Jrоn-ч .5tрИЬLе .лQkuu
по МАТЕМ ТИКЕ
 0l>'

В.А. УСПЕНСКИЙ
НЕКОТОРЫЕ
ПРИАОЖЕНИЯ
....",.
МЕХАНИКИ
К МАТЕМАТИКЕ
.j
1
"*
j
I
I
rOCYAAPCT8EHHOE ИЗААТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
м о с I( 8 А.' 9 " 8
f
.
. а!
I
I
1

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ I10 МА TEMA ТИКЕ
ВЫПУСК 27
В. А. УСПЕНСКИЙ
HEKOTOPblE ПРИЛОЖЕНИЯ
МЕХАНИКИ К МАТЕМАТИКЕ
rocy ДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКОМА ТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1958

11 3-1
АННОТАUИЯ
Настоящая лекция рассчитана на учащихся
средних школ (710 классы). В ней pac
смотрены простые решения различных Ma
тематических задач (иноrда довольно слож
ных)"при помощи использования некоторых
. u
положении механики.
УспенскиЙ Владимир Андреевич
Некоторые приложения механики к математике
Редактор Лаnко А. Ф.
Те хн. редактор J{рюч"ова В. Н. Корректор Плетнева Т. с.
Сдано в набор 25/IV 1958 r. Подписано к печати 30/VH 1958 r. Бумаrа 84 Х 108 '32.
Фиэ. печ. л. 1,5. ' Условн. печ. л. 2,46. Уч.-изд. л. 2,45. Тираж 35 000 экз. T-07191.
Цена книrи 75 коп. Заказ H 1881.
rосударственное издательство Физико-математическо литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типоrрафия имени А. А. Ждзноа
MOCKoBcKoro rородскоrо Совнархоза.
Москва, )К-54. ВаЛ()Rая. 28.
Отпечатачо с rOToBoro набора в типоrрафии издательства
Mry. Москва, Моховая, 9 заказ 989

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . . . . . . . . .
 1. Задача о касательной к окружности
 2. Задача о касательной к эллипсу
 3. Задачи о касательных к параболе и rиперболе ....
9 4. Принцип минимума потенциальной энерrии . . .
 5. Материальные точки и центр тяжести .....
 6. Центр тяжести системы двух материальных точек
 7. Теоремы о пересечении прямых . . . . . .
э 8. Центр тяжести стержня с м ноrими rрузами
 9. Одна задача из теории чисел (формулировка)
 10. Одна задача из теории чисел (решение)
 1 1. Невозможность вечноrо двиrателя . . . . . .
Заключение. . . . . . . . . . . . . . .
4
5
7
12
17
21
25
....26
29
32
35
40
42
1.

ПРЕДИСЛС>ВИЕ
Применения математики в физике (в частности, в механике)
общеизвестны: достаточно раскрыть школьный учебник. Bыc
шие разделы механики требуют сложноrо и TOHKOI'O математи
ческоrо аппарата.
Существуют, однако, математические задачи, при решении
которых с успехом MorYT быть использованы понятия и законы
физики; см., например, rлавы IV и VI книrи л. А. Люстерника
«Кратчайшие линии», изданной в качестве 19..ro выпуска Ha
стоящей серии. Ряд подобноrо рода задач, решаемых методами
механики (а именно с привлечением законов равновесия), был
приведен автором в ero лекции «Решение математических
задач методами механики», читанной для школьников 7 8 клас..
сов в Московском rосударственном университете 19 февраля
1956 r.; эта лекция, с незначительными добавлениями, 11 co
ставляет содержание данной брошюры.
Автор rлубоко блаrодарен Исааку lV\оисеевичу Яrлому, об
стоятельные замечания KOToporo способствовали уменьшению
числа недостатков этой книжки.

 1. ЗАДАЧА О КАСАТЕЛЬНОЙ К ОКРУЖНОСТИ
Как известно, l{асателы/,ой к окружности называется пря
мая, имеIощая с этой окружностью ровно одну общую точку (Ha
зываемую пlОЧКОЙ касанuя). В учебниках rеометрии доказывает-
ся, что касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному ИЗ
центра окружности в точку касания. Приведем доказательство
этой теоремы, опирающееся на соображеНIIЯ механики.
С этой целью проделаем мысленно следующий эксперимент.
ПредстаЕИМ себе, что rрузик, прикрепленный к концу М НИТИ,
висит на этой нити; друrой конец нити закреплен в точке о.
Из повседневноrо опыта читатель, конечно, знает, что при этом
(А) rРУЗUfС находится в caMOA-t нuжн,ем uз вОЗJf,ОЖНЫХ
положенuй, l(.оторые ОН А-tожет заНUА-tать, будучи связан
ни"lЬЮ.
Этот факт, имеющий реUJающее значение для наших pac
суждений, сам по себе совершенно очевиден; полезно, однако,
заметить, что он представляет собой частное проявление некоей
общей заКОНО\lерности (формулируемой в так называемом «прин-
ципе минимума потенциальной энерrии»), с которой нам при
дется встреlИТЬСЯ в более сложной обстановке в  4. Точнее,
при ПОМОU1.и упомянутоrо «принципа минимума потенциальной
энерrИII» утверждение (А) выводится из следующеrо очеЕИД"
Horo утверждения (Е):
(Е) Существует тОЛЬ1tо одно положение равновесuя zpy..
зиn:а, т. е. положение rрузика в покое полностью определяется
положением точки О и длиной нити.
Из единственности пол))кения равновесия (утверждение Е)
вытекает, далее, что
(С) rРУЗU1t находится на вертun:альной прямой, прове..
денной uз тОЧh.U подвеса.
В самом деле, если бы rрузик не находился на этой Bep
тикальной прямой, то, поворачивая BOKpyr нее нить вместе с
5

rрузиком, мы получили бы новое положение равновеСIIЯ (рис. 1).
В этом рассуждении мы опираемся, таким образом, еще на
один известный из опыта факт:
(8) Если тело или cucme.JtY тел, находящихсл в равно-
8есии, повернуть B01tPYZ верти1(альной прямой, то новое
положение будет также nоложение-м равновесия.
!ЗерПIUНйЛЬIfОР
лut1UR
Старое
положение
ра6нп6еСIJа
\
\
\
\
\
\
\
\
НаlJое
положение
pa6lfobecUR
Рис. 1.
Из утверждений (А) и (С) вытекает, что
(В) Расстояние от zрузи1lа до тОЧ1tU подвеса О равно
длине нити МО (это означает, что нить натянута).
(Заметим вскользь, что утверждения (В) и (С), конечно, не
менее очевидны, чем те, из которых мы их вывели.)
Перейдем теперь к доказательству нашей теоремы. Пусть
(рис. 2) дана окружность с центром в точке О и прямая р,
касающаяся этой окружности в точке Р. Надо доказать, что
ОР .lP. Перерисуем наш чертеж на вертикальной стене, при
чем так, чтобы прямая Р была rоризонтальна и окружность
была расположена над прямой р. (Если поставить эту .книжку
вертикально на ее нижний срез, то рис. 3 будет отвечать
указанным TOJIbKO что требованиям.) Заметим, что точка Р бу
дет при этом самой нижней точкой окружности. Возьмем теперь
нить, длина которой равна радиусу окружности, и закрепим
один ее конец в центре окружности о. к друrому концу,
6

который обозначим буквой М, прикрепим rрузик и подвеСIlМ
ero на нити. Покажем, что конец М попадет в точку Р.
Действительно, во-первых, в силу (В), конец М может нахо..
диться лишь на окружности; во"вторых, В силу (А), этот конец
находится в самой нижней точке этой ОКРУЖНОСТII, т. е. в Р.
Таким образом, нить пойдет по радиусу ОР. Стало быть, в
силу (С), этот радиус перпендикулярен прямой р, что и тре..
бовалось доказать.
Разобранный только что пример, конечно, не очень интере 
сен, ибо он посвящен доказательству хорошо известной и дo
вольно простой теоремы. Однако в дальнейшем этот же метод
р
Рис. 2.
Рис. 3.
будет I1рпменен к доказательству новых теорем. При этом Ha1
приrодятся навыки, приобретенные в этом lIараrрафе при «меха-
ническом» доказательстве теоремы о касательной к окружности.
Прежде Bcero мы займемся в следующем параrрафе eCTeCTBeH
ным обобщением. этой теоремы, а именно теоремой о касатель..
ной к эллипсу.
 2. ЗАДАЧА О КАСАТЕЛЬНОЙ К ЭЛЛИПСУ
Окружность определяется как rеометрическое место TU"
чек А, расстояние ..40 от которых до заданной точки О paBHU
заданному числу l. Обобщением этоrо опредеJlения являетси
определение эллипса. ЭллипСО.Jt (рис. 4) называется rеометри"
ческое место точек А, сумма расстояний А0 1 + А0 2 от KOTO
рых до двух заданных точек 01 и 02 равна заданному числу l.
Точки 01 И 02 называются фО1tуса.м.и эллипса, а 1  длиной
большой оси эллипса. Отрезки А0 1 и А0 2 , соединяющие ка-
КУЮJ1ибо точку А на эллипсе с фокусами, называIОТСЯ фО1tаль..
ными радиусами, проведенными в точку А. Окружность есть
частный случай эллипса, коrда точки 01 и 02 совпадают.
7

Фокальные радиусы в этом случае тоже совпадают 11 равны
радиус у окружности.
Каждый может нарисовать эллипс, если возьмет нить, за
крепит оба ее конца в какихнибудь точках 01 11 02' выбран
ных на листе бумаrи с тем расчетом, чтобы расстояние О 1 02
было меньше длины нити, и затем проведет Линию, натяrивая
НИТЬ острием карандаша (рис.. 5). О свействах эллипса см. в
l(ниrе А. и. Маркушевичз «Замечательные кривые», составля
Юlцей 4..й выпуск настоящей серии.
01 01
Vис. 4. Рис. 5.
Как и в СЛУ4ае ОКРУ)КНОСТII, прямая называется касательной
к ЭJlJIIlf1СУ. если она имеет с Нl1М ровно одну оБЩУIО точку (рис. 6).
Имеет место слеДУlощая т е о р е м а о к.а с а т е л ь н о й к
9 Л Л 11 П С у: Касательная 1t эллипсу образует pa8flr.,te уzлы
с ФОl(аЛЬНЫЛ-lU paauyca.hlU, проведеННЫ.АlU в тОЧl\У l(асания
(на рис. 6 такими равными уrламн ЯВЛЯIОТСЯ уrлы КРОl И LP02).
Частным случаем этой теоремы является теорема о каса тель
ной 1{ ОКРУ)l(НОСТИ. ДеЙСТВlIтельно, в случае ОКРУЖНОСТИ оба
фокальных радиуса совпадают, поэтому теорема о касательной
к эллипсу формулируется для случая окружности так: касатель
ная образует ранные смежные yr лы с радиусом, проведенным
в точку касания; а это 11 означает llерпендикулярность радиуса
11 касательной.
Мы дадим сейчас доказательство теоремы о касательной к
ЭЛЛИlIСУ, аналоrичное тому, какое мы дали для теоремы о
касательной к ОКРУЖНОСТИ. PeKoeHдyeM читателю, пре)l(де чем
читать дальше, попытаться ca10MY придумать такое «механи
ческое» доказательство.
Как и в предыдущем параrрафе, мы нредпошлем доказзтель.
СТВУ некий механический эксперимент. Фиксируем в вертикаль
 
ной ПЛОСl(ОСТИ на равной высоте две точки 01 И O l. Возьмем
далее нить, длина которой превосходит расстояние U 1 02' И при..
с-

крепим КОНЦЫ этой нити к точкам 01 и 02. На нить Haдe
нем rрузик таким образом, чтобы он Mor свободно скuль
ЗIIТЬ вдоль нити (например, проденем нить в ушко rири, как
это показано на рис. '7). Если мы теперь предоставим rрузику
свободно висеть на нити, то он попадет в конце концов
в некоторую точку М, I'де и будет находиться в состоянии
покоя. Очевидно, что имеют место следующие два факта
L (С 1 ) ПЛОС1tость 01 0 2 М
вертu1tальна (т. е. проходит
через вертикальную прямую).
Рис. 6.
О,
'"
(С 2 ) '2лbt, образованные отреЗl(а.АlU М О} u ,И 02 С 20рU-
З0нтаЛЬflОй nрЯ.АlОЙ, nроведенной через тОЧ1(..'у М в nЛОСf{О
 
сти М 0102' равны.
Заметим, что утверждения (C 1 ) и (С 2 ) можно вывести из утвер..
ждения о единственности положения равновесия rрузика. С этой
целью проведем вертикальную прямую через середину отрезка 010 2
и повернем нашу нить вместе с rрузиком BOKpyr этой прямой на 1800.
Конец нити 01 попадет теперь в точку 0 2' а конец 02  В точку 0 1.
Соrласно утверждению (S) из предыдущеrо параrрафа, мы получим
состояние равновесия, поэтому, в  силу предположенной единственно
сти этоrо состояния, нить (а вместе с ней и треуrольник М 0 1 (2) co
вместится со своим прежним положением. Раз треуrольник при пово
роте на 1800 совмещается сам с собой, значит, ось вращения лежит
13 плоскости треуrольника. Значит, плоскость МО 1 О 2 проходит через
вертикальную ось, т. е. она вертикальна. Далее, при произведенном
повороте rоризонтальная ПРЯМ(lЯ, проведенная через М в плоскости
М 01 02 ' совместится сама с собой, а уrол, образованный ею с отрез
ком МО 1 , совместится с уrлом, образованным ею же с отрезком М 02 .
Значит, эти УI'ЛЫ р()вны.
Избавимся теперь от предположения, что точки подвеса
находятся на одинаковой высоте. Пусть 01 И 02  произволь..
ные ТОЧКII. Подвесим к ним нз нити свободно скользящий вдоль
9

нее rрузик (рис. 8). Пусть в покое rрузик находится в точке М.
Заметим, что если rрузик находится в ,И и если мы закре"
пим нить в любой ее точке, то положение rрузика не изме..
нится. (Действительно, если, скажем, MbI закрепим нить в точке
0 2' см. рис. 8, то натя же ние участка НИТII 0 202 заменится
реакцией опоры в точке 02.) Это обстоятельство позволяет
распространить на оБLЦИЙ случай выводы, сделанные нами при
рассмотрении равновысотных точек подвеса. В самом деле, до..
статочно закрепить нить в точке 02' находящейся на той же
высоте, что и О 1 (рис.  1)); положение равновесия при этом
не изменится. Положив 01 === 01' мы прид ем к ра зобранному
ранее случаю раВН06ЫСОТНЫХ точек подвеса О 1 И 02. Поэтому
а из ( С 1 ) и ( с 2 ) немедленно BЫTeKa
2 ют утверждения ( с) (очевидное
само по себе) и ( с 2 ):
(С 1 ) Плоскость 0102М верти..
1<альна.
(С 2 ) Уzлы, образованные oт
реЗl(а"М,и МОl и М02 с zopu..
зонтальноu пря"М,ой, nРО8еденной
Через тОЧl(У М в пЛОСlостu
М0 1 О 2 , равны.
(.праведливы, наконец, eLЦe слеДУЮLЦlIе
Рис. 8.
Очевидным образом
два утверждения:
(А) В положеrtии равновесия ZРУЗUh: заНU.Jlает ca./Jtloe
нuжнее и.1 всех положений, которые он "М,ожет занимать,
будучи связан нитыо (при ПОМОLЦИ упоминавшеrося уже в : 1
принципа минимума потенциальной энерrии это утверждение
выводится из единственности положения равновесия).
(В) В положении равновесия нить натянута (это значит,
что отрезки нити МОl и М02 прямолинейны 11, следователь
но, сумма расстояний от точки М до 01 И 02 равна длине
нити) .
Вернемся к доказательству нашей теоремы о касательной.
Пусть дан эллипс с фокусами 01 и 02 (см. рис. 6) и длиной
большой оси 1 и прямая KL, касаЮLЦаяся ero в точке Р. Tpe
буется доказать, что LOIPK === L02PL. ДЛЯ доказательства
повернем чертеж так, чтобы плоскость чертежа стала вертикаль
1) На чертеже 02 выше, чем 01; случай, коrда 01 выше, чем 02'
разбирается аналоrично.
10

ной, прямая KL rоризонтальной, а эллипс был расположен
над прямой KL (тоrда Р будет самой нижней точкой эллипса).
Возьмем нить длины 1, наденем на нее rрузик, закрепим концы
нити в точках 01 и 02' после чеrо отпустим rрузик. Он зай-
мет некоторое положение А1. В силу (С 1 ) точка  будет ле-
жать в плоскости чертежа. В силу (В) она будет лежать на
эллипсе. В силу (А) она совместится с Р. Таким образом, нить
пойдет по отрезкам Р0 1 и
РО 2 . В силу (C 1 ) уrлы, об..
разованные этими отрезками
с прямой KL, будут равны.
L{pyroe доказательство
этой теоремы, также исполь
зующее соображения механи
ки, читатель найдет в  11
книrи л. А. Люстерника
«Кратчайшие линии)).
свойстgо касательной к
эллипсу образовывать paB
ные уrлы с фокальными pa Рис. 9.
диусами дает возможность
построить циркулем и линейкой касательную к эллипсу (коль
скоро заданы ero фокусы) в заданной точке. Для этоrо до..
статочно провести прямые через точку касания Р и фокусы
01 И 02 (см. рис. 9) и найти биссектрису уrла SP0 2 (или
уrла ТРО 1 ). Эта биссектриса и будет касательной.

Рис. 10.
,
r Теорема о касательной к эллипсу 'имеет интересную оптиче
скую интерпретацию: если считать, что эллипс «зеркален», Т. е. что
лучи света, распространяющиеся в плоскости, отражаются от эл
липса, то лучи, исходящие от точечноrо источника света, помещен
Horo в. одном из фокусов, соберутся в друrом фокусе (рис. 10).
Действительно, уrол, образованный с эллипсом падающиМ на
Hero лучом света, равен по законам оптики уrлу, образованному
с эллипсом отраженым лучом. Уrол, образованный прямой и кривой
11

(в данном случае лучом света и эллипсом), измеряется уrлом между
этой прямой и касательной к кривой, проведенной в вершине уrла.
Il0СКОЛЬКУ падающий луч идет по фокальному радиусу, то, в силу
доказанной теоремы, отраженный луч пойдет по друrому фокаль-
ному радиусу.
 3. ЗАДАЧИ О КАСАТЕЛЬНЫХ К ПАРАБОЛЕ
И rИПЕРБ ОЛЕ
[/араб олой (рис. 11) называется rеометрическое место то..
чек Р, равноудаленных от некоторой точки Р (называемой ФОf{У
СО,М, параболы) и некоторой прямой d, называемой диреКlприсой
d
Рис. 11.
Рис. 12.
параболы. (Ilодробнее о параболе см. уже упоминавшуюся
книrу А. и. Маркушевича.) Парабола делит плоскость на две
части: в одной из них находится директриса, в друrой (за-
штрихованной на рис. 12)........... фокус. Прямая, иыеющая с параболой
I=0EIIO одну общую точку и целиком расположенная R одной
IIЗ Частей, на которые пвраболой разделяется ПЛОСI(ОСТЬ, назы..
вается касательной к параболе. На рис. 13 прямая р касатель..
ная, а прямая q не является касательной, хотя и имеет с па..
раболой лишь одну общую точку.
Сп раведлива следующая т е о р е м а о к а с а т е л ь н о й к
пар а б о л е : Если из nроиЗ80ЛЬНОЙ точки Р параболы
(рис. 14) провести отрезо!( РР, соединяющuй Р с ФОf(УСО"l, и
12

отреЗОh 7 PD, перпен,дu1(.УЛЯРн,ый 1(. дuре1(.трuсе, то уzлы, об..
разован,н,ые этuмu отрезкаМU с 1(.асательной р в точке Р,
равны (так, на рис. 14 LDPK== LKPF).
Эту теорему можно «доказать», опираясь на «механические»
соображения, аналоrично теоремам из двух предыдущих пара
rрафов. Дадим набросок TaKoro «доказательства».
Проведем на произвольном
расстоянии 1 от прямой d пря
D
q
d
d'
р
Рис. 13.
Рис. 14.
мую d' 11 d, однако так, чтобы точка Р лежала между d и d'.
Повернем чертеж так, чтобы он лежал в вертикальной плос
кости, касательная р была rоризонтальна и парабола была
расположена над р. Будем мыслить себе прямую d' в виде тон-
Koro стержня, по которому скользит кольцо (рис. 15). К кольцу
прикрепим нить длины 1, друrой конец нити закрепим в точке Р.
На эту нить наденем rрузик, моrущий скользить вдоль нее.
Пусть положение равновесия rрузика есть М, а положение
кольца в это время есть D'. Нить будт натянута, поэтому
отрезки нити МР и MD' будут прямолинейны. Заметим прежде
Bcero, что
MD' d'.
(1 )
(ЕСЛII бы это было не так, то, как видно из
составляющая Tl силы Т натяжения нити вдоль
ня d' была бы отлична от нуля и заставила бы
рис. 16,
стеож-
кольцо
13

сдвинуться.) Далее, повторяя рассуждения предыдущеrо пара
rрафа, устанавливаем, вопервых, что уrлы, образованные
р
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
I
I
I
/
/
,/
....-
..-.'
_.с:::'    ___
d
I
/
/
,1
I
I
I
I
I
/
I
/
I
'" I
'у D
Рис. iБ.
отреками MD' и мр с прямой р, равны и, BOBTOpЫX, что
MD' + мр == 1. (2)
rIроведем MD d. Так как расстояние между d и d' равно 1,
то из (1) и (2) следует, что
MD===Mp. (3)
А это означает, что М лежит на параболе, причем поскольку
М занимает самое нижнее из возмож
ных положений, а Р есть самая нижняя
точка параболы, то М совместится с Р.
Рис. 16. Рис. 17.
Следовательно, в конечном счете уrлы, COCTaBJleHHble or-
резками РР и p1J с прямой р, равны.
14

в книrе л. А. Люстерника «Кратчайшие линии» приведено
друrое, также «механическое» доказательство этой теоремы.
Свойство уrлов, образуемых касательной к параболе, позволяет
строить эту касательную при ПОМОЩИ llИРКУ,ПЯ ;1 линейки.
Оптическая интерпретация доказанной теоремы такова: лучи
света, выходящие из фокуса параболы, отражаясь от нее, превра
щаются в пучок лучей, идущих перпендику лярно к ее директрисе
(рис. 17). Это свойство параболы используется в прожекторах, рефлек
торах и друrих устройствах, служащих для придания лучам (световым
или тепловым) нужноrо направления: отражающая поверхность каждо
ro из этих устройств представляет собой поверхность вращения парабо
лы BOKpyr перпендикуляра, опущенноrо из фокуса на директрису.
rиперболой называется rеометрическое место точек, раз
насть расстояний которых до двух ФИКСИРОllанных точек p и
F 2 (называемых фокусами) по
стоянна. (О rиперболе также см.
в «Замечательных кривых»
А. и. Маркушевича.) rипербола,
как это видно на рис. 18, cO r
стоит из двух ветвей. Расстояние
от Лlобой точки Р' левой ветви
(на рис. 18) до Fl меньше на
заданную величину расстояния
от Р' до Р 2 ; расстояние от любой
точки Р" правой ветви до Р 2 .мeHb
ше на ту же самую величин у pac
стояния от [У' до Fl. Как и па
рабола, каждая ветвь rиперболы
делит плоскость на две части.
Прямая, целиком расположенная
в одной из этих частей и име Риr. 18.
ющая с данной ветвью ровно
одну общую точку, называется 1(.асательной 1(. данной ветви
zиперболы. На рис. 19 показана прямая, касающаяся левой
ветви rиперболы в точке Р. Можно доказать, что касательная
к одной из ветвей rиперболы не пересекает друrую ветвь.
Всякую касательную к одной из ветвей rиперболы называют
также просто llасательноu 1t zuперболе.
Как и в случае эллипса, прямолинейные отрезки, соединя-
ющие фокусы с точкой на rиперболе, называются ФОl(альны.Jtu
радиусами. : i'ii  ''
Имеет место т е о р е м а о к  с а т е л"ь Н: О Й К r и пер -
б о л е: Касательная lС zиперболе образует' равные уzлы с
15

]6
ФО1Сальны.м,u радuуса.JlU, проведенными в точку !(.асания
(так, на рис. 19 LF1PL === LLPF 2 ).
1(
Рис. 19.
Мы не будем n'РОВОДIIТЬ доказательства этой теоремы (пре
доставляем ero читателю); приведем лишь лежащее в ero oc
нове «механическое» по
строенпе. По определе
нию rиперболы, раз
ность между фокаль
НЫ.\111 радиусами по-
стоянна; обозначим эту
разн ость через а. Пусть
точка касания Р лежит
на правой ветви (рис.
20). Проведем из ле
80ro фокуса Fl окруж"
ность столь большоrо
радиуса r, что, вопер
вых, ,>а И, BOBTOpЫX,
точка Р лежит внутри
этой окружности. Будем
мыслить себе окруж
ность В виде проволоч
Horo кольца, по KOTO
рому скользит друrое,
маленькое КОЛЬЦО.
Возьмем нить длины r  а и проденем ее сквозь rрузик,
о
'!i
,
Р'
I 
1/
1/
r
j
r ( 
/(
I I
I \ '2
I \
/ \
\
\..\
\
\
\
\
Рис. 20.

моrущий скользить вдоль нее. Прикрепим один конец нити к
маленькому кольцу, а друrой закрепим в правом фокусе Р 2 .
Если теперь повернуть чертеж так, чтобы прямая р (касатель
ная) была rоризонтальна, а соответствующая ветвь rиперболы
лежала над прямой р, то надетый на нить rрузик в положении
покоя будет находиться в точке Р. Это обстоятельство и по-
зволяет доказать теорему при помощи уже применявшихся нами
рассуждений. Заметим, что если точка касания лежит на
левой ветви, то можно повторить построение, описывая окруж-
ность из npaBoro фокуса. Можно, однако, и в этом случае
воспользоваться окружностью с центром в левом фокусе, ТОJlЬКО
нить тоrда надо брать длины r + а.
Как и предыдущие теоремы о касательных, теорема о
касательной к rиперболе дает способ ее построения.
 4. ПРИНЦИП МИНИМУМА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭlfЕрrии
rрузик, поднятый на какую-то высоту, способен при па..
дении произвести работу, т. е. обладает потенциальной энер
rией. Как известно из школьноrо курса физики, потенциальная
энерrия rРУЗIlка весом q, поднятоrо на высоту h, измеряется
произведением qh. Мы видим, что потенциальная энерrия тем
меньше, чем ниже находится rрузик. Стремление rРУЗИl(а за-
нять самое нижнее положение связано с тем, что потенциальная
энерrия стремится уменьшиться. Если rрузик прикреплен к нити,
то в самом нижнем положении, которое он может занимать,
потенциальная энерrия будет минимальна. Поэтому сыrравшее
при доказательстве теорем о касательных решающую роль
утверждение (А), rласящее, что в положении равновесия rРУЗИI<
занимает самое нижнее из возможных положений, равносильно
слеДУlощему утверждению:
(И) В положении равновесuя потеНlиальная энерzия zpy..
зunеа достиzает наи.меньшеzо значения.
В свою очередь утверждение (U) (а значит, и (А)) яв..
ляется следствием утверждения (Е) о единственности положе
иия равновесия и следующеrо утверждения:
(О') Если в некоторо.м положенuи zрузиlса ezo потенци.
альная ЭI-lерzия достuzает наименьшеzо значения, то это
положение является положением равновесия.
Чтобы вывести отсюда (U), достаточно заметить, что если
бы в положении равновесия потенциальная энерrия не дости-
rала наименьшеrо значения, то существовало бы, в силу (D'),
2 В. А. rспенский
17

еще друrое положение равновесия, соответствующее наимень-
шему значению потенциальной энерrии; но 9fO противоречит
утверждению (Е).
Утверждение (О') является частным случаем общеrо прин-
ципа механики, называемоrо принципом минимума потенциаль
ной 9нерrии, или принципом Дирихле (обоснование этоrо прин..
ципа СМ., например, в  13 упоминавшейся уже книrи
л. А. Jlюстерника). Принцип Дирихле rласит:
То положение систе.м,ы, в 1(.оторо.м, потенциальная энер-
zия достиzает наи.меньшеzо значения, является положением,
равновесия.
Если положение равновесия единственно, то принцип Ди-
рихле допускает важное следствие:
В положении равновесия потенциальная энерzия систем,ы
дости2ает наи.м,еньшеzо значения.
, Q :7  
Рис. 2].
ВЫВОД этоrо следствия аналоrичен выводу утверждения (и).
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь такие случаи,
коrда положение равновесия единственно (возможны и друrие
случаи; так, на рис. 21 ноказаны четыре положения равновеси я
шара).
Конечно, для решения задач о касательных нет надобно-
сти прибеrать к принципу минимума потенциальной 9нерrии;
то, что rрузик занимает самое нижнее из возможных положе-
ний, само по себе является очевидным. Однако в друrих слу-
чаях, коrда мы имеем дело не с одним, а с несколькими rpy..
знками, связанными между собой, было бы неверно утверждать,
что в положении равновесия каждый из них занимает самое
нижнее из возможных положений; здесь приходится находить
положения всех rрузиков, а для 9Toro часто бывает удобным
использовать понятие потенциальной 9нерrии.
Приведем пример.
В замечательной книrе польскоrо математика r. Штейн-
rауза «Математический I<алеЙДОСI{ОП» (rостехиздат, M. л..
1949) есть такая задача (тема 39).
18

«Для трех деревень нужно потроить общую школу. В пе9
вой деревне живут 50, во второй 70, а в третьей 90 детей.
rде нужно выбрать место для школы, чтобы сумма времени,
которое придется тратить всем детям на хождение в школу,
была минимальной?
Для решения этой задачи достаточно положить на стол
план местности (рис. 22), затем пробуравить в столе OTBep
стия в местах расположения деревень, пропустить через эти
отверстия три веревочки, верхние концы их связать в один
узел, а к нижним подвесить наrрузки соответственно в 50, 70
и 90 единиц (например, 500, 700 и 900 rpaMMoB). Школа
должна быть построена там, rде окажется узел. (Почему?)>>
Чтобы ответить на вопрос «почему?», поставленный в за
даче, подсчитаем потенциальную энерrию системы, состоящей
в данном случае из трех rрузиков. Если веса rрузиков равны
ql' q,. И qз И если первый rрузик находится на высоте h 1 , BTO
рой  на высоте h 2 и третий  на высоте h з , то потенциаль
ная энерrия .равна сумме потенциальных энерrий отдельных
rруз иков 1):
E==ql h l +q2 h 2+qз h з.
(1)
Пусть теперь r l' r 2' r 8  расстояния от узла до первой,
второй и третьей деревень соответственно; 11' 12' 13  длины
первой, второй 11 третьей нитей и h  высота поверхности
стола. Очевидно, в какой бы точке ни оказался узел и на
каких бы высотах h 1 , h 2 , h з ни находились при этом rрузики,
выполняются соотношения
rl+(hhl)==11' r2+(hh2)==12' rз+(hhз)===lз
или
hlrl+h11' h2r2+h12' h8rз + hlз.
Тоrда равенство (1) можно переписать так:
E q1 r l + q2r2 + q;jr з + с,
rде
с === (ql + q2 + q;)) h  ql 1 1  q2 1 2  q;)l з
есть величина постоянная, не зависящая от положения rрузиков.
1) Действительно, потенциальная энерrия измеряется той работой,
которая может быть произведена. Если мы обрежем нити, то каж
дый rрузик при падении произведет работу, равную ero потенциаль
ной энерrии, а вся система  работу, равную сумме этих отдельных
работ.
2*
19

с
(--

с'1
с'1
U
::s:
cl.

в силу принципа минимума потенциальной энерrии, если Е
принимает наименьшее значение, то система находится в paB
новесии. Отсюда  в предположении единственности положения
равновесия  следует, что в положении равновесия величина Е
минимальна. Но если величина Е минимальна, то и величина
Т=== qlrl + q2r2 + q,r. === Е  С
тоже минимальна. Но Т как раз и есть сумма времени, KOTO
рое тратят дети, чтобы дойти из своих деревень в ту lIIКОЛУ,
rде наХОlИТСЯ узел. Так что при положении узла, COOTBeT
ствующеrо равновесию системы, эта сумма времени действи
тельно достиrает CBoero наименыuеrо значения.
 5. МАТЕРИАЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
До сих пор мы ничеrо не rоворили о размерах тех rрузи
ков, которые подвешивались на нитях. Из проводившихся pac
суждений видно, что, с одной стороны, мы предполаrали rpy
зики очень маленькими по размеру (столь маленькими, что о
положении каждоrо из них можно было rоворить как о точке),
с друrой стороны, мы наделяли их определенными весами и,
стало быть, массами.
Подобhые рассмотрения подводят нас к одному из основных
понятий механики  понятию материальной точки 1). Под
материальной точкой в механике понимают тело столь
малое, что ero размерами можно пренебречь. Материальную
точку можно представлять себе как rеометрическую точку,
которой приписано оп,ределенное число (<<масса»). Заметим,
что поскольку материальная точка имееr определенную массу,
то она имеет и определенный вес.
Если имеется какаялибо система материальных точек, то
на каждую из точек действует сила тяжести, пропорциональ
ная массе точки. Равнодействующая всех этих параллельных
сил приложена в особой ,точке, называемой центром тяжести
данной системы материальных точек. Положение центра тяже
сти зависит от положения точек системы и от их масс.
В механике всякое тело рассматривается как состоящее
из весьма большоrо числа материальных точек. Эти материаль
ные ТОЧКII имеют, вообще rоворя, разную массу, так что pac
1) К сожалению, это важнейшее понятие не включено в тепе
решний учебник физики для средней школы (А. В. Пер ы ш к и н,
В. В. К р а у к л и с, Курс физики, часть первая, «Механика», Учпед--
rиз, М., 1957).
21

пределение массы внутри тела неравномерно: одни части Tea
имеют б6льшую, друrие  меньшую массу. lvlbl даже будем
допускать, что OT.1e.тIЬHыe части тела MorYT вообще не иметь
никакой массы и являться тем самым «невесомыми» 1). Центр
тяжести системы материальных точек, образующих тело, и Ha
зывается, по4" определению, центром тя)кести caMoro тела.
Если масса тела сосредоточена в конечном числе отдельных
ero точек (а такие случаи нам встретятся
в дальнейшем  например, невесомый
стержень с насаженными на Hero точечны
ми rрузами), то центр тяжести TaKoro тела
совпадает, очевидно, с центром тяжести
системы этих отдельных точек.
Мноrие свойства тела зависят исклю
чительно от положения ero центра тя
жести. Как известно из школьноrо курса
физики, равновесие тела зависит от
взаимноrо расположения ero центра тя
{jточка поодесс жести и множества точек, в которых
оно закреплено. Именно имеют место
СцентртrtжестlJ следующие утверждения:
Утверждение 1. Если тело,
закрепленное 8 одной точтсе, находится
8 nотсое, то эта точтса и центр тяже..
сти находятся на одной 8ертитсали
(рис. 23).
У т в е р ж Д е н и е 11. Если тело, имеющее площадь опоры
или ребро опоры, находится в nотсое, то вертитсаль, опущен..
ная из центра тяжести, nересетсает эту площадь или
ребро (рис. 24).
Из этих утверждений (которые можно использовать для
экспериментальноrо нахождения центра тяжести) вытекает, в
частности, следующее обстоятельство: если произвести замену
какоrолибо тела друrим, имеIОЩИМ ту же форму и тот же
центр тяжести, то положение равновесия не IIзменится. Однако
в целом ряде случаев необходимо учитывать, кроме положения
.
Q
\
Ct
1
I
G
.
cf
Рис. 23.
1) Более точно, под невесомым телом (или телом «с нулевой
массой») мы понимаем тело с массой столь малой, что ею можно
пренебречь. Читатель заметит параллелизм между понятие MaTe
риальной точки и понятием HeBecoMoro тела. Пренебрежение массой
тела иrраеr в механике не менее важную роль, чем пренебрежение
размером. Так, во всех предыдущих рассуждениях мы пренебреrали
весами (но не размерами!) нитей.
22

иентра тяжести, еще и оБЩУIО массу тела (т. е. суммарную
массу составляющих тело материальных точек). Например,
если мы заменим не все тело, а лпшь часть ero некоторым
новым телом, имеющим ту же форму и тот же центр
тяжести, что и заменяемая часть, то равновесие Bcezo тела
может нарушиться, так как положение центра тяжести Bcero
тела может измениться за счет изменения массы ero части.
Знание положения центра тяжести и суммарной массы является
уже достаточным при решении мноrих задач, во всяком случае
при решении всех тех задач, которые нам встретятся в даль-
нейшем. Естественно поэтому ввести слеДУIощее определение
эквивалентности двух систем материальных точек.
ct
Рис. 24.
Две системы .Аtатериальных точе/С Э1<виваленпzны, если,
80..первых, центр тяжести первой CUCme.Albt совпадает с цeHт
ром тяжести второй системы, и, во..вторых, су.м,лlа масс
всех точет,: первой системы равна CYoIJt.Ale м,асс всех точе/С
второй CUCme.Albt.
Введенное нами понятие эквивалентности СlIстем замечатель..
но тем, что при замене части некоторой системы системой, эквп"
валентной этой части, мы придем к системе, эквивалентной перво..
начальной. Придадим этому утверждению более отчетливую
формулировку.
Пусть д ан а систе ма а материальных точек М l' ..., м r
С массами т р ..., m r и система а материальных точек
М l' ..., м s С массами т l' ..., m s . Объединим обе эти
системы в одну оБЩУIО систему а, которую зададим следующим
образом:
1 о Включим в а всякую материаЛЬНУIО точку системы (х,
не совпадающую по положению ни с одной из точек системы а.
23

20 Включим в (Х всякую материальную точку системы (Х, не
совпадающую по положению ни с одной из точек системы .
 
30 Если некоторая материальная точка М Ж" системы (Х совпа
дает по положению с некоторой материальной точкой М j систе
мы (Х, то включим в (Х новую материальную точку, положение
которой совпадает с положен ием материальных точек М Ж" и M i'
а масса которой равна сумме. т Ж" + '!!:J масс указанных матери
альных точек. Справедливо следующее
у т в е р ж д е н 11 е III. Если систе.Аеа (Х есть результат
объединения систе-м  и , а систелtа  ес ть р езу льтат
объединения систе-м  и , - и если cUCme.Atbl сх. и  Э1Свива...
лентНbl и систе-мы (Х и  Эllвивалентны, f1l0 cucme.Jtbl (Х и 
таllже Эl1:вивалентНbl.
д о к а з а т е л ь с Т В О У т в е р ж д е н и я 111. То, что суммарные
массы систем а И  совпадают, очевидно. Покажем, что совпадают и
центры тяжести этих систем. Равнодействующую сил тяжести, дей
ствующих на .материальные точки системы се, можно найти следую
щим образом: сперва найти равнодействующую Р сил тяжести, дей
ствующих на а, затем найти равнодействующую Р сил тяжести, дей
ствующих на , и, наконец, найти равнодейству ющ ую Р этих paBHO
действующих. Точно так же равнодействующую Q сил тяжести, дейст
вующих на систему , можно найти как равнодействующую двух сил:
Q и Q, rде Q  равнодействующая си,Л, действующих на  и Q 
равно де йствующая сил, действующих на !. в силу эквивалентносТИ 
и f силы р и Q совпадают. Точно так же совпадают силы Р и Q. А
потому совпадаlОТ и равнодействующие этих сил  силы p иQ.
в частности, совпадают и точки их приложения, т. е. центры тяже
сти систем се И .
Заметим, что для всякой системы материальных точек MO)K
но построить эквивалентную ей систему, состоящую Bcero из
одной материальной ТОЧКII. ДЛЯ этоrо достаточно рассмотреть
материальную точку, находящуюся в центре тяжести перво'
начальной системы и имеющую массу, равную суммарной массе
системы. Эта материальная точка 11 образует систему, эквива
лентную первоначальной. МатериаЛЬНУIО точку, расположенную
в центре ТЯ)l(ести J(акойлибо системы и имеющую массу, рав-
ную суммарной массе системы, будем называть _nатериаЛЬНblЯ
центром данной системы. Эквивалентные системы можно опре
делить как такие системы, материальные центры которых совпа-
дают.
24

* 6. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ СИСТЕМЫ ДВУХ МАТЕРИАЛЬНЫХ
ТОЧЕК
Пусть на невесомом стержне укреплены два I'руза Р 11 Q,
находящиеся на расстоянии d друr от друrа (рис. 25). Требует
ся найти центр тяжести стержня с этими rрузами. В СI1ЛУ
утверждения 1 из предыдущеrо u
параrрафа, наш вопрос paBHO ( и л-
силен вопросу о том, в какой точ-  ,
ке О надо подпереть сте"ржень, l P Il
чтобы он находился в равнове-
сии. Обозначим расстояния иско
мой точки О от rрузов Р и Q че
рез и и v. Равновесие наступит
тоrда и только тоrда, коrда произведение силы Р на плечо l&
равно произведению силы Q на плечо v, т: е.
Ри == Qv.
Сравнивая равенство (1) с равенством
U+V==d,
v
А

!F
Рис. 25.
(1 }
(2)
получаем
Q Р
U== p+Q d, V=== p+Q d.
II Q
Заметим, что v == Р' так что расстояния от центра тяжеСТIJ.
до rpY30B обратно пропорциональны самим rрузам.
В частности, если оба rруза равны по весу, то центр тяже
СТ1I находится посредине между rрузами (что очевидно и He
посредственно); обратно, если известно, что центр тяжеСТII'
нахоДИТСЯ посредине, то отсюда следует, что оба rруза равны.
Если один. 113 rpY30B вдвое больше друrоrо, то центр.
тяжести находится ближе к большему rpy3y, деля расстояние
между rрузами в отношении 1: 2; обратно, если известно, что.
центр тяжести делит расстояние между rрузаМIJ в ОТНОlJJении
1 : 2, то один из rpY30B (а именно тот, который ближе к цeHT
ру тяжести) вдвое больше друrоrо.
Поскольку центр тяжести стержня, масса KOToporo cocpeДOTO
чена в двух точках М и N, СОВIIадает с центром тяжеСТII
системы двух материальных точек М и N (с соотвеТСТВУЮЩII'
ми массами), то мы получили следующий результат.
UeHпlp тяжести системы двух .материальных Пlочеh.
.лежит на прямой, соединяющей эти точки. Ezo расстоя..
,..,
ние от этих точек оорапхно пропорционально их весал/'
(а значит, и их -масса-м).
25",

В частности, центр ТЯil,ести д.еlИТ расстояние между ТОЧl{а
ми пополам тоrда и только тоrда, коrда обе точки имеют
равные веса; иентр тяжести делит ра:стояние между точками
в отношении 1: 2 тоrда и только тоrда, Коrда одна из точек
вдвое тяжелее друrой (при этом центр тяжести ближе к бо
лее тяжелой точке).
 7. ТЕОРЕМЫ О ПЕРЕСЕЧЕНИИ ПРЯМЫХ
Рассмотрим какуюлибо систему материальных точек сх,
являющуюся объединением систем у и а. Обозначим через М
и N материальные центры систем 1 и д. В силу утверждения III
из  5 система материальных точек М и N эквивалентна
системе сх. Поэтому материальный центр системы сх совпадает
с материальным. центром системы, состоящей из точек М и
N, и следовательно, лежит на прямой, соединяющей эти точки.
Поскольку материальный центр системы расположен в ее центре
тяжести, то мы получили следующую теорему:
Иентр тяжести системы материальных точек, явля..
ющейся объединенuе.Аt систем у и й, лежит на прямой, соеди--
няющей центры тяжести систем у и д.
Мы даДIlМ сейчас три rеометрических применения этой
теоремы.
Медианы треуzольнuка пересекаются в одной точт{е.
Поместим в вершины треуrольника равные точечные rрузы,
которые обозначим теми же буквами А, В, С, что и COOTBeT
ствующие вершины (рис. 26). Полученную систему материаль
ных точек разобьем на две части у и а так, чтобы А входила
в у, а В и С в о. Центр тяжести системы у находится в А, а
центр тяжести системы д в силу резу льтаТQВ предыдущеrо
параrрафа находитсн в середине Е стороны ВС. Соrласно Teope
ме, установленной в начале настоящеrо параrрафа, иентр тяже-
сти О системы А, В, С лежит на медиане АЕ. Совершенно
так же убеждаемся, что О лежит и на двух друrих медианах.
Стало быть, псе три медианы непременно пересекутся в одной
точке.
Поскольку материальный центр М системы о (находящийся
в точке Е) вдвое тяжелее материальноrо. центра системы у,
совпадающеrо с материальной точкой А, то центр тяжести
системы {М, А} делит отрезок ЕА в отношении 1: 2, причем
находится ближе к Е. Но этот центр тяжести и есть центр
тяжести системы А, В, С, т. е. общая точка пересечения всех
медиан. Мы получили, следовательно, известную теорему о том,
26

что точа пересечения медиан отсекает от каждой медианы
третью часть, считая от соответствующей стороны.
Пространственный четыре:суzольниl':. Пусть дан простран-
ственный четырехуrольник ABCD (рис. 27). Пока)l(ем, что
прямые ЕР и KL, соеДИНЯlощие середины ero противоположных
сторон, пересекаются. Поместим в вершины четырехуrольника
равные rрузы, которые будем
считать материальными точками.
Как и при «ДОI<ззательстве» теоремы о медианах, достаточно
обнаружить, что центр тяжести четырехуrольника лежит на
каждой из прямых ЕР и KL. Покажем, например, что он лежит
на ЕР (то, что он лежит на KL, обнаруживается аналоrично).
Для этоrо разобьем систему материальных точек А, В, С, D
на две части; в одну из них ВКЛIОЧИМ точки А и В, в дру-
rую  С и D. Центр тяжести первой части будет располо-
жен в точке Е; центр тяжести второй части  в точке Р. В силу
теоремы, сформулированной в Ha
чале параrрафа, центр тяжести
Bcero четырехуrольника располо-
жен на прямой ЕР. Предоставляем
читателю убедиться, что отрезки
ЕР и KL, пересекаясь, депятся по-
полам.
т е о р е м а Ч е в ы. Теорема о
том, что медианы треуrольника
пересекаются в одной точке, является частным случаем следую-
щеrо положения, известноrо под именем теоремы Чевы:
Пусть Аl' ВI' С}  три тОЧ1tu, лежащие соответственно
на сторонах ВС, СА и АВ треУZОЛЬНU1(а АВС (рис. 28); для
тozo чтобы прямые ААI' ВВр СС} пересеltалuсь 8 одной
точке, необходимо и достаточно, чтобы имело место
8"
4'
I
I
JJ
о
Рис. 26.
Рис. 27.
d
Cf   ;

./  / 
 /. 
д {}, с
Рис. 28.
27

соотношение
АВ} СА, ЕС 1  1
8}С . А]В · С 1 А  .
Рекомендуем читателю проверить, что соотношение (1)
деЙСТБительно имеет место в следующих случаях: ito;J
1. Прямые АА 1 , ВВ} И СС! суть биссектрисы треуrольника.
(У к а 3 а н и е: ИСПОЛЬЗ0вать теорему о том, что биссектриса
уrла треуrольника делит противолежащую сторону на части,
пропорциональные пилежащим сторонам.) Отсюда вытекает,
что биссектрисы yr лов треуrОЛЬНlJка пересекаются в одной
точке.
2. Прямые ААр ВВ} и СС 1 суть высоты треУl'ольника.
(У к а 3 а н и е: ИСПОЛЬЗ0вать форму лу, выражающую длины
отрезков, на которые высота делит соответствующую сторону.)
Отсюда вытекает, что высоты остроуrольноrо треуrольника
I1ересекаются в одной точке.
Перейдем к доказательству теоремы Чевы.
Пусть соотношение (1) имеет место. Покажем, что прямые
АА 1 , ВВ 1 , СС 1 пересекаются в одной точке. Рассуждение про..
текает так же, как и в предыдущих двух пунктах. Мы пока
жем, что при соответствующим образом подобранных rpy3ax,
размещенных в вершинах, центр тяжести системы лежит на
каждой И3 прямых ААl' ВВр СС 1 . Пусть (в KaKOMTO масштабе)
(1)
АВ 1 == а,
СА 1 == с,
ВС 1 == е,
В 1 С==Ь,
А 1 В === d,
С 1 А ==1,
так что
а с е
..1
ь d f .
(2)
Поместим в вершине А rpy3, равный bd, в вершине В  rpy3,
равный ас, и в вершине С  rpy3, равный ad. Центр тяжести
системы {А, С} лежит в точке, расстояния которой от вершин
А и С обратно пропорциональны rрузам в этих вершинах; но
такой точкой являетя В 1 . Точно так же центр тяжести систе
мы {В, С} лежит в точке А 1 . Наконец, центр тяжести системы
{А, В} лежит в точке, расстояния которой х и у до вершин
А и В обратно пропорциональны rрузам bd и ас, т. е.
х . ас
y bd
и
x+y===f+e.
28

tio IIЗ соотношения (2) вытекает, что
ас f
bd  е .
Поэтому х == /, у == е. Следовательно, центр тяжести системы
{А, В} попадет в точку С 1 0 Остается заметить, что, в силу при..
веденной в начале параIрафа теоремы, центр тяжести Bcero
треуrольника лежит на каждой из прямых АА1' ВВ1' СС 1 .
Обратно, пусть прямые ..А,,4 1 , ВВр СС 1 пересекаются в од..
ной точке о; покажем, что имеет место соотношение (1). Для
этоrо представим себе наш треуrольник в виде невесомой пла..
стинки; расположим ero rоризонтально, подопрем в точке О и
поыестим в вершинах rрузы таким в
образом, чтобы треуrольник оказался Il,
в равновесии (рис. 29). В силу YTBep С
ждения 1 IIЗ  5, точка О будет 
центром тяжести треуrольника с по..
добранными, как указано, rрузами в
вершинах и, следовательно, центром
тяжести системы этих rрузов. Поэтому точка О должна лежать
на прямой, соединяющей ,,(4 с центром тяжести системы {В, С};
следовательно, А 1 есть центр тя)кести системы {В, С}. Точно
так же В 1 и С 1 суть центры тяжести систем {С, А} и {А, В}.
Если массы материальных точек А, В, С обозначить соответ"
ственно ,через р, q, r, то, соrласно предыдущему параrрафу,
АВ 1  r СА 1 q ВС 1  Р
BIC P' AIB r' CIP q.
Псремножая эти пропорции, получаем требуемое соотношение (1).
 8. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ СТЕРЖНЯ
С мноrими rРУ3АМИ
Обобщим рассмотрения  6.
Представим себе теперь невесомый стержень (рис. 30) с
насаженными на Hero rрузами с весами Рl' Р2' . . · , Р n 11 по..
ставим задачу о нахождении центра тяжести этоrо стержня.
Кик 11 в  6, для решения задачи достаточно найти такую
точку о, что, если стержень подпереть в этой точке, он ока..
жется в равновесии. Вычислим абсциссу х такой точки опоры 1 ).
1) Под абсциссой ТОЧКИ на  стержне мы эдесь и в дальнейшем
бу leM понимать расстояние ОТ этой ТОЧКИ до lJeBoro конца стержня.
29

Пусть аБСЦIlсса rруза Р 1 равна а 1 , абсцисса rруза Р2 рав-
на а 2 и т. д.; Ilаконец, абсцисса rруза Р n равна а n . Предпо..
ложим (рис. 30), что точка опоры О нпходится между rруэзми
P k и Pk+l (при эrом не исключается случай, коrда один из
этих rрузов помещен как раз в О). Тоrда плечи сил Р 1 , ..., P k
будут равны соответственно х  а 1 , ..., х  a k , а плечи сил
Р k+ l' ..., Р n будут равны соответственно a k + 1 .......... х, ..., а n  х.
Так как стержень находится в равновесии, то сумма моментов
сил, закручивающих ero против часовой стрелки, должна быть
о, 02 аз ах Х aп2 аП1 Оп
 . . . · о . . . .
Р, Р2 Р З Р н 111 Р и +/ Pп2 Pп1 Р п
Рис. 30.
равна сумме моментов сил, закручивающих ero по часовой
стрелке, т. е.
Р 1 (х al) + ... +Pk(x  a k ) ===
=== Pk+l (a k + 1  х) + ... +Рп(а п  х).
Перенося члены, содержащие х, в левую часть, а остальные
в правую, имеем tJ
(Р 1 + ... +P k +Pk+l + ... +Рn)х ===
===Р 1 а 1 +... +Pkak+Pk+lak+l + ... + Рпа n .
Отсюда
х=== Рl а l + · . · + Рnаn
Рl + · · · + Рn ·
При м е р 1. Пусть Р 1 == 1, Р 2 ==: 2, ...., Р п == п; а 1 === 1,
а ! === 2, . . . , а n === n. В таком случае по вывеДНffоt1 формуле
Х=== 12 + 22 + · .. + n Z
1+2+...+n.
Чтобы вычислить это отношение, выпишем равенства
18 === (1 + О)' === 1',
28 == (1 + 1)' === 13 + 3. 1! + 3. 1 + 1,
33 === (2 + 1)3 === 23 + 3.22 + 3 .2+ 1,
. . . . i . . . . . . i . . . . .
(п + .1)3 === (п + 1)' === п 3 + 3. па + 3. п + 1.
30

Складывая эти равенства, получаем
13 + 23 + ... + (п + 1) === 1 + (13 + 23 + ... + п 3 ) +
+3 (1 2 +2 2 +...+п 2 )+3 (1+2+...+п)+п,
или
(п+ 1)3 === 1 + 3 (12 + 22 + ... + п!) +
+3(1+2+...+п)+п,
или
3 (1 2 +2 2 +...+п 2 )===(п+1) (п2+2п)
3 (1+2+...+n}r
на 3 (1+2+...+п). Тоrда получим
Разделим обе части
1 Z + 22 + ... + п 2 
1 + 2 + ... + п 
 (п + 1) (п 2 + 2п)  1
 3 (1 + 2 + ... + п) ·
В сумме 1 + 2 + ... + п столько
же единиц, сколько заштрихован
ных квадратиков на рис. 31. А
число этих заштрихованных KBaд
ратиков равно числу незаштрихо
ванных, Т. е. половине числа всех
квадратиков прямоуrольника, т. е.
п (п 2 + О " Поэтому





t::s

t::s


......

+
S
'-. -
п I1даор от икод
./
Рис. 31.
х=== 12 + 22 + ... + п 2
1 + 2 + ... + п
(1l + 1) (п 2 + 2п)  1 
3 (1 + 2 + ... + п) 
=== ( п + 1) (n Z + 2п)  1 === 2п + 1 .
3 п (п + 1) 3
2
Отсюда, между прочим, получаем, что
12 + 22 + ... + п 2 === 2п t 1 (1 + 2 + ... + п) ===
 2п + lп (п + 1) п (п + 1) (2п + 1)
 3 2 6
При м е р 2. Пусть те же rрузы, что и в примере 1, т. е.
rрузы с весами 1, 2, ..., п, расположены в точках с абсцисса..
ми 12, 22, ..., п 2 . Докажите, что абсцисса центра тяжести есть
п (п + 1)
2
31

(У к а з а н и е: воспользовавшись результатом примера 1,
'Вычислить сумму кубов 1 з + 2' + ... + п 3 .)
При м ер 3. Пусть в тех же точках, что и в примере 1, т. е.
13 точках с абсциссами 1, 2, ..., п, расположены rруз с весами
11, 22, ..., п'l. . Докажите, что абсцисса центра тяжести есть
3п(п + 1)
2(2п + 1) ·
 9. ОДНА ЗАДАЧА ИЗ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ (ФОРМУЛИРОВКА)
Механические соображения помоrают иноrда решать не
только ['еометрические, но и арифметические задачи. Один
довольно нео)киданный пример 1) TaKoro рода будет сейчас рас..
смотрен.
Возьмем строку из положительных чисел Рl' Р2' ..., Р n;
для Toro чтобы сократить ее длину, мы вычтем из крайних
членов Р 1 и Р n число Р, равное наименьшему из этих край..
них членов, а взамен прибавим Р к средним членам (если
средних членов  один, то оба числа Р прибавляются к
этому единственному среднему члену). При этом (если толь..
ко п>2) одно или два крайних числа обращаются в нуль, т. с.
уничтожаются; следовательно, полученная строка будет уже
'Короче первоначальной. Так, например, если первоначальная
строка имела вид
1, 9, 3, 4,
то мы получим строку
10,4,3.
Если первоначальная строка имела вид
6, 2, 6,
то мы получим строку, СОСТОЯЩУIО из одноrо числа, а именно
14.
Полученную более короткую строку будем называть «про
'IIЗЧОДНОЙ» от первоначальной. Таким образом, строка 10, 4, 3
является производной от строки 1, 9, 3, 4, а строка 14  про
нзводной от строки 6, 2, 6. Заметим, что для строки, состоя..
-щей из двух чисел, ее производная совпадает с ней самой.
Зададимся теперь какойлибо строкой а, и поступим сле..
дующим образом. Найдем производную этой строки, обозна..
1) Этот пример любезно сообщен автору Петром Серrеевичем
Новиковым.
32

чим ее а'. Далее найдем производную строку от строки а.'...
Эту новую строку обозначим а" и назовем второй производ
ной строки а. Производную от а" назовем третьей производ-
ной от а и обозначим а'" и вообще производную от (п  1 )й.
"'...'

n ШТРИХО8
производной назовем пй производной и обозначим а .
Поскольку' длина каждой следующей производной на ,одну или
две единицы меньше длины предыдущей, то, вычисляя после
довательно производные для строки а, мы придем, наконец,
к строке, длина KOTOpofi равна 1 или 2; эту строку мы наЗ0вем.
последней производной или характеристикой строки а. Так,
характеристикой строки 1, 9, 3, 4 будет строка 7, 10.
Заметим, что при переходе от строки к ее nроизводной.
сумма всех членов строки не меняется. Поэтому сумма всех.
членов характеристики равна сумме всех членов первоначаль
ной строки; в случае, коrда характеристика состоит из одно-
1.0 члена, ero величина как раз и равна этой сумме. Что же-
касается случая характеристики длины два, то мы научимся,
вычислять величины ее членов (не вычисляя всех промежуточ
ных производных) в следующем параrрафе. А теперь поставим.
общий вопрос о 1.'ом, коrда характеристика строки состоит ИЗ
ОДНОI'О, а коrда из двух членов. Попытаемся выяснить сперва,
как обстоит дело, путем «математическоrо эксперимента».
С этой целью вычислим характеристики нескольких строк типа
1, 2, 3, ..., п. Последовательные производные будем подпи...
сывать друr под друrом и подчеркивать средние члены:
Пример 1. а 1 2 3
, 4 2
а
Пример 2. а 1 2 3 4
(1.,' 3 4 3
" 10
а
Пример 3. сх. 1 2 3 4 5

а' 2 5 4 4
" 7 6 2
а

", 5 10
а
В. А. У спенск ий 33

Пример 4. а 1 2 3 4 5 6
а' 2 4 5 5 5

а" ,
4 9 5 3
а'" 1 12 8

а'''' 14 1
П."р и м е , 5. а 1 2 3 4' 5 6 1
а' 2 3 6 5 6 6
а" 3 8 1 6 4

а'" 8 13 6 1
а"" 1 14 1

а'"'' 28
Пример 6. а 1 2 3 4 5 6 1 8
а' 2 3 5 6 6 1 1

а" 3 5 10 6 1 5
а'" 5 13 9 1 2

а"" 3 13 13 7
а'"'' 16 16 4
а'''''' 12 24
flример 7. а 1 2 3 4 5 6 7 8 9
а' 2 3 4 1 6 7 8 8
а," 3 4 9 8 7 8 6
---
а'" 4 9 14 1 8 3
а'''' 1 9 17 10 8

а."'" 9 19 10 7
':1.,""" 2 26 17

а""'" 30 15
Приведенные примеры показывают, что характеристика
.строки, представляющей собой отрезок натуральноrо ряда,
:34

может состоять как из одноrо, так и из двух членов. Можно
подметить следующую закономерность: характеристика состоит
из одноrо члена, если п === 3k + 1 , а в противном случае 
из двух членов. При этом обнаруживается новая ИН:2ресная
особеННОСТJ-J: если характеристика состоит из двух членов, то
один из них вдвое больше друrоrо. Таким образом выявляется
следующая любопытная теорема:
Характеристика CmpOltU 1, 2, 3, ..., п состоит из
одноzо члена при п === 3k + 1 и из двух при п  3k или
п === 3k + 2; в последн,е.м случае одиfl из двух член,ов (первый
при п == 3k и второй при п === 3k + 2) вдвое больше apyzozo.
Эта теорема ,и будет доказана в следующем параrрафе;
при этом не бут забыт и более общий вопрос: для каких
строк характеристика состоит из одноrо, а для каких  из
двух членов (как определить это по числам Рl' Р", · · ., Рn,
невычисляя всех производных строк)?
 10. ОДНА ЗАДАЧА ИЗ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ (РЕШЕНИЕ)
Дадим наll1ей задаче новое, механическое истолкование.
Вместо строки чисел Р 1 , Р 2 , ..., Р п рассмотрим стержень
(рис. 32, а), наrруженный в точках А 1 , А 2 ,..., А п (таких,
(а) . . . .. . . .
Р, P 1 РЗ Рп-2 Р п -, Р п
(О) . Р : . . . . : Р
Р,-- р Р2 Р З Рп-2 PO' PпP
Рис. 32.
что А 1 А 2 == А 2 А з == · · · ==== Aп l А п) rрузами Р 1 , Р", · · ., Рn.
Тоrда производной строке отвечает новая система rрузов.
Покажем, что материаJIЬНЫЙ центр производной системы
rрузов совпадает с материальным центром первоначальной
системы. Расщепим мысленно каждый из крайних rрузов Рl и
Р п на два точечных rруза
Р 1 === Р+ (Р 1  Р), Р п === Р+ (Рn  Р),
rде Р  наименьший из rрузов Рl 11 Р n (так что по крайне[
мере один из rрузов Рl  Р и Рn  Р равен нулю). Тоrда
СlIстему rрузов (Х можно представить как объеДIlнение двух
СlIстем: системы (Х , состоящей из rрузов Р 1  Р, Р", ...
· . ., Рn  l' Р 1l  Р (изображена под стержнем на рис. 32, б), и
3* 35

системы а, состоящей из двух rрузов весом Р каждый (изобра
жена над стержнем на рис. 32, б). При переходе к производ"
ной системе rрузов все rрузы системы (Х остаются на своих
местах, а rрузы системы а сближаются, перемещаясь каждый
на одинаковое расстояние (чтобы прибавиться к средним чле..
нам!). Друrими словами, производная система (Х' является объе..
, , ,
.l!.инением двух систем (Х и (J., ИЗ которых система (Х совпадает
с системой (Х , а система а' получается из системы а сближе
нием обоих rрузов последней на одинаковое расстояние. По..
, 
скольку, очевидно, а и (J. эквивалентны, то в силу утвержде..
ния 111 из  5 эквиваленты и системы (Х и (Х'. А материаль
ные центры эквивалентных систем совпадают. J
Итак, при переходе от системы rрузов к ее ПРОIIЗВОДНОЙ
материальный центр (а значит, 11 центр тяжести) системы не
меняется. Следовательно, он не меняется и при переходе от
первоначальной системы к ее характеристике.
ТаКIIМ образом, характеристика  это один или два точечных
rруза, имеющих тот же центр тя)кести, что и первоначальная
система I'рУЗОВ. Заметим еще, что flОЛО}l(ения точечных rрузов,
составляющих характеристику, совпадают с положениями He
которых rрузов первоначальной системы, т. е. с какими"то из
точек AJ'...' Аn. Если характеристика содержит два rруза
то эти rрузы расположены в соседних точках, Aj и A j + 1 , а
центр тяжести характеРИСТI1КИ  между ними. Поэтому харак"
теристика тоrда и только тоrда состоит из одноrо ['руза, коrда
ее центр тяжести (или, что то же самое, центр тяжести перво
начальной системы) совпадает с одной из точек А 1 , . . ., Аn.
Соrласно  8 центр тяжести первоначальной СIlстемы Иlеет
абсциссу
Р.а 1 + Р2 а 2 +. . . + Р"а n
Рl + Р2 + . . . + Р1l
rде ар..., а n  абсциссы точек Ар..., Аn. Если принять,
что а}  1, а 2 == 2, . . . , а n == n, то абсцисса центра тяжести
выразится ФQРМУ лой
Рl . 1 + Р2. 2 + . . . + Рn . п
Р 1 + Р2 + . . · + Рn
Чтобы центр тяжести совместился с одной из целочисленных
точек А 1 , А 2 , . . . , Аn, необходимо и достаточно, чтобы ero
абсцисса выражалась целым числом. Отсюда вытекает оконча
тельно, что хараитеристииа строки Р 1 , Р.,..., Р п тozaa
и то лысо тоzда состоит из одноzо члена, Kozaa "':иС/lО
Рl. 1 +Р2. 2 +...+ Р n. п
Pl+P21...+Pn целое.
36

В частности, если Р 1 == 12, Р 2 == 22, . . ., Р п == п 2 , то (СМ. пример 3
Р) · 1 + Р 2 · 2 + . . . + р n · п 3п (п + 1)
из Э 8) число Р 1 + . . . + Рn равно 2 (2п + 1) . Это число
никоrда не является целым (за исключением тривиальноrо случая
Il == 1). Действительно" если бы Э10 число было целым, 10 было бы
3п (п + 1)
целым и число 4 2 (2п + 1) . А тоrда целым числом являлась бы
3п(п+l) пl
4 2(2п+l) (Зп+l)=== 2п+l .
и разность
п1
Но число 2п + 1 является целым лишь в случае п  1 == о. Итак,
при п > 1 характеристика строки 1, 4, 9, ..., п 2 Bcer да состоит из
двух чисел.
Если Рl === 1, Р2 === 2, . . ., Рn === n, то (см. пример 1 из  8)
P t .l+...+P n .n . 2п+l
значением выражения Р 1 + . . . + Рn служит число 3 .
+ 2п + 1
Если п === 3k 1, то число 3 === 2k + 1 целое и характе..
2п+ 1
ристика состоит из одноrо члена. Если п === 3k, то 3 ===
1 + 2п + 1 2
=== 2k + 3"; если п === 3k 2, то 3"--. === (2k + 1) + 3; в
2п+ 1
обоих последних случаях 3 не есть целое число и ха рак..
теристика состоит из двух членов. Этим доказана первая часть
теоремы, сформулированной в конце предыдущеrо параrрафа.
Если п === 3k, то центр тяжести системы rрузов 1, 2 , . . . , n
1
имеет, как только что показано, абсциссу 2k + 3" и, следова-
тельно, расположен между точками A 2k и A 2k + 1. Поэтому именно
в этих точках находятся rрузы, образующие характеристику
первоначальной системы. ПОСКОЛЬКУ центр тяжести оказался
вдвое ближе к точке A 2k , чем к точке A2k+ l' то из двух rpy"
зов характеристики тот, который раСПОЛО)l(ен в A 2k , вдвое
БОЛЫllе Toro'l который раСIIОЛО}l(ен в A 1?.L 1. Мы получим, таким
образом, что в случае п === 3k первый член характеристики
вдвое больше BToporo. Если теперь п === 3k + 2, то абсцисса
2
центра тяжести равна (2k + 1 ) + 3. Центр тяжести в этом
случае расположен между точками A 2k + 1 И A 2k + 2 , причем вдвое
ближе ко второй из этих точек. Поэтому rpy3 (характеристики),
расположенный во второй точке, вдвое больше rруза в первой
точке; друrими словами, второй член характеристики вдвое
больше первоrо. Тем самым теорема из  9 доказана полностью.
37

Сумма членов характеристики строки 1, 2, ..., п равна
п (п + 1)
сумме членов самой строки, т. е. 1 + 2 + · · · + п === 2
(СМ. пример 1 из 9 8). Зная, что один из членов вдвое больше
дрУI'оrо, мы можем вычислить и сами эти члены. Получаем
п(п+l) п(п+l)
для них следующие значения: 6 (меньший член) и 3
(больший член).
Окончательно, характеристика строки 1, 2, . . ., п имеет
следующий вид:
п(п+l) п(п+l)
3 6
п (п + 1)
2
п (п + 1) п (п + 1)
6 3
(если п === 3k),
(если lZ === 3k + 1),
(если п === 3k + 2).
в общем случае для вычисления характеристики строки Р 1 ,..., Р n
надо поступить следующим образом. Прежде Bcero найти число
 Р 1 · 1 + Р 2 . 2 + . . · + Рn. п
x Рl + Р2 +... +Р n ·
Если х целое, то характеристика состоит из одноrо члена, величина
KOToporo равна сумме Р 1 + Р 2 + . . . + Рn. Если х не целое, то надо
представить х в виде
х==у +z,
r де у  целое и О < z < 1. Характеристика в этом случае состоит из
двух чисел Ql и Q2' причем
Ql + Q2 == Р 1 + Pz + · · · + Рn.
(1)
Так как Ql и Q2 можно мыслить себе в виде rрузов, расположенных
в точках с абсциссами у и у + 1 и имеющих центр тяжести в точке с
абсциссой х, то (соrласно  5):
Ql 1  z
Q2  z
(2)
Решая совместно (1) и (2), находим Ql и Q2:
lz 1 lz
Ql == Z Q2 , ZQ2 == Z Q2 + Q2 == Ql + Q2 == Рl + · · · + Р т
Q2 == (Р 1 +. . · + Рn) Z, Ql == (Р 1 + . · . + Рn) (l  z). (3)
в качестве последнеrо примера найдем характеристик).' строки
3п (п + 1)
1, 4, 9, · · . ,n Z (п > 1). Мы уже видели, что в этом случае х == 2 (2п + 1)
и характеристика состоит из двух чисел. Чтобы вычислить члены
38

характеристики, надо сперва найти z. С этой целью положим
п == 4k + r, rде r == О, 1, 2, 3. Тоrда
 3п (п + 1) 3 (4k+r) (4k +r+ 1) 3k+ 2k +4kr +у +r 2
X2(2п+l) 2[2(4k+r}+I]  2 8k+2r+l .
3 2k 3k
Если r == О, то х == 3k + 2 8k + 1 == 3k + 8 k + 1 ; следовr-
3k v
тельно, z== 8k + 1 == 2п + l ' rде v==3k.
3 6k+2 k
Если у==1, то x==3k+2" 8k+з ==3k+l + 8k+3 ' следова
k v
тельно, z== 8k +3  2п + l ' rде v==k.
  3 10k+6 ' 7k+4
Если r  2, то х  3k + 2" 8k + 5  3k + 1 + 8k + 5 ' следо---
7k+4 v
вательно, Z== Sk+5 == 2n+l ' rде v==7k+4.
3 14k + 12 5k + 4
Если r == 3, то х == 3k + 2 8k + 7  3k + 2 + 8k + 7 ' следо..-
5k+4 . v
вательно, z == 8k + 7 == 2п + 1 ' rде v == 5k + 4.
Сумма членов характеристики равна 12 + 22 + . . . + п 2 ==
== п (п + 1(2п + 1) (СМ. пример 1 из  8). Члены характеристики BЫ
числяются по формулам (3):
Q п (п + 1) (2п + 1) п (п + 1) (2п + 1) v 1l (п + 1) v
2 == б . z == 6 2п + 1 == б
Q  п (п + 1) (2п + 1) (1  )  п (п + 1) (2п + 1) 2п + 1  v 
1  б z  б 2п + 1 .
п(1l + 1) (2п + 1  v)
6
Заменяя здесь п через 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3 и учитывая зависи...
мость v от k, получаем окончательно, что характеристика строки
1, 4, 9, . . ., п 2 имеет вид:
2k (4k + 1) (5k +,1)
3
(2k + 1) (4k + 1) (7k + 3)
3
k + 1) (2k + 1) (4k + 3)
3
2 (k + 1)2 (4k + 3),
2k 2 (4k + 1)
k (2k + 1) (4k + 1)
3
(2k + 1) (4k + 3) (7k + 4)
3
2 (k + 1) (4k + 3) (5k + 4)
3
(если п ' 4k),
(если п == 4k + 1),
(если п == 4k + 2)r
(если п == 4k + 3).
39

 11. НЕВО3МОЖНОСТЬ ВЕчноrо двиrЛТЕЛЯ
Рассмотрим какойнибудь выпуклый мноrоуrольник и точку О
1JНУТРИ Hero. Опустим из точки О перпендикуляры на CTO
OHЫ мноrоуrольника. Основания этих перпендикуляров MorYT
лежать как на самих сторонах (как, например, перпендикуляр,
-опущенный на сторону АВ на рис. 33), так и на продолжениях
-сторон (как перпендикуляры на стороны РА и ЕР на том же
чертеже). Может, конечно, случиться, что основания всех пер..
11ендиКуляров попадут на стороны (так будет, например, если
О есть" центр правильноrо мноrоуrольника). Спрашивается:
'может лп случиться, что основания всех перпендикуляров по
падут не на стороны, а на продолжения сторон? Оказывается,
что так' случиться не может, т. е. основание хотя б bt
<JдflОZО перпендиlуляра лежит на соответствующей сто..
с .D роне (а не на ее продолжении).
Для доказательства этоrо ут-
верждения используем принцип,
fj
Рис. 33.
Риr. 34.
.сформулированный, в заrлавии параrрафа. Представим себе наш
мноrОУl"ОЛЬНIIК в виде тонкой пластинки с центром яжести в
точке О (можно, например, считать, что вся пластинка HeBe
сомая, а в точке О находится точечный rруз). Поста-
ВIIМ мноrоуrольник ребром на rоризонтальный пол. Если
'мы поставим ero cTporo вертикально, то он не упадет;
если уrодно, можно считать, что он поддерживается с обоих
.боков перилами (рис. 34). Мноrоуrольник или останется стоять,
или покатится; если он покатится, то в конце концов он все
равно остановится (в противном случае мы получили бы вечный
двиrатель). в том положении, в котором он остановится, пер
пендику ляр из центра тяжести на ребро опоры обязательно
пересечет это ребро (в силу утверждения 11 из  5). Итак,
!\fbl нашли сторону мноrоуr'ольника, д.пя которой основание
перпендикуляра из О лежит на ней самой.
40

Аналоrичная теорема справедлива и для мноrоrранника..
Именно, пусть дан выпуклый мноrоrранник и точка О внутри.
Hero. Опустим из этой точки на плоскости всех rраней MHO
rоrранника перпендикуляры. Тоrда основание хотя бы одноzо'
uз этих перпендиlсуляров лежит на самой zpaHa (а Не на
ее продолжении).
Для доказательства представим себе мноrоrранник в виде
материальноrо тела с центром тяжести в о. (Будем, например,
считать весь мноrоrранник невесомым, а в точку О поместим
точечный rруз.) Поставим теперь наш мноrоrранник какойлибо,
ero rранью на rоризонтальный пол. Мноrоrранник либо OCTa
нется стоять в равновесии, либо покатится; в последнем
случае рано или поздно он опятьтаки остановится в равновесии.
Итак, у мноrоrранника существует положение, в котором он
неподвижно стоит на полу. Рассмотрим ту rpaHb, которая
является ero площадью опоры. В силу утверждения II из  5.
l1ерпендикуляр, опущенный из О на плоскость этой rрани, про...
ходит через самоё эту rpaHb. Мы нашли, та}{и образом, rpaHb
удовлетворяющую сформулированным в теоремс требованиям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Все задачи, которые мы разбирали, можно было бы решить 11
чисто математически. Однако не следует думать, что исполь
зование для реlI1ения математических задач механических co
ображений  просто иrра ума. Подобные методы имеют и исто
рическое, и практическое значение.
Еще Архимед применял законы равновесия к нахождению
площадей криволинейных фиrур; так, для вычисления площади
параболическоrо ceI'MeHTa (т. е. фиrуры, оrраниченной дуrой
параболы и стяrивающей эту дуrу хордой) он «подвешивал»
cerMeHT к плечу Рhlчаrа 1). Во все времена механические и физи
ческие соображеНIIЯ оказывали и оказывают существенное влияние
на получение математических результатов (если не в форме пря
Moro доказательства, то в качестве наводящих рассуждений 2).
Применение в математике законов механики  частный слу
чай общеrо приеl\lа, заКЛlочающеrося в обратном использовании
связи между явлениями природы и их математическим описанием.
Описать математически какоелибо явление  означает найти
формулы, позволяющие вычислять физичеСКIIС характеристики
этоrо явления (скорости, температуры, расстояния и т. д.),
или уравнения, реlllениями которых служат указанные xapaK
теристпки. Прямое использование математическоrо описания
состоит в том, что мы можем узнать численные значения xa
рактеристик, не наблюдая caMoro явления, а производя BЫ
числения по соответствующим формулам или решая COOTBeT
ствующие уравнения. Так поступать целесообразно тоrда, коrда
1) СМ. книrи: В. Ф. К а r а н, Архимед, М.  л., rостехиздат,
1949 и с. я. л у р ь е, Архимед, М.  л., изд. АН СССР, 1945.
 2) Д О б а в л е н и е 11 р И К орр е к т у р е. См. в этой связи
['лаву IX (<<Физическая математика») вышедшей недавно в русском
переводе книrи д. Пой а, Математика и правдоподобные рассужде
ния, М., ил, 1957.
42

само явление сложно, а ero математическое описание просто.
Можно, однако, поступить наоборот: вместо Toro, чтобы BЫ
ЧllСЛЯТЬ значения формул или решать уравнения, .осуществить
само явление опытным путем, измерить интересующие нас
характеристики и тем самым экспериментально получить зна
чения формул и решения уравнений. Такой путь целесообразен
тоrда, коrда мы имеем дело со сложными формулами или
трудно решаемыми уравнениями, описывающими, однако, явле
ния, которые сравнительно леrко осуществить.
dTOT принцип лежит в основе моделирования (т. е. иссле
дования физических процессов на моделях), при котором ocy
ществляется следующая схема: нужно изучить процесс А
(моделируемый); он описывается формулами и уравнениями Е;
одновременно Е служит описанием для процесса А' (моделирую
щеrо), осуществимоrо в лабораторных условиях; осуществляют
процесс А', тем самым находят значения формул и решения
уравнений Е и, следовательно, устанавливают нужные свойства
процесса А. О процессе А (а также о формулах 11 ypaBHC
ниях Е) rоворят, что он моделируется процессом А'. Прибавим
еще, что еСЛII два процесса описываются одними и теми же
формулами пли уравнениями, то в таком случае rоворят об
имеющей место между этими процессами аналоzии.
Простейшим лримером моделирования является изложенное
в  4 реlпение задачи Штейнrауза. Моделируемое явление A
хождение детей в школу; 1Iнтересующая нас характеристика 
затрачиваемое время. Это время является значением некоторой
формулы. Находится моделирующее явление А' (подвешивание
rрузов на нитях), для KOToporo значением этой же формулы
служит величина потенциальной энерrии. Последнее явление
ОСУLЦествляется экспериментально.
. I Метод моделирования имеет большое Ilрактическое значение!)
(в качестве модеЛИРУЮJЦИХ ИСПОЛhЗУЮТСЯ rлаВНhlМ образом
rидродинамические и электрические проuессы). В частности,
этот метод лежит R основе MHorllX ТIIПОВ так на]ываемых lIHTe
rрирующих машин; с пр.инuипом действия простейшей из них 
фрикционноrо интеrратора  мы сейчас познакомимся.
Пусть дана прямая р и' кривая [, лежащая по одну сторону
от этой ПРЯV10Й (рис. 35), причем каждый перпеНДIIl<УЛЯР к р
пересекает 1 не более чем в одной точке. Возьмем два таких
перпендикуляра АВ и CD и будем искать площадь S криво
1) СМ. статьи А. Н. К о л м о r о р о в а, Моделирование"'" л. и. r у-
т е.н м а хер а, Моделирование математическое, в 28M томе ВТО-
poro издания F ОJlЬшой Советской Энциклопедии.
43

линейной трапеции ABDC. С этой целью разобьем отрезок
на мелкие части точками
Х 1 === А, Х., Ха, ..., Х n , Х п + 1 === С
(на рис. 36 п == 6). В кая,дом из отрезков Х,. Х,.+ 1 выберем
тачку Т,., из которой восставим перпендикуляр до пересечения
1
д
с
fJ
Рис. 35.
с кривой 1 в точке Y i . Из каждой точки Y j проведем прямые,
параллельные р, до встречи с перпендикулярами, восставлен
ными в точках X i . Площадь S' ступенчатой фиrуры, заштрихо
У 6
Х 2
ввtlной на рис. 36, приближенно равна площади S криволиней--
НОЙ трапеции, причем тем ближе к площади последней, чем
мельче отрезки Х i Х,. + l' на которые разбито  основание АС.
44

Пусть длины отрезков Х 1 , Х 2 ' ..., Х N Х n + 1 равны соответ..
ственно CX 1 ' ..., сх n , а длины отрезков Tl У 1 ' . . ., Тn У n равны
соответственно у l' ..., у n. ТОI"да площадь S' равна
(%lУl+...+ СХ пУn. (1)
Рассмотрим теперь систему, состоящую из диска 1 и KO
Jlеса 11, прижатоrо своим ободом к диску 1 (рис. 37). Ко..
лесо 11 может перемеrцзться вдоль своей оси. Пусть в какой
то момент расстояние колеса 11 от центра О диска 1 равно у.
Рис. 37.
Повернем ДIIСК 1 на уrол сх (в раДllаннuй мере). Та, лежащая
на диске 1 точка, которая до поворота диска соприкасалась
с колесом 11, пройдет при этом дуrу, равную сху; такое же
расстояние пройдет и точка, лежащая на ободе колеса 11.
Колесо 11 повернется при этом на уrол . Поскольку при повороте
I<олеса 11 на уrол  точка eI'o окружности проходит дуrу T, rде
r  радиус колеса 11, то сху == r. Примем, что r == 1; тоrда  ==
 y .Если теперь установить колесо 11 на расстоянииу 1 от центра
О и повернуть диск на уrол СХр затем установить колесо 1I на
расстояние у 2 от центра О и повернуть диск на уrол СХ 2 и т. Д.,
наконец, установить колесо 11 на расстоянии Уn от центра О
и повернуть диск на уrол СХ n ' то суммарный уrол, на который
в резу лыате повернется колесо 11, будет численно равен Be
личине (1), т. е. ПЛОUJ,ади S' ступенчатой фиrуры, заштрихо"
ванной на рис. 36.
45

Нарисуем прямую р и кривую 1 на листе бумаrи (рис. 38).
Рассмотрим следующий механизм. Рейка укреплена на двух
колесиках, одно из которых катится по прямой р (так что рейка
постоянно перпендикулярна к этой прямой). На рейку насажен
движок, способный перемещаться вдоль рейки. В центре движ
ка укреплен штифт, конец KOTOPOI'O касается бумаrи. Пред
ставим себе, что рейка связана с диском 1 и колесом 11 сле
дующим образом: поворот колесика рейки вызывает поворот
диска 1 на тот же уrол; расстояние колеса 11 от центра диска О
равно в любой момент расстоянию центра движка от начала
рейки. Радиус колесика рейки примем равныч 1. Будем
Рис. 38.
оБВОД1lТЬ штифтом контур ступенчатой фиrуры, построен-
ной на рис. 38; прп этом рейка будет катиться вдоль пря
мой р, а движок перемещаться по рейке. Из сказанноrо
в предыдущем абзаце вытекает, что в результате колесо 11
повернется на величину, равную ПЛОЩ:JДИ s'. Чем мельче раз
биение на части отрезка АС, тем ближе ломаная, составля
lощая контур ступенчатой фиrуры, приближается к кривой 1
и тем ближе S' приближается к s. Если поэтому обводить
штифтом не ломаную, а самоё кривую 1, то колесо 11 повер
нется на величину, равную s. Поворот колеса 11 может pe
rистрироваться на специальной шкале.
Моделируемым процессом здесь является процесс измерения
площади криволинейной трапеЦИIl при помощи вычисления пло
щалей ступенчатых фиrур. Этот процесс описывается форму
ЛJЙ (1). Та же формула, как оказалось, описывает некоторый
.в.руrой процесс, связанный с фрикционным механизмом, изобра
женным на рис. 37. Это дает нам возможность моделировать
посредством указанноrо механизма формулу (1) 11 выражаеIЫЙ
ею процесс измерения площади.
46

Механические зналоrии привели нас, таким образом, к при
бору для вычисления площадей криволинейных фиrур (правда,.
фиrур особоrо вида  криволинейных трапеций 1)).
Заканчивая наше изложение, сделаем одно замечание принципиаль
Horo характера. Все рассуждения, основанные на ПРИВJIечении Mexa
нических соображений, MorYT показаться придирчивому читателю He
корректными. Уже первый, самый простой пример, разобранный в.
Э 1, способен вызвать возражения. Действительно, нить не есть
прямая (она имеет определенную толщину, и, если на нее посмотреть
в микроскоп, окажется довольно неправильной формы), так что фраза
«нить идет по прямой» не имеет точноrо смысла. Далее, в cTporoM
смысле нельзя rоворить о конце нити как о точке (да и само YTBep
ждение, что rруз прикреплен к нити в определенной точке, тоже
не является безупречным). Наконец, всякая реальная нить растяжи
ма, поэтому длина нити с rрузом больше длины нити без rруза..
Можно было бы привести MHoro критических замечаний подобноrо
рода, относящихся как к только что проведенному рассуждению,.
так и к аналоrичным рассуждениям, которые лежат в основе Bcero
изложения. Однако не следует думать, что все эти рассуждения тем
самым лишаются познавательной ценности. Мы считаем их не менее
убедительными, чем rеометрические доказательства. ДеJlО в том, что
все наши утверждения о нитях, rрузах и т. п. имеют лишь прибли..
зительный характер и выполняются тем точнее, чем более совершен
ными свойствами обладает взятый нами объект (нить, rруз, и т. п.).
В нашем случае некоторые утверждения (например, «нить идет по.
прямой») выполняются тем точнее, чем тоньше выбранная нить; в
таком случае rоворят, что эти утверждения выполняются для ceCKO
нечно тонкой нити. Друrие утверждения (например, что длины. нити
с rрузом и без rруза равны) выполняются тем точнее, чем менее
раСТЯ)l{има нить; в таком случае про эти утвержде ния rоворят, что они.
выполняются для абсолютно нерастяжимой нити. Ясно, что бесконеч
но тонких и абсолютно нерастяжимых нитей в природе не бывает.
Это такое же идеальное понятие, как, например, известное из школь
Horo курса понятие точки приложения силы; выводы, сделанные для
сил, приложенных в точках, выполняются реально тем точнее, чем
меНblпе повеРХНQСТЬ взаимодействия тел. Такой же идеализацией
является и понятие материальной точки; факты, установленные для
материальных точек, выполняются для реальных тел тем точнее, чем
меньше их объемы,
Хочется подчеркнуть здесь, что все понятия и законы механики
(как и вообще физики) связаны с идеализацией явлений природы;
поэтому уже школьник, быть может, не отдавая себе в том отчета,
сплошь и рядом сталкивается с подобными идеализациями. Возьмем,
1) Приборы, дающие площадь криволинейной трапеции при обводе
ее криволинейной стороны, называются интеrриметрами (см. Б. Н. Д е..
л о н е, Краткий курс математических машин, ч. 1, M. Л., rocTex..
издат, 1952). Приборы, дающие площадь произвольной фиrуры при.
полном обводе ее контура, называются планиметрами. О планиметрах
СМ. в упомянутой только что книrе Б. Н. Делоне и в книrе А. М. Лоп
шица, Вычисление площадей ориентированных фиrур, составляющей
20й выпуск настоящей серии.
47

'например, одно из начальных понятий механики  понятие равно..
MepHoro движения. Совершенно равномерных движений в природе
'не бывает (при тщательном измерении оказывается, что даже стрелки
aCOB движутся неравномерно). Однако в целом ряде случаев HepaBHO
'мерность столь мала, что ею целесообразно пренебречь; так и возни
кает понятие paBHoMepHoro движения. То же самое можно сказать
'о первом законе Ньютона: ведь тел, на которые не действуют друrие
iела, не бывает. Список подобных примеров можно было бы про
должать до бесконечности, они пронизывают всю физику.
Мы видим, таким образом, что механика оперирует, по существу,
'не с реаль ными, а с идеальными телами и процессами, такими, как
«тело, на которое не действуют друrие тела», «прямолинейное paBHO
мерное движение» и т. д. При этом мы обращаемся с этими идеаль
ными объектами как с реальными, т. е. так, как если бы они суще
ствовали в действительности.
Отметим, наконец, что механические абстракции (такие, как
мате риальная точка, невесомая бесконечно тонкая абсолютно Hepac
тяжимая нить и др.) ничем не отличаются по своей природе от reo
метрических абстракций (таких, как точка, прямая, плоскость и т. д.);
ведь точки, прямые и плоскости не существуют в природе в виде
реальных объектов, и реальный смысл утверждений, которые о них
делаются, состоит в том, что они выполняются тем точнее, чем больше
flзятые реальные объекты приближаются по своим свойствам к точкам,
ПРЯМЫМ, плоскостям и т. ,Д.

иена 75 ноп.
rОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИ3ИКО..МА ТЕМАТИЧЕСКОЙ . ЛИТЕРАТУРЫ
.
ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
I
I
I
1:
! '
БЫIl. 1. А. И. Маркушевич. B()..нpaTIlЫC JlО(.1сдоватеЛЫiОСТИ
Выл. 2. и. п. Натансон. ПрQстеЙUНiС .iJ.'lачи На максимум и
МИНИМУМ.
ВЫН. :{. и. с. Соминекий. 'CTO:! матсматичеСl<UЙ индукции.
ВЫВ. 4. А. и. МаРКУluевич. замечатJ)ыlсc I<РИ8ые.
ВЫН. 5. п. п. Коровкин. HepaBeHcfB.t.
Выл. 6. Н. Н. Воробьев. Числа ФиfJОJldЧЧИ.
Выл. 7. А. r. Курош. АJII'ебраИЧССIНIС vраВIIСlIlISlIlРОИЗВОЛЬНЫХ
степеней.
Ныл. 8. л. о. rеJIЬфОНД. PClIJellllC урав нений в нелых числах.
Вын. 9. А. и. Маркушевич. ПJIОЩ().'И и ло,'арифмы.
Выл. 10. А. с. Смоrоржевский. Метод координат.
Вып. 1). я. с. Дубнов. Ошибки В I'сометрических доказатель
c:r вах.
Вwп. ) 2. и. п. Натансон. Суммир()ваНltс t)ССКОНСЧIIО малых Be
ЛИЧИН.
Вып. 13. л. и. Маркушевич. Комплексные числа и конформ
вые отображения.
Вып. ]4. А. и. Фетисов. О доказательствах в lеометрии.
Вып. ]5. и. Р. Шафаревич. О решении ураRНСНИЙ высших CTe
неней.
Выл. 16. В. r. Шерватов. rиперболические функции.
Выл. 17. В. r. Болтянский. Что такое дифференцирование?
Вып. 18. r. М. Миракьян. Прямой круrовой цилиндр.
Выл. 19. л. А. Люстерник. Кратчайшие линии.
Вып.20. А. М. Лопшиц. ВЫЧИСJJение площадей ориентир()ван
ных фИI'Ур.
Вып.21. .1). и. rоловина и и. М. Яr",10М. Индукция в reOMeT
r ии .
Вып. :!2. В. 1"'. Болтянскии. Равновеликие 11 paBHO(OCTaBJleH
11 ые фИI'УРЫ.
Выл. 2:. А. ,с. Соорес.кttй.. О reoMeTp .ЛО9ачоrо.
Вып.24. Б. и. AprYHoB и л. А. Скорняков. Конфиrурацио":
lIые теорсмы.
Выв. 25. А. с. Смоrоржевский. J1инеЙН(t в l'еомеТрllческих по
("rрОIIИSlХ.
Вып.26. Б. А. Трахтенброт. АJ)j'ОРИIМhI и MaUHtllHOe решение
задач.
В:,III. 27. В. А. Успенский. Некоторые при..lОЖСНIIЯ механики
t< Мitтематике.
i;
I
I
,
!1
11
I
I
I
,.
,1
:i

i\
I
,1
!!
11
l'
ii
l'
11
,1
'1
\1
11
il
;;
,1
1I
1I
11
1.
I
I
I1
l'