/
Автор: Яворский Б.М. Детлаф А.А.
Теги: физика естественные науки общая физика справочник по физике
Год: 1965
Текст
Б.МЛВОРСКИЙ в АЛДЕТЛАФ
ААДЕТЛАф' СПРАВОЧНИК
------ по
3“ ФИЗИКЕ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ
СТУДЕНТОВ ВУЗОВ
Б. М. ЯВОРСКИЙ, А. А. ДЕТЛАФ
СПРАВОЧНИК
ПО ФИЗИКЕ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ
И СТУДЕНТОВ ВУЗОВ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1965
Scan AAW
53 (083)
Я 22
УДК 530 (083)
АННОТАЦИЯ
В справочнике даны определения всех
основных физических понятий, кратко сфор-
мулированы физические законы и сущность
описываемых ими явлений. В нем отражены
все основные разделы классической и со-
временной физики.
Математические знания, необходимые
для пользования справочником, не превы-
шают объема материала, приведенного в
«Справочнике по математике для инжене-
ров и учащихся втузов» И. Н. Бронштейна
и К. А. Семендяева.
Справочник рассчитан на инженерно-
технических работников, студентов и аспи-
рантов вузов и втузов, преподавателей
высшей и средней школы. Он может быть
использован также лицами, интересующи-
мися физикой.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................... 12
2.
3.
4.
13
13
18
20
ОТДЕЛ 1
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Глава 1. Кинематика материальной точки и абсолютно
твердого тела ...........................................
Предварительные понятия...............................
Скорость .............................................
Ускорение ............................................
Поступательное и вращательное движения абсолютно твердого
тела..................................................
5. Абсолютное, относительное и переносное движения......
6. Некоторые случаи сложения движений твердого тела ....
Глава 2. Динамика поступательного движения...............
1. Первый закон Ньютона................................
2. Сила................................................
3. Масса...............................................
4. Второй закон Ньютона................................
5. Третий закон Ньютона................................
6. Основной закон динамики поступательного движения....
7. Закон сохранения количества движения ...............
8. Движение тела переменной массы......................
9. Механический принцип относительности................
10. Закон всемирного тяготения...........................
II. Гравитационное поле .................................
12. Внешнее трение.......................................
13. Движение в неинерциальных системах отсчета...........
Глава 3. Работа и механическая энергия...................
Энергия ..............................................
Работа................................................
Мощность..............................................
Силовая функция ......................................
Механическая энергия.............................
Закон сохранения механической энергии ................
Удар..................................................
Глава 4. Динамика вращательного движения.................
Момент силы...........................................
Момент инерции .......................................
Момент количества движения........................
Основной закон динамики вращательного движения........
Закон сохранения момента количества движения..........
i*
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2.
3.
4.
5.
23
27
29
31
31
33
35
37
39
39
41
42
43
45
48
49
51
52
52
53
55
56
58
61
62
64
64
65
69
72
73
ОГЛАВЛЕНИЕ
6. Движение под действием нейтральных сил................. 75
7. Гироскоп ............................................... 79
Глава 5. Основы аналитической механики..................... 83
1. Основные понятия и определения........................ 83
2. Уравнения Лагранжа второго рода........................ 85
3. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона . . 86
4. Понятие о вариационных принципах механики.............. 90
5. Законы сохранения...................................... 91
Глава 6. Механические колебания ........................... 96
1. Основные понятия........................................ 96
2. Малые колебания системы, имеющей одну степень свободы . 100
А. Свободные колебания консервативной системы (100).
Б. Затухающие колебания (104). В Вынужденные колебания
3. ^1алые колебания системы с несколькими степенями свободы 108
А. Свободные колебания консервативной системы (108).
Б. Затухающие колебания (116). В. Вынужденные колебания
недиссипативной системы (117).
4. Колебания нелинейной системы, имеющей одну степень сво-
боды .................................................... 120
А. Основные определения (120). Б. Свободные колебания
консервативной системы (121). В. Свободные колебания дис-
сипативной системы (122). Г. Вынужденные колебания недисси-
пативной системы (124). Д. Вынужденные колебания диссипа-
тивной системы (125). Е. Автоколебания (126).
ОТДЕЛ II
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ
Глава I. Основные понятия.......................... 131
Глава 2. Законы идеальных газов.................... 137
1. Идеальные газы.......................................... 137
2. Смеси идеальных газов..................................... 139
Глава 3. Первый закон термодинамики......................... 149
1. Внутренняя энергия и энтальпия............................ 140
2. Работа и теплота......................................... 143
3. Теплоемкость............................................. 144
4. Первый закон термодинамики............................. 145
5. Простейшие термодинамические процессы идеальных газов . . 149
Глава 4. Второй и третий законы термодинамики............... 153
1. Обратимые и необратимые процессы .................... 153
2. Круговые процессы (циклы). Цикл Карно............... 155
3. Второй закон термодинамики.......................... 161
4. Энтропия....................................... 162
5. Основное соотношение термодинамики.................. 166
6. Характеристические функции и термодинамические потенциалы 167
7. Основные дифференциальные уравнения термодинамики . . . 172
8. Диаграмма s — Т .,..._.............................. 176
9. Многокомпонентные и многофазные системы. Условия термо-
динамического равновесия ............................... 180
10. Химическое равновесие ............................ . 187
11. Третий закон термодинамики 191
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Глава 5. Кинетическая теория газов........................ 192
1. Основное уравнение кинетический теории газов........... 192
2. Закон распределения молекул по скоростям Максвелла .... 193
3. Средняя длина свободного пробега молекул............... 197
4. Явления переноса в газах............................... 198
5. Свойства разреженных газов............................. 203
Глава 6. Элементы статистической физики................... 204
1. Введение.............................................. 204
2. Вероятность состояния системы. Среднее значение физических
величин................................................... 205
3. Распределение Гиббса.................................. 207
4. Закон равномерного распределения энергии по степеням
свободы................................................... 211
5. Распределение Максвелла — Больцмана................... 211
6. Квантовая статистика . •.............................. 213
7. Квантовые распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми—Дирака 214
8. Вырождение газов, подчиняющихся квантовой статистике . . 217
9. Теплоемкости одноатомных и двухатомных газов.......... 221
10. Статистический смысл второго начала термодинамики .... 225
11. Флуктуации........................................... 226
12. Влияние флуктуаций на чувствительность измерительных при-
боров .................................................... 229
13. Электрические флуктуации в радиоаппаратуре........... 230
14. Броуновское движение................................. 231
Глава 7. Реальные газы и пары ..................... 233
I. Уравнения состояния реальных газов.................... 233
2. Силы межмолекулярного взаимодействия в газах........ 235
3. Дросселирование газов. Эффект Джоуля — Томсона...... 237
4. Изотермы реальных газов. Пары. Критическое состояние
вещества.................................................. 238
5. Сжижение газов........................................ 240
Глава 8. Жидкости................................ 241
1. Общие свойства и строение жидкостей.................... 241
2. Свойства поверхностного слоя жидкости.................. 244
3. Смачивание. Капиллярные явления........................ 245
4. Испарение и кипение жидкостей.......................... 248
5. Свойства разбавленных растворов........................ 250
6. Сверхтекучесть гелия................................... 251
Глава 9. Кристаллические твердые тела..................... 253
1. Общие свойства и строение твердых тел................. 253
2. Тепловое расширение твердых тел....................... 256
3. Теплопроводность твердых тел.......................... 257
4. Теплоемкость твердых тел.............................. 261
5. Фазовые превращения твердых тел....................... 263
6. Адсорбция........................................... 266
7. Упругие свойства твердых тел.......................... 267
Глава 10. Аморфные вещества.................... 272
Глава 11. Полимеры............................ 277
1. Введение .............................................. 277
2. Распределение по молекулярным весам.................... 280
3, Геометрия линейных полимерных молекул.................. 280
4. Взаимодействия ближнего порядка........................ 282
&, Взаимодействия дальнего порядка 28э
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
6. Разбавленные растворы полимеров........................ 287
7. Кристалличность полимеров.............................. 288
8. Высокоэластичность резин............................... 290
ОТДЕЛ III
ОСНОВЫ ГИДРОАЭРОМЕХАНИКИ
Глава 1. Гидроаэростатика............................... 296
1. Введение............................................. 296
2. Гидроаэростатика..................................... 297
Глава 2. Гидроаэродинамика......................... 300
1. Основные понятия..................................... 300
2. Уравнение неразрывности.............................. 304
3. Уравнения движения жидкости.......................... 304
4. Уравнение энергии.................................... 311
5. Элементы теории размерностей и теории подобия........ 314
6. Движение тел в жидкости. Пограничный слой.......... 320
7. Движение жидкостей в трубах.......................... 323
ОТДЕЛ IV
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Глава I. Электростатика •..................................... 328
1. Основные понятия. Закон Кулона............................ 328
2. Электрическое поле. Напряженность поля.................... 329
3. Электрическое смещение. Теорема Остроградского — Гаусса
для потока смещения....................................... 334
4. Потенциал электростатического поля........................ 336
5. Проводники в электростатическом поле.......’.............. 342
6. Электроемкость............................................ 344
7. Диэлектрики в электрическом поле.......................... 346
8. Сегнетоэлектрики. Пьезоэлектрический эффект............... 353
9. Энергия заряженного проводника и электрического поля . . . 355
Глава 2. Постоянный электрический ток в металлах ... - 356
1. Основные понятия и определения....................... 356
2. Электронная теория проводимости...................... 358
3. Законы постоянного тока.............................. 362
4. Правила Кирхгофа..................................... 364
Глава 3. Электрический ток в жидкостях и газах .... 367
1. Проводимость жидкостей. Электролитическая диссоциация . . 367
2. Законы электролиза....................................... 368
3. Атомность электричества.................................. 369
4. Закон Ома для тока в жидкостях .......................... 370
5. Электропроводность газов.............................. 370
6. Несамостоятельный газовый разряд...................... 371
7. Самостоятельный газовый разряд........................ 372
8. Понятие о плазме . .'................................. 375
Глава 4. Электрический ток в полупроводниках............. 378
1. Собственная проводимость полупроводников............. 378
2. Примесная проводимость полупроводников............... 379
3. Явление Холла в металлах и полупроводниках........... 381
ОГЛАВЛЕНИЕ
I л а в а о. Контактные, термоэлектрические и эмиссионные
явления.................................................. 383
1. Контактные явления в металлах. Законы Вольты........ 383
2. Контактные явления в полупроводниках................ 385
3. Термоэлектрические явления в металлах............... 387
4. Термоэлектрические явления в полупроводниках........ 389
5. Эмиссионные явления в металлах...................... 389
Глава 6. Магнитное поле постоянного тока ........ 392
I. Магнитное поле. Закон Ампера........................ 392
2. Закон Био — Савара — Лапласа........................ 394
3. Простейшие магнитные поля токов..................... 396
4. Действие магнитного поля на проводники с токами. Взаимо-
действие проводников.................................... 402
5. Закон полного тока. Магнитные цепи.................. 403
6. Работа перемещения проводника с током в магнитном поле . 407
Глава 7. Движение заряженных частиц в электрическом
и магнитном полях........................................ 407
1. Сила Лоренца....................................... 407
2. Удельный заряд частиц. Масс-спектрография............ 409
3. Ускорители заряженных частиц......................... 410
4. Основы электронной оптики............................ 413
Глава 8. Электромагнитная индукция . ................... 418
1. Основной закон электромагнитной индукции............. 418
2. Вихревые индукционные токи.......................... 420
3. Явление самоиндукции................................ 421
4. Взаимная индукция. Трансформатор..................... 425
5. Энергия магнитного поля электрического тока......... 427
Глава 9. Магнитные свойства вещества.................... 428
1. Магнитные моменты электронов и атомов ................ 428
2. Классификация магнетиков.............................. 431
3. Диамагнетизм ......................................... 433
4. Парамагнетизм......................................... 433
5. Магнитное поле в магнетиках....................... • . 435
6. Ферромагнетизм...................................... 437
7. Сверхпроводимость..................................... 442
Глава 10. Электромагнитные колебания................... 445
1. Колебательный контур....................•........... 445
2. Вынужденные электромагнитные колебания.............. 448
з’ Электронные и полупроводниковые выпрямители и усилители 452
Глава 11. Основы электродинамики неподвижных сред 459
1. Общая характеристика теории Максвелла.................. 459
2. Первое уравнение Максвелла...................• .... 460
3. Ток смещения. Второе уравнение Максвелла............... 461
4. Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного
поля....................................................... 463
б. Решение уравнений Максвелла методом запаздывающих потен-
циалов .................................................... 464
6. Законы сохранения в электромагнитном поле.............. 466
7. Основные положения электронной теории. Система уравнений
Лоренца.................................................... 468
8. Усреднение уравнений микрополя......................... 469
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 12. Основы магнитной гидродинамики............ 471
1. Уравнения магнитной гидродинамики................... 471
2. Магнитогидродинамические волны...................... 475
3. Разрывы и ударные волны ............................ 477
Глава 13. Основы специальной теории относительности . 480
1. Принцип относительности Эйнштейна............... 480
2. Интервалы....................................... 481
3. Преобразования Лоренца и их следствия ........... 484
4. Преобразование скорости......................... 485
5. Четырехмерные скорость и ускорение.............. 486
6. Релятивистская динамика......................... 487
7. Понятие о преобразованиях Лоренца для электромагнитного
поля................................................ 490
8. Излучение Вавилова — Черенкова.................. 491
9. Явление Доплера в оптике .................. 492
ОТДЕЛ V
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
Глава 1. Основы акустики..................................
1. Введение..............................................
2. Скорость распространения звуковых волн (скорость звука) . .
3. Волновое уравнение......•.............................
4. Продольные синусоидальные волны.......................
5. Энергия акустических волн.............................
6. Отражение и преломление продольных акустических волн . .
7. Стоячие волны...........................................
8. Явление Доплера .... • . . .........................
9. Поглощение и рассеяние звуковых волн..................
10. Элементы физиологической акустики....................
11. Ультразвук...........................................
12. Ударные волны в газах................................
Глава 2. Электромагнитные волны................... . . . .
1. Общая характеристика •................................
2. Излучение Э1ектромагнитных волн.......................
3. Радиосвязь, телевидение и радиолокация................
494
494
495
496
499
502
504
508
511
511
513
515
517
522
522
529
532
Глава 3. Прохождение света через границу двух сред . . 535
1. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом .... 535
2. Отражение и преломление света диэлектриками........ 536
3. Поляризация света при отражении и преломлении...... 541
4. Основы металлооптики . .......................... 542
Глава 4. Интерференция света......................... 544
1. Когерентные волны................................ 544
2. Оптическая длина пути.............................. 547
3. Интерференция в тонких пленках..................... 548
Глава 5. Дифракция света............................... 551
I. Принцип Гюйгенса — Френеля......................... 551
2. Графическое сложение амплитуд вторичных волн....... 553
3. Дифракция сферических волн......................... 554
4. Дифракция плоских волн............................. 557
5. Дифракционные явления на многомерных структурах.... 563
6. Дифракция радиоволн................................ 565
7. Некоторые характеристики спектральных приборов ...... 566
ОГ ПА В.ПЕНИВ
9
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
2.
3.
4.
5.
6.
568
568
570
571
574
577
579
582
586
588
591
591
592
596
598
601
604
3.
4.
Глава 6, Геометрическая оптика............................
Основные положения.....................................
Плоское зеркало. Плоскопараллельная пластинка. Призма . .
Преломление и отражение на сферической поверхности . . .
Тонкие' линзы..........................................
Центрированные оптические системы .....................
Основные оптические приборы ...........................
Погрешности оптических систем..........................
Разрешающая способность оптических приборов ...........
Основы фотометрии......................................
Глава 7. Поляризация света.......................*.......
Способы получения поляризованного света ..............
Двойное лучепреломление ...............................
Искусственное двойное лучепреломление.................
Анализ поляризованного света. Эллиптическая и круговая
поляризация света.......................•..............
Интерференция поляризованных лучей . ..................
А. В параллельных лучах (601). Б. В сходящихся лучах (602).
Вращение плоскости поляризации.........................
Глава 8. Молекулярная оптика.............................
1. Дисперсия света.......................................
2. Спектральный анализ..............................
Поглощение света ......................................
Рассеяние света ... ...................................
Глава 9. Тепловое излучение..............................
1. Равновесное тепловое излучение ......................
2. Законы излучения абсолютно черного тела..............
3. Понятие об оптической пирометрии ....................
Глава 10. Действия света.................................
1. Фотоэлектрический эффект..........................
2. Эффект Комптона......................................
3. Давление света.......................................
4. Химические действия света............................
Глава II. Люминесценция..................................
1. Классификация процессов люминесценции................
2. Механизмы возбуждения люминесценции!.................
3. Законы люминесценции.................................
606
606
610
614
616
619
619
622
626
627
627
632
634
635
637
637
638
639
ОТДЕЛ VI
АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Глава I. Элементы нерелятивистской квантовой механики 642
1. Волновые свойства частиц. Волновая функция . . . • .... 642
2. Уравнение Шредингера . . .......................... 644
3. Соотношение неточностей Гейзенберга................ 645
4. Простейшие задачи волновой механики................ 647
А. Гармонический осциллятор (648 ). Б. Ротатор (650 ).
В. Движение в кулоновском поле (водородоподобный атом) (651).
10
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г. Движение в поле центральной силы (653). Д. Прохождение
частиц сквозь потенциальный барьер (656 ). Е. Движение
электронов в периодических полях (659).
б. Квантовые переходы .. •............................. 663
Глава 2. Атом.......................... 669
1. Атомы и ионы с одним валентным электроном.............. 669
2. Многоэлектронные атомы ................................ 676
3. Векторная модель атома................................. 681
4. Эффект Зеемана......................................... 685
5. Эффект Штарка в водородоподобных атомах................ 692
6. Принцип Паули. Периодическая система элементов ...... 693
7. Рентгеновские спектры................................ 699
Глава 3. Молекула........................................ 701
1. Ионные молекулы.................................... 701
2. Атомные молекулы..................................... 704
3. Электронные спектры молекул.......................... 708
4. Колебательные спектры молекул........................ 712
5. Вращательные спектры молекул ........................ 715
6. Электронно-колебательные спектры молекул............. 719
7. Вращательно-колебательные спектры молекул............ 720
8. Комбинационные спектры молекул....................... 722
9. Сплошные и диффузные спектры молекул................. 723
10. Молекулярная спектроскопия........................... 724
11. Ионизация атомов и молекул........................... 725
Глава 4. Атомное ядро............................. 727
1. Состав и размеры атомных ядер . .......................
2. Энергия связи ядер. Ядерные силы.......................
3. Магнитные и электрические свойства ядер..............
4. Модели ядра............................................
А. Капельная модель (737). Б. Оболочечная модель (738 ).
В. Обобщенная (коллективная) модель (741).
5. Естественная радиоактивность...........................
6. Альфа-распад...........................................
7. Бета-распад..........•.................................
8. Гамма-излучение........................................
9. Прохождение заряженных частиц и гамма-излучения через
вещество..................................................
10. Методы наблюдения и регистрации ионизирующих частиц и
квантов излучения .........................................
727
729
733
737
743
748
750
755
759
764
Глава 5. Ядерные реакции............................... 767
1. Основные понятия................................... 767
2. Общая классификация ядерных реакций................ 770
3. Физические основы ядерной энергетики............... 775
Глава 6. Элементарные частицы.......................... 779
1. Классификация элементарных частиц.......•........... 779
2. Частицы и поля..................................... 785
3. Космические лучи « 788
ОГЛАВЛЕНИЕ 11
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение I. Единицы измерения и размерности физи-
ческих величин в различных системах единиц........... 792
1. Единицы измерения механических величин. 792
2. Единицы измерения тепловых величин..... 799
3. Единицы измерения электрических и магнитных величин . 799
4. Единицы измерения уровня громкости звука...................... 809
5. Единицы измерения световых величин............................... 809
6. Некоторые единицы измерения в атомной и ядерной физике 810
Приложение И. Универсальные физические постоянные . . 810
Литература......................................................................... 813
Предметный указатель............................................................ 823
ПРЕДИСЛОВИЕ
В предлагаемом справочнике по классической и со-
временной физике даны определения физических понятий,
кратко сформулированы физические законы и законо-
мерности и приведены необходимые разъяснения.
Справочник рассчитан на достаточно широкий круг
читателей: инженерно-технических работников, не спе-
циализирующихся в какой-либо области физики, студен-
тов и аспирантов вузов и втузов, преподавателей высшей
и средней школы. Он может быть также использован
лицами, интересующимися физикой.
Математические знания, необходимые для пользования
справочником, не превышают объема материала, приве-
денного в «Справочнике по математике для инженеров
и учащихся втузов» И. Н. Бронштейна и К'. А. Семен-
дяева. Это в известной мере ограничило уровень изло-
жения тех вопросов, где требуется знание тензоров,
операционного исчисления и т. д. В связи с этим в спра-
вочнике опущены вопросы, связанные с тензорным
характером некоторых физических величин, а также ряд
других вопросов.
Ограниченный объем справочника не позволил вклю-
чить в него экспериментальные методы исследований,
описание опытов и приборов и другой эксперименталь-
ный материал, который, по нашему мнению, должен
составить содержание специального справочника по
экспериментальной физике.
Главы 10 и 11 отдела II написаны Т. Н. Хазановичем;
§ 4 главы 6 отдела I написан Я. Г. Пановко.
Авторы выражают глубокую благодарность редак-
тор} книги К. П Гурову за весьма ценные советы и
указания.
ОТДЕЛ I
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
ГЛАВА 1
КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Предварительные понятия
Г Механикой называется наука о простейшей форме
движения материи — механическом движении, которое
состоит в изменении взаимного расположения тел или их
частей в пространстве с течением времени. Телами назы-
ваются макроскопические системы, состоящие из очень
большого числа молекул или атомов, так что размеры
этих систем во много раз больше межмолекулярных рас-
стояний. В классической механике рассматриваются меха-
нические движения тел, происходящие со скоростями,
много меньшими скорости света в вакууме. Исследова-
ние движений тел, скорости которых соизмеримы со ско-
ростью света, является предметом релятивистской меха-
ники, основанной на теории относительности (стр. 487).
Специфические особенности движения микрочастиц рас-
сматриваются в квантовой (волновой) механике (стр. 642).
Микрочастицами называются частицы, массы покоя
(стр. 487) которых соизмеримы с массами покоя атомов
или меньше их.
2° Вопросы внутреннего строения тел, природы и зако-
номерностей их взаимодействий выходят за рамки меха-
ники, составляя содержание других разделов физики.
В зависимости от свойств тел и постановки задачи
в классической механике используются различные при-
ближенные модели реальных тел: материальная точка,
абсолютно твердое тело и др.
3° Материальной точкой называется тело, размеры
и форма которого несущественны в рассматриваемой
задаче. Например, изучая движение планет вокруг Солнца,
их можно считать материальными точками, так как раз-
меры планет во много раз меньше их расстояний до Солнца
14 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЕН. ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА (1.1
Системой материальных точек или тел (механи-
ческой системой) называется мысленно выделенная срво-
купность материальных точек или тел, которые в общем
случае взаимодействуют как друг с другом, так и с телами,
не включенными в состав этой системы.
4° Абсолютно твердым телом называется тело, рас-
стояния между любыми двумя точками которого посто-
янны. Иначе говоря, размеры и форма абсолютно твер-
дого тела не изменяются при его движении. Всякое
твердое тело можно мысленно разбить на достаточно
большое число элементарных частей так, чтобы размеры
каждой из них были много меньше размеров всего тела.
Поэтому абсолютно твердое тело часто рассматривают
как систему материальных точек, жестко связанных друг
с другом.
5° Классическая механика состоит из трех основных
отделов: статики, кинематики и динамики. В статике
исследуются законы сложения сил и условия равновесия
твердых, жидких и газообразных тел. В кинематике
изучается механическое движение тел вне связи с опре-
деляющим его взаимодействием между телами. В дина-
мике рассматривается влияние взаимодействия между
телами на их механическое движение.
6° Системой отсчета называется совокупность вза-
имно неподвижных тел или частей одного и того же тела,
по отношению к которым рассматривается движение
исследуемого тела. С системой отсчета жестко связывает-
ся какая-либо система координат. В механике, в основ-
ном, применяются следующие системы координат: правая
декартова прямоугольная (рис. I. 1 1, а), цилиндрическая
(рис. I. 1. 1, б) и сферическая (рис. I. 1. 1, в). Формулы
перехода от декартовых координат к цилиндрическим и
I. 1.1] ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ 15
обратно имеют вид:
р = V X2 X = р COS ср,
ср == arctg , у = р sin ср,
Z = 2, Z = Z,
а от декартовых координат к сферическим и обратно:
г = у^х2 -j- у2 z2, х = г sin ft COS ср,
ср = arctg , у = г sin & sin ср,
ft = arctg , г = r cos ft.
7° Числом степеней свободы тела называется число
независимых координат, полностью определяющих поло-
жение тела по отношению к системе отсчета. Материаль-
ная точка, свободно движущаяся в пространстве, обла-
дает тремя степенями свободы, соответствующими трем
ее пространственным координатам.
Связями (механическими связями) называются огра-
ничения, налагаемые на движение в пространстве рас-
сматриваемого тела в результате действия на него
со стороны других тел.
Материальная точка, движение которой в силу нало-
женных на нее связей может происходить только вдоль
какой-либо определенной поверхности или линии, обла-
дает соответственно двумя и одной степенями свободы;
три ее пространственные координаты должны удовлетво-
рять уравнению этой поверхности или линии, т. е. не
все они являются независимыми.
Уравнениями связей называются соотношения меж-
ду координатами точек тела и их производными по вре-
мени, обусловленные связями.
Связи называются голономными, если соответствую-
щие им уравнения не содержат производных от коорди-
нат или могут быть приведены к такому виду путем инте-
грирования. В противном случае связи называются него-
лономными. Если уравнения связей не содержат явно вре-
мени, то связи называются стационарными.
Примером стационарных голономных связей является
постоянство расстояний от любой из точек твердого
тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, как до оси
16 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЕН. ТОЧКИ Т! ТВЕРДОГО ТЕЛА [1.1
вращения, так и до произвольной неподвижной плоско-
сти, перпендикулярной к этой оси.
8° Движение материальной точки полностью задано,
если указан однозначный закон изменения во времени t
ее пространственных координат qu q2 и q$ (декартовых,
цилиндрических или каких-либо других):
<71 = <1(0, <2 = <2(0, 4з = <7з(0-
Эти уравнения эквивалентны одному векторному урав-
нению:
г = г (0,
где г — радиус-вектор, соединяющий начало координат
с движущейся точкой М (qh q2j <з)« Если прямоугольные
декартовы координаты точки М равны х, у, г, то
г = xi + yj + zk,
где i, j и k — единичные векторы (орты), совпадающие
с положительными направлениями соответственно осей Ох,
Оу и Oz, а векторы xi, yj и zk — составляющие (компо-
ненты) вектора г вдоль этих осей.
Обозначения в механике производных по времени
от радиус-вектора г и координат qlt q2, qs движущейся
точки:
’ С?2Г
= -^ги т-
•• d*q.
= т- д-
• dr
• dq.
<Н = -аГ'
9е Траекторией называется линия, описываемая дви-
жущейся точкой в пространстве. Уравнения ^ = ^(/),
где i= 1, 2, 3, выражают уравнение траектории в пара-
метрической форме. Решая их совместно и исключая
из них параметр /, можно найти связь между коорди-
натами точек пространства, через которые проходит
траектория:
Pi (qi, qt, qi) = О, Fs (gt, <?2, <?3) = 0.
Пример. Движение точки удовлетворяет условиям:
х = a sin у = b cos со/, z — с sin со/, где а, b и с — отличные
от нуля постоянные, а сог^О. Исключая время /, находим:
х2 I V2 1 а
^ + ^=1 и X=TZ-
Траектория точки — линия пересечения этих двух поверх-
ностей.
1.1.1]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
17
10° Геометрическая форма траектории зависит от вы-
бора системы отсчета. Например, если по отношению
к диску, равномерно вращающемуся вокруг неподвижной
оси, материальная точка равномерно движется вдоль
одного из его радиусов, то по отношению к оси траекто-
рия этой точки представляет собой спираль Архимеда.
В зависимости от формы траектории различают прямо-
линейное и криволинейное движения точки. Движение
точки называется плоским, если все участки ее траекто-
рии лежат в одной плоскости. Обычно эту плоскость
принимают за координатную плоскость z = 0, тогда пло-
ское движение точки полностью определяется зависи-
мостями от времени двух ее декартовых координат
х и у или полярных координат р и ср.
11° Длиной пути s называется сумма длин всех уча-
стков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый
промежуток времени от t0 по t. Если уравнения движе-
ния (стр. 16) заданы в декартовых прямоугольных коор-
динатах, то
>=S/(ST+®’+(£)'“=
*0
/
= J /x2+J>2 + 22 dt\
to
в цилиндрических координатах
to
t
= $ V р2 + (р?)2 + ^2 de,
to
в сферических координатах
s-S Г+ =
to
t
= J Vг2 + (Hi)2 4- (г ср sin &)2 dt.
to
2 Б. M. Яворский, А. А. Детлаф
18 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬН. ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА (1.1
Положение движущейся точки в некоторый фиксиро-
ванный момент времени t = Zo называется ее начальным
положением. В силу произвольности начала отсчета
времени обычно полагают t0 = 0. Длина пути, пройден-
ного точкой из’начального положения, является скаляр-
ной функцией времени: s = s (Z).
2. Скорость
Г Скоростью (или мгновенной скоростью) называется
векторная величина V, равная первой производной по вре-
мени от радиус-вектора г движущейся точки:
Скорость направлена по касательной к траектории
в сторону движения точки и численно равна первой
производной от длины пути по времени:
Проекции скорости vx, vy и vz на оси прямоуголь-
ных декартовых координат равны первым производным
по времени от соответствующих координат движущейся
точки:
= vz = i.
Отсюда
v = jfi + j>j + zk, v = /x2+^24-z2.
В цилиндрических координатах v = У P8 + (p?)2 + & »
в сферических координатах v = ]Л^2 +(r&)2 + (r^ sin &)2.
2° В случае плоского движения, заданного в поляр-
ных координатах, скорость v точки М (р, <р) можно разло-
жить на две взаимно перпендику-
* лярные составляющие — радиальную
скорость vp и трансверсальную
VA скорость v<p (рис. I. Г.2):
р V = Vp + v<p,
__ х причем
Рис. 1. 1.2. VP = V₽’ =
где р — полярный радиус-вектор, проведенный из полюса Q
1.1.2]
СКОРОСТЬ
19
в точку Л4, а к—единичный вектор, направленный пер-
пендикулярно к плоскости движения точки таким об-
разом, что из его конца вращение радиус-вектора р
в сторону увеличения угла ср видно происходящим про-
тив часовой стрелки. Численные значения радиальной
и трансверсальной скоростей точки равны алгебраиче-
ским значениям проекций ее скорости v на направления
соответственно радиус-вектора р и прямой, проведенной
перпендикулярно к р в сторону возрастания угла ср:
= Р. = Р?‘
Пример. Движение точки задано уравнен иями:
х = at cos bt, у =at sin bt и z = 0, где а и b— постоянные
коэффициенты. В полярных координатах уравнения движе-
ния точки будут: р = а£ и ср = bt. Следовательно, р =а, у=Ь,
vp = a, v<p = abt и v = Уvp2 + »<р2 = а У1 + •
3° Движение точки называется равномерным, если
численное значение ее скорости не зависит от вре-
мени (v = const). Длина пути, пройденного равномерно
движущейся точкой, является линейной функцией вре-
мени:
s = v (t —10).
4° Средней скоростью точки в промежутке вре-
мени от t до t + kt называется скалярная величина vcp, рав-
ная отношению длины пути Да, пройденного точкой
за этот промежуток времени, к его продолжитель-
ности Д/:
v {t = = 5 « + Д') - * (0
Vcp (t, at; — д/ — д/
В пределе при &t — 0 средняя скорость совпадает
с численным значением v скорости точки в момент вре-
мени t:
lim о (t, Ы)= lim = v (t).
AZ —0 р AZ —0 dl
В случае равномерного движения trcp = v.
Вектором средней скорости точки vcp в проме-
жутке времени от t до t + Д/ называется отношение
приращения Дг радиус-вектора точки за этот промежу-
ток времени к его продолжительности Д£:
v U ДП = — = г (/ + др - г (Z)
vcptb ^2 — д/ — д/
2*
20 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЫ! ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА |1.1
В пределе при М—*0 вектор средней скорости совпадает
с вектором скорости точки в момент времени t:
lira vcp (t, Ai) = Um = v (t).
При равномерном прямолинейном движении точки
vcp = v. Модуль вектора vcp совпадает со средней ска-
лярной скоростью только в тех случаях, когда точка
движется прямолинейно с неизменной по направлению
скоростью V. Во всех остальных случаях I vcp | < »ср.
5° Секториальной (секторной) скоростью точки по от-
ношению к какому-либо полюсу называется скалярная
величина а, равная первой производной по времени
от площади S поверхности, описываемой радиус-вектором
этой точки, проведенным из полюса:
dS I • / ч
о = — = - г» sin (г, V),
где г и v — радиус-вектор и скорость точки, а г и v —
модули этих векторов. Если движение точки происходит
в плоскости, а полюс совпадает с началом прямоугольной
декартовой системы координат х(2у, взятой на этой пло-
скости, то
а=4 (xv v—wx)=4 ра<ь
где р и <? — полярные координаты точки.
3. Ускорение
Г Ускорением (или мгновенным ускорением) назы-
вается векторная величина w, характеризующая быстроту
изменения скорости движущейся точки и равная первой
производной от скорости по времени:
dv . d3r
w=57=v или w = ^=r
Вектор ускорения лежит в соприкасающейся пло-
скости, проходящей через главную нормаль и касатель-
ную к траектории, и направлен в сторону вогнутости
траектории.
Проекции wx, wy, w2 ускорения на оси прямоуголь-
ной декартовой системы координат равны:
— = = wz—vz=2.
1.1.3] УСКОРЕНИЕ 2t
Отсюда
w = ^i4 jlj + ^k,
lw|=w = K^2+^+^a-
В цилиндрических координатах
и/= /(р — Р^/8 4- (р? + 2р<р)2 + ^ .
В сферических координатах
w = [(г — гр2 sin2 & — М2)2 + (2г<р sin ft + rep sin & +
-|- 2 г&ф cos ft)2 + (2г ft + г ft — г?2 sin & cos ft)2]1/s.
2° В случае плоского движения, заданного в поляр-
ных координатах, ускорение w точки Л4 (р, ср) можно
разложить на две взаимно перпендикулярные составля-
ющие — радиальное ускорение wp и трансверсальное
ускорение (рис. I. 1. 3):
w = wp + w(p,
радиального и
причем
Wp = (p — р?2) W? = (p? +2 рф)[к
где смысл векторов р и к такой же, как в формулах
для vp и vT (стр. 18). Численные значения
трансверсального ускорений точки
равны алгебраическим значениям
проекций ее ускорения w на на-
правления соответственно полярного
радиус-вектора р и прямой, прове-
денной перпендикулярно к р в сто-
рону возрастания угла ср:
Wp=p—ру2, ®т = ру + 2р^.
Пример. Движение точки за-
дано в полярных координатах урав-
нениями: р = а-|"^> ? = где а, b и с — постоянные
коэффициенты;
р=&, <р == с и р=ср
Следовательно,
w.
0.
?{a+bt\ w^ = 2bc
и
w = 2 4 = c y es (a+ b№ 4 '4 b*
22 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЕН. ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА [1.1
3° В соприкасающейся плоскости, проведенной в про-
извольной точке траектории, вектор ускорения w можно
разложить на две взаимно перпендикулярные составля-
ющие wn и wx: w = wn 4- wT.
Составляющая wn, направленная вдоль главной нор-
мали к траектории, называется нормальным ускорением,
а составляющая wT, направленная вдоль касательной
к траектории, называется касательным ускорением. Их
численные значения равны:
wn = и Wx= V,
к
так что
w = )/w„2 + wT2 ($)*+ tfS>
где v— численное значение скорости, a R — радиус* кри-
визны траектории. Нормальное ускорение wn всегда на-
правлено к центру кривизны траектории.
4° Движение точки называется ускоренным, если чис-
ленное значение ее скорости возрастает с течением вре-
мени, т. е. шт>0. Движение точки называется замедлен-
ным, если численное значение ее скорости убывает с те-
чением времени, т. е. wx < 0. В случае равномерного
движения и/т = 0. При ускоренном движении вектор wT
совпадает по направлению с вектором v скорости дви-
жения точки, а при замедленном он направлен в сторону,
противоположную направлению вектора V. Величины wx
и wn характеризуют быстроту изменения соответственно
численного значения и направления скорости движу-
щейся точки. Движение, в котором численное значение
касательного ускорения постоянно, wx = const, назы-
вается равнопеременным
5° Средним ускорением точки в промежутке времени от£
до t + Д£ называется вектор wcp, равный отношению при-
ращения Ду скорости v точки за этот промежуток вре-
мени к его продолжительности Д£:
В пределе при -* 0 среднее ускорение совпадает
с мгновенным ускорением в момент времени t:
lim wcp (t, M) = lim — w (t).
Д/ - 0 и Д/ -* 0at
1.1.4]
ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
23
4. Поступательное и вращательное движения
абсолютно твердого тела
Г Поступательным называется такое движение аб-
солютно твердого тела, при котором любая прямая,
жестко связанная с телом, перемещается параллельно
самой себе. Все точки тела, движущегося поступательно,
в каждый момент времени имеют одинаковые скорости
и ускорения, а их траектории полностью совмещаются
при параллельном переносе. Поэтому кинематическое
рассмотрение поступательного движения абсолютно твер-
дого тела сводится к изучению движения любой его
точки. В самом общем случае поступательно движущееся
твердое тело обладает тремя степенями свободы.
2° Движение абсолютно твердого тела, при котором
две его точки А и В остаются неподвижными, называ-
ется вращением (вращательным движением) вокруг не-
подвижной прямой АВ, называемой осью вращения. При
вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все
его точки описывают окружности, центры которых ле-
жат на оси вращения, а плоскости—перпендикулярны
к ней. Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, обла-
дает одной степенью свободы: его положение полностью
определяется заданием угла
ср поворота из некоторого
начального положения.
3° Угловой скоростью
вращения твердого тела на-
зывается вектор со, числен-
но равный первой произ-
водной от угла поворота по
времени,
ш _dcp|= д
at ‘
и направленный вдоль оси
вращения таким образом,
чтобы из его конца враще-
ние тела было видно проис-
Рис. I. 1.4.
ходящим против часовой стрелки (рис. 1. 1. 4). Направле-
ние вектора совпадает с направлением поступательного
движения буравчика, рукоятка которого вращается вместе
с телом (рис. I. 1. 4).
4° Линейная скорость v произвольной точки М. вра-
щающегося тела определяется по формуле Эйлера
24 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЫ!. ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА [1.1
(рис. 1. 1. 5):
V = [<ог],
где г — радиус-вектор, проведенный в точку М из про-
извольной точки О оси вращения тела. Численное зна-
чение v линейной скорости точки М прямо пропорцио-
нально ее расстоянию У? от оси вращения:
v = tor sin а = со7?.
Проекции vx, vy и vz вектора v на
оси прямоугольной декартовой системы
координат связаны с проекциями на эти
оси векторов и г следующими форму-
лами:
Vx = to yZ — со>у/, Vy = <HZX — toxZ,
Vz = (ЛХУ — (HVX.
Рис. i. 1.5. 5° Периодом обращения Т тела назы-
вается время,. в течение которого тело
поворачивается вокруг неподвижной оси вращения
на угол ср = 2 л:
1
to dt — 2 тс.
oJ
Число оборотов п, совершаемое телом за единицу
времени, равно
।
п = ~ (со dt.
2-я J
О
6° Движение абсолютно твердого тела, при котором
одна из его точек остается неподвижной, называется вра-
щением вокруг неподвижной точки (центра). Это движе-
ние в каждый момент времени можно рассматривать
как вращение вокруг мгновенной оси вращения, прохо-
дящей через неподвижную точку. Положение мгновен-
ной оси вращения непрерывно изменяется как по отно-
шению к системе отсчета, связанной с самим вращаю-
щимся телом (подвижная система), так и по отношению
к неподвижной системе отсчета, связанной с окружаю-
щими его неподвижными телами. Уравнения мгновенной
оси вращения в векторной и скалярной формах имеют
1.1.4]
ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ГЕЛА
25
вид:
v = [tor] = О,
где со — векторная, ых, <оу и <&г— скалярные функции
времени t. Исключив из последнего уравнения параметр t,
получают уравнение аксоида—поверхности, описываемой
в пространстве мгновенной осью вращения.
Тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, обла
дает тремя степенями свободы: его положение относи
тельно неподвижной систе-
мы отсчета полностью опре-
деляется заданием трех ко-
ординат (например, двух
направляющих косинусов
лакой-либо оси, проходящей
через неподвижную точку
тела и жестко связанной
с ним, а также угла пово-
рота тела вокруг этой оси).
В качестве независимых ко-
ординат обычно выбирают
три угла Эйлера ф, 0 и ср
(рис. I. 1. 6). Ох, Оу и Oz —
оси неподвижной прямоугольной правой декартовой си-
стемы координат; Ох’, Оу' и Oz’ — оси аналогичной по-
движной системы координат;!, j, к и i', j', к’ — единичные
векторы координатных осей; О — неподвижный центр; ли-
ния ON пересечения плоскостей хОу и х’Оу’ называется
линией узлов. Линия узлов перпендикулярна к плоскости
zOz't а единичный вектор п, определяющий положительное
направление на линии узлов, совпадает по направлению
с векторным произведением [kk'], т. е. тройка векторов
к, к' и п имеет ту же ориентацию, что и орты коорди-
натных осей.
Угол ф между осями Ох и ON называется углом пре-
цессии. Угол 0 между осями Oz и Oz' называется углом
нутации. Угол <р между осями ON и Ох'называется углом
чистого вращения. Углы ф, 0 и ср отсчитываются в напра-
влениях, которые определяются правилом правого винта,
т. е. соответствуют изображенным на рис. 1. 1. 6 направ-
лениям вращения вокруг осей: Oz — для угла ф, ON — для
угла 6 и Oz' — для угла ср. Углы * Эйлера изменяются
26 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЕН. ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА 11.1
в следующих пределах:
О ф 2тс, 0 0 тс, 0 2тс.
Проекции вектора <о угловой скорости тела на оси
неподвижной* (%, у, z) и подвижной (х', y't z') систем ко-
ординат удовлетворяют кинематическим уравнениям
Эйлера для твердого тела:
(лх = 0 cos ф + ф sin 0 sin ф,
= 0 cos ср + Ф sin 0 sin ср,
< Оу = 0 sin ф — ф sin 0 cos ф,
< оу = — 0 sincp -|- Ф sin 0 cos ср,
(Л2 = ф -|- ф COS 0,
< O£»Z = ср —р ф COS 0.
7° Угловым ускорением называется вектор в, равный
первой производной от вектора угловой скорости по вре-
мени:
Угловое ускорение характеризует быстроту изменения
во времени вектора угловой скорости тела. При враще-
нии вокруг неподвижной оси направление вектора со
сохраняется и
е = = = 3
dt dt*
причем вектор е совпадает по направлению сов случае
ускоренного вращения (е = >0) и противоположен
ему по направлению в случае замедленного враще-
. da) _
ния (е = < 0).
Линейное ускорение произвольной точки М (г) вра-
щающегося тела равно
W = 57 I <°г1 = +1®I«*]).
8° Вектор wBp = [sr], направленный перпендикулярно
к плоскости, образуемой векторами виг, называется вра-
щательным ускорением. Вектор wu = [<o[wr]j, перпенди-
кулярный к оси вращения и направленный от точки М к
оси, называется осестремительным ускорением. В случае
вращения тела вокруг неподвижной оси векторы wBp и
1.1.5] АБСОЛЮТНОЕ, ОТНОСИТ. И ПЕРЕНОСНОЕ ДВИЖЕНИЯ 27
wu тождественны соответственно касательному (танген-
циальному) и нормальному ускорениям:
WBp = W, = [er],
Wu = Wn = [to |tof|| = (tof) to — <о2Г.
5. Абсолютное, относительное и переносное
движения
Г Абсолютным движением точки называется ее дви-
жение по отношению к какой-либо инерциальной системе
отсчета (стр. 32), условно принимаемой за неподвижную
и называемой абсолютной системой отсчета1). Относи-
тельным движением точки называется ее движение по
отношению к подвижной системе отсчета, которую также
называют относительной системой отсчета. Перенос-
ным движением называется абсолютное движение той
точки подвижной (относительной) системы, через которую
движущаяся точка проходит в
рассматриваемый момент вре-
мени.
Выбор абсолютной и отно-
сительной систем отсчета ус-
ловен. Он зависит от поста-
новки задачи и подчинен ос-
новной цели — максимальному
упрощению ее решения.
2° Связь между радиус-век-
торами гиг' движущейся
Рис. I. 1.7.
точки 7И, проведенными соответственно из начала О
неподвижной системы отсчета (х,у, z) и начала О' подвиж-
ной системы (х', у', 2'), имеет вид (рис. I. 1. 7):
г = Го + г' = Го + (х'Г + y'j' + z'k'),
где х', у' и 2' — проекции г' на оси подвижной системы,
а Г, j' и к' — орты этих осей.
Абсолютная скорость va точки 7И(г) равна
V — — — 4-г'— 4-v'— 4-
~ dt — dt + Х dt dt +
4- z' rfk' I dx’ i' I dy’ v 1 dz'
dt+~di' + di~ J + ~dt k’
9 Термины «абсолютное движение» и «абсолютная система отсчета»
неудачны, так как согласно механическому принципу относительности
(стр. 44) $се инерциальные системы отсчета совершенно равноправны.
28 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЕН. ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА [1.1
Относительная скорость vr точки М(г') равна
v — V + — к' — —
Vr““ dt 1 dt J dt К dt'
dr'
где — относительная производная по времени .от ра-
диус-вектора г\ вычисляемая в предположении постоян-
ства направления ортов Г, j' и к' подвижной системы
отсчета.
Изменение во времени ортов i', j' и к' может быть
обусловлено только вращением подвижной системы коор-
динат. Если угловая скорость этого вращения равна <о, то
Следовательно J),
ve = v0 + [«H +v„
dth
где v0 = = Го—скорость поступательного движения
подвижной системы, a ve = v0 + [tor'] — переносная ско-
рость точки М.
Абсолютная скорость движения точки равна вектор-
ной сумме ее переносной и относительной скоростей
(закон сложения скоростей)'.
va = ve+ vr.
3° Абсолютное ускорение wa точки М(г) равно
W + 2 + 5-
Относительное ускорение wr точки М(г') равно
r dt dt* ' dt* J ' dt*
Переносное ускорение we точки M равно
we = Wo + [er'] + [w [ <or'll, где Wo = .
i) Если начала подвижной и неподвижной систем координат всегда
совпадают, то
. л dr . г
г =г' г»=0 и л=л+|(ог|-
Эта связь между абсолютной и относительной производными по
времени справедлива не только для радиус-вектора г, но и для любого
вектора, приложенного в общем начале подвижной и неподвижной сис-
тем координат.
1.1.61
СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА
29
Поворотное, или кориолисово, ускорение равно
w* = 2(tovr|.
Абсолютное ускорение точки равно
ее переносного, поворотного и отно-
сительного ускорений:
= wP + wk + wr.
Поворотное ускорение равно ну-
лю, если: а) подвижная система от-
счета движется поступательно (со = 0),
или б) точка покоится по отноше-
нию к подвижной системе отсчета
(vr = 0), или в) точка движется па-
раллельно оси вращения подвижной
системы, т. е. векторы vr и ю парал-
лельны друг другу.
Пример. Точка равномерно дви-
жется со скоростью Vi вдоль радиуса
плоского диска, который в свою оче-
редь равномерно вращается с угло-
вой скоростью (о2 вокруг оси, пер-
пендикулярной к его плоскости. Скорости
произвольной точки М (г') диска равны (рис. 1. 1. 8):
vo = O, ve=|(o2r'|, vr = v1, va = l<o2r'] 4- vb
сумме
векторной
Рис. 1. 1.8,
и ускорения
Va = V(<o2r-)a + V?.
we = |w2 |<о2г']] = — <o|r', Wfc = 2[<o2Vi], wr = 0,
wa = — <*|г' + 2 | a)2Vi ], wa = <o2 У(^rf)2 -I- 4v*.
6. Некоторые случаи сложения движений
твердого тела
Г Тело одновременно участвует в нескольких посту-
пательных движениях со скоростями vb v2, v8, ..., v^.
Его результирующее движение является также поступа-
тельным со скоростью v, равной векторной сумме скоро-
стей Vi, v2, ..., vfe:
1г
v= V, + v2 4-... +vfc= 2vf-
<== i
2° Тело одновременно участвует в поступательном
движении со скоростью v0 и во вращении с угловой
30 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЕН. ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА П.1
скоростью о». Результирующая скорость v произвольной
точки М тела равна
v = v0 + [tor],
где г — радиус-вектор, проведенный в точку М из какой-
либо точки оси вращения.
Если to I Vo, то движение тела называется мгновен-
ным плоскопараллельным движением*, скорости всех
точек тела в рассматриваемый момент времени направ-
лены перпендикулярно к вектору о).
3е Тело одновременно участвует в двух вращатель-
ных движениях: вращается с угловой скоростью toi во-
круг некоторой оси AiBi, которая в свою очередь вра-
щается с угловой скоростью о)я вокруг неподвижной
оси А2В2. Рассматривая первое вращение
0 как относительное движение, а второе —
как переносное (стр. 27), получаем следую-
/ \ д щие значения переносной ve, относительной
Я / ' J 1 Vr и абсолютной v скоростей произвольной
X), точки М тела:
/ v€ = [ <о2г0] + [о>2г'] = |о>2г],
\У. vr = [tthr'l = [e>tr] — [<О1Г0],
V = v, + vr = [(<0, 4- <oa) r] — (to,r0],
/ ' л где г, г' и г0 — радиус-векторы, имеющие
А * * тот же смысл, что и на рис. I. 1. 7.
Рис. 1. 1.9. 4° Сложение вращений вокруг пересе-
кающихся осей AiBi и А2В2. Совместив
начала подвижной и неподвижной систем отсчета с точ-
кой пересечения осей (рис. 1. 1. 9), получим:
г0 = 0 и v = [(О)! + <о2) г].
Одновременное вращение тела вокруг двух пересекаю-
щихся осей AiBi и А2В2 с угловыми скоростями tot и о>2
в каждый момент времени эквивалентно вращению этого
тела вокруг мгновенной оси АВ с угловой скоростью
(0 = 0)1 -|- 0)2.
5° Сложение вращений вокруг параллельных осей
(©! ф—о2). Проведем вектор г0 перпендикулярно к осям
вращения (рис. I. 1.10) и положим г = rt + d, где d =
причем если векторы о2 и о>! направлены
р одну и ту же сторону, и /? = — если векторы
1.2.1]
ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
31
направлены в противоположные стороны. Тогда <o2 = ^w1,
(Oi + <о2 = (k + 1) <01 и v = [(©I + (о2) Г1]. Одновременное
вращение тела вокруг двух параллельных осей AtBi
И Д2#2 С УГЛОВЫМИ СКОРОСТЯМИ (01 и
(о2 (<oi —(о2) в каждый момент вре-
мени эквивалентно вращению с угло-
вой скоростью (о = (01 + (о2 вокруг
параллельной или мгновенной оси АВ,
положение которой относительно осей
AiBi и AzB3 определяется указан-
ным выше значением вектора d.
Вращение тела вокруг парал-
лельных осей с угловыми скоростя-
ми (01 и (о2 = —(01 называется парой
вращения. В этом случае результи-
рующая скорость всех точек тела
одинакова и равна v = [— а>1Г0], где
Го — радиус-вектор, соединяющий
точки О и О' осей (рис. I. 1. 10). Тело движется посту-
пательно со скоростью V, направленной перпендику-
лярно к плоскости, в которой находятся векторы e>i и (о2.
ГЛАВА 2
ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
1. Первый закон Ньютона
Г Первый закон Ньютона: всякая материальная
точка сохраняет состояние покоя или равномерного
и прямолинейного движения до тех пор, пока воздейст-
вие со стороны других тел не выведет ее из этого
состояния.
Этот закон называют законом инерции, а свойство
материальных точек сохранять в случае отсутствия внеш-
них воздействий на них состояние покоя или равномер-
ного прямолинейного движения называют инертностью,
2° Всякое механическое движение относительно: его
характер зависит от выбора системы отсчета. В одно
и то же время исследуемое тело по отношению к одной
системе отсчета может покоиться, по отношению к дру-
гой— двигаться равномерно и прямолинейно, а по отно-
шению к третьей — двигаться с ускорением. Поэтому
закон инерции справедлив не во всякой системе отсчета.
32
ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[1-2
Так, например, тела, неподвижно лежащие на гладком
полу равномерно и прямолинейно движущегося относи-
тельно Земли железнодорожного вагона, начинают дви-
гаться по полу * всякий раз, когда движение вагона ста-
новится ускоренным.
3° Инерциальными системами отсчета в классиче-
ской механике называются те системы, по отношению
к которым выполняется закон инерциих). Такого рода
системой является гелиоцентрическая координатная
система, начало которой находится в центре Солнца,
а оси проведены в направлении каких-либо определен-
ных звезд, которые считаются неподвижными.
Любая система отсчета, покоящаяся или движущаяся
равномерно и прямолинейно относительно какой-либо
инерциальной системы, сама является инерциальной.
Наоборот, всякая система, движущаяся ускоренно по отно-
шению к инерциальной системе, является неинерциальной.
4° Система отсчета, жестко связанная с Землей (гео-
центрическая система отсчета), неинерциальна, главным
образом, вследствие суточного вращения Земли. Экспе-
риментальным подтверждением этого и одним из дока-
зательств существования суточного вращения Земли яв-
ляется опыт с маятником Фуко — тяжелым телом (обычно
шаром), подвешенным на длинной нити и могущим сво-
бодно казаться в любом направлении практически без тре-
ния в подвесе. Положение плоскости качаний такого
маятника по отношению к инерциальной системе отсчета
должно быть неизменным, так как на маятник действует
только сила его веса, лежащая в этой плоскости. Однако
по отношению к земной системе отсчета плоскость кача-
ний маятника Фуко постепенно поворачивается с угловой
скоростью
<ом = <о sin <р,
где со — угловая скорость суточного вращения Земли,
а — географическая широта места наблюдения. Макси-
мальное ускорение точек земной поверхности не пре-
восходит 0,5% ускорения свободного падения. Поэтому
в большинстве практических задач геоцентрическую си-
стему отсчета можно приближенно считать инерциальной.
i) Обобщение этого понятия на случай релятивистской механики
сделано в теории относительности (стр. 480): инерциальными называются
те системы отсчета, по отношению к которым выполняется закон инер-
ции и скорость света в вакууме является универсальной постоянной.
1.2.2]
СИЛА
33
2. Сила
Г Сила — векторная величина, являющаяся мерой
механического воздействия на материальную точку или
тело со стороны других тел или полей. Сила полностью
задана, если указаны ее численное значение, направле-
ние и точка приложения.
Взаимодействие между телами, как это следует из
первого закона Ньютона, является причиной изменения
состояния их движения. Кроме того, оно вызывает также
деформацию тел. Измеряя деформации хг и х2 одного и
того же упругого тела под действием двух одинаково
направленных сил Ft и F2, приложенных в одной и той
же точке, можно сравнивать численные значения этих
сил:
7*2 _ *2
Л ’
Этот метод, основанный на законе Гука (стр. 268), реали-
зуется в пружинных весах и динамометрах.
2° Действие на материальную точку А (рис. 1.2.1) не-
скольких тел с силами Fb F2, ... , F^ эквивалентно дей-
ствию одной силы, называемой равнодействующей силой
и равной векторной сум-
ме этих сил:
k
F= 2 Fj.
i=l
оси декартовой
силы на
Равнодействующая си-
ла представляет собой
замыкающую много-
угольника, построенного
на силах Ft, F2, ..., Fft
(рис. 1.2.2). Проекции этой
системы координат равны алгебраическим суммам соот-
ветствующих проекций всех сил F^:
k k k
px=^FiX, Fy = S\Fiy'
Линией действия силы F/ называется прямая, вдоль
которой направлен вектор F/. Воздействие на абсолютно
твердое тело не изменяется при переносе точки прило-
3 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф — 1775
34
ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[1.2
жения силы вдоль линии ее действия (предполагается,
что точки приложения силы либо принадлежат телу, либо
жестко связаны с ним). Следовательно, силы, приложен-
ные к абсолютно твердому телу, можно рассматривать
как скользящий векторы.
3° Системой сходящихся сил (пучком сил) назы-
вается совокупность сил, приложенных к одному и тому
же абсолютно твердому телу так, что их линии действия
пересекаются в одной точке О (рис. 1.2.3). Перенося эти
силы вдоль линий их действия в точку О, получим си-
стему сил, приложенных в одной и той же точке и
эквивалентных одной равно-
действующей силе F, которая
приложена в той же точке О
и равна векторной сумме всех
сил системы: F= 2 Fz.
Z=1
4° В самом общем случае
действие на абсолютно твер-
дое тело произвольной систе-
мы сил эквивалентно действию
Рис. I. 2.3.
на тело главного момента М
системы сил (стр. 64) и главного вектора- F системы сил,
k
равного векторной сумме всех сил системы: F = S Ft-.
Точка О приложения главного вектора системы сил
называется центром приведения. Выбор этой точки со-
вершенно произволен и влияет лишь на величину векто-
ра главного момента М. В случае поступательного дви-
жения абсолютно твердого тела главный момент всех сил,
приложенных к телу, относительно его центра инерции
(стр. 36) равен нулю.
5° При рассмотрении какой-либо системы материаль-
ных точек или тел силы, действующие на некоторую
точку (тело) системы со стороны других точек (тел), вхо-
дящих в эту систему, называются внутренними силами.
Силы же, обусловленные действием материальных точек
или тел, не входящих в рассматриваемую систему, назы-
ваются внешними силами.
6° Замкнутой или изолированной системой назы-
вается такая система тел (или материальных точек), на
каждое из которых не действуют внешние силы.
1.2.31
МАССА
35
3. Масса
1° Массой называется скалярная величина, являю-
щаяся мерой инертности тел в поступательном движении.
Масса т материальной точки равна отношению модулей,
векторов ее веса Р (стр. 46) и ускорения свободного
падения g (стр. 47):
Масса тела в ньютоновской механике аддитивна: она
равна арифметической сумме масс всех материальных
точек, входящих в состав этого тела. Как показывает
опыт, в одной и той же точке наблюдения ускорения
свободного падения для всех тел одинаковы. Поэтому
отношение масс двух тел равно отношению их весов:
. На этом основано сравнение масс тел с помощью
рычажных весов.
2° Плотностью тела р называется предел отношения
массы Дт элемента тела к его объему ДИ при ДИ, стре-
мящемся к нулю:
Масса всего тела равна
V
т = р dV,
где интегрирование распространено на весь объем V
тела.
В случае однородного тела его плотность постоянна
по всему объему V и масса тела /п = рИ.
Средней плотностью рср неоднородного тела называет-
ся отношение массы тела к его объему:
_____ m
Рср — "И •
В классической механике принимается, что: а) масса
тела не зависит от скорости его движения; б) масса изо-
лированной системы тел не изменяется при любых про-
исходящих в ней процессах (закон сохранения массы,
впервые установленный Ломоносовым).
3° Центром инерции или центром масс системы ма-
териальных точек называется точка С (xct уС) zc)t радиус-
3*
36
ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
(1.2
вектор гс которой связан с массами и радиус-векто-
рами всех k точек системы соотношением
k
2 miri
/=1
.2 т1
less 1
так что
k k k
2 тг*( £ £ mizl
___t=l f=l i= I
Xc— J , Ус----------------1 > *C— I
2 mi 2 mt .2 mt
Координаты центра инерции тела равны:
j х dm
(т)
т
рх dV
т
j у dm
(т)
т
\ pv dV
(Й_____
т
\ z dm \ pz dV
9 __(/Й_____(Й______
с т т '
Если тело однородное, то
xc = -T7 5 xdv> Ус — 4>\у^, zc = ^{ zdV.
(V) (V) (V)
В прямоугольных декартовых координатах
dV=^dxdydz, х dV = Щ х dx dy dz и т. д.
(Ю (V)
4е Количеством движения (импульсом) материаль-
ной точки называется вектор К/, равный произведению
массы точки на ее скорость vt-:
Кг = m^i.
Количеством движения системы k материальных то-
чек называется вектор К, равный геометрической сумме
количеств движения всех точек системы:
к = .2 Kj = .2 miVi.
1.2.4] ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА 37
Для тела
К = vrfm= vp dV.
(т) (V)
Количество движения системы материальных точек
равно произведению массы т всей системы на скорость
rfr
чс= £ ее центра инерции: К = тvc. Скорость vc
представляет собой скорость поступательного движения
системы.
4. Второй закон Ньютона
1° Второй закон Ньютона', первая производная по
времени от импульса (количества движения) материаль-
ной точки равна действующей на нее силе:
= F, или Tt (тм) = F,
Элементарным импульсом силы F$ за время dt на-
зывается вектор FfdG Импульс силы F£ за конечный
д/ ‘
промежуток времени Af равен F^. Если сила F/ по-
стоянна, то ее импульс за время Lt равен F/A^.
Второй закон Ньютона можно также сформулировать
следующим образом: элементарное изменение количества
движения материальной точки равно элементарному им-
пульсу действующей на нее силы:
d (miVd^Fidt;
так как mt = const, то
Второй закон Ньютона можно сформулировать еще
так: ускорение материальной точки прямо пропорцио-
нально действующей на нее силе, обратно пропорцио-
нально массе точки и совпадает по направлению с силой.
Уравнение, определяющее связь и F/, называется
дифференциальным уравнением движения точки. В про-
екциях на оси ортогональных систем координат оно
имеет вид:
а) декартовы координаты
m^i = Fix\ = Fiy, == Fiz\
38
ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
U.2
б) цилиндрические координаты
где F,p и FiV — проекции силы F, соответственно на на-
правления прямой ОМ' (рис. 1.1.1, б, где Д4 — движущаяся
материальная точка с массой mfi и прямой, проведенной
в плоскости хОу перпендикулярно к ОМ' в направлении
возрастания угла <р;
в) сферические координаты
rfil sin2 », — г,»/) = Firt
mi [(r#, + 2? fa) sin » + 2rfahi cos »,| — Filf,
mt (2ffa -I- r,§ t — rfii sin», cos »,) = Fti,
где Fir — проекция силы Ff на направление прямой ОМ
(рис. 1.1.1, в), F/cp—проекция Ff на направление прямой,
проведенной в плоскости хОу перпендикулярно к ОМ'
в направлении возрастания угла ср, F^—проекция F, на
направление прямой, проведенной в плоскости ОММ'
перпендикулярно к ОМ в направлении возрастания угла
2° Принцип независимости действия сил: если на
материальную точку одновременно действует несколько
сил, то каждая из них сообщает точке ускорение, опре-
деляемое вторым законом Ньютона так, как если бы
других сил не было. Поэтому результирующее ускорение
точки можно определить по второму закону Ньютона,
подставляя в него результирующую силу Fr.
3° В соприкасающейся плоскости ускорение матери-
альной точки и действующую на нее силу можно разло-
жить на нормальные и тангенциальные составляющие:
m;(w,n + w/T) = Fin4- F/t,
причем
Fin = m,w/n и Fh = miWh.
Нормальная сила численно равна (стр. 22)
^/п = т,шг„ = -£-
и направлена к центру кривизны траектории материаль-
ной точки. Поэтому ее часто называют центростреми-
тельной силой. В случае круговой траектории радиуса
сила Fin^m^lRu где — угловая скорость обращения
точки.
1.2.6] ЗАКОН ДИНАМИКИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 39
Касательная сила численно равна (стр. 22)
Fir = = mfii.
Если bi > 0, то сила совпадает по направлению
с вектором скорости V/ и называется движущей силой;
если bi < 0, то сила FIT противоположна по направлению
скорости V/ и называется тормозящей силой.
5. Третий закон Ньютона
Действия двух материальных точек друг на друга
численно равны и направлены в противоположные сто-
роны:
F/у== Fji (J j),
где F// — сила, действующая на Z-ю точку со стороны
у-й, а Гц—сила, действующая на у-ю точку со стороны
Z-й. Эти силы приложены к разным точкам и могут
взаимно уравновешиваться только в том случае, когда
точки i и у принадлежат одному и тому же абсолютно
твердому телу.
6. Основной закон динамики поступательного
движения
1° Производная по времени от количества движения К
материальной точки или системы материальных точек
относительно неподвижной (инерциальной) системы от-
счета равна главному вектору F всех внешних сил, при-
ложенных к системе:
= F, или mwc = F,
at с ’
где wc — ускорение центра инерции системы, а т — ее
масса.
В случае поступательного движения твердого тела
с абсолютной скоростью v скорость центра инерции
vc = v. Поэтому при рассмотрении поступательного дви-
жения твердого тела это тело можно мысленно заменить
материальной точкой, совпадающей с центром инерции
тела, обладающей всей его массой и движущейся под
действием главного вектора внешних сил, приложенных
к телу.
В проекциях на оси неподвижной прямоугольной де-
картовой системы координат уравнения основного закона
40 ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ (1.2
динамики поступательного движения системы имеют вид:
или
mwcx = Fx> mwc v = Fy> mwC2 == Fz.
2е Простейшие случаи поступательного движения
твердого тела.
а) Движение по инерции (F = 0):
ту = const, w = 0.
б) Движение под действием постоянной силы:
~ (ту) == F = const, ту = Ff mv0,
где mv0 — количество движения тела в начальный момент
времени t = 0.
Пример. Движение тела, брошенного под углом а
к горизонту. Тело движется под действием постоянной
силы его веса Р, направленной вертикально вниз
(рис. 1.2.4). Для произвольной точки М (х, у) траектории
тела:
ту = Pf -|- ту0, или v = g^ + v0,
vx = Vq cos a, vv = v0 sin a — gtt
, . st*
x = vot cos a, у = vQt sina — •
Уравнение траектории:
у = x tg a
gx*
2v<j cos2 a
Наибольшая высота подъема:
______ (Vo sin a)’
макс — 2g
1.2.71 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 41
Наибольшая дальность полета вдоль горизонтальной
оси х:
_______*»о sin 2а
хмакс — g
в) Движение под действием переменной силы. Изме-
нение количества движения тела за промежуток времени
от ti до ta равно
mvs — mvi = Fcp (Zs — tt),
ta
F dt
где Fcp = — среднее значение вектора силы в ин-
тервале времени от до ta.
7. Закон сохранения количества движения
Г Количество движения замкнутой системы с тече-
нием времени не изменяется:
rfK
= О, ИЛИ К = 2 miNi = COnSt.
i=l
Это один из основных законов природы, вытекающий
из однородности пространства (стр. 93). В проекциях на
оси неподвижной прямоугольной декартовой системы
координат он записывается в виде системы трех скаляр-
ных уравнений:
н k
л 2 «Л = 0.
i=l
н ft
_ £ т,Л = 0,
i— 1
Tt 2 mA = 0,
i= I
ИЛИ
k
S ^=a8,
2 mfzf = a8,
i=\
где £it fy, — проекции на оси Ox, Оу и Oz вектора vf
скорости Z-й точки системы, а аь аа и ая — постоянные
величины, равные проекциям на оси координат вектора
К количества движения системы.
2° Закон сохранения количества движения показы-
вает, что взаимодействие тел, составляющих замкнутую
42 ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [1.2
систему, приводит только к обмену количествами движения
между этими телами, но не может изменить движения
системы как целого: при любом взаимодействии между
телами, образующими замкнутую систему, скорость дви-
жения центра инерции этой системы не изменяется, т. е.
rfvc Л d*xc d*yc d*zc а
dt О» ИЛИ rf/2 dt* d& О»
где vc — скорость центра инерции, а хс, ус и zc — его
декартовы координаты.
Если система тел не замкнута, но проекция главного
вектора F всех внешних сил на какую-либо ось равна
нулю, то проекция на эту ось вектора количества дви-
жения системы не зависит от времени. Например, при
Fx = 0
k k
2 = У = const.
i=\
8. Движение тела переменной массы
1° Дифференциальное уравнение поступательного дви-
жения абсолютно твердого тела, масса тп которого зави-
сит от времени, имеет вид:
d / \ г? I din
_(mv) = F + V1^,
где F — главный вектор всех сил, действующих на тело,
a Vi — скорость присоединяющейся массы до присоеди-
нения (если > о) или скорость отделяющейся массы
/ dm _ л\
после отделения (если < 01 .
2° Ускорение w тела переменной массы равно
"=4(f+f₽).
где
е. / х dm dm
Fp = (V1-v)^-=u^
— реактивная сила, равная произведению производной
по времени от массы тела нд относительную скорость
u = Vi — v присоединяющейся или отделяющейся массы.
Пример 1. Реактивная сила, создаваемая воздушно-
реактивным двигателем. Эта сила Fp равна векторной
сумме двух реактивных сил, одновременно создаваемых
поступающим в двигатель воздухом Fpi и выбрасывае-
1.2.9] МЕХАНИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 43
мы ми из него продуктами сгорания Fp2:
Fp = Fpi И" Fp2,
р ___.. dmi р ________it /dmi 1 dms\
Гр* — U1 *dT 5 Гра — dt + dt / »
\ dm^ dm,9
Fp = (u>-u3)^r‘
где Ui = — v — относительная скорость воздуха, v — ско-
рость полета, u2 — относительная скорость продуктов
сгорания на выходе из двигателя, d~ — секундный мас-
совый расход воздуха, — секундный массовый рас-
ход топлива.
Пример 2. Движение ракеты в условиях отсутст-
вия внешнего силового воздействия. Сила тяги ракеты
получается из предыдущей формулы в предположении,
что Ui = 0 (окислитель, как и топливо, находится в са-
мой ракете):
р __и dm
Fp — u2 dt,
dm
где -ц — скорость уменьшения массы ракеты за счет
выгорания топлива. Уравнение движения ракеты:
где v и т — скорость и масса ракеты в произвольный
момент времени t. Векторы и и2 направлены в про-
тивоположные стороны, поэтому
... dv dm
откуда при и2 = const следует уравнение К. Э. Циол-
ковского:
v = v0 + ua In
где v0 и т0 — начальные значения скорости и массы ра-
кеты (при Z = 0).
9. Механический принцип относительности
Г Координаты и время в двух произвольных инерци-
альных системах отсчета связаны преобразованием Галилея:
г' = г — (г0 +- vet) (ve = const),
f = tt
44 ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [1.2
где гиг'- радиус-векторы движущейся точки в первой
и второй системах отсчета, — скорость равномерного
и прямолинейного движения второй системы по отноше-
нию к первой,* а Го — радиус-вектор, проведенный из
начала первой системы в начало второй системы в мо-
мент времени £ = 0. Второе условие = выражает
абсолютный характер времени в классической механике,
т. е. одинаковость его течения во всех инерциальных
системах отсчета (стр. 32).
2° Скорости и ускорения материальной точки в обеих
системах отсчета связаны соотношениями:
, dr' dr
v = 5?=л-ve = v“v«
, dv' dv
—= W.
dt dt
Ускорение какой-либо материальной точки во всех
инерциальных системах одинаково.
В самом общем случае силы, действующие на мате-
риальную точку со стороны других тел или создаваемых
ими полей, зависят от расстояний между точкой и эти-
ми телами, разностей между скоростями движения точ-
ки и тел, а также от времени. Из формул преобразова-
ния Галилея следует, что все эти величины во всех
инерциальных системах одинаковы:
г; — г; — га - П И v' - vj = V8 - Vx.
Поэтому одинаковы и силы, действующие на движу-
щуюся материальную точку:
F'==F.
Следовательно,
— = — = т.
W W ’
т. е. урайнения движения материальной точки и систем
этих точек одинаковы во всех инерциальных системах
отсчета — инвариантны по отношению к преобразованию
Г алилея.
3° Этот результат можно сформулировать в виде ме-
ханического принципа относительности: равномерное
и прямолинейное движение (относительно инерциальной
системы отсчета) замкнутой системы не влияет на ход
протекающих в ней механических процессов.
Иными словами, в механике все инерциальные си-
стемы равноправны. Поэтому в рамках классической
расстояния между ними
*
Рис. 1. 2.5.
1.2.10] ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 45
механики нет никаких оснований для выделения какой-
либо определенной «главной» системы отсчета, по отно-
шению к которой покой и движение тел можно было бы
считать абсолютными.
Дальнейшее обобщение принципа относительности
сделано в теории относительности (стр. 480).
10. Закон всемирного тяготения
Г Между любыми двумя материальными точками
действуют силы взаимного притяжения, прямо пропор-
циональные произведению масс этих точек и обратно
пропорциональные квадрату
(рис. I. 2. 5):
Р Rig
Гм—/ R,
где F12—сила тяготения,
действующая на точку с
массой ти Ria — радиус-
вектор, проведенный из этой точки в точку, обла-
дающую массой т2, /? = | Ris I— расстояние между
точками. Коэффициент f называется гравитационной
постоянной (постоянной тяготения). Он численно
равен силе взаимного притяжения между двумя ма-
териальными точками, которые обладают одинако-
выми массами, равными единице массы, и находятся
друг от друга на расстоянии, равном единице длины.
Гравитационная постоянная определяется опытным пу-
тем. Ее численное значение зависит только от выбора
системы единиц измерения:
/= (6,67 ± 0,01) • 10-“ = (6,67 ± 0,01) • 10-’ .
По третьему закону Ньютона сила F21, действующая
на материальную точку с массой т2, численно равна си-
ле F12, но направлена в противоположную сторону:
р р т [Hi» R12 ш 1 тп2 Rai
Г21 Г12 -/-^2 ~~Г & R’
2° Достаточно малые элементы двух тел произволь-
ной формы и размеров можно считать материальными
точками, массы которых равны произведениям их объе-
мов (dVi и dV2) на плотности (pj и р2). Поэтому сила
тяготения dF12, действующая на элемент первого тела
46
ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[1-2
со стороны элемента второго тела, равна
7 /-8g Г12
Если тела абсолютно твердые, то результирующая
сила F12 притяжения первого тела вторым равна
Fw = /UlrfV’1$^-rl,dV„
Pl V2
где интегрирование проводится по полным объемам Vi
и V2 обоих тел. В случае однородных тел их плотности
постоянны и
f12=/piPs $ dvt \ %dvt.
Vi v2 12
Для двух твердых тел шарообразной формы, плот-
ность каждого из которых зависит только от расстояния
до его центра,
*12 J К12,
где mi и т2 — массы обоих тел, R13 — радиус-вектор, со-
единяющий центры первого и второ-
с го тел, а £>= |R12|.
Эта формула справедлива также
9 и в том случае, когда одно из тел
-р имеет произвольную форму, но его
V размеры во много раз меньше ра-
J диуса второго тела.
3° Весом тела называется сила Р,
с которой неподвижное относительно
Земли тело давит на опору вслед-
ствие притяжения его к Земле. Вес
тела равен векторной разности силы
Рис. 1. 2.6. F тяготения тела к Земле и центро-
стремительной силы Ец,обусловливаю-
щей участие тела в суточном вращении Земли (рис. 1.2.6):
P = F-F«,
причем
Ец= m<o2/?cos <р,
где т — масса тела, со — угловая скорость суточного
вращения Земли, — радиус Земли, а <р — географиче-
ская широта места наблюдения А.
1.2.10]
ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
На географических полюсах (<р = 90°) Рц = 0 и вес
тела равен силе притяжения его к Земле. Вследствие
того, что радиус Земли и центростремительная 'сила за-
висят от географической широты, вес тел максимален
на полюсах и минимален на экваторе. Однако это раз-
личие не превышает 0,55%. Поэтому во многих техни-
ческих задачах можно пренебречь влиянием на вес тела
суточного вращения Земли и отличием ее формы от
сферической.
Центром тяжести тела называется точка приложе-
ния равнодействующей сил веса всех частиц этого тела.
Центр тяжести тела совпадает с его центром инерции
(стр. 35).
4° Свободным падением называется движение тела
под действием единственной силы, равной его весу.
Ускорение свободного падения одинаково для всех тел
и так же, как их вес, зависит от географической широты
и высоты над уровнем моря. Численные значения §
(в см)сек2) ускорения свободного падения на небольших
высотах h (в м) над уровнем моря можно вычислять
по приближенной формуле
g = 978,049 (1 + 0,005288 sin2 <р — 0,000006 sin2 2<?) —
— 0,0003086Л.
Стандартное (нормальное) значение g, принятое для
барометрических расчетов и при построении систем еди-
ниц, равно 980,665 см!сек2.
В большинстве технических расчетов пренебрегают
зависимостью g от и полагают §=981 см!сек\ а для
определения изменения g при удалении от поверхности
Земли пользуются приближенной формулой
___ г m ______ / ко \ в
g~T (Ro+W ~~gl> \Ro+h) ’
где M — масса Земли, ро = 637О км — средний радиус
Земли, а §0 = 981 см^сек*.
5° Удельным весом тела называется скалярная вели-
чина 7, равная пределу отношения численного значе-
ния ДР веса элемента тела к его объему ДУ при неограни-
ченном уменьшении ДУ:
48 ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [1.2
Вес всего тела численно равен
р= ( ^dV,
(И
где интегрирование распространено на весь объем V
тела.
Средним удельным весом 7ср неоднородного тела на-
зывается отношение численного значения веса тела к
его объему:
__Р
7ср— у-
Связь между удельным весом и плотностью тела
имеет вид:
7 = Р£, 7ср = Рср£-
11. Гравитационное поле
1* Тяготение между телами осуществляется через
гравитационное поле (поле тяготения), которое, наряду
с другими физическими полями и веществом, является
одной из форм материи. Отличительная особенность гра-
витационного поля состоит в том, что на помещенную
в него материальную точку действует сила тяготения,
прямо пропорциональная массе этой точки. Векторной
характеристикой гравитационного поля является его на-
пряженность g, которая равна отношению силы тяготе-
ния F, действующей на материальную точку, к величине
ее массы т: g=:F/m.
2° Потенциальный характер сил тяготения (стр. 56)
позволяет ввести скалярную характеристику гравитаци-
онного поля — потенциал <р, связанный с g соотноше-
нием
g = -grad? = -gi + gj + |k).
Между гравитационным и электростатическим полями
(стр. 330) существует формальная аналогия, являющаяся
результатом внешнего сходства между выражениями для
силы взаимного притяжения двух материальных точек
(стр. 45) и силы электростатического взаимодействия
двух точечных зарядов (стр. 329). Поэтому для нахожде-
ния напряженности и потенциала гравитационного поля,
создаваемого произвольной системой материальных то-
чек с массами ти т^ ..., т^ можно воспользоваться
1.2.12] ВНЕШНЕЕ ТРЕНИЕ 49
выражениями для напряженности и потенциала электро-
статического поля геометрически тождественной системы
точечных зарядов qh q2, ..., q^, заменив в этих выраже-
ниях, написанных в системе единиц МКСА, величины
qil^Qb на—/гл/, где f—гравитационная постоянная.
Так, например, для гравитационного поля, создаваемого
материальной точкой с массой М, находящейся в начале
координат,
и <Р=/7>
где г — радиус-вектор точки поля, в которой опреде-
ляются g и <р.
Эти выражения справедливы также для гравитацион-
ного поля шара массы Л4, плотность которого изме-
няется только в радиальном направлении, а радиус по-
верхности меньше г.
12. Внешнее трение
Г Различают два основных типа трения — внутреннее
и внешнее. Внутренним трением или вязкостью назы-
вается явление возникновения касательных сил, препят-
ствующих перемещению частей жидкости или газа друг
по отношению к другу (стр. 199). Внешним тре-
нием называется взаимодействие между телами, возни-
кающее в месте их соприкосновения и препятствующее
их относительному перемещению. В зависимости от
характера относительного движения тел различают: тре-
ние скольжения, возникающее при поступательном пе-
ремещении одного тела по поверхности другого, и тре-
ние качения, возникающее тогда, когда одно тело катит-
ся по поверхности другого. В чистом виде трение каче-
ния имеет место только в том случае, если линия или
точка соприкосновения трущихся тел совпадает с мгно-
венной осью вращения катящегося тела. Во всех осталь-
ных случаях трение качения сопровождается трением
скольжения.
2° Внешнее трение, происходящее между движущи-
мися телами, называется кинематическим. Внешнее тре-
ние между взаимно неподвижными телами называется
трением покоя. Оно проявляется в том, что для воз-
никновения относительного перемещения двух соприка-
сающихся тел к одному из них нужно приложить
внешнюю силу F >> Fo, где Fo — так называемая пре-
д Б. М. Яворский, А. А, Детлаф
50 ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [1.2
дельная сила трения покоя. Отсутствие взаимного пе-
ремещения тел при F^F0 называется явлением застоя.
Оно широко используется в технике для передачи уси-
лий от одних деталей машин к другим (ременные пере-
дачи, фрикционные муфты и т. д.).
Трение скольжения между телами, поверхности кото-
рых нс подвергаются смазке, называется сухим тре-
нием, а трение между обильно и непрерывно смазывае-
мыми телами — жидкостным трением.
В зависимости от толщины слоя смазки между тру-
щимися телами и степени шероховатости их поверхно-
стей различают несколько переходных случаев трения
скольжения: полусухое, граничное, полу жидкостное.
3° Сила трения скольжения в случае сухого трения
в основном вызывается механическим зацеплением между
неровностями поверхностей тел и сцеплением между
молекулами обоих тел в областях непосредственного
соприкосновения. В приближенных расчетах можно
считать, что сила F трения скольжения прямо пропор-
циональна силе N нормального давления между поверх-
ностями трущихся тел (закон Амонтона):
F=fN,
где /—безразмерный коэффициент трения скольжения,
зависящий от свойств материала тел. В действитель-
ности коэффициент трения зависит от множества других
факторов: качества обработки поверхностей трущихся
тел, наличия на них загрязнений, скорости скольжения
и т. д. Поэтому его определяют на основе эксперимен-
тальных данных, полученных для случаев, сходных
с рассматриваемой задачей. Коэффициент /0, соответст-
вующий предельной силе трения покоя, обычно больше
коэффициента кинематического трения.
Часто вместо коэффициента трения / пользуются
углом трения связанным с / соотношением tg у =/.
Угол <р0 = arctg/o равен тому наименьшему углу накло-
на плоскости к горизонту, при котором лежащее на ней
тело начинает скользить вниз под действием собствен-
ного веса.
Более точным является двучленный закон трения,
установленный на основе учета влияния сил притяже-
ния между молекулами трущихся тел:
F=(x(^+SPo),
1.2.13] ДВИЖЕНИЕ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ 51
где р, — истинный коэффициент трения, pQ — добавоч-
ное давление, вызванное силами молекулярного притя-
жения, aS— общая площадь всех областей непосредст-
венного контакта между телами.
4° При качении по плоской по-
верхности тел, имеющих форму круг-
лых цилиндров или шаров, возни-
кают не только упругие, но и
пластические деформации (стр. 268).
Поэтому линия действия реакции R
плоскости не совпадает с линией
действия силы N нормального дав-
ления (рис. 1. 2. 7). Нормальная к
плоскости составляющая Rn силы R
численно равна N, а горизонтальная
составляющая F представляет собой
силу трения каче-
ния. В первом приближении можно считать, что
(закон Кулона),
где г — радиус катящегося тела, a k — коэффициент тре-
ния качения, имеющий размерность длины и зависящий
от материала тел, состояния их поверхностей и целого
ряда других факторов.
Пара сил Rn и N, приложенных к катящемуся телу,
создает момент трения М, равный
M = Fr = kN.
13. Движение в неинерциальных системах отсчета
1° Относительное ускорение wr точки равно разности
между ее абсолютным ускорением wa и суммой пере-
носного we и кориолисова w# ускорений (стр. 29):
wr=we- (we +W*).
Поэтому уравнение относительного движения мате-
риальной точки, обладающей массой т, в произвольной
неинерциальной системе отсчета имеет вид:
mwr = mwa — (mwe + mwk).
Выбирая за абсолютную систему отсчета какую-ни-
будь инерциальную систему и учитывая, что для послед-
ней справедлив второй закон Ньютона (>nwa = F), полу-
чаем:
mwr = F 4- le +1*,
4*
52 РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ [1.8
где F — результирующая всех сил, действующих на ма-
териальную точку со стороны других тел, а 1е = - mwe
и 1Л = —mwk — переносная и кориолисова силы инер-
ции.
2° Уравнение относительного движения материальной
точки в произвольной неинерциальной системе отсчета
формально подобно уравнению движения этой точки в
инерциальной системе (mw = F). Отличие состоит лишь
в необходимости введения в правую часть уравнения
двух дополнительных сил инерции. Принципиальное
различие между силами инерции и обычными силами взаи-
модействия тел состоит в том, что для первых нельзя ука-
зать, действие каких конкретно тел на материальную
точку ими описывается. Указанные выше силы инерции
не следует смешивать с даламберовой силой инерции
!<? =—znw, где w — ускорение материальной точки по
отношению к инерциальной системе отсчета. Введение
этой силы инерции чисто формально: оно позволяет придать
уравнению динамики точки в инерциальной системе отсчета
форму уравнения статики: F + 1^ = 0, где F — равнодей-
ствующая всех сил, действующих на точку. В то время
как переносная и кориолисова силы инерции реально
действуют на точку в неинерциальной системе отсчета
и могут быть измерены с помощью обычных методов
(например, пружинным динамометром), даламберова сила
инерции на точку не действует и поэтому не может
быть измерена.
глава з
РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
1. Энергия
Г Энергией называется единая мера различных форм
движения. Энергия — скалярная величина. Для количе-
ственной характеристики качественно различных форм
движения, рассматриваемых в физике, вводятся соответ-
ствующие им виды энергии: механическая (стр. 58), вну-
тренняя (стр. 140), электромагнитная (стр. 427), хими-
ческая, ядерная (стр. 729) и др
2е Закон сохранения и превращения энергии: при
любых процессах, происходящих в изолированной си-
стеме, ее полная энергия не изменяется.
РАБОТА
63
1.8.2]
Этот закон вытекает из однородности времени
(стр 92) и является одним из важнейших законов при-
роды. Он свидетельствует о том, что движение материи
несотворимо и неуничтожимо: оно может лишь перехо-
дить из одних форм в другие.
3° Если система незамкнутая, то изменение ее энер-
гии благодаря внешним воздействиям численно равно и
противоположно по знаку алгебраической сумме изме-
нений энергии всех внешних тел и полей, взаимодей-
ствующих с системой.
4° Возможны два качественно различных способа пе-
редачи движения и соответствующей ему энергии от
одного макроскопического тела к другому — путем со-
вершения работы, и путем теплообмена J).
Под процессом совершения работы понимается такой
процесс взаимодействия какого-либо тела с другими те-
лами, в результате которого изменяется механическое
движение этого тела или его положение по отношению
к остальным телам. Таковы, например, процессы соуда-
рения движущихся тел и их торможения вследствие
явления трения, а также любые процессы перемещения
тел под влиянием сил взаимодействия между ними.
Под процессом теплообмена понимается любой про-
цесс обмена энергией между телами, осуществляющийся
путем непосредственного взаимодействия либо между
молекулами и атомами этих тел (процессы теплопровод-
ности, стр. 198 и 257, и конвективного теплообмена, стр. 313),
либо между молекулами и атомами одного тела и части-
цами (фотонами) электромагнитного излучения, испускае-
мого другими телами (процесс лучистого теплообмена).
Изменения энергии тела в процессах совершения ра-
боты и теплообмена называются соответственно работой
и теплотой или количеством тепла, сообщенного телу.
2. Работа
Г Элементарная работа М силы F, совершаемая
при перемещении dr материальной точки под дей-
ствием силы F, равна скалярному произведению
При взаимодействии между отдельными микрочастицами (ато-
мами, электронами и т. п.) эти понятия неприменимы, и в таких слу-
чаях говорят лишь о процессе совершения работы.
54 РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ [1.3
векторов F и dr.
ЪА == (F dr) = F ds cos а = ds,
или, в декартовйх координатах,
М = Fx dx + Fv dy + Fz dz,
где г — радиус-вектор точки, х, у и z — ее декартовы
координаты, Fx, Fy и Fz— проекции вектора силы на оси
координат, а — угол между векторами F и dr\ ds =
= | dr | — элементарная длина пути точки вдоль траек-
тории, Fx = Feos а — проекция силы F на касательную
к траектории.
Элементарная работа обозначена через М, а не dA,
так цдк в общем случае она не является полным диф-
ференциалом, т. е. криволинейный интеграл от М вдоль
произвольной замкнутой траектории точки приложения
силы не равен нулю, в то время как этот интеграл от
полного дифференциала должен быть тождественно равен
нулю. Например, работа сил трения при перемещении
тела вдоль замкнутой траектории всегда отрицательна.
2° Если на материальную точку или абсолютно твер-
дое тело действует система сил Fb F2, ..., Fft, то со-
вершаемая при этом элементарная работа М равна
алгебраической сумме элементарных работ всех сил си-
стемы:
k
м= s (P’irfFf),
i = 1
где dri — элементарное перемещение точки приложения
силы
В случае поступательного* движения абсолютно твер-
дого тела все векторы dri одинаковы и равны dr. По-
этому элементарная работа М равна работе, совершае-
мой главным вектором F системы сил Fb F2, ... , F^
(стр. 34):
k
М = ( 2 F; rfr) = (F dr).
i— 1
3е В случае вращательного движения абсолютно твер-
дого тела элементарная работа М равна произведению
результирующего момента М относительно оси враще-
ния всех сил, действующих, на тело (стр. 64), на эле-
ментарный угол dy поворота тела вокруг этой оси:
М = М d(f>.
1.3.3]
МОЩНОСТЬ
55
4° Работа А силы F на конечном участке s траекто-
рии перемещения ее точки приложения равна алге-
браической сумме элементарных работ этой силы на всех
бесконечно малых участках траектории:
5 S
А =Ц (F dr) = \ Fx ds.
Если FT = const, то A = FTs.
В случае действия на твердое тело системы сил Fb
Fs, F^, вызывающих поступательное движение тела,
k s s S
а= 2 VFirfr)=VFdr)=SF’ds>
i = 1 О О О
где F — главный вектор системы сил, a Fx — его проек-
ция на элементарное пере-
мещение dr тела.
5° Если зависимость Fx
от s задана графически
(рис. 1. 3.1), то работа А
силы F на участке траекто-
рии между точками В (Si)
и С (s2) пропорциональна
площади S, заштрихованной
на рис. I. 3.1:
А == kiksS,
где и k2 — масштабы s и иис*
Fx, принятые при построе-
нии графика и показывающие соответственно, скольким
единицам пути равна единица длины оси абсцисс и сколь-
ким единицам силы равна единица длины оси ординат.
3. Мощность
Г Мощностью N силы F называется скалярная вели-
чина, характеризующая быстроту совершения работы
этой силой и равная отношению элементарной работы ЗА
к промежутку времени dt, за который она совершена:
yv=^=(F^)=<FV)-
Мощность силы равна скалярному произведению этой
силы на скорость перемещения ее точки приложения:
^=FTv,
56 РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ (1.3
где Fx — проекция силы F на направление вектора v.
В том случае, когда тело с массой т движется под
действием силы.Р поступательно, Fx-=mv и N=mvv.
2° В случае произвольного движения абсолютно твер-
дого тела результирующая мощность равна алгебраиче-
ской сумме мощностей всех сил, действующих на тело:
k k
i = I i = 1
где V/ — скорость движения точки приложения силы F$.
3е Мощность силы или системы сил, вызывающих вра-
щательное движение абсолютно твердого тела, равна
произведению результирующего момента этих сил отно-
сительно оси вращения на угловую скорость тела:
W=Mo.
4. Силовая функция
Iе Силы, действующие на материальную точку или
тело, называются потенциальными, если работа этих сил
при перемещении точки (тела) зависит только от началь-
ного и конечного положений точки (тела) в пространстве.
Иными словами, работа потенциальной силы F вдоль
произвольной замкнутой траектории движения ее точки
приложения тождественно равна нулю:
£ (Fdr) = §(Fxdx± Fvdy + Fzdz) = 0.
Для выполнения этого условия необходимо и доста-
точно, чтобы подынтегральное выражение (т. е. элемен-
тарная работа силы F) было полным дифференциалом
некоторой скалярной функции координат U (х, у, z), на-
зываемой силовой функцией’.
Fx dx 4- Fydy + Pz dz = dU,
Отсюда
P __ dU p __dJU p _dU
ГУ~~ду ’ dz>
ИЛИ
P dU 3 I du . . dU t . rr
F== — k = grad U.
dx ' dv J ' dz &
Потенциальная сила F равна градиенту силовой функ-
ции U.
1.3.4] СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ 57
Пример 1. Для гравитационного взаимодействия
двух материальных точек с массами mi и т2, отстоящих
друг от друга на расстоянии Z? (стр. 45),
и=
Пример 2. Для электростатического взаимодей-
ствия двух точечных зарядов qt и qit отстоящих друг от
друга на расстоянии Z? (стр. 329),
гт_________________________1
4тее0е R
2е В самом общем случае потенциальные силы и си-
ловая функция могут, явно зависеть не только от коор-
динат, но и от времени/ 7^0 и Такие силы
называются нестационарными. В случае нестационарных
сил при вычислении интеграла (^(Fdr) время нужно
считать фиксированным параметром.
Работа Д, совершаемая стационарной потенциальной
силой F при конечном перемещении точки ее приложе-
ния из точки I (хъ yb zi) в точку 2 (х2, у2, z2), равна
разности значений силовой функции в конечной и на-
чальной точках:
2 2
Д = j (F dr) = J dU = U2 - Ux.
В случае нестационарной потенциальной силы эта
формула верна лишь для мгновенного процесса переноса
точки ее приложения, так как в противном случае
подынтегральное выражение
(Fdry^dx + ^dy+^dz
v ' дх 1 ду * ’ dz
не является полным дифференциалом функции £7(х, у, z,/).
3° Силы, действующие на материальную точку или
тело, называются непотенциальными, если работа этих
сил зависит от пути перемещения точки (тела).
Примером непотенциальных сил являются силы тре-
ния, которые всегда направлены в сторону, противопо-
ложную направлению элементарного перемещения dr,
так что j) (FTp dr) < 0.
58 РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ (Т.З
5. Механическая энергия
Г Механической энергией W называется энергия ме-
ханического движения и взаимодействия тел. Она равна
сумме кинетической WK и потенциальной Wn энер-
гий 2):
W = U7K + U7n.
2° Кинетическая энергия тела является мерой его
механического движения и измеряется той работой, ко-
торую может совершить это тело при его торможении
до полной остановки. Кинетическая энергия материаль-
ной точки равна половине произведения массы т точки
на квадрат скорости v ее движения:
В случае плоского движения, заданного в полярных
координатах (р, <р):
^к = "(р2 + р¥).
Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических
энергий всех материальных точек, входящих в его со-
став, и выражается следующим интегралом:
WK = ^ 5 = i 5 Р®2 rfV,
(m) (К)
где dm — масса малого элемента тела, dV, риг/ — объем,
плотность и модуль скорости этого элемента, а т и
V—масса и объем всего тела.
В случае поступательного движения тела со ско-
ростью v
— 2 *
Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то его
кинетическая энергия равна половине произведения мо-
мента инерции тела J относительно оси вращения
(стр. 65) на квадрат угловой скорости
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг непо-
/) В аналитической механике кинетическую энергию принято обо-
значать через Т, потенциальную — через и, а механическую — че-
рез Е.
1.3.5] МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ 69
движной точки, выражается той же формулой, где J — мо-
мент инерции тела относительно мгновенной оси вра-
щения.
В самом общем случае кинетическая энергия си-
стемы материальных точек равна сумме кинетической
энергии поступательного движения системы со ско-
ростью vc ее* центра инерции и кинетической энер-
гии WK системы в ее относительном движении по отно-
шению к поступательно движущейся системе отсчета с
началом в центре инерции (теорема Кенига)',
Ь о о
" тъс
w*= S -Н=-т +
i = 1
где
Л . ? 2
. mivi
^=5—- vi=vi-vc-
4=1
В частности, кинетическая энергия тела, которое дви-
жется поступательно со скоростью v и одновременно
вращается с угловой скоростью <о вокруг оси, прохо-
дящей через центр инерции тела, равна
__mv2 ।
wK— Г 2 •
Примером такого движения является качение шара или
цилиндра по плоскости.
3° Потенциальной энергией называется энергия, зави-
сящая только от взаимного расположения взаимодей-
ствующих материальных точек или тел. Поэтому ее
часто называют взаимной потенциальной энергией.
Уменьшение потенциальной энергии тела при его мгно-
венном *) перемещении из одного положения в простран-
стве в другое измеряется той работой, которую совер-
шают при этом действующие на него потенциальные
силы (стр. 56):
№ni- №n2 = £72-£/b
или для элементарного перемещения тела: — dWn = dUj
где U — алгебраическая сумма значений силовой функ-
ции для всех материальных точек, входящих в состав
9 Если потенциальные силы стационарны, ю эго ограничение не
существенно.
60 РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ [1.3
тела. Таким образом, U7n =— U + С, где С — постоян-
ная интегрирования, равная значению Uo функции U для
такого положения тела, в котором его потенциальная
энергия считается равной нулю. Выбор этого положения
тела (начала отсчета его потенциальной энергии) совер-
шенно произволен, так как в любом опыте можно изме-
рить только изменение потенциальной энергии, но не ее
абсолютные значения. В каждой конкретной задаче вы-
бор величины С производят по-разному, исходя из
соображений максимального упрощения решения задачи.
Если потенциальные силы нестационарны, то Wn и U
являются функциями координат и времени.
Пример 1. Потенциальная энергия упруго дефор-
мированного тела (потенциальная энергия недеформиро-
ванного тела принимается равной нулю) равна
где wn — объемная плотность потенциальной энергии,
численно равная энергии деформации единицы объема
I dWn\
тела I wn = J, а интегрирование проводится по всему
объему V тела. В простейшем случае линейного растя-
жения или сжатия изотропного тела вдоль оси Ох в нем
возникают потенциальные силы упругости, равнодей-
ствующая F которых по закону Гука (стр. 268) равна
F = — ах, где а — коэффициент упругости, зависящий
от формы и размеров тела, а также от упругих свойств
его материала, х — вектор, численно равный деформации
тела и совпадающий по направлению с вызвавшей ее
внешней силой. Так как Рх =— ах, a Fv = Fz = 0, то
и = — ах2/2 и
Пример 2. Потенциальная энергия тела в гравита-
ционном поле. Сила F, действующая на материальную
точку со стороны гравитационного поля, равна произве-
дению напряженности g этого поля на массу т точки
(стр. 48):
F = mg = — т grad <р = — grad (mep) = grad С/,
где ер — потенциал поля (стр. 48), а (/= —тер — силовая
функция (стр. 56). Потенциальная энергия материальной
точки в гравитационном поле равна Wa = m<f>-}-C.
1.8.6] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 61
Эта формула справедлива также для потенциальной
энергии тела конечных размеров, если только неодно-
родностью гравитационного поля, т. е. зависимостью g
от координат, в пределах объема тела можно прене-
бречь.
Землю в первом приближении можно считать шаром,
плотность которого изменяется только вдоль радиуса.
Поэтому потенциал гравитационного поля Земли в точке,
отстоящей от центра Земли на расстоянии г, равен
(стр. 49)ср =—, где Л4 — масса Земли, а г —ра-
диуса Земли.
Потенциальная энергия тела с массой т, находяще-
гося в гравитационном поле Земли, равна
или, полагая U7n = 0 на поверхности Земли (г = /?0),
и7п = /тЛ1(^-4).
6. Закон сохранения механической энергии
Г Элементарное изменение механической энергии
системы материальных точек или тел равно элементар-
ной работе всех k сил F^, действующих на систему:
k k
dW= (PidTi).
Если силы Ft- потенциальные, то полная производная
по времени от механической энергии системы равна
частной производной по времени от потенциальной энер-
aw dwn
гии этой системы: -~,т=—
dt dt
2е Система тел (материальных точек) называется кон-
сервативной, если все внешние силы, действующие на
эти тела, являются стационарными и потенциальными, а
все внутренние силы потенциальны. Потенциальная энер-
гия консервативной системы не зависит явно от вре-
мени. Поэтому
^=0. «7= 1ГК+ 1ГП = const.
Механическая энергия консервативной системы со-
храняется неизменной в процессе движения системы.
62 РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ [1.3
Этот результат называется законом сохранения механи-
ческой энергии. В частности, он справедлив для любой
замкнутой системы тел, силы взаимодействия между ко-
торыми потенциальны. Если эти силы непотенциальны
(например, есть силы трения), то механическая энергия
замкнутой системы уменьшается.
3° Система тел называется диссипативной, если ее
механическая энергия с течением времени уменьшается
за счет преобразования в другие (немеханические) формы
энергии (например, во внутреннюю энергию хаотического
движения частиц, составляющих эти тела). Этот процесс
уменьшения механической энергии системы называется
диссипацией энергии.
7. Удар
Г Ударом называется явление конечного изменения
скоростей твердых тел за весьма малый промежуток
времени т, происходящее при их столкновениях. В про-
цессе деформации тел при ударе возникают мгновенные
(ударные) силы, величина которых весьма значительна.
Для системы соударяющихся тел мгновенные силы
являются внутренними силами. Их импульсы за время т
продолжительности удара называются мгновенными им-
пульсами. Они во много раз больше импульсов за то
же время всех внешних сил, приложенных к системе.
Поэтому в процессе удара влиянием внешних сил можно
пренебречь и считать, что система соударяющихся тел
является замкнутой, т. е. в ней выполняются законы со-
хранения количества движения (стр. 41) и момента ко-
личества движения (стр. 73). Рассматривая соударяю-
щиеся тела как систему, состоящую из k материальных
точек, получаем:
k k
S тм = s m,ut
X = I I = 1
И
k k
S = S [Г|Л(П||,
x = 1 i=1
где V/ и иг-— скорости материальной точки с массой znt-
соответственно до и после удара, a q — радиус-вектор
этой точки.
1.3.7] УДАР 63
2° Общая нормаль к поверхностям соударяющихся
тел в точке их соприкосновения называется линией-
удара. Удар называется прямым, если скорости центров
тяжести соударяющихся тел перед ударом параллельны
линии удара. В противном случае удар называется ко-
сым. Удар называется центральным, если при ударе
центры тяжести соударяющихся тел лежат на линии
удара.
Пример 1. Прямой центральный удар двух тел,
движущихся поступательно. Скорости тел до удара Vi,
v2 и после него иъ и2 направлены вдоль одной пря-
мой — оси Ох, проходящей через центры тяжести тел.
Проекции этих скоростей на ось Ох связаны соотноше-
ниями:
„ (/71! — Aj/712) + /П2 (1 4- k)
1 /71! 4-m2 1
„ (1 + *) + (m2 — fe/Kl) ”2
b_ U2 - «1
T>1 — T>2 ’
где величины Vi, t/2, Ui и н2 положительны или отрица-
тельны в зависимости от того, как направлен соответ-
ствующий вектор скорости (вдоль положительного на-
правления оси Ох или в противоположную сторону).
Величина k называется коэффициентом восстановления.
Она равна отношению абсолютных значений относитель-
ных скоростей тел после и до удара и зависит только
от упругих свойств соударяющихся тел. Уменьшение
кинетической энергии тел в результате удара равно
^K==2^^-(V.-VS)‘(l-n
Эта часть механической энергии системы преобразуется
в ее внутреннюю энергию. Если ударные силы потен-
циальны, то удар называется вполне упругим и k — 1.
Удар называется неупругим, если после него тела дви-
жутся с одинаковой скоростью, т. е. «1 = ц2 и & = 0.
Во всех остальных случаях удар называется не вполне
упругим и 0 < k < 1.
Пример 2. Косой центральный удар двух поступа-
тельно движущихся тел. При ударе изменяются только
нормальные составляющие скоростей тел, параллельные
64 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [1Л
линии удара:
__(ml-km2)vin+ma
mi _|_ ma ‘ i
__(1 + k) vin + (ma - km^
Usn mi 4-m2——— ,
причем коэффициент восстановления
b и2п~~ищ
vin ~~v2n ’
ГЛАВА 4
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
1. Момент силы
Г Моментом М$ силы относительно точки О назы-
вается векторное произведение радиус-вектора Г/, про-
веденного из точки О в точку приложения силы, на век-
тор силы F/:
Проекции Mix, Miy и вектора М/ на оси прямо-
угольной декартовой системы координат с центром в
точке О связаны с проекциями на эти оси векторов и
Fj соотношениями:
Mlx=yiFi2 — ZiFiy, Mly = ziFix—xtFiz,
Miz = -^iFfy yiFix,
где Xf, y/f, Zi — координаты точки приложения силы Fj.
2° Моментом силы относительно оси называется
скалярная величина, равная проекции на данную ось
вектора момента, силы относительно какой-либо точки
той же оси.
Главным моментом М системы k сил называется
вектор, равный сумме векторов моментов всех сил си-
стемы относительно центра приведения (стр. 34):
k k
М= 2Mf= 2Ir,Fd.
i — 1 i= 1
Главные моменты M и М' одной и той же системы
сил для двух различных центров приведения О и О' свя-
1.4.2] МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 65
заны соотношением
М' = М- [r0,F],
k
где F = 2 F, — главный вектор системы сил, а г0» —
радиус-вектор, проведенный из точки О в точку О'.
Момент системы сил относительно оси равен проек-
ции на эту ось главного момента системы сил, соответ-
ствующего какой-либо точке той же оси.
2. Момент инерции
Г Моментом инерции тела относительно оси назы-
вается величина, являющаяся мерой инертности тела во
вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме
произведений масс всех частиц тела на квадраты их
расстояний от той же оси. Моменты инерции тела отно-
сительно осей прямоугольной декартовой системы коор-
динат равны:
Л= \ (y* + z*)dm= \ (y* + za)?dV =
(т) (и)
= (УЧ-*2) Р dx dy dz,
(И)
Jv = J (xs+«a)dm==$(xa4-z‘)pdiz=-
(m) (V”)
= (x2 + *2) p dx dy dz,
Jz = $ (xs + ya) dm =5 (xa + у») P dV~
(m) (V}
= +J’,) ₽ dx dy di'
где /71, p и V—масса, плотность и объем тела, а х, у и
z— координаты элементарной частицы тела, имеющей
объем dV и массу dm. Момент инерции зависит только
от формы тела и расположения масс в нем. ____________
Величины гх = У Jxlm\ ry = УУу/т и rz= Jг1 т
называются радиусами инерции тела относительно осей
Ох, Оу и Oz соответственно.
5 Б. М. Яворский. А. А. Детлаф
66 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [1Л
Для дискретной системы k материальных точек
k k
= 2 (У* + Jy=^ (4 + 4) mi,
i = l i = 1
k
Jz= + m;.
2° Теорема Штейнера: момент инерции Ja тела от-
носительно произвольной оси а равен сумме момента
инерции Ja, этого тела относительно оси а', параллель-
ной оси а и проходящей через центр инерции тела, и
произведения массы т тела на квадрат расстояния d
между осями а и а' (аналогично для произвольной си-
стемы материальных точек):
Ja=Ja' + md*.
Таким образом, момент инерции тела относительно
оси, проходящей через его центр инерции, меньше мо-
мента инерции относительно любой параллельной ей оси.
3° Центробежными моментами инерции тела по
отношению к осям прямоугольной системы координат
(Ох, Оу, Oz) называются следующие выражения:
Jxy = ху dm = xyy dV— ху$ dx dy dz,
(т) (V) (У)
Jxz = xz dm == ( xz? dV = Ш xz$ dx dy dz,
(m) (V) (V)
Jyz= yz dm = 5dV ==. yz? dx dy dz.
(m) (V) (V)
Для системы k материальных точек
k k k
Jxy=. 2 -х^урЛ}, Jxz= 2 XiZimi, Jyz'^ y^d^i-
i= 1 i — 1 i = 1
4° Моменты инерции твердого тела Ja относительно
всевозможных осей а, проходящих через какую-либо
точку О, связаны с моментами инерции этого тела по
отношению к осям координатной системы (Oxt Оу, Oz),
начало которой совпадает с О, следующим соотноше-
нием:
Ja = Jx cos2 а + Jv cos2 p + Jz cos2 у — 2Jxy cos a cos p —
— 2Jxz cos a cos 7 — 2Jуz cos p cos 7,
1.4.2] МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 67
где а, р и 7 — углы, образуемые осью а соответственно
с осями Ох, Оу и Oz.
Ось Ох называется главной осью инерции тела, если
центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно
равны нулю. Через каждую точку тела можно провести
три взаимно перпендикулярные главные оси инерции
Ох’, Оу' и Oz' так, что
Ja = Ji COS8 а' + Ji cos2 p' + Ji COS2 f,
где a', P' и у — углы, образуемые осью а с осями Ox',
Оу' и Oz', a Ji, Л и Л — моменты инерции тела по отно-
шению к главным осям инерции в точке О, называемые
главными моментами инерции.
5° Если через точку О твердого тела провести все-
возможные оси а и вдоль каждой из них отложить от-
резки О А, численно равные то геометрическое
место точек А будет представлять собой эллипсоид, на-
зываемый эллипсоидом инерции тела в точке О. Главные
оси эллипсоида инерции совпадают с главными осями
инерции тела в точке О. Уравнения эллипсоида инерции
в системах координат (Ох, Оу, Oz) и (Ох', Оу', Oz')
имеют вид:
J х%* “Н J ху %У — %J хг %% — yz У* ==
Лх'2 + + JiZ'2 = \.
Центральным эллипсоидом инерции твердого тела на-
зывается эллипсоид инерции, соответствующий центру
инерции этого тела. Главные оси центрального эллип-
соида инерции тела называются главными центральными
осями инерции, а моменты инерции тела относительно
этих осей — главными центральными моментами инер-
ции. Центральная ось инерции является главной осью
инерции во всех точках тела, принадлежащих этой оси.
6° Если однородное тело имеет ось симметрии, то эта
ось является одной из его центральных осей инерции.
Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то
любая перпендикулярная к ней прямая является главной
осью инерции в точке пересечения этой прямой с пло-
скостью симметрии.
Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной
точки О, называется телом вращения в динамическом
смысле, если его эллипсоид инерции для точки О пред-
ставляет собой эллипсоид вращения. Ось вращения
68 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ (1.4
эллипсоида инерции называется осью динамической сим-
метрии тела.
7е Главные центральные моменты инерции некоторых
однородных тел простейшей формы (т — масса тела).
1) Прямолинейный тонкий стержень длиной /, распо-
ложенный вдоль оси Oz:
Jx = Jv=Lmi\ J2 = o.
2) Прямоугольный параллелепипед со сторонами а, b
и с, параллельными соответственно осям Ох, Оу и Oz:
Jx = %d»+c^, +
3) Полый прямой круглый цилиндр высотой Н и ра-
диусами внешней и внутренней поверхностей, равны-
ми и /?2; Oz — ось цилиндра:
Jx = Jy = Г2 + //•), Л = у (/?? + /?!)•
Для сплошного цилиндра (/?2 = 0; = А>):
Jx=Jy = (ЗУ?2 + /72), Jz = 1 mR*.
Для боковой поверхности тонкостенного полого ци-
линдра (7?i = Т?2 = /?):
Jx=^=™(6/?*+/72), Jz = mR*.
Для
Для
4) Полый шар с радиусами внешней и внутренней
поверхностей, равными Ri и Rs:
, Т Т 2 Pl - Pl
J% — J у —— Jz — к т „ •
v 5 . Ri -
сплошного шара (Т?2 = 0; Ri = R):
Jx = Jy = Jz = lmRs.
тонкостенной сферы (Ri — R2 = R):
Jx = Jv = Jz = lmR\
шарового сектора (Oz — ось симметрии):
Л- = ^(3/?-й),
где R — радиус шаровой поверхности, h — высота шаро-
вого сегмента, принадлежащего шаровому сектору.
Для
1.4.8] МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 69
Для шарового сегмента (Oz — ось симметрии):
J ___mh 207?» - 157?Л -]-ЗЛ2
Jz ““ 20 37? — Л
5) Прямой круглый конус радиусом основания R и
высотой И (Oz — ось конуса):
JX = Jy = ^ (*’ + т) - Л = го^‘-
Для боковой поверхности тонкостенного полого ко-
нуса:
л=4
6) Усеченный прямой круглый конус высотой Н и
радиусами оснований и (Oz — ось конуса):
/ -- - ^2
z 10 7?? - 7?! *
Для боковой поверхности тонкостенного усеченного
конуса:
Л = 1 (/?? + /??).
7) Прямая прямоугольная пирамида высотой /7, сто-
роны основания а и b параллельны соответственно осям
Ох и Оу:
'*=ё(62+4"2)> л=ё(в’+4"2).
8) Эллипсоид с полуосями а, b и с, параллельными
соответственно осям Ох, Оу и Oz:
Jx = l(b» + c‘), Jv=l + с‘), = + n
9) Кольцо радиуса R с круговым поперечным сече-
нием радиуса г (тор); ось Oz перпендикулярна к плоско-
сти, в которой лежат центры поперечных сечений:
4 = Л = 1 (4/?> + 5г8 9), 4= w ( /?> +1 г« ) .
3. Момент количества движения
Iе Моментом количества движения (моментом им-
пульса) материальной точки относительно некоторой
точки (полюса) называется вектор L$, равный векторному
70 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [1.4
произведению радиус-вектора точки, проведенного
из полюса, на ее количество движения /игух-:
L, = [r.-m.-v,-].
Моментом количества движения или кинетическим
моментом системы материальных. точек относительно
полюса называется вектор L, равный геометрической
сумме моментов количеств движения относительно того
же полюса всех k точек системы:
k
L= S [г<ягу4].
Момент количества движения тела относительно по-
люса равен
L = § [гv] dm — [rv] р dV = [rv] р dx dy dz,
(in) (V) (V)
где г, v и р — соответственно радиус-вектор, скорость и
плотность малого элемента тела, имеющего массу dm и
объем dV.
2° Центр инерции С системы материальных точек
обладает тем свойством, что моменты количества дви-
жения этой системы относительно С для абсолютного
движения точек (Lc) и для их относительного движения
(Lc) по отношению к поступательно движущейся системе
координат с началом в точке С одинаковы: Lc = Lc, т. е.
k k
2 = S |r>zv;-],
i=l i=]
где Vi и v'i= Vi — vc — скорости абсолютного и относи-
тельного движений точки с массой т^ положение кото-
рой относительно С определяется радиус-вектором г'. ==
= г,- — гс. Моменты количества движения системы отно-
сительно ее центра инерции (Lc) и неподвижного по-
люса (L) связаны соотношением
Lc = L — т | rcvc] — L — [гсК],
k
где т= S mi— масса системы, vc — абсолютная ско-
i — 1
рость центра инерции по отношению к полюсу, а К — ко-
личество движения системы.
1.4.3] МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
71
3° Моментом количества движения или кинетическим
моментом системы материальных точек (тела) относи-
тельно оси а называется скалярная величина равная
проекции на ось а вектора L момента количества дви-
жения системы (тела) относительно любого полюса, при-
надлежащего этой оси. Моменты количества движения
системы k материальных точек относительно осей не-
подвижной прямоугольной декартовой системы коорди-
нат равны:
k
Lx= £ (yiviz — z;viv) mit
i= 1
k
Ly = Jj xi^iz) Mfr
i = I
k
Lz= £ — Mix) ™i,
i= 1
где xif yh zi — координаты Z-й материальной точки си-
стемы, vix, viy, ViZ ~~ проекции ее скорости V/ на оси
координат.
Для тела
Lx = (yvz — zvv) dm = Щ (yvz — zvv) p dx dy dz,
(m) (V)
Ly= $ (zvx — xvz) dm = (zvx — xvz) p dx dy dz,
(m) (V)
Lz= \ (xvv — yvx) dm=S\\(xVy — yvx) p dx dy dz,
(in) (V)
где x, у, z— координаты малого элемента тела с мас-
сой dm, a vx, vy, vz — проекции скорости этого элемента
на оси координат.
Момент количества движения тела или системы ма-
териальных точек относительно произвольной оси а, про-
ходящей через начало координат, равен
La = Lx cos а + Ly cos 3 4- Lz cos 7,
где a, p, 7 — углы, образуемые осью а с осями коорди-
нат Ох, Оу, Oz. Если тело вращается вокруг оси а с уг-
ловой скоростью а), то
La —
72 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ (1.4
4. Основной закон динамики вращательного
движения
Производная по времени от момента количества дви-
жения механической системы относительно неподвиж-
ной *) точки или центра инерции системы равна глав-
ному моменту относительно той же точки всех внешних
сил, приложенных к системе:
или, в проекциях на координатные оси неподвижной
(инерциальной) системы отсчета:
dL dL dL
— = Мх; = Mv; —ц = Mz.
Пример 1. Вращение системы вокруг неподвижной
оси От. Lx — Lv — O, a Lz = Jz^y где со — угловая ско-
рость, Jz — момент инерции системы относительно оси Oz.
Уравнение движения: (Jz&) = Мг. Если система являет-
ся абсолютно твердым телом, то = М2.
Пример 2. Вращение твердого тела вокруг непо-
движной точки Q. В жестко связанной с телом подвиж-
ной системе координат (х', у', z')t начало которой нахо-
дится в точке О, уравнение движения тела имеет вид:
4 = M-[«L],
где L и М - момент количества движения тела и глав-
ный момент приложенных к нему внешних сил относи-
тельно точки О, со — угловая скорость вращения тела, а
dL dLx> dLvt dLzf
— j' + -%- k' - относительная произ-
водная по времени от вектора L, i', j' и к — орты
подвижной системы. Если оси подвижной системы ко-
ординат совпадают с главными осями инерции тела
в точке О, то уравнения движения тела в проекциях на
эти оси имеют вид:
+ (Л — Л) <Л8(О3 = 7И1,
У2<о2 -|- (Ji — Jg) = Л18,
4" (Л — Ji) = Л48»
1) По отношению к некоторой инерциальной системе отсчета.
1.4.5] СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 73
где Ух, Jj и J8 — главные моменты инерции тела в точ-
ке О, о>1, coj и <о8 — проекции вектора угловой скорости
тела на главные оси инерции, a Mi, М8 и Л48 — моменты
всех внешних сил относительно тех же осей. Эти урав-
нения называются динамическими уравнениями Эйлера.
Они справедливы также для вращения свободного твер-
дого тела вокруг центра инерции. Только в этом случае
Ji, Js и J8 — главные центральные моменты инерции,
тела, «и, <о2, со8 — проекции вектора угловой скорости
тела на его главные центральные оси инерции, a Mi, Ms
и Ms — моменты всех внешних сил относительно тех же
осей.
5. Закон сохранения момента количества движения
Г Если главный момент внешних сил относительно
неподвижной точки или центра инерции механической
системы тождественно равен нулю, то момент количества
движения системы относительно этой точки с течением
времени не изменяется:
— = О, L = const.
at
В замкнутой системе внешние силы отсутствуют. По-
этому момент количества движения L замкнутой системы
относительно любой неподвижной точки, а также геоме-
трическая сумма Lc моментов количества движения всех
частей системы по отношению к ее центру инерции не
зависят от времени:
k
~dT = ~dt lr*m*v*l = О»
i=i
dLc d Л,
i = l
где fj и V/ — радиус-вектор и абсолютная скорость Z-й
материальной точки системы по отношению к неподвиж-
ной инерциальной системе координат (х, у, z), а г' =
= гх-—гс и Vj = vt—vc—радиус-вектор и относительная
скорость той же точки по отношению к центру инерции
системы. В проекциях на неподвижные оси Ох, Оу
и Oz и оси О'х', О'у’ и O'z’ подвижной системы, переме-
щающейся поступательно так, что ее -начало О' всетда
74
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[1.4
совпадает с центром инерции, закон сохранения момента
количества движения записывается в виде двух систем
уравнений:
k
Zi S mi <JiViz — ZiViy) = °.
k
Zt Zj mi(zivix — xiviz) = Q,
i=l
k
£ 2 mi (xtviv — yflix) = 0;
k
S mi(y'iv'iz — Z'iViy) =°>
i= 1
k
3i Xm.(z^i'x-^) = 0,
k
Tt 2 tn^x'iV'iy— y'iv:x) = o.
i = l
2° Если момент внешних сил относительно центра
инерции твердого тела равен нулю, то вращение тела
вокруг центра инерции называют свободным (инерцион-
ным) вращением. Оно описывается следующими гремя
уравнениями, вытекающими из динамических уравнений
Эйлера (стр. 72):
J 1<Ь 1 (7в — /з) ^э^з=
4" (А--Jз) ^З*0! ==
Л*8 4" (Л --J1) ^i<D2 = 0,
где Ji, /2 и J8— главные центральные моменты инерции
тела, а (ох, <о2 и <о8—проекции вектора угловой скорости
тела на главные центральные оси. При этом центр инер-
ции тела движется по закону
mfc = F,
где F — главный вектор системы внешних сил, т— мас-
са тела.
3° Свободное вращение тела называется стационар-
ным, если вектор <о угловой скорости тела постоянен.
Необходимым и достаточным условием такого движения
1.4.6] ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 75
является вращение тела вокруг одной из главных цен-
тральных осей. Однако практически стационарное сво-
бодное вращение осуществляется только вокруг главных
центральных осей с наибольшим и наименьшим момента-
ми инерции, называемых свободными осями тела, тогда
как свободное вращение относительно третьей оси
является неустойчивым.
Если механическая система незамкнута, но момент
всех внешних сил относительно какой-либо неподвижной
оси тождественно равен нулю, то момент количества
движения системы относительно этой оси не изменяется
в процессе движения.
6. Движение под действием центральных сил
1° Сила, действующая на движущуюся материальную
точку или тело, называется центральной^ если ее линия
действия все время проходит через одну и ту же непо-
движную точку О, называемую центром силы:
где г — радиус-вектор, проведенный из центра О в точку
приложения силы F; F — проекция силы на направление
радиус-вектора. Примерами центральных сил являются
силы тяготения между материальными точками и силы
электростатического взаимодействия между точечными
электрическими зарядами, для которых F обратно про-
порционально г2.
2° При движении материальной точки под действием
центральной силы ее момент количества движения отно-
сительно центра'О силы не изменяется:
= М = О, L = [ rm v] = const.
Поэтому точка движется в плоскости
Lx% *4“ Lvy Ч- LzZ ==
перпендикулярной к L и проходящей через точку О.
Секториальная скорость точки (стр. 20) постоянна (вто-
рой закон Кеплера):
2а = Г84 = —,
т т ’
где г и — полярные координаты точки в плоскости ее
движения (декартовы координаты точки: С и ij).
76 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [1Л
3° Если центральная сила, действующая на рассматри-
ваемую материальную точку, зависит только от г:
₽= F (г), то эта сила является потенциальной (стр. 56).
Ее силовая функция равна
</(/-) = $ F(r) dr + U,,
и
где £/o = Z7(O), Потенциальная, кинетическая и полная
энергии точки равны:
№n=-£/(r) + C=Wn(r),
Связь между полярными координатами точки и временем
имеет вид:
Г ^dr ,с
<Р= I —— ----- -Г Ьз.
