
задержка, разброс. Поскольку ядро преобразования
Виrнера равно единице, то из выражения (4.30)
следует
:t
("'>, ep'(t), если 5Ш A(t)e,..т. (5.7)
Из выражений (4.35) и (4.37) следует, что локальное
среднеквадратичное значение частоты и ero среднеква-
дратичное отклонения соответственно равны
1 [ A'(t) ] 2 1 А "(О ,2
(",2), == 2: АШ 2: А(О + ер <О,
(a >. (",2), ("')
(5.8)
<5.9)
! [ А'(О ] 2 1 A"(t)
2 A(t) 2: АШ .
(5.10)
Эти результаты получены Класеном и Мекленбрауке
ром [54], которые отмечают, что значения величин
(5.8) и (5.10) обычно отрицательны и потому не MorYT
быть соответствуюшим образом интерпретированы.
.
В. Область определения распределения Виrнера
Из функциональной связи с сиrналом можно выве-
сти ряд простых практических правил, позволяющих
оценить CBO CTBa распределения Виrнера [59]. Так, из
выражения (5.2) видно, что в некоторый момент Bpe
мени можно добавлять члены, образованные из про-
изведений отрезков сиrнала, взятых на каких либо
равных по длительности интервалах времени в прош-
лом и будущем. Поэтому, чтобы определить, равно
ли распределение Виrнера в некоторой точке нулю,
необходимо мысленно свернуть часть сиrнала в на-
правлении слева направо и посмотреть, произойдет
ли наложение. При положительном ответе распреде
ление Виrнера будет иметь ненулевое значение, при
отрицательном нулевое. Рассмотрим изображенный
.ниже сиrнал, длительность KOToporo оrраничена ин
тервалом (1), (1):
I\f\/WVIN\J\IIN
t, 1.
Если взять любую точку слева от 1) и начать из нее
сворачивать сиrнал слева направо, то наложения не
произойдет, поскольку слева от точки 1) сиrнал равен
нулю. Сказанное остается справедливым вплоть до'
момента времени It, rде начинается сиrнал. Следова
ВРЕМЯ ЧАcrОТНЬIE РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
тельно, Ii случае сиrналов конечной длительности pac
пределение Виrнера равно. нулю вплоть до момента
начала сиrнала. Заметим, что это полезное свой
ство, так как нежелательно иметь распределение, зна
чения KOToporo отличны от нуля там, rде сиrнал pa
вен нулю. Свертка сиrнала из любой точки, лежащей
между моментами времени 11 и 12, приводит К нало
жению. Для точек, лежащих справа от 12, наложение
отсутствует. Таким образом, получаем, что в случае
сиrналов конечной длительности распределение Виrне-
ра имеет нулевые значения до начала сиrнала и после
ето окончания. Иными словами
W(t, ",) о при t S t 1 ипи t t 2 , еепи s(t) отпично
от нупа только на интвраапа (t 1 , t 2 ). (5.11)
о".
....
Вследствие подобия структуры выражений (5.2) и
(5.3) аналоrичные выводы справедливы и для частот
ной области. Иными словами, в случае сиrналов с
оrраниченной шириной полосы частот распределение
Виrнера будет иметь нулевые значения на всех часто
тах, лежащих вне этой полосы:
W(t, "') о при '" S "'1 или '" "'2, еепи 5(",) отпично
от нупа а диаПll30нв ("'1' "'2)' (5.12)
Эти свойства иноrда называют свойствами носителя
распределения Виrнера.
Рассмотрим теперь сиrнал следующеrо вида:
f\J\/\NVIN\f'V \/W\f\f\МIWV
t, t 2 (.. tз
Он равен нулю на интt'рвале (12, tз}и имеет фокус в
точке l а . Мысленно сворачивая правую и левую части
сиrнала относительно l а , видим, что это приводит К
наложению и, следовательно, распределение Виrнера
будет в данном случае иметь ненулевые значения дa
же там, тде сиrнал равен нулю. Следовательно, pac
пределение Виrнера может иметь отличные от нуля
значения тотда, коrда сиrнал равен нулю, что, ecTecт
венно, сильно затрудняет ero интерпретацию. IJ рече-
вом сиrнале, например, содержатся интервалы молча-
ния паузы, которые очень важны, однако распреде
ление Виrнера их маскирует. Все эти дополнительные
значения можно устранить посредством сrлаживания,
но оно, к сожалению, ухудшает некоторые друrие по
лезные свойства распределения Виrнера.
Область существования взаимных членов. Резуль
таты, аналоrичные приведенным выше, применимы и
к взаимному распределению Виrнера. Так, в частнос
ти, в случае двух любых функций SI(1) и S2(1) , значе
ния которых равны нулю соответствеmю вне интерва
лов (11, (2) и (1з, (4), взаимное распределение Виrнера
этих функций равно нулю на следующих интервалах
[60, 92а, 92Ь]:
W 12 (t, ",) 2 1 s; (t i T)e I' s2(t + i т) dT == О,
93
лов ("'1, UI2) И ("'3, "'4), получаем
W 12 (t, ",) == 2: 1 5; (с.> o)e I8t 5 2 ('" + в) dO == О,
1 1
'" s 2: ("'1 + "'3), w 2: (W2 + ",,J. (5.14)
Приведенные соотношени полезны дщI.. расчета рас-
пределения Виrнера для сиrналов конечной длитель
ности [60, 92а, 92Ь].
С, Распространение локальных харlUCТерисТИlt
(например, шума)
Почти все, кому приходилось работать с распреде.
лением Виrнера, отмечают ето «з енность», и
это действительно так. В данном подразделе мы по
кажем, что если, вообще rоворя, шум присутствует
на некотором малом интервале длительности сиrна
ла, то он будет появляться и в дрyrие моменты вре-
мени, а если сиrнал имеет бесконечную длительность,
то зашумленным окажется распределение. Это
внутренне присущее распределенню Виrнера свойство,
о котором не следует забывать при анализе особен
ностей этоrо распределения. Важно также иметь в ви
ду, что распределение .Виrнера в любой момент вре- ]
мени отражает свойства, которыми сиrнa,n облад ет в
дрyrие моменты времени, поскольку распределение
Виrнера это в высшей степени нелокалъное распре
деление.
Рассмотрим показанный ниже сиrнал конечной
длительности, содержащий небольшой зашумленный
участок:
( tb
Предположим, что мы вычисляем распределение Виr
нера в некоторый момент времени, rде шум OTCYT
ствует, скажем в точке lt. Сворачивая этот сиrнал,
видим, что наложения левой части сиrнала с ero за
шумленн{)й частью не присходит , а следовательно,
шум в распределении в рассматриваемый момент Bpe
мени будет отсутствовать. Теперь рассмотрим точку
lь. В этом случае участок перекрытия будет coдep
жать зашумленную часть сиrнала, а следовательно, в
распределении появится ШУМ, хотя в самом сиrнале
шум в этот момент времени отсутствует. Теперь pac
смотрим сиrнал бесконечной длительности на интер.-
вале ( oo, + 00). В этом случае шум появится во всех
точках распределения, поскольку свертка сиrнала oт
носительно любой выбранной нами точки будет Bcer
да одержать участок, на котором присутствует шум.
На рис. 6 показан пример сиrнала конечной длитель
ности. Шум в распределении Виrнера, соответствую-
щем этому сиrналу, поивляется во все моменть! вре-
мени на интервале между стрелками, хотя в самом
сиrнале зашумленный участок имеет rораздо Meнь
тую протяженность.
1 1
· 1. .... . t::r It. + (). (5.13)
- 2 ,.. ' -3" . - 2" 4 D. П):'lIМeры
В частотной области в случае двух функций 1("'}
81("') с оrpаниченной шириной полосы частот, значе-
ния которых равны нулю соответствеино вне интерва-
Прим р 1 Дли сиrналов, имеющих форму
( ) 114
s(t) ==; е а!Ц2+iIJIЦ2+i""".
(5.15)
94
;
l-
о
"'1
"'2
Частота
"ис. 8. Пример, иллюстрирующий сраспростраиение. шума
. ,аспреДeJIеиии Виrнера. Шум (в области между стрелками)
П8явлнется в распределении Виrнера в те моменты времени,
Kor..a в сиrнале он отсутствует. Если бы сиrиал имел беско
иечиую ДJlительиость, то шум в распределении Виrнера DрИ
сутстао8ал бы во Все моменты времени, даже несмотря на то,
ЧТО В сиrнале он присутствует на конечном интервале времени.
распределение Виmера имеет следующий вид:
''' ( ) I a" I", fJl ...,"i'Ja
П' (, '" е .
11"
(5:16)
Отметим прежде Bcero, что это распределение Виrне
ра положительно и что данный сиmал не единствен.
ный, для KOToporo оно положительно [93, 157, 180].
Если о мало, то энерrия сиrнала концентрируется
вдоль кривой", == "'о + {31, которая представляет собой
проиэводную от фазы и соответствует локальному
среднрму значению частоты. В предельном случае при
о == О, получаем некоторый ЛЧМ сиrнал, и распреде
лени Виmера принимает следующий вид 5):
W(t, ",) 6(", (3t "'о), KorA8 а О. (5.17)
Uтсюда следует, что энерrия сиrнала 'полностью скон-
центрирована вдоль линин, соответствующей MrHo-
вещщй частоте. Если теперь положить {3 == О, то рас-
пределение будет иметь максимум только на несущей
частоте:
W(t, ",) 6(", "'о), а, (3 О. (5.18)
На рис. 7 показано, как меняется вид распределения
Виrнера по мере перехода от rayccoBCKoro сиrнала к
ЛЧМ сиrналу .
Наrлядно объяснить эти изменения поэволяет ко-
эффициент корреляции. В данном случае имеем
(t) О,
(1
(t",) 2а '
("') "'о,
a, ,
а .. a2 + (32 .
2а (5.19)
Следовательно, ковариация харахтеризуется следую
щей величиной:
fJ
СОУ (t",) .
2а
(5.20)
.. При вычислении предела следует соблюдать осторожность,
так "ак сиrнал при этом может потерять нормировку. При расчете
по формуле (5.11) нормирующий множитель опускается.
ТИИЭР, т. 77, JI(g 10, октябрь 1989 )
При {3.....U значение ковариации стремится к нулю, а
это означает, что время и частота не коррелированы.
Такой вывод вполие разумен, поскольку во всем иН-
тервале времени мы имеем дело с некоторой чистой
синусоидой. При 0.....0 значение ковариации стремится
к бесконечности, а значит, мы имеем случай полной
корреляции, что также соответствует действительнос
ти, поскольку ЛЧМ-сиrнал характеризуется тесной за
висимостью между временем и частотой. Аналоrич
ные рассуждения применимы и к коэффициенту корре-
ляции, определяемому в соответствии с выражением
(4.32). В данном случае имеем
r
1
r == ./ 1 + (а/(3) 2 '
Этот коэффициент корреляции стремится к единице
при 0.....0, что означает наличие полной корреляции, а
при О.....СО он стремится к нулю, что rоворит об OT
сутствии корреляции.
Пример 2. для сиrнала
(5.21)
I
s(t) == А 1 е'''''' + А 2 е'''''' (5.22)
распределение Виrнера имеет следующий вид:
W(t, ",) == A 6(", (>.)1) + A 6«>.) "(2) + 2А 1 А 2 '
:r
....
. 6[", ("'1 + "(2)] cos ("'2 "(1)t. (5.23)
I
Как и следовало ожидать, энерrия сиmала оказалась
сконцентрированной на частотах "'1 и "'2, но теперь
распределение И).iеет ненулевое значение и на частоте
("'1 + "'2 )/2, что свидетельствует об эффектах, обус
ловленных появлением взаимных (или перекрестных)
членов, которые обсуждались выше. Точка
'" == ("'t + "'2 )/2 это единственная точка, для KOTO
рой существует некоторое перекрытие, поскольку сиr-
иал имеет острые максимумы на частотах "'1 и "'2.
Это распределение показано на рис. За. В случае cyм
мы синусоид дополнителЬ\l.ые ложные значен будут
всеrда появляться в точках, соответствующих cpeд
ним точкам между всеми парами частот. Следова
тельно, в случае N синусоид появится N(N 1)/2 дo
полнительных значений. Заметим, что эти дополни
тельные члены осциллируют и MorYT быть частично
ослаблены с помощью сrлаживания.
Пример 3. Для сиrнала конечной длительности
s(t) е''''''',
о :S t :S Т,
(5.24)
распределение Виrнера имеет следующиЙ вид:
W(t, ",) == .!. sinc (", "'oIt,
11"
т
O:St:Si:
]
J
I
I
С
1
T t
== sinc(", "'о)(Т (),
11"
!. < t < Т.
2
(5.25)
Это распределение показано на рис. 2а. Как уже rOBO
рилось, распределение Виrнера стремится к нулю в
концевых точках ('J'''''П"l'''' J(''' Ч}1"ОЙ длите.".;i't>с-m OT
метим Т...,же симмеЧШю относительно средней точ
кв, IP.l'орая отсутствует в случае раcnреде:Iения Пейд-
жi. Обусловлена она тем, что распределение Виrнера
с равными весами учитывает ПрОlJШое и будущее
Clq'Нала.
з
в
'"
л
ВРIEМЯ ЧАС]"ОТНЪIE РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
...
....
'"
"".
S:
..
.8,0841-9 .
ф -:f1;
<O
",...
..
8,o 8 4tJi' е
-.s-
...
'"
"о'
9S
,
"'7',
I
'11 ; I
"1
[
]
з
,.,, ....
....1..JJi! ....
.-'
ф
"".
.s-
....
'"
"".
.....s:s
, ф
Ф 'iJ.(.101.fj.
".s.:-s
'"
."'"
8. OiS!:.
Ю8.ft-9
'"
ф" 1.0'1
"'.,
4
'"
"".
(а) (ь) (с)
PIIC. 7. РаспреДeJ1еиие Виrиера для raVCCOBCKoro сиrнаnа s(t)-==Ае t'I.+ /flt'I.+ /"'01: (а) 1%-== 1; (Ь) 1%-==0.5; (с) 1%-==0.1.
По мере приближения значения 1% к иулю данныА сиrнал стаНОВИТСJ/ все более похожим на ЛЧМ сиrнал и 9нерrИJ/ в рас-
пределении Виrнера начинает все плотнее и плотнее концентрироваться вб.nизи MrHOBeHHoA частоты (11-== (IIn+6t. Исполь
зованы значения а==0.3 и (110-==3.0. Время и частота (в относМ:тельных единицах) измеНЯЮТСII от 5 ДО 5.
Пример 4. Для суммы двух rayccoBcкнx сиrналов
( ) ,/4
s(t) =' А, :т e "'t"2+i(Jlt"H'i""t +
( ) '/4
+ А 2 е Q2'Ч2+ID2rlJ2+JIIJ2t
(5.26)
непосредственные ВЫ](J]адки дают следующее распре
деление Виrнера:
W(t, ",) =' A e C<1t] ("' fJlt ",,)]/al + A e a2(> ("' fJ2t ",,)21", +
"IТ 11"
+ A , A 2 (a, a 2)'/44.J2 Re J : e ("2+,,1Jr"2+f(w] ""I1.
')'2 1',
Н(1'2 1',)( + j[", (W2 + ",,>н 2
ехр (5.27)
i(1'2 + 1',)
rде
1'1 =' а, + щ"
1'2 =' а2 j13 2 .
(5.28)
Вид ЭТUJv.).Jс1"'lJределения показан на рис. 4а. Возвы
шенность в ero средней части обусловлена эффектами
перекрестньrх членов.
Е. ДиСlфетное npеобразование Виrнера
Применение распределения Виrнера значительно
расширилось после Toro, как оно было сформулирова
но для дискретных сиrналов. Здесь также возникает
целый ряд трудностей, мноrие из которых удалось
устранить лишь недавно. ОДИН из фундаментальных
результатов был получен в работах Класена и Ме-
](J]енбраукера [53, 54], применивших теорему отсчетов
к распределению Виrнера. Класен и Ме](J]енбраукер
показали, что в случае сиrнала с оrраниченной поло
сой (финитноrо сиrнала) ero отсчсты и соответствую
щее распределение Виrнера связаны соотношением
т .
W(/, "') =' :Е s*(/ kne 2i"'kТ s(t + kn, (5.29)
1rk== co
Здесь 1fT частота дискретизации, которая должна
выбираться с таким pac eTOM, чтобы Т '/I"/2"'max, rде
"'шах наивысшая частота, присутствующая в сиrна-
ле. Следовательно, частота дискретизации должна
4
удовлетворять условию
;п
eJ
Ю
4t
lе:
т,
ЭВ
(с:
М,
01
i> I
UJ s 4ц,milХ
(5.30)
В случае сиrнала s(п) с дискретным временем, у KO
Toporo Т=' 1, распределение Виrнера (5.29) имеет
следуюший вид:
1 ф .
W(п, 8) =' :Е s.(п k)е 2iвk s(п + k). (5.31)
11" 1c;::: OD
. ,
,01
МI
:e-r
1
Щ
йс
ии
!УМ
'РО
ВЫ
ых
Я. ]
a.I
Из выражения (5.29) следует, что в дискретнои случае
распределение Виrнера является периодической Функ
цней по "', но с периодом '11", а не 2'/1", как в непрерыв
ном случае. Следовательно, должна использоваться
максимальная частота дискретизации, в два раза npe
вышающая частоту Найквиста. Чжэнь [48] получил
друrое решение, периодическое по '11". Боашаш и Блэк
[25] также получили дискретный вариант распределе
ния Виrнера и показали, что использование аналити
ческоrо сиrнала устра.ниет трудности, связанные с Ha
ложением. Они преDЛОЖИЛИ метод вычисления pac
пределения Виrнера и аналитическоrо сиrнала в
реальном времени. ц.зуй и Уильямс [51] получили дис
кретный вариант экспоиенциальноrо распределения.
Еще один подход БЬJЛ использован Будро-Бартельсом
и П,Jiрксом [38, 41], которые для аппроксимации инте--
rрала Фурье использовали метод cnлaйIlов.
Один из новых и притом унифицированных подхо
дов для получения дискретноrо распределения Виrне
ра предложен недавно Пейрином и Простом [155].
Этот подход естественным образом приводнт к He
прерывному распределению, сохраняя ero свойства.
Записав непрерывный сиrнал s(t) в дискретизованной
форме
(5,
leт(
.ете
УНJcl
r ус
ись
(5
о 31
rки
рои'
.жен
) + I
па,
шей
'ых
:ем J
'0 p
{ия ]
s(t) =' :Е s(nH6(f пт)
п
(5.32)
н подставив ero затем в непрерывное распределение
Виrнера, авторы указанной работы получили распре
деление
",(п, "') =' :Е s*«п 2k)ns(kТJe i,,"2k п)T. (5.33)
k
в котором время является дискретной перемеННОR, а
частота сохранена как непрерывная переменная. Ава-
лоrичную методику можно использовать и для полу-
чения распределения с дискретной частотой и непре-
рывным временем. Пейрин и Прост обобщили ее так-
же на случай, коrда и время, и частота дискретны.
"'" I
9б
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989
Таким образом, предложенный этими авторами под
ход обладает достаточной степенью общности и Ha
верняка может быть применен к дрyrим распреде
лениям.
Амином [9] были получены явные рекурсивные co
отношения для расчета дискретноrо распредления
Виrнера и дискретноrо сrлаженноrо распределения
Виrнера.
F. Сrлаженные распределения
rлавные причины сrлаживания распределения Виr
нера состоят в том, что при использовании HeKOТO
рых типов сrлаживающих функций получается поло
жительное распределение [34, 47, 66], а также в том,
что при этом подавляются мноrие побочные эффекты
(так называемые артефакты), о которых rоворилось
выше. Основная идея здесь сrлаживание распределе
ния Виrнера за счет применения операции двойной
свертки
Ws(t, ",) 1 L(t t', '" ",') W(t', ",')' dt' d",', (5.34)
тде L сrлаживающая функция. Можно надеяться,
что соответствующий выбор функции L позволяет по
лучить новое распределение с требуемыми свойства
ми. Следует заметить, что если L считается не зави
сящей от сиrнала, то единственный способ получить
положительное распре.ilеление это пожертвовать cy
ществованием марrинальных распределений. В каче
стве сrлаживающей функции чаще всето примеияют
rауссовскую функцию
1
L(t ) t2la ","O
, '" а{3 е ,
(5.35)
которая при определенных значениях а и f1 позволяет,
как уже сравнительно давно- показано в целом ряде тде
работ по квантовой механике [34, 47, 66, 118 120,
142, 181], получать положительные распределения.
Условие для выбора этих констант имеет следующий
вид [47, 66]:
OI{3 2: 1.
(5.36)
Сrлаживающие функции более общеrо вида paCCMaT
ривались в работе [23], тде было показано, что для
положительности распределения достаточно, чтобы
сrлаживающая функция была распределением Виrнера
любоrо нормированноrо сиrнала. В работах [100, ]01]
рассматривалась сrлаживание с помощью rауссовской
функции применительно к общему классу распределе-
ний, определяемому выражением (4.1). Ниже, в разд.
VI, будет рассмотрена спектроrpамма, которую мож
но рассматривать как некоторую сrлаживающую про
цедуру.
Краткий обзор эффектов сrлаживания с помощью
rауссовской функции для распределений, используе
мых в квантовой механике, дан в работе [179], резуль
таты которой нетрудно перевести и на язык теории
сиrналов. Так, rлобальные значения математическоrо
ожидания частоты и времени одинаковы как для
обычноrо, так и для сrлаженноrо распределений Виr
нера. В отличие от этоrо в случае вторых rлобальных
моментов мы имеем (,,,z). =' (",2).. + а/2 для частоты
и аналоrично «(2) для времени. Моменты высших по
рядков также иные, а это свидетельствует о том, что
условия существования марrинальных распределений
после сrлаживания не сохраняются. В работе [179]
также показано, что применение сrлаживания в зада
чах квантовой механики очень часто приводит к полу
чению ошибочных результатов.
Важные результаты, способствующие более четко
му пониманию эфФектов и оrраничений, связанных со
сrлаживанием, получены в работе [81]. Авторы этой
работы показали, что сrлаживание приводит к потере
фазовой инФормации, но частичное сrлаживаниев в
ряде случаев B e же может обеспечнть ущ)влетВQРИ
тельные результаты.
Амин [8] определил условия, необходимые дЛЯ BЫ
бора BpeMeRHoro и корреля,ционноrо окон при сrлажи
вании распределения Виrнера, и показал их связь с aв
токорреляционной Функцией.
Недавно опубликованная работа [10] способствова
ла значительному продвижению на пути к эффектив
ному использованию сrлаживания. Авторы поставили
задачу отыскать способ оптимальноrо сrлаживания
распределения Виrнера, который позволял бы coxpa
нять большую часть полезных свойств этоrо распре
деления. Они показали, что сrлаживание должно за
траrивать лишь те по возможности нejjольщие обла
сти время частотной плоскости, тде еще
обеспечивается получение положительноrо распреде
ления, и определили общие условия такото минималь--
ното сrлаживания, выраженные через скорость изме-
нения фазы, для частной разновидности сиrналов,
имеющих форму s(t) =' ejop(t).
Наттолл [146, 147], рассмотрев задачу сrлажива
ння с помощью rауссовской Функции более общеrо
вида
j
L(t, ",) 2.JQe '''a .i'JO 2C'''',
(5.37а)
1
Q с 2
OI{3 ,
(5.37Ь)
показал, что результирующее распределение будет по
ложительным при Q 1, т. е. при выполнении
условия
1
OI{3 2: 1 + с 2 ' (5.38)
Наттолл отметил, что эта сrлаживающая функция не
обязательно должна быть распределением Виrнера He
которото сиrнала, если только не имеет места paвeH
ство Q =' 1. Он получил ряд интересных выражений
для сrпаженноrо распределения Виrнера и показал
удобные способы оптимизации сrлаживания. Цзуй и
Уильямс [51], Наттолл [146, 147] и Фландрин [76] по
лаrают, что одним из весьма эффективных средств
для отыскания ядер может служить область, на кото-
рой задана Фукция неопределенности.
Цзуй и Уильямс [51], Наттолл [146, 147] и Флан
дрин (76) расматривали плоскость определения Функ
ции неопределенности в качестве некоторото весьма
эффективноrо средства для определения ядер распре
делений.
Следует заметить, что, хотя мы и рассматриваем
сrлаживание в разделе, посвященном распределению
kh13
ВРЕМЯ ЧАСТОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
97
I
Виrнера, сам по себе этот процесс не зависит от вида
распределения в том смысле, что сrлаживание HeKOTO
poro распределения с использованием одной сrлажи
вающей Функции эквивалентно сrлаживанию дрyrоrо
распределения с использованием друrой сrлаживаю
щей Функции. Конечный результат будет тем же, и
полученная в результате Функция будет принадлежать
билинейному классу. В частности, если Pt сrлажива
ется с помощью функции L1(t', ",'; t, "') с целью по
лучения PL.:
PL,(t, ",) i i P,(t'. ",')L,(t', ",'; t, ",) d/' d",', (5.З9а)
то такое же сrлаженное распределение можно полу
чить И из распределения Pz с помощью сrлаживаю
щей ФУНКЦИИ Lz(t', ",'; t, "'):
PL,(t, ",) PL,(t, ",) i i Р 2 (С ",')L 2 (t', ",'; t, ",) dt' d",',
(5.39Ь)
если обе используемые сrлаживающие ФУНКЦИИ связа
ны СООТНОlllением
L 2 (t", ","; t, "') i i g(t" t', "," ",').
. L,(t', ",'; t, "') dt' d",', (5.39с)
I
rде функция g(/, "') определяется выражением (4.65).
1
I
i
G, Дрyrие свойства и результаты
Положительность. BbIllle мы видели, что распре
деление Виrнера оказывается положительным в слу
чае rayccoBcKoro сиrнала [см. (5.15)]. Более Toro, как
показано Хадсонам [93] и Пике [157], это единствен
ный сиrнал, для KOToporo распределение Виrнера по
ложительна. Сото и Клавери [180] показали, что этот
результат справедлив и в мноrомерном случае.
Модуляция и свертка. Рассмотрим распределение
Виrнера для произведения двух сиrн3J.lав
s(t) S1(t) S2(t).
(5.40)
Чтабы. записать era через распределения Виrнера aT
дельных сиrналав, падставим этат сиrнал в выраже
ние (5.1) и васпальзуемся абратными саатнаlllениями
(5.5). В результате получим [54]
W(/, ",) i W 1 (/, ",')W 2 (t, '" ",') d",'. (5.41)
В случае свертки, коrда
s(t) i S1«(1S2(/ t1 dt
5(",) 51(",)52("')'
(5.42)
сразу (па свайству симметрии) получаем
W(t, "') i W.(t', ",) W 2 (t' t, ",) dt'. (5.43)
Формула Мойяла. Перекрытие двух сиrналов, а
также перекрытие саответствующих им распределе
ний Виrнера связаны интересным саатнаlllением:
I i s,(t)s!(t) dtl2 211" i i W,(t, "') W 2 (t, "') d/ d,,). (5.44)
Этат результат был впервые палучен Майилам [143].
Янссен [98] паказал, чтО' данному свойству удавлетво
ряет бесконечнае число друrих Dаспределений, если
ядра удавлетваряет уславию Iф(8, T)I 1. В против
нам случае
I i s,(t)s1{t) dtl2 211" i i i ! P,(t, ",)P!(t', ",').
. К(t t', '" ",') dt d", dt' d",' ,
(5.45)
rде
1 r r eJBI+ ,,"'
K(t, "') 411"2 J J iф(/i, 7)12 d/i d7.
В некатарых рабатах Фармула Майяла рассматрива
лась как адна из уславий существавания рцспределе
ния, на четкаrа даказательствва этоrа в них не прива
дилась. Как атмечалась Янссенам (98], ана имеет
апределенную привлекательность для квантавай Mexa
ники, на «вазмажно, савсем не абязательна для Teo
рии сиrналав». В действительнасти им и в квантавай
механике не пальзуются. Канечна, внутреннее (CKa
лярнае) праизведение атнасится к числу Фундамен
тальных величин в анализе сиrналав и в квантавай
механике, и необходима отыскать спасаб связать era
с саответствуюlllИМИ распределениями. Сделать эта
пазваляет выражение (5.45), причем ничто не rаворит
пратив Tara, пачему бы эта связь не моrла иметь
фарму, апределяемую выражением (5.44). Заметим
также, чтО' Фармула Майяла аказалась палезнай при
реlllениИ задач обнаружения сиrналав [78, 117, 31].
Характеристики при наличии шума. Свайства
аценки распределения Виrнера в случае детерминиро
BaнHara сиrнала и аддитивнаrа стацианарнаrа lllyмa с
нулевым математическим ажиданием анализирова
лись Наттоллом [146], каторый получил явные Bыpa
жения для среднеrо (по ансамблю всех возможных pe
ализаций IIIyмa) и дисперсии этоrа распределения. По
скольку Наттолл палаrал, что шум аддитивен, смесь
сиrнала и IIIyмa аписывается выражением
(5.46)
Х(О s(t) + n(t). (5.47)
Так как lllумавой член стационарен и не обращается в
нуль на бесконечности, процесс x(t) взвешивается с
помощью известной детерминированной Функции
v(t), вид которой выбирается в зависимости от усло
вий решаемой задачи. Взвешенный процесс аписыва
ется выражением
y(t) v(t)x(t) v(t)[s(t) + пЩ]. (5.48)
Следовательно, распределение Виrнера МОЖНО' запи
сать в виде свертки по частоте, а именно свертки pac
пределения Функции v(t) с распределением процесса
s(t) + п(t), т. е. в виде, апределяемом выражением
(5.41). Распределение Виrнера для процесса s(t) + п(t)
содержит четыре члена: распределение сиrнала, pac
пределение IIIyмa и два перекрестных члена, линейных
относительно lllyмa. Среднее значение линейных IIIY
мовых членов равно нулю, поскольку мы имеем дело
с lllYМOM, математическое ожидание KOToporo равно
нулю. Паэтому среднее значение распределения Виr
нера описывается выражением
W y (/, ",) i W v (/, ",')[W.(t, '" ",') + Wп (t, '" ",')] d",', (5.49)
98
rде чеJYJ;a сверху означает усреднение по ансамблю
все'! suзможных реализаций шума.
В случае стационарноrо шума выражение, описы
вающее среднее значение распределения Виrнера для
шума, упрощается. Поскольку ковариация шума C(t)
зависит от разности членов:
C(t' () п(t)п*(t') ,
(5.50)
70
Wп(t, '" ",') 2: I п*(t т) п(t + т) е /Ф .,,1 dT
(5.51)
J C(T)e i*" "") dT
211"
с(", ",'),
(5.52\
rде G(",)спектр плотности мощности. Отсюда полу
чаем, что среднее значение распределения Виrнера для
проuесса уи) описывается следующим выражением:
w ytt, "') I wv<t, ",')[w.(t, '" ",') + с(", ",1] d",'.
(5.53)
Используя далее допущение о том, чт о n(t) r ayc
совский шум со средним значением п (t)n (t') = О,
Наттолл [146J получил явное выражение для диспер
сии распределения Виrнера W y . Он показал, что при
любом спектре шума значение этой днсперсни будет
бесконечным, если сиrнал не взвешен, т. е. если
v(t) = 1 для всех моментов времени. Кроме Toro, он
показал, что в случае белоrо шума (т. е. шума с по
стоянной плотностью мощности на всех частотах)
значение этой дисперсии будет бесконечным при лю
бой взвешивающей функции. Для получения конечно
o значения дисперсии необходимо отфильтровывать
чаs:тоты, лежащие вне полосы частот сиrнала.
Друzuе результаты и свойства. Распределение
Виrнера можно получить с помощью различных Me
тодов. В частности, один из интересных методов
предложен в работе [22J, в которой рассматривались
свойства таких распределений для широкополосных
сиrналов. Как показали Кобаяси и Судзуки [IIOJ, в
случае OднoKoМl1oHeHТНЫx сиrналов распределение
Виrнера может иметь боковые лепестки.
Общий. обзор вопросов, касающихся распределения
Виrнера, 'выполнен в работах Хиллери и др. [89J, Me
кленбраукера [14IJ. Буашаша [26, 29] и Будро
Бартельса [4IJ.
VI. СПЕктроrРАММА и функции НЕОПРЕДЕЛЕIOЮСТИ
А. КраТlювременный спектр Фурье и cneKTporpaммa
Спектроrрамма это одно из средств, наиболее
широко применяемых при анализе спектров, завися
щих от времени [5, 6, 75, 111, 112, 126, 150, 151. 158,
163, 164, 174J. Идея, положенная в ее основу, проста,
НО весьма действенна. Если требуется проанализиро
вать, что случилось в некоторый момент времени, то
естественно воспользоваться некоторой небольшой
частью сиrнала. центрированной относительно этоrо
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989
момента времени, рассчитав для Hero энерrетический
спектр и выполнив эти действия для каждоrо требуе
More момента времени. В частности, при использова
нии Функuии окна h(t), центрированной относительно
момента времени t, надо рассчнтать спектр для
s(t')h(t' t)
5,(",) e /""'s(t')h(t' t) dt',
(6.1)
представлющий собой кратковременное преобразова
ние Фурье. Спектр плотности энерrии, или спектро
rpaмMa, описывается выражением
Ps(t, ",) 15,(",)12,
(6.2)
которое можно рассматривать как плотность энерrии
в точке с координатами t и "'. Функция окна позволя
ет управлять относительным значением веса, припи
cbIBaeMoro различным частям сиrнала. Если выбрать
окно, которое придает повышенные веса интервалу
вблизи точки наблюдения, то спектроrрамму можно
использовать для оценки значений локальных вели
чин. Применяемая форма отображения информации
зависит от приложения и KOHKpeтнoro вида решаемой
задачи. Чаще Bcero используется двумерная проекция,
на которой интенсивность изображается различными
rрадациями ceporo цвета. Такое отображение приме
нимо для спектроrрамм, поскольку оно обладает явно
положительным свойством. Впервые оно было ис
пользовано в работах по исследованию фундамен
тальных свойств речи. Математическое описание
спектроrр мы тесно связано с работами Фано [72] и
Шредера и Атала [175J, хотя оно и основано на Koppe
ляционном подходе. Существует большое число раз
личных модификаций спектроrраммы [111, 112J, ис
ключительно удачный сравнительный обзор которых
дан в работе [112J. rлубокий анализ спектроrpаммы
был выполнен Олтесом [6J, который получил ряд ин
тересных соотношений, важных для тех вопросов,
рассматриваемых В. данной статье.
Еще один полезный результат можно получить,
если выразить кратковременное преобразование
Фурье через преобразования Фурье сиrнала S("') и
окна н(",), т. е. записать ero в следующем виде:
5,(",) e /"" I е''''''5(",1Н(", ",1 d",'. (6.3)
Это выражение по аналоrин с результатами предыду
щих рассуждений можно использовать для изучения
свойств распределений вблизи частоты "'. Для этой
цели следует выбрать такую функцию окна во Bpe
менной области, которая приписываетдл повышенные
веса интенсивностям вблизи частоты "'.
Выбирая более компактное «<заостреиное») окно
во временной области, можно повысить разрешение
по времени. АналоrliЧНЫМ образом, выбирая более
(<заостренное» окно в частотной области, можно по
высить разрешение по частоте. В силу принципа Heo
пределенности ни h(t), ни н(",) не MorYT иметь про
извольно малую ширину. А это 0значает. что в случае
спектроrраммы использование окна каждоrо KOHKpeт
Horo вида связано с принятием определенноrо KOM
промисса между разрешением по времени и по часто
ВРЕМЯ ЧАcrОТНЪIЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
те. Окна MOryT различаться в зависимости от оцени
ваемых свойств.
Основные свойства 8, 126, 111, 112] и эффектив
ность спектроtраммы для частноrо вида сиrнала зави
сят от функциональной формы окна, хотя, на наш
взrляд, оценочные свойства не должны слишком зави
сеть от тонких особенностей Этоrо окна. Можно, KO
нечно, надеяться на то, что результаты будут в HeKO
торой степенн независимыми от окна. В качестве Ha
rлядноrо примера определим, используя соотношение
(4.24), первый условный момент частоты, с тем ЧТО
бы оценить ее MrHoBeHHoe значенине. Записывая сиr
нал, как в (4.26), через ero амплитуду и фазу, а также
используя аналоrичную запись для окна,
h(t) Ah(t)el".(t).
(б.4)
получаем для nepBoro условноrо момента следующее
выражение:
(",), ......!..... r A2(t')A (t' t)[<,O'(t') + <'oh(t' ()] d/', (б.5)
P 1 (t) J
rде
Р 1 т I 15,("')12 d", I A2(t1A (t' () dt' (б.б)
марrинальное распределение по времени. Выраже
ние (6.5) можно получить непосредственно из выраже
ния (4.25), если подставить в Hero ядро cneKTporpaм
мы, определяемое выражением (6.17). Использование
разных окон будет, естественно, давать различные
выражения для (w)t. Если постепенно уменьшать ши
рину окна' до дельта Функции [123], т. е. положить
A1(t) li(t), то мы придем к pи) A2и). Используя
выражение (6.5) в случае действительнс:1Значных окон,
цолучаем, что оценочное значение мrновенной часто
ты стремится к значению производной от фазы, т. е.
(",>, <,О'Щ.
Следует,. однако, заметить, что, хотя среднее значе
ние мrновенной частоты и стремится к значению npo
изводной от фазы, ее среднеквадратичное значение
стремится к бесконечности [123]. Обусловлено это
тем, что при А1(п o(t) модифицированный сиrнал
s(t I )h(t t') имеет, как функция от t', очень малую
ширину и, следовательно, очень сильно «размыт» в
частотной области.
Характер распределения энерrии в cneKTporpaмMe
на время частотной плоскости удобно проиллюстиро
вать с помощью следующеrо примера [112], который
позволит нам представить окончательный результат в
наrлядной аналитической форме. Воспользуемся в Ka
честве сиrнала амплитудно модулированным сиrна
лом с линейной частотной модуляцией, определяе
мым выражением (5.15), в котором мы для удобства
положили "'о == О, а в качестве oкнa oкнo, определяе
мое выражением
( ) 1/4
h(t) ==;: е зt'l2 + jbt'J2.
Рассчитав аналитически кратковременное преобразо
ванне Фурье, можно после ряда алrе6раических преоб
99
разований записать спектр плотности энерrии pac
сматриваемоrо сиrнала в одной из следующих двух
форм:
Р (t) 1
Ps(t, "') e ["' ("'),J'll., (б.9)
v21rOi
Р 2 (",) е Ir (1).1'12.: (б.10)
.J21roi
Здесь
Р (О e laa/(a+allr'
1 'V . '
(6.11)
Р 2 (",) ==
aa/1r е (за/IаIЗ' + Ь'I + а(а' + II'JI\",l
а(а 2 + ь 2 ) + а(а 2 + 132) ,
(б.12)
марrинальные распределения соответственно по
времени и по частоте,
а13 Ьа
("'>, а + а (,
а13 Ьа
(О'" == а(а2 + ь2) + а(а2 + 132) "',
1 1(jЗ+Ь)2
и 2 == (а + а) + ,
2 2 2 а + а,
2 1 (а + аР + (13 + ь)2
"1 ==:2 а(а 2 + ь 2 ) + а(а 2 + (р)'
(б. 13)
(б.14) kJ
(б.15)
(б.1б)
(б.7)
Из выражений (6.9) и (6.10) видно, что для задан.
Horo момента времени энсрmя сиrnала в основном
концентрируется вдоль кривой, соответствующей оце-
ночному значению мrноilенной частоты, а для задан
Horo значения час.тоты.:...... вдоль кривой, соответствую
щей оценочному значению временн6й задержкн. Если
требуется BЫCOK e разрешение по времени (что обес
печит получение хорошей оценкн мrновенной частоо
ты), надо уменьшать 'ширину окна, а для этоrо следу
,Т увеличивать значение коэффициента а. Из выраже
Шlя (6.5) видно, что в этом случае (W)t fЗJ, т. е.
получился результат, KOToporo и следовало ожидать.
Свойства cпeKmpozpaммbI и ядра. Как уже OТMe
чалось, cneKTporpaмMa принадлежит к классу pacnpe
делений, определяемых выражением (2.4). Записывая
cneKTporpaмMY (6.2) в развернутом виде и сравнивая
ее с распределением (2.4), видим, что она порождает.
ся ядром [56]
'Ps(O, Т) == I h*(/ T)h (t + 1) e ler dt, (б.17)
(б.8)
которое связано с симметричной функцией неопреде-
ленности (см. следующий подраздел) окна. Ядро
(6.17) можно также записать через преобразование
Фурье для окна:
фs«(J, Т) Н*(", О)Н('" + О )e IT '" d",. (б.18)
Выражение (Ь.17) очень удобно для определения и
анализа свойств cneKTporpaмM. Так, чтобы опреде
100
лить, может ли спектроrрамма обладать свойством
сохранения энерrии, необходимо проверить, удовлет
воряет ли при (J, т == О ее ядро. т. е. величина
Ф5(0, О) J Ih(t)1 2 dt,
(6.19)
условию (4.14). Если требуется, чтобы сохранялась
вся энерrия сиrнала, то величина (6.19) должна быть
равна единице, а для этоrо необходимо, чтобы окно
было нормировано к единице. Для проверки тото,
удовлетворяет лн спектроrpамма условию существо
вания марrинальных распределений, необходимо про
верить, выполняются ли условия, определяемые BЫ
ражениями (4.10) и (4.12), т. е. проанализировать Be
личины
Ф5(fJ, О) J Ih(t)12е iбl dt,
Ф5(0, Т) J IH("')1 2 e i '''' d",.
(6.20)
(6.21)
Чтобы получить правильные марmнальные распреде
ления, обе эти величины должны быть равны едини
це. Единственный способ добиться этоrо
воспользоваться окном, квадрат которото приближа
ется к дельта функции. Заметим, что чем ближе оно к
дельта функции, тем точнее марrинальное распределе
ние спектроrраммы по времени соответствует Mrнo
венной энерmн. Однако чем уже окно, тем шире ето
преобразование Фурье, а следовательно, тем ниже
точность отображения спектральной плотности
энерrии.
Мы. уже приводили выражение для первоrо услов
ното момента частоты, соответствующеrо заданному
моменту времени [см. выражение (6.5)], и показали,
как этот момент связан с мrновенной частотой. Aнa
лоrичный результат справедлив и для временной за
держки. Если преобразования Фурье сиrнала и окна
записать в следующем B e:
5(",) 8(",)е/,р(",), н(",) BH(",)ei,p"M, (6.22)
то условное ожидаемое значение времени на HeKOTO
рой заданной частоте будет определяться Bыpa
жением
(t>", P2 "') J B2(",')B (", ",')[ф'(",') ф;,(", "'')] d",',
(6.23)
тде
Р2("') J B2(",,)B (,,, ",') d",'. (6.24)
марrинальное распределение по времени. Если
уменьшать ширину окна в частотной области, то, ис
пользуя арrументацию, аналоrичную приведенной BЫ
ше, можно показать, что в случае действительнознач
ных окон, ширина которых мала в частотной обла
сти, оценочное значение rрупповой задержки будет
вести себя, как (t>"'..... ,,'("').
Далее, интеrрируя условные моменты, можно
определить rлобальные средиие значения времени и
частоты сиrнала:
(1)15 (1)1. (1)Ih. (6.25)
(",>15 (",>1. +(",>Ih ( '(t»l. + ( ;,(t»lh. (6.26)
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989
тде подстрочный индекс S означает, что для расчетов
была использована спектроrрамма, а подстрочные ин
дексы s и h указывают, что расчеты выполнялись
только с сиrналом или окном, т. е. с использованием
только А2и) или Аси). Эти rлобальные величины
существенно зависят от среднеrо значения окна. Если
окно выбрано так, что соответствующие ему среднне
значения времени и частоты равны нулю (т. е. окно
симметрично относительно времени и частоты), то
среднее значение спектрOl'Рамы будет тождественно
среднему значению этоrо окна, независимо от ето
формы. Однако второй rлобальный момент и cpeд
неквадратичное отклонение будут зависеть от ето xa
рактеристик.
Аналоrичные рассуждения применимы и к ковари
ации. Первый смешанный момент определяется Bыpa
жеНИ6М
{t",>15 (t '(t»I. (t i,(t»lh (t)lh( '(t»l. +
+ <1)1.( ;,(t»lh. (6.27)
Воспользовавшись выражениями (6.25) и (6.26), He
трудно показать, что ковариацию можно в данном
случае записать в форме
Cov (t",)15 Соу (t",)I. Cov (t",)lh' (6)8)
Отсюда следует, что ковариация CjIeKтpa плотности
энерrии равна разности между ковариацией сиrнала.и
ковариацией окна.
Обращение и репрезентативность. В случае спект
ротраммы задача обращения не приводит к каким то
особым затруднениям, и все сказанное в подразд. IV.B
относительно обращения применимо и в данном слу
чае. Чтобы решить, даст ли та или иная форма Функ
ции окна спектроrраМму, по которой можно будет
BOCCTaнOBIj:Tb сиrнал, необходимо в соответствии с
выражением (6.17) рассчитать ядро и применить обr
общенный критерий Наттолла [148], рассмотреный
в подразд. IV:B.
Сравнение с билинейными распределениями, YДOB
летворяющими условиям существования марrиналь
БЫХ распределений. Спектроrрамма допускает прос
тую интуитивную интерпретацию. Поэтому, выбир
подходящие окна, можно с ее помощью измерить или
оце!fИТЬ физические параметры сиrналов. Однако BЫ
бор окна полжен зависеть от оцениваемых величин.
Так, если необходимо получить точные результаты и
для мrновенной частоты, и для временной задержкн,
то следует применять различные окна. Кроме тото,
выбор оптимальноrо окна будет в обшем случае зави
сеть от времени [14, 183]. С дрyrой стороны, как мы
уже видели, для некоторых билинейных распределе
ний значения мrновенной частоты и временной за
держки мотут быть определены точно посредством
расчета условных средних значений, и никаких вопро
сов относительно выбора окна решать здесь не прихо
дится. В этом ОДНО из важных преимуществ распре
делений, подобных распределению Виrнер.а, и такие
распределения с большим успехом используются для
оценки мrновенной частоты сиrнала. К достоинствам
же спектроrраммы следует отнести то, что она всетда
положительна. В отличие от этоrо билинейные pac
пределения, дающие требуемые марrинальные распре
деления, в случае произвольноrо сиrнала ни оrда н!:
ВРЕМЯ ЧАСТОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
101
ТlI'блица 3. Сравнение спеI;троrраммы с распределениями, удовлетворяющими УСЛОВИЯМ
существования марrинальных распределений и уравнениям (4.28) и (4.47Ь) .)
Свойство
Cnепроrрамма
Распределение
А'(/') A (/' /) d/
82(",') 8-:'(", ",') d",'
(1) 1, (1) Ih
<"'>1, + <"'>Ih
r 82(",') 8;"(", ",') [у.,'(",') у.,Н!", ",')] d",'
р.(",) J
r A'(t') A (/' /) [.р'(/') + .р;'(/' /)] d/'
Р,щ j
Полная ,нерrня
Марrиналъное распределение
по времени PI (1)
Марrинальное распределение
по частоте Р 2 ("')
Срелнее значение времени
Среднее значение частоты
Среднее значение времени для
заданноЙ частоты w
Среднее значение частоты ДЛJI
'JaдaнHoro 'Момента времени ,
ЛZ(t)
8'(",)
(1)1,
(",)\,
y.,'(",)
.р'(1)
.Jсиrнan и OI<НO обозиачены соответственио через A!Oe"'( и A VJ.,t..( н нормированы Jt единице. Соответ-
ствующие преобразованНJI Фурье обозначены через B(w)e"I _) и BH("')e"I' _). Символы 1, и /. YJ<азЫвают, что расчеты
выполнены ТОЛЬКО для сиmала или ТОЛЬКО ДЛJI окна.
будут иметь только положительные значения. К тому
же результаты, которые они дают при расчете друrих
условных моментов, очень часто невозможно интер
,претировать [56]. Сравнительные достоинства этих
распределений предмет дальнейших исследований, и
'по мере накопления опыта работы с различными pac
пределениями их преимущества и недостатки будут
постепенно проясняться. Весьма вероятно, что для
анализа различных сиrналов и определения их свойств
MorYT потребоваться различные распределения.
Ряд важных свойств спектроrраммы указан в
табл. 3, rде для сравнения приведены также аналоrич
вые свойства билинейных распределений, удовлетво
ряющих условию существования марrинальных pac
пределений и условиям (4.28) и (4.470).
Связь с друzuми распределениями. В силу истори
ческих причин развитие теории спектроrpамм и Teo
рии билинейных распределений Toro типа, который
обсуждался в разд. I..шло раздельными путями и сти
мулировалось различными причинами и физическими
арrументами. Лишь недавно признано наличие между
ними вполне определенной связи. Применительно к
задачам квантовой механики теория спектроrрамм
развивалась в работах [34, 118 1201 как некий альтер
нативный подход к распределению Виrнера. Возмож
но, самым первым свидетельством связи между
спектроrраммой и друrими распределениями, которое
было отмечено Эккройдом [2, 3] и спустя некоторое
время использовано Олтесом [6], является соотноше
ние, связывающее cneKTporpaмMY с распределением
Рихачека:
P 5 (t, <д) I I e.(t', w')eh(t' (, w w') dt' dw', (б.29)
rде е.и, "') и eh(t, ",) распределения Рихачека COOT
ветственно для функций сиrнала и окна. CneKTporpaм
му можно в данном случае рассматривать жак время
частотное распределение сиrнала, сrлаженноrо с по
мощью время частотноrо распределения окиа. Марк
[138] и Класен и Мекленбраукер [56] указывали на
аналоrичное соотношение с распределением Виrнера:
P 5 (t, ",) I I W.(t', ",') Wh(t' (, w ",') d/' dw'. (б.30)
Мноrие исследователи, раtJOтающие с распределением
Виrнера, но не знакомые с соотношением (6.29), не
моrли, разумеется, знать о том, что между спектро
rраммой и распределением Виrнера существует в He
котором роде уникальная важная связь. Теперь же мы
знаем, что эти соотношения Bcero лишь частные
случаи обобщенноrо соотношения, связываюшеrо лю
бые два различных билинейных распределения.
В действительности эти два частных случая MorYT
быть обобщены и на друrие распределения. В резуль
тате для всех ядер, таких что ф( ", т}Ф(д, т} == 1,
приходим к следующему выражению:
P 5 (t, <д) I I p.(t', w')P h (/' (, w ",') dt' dw', (б.31)
rде Р. и P h функции распределения соответственно
для сиrнала и окна. Для вывода этоrо выраженаня
предположим, что М. и Mh характеристические
функции сиrнала и окна. Используя выражение (3.77),
получаем
ф (8 Т) Mh( 8, Т) .
5 , ,b( 8, Т)
(б.32)
Характеристическая функция спектроrраммы имеет
следующий вид:
М 5 (д, Т) I I IS/(w>\2 e /e/+i T '" dt dw
М,(8, T)Mh( 8, Т)
ф(8, т)ф( 8, Т)
(б.33)
Записывая в соответствии с выражением (3.30) обрат
ные преобразования Фурье для обеих сторон этоrо
выражения, получаем соотношение (3.31). (3.31). Если
ф( д, т)Ф(д, т) # 1, то
P 5 (t, <д) I I I I G(t", ",") Р,(/', ",')
. P h (/" + t' (, w" + w ",') dt' dt" dw' dw",
(б.34)
102
rде
1 r r e i8' jT'"
G(t, ",) 411"2 J J ф( 8, "Т)ф(8, Т) d8 dT. (6.35)
В, Фymщия неоnpедепенности
Функция неопределенности Вудворда [202] npeд
ставляет собой одно из важных средств, используе-
мых для анализа и сннтеза сиrналов, применяемых в
радиолокации. Она связывает разрешающую способ
ности по дальности и по скорости, поэтому через нее
MorYT быть выражены рабочие характеристики сиrна
лов. Синтезируя сиrналы, обладающие той или иной
формой функции неопределенности, можно, в принци
пе, получить сиrналы с требуемыми характеристика
ми. Подробное обсуждение свойств функции неопре
деленности дано в работе [168], а краткие обзоры ее
свойств и применений приведены в работах [67, 177].
Обсуждаемая в данной статье связь между функци
ей неопределенности и функциями время частотных
распределений установлена уже сравнительно давно
[108, 109]. Еще Вудворд [202] отмечал ее связь с xa
рактеристической функцией Виля. Свойства функции
неопределенности во MHoroM сходны со свой твами
псевдохарактеристичесlCИX функций, которые обсужда
лись в разд. 111. Именно связь между этими двумя ви
дами функций нередко помоrает прояснить смысл тех
или иных соотношений.
В отношении функции неопределенности существу
ет целый ряд незначительных различий в терминоло
rии. В данной статье мы будем использовать опреде
ление, приведенной в работе [168]:
х(8, Т) 1. s*(t T)s(t)e i8 . dt.
(6.36)
Симметричная функция неопределенности определяет
ся в этой работе с помощью выражения
xs(8, Т) 1 s*(t Т) e i8 .s(t + Т ) d/. (6.37)
Заметим, что очень часто под функцией неопределен
ности понимается либо функция, комплексно
сопряженная функции (3.36), либо абсолютное значе
ние этой функции, либо квадрат ее абсолютноrо
значения.
Сравнивая выражения (6.36) и (3.19), видим, что
функция неопределенности представляет собой xapaK
теристическую функцию распределения Рихачека, а
сравнивая выражения (6.37) и (3.40), видим, что сим
метричная функция неопределенности представляет
собой характеристическую функцию Виrнера. MaTeMa
тическая и, возможно, физическая аналоrии между
этими двумя типами функций лишь подчеркивают ин
терпретацию свойств функции неопределенности. Так,
условие )(0, О) == 1 сразу же становится понятным, ec
ли учесть, что это условие отражает нормировку дaH
Horo распределения к уровню полной энерrии, KOTO
рый, естественно, выбирается равным единице. COOT
ношение )(8, Т) == )(*( 8, T) означает, что
распределение деЙСТilительнозначно. Обратившись к
колонке табл. 2 «Характеристическая функция», He
трудно убедиться, что эти функции обладают свойст
вами, обычно приписываемыми функции неопределен
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989
ности, И что во мноrих случаях именно интерпретация
через распределения обладает большей степенью Ha
rлядности. Эту аналоrию можно расширить, введя с
помощью выражения (3.77) поиятие обобщенной
функции неопределенности. Цзуй и Уильямс [51] с yc
пехом использовали ero для анализа влияния ядра на
свойства распределения. Заметим, что существует
мноrо больше аналоrий, чем было отмечено здесь, и
в литературе можно найти целый ряд весьма удачных
работ, посвященных исследованию связи между Функ
цией неопределенности и время== частотными распре
делениями (см., например, [56, 69, 187]).
Некоторые исследователи утверждают, что то или
иное распределение, например распределение Виrнера,
«лучше», чем функция неопределенности. В доказа
тельство обычно приводится множество apryмeHToB,
включая и тот факт, что распределение Виrнера ей
свительнозначно, тоrда как функция неопределеннос
ти комплексна. Эта точка зрения ошибочна, и оши
бочна по следующим причинам. Во первых, очень ча
сто более приемлемыми оказываются именно
характеристические функции, а не распределение. Bo
вторых, характеристические функции весьма полезны
при расчете, скажем, смешанных моментов. Свойства
распределения часто леrче определить по характери
стической функции, чем с помощью тех или нных опе
раций, выполняемых над самим распределением. Kpo
ме Toro, плоскость определения функции неопределен
ности относится к числу весьма эффективных средств
для выбора ядра [51, 146, 147, 76]. Наконец, xapaKTe
ристическая функция составляет одно из rлавных
средств, используемых для получения этих распре
деления.
VU. ФИЛЬТРАЦИЯ И СИlПEЗ 80 ВРЕМЯ ЧАСТОТНОЙ
ОБЛАСТИ
Если понятия и методы теории фильтрации yдa
лось бы обобщить на время частотную область, они
моrли бы стать одним из мощных средств синтеза
сиrналов с требуемыми время частотными свойства
ми. Однако осуществление время часто'fНОЙ фильтра
ции наталкивается на очень серьезные трудности, пре
одолеть которые полностью не удается. Во можно,
одна из первых попыток связать входное и выходное
распределения в случае HeKoToporo квазираспределе
ния была предпринята Лю [127], который использо
вал распределение Пейджа. Рассчитав выходные сорт':
ношения для целоrо ряда каузальных линийных сис
тем, Лю определил для выходноrо распределения
rpаничные у'словия, представляющие определенный
практический интерес. Впоследствии Бастианс [17, 18]
и Класен и Мекленбраукер [56] определили свойства
преобразования для распределения Виrнера. Айхман и
Дон [70] сформулировали обобщенный оптический Me
тод для время частотной фильтрации и разработали
ряд методов, применимых ко мноrим распреде
лениям.
Салех и Суботич [173] отмечали, что, в отличие от
стандартной передаточной функции, выход в случае
этих билинейных распределений не является HeKOTO
рой простой мультипликативной функцией от BXOДHO
ro распределения. В действительности выходное pac
пределение почти всеrда будет нерепрезентативным,
т. е. не будет существовать сиrнала, который оно MO
1
ВРЕМЯ ЧАcrОТНЬIE РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
103
rло бы ПОIЮДИТЬ. Причины, объясняющие, почему
распределения не являются репрезентативными, мож
но разделить на две качественно различные rpynпы, в
одну ИЗ которых. входят причины, не зависящие от
распределения, а в друrую зависящие от Hero. Для
упрощения оrраничимся рассмотрением распределе
ний, обладающих марrцнальныии распределениями.
1) Условия, не зависящие от распределения. Для
оценки приrодности распределения Р( 1, CIJ) можно pac
считать ero марrинальные распределения
P 1 (t) J Р(/, "') d""
р 2 (",) J P(t, "') d/.
Чтобы это распределение было репрезентативным,
марrинальные распределения Р. и Р2 должны быть
функциями, абсолютно интеrpируемыми с квaдpa
том. и образующими пару преобразований Фурье.
Иными словами, должен существовать сиrнал s(/) с
преобразованием Фурье S(CIJ) , такой что
P.(t) =о Is(/) 12 и P2(CIJ) =о IS(CIJ) 12. Одним из примеров
нерепрезентативности, как отмечали Салех и Суботич
[173J, является распределение, марrинальные распре
деления Koтoporo отличны от нуля только в конечных
областях. Такие марrинальные распределения не обра
зуют пару преобраЗ0Ваний Фурье, поскольку они
оrpаничены по времени и ширине полосы частот.
2) Условия, зависящие от распределения. Приве
денные выше требования ясны и соrласуются с опы
том работы с преобразованиями Фурье. Вторая же
rруппа причин зависит от функциональной связи меж
ду исследуемым распределением и сиrналом и oтpa
жает конкретные особенности этоrо распредеiения.
Следовательно, построение зависящих от времени пе
редаточных фуНкций не может быть основано только
на физических принципах: должны учитываться и oco
бенности рассматриваемоrо распределения. К сожале
нию, каждому распределению присущи свои особен
ности. Проиллюстрируем возникающие здесь TPYД
ности несколькими примерами.
Предположим, что в случае входноrо распределе
ния Виrнера передаточная функция вырезает HeKOTO
рую полосу, параллельную оси частот и COOTBeт
ствующуЮ некоторому конечному интервалу времени,
а всем остальным частотам соответствуют нулевые
значения. Результирующее распределение никоrда не
будет репрезентативным, хотя то, что мы сделали
для этоrо-----'- потребовали нулевых значений в HeKOТO
рой области, вполне разумно и приемлемо. Указы
вает ли в данном случае нерепрезентативность на He
которое нарушение принципа возможности физиче
ской реализуемости? Разумеется, нет, поскольку здесь
проявляется просто некое специфическое свойство pac
пределения Виrнера. Обратимся теперь к еще более
наrлядному примеру: рассмотрим распределение Виr
нера дшf rayccoBcKoro сиrнала. Если умножить это
распределение на ClJ2, то получим ли мы репрезента
тивное распределения? Нет, не получим. Мало Toro,
даже если мы помножим ero не на rауссовскую, а Ka
кую то друryю положительную Функцию, то и тоrда
результирующее распределение наверняка окажется
нерепрезентативным. Объясняется это тем, что "ayc
совский сиrрал это единствеиный сиrнал, который
дает положительное распределение Виrнера, поэтому,
умножая зто распределение на какую либо друrую по
ложительную (неrауссовскую) функцию, ни к какому
(7.1)
распределению Виrнера мы не придем. Если теперь в
предыдущем нашем приме воспользоваться распре
делением Рихачека, то результирующее распределение
будет истинным распределением Рихачека. Однако ec
ли умножить распределение Рихачека на какую либо
функцию времени и частоты, которая не является
произведением функций времени и частоты, то мы ни
за что не получим распределения Рихачека. И снова
это одна из особенностей данноrо распределения, а
вовсе не отражение некой принципиальной физической
невозможности. Следовательно, процедуры, которые
внешне выrлядят вполне приемлемыми, поскольку
основаны на использовании приемлемой зависящей от
времени передаточной функции, часто оказываются
неработоспособными .для Kaкoro TO одноrо распреде
ленIO\, но вполне применимы для дрyrоrо, причем их
неприrодность в первом случае обусловлена не каким
то нарушением физических законов, а Bcero лишь яв
ляется следствием особенностей данноrо распределе
ния. Но вот как распознавать особенности и обра
щаться с ними одна из rлавных проблем в данной
области. Отмеченные выше трудности пока что выяв
лены лишь для нескольких распределений, и вполне
возможно, что существуют распределения, для KOTO
рых они не возникают.
Несмотря на все эти проблемы Салеху и Суботичу
[173J удалось значительно упростить задачу. По aнa
лоrии с методом, основанным на использовании CTaн
дартной передаточной функции, они умножили BXOД
ное распределение на зависящую от времени переда
точную функцию, с тем чтобы получить выходное
распределение. В принципе это некий идеальный Me
тод, поскольку он прост И непосредственно ведет к
искомому результату. Иными словами, они использо
вали запись
Po(t, ",) H(t, ",)P,(t, ",),
rne Pr и РО COOTBeтCTвeHHO входное и выходное pac
пределения, а.Н зависящая 01' времс:ни передаточная
функция. В общем случае выходное распределение бу
дет нерепрезентативным, и- Салех и Суботич предло
жили два метода для .синтеза сиrнала по выходному
распределению. Один из - них основан на исполъзова
нии выражения (5.6), причем независимо от Toro, бу
дет ли сиrнал резепрентативным или нет, во !lTOpOM
методе ищется сиrнал, которому соответствует pac
пределение, по возможности наиболее близкое в
смысле наименьших квадратов к выходному распреде
лению. Подход Салеха и Суботича выrлядит привле
кательным, поскольку он во мноrом соrласуется с Ha
ll!ИМ сеrодняшным интуитивным пониманием Toro,
что мы хотим получить от фильтрации во время
частотной области. Как отмечают Салех и Суботич,
их подход применим и к друrим время частотным
распределениям, в связи в чем представляет интерес
исследовать вопрос о том, для каких распределений
их процедура может быть реализована неким опти
мальным образом.
Ряд новых методов был предложен и для решения
задачи синтеза. Будро Бартельс и Паркс [39 IJ раз
работали несколько эффективных методов для синте
за распределения Виrнера, еще несколько методов
предложено в работах Ю и Чжана [203, 2О4] и Буаша
ша и др. [26J.
104
Соотношения между входом u выходом. Перей
дем теперь к краткому изложению результатов анали
за связи между входом и выходом. Для обобщенноrо
зависящеrо от времени линейноrо преобразования сиr
нала имеем
50(О I h(t, t')5,(t') dt',
rде h(t, 1 ) импульсная характеристика [172, 205].
Тоrда соотношение между входным и выходными
распределениями всеrда можно записать в следующем
виде:
Po(t, ",) I I K(t, "'; t', ",')P,(t', ",') dt' d",'. (7.4)
Прямые выкладки дают
K(t, "', t', ",')
r i7"'+iT",'+,8(u lI i8'(u' 11 ф(8, Т) .
811"3 J е ф(8', Т')
h ( 1 , 1 , ) h( 1 . 1 . )
. . и T u T и+ T u + T ,
2' 2 2 ' 2
. du dT d8 du' dT' d8'.
в случае ядер некоторых частных видов это выраже
ние значительно упрощается. Так, для распределения
Рихачека получаем
-K(t, "', t', ",') 2: h(t, t')5*("" "")e ""'+;""' (7.6)
rде
5("" ",') 2: I I h(t, t')ei"" ''''''' dt dt'. (7.7)
Заметим, что К это двумерное распределение Риха.
чека. Для распределения Виrнера получаем выражение
которое также является двумерным распределением
Виrнера:
K ( t '" t' ",' ) 2.. r r e i7"'+'7''''' h* ( t .! Т t' .! Т' ) ,
, " 211" J J 2' 2
. h(t + T, t' + T) dTdT' (7.8)
VШ. ДРYrИЕ ВОПРОСЫ: мrНОВЕННАЯ ЧАСТОТА,
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, ПРИIЩИП
НЕОПРЕДE.1IEННОСТИ
А, Мrновеltная частота и аналитический сИЛfал
Понятие «мrновенной» частоты уже давно испо
льзуется в физике и астрономии. По историческим
причинам методика и способы описания мrновенной
частоты не всеrда связывались с время частотными
распределениями и зависящими от времени спектра.
ми. Всесторонне проработанная теория совместных
время.частотных распределений позволила бы уточ.
нить И прояснить понятие мrновенной частоты. Поэ,
ТИИЭР, т. 77, N2 10, октябрь 1989
(7.3)
тому следует отдать должное тем работам, в KOTO
рых исследовались вопросы, касающиеся данноrо Ha
правления. Так, именно установление APMcTpoHroM
[11] Toro факта, что применение частотной модуляции
для целей радиопередачи существенно снижает ypo
вень шума, способствовало консолидации усилий по
изучению и анализу математических и концептуаль.
ных описаний частотной модуляции и мrновенной ча.
стоты. Первые работы, посвященные всестороннему
анализу частотной модуляции, были выполнены Kap
соном и Фраем [45] и Ван дер Полем [192], которые
определяли мrновенную частоту как скорость измене
ния фазы сиrнала. Такое определение подразумевает,
что имеется некоторая процедура формирования KOM
плексноrо сиrнала из действительноrо сипlала. Вооб.
ще rоворя, можно построить бесконечное число ком.
плексных оиrналов, действительной частью которых
будет заданный действительный сиrнал. Важный шаr
был сделан rабором [80], который, подметив, что и
sin ",( и cos ",1 при использовании только положитель.
ной части спеектра преобразуются в экспоненту d"",
обобщил это наблюдение на произвольный случай,
наложив условие «подавления амплитуд составляю
'дих с отрицательными частотами и умножения aм
ллитуд составляющих с положительными частотами
на 2)). rабор отметил, что эта процедура эквивалент
на добавлению к сиrналу некоторой }\'fнимой части,
т. е. обеспечивает получение преобразования rильбер
та для исходноrо сиrнала. Амплитуды составляющих
с положительными частотами умножаются на 2 для
сохранения полной энерrии исходноrо сиrнала. Чтобы
показать, каким образом указанная выше процедура
приводит к преобразованию rильберта, рассмотрим
сиrнал s(t) и ero преобраЗ0вание Фурье S(",). Сиrнал
z(t), спектр KOToporo обраЗ0ван положительными ча.
стотами спектраS(",), получается из Hero с помощью
обратноrо преобразования Фурье с использованием
одних лишь положительных частот:
(7.5)
1 I Ш
z(t) 2 5(",)е''''' d",.
v27r о
(8.1)
Записывая, соrласно (1.3), S("') через сиrнал s(t),
имеем
z(t) 22.. r ш r 5(t')e ''''' е''''' dt' d",
211" Jo J
(8.2)
Используя далее
r ш е''''' d", 1I"6(x) + L ,
Jo х
(8.3)
получаем
. i 5(t')
z(t) s(t) + L dt'.
11" t t
'0.4)
Правая часть выражения (8.4) это преобразование
rильберта исходноrо сиrнала, а ztt) называется aнa
литическим сиrналом. Производная Фазы аналитиче.
cKoro сиrнала соrласуется с ожидаемым значением
мrновенной частоты для целоrо ряда сиrналов, в
частности для узкополосных сиrналов. До сих пор
остается спорным вопрос о том, соответствует ли Ta
кое определение правильному матеlv,атическомv опи
ВРЕМЯ-ЧАСТОТНЬIE РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
санию мrновенной частоты, в связи с чем предложен
целый ряд друrих определений [85, 178]. Так, MrHOBeH
ную часто.ту можно определить через среднее за еди
ницу времени число пересечений некоторой функцией
нулевоrо уровня.
В случае действительноrо сиrнала вида А (1) cos
[wot + Ф(t)] часто используется комплексный сиrнал
вида А (1) d"" + jф(t), который называется квaдpaTYP
ной, или экспоненциальной, моделью. Исследовались
условия, при которых этот комплексный сиrнал явля
ется хорошей аппроксимацией аналитическоrо сиrнала
[169]. Наттолл [145) решил эту задачу, определив
ошибку аппроксимации как энерrию, соответствую
щую разности экспоненциальноrо и аналитическоrо
сиrналов. Он показал, что величина этой ошибки бу
дет равна нулю, если сиrнал А(t)d ФШ имеет односто--
ронний спектр, и что вовсе не обязательно, чтобы
этот сиrнал был узкополосным. Удобная и полезная
для изучения преобразований rильберта теорема бы
ла сформулирована Бедросяном [20]. Она связывает
преобразование rильберта для произведения двух сиr
налов с преобразованием rильберта каждоrо сиrнала.
Понятие «мrновенной» частоты подразумевает,
что речь идет о локальном явлении, но для расчета
преобразования rильберта необходимо использовать
значения сиrнала для всех моментов времени. Эта па
радоксальная ситуация анализировал ась Вакманом
[192], который установил умеренные достаточные yc
ловия для формирования комплексноrо сиrнала и по
казал, что эти условия приводят К получению анали
тическоrо сиrнала. Как отметил Вакман, для аппрок
симации аналитическоrо сиrнала фактически
необходима лишь небольшая полоса вблизи значения
мrновенной частоты так называемая активная поло
са [4, 106, 191].
Вакман отметил также, что величины, определяе
мые rлобально, при некоторых условиях очень часто
MOfyT быть с успехом описаны как локальные вели'rn
НЫ. Примером может служить случай электромаrнит
ных волн, [де мы, cTporo rоворя, имеем дело с pac
пространением волн в пространстве, но rде, при опре
деленных ус.riовиях, можно с пользой применить
методы лучевой оптики.
Отождествление производной от фазы с понятием
мrновенной частоты не следует, конечно, восприни
мать слишком буквально. Связь производной от фазы
с «час.тотой», которая появляется в спектре, исследо
валась Вилем [194], Финком [74] и Манделем [131].
Рассмотрим, к примеру, в каждый момен I' времени
«траекторию» мrновенной частоты и найдем cpeд
НIQЮ частоту. При усреднении по времени она будет
определяться выражением
(\&,'(t»T 1 \&,'Щ Is(t)1 2 dt (среднее по .ре".НИ). (8.5)
Сравнивая эту величину со средней частотой, опреде
ляемой усреднением по спектру, а именно с велич ой
("')s 1 "'15("')12 d",
(среднее по частоте).)
нетрудно показать, что они идентичны, т. е.
("')5 (\&,'(t»T
а это rоворит в пользу отождествления производной
105
от фазы с мrновенной частотой. Если, однако, вычис
лить вторые моменты, то это отождествление OKa
жется невозможным, так как они не будут равны.
Действительно, в данном случае имеем [74, 131, 194]
(",2)5 (\&"Z(t»T + 1 А'2щ d/. (8.8)
а среднеквадратичное отклонение средней по спектру
частоты определяется выражением иl (w 2 )s (w) .
Используя аналоrичное выражение для частоты, yc
редненнной по времени, получаем
01 о; + 1 А,2щ d/.
(8.9)
(8.б)
Мандель [131] подчеркивал, что производная от
фазы не всеrда совпадает с частотами, которые появ
ляются в спектре, хотя, соrласно (8.7), среднее значе
ние этой производной и среднее значение частоты
равны. Более Toro, не составляет большоrо труда по
строить примеры, коrда производная от фазы HeKOTO
poro аналитическоrо сиrнала (спектр KOToporo coдep
жит только положительные частоты) будет в HeKOTO
рые моменты времени иметь отрицательные
значения. Можно, конечно, определить мrновенную
частоту как производную от фазы, но концептуальное
содержание TaKoro выражения не всеrда будет OTpa
жено в этом определении. Заметим, что в отсутствие
амплитудной модуляции производная от фазы и
мrновенная частота совпадают. Заметим также, что
второй член в правой части выражения (8.9) тождест
вен ожидаемому значению локальноrо разброса, опре
деляемоrо выражением (4.39).
Применительно к совместным время частотным
распределениям мrновенная частота определяется как
средняя частота в некоторый заданный момент Bpe
мени, т. е. как условное среднее значение частоты.
Как мы уже видели, существует бесконечное число
распределений, соответствующих сиrналам, у KOTO
рых производная от фазы совпадает с условным cpeд
ним значением частоты. Условием этоrо является BЫ
полнение равенств (4.28), оно обычно рассматривает
ся как одно из важных и полезных свойств
распределения. Следует, однако, отметить, что ynо
мянутый результат справедлив для любоrо комплекс
HOro сиrнала, но для аналитических сиrналов он HeBe
рен. . Здесь можно, конечно, привести доводы в пользу
Toro, что указанное условие, налаrаемое на время
частотные распределения, следовало бы рассматри
вать как требование Toro, чтобы условный момент
частоты был равен производной от фазы лишь для
некоторых типов сиrналов или же чтобы это paвeH
ство выполнилось в некотором приближенном CMЫC
ле. Можно также обосновать требование Toro, чтобы
этот результат выполнился и для производной от фа
зы аналитическоrо сиrнала, даже если при расчете
распределения используется реальный сиrнал. Но еще
важнее, чтобы любая теория время частотных распре-
делений предсказывала правильное выражение для
мrновенной частоты и чтобы форма этоrо «ответа»
не предписывалась зарсJ.Нее. К тому же некоторые pac
пределения, для которых производная от фазы совпа
дает с первым условным моментом частоты, дают,
как было показано в разд. IV, неверные результаты
для вторых условных моментов. А это rоворит о
(8.7)
106
том, что мы пока не располаrаем вполне непротиво
речивой теорией таких распределений и требуются
значительные дополнительные. исследования, с тем
чтобы прояснить соотношОиия между мrновенной ча
стотой, совместными время частотными распределе
ниями и результатом работ Виля, Финка и Манделя,
который представлен здесь выражением (8.9).
С точки зрении практики возникает вопрос, какой
сиrнал реальный или аналитический следует все
же использовать для расчета cOBMecTHoro времи
частотноrо распределении. Мноrие высказывались в
пользу аналитическоrо сиrнала, что объясняется в
основном тремя причинами. Bo nepBЫX, как мы уже
видели, некоторые распределения дают производную
от фазы для первоrо условноrо момента, а это rOBo
рит о том, что мы должны использовать аналитиче.-
ский сиrнал, поскольку мrновенная частота определя
ется в терМШIах аналитическоrо сиrнала. Если эти
распределении необходимо использовать для оценива
ния мrновенных частот (а это, несомненно, одно из
важных ero применений), то следует использовать
аналитический сиrнал. Как известно, распределение
аналитическоrо сиrнала резко уменьшает разброс
мrновенной частоты, однако вопрос о том, каким об
разом это сказывается на исходном сиrнале, в полной
мере пока не выяснен. Заметим также, что при испо
льзовании аналитическоrо сиrнала задать должным
образом марrинальные распределения исходноrо сиr
нала не удается. BO BTOPЫX, аналнтический сиrнал не
содержит отрицательных частот, в результате чеrо
устраняются перекрестные члены с положительными
частотами. И хотя устранение отрицательных частот,
естественно, устраняет и их наложение, это все же не
устраняет интерференции одних положительных ча
стот с дрyrими положнтельными частотами. Иными
словами, независимо от Toro, какая часть спектра сиr
нала устранена, всеrда будут присутствовать пере
крестные члены, поскольку это одно из неотъемле-
Mr.IX свойств билинейных распределений. Третий apry
мент в пользу аналитическоrо сиrнала обусловлен
тем, что в этом случае устраняется наложение, блаrо
:ДАря чему частота дискретизации снижается до CTaн
дартной частоты Найквиста [26].
В, Связь с е8НТОВОЙ меХ8flИКОЙ
Фундаментальный принцип классической механики
rласит, что, зная начальные координаты и скорость
материальной частицы, а также действующие на нее
силы, можно точно рассчитать ее координаты и CKO
рость В любой последующиЙ момент времени. В клас
сической механике движение материальной частицы
подчиняется второму закону Ньютона. Отказ от уни
версальности законов классической механики и oco
знание Toro факта, что детерминированная точка зре-
ния некорректна, поскольку законы природы позволя
ют лишь предсказать вероятность Toro, rде в
следующиЙ момент времени окажется материальная
частица, составляют одно из высшИх достижений Ha
учной мысли человечества. В дополнение ко всему это
имело rлубокие практические следствия, о чем свиде
тельствуют современные приборы, основанные на
квантовых эффектах. rлавная идея современной физи
ки состоит в том, что мы можем предсказать только
вероятности значений наблюдаемых переменных, Ta
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989
кик как положение (координтаты) и скорость, и что
этот факт вовсе не является следствием Kaкoro To He
знания человека, а отражает способ функционирова
нии ПРИРОДЫ. Эти вероятности определяются посред
ством решения уравнения Шрёдинrера, что дает вол
новую функцию, зависящую от координат и времени.
Тоrда вероятность Toro, что частица в момент BpeMe .
ни. t окажется в точке пространства q, будет равна квa
драту модуля волновой функции. Дрyrое существен
ное отличие квантовой механики от классической со-
стоит в том, что для описания наблюдаемых
физических величин в квантовой механики использу-
ются не функции, а операторы, некоммутативность
которых сильно влияет на возможность OДНOBpeMeH
Horo измерения наблюдаемых величин. Следует заме
тить, что в квантовой механике имеется еще один дo
полнительный уровень описания, который соответ-
ствует случаю, коrда в силу нашеrо незнания
волновая функция точно не известна и мы приписыва
ем некоторую вероятность возможным ее реализаци
ям. Так поступают в статистической квантовой Mexa
нике и примерно так же описывают стохастический
сиrнал в теории сиrналов. Следует, однако, подчерк
нуть, что в квантовой механике мы начинаем с Bepo
ятностноrо описания, тоrда как при анализе сиrналов
мы начинаем с детерминнрованноrо описания.
Существует частичное формальное математическое
соответствие между квантовой механикой и аНализом
сиrналов. По историческим причинам исследования,
посвященные совместным времи частотным распреде
лениям, часто инициировались соответствующими дo
стижениями в области квантовой механики. Безуслов
но, и пионфские статьи rабора и Виля всеrда про
буждали интерес к аналоrин с квантовой механикой.
<:>днако эта аналоrня носит чисто формальный xapaK
тер, а поскольку. соответствующие интерпретации ре.-
зко различны, то при переносе результатов из одной
области в дрyrую, а также при их интерпретации He
обходима особая осторожность. То, что может QbITb
приемлемым в квантовой механике, отнюдь не обяза-
тельно будет приемлемо в теории сиrналев и, как мы
увидим на конкретном примере, часто может иметь в
ней совершенно абсурдный смысл.
Отмеченная аналоrия возникает в связи с тем, что
в квантовой механике вероятность (точнее, плотность
вероятности) Toro, что частица будет обнаружена в
некоторой точке пространства, пропорциональна ква-
драту модуля волновой функции, а вероятность Toro,
что частица будет обладать некоторым значением
импульса, пропорциональна квадрату модуля преоб
разования Фур);е волновой функции. Следовательно,
сиrналу Можно сопоставить волновую ФУНКЦИЮ, Bpe
мени координаты, частоте импульс. Условия cy
ществования марrинальных распределений формально
одинаковы, хотя переменные различны. Первое фун
даментальное различие состоит в том, что квантовая
механика это вероятностная по своей сутн теория.
Ее вероятностная интерпретация не является каким то
следствием нашеrо незнания, а обусловлена фунда
ментальными свойствами материальноrо мира. С
друrой стороны, в теории сиrнаJlОВ мы всеrда имеем
дело по существу с детерминированными сиrналами,
а квадрат модуля сиrнала это ero интенсивность,
которой никакоrо вероятностноrо смысла не припи
сывается. Теперь мы подходим к нанболее важному
ВРЕМЯ ЧАcrОТНЪIЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Та6llИQ8 4. Взаимосвязь между квантовоА механикой и анализом сиrналов.'
107-
Квантовая мехавнка
(СТОХ8ств.есК8А по n РВРОА"I
AH&mIS CIII"II"'B
(детеРIIВН8РОll8нн..йl
Положеиие (координаты)
Импульс
Время
Волиовая функция
q (cnyчaIIв.. КЛIIЧIIIIа)
р (cnyчaIIв.. IIeJ1вчива'
r
Ф(q, ()
Ф(р, () J ф(q, () e /qp/' dq
Iф(q, tll'
IФ(р, t)I'
(ф 1 qlф(q, (>l' dq
(р) 1 рlФ(р, tJI' dp
Oq' .J(q') (ф'
Ор ..J (p') (р)'
OpOq "" 11/2
80лновав ФУНКttRЯ импульса
Вероятиость положеивя 11
IIОllеит времени t
Вероятность импульса в IIO
lIент в реllени t
Ожидаемое значение поло
жения
Ожидаеllое зиачение импуль
са
Среднеквадратичное откл
неиие положения
СреднекваДDатичиое OТ1tлtr
нение импульса
Првнцип неоПреД8118RНОСТН
ВреllЯ
Частота
Нет соответствия
Сиrиал
Спектр
Ilлотиость знерrии
Спектр плотности знерrви
Среднее значение вреllеии
Среднее значение частотн
Llпитепьность снrналв
Ширина попосы
Соотношеиие
тельностью
полосы
между ДJlИ-
и ширивой
t
'"
s(t)
S(",) J 5(t) e lwl dt
15(t)I'
1 S("') l'
(О 1 tl5(t)I' d/
("') 1 "'15("')1' d",
т ..J(t2) (1)'
в ..J (oi) (",)'
вт
.) Формальное М8темвтическое COOТвe1'CTBHf!: (попо.сиие. имnyпьс) (время. частота). В квантовой механике волновая ФУИКUИЯ завИСНТ от аре..
мени. но это не имеет ФОРlIвпьноrо соответствия в анализе CHrHanOB. Постоянная Планка Ii может быть прнравнена к единице. Квантовая механика
по своеА природе КОСИТ роятностныА характер. чем ОНа отличается.от анаЛИЗа сиrнапов. нмеющеrо детермнннрованныА хнрактер. Поэтому иer"МОТ"
ря на формапьнор ма,емвтичесиое соответствие нАтерпретация РЕ'Э'УпЬ1атов в обеих теориях совершенно различна. Квантовая мекаКИК& и теоРИR
сиrнапов имеют разлиqflыll уровень неопределеННОСТIf при усреднении "алиовой ФУНКЦИИ н сиrнапа ПО ансамблlO.
различию. В квантовой механике физические величи
ны всеrда связываются с операторами. ФундаМен
тальный принцип квантовой механики и сводится к
тому, что. для наблюдаемой величины измерению
поддаю:rся только собственные значения J:e операто
ра. Это приводит к, на первый взrляд, несколько
странным результатам, которые, тем не менее, KOp
ректны и MorYT быть проверены экспериментально.
Данный принцип лежит в основе квантования физиче
ских величин. и не имеет аналоrа в теории сиrналов. В
качестве одноrо весьма нarлядноrо примера paCCMOT
рим суМму Двух непрерывных велИЧ(JН. Заметим, KCTa
ти, что в квантовой механике такая сумма необяза
тельно будет непрерывной. В частности, рассмотрим
положение (координаты) q и импульс р, которые яв
ляются непрерывными переменными. В квантовой Me
ханике сумма q2 + р2 (с соответствующей размернос
тью) для любой частицы никоrда и ни при каких об
стоятельствах не будет непрерывной. Она всеrда
будет квантованной (дискретной), т. е. может прини
мать только определенные значения. Соответствую
щее утверждение в теории сиrналов rласило бы, что
время и частота непрерывны, но их сумма f + I.i (с
соответствующей размерностью) никоrда не будет He
прерывной, что, разумеется, с точки зрения теории
сиrналов нелепо. Следовательно, даже несмотря на
сyuцествование некоторой математической аналоrии с
квантовой механикой не следует необдуманно перено
сить ее результаты на совместные время частотные
распределения. Формальное математическое COOT
ветствие между квЩlТОВОЙ механикой и анализом сиr
налов в краткой форме представлено в табл. 4.
С, Принцип неопределенности и совместные
распределения
Принцип неопределенности характеризует фунда
ментальную связь между среднеквадратичным откло-
нением некоторой функции и среднекв}Щратичным от-
клонением ее преобразованйя Фурье. В частности, эти
среднеквадратичные. отклонения определяются соот-
ветственно выражениямИ
(Llt)2 j (t t)2Is(t)1 2 dt,
(д",)2 1 (", (;;)215(",)12 d""
(В.10)
rде t и "" средние значения времени и частоты. Для
люБОi!О СUi!нала принцип неопределенности записыва
ется в следующем виде:
LltLl", .
(В.11)
Величины Ы и /1"" принято называть соответственно
длительностью и шириной полосы частот сиrнала.
Хотелось бы прояснить роль принципа неопреде
ленности и ero значение применительно к совместным
распределениям. Ниже мы покажем, что принцип Heo
пределенности представляет собой некое соотноше
ние, касающееся только марi!UНальных распределений
и никак не влияющее на существование совместных
распределений. Термин «неопределенностЬ» впервые
стал употребляться в квантовой механике, rде он
вполне уместен, поскольку квантовая механика по
своей природе имеет вероятностный характер. В кван-
товой механике среднеквадратичные отклонения xa
рактеризуют процесс измерения наблюдаемых физиче
ских величин. Однако в невероятностном контексте
108
ТИИЭР, т. 77, N!! 10, октябрь 19891
принцип неопределенности следует рассматривать как
отображение Toro факта, что функция и ее преобразо
вание Фурье не MOryT иметь произвольно малую
ширину.
Необходимость правильной интерпретации при
нципа неопределенности при анализе сиrналов подчер
кивалась мноrими. Так, в своей статье о представле
нии сиrналов Лернер [124] прямо rоворит, что при
нцип неопределенности «...побудил некоторых
исследователей проводить необоснованные параллели
с принципом неопределенности в квантовой механи
ке... Аналоrия здесь только формальная.» По суще
ству о том же rоворит и Сколник [177J: «Использова
ние . слова «неопределеиносты> это пример непра
вильноrо употребления термина, так как ничеrо
неопределенноrо в «СООТНОlIIении неопределенности»
нет... Оно констатирует тот ХОРОlIIО известный MaTe
матический факт, что узкий сиrнал дает lIIИРОКИЙ
спектр, а широкий сиrнал дает узкий спектр и что He
льзя сделать так, чтобы и сиrнал и ero частотный
спектр одновременно имели произвольно малую
ширину».
И в теории сиrналов, и в квантовой механике мы
имеем дело с одним принципом неопределенности. В
квантовой механике он касается вероятностных аспек
тов измерительноrо процесса, и слово «неопределен
носты> употребляется здесь в своем прямом значении.
Принцип неопределенности относится к числу нанбо
лее rлубоких результатов квантовой механики и xa
рактеризует измерение физических величин, описывае
мых такими некоммутативными операторами, как KO
ординаты и импульс. В теории сиrналов принцип
неопределенности применяется только к lIIириие сиr
налов, связанных между собой преобразованиями
Фурье, и не имеет .никакоrо ОТНОlIIения к измерениям
в квантовомеханическом смысле. «Бытует, как под-
черкивал Эккройд [ЗJ, ОlIIибочное мнение, будто He
льзя измерить плотность энерrии разности t f за
данноrо сиrнала и будто это является неким следстви-
ем СООТНОlIIения неопределенности rабора. Однако
принцип неопределенности в теории сиrналов не име
е1' ничеrо общеrо с измерением распределений плот
ности энерrии для разности t f: он ЛИlIIЬ rласит, что
если эффективная lIIирина полосы сиrнала равна W,
то эффективная длительность Toro же сиrнала не MO
жет быть меныIIe I/W (и наоборот)...»
Еще одно недоразумение возникает, коrда величи
ны t::J и Jl(J), используемые в записи принципа неопре
деленности для обозначения среднеквадратю:tных OT
клонений, или lIIИрИНЫ, по ОlIIибке ИС-ТОлковываются
как малые элементы (приращения) дифференциально
ro исчисления. Это, разумеется, не одно и то же, и из
принцип неопределенности не следует, будто их He
льзя сделать сколь yrодно малыми. Эти два случая
использования символа Jl путать не следует.
Перейдем теперь к вопросу о связи принципа Heo
пределенности с совместными распределениями. OT
метим сразу, что, по наlIIему мнению, никакоrо OTHO
lIIения к проблеме совместных распределений этот
принцип не имеет, а касается ЛИlIIЬ произведения cpeд
неквадратичных отклонений марrинальных распреде-
лений. Действительно, предположим, что имеется He
которое совместное распределение и требуется рассчи-
тать произведение (Jlt)2(Jl(J)2, которое в данном
случае можно записать в следующем виде:
(ы)2(д",)2 11 (t ,')2 P(t, ",) dt d",.
. 1 1 (", (;j)2p(t, ",) dt d", (8.12)
1 (t ()2Is(t)12 dt. 1 (", (;jPIS(",>l 2 d",.
(8.13)
С этоrо обычно начинают вывод соотношения, а сле
довательно, и принципа неопределенности. Процедура
вывода сравнительно тривиальна, но поскольку {lРИ
нцип неопределенности должен внекотором обlIIем
смысле иметь ОТНОlIIение к корреляции между'измере
ниями времени'и CTOTЫ, то в процессе вывода чита-
тель убеждается в том, что это совсем не так. COOT
НОlIIение неопределенности вычисляется только по
марzuнальным распределениям. Следовательно, лю
бое совместное распределение, которое обладает мар-
zuнальнымu распределениямu, будет удовлетворять и
принципу неопределенности. Это не имеет никакоrо
ОТНОlIIения к корреляции между времен ем и ч .!отй-
и К измерению малых BpeMeHHLIx и частотных интер
валов, а rоворит ЛИIIIЬ о том, что марrинальны p
пределения Функиионально зависимы. Однако lIаличие
взаимосвязи между марrинальными распределениямив
еще не означает, что между переменными существует
корреляция, и само по себе не имеет ОТНОlIIения к cy
ществованию или несуществованию Toro или иноrо
cOBMecTHoro распределения.
Часто rоворят, что нельзя получит!> правильные
положительные распределения, поскольку они Hapy
lIIают приниип неопределенности. Но, как известно,
распределение Виrнера является положительным рас-
пределением для некоторых сиrналов. Если положи
тельность распределения и принцип неопределенности
несовместимы, то так должно быть во всех случаях.
К тому же можно построить бесконечное число поло
жительных распределений, которые будут удовлетво
рять условиям существования марrинальных распре-
делений. Иноrда также rоворят, что если распределе-
ние Виrнера усреднить по некоторой площади,
превосходящей площадь, определяемую в соответст,
вии с принципом неопределенности, то мы получим
некий положительный ответ. Это не так, в подтверж.
дение чеrо можно привести БолыIIеe число контр.
примеров.
IХ. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Мноrочисленные попытки применить на практике
совместные распределения предпринимались почти во
всех областях, rде приходится иметь дело с нестацио
нарными сиrналами. Цель этих применений менялась
в значительных пределах, начиная от ПРОCl'оrо rрафи
ческоrо представления результатов в расчете на полу
чение БолыIIrоo объема информации по сравнению с
дрyrими методами и кончая сложными манипуляция
ми с этими распределениями. Ниже мы покажем, как
применялись совместные распределения, но на под-
робностях конкретных численных методов останавли-
ваться не будем.
Вообще rоворя, все описанные в литературе при
менения можно разбить на три rруппы. К первой oт
носятся расчеты распредеlIений, выполняемые с
ВРЕМЯ ЧАСТОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
109
1'<)
...
целью выяснения возможности получения Информа
ции в большем объеме, чем при использовании дрyrих
средств, например cneKTporpaмM. Одним из примеров
может служить обработка речи, коrда пытаются BЫ
делить большее число тонких деталей речевоrо сиrна
ла, таких как нестационарные участки и переходы.
Вторую rpупny образуют применения, в которых ис
пользуют отдельную особенность Toro распределе
ния, в котором нашло четкое отражение время
частотное содержание рассматриваемой особенности.
Это может быть, например, корреляция мrновенной
частоты с какими либо физическими величинами, под
лежащими определению. К третьей rрyпnе относятся
применения, связанные с использованием распределе
ния в качестве носителя информации HeKoToporo сиr
нала без учета Toro, правильно или нет это распреде
ление отображает время частотную плотность энер
rии. Заметим также, что мноrие применения явно не'
попадают ни в одну из названных rрупп, но их тем не
менее полезно иметь в виду, поскольку успех или He
удача использования Toro или иноrо распределения в
KaKOM TO конкретном приложении не обязательно
означает успех или неудачу ero применения в дрyrом
приложении. Так, распределение Виrнера может OKa
заться трудным для интерпретации при анализе речи,
но будет полезным при распознавании образов. Для
тех задач, rде интерпретация таких параметров, как
истинные плотности, необязательна, вполне приемле
мыми MorYT оказаться распределения, не обладающие
некоторыми свойствами, например распределения, не
удовлетворяющие условиям существования марrи
нальных распределений.
Возможно, самым первым случаем практическоrо
применения распределения Виrнера была работа Буа
шаша (35). Использованный в ней метод основан на
определении корреляции исследуемой физической Be
личины с той или иной характеристикой распределе
ния Виrнера, обычно с мrновенной частотой. rлавная
идея подхода Буашаша сводится к тому, что не следу
ет стремится к всеобъемлющей интерпретации TaKoro
распределения, как совместная плотность, а надо по
стараться найти правильные оценки только HeKOTO
рых ero параметров. Так, если есть уверенность, что
мrновенная частота достаточно хорошо описывается
таким распределением, то невозможность описания
друrих ero tвойств с помощью распределения Виrнера
особоrо значения не имеет. Этот подход был приме
нен Буашашем для целей rеофизической разведки, KO
торая проводиласъ по следующей схеме: посылка сиr
нала в rpYНT, реrистрация прошедшеrо сиrнала, BЫ
числение распределения Виrнера. Затем по
распределению Виrнера определялась мrновенная ча
стота, по которой далее рассчитывались затухание и
дисперсия. Данный метод впоследствии исполъзовал
ся для исследОвания самых разных проблем. Буашаш
и др. [27, 28] изучали эффекты поrлощения и днспер
ни в земле. Имберrер и Буашаш [94, 95] применили
ero для анализа микроструктуры TeMnepaTypHoro rpa
диента в океане, связав с этой целью мrновенную ча
стоту с рассеянием кинетической энерrии. Базлер и
Вьяйи (19) также' использовали распределение Виrнера
для получения данных, необходимых для измерения
коэффициентов поrлощения и дисперсноrо шума.
Особое значение имеет работа Янсе и Кайзера [97],
разработавших новые методики и заложивших OCHO
вы практическоrо использования совместных распре
делений. В указанной работе они рассчитали распре
деление Виrнера для целоrо ряда стандартных филъ
тров, отметив при этом, что оно представляет собой
весьма мощиое средство для анализа нестационарных
по своей природе сиrналов, с которыми приходится
сталкиваться при проектировании rромкоrоворителей.
При разработке приборов, предназначенных для
rенерации и излучения волн, время частотные распре
деления MorYT служить исключительно полезным и
эффективным индикатором выходных характеристик
прибора. Сказанное мы проиллюстрируем на примере
работы Мариновича и Смита [137], которые испо
льзовали распределение Виrнера при проектировании
и анализе ультразвуковых преобразователей. Ультра
звуковой преобразователь это прибор для rенериро
вания и излучения звуковых волн, обычно используе.-
мый в качестве источника волн в медицинской аппара
туре, предназначенной для визуализации внутренних
opraнoB, в rидролокаторах и т. п. Чаще Bcero BЫCOKO
частотные звуковые волны получают посредством
возбуждения какоrо--либо пьезоэлектрическоrо кри
сталла, например кварца. Коrда к такому кристаллу
приложено механическое напряжение, ero поляризация
меняется, что приводит к появлению электрическоrо
поля. Если же к нему приложить электрическое поле,
то он будет испытывать механическую деформацию.
В случае знакопеременноrо электрическоrо поля кри
сталл начинает периодически сжиматься и растяrи
ваться, что приводит к излучению акустических волн
в окружающую среду. Выходные характеристики пре
образователя зависят от миоrих факторов еrо фор
мы, толщины, напряженности возбуждающеrо элект
рическоrо поля, коэффициента связи со средой. При
разработке преобразователя обычно стараются полу
чить от Hero определенные выходные характеристики.
Как правило, требуется, чтобы преобразователь имел
равномерный разброс по времени (т. е. одинаковое
время реакции) на всех частотах рабочеrо диапазона,
поскольку это позволяет устранить возможные иска
жения на различных частотах. Для оценки влияния
параметров пре06разователя на ero выходные xapaк
теристики предложен целый ряд моделей. Преимуще
ство использования время частотноrо распределения
состоит в том, что оно позволяет быстро и эффектив
но обнаруживать эффекты, обусловленные изменени
ем параметров. На рис. 8 показаны rОРИЗ0НТали pac
пределения Виrнера, отображающеrо выход модели
рующей проrраммы, предназ!lаченной для
проектирования преобразователей, применительно к
трем наборам значений параметров. На рис. 8а выход
характеризуется сильно неравномерным распределени
ем энерrии по частотам. На рис. 8Ь наблюдается зна
чительное улучшение, но равномерность пока еще не
достиrнута. На рис. 8с мы имеем почти идеальный
случай, коrда энерrия выхода достаточно равномерно
распределена по диапазону рабочих частот. Преиму
щесТDО использования время частотноrо распределе
ния состоит в том, что уже по одному изображению
выходных характеристик преобразователя можно бы
стро оценить ero свойства. При этом надобность в
проведении раздельноrо временнбrо и частотноrо aнa
лиза отпадает.
Одним из примеров, который позволяет проиллю
стрировать использование время частотвых расnpeде
110
;:z
-"I!"
12
3"
о ""
@
.
.
.
.
(а)
Время, "КС
(Ь)
лений для целей исследования и классификации, явля
ется работа Барри и Коула [15] по мышечным зву
кам. Коrда мышца сокращается, она производит
звуки, которые можно услышать с помощью микро
фона. Было установлено, что эти звуки не связаны с
вибрацией мышцы как простой струны. Основная
цель работы Барри и Коула [15] и ряnа дрyrих работ
состояла в изучении корреляции свойств этих звуков с
характеристиками мышцы. Хорошее понимание раз
личных причин, приводящих к значительным измене
ниям вила распределения, в принципе обеспечивает
нас превосходным диаrностическим средством, по
скольку эти акустические волны позволяют создать
неинвазивный диаrностический прибор. На рис. 9
показано распределение Цзуя Уильямса для двух
разных звуков, испускаемых мышцей при изометриче
ской нarрузке (рис. 9а) и при сведении судороrой (рис.
9Ь). rлавные особенности распределения достаточно
хорошо воспроизводимы от мышцы к мышце, а сле
довательно, отражают некоторые характеристики Me
ханизма сокращения мышц. С принципильной точки
зрения эти рисунки исключительно наrлядно свиде
тельствуют о том, что средняя частота в процессе co
кращения мышцы сильно меняется, что может слу
жить индикатором разброса относительно средних
значений. Звуки оказались коррелированными с таки
ми характеристиками мышцы, как степень ее напря
женJfЯ. Как отмечают Барри и Коул [15] (и данный
факт важен для целей нашей статьи), эти «зависящие
от времени изменения частоты в акустических сиrна
лах было бы затруднительно заметить при использо
ванин стандартноrо анализа 11 частотной областю).
Распространение сиrналов через различные cpe
!XЫ OДHO из самых обычных явлений в природе, а
поскольку оно, как правило, сопровождается Bpe
меиныIии задержками и изменениями частотных
спектров, TQ вполне естественным представляется ero
совместное' время частотное описание. В простейшем
НО.
90.0
;:z 70.0
L-
:! !!О.О
..
3"
30.0
tO.O
140
109
(!
.; 78.0
"
..
3"'
<16.8
15.6
10.0 30_0 50.0 70.0 90.0
ТИИЭР, т. 17, 10, октябрь 1989
::::-
Рис. 8. Линин уровия (rоризонтали) распределения BIII'-
иера для выходноro сШ'Нала моделируемоrо УЗ-преоб-
разователя при разных значениях расчетных парамет-
ров. Преимущество применения время-частотноrо pac
пределения состоит в том, ЧТО оно позволяет сразу
видеть все rлавные особенности выходноrо сиrнала.
(с)
случае распространение воз ения описывается
уравнением и..(х, t) == r1Ut,(x, 1), rne u физическая
величина, подверженная изменениям (например, дав-
ление или напряженность электрическоrо поля), x
координата, t время, а V CKOpOCTb распростране
ни,я. Если положить, что возмущение возникает в MO
мент времени t == О, что дает и(х, О), ТО В последую
щие моменты времени это возмущение будет описы
ваться той же функцией, смещеиной на vt. Иными
словами, форма возмущения при распространении бу-
дет сохраняться. С математической точки зрения это
объясияется тем, что решением приведенноrо выше
уравнения является любая функция вида u(vt). При
мерами в данном случае MorYT служить распростране
ние электромаrнитных волн в свободном простран
стве и (даже в большей степени) распространение зву
ковых волн В воздухе. Причина Toro, что человек,
стоящий, скажем, на расстоянии 3 м от HeKoToporo
предмета, видит и слышит то же самое, что и чело-
век, стоящий от этоrо предмета на расстоянии 6 м,
объясняется, разумеется, тем, что форма возмущения
при распространении не изменилась.
Однако типичное волновое уравнение, описываю
щее распространение волны в среде, содержит допо
лнительные члены и при произвольном u не допускает
решения вида u(vt). Такое уравнение является волно
BbIM, поскольку оно не допускает распространения
волн вида d< '" ",t k.). Лишь синусоидальная В,олна. рас-
пространяется без изменений. Один из нанболее важ
ных эффектов при распространении BoJIн'ыI состоит в
том, что фазовая скорость может зависеть от длины
волны. Поскольку с помощью преобразования Фурье
любое произвольное возмущение может быть разло-
жено на синусоиды, каждая из которых распространя-
ется со своей скоростью, то рекомбинация (т. е. 06'ь
единение) этих синусоид в некоторый последующий
момент времени не будет сохранять форму исходноrо
сиrнала. Явление, характеризующееся тем, что сину
t<)
'"
Рис. 9. Распределение Цзуя Уильямса для двух разных
звуков, испускаемых мышцеJl при изометричесоll Ha
rрузке (а) и при сведения судороrой (Ь).
(а)
5.00 15.О 25.О 35.0 45.0
Время, МС
(Ь)
Время, 010
. ВРЕМЯ ЧАcrОТНЪIЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
\.
соидальные волны разной частоты распространяются
с разными скоростями, называется дисперсией. Появ
ление этоrо термина связано с тем, что еще в самых
первых исследованиях было установлено, что призма
может дисперrировать (т. е. разлarать) белый свет на
цветные составляющие, поскольку они распространя
ются с различными скоростями в стекле. Если с poc
том частоты скорость распространения уменьшается,
то rоворят, что дисперсия нормальна; в противном
случае она называется аномальной дисперсией. Еще
один важный эффект при распространении сиrнала
затухание (иначе замирание, или поrлощение) BO
лны. Энерrия волны обычно рассеивается в виде теп
ла, причем величина вызванноrо этим затухания зави
сит от среды и частоты волны. При распространении
звука в нормальных условиях затухание почти OTCYT
ствует, чем, кстати, объясняется нarпа способность
слышать на больших удалениях от источника звука. В
отличие от звуковых волн электромаrнитные волны,
попадая в проводящyIO среду, быстро затухают на KO
ротких расстояниях от rраницы среды. Кроме Toro,
по мере распространения волны от одной среды к
дрyrой, часть ее отражается, а часть проходит в HO
вую среду.
Теперь нетрудно поиять, почему время частотный
анализ обеспечивает эффективное описание сиrнала,
распространяющеrося через различные среды. В каж
дый момент времени измеряемый наМи сиrнал будет
представлять собой суперпозицию целоrо ряда волн.
Можно, конечио, по прежнему измерять. исходную во-
лну, более или менее удалившуюся от источиика. На
нее может быть наложен некоторый сиrнал, отражен
ный от какой либо rраницы, и сиrнал, имеющий ту
же форму,. что и исходный но задержаниый относи
тельно uero во времени. Суперпозиция обоих сиrналов
может выrлядеть достаточно сложной, но на время
. -8астотный плоскости мы увидим одно и то же pac
преДeJ1ение, перемещающееся по оси времени, что об-
наруживается сразу. Если к тому же мы имеем дело
с задержанной и дисперrированной волной, то на Bpe
мя частотноЙ диаrрамме мы увидим изображение,
аналоrичное' исходному, но смещениое относительно
тех частот, ца которых наблюдается дисперсия.
Для иллюстрации мы воспользуемся результатами
работы Буашаша и Базлера ,[32] по анализу данных
rеофизической разведки. Заметим, кстати, что сейсми-
ческие сиrналы весьма боrаты по своему содержанию
и изменяются при прохождении слоев, принадлежа
щих различным средам. Это MorYT быть не только
слои твердых пород, различающиеся по своим свойст
вам, но и подповерхностные слои воды и rаза. Кроме
Toro, при разведке в прибрежной зоне сиrнал, получа
емый от источников, расположенных под морским
дном, будет маскироваться сиrналами, обусловленны
ми реверберацией в слое воды. При сейсмической раз
ведке обычно тем или иным способом возбуждают
волну на поверхности, а затем измеряют результи
рующую волну в одном или нескольких выделенных
местах земной поверхности. Первичная волна rенери-
руется различными средствами, например подрывом
заряда динамита или посредством вибрации металли
ческой пластины, расположенной на поверхности зем-
ли. Возникающая при этом акустическая волна рас-
пространяется через различные слои и отражается в
направлении приемника со всеми возможными nepe
(
111
отражениями. Скорость распространения волны в
различных слоях меняется в значительных пределах.
Так, для воздуха она составляет примерно 300 м/с, а
для твердых пород может достиrать 6000 м/с. Ре-
зультирующиЙ сиrнал будет мноrокомпонентным, и
если мы располаrаем хорошим время частотным рас-
пределением, то каждая компонента сиrнала будет
отображена на время частотной плоскости. Схемати-
ческое изображение в подобном случае показано на
рис. 10, который занмствован из работы Боулса и
Буашаша [32J. Различные компоненты обозначены на
нем буквами a c, rде а соответствует исходному сиr-
налу источника. Задержки обусловлены отражением
от rлубоких слоев, достиrаемых сиrналом в более
поздние моменты времени. Изrиб в направлении BЫ
соких частот отражает собой факт нормальной дис-
персии, поскольку скорость распространения резко
спадает с ростом частоты и, следовательно, время
распространения разных составляющих сиrнала воз-
растает с ростом их частоты. Это означает, что вы-
сокочастотные компоненты «зарезаются» из за боль-
шеrо затухания. Преимущество использования время
частотноrо описания состоит в том, что оно на oд
ной единственной диаrрамме позволяет видеть сразу
все эффекты. В принципе можно посредством прямых
измерений задержки, затухания и дисперсии опреде-
лить параметры и тем самым охарактеризовать cpe
ду, в которой распространяется сиrнал. Для разложе
ния сиrнала на составляющие можно воспЬльзоваться
методами синтеза.
Мы сравнительно подробно остановились на этой
ситуации, поскольку она весьма типична для целоrо
ряда явлений и, по всей вероятности, может служить
одним из примеров широкоrо применения время-
частотных распределений в будущем. В настоящее
время практическая реализация этой идеализирован
ной картины осложняется ,различными факторами. В
частности, при иСПОльзовании распределения Виrнера
в нем наряду . «реальными составляющими» будут
присутствовать и перекрестные члены, число которых
в случае мноrокомпонен"ных сиrналов может быть
очень большим. Будет также присутствовать и шум.
Кроме Toro, поскольку слои неоднородны, описанная
выше простая картина значительно усложнится.- Бо
i :
й
Частота
Рис. 10. Схематическая AHarpaMMa время-частотноrо распре--
деления для сиrнала, отраженноrо от сред с различными днс-
персионными характеристикамн. Кривая а исходный сиr-
пал; кривая Ь сиrнал, отраженныА от слои, характери
эуеNоrо малой дисперсиеА, кривая с сиrнал, отражениый
от споя с нормальноА дисперсиеА. Составляющне сиrнала с
более высокими частотами распространяютсЯ медленнее и
приходят с относительно большнми задержками. На крнвых
Ь и с высокочастотные составляющне отсутствуют, что сви 2 -
детельствует 06 иJt эатухаиии. (Заимствовано из работ [3 ,
36).)
112
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989
улс и Буашаш [32] предложили ряд методов для пре
ОДОЛt ния этих трудностей и применили их при анали
зе реь льных и модельных данных. Выше мы видели,
что НI вое распределение Цзуя Уильямса [51] резко
уменьшает число перекрестных членов, в связи с чем
было fbI интересно применить это распределение и в
данном случае.
Одно из новаторских применений подобных - pac
пределений описано в работе Мариновича и Айхмана
[134, 135], которые разработали новый подход, не
требующий интерпретации этих распределений как ис
тинных. Распределение Виrнера рассматривается в
данном случ е как ядро HeKoToporo интеrральноrо
уравнения, для KOToporo отыскиваются COOTBeт
ствующие собственные значения и собственные Функ
ции. Разложение по собственным функциям исполь
зуется при решенин задач по распознаванию образов,
применителъно к которым было установлено, что co
бственные значения являются эффективными класси
фикаторами формы. Это разложение можно исполь
зовать и для подавления эффектов, обусловленных Ha
личием шума в распределении Виrнера [136]. Шум
распределяется по все членам разложения, поэтому,
оставляя только несколько первых ero членов, можно
значительно подавить шум. Используя метод разло
жения, Мариновичем и Смитом [136], показали, Ka
ким образом распределение, восстановленное по He
скольким первым членам разложения по синrулярным
значениям, позволяет извлечь локальную информа
цию о частоте в случае эхо сиrналов, искаженных по
мехами и шумом.
Речь относится к числу наиболее сложных нестаци
онарных сиrналов, поэтому для ее анализа вполне
естественно применить время частотные распределе
ния. Честер с сотрудниками [49, 50] первыми, приме
нили распределение Виrнера для анализа и распозна
вания речи, разработав на этой основе аппаратные
средства для ero расчета. Они отметили, что распре
деление Виrнера весьма чувствительно к шуму и что
ero интерпретация не столь проста, как, скажем, ин
терпретация спектроrраммы. В то же время ими OT
мечена и полезность этоrо распределения для задач
анализа и распознавания. Применение в работе этих
авторов распределения Виrнера обосновывалось тем,
что характеристики речевых сиrналов должны обла
дать большой робастностью, а следовательно, MorYT
быть использованы для распознавания. Пиковер и
Коэн [156], использовавшие ряд распределений при ис
следовании речи, отметили большую труднос?-,ь их
интерпретации по сравнению со стандартными спект
роrраммами. Они проследили причины возникновения
осложнений в каждом из рассмотренных ими случаев.
Райли [170] рассмотрел вопрос о том, какие типы pac
пределений предпочтительны при анализе речи, и для
исследования структуры формант применил сrлажен
ные распределения. Им предложено также средство
для обнаружения и выделения требуемых параметров
речи. Вележ и Абшер [193], применявшие сrлаженное
распределение Виrнера для отображения структуры
формант в речи, относят ero к числу эффективных
средств выделения звуков речи. Мы уже упоминали
рабо'!'у Янсе и Кайзера [97], посвященную проектиро
ванию rромкоrоворителей. Прайс [161], применявший
распределение Виrнера для анализа различных звуко
вых сиrналов, отметил, что это совместное распреде
ление позволяет Уl-лубить представление о различных
время частотных величинах. Си [189] провел разно
стороннее рассмотрение вопросов применения били
нейных распределений при исследовании различных
акустических сиrналов, в том числе при обработке
сиrналов в системе слуха.
В методах распознавания образов совместные рас.
пределения также используются в качестве средства
двумерноrо представления, но не обязательно в KOOp
динатах времени и частоты [1, зо, 37, 65, 115]. Заме
тим, в частности, что TaKoro рода анализ не требует
интерпретации cOBMecTHoro распределения как cpeд
ства отображения энерrию.
Кумар и Карролл [116, 117] рассмотрели вопросы
использочания распреде ения Виrнера применительно
к задаче бинарноrо обнаружения, коrда необходимо
решение типа «дa Heт» о наличии сиrнала в присутст
вии аддитивноrо шума. В качестве статистики они ис
пользовали интеrpал по мrновенной частоте от pac
пределения Виrнера. Метод, основанный на примене
нии распределения Виrнера, по своим
характеристикам оказался сравнимым с взаимно
корреляционным методом. Кумар и Карролл отмети
ли потенциальные преимушества распределения Виr
нера в случае нестационарных сиrналов повышенной
сложности. Одна из схем обнаруженJtя, приrодная для
определения мrновенной частоты ЛЧМ сиrнала в при
сутствии аддитивноrо шума, рассматривалась в рабо
те Кея и Будро Бартельса [104], которые, воспользо
вавшись критерием на основе отношения правдоподо .
бия, показали, что он оптимален для интеrрирования
распределения по всем возможным прямым линиям и
выбора максимальноrо значения, сравнимоrо с HeKO 1
торым noporOM. В их работе нашел отражеиие тот
факт, что для сиrналов, подобных ЛЧМ сиrналу, KOH
центрация энерrии в распределении соответствует ли
нии мrновенной частоты. Си [188] предложил ряд Me
тодик применения распределения Виrнера в пассивных
системах наблюдения и контроля, в основу которых
положены уникальные свойства симметрии этоrо pac
пределения. Метод синтеза, разработанный Будро
Бартельсом и Парксом [39, 41], использовался для
разделения двух сиrналов с различными характеристи
ками. Обобщенный подход к задаче обнаружения во
время частотной плоскости был сформулирован
Фландрином [78). Харрис и Абу Салем [88) сравнили
характеристики распределения Виrнера с характери
стиками друтих методов для случая обнаружения си
нусоидальноrо сиrнала в присутствин аддитивноrо бе
лоrо шума и установили, что применительно к оцени
ванию амплитуды и частоты сиrнала в шуме
распределение Виrнера обеспечивает невысокие pe
зультаты, но вместе с тем в отличие от ряда друrих
методов не требует anриорноrо знания некоторых xa
рактеристик сиrнала. Коэн, Будро Бартельс и Kaдaм
бе [57] разработали время частотный подход для сле
жения за OДHO и мноrокомпонентными ЛЧМ сиrна
лами в шуме. Буашаш и О'Шо [31], обобщив
результаты работы Кумара и Карролла, применили
их метод для идентификации нестационарных акусти
ческих сиrналов в rидролокации, в частности шума
двиrателей. Они разработали общую методолоrию
использования распределения Виrнера и взаимноrо
распределения Виrнера в задачах обнаружения.
Распределение Виrнера широко используется в Ka
" Ем.)\-ч.р,.CI :)}'\\Ъlli l' ACnl'EJ1,EJ1"ER\\P..
\\3
честве средства исследования функций энерrетической
яркости и коrерентности в оптике, и в целом ряде pa
бот [12, 13, 16, 42, 44, 64, 86, 96, 103, 105, 149, 182,
184] предложены методы для ero получения, а также
для оптической фильтрации и визуальноrо OTO
бражения.
Методы линейноrо предсказания и автореrрессион
ные методы рассматривались в работе Рамамуртхи и
др. [165], rде показано, что они приводят К хорошему
разрешению по времени и частоте, но при этом OTMe
чается, что получаемые результаты трудны для ин
терпретации. Буашаш с сотрудниками [30, 129) пока
зали, что при тщательном выборе параметров aвTO
реrрессиоиные методы MOryT улучшить разрешение; в
противном случае появляются ложные максимумы,
правда, незначительные.
Одно из уникальных применений описано в работе
Цзуя, Уильямса и Завери [52), в которой распределе
ние, рассмотренное нами в подразд. I11.С, использова
лось для оценивания вызванных (т. е. связанных с co
бытнямн) потенциалов в мозrе пациента в ответ на
определенные пронзносимые слова. Получаемые сиr
налы представлялись с помощью этоrо распределения
н далее классифицировались по типам возбудителей.
Было установлено, что распределение, определяемое
выражением (3.86), является весьма эффективным
средством, поскольку ослабляет маскирующее влия
ние перекрестных членов. .
Брид и Пош [43] использовали распределение Виr
нера для анализа характеристик решетки приемников
и сформулировали требования к нему в терминах про
странственных параметров. Они показали, что это
распределение обеспечивает получение полезных oцe
нок дальности и азимута. Подход Брида и Поша Becь
ма эФФективен, поскольку для средних значений даль
ности сиrнал имеет квадратичную пространственную
вариацию фазы, что как раз соответствует тому слу
чаю, которому, как мы уже видели в разд. V, хорошо
удовлетворяет распределение Виrнера. Суиндлхерст и
Кайлат [185) также предложили метод использования
распределения Виrнера для определения местоположе
ния (локализации) источника с помощью решетки
прнемников в случае приближения ближнеrо поля.
Соотношение между эволюционным спектром
Пристли [162] и распределением Виrнера изучалось
Хаммондом и Харрисоном [87].
Теория совместных распределений применялась
также для исследования стохастических сиrналов, и
этому аспекту проблемы посвящено большое число
статей. В частности, рассматривался вопрос о допо
лнительном усреднении с учетом распределения сиrна
лов. Подробные исследования были проведены Янссе
ном [99], Мартином [139], Мартином и Фландрином
[140] и Уайтом [196]. Для обозначения распределения
Виrнера, усредненноrо по ансамблю возможных pe
ализаций сиrнала, Мартин [139) применил термин
спектр Виzнера Виля. Уайт [196] н Уайт и Буашаш
[197, 198] предложили ряд частных методов определе
ния важных параметров и получили выражения для
ошибок их оценивания. Пош [159] показал, что если
ядро распределения удовлетворяет условию (4.10), то
в том случае, коrда входным сиrналом является слу
чайный стационарный сиrнал, это распределение бу
дет представлять собой спектр мощности.
Завершая раздел, посвященный краткому обзору
приложений, следует подчеркнуть, что совместные
распределения не только оказались полезными при
изучении старых идей, но привели и к появлению HO
вых. Одна из таких новаторских идей была предложе
на Си и Коулфилдом [186], рассматривавших вопрос
о сравнении частотноrо содержимоrо двух сиrналов.
Они ввели для этой цели четырехмерное распределе
ние Рихачека, переменными KOToporo являются время
и частота для каждоrо сиrнала, и с ero помощью по
лучили возможность сравнивать частотное содержи
мое двух сиrналов.
х. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данном разделе мы обсудим некоторые общие
положения, которые возникают в связи с paCCMOTpe
нием различных вопросов, касающихся время частот
ных распределений. Заrадкой этих распределеиий яв
ляется то, что иноrда они дают весьма значнмые и
физически вполне обоснованные результаты, но в OT
дельных случаях результаты оказываютси просто аб
сурдными. Так, распределение Виrнера дает вполне
удовлетворительный результат для первоrо условноrЬ
момента, но оно же дает неприемлемый результат
для BToporo условноrо момента. Общий подход здесь
состоит в том, если результат оказывается неудовлет
ворительным, то это означает, что в данном случае
теория неприменима Н, следовательно, пользоватьси
ею не следует. Однако трудность здесь как раз и co
стоит в том, как узнать, что полученные результаты
будут абсурдны Иноrда это очевидно, иноrда нет-.
То обстоятельство, что этими распределениями He
льзя пользоваться каким то реryлярным образом, OT
носится к чис;:лу rлавных в данной области и требует
дальнейшей теоретической разработки.
Еще один из существенных вопросов в данной об
ласти касается критерия Toro, какое из распределений
является абсолютно «лучшим)) (если, конечно, оно cy
ществует). В этом направлении предпринималисъ по
пытки установить в общем виде соответствующие
критерии, а также попытки доказать, что им может
удовлетворить только одно распределение. Однако
перечень таких критериев, как правило, ие завершает
ся очевидными требованиями, поскольку авторы в
каждом случае понимают, что добавочные свойства
войдут в ПРQтиворечне с распределением, сторонни
ком Koтoporo выступает данный автор. Кроме Toro,
подобные перечни очень часто содержат спорные yc
ловия, выдвиrаемые лишь в yrоду той или иной точке
зрения. Одним из примеров может служить требова
ние применимости формулы Мойяла, хотя и не понят
но почему. В самом деле, если Kaкoe TO распределение
нас вполне устраивает, но формула Мойяла для Hero
несправедлива, то спрашивается, надо ли ero отбра
сывать? Ясно, что не надо. Подтверждением тому
может служить недавнее исследованне, посвященное
распределению Цзуя Уильимса. В качестве дополни _
тельноrо условия обычно вводят требование конеч
ности носителя, обозначающее, что в случае сиrнала
конечной длительности распределение было равно HY
лю до начала сиrнала и обратится в нуль после ero
окончания. Такое требование представляется по край
ней мере желательным, так как естественно ожидать,
что в отсутствие сиrнала и распределение будет равно
нулю. (Однако, как следует из разд. V, существуют
114
распределения, например распределение Виrнера, KO
торые не обладают свойством конечности носителя,
но тем не менее имеют нулевые значения в области,
rде сиrнал равен нулю.) Но тоrда названное условие
должно сводиться к требованию равенства нулю pac
пределения при равенстве нулю сиrнала, а не просто
к требованию конечности носителя. Условие положи
т.ельности также отбрасывают, хотя и подразумева
ют, что выбор HeKoToporo наилучшеrо распределения
обязательно приведет к выбору HeKoToporo положи
тельноrо распределения. Отметим также, что даже
вполне очевидные условия следует применять с надле
жащей осторожностью, Следует также заметить, что
нередко формулируется требование, чтобы первый yc
ловный момент частоты был равным производной от
фазы сиrнала, поскольку это соответствует значению
мrновенной частоты. Такой apryмeHT может выrля
деть весьма убедительным, но мы уже видели в разд.
VIII трудности, связанные с идентификацией MrнoBeH
ной частоты, nepBoro условноrо момента и производ
ной от фазы. Как было отмечено в разд. VIII, суще
ствует теоретическая трудность, связанная с тем, что
производная от фазы не всеrда соответствует часто
там спектра Фурье [74, 131J, а это значит, что может
возникнуть прннципиальное противоречие с требова
нием существовання марrиналъных распределений.
Данная проблема требует дальнейшеrо rлубокоrо ис
следования. Кроме Toro, данное требование должно
быть сформулировано в терминах аналитическоrо
сиrнала, т. е. так же, как определяется мrновенная ча
стота. Однако, как известно, подобное определение
}lMeeт смысл и может быть полезно лишь примени
тельно к отдельным типам сиrналов, поэтому OCTaeт
. ся открытым вопрос о том, стоит ли настаивать на
ero обязательности ДЛЯ всех сиrналов. С учетом пере
численных проблем совсем не просто установить yc
ловия для удовлетворения требований, налаrаемых
п<1Нятием мrновенной частоты. Полная непротиворе
чивая теория меняющихся во времени спектров дo
лжна, конечно, четко предсказывать то, что следует
понимать под мrновенной частотой.
Дрyrой подход состоит в доказательстве Toro, что
характеристики HeKoToporo распределения оказыва
ются наилучшими для какоrо либо KOHKpeтHoro свой
ства, которое полаrается необходимым. В fлубокой
по содержанию работе Янссена [98] рассматриваются
характерIJ.СТИКИ распределений для сиrналов вида
s(t) = e''P(t) И сделана попытка определить, у KaKoro
распределения энерrия в большей степени сконцентри
рована вдоль кривой", = (/1' (t). Для этоrо Янссену по
требовался метод, позволяющий определять разброс
относительно указанной кривой. Однако, как уже ro
ворилось, понятие разброса для подобных распределе
ний далеко от ясности, поэтому Янссен возвел распре
деление в квадрат, с тем чтобы оно не оказалось oт
рицательным. Некоторые полаrают, что Янссен
показал, что распределение Виrнeра имеет наимень
ший разброс относительно производной от фазы. На
самом деле он доказал это свойство только для Toro
класса распределений, ядра которых имеют вид
ф(fJ, т) = e JOBT . Кроме Toro, мы уже видели, что в слу
чае мноrокомnонентных сиrналов существуют распре
деления, которые ведут себя лучше распределения
Виrнера в том смысле, что перекрестные члены у них
имеют меньшую величину. Следовательно, далеко не
ТИИЭР, т. 77, 10, оrrllбрь 1989
ясен ответ на вопрос, надо ли задавать требование
«Оптимальности» для OДHO или мноrокомпонеятных
сиrналов или же она не требуется ни в том, ни в дpy
rOM случае.
Еще один распространенный довод в пользу Toro
или иноrо KOHKpeтHoro распределения состоит, напри
мер, в том, что любое распределение, инвариантное
относительно времени и сдвиrа, можно записать в ви
де HeKoToporo «СI'лаженноrо» (а, значит, и в KaKOM TO
смысле ухудшенноrо) варианта Toro же распределе
пня. В частности, нередко заявляют, что ннвариант
вые относительно времени и сдвиrа распределения
можно записать в виде
P(t, "') J J g(t' t, ",' "') W(t', "") dt' d",', (10.1)
rде W(t, ",) распределение Виrнера, что, ecTeCTBeH
но, делает ero «фундаментальным» распределением.
Однако, как мы уже видели в разд. IV, с равным успе.-
хом эти распределения можно, например, записать и
через распределение Рихачека.
Бытует также мнение, что выбор распределения
должен зависеть от вида приложения и, возможно, от
класса используемых сиrналов, что во MHoroM нanо
минает те доводы, которые приводятся в связи С BЫ
бором конкретной функции окна в различных приме
нециях спектроrраммы или, скажем, с выбором набо
ра базисных функций при разложении
электрос:татическоrо потенциала, зависящеrо от reo
метрии задачи. Как и в случае разложений на полном
множестве функций, выбор распределения будет опре
.деляться удобством, rлубиной понимания задачи и
простотой математических выражений, т. е. всеми Te
ми Факторами, которые зависят от KOHKpeтHoro слу
чая. Возможно, выбор распределения должен зависеть
от вида сиrнала или решаемой практической задачи.
Действительно, в недавних работах Цзуя и- Уилъямса
[51] и Наттолла [146, 147J, rде ДЛЯ' выбора ядра испо
льзовалась плоскость определения функции неопреде
ленности, были получены данные, свидетельствую
щие о том, что в ряде случаев различным сиrналам
лучше соответствуют разные ядра. Это делает ядра
зависящими от сиrнала, а следовательно, распределе
ния уже не обязаны оставаться билинейными. И все
же при нынешнем уровне знаний попытки доказать
(даже с учетом столь впечатляющих Фактов), какая
функция является «наилучшей», представляются как
минимум преждевременными.
Перейдем к следующему вопросу, принципиалъно
важному для совместных время частотных распреде
лений к вопросу об их положительности. Каждый
соrласится с тем, что в идеале любое такое распреде
ление должно быть положительным, поскольку pac
пределения принято интерпретировать как плотности.
В литературе приводится множество доказательств
Toro, что положительные распределения, удовлетво-
ряющие условиям существовани'l марrинальных рас-
пределений, существовать не MoryT. Нанболее правдо-
подобный apryмeHT, подтверждающий это, основан
на принципе неопределенности, который обсуждался I!
разд. VII. rлубокий детальный анализ вопроса о по
ложительности совместных распределений был выпо
лнен Муryр Шахтером [144J, который вскрыл мноrие
спорные и неявные допущения, принимавшиеся в дo
ВРЕМЯ ЧАСТОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
llS
казатeJ]ЪСТВах, с тем чтобы показать невозможность
существования положительных распределений. Ведь
еще до Toro, как были получены положительные pac
пределения, было ясне (и мы rоворили об этом в
разд. 111), что Ьет никаких принципиальных причин,
препятствующих их существованию, поскольку pac
пределение Виrнера для некоторых сиrналов положи
телъно. Парк и MapreHay в своей работе [154], посвя
щенной вопросам совместной измеримости, также
анализировали apryмeHTbI, с помощью которых ДOKa
зывалась невозможность существования положителlr
ных распределений, и смоrли даже построить простой
контрпример. Разумеется, сейчас мы знаем, что по
строить положительное распределение не составляет
трудности (см. позразд. III.F) и что они обладают
корректными марrинальными распределениями и
удовлетворяют принwшу неопределенности.
у стаиовлено также, что распределения, предста:в
ляющие собой билинейные функционалы сиrнала, не
MorYT быть положительными для всех сиrналов [199,
200]. Совместные плотности и марrинальные распре
деления используются почти во всех областях науки и
техники, но, разумеется, ниrде и никоrда на них не
налаrалось требование билинейности. Заметим, что в
рамках время частотноrо анализа сами марrинальные
распределения билинейны относительно сиrнала, а
следовательно, билинейные распределения в том
смысле, который обсуждается здесь, представляют
собой совместные распределения, которые билиНейны
относительно корня квадратноrо из эт,",х марrиналь
ных распределений. Теперь даже простейшее правиль
ное совместное распределение, а именно некоррелиро-
ванное распределение вида Р(х, у..) = Pl(X)P2(Y), бу
дет произведением марrинальных распределений, а
следовательно, будет квартилинейным относительно
корня квадРflтноrо из марrинальных распределений.
Вообще rоворя, правильные совместные распределе
ния представляют собой сильно нелинейные функцио-
налы от марrинальных распределений. Возможность
использования распределений, которые не обладают
свойством билинейности относительно сиrнала, HY
дается в дальнейшем rлубоком исследовании. Иными
словами, сказать, что класс билинейных распределе
ний бесполезен или не нужен, нельзя но тем не менее
следует все же прояснить вопросы относительно KOH
цептуальных допущений и интерпретаций.
На современном уровне знаний мы, образно rOBo
ря, лишь коснулись стены, отделяющей нас от воз
можных распределений и методик, приrодных для
описания нестационарных (т. е. переменных во BpeMe
ни) спектров. Существует бесконечно большое число
таких распределений, но пока используются только
некоторые из них. И хотя понятия и методы, разра
ботанные в последние четыре десятилетия, поистине
впечатляющи, ясно, что впереди предстоит еще HeMa
ло работы. Попытка понять, что представляет собой
переменный во времени спектр, а также охарактеризо
вать свойства сиrнала одновременно во времени и по
частоте, относится, на наш взrляд, к числу наиболее
фундаментальных и интересных аспектов анализа.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Хотелось бы упомянуть о некоторых новейших pe
зультатах, сделать добавления и восполнить ряд упу
щений в тексте статьи.
Устранение наложения в дискретном распределе-
нии Виенера. В случае сиrнала с оrраниченной шири
ной полосы частот (финитноrо сиrнала) ero значение
внекоторой произвольный момент временн можно
определить по дискретным MrHoBeHHbIM значениям,
если дискретизация выполнялась с частотой, равной
или превышающей частоту НаАквиста, т. е. с часто
той I.IJ. 2l.1Jmax, rде I.IJшах наивысшая частота, присут-
ствующая в рассматриваемом сиrнале. Как отмеча
лось в подразд. V.E, обычно полаrают, что дЛЯ BOC
становления . распределения Виrнера по дискретным
отсчетам необходимо, чтобы дискретизация сиrнала
осуществлялась с частотой, не менее чем вдвое превы-
шающей эту частоту; в противном случае возможно
наложение. Наттолл (206] недавно показал, что более
высокая частота дискретизации вовсе не обязательна,
и предложил эффективный, свободный от наложения
метод расчета распределения Виrнера по сиrналу, дис-
кретизированному с частотой НаАквиста. Основная
особенность этоrо подхода использование всей име-
ющейся информации, содержащейся в локальной ав-
токорреляционной функции Rt( т), определяемой в co
ответствии с приведенным выше выражением (3.64).
Дважды используя преобразоваиие Фурье от этой ло-
кальной автокорреляционной функции, Наттолл пока-
зал, что в плоскости преоБР.азования существуют He
прекрывающиеся правильные шестиyrолъные обла-
сти, каждая из которых содержит фундаментальную
информацию о сиrнале, если он был дискретизован с
частотой, не менее частоты НаАквиста. Для получе
ния время частотноrо распределения Виrнера HaT
толл сначала строит оценку спектра
{ 1 '"
.........L l: s(kf) e ''''kТ
5(",) .J2; k '" '
о в остальных СЛУЧ8JIХ,
1"'1 ;5; ;
rде s(kТ) знаЧeJiИЯ отсчетов сиrнала. Используя да-
лее S(I.IJ), ОIL определяет распределение Виrнера в co
ответствин с выражением
W<t, ",) 2: J s. ('" (/) e"OS ('" + (/) d(/.
Наттолл показал, что это распределение Виrнера co
ответствует непрерывному исходному сиrналу, а сле
довательно, свободно от наложения. На практике
S(I.IJ) и W(t, I.IJ) будут дискретизироваться по времени
и частоте, а для их вычисления будут применяться ал
rоритмы быстроrо преобразования Фурье. Заметим,
что интерполяция отсчетных значений сиrнала и вос-
становление по ним непрерывноrо сиrнала здесь не
обязательны и не использовалисъ.
Распределения. «адаптивные к данным». Как OT
мечалось в «Заключенин», чаще Bcero пытаются OTЫ
скать «наилучшее» распределение, применимое ко
всем сиrналам, хотя недавно получены данные (и мы
о них уже rоворили), свидетельствующие о том, что
для различных сиrналов MorYT оказаться приrодными
разные распределения. Недавно Джоунс и Паркс [207,
208] внесли заметный вклад в разработку и реализа
цию «адаптивноrо к данным» метода, предложив Bpe
мя частотное распределение определенной формы. В
своих работах они рассматривали кратковременное
116
ТИИЭР, т. 77, 10, октябрь 1989
преобразование Фурье с rауссовским окиом, парамет
ры KOToporo менялись для каждой точки время
частотной плоскости. Значения параметров выбира
лись так, чтобы максимизировать на этой плоскости
концентрацию энерrии локально доминирующих KOM
понент. Свой подход авторы применили к идеализи
роваНным и реальным данным, достиrнув значитель
ной эффективности при построении распределений,
обладающих высоким разрешением.
Сравнение характеристик разрешения. Джоунс и
Паркс [209] выполнили интересное исследование по
сравнению характеристик разрешения распределения
Виrнера, спектроrраммы и сrлаженноrо распределе-
ния Виrнера. Взяв сиrнал в виде двух не совпадающих
во времени rауссовских компонент с различными
центральными частотами, они показали, что в этом
случае наилучшее разрешение (определяемое как спо
собность распределения разделять моменты времени
и частоты, соответствующие максимумам rауссовских
компонент) обеспечивает спектроrрамма, применяе
мая совместно с оптимально соrласованным окном.
Билинейныle распределения. Подход, обсуждав
шийся в подразд. III.D, был обобщен О'Коннеллом и
Виrнером [210], которые рассматривали проблему
единственности применительно к распределению.
Второй локальный момент. Выше уже отмеча
лось, что второй локальный момент частоты COOT
ветствует локальной кинетической энерrии в квaнTO
вой механике и что для ero вычисления предложены
различные выражения. Унифицированный подход, в
рамках KOToporo все ранее полученные выражения
рассматриваются как частные случан HeKoro общеrо
выражения, описан в работе [211], rде содержатся
также ссылки на работы, в которых ранее были опуб
ликованы подобные выражения.
Приложения. Форрестер [212] применил распреде
ление Виrнера при исследовании вибраций He
элементов конструкции вертолета с целью обнаруже
ния проrрессирующих дефектов двиrательной YCTa
новки и, в частности, передаточноrо механизма к He
сущему винту. Анализируя вибрации передаточноrо
механнзма при наличии и в отсутствие дефектов, он
установил, что распределение Виrнера представляет
собой исключительное по возможностям средство
различения и может быть использовано для обнару
жения типа и размеров таких дефектов.
УзJiт и Буашаш [213] разработали метод. оценива
ния параметров распределения Виrнера в случае He
стационарных случайных процессов. Для получения
оценок, обладающих требуемыми характеристиками в
заданных областях время частотной плоскости, они
использовали рекурсивную процедуру .
ОТ АВТОРА
Хотелось бы выразить искреннюю признатель
ность д py Альберту Наттоллу за мноrочисленные по
лезные обсуждения и ценные предложения по целому
ряду затронутых в статье вопросов. Автор выражает
блаrодарность д py Ли Чжонмуну за помощь, оказан
ную при подrотовке рукописи, и приносит блаrодар
ность проф. Д. Т. Барри, проф. Н. М. Мариновичу и
проф. У. ДЖ. Уильямсу за предоставление некоторых
рисунков из своих работ и работ своих коллеr.
ЛИТЕРАТУРА
[1] R. М. S. S. Abeysekera and В. Boashash, "Time frеч....еllсу
domain features 01 ЕСС signals: their application in Р wave
detection using thecross Wigner Villedistribution:' in Рroс.
/ЕЕЕ /CASSP 89, 1989 (to Ье pubIished).
[2] М. Н. Ackroyd, "Instanlaneous and time varying sp('ctra
ап introduction:' Radio Е/ессroп. fng., vol. 239, рр. 145 152,
1970.
[3] ,"ShorHimf' s'pectra and time-frequency energy dis-
tributions:' }. Acoust. Soc. Ат., vol. 50, рр. 1229 1231,1970.
(4) AreeB Д. В. Активная полоса частотноrо спектра
функции времени. ТрlJдbl. rOpbIrдBCK020 nолите1Сни
чеСКО20 института, 1955, т. 11, 1<1'2 1, С. 5 1O.
(5) Аллен ДЖ. В., Рабинер Л. Р. Унифицированный
подход к кратковременному преобразованию Фурье. и
сиитезу сиrналов. ТИИЭР, 1977, т. 65,1<1'211. с. 45':""'-
53.
[6] R. Altes, "Detection, estimation and classlt,cation with spec
trograms," }. Acoust. Soc. Ат., vol. 67, рр. 1232 1246,1980.
[7] ,Tech. Меmо. 322, Orincon, personal communication,
Apr. 1984.
.... [8] М. С. Amin, "Тiтe and lag window selection in Wigner Ville
distribution:' in Рroс. /ЕЕЕ /CASSP 87, рр. 1529 1532, 1987.
. [9] ,"Recursion in Wigner distriЬЩiоп:' in Advanced A/go-
r;thтs and Architectures (or S;gna/ Proc('s!f;ng 111, F. Т. Luk,
Ed., Proc. SP/f, vol. 975, рр. 221 231, 1989.
[10] J. С. Andrieux, М. R. Feix, С. Mourgues, Р. Bertrand, В. Izrar,
andV. Т. Nguyen, "Optimum smoothingoftheWigner Ville
distribution:' /ЕЕЕ Trans. Acoi1sl., Speech, Signa/ Process
;ng, vol. ASSP 35, рр. 764 769, 1987.
[11] Е. Н. Armslrong, "А method of reducing disturbances in
radio signaling Ьу а method offrequency-modulalion:' Рroс.
/Rf, vol. 24, рр. 669 740, 1936.
[12] R. А. Athale,J. N. Lee, Е. L. Robinson, and Н. Н. Szu," Acousto-
optic processors for real time generation of time frequency
representations:' Opt. Let/., vol. 8, рр. 166 168, 1983.
[13] .R. Bamler and Н. Glunder, "The Wigner distribution func-
tion о/ two-dimensional signals coherent--optical genera
tion and display:' Opt. Ас/а, vol. 30, рр. 1789 1803, 1983.
[14] .N. F_ Barber and F. Ursell, "The response of а resonant sys-
tem to а gliding tone:' Phil. Mag., vol. 39, рр. 345 361, 1948.
[15] О. Т. Barry and N. М. Cole, "Muscle sounds are emitted at
the resonant frequency of skeletal muscle:' /ЕЕЕ Trans.
B;oтed. Епв. (submitted lor pubIication). .
[16] Н. О. Bartelt, K. H. Brenner, and W. Lohmann, "The Wigner
distribution function and its optical pToduction:' Opt.
Coттиn. vol. 32, рр. 32 38, 1980.
[17] М. J. Bastiaans, "Wigner distribution function and its appli
catiQn (о first order optics:' J. Opt. Soc. Ат., vol. 69, рр.
1710 1716, 1979.
,[18] ,"Application of the Wigner distribution function to
partially coherent light:' J. Opt. Soc. Ат., vol. 3, рр. 1227
1238, 1986.
[19] Е. Bazelaire and J. R. Viallix, "Theory 01 seismic noise:: in
Proc. 49/h fur. Ass. fxp/or. Geophys. Mlg. (Belgrade-, Yugo-
slavia, 1987), рр. 1 2.
(20) Бедросян Э. Теорема о преобразова/Тии rилберта для
ПРОlIзведения двух функциА. ТИИЭР, 1963, т. 51,
N2 5, с. 886 887.
[21] Р. Bertrand and J. Bertrand, "Тime-frequency representa
tions of broad band signals," in The Physics of Phase Space,
У. S. Кiт and W. W. Zachary, Eds. New York, NY: Springer,
1987, рр. 250-252.
[22] J. Bertrand and Р. Bertrand, "Tomographic procedиre for
constructing phase space representations:' in The Physics
of Phase Space, У. S. Кim and W. W. Zachary, Eds. New York,
NY: Springer, 1987, рр. 208 210.
[23] Р. Bertrand, В. Izrar, V."r. Nguyen, and М. R. Feix, "Obtain
ing non negative quantum distribution functions," Phys.
Let/., vol. 94, рр. 415 417, 1983.
[24] А. Blanc Laplerre and В. Picinbono, "Remarques sur la
notion de spectre instantane de puissance:' РиЬ. Sc;. ИП;У.
d'A/ger, s. В1, рр. 2 32, 1955.
[25] В. Boashash and Р. J. Black, "Ап efficient real-time imple
mentation of the Wigner Ville dislribution:' /ЕЕЕ Trans.
Acous/., Speech, S/gnaTProcessing, vol. ASSP 35, рр. 1611
1618, 1987.
t
ВРЕМЯ ЧАcrОТНЪIE РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
117
"
[26] В. Boashash, "Тime--frequency signal analysis, the choice of
а method and its applications," in Advances ;п Spectra/
Ana/ys;s, S. Haykin, Ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall
(to Ье pubIished).
.... [27] В. oas ash, В. Lovell, and Н. J. Whitehouse, "High reso-
lu!lOn tlme-frequency signal analysis Ьу parametric mod
el.ng of the Wigner Ville distribution:' in Рroс. /ASTfD /nt.
Syтp. S;gna/ Process;ng and /ts App/icat;ons (Brisbane
Australia, 1987), рр. 297 301. '
[28] В. Boashash and Н. J. Whitehouse, "Seismic applicatlOns of
the Wigner Ville distribution:' in Рroс. /ЕЕЕ /nt. Conf. Sys-
teтs and C;rcu;/s, рр. 34 37, 1986.
[29] В. Boashash, "Non stationary signals and the Wigner ViIle
distribution( in Рroс. ASTfD /п/. Syтp. S;gna/ Process;ng
and /ts Арр/lCаtюпs (Brlsbane, Australia, 1987), рр. 261 268.
4 [30] В. .Boashash, В. Lovell, and L. White, "Тiтe frequency anal-
YSls. nd pattern recognition using singular value decom
posltl?n of the Wigner Ville distribution:' in Advanced
A/gorlthтs and Architec/ure (о, S;gna/ Process;ng, Рroс.
SP/f, vol. 828, рр. 104 114, 1987.
. [31J' В. Boashash and Р. O'Shea, "А methodology for detection
and c/assification of underwater acoustic signals using time--
frequency analysis techniques:' preprint, 1989.
[32] Р. Boles and В. Boashash, "The cross Wigner Ville distri
bution a two-dimensional analysis method for the рro-
cessing of vibrosis seismic signals:' in Рroс. /ЕЕЕ /CASSP87,
рр. 9 907, 1988.
[3ЗJ М. Born and Р. Jordan, "Zur Quantenmechanik, " Z. Phys.,
vol. 34, рр. 858 888, 1925.
[34] F Ворр, "La mechanique quantique est--elle ипе mecha
nique statistique classique particuliere?:' Апп. /ns/. Н.
Poincare, vol. 15, рр. 81 112, 1956.
[35] В. Bouachache, "Representation temps-frequence:' Soc.
Nat. ELF Aquitaine, Раи, France, РиЫ. Recherches, по. 373
378, 1978.
[36] В. Bouachache and Е. de Bazelaire, "Pattern recognition in
Ihe lime /requency domain Ьу means of the Wigner Ville
distribution," in Рroс. GRfТS/9th Colloq., рр. 879 884,
1983.
[37] В. Bouachache and F. Rodriguez, "Recognition о/ time vary
ing signals in the time--frequency domain Ьу means of the
Wigner distribution:' in Рroс. /ЕЕЕ /CASSP84, рр. 22.5/1 4,
1984.
[38] . F. Bou?reaux- artels and Т. W. Parks, "Reducing aliasing
'" the W.gner dlstribulion using implicit spline interpola
tion," in Рroс. /ЕЕЕ /CASSP83, рр. 1438 1441, 1983.
... . [39] С. F. Boudreaux Bartels and Т. W. Parks, "Signal estimation
using modified Wigner distributions:' in Рroс. /ЕЕЕ /CASSP
84, рр. 22.3/1---4, 1984.
[40] С. F. Boudreaux Bartels and Т. W. Parks, "Time varying fil-
tering and signal estimation using Wigner distribution syn-
thesis techniques," /ЕЕЕ Trans. Acous/., Speech, S;gna/ Pro-
cess;ng, vol. ASSP 34, рр. 442 451, 1986.
[41] (О. F. I:!oudreaux-Bartels, "Тime varying signal processing
usiлg Ihe Wigner--distribution time-/requency signal rep
resentation:' in Advances ;п Geophys;ca/ Data Proces ;ng,
М. Simaan, Ed. Greenwich, СТ: JAI Press, 1985, рр. 33 79.
42] Н. Brand, R. Graham, and А. Schenzle, "Wigner distribution
of bistabIe steady states in optical subharmonic genera
tion:' Ор/. Соттип., vol. 32, рр. 359 3БЗ, 1980.
[43] В. R. Breed and Т. Е. Posch, "А range and azimuth e"timator
based оп forming the spatial Wigr,er distribution:' in Рroс.
/ЕЕЕ /CASSP84, рр. 41B/9.1 9.2, 1984.
[44) К. Н. Ifrenner and А. W. Lohmann, "Wigner distribution
function display of complex 1О signals:' Ор/. Соттип.,
vol. 42, рр. 310 314, 1982.
[45] J. R. Carson and Т. С. Fry, "VariabIe frequency electric cir-
cuit theory with application to the theory of frequency mod
ulation:' Bell Sys. Tech. J., vol. 16, рр. 513 54O, 1937.
[46] N. Cartwright, "Correlations without joint distributions in
quantum mechanics:' Found. Phys., 4, рр. 127 136,
1974.
[47] , "А non negative quantum mechanical distribution
function:' Phys;ca, vol. 83А, рр. 210 212, 1976.
[48] О. S. К. Chan, "А non aliased discrete--time Wigner distri
bution for time--frequency signal analysis:' in Рroс. /ЕЕЕ
/CASSP82, рр. 1333 13З6, 1982.
1.
[49] О. Chester, F. J. Taylor, and М. Doyle, "Оп the Wigner dis
tribution:' in Proc. /ЕЕЕ /CASSP 83, рр. 491 494, 1983.
[50] О. Chester, F. ]. Taylor, and М. Doyle, "The Wigner distri
bution in speech processing applications:' J. Franklin /nst.,
vol. 318, рр. 415 4ЗО, 1984.
[51] Н. 1. Choi and W. J. Williams, "Improved time frequency
representation of multicomponent signals using ехропеп
tial kernels:' /ЕЕЕ Trans. Acous/., Speech, S;gna/ Process;ng,
vol. ASSP-37, 1989 (in press).
[52] Н. 1. Choi, W. J. Williams, and Н. Zaveri, "Analysis of event
related pOlentials: time frequency energy distribution:' in
Proc. Rocky Mountain B;oengineer;ng Syтp., рр. 251 258,
1987.
[53] Т. А. С. М. Claasen and W. F. С. Mecklenbrauker, "The alias
ing рroЫет in discrete-time Wigner d;-tributions:' /ЕЕЕ
Trans. Acous/., Speech, Signa/ Processтg, vol. ASSP 31, рр.
1067 1072, 1983.
[54] Т. А. С. М. Claasen and W. F. С. Mecklenbrauker, "The Wig
ner distribution a tool for time frequency signal analysis;
part 1: continuous-time signals:' Philips J. Res., vol. 35, рр.
217 250, 1980.
[55] Т. А. С. М. Claasen and W. F. С. Mecklenbrauker, "The Wig
ner distribution a tool for time-frequency signal analysis;
part 11: discretetime signals:' PhilipsJ. Res., vol. 35, рр. 276
300, 1980.
[56] Т. А. С. М. Claasen and W. F. С. Mecklenbrauker, "The Wig
ner distribution a tool for time--frequency signal analysis;
part 111: relations with other time-frequency signal trans
formations:' Philips J. Res., vol. 35, рр. 372 389, 1980.
[57] F. S. Cohen, С. F. Boudreaux Bartels, and S. Kadambe,
"Tracking of unknown non stationary chirp signal using
unsupervised clustering in the Wigner distribution space:'
in Рroс. /ЕЕЕ /CASSP 88, рр. 2180 2183, 1988.
[58) L. Cohen, "Generalized phase space distributlOn func
tions:' J. Math. Phys., vol. 7, рр. 781 786, 1966.
[59] ,"Оп а fundamental property of the Wigner distribu-
/" tion:' /ЕЕЕ Trans. Acous/., Speech, S;gna/ Process;ng, vol.
ASSP 35, рр. 559 561, 1987.
[60] ,"Wigner distribution for finite duration or band-lim
ited signals and limiting cases:' /ЕЕЕ Trans. Acoust., Speech,
S;gna/ Process;ng, vol. ASSP 35, рр. 796 806, 1987..
[61] ,"Quantization рroЫет and variational principle in the
phase space formulation of quantum mechanics:' J. Math.
Phys., vol. 17, рр. 1863 1866, 1976.
[62] L. Cohen and Т. Posch, "Positive time-frequency distribu
tion functions:' /ЕЕЕ Trans. Acous/., Speech, S;gna/ Рro-
cessing, vol. ASSP-33, рр. 31 38, 1985.
[6ЗJ L. Cohen and Т. Posch, "Generalized ambiguity functions:'
in Proc. /ЕЕЕ /CASSP 85, рр. 1025 1028, 1985.
[64] М. Conner and L. Уао, "Optical generation of the Wigner
distribution of 2 O real signals:' Арр/. Opt., voJ. 24, рр. 3825
3829, 1985.
[65] С. Cristobal, J. Bescos, and J. Santamaria, "AppJication о/
the Wigner distribution for image representation and anal.
ysis:' in Рroс. /ЕЕЕ 8th /nt. Conf. Pat/ern Recogn;/;on, рр.
998 1000, 1986.
[66] N. С. DeBruijn, "Uncertainty principles in Fourier analysis:'
in /nequali/ies, О. Shisha, Ed. NewYork, NY: Academic Press,
1967, рр. 57 71.
1671 ДилеА Дж. У. Теория радиолокациоиных сиrналов.
rл. 3 в КН.: CnpaвoljHUK по радиолокаqии, Т. а.
асновы радиолокации. М.: Сов. радио, 1976.
[68] А. DZiewonsk.', S. Bloch, and М. Landisman, "А technique
for the analysls 01 transient signals:' Bull. Se;sт. Soc. Ат.
vol. 59, рр. 427 444, 1969. . ,
[69] С: Eich ann and N. . arinovic, "Scale invariant Wigner
d,str.butlOn and amblgUlty functions:' in Рroс. /nt. Soc. Opt
fng. Рroс. SP/f, vol. 519, рр. 18 24, 1985. .
. [70] С. .Elchmann and В. Z. Dong, "Two dimensional optical fil
tеrlПg of o signals:' Арр/. Opt., vol. 21, рр. 3152 3156, 1982.
[71] В. Escu.dle ап J. Grea, "Sur ипе formulation generale de
' repres ,:,tatlO е!1 !e'?,'ps et frequence dans I'analyse de
slgnaux d energle f.me, С. R. Acad. Sc;. Par;s vol. А283 рр
1049 1051, 1976. " .
[72] R. М. Fano, "ShorHimeautocorrelation functionsand power
spectr :' J. Acous/. Soc. Ат., vol. ;!2, рр. 6 550, 1950.
[73] Р. О. FlПсh and R. GrobIicki, "Bivaridl Drobability densities
... [92]
. (74)
wilh given margins," Found. Phys., vol. 14, рр. 549 552, 1984.
ФИНК Л. М. Соотношения между спектром И IoIrио--
веииоА частотоА сиrиала. Пробllе.м61 nepeaa'l.u ин.фор
.J<Iации, 1966, т. 2. вып. 4, с. 26 8.
J L F1anagan, Speech Analysis, Synthesis and Percep
tion: 2nd ed. New York: Springer Verlag, 1972. (См.
также русскиА перевод l ro изд.: Фланаrан Дж. Л.
АнйIIUЗ, синтез и восприятие ре'Ш. М.: Связь, 1968.
Р. Flandrin,. "Some features of time frequency represen
tations of muJti-соmропепt signals:' in Рroс. /ЕЕЕ /CASSP
84, рр. 41B.4.1 4.4, 1984.
Р. Flandrin and В. Escudie, "Time and /requency represen
tation of finite energy signals: а physical property as а result
of а Hilbertian condition:' S;gnal Process;ng, voJ. 2, рр. 93
100, 1980.
Р. Flandrin, "А time--frequency formulation of optimum
detection:' /ЕЕЕ Trans. Acous/., Speech, S;gnal Processing,
vol. ASSP 36, рр. 1З77 1З84, 1988.
Френкс п. Теория CUZHйII08. М.: Сов. радио, 1974.
О. GaDor, ". heory of communication," /. /ЕЕ (London), vol.
93, рр. 429457, 1946.
Н. Garudadri, М. Р. Beddoes, A. P. Benguerel, and J. Н. V.
Gilbert, "Оп computing the smoothed Wi"gner distribu-
tion," in Рroс. /ЕЕЕ /CASSP87, рр. 1521 1524, 1987.
S. К. Ghosh, М. Berkowitz. and R. С. Parr, "Transcription
of ground state density-functional theory into а 'оса/ ther-
modynamics," in Proc. Nat. Acad. Sc;., voJ. 81, рр. 8028 8031,
1984.
О. О. Grace, "Instantaneous power spectra," ). Acoust. Soc.
Ат., vol. 69, рр. 191 198, 1981.
R. GrobIicki, "А generalization of Cohen's Iheorem," J.
Ma/h. Phys., vol. 24, рр. 841 843, 1983.
М. S. Gupta, "Definitions of instantaneous frequency and
frequency measurability:' Ат. J. Phys., vol. 43, рр. 1087
1088, 1975.
А. К. Gupta and Т. Askura, "New optical system for the effi
cient displayofWigner distribution functions using а single
object transparency," Opt. Соттип., vol. 60, рр. 265 268,
1986.
J. К. Hammond and R. F. Harrison, "Wigner Ville and еуо-
lutionary spectra for covariance equivalent nonstationary
random process:' in Proc. /ЕЕЕ ICASS,. 85, рр. 1025 1027,
1985.
F. J. Harris and л. Abu Salem, "Performance comparison of
Wigner Ville based techniques to standard FM-discrimi
nators for еstimiфпg instantaneous frequency of а rapidly
s/ewing FM sinusoid in the presence of noise," in Advanced
A/gor;/hтs and Arch;/ectures {о, S;gna/ Process;ng 111, F. Т.
Lu"k, Ed., Рroс. SP/f, vol. 975, рр. 232 244, 1989.
М. HilJery, R. F. O'Connell, М. О. Scully, and Е. Р. Wigner,
"Distribution functions in physics: fundamentals:' Phys.
Rep., vol. 106, рр. 121 167, 1984.
F. Hlawatsch, "Transformation, inversion and conversion of
bi/inear signal representations," in Рroс./ЕЕЕ /CASSP85, рр.
1029 1032,1985.
, "Interference terms in the Wigner distribution," in
Digita/ Signa/ Processing 84, V. Cappellini and А. С. Соп
stantinides, Eds. Amsterdam, The Netherlands: Elsevier
(North Holland), 1984.
(a) , "А note оп 'Wigner distribution for finite duration
or band limited signals and limiting cases':' /ЕЕЕ Trans.
Acoust., Speech, Sipnal Process;ng, vol. ASSP 36, рр. 927
929, 1988; (Ь) author's reply, ;bid.
R. L. Hudson, "When is the Wigner quasi probability den
sity non negative?:' Rep. Math. Phys., vol. 6, рр. 249 252,
1974.
J. Imberger and В. Boashash, "Signal processing in осеап
ography," in Рroс. /ASTfD /nt. Syтp. S;gna/ Process;ng and
Its Applica/;ons (Brisbane, Australia, 1987), рр. 8 9.
J. Imberger and В. Boashash, "AppJication of the Wigner
Ville distribution to temperature gradient microstructure:
а new technique to study small scale variations:' J. Phys.
Oceanog., vol. 16, рр. 1997 2012, 1986.
Т. Iwai, А. К. Gupta, and Т. Asakura, "Simultaneous optical
production of the sectional Wigner distribution fu nction for
а two-dimensional object," Opt. Соттип., vol. 58, рр. 15
19, 1986.
'(751
,76]
. [77]
[78]
(791
[80]
[81]
[82]
[83)
[84]
[85)
[86]
[87]
(88]
(89]
[90]
[91]
[93]
[94]
[95]
[96]
. - . ..
с. Р. )anse and J. М. Kaizer, "Time trequency distri uti .lПS
of loudspeakers: the application of the Wlgner OIstrlbu
tion:' /. Audio fng. Soc., vol. 31, рр. 198 223, 1983.
А. J. Е. М. Janssen, "Оп the locus and spread of psuedo-den
sity functions in the time-frequency plane:' Philips J. Res.,
vol. 37, рр. 79 110, 1982. .
, "Application of Wigner distributions to hаrmоПlС anal
ysis of generalized stochastic processes:' Math.-Centrum,
Amsterdam, The Netherlands, MC-tract 114, 1979.
, "Positivity properties of phase-plane distribution func
tions:' J. Math. Phys., vol. 25, рр. 224O 2252, 1984. _
А. J. Е. М. Janssen and Т. С. М. Claasen, "Оп positivity of
time frequency distributions:' /ЕЕЕ Trans. Acoust., Speech,
S;gna/ Process;ng, vol. ASSP 33, рр. 1029 1032, 1985.
(а) А. J. Е. М. Janssen, "А note оп 'Positive time frequency
distributions':' /ЕЕЕ Trans. Acoust., Speech, Signal Process.
;пв, vol. ASSP-35, рр. 701 704, 1987. (b)'Author's reply,
[103] J. i.. Jiao, В. Wang, and L. Hong, "Wigner distribution func
tion and optical geometrical transformati!Jn'" Арр/. Opt.,
vol. 23, рр. 1249 1254, 1984.
(104) S. Кау and С. F. Boudreaux-Bartels, "Оп the optimality of
the Wigner distribution for detection:' in Рroс. /ЕЕЕ /CASSP
85, рр. 1017 1020, 1985.
[105] О. Кеппу and В. Boashash, "Ап optical sign 1 proce sor f?r
time--frequency signal analysis using the lgner Vllle dl5--
tribution:' J. Нес. f/ectroп. Епв. (Auslralla), рр. 152 158,
1988.
. [106] Е. L Кеу, Е. М. Fowle, and R. О. Haggarty, "А method of
designing signals of large time bandwidth product:' in /Rf
/nt. СОПУ. Rec., vol. 4, рр. 146 154, 1961.
[107] J. С. Кirkwood, "Quantum statistics of almost classical
ensembIes:' Phys. Rev., vol. 44, рр. 31 37, 1933.
[108] J. R. Klauder, "The design of radar signals having both high
range resolution and high velocity resolution:' Ве/l Sys.
Tech. J., vol. 39, рр. 809 820, 1960.
[109] J. R. Кlauder, А. С. Price, S. Darlington, and W. J. Albershein,
"The theory an.d design of chirp radars:' Ве/l Sys. Tech. /.,
vol. 39, рр. 745 808, 1960. ..
[110] F. Kobayash, and Н. Suzuki, uTime varying slgnal analysls
using squared analytic signals:' in Proc. /ЕЕЕ /CASSP87, рр.
1525 1528, 1987.
[111] К. Kodera, С. de Villedary, and R. Gendrin, R, "А new method
for the numerical analysis of non stationary signals:' Phys.
farth and Plane/ary /nter;ors, vol. 12, рр. 142 150, 1976.
[112] К. Kodera, R. Gendrin, and С. deVilledary, "Analysisoftime-
varying signals with small ВТ values:' /ЕЕЕ Trans. Acoust.,
Speech, S;gna/ Process;ng, vol. ASSP 26, рр. 64 76, 1978.
[113] R. Koenig. Н. К. Оипп, and L. У. Lacy, "The sound sресtю
graph:' -1. Acoust. Soc. Ат., vol. 18, рр. 19 49, 1946.
[114] J. С. Kruger and А. Poffyn, "Quantum mechanics in phase
space:' Phys;ca, vol. 85, рр. 84 10.0, "1976. . .
[115] В. V. К. V. Kumar and W. С. Carroll, "Pattern recognltlon
using Wigner distribution function:' in /ЕЕЕ Рroс 10/h /nt.
Ор/;саl Coтput;ng Conf., рр. 130 135, 1983.
[116] В. V. К. V. Kumar and W. С. Carroll, "Effects of sampling оп
signal detection using the cross Wigner distribution func
tion," Арр/. Opt., vol. 23, рр. 4090 4O94, 1984.
[117] В. V. К. V. Kumar and W. С. Carroll, "PerformanceofWigner
distribution function based detection methods:' Opt. fng.,
vol. 23, рр. 732 737, 1984.
[118] V. V. Kuryshkin, 1. Lyabis, and У. 1. Zaparovanny, "Sur le
рroЫеmе de la regle de correspondance еп theorie quan
tique:' Апп. Fonda/;on Lou;s de Broglie, vol. 3, рр. 45 61,
1978.
[119] V. V. Kuryshkin, "Some probIems of qua tu echanics
possessing а non negative phase--space dlstrlЬutюп func.
tion:' /nt. J. Theor. Phys., vol. 7, рр. 451 466, 1973.
[120] ,"Uncertainty principle and the probIems of joint coor
dinate molnentum probability density in quantum mechan
ics:' in The Uncerta;nty Princip/e and the Foundat;ons of
Qиantuт Mechan;cs. New York, NY: Wiley, 1977, рр. 61
83.
[121] J. L. Lacoume and W. Kofman, "Etude des signaux поп sta
tionnaires par 'а representation еп temps et еп frequence."
А. Те/ес., vol. 30, рр. 231 238, 1975.
(97]
[98]
[99]
[100]
[101]
[102]
ВР МЯ ЧАСroТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[122] О. С. Lampard, "Generalization of the Wiener Khint
chine theorem to nonstationary processes," J. Appl. Phys.,
vol. 25, р. 802, 1954.
[123] С. Lee and L. Cohen, "Instantaneous frequency, its standard
deviation and multicomponent signals," in Advanced A/go-
r;thms and Architectures (о, S;gna/ Process;ng /11, F. Т. Luk,
Ed., Рroс. SP/f, vol. 975, рр. 186 208, 1989.
[124] R. М. Lerner, "Representation of signals:' in Lectures оп
Coттuп;cat;ons Sys/eт Theory, Е. J. Baghdady, Ed. New
York, NY: McGraw HiII, 1961, рр. 203 242.
[125] М. J. Levin, "Instantaneous spectra and ambiguity func
tions:' /ЕЕЕ Trans. Inforтat. Theory, vol. 1Т 1З, рр. 95 97,
1967.
[126] А. L. Levshin, V. F. Pisarenko, and С. А. Pogrebinsky, "Оп
а frequency-time analysis of oscillations," Апп. Ceophys.,
vol. 28, рр. 211 218, 1972.
[127] S. С. Liu, "Time--var'ying spectra and linear transformation:'
де" Sys. Tech. J., vol. 50, рр. 2365 2374, 1971.
[128] R. М. Loynes, "Оп the concept of spectrum for nonstation-
ary processes:' J. R. Stat. Soc., ser. В, vol. 30, рр. 1 ЗО, 1968.
[129] В. Lovell and В. Boashash, "Evaluation of criteria for detec
tion of change in nonstationary signals:' in Рroс. /ASTfD /п/.
Symp. S;gna/ Process;ng and /ts Applicat;ons (Brisbane, Aus-
tralia, 1987). рр. 291 298.
[130] О. Lowe, "Joint representations in quantum mechanics and
signal processing theory: why а probability function of time
and frequencyis disallowed:"Royal Signals and RаdаrЕstаь..
lishment, Меmо. 4017, 1986.
[131] L. Mandel, "Interpretation of instantaneous frequency," Ат.
J. Phys., vol. 42, рр. 840 846, 1974.
[132] Н. Margenau and L. Cohen, "Probabi'ities .in quantum
mechanics:' in Quantит Theory aпd Reality, М. Bunge, Ed.
New York, NY: Springer, 1967.
. [133] Н. Margenau and R. N. Hill, "Correlation between mea
surements in quantum theory:' Prog. Theor. Phys., уо'. 26,
рр. 722 738, 1961.
[134] N. М. Marinovic and С. Eichmann, "Feature extraction and
pattern classification in spatial frequency domain:' in Proc.
Conf.. /ptelligenr R.obots and Coтputer Vis;on, Рroс. SPlf,
vol. 579, рр. 15 20, 1985.
[135] N. М. Marinovic and С. Eichmann, "Ап expansion ofWign r
distribution and its applications:' in Proc. /ЕЕЕ /C-'\SSP 85,
рр. 1021 1024, 1985.
[136] N. М. Marinovic and W. А. Smith, "Suppression of noise to
extract the intrinsic frequency variation from ап ultrasonic
echo:' in Proc. /ЕЕЕ 1985 Ultrason;cs Syтp., рр. 841 846,
1985.
[137] N. М. Marinovic and W. А. Smith, "Application оЕ jointtim
frequency distributions to ultrasonic transducers:' in Proc.
1986 /ЕЕЕ /п/. Syтp. C;rcu;/s and Sys/eтs, рр. 50 54, 1986.
[138] W. О. Mark, "Spectral analysis of the convolution and fil
. tering of non stationary stochastic processes:' J. Sound ИЬ.,
vol. 11, рр. 19 63, 1970.
[139] W. Martin, "Time--frequency anaJysis of random signals:' in
Рroс. /ЕЕЕ /CASSP 82, рр. 1325 1328, 1982.
[14О] W. Martin and Р. Flandrin, "Wil:ner Ville spectral analysis
of nonstationary processes:' /ЕЕЕ Traпs. Acous"l., Speech,
S;gna/ Process;ng, рр. 1461 1470, 1985. . .
[141] W. F. С. Mecklenbrauker, "А tutorial оп non parametrlC bll
inear time-frequency signal representations:' in S;gna/ Pro-
cess;ng, J. L. Lacoume, Т. S. Durrani, and R. Stora, Eds.
Amsterdam, The Netherlands: North Holland, 1985.
[142] С. Mourgues, М. R. Feix, J. С. Andrieux, and Р. Bert.r d,
"Not necessary but sufficient conditions for the pOSltlVlty
of generalized Wigner functions:' J. Marh. Phys., УО'. 26, рр.
2554 2555, 1985.
[143] J. Е. Mdyal, "Quantum mechanics as а statistical theory:'
Рroс. Caтbr;dge Phil. Soc., vol. 45, рр. 99 124, 1949.
(144] М. Mugur-Schachter. "А studyof Wigner's theorem оп joint
probabilities:' Found. Phys., vol. 9, рр. 389 404, 1979.
(145) НаттоЛЛ А., Бедросян Э. О квадратурной аппрокси
мацни преобраэования rилберта модулированных
сиrиалов. тииэр, 1966, т. 54, 1<1'.10, с. 258 259.
(146] А. Н. Nuttall, cWigner distriЬutiоп function: Rеlаtiоп
to short term spectra1 estimation, !h1oothing, and
performance iп поisе», Nava1 Underwater Systems Сеп
ter. NUSC ТесЬ. Rep" 8225, Feb. 16, 1988.
[162]
1163)
[164]
'-"l [165]
119
[147]
"The Wigner distribution function with minimum
spr ad:' Naval Underwater Systems Center, NUSC Tech.
Rep. 8317, June 1, 19 . .
private соmmUПlсаtlOП. . .
J. O;eda Castaneda and Е. Е. Sicre, "Bill ea optlcal ystems,
wlgner distribution function and amblgulty fuпсtюп rep--
resentations:' Opt. Acta, vol. 31, рр. 255 2 , 1984.
А. V. Oppenheim, "Speech spectrograms usюg the fast Fou
rier transform:' /ЕЕЕ Spec/ru,!" vol. 7, рр. 57 62. 1970.
ОппенrеАм А. В., Шафер Р. В. цифровйJI обра60тА
,ШНйАов. М.: Связь, 1979.
С. Н. Page, "Instantaneous power spectra:' J. Appl. Phys.,
vol. 23, рр. 103 106, 1952.
А. Papoulis, S;gnal Aпa/ys;s. New YQrk, NY: McCraw HiII,
1977.
J.1. Park and Н. Margenau, "Simultaneous measurability in
quantum theory:' /nt. }. Theor. Phys., vol. 1, рр. 211 283,
1968.
F. Peyrin and R. Prost, "А unified defini ion for the discre!e--
time discrete--frequency, and discrete--tlmelfrequency W'g
ner distributions," /ЕЕЕ Traпs. Acoust., Speech, S;gnal Pro-
cess;ng, vol. ASSP 34. рр. 858 867, 1986.
С. Pickover and L. Cohen, "А comparison of joint time-fre
quency distributions for speech signals:' Proc. /ЕЕЕ /nt.
Conf. Systeтs and Circu;ts, vol. 1, рр. 42 45, 1986.
С. Piquet, С. R. Acad. Sc;. Par;s, vol. А279, рр. 1.07 109, 9!4.
М. R. Portnoff, "Time--frequency r resentatlOn of dlgltal
signals and systems based оп shorHime Fourier analysis:'
/ЕЕЕ Trans. Acous/., Speech, Signal Process;ng, vol. ASSP 28,
рр. 55 69, 1980. .
Т. Е. Posch, "Тiтe frequency distributions for а wlde sense
stationary random signal," in Рroс. /ЕЕЕ /nt. Coпf. Systeтs
and Circu;ts, 1989 (to Ье pubIished).
R. К. Potter, С. Корр, and Н. С. Green, V;s;bIe Speech. New
York, NY: Van Nostra"d, 1947.
О. Preis, "Phase distortion and phase equalization in audio
signal-processing a tutorial review:' J. Aud;ofng. Soc., vol.
30, рр. 774---794, 1982.
М. В. Priestley, Spectral Aпa/ys;s and Тiтe Ser;es. New
York: '" (: Academic Press, 1981.
Ра6ин р Л., fолд Б. Тt!Dрия и npUJIt!Ht!Hue цuфpовоl1
обра60тICи IIШНa.tов. М.: Мир. 1978.
L. R. Rablner and R. W. Schater, D;g;tal Process;ngofSpeech
Signa/s. Englewood Cliffs, NJ: Prentice--Hall, 1978.
Р. А. Ramamoorthy, V. К. Iyer, and У. Ploysongsang, "Auto-
regressive modeling of the Wigner spectrum," in Proc. /ЕЕЕ
/CASSP87, рр. 1509 1512, 1987.
Н. Reichenbach, Philosophica/ Fouпdat;ons of Quantuт
Mechanics. Berkeley, СА: Univ. California Press, 1944.
W. Rihaczek, "Signal energy distribution in time and fre--
quency," /ЕЕЕ Trans. /nforтat. Theory, vol. IТ-14, рр. 369
374, 1968.
, Pr;nc;p/es of H;gh Reso/ut;on Radar. New York, NY:
McGraw HiII, 1969.
Рихачек -У. Лрео6разования rилберта и комплексное
предстаВJIеиие реальных сиrналов. тииэр, 1966
т. 54, 1<1'.
м. О. Riley, "Beyond quasi stationarity: designing time--fre--
quency representations for speech signals:' in Рroс. /ЕЕЕ
/CASSP 87, рр. 657 660, 1987.
С. J. Ruggeri, "Оп phase space description of quantum
mechanics," Рroв. Theo. Phys., vol. 46, рр. 1703 1712, 1971.
В. Е. А. Saleh, "Optical bilinear transformations general
properties:' Ор/. Acta, УО'. 26, рр. 777 799, 1979.
В. Е. А. Saleh and N. S. Subotic, "Time variant filtering of
signals in the mixed time frequency domain:' /ЕЕЕ Trans.
Acoust., Speech, S;gna/ Process;ng, vol. ASSP 33, рр. 1479
1485, 1985.
R. W. Schafer and L. R. Rabiner, "Design and simulation of
а speech analysis synthesis system based оп short time Fou-
rier analysis:' /ЕЕЕ Trans. Aud;o f/ectrocoust., vol. AU 21, рр.
165 174, 1973.
М. R. Schroeder and В. S. Atal, "Generalized short time
power spectra and autocorrelation functions:' J. Acoust.
Soc. Ат., vol. 34, рр. 1679 1683, 1962.
В. Schweizer and А. Sklar, "Probability distributions with
given margins: note оп а paper Ьу Finch and GrobIicki:'
(148]
[149]
[150]
(1511
[152]
[153]
i154J
[155]
[156]
[157]
[158]
[159]
[160]
[161]
[166]
[167]
[168]
(169)
[170]
[171]
[172]
[173]
[174]
[175]
[176]
120
Found. Phys., vol. 16, рр. 1061 1064, 1986.
[177] М. 1. Scolnik, /пrroduct;on (о Radar Systeтs. New York, NY:
McGraw HiII, 1980.
[178] J. Shekel, "'Instantaneous' frequenc y ," Рroс. /Rf vol.41 Р .
1%1 ' ,
[179] F. Soto and Р. Claverie, "Some properties of the smoothed
Wigner function," Phys;ca, vol. 109А, рр. 193 207, 1981.
(180) F. So o and Р. CI v rie, "When is the Wigner distribution
fuпсtюп of multldlmensional systems nonnegativel," J.
Math. Phys., vol. 24, рр. 97 100, 1983.
[181] М. О. Srinivas and Е. Wolf, "Some nonclassical features of
phase space representations о/ quantuт mechanics," Phys.
Rev., vol. О11, рр. 1477 1485, 1975.
[182] S. Stein a.nd Н. . Szu, "Two dimensional optical processing
о/ опе dlmепsюпаl acoustic data," Opt. fng., vol. 21 рр.
804 813, 1982. '
[183] L. R. О. Storey, "Ап iпvеstigаtюп of whistllПg atmospher
ics," РЫ/. Trans. R. Soc., vol. А246, рр. 113 141, 1953.
[184] N. S: Subot!c an.d В. Е. А. Saleh, "Optical time--variant pro-
cesslng о/ Slgns In the mixed time frequency domain," Opt.
Соттип., vol. 52, рр. 259 2б4, 1984.
[185] А. L. Swi,:,dle urst an Т. Kailath, "Near field source param
eter еstlmаtюп USlПg а spatial Wigner distribution
approach," in Advanced A/gor;lhтs and Architectиres (о,
S;gna/ Process;ng 111, Т. Luk, Ed., Рroс. SP/P, vol. 975, рр. 86
92, 1989.
1186) СИ l Х. Х.. Колфилд Х. Дж. Взаимное время частотиое
содержимое двух сиrналов. Тииэр, 1984, т. 72,
М 7, с. 173 180.
[186] н. Н. Szu and Н. J. Coulfjeld, "The mutual time /requency
contenl Qftwo signals:' Рroс./ЕЕЕ, vol. 72, рр. 902 908, 1984.
[187] Н. Н. Szu and J. Blodgett, "Wigner distribution and aтЫ
guity /unctions:' in Optics ;п Four D;тens;ons, L. М. Nar-
ducci, Ed. NewYork, NY: Аm. Inst. of Physics, 1981, рр. 355
381.
. [188] Н. Н. Szu, "Two dimensional oplical processing of опе-
dimensional acoustic data:' Opt. fng., vol. 21, рр. 804 81З,
1982.
[189] ,"Signal processing using bilinear and nonlinear time
frequency joint distributions," in The Phys;cs of Phase
Space, У. S. Кiт and W. W. Zachary, Eds. New York, NY:
Springer, 1987, рр. 179 199.
[190] С. Н. М. T rner, " .п th.e concept of ап instanlaneous spec
trum and .ts rеJаlюпsh,р 10 Ihe autocorrelalion /unction,"
J. Арр/. Phys., vol. 25, рр. 1347 1351, 1954.
(191) Вакман Д. Е. Об определении понятиА амплитуды,
фазы и MrHoBeHHoA частоты сиrнала. Радиотехника и
электроника, 1972, т. 17, 1<1'25, с. 972 978.
[192] В. Van der Pol, "The fundamental principles от trequency
modulation:' J. /ЕЕ (Lonaon), vol. 93, рр. 153 158, 1946.
[193] Е. F. Valez and R. С. Absher, "Transient analysis of speech
signals using the Wigner time--frequency representation:'
in Рroс. /ЕЕЕ /CASSP 89, 1989 (to Ье published).
[194] J. Ville, "Theorie et applications de la notion de signal апа-
Iytique:' CabIes et Transт;ss;on, vol. 2А, рр. 61 74, 1948.
[195] А. Vogt, "Position and momentum distribuions do not
determine the quantum mechanicaJ state," in Matheтat;ca/
fоuпdаlюпs ofQuantum Theory, А. R. Marlow, Ed. New
York, NY: Academic Press, 1978.
[196] L. В. White, "Some aspects о/ the time-frequency analysis
о/ random processes:' thesis, University of Queensland,
Australia, 1989.
тииэр, т. 77, 10, октябрь 1989
[197]
L. В. White and В. Boashash, "Оп estimating the instanta-
neous frequency о/ а Gaussian random signal Ьу the use of
the Wigner Ville distribution," Ifff Trans. Acoust, Speech,
S;gna/ Process ng, vol. ASSP 36, РР'. 417 420, 1988.
L. В. White and В. Boashash, "Тime--trequency coherence
": theoretical basis for cross sp tral analysis of поп sta
!юпаrу signals:' in Рroс. /ASTfD /nt. Syтp. S;gna/ Process
тg and Its Applicat;ons (Brisbane, Australia, 1987), рр. 18
23.
Е. Р. Wigner, "Оп the quantum correction for thermody-
namic equilibrium:' Phys. Rev., vol. 40, рр. 749 759, 1932.
, Quantum"lIIechanica' distriЬщiоп /unctions rev.s
Ited," in Perspect;ves;n Quantuт Theory, W. Yourgrau and
А. уап d r Merwe, Eds. Cambridge, МА: M.I.T. Press, 1971.
R. М. .W!lco , "Exponential operators and parameter di/
fеrепtlаtюп '" quantum physics:' J. Math. Phys. vol.8 рр.
962 982, 1967. ' ,
Вудворд Ф. М. Теория вероятНQстей и теория ин.qюр
мйции с nриJ/енениЯJ/и в радиоЛDкuции. М.: Сов. радио,
1955.
K. B. Уи and S. Cheng, "Signal synthesis from Wigner dis
triЬЩiоп:' in Proc. /ЕЕЕ /CASSP 85, рр. 1037 1040, 1985.
K. B. Уи, "Signal representation and pro essing in the mixed
time frequency domain:' in Рroс./ЕЕЕ /CASSP87, рр. 1513
1516, 1987.
L. А. Zadeh, "Frequency analysis 01 variabIe networks:' Рroс.
/Rf, vol. 38, р. 291, 1950.
А. Н. Nuttall, "Alias free discrete-time Wigner distribution
function and complex ambiguity function:' Naval Under
water Systems Center, NUSC Tech. Rep. 8533, April14, 1989.
О. L. Jones, "А high resolution data--adaptive time-fre
quency representation," thesis, Rice University, Houston,
ТХ,1988.
'? L. Jones and Т. W. Parks, "А hlgh-'l"esolution data adaptive
t,me /requency representation," in Proc./fff /CASSP87 рр.
681 683. '
О. L. J.ones and Т. W. Park, "А resolution comparison of sev
eral tlme frequency representations:' /ЕЕЕ Trans. Acoust.
Speech, S;gna/ Process;ng, 1989 (submitted for pubIication)
R. F. O'Connell and Е. Р. Wigner, "Quantum-mechanical dis
tribution functions: conditions for uniqueness:' Phys. Lett.
vol. 83А, рр. 145 148, 1981.
L. Cohen, "Local kinetic energy in quantum mechanics," J.
Cheт. Phys., voJ. 70, рр. 788 789, 1979.
. О. Forrester, "Use of the Wigner Ville distribution in hel
Icopter aull detection:' in Proc. ASSPA 89, рр. 78 82, 1989.
L. В: Whlte nd . Boashash, "Adesign methodologyforthe
орtlП1а1 еst.mаtюп of t l . spectral"haracteristics of non sta-
tiona ran om signals," in Рroс. ASSP Workshop оп Spec.
tral fstlтatlOn and Mode/;ng, рр. 65 70, 1988.
[198]
[199]
[200]
[201]
(2()2)
[2U.sJ
[204]
[205]
[2О6]
[207]
[208]
[209]
[210]
[211]
[212]
[213]
Леои I(ози получил C'l'епень бакалавра в области физики
в Сити Колледже r. Hь AOPK в 1962 r., степеиь доктора
философии в области физики в Ае.льском университете,
Нью ХеАвеи, шт. КоннеJtтикут, в 1966 r. В настоящее время
профессор фнзики Колледжа Хантера и Центра подrотовки
аспирантов Универснтета r. Нью Аорк. Научные интересы
охватывают астрономню, квантовую механику, химическую
физику, числеиные методы и анализ сиrналов. В течение РЯАа
ПОCJIедних лет работал приrлашенным научным сотрудником
в НаУЧНО-ИСCJIедовате.льском центре им. Т. ДЖ. Уотсонафир
мы IBM, Центре перспективных исследований Университета
шт. Нью Мексико и Центре подводных систем ВМе США.
служивание, ремонт и т. п.), которое представляет собой со-
ставную часть предполаrаемоА инфраструктуры, ПРОЯВJIяю.
щейся в повседневной жизни в США.
Авторы книrи концентрируют внимание на тех аспектах,
которые существенно отличают КУС-системы от систем дру-
rих типов, и лишь кратко останавлнваются на тех аспектах,
в отношении которых применимы общие принципы проекrи-
роваиия и управления. КУС-системы представляют собой
технические arperaTbl, обеспечнвающие поддержку деяте.ль-
ностн пользующихся ими rрупп людей. Изложен не матери-
ала носит преимуществеиио техиическиА характер и рассчи-
тано на инженеров и разработчиков, а ие на пользоеателеЙ'.
Авторы стремятся дать в основном представлеиие о ре60те
компонентов КУС-систем и их преде.льных возможностях.
НОВЫЕ книrи
Техника систем обеспечеиия комаидоваиия, управлеНИ8 и
свази .
Command, Control, аnd Communications 5ystems Engineerlng
Walter R. Веат. (NewYork, NY: McGraw HiII.1989, 339 рр., bound,
$44.95, ISBN 0 07"()0 249 7.)
Материал кииrи охватывает различные аспекты проекти-
роваиия, функционирования и техники, характерные для
систем обеспечении командования, управленни и связи
(КУС), и способствует правильному пониманию н применению
принцнпов и практических методов работы с такими снсте-
мами. Разработчик и спецналнст по эксплуатации подоБНЫJII
систем должны уделить особое внимаиие таким компонентам,
как материально техническое обеспечение (снабжение, об-