J у Im |IF- JTn(r)]- ^
Вторая формула определяет уравнение траектории (ор-
биты) материальной точки, а первая—закон движения
точки вдоль этой траектории.
4° Полная энергия W точки в процессе движения не
изменяется. Поэтому область возможных значений поляр-
ного радиуса г точки определяется из условия
i£i+wn(r*)=W,
где г# — экстремальные значения г, т. е. гмакс и гмин.
Если гмакс — конечная величина, то движение называется
финитным. При этом траектория точки заключена внутри
кольца, ограниченного окружностями г = гмин и г==
==гмакс< Все траектории финитного движения точки замк-
нуты, если потенциальная энергия М7Л пропорциональна
1/г или г2 Если максимальное значение г не ограничено,
то движение называется инфинитным.
1.4.6] ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 77
5е Задача Кеплера —движение материальной точки
под действием центральной силы, обратно пропорцио-
нальной квадрату расстояния от центра силы:
F~ --^.r и IF„=
где а — постоянная величина. Если а <0, то точка оттал-
кивается от центра (кулоновское взаимодействие одно-
именных точечных зарядов); если а > 0, то точка притя-
гивается к центру (гравитационное взаимодействие мате-
риальных точек и кулоновское взаимодействие разно-
именных точечных зарядов).
Траектория точки — коническое сечение, уравнение
которого в полярных координатах г и Ф = <р — Cs (стр. 76)
имеет вид:
Г = . --г (а > 0),
1 -|- е cos ф 4 °
где р==^-^- — параметр орбиты, е=у 1 +-^---------
эксцентриситет орбиты, W — полная энергия точки, а
L — ее момент количества движения относительно центра.
а) а > 0. Центр силы лежит в фокусе орбиты мате-
риальной точки. Расстояние от него до ближайшей точки
орбиты, называемой перигелием, равно
' МИН ] е •
Если U7 :> 0, то 1 и орбита имеет форму гиперболы;
если W = Q, то е=\, т. е. орбита — парабола; если
W < 0, то — эллиптическая орбита (рис I. 4. 1),
полуоси которой равны:
а==_£—= _i_ ь =_________2___= —------.
l-е» 2|UZ|’ "
Период обращения точки по эллиптической орбите:
Г=2Я]Л^.
б) а < 0. Полная энергия точки:
1) Некоторые авторы называют ее задачей Ньютона.
78
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
П.4
Поэтому движение всегда инфинитно, а траектория имеет
вид гиперболы (1Г>0) или параболы (Н7 = 0). Центр
Рис. I. 4.1.
W>0
силы О и фокус орбиты F расположены на ее оси сим-
метрии по разные стороны от перигелия П (рис. I. 4. 2),
причем
г =_?_
' МИН - е_J •
Пример 1. Движение планет в гравитационном поле
Солнца: а = fmM > 0, где т — масса планеты, М — масса
Рис. I. 4.2.
Солнца, /— постоянная тяготения. Дви-
жение планет финитное, т. е. W < 0.
Поэтому справедливы следующие два
закона:
1) планеты движутся по эллиптиче-
ским орбитам, в одном из фокусов ко-
торых находится Солнце (первый закон
Кеплера);
2) отношение кубов больших полу-
осей орбит к квадратам времен обра-
щения для всех планет солнечной системы одинаково
(третий закон Кеплера):
4п2 ^ == — = fM == const.
1г т
Пример 2. Движение тел в гравитационном поле
Земли: а = fmM == gomrl, где т — масса тела, М — масса
Земли, go — ускорение свободного падения на поверх-
ности Земли, радиус которой равен г0 (влияние суточ-
ного вращения Земли не учитывается).
Первой космической или круговой скоростью vt назы-
вается та скорость, которую нужно сообщить телу для
1.4.7]
ГИРОСКОП
79
превращения его в спутник Земли, обращающийся по
круговой орбите (г = 0) радиуса г0:
= V gofo = 7,9 км/сек !).
Второй космической или параболической < коростью
t/2 называется та наименьшая скорость, которую нужно
сообщить телу для того, чтобы его орбита в поле тяго-
тения Земли стала параболической (е=1), т. е. чтобы
тело преодолело притяжение Земли и превратилось в
спутник Солнца:
= К2goro = 11,2 км/сек!).
7 . Гироскоп
Г Гироскопом (симметрическим гироскопом) назы-
вается твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной
точки О и обладающее осью Oz' динамической симметрии
(стр. 68), которая проходит через центр инерции гиро-
скопа. Гироскоп называется уравновешенным, если точка О
совпадает с его центром инерции. В противном случае
гироскоп называется тяжелым, так как момент его веса
относительно точки О отличен от нуля и существенно
влияет на движение гироскопа.
Если ориентация мгновенной оси вращения гироскопа
вокруг точки О ничем не ограничена, то гироскоп обла-
дает тремя степенями свободы. Если эта ось может
занимать любые положения лишь в некоторой неподвиж-
ной плоскости, проходящей через точку О, то гироскоп
обладает двумя степенями свободы.
2° Инерционное вращение (стр. 74) уравновешенного
гироскопа, имеющего три степени свободы.
Момент количества движения L гироскопа относи-
тельно точки О и его кинетическая энергия постоянны.
Кроме того, из уравнений инерционного вращения тела
вокруг точки (стр. 74) при J± = J2 следует:
С03 = 0, О2>1со1 <02<02 = О,
т. е. cog, «of + и <о = jTtoj + 031 + постоянны.
Возможны два случая:
а) гл1==<о2 = 0, так что <о = о)3 и <о = ~ L = const.
1) Влияние сопротивления атмосферы не учитывается.
80 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [1.4
При инерционном вращении уравновешенного гиро-
скопа вокруг оси динамической симметрии ориентация
этой оси по отношению к осям инерциальной, системы
отсчета не изменяется с течением времени.
б) 0, т. е. мгновенная ось вращения гиро-
скопа не совпадает с его осью динамической сим-
метоии Oz'.
Ось Oz' равномерно вращается вокруг неподвижной
оси Oz, совпадающей с вектором L, описывая круговую
коническую поверхность с вершиной в точке О и углом
раствора 2&, определяемым из условия
tg 9 — 21 У+ т1.
8 Jt г •
Такое движение называется регулярной прецессией,
а угол &—углом нутации. Угловая скорость прецессии
равна
о__I Г /А \ 2 ।
2 = —= ^у ы •
Если со? 4- со^ << <о|, то угол нутации при регулярной пре-
цессии мал и ось Oz' практически совпа-
дает с неподвижной осью Oz.
3° Влияние внешних сил на движение
гироскопа, имеющего три степени свободы.
В приближенной теории гироскопа пред-
полагается, что он быстро вращается вокруг
оси динамической симметрии Oz' (со = <о3),
которая в свою очередь под действием
приложенных к ней внешних сил медленно
движется вокруг неподвижной точки О.
Эго движение оси гироскопа называется
прецессией. Векторы со и L = J3(o назы-
ваются собственной угловой скоростью и собственным
моментом количества движения гироскопа.
Если внешняя сила F приложена в точке А оси Oz*
(рис. 1. 4. 3),то ее момент М относительно точки О равен
. M = [r„F] = ^ [LF],
где га — радиус-вектор точки А, а <о— алгебраическое
значение собственной угловой скорости гироскопа (со > О,
если вектор L направлен вдоль положительного напра-
вления оси Oz').
Рис. 1. 4.3.
ГИРОСКОП
81
4° Из основного закона динамики вращательного дви-
жения (стр. 72) следует, что для гироскопа, имеющего
три степени свободы,
Векторы dL и L взаимно перпендикулярны. Следователь-
но, под действием силы F, приложенной к оси Oz' гиро-
скопа, вектор L и ось гироскопа прецессируют вокруг
мгновенной оси 00’, параллельной силе F, в направле-
нии вектора М момента этой силы относительно точки О.
Угловая скорость прецессии:
й== „Z±F.
/8<о
Вектор
— M = [Lej = /8 [<ofi]
называется гироскопическим моментом. Гироскопический
момент приложен к внешнему телу, вызывающему пре-
цессию гироскопа с угловой скоростью Q.
Если Q = const и угол & между векторами L иО
тоже постоянен, то прецессия называется регулярной.
Как показывает точная теория, в случае регулярной пре-
цессии гироскопический момент равен
мг = J, I«Q] (1 COS») .
Эта формула совпадает с приближенной в следующих
случаях:
а) «о > Q (исходное положение приближенной теории);
б) & = 90°;
в) J8 = Ji == J2 (сферический гироскоп).
Пример. Регулярная прецессия тяжелого гироскопа,
обусловленная его весом: М^ = [Ргс], где гс — радиус-
вектор центра инерции. Прецессия происходит вокруг
вертикальной оси, образующей угол $ с осью гироскопа.
Угловая скорость прецессии определяется из уравнения
JgtoQ cos «ж Ргс.
Регулярная прецессия возможна при условии
/|<о2 + 4 (J3 — Ji) Prc cos & > 0.
б Б. М. Яворский, А. А Детлаф
82 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ [1.4
Имеются две угловые скорости прецессии:
__ —+ 4(J8 — Ji) Prc СО8 #
2 (J8 — Ji) cos Я
Если собственная угловая скорость гироскопа доста-
точно велика, то
Рг
Qi = — медленная прецессия,
Й2 = (j8_ y3JC0S'fr быстрая прецессия.
Для осуществления регулярной прецессии тяжелого
гироскопа (или уравновешенного гироскопа, подвержен-
ного действию постоянной силы) необходимо соблюдение
строго определенных начальных условий его движения.
В противном случае возникает псевдорегулярная прецессия,
при которой угол нутации $ периодически изменяется.
Чем больше собственная угловая скорость <о гироскопа,
тем меньше размах колебаний угла $ и соответствующего
им движения гироскопа, называемого нутацией.
Если ось динамической симметрии тяжелого гироско-
па, имеющего три степени свободы, расположена верти-
кально, а его центр инерции находится выше точки опоры,
то вращение гироскопа вокруг этой оси будет устойчи-
вым, если
> 2 У PJ^c ',
5° Гироскоп с двумя степенями свободы. Уменьшение
числа степеней свободы гироскопа с трех до двух при-
водит к тому, что независимо от величины собственной
угловой скорости гироскоп полностью теряет свою устой-
чивость. Внешняя сила F, приложенная к оси Oz' дина-
мической симметрии гироскопа с двумя степенями сво-
боды и направленная в плоскости, перпендикулярной к
второй оси Ох его вращения, вызывает свободное вра-
щение гироскопа вокруг оси Ох в направлении действия
силы. Это связано с тем, что под влиянием силы F и
собственного вращения гироскопа в неподвижно закреп-
ленных подшипниках оси Ох возникает пара сил, кото-
рая приложена к гироскопу и создает момент М, со-
впадающий по направлению с силой F и вызывающий
поворот в том же направлении оси Oz'.
Благодаря суточному вращению Земли ось динамиче-
ской симметрии гироскопа с двумя степенями свободы,
1.5.11 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 83
беспрепятственно вращающегося вокруг вертикальной
оси, устанавливается в плоскости географического мери-
диана так, что угол между угловыми скоростями Земли
и гироскопа острый. Это свойство гироскопа впервые
было использовано Фуко для экспериментального дока-
зательства существования суточного вращения Земли.
ГЛАВА 5
ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
1. Основные понятия и определения
Г Независимые параметры qu ...» qSl определяю-
щие положение в пространстве системы с s степенями
свободы, называются обобщенными координатами си-
d(ii
стемы, а полные производные по времени — ее
обобщенными скоростями.
2° Функцией Лагранжа (лагранжианом) L = L(qu ...
• ••,?$; Яъ ••• , Яз* t) называется разность кинетической Т
и потенциальной U энергий системы:
L=T — U.
Для замкнутой системы (или системы, находящейся
в постоянном силовом поле) функция Лагранжа не зави-
сит явно от времени:
1АЯ, q) = T(q, q)-U(q).
Под q и q понимается совокупность обобщенных коор-
динат и скоростей.
3° Кинетическая энергия Т является однородной ква-
дратичной функцией обобщенных скоростей q.
Пример 1. Материальная точка с массой m дви-
жется в поле центральных сил. Функция Лагранжа в де-
картовых координатах:
L = 1 (Xs + У + i°) - U ( +
в цилиндрических координатах:
£ = ? р(2 + рТ + П~</(г),
б*
84
ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Ц.5
в сферических координатах:
L — “ (г» + гФ + г" sin» » $») — £/(г).
Пример 2. В системе из двух тел с массами mi и
т3 (двойная звезда, система протон — нейтрон и т. п.),
имеющих радиус-вектор относительного движения
г (х, у, z) = Г1 (хь yb Zi) — г3 (ха, _у2, za) и центр инерции
с радиус-вектором г0 (Ao, Ко, Zo),
4° Обобщенный импульс pit сопряженный- с обобщен-
ной координатой qi, есть частная производная от функ-
ции Лагранжа L по обобщенной скорости q^
dL
Pi = — ,
dqt
Пример 1. Для материальной точки с массой т
обобщенные импульсы, сопряженные с координатами х,
у, 2, совпадают с проекциями импульса в декартовых
координатах:
рх = тЯ, ру = ту, рг = mi.
Пример 2. Обобщенный импульс сопряженный
с координатой <р в цилиндрических координатах, является
моментом количества движения относительно оси Oz:
Pv = /пр2ф;
р является интегралом движения свободной точки.
? 5° Обобщенной силой сопряженной с обобщенной
координатой q^ называется частная производная от функ-
ции
Лагранжа L по обобщенной координате q$
п _ dL
Fi ” dq. •
движения материальной точки в поле центральных
или в любом поле, где ее потенциальная энергия
> <h) и Г=Г(7!, ... , <js),
р °V
Для
сил
U~U(qu
1.6.2]
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
85
2. Уравнения Лагранжа второго рода
Если движение системы описывается обобщенными
координатами qiy ... , qs и обобщенными скоростями
41,... , qs, то уравнения движения имеют вид:
где Т — кинетическая энергия системы.
Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа
второго рода. Если движение происходит в потенциаль-
ном поле, то уравнения Лагранжа можно записать в виде:
d /дГ \ _ д!_ _ _ ди
d4i
d_ / dL\ _ dL__n
<н\д'Я1)
Пример 1. Материальная точка с массой т, дви-
жущаяся поступательно в потенциальном поле, описы-
вается уравнениями Лагранжа, тождественными с уравне-
ниями движения Ньютона (стр. 37):
тЯ = Fx, ту = Fv, m2 = Fz.
Пример 2. Уравнения Лагранжа для координат
центра инерции изолированной системы двух тел:
Х=У= Z = 0.
Отсюда
Х= Xot + Ao, Y = Yot + Уо, Z = Zot + Zo.
Индексом «нуль» обозначены координаты центра инер-
ции в начальный момент времени. Центр инерции дви-
жется прямолинейно и равномерно совершенно незави-
симо от относительного движения обоих тел.
Пример 3. Уравнения Лагранжа для относительного
движения изолированной системы двух тел:
^1^2 _р mim-2 „ __ р „ __ р
^1+^2 т1 + т'2 У V’ 4-^2 z’
Относительное движение системы двух тел эквивалентно
86 ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ (1..
движению одного тела с массой т, равной
ПР mi -j- т2
Эта масса называется приведенной массой.
3. Функция Гамильтона. Канонические
уравнения Гамильтона
Г Функцией Гамильтона (гамильтонианом) Н (qu ...
... , qs', ph ... , ps; t) называется выражение вида
2 Piii—L-
i=\
Для консервативной системы (стр. 61) функции Ла-
гранжа и Гамильтона явно не зависят от времени и
~ = 0, т. е. Н = const. Кроме того, в этом случае
dL дТ
Pi = ~^~ = -тг-
dqt dqt
И
2 р&= 2
i = 1 i = I *
по теореме Эйлера для однородных функций второй-сте-
пени. Поэтому
«4Д‘-£-г+“
Функция Гамильтона консервативной системы есть ее
полная механическая энергия (стр. 58).
Пример 1. Для частицы с массой т в потенциаль-
ном поле U (х, у, z)
"=^+№ + 1^ У’
Пример 2. В случае линейного гармонического
осциллятора (стр. 100)
Г = 1тХ2 = ^, U = ^-,
где а — коэффициент упругости (стр. 102),
н — a-а~
П “ 2/n I 2 •
1.5.3) ФУНКЦИЯ И УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 87
Пример 3. Планета с массой т движется по эл-
липтической орбите в поле тяготения Солнца (стр. 78).
В полярных координатах
pp = wp, /?<р = /лр2<р,
г=^(р» + рУ)=24(^ + 18р;).
Потенциальная энергия планеты:
где f—гравитационная постоянная (стр. 45), р — радиус-
вектор планеты, М — масса Солнца.
Функция Гамильтона:
rj _ 1 I I — 9 \ -F
н=^\p? + r*pv)~f
2° Каноническими уравнениями движения Гамиль-
тона для системы с s степенями свободы называется
совокупность 2s дифференциальных уравнений первого
порядка:
. он . дН ,. . 9 .
= Pi = -dj. 0=1. 2, ..., S).
Зная начальное состояние системы, т. е. совокупность
значений qi и pt для £ = 0, и проинтегрировав эти урав-
нения, можно определить состояние системы в произ-
вольный момент времени т. е. совокупность значе-
ний qi (t) и pi (t). Канонические уравнения Гамильтона
выражают классический принцип причинности.
3° Для наглядного изображения изменения состояния
системы вводится многомерное пространство всех обоб-
щенных координат qi и обобщенных импульсов pt
(i = 1,2,... , s) рассматриваемой системы. Такое 2э-мерное
пространство называется фазовым или Г-пространством.
Состояние любой классической системы изображается
точкой в соответствующем этой системе фазовом про-
странстве (изобразительная, или фазовая, точка). Изме-
нение состояния системы отображается траекторией фа-
зовой точки в фазовом пространстве (фазовая траекто-
рия). Фазовая траектория не может пересекаться
сама с собой, ибо это означало бы неоднозначность ре-
шения уравнений Гамильтона. Фазовое пространство
не имеет ничего общего с реальным пространством и
является геометрической схемой, с помощью которой
88 ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ (1.6
законы изменения состояния системы могут быть сформу-
лированы на геометрическом языке.
Пример 1,. Линейный гармонический осциллятор
(стр. 100), движущийся под действием упругой силы
где а — коэффициент упругости, около поло-
жения равновесия # = 0. Уравнение движения
mq = — aq
дает:
q = A sin (<»t + ?)» Р — т(ЛА cos (&t + ?),
где А — амплитуда, <р — начальная фаза колебаний (стр. 97),
v— частота колебаний, <о =
= 2kv = а/т. Исключая
время, находим фазовую
траекторию:
/IV 1
\А / ’ (то>А)2
Рис. I. 5.1. Фазовой траекторией яв-
ляется эллипс с полуосями
а = Д и Ь = т&А. Фазовым пространством осциллятора
является плоскость (р, q) (рис. 1.5.1).
Полная механическая энергия осциллятора равна
(стр. 58)
«7 = ^?.
Ее можно связать с площадью эллипса S = J Р dq =
= nab = пт& Да:
W=£S = ->§pdq.
Площадь эллипса имеет размерность действия (стр. 90).
Фазовую плоскость осциллятора можно разбить на клетки
бесконечно малого размера 7, имеющие размерность
действия, и характеризовать состояние осциллятора
не фазовой точкой, а нахождением этой точки в данной
клетке фазовой плоскости.
Пример 2. Плоский ротатор представляет собой
частицу, вращающуюся в плоскости на заданном расстоях
нии от начала координат. За обобщенную координату
удобно выбрать угол ср, образуемый радиус-вектором г
с осью Ох, Функция Гамильтона Н совпадает с кинети-
1.5.3] ФУНКЦИЯ И УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
89
ческой энергией (стр. 58) и функцией Лагранжа:
г,______________ __mv^___
п — WK — -g- — — — -g- ,
где ф—угловая скорость и J—mr* — момент инерции
частицы (стр. 65).
Обобщенный импульс сопряженный с координа-
той равен (стр. 84)
й.
p<(1 = -T = mra<p = J<p,
т д<р
т. е. р<р есть момент количества движения. /7 можно вы-
разить так: H = p^/2J и по каноническим уравнениям
Г амильтона:
. __дЛ
Р<?—
= 0>
дН _ Ру
др тг* *
<Р
Первое из уравнений дает: р? = М = const, т. е. закон
сохранения момента количества движения (стр. 73). Фазо-
вым пространством является пло-
скость (р <р)(рис. 1.5.2). Угол во
время движения изменяется в пре-
делах от 0 до 2л. Фазовая траекто-
рия имеет вид прямой р^ = М. Со-
ответствующая площадь фазового
пространства равна $ = 2лМ
4° Фазовое пространство 2з из-
мерений может быть разбито на
И----------
Рис. I. 5.2.
элементарные клетки объемом 7s, где 7 имеет раз-
мерность действия. При классическом описании си-
стемы объем элементарной. клетки бесконечно мал,
в отличие от квантового описания, когда он имеет опреде-
ленную конечную величину hs (h — постоянная Планка,
стр. 625). Все состояния, изображаемые фазовыми точками,
расположенными внутри данной клетки фазового про-
странства, считаются тождественными.
5е Элемент объема di фазового пространства может
быть представлен следующим образом:
dT — dq^dq^ ... dqsdpidp% ... dps.
я
Если в момент времени фазовые точки, изображающие
различные состояния системы, находятся в элементе
объема б/Гь то в момент времени t2 соответствующие
фазовые точки будут находиться в элементе объема бЛ?8,
причем dTa~dI\ (теорема Лиубилля).
90 ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ [1.5
4. Понятие о вариационных принципах механики
Г Действием (интегралом действия) называется ин-
теграл от функции Лагранжа L по времени:
h.
S = \ L dt,
4
где t0 — начальный момент времени, в который система
занимает положение, характеризуемое набором s значений
обобщенных координат q#, h— момент времени, в кото-
рый положение системы определяется набором s коорди-
нат qiv
Размерность действия: [действие] = [энергия] • [время].
2° Принцип наименьшего действия (принцип Гамиль-
тона): если в моменты времени /0 и механическая
система занимает определенные положения, характери-
зуемые совокупностями значений обобщенных коорди-
нат q^ (t0) и qa (/х), то между этими положениями си-
стема движется так, что интеграл действия имеет экстре-
мальное значение.
При стационарных связях (стр. 15) экстремум инте-
грала действия сводится, как правило, к минимуму:
ti
6S=6 5 Ldt = Q
4
при условиях &/0 = = 0, bqi0 = bqit = 0 (/ = 1, 2, ... , s).
Здесь б означает первую вариацию f).
3° Принцип Мопертюш движение консервативной
механической системы (стр. 61) между двумя заданными
ее положениями q^ (t0) и qa (ti) с заданной начальной
кинетической энергией происходит так, что функция
ti i = s ti
U7=? 2Tdt,
to i = I io
где T—кинетическая энергия системы, имеет минимум:
&U7 = 0
при условиях = =0 (/=1, ..., s) и ЪН = 0,
где //—функция Гамильтона (стр. 86).
1) Основы вариационного исчисления см., например, в книге:
В. И. Смирнов, Курс высшей математики, том IV, Гостехиздат, 1951.
1.5.5]
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
91
Связь функций W, Н и интеграла действия S:
4° Принцип Мопертюи для материальной точки с мас-
сой т и полной энергией Е, движущейся в потенциаль-
ном поле:
•S1
= Ц У 2т (Е — IT) ds = 0,
So
где U (х, у, z) — потенциальная энергия точки, ds — эле-
мент длины пути.
5° Оптико-механическая аналогия устанавливает связь
между движением материальной точки в стационарном
потенциальном поле и распространением светового луча
в изотропной оптически неоднородной среде. Связь прин-
ципа Мопертюи с принципом Ферма (стр. 568):
п (х, у, z) = Ci У Е — U (х, у, z),
где п (%, у, z) — показатель преломления неоднородной
среды, в которой распространяется свет, Ci—постоянный
(неварьируемый) коэффициент пропорциональности, смысл
Е и U см. в 4° Каждой задаче механики материальной
точки в стационарном потенциальном поле соответствует
определенная задача оптики, и наоборот.
5. Законы сохранения
1° Решения уравнений Лагранжа второго рода для
механической системы с s степенями свободы содержат 2s
произвольных постоянных и могут быть представлены
в следующем виде:
Qi— Qi (^> ci> са> ••• , с25),
Qi = Qi(t, с2, ... , c2S)
(Z=l, 2, ... , s).
Из этих 2s уравнений можно исключить время t и
убедиться в том, что во всякой механической системе
должны существовать функции обобщенных координат qi
и обобщенных скоростей fa, которые остаются постоян-
ными при движении. Эти функции называются интегра-
лами движения. Отыскание интегралов движения соста-
вляет основную задачу механики. Среди интегралов дви-
жения есть несколько важнейших, постоянство которых
имеет глубокое происхождение, связанное со свойствами
основных форм существования материи — времени и
92 ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ [1.5
пространства. Интегралы движения аддитивны: их значения
для системы, состоящей из нескольких невзаимодействую-
щих частей, равны сумме значений для каждой части
в отдельности/
2* Первым интегралом движения является энергия
системы. Ее постоянство — закон сохранения энергии
в консервативной системе (Е = const)— связано с одно-
родностью времени. Вследствие этой однородности функ-
ция Лагранжа для указанной системы не зависит явно
от времени.
Полная производная функции Лагранжа по времени:
dL d / dL л\
или
Отсюда следует, что величина
V fa — L — const
остается постоянной при движении замкнутой системы,
т. е. является интегралом движения. Величина
Е= 2
<±1
есть полная энергия системы (стр. 86):
E=T(q) + U(q).
Аддитивность энергии следует из аддитивности функ-
ции Лагранжа, от которой Е зависит линейно.
Закон сохранения энергии справедлив не только для
замкнутых систем, но и для систем, находящихся во внеш-
нем стационарном потенциальном силовом поле, ибо в этом
случае также выполнено условие |^ = 0. Оно нарушает-
ся, если на систему действуют силы трения. Механиче-
ская энергия макроскопического движения тела как це-
лого в этом случае не сохраняется вследствие необра-
тимого выделения тепла (см. также стр. 154).
1.5.5] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 93
3е Интегралом движения является также вектор им-
пульса (количества движения) системы. Закон сохранения
импульса:
N
Р = S dv7 e const*
k = 1 ft
эквивалентный трем законам сохранения для проекций
импульса на координатные оси, следует из однородности
пространства. Однородность пространства означает, что
параллельный перенос в нем замкнутой механической
системы как целого не изменяет механических свойств
системы, т. е. .оставляет ее функцию Лагранжа неизмен-
ной. Изменение . функции Лагранжа при параллельном
переносе системы на бесконечно малое расстояние:
ft Л=1 *
где N—число материальных точек в системе, rk— ра-
диус-вектор /г-й материальной точки системы, который
преобразуется при параллельном переносе по закону
Г/? — — бесконечно малое перемещение, одина-
ковое для всех материальных точек. Требование о£, = 0
как =Ffe есть сила, действующая на &-ю материаль-
г*
ную точку, то У] Ffe = 0: сумма сил, действующих на
л = 1
все частицы замкнутой системы, равна нулю.
По уравнениям Лагранжа второго рода
£ — —
di dNk~~drk
После суммирования по всем материальным точкам си-
стемы
N N N
5П d_ dL d dL dL «
2j dt dv~dt 2j dv. “ Zj dr. — U'
A=1 ft ft fe=l *
В замкнутой механической системе остается постоянной
94 ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ [1.5
векторная величина
• Р = S Jv, = COnst»
fe=l k
называемая импульсом системы.
Функция Лагранжа замкнутой системы
N 2
£= г,......................г )
k = 1
после дифференцирования по скорости vk дает выраже-
ние для закона сохранения импульса (количества движе-
ния) в изолированной системе:
N
Р = S mkNk = const.
fe = l
Импульс системы равен сумме импульсов ее частиц. При
этом несущественно, происходит ли взаимодействие
между частицами.
Закон сохранения проекций вектора импульса на оси
координат:
N N N
S «Л = С1, 2 = 2 mk&k = c*
fe=l k = \
где Ci, с2, с8— постоянные, справедлив не только в изо-
лированной системе, но и при наличии внешнего поля,
если потенциальная энергия системы в поле не зависит
от той координаты, компонента импульса вдоль которой
сохраняется постоянной. Закон сохранения импульса
в изолированной системе справедлив при любых внутрен-
них силах, действующих в системе, в том числе и для
сил трения (см. также стр. 41).
4° Интегралом движения также является вектор мо-
мента импульса (момента количества движения). Закон
сохранения момента импульса:
м =S[rftpfc|==const,
k
эквивалентный трем законам сохранения для проекций
момента импульса на координатные оси, связан с изо-
тропностью пространства. Механические свойства замк-
нутой системы не изменяются при любом повороте си-
стемы как целого в изотропном пространстве. При этом
1.5.5] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 95
функция Лагранжа системы не должна изменяться. При
повороте системы изменяются направления радиус-век-
торов и скоростей всех частиц, причем все векторы
и vk преобразуются по одинаковому закону:
&г = [офГ], &v = [6?v],
где оф — вектор бесконечно малого поворота. Его абсо-
лютная величина равна углу бф поворота, а направление
совпадает с осью поворота, в соответствии с правовин-
товой системой отсчета (стр. 15). Изменение функции
Лагранжа при бесконечно малом повороте замкнутой
механической системы:
А?=1 k k '
dL dL • гт .,
—-=pA; и ^- = pk — по уравнениям Лагранжа. Усло-
k k
вие неизменяемости функции Лагранжа: б£ = 0, т. е.
2 (i»t 1 + р* [8?vft])=о,
Л=1
8? 2 ([rfcp*] + [vfepfc]) = 8? 2 [«•*P*J = O.
k=1 k —I
В силу произвольности бф
2 hPftl = o.
/?== 1
При движении замкнутой системы остается постоянной
векторная величина:
N
М = 2 [rftpft] — const,
k= 1
называемая моментом импульса системы (моментом коли-
чества движения, см. также стр. 73). Аддитивность мо-
мента импульса не зависит от взаимодействия между
частями системы.
5° Любая изолированная система имеет по крайней
мере семь аддитивных интегралов движения (семь урав-
нений законов сохранения): одно уравнение закона сохра-
нения энергии, по три уравнения законов сохранения
проекций векторов импульса и момента импульса на
координатные оси.
96 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [1.6
Пример. Интеграл движения — проекция момента
импульса материальной точки на ось Oz:
Mz = xpy — урх = тр2ф = Const
совпадает с обобщенным импульсом р^ если обобщенной
координатой является угол поворота ср вокруг оси Oz.
Примеры применения законов сохранения см. также
на стр. 62, 75—76.
ГЛАВА 6
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
1. Основные понятия
Г Колебаниями или колебательным движением на-
зываются движения (изменения состояния), обладающие
той или иной степенью повторяемости во времени. По
своей физической природе колебания весьма разнооб-
разны. К ним относятся механические колебания (кача-
ния маятников., движения поршней двигателей внутрен-
него сгорания, колебания струн, стержней и пластин,
вибрации фундаментов), электромагнитные колебания
(стр. 445) и др.
2° Колебания называются периодическими, если зна-
чения физических величин, изменяющихся в процессе
колебаний, повторяются через равные промежутки вре-
мени. Периодом колебаний Т называется тот наименьший
промежуток времени, по истечении которого повторяются
значения всех физических величин, характеризующих
колебательное движение. За это время совершается одно
полное колебание. Частотой периодических колебаний
называется число полных колебаний, совершаемых за
единицу времени:
v = 7 •
Зависимость от времени t периодически колеблющейся
физической величины S имеет вид: S = So-|-x(O, где
д0 — значение величины S в положении равновесия, а
x(f}— периодическая функция времени: х (t + Т) = х (t).
3е Простейшим типом периодических колебаний яв-
ляются гармонические (синусоидальные) колебания. В этом
случае
х = A sin (at + ср0)
Ui]
ОСНОВНЫЕ понятия
97
или
X = A COS (cot 4- epi),
где Л, «о, <р0 и <pi — постоянные величины, причем А > О,
<о > О и <pi = (p0 — . Величина Л, равная максимальному
абсолютному значению х, называется амплитудой коле-
бания. Выражения Ф = art <р0 и Ф1 = cot 4~ определяют
значение х в данный момент времени t и называются
фазой колебания. В момент начала отсчета времени
(t = 0) фаза равна начальной фазе <р0 или cpi. Величина <о
называется циклической или круговой частотой:
со = = 2км.
Первая и вторая производные по времени от гармо-
нически колеблющейся величины х также изменяются по
гармоническому закону:
У: = Дсоcos(cot 4- ср0) = Лео sin (cot 4“ ?о + -у) ,
Я = — Лео2 sin (art 4“ То) — sin № + То 4" к) = — ш2х-
Следовательно, гармонически колеблющаяся величина х
удовлетворяет уравнению
х 4" — О,
которое называется дифференциальным уравнением гар-
монических колебаний.
4° Гармоническое колебание может быть представлено
графически с помощью вращающегося
туды (рис. 1.6.1). Вектор А, численно
равный амплитуде колебания, равномерно
вращается против часовой стрелки во-
круг оси О, перпендикулярной к пло-
скости чертежа, с угловой скоростью со.
Если в момент времени t = 0 угол между
вектором А и осью Ох равен то
проекция В конца этого вектора на
ось Ох совершает гармонические коле-
вектора ампли-
Рис. I. 6.1.
бания по закону x = z4cos (<ot4-<pi)-
5° Если одновременно совершаются два гармонических
колебания одинаковой частоты, при которых скалярная
физическая величина S==S04-x изменяется по законам
Xi = Ai COS (cot 4- <Р1) И X2 = Л2 COS (cot 4- cp2),
то результирующее изменение x = Xi4-«^2 величины S
98
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
совершается с той же частотой по гармоническому за-
кону
х = A cos (yrt + ?)•
Для отыскания А и <р пользуются методом векторных
диаграмм, основанным на том, что в каждый момент
времени вращающиеся векторы амплитуд складываемых
колебаний (Ai и А2) и результирующий вектор А свя-
заны соотношением А = А14-А2. Все три вектора вра-
угловой скоростью <о, так что их
взаимное расположение не за-
висит от времени. Из рис. 1.6.2,
соответствующего моменту вре-
мени Z = 0, видно, что
А2 = А?+Al + 2AtАа cos (<ра - срх)
и
t __ Л1 sin У1 4-А2 sin <р2
о ® Aicos<pi {-A2cos<p2
Если <р2 — <pi = 2/гп: (п = 0; dz 1;
±2; ...), то A = Ai + A2; если
= (2n-|-1) л (n = 0; ± 1; zt 2; ...), то А =
= | Ai — А21. В общем случае | Ах — А21 А Ai + А2.
6° При наложении (суперпозиции) двух гармонических
колебаний Xi = Aicos (<о^ 4- срх) й х2 = А2 cos (<о2^ + ср2),
имеющих разные частоты и амплитуды, результирующее
колебание не является гармоническим. Его можно пред-
ставить в следующей форме:
х = Xt + Х2 == A (t) COS [<о^ 4- ср (£)],
где
A2 (t) = А? + А§ 4- 2AtA2 cos [ф (t) - ?1J,
ta cd (£\ == A1 sin +^2 sintp (/)
At cos cpt-f-A2 cos ф (/)
И
Ф (0 = (°>a — 4“ .
С физической точки зрения такое представление ре-
зультирующего негармонического колебания имеет смысл
только при наложении гармонических колебаний, частоты
которых достаточно близки. В этом случае A (t) и (/) —
медленно меняющиеся функции времени, а колебатель-
ный процесс называется биениями. Величина A (t) перио-
пически изменяется r ппрттелях пт I А. — I ттп А. -4-
ОСНОВНЫЕ понятия
99
I.e.11
с частотой = | | 1 о)3 — о)! называемой ча-
стотой биений.
Т Сложное (негармоническое) периодическое колеба-
ние физической величины S может быть представлено
в виде ряда Фурье, состоящего из простых гармонических
колебаний с циклическими частотами, кратными основной
циклической частоте <о = 2те/Г:
з (О = т + У Ап sin (nut -ь <pn),
п— 1
где
An = Van + bn< 'Pn=a''Ctg^.
п
Коэффициенты ап и Ьп определяются по формулам Эй-
лера — Фурье:
2
ап==у j S (t)cos nut dt (n = О, 1, 2, ...),
— T/2
2 72
£n = y \ 5 (t) sin nut dt (n=l, 2, ...).
-T/2
Отыскание ряда Фурье, соответствующего заданному
сложному колебанию, называется гармоническим анали-
зом последнего. Члены этого ряда, циклические частоты
которых равны <о, 2<о, 3<о и т. д., называются соответст-
венно первой (основной), второй, третьей и т. д. гармо-
никами сложного колебания.
8° Колебания вида х = A (t) cos -|- ср (^)] называются
модулированными, если | ш^Макс и | | ко-
лебания называются амплитудно-модулированными, если
ср = const, и модулированными по фазе или частоте,
если Д = const. Простейшим примером модулированных
колебаний являются биения, для которых A (t) и ср (t) —
периодические функции времени (стр. 98).
9° Свободными колебаниями называются колебания,
которые возникают в системе, не подверженной дейст-
вию переменных внешних сил, в результате какого-либо
начального отклонения этой системы от состояния устой-
чивого равновесия.
100
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
(1.6
Вынужденными колебаниями называются колебания
системы, вызываемые действием на нее периодических
внешних сил.
10° Система называется линейной, если ее движение
описывается линейными дифференциальными уравнени-
ями. В противном случае система называется нелинейной,
а ее колебания — нелинейными колебаниями.
Колебательная система, обладающая одной степенью
свободы, называется одномерным осциллятором (вибра-
тором). Если свободные колебания этой системы яв-
ляются гармоническими, то она называется одномерным
гармоническим осциллятором. В противном случае ос-
циллятор называется ангармоническим.
2. Малые колебания системы, имеющей одну степень
свободы
А. Свободные колебания консервативной
системы
Г Кинетическая и потенциальная энергии системы
равны:
WK = ^b(q)q\ a Wn=Wn(q),
где q — обобщенная координата (стр. 83), b(q)^>Q.
В состоянии устойчивого равновесия (q = q0) потен-
циальная энергия имеет минимум, так что
(dW\ (d2W\
(тги,.=0 " Ы<,
Если величину потенциальной энергии отсчитывать
от ее значения в состоянии q = qQ, то Wn (q0) = 0 и ряд
Тейлора для Wn (q) имеет вид:
(?—go)8 I
go 3! '
dq* )q=qo 4!
2° Колебания называются малыми, если в правой
части этого равенства всеми членами, кроме первого,
можно пренебречь^ так что
1.6.2] СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 101
И
^к(<7) = 4*(?о) <7а = -^,
где x = q — q0 — смещение системы из состояния устой-
чивого равновесия.
3° Дифференциальное уравнение малых колебаний
системы имеет вид:
Ь$х -|- z= О*
rfVT
Величина — ₽ох =------представляет обобщенную
силу Fx, сопряженную с обобщенной координатой х
(стр. 84). Обобщенная сила Fx= — (30*, где ₽0 > 0, назы-
вается квазиупругой силой, а величина ₽0 — коэффици-
ентом квазиупругой силы.
4° Колебания системы являются гармоническими:
х = A cos (со0^ + <рх).
Их циклическая частота со0 = ]Лр0//>0 определяется
свойствами системы и называется собственной цикли-
ческой частотой колебаний консервативной системы.
Период колебаний: Т = 2л ]Л#0/₽0• Амплитуда А и на-
чальная фаза определяются из начальных условий.
Например, если в момент времени ^ = Ох = хои ^ = ^0,
то
Амплитуда свободных колебаний консервативной си-
стемы не зависит от времени. Поэтому такие колебания
называются незатухающими.
5° Кинетическая и потенциальная энергии гармони-
ческих колебаний системы являются периодическими
функциями времени с периодом Г = 772 = л ]Л/>о/₽о‘
WK = 4 Z>0/42(O(3 Sjn2
W„ = IM’ cos8 (a>et + <pi) = 4 й0Д2<о^ cos2 (<00« + <P1).
Полная механическая энергия гармонических колеба-
ний системы:
W = />0/42o)J = const
102
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
(1.6
Пример 1. Пружинный маятник — тело, совер-
шающее прямолинейные колебания вдоль оси Ох под
z , действием упругой силы F = - ах (а-
У коэффициент упругости); (30 = а, WK — у тх2
\ п bQ — т — масса тела. Циклическая частота
Zj и период колебаний равны:
7 । -.-/! г-2.fl-
/ 1
М i Пример 2. Математический маят-
I ник — материальная точка М, подвешен-
ная к неподвижной точке на невесомой
у нерастяжимой нити (или стержне) и совер-
Рис. 1. б.з. шаЮщая движение в вертикальной плос-
кости под действием собственного веса (рис. 1.6.3):
И’к = ^-m/2d2 , 60 = m/2.
= mgl{\ — cos а) = 2mgl sin2 у .
В случае малых колебаний sin у» у,
w « тд1а -
п 2
fl0 = mgl.
Период колебаний равен
При произвольных значениях угла отклонения а коле-
бания математического маятника являются нелинейными
(стр. 122).
Пример 3. Циклоидаль-
ный маятник—материальная
точка М, движущаяся под дей-
ствием веса вдоль циклоиды,
ось которой вертикальна, а
выпуклость обращена вниз
(рис. 1.6.4). Если за начало
отсчета потенциальной энергии
Z7 ла 2ла
Рис. I. 6.4.
точки принять ее значение в вершине циклоиды О' и
за обобщенную координату— длину s дуги циклоиды, от-
считываемую от точки О', то
H7K = -y?ns2 и FFn = s2, так что 60 = п? и ^0==^-,
А» Oct Цц
где а — параметр циклоиды (радиус производящей окруж-
1.6.2)
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
163
ности). Колебания возможны, если полная энергия маят-
ника W = 1ГК -|- 1ГП < 2mga. Колебания циклоидального
маятника изохронны, т. е. их период не зависит от
амплитуды колебаний и всегда равен
Пример 4. Физический маятник —
абсолютно твердое тело, совершающее
колебания под действием собственного
веса вокруг неподвижной горизонтальной
оси О, не проходящей через его центр
тяжести С (рис. 1.6.5):
гк=47“2> *«=л
Рис. 1. 6.5.
1ГП = mgd (1 — cos а) = 2mgd sin2 у,
где а — угол отклонения из положения равновесия, J —
момент инерции тела относительно оси качания О.
В случае малых колебаний sin^-^y, Wn у mgd а?
и 30 = mgd. Период колебаний равен
Г = 2л
1/ 7~
V mgd
Приведенной длиной /пр физического маятника назы-
вается длина математического маятника, имеющего такой
/7
BUETZUM
"z
же период колебаний: /пр = > d, так
как по теореме Штейнера (стр. 66) J =
= Jc + md2 > md2. Точка лежащая на
линии ОС на расстоянии OOi — /пр, назы-
вается центром качания физического маят-
ника. Точка подвеса О и центр качания Oi
обладают взаимностью: при переносе точки
подвеса в точку Oi точка О становится
центром качания, так что период колеба-
ний маятника не изменяется.
рис. 1. 6.6. Пример 5. Крутильный маятник —
твердое тело, подвешенное на вертикальном
невесомом упругом стержне (нити), верхний конец кото-
рого закреплен неподвижно, а ось Oz совпадает с одной
из свободных осей тела (рис. 1.6.6). Крутильные колеба-
104 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [1.6
ния обусловлены упругими силами, возникающими в
стержне при его кручении вокруг оси Oz.
В случае малых колебаний FFK=-^-Jd2 и Wn =—са2,
так что b0 = J и £0 = с, где а-угол поворота маятника
вокруг оси Oz из положения равновесия, J — момент
инерции маятника относительно оси Oz и с — крутильная
жесткость стержня.
Период колебаний равен
Т = 2л/-
Г с
В случае однородного круглого стержня c=ad4 G/321,
где d и I — диаметр и длина стержня, a G — модуль
сдвига (стр. 271) материала стержня.
Б. Затухающие колебания
1° Затухающими колебаниями называются колебания,
энергия которых уменьшается с течением времени. За-
тухание свободных колебаний механической системы
обусловлено диссипацией ее энергии вследствие действия
на систему непотенциальных сил сопротивления (трения).
Если в системе отсутствует сухое трение (стр. 50),
то для случая малых колебаний можно считать, что
обобщенная сила трения равна Frp=—rx, где г>0-
обобщенный коэффициент трения. Тогда дифференциаль-
ное уравнение малых затухающих колебаний системы
имеет вид:
Ьох±гх+$ох = О
или
х+2дх + ы$х — 0,
где 5 = г/2Ь0 — коэффициент затухания, a w0=/p0/&0-
циклическая частота свободных колебаний системы в от-
сутствие трения.
2° Если <5 w0, то имеет место апериодическое зату-
хание:
Х = Cie-(« + k8^r)« + Сге_(4-/«2^Г)«.
Величина х монотонно убывает с ростом с. Система,
выведенная из состояния равновесия, асимптотически,
т. е. при г->оо, возвращается в это состояние.
1.6.21 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 105
3° Если d<w0, то система совершает затухающие
колебания:
х = Aoe-dfsin (сог+фо),
где Ао и ф0 — постоянные величины, определяемые из
начальных условий, a co=/co§-S2— собственная ци-
клическая частота колебаний диссипативной системы.
Величина A (0 = Aoe~dt называется амплитудой затухаю
щих колебаний. Значения
амплитуды для моментов
времени t, <+Дг, Я-2Д?
и т. д. образуют убываю-
щую геометрическую
прогрессию, знаменатель
которой равен За-
висимость х от t изобра-
жена на рис. 1.6.7.
4° Периодом (услов-
ным периодом) затухаю-
щих колебаний1) назы-
Рис 1.6.7.
вается промежуток вре-
мени между двумя последовательными состояниями си-
стемы, при которых колеблющаяся величина х проходит
через равновесное значение, изменяясь в одном и том
же направлении (например, возрастая):
__ 2л ___ 2л
у СО2—82
5° Логарифмическим декрементом затухания -О’ на-
зывается натуральный логарифм отношения амплитуд
колебаний в моменты времени г и t+T:
Логарифмический декремент затухания — величина, об-
ратная числу колебаний 2V, по истечении которых ампли-
туда уменьшается в е раз: #=1/2V: Промежуток вре-
мени т, необходимый для этого, называется временем
релаксации: т=NT—1/8.
1) Затухающие колебания не являются периодическими (стр. 96).
Поэтому к ним неприменимы обычные понятия периода и частоты.
106 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ |Т.6
6е Зависимость полной энергии механической системы
от времени имеет вид:
W (/) = 4 Ь0А1е-аЫ — 8* СОЗ (2ш< + 2<р0) —
— б<о sin (2<d£ -|- 2<р0)]}
где Ф=уГХ2 называется диссипативной функцией.
7° Если затухание механических колебаний системы
обусловлено сухим трением и | FTp | = const, то цикли-
ческая частота со затухающих колебаний совпадает с
циклической частотой со0 свободных колебаний той же
системы в отсутствие трения (ю0 = VРо/^о)- Убывание
амплитуды происходит по закону арифметической про-
грессии: за каждую половину цикла колебания амплитуда
уменьшается на одинаковую величину 2 | FTp | /0О. Коле-
бания прекращаются, как только амплитуда становится
меньше |FTp|/0o.
В. Вынужденные колебания
Г Дифференциальное уравнение малых вынужденных
колебаний записывается следующим образом:
ЬоЯ -|- г Я + Ро* = F (?)
или
Я + 28Х + F(t),
где F (0 — обобщенная периодическая внешняя сила, со-
пряженная с обобщенной координатой х. Сила F(t\ вы-
зывающая вынужденные колебания системы, называется
возмущающей или вынуждающей силой.
2° Общее решение этого уравнения равно сумме его
частного решения и общего решения ха соответствую-
щего однородного уравнения (т. е. при F(0 = 0):
X = Xi -J- ха.
Решение ха = Aoe~5t sin (at -f- <p0) характеризует свобод-
ные затухающие колебания системы (стр. 104), limxa = 0.
t —>оо
Поэтому по истечении некоторого промежутка времени
после начала вынужденных колебаний, соответствующего
переходному режиму, величиной х9 можно пренебречь
1.6.2] СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Ш
и считать, что при установившихся вынужденных коле-
баниях х=хг
3° Если возмущающая сила изменяется по гармони-
ческому закону
F(t) — F0 cos Qt,
то установившиеся вынужденные колебания также яв-
ляются гармоническими, причем совершаются с той же
циклической частотой Q:
х = A cos (Ш+ cpi),
boV(®2_Q2)«+462Q2
. 28Й
Ф1 — w2 —fit ’
Кривые зависимости от Q амплитуды А и угла
сдвига фазы вынужденных колебаний приведены на
рис. 1.6.8 и 1.6.9. При Q « со0 амплитуда А » Аст =
= Fo/boa>$ = F0/&0 — статическая деформация системы под
действием постоянной силы Fo. Если П»со0, то A = FQ/b0£l2.
Максимальное значение амплитуды Амакс соответствует
циклической частоте
fi0= /со2-282,
которая несколько меньше собственной циклической ча-
стоты со колебаний системы (со = /coj —З2),
А = F"
макс ’
108 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [1.6
Из этой формулы следует, что при S —>0 Амакс —оо.
Однако такая экстраполяция неправильна, так как с воз-
растанием амплитуды колебания перестают быть малыми
и к ним неприменима рассмотренная выше теория.
4° Явление резкого возрастания амплитуды вынужден-
ных колебаний системы при приближении циклической
частоты возмущающей силы к значению Qo называется
резонансом, а величина й0 — резонансной циклической
частотой. Кривые зависимости А от Q, показанные на
рис. 1.6.8, называются резонансными кривыми.
Увеличение коэффициента затухания S приводит к
сглаживанию резонансных кривых и уменьшению Амакс,
т. е. к значительному ослаблению явления резонанса.
При&^<о0/]Л2 резонанс полностью исчезает. В при-
ближенных расчетах резонанса в системах с малым за-
туханием можно считать, что Q0^“o-
5° Зависимость полной энергии механической системы
от времени имеет вид:
^= — 2Ф + xFoCos
где Ф — г Я* [2 — диссипативная функция, а xF0 cos Qt —
мощность внешнего источника энергии, вызывающего вы-
нужденные колебания системы.
6° Если на систему действует произвольная возму-
щающая сила F (Z), период которой равен Т, то эту силу
можно разложить в ряд Фурье (стр. 99), т. е. предста-
вить в виде суммы гармоник, циклические, частоты кото-
рых кратны основной циклической частоте 2п/Т. Выну-
жденные колебания системы, вызываемые силой F (I),
являются результатом наложения колебаний системы
под действием каждой из гармоник в отдельности. Наи-
более сильно влияют на систему те гармоники силы F (t),
циклические частоты которых близки к резонансной ци-
клической частоте Йо системы.
3. Малые колебания системы с несколькими степенями
свободы
А. Свободные колебания
консервативной системы
Г Если система обладает п степенями свободы, то
ее положение относительно системы отсчета полностью
определяется значениями п независимых обобщенных
Т.6.3] СИСТЕМЫ С НЁСКОЛЬКЙМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 109
координат дг(/ = 1, 2, п). В состоянии устойчивого
равновесия (qi = qio) потенциальная энергия Wn системы
имеет минимальное значение U7no, которое в силу услов-
ности начала отсчета в дальнейшем принято равным
нулю. В случае малых колебаний системы около поло-
жения устойчивого равновесия ее потенциальная энергия
выражается следующей положительно определенной квад-
ратичной формой *) от обобщенных координат:
(Iz* 1;2о-’"J,
i, k ••• >
где Xi = qt — qi0, xk = qk — qkot а ^ — постоянные ве-
щественные коэффициенты, причем
?ik $ki ... =xn=0
Кинетическая энергия WK системы выражается также
положительно определенной квадратичной формой от
обобщенных скоростей:
i, k 1 1 * * * 1 п/
где bik — постоянные вещественные коэффициенты, при-
чем
<?2^к\
dxidxk)x1=x2= ...
2° Функция Лагранжа (стр. 83) системы равна
£=UZK Wn = -% $ikxixk)*
i, k
Движение системы описывается п уравнениями Ла-
гранжа второго рода (стр. 85), которые имеют вид:
S (M> + W = ° (' = 1, 2, .... п). (*)
ft=i
^ik — &ki —
1) Квадратичная форма $ikxixk называется положительно опре-
i, k
деленной, если она обращается в нуль только тогда, когда все х• одно-
временно равны нулю, а при любых других значениях переменных х^
принимает положительные значения.
110
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
п-в
3° Неизвестные функции времени xk следует искать
в форме
Xk=Aketa>t,
где Z= У — 1.
Соотношения между постоянными коэффициентами Ak
определяются из системы однородных линейных алгебра-
ических уравнений
2 (₽«-“1 2 *^)Л = 0 «=1, 2, п). (**)
fe=1
Необходимым и достаточным условием существования
отличных от нуля решений этой системы является ра-
венство нулю ее определителя:
₽11 — co2Z>n Р12 — <о2#12 .. — “8*1Л
?21 — Л21 ?22 — CO2Z>22 •• •• Ргп 0,2 Ьгп = 0.
Рп1 — “2ftnl Р/12 •• $пп — ^Ьпп
Это уравнение степени п относительно <о2 называется
характеристическим или вековым. Оно имеет п веще-
ственных положительных корней <oJ(Z=l, 2, п). Ве-
личины <0/ называются собственными или главными ци-
клическими частотами системы.
4° Для каждого корня из уравнений (**) можно
найти соответствующую систему значений Д/):
Общее решение системы (*) имеет вид:
Ak (“?) Czcos (“/'' + ?/) (fc=1> 2, n), (***)
z=i
где С/, ср/ — независимые вещественные постоянные, опре-
деляемые из начальных условий:
*k (°) = S Ak (<°z) cicos Tz>
z=i
*k (°) = — S Ak (<>/) Ci^i sin <pz
z=i
(A= I, 2, n).
1) Если все корни co2 различны, то один из коэффициентов
может быть выбран произвольно. В случае кратных корней число про-
извольно задаваемых коэффициентов возрастает.
1.6.3] СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 111
Из (***) следует, что колебания обобщенной коорди-
наты Xk являются результатом наложения п гармониче-
ских колебаний, каждое из которых имеет, вообще го-
воря, произвольные амплитуды и начальные фазы, но впол-
не определенные циклические частоты coz.
5° Выражения 0/= С/cos ср/), где 7=1, 2, ..., л,
называются нормальными или главными координатами
механической системы. Они связаны с координатами Хд
линейным однородным преобразованием
(^=1, 2, •••> ")•
z=i
В свою очередь
9/ = S aikXk (/=1, 2, п),
k=\
где aik — постоянные вещественные коэффициенты.
Кинетическая и потенциальная энергии системы, вы-
раженные через нормальные координаты, имеют вид сумм
квадратов:
п п
Z==l Z«1
Функция Лагранжа:
L = 4 2 (М? - 0/0?) = 4 1; &/ (9? - <•>?»?),
Z=1 Z=1
где o)Z = y^i/bi — собственная циклическая частота си-
стемы, соответствующая нормальной координате в/. Обыч-
но вместо нормальных координат 0z пользуются нор^ли-
оованными нормальными координатами Qt = ybi О/.
п
Тогда £ = у2 — rfQ*)- Дифференциальные уравне-
ния движения системы имеют вид:
Q/Ч <^Qz = O (/=1, 2, л).
112
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[1.6
6° Для системы с двумя степенями свободы, соответ-
ствующими обобщенным координатам *i и х2,
(ЬцЛ[ -|- + ^22-^1),
Wn = у (PiiXf -j- 2p12XjX2 -|- ₽22x*).
Нормальные (ненормированные) координаты системы 0j
и 02 связаны с Xi и х2 соотношениями:
_ *1 — 72*2
71—72
__ Х1 — Т1Х2
72—71
Xi = 7i0i-|-7202, j
x2 = 0i4-02, J q2
где 71 и 72 удовлетворяют уравнениям:
^и7172 + ^12 (7i Н" 7з) + ^22 = 0, 1
Р117172 + ?12 (71 + 72) + ?22 =0- /
Кинетическая и потенциальная энергии системы, вы-
раженные в нормальных координатах 01 и 02, имеют вид;
Рис. I. 6.10.
U7K = 1(M?+^!),
где
bi = £и7р + 2^127/ -|- ^22,1
= ₽117? "Ь 2^127/ + ?22 j
Квадраты собственных циклических
частот системы равны
в ₽117? + 23127/ + ₽22
<О/3 = ^ =---1---------- (z=l, 2).
&117 ^ + 2Ь127/ + &22
Пример 1. Двойной плоский маятник (рис. 1. 6.10).
Потенциальная энергия:
Wn = migli (1—cos 04) Ц- mzg [Zi (1—cos 04) + Z2 (1—cos a2)].
В случае малых колебаний и sin-^-=te-y-,
IVn = ^i±^gZ1a? + ^^aa!,
Ph = (mi + nh) gh, 3ta = 0, 3?a = m2gl3.
1.6.3] СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 113
Кинетическая энергия:
wK w+ j>?) + т* <*!+•«>>
где Xi = Z1 sin аъ <y1 = ZiCOSa1, Х2 = Zi sin ах + Z2 sin аа и
у2 = Zt COS 04 Z2 cos а2.
В случае малых колебаний
Ц7К = /?а? + тМщ + ifa,
Ьц = (nii + т2) II. b12 = m2ZiZ2, Z>22 = m2Z|.
Уравнения Лагранжа для малых колебаний имеют вид:
(/Л1 4* т2) lia 1 4" ш212 а2 — (mi 4“ т2) g&i = 0, 1
Ziai+^2a2 --- ga2 = 0. J
Характеристическое уравнение:
(nti + т2) gh — <о2 (mi + т2) II — <лат21112 I __ Q
— (o2m2ZiZ2 m2gl2 — <л2т211 I
Квадраты собственных циклических частот 04 и <о2
равны
“’.а = 2т?Л *" *" 1*> ±
± V(mi + m2) [(ffil + Ота) (А + 4)1 — 4mIZi/2]}.
Общее решение имеет вид:
ai ~ (<^77 — 7?) Ч- -------7;) £2cos (w2^+?2),
\^i 1/ \ 2^ 1
a2 = Ci COS <pi) + C2 COS (<d2Z -|- cp2).
Пример 2. Плоское движение материальной точки
под действием двух взаимно перпендикулярных квази-
упругих сил Fx и F2. В прямоугольной декартовой си-
стеме координат хОу. начало которой совпадает с поло-
жением равновесия материальной точки, а оси Ох и Оу
направлены вдоль линий действия соответственно силы Fi
и силы F2, уравнения движения точки имеют вид:
тЛ 4- ₽1Х = 0, |
и*Р + М = 0, J
где Pi и р2 — коэффициенты квазиупругих сил Fi
и F2. Координаты х и у являются нормальными, и их
8 Б. М. Яворский, А. А. Детдаф
114
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[1-6
зависимость от времени имеет вид:
Х= Их COS (oh/ + (ft) и у = Аа cos (<d2Z 4- <рй),
где *и о>2= У$2/т— собственные цикличе-
ские частоты.
Таким образом, движение точки является результатом
наложения двух взаимно перпендикулярных гармониче-
ских колебаний. Траектория точки заключена внутри
прямоугольника, стороны которого параллельны осям Ох
и Оу и соответственно равны 2Ai и 2А2, а центр совпа-
dp?в О
ыг=Зсиг/2 ,
=3л/д
Рис. I. 6.11.
дает с точкой О. В случае рационального отношения ча-
стот (Oj и й>2 траектории замкнуты и называются фигу-
рами Лиссажу. Вид фигур Лиссажу зависит от <d2/wi,
Д2М1 И <ра — <pi (рис. I. 6.11). Отношение частот aja/foj
равно отношению числа касаний фигуры Лиссажу с
горизонтальной и вертикальной сторонами прямоуголь-
ника, в который она вписывается.
Если oji = (й2, то фигуры Лиссажу имеют форму эллипса;
- та cos (<ps ~<fl) = sin“(?s —
Такие колебания называются эллиптически поляризован-
ными. На рис. I. 6.12 показаны частные случаи эллипти-
чески поляризованных колебаний. При ср8 — cpi = (2/г + 1) j
(& = 0; ±1; ...) эллипс приведен к осям Ох и Оу. Если,
кроме того, Av = Аа, то траектория точки имеет вид
1.6.3) СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 115
окружности. Такие колебания называются циркулярно
поляризованными (поляризованными по кругу). Если
1 = ^тс (& = 0; ± 1; ±2; ...), то эллипс вырож-
дается в отрезок прямой и колебания называются ли-
нейно поляризованными.
Пример 3. Два одинаковых математических ма-
и
Рис. 1. 6.12.
ятника с упругой связью
(рис. I. 6.13). Если массой пру-
жины можно пренебречь, то в
случае малых колебаний
и
(“? + «?) +
+ У aPiai-ai)*,
где а — коэффициент упру-
гости пружины, т — массы
маятников.
Рис. I. 6.13.
Произведя замену переменных 6t = 2~^~— и 6а— % ’»
Ц7к=т/2(в1+^) и Wn = mgl(^ + 6l) + 2aP6i
Координаты 61 и 0а являются нормальными. Уравнения
Лагранжа имеют вид:
61 + = 0, )
S# + (wo + ^г)02 = j
116
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[1.S
где <о0= Уg/l— циклическая частота колебаний свобод-
ных маятников. Собственные циклические частоты си-
стемы равны со0 *и ~;
01 = Ai cos (<jb0t + cpi) и e2 = Л2 cos (<оо ]/”1 +
Б. Затухающие колебания
1° Если в системе отсутствует сухое трение (стр. 50),
то в случае малых колебаний можно считать, что обоб-
щенные силы трения F/тр, соответствующие обобщенным
координатам qh являются линейными функциями обоб-
п
щенных скоростей: F/Tp = — 2 где п — число сте-
k=\
пеней свободы системы, xk — отклонения ее обобщенных
координат qk от их равновесных значений q^o, aik — обоб-
щенные коэффициенты трения (aik = aki)1 которые можно
считать постоянными.
Зависимость полной механической энергии W системы
от времени имеет вид:
где Ф = у aik^i^k — диссипативная функция системы,
i, k
являющаяся существенно положительной, так как энер-
гия W в процессе движения системы непрерывно убы-
вает.
2° Уравнения Лагранжа для системы имеют вид:
= М (/=1, 2, п).
дх. dxi р dxi
Пользуясь для функции Лагранжа выражением стр. 109,
получаем:
п
S №Л + МЖ(ЛМ (/ = 1, 2, .... п). (*)
/г=1
3° Решение этой системы однородных линейных диф-
ференциальных уравнений второго порядка проводится
аналогично тому, как это сделано для системы (*) на
стр. 109: неизвестные функции xk (t) следует искать в
форме xk = Akext. Соотношения между постоянными
1.6.3] СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Ш
коэффициентами Ak определяются из системы однород-
ных линейных алгебраических уравнений ,
п
2 $ik + «ik* + bikV)Ak = Q (Z=l, 2, и). (**)
fe=]
Характеристическое уравнение, служащее для опре-
деления значений X, имеет вид:
Ри +Хап4-Х2^Х1 ₽12+ Ха12 + Х2^12 ... Р1л + Ха1д4-Х2^1д
Р21 + Ха21 + Х2^21 ?22 + Х«22 + Х2^22 . . . р2л + Ха2П + Х2#2П _
$ni + ^ani + ^2bni Рп2Н-ХаП2 + Х2#П2 ••• ?пп^~^апп~^~^2Ьпп
Оно имеет 2п корней Xz (/=1, 2, ..., 2п), которые, в
силу вещественности коэффициентов fiik, aik и bikl являются
либо вещественными, либо попарно комплексно сопря-
женными, т. е. Xz = pz и Xz* = p.z— fajz, причем
p.z<0, a wzX>0. Значения ДА;=ЛЛ(Х;), получаемые из
системы (**) для каждой пары комплексно сопряженных
корней, являются комплексно сопряженными:
Ak (М = Iki + ^kb &k (tf) = Iki — i^ki = (X/).
Общее решение системы (*) в случае, когда все корни Xz
разные и комплексно сопряженные, имеет вид:
i/?ReU(^)Cz/“4-
Z=1
где Ci — комплексные постоянные интегрирования, опре-
деляемые из начальных условий (т. е. значений xk и xk
при t = 0), а символ Re означает вещественную часть
комплексной функции, стоящей в фигурных скобках.
Если корень Xz веществен (ojz=0), то ему в выра-
жении для xk (t) соответствует апериодическая состав-
ляющая е z (Xz) Re {Cz}. Если все корни Xz вещест-
венны, то движение системы будет полностью аперио-
дическим.
В. Вынужденные колебания
неди с с ипати вной системы
1° Функция Лагранжа системы равна
п
L = Lq ]- £ Fk (Z) xkt
k=i
11 $ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЙ [1.6.
где £0 — функция Лагранжа для свободных колебаний
системы, a Fk(t) — обобщенная внешняя (возмущающая)
сила, сопряженная с обобщенной координатой хк.
В нормированных нормальных координатах Q, (стр.111)
l = f hWQi,
/=1 Г=1
Д Ак(<»2)
где и fi(t) = У Fk(t)---------— —собственная цикли-
ческая частота колебаний системы и обобщенная внеш-
няя сила, соответствующие нормальной координате Qi,
a и bi имеют тот же смысл, что на стр. 110 и 111.
2° Дифференциальные уравнения движения системы
распадаются на п независимых уравнений для одномер-
ных вынужденных колебаний, соответствующих каждой
из нормальных координат Qi:
(Z = 1,2,..., n).
Условием
возникновения резонанса является наличие
среди гармоник силы fi(t) такой, цикличе-
ская частота которой близка к coj.
3° Для системы с двумя степенями сво-
боды, соответствующими обобщенным ко-
ординатам хг и х2, связь между обобщен-
ными возмущающими силами Fk(t) и ft(t)
имеет вид:
® /У
Vbi
где у/ и bi имеют тот же смысл, что на
’ '=Fncosttt А о
° СТр. 112.
Пример. Двойной пружинный ма-
ис. I. 6.14. ятник (рис 1.6.14). Колебания совершаются
под действием возмущающей силы F(t).
Кинетическая и потенциальная энергии равны:
Wk = ~(mAx2. + m2xl), [«»*? + «*(*» “
где Ху и х2 — смещения материальных точек гщ и т2 из
1.6.3) СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ И9
положений их устойчивого равновесия;
^11==zni, Z»12 = 0, fc22 = m2;
Pn = ^i4-ag, p12 = p21 = —aSf p22 = aa.
Из уравнений, приведенных на стр. 112, следует:
== JTliPij Ь% = Pi== ^1^1» Pa === #i^a»
где
/’>=2(ft’+^+ftK*8+B)-
р2 = 2^4-^-й/^ + ^),
«> - о +к+%+2k +
+ a;(1-2fe-2/ftS + ^)'
«.= 0+®(2*8+^-2*/ft2+^)+
Квадраты собственных циклических частот равны:
где <о§ = -^. Так как F{ (f) = 0 и Р2 (t) = F (t) = F0 cos Q t, то
fi (t) = , cos Q t, f2 (t) = —cos Q t.
Vmipi V mipi
Уравнения движения в нормированных нормальных коор-
динатах:
0, + “?<?/ = T7^=cosaf (/=1,2).
V m^i
Общее решение имеет вид:
Qt = Ai cos 4- <pz) + Bi cos (<&it + <pz),
где второй член характеризует свободные колебания
системы, а и в соответствии с формулами для
120 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [1.6
одномерных вынужденных колебаний (стр. 107) равны:
AJ = 1/--<₽' = °-
rm^Pl (со? —
Неизвестные функции хг (t) и х2 (г) равны:
y _ Y1Q1 । Y2Q2 v Qi Qa
*1---7— + 7- ---L , Х2 = + ... .
FmTpi Vm-ip? Vm-tPi Vmtf)?
4. Колебания нелинейной системы, имеющей одну
степень свободы
А. Основные определения
1° Дифференциальное уравнение колебаний нелиней-
ной системы в общем случае имеет вид:
х+ f (х, х, t) = 0.
2° Колебательная система называется автономной.
если время явно не входит в уравнение движения:
x+f (х, х) = 0. (* }
Дифференциальное уравнение колебаний автономной
консервативной системы не содержит обобщенной ско-
рости х:
x+f(x) = O (**)
и описывает свободные колебания.
Автономная неконсервативная система называется
диссипативной, если ее движение носит характер зату-
хающих колебаний. Если автономная неконсервативная
система может совершать периодические колебания, то
она называется автоколебательной, а ее колебания —
автоколебаниями. Амплитуда и частота автоколебаний
определяются только свойствами самой системы.
3° Колебательная система называется неавтономной,
если время t явно входит в дифференциальное уравне-
ние движения. Вынужденными колебаниями неавтоном-
ной системы называются процессы, происходящие в си-
стеме, если заданная периодическая функция времени
F(t) входит слагаемым в дифференциальное уравнение
движения:
x+f (х, х) = F (0.
Правая часть уравнения называется приведенной возму
тающей силой В зависимости от вида функции / (х, xi
£.6.41 КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 121
различают вынужденные колебания недиссипативных си-
стем, диссипативных систем или автоколебательных
систем.
Параметрическими называются колебания, описывае-
мые дифференциальными уравнениями вида
x + [a + P(t)]x — О,
где Р(г) — заданная периодическая функция времени.
f&)
о)
Рис.
Жесткая
тарантерастака
силу, приведен-
I. 6.15.
Мягкая
тарактеристака
В. Свободные колебания консервативной
системы
1° В дифференциальном уравнении‘(* *)на стр. 120/(х)
представляет собой восстанавливающую
ную к единице массы
системы и нелинейно
зависящую от коор-
динаты х системы.
Зависимость t (х)
называется квазиуп-
ругой характеристи-
кой системы. При
<(х) = — /(—х) ква-
зиупругая характери-
стика называется сим-
метричной В зависи-
мости от знака второй
квазиупругая характеристика называется
жесткой, если при (рис. 1.6.15,а),
мягкой, если при (рис. 1-6.15, б).
2° Свободные колебания консервативной системы
являются периодическими,, но ангармоническими Период
свободных колебаний зависит от амплитуды колебаний
и при симметричной квазиупругой характеристике равен
d2/
производной симметричная
Т = 2 /2
dx
J f(x)dx
х
О
где А — амплитуда колебаний.
122
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЙ
Пример 1. Квазиупругая кубическая характери-
стика: /(х) = х8. Период колебаний равен
А
Т 4 1/ 2 7,316
1 V АЛ — х4
Пример 2. Математический маятник при больших
углах отклонения а (рис. I. 6. 3). Квазиупругая характе-
ристика:
= sin а.
Период колебаний представляется эллиптическим инте-
гралом:
где А — наибольший угол отклонения (амплитуда колеба-
ний). Для периода Г существует представление в виде
степенного ряда:
3* Приближенная формула для периода свободных
колебаний при любом виде симметричной квазиупругой
характеристики:
Г.
I/ 5j f(x)x9dx
F О
В. Свободные колебания диссипативной
системы
Г При не слишком значительном рассеянии механи-
ческой энергии период свободных затухающих колеба-
ний приближенно равен периоду 2к/со0 свободных коле-
баний соответствующей консервативной системы, а дви-
жение системы в течение одного периода приближенно
описывается уравнением
х = A cos <о0/,
где А — зависящая от времени амплитуда колебаний.
1.6.41 КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 123
Кривая А= A(t) представляет собой огибающую гра-
фика колебаний.
2° При нелинейно-вязком трении приведенная сила
неупругого сопротивления имеет вид:
R — к | х Iя"1 х,
где к и л 1 — постоянные для системы. Уравнение
огибающей для системы с линейной квазиупругой харак-
теристикой:
где Ао — отклонение системы при г=0,
6 = 2 jsin" + 1 ф t/ф.
Значения 6 даны в таблице:
п 0 0,i 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
S 4,000 3,500 3,142 2,874 2,666 2,498 2,356
3° Внутреннее трение в материале при циклическом
деформировании характери-
зуется явлением гистере-
зиса (рис. 1.6.16). Приве-
денная сила неупругого со-
противления равна
Полная сила сопро/пиЗления
Рис. I. 6.16.
R =
где b и п — постоянные си-
стемы, а знаки плюс и минус
соответствуют восходящей
и нисходящей ветвям петли
гистерезиса. При л = 1 урав-
нение огибающей затухающих колебаний имеет вид:
Ьи»0
А = Аае~ 2я
124 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [1.6
уравнение огибающей затухающих колебаний при п 7^ 1:
А.= —=-------.
п— 1 z-------------
|/ 1+(»-DM?-'
Г. Вынужденные колебания
недиссипативной системы
1° Дифференциальное уравнение колебаний недиссипа-
тивной системы при действии гармонической возмущаю-
щей силы имеет вид:
Jt-\-f(x) = F0 sin Qt,
где Fo — амплитуда возмущающей силы, отнесенная
к единице массы, Q — циклическая частота.
2° При кубической симметричной квазиупругой харак-
теристике
/:(х) = <О5Х + рХ3
уравнение
Jc -|- + ₽х3 = Fo sin Qt
имеет приближенное решение
х = A sin Qt + ( sin Qt — sin 3Q£),
содержащее, кроме основной гармоники, также гармо-
нику с тройной циклической частотой. Амплитуда коле-
баний определяется из кубического уравнения
(2«-«>’)Л--|-₽Л’ + Го = О.
При малых значениях циклической частоты Q урав-
нение имеет один действительный корень, а при боль-
ших частотах — три действительных корня; каждому из
них соответствуют колебания с определенной амплиту-
дой. Многозначность решения означает, что при данной
циклической частоте возмущающей силы возможны ко-
лебания с разными амплитудами, однако не все возмож-
ные виды колебаний устойчивы. На рис. 1.6. 17,а изо-
бражена зависимость амплитуды вынужденных колебаний
от циклической частоты возмущающей силы для р >> 0.
Пунктиром показаны неустойчивые решения, лишенные
физического значения.
Последовательность изменения амплитуды вынужден-
ных колебаний при медленном изменении циклической
1.6.41
КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
125
частоты возмущающей силы отмечена на рис. 1.6. 17,а
стрелками. При увеличении 2 амплитуда колебаний воз-
растает, следуя верхней ветви графика. Как только
начинается уменьшение циклической частоты 2, сразу
происходит «срыв» амплитуды на нижнюю ветвь графика.
Дальнейшее уменьшение значений 2 приводит к новому
«перескоку» амплитуды на верхнюю ветвь графика.
3° Кроме колебаний с циклическими частотами 2,
32 и т. д. (2 — циклическая частота возмущающей силы),
в нелинейных системах возможны субгармонические ко-
лебания, циклические частоты которых в целое число
раз меньше циклической частоты возмущающей силы.
4° При действии по Ангармонической возмущающей
силы типа Fi sin 2Х£ -|- F2 sin 22Z, кроме колебаний с ци-
клическими частотами 2t и 22, возникают колебания с
комбинационными циклическими частотами 2i Ц- 23
и 2Х — 22. Наибольшее значение имеют низкочастотные
комбинационные колебания, соответствующие цикличе-
ской частоте 2i — 22 (эти колебания также иногда на-
зываются субгармоническими).
Д. Вынужденные колебания
диссипативной системы
Iе Дифференциальное уравнение вынужденных коле-
баний нелинейной системы с вязким сопротивлением и
кубической квазиупругой характеристикой имеет вид:
Jc + рЛ + + ₽х3 = Fo sin 2Л
2° Амплитуда колебаний приближенно находится из
уравнения _________
(S2 - «>?) А - м’ ± Ро ]/ 1 - (W = О-
126
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Зависимость Д(й) для 3 > 0 имеет вид, изображенный на
рис. 1.6. 17,6. Пунктиром отмечены неустойчивые ре-
шения.
Е. Автоколебания
1° Для исследования характера движения сложных
(в частности, автоколебательных) систем используется
понятие о фазовой плоскости — плоскости переменных х
и = Л Каждому мгновенному состоянию системы,
характеризуемому величинами х и v, на фазовой пло-
скости соответствует одна точка, называемая фазовой
или изображающей точкой. Каждому процессу движе-
ния системы отвечает определенная кривая на фазовой
плоскости, называемая фазовой траекторией (см. стр. 87).
2° Фазовые траектории являются интегральными кри-
выми уравнения
dv__ f (х, у)
dx у ’
в котором /(х, t/)=/(x, Л) — функция, входящая в диф-
ференциальное уравнение (*) движения автономной си-
стемы (стр. 120). Точки фазовой плоскости, в которых
/(х, t/) = 0 и “У = 0, назы-
ваются особыми точками.
Особым точкам соответ-
ствуют состояния равнове-
'сия системы. Все другие
[ [ {____________\ точки фазовой плоскости
—г—гт-----Ф---называются обыкновенными
\ / J точками. Через каждую
хЛ4-------обыкновенную точку прохо-
дит одна и только одна фа-
зовая траектория.
Рис. I. 6.18. 3° Особая точка, через
которую не проходит ни одна
из фазовых траекторий и которую окружают замкнутые
фазовые траектории, называется центром (рис. I. 6.18);
центру соответствует состояние устойчивого равновесия.
Если вблизи особой точки фазовые траектории
являются гиперболами, а через саму особую точку про-
ходят только две фазовые траектории, то такая точка
называется седлом (рис. 1.6.19); седлу соответствует
состояние неустойчивого равновесия.
Если вблизи особой точки фазовые траектории имеют
вид спиралей, навивающихся на эту точку или свиваю-
1.6.4)
колебания нелинейной системы
127
щихся с нее, то эта точка называется фокусом, причем
в первом случае (рис. I. 6. 20,а) равновесие устойчиво,
v а во втором случае (рис. I. 6. 20,6)
равновесие неустойчиво.
Рис. 1. 6.19. Рис. I. 6.20.
Если в окрестности особой точки фазовые траекто-
рии имеют параболический вид и все проходят через
нее, то такая точка называется узлом (рис. 1.6.21).
Если фазовые траектории вхо-
дят в узел, то ему соответ-
ствует состояние устойчивого
равновесия, а если фазовые
траектории выходят из узла,
то ему соответствует состоя-
ние неустойчивого равновесия.
Пример. Движение мате-
матического маятника при про-
извольных начальных условиях.
Фазовые траектории изобра-
жены на рис. 1.6.22. Точки
оси абсцисс 0; ± 2к являются
центрами, а точки ±. к — сед-
лами. При достаточно больших
начальных скоростях фазовые
траектории носят волнообраз-
ный характер и нигде не пе-
ресекают ось абсцисс; этим
траекториям соответствуют убегающие движения маят-
ника, т. е. неограниченное увеличение угла отклонения
маятника.
4° Предельным циклом называется такая замкнутая кри-
вая С, на которую навиваются или с которой свиваются
12$
механические колебания
спиральные фазовые траектории, находящиеся вблизи
кривой С. Если окрестные фазовые траектории нави-
ваются на крибую С, то она называется устойчивым
предельным циклом (рис. 1.6.23), а если свиваются
с нее, — то неустойчивым предельным циклом. Если
фазовые траектории, лежащие по одну сторону от кри-
вой С, навиваются на нее, а лежащие по другую сто-
рону от этой кривой, — свиваются с нее, то она назы-
Рис I. 6.23.
вается полуустойчивым
предельным циклом.
5° Отличия предель-
ных циклов нелинейных
автономных систем от
замкнутых фазовых тра-
екторий, описывающих
колебания консерватив-
ных систем и окружаю-
щих особую точку типа
центра: 1) предельные
циклы являются изолиро-
ванными кривыми, тогда
как замкнутые фазовые
траектории для консер-
вативных систем образуют непрерывное семейство;
2) движение по предельному циклу не зависит от на-
чальных условий; для консервативных систем именно
начальные условия осуществляют выделение той или
иной фазовой траектории из непрерывного семейства.
6° Если имеется несколько предельных циклов, обра-
зующих концентрическую систему, то устойчивые пре-
1.6.4)
КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
129
дельные циклы чередуются с неустойчивыми предель-
ными циклами; при этом особая точка, расположенная
внутри семейства предельных циклов, может рассматри-
ваться как стянутый в точку предельный цикл.
7° Мягким самовозбуждением называется переход
системы из состояния неустойчивого равновесия к дви-
жению по устойчиво-
му предельному циклу
(рис. 1.6. 23). Жестким
самовозбуждением
называется переход
системы из состо-
яния устойчивого рав-
новесия к движению
по устойчивому пре-
дельному циклу; для
этого необходимо до-
статочно большое на-
чальное возмущение,
способное сзабросить»
начальную фазовую
Рис. 1. 6.21.
точку за контур не-
устойчивого предельного цикла, расположенного между
устойчивой особой точкой и устойчивым предельным
циклом (рис. I. 6. 24).
8° Квазилинейными называются механические систе-
мы, движение которых описывается дифференциальным
уравнением
. а л / dx\
содержащим малый параметр р.
ному времени» т = со0£ приводит
уравнению
Переход к «безразмер-
к дифференциальному
в котором
(*)
^4-х = (л/(х,
dr ) »
Приближенное решение уравнения (*):
х = р cos (т — в),
где р и 0 — медленно меняющиеся функции времени
9 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
130
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Ц.в
определяемые уравнениями установления
^=нф(р), ^=н«-(р),
в которых
2и
Ф(р) = — /(р cos £, —р sin 6) sin
2u
ЧЧр) = 5^ 5 /(p cos 6, —P sin 6)cos 5 di.
(*»)
Здесь /(p cos 6, — p sin 6) — результат подстановки в функ-
цию/(x, выражения p cos £ вместо x и выражения
. dx
— p sin 5 вместо -г-.
1 ' at
Пример. Уравнение Ван-дер-Поля\
X + x = p (1 — X2) Я.
По формулам (**) находим:
Ф(р)= |(4-р8), Т(р) = 0.
Уравнения установления имеют вид:
^. = ^(4_Р3), £ = 0,
dx 8 v “ dr
Закон изменения амплитуды р во времени:
______________________ 2
Р~ Vl+Ce-^'
где С — постоянная, зависящая от начальных условий.
При т —* оо величина р стремится к значению р = 2
и устанавливается движение по предельному циклу.
Закон движения:
х = 2 cos т.
ОТДЕЛ II
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ
ГЛАВА !
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Г Молекулярной физикой называется наука, изучаю-
щая физические свойства и агрегатные состояния тел
в зависимости от их молекулярного строения, сил взаимо-
действия между частицами, образующими тела, и харак-
тера теплового движения этих частиц. Для теоретического
исследования указанных вопросов используются два
взаимно дополняющих друг друга метода — статистиче-
ский и термодинамический.
2° Статистический метод состоит в изучении свойств
макроскопических систем на основе анализа, с помощью
методов математической теории вероятностей, закономер-
ностей теплового движения огромного числа микрочастиц,
образующих эти системы.
3° Термодинамический метод состоит в изучении
свойств системы взаимодействующих тел путем анализа
условий и количественных соотношений происходящих
в системе превращений энергии. Эти вопросы изучаются
в разделе теоретической физики, называемом термоди-
намикой (феноменологической термодинамикой)
Термодинамический метод, в отличие от статистическо-
го, не связан с какими-либо конкретными представлениями
о внутреннем строении тел и характере движения обра-
зующих их частиц. Термодинамика оперирует с макро-
скопическими характеристиками изучаемых ею объектов,
основываясь на нескольких экспериментально установлен-
ных положениях — законах (началах) термодинамики,
которые обладают весьма большой общностью. Поэтому
термодинамический метод используется для теоретиче-
ского анализа общих закономерностей самых разнообраз-
ных явлений.
4° Термодинамической системой называется совокуп-
ность макроскопических объектов (тел и полей), обме-
нивающихся энергией в форме работы и в форме тепла
9*
132 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [П.1
(стр. 53) как друг с другом, так и с внешней средой,
т. е. с внешними по отношению к системе телами и полями.
Термодинамическая система называется замкнутой
или изолированной, если отсутствует всякий обмен энер-
гией между нею и внешней средой. Система называется
изолированной в тепловом отношении или адиабати-
чески изолированной, если отсутствует теплообмен между
нею и окружающей средой. Термодинамическая система,
обменивающаяся энергией с внешней средой только пу-
тем теплообмена, называется изолированной в механи-
ческом отношении.
5° Гомогенной называется термодинамическая систе-
ма, внутри которой нет поверхностей раздела, отделяю-
щих друг от друга макроскопические части системы,
различающиеся по своим свойствам и составу. Термо-
динамическая система, не удовлетворяющая этому усло-
вию, называется гетерогенной. Гомогенными системами
являются, например, смеси газов, жидкие и твердые
растворы, а также всякое химически однородное тело,
находящееся целиком в каком-либо одном агрегатном
состоянии. Примерами гетерогенных систем являются
тающий лед, влажный пар, многие сплавы и горные по-
роды. Система называется физически однородной, если
ее состав и физические свойства одинаковы для всех
макроскопических частей этой системы, равных по объему.
Примером такой системы может служить газ, на кото-
рый не действует внешнее силовое поле.
Фазой называется совокупность всех гомогенных ча-
стей термодинамической системы, которые в отсутствие
внешнего силового воздействия являются физически од-
нородными. Например, влажный пар состоит из двух
фаз — кипящей жидкости и сухого насыщенного пара.
Компонентами (независимыми компонентами) тер-
модинамической системы называются различные вещества,
наименьшее число которых достаточно для образования
всех фаз системы.
Раствором называется гомогенная система (твердая,
жидкая или газообразная), состоящая из двух или боль-
шего числа химически чистых веществ. Один из компо-
нентов раствора (обычно тот, который содержится в наи-
большем количестве) называется растворителем, а осталь-
ные компоненты—растворенными веществами.
6е Состояние термодинамической системы опреде-
ляется совокупностью значений ее термодинамических
П.п
ОСНОВНЫЕ понятия
133
параметров (параметров состояния) — всех физических
величин, характеризующих макроскопические свойства
системы (ее плотность, энергию, вязкость, поляризацию,
намагниченность и т. д.). Два состояния системы счи-
таются разными, если для них численные значения хотя
бы одного из термодинамических параметров неодина-
ковы. Состояние системы называется стационарным, если
оно не изменяется во времени. Стационарное состояние
системы называется равновесным, если его неизменность
во времени не обусловлена протеканием какого-либо
внешнего по отношению к системе процесса.
Термодинамические параметры системы взаимосвя-
заны. Поэтому равновесное состояние системы можно
однозначно определить, указав значения ограниченного
числа этих параметров (стр. 186). Основными парамет-
рами состояния являются давление, температура и удель-
ный (или молярный) объем.
В термодинамике различают внешние и внутренние
параметры состояния системы. Внешними параметрами
состояния называются параметры, зависящие только от
обобщенных координат (стр. 83) внешних тел, с которыми
взаимодействует система. Примером внешнего параметра
для газа является его объем, зависящий от положения
внешних тел — стенок сосуда. Для газа, находящегося
в гравитационном или каком-либо другом внешнем си-
ловом поле, внешним параметром является также на-
пряженность этого поля. Внутренними параметрами
состояния называются параметры, зависящие как от
обобщенных координат внешних тел, так и от усреднен-
ных значений координат и скоростей частиц, образующих
систему. Внутренними параметрами являются, например,
плотность и энергия системы.
7° Давлением называется физическая величина р,
равная пределу отношения численного значения AF„ нор-
мальной силы, действующей на участок поверхности тела
площадью AS, к величине AS при AS, стремящейся к нулю:
.. dFn
р = 11ГП = -уё- •
Д5-.045 dS
Удельным объемом v называется величина, обратная
плотности р (стр. 35): v — 1 /р. Для однородного тела
удельный объем равен отношению его объема к массе,
т. е. численно равен объему элемента этого тела, масса
которого равна единице.
134 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (11.1
Грамм-молекулой или молем (килограмм-молекулой
или киломолем) называется такое количество химически
однородного вещества, масса которого, выраженная в
граммах (килограммах), численно равна его молекуляр-
ному весу р.. Объем Ур. одного моля вещества назы-
вается его молярным объемом:
Грамм-атомом (килограмм-атомом) называется та-
кое количество химически простого вещества (элемента),
масса которого, выраженная в граммах (килограммах),
равна его атомному весу. Число молекул в грамм-моле-
куле и число атомов в грамм-атоме для всех веществ
одинаковы. Это число называется числом Авогадро
NA (Na = 6,023 • 1023 моль'1 = 6,023 • 102е кмоль'1).
8° Температурой называется физическая величина,
характеризующая степень нагретости тела (см. также
стр. 196 и 220). В состоянии термодинамического равнове-
сия системы температуры всех тел, образующих систему,
одинаковы. Измерение температуры можно производить
только косвенным путем, основываясь на зависимости
от температуры таких физических свойств тел, которые
поддаются непосредственному измерению. Применяемые
для этого тела (вещества) называются термометриче-
скими, а устанавливаемая с их помощью шкала темпе-
ратуры — эмпирической.
Основной недостаток эмпирических шкал темпера-
туры состоит в их зависимости от специфических особен-
н( стей конкретных термометрических веществ (о воз-
можности построения универсальной термодинамической
шкалы температуры см. стр. 156). В качестве исходных
значений, служащих при построении шкалы темпера-
туры для установления начала отсчета температуры
и единицы ее измерения — градуса, применяются темпе-
ратуры перехода химически чистых веществ из одного
агрегатного состояния в другое, например температуры
плавления льда (tQ) и кипения воды (ZK) при нормальном
атмосферном давлении, равном 760 мм рт. ст. Величины
t0 и /к в зависимости от типа шкалы имеют следующие
значения:
а) Шкала Цельсия (стоградусная шкала): t0 = 0° С,
/к=100° С.
б) Шкала Фаренгейта: £0 = 32°F, £K==212°F.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
135
Связь между температурами, выраженными в граду-
сах Цельсия и Фаренгейта, имеет вид:
t °C _t °F - 32
100 180
в) Шкала Кельвина (см. также стр. 156): температу-
ра Т отсчитывается от абсолютного нуля (t——273,15° С)
и называется абсолютной температурой. Связь между
значениями температуры по шкале Кельвина (Т °К) и
шкале Цельсия (t °C) имеет вид:
Т °К = £ °C 4- 273,15° С.
9° Внутренние параметры термодинамической системы
(стр. 133), находящейся в равновесном состоянии, зависят
т лько от ее внешних параметров и от температуры:
Vk =/(•*!. Xit .... Г), (*)
где yk ~ внутренний параметр, а хъ ..., хп — внешние
параметры. Например, равновесное состояние физически
однородной термодинамической системы в соответствии
с правилом фаз Гиббса (стр. 186) полностью определяется
двумя параметрами. Поэтому равновесное давление
в этой системе является функцией ее объема и темпе-
ратуры (масса системы предполагается фиксированной):
р = Л(И, Г). (**)
10° Если в уравнении (*) yk представляет собой обоб-
щенную силу (стр 84), сопряженную какому-либо из
внешних параметров хь ..., хп, то уравнение (*) назы-
вается термическим уравнением состояния системы
(уравнением состояния системы). Например, уравне-
ние (**) является термическим уравнением состояния
физически однородной системы.
Уравнение (*), записанное для внутренней энергии U
системы (стр. 140):
4/ = /2(х1, х2, хл, Г),
называется калорическим уравнением состояния си-
стемы.
В термодинамике уравнения состояния исследуемой
системы предполагаются известными из опыта. Теорети-
ческий вывод этих уравнений может быть осуществлен
методами статистической физики.
11° Термодинамическим процессом называется всякое
изменение состояния термодинамической системы. Равно-
136 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [П.1
весным (квазистатистическим) процессом называется тер-
модинамический процесс, при котором система проходит
непрерывный ряд равновесных состояний. Круговым про-
цессом или циклом называется термодинамический про-
цесс, в результате совершения которого система возвра-
щается в исходное состояние.
Изопроцессами называются термодинамические про-
цессы, протекающие при неизменном значении какого-
либо параметра состояния х). Изохорным (изохорическим)
процессом называется термодинамический процесс, про-
текающий при постоянном объеме системы. Изобарным
(изобарическим) процессом называется термодинамиче-
ский процесс, протекающий при постоянном давлении.
Изотермическим (изотермным) процессом называется
термодинамический процесс, протекающий при постоян-
ной температуре.
Адиабатным (адиабатическим) процессом называется
термодинамический процесс, осуществляемый системой
без теплообмена с внешними телами.
12° Функцией состояния называется такая физиче-
ская характеристика системы, изменение которой при
переходе системы из одного состояния в другое не за-
висит от вида соответствующего этому переходу термо-
динамического процесса, а целиком определяется значе-
ниями параметров начального и конечного состояний.
Важнейшими функциями состояний являются внутренняя
энергия U (стр 140), энтальпия Н (стр. 142), энтропия S
(стр. 162), изохорно-изотермный потенциал Л (стр. 168) и
изобарно-изотермный потенциал Ф (стр. 168).
Экстенсивными величинами называются функции
состояния термодинамической системы, зависящие от ее
массы. Таковы, например, перечисленные выше функции.
В уравнениях термодинамики часто используют значения
экстенсивных величин, отнесенные либо к единице массы
системы, либо к одному молю.
Интенсивными величинами называются функции со-
стояния термодинамической системы, не зависящие от
ее массы. Таковы, например, температура, плотность,
вязкость, диэлектрическая проницаемость и т. д.
13° Равновесные состояния физически однородной
системы и совершаемые ею равновесные процессы можно
изображать графически соответственно точками и кри-
1, Ма са системы предполагаете я неизменной.
11.2.1] ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ 187
выми на плоскости с прямоугольными декартовыми коор-
динатами, вдоль осей которых откладываются параметры
состояния системы или однозначно связанные с ними
функции состояния. Такое графическое изображение на-
зывается термодинамической диаграммой. Наиболее
распространенными являются диаграммы V — ру s — Т,
s — Н и др. (первый символ указывает величину, откла-
дываемую по оси абсцисс, второй — по оси ординат).
ГЛАВА 2
ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
1. Идеальные газы
Iе Идеальным газом называется газ, в котором от-
сутствуют силы межмолекулярного взаимодействия. С до-
статочной степенью точности газы можно считать идеаль-
ными в тех случаях, когда рассматриваются их состояния,
далекие от областей фазовых превращений.
2° Для идеальных газов справедливы следующие за-
коны:
а) Закон Бойля — Мариотта: при неизменных темпе-
ратуре и массе произведение численных значений давле-
ния и объема газа постоянно:
р V = const.
б) Закон Гей-Люссака: при постоянном давлении
объем данной массы газа прямо пропорционален его
абсолютной температуре:
l/=al/07'= И» X,
*0
где Vo — объем газа при температуре TQ = 273,15® К,
а= 1 /Го — коэффициент объемного расширения.
в) Закон Шарля: при постоянном объеме давление
данной массы газа прямо пропорционально его абсолют-
ной температуре:
где ра — давление газа при температуре Го = 273,15° К.
г) Закон Авогадро: при одинаковых давлениях и оди-
наковых температурах в равных объемах различных
идеальных газов содержится одинаковое число молекул;
138 ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ [11.2
или, что то же самое: при одинаковых давлениях и оди-
наковых температурах грамм-молекулы различных идеаль-
ных газов занимают одинаковые объемы.
Так, например,*при нормальных условиях (£ = 0°С и
р=1 атм = 760 мм рт. ст.) грамм-молекулы всех идеаль-
ных газов занимают объем 1/ =22,414 л. Число моле-
кул, находящихся в 1 см3 идеального газа при нормаль-
ных условиях, называется числом Л о шмидта; оно равно
2,687- 1018 I см3.
3° Уравнение состояния идеального газа имеет вид:
P^ = RT,
где р, и Г- давление, молярный объем и абсолют-
ная температура газа, a R — универсальная газовая по-
стоянная, численно равная работе, совершаемой 1 мо-
лем идеального газа при изобарном нагревании на один
градус:
R = 8,31 • 103--, = 0,0821 =
' ’ кмоль-град моль-град
_ 0,848 —~~ = 8,31 1 О’----т = 1,987--------„ .
’ моль-град ’ моль-град моль-град
М
Для произвольной массы М газа объем У=у[/И и
уравнение состояния имеет вид:
р¥ = У-ЯТ.
Это уравнение называется уравнением Менделеева —
Клапейрона. Поскольку V/M = v — удельный объем
газа, то
pv = ^T = BT,
где B = —удельная газовая постоянная, зависящая
от молекулярного веса газа.
4° Из уравнения Менделеева — Клапейрона следует,
что число nQ молекул, содержащихся в единице объема
идеального газа, равно
_ ____Р_
п0 — — R7 — kT ’
где k = =1,38-10~88 дж/град=1,33- 10-1в эрг/град—
постоянная Больцмана, NA —число Авогадро (стр. 134).
11.2.2] СМЕСИ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ 189
2. Смеси идеальных газов
Г Смесью газов называется совокупность нескольких
разнородных газов, которые при рассматриваемых усло-
виях не вступают друг с другом в химические реакции.
Смесь газов представляет собой гомогенную термодина-
мическую систему (стр. 132).
Весовой концентрацией gi (весовой долей, весовой
долевой концентрацией) Z-ro газа, входящего в состав
смеси, называется отношение его массы Mt к массе Л4
всей смеси:
м. м.
/ = )
где N—общее число разнородных газов, образующих
смесь.
Молярной концентрацией Xj (мольной долей, моляр-
ной долевой концентрацией) i-ro газа называется отно-
шение числа молей этого газа к числу молей всех газов
в смеси:
1^1
где р.г — молекулярный вес Z-ro газа.
2° Парциальным давлением р^ i-ro газа в смеси на-
зывается давление, под которым находился бы этот газ,
если бы из смеси были удалены все остальные газы, а
объем и температура сохранились прежними:
М-РТ
(*)
где V и Т — объем и температура смеси.
Закон Дальтона: давление смеси идеальных газов
равно сумме их парциальных давлений:
рт М,
= —2,г- <**>
1
Из закона Дальтона следует, что парциальное давление
140 ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ [П.З
f-ro газа равно произведению давления смеси на моляр-
ную концентрацию этого газа: pi = Xip.
3° Парциальным объемом i-ro газа в смеси на-
зывается тот объем, который имел бы этот газ, если бы
из смеси все остальные газы были удалены, а давление
и температура сохранились прежними:
Из (**) и (***) следует закон Амага: объем смеси идеаль-
ных газов равен сумме их парциальных объемов:
N
1 = 1
Парциальный объем i-ro газа равен произведению объема
смеси на молярную концентрацию этого газа: =
4° При расчете параметров состояния смеси идеаль-
ных газов можно пользоваться уравнением Менделеева—
Клапейрона, записанным в форме:
pV= — RT
^СМ
или
pV=MB^T,
1
где Ртм = —уу--------кажущийся молекулярный вес
V &
о g.
смеси,ВСм = =2^2^ —удельная газовая постоян-
ная смеси.
глава з
ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
1. Внутренняя энергия и энтальпия
Г Внутренней энергией U называется энергия си-
стемы, зависящая только от ее термодинамического со-
стояния. Для системы, не подверженной действию внеш-
них сил и находящейся в состоянии макроскопического
II.3.1] ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ И ЭНТАЛЬПИЯ 141
покоя, внутренняя энергия представляет собой полную
энергию системы. В некоторых простейших случаях вну-
тренняя энергия равна разности между полной энер-
гией W системы и суммой кинетической энергии WK ее
макроскопического движения и потенциальной энер-
гии U7n, обусловленной действием на систему внешних
силовых полей:
U=W-(WK+Wn).
Внутренняя энергия системы равна сумме: а) кинети-
ческой энергии хаотического движения микрочастиц си-
стемы (молекул, атомов, ионов, свободных электронов
и др.), б) потенциальной энергии взаимодействия этих
частиц, в) энергии взаимодействия атомов или ионов в
молекулах, г) энергии электронных оболочек атомов и
ионов, д) внутриядерной энергии, е) энергии электромаг-
нитного излучения.
2° Внутренняя энергия является однозначной функцией
состояния системы: ее изменение Д47 при переходе си-
стемы из состояния 1 в состояние 2 не зависит от вида
процесса и равно — Ui. Если система совершает
круговой процесс (стр. 136), то полное изменение ее
внутренней энергии равно нулю:
§dU=O.
3° Внутренняя энергия может быть определена только
с точностью до постоянного слагаемого 47О, которое не
может быть найдено методами термодинамики. Однако это
несущественно, так как при термодинамическом анализе
системы приходится иметь дело не с абсолютными зна-
чениями ее внутренней энергии, а с не зависящими от Uo
изменениями этой энергии в различных процессах. По-
этому часто полагают UQ = 0, а под внутренней энергией
системы понимают только те ее составляющие, которые
изменяются в рассматриваемых процессах. Например,
при не слишком высоких температурах внутреннюю энер-
гию идеального газа можно считать равной сумме кине-
тических энергий хаотического движения его молекул.
4° Внутренняя энергия гомогенной системы является
аддитивной величиной: она равна сумме внутренних энер-
гий всех ее макроскопических частей, т. е. пропорцио-
нальна массе системы. Внутренняя энергия гетерогенной
системы включает в себя не только сумму внутренних
142 ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ (ПЛ
энергий всех гомогенных частей системы, но также энер-
гию молекулярного взаимодействия их поверхностных
слоев. Однако в большинстве случаев внутреннюю энер-
гию гетерогенной системы также можно считать адди-
тивной величиной, равной сумме внутренних энергий
всех фаз системы. Это допущение неприменимо, напри-
мер, для мелкодисперсных гетерогенных систем.
5° Внутренняя энергия идеального газа зависит только
от его абсолютной температуры Т (стр. 135) и пропор-
циональна массе газа М:
Cv dT+U0 = М
с у dT + щ
где Су и Су = Су/М — теплоемкость (стр. 144) и удель-
ная теплоемкость (стр. 145) газа в изохорном процессе,
uQ = Uq М — внутренняя энергия единицы массы газа
при Г==0°К. Для одноатомных газов при не слишком
высоких температурах Су не зависит от температуры и
4/=СиГ+6/о.
Внутренняя энергия смеси N идеальных газов равна
сумме внутренних энергий газов, входящих в состав
смеси:
Л Л 1
U=^Ui^^ [5 cVidT + uot\,
i= 1 i= 1 о
где CVi — теплоемкость i-ro компонента смеси в изохор-
ном процессе.
Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса (стр. 233)
равна
Т
U=^CvdT-^$+Ut,
где М — масса газа, р — его молекулярный вес, а — коэф-
фициент Ван-дер-Ваальса.
6° Энтальпией Н (теплосодержанием, тепловой
функцией) называется функция состояния термодинами-
ческой системы, равная сумме ее внутренней энергии и
произведения давления на объем системы, выраженного
в тех же единицах:
H = U + pV.
П.3.2'|
РАБОТА И ТЕПЛОТА
143
Энтальпия идеального газа зависит только от его
абсолютной температуры (стр. 135) и пропорциональна
массе газа М:
7
н=\срат + н0,
где Сп — теплоемкость газа в изобарном процессе
(стр. 1§6), Но = Uo — энтальпия газа при Г = 0°К. Для
одноатомных газов Н = СрТ + Но.
Энтальпия смеси W идеальных газов равна сумме
энтальпий всех газов, входящих в состав смеси:
N 7V Г Г
[CpidT + H'i
/ = 1 < = 1|_0
где Cpi—теплоемкость /-го компонента смеси в изобар-
ном процессе.
Изознталъпийным называется термодинамический
процесс, в котором энтальпия системы не изменяется.
2. Работа и теплота
Г Необходимым условием совершения системой ра-
боты является перемещение взаимодействующих с ней
внешних тел, т. е. изменение внешних параметров со-
стояния системы (стр. 133). Элементарная работа М, со-
вершаемая системой над внешними телами, равна
ЪА =• S Л’
i
где Xi — внешние параметры состояния системы, а —
соответствующие им обобщенные силы (стр. 84). Элемен-
тарная работа ЬЛ', совершаемая при этом внешними те-
лами над системой, численно равна М и противоположна
ей по знаку: М' = — &А
2° Работой расширения называется работа, совер-
шаемая системой против сил внешнего давления Эле-
ментарная работа расширения системы, подверженной
равномерно распределенному внешнему давлению рвн,
равна М =РВн dV.
В случае равновесного (квазистатического) процесса
расширения рвн всегда равно давлению р в системе и
М=рг/1/. Работа равновесного расширения системы от
144
ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
(П.З
объема Vi до Va равна
А = ( pdV.
На диаграмме V — р эта работа измеряется площа-
дью, ограниченной кривой процесса, осью абсцисс и вер-
тикальными прямыми V~Vi и У=И2 (заштрихованной
на рис. П.3.1).
Работа, совершаемая системе й, зависит от вида про-
цесса изменения ее состояния. Например, работа расши-
рения зависит не только от пара-
метров начального (рь Vt) и ко-
нечного (р2, Vs) состояний, но и
от характера процесса 1—2. На
этом основано действие всех те-
пловых машин.
3° Для перевода системы из
одного состояния в другое с по-
мощью различных термодинамиче-
ских процессов ей нужно сооб-
щать, вообще говоря, различные
количества тепла. Иными слова-
ми, теплота и работа являются
функциями процесса изменения состояния системы. По-
этому элементарное количество тепла &Q, сообщаемого
системе в процессе малого изменения ее состояния, по-
добно элементарной работе М не является полным диф-
ференциалом (стр. 54).
3. Теплоемкость
Г Теплоемкостью (истинной теплоемкостью) С тела
называется отношение элементарного количества тепла
сообщенного телу в каком-либо процессе, к соответству-
ющему изменению температуры тела:
G “ dT *
Теплоемкость зависит от массы тела, его химического
зостава, термодинамического состояния и вида процесса
зообщения тепла.
2° Средней теплоемкостью С тела в интервале тем-
тератур от Л до Т2 > 7\ называется отношение тепла Q,
шобходимого для повышения температуры тела от 7\
П.3.4] ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ 145
до Г2, к Ts — Гр
5== тА--
L 2 - М
Связь между средней теплоемкостью тела и его тепло-
емкостью имеет вид:
I р
C = ^^CdT.
3° Удельной теплоемкостью с называется теплоем-
кость единицы массы однородного вещества. Для одно-
родного тела с = С/Л1, где М — масса тела.
w
Для смеси /V газов с = где q и — удель-
i — 1
ная теплоемкость и весовая концентрация Z-го компо-
нента смеси.
4е Атомной теплоемкостью Са называется тепло-
емкость грамм-атома простого вещества: Са = Дс, где
А—атомный вес вещества.
Молярной (мольной) теплоемкостью называется
теплоемкость одного моля вещества: C^ — ^c, где р—
молекулярный вес вещества.
(Теорию теплоемкостей газов см. на стр. 221 и 223,
твердых тел — на стр. 261.)
5° Элементарное количество тепла BQ, сообщаемое
телу для изменения его температуры от Г до Г + dT,
равно
bQ = CdT.
В случае однородного тела IQ •= Me dT=^^C^dT.
Для химически простого тела &Q = ^CadT.
4. Первый закон термодинамики
Г Из закона сохранения и превращения энергии сле-
дует, что изменение AU7 энергии системы равно сумме
работы А', совершенной над ней внешними телами, и
сообщенного ей тепла Q:
AU7=xQ +Д',
или
Q = +Д,
Ю Б. М Яворский, А. А. Детлаф
146 ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ [П.З
где А— работа, совершаемая системой над внешними
телами. При этом предполагается, что Q, AU7, А и А'
измерены в единицах одной системы. Если же Q изме-
рено в тепловых единицах, а остальные величины — в
механических, то bW = JQ-]-A' и JQ = kW-\-A, где
J — механический эквивалент единицы тепла (J =
= 4,18 джжал = 4,18 • 107 эргЖал = 0,427 кГмЖал). Ве-
личина j = 0,239 кал/дж = 2,34 кал/кГм называется
тепловым эквивалентом единицы работы.
2° В термодинамике обычно рассматриваются макро-
скопически неподвижные системы х), для которых изме-
нение полной энергии равно изменению внутренней энер-
гии, так что
Q = A6/ + А.
Тепло, сообщенное системе, расходуется на увеличение
ее внутренней энергии и на совершение системой ра-
боты против внешних сил (первый закон термодина-
мики).
Если система представляет собой периодически дей-
ствующую машину, в которой газ, пар или другое ра-
бочее тело в результате совершения кругового процесса
возвращается в исходное состояние, то Д£/=0 и A = Q.
Следовательно, нельзя построить периодически дейст-
вующий двигатель, который совершал бы работу, боль-
шую подводимой к нему извне энергии (вечный двига-
тель первого рода невозможен).
3° Для элементарного изменения состояния системы
первый закон термодинамики имеет вид:
SQ = ^ + M
или
С dT = dU-\-*A,
где С — теплоемкость системы.
Если на систему, помимо равномерно распределенного
внешнего давления, действуют другие силы, то работа
ВД равна сумме работы расширения, т. е. работы против
внешнего давления, равной рвн dV, и работы М* совер-
шаемой системой против других внешних сил: ВД =
= рвн dV ВД*. В равновесном процессе рвв равно дав-
И Первый закон |ррмодинамики для движущихся систем см. на
стр. 311
II.3.4I
ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
147
лению р в системе и первый закон термодинамики запи-
сывается в форме
CdT^dU +pdV + ЪА*
или
CdT^dH — Иб/р + М*
где Н — энтальпия системы (стр. 142).
4° Для равновесного процесса в однофазной одноком-
понентной системе, подверженной только равномерному
внешнему давлению, М* = О, U = f и H =
так что
или
Теплоемкость Су в изохорном процессе (У = const)
равна
cv
ди\
дТ JV'
Теплоемкость Ср в изобарном процессе (р = const) равна
^=(а=®,+ка+нт,=
= cv+[ (’эг)р-
5° Для идеального газа U = Mf(T\ = 0 и
= где М и Iх — масса и молекулярный вес
газа.
Уравнение Майера: Ср— Сv — ~ R или для моляр-
ных теплоемкостей: Ср|х —Су =/?, для удельных тепло-
емкостей ср — Су= —•
Величина х = -Д = —= называется показате-
ли Cy^ су
лем адиабаты. Из уравнения Майера следует, что
, __ *R М р xR
р X — 1 |Х ’ СРР- — х-1 > Ср — (x-l)u-
10*
148 ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ (П.З
6° Тепловым эффектом Е процесса называется сумма
тепла Q', отданного системой в этом процессе, и тепло-
вого эквивалента Л* работы, равной разности между
полной работой* системы в этом процессе и работой ее
расширения: E = Q’ -|-Л*. Так как Q' = —Q, где Q —
тепло, сообщенное системе, то из первого закона термо-
динамики следует, что в равновесном процессе
2 2
E = Ui-Ua-\p<n' = Hl--Ha+\Vdp.
1 1
7° Закон Гесса', тепловой эффект реакции, протекаю-
щей в системе при постоянном объеме или при постоян-
ном давлении, не зависит от промежуточных стадий, а
определяется лишь начальным и конечным состояниями
системы. В изохорном процессе Ev= — Д£/ = — USl
в изобарном процессе Ер = — \H = Hi — Н3.
Закон Гесса, выражающий первый закон термодина-
мики применительно к химическим процессам, является
основным законом термохимии. Из него вытекает ряд
следствий, которые упрощают расчет химических реак-
ций, протекающих в системе при р = const или V = const:
а) тепловой эффект реакции разложения химического
соединения численно равен и противоположен по знаку
тепловому эффекту реакции синтеза этого соединения
из продуктов разложения;
б) разность тепловых эффектов двух реакций, при-
водящих из разных исходных состояний к одинаковым
конечным состояниям, равна тепловому эффекту реакции
перехода из одного начального состояния в другое. Сле-
довательно, тепловой эффект какой-либо реакции равен
алгебраической сумме тепловых эффектов при сгорании
реагентов до одинаковых продуктов (для исходных ве-
ществ эти тепловые эффекты считаются положительными,
для продуктов реакции — отрицательными);
в) разность тепловых эффектов двух реакций, при-
водящих" из одного исходного состояния к разным ко-
нечным состояниям, равна тепловому эффекту реакции
перехода из одного конечного состояния в другое. Сле-
довательно, тепловой эффект какой-либо реакции равен
алгебраической сумме тепловых эффектов при образо-
вании реагентов из простых веществ (для продуктов ре-
акции эти тепловые эффекты считаются положительными,
для исходных веществ — отрицательными).
П.8.5] ПРОСТЕЙШИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ 149
8° Уравнение Кирхгофа для изохорного и изобарного
тепловых эффектов:
{~дг)у== СУг)и— (c^')v=Cvt — CV2 = -ACV,
(~дТ~}р ~ _ (^г) р==СР1~ СР* = ~ АСР-
5. Простейшие термодинамические процессы
идеальных газов
1° Политропным (политропическим) процессом назы-
вается термодинамический процесс, в котором удельная
с — ср
теплоемкость с газа постоянна. Величина п =---— на-
с — су
зывается показателем политропы. Изопроцессы и адиа-
батный процесс (стр. 136) являются частными случаями
политропного процесса.
2° В таблице ниже приводятся основные соотношения
для равновесных изохорного, изобарного, изотермического,
адиабатного и политропного процессов, совершаемых
идеальным газом, масса которого предполагается неизмен-
ной, теплоемкости Су зависят от температуры,
а работа совершается только против внешнего давления.
В этой таблице индексы 1 и 2 соответствуют началь-
ному и конечному состояниям; в формулах все величины
выражены в единицах одной и той же системы.
3° Изохорой, изобарой, изотермой, адиабатой и по-
литропой называются линии, изображающие в какой-
либо термодинамической диаграмме соответственно изо-
хорный, изобарный, изотермический, адиабатный и поли-
тропный процессы. На рис. 11.3.2, 11.3.3 и 11.3.4 показан
' Название процесса Уравнение процесса Связь между пара- метрами состояния Работа в процессе Тепло, сообщенное в процессе
Изохорный V = const ~ = const о о II II 40 3Q = Cyd7 ’ Q = Су (Т2 — Т^)
Изобарный р — const V = const SA = pdV A—p(V2 — ИП iQ = CpdT Q=-cp (т2 - rt)
Изотермиче- ский Т — const pV = const II Й я с? Ci. 1 1 II II II ~ &Q = SA Q = A
ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
Продолжение
Название процесса Уравнение процесса Связь между пара- метрами состояния Работа в процессе Тепло, сообщенное в процессе
Адиаба гный SQ = O р Vх = const X 1— х рТ — const 1 VT = const II II -| . > г г :U Jr f ^=Г|ь- 1 и , | г> |- <к 1 -|- ч < - I J* t 1 О. | | X 1 ^1 X II II II II II о о II II О’ О’ «3
Политропный С = const p Vn — const n _1 — n . pT — const 1 VT = const о» II II II II 7 ? 1 {О|Ъ’ ъ ь? It® М Г ia - II 6Q = с ат Q = C(Ts-Ti)
П.3.5] ПРОСТЕЙШИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Продолжение
Название процесса Изменение внутрен- ней энергии Изменение энтальпии Теплоемкость Показатель политропы
Изохорный dU = Cydl bU=Cy(T2-T\) dH = dU + V dp = CD dl *H = Cp(T2-Tl) r M. R cv = ^.—\ n = Hh oo
Изобарный dU = CydT &U=Cy(T2 — Ti) dH = dU + p dV = 6Q ДЯ=Д/7-Ь A — Q c = — P p X — 1 n = 0
Изотермиче- ский dU— $ Д[7=0 dH — 0 Д/Z = 0 c fH-oo при dk>0 (—oo при rfl/<0 n = 1
Адиабатный dU — CydT — — 6A Д[7== —A=C iz(T2—Ti) dH = Cp dT = — xSA ДЯ = -хА = С0 (7s-7i) co = 0 Cy
Политропный dU = Cyd7 W = Cy(T2-Ti) dH = Cp dl bH = C0(T2-Ti) c _ M R(n — K.} ~ p (X— 1) (n— 1) C~CP r C — Cy
ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ [П.З
II.4.1] ОБРАТИМЫЕ И НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ 153
вид изохоры, изобары, изотермы и адиабаты идеального
газа в диаграммах V — р, Т — р и V — Т. Начальное со-
стояние газа (/) для всех процессов принято одинаковым.
График зависимости теплоемкости С идеального газа в
политропном процессе от показателя политропы п пред-
ставлен на рис. II.3.5.
4° Некоторые соотношения для политропного про-
цесса идеального газа:
6Q х — п 6Q ___ п — х 6А ___ х — 1
dV х — i dp х — 1 ’ 6Q х — п *
dU __ п - I dH_ х (п — 1)
fiQ п — х ’ 6Q п — х
ГЛАВА 4
ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
1. Обратимые и необратимые процессы
1° Обратимым термодинамическим процессом назы-
вается термодинамический процесс, допускающий воз-
можность возвращения системы в первоначальное состоя-
ние без того, чтобы в окружающей среде остались какие-
либо изменения.
Необходимым и достаточным условием обратимости
термодинамического процесса является его равновес-
ность.
154 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ [II.4
2° Необратимым термодинамическим процессом на-
зывается термодинамический процесс, не допускающий
возможности возвращения системы в первоначальное
состояние без того, чтобы в окружающей среде оста-
лись какие-либо изменения.
Все реальные процессы протекают с конечной ско-
ростью. Они сопровождаются трением, диффузией и те-
плообменом при конечной разности между температурами
системы и внешней среды. Следовательно, все они не-
равновесны и необратимы.
3° Всякий необратимый процесс в одном направлении
(прямом) протекает самопроизвольно, а для осуществле-
ния его в обратном направлении так, чтобы система вер-
нулась в первоначальное состояние, требуется компен-
сирующий процесс во внешних телах, в результате
которого состояния этих тел оказываются отличными от
первоначальных. Например, процесс выравнивания тем-
ператур двух соприкасающихся различно нагретых тел
идет самопроизвольно, т. е. не связан с необходимостью
одновременного существования каких-либо процессов в
других (внешних) телах. Однако для осуществления
обратного процесса увеличения разности температур тел
до первоначальной нужны компенсирующие процессы
во внешних телах, обусловливающие, например, работу
холодильной машины.
4° Необратимые процессы в силу их неравновесности
нельзя изображать втермодинамических диаграммах. Обыч-
но на практике нужно знать интегральные характеристики
необратимого процесса перехода системы из равновес-
ного состояния 1 в равновесное состояние 2, т. е. ра-
боту ДНеобр» совершенную системой, и сообщенное ей
количество тепла Онеобр- Поэтому необратимый процесс
может быть заменен «эквивалентным» ему обратимым
процессом 1—2, который переводит систему из состоя-
ния 1 в состояние 2 таким образом, что совершаемая
при этом работа Д = /4необр и получаемое системой тепло
Q = 0необр. Эквивалентный обратимый процесс может
быть представлен в любой термодинамической диаграмме.
Таким образом удается условно изображать графически
необратимые процессы. Условность этого «изображения»
состоит в том, что в действительном необратимом про-
цессе система проходит вовсе не через те состояния,
которым соответствуют промежуточные точки кривой
«эквивалентного» обратимого процесса.
П.4.2] КРУГОВЫЕ ПРОЦЕССЫ (ЦИКЛЫ) 155
2. Круговые процессы (циклы). Цикл Карно
Г Рабочим телом (рабочим агентом) называется
термодинамическая система, совершающая процесс и
предназначенная для преобразования одной формы пере-
дачи энергии — теплоты или работы (стр. 53) — в другую.
Например, в тепловом двигателе рабочее тело, получая
энергию в форме тепла, часть ее передает в форме работы.
2е Нагревателем (теплоотдатчиком) называется си-
стема, сообщающая рассматриваемой термодинамической
системе энергию в форме тепла.
Холодильником (теплоприемником) называется си-
стема, получающая от рассматриваемой термодинамиче-
ской системы энергию в форме тепла.
3е Круговые процессы (стр. 136) изображаются в тер-
модинамических диаграммах в виде замкнутых кривых.
Работа против внешнего давления, совершаемая системой
в обратимом круговом процессе, измеряется площадью,
ограниченной кривой этого процесса в диаграмме V — р.
Прямым циклом называется круговой процесс, в ко-
тором система совершает положительную работу: А~
= (j) р dV>0. В диаграмме V—р прямой цикл изобра-
жается в виде замкнутой кривой, проходимой рабочим
телом по часовой стрелке.
Обратным циклом называется круговой процесс, в
котором работа, совершаемая системой, отрицательна:
А = р dV 0. В диаграмме V — р обратный цикл изо-
бражается в виде замкнутой кривой, проходимой рабо-
чим телом против часовой стрелки.
В тепловом двигателе рабочее тело совершает прямой
цикл, а в холодильной машине — обратный цикл.
4° Термическим (термодинамическим) коэффициентом
полезного действия (к. п. д.) называется отношение
теплового эквивалента А работы, совершенной рабочим
телом в рассматриваемом прямом круговом процессе,
к сумме Qi всех количеств тепла, сообщенных при этом
рабочему телу нагревателями:
„ __ 4 Qi — Qa
Qi Qi ’
где Qs — абсолютная величина суммы количеств тепла,
отданных рабочим телом холодильникам.
156 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ [П.4
Термический к. п. д. характеризует степень совершен-
ства преобразования внутренней энергии в механиче-
скую, происходящего
в тепловом двигателе, который ра-
ботает по рассматриваемому циклу.
5* Циклом Карно называется
прямой круговой процесс (рис.
II. 4. 1), состоящий из двух изо-
термических процессов 1 — 1’ и
2 — 2' и двух адиабатических про-
цессов Г — 2 и 2' — 1. В процессе
1 — Г рабочее тело получает от
нагревателя количество тепла Qif
а в процессе 2 — 2' рабочее тело
отдает холодильнику количество
тепла Q2.
Теорема Карно', термический
к. п. д. обратимого цикла Карно
не зависит от природы рабочего тела и является функ-
цией только абсолютных температур нагревателя (7\)
и холодильника (Г2):
’Ik
Г1-Г8
Tt
Доказательство теоремы Карно основано на втором
законе термодинамики (стр. 161).
6° Из сопоставления выражений для термического
к. п. д. произвольного цикла (п. 4°) и обратимого цикла
Карно следует, что в обратимом цикле Карно отноше-
ние температур нагревателя и холодильника равно от-
ношению количеств тепла, соответственно отданного и
полученного ими за цикл:
Л =Qi
Qs ’
Таким образом, для сравнения температур двух тел
нужно осуществить обратимый цикл Карно, в котором
эти тела используются в качестве нагревателя и холо-
дильника, и измерить количества тепла Qi и Q2. Уста-
навливаемая таким образом шкала температур назы-
вается абсолютной термодинамической шкалой темпера-
тур (стр. 134). Ее преимущество состоит в том, что в
соответствии с теоремой Карно она не связана со свой-
ствами какого-либо конкретного термометрического
тела. Однако вследствие невозможности осуществления
11.4 21 КРУГОВЫЕ ПРОЦЕССЫ (ЦИКЛЫ) 157
обратимого цикла Карно указанный способ сравнения
температур нельзя практически реализовать и он имеет
лишь принципиальное значение.
7° Термический к. п. д. (^)Обр произвольного обрати-
мого цикла не может превосходить термический к. п. д.
обратимого цикла Карно, проведенного между темпера-
турами 7'макс и Гмин:
Wo6P<-"7~-BS->
макс
где 7’макс и Гмин — экстремальные значения температуры
нагревателей и холодильников, участвующих в осущест-
влении рассматриваемого цикла.
Термический к. п. д. (ty)He06p произвольного необра-
тимого цикла всегда меньше термического к. п. д. обра-
тимого цикла Карно, проведенного между указанными
выше температурами Гмакс и Гмин: t
т - т
vU/необр <---f------•
макс
8е Экономичность холодильной установки характе-
ризуется холодильным коэффициентом равным от-
ношению количества тепла Q, отбираемого от охлаж-
даемого тела, к тепловому эквиваленту А затрачиваемой
на это работы:
Холодильный коэффициент §обр любой холодильной
установки, работающей по обратимому циклу, зависит
только от абсолютных температур охлаждаемого тела Го
и теплоприемника (Г>Г0), т. е. равен холодильному
коэффициенту установки, работающей в том же ин-
тервале температур по обратимому обратному циклу
Карно:
^обр = = т -т0 ’
Для холодильной установки, работающей по необрати-
мому циклу,
необр < г '_‘7о-
158 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ (П.4
9е Теоретические циклы поршневых тепловых двигате-
лей
Название и схема цикла
Термический к. п. д.
I. Цикл со сгоранием при H=const
(цикл Отто) (рис. II. 4. 2)
Рис. II. 4.2.
1—2 — адиабатное сжатие,
2—3 — изохорное нагревание,
3—4 — адиабатное расширение,
4—1 — изохопное охлаждение.
2. Цикл со сгоранием при р — const
(цика Дизеле (рис. II. 4. 3)
1—2 — адиабатное сжатие,
2—3 — изобарное нагревание,
3—4 — адиабатное расширение,
4—1 — изохорное охлаждение.
где
-=7^- — степень сжатия,
И 2
х — показатель адиа-
баты сжатия и
расширения
где 5 = 7-^- — степень сжатия,
и2
И3
р = — —степень предвари-
ла тельного расширения.
х—показатель адиа-
баты сжатия и рас-
ширения
. р -1
хеХ-,<р—1>'
11.4.2]
КРУГОВЫЕ ПРОЦЕССЫ (ЦИКЛЫ)
159
Продолжен не
Название и схема цикла
Термический к. п. д.
3. Смешанный цикл со сгоранием
при V — const и р — const (цикл
Тринклера — Сабатэ) (рис. II. 4. 4)
1—2 — адиабатное сжатие,
2—3' — изохорное нагревание,
З'—З — изобарное нагревание,
3—4 — адиабатное расширение.
4—1 — изохорное охлаждение.
7 1 х—1--------------- ’
* 1 [(X- 1)+х(р-D1
И
где е = —---степень сжатия,
и 2
И8
Р «— — степень предва-
рительного рас-
ширения,
Ра
К — — степень повыше-
на ния давления.
х — показатель ади-
абаты сжатия и
расширения
160 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ [11.4
10° Теоретические циклы газовых турбин.
Название и схема цикла
Термический к. п. д.
1—2 — адиабатное сжатие,
2—3 -- изобарное нагревание,
3—4 — адиабатное расширение.
4—1 — изобарное охлаждение.
Do
где р = — степень повыше-
Р1 ния давления при
сжатии,
х — показатель адиа-
баты сжатия и
расширения
,де₽“л
Рз
Р2
— степень повыше-
ния давления
при сжатии,
— степень добавоч-
ного повышения
давления
(Xх - 1)
1—2 — адиабатное сжатие,
2—3 — изохорное нагревание,
3—4 — адиабатное расширение,
4—I — изобарное охлаждение.
П.4.3) ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ 161
3. Второй закон термодинамики
Г Первый закон термодинамики, выражающий всеоб-
щий закон сохранения и превращения энергии, не по-
зволяет определить направление протекания термодина-
мических процессов. Например, основываясь на этом
законе, можно было бы пытаться построить вечный дви-
гатель второго рода, т. е. двигатель, рабочее тело кото-
рого, совершая круговой процесс, получало бы энергию
в форме тепла от одного внешнего тела и целиком пе-
редавало бы ее в форме работы другому внешнему телу.
2° Обобщение результатов многочисленных экспери-
ментов привело к выводу о невозможности построения
вечного двигателя второго рода. Этот вывод называется
вторым законом термодинамики и имеет ряд форму-
лировок, различных по форме, но эквивалентных по су-
ществу, в частности J):
а) невозможен процесс, единственным результатом
которого является превращение тепла, полученного от
нагревателя, в эквивалентную ему работу;
б) невозможен процесс, единственным результатом
которого является передача энергии в форме тепла от
холодного тела к горячему.
3° Второй закон термодинамики указывает на сущест-
венное различие двух форм передачи энергии — теплоты
и работы. Он утверждает, что процесс преобразования
упорядоченного движения тела как целого в неупоря-
доченное движение частиц самого тела и внешней среды
является необратимым. Упорядоченное движение может
переходить в неупорядоченное без каких-либо дополни-
тельных (компенсирующих) процессов, например при
трении. В то же время обратный переход неупорядочен-
ного движения в упорядоченное, или, как часто неточно
говорят, «переход тепла в работу», не может являться
единственным результатом термодинамического процесса,
т. е. всегда должен сопровождаться каким-либо компен-
сирующим процессом. Например, при равновесном изо-
термическом расширении идеальный газ совершает ра-
боту, которая полностью эквивалентна теплу, передан-
ному газу нагревателем. Однако плотность газа при этом
уменьшается, т. е. «превращение тепла в работу» не яв-
ляется единственным результатом рассматриваемого
!) См. также стр. 168.
И Б. М. Яворский, А. А. Детл
162 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ [11.4
процесса Тепловой двигатель, работающий по прямому
циклу Карно, совершает работу, эквивалентную лишь
части полученного от нагревателя тепла, так как осталь-
ная часть последнего отдается холодильнику, состояние
которого вследствие этого изменяется. В холодильной
машине тепло передается от холодного тела к горячему.
Однако для осуществления этого процесса необходим
компенсирующий процесс совершения работы внешними
телами.
4. Энтропия
1° Приведенным количеством тепла Q* в изотерми-
ческом процессе называется отношение тепла Q, полу-
ченного системой, к температуре Т теплоотдающего
тела: Q* = Qfl\ где Q — алгебраическая величина, т. е.
Q >> 0 при подводе к телу тепла и Q < 0 при отводе тепла.
Приведенное количество тепла для произвольного
процесса равно = где SQ — количество тепла,
сообщенного системе на элементарном участке процесса
теплоотдающим телом, температура которого равна Т.
2° Приведенное количество тепла Q06p, сообщаемого
системе в любом обратимом круговом процессе, равно
нулю (равенство Клаузиуса)’.
О* — X = о
^обр у Г V*
обр
где Т — температура системы, при которой ей сооб-
щается тепло SQ, а подынтегральное выражение &Q/Г, в
отличие от SQ, является полным дифференциалом. Сле-
довательно, абсолютная температура системы представ-
ляет собой интегрирующий делитель для элементарного
количества тепла, сообщаемого системе в обратимом
процессе.
3° Энтропией называется функция S состояния си-
стемы, дифференциал которой в элементарном обратимом
процессе равен отношению бесконечно малого количе-
ства тепла, сообщенного системе, к абсолютной темпе-
ратуре последней:
dS = ^.
Энтропия сложной системы равна сумме энтропий
всех ее однородных частей.
1.4.4) ЭНТРОПИЯ 163
По знаку изменения энтропии системы в обратимом
процессе можно судить о направлении теплообмена. Для
всех обычных термодинамических систем внутренняя
энергия U неограниченно возрастает при Т — оо, поэто-
му абсолютная температура в равновесных состояниях
может быть только положительной, так что при
нагревании системы dS >> 0, а при охлаждении
dS<0.
Однако существуют системы (необычные системы),
для которых lim U равен некоторой конечной величине
т оо
Uo. Такие системы могут находиться в состояниях как с
положительной, так и с отрицательной абсолютной тем-
пературой (Г > 0, если U cUq, и Т < 0, если U > Uo).
Примером такой системы может служить система ядер-
ных спинов (стр. 733) некоторых кристаллов (например,
LiF), которую в течение времени т, много меньшего
времени релаксации для спин-решеточного взаимодей-
ствия (стр. 690), можно считать изолированной и равно-
весной, так как время релаксации т2 для спин-спино-
вого взаимодействия (стр. 690) меньше tj приблизительно
в 107 раз. Температура Г = 0 соответствует состоянию,
в котором все спины ориентированы в направлении
внешнего магнитного поля, температура Г=со (или
Г = —оо) — состоянию полной хаотичности в ориента-
ции спинов, температура Т= — 0 — состоянию, при ко-
тором все спины ориентированы в направлении, проти-
воположном внешнему магнитному полю, т. е. когда
энергия системы спинов максимальна.
4° Изменение энтропии в любом обратимом процессе,
переводящем систему из состояния 1 в состояние 2,
равно приведенному количеству тепла, переданного си-
стеме в этом процессе:
Изоэнтропийным процессом называется термодина-
мический процесс, в котором энтропия системы не из-
меняется. Например, в обратимом адиабатическом про-
цессе BQ = O и S = const.
5е Энтропия тела может быть определена только
с точностью до постоянного слагаемого (константы
И*
164 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ [11.4
интегрирования):
S = у + const,
обр
ИЛИ
I Q
д — \ ~Г Оо,
где интегрирование производится вдоль произвольного
обратимого процесса, a So - значение энтропии тела при
Г = 0°К, которое не может быть определено с помощью
первого и второго законов термодинамики.
6° Энтропия физически однородной системы является
функцией двух независимых параметров состояния, на-
пример р и Т или Т и V (масса системы предполагается
неизменной). Поэтому
S(K, D = jCKy +Si,
(4 ЛИ
S(p, Т)= J Ср у + SJ,
о
Т 1
S' dl Г „ dl
Cy-f ц \Ср~т вычисляются соответ-
0
ственно для обратимых процессов изохорного и изобар-
ного нагревания системы от Г = 0°К до температуры Г,
соответствующей рассматриваемому состоянию, Су и
Ср — теплоемкости системы в этих процессах, а S« =
= 8 (V, 0) и So = 8 (р, 0), причем в соответствии с прин-
ципом Нернста (стр. 191) So = Sj = So.
Пример 1. Энтропия идеального газа. По первому
закону термодинамики (стр. 145) при М* = 0
&Q = dU + р dV = dH - V dp,
где dU = CvdT и dH = CpdT, так что
rfS = Cv у + dI/== Ср у — у rfp.
Для идеального газа (стр. 138) ~ и ,
Л {1 И i (к Р
ВЛ.41 ЭНТРОПИЯ 165
поэтому
*= * (cv? + *7) = f {сРЛ-**) -
___ М (р 1 г &Р\
— V + Gvp. у) >
где — объем одного моля газа, и СР[А— его мо-
лярные теплоемкости (стр. 145), зависящие только от тем-
пературы;
5 = ?‘15С^т + ;?1пИи+а>1.
$ = " [$С№^-7?1пр + в2],
s = f [СРр In + CV(l 1п/> 4- О.],
где аь as и а3 — постоянные интегрирования.
Для одноатомных газов Су^ и СР[К не зависят от
температуры (стр. 221) и
s = f [C^mr + ^m^ + ax],
S = ^-[Cpp. In T —Z?lnp 4-a,].
Пример 2. Энтропия смеси N идеальных газов
равна сумме энтропий всех компонентов смеси, взятых
при температуре смеси и их парциальных давлениях pt
(стр. 139):
3 = Ъ 3<- = § J [ 5 ^-^lnpi + a2i]=
= /g^[KiT-/?lnp+esi] +д5с” ’
где р — давление смеси,
" 1Л.
^S^ = — R ^7,nxi —
N N
=-л( S
— энтропия смешения, — молярная концентрация Z-ro
166 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ [ПЛ
компонента смеси (стр. 139). Энтропия смешения разно-
родных идеальных газов не зависит от их индивидуаль-
ных особенностей и определяется только молярными
концентрациями этих газов и общим числом молей всех
газов в смеси. При смешении тождественных газов
(xt = 1, Xi — = ... = =... = xN = 0) энтро-
пия смешения равна нулю (парадокс Гиббса).
Пример 3. Энтропия газа Ван-дер-Ваальса (стр. 233):
dU = CvdT + поэтому
dl . 1 / I М» в\ ... М [ „ dl . ~ dV
dS — Су т + т \Р + ^2 ya) dV f Н" — а]
и
s = £ [$CVlly + R In (- b) + const],
где — объем одного моля газа, а С —его молярная
теплоемкость.
5. Основное соотношение термодинамики
Г Из второго закона термодинамики следует, что в
необратимом элементарном процессе изменение энтро-
пии системы dS >► bQ/T, где BQ — тепло, сообщенное
системе в этом процессе внешним телом, температура £)
которого равна Т (в случае отдачи тепла системой
BQ < 0).
Для произвольного элементарного процесса
dSS&y, (•)
где знак равенства относится к обратимым процессам, а
знак неравенства — к необратимым.
2° Для теплоизолированной (адиабатической) системы
BQ = O и выражение (*) имеет вид:
dS^O.
Этот результат является математической записью второго
закона термодинамики, который тем самым состоит
в утверждении, что энтропия изолированной системы при
любых происходящих в ней процессах не может убывать.
1) Предполагается, что абсолютная температура Т > 0. Для систем
отрицательной абсолютной температурой (стр. *63) ctS< h'Q/T.
11.4.6]
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
167
Все реальные процессы необратимы, поэтому в дей-
ствительности энтропия изолированной системы может
только возрастать, достигая максимума в состоянии тер-
модинамического равновесия системы. Истолкование этого
закона связано с физическим смыслом энтропии, который
выясняется в статистической физике (стр. 225).
3° Если система совершает круговой процесс, то из-
менение ее энтропии равно нулю и алгебраическая сумма
приведенных количеств тепла, сообщенных при этом си-
стеме, равна нулю в обратимом процессе:
Н=о
J Т
обр
и меньше нуля в необратимом процессе:
необр
<0.
Последнее соотношение называется неравенством Клау-
зиуса и является математической записью второго закона
термодинамики для необратимых процессов в неизолиро-
ванной системе.
4е Основное соотношение термодинамики, объеди-
няющее в себе первый и второй законы термодинамики,
получается из выражения (*) путем замены 6Q его зна-
чением в соответствии с первым законом термодинамики
(стр. 146):
Р 7 TdS^dU+lA.
Для обратимых процессов это соотношение переходит
в термодинамическое тождество:
TdS = dU + *A.
6. Характеристические функции
и термодинамические потенциалы
Г Характеристической функцией называется функция
состояния системы, посредством которой, а также ее про-
изводных могут быть явно выражены термодинамические
свойства системы. В зависимости от выбора независимых
переменных вид характеристической функции изменяет-
ся. Например, при независимых переменных И (энталь-
пия) и р (давление) или U (внутренняя энергия) и V
(объем) характеристической функцией является энтропия
168 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ 111.4
8, а при независимых переменных 8 и V — внутренняя
энергия U (см. также п. 3°).
2° Т ермодинамическим потенциалом называется ха-
рактеристическая функция, убыль которой в равновесном
(обратимом) процессе, протекающем при неизменных зна-
чениях определенной пары термодинамических парамет-
ров (Т и И, Т и р, 8 и р, 8 и V и т. д.), равна Д*—
полной работе, произведенной системой, за вычетом ра-
боты против внешнего давления.
3° Существование термодинамических потенциалов
вытекает из термодинамического тождества (стр. 167),
согласно которому элементарная работа М* = М—р dV
(стр. 146) может быть определена с помощью следующих
формул:
bA*—TdS — dU — pdV,
bA*=TdS — dH + Vdp,
bA* = — d(U— TS) — SdT—pdV,
bA* = — d(H — TS) — SdT+Vdp.
а) Независимые переменные 8 и И. Характеристиче-
ской функцией и термодинамическим потенциалом яв-
ляется внутренняя энергия U (изохорно-изоэнтропийный
потенциал).
б) Независимые переменные 8 и р. Характеристиче-
ской функцией и термодинамическим потенциалом яв-
ляется энтальпия Н (изобарно-изоэнтропийный потен-
циал).
в) Независимые переменные Т и V. Характеристиче-
ской функцией и термодинамическим потенциалом являет-
ся функция состояния системы F — U—TS, называемая
изохорно-изотермным потенциалом (изохорным потен-
циалом, свободной энергией).
г) Независимые переменные Т и р. Характеристиче-
ской функцией и термодинамическим потенциалом яв-
ляется функция состояния системы ф = /7 — TS = U +
-\-pV—TS, называемая изобарно-изотермным потен-
циалом (изобарным потенциалом, термодинамическим
потенциалом Гиббса).
4° Изохорно-изотермный и изобарно-изотермный по-
тенциалы идеального газа:
F=-^ {RT\nV^(T)} = -n [flfln-£+?(?)],
Ф = Л[/?71пр + /(Т)],
П.4.6] ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 169
где п = Л4/р. — число молей газа, — объем одного моля,
?(Г) = -^+ Т (at +]cv^)
И
/(Г) = Я(1-Г(«, + 5сри^)
— функции температуры, и — внутренняя энергия
и энтальпия одного моля газа, СУ(Х и Ср(Х — молярные
теплоемкости, и а2 — постоянные интегрирования
в выражении для энтропии (стр. 165).
5° Для смеси идеальных газов изохорно-изотермный
потенциал равен сумме изохорно-изотермных потенциалов
всех N компонентов смеси, взятых при объеме V и тем-
пературе Т смеси:
N N
[#т I" £ + <р/(Л] •
Изобарно-изотермный потенциал смеси равен сумме изо-
барно-изотермных потенциалов всех N компонентов
смеси, взятых при температуре смеси и их парциальных
давлениях (стр. 139):
N N
Ф=/2| ф( = /21 П1 \RT\npi +/f(Г)],
ИЛИ
Ф = £! щ [RT\np + In Xi +fi (T)]t
I N
где Xi = nj / .S Щ — молярная концентрация Z-го ком-
понента, a pi — его парциальное давление.
• 6° Элементарная работа равна
где ai — все внешние параметры системы (стр. 133), кроме
ее объема V, a F/ — соответствующие обобщенные силы
170 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Ц1.4
(стр. 84). Поэтому уравнения п. 8° (стр. 168) можно запи-
сать в виде:
dU^TdS — pdV — 2 Fidab
dH^TdS + Vdp-^ Fi dab
dF^ — SdT — pdV-^Fidai,
d^ = — SdT+V dp —YiFidat.
Так как dU, dH, dF и 6?Ф — полные дифференциалы
функций соответственно от независимых переменных S,
V, alf aSfS, р, ait aSf ... ; Г, И, ah ая> ... и Г, р, аи
а2, ... , то г)
/д_Ц_\ __ /дН\
\ dS) у, ai аа \ dS/ pt ai, ая, . .. ’
S, aj, a2, . . . ai a2t ' t’
/д/f \ _ /дФ \
\~dpJ S, ai, a2, . . . \dP / T, alt ая, .. . ’
_ /0F_\ = _
\дТ/ у, ai> a8, . . . \dT)pt ajJ> t
Кроме того, из первого закона термодинамики и на-
писанных выше выражений для dU и dH следует:
р ___ /дЦ\ ____dS\
v к V, ai, ая, . .. W? / yt ait ash . . e 1
r —
P \ dTJ p' аь aSi ' t \dT / pt ai> аз> '' t
1) Подстрочные индексы у частных производных показывают,
при каких неизменных параметрах системы эти производные определя-
ются. В дальнейшем применяется, как это обычно принято, сокращен-
ная запись без индексов aj, аа, ... , например: Т = вместо
Т~ . V
\dS / yt a^t aSi
11.4.6] ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Т Связь между термодинамическими потенциалами и
их производными:
u=h-pv=h+v(^}s,
H = U^pV=U+p^)s,
F=U-TS = U+t(%P) ,
\дТ / у’
Ф = Н-Г5 = Н4-Г(^)
Последние два уравнения называются уравнениями Гибб-
са — Гельмгольца. Эти уравнения могут быть предста-
влены также в виде:
а) изохорно-изотермический процесс —
д* = еи + г(^)у,
где Д* — работа, совершаемая системой в рассматривае-
мом процессе, Ev — тепловой эффект при изохорном про-
цессе (стр. 148);
б) изобарно-изотермический процесс —
где Д* — немеханическая работа, совершаемая системой
в рассматриваемом процессе (полная работа за вычетом
работы расширения), Ер — тепловой эффект в изобарном
процессе (стр. 148).
Пример. Связь между электродвижущей силой обра-
тимого гальванического элемента х) и тепловым эффектом
протекающей в нем химической реакции. Работа Д* за-
трачивается на перенос электрических зарядов: Д* = ^§,
где q — перенесенный заряд, g — э. д. с. элемента. Из
уравнения Гиббса — Гельмгольца для изобарно-изотерми-
ческого процесса следует уравнение Гельмгольца для
А) То есть такого, в котором при пропускании электрического
тока в противоположном направлении происходят обратные химиче-
ские реакции, а потери энергии на выделение ленц-джоулева тепла
отсутствуют.
172 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ (11.4
гальванического элемента:
где ep=Eplq — тепловой эффект, отнесенный к единице пе-
ренесенного заряда, ер^ — тепловой эффект, отнесенный
к одному молю прореагировавшего вещества, F—число
Фарадея (стр. 369), z — валентность иона, переносящего
заряд.
Тепло Q, сообщаемое извне элементу при перенесении
заряда q\
Теплоизолированный элемент в процессе работы охлаж-
дается, если >0, и нагревается, если < 0.
7. Основные дифференциальные
уравнения термодинамики
(для однофазной однокомпонентной *) равновесной
системы, на которую не действуют иные силы,
кроме равномерно распределенного внешнего
давления)
1° Состояние рассматриваемой системы полностью
определяется заданием двух независимых параметров со-
стояния (масса системы предполагается фиксированной).
Элементарная работа М* = 0, и термодинамическое
тождество (стр. 167) имеет вид:
dU=TdS —pdV,
dH= TdS + Vdp.
dF= — SdT — pdV,
d$ = — SdT + Vdp.
2° Некоторые соотношения между производными
термодинамических величин.
Уравнения, приведенные в этом параграфе, справедливы также
для физически однородной многокомпонентной системы постоянного
состава.
П.4.7) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ 173
а) Независимые переменные V и Т.
= (Я = С-
/д£\ __(др_\ 1 I ( —ЕК
\dv)7 — \dT )у~ Т [Мт "Г ’ \дТ )у~ Т '
/ору
(^ciA __т/^р\ r r __ T\dT/v
\~^v)T “ 1 \дТЧу> Тдр_\'
\dV)j
dv/s^—Cy\<)Tjv — ДиФФеРенциальное уравнение
адиабаты,
п_т(дР_\ т(^Л -j- v (др_\
дТ\ \дТ) v (дТ\ \дт / У~^ М?
^)и~ ’ Мя~~ Су+у^Р^ ’
Пример 1. Идеальный газ. Уравнение состояния:
pl/= ^RT.
/ ор \ _Л4 R (д*р \ _Q / др \ _ __ М R1
уэтуу— и и’ \№/и““и’ \<Мг"“ Т Vs *
Поэтому
=0 =
,dV)T > \dV) т
О\ = ° и Cp-Cv^^-R,
т. е. внутренняя энергия, энтальпия и теплоемкости Су
и Ср любого идеального газа, масса которого постоянна,
зависят только от температуры.
Пример 2. Газ Ван-дер-Ваальса. Уравнение состоя-
/ , Л42 а \ / TZ Al , \ М пт
ния: + {V-т 6) = - RT.
m =_±___________ =о
Ur/7 к-— ’
И
( др\ __________Р______। 9 — ±
\^h “ (у _ 6у “г р2 i'3’
174 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ [ПЛ
fdcv\
Поэтому = т. е. теплоемкость Cv любого
газа Ван-дер-Ваальса, масса которого постоянна, зависит
только от температуры;
Ар
! — и г -Г ———** —
'Г-И»К« СР CV~ 2alv_^L
1-1Л__\_£.
И RTV*
б) Независимые переменные р и Г.
Т /dV\ , ,
С~\'дт) ~~ Дифференциальное уравнение адиа-
Р баты,
/дТ\ __ \°? /р \°Р JT
{др]и ’
/дТ\ Т{'от)р~'/
(— ) ==------------коэффициент Джоуля — Томсона.
\ °Р / н
Пример 3. Идеальный газ. Уравнение состояния:
pV = — RT. = ^. Поэтому (%) =0.
f' р. \дТ/р \>р J \др /н
в) Независимые переменные р и V.
(дТ\ (dU\ (дТ\
\dp)v—CV\dp)v’ \dv)p — Cf>\dv)p Р’
/д5\ __£у/£Г\ (0S_\
т Up/у’ V^/p- Т \dv)p'
СР~ С Т
П.4.7) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ 175
0р\ Ср {dv\
— дифференциальное уравнение ади-
5 V\dp)v ,
абаты,
_₽-СИ^)Р /<?р\ _ с№\
dv)u~ ’ Мн~
3е Термодинамическим коэффициентом расширя-
емости называется величина az, характеризующая отно-
сительное изменение объема системы при изобарном уве-
личении ее температуры на единицу:
at—V \дТ)р — V \dt / р'
где V— объем системы, Т и t — ее температура в °К и °C.
Термическим коэффициентом расширения (объемного
расширения) называется величина
1 (dV\
a“ v0
где l/0 — объем системы при 0° С.
Термодинамическим коэффициентом сжимаемости
(изотермической сжимаемостью) называется величина 0,
характеризующая относительное изменение объема си-
стемы при изотермическом уменьшении ее давления на
единицу:
ft— 1 (dv\
Адиабатической сжимаемостью называется вели-
чина 05, характеризующая относительное изменение
объема системы при адиабатном уменьшении ее давле-
ния на единицу:
в й _£Кй
Ps — V \др ) s » “s ““ Ср Р»
где Су и Ср—теплоемкости системы в изохорном и
изобарном процессах.
Термодинамическим коэффициентом давления назы-
вается величина характеризующая относительное из-
менение давления системы при изохорном увеличении
176 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ [11.4
ее температуры на единицу:
__J_ /др\ ___L /др\ __
Р' \дТ / у р \д/ / у ’ р ₽
Термическим коэффициентом давления называется
величина
1 \
1 Ро \дт/ V1
где р0 — давление при 0° С.
8. Диаграмма s — Т
Г Диаграммой s— Т называется графическое изобра-
жение равновесных термодинамических состояний системы
в прямоугольной системе координат, по оси абсцисс ко-
торой отложена удельная энтропия s (энтропия единицы
массы системы), а по оси ординат — абсолютная темпе-
ратура Т. Реличина s отсчитывается от ее значения
в каком-либо определенном состоянии.
2° Для однородной системы изобары и изохоры на
диаграмме s — Т имеют вид восходящих кривых, так как
_____т_
v~~ cv
и
где ср и Су— удельные теплоемкости. Чем больше дав-
ление р, тем выше на диаграмме s — Т располагается
соответствующая изобара. Чем
больше удельный объем v, тем ниже
на этой диаграмме располагается
соответствующая изохора.
3° Диаграмма s — Т широко
используется для термодинамиче-
ского анализа обратимых круго-
вых процессов.
В обратимом процессе &Q =
= TdS = MTds, где М— масса
системы. Поэтому площадь в диа-
грамме s — Г, ограниченная кри-
вой процесса 1—2 (рис. II.4.7), осью абсцисс и ординатами
s = Si и s = s2, пропорциональна количеству тепла Q,
которое было сообщено системе в этом процессе:
2
Q = М \ 7 ds.
II.4.8]
ДИАГРАММА s — Т
177
Обратимый круговой процесс изображается в диаграм-
ме s — Т в виде замкнутой кривой. В прямом круговом
процессе 1а2Ъ1 (рис. II.4.8) на участке 1а2 системе сооб- .
щается тепло Qi, а на участке 2Ь1 от нее отводится
тепло, абсолютная величина
которого равна Q2. Величи-
ны Qi и Q2 пропорциональны
площадям криволинейных тра-
пеций Sila2s2 и Silb2s2, за-
штрихованным соответственно
вертикально и горизонтально.
Площадь цикла 1а2Ь1 пропор-
циональна Qt — Q2, т. е. ра-
боте Д совершенной системой
в круговом процессе. Терми-
Рис. II. 4.8.
ческий к. п. д. кругового
процесса равен отношению площади цикла к пло-
щади криволинейной трапеции Sila2s2.
Обратимый цикл Карно, состоящий из двух изотер-
мических и двух изоэнтропийных процессов, изобра-
жается в диаграмме s — Т в виде прямоугольника, сто-
роны которого параллельны осям координат (рис. П.4.9).
Обобщенным циклом Карно называется обратимый
круговой процесс, состоящий из двух изотермических
процессов и двух замыкающих цикл процессов, которые
в диаграмме s — Т изображаются эквидистантными кри-
выми, т. е. кривыми, совмещающимися друг с другом
при параллельном переносе вдоль оси абсцисс (рис. П.4.10).
Термический к. п. д. обобщенного цикла Карно равен
____1 т2
—1 7=- •
4° Диаграмма s — Т применяется также для анализа
некоторых необратимых процессов, в частности процессов,
12 Б. М. Яворский, А. А. Детдаф
178 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ (П.4
необратимость которых вызвана необратимостью адиабат-
ного сжатия и расширения рабочего тела.
Пример 1. Круговой процесс 1—2—3—4 (рис. 11.4.11),
состоящий из обратимых процессов изотермического рас-
ширения (I—2) и сжатия (3—4),
обратимого адиабатного сжатия
(4—1) и необратимого адиа-
батного расширения, условно
изображенного пунктирной ли-
нией (2—3).
Тепло Qlt сообщаемое рабо-
чему телу теплоотдатчиком в
процессе 1—2, пропорциональ-
но площади прямоугольника
а12Ь, а абсолютная величина
тепла Qs, отдаваемого рабо-
чим телом теплоприемнику в процессе 3—4, пропор-
циональна площади прямоугольника а43с. Поэтому рабо-
та Лнеобр = Qi — Q2, совершаемая в необратимом цикле
1—2—3—4—/, меньше работы /4обр в соответствующем
ему обратимом цикле Карно 1—2—3'—4—1, пропор-
/
2
I
4]
°а----------Ъ
Рис. 11. 4.11.
С 3
ему обратимом цикле Карно
циональной площади по-
следнего. Разность
Лобр— Леобр пропорцио-
нальна площади прямо-
угольника ЬЗ'Зс.
Пример 2. Процесс
адиабатного сжатия иде-
ального газа, необрати-
мость которого обуслов-
лена внутренним трением.
Процесс обратимого
адиабатного сжатия газа
от удельного объема
до v2 изображается в
диаграмме s — Т (рис.
IL4.12) изоэнтропой 1—2',
Работа Л'обр, совершенная
процессе, по первому закону
ращению внутренней энергии
внешними силами в
термодинамики равна
газа:
этом
при-
2'
Д-о6р = Л4 \ сv dT — M J Т ds,
Т1 >
11.4.8)
ДИАГРАММА 5 - 1
170
где М — масса газа, с v — его удельная теплоемкость
в изохорном процессе. Работа Д'обр пропорциональна
площади криволинейной трапеции ab2'c.
Вследствие трения конечное состояние газа в конце
необратимого адиабатного сжатия соответствует точке 2,
а сам процесс сжатия условно изображается пунктирной
линией 1—2, проведенной так, чтобы площадь криволи-
нейной трапеции cl2d была пропорциональна теплу тре-
ния QTp или равной ему работе трения Д'тр.
Работа внешних сил Д'необр в процессе 1—2 равна
т2 2
А необр == М С]/ dT == Л4 Т ds,
т 1 ь
т. е. пропорциональна площади
ции ab2d. Работа Д'необр больше
величину работы, измеряе-
мой площадью криволиней-
ного треугольника 12'2 и
обусловленной дополни-
тельным подогревом газа
вследствие трения.
Пример 3. Процесс
адиабатного расширения
идеального газа, необрати-
мость которого обусловлена
криволинейной трапе-
суммы А обр 4- 4'тр на
внутренним трением.
Работа Добр, совершае-
мая газом в процессе обрати-
мого адиабатного расшире-
ния 1—2' (рис. 11.4.13), равна
0 a d е / 7
Рис. 11. 4.13.
убыли внутренней энергии
газа: ДОбр — M\Tds, т. е. пропорциональна площади
криволинейной трапеции able. Работа трения Дтр про-
порциональна площади криволинейной трапеции el2f.
Работа ДНеобр, совершаемая газом в необратимом про-
цессе 1—2, равна Днеобр = Л4 7 ds, т. е. пропорцио-
нальна площади криволинейной трапеции dele. Разность
ДОбр — ДНеобр меньше Дтр на величину работы, изме-
ряемой площадью криволинейного треугольника 122'
180 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ [П.4
(площади криволинейных трапеций abed и e2'2f одинаковы,
так как для идеального газа cv не зависит от г>) и со-
ответствующей преобразованию части тепла трения в по-
лезную работу.
9. Многокомпонентные и многофазные системы.
Условия термодинамического равновесия
Г Всякая экстенсивная величина (стр. 136) для гомо-
генной системы, состоящей из нескольких компонентов,
существенным образом зависит от состава этой системы.
Например, термодинамические потенциалы зависят от
числа молей каждого компонента в системе:
U = U(S, V, п2, ..., nN), Н = Н (S, р, «1, и2, ..., nN^
F=F(I\ V, nlf nSr ...» nN)t Ф = Ф(Т,р)п1,п2,...)п^
где п/—число молей Z-ro компонента, N—общее число
компонентов. _
2° Парциальной мольной величиной Qi называется
частная производная от экстенсивной величины G (р, Т,
П1, ...» «дг) для гомогенной системы, состоящей из
компонентов, по числу щ молей i-ro компонента при
постоянных значениях давления, температуры и числа
молей всех остальных компонентов:
\oni Jp, Т, nlt ...» + , nN
Уравнения Гиббса — Дюгема:
N _ N _
G = 2 и У] П} dGi = 0
i= i z= i
(при p = const и T = const),
или для одного моля системы:
У _ N _
G|X= У XiGi и = °
Z = 1 < = 1
(при р = const и Т= const),
/ N
где = /2 Щ -- молярная концентрация Z-ro ком-
S N
понента и G^ — G / У] гц.
/ «=1
11.4.9] МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ И МНОГОФАЗНЫЕ СИСТЕМЫ 181
Для парциальных мольных величин справедливы сле-
дующие соотношения:
= + 2. — "“О,
1 k = I Л
N-\ нп
k= I k
3° Химическим потенциалом Z-ro компонента гомо-
генной системы (или фазы гетерогенной системы) назы-
вается частная производная от любого из термодинами-
ческих потенциалов системы (фазы) по числу молей щ
этого компонента при постоянных значениях числа молей
всех остальных компонентов системы (фазы) и парамет-
ров состояния, соответствующих данному термодинами-
ческому потенциалу (стр. 168):
и. = (^
\dni )р, Т, , п£_ |, тц j................nN
{drii Г, пь .. . , _ b + ь ..., nN
«Ж =
\dni jS, p, nlt . . . , тц _ |, ni _j_ ..nN
==Г'и \
\dni )S, V, ni.nt _ b fif i..............nN-
На практике чаще всего пользуются в качестве неза-
висимых параметров давлением и температурой, поэтому
наиболее употребительным является первое выражение
для из которого следует, что химический потенциал
представляет собой парциальное мольное значение изо-
барно-изотермного потенциала. В соответствии с первым
N
уравнением Гиббса — Дюгема (п. 2°) Ф= S п^.
Химический потенциал является интенсивной величи-
ной (стр. 136), т. е. зависит от параметров состояния
и состава гомогенной системы, но не зависит от ее
массы.
182 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ (11.4
Пример. Химический потенциал компонента смеси
идеальных газов.
\dni )vt т, nit па, ..., nj— 1» ni+ I, ...»
= ЯЛп£ + ЯГ-Т<(Т),
\dni )p, T, пъ n2, .... n/_ |, ..nN
= /?Г1П Х{ + RT\np 4- fl (П
где n-t/V и Xi—мольно-объемная и молярная концентра-
ции Z-го компонента смеси, a cpf(T) и fi(T) имеют тот же
смысл, что и на стр. 169.
4° Для обратимых процессов, совершаемых гомоген-
ной TV-компонентной системой, состав и масса которой
могут изменяться и на которую не действуют иные силы,
кроме равномерно распределенного внешнего давления,
справедливы следующие соотношения:
N
dU=TdS—pdV+ £ ^dni,
N
dH=TdS+Vdp+ £ pidnt,
N
dF = — SdT —pdV + 5 V-idnit
N
d<t> = — SdT+Vdp+ 5 niditf.
j=l
5е Изобарно-изотермный потенциал гомогенной си-
стемы равен
р
ф = \ V dp -|- Ф°,
р°
где интегрирование производится при постоянных значе-
ниях температуры и числа молей всех компонентов си-
стемы от малого давления р°, при котором система пред-
ставляет собой смесь идеальных газов, до давления р
в рассматриваемом состоянии, Ф° — значение изобарно-
П.4.9] МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ И МНОГОФАЗНЫЕ СИСТЕМЫ 183
изотермного потенциала этой смеси идеальных газов
при р=р° и температуре Т системы:
W N
ф»=2 ф? + яг£ «jinx,,
i—1 Z=«l
где Ф{ = (р°, Г, — изобарно-изотермный потенциал
i-ro компонента, a Xi — молярная концентрация послед-
него.
р
Вычисление определенного интеграла ( Vdp можно
р0
произвести алгебраически, если рассматриваемая система
представляет собой смесь газов и если известно ее
уравнение состояния. В общем случае этот интеграл
определяется графически на основании экспериментально
установленной зависимости V=V(p) в изотермическом
процессе. Если система находится в твердом или жидком
состоянии, то зависимость V=V(p) претерпевает раз-
рывы непрерывности, обусловленные фазовыми перехо-
р
дами (стр. 186). Однако и в этом случае \ V dp может быть
р°
определен графически.
6е Энтропия, энтальпия и внутренняя энергия газовой
смеси.
а) Энтропия:
р
рО г
N N
S’ = У S? — Я У! ni1п xi - nR1п Д,
i =» ] i «= 1
N
где п = ni — число молей всех газов в смеси,
i = 1
xt = rti/n — молярная концентрация i-ro газа в смеси;
интегрирование производится при постоянных значе-
ниях ni и температуры, равной температуре Т смеси
в рассматриваемом состоянии (р, Т\р° — малое давление,
при котором система является смесью идеальных газов,
184 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ [II.4
— энтропия t-ro газа при давление р } и температуре Г:
т
. $о= Jc^dinr+ss,,
т0
где CQpi — теплоемкость Z-го компонента (идеального газа)
в изобарном процессе, a — энтропия этого газа в со-
стоянии (р°, Го), Го — произвольная стандартная темпе-
ратура.
б) Энтальпия:
н=V^'-г^)Л+я•'
р0
АГ- Т
я» = £ c»f ат +
1-1 Те
в) Внутренняя энергия:
17 оо
где интегрирование производится при постоянных зна-
чениях Hi и температуры, равной температуре Г смеси,
от очень большого объема системы У^, при котором она
является смесью идеальных газов, до ее объема V в рас-
сматриваемом состоянии; U° — внутренняя энергия си-
стемы в состоянии (V^, Г):
N Т
= 2 ntf, U} = 5 c»w ат + u^.
i= 1 To
7° Термодинамические потенциалы и энтропия гетеро-
генной системы равны суммам соответствующих функций
для всех ее гомогенных частей (фаз)J):
? <р ?
u=£>ut, н=£н}, /=’=,2^/.
<р <р
ф=Дф/,
где ср — число фаз системы.
1) Предполагается, что система не является мелкодисперсной, т. е.
что влиянием поверхностных эффектов можно пренебречь.
II.4.9] МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ И МНОГОФАЗНЫЕ СИСТЕМЫ 185
8° Общие условия термодинамического равновесия
системы. В зависимости от характера изоляции системы
условия ее термодинамического равновесия выражаются
следующими способами:
а) если U=- const и V= const, то б/8 = О и 8 = 8макс;
б) если 8 = const и V= cOnst, то dU = 0 и U= U^t
в) если 8 = const и р = const, то dH = 0 и Н = /7МИН;
г) если Т = const и V= const, то dF=Q и 77=7?мин;
д) если Т = const и р — const, то d& = 0 и Ф = Фмин.
Отсюда, в частности, следуют:
условие химического равновесия: в равновесной ге-
терогенной системе химические потенциалы любого ком-
понента должны быть одинаковыми для всех фаз, в ко-
торых этот компонент содержится;
условие теплового равновесия: температура во всех
частях равновесной системы должна быть одинаковой;
условие механического равновесия: давление во всех
частях равновесной системы, на которую не действуют
иные силы, кроме равномерного внешнего давления,
должно быть одинаковым.
9° Функции U, Н, F и. Ф для системы могут иметь
несколько минимумов (при заданных значениях соответ-
ствующих им двух параметров состояния, например р и
Т для Ф; V и Т для F и т. д.), а энтропия 8 — несколько
максимумов (при U, V = const)1).
Состояние равновесия, соответствующее абсолютному
максимуму 8 при заданных значениях U и V, соответ-
ственно абсолютному минимуму Ф (при заданных р и Т),
F (при заданных V и Т) и т. д., является устойчивым,
или истинным, равновесием. Состояния равновесия,
соответствующие относительным максимумам 8 (отно-
сительным минимумам Ф, F, Н и 6/), являются неустой-
чивыми, или метастабильными. Примерами метастабиль-
ных состояний равновесия могут служить перегретая
жидкость и пересыщенный пар (стр. 240).
10° Принцип Ле-Шателье (принцип смещения равно-
весия): если на систему, находящуюся в состоянии устой-
чивого равновесия, производится внешнее воздействие,
выводящее систему из равновесия, то равновесие
1) Число параметров состояния для неравновесных состояний си-
стемы больше, чем для равновесных.
1$в ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ [11.4
смещается в том направлении, при котором эффект внеш-
него воздействия ослабляется.
Например, дтри уменьшении объема равновесной одно-
компонентной системы жидкость — пар происходит кон-
денсация части пара, в результате чего температура
системы и давление повышаются.
1Г Фазовым переходом (фазовым превращением) на-
зывается переход вещества из одной фазы в другую.
Различают два типа фазовых переходов — фазовые пере-
ходы первого и второго рода.
Фазовым переходом перзого рода называется фазо-
вый переход, сопровождающийся скачкообразным изме-
нением внутренней энергии и плотности. Фазовые пе-
реходы первого рода всегда связаны с выделением или
поглощением тепла, называемого теплотой (скрытой
теплотой) фазового перехода. Термодинамический по-
тенциал Ф системы при фазовом переходе первого рода
не изменяется. Примерами таких фазовых переходов слу-
жат испарение (стр. 248), плавление (стр. 263), сублима-
ция (стр. 263), многие переходы твердого тела из одной
кристаллической модификации в другую.
Фазовым переходом второго рода называется фазо-
вый переход, при котором отсутствует скачкообразное
изменение внутренней энергии и плотности. Теплота фа-
зового перехода второго рода равна нулю. Фазовый пе- с
реход второго рода сопровождается скачкообразным
изменением теплоемкости и термодинамических коэффи-
циентов расширяемости и сжимаемости (стр. 175). Приме-
рами фазовых переходов второго рода являются переход
жидкого гелия в сверхтекучее состояние (стр. 252), пере-
ход в точке Кюри ферромагнитного вещества в парамаг-
нитное (стр. 441) и т. д.
12° Термодинамическими степенями свободы системы
называются параметры фаз системы, находящейся в рав-
новесии, которым можно придавать произвольные зна-
чения в том интервале, при котором число фаз не изме-
няется.
Правило фаз Гиббса: число f термодинамических
степеней свободы системы, состоящей из <р фаз и N ком-
понентов, равно
/=ДГ —? + 2.
Так как 0, то число сосуществующих фаз системы
удовлетворяет следующему неравенству: cp^N-f-2.
1.4.10)
ХИМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
187
В зависимости от числа термодинамических степеней
свободы различают безвариантные системы (/==0), одно-
вариантные системы (/=1), двух вариантные системы
(/=2) и т. д.
13° Однокомпонентная система (1 ср 3). При ср = 3
/ = 0, т. е. равновесное сосуществование данных трех
фаз (например, твердой, жидкой и газообразной) воз-
можно только в одном определенном состоянии, назы-
ваемом тройной точкой.
Для двухфазной равновесной однокомпонентной си-
стемы давление является функцией температуры. Эта
зависимость выражается уравнение Клапейрона—Клау-
зиуса:
dT ТД-»*
где г — удельная теплота фазового перехода из первой
фазы во вторую, Av = v2—Vi — разность удельных объе-
мов фаз.
Если вторая фаза является идеальным газом, то урав-
нение Клапейрона—Клаузиуса имеет вид:
rf(lnp) = — у ,
где = гр. — теплота испарения для одного моля ве-
щества.
10. Химическое равновесие
Г Летучестью (фугитивностью, активным давле-
нием) fi Z-ro компонента гомогенной системы называется
функция давления, температуры и концентрации, связан-
ная с химическим потенциалом этого компонента в
изотермическом процессе следующим уравнением:
или
/?г1пА=н_^
где pJJ. и /*•— значения химического потенциала и лету-
чести Z-ro компонента в некотором произвольно выбран-
ном (в отношении давления и концентрации) начальном
состоянии, соответствующем той же температуре, что и
в рассматриваемом состоянии. Это начальное состояние
называется стандартным состоянием.
188 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ (11.4
2° Активностью (ц i-ro компонента гомогенной си-
стемы называется отношение его летучести в данном
состоянии к летучести в стандартном состоянии при
той же температуре:
3° Летучесть z-го компонента смеси идеальных газов
равна парциальному давлению рассматриваемого газа
в смеси: fi=pi = xip^ где —молярная концентрация,
а р—давление смеси. Таким образом, летучесть имеет
размерность давления.
Термодинамические уравнения, выведенные для изо-
термических процессов идеальных газов и их смесей,
оказываются справедливыми для реальных газов и их
смесей, если в этих уравнениях парциальные давления
газов заменены их летучестями.
4° Химическим равновесием называется равновесие
системы, состоящей из химически реагирующих между
собой компонентов. При химическом равновесии скоро-
сти прямой и обратной реакций одинаковы, так что
состав системы не изменяется.
Способность компонентов системы вступать друг
с другом в химическую реакцию называется их химичес-
ким сродством. Мерой химического сродства для реакции,
протекающей в системе, температура и объем которой
неизменны, является изменение Д/7 изохорно-изотерм-
ного потенциала системы в процессе реакции: F —
— /^исх. Соответственно для реакции, протекающей при
постоянной температуре и постоянном давлении, мерой
химического сродства является изменение изобарно-изо-
термного потенциала: ДФ = Ф— Фисх. В состоянии хими-
ческого равновесия потенциалы F (при Г, И= const) и
Ф (при Г, р = const) должны иметь минимум. Поэтому
самопроизвольная реакция в системе возможна только
в тех случаях, когда ДЛсО (при Г, V = const) и ДФ < О
(при Г, р — const).
5° Химическая реакция символически записывается
в виде стехиометрической формулы:
N
S аг-Д^ = О,
i=l
где Др Д2,An—химические символы веществ, всту-
П.4.10] ХИМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ 189
лающих в реакцию и образующихся в результате ее, а
ai, аа,...» ап — положительные (для веществ, образую-
щихся в результате реакции) и отрицательные (для ве-
ществ, вступающих в реакцию) целые числа, пропорцио-
нальные изменениям числа молей nv nN веществ
6° Закон действующих масс: в состоянии химического
равновесия системы соотношение между активностями ее
компонентов, химическая реакция между которыми опи-
ат
сывается стехиометрической формулой У] а/Д^ = 0, имеет
вид:
N
/=1
где Ко = е~^т — термодинамическая константа
N
равновесия, Др-о = 2 и — химический потенциал
i— 1
Z-ro компонента в стандартном состоянии. Если для каж-
дого компонента стандартным является состояние чистого
вещества, то — изобарно-изотермный потенциал
одного моля чистого вещества в стандартном состоянии.
N
В этом случае Др.о = У] “/Фр./~ ^Ф° и для константы
/=1
равновесия справедливо соотношение
/?Г1пАГа = —ДФ°.
Для чистого газа за стандартное состояние при каж-
дой температуре принимается гипотетическое состояние,
в котором при давлении р° = 1 атм летучесть /° = 1 атм.
Поэтому для газов при любой температуре ai=filpQ
численно равна Д выраженной в атм. Закон действую-
щих масс для реакции в газообразной фазе имеет вид:
N
N Ё “i
п fi* = Kf, где Kf = Ка (PQ)‘~ 1 .
190 ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ [II.4
Если газы можно считать идеальными, то
и закон действующих масс записывается в следующих
формах:
N N
П #=кр и п Х^=кх,
1 i =« 1
где pi и Xi — парциальное давление и молярная концен-
дг
- л1
трация /-го компонента, Кр = Kf и Кх=р 1~1 Кр-
1° Константа равновесия АГа зависит только от абсо-
лютной температуры. Если для всех компонентов стан-
дартным является состояние чистого вещества, то
dln/<a Д/fo
ат
N
где Д/7° = У] а ~~ энтальпия одного моля нго
компонента в стандартном состоянии.
Зависимость ДФ° от температуры имеет вид:
d /лфо\ ДЯ°
dT \ RT / RT* ’
8е Если компоненты Ai рассматриваемой системы яв*
ляются не простыми веществами, а химическими соеди-
нениями, то
А А
Дф»= J] а,(ДФ°), и Ка= П (Ла)л,
1=1 1=]
где (ДФ0)/ и (Ka)i соответствуют реакции образования
одного моля f-го компонента из простых веществ. При
этом необходимо, чтобы все промежуточные реакции
синтеза приводили к образованию компонентов Ai именно
в тех термодинамических состояниях, в каких они нахо-
дятся в рассматриваемой системе.
Стандартным изобарно-изотермным потенциалом
Дф§98 какого-либо химического соединения называется
изменение изобарно-изотермного потенциала в процессе
образования одного моля этого соединения из простых
веществ при условии, что процесс является изотермиче-
ским (t = 25° С), а исходные простые вещества и обра-
1.4.1 II ГЙВТИЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
зующееся соединение находятся при давлении в 1 атм
(точнее, при активностях, равных единице).
Тепловой эффект А//§98 указанного процесса назы-
вается стандартным тепловым эффектом.
11. Третий закон термодинамики
1° Первый и второй законы термодинамики не позво-
ляют определить значение So энтропии системы при аб-
солютном нуле температуры (Т = 0°К). В связи с этим
оказывается невозможным теоретический расчет абсолют-
ных значений энтропии, изохорно-изотермного и изобарно-
изотермного потенциалов системы, а также константы
равновесия.
2° На основании обобщения экспериментальных иссле-
дований свойств различных веществ при сверхнизких
температурах был установлен закон, устранивший ука-
занную трудность и получивший название принципа Нерн-
ста или третьего закона термодинамики. В формули-
ровке Нернста он гласит: в любом изотермическом про-
цессе, проведенном при абсолютном нуле температуры,
изменение энтропии системы равно нулю, т. е. ASr=o=O,
S = S0 = const, независимо от изменения любых других
параметров состояния (например, объема, давления, на-
пряженности внешнего силового поля и т. д.). Иными
словами, при абсолютном нуле температуры изотермиче-
ский процесс является также и изоэнтропийным.
3° Из третьего закона термодинамики следует, что для
всех тел при Г = 0°К обращаются в нуль теплоемкости
Ср и Cv и термодинамический коэффициент расширя-
емости at (стр. 175). Из него также вытекает вывод о не-
возможности осуществления такого процесса, в резуль-
тате которого тело охладилось бы до температуры Т = 0°К
(принцип недостижимости абсолютного нуля темпера-
туры).
4° Принцип Нернста был развит Планком, предполо-
жившим, что So = O: при абсолютном нуле температуры
энтропия системы равна нулю. Физическое истолкование
принципа Нернста в формулировке Планка дается в ста-
тистической физике (стр. 220 и 224).
Условие Зо = О при Г = 0°К является следствием
квантового характера процессов, происходящих в любой
системе при низких температурах, и выполняется только
для систем, находящихся при Т = 0° К в состоянии
192 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
[11.5
устойчивого, а не метастабильного равновесия (стр. 185).
На основании гипотезы Планка можно определить абсо-
лютные значения энтропии системы в произвольном
равновесном состоянии. Например, для гомогенной системы
постоянного состава
Т С
S(p, T)=\-J>dT,
о
где интегрирование производится в предположении
р = const.
Из условия Зо = О следует, что
глава 5
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
1. Основное уравнение кинетической
теории газов
Г Кинетическая теория газов есть теория, основан-
ная на статистических методах исследования (стр. 131).
Основное уравнение кинетической теории газов:
о
т^а]
где р — давление газа, V—его объем, U7K = —-----
i = l
суммарная кинетическая энергия поступательного движе-
ния п молекул газа, находящихся в объеме И, mz — масса
/-й молекулы, щ—ее скорость.
2° Если ввести среднюю квадратичную скорость с
(стр. 195) поступательного движения молекул газа:
то для однородного газа (mz = т)
U7K = 1 птс*
1.5.2] ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 193
И
pV == у птс* = | Me8,
где М = пт — масса газа.
Другой вид основного уравнения:
о 1 ।
Р — з = T П,>тс* = Т Рс’’
где п0 = п/И—число молекул газа в единице объема^
Ц7К0 = UZK/IZ и р = пот — плотность газа.
2. Закон распределения молекул по скоростям
Максвелла
Iе Закон распределения молекул по скоростям Макс-
велла описывает стационарное распределение молекул
однородного одноатомного идеального газа по скоростям
в условиях термодинамического равновесия и отсутствия
внешнего силового поля. Максвелловское распределение
молекул по скоростям устанавливается в результате
взаимных столкновений между молекулами при их хаоти-
ческом тепловом движении.
2° Употребляются следующие формы закона распре-
деления Максвелла. Распределение молекул по абсолют-
ным значениям скоростей:
з _ ти2
= е 4nu*du.
и \2пк1 /
Здесь и — абсолютное значение скорости молекулы, « =
= — масса молекулы, k — постоянная
Больцмана, Т — абсолютная температура, dnu — число
молекул (из общего их числа п), скорости которых за-
ключены в пределах от и до и + du.
Распределение Максвелла в форме
з ти*
dn — n{^kr)‘le 2кТ dUxdUydtiz,
где их, Uy, uz — проекции скорости молекулы на оси ко-
ординат, может быть представлено в виде
dn— nf(ux)f(uy) f(Ug) duxduydu2.
13 Б. M. Яворский, А. А Детлаф
194 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ (11.5
Здесь
1 ти*
= е 2кТ (1 = *,У,г)
— функция распределения по проекциям скоростей.
Поскольку все направления движения молекул в про-
странстве равновероятны, распределение молекул по ско-
ростям изотропно и /(щ) имеет одинаковый вид для
i = х, у, z.
Другая форма закона распределения Максвелла по
абсолютным значениям скоростей:
-(-У
4 \ и /
dn=n—r=—е в u2du,
V тс«в
где ив — наиболее вероятная скорость (п. 3°).
На рис. II. 5.1 изображена кривая закона распределе-
ния молекул по скоростям. Доля молекул газа dn со ско-
uadn
/7 du
Рис. 11. 5.1.
вающая долю молекул —
ростями в интервале от и
до и du численно равна
площади dS заштрихованной
криволинейной трапеции:
/ив dn\du_dn
\п du ) ив п ’
£=/(«) du,
где j? ти2
функция распределения мо-
лекул по скоростям, указы-
о скоростями, лежащими в
единичном интервале du около значения скорости и.
Условие нормировки функции распределения:
f (и) du = 1,
так как скорости всех молекул заключены в пределах от
О до оо.
ПЛЗ]
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
195
С увеличением температуры газа максимум кривой
распределения смещается в сторону ббльших скоростей,
а его абсолютная величина уменьшается. На рис. II. 5.2
изображены кривые
распределения моле-
кул по скоростям при
трех температурах
Л < Т2 < Г8.
3° Различают сле-
дующие скорости, ха-
рактеризующие газ q
при данной темпера-
туре:
а) наиболее веро-
ятная скорость и31 которая соответствует максимуму
функции f(u):
б) средняя арифметическая скорость и движения
п
молекул и = — 2 где п — общее число молекул
i=i
газа:
в) средняя квадратичная скорость с движения моле-
где В—удельная газовая постоянная (стр. 138), Т — аб-
солютная температура, р.— молекулярный вес газа, У?—
универсальная газовая постоянная (стр. 138), k — постоян-
ная Больцмана, т — масса молекулы газа.
4° Распределение молекул по энергиям:
_з JS __
dnw= 2 е "
Ул:
где 1ГК = — энергия поступательного движения
13*
196
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
III.5
молекулы одноатомного газа. В этой формуле —— =
= /( /(U7K) — функция распределения молекул
по энергиям.
Пример 1. Средняя кинетическая энергия молекул
одноатомного идеального газа:
wK=
WKf(WK)dWK =
оо _z« _
= 2 С WKe kT ywKdWK = ^kT.
V Tt(kT)3^ ft к r K K 2
Абсолютная температура (стр. 135) является мерой
средней кинетической энергии поступательного движения
молекул идеального газа. Это справедливо в области не
слишком низких температур, далеких от температуры
вырождения (стр. 218).
Пример 2. Число молекул, имеющих энергии, ббль-
шие заданной энергии ^0К>>/гГ:
фф _______а
nw*>Wi)i= 5 £= n(kT) 2 е
V Я {kl )8
_5<
е kT dWK =
w
OK
kT
2n
VnkT
5° Распределение Максвелла по относительным ско-
ростям молекул. Относительное движение двух молекул
может быть описано как движение одной частицы с при-
веденной массой (стр. 86) тпр = Для однородно-
го газа mi = m2 = m и mnp = Распределение молекул
по относительным скоростям:
3 mz/oiH
/ m 4kl
^Пи отн = п \ 4nkf ) е rfttOTH’
где потн — относительная скорость двух молекул;
dn
= /(иотн) ^иотн1
11.5.3] СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА 197
/(мотн) — функция распределения молекул по относи-
тельным скоростям, равная
3 тцотн
f (потн) = (4^7) 2 е 4kT аотн-
Пример. Средняя относительная скорость молекул:
оо — /—
ttOTH иотн/ (Мотн) ^МОТН = 2 у — = ]/~2 Ц,
где й — средняя арифметическая скорость молекул.
3. Средняя длина свободного пробега молекул
Г Столкновение двух частиц характеризуется эффек-
тивным поперечным сечением соударения а. В случае
соударения молекул, имеющих диаметр 10“8 см, эф-
фективное газокинетическое поперечное сечение равно
площади круга с радиусом d (эффективный диаметр
молекулы):
д0 = Ttrf2.
Эффективное поперечное сечение зависит от энергии
соударяющихся частиц и характера процесса, происходя-
щего при соударении (стр. 654 и 655).
2° Между двумя последовательными соударениями
молекула движется прямолинейно и равномерно, проходя
в среднем определенное расстояние, называемое средней
длиной свободного пробега X. Закон распределения сво-
бодных пробегов устанавливает вероятность dw (х) того,
что молекула пройдет без соударения путь х и претер-
пит соударение на следующем бесконечно малом уча-
стке пути dx\
dw (х) = е ° n0<j dx,
где п0—число молекул в 1 см3 газа, а — эффективное
поперечное сечение соударения.
3° Среднее расстояние х, пройденное молекулой без
соударения (средняя длина свободного пробега):
оо оо
х = Х=Л х dw (х)=Л xe~n9Xno<j dx = —.
л л
С учетом распределения соударяющихся молекул по
198 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ (П.5
относительным скоростям
1^2/10® ’
где а считается не зависящим от rz0TH. Для данного газа
средняя длина свободного пробега обратно пропорцио-
нальна давлению газа р (при Т = const):
PiXi =р2Х2;
индексы 1 и 2 относятся к двум состояниям газа.
4. Явления переноса в газах
Г В результате беспорядочного движения молекул и
соударений между ними происходят непрерывные изме-
нения скоростей (энергий) частиц газа. Если существует
пространственная неоднородность плотности, температуры
газа или скорости упорядоченного движения отдельных
его слоев, то на тепловое движение молекул наклады-
вается упорядоченное движение, которое и выравнивает
эти неоднородности, — возникают явления переноса.
2° Явления переноса (теплопроводность, внутреннее
грение и диффузия) состоят в возникновении направлен-
ного переноса в газах массы (диффузия), количества
движения (вязкость или внутреннее трение) и внутренней
энер! ии (теплопроводность). Все эти явления сопровож-
даются нарушением максвелловского распределения мо-
лекул по скоростям. В простейшем случае явления пе-
реноса одномерны — определяющие их физические вели-
чины зависят только от одной декартовой координаты.
3° Явление теплопроводности возникает при наличии
разности температур в различных слоях газа и в одно-
мерном стационарном случае (7'=Г(х)) описывается
уравнением Фурье (общий случай см. стр. 258):
dQ = - Kd/xdSdt,
где dQ — количество тепла, переносимое за время dt
через площадку dS в направлении нормали х к этой
площадке в сторону убывания температуры, ^ — гради-
ент температуры, К — коэффициент теплопроводности,
численно равный количеству тепла, переносимому через
единицу поверхности за единицу времени, при градиенте
температуры, равном единице.
11.5.4]
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
199
Согласно кинетической теории газов
/<=|aXpcv.
Здесь и— средняя скорость теплового движения молекул,
X — средняя длина свободного пробега, р — плотность
газа, cv—удельная теплоемкость газа при постоянном
объеме.
4° Явление внутреннего трения (вязкости) связано
с возникновением сил трения между двумя слоями газа
или жидкости, перемещающимися параллельно друг другу
с различными по величине скоростями. Причиной вну-
треннего трения является перенос молекулами количе-
ства движения из одного слоя газа в другой. Уравнение
Ньютона для вязкости в одномерной задаче (v~v(xyy.
где dF— сила внутреннего трения, действующая на пло-
щадку dS поверхности слоя, — градиент скорости дви-
жения слоев в направлении х, перпендикулярном к
поверхности слоя, — коэффициент внутреннего трения,
численно равный силе трения между двумя слоями с пло-
щадью, равной единице, при градиенте скорости, рав-
ном единице.
Согласно кинетической теории газов
Г| = 1 ирХ,
где и — средняя скорость теплового движения молекул,
X — средняя длина свободного пробега, р — плотность
газа.
5° Коэффициенты переноса К и не зависят от плот-
ности газа, ибо произведение рХ не зависит от р. Вяз-
кость газов растет с повышением температуры пропор-
ционально J/T.
6° Явлением диффузии называется процесс установле-
ния внутри фаз (стр. 132) равновесного распределения
концентраций (стр. 139) Результатом диффузии при по-
стоянной температуре является выравнивание химических
потенциалов (стр. 181). В однофазной системе при посто-
янной температуре и при отсутствии внешних сил диф-
фузия выравнивает концентрацию компонента фазы во
всей системе. Если на систему действуют внешние силы
200 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ [II.5
или поддерживается градиент температуры, то в резуль-
тате диффузии устанавливаются градиенты концентраций
отдельных компонентов (термодиффузия, электродиффу-
зия и другие процессы).
В простейшем случае самодиффузии происходит вы-
равнивание концентрации химически однородного веще-
ства при Г = const и отсутствии внешних сил, осуще-
ствляемое наложением на тепловое движение атомов или
молекул их упорядоченного движения. В случае броунов-
ского движения (стр. 231) диффундируют крупные части-
цы, взвешенные в газе или жидкости.
7° Плотностью диффузионного потока j называется
число частиц вещества данного сорта, переносимое путем
диффузии в единицу времени через единицу поверхности.
При условии существования в среде градиента давлений
Vp, вызванного некоторыми внешними силами, и гради-
ента температур V Т плотность диффузионного потока равна
Dn^Vc + ^VT + *-2 Vp), где n. = ^,
k — постоянная Больцмана, D — коэффициент диффузии,
численно равный плотности диффузионного потока при
наличии одного только градиента концентрации Vc, рав-
ного 1/п0- Величина kTD называется коэффициентом
термодиффузии; эта величина численно равна плотности
диффузионного потока при условиях: Vc = Vp = 0; VТ/Т =
= 1/п0. Безразмерная величина k7 называется термодиф-
фузионным отношением. Величина kpD называется ко-
эффициентом бародиффузии; она численно равна плот-
ности диффузионного потока при условиях: Vc = Vr = 0,
Vp/p = 1 ;п0.
8° В случае трехмерной диффузии изменение концен-
трации с течением времени при постоянной температуре
и отсутствии внешних сил описывается дифференциаль-
ным уравнением диффузии:
dt дх Xй дх) ду \U ду) дг \и дг)’
где D — коэффициент диффузии, t — время. Если D не
зависит от концентрации, то уравнение приводится к виду
(второй закон Фика)
где Д— дифференциальный оператор Лапласа.
П.5.4)
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
201
Пример 1. Распределение концентрации вдоль по-
лубесконечного стержня, на торце которого в начальный
момент времени t = 0 сосредоточена масса Л4 (на единице
площади торца):
40/
е
концентрации растворен-
с(х, i)==-7^
V*Dt
где х— расстояние от торца.
Пример 2. Распределение
ного в жидкости вещества с массой М, которое в на-
чальный момент / — О находилось в начале координат:
с(г,О =-----*е
8р (яР/)3/з
где р — плотность жидкости, г — расстояние от начала
координат.
9° Явление диффузии однородного газа (явление само-
диффузии) в одномерном стационарном случае (р = р(х))
описывается первым законом Фика:
dM = — Dd/x dSdt,
где dM— масса газа, которая переносится за время dt
через элементарную площадку dS в направлении нор-
мали х к рассматриваемой площадке в сторону убыли
do
плотности, ~ — градиент
самодиффузии.
Согласно кинетической
г>=4 ——
d V 2 /гоа
где й — средняя скорость теплового движения молекул,
а — эффективное поперечное сечение соударения моле-
кул (стр. 197), п0—число молекул в I см9, X — средняя
длина свободного пробега.
Коэффициент самодиффузии обратно пропорционален
давлению газа; при изменении температуры D изменяется
пропорционально Г1/2 при постоянном объеме и Г8/2
(практически от Г1’7 до Г2) при постоянном давлении.
10° В неравновесной стационарной смеси двух газов
наблюдается диффузия молекул одного газа в другой.
В первом приближении коэффициент диффузии D в этом
плотности, D — коэффициент
теории газов
и 1 -г
— у ИЛ,
202 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ [П.5
случае вычисляется по формуле п. 9°, причем
СЯ=К2 „(£>+£.)’,
где di и — диаметры молекул обоих газов. Более
точное выражение для коэффициента диффузии:
sVrt 1/ & + Р*
0 __________' Р-1Р-2
32 NAty (Cf -f-^) *
где [Xi и pis — молекулярные веса каждого из газов, Cj и
cs — их концентрации в моль/см\ NA — число Авогадро.
Величина ф зависит от характера силового взаимодей-
ствия молекул; в случае молекул упругих шариков
л.__~h^2)2
V 16
где di и da — диаметры молекул обоих сортов газов.
1Г Согласно кинетической теории газов между коэф-
фициентами переноса существует связь:
г = pD и — = 1,
1 v Фу
где cv — удельная теплоемкость газа в изохорном про-
цессе. Практически используется более точная связь
коэффициентов переноса:
D = -^~,
где а - множитель, зависящий от числа степеней свобо-
ды молекул газа; для одноатомного газа а = 2,5, двух-
атомного а =1,9; трехатомного а=1,75-т- 1,5.
По одному найденному из опыта коэффициенту пере-
носа и известным р и cv могут быть определены осталь-
ные коэффициенты. Формулы для коэффициентов явле-
ний переноса в газах согласуются с опытом лишь при-
близительно, с точностью до порядка величины. По зна-
чениям коэффициентов переноса могут быть вычислены
эффективные диаметры молекул. В таблице ниже приве-
дены уравнения переноса в газах и формулы для коэф-
фициентов переноса.
II.5.5I СВОЙСТВА РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ 203
Сводная таблица явлений переноса в газах
Явление Переносимая физическая величина Уравнение переноса Формула коэффициента переноса
Диффузия Внутреннее трение Теплопровод- ность Масса Количество движения Внутренняя энергия dM D^-dSdt dx dF= - ri^-dS 1 dx dQ— — dS dt dx _ 1 —Г D«= Ч = J “ Хр К = Jj- u\pcv
5. Свойства разреженных газов
Г Разреженными называются газы, находящиеся при
столь малых давлениях, что средняя длина свободного
пробега соизмерима с линейными размерами сосуда. В
технических задачах такое состояние газа называют ва-
куумом. В разреженных газах сохраняются те свойства
идеальных газов, которые определяются соударениями
молекул со стенками сосуда, и изменяются свойства, зави-
сящие от межмолекулярных столкновений.
2° Уменьшение плотности разреженного газа не изме-
няет средней длины свободного пробега молекулы, а при-
водит лишь к убыли числа молекул, участвующих в пере-
носе импульса или внутренней энергии. Коэффициенты
вязкости и теплопроводности разреженного газа прямо
пропорциональны плотности газа.
3° Внутреннее трение в разреженных газах отсутствует
и существует лишь внешнее трение движущегося газа
о стенки сосуда. Последнее зависит от изменения им-
пульса (количества движения) молекул при их соударе-
ниях со стенками. Величина силы трения, действующей
на единицу площади стенки, в первом приближении про-
порциональна скорости движения газа и его плотности.
Теплопроводность разреженных газов меньше, чем обыч-
ных газов, и осуществляется переносом внутренней энер-
гии молекулами, свободно перемещающимися между стен-
ками сосуда с различными температурами 1\ и Г2. Коли-
чество тепла, полученного (или отданного) единицей
площади стенки за единицу времени, прямо пропорцио-
нально разности температур 7\ — и плотности газа
204 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (IIЛ
4* Закон Кнудсена для течения разреженного газа
по цилиндрическому каоилляру радиуса г и длины /:
л’— 1/ZZZ pi-pa
Ч ' 3 Г V 4RT I '
где Q— масса газа, протекающего за 1 сек через попе-
речное сечение капилляра, р. — молекулярный вес газа,
К - универсальная газовая постоянная (стр. 138), Т — аб-
солютная температура, pi и р2 — давления газа на кон-
цах капилляра.
5° При соединении двух сосудов, находящихся при
различных температурах 7\ и Г2, узкой трубкой стацио-
нарному состоянию разреженного газа соответствует
условие
niUi — n2ua,
где nt и — числа молекул в 1 см3 в обоих случаях,
«1 и — их средние скорости. Это условие означает
равенство встречных потоков молекул, перелетающих из
первого сосуда во второй и обратно. Так как пслр1Т,
а и со УТ, то
р2 г
(эффект Кнудсена).
6° На особых свойствах разреженных газов основано
устройство многих приборов для получения вакуума
(диффузионные и др. насосы), его измерения (вакуум-
метры) и для создания тепловой изоляции (сосуды Дьюара).
ГЛАВА 6
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
1. Введение
1° Статистической физикой (физической статисти-
кой) называется раздел теоретической физики, в котором
изучаются макроскопические свойства систем на основе
молекулярно-кинетических представлений и методов ма-
тематической статистики.
Статистическая физика рассматривает системы, нахо-
дящиеся в равновесном состоянии (стр. 185) или близких
к нему. Задачей статистической физики является иссле-
П.6.2]
ВЕРОЯТНОСТЬ состояния СИСТЕМЫ
205
дование поведения и свойств таких систем на основе
определенных представлений об их атомной структуре.
2° В статистической физике предполагаются известны-
ми свойства и законы движения отдельных атомов, мо-
лекул, элементарных частиц, изучаемые квантовой меха-
никой Во многих случаях состояние произвольной систе-
мы, состоящей из п частиц с s степенями свободы, может
быть описано классической механикой заданием ns обоб-
щенных координат и ns обобщенных импульсов (стр. 84),
т. е. заданием 2ns независимых переменных.
3° Поведение систем, состоящих из большого числа
частиц, определяется статистическими закономерностя-
ми, отличными от законов, которым подчиняется каж-
дая из частиц, входящая в макроскопическую систему.
Поведение отдельной частицы (например, ее траектория,
последовательность изменения ее состояний и т. п.) при
статистическом описании системы оказывается несущест-
венным Поэтому изучение свойств системы сводится к
отысканию средних значений физических величин, харак-
теризующих состояние системы как целого.
Основное отличие систем, подчиняющихся статисти-
ческим закономерностям, от систем, в koiорых достаточ-
ным оказывается описание с помощью законов механики,
состоит в том, что поведение и свойства первых в зна-
чительной степени не зависят от их начального состояния.
4° Связь между закономерностями, описывающими
движение отдельных частиц (динамические закономернос-
ти), и статистическими закономерностями проявляется
в том, что в зависимости от законов движения отдель-
ных частиц существенно изменяются свойства макроско-
пической системы, изучаемой методами статистической
физики.
2. Вероятность состояния системы.
Среднее значение физических величин
Iе Различные состояния системы могут осуществлять-
ся с той или иной вероятностью Вероятность z-го состо-
яния wt определяется как предел отношения времени
в течение которого система находится в данном состоя-
нии, к полному времени Т наблюдения над системой при
неограниченном увеличении Г:
(i
Wj = lim -г.
7 —► оо *
206 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [П.6
Если некоторая физическая величина М является од-
нозначной функцией состояния (стр. 136) и принимает
значение М» то это означает, что система находится в Z-m
состоянии.
2° Вероятность Z-ro состояния системы совпадает с
вероятностью того, что физическая величина М прини-
мает значение М/. Если W есть полное число измерений
величины М, a N[ есть число измерений, в результате
которых найдено, что величина М имеет значение Л4/, то
Ni
lim ^7-.
3е При непрерывном изменении состояния системы
необходимо говорить не о значении /И/, а об интервале
значений этой величины. Вероятность dw (М) того, что
величина М имеет значение, лежащее в интервале от
М до М + dM, равна
dw (Л4) = lim -уг-,
Т —► оо
где dtM— время, в течение которого система находится
в состояниях, соответствующих значениям Л4, лежащим
в интервале от М до Л4 величины dtM и dwM про-
порциональны величине интервала dM:
dw (М) = р (М) dM,
где р (М) — плотность вероятности, или функция рас-
пределения вероятностей.
4° Условие нормировки вероятностей состояния:
при дискретных состояниях £wi = 1;
i
при непрерывном изменении состояний dw (Л4) =
— р (М) dM = 1.
5е Статистическое среднее значение величины М
обозначается М и определяется следующим образом:
М — S Alw/,
i
если величина М изменяется дискретно. Суммирование
производится по всем состояниям системы. В случае не-
прерывного изменения величины М
M=^Mdw {М) = М р (М) dM,
П.6.8] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА 207
где интегрирование производится по всем возможным
состояниям системы. Примеры вычисления средних зна-
чений см. на стр. 196, 197.
3. Распределение Гиббса
Г Микроканоническим распределением Гиббса назы-
вается распределение вероятностей различных состояний
замкнутой макроскопической системы, т. е. системы, не
взаимодействующей с окружающими телами и имеющей
постоянную энергию. Подобная система в действительно-
сти не может быть получена и является идеали тирован-
ной. Ее состояния являются вырожденными', каждому
значению энергии могут соответствовать различные состо-
яния. Кратностью вырождения данного состояния Q (Е)
называется число состояний, обладающих данной энерги-
ей Е.
2° Микроканоническое распределение основано на
предположении о равной вероятности различных состоя-
ний, имеющих одну и ту же энергию. При июбражении
состояния системы в фазовом пространстве (стр. 87)
каждому состоянию соответствует ячейка (клетка), и их
совокупность с заданной энергией образует некоторую
поверхность Е — const.
3° Макроскопические системы, которые могут в тече-
ние достаточно большого времени пребывать в любом
состоянии с данной энергией, называются эргодными
(эргодическими). Предположение, лежащее в основе ми-
кроканонического распределения (п. 2°), означает, что
изобразительная точка в фазовом пространстве с равной
вероятностью располагается в любой ячейке фазового
пространства на поверхности Е = const.
4° Для эргодических систем, состояния которых с дан-
ной энергией Е являются равновероятными, справедливо
утверждение: если макроскопическая система в некоторый
момент времени находится в данном состоянии с энерги-
ей Б, то с течением времени она будет самопроизвольно
переходить в любые другие состояния с той же энерги-
ей и находиться в каждом из них (в среднем) одинаково
долго.
Вероятность состояния системы w (Е) выражается
микроканоническим распределением Гиббса
w (Е) = С Q (£).
208 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [II.6
Коэффициент пропорциональности С определяется из
условия нормировки (стр. 206)
2w(E)=i.
Микроканоническое распределение Гиббса лежит в осно-
ве канонического распределения Гиббса.
5° Каноническим распределением Гиббса называется
распределение вероятностей ра'личных возможных состо-
яний некоторой квазизамкнутой подсистемы, т. е. не-
которой части замкнутой макроскопической системы
(стр. 132). Подсистема называется квазизамкнутой, если
ее собственная энергия в среднем велика по сравнению
с энергией ее взаимодействия с остальными частями
замкнутой системы (называемыми термостатом).
Например, каждая молекула идеального газа при не
слишком низких температурах является квазизамкнутой
подсистемой. Ее собственная кинетическая энергия в
среднем намного превышает энергию ее взаимодействия
с другими молекулами газа (термостатом).
6е Взаимодействие подсистемы с термостатом при-
водит к изменению ее состояний: она может пере-
ходить как в состояния с первоначальной энергией,
так и в состояния с другими значениями энергии. При
последних переходах подсистема обменивается энер-
гией с термостатом, увеличивая или уменьшая свою
энергию.
Т Вероятность состояния подсистемы зависит только
от ее энергии. Согласно квантовому каноническому
распределению Гиббса
Jh Л
в о
е 2 (Ер е 2 (Ер
w (Ei)=—= —г— >
Ее 6 2(Вр
где w (Ед — вероятность пребывания квазизамкнутой
подсистемы в состоянии с энергией Ei, Q (Ед — кратность
вырождения (стр. 207), 0 — модуль канонического распре-
деления, или статистическая температура.
Величина 0 является температурой, выраженной в
энергетических единицах. Она превращает неполный
дифференциал 6Q в полный дифференциал величины
П.6.3]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА
209
, где F—свободная энергия системы (стр. 168):
Величина 0 принимает одинаковые значения в двух раз-
личных системах, находящихся в состоянии термодина-
мического равновесия при тепловом контакте между ни-
ми. Универсальным коэффициентом пропорциональности,
переводящим статистическую температуру 0 из эргов в
градусы, является постоянная Больцмана (стр. 138):
0 = ЛГ>О.
Величина Z = S е~ Q (Е/) называется суммой по
i
состояниям или статистической суммой.
8° Для систем, энергия состояний которых изменяется
квазинепрерывно, т. е. расстояния между энергетически-
ми уровнями которых малы сравнительно с 6 —/г Г, кван-
товое распределение Гиббса переходит в классическое
каноническое распределение'.
_ £
dw (Е) = ± dQ (Е),
где
dQ(E) = Q(E)dE = ±^dE
— число состояний, отвечающих значению энергии Е
(точнее, интервалу энергий от Е до Е + dE), dY — эле-
мент фазового объема (стр. 89), h — постоянная Планка,
s — число степеней свободы системы. Величина
_£
7 1 г 0 dV
называется интегралом состояний или фазовым интег-
ралом. Интегрирование в нем проводится по всему фазо-
вому пространству данной системы. Интеграл состояний
и статистическая сумма связаны со свободной энергией F
(стр. 168) системы соотношением
о
Z = e ; F = — 0 InZ.
9° Для подсистемы с большим числом частиц кано-
ническое распределение Гиббса имеет резкий максимум.
14 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
210 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [П.6
Такая подсистема наибольшую часть времени находится
в наиболее вероятном состоянии с соответствующей ему
энергией. Если подсистемой является одна молекула
идеального газа, то каноническое распределение Гиббса
переходит в распределение Больцмана (стр. 212).
Каноническое распределение Гиббса применяется при
отыскании среднего значения Л4 физической величины М,
характеризующей состояние системы и зависящей от ее
энергии (стр. 206):
i
При непрерывном изменении состояний
М = 5 м (Е) dw (Е).
10° Вычисление Z позволяет отыскать термодинами-
ческие функции и уравнение состояния данной системы.
В таблице ниже приведена сводка формул, выражаю-
щих термодинамические функции, теплоемкость и урав-
нение состояния через сумму (или интеграл) по состоя-
ниям системы.
Наименование
величины
Обозначе-
ние
Формула
Свободная
энергия
Изобарно-
изотермиче-
ский потенциал
Внутренняя
энергия
Энтропия
Энтальпия
F=-kT\nZ
Теплоемкость
Уравнение
состояния
11. в. В] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА-БОЛЬЦМАНА 211
4. Закон равномерного распределения энергии
по степеням свободы
Полная энергия системы (функция Гамильтона /7,
стр. 86):
+“’«»......•/.>
Кинетическая энергия является квадратичной (однород-
ной) формой обобщенных импульсов р/. Потенциальная
энергия 1ГП (^i,..., qs) с помощью канонических преобра-
зований может быть представлена в виде однородной
квадратичной формы обобщенных координат (стр. 83).
о дн дн . ~
Выражения pi и qi представляют собой соответ-
ственно удвоенную кинетическую и потенциальную энер-
гию, приходящуюся на одну (Z-ю) степень свободы. Они
могут быть, с другой стороны, выражены как статисти-
дН дН
ческие средние величин pi и qi^--, вычисленные с
помощью канонического распределения Гиббса:
F-H
дН~ С дН в ка а'г
Pidp. = УР‘др.е dT = U=kT,
F-H
„ ОН f ОН 0 ,-р Q
Qi е ат = <д=*»г-
Каждая степень свободы системы дает вклад в сред»
нюю энергию, равный kT/2. Все степени свободы систе-
мы, описываемой классической механикой, энергетически
равноправны. В этом и заключается закон равномерного
распределения энергии по степеням свободы. Этот закон
имеет ограниченную область применимости и перестает
быть справедливым при квантовом описании системы
(стр. 214).
5. Распределение Максвелла — Больцмана
Закон, или распределение Максвелла — Больцмана
устанавливает распределение молекул газа по координа-
там и скоростям при наличии произвольного потенциаль-
ного силового поля.
14*
212 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Ц1.6
Наиболее употребительные формулы этого распреде-
ления:
a) dra„=——е “в' т ' и*du,
где нв — наиболее вероятная скорость молекул (стр. 195),
dnu— число молекул, которые из общего числа п моле-
кул в 1 см3 имеют скорости, заключенные в интервале
от и до и + du, при равномерном распределении моле-
кул по объему, Wn — потенциальная энергия молекулы
во внешнем силовом поле;
Рх + Ру + Рг
V A ft 1 9 1
6) dn = const---------dpxdpvdpz x
(2icmAT) /s
Wp (x. v, z)
~~ kl
X e dx dy dz,
где dn — число молекул, которые из общего числа мо-
лекул п в 1 см6 имеют координаты и проекции импуль-
сов, находящиеся внутр.и элементарного фазового объема
dT — dx dy dz dpx dpvdpz около фазовой точки (x, у, z,
Ру» Рг)» iX V» *) ~ потенциальная энергия моле-
кулы во внешнем силовом поле. В такой форме распре-
деление Максвелла — Больцмана можно рассматривать как
функцию распределения, представляющую собой произ-
ведение вероятностей двух независимых событий — веро-
ятности данного значения импульса молекулы и данного
положения ее в пространстве. Первая вероятность,
Рх + Ру + Pz
, - . I ‘Imkl j j j
dw (p) =---------g- e dpxdpvdpz,
(2itmkT) a
является распределением Максвелла (стр. 193). Вторая
вероятность,
у, ж)
ki
dw (х, yr, z) = const • e dx dy dz,
называется распределением Больцмана.
11.6.61 КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА 213
Пример. Распределение Больцмана в гравитацион-
ном поле. Потенциальная энергия молекулы с массой т
в поле тяготения: Wn = mgz, где z— высота и g—ус-
корение силы тяжести. На каждой высоте имеется
максвелловское распределение молекул по скоростям,
определяемое температурой. Интегрирование распределе-
ния Максвелла по всем импульсам дает число молекул,
находящихся в объеме dx dy dz:
mgz
kT
dn (x, y, z) = const • e dxdy dz.
Отсюда следует, что плотность газа р = (х' у* т
J 1 r ах ay аг
убывает с высотой по экспоненциальному закону:
mgz
kT
р = const • е
Постоянная в этом выражении определяется из условия,
__ mgz
kT
что при z = О р = р0 = const. Таким образом, р = рое
Плотность газа убывает в е раз на высоте h — kTlmg>
называемой характеристической длиной распределения
Больцмана в гравитационном поле.
6. Квантовая статистика
Г Квантовой статистикой называется теория сис-
тем, состоящих из весьма большого числа частиц, под-
чиняющихся квантовым закономерностям.
Состояние произвольной квантовомеханической сис-
темы, имеющей s степеней свободы, можно рассматривать
в так называемом квазиклассическом приближении ана-
логично тому, как это делается в классической механике.
При этом на возможные состояния системы накладывает-
ся ограничение: каждому квантовому состоянию системы
с s степенями свободы соответствует ячейка (клетка) в ее
фаювом пространстве, имеющая объем hs. Это соответ-
ствует соотношению неточностей Гейзенберга (стр. 646).
Изменение состояния системы может происходить
лишь дискретно; система из одних клеток фазового объ-
ема переходит «скачком» в другие. В квазиклассическом
приближении переход в соседнюю квантовую ячейку соот-
ветствует очень малому изменению свойств системы.
Можно считать, что свойства системы изменяются не пре-
214 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [ПЛ
рывно. Распределение частиц по ячейкам 6-мерного фазо-
вого пространства (qx, qy, qzt рх, pyt pz) характеризует
определенное микросостояние системы.
2е Задачей квантовой статистики является отыскание
функции распределения системы частиц в фазовом прост-
ранстве. Существенным отличием квантовой статистики от
классической является последовательное проведение прин-
ципа неразличимости тождественных частиц. В кван-
товой статистике при решении задачи о распределении
частиц в фазовом пространстве не имеет смысла поста-
новка вопроса о том, какая из частиц находится в данной
ячейке (клетке) фазового пространства. Ставится вопрос
о числе частиц, находящихся в данной ячейке. Микросо-
стояние системы не изменяется от перестановки частиц
как внутри данной клетки фазового пространства, так и
между клетками.
7. Квантовые распределения Бозе — Эйнштейна
и Ферми — Дирака
Г В системах, описываемых симметричными волновы-
ми функциями (стр. 679), осуществляется статистика Бо-
зе— Эйнштейна. Этой статистике подчиняются системы
частиц с целым спином (стр. 693) — бозоны, (например,
фотоны и некоторые ядра), для которых не накладывает-
ся ограничения на число частиц, могущих находиться в
данной клетке 6-мерного фазового пространства, т. е.
в данном квантовом состоянии.
2® Для отыскания функции распределения в статистике
Бозе—Эйнштейна весь фазовый объем разбивают на
малые элементы ДГг, в каждом из которых содержится Д^
состояний с энергией от Wi до 4- Д Если в данном
элементе фазового объема Д1\ содержится ДА^ частиц,
то они могут всевозможными способами распределиться
между Hgi состояниями с энергией W[. Число состояний:
hgi — ДГ//Л3. Термодинамическая вероятность (стр. 225)
распределения частиц по состояниям во всем фазовом
пространстве позволяет найти наиболее вероятное рас-
пределение при условии сохранения в системе полного
числа частиц W и полной энергии W:
S ДА?.- = л/, S &Ni Wt = W.
i i
Вместо числа частиц &N(Wi) в интервале энергии ДУ7/
П.6.71 КВАНТОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 215
обычно определяют среднюю «заселенность» состояний с
данной энергией, т. е. среднее число частиц щ в одном
состоянии, которое называется функцией распределения
Бозе — Эйнштейна:
_ AN (W.) I
П‘ = bgi = W'f-PL ’
где р. — химический потенциал (стр. 181), отнесенный к
одной частице, k — постоянная Больцмана. Индекс i иногда
опускается, ибо эта функция распределения справедлива
для любого из элементов фазового объема.
3° В системах частиц, описываемых антисимметричны-
ми волновыми функциями (стр. 679), осуществляется рас-
пределение Ферми — Дирака (статистика Ферми — Ди-
рака). Этой статистикой описывается поведение систем
фермионов (электронов, протонов, нейтронов и др.) — ча-
стиц, подчиняющихся принципу запрета Паули (стр. 693)
и имеющих полуцелый спин (стр. 693). В таких системах
частиц в одном квантовом состоянии может находиться
не более одной частицы. Решение задачи о наиболее
вероятном распределении частиц по состояниям, при
условии сохранения полной энергии системы и полного
числа ее частиц, приводит к функции распределения
Ферми — Дирака:
I
п‘ ~ —ig'i = •
Обозначения здесь те же, что и для распределения
Бозе — Эйнштейна.
4° Функции распределения в классической и кванто-
вых статистиках могут быть записаны в единой формуле:
Я/“ •
Для распределения Максвелла—Больцмана В = 0; для
распределения Бозе — Эйнштейна В = —1; для распреде-
ления Ферми — Дирака В =1. На рис. II. 6. 1 показа
ны эти три функции распределения.
216
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
|П.6
Пример. Объемная плотность излучения и термо-
динамические функции фотонного газа, заключенного в
объеме V (стр .627),
Число состояний dgi излучения, находящегося в элемен-
тарном фазовом объеме:
, __су 4itp^dp d.v dydz
aSi — 2 А3
Рис. II. 6.1.
Коэффициент 2 появляется
в связи с наличием двух
возможных направлений по-
ляризации света (стр. 526).
Полное число состояний
в объеме И
Snp^dpV __ 8* WWW у
А® А®с®
Импульс фотона р и его
Av
энергия W (стр. 627):
W = hv,
где — частота, с — скорость света в вакууме.
Число фотонов с энергией от W до W + dW в объеме V:
dN(W)=-^-= 8”tva'
Л-1
Объемная плотность энергии
частот от *9 до + dv.
/ 'гч j dN(W}hv
W (v, 7) dv = —-=
Av
С8(/Г_1)
излучения в интервале
8tcv2 Av ,
--5---Z----
c3 Av
kf ,
e — I
(формула Планка для теплового излучения, стр. 625).
Интеграл состояний Z для излучения:
w
О
Уравнение состояния для излучения:
v = 8k4A7)4
п 8тс* (АТ)<
Давление излучения: р = •
П.6.8) ВЫРОЖДЕНИЕ ГАЗОВ В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕ 217
Свободная энергия: F = — —5 ♦
г Л» 45сЗ
Энергия излучения: 47(Т) = ^?Ц1^ (закон Стефа-
на — Больцмана, стр. 623).
Давление излучения: р = 1 = i- и(Т), где и(Т)~
объемная плотность излучения.
Энтропия излучения: S (kT)9.
8. Вырождение газов, подчиняющихся квантовой
статистике
Г Вырождением идеальных газов называется откло-
нение их свойств от свойств обычных газов, вызванное
квантовыми свойствами систем частиц Вырождение га-
зов становится существенным при весьма низких темпе-
kT
ратурах и больших плотностях. При е >> 1 функции
распределения Бозе — Эйнштейна, Ферми—Дирака пе-
реходят в классическую функцию распределения (малость
вырождения). При этом выполняется условие
А =
(2тгт/г7) 2
где п0 — число молекул в 1 см9 газа, m — масса молеку-
лы, Т — абсолютная температура, k постоянная Больц-
мана, h — постоянная Планка. Величина А называется
параметром вырождения.
2° Уравнение состояния для идеального газа Бозе —
Эйнштейна имеет вид:
Оно отличается от уравнения Менделеева — Клапейрона
(стр. 138) наличием члена — RTД; при обычных значениях
п0 и Т этим членом можно пренебре» ь (А 1).
3° Термодинамические функции вырожденного газа
Бозе — Эйнштейна, находящегося в объеме И:
свободная энергия F = —1,341 ~ (2тст)8/2 (ЛГ)8/2,
энтропия S = 3,352 (2кш)8/2 k (kT) */я,
218
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
(11.6
внутренняя энергия 67=2,011 ~ (2тетп)8/2 (ЛГ)5/а,
теплоемкость Су= 5,027 (2я/п)8/2 k (kT)8/2
4° Температурный критерий вырождения в газах:
W/8
Т Го, где То — ~2Ttmk---температура вырождения.
При h—►О температура вырождения Го-*О, откуда
видно, что вырождение газов имеет квантовую природу.
При Т^>То газ не вырожден и подчиняется классичес-
кой статистике. Например, для газа протонов с массой
частицы /п%2-10~24 г при плотностях n0^1022
величина Т0^Г К. Фотонный газ всегда вырожден, ибо
для него То = оо (масса покоя фотона т0 = 0, стр. 487).
Для водорода при нормальных условиях (Т = 300° К и
п0 3 • 1019 см~8) параметр А 3 • 10~б 1. Это соответ-
ствует температуре вырождения Г0^Г К.
Для газов более тяжелых, чем водород, А еще мень-
ше, и следовательно, газы при нормальных давлениях
и температурах никогда не бывают вырождены. Вырож-
дение, вызванное квантовыми свойствами газов, сказыва-
ется значительно меньше, чем отклонения газов от иде-
альности, связанные с ван-дер-ваальсовыми силами вза-
имодействия между молекулами (стр. 235).
5° Для электронов в металлах п^ 1022 -^1023 см~\
так что Го^(16 ^ 20). 103 °К. Следовательно, электрон-
ный газ в металлах (стр. 358) всегда вырожден (вследствие
малой массы электрона, т^Ю-27 г, и большой плотно-
сти частиц).
6° Если при Т—►О р.-* Wp, то согласно распределе-
нию Ферми — Дирака AyV(U7/) —0 при W > Wp и
&N(Wi)=bgi при W<zWp. Это означает, что все нижние
состояния электронов, вплоть до состояния с энергией
Wp, заполнены, а все состояния с энергией, большей Wp
свободны. Таким образом, р в формуле распределения
Ферми — Дирака (стр. 215) имеет смысл граничной энер-
гии Wp заполненных состояний при температуре абсо-
лютного нуля. Wp называется энергией Ферми. Функция
распределения электронов при Т -* 0 изображена на
рис. II. 6. 2.
7° В модели электронного газа в металлах электроны
при Т —>0 равномерно заполняют все клетки фазового
П.6.8] ВЫРОЖДЕНИЕ ГАЗОВ В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕ 219
пространства, лежащие внутри сферы с объемом j nppV,
где pF—наибольший импульс электрона при Т = 0. Чис-
ло состояний в этой сфере, с учетом принципа Паули и
двух возможных ориентаций спина электрона (стр. 428),
равно числу электронов: „
2 Г. 4’^ = *,
откуда
Рр— h\s^) ’
Рис. II. 6.2.
где п0 = у — число электронов в 1 см9. Наибольшая энер
pi
гия электрона при 7=0 равна Wp = ” ’
или Wp= 5,77 • 10- 97 r#9 эрг = 3,63 • Ю"15/?'» эв.
При плотности свободных электронов в металлах
п0₽^Ю22 см~9 энергии Ферми Wpсоответствует темпе-
ратура Т классического газа, равная
W р
7^__£_^Ю< °к.
к
Средняя энергия электрона в металле при Т— 0 рав-
на
№ = 4 Wf. = — (?2о\а/8
w Т w F 10m \8к / ’
т. е. она имеет порядок величины Wp.
Давление электронного газа при Т —*0,
составляет десятки тысяч атмосфер.
Коэффициент сжимаемости электронного газа при
7 — 0:
1 dV 3 .
Х =----т/-3~ > ИЛИ X=-R-P •
V dp ’ 5 r
8° Функция распределения, изображенная на рис. II. 6. 2,
представляет собой наиболее вероятное распределение.
Термодинамическая вероятность такого распределения
равна единице, откуда следует, что энтропия электрон-
220 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [П.6
ного газа при Т = 0 равна нулю в соответствии с прин-
ципом Нернста (стр. 191).
9° При Т функция распределения Ферми изобра-
жена на рис. 11.6.1. Она отличается от прямоугольника
(при Т = 0) в области, близкой к р., имеющей ширину
порядка 2kT.
Химический потенциал р. электронного газа:
где Wр — энергия Ферми.
Энтропия S вырожденного электронного газа:
S = ^(2m)W/s(*r),
где V — объем газа, k — постоянная Больцмана. При
Г—>0 S —0.
10° Внутренняя энергия U электронного газа равна
+ 4=^],
где N—общее число электронов в объеме V.
Грамм-атомная теплоемкость Сау электронного газа:
п dU м h kT
caV— дГ~Т 'W *
Сравнение с классическим выражением для теплоем-
кости CaV одноатомного газа (стр. 221) дает:
Скласс з
LaV г
так как kTIWF^ 0,01 при всех температурах, когда
электронный газ еще вырожден. Теплоемкость электрон-
ного газа в металлах ничтожно мала. Это связано с тем,
что в процессе изменения внутренней энергии при на-
гревании участвует незначительное число электронов,
находящихся в состояниях, соответствующих «области
спада» функции распределения Ферми—Дирака при Т
(рис. II. 6. 1).
11° В связи с тем, что энергия газов, описываемых
квантовыми статистиками, не является линейной функци-
ей температуры, простое физическое истолкование абсо-
лютной температуры (стр. 196) непригодно в области низ-
ких температур.
fl.6.9) ТЕПЛОЕМКОСТИ ГАЗОВ 221
9. Теплоемкости одноатомных и двухатомных газов
Г Для одноатомного газа, молекулы которого имеют
три степени свободы поступательного движения, закон
равномерного распределения энергии по степеням свобо-
ды (стр. 211) приводит к величине внутренней энергии
1 моля газа:
</ = 4 NAkT,
где Na k = 7?— универсальная газовая постоянная (стр.
138). Энергия газа не зависит от объема и пропорциональ-
на температуре. Молярная теплоемкость C^v (стр. 145)
такого газа равна
______/ 0U\ 3 д» • 3 q кал
^^У~\дт)у s 2 NAk~~ 2 3 моль.град'
2е Двухатомной молекулой называется устойчивое со-
единение двух одинаковых или различных атомов. При-
рода сил, приводящих к образованию молекул из изоли-
рованных атомов, рассматривается в квантовой механике
(стр. 704). Энергия молекулы складывается из 1ГП0СТ—
энергии поступательного движения ее центра инерции,
У7ЭЛ— энергии движения электронов в атомах молекулы,
Н7К0Л ~ энергии колебательного движения ядер и 1Гвращ —
энергии вращательного движения молекулы:
W = 1ГПОСТ + Ч7ЭЛ + 1ГКОЛ + И7вращ.
3° Поступательное движение двухатомной молекулы
не квантовано и не отличается от такого же движения
одноатомной молекулы. Все остальные виды внутренних
движений молекулы квантованы: энергии Й7ЭЛ, М7КОЛ и
^врагц принимают дискретный ряд значений.
4° В первом приближении все три вида внутренних
движений в молекуле независимы друг от друга. При ма-
лых амплитудах колебаний ядер можно пренебречь вли-
янием колебательного движения на вращение, т. е. не
учитывать изменений моментов инерции молекулы за
счет колебаний.
5° При рассмотрении теплоемкостей одноатомных и
двухатомных молекул, вплоть до самых высоких темпе-
ратур, можно не принимать во внимание изменения энер-
гии электронного движения: соседние уровни энергии
электронов в молекулах расположены на расстояниях
222 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (П.в
порядка нескольких эв, что соответствует темпера-
туре в несколько десятков тысяч градусов.
6° Колебательное движение ядер в молекуле око-
ло равновесного положения описывается как колеба-
ния одной частицы с приведенной массой р. = *
В первом приближении такая частица колеблется, как
гармонический осциллятор (стр. 100), с энергией
иГКол = Л^п + 4)-
где квантовое число п принимает целочисленные значе-
ния п = 0, 1, 2,... и v — собственная частота колебаний.
Энергия Л\/2 (нулевая энергия осциллятора) сохраняет-
ся при Т -> 0. Изменение п подчиняется правилу отбо-
ра Дп = 0, ±1. Разность энергии ДЙ7К0Л между сосед-
ними уровнями колебательного движения,
не зависит от квантового числа.
1° Вращательное движение двухатомной молекулы
в первом приближении рассматривается как движение
жесткого ротатора (стр. 650), вращающегося вокруг цен-
тра инерции, с моментом инерции / = Гд, где /гц
и т2 — массы атомов, г0 — расстояние между атомами
в молекуле. Энергия ротатора:
^зращ = 8W J (J + О = hBJ(J + 1),
где J — квантовое число, принимающее целочисленные
значения J = 0, 1, 2,..., B — — вращательная по-
стоянная молекулы. При изменении вращательных кван-
товых состояний для J имеется правило отбора: Д/ =
= ±1. Расстояние между соседними уровнями энергии
вращения равно
Д^вращ = 2Л5(/+1).
Величина Д1Гвраш в 800 — 1000 раз меньше Д1ГКОЛ. Из
энергетического спектра колебательных и вращательных
состояний можно найти суммы по состояниям колебатель-
ного и вращательного движений молекулы 7К0Л и 7вращ
и с их помощью оценить вклад колебаний и вращений
во внутреннюю энергию 1 моля U и молярную теплоем-
кость Си.у.
П.6.91
ТЕПЛОЕМКОСТИ ГАЗОВ
223
8° Вклад колебательного движения двухатомных моле-
кул во внутреннюю энергию и теплоемкость 1 моля ра-
вен:
h'i hv
+ NAhv / Av \
^кол— 2 Av Av----2— Cth \2kT / ~
2А/ - 2kT
e — e
_na^ ^JT'\
2
r NAk/h,\t I NAk (ГД* 1
Р.ИКОЛ— 4 \kT) sh!^ “ 4 \T)sW^y
где k — постоянная Больцмана, — число Авогадро,
Tc — h»lk — характеристическая температура для коле-
баний.
При высоких температурах (Т > Тс)
UK0„^NAkr = /iT,
C.,v
И кКол А ’
т. е. формулы совпадают с формулами классической те-
ории, вытекающими из закона равномерного распределе-
ния энергии по степеням свободы. В этих условиях
ДМ'кол’С&Т' и энергию осциллятора можно считать из-
меняющейся непрерывно.
При низких температурах (Г<<ГС)
и
С^кол5=53 2
Г,
Cuv е
Р- Икол А \ Т J
Тс
Т
т. е- ^кол и ^р-Икол являются сложными функциями тем-
пературы и собственной частоты. При Г-*0
A kTc NA h'i
2 = 2 ’
_ Мл Av
Величина —— называется нулевой энергией колебаний
224
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
[П.6
системы (стр. 648). При Т—>0 укол —>0 в согласии с прин-
ципом Нернста. На рис. П. 6.3 изображена зависимость
колебательной Теплоемкости двухатомных газов от тем-
пературы.
о
Рис. II. 6.3.
9е Вклад вращательного движения двухатомных мо-
лекул в теплоемкость 1 моля равен:
rj (J-H)
(2/4-1) е Т ,
7=0
где Т'с = Л2/8я2Л/ — характеристическая температура
для вращения.
ЩпТ>Гс
^вращ А 1 24те2/ЛТ ) ’
^Вращ-^
т. е. вращательная теплоемкость при высокой темпера-
туре имеет классическое значение.
при г<г;
Л2 Л2
fy 4n2IkT A №lkT
U^ = NAkT* ~ In (1 + 3e -4^ e
№
г - 9 f V Na MkT
kT*e
т. e. при 7 -^0 C -* 0.
|X V
вращ
11.6.101 СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВТОРОГО НАЧАЛА 225
Общий ход изменения с температурой теплоемкости,
связанной с вращением молекулы, такой же, как и у ко-
лебательной теплоемкости (рис. II. 6. 3). Однако величины
Тс и Т'с существенно различны.
10. Статистический смысл второго начала
термодинамики
Г Второй закон (второе начало) термодинамики экви-
валентен утверждению о невозможности убывания энтро-
пии в изолированной системе (стр. 166). Этому закону мо-
жет быть дано статистическое истолкование с помощью
формулы Больцмана:
S = k In Р + const,
где S — энтропия системы, k — постоянная Больцмана,
Р—термодинамическая вероятность состояния.
2° Термодинамической вероятностью состояния на-
зывается число микросостояний системы, соответствую-
щих данному макросостоянию (стр. 207). Величина Р для
химически однородной системы показывает, сколькими
способами может быть реализовано заданное количест-
венное распределение частиц пб ячейкам фазового про-
странства безотносительно к тому, в какой ячейке нахо-
дится та или иная конкретная частица. Из определения
Р следует, что Р^э1 Согласно формуле Больцмана тер-
модинамическая вероятность состояния изолированной
системы при всех происходящих в ней процессах не мо-
жет убывать:
ДР = Р2 —
где Pi и Р2 — термодинамические вероятности двух по-
следовательных состояний системы. В случае обратимого
процесса (стр. 153) ДР = 0, Р = const. В случае необра-
тимого процесса (стр 154) ДР>0 и Р возрастает. Необ-
ратимым является такой процесс, который переводит си-
стему из менее вероятного состояния в более вероятное
3е Являясь статистическим законом, второй закон тер-
модинамики выражает закономерности хаотического дви-
жения большого числа частиц, входящих в состав изоли-
рованной системы В системах или их частях, состоящих
из сравнительно небольшого числа частиц, наблюдаются
значительные флуктуации (стр. 226), представляющие
собой отклонения от второго закона термодинамики.
15 Б. М Яворский, А. А. Детлаф
226
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
[11.6
Второй закон термодинамики неприменим также к си-
стемам, состоящим из бесконечного числа частиц, так как
для таких систем* все состояния равновероятны.
11. Флуктуации
Г Флуктуацией физической величины L, характери-
зующей систему, называется отклонение истинного значе-
ния величины L от ее среднего значения L, обусловлен-
ное хаотическим тепловым движением частиц системы.
Мерой флуктуации является средний квадрат разности
AL = L — L, называемый квадратичной флуктуацией
(AL)2 = (L — L)2
По определению,
Щ)2 = L2 - 2LL - (L)2 = L8 — 2L L + (I)8 =
= Г2 -(L)2^0.
Если флуктуации величины L малы, то большие откло-
нения L от L маловероятны. Малость (AL)2 означает,
что значение L близко к L.
Квадратичная флуктуация N независимых величин
Li,..., Ln равна сумме квадратичных флуктуаций этих
величин:
N N
[д(2 иГ= S (Д£*)а-
* = | 6=1
При этом для двух независимых величин Li и L/
(ALf) (AL/) =0,
2° Относительная погрешность, вносимая заменой L
ее средним значением L, оценивается величиной отно-
сительной флуктуации:
Если система состоит из N независимых частей, то
относительная флуктуация любой аддитивной функции
состояния L системы обратно пропорциональна квадрат-
П.6.11]
ФЛУКТУАЦИИ
227
ному корню из числа ее частей:
3° Если состояние макроскопической системы харак-
теризуется некоторым параметром X, то вероятность ма-
лых флуктуаций, в результате которых параметр X может
изменяться в интервале от X до X + dX, выражается рас-
пределением Гаусса:
(А - Ао)*
где Хо — равновесное значение параметра X, Д2— квадра-
тичная флуктуация X: Д2 = (X — Х0)8. Вероятность данной
флуктуации экспоненциально уменьшается с ростом ее
величины, а также с уменьшением Д2.
4® Количественной мерой вероятности малых флуктуа-
ций ДХ величины X в макроскопической системе является
работа ДД, которую нужно совершить над системой для
изменения параметра X на величину ДХ. Флуктуации воз-
можны, однако, и при условии отсутствия реальной внеш-
ней работы (например, в замкнутой системе). Величину
ДД можно представить как изменение потенциальной
энергии системы при ее перемещении в некотором
воображаемом (а иногда и реальном) силовом поле.
Пример 1. Изотермические малые флуктуации объе-
ма V и плотности р. Квадратичная флуктуация объема:
(Дйр = (И-И»)8 =. *г -г,
I \dVjT j
где Т—температура системы. Вероятность изотерми-
ческих флуктуаций объема:
„ <v~ ио)2
dw = -—- е 2 (Д И)2 dV.
V 2it (ДИ)2
Масштаб и вероятность флуктуаций объема растут
с повышением температуры, а также с увеличением изо-
термической сжимаемости 0 = — (э^рГде — удель-
ный объем. Изотермическая сжимаемость должна быть
отрицательна. В противном случае вероятность флуктуации
15*
228
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Ш.6
объема возрастала бы с ее масштабом и в резуль-
тате флуктуаций объем системы либо неограниченно
возрастал бы, либо уменьшался бы до нуля
Условие устойчивости состояний однородного вещест-
ва, испытывающего флуктуации объема;
$),«>
В частности, для идеального газа
Квадратичная флуктуация плотности = —
масса, заключенная в объеме И, в котором происходит
флукту ация):
(Др7 = кт?.
Относительная флуктуация плотности в объеме V:
Квадратичная флуктуация числа частиц 7V, находя-
щихся в заданном объеме К:
В частности, для идеального газа
(ДМ2 = А/.
Рассеяние света на флуктуациях плотности см. стр 617,
Пример 2. Изохорические малые флуктуации тем-
пературы. Квадратичная флуктуация температуры:
(ДГ)2 =(Т— Го)* = -^
где Го — равновесное значение температуры, Cv —тепло-
емкость системы при постоянном объеме Вероятность
того, что температура испытает флуктуацию:
_ (7 -7 0)2
dw = -е 2<ДГ)2 dT.
П.6.12] ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ 229
При Cv > 0 вероятность флуктуаций температуры
уменьшается с возрастанием их величины. Это условие
вытекает не только из теории флуктуаций, но и из общих
соображений термодинамики: при можно было
бы нагревать тело, отбирая от него тепло, что противо-
речит второму началу термодинамики.
12. Влияние флуктуаций на чувствительность
измерительных приборов
Г Современные высокочувствительные приборы из-
меряют величины того же порядка, что и флуктуации,
обусловленные тепловым движением молекул в приборе
и окружающей среде. При однократном измерении неко-
торой физической величины, значения которой меньше,
чем случайные отклонения показаний самого прибора,
вызванные флуктуациями, прибор не дает правильного
результата измерений. Прибор регистрирует в этом слу-
чае фон, являющийся результатом теплового движения,
а не измеряемую величину. Этим определяется предел
чувствительности данной конструкции прибора при од-
нократном измерении.
2° Метод зеркального отсчета (зеркальце, подвешен-
ное на тонкой кварцевой нити). Предел чувствительнос-
ти определяется тем, что наименьший угол поворота ни-
ти, который может быть измерен, должен превышать
углы поворота ср, связанные со случайными колебаниями
зеркальца, вызванными тепловым движением молекул
среды. Средний квадратичный угол отклонения, характе-
ризующий предел чувствительности для нити радиуса г
и длины Z:
где а = модуль сдвига материала нити. При
Т = 300е К для • очень тонкой кварцевой нити (а ==
= 10-е эрг) = 2 • 10-‘ рад.
3° Пружинные весы. Измерение массы т на пружин-
ных весах возможно в том случае, если вызываемое ею
растяжение пружины Дх больше, чем флуктуация длины
пружины V (Дх)3, вызванная флуктуациями давления
230
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
[П.6
окружающего воздуха и тепловым движением:
V1&? ,
где а — коэффициент упругости пружины. Наименьшая
масса /л, которая может быть определена при однократ-
ном измерении:
м V'kTa'
где g—ускорение силы тяжести.
4е Газовый термометр, наполненный идеальным газом,
позволяет измерять температуры не меньшие, чем флук-
туации температуры газа. Малые изменения температуры
идеального газа (стр. 138):
Малые изменения объема вследствие его флуктуаций:
Флуктуационные изменения температуры:
Газовый термометр не позволяет измерять температуры
меньшие, чем ДГ. Если термометр содержит 1 моль газа
(У=ДГл = 6,02-1028), то
Реально измеряемые изменения температуры значительно
превышают эту величину.
13. Электрические флуктуации в радиоаппаратуре
Г Независимые флуктуационные эффекты, наблюда-
емые в приемной радиоаппаратуре в отсутствие внешних
помех, создают шумовой фон, который кладет предел
чувствительности приемной аппаратуры; интенсивность
принимаемого сигнала должна быть выше, чем интенсив-
ность фона в приемнике.
2° Дробовой эффект представляет собой флуктуацию
величины анодного тока в электронной лампе, обуслов-
П.6.14] БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 231
ленную флуктуациями числа электронов, вылетающих из
катода. Мерой дробового эффекта является квадратичная
флуктуация тока:
W = т°’
где е — заряд электрона, /0 — средняя сила тока за
время /, в течение которого измеряется ток; по усло-
вию вывода формулы t значительно больше времени
т пролета электрона в лампе. Флуктуации анодного тока
в лампе, включенной в колебательный контур, вызывают
флуктуации тока и напряжения в контуре. Квадратич-
ная флуктуация напряжения в контуре равна
где <о — собственная частота контура (стр. 445),
Q = — добротность контура (стр. 452), /?, L
и С — омическое сопротивление, индуктивность и емкость
контура.
3е Тепловое движение электронов внутри проводни-
ков сопровождается переносом заряда и появлением в
цепи флуктуационной электродвижущей силы, и флук-
туационного тока, беспорядочно изменяющихся по вели-
чине и направлению. Флуктуационная э. д. с. определя-
ется по формуле Найквиста:
81 М = 4ЛГ7?М,
где g (м) — флуктуационная э. д. с., отнесенная к единич-
ной полосе частот, /?(\>) — соответствующее сопро-
тивление.
Обычно дробовой эффект приводит к ббльшим флук-
туациям тока, чем тепловое движение электронов. Однако
в условиях, когда дробовой эффект уменьшен, флукту-
ации тока, связанные с тепловым движением электронов,
становятся основными и ограничивают чувствительность
радиоприемных устройств.
14. Броуновское движение
Г Броуновским движением называют наблюдающееся
под микроскопом непрерывное хаотическое движение
малых частиц, взвешенных в жидкости или газе Броу-
232 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [П.в
новское движение не зависит от химической природы
частиц и внешних условий, в которых находятся жид-
кость или газ. Не являясь по существу молекулярным
движением, броуновское движение является непосредст-
венным доказательством существования молекул и хаоти-
ческого характера их теплового движения.
2° Причиной броуновского движения являются флук-
туации давления, оказываемого на поверхность малой
частицы со стороны молекул среды. Это давление и ме-
няется по величине и направлению, в результате чего
частица находится в беспорядочном движении.
3° Вероятность w (г, t) dr того, что броуновская час-
тица, находившаяся в начальный момент £ = 0 в изотроп-
ной среде в начале координат, к моменту времени t
будет находиться на расстоянии между г и г + dr от
начала координат, равна
г2
w (г, t) dr = —_ 1 - е 4Dt г2 dr.
2/ kZW3
Средний квадрат расстояния г2, на которое смещается
частица за время /, выражается формулой Эйнштейна'.
72 = 6Dt,
где D — коэффициент диффузии частицы.
Для сферической частицы радиуса а
D=-^~
Git-qa ’
где Т — температура среды, — вязкость среды.
Между коэффициентом диффузии D броуновской час-
тицы и ее подвижностью и = v/f, где f — постоянная
внешняя сила, действующая на частицу, v — скорость ча-
стицы, существует следующая зависимость:
D = kTu.
4° Кроме поступательного броуновского движения,
существует врзщательное броуновское движение, подчи-
няющееся формуле Эйнштейна для среднего квадратич-
ного углового смещения частицы:
"2 kT ,
Ф2 ~л---я
т 4 тетр®
II.7.I) УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ РЕАПЬНЫХ ГАЗОВ
233
ГЛАВА 7
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ
1. Уравнения состояния реальных газов
Г Реальным газом называется газ, между молекула-
ми которого существуют заметные силы межм пекулярно-
го взаимодействия (стр. 235). Паром называется реальный
газ, находящийся в состояниях, бли ких к состояниям
перехода его в жидкость. Для описания свойств реаль-
ных газов применяются различные уравнения состояния,
отличающиеся от уравнения Клапейрона — Менделеева
(стр. 138).
2° Уравнение Ванвдер-Ваальса состояния реального
газа (Ко = — объем 1 моля газа):
где a/V02 — внутреннее давление, обусловленное силами
притяжения между молекулами, b — поправка на собст-
венный объем молекул, учитывающая действие сил оттал-
кивания между молекулами и равная учетверенному объ-
ему молекул в 1 моле газа:
b = N. • V" <?-,
п о
здесь Na—число Авогадро, d— диаметр молекулы. Ве-
личина а равна
a = -Wf \wa(r)r^dr,
А d
где 1КП (г) — потенциальная энергия притяжения двух
молекул (U7n<0). Величины а и b связаны с параметра-
ми критического состояния газа pk, VQk и (стр. 2о9):
/>=4^6, a = 4/W,ft,
^ = 3b> Pk = ^, Tk = ^.
3° С помощью безразмерных переменных
называемых приведенными параметрами состояния,
уравнение Ван-дер-Ваальса переписывается в форме
234
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ
III.7
приведенного уравнения состояния:
(* + О —8г,
не содержащего постоянных, характеризующих вещество.
Два вещества, состояния которых определяются оди-
наковыми значениями двух приведенных параметров, на-
ходятся в соответственных состояниях (закон соответ-
ственных состояний).
4е Уравнение состояния Бер шло:
[p + ^yV,-b) = RT.
*
Постоянные а и b связаны с параметрами критического
состояния рь VQk и Tk (стр. 239) соотношениями:
ZV 27 D2 А 1 Т7
5е Уравнение состояния Вукаловича и Новикова:
pVe = RT [1+^ + ^+...]
1 0 *0
где Ви Bs и т. д. — так называемые вириальные коэф-
фициенты весьма сложного вида, вычисление которых
производится с учетом ассоциации молекул — объедине-
ния под влиянием ван-дер-ваальсовых сил Притяжения
(стр. 235) молекул газа в группы (комплексы).
6е Уравнение состояния Майера:
L й=0 о J
где
~~ kT
fli = e —1 и dtl^dqil...dqln ,
— взаимная потенциальная энергия Z-й и /-й моле-
кул, взаимодействующих по закону центральных сил,
так что Wntj зависит от расстояния между этими моле-
кулами, qlb.. ., qln — обобщенные координаты Z-й мо-
лекулы, обладающей п степенями свободы.
II.7.2] МЕЖМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ГАЗАХ 235
Подынтегральное выражение в формуле для со-
держит сумму произведений Д, для всевозможных
комбинаций взаимодействий в группе из k-\- 1 молекул,
причем суммируются все произведения, содержащие не
менее двух одинаковых функций fy.
2. Силы межмолекулярного взаимодействия в газах
1° Между молекулами любого газа существуют силы
межмолекулярного притяжения и отталкивания,
имеющие электромагнитную и квантовую природу. Силы
притяжения, проявляющиеся на расстояниях между цен-
трами молекул порядка 10-7 см, называются ван-дер-вааль-
совыми силами. Они являются причиной поправки на
внутреннее давление в уравнении состояния Ван-дер-
Ваальса (стр. 233). Различаются три вида ван-дер-вааль-
совых сил:
а) ориентационные силы между двумя молекулами,
обладающими дипольным моментом или моментами более
высоких порядков (мультиполями, стр. 530); они пропор-
циональны 1/г7 (г — расстояние между центрами масс
молекул) и зависят от взаимной угловой ориентации
электрических моментов. Для двух диполей с электри-
ческими моментами ре(стр. 332) усредненная по всем
ориентациям диполей сила /ор равна
f = -^ -
/ор kT г7 ’
б) индукционные силы, вызванные индуцированной по-
ляризацией молекулы (стр. 347), находящейся в электри-
ческом поле другой молекулы. Усредненная по всем
ориентациям диполя сила /инд равна
/инд = 1 е г’Р ’
где а — поляризуемость молекулы, ре = а.Е — дипольный
момент молекулы, индуцированный электрическим по-
лем напряженностью Е, г — расстояние между центрами
молекул;
в) дисперсионные силы, возникающие в результате
возбуждения колебаний электронов в молекуле (атоме)
под влиянием колебаний электронов в другой молекуле
(атоме). Колебания электронов соседних молекул про-
исходят в одинаковой фазе и приводят к притяжению
236
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ
[ПЛ
двух молекул (атомов). Сила дисперсионного притяжения
равна
- __ 9 s . 1
Глисп — ~2~ а ‘ Г1>
где /—потенциал ионизации атома или молекулы, а —
ее поляризуемость. Для полярных молекул (стр. 347)
основную роль играют ориентационные силы притяжения,
для остальных молекул—дисперсионные силы.Энергия ван-
дер-ваальсова притяжения составляет 0,1—1 ккал!молъ. В
большинстве случаев ван-дер-ваальсовы силы притяже-
ния перекрываются значительно превосходящими их
химическими валентными силами притяжения с энер-
гиями порядка 10—100 ккал!моль.
Согласно упрощенной модели ван-дер-ваальсовых сил
молекулы газа — абсолютно упругие шары — притяги-
ваются с силами, достигающими наибольшего значения
при непосредственном их соприкосновении. Силы оттал-
кивания, проявляющиеся на меньших расстояниях, заме-
няются бесконечно большой упругой силой, возникающей
при соприкосновении шаров. В этой модели при рассто-
янии г между молекулами, равном диаметру молекул,
внутреннее давление в газе достигает максимума.
2° Межмолекулярное взаимодействие на малых рас-
стояниях не может быть выражено степенным законом
и носит сложный характер.
На расстояниях между цент-
рами молекул г 10“8 см воз-
никает квантовое обменное
взаимодействие между ней-'
тральными атомами, приводя-
щее или к сильному притя-
жению (химическая связь, стр.
706), или к возникновению
значительных сил отталкива-
ния.
3° Силы отталкивания убы-
вают с увеличением рас-
стояния между центрами мо-
лекул по закону /0TTcoLr/l,
где я ^>9, т. е. значительно
быстрее, чем силы притяже-
ния. На рис. П. 7. 1 представлена зависимость от г сил
притяжения (кривая Д отталкивания (кривая 2) и резуль-
II.7.3I
ДРОССЕЛИРОВАНИЕ ГАЗОВ
237
тирующей силы взаимодействия (кривая 5). Область про-
странства, в которой существенно проявляются силы
взаимодействия данной молекулы с другими частицами,
называется сферой ее молекулярного действия.
3. Дросселирование газов.
Эффект Джоуля — Томсона
Г Дросселированием (мятием) газа называется умень-
шение его давления при адиабатическом прохождении
газа через узкое отверстие или пористую пробку Про-
цесс дросселирования необратим, он сопровождается воз-
растанием энтропии (сгр. 166). Энтальпия (стр. 142) газа в
начальном и конечном его состояниях при дросселиро-
вании не изменяется.
2° Изменение температуры газа при дросселировании
называется эффектом Джоуля—Томсона. Дифференци-
альный эффект Джоуля—Томсона описывается уравне-
и наблюдается при достаточно малом перепаде давления
от р до р -j- dp- Различают:
отрицательный эффект Джоуля—Томсона ~
-И<0, dT>0; Р
положительный эффект Т —-И>0, dT <0.
Если —1/ = 0, то dT = 0, т. е. эффект Джо-
уля—Томсона отсутствует. В идеальном газе эффект
Джоуля—Томсона всегда отсутствует.
Температура, при которой эффект Джоуля—Томсона
для да1 ного газа изменяет знак, называется темпериту
рой инверсии Гинв:
Гинв = И(^)р.
3° Интегральный эффект Джоуля—Томсона наблю-
дается при конечном перепаде давления в дросселе
Уравнение эффекта:
<-V Су
где Д — изменение потенциальной энергии взаимодей-
ствия молекул газа.
238
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ
111.7
4. Изотермы реальных газов. Пары. Критическое
достояние вещества
Г Изотермой реального газа называется кривая за-
висимости молярного объема газа от давления при изо-
термическом процессе. На рис. II. 7.2 приведены экспе-
риментальные изотермы
углекислого газа (7\<
Г2<Г*<Т8<Г4).
2° Любая докритиче-
ская изотерма (Т с Т^)
является кривой непре-
рывного перехода веще-
ства из газообразного
состояния в жидкое. При
Т > Th вещество находит-
ся в газообразном со-
стоянии. Точка П ха-
рактеризует перегретый
тшр.Сжатие этого пара пе-
реводит его в точку С —
состояние сухого насы-
щенного пара, находяще-
гося в термодинамиче-
ском равновесии (стр. 185)
с жидкостью. Давление
сухого насыщенного пара рм зависит только от темпе-
ратуры и химической природы пара. Оно возрастает
с повышением температуры. Перегретый пар имеет тем-
пературу более высокую, чем температура насыщенного
пара при том же давлении. Разность температур этих па-
ров называется перегревом пара. Сжатие сухого насыщен-
ного пара переводит его во влажный насыщенный пар —
двухфазное состояние вещества — смесь кипящей жидкости
и сухого насыщенного пара. Количество сухого насы-
щенного пара в 1 кг влажного насыщенного пара назы-
вается сухостью пара. Количество жидкости в 1 кг
влажного насыщенного пара называется влагосодержа-
нием пара. Сжатие влажного насыщенного пара перево-
дит его в жидкость. Точка В характеризует состояние
кипящей жидкости.
3* Переход вещества из газообразного состояния в
жидкое называется конденсацией пара. Количество пара,
П.7.4)
ИЗО ГЕРМЫ РЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ. ПАРЫ
239
конденсирующегося в 1 сек на I см* поверхности жидко-
сти, равно (в г • см~* • сек-1)
10-> Уут-
где р — давление пара в дн)см\ р.— молекулярный вес
вещества, Т — абсолютная температура. Для чистых па-
ров, не соприкасающихся ни с жидкой фазой, ни с твердыми
адсорбционно-активными веществами (стр. 266), условием
конденсации насыщенного и даже пересыщенного пара
(давление которогор>рм) является присутствие центров
конденсации (газовых ионов, пылинок). Если центры кон-
денсации отсутствуют, то конденсация пара начинается
в местах уплотнений вещества, имеющих характер флук-
туаций плотности (стр. 228).
4° При критической температуре (Г = 7\) разность
молярных объемов сухого насыщенного пара и жидкости
становится равной нулю. Горизонтальный участок изо-
термы обращается в точку перегиба К (критическая
точка). В критической точке
h = Q<
Значения давления pkl молярного объема и тем-
пературы Tk в критической
точке называются критиче- Р।
скими параметрами газа.
При Т—+Tk стирается раз-
личие между жидким и газо-
образным состояниями ве-
ществ, обращаются в нуль
удельная теплота парообра-
зования и коэффициент
поверхностного натяжения.
Вблизи критической точ-
ки наблюдается критиче-
ская опалесценция — силь-
ное рассеяние света в ве- у
ществе, вызванное его оп-
/7
Рис. II. 7.3.
тической неоднородностью,
связанной с флуктуациями
плотности и ростом сжимаемости (см также стр. 616).
240 РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ (П.7
5е Изотермы реальных газов, построенные по урав-
нению Ван-дер-Ваальса (стр. 233), содержат в области
влажною насыщенного пара петлю (петля BDEFC на
рис. II. 7.3),которай рассекается горизонтальной прямой ВС^
соответствующей нормальному процессу фазового пере-
хода. на равные по площади участки {правило Максвелла).
Метастабилъные состояния (см. стр. 185) вещества, ха-
рактеризуемые точками кривой BD, называются перегре-
той жидкостью Участок изотермы CF соответствует
пересыщенному пару. Участок CEF практически неосу-
ществим.
5. Сжижение газов
Iе Сжижение газов — перевод их в жидкое состояние—
осуществляется охлаждением газов ниже температуры
кипения (стр. 248) при данном давлении. Уменьшением
объема это достигается только в том случае, если тем-
пература газа ниже критической. Для сжижения газов с
критической температурой выше 223° К (хлор, аммиак и
др.) производится их сжатие в компрессоре с последую-
щей конденсацией в теплообменнике.
2° В каскадном методе сжижения аммиак (7^ = 405,5° К)
переводится в жидкость изотермическим сжатием и. при
понижении давления кипит. Теплота кипения отнимается
от другого газа, для которого удовлетворено условие:
405,5° К > Tk > Г', где Т' — температура кипения аммиака.
При этом происходит охлаждение второго газа до 1емпе-
ратуры ниже его 7\, и последующим изотермическим
сжатием его переводят в жидкость. В третьем и следую-
щих каскадах таким способом могут быть сжижены ки-
слород, азот, водород (в пятом каскаде) и гелий (в ше-
стом каскаде).
3° Промышленный метод сжижения газов основан на
использовании положительного эффекта Джоуля—Том-
сона (стр. 237). В этом методе сильно сжатый и охлаж-
денный до комнатной температуры газ подвернется не-
сколько раз адиабатическому дросселированию и при
этом охлаждается, пока не начинается сжижение газа.
4° Наиболее совершенными и производительными хо-
лодильными машинами являются детандеры (поршневые
и турбинные), в которых сжатый газ адиабатически рас-
ширяется либо в цилиндре с поршнем, либо в турбине
Охлаждение и сжижение газа происходит за счет работы
расширения.
11.8.1] ОБЩИЕ СВОЙСТВА И СТРОЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
241
ГЛАВА 8
ЖИДКОСТИ
1. Общие свойства и строение жидкостей
Г Жидкостями называются тела, которые имеют опре-
деленный объем, но не имеют упругости формы (отсут-
ствие модуля сдвига, стр. 271). Жидкости отличаются силь-
ным межмолекулярным взаимодействием и, вследствие
этого, малой сжимаемостью. Малая сжимаемость жидко-
стей объясняется тем, что небольшое уменьшение рас-
стояния между молекулами на малых взаимных рас-
стояниях приводит к появлению больших сил межмоле-
кулярного отталкивания. Коэффициент сжимаемости
(сгр. 175) для жидкостей изменяется в пределах от 2- 10~в
до 2 • 10 4 атм~х.
2° Обычные жидкости изотропны, за исключением
жидких кристаллов, анизотропность которых в отно-
шении ряда физических свойств связана с преобладанием
у них в различных микрообъемах определенной ориен-
тации молекул.
3° В жидкостях наблюдается ближний порядок — упо-
рядоченное относительное расположение (или взаимная
ориентация в жидких кристаллах) соседних частиц
жидкости внутри малых ее объемов. Структура жидкости
и ее физические свойства описываются набором функций
распределения положений групп ее частиц. Наибольшее
значение имеет радиальная функция распределения, ха-
рактеризующая радиальное распределение частиц вокруг
одной из них (центральной). Плотностью радиального
распределения называется число центров частиц, попа-
дающих внутрь шарового слоя, ограниченного радиусами г
и г + dr, где г—расстояние от центральной частицы.
4° Молекулы жидкости совершают тепловые колеба-
ния около положений равновесия со средней частотой 1/т0,
близкой к частотам колебаний атомов в кристаллах, и
амплитудой, определяемой «свободным объемом», предо-
ставленным молекуле ее соседями. По истечении времени
т т0 эти положения равновесия смещаются на расстоя-
ния порядка 10~8 см Среднее (по совокупности большого
числа молекул) время т, называемое временем релакса-
ции, является характерным временем, связанным с пере-
мещением частиц жидкости на расстояния порядка
16 Б. М. Яворский, А А. Детлеф
242 ЖИДКОСТИ [П.8
10~8 см. Эти перемещения совершаются не непрерывно,
а в виде активированных скачков с преодолением потен-
циального барьера высотой U7 (энергии активации). Энер-
гия W обусловлена связью молекулы с соседними части-
цами. Продолжительность т «времени оседлой жизни» мо-
лекулы во временном положении равновесия уменьшается
с ростом температуры по закону
W
zocekT ,
где k—постоянная Больцмана.
5® При высоких температурах, близких к критической,
и небольших давлениях жидкости по своим свойствам
сходны с газами и могут рассматриваться как реальный
газ, сжатый до малого объема. Например, жидкости мо-
гут без разрыва выдерживать очень большие растяги-
вающие усилия, сводящиеся к всестороннему отрицатель-
ному давлению. Такому сближению свойств жидкостей и
газов соответствует различие в механических свойствах
жидкостей и твердых тел: наличие у жидкостей текуче-
сти, а у твердых тел — упругости сдвига.
6° Действие внешних сил, стремящихся изменить форму
жидкости и обусловливающих ее текучесть, связано с
временем релаксации т. Если время внешнего воздействия
или его период при колебательном характере воздействия
малы по сравнению с т, то частицы жидкости не успе-
вают изменить своего положения и жидкость не обнару-
живает текучести. Если же это время велико по сравне-
нию с т, то за это время частицы много раз перемещаются
из одного положения равновесия в другое, и эти пере-
мещения, быстро следующие друг за другом, проявляются
в текучести жидкости.
7° Целый ряд фактов свидетельствует о сходстве
жидкостей с твердыми телами. Рентгеноструктурный
анализ (стр. 565) показывает, что расположение частиц в
жидкостях при температурах, близких к температуре
кристаллизации, не является хаотическим. Рентгенограммы
жидкостей при невысоких температурах сходны с рентге-
нограммами поликристаллических твердых тел. Жидкость
можно рассматривать как тело, состоящее из очень боль-
шого числа беспорядочно ориентированных кристалликов
субмикроскопических размеров (сиботаксические области).
П.8.1] ОБЩИЕ СВОЙСТВА И СТРОЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
243
В пределах каждой из таких областей относительное рас-
положение частиц сохраняет достаточную правильность.
8° Многие физические свойства жидкостей мало отли-
чаются от свойств твердых тел. Так, кристаллические
тела обладают малой текучестью, проявляющейся в их
пластической деформации: При плавлении твердых тел от-
носительное увеличение их объема незначительно (^1О°/о)?
Следовательно, расстояния между частицами возникаю-
щей жидкости почти не меняются по сравнению с рас-
стояниями между частицами в твердом теле, и в распо-
ложении частиц жидкости сохраняется некоторое сход-
ство с расположением частиц в твердом теле. Сравнение
теплот плавления и испарения показывает, что теплота
испарения в 30—40 раз больше теплоты плавления. Это
также свидетельствует о малости изменений расстояний
между частицами вещества при его переходе из кристал-
лического состояния в жидкое. Теплоемкость тел почти
не изменяется при их плавлении.
9° Жидкости разделяются на неассоциированные и
ассоциированные. Первые имеют малые значения относи-
тельной диэлектрической проницаемости е (стр. 329), не
зависящие от температуры, дипольные моменты их мо-
лекул (стр. 347) равны нулю (гексан, бензол и др.). Вто-
рые обладают большой полярностью, их молекулы имеют
а е зависит от температуры (вода, спирты и др.)..
В ассоциированных жидкостях образуются комплексы из
значительного числа молекул. Величина е для жидко-
стей изменяется от 2 (неполярные углеводороды) до
81 (вода).
10° В жидкостях в случае нарушения пространствен-
ной однородности плотности, температуры или скорости
упорядоченного движения возникают явления переноса
(стр. 198), подчиняющиеся тем же дифференциальным
уравнениям, что и соответствующие явления в газах.
Однако выражения коэффициентов переноса для газов
неприменимы к жидкостям.
При высоких температурах, близких к критической
(стр. 239), возникновение внутреннего трения в жидкостях
связано с переносом молекулами импульсов (количеств
движения). При температурах, близких к температуре
плавления (затвердевания), импульс отдельной молекулы
колеблется соответственно колебаниям частиц около их
временного положения равновесия. С ростом темпера-
туры (в особенности при низких температурах) вязкость
16*
244
ЖИДКОСТИ
(11.8
жидкостей уменьшается по закону
w
т) асТе kT,
где W — энергия активации (стр. 242). При больших да-
влениях вязкость жидкостей быстро возрастает с увели-
чением давления. Это связано с возрастанием энергии
активации и соответствующим увеличением времени ре-
лаксации (стр. 242).’
11° В химически однородной жидкости коэффициент
дифф7зии D резко возрастает с температурой по закону
W
Dec^-e кт,
6т0
где d — среднее расстояние между молекулами в жидко-
сти, т0 — средний период колебаний молекулы около по-
ложения равновесия. Возрастание D с ростом Т объяс-
няется, в основном, резким уменьшением времени
релаксации т и некоторым увеличением d. При тем-
пературах, близких к критическим, коэффициенты диф-
фузии в жидкостях становятся близкими к величинам
коэффициентов диффузии в газах (стр. 201 и 202).
2. Свойства поверхностного слоя жидкости
1° На поверхности раздела двух фаз (жидкость и ее
насыщенный пар, две не вполне смешивающиеся жидко-
сти, жидкость и твердое тело) в результате различного
межмолекулярного взаимодействия в соприкасающихся
фазах обнаруживается направленная внутрь одной из них
равнодействующая сил, приложенных к 1 см* поверх-
ностного слоя. В частности, на поверхности раздела
жидкость — пар эта сила направлена внутрь жидкости.
2° Для перенесения молекул из объема фазы в по-
верхностный слой необходимо совершить работу, кото-
рая идет на увеличение поверхностной энергии — создание
избытка энергии частиц в поверхностном слое но сравне-
нию с их энергией внутри остального объема фазы.
Для изотермического увеличения поверхностного слоя
жидкости за счет молекул, находящихся в ее объеме,
требуется совершить работу, идущую на увеличение
свободной поверхностной энергии жидкости:
A — (FS—FV)N,
II.8.8) СМАЧИВАНИЕ. КАПИЛЛЯРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 245
где Fs — Fv — средняя разность свободной энергии на
поверхности Fs и в объеме Fv (на одну молекулу), 7V —
число м -лекул в поверхностном слое жидкости.
3е Работа изотермического образования 1 см2 поверх-
ности (удельная свободная поверхностная энергия) назы-
вается поверхностным натяжением а данной жидкости
на границе с другой фазой:
а = 5 = (^s ~~ == ~
где «1 = N/S — число молекул в 1 см2 поверхностного слоя.
Поверхностное натяжение выражается- также формулой
где AF—изменение свободной поверхностной энергии»
AS — изменение площади поверхностного слоя. На гра-
нице жидкости с собственным паром при комнатных
температурах а изменяется в пределах от 15 эрг<см2
(углеводороды) до 2000 эрг!см* (расплавленные металлы).
С повышением температуры и приближением ее к кри-
тической (стр. 239) стираются различия между жидкостью
и ее насыщенным паром. Вблизи критической темпера-
туры, при Т —> а —- 0. Вдали от Tk величина а линейно
убывает с ростом температуры. Снижение поверхност-
ного натяжения достигается введением в жидкость при-
месей поверхностно-активных веществ, адсорбирующих-
ся на поверхностях раздела и уменьшающих свободную по-
верхностную энергию (мыла, жирные кислоты) (стр. 267).
4° Если поверхность жидкости ограничена периметром
смачивания (стр. 246), то величина а равна силе, действую-
щей на единицу длины периметра смачивания и направ-
ленной нормально к ней. Эта сила лежит в плоскости,
касательной к свободной поверхности жидкости.
5° Условием устойчивого равновесия жидкостей яв-
ляется минимум свободной поверхностной энергии. В
отсутствие внешних сил жидкость имеет минимальную
.площадь поверхности (при заданном объеме) и прини-
мает сферическую форму.
3. Смачивание. Капиллярные явления
Г На границе соприкосновения трех фаз(/ — жидкость,
2 — газ, 3 — твердое тело) наблюдаются явления, назы-
ваемые смачиванием (рис. 11. 8.1). Свободная поверхность
246
жидкости
(11.8
жидкости около твердой поверхности искривлена и на-
зывается мениском. Линия, по которой мениск пересе-
кается с твердым телом, называется периметром смачи-
вания. Явления смачивания характеризуются краевым
углом $ между смоченной поверхностью твердого тела
и мениском в точках их пересечения (периметра смачи-
вания).
2е Мерой смачивания считается величина cos В, опре-
деляемая по уравнению
cos & =
а12
где <sik — поверхностные натяжения на трех поверхностях
раздела. Если а23 > а13, то ft < к/2; жидкость имеет во-
гнутый мениск и смачи-
вает твердое тело (рис.
П.8.1,а), поверхность ко-
торого называется гидро-
фильной (карбонаты, си-
ликаты, сульфаты, кварц).
Если с23 < а13, то & >> к/2;
жидкость имеет выпук-
лый мениск и не смачи-
вает твердого тела (рис.
11.8.1,6), поверхность ко-
торого называется гидро-
фобной (чистые металлы,
сульфиды, графит). Если а23— ais—sia, то ft —О, т.е. мениск
касателен к поверхности тела (идеальное смачивание). Меж-
молекулярные силы, действующие на частицу поверхност-
ного слоя, в этом случае полностью компенсированы и
свободная поверхностная энергия этого слоя имеет мини-
мальное значение. Если а23 —>а13, то ft—>к/2; жидкость
имеет плоскую свободную поверхность. Этот случай
называется отсутствием смачивания и несмачивания.
3е Искривление поверхностного слоя приводит к по-
явлению дополнительного давления на жидкость, зави-
сящего от поверхностного натяжения а и кривизны по-
верхности. По закону Лапласа при средней кривизне
поверхности
определяемой главными радиусами кривизны и $8,
If.8.31 СМАЧИВАНИЕ. КАПИЛЛЯРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 247
давление под искривленной поверхностью жидкости равно
Рм=Ром +°Gk + ^)’
где р0Л1 — давление при плоской поверхности жидкости,
Prm^Q == ~ дополнительное давление, за-
висящее от кривизны; если мениск выпуклый,
Prm < если мениск вогнутый. Если мениск имеет форму
цилиндрической поверхности, то ^2 = оо и
RM~R-
Для сферической поверхности, = /?2 = /?,
___________________________2а
pRM — •
Дополнительное давление внутри пузыря радиуса R
вызывается обеими поверхностями пленки:
4е В узких цилиндрических сосудах (капиллярах) ра-
диуса г уровень смачивающей (несмачивающей) жидкости
выше (ниже), чем в сообщающемся с ними широком
сосуде, на величину
я 2g cos
3 r(>g
(формула }Кюрена), где р— плотность жидкости, g —
ускорение силы тяжести, Я — краевой угол.
Если капилляр имеет форму узкой щели с постоянной
толщиной S, то мениск жидкости представляет собой ци-
линдрическую поверхность радиуса R и высота подня-
тия (смачивающей) или опускания (несмачивающей)
жидкости в капилляре равна
, 2а cos О
5е Давление насыщенного пара (стр. 238) над искрив-
ленной поверхностью жидкости зависит от формы ее
мениска. В случае вогнутой (выпуклой) поверхности оно
меньше (больше), чем над плоской поверхностью, на ве-
личину
pj"₽_ р Prm>
где р — плотность насыщенного пара, pt — плотность
жидкости, PrM — дополнительное давление, связанное с
кривизной поверхности.
248
жидкости
[11.8
4. Испарение и кипение жидкостей
Г Испарением называется процесс парообразования,
происходящий 'со свободной поверхности жидкости.
Испарение происходит при любой температуре и увели-
чивается при ее повышении. Испарение объясняется вы-
летом из поверхностного слоя жидкости молекул, обла-
дающих наибольшей скоростью и кинетической энер-
гией, так что в результате испарения жидкость охла-
ждается. Скорость испарения и, т. е. количество жидкости,
переходящей в пар за 1 сек, зависит от внешнего дав-
ления и движения газообразной фазы над свободной
поверхностью жидкости:
u = f (РП-Р),
где С — постоянная, S — площадь свободной поверхности
жидкости, рп — давление насыщенного пара, р — давле-
ние паров жидкости над ее свободной поверхностью,
рй —.внешнее барометрическое давление.
2° Кипением называется процесс интенсивного испа-
рения жидкости не только с ее свободной поверхности,
но и по всему объему жидкости внутрь образующихся
при этом пузырьков пара. Давление р внутри пузырька
определяется по формуле
P=Po+fgh+pRM,
где ро — внешнее давление, pg7z — гидростатическое дав-
ление вышележащих слоев жидкости, pRM = 2<з/г — до-
полнительное давление, связанное с кривизной, г — ра-
диус пузырька пара, h — расстояние от его центра до
поверхности жидкости, р и а — плотность и поверхност-
ное натяжение жидкости.
3° Кипение жидкости начинается при такой темпера-
туре, что
I . . 2а
Рп5гРо + р£Л + —,
где рп — упругость (давление) насыщенного пара внутри
пузырька; остальные обозначения см. в п. 2°.
При малых г давление рп достаточно велико и кипе-
ние жидкостей происходит при сравнительно высоких
температурах. Если в жидкости имеются центры паро-
образования (пылинки, пузырьки растворенных газов и
пара), то обычно Ррм^Ро и кипение начинается при
П.8.4)
ИСПАРЕНИЕ И КИПЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
249
меньших температурах. Если pgTz *СРо, то приближенное
условие кипения:
Рп — Рь-
Температура жидкости, при которой давление ее на-
сыщенного пара равно внешнему давлению, называется
температурой или точкой кипения.
4° Если кипение жидкости происходит при постоян-
ном давлении ро, то ее температура остается постоянной.
Тепло, подводимое к жидкости, расходуется только на
парообразование. Тепло гк, необходимое для испарения
единицы массы жидкости, нагретой до температуры ки-
пения, называется удельной теплотой парообразования
(скрытой теплотой кипения).
Изменение внутренней энергии жидкости, при пере-
ходе единицы ее массы в пар при температуре кипения,
называется внутренней удельной теплотой парообра-
зования. Удельная теплота парообразования уменьшается
при повышении температуры кипения и обращается в
нуль при критической температуре (стр. 239).
5° Кипение жидкости и конденсация пара являются при-
мерами фазовых переходов первого рода (стр. 186). Удель-
ные теплоты фазовых переходов для процессов парооб-
разования и плавления (стр. 263) определяются из урав-
нения Клапейрона — Клаузиуса (стр. 187). Для кипения
жидкости оно имеет вид:
гк — (^п ^ж) Т ,
где г>ж и яП— удельные объемы
жидкости и пара при темпера-
туре кипения Г. Зависимость тем-
пературы кипения от давления
определяется из уравнения
dT -*ж Т
dp ~ 'к
Поскольку vn > г>ж и гк > 0, то
> 0. На рис. 11.8.2 представлена кривая фазового
равновесия процесса парообразования. Она заканчивается
в критической точке /(.
Температура кипения возрастает при увеличении дав-
ления.
250 жидкости [П.8
5. Свойства разбавленных растворов
1* Под разбавленным раствором понимается такая
смесь нескольких веществ, в которой одно из веществ
является преобладающим, а остальные являются малыми
к нему примесями. Основное вещество называется рас-
твор ителем, остальные — растворенными веществами.
Раствор может находиться в твердом состоянии (твер-
дые растворы), жидком (истинные растворы, водные и
неводные) и газообразном (газовые смеси).
• Если растворяющееся вещество дробится на отдель-
ные молекулы (молекулярная дисперсность вещества),
то образуется молекулярный истинный раствор. В слу-
чае истинных ионных растворов происходит распад рас-
творенного вещества на ионы. Кроме того, существуют
коллоидные растворы, представляющие собой взвешен-
ные в растворителе частицы вещества.
2* Количество растворенного вещества характеризуется
его концентрацией (стр. 139).
Такие растворы, в которых молекулы растворенного
вещества полностью диссоциируют на ионы в сильно
ассоциированных растворителях, называются растворами
сильных электролитов. Образовавшиеся ионы взаимо-
действуют с молекулами растворителя (явление гидра-
тации).
3° В разбавленных растворах наблюдается хаотическое
движение молекул растворенного вещества, аналогичное
движению молекул газа. Одн.ако для растворенных моле-
кул несправедливы максвелловское распределение ско-
ростей (стр. 193), закон распределения свободных про-
бегов (стр. 197) и другие газокинетические закономер-
ности.
4° Экспериментальным методом изучения свойств
истинных растворов являются наблюдения над явлением
осмоса — проникновением растворителя в раствор через
пористую перегородку (мембрану), непроницаемую для
растворенного вещества и отделяющую раствор от чи-
стой жидкости. Через мембрану осуществляется обмен
молекулами растворителя, находящимися по обе ее сто-
роны. В результате преимущественного движения . моле-
кул растворителя в сторону раствора равновесие в
системе растворитель — мембрана — раствор поддержи-
вается с помощью осмотического давления, производи-
мого растворенным веществом в растворе. Осмотическое
П.8.6) СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ ГЕЛИЯ 251
давление росм вычисляется по уравнению Вант-Гоффа:
Роем = ~у RT,
где п — число молей растворенного вещества в объеме V
раствора, /? — универсальная газовая постоянная, Т —
абсолютная температура.
Аналогия между уравнениями Вант-Гоффа и Клапей-
рона — Менделеева (стр. 138) является причиной ошибоч-
ного толкования осмотического давления как результата
ударов молекул раствора о стенки сосуда.
5° Равновесная концентрация слабого раствора, воз-
никающего при растворении в жидкости или твердом
теле газа, пропорциональна давлению газа и не зависит
от природы газа и конденсированной фазы (закон рас-
творимости Генри). Это утверждение справедливо при
отсутствии хемиадсорбции — химического взаимодействия
между газом и твердым растворителем (стр. 266).
6° Давление насыщенного пара над разбавленным рас-
твором меньше, чем над чистой жидкостью. Относитель-
ное понижение давления пара пропорционально концент-
рации раствора и не зависит от химической природы
растворенного вещества (закон Рауля).
Г Введение в растворитель молекул растворенного
вещества повышает температуру кипения и снижает тем-
пературу отвердевания растворов на величину, пропор-
циональную концентрации раствора и не зависящую от
химической природы растворенного вещества (закон
Рауля).
О кристаллизации растворов см. стр. 265.
6. Сверхтекучесть гелия
Г При сверхнизких температурах у гелия наблюдается
совокупность особых свойств:
а) отсутствует тройная точка (стр. 266);
б) при давлениях р < 24 атм гелий не кристалли-
зуется при охлаждении до сколь угодно низких темпе-
ратур;
в) для изотопа Не4 (стр. 728) критические параметры
(стр. 239) составляют: т\ = 5,190К, рд. = 2,26 атм. При
нормальном давлении Не4 сжижается при Т = 4,2° К,
причем плотность жидкого гелия аномально мала;
г) жидкий гелий является единственной незамерзаю-
щей жидкостью при сверхнизких температурах и нор-
252 жидкости [11.8
мальном давлении. Это объясняется тем, что силы при-
тяжения между атомами гелия при таких температурах
весьма слабы, .а тепловые колебания в силу легкости
гелиевых атомов весьма интенсивны и препятствуют
образованию кристаллической решетки.
2° При понижении температуры до Т = 2,2° К и нор-
мальном давлении в Не4 происходит Х-переход, являю-
щийся фазовым переходом второго рода (стр. 186): жидкий
гелий / переходит в гелий //. При повышении давления
температура Х-перехода понижается.
3° Сверхтекучестью называется обнаруженное у жид-
кого гелия II явление практически полного отсутствия
вязкости (стр. 199) при течении его сквозь очень узкие
капиллярные трубки (радиусом 10~Б см). Коэффициент
вязкости в этом случае меньше 10-11 пуаза.
4° Согласно двухжидкостной модели жидкий гелий
с массой т при Т < 2,2е К представляет собой смесь
двух полностью взаимопроникающих без трения компо-
нентов: нормального (с массой тп) и сверхтекучего (с
массой ms = m — mn). Это соответствует двум типам
движений, одновременно существующих в гелии II. Пер-
вое из них соответствует течению жидкости, в которой
возбуждено тепловое движение, рассматриваемое как
совокупность «элементарных тепловых возбуждений»
с энергиями где h — постоянная Планка, vt- — частоты
соответствующих этим возбуждениям фононов (стр. 261).
Это течение называется нормальным, оно подобно дви-
жению обычной вязкой жидкости. С ним связан запас
внутренней энергии гелия II и наличие в нем внутрен-
него трения (вязкости). Второй тип движения соответ-
ствует течению жидкости, в которой отсутствуют тепло-
вое возбуждение, запас внутренней энергии и вязкость.
Из детального рассмотрения механизма возникновения
«элементарных тепловых возбуждений» в гелии II, осно-
ванного на законах сохранения энергии и импульса, сле-
дует возможность таких состояний гелия II, в которых
не возникают элементарные возбуждения. В этих состоя-
ниях частицы гелия II образуют связанный коллектив
(конденсат) сильно взаимодействующих частиц. Та-
ким состояниям соответствует сверхтекучая часть
гелия II.
При Т = 0 «элементарные возбуждения» отсутствуют
и весь гелий II является сверхтекучим. С ростом Т уве-
личивается доля нормальной части гелия II. При Т = 2,2° К
П.9.1] СВОЙСТВА И СТРОЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 253
происходит непрерывный переход от гелия II к гелию 1
(фазовый переход первого рода, стр 186).
5° В гелии 11 обнаруживается аномально высокая
теплопроводность, в сотни раз превосходящая теплопро-
водность металлов при комнатных температурах Поэтому
в гелии II не создается заметного перепада температур,
он не может кипеть, а лишь испаряется со свободной
поверхности. Высокая теплопроводность гелия II обуслов-
ливается интенсивными конвективными токами, которые
возникают в неравномерно нагретом жидком гелии вслед-
ствие повышения доли его нормального компонента
вблизи нагревателя. При стационарной теплопроводности
(стр. 258) в гелии II одновременно существуют два проти-
воположных по направлению движения жидкости: нормаль-
ное — от нагревателя к холодильнику и сверхтекучее —
от холодильника к нагревателю. Перенос энергии в форме
тепла осуществляется в нормальном движении. За счет
сверхтекучего движения к нагревателю доставляются
новые порции жидкости, способные прийти в нормальное
движение. При этом не происходит макроскопического
переноса массы, ибо оба движения компенсируют друг
друга.
6° При перетекании гелия II через узкий капилляр
между двумя сосудами температура в сосуде, откуда
гелий II вытекает (втекает), повышается (понижается).
Это явление, называемое механокалорическим эффектом,
объясняется тем, что вытекающий из сосуда сверхтеку-
чий компонент гелия II не обладает внутренней энергией
и, следовательно, не уносит ее. Поэтому удельная вну-
тренняя энергия и соответствующая ей температура
оставшейся в сосуде жидкости повышаются.
ГЛАВА 9
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
1. Общие свойства и строение твердых тел
Г Твердыми телами называются тела, отличающиеся
постоянством формы и объема. Твердые тела подразде-
ляются на кристаллические и аморфные.
2° Кристаллы — твердые тела, имеющие правильное
периодическое расположение составляющих их частиц
(дальний порядок, кристаллическая решетка). Кристал ты
254 КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА (11.9
ограничены плоскими, упорядоченно расположенными
друг относительно друга гранями, сходящимися в ребрах
и вершинах. При температурах ниже точки кристалли-
зации (стр. 264) кристаллическое состояние является
устойчивым состоянием всех твердых тел.
Монокписталлы имеют форму правильных многогран-
ников, обусловленную их химическим составом. Боль-
шинство твердых тел — поликристаллов — имеет мелко-
кристаллическую структуру-, т. е. состоит из большого
числа сросшихся мелких, хаотически расположенных
кристаллов (кристаллических зерен, кристаллитов).
3е Кристаллы имеют симметрию, состоящую в том,
что любому заданному направлению в кристалле соот-
ветствует одно или несколько направлений, которые в
отношении рассматриваемых свойств являются совер-
шенно одинаковыми. Симметрия кристаллов исследуется
с помощью симметрических преобразований (операций
совмещения), в результате применения которых кристалл
совпадает сам с собой в различных положениях. Про-
стейшие операции совмещения (поворот, отражение,
трансляция — параллельное смещение) связаны с эле-
ментами симметрии. Простейшими элементами симме-
трии являются оси и плоскости симметрии. Группа
симметрических преобразований, состоящая обычно из
комбинации поворотов, отражений и поворотов с отра-
жением, называется классом симметрии.
4* Различают скалярные, векторные и тензорные фи-
зические свойства кристаллов. Скалярные свойства
(плотность, теплоемкость и др.) однозначно определя-
ются заданием численных значений физических величин,
определяющих эти свойства. Векторные свойства (те-
плопроводность, электрическое сопротивление и др.)
определяются заданием значений характеризующих их
величин по каждому из трех направлений, характерных
для кристалла (по основным координатным осям кри-
сталла). Тензорные свойства определяются заданием их
значений по более чем трем направлениям в кристалле
(относительная диэлектрическая проницаемость, упругие
свойства и т. д.).
5° По характеру сил взаимодействий, типу связи и
тому, какие частицы расположены в узлах кристалличе-
ской решетки, различаются следующие типы твердых тел.
а) Металлы. В них узлы кристаллической решетки
заняты положительными ионами, образовавшимися при
П.9.1]
СВОЙСТВА И СТРОЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
255
отщеплении от атомов валентных электронов, образующих
газ коллективизированных электронов. Металлическая
связь обусловлена электростатическим (стр. 680) и обмен-
ным взаимодействием (стр. 680) ионов и электронов.
б) Ионные кристаллы. Они имеют кристаллические
решетки, в узлах которых правильно чередуются поло-
жительные и отрицательные ионы. Гетерополярная связь
(стр. 704) ионов осуществляется, в основном, электроста-
тическими силами.
в) Валентные кристаллы. У них в узлах кристалли-
ческой решетки находятся нейтральные атомы. Ромео-
полярная связь (стр. 708) атомов обусловлена квантово-
механическим взаимодействием.
г) Молекулярные кристаллы (парафин, твердые орга-
нические соединения и др.). В узлах кристаллических
решеток у них находятся нейтральные молекулы. Силы
взаимодействия в молекулярных кристаллах являются
силами Ван-дер-Ваальса, главным образом дисперсион-
ными (стр. 235).
6е Между кристаллическим строением твердых тел
и их химическим составом существуют связи, исследу-
емые в кристаллохимии. Всякое химически индивиду-
альное вещество характеризуется определенными эле-
ментами симметрии кристаллов. Важнейшими положе-
ниями кристаллохимии являются: а) сходство формы кри-
сталлов у веществ с аналогичным химическим составом
(изоморфизм^ б) возможность существования несколь-
ких кристаллических форм для твердых тел одного хи-
мического состава, каждая из которых устойчива в раз-
личных условиях (полиморфизм). Для развития кристалло-
химии и всего учения о кристаллических твердых телах
большую роль играет рентгеноструктурный анализ
(стр. 565). С его помощью установлено, что каждый
структурный элемент кристалла (атом, ион) имеет прак-
тически непроницаемую «сферу действия» и расстояния
между атомами в кристаллах являются суммами радиу-
сов их сфер действия. Так, структура ионных кристал-
лов существенно зависит от соотношения ионных ра-
диусов.
7° Тепловое движение связанных частиц твердых тел
состоит в колебаниях частиц относительно узлов кри-
сталлической решетки. В результате совместного дейст-
вия сил притяжения и отталкивания между частицами,
а также . отсутствия полной периодичности в реальных
256 КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ТВЕРДЫЕ ГЕЛА |П.9
кристаллах эти колебания не являются гармоническими
(ангармонические колебания).
Гармоническим колебаниям соответствует квадратич-
ная зависимость потенциальной энергии взаимодействия
частиц LJ(q) от смещения q частиц из положения равно-
весия (стр 100). Ангармоничность колебаний учитывается
следующими после квадратичного членами разложения
в ряд U (q) по степеням q. В первом приближении
ангармоничность учитывается удержанием кубического
члена в разложении потенциальной энергии взаимодей-
ствия частиц по степеням q: U(q) = UQ + » где
Uq — значение U при <7 = 0, а — коэффициент квазиупру-
гой силы (стр. 101).
2. Тепловое расширение твердых тел
ГС повышением температуры происходит расширение
твердых тел, называемое тепловым расширением. Раз-
личаются линейное и объемное тепловые расширения,
характеризуемые средними коэффициентами линейно-
го и объемного -a v расширений в данном интервале
температур.
2° Если /о — первоначальная длина тела, а Д/— удли-
нение этого тела при нагревании на Д£ градусов, то а/
в этом интервале температур определяется по формуле
Величина характеризует относительное удлинение
M Iq, происходящее при нагревании тела на один гра-
дус. Длина нагретого тела равна
/=/0(1 +«,Д0.
Значение <х7 зависит от материала и для большинства
тел имеет порядок величины 10~5 4- 10“в град~1. Наблю-
дается также слабая зависимость az от температуры.
3° Объем твердого тела I/ при нагревании возрастает
в первом приближении пропорционально первой степени
приращения температуры:
1/ = И0(1
где Го — первоначальный объем тела, —средний ко-
эффициент объемного расширения в интервале темпера-
тур Д£, характеризующий относительное увеличение
П.9.3] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 257
объема AV/Ко, происходящее при нагревании тела на
один градус:
__ 1 др
av— у0 дг
Связь коэффициентов и а1 в первом приближении
имеет вид:
av=3az.
4° Тепловое расширение твердого тела связано с ан-
гармоничностью тепловых колебаний (стр. 255) частиц его
кристаллической решетки. Сила, действующая на
частицу,
F (д) = — = — aq + bq*.
Для равновесного состояния кристалла среднее значение
силы F =0, поэтому при строго гармонических колеба-
—
ниях (F=— aq) q = — — и теплового расширения
происходить не может. В действительности же
Но по закону о равномерном распределении энергии по
степеням свободы (стр. 211)
где k — постоянная Больцмана, Т—абсолютная темпера-
тура; поэтому
Вследствие ангармоничности тепловых колебаний, с по-
вышением температуры возрастает равновесное расстоя-
ние г0 между соседними частицами твердого тела. Коэф-
фициент линейного расширения связан с коэффициентом
ангармоничности Ь\
__ ~д _bk 1
гоТ a* r0 ’
3. Теплопроводность твердых тел
Г Явление теплопроводности твердых тел состоит
в передаче энергии в форме тепла в неравномерно
нагретом твердом теле (без теплового излучения).
17 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
258 КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА [П.9
В общем случае температура Т в различных точках тела
изменяется с течением времени: Т —f (х, у, г, t\ х,
у, z — координаты точки, t — время. Вид функции f уста-
навливается с помощью решения дифференциального
уравнения теплопроводности Фурье, которое для одно-
родного изотропного тела имеет вид:
где qv— количество тепла, выделяемого внутренними
источниками тепла в единице объема тела за единицу
времени, с — удельная теплоемкость тела, р — его плот-
ность, Д— дифференциальный оператор Лапласа. Вели-
чина а, характеризующая скорость выравнивания темпе-
ратуры в неравномерно нагретом теле, называется коэф-
фициентом температуропроводности. Он имеет смысл
приведенного коэффициента теплопроводности К (стр. 198)
и связан с ним соотношением
(для газов с = Ср).
2° Для стационарной теплопроводности == 0^
9 у
аДГ+^=°.
В отсутствие внутренних источников тепла (qv=0)
ДГ = 0.
Для практического решения уравнения теплопровод-
ности должны быть заданы: а) начальные условия Т =
s^ f^x^y, z, 0), б) краевые условия (условия теплообмена
на границе тела).
3° В случае плоской бесконечной стенки, разделяю-
щей две среды 1 и 2 с постоянными температурами ТС1
и Л?» (Та ГС8), удельный тепловой потокх) через
стенку
9 = £(7m-7»),
1) Удельным тепловым потоком называется количество тепла,
переносимого в единицу времени через единицу поверхности посто-
янной температуры в направлении нормали к ней.
11.9.3] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 259
ИЛИ
7-7 7—7
п__ ci С2 ______ ci С2
q- L+*+l - * '
ttj л «2
где и Г^2 — температуры внешних поверхностей
стенки, d — толщина стенки, /С—коэффициент тепло-
проводности материала стенки (стр. 198), ai и a2 — коэф-
фициенты теплоотдачи (стр. 313) от первой среды к
стенке и от стенки ко второй среде. Величина
называется термическим сопротивлением, 1/7? — коэф-
фициентом теплопередачи.
Температуры на внешних поверхностях:
тЬ1 = тс1-± т„,=та + 9-.
Температура однослойной стенки на расстоянии I от
поверхности:
т= Tbi - —-J** I.
Для стенок конечных размеров формулы могут
использоваться при условии L > d, где L — линейные
размеры боковой поверхности стенки.
4° Для стенки в форме длинного полого цилиндра
с постоянными температурами сред внутри и вне цилинд-
ра ТС1 и Тс2 (ГС1>ГС2) тепловой поток через единицу
длины стенки за единицу времени
- .2*K<Ttn~TbJ
«1
или
1 , 1 d*______
a 2/С di
где и Tb2 — температуры внутренней и наружной
поверхностей цилиндра, dY и d2 — внутренний и наруж-
ный диаметры цилиндра, К — коэффициент теплопровод-
ности материала стенки, ai и а2 — коэффициенты тепло-
отдачи на внутренней и внешней поверхностях цилиндра.
Температуры на внутренней и наружной поверхностях
17*
260 КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА [П.9
стенки:
^. = ^1-^, тЬа = тса + 4-^ (*)
Температура однослойной стенки на расстоянии г от
оси цилиндра:
7’=7'и-^1п^.
5° Для шаровой стенки с внутренним диаметром dt
и наружным й2, разделяющей две среды с постоянными
температурами Та и Тс2 (Тс1 > ТС2\ поток тепла Q через
стенку за единицу времени
Q=*K^(Tbl-Tba),
где d — толщина стенки, или
(обозначения см. в п. 4°). Температуры стенок подсчи-
тываются по формулам, аналогичным (*). Температура
шаровой стенки на расстоянии г от центра:
di d2
6° Металлы отличаются хорошей теплопроводностью,
которая осуществляется, в основном, за счет переноса
энергии свободными электронами. Коэффициент элек-
тронной теплопроводности металлов*.
А = ~5---=----- 1,
3 mulWJ
г
где k — постоянная Больцмана, и0 — число электронов в
1 см* металла, X (Wp) и й (Wр^=рр/т — длина свободного
пробега и средняя скорость теплового движения элек-
тронов, соответствующие граничной энергии Wp фер-
миевского распределения электронов по энергиям при
температуре Г = 0 (стр. 219), т— масса электрона.
И .9.41
ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
261
В классическом приближении идеального электрон-
ного газа
К = 4
где X и й — средние длина свободного пробега и скорость
теплового движения электронов. Теплопроводность метал-
лов, осуществляемая кристаллической решеткой (реше-
точная теплопроводность), значительно меньше элек-
тронной.
7° В металлах теплопроводность обусловлена, в основ-
ном, передачей энергии электронами проводимости
(стр. 358). В кристаллических диэлектриках основную роль
играет передача энергии связанных колебаний узлов
решетки. В первом приближении этот процесс можно
представить в виде распространения в кристалле набора
гармонических упругих волн, имеющих различные часто-
ты В квантовой теории этим волнам сопоставляются
квазичастицы — фононы, — с энергиями /zv, и импуль-
сами где v — скорость упругих волн (скорость
звука). Ангармоничность связанных колебаний узлов
решетки вызывает рассеяние фононов и затрудняет про-
цесс передачи энергии путем теплопроводности. Этот
эффект увеличивается с ростом температуры. При не
слишком низких температурах коэффициент теплопро-
водности кристаллических решеток диэлектриков обратно
пропорционален абсолютной температуре Т.
4. Теплоемкость твердых тел
Г Для твердых тел не различаются теплоемкости
и Су (стр. 147) и применяются удельная и грамм-атом-
ная (или молярная) теплоемкости (стр. 145). У неметал-
лических твердых тел наибольший вклад в теплоемкость
дает энергия тепловых колебаний частиц, находящихся
в узлах кристаллических решеток. Для металлов следует,
кроме того, учитывать малую теплоемкость вырожден-
ного электронного газа (стр. 220).
2° Связанные колебания частиц в кристалле, содер-
жащем /V атомов, можно в первом приближении рас-
сматривать как систему 37V независимых линейных
осцилляторов (соответствующих 3# степеням свободы!
262 КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА (11.9
с частотами от 0 до \макс,
_/9 Л \J/*
У«акс —V vf + viJ •
где vt и vt — скорости продольных и поперечных упру-
гих волн в кристалле с объемом V.
3е Энергия 1 г-атома твердого тела U и его грамм-
атомная теплоемкость Са вычисляются с помощью инте-
грала состояний Z (стр. 209) по формулам, приведенным
в таблице на стр. 210. Теория теплоемкости твердых тел,
основанная на представлении об упругих волнах в кри-
сталле, приводит к формуле
lnZ= — $ х’1п(1 — <r*)dx,
где Т — температура кристалла, Тс = ^макс/^ — характе-
ристическая температура кристалла (дебаевская тем-
пература), k — постоянная Больцмана, h — постоянная
Планка, NA — число Авогадро.
4° В области высоких температур (Т>ГС):
InZ^ —ЗАЛ In + NA,
U = kT2 =» 3NAkT.
01 Л
Отсюда
Са=(^)и = 3^ = 3/?=5,975^^5.
Этот результат может быть получен из закона равномер-
ного распределения энергии по степеням свободы (стр. 211)
и совпадает с экспериментально установленным правилом
Дюлонга и Пти'. грамм-атомная теплоемкость всех хими-
чески простых кристаллических твердых тел приблизи-
тельно равна 6 кал )г-атом • град<
5° В области низких температур (Т<< Тс)'.
01 о л ° О Т*’
ZC
Первый член в правой части выражения для U предста-
П.9.5]
ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
263
вляет энергию кристалла при Г—*0 (нулевая энергия,
стр. 648). Теплоемкость кристалла при низких температу-
рах пропорциональна
Г8 (закон Дебая)'.
57?
6° В промежуточ-
ной области (Т Тс)
энергия и теплоем-
кость кристалла яв-
ляются сложными
функциями темпера-
туры, зависящими от результата численного инте-
грирования In Z (п. 3°). Общий ход зависимости грамм-
атомной теплоемкости от температуры представлен на
рис. II.9.1.
5. Фазовые превращения твердых тел
Г При нагревании твердого тела подводимое к нему
тепло расходуется, в основном, на увеличение запаса
внутренней энергии кристалла (кинетической энергии
тепловых колебаний и потенциальной энергии взаимодей-
ствия частиц, находящихся в узлах кристаллической ре-
шетки). Сильное нагревание может привести к переходу
вещества из кристаллической фазы в жидкую (плавление)
или газообразную (сублимация, возгонка). Это происходит
при такой температуре, когда смещения частиц из поло-
жений равновесия соизмеримы с равновесными расстоя-
ниями между частицами в решетке.
2° Плавление твердого тела начинается при опреде-
ленной температуре Гпл, называемой температурой плав-
ления. Процесс плавления происходит при постоянной
для данного давления температуре Гпл и соответствует
одновременному существованию твердой и жидкой фаз.
3° Количество тепла, которое необходимо подвести
к единице массы твердого тела при постоянной темпера-
туре Гпл для осуществления плавления, называется удель-
ной теплотой плавления гпл:
^пл == ^ж ^тв 4” Р (^ж ^тв)>
264 КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА (11.9
где цж и итв — внутренние энергии единицы массы ве-
щества в жидкой и твердой фазах, цж и t/TB — удельные
объемы жидкости и твердого тела,/? — постоянное давле-
ние фазового перехода первого рода (стр. 186).
4° Зависимость температуры плавления от давления
описывается уравнением Клапейрона—Клаузиуса (стр. 187):
dT п
пл
dp
Т (и — т! )
пл v ж тв'
гпл
Как правило, > t/TB, и поскольку гпл > 0, то -^L3>0.
При увеличении давления для большинства веществ тем-
пература плавления повышается. Для некоторых веществ
(вода, галлий, висмут) плотность жидкой фазы больше,
dT „
чем твердой, цж — г/тв < 0 и <0; температура плавле-
ния таких веществ
понижается при
увеличении давле-
ния. На рис. II.9.2
представлены кри-
вые равновесия
двухфазной систе-
мы твердое тело —
жидкость. Процесс
плавления связан
с возрастанием
энтропии (стр. 162)
Рис. п. 9.2.
системы, как пере-
ход из более упорядоченного, кристаллического состоя-
ния в менее упорядоченное, жидкое.
5° При охлаждении жидкостей до некоторой темпера-
туры, называемой температурой кристаллизации (за-
твердевания) жидкой фазы Гкрист, начинается переход
вещества из жидкого в твердое кристаллическое состоя-
ние (кристаллизация). Кристаллизация связана с выде-
лением тепла, равного теплоте плавления, и для хими-
чески чистых жидкостей протекает при постоянной тем-
пературе, причем Гкрист совпадает с температурой плав-
ления Гпл-
6° В процессе кристаллизации упорядочивается дви-
жение частиц жидкости, увеличивается время их сосед-
лого» существования (время релаксации, стр. 241). Посте-
пенно движения частиц превращаются в связанные тепло-
П.9. Б] ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 265
вне колебания около некоторых средних положений —
узлов кристаллической решетки.
7° Для начала кристаллизации необходимо, чтобы
в жидкости имелись центры кристаллизации (посторон-
ние примеси, пылинки, пузырьки газа, местные сгущения
жидкости). В этих местах в первую очередь возникает
правильное взаимное расположение частиц и начинается
образование твердой фазы.
8° Если в жидкости отсутствуют центры кристаллиза-
ции и от нее достаточно медленно и равномерно отво-
дится тепло, то жидкость может быть охлаждена до более
низкой температуры, чем температура кристаллизации
(переохлажденная жидкость). Это состояние жидкости
является метастабильным (ср. пересыщенный пар, стр. 240)
и легко нарушается (например, кристаллизация переохла-
жденной жидкости начинается
при ее встряхивании).
9° Температура кристалли-
зации раствора (стр. 132 и 250)
зависит от его состава. Точ-
ки А и В на рис. П.9.3 опре-
деляют температуры кристал-
лизации (плавления) чистых
веществ А и В. Добавле-
ние одного из веществ к
другому вызывает понижение
температуры кристаллизации
раствора (или температуры плавления образующего-
ся при этом сплава). При некоторой концентрации с3
вещества В (точка Э) достигается минимальное зна-
чение температуры кристаллизации (плавления). Рас-
твор (сплав) такого состава называется эвтектикой, а
температура плавления эвтектики называется эвтектиче-
ской точкой.
10° Испарение твердых тел (сублимация), происходя-
щее при любой температуре, сопровождается поглоще-
нием теплоты испарения, затрачиваемой на преодоление
сил связи между частицами твердого тела и на «отрыв»
частиц с поверхности кристалла. Разность между удель-
ными теплотами испарения твердых тел и жидкостей при
температуре плавления равна удельной теплоте плав-
ления.
11° Кривая равновесия твердое тело — пар в диа-
грамме р— Т называется кривой сублимации. На
266 КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА [11.9
рис. П.9.4 представлены для некоторого вещества кривые
равновесия: твердое тело — пар, твердое тело — жидкость
и жидкость — пар. Они пере-
П Тве„аое секаются в тройной точке М,
тыо I / где вещество находится одно-
/ / временно в твердой, жидкой
и паровой фазах, которые
Рм------равновесно сосуществуют друг
/• Пар С другом.
01-------1-------6. Адсорбция
1° Адсорбцией называется
Рис. п. 9.4. концентрирование (сгущение)
одного из веществ (компонен-
тов), происходящее в пограничном слое у поверхности раз-
дела двух фаз. Например, на поверхности твердого тела
или жидкости происходит концентрирование веществ из
газа или раствора. Понятие сорбции включает в себя как
поверхностное поглощение вещества жидкостью или твер-
дым телом — адсорбцию, — так и объемное поглощение
вещества — абсорбцию. Адсорбируемое вещество на-
зывается адсорбатом, тело, образующее поглощающую
поверхность, — адсорбентом. Десорбцией называется об-
ратное процессу сорбции отделение от поверхности ра-
нее поглощенного ею вещества.
Адсорбированные частицы удерживаются на поверх-
ности некоторое время, зависящее от природы адсорбента
и адсорбата, температуры и давления. По мере развития
процесса адсорбции ее интенсивность уменьшается и воз-
растает роль процесса десорбции. Адсорбционным равно-
весием называется установление равных скоростей про-
цессов адсорбции и десорбции.
2° Физической адсорбцией называется адсорбция, при
которой частицы адсорбата сохраняют свои индивидуаль-
ные свойства. При химической адсорбции (хемисорбции)
молекулы адсорбата образуют химическое соединение
с адсорбентом. Адсорбционные силы при физической
адсорбции имеют ту же природу, что и силы межмоле-
кулярного взаимодействия в газах, жидкостях и твердых
телах (стр. 235). Физическая адсорбция протекает весьма
быстро при условии, что она не осложнена побочными
процессами. Хемисорбция при низких температурах про-
текает медленно, и скорость ее возрастает с повышением
11.9.7] УПРУГИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ 267
температуры подобно скорости химических реакций (ак-
тивированная адсорбция).
Процесс адсорбции сопровождается выделением тепла.
Теплота физической адсорбции имеет порядок скрытой
теплоты конденсации и составляет 1—5 ккал!моль для
простых молекул и 10—20 ккал!моль для сложных моле-
кул. Теплоты хемисорбции сравнимы с теплотой химиче-
ских реакций (10—100 ккал!моль).
Адсорбция является процессом, сопровождающимся
понижением свободной энергии поверхностного слоя
адсорбента (стр. 244). Адсорбат должен вносить наимень-
ший вклад в поверхностную энергию адсорбента, т. е.
должен обладать меньшим, чем адсорбент, поверхностным
натяжением (стр. 245).
3° Количественной характеристикой адсорбции явля-
ется величина адсорбции Г — избыток массы данного ком-
понента в молях на 1 см2 поверхностного слоя по сравне-
нию с его содержанием в таком же объеме соприкасаю-
щихся фаз; по уравнению Гиббса
Р__ да
где а— поверхностное натяжение, р. —химический потен-
циал (стр. 181) данного компонента при равновесии фаз.
Если поглощение компонента происходит из среды, где
его концентрация с невелика, то уравнение Гиббса при-
водится к виду
Р______с_ да
RT дс'
где ~c = G— поверхностная активность адсорбата, ха-
рактеризующая его способность понижать при адсорбции
поверхностную энергию адсорбента.
7. Упругие свойства твердых тел
1° Деформацией твердого тела называется изменение
его размеров и объема, сопровождающееся чаще всего
изменением формы тела. В некоторых случаях (всесто-
роннее сжатие или растяжение) форма тела сохраняется.
Деформации вызываются изменением температуры (стр. 256)
или внешними силовыми воздействиями. При деформа-
циях происходят смещения частиц, находящихся в узлах
кристаллических решеток твердых тел, из первоначальных
положений равновесия в новые. Этому препятствуют силы
взаимодействия между частицами, вследствие чего в де-
268 КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА (11.9
формированном теле возникают внутренние упругие силы,
которые уравновешивают внешние силы, приложенные
к телу.
2° Упругой называется деформация, которая исчезает
после прекращения действия вызывающей ее силы.' При
этом происходят «обратимые» смещения частиц из новых
положений равновесия в кристаллической решетке в преж-
ние. Неупругие деформации твердого тела, сопровождаю-
щиеся необратимой перестройкой его кристаллической
решетки, называются пластическими.
3° Напряжением о называется физическая величина,
численно равная упругой силе Fvnp, приходящейся на
единицу площади S сечения тела:
dF
3=.—УПР
dS •
Напряжений называется нормальным, если сила rfFynp
нормальна к поверхности dS, и касательным, если сила
касательна к этой поверхности.
4° Мерой деформации является относительная дефор-
мация , равная отношению абсолютной деформации Дл
к первоначальному значению величины х, характеризую-
щей размеры или форму тела.
5° Закон Гука: напряжение а при упругой деформации
тела пропорционально относительной деформации:
0=^-,
X ’
где К — модуль упругости, численно равный напряже-
нию, которое возникает при относительной деформации,
равной единице.
Величина а=1/2< называется коэффициентом упру-
гости, Закон Гука справедлив в определенных пределах
деформаций. Напряжение, при котором нарушается про-
порциональность между напряжением и деформацией,
называется пределом пропорциональности.
6° Одностороннее, или продольное, растяжение (сжа-
тие) состоит в увеличении (уменьшении) длины тела под
действием растягивающей (сжимающей) силы Л Упругое
растяжение (сжатие) прекращается при условии Лупр =
= F, где Fynp — упругая сила Мерой деформации яв-
ляется относительное удлинение (сжатие) у. В этом
случае К = Е называется модулем Юнга.
П.9.7]
УПРУГИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
269
при этом у = у. По закону Гука
л/
Д/ — ES ’
где Z — первоначальная длина тела, Д/ — изменение длины
при нагрузке F При Д/= Z модуль Юнга Е = F/S = <Jt
т. е. численно равен напряжению, возникающему в об-
разце при увеличении (уменьшении) его длины в два
раза при прочих неизменных условиях.
7° Относительное продольное растяжение (сжатие)
образца сопровождается его относительным поперечным
сужением (расширением) , где d — поперечный размер
образца. Коэффициентом Пуассона р. называется отноше-
ние относительного поперечного сужения (расширения)
Ad , ч az
•у к относительному продольному удлинению (сжатию) j-:
Ad / AZ
8° По достижении предела пропорциональности (п. 5°)
(точка А на диаграмме растяжения, рис. П.9.5) удлинение
возрастает быстрее, чем напряже-
ние. Пределом упругости (точка - с
Д') называется максимальное на- *
пряжение, при котором еще не
получаются остаточные деформа- f
ции (остающиеся в теле после /
снятия напряжения). Предел теку- / 41
чести (точка В) характеризует /_____________
состояние деформированного тела, 0
после которого удлинение воз- Рис. и. 9.5.
растает без увеличения действую-
щей силы (горизонтальный участок ВС). Пределом проч-
ности называется напряжение, соответствующее наиболь-
шей нагрузке, выдерживаемой телом перед разрушением.
9° При многократных деформациях, соответствующих
переходу за предел упругости, с последующим освобо-
ждением образца от деформирующих сил упругость тела
возрастает и предел пропорциональности увеличивается
(закалка, или наклеп, материала).
10° Объемная плотность wa потенциальной энергии
тела при растяжении (сжатии) определяется удельной
работой ДуПр по преодолению упругих сил, рассчитанной
на единицу объема тела. В области, где справедлив
270
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
(П.9
закон Гука,
л
— ^упр — 2Е»
где о — напряжение, Е — модуль Юнга.
1Г Деформация всестороннего растяжения (сжатия)
состоит в увеличении (уменьшении) объема тела без из-
менения его формы под влиянием равномерно распреде-
ленных по всей поверхности тела растягивающих (сжи-
мающих) сил. По закону Гука
где -р- — относительное увеличение (уменьшение) объема
тела под действием напряжения а. Д’ называется модулем
всесторонней объемной упругости и имеет смысл напря-
жения, при котором относительное увеличение (умень-
шение) объема равно единице;
ди д/
-й^3Т’
В В'
Рис. II. 9.6.
где у — относительное увеличение (уменьшение) линей-
ных размеров тела.
12° Сдвигом называется деформация, при которой все
плоские слои твердого тела, параллельные некоторой
плоскости (плоскости сдви-
га), не искривляясь и не из-
меняясь в размерах, сме-
щаются параллельно друг
другу (рис. П.9.6). Сдвиг
происходит под действием
силы F, приложенной каса-
тельно к грани ВС, парал-
лельной плоскости сдвига.
Грань AD закреплена не-
подвижно. Мерой деформа-
угол сдвига 8 (относительный
выраженный в радианах. Для малых деформаций
»«=tg& = -,
ции —
сдвиг),
(п. 4°) является
где Дх= СО — абсолютный сдвиг.
П.9.7] УПРУГИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ 271
По закону Гука относительный сдвиг пропорционален
касательному («скалывающему») напряжению:
где G — модуль сдвига, численно равный касательному
напряжению, вызывающему относительный сдвиг, равный
единице. Он связан с модулем Юнга Е (п. 6°) и коэффи-
циентом Пуассона р. (п. 7°) соотношением
с=Ц(1+(л).
13° Удельная (рассчитанная на единицу объема) потен-
циальная энергия деформированного тела при сдвиге равна
^ = 23-
14° Кручением называется деформация образца с одним
закрепленным концом под действием пары сил, плоскость
которой перпендикулярна к оси образца. Момент Л4К этой
пары называется крутящим моментом. Кручение состоит
в относительном повороте параллельных друг другу се-
чений, проведенных перпендикулярно к оси образца.
В случае кручения круглого цилиндрического тела сече-
ния, перпендикулярные к его оси, вращаются вокруг оси
тела, сохраняя свою форму и оставаясь параллельными
друг другу. Если ср — угол поворота, z — измеренное по
оси образца расстояние от закрепленного конца, то раз-
ность углов поворота двух бесконечно близких сечений
(удаленных на dz друг от друга) равна
dy = dz = §'dz,
1 dz ’
где = — относительный угол кручения*, этот угол
является мерой деформации. Полный поворот данного
сечения пропорционален его расстоянию от начала коор-
динат:
ср = ft'z.
15° Закон Гука для кручения:
где Л4К - крутящий момент, G — модуль сдвига, Jp — по-
лярный момент инерции сечения. Для кругового сечения
радиуса R Jp = nR*!2.
272 АМОРФНЫЕ ВЕЩЕСТВА [П.10
Угол поворота между крайними сечениями образца
длины L:
ml GJ
T — ИЛИ Мк== L
Момент, закручивающий на угол ср однородный круг-
лый стержень, имеющий длину L и радиус /?:
16° Удельная (на единицу объема) потенциальная энер-
гия деформированного круглого цилиндра:
где г — расстояние от оси цилиндра.
17° Если к нижнему концу укрепленной цилиндриче-
ской проволоки прикреплено тело с моментом инерции J
относительно оси проволоки, то дифференциальное урав-
нение крутильных колебаний (стр. 103), возникающих при
кручении, имеет вид
Решение его позволяет вычислить период крутильных
колебаний.
глава ю
АМОРФНЫЕ ВЕЩЕСТВА
Г. Аморфными называют вещества, не обладающие
в конденсированном состоянии кристаллическим строе-
нием. Они делятся на две большие группы: а) простые
аморфные вещества — низкомолекулярные жидкости,
неорганические стекла, плавленый кварц и т. п. и
б) высокополимерные соединения — каучуки, резины, ор-
ханические стекла, смолы.
2° Аморфные вещества при определенных внешних
условиях стеклуются, т. е. переходят от свойств и за-
кономерностей жидкого состояния к свойствам и законо-
мерностям твердого состояния (п. 3°). Известны: а) стек-
лование в статических условиях при изменении дав-
ления иди температуры и б) стеклование в динамических
И.10]
АМОРФНЫЕ ВЕЩЕСТВА
273
структура, т. е.
равновесна и изменяется
условиях в периодических внешних полях (например,
в электрических или механических). Второй вид стекло-
вания может происходить и при неизменных давлении и
температуре, если меняется частота внешних полей. Оба
вида стеклования присущи всем аморфным веществам
вне зависимости от их химического строения и опреде-
ляются соотношением скорости молекулярных перегруп-
пировок в веществе и скорости внешнего воздействия,
т. е. оба вида стеклования — релаксационные процессы.
3° Переход аморфного вещества из жидкого состоя-
ния в твердое при изменении температуры или давления
(без внешних периодических воздействий) называется
структурным стеклованием. При таком переходе
меняются объем, теплосодержание (стр. 142), показатель
преломления (стр. 536), а также механические или элект-
рические свойства веществ.
4° В жидкости каждой данной температуре соответ-
ствует своя равновесная молекулярная
некоторые средние расстояния
и взаимное расположение ато-
мов и молекул. С повышением
температуры средние расстоя-
ния между молекулами увели-
чиваются, причем, в противо-
положность кристаллам, это
увеличение связано главным
образом не с изменением рас-
стояний между атомами или
молекулами при неизменной
структуре кристалла, а с не-
прерывной перестройкой мо-
лекулярной структуры жидко-
сти. При достаточно высоких
температурах аморфное веще-
ство находится в жидком со-
стоянии. Структура жидкости
вслед за изменением температуры. Время релаксации (стр.
241) мало1)- Изменение свойств (например, объема) свя-
зано с изменением взаимного расположения частиц и сред-
них расстояний между ними (область АА' на рис. II. 10. 1).
1) У полимеров из-за большой сложности строения молекул имеется
целый спектр времен релаксации. Здесь и далее под временем рела-
ксации полимеров подразумевается некоторое среднее значение т.
18 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф — 1775
274 АМОРФНЫЕ ВЕЩЕСТВА [11.10
При охлаждении вещества с некоторой конечной ско-
ростью изменение структуры, начиная с некоторой тем-
пературы, начинает отставать от изменения температуры,
и структура перестает быть равновесной. Эта темпера-
тура Г2 (на рис. II. 10.1) является верхней границей об-
ласти стеклования. В области стекло ?ания происходят
неравновесные изменения структуры. Ниже некоторой
температуры время релаксации становится настолько
большим, что изменение структуры прекращается вовсе.
Эта температура Ti является нижней границей области
стеклования. Ниже Ti вещество находится в твердом
состоянии. Изменение свойств связано здесь только с
изменением расстояния между частицами (С'В на
рис. II. 10.1). Аморфное вещество в твердом состоянии
называется застеклованным веществом или, короче,
стеклом.
5° Стеклование и размягчение (переход из твердого
состояния в жидкое при повышении тем тературы) совер-
шаются в довольно широкой температурной области —
до нескольких десятков градусов. Однако условно пере-
ход характеризуют некоторой одной температурой, назы-
ваемой соответственно температурой стеклования Tg
или температурой размягчения T'g, произвольно выбран-
ной в интервале перехода. При исследовании объемных
изменений эти температуры определяются обычно по
пересечению прямолинейных отрезков (BD и СА на
рис. II. 10.1), при исследовании изменений теплоемкости—
по точке перегиба кривой Ср — Т и т. д.
6° При охлаждении аморфного вещества его свойства
зависят только от температуры и скорости охлаждения.
Скорость охлаждения w определяет положение области
стеклования на шкале температур (чем больше w, тем
выше Tg)\ эмпирически
7~ = С1 — Са lg w,
g
где Ci и Сз — константы.
7° При нагревании твердого аморфного вещества
характер изменения его свойств в области размягчения
зависит от его тепловой предыстории (тепловая обра-
ботка несколько влияет на свойства образца в твердом
состоянии, но главным образом она проявляется в об-
ласти размягчен 1я). При нагревании свойства образца
зависят не только от скорости нагревания, но и от струк-
П.101
АМОРФНЫЕ ВЕЩЕСТВА
275
туры, зафиксированной в образце, т. е. от скорости пред-
варительного охлаждения, ибо ею определяется заморо-
женная структура.
Чем больше фиксированная структура отличается от
равновесной (при данной температуре), тем более
«аномально> изменение свойств в области размягчения.
Если скорость нагревания больше скорости предшествую-
щего охлаждения вещества, то область размягчения ле-
жит выше области стеклования. В области размя! чения
образец обладает более
плотной структурой, чем
структура, равновесная при
данной температуре; рела-
ксация структуры приводит
к менее плотной упаковке
частиц, т. е. к резкому уве-
личению объема при раз-
мягчении (рис. II. 10.2).
8° При выдерживании
вещества в неравновесном
состоянии при достаточно
высоких температурах его
структура с течением вре-
мени будет приближаться
к равновесно/! (релаксация).
Скорость этого процесса р
увеличивается с повы-
шением температуры; для структур, соответствующих
более высоким температурам, чем температура отжига,
скорость приближения к равновесию больше, чем для
структур, соответствующих температурам ниже темпе-
ратуры отжига.
9° Принципиальное отличие структурного стеклования
от фазового перехода (стр. 186) заключается в следующем,
а) При фазовом переходе происходит переход от менее
упорядоченной структуры к более упорядоченной; пере-
ход же жидкости в стекло не связан с изменением сте-
пени упорядочения структуры, б) При фазовом переходе
происходит переход от термодинамически равновесной
структуры к равновесной же. При стекловании происхо-
дит переход от равновесной структуры (жидкость) к не-
равновесной (стекло), в) При постоянном давлении (и
при прочих равных условиях) фазовый переход происхо-
дит всегда в одном и том же температурном интервале
вне зависимости от того, с какой скоростью происходит
18
276
АМОРФНЫЕ вещества
[П.10
охлаждение или нагревание, если эти скорости доста-
точно малы. При больших скоростях охлаждения темпе-
ратура начала фазового перехода первого рода может
зависеть от скорости (может наблюдаться переохлажде-
ние). При этом с увеличением скорости степень пере-
охлаждения увеличивается, температура начала перехода
понижается. Температура же стеклования с увеличением
скорости охлаждения повышается, что указывает на ки-
нетическую, а не термодинамическую природу этого
перехода.
10° На рис. II. 10.3 кривая асс'с” схематически изо-
бражает изменение объема жидкости при кристаллизации.
При температурах ниже Гкрист
минимумом свободной энергии
(стр. 168) обладает кристалл.
Кристаллическая структура при
Г < Гкрист является термодина-
мически равновесной (стр. 185).
Если жидкость удается пере-
охладить, то при Т < Гкрист
вещество находится в состоя-
нии метастабильного равнове-
сия (стр. 185) (отрезок са’). Пе-
реохладить жидкость удается
в сравнительно небольшом тем-
пературном интервале (отре-
зок cd\ так как для сохранения
метастабильного равновесия не-
обходимо очень медленное охлаждение. Ниже этого ин-
тервала вещество находится' в неравновесном стекло-
образном состоянии (отрезок dd'). Отсюда видно, что
переохлажденная жидкость и стекло не одно и то же.
Состояние переохлажденной жидкости является предель-
ным, «равновесным» для стекла.
11° При охлаждении аморфных тел значительно воз-
растают их модуль упругости и вязкость, падают дефор-
мируемость и относительная диэлектрическая проницае-
мость, наблюдается максимальное поглощение энергии
1,временного электрического поля. Это объясняется тем,
что структура аморфного вещества в поле в этой
области температур не успевает следовать за изме-
нением поля, т. е. по отношению к данному полю тело
ведет себя, как твердое (стеклование в периодическом
поле).
ПЛ J]
ВВЕДЕНИЕ
277
Основной характеристикой при описании поведения
вещества в периодических полях служит время релакса-
ции т (стр. 241). т сильно зависит от температуры, резко
возрастая при ее понижении. При высоких температу-
рах, когда т меньше периода внешнего воздействия,
структура успевает следовать за внешним полем. Наобо-
рот, при низких температурах f много больше периода
внешнего воздействия.
12° Стеклование в периодических внешних полях
можно наблюдать и при неизменной температуре, т. е.
при неизменной структуре вещества, если изменять ча-
стоту приложенного поля. Стеклование в периодических
полях принципиально не связано с изменением структуры
и наступает при совпадении периода внешнего воздей-
ствия и времени релаксации.
ГЛАВА II
ПОЛИМЕРЫ
1. Введение
Г Полимерами называют вещества, молекулы кото-
рых построены из большого числа повторяющихся групп—
мономерных единиц (группы, находящиеся на концах
молекулы, - концевые группы — по своему строению
несколько отличны от основных мономерных единиц).
Число мономерных единиц в молекуле называется сте-
пенью полимеризации.
2° Полимеры разделяются на линейные и трехмерные.
Линейными полимерами называются вещества, построен-
ные из линейных молекул, т. е. таких молекул, в кото-
рых каждая мономерная единица, за исключением кон-
цевых ipynn, соединена только с двумя соседними моно-
мерными единицами. Линейные молекулы называют также
полимерными цепями. Ниже приведены структурные фор-
мулы молекул некоторых важных линейных полимеров:
Н Н Н Н Н Н Н
... - А-А—A—А- А- А—А— ... полиэтилен (политен),
1 П L L J, 1
Н п Н п п Н п
278
ПОЛИМЕРЫ
(ПЛ!
F F P F F F
политетрафторэтилен
(тефлон),
H H H H H H
полихлорвинил,
полистирол,
(1
Н СНз Н СН3
полиметилметакрилат
(плексиглас),
i—сн, 6—сн,
НН НН
.i-Lc-i-Lc-
А ch, h ch,
... полиизопрен (натуральный
каучук, гуттаперча),
СН, СН8
►Si—О—Si—О—... полидимехилсидикиш.
ch, ch,
ПЛ 1.1]
ВВЕДЕНИЕ
279
3° Строго линейных полимерных молекул практически
не бывает, все они в той или иной степени разветвлены,
т. е. в них встречаются мономерные единицы, к которым
присоединены три или более соседних единиц (точки
ветвления). В разветвленных молекулах обычно выделяют
основную цепь и боковые ветви.
4° Полимеры, построенные из молекул, соединенных
между собой химическими связями (поперечными связями)
так, что образуется трехмерная пространственная сетка,
называются трехмерными. Если поперечные связи настолько
редки, что отрезки линейных полимерных молекул между
поперечными связями содержат большое число молекуляр-
ных единиц, то такие трехмерные полимеры называются
еще сеточными, а отрезки называются цепями сетки.
5° Линейные полимеры растворимы, образуют истин-
ные растворы (стр. 132) и могут существовать в жидком
состоянии. Трехмерные полимеры неплавки и нераство-
римы, могут только набухать в растворителе, поглощая
ограниченное количество его и сохраняя в основном
свойства твердого тела.
6° Полимеры, молекулы которых состоят из мономер-
ных единиц различной химической природы (обычно двух
типов), называются сополимерами. Сополимеры, в моле-
кулах которых длинные отрезки (блоки), состоящие из
мономерных единиц одного типа, чередуются с блоками,
состоящими из мономерных единиц другого типа, назы-
ваются блок-сополимерами. Если в разветвленном поли-
мере длинные боковые ветви состоят из мономерных
единиц другого типа, чем основная цепь, то материал
называется графт- (или привитым) полимером.
Т Полимеры классифицируются также по регуляр-
ности расположения боковых групп относительно глав-
ной цепи. Если представить себе, что полимерная цепь
вытянута в линию, то боковые группы будут распола-
гаться либо по одну сторону цепи, либо регулярно чере-
доваться, либо чередоваться беспорядочно (соответственно
изотактический, синдиотактический и атактический
полимеры). Ниже приведены структурные формулы изо-,
синдио- и атактического полипропилена:
НННННННННН
280
ПОЛИМЕРЫ
(II.1!
Н Н Н СН8 Н Н Н СН8 Н Н
..._d_A_i—A—A_d—d—d—d— d-...»
di cli3 di /1 н cli, А н н Jh8
H H H H H CH8 H H H CH8 H CH8
... - d— d—d— t—c—h— c—c— t— b—i—c-...
н ck8 н ck8 i н А сн8 н н i н
2. Распределение по молекулярным весам
Г В отличие от низкомолекулярных веществ, поли-
меры не имеют определенного молекулярного веса. Они
представляют собой смесь молекул различного веса, или,
иначе, различной степени полимеризации. Фракциониро-
ванием можно разделить вещество на фракции, содержа-
щие молекулы примерно одинакового веса. Распределе-
ние по молекулярным весам в полимере дается весовыми
концентрациями фракций gj- или же величинами —
числами молекул в Z-й фракции.
2° Существует несколько определений средних моле-
кулярных весов полимеров. Наиболее употребительны
среднечисленный молекулярный вес:
*N= TV = 2^7’
i i
где — молекулярный вес Z-й фракции, а суммирование
проводится по всем фракциям; средне весов ой:
- _У
P-w — gilH — у,
i 2d N
и средне вязкостный (стр. 288). Величина p.w всегда
больше р.дг. Разность между ними характеризует ширину
распределения по молекулярным весам, или, иначе, по-
лидисперсность полимера.
3. Геометрия линейных полимерных молекул
Г В полимерных молекулах, содержащих в главной
цепи простые валентные связи, например единичные
С — С-связи, вокруг таких связей осуществляется вну-
11.11.31 ГЕОМЕТРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПОЛИМЕРНЫХ МОЛЕКУЛ 281
треннее вращение, заторможенное в той или иной
степени. В результате этого полимерная молекула,
имеющая большое число таких связей, обладает громад-
ным количеством различных конфигураций (конформа-
ций). В этом проявляется гибкость полимерной цепи, со-
держащей единичные связи. Вращение вокруг двойных
связей г заторможено настолько сильно, что возможны
только малые крутильные колебания (стр. 103). Малые ко-
лебания испытывают также длины валентных связей между
атомами и углы между валентными связями — валентные
углы. По сравнению с большой
амплитудой вращения вокруг простых •
связей этими малыми колебаниями ----------[’
пренебрегают и полимерную цепь ь----------
считают состоящей из жестких эле- ________
ментов — звеньев, которые могут вра-
щаться друг относительно друга по
конусам валентных углов (рис. 11.11.1).
Например, в полиэтилене звеном яв- . ,
ляется связь С — С, цепь полиизо- 1 '
прена сострит из двух чередующих-
ся звеньев: связи С — С и группы 2
С-С = С —С.
2° Конформации полим ?рной цепи
определяются набором углов внут-
реннего вращения ср/ (/ — номер зве- Рис. п.п.1.
на), определяющих поворот относи-
тельно некоторого положения отсчета. Обычно за начало
отсчета принимается трансконформация, при которой
звенья i — 2, I — 1, i лежат в одной плоскости и /-е звено
параллельно i — 2-му (рис. II.11.1).
3° Различным значениям ср/ соответствует различная
потенциальная энергия внутреннего вращения. Конфор-
мации, отвечающие минимуму потенциальной энергии
(устойчивые конформации), называются поворотными
изомерами. При трансконформации цепь вытянута вдоль
прямой линии и расстояние между ее концами макси-
мально. Остальные конформации отвечают изогнутой
форме цепи.
4° В жидком состоянии тепловое движение полимер-
ной молекулы приводит к непрерывному изменению углов
внутреннего вращения и к переходам между поворот-
ными изомерами. 'Полимерная цепь обладает большим
числом степеней свободы — углов ср/, поэтому наблюдаю-
282 полимеры [Н.п
щиеся на опыте величины, характеризующие молекулу,
являются статистическими средними (стр. 206) по всем
возможным конформациям. Вычисление этих средних
производится методами конформационной статистики
полимерных цепей. В разбавленных растворах можно
ограничиться учетом только внутримолекулярных взаимо-
действий. В конденсированном состоянии следует учиты-
вать межмолекулярные взаимодействия, что сильно услож-
няет задачу. Конформационная статистика применяется
главным образом к разбавленным полимерным растворам.
5° Внутримолекулярные взаимодействия разделяются
на два класса. К первому классу относятся взаимодей-
ствия, которые приводят к заторможенности внутреннего
вращения: это взаимодействия между близкими звеньями,
называемые взаимодейсп в чями ближнего порядка. Ко
второму классу относятся взаимодействия между Звенья-
ми, которые в среднем разделены значительным расстоя-
нием, но могут случайно сблизиться в процессе тепло-
вого движения и взаимодействовать при этом, — взаимо-
действия дальнего порядка. Наиболее существенная
черта последних состоит в том, что объем, занятый зве-
ном, недоступен для других звеньев. Поэтому взаимо-
действия дальнего порядка называют еще эффектами
исключенного объема (объемными эффектами).
6° В конформационной статистике рассчитываются,
в частности, средний квадрат расстояния между концами
цепи Л2 и средний квадрат радиуса инерции /?2 =
। N ___ __
= rl> где Г1 “ средний квадрат расстояния Z-ro
i = 1
звена от центра тяжести молекулы и N—число звеньев
в молекуле. Величины Л2 и У?2 характеризуют гибкость
полимерной цепи. Наряду с вычислением средних вели-
чин возникает задача вычисления функций распределе-
ния, например функции распределения для расстояния
между концами цепи w (h), т. е. вероятности w (h) dh того,
что расстояние между концами цепи лежит в интервале
между h и h-j-dh.
4. Взаимодействия ближнего порядка
Г Влияние, растворителя может привести к тому, что
при некоторой температуре взаимодействием дальнего
порядка можно пренебречь (подробнее — стр. 285—287).
II.1I.4]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ БЛИЖНЕГО ПОРЯДКА
283
В этих условиях следует учитывать только взаимодействия
ближнего порядка.
2° Как и в других задачах статистической физики,
реальная полимерная молекула заменяется моделью, более
или менее точно отражающей ее свойства. Наиболее про-
стой и грубой является модель свободно сочлененных
сегментов, согласно которой полимерная цепь состоит
из z жестких сегментов длины а, направления которых
в пространстве совершенно независимы. Сегмент всегда
больше звена, и его длина является параметром, харак-
теризующим гибкость цепи. В этой модели
3° Более точные модели формулируются в виде пред-
положений о характере потенциальной энергии цепи
(?ь ?2г ...» <Pjv), где — углы внутреннего враще-
ния (стр. 281). Пренебрежение заторможенностью внутрен-
него вращения означает U7n = 0. Принимая для простоты,
что все звенья одинаковы и имеют длину /, а валентные
углы между ними равны те — а, при выполнении условий
N> 1 и 1Гп = 0 находят:
№ = ' +соза .
I — cos а
4° В простейшей модели, описывающей заторможен-
ность внутреннего вращения, пренебрегают взаимодей-
ствием соседних звеньев, т. е.
N ~ I
<ра, ... , ?Лг)= 2
i —2
причем Wn (tpi) = U7n (— ?i)» т- e- потенциал симметричен.
В этом случае
^2__ уу/2 1 + cos а 1 Ч-7}
I — cos а I — 7) ’
где
W /с* - WM/bT
т) == \ е cos у dy \ е п dy.
Величина есть среднее значение cosep. В случае изо-
тактических и синдиотактических полимеров предполо-
жение о симметрии потенциала несправедливо. Для цепи
типа — СН2 — CHR — , где R — боковая группа (напри-
мер, в полихлорвиниле R — атом хлора, в полистироле
284
ПОЛИМЕРЫ
[II.il
R - бензольное кольцо), в случае изотактической струк-
туры
й1 = М» '±«*« '-ч8-/- ,
1 — COS а (1 — Т))2 4-82 >
в случае синдиотактической структуры
ьа__ Л7/2 * cos а ___* ~ t7!2 ~i~ g2)a_
1 — cos а (1 — т])2 4- (т) — 7)2 — е2)2 »
где е — среднее значение sin ср с функцией распределе-
ния exp { — U7n (<р)/kТ }.
5° Параметры •»] и е характеризуют гибкость цепи.
Чем сильнее заторможено вращение, тем больше Л2, т. е.
тем меньше гибкость цепи. Вычисление параметров ?], е
затруднительно, так как практически неизвестен вид функ-
ции У7П (ср). Эта трудность обходится поворотно-изомер-
ной моделью, согласно которой углы ср* могут принимать
только значения, соответствующие минимумам потен-
циальной энергии, т. е. отвечающие поворотным изомерам
(стр. 281). Эта модель, по-видимому, довольно точно опи-
сывает тепловое движение полимерных молекул. В ней
достаточно знать только разность между энергиями
различных поворотных изомеров. Например, в полиэти-
лене реализуются три поворотных изомера с ср = 0°, + 120°;
при этом
l-е п'
где ДУ7П — разность энергий поворотных изомеров с
<р= + 120° и ср = О°.
6° Распределение расстояний между концами цепи
(стр. 282) с учетом только взаимодействий ближнего по-
рядка для сильно свернутых цепей, т. е. для цепей, у ко-
торых h много меньше своего максимального значения,
соответствующего полностью вытянутой цепи (транскон-
формации), совпадает с гауссовым распределением:
Распределение, справедливое во всей области измене-
ния Л, получено только для модели свободно сочленен-
ных сегментов. При z>l оно имеет вид:
ПЛ.5] ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДАЛЬНЕГО ПОРЯДКА 285
где t == h/za — относительное растяжение цепи, Z,"1 (t) —
обратная функция Ланжевена (стр. 351). Разложение в ряд
по t приводит к соотношению
где первый член соответствует гауссову распределению.
Эти формулы достаточно хорошо описывают распределе-
ние для реальной полимерной цепи.
5. Взаимодействия дальнего порядка
Г Объемные эффекты приводят к раздуванию моле-
кулярного клубка — увеличению средних расстояний
между концами цепи. Раздувание приближенно описы-
вается параметром а, показывающим, во сколько раз уве-
личились средние линейные размеры клубка по сравне-
нию с размерами без учета объемных эффектов. Прибли-
женная термодинамическая теория дает:
а*-а» = 2^(1-4-) V?.
Здесь — параметр, характеризующий изменение энтро-
пии при смешении сегментов цепи и молекул раствори-
теля, 0 — температура Флори, характеризующая энер-
гию взаимодействия сегментов по сравнению с энергией
взаимодействия сегментов с растворителем, р. — молеку-
лярный вес цепи,
с _ 27 5s /ftfV’78
Iх 25/a^S/s NAVi ' 11 '
v — удельный объем полимера, — молярный объем
растворителя, NA —число Авогадро, — средний квад-
рат расстояния между концами цепи в отсутствие взаимо-
действий дальнего порядка; hf/[i не зависит от р..
2° При температуре 0 (в Ь-точке) а=1 и объемные
эффекты не влияют на размеры цепи. В хороших раство-
рителях 0 лежит ниже температуры замерзания раство-
рителя. 0-точка может быть достигнута только в плохих
растворителях. Температура, при которой полимер выпа-
дает в осадок, Гс, связана с температурой Флори соотно
щением
286
ПОЛИМЕРЫ
[П.П
где b — постоянная. Следовательно, 0-точка есть темпе-
ратура осаждения полимера с бесконечно большим мо-
лекулярным весом.
3° Формула п. Г количественно плохо согласуется
с экспериментом ввиду грубости предположений, сде-
ланных при ее выводе. Точную теорию удается развить
только в области очень малых объемных эффектов. Она
основана на так называемой модели «жемчужного оже-
рельям, согласно которой цепь состоит из свободно со-
члененных сегментов, взаимодействующих между собой
центральными силами. Для наглядности можно предста-
вить, что цепь «жемчужного ожерелья» состоит из буси-
нок, надетых на стерженьки (бесконечно тонкие), свободно
сочлененные между собой. В теориях, основанных на
модели «жемчужного ожерелья», применяется разложение
по малому параметру:
> _/з \3/2
С “ \2те ) а3 ’
где г — число сегментов, а — длина сегмента (стр. 283) и
v0 = 4л (1 — е Wn (rij^kT j
- эффективный исключенный объем-, здесь гн—расстоя-
ние между Z-м и у-м сегментами цепи и wn (Гц) — по-
тенциальная энергия взаимодействия сегментов, избыточ-
ная по сравнению с взаимодействием между сегментами
и молекулами растворителя. Если сегменты взаимодей-
ствуют, как твердые шарики, Wn(r/y) = oo при r^^d,
'Гп(г/у) = 0 ПРИ то ^0==улб?8 равен объему
парика.
4е Если исключенный объем настолько мал, что 6 1,
го справедливы соотношения:
1?=Ц (1 + | 6-2,086*
w (Л) = w0 (Л)
У А2
1 + Н + у
11.!!.6] РАЗБАВЛЕННЫЕ РАСТВОРЫ ПОЛИМЕРОВ 287
Здесь индекс «нуль» отмечает величины, вычисленные
без учета объемных эффектов.
5е На малых расстояниях сегменты отталкиваются и
Wn > 0; на больших расстоя! иях отталкивание сменяется
притяжением и Wn С 0. В согласии с этим v0 распадается
на две части, различным образом зависящие от темпе-
ратуры: при некоторой температуре эти части могут
компенсироваться и тогда vo = O. Таким образом, 0-точка
соответствует температуре, при которой объемные эф-
фекты компенсируются (^о = О). Поэтому соотношения
п. 4е справедливы только вблизи 0-точки.
6. Разбавленные растворы полимеров
Г Осмотическое давление в полимерных растворах.
Закон Вант-Гоффа (стр. 251) для растворов полимеров
имеет вид:
lim £.= «£,
>0 s Р-ДГ
где pN—среднечисленный молекулярный вес (стр. 280).
Измерения осмотического давления р при малых концен-
трациях g дают возможность определения p.N.
2° Вязкость полимерных растворов характеризуется
следующими величинами: относительной вязкостью, или
вязкостным отношением, тотн == ^0, где т] и т]0 — коэф-
фициенты вязкости (стр. 199) раствора и чистого раство-
рителя соответственно; удельной вязкостью т]уд = ^Отн — Ь
приведенной вязкостью (вязкостным числом) 7]пр = 7]уд/£,
где g — концентрация раствора; логарифмической вяз-
костью { т]} = In т]отн — In g\ характеристической вяз-
костью (предельным числом вязкости) ft] = lim т]по =
= lim { 7j }.
3° Для характеристической вязкости существует эмпи-
рическая формула
где /г, а—постоянные, характеризующие пару раствори-
тель — полимер,
со “11/а
&V —
2
= 1
2 Vi+a
,i=l
2 *04
i= 1
288
ПОЛИМЕРЫ
[11.11
— средневязкостный молекулярный вес (стр. 280). от-
личается от средневесов )го молекулярного веса {Lw
(стр. 280) не бсГлее, чем на 20%. При а=1
4° Характеристическая вязкость может быть вычис-
лена теоретически на основании модели «жемчужного
ожерелья» (стр. 286). Достаточно точным для длинных мо-
лекул является предположение, что растворитель, нахо-
дящийся внутри молекулярного клубка, полностью им
увлекается. В этом случае для монодисперсного полимера
(стр. 280)
И = Ф(^)7 8^/[Х.
где Ф—постоянная, равная ^2,8- 1023 вблизи 0-точки и
убывающая до ~2,0-1023 в хороших растворителях.
5° При достаточно больших молекулярных весах раз-
меры полимерной цепи сравнимы по порядку величины
с длиной волны света X. При этом рассеяние света
(стр. 616) полимерными растворами асимметрично. Мерой
асимметрии рассеяния служит функция Р (0) = 1 (0)//(0),
где / (0) — интенсивность света, рассеянного под углом 0
к направлению падающего пучка.
При малых углах 0 в разбавленных растворах спра-
ведливо соотношение
р(0)= 1-4,
где х3— sin2 -j-, У?2 — средний квадрат радиуса
инерции (стр. 65) цепи. По известным значениям Р (0)
при малых углах 0 можно определить Р2. Если распреде-
ление расстояний между двумя любыми атомами цепи
описывать гауссовой функцией, что справедливо для до-
статочно длинных и гибких цепей в 0-точке (стр. 285), то
Р(в) = Д(е-*- 1 4-х).
7. Кристалличность полимеров
1° Когда температура кристаллизации Гкрист (стр. 264)
полимера выше температуры его стеклования (стр. 274),
полимеры могут находиться в кристаллическом состоя-
нии. При прочих равных условиях Гкрист выше у тех
полимеров, которые имеют регулярное строение. Легко
кристаллизуются полимеры, у которых боковые группы
имеют одинаковый химический состав или, по крайней
11.11.71 КРИСТАЛЛИЧНОСТЬ ПОЛИМЕРОВ 289
мере, одинаковые размеры; плохо кристаллизуются сопо-
лимеры (стр. 279). ГКпист для изо- и синдиотактических
полимеров (стр. 279) обычно выше, чем Гкрист атактических
полимеров (стр. 279). Полимеры с жесткими цепями
кристаллизуются легче полимеров с гибкими цепями.
2° Существуют три типа кристаллических полимеров.
а) Поликристаллы, у которых имеется дальний поря-
док в расположении звеньев. Размеры кристаллитов
(стр. 254) обычно порядка 102 А, т. е. меньше, чем раз-
меры цепей; под микроскопом их не видно.
б) Глобулярные кристаллы, у которых дальний поря-
док имеется в расположении молекул, имеющих вид
плотного клубка — глобулы, в котором звенья располо-
жены беспорядочно. Глобулярные кристаллы представ-
ляют собой частный случай молекулярных кристаллов
(стр. 255).
в) Монокристаллы с дальним порядком в расположе-
нии звеньев. Полимерные монокристаллы обычно видны
под микроскопом.
Подавляющее большинство кристаллических полиме-
ров принадлежит к первому типу.
3° Связь звеньев в полимерной цепи препятствует
установлению порядка в расположении звеньев, принад-
лежащих разным молекулам, поэтому полимерные кри-
сталлы содержат большое число дефектов. На рентгено-
граммах полимеров первого типа, кроме колец, характер-
ных для кристаллов, имеется также размытое гало,
характерное для аморфного состояния. Это позволяет
говорить о кристаллической и аморфной «фазах» в по-
ликристаллических полимерах и ввести степень кристал-
личности X как отношение веса кристаллической «фазы»
к весу всего образца. Величина X на самом деле указы-
вает на степень дефектности кристаллов.
Величина X может быть определена рентгенографиче-
ски, из измерений плотности, показателя преломления,
удельной теплоты плавления и некоторыми другими ме-
тодами. Условность в определении X приводит к тому,
что значения степени кристалличности, определенные
различными методами, не всегда совпадают.
4° Высокая вязкость полимеров обусловливает боль-
шую длительность процесса кристаллизации, занимающего
в некоторых случаях много суток. Поэтому поликристал-
лические полимеры в большинстве случаев термодинами-
чески неравновесны (стр. 133). Неравновесность прояв-
Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
290 полимеры (ii.li
ляется, в частности, в том, что температура плавления
Гпл практически всегда выше Гкрист и процесс плавления
занимает некоторый температурный интервал. Наличие
интервала температур плавления связано не только с не-
равновесностью, но и с дефектностью кристаллов. Кри-
сталлиты меньших размеров и более дефектные плавятся
при более низких температурах. Равновесное плавление
поликристаллических полимеров — это фазовый переход
первого рода (стр. 186).
Зависимость Гпл от молекулярного веса р. имеет вид:
J____1 = R
1 пл 1 пл Шг
где Г°л — теплота плавления идеального кристалла, обра-
зованного молекулами с р.==оо, R — универсальная газо-
вая постоянная (стр. 138), гпл— удельная теплота плавле-
ния.
5° Температура кристаллизации и, следовательно, спо-
собность к кристаллизации полимеров повышается при
их растяжении. Некоторые полимеры могут кристаллизо-
ваться только при растяжении. Растяжение приводит
к ориентации полимерных цепей (стр. 277), облегчающей
упаковку звеньев. Кристаллиты полимеров, закристалли-
зованных при растяжении, ориентированы вдоль направ-
ления растяжения.
8. Высокоэластичность резин
Г Резинами называются сеточные полимеры (стр. 279)
с гибкими цепями. Деформации резин представляют
собой сложный процесс, который можно разделить на
три составляющих: а) упругую деформацию, аналогично
упругим деформациям обычных твердых тел связанную
с изменением межатомных и межмолекулярных расстоя-
ний; б) высокоэластическую деформацию, связанную
с перемещением звеньев (стр. 281) молекул без относи-
тельного перемещения молекул как целого; при этом
происходит изменение формы молекул: например, при
растяжении молекулярные клубки раскручиваются; в) пла-
стическую деформацию (течение), связанную с относи-
тельным перемещением молекул как целого.
Высокоэластичность присуща только полимерам. Для
ее развития необходимо, чтобы сетка была достаточно
редкой, т. е. цепи достаточно длинными. В отличие от
ПЛ 1.8] ВЫСОКОЭЛАСТИЧНОСТЬ РЕЗИН 291
упругой деформации, которая составляет не более не-
скольких процентов, при высокоэластической деформации
размеры тела меняются на сотни процентов. В отличие
от пластической деформации, высокоэластическая дефор-
мация обратима.
2° Все три типа деформации резин имеют свое
время релаксации. Упругая деформация практически
мгновенно следует за приложенной силой. Сложность
строения полимерных молекул приводит к тому, что как
высокоэластическая, так и пластическая деформации ха-
рактеризуются каждая набором времен релаксации. Вре-
мена релаксации экспоненциально зависят от темпера-
туры. У застеклованных полимеров (стр. 274) времена
релаксации высокоэластической и пластической деформа-
ций настолько велики, что они вовсе не наблюдаются, и
стеклообразные полимеры деформируются, как обычные
твердые тела. Кристалличность полимеров также затруд-
няет развитие высокоэластической и пластической дефор-
маций. Таким образом, высокоэластичность может наблю-
даться только при температурах выше температуры
стеклования или плавления.
3° В сеточных полимерах молекулы сшиты друг с дру-
гом, что препятствует пластической деформации. В прин-
ципе можно наблюдать термодинамически равновесную
(стр. 135) высокоэластическую деформацию сеточных по-
лимеров. Однако это очень трудно, так как времена ре-
лаксации высокоэластической деформации могут быть
весьма большими. Кроме того, всегда имеют место раз-
рывы поперечных сшивок и разрывы цепей, которые
приводят к возникновению необратимой пластической де-
формации.
4° Существенные черты высокоэластичности можно
выяснить на простом примере однородной, без сдвигов
деформации. При такой деформации куб со стороной /0
превращается в параллелепипед со сторонами Zx, Z2, Z3.
Выбирают такие переменные Хх-, называемые кратно-
стями растяжения, в которых изменение формы отде-
лено от изменения объема: Xf = Z^/~1/3. Здесь Z=l, 2, 3
и V’ = Z1Z2Z3— объем деформированного образца. Крат-
ности растяжения удовлетворяют условию Х1Х2Х3 = 1,
поэтому только две из них независимы, а, например,
Xs=l/XiX2. Если происходит только изменение объема
без изменения формы, т. е. когда все Ц изменяются про-
порционально, то Х;=1.
19*'
292 полимеры [пл
Можно считать, что тело удерживается в деформиро-
ванном состоянии силами ft и /2, действующими соответ-
ственно на грани Z2Z3 и ZiZ3, и всесторонним давлением р.
Силам fi и /2 соответствуют напряжения oi=/1/Z2Z3 и
а2 =fzllils-
Высокоэластические материалы обладают тем свой-
ством, что при деформациях, в которых не происходит
изменения температуры или давления, объем меняется
ничтожно мало (стр. 293). Это свойство называется «не-
сжимаем остью*. Оно аналогично соответствующему
свойству жидкостей (стр. 241). Следовательно, во многих
случаях можно считать K = ZJ и Xf = Zz-/Z0, где Zo — перво-
начальная сторона куба.
При одноосном растяжении куб превращается в па-
раллелепипед с длиной Z и квадратным сечением: Xj = Х =
= /И-1/з,
5° Если считать свободную энергию деформации
(стр. 168) F функцией Хъ Х2, V и абсолютной температу-
ры Г, то связь между напряжением и деформацией (за-
кон деформации) дается соотношением
Хх / dF\ £ \ I dF\
01 v vtj ИЛИ 0/8 \дХ1Д2, кт’
Аналогичное соотношение имеется и для а2 и /2. В слу-
чае одноосного растяжения Xi = X, Х2 = Х3 = Х~1/2 и
х fdF\ £ 1 (dF\
а V\d\)ytj ИЛИ 0/8 /кт’
6° Изменение внутренней энергии U (стр. 140) при
одноосном растяжении определяется соотношением
где at — термодинамический коэффициент расширяемости
(стр. 175), М = — р/—коэффициент, представля-
ющий собой меру анизотропии линейной сжимаемости
растянутого полимера, р— изотермическая сжимаемость
(стр. 175). Если бы линейная сжимаемость была изотроп-
ной, т. е. одинаковой в направлении растяжения и в на-
правлении, перпендикулярном ему, то тогда линейная
сжимаемость 1~* (д1/др)Т ;~$/3 и 714=1. В этом случае
третий член в правой части уравнения обращается в нуль.
II.11.8J ВЫСОКОЭЛАСТИЧНОСТЬ РЕЗИН 293
У мягких резин с достаточно гибкими цепями отно-
сительное изменение внутренней энергии много меньше
относительного изменения энтропии. Такие резины напо-
минают идеальный газ, у которого изотермическое изме-
нение объема не сопровождается изменением внутренней
энергии (стр. 142). Для идеальных в этом смысле резин
упругая сила пропорциональна абсолютной температуре
(аналогично давлению идеального газа).
При деформации сеточных полимеров с более жест-
кими цепями, например сшитого полиэтилена, относи-
тельное изменение внутренней энергии сравнимо с отно-
сительным изменением энтропии.
7° Под действием приложенной силы f даже при по-
стоянных давлении и температуре происходит некоторое
увеличение объема. При одноосном растяжении оно опре-
деляется соотношением
V-V0 = ^Ml^pTdl.
Сжимаемость резин по порядку величины такая же,
как у жидкостей, т. е. около 10-5 см*!кГ. Величина
l(dfldl)p l по порядку величины равна модулю Юнга
(стр. 268), т. е. для резин имеет порядок 10 кГ)см2\
Поэтому изменение объема при изотермическом и изо-
барном растяжении сеточных полимеров составляет доли
процента (если не происходит кристаллизации).
8° Статистическая теория равновесной высокоэласти-
ческой деформации основана на предположении, что при
вычислении свободной энергии деформации можно не
учитывать взаимодействия между цепями. Теория при-
менима к достаточно редким сеткам, т. е. таким, у кото-
рых в недеформированном состоянии цепи представляют
собой сильно скрученные клубки.
В области деформаций, далеких от предельной, т. е.
таких, при которых цепи почти полностью выпрямлены,
свободная энергия деформации, согласно статистической
теории, имеет вид:
kTVD(J — 3),
где k—постоянная Больцмана, D — постоянная, за-
висящая от числа поперечных сшивок между цепями
294 ПОЛИМЕРЫ III.1I
(D возрастает с увеличением числа сшивок) и от гиб-
кости цепей,
/ = л? + М + ^.
Отсюда следует закон деформации:
.,=«го(м
и аналогично для о2.
Эта формула дает правильную картину деформации
в области, в которой Хх, Х2 меняются менее чем на 300%.
В области деформаций, меньших 100%, наблюдаются
отклонения, связанные с тем, что напряжение растет
медленнее, чем следует из формулы. Причина этого рас-
хождения еще не ясна.
9° Эмпирические формулы, описывающие деформации
резин.
Формула Бартенева:
з = £(Х —1),
где Е—упругая постоянная (модуль Юнга), описывает
одноосные растяжения при Х<с2,5.
Формула Мартина, Росса а Штилера:
а = М (1 — Х-i) exp [ А (X — X-1)],
где М и А—постоянные (Л для многих резин равно 0,38),
пригодна для описания одномерного растяжения и сжа-
тия в области 0,5 < X < 3,5.
Формула Муни — Ривлина для свободной энергии
деформации:
7 (Ci (/-3) + Ca (ХГ« + Xj• + Xi•)],
где Ci, Cs — постоянные, / определено соотношением
п. 8°, пригодна в области до 150% изменения кратностей
растяжения. Закон деформации, соответствующий такому
виду F:
а1==(Х?-Х|) (С1 + С8Х§),
и аналогично для с2. Формула особенно хорошо описы-
вает одноосное растяжение, но наблюдаются отклонения
при рассмотрении других видов деформации.
Д.11.8] ВЫСОКОЭЛАСТИЧНОСТЬ РЕЗИН 295
Формула Бартенева а Хазановича:
Г=ИД(к1 + к2 + Х3—3) (1 +BZ),
где А и В—постоянные. Закон деформации, соответ-
ствующий такому виду F:
si = А (М - Х8) {1 4- В [I + 2 (Xt + Х8)]}•
Последние формулы пригодны в области до 200—
300% изменения Хъ Х2, Х3. Если же положить В = 0, то
получатся формулы, пригодные в области до 50—60%
деформации.
ОТДЕЛ Ill
ОСНОВЫ ГИДРОАЭРОМЕХАНИКИ
ГЛАВА 1
ГИДРОАЭРОСТАТИКА
1. Введение
Г Гидроаэромеханикой называется раздел физики
в котором изучаются законы равновесия и движения
жидкостей и газов, а также взаимодействие движущихся
жидкостей и газов с омываемыми ими.твердыми телами.
В гидроаэромеханике отвлекаются от молекулярного
строения жидкостей и газов, рассматривая их как сплош-
ную среду, непрерывно распределенную в пространстве J).
Гидроаэростатикой называется отдел гидроаэромеха-
ники, в котором рассматриваются условия и.закономер-
ности равновесия жидкостей и газов под действием при-
ложенных к ним сил.
Гидроаэродинамикой называется отдел гидроаэроме-
ханики, в котором изучаются законы движения жидко-
стей и газов и их взаимодействия с твердыми телами.
2° Отличительной особенностью жидкостей и газов
по сравнению с твердыми телами является их текучесть,
т. е. малая сопротивляемость деформации сдвига (стр. 270).
При неограниченном уменьшении скорости деформации
силы сопротивления жидкости или газа этой деформации
стремятся к нулю.
Различие между жидкостью и газом заключается лишь
в характере зависимости их плотности от давления, т. е.
в практической несжимаемости жидкостей и заметной
сжимаемости газов.
3° В гидроаэромеханике для капельных жидкостей и
газов обычно пользуются единым термином «жидкость»
(несжимаемая или сжимаемая).
1) Эта модель неприменима к разреженным газам (стр. 203), кото-
рые не могут быть исследованы методами гидроаэродинамики и изу-
чаются в молекулярной физике.
III.1.2] ГИДРОАЭРОСТАТИКА 297
Несжимаемой жидкостью называется капельная
жидкость или газ, зависимостью плотности которого от
давления в рассматриваемой задаче можно пренебречь.
Сжимаемой жидкостью называется газ, зависимостью
плотности которого от давления в рассматриваемой за-
даче пренебречь нельзя.
Идеальной жидкостью называется жидкость, в кото-
рой отсутствует внутреннее трение. Вязкими жидкостями
называются жидкости, для которых явлением внутрен-
него трения -пренебрегать нельзя.
2. Гидроаэростатика
Г Рассмотрение задач гидростатики может быть осно-
вано на принципе отвердевания: равновесие жидкости
не нарушится, если какой-либо элемент ее объема счи-
тать отвердевшим, т. е. если его мысленно заменить та-
ким же по объему и форме элементом твердого тела,
имеющим ту же плотность, что и рассматриваемая
жидкость.
Различают два типа внешних сил, действующих на
элемент объема жидкости, — массовые и поверхностные
силы.
Массовыми силами называются силы, действие кото-
рых не зависит от присутствия других частей жидкости,
кроме рассматриваемого элемента, а численное значение
пропорционально массе этого элемента. Примером мас-
совой силы может служить сила тяжести. Массовая сила
равна Fp dV, где dV — объем рассматриваемого элемента
жидкости, р — ее плотность, F — массовая сила, отнесен-
ная к единице массы жидкости и называемая напряжен-
ностью поля массовых сил (например, для силы тяжести
величина F равна ускорению g свободного падения).
Поверхностными силами называются силы, приложен-
ные к элементу жидкости со стороны прилегающих к нему
частиц остальной части жидкости. Эти силы действуют
на поверхность рассматриваемого элемента. Поверхност-
ная сила, отнесенная к единице площади поверхности,
на которую она действует, называется напряжением.
Всякую поверхностную силу можно разложить на нор-
мальную и касательную к поверхности составляющие.
Соответственно различают нормальное напряжение, или
давление, р и касательное напряжение т. В состоянии
равновесия касательные напряжения в жидкости равны
298
ГИДРОАЭРОСТАТИКА
[I1I.I
нулю и поверхностные силы представляют собой лишь
силы давления, причем давление р в данной точке
жидкости по всем Направлениям одинаково, т. е. не за-
висит от ориентации той поверхности, для которой оно
определяется.
2° Уравнения равновесия жидкости:
р —__ 1 др р ___ J_ др р __ 1 др
х р дх ’ г У р ду * z р dz '
где Fx, Fy и Fz— проекции на оси прямоугольной де-
картовой системы координат вектора F результирующей
напряженности поля массовых сил, действующих на
жидкость. В векторной форме уравнение равновесия
имеет вид:
F = 1 grad/>=!?/»,
где grad р = Vp — ^ i + j-|- k — градиент давления;
i, j, k — орты прямоугольной координатной системы;
V = ^i + ^j+^k — оператор «набла».
Уравнения равновесия получаются из уравнений гид-
родинамики идеальной жидкости (стр. 304) в предположе-
нии, что скорость движения жидкости равна нулю.
3° Равновесие жидкости под действием массовых сил
возможно только в том случае, если напряженность F
поля этих сил удовлетворяет соотношению
fdF dF\ fdF dF\ (dF dF\
или, в векторной форме,
(F rot F) == 0,
’dFy dF*
дх ду
ldF„ dF\ fdF
где rotF = (-^—gfji+j-gf
— ротор, или вихрь, вектора F.
Если плотность жидкости постоянна, о = const, то
1 . . р
у gradp = grad ~ и равновесие возможно только в по-
тенциальном силовом поле (стр. 56) с потенциалом
<р = —j + const. Поверхности равного давления совпа-
дают с поверхностями равного потенциала.
4° Равновесие жидкости в однородном поле силы тя-
жести (F = g = const). Если ось Oz направлена в сто-
Ш.1.2] ГИДРОАЭРОСТАТИКА 299
рону, противоположную g, toF2 = F= — g, FX = FV = O
и уравнение равновесия имеет вид:
^=-gdz.
В общем случае для жидкостей плотность является
функцией давления и температуры: р = р(р, Т). Если
Т = const (условие теплового равновесия) и жидкость
несжимаема, то
p + ?gz=po,
где р0 — давление на уровне z — О. Это соотношение на-
зывается основным уравнением гидростатики для не-
сжимаемой жидкости. Обычно начало отсчета г совме-
щается со свободной поверхностью жидкости, тогда р0 —
внешнее давление на этой поверхности. Разность р—р0
не зависит от р0, т. е. давление, производимое на жидкость
внешними силами, передается ею по всем направлениям
равномерно (закон Паскаля).
Для сжимаемой жидкости, находящейся в тепловом
(Т = const) и механическом равновесии, выполняется
условие
Ф gz = const,
где Ф—изобарно-изотермный потенциал (стр. 168) еди-
ницы массы жидкости, a gz — потенциальная энергия
единицы массы жидкости в поле силы тяжести.
Механическое равновесие жидкости, температура ко-
торой изменяется вдоль оси Oz, является устойчивым,
если выполняется следующее неравенство (условие от-
сутствия конвекции):
где v и з — удельный объем и энтропия единицы массы
жидкости. Для большинства жидкостей >> 0 и усло-
вие отсутствия конвекции имеет вид:
dT gl (dv\
dz > cpv \дт)р>
где ср — удельная теплоемкость жидкости в изобарном
процессе. Для идеального газа
d_i_ Я_
300
ГИДР ОАЭРО ДИНАМИКА
[ШЛ
5е Закон Архимеда: на погруженное в жидкость тело
действует выталкивающая сила, которая численно равна
весу жидкости, вытесненной телом, и приложена в центре
тяжести объема погруженной части тела.
ГЛАВА 2
ГИДРОАЭРОДИНАМИКА
1. Основные понятия
Iе частицей сплошной среды называется весьма ма-
лый элемент объема среды, размеры которого в то же
время во много раз больше межмолекулярных расстоя-
ний. Так как последние очень малы (порядка 10-в см
для газов, находящихся в нормальных условиях), то
частицы жидкости можно приближенно считать точеч-
ными.
2° В кинематике жидкостей возможны два различных
метода описания движения. Один из них, называемый
методом Лагранжа, состоит в том, что движение жидко-
сти задается путем указания зависимости от времени t
координат всех ее частиц:
х = Fi (а, Ь, с, t) \
у = Fa (а, Ь, с, t) > ,
z = Fi (а, b, с, t) )
где о, b и с — координаты частицы в начальный момент
времени £ = 0, служащие для обозначения частицы.
Исключая из этих уравнений время, можно получить
уравнение траектории частицы. Величины а, />, с и t назы-
ваются переменными Лагранжа. Проекции на оси коор-
динат векторов скорости v и ускорения w частицы
равны:
йх
Vx~dt ’
№х
v
— dt э
dz .
—а/ ’
wz — да
Основным методом гидроаэродинамики является ме*
mod Эйлера, который заключается в том, что движение
жидкости определяется путем задания поля скоростей
Ш.2.11
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
301
жидкости в пространстве в каждый момент времени,
т. е.
v=/(r, t),
или, в проекциях на оси прямоугольной декартовой си-
стемы координат,
Vx=/l(X, у, z, t) \
Vv=fa(x, у, 2, 0 к
«г =А (*, У, 2, 0 '
где v = vxi-j-vvj-]-vzk — скорость жидкости в момент
времени t в точке пространства, определяемой радиус-
вектором г = xi + Jj + zk- Величины х, у, г, t назы-
ваются переменными Эйлера. В качестве переменных
Эйлера вместо прямоугольных декартовых координат
(х, у, z) можно пользоваться цилиндрическими, сфериче-
скими и другими координатами.
Проекции на оси прямоугольной декартовой системы
координат вектора w ускорения частиц жидкости равны:
dv dv* . dvr d-и . dv
dv d-и dt>v d-w dv
Wy=^ = ^+-^Vx + -^^v +-^^,
dv _ dv ~ dv dv ~ dv„
w’ = ~dF=^r + l£v*+wvv +
Из этих выражений видно, что ускорение w частицы
жидкости равно сумме двух ускорений: w = Wj0K 4*
+ wK0HB, где
dv dv.. dv
W„OK = -sr 1 + -^ J + ы k
лок dt 1 dt J 1 dt
— локальное ускорение, обусловленное изменением поля
скоростей во времени, и
( dv dvv dv\ e
(d^v dv dv \
v*i£ + vy^+ v^ji +
{ dv9 dv„ dv\
— конвективное ускорение, обусловленное неоднород-
ностью поля скоростей.
302 ГИДРОАЭРОДИНАМИКА [111.2
В дальнейшем все уравнения гидроаэродинамики за-
писываются в переменных Эйлера, причем под х, j, г
подразумеваются прямоугольные декартовы координаты.
3е Движение жидкости называется установ и в шимся,
или стационарным, если поле ее скоростей не изменяется
с течением времени. В противном случае движение на-
зывается неустановившимся. При установившемся дви-
жении жидкости поля давления и плотности не зависят
от времени.
Потенциальным, или безвихревым, называется такое
движение жидкости, при котором в каждый момент вре-
мени во всем объеме жидкости rotv = 0, т. е. скорость
равна градиенту некоторой скалярной функции коорди-
нат и времени ср(х, у, z, t\ называемой потенциалом
скорости. Если существуют области жидкости, в кото-
рых rot v т^О, то движение жидкости называется вих-
ревым.
4° Линией тока называется линия, касательная в каж-
дой точке которой в данный момент времени t совпа-
дает по направлению с вектором скорости жидкости
в этой точке. В случае установившегося течения жидко-
сти линии тока совпадают с траекториями частиц жидко-
сти. Уравнение линий тока имеет вид:
dx dv dz
ч>х (*, у, z, t) Vv (х, у, г, 0 vg (х, у, г, t) »
где время t является фиксированным параметром.
Трубкой тока называется поверхность, образованная
линиями тока, проведенными через все точки малого
замкнутого контура. Часть жидкости, ограниченная труб-
кой тока, называется струйкой. В случае установивше-
гося движения жидкости трубки тока не изменяются во
времени и частицы жидкости движутся так, что каждая
из них остается в пределах определенной струйки.
5° Циркуляцией скорости вдоль замкнутого контура L
называется криволинейный интеграл
r=^(vrfl),
L
где d\ — элементарный вектор, численно равный длине
дуги элементарного участка контура и направленный по
касательной к контуру в сторону его обхода.
111.2.1]
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
303
По теореме Стокса
Г = ( rotn v dS,
S
где S — площадь поверхности, охватываемой контуром Л,
rotnv — проекция rot v на направление внешней нор-
мали п к элементу dS этой поверхности х). В случае по-
тенциального движения жидкости Г = 0 независимо от
выбора контура L.
6° Вихревой линией называется линия, касательная
в каждой точке которой в данный момент времени t со-
впадает по направлению с вихрем скорости rot v в этой
точке. Уравнение вихревой линии имеет вид:
dx ____ dy ____ dz
rot^ v roty v rot^ v ’
где rotx v, rot-y v и rot^ v — проекции вектора rot v на
соответствующие оси координат.
Вихревой трубкой называется поверхность, образо-
ванная вихревыми линиями, проведенными через все
точки малого замкнутого контура. Жидкость, заключен-
ная внутри вихревой трубки, называется вихревой нитью.
Интенсивностью вихря (вихревой трубки) называется
произведение численного значения вектора rot v в ка-
ком-нибудь нормальном сечении вихревой трубки на
площадь а этого сечения. Интенсивность вихря постоянна
вдоль всей вихревой трубки и равна циркуляции скоро-
сти вдоль произвольного замкнутого контура, проведен-
ного на поверхности вихревой трубки и охватывающего
трубку один раз.
7° Потоком жидкости сквозь неподвижную поверх-
ность S называется масса /псек жидкости, проходящей
сквозь эту поверхность за единицу времени:
«сек = | p»n dS = (jn) dS,
где п — единичный вектор внешней нормали к элементу
поверхности dS, vn — проекция скорости жидкости на
направление n, j = pv—вектор плотности потока жидко-
сти.
1) Если поверхность $ всюду выпуклая, то векторы п проводятся
в сторону ее выпуклости, а обход контура L при вычислении цирку-
ляции Г совершается таким образом, чтобы при наблюдении из кон-
цов векторов п он был виден происходящим против часовой стрелки.
304 ГИДРОАЭРОДИНАМИКА (III.2
2. Уравнение неразрывности
Г Уравнение неразрывности является математиче-
ским выражением закона сохранения массы в гидроаэро-
механике. В переменных Эйлера оно может быть запи-
сано в нескольких эквивалентных формах:
а) % + р div v = 0 или зт + р ( + 77) = 0»
' dt 1 г dt 1 г \ дх 1 ду 1 oz / ’
где р (х, у, 2, t) — плотность жидкости, v (х, у, 2, t) — ее
dv dv
скорость, a div v=-^ + ^ + ^7 —дивергенция, или
расхождение, вектора v;
б) +div(pv)=0 или
| (?vx) + J (pz>y) + A (pv2) = 0;
в) + р div v + (v grad р) = 0 или
где grad р — градиент плотности.
2° Уравнение неразрывности для несжимаемой жидко-
с™
dv dv., dv„
divv = 0 или = 0.
dx 1 dy ' dz
Уравнение неразрывности для установившегося дви-
жения жидкости = 0^:
div (pv) = 0 или —-4---------------т/— = 0.
vr ' дх 1 ду 1 дг
При установившемся течении поток жидкости сквозь
поперечное сечение струйки не зависит от местоположе-
ния этого сечения. Для двух произвольных поперечных
сечений dSi и dS2 элементарной струйки выполняется
условие: p^^Si = p2^2^S2.
3. Уравнения движения жидкости
1° Уравнения движения идеальной жидкости (уравне-
ния Эйлера):
а) в векторной форме
£ = F-lgrad/>
1II.2.3] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 305
ИЛИ
dv . . ч о I ,
+ (vv) v = F — - gradp,
где F — напряженность поля массовых сил (стр. 297), р —
давление, р — плотность жидкости, а оператор (vv) =
д . д । d
~ Ух дх + VУ ~ду + ~dz ’
б) в проекциях на оси координат
dv „ 1
dt ~~Гх р
dv„ 1
dt ГУ р
dv 1
__z_ р 1
dt ~Гг~^
др
дх ’
др
ду ’
др
dz
dvx___ !
dz х р
г ds — rv р
dv
др 1
дх ’ I
др I
ду * |
др
дг * *
dv
И ~dT
ИЛИ
dv dv dv
df+”x^+vv^+ v‘
dv dv dv
~di' + ‘ox-dZ +
dv dv dv ,
^+^+^ + ^ = ^-7
дч л
В случае установившегося движения — = 0
_ — —0
~ dt ~~ dt '
2° Уравнения движения вязкой жидкости (уравнения
Навье — Стокса) х):
1) Предполагается, что у = const и С = const. В противном случае
уравнения движения имеют более сложный вид:
+ /k(^+^l_2 /(„divvj + ^div,,
дх I ‘ \ дх 1 ду ) J 3 ду ' ду
₽ dt р г dz ds V dz / dx |/l \ dx dz /] +
+/1 „ (5+^\] _ 2 д div d div
ду L \ ду 1 dz / J 3 dz 1 ' dz
2Q Э- M. Яворский, А. А. Детлаф — 1775
306
ГИДРОАЭРОДИНАМИКА
Ц11.2
а) в векторной форме
= F — 7 gr.adp + + (7 + у) grad div v,
где v = v)/P — кинематическая вязкость жидкости, — ее
динамическая вязкость, или коэффициент внутреннего
трения (стр. 199), С — вторая вязкость (см. п. 3°), аД =
= + —оператор Лапласа (часто оператор
Лапласа обозначают также через V2);
б) в проекциях на оси координат
Для несжимаемой жидкости div v = 0(cTp. 304) и урав-
нение Навье — Стокса имеет вид:
^=F — Igradp + vAv.
Это уравнение может быть представлено в форме, не
содержащей давления р:
~ rot v = rot F + rot [v rot v] -|- ^A rot v.
Если поле массовых сил потенциальное, каким явля-
ется, например, поле тяготения, то rotF = 0. В случае
идеальной жидкости (» = 0) последний член уравнения
также равен нулю.
3° Вторая вязкость (коэффициент второй вязкости) С,
подобно динамической (первой) вязкости т], является по-
ложительной величиной и зависит от химической природы
111.2.3] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ жидкости 307
сжимаемой жидкости, давления и температуры. Если пер-
вая вязкость проявляется при деформации чистого сдвига,
то вторая — при деформации всестороннего сжатия, со-
провождающейся изменением плотности жидкости. При
сжатии и расширении в жидкости нарушается термоди-
намическое равновесие и в ней возникают процессы,
стремящиеся восстановить это равновесие. Так как про-
цессы установления равновесия необратимы (стр. 154), то
они сопровождаются возрастанием энтропии (стр. 166),
свидетельствующим о диссипации энергии. Эта диссипа-
ция энергии и определяющая ее вторая вязкость С будут
тем большими, чем медленнее протекают процессы вос-
становления равновесия по сравнению с процессом сжа-
тия или расширения. Например, величина С должна быть
велика, если при сжатии или расширении в жидкости
нарушается химическое равновесие и возникает химиче-
ская реакция, имеющая большое время релаксации,
т. е. малую скорость. В случае сжатий и разрежений,
вызываемых звуковыми волнами (стр. 495), С зависит от
частоты (дисперсия второй вязкости).
4° Основной задачей гидроаэродинамики является на-
хождение полей скорости, давления и плотности в жидко-
сти, движущейся под действием заданных внешних сил,
т. е. нахождение следующих пяти функций координат и
времени:
У, О, у, z, t),
Ъ=Ых, У, г, t\
P=ft(x, у, z, t) и р=/6 (х, у, z, t).
Уравнения движения и неразрывности достаточны для
решения основной задачи гидроаэродинамики всякой
жидкости, у которой плотность1) и оба коэффициента
вязкости зависят только от давления, причем вид этих
зависимостей задан: р = р (р), С = С (р) и т] = т](р). В част-
ности, это верно для идеальной несжимаемой жидкости
(р = const, т] = С = О), идеальной баротропной жидкости
(7j = C = 0), а также для изотермического движения вяз-
кой жидкости.
Во всех остальных случаях для решения основной
задачи гидроаэродинамики необходимо рассматривать
1) Жидкость, плотность которой зависит только от давления, назы-
вается баротропной.
20*
308 ГИДРОАЭРОДИНАМИКА [Ш.
расширенную систему уравнений, состоящую из уравне-
ний движения, неразрывности, энергии (стр. 311), состоя-
ния жидкости (стр. 135) и уравнений, выражающих зави-
симости динамической и второй вязкостей от параметров
состояния жидкости (см. примечание на стр. 305).
5° Для учета специфических особенностей конкретной
задачи и получения однозначного решения указанной
выше системы дифференциальных уравнений гидроаэро-
динамики необходимо еще указать начальные и гранич-
ные условия для рассматриваемой задачи.
Начальные условия определяют состояние движения
жидкости в начальный момент времени £ = 0:
^о=/1(х, у, z, 0), vvo=/a(x, у, 2, 0) и т. д.
В случае установившегося движения жидкости надобность
в задании начальных условий отпадает.
Граничные условия определяют особые условия дви-
жения жидкости на ее границах с твердыми телами, на
свободной поверхности жидкости и на поверхностях раз-
дела несмешивающихся жидкостей.
6° Некоторые случаи граничных условий для идеаль-
ной жидкости:
а) в точках поверхности неподвижной твердой стенки
нормальная к поверхности составляющая скорости жидко-
сти равна нулю (условие скольжения)'.
п дФ . дФ . дФ л
vn = 0, или - + vg^ = 0,
где Ф (х, у, z) = 0 — уравнение поверхности стенки;
б) если стенка перемещается в пространстве и в общем
случае деформируется при этом, то скорость любой точки
поверхности и скорость частицы жидкости, находящейся
в данный момент в этой точке, должны иметь одинако-
вые проекции на направление нормали к поверхности:
дФ . дФ . дФ . дФ Л
Vr 3- -4- 3“ 4- 3" -Г 37 =
х дх ’ У ду ' z дг 1 dt ’
где Ф (х, у, z, t) = 0 — уравнение подвижной поверхности;
в) на свободной поверхности жидкости Ф (х, у, z, t) =
= 0, помимо условия б), должно выполняться условие
постоянства давления: р(х, у, z, t) = const;
г) на границе раздела двух несмешивающихся жидко-
стей должно выполняться условие равенства давлений
обеих жидкостей, а также условие равенства нормальных
ПШ] уравнения Движения жидкости ЗОд
к поверхности раздела составляющих скоростей самой
поверхности и обеих жидкостей.
1* Некоторые случаи граничных условий для вязкой
жидкости:
а) в точках поверхности неподвижной стенки скорость
жидкости равна нулю (условие прилипания)',
б) в точках поверхности движущейся стенки ско-
рость жидкости равна скорости соответствующей точки
стенки.
Ввиду сложности системы дифференциальных уравне-
ний гидроаэродинамики нахождение ее решения аналити-
ческими методами сопряжено с непреодолимыми трудно-
стями и возможно лишь для некоторых простейших слу-
чаев движения.
8° Установившееся движение идеальной жидкости.
Для установившегося движения баротропной жидкости
(стр. 307) в потенциальном силовом поле справедливо
уравнение Бернулли (интеграл Бернулли)'.
^+? + S7“c’
где — потенциал поля массовых сил, а С — величина,
постоянная для всех точек данной линии тока и, вообще
говоря, изменяющаяся при переходе от одной линии тока
к другой.
Если на жидкость не действуют иные массовые силы,
кроме силы тяжести, то (ось Oz направлена вер-
тикально вверх) и уравнение Бернулли имеет вид:
Для несжимаемой жидкости
+ +р = С1 или « + ^ + PJ= cs,
где pti2/2 — скоростной напор, р — статическое давление,
p/pg — пьезометрическая высота, v2/2g — скоростная
высота.
Для сжимаемой жидкости интеграл у зависит от
вида процесса изменения состояния. В случае изотерми-
ческого и адиабатного (изоэнтропийного) процессов
310
ГИДРОАЭРОДИНАМИКА
идеального газа (стр. 136)
у = In р + const,
избтерм
х — 1
г dp » х х ,
) Т = + const,
адиабат
где v. = cp/cv—отношение удельных теплоемкостей газа
в изобарном и изохорном процессах (показатель адиа-
баты, стр. 147), и &2 — постоянные величины.
9° Потенциальное движение (стр. 302) идеальной баро-
тропной жидкости возможно только в том случае, когда
массовые силы являются потенциальными. Для этого слу-
чая движения справедливо соотношение Коши\
где ср — потенциал скорости (t> = grad<p), уР—потенциал
массовых сил, a f(t) — функция времени, вид которой
остается произвольным.
10° Установившееся потенциальное движение идеаль-
ной жидкости. Для баротропной жидкости справедливо
уравнение Бернулли — Эйлера'.
+ ? + $ у = const.
где константа, в отличие от уравнения Бернулли, одина-
кова для всех линий тока.
11° Плоское движение идеальной несжимаемой жидко-
сти. Плоским движением называется такое движение
жидкости, при котором все ее частицы движутся в пло-
скостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости,
гричем скорости всех частиц, лежащих на одном и том же
перпендикуляре к этой плоскости, одинаковы. Если непо-
гвижную плоскость принять за координатную плос-
кость хОу, то в случае плоского движения
Vx = fl(X, у, t), Vv — f3(x, у, t), ®2 = 0.
Для плоского движения несжимаемой жидкости
дф дф
где ф (х, у, t) — функция тока. Семейство линий ф(х, у, t)=
Ш.2.4] УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 31 1
= const (время t играет роль фиксированного параметра)
представляет собой совокупность линий тока на плоско-
сти хОу в момент времени t.
Если поле внешних сил потенциальное, то функция
тока удовлетворяет дифференциальному уравнению
д д , дф 0Дф дф дДф
dt ' дх ду ду дх ’
где Д = + ^2—двумерный оператор Лапласа.
Если плоское движение несжимаемой жидкости явля-
ется потенциальным, то справедливы уравнения Коши —
Римана'.
0ф 0<р 0ф ду
ду дх1 дх ду ’
Функция тока и потенциал скорости удовлетворяют урав-
нению Лапласа'. Дф = О и Д<р = О. Линии тока являются
ортогональными траекториями семейства линий равного
потенциала скорости.
12° Закон сохранения циркуляции скорости (теорема
Томсона)', при движении идеальной баротропной жидко-
сти в потенциальном поле массовых сил циркуляция ско-
рости вдоль произвольного замкнутого контура, прове-
денного через одни и те же частицы жидкости (мате-
риального контура), не изменяется с течением време-
ни, т. е.
(j) (v d\) = const, или (j) (v б/l) = 0.
L L
4. Уравнение энергии
Г Первый закон термодинамики для движущейся си-
стемы имеет вид:
= или d(#+^) =
= 8Q + М' + d. (pV),
где U и Н — внутренняя энергия и энтальпия системы
(стр. 140), объем которой равен V, р — давление, М —
масса системы, SQ — подведенное извне тепло, б Д' —
работа, совершенная внешними силами, р — скорость
движения системы.
312
ГИДРОАЭРОДИНАМИКА
(III.2
2е Дифференциальное уравнение закона сохранения
энергии для сжимаемой вязкой жидкости:
р^- = е + div (К grad Г) — р div v +
+44O+Gr+(®2]+[G+5y+
+ Й5 + ^У + С& + >У] -4(diw)«} +C(div v)«
или
=e + ^+div(^gradr)+
+Ч2 О+®У+® ’]+[&+S0’+
+ C&+ 5У + G + 5У] ->v v)«} + C(divv).
где и и h — внутренняя энергия и энтальпия единицы
массы жидкости, р, Т и р — плотность, абсолютная тем-
пература и давление жидкости, v — ее скорость, /<, iq
и С — коэффициенты теплопроводности, внутреннего тре-
ния и второй вязкости жидкости, е — количество тепла,
поступающего в единицу объема жидкости за единицу
времени вследствие излучения или каких-либо иных при-
чин, кроме теплопроводности (например, химических
реакций).
Выражение
21Ь?) + + Ы) ] + [U? + +
(д'» / dv., d‘»„\2'i 1 / 2 X
+U+^)]}+^-b)(divv>s
называется диссипативной функцией. Диссипативная
функция представляет собой то количество механической
энергии жидкости, которое преобразуется вследствие
трения во внутреннюю энергию за единицу времени в еди-
нице объема жидкости.
Для газа, подчиняющегося уравнению Менделеева—Кла-
пейрона, в случае не очень значительных изменений
du dT dh dT
температуры можно считать = <Су— и - = ср-^ , где
cv и ср — удельные теплоемкости в изохорном и изобар-
ном процессах.
Ш.2.4]
УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
313
£=£+(vgradS) = 0,
массы жидкости.
жидкости при е = 0 уравнение
3° При /<=7] = С = е = О уравнение энергии опре-
деляет условие адиабатичности движения идеальной
жидкости:
da р
= — — div v, или
dt р ’
где s — энтропия единицы
В случае несжимаемой
энергии имеет вид:
Wgr.d Г) +, |2 + (5у + (%)] +
где с — удельная теплоемкость жидкости.
Для несжимаемой идеальной жидкости при е = 0 и
/<= const
(IT _ апр
dt=avT’
ИЛИ
дТ 1 дТ I дт I дт „(д21 I д*т I д*т\
+ + +^di==a^ + ^ + dj2’)’
где а — К!с?— коэффициент температуропроводности
(стр. 258).
4° Конвективным теплообменом называется передача
энергии в форме тепла между неравномерно нагретыми
частями жидкости или жидкостью и твердыми телами,
осуществляемая в результате движения макроскопических
частей жидкости друг относительно друга или по отно-
шению к твердым телам.
Конвективный теплообмен между жидкостью и твер-
дыми телами называется теплоотдачей. В зависимости
от причин движения жидкости различают теплоотдачу
при свободной (естественной) конвекции и теплоотдачу
при вынужденной конвекции. В первом случае движение
жидкости происходит под действием сил тяготения и яв-
ляется следствием неоднородности удельного веса раз-
лично нагретых участков жидкости. Во втором случае
относительное движение обусловлено либо перемещением
тел в неподвижной жидкости, либо действием на жидкость
различного рода насосов, вентиляторов и т. п.
5° Коэффициентом теплоотдачи называется вели-
чина а, характеризующая интенсивность теплоотдачи
314
ГИДРОАЭРОДИНАМИКА
[1П.2
и численно равная
где q — плотность теплового потока, численно равная
количеству тепла, передаваемого сквозь единицу пло-
щади поверхности тела за единицу времени; ДГ— тем-
пературный напор, равный абсолютной величине разно-
сти между температурами жидкости и поверхности тела.
В ряде случаев температурный напор определяется иначе,
например, при обтекании тела потоком сжимаемой жидко-
сти ДГ обычно принимается равным абсолютной величине
разности между температурой жидкости вдали от тела
и той равновесной температурой, которую имела бы по-
верхность тела в отсутствие теплообмена.
Вследствие влияния вязкости относительная скорость
жидкости на поверхности тела равна нулю. Поэтому около
самой поверхности передача тепла в жидкости осуще-
ствляется путем теплопроводности: q = % | grad Г |ст, где
Л"—коэффициент теплопроводности жидкости, | grad Г|ст—
модуль градиента температуры жидкости на границе с
телом.
Связь между коэффициентами теплоотдачи и тепло-
проводности имеет вид:
a = ^lgradT|CT.
5. Элементы теории размерностей и теории подобия
Г Единицей измерения [А] физической величины А
называется условно выбранная физическая величина,
имеющая тот же самый физический смысл, что и вели-
чина А.
Системой единиц измерения называется совокупность
определенным образом установленных единиц измерения
для всех величин, рассматриваемых в данной области фи-
зики. Например, в механике применяются системы СГС
(абсолютная физическая), МКС (абсолютная практиче-
ская) и МКГСС (техническая), в электричестве и магне-
тизме — СГСЭ (абсолютная электростатическая), СГСМ
(абсолютная электромагнитная), гауссова система еди-
ниц и абсолютная практическая система единиц МКСА J).
1) С 1963 г. в качестве основной вводится международная система
единиц СИ, которая для механических единиц совпадает с системой
ЧКС, а для электромагнитных - с МКСА.
IH.2.5] ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ 315
Абсолютными называются системы, в которых в каче-
стве основных единиц для механических величин приняты
единицы длины, массы и времени
Основными, или первичными, единицами измерения
в данной системе называются независимо установленные
единицы измерения для нескольких (обычно трех или че-
тырех) произвольно выбранных независимых физических
величин. Например, в системе СГС основными единицами
являются 1 см (единица длины), 1 г (единица массы) и
1 сек (единица времени).
Производными, или вторичными, единицами измерения
называются единицы, устанавливаемые через основные
единицы измерения данной системы на основании физи-
ческих законов, выражающих взаимосвязь между рас-
сматриваемыми физическими величинами и величинами,
единицы измерения которых приняты в качестве основных.
Формулой размерности, или просто размерностью,
какой-либо физической величины В называется соотно-
шение, определяющее связь между единицей измерения
этой величины [В] иосновнымиединицами[Л2],..., [Л*]
данной системы. Формулы размерности имеют вид сте-
пенных одночленов:
= ... [Ak\n\
где k — число основных единиц; иа, ..., п^ — рацио-
нальные числа.
Единицы измерения и размерности физических вели-
чин в различных системах единиц, а также соотношения
между единицами измерения одних и тех же величин в
различных системах приведены в Приложении I.
2° Однородными физическими величинами называются
величины, имеющие одинаковые размерности и физический
смысл, т. е. отличающиеся лишь по численной величине
(например, координаты точек тела и его линейные раз-
меры).
Одноименными физическими величинами называются
величины, имеющие одинаковую размерность, но различ-
ный физический смысл. Примером одноименных величин
могут служить коэффициент диффузии и кинематическая
вязкость.
Безразмерными называются величины, численные зна-
чения которых не зависят от выбора системы единиц
измерения. Например, отношение двух однородных или
316 ГИДРОАЭРОДИНАМИКА [III.2
двух одноименных величин является безразмерной вели-
чиной. Отношение двух однородных величин называется
симплексом,
3° Аксиомы теории размерностей.
а) Численное значение а физической величины А равно
отношению этой величины к единице ее измерения [Д]:
б) Физическая величина не зависит от выбора ее еди-
ницы измерения, т. е. при увеличении единицы измере-
ния в q раз численное значение данной физической ве-
личины уменьшается в q раз.
в) Математическое описание какого-либо физического
явления, указывающее функциональную зависимость между
численными значениями физических величин, не зависит
от выбора единиц измерения этих величин. Следовательно,
все члены уравнения, описывающего физический процесс,
должны иметь одинаковую размерность, так что они мо-
гут быть преобразованы к безразмерному виду путем
деления обеих частей уравнения на какую-нибудь по-
стоянную величину, имеющую ту же размерность.
4° п-теорема\ всякое соотношение между п размер-
ными величинами, для измерения которых использовано
k основных единиц измерения, можно представить в виде
соотношения между п — k безразмерными комбинациями
Я1, ..., nn-k этих п величин.
Например, пусть зависимость между численными зна-
чениями <21, ..., ап размерных величин Дх, ..., Ап в рас-
сматриваемом явлении имеет вид an=f(alt а8, ..., ап_^
причем единицы измерения для первых k величин уста-
новлены независимо друг от друга и приняты в каче-
стве основных, а единицы измерения для остальных
п — k величин являются производными, т. е.
k k
[ДА+1| = П |Д/]т<....I= П .
/=] /=1
Тогда, увеличив основные единицы [Дх], [Д8], [Д$]
соответственно в аь а2, ..., раз, можно представить
написанное выше соотношение в безразмерном виде:
1» •••» 1, *i, •••»
или
П1.2.5] ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ
317
где
— ak+l — Л/Н-1 _ Ап
'Ч k т ~ k ’ * ’ "->> к ~ k
Па? П А? П А?
1=1 i=l <=1 /=1
— безразмерные комбинации, или степенные комплексы,
физических величин Alt Ап.
Некоторые следствия тс-теоремы: а) если п -1- k — 0, то
это значит, что уравнение an=f(au ..., ал_х) составлено
неверно, так как его нельзя привести к безразмерному
виду; б) если п — £= 1, то nn_k = const.
5° Два физических процесса называются подобными,
если они подчинены одним и тем же физическим зако-
нам и все величины характеризующие один процесс,
могут быть получены путем умножения однородных с
ними величин характеризующих другой процесс, на
постоянные числа ch которые называются константами
подобия и одинаковы для всех однородных величин:
— c&i •
Критериями подобия называются безразмерные сте-
пенные комплексы, которые входят в безразмерное ма-
тематическое описание рассматриваемого процесса, со-
ставленное с помощью ^-теоремы. Для установления
вида критериев подобия в каждом конкретном случае
необходимо с помощью дифференциальных уравнений
процесса и условий однозначности их решения соста-
вить список всех размерных величин Дъ ..., Ап, харак-
теризующих этот процесс, а затем применить тс-тео-
рему к функционалпной зависимости f(au ..., ап) = 0,
представляющей собой неизвестный интеграл (решение)
задачи.
Определяющими критериями подобия называются
критерии, которые составлены только из величин, за-
данных в условиях однозначности, и независимых пере-
менных.
6° Первая теорема подобия: для двух подобных про-
цессов все критерии подобия попарно равны друг другу,
т. е.
7tJ = 7cJ', ^2 = ^2' и Т. Д.
Вторая теорема подобия: критерии подобия связаны
друг с другом уравнением подобия, которое является
318 ГИДРОАЭРОДИНАМИКА [III.2
безразмерным решением (интегралом) рассматриваемой
задачи, справедливым для всех подобных процессов.
Третья теорема подобия: для того чтобы два про-
цесса были подобны, необходимо и достаточно, чтобы
они были качественно одинаковы, а их определяющие
критерии — попарно равны.
Качественно одинаковыми называются процессы, ма-
тематические описания которых отличаются только чи-
сленными значениями содержащихся в них размерных
величин.
7° Теория подобия является научной основой экспе-
риментальных исследований сложных явлений методом
моделирования и методом аналогии.
Метод моделирования состоит в воспроизведении и
исследовании на модели процессов, качественно одина-
ковых с процессами, имеющими место в реальных объек-
тах. Результаты эксперимента могут быть распростра-
нены на эти объекты, если соблюдены условия, сформу-
лированные в третьей теореме подобия.
Метод аналогии состоит в изучении какого-либо про-
цесса путем экспериментального исследования качественно
других физических процессов, дифференциальные урав-
нения протекания которых и условия однозначности по
своей форме совпадают с таковыми для изучаемого про-
цесса. В настоящее время широко применяются экспери-
ментальные методы исследования различных явлений,
основанные на аналогии между электрическими, гидро-
динамическими, тепловыми, механическими и другими
явлениями. Применительно к тепловым процессам метод
аналогии страдает существенным недостатком, так как
не позволяет учесть зависимость от температуры физи-
ческих свойств среды (вязкости, теплопроводности, тепло-
емкости и т. д.).
8° Основными критериями подобия в гидроаэродинамике
являются число Рейнольдса Re, число Фруда Fr, число
Струхаля St и число Маха М.
Число Рейнольдса Re = где и — характерная для
данной задачи скорость жидкости, / — характерный ли-
нейный размер, v — кинематическая вязкость жидкости.
Выбор характерной скорости и характерного размера в
зависимости от рассматриваемой задачи можно произво-
дить по-разному. Например, при течении несжимаемой
жидкости в круглой трубе диаметром d величина l = d,
a v—средняя по сечению скорость жидкости (v = 47ceK/Wa,
III.2.5] ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ 319
где Исек — секундный объемный расход жидкости); при
поперечном обтекании жидкостью круглого цилиндра диа-
метром d величина l = d, а р — скорость невозмущен-
ной жидкости, т. е. ее скорость вдали перед цилиндром.
Число Рейнольдса характеризует соотношение между си-
лами инерции и силами трения в потоке жидкости.
9° Число Фру да Fr = v*[gl, где v — скорость жидкости
вдали от обтекаемого ею тела, Z — характерный линейный
размер тела, g — ускорение силы тяжести. Число Фруда
характеризует соотношение между силами инерции и
силами тяжести в потоке жидкости. Оно играет важную роль
при моделировании процессов, связанных с работой раз-
личных гидротехнических сооружений, движением корабля
и т. п. При моделировании газовых потоков этот крите-
рий подобия не играет сколько-либо существенной роли,
так как ввиду малой плотности газов влиянием силы тя-
жести обычно можно пренебречь.
10° Число Струхаля является критерием подобия не-
установившихся движений жидкости. Оно равно St = оТЦ,
где о — характерная скорость, I — характерный линей-
ный размер, а Т — характерный интервал времени (на-
пример, для периодических движений Т — период).
11° ЧислоМ (число Маха, число Майе в ского): М = ^/с,
где v — скорость жидкости в рассматриваемой точке,
с — скорость звука (в жидкости) в той же точке. Число М
является мерой влияния сжимаемости жидкости на ее дви-
жение. В тех случаях, когда М< 1, жидкость можно счи-
тать несжимаемой. Движение сжимаемой жидкости назы-
вается дозвуковым, если М < 1, и сверхзвуковым, если
М>1. Число М является основным критерием подобия
для установившихся движений сжимаемой жидкости,
совершающихся с большими скоростями.
12° Основными критериями подобия в случае стаци-
онарной теплоотдачи при свободной конвекции (стр. 313)
несжимаемой жидкости являются критерии Нуссельта Nu,
Грасгофа Gr и Прандтля Рг, а в случае стационарной
теплоотдачи при вынужденной конвекции (стр. 313) — кри-
терии Nu, Re и Рг. Часто применяется также критерий
Пекле Pe = RePr.
13° Критерий Нуссельта: Nu = al/К, где а — коэф-
фициент теплоотдачи (стр. 313), I — характерный размер,
^ — коэффициент теплопроводности жидкости.
14° Критерий Прандтля характеризует физические
свойства жидкости. Он равен Рг = v/a = f\clK, где w —
320 ГИДРОАЭРОДИНАМИКА [III.2
кинематическая вязкость жидкости (стр. 305), а — ее ко-
эффициент температуропроводности (стр. 258), и с —
динамическая вязкость и удельная теплоемкость жидкости.
а ,^/3
15° Критерий Грасгофа: Gr = cv2 - ДГ, где at — тер-
модинамический коэффициент расширяемости (стр. 175)
жидкости, v — ее кинематическая вязкость, g — ускорение
свободного падения, / — характерный размер, ДГ— тем-
пературный напор, равный абсолютной величине разности
между температурами жидкости и стенки.
6. Движение тел в жидкости. Пограничный слой
Г В соответствии с механическим принципом относи-
тельности (стр. 44) задача о силовом взаимодействии
между телом, движущимся равномерно и прямолинейно
со скоростью и в неподвижной неограниченной жидкости,
и жидкостью эквивалентна задаче о взаимодействии между
неподвижным телом и набегающим на него стационар-
ным потоком жидкости, скорость v0 которого вдали перед
телом равна — и.
2° Уравнение Навье — Стокса (стр. 305) для стацио-
нарного течения жидкости в отсутствие массовых сил
имеет вид:
(W) v = — | gradp + vAv + +1) grad div v.
В случае обтекания тела потоком несжимаемой
жидкости (divv = 0), соответствующим малым значениям
числа Рейнольдса (Re = tr0Z/»<l, где I — характерный
размер тела), так что инерционный член (vV) v <С ^Ду,
это уравнение может быть представлено в следующей
приближенной форме:
тдДу — gradр = 0, или Д rot v = 0.
3° Сила сопротивления F, действующая со стороны
потока жидкости на медленно движущееся в ней тело
шарообразной формы, определяется по формуле Стокса:
F = — 6ти]/?и,
где R — радиус тела, и — его скорость, т] — динамическая
вязкость жидкости. Формула справедлива при Re << 1
(Re = uR?/^ р — плотность жидкости).
Скорость и установившегося падения твердого шара
в вязкой жидкости, происходящего под действием силы
Ш.2.6]
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ЖИДКОСТИ
321
тяжести, в пределах применимости формулы Стокса равна
(р> ~ р)
97)
где р' — плотность шара, g—ускорение свободного па-
дения.
Сила сопротивления и скорость установившегося па-
дения шарообразной капли жидкости равны:
2/?2* (р'- Р)
Зт] (27) 4- 37)')
где р' и т]' — плотность и динамическая вязкость жидкости,
образующей каплю.
Для маленького пузырька пара, всплывающего в
жидкости, p'^sO и Поэтому сила сопротивления
F=47C7)/?a
и скорость перемещения пузырька
И = _^£Р_
37)
4° При очень больших значениях числа Рейнольдса
приближенно можно считать, что влияние вязкости про-
является только в той части жидкости, которая движется
в непосредственной близости от поверхности обтекаемого
ею тела и поэтому называется пограничным слоем.
Скорость жидкости на поверхности тела равна нулю
(условие прилипания, стр. 309), скорость на внешней гра-
нице пограничного слоя зависит от скорости и попереч-
ных размеров набегающего потока, формы и размеров
тела. В случае продольного обтекания тонкой пластины
дозвуковым потоком эта скорость равна скорости набе-
гающего потока.
Толщина пограничного слоя постепенно возрастает
при перемещении вдоль поверхности тела по направле-
нию течения жидкости. При прочих равных условиях
пограничный слой тем тоньше, чем больше число Рей-
нольдса.
Вне пограничного слоя жидкость с достаточной сте-
пенью точности можно считать идеальной.
5° Возможны два качественно различных типа тече-
ния вязкой жидкости - ламинарное и турбулентное.
Ламинарным называется упорядоченное течение жидкости,
при котором траектории соседних частиц мало отличаются
21 Б. М. Яворский, А А. Детлаф
322
ГИДРОАЭРОДИНАМИКА
[III.2
друг от друга, так что жидкость можно рассматривать
как совокупность отдельных слоев, движущихся с раз-
ными скоростями, не перемешиваясь друг с другом.
Турбулентным называется течение жидкости, при кото-
ром ее частицы совершают неустановившиеся неупоря-
доченные движения по сложным траекториям, в резуль-
тате чего происходит интенсивное перемешивание раз-
личных слоев движущейся жидкости.
Ламинарное течение может быть как установившимся,
так и неустановившимся, турбулентное — только неуста-
новившимся (скорость жидкости в каждой точке про-
странства нерегулярно изменяется по времени). Для ха-
рактеристики турбулентного потока пользуются понятием
средней скорости v в данной точке пространства, полу-
чающейся в результате усреднения истинной скорости V
за достаточно большой промежуток времени. Разность
v' = v —v называется пульсацией скорости. Турбулент-
ное течение условно считают установившимся, если v
/ dv n\
не зависит от времени (-^-=01.
Турбулентное течение возникает в результате потери
устойчивости ламинарным течением при достаточно боль-
ших значениях числа Рейнольдса.
6° Уравнения установившегося плоского (стр. 310) дви-
жения несжимаемой жидкости в ламинарном погранич-
ном слое:
dv dv dsv 1 dp dv dv
Vjc dx ~dy~ dy* p" dx ’ ThT dy ’
где x и у — криволинейные координаты, отсчитываемые
вдоль поверхности тела в направлении течения жидкости
(х) и по нормали к этой поверхности (у/), р — давление
на внешней границе пограничного слоя. Давление пере-
дается сквозь пограничный слой без изменения, т. е.
^-з=0, р=р(х), и связано со скоростью о на внешней
границе пограничного слоя соотношением
\ dp *. dv
-—— —s —<о —-
р dx dx '
Т В случае ламинарного пограничного слоя на пла-
стине, продольно обтекаемой несжимаемой жидкостью,
касательное напряжение на поверхности пластины, вы-
1II.2.71
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ
323
зываемое силами трения, равно
=0,332
тст » 0,332
где р и т) — плотность и динамическая вязкость жидкости,
#0 — скорость набегающего потока, х — расстояние от
передней кромки пластины, Re* = Х0ор/т). Если длина
пластины по потоку равна Z, то среднее значение напря-
жения трения по всей пластине
I
?ст = 7 5 тст dl=°>664 Р»о 27==.
1 X У Re
где Re = Z0op/T).
8° Число Рейнольдса (Rex)Kp, при котором происходит
переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный,
называется критическим. Для продольного обтекания
пластин и тел с малой кривизной поверхности
(Rex)Kp 300 000 и в сильной степени зависит от сте-
пени начальной турбулентности набегающего потока,
равной отношению среднеквадратичной пульсации ско-
рости набегающего потока к его средней скорости:
lAj? lv0.
Турбулизация пограничного слоя приводит к возра-
станию градиента скорости жидкости на поверхности
тела и увеличению напряжения трения, так как в этом
случае внутреннее трение в жидкости обусловлено одно-
временно действующими процессами переноса количества
движения как за счет тепловюго движения молекул, так
и за счет турбулентного перемешивания.
7. Движение жидкостей в трубах
Г Из уравнения неразрывности следует, что при уста-
новившемся течении жидкости в трубе
mceK = ?vndS = const,
где тсек—масса жидкости, протекающей за единицу
времени сквозь каждое поперечное сечение трубы (се-
кундный массовый расход, стр. 303), р — плотность жидко-
сти, dS — элемент площади поперечного сечения, vn —
21*.
324 ГИДРОАЭРОДИНАМИКА (ТП.Э
нормальная к площадке dS составляющая скорости
жидкости.
Если жидкость несжимаема, то
VceK = \vndS = const,
где Усек— объем жидкости, протекающей за единицу
времени сквозь произвольное поперечное сечение трубы
(секундный объемный расход).
В случае течения идеальной жидкости в цилиндриче-
ской трубе (S = const) скорость vn — v и одинакова во
всех точках данного поперечного сечения, а для несжи-
маемой жидкости скорость одинакова также для всех
сечений.
Для сжимаемой жидкости
рР = —= const.
2е При движении несжимаемой вязкой жидкости по
цилиндрической трубе поток в начальном участке трубы
состоит из двух частей — пограничного слоя у стенок
и невозмущенного ядра, в пределах которого скорость
жидкости во всех точках данного поперечного сечения
одинакова. По мере удаления от входа в трубу толщина
пограничного слоя увеличивается до тех пор, пока на
расстоянии /стаб он не заполняет все поперечное сечение
трубы. Начальный участок длиной /стаб называется
участком гидродинамической стабилизации, а течение
жидкости за этим участком — стабилизированным, так
как ему соответствует одинаковое по всем сечениям поле
скоростей жидкости. Длина /ста5 возрастает с увеличе-
нием размеров трубы и числа Рейнольдса (для ламинар-
ного потока в круглой трубе ZCTa6 R • Re, где /? — ра-
диус трубы, Re = 2VceK/7t/?v).
3° В случае стабилизированного ламинарного течения
несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе, ось
которой совпадает с осью Oz прямоугольной декартовой
системы координат, скорость v жидкости во всех точках
трубы параллельна оси Oz\ vx = vv = Q и vz = v. Из
уравнения неразрывности (стр. 304) следует:
77=0. т. е. v = f(x, у).
Ш.2.7]
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ
825
Из уравнений Навье — Стокса (стр. 306) следует:
-^=^=0 ^- = -^ =1)('^- + ^l'|=const=—
дх ду °’ дг dz ’I ) const z
где Др — падение давления на участке трубы длиной /.
4° Для круглой цилиндрической трубы это уравнение
можно представить в виде
1 d f dv \ Ьр
г dr \ dr / 7}Z ’
где r= j/x2+y2 — расстояние от оси трубы.
Распределение скоростей жидкости по сечению трубы
выражается формулой
где R— радиус трубы, г — расстояние от оси до рассма-
триваемой точки поперечного сечения, т)— динамическая
вязкость жидкости, Др — падение давления на участке
трубы длиной /.
Секундный объемный расход жидкости определяется
по формуле Пуазейля'.
I г А
^сек — щ &Р-
5е Если труба имеет эллиптическое сечение, то
. х Ар а-№ Г . л:2 уЗ 1
© (X, у) — [ 1 — — *2 I >
Исек 4^ (аз ]_ ь*) йР>
где а и b — полуоси эллипса, х и у — координаты рас-
сматриваемой точки поперечного сечения в системе ко-
ординат, оси Ох и Оу которой совпадают с полуосями
а и b эллипса.
6° Для течения в кольцевом зазоре между соосными
цилиндрическими поверхностями с радиусами и > Ri
л г — R% т
У ------ Г D4____04___ ~ 1
‘'сек — 8т)/ [^2 bMPa/tfi) J •
7° Критическое число Рейнольдса ReKp (Re =
= 41/сек/тсд\, где d — диаметр трубы), соответствующее
326
ГИДРОАЭРОДИНАМИКА |П1.2
переходу ламинарного течения в турбулентное, для глад-
ких круглых труб имеет порядок ^2300.
Для турбулентного течения несжимаемой жидкости
в круглой цилиндрической трубе имеется ряд полуэмпи-
рических формул.
8° Для стационарного адиабатического течения иде-
альной сжимаемой жидкости в трубе переменного сече-
ния зависимость плотности потока жидкости pv от ско-
рости v имеет вид:
где с — местная скорость звука (стр. 495), ар — плотность,
соответствующие параметрам состояния жидкости в се-
чении, где ее скорость равна v.
Величина ро достигает максимального значения p#v$
при скорости v*, равной местной скорости звука с* и
называемой критической скоростью. Отношение =
называется коэффициентом скорости. При М# < 1 поток
является дозвуковым, а при М# > 1—сверхзвуковым
(стр 319). Для перехода от дозвукового течения к сверх-
звуковому необходимо, чтобы площади S поперечных
сечений трубы изменялись вдоль ее оси по закону
pv pv *’
т. е. в области дозвукового течения постепенно умень-
шались вплоть до критического значения 8#, а затем
вновь увеличивались. Такая труба называется соплом
Лаваля.
Для идеального газа
°* = Кгп = / в То •
1 X
/2\* — 1 2 / 2 \х " I
Р* = Ро (j-qnJ = и
где х — показатель адиабаты (стр. 147); В — удельная га-
зовая постоянная (стр. 138); pQ, р0 и Го —давление, плот-
ность и температура газа, адиабатически заторможенного
до скорости t/ —0; с0 — скорость звука в газе при тем-
пературе Го; Р*, Т* и р* — критические значения плот-
. сти, температуры и давления.
II1.2.71 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ 327
В произвольном сечении трубы параметры идеального
газа удовлетворяют уравнениям:
X - 1 о»\х - 1
Г=Г.(1
X - I в«\ _ т / , X — I к»\
2 С»>~/0\ » + l»V'
* *
* — 1 ®8\Х ~ I / I X — I ®а\Х ~ 1
ОТДЕЛ IV
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ А В А 1
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
1. Основные понятия. Закон Кулона
Iе Электростатикой называется учение о свойст-
вах и взаимодействии электрических зарядов, неподвиж-
ных относительно избранной для их изучения системы
координат.
Существуют только два рода электрических зарядов:
положительные и отрицательные. Одноименные заряды
отталкиваются друг от друга, а разноименные притя-
гиваются друг другом.
2° Закон сохранения электрических зарядов', алгебраи-
ческая сумма электрических зарядов в изолированной си-
стеме сохраняется постоянной. Следовательно, в нейт-
ральном (незаряженном) теле содержатся заряды про-
тивоположных знаков, равные по абсолютной величине.
3° Электрический заряд любого тела состоит из це-
лого числа элементарных зарядов, равных 4,8 • 1010
электростатических единиц количества электричества
(СГСЭч). Наименьшая устойчивая частица, обладающая
отрицательным элементарным зарядом, называется элек-
троном. Масса электрона равна 9,1 -10 28 г Наименьшая
устойчивая частица, имеющая положительный элементар-
ный заряд, называется протоном. Масса протона равна
1,67 • 10-24 г. Электроны и протоны входят в состав ато-
мов любого вещества.
Электрические заряды считаются точечными, если
линейные размеры тел, на которых эти заряды сосредо-
точены, много меньше любых рассматриваемых рас-
стояний.
4° Закон Кулона', сила F12 электростатического взаи-
модействия между двумя точечными электрическими за-
рядами (/1 и q2 прямо пропорциональна произведению ве-
личин зарядов и обратно пропорциональна квадрату рас-
IV.1.2] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
329
стояния г между ними:
где Г12 = — г21 — радиус-ве
qx и q2 (рис. IV 1. 1). Сила
ральной — она направлена
вдоль прямой, соединяющей
заряды; kt - коэффициент
пропорциональности, зави-
сящий от свойств среды, в
которой происходит взаимо-
действие, и выбранной си-
стемы единиц измерения
(стр. 314): в системе МКСА1)
ki — 1: в системе СГСЭ fei=
4тееое 1
диэлектрическая проницаемость
во сколько раз в данной среде
тор, соединяющий заряды
F13 =— F2i является цент-
ру _ Г?? _
<7,*#
,г
Рис. IV. 1.1.
— • е — относительная
е
среды, показывающая,
сила взаимодействия
между зарядами уменьшается по сравнению с вакуумом,
е0 = 8,8510 12 к2>н м2 = 8,85- 10-12 ф(м—электриче-
ская постоянная.
В скалярной форме:
5 = --(в системе МКСА);
F = -j- (в системе СГСЭ).
5е Для одноименных зарядов (qx > 0, q2 > 0 или qx <0,
q2 с 0) Л>0, что соответствует их взаимному отталки-
ванию. Для разноименных зарядов (qx > 0, q2 < 0 или
qx < 0, q2 > 0) F < 0, что соответствует взаимному при-
тяжению зарядов.
Закон К\л<»на справедлив для взаимодействия не толь-
ко точечных зарядов, но и тел шарообразной формы, если
заряды qx и q2 распределены равномерно по объему или
поверхности этих тел (при этом г может быть соизмери-
мо с радиусами шаров).
2. Электрическое поле. Напряженность поля
Г Пространство, в котором находится электрический
заряд, обладает >ем свойством, что на внесенный в него
другой заряд действует электросгашческая сила Кулона.
См. примечание на стр. 314.
330
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Jiva
Следовательно, в пространстве, окружающем электриче-
ские заряды, существует силовое поле.
Полем называется форма материи, осуществляющая
определенные взаимодействия между макроскопическими
телами или частицами, входящими в состав вещества.
Например, в поле тяготения (стр 48) осуществляется
гравитационное взаимодействие тел В электростатиче-
ском поле осуществляется электростатическое взаимодей-
ствие заряженных тел На неподвижные частицы или
заряженные тела, помещенные в это поле, действуют си-
лы, пропорциональные величине их заряда. Электроста-
тическое поле является частным случаем электрического
поля (стационарным электрическим полем, созданным не-
подвижными зарядами).
2е Представление о силовом поле тесно связано с
предположением о конечной скорости распространения
любых взаимодействий (стр. 480) Согласно теории близ-
кодействия все изменения полей распространяются с
некоторой скоростью В специальной теории относитель-
ности (стр. 480) в соответствии с данными опытов утвер-
ждается, что эта скорость не превышает с = 3 • 1010 см!сек
(скорость света в вакууме).
3° Напряженность электростатического поля является
его силовой характеристикой. Напряженностью электри-
ческого поля в какой-либо точке называется вектор Е,
который численно равен и совпадает по направлению с
силой F, действующей со стороны поля на помещенный
в рассматриваемую точку единичный положительный за-
ряд q0‘-
Е = —
Чо
Предполагается, что точечный <пробный> заряд не
участвует в создании поля и не искажает его.
Для графического представления об электростатиче-
ском поле вводится понятие о силовых линиях, или ли-
ниях напряженности (соответственно можно говорить о
линиях смещения, стр. 334). Силовыми линиями назы-
ваются кривые, касательные к которым в каждой точке
совпадают с направлением вектора напряженности. Направ-
ление силовых линий считается совпадающим с направ-
лением вектора напряженности. Силовые линии начина-
ются на положительных зарядах и оканчиваются на от-
рицательных, нигде не пересекаясь (однозначность на-
1VJ.2] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 331
правления Е в каждой точке поля). Силовые линии со-
впадают с траекториями заряженных тел или частиц,
движущихся в поле, только в том случае, если эти тра-
ектории прямолинейны и начальные скорости тел (частиц)
совпадают по направлению с силовыми линиями или
равны нулю.
Электростатическое поле называется однородным^ ес-
ли вектор Е во всех точках поля одинаков. В противном
случае поле называется неоднородным. В однородном
электростатическом поле положительный заряд движется
по силовой линии, если его начальная скорость v0 II Е.
4° Результирующая сила F, действующая на пробный
заряд q0 со стороны поля, созданного системой непо-
движных зарядов qlt q^^., qn, равна векторной сумме
сил Ft-, приложенных к нему со стороны каждого из
полей зарядов
п
F = £ Ff.
i = l
Отсюда следует принцип наложения (суперпозиции) элек-
трических полей:
Е= £Ef.
i — I
Напряженность электростатического поля системы
точечных зарядов равна векторной сумме напряженностей
полей, создаваемых каждым из этих зарядов в отдель-
ности.
В случае непрерывного распределения электрических
зарядов
Е = ^Е;
интегрирование производится по области, где распреде-
лены заряды:
а) вдоль линии, если заряды распределены вдоль
линии с линейной плотностью т = (dq — элементарное
количество электричества, dl — элемент длины);
б) по поверхности, если заряды распределены по по-
верхности с поверхностной плотностью {dS—эле-
ментарная площадь поверхности);
332
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[IV.l
в) по объему, если заряды распределены в объеме
с объемной плотностью р = (dV— элемент объема).
5° Напряженность электростатического поля точечного
заряда q равна:
Е = ~- (в системе МКСА);
Е = у (в системе СГСЭ),
где г — радиус-вектор, проведенный из точечного заряда
в исследуемую точку поля; е— относительная диэлектри-
ческая проницаемость среды, е0 — электрическая постоян-
ная. В скалярной форме:
Е = (в системе МКСА);
Е = ^ (в системе СГСЭ).
6° Напряженность электростатического поля системы
точечных зарядов qu q^..^ qn равна:
Е=i S -77 <в системе МКСА);
я q. г-
Е = V —~—- (в системе СГСЭ).
/в eri ri
В частности, для электрического диполя — системы
двух равных по величине и противоположных по знаку
электрических зарядов + q и — 7, расположенных на
расстоянии / друг от друга, малом по сравнению с рас-
стоянием г до рассматриваемой точки поля:
3(рег)г ре
Е =-----z-------5- (в системе СГСЭ),
[ де рр = q\ — электрический момент диполя; вектор 1
направлен по оси диполя от отрицательного заряда к
положительному В сферической системе координат
г, Й и с центром в середине диполя и полярной осью,
IV.1.2]
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
333
параллельной ре (рис. IV. 1. 2.):
2рр COS О PpSin ft
Er ——, E§ =—, ^ = 0 (в системе СГСЭ).
Модуль вектора напряженности
Е = р^З cos2 ft + 1 (в системе МКСА);
£ = -~8 У 3 cos2 ft + 1 (в системе СГСЭ).
7° Напряженность электростатического поля вне рав-
номерно заряженной бесконечной прямой линии, круго-
вого цилиндра, заряженного по по-
верхности, в пространстве между £
двумя коаксиальными цилиндрами
(коаксиальный кабель, цилиндриче- с'
ский конденсатор, стр. 345):
Е = 2тс7дЕ~ у (в системе МКСА); г/
Е = ^.у (в системе СГСЭ), /
О/\\
где т—линейная плотность зарядов, -у
г — радиус-вектор кратчайшего рас-
стояния до рассматриваемой точки рИс. IV. 1.2.
поля от оси цилиндра. Напряжен-
ность поля внутри цилиндра Е, = 0.
8° Напряженность однородного электростатического
ноля равномерно заряженной бесконечной плоскости:
Е = (в системе МКСА);
Е = (в системе СГСЭ),
где о — поверхностная плотность зарядов.
9° Напряженность электростатического поля между
двумя равномерно и разноименно заряженными беско-
нечными параллельными плоскостями:
Е = “ (в системе МКСА);
£ = (в системе СГСЭ),
334
ЭЛЕК'1 РОСТА! ИКА
где а — абсолютная величина поверхностной плотности
зарядов обеих плоскостей.
10° Напряженность электростатического поля шара
радиуса R, заряд q которого равномерно распределен по
его поверхности, совпадает вне шара с напряженностью
поля точечного заряда, помещенного в центре шара:
Е = у- „ (в системе МКСА);
4тсе0ег8 ' '
(в системе СГСЭ).
Напряженность поля внутри шара Ег- = 0.
11° Напряженность электростатического поля шара
радиуса /?, равномерно заряженного по объему с объем-
ной плотностью р:
r<R- E=i.'r
(в системе МКСА);
Е=^ярг
(в системе СГСЭ).
3. Электрическое смещение. Теорема
Остроградского — Гаусса для потока смещения
Г Электрическим смещением (электрической индук-
цией) D называется векторная величина, характеризующая
электрическое поле, созданное данной системой зарядов,
и не зависящая от относительной диэлектрической про-
ницаемости среды. Для изотропной однородной среды в
отсутствие сегнетоэлектриков (стр. 353)
D = еоеЕ (в системе МКСА);
D = eE (в системе СГСЭ).
Поскольку Е всегда обратно пропорционально е, то D
от е не зависит. Физический смысл вектора D см. на стр. 351.
2° Основной задачей электростатики является оты-
скание векторов D и Е в каждой точке электрического
поля, созданного данной системой источников поля —
электрических зарядов. Для решения этой задачи, помимо
принципа суперпозиции полей (стр. 331), применяется ме-
тод, основанный на вычислении потока смещения.
IV.l.31
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СМЕЩЕНИЕ
335
Элементарный поток d<&e смещения D сквозь участок
поверхности dS равен
dfye = (Dn) dS = D dS cos (D, n) = DndS == D dSni
где n — единичный вектор внешней нормали к площадке
dS (рис. IV. 1. 3), Dn — проекция вектора D на направ-
ление нормали, dSn = dS cos (D, n). Поток смещения Фе
сквозь произвольную поверхность S на-
ходится суммированием (интегрировани- пу
ем) всех элементарных потоков: D
Фе = D dS cos (D, n) == /
s
= ( DndS = D dSn.
S S Рис. TV. 1.3.
Если поле однородно и плоская по-
верхность S расположена перпендикулярно к полю,
то Dn~D = const и
Фе = DS.
3° Теорема Остроградского — Гаусса-, поток смеще-
ния Фе сквозь произвольную замкнутую поверхность
пропорционален алгебраической сумме свободных элек-
трических зарядов qit охватываемых этой поверхностью:
Фе = Dn dS = S qi (в системе МКСА);
S
Фе = (j) Dn dS = 4тс 5^- (в системе СГСЭ).
Поток смещения Фе сквозь произвольную замкнутую
поверхность, не охватывающую свободных зарядов, ра-
вен нулю.
Теорема Остроградского — Гаусса в дифференциаль-
ной форме (р — объемная плотность зарядов, стр. 332):
div D = р (в системе МКСА);
div D = 4rcp (в системе СГСЭ).
В такой форме теорема показывает, что источниками
электрического смещения являются свободные электри-
ческие заряды. Дифференциальная форма теоремы явля-
ется одним из уравнений Максвелла для электромагнит-
ного поля (стр. 463).
336
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[IV.l
Применение теоремы Остроградского — Гаусса к вы-
числению D сводится к выбору такой произвольной по-
верхности, чтобы она допускала элементарным путем
вычисление потока смещения Фе.
4. Потенциал электростатического поля
Г Элементарная работа dA, совершаемая силой F,
действующей на точечный электрический заряд q', нахо-
дящийся в электростатическом поле с напряженно-
стью Е, равна
dA — Fdl cos (F, dl) = q'E cos (E, dl) d/,
где dl— элементарное перемещение заряда, (E,dl) — угол
между направлениями векторов Е и dl.
Полная работа А при конечном перемещении заряда q'
из точки п в точку т поля (рис. IV. 1. 4) равна
т
А = q'^E dl cos (Е, dl).
п
2е Если электростатическое поле создано точечным
зарядом 4- q, то
А = (в системе МКСА),
где ft и г2 — расстояния точек п и т от заряда q, е0 —
электрическая постоянная,
Рис. IV. 1.4.
внешние силы). Работа
ния разноименных зарядов
е — относительная диэлек-
трическая проницаемость.
Работа электрических
сил отталкивания одноимен-
ных зарядов положительна
при удалении их друг от
друга и отрицательна, если
заряды сближаются (работу
в этом случае совершают
электрических сил притяже-
положительна при сближе-
нии их и отрицательна при удалении зарядов друг
от друга В последнем случае работу совершают внеш-
ние силы Работа, совершаемая при перемещении элек-
трического заряда q' в поле, созданном зарядом q, не
зависит от формы пути, а зависит лишь от начального
и конечного положений заряда (потенциальность элек-
тростатических сил, стр. 56).
IV. 1.4] ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 337
Работа, которую совершают электрические силы при
перемещении единичного положительного заряда по зам-
кнутому пути £,
А = j) Е dl cos (Е, dl) = (£ (Е dt);
L L
интеграл называется циркуляцией напряженности по
замкнутому контуру L.
Циркуляция напряженности электростатического поля
по замкнутому контуру равна нулю (потенциальный ха-
рактер электростатического поля):
(Е dl) = Е dl cos (Е, dl) = 0.
L 1
Условие потенциальности электростатического поля
в дифференциальной форме:
rot Е =0.
3° Работа, совершаемая при перемещении электриче-
ского заряда q' в электростатическом поле, созданном
зарядом q, равна убыли потенциальной энергии U7n
заряда q'\
Д = -Д1Гп=и7п1-1Гп2,
где U7nl и 1ГП2 — значения потенциальной энергии заря-
да в начальной и конечной точках траектории При
перемещении заряда q' в электростатическом поле, со-
зданном произвольной системой зарядов (qu (fa..-, qn),
электростатические силы совершают работу, равную ал-
гебраической сумме работ, произведенных силами, дей-
ствующими на q’ со стороны каждого из зарядов q^
Изменение потенциальной энергии Д^7П заряда q' при
перемещении его из точки 1 в точку 2 в поле системы
точечных зарядов q$
где и ri2 — начальное и конечное расстояния между
зарядами qt и q'; суммирование проводится по всем п
зарядам системы.
4° Потенциальная энергия электрического заряда q' в
данной точке электростатического поля, удаленной на
22 Б М Яворский, А. А. Детлаф
338
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[IV.l
расстояние г от заряда q, создающего поле, при условии,
что Wn (оо) = 0, равна:
1ГП =5= 4^— (в системе МКСА):
1ГП == (В системе СГСЭ).
Потенциальная энергия отталкивания одноименных
зарядов положительна и возрастает при сближении заря-
дов. Потенциальная энер-
гия притяжения разноимен-
ных зарядов отрицательна и
возрастает до нуля при
удалении одного из заря-
дов в бесконечность. На
рис. IV. 1.5 показана за-
висимость 1ГП (г) для двух
точечных зарядов.
5е Потенциал электриче-
ского поля является его
стикой. Потенциалом в
энергетической характери-
данной точке поля называется
скалярная величина, численно равная потенциальной
энергии Wn единичного положительного заряда, поме-
щенного в эту точку:
r q
6° Работа, которая совершается силами электростати-
ческого поля при перемещении точечного электрического
заряда q1 равна произведению этого заряда на разность
потенциалов в начальной 1 и конечной 2 точках пути:
Д = И7п1 — 1ГПЗ = q (<pi — Тз).
Если точка 2 находится в бесконечности, то UTnj = О
и принимается, что <р2 = 0. Работа А^ перемещения за-
ряда q из точки 1 в °°:
А» = ^п1 = <7?1.
следовательно: <р = A^/q.
Потенциал электростатического поля численно равен
работе, совершаемой электрическими силами при пере-
мещении единичного положительного заряда из данной
точки поля в бесконечность. Потенциал численно равен
также работе, которую совершают внешние силы (про-
IV.1.4] ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 339
тив сил электрического поля) при перемещении единич-
ного положительного заряда из бесконечности в данную
точку.
Часто за нуль потенциала принимается не значение
его в бесконечности, а значение потенциала Земли. Это
несущественно, ибо во всех практических расчетах важ-
но знать разность потенциалов между двумя точками
электростатического поля, а не абсолютные значения
потенциалов в этих точках.
7° Потенциал поля точечного заряда q при условии
у (со) = 0 равен:
ср = - (в системе МКСА);
'ср = (в системе СГСЭ),
где г — расстояние точки поля, обладающей потенциалом
ср, от заряда q, е — относительная диэлектрическая прони-
цаемость, е0 — электрическая постоянная.
8° Потенциал поля произвольной системы точечных
зарядов при условии ср (со) = 0 равен:
ZL gi
у = 2j—(в системе МКСА);
п
у = — (в системе СГСЭ).
Я е 1
В частности, потенциал поля диполя (стр. 332) равен
<р*г)
т гЗ ’
где ре — электрический момент диполя, г—радиус-вектор,
проведенный из центра диполя в исследуемую точку поля.
9° Потенциал электростатического поля, созданного
заряженными поверхностями (потенциал поля поверх-
ностных зарядов), при условии ср (со) = 0 равен:
<Р = 1 системе МКСА);
S
<Р = ° (в системе СГСЭ),
s ег
где а — поверхностная плотность зарядов.
22*
340 ЭЛЕКТРОСТАТИКА [IV.l
Потенциал поля объемных зарядов при условии
<р(оо) = 0 равен:
у = (в системе МКСА);
о J
V
<р = (в системе СГСЭ),
v
где р — объемная плотность зарядов, г—расстояние от эле-
ментарного объемного заряда р dV или поверхностного
заряда a dS до рассматриваемой точки поля. Интегриро-
вание производится по поверхностям и объемам, где
распределены электрические заряды.
10° Разность потенциалов между двумя точками поля,
лежащими на расстояниях и г2 от равномерно заря-
женной бесконечной прямой линии, равна:
V1 — = 2^г1п (в системе МКСА);
<fi — <ра= v 1п (в системе СГСЭ),
где т — линейная плотность зарядов, е — относительная
диэлектрическая проницаемость, е0 — электрическая по-
стоянная. Те же формулы справедливы для поля, созда-
ваемого равномерно заряженным круговым цилиндром
радиуса У? и бесконечной длины, если г R.
1Г Разность потенциалов между двумя точками полт
1 и 2, расположенными на расстояниях Xj и х2 от
равномерно заряженной бесконечной плоскости, равна:
—cps= JL- (xs — xj (в системе МКСА);
<pi — <ps = -7- (х* — Xi) (в системе СГСЭ),
где <з — поверхностная плотность зарядов.
12° Разность потенциалов <pi — <р2 между двумя равно-
мерно и разноименно заряженными бесконечными парал-
лельными плоскостями равна:
— ср8 = (в системе МКСА);
<Pi—<р2==1^(в системе СГСЭ),
где d — расстояние между плоскостями.
IV.1.4] ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
841
13° Потенциал электрического поля шара радиуса
с зарядом q, равномерно распределенным по его поверх-
ности, вне шара совпадает с потенциалом поля точеч-
ного заряда q, помещенного в центре шара [<р (со) = 0]:
<Р = щ^7- (в системе МКСА);
9 = ^ (в системе СГСЭ).
Внутри шара потенциал поля постоянен и равен <р(/?).
14° Разность потенциалов — <р2 между двумя точками
электростатического поля шара радиуса R, равномерно
заряженного по объему с объемной плотностью зарядов р:
внутри шара:
<Pi — (rf — г?) (в системе МКСА);
— Т» = (г»— г?) (в системе СГСЭ);
вне шара:
?*-?»= 4^7 Ст-й (в системе МКСА);
— (p2==-£.(J_ — 1) (в системе СГСЭ),
где <7=3 р/?8 — общий заряд шара, и г8— расстоя-
ния от точек до центра шара.
15° Эквипотенциальной поверхностью называется
геометрическое место точек в электростатическом поле,
имеющих одинаковый потенциал. В любой точке эквипо-
тенциальной поверхности вектор напряженности электро-
статического поля перпендикулярен к ней и направлен
в сторону убывания потенциала.
16° Связь между напряженностью и потенциалом
электростатического поля:
Е = — grad <р.
Напряженность в произвольной точке электростатическо-
го поля равна градиенту потенциала поля в этой точке,
взйтому со знаком минус. Знак минус показывает, что
вектор Е направлен, как указано в п. 15°.
17° И1 предыдущей формулы и формул (стр. 334 и 335)
divD = p, D = еоеЕ (в системе МКСА);
div D = 4тср, D — еЕ (в системе СГСЭ),
342
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[I V.l
где D — электрическое смещение, можно получить урав-
нение Пуассона для потенциала
div grad = (в системе МКСА);
div grad т = —~ (в системе СГСЭ),
или
Д<р = —JL (в системе МКСА);
Д<р= — (в системе СГСЭ),
где А — оператор Лапласа, р— объемная плотность
зарядов.
5. Проводники в электростатическом поле
Г Под действием внешнего электростатического поля
свободные заряды (электроны проводимости), имеющиеся
в металлическом проводнике, перераспределяются таким
образом, что напряженность поля в любой точке внутри
проводника равна нулю (Е = 0). Во всех точках его
поверхности Е = Епт^0 и Ет = 0, где Еп и Ет — соот-
ветственно нормальная и касательная составляющие
вектора напряженности. Весь объем проводника явля-
ется эквипотенциальным: во всех точках внутри провод-
ника потенциал ^одинаков. Поверхность проводника также
эквипотенциальна. В заряженном проводнике некомпен-
сированные электрические заряды располагаются только
на его поверхности.
2* Электрическое смещение и напряженность поля
вблизи поверхности заряженного проводника (вне его):
с» 1
а > (в системе МКСА);
80е J
4тш, 'j
4?са У (в системе СГСЭ),
8 J
где в0 — электрическая постоянная, е — относительная
диэлектрическая проницаемость, а — поверхностная плот-
ность электрических зарядов на проводнике.
Распределение электрических зарядов на поверхности
проводников различной формы, находящихся в однород-
ном диэлектрике (стр. 346), зависит от кривизны поверх-
D =
Е==
D =
Е =
IVJ.51 ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ 343
ности: а возрастает с увеличением кривизны. На поверх-
ностях внутренних полостей в проводниках а = 0. Мно-
гократная передача зарядов полому проводнику повы-
шает его потенциал до величин, ограничиваемых стека-
нием зарядов с проводника. На этом принципе основан
электростатический генератор Ван-де-Граафа, дающий
максимальную разность потенциалов порядка десяти
миллионов вольт и применяемый в линейных ускорите-
лях (стр. 410).
3° Благодаря взаимодействию одноименных зарядов, на
элемент dS поверхности заряженного проводника дей-
ствует сила отталкивания dF, направленная в сторону
внешней нормали к поверхности и численно равная:
= = (в системе МКСА),
dF = 6|L2 ds (в системе СГСЭ),
где Е — напряженность электростатического поля вблизи
проводника.
Давление р на поверхность заряженного проводника,
вызванное этой силой, равно:
Р (в системе МКСА);
р = = (в системе СГСЭ).
Сила Е притяжения между двумя разноименно заря-
женными обкладками плоского конденсатора (стр. 345)
равна:
Е = £°^~-- 3 (в системе МКСА);
S (в системе СГСЭ),
где S — площадь обкладки, Е — напряженность поля
в конденсаторе (стр. 333).
4° Явление, состоящее в электризации незаряженного
проводника во внешнем электростатическом поле, назы-
вается электростатической индукцией. Оно заключается
в разделении имеющихся в проводнике в равных коли-
чествах положительных и отрицательных зарядов. Наве-
денные (индуцированные) заряды исчезают при удалении
проводника из электростатического поля. При любом
344
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[IV.l
способе электризации проводника электрические заряды
распределяются на его поверхности, и внутренняя полость
в замкнутом проводнике экранирована от внешних элек-
тростатических полей. На этом основана электростати-
ческая защита.
6. Электроемкость
Г При увеличении заряда q проводника пропорцио-
нально возрастает поверхностная плотность зарядов в
любой точке его поверхности:
а = kq,
где k — некоторая функция координат рассматриваемой
точки поверхности. Потенциал поля, создаваемого заря-
женным проводником (стр. 339):
? = lib f f (В СИСТеМе МКСА)-
S S
Для точек поверхности S проводника интеграл зависит
только от ее размеров и формы.
Потенциал уединенного заряженного проводника, на
который не действуют внешние электростатические
поля, пропорционален его заряду q. Величина
С = или С = 4яее0 ( j) t
х s
называется электроемкостью (емкостью) уединенного
проводника. Она численно равна заряду, изменяющему
потенциал проводника на одну единицу. Емкость про-
водника зависит от его формы и линейных размеров.
Геометрически подобные проводники имеют емкости,
прямо пропорциональные их линейным размерам Элек-
троемкость не зависит от материала проводника, его
агрегатного состояния и прямо пропорциональна отно-
сительной диэлектрической проницаемости среды, в ко-
торой находится проводник.
2° Емкость уединенного шара:
С = 4тсе0е/? (в системе МКСА);
С = б/? (в системе СГСЭ),
где /? — радиус шара, е — относительная диэлектрическая
проницаемость, £0 — электрическая постоянная.
IV.l.6] ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ 345
3° Взаимной электроемкостью двух проводников
называется величина, численно равная заряду <?, который
нужно перенести с одного проводника на другой для
того, чтобы изменить разность потенциалов между ними
Т1’~ ?2 на единицу:
Взаимная емкость зависит от формы, размеров и взаим-
ного расположения проводников, а также от относитель-
ной диэлектрической проницаемости среды, в которой
они находятся.
4° Конденсатором называется система двух разно-
именно заряженных равными по абсолютной величин^
зарядами проводников, имеющих такую форму и распо-
ложение друг относительно друга, что поле, создавае-
мое такой системой, сосредоточено (локализовано) в огра-
ниченной области пространства. Сами проводники назы-
ваются обкладками конденсатора. Электроемкость кон-
денсатора является взаимной емкостью его обкладок.
5° Емкость плоского конденсатора:
С = 8°^ (в системе МКСА);
С = ^ (в системе СГСЭ),
где S — площадь каждой из пластин или меньшей из
них, d — расстояние между пластинами. Емкость плоского
многопластинчатого конденсатора отличается от емкости
плоского конденсатора заменой S на S (п — 1), где п —
число пластин.
6° Емкость цилиндрического конденсатора и коакси-
ального кабеля:
с = ^ (в системе МКСА);
1пй
С = —— (в системе СГСЭ),
2 1п—
ri
где г2, Г1 — радиусы внешнего и внутреннего цилиндров,
/ — длина цилиндра.
346 ЭЛЕКТРОСТАТИКА [IV.l
7° Емкость сферического конденсатора:
С,— (в системе МКСА);
С = —Г2 (в системе СГСЭ),
г2 - П
где r2, Ti -- радиусы внешней и внутренней сфер.
8° Емкость двухпроводной линии:
С = г (в системе МКСА);
In ---
г
С*=—j~^~r (в системе СГСЭ),
4 in--
г
где d — расстояние между осями проводов, г — радиус
проводов.
9° Для всех типов конденсаторов существует пробив-
ное напряжение — разность потенциалов между обклад-
ками, при которой происходит электрический разряд
через слой диэлектрика. Пробивное напряжение зависит
от толщины диэлектрика, его свойств и формы обкладок.
10° Для увеличения емкости применяется параллель-
ное соединение конденсаторов одноименно заряженными
обкладками. Результирующая емкость при таком соеди-
нении равна
С= % Сь
i=l
где Ci — емкость Z-ro конденсатора.
1Г При последовательном соединении конденсато-
ров они соединяются разноименно заряженными обклад-
ками. При этом
Результирующая емкость всегда меньше минимальной
емкости любого конденсатора, входящего в соединение.
7. Диэлектрики в электрическом поле
Г Диэлектриками называются вещества, не проводя-
щие электрического тока. В них отсутствуют свободные
электрические заряды. Квантовые представления о диэлек-
триках в зонной теории твердых тел см. стр. 659—662.
IV.l.7]
ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
347
2° По своим электрическим свойствам молекулы ди-
электрика эквивалентны электрическим диполям с мо-
ментом р₽ = <71, где q — суммарная величина положи-
тельных (или равных им отрицательных) зарядов моле-
кулы, /—расстояние между центрами тяжести положи-
тельных и отрицательных зарядов. Если в отсутствие
внешнего электрического поля / = 0, то диэлектрики
называются неполярными, если в тех же условиях
/^5 0, то диэлектрики называются полярными.
3° В молекулах неполярных диэлектриков (Н2, N2,
СС14, углеводороды и др.) центры тяжести положитель-
ных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего
поля совпадают и дипольный момент молекулы равен ну-
лю. При помещении таких диэлектриков во внешнее элек-
трическое поле происходит деформация молекулы (атома)
и возникает индуцированный дипольный электрический
момент молекулы (индуцированный, или квазиупругий,
диполь), пропорциональный напряженности поля Е:
ре = еоаЕ (в системе МКСА);
ре = аЕ (в системе СГСЭ),
где а — коэффициент поляризуемости (поляризуемость)
молекулы или атома, е0 — электрическая постоянная
(стр. 329). Поляризуемость молекулы зависит только от ее
объема. Тепловое движение молекул неполярных диэлек-
триков не влияет на возникновение у них дипольных
моментов: а не зависит от температуры.
4° Молекулы полярных диэлектриков (Н2О, NH8, НС1,
СН3С1 и др.) имеют постоянный дипольный момент
ре = const, связанный с асимметрией в расположении
электронных облаков и ядер этих молекул. Центры тя-
жести положительных и отрицательных зарядов в таких мо-
лекулах не совпадают (находятся на практически постоян-
ном расстоянии Z друг от друга — «жесткий* диполь).
5° На жесткий диполь с электрическим моментом ре,
помещенный во внешнее однородное электрическое поле
с напряженностью Е, действует пара сил с моментом М:
М = [ргЕ],
стремящаяся повернуть диполь в направлении вектора
напряженности поля. В реальных молекулах полярных
диэлектриков действие внешнего поля приводит, кроме
того, к появлению индуцированного дипольного мо-
мента (п. 3е).
348 ЭЛЕКТРОСТАТИКА [IV.I
6° На жесткий диполь, помещенный во внешнее не-
однородное электрическое поле, действует сила F:
F==grad(pe E)=ped£,
где — изменение Е на единице длины вдоль оси ди-
поля. Сила F направлена вдоль вектора и стремится
переместить диполь в область ббльших значений Е поля,
7° Потенциальная энергия Wn жесткого диполя, поме-
щенного во внешнее электрическое поле, равна:
U7n = — (ре Е) = — реЕ cos &,
где ре — электрический момент диполя, Е — напряжен-
ность внешнего поля в месте расположения диполя,
$ — угол между осью диполя и направлением вектора Е.
Знак минус показывает, что устойчивым положением
диполя, соответствующим минимуму потенциальной энер-
гии, является расположение его вектора ре вдоль поло-
жительного направления вектора Е.
8е На каждый элемент объема диэлектрика, находя-
щегося в неоднородном электрическом поле Е, действует
сила, равная равнодействующей всех сил, приложенных
к отдельным его молекулам Объемная плотность f сил,
т. е. сила, приложенная к единице объема диэлектрика:
f = - (62~ gradE8 (в системе МКСА);
f = ^-^gradE8 (в системе СГСЭ).
Формула справедлива для слабо поляризующихся диэлек-
триков п. 10°). Сила f направлена в сторону
возрастания абсолютной величины вектора Е, независимо
от направления этого вектора.
9° Поляризацией диэлектрика называется возникнове-
ние в нем при внесении во внешнее электрическое поле
макроскопического собственного электрического поля,
обусловленно! о смещением заряженных частиц, входящих
в состав молекул диэлектрика. Диэлектрик, в котором
возникло такое поле, называют поляризованным. Разли-
чают:
а) ориентационную поляризацию диэлектрика с поляр-
ными молекулами. Она состоит в повороте осей жест-
TV.1.7] ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 349
ких диполей вдоль направления вектора напряженности
поля В результате совместного действия электрического
поля и теплового движения, дезориентирующего моле-
кулы-диполи, возникает преимущественная ориентация
дипольных моментов молекул в/оть направления поля.
Ориентационная поляризация возрастает с увеличением
напряженности поля и убывает при повышении темпе-
ратуры; она имеет место в ряде жидкостей и газов;
б) электронную поляризацию диэлектрика с неполяр-
ными молекулами, состоящую в возникновении у каждой
молекулы индуцированного электрического момента
(стр. 347) и осуществляющуюся в ряде жидкостей и га-
зов;
в) ионную поляризацию в кристаллических диэлек-
триках типа NaCl, CsCl и др., имеющих ионные кристал-
лические решетки (стр. 255). Она состоит в смещении
положительных ионов решетки вдоль направления поля,
а отрицательных ионов — в противоположную сторону.
10° Мерой поляризации диэлектрика является вектор
поляризации (по ляризо ванн ость) Рг — векторная сумма
дипольных моментов молекул (атомов), находящихся
в единице объема:
₽е= Ре/)’
где п — число диполей-молекул, содержащихся в
объеме V диэлектрика, prz- — дипольный элс^рический
момент Z-й молекулы (атома). Для однородйог > диэлек-
трика с неполярными молекулами, находящее ося в одно-
родном электрическом поле,
Рг = «оРе,
где рр — индуцированный момент одной молекулы, nQ —
число молекул в единице объема. Используя формулу,
приведенную на стр. 347, получим:
Рр = Е0я0аЕ = еох„Е (в системе МКСА);
Ре = поаЕ = хеЕ (в системе СГСЭ),
где = поа — диэлектрическая восприимчивость веще-
ства, или поляризуемость единицы объема диэлектрика,
пропорциональная объему всех молекул в 1 см9.
350
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[IV.l
В случае однородного диэлектрика с полярными моле-
кулами, помещенного в однородное электрическое поле,
Ре==Л0ре,
где ре — среднее значение составляющей вдоль поля век-
стеме СГСЭ). При а < 1
тора постоянного дипольно-
го момента молекулы, вы-
числяемое с помощью рас-
пределения Больцмана для
частиц в силовом поле
(стр. 211):
I ре| = Z. (в)ре =
= (cthe
где L (а) — классическая
функция Ланжевена (рис.
IV. 1.6), a = peElkT (в си-
L (a) S5» а/3 и
Ре = е0*еЕ (в системе МКСА);
РР = хеЕ (в системе СГСЭ);
вычисляется по формуле Дебая—Ланжевена'.
х == ”oPg (в системе МКСА);
е 3eokT
= (в системе СГСЭ),
где k—постоянная Больцмана, Т—абсолютная темпера-
тура, и0 — число молекул в единице объема диэлектрика.
На рис. IV. 1.7 приведе-
на зависимость от 1/Г
для неполярных (я) и по-
лярных (б) молекул. Отре-
зок О А характеризует элек-
тронную поляризуемость в
полярных молекулах.
1Г В поляризованном
диэлектрике на каждую мо-
лекулу действует эффектив-
ное электрическое поле с
напряженностью ЕЭфф, внеш-
нее по отношению к данной
молекуле. Е9фф отличается
IV.1.7|
ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
351
01 напряженности среднего макроскопического поля Е
в диэлектрике. Для неполярных молекул
Е9фф = Е + ^Рв,
диэлектрикам с жест-
Рис. IV. 1.8.
Рис. IV. 1.9.
где Ре — вектор поляризации,
кими диполями эта формула
неприменима, и зависимость
£Эфф (Ре) носит сложный харак-
тер.
12е Объем AV однородного
диэлектрика, в котором со-
держится достаточно большое
число молекул, нейтрален бла-
годаря взаимной компенсации
противоположных зарядов со-
седних диполей (рис. IV. 1.8).
На поверхностях Si и S8, огра-
ничивающих конечный объем диэлектрика, возникают свя-
занные, или поляризационные, заряды, распределенные
с поверхностной плотностью ир:
ор~Ретъ
где Реп — проекция вектора поляризации на нормаль к
поверхности диэлектрика. Электрическое поле Ер, соз-
данное поляризационными зарядами, направлено про-
тивоположно внешнему, поляризую-
щему диэлектрик, электрическому
полю Ео (рис. IV. 1.9).
13° Внешнее, поляризующее элек-
трическое поле Ео, которое является
причиной появления связанных за-
рядов, создается системой свободных
электрических зарядов. В диэлек-
трике векторно складываются по-
ле Ео и поле связанных зарядов Ер.
Вектор напряженности поля в ди-
электрике Е характеризует резуль-
тирующее макроскопическое поле.
Поэтому Е зависит от электрических
свойств среды. Вектор D, не зависящий от свойств среды,
характеризует поле, которое создается одними только сво-
бодными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их рас-
пределении в пространстве, которое существует в при-
сутствии диэлектрика.
352
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[IVJ
14° Теорема Остроградского — Гаусса (стр. 335) для
вектора смещения D в произвольной среде:
(j) DndS = 2 <7своб (в системе МКСА);
S
DndS = 4к 2 <7своб (в системе СГСЭ),
S
где 2 <7своб — сумма свободных зарядов, охватываемых
замкнутой поверхностью S, (j) DndS — поток смещения
S
сквозь эту поверхность.
Теорема Остроградского — Гаусса для вектора напря-
женности Е в диэлектрике:
(j) taEndS = S <7своб + S <7связ (в системе МКСА);
s
(j) EndS = 4^5?своб + 2<?связ) (в системе СГСЭ),
s
где у EndS — поток напряженности сквозь замкнутую
поверхность S; 2 #СВоб ~ сумма свободных зарядов, охва-
тываемых поверхностью S; 2 <7Связ ~ сумма связанных
зарядов, охватываемых этой поверхностью; 2 <7связ —
=—(j) PendS, Pen — значение проекции вектора поляриза-
S
ции Рг на направление внешней нормали к элементу по-
верхности dS.
15° Связь векторов смещения D, напряженности Е
и поляризации Ре:
D = e0E-|-Pf, (в системе МКСА);
D = E-|-47cPe (в системе СГСЭ).
16° Связь относительной диэлектрической проницае-
мости вещества е с его диэлектрической восприимчиво-
IV.1.8)
СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКИ
353
стью (стр. 349):
е=1 -|~ *<? (в системе МКСА);
е = 1 4техе (в системе СГСЭ).
17* С учетом отличия эффективного поля, действую-
щего в диэлектрике (стр. 350), от среднего макро-
скопического поля, для неполярных диэлектриков связь
е и хе выражается уравнением Клаузиуса — Мосотти
или
е_р2 — 3
.-111 _ "А* _о
•+2 р “ 3
(в системе МКСА);
£ — I _
Гр2 Т хе»
или
в — 1ц. 4я ., ~
7^2 7”” Т
(в системе СГСЭ),
где |л — молекулярный вес вещества, р — его плотность,
Na — число Авогадро, а—поляризуемость молекулы, 2
и 21 — величины молярной рефракции, пропорциональ-
ные объему всех молекул в 1 г-молъ вещества.
8. Сегнетоэлектрики. Пьезоэлектрический эффект
Г Сегнетоэлектриками называется группа кристал-
лических диэлектриков, у которых в отсутствие внеш-
него электрического поля возникает самопроизвольная
(спонтанная) ориентация дипольных моментов молекул,
входящих в состав кристаллической решетки. В резуль-
тате этого сегнетоэлектрики состоят из совокупности
микроскопических областей (доменов), поляризованных
в различных направлениях. Свое название сегнетоэлект-
рики получили по первоначально обнаруженному кри-
сталлическому веществу с такими свойствами — сегнето-
вой соли NaKC4H4Oe • 4Н2О. Сегнетоэлектриками явля-
ются также титанат бария BaTiO8, дигидрофосфат калия
КН2РО4 и др.
2° Относительная диэлектрическая проницаемость е
сегнетоэлектриков резко возрастает в определенном ин-
тервале температур (рис. IV.1.10) и является функцией
напряженности Е поля в веществе: е = е (Е) (рис. IV.1.11).
23 Б. М Яворский, А. А. Детлаф
354
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
{IV.l
В связи с этим зависимость D от Е при не очень боль-
ших полях является нелинейной. При достаточно боль-
ших значених Е происходит насыщение — вектор поля-
ризации Ре перестает изме-
няться с ростом Е.
3е Спонтанная поляри-
зация в сегнетоэлектриках
происходит в области тем-
ператур, ограниченных, во-
обще говоря, верхней и
нижней точками Кюри 0
Рис. IV. 1.11,
(ср. стр. 438). Для сегнетовой соли 0верх — 297° К, ^НИжн =
= 255* К. Наличие одной точки Кюри 0, выше которой
характерные свойства сегнетоэлектриков исчезают, обя-
зательно для всех представителей этого
типа веществ. При Т > 0 тепловое дви-
жение нарушает спонтанную ориентацию п
дипольных моментов внутри доменов. Вбли-
зи точки Кюри наблюдается резкое возра- у/ уч
стание теплоемкости (рис. IV. 1.10), что
свидетельствует о наличии в этой точке фа- |
зового перехода вто-
рого рода (стр. 186).
4° В сегнетоэлек-
триках наблюдается
явление диэлектри-
ческого гистерезиса
(запаздывания; рис.
IV.1.12). Рео характе-
ризует остаточную
поляризацию, Ek —
величину напряжен-
ности поля обратно]
зает поляризация сегнетоэлектрика.
5° Пьезоэлектрический эффект (пьезоэффект) состоит
в том, что при механических деформациях некоторых
IV. 1.9) ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДНИКА 355
кристаллов в определенных направлениях на их гранях
появляются электрические заряды противоположных зна-
ков. Пьезоэффект наблюдается в кварце, турмалине, сег-
нетовой соли, титанате бария, цинковой обманке и дру-
гих веществах. Пьезоэлектрический эффект в кварце
происходит вдоль электрических осей Xi, Х2, Х8 кристал-
ла (рис. IV.1.13), перпендикулярных к его главной опти-
ческий оси Z (стр. 593). Обращение направления дефор-
мации кристалла изменяет знаки зарядов на поверхностях
на противоположные. Обратный пьезоэлектрический эф-
фект заключается в изменении линейных размеров не-
которых кристаллов под действием электрического поля.
Изменение направления электрического поля вызывает
изменение характера деформаций на противоположный.
Этот эффект имеет большое значение для получения
ультразвука (стр. 515).
9. Энергия заряженного проводника
и электрического поля
1° Электрическая энергия We заряженного провод-
ника, называемая также его собственной энергией,
равна
П7 — С(Ра — ?? — ?а
We 2 2 2С »
где С—электроемкость проводника, q — его заряд и
<р — потенциал проводника. Для конденсаторов в этой
формуле ср — разность потенциалов между обкладками,
С— емкость конденсатора.
2* Собственная энергия заряженного тела представляет
собой энергию его электрического поля. Так, для пло-
ского конденсатора (стр. 345) его энергия пропорциональна
объему V поля — пространству между обкладками кон-
денсатора:
= (в системе МКСА);
= (в системе СГСЭ),
где Е— напряженность поля, е — относительная ди-
электрическая проницаемость, е0 — электрическая по-
стоянная.
23*
356 ПОСТОЯННЫЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ [IV.2
3° Объемная плотность энергии электростатического
поля — энергия, заключенная в единице объема ноля, —
равна:
<в си^еме МКСА);
dWg tE% ED D'2 . г'гс>гл\
= 8к = 8Т = 8й. <в СИСтеме СГСЭ>-
4° Если однородный изотропный диэлектрик находится
во внешнем электрическом поле, то объемная плотность
энер1ии поляризованного диэлектрика равна:
we диэл = -°(е 211 — (в системе МКСА);
(8 — I ) Е2 /
дИ9л = -—&---- (в системе СГСЭ).
Объемная плотность энергии поля в диэлектрике we
складывается из объемной плотности энергии ноля в ва-
кууме we вак и объемной плотности энергии поляризо-
ванного диэлектрика ^едиэл-
ГЛАВА 2
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ
1. Основные понятия и определения
Г Электрическим током называется всякое упоря-
доченное движение электрических зарядов в пространстве.
2° Упорядоченное движение свободных зарядов, воз-
никающее в проводнике под действием электрического
поля, называется током проводимости.
Упорядоченное движение электрических зарядов может
быть осуществлено путем перемещения в пространстве
заряженного тела (проводника или диэлектрика). Такой
электрический ток называется конвекционным (например,
ток, связанный с движением по орбите Земли, обладаю-
щей избыточным отрицательным зарядом).
3° За направление электрического тока принимается
направление движения положительных зарядов В дей-
ствительности в металлических проводниках электриче-
ский ток создается движением электронов в направлении,
обратном току.
4° Силой тока (в электротехнике — током) сквозь не-
которую поверхность S называется скалярная величина /,
равная первой производной по времени от заряда q, про-
IV.2.1]
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
357
ходящего через эту поверхность:
1 dt ‘
5е Ток называется постоянным, если сила тока и его
направление не изменяются с течением времени. Для по-
стоянного тока
где q — электрический заряд, t — время. Сила постоян-
ного тока численно равна заряду q, проходящему через
поверхность S за единицу времени.
6е Распределение электрического тока по сечению S
характеризуется вектором плотности тока j. Он на-
правлен в сторону движения положительных зарядов и
численно равен
где dS' — проекция элемента поверхности dS на плоскость,
перпендикулярную к j, di — сила тока сквозь dS и dS’.
Проекция jn вектора j на направление нормали п к
элементу поверхности dS равна
111
Jn = dS = J™a>
где а — угол между j и п.
7° Сила тока в проводнике равна
/== \JdS;
интегрирование распространяется на все поперечное
(а = 0) сечение S проводника.
8° Плотность постоянного тока одинакова по всему
сечению S проводника. Для постоянного тока
I=JS.
Плотности постоянного тока в двух поперечных сечениях
проводника обратно пропорциональны площадям сечений:
/1 __
7s Si
358 ПОСТОЯННЫЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ (IV.2
2. Электронная теория проводимости
Г Носителями тока в металлах являются электроны
проводимости, возникающие вследствие того, что валент-
ные электроны атомов металла являются обобществлен-
ными, т. е. не принадлежащими определенному атому.
В классическом приближении эти электроны (электроны
проводимости) рассматриваются как электронный газ,
частицы которого обладают тремя степенями свободы.
В более строгом приближении электронный газ рассма-
тривается как вырожденный квантовый газ, подчиняю-
щийся статистике Ферми—Дирака (стр. 218). В клас-
сическом приближении число электронов проводимости
в 1 см* одновалентного металла принимается равным
"0 = -д-Р,
где Na — число Авогадро (стр. 134), А — атомный вес ме-
талла, р—его плотность. По порядку величины п0^Ю2а~
1023 см~*.
2° Согласно классической теории, хаотическое тепло-
вое движение электронов происходит при комнатных
температурах со средними скоростями (стр. 195) порйдка
105 см. сек. Согласно теории Друде—Лоренца, электрон
имеет среднюю длину свободного пробега X (стр. 197),
равную по порядку величины периоду кристаллической
решетки металла (10-8 см).
3° В квантовой теории электроны в металле описы-
ваются законами волновой механики (стр. 642) и подчи-
няются квантовой статистике Ферми—Дирака (стр. 215).
В пренебрежении электрическим полем положительных
ионов кристаллической решетки и взаимодействием элек-
тронов рассматривается модель «потенциального ящика»
с плоским дном: вне металла потенциальная энергия элек-
тронов равна нулю, а внутри металла энергии электронов
образуют квазинепрерывный спектр. На верхнем занятом
уровне энергия электрона равна —А, где А — положи-
тельная работа выхода электрона из металла (стр. 383).
Учет влияния поля ионов на движение электронов при-
водит к зонной структуре энергетического спектра элек-
тронов в металле (стр. 659—663).
4° Импульсы и энергии электронов в металле кванто-
ваны, т. е. имеют определенные значения. Заполнение
электронами энергетических уровней в металле проис-
1V.2.2| ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ПРОВОДИМОСТИ 359
ходит в соответствии с принципом Паули (стр. 693): на
каждом уровне располагается не более двух электронов
с противоположными спинами (стр. 428). Верхний энерге-
тический уровень, занятый электронами при абсолютном
нуле температуры, называется уровнем Ферми. От него
отсчитывается работа выхода электрона из металла
(рис. IV. 2.1). Число занятых элек-
тронами энергетических уровней i
равно по порядку величины числу । ।—
свободных электронов в металле.
Близко расположенные (квазине- |.........
прерывные) энергетические уровни
в металле образуют энергетические Рис. IV. 2.1.
зоны (стр. 660). Самая нижняя зона,
не полностью занятая электронами, называется зоной
проводимости металлов. Возможны случаи, когда две
последовательные зоны металла перекрываются (напри-
мер, у щелочноземельных и переходных металлов). Нали-
чие зоны, не полностью занятой электронами, является
характерной особенностью металлической проводимости.
5° Взаимодействие электронов с положительными ио-
нами кристаллической решетки в квантовой теории ме-
таллов рассматривается как рассеяние электронных волн
на тепловых колебаниях ионов решетки. •
6° Упорядоченное движение электронов в металличе-
ском проводнике возникает под действием внешнего
электрического поля. Плотность тока
] = noev,
где п0 — число электронов проводимости в единице объема,
е — абсолютная величина заряда электрона, v — средняя
скорость упорядоченного движения электронов. При на-
ибольших допустимых плотностях токов р=10“2 см'сек.
Время установления тока в цепи t — Llc, где L —длина
цепи, с — скорость света в вакууме, совпадает со време-
нем, в течение которого вдоль цепи устанавливается
стационарное электрическое поле и начинается упорядо-
ченное движение электронов. Практически это движе-
ние возникает на всем протяжении проводника одно-
временно с замыканием цепи.
Т Закон Ома для плотности тока'.
j = fE = jE.
360
ПОСТОЯННЫЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ
[IV.2
Плотность тока в проводнике равна произведению удель-
ной электропроводности металла у на напряженность
электрического поля Е. Величина 1/у = р называется
удельным сопротивлением.
Выражение для у в классической электронной теории:
7 __
2т и
где По — число электронов в 1 см* объема металла,
X — средняя длина свободного пробега, и — средняя (ари-
фметическая) скорость теплового движения электро-
нов при данной температуре. По квантовой теории ме-
таллов
7 pf ’
где рр— импульс электрона, находящегося на уровне Фер-
ми Wp (стр. 219), рр не зависит от температуры; х_сред-
няя длина пробега электрон-
ных волн в металле. При ком-
натных температурах X = X(UZF)
и быстро возрастает с умень-
шением температуры (рис. IV.
2.2). Закон Ома нарушается
при больших плотноегял ЮКОВ.
8° Плотностью тепловой
мощности тока w называется
величина энергии, которая в
результате взаимодействия ио-
нов с электронами передается
ионам кристаллической решет-
ки в единице объема провод-
ника за единицу времени. Закон Джоуля — Ленца для
плотности тепловой мощности тока:
w = уЕ2.
Плотность тепловой мощности тока в проводнике равна
произведению его удельной электропроводности на квад-
рат напряженности электрического поля.
9° Закон Видемана—Франца', для всех металлов отно-
шение коэффициента теплопроводности К (стр. 198) к
удельной электропроводности у прямо пропорционально
IV.2.2] ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ПРОВОДИМОСТИ 361
абсолютной температуре Г:
т,
где k — постоянная Больцмана (стр. 138), е—заряд элек-
трона.
Закон Видемана—Франца является следствием того,
что теплопроводность металлов (как и их электропро-
водность) осуществляется свободными электронами
(стр. 358). Согласно квантовой теории металлов,
(k \2
с = тЫ •
Это значение с находится в хорошем согласии с экспе-
риментом при комнатных температурах.
10° Классическая электронная теория проводимости
Друде—Лоренца приводит к ошибочному значению грамм-
атомной теплоемкости металлов (9 кал)г-атом • град).
В действительности вырожденный электронный газ в ме-
талле (стр. 220) практически не вносит вклада в тепло-
емкость металла, равную 6 кал!г-атом • град (стр. 262).
11° Зависимость удельного сопротивления проводника р
от температуры:
Р = ₽о (1 + “О,
где ро — удельное сопротивление проводника при 0е С,
t — температура в градусах Цельсия, а — температурный
коэффициент сопротивления. Для большинства металлов
в интервале температур 0—100° С а изменяется в преде-
лах (3,3 4-6,2) • 10-8 град~1. Зависимость р и 7 от темпе-
ратуры для чистых металлов (и некоторых сплавов) объяс-
няется зависимостью X от температуры.
При всех температурах, кроме Г = 0, электронные
волны (стр. 358) испытывают рассеяние на тепловых коле-
баниях ионов тем большее, чем выше температура. При
этом X и 7 обратно пропорциональны абсолютной темпе-
ратуре (в области не слишком низких температур). В не-
которых металлах и сплавах обнаруживается явление
сверхпроводимости, заключающееся в том, что ниже не-
которой критической температуры сопротивление этих
веществ становится исчезающе малым (стр. 442).
362 ПОСТОЯННЫЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ [IV.2
3. Законы постоянного тока
]• Кулоновские'силы электростатического взаимодей-
ствия между электрическими зарядами (стр. 328) приводят
к такому их перераспределению в проводнике, при ко-
тором электрическое поле в проводнике исчезает, а по-
тенциалы во всех его точках выравниваются. Поэтому
поле кулоновских сил не может являться причиной воз-
никновения постоянного электрического тока.
2е Для поддержания постоянного тока в цепи на сво-
бодные заряды должны действовать неэлектростатические,
сторонние электрические силы, вызывающие разделение
разноименных зарядов и поддерживающие разность по-
тенциалов на концах проводника. Электрическое поле
сторонних сил в цепи создается источником тока (галь-
ваническим элементом, аккумулятором, электрическим ге-
нератором). Перемещая электрические заряды, сторонние
силы совершают работу за счет энергии, затрачиваемой
в источнике тока.
3е Для любой точки внутри проводника, по которому
проходит постоянный ток:
Е--^кул “1“ Естор>
где Е — напряженность электрического поля в данной
точке, Екул и Естор — соответственно напряженности ку-
лоновского поля и поля сторонних сил. Для участка 1—2
проводника сечением S справедливо соотношение
2 2 2
6₽^ = VE^rfl)+S<ECTopd‘),
1 1 1
где /—сила тока в проводнике, d\ — вектор, численно
равный элементу dl длины проводника и направленный
по касательной к проводнику в ту же сторону, что и
вектор плотности тока j;
2
(Екул rfl) = <Р1 — <Р«>
где и <р2 — значения потенциала электростатического
поля в точках 1 и 2 (стр. 338).
4° Линейный интеграл от вектора Есгор напряженности
электрического поля сторонних сил вдоль участка
цепи 1—2 называется электродвижущей силой (э. д. с.)
IV.2A] ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА 863
Ssi, действующей на этом участке цепи:
2
8si в (ЕСТОр ^0’
Э. д. с. численно равна работе, совершаемой сторонними
силами при перемещении на участке 1—2 проводника
единичного положительного заряда.
5е Напряжением (падением напряжения) на участке
цепи 1—2 называется величина, численно равная работе,
совершаемой суммарным полем кулоновских и сторонних
сил при перемещении на участке 1—2 цепи единичного
положительного заряда:
2 2
^21 = J ((Екул + Естор) лИ) == ^ (Е аП).
1 1
Таким образом,
e (?i — <ps) 4" $21-
6е Интеграл
2
1
называется сопротивлением участка цепи между сече*
ниями 1 и 2. Для однородного цилиндрического про-
водника (р = const, S = const)
п ___*21 ___^21
— Р 5 ’
где /21 — длина участка 1—2 проводника.
7° Закон Ома для произвольного участка цепи:
IRn = Cpi ~ ?s) 4" 821
или
= /Т?21-
Напряжение на участке цепи равно произведению его
сопротивления на силу тока.
Пример 1. Для замкнутой электрической цепи
= <ps, общее сопротивление всей цепи Z?2i = 7? и
8 «77?»
где & — алгебраическая сумма всех э. д. с., действующих
в этой цепи. Для замкнутой электрической цепи, изобра-
364
ПОСТОЯННЫЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ
[IV.2
женной на рис. IV. 2.3, где источник имеет э. д. с. $ и
внутреннее сопротивление г, напряжение U на клеммах
источника тока (на внешней цепи) равно:
U=IRU
| э—1 где / = и = R — г. Поэтому
—ГЬГ1ПЛГЬ--- 8^_=g_ S£_ = g_/r
r-f-Kl '•Tai
Рис. IV. 2.з. Пример 2. Для разомкнутой цепи
7 = 0 и $21 = <f>2 — ?i. Для нахождения
э. д. с. источника тока нужно измерить разность потен-
циалов на его клеммах при разомкнутой внешней цепи.
8° Если образующие цепь проводники неподвижны, а
электрический ток постоянен, то работа сторонних сил
целиком расходуется на нагревание проводников. Энер-
гия W, выделяющаяся в цепи за время t во всем объеме
проводника, равна
W = IUt,
где 7 — сила тока, U — падение напряжения в провод-
нике. Соответствующее этой энергии тепло Q (в кало-
риях), выделяющееся в проводнике:
(2 = 0,24 IUt,
где / дано в а, [/ - в в и / — в сек.
Эта формула выражает закон Джоуля — Ленца: коли-
чество тепла, выделяемого током в проводнике, пропор-
ционально силе тока, времени его
прохождения и падению напряжения.
Ч V
4. Правила Кирхгофа 7
Г Расчет сложных (разветвлен-
ных) цепей постоянного тока заклю- J
чается в отыскании по заданным со- Д
противлениям участков цепи и прило- 3
женным к ним э. д. с. сил токов в каж- Рис IV 2.4.
дом участке. Для решения этой за-
дачи применяются правила Кирхгофа.
2е Узлом в разветвленной цепи называется точка,
в которой имеется более двух возможных направлений
тока (рис. IV. 2. 4). В узле сходится больше двух про-
водников.
1V.2.4I
ПРАВИЛА КИРХГОФА
365
Первое правило Кирхгофа (правило узлов)-, алгебраи-
ческая сумма токов /fe, сходящихся в узле, равна нулю:
п
5 4 = 0,
k = I
где п — число проводников, сходящихся в узле Поло-
жительными считаются гоки, подходящие к узлу, отри-
цательными - токи, отходящие от него
3° Второе правило Кирхгофа (правило контуров):
в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в
разветвленной электрической цепи,алгебраическая сумма
произведений сил токов lk на сопротивления Rh соот-
ветствующих участков этого контура равна алгебраиче-
ской сумме приложенных в нем э. д. с.
«1 fl\
2
/? = 1 k = I
При использовании второго правила Кирхгофа выби-
рается определенное направление обхода контура; токи
/£, совпадающие по направлению с направлением обхода,
считаются положительными Э д. с. источников тока
счигаю’ся положительными, если они создают токи, на-
правленные в сторону обхода контура.
4° Порядок расчета сложной цепи постоянного тока:
а) произвольно выбираются направления токов во
всех участках цепи;
б) для т узлов цепи записываются т— 1 независи-
мых уравнений правила узлов;
в) выделяются произвольные замкнутые контуры так,
чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один
участок цепи, не входящий в уже рассмотренные кон-
туры В разветвленной цепи, состоящей из р ветвей
(участков цепи между соседними узлами) и т узлов,
число независимых уравнений правила контуров равно
Р - т 4 1.
Пример 1. Для измерения токов /, превышающих
максимальный ток /0, на который рассчитан амперметр,
имеющий сопротивление *R0 параллельно ему включается
добаяо'Шое сопротивление /?ш, называемое шунтом
(рис 1\^ 2.5). Расчет шунта производится по правилам
Кир<к1 оф а:
/ —- /о Ч" Лп’ /oRo
866 ПОСТОЯННЫЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ (IV.2
откуда
г> #о/о
Г="7о"’
где /ш — сила тока в шунте.
Пример 2. Для измерения напряжения U на участ-
ке цепи параллельно этому участку включается вольт-
метр, рассчитанный на напряжение Uo при максимальной
Рис. IV. 2.5.
Рис. IV. 2.6.
/?8, И электродвижущие
силе тока в приборе /0 (Uo = IoRo)- Если £7>£/0, то
последовательно с вольтметром включается добавочное
сопротивление (рис.
IV. 2.6), определяемое из
уравнения
откуда
*ж=£-*о-
Пример 3. В элек-
трической схеме, приве-
денной на рис. IV. 2.7,
заданы сопротивления
силы g и gj. Требуется
определить сопротивление 7?i при условии, что ток в
цепи гальванометра G отсутствует (/^ = 0). Если направ-
ления токов выбраны так, как показано на рис. IV. 2.7,
то для узлов Л, В и С первое правило Кирхгофа дает:
/2-Л = 0,
Л+/« = /,
Л-/8 = 0.
(а)
(б)
(в)
Замкнутые контуры ABCGA, ADCGA и BCDB обхо-
дятся против часовой стрелки: -
— + = L (г)
/2Т?2 — /4Т?4 = 0, (д)
hRi + МЪ = 8* (е)
1V.3.1] ПРОВОДИМОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ 867
Решение этой системы уравнений дает:
^ = 5^1 _**<*» + *>) (ж)
А4 А4 ф
При 81 = 0 результат не зависит от 8 и мы приходим
к схеме мостика Уитстона для измерения сопротивле-
ний:
Формула (з) остается справедливой, если гальванометр G
и источник э. д. с. 8 в мостике Уитстона поменять ме-
стами.
5° Правила Кирхгофа применимы к расчету цепей ква-
зистационарных токов — переменных токов, период ко-
торых во много раз больше продолжительности распро-
странения в цепи изменений электрического поля. При
этом под и 8л понимаются мгновенные значения тока
и э. д. с., а под — полное (эффективное) сопротивле-
ние (стр. 449).
глава з
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК в жидкостях
И ГАЗАХ
1. Проводимость жидкостей. Электролитическая
диссоциация
Г Электрический ток во многих жидкостях (водных рас-
творах солей, кислот и проч.) осуществляется упорядочен-
ным перемещением ионов — атомов или групп атомов,
обладающих избыточным или недостаточным количест-
вом электронов по сравнению с нейтральными ато-
мами или молекулами. Электрическое поле, которое
вызывает упорядоченное движение ионов, создается
в жидкости электродами—проводниками, соединен-
ными с полюсами источника тока. Положительный элект-
род называется анодом, отрицательный — катодом. Соот-
ветственно, положительные ионы (катионы) — ионы ме-
таллов и водорода — движутся к катоду, отрицательные
368 ТОК В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ [IV.3
ионы (анионы) — ионы кислотных остатков и гидроксиль-
ной группы — движутся к аноду.
2е Прохождение электрического тока через такие
жидкости сопровождается явлением электролиза — выде-
лением на электродах составных частей растворенных
веществ или других веществ, являющихся результатом
вторичных реакций. Проводники, в которых прохожде-
ние электрического тока сопровождается электролизом,
называются электролитами, или проводниками второго
рода. В отличие от металлических проводников (провод-
ников первого рода), ток в электролитах связан с пере-
носом вещества.
3* Процесс расщепления нейтральных молекул жид-
кости на положительно и отрицательно заряженные ионы
называется электролитической диссоциацией. Электроли-
тическая диссоциация происходит при растворении кис-
лот, солей и щелочей в воде в результате взаимодействия
полярных молекул этих веществ (стр. 347) с молекулами
воды или другого растворителя, обладающими значитель-
ным дипольным моментом (стр. 332). Коэффициентом
(степенью) диссоциации а называется отношение числа
молекул nQ, диссоциировавших на ионы, к общему числу
п0 молекул растворенного вещества: а = п0/п0-
4® Вследствие хаотического теплового движения ионов
в растворе происходит процесс воссоединения ионов
противоположных знаков в нейтральные молекулы, назы-
ваемый молизацией.
В условиях динамического равновесия между про-
цессами диссоциации и молизации а удовлетворяет урав-
нению
I — а
—— = const • По.
а2
Если По —* 0, то а—►!, т. е. в слабых растворах а 1 и
почти все молекулы диссоциированы. С увеличением
концентрации раствора а убывает. В сильно концентри-
рованных растворах
const
a .
V По
2. Законы электролиза
Г Первый закон электролиза (первый закон Фара-
дея)'. количество вещества Л4, выделяющегося на элект-
роде, прямо пропорционально количеству электричества q,
IV.3.3] АТОМНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА 369
прошедшего через электролит:
M^kq.
Коэффициент пропорциональности k, численно равный
массе вещества, выделившегося при прохождении через
электролит единицы количества электричества, называется
электрохимическим эквивалентом вещества. При про-
пускании через электролит постоянного тока / в течение
t сек q~It и
2° Второй закон электролиза (второй закон Фара-
дея): электрохимические эквиваленты элементов прямо
пропорциональны их химическим эквивалентам:
й==с4-
где отношение атомного веса А элемента к его валент-
ности Z называется химическим эквивалентом. Количе-
ство вещества, масса которого, выраженная в граммах,
равна его химическому эквиваленту, называется грамм-
эквивалентом. Величина F=l/C называется числом
Фарадея. F равно количеству электричества, которое
нужно пропустить через электролит для выделения на
электроде 1 грамм-эквивалента любого вещества:
/=’=96 494 «=9,65- 104 ——.
г-экв ’ г-экв
3° Объединенный закон Фарадея'.
ил 1 Тл. я л 1 А
№ = It =
3. Атомность электричества
Из законов Фарадея определяется величина q заряда
любого иона: # = ±ZF)NA, где Z— валентность иона, F—
число Фарадея, NA — число Авогадро. Заряд одновалент-
ного иона (Z==l) равен по абсолютной величине заряду
электрона:
21==<? = 4,803- ПТ10 СГСЭЯ= 1,602 • 10~18 к.
Установлено, что любой электрический заряд является
кратным от наименьшего заряда е, который является
элементарным (стр. 328).
24 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
370 ток В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ [IV.3
4. Закон Ома для тока в жидкостях
Г Плотность тока j (стр. 357) в жидкостях численно
равна сумме плотностей токов положительных и отрица-
тельных ионов:
j = j+ + j-
Зависимость плотности тока в жидкостях j от напря-
женности Е электрического поля, приложенного к элек-
тродам, имеет вид:
j= ?+ По+ (и+ + «_) Е,
А
где F—число Фарадея, NA — число Авогадро. Z+— ва-
лентность положительных ионов в растворе, п0+—число
положительных ионов в единице объема электролита, п+ и
и_ — подвижности соответственно положительного и
отрицательного ионов, т. е. средние скорости движения
этих ионов под действием электрического поля, напря-
женность кбторого равна единице. Эта формула выра-
жает закон Ома для плотности тока в электролитах.
2° Удельное сопротивление электролита равно
Р FZ+no+ (*+ -|- «-)
Если молекула электролита диссоциирует на два иона, то
их валентности одинаковы (Z), концентрации также оди-
наковы и равны ап0, где а — коэффициент диссоциации,
п0 — концентрация электролита (стр. 368). В этом случае
"а 1
? FZariQ (и+ 4- а_) ’ ИЛИ Р — FaC (и+ + а_) ’
где C—UqZINд — число грамм-эквивалентов растворен-
ного вещества, содержащихся в единице объема (экви-
валентная концентрация раствора).
5. Электропроводность газов
Г Газы состоят из электрически нейтральных атомов
и молекул и в нормальных условиях являются изолято-
рами. Электропроводность газов возникает при их иони-
зации— отщеплении от атомов и молекул газов элек-
тронов. Атомы (молекулы) превращаются при этом в по-
ложительные ионы. Отрицательные ионы возникают в
1V.3.6] НЕСАМОСТОЯТЕЛЬНЫЙ ГАЗОВЫЙ РАЗРЯД 371
газах при соединении нейтральных атомов (молекул) со
свободными электронами.
2° При ионизации атома (молекулы) совершается ра-
бота ионизации Ai против сил взаимодействия между
вырываемым электроном и другими частицами атома
(молекулы). А[ зависит от химической природы газа и
энергетического состояния электрона в атоме (молекуле).
Ai возрастает с увеличением кратности ионизации, т. е.
числа электронов, вырванных из атома.
3° Потенциалом ионизации называется разность
потенциалов, которую должен пройти электрон в уско-
ряющем электрическом поле для того, чтобы увеличе-
ние его энергии равнялось работе ионизации Af. == Аре,
где е — заряд электрона.
4е Ионизация газа происходит в результате внешних
воздействий: сильного нагревания, рентгеновских лучей,
радиоактивных излучений, при бомбардировке молекул
(атомов) газа быстро движущимися электронами или
ионами Интенсивность ионизации измеряется числом
пар противоположных по знаку заряженных частиц, воз-
никающих в единице объема газа за единицу времени.
5° Ударная ионизация одноатомного газа электронами
или ионами происходит при кинетической энергии иони-
зирующей частицы
— > А--}
2 + мр
где Ai — работа ионизации, М — масса атома. Скорость v
частицы с зарядом е и массой т, прошедшей в ускоряю-
щем электрическом поле разность потенциалов
г т
Для осуществления ударной ионизации ионы должны
пройти в ускоряющем поле ббльшую разность потенци-
алов, чем электроны. Это справедливо для ионизации
молекул, состоящих из любого числа атомов.
6. Несамостоятельный газовый разряд
Г Если электропроводность газа вызывается внеш-
ними ионизаторами, то процесс прохождения электри-
ческого тока через газ называется несамостоятельным
газовым разрядом. Кривая зависимости силы тока при
несамостоятельном газовом разряде от напряжения U
24*
372
ТОК В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
[1V.3
между электродами изображена на рис. IV.3.1. При не-
больших напряжениях плотность тока j в разряде про-
порциональна напряженности поля Е:
] = гп0 («+ + «_) Е,
где и и_ — подвижности положительных и отрицатель-
ных ионов, п0 ~ число пар электронов и одновалентных
положительных ионов в единице объема, е — абсолютное
значение заряда электрона. и в интервале давле-
ний от 10~4 до 102 атм обратно
/ пропорциональны давлению газа.
/ При дальнейшем увеличении на-
4 пряженности поля Е концентра-
| ция ионов в разряде убывает, и
/ ' линейная зависимость силы тока
О zот напряжения нарушается.
* 2° Максимальная сила тока /н,
Рис. IV. 3.1, возможная при данной интенсив-
ности ионизации, называется то-
ком насыщения. При этом все ионы, возникающие в
газе, достигают электродов:
/ н — *7V0,
где Nq — максимальное число пар одновалентных ионов,
образующихся в 1 сек в объеме газа под действием иони-
затора.
7. Самостоятельный газовый разряд
Г Электрический разряд в газе, продолжающийся
после прекращения действия внешнего ионизатора, назы-
вается самостоятельным газовым разрядом. Свободные
электрические заряды, необходимые для поддержания
такого разряда, возникают главным образом в резуль-
тате ударной ионизации (стр. 371) молекул газа под
действием электронов и положительных ионов. При этом
проводимость газов сильно возрастает.
2° Переход несамостоятельного газового разряда в
самостоятельный называется электрическим пробоем
газа и происходит при напряжении зажигания U9 {на-
пряжение пробоя). С уменьшением потенциала иони-
зации (стр. 371) и работы выхода электронов из катода
(стр. 383), при прочих равных условиях, U3 уменьшается.
IV.3.7] САМОСТОЯТЕЛЬНЫЙ ГАЗОВЫЙ РАЗРЯД 373
Зависимость U3 от произведения давления газа р на
расстояние d между плоскими электродами изображена
на рис. IV.3.2.
3° Зависимость разрядного тока от напряжения, при-
ложенного к электродам в разряде, называется волып-
амперной характеристикой. При
низких давлениях (несколько де- I
сятков мм рт. ст.) наблюдается I
тлеющий самостоятельный газо- \
вый разряд. Основными частями \
тлеющего разряда являются еле- \
дующие четыре области: / — ка-
тодное темное пространство, 0
// — отрицательное (тлеющее) °
свечение, III — фарадеево темное рИс. IV. 3.2.
пространство, IV — положитель-
ный столб разряда (рис. IV.3.3.). Области /—III образуют
катодную часть разряда. Вблизи катода происходит рез-
кое падение потенциала, связанное с большой концен-
трацией положительных ионов на границе областей /—//.
В области // электроны, ускоренные в области /, про-
изводят интенсивную ударную ионизацию. Тлеющее све-
чение в основном вызы-
вается обратным воссое-
динением (рекомбина-
цией) электронов и ионов
в Нейтральные атомы
или молекулы. В поло-
жительном столбе разря-
да вследствие постоян-
ной и большой концен-
трации электронов на-
блюдаются незначитель-
ное падение потенциала,
Рис. IV. з.з. свечение, вызываемое
возбужденными молеку-
лами газа, и большая электропроводность. Отдельные
светящиеся участки положительного столба, разделенные
темными промежутками, называются стратами.
Длина d катодного темного пространства при сбли-
жении электродов не изменяется и, при прочих равных
условиях, обратно пропорциональна давлению газа. При
условии г <zd, где г —- расстояние между электродами,
тлеющий разряд прекращается.
314 ток В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ [IV.3
Электронные (катодные) лучи образуются при доста-
точно низких давлениях в результате выбивания элек-
тронов из катода положительными ионами. Каналовые
лучи представляют собой поток положительных ионов,
движущихся в разреженном газе под действием элек-
трического поля.
4° При нормальном и больших давлениях наблюда-
ются несколько типов газового разряда: кистевой, корон-
ный, искровой и дуговой.
Кистевой разряд создается в областях неоднородно-
стей электрического поля (острия, выступы), в которых
поле имеет столь большую напряженность, что возни-
кает ударная ионизация электронами (стр. 371) молекул
газа (например, вблизи положительно заряженного
острия).
Коронный разряд возникает между проводами, нахо-
дящимися под высоким напряжением. Под влиянием
большого градиента потенциала, вызванного неоднород-
ностью поля около проводов, происходит ионизация воз-
духа. Для уменьшения коронирования, сопровождающе-
гося утечкой тока и потерями энергии, увеличивают
радиус кривизны проводников, а их поверхность делают
по возможности более гладкой.
Искровой разряд имеет вид прерывистых ярких
зигзагообразных разветвляющихся нитей — каналов иони-
зованного газа, которые пронизывают разрядный проме-
жуток и исчезают, сменяясь новыми. Искровой разряд
сопровождается выделением большого количества тепла
и ярким свечением газа. Явления, характеризующие
такой разряд, вызываются электронными и ионными
лавинами, возникающими в искровых каналах, где дав-
ление увеличивается до сотен атмосфер, а температура
повышается до 105°С. Примером искрового разряда явля-
ется молния. Главный канал молнии имеет диаметр от
10 см до 25 см. Длина молнии достигает нескольких
километров при максимальной силе тока импульса мол-
нии, достигающей сотен тысяч ампер.
Дуговой разряд происходит при большой плотности
тока и при напряжении между электродами порядка
нескольких десятков вольт. Он является результатом
интенсивного испускания термоэлектронов (стр. 389) рас-
каленным катодом. Электроны ускоряются электрическим
полем и производят ударную ионизацию молекул газа.
Поэтому электрическое сопротивление газового проме-
IV.8.8] ПОНЯТИЕ О ПЛАЗМЕ 375
жутка между электродами дуги невелико. При увели-
чении силы тока дугового разряда проводимость газо-
вого промежутка настолько сильно возрастает, что
напряжение между электродами дуги падает (падающая
вольтамперная характеристика). Температта катода
(при атмосферном давлении) достигает 3000е Бомбар-
дировка электронами анода создает в нем углубление—
кратер дуги с температурой около 4000° С (при р =
= 760 мм рт. ст.). Температура газа в канале электри-
ческой дуги 5000—6000° С. Если дуговой разряд проис-
ходит при сравнительно низкой температуре катода
(например, ртутная дуговая лампа), то основную роль
играет холодная эмиссия электронов из катода (стр. 391).
8. Понятие о плазме
Г Плазмой называется состояние вещества, характе-
ризующееся высокой степенью ионизации его частиц,
доходящей до полной ионизации. В плазме газового
разряда (например, в положительном столбе тлеющего
разряда) концентрации электронов и отрицательных ионов
равны концентрации положительных ионов. Результирую-
щий пространственный заряд в плазме равен нулю.
2° Большая электропроводность плазмы приближает
ее свойства к свойствам проводников. Случайно во-
зникающие в плазме, не подверженной внешним воз-
действиям, разности концентраций заряженных частиц
и разности потенциалов сглаживаются, как в проводни-
ках, на которые не действуют внешние э. д. с.
3е Между заряженными частицами плазмы действуют
электростатические силы (стр. 328), между заряженными
и нейтральными частицами — силы квантовомеханиче-
ской природы (стр. 680).
4° Состояние термодинамического равновесия высоко-
ионизованного газа подобно плазме определенной тем-
пературы, в которой убыль заряженных частиц, проис-
ходящая за счет рекомбинации (стр. 373), пополняется за
счет новых актов ионизации. Средняя кинетическая
энергия составляющих такую плазму различных частиц
(положительных и отрицательных ионов, нейтральных
частиц в различных состояниях возбуждения) одинакова.
Энергия черного излучения (стр. 216), существующего
в такой плазме, соответствует той же температуре. Про-
цессы обмена энергией между частицами являются
376 ТОК В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ |TV.3
равновесными процессами. Плазма, обладающая пере-
численными свойствами, называется изотермической
плазмой. Она существует в атмосфере звезд, обладаю-
щих высокой температурой. О значении плазмы для
термоядерных процессов см. стр. 779.
5е В газоразрядной плазме заряженные частицы, вхо-
дящие в ее состав, непрерывно находятся в ускоряющем
электрическом поле. Средней кинетической энергии
электронов в газоразрядной плазме сопоставляется неко-
торая температура максвелловского распределения элек-
тронов по энергиям (стр. 195), называемая электронной
температурой Те. Она имеет условный смысл, ибо в
газоразрядной неизотермической плазме отсутствует
термодинамическое равновесие. Средняя кинетическая
энергия электронов в газоразрядной плазме значительно
превышает среднюю энергию нейтральных частиц
плазмы.
6° Состояние термически неравновесной газоразряд-
ной плазмы поддерживается за счет энергии проходя-
щего через плазму разрядного тока. Если исчезает
внешнее электрическое поле, то исчезает и газоразряд-
ная плазма. Исчезновение предоставленной самой себе
газоразрядной плазмы называется деионизацией газа.
7° Параметрами газоразрядной плазмы являются: элек-
тронная температура Те, концентрация электронов м0,
число ионизаций, приходящихся на один электрон в 1 сек,
плотность ионного или электронного тока на стенки,
продольная напряженность Ez электрического поля,
установившегося вдоль оси симметрии плазмы.
8е Условием высокой степени ионизации термодина-
мически равновесной плазмы, состоящей из двух
сортов заряженных частиц, имеющих противоположные
по знаку и одинаковые по величине заряды, является
максимальное уменьшение рекомбинации частиц (стр. 373).
Условие разреженности плазмы:
f>2
-CkT,
г
где е*1г — средняя потенциальная энергия кулоновского
взаимодействия частиц с зарядами е, находящихся на
расстоянии г, kT—средняя энергия теплового движения
частиц, k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная тем-
пература.
V.3.8] ПОНЯТИЕ О ПЛАЗМЕ 377
9е Полностью ионизованная плазма может быть полу-
чена при условии, что
/гГ> ем,
где уч — потенциал ионизации атомов газа. Для водорода
и дейтерия этому соответствует 7^160 000° К. При этих
условиях существенную роль играет излучение плазмы,
затрудняющее ее адиабатическую изоляцию (стр. 132).
10° При температурах, много меньших тех, которые
соответствуют полной ионизации (п. 9°), внутренняя энер-
гия термодинамически равновесной плазмы, состоящей
из частиц двух сортов с зарядами ± е и нейтральных
атомов, равна
и = ит-е^У^-,
где Unjk — CVT + Uq — внутренняя энергия идеального
газа (стр. 142), N — число частиц одного сорта в объеме V.
Величина d = 1/ называется дебаевским ради-
усом экранирования для плазмы, близкой по своим свой-
ствам к идеальному газу. На расстояниях, больших d,
электрическое поле данного заряда экранируется заря-
дами противоположного знака и становится пренебре-
жимо малым.
11° Для плазмы, рассмотренной в п. 10°:
свободная энергия (стр. 168)
р—р _____£ рре2 1 / 4тсЛГе2
термическое уравнение состояния (стр. 170)
(дР\ RT М 1 А7 8 1 /
энтропия (стр. 170)
5 = -(Эи = <Си)ид 1п Т+
(Vp, — объем 1 моля идеального газа),
теплоемкость (стр. 170)
Сv = - Тv= (Cv)m +1 Ne* .
В этих формулах R — универсальная газовая постоянная
(стр. 138).
378
ТОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
IIV.4
ГЛАВА 4
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
1. Собственная проводимость полупроводников
Зона
проводимости
зона
Рис. IV. 4.2.
Iе Полупроводники — большой класс веществ, удель-
ное сопротивление которых изменяется в широких пре-
делах и в очень сильной степени уменьшается с увели-
чением температуры (по экспоненциальному закону).
В периодической си-
стеме Д. И. Менделее-
ва полупроводники об-
разуют группу эле-
ментов, изображенную
на рис. IV. 4.1. Наи-
более типичными, ши-
роко применяемыми
полупроводниками с
хорошо изученными
электрическими свой-
ствами являются германий (Ge), кремний (Si) и тел-
лур (Те). На внешней оболочке атомов кремния и герма-
ния находятся 4 валентных электрона, связанных хими-
ческими (ковалентными) связями (стр. 706) с валентными
электронами соседних атомов. Кристаллические полупро-
водники относятся к типу твердых тел с полностью за-
нятой электронами валентной энерге-
тической зоной (стр. 662), которая от-
делена от не занятой электронами (при
0°К) зоны проводимости (стр. 662) срав-
нительно узким интервалом энергий.
2е Электропроводность химически
чистого полупроводника называется
собственной проводимостью. Элек- .
тронная проводимость (проводи-
мость п-типа) возникает при пере-
бросе электронов из валентной
энергетической зоны (самой верхней
зоны, целиком заполненной элек-
тронами) в зону проводимости
(рис. IV. 4.2). Энергия, которая должна быть при этом за-
трачена,равна, по меньшей мере, ширине запрещенной зоны
(стр. 660) и называется энергией активации собственной
проводимости AU70- Значения энергии активации (в эв)
IV.4.2] ПРИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ 379
собственной проводимости полупроводниковых элемен-
тов приведены в кружках на рис. IV. 4.1. Удельная элек-
тропроводность т полупроводников возрастает с повы-
шением температуры Г:
где k — постоянная Больцмана. Электрическое сопротив-
ление полупроводников при нагревании уменьшается.
В этом состоит важное отличие полупроводников от
металлов (стр. 361).
Помимо нагревания, проводимость полупроводников
может быть вызвана действием достаточно сильного
электрического поля и освещением (фотопроводимость
полупроводников, стр. 631).
3е Переброс электронов из валентной зоны в зону
проводимости создает в ранее заполненной зоне полу-
проводника вакантные энергетические уровни. Движение
электронов, находящихся в этой зоне, под действием
электрического поля эквивалентно движению положитель-
ного заряда («дырки*), численно равного заряду электрона.
Дырки перемещаются в направлении напряженности
электрического поля (стр. 330). Проводимость, обусловлен-
ная «дырками», называется дырочной проводимостью или
проводимостью р-типа.
4° Общая удельная электропроводность полупровод-
ников складывается из проводимостей п- и р-типов:
7 = епеие + enhuh,
где е — абсолютная величина заряда единичного носителя
тока (заряда электрона), пе и nh — равные концентрации
электронов и дырок, ие и и^ — подвижности электронов
и дырок (стр. 370), различные вследствие различия в эффек-
тивных массах (стр. 661) и временах свободных пробегов
этих частиц.
2. Примесная проводимость полупроводников
Г Примесной проводимостью полупроводников назы-
вается их электропроводность, обусловленная наличием
примесных центров. Под примесными центрами (приме-
сями) подразумеваются: а) атомы посторонних элементов;
б) избыточные (по сравнению со стехиометрическим со-
ставом) атомы элементов, входящих в полупроводники;
380
ТОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ [IV.4
в) всевозможные дефекты кристаллической решетки: пу-
стые узлы, атомы или ионы, внедренные в междуузлия
решетки, сдвиги, связанные с пластической деформацией
кристалла, трещины и т. п.
2е Примесные включения вносят изменения в перио-
дическое электрическое поле кристалла (стр. 659) и влияют
на движение электронов и на их энергетические состоя-
ния. Энергетические уровни валентных электронов при-
месных атомов не размещаются в разрешенных энерге-
тических зонах основного кристалла и образуют примес-
ные энергетические уровни, расположенные в запрещенной
зоне (локальные уровни).
3° Примеси могут служить дополнительными источ-
никами электронов в кристалле. Например, при замещении
одного четырехвалентного
атома германия пятивалент-
ным атомом фосфора,
мышьяка или сурьмы один
электрон не может обра-
зовать ковалентной связи
и является «лишним».
Энергетический уровень
такого электрона распола-
гается ниже зоны проводи-
мости (рис. IV. 4.3). Подоб-
ные уровни, заполненные
электронами, называются
донорными. Атомы приме-
сей, поставляющие электроны, называются атомами-доно-
рами. Для перевода электронов с донорных уровней в
незаполненную зону проводимости необходима малая
энергия Например, для кремния AWe = 0,054 эв,
если примесью является мышьяк. В результате пере-
броса электронов с донорных уровней в зону проводи-
мости в полупроводнике возникает электронная примес-
ная проводимость. Полупроводники такого типа назы-
ваются электронными или полупроводниками п-типа.
4° Если четырехвалентный атом германия замещен
в кристаллической решетке атомом с тремя валентными
электронами (бор, алюминий, индий), то возникает недо-
статок одного электрона для образования ковалентных
связей. Недостающий электрон может быть заимствован
у соседнего атома германия в решетке (рис. IV. 4.4),
у которого появится положительная «дырка». Последо-
IV.4.3] ЯВЛЕНИЕ ХОЛЛА В МЕТАЛЛАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ381
вательное заполнение электронами образующихся у атомов
германия <дырок> приводит
полупроводника. Свободные
примесные энергетические
уровни назы ваются уровнялш
прилипания или акцептор-
ными уровнями. Они распо-
лагаются несколько выше
верхнего края валентной
зоны основного кристалла
(рис. IV. 4.5), на расстоянии
от него A Например, при
внедрении бора в решетку
кремния A Wh = 0,08 эв. Ато-
мы примесей такого рода
к появлению проводимости
называются атомами-акцеп- Рис. iv. 4.4.
торами. Переброс электро-
нов из заполненной валентной зоны полупроводника на
уровни прилипания приводит к дырочной примесной
проводимости (проводимость p-типа) Полупроводники с
Рис. IV. 4.5.
такой проводимостью назы-
ваются дырочными или полу-
проводниками р-типа.
5° При одновременном
введении в полупроводник
донорных и акцепторных
примесей характер проводи-
мости определяется при-
месью с более высокой кон-
центрацией носителей тока.
При любом типе проводи-
мости число носителей тока
в полупроводниках значи-
тельно меньше, чем в ме-
таллах. Концентрация и энергия электронов (и дырок) в
полупроводниках, в отличие от металлов, весьма сильно
зависит от температуры, возрастая при ее повышении.
3. Явление Холла в металлах и полупроводниках
Г Эффектом Холла называется возникновение по-
перечного электрического поля и разности потенциалов
в металле или полупроводнике, по которым проходит
электрический ток, при помещении их в магнитное поле,
382
ГОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
(IV.4
перпендикулярное к направлению тока. Если в магнитное
поле помещен металл или электронный полупроводник,
то электроны, движущиеся со
поле (рис. IV. 4.6, а), под
Рис. IV. 4.6.
скоростью v в магнитном
действием силы Лоренца
(стр. 407) отклоняются в
определенную сторону.
На противоположной сто-
роне скапливаются поло-
жительные заряды. В ды-
рочном полупроводнике
(рис. IV. 4.6, б) знаки за-
рядов на поверхностях
противоположные.
2* Поперечное элек-
трическое поле препят-
Раз-
ствует отклонению электронов магнитным полем,
ность потенциалов при эффекте Холла:
где В—индукция магнитного поля (стр. 393), 1 — сила
тока, d—линейный размер образца в направлении век-
тора В, R — постоянная Холла.
Для металлов и полупроводников с одним типом про-
водимости
где п— число носителей тока в единице объема, е — ве-
личина их заряда, k — численный коэффициент порядка
единицы, связанный со статистическим характером рас-
пределения скоростей носителей тока.
Для полупроводников с двумя проводимостями (п- и
р-тинов)
8е (п b 4- *
e h
где пе и nh—концентрации электронов и дырок в по-
лупроводнике, £ - отношение подвижностей электронов
и дырок (стр. 370) Знак постоянной Холла позволяв
определить тип проводимости в металле (или чистом
полупроводнике), а также установить характер преиму-
щественной проводимости в полупроводнике со смешан-
ной проводимостью. Измерение постоянной Холла позво-
IV.5.1) КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МЕТАЛЛАХ 383
ляет вычислить число носителей тока в 1 см9 — важней-
шую характеристику электронной теории проводимости
металлов и полупроводников.
ГЛА.В А 5
КОНТАКТНЫЕ, ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
И ЭМИССИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
1. Контактные явления в металлах. Законы Вольты
Г Работа А, которую нужно совершить для удаления
электрона из металла в вакуум, называется работой
выхода. Она совершается электронами против сил при-
тяжения со стороны избыточного положительного заряда,
возникающего в металле в результате их вылета. Кроме
того, работа А совершается против сил отталкивания со
стороны ранее вылетевших электронов, образующих
вблизи поверхности проводника электронное «облако».
Работа выхода зависит от химической природы металла
и состояния его поверхности. Она отсчитывается от
уровня Ферми (стр. 218).
2° Недостаток электронов в металлическом провод-
нике и их избыток в окружающем пространстве, обра-
зовавшиеся в результате вылета части электронов из
металла, проявляются в тонком двойном слое по обе
стороны от поверхности металла. Двойной электрический
слой подобен весьма тонкому плоскому конденсатору
Гетр. 345) толщиной в несколько межатомных расстояний
(сГ»»10~8 см). Электрон, покидающий металл, должен
преодолеть задерживающее его электрическое поле двой-
ного слоя. Разность потенциалов Дер в электрическом
поле двойного слоя называется поверхностным скачком
потенциала или контактной разностью потенциалов
между металлом и окружающей средой:
л А
=
где е—абсолютная величина заряда электрона, А — ра-
бота выхода.
3° Работа выхода выражается в электрон-вольтах (эв):
1 эв == 1,6 10-12 эрг. Для чистых металлов А колеблется
в пределах нескольких эв.
384 КОНТАКТНЫЕ И ЭМИССИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ (IV.5
4° Законы Вольты:
а) при соединении двух проводников, изготовленных
из различных металлов, между ними возникает контакт-
ная разность потенциалов, которая зависит только от их
химического состава и температуры;
б) разность потенциалов между концами цепи, состоя-
щей из последовательно соединенных металлических про-
водников, находящихся при одинаковой температуре, не
зависит от химического состава промежуточных провод-
ников; она равна контактной разности потенциалов, воз-
никающей при непосредственном соединении крайних
проводников.
5° Контактная разность потенциалов на границе двух
металлов возникает вследствие различной величины работ
выхода Ai и As электронов из этих металлов:
При At > Аг первый металл заряжается отрицательно,
второй — положительно; Дср^ практически не зависит от
температуры. Второй причиной появления контактной
разности потенциалов Дср^ является различие концентра-
ций not и nos электронов проводимости (стр. 358) в кон-
тактирующих металлах:
t^= — 1П^,
Т12 е под»
где k - постоянная Больцмана, Т — абсолютная темпера-
тура. По порядку величины Дср[2 1 в, Д(р'1'8 = Ю'4Г в; при
комнатных температурах Дср"2 0,03 в и Дср'2 Дср'3.
6° При движении электронов в электрическом поле
двойного слоя их потенциальная энергия изменяется.
Поэтому одновременно с образованием двойного слоя
происходит относительное смещение энергетических уров-
ней электронов в контактирующих металлах. В металле,
заряжающемся положительно, все уровни смещаются
вниз, а в металле, заряжающемся отрицательно, — вверх.
В состоянии равновесия, когда прекращается движе-
ние электронов через границу металлов, уровни Ферми
(стр. 218) в обоих металлах совпадают.
7е При контактировании двух металлов (Дср^1 в)
ничтожная часть электронов, имеющихся в 1 см3 металла,
переходит из одного металла в другой, образуя двойной
слой толщиной 10~8 см. Концентрация электронов в
контактном слое и остальном объеме металла одинакова.
IV.5.2] КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ 385
Поэтому электрическое удельное сопротивление (стр. 360)
контактного слоя металлов не изменяется по сравнению
с сопротивлением остального их объема й контакт двух
металлов не дает вентильного эффекта (эффекта выпрям-
ления). Электрический ток проходит через контактный
слой одинаково в обоих направлениях.
2. Контактные явления в полупроводниках
А. Контакт металла с полупроводником
Г Значительно меньшая концентрация электронов про-
водимости в полупроводниках по сравнению с металлами
(1016 см~* вместо 1022 см~*) приводит к тому, что двой-
ной электрический слой (стр. 383) на границе полупровод-
ника с металлом имеет толщину <У^10-4 см, т. е. в
104 раз большую, чем при контакте двух металлов (при
контактной разности потенциалов в несколько вольт, на-
блюдаемой при этом на опыте).
2° Потенциальная энергия электронов, находящихся в
электрическом поле двойного слоя (на границе металл —
полупроводник), больше, чем в остальном объеме полупро-
водника. Число свободных электронов в этом слое мало,
и электрическое сопротивление контактного слоя значи-
тельно больше, чем в остальном объеме полупроводника.
3° Контактный слой на границе металл — полупровод-
ник называется запирающим слоем. Он является причи-
ной выпрямляющего (вентильного) действия контакта
металла с полупроводником на переменный ток.
Рассмотрим для определенности случай контакта по-
лупроводника n-типа (стр. 380) с металлом. Пусть работа
выхода электрона из металла (стр. 383) больше, чем из
полупроводника, т. е. приконтактный слой «-полупровод-
ника заряжен положительно, а металл — отрицательно.
Внешнее электрическое поле влияет на размеры и сопро-
тивление контактного слоя. Если металл соединен с по-
ложительным полюсом источника тока, а полупроводник —
с отрицательным, то электроны втягиваются из объема
полупроводника в контактный слой, толщина которого
уменьшается, а проводимость контакта увеличивается.
В этом направлении, называемом пропускным, электриче-
ский ток проходит через контакт металл—полупроводник.
При переключении полюсов источника тока, когда внешнее
электрическое поле направлено от полупроводника к ме-
таллу, электроны вытесняются из контактного слоя в глубь
25 Б. М. Яворский, А. А. Детла,ф
386 КОНТАКТНЫЕ И ЭМИССИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ [IV.5
полупроводника, увеличивая толщину запирающего слоя
и его сопротивление. В этом запирающем направлении
электрический'ток через контакт не проходит. Таким об-
разом, контакт металл — полупроводник имеет односторон-
нюю проводимость и выпрямляет переменные токи.
Б. Контакт двух полупроводников
Г Граница соприкосновения двух полупроводников с
различными, п- и p-типами проводимости (стр. 380 и 381) на-
зывается электронно-дырочным переходом (р — п-перехо-
дом). Он может осуществляться в одном и том же кри-
сталле полупроводника, где с помощью соответствующих
примесей (стр. 379) обеспечиваются области различной
(п- и р-) проводимости.
2° Двойной слой (стр. 383) р — «-перехода образуется
в результате перемещения электронов из п- в р-полупро-
а b с
водник, а положительных
дырок (стр. 381) — в про-
тивоположном направле-
нии (рис. IV. 5.1). Толщи-
на d р — «-перехода в
практически важных слу-
чаях составляет 10“4—
10“б см. Контактное
Рис. IV. 5.1. электрическое поле двой-
ного слоя с напряжен-
ностью Епр и контактной разностью потенциалов в не-
сколько десятых долей вольта препятствует тепловому дви-
жению носителей тока (электронов и дырок), т. е. равно-
весный контактный слой является запирающим и обладает
повышенным сопротивлением.
3° Если к контактному слою приложено внешнее на-
пряжение таким образом, что «-полупроводник соединен
с положительным полюсом источника тока (рис. IV. 5.2),
то внешнее электрическое поле усиливает поле контакт-
ного слоя и вызывает движение электронов в «-полупро-
воднике и дырок в р-полупроводнике в противополож-
ные стороны от границы р — «-перехода. Это приводит
к расширению запирающего слоя и росту его сопротив-
ления. Направление внешнего поля, расширяющее запи-
рающий слой, называется запирающим (обратным). В этом
направлении электрический ток через контакт двух полу-
проводников практически не проходит.
IV.5.3, 1ЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В МЕТАЛЛАХ 387
4° При пропускном (прямом) направлении (рис. IV. 5.3)
внешнее электрическое поле направлено противоположно
полю контактного слоя. Электроны и положительные дырки
перемещаются под действием внешнего поля к границе
р — n-перехода навстречу друг другу, толщина контакт-
ного слоя и его сопротивление уменьшаются. Следова-
Рис. IV. 5.2.
Рис. IV. 5.3.
тельно, в этом направлении электрический ток может
проходить через границу двух полупроводников.
5° Действие р — n-перехода, обладающего односторон-
ней проводимостью, аналогично выпрямляющему дей-
ствию двухэлектродной лампы — диода (стр. 452). Поэтому
полупроводник с одним р — «-переходом называется по-
лупроводниковым диодом.
3. Термоэлектрические явления в металлах
Г В замкнутой электрической цепи, образованной двумя
различными металлическими проводниками
возникать термоэлектродвижущая си-
ла $, если температуры спаев Та и
различны, например Та > Ть (рис. IV.5.4)-
g = a(7'e-T»),
где а == * In ~ — величина, характери-
зующая свойства контакта двух метал-
лов, k—постоянная Больцмана (стр. 138),
/ и 2. может
Рис. IV. 5.4.
е — заряд электрона, «01 и «Оа — соответственно числа
электронов в единице объема каждого проводника
U)*
388 КОНТАКТНЫЕ И ЭМИССИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ (TV.5
Направление тока при n01 > n02 указано на рис. IV. 5.4.
Для поддержания постоянного тока необходимо под-
держивать пост’оянство Та — непрерывным подво-
дом тепла к более нагретому спаю и отводом его от
холодного.
2° Внутренняя энергия системы двух проводников пре-
образуется в электрическую в соответствии со вторым
законом термодинамики (стр. 161) с использованием на-
гревателя и холодильника. Коэффициент полезного дей-
ствия замкнутого цикла, описывающего преобразование
энергии, составляет десятые доли процента. При
Тп — 7^=100° С величина g не превосходит нескольких
милливольт. Это связано с практической независимостью
числа носителей тока в металлах — электронов — от тем-
пературы. Термоэлектрические явления в металлах ис-
пользуются, в основном, для измерения температур (термо-
пары, термостолбики).
3° При пропускании электрического тока в цепи, со-
стоящей из двух различных спаянных металлов 1 и 2,
©происходит явление Пельтье*.
помимо выделения джоулева
тепла (стр. 364), наблю-
ffaep. дается добавочное нагревание
одного из спаев и охлаждение
другого. Если Та > Ть и
п01 > п03 (рис. IV. 5.5), спай b
+ ~ нагревается, спай а — охлаж-
Рис. IV. 5.5. дается. При изменении направ-
ления электрического тока на
обратное явление обращается. Явление Пельтье объяс-
няется возникновением контактной разности потен-
циалов на границе двух металлов (стр. 383). Если ме-
талл 1 спая а зарядился отрицательно, а металл 2
этого спая — положительно, то при движении электронов
в направлении 1—2 (рис. IV. 5.5) они испытывают до-
полнительное ускорение и их кинетическая энергия воз-
растает за счет внутренней энергии спая. В результате
спай а охлаждается. В спае b электроны, движущиеся в
направлении 2—1, замедляются электрическим полем
контакта и отдают часть своей энергии спаю. Это при-
водит к нагреванию спая Ь. При изменении направления
электрического тока на противоположное спай а будет
нагреваться, спай b — охлаждаться.
fV.5.5]
ЭМИССИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МЕТАЛЛАХ
389
4. Термоэлектрические явления в полупроводниках
Г В полупроводниках чйсла носителей тока — электро- .
нов и дырок (стр. 380) — резко повышаются при нагрева-
нии. Это приводит к высоким термоэлектродвижущим силам
(стр. 387) в полупроводниках.
2° Если в изолированном электронном полупроводнике
создается разность температур, то электроны начнут пе-
ремещаться в направлении убыли температуры. В резуль-
тате более нагретые участки полупроводника зарядятся
положительно, а менее нагретые — отрицательно. В ды-
рочном полупроводнике знаки зарядов окажутся проти-
воположными. Между горячим и холодным концами
полупроводника возникает разность потенциалов; элек-
трическое поле препятствует движению носителей тока
от горячих участков к холодным. Совместное дей-
ствие разности температур и электрического поля в по-
лупроводнике приведет к установлению динамического
равновесия, соответствующего определенной разности
потенциалов между нагретым и холодным участками по-
лупроводника. На Г разности температур разность по-
тенциалов в полупроводниках достигает 10“8 в.
3° Если полупроводники, в которых создана разность
температур, составляют замкнутую цепь или ее часть, то
под влиянием термоэлектродвижущей силы возникает ток.
Коэффициент полезного действия термоэлектрических
источников тока на полупроводниках доходит до 1О°/о.
Это обеспечивает широкое и все возрастающее примене-
ние термоэлектрических генераторов в науке и технике.
4° Явление Пельтье (стр. 388) в полупроводниках по-
зволяет создать достаточно экономичные и производи-
тельные холодильные установки. Если температура на-
греваемого спая полупроводника с металлом поддержи-
вается близкой к комнатной и от него отводится тепло,
которое выделяется при прохождении электрического
тока, то второй спай и окружающий его воздух могут
быть значительно охлаждены (принцип устройства холо-
дильников на полупроводниках).
5. Эмиссионные явления в металлах
Г Явление термоэлектронной эмиссии состоит в ис-
пускании электронов нагретыми металлами. Электрон
может покинуть металл, если его полная энергия W пре-
вышает работу Д выхода электрона из металла (стр. 383).
390
КОНТАКТНЫЕ И ЭМИССИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
IIV.5
Явление термоэлектронной эмиссии становится интенсив-
ным при температурах металла порядка сотен градусов
абсолютной шкалы’ Явление 1ермоэлектронной эмиссии
играет важнейшую роль в работе электронных ламп.
2° Для создания стационарного термоэлектронного тока
электроны эмиттированные из металла, должны отво-
диться от его поверхности с по-
мощью напряжения, приложенного
между эмиттером - катодом и
анодом. В противном случае об-
лако пространственного отрица-
тельного заряда, образовавшегося
вблизи катода, будет препятство-
вать дальнейшему выходу элек-
тронов из металла. Зависимость
плотности термоэлектронного то-
4
•4
Рис. IV. 5.6
4 4
ка jA от напряжения между электродами UA приведена
на рис. IV. 5.6. При малых значениях UА она выражается
^законом трех вторых* Ленгмюра—Богуславского:
Для плоских электродов, находящихся на расстоянии d
друг от друга, _
где е/т — удельный заряд электрона (стр. 409). Для элек-
тродов в форме коаксиальных цилиндров с радиусом
анода гд:
В этом случае формулой Ленгмюра — Богуславского оп-
ределяется ток с единицы длины катода.
3° Максимальный термоэлектронный ток, возможный
при данной температуре катода, называется током на-
сыщения. При этом все электроны, вылетающие за еди-
ницу времени из катода, достигают анода. Ток насыще-
ния растет с повышением температуры катода. Плотность
тока насыщения ув вычисляется по формуле Ричардсо-
на — Дёшмана:
jnaaCT*e kT,
1V.5.5] ЭМИССИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МЕТАЛЛАХ 391
где С = 4nmek*ih* — эмиссионная постоянная, е — заряд
электрона, т — его масса, k — постоянная Больцмана,
h — постоянная Планка, А — работа выхода электрона из
металла, отсчитанная от уровня Ферми (стр. 218). Как
видно из выражения для С, эмиссионная постоянная
должна иметь универсальное значение для всех метал-
лов: С = 120 а • см~2 • град~2. В действительности, как по-
казывает опыт, постоянная С оказывается различной для
разных металлов. Это противоречие устраняется в кван-
товой механике учетом прозрачности D потенциального
барьера для электронных волн на границе металл — ва-
куум (стр. 658). Вместо эмиссионной постоянной С вво-
дится Ci. Ci = DC.
4° Холодной (автоэлектронной) эмиссией называется
вырывание электронов из металла внешним электриче-
ским полем. Этот эффект может происходить при ком-
натных температурах, причем температура металла в про-
цессе холодной эмиссии практически не изменяется.
Холодная эмиссия объясняется туннельным эффек-
том (стр. 658) — прохождением электронов любой скоро-
сти сквозь потенциальный барьер на границе металла.
Согласно квантовой механике электронные волны с ко-
нечной вероятностью просачиваются сквозь потенциаль-
ный барьер и электроны оказываются вне металла. Ве-
роятность просачивания электронов сквозь потенциаль-
ный барьер, а следовательно, и плотность тока j холодной
эмиссии, зависят от напряженности Е внешнего электри-
ческого поля:
__ £2
j—CiE^e Е,
1де
2
С1=„4------^7-, с3 = ъ У2тА\
2nh VT А 1у/2 Зй г
е — заряд электрона, т — его масса, h, — постоянная
Планка, Wp—энергия Ферми для электронов в металле
(стр. 218), Wa — высота потенциального барьера на гра-
нице металла, А — работа выхода электрона, отсчитанная
от уровня Ферми. В практических расчетах в предыду-
щую формулу вводятся поправочные коэффициенты:
В — равный отношению действительной напряженности
поля к вычисленной в предположении, что поверхность
идеально гладкая, и g — учитывающий отношение
392 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА [IV.6
эмигрирующей части поверхности катода к его полной
поверхности:
j = gCi(BE)*e
-Иг
5° Явление фотоэлектронной эмиссии состоит в вы-
рывании электронов с поверхности тел (главным образом
металлов), помещенных в вакууме или газе, под дейст-
вием света (см. стр. 628).
6° Если поверхность металла в вакууме бомбарди-
руется электронами, то наблюдается встречный поток
электронов от поверхности. Это
явление называется вторичной
электронной эмиссией. Помимо
отражения электронов от по-
верхности, происходит их вы-
рывание из металла. Наиболь-
шая эмиссия вторичных элек-
тронов наблюдается при энер-
гиях первичных электронов в
несколько сотен эв. Вторичная
эмиссия характеризуется коэф-
фициентом вторичной эмис-
сии б, равным отношению сум-
мы числа отраженных и эмитти-
рованных электронов к числу первичных. Типичный вид за-
висимости & от энергии первичных электронов W приведен
на рис. 1У.5.7.Для большинства обезгаженных металлов при
нормальном падении электронов на поверхность &макс не
превышает 2. При наличии адсорбированного газа & увели-
чивается до 3. Вторичная электронная эмиссия применяете^
в электронных умножителях, служащих для многократ-
ного усиления слабых электронных токов.
ГЛАВА 6
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
1. Магнитное поле. Закон Ампера
Г Магнитным полем называется форма материи,
отличающаяся тем важнейшим свойством, что это поле
действует на движущуюся заряженную частицу с силой,
зависящей от произведения ее заряда на скорость.
IV.6.1]
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ. ЗАКОН АМПЕРА
393
2° Магнитное поле создается упорядоченно движущи-
мися зарядами или движущимися заряженными телами,
а также токами смещения (стр. 461). Оно существует
вокруг всякого проводника с током, независимо от ма-
териала проводника и характера его проводимости.
3° Основной характеристикой магнитного поля является
вектор магнитной индукции В. Вектор В определяется
из закона Ампера, выражающего силу, которая действует
на элемент длины проводника с током /, помещенного
в магнитное поле (сила Ампера):
dF = kl [rflВ],
где dF — сила, d\ — вектор элемента длины проводника,
проведенный в направлении тока, k — коэффициент про-
порциональности, зависящий от выбора единиц измере-
ния для всех входящих в закон величин. При измерении
всех величин в единицах одной и той же системы ^=1.
Из закона Ампера следует, что магнитная индукция В
численно равна силе, действующей со стороны магнит-
ного поля на единицу длины проводника, расположен-
ного перпендикулярно к направлению магнитного поля,
по которому течет электрический ток единичной силы.
Таким образом, магнитная индукция В является силовой
характеристикой магнитного
поля. Направление вектораВ
связано с направлениями dF
и d\ правилом, вытекающим
из определения векторного
произведения. Взаимное рас-
положение векторов dF, d\
и В показано на рис. IV.6.1.
В случае, когда эле-
мент d\ проводника с током
Рис. IV. 6.1.
перпендикулярен к направ-
лению магнитного поля (рис. IV.6.1), направление силы dF
находится по правилу левой руки: если ладонь левой
руки расположить так, чтобы в нее входили линии
магнитной индукции, а четыре вытянутых пальца указы-
вали бы направление электрического тока, то отставлен-
ный большой палец укажет направление силы, дейст-
вующей со стороны поля на проводник.
4° Для графического изображения магнитных полей
и определения направления магнитной индукции вводится
394 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА [TV.6
представление о линиях магнитной индукции. Линиями
магнитной индукции называются кривые, касательные
к которым в каждой точке совпадают с направлением
вектора В в этих точках поля. Линии магнитной индук-
ции всегда замкнуты и охватывают проводники с токами.
Замкнутость линий индукции является выражением от-
сутствия в природе свободных магнитных зарядов. Маг-
нитное поле называется однородным, если векторы В во
всех его точках одинаковы. В противном случае поле
является неоднородным.
5° Направление линий индукции магнитного поля тока
определяется правилом Максвелла (правилом буравчика):
если ввинчивать буравчик по направлению тока в про-
воднике, то направление движения рукоятки буравчика
укажет направление линий магнитной индукции.
6° В отличие от электростатических сил, которые яв-
ляются центральными (стр. 329), сила Ампера, как и другие
силы электромагнитного взаимодействия, не является цен-
тральной. Она направлена
\ перпендикулярно к линиям
индукции магнитного поля.
-''' 2. Закон Био —
___7_ Савара — Лапласа
—-Z_______—1° Закон Био — Сава-
’ ра — Лапласа устанавливает
рис. IV. 6.2. величину и направление век-
тора магнитной индукции б/В
в произвольной точке С магнитного поля, создаваемого
элементом dl проводника с током / (рис. IV.6.2):
б/В = |л0 7? (в системе МКСА),
б/В ==|л д- [flflr] (в системе СГСМ).
В скалярной форме:
dB = р0г) (в системе МКСА),
dB-р ~dl г) (в системе СГСМ),
где г — радиус-вектор, проведенный из элемента провод-
ника dl в. рассматриваемую точку поля, р. — относите ль-
IV.6.2]
ЗАКОН БИО - САВАЙА - ЛАПЛАСА
395
ная магнитная проницаемость среды, р показывает,
во сколько раз магнитная индукция поля, создан-
ного током в данной среде, больше, чем в вакууме;
p,0 = 47t-10-7 в • сек)а • м = 4п • 10-7 гн м — магнитная
постоянная. Вектор яЪ перпендикулярен к пло-
скости, в которой лежат векторы d\ и г, и направлен
таким образом, чтобы из его чонца кратчайшее враще-
ние вектора d\ до совмещения с вектором г казалось
происходящим против часовой стрелки (рис. IV.6.2). Та-
кое же направление rfB следует из правила буравчика.
2° Напряженностью Н магнитного поля называется
векторная физическая величина, характеризующая маг-
нитное поле, созданное движущимися зарядами и токами,
и не зависящая от магнитных свойств среды. Для изо-
тропной среды
Н = (в системе МКСА),
Н=в (в системе СГСМ)
Поскольку В всегда прямо пропорционально р, то И
от р не зависит. Закон Био — Савара - Лапласа выра-
жает напряженность tfH, созданную элементом длины d\
проводника с током / на. расстоянии . от элемента d\\
=4^75- 1^1 г] (в системе МКСА),
tfH |дИ г| (в системе СГСМ).
В скалярной форме:
г> (в системе МКСА),
dH = (В системе СГСМ).
3° Магнитная индукция В9 и напряженность HQ маг-
нитного поля заряда q, движущегося со скоростью V,
равны:
B« = Trllvr|,
(в системе МКСА),
Вд=1*Л lvrl.
Но = Д lvrl
(в системе СГСМ).
396
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
IIV.6
В скалярной форме:
? Р4Ч gy Sin (у, г)
У 4п ’ г2
j __ 1 qv sin (v, г)
q 4п r2
(в системе МКСА),
р ___ „ q'O Sin (V, г)
Vq — Р-------/2-----
__qv sin (v, г)
nq — Г2
(в системе СГСМ),
где г — радиус-вектор, проведенный из движущегося за-
ряда в рассматриваемую точку поля, р. — относительная
магнитная проницаемость.
fi0 — магнитная постоянная.
Векторы В,? и направ-
д д лены перпендикулярно к
Рис. IV. 6.3.
плоскости, проведенной че-
рез векторы v и г. Если
q > 0, то из концов векто-
ров В7 и Н7 кратчайшее
вращение от v к г кажется
происходящим против часо-
вой стрелки. Если q <Z О,
в противоположную
ное поле движущегося
то В7 и направлены
сторону (рис. IV.6.3). Магнит-
заряда переменно, ибо численное
значение и направление г изменяются даже при v = const.
В отличие от электростатического поля неподвижного
заряда (стр. 332), которое обладает сферической сим-
метрией, магнитное поле обладает зеркальной симметрией
относительно направления v.
3. Простейшие магнитные поля токов
Г По принципу суперпозиции полей (Стр. 331), кото-
рый справедлив также для магнитного поля, магнитная
индукция В в любой точке магнитного поля проводника
с током / равна векторной сумме индукций ДВ/ элемен-
тарных полей, создаваемых всеми участками проводника:
В = f ABf,
/ = |
где п — общее число участков, на которые разбит про-
IV.6.3]
ПРОСТЕЙШИЕ МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ ГОКОВ
397
водник. При п-*со В = <7В, где интегрирование рас-
пространяется на всю длину проводника.
2° Магнитное поле прямолинейного проводника MN
с током / (рис. IV.6.4) в произвольной точке А раэдо:
8 = £ < cos <Р1 — cos <ра),
Н = i < cos — cos Та),
£ = u -A (cos cpi — COS
r0
/7 = / (cos Cf! — COS cp2)
ro
(в системе МКСА),
(в системе СГСМ),
где r0 — расстояние точки А до проводника, и <р2 —
углы, образованные радиус-векторами, проведенными в
точку А из начала и конца проводника, р. — относительная
магнитная проницаемость, a fi0 — магнитная постоянная
В частности, магнитное поле бесконечного прямолиней-
ного проводника с током / равно:
fi = , /у='^(в системе МКСА),
4к г0 » 4те r0 v "
= , Н = — (в системе СГСМ)
'О '‘О
(обозначения см. выше).
3° Магнитное поле в центре прямоугольного витка
с током /:
г> _ 8/Ул2 ft2
° 4Г ab
Н— 1 8 714 °2 +
ab
8/Ул2 + ft2
В ““ ab
SjYa* + д2
/7 —----------
(в системе МКСА),
(в системе СГСМ),
где а и b — стороны прямоугольника.
4° Магнитный момент рт замкнутого плоского кон-
тура с током /:
Pm = /S,
398 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА [1V.6
где S—вектор, численно равный площади, охватываемой
контуром, и направленный по нормали к плоскости кон-
тура так, чтобы из конца вектора рт ток казался про-
текающим против часовой стрелки (рис. 1V.6.5).
Магнитный момент рт произвольной системы замкну-
тых токов равен векторной сумме магнитных моментов
составляющих систему.
отдельных замкнутых контуров,
В частности, магнитный момент
соленоида (стр. 400) равен век-
торной сумме магнитных мо-
iPzw
ментов всех его витков: pm = 7V/S, где N — общее число
витков соленоида, S — площадь его поперечного сече-
ния, / — ток в витках соленоида. Вектор рт направлен
по оси соленоида и совпадает с направлением его маг-
нитного поля.
5° Магнитное поле, создаваемое круговым витком
с током / в произвольной точке оси витка (рис. IV.6.6):
о р-р-о 2р/л н 1 2рю 1 (в системе
(fl2-|_fc2)8/8 ’ (#2 _|_Д2)8/2 J МКСА),
о___ 2рт н________2рт } (в системе
^^4-A2)3/s’ CR2 J СГСМ).
IV.6.3]
ПРОСТЕЙШИЕ МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ ГОКОВ
399
В скалярной форме:
2 (#2 4- Л2)8 * * * */2 2тт (7?2 -|-Zz2)3 */2 ’
/7 = 1 IR* _ 1S
2 (7?2 Н-А2)3/2 2тг(/?2 4-Л2)3/'2
д____ ____ 2 IS
(^2 4-A2)3/2 (7?2_|_/i2)3/2 ’
/7— 2тс/^2 „ 2 IS
~"(^2 4./г2)3/2 (#2 4- А2)3/2
(в системе МКСА),
(в системе СГСМ),
где h — расстояние до центра витка, R — радиус витка,
S —к/?2—площадь витка. Для точек, лежащих на оси
далеко от центра кругового тока (7?<Л), в формулах
можно пренебрегать величиной R2 в знаменателе.
Рис. IV. 6.7. Рис. I V. 6.8.
6° Магнитное поле в центре кругового витка радиу-
са R, по которому протекает ток / (рис. IV.6.7):
В = 'т2 тяг. Н = 2- 24? (в системе МКСА),
4те /?з ’ 4ic
2р 2р
В = |Х-^, Н = -^(в системе СГСМ).
В скалярной форме:
5 = p.fi02^, Л7 = 2^ (в системе МКСА),
5 = 2тир1, /7 = ^/ (в системе СГСМ).
А А
Магнитное поле кругового витка направлено по оси витка
перпендикулярно к его плоскости.
7° Тороидом называется кольцевая катушка, намотан-
ная на сердечник, имеющая форму тора (рис. IV.6.8).
400 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА IIV.6
Магнитное поле тороида целиком локализовано внутри
его объема и равно:
В = щх0~ Н = ^~ (в системе МКСА),
о 2NI „ 2N1 ,
£ = р. —, Н = — (в системе СГСМ).
Напряженность поля внутри тороида уменьшается от
^макс = ДО Нт = NI^R. = Nlftn (R3 + d),
где ft и — внешний и внутренний радиусы тора, N и
d— число и диаметр витков обмотки. Напряженность маг-
нитного поля на осевой линии тороида:
/7СО = 9 = nI (в системе МКСА),
СР 2itR v /т
ср
где /?ср = (/?! + 7?2)/2, п — число витков на единицу длины
средней линии тороида. При /?ср —> со и постоянных d
и п получается бесконечно длинный соленоид с однород-
ным полем.
8° Соленоидом называется цилиндрическая катушка,
состоящая из большого числа витков проволоки, обра-
зующих винтовую линию. Если витки расположены вплот-
Рис. IV. 6.9.
мую или достаточно близко друг к другу, соленоид пред-
ставляет собой систему последовательно соединенных
круговых токов одинакового радиуса, имеющих общую
ось. На рис. IV.6.9 точками и крестами показаны сечения
витков, в которых ток направлен из-за чертежа и за
чертеж. Магнитная индукция В и напряженность Н на-
правлены по оси соленоида по правилу буравчика
(стр. 394).
TV.6.3]
ПРОСТЕЙШИЕ МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ ТОКОВ
401
Магнитное поле соленоида в произвольной точке /I
соленоида, лежащей на его оси:
nl (cos а2 — cos 04),
/У — (cos а2 — COS 04)
В = 2крп1 (cos а2 — cos 04),
Н = 2кп1 (cos а2 — cos 04)
(в системе МКСА),
(в системе СГСМ),
где п = NIL — число витков на единицу длины соленоида,
а1 и а2 — углы, под которыми из точки А видны концы
соленоида (04 > а2) (рис. IV. 6.9):
cos «1 =----,.. ,
V +
L-lv
COS а2 = -----.
+ (L - Zi)2
Максимальные значения магнитной индукции 2?макс и
напряженности //макс имеются в точке, лежащей на сере-
дине оси соленоида:
^макс — №оп/ y4RS + L;
WMaKc = «/^==
(в системе МКСА).
9° При условии L >> R магнитное поле на оси доста-
точно длинного соленоида в точке, удаленной от его
концов:
В = ^пЦ Н — п1 (в системе МКСА),
£ = 4тсрл/, (в системе СГСМ)
(обозначения см. выше).
10° Магнитная индукция и напряженность магнитного
поля достаточно длинного соленоида в точках оси, со-
впадающих с его концами:
В __ н|о пц Н — ~ Til (в системе МКСА),
В = 2тср,п/, Н =2т1п/ (в системе СГСМ).
11° Напряженность Н магнитного поля, созданного
произвольной системой токов с магнитным моментом рт
на расстояниях от системы г, значительно превышаю-
щих ее линейные размеры, равна напряженности поля
эквивалентного «магнитного диполя» с моментом
2g Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
402
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
[IV.6
(ср. формулу на стр. 332):
3(о г) г о
Н = -% - - (В системе СГСМ).
«Магнитным диполем» называется система из двух
магнитных «зарядов» т, находящихся на расстоянии Z друг
от друга. Магнитный момент рт диполя: pm = ml, где
вектор 1 направлен от южного полюса к северному
(от —т к ср. стр. 332).
4. Действие магнитного поля на проводники с токами.
Взаимодействие проводников
Г Сила, действующая на элемент длины dl прямоли-
нейного проводника с током Д со стороны длинного пря-
молинейного проводника с током /2, расположенного па-
раллельно первому на расстоянии d от него, равна:
dF=^ ^-dl (в системе МКСА),
с1Р = и.Щ^- dl (в системе СГСМ).
Сила F, действующая на участок проводника длиной /,
равна:
F=^3hh.l (в СИСТеме МКСА),
F= 1 (в системе СГСМ).
Проводники с токами Д и /2 одного направления при-
тягиваются. В случае противоположно направленных то-
ков проводники отталкиваются.
2° Сила- взаимодействия двух одинаковых квадратных
контуров с токами Д и Д (стороны обоих квадратов па-
раллельны, а их центры лежат на прямой, перпендику-
лярной к их плоскостям) равна:
_ б? _ 1 (в СИстеме
«2 4- 1 | МКСА),
d/2g2 4-^2 . | (в системе
а2 4- / СГСМ),
f==W>8/t/J
4п I d V a*
А=8(л/,/2|
Д2 4- 2б72
d V а2 4- д?2
где а — сторона квадрата, d — расстояние между цен-
трами квадратов. Контуры притягиваются при одинаковом
направлении токов и отталкиваются в случае разных на-
правлений токов.
iv.6.5] закон полного рока 403
3° Сила взаимодействия двух достаточно длинных со-
осных соленоидов (с радиусами витков и ближние
концы которых отстоят друг от друга на расстоянии
d > и равна (Sj = <S2 =
(в системе МКСА),
Л = (л/2ПаА^‘Д1^ (в системе СГСМ).
Направление F зависит от того, обтекаются соленоиды
токами одинакового или противоположного направления.
В первом случае соленоиды притягиваются, во втором —
отталкиваются.
4° На плоский проводящий замкнутый контур сто-
ком (например, прямоугольную рамку), помещенный
в однородное магнитное поле, действует момент сил М:
М = 1ртВ1,
где рш — вектор магнитного момента контура, В—ма-
гнитная индукция поля. Вращающий момент направлен
перпендикулярно к векторам рт и В так, что из его
конца кратчайшее вращение от рт к В кажется проис-
ходящим против часовой стрелки. Под действием мо-
мента М контур принимает положение устойчивого рав-
новесия, при котором векторы рт и В параллельны друг
дру1у
5° В неоднородном магнитном поле на замкнутый кон-
тур с током действует сила F:
F = grad (pmB) = pm^,
где дВдх— изменение вектора магнитной индукции поля
на единицу длины вдоль направления вектора магнитного
момента рт. Под действием силы F контур втягивается
в сторону больших значений индукции магнитного поля
(в область более сильного поля).
5. Закон полного тока. Магнитные цепи
1° Циркуляцией вектора Н напряженности магнит-
ного поля вдоль замкнутого контура L называется инте-
грал вида
(j) (Н йП) = jp /7 dl cos (Н, tfl),
L L
26*
404 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА IIV.6
где L — контур произвольной формы, d\ — элемент длины
контура в направлении его обхода. Интегрирование рас-
пространено на всю длину замкнутого контура.
2° Закон полного тока для токов проводимости', цир-
куляция вектора напряженности магнитного поля посто-
янного электрического тока вдоль замкнутого контура
пропорциональна алгебраической сумме токов, охваты-
ваемых этим контуром:
п
(£ (Н dl) = (j) Н dl cos (Н, dl) = lk (в системе МКСА),
L L 6=1
п
(£ (Н dl) = & Н dl cos (Н, dl) = 4rc !k (в системе СГСМ),
L L 6=1
где п— число всех проводников с токами, охватываемых
контуром L произвольной формы. Токи считаются поло-
жительными, если из конца вектора плотности тока
(стр. 357), направленного по оси проводника в сторону
тока, обход контура L кажется происходящим против
часовой стрелки (по правилу буравчика, стр. 394). В про-
тивном случае токи считаются отрицательными. Токи,
которые не охватываются контуром L, не дают вклада
в циркуляцию Н.
Обобщение закона полного тока на случай существо-
вания токов смещения и молекулярных токов см.на стр.437
и стр. 461. Закон полного тока приме-
п няется для расчета магнитных полей
уч постоянного тока.
/ 'х/ 3° Элементарный поток d^)^ вектора
магнитной индукции В сквозь участок
\ \ В поверхности с площадью dS:
dФm = В dS cos (В, n) = Вп dS = В dSn,
рйс. fv. ело. где n — единичный вектор внешней
нормали к площадке dS, Вп ~ проекция
вектора В на направление нормали (рис. IV.6.10). Магнит-
ный поток Фт сквозь произвольную поверхность S на-
ходится суммированием или интегрированием всех эле-
ментарных потоков:
Фот = ( В dS cos (В, п; = \Вп dS = \в dSn.
V.6.5] ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА 405
Для однородного поля и плоской поверхности S, распо-
ложенной перпендикулярно к вектору В:
Вп = В = const, Фт = BS.
4е Теорема Остроградского—Гаусса для потока маг-
нитной индукции: магнитный поток сквозь произволь-
ную замкнутую поверхность равен нулю:
BndS = 0.
Теорема выражает отсутствие в природе магнитных
зарядов и замкнутость линий индукции магнитного поля.
Дифференциальная форма теоремы
div В = 0
является одним из уравнений Максвелла для электро-
магнитного поля (стр. 463).
5° Магнитной цепью называется совокупность тел
или областей пространства, в которых сосредоточено
магнитное поле. Магнитные цепи составляют необходи-
мую часть электрических машин и многих электриче-
ских устройств.
6° Магнитный поток в магнитной цепи играет роль,
аналогичную силе тока в электрической цепи. Во всех
сечениях неразветвленной магнитной цепи магнитный
поток Фт должен быть одинаковым.
7° Формула Гопкинсона (закон Омг для замкнутой
магнитной цепи):
где Фт — магнитный поток, постоянный вдоль каждого
участка цепи, —магнитодвижущая, или намагни-
чивающая, сила (в системе МКСА), N — число витков
намагничивающего тока /, Rm — полное магнитное со-
противление цепи. Магнитное сопротивление участка цепи
длиной Zj с постоянной площадью поперечного сечения S:
где р — относительная магнитная проницаемость данного
участка цепи, р0 — магнитная постоянная (в систе-
ме МКСА).
406 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ГОКЛ ЦУ.б
Если S не постоянно, то
р
f\mi — J
Z.
t
8° Общее (полное) магнитное сопротивление Rm после-
довательно соединенных участков магнитной цепи равно
п
Rm = -S Rmb
/=1
где п—число участков цепи.
При параллельном соединении п магнитных сопроти-
влений полное магнитное сопротивление Rm цепи равно
9° Первое правило Кирхгофа для разветвленных Mat
нитных цепей: алгебраическая сумма магнитных потоков
в участках цепи, сходящихся в узле, равна нулю:
п
£фт, = о,
I — 1
где п — число участков, сходящихся в узле (ср. стр. 365).
Магнитный поток считается положительным, если
линии индукции подходят к узлу. Если они выходят
из узла, то поток Фтг- считается отрицательным.
10° Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом
контуре, произвольно выбранном в разветвленной магнит-
ной цепи, алгебраическая сумма произведений магнит-
ных потоков Фт1- на магнитные сопротивления Rmi соот-
ветствующих участков цепи равна алгебраической сумме
приложенных в этом контуре магнитодвижущих сил
k k
jS ^miRmi= £
t=l t=l
где k — число участков магнитной цепи, составляющих
замкнутый контур (ср. стр 365).
IV.7.1]
СИЛА ЛОРЕНЦА
407
6. Работа перемещения проводника с током
в магнитном поле
Г Под влиянием силы Ампера (стр. 393) незакреплен-
ный проводник с током перемещается в магнитном поле.
Элементарная работа dA, совершаемая при перемещении
элемента dl проводника с током /, равна
dA = /d<t>m,
где d&m — элементарный магнитный поток сквозь поверх-
ность, образуемую элементом длины движущегося про-
водника. Работа, совершаемая силами Ампера при пере-
мещении проводника конечной длины:
А = /Фт,
где Фт — магнитный поток сквозь поверхность, которую
описывает проводник при своем движении, а / = const.
2° При произвольном перемещении замкнутого контура
с током / = const в магнитном поле совершается работа
А = 1ЬФт,
где ДФт — изменение магнитного потока сквозь поверх-
ность, ограниченную замкнутым контуром.
ГЛАВА 7
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ
1. Сила Лоренца
Г На электрический заряд, движущийся в магнитном
поле, действует сила Лоренца:
Ед == q [vB] (в системе МКСА),
Ед =-^-g[vBj (в гауссовой системе),
где q — алгебраическая величина движущегося заряда
(q > 0 для положительного заряда и q < 0 для отрица-
тельного заряда), v — скорость' заряда, В — магнитная
индукция поля, в котором движется заряд, с — электро-
динамическая постоянная, с = 3 • 108 м)сек. На рис. IV. 7. 1
показано взаимное расположение векторов Ел, В
408 ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ IIV.7
и v для случаев q > 0 и q < 0. Сила Лоренца не совершает
работы, ибо она перпендикулярна к вектору V.
Рис. IV. 7.1.
2° При совместном действии на движущийся заряд
электрического и магнитного полей:
Рл = qE + Q [vB] (в системе МКСА),
Fл = qE + у [vB] (в гауссовой системе),
где Е — напряженность электрического поля; остальные
обозначения указаны в п. 1°.
3° В однородном магнитном поле, перпендикулярном
к направлению скорости движущейся заряженной частицы,
последняя под действием силы Лоренца движется
к по окружности постоянного радиу-
са г в плоскости, перпендикулярной
к вектору В. Сила Лоренца является
v / в этом случае центростремительной
08 ] силой (стр. 38);
\ г = (б системе МКСА),
/ где т — масса частицы, | q | — абсолют-
Рис. IV. 7.2. ная величина ее заряда, v — скорость
частицы, В—магнитная индукция. По
направлению отклонения элементарной заряженной ча-
стицы в магнитном поле (рис. IV.7.2) судят о знаке ее
заряда.
4° Период Т обращения заряженной частицы в одно-
родном магнитном поле не зависит от ее скорости:
Г = 1 у-1 (в системе МКСА),
где q/m — удельный заряд частицы (стр. 409), В — магнит-
IV.7.2]
УДЕЛЬНЫЙ ЗАРЯД ЧАСТИЦ
409
ная индукция. Этот вывод справедлив при скоростях
частицы v<^c, где с — скорость света в вакууме.
5° Если заряженная частица движется в однородном
магнитном поле так, что вектор v ее скорости составляет
угол а с направлением магнитной индукции В, то траек-
торией частицы является винтовая линия (рис. IV.7.3)
с радиусом витков г и шагом
винта Л:
___| т | v sin а
Г ““ I q | В ’
, 2те | т I ,
п= — v cos а (в системе
4 МКСА).
ШР;
Л К-
6° Если рассмотренное выше Рис. IV. 7,з.
движение (п. 5°) происходит в
неоднородном поле, магнитная индукция которого воз-
растает в направлении движения частицы, то радиус
витков и шаг винта уменьшаются по мере увеличения В.
2. Удельный заряд частиц. Масс-спектрография
Г Удельным зарядом частицы называется отношение
q/m ее заряда к массе. Для измерения удельного заряда
используется отклонение заряженных частиц в магнит-
ном поле (стр. 407). Экспериментально определяются ско-
рость частицы v (обычно скорость частицы создается
электрическим полем с заданной разностью потенциалов)
и радиус г траектории частицы в магнитном поле.
q/m определяется по формуле п. 3° стр. 408.
Удельные заряды некоторых важнейших частиц
см. в таблице на стр. 810.
2° Для определения удельного заряда и массы поло-
жительных ионов применяется совместное действие
на частицы магнитного и электрического полей. При-
боры, предназначенные для точных измерений относи-
тельных атомных весов (а следовательно, и масс) изото-
пов химических элементов (стр. 728), называются масс-спек-
трографами и масс-спектрометрами.
3° Спектром масс (массовым спектром) частиц назы-
вается совокупность значений их масс. В масс-спектро-
графе Астона (рис. IV.7.4) все частицы с одинаковым
удельным зарядом q/m отклоняются во взаимно перпенг
дикулярных электрическом поле конденсатора С и маг-
нитном поле катушки Л4 так, что независимо от их
410
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ
[IV.7
скорости они фокусируются в одной точке. На фотопла-
стинке получается ряд узких параллельных линий (8ь
82, • •.), соответствующих различным значениям q/m
l(?/m)gl > (?/т)§2].
Двойная фокусировка ионов по энергиям и направле-
ниям, осуществляемая заменой плоских конденсаторов
на цилиндрические и
применением специ-
альных электромаг-
нитов, дает плоско-
параллельный пучок
ионов, входящих в
магнитное поле, и
обеспечивает при до-
статочной интенсив-
ности линий на фото-
пластинках точность
Рис. IV. 7.4.
измерения масс ионов легких элементов до 10-4 %.
4° В масс-спектрометрах с помощью специальных ион-
ных источников создаются моноэнергетические (монохро-
матические) пучки ионов,которые в поперечном магнитном
поле хорошо фокусируются даже при сильно расходя-
щихся пучках большого числа ионов. Этим достигается
высокая точность измерения концентраций различных
изотопов.
3. Ускорители заряженных частиц
1° Устройства для получения заряженных частиц с ве-
сьма большой кинетической энергией называются ускори-
телями. Методы ускорения делятся на три группы: пря-
мой, индукционный и резонансный. По форме траекторий
движения частиц ускорители делятся на линейные и цик-
лические. В линейных ускорителях траектории движе-
ния частиц близки к прямым линиям, в циклических они
являются окружностями или спиралями.
2° В прямых линейных ускорителях частица однократно
проходит электрическое поле с большой разностью потен-
циалов, созданное электростатическими генераторами,
например генератором Ван-де-Граафа (стр. 343).
3° Единственным ускорителем индукционного типа
является бетатрон, используемый для ускорения элек-
тронов до энергий порядка 102 Мэв. В бетатроне исполь-
зовано возникновение в ускорительной камере вихревого
IV. 7.3]
УСКОРИТЕЛИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
411
электрического поля под влиянием переменного магнит-
ного поля электромагнита. Траекториями электронов
являются окружности, совпадающие с линиями напря-
женности вихревого электрического поля. При много-
кратном движении электрона по устойчивой круговой
орбите с постоянным значением напряженности электри-
ческого поля электрон приобретает большую энергию.
4° В резонансных циклических ускорителях, приме-
няемых для ускорения протонов, дейтронов и дру-
гих частиц, ускоряемая частица многократно проходит
через переменное электрическое поле по замкнутой тра-
ектории, каждый раз увеличивая свою энергию. Для
управления движением частиц и периодического возвра-
щения их в область ускоряющего электрического поля
применяется сильное магнитное поле. Прохождение
частицей определенных точек переменного электрического
поля происходит при-
близительно в одной
и той же его фазе
(«в резонансе»).
5° Простейшим ре-
зонансным ускорите
лем является цикло-
трон, Переменное ус-
коряющее электриче-
ское поле создается в
щели между двумя
половинами цилиндри-
ческой коробки (дуан-
тами) М н N (рис.
IV.7.5). Частица уско-
ряется каждый раз,
когда она, описав под действием магнитного поля полу-
окружность в дуанте, входит в зазор между М и N. Для
непрерывного ускорения частицы необходимо выполне-
ние условия резонанса (синхронизма): Тй=Т, где Го —
период колебаний электрического поля, Т—период об-
ращения частицы. При скоростях v частицы, соизмери-
мых со скоростью света в вакууме, вследствие реляти-
вистской зависимости массы т от скорости (стр. 487)
период Т возрастает и условие синхронизма нарушается.
6° Принцип автофазировки в циклических ускорите-
лях релятивистских частиц заключается в том, что всякое
отклонение периода Т от резонансного значения
412 ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ [IV.7
приводит к такому изменению прироста энергии частицы
при каждом ускорении, что Т колеблется около Т0) оста-
ваясь в среднем равным ему:
2л I zn | _ 2л Е
° В \q\ В |ф”
где Е— полная энергия частицы (стр. 488), с — скорость
света в вакууме,/71 = 7п0/ т0-масса покоя-
щейся частицы, остальные обозначения см. на стр. 408.
7° В фазотроне ускорение осуществляется при В =
= const медленным увеличением То. Из принципа авто-
фазировки следует, что при этом растет энергия частиц
вследствие релятивистского возрастания массы со. ско-
ростью.
В синхротроне при неизменном периоде То ускоря-
ющего электрического поля индукция магнитного поля В
возрастает пропорционально увеличению массы частиц
(mlВ = const). Энергия частиц возрастает пропорциональ-
но увеличению В (при постоянном Т).
В синхрофазотроне одновременно и согласованно уве-
личиваются То и В> что приводит к увеличению Е.
Максимальная энергия протонов, достигнутая в син-
хрофазотроне Объединенного института ядерных исследо-
ваний в СССР, равна 10 Гэе. Максимальная энергия про-
тонов в ~ 30 Гэе достигнута в синхрофазотроне Европей-
ской организации по ядерным исследованиям (Швейцария).
8° Напряженность магнитного поля в ускорителях не
может превышать 15 000—20 000 эрст. Поэтому необходи-
мое для ускорения частиц увеличение радиусов их орбит
приводит к увеличению размеров ускорителей и их веса,
а также усложняет фокусировку, необходимую для устой-
чивого движения частиц в вакуумной камере ускорителя.
Сильная (жесткая) фокусировка позволяет снизить вес
и размеры ускорителей. Она достигается специальной
конструкцией электромагнитов и особым режимом маг-
нитного поля. Так, в кольцевом фазотроне магнитное
поле, не изменяясь во времени, создается магнитом, со-
стоящим из отдельных радиальных секторов с резким
изменением поля по радиусу в противоположных направ-
лениях в соседних секторах.
9° В настоящее время успешно развиваются новые
методы ускорения' метод встречных пучков, когерентный
метод и др.
TV.7.4] ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКИ 413
В методе встречных пучков используется столкнове-
ние двух движущихся навстречу друг другу частиц высо-
ких энергий Wi и W2. Каждая из них в относительном
движении приобретает энергию 2Wi W2- Для полу-
чения заметного числа соударений на орбите должно
находиться 1012 4- 1014 частиц.
В когерентном методе пучок электронов падает на
поток протонов и за счет кулоновского взаимодействия
увлекает за собой протоны до тех пор; пока
где v3 — скорость электронов, vn — скорость протонов.
Когда = 7Jn, энергия протонов оказывается в ^1840 раз
больше энергии электронов. В этом методе ускоряющее
действие электрического поля определяется не только
внешним источником, но и числом ускоряемых частиц.
4. Основы электронной оптики
Г Электронная оптика изучав свойства пучков заря-
женных частиц (электронов, протонов), взаимодействую-
щих с электрическими и магнитными полями. В геомет-
рической электронной оптике игнорируются волновые
свойства пучков частиц (стр. 643). Заряженные частицы
в ней представляются как материальные точки, а их дви-
жение в полях описывается совокупностью траекторий.
2° Законы геометрической электронной оптики нару-
шаются в тех областях пучков заряженных частиц, где
их плотность существенно меняется в пределах линейных
размеров
2тг Vе! те^
где h — постоянная Планка, е и т — заряд и масса час-
тиц, ср — потенциал электростатического поля. Этим участ-
кам соответствуют границы пучков и места их схожде-
ния (например, в главном фокусе, в точках изображения,
создаваемого электронно-оптическими системами), где
отчетливо наблюдаются дифракционные явления, связан-
ные с волновыми свойствами пучков частиц.
3° На электронную оптику могут быть перенесены
все основные законы обычной (световой) оптики. Анало-
гия обычной и электронной оптики основывается на том,
что поле, в котором движется пучок электронов (или
других заряженных частиц), можно уподобить оптически
Неоднородной среде, а траектории электронов — световым
414 ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ IIV.7
лучам в этой среде (оптико-механическая аналогия,
стр. 91).
В электронной оптике в основном применяют осесим-
метричные поля (аналогично аксиально-симметричным
оптическим системам). Потенциал такого поля <р(х, у, z)
связан с соответствующим «показателем преломления
среды» п(х, у, z) соотношением
п (х, у, z) = С ]Лр (х, у, г),
где С — некоторая произвольная постоянная.
Закон Снеллиуса (стр. 537) в электронной оптике:
sin i_V <р2
sin г у— ’
где i и г — углы «падения» и «преломления» электрон-
ного луча на некоторой поверхности, разделяющей об-
ласти поля с потенциалами и <р2- Это соотношение
применяется для приближенного нахождения траекторий
электронов; при этом задаются рядом эквипотенциаль-
ных поверхностей («поверхностей раздела») (стр. 341)
и рассматривают электронные траектории как отрезки
прямых («лучи»). Более точное построение траекторий
электронов производится с учетом их кривизны:
I I rf<p
о 9<р dri1
где — изменение потенциала электростатического поля
в направлении нормали к траектории.
4° Для управления движением электронов в элек-
тронно-оптических приборах (электронных микроскопах,
умножителях, преобразователях света) служат элек-
тростатические и магнитные линзы.
Электростатические линзы представляют собой ме-
таллические диафрагмы с отверстиями круговой формы
или отрезки металлических труб круглого сечения. Опти-
ческая ось линзы образуется осями симметрии отдель-
ных ее электродов. Линза называется одиночной, если
потенциалы ее крайних электродов одинаковы; в против-
ном случае она называется иммерсионной.
Поле электростатической линзы меняет скорости элек-
тронов по величине и направлению. Если электроны
проходят сквозь линзу, то она является собирательной.
Траектории периферийных электронов в пучке пересе-
кают оптическую ось динзы всегда раньше, чем траек-
1V.7.4] ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ оптики 415
тории центральных электронов пучка (сферическая абер-
рация, стр. 583, всегда отрицательна).
Если потенциал в средней точке одиночной линзы
(седловой точке) ниже потенциала источника электронов
(катода), то линза становится электронным зеркалом.
Это зеркало может быть рассеивающим и создавать мни-
мое изображение (стр. 573), или может быть собирающим
и создавать действительное изображение (стр. 573), в зави-
симости от положения в линзе той эквипотенциальной
поверхности, от которой отражаются электроны.
Форма траекторий электронов в электростатических
линзах в случае скоростей электронов, много меньших
скорости света в вакууме (нерелятивистский случай),
зависит только от распределения потенциала; когда ско-
рость электронов приближается к скорости света, на
траектории начинает также влиять величина отношения
заряда к массе электрона elm.
Оптическая сила (стр. 576) «слабой» электростатичес-
кой линзы для параксиального электронного пучка
(стр. 571) в нерелятивистском случае приближенно равна
ие f — 16 J Ts aZ'
— ОО
где f—фокусное расстояние линзы, y(z)— распределение
потенциала вдоль оптической оси линзы z, ср' =
1 1 аг
5° Магнитные линзы обычно имеют вид коротких со-
леноидов (стр. 400), коаксиальных пучку электронов. Для
концентрации магнитного поля вблизи оптической оси
линзы применяются соленоиды, окруженные ферромаг-
нитными оболочками.
Оптическая сила магнитной линзы для параксиаль-
ного пучка в нерелятивистском случае приближенно равна
— у = 87^7/ J
— оо
где U — разность потенциалов, пройденная электроном
до входа в магнитную линзу, Bz(z)— магнитная индукция
вдоль оптической оси линзы. Поле магнитной линзы
меняет скорость электронов только по направлению
(фокусирующее действие), закручивая их траектории во-
круг оптической оси. Это вызывает поворот электрон-
416 ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ [IV.?
ного изображения относительно предмета на угол 0.
Для параксиального пучка этот угол равен
-/S Г B^dz-
— со
со
Ввиду того, что > 0, существуют только собира-
— со
тельные магнитные линзы. При этом Dm, в отличие от
электростатических линз, зависит от скорости электро-
нов (т. е. от U) даже в нерелятивистском случае. Для
релятивистских скоростей электронов величину U в при-
веденных формулах следует заменить на U* = U +
(т0 — масса покоя электрона, см. стр. 487).
6° Стигматическое изображение предметов (стр. 569)
в электронно-оптических системах получается только
для параксиальных электронных пучков.
Основные уравнения (уравнения траекторий частиц)
в осесимметричных полях для параксиальных пучков
имеют вид (в системе МКСА):
а) для электростатических линз в нерелятивистском
случае
rf2r . 1 rfcp dr . г d%<f> _
dz% 2<р dz dz •” 4<p dz% ’
где (z)— потенциал на оптической оси системы, z и г —
координаты соответственно вдоль этой оси и в радиальном
направлении; отсюда следуют законы подобия'. 1) при
увеличении линейных размеров электронно-оптической
системы в п раз во столько же раз увеличиваются раз-
меры траекторий; 2) траектории не изменяются, если
потенциалы всех электродов увеличиваются в п раз;
6) для электростатических линз в релятивистском
случае:
У<р(1 +*<р) [ у <Р (1 + /г<р) + 4 (1 + М Г = О,
где k = e/ZnioC2, т0—масса покоя электрона, с — скорость
света в вакууме;
в) для магнитных линз в нерелятивистском случае:
^ + ^7^ = 0,
dz2 1 оти z 1
где Bz (z) — проекция магнитной индукции на ось
IV.7.4I ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ оптики 417
линзы, U— разность потенциалов, которую прошел элек-
трон до входа в линзу;
г) для магнитных линз в релятивистском случае рас-
пространение формулы производится согласно сказанному
в п. 5°;
д) для комбинированных электростатического и маг-
нитного полей в нерелятивистском случае:
в релятивистском случае:
+ £ | + *<р)£] +
+ Н <> + *?» О +
Наличие пространственного заряда (стр. 332) в электрон-
но-оптических системах учитывается заменой в приве-
денных уравнениях на 4-—, где p(z) — осевое
' * az* az* 1 eg 1 ' '
распределение пространственного заряда, е0 — электри-
ческая постоянная (стр. 329).
7° Ввиду невозможности ограничения параксиальными
электронными пучками в электронно-оптических систе-
мах неизбежны аберрации (стр. 582).
Электростатические и магнитные осесимметричные си-
стемы обладают в основном сферической аберрацией, ко-
мой, астигматизмом, кривизной поля изображения и
дисторсией (см. стр. 583—585).
Нестабильность питания источников электронов и линз
приводит к некоторому разбросу скоростей электронов
и вызывает появление хроматической аберрации, хро-
матической разности увеличений и хроматической раз-
ности поворота изображения (последние две погреш-
ности присущи только магнитным линзам). Все эти по-
грешности ухудшают разрешающую способность и каче-
ство изображения в электронно-оптических системах.
8° Электронной микроскопией называется получение
изображений микроскопических объектов с помощью
электронных пучков, фокусируемых электрическими
и магнитными полями. В электронной микроскопии ис-
пользуются электроны с де-бройлевской длиной волны
(стр. 642), много меньшей размеров объекта, т. е. пучки
электронов ведут себя как лучи в геометрической оптике
27 В. М. Яворский, А. А. Детлаф
418 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ I1V.8
(стр 568). Разрешающая способность электронных микро-
скопов на несколько порядков выше, чем оптических
микроскопов, и ограничивается волновыми свойствами
электронов при данной их энергии.
9° С помощью дифракции медленных нейтронов (стр. 775)
изучается строение кристаллических решеток (нейтроно-
структурный анализ). Нейтроны испытывают дифрак-
цию главным образом на ядрах атомов. Амплитуда рас-
сеяния (стр. 654) нейтронов при дифракции меняется
с изменением порядкового номера ядра Z в гораздо мень-
ших пределах, чем соответствующая амплитуда для рент-
геновых лучей. Это обеспечивает преимущества нейтро-
ноструктурного анализа перед рентгеноструктурным ана-
лизом в случаях, когда исследуемые кристаллические
решетки построены из атомов с близкими или, наоборот,
с сильно различающимися значениями Z.
ГЛАВА 8
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
1. Основной закон электромагнитной индукции
Явление электромагнитной индукции состоит в том,
что в проводящем контуре, находящемся в переменном
магнитном поле, возникает электродвижущая сила индук-
ции 1ц. Если контур замкнут, то в нем возникает элек-
трический ток, называемый индукционным током.
2° Закон электромагнитной индукции Фарадея', э.д.с.
электромагнитной индукции в контуре численно равна
и противоположна по знаку скорости изменения магнит-
ного потока Фт сквозь поверхность, ограниченную этим
контуром:
g. = — (в системе МКСА)
di
ИЛИ
I
©.=— _----2L (в гауссовой системе).
с dt
3° Знак минус в формуле для является выражением
правила Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда
такое направление, что создаваемый им магнитный поток
сквозь поверхность, ограниченную контуром, уменьшает
IV.8.1]
ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
419
те изменения магнитного потока, которые вызвали появ-
ление индукционного' тока.
4° Э.д.с. электромагнитной индукции наводятся во всех
участках замкнутого проводящего контура, если эти
участки пересекают линии магнитной индукции. Общая
э.д.с. индукции в контуре равна алгебраической сумме
э.д.с. в отдельных его участках.
5° Для перемещения замкнутого проводника в магнит-
ном поле нужно совершить работу, равную работе воз-
никающего в нем индукционного тока. По определению
э.д.с. (стр. 362)
== (Естор^О,
L
где интегрирование распространено на всю длину L зам-
кнутого контура и Естор — напряженность стороннего
поля (стр. 362) электромагнитной индукции:
Естор == Е Екул.
Для неподвижного контура закон Фарадея можно пере-
писать в форме:
(j)(Etfl) =—(в системе МКСА),
L
или
Р 1 дФт
ф (ЕаП) = — — (в гауссовой системе).
L
6° Направление стороннего вихревого электрического
поля электромагнитной индукции в прямолинейном про-
воднике, движущемся в магнитном поле, определяется
с помощью правила правой руки\ если расположить
правую руку так, чтобы вектор магнитной индукции В
входил в ладонь, а отставленный большой палец совпадал
с направлением перпендикулярной к проводнику состав-
ляющей скорости его движения, то вытянутые четыре
пальца укажут направление стороннего вихревого элек-
трического поля электромагнитной индукции, возникаю-
щего в проводнике.
Пример 1. Э. д. с. электромагнитной индукции
возникает в отрезке проводника длиной /, который дви-
жется в магнитном поле и пересекает линии индукции.
27*
420 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [IV.8
В простейшем случае, когда скорость движения провод-
ника v I В, где В — вектор магнитной индукции,
Si = — vBl.
Пример 2. Плоский виток вращается в однородном
магнитном поле с угловой скоростью со так, что ось вра-
щения лежит в плоскости витка и перпендикулярна
к вектору магнитной индукции. Э. д. с. индукции в витке
равна
g; = BSco sin со^,
где 8— площадь витка. Э. д. с. максимальна в те мо-
менты времени, когда плоскость рамки параллельна
направлению поля:
&макс == В 8 со.
При вращении N последовательно соединенных витков,
образующих плоскую рамку,
= NBSco sin cot
7° Количество электричества, протекающего в замкну-
том проводнике за время прохождения в нем индукцион-
ного тока, равно:
Фт — Ф т
£ =---------(в системе МКСА),
или
1 Фщ — Фт
----------- (в гауссовой системе),
где Фт и — величины магнитного потока сквозь по-
верхность, ограниченную замкнутым проводником в на-
чальный и конечный моменты времени, R— сопротивле-
ние проводника.
2. Вихревые индукционные токи
Г Индукционные токи, возникающие в массивных
проводниках, называются токами Фуко. Замкнутые цепи
таких токов образуются в толще самого проводника, по-
этому эти токи имеют вихревой характер.
2° Сила вихревого индукционного тока:
/вихр = ^ = —^-^7- (в системе МКСА)
V.8.3 ] ЯВЛЕНИЕ САМОИНДУКЦИИ 421
или
, 1 d&m . „ ч
4ихр = — й? — (в гауссовой системе),
где Фт — магнитный поток, охватываемый контуром тока,
/?—сопротивление цепи вихревого тока. Обычно R малб
и /вихр достигают большой величины даже в медленно
меняющихся магнитных полях (например, в магнитном
поле переменного тока с частотой 50 гц).
3° Количество тепла, выделяемое в единицу времени
вихревым током, прямо пропорционально квадрату ча-
стоты изменения магнитного поля. Для выделения боль-
ших количеств тепла (в индукционных печах) применяются
токи высокой частоты.
4° Для уменьшения вредных потерь энергии, связан-
ных с токами Фуко, магнитные цепи электрических ма-
шин, сердечники трансформаторов изготовляются из от-
дельных пластин, располагаемых параллельно линиям маг-
нитной индукции.
5° Для увеличения сопротивления магнитных цепей
применяются магнитодиэлектрики — спрессованные под
большим давлением смеси порошкообразных ферромаг-
нитных веществ (стр. 437) и диэлектриков (стр. 346) и
ферриты — полупроводниковые ферромагнитные матери-
алы с удельным сопротивлением, в 10® раз превосхо-
дящим удельное сопротивление металлических ферромаг-
нитных веществ. Ферриты представляют собой двойные
окислы, образуемые окисью железа (Fe2O8) с окислами
двухвалентных металлов (см. также стр. 442).
3. Явление самоиндукции
Г Возникновение э. д. с. индукции в цепи в резуль-
тате изменения тока в этой цепи называется явлением
самоиндукции. Собственное магнитное поле тока в контуре
создает магнитный поток Фт сквозь поверхность S, огра-
ниченную самим контуром:
фт=\ finds-
Проекция вектора магнитной индукции В на нормаль п
к элементу поверхности dS по закону Био — Савара —
422 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [IV.8
Лапласа (стр. 394) равна
Вп = /ф (tfl г]л (в системе МКСА),
i
где fi0 — магнитная постоянная, р. — относительная маг-
нитная проницаемость среды, г — расстояние от центра
элементарной поверхности площадью dS до элемента dl
контура , тока /. Интегрирование распространено на всю
длину контура. Поэтому
Фт = 4Т > $ dS Фд
S I
2° Магнитный поток Фт пропорционален току /:
Фт = М
где
Величина L называется индуктивностью контура. Ин-
дуктивность контура численно равна магнитному потоку,
охватываемому контуром, когда сила тока в контуре
равна единице. L зависит только от геометрической формы
контура, его размеров и относительной магнитной про-
ницаемости той среды, в которой он находится.
Пример 1. Индуктивность соленоида (стр. 400) дли-
ной Z и площадью поперечного сечения S с общим чис-
лом витков N равна
L = k = Aifi0fin2IZ (в системе МКСА),
где n = Njl—число витков на единицу длины, V = Sl —
объем соленоида, k — коэффициент размагничивания, за-
висящий от отношения длины Z соленоида к диаметру
d его витков.
В таблице приведены значения k в зависимости от от-
ношения l/d.
l/d 0.1 0,5 1 5 10
k 0.2 0,5 0,6 0,9 1,0
Как видно, при Z d >> 1
IV.8.3] ЯВЛЕНИЕ САМОИНДУКЦИИ 423
Пример 2. Индуктивность достаточно длинного ко-
аксиального кабеля длиной Z равна
£ = Zln^| (в системе МКСА),
где Т?2 и Ri — радиусы внешнего и внутреннего ци-
линдров.
Пример 3. Индуктивность длинной двухпроводной
линии длиной Z равна
L = Z In (в системе МКСА),
где d — расстояние между осями проводов, R—радиус
сечения проводов (d//?>l).
Э. д. с. самоиндукции gc определяется по закону Фа-
радея:
Если среда не ферромагнитна (стр. 437) и контур не
деформируется, то £,== const и
® _____ т
— Ldr
3° Индукционный ток, возникающий вследствие само-
индукции, по правилу Ленца противодействует изменению
тока в цепи, замедляя его возрастание или убывание.
Индуктивность контура является мерой его инерции
по отношению к изменению тока.
4° Закон изменения тока в цепи с постоянной элект-
родвижущей силой g, индуктивностью L и электриче-
ским сопротивлением R при ее замыкании и размыкании:
/==/<>* L +-|(1-е L ),
где/0 — сила тока в начальный момент времени Z = 0.
Пример 1. При замыкании цепи (начальный ток
отсутствует, /о = О)
/ = £ ).
Ток в цепи увеличивается, стремясь к асимптотиче-
скому значению g/Z? тем быстрее, чем больше отноше-
ние R/L (рис. IV. 8. 1)
424
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
[IV.8
Пример 2. При размыкании цепи (g =0)
-Т‘
I = loe L .
Ток в цепи уменьшается от начального значения /0
до нуля тем быстрее, чем больше отношение R'L
(рис. IV. 8. 2). Большая э. д. с. самоиндукции при быст-
ром размыкании является причиной пробоя воздушного за-
зора между контактами выключателей и появления ду-
гового разряда (стр. 374), расплавляющего контакты. Для
гашения дуги применяются специальные выключатели и
параллельное включение в цепь конденсаторов.
5° При внезапном увеличении сопротивления цепи по-
стоянного тока от Rq до 7? в ней возникает э. д. с. gc, равная
@
где L — индуктивность цепи, g — э. д. с. источников,
включенных в цепь. При >1
в цепи, обладающей большой ин-
дуктивностью, gc/g> 1.
6° Вихревые токи самоиндук-
ции, возникающие в проводнике
при прохождении в нем перемен-
ного тока, противодействуют из-
менению основного тока внутри
проводника и способствуют его
изменению вблизи поверхности.
На рис. IV. 8.3, а показано направ-
ление вихревых токов при возра-
стании основного тока, а на рис.
IV. 8.3, б — при его убывании.
Сопротивление внутренних частей проводника для пере-
У/'
t
a;
Рис.
6j
IV. 8.3.
• h t
IV.8.4]
ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ. ТРАНСФОРМАТОР
425
менного тока больше, чем внешних. Плотность пере-
менного тока максимальна на поверхности проводника
и минимальна на его оси. В случае высокочастотных
токов плотность тока отлична от нуля только в тонком
слое вблизи поверхности проводника. Это явление на-
зывается скин-эффектом (поверхностным эффектом).
Приближенные формулы, описывающие скин-эффект в од-
нородных цилиндрических проводниках:
1 + ПРИ Л < 1,
= 0,997 й + 0,277 при 1,5 < k < 10,
1 о
fe+ 4 +б« ПРИ Й>10>
где — эффективное сопротивление проводника ради-
усом г переменному току с циклической частотой <о, 7?0 —
сопротивление проводника постоянному току, k = —-— =
____ гэфф
= ч __ удельная электропроводность провод-
ника для постоянного тока, р. — его относительная маг-
нитная проницаемость, гЭфф = р<-^ — эффективная
глубина проникновения переменного тока — расстояние
от поверхности проводника, на котором плотность тока
уменьшается в е раз по сравнению с плотностью его
на поверхности. Чем толще проводник, тем заметнее
скин-эффект и тем при меньших значениях <о и у его
нужно учитывать.
4. Взаимная индукция. Трансформатор
Г Явление взаимной индукции заключается в наве-
дении э. д. с. индукции во
щихся вблизи других про-
водников, токи в которых
изменяются с течением вре-
мени. Например, при из-
менении тока Л в первой
цепи, изображенной на рис.
IV. 8. 4, во второй цепи
всех проводниках, находя-
Рис. IV. 8.4.
наводится э. д. с. взаим-
ной индукции g2 и возникает индукционный ток;
g3 =-----(в системе МКСА),
426 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [IV.8
где Фт21 — часть магнитного потока, создаваемого то-
ком /, которая охватывается вторым контуром.
2° Магнитный поток Фт21 пропорционален току /4:
Ф/И21 =
где Л421 — коэффициент, называемый взаимной индук-
тивностью второго и первого контуров. M2i зависит
от геометрической формы, размеров и взаимного распо-
ложения контуров, а также от относительной магнитной
проницаемости среды, в которой находятся контуры.
Аналогично ^12 = ^12/2, где /2 — ток во втором
контуре, Фт12 — часть магнитного потока, создаваемого
током /2, которая охватывается первым контуром, Alia —
взаимная индуктивность первого и второго контуров.
Для неферромагнитной среды (стр. 437) Л421=Л412. Если
среда ферромагнитна, то М12 и M2i зависят, кроме пере-
численных ранее величин, от сил токов в контурах и,
вследствие явления гистерезиса (стр. 440), — от характера
изменения этих токов.
3° Выражение для э. д. с. взаимной индукции:
8. = -^-(AWx).
Если Л421 = const, то
g2 = — Mai
Пример. Для повышения или понижения напряже-
ния переменного тока служит трансформатор, действие
которого основано на явлении взаимной индукции. Пе-
ременное магнитное поле тока / в первичной обмотке
вызывает появление э. д. с. взаимной индукции во вто-
ричной обмотке. Сердечник обеспечивает значительную
взаимную индуктивность Л421 трансформатора; при его
холостом ходе (при /2 = 0):
где М и N2 — числа витков в первичной и вторичной
обмотках, Rm — магнитное сопротивление сердечника
(стр. 405). Отношение абсолютных значений напряжений £7а
и Ui на концах вторичной и первичной обмоток при хо-
лостом ходе называется коэффициентом трансформации:
IL^I АГа
|с7||“~АГ4-
IV.8.5) ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 427
5. Энергия магнитного поля электрического тока
1° Собственной энергией тока I в контуре с индук-
тивностью L называется величина, численно равная ра-
боте, затрачиваемой на преодоление э. д. с. самоиндук-
ции при создании тока:
W — —
wm— 2 '
Собственная энергия тока есть энергия его магнитного
поля. Например, у длинного соленоида:
Wm = ^p.Qp.n2I2V (в системе МКСА),
где V—объем соленоида, /г — число витков на единицу
его длины, р.о — магнитная постоянная, р. — относитель-
ная магнитная проницаемость среды.
2° Объемная плотность энергии wm магнитного поля
есть энергия, заключенная в единице объема поля:
,, _dWm
Wm— dV ’
— p^p-H2 (в системе МКСА),
z pop л 2
= = = (в системе СГСМ).
m 8tc 8tc 8tc p v '
Пример. Подъемная сила электромагнита, рассчи-
танная на единицу площади его поверхности:
F = (в системе МКСА), F = (в системе СГСМ),
где В—магнитная индукция поля электромагнита.
3° Масса магнитного поля
-- с2 »
где с = 3- 108 м!сек — скорость света в вакууме.
4° Если, помимо магнитного поля, имеется электри-
ческое, то следует рассматривать единое электромаг-
нитное поле, полная энергия которого равна сумме энер-
гий электрического We (стр. 355) и магнитного Wm полей;
U7= We + Wm.
Масса электромагнитного поля равна
we + wm
с»
m —
428
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
[1V.9
ГЛАВА 9
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
1. Магнитные моменты электронов и атомов
Г Электрон обладает собственным моментом количе-
ства движения (механическим моментом) р^, называемым
спином. Этот момент может иметь только две ориента-
ции относительно внешнего магнитного поля, направлен-
ного по оси z, такие, что две его возможные проекции
на направление этого поля равны
п — + п — h
Ps — — 2 — 4тс ’
где h — постоянная Планка (стр. 625), а Н-Ь/Чк.
2° Спину электрона р5 соответствует спиновый
магнитный момент $ms\
^ms ~ Ss^s'
Величина gs называется гиромагнитным отношением
для спинового момента:
gs — — (в системе МКСА),
gs = — (в гауссовой системе),
где е — абсолютная величина заряда электрона, т — мас-
са электрона, с — скорость света в вакууме. Спиновый
магнитный момент электрона равен магнетону Бора'.
Pms = (в гаУСС0В0Й системе),
Pms=— ^- = ^Б (в системе МКСА),
где
(ЛК = 0,927 • 10-28 = 0,927 10~3« .
’ вб/м^ ’ гс
Спином электрона объясняется тонкая структура спек-
тральных линий (стр. 683), расщепление этих линий в
магнитных полях (стр. 685). Спин электрона оказывает
влияние на распределение электронов по энергетическим
состояниям в атомных системах. Спином объясняются
также магнитные свойства ферромагнетиков (стр. 437).
IV.9.1] МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ ЭЛЕКТРОНОВ И АТОМОВ 429
Об аномальном магнитном моменте электрона, вызван-
ном взаимодействием с «нулевыми флуктуациями», см.
стр. 787.
3° Магнитный момент рт, вызванный движением элек-
трона по орбите, называется орбитальным магнитным
моментом. Момент р количества движения электрона:
р = т [rv] (стр. 69), где г — радиус-вектор, v — скорость
электрона.
4° Орбитальные магнитный и механический (относи-
тельно ядра) моменты электрона пропорциональны друг
другу и направлены в противоположные стороны:
Pm =£Р,
где
g =— (в системе МКСА),
g = — (в гауссовой системе).
Гиромагнитное отношение орбитальных моментов g в
два раза меньше, чем gs (п. 2°). Величина р для стацио-
нарного состояния электрбна в атоме равна
р = v/(/+1)й,
где I—орбитальное квантовое число (стр. 673),
Pm = V/(/+1) 2^ = /Щ+Т) Нб
и р.Б — магнетон Бора (п. 2°).
5° Вектором орбитального магнитного момента ато-
ма Рт называется векторная сумма орбитальных маг-
нитных моментов всех Z его электронов:
z
Pm = Pmi»
i = I
где Z — порядковый номер атома в периодической си-
стеме Менделеева (стр. 695).
Вектор орбитального момента количества движения
атома' определяется аналогично:
z
р= и,р».
i= 1
где р/ — орбитальный момент количества движения Z-ro
электрона. Для* атомных моментов Рш и Р сохраняется
430
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
[1V.9
соотношение
pm=gp.
где g — гиромагнитное отношение (п. 4°).
О магнитных моментах нуклонов и атомных ядер см.
стр. 733 и 734.
6° Однородное магнитное поле, в которое внесен атом,
изменяет угловую скорость (стр. 23) вращения его элек-
тронов вокруг ядра. Это изменение происходит в про-
цессе нарастания того магнитного поля, в которое вно-
сится атом, и является результатом возникновения ин-
дукционного вихревого электрического поля (стр. 461),
действующего на электроны.
7° Если орбита электрона и вектор его орбитального
момента рт расположены относительно вектора напря-
женности Н магнитного поля, как ука-
зано на рис. VI. 9.1, то совершается пре-
цессионное движение (стр. 80) орбиты
и вектора рт вокруг направления Н с
угловой скоростью (oL (ларморова пре-
цессия):
(dL = (в системе МКСА),
(dL = (в гауссовой системе),
где е — абсолютная величина заряда
электрона, т— масса электрона, с —
скорость света в вакууме, р.о — магнит-
ная постоянная (стр. 395).
Теорема Лармора: единственным ре-
зультатом влияния магнитного поля на
электронную орбиту является прецессия
орбиты и вектора рш с угловой скоростью Лар-
мора вокруг оси, проходящей через центр орбиты и
параллельной вектору Н.
8° Наличие прецессии приводит к появлению дополни-
тельного орбитального электронного тока и индуциро-
ванного орбитального магнитного момента электрона Дрт,
направленного в сторону, противоположную вектору Й:
Дрт = — Н (в системе МКСА),
дРт= - -4^"Н гауссовой системе),
Рис. IV. 9.1.
IV.9.2] КЛАССИФИКАЦИЯ МАГНЕТИКОВ 43!
где Sj_ — площадь проекции орбиты электрона на пло-
скость, перпендикулярную к направлению напряженно-
сти магнитного поля, Sj_ = п rf — среднее по времени
значение квадрата проекции радиуса электронной орбиты.
Для сферически симметричной электронной оболочки
атома г| =2 Зг2, где га — среднее значение квадрата ра-
диуса орбиты.
9° Общий индуцированный орбитальный момент атома
ДРт равен
z
АРгп = S APmn
£=1
где Дртг- — орбитальный наведенный магнитный момент
электрона, Z — число электронов в атоме:
z
ДРт = — г|Н (в системе МКСА),
т i=\
z _
ДРОТ = ~ 6^2 Г2-Н (в гауссовой системе).
i=i
2. Классификация магнетиков
Г Магнетиками называются макроскопические тела,
способные намагничиваться — приобретать магнитные
свойства. По магнитным свойствам магнетики подразде-
ляются на три основные группы: диамагнетики, парамаг-
нетики и ферромагнетики.
2° Для характеристики намагничивания вещества вво-
дится вектор интенсивности намагничения (намагничен-
ность) I — векторная сумма магнитных моментов атомов
(молекул), находящихся в единице объема:
,=V”o (v Sp™<- ) >
где N — число частиц, содержащихся в объеме И маг-
нетика, Pmi — магнитный момент /-й' молекулы (атома).
Для магнетиков, находящихся в не слишком сильных
магнитных полях.
Н,
где — магнитная восприимчивость вещества.
432 МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА |JV.9
3° Диамагнетики подразделяются на «классические»,
«аномальные» и сверхпроводники К первой подгруппе
относятся инертные газы, некоторые металлы (цинк, зо-
лото, ртуть и др.), элементы типа кремнйя и фосфора,
многие органические соединения. Для этих веществ
< 0 и имеет малое абсолютное значение, порядка
(0,1 4- 10)- 10~в х), и не зависит от температуры. Ко вто-
рой подгруппе относятся висмут, галлий, сурьма, графит,
таллий и др./1,ля этих веществ (< 0) зависит от тем-
пературы и имеет значения порядка (1 4-100)-10-в Ч. О
третьей подгруппе (сверхпроводники) см. стр. 442.
4° Парамагнетики подразделяются на нормальные па-
рамагнетики, парамагнитные металлы с магнитной воспри-
имчивостью, не зависящей от температуры, и антифер-
ромагнетики.
Нормальными парамагнетиками чвляются газы Оа,
NO и др., платина, палладий, соли железа, кобальта и
никеля и сами эти металлы при Т > 0Л, где 0А —
точка Кюри (стр. 438), и др. Магнитная восприимчивость
хот >► 0 и зависит от температуры по закону Кюри\
С
*т — i
или закону Кюри — Вейсса\
_ с
%т гн-д ’
где С и С' — постоянные Кюри. Константа Д может быть
положительна, отрицательна или равна нулю.
Парамагнитные металлы, у которых хт не зависит
от температуры (щелочные металлы литий, натрий,
калий), по порядку величины равна 10~7 4- 10~8 на
1 г-атом вещества.
Антиферромагнетики (кристаллы элементов переход-
ных групп периодической системы Менделеева, их спла-
вы и химические соединения) выше антиферромагнитной
точки Кюри 0лЛ (стр. 438) являются нормальными пара-
магнетиками с Д < 0.
5° Ферромагнетики — группа некоторых переходных
металлов (железо, никель, кобальт) и ряд сплавов, обла-
дающих особыми магнитными свойствами (стр. 437).
Ч Значении *.т отнесены к I г-атому вещества.
IV.9.4|
ПАРАМАГНЕТИЗМ
433
3. Диамагнетизм
1° Явлением диамагнетизма называется индуцирование
дополнительного магнитного момента в атомных электрон-
ных оболочках под действием внешнего магнитного по-
ля. Диамагнетизм присущ всем веществам, но наблюда-
ется в тех случаях, когда атомы, ионы или молекулы
не имеют результирующего магнитного момента Рт
(S- или ^-состояния: стр. 694 и 709).
2° Диамагнитная восприимчивость равна:
диам = — S ri <В системе МКСА),
i==l
виам = - Е Т(в гауссовой системе),
i=l
где п0 — число частиц в 1 см8 вещества. Остальные обо-
значения указаны на стр. 430, пп. 7° и 9°. Формула спра-
ведлива при условии, что V г, имеет стационар-
i=l
ное значение и не меняется вследствие теплового дви-
жения атомов. При учете квантовых свойств электрон-
ной оболочки атомов формула справедлива для невы-
рожденных S- и ^-состояний (стр. 692) и сферически
симметричного электрического поля ядра атома или иона.
3° Электроны проводимости в металлах (стр. 358) обла-
дают, наряду с парамагнитными свойствами, диамагнит-
ной восприимчивостью:
х______4гЛ|ХБ" /М»/» „ */»
-- £2 \ 3 )
где п0 — плотность электронов проводимости, т — масса
электрона, р.в —магнетон Бора (стр. 428), h — постоян-
ная Планка.
4. Парамагнетизм
Г Парамагнетизмом называется совокупность магнит-
ных свойств некоторых веществ, атомы (ионы) кото-
рых обладают постоянным магнитным моментом Рт, не
28 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
434
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
IIV.9
зависящим от внешнего магнитного поля. Рт имеет
порядок величины 10“20 эрг/гс, или 10~28 В отсут-
ствие внешнего поля дезориентирующее действие тепло-
вого движения не допускает упорядоченной ориентации
векторов Рт и появления намагниченности у вещества
2° При внесении парамагнетика во внешнее однород-
ное магнитное поле возникает явление прецессии элек-
тронных орбит и векторов магнитных моментов атомов
вокруг направления внешнего поля (стр. 430). Совместное
действие поля и теплового движения атомов приводит
к преимущественной ориентации магнитных моментов
атомов по направлению внешнего магнитного поля.
3° Классическое выражение для интенсивности нама-
гничения / (без учета пространственного квантования,
стр. 681), в предположении, что между атомами (молеку-
лами) отсутствует взаимодействие:
/ = HqPmL, (л),
где «о — число частиц в единице объема, Рт — постоян-
ный магнитный момент атома (молекулы), L (а) — класси-
ческая функция Ланжевена (стр. 350):
L (а) = cth а — ~ ,
а = -° (в системе МКСА),
а — (в системе СГСМ),
Н — напряженность магнитного поля, k — постоянная
Больцмана, Т — абсолютная температура. При комнатных
температурах и в не очень сильных полях выполняется
условие РтН <^kT, при котором £(а)^а/3 и
• ПоР^ р.о
I = ——Н (в системе МКСА),
1 = -^kT Н (в системе СГСМ).
Парамагнитная восприимчивость:
ПоР'т р-о
— (в системе МКСА),
(в системе СГСМ).
IV.9.5] МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В МАГНЕТИКАХ 435
Закон Кюри: парамагнитная восприимчивость вещест-
ва обратно пропорциональна его абсолютной температуре
При низких температурах или в сильных полях вели-
чина PmH^>kl\ L(a) -* 1 и / = п,Рт (насыщение намаг-
ниченности).
4° Классическое выражение для 1 не удовлетворяет
третьему началу термодинамики: энтропия парамагнети-
ка S —* оо при Т—>0. Квантовомеханическое выражение
для интенсивности намагничения:
/ = п.РmLj (а),
где Lj(d) — обобщенная функция Ланжевена, j—внут-
реннее квантовое число (стр. 682). При j = оо она перехо-
дит в классическую. Для слабых полей (PmH<^kT) па-
рамагнитная восприимчивость
хт= (в системе МКСА),
о Pfli j -4- 1 z л л \
= - ^kT (в системе СГСМ).
При сильных магнитных полях Lj(a) -—1 и / = nQPm
(насыщение намагниченности).
5° Парамагнитные свойства металлов обусловлены
спиновыми магнитными моментами электронов (стр. 428).
Включение магнитного поля нарушает - равноправность
двух возможных ориентаций спина. Устойчивому термо-
динамическому равновесию электронного газа в металлах
соответствует преимущественная ориентация спиновых
магнитных моментов электронов вдоль поля, т. е. пара-
магнитная намагниченность. Парамагнитная восприимчи-
вость электронного газа практически не зависит от тем-
пературы:
12m |хб / к \2/» i/8
%т \ з / п0
(п0 — плотность электронов проводимости, т — масса элек-
трона, р,Б — магнетон Бора, h — постоянная Планка) и
втрое превышает его диамагнитную восприимчивость
(стр. 433).
5. Магнитное поле в магнетиках
Г Магнитное поле, которое создается молекулами
(атомами, ионами) вещества, называется собственным
или внутренним магнитным полем. Это поле обусловлено
28*
436 МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА [IV.9
существованием у атомов (молекул, ионов) магнитных
моментов и характеризуется вектором магнитной индук-
ции Ввнутр.
2 Вектор В индукции результирующего магнитного
поля в магнетике равен векторной сумме магнитных ин-
дукций внешнего (намагничивающего) и внутреннего
полей:
в = Во -j- Ввнутр,
где Во = (io Н — магнитная индукция поля в вакууме. В
системе СГСМ Во = Н.
Магнитная индукция Ввнутр внутреннего поля для не-
ферромагнитных веществ пропорциональна вектору ин-
тенсивности намагничения I:
Ввнутр = Ро I (в системе МКСА),
Ввнутр = 4п I (в системе СГСМ).
3° Связь между магнитной индукцией В, напряжен-
ностью Н и намагничением I:
-5- = Н + I (в системе МКСА),
В = Н 4- 4тс I (в системе СГСМ).
4° Связь между относительной магнитной проницае-
мостью р. (стр. 394) и магнитной восприимчивостью %т
(стр. 431):
р. = 1 4- (в системе МКСА),
(1 = 1 4- 4кхгЛ (в системе СГСМ).
Для диамагнитных веществ ът < 0 и р.<1. Для па-
рамагнитных веществ хт>0 и р.>1. В обоих случаях
р, не зависит от величины напряженности магнитного по-
ля, в котором находятся вещества, и мало отличается от
единицы (Ввнутр < Во).
5° Объемная плотность энергии (стр. 427) неферромаг-
нитной намагниченной среды:
Wm маги = Р-о —4^" *В системе МКСА),
магн = (в системе СГСМ).
Объемная плотность энергии магнитного поля в магнети-
ке wm складывается из объемной энергии магнитного
поля в вакууме (pi = 1) wm и объемной плотности
IV.9.6] ФЕРРОМАГНЕТИЗМ 437
энергии намагниченного магнетика
Wm = Wm вак~Ь Wm магн.
6° Закон полного тока для циркуляции вектора маг-
нитной индукции В в магнетиках (стр. 404).
|(В rfl)= {л0(^1 + ^7 мол) (в системе МКСА),
'L
где £ 7—алгебраическая сумма токов проводимости,
охватываемых замкнутым контуром L, а £7мол — алгеб-
раическая сумма молекулярных токов, охватываемых
этим же контуром, равная циркуляции вектора намагни-
чения по контуру L'
£7 мол = f (I dl).
L
6. Ферромагнетизм
Г Ферромагнетиками называются магнитные вещест-
ва, в которых собственное (внутреннее) магнитное поле
может в сотни и тысячи раз превосходить вызвавшее
его внешнее магнитное поле.
2° Большая величина намагниченности (стр. 431) фер-
ромагнетиков объясняется существованием в них «моле-
кулярного» магнитного поля, обусловленного особым кван-
товомеханическим (обменным) взаимодействием (стр. 680 и
705) нескомпенсированных спиновых магнитных моментов
электронов (стр. 428) атомов в кристаллических решетках
ферромагнетиков. В результате этого взаимодействия
устойчивым и энергетически выгодным состоянием си-
стемы электронов в кристалле является упорядоченное со-
стояние с параллельной (ферромагнетизм) или антипарал-
лельной (антиферромагнетизм) ориентацией спиновых
магнитных моментов соседних атомов в решетке.
3° Ферромагнетизм и антиферромагнетизм наблюдают-
ся только у кристаллов переходных металлов — Fe, Со, Ni
(ферромагнетизм), галоидных солей элементов группы
железа, хрома, марганца и др. (антиферромагнетизм),
в решетке которых имеются атомы с недостроенными
электронными оболочками 3d или 4/ (стр. 698), обладаю-
щими не равным нулю значением результирующего спи-
нового магнитного момента.
438 МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА rlV.9.
4и Ферромагнетизм (антиферромагнетизм) имеет место
при условии положительного (отрицательного) значения
обменного интеграла (стр. 680), характеризующего особое
квантовое (обменное) взаимодействие между магнитными
спиновыми моментами (стр. 428).
5° Ферромагнетизм существует лишь при определен-
ных параметрах кристаллической решетки. Расстояния
между соседними атомами должны обеспечить необходи-
мую величину перекрытия волновых функций электрон-
ных оболочек, такую, чтобы взаимодействие между сосед-
ними атомами привело к полной энергии системы элек-
тронов, обеспечивающей устойчивость ферромагнитного
(или антиферромагнитного) состояния.
6° Особые свойства ферро- и антиферромагнетиков
обнаруживаются только при температурах, меньших со-
ответственно 0* и &ак) называемых точками Кюри. При
Т <0А. ферромагнитное тело разбито на домены— малые
области самопроизвольной (спонтанной) намагниченности
до полного насыщения. В отсутствие внешнего маг-
нитного поля направления векторов намагниченности
различных доменов не совпадают, и результирующая на-
магниченность всего тела может быть равна нулю.
7е Монокристаллы ферромагнетиков обладают резко
выраженной анизотропией магнитных свойств, которая
проявляется в существовании направлений легчайшего
и трудного намагничения. Число легчайших направле-
ний зависит от кристаллографической структуры данно-
го вещества. В отсутствие внешнего магнитного поля
направление спонтанной намагниченности в каждом до-
мене совпадает с одним из направлений легчайшего на-
магничения монокристалла или отдельного зерна поли-
кристалла (стр. 254). Число доменов с различной ориента-
цией спонтанной намагниченности (число магнитных фаз)
равно удвоенному числу осей легчайшего намагничения.
Размеры доменов, их форма и местоположение границ
между ними в отсутствие внешнего магнитного поля опре-
деляются из условий минимума свободной энергии
кристалла. Линейные размеры доменов составляют 10“3-
10“2 см.
8° В переходном слое между двумя доменами, намаг-
ниченными в различных направлениях, который имеет
конечную толщину (для Fe этот слой приближенно равен
300 периодам решетки), имеется неоднородность намаг-
ниченности. Этому слою соответствует свободная поверх-
TV.9.61
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
439
ностная энергия, равная внешней работе, затрачен-
ной на его образование. В равновесном размагничен-
ном состоянии кристалла границы между доменами про-
ходят по тем местам в кристалле, которые соответству-
ют условиям минимума свободной энергии кристалла и
обеспечивают отсутствие в нем результирующей макро-
скопической намагниченности.
Экспериментальным доказательством существования
областей спонтанной намагниченности являются: а) скач-
кообразный характер технической кривой намагничения
(п. 9°) в области слабых
внешних полей (вблизи
крутого подъема кри-
вой) — эффект Баркгау-
зена, б) неоднородности
в распределении магнит-
ных порошков на по-
верхности ферромагнит-
ного кристалла (полосы
или порошковые фигуры
Биттера — Акулова).
9° Процессом техни-
ческого намагничивания
ферромагнетиков назы-
вается возникновение в
них результирующей на-
магниченности под дей-
ствием внешнего намаг-
ничивающего поля. Зависимость намагниченности / от на-
пряженности Н внешнего поля называется тех-
нической кривой намагничения (рис. IV. 9. 2).
Существуют два типа процессов технического намаг-
ничивания:
а) процесс смещения границ — он состоит в росте объ-
емов доменов, у которых намагниченность ориентирова-
на наиболее близко к направлению внешнего поля, за счет
объемов соседних доменов;
б) процесс вращения — изменение направления спон-
танной намагниченности отдельных доменов или всего
кристалла в целом путем поворота вектора намагничен-
ности насыщения.
10° Смещение границ происходит при возрастании
внешнего магнитного поля с конечной скоростью и мо-
жет быть обратимым или необратимым. Если смещение
440
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
(IV.9
границ между магнитными фазами происходит при намаг-
ничивании обратимо, то при квазистатическом уменьше-
нии внешнего поля, границы доменов смещаются в об-
ратном направлении через те же места в кристалле и
при Н = 0 домены занимают исходные положения. Обра-
тимое смещение границ наблюдается в начале техничес-
кой кривой намагничения. Необратимое смещение границ
между доменами не снимается при уменьшении магнит-
ного поля. Исходные положения доменов могут быть
достигнуты в процессе перемагничивания. Завершение
процессов смещения границ в ферромагнитных кристал-
лах приводит к техническому насыщению последних вдоль
одной из осей легчайшего намагничения, ближайшей к
направлению намагничивающего поля.
11° Увеличение напряженности внешнего магнитного
поля после завершения процессов смещения вызывает
процессы вращения вектора I намагниченности, которые
заканчиваются, когда векторы I и Н становятся парал-
лельными друг другу. Разбиение технической кривой
намагничения на участки, отличающиеся своей природой,
носит относительный характер. В области слабых полей
ниже максимума на кривой Столетова (см. рис. IV. 9. 4)
%см>>хвр> ПРИ средних полях (после максимума кривой
х(/7)) на пологом участке кривой /(/7) *вр>'*-см, гДе
хсм и хвр — магнитные восприимчивости ферромагнетика,
связанные с двумя процес-
сами технического намагни-
чения (п. 9е).
12° Магнитным гистере-
зисом ферромагнетиков на-
зывается отставание измене-
ния магнитной индукции В
от изменения напряженности
внешнего намагничивающе-
го поля, обусловленное зави-
симостью В от ее предыду-
щих значений. Магнитный
гистерезис есть следствие
необратимых изменений при намагничивании и перемагни-
чивании. Причинами магнитного гистерезиса являются не-
обратимые процессы смещения границ между областями
самопроизвольной намагниченности и процессы враще-
ния (стр. 439, пп. 9° и 11е). Петлей гистерезиса (рис. IV. 9. 3)
называется кривая изменения магнитной индукции фер-
IV.9.6]
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
441
ромагнитного тела, помещенного во внешнее магнитное
поле, при изменении напряженности последнего от + Hs
до — Hs и обратно, где Hs — напряженность магнитного
поля, соответствующая насыщению. Величина ± Bs маг-
нитной индукции, достигаемая при значении напряженности
внешнего поля, равной ± HS1 называется индукцией на-
сыщения. Величина магнитной индукции ± Вп сохраняю-
щейся в образце после уменьшения напряженности поля
от ± Hs до 0, называется остаточной индукцией. Ее
существование является основой создания постоянных
магнитов. Напряженность Нс обратного поля, доводяще-
го магнитную индукцию до нуля, называется коэрцитив-
ной силой (задерживающей напряженностью). Площадь
петли гистерезиса Ph (потери на гистерезис) прямо
пропорциональна работе, совершенной при перемагни-
чивании:
Н dB.
По величинам Нс и Ph ферромагнетики подразделяют-
ся на мягкие (Нс порядка десятков эрстед, малая пло-
щадь РЛ) и жесткие (Нс поряд-
ка 10я — 108 эрстед, Ph вели-
ка). М Киане
13° Зависимость магнитной
восприимчивости ферромаг- / \
нетика от напряженности Н ;
внешнего намагничивающего
поля называется кривой Столе- >
това (рис. IV. 9. 4). н
14° Температура Кюри 0Л Рис- 1V- 9.4.
для ферромагнетиков и 0а^для
антиферромагнетиков является точкой фазового перехода
второго рода (стр. 186). При этой температуре теряются фер-
ромагнитные (антиферромагнитные) свойства кристаллов
и изменяются структура кристаллической решетки, тепло-
емкость, электропроводность и другие физические харак-
теристики.
15е Явлением магнитострикции называется измене-
ние формы и объема ферромагнетика при его намагничи-
вании. Простейшей мерой магнитострикционного эффекта
является линейная магнитострикция й1Щ где Д/ —
удлинение образца, I — его первоначальная длина. Раз-
личаются самопроизвольная и истинная магнитострикция.
442 МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА [IV.9
Самопроизвольная магнитострикция в каждом доме-
не связана с тем, что при появлении самопроизвольной
намагниченности изменяются условия равновесия между
узлами кристаллической решетки и происходит ее анизо-
тропная деформация. Если ферромагнитный кристалл в це-
лом не намагничен, то самопроизвольная магнитострикция
не проявляется. Она обнаруживается при процессах техни-
ческого намагничивания. Истинной магнитострикцией
называется изменение длин ферромагнитных образцов
в результате действия на них достаточно больших внеш-
них магнитных полей. Она возникает в процессах тех-
нического намагничения и связана с параллельной ори-
ентацией векторов намагниченности доменов в резуль-
тате изменения условий равновесия между узлами кри-
сталлической решетки. Магнитострикционными колеба-
ниями называются механические колебания, возникающие
в ферромагнетиках при их намагничивании в периоди-
чески изменяющемся магнитном поле. Они используются
в ультразвуковых магнитострикционных вибраторах.
У ферромагнетиков наблюдается явление, обратное маг-
нитострикции — изменение намагниченности при дефор-
мациях.
16° Ферритами называются ферромагнитные полупро-
водники с общей химической формулой МО • Fe2 О3, где
М — двухвалентный ион какого-либо металла (Cu++, Zn++,
Ni44" и т. д.). Они отличаются заметными ферромагнит-
ными свойствами и являются плохими проводниками
электричества. Употребляются для магнитных цепей в
устройствах, работающих при высоких частотах (малые
потери на вихревые токи, см. также стр. 421). 7 * * * * * * * * * * *
7. Сверхпроводимость
Г Явлением сверхпроводимости называется практи-
чески полное исчезновение удельного сопротивления
некоторых металлов (Pb, Zn, Al и др.) и сплавов (висмута
с золотом, карбидов молибдена и вольфрама, нитрида
ниобия и др.) при некоторой температуре Гс, называе-
мой температурой перехода в сверхпроводящее состо-
яние. Вещества, обладающие таким свойством, назы-
ваются сверхпроводниками. Температурная зависимость
удельного сопротивления сверхпроводников (рис. IV. 9. 5)
обнаруживает конечную ширину АВ переходной области
возникновения сверхпроводимости, зависящую от нали-
IV.9.71
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
443
чия примесей и внутренних напряжений. Для чистых
сверхпроводников АВ имеет порядок 10~ град. Темпе-
ратуры Г, для чистых металлов лежат в пределах от
0,35° К (гафний) до 8' К (ниобий); у сплавов—от 0.155°
К (Bi Pt) до 18° К (Nb3Sn).
2° Температуры Т обратно Л7!
пропорциональны квадратным кор- У
ням из атомных весов изотопов
(стр. 728) одного и того же сверх-
проводящего металла (изо топи- g
ческий эффект) * 7
3° Магнитное поле, действую- и с
щее на сверхпроводник, снижает Рис. iv. 9.5.
температуру Тс (п. 1°). На рис.
IV. 9.6 изображены кривые зависимости сопротивления R
белого олова от напряженности Н магнитного поля при
различных температурах. Магнитное поле, вызывающее
при данной температуре переход вещества из сверхпро-
водящего состояния в нормальное^ называется критиче-
ским полем. С понижением температуры Т сверхпро-
водника напряженность Н критического поля увеличи-
вается (рис. IV. 9. 7). В первом приближении
4° Сверхпроводящие свойства проводников исчезают
при пропускании через них достаточно сильного тока.
Это связано с действием на проводники магнитной поля
токов разрушающего сверхпроводящее состояние.
444 МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА [IV.9
5е Магнитные поля, более слабые, чем критическое
(п. 3°), не проникают в толщу сверхпроводника — маг-
нитная индукция В в объеме сверхпроводника равна ну-
лю. На рис. IV. 9. 8 однородное магнитное поле направ-
лено вдоль оси сверхпроводника. Сверхпроводник явля-
ется идеальным диамагнетиком с магнитной восприимчи-
востью = — 1 (стр. 436). Убывание напряженности
магнитного поля в плоском мас-
сивном сверхпроводнике по нор-
г. Е Мали к поверхности происходит
/ .—.........по закону:
( s~" о
....-----Н = Но е
—-----------где х — расстояние от поверхно-
Рис. IV. 9.8. сти, Но — напряженность поля на
поверхности, & — постоянная, опре-
деляющая глубину проникновения магнитного поля в
сверхпроводник:
8 = у 4Яе2п0сп (в гауссовой системе),
где т — масса электрона, е— его заряд, с — скорость
света в вакууме, «осп — число электронов в единице
объема, участвующих в сверхпроводящем токе. При
Т <ZTC величина см\ при Т —*ТС S —оо. Это
означает, что при температурах выше Тс сверхпроводящее
состояние сменяется нормальным и магнитное поле
распределяется по всему объему проводника.
6° В присутствии магнитного поля изотермический
переход шз сверхпроводящего состояния в нормальное
связан с поглощением тепла и скачкообразным изменением
теплоемкости и теплопроводности вещества; обратный
переход связан с выделением тепла.
7° Согласно термодинамической теории сверхпрово-
димости, сверхпроводящее и нормальное состояния явля-
ются двумя фазами вещества, переходящими одна в дру-
гую при определенных значениях параметров состо-
яния — температуры Т и напряженности И магнитного
поля, соответствующих кривой Hc=-f(T) (рис. IV. 9. 8).
Переход сверхпроводника в нормальное состояние под
действием магнитного поля,,т. е. при Т < Тс, является
фазовым переходом первого рода (стр. 186). Переход
сверхпроводника в нормальное состояние в отсутствие
IV.10.1] КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР 445
магнитного поля является фазовым переходом второго
рода (стр. 186).
8° Современная теория сверхпроводимости рассматри-
вает это явление как сверхтекучесть (стр. 251) электро-
нов в металле. Особое взаимодействие между электро-
нами (с порождением и поглощением фононов) может при-
вести к их взаимному притяжению (образованию связан-
ных пар). Этот эффект в некоторых случаях может быть
причиной перехода в сверхпроводящее состояние. В си-
стеме так взаимодействующих электронов все электроны
проводимости в металле образуют связанный коллектив,
который не может отдавать энергию малыми порциями,
т. е. не происходит рассеяния электронов на тепловых
колебаниях ионов (стр. 359). Для нарушения связи элек-
трона с другими электронами коллектива необходимо за-
тратить энергию, соответствующую средней энергии
тепловых колебаний узлов решетки при температуре Тс
(п. 1°)- Поэтому при Т > Тс связанные состояния не воз-
никают и сверхпроводящие свойства не проявляются.
ГЛАВА 10
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
1. Колебательный контур
Г Колебательным контуром в общем случае назы-
вается электрическая цепь, состоящая из последователь-
но соединенных конденсатора с емкостью С, катушки
с индуктивностью L и электрического сопротивления R
(рис. IV. 10. 1.). Изменение электрического заряда q на
обкладках конденсатора со временем описывается диф-
ференциальным уравнением:
L d№ + Н dt С и*
Решение этого уравнения имеет
вид (при R <2 ]fLICY
q = AQe sin (со/? + а0),
1 Г । pg
где <о = 1/ — циклическая частота колебаний,
г £С 4£^
Это выражение показывает, что величина заряда конден-
446
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[TV.1O
сатора совершает затухающие колебания (стр, 105). Вели-
чина р = RfcL называется коэффициентом затухания.
Амплитуда А затухающих колебаний равна
А = А<>е~У
где До — начальная амплитуда.
Если в начальный момент времени (/ = 0) заряд на
обкладках конденсатора равен q — q0 и ток в цепи от-
сутствует, то
Начальная фаза колебаний:
а0 = arctg | = arctg - 1.
2° Разность потенциалов Дер между обкладками конден-
сатора:
л -2Т'
Д<р = е sin (<&t + »о)«
Сила тока / в колебательном контуре:
/ = — = Аое f sin (tot + а0)—to cos (tot-(-ao)j .
3° Период T затухающих колебаний в контуре (стр. 105):
р________ 2те
~~ “ 1/ _L _ '
V LC 4L*
С увеличением сопротивления R контура Т возрастает
и при /? = 2 У ЫС обращается в бесконечность.
4° При /?>2 УL/C изменение заряда на обкладках
не носит колебательного характера и разряд конденсато-
ра называется апериодическим. Решение дифференциаль-
ного уравнения в этом случае имеет вид:
где qQ — заряд q при t = 0. Решение показывает, что за-
ряд экспоненциально убывает со временем.
IV.lOJl КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР 447
5е Периодическое изменение заряда на обкладках кон-
денсатора вызывает переменный электрический ток /,
переменную разность потенциалов на обкладках Д<р, пере-
менные электрическое и магнитное поля. Свободные
колебания q, / и Дер называются свободными электромаг-
нитными колебаниями. При q = qQ в момент t = 0 энер-
гия колебаний равна электрической энергии поля конден-
сатора. За счет выделения джоулева тепла в контуре
энергия электромагнитных колебаний уменьшается (рас-
сеивается); и они затухают.
6° При электромагнитные колебания в контуре
становятся незатухающими (р = 0). Для таких колебаний:
q = До sin (<о0£ + а0),
Дер = sin (<о0^ + «о),
/ = — До05© cos -j- «о),
где <о0=1/LC— циклическая частота свободных незату-
хающих электромагнитных колебаний в контуре. Сила
тока отстает по фазе от разности потенциалов между
обкладками на те/2.
7° Период Т свободных незатухающих колебаний
выражается формулой Томсона'.
T=% = 2KyLC.
8° Амплитуда /0 силы тока и амплитуда Д<р0 разности
потенциалов:
/.= д>«>в = ^, д?0 = ^-
9° При свободных незатухающих электромагнитных
колебаниях в контуре происходит периодический пере-
ход энергии электрического поля конденсатора в энергию
магнитного поля электрического тока. В моменты време-
ни £ = 0, Г/2, Т и т. д. энергия электрического поля
максимальна и равна С (Д«р0)2/2, а энергия магнитного поля
равна нулю. В моменты времени t=T/4t */4Т и т. д.
энергия магнитного поля максимальна и равна LI^/2, а
энергия электрического поля равна нулю. Из условия
С (Д<Ро)2 £/о
2
2
448
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[1V.10
следует:
/о
А<Ро
VTic'
Величина УL/C называется волновым сопротивле-
нием контура.
2. Вынужденные электромагнитные колебания
Г В реальном колебательном контуре электрическое
сопротивление R отлично от нуля и свободные электро-
магнитные колебания затухают. Для получения незатуха-
ющих электромагнитных колебаний к контуру необходи-
мо подводить энергию, которая восстанавливала бы поте-
ри на джоулево тепло. Для поддержания в контуре таких
вынужденных электромагнитных колебаний необходимо
включить в него источник тока с
Рис. IV. 10.2.
периодически изменяющейся, напри-
мер синусоидальной, э. д. с. (рис.
IV. 10. 2):
& = g0 sin Q t,
где g0 — амплитуда э. д. с., Й — ее
циклическая частота. Произвольная
непрерывная э. д. с. в форме функ-
ции g = g (t) может быть по теореме Фурье пред-
ставлена в виде суммы (конечной или бесконечной) про-
стых синусоидальных э. д. с. с различными амплитудами,
начальными фазами и циклическими частотами.
2° Дифференциальное уравнение вынужденных электро-
магнитных колебаний:
обозначения указаны на стр. 445. Решение этого уравне-
ния представляется в виде суммы двух членов: полного
решения соответствующего уравнения без правой части
(стр. 445) и частного решения уравнения. Первым членом,
характеризующим свободные затухающие колебания в
контуре, можно пренебречь по истечении некоторого
времени после начала колебаний. Сила тока в цепи при
установившихся вынужденных колебаниях:
/ = /0 sin (Ш + а),
IV. 10.2] ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 449
где /о — амплитуда силы тока в контуре,
г______________________$0__________%0
/0~ !/----~Г\----Гз-- Z ’
V «s+Uc-si)
а—сдвиг фаз между силой тока и приложенной э. д. с.
2-С -
а = arctg ------
К
3° Величина
называется полным (эффективным) сопротивлением элек-
трической цепи переменного тока (колебательного конту-
ра). Оно состоит из активного (омического) сопротивления
R, индуктивного сопротивления Rl = QL и емкостного
сопротивления Rc—\,QC. Чисто индуктивное сопротив-
ление сдвигает фазу силы переменного тока в контуре
на а = — те/2 сравнительно с фазой приложенной э. д. с.
Чисто емкостное сопротивление приводит к опереже-
нию по фазе на а = те/2 силы тока сравнительно с э. д. с.
4° Для переменного тока в контуре (и в любой электри-
ческой цепи) среднее за период значение выделяющейся
мощности
/V=^COSa,
где /о и go — амплитуды силы тока и э. д, с. в цепи, а —
сдвиг по фазе между током и э. д. с.
Эффективными (действующими) значениями силы
тока /9фф и электродвижущей силы &эфф называются
значения этих величин для такого постоянного тока,
который на том же омическом сопротивлении выделяет
мощность, одинаковую с N для переменного тока:
/ __ © __^0
‘эфф — ©эфф /2
5° Амплитуда силы тока /0 зависит не только от
параметров контура (R, L и С) и амплитуды э. д. с. $0.
но и от циклической частоты Q. На рис. IV. 10. 3 и
IV. 10.4 представлены зависимости /0 (Q) и a (Q) при
постоянных R, А, С и go-
29 Б. М Яворский А. А. Детлаф
450
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[IV. 10
Максимальное значение тока
/ _____
1 о макс—
достигается при значении
Q = 2p=yfe = “”
где <о0 — частота свободных незатухающих колебаний в
контуре (стр. 447). При Q = Йр полное эффективное сопро-
тивление колебательного контура минимально и равно
активному сопротивлению /?. При этом а = 0, т. е. сила
тока и вынуждающая э. д. с. совпадают по фазе.
Резкое возрастание амплитуды силы тока в колеба-
тельном контуре при условии Q — Qp называется резо-
нансом в электрической цепи. Частота ЙР называется
резонансной циклической частотой. Кривая зависимости
/о от Й (рис. IV. 10.3) называется резонансной кривой.
Йр не зависит от активного сопротивления R.
6° Амплитуды падений напряжения на индуктивности
UL и на емкости Uc при резонансе в контуре, изобра-
женном на рис. IV. 10.2, одинаковы:
^0L = ^0С ~ L QpA> =
а фазы противоположны: UL опережает Uc по фазе
на л, так что UL -\-Uc =0. Полное падение напряже-
ния в контуре (рис. IV. 10.2) равно падению напряжения
Uна активном сопротивлении (резонанс напряжений).
Т В электрической цепи, состоящей из параллельно
соединенных емкости С и индуктивности £, при включе-
IV.10.2] ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 451
нии синусоидальной э. д. с. (рис. IV. 10.5): g = g0 sin Qt,
силы токов А и /> в параллельных ветвях:
/1 = Iqi sin (Q t -|“ ai)> /я = /оя sin (Q t -f- <x2)>
где
j ________So_____ j ______________So
/01 — r—... =- , '0Я = ...= ,
/«i + aA? V < +
= 2~CR~i' tg — fl/
Сила тока в неразветвленной части цепи:
/ = /0 sin (Qt + а),
где
/. = V/?! + + 2 /01/и COS (а, - а,),
g __ /01 sin at 4- 7q2 sin а2
® 70l cos сц-|-/o2 cos а2 *
Если активные сопротивления параллельных ветвей рав-
ны нулю (7?! = Т?2 = 0), то
/ So 1 $0
<01 j » '02 2£ »
ёС
tg 04 = оо, tg а2 = — оо,
т. е. at = тс/2 и а2 = 3/2 тс — токи в ветвях противопо-
ложны по фазе. Амплитуда тока во внешней (неразветв-
ленной) цепи: ____________
/о = I /о1 — /02 । = | 2 С —|. |
При Q = Qp = /oi=/oj и /, = 0. | С~- Z|j
Резкое уменьшение амплитуды силы тока
во внешней цепи, питающей параллельно рИс. IV. 10.5.
соединенные индуктивное и емкостное
сопротивления, при условии Q -* Qp = 1/]^ LC назы-
вается резонансом токов
8° При действии на колебательный контур э. д. с.,
представляющей собой сумму синусоидальных э. д. с.
с различными циклическими частотами Qt-:
g= Z go/ sin
i==i
29*
452 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ [IV.10
благодаря явлению резонанса контур сильнее всего реа-
гирует на ту составляющую э. д. с., частота которой Q^
равна или наиболее близка к резонансной частоте Qp
контура. В радиоприемных устройствах (стр. 533), основан-
ных на этом принципе, резонансная частота изменяется
за счет изменения емкости или индуктивности контура.
9* Влияние на колебательный контур вынуждающих
э. д. с., частоты которых отличны от Qp, тем слабее, чем
острее резонансная кривая
/о (Q) вблизи значения Q =
= Qp = <1)0. Острота резо-
нансной кривой характери-
зуется ее относительной
полушириной Д Q/Qp:
Д2 _ 2р
2 2 ’
Р «р
где ДЙ = Й3— — разность
значений циклической час-
тоты, соответствующих /§ =
Ч^аке<РИС- IV. Ю.6),Э —
коэффициент затухания контура (стр. 446), Qp— резонан-
сная частота.
S2 2
Величина Q = = ъ~Т называется добротностью кон-
к/ д
тура.
Следовательно,
Д2 _____________________ 1
2р~ Q'
3. Электронные и полупроводниковые выпрямители
и усилители
Г Для выпрямления переменного тока и усиления элек-
тромагнитных колебаний применяются электрические це-
пи, называемые выпрямителями и усилителями. Главной
частью этих цепей являются электронные лампы и полу-
проводниковые устройства.
2° Электронные лампы основаны на явлении термо-
электронной эмиссии (стр. 389). Простейшая двухэлектрод-
ная электронная лампа—диод — схематически изображе-
на на рис. IV. 10.7, При постоянной температуре на-
IV.10.3] ВЫПРЯМИТЕЛИ И УСИЛИТЕЛИ 453
кала катода (нити) лампы ток 1А в диоде зависит от
анодного напряжения UA (стр. 390).
3е Диоды обладают односторонней (униполярной) про-
водимостью: ток в лампе возможен при условии <рл >
где <рл и — потенциалы анода и катода; это позволяет
применять их для выпрямления переменного тока. Ваку-
умная двухэлектродная электронная лампа, служащая для
Рис. IV. 10.7. Рис. IV. 10.8.
обмотка III питает нить
Рис. IV. 10.9.
4° На рис. IV. 10.8. приведена схема простейшего
однополупериодного кенотронного выпрямителя. Первйч-
ная обмотка I трансформатора Т соединена с источником
переменного тока. Вторичная
накала кенотрона. Концы вто-
ричной обмотки II присоеди-
нены к аноду и катоду. Ток в
лампе и потребителе 7? идет в
одном направлении, указанном
стрелками. Его численное зна-
чение изменяется (пульсирую-
щий ток). Изменения пульси-
рующего тока за период пока-
заны на рис. IV. 10.9. В первую
половину периода £/д<0и/=0.
Сглаживание пульсаций вы-
прямленного тока производится
фильтрами, которые включаются параллельно или после-
довательно потребителю /?, — конденсатором или дроссе-
лем', сглаживающее действие последнего основано на яв-
лении самоиндукции (стр. 421). В двухполу периодных ке-
нотронных выпрямителях используют диод с двумя
анодами (сдвоенный диод). Они позволяют получить вы-
прямление тока в оба полупериода (рис. IV. 10. 10).
454
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[IV.10
5° Действие полупроводниковых выпрямителей — куп-
роксного (меднозакисного), селенового и германиевого —
основано на односторонней (вентильной) проводимос-
ти р—n-перехода в месте
контакта дырочного и элек-
тронного полупроводников
(стр. 386).Условное обозначе-
ние полупроводникового ди-
ода дано на рис. IV. 10.11, а
— - ~дани па iv . iv.i;, «
~Z yZ * fZ схемы однополупериодного
и двухполупериодного полу-
проводниковых выпрямите-
лей— на рис. IV. 10. 12 и
Рис. IV. 10.10.
IV. 10. 13. Вентильное действие полупроводниковых дио-
дов чувствительно к изменениям температуры и сни-
жается при ее повышении. Рабочий диапазон темпера-
Рис. IV. 10.11.
Рис. IV. 10.12.
Рис. IV. 10.13.
туры для различных типов полупроводниковых диодов
составляет от — 60° С до 4" (50 -ь 90)° С.
6е Для усиления электромагнитных колебаний приме-
няются электронные и полупроводниковые триоды,, а так-
Рис. IV. 10.15.
Рис. IV. 10.14.
же многоэлектродные электронные лампы (тетроды, пен-
тоды). В трехэлектродной лампе вблизи катода # между
катодом и анодом А помещается управляющая сетка С
(рис. IV. 10. 14.) Зависимость анодного тока IА от напря-
жения Uc между сеткой и катодом (сеточное напряжение)
IV. 10.3]
ВЫП РЯМИТЕЛИ И УСИЛИТЕЛИ
455
при постоянном значении напряжения UA между анодом
и катодом (анодное напряжение) и неизменном накале
лампы называется статической сеточной характеристи-
кой лампы. Статические сеточные характеристики триода
при различных UA изображены на рис. IV. 10. 15. Отри-
цательное сеточное напряжение, при котором анодный
ток полностью прекращается, называется напряжением
запирания лампы. Оно возрастает по абсолютной величи-
не с ростом анодного напряжения.
Величина S, численно равная тангенсу угла наклона
сеточной характеристики к оси /7с, называется крутиз-
ной сеточной характеристики
триода:
S
\с>ис/иА
1° Зависимость анодного то-
ка 1А от анодного напряже-
ния UA при Uc = const и по-
стоянном накале называется
статической анодной характе-
ристикой лампы. Семейство
таких характеристик при различных показано
на рис. IV. 10. 16. Величина численно равная котанген-
су угла наклона к оси UА касательной к статической
анодной характеристике, называется внутренним сопро-
тивлением триода'.
1 \dlAjUc
8е При постоянном напряжении накала
/д =f(UA, ис).
Приращение анодного тока в триоде:
где р. = называется статическим коэффициентом
усиления трехэлектродной лампы Величина £) = 1/]л =
= 1.7^5 называется пронищемост ю лампы.
9° Схема простейшего усилителя переменного напря-
жения приведена на рис. IV. 10. 17. Усиливаемое пере-
456
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[IV.10
менное напряжение Ui подается на сетку триода. Усилен-
ное напряжение С/2 снимается с концов активного сопро-
тивления /?А, включенного в анодную цепь. Батареи
и Ба создают постоянное отрицательное напряжение
UCq между сеткой и катодом и положительное напряжение
UA между анодом и катодом:
Uс = ^со + Ux = - 8i + Uh UA=%2- IA (RA + rA),
где $i—э. д. с. батареи Бс,
— э. д. с. батареи BAt
Рис. IV. 10.17.
при постоянных g8 и RA
рактеристикой триода
rA — ее внутреннее со-
противление, 1А — анод-
ный ток. Так как гА <<Т?А>
то
UA — — 1 ARA =
= &2 -- ^2-
При постоянных g2 и Ra
анодное напряжение
уменьшается с ростом Uc,
Зависимость lA=zf(Uc)
называется динамической ха-
(пунктирная линия на рис.
IV. 10. 15).
10е Коэффициент усиления К есть отношение измене-
ний выходного Ui и входного Ur напряжений:
2Z__ dU2 _ р.
Л ~~ dUi Ri
при RA>Ri коэффициент /С^р,.
11° Для увеличения статического коэффициента уси-
ления уменьшают взаимную емкость СА% анода и катода
(выходная емкость). Для уменьшения СА% между анодом
и управляющей сеткой устанавливается экранирующая
сетка (тетрод, рис. IV 10. 18). Потенциал экранирующей
сетки постоянен и более низок, чем потенциал анода;
этим достигается ослабление электрического поля анода
вблизи управляющей сетки и катода и увеличение р..
IV.10.3] ВЫПРЯМИТЕЛИ И УСИЛИТЕЛИ
457
12° Зависимость анодного тока 1А от анодного напря-
жения UA при постоянных напряжениях на управляющей
(Uq) и экранирующей (U^c) сетках, изображенная на
З/ранируюшая
ее/пяа
Рис. IV. 10.18.
А ими дина-
тронная се/пна
драпирую-
щая селжа
Рис. IV. 10.20.
рис. IV. 10. 19, не монотонна. При UA—*UAX вторичные
электроны, выбиваемые из анода, устремляются к экра-
нирующей сетке, уменьшая анодный ток 1А (динатрон-
ный эффект). В области динатронного эффекта от 6/Л1
до UA2 усиливаемые сигналы искажают-
ся и работа тетрода невозможна.
13° Для устранения динатронного эф-
фекта между анодом и экранирующей
сеткой помещается третья, антидина-
тронная сетка, соединенная с катодом
(пентод, рис. IV. 10. 20). Электрическое
поле между антидинатронной сеткой и
анодом отталкивает вторичные электроны
к аноду, обеспечивая монотонный рост
анодного тока 1А с увеличением анод-
ного напряжения U А,
14° Полупроводниковые триоды
(транзисторы) содержат два электронно-
дырочных перехода (стр. 386). Схема точечного герма-
ниевого триода дтриведена на рис. IV. 10. 21.
Кристалл А германия, обладающий электронной прово-
димостью (n-типа) (стр. 380), припаян внизу к основанию
О (базе). Вблизи двух точечных электродов — эмиттера
Э и коллектора К — имеются области дырочной прово-
димости. (/7-типа) (стр. 381). Усиливаемое напряжение Ui
подается на эмиттер. Усиленное напряжение U* снимается
458
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
(IV.10
Рис. IV. 10.21.
с нагрузочного сопротивления 7?. Напряжение Uao
между эмиттером и основанием положительно, поэтому
электрический ток I в цепи эмиттер-основание всегда
идет через кристалл германия от Э к О в пропускном
направлении р— n-перехода вблизи эмиттера (стр. 387).
Напряжение Uko .между коллектором и основанием
отрицательно и электрический ток в цепи коллектор-
основание идет через кристалл германия только от О к
А*, т. е. в направлении, соответствующем большому
сопротивлению р —n-пе-
рехода вблиэи коллекто-
ра (стр. 386).
15® Напряжение иэк
между эмиттером и кол-
лектором положительно.
Даже при малых значе-
ниях иэк и иЭ0 вблизи
острия эмиттера напря-
женность электрического
поля велика и в приле-
гающем к эмиттеру p-гер-
мании образуются положительные дырки (стр.379). Переход
дырок из р-германия в основную часть кристалла (п-типа)
называется впрыскиванием (инжекцией) дырок. Эмиттер
и прилегающий к нему р-германий являются источником
подвижных носителей тока, т. е. играют роль катода в
электронной лампе (стр. 452). Контакт р- и п-германия
вблизи коллектора обладает малым сопротивлением для
дырок. Увеличение тока /8 в цепи коллектора и падение
напряжения на сопротивлении 7? зависят от числа дырок,
поступающих за единицу времени кр — п-переходу
вблизи коллектора и снижающих высоту потенциаль-
ного барьера. В свою очередь число дырок зависит от
напряженности электрического поля вблизи эмиттера,
т. е. изменяется в соответствии с колебаниями усиливае-
мого напряжения Ui. Таким образом, величина U2 выход-
ного напряжения усилителя (рис. IV. 10. 21) зависит от
входного напряжения Ui.
16* При температурах, близких к условиям возникно-
вения собственной проводимости полупроводника (стр.
378; для германия — около 100® С), число свободных
носителей тока в полупроводнике резко возрастает и
управление их числом, необходимое для работы усили-
IV. 11.1] ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА 459
теля, становится затруднительным. Верхний предел
рабочей температуры германиевых триодов 55 — 75е С.
Нижний предел рабочей температуры (обычно около
— 55е С) соответствует таким энергиям теплового движе-
ния частиц, при которых невозможно освобождение в
объеме полупроводника необходимого числа носителей
тока. Это приводит к увеличению сопротивления при-
бора и нарушению режима его работы.
при
р л р
Рис. IV. 10.22.
Рис. IV. 10.23.
17° В плоскостных полупроводниковых триодах, обла-
дающих большими, чем у точечных триодов, выходными
мощностями, с помощью примесей создаются либо про-
слойки n-полупроводника между двумя р-полупроводни-
ками (триод на основе n-полупроводника, типа р — п — р),
либо, наоборот, слой р-полупроводника между двумя
n-полупроводниками (триод на основе р-полупроводника,
типа п—р — п); принцип действия таких триодов и
схемы их включения показаны на рис. IV. 10. 22 и IV. 10. 23.
глава н
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
НЕПОДВИЖНЫХ СРЕД
1. Общая характеристика теории Максвелла
Г Теория Максвелла является последовательным
обобщением основных законов электрических и электро-
магнитных явлений: теоремы Остроградского — Гаусса
(стр 335), закона полного тока (стр. 404) и закона электро-
магнитной индукции (стр. 418). Являясь теорией электро-
магнитного поля, теория Максвелла позволяет ре-
шать задачи, связанные с отысканием электрических и
460 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НЕПОДВИЖНЫХ СРЕД 1IV.11
магнитных полей, создаваемых заданным распределением
электрических зарядов и токов.
2е Теория Максвелла является феноменологической.
Электрические и магнитные свойства среды описываются
в ней с помощью трех величин: относительной диэлектри-
ческой проницаемости е, относительной магнитной про-
ницаемости [L и удельной электропроводности 7. Зависи-
мость этих величин от свойств среды, внутренний
механизм явлений, происходящих в среде и вызывающих
появление электрических и магнитных полей, в теории
не рассматриваются.
3° Теория Максвелла является макроскопической. В
ней рассматриваются поля, создаваемые макроскопи-
ческими зарядами и токами, сосредоточенными в объемах
Vm, где Vm—объемы отдельных атомов и молекул.
Кроме того, считаются выполненными условия:
а) г >> б/, где г — расстояния от источников полей до
рассматриваемых точек пространства, d — линейные
размеры атомов и молекул;
б) где Т и Тт—характерные времена
соответственно для изменений электрических и магнитных
полей и внутримолекулярных процессов.
4е Макроскопические заряды и токи являются
совокупностями микроскопических зарядов и токов,
создающих переменные электрические и магнитные поля
(микрополя, стр. 468). В теории Максвелла рассматри-
ваются усредненные поля. Усреднение прои-водится по
интервалам времени t >> Тт для участков поля с объе-
мами V Ут (см. п. 3°).
5е Теория Максвелла является теорией близкодейст-
вия. Согласно этой теории скорость распространения
электрических и магнитных взаимодействий равна ско-
рости света в данной среде. В теории Максвелла раскры-
вается электромагнитная природа света.
2. Первое уравнение Максвелла
1° Закон электромагнитной индукции в форме (стр. 419):
^(Edl)-—fj2, (1)
согласно Максвеллу, справедлив для любого замкнутого
не только проводящего) контура, произвольно выбран-
IV.11.3]
ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА
461
ного в переменном магнитном поле. Переменное магнит-
ное поле в любой точке пространства создает вихревое
электрическое поле. Формула (1) выражает первое урав-
нение Максвелла в интегральной форме.
2° С помощью соотношения для магнитного потока
фт = у (В dS) = J Вп dS, где Вп — проекция вектора
s S
магнитной индукции на направлении единичной нормали п
к элементу поверхности dS, и теоремы Стокса:
(j) (Е dl) = (rot Е dS),
где dS — dS • п, можно записать первое уравнение Макс-
велла в дифференциальной форме*.
rotE = — ~ (в системе МКСА). (Г)
3. Ток смещения. Второе уравнение Максвелла
1° Закон полного тока в форме (стр. 404)
р п
k
L
утверждает, что магнитное поле создается упорядоченно
движущимися электрическими зарядами — токами прово-
димости и конвекционными токами (стр. 356); (j) (Н tfl) —
L
циркуляция вектора напряженности по замкнутому
контуру £, охватывающему токи. Согласно Максвеллу, .
источником возникновения вихревого магнитного поля
является также ток смещения — переменное электриче-
ское поле.
Т?° Плотность тока смещения*.
1‘смещ = £? (в системе МКСА).
Ток смещения через произвольную поверхность 8:
р р dDn дФе
^смещ = ) Осмещ^) = j ~дГ = >
S S
462
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НЕПОДВИЖНЫХ СРЕД [1V.11
где Фе = j DndS — поток вектора электрического смеще-
ния D через поверхность S. Токи смещения обеспечивают
замкнутость цегГей любых непостоянных токов. Напри-
мер, между обкладками конденсатора в процессе его за-
рядки или разрядки создается ток смещения, замыкаю-
щий цепь.
3° В диэлектрике (стр. 346) D = е0Е + Р?, где Ре — век-
тор поляризации (стр. 349), е0 — электрическая постоян-
ная (стр 329).
Плотность тока смещения в диэлектрике
— I дРе
1смещ — ео dt ~Г dt
dE ute
где е° dl-плотность тока смещения в вакууме, —
плотность тока поляризации. Ток смещения в вакууме
не выделяет джоулева тепла. Ток поляризации выделяет
тепло, связанное с трением в процессе поляризации ди-
электрика.
4е Обобщенный закон полного тока:
(НбГ1)= 4 + /смещ.
(2)
k= I
Формула (2) — второе уравнение Максвелла в интеграль-
ной форме.
С помощью формулы Стокса (Т) (И rfl) = § rotnH dS и
£ S
соотношения для плотности полного тока
J jndS (jn — Jn пров Ч” Jn смещ)
можно записать второе уравнение Максвелла в дифферен-
циальной форме'.
rot H = j + J?
(2-)
IV.11.4] ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
463
4. Полная система уравнений Максвелла
для электромагнитного поля
1* Помимо уравнений (1), (2), в систему уравнений
Максвелла входит теорема Остроградского — Гаусса для
электрического и магнитного полей:
Фе = £ DndS = q, (3)
5
Фт = ^5^5 = 0, (4)
5
где Фе и Фт — соответственно потоки электрического
смещения D и магнитной индукции В сквозь замкнутую
поверхность, охватывающую электрический заряд q.
Уравнение (4) выражает факт отсутствия свободных маг-
нитных зарядов. Если ввести объемную плотность элек-
трических зарядов р: q = ( р dV (dV — элемент объема IZ)
V
и воспользоваться теоремой Гаусса (|) AndS = div A dV\
s v
то из уравнений (3), (4) получаются третье и четвертое
уравнения Максвелла в дифференциальной форме'.
div D = р, (3')
div В = 0. (4')
2° Полная система уравнений Максвелла:
rotE =—, div D = р , ]
> (в системе МКСА); (5)
rotH = J + ^, divB=0 j
rot Е =—
1 dB
с dt ’
div D = 4 тер,
rotH = ^J + -7T<> divB=0
(в гауссовой системе) (5')
дополняется материальными уравнениями, связывающи-
ми векторы Е, D, Н и В с величинами, описывающими
электрические и магнитные свойства среды:
D — еое Е; В = p.ofx Н; j = ?Е.
464
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НЕПОДВИЖНЫХ СРЕД
IIV.II
t — относительная диэлектрическая проницаемость, р.—
относительная магнитная проницаемость, у — удельная
электропроводность, е0 — электрическая постоянная, р0 —
магнитная постоянная. Среда здесь и в дальнейшем
предполагается изотропной, не ферромагнитной (стр. 437)
и не сегнетоэлектрической (стр. 353'Д
3* На границе раздела двух сред выполняются гранич-
ные условия:
— Dn = <j, 1 Et — Et ,
П\ П2 * I f2’
Bn = Bn , ( v ' Ht -Ht= i
П1 *2 -/НОВ»
(7)
где a — поверхностная плотность электрических зарядов,
и — вектор нормали к границе раздела, проведенный из
среды 2 в 1.
Уравнения (6) выражают непрерывность нормальных
составляющих вектора магнитной индукции и скачок нор-
мальных составляющих вектора смещения. Уравнения
(7) устанавливают непрерывность касательных составля-
ющих вектора напряженностей электрического поля на
границе раздела и скачок этих составляющих для напря-
женности магнитного поля (упов — проекция вектора плот-
ности поверхностных токов проводимости на направле-
ние [tn]).
4° При заданных начальных условиях (значениях век-
торов Ей Н в начальный момент времени t = 0) система
уравнений Максвелла имеет единственное решение. Урав-
нения Максвелла инвариантны относительно преобразо-
ваний Лоренца (стр. 484).
5. Решение уравнений Максвелла методом
запаздывающих потенциалов (при 8, ц = const)
1° Для решения системы уравнений Максвелла вводят-
ся скалярный и векторный А потенциалы'.
В = rot А; Е = — grad ? —
Такое введение не является однозначным. Векторный по-
тенциал А вводится с точностью до grad ф, где ф— про-
извольная скалярная функция точки:
А = Ао — grad ф.
Скалярный потенциал вводится с точностью до произвол-
IV.I 1.5] РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 465
ной от скалярной функции точки по времени:
? *= ?о +
Для однозначного определения потенциалов йа А и ср
накладывается условие нормировки Лоренца-.
div А + = 0;
оно выполняется, если функция ф удовлетворяет уравне-
нию
Ч - 'W ^5 = div Ао + е’р.' ,
где <р0 и Ао — частные значения потенциалов, удовлетво-
ряющие уравнениям:
rot rot А 4- grad + е>' ^ =(*' ]пров ,
Д<Р + div = - 1 р ;
е' = £ог; р? == р.ор. — абсолютные диэлектрическая и магнит-
ная проницаемости среды, Д — оператор Лапласа (стр. 305).
2° Векторный и скалярный потенциалы удовлетворяют
уравнениям Даламбера-.
д Д 1 .
-- Iх JnpOB >
Дер —
1 д3 <р__________ р
z>2 д/2 е'
(в системе МКСА),
да____12!А-__4тс± i
№ — с JnpOB ,
. 1 с?2<р 4 тс
г 7р
(в гауссовой системе).
Здесь v — с/Ущ — скорость распространения электромаг-
нитных волн в данной среде, р — объемная плотность
электрическихзарядов, j—плотность токов проводимо-
сти, с = 1/ Уsop-o 3 • 108 м)сек — электродинамическая
постоянная, равная скорости света в вакууме.
3е Потенциалы ср и А могут рассматриваться как за-
паздывающие. Это означает, что учитывается конечная
30 Б- М. Яворский, А. А. Детлаф
466
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НЕПОДВИЖНЫХ СРЕД [IV. 11
скорость v распространения электромагнитных сигналов:
. f Р \х',
? (*,У> 0 = v | —---------г-------- dV (в системах СГСЭ
и гауссовой),
! С р У, dV’
9 (х, У, г, 0 =4^7- ---------~г---L----- (В системе
J МКСА),
С J У. t —г~\
А (х, у, «,0 = 7' I —-----------— dV' (в гауссовой
системе),
, С j (х’, y't z't t — —dV’
X (х. у, z,t) = -^ I ----------—— (в системе МКСА),
где х, у, z— координаты точки, в которой в момент t
отыскиваются потенциалы <р и А; х', у', z'— текущие
координаты произвольно расположенного элемента объема
dV’\ г — расстояние элемента dV' до точки наблюдения.
В точке, удаленной на г от зарядов и токов — источни-
ков поля, потенциалы <р и А в момент времени t будут
определяться значениями р и j в момент времени t —
6. Законы сохранения в электромагнитном поле
Г Закон сохранения электрических зарядов — утвер-
ждение о том, что электрические заряды не исчезают и
не создаются,— устанавливает, что убыль зарядов q в
замкнутом объеме V за единицу времени равна силе тока:
7____
7 “ dt ’
Дифференциальная форма закона сохранения заряда —
уравнение непрерывности для объемной плотности за-
рядов:
div j + ^ = О,
где j — плотность токов проводимости, р — объемная плот-
ность зарядов.
2° Энергия переменного электромагнитного поля, лока-
лизованная в пространстве с объемной плотностью w =
IV.11.6] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ЭЛЕКТРОМАГНИТ. ПОЛЕ 467
= (стр. 356 и 427), распространяется с групповой
скоростью (стр. 527). Количество энергии, переносимой
через единицу поверхности, перпендикулярной к направ-
лению распространения энергии, за единицу времени,
определяется вектором Пойнтинга (мгновенной плотно-
стью потока энергии):
Р = [ЕН] (в системе МКСА),
Р = [ЕН] (в гауссовой системе).
Закон сохранения энергии в электромагнитном поле
(в интегральной форме):
— ^wdV^adV + i^P„dS,
V V s
где а — объемная плотность тепловой мощности тока
(стр. 360). Убыль энергии в объеме И поля расходуется
на выделение джоулева тепла в проводниках, находящихся
в поле, и на распространение энергии через замкну-
тую поверхность S, ограничивающую объем. Дифферен-
циальная форма закона сохранения энергии в поле (в
отсутствие зарядов и токов) — уравнение непрерывности
для объемной плотности энергии w\
divP+^ = 0.
3е Вместе с энергией электромагнитного поля перено-
сится импульс (количество движения) поля, распределен-
ный в пространстве с объемной плотностью g:
g == (в системе МКСА),
1 р
g == — [ЕН] = (в гауссовой системе).
Полный импульс поля в объеме И:
G = ? g d V.
Наличие импульса G электромагнитного поля проявляется
в световом давлении (стр. 634).
Закон сохранения импульса электромагнитного поля'.
У g dv = - (Fe+Fm) + X T„ dS,
V s
30*
468 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НЕПОДВИЖНЫХ СРЕД (IV.11
где Fe и Fm — силы, действующие соответственно на заря-
ды и токи, находящиеся в объеме V, (j) TndS—импульс,
передаваемый за 1 сек через замкнутую поверхность S, огра-
ничивающую объем, Тл — сила, действующая извне на еди-
ницу поверхности вдоль внешней нормали п к ней. За-
кон сохранения импульса (количества движения) в электро-
магнитном поле выполняется при учете не только
механического импульса К (стр. 36), связанного с силами,
действующими на заряды и токи:
— — F 4- F
— ге । 1 т>
но и импульса электромагнитного поля G. Для поверхно-
сти S, охватывающей все поле,
G + К = const.
7. Основные положения электронной теории.
Система уравнений Лоренца
Г Электронная теория Лоренца является развитием
теории электромагнитного поля Максвелла. Она исходит
из определенных представлений о строении вещества
(микроскопическая теория). Вещество в электронной
теории рассматривается состоящим из движущихся заря-
женных частиц. Электрические и магнитные свойства
вещества объясняются характером расположения в про-
странстве, движений и взаимодействий электрических
зарядов, из которых состоят атомы и молекулы.
2° В каждой точке пространства существуют микро-
полях электрическое с напряженностью е и магнитное
с напряженностью h, которые подчиняются системе
уравнений Лоренца'.
. dh .. р
rote — — р.о тт-, div е = у-,
С/4 6()
rot h я» j + е0 , divh = О
rote«=—- dive=4icp,
roth = 4^ j + 7^7, divh = 0
c 1 c at 1
(в системе МКСА),
(в гауссовой системе).
1V.11.8] УСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МИКРОПОЛЯ 469
Плотность токов j = pv, где р — объемная плотность
зарядов, v — их скорость.
3е Система уравнений Лоренца дополняется выраже-
нием для объемной плотности силы Лоренца f (стр. 407),
действующей на заряды и токи:
f = ре + р[vp.oh] (в системе МКСА),
f = ре + -у [vh] (в гауссовой системе).
4° Для микрополей е и h справедливы законы сохра-
нения (стр. 46о).
8. Усреднение уравнений микрополя
Г Макроскопические поля Е, Н, D и В, которые на-
блюдаются экспериментально, могут быть получены в ре-
зультате пространственно-временнбго усреднения микро-
полей е и h (стр. 468). Усредненная система уравнений
Лоренца имеет вид:
. — dh j. - р
rote^-fxo-^-, dive=i,
roth = е0 У+ pv, divh = 0
rot ё = y , div е = 4яр,
rot fi = -^pv + divh = o
(в системе МКСА),
(в гауссовой системе),
где черта обозначает усреднение соответствующих
величин.
2е Заряды, существующие в среде, подразделяются
на свободные и связанные:
Р Рсвоб 4“ Рсвяз’
Усредненная плотность связанных зарядов выражает-
ся через вектор поляризации Ре (стр. 349):
?связ =— div р«-
3е Усредненная плотность токов J ==pv состоит из
плотности токов свободных зарядов ]своб = рсвоб v и
плотности токов связанных зарядов jCBfl3 = рсвяз v:
j 1своб 4" 1связ’
470
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НЕПОДВИЖНЫХ СРЕД [IV.H
Средняя плотность токов связанных зарядов ]связ со-
стоит из плотности токов поляризации ]поляр и плотнос-
ти ТОКОВ намагничивания JHaMarH: 7СВяз =Тполяр+7намагн-
Ток поляризации имеет своей природой смещение заря-
дов в неполярных молекулах или поворот осей полярных
молекул в процессе поляризации: |П0Ляр = •
Ток намагничивания появляется в результате сущест-
вования замкнутых молекулярных токов (стр. 429), связан-
ных с орбитальным движением электронов в атомах и
молекулах: {намагн = rot I, где I — вектор намагничения
(стр. 436).
После подстановки выражений для рсвяз и j в систему
уравнений Лоренца получаются уравнения для макроско-
пических полей, которые могут быть сравнены с уравне-
ниями Максвелла:
rote = —(но h),
rot (h -1) = j + (еоё + РД
div (e0 ё + Pe) = p, divh = 0
(в системе МКСА),
+ - i aii
r<>te = -7dF-
rot(h-4xI) = ^j + -l-^(S + 4xPe),
div (ё + Pe) == 4тср, div h = 0
(в гауссовой
системе).
4° Из сравнения с уравнениями Максвелла усреднен-
ных уравнений Лоренца следуют формулы:
ё = Е, | (в системе МКСА),
ё = Е, h = B } (в гауссовой системе),
и связь векторов поляризации Ре и намагничения I с
макроскопическими полями (стр. 349 и 436):
D = e0E + Pg, Н = ~ —I | (в системе МКСА),
D = Е + 4к Ре, В = Н-{-4к1 } (в гауссовой системе).
1V.12.1J УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ 471
5е Электронная теория раскрывает физический смысл
макроскопических постоянных е, р. и 7 веществ, находя-
щихся в различных постоянных и переменных электри-
ческих и магнитных полях.
6е Как и феноменологическая теория Максвелла, элек-
тронная теория рассматривает непрерывные электромаг-
нитные поля. Все вопросы, где существенна дискретность
полей (фотоэффект, стр. 628, тепловое излучение, стр. 619,
эффект Комптона, стр. 632), в классической электронной
теории не получают своего объяснения. Эти трудности
преодолены в квантовой теории взаимодействия полей с
веществом.
Т В классической электронной теории проводимости
(стр. 358) рассматриваются свойства классического газа
свободных электронов. Это приводит к ряду трудностей
(стр. 361), которые разрешены в статистике Ферми — Ди-
рака для вырожденного электронного газа в металлах
(стр. 217).
ГЛАВА 12
ОСНОВЫ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
1. Уравнения магнитной гидродинамики
Г Магнитная гидродинамика изучает взаимодействие
электромагнитных полей с жидкими и газообразными сре-
дами, обладающими значительной электропроводностью.
Примерами таких сред являются плазма (стр. 375) и
жидкие металлы.
2е В задачах магнитной гидродинамики изучаемые
среды предполагаются сплошными (стр. 296). Не делается
ра.личия между напряженностью магнитного поля Н и
магнитной индукцией В сред (в гауссовой системе еди-
ниц), так как для всех проводящих жидкостей и газов
магнитная проницаемость /1^1. Предполагается также,
что действительная часть диэлектрической проницаемости
сред е == const.
В отношении электропроводности сред 7 делаются
следующие предположения:
а) величина 7 однородна и изотропна по всей среде,
7 не зависит от Н. Это справедливо при выполнении усло-
вия
472 ОСНОВЫ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ [IV.12
где <о0 = ehftmc — ларморова частота прецессии для
электронов (стр. 430), т — среднее время свободного про-
бега электронов, в среде. Нарушение этого усло-
вия может иметь место в очень ра реженных средах и
при весьма высоких напряженностях магнитного поля;
б) величина 7 достаточно велика, так что
где <о — частота процессов, происходящих в среде,
например электромагнитных волн, распространяющихся
в плазме.
Предполагается также, что средняя длина свободного
пробега электронов в среде много меньше некоторой ха-
рактеристической длины в данной задаче, например рас-
стояния между двумя проводящими пластинами, в про-
странстве между которыми движется жидкость под дей-
ствием приложенного магнитного поля. .Это условие мо-
жет не иметь места в сильно разреженных средах.
Наконец, в нерелятивистской магнитной гидродинами-
ке предполагается, что движения среды совершаются со
скоростями V, много меньшими скорости с света в
вакууме.
3° Уравнения магнитной гидродинамики представляют
собой совокупность уравнений Максвелла для электро-
магнитного поля (стр. 463), гидродинамических уравнений
движения (стр. 304), термодинамических уравнений состо-
яния среды (стр. 135) и уравнения закона сохранения энер-
гии (стр. 311).
При движении электропроводящей среды в магнитном
поле возникает индукционный ток, плотность которого
равна
где v — скорость движения среды. Действие магнитного
поля на токи в среде вызывает в ней возникновение
электромагнитной объемной силы с плотностью
где j— плотность полного тока:
j = 1инд + PeV + ТЕ,
1) В этой главе используется гауссова система единиц.
TV.12.1] УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ 473
где ре — плотность электрических зарядов в среде, Е —
напряженность электрического поля в среде. Величины
]инд и Ьл отражают связь между гидродинамическими и
электромагнитными явлениями.
При предположениях стр. 471 п. 2е в выражении для
j пренебрегается первыми двумя членами и сохраняется
лишь плотность тока проводимости j = yE. В нереляти-
вистской теории также пренебрегается первым членом в
Т9Л и сохраняется лишь лоренцева сила (стр. 407) f = -| [jH].
4° Полная система уравнений магнитной гидродинами-
ки имеет вид:
у = rot [vHl + divH =0,
^ + (vy)v= -y gradp -4-l- |HrotH] + -2-dv +
+ у + grad div v
(аналог уравнения Навье — Стокса, стр. 305),
+ div (pv) = 0 (уравнение неразрывности, стр. 304),
р =р (р, Т) (уравнение состояния среды),
(т" + Рй + = — div w (уравнение закона сохра-
нения энергии, стр. 311),
где w — плотность потока энергии:
w = pv(u+y+^) - К grad Т +
+ C(divv)2 v + |vH| J— 22” [Н rotH],
В этих формулах = с2/4тт:^ — коэффициент <маг-
нитной вязкости», /] и С — коэффициенты первой и второй
вязкости среды (стр. 306), р — плотность среды, р — дав-
ление, и — удельная внутренняя энергия среды (стр. 312),
474
ОСНОВЫ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
[IV.12
К—коэффициент теплопроводности среды (стр. 198), Т —
абсолютная температура, v — скорость движения среды.
Точные решения уравнений магнитной гидродинамики
получены лишь в немногих случаях простейших движе-
ний среды.
5е Если L и V — характеристические линейный раз-
мер и скорость для рассматриваемой магнитогидродина-
мической задачи, то величина
называется магнитным числом Рейнольдса (стр. 318). Во
многих случаях Rem >> 1 и можно пренебрегать элек-
трическим сопротивлением среды и связанными с ним
джоулевыми потерями (стр. 364), а также диссипацией
энергии магнитного поля.
6° Для идеальной среды (т) = £ = /<= О, у—>оо) в
предположении, что теплообмен с окружением несущест-
вен, т. е. движение среды совершается адиабатически,
система уравнений ма1нитной гидродинамики принимает
вид:
= rot [vH], div Н = О,
£ + (w) v = — y-gradp — [Н rot Н],
| + div (pv) = 0, р=р(р, Г), £+(vv)s = 0.
В последнем уравнении s — энтропия (стр. 162), и оно
выражает сохранение энтропии при адиабатическом дви-
жении среды (стр. 313).
7° Первое из уравнений п. 6° (при у=оо) выражает
закон сохранения магнитного потока через любую
поверхность, движущуюся вместе со средой. Это позволяет
ввести представление о магнитных силовых линиях,
«скрепленных» со средой, «вмороженных» в среду. В этом
смысле магнитная силовая линия является линией,
связанной с частицами среды и перемещающейся вместе
с ними.
8° Для несжимаемой жидкости (стр. 297) уравнения
магнитной гидродинамики с помощью переменных
IV.12.2] МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 475
записываются в симметричной форме:
+ (wv)u=—grad Ф+ Д (a u + Pw),
+ (и?) w = — grad Ф + Д (aw + М,
div и = 0, divw = 0,
где
ф-Р I (u-wg. „-У+'т 8 = V“Vm
р ' 8 ’ 2 ’ н ~ ’
v = 7]/p —кинематическая вязкость (стр. 305), — «магнит-
ная вязкость» (стр. 473, п. 4е). В этой записи плотность
полной энергии имеет вид:
разность кинетической и магнитной энергий равна
=И"">-
9° В магнитной гидродинамике не выполняется теорема
Томсона о сохранении циркуляции скорости в идеальной
жидкости (стр. 311). В присутствии магнитного поля цир-
куляция скорости по материальному контуру сохраняется
лишь в том частном случае, если сила Гэл, отнесенная
к единице массы, обладает потенциалом:
rotLL[rotHH] 1 = 0.
2. Магнитогидродинамические волны
Г При взаимодействии электромагнитных и гидро-
динамических явлений малые нарушения стационарного
движения среды распространяются в ней в виде
магнитогидродинамических волн. В общем случае эти
волны нельзя подразделять на продольные и поперечные
(стр. 494).
2° В случае идеальной среды и малых амплитуд
магнитогидродинамических волн их частоты ш0 находятся
из уравнения
<ф? - (ku)s] - Лг(4 + u2) + *2c3sB(ku)s] = 0,
где к — волновой вектор (стр. 501), и = Н/ ]/ 4кр, езв — ско-
рость звука в среде в отсутствие магнитного поля
476 ОСНОВЫ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ [IV.12
(стр. 495). Это уравнение имеет четыре различных реше-
ния ©о и определяет четыре типа магнитогидродинамиче-
ских волн, распространяющихся в среде каждая со своей
фазовой скоростью V = ю0/А (стр. 500).
3° Решение
<о0 = 0
соответствует возмущению, неподвижному относительно
среды, т. е. переносящемуся вместе со средой при ее
движении. Такая волна называется энтропийной] в ней
изменяются лишь плотность и энтропия среды. Понятие
волны в этом случае условно, так как скорость ее рас-
пространения У=0.
4° Решение
o>0 = ±(ku), V = ±^cos9,
где & — угол между направлениями распространения
волны и магнитного поля, соответствует нарушениям
скорости движения среды и напряженности магнитного
поля в ней; термодинамические характеристики среды
в этом случае остаются неизменными. Такая волна на-
зывается магнитогидродинамической в узком смысле.
Эти волны являются чисто поперечными; колебания
в них происходят в направлениях, перпендикулярных
к направлению первоначального магнитного поля. Рас-
пространение этих волн не сопровождается измене-
ниями плотности и возможно как в сжимаемой, так и в
несжимаемой среде. Групповая скорость (стр. 527) таких
волн не зависит от направления волнового вектора к и
всегда равна и = Н/У 4кр. Следовательно, направление
распространения магнитогидродинамической волны (по-
нимаемое как направление переноса ее энергии), совпадает
с направлением первоначального магнитного поля Н.
5* Решения биквадратного уравнения п. 2° описывают
также магнитозвуковые волны, распространяющиеся с
двумя различными скоростями:
l4 = т {СЗВ + “2 К(4 + uS)2 - 4сзв “2 cos28} •
причем
max (и2, с]в) Ир 4 +
0 И min (и2 cos2 ft, с2).
IV.12.3] РАЗРЫВЫ И УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 477
Первое из этих решений соответствует ускоренной^ а
второе — замедленной магнитозвуковой волне по сравне-
нию с обычной звуковой или магнитогидродинамической
волной. Единственной неизменной величиной в магнито-
звуковых волнах является энтропия. Эти волны не явля-
ются ни чисто продольными, ни чисто поперечными.
При Й = 0 ускоренная магнитозвуковая волна пере-
ходит в обычную звуковую, если Сзв > и, или в магнито-
гидродинамическую, если Сзв < и; замедленная магнито-
звуковая волна в тех же условиях переходит, соответ-
ственно, в магнитогидродинамическую или звуковую
волну. При &'= тс/2 скорости распространения магнито-
гидродинамической и замедленной магнитозвуковой волн
обращаются в нуль и обе эти волны сводятся к слабому
тангенциальному разрыву (стр. 478).
6° В общем случае волн значительной амплитуды или
значительных магнитных полей разделение волн на
магнитогидродинамические и обычные звуковые невоз-
можно. В несжимаемой жидкости (с3в оо) остается один
тип плоских волн с двумя независимыми направлениями
поляризации (стр. 496). Вектор v скорости движения
среды и вектор h отклонения магнитного поля в среде
от первоначального однородного поля перпендикулярны
к волновому вектору к и связаны соотношением
> — г___
V 4кр
(волям Алъвена).
3. Разрывы и ударные волны
1* В магнитной гидродинамике поверхностью разрыва,
называется материальная поверхность в электропрово-
дящей среде, на которой претерпевают скачок значения
либо термодинамических, либо электромагнитных, либо
и тех и других величин, характеризующих среду.
2° На поверхности разрыва в проводящей среде выпол-
няются следующие соотношения:
{«„ Ht - vt Нп} = 0, {Нп}= О,
{р«л(-Г + 1№п - (vH)/7„ ]| =0,
{р»п} = °, {/> ч-ч-= о,
{р vt — "5Г Нп Н J = °>
478 ОСНОВЫ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ [IV. 12
где фигурные скобки обозначают разность соответствую-
щих величин по обе стороны поверхности ра рыва, обо-
значаемых индексами 1 и 2 (например, условие {//„}= О
эквивалентно условию Н1п — Hin = 0 или Н1п = Нъп)\
индексы п и т соответствуют нормальной и тангенциаль-
ной относительно поверхности разрыва компонентам
векторов (или их проекциям на эти направления); прочие
обозначения см. стр. 473.
3е Если поверхность разрыва неподвижна относитель-
но среды, т. е. vn = 0, а Нп^=. О, то:
/=₽«„ = О, {vt}=0, {р}^о, {/4=0, {Ht}=0.
Вместе с р испытывают скачки s, Т и другие термодинами-
ческие величины. Такой разрыв называется контактным.
Поверхность разрыва представляет собой границу раздела
между двумя неподвижными средами с различными зна-
чениями р и Г.
4° Если vn = 0, Нп = 0, то имеют место соотношения:
f н? |
/=0, {vT}^0, {р}^0, |/’ + -8^"|=0, {HJ^O.
Скорость и напряженность магнитного поля параллельны
поверхности разрыва и могут испытывать на ней скачки,
произвольные по величине и по направлению. Такой разрыв
называется тангенциальным. Он возможен как в сжимае-
мой, так и в несжимаемой среде. Скачок давления связан со
скачком напряженности магнитного поля соотношением
pt-pl = — ' (н8 — н8 ).
г 8те \ at it / ’
Скачки прочих термодинамических величин определяются
через скачки р и р с помощью уравнения состояния
(стр. 473).
5° При условии {р}=0 имеют место соотношения:
/V0, {р}=0, //„^0;
на поверхности раздела непрерывны все термодинами-
ческие величины, а также НГ . Такой разрыв называется
вращательным. Магнитное поле поворачивается вокруг
нормали к поверхности ра рыва, не меняясь по абсолют-
ной величине (| Нт | = const).
Возможны также разрывы, соединяющие в себе свой-
ства тангенциальных и вращательных В этих разрывах
v и Н остаются касательными к поверхности разрыва и
IV.12.3] РАЗРЫВЫ И УДАРНЫЕ волны 479
лишь поворачиваются в своей плоскости, не меняясь по
абсолютной величине.
6е Разрыв, в котором называется перпендику-
лярной ударной волной. В ней выполняется условие:
{vT}=0. Если /7п = 0, то можно записать соотношения
на поверхности разрыва в системе координат, в которой
v1T = v£t = 0, положив v = vnt И —
Нр"-+-йч=о.
Разрыв представляет собой плоскую ударную волну сжа-
тия, направление распространения которой перпендику-
лярно к направлению магнитного поля.
При Н = 0 перпендикулярная ударная волна перехо-
дит в обычную гидродинамическую ударную волну
(стр. 517). Перпендикулярная ударная волна малой ампли-
туды совпадает с ускоренной магнитозвуковой волной
(стр. 477), распространяющейся поперек магнитного поля
($ = к/2) со скоростью И+ = сдв + и2.
В случае Нп^0 в системе координат, в которой
v || Н и которая движется параллельно поверхности раз-
рыва со скоростью
U = v-^-H,
на поверхности разрыва выполняются соотношения:
=о. { %- + = 0. |р»п}= 0,
+ ₽®‘ + = °- Н V' - 47 нп Н4 = °-
7° Разрыв, в котором плотность среды претерпевает
скачок:
{Р}^0, /V0,
называется наклонной ударной волной. В разрывах это-
го типа ударная волна сжатия сложным образом взаимо-
действует с магнитным полем. В случае Нт = 0,
наклонная ударная волна переходит в параллельную удар-
ную волну, распространяющуюся вдоль направления
магнитного поля и не взаимодействующую с ним. В слу-
чае малых амплитуд наклонные ударные волны переходят
480 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [IV.13
в магнитозвуковые — либо в ускоренную, либо в за-
медленную (стр. 477).
8° Уравнение* ударной адиабаты (адиабаты Гюгонио,
стр. 518) в магнитной гидродинамике:
। I / , . /1 1 \ . 1 / 1 1 \
«»-“> +г^3 + ^ (й ~ н) + i6i (^ — й/ х
X(//3x-/7lt)s = 0,
где и — удельная внутренняя энергия газа.
Скачок энтропии в ударной волне малой амплитуды:
St — 81 == js (Pi — Pl)3 Д x
X(P2-Pi)(HSt-H^.
ГЛАВА 13
ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
1. Принцип относительности Эйнштейна
Г Принцип относительности утверждает, что все
законы физики одинаковы во всех инерциальных коорди-
натных системах (стр. 32). Это означает, что если для
одной из этих систем справедлив какой-либо закон
физики, то в той же самой форме этот закон выража-
ется во всех координатных системах, движущихся относи-
тельно первой прямолинейно и равномерно.
2° В классической механике Ньютона описание
взаимодействия тел с помощью потенциальной энергии
предполагает мгновенное распространение взаимодей-
ствий. В действительности существует максимальная
конечная скорость с распространения взаимодействия,
причем в природе невозможно взаимодействие со скоро-
стью, превышающей с. Максимальная скорость распро-
странения взаимодействий является универсальной посто-
янной, одинаковой во всех инерциальных системах; она
равна скорости распространения света в вакууме (инвари-
антность скорости света). Соединение принципа относи-
тельности с утверждением о конечности максимальной
скорости распространения взаимодействий называется
специальным принципом относительности Эйнштейна.
IV. I Ml
ИНТЕРВАЛЫ
481
3* В классической механике время (в отличие от
координат) считается не зависящим от системы отсчета.
Два события, одновременные в одной инерциальной
системе отсчета, считаются одновременными в любой
другой инерциальной системе отсчета. Это противоречит
специальному принципу относительности, из которого
следует относительность одновременности событий. В
самом деле, из закона сложения скоростей в классической
механике (стр. 29), примененного к распространению
света, следует, что скорость света должна быть различной
в разных инерциальных системах. Она, например, должна
быть различной в направлении движения Земли и в
противоположном направлении. Это противоречит опыту,
который показывает, что скорость света не зависит от
направления его распространения.
4е Согласно специальному принципу относительности,
время протекает различно в разных системах отсчета,
и утверждение о промежутке
времени между двумя собы-
тиями имеет смысл только при
указании системы отсчета.
Например, пусть система
координат X Y' Z' движется с
постоянной скоростью V отно-
сительно системы XYZ вдоль
оси X (рис. IV. 13.1). Световой
сигнал, достигший одновре-
менно (в системе X Y’ Z')
точек В и С, в системе X Y Z ,
жущейся к нему навстречу, раньше, чем точки С, которая
«уходит» от него (скорость сигнала с в обеих системах
координат во всех направлениях одинакова).
BA C
z
z
Рис. IV. 13.1.
равноудаленных от A
достигнет точки 5, дви-
2. Интервалы
Г Четырехмерным пространством называется во-
ображаемое пространство четырех измерений, на осях
которого откладываются три координаты х,у>2 и вре-
мя t. Любое событие изображается точкой в четырехмер-
ном пространстве (мировая точка). Движению некото-
рой частицы в пространстве и во времени соответст-
вует линия в четырехмерном пространстве (мировая
линия).
31 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
482
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[IV.13
2е Если хиуи ti и х2, jVs, 2а, — координаты двух
событий в четырехмерном пространстве, то величина
Sis= Y С2 (<а — tt)3 — (Х8 — Хх)2 — СУа — 3>1)2 — (z8 — 21)1
называется интервалом между двумя событиями.
Интервал между двумя бесконечно близкими собы-
тиями:
ds = У c2dt2 — dx2 — dy* — dz2 = V c2dt2 — dl\
где dl2 = dx2 + dy2 + dz2.
Откладывая на оси времени вместо t переменную
t = ZcZ, можно величину — ds2 = dx2 + dy2 4- dz2 + dz2
рассматривать как квадрат элемента длины в четырех-
мерном пространстве.
3е Интервал между двумя событиями одинаков во
всех инерциальных системах отсчета (инвариантность
интервала). Инвариантность интервала является матема-
тическим выражением постоянства скорости света. Поня-
тие интервала позволяет изучить пространственно-времен-
ное соотношения между событиями, устанавливать при-
чинно-следственные связи между ними.
4° Если хиуи zu ti и х2,у2, z2, t2— мировые точки двух
событий в некоторой системе отсчета /<, то при условии
Sji > 0 (вещественность интервала) существует такая
система отсчета /Г, где оба события происходят в одном
месте пространства (х[ = х2, у[ =у2, z't=Z2). Веществен-
ные интервалы называются времениподобными. Время
f12 = Z2 — t'u прошедшее между обоими событиями в
системе ТС, равно t’l2 = sl2lc. Условие:
s|2 = c2tl2 — = const > О,
где /12 = t, — tt, pit = (xt — xt)2 + (y8 — >i)2 + (zs — Zj)2,
можно представить графически в виде гиперболы, если
по осям координат (рис. IV. 13.2) отложить Z=Zj2 и
ct — cti2, где Z12 и Zi2 соответствуют двум данным собы-
тиям в произвольной инерциальной системе отсчета. Точки
А и Д1 отвечают событиям 2, происходящим в той же
точке пространства, что и событие 1 (точка (9), но либо
позже него (точка Д), либо раньше (точка Д^. Например,
событие 2—следствие события 1 (точка Д) — причинная
связь событий. Если два события, происходящие в не-
которой системе координат в одной точке пространства,
IV. 13.2]
ИНТЕРВАЛЫ
483
причинно связаны, то и в любой
ной системе они связаны точно
включение в электрическую цепь
гальванометра и отклонение его
стрелки). Причинно связанные со-
бытия могут происходить и не в
одной точке пространства, но так,
что следствие связано с причиной
некоторым процессом распростра-
нения (например, включение элек-
трического освещения и загорание
лампочки).Двум причинно связанным
событиям соответствует одна ветвь
гиперболы. Область выше верхней
асимптоты гиперболы называется
«абсолютно будущим» по отноше-
нию к начальному событию О. После-
довательность причин и следствий
другой инерциаль-
так же ("например
ct Абсолютно
прошедшее
Рис. IV. 13.2.
определяет направление времени.
Она носит объективный характер, и следовательно, тео-
рия относительности не противоречит объективному ха-
рактеру причинности.
5е Существуют события, интервал между которыми
мнимый:
3?2 --- ^а^18 ^18 < О*
Мнимые интервалы называются пространственно-
подобными. Они связывают такие события, что с2/?2 <
(например, два события, происшедшие разновременно
на двух планетах при условии < Zi2). Ни в одной
системе координат такие события не происходят в
одной и той же точке пространства. Они происходят
в области, абсолютно удаленной относительно начала
отсчета О (рис. IV. 13. 2). Временная последовательность
таких событий неоднозначна: существуют такие системы
координат, где одно из событий происходит позже дру-
гого, и такие системы, где первое событие опережает
второе. В одной системе отсчета оба события происхо-
дят одновременно (точки О и В на рис. IV. 13. 2). Поня-
тие одновременности двух событий, происходящих в
разных точках пространства и разделенных мнимым
интервалом, носит относительный характер. Например,
событие В (рис. IV. 13. 2) лежит на гиперболе, которая
относительно О находится и в прошлом, и в будущем.
31*
484 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (IV.13
События О и В причинно не связаны (никакой сигнал
из О не может мгновенно достигнуть В).
9° Для асимптот к гиперболам /= ± ct и s2 = 0. Асим-
птоты описывают события, связанные распространением
электромагнитных сигналов. Для таких событий в любых
системах отсчета, в силу инвариантности скорости света,
s = 0. Геометрическое место нулевых интервалов в
четырехмерном пространстве (х, v, z, let) называется свето-
вым конусом для заданной мировой точки О.
3. Преобразования Лоренца и их следствия
Iе Релятивистские формулы преобразования коорди-
нат, которые удовлетворяют требованию инвариантности
интервала (стр. 482), называются преобразованиями
Лоренца. Они выражают переход от инерциальной системы
отсчета К к системе /С, которая движется относительно Д'
со скоростью V вдоль оси X. Преобразования имеют вид:
Преобразования Лоренца симметричны и сохраняют
свой вид при переходе от /С к К с
у V:
переменой знака
у_ ,
с8Х .
_ V*
С*
и переходят при
V = у', г = z\
t =
Преобразования Лоренца линейны и переходят при
малых скоростях в преобразования Галилея
(стр. 43).
2° Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе
с системой, называется ее собственным временем. В этой
системе отсчета ds = с dt'. Из формул Лоренца следует
связь между промежутком собственного времени dt' и
промежутком времени dt в системе отсчета, относительно
которой рассматривается движение со скоростью V:
dt’ = *£=л1/
с V с*
Собственное время, отмечаемое движущимся наблюда-
телем, всегда меньше, чем соответствующий промежуток
IV. 18.4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СКОРОСТИ 485
времени в неподвижной системе. Для неподвижного
наблюдателя движущиеся часы идут медленнее непо-
движных.
Пример. Среднее собственное время жизни поло-
жительного те-мезона (стр. 782) составляет 2 • 10~8 сек.
Средний путь такой частицы, движущейся со скоростью,
близкой к с, должен составлять в воздухе 600 см. В
действительности средний путь в воздухе л-мезонов
значительно больше, потому что среднее время жизни,
измеренное в неподвижной системе, связанной с Землей
(воздухом), значительно больше 2 • 10~8 сек.
3е Из преобразований Лоренца следует сокращение
движущегося масштаба длины в направлении движения
(лоренцево сокращение)'.
где Дх — масштаб длины, покоящийся в системе. К. &х' —
тот же масштаб длины в системе /С, движущийся со ско-
ростью V относительно системы К-
Собственной длиной называется линейный размер
/0 тела в той системе координат, где оно покоится (/0 = Дх).
Длина того же тела, /, измеренная в движущейся отно-
сительно него системе отсчета /Г, уменьшается в отно-
4. Преобразование скорости
Г Проекции скорости v тела по осям координат
в неподвижной системе /( связаны с проекциями его
скорости v' в системе /С, движущейся со скоростью И
вдоль оси X:
Эти формулы представляют собой закон сложения ско-
ростей в теории относительности. При с—>оо они
переходят в закон сложс! ия скоростей классической
486 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [IV. 13
механики (стр. 29):
= + vv = v'y< ^г = ’Ог-
При движении тела вдоль оси X(^A.==ti, = —О,
^ = ®', V'y=Vz—®>
Формулы перехода от v к v' отличаются от приведен-
ных знаком при V. Если, в частности, v = c, то и V' = с.
Сумма двух скоростей, меньших или равных с, есть ско-
рость, не большая с. Из преобразования Лоренца следует,
что всегда v < с. Исключение составляет скорость фото-
нов (стр. 627), равная с.
2* При Vic << 1 и произвольной скорости v, с точностью
до членов порядка И/с, справедлива приближенная формула
v = v' + V —^(VV) v'.
5. Четырехмерные скорость и ускорение
Г Вектором четырехмерной скорости (четырехско-
ростью) называется вектор с компонентами:
«/=§ (/=1,2, 3,4),
где Xi = x, х2=у, xs = zf
x4 = lct, ds = c dt j/"i — ,
v— скорость тела.
V j
Например: Uj =---- - (/= 1, 2, 3), u4
c V
Связь компонент четырехскорости: 2 =—1- Че-
/=1
тырехскорость есть величина безразмерная.
2° Четырехмерное ускорение (четырехускорение) оп-
ределяется как вектор с компонентами:
du. d°Xj
<4=-^=-^ (/=1,2, 3,4).
J as as2 J > > > /
IV. 13.6]
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
487
6. Релятивистская динамика
Г Механика, основанная на специальном принципе
относительности, инвариантная относительно преобразова-
ний Лоренца, называется релятивистской. Релятивистская
механика переходит в классическую при условии
где v— скорость движущегося тела (частицы), с — ско-
рость света в вакууме.
2° Функция Лагранжа (стр. 83) свободной частицы:
—тоса У1 —,
где mQ — масса частицы, измеренная в той системе коор-
динат, где частица неподвижна (масса покоя).
3° Вектор р механического импульса (количества дви-
жения, стр. 36):
Р= m°v
Релятивистское выражение массы:
где т0 — масса покоя.
При v—»c m—*оо и р—>оо, если только то^О. Зави-
симость массы от скорости изображена на рис. IV. 13. 3.
Для фотона (стр. 627) v=-c и
то = О. Импульс фотона опре-
деляется в зависимости от его
энергии (стр. 489). Скорость,
большая с, приводит к мни-
мому импульсу (или мнимой
массе), что физически бессмыс-
ленно.
При v/с << 1 выражение для
импульса (количества движе-
ния) переходит в классическое:
р = mv
(различие т и /п0 при vic 1
несущественно).
В классической механике отношение силы F = 4? к
al
ускорению тела w постоянно (стр. 37). В релятивистской
488
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
(IV.13
механике
при F I v:
при F || v:
4е Полная энергия тела (или частицы) в теории отно-
сительности:
Е = (pv) — L = —£==== = тс8.
/-5
Это выражение называется законом взаимосвязи мас-
сы и энергии и играет фундаментальную роль в ядерной
физике. В частности, при v = 0 энергия покоящегося те-
ла (энергия покоя)
Ео == m0c8.
N
Энергия покоящегося тела, кроме У mzc£ (mf-—мас-
сы покоя частиц тела, содержит кинетическую энергию
частиц и потенциальную энергию их взаимодействия. По-
этому
N
тос* ^^пцс* и т0 ф У mt.
i=i i
В релятивистской механике несправедлив закон сохране-
ния массы покоя. Например, масса mQ частицы, способной
к самопроизвольному распаду, больше суммы масс покоя
продуктов распада и
т0 > mOi + /п02-
5° Кинетическая энергия тела (частицы):
— т0 с* .
При t//c<l это выражение переходит в классиче-
ское: Т = mv2l2 (различие m и mQ при v/c <С 1 несуще-
ственно).
IV.IS.ei РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА 489
(Г Функция Гамильтона (стр. 86) для свободной частицы
(полная энергия, выраженная через импульс):
Е =* Н = Vряс* + т? с*;
при малых скоростях (р тос):
Е=Н^=> т<>сг 4-
О ’
С точностью до энергии покоя — это классическое выра
жение функции Гамильтона свободной частицы. Для
фотона, не имеющего массы покоя (т0 = 0),
Е = ср.
V Соотношение между полной энергией Еу импульсом
р и скоростью v свободной частицы:
8е Импульс р и полная энергия Е в релятивистской
механике могут быть представлены как компоненты четы-
рехвектора pf.
Pi = тосиь
где т0 — масса покоя, с — скорость света в вакууме,
fii — четырехмерная скорость (стр. 486). Три компоненты
четырехвектора pi совпадают с компонентами импульса
р, т. е. pi = рх; р^—ру и ръ = рг. Четвертая (временная)
компонента связана с полной энергией частицы:
9е При переходе к неподвижной системе координат
К от системы /С, движущейся относительно системы К
равномерно и прямолинейно вдоль оси X со скоростью Й,
справедливы преобразования Лоренца для компонент
импульса р и энергии Е*.
, v
Px+E'ci , , „ E'^-p'xV
Px~\f. _ V»" ’ Ру—Р'у' Рг—Pl' Е~л/------------V* ’
К ‘ 7Г V '~Л
где рх, pyf pg — компоненты импульса в системе pKi
ру, p'z — компоненты импульса в системе /<, Е и Е' -~ энер-
гии в системах К и соответственно.
490
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
(IV.18
7. Понятие о преобразованиях Лоренца
для электромагнитного поля
Г Свойства электромагнитного поля различны в раз-
ных инерциальных системах отсчета. В частности, одно
из полей — электрическое или магнитное — может от-
сутствовать в одной системе координат и присутствовать
в другой.
2° Формулы преобразований Лоренца для компонент
векторов Е и Н напряженностей электрического и маг-
нитного полей при переходе к неподвижной системе
координат К от системы /Г, движущейся относительно
системы К равномерно и прямолинейно вдоль оси X со
скоростью И, имеют вид:
(в гауссовой системе единиц). Нештрихованные компонен-
ты Е и Н относятся к системе ZC, штрихованные — к
системе Д7.
3е При И/с 1, с точностью до членов порядка И/с,
формулы упрощаются. В векторной форме
E = E'+4[H'V], Н = Н’— 4 [E'V].
Если в системе К отсутствует магнитное поле (Н' = 0),
то в системе К
H = 1[VE],
Если же в системе А7 отсутствует электрическое поле
(Е' = 0), то в системе К
е=-4 [VH],
В системе отсчета К напряженности электрического
и магнитного полей взаимно перпендикулярны. Наоборот,
при взаимной перпендикулярности напряженностей элек-
трического и магнитного полей в некоторой системе
IV.13.8] ИЗЛУЧЕНИЕ ВАВИЛОВА - ЧЕРЕНКОВА 491
отсчета А, существует такая система отсчета /С, в ко-
торой электромагнитное поле имеет одну составляю-
щую— оно либо чисто электрическое, либо чисто маг-
нитное. Скорость И этой системы определяется по пре-
дыдущим формулам.
8. Излучение Вавилова —Черенкова
1° Согласно специальной теории относительности, ско-
рость v движения электрона не может превосходить
с — скорость света в вакууме: $ = v/c<z 1. При движении
электрона (или другой заряженной частицы — протона,
мезона и т. д.) в среде с показателем преломления п (стр.536)
его скорость v может оказаться больше фазовой скорости
света с/п в данной среде (стр. 536), т. е. c/n<v<c.
В этом случае наблюдается электромагнитное излучение,
которое называется свечением Вавилова—Черенкова.
Излучение «сверхсветового» электрона аналогично
ударным звуковым волнам Маха, возникающим при дви-
жении тел со скоростями, превышающими фазовые ско-
рости упругих волн в данной среде (стр. 522).
2° Излучение электрона заключено внутри конуса,
образующие которого составляют с направлением, вдоль
которого движется электрон, угол 0:
C0S & = л₽ + » 0 — >
где 3 = vicy п—показатель преломления среды, А = Л/тсг—
длина де-бройлевской волны движущегося электрона
(стр. 642), X — длина волны излучаемого света.
Излучение возможно при условии 3 п > 1 (у>с/п)
и ограничено со стороны малых длин волн значением
Хмин, при котором cos$=l. Энергия, излучаемая элек-
троном в единицу времени, равна
ш макс
dE _ e2v Г Г1 1 Л /1 1 \
dt с2 J w L1 игра «а)
О
-£(1-ЙЬ
где «о = 2тк?/пХ — циклическая частота излучения (о>макс ==
= 2т1С/цХмин).
492 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ |IV.i8
В нерелятивистском случае (г//с<1) условие ?п>1
означает, что п>> 1. В пренебрежении квантовыми поправ-
ками (отдачей, получаемой электроном при излучении)
Д/Х —0 и предыдущие формулы упрощаются:
“макс
о
40макс определяется из условия (<омакс) = 1, где
п (шмакс) учитывает дисперсионную зависимость п от w
стр. 606).
9. Явление Доплера в оптике
Г Явлением Доплера в оптике называется изменение
частоты световых волн, воспринимаемых наблюдателем,
вследствие взаимного движения наблюдателя и источника
(явление Доплера в акустике см стр 511).
2° Если источник и приемник световых волн движутся
равномерно по отношению к инерциальной системе от-
счета (стр 32), то наблюдаемая частота света v связана
с частотой v0, наблюдаемой в этой системе при непо-
движных источнике и наблюдателе, соотношением
К7!?
v = W0 --~»
I -f- cos 0
где & — угол между линией наблюдения и направлением
движения источника относительно наблюдателя, измерен-
ный в системе координат, связанной с наблюдателем,
v — абсолютная величина скорости относительного дви-
жения источника, с — скорость света в вакууме.
3° При & = те/2 или Зте/2 и V/c < 1 v = w0 и эффект
Доплера не наблюдается. Если 0 = 0 (взаимное удаление
источника и наблюдателя), то v о0, X > Хо — имеет мес-
то ^красное смещение* спектра видимого света.
Если 0 = те (взаимное сближение источника и наблю-
дателя), то v > v0, А < Хо — происходит ^.фиолетовое сме-
щение* спектра видимого света.
IV.iMl ЯВЛЕНИЕ ДОПЛЕРА В ОПТИКЕ
493
4е При эффект Доплера наблюдается и при
8 = к/2 или Зк/2:
(поперечный эффект Доплера). Обнаружение его на
опыте явилось одним из подтверждений теории относи-
тельности.
5° При v/c^\ эффект Доплера не наблюдается в
направлениях, для которых cosft =------— (1 - 1 —0*)~
где р = V/C.
ОТДЕЛ V
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
ГЛАВА I
ОСНОВЫ АКУСТИКИ
1. Введение
Г Волнами называются распространяющиеся в ве-
ществе или поле возмущения какой-либо физической ве-
личины, характеризующей состояние этого вещества или
поля.
Упругими волнами называются распространяющиеся
в упругой среде механические возмущения (деформации).
Внешние тела, вызывающие эти возмущения в среде, на-
зываются источниками волн. Распространение упругих
волн состоит в возбуждении колебаний все более и
более удаленных от источника волн частиц среды.
Важнейшее отличие упругих волн в среде от любого
другого упорядоченного движения ее частиц состоит в том,
что при малых возмущениях (линейное приближение)
распространение волн не связано с переносом вещества *).
2° Упругая волна называется продольной, если коле-
бания частиц среды происходят в направлении распро-
странения волны. Упругая волна называется поперечной,
если частицы среды колеблются в плоскостях, перпенди-
кулярных к направлению распространения волны.
Поперечные волны могут возникать только в такой
среде, которая обладает упругостью формы, т. е. способна
сопротивляться деформации сдвига (стр.270).Этим свойст-
вом обладают лишь твердые тела. Продольные волны
связаны с объемной деформацией среды. Поэтому они
могут распространяться как в твердых телах, так и в
жидких или газообразных средах. Исключением из этого
правила являются поверхностные волны, образующиеся
на свободной поверхности жидкости или на поверхностях
i) В случае сильных возмущений имеет место малый перенос ве-
щества, вызванный нелинейным характером колебаний частиц среды.
V.1.2] СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКОВЫХ волн 495
раздела несмешивающихся жидкостей. При этом частицы
жидкости одновременно совершают продольные и попе-
речные колебания, описывая эллиптические или более
сложные траектории. Особые свойства поверхностных
волн объясняются тем, что в их образовании и распро-
странении определяющую роль играют силы тяжести и по-
верхностного натяжения.
3° Звуковыми или акустическими волнами называются
распространяющиеся в упругой среде слабые возмуще-
ния — механические колебания с малыми амплитудами.
Раздел физики, в котором рассматриваются свойства зву-
ковых волн, закономерности их возбуждения, распро-
странения и действия на встречные препятствия, называется
акустикой.
2. Скорость распространения звуковых волн
(скорость звука)
1° Скорость волн в жидкостях и газах равна
где К — модуль объемной упругости (стр. 268), р — плот-
ность невозмущенной среды. Процесс деформации жидко-
сти или газа при распространении в них звуковых волн
может считаться адиабатным (стр. 136). Для идеального газа
модуль объемной упругости в адиабатном процессе 7<=хр,
где р — давление невозмущенного газа, х—показатель
адиабаты (стр. 147). Скорость звуковых волн в идеальном
газе равна
с = |А | = /ЙТГ,
где Т—абсолютная температура газа, В—удельная га-
зовая постоянная (стр. 137).
2° В изотропной твердой среде скорость поперечных
волн равна
где G — модуль сдвига, р — плотность; скорость продоль-
ных волн равна
Со - ]/ - I 20 = Vе
2 V р V р (l-j-|x)(l — 2|х) ’
где Е— модуль Юнга (стр. 268), ц — коэффициент
496 ОСНОВЫ АКУСТИКИ fV.l
Пуассона (стр. 269). В твердых средах скорость продольных
волн всегда больше скорости поперечных волн.
Скорость продольных волн в тонком длинном стержне:
3° В анизотропных твердых телах упругие свойства
неодинаковы по разным направлениям. Поэтому скорости
продольных и поперечных волн зависят от направления
их распространения, а для поперечных волн — также от
их поляризации, т. е. от ориентации плоскости, проведен-
ной через вектор скорости волны и вектор смещения ча-
стиц среды в рассматриваемой точке (эта плоскость назы-
вается плоскостью колебании).
3. Волновое уравнение
Г Теорема Гельмгольца', всякое однозначное и не-
прерывное векторное поле F, обращающееся в нуль в
бесконечности, может быть представлено, и притом единст-
венным образом, в виде суммы градиента некоторой ска-
лярной функции ф и ротора некоторой векторной функ-
ции А, дивергенция которой равна нулю:
F = grad + rot A, divA = 0.
Функция ср называется скалярным потенциалом поля F,
а функция А — векторным потенциалом этого поля.
2° В случае акустических волн в твердых средах ска-
лярный потенциал ср векторного поля смещений S частиц
среды из положений их равновесия характеризует про-
дольные упругие волны и удовлетворяет следующему
дифференциальному уравнению, называемому волновым
уравнением:
дх* ' ду* ' dz* ~ с2 ^2 ’ ь с2 d/2 ,
ИЛИ
□?-0,
где с8 — скорость продольных волн (стр. 495), Д — опера-
тор Лапласа, □ = Д — ~ ~ — оператор Даламбера.
Векторный потенциал А характеризует поперечные
упругие волны и удовлетворяет дифференциальному
V.1.3] волновое УРАВНЕНИЙ 497
уравнению
4 1 даА д 4 I д*А
rot rot А = — ыъ , или ДА = ,
где Ct — скорость поперечных волн (стр. 495).
3* Акустические волны в жидкостях и газах х) харак-
теризуются скалярным потенциалом ср скоростей v' ко-
лебательного движения частиц среды (стр. 300): v' = grad ср.
Из уравнения неразрывности (стр. 304) и уравнений
движения (стр. 304) следует, что для акустических волн,
распространяющихся в неподвижной однородной безгра-
ничной идеальной жидкости (стр. 297), на которую не дейст-
вуют массовые силы (стр. 297), потенциал ср удовлетворяет
волновому уравнению
дх* ’ ду* • dz* с* dt* ' с* dt* »
где с — скорость распространения волн (стр. 495). Такому
же уравнению удовлетворяет каждая из компонент век-
тора V'.
4° Давление р' в жидкости, избыточное над равновес-
ным, связано с ср соотношением
. дъ
Р
где р—равновесная плотность жидкости. Давление р'
удовлетворяет волновому уравнению
Л , 1 д*р>
&Р — с* dt* *
5е Отклонение р' плотности жидкости от равновесно-
го значения равно
п, _ р'_____р &Р
Р ~~ с* с* dt ’
причем для р' также справедливо волновое уравнение
А , 1 <?2р'
ДР с* dt* ‘
6° Продольная волна называется плоской, если потен-
циал ср и другие величины, характеризующие волновое
движение среды, зависят только от времени и одной из
пространственных декартовых координат, например от х.
х) В дальнейшем под словом «жидкость» понимаются также и газы,
которые в механике сплошных сред рассматриваются как сжимаемые
жидкости.
Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
498 ОСНОВЫ АКУСТИКИ [V.I
Волновое уравнение для продольной плоской волны:
_ 1
dx2“C2 dt*'
Его общее решение выражается следующим образом:
? =/1 (ct — х) +/2 (ct + х),
где ft и /2— произвольные функции, причем fi(ct— х) —
потенциал для плоской волны, распространяющейся вдоль
положительного направления оси Ox, a fs(ct-\-x)—
потенциал для плоской волны, распространяющейся
в противоположном направлении. Обе эти волны, в отли-
чие от стоячих волн (стр. 508), называются бегущими вол-
нами.
Т В продольной бегущей плоской волне — х)
вектор смещения частиц среды S = Si, где i — орт оси
Ox, a S — алгебраическое значение смещения, удовлетво-
ряющее волновому уравнению:
d*S
дх* с s д** .
В жидкости скорость v' колебательного движения ча-
стиц среды связана с избыточным давлением р' и измене-
нием плотности р' соотношениями
. > , pv'
P' = pcv И =
Произведение ре плотности среды на скорость распро-
странения в ней продольных волн называется акустическим
или волновым сопротивлением среды.
8° Продольная волна называется сферической, если
потенциал <р и другие величины, характеризующие вол-
новое движение среды, зависят только от времени и рас-
стояния г от некоторой точки пространства, называемой
центром волны. Сферические волны возбуждаются в од-
нородной и изотропной среде точечным источником волн —
колеблющимся телом, размеры которого малы по срав-
нению с расстоянием до рассматриваемых точек среды.
Волновое уравнение для продольной сферической
волны:
J д [ 2 dy \ 4 д*<?
г* дг у dr )= с2 dt* .
Его общее решение имеет вид:
? = 4-/*^- >•)+4/> (<*+и.
¥.1.4] ПРОДОЛЬНЫЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ 499
где/! и /2 — произвольные функции, причем —fi (ct—г) —
потенциал для расходящейся сферической волны, а
-i- /2 (ct + г) — потенциал для сферической волны, сходя-
щейся к центру.
9е Принцип суперпозиции волн', если в среде одно-
временно распространяется система п различных волн, опи-
сываемых скалярными потенциалами <pi,..., и вектор-
ными потенциалами АхАл, то потенциалы <р и А ре-
зультирующей волны равны суммам соответствующих
потенциалов всех волн системы:
п п
(р = £ и А = £ А;.
fe 1 je= ]
Иными словами, каждая из волн распространяется в среде
независимо от других, т. е. так, как если бы их не было.
Результирующая скорость, смещение и ускорение каждой
частицы среды равны векторным суммам соответствую-
щих величин, обусловленных каждой из волн порознь.
4. Продольные синусоидальные волны
Г Уравнением продольной волны называется зависи-
мость от координат и времени потенциала скорости
возмущенного движения среды или какой-либо другой
величины, однозначно характеризующей это движение.
2° Продольная волна называется синусоидальной (гар-
монической), если колебания частиц среды являются гар-
моническими с одинаковыми циклическими частотами
(стр. 97), так что
= а (х, у, z) sin [coZ — а (х, у, г)],
причем функции координат а и а удовлетворяют следую-
щим дифференциальным уравнениям:
-f- kta^ = О и Да8 + №а2 = 0,
где at = a cos а, а2 = a sin а, k — а/с — волновое число,
с — скорость волны. <й — циклическая частота волны.
Функция а(х,у, z) называется амплитудой волны,
функция Ф (х, у, z,t) — at — а (х, у, z) называется фазой
волны, а а(х,у, z) — начальной фазой волны.
Для синусоидальной волны справедливо уравнение
Гел ъмголъца
Д<р + &яср = 0.
32*
500 ОСНОВЫ АКУСТИКИ I V.I
3° Волновой поверхностью, или фронтом волны назы-
вается геометрическое место точек среды, в которых
в рассматриваемый момент времени фаза волны имеет
одно и то же значение. Различным значениям фазы соот-
ветствует семейство волновых поверхностей. Б том слу-
чае, когда в среде распространяется кратковременное
возмущение, фронтом волны называется граница между
возмущенной и невозмущенной областями среды.
Уравнение семейства волновых поверхностей имеет
вид:
со/ - а = С,
где С — константа, играющая роль параметра.
Волновые поверхности непрерывно перемещаются
в среде и, вообще говоря, при этом деформируются.
В случае однородной и изотропной среды скорость каж-
дой точки волновой поверхности направлена по нормали
к поверхности и численно равна скорости волны с (стр. 495),
называемой фазовой скоростью волны.
4° Волновые поверхности плоской волны (стр. 497)
представляют систему параллельных плоскостей. В одно-
родной изотропной среде волновые поверхности плоской
волны перпендикулярны к направлению распространения
волны (направлению переноса энергии), называемому
лучом. В анизотропных средах угол между лучом и вол-
новой поверхностью равен 90е лишь для некоторых, вполне
определенных направлений распространения плоской
волны.
Уравнение плоской синусоидальной волны, распростра-
няющейся вдоль • положительного направления оси Ох,
имеет вид:
= a sin (со/ — kx а0),
а для волны, распространяющейся в противоположном
направлении:
ср = a sin (со/ + kx + а0),
где а0 — начальная фаза колебаний точек среды, при-
надлежащих координатной плоскости yOz. Если волна
распространяется в идеальной среде, лишенной внутреннего
трения и теплопроводности, то амплитуда волны а = const.
5° Характеристикой синусоидальной волны является
длина волны X, равная расстоянию между двумя ближай-
шими точками среды, для которых разность начальных
V.I.4) ПРОДОЛЬНЫЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ 501
фаз волны равна 2к:
' 2к — с
где Г = 2те/ю — период волны, v = 1 /Г — частота волны.
6е Экспоненциальная форма записи уравнения плоской
синусоидальной волны:
? = /И<кг) -
где А = aeia — комплексная амплитуда, а = -------а0,
к = у п — волновой вектор, п — единичный вектор,
указывающий направление распространения волны, г — ра-
диус-вектор, проведенный в рассматриваемую точку
среды, i =
Экспоненциальная форма записи удобна для диффе-
ренцирования в волновых линейных уравнениях. Однако
физический смысл имеет только вещественная часть
экспоненциального выражения:
? = Re { Д Л(кг) - }
(символ Re означает вещественную часть комплексного
выражения), к которой переходят при нахождении физи-
ческих величин.
7е Произвольная волна может быть представлена в виде
совокупности плоских синусоидальных волн с различными
волновыми векторами, частотами, амплитудами и началь-
ными фазами. Такое представление основано на возмож-
ности разложения периодической функции в ряд Фурье
или выражения непериодической функции с помощью
интеграла Фурье (стр. 610), а также на принципе суперпози-
ции волн (стр. 499). Совокупность синусоидальных волн, в ре-
зультате наложения которых получается рассматриваемая
волна, называется спектром последней. Совокупность
значений амплитуд и частот этих синусоидальных волн
называется соответственно спектром амплитуд и спек-
тром частот.
8° Волновые поверхности сферической волны (стр. 498)
представляют собой систему концентрических сфер. Урав-
нение расходящейся синусоидальной сферической волны:
? — у sin (W — kr 4- а0),
где «о—начальная фаза колебаний источника волн
502
ОСНОВЫ АКУСТИКИ
IV.l
сферической
г — расстояние от источника, а0 — амплитуда колебаний
в точках среды, находящихся на расстоянии r0 = 1.
В экспоненциальной форме уравнение
волны имеет вид:*
а=Т “ ао>
2
где ~ е** — комплексная амплитуда,
/=1^—1. Везде, кроме особой точки г = 0, функция
удовлетворяет волновому уравнению Дер + k2y = 0.
9° Волна называется цилиндрической, если ее волно-
вые поверхности имеют вид круговых цилиндрических
поверхностей с общей осью симметрии. Вдали от этой оси
уравнение расходящейся цилиндрической волны имеет
вид:
sin (со/ — kR + ао),
V R
где R— расстояние от оси, а0 и а0 — постоянные вели-
чины, k = 2тс/Х — волновое число. В экспоненциальной
форме:
<р = А----——
VR
A cxq 1 а к
где -т= = —комплексная амплитуда, a=-s-----а0.
у R v R •
5. Энергия акустических волн
Г Объемной плотностью w энергии среды называется
предел отношения энергии ДМ7 среды, заключенной
в объеме ДИ, к величине этого объема при ДИ, стремя-
щемся к нулю:
W = 11Ш --тт-.
AV-0 ди
2° Объемная плотность энергии акустических волн
в жидкости равна разности между объемными плотнос-
тями энергии жидкости в возмущенном и невозмущен-
ном состояниях. Она выражается следующей формулой:
где р — плотность невозмущенной жидкости, с - ско-
V.1.5]
ЭНЕРГИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН
503
рость волны, V' — скорость колебательного движения
частиц жидкости. Первый член представляет собой объем-
ную плотность кинетической энергии частиц жидкости,
а второй — объемную плотность потенциальной энергии
деформации жидкости.
3° В случае продольной плоской волны (стр. 497)
,2 с2р'2 ,2
pt, — __Г_ и w — е
Если плоская волна является синусоидальной, т. е.
— a sin (tot — kx + а0), то
w == р&2 a2 cos2 (tot — kx + а0) = po)2 a2 cos2 (tot — kx + а0)
где as = afc—амплитуда колебаний частиц среды.
Для произвольной продольной волны
,2 с2 ,2 — ,2
р-у = — р' И W = pV ,
где
__ т ____ т т
V'9 = у- v'*dt, р'2 == ~ ^ p’*dt и w = у w dt
ООО
— средние значения в интервале времени, равном пе-
риоду Т волны.
4° Распространение волн в неограниченной упругой
среде представляет собой вовлечение в колебательное дви-
жение все более и более удаленных от источника волн
областей среды. На это необходимо затрачивать энергию,
доставляемую источником волн и передаваемую от одних
участков среды к другим.
Закон сохранения энергии:
-^ + divU = 0,
где U=p'v' — вектор плотности потока энергии акусти-
ческих волн (вектор Умова); р' — давление в жидкости,
избыточное над равновесным. Для плоской волны
U = wc = pv'2ct где с — вектор скорости распространения
волны.
5° Интенсивностью I акустической волны (силой
звука) называется количество энергии, переносимой вол-
ной за единицу времени сквозь единицу площади по-
верхности, нормальной к направлению распространения
504 ОСНОВЫ АКУСТИКИ |V.I
волны:
/
/«ЯП =*p'|v' | « -L ^р' |v'|rft
о
Интенсивность синусоидальной волны (стр. 499) про-
порциональна квадрату ее амплитуды:
/ = Igrad а| а2 = -^^ck |grad <х| а2,
где k-=<&ic — волновое число. Для плоской и сферичес-
кой синусоидальных волн |grad а| = k и
/ = у pck2a‘ = у т а>‘а>' 6 7 * = 7Г -
где р„ = J- р'2 = ]/ р 9макс/2 — среднеквадратичное (эф-
фективное) звуковое давление синусоидальной волны,
/>'макс — амплитуда избыточного давления среды, обус-
ловленного волновым движением последней.
6° Потоком энергии волны сквозь некоторую поверх-
ность S называется количество энергии Ф, передаваемой
сквозь эту поверхность за единицу времени:
Ф = р</5созЗ = \ldSn<
s s
где р — угол между нормалью к площадке dS и направ-
лением распространения волны, dSn — dS cos Р — площадь
проекции площадки dS на плоскость, перпендикулярную
к направлению распространения волны (dSn < 0 при тс/2 <
< р <С Зк/2).
6. Отражение и преломление продольных
акустических волн (в отсутствие
дифракционных явлений)
1* Если акустическая волна, распространяющаяся в
некоторой среде /, достигает границы раздела этой сре-
ды с другой средой 2, то возникают отраженная и пре-
ломленная волны. Отраженной называется волна, рас-
пространяющаяся от границы раздела в той же среде /,
i.to и первичная (падающая) волна. Преломленной назы-
'1ается волна, распространяющаяся во второй среде.
V.I.6] ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН 505
Углом падения называется угол i (рис. V.I.I.) между
направлением распространения падающей волны (падаю-
щим лучом SO) и перпендикуляром ON к поверхности
раздела двух сред в рассматриваемой
точке падения О. Углом отражения
называется угол V между направле-
нием распространения отраженной
волны (отраженным лучом OS') и
перпендикуляром ON. Углом пре-
ломления называется угол г между
направлением распространения пре-
ломленной волны (преломленным
лучом OS") и перпендикуляром ОМ.
2° Законы отражения'.
Рис. V. 1.1.
а) отраженный луч лежит в одной
плоскости с падающим лучом и нормалью к поверхности
раздела сред, проведенной в точке падения;
б) угол отражения равен углу падения: i' = i.
3° Законы преломления'.
а) преломленный луч лежит в одной плоскости с па-
дающим лучом и нормалью к поверхности раздела сред,
проведенной в точке падения;
б) отношение синуса угла падения к синусу угла пре-
ломления равно отношению скоростей волн в первой и
второй средах:
sill I ____ Cl
sin г с2
где n2i — показатель преломления второй среды по
отношению к первой (относительный показатель пре-
ломления).
4° Соотношения между амплитудами и фазами падаю-
щей, отраженной и преломленной волн определяются гра-
ничными условиями: на поверхности раздела двух
жидких сред должны быть одинаковы значения избыточ-
ных давлений в обеих средах, а также значения нормальных
компонент скоростей колебательного движения частиц.
Для плоских волн и плоской границы раздела имеют
место следующие соотношения (в отсутствие поглощения):
Р1(Л + Л'1) = М». =
где и Да — комплексные амплитуды потенциалов
скорости для падающей, отраженной и преломленной волн,
506
ОСНОВЫ АКУСТИКИ
(V.I
i и г — углы падения и преломления, pt и р2 — плотности
сред, Ci и с2 — скорости волн в этих средах;
Д' = P2g2 cos * — Pic* cos r Д Д — 2Pic2 cos i д
1 pac3 cos i 4- pjci cos r 8 р3с3 cos i + pjcj cos г ъ
ИЛИ
Д2
P2 I Ctgr
Pl ctg i
Если pi = p2, to = 'j" + 2 . Если ptc? = paci (одинако-
вы упругости сред), то 31 = ~ .
5° Отраженная плоская волна полностью отсутствует
при условии
ctt?» I - ЙЙ-1 - (*-<$ Pi
S (P*y_(£iy ~ (P2^2)a - (Pld)8 ’
которое осуществимо, когда > c2, a p2^2 > pi^i или, на-
оборот, Ci < c2, a P2C2 <PiCi- В случае нормального паде-
ния (i = г = 0) A't = 0, если р2е2 = Pi<?i-
6° Преломленная плоская волна полностью отсутст-
вует, если с2 > Ci и i > /пр, где /пр — предельный (кри-
тический) угол, определяемый из соотношения
Sin Znp =
Это явление называется полным внутренним отраже-
нием.
Т Фазовые соотношения для случая нормального па-
дения плоской волны на плоскую границу раздела сред.
Если p2Cs > pi^i, то на границе раздела сред разность фаз
между отраженной и падающей волнами равна нулю для
потенциалов скорости (их амплитуды А[ и Ai совпадают
по знаку) и избыточных давлений и равна тс для скорос-
тей колебательного движения частиц среды.
Если р2с2 <Р1С1,то на границе раздела сред разность фаз
между отраженной и падающей волнами равна тс для по-
тенциалов скорости (их амплитуды A'i и Д1 противопо-
ложны по знаку) и для избыточных давлений; она равна
нулю для скоростей колебательного движения частиц
среды.
V.1.6] ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН 507
Разность фаз для любых однородных величин в пре-
ломленной и падающей волнах равна нулю на границе
раздела сред независимо от свойств этих сред и вели-
чины угла падения.
8° Коэффициентом отражения R называется отноше-
ние интенсивностей отраженной и падающей волн. Для
плоской волны
Я == 1Л'112 s ( Р2^г ~ Pite* V в (Р2С2 cos / — pl Kci - chins j
l^ll2 \ P2tgr4-pitgZ/ \P2C2 COS £ + Pi c2 sina/y
В случае нормального падения
Р2С2 — PlCl [
Р2С2 + Р1с1/
Если р8с2 > p^i или piCi > р2С2, то 1.
Коэффициентом прохождения D называется отноше-
ние интенсивностей преломленной и падающей волн. Для
плоской волны
ГА__ Р2С1 |А212_ 4pip2cic2 ________
Р1с2 |А1|2 - ( cosr\2“
__ _____________4pjC!_____________
Р2С2 ГI + —£1— У (£1V - Sins/l 8
[ P2C0SX г \с2/ J
Из закона сохранения энергии следует, что в отсут-
ствие поглощения
В случае нормального падения D-f-7?=l.
Коэффициент К не изменяется по величине при обра-
щении направления распространения волны, т. е. он
одинаков для случаев падения плоской волны под углом i
из первой среды на границу со второй и падения плос-
кой волны под углом г из второй среды на границу с
первой.
9° Давление р, производимое плоской волной на по-
верхность раздела двух сред, равно:
а) наклонное падение (/^0)
Р = [(1 + R) ctg I — (1 - /?) ctg г] sin 2/;
508
ОСНОВЫ АКУСТИКИ
(V.1
б) нормальное падение (/ = 0)
р (Pici)2 4~ (р2са)3 — 2Pip3gi
V Ci (Р1С1 -I- Раса)9
где Д = — интенсивность падающей волны, Ci — ско-
рость этой волны, Wi — средняя объемная плотност ь
энергии падающей волны.
10° При отражении сферической волны от плоской
границы раздела двух сред отраженная волна также
является сферической с центром в точке О\ симметрич-
ной относительно плос-
кости раздела МА цент-
ру О падающей волны
фис. V. 1.2). Амплитуда
отраженной волны обрат-
но пропорциональна рас-
стоянию от точки О’.
Если ся > сь то на-
ряду с отраженной сфе-
рической волной в пер-
вой среде распростра-
няется также боковая
волна. Волновые поверх-
ности боковой волны
17Z
Рис. V. 1.2.
представляют собой усеченные конические поверхности,
оси которых совпадают с перпендикуляром 00', а обра-
зующие АВ касаются соответствующих волновых поверх-
ностей отраженной волны и образуют с плоскостью MN
угол 7, удовлетворяющий условию sin7=Ci/cs. Ампли-
туда боковой волны в произвольной точке С зависит
от LOOC и обратно пропорциональна квадрату рас-
стояния г' = О'С.
7. Стоячие волны
Г Стоячей волной называется волна, возникающая
в результате наложения двух волн, распространяющихся
во взаимно противоположных направлениях и удовлет-
воряющих следующим условиям: частоты волн одинако-
вы, амплитуды являются одинаковыми функциями коор-
динат. В случае поперечных волн необходима также
одинаковая поляризация обеих волн (стр 496). Возникно-
вение стоячих волн является частным случаем явления
интерференции волн (стр. 545).
V.1.7] СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 509
2* Плоская продольная стоячая волна возникает, на-
пример, при наложении падающей и отраженной плоских
волн, если угол падения равен нулю и коэффициент от-
ражения 7? = 1, т. е. если отражение происходит от
среды с очень большим или очень малым акустиче-
ским сопротивлением (стр. 507).
Уравнение плоской продольной синусоидальной стоячей
волны, возникающей при наложении прямой волны
= a sin (<о£ — kx + ®i) и обратной волны = a sin (<о£ -f-
+ kx + а8), имеет вид:
? = 2а cos 2 — kx^ sin + °4 у** j •
3е Амплитуда аст плоской стоячей волны является
периодической функцией координаты х и не зависит от
времени:
I/ ® 1 — ®2 \ I
COS I —2 — I Ь
Точки пространства, в которых «ст = 0, называются
Узлами стоячей волны, а точки, в которых ост имеет
максимальное значение (аст) макс = 2а, называются пучно-
стями стоячей волны. Для узлов — kx =
= (2т + 1) , для пучностей ** 2g~ — kx = 2т % , где
т == 0; -4- 1; 2*...
4° Длиной стоячей волны Хст называется расстояние
между двумя соседними узлами или пучностями:
п X
ХСт = k = 2 >
где X — длина бегущих волн. Расстояние между соседними
узлом и пучностью равно Хст/2 = Х/4. Узлы скорости
и смещения частиц жидкости совпадают с пучностями
потенциала скорости и давления.
5° В стоячей волне все частицы среды, находящиеся
между двумя соседними узлами, колеблются в одной и той
же фазе, но с разными амплитудами. При переходе через
узел фаза колебаний скачкообразно изменяется на те, так
как меняется знак cos — kx} .
6° В отличие от бегущих волн, в стоячей волне отсутст-
вует перенос энергии. Это, в частности, проявляется в том,
что положения в пространстве узлов и пучностей не
510
ОСНОВЫ АКУСТИКИ
[V.I
изменяются с течением времени (поэтому такие волны и
называются стоячими). Отсутствие переноса энергии стоя-
чей волной является следствием того, что образующие эту
волну прямая и обратная волны переносят энергию в рав-
ных количествах и в противоположных направлениях.
7° Стоячая сферическая волна возникает при наложе-
нии расходящейся и сходящейся гармонических сфери-
ческих волн:
<pi = у- sin (tot — kr + «О и sin (tot + kr + a8).
Уравнение этой волны имеет вид:
ср = -^ COS g a? — kr\ Sin (tot -|-
Условия для узлов и пучностей:
«i-a2 kr __
2 Rr ~
(2т + 1) узлы,
п (т=0;±1;±2;...).
2т 2 — пучности
8е Если жидкость заполняет ограниченную часть про-
странства, то частбты ее свободных колебаний (стр. 99)
могут принимать бесконечный ряд определенных дискрет-
ных значений, называемых собственными частотами. В этом
случае в жидкости возникает сложная система стоячих
волн, которая существенным образом зависит от формы
и размеров сосуда.
Ниже указаны значения собственных частот колебаний
для некоторых частных случаев.
а) Цилиндрический столб газа в трубе длиной Z. Если
. х тс
оба конца трубы закрыты или открыты, то v = 27*; если
один, конец трубы закрыт, а другой открыт, то \ =
= (2т— 1) 4? (т = 1, 2, 3,..., с—фазовая скорость волн
в газе).
б) Жидкость в сосуде, имеющем форму прямоуголь-
ного параллелепипеда со сторонами a, b и d\
М — S ]/~т2 | /г2 | рЗ
— 2 V Та + *2 + ’
где т, пир — произвольные целые числа.
V.1.9] ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН 511
в) Наименьшая собственная частота для резонатора
с длинной тонкой трубкой:
мин ~ 2тс у IV'
где V — объем полости резонатора, S — площадь попереч-
ного сечения трубки, I — длина трубки (/>>а5, где as —
амплитуда колебаний газа в трубке).
8. Явление Доплера
Г Явлением Доплера называется зависимость частоты
волн, воспринимаемой приемником, от скоростей движе-
ния источника волн и приемника по отношению к среде,
в которой распространяется волна. Если источник волн,
колеблющийся с частотой v0, движется относительно
среды со скоростью иъ а наблюдатель — со скоростью и2,
то частота v, воспринимаемая наблюдателем, равна
1 - cos еа
г Л
где с — скорость волн в неподвижной среде, 0t— угол
между вектором их и волновым вектором к (стр. 501),
проведенным в точке нахождения наблюдателя в рассма-
триваемый момент времени, а 02— угол между векто-
рами и2 и к.
2° В том случае, когда tti/c<l и м2/с<1, справед-
лива приближенная формула
v = Vo ^1 —— COS в
где и — относительная скорость источника и приемника
(u = Ui—и2), в — угол между векторами пик.
Если источник и наблюдатель сближаются, то
— 7t/2 < 0 < 7t/2, cos 0 > 0 и v > v0; если источник и наблю-
датель удаляются друг от друга, то те/2 < 0 < Зтг/2,
cos 0 < 0 и v < v0.
Явление Доплера в оптике см. на стр. 492.
9. Поглощение и рассеяние звуковых волн
Г Распространение звуковых волн в однородной
среде сопровождается диссипацией энергии (стр. 62),
обусловленной внутренним трением и теплопроводностью.
Это явление называется поглощением звуковых волн.
512 ОСНОВЫ АКУСТИКИ (V.I
Амплитуда а и интенсивность / плоской волны, рас-
пространяющейся вдоль положительного направления
оси Ох, зависят от х по экспоненциальному закону:
а (х) = аое~1* и I (х) = /о*-21**,
где а0 и /о — амплитуда и интенсивность в точках х = О
7 — коэффициент поглощения звука, который пропорцио-
нален квадрату циклической частоты <л звуковой волны
и для данной жидкости или газа зависит только от их
температуры и плотности. Указанные соотношения для
а(х) и I (х) справедливы при условии 7С/ш<<1, т. е.
при малом относительном уменьшении амплитуды волны
на расстоянии, равном длине волны.
2° Сильное поглощение происходит при отражении
звуковой волны от твердой стенки. Оно обусловлено
тем, что вблизи стенки градиенты температуры и каса-
тельной к стенке составляющей скорости частиц жидко-
сти или газа (при наклонном падении звуковой волны)
значительны по величине.
Доля энергии, поглощаемой при отражении звуковой
волны от твердой стенки, равна
[/7Sin’/+ (4е-- 0/Л.
W с cos I [ Г 1 X С у ' f | ’
где и с — циклическая частота и скорость падающей
звуковой волны, i— угол падения, ср и с у—удельные
теплоемкости жидкости в изобарном и изохорном про-
цессах, v и а — кинематическая вязкость (стр. 305) и коэф-
фициент температуропроводности (стр. 313) жидкости
или газа. Эта формула справедлива, если i к/2, аку-
стическое сопротивление стенки много больше акусти-
ческого сопротивления жидкости (газа) и температура
стенки постоянна.
3° Затухание звука в закрытых помещениях после
прекращения действия источника звука характеризуется
временем реверберации, равным промежутку времени,
в течение которого объемная плотность энергии звуко-
вых волн уменьшается в 10е раз по сравнению с ее пер-
воначальным значением.
4° Рассеянием звука называется процесс преобразова-
ния звуковой волны в множество волн, распространя-
ющихся во всевозможных направлениях. Рассеяние звука
возникает в результате взаимодействия звуковой волны
V.1.101 ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИОЛОГИЧЕСКОЙ АКУСТИКИ 513
с встречающимися на ее пути многочисленными препят-
ствиями.
Отношение а мощности рассеянных волн к интен-
сивности исходной (падающей на препятствие) волны
называется полным эффективным сечением рассеяния
звука. Препятствие, размеры которого малы по сравне-
нию с длиной звуковой волны, рассеивает падающую
на него волну равномерно по всем направлениям, причем
<т оо со4, где со — циклическая частота падающей волны.
10. Элементы физиологической акустики
Г Звуковые волны, частоты которых заключены в пре-
делах от 16 до 20 000 гц, называются слышимыми зву-
ками, так как, воздействуя на органы слуха человека,
они способны вызывать звуковые ощущения (см. также
п. 3°). Звуковые волны с частотами ^<16 гц называются
инфразвуковыми, а волны с частотами > 2 -104 гц — уль-
тразвуковыми.
2° Характер восприятия звука органами слуха зави-
сит от его спектра частот (стр. 501). Шумы обладают
сплошным спектром, т. е. частоты содержащихся в них
простых синусоидальных волн образуют непрерывный
ряд значений, целиком заполняющих некоторый интер-
вал. Музыкальные (тональные) звуки обладают линейча-
тым спектром частот: частоты \z- входящих в их со-
став синусоидальных волн образуют ряд дискретных
значений.
Каждая синусоидальная звуковая волна называется
тоном (простым тоном). Высота тона зависит от час-
тоты: чем больше частота, тем выше тон. Основным
тоном сложного музыкального звука называется тон,
соответствующий наименьшей частоте в его спектре.
Тоны, соответствующие остальным частотам спектра,
называются обертонами. Если частоты обертонов кратны
частоте v0 основного тона, то обертоны называются гар-
моническими, причем обертон с наименьшей частотой
называется первой гармоникой, обертон со следующей
по величине частотой — второй гармоникой и т. д.
Музыкальные звуки с одним и тем же основным тоном
могут различаться тембром. Тембр определяется соста-
вом обертонов — их частотами и амплитудами, а также
характером нарастания амплитуд в начале звучания и их
спадания в конце звучания
33 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
£14 ОСНОВЫ АКУСТИКИ пм
3е Мерой силы слухового ощущения является гром-
кость звука. Громкость звука зависит от его интенсив-
ности и частоты.* Порогом слышимости называется та
наименьшая интенсивность звука /0, при которой звук
еще воспринимается органами слуха. Порог слышимости
зависит от частоты звука, достигая минимального значе-
ния порядка 10~12 вт м* при частотах » = 700 4- 6000 гц.
Стандартный порог слышимости принимается рав-
ным 10’12 вт м* при v= 1000 гц.
Порогом болевого ощущения (порогом осязания) на-
зывается та наибольшая интенсивность звука, при кото-
рой восприятие звука органами слуха еще не вызывает
болевого ощущения. Если интенсивность звука превосхо-
дит эту величину, то нормальное восприятие звука ста-
новится невозможным. Порог болевого ощущения зави-
сит от частоты звука.
4° Уровнем интенсивности синусоидальной звуковой
волны называется величина £, пропорциональная деся-
тичному логарифму отношения интенсивности / этой
волны к порогу слышимости /о при частоте волны:
где k — коэффициент пропорциональности, зависящий
от выбора единиц измерения L.
Выбор логарифмической зависимости L от / основы-
вается на законе Вебера — Фехнера-. прирост силы ощу-
щения пропорционален логарифму отношения энергий
двух сравниваемых раздражений.
5° Закон Вебера — Фехнера является приближенным.
В области энергий раздражения, близких к пороговым,
он дает заметные расхождения с данными опытов. При-
менительно к физиологической акустике этот закон не-
достаточно точно учитывает также влияние частоты
звука на его громкость. Поэтому для сравнения громко-
сти звуковых волн всевозможных частот пользуются
величиной, которая называется уровнем громкости звука
и выражается следующим образом:
£* = felg-.,
где 1$ — стандартный порог слышимости, а /• — интен
V.1.11J
УЛЬТРАЗВУК
515
сивн.~ть звука стандартной частоты ^=1000 гц, равно-
громкого с исследуемым звуком. Для звуковых волн
с частотой 1000 гц уровень громкости совпадает с уров-
нем интенсивности.
11. Ультразвук
Г Ультразвуком называются упругие волны с часто-
тами от 2-104 до 1018 10й гц. Для генерирования ультра-
звуков применяются механические и электромеханические
излучатели. Примером механического излучателя низко-
частотных ультразвуков (^ = 204- 200 кгц) большой ин-
тенсивности является сирена. «Звучание» сирены является
результатом периодического прерывания мощной струи
сжатого воздуха или пара при ее прохождении через
отверстия в двух соосных дисках, один из которых
(статор) неподвижен, а другой (ротор) вращается. Частота
звука сирены = 7V со/2-л:, где со — угловая скорость ро-
тора, W—число отверстий, равномерно распределенных
по окружности статора и ротора.
Электромеханические излучатели ультразвука делятся
на два основных типа: магнитострикционные и пьезо-
электрические.
Магнитострикционные излучатели применяются для
генерирования низкочастотных ультразвуков (до 20 кгц).
Их действие основано на явлении магнитострикции (стр.442)
в переменном магнитном поле. Простейший излучатель
такого типа представляет собой ферромагнитный стер-
жень, являющийся сердечником соленоида, по которому
пропускается высокочастотный переменный ток.
Пьезоэлектрические излучатели применяются для ге-
нерирования ультразвуков с частотами до 50 Мгц. Основ-
ным элементом пьезоэлектрического излучателя является
пластинка из пьезоэлектрика, совершающая вследствие
обратного пьезоэлектрического эффекта (стр. 355) вынуж-
денные механические колебания в переменном электри-
ческом поле.
2° Для регистрации и анализа ультразвуков приме-
няются пьезоэлектрические и магнитострикционные дат-
чики. В первых используется прямой пьезоэлектричес-
кий эффект (стр. 354), который возникает в пластинке
пьезоэлектрика, совершающей вынужденные колебания
под действием регистрируемых ультразвуковых волн.
Магнитострикционные датчики основаны на явлении из-
менения индукции магнитного поля ферромагнитного тела.
33*
516 ОСНОВЫ АКУСТИКИ [V.1
при деформации этого тела. Переменная деформация фер-
ромагнитного стержня, на торец которого действует ульт-
развуковая волна, вызывает возникновение переменной
э. д. с., электромагнитной индукции в обмотке катушки,
надетой на стержень.
3е Вследствие малости длины ультразвуковой волны
ультразвуки, подобно свету, могут излучаться в виде
узких направленных пучков. Отражение и преломление
ультразвуковых пучков на границе раздела двух сред
происходит по законам геометрической оптики (стр. 568).
Для изменения направления и фокусирования ультра-
звуковых лучей применяются зеркала различной формы,
звуковые линзы, излучатели специальной формы и т. д.
Зеркала должны возможно полнее отражать ультразву-
ковые волны, поэтому их изготовляют из веществ, акус-
тические сопротивления которых во много раз больше
акустического сопротивления окружающей среды. Звуко-
вые линзы изготовляются из веществ, акустические со-
противления которых близки к акустическому сопротив-
лению среды. Собирающие (рассеивающие) свойства
звуковых линз и зеркал подчиняются тем же закономерно-
стям, что и для соответствующих оптических устройств.
4° Амплитуды скорости и ускорения колебательного
движения частиц среды, а также амплитуда звукового
давления в ультразвуковых волнах во много раз больше
соответствующих величин для слышимых звуков. Благо-
даря большой амплитуде звукового давления, создавае-
мого мощными ультразвуковыми излучателями, в жидко-
стях возникает явление кавитации — в ней непрерывно
образуются и исчезают внутренние разрывы сплошности.
Исчезновение этих разрывов, имеющих вид мельчайших
пузырьков, сопровождается кратковременным возраста-
нием давления до сотен атмосфер. Поэтому ультразвуки
обладают дробящим действием — они разрушают находя-
щиеся в жидкости твердые тела, живые организмы, круп-
ные молекулы и т. д.
5° Ультразвуки весьма сильно поглощаются газами
и во много раз слабее — жидкостями. Например, коэф-
фициент поглощения ультразвука в воздухе приблизительно
в 1000 раз больше, чем в воде. Одна из причин этого раз-
личия состоит в том, ч-то кинематическая вязкость воды
значительно меньше кинематической вязкости воздуха.
6е Ультразвуки применяются в технике для контроль-
но-измерительных целей (гидролокация, дефектоскопия,
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗАХ
517
измерение толщины стенок трубопроводов и слоя накипи
и т. д.), а также для осуществления и ускорения раз-
личных технологических процессов.
7° Принцип гидролокации сходен с принципом радио-
локации (стр. 534) и состоит в определении расстояния до
тела, находящегося в толще воды, по величине промежутка
времени между посылкой короткого ультразвукового
сигнала и приемом эхо-сигнала, возникающего в резуль-
тате рассеяния ультразвука телом. По изменению частоты
эхо-сигнала, обусловленному эффектом Доплера (стр. 511),
можно также определить лучевую скорость тела, т. е.
проекцию скорости движения тела относительно наблю-
дателя на соединяющую их прямую.
8° Ультразвуковой дефектоскопией называется обна-
ружение внутренних дефектов (трещин, раковин, неодно-
родностей структуры) в твердых телах с помощью
ультразвука. Она основана на явлении рассеяния ультра-
звуковых волн от поверхностей дефектных областей тела.
9° Дробящее действие ультразвуков используется в
различных технологических процессах: для образования
эмульсий и суспензий, снятия пленок окислов и обезжири-
вания поверхностей деталей, стерилизации жидкостей,
размельчения зерен фотоэмульсии и т. д. Разрушающее
действие кавитации жидкости на поверхность твердого
тела заметно увеличивается при введении в нее мелких
абразивных частиц. Это явление используется для ультра-
звукового шлифования и полирования, а также «сверле-
ния» отверстий различных форм в стекле, керамике,
сверхтвердых сплавах и кристаллах.
10° Ультразвуки ускоряют протекание процессов
диффузии, растворения и химических реакций. Влияние
ультразвука на ход химических реакций главным образом
обусловлено тем, что при кавитации в жидкости обра-
зуются свободные ионы. Ультразвук используется для
газоочистки, так как вызывает коагуляцию содержащихся
в газах мельчайших твердых частиц и капелек жидкости.
12. Ударные волны в газах
Iе Ударной волной называется распространение в
газообразной, жидкой или твердой среде поверхности,
на которой происходит скачкообразное повышение дав-
ления, сопровождающееся изменением плотности, тем-
пературы и скорости движения среды. Эта поверхность
518
ОСНОВЫ АКУСТИКИ
(V.I
называется поверхностью разрыва, или скачком уплот-
нения. Ударные волны возникают, например, при в рыве,
детонации, движении тел в воздухе со сверхзвуковыми
скоростями и т. д. Скорость распространения ударной
волны относительно невозмущенной среды больше ско-
рости звука в последней.
2° На поверхности разрыва в газах выполняются сле-
дующие соотношения:
»?
Р1г/1л = РЛл, £ + hi = -£ + ht, I
pi+pi»?„=pj+ps»i„,
где р и р — плотность и давление газа, vn и vx — проек-
ции скорости газа (в системе координат, жестко связан-
ной с рассматриваемым элементом поверхности разрыва)
на нормаль к элементу поверхности разрыва и касатель-
ную к ней плоскость, h — энтальпия (стр. 142) единицы
массы газа, а индексы 1 и 2 относятся к состояниям
газа по разные стороны поверхности разрыва, т. е.
до и после скачка уплотнения.
3° Скачок уплотнения называется прямым, если его
поверхность нормальна к скорости набегающего потока
газа: t/1T = 0 и vin = vu v2n = v<i. В противном случае
скачок уплотнения называется косым.
4° Некоторые соотношения для скачков уплотнения:
туТ = v* — v*n = V /’>)(р7 — й)-
Pl Р2
Уравнение ударной адиабаты (адиабаты Гюгонио):
Л1-Л8 + 4(р8-^)(^ + ^) = 0,
или
«1—«2 + т(р1+р8)(“ ^) = о.
где и — внутренняя энергия (стр. 140) единицы массы газа.
Для идеального газа с постоянными удельными теп-
лоемкостями ср и cv (стр. 147):
(,+ I, г*_(х _ и (х+ |Л8+ (х -о
Й =------£1-------или е» =-------£1-------
₽* (х + I) - (х - Р1 (х-1)?-г + (х+ I)
Pl Р1
V.L.12J
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗАХ
619
где ъ — ср1су — показатель адиабаты. При неограничен-
ном возрастании скачка давления -*оо) отношение
плотностей газа после и до скачка стремится к конеч-
ному пределу, равному * + j. Этот результат является
следствием необратимости процесса адиабатного сжатия
газа ударной волной, сопровождающегося диссипацией
энергии и возрастанием энтропии. Если течение газа
перед ударной волной является потенциальным (стр. 302),
то за ней оно становится вихревым (стр. 302).
Скачок энтропии в ударной волне слабой интенсив-
ности пропорционален кубу скачка давления:
1 /да~\
где Г1 — абсолютная температура газа
волной, $ и р — удельная энтропия и
/д2-\
— >°-
\др* Is
5° Прямой скачок уплотнения. После
перед ударной
плотность газа,
5° Прямой скачок уплотнения. После прямого скачка
течение газа становится дозвуковым. Скорости газа пе-
ред (0t) и за (08) скачком уплотнения удовлетворяют
соотношениям:
0102 = с}, 01 > Ci и 08 < 6’8,
где Ci и — скорости звука до и после скачка, с* — кри-
тическая скорость (стр. 326).
Для идеального газа:
520
ОСНОВЫ АКУСТИКИ
IV.1
Связь между параметрами состояния имеет вид:
Р2 __ %* |uj2 * ~~ 1 Ра __ (х + 0 м!
Pi х+‘ 1 * +1 ’ Pl (х — l)Mi+2*
Т2 [2х Mi - (X - 1)] Цх - 1) Ml + 2] t
Ti (х-Н)3М?
М2
где М,=^, Мг = ^ = 1/
С1> С2 у 2хМ?-(х-1)
Изменения параметров состояния идеального газа
и скорости:
P2-Pi=-^Tpi (М; — 1) = Pi — ~
— Pi с* (М1* 1),
₽2 — Pl = Р1 ----- = Pl (М?* — 1),
~2~-М? + 1
Ml
[’-(4т ^+-МЛ =
_ (м?* - 1)Т1
Ml* — Ml*)
где М^ = -^---коэффициент скорости потока перед
скачком, связанный с Mi соот-
ношением
(x-H)Mi
(x-DMl + 2
Mi# —
6° Косой скачок уплотнения
(рис. V. 1.3.) в идеальном газе.
Угол а между вектором Vi
скорости газа перед скачком
и поверхностью скачка может
быть любым в пределах от а0
до т: — а0, где sin а0 = Ct/Vi. В результате прохождения
через поверхность скачка линии тока «преломляются»
V.l.12]
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗАХ
521
-Ц~! М? sin2 а + 1
tg 8 =—-----------—
(х + 1) Ml sin 2а
tg (а-₽) =----8Mk + i
i+mJ(^±1- sit
Ctg а;
р = а, если а = л/2 (прямой скачок) или а = arcsin •
Связь между составляющими скоростей, нормальными
к поверхности разрыва:
^1п ^2П = С2* — ViCOS a, Vifl > Cl, V2n < с2.
При этом в зависимости от величины касательной
составляющей vx — Vi cos а скорость v2 за косым скачком
может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой:
2M1COS2 а___
— 1) Mi sin2 а
м2 = 1/ 4Н*.-1)М? 4
Г 2х Ml sin2 а - (х - 1)
Отношение давлений газа:
= sin’а
7° Ударной полярой называется кривая зависимости
проекции и2у скорости v2 за скачком уплотнения на ось
Оу, перпендикулярную к скорости vt до скачка, от про-
екции v2X скорости v2 на ось Ох, параллельную Vi. Урав-
нение ударной поляры имеет вид:
•Oly = (Vl — VSx)2
ViV2X — С2
— V2 _ TIi^-l-cS
Ударная поляра изображена
кает ось Ох в точках Q (v2X =
= cl/Vi) и Р(^ = -Ц1), пер-
вая из которых соответствует
прямому скачку уплотнения,
а вторая — ударной волне ну-
левой интенсивности: v2 = ^i-
Произвольная точка А удар-
ной поляры соответствует
косому скачку уплотнения,
способ определения углов
а и р для которого ясен из рис.
рис. V.I.4. Она пересе-
Рис. V. 1.4.
V. 1.4; отрезок OA~v2>
522
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [V.2
8° Если тело движется в газе с дозвуковой скоростью
(v < с), то создаваемые этим телом слабые (звуковые)
волны распространяются в газе по всем направлениям.
В том числе они, опережая тело, охватывают также об-
ласть газа, лежащую перед движущимся телом.
В случае движения тела со сверхзвуковой скоростью
(v :> с) звуковые волны охватывают лишь часть объема
га sa, лежащую позади движущегося
тела и ограниченную некоторой по-
пверхностью, называемой характера-
—...v -----------стической поверхностью или поверх-
ностью слабого разрыва. При сверх-
звуковом прямолинейном движении
тела исчезающе малых размеров ха-
Рис. V. 1.5, рактеристическая поверхность имеет
вид круговой конической поверхно-
сти (рис. V.1.5), вершина которой совпадает с движущимся
телом (?, а угол а между образующими и траекторией
тела удовлетворяет условию: sina = c/v. Этот угол назы-
вается углом слабых возмущений, или углом Маха. По-
верхность слабого разрыва является предельным случаем
косого скачка уплотнения. На ударной поляре она соот-
ветствует Точке Vax = Vi=V.
ГЛАВА 2
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
1. Общая характеристика
Г Электромагнитными волнами называется распро-
страняющееся в пространстве переменное электромагнит-
ное поле. Электромагнитные волны являются попереч-
ными: векторы Е и Н напряженностей электриче-
ского и магнитного полей волны взаимно перпендикуляр-
ны и лежат в плоскости, перпендикулярной к вектору v
скорости распространения волны. Векторы v, Е и И об-
разуют правовинтовую систему: из конца вектора v вра-
щение от Е к Н по кратчайшему расстоянию видно про-
исходящим против часовой стрелки, т. е.
v IEH1
V =
ЕН ’
V.2.I]
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
523
Лучом называется линия, касательная в каждой точке
которой совпадает с направлением распространения волны
в этой точке, т. е. с направлением переноса энергии.
2° Связь между Е и Н в электромагнитной волне, рас-
пространяющейся в непроводящей среде, определяется
ур мнениями Максвелла (стр. 463), в которых р и j пола-
гаются равными нулю:
rot Е = — - £ (U.H), div (uH) = 0, ,
с dt7 * (в гауссовой
rotH=l^(.E), div(eE)=0 системе),
где с — электродинамическая постоянная (стр. 465), в и jx —
относительные диэлектрическая и магнитная проницаемо-
сти среды. В случае рассматриваемой ниже однородной
и отропной среды, не обладающей ферромагнитными
(стр. 437) или сегнетоэлектрическими (стр. 353) свойствами,
rotE = -^, divH = 0,
rot Н = 7 , div Е = О
(в гауссовой системе)
Векторы Е и Н поля электромагнитной волны могут
быть выражены через скалярный и векторный А потен-
циалы (стр. 464):
„ 1 дА „ „ i .
Е = — 7 St — grad Н = й r°t А,
причем
л
Л А
— с2 dt* ’
(в гауссовой системе),
ДН =
ер. (?ЗН
с2 dt-
т. е. <р и каждая из проекций векторов А, Е и Н на оси
прямоугольной декартовой системы координат удовлетво-
ряют волновому уравнению
I d*st
(i = l....10).
524
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
[V.2
где с/ = с/у'ер, — фазовая скорость электромагнитной вол-
ны, sx = <р, s2 = Ах, Sa = Ay,, s10 = Hz. В вакууме
(e —p—1) г/ = с.’Для всех сред, кроме ферромагнетиков
(стр. 437), р «=51 ис/ = с/ У
3° Электромагнитная волна называется плоской, если
векторы Е и Н зависят только от времени и одной де-
картовой координаты, например от х. В плоской волне
все лучи параллельны друг другу.
Для плоской волны, распространяющейся вдоль поло-
жительного направления оси Ох правовинтовой системы
координат, имеют место соотношения:
Ev = /7v==0.
&Еу JX дН г
дх с dt ’
дНу _ е дЕг
дх с dt ’
Е = [Ня]
дЕг |х дНу
дх с dt *
дНг в дЕу
дх с dt 1
Ну= У — Ег,
;-7=(rot Ап]
У Е{Х
(в гауссовой
системе),
где п — единичный вектор, проведенный в направлении
распространения волны. Следовательно, плоская волна
может быть полностью определена с помощью одного
лишь векторного потенциала А. В вакууме Hz — Ev,
Hv = -Ez и |Н| = |Е|.
4° Электромагнитная волна называется монохромати-
ческой, если компоненты векторов Е и Н электромагнит-
ного поля волны совершают гармонические колебания
(стр. 96) одинаковой частоты, называемой частотой волны.
Монохроматическая волна неограничена в пространстве
и времени.
Произвольная немонохроматическая волна может быть
представлена в виде совокупности монохроматических
волн (стр 99).
5° Векторный потенциал плоской монохроматической
волны:
А = Аое кг)],
где Ао — некоторый постоянный комплексный вектор,
<0 — циклическая частота, г — радиус-вектор, проведен-
ный в рассматриваемую точку поля, к — волновой
V.2.1] ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА 525
вектор (стр. 501):
к=~п = -уп = const,
п — единичный вектор, проведенный в направлении рас-
пространения волны, v — фазовая скорость волны,
\~vT — длина волны, Т—период колебаний.
6° Напряженности электрического и магнитного полей
плоской монохроматической волны:
E = Re{Eoe-^-(kr)l},
H = Re{Hoe-^-(kr)j}.
Здесь Ео и Но — постоянные комплексные векторы
амплитуды, равные (в гауссовой системе):
Е0=^-А0=Аа„ Ho = ^-[kAej.
с V ер. и
7° Вектор Ео также может быть записан в виде
Ео = (ах + ias)e- ia°,
где at и а2— два взаимно перпендикулярных веществен-
ных вектора, лежащих в плоскости, перпендикулярной
к волновому вектору к, а0 — вещественный скаляр. Если
ось Оу проведена вдоль вектора аъ а ось Ох — в направ-
лении распространения волны, то
Еу = cos (со? — kx 4- а0), Ег = it «2 sin (co? — kx + a0),
где знак плюс (минус) относится к случаю, когда вектор
а2 совпадает с положительным (отрицательным) направ-
лением оси Oz.
8° В каждой точке поля конец вектора Е описывает
эллипс, лежащий в плоскости yOz\ уравнение этого эллип-
са имеет вид:
F2 F2
у I z 1
аа + аг = 1-
Такая плоская волна называется эллиптически поля-
ризованной. Если ai=a2, то эллипс превращается в
окружность и волна называется циркулярно поляри-
зованной. Если порознь аг = 0 или а2 = 0, то плоская
волна называется линейно поляризованной (плоскополя-
ризованной). В линейно поляризованной волне векторы Е
во всех точках поля колеблются вдоль параллельных
прямых. Плоскость, проведенная через вектор Е и луч
526
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
(V.S
(стр. 523), называется плоскостью колебаний линейно
поляризованной волны. Плоскостью поляризации на-
зывается плоскость, проведенная через вектор Н
и луч. Плоскости колебаний и поляризации взаимно
перпендику л я р н ы
(рис. V. 2. 1).
Произвольная
плоская волна мо-
жет быть представ-
лена в виде сово-
купности двух пло-
ских волн, линейно
поляризованных во
взаимно перпенди-
кулярных плоско-
стях.
Малравлеяив раслряс/яраяения
Рис. V. 2.1. 9° Амплитудой
а линейно поляри-
зованной электромагнитной волны называется макси-
мальное значение модуля вектора Е: а = |Е|макс.
Интенсивностью 1 электромагнитной волны назы-
вается величина, численно равная энергии, переносимой
волной за единицу времени сквозь единицу площади
поверхности, перпендикулярной к направлению распро-
странения волны. Интенсивность / связана с вектором
Пойнтинга Р (стр. 467) соотношением:
7
/=1П =4Jipi^,
о
где Т — период волны.
Для линейно поляризованной плоской волны /ооа1,
где а—амплитуда волны. Для произвольной плоской
волны в однородной среде / = const.
10° Электромагнитная волна называется сферической,
если ее интенсивность зависит только от расстояния г
до некоторой точки, называемой центром волны. Из за-
кона сохранения энергии следует, что для сферической
волны / = const №.
11° Зависимость фазовой скорости электромагнитной
волны в среде от частоты волны называется дисперсией.
Среды, в которых наблюдается это явление, называются
диспергирующими средами. Дисперсия электромагнитных
волн отсутствует только в вакууме.
V.2.i ] ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА 527
12° Реальные электромагнитные волны не являются
монохроматическими, так как они состоят из нескольких
различных по частотам волн и имеют ограниченную дли-
тельность во времени Такие волны называются группой
волн, или волновым пакетом. В диспергирующей среде про-
исходит искажение формы группы волн в процессе ее
распространения, обусловленное различием фазовых ско-
ростей отдельных монохроматических компонент группы.
Для характеристики распространения групп волн и ско-
рости переноса ими энергии, т. е. скорости распро-
странения сигнала, понятие фазовой скорости недоста-
точно.
13° В первом приближении линейно поляризованный
плоский волновой пакет, распространяющийся вдоль по-
ложительного направления оси Ох, может быть пред-
ставлен в форме, соответствующей амплитудно-модули-
рованным колебаниям поля в каждой точке пространства:
Е = а [ 1 -j- т cos (2£ — Kx)} cos — kx),
где т = а7а<1, 2<<<о, а’ и 2— амплитуда и цикли-
ческая частота модуляции, а и со — амплитуда и цикли-
ческая частота модулируемой («несущей») волны, К =
= y(^i—W» k, ki и — волновые числа, соответствую-
щие монохроматическим волнам с частотами <0, со1=<о+ Q и
<о2 — со — 2.
Линейная протяженность группы волн вдоль оси Ох
равна
л 2к
Дх— ТС •
Скорость переноса энергии группой волн называется груп-
повой скоростью и:
2
“ — ~к
При малых значениях 2
B = ^ = V-A^=_^_
сиг ак о) dv»
v d(a
где о — фазовая скорость модулируемой волны, X =а=
= 2м//<о — ее длина.
а>1 — соа
~ ka *
dv
528 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ (V.U
г-, dv dv rx
В случае отсутствия дисперсии — = ^==0 и/г=,р.
Нормальной дисперсии (стр. 607) соответствует
dv л dv л _
77Г > 0 и U<ZV.
dm dh
Аномальной дисперсии (стр. 607) соответствует
-£->0, ^-<0 и U>v.
dm dh
14° Результаты, приведенные в п. 13°, являются до-
статочно точными лишь в области
- 4к . и
, или х<Ах—г,
Q2 1Д«1
I dm* I
где х— расстояние от источника волн, Дх— длина груп-
пы волн, Ан — разность значений групповой скорости
при частотах <о и <о + Q. Вблизи частот поглощения
средой электромагнитных волн |~| очень велико и поня-
тие групповой скорости теряет смысл
1g Л (см)
1дЛ(Я7 6 S 4 3 2 / 0 4-2
Рис. V. 2.2.
13° В зависимости от частоты v = w/2k (или длины
волны в вакууме X == с/\) электромагнитные волны при-
нято делить на несколько видов. Шкала электромагнит-
ных волн приведена на рис. V.2.2. Границы между раз-
личными видами электромагнитных волн являются ус-
ловными.
V.2.2|
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
529
2. Излучение электромагнитных волн
Г Источниками электромагнитных волн являются ус-
коренно движущиеся электрические заряды. Процесс ис-
пускания электромагнитных волн называется излучением.
Полная энергия, излучаемая зарядом в единицу времени
по всем направлениям, называется интенсивностью из-
лучения Г.
/ = -— (в гауссовой системе),
где q — величина заряда, w — его ускорение, с — скорость
света в вакууме.
2° Волновой зоной называется область пространства,
отстоящая от излучающей системы на расстояниях, кото-
рые значительно превосходят размеры излучающей си-
стемы и длину излучаемых ею волн. В пределах малых
участков волновой зоны электромагнитные волны можно
считать плоскими (стр. 524). В волновой зоне электромаг-
нитное поле излучения системы может быть определено
с помощью запаздывающего векторного потенциала А
(стр. 465).
3° В волновой зоне системы точечных зарядов
qu..., qn, движущихся с малыми скоростями (^ «^с), век-
тор-потенциал А равен
р
A (Ro, 0=-f
cRq
I .. I
—jD 4--------[pmn| (в гауссовой
cRa системе),
где Ro — радиус-вектор рассматриваемой точки поля,
п
pg q^j — дипольный электрический момент системы
зарядов (стр. 332), гг- — радиус-вектор заряда qi в момент
п
времени Г— t— pm = J] qt |rzV/| —магнитный мо-
/=1
мент системы зарядов (стр. 398), = Г/ — скорость за-
п
ряда qi в момент времени f, n = D = ^\qi [Згг- (nij) —
— nrj] — вектор квадрупольного электрического момента
• дРт «, d2D
системы зарядов, ре = , рт = — и D =
26 М. Яворский, А. А. Дстпаф
530
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Напряженности полей равны:
н (Ro, 0 =зЩреп] + £[Dn] 4- [lpmn] П ] }, ](В мус-
E (Ro. о = ^ {[ lPo«l П ] + ^ [ [D n] n ] + |np JI] c“-eMe)
Первые члены в выражениях для Н и Е соответствуют
электрическому дипольному, вторые — электрическому
квадрупольному, третьи — магнитному дипольному из-
лучениям.
4° Интенсивность излучения dl в элемент телесного
угла dQ. равна количеству энергии, передаваемой за еди-
ницу времени сквозь элемент R^dQ. поверхности сферы
с центром в начале координат и радиусом №
dl=-^ H2dQ.
Для дипольного излучения
dl = -Asin’SrfQ,
где ft — угол между векторами р\ и п. Для полного элек-
трического дипольного излучения по всем направлениям
7________________________ 2 з
— Зе»
Для полного магнитного дипольного излучения
______________________ 2 ”2
‘ Зс8 Р т‘
В общем случае полное излучение системы зарядов
слагается из трех независимых частей — электрического
дипольного, магнитного дипольного и электрического
квадрупольного излучений, причем интенсивность второго
и третьего типов излучения меньше интенсивности ди-
польного излучения приблизительно в с2 раз.
Для замкнутой системы, состоящей из частиц, у
которых отношения дрпц одинаковы (т:- — масса частицы),
ре = рт=0, т. е. эта система не создает электрического
дипольного и магнитного дипольного излучений.
5° Интенсивность излучения быстро движущегося заряда
(v близко к с) в случае", когда скорость v и ускорение w
заряда параллельны:
4кг3 (1 — bcosQ)6 •
w2 sin20
V.2.2) ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 631
где 9 — угол между направлением излучения п и v,
fi = v/c. Заряд не излучает в направлениях 0 = 0, п.
В случае, когда vj_w,
g2W2 Г 1 (1-Р2) sin2 е . I
~~ W3 I (1 _ (3cos0)4 (I—pCOsO)® C0S CP]^Q»
где ср — азимутальный угол между п и плоскостью, прохо-
дящей через векторы v и w. Заряд не излучает в напра-
влениях 0 = arccos р, лежащих в плоскости векторов v
и w (ср = О).
В ультрарелятивистском случае (1 —р <С 1) заряженная
частица в основном излучает в направлении своего
движения (в пределах углов 0 У 1 —р2).
6° Излучение заряда, равномерно движущегося с
произвольной скоростью по окружности в однородном
постоянном магнитном поле Н (H_|_v). Усредненная за
период обращения интенсивность излучения в телесный
угол dQ в направлении п, составляющем угол а с нор-
малью к плоскости орбиты, равна
dl — 0 ~ З2) [ 2 + P2sin2 « __
8тст2г8 L (1 —Sin2 а)5/2
(1 -р2) (4 4- р2 sin2 a) sin2 g1^n
4 (1 - р2 sin2 а)7/2 I ’
где т0 — масса покоя (стр. 487) заряженной частицы.
Полная интенсивность излучения:
, 2?4 Я2 V2
1 ~ Зт2Сб(1 _ £S).
При 1 — р 1 излучение в основном сосредоточено
вблизи плоскости орбиты в интервалехуглов а = л/2 ± Да,
где Да~ У1 — р2. Основная часть излучения приходится
на область циклических частот
дн___1_
03 тос 1 —р2
и спектр излучения состоит из множества тесно распо-
ложенных линий. Такое излучение наблюдается при дви-
жении заряженных частиц в циклических ускорителях
(стр. 411) и называется бетатронным или синхротронным.
Т Излучение, возникающее при прохождении элект-
рона через поле атома или ядра, называется тормозным.
Тормозное излучение имеет непрерывный спектр, огра-
ниченный максимальной частотой v0, которая при vic << 1
34*
532 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [V.2
равна
где у—начальная скорость электрона, т— его масса,
Л—постоянная Планка.
3. Радиосвязь, телевидение и радиолокация
1° Радиосвязью называется передача какой-либо ин-
формации с помощью радиоволн, т. е. электромагнитных
волн, частота которых меньше 3«105Мгц. В радиовеща-
нии осуществляется передача речи, музыки и телеграф-
ных сигналов, в телевидении — изображений.
Радиосвязь производится путем излучения радиопе-
редатчиком модулированных электромагнитных волн и их
демодуляции в радиоприемнике.
2° Модуляцией электромагнитной волны называется
изменение ее параметров с частотами, значительно мень-
шими частоты самой электромагнитной волны. Модули-
руемая волна называется несущей, а ее частота не-
сущей частотой. В соответствии с родом параметра не-
сущей волны, изменяемого при модуляции, различают:
а) амплитудную модуляцию (AM) —изменяется только
амплитуда волны, а = а0(\ + т cos Qi);
б) частотную модуляцию (ЧМ)—изменяется только
частота волны, со = со (1 + mj cos Qi);
в) фазовую модуляцию (<1>М)—изменяется начальная
фаза волны, а = а0 (1 t та cos Qi), где со0 и Q—цикличе-
ские частоты несущей волны и модуляции (Q«co0),
т — коэффициент уюдуляции, Дсо = /п/о0—амплитуда ко-
лебаний частоты при ЧМ, а Да=яота—амплитуда ко-
лебаний начальной фазы при ФМ.
3° В случае радиовещания частота модуляции невелика,
гак как лежит в пределах частот слышимых звуков (16 4-
20 000 гц) Поэтому нет жестких ограничений на выбор
несущей частоты, который производится на основе осо-
бенностей распространения в атмосфере радиоволн раз-
личной длины и возможности обеспечения надежной ближ-
ней или дальней радиосвязи при минимальной мощности
радиопередатчика. Широкое радиовещание производится
на длинных (Х= 1034- 104 м, v =304-300 кгц), средних
(Х= 102 4- 103 м, v=0,3 4-3 Мгц) и коротких (Х=10 4-
100 м. у = 3+30 Мгц) радиоволнах.
V.2.3] РАДИОСВЯЗЬ, ТЕЛЕВИДЕНИЕ И РАДИОЛОКАЦИЯ 533
4° Всякий радиопередатчик состоит из следующих ос-
новных элементов — генератора незатухающих электро-
магнитных колебаний несущей частоты, модулятора и
передающей антенны,, осуществляющей излучение радио-
волн в нужном направлении.
Приемное устройство состоит из приемной антенны
и радиоприемника. Приемная антенна преобразует энергию
радиоволн в энергию высокочастотных электромагнитных
колебаний. Радиоприемник выделяет из этих колебаний
те, которые возбуждаются нужным радиопередатчиком,
усиливает и демодулирует их, т. е. отделяет модули-
рующие колебания низкой частоты от высокочастотных
(несущих) колебаний. Модулирующие колебания после их
усиления подаются на воспроизводящее устройство (те-
лефон, громкоговоритель, кинескоп телевизора и т. п.).
5° Передача изображения по телевидению осуществля-
ется путем модуляции несущей электромагнитной волны
в соответствии с яркостью различных малых участков
передаваемых объектов. Для этой цели в передающих
телевизионных трубках используется явление внешнего
или внутреннего фотоэффекта (стр. 628). Передача изобра-
жения (кадра) производится последовательно по строкам, а
в каждой строке — по ее малым элементам^ СССР при-
нята система, в которой каждый кадр разбивается на 625
строк по 833 элемента в строке. За одну секунду передается
25 различных кадров. Следовательно, частота модуляции
(частота видеосигналов) равна примерно 6,5 Мгц. Во избе-
жание искажений видеосигналов необходимо, чтобы несу-
щая частота была приблизительное 10 раз больше. Поэтому
для телевизионных передач используются ультракороткие
волны метрового диапазона (X = 1 4- 10 м, v > 30 Mzifp
Для воспроизведения изображения в телевизионном
приемнике применяется электронно-лучевая трубка — ки-
нескоп, в которой используется явление катодолюминес-
ценции (стр. 638). С помощью специального устройства
производятся горизонтальная и вертикальная развертки
электронного луча на экране кинескопа, осуществляемые
синхронно с передачей телецентром соответствующих
элементов кадра. Неодинаковая интенсивность свечения
в различных точках экрана достигается путем модуляции
интенсивности электронного луча в соответствии с моду-
ляцией принимаемых электромагнитных волн.
6° На распространение радиоволн в атмосфере суще-
ственное влияние оказывают явления дифракции радио-
534 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ (V.2
волн (стр. 565), на поверхности Земли, поглощения в ат-
мосфере и земной поверхностью, отражения от последней
и поглощения, преломления и отражения от ионосферы —
верхних частей атмосферы, сильно ионизованных под
влиянием ультрафиолетового, рентгеновского и корпуску-
лярного излучений Солнца. Ионосфера состоит и ряда
слоев, расположенных на разных высотах. Интенсивности
ионизации и высбты над поверхностью Земли этих слоев
зависят от географической широты, времени суток и
года, а также от уровня солнечной активности.
Наиболее устойчивая дальняя радиосвязь осуществляет-
ся на длинных радиоволнах, которые огибают земную
поверхность вследствие дифракции и преломления (реф-
ракции) в тропосфере, сравнительно слабо проникают
в ионосферу и мало поглощаются ею.
Дальность радиоприема на средних волнах резко раз-
лична днем и ночью. Это связано с тем, что средние
волны интенсивно поглощаются нижним слоем D ионо-
сферы и отражаются от более отдаленного слоя Е. Ночью
из-за отсутствия солнечного излучения слой D исчезает
и дальность приема сильно возрастает.
Короткие радиоволны слабо поглощаются слоями D и Е
и отражаются от еще более удаленного слоя Р. Благо-
даря этому возможна дальняя радиосвязь на коротких
волнах.
Ультракороткие радиоволны с Х<5л/ в обычных ус-
ловиях не отражаются от ионосферы. Прямые волны,
распространяющиеся вблизи поверхности Земли, сильно
ею поглощаются. Поэтому надежный прием этих волн,
например в телевидении, возможен лишь в пределах
прямой видимости, т. е. расстояний, соизмеримых с даль-
ностью прямой видимости антенны передатчика. Для осу-
ществления дальнего телевидения применяется последо-
вательная цепь ретрансляционных станций, осуществ-
ляющих прием, усиление и дальнейшую передачу сиг-
налов.
Т Радиолокацией называется обнаружение и опреде-
ление местонахождения различных предметов с помощью
радиоволн. Радиолокация основана на явлении рассеяния
радиоволн телами.
Радиолокатор (радар) представляет собой комбина-
цию ультракоротковолнового радиопередатчика и радио-
приемника, имеющих общую приемо-передающую ан-
тенну, создающую остронаправленное излучение (радио-
V.3.1]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН С ВЕЩЕСТВОМ
535
луч). Излучение осуществляется в виде коротких импуль-
сов продолжительностью около 10-в сек. В промежутки
времени между двумя последовательными импульсами
излучения антенна автоматически переключается на прием
сигнала, отраженного от цели. Расстояние до цели опре-
деляется по величине промежутка времени между посыл-
кой сигнала и приемом отраженного сигнала. В радиоло-
кации применяются ультракороткие радиоволны метро-
вого, дециметрового и сантиметрового диапазонов.
ГЛАВА 3
ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА
ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ ДВУХ СРЕД
1. Взаимодействие электромагнитных волн
с веществом
Iе Электромагнитная волна, падая из вакуума на ве-
щество, вызывает колебания в атомах и молекулах ве-
щества. В случае ультрафиолетовых и видимых лучей
за изменением электромагнитного поля световой волны
могут следовать только электроны в атомах. Инфракрас-
ные лучи вызывают колебания атомов в молекулах,
а также частиц, находящихся в узлах кристаллических
решеток твердых тел (стр. 253). Наиболее сильно дейст-
вие световой волны проявляется, когда ее частота сов-
падает с одной из собственных частот колебаний элект-
ронов в атомах или близка к ней.
2° Атомы и молекулы, приходя в вынужденные коле-
бания, становятся вторичными излучателями электро-
магнитных волн. Электромагнитная волна, возникшая
в результате суперпозиции (стр. 499) первичной и вторич-
ных волн, распространяющаяся в той же среде (или в ва-
кууме), откуда пришла первичная волна, называется
отраженной волной. Электромагнитная волна, возникшая
в результате суперпозиции первичной и вторичных волн,
распространяющаяся в той среде, где возникли вторич-
ные волны, называется преломленной волной.
3° Вторичные волны, возбужденные электромагнитной
волной, когерентны (стр. 544) в сравнительно больших объ-
емах вещества и могут взаимно интерферировать (стр. 545).
536 ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ ДВУХ СРЕД [V.3
4° Колебания частиц вещества под действием электро-
магнитной волны возбуждаются в основном электрической
компонентой поля волны (вектор Е). В случае изотроп-
ных веществ направления Е для вторичной и первичной
волн одинаковы. Для анизотропных сред оба эти направ-
ления в общем случае различны. Макроскопические
электрические свойства вещества, определяющие его по-
ведение под действием световой волны, характеризуются
относительной диэлектрической проницаемостью е (стр. 329);
для всех веществ в области оптических частот электро-
магнитных волн относительная магнитная проницае-
мость р. = 1.
5° Математически задача о взаимодействии электро-
магнитной волны с веществом сводится к решению'урав-
нений Максвелла (стр. 463) при определенных условиях
на границе раздела сред, в которых распространяется
волна.
2. Отражение и преломление света диэлектриками
Г При падении световой волны на плоскую границу
раздела двух диэлектриков с разными значениями отно-
сительной диэлектрической проницаемости е световая
волна частично отражается и частично преломляется.
2° Одна среда по отношению к другой характеризуется
скоростью распространения света в ней v = с/Ущ, где
|i — относительная магнитная проницаемость, равная 1
для вакуума. За исключением ферромагнетиков (стр. 437),
можно принимать fi = 1 для всех сред.
Отношение
называется абсолютным показателем преломления света
для данного диэлектрика (по отношению к вакууму).
Отношение
«2
Я21 = — ,
П1’
где п2 и П1 соответствуют последовательным средам,
в которых распространяется свет, называется относитель-
ным показателем преломления света средой 2 по отноше-
нию к среде 1. Величина п > 1 для всех сред, кроме
вакуума, где п—\. Для разреженных сред (газов при
V.3.2] ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИКАМИ 537
нормальных условиях) «₽^1. Чем больше значение п для
среды, тем более оптически плотной она является.
3° Нижеприводимые формулы справедливы только для
волн, частоты которых малы по сравнению с частотой
процессов в атомах и молекулах. Вследствие диспер-
сии показателя преломления (стр. 606) эти формулы
справедливы лишь для монохроматических волн. Среды,
в которых распространяются отраженная и преломлен-
ная волны, считаются полубесконечными, т. е. принимает-
ся, что на границе раздела сходятся только три волны —
падающая, отраженная и преломленная (пренебрегается
многократным отражением).
4° При падении световой волны на идеально плоскую
границу раздела двух диэлектриков, размеры которой
значительно превышают длину волны, угол между напра-
влением распространения отраженной волны и нормалью
к границе раздела i' (угол отражения) равен по абсолют-
ной величине соответствующему углу для падающей вол-
ны i (закон отражения). Такое отражение называется
зеркальным. Угол между направлением распространения
преломленной волны и нормалью к границе раздела
(угол преломления г) связан с углом падения i законом
Снеллиуса (законом преломления)’.
sin i _n2_
sin r ni П21 ’
где n2i — относительный показатель преломления среды,
в которой распространяется преломленный свет, относи-
тельно среды, в которой распространяется падающий свет.
5° Если световая волна из оптически более плотной
среды 1 падает на границу раздела с оптически менее
плотной средой 2, то при угле падения i > /кр, где sin ZKp =
= «21, величина sin г > 1, что невозможно. Угол /кр, при
котором г = 90° и преломленная волна отсутствует, назы-
вается критическим (предельным) углом падения света.
Явление отражения света целиком в первую среду назы-
вается полным внутренним отражением света. Электро-
магнитное поле световой волны частично заходит во вто-
рую среду, но очень быстро убывает в ней. Энергия па-
дающей электромагнитной волны полностью возвращается
в первую среду, но места захода падающей и выхода отра-
женной волны на границе раздела смещены друг отно-
сительно друга за расстояние порядка половины длины
световой волны.
538 ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ ДВУХ СРЕД (V.8
6® Отношение интенсивности отраженной волны
к интенсивности падающей называется коэффициентом
отражения света R второй среды относительно первой.
Отношение интенсивности преломленной к интенсивности
падающей волны называется коэффициентом пропускания
Т второй среды относительно первой. Если вторая среда
идеально прозрачна, т. е. не поглощает света (стр. 614), то
Г= 1.
При полном внутреннем отражении R = 1 и Т = 0.
7° При падении неполяризованной световой волны
(естественный свет, стр. 591) на плоскую границу раздела
под углом i коэффициент отражения
_1 Гs1n2 — r) I JlLLLzZll
2 [sin2 (Z-f-r) “т" tg2 (Z-|-r) J
где г — угол преломления. В случае i = г = 0 (нормаль-
ное падение света)
где п21 — относительный показатель преломления.
8® При падении на плоскую границу раздела линейно
поляризованной плоской волны (стр. 525), вектор Е кото-
рой колеблется в плоскости падения (p-волна), амплиту-
ды (fp отраженной и ар преломленной волн связаны с
амплитудой оРр падающей волны соотношениями (форму-
лы Френеля)*.
г 0 tg (i— г) d 0 2cos i sin г
aP aP tg (Z-f-r) ’ aP = aP sin (Z-рг) cos (Z —r) *
Коэффициент отражения равен
, tgg (*-r)
tg2(Z-|-r)
9® При падении на границу раздела линейно поляри-
зованной плоской волны, в которой вектор Е колеблется
в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения
(z-волна), амплитуды ars, ads и а® связаны соотношениями:
аг = __ sin (Z - г) d = о 2cO8fsi“f
s s sin (Z -|- г) ’ s s sin (Z 4“ г5 *
V.&.2] ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИКАМИ 539
Коэффициент отражения равен
п _ s n2 У - г)
sin2 (i + г) *
Зависимость 7?, Rp и от i приведена на рис. V. 3. 1.
10° В случае нормального падения линейно поляризо-
отраженной волны мо-
ванной волны (Z = 0, г = 0):
г _ 0 п21 - 1
ар — аРпг1 + 1'
пГ — л° "21 - 1
0'S ““ &S „ । Т »
«21 “Г 1
d 0 2
ар-ар'^+\'
4 = а» 2 ,
S 5 «21 + 1 ’
где п21 — относительный пока-
затель преломления;
11° Фаза преломленной све-
товой волны всегда совпадает
с фазой падающей волны. Фаза
жет отличаться на те от фазы падающей волны (см. та-
блицу). В этом случае происходит отражение с потерей
полуволны. В таблице указана разность фаз между отра-
женной и падающей волнами для р- и s-волн.
я ‘ + г>-2- г+ к с т
i>r («21> В i <г («21< D i>r («21> 0 Кг («21< D-
р-волна 0 я Я 0
s-волна я 0 я 0
При переходе iг через значение те/2 (т. е. угла па-
дения i — через значение /0, Для которого /0 + го =
угол i0 называется углом Брюстера, стр. 541) фаза отра-
женной p-волны скачком меняется на те.
540 ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ ДВУХ СРЕД [V.3
12° Коэффициент отражения света У? (стр. 538) в случае
нормального падения света при n21 >> 1 или при n2i «С 1
может оказаться весьма близким к 1. Для уменьшения 7?
в оптических системах, где многократные отражения
света существенно снижают интенсивность света и осве-
щенность изображения, используют интерференцию лу-
чей, отраженных от передней и задней границ специаль-
ного слоя, наносимого на линзы оптической системы.
Толщина h и абсолютный показатель преломления п этого
слоя подбираются так, чтобы оба отраженных луча имели
оптическую разность хода (стр. 548) Х/2 (разность фаз it)
и гасили друг друга:
2h У п2 — sin2 i =
Величина п при равных интенсивностях обоих отражен-
ных лучей находится из соотношения (при нормальном па-
дении из воздуха):
П= У Поу
где п0 — абсолютный показатель преломления материала
линзы. Оптика с такими слоями называется просвет-
ленной.
13° При падении световой волны на шероховатую
поверхность отражение будет зеркальным при условии
h cos i X,
где /г—высота выступов (шероховатостей), i — угол па-
дения, X — длина волны света, т. е. при условии очень
мелких неровностей поверхности или при большом угле
падения света (скользящее падение). В противном случае
происходит диффузное (рассеянное) отражение. Угол
отражения при диффузном отражении меняется случай-
ным образом от точки к точке поверхности.
14° Преломление света в одной и той же среде, вы-
званное непостоянством показателя преломления для раз-
ных ее участков, называется рефракцией света. Среда
в этом случае называется оптически неоднородной. При-
мером рефракции является преломление световых лучей
от небесных тел в атмосфере вследствие уменьшения
относительной диэлектрической проницаемости е (а с ней —
и показателя преломления п) с высотой.
V.3.3] ПОЛЯРИЗАЦИЯ ПРИ ОТРАЖЕНИИ И ПРЕЛОМЛЕНИИ 541
3. Поляризация света при отражении
и преломлении
Г При отражении и преломлении естественного света
(стр. 591) на границе раздела двух изотропных диэлектри-
ков происходит его линейная поляризация. При произ-
вольном угле падения поляризация отраженного света
является частичной.
2° Если угол падения удовлетворяет условию
tg /о = и21,
то отраженный свет поляризуется полностью (закон Брюс-
тера). Угол Zo называется углом Брюстера. Степень по-
ляризации преломленного света
где /5 и /р — соответственно интенсивности з- и р-волн
(Is-\-ip = I0 — интенсивность преломленной волны, стр. 526),
при угле Брюстера достигает максимального значения
д _^21 -(l + nipa
маКс 4^ (| 4-^)2 *
Отраженный свет имеет з-поляризацию,а преломленный —
обе (з- и р-) поляризации, причем в нем
'p-o + 'V
При угле Брюстера
*0 4“ 7*0 = “гр >
т. е. отраженный и преломленный лучи взаимно перпен-
дикулярны.
3° Если преломление света, падающего под углом z0,
происходит в стопе плоскопараллельных пластин, то сте-
пень поляризации преломленного света увеличивается.
При числе пластин
“макс
где смысл Дмакс указан в п. 2°, преломленный луч будет
почти полностью поляризован.
4® Поляризованная p-волна (стр. 538) при падении на
границу раздела диэлектриков под углом Брюстера
542 ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ ДВУХ СРЕД (V.3
совершенно не отражается и дает только преломленную
волну.
5° При отражении плоскополяризованного света (при
стр. 537) между s- и p-компонентами отраженной
волны возникает разность фаз ДФ, обусловленная разли-
чием разностей фаз соответствующих компонент отражен-
ной и падающей волн Дср5 и Дсрр:
ДФ _ А?р - _ COS I /sin3 .
2 ‘Б 2 sin3 i
В результате отраженная волна оказывается эллиптичес-
ки поляризованной. При полном внутреннем отражении,
соответствующем углу fKp, sin i = n2i, = Д^, т. е. плос-
кополяризованный свет остается таким же. При Дсрр —
— Дср5 = те/2 и aQs = а°р отраженный свет циркулярно по-
ляризован и граница раздела диэлектриков действует по-
добно «пластинке в четверть волны» (стр. 600).
4. Основы металлооптики
Г При падении световой волны на границу раздела
вакуум — металл или диэлектрик — металл волна частично
отражается от металла, а частично проходит в глубь него.
Коэффициент отражения (стр. 538) зависит от длины волны
света и от электропроводности металла.
В металлах источниками вторичных волн (стр. 535) яв-
ляются в основном электроны проводимости (стр. 358).
Соответствующий коэффициент отражения для чистых
металлических поверхностей имеет значения, весьма близ-
кие к 1.
Поглощение света металлами обусловлено потерями
энергии на джоулево тепло. При достаточно высоких час-
тотах падающего света существенную роль играют вы-
нужденные колебания связанных электронов в ионах кри-
сталлической решетки. Это приводит к сильному умень-
шению коэффициента отражения света металлами (до 0,04
у серебра при v = 1015 сек-1) и появлению значительной
прозрачности тонких металлических пленок.
2° Задача об отражении и поглощении света металлами
разрешима лишь в рамках квантовой теории твердых тел
(стр. 661). Приближенно эта задача в классической физике
описывается уравнениями Максвелла с граничными усло-
виями, соответствующими проводящей границе раздела
(стр. 464).
V.3.4] ОСНОВЫ МЕТАЛЛООПТИКИ 543
3е Интенсивность волны, распространяющейся в глубь
металла, выражается соотношением
1х = 10е~^
где 1Х — интенсивность на глубине х от границы разде-
ла, /0 — интенсивность падающей волны на границе раз-
дела, р. — коэффициент поглощения света в металле.
4° Вместо р. обычно вводят величину
где Хо— длина волны падающего света в вакууме, п —
условный показатель преломления для металла. Погло-
щение света считается «металлическим» при
Величины п и х. связаны с относительной «диэлектри-
ческой проницаемостью» металла е и его электропро-
водностью 7 соотношениями:
где с — электродинамическая постоянная (скорость света
в вакууме). Эти соотношения имеют формальный харак-
тер вследствие неопределенности понятия относитель-
ной диэлектрической проницаемости для металлов. На-
ряду с п для металлов вводят также комплексный пока-
затель преломления
п' = я (1 — fx),
где мнимая часть учитывает поглощение света в металле.
5° Коэффициенты отражения и пропускания света
металлом даются формулами Френеля (стр. 538), в кото-
рых вместо п фигурирует п' (п. 4°). При нормальном па-
дении естественного света
р _ (л - 1)2 + = 4
К (п 4- I)2 4- л2*2 ’ 1 (л 4- 1)2 4- Л2х2
6° При падении на металл плоскополяризованного
света между s- и р- компонентами отраженной и «пре-
ломленной» волн возникает разность фаз, вследствие че-
го свет становится эллиптически поляризованным. При
нормальном падении разность фаз между отраженной и
падающей волнами
А г * 2лХ
Д? = arctg г_ д3 _ (пх)3 .
544 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА [V.4
Разность фаз между «преломленной» и падающей волнами
а н .пт.
= arctg jj-p-.
Формулы пп. 4е — 6° хорошо оправдываются лишь вда-
ли от полос поглощения света в металле (стр. 615).
ГЛАВА 4
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
1. Когерентные волны
Г Две волны называются когерентными,, если раз-
ность их фаз является постоянной. Когерентными явля-
ются две бесконечные синусоидальные волны (монохро-
матические волны) с одинаковым периодом (или частотой).
2° Две волны называются некогерентными, если раз-
ность их фаз не является постоянной величиной. Волны
различной длины волны, а также волны одной длины,
состоящие из ряца групп, начинающихся и обрывающих-
ся независимо друг от друга, со случайными значения-
ми фаз в моменты начала и обрыва каждой группы,
являются некогерентными.
3° При наложении плоских когерентных волн, линей-
но поляризованных в одной плоскости, в соответствии
с принципом суперпозиции (стр. 499) складываются (вычи-
таются) их амплитуды. Амплитуда суммарной волны за-
висит от разности начальных фаз между суперпонируе-
мыми волнами и в случае двух волн с амплитудами и
начальными фазами соответственно аи и а%, ср2 равна:
Аа = а\ + а1 + 2^02 cos (<р! — <р2),
д _ ПРИ — <?» = °.
1 | — а21 при cpi — ср2 =
Интенсивность суммарной волны соответственно равна
(«1 + «я)8,
(в1 — аа)2
/се А2 =
При разности фаз 0 < Дер < те | — а21 < А < ах а2.
При сложении некогерентных волн складываются их
интенсивности:
/ се Аа — а 4- а.
1 1 2
V.4.1]
КОГЕРЕНТНЫЕ ВОЛНЫ
545
4е В результате наложения когерентных линейно
поляризованных в одной плоскости волн происходит
ослабление или усиление интенсивности света в зависи-
мости от соотношения фаз складываемых световых волн.
Это явление называется интерференцией света. Результат
наложения когерентных волн, наблюдаемый на экране,
фотопластинке и т. д., называется интерференционной
картиной. Для складывающихся некогерентных волн
имеет место только усиление света, т. е. в них интер-
ференция не наблюдается.
5° Световые электромагнитные волны испускаются
атомами вещества независимо друг от друга; длитель-
ность испускания одной группы волн имеет порядок
10-8 сек. За время наблюдения в оптических опытах
(>> 10~8 сек) излучение любого источника света является
заведомо некогерентным (см., однако, стр. 669).
6° Для получения когерентных волн электромагнитную
волну, относящуюся к одному акту испускания, расщепля-
ют на две или более заведомо когерентные части. Сводя
эти части волны вместе, наблюдают их интерференцию.
Наблюдаемая интерференционная картина относится к
расщепленным волнам в целом, а не к отдельным группам
волн в них.
1° В установках для получения когерентных световых
волн поток световых волн от малого источника света
расщепляется с помощью отверстий в экранах, зеркал и
призм на два или более потока. Общая схема установок
для получения когерентных волн и изучения их интер-
ференции показана на рис. V. 4. 1; S — источник света
с линейными размерами 2Z>, много меньшими длины
волны, 2b Si и S2 — изображения S, действительные
или мнимые (стр. 570), 2ф— апертура интерференции,
35 Б М Яворский, А А. Детлаф
546 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА (V.4
т. е. угол, соответствующий крайним интерферирующим
лучам, 2со — угол схождения лучей в точке М интер-
ференционной картины на экране ЕЕ. Обычно S имеет
вид щели, параллельной плоскости симметрии оптической
системы (стр. 577). При ЕЕ || SiS2 интерференционная
картина представляет собой полосы, параллельные щели.
8° В обозначениях SA = 2Z, ОМ = D (£> > 2Z), MN=h
распределение интенсивностей в интерференционной
картине для монохроматического света (стр. 524) длины
волны X:
/ = /0соза
Ла/
имеет максимумы при
и минимумы при
Л = (2т+1)^-,
где т — целое число, называемое порядком интерферен-
ции.
9° Расстояние между соседними максимумами или
минимумами (Дт=1):
Величина В называется шириной интерференционной
полосы. Интерференционная картина тем крупнее, чем
меньше 2Z (или ш). Интенсивность интерферирующих
потоков света и освещенность интерференционной карти-
ны увеличиваются с ростом полного светового потока
(стр. 588) источника S и— в некоторых схемах — с умень-
шением апертуры интерференции 2ф.
10° Если размеры источника 2Z><^X, то наблюдается
отчетливая интерференционная картина. Практически
2#>>Х, и интерференционная картина определяется нало-
жением расщепленных когерентных волн (стр. 545) от
разных точек источника. Если размеры источника таковы,
что системы интерференционных полос от центра и от
края источника смещены на Х/2 (на полполосы), то кар-
тина от одной половины источника гасит полностью
картину от другой половины и интерференция не наблю-
дается.
V.4.J] ОПТИЧЕСКАЯ ДЛИНА ПУТИ
647
11е Контрастность интерференционной картины опре-
деляется из формулы
__^макс — ^мин ___ В I 2кд I
^макс 4" ^мин_____j S П q |,
где Вмакс, Емин — освещенности экрана в местах макси-
мумов и минимумов
картины в центрах свет-
лых и темных полос,
В — \Dt2l — ширина
интерференционной по-
лосы (п. 10°), 2Ь— раз-
меры источника. Вели-
чина v называется ви-
димостью полос. Зави-
симость V=f(2bjB) Рис. V. 4.2.
показана на рис. V. 4.2.
Интерференционная картина остаётся отчетливой
приближенном условии
при
2b sin ф ,
где 2ф — апертура интерференции, X — длина волны.
2. Оптическая длина пути
Г Оптической длиной пути называется произведение
геометрической длины d пути световой волны в данной
среде на абсолютный показатель преломления этой сре-
ды (стр. 536) п:
s = nd.
2° Разность фаз Дер двух когерентных волн от одного
источника, одна из которых проходит длину пути dt в
среде с абсолютным показателем преломления пи а дру-
гая— длину пути d2 в среде с абсолютным показателем
преломления п8:
Д<Р = («» — S1),
где sa = n2d2, Si = «i^i, хо — длина волны света в вакуу-
ме.
3° Если оптические длины пути двух лучей равны,
s1==Sa, то такие пути называются таутохронными (не
вносящими разности фаз). Условию таутохронности удо-
влетворяют все пути лучей в оптических системах,
35*
548 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА [V.4
дающих стигматические изображения (стр. 569) источ-
ника света.
4е Величина As=^St — s8 называется оптической раз-
ностью хода двух лучей. Разность хода As связана с раз-
ностью фаз Ду:
Ду = ^ Дз.
Ао
5* При Де = Хо/2 разность фаз Ду = тс; удлинению (или
укорочению) оптической длины пути одной из волн отно-
сительно другой на Хо/2 соответствует запаздывание (или
опережение) первой волны на те. При суперпозиции та-
ких двух волн их амплитуды вычитаются друг из друга,
и в случае равенства амплитуд обеих волн амплитуда
результирующей волны равна нулю.
3. Интерференция в тонких пленках
Г При наблюдении интерференции света, отраженного
в вакуум от плоскопараллельной пластинки (рис. V. 4.3),
оптическая разность хода ин-
терферирующих лучей
As == п (AD + DC) — (ВС) +
+ -у “ у п2 — sin2/ + »
Дз = 2hn cos г + -у,
где h — толщина пластинки,
п — ее абсолютный показа-
тель преломления (стр. 536),
i — угол падения лучей на пла-
стинку, г — угол преломления
лучей в пластинке. Дополнительная разность хода А/2 свя-
зана с отражением света от передней поверхности пла-
стинки (как оптически более плотной среды) с измене-
нием фазы волны на те (стр. 539).
2е Условия максимумов и минимумов интенсивности
интерференционной картины, образуемой двумя когерент-
ными потоками света, отраженными от обеих поверхно-
стей пластинки:
2/z у & _ .
V.4.3] ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В ТОНКИХ ПЛЕНКАХ 549
Здесь k = 2mt где т — целое число, для минимумов и
& = 2т4-1 — для максимумов. Если отражение от обеих
поверхностей пластинки происходит с потерями Х/2 (или
без них), то интерференционная картина смещается на
полполосы (стр. 546).
3° Интерференционная картина в немонохроматическом
свете, длины волн которого лежат в интервале от X до
К -1- ДХ, исчезает, когда с интерференционными максиму-
мами т-го порядка для излучения с длиной волны X + ДХ
совпадают максимумы (т + 1)-го порядка для излучения
с длиной волны X:
(т + 1) X = т (X + ДХ).
Для наблюдения интерференции порядка т должно
выполняться условие:
Чем больше порядок интерференции т, который необ-
ходимо наблюдать, тем монохроматичнее должен быть
свет.
4° При освещении пластинки белым светом интерфе-
ренционная картина приобретает многоцветную окраску.
Интерференция в таком свете может наблюдаться лишь
на очень тонких пластинках (пленках). В монохромати-
ческом свете интерференционная картина может наблю-
даться и на толстых пластинках (стр. 551).
5° Если свет от точечного или протяженного источника
монохроматического света падает на пленку с меняющей-
ся толщиной (h ф const) и на пути интерферирующих
лучей поставлена линза так, чтобы на экране получилось
изображение передней поверхности пленки (п. 1°), то по-
явится интерференционная картина, полосы которой соот-
ветствуют одному и тому же значению Л, а форма их
следует ходу линий, соединяющих участки пленки с оди-
наковой толщиной. Полосы равной толщины локализова-
ны на поверхности пленки.
6° При интерференции на клине интерференционная
картина представляет собой полосы равной толщины, па-
раллельные ребру клина. Клин должен быть очень тон-
ким; в противном случае интерференционной картины
не будет. Для различных полос величина h раз-
лична. Интерференционная картина наблюдается только от
узкой части клина, для которой 2/нф X, где i — угол
550
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
[V.4
падения, ф — угол, под которым виден источник из точ-
ки клина, соответствующей данному h.
Т Кольца Ньютона наблюдаются при наложении на
плоскую пластинку плоско-выпуклой линзы с большим
радиусом кривизны (рис. V. 4.4). Интерференционная кар-
тина представляет собой полосы равной толщины —
кольца, центры которых лежат
на оси симметрии линзы. Ин-
терференция практически на-
блюдается лишь от области
возле точки касания линзы и
плоской пластинки. Радиусы
темных и светлых интерферен-
ционных колец:
р = У mR\
для темных колец в отраженном свете (с учетом допол-
нительной разности фаз тс при отражении от плоской
пластинки),
Р = /(2m + 1) /? |
для светлых колец, где X — длина волны, т = 0, 1, 2, 3,...
В белом свете различным длинам волн X соответству-
ют разные р и получается система цветных колец со зна-
чительным наложением одних цветов на другие; при
больших т интерференционная картина неразличима для
глаза.
8° При освещении плоскопараллельной пластинки моно-
хроматическим сходящимся или расходящимся пучком
света каждому значению угла падения I соответствуют
различные значения оптической разности хода As. Интер-
ференционные максимумы и минимумы располагаются по
направлениям равных углов i и являются полосами рав-
ного наклона.
9° Полосы равного наклона локализованы в бесконеч-
ности. При установке на пути интерферирующих лучей
собирающей линзы в ее фокальной плоскости получается
интерференционная картина.
10° При освещении плоскопараллельной пластинки бе-
лым светом полосы равного наклона различно располо-
жены в зависимости от X и являются цветными. По мере
возрастания порядка интерференции т картина сливается.
V.6J] ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА - ФРЕНЕЛЯ 551
Толщина пластинки для наблюдения интерференции в бе-
лом свете определяется условием, приведенным на стр. 549.
1Г При большой оптической разности хода Дз, значи-
тельно (в 104 4- 10е раз) превышающей длину X световой
волны, происходит интерференция разновременно испу-
щенных лучей. Пока разность хода Дз такова, что раз-
ница во временах испускания интерферирующих лучей
Д£ невелика по сравнению с продолжительностью вре-
мени испускания света атомом т, интерференция сохра-
няется. При Д£>т когерентность складываемых волн
уже не имеет места и интерференция исчезает.
Условие наблюдения интерференции:
т. е. сильная монохроматизация излучения для боль-
ших Дз.
12° Монохроматизация осуществляется либо с помо-
щью светофильтров с узкими спектральными характе-
ристиками (стр. 612), либо в самом источнике света — пу-
тем ослабления воздействия посторонних причин на про-
цесс излучения и увеличения, таким образом, времени т
(стр. 613 и 666).
ГЛАВА 5
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
1. Принцип Гюйгенса—Френеля
Г Дифракцией света называется огибание световыми
волнами встречных препятствий (экранов) с размерами,
соизмеримыми с длиной волны. Под дифракцией обычно
имеют в виду как нарушения законов геометрической
оптики, так и сопровождающие их интерференционные
явления.
Математически строгое решение дифракционных задач
на основе волнового уравнения (стр. 523) с граничными
условиями, зависящими от характера препятствий, пред-
ставляет исключительные трудности. Поэтому применя-
ются приближенные методы решения.
2° Принцип Гюйгенса', положение фронта распростра-
няющейся волны (стр. 500) может быть в любой мо-
мент времени представлено огибающей всех вторичных
552 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА [V.6
(элементарных) волн. Источниками вторичных волн
являются точки, до которых дошел фронт первичной
волны в предшествующий момент времени.
Принцип Гюйгенса справедлив при условии, что дли-
на волны много меньше размеров волнового фронта, и
является геометрическим методом построения фронта
волны.
3° Принцип Гюйгенса—Френеля’, каждая точка фрон-
та распространяющейся волны является источником вто-
ричных когерентных волн. Результат интерференции
вторичных элементарных волц зависит от направления:
интенсивность /втор вторичных волн максимальна в на-
правлении нормали к фронту волны и уменьшается с
увеличением угла а между этой нормалью и направле-
нием, в котором рассматривается действие вторичной
волны. Для а я / 2 величина /втор обращается в нуль,
т. е. отсутствует обратная волна, распространяющаяся
от вторичных источников к источнику света. Предпола-
гается, что фаза результирующей вторичных волн в точ-
ке наблюдения совпадает с фазой действительно рас-
пространяющейся волны.
Вторичные источники являются фиктивными, и
принцип Гюйгенса — Френеля служит лишь приемом
для расчетов направления распространения волн и
распределения их интенсивности (или амплитуды) по
различным направлениям.
4° Для электромагнитных волн различаются: диф-
ракция радиоволн, света и рентгеновых лучей. По виду
волн различаются: дифракция сферических волн и диф-
ракция плоских волн. По роду экранов различаются:
дифракция на круглом отверстии и круглом экране, на
полубесконечном прямом экране, на длинной узкой ще-
ли и длинном узком экране, на прямоугольном отвер-
стии и прямоугольном экране, на двух и более узких
щелях (дифракционной решетке), а также на многомер-
ных структурах.
5° Если между источником световых волн и точкой их
наблюдения находится непрозрачный экран с отверстия-
ми, то на поверхности экрана амплитуды вторичных
волн (стр. 535) принимаются равными нулю, а в отвер-
стиях — такими, как если бы экран отсутствовал. Ма-
териал экрана считается в первом приближении не
играющим роли. Амплитуда волны, прошедшей экран,
определяется расчетом в точке наблюдения интерферен-
V.5.2] ГРАФИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ АМПЛИТУД 553
ции вторичных волн от вторичных источников, распола-
гающихся в отверстии экрана.
6° Расчет интерференции вторичных вплч наиболее
просто проводится разбиением фронта первичной волны
на участки (зоны). Разбиение
проводится так, что расстоя-
ния от смежных участков фрон-
та волны (зон Френеля) до
точки наблюдения и оптиче-
ские разности хода вторичных
волн, испускаемых соседними
зонами, различаются на Х/2
(рис. V. 5.1), так что эти волны
ослабляют друг друга.
Г
Рис. V. 5.J.
2. Графическое сложение
амплитуд вторичных волн
Г Амплитуду волны в
точке наблюдения можно рас-
считывать графическим мето-
дом. В этом методе каждая
зона разбивается на бесконечно
малые участки, в каждом из
которых фазу вторичных волн
считают приблизительно по-
стоянной. Колебания в точке наблюдения от каждого
участка представляются векторами (стр. 97 и 98), и строится
векторная диаграмма их сложения. Результирующая
диаграмма является полуокружностью. Результирующая
амплитуда вторичной волны от зоны равна диаметру этой
полуокружности.
2° Амплитуда результирующей вторичной волны от
каждой зоны пропорциональна площади зоны и углу
между нормалью к ней и прямой, соединяющей источник
света с точкой наблюдения (стр. 552). Последовательный
учет амплитуд от всех зон, когда зоны равновелики по
площади (рис. V. 5.1), дает векторную диаграмму в виде
суживающейся спирали (рис. V. 5.2). Результирующая
амплитуда волны в точке наблюдения равна половине
амплитуды волны от центральной зоны, для которой
а0 = 0, cos а0 = 1.
3° В ряде случаев (стр. 556) более удобно разбиение
фронта волны не широтными, а меридиональными
554 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА (V.5
плоскостями (рис. V. 5.3). Получающиеся в сечении зоны
имеют вид лунок, площади которых убывают с увеличе-
нием номера зоны. Построение векторной диаграммы в
этом случае проводится так же, как и в п. Г. Амплиту-
да волн от каждой из зон с
ростом их номера убывает бы-
стрее, чем в случае зон п. 2°,
и результирующая диаграмма
представляется спиралью, на-
зываемой спиралью Корню
(рис. V. 5.4).
3. Дифракция сферических
волн
Г Дифракция сферических
световых волн называется ди-
Рис. V. 5.4.
фракцией Френеля. Этот вид
дифракции обычно рассчитывается графически.
2° Дифракция на круглом отверстии в непрозрачном
экране (рис. V. 5. 5, а). Если число зон, укладывающихся в
V.5.3] ДИФРАКЦИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛН №
отверстии, нечетно, то амплитуда в точке наблюдения Г,
лежащей против центра отверстия, больше, чем при
отсутствии экрана. Если число зон
четно, то интенсивность в точке
наблюдения меньше, чем при от-
сутствии экрана. Дифракционная
картина на плоскости, параллель-
ной экрану, для этих двух случаев
показана на рис. V. 5.5, б.
Рис. V. 5.5.
3е Дифракция на малом круглом экране (рис. V. 5. 6, а).
Интенсивность света в точке наблюдения Г, лежащей
против центра экрана,
равна четверти интенсивности
волны от первой откры-
той зоны, т. е. в центре
геометрической тени от
экрана находится светлое
Рис. V. 5.6.
пятно. В соседних точках ьаблюдается чередование ин-
тенсивностей, называемое бифракции иными кольцами
(рис. V. 5. 6,6).
556
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[V.»
4° Дифракция на краю полубесконечного экрана
(рис. V. 5. 7, а). Разбиение на зоны Френеля в этом слу-
чае неудобно; прйменяется разбиение фронта волны на
лунки. Амплитуда результирующей волны в точке наблю-
дения То определяется расстоянием от фокуса спирали
Корню до начала отсчета 0 (рис. V. 5. 4). Распределение
Рис. V. 5.9.
интенсивностей на плоскости наблю-
дения, параллельной плоскости экра-
на, показано на рис. V. 5. 7, б.
5° Дифракция на щели (рис. V.5.8,a).
Если ширина щели велика по сравне-
нию с радиусом первой зоны Френеля,
то амплитуда результирующей волны в
точке наблюдения Го, лежащей против
середины щели, определяется расстоя-
нием между обоими фокусами спирали
Корню (рис. V. 5. 4), т. е. вдвое
больше, чем в случае п. 4°. Распре-
деление интенсивности на плоскости
наблюдения показано на рис. V. 5. 8, б.
При смещении точки Т к краям щели
интенсивность меняется незначитель-
но, пока Т не входит в область чередо-
вания максимумов и минимумов ин-
тенсивности, когда распределение интенсивности сов-
падает со случаем п. 4L
6° Дифракция на узком длинном экране (рис. V. 5. 9, а).
Распределение интенсивностей показано на рис. V.5.9, б.
V.M]
ДИФРАКЦИЯ плоских волн
557
Если ширина экрана_(например, диаметр проволоки) мала
сравнительно с У Ь\ где b — расстояние от экрана до
точки наблюдения, то экран практически не дает тени.
7° Если форма краев экранов и отверстий в них от-
личается от геометрически идеальной, то дифракционные
закономерности пп. 2° — 6° не выполняются. Степень
отклонения от этих закономерностей определяется вели-
чиной Д/]/^Х, где Д — длина основания или высота вы-
ступов (шероховатостей) на краях экрана, b — расстоя-
ние от экрана до точки наблюдения, X — длина волны:
а) 1 — нарушения дифракционной картины прак-
тически отсутствуют;
б) 1—дифракционная картина сглаживается и
может исчезнуть;
в) —дифракционные полосы или кольца по-
вторяют конфигурацию выступов и впадин на внешних
краях экранов или краях отверстий в них.
4. Дифракция плоских волн
Г Дифракция плоских световых волн называется ди-
фракцией Фраунгофера. Этот вид дифракции обычно рас-
считывается аналитически.
, 2° Дифракция на узкой и длинной щели. Амплитуда
волны, распространяющейся под углом <р к плоскости
щели:
А(?) = А» —= До ~У~~ -
-у sm ср -у- sin ср
где /г = 2тс/Х — волновое число, X—ширина щели, А® —
амплитуда в центре дифракционной картины.
Если угол <р мал, то
. кХ
sin -г- ср
А^) = Аа~^-.
T'f
3° Условие минимумов:
А (<р) = 0 при sin ср = , п = 1,2, 3,...
558
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[V.5
Условия максимумов:
для первого максимума Л(ср) = Д0 при <р = 0;
для остальных максимумов sin<p = ^, m = l,43; 2,46;
3,47; 4,48;...
4° Распределение интенсивностей (/соДа):
7(?) = /о
sin2 sin
Vys,n d
Это распределение показано на рис. V. 5. 10. Отноше-
ние высот максимумов интенсивностей (главный макси-
мум принят за 1) 1:0,045:0,016:...
«А о д гл гл
X * 7 * * /
Рис. V. 5.10.
5е Расстояние минимумов от центра дифракционной
картины растет с уменьшением X. Центральный макси-
мум интенсивности при этом расширяется и уменьшает-
ся в высоте (рис. V. 5. 11). При X —X первый минимум
уходит в бесконечность. Интенсивность постепенно спа-
дает от центра в плоскости наблюдения к ее краям. При
увеличении X дифракционная картина сужается, главный
максимум выделяется резче. При Л>>Х на экране полу-
чается резкое (геометрическое) изображение щели без
признаков дифракционной картины.
6° Дифракция от прямоугольного отверстия. Направле-
ние дифрагированного света определяется с помощью двух
углов ф и у с первоначальным направлением, отсчитыва-
емых соответственно в плоскостях, проходящих через на-
чальное направление параллельно сторонам прямоуголь-
V.5.4]
ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКИХ ВОЛН
559
ника Y и Л, где X — его ширина, a Y — высота. Направле-
ния, удовлетворяющие условиям Гзтф = пХ и Xsin ср=
= где п и т — целые числа, соответствуют
минимумам интенсивности. Распределение интенсивностей:
sin2 (sin sin2 (sin
Къ Ф) = /о -7^-^ ~7 J . X»2-
Интенсивность в направлениях, для которых tg у, tg ф <С 1>
и sin ср <р, sin ф ф:
9 л к Y
Sin2 -Г- Ср Sin2 -уф
(?, ф) = /о /те X \2 /тс У . \3 ’
где /о — интенсивность света, идущего по направлению,
определенному углами ср = 0, ф = 0.
7° Дифракция от круглого отверстия. Дифракционная
картина представляет собой чередование светлых и тем-
ных колец; распределение интенсивности показано на
рис. V. 5. 12. Положения первых максимумов и положе-
ния первых минимумов удовлетворяют условию
km м л
sin cpm = т л,
где т — целые числа, 7? — радиус отверстия, А — длина
волны. Значения &мин, ^макс и относительные интенсив-
ности максимумов /отн для/п = 1, 2, 3 и 4 приведены в
таблице.
560
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
IV.»
т ^макс ^мин Аэтн
1 0 0,61 1
2 0,41 0,56 0,0175
8 0,44 0,54 0.0042
4 0,46 0,53 0,0016
Сужение отверстия приводит к расплыванию дифрак-
ционной картины. При увеличении Л дифракционная кар-
тина стягивается в точку.
8* Дифракция на двух одинаковых параллельных ще-
лях (рис. V. 5. 13а). Прежние, «главные» минимумы интен-
сивности находятся в тех же местах, что и для одной
щели (стр. 557). Дополни-
у тельные минимумы соответ-
/ ствуют направлениям, в ко-
торых интерференция света
от обеих щелей приводит
к его гашению:
Zsin <f = (2jn + 1)у,
PHcV-5J3a' т = 0,1,2,...;
здесь Z = X-{- У, X—ширина щели, Y—расстояние меж-
ду щелями.
Положения главных минимумов: Xsin ср = т X, т --
= 1, 2,3,...
Положения главных максимумов: Z sin ср = m X т —
= 0, 1,2,3,...
V.M1
ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКИХ волн
561
Распределение интенсивностей показано на
рис. V. 5. 136. По сравнению с дифракцией на одной
щели (п. 4е) дифракционные максимумы становятся более
узкими. Центральный главный максимум (т = 0) значи-
тельно интенсивнее побочных главных максимумов. Меж-
ду двумя главными мак-
симумами располагается
один добавочный мини-
мум. При X < Z между
двумя первоначальными
минимумами располагает-
ся значительное число
новых минимумов и мак-
симумов.
9е Дифракция на N
периодически располо-
женных параллельных
щелях. Совокупность N
периодически располо-
женных щелей в непро-
зрачном экране называв
Если ширина каждой щели X, а расстояние между их
краями У, то Z = X-{-Y называется периодом дифрак-
ционной решетки.
Положения главных минимумов: Xsin<p = mX, т —
»= 1.2,3...
Положения главных максимумов: Zsin<p = mX, т~
== 0, 1,2,3...
Положения добавочных минимумов:
~ . X 2Х (Я-1)Х (JV-f-l)X
Zsin? = ^, ...
А А О Л А М
~ х х'гг zz х х
Sin<jp
Рис. V. 5.136.
дифракционной решеткой.
Между двумя главными максимумами располагаются
N—1 добавочных минимумов, разделенных вторичными
максимумами. С увеличением числа щелей интенсивность
главных максимумов растет пропорционально №, а энер-
гия пропускаемого света увеличивается пропорционально
N. В результате возникают резкие узкие максимумы, раз-
деленные практически темными промежутками; наиболь-
шая интенсивность вторичных максимумов составляет не
более 5% от интенсивности главного максимума. Измене-
ние угла Д<р при переходе от данного добавочного мини-
мума к соседнему равно
д<р=«772--
36 Б. М. Яворский, А. А. Детлеф
562
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[V.5
10* Распределение интенсивности на плоскости на-
блюдения:
sin8 (— sin sin2 ( —— sin <p j
sin <py sin2 sin
где /0 — интенсивность по направлению <р = 0 для одной
щели. В главных максимумах интенсивность в N* раз
больше, чем дает в соответствующих местах одна щель.
Распределение интенсивностей по главным максимумам
(т — номер максимума):
» , . a ктХ
т ~~ 1° i#m*X* Sln ’
Если X<^Z (щели очень узкие), то 1т монотонно убы-
вает с ростом т. Если X/Z=l/&, где k — целое число,
то 1т = 0 при некоторых т и соответствующие макси-
мумы выпадают из дифракционной картины.
В таблице приведены относительные интенсивности
главных максимумов для разных порядков дифракции
(различные числа т) при двух значениях отношения Z/X.
Z/Х т 0 1 2 3 4
2 3 1 1 0.4 0,675 0 0,17 0,045 0 0 0,042
11° Если плоская волна падает на дифракционную ре-
шетку под углом 6 (рис. V. 5.14), то условие главных
максимумов:
Z (sin — sin 6) = т X,
или
2Z cos sin = m X
(m = 0, dz 1, dz 2,...).
Если Z^>X, то <[>т мало отличается от 0 и
Z(ym — 0) COS 6 = /Л X.
Дифракционная картина совпадает с наблюдаемой при
нормальном падении волны на решетку, когда последняя
V.5.5] ДИФРАКЦИЯ НА МНОГОМЕРНЫХ СТРУКТУРАХ 563
имеет как бы уменьшенный период Z' = Zcos0. При
скользящем падении света (0«ате/2) можно наблюдать
дифракцию даже на очень в
грубых (Z> X) решетках. м.Яма/ъ
12° Увеличение интен- / /
сивностей главных мак- ( 1 / j /
симумов за счет ослабле- • // / /
ния центрального макси- "
мума (т = 0) осуществ-
ляется с помощью фазо- /• /
вой решетки. Она пред- /
ставляет собой специ- /у /
альную дифракционную '/ // /
решетку, в которой со- // /
здается дополнительная /
разность фаз между со- рИс. V. 6.14.
седними лучами, принад-
лежащими одной и той же щели решетки. Простейшим
примером фазовой решетки является стеклянная дифрак-
ционная решетка, толщина которой вдоль каждого из
прозрачных промежутков (щелей) изменяется по опре-
деленному закону.
5. Дифракционные явления
на многомерных структурах
Г Оптически неоднородное тело, коэффициенты про-
пускания или отражения которого зависят от двух коор-
динат на его поверхности, называется двумерной опти-
ческой структурой. Простейшим примером периодиче-
ской двумерной структуры является плоская двумерная
дифракционная решетка, представляющая собой скрещен-
ные под прямым углом вдоль осей х и у одномерные
дифракционные решетки (стр. 561) с периодами Zi и Zs.
2° В случае нормального падения света вдоль оси z
на двумерную решетку положения главных максимумов
одновременно удовлетворяют двум условиям:
Zi cos а = т X,
Zs cos ₽ = п X,
т = 0, 1, 2,
n = 0, 1, 2,
где аир — углы между осями х и у решеток и направ-
лением на главный максимум порядка (/л, и). Угол 7
между этим направлением и осью z определяется из
564 ДИФРАКЦИЯ СВВТА (V.ft
условия
COS2 а + cos1 0 COS1 7=1,
откуда
3* Если пропускная или отражательная способность
тела периодически изменяется в трех направлениях, то
оно рассматривается как трехмерная структура. Про-
стейшая трехмерная (пространственная) дифракционная
решетка представляет собой наложение параллельных
двумерных решеток в направлении, перпендикулярном
к их плоскостям. Важным случаем пространственной ди-
фракционной решетки являются кристаллические струк-
туры твердых тел (стр. 253). Вообще говоря, дифракци-
онная картина на трехмерной периодической структуре
(пространственной кристаллической решетке) определяет-
ся видом симметрии решетки. Дифракция на произволь-
ных пространственных препятствиях или неоднородно-
стях сводится к рассеянию света (стр. 616). В простейшем
случае ортогональной пространственной дифракционной
решетки с периодами Zn Z2 и Z3 вдоль осей х, у и г и
направлениями падающего и дифрагированного света, оп-
ределенными аналогично стр. 563, появляется третье
дополнительное условие главных максимумов по сравне-
нию с двумерной решеткой:
Z8(l — cos 7) = ZX,
где I — целое число. Дифракционные максимумы на трех-
мерной решетке могут наблюдаться только при некото-
рых значениях длины волны, удовлетворяющих условию
I
X = 2 /«TVs——7T\i’ m, n, Z = 1, 2,...
(й) + Ш+(п)
4е Интенсивность дифрагированных волн от трехмер-
ной решетки:
/ = /qSiS2Ss,
где
(*NiZi \
sin2 I —г cos 8/ I
=-----та--------г, «/=».₽. I.
sin2 (—у— cos )
V.5.6] ДИФРАКЦИЯ РАДИОВОЛН В65
Ni и Zi — число и величина периодов решетки по осям
X, у, Z.
5° Обратная задача дифракции состоит в том, что по
измеренным cos a, cos ₽ и cos 7 для дифракционных мак-
симумов и по известной X определяются периоды Zb Z2,
Z8 одномерных структур и углы между ними в трехмер-
ной решетке, т. е. строение и симметрия решетки. В слу-
чае рентгеновых лучей, дифрагирующих на конденсиро-
ванных средах, обратная задача дифракции называется
рентгеноструктурным анализом.
Соответствующие задачи для дифракции нейтронов
и электронов называются соответственно нейтроногра-
фией и электронографией (стр. 418 и 643).
6. Дифракция радиоволн
Г Дифракция радиоволн рассматривается путем ре-
шения уравнений Максвелла при заданных условиях излу-
чения радиоволн (определения диаграммы направленно-
сти) и при заданных гранитных условиях (стр. 464) на по-
верхности раздела Земля атмосфера.
Рассматриваются обычно дифракция на поверхности
Земли, принимаемой идеально шарообразной и однород-
ной по своим электрическим и магнитным свойствам,
и дифракция на рельефе поверхности Земли (горы, впа-
дины и т. п.).
2° Дифракция на поверхности Земли соответствует
заходу (приему) радиоволн в области геометрической
тени за горизонтом, дифракция на рельефе поверхности
Земли — огибанию радиоволнами препятствий, размеры ко-
торых сравнимы с длиной радиоволн или меньше их.
3° В задачах дифракции радиоволн атмосфера в пер-
вом приближении принимается однородной, с относитель-
ными диэлектрической и магнитной проницаемостями
t = p. = l, Рефракция радиоволн (стр. 534) не учиты-
вается.
4° Дифракция радиоволн на поверхности Земли обес-
печивает возможность дальней радиосвязи «земным лу-
чом'», огибающим поверхность Земли. Нарушения этой
связи (помехи) вызываются нерегулярными изменениями
электропроводности поверхностного слоя Земли и отно-
сительной диэлектрической постоянной атмосферы в ее
приземном слое в результате метеорологических условий.
По этой причине возникает также дифракция радиоволн
566 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА [V.S
на местных неоднородностях атмосферы. Для ослабления
помех радиосвязи используют короткие и ультракороткие
радиоволны, не .испытывающие атмосферной дифракции.
7. Некоторые характеристики спектральных приборов
1° Дифракция света имеет существенное значение в
приборах для исследования электромагнитных излучений
атомов и молекул — спектрографах и спектрометрах,
осуществляющих анализ Фурье излучения. Спектральный
прибор представляет любое излучение в виде совокуп-
ности монохроматических волн (стр. 524).
2° В ряде спектральных приборов используется дис-
персия, показателя преломления (стр. 606) призм, приво-
дящая к пространственному разделению монохроматичес-
ких компонент излучения:
sin г = п (X) sin Z,
где г — угол преломления для излучения с длиной волны
A, i — угол падения анализируемого света.
3° В спектральных приборах с дифракционными ре-
шетками положение спектральных линий на плоскости
наблюдения дается условием максимумов (стр. 561). В од-
ном и том же порядке спектра т положение спектраль-
ной линии однозначно определяется ее длиной волны X,
и линии с разными X пространственно разделены.
4° Установление длин волн исследуемого излучения
в спектральных приборах чаще всего производится путем
сравнения длин волн двух близких спектральных линий
(одна из которых принадлежит эталонному веществу или
излучению). Положение спектральной линии задается
углом, определяющим направление лучей.
Величина
где Д<р — угловое расстояние между линиями (разница
в углах на выходе из призмы или из решетки для двух
лучей с длинами волн Л ДА и X) называется угловой
дисперсией спектрального прибора. D выражается в уг-
ловых единицах на 1 А.
5° Величина
где Д/— линейное расстояние между линиями, различаю-
V.5.7] ХАРАКТЕРИСТИКИ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПРИБОРОВ 567
щимися по длинам волн на ДХ, называется линейной дис-
персией спектрального прибора. D* обычно выражается
в мм/к. Если исследуемый спектр проектируется на
экран линзой с фокусным расстоянием /, то
D* = Df.
6° Угловая дисперсия дифракционной решетки
D = ,
Z cos
где т — порядок спектра, Z — период решетки, <?т — по-
ложение т-ro максимума (стр. 561).
7° Две близкие спектральные линии условно считают-
ся полностью разрешенными, т. е. наблюдаемыми порознь,
если максимум интенсивности для одной линии с длиной
волны Хх совпадает с минимумом интенсивности для дру-
гой линии с длиной волны Ха (критерий Рэлея).
8° Разрешающей способностью спектрального прибора
называется величина
где ДА — наименьшая величина (при данном значении X),
при которой еще выполняется критерий Рэлея для линий
с Xi и Х2 = Xt + ДХ. Для дифракционной решетки Р — mN,
где т — порядок спектра, N— число щелей решетки.
9° Величина ДХ, при которой еще не перекрываются
максимумы и минимумы от излучений с разными длина-
ми волн X, называется дисперсионной областью G спек-
трального прибора] для дифракционной решетки G = Х/т,
где т — порядок главных максимумов. Обычно /п = 2
или 3, так что с помощью дифракционной решетки мож-
но анализировать весьма немонохроматический (даже
белый) свет.
10° Дифракция рентгеновых лучей на пространствен-
ных естественных структурах используется для исследо-
вания рентгеновских спектров (рентгеноспектральный
анализ). Рентгеновым лучам соответствуют длины волн
Х~0,1 4-20 А. Так как для рентгеновых лучей п^\, то
применение интерференционных спектральных приборов
невозможно. Дифракционные решетки для рентгеновых
лучей грубы и могут использоваться только для углов
падения Z«»90o (скользящее падение, стр. 563).
568 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА [V.6
Обычно используются явления дифракции на трехмерных
кристаллических структурах, для которых период решет-
ки Z, совпадающий с межплоскостным расстоянием,
имеет порядок длины волны X. Максимумы наблюдаются
в направлениях, для которых выполняется условие
(стр. 561)
Z sin = т X,
называемое условием Вольфа—Брэгга. Порядок рентгенов-
ских спектров обычно ограничивается т = 2, 3. Для рент-
геновских спектрографов характерны большая разрешаю-
щая способность (стр. 567) и значительная дисперсионная
область (стр. 567).
ГЛАВА в
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
1. Основные положения
1° Приближение волновой оптики, в котором полага-
ется X —► 0, называется геометрической (или лучевой)
оптикой.
2е Световой поток в геометрической оптике считается
совокупностью отдельных независимых световых лучей,
каждый из которых подчиняется законам преломления
и отражения (стр. 537). В оптически изотропной среде
лучи являются внешними нормалями к фронту волны
в каждой его точке и описывают движение фронта све-
товой волны в пространстве.
3е В геометрической оптике пренебрегают дифракцион-
ными явлениями, считая их малыми. Это пренебрежение
возможно, когда расстояние от края геометрической тени
предмета до первого дифракционного минимума вне
тени мало по сравнению с размерами предмета D:
где R — расстояние от предмета до точки наблюдения,
X — длина волны.
4* Принцип Фермах действительный путь распростра-
нения света между двумя точками есть такой путь, для
прохождения которого свету требуется наименьшее вре-
мя Т по сравнению с любым другим мыслимым путем
V.6.1]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
569
между этими точками:
в в
. f . {dr
7 = minj dt = min ,
A A
где v— скорость света в данной среде
5° В оптически однородной среде
в в
Т = min ~ J ds = ~ min § dr,
А А
где s — оптическая длина пути (стр. 547). Из принципа
Ферма следует, что в однородной среде свет распрост-
раняется прямолинейно.
6° На основании принципа Ферма выводятся законы
преломления и отражения света на границе раздела двух
сред (стр. 537), которые лежат в основе геометрической
оптики. Из этого принципа также следует закон обрати-
мости световых лучей (или закон взаимности): если
луч падает из первой среды на границу со второй под
углом Z, преломляется и входит во вторую среду под
углом г, то луч, падающий из второй среды на границу
с первой под углом г, после преломления войдет в пер-
вую среду под углом I. Отсюда следует соотношение
для относительных показателей преломления обеих сред:
1
где и п% — абсолютные показатели преломления обеих
сред.
7° В геометрической оптике каждая точка источника
света считается центром расходящегося пучка лучей,
называемого гомоцентрическим. Если после отражений
и преломлений пучок сходится также в одну точку, то
он тоже гомоцентрический. Центр отраженного или пре-
ломленного пучка называется изображением соответству-
ющей точки источника света. Если каждой точке источ-
ника света соответствует одна точка изображения, то
изображение называется стигматическим. Сходственные
точки источника и изображения, а также соответствую-
щие лучи и пучки света называются сопряженными.
Задачей геометрической оптики является построение
сопряженных изображений.
570
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
[V.e
2. Плоское зеркало. Плоскопараллельная пластинка.
Призма
Г Гомоцентрический пучок, выходящий из точки S,
после отражения в плоском зеркале (рис. V. 6. 1) оста-
ется гомоцентрическим. Точка S* является мнимым изо-
бражением источника S, так как оно образовано не
самими отраженными лучами, а их продолжениями.
Линия SS* перпендикулярна к плоскости зеркала, причем
Д = Д’, где Д и Д' — соответственно расстояния точки
и ее изображения от зеркала. Гео-
метрические размеры протяжен-
ного источника света и его мни-
мого изображения одинаковы.
s
Рис. V. 6.1.
Рис. V. 6.2.
2° В плоскопараллельной пластинке (рис. V. 6. 2) угол
падения и угол выхода лучей света из пластинки равны
друг другу. Пластинка смещает луч света параллельно
самому себе на расстояние:
Д—dsirnfl - 1/1 - sini А ,
\ V п* — sin2 i)
где d — толщина пластинки, i — угол падения лучей,
п — относительный показатель преломления материала
пластинки. Источник кажется приближенным к поверх-
ности пластинки на расстояние
\ г п2—sin2//
При нормальном падении лучей (Z == 0) Д=0и Д'=
= dn. Гомоцентричность пучка сохраняется только
при почти нормальном падении лучей на пластинку.
v.e.ai
СФЕРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
571
3е В призме с основанием АВ и преломляющим реб-
ром С (рис. V. 6.3) получается мнимое изображение,
находящееся по ту же сто-
рону от призмы, что и ис-
точник. Если плоскость па-
дения перпендикулярна к
ребрам призмы (главное се-
чение призмы), то изобра-
жение смещено относитель-
но источника на угол <р =
= /i + rs — а, где а — пре-
ломляющий угол призмы
(рис. V. 6. 3). Лучи, падаю-
щие под углом к главному
сечению, преломляются тем сильнее,
между плоскостью падения и главным сечением.
Когда ii = г9, угловое смещение источника
мально:
Тмин в 2 (*i — -у)»
Рис. V. ед
чем больше угол
мини-
где Ц — угол падения лучей, а — преломляющий угол
призмы. Такое расположение призмы относительно источ-
ника света называется установкой под углом наимень-
шего отклонения] при этом
sin
Тмин + Л .л
---5-----= п sin т .
3. Преломление и отражение на сферической
поверхности
Г Если две среды имеют границу раздела сфериче-
ской формы (рис. V. 6. 4), то после преломления на ней
пучок останется гомоцентрическим только в том случае,
когда угол раствора его невелик, точнее, когда расстоя-
ния а точки Oi и О практически
совпадают.
2° Узкий конус световых лучей с осью, нормальной
к сферической границе раздела, называется параксиаль-
ным (приосевым) пучком. Непараксиальные пучки не
дают стигматических изображений и после преломления
перестают быть гомоцентрическими (стр. 569).
3° Если сферическая поверхность имеет радиус кри-
визны R, а среды по обе стороны от нее обладают
572 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА [ V.6
абсолютными показателями преломления пг и п2, то для
параксиальных пучков остается неизменной величина
Q~n называемая нулевым инвариантом Аббе’.
Q=n>
где ai и — расстояния до источника и его изображения,
отсчитываемые от границы раздела О, причем в направле-
нии распространения света они считаются положительными
Рис. V. 6.4.
,а в противоположном — отрицательными (на рис. V. 6. 4
а2 >0 и fli< 0). Для выпуклой (по отношению к источнику
света) поверхности раздела для вогнутой
4° Соотношение п. 3° в виде
П\ П2 П\ — п2
называется формулой сферической поверхности в опти-
ке. Частные случаи:
ai = — со — источник света находится в бесконечности,
аа = оо —изображение источника находится в беско-
нечности,
а1 =-----
п2 — П\
5® Величины и /2 называются соответственно перед-
ним и задним фокусными расстояниями преломляющей
сферической поверхности. Точки, отстоящие от сфериче-
ской поверхности на расстояниях Л и /2, называются соот-
ветственно передним и задним ее фокусами Fi и Л2. В F2
сходятся параллельные лучи от источника света в бесконеч-
ности, в Fi — параллельные лучи от изображения в беско-
нечности. Если сферическая поверхность обращена выпук-
V.6.8]
СФЕРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
573
лостью к среде с меньшим значением абсолютного пока-
зателя преломления п, то оба фокуса (и изображение)
действительны; в обратном случае оба фокуса (и изображе-
ние) мнимы. Поскольку фокусные расстояния
Если ^1<п2, то |/i | </8.
6° Если п8 = — пи то имеет место формула сферическо-
го зеркала:
о] ’
где R — радиус кривизны зеркала. Фокусное расстояние
сферического зеркала
/.=/=4-
Изображение в сферическом зеркале действительное,
если находится по одну сторону с источником, и мнимое
в противоположном случае. Фокус у вогнутого зеркала
действительный, у выпуклого — мнимый. Выпуклое зер-
кало дает мнимые изображения, а вогнутое — действи-
тельные.
7° Если в фокусе вогнутого сферического зеркала
помещен точечный источник света, то параксиальные
лучи от него выйдут после отражения от зеркала парал-
лельными друг другу (прожектор). Для увеличения ин-
тенсивности света в прожекторе используются непарак-
сиальные лучи, причем для уменьшения расходимости
отраженных лучей применяются параболические зеркала.
8° Для улавливания широких пучков лучей приемни-
ки электромагнитных волн помещаются в фокусе пара-
болических зеркал. Параболическая форма зеркал об-
условливает приблизительную гомоцентричность отражен-
ных лучей с центром в фокусе зеркал.
9° Отношение линейных размеров изображения йи и
предмета hn называется линейным или поперечным увели-
чением Y сферической поверхности. При малых Ли и йп
(параксиальные пучки):
__ у__ П1 Е*
ha ”2 «1
Для преломляющих поверхностей, если изображение
действительное, то У<0; для мнимых изображений />-0
Для отражающих поверхностей nt _=— nt и
у ____ ai .
574
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
[V.e
для действительных изображений У<0, для мнимых У>0.
Для плоского зеркала У= 1. Случай У<0 соответствует
перевернутому, случай У>0 — прямому изображению.
10° Плоскость предмета и плоскость его изображения
называются сопряженными относительно сферической
поверхности. Сопряженные плоскости, для которых У = 1,
называются главными. Для сферической поверхности
главные плоскости совпадают и общая плоскость являет-
ся касательной к сферической поверхности в точке пе-
ресечения ее осью параксиального пучка.
Рис. V. ед
1Г Изображение предмета передается без искажений,
если выполняется условие синусов Аббе:
hn ni sin = Ли na sin ф8,
где фх и фа — углы раскрытия пучков света (рис. V. 6. 5).
Если углы ф малы (sin фФ), то условие передачи изо-
бражения предмета без искажений:
Лп П1 = Ли
(условие Лагранжа — Гельмгольца).
4. Тонкие линзы
Г Линзой называется прозрачное тело, ограниченное
двумя криволинейными или криволинейной и плоской
поверхностями. В большинстве случаев применяются лин-
зы, поверхности которых имеют сферическую форму.
2° Линза называется тонкой, если ее толщина d мала по
сравнению с радиусами кривизны ее поверхностей и /?а.
В противном случае линза называется толстой.
3° Для тонкой линзы две главные ее плоскости — со
стороны предмета и со стороны изображения (стр. 577) —
считаются совпадающими. Они проходят через точку,
называемую оптическим центром линзы. Прямая, про-
V.6.4]
ТОНКИЕ ЛИНЗЫ
575
ходящая через оптический центр линзы перпендику-
лярно к ее главным плоскостям, называется главной
оптической осью линзы, остальные прямые, проходя-
щие через оптический центр, — побочными осями лин-
зы (рис. V. 6.6). Лучи, идущие вдоль оптических
осей линзы (главной и по-
бочных), не испытывают
преломления.
4е Общая формула тон-
кой линзы:
я;)’
где /г21 = п^/П! — относи-
тельный показатель прелом-
ления материала линзы,
и Т?2 — радиусы кривизны
передней и задней (относи-
Рис. V. 6.6.
тельно предмета) поверхно-
стей линзы. Смысл aY и а2 указан на стр. 572. Знаки
Т?2, ^1, а2 определяются направлением отсчета от оптиче-
ского центра линзы (стр. 572).
5° Линза име‘ет два фокуса, соответствующие = — оо,
а2=оо. Фокусные расстояния линзы:
А =
fl
т. е. равны по абсолютной величине друг другу. Если
/2<0, то F2 — мнимый фокус; если /2 > О, то фокус
действительный. Если один из фокусов действительный,
то и второй действителен, и наоборот.
6° Когда фокусы линзы действительны, пучок парал-
лельных лучей после преломления в линзе сходится в
действительную точку. Такая линза называется собираю-
щей (положительной). Когда фокусы линзы мнимы,
пучок параллельных лучей после преломления в линзе
становится расходящимся. Такая линза называется рас-
сеивающей (отрицательной).
Т Для п2 > «1 собирающими линзами являются двояко-
выпуклые, плоско-выпуклые и вогнуто-выпуклые (поло-
жительные менисковые линзы), утоньшающиеся от цент-
ра к краям; рассеивающими являются двояковогнутые,
плоско-вогнутые и выпукло-вогнутые линзы (отрица-
576 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА |V.6
тельные мениски), утолщающиеся от центра к краям.
Для па < «1 классификация линз обратна случаю > пь
8е Для линз справедлива формула
1.1 1 1.11
v + 7=±TTl’ ИЛИ Т + Т = 7-
где s = | «11, d = а2, /=А — фокусное расстояние линзы,
внак плюс соответствует собирающей линзе, знак минус —
рассеивающей.
9° Тонкая линза дает неискаженное изображение пред-
мета, если предмет мал (или достаточно удален от лин-
зы), так что лучи от него идут в непосредственной близо-
сти от главной оптической оси линзы (параксиальны).
10° Построение изображения предмета в линзе осуще-
ствляется с помощью двух лучей от каждой точки пред-
мета; изображение точки находится в месте пересечения
этих лучей после прохождения сквозь линзу (в случае
мнимого изображения — в месте пересечения продолже-
ний лучей, прошедших сквозь линзу). Обычно пользуются
любыми двумя из лучей: либо проходящим через опти-
ческий центр линзы без преломления и выходящим из
линзы после пересечения с ее главной оптической плос-
костью параллельно главной оптической оси, либо падаю-
щим из точки предмета на линзу параллельно ее глав-
ной оптической оси и после преломления в линзе прохо-
дящим через ее фокус.
1Г Линейное увеличение тонкой линзы У=а2/Я1- Для
действительных изображений 0, т. е. они переверну-
ты; для мнимых изображений У>0, т. е. они прямые.
При а2 = — «1 линза дает действительное перевернутое
равное изображение предмета. Это возможно, только
когда предмет и изображение оба находятся на двойных
фокусных расстояниях от центра линзы.
12е Величина
°-7-
где f—фокусное расстояние линзы, называется оптичес-
кой силой линзы. Для собирающих линз D > 0, для рассеи-
вающих D < 0. Оптическая сила линз выражается в
диоптриях] размерность диоптрии — лг*1.
13° Изображениям предметов с помощью тонких линз
присущи многочисленные искажения (стр. 582). Для умень-
шения этих искажений собирают группы разных линз,
называемые оптическими системами.
V.6.5] ЦЕНТРИРОВАННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 577
5. Центрированные оптические системы
Г Оптическая система называется центрированной,
если центры кривизны всех преломляющих ее поверхно-
стей лежат на одной прямой, называемой главной опти-
ческой осью системы.
2° Оптическая система, в которой сохраняется гомо-
центричность пучков и изображение геометрически по-
добно предмету, называется идеальной оптической систе-
мой. Идеальными являются центрированные оптические
системы, в которых изображения получаются с помощью
монохроматических и гомоцентрических пучков света.
3° Всякая идеальная оптическая система обладает
двумя главными и двумя фокальными плоскостями. Глав-
ные плоскости перпендикулярны к главной оптической
оси системы и в общем случае не совпадают друг с
другом. Они представляют собой сопряженные плоскости,
соответствующие линейному увеличению К=+1. Фо-
кальные плоскости перпендикулярны к оптической оси
системы и пересекают ее в фокусах. Точки и /7а пере-
сечения главных плоскостей с главной оптической осью
системы (рис. V. 6. 7) называются главными точками
системы. Расстояния от них до фокусов называются
фокусными расстояниями системы.
4° Если Л и /2 — фокусные расстояния оптической
системы, положение сопряженных точек (стр. 574) опреде-
лено их расстоянием и а2 до соответствующих глав-
ных плоскостей (с учетом правила знаков, стр. 572), a Xi
и х2 — расстояния соответственно от предмета до перед-
37 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
578 геометрическая оптика iv.e
него фокуса и от изображения до заднего фокуса си-
стемы (Xi = ai — /1, х2 = а2 — /2), то справедливы
формулы:
^4-4 = 1; Xlx2=fif2; А=_^;
ai ' a2 ’ 1 717 ’ fa «2 /a *1 ’
где и n2 — показатели преломления сред, в которых рас-
положены соответственно предмет и его изображение.
Если эти среды одинаковы (nt = п2), то
^-^ = 7’ x^ = ~f3' А = -А=7
5е Оптическую систему характеризуют угловым увели-
чением Z:
7 _ tg Ф2
““ tg Фх ’
где — угол раскрытия пучка лучей у точки предмета
(стр. 574), <р2 — то же для сопряженной точки изображе-
ния. Линейное (стр. 573) и угловое увеличения связаны
соотношением
zr=^.
п2
Если предмет и его изображение находятся в одной
среде («х = и2), то
zr=i.
6° Сопряженные точки, для которых Z= 1, называются
узлами оптической системы. Сопряженные лучи, прохо-
дящие через узлы, параллельны друг другу. Узлы отсто-
ят от фокусов и F2 соответственно на расстояниях
Xi =f2 и х2 = fi. Две плоскости, проходящие через
узлы перпендикулярно к главной оптической оси, назы-
ваются узловыми плоскостями.
7° Оптическая система также характеризуется про-
дольным увеличением Х= — x2/xi.
Х=— Xs; XZ=Y.
ni
8° Две главные, две фокальные и две узловые плоскости
и соответственно точки составляют шесть кардинальных
плоскостей и точек системы. При Пх = п2 имеет место
/х = /2, узловые точки и плоскости сливаются с главны-
ми и остаются лишь четыре кардинальных плоскости и
точки. Переход от оптической системы к тонкой линзе
V.6.6] ОСНОВНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ 579
приводит к слиянию двух главных плоскостей и точек в
одну. Тонкая линза характеризуется тремя кардинальны-
ми точками — двумя фокусами и оптическим центром —
и соответствующими им кардинальными плоскостями.
6. Основные оптические приборы
1° Назначением оптических приборов является полу-
чение на экране или в светочувствительных устройствах
(глаз, фотопленка и др.) четких изображений: удаленных
крупных предметов, близких мелких предметов, мелких
деталей близких крупных предметов, нормальных предме-
тов в глазу с аномальными оптическими свойствами,
предметов, проектированных на большие экраны. В соот-
ветствии с этим оптические приборы подразделяются на
зрительные трубы (в том числе телескопы), лупы и ми-
кроскопы, очки, проекционные аппараты.
2° Оптические приборы увеличивают угол зрения для
изображения по сравнению с углом зрения, соответству-
ющим рассматриваемому предмету. Углом зрения назы-
вается угол, под которым в оптическом центре глаза схо-
дятся лучи от крайних точек предмета или его изображе-
ния. У величение оптического приборах
tg<Pn ’
где <рп и сри — соответственно углы зрения для предмета
и изображения.
3° Оптические приборы обычно дают двумерное (пло-
ское) изображение трехмерных (пространственных) пред-
метов (объектов). Ограничение угла раскрытия пуч-
ков света (стр. 574) от предмета, необходимое для полу-
чения достаточно четкого изображения, осуществляется
с помощью апертурной диафрагмы — круглого отверстия
в непрозрачном экране. Апертурная диафрагма может
быть установлена в приборе, до или после него.
4° Входным и соответственно выходным зрачками оп-
тического прибора называются те из отверстий в нем
(или их изображений), которые сильнее всего ограничи-
вают углы раскрытия входящих в прибор и выходящих
из него пучков света (рис. V 6.8). Если апертурная диа-
фрагма находится внутри прибора, то ее изображение
в передней по отношению к предмету части прибора
37*
580
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
I V.6
служит входным зрачком, а изображение в задней части
прибора — выходным зрачком.
5° Угол, под которым виден радиус входного зрачка
из точки пересечения оптической оси прибора с плоско-
стью предмета, называется апертурным углом. Угол, под
которым виден радиус выходного зрачка из точки пере-
сечения оптической оси с плоскостью изображения, на-
зывается углом проекции.
Рис. V. 6.8
Для ограничения поля зрения (в плоскости предмета)
помимо апертурной диафрагмы, применяется диафрагма
поля зрения, роль которой может также играть оправа
одной из линз системы. Действительный контур диафраг-
мы поля зрения или его изображение в части системы
расположенной между этой диафрагмой и предметом, на-
зывается люком (входным окном). Наиболее резкое диа-
фрагмирование поля зрения осуществляется тогда, когда
плоскости люка и предмета совпадают.
6° Отношение площади апертурной диафрагмы к ква-
драту фокусного расстояния передней (по отношению к
предмету) линзы — объектива оптического прибора — на-
зывается его светосилой /. Это отношение определяет ос-
вещенность (стр. 589) изображения.
Отношение максимального диаметра входного зрачка
к фокусному расстоянию объектива называется относи-
тельным отверстием объектива Й. Освещенность изо-
бражения
- Величины / и й определяют также резкость изобра-
жения, которая уменьшается с ростом / и й.
V.6.6] ОСНОВНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ 581
7° Лупа представляет собой систему из одной или не-
скольких линз с небольшим фокусным расстоянием (/ =
= 10 4- 100 мм). Дает мнимое увеличенное изображение
предмета на расстоянии наилучшего зрения D (250 мм
для нормального глаза) или в бесконечности, т. е. рас-
сматриваемое глазом без усилия аккомодации. Увели-
чение N = Djf в обоих случаях практически одинаково.
8е Микроскоп представляет собой комбинацию двух
оптических систем (из одной или нискольких линз) — объ-
ектива и окуляра, разделенных значительным, по срав-
нению с Д и Д, расстоянием. Малый объект помещается
вблизи переднего фокуса объектива, дающего его увели-
ченное действительное изображение, которое рассматри-
вается с помощью окуляра, играющего роль лупы. Об-
щее увеличение микроскопа равно произведению уве-
личений объектива и окуляра:
где Д и /2 — фокусные расстояния объектива и окуляра
Д —расстояние между фокусами обеих систем, D —рас-
стояние наилучшего зрения.
Для малых Д и Д величина N может иметь порядок
103. Пределы величине W кладутся дифракционными явле-
ниями (стр. 586). Освещение предмета в микроскопе ши-
рокими пучками света (для увеличения разрешающей спо-
собности микроскопа, стр. 587) производится с помощью
конденсора, фокус которого располагается в плоскости
предмета. Объектив должен удовлетворять условию апла-
натизма (стр. 584) для точек возле его фокуса, а также
должен быть ахроматизирован (стр. 586). Для ослабления
отражения света, происходящего в покровном стекле ми-
кроскопа, применяются иммерсионные объективы (стр. 587).
9° Зрительные трубы представляют собой комбина-
цию двух оптических систем (из одной или нескольких
линз) — объектива и окуляра. Действительное уменьшен-
ное изображение удаленного предмета, даваемое объек-
тивом, рассматривается через окуляр как лупу. Увели-
чение зрительных труб:
M=f-±
fa
где Д и Д — фокусные расстояния соответственно объек-
тива и окуляра. Для бесконечно удаленных объектов
передняя фокальная плоскость окуляра- совмещается
582 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА [V.6
с задней фокальной плоскостью объектива (телескопиче-
ская система). Величины 2V для телескопов лежат в пре-
делах 75 — 200, для зрительных труб — в пределах 7 — 20.
10° Проекционные приборы представляют собой ком-
бинацию короткофокусного конденсора (обычно из двух
линз) и объектива, дающую на экране действительное
увеличенное изображение предмета. Свет от малого
источника проходит через конденсор, предмет (обычно
прозрачный диапозитив или фотопленку), сходится в фо-
кусе конденсора, совпадающем с входным зрачком объек-
тива, и направляется на экран. Линейное увеличение
проекционного прибора:
у &
f ’
где d — расстояние от объектива до экрана,/—заднее
фокусное расстояние конденсора.
11° Оптическая система спектральных приборов со-
стоит из источника света в виде узкой щели, переднего
объектива, приемы или дифракционной решетки и задне-
го объектива. Передний объектив (коллиматор) преобра-
зует расходящийся пучок света от щели в параллельный,
задний объектив сводит пучок лучей на экран (или на
фотопластинку), располагаемый в его фокальной плоско-
сти. Изображение представляет собой спектр (ряд изоб-
ражений входной щели прибора в лучах с разными дли-
нами волн (стр. 561)). Призма обычно располагается под
углом наименьшего отклонения (стр. 571). Линейное
увеличение спектрографа
/1
где /t и /2 —фокусные расстояния соответственно перед-
него и заднего объективов. Если лин ’.а коллиматора цели-
ком освещена, то светосила спектрального прибора опре-
деляется светосилой второй линзы.
7. Погрешности оптических систем
Г Искажения изображений в оптических системах
вызываемые использованием широких светосильных пуч-
ков лучей, а также применением немонохроматического
света, называются аберрациями.
Геометрическими аберрациями называются погреш-
ности изображения, возникающие в оптической системе
V.6.7]
ПОГРЕШНОСТИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
583
из-за использования широких или наклонных пучков мо-
нохроматического света. Хроматическими аберрациями
называются искажения изображения, обусловленные явле-
нием дисперсии света (стр. 606) в линзах оптической си-
стемы при использовании белого света.
2° Использование широких пучков лучей в оптиче-
ских системах вызывает сферическую аберрацию и кому
изображений.
В результате сферической аберрации точка S предме-
та (рис. V. 6.9), лежащая на оптической оси системы,
изображается в виде кружка рассеяния. Радиус этого
Рис. V. 6.9.
кружка называется поперечной сферической аберрацией р.
Расстояние а между изображениями S' и S* точки S, да-
ваемыми соответственно параксиальными лучами (стр. 571)
и крайними лучами пучка, пропускаемого входным зрач-
ком системы (стр. 579), называется продольной сфери-
ческой аберрацией.
3° Сферические аберрации линзы для изображения,
получающегося в ее главном фокусе (т. е. для изображе-
ния удаленного предмета, получающегося с помощью
широкого пучка лучей, параллельного главной оптиче-
ской оси линзы), называются главными сферическими
аберрациями линзы.
Для двояковыпуклой линзы с радиусами кривизны
и (7?i > 0; < 0) главные сферические аберрации
равны:
р = Л7?з, a = ~/1A7?J,
где
Ro — радиус линзы, п — относительный показатель
584 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА [V.6
преломления линзы, /2 — главное фокусное расстояние.
С увеличением п. при данной форме линзы абсолютная ве-
личина а уменьшается. Аберрация уменьшается также,
если линза обращена к источнику поверхностью с боль-
шей кривизной (7?i < |Т?2|). Если Ri =— RS = R, то
Для плоско-выпуклой линзы, обращенной выпуклой
стороной к предмету (Rx = R‘f /?2 = оо),
Г 1 _ 2(п2 -1)]
~ 2/?2 Р п8 I •
4° Для собирающей линзы а < 0, для рассеивающей
о 0. Поэтому сферическая аберрация может быть зна-
чительно уменьшена путем замены простой линзы систе-
мой соответствующим образом подобранных собирающих
и рассеивающих линз.
5° Кома соответствует сферической аберрации для
точки предмета, находящейся на некотором расстоянии
от оптической оси системы. Изображение этой точки
имеет вид вытянутого и неравномерно освещенного пят-
на, напоминающего комету. Размеры пятна пропорцио-
нальны квадрату апертурного угла (стр. 580) и расстоя-
нию от точки предмета до оптической оси.
6° Если для точки предмета, лежащей на оптической
оси системы, устранена сферическая аберрация, то можег
быть устранена и кома для всех точек предмета, отсто-
ящих от главной плоскости системы на том же расстоя-
нии. Для этого необходимо, чтобы для точек предмета
и соответствующих им точек изображения было соблю-
дено условие синусов Аббе (стр. 574). В этом случае точ-
ки предмета и изображения называются апланатическими.
Апланатическое изображение может быть получено толь-
ко при вполне определенном (расчетном) расстоянии от
предмета до оптической системы.
7° Использование наклонных (в том числе и узких)
пучков лучей от точек предмета, удаленных от опти-
ческой оси системы, вызывает астигмати м наклонных
пучков, искривление и дисторсию изображения.
8° Астигматизм наклонных пучкоз заключается в
том, что они не дают стигматических изображений
(стр. 569). Если ось пучка лежит в меридиональной плоско-
сти, т. е. в плоскости, проходящей через оптическую
ось системы, то изображение точки предмета имеет вид
V.6.7] ПОГРЕШНОСТИ ОПТИЧЕСКИХ систем <^85
эллипса рассеяния, эксцентриситет которого зависит от
расстояния плоскости изображения до главного фокуса
системы. При некоторых положениях плоскости и .обра-
жения эллипс вырождается в отрезок прямой, располо-
женной в меридиональной плоскости, либо в отрезок пря-
мой, расположенной в сагиттальной плоскости, перпен-
дикулярной к меридиональной, либо в кружок рассеяния.
9° Искривление плоского изображения проявляется
в том, что изображение внеосевых точек плоского пред-
мета не является плоским, а имеет некоторую кривизну,
тем более значительную, чем дальше находятся точки
от оптической оси системы. Обычно исправляется вме-
сте с астигматизмом в специальных системах линз — ана-
стигматах.
10° Переменная величина увеличения Y по полю изо-
бражения приводит к искажению изображения — дистор-
//вискаженное
изображение
бочкообразная
дисторсия
/7одуи/кообраз-
ная дисторсия
в)
а)
Рис. V. 6.10.
сии. Если Y убывает от центра поля изображения к пе-
риферии, то имеет место бочкообразная дисторсия
(рис. V. 6. 10, б), если наоборот, то — подушкообразная
дисторсия (рис. V. 6. 10, в). Оба вида дисторсии устраня-
ются специальными системами линз.
11° Искажения изображения, вызванные дисперсией
показателя преломления (стр. 606), называются хромати-
ческой аберрацией. Астигматическое изображение осе-
вой точки (продольная хроматическая аберрация) вызва-
но зависимостью фокусного расстояния линзы от длины
волны:
d\
f 2b
e-i + i
т X»
586 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА [V.6
если показатель преломления представляется в виде
п = а 4- где а и b — постоянные, различные для раз-
ных сред. Изображение осевой точки представляет собой
систему цветных колец.
12° Наличие разных фокусных расстояний толстой
линзы (или оптической системы) для каждого значения
длины волны приводит к хроматической разности уве-
личений^ в результате которой появляется нерезкое изо-
бражение предмета, окаймленное цветными полосами.
Оптические системы, исправленные на обе указанные
хроматические аберрации, называются стабильно ахро-
матизированными.
13° Разная величина сферической аберрации для раз-
личных длин волн называется сферохроматической абер-
рацией. Оптические системы, в которых устранены абер-
рации пп. 10° и 12°, называются апохроматами. При их
применении остаточная аберрация п. 12° устраняется
введением специальных компенсационных окуляров.
14° Полное устранение всех аберраций оптической
системы обычно невозможно. Для объективов зритель-
ных труб устраняются сферическая и хроматическая абер-
рации в центральной области поля изображения. Для
объективов микроскопов устраняются аберрации от на-
клонных внеосевых пучков. Исправление хроматической
аберрации производится применительно к участку длин
волн, лежащих в области наибольшей спектральной чув-
ствительности глаза или фотоматериалов.
8. Разрешающая способность оптических приборов
Г Идеальных оптических систем, которые давали бы
абсолютно стигматические изображения, не существует.
Вследствие дифракции лучей от предмета в оптической
системе (дифракция на круглом отверстии в непрозрач-
ном экране, стр. 554) любая точка предмета изображается
кружком, радиус которого зависит, в частности, от отно-
сительных размеров линз оптической системы.
2° Две близкие точки предмета получаются на изо-
бражении раздельно, если угол ср на первый, минимум
дифракционной картины (стр. 557) равен угловому рассто-
янию между этими точками (условие Рэлея, стр. 567). Ве-
личина, обратная этому обычно малому угловому рас-
стоянию, । р
4*4’
V.6.8]
РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПРИБОРОВ
587
называется разрешающей силой или разрешающей способ-
ностью объектива; здесь 7? — радиус линзы, X — длина
волны. Для зрительных труб (телескопов) величину А
обычно выражают в угловых единицах.
3° Разрешающая способность микроскопа оценивается
наименьшими линейными размерами d предмета или ми-
нимальным расстоянием между разрешаемыми микроско-
пическими объектами:
п sin ф *
где п — показатель преломления среды между предметом
и объективом, Хо — длина волны в вакууме, 2ф — угол
между крайними лучами, идущими от объекта, располо-
женного у фокуса, к краям объектива; ф называется
апертурой (апертурным углом). Величина п sin ф называ-
ется числовой апертурой объектива. Для повышения
разрешающей способности между предметом и объекти-
вом заливается жидкость с большим значением п, при-
мерно равным значению п для объектива (иммерсионный
объектив); для уменьшения Хо используется коротковол-
новый свет.
4е Оптические приборы можно использовать за пре-
делами их разрешающей способности, но уже не столь-
ко для установления точной формы или деталей наблю-
даемых объектов, сколько для обнаружения этих объек-
тов и наблюдения за их дви-
жением.
5° Очень мелкие (поряд-
ка 10“6 см) коллоидные ча-
стички, размеры которых
cf^X, наблюдаются в ультра-
микроскопе по методу за-
темненного поля. В этом
методе направление наблю-
дения перпендикулярно к
направлению освещения объ-
екта, и наблюдаются не пря-
мые, а рассеянные микрочастицами лучи света (явление
Тиндаля, стр. 617). Схема ультрамикроскопа показана
на рис. V. 6. 11.
6е Две близкие линии (или участки) спектра получа-
ются на его изображении в спектральном приборе раз-
дельно, если дифракционное расширение изображена
Объем/лив Ц Образец
Рис. V. 6.11.
588 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА (V.e
источника — входной щели — вызывает перекрытие ли-
ний меньшее, чем их разведение благодаря дисперсии
анализатора (призмы). Хроматическая разрешающая спо-
собность спектрального прибора при установке призмы
в положение минимального отклонения (стр. 571):
где а—ширина основания призмы, кп = — п2— раз-
ность пока ателей преломления для двух линий с
близкими длинами волн == X и Х2 = X + ДХ.
7° Указанная в пп. 2° — 6° разрешающая сила опти-
ческих приборов является теоретически предельной. Прак-
тически ра решающая сила снижается вследствие конеч-
ных размеров светочувствительных элементов в приемни-
ках света (палочек и колбочек в сетчатке глаза, отдельных
зерен в фотопластинках и т. д.), а также при малых
интенсивностях света.
9. Основы фотометрии
Г Фотометрией называется область оптики, в кото-
рой рассматриваются измерения энергии, переносимой
световыми волнами, и величин, связанных с ней.
2° Потоком световой энергии через некоторую по-
верхность площадью S называется величина Ф, численно
равная энергии, переносимой световыми волнами сквозь
эту поверхность за единицу времени:
Ф = ^ = 5(Рп)</3,
О
где Р — вектор Пойнтинга (стр. 467), п — единичный век-
тор, нормальный к элементу поверхности dS. Световой
поток и меряется в люменах (стр. 809).
Световой поток ФПОлн сквозь прои вольную замкну-
тую поверхность, охватывающую источник света, равен
мощности и лучения последнего и называется полным
светоэым потоком источника света. Величина Фполн,
характери ующая источник света, не может быть увели-
чена никакими оптическими системами. Действие послед-
них сводится только к перераспределению светового
потока по избранным направлениям за счет других.
V.6.9] ОСНОВЫ ФОТОМЕТРИИ 589
В случае источников, испускающих немонохромати-
ческий свет, доля светового потока </Ф, приходящаяся
на интервал длин волн d\, называется спектральной
мощностью источника.
3° Точечным источником света называется источник,
излучающий сферические волны (стр. 498). Силой света
точечного источника называется величина /, численно
равная световому потоку, излучаемому источником в еди-
ничный телесный угол. Если точечный источник излучает
равномерно по всем направлениям, то его сила света
,__ ^полн
В случае произвольного источника сила света / малого
элемента его поверхности AS в данном направлении равна
, ОФ
7 ““ dQ ’
где — световой поток, излучаемый элементом поверх-
ности AS в заданном направлении в телесный угол dQ..
Средней сферической силой света произвольного источ-
ника называется величина
J__ ФпОЛВ
4п '
где ФПОлн — полный световой поток источника. Если
источник излучает по всем направлениям равномерно
(изотропно), то / == I. Сила света измеряется в свечах
(стр. 809).
4° Освещенностью Е поверхности называется отноше-
ние приходящегося на нее светового потока дФ к ее
площади dS:
r ' аФ
E=TS-
В случае точечного источника света
Р__ , mR) __/cos у
С — /?2 >
где R — радиус-вектор, проведенный из источника к эле-
менту dS освещаемой поверхности, п — единичный век-
тор, нормальный к площадке tfS, ср — угол между Кип
Если на поверхность падает плоская световая волна,
то
Е = Ей cos ср,
590 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА [V.6
где Ео — освещенность поверхности, нормальной к направ-
лению распространения волны, ср — угол между этой и
рассматриваемой поверхностями. Освещенность измеря-
ется в люксах и 'фотах (стр. 809).
5° Количество освещения (экспозиция) Н есть произ-
ведение освещенности Е поверхности на продолжитель-
ность t ее освещения (в фотографии — время экспони-
рования, или выдержка)'.
H=Et.
6° Яркостью By называется поверхностная плотность
силы света в заданном направлении, равная отношению
силы света к площади проекции светящейся поверхности
на плоскость, перпендикулярную к этому направлению:
о = dl _ <*2Ф
т dS cos <р dS dQ cos ср ’
где dl — сила света элемента dS светящейся поверх-
ности в направлении, составляющем угол ср с нормалью
к элементу dS, d2Q — световой поток, и лучаемый эле-
ментом dS в телесный угол dQ. в том же направлении.
Яркость и меряется в нитах и стильбах (стр 809)
Источник света, для которого В<? не зависит от ср,
называется подчиняющимся закону Ламберта. Строго
говоря, этому условию удовлетворяет только абсолютно
черное тело (стр. 620) и поверхности или среды, равно-
мерно рассеивающие свет по всем направлениям {идеаль-
но рассеивающие).
7° Светимостью (светностью) К называется поверх-
ностная плотность светового потока и^лучения, испускае-
мого поверхностью, равная отношению светового потока
d<& к площади dS светящейся поверхности:
Светимость выражается в люксах и фотах (стр. 809).
Связь между светимостью и яркостью:
я/2
К = 2л В^ cos ср sin ср dy.
о
Для источников, подчиняющихся закону Ламбертя, R — kB.
V.7.1] СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА 591
8° Характеристикой восприятия света приемником
в зависимости от длины волны света является спектраль-
ная чувствительность приемника — величина, обратно
пропорциональная мощ-
ностям монохроматиче-
ских излучений с разны-
ми длинами волн, ока-
зывающим одинаковое
действие на приемник
света. Для глаза спек-
тральная чувствитель-
ность называется так-
же видностью. Величина
К-к = Их/(Их)макс назы-
вается относительной
спектральной чувстви-
тельностью глаза (относительной видностью). Для нор-
мального глаза = 1 при X = 5,55-10~5 см = 5550 А.
Зависимость от (кривая видности) приведена на
рис. V. 6. 12.
ГЛАВА 7
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
1. Способы получения поляризованного света
Г Свет, в котором представлены электромагнитные
волны со всевозможными направлениями колебаний век-
торов Е и Н (удовлетворяющими условиям взаимной
перпендикулярности и перпендикулярности к направле-
нию распространения волны), называется неполяризо-
ванным или естественным светом.
2е Каждая волновая группа (стр. 527), испущенная ато-
мом в одном акте излучения, сохраняет положение пло-
скости поляризации (стр. 526) неизменным. Последующие
группы волн в общем случае могут иметь новую и не
связанную с предыдущими группами ориентировку пло-
скости поляризации. Совокупное излучение множества
атомов представляет собой естественный свет.
3° Во всех способах преобразования естественного
света в поляризованный из естественного света полно-
стью или частично отбираются составляющие с впол-
не определенной ориентацией плоскости поляризации
592
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
IV.7
В первом случае получается плоскополяризованная волна
(стр. 525), во втором ~ частично поляризованная волна, в
которой имеется .преимущественная ориентация плоско-
сти поляризации. Эти способы основаны на явлении ани-
зотропии, т. е зависимости от направления, электриче-
ской и магнитной проницаемостей среды, отражающей
или пропускающей свет.
Обычно относительная магнитная проницаемость в
оптике так что причиной поляризации света яв-
ляется анизотропия относительной диэлектрической про-
ницаемости е и связанная с ней анизотропия показателя
преломления п. Последняя проявляется в зависимости
фазовой скорости света (стр. 524) в среде от направления
его распространения и от ориентации плоскости поляри-
зации.
Устройства, предназначенные для получения поляри-
зованного света, называются поляризаторами.
4° Способы получения поляризованного света: а) от-
ражение и преломление света на границе двух диэлек-
триков (стр. 541); б) пропускание света через оптически
анизотропные одноосные кристаллы (стр. 594); в) пропу-
скание света через среды, оптическая анизотропия ко-
торых искусственно создана благодаря действию либо
электрического поля (эффект Керра, стр. 597), либо маг-
нитного поля (эффект Коттона — Мутона, стр. 598), а
также вследствие деформации (стр. 596).
2. Двойное лучепреломление
Г Зависимость относительной диэлектрической про-
ницаемости е анизотропного кристалла от направления
колебаний вектора Е напряженности электрического поля
световой волны описывается уравнением эллипсоида
X2 I у2 | Z2
смысл которого заключается в следующем. Если через
точку О анизотропного кристалла провести всевозможные
оси а и вдоль каждой из них отложить отрезки. 04,
численно равные sa, где — значение относительной
диэлектрической проницаемости вдоль оси а, то геомет-
рическое место точек А представит собой эллипсоид
диэлектрической проницаемости, оси которого Ох, Оу
и Oz соответствуют трем главным направлениям в кри-
V.7.2|
ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ
593
сталле (О — любая точка кристалла). Относительная ди-
электрическая проницаемость е вдоль произвольного на-
правления, определяемого радиус-вектором г = xi + yj -|-
4- zk, где х, у, z — координаты соответствующей точки
поверхности эллипсоида, численно равна г; ех, ev и ez —
значения е вдоль главных направлений. Если ev = ev = e^,
то эллипсоид вырождается в сферу и е не зависит от
направления, т. е. среда изотропна. В противном случае
среда анизотропна, причем векторы напряженности Е и
смещения D электрического поля световой волны колли-
неарны (совпадают по направлению) только вдоль глав-
ных направлений.
2° Для характеристики зависимости показателя пре-
ломления кристалла от направления распространения
световой волны и ориентации ее плоскости колебаний
пользуются поверхностью, называемой оптической ин-
дикатрисой. Эта поверхность имеет вид эллипсоида
(рис. V. 7.1), причем расстояние от центра О эллипсоида
до любой точки А его поверхности пропорционально
показателю преломле-
ния для световой вол-
ны, в которой колеба
ния вектора Е совер-
шаются вдоль пря-
мой ОА.
3° Если какое-либо
сечение оптической
индикатрисы имеет
вид круга, то направ-
ление, перпендику-
лярное к плоскости
этого сечения, являет-
ся оптической осью
кристалла. В общем
случае имеются два
круговых сечения (1 и 2 на рис. V. 7.1) и соответствую-
щие им две оптические оси кристалла (OiOJ и OJO'^.
Такие кристаллы называются двуосными. Оптические оси
в различных точках кристалла попарно параллельны
друг другу. Если оптическая индикатриса представляет
собой эллипсоид вращения, то кристалл имеет только
одну оптическую ось, совпадающую с осью вращения
эллипсоида, и называется одноосным. Плоскость, прове-
денная через луч света, падающий на одноосный
38 В- М Яворский, А А Детлаф
594 ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА (V.7
кристалл, и оптическую ось, проходящую через точку
падения, называется главной плоскостью кристалла.
Если эллипсоид вытянут вдоль оси вращения, то од-
ноосный кристалл называется положительным, если
сплюснут, — то отрицательным. Двуосный кристалл на-
зывается положительным, если биссектриса острого
угла между его оптическими осями совпадает с боль-
шой полуосью эллипсоида оптической индикатрийы; если
эта биссектриса совпадает с малой полуосью эллипсоида,
то кристалл называется отрицательным.
4° При падении неполяризованного света на кристалл
с анизотропией показателя преломления пучок света,
преломляясь на границе кристалла, расщепляется на два
пучка, идущих по различным направлениям. Для узкого
первоначального пучка и достаточно толстого кристалла
через другую его границу выходят два разделенных в
пространстве пучка света. Это явление называется двой-
ным лучепреломлением. Кристаллы, в которых оно на-
блюдается, называются двоякопреломляющими.
5° Двойное лучепреломление имеет место и в случае
нормального падения пучка (луча) света на поверхность
двоякопреломляющего кристалла. При этом в случае од-
ноосного кристалла один из двух лучей распространяется
в кристалле без преломления, т. е. в соответствии с за-
коном синусов (стр. 537), и называется обыкновенным лу-
чом, а второй преломляется и называется необыкновен-
ным лучом. Обыкновенный и необыкновенный лучи яв-
ляются линейно поляризованными в двух взаимно пер-
пендикулярных плоскостях. Вектор Е обыкновенного
луча всегда перпендикулярен к главной плоскости и
оптической оси кристалла, вектор Е необыкновенного
луча колеблется в главной плоскости и может составлять
с оптической осью различные углы от 0 до те/2 в зави-
симости от направления луча.
6° Показатель преломления п0 одноосного кристалла
для обыкновенного луча не зависит от направления его
распространения, т. е. изотропен. Поэтому волновые по-
верхности вторичных обыкновенных волн в кристалле
имеют сферическую форму. Показатель преломления пе
кристалла для необыкновенного луча зависит от направ-
ления его распространения по отношению к оптической
оси. Волновые поверхности вторичных необыкновенных
волн в кристалле имеют вид эллипсоидов вращения.
Вдоль оптической оси обыкновенный и необыкновенный
V.7.2J
ДВОЙНОЕ лучепреломление
595
лучи распространяются с одинаковой скоростью. Разли-
чие в их скоростях t/0 = c/n0 и ve — clne максимально
в направлении, перпендикулярном к оптической оси
(ve<v) для положительного кристалла и ve>v0 для
отрицательного кристалла).
7° При распространении в одноосном кристалле не-
обыкновенной волны по любому направлению, кроме на-
правления оптической оси и перпендикулярных к ней
направлений, луч и нормаль к волновой поверхности не
совпадают по направлению. Вследствие этого скорость
ие, характеризующая перенос энергии волной, отличается
от фазовой скорости ve волны (стр. 524):
Ue = Ve ZQ3 а,
где а — угол между лучом и нормалью к фронту волны.
Перенос энергии осуществляется вдоль луча, поэтому
скорость ие называется лучевой скоростью. Для обыкно-
венной волны фазовая и лучевая скорости совпадают.
8° Фазовые скорости vP могут быть найдены с по-
мощью эллипсоида оптической индикатрисы. Если через
точку О кристалла провести всевозможные оси а и вдоль
каждой из них отложить отрезки О А, численно равные
va, где va — значение фазовой скорости ve вдоль оси а,
то геометрическое место точек А представит собой эл-
липсоид вращения для фазовых скоростей необыкновен-
ного луча:
*2 । У2 । g2 — 1
где Oz — оптическая ось, ие = ]Аг2 + У2 -f z2, vei и
ve2 — фазовые скорости соответственно вдоль оптиче-
ской оси и в перпендикулярном к ней направлении.
9° Распространение света в одноосном кристалле за-
висит от ориентации падающего луча по отношению к
оптической оси. Для преломления нормалей к фронту
падающей и преломленной волн справедлив обычный за-
кон преломления (стр. 537).
а) Кристалл вырезан перпендикулярно к оптической
оси. Если луч света направлен вдоль оптической оси,
то двойное лучепреломление отсутствует и свет остается
неполяризованным. Если луч света направлен под углом i
к оптической оси, то происходит двойное лучепрелом-
ление. Отношение sin i/ sin rOi где r0 — угол преломления
38*
596 ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА [V.7
обыкновенного луча, постоянно. Отношение sin И sin ret
где ге — угол преломления необыкновенного луча,
меняется в зависимости от угла падения /.
6) Кристалл вырезан параллельно оптической оси.
Если плоскость падения света совпадает с главной пло-
скостью кристалла, то обыкновенный и необыкновенный
лучи лежат в той же плоскости. Нормаль к фронту не-
обыкновенной волны преломлена сильнее (слабее), чем
нормаль к фронту обыкновенной волны в отрицательном
(положительном) кристалле. Для соответствующих
лучей закономерности могут быть иными. Если плоскость
падения составляет угол с главной плоскостью, то обык-
новенный луч остается в плоскости падения, а необык-
новенный выходит из нее. Если плоскость падения
перпендикулярна к главной плоскости, то обыкновенный
и необыкновенный лучи остаются в плоскости падения.
В этом случае показатель преломления необыкновенного
луча не зависит от его направления.
10° Если на одноосный кристалл падает естественный
свет, то интенсивности обыкновенной 10 и необыкновен-
ной 4 волн на входе в кристалл одинаковы:
где 1—интенсивность падающего света.
В ряде кристаллов наблюдается различное поглоще-
ние обыкновенной и необыкновенной волн. Это явление
называется дихроизмом. Если, кроме того, коэффициент
поглощения зависит от частоты света, то имеет место
плеохроизм — зависимость окраски кристалла при осве-
щении его белым светом от направления распростране-
ния света в кристалле.
11° В двуосном кристалле оба преломленных луча не
подчиняются обычному закону преломления (стр. 537),
т. е. оба они являются необыкновенными.
3. Искусственное двойное лучепреломление
1° Искусственная оптическая анизотропия в опти-
чески изотропных телах вызывается их деформацией.
При одностороннем сжатии (растяжении) кристалл ста-
новится оптически одноосным. Направление сжатия (рас-
тяжения) является оптической осью. Максимальное раз-
V.7.3] ИСКУССТВЕННОЕ ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ 597
личие в показателях преломления для обыкновенного и
необыкновенного лучей соответствует направлению лу-
чей, перпендикулярному к оптической оси, и зависит от
степени деформации:
— пе =
где а — нормальное напряжение (стр. 268), k — коэффи-
циент пропорциональности, зависящий от свойств тела.
Обнаружение искусственной анизотропии является очень
чувствительным методом оценки напряжений в твердых
телах (метод фотоупругости).
2° Искусственная оптическая анизотропия в оптически
изотропных жидкостях вызывается наложением на них
сильных электрических полей. Двойное лучепреломление
в этом случае называется эффектом Керра. Действие
электрического поля на жидкость заключается в преиму-
щественном ориентировании полярных молекул диэлект-
риков (стр. 347) в направлении поля, что сопровождается
появлением анизотропии электрич-еских (и тем самым
оптических) свойств жидкости.
3° Анизотропные жидкости, молекулы которых слабо
полярны, ведут себя в продольном электрическом поле,
как положительные одноосные кристаллы с оптической
осью, направленной вдоль поля. Направление последнего
соответствует наибольшей поляризуемости молекул. По-
казатель преломления для необыкновенного луча больше,
чем для обыкновенного. Для жидкостей, состоящих из
сильно полярных молекул, направление максимальной
поляризуемости может не совпадать с направлением
внешнего электрического поля. Если угол между этими
направлениями равен 0°, то пе > м0, если 90°, — то пе < п0.
При некотором промежуточном угле пе = п0, т. е. явле-
ние Керра отсутствует. Для большинства веществ
по~п
где п—показатель преломления жидкости в отсутствие
электрического поля.
4* Разность показателей преломления для необыкно-
венного и обыкновенного лучей в эффекте Керра зави-
сит от напряженности электрического поля:
пе — пэ = kEs.
Величина R = kl\ где X — длина волны света, называется
598
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
[V.7
постоянной Керра. Ввиду квадратичной зависимости
от Е оптическая анизотропия жидкости не зависит от
направления электрического поля. Величина В при ком-
натной температуре и X = 550 ммк имеет для жидкостей
порядок 10~7 ед. СГСЭ, для газов — 10-10 ед. СГСЭ. В
последнее время созданы коллоидные материалы с
В~10-1 ед. СГСЭ. Значение В зависит от длины волны
света К (дисперсия) и быстро уменьшается с ростом тем-
пературы жидкости вследствие усиления дезориенти-
рующего теплового движения молекул жидкости. Явле-
ние Керра практически безынерционно: запаздывание в
изменении пе— п0 по сравнению с изменением Е меньше
10~® сек.
5° Двойное лучепреломление жидкостей под дейст-
вием внешнего магнитного поля называется эффектом
Коттона — Мутона. При этом оптической осью является
направление магнитного поля. Разность показателей пре-
ломления для обыкновенного и необыкновенного лучей
в направлении, перпендикулярном к оптической оси, за-
висит от напряженности магнитного поля Н'.
пе—п0 = k'Ha.
Величина £ = называется постоянной Коттона —
Мутона; она зависит от X (дисперсия) и от свойств жид-
кости. Величина ее имеет порядок 10~12 ед. СГСМ. За-
кономерности эффектов Керра и Коттона — Мутона во
многом сходны.
4. Анализ поляризованного света. Эллиптическая
и круговая поляризация света
Г Для исследования характера и степени поляриза-
ции света применяются устройства, называемые анали-
заторами. В качестве анализаторов используются те же
устройства, которые служат для получения линейно по-
ляризованного света (поляризаторы).
2° Если световая волна, входящая в анализатор, ли-
нейно поляризована, то для интенсивности волны, выхо-
дящей из анализатора, справедлив закон Малюса:
I = ka/o cos2 у,
где /о — интенсивность входящего света, kn — коэффи-
циент прозрачности анализатора, 7 — угол между пло-
скостями поляризации входящего света и света, пропу-
скаемого анализатором.
V.7.4] АНАЛИЗ ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА 599
3° Если плоская монохроматическая линейно поляри-
зованная световая волна падает в направлении, перпен-
дикулярном к поверхности двоякопреломляющей кри-
сталлической пластинки, вырезанной параллельно опти-
ческой оси, то сквозь пластинку по одному направлению
с различной скоростью распространяются два луча (обык-
новенный и необыкновенный), электрические колебания
в которых происходят взаимно перпендикулярно (стр. 594).
Разность фаз Дер, возникшая между этими лучами после
прохождения через пластинку толщиной d, равна
Дср==— ^(л0 —ne)rf,
где Хо — длина световой волны в вакууме, п0 и пе — соот-
ветственно показатели преломления для обыкновенного
и необыкновенного лучей.
4° Амплитуды колебаний необыкновенного и обыкно-
венного лучей в условиях стр. 595 соответственно равны:
а = A cos a, b = A sin а,
где А — амплитуда падающей волны, а—угол между
направлением колебаний вектора Е в падающем поляри-
зованном свете и направлением оптической оси кристал-
ла (стр. 593). Вышедшая из пластинки результирующая
волна описывается уравнением эллипса
№ F2 9F F
-^ + --------cos =sin’ (д?)>
где Ех— напряженность электрического поля необыкно-
венного луча, Еу — то же для обыкновенного луча, а и
Ъ — соответственно амплитуды обоих лучей, Д<р— раз-
ность фаз между обоими лучами (направления колеба-
ний в обоих лучах, линейно поляризованных во взаимно
перпендикулярных направлениях х, у/, перпендикулярны
к направлению z распространения волны, стр. 522). При
п0 пе обыкновенный луч отстает по фазе от необыкно-
венного, при п0 < пе — опережает его по фазе. Таким
образом, плоскополяризованная волна после прохожде-
ния через пластинку в общем случае становится эллип-
тически поляризованной (стр. 525).
5° Если угол а = 0в, то в пластинке будет распро-
страняться только необыкновенный луч. Если а = 90°,
то в пластинке будет распространяться только обыкно-
600 ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА »V.7
венный луч. В обоих случаях волна выйдет из пластин*
ки без изменения поляризации.
6° Если толщина пластинки d такова, что оптическая
разность хода между обыкновенным и необыкновенным
лучами As = JlX/4 (пластинка в четверть волны) и
разность фаз между этими лучами Д<р = ч1те/2, то для
результирующей волны (при 0°<а<90°)
оси эллипса поляризации совпадают с главными направ-
лениями в пластинке. В частном случае а = 45° ампли-
туды обыкновенного и необыкновенного лучей равны
друг другу и
E^ + E~, = as,
т. е. волна является циркулярно поляризованной (стр. 525).
При Дер = — к/2 имеет место левая, при Дер = я/2 — пра-
вая круговая поляризация.
7° Если толщина пластинки d такова, что оптическая
разность хода между обоими лучами Дв=.dt Х/2 (пла-
стинка в полволны), то Д<р = чР п и (при 0° < а < 90°):
т. е. свет остается плоскополяризованным. Плоскость его
поляризации при этом поворачивается на угол 180° — 2а.
8° Если толщина пластинки d такова, что оптическая
разность хода обоих лучей Д8 = ±Х (пластинка в це-
лую волну), то Дер = qp 2к и (при 0° < а < 90°)
т. е. свет остается плоскополяризованным без изменения
направления поляризации.
9° Если входящая в анализатор световая волна эллип-
тически поляризована, то при вращении главной плоско-
сти анализатора вокруг направления распространения
волны наблюдается периодическое ослабление и усиле-
ние интенсивности света, прошедшего через анализатор.
Если входящая в анализатор волна циркулярно поляри-
зована, то вращение главной плоскости анализатора не
влияет на интенсивность прошедшего через него света.
V.7.5| ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ЛУЧЕЙ
601
5. Интерференция поляризованных лучей
А. В параллельных лучах
Г При распространении луча света перпендикулярно
к оптической оси одноосного кристалла на выходе из
последнего между обыкновенной и необыкновенной вол-
нами (стр. 594) возникает разность фаз (стр. 599):
д<р = — (гао - пе) а.
Хотя эти волны когерентны и распространяются по одному
и тому же направлению, они не могут интерферировать,
так как поляризованы во взаимно перпендикулярных пло-
скостях. В результате их наложения получается эллип-
тически поляризованный свет.
Для получения интерференционного усиления или
ослабления этих двух волн необходимо с помощью ана-
лизатора (стр. 598) выделить из них составляющие, поля-
ризованные в одной плоскости и способные поэтому ин-
терферировать.
2° Если параллельный пучок линейно поляризованного
света падает нормально на плоскопараллельную пластинку,
вырезанную из одноосно-
го кристалла параллельно
оптической оси его A4N
(рис. V. 7.2), то интер-
ференционная картина,
даваемая анализатором,
зависит от разности фаз
Дер, от спектрального со-
става падающего света,
Рис. V. 7.2.
от угла а между его
плоскостью поляризации и главной плоскостью пластин-
ки, а также от взаимной ориентации направлений плос-
костей I и II поляризации света, пропускаемого поля-
ризатором и анализатором.
Анализатор и поляризатор называются скрещенными,
если угол р между плоскостями I и II равен л/2, и парал-
лельными, если р = 0.
3° Интерференция в монохроматическом свете. Схе-
матически результат интерференции представлен в таб-
лице.
602
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
[V.7
Дер 0 а Результат интерференций на экране
(2m -f- I) те m = 0; ± 1; ±2; ... 0 0 те/2 те/2 те/4 0; те/2 те/4 0; те/2 темнота свет свет темнота
2тте т = 0; ±1; ± 2; . .. 0 0 те/2 те/2 те/4 0; те/2 те/4 0; те/2 свет свет темнота темнота
4° Интерференция в белом свете. Величина Дер для
света разных длин волн оказывается различной. Поэтому
из соотношений и. 3° для монохроматических составляю-
щих белого света следует, что при любых значениях Дер,
Р и а экран освещен, за исключением случаев р = тг/2 и
а = 0 или тс/2, когда свет через анализатор не проходит.
Если р = 0 и а = 0 или тс/2, то экран освещен белым све-
том, во всех остальных случах экран освещен окрашенным
светом, причем при а = тс/4 изменение угла р с 0 на тс/2
изменяет окраску экрана на дополнительную.
5° Если пластинка имеет переменную толщину d, то
значения разности фаз Дф оказываются различными в
разных местах пластинки. При освещении монохромати-
ческим светом на экране наблюдается система темных и
светлых интерференционных линий, каждая из которых
соответствует точкам равной толщины пластинки (линии
равной толщины, стр. 548). В случае освещения белым
светом на экране наблюдаются разноцветные линии равной
толщины.
Б. В сходящихся лучах
Г При падении сходящейся сферической монохрома-
тической плоскополяризованной световой волны на одно-
осную двоякопреломляющую пластинку между обыкно-
венным и необыкновенным лучами, соответствующими
одному и тому же направлению в пластинке, составляю-
щему угол ф с нормалью к плоскости пластинки, возни-
кает разность фаз:
а 2те d . ч
Дер = — — --- (д — дД
Т Xq cos ф ' 0 е/*
V.7.B] ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ЛУЧЕЙ
603
где Хо — длина световой волны в вакууме, d — толщина
пластинки вдоль нормали к ее поверхности, п0 и пе — по-
казатели преломления для обыкновенного и необыкно-
венного лучей в направлении, определяемом углом ф.
Ллас/лиюга
Рис. V. 7.3.
2е Если на плоскопараллельную пластинку, вырезанную
из одноосного кристалла перпендикулярно к оптической
оси, падает сходящаяся сферическая плоскополяризован-
ная немонохроматическая волна, причем ось конуса схо-
дящихся лучей нормальна к
поверхности пластинки, то ин-
терференционная картина, да-
ваемая анализатором при скре-
щении его с поляризатором
(рис. V. 7.3), имеет вид, пока-
занный на рис. V. 7.4. Интерфе-
ренционные максимумы обра-
зуют систему концентрических
разноцветных колец, каждое
из которых соответствует опре-
деленному значению Д<р (стр.
601) и имеет свой цвет. Изо-
Рис. V. 7.4.
хроматические колща пересе-
каются темным или светлым
прямоугольным крестом, поло-
жение которого соответствует пересечению с плоскостью
экрана плоскостей поляризации и колебаний света, про-
пущенного поляризатором. При а = 0 или те/2 ир = О
крест светлый, приа = 0 или те/2 и₽ = к/2 крест темный.
3° Если сходящаяся волна белого света проходит че-
рез плоскопараллельную пластинку, вырезанную из одно-
осного кристалла параллельно оптической оси, то изо-
хроматические кривые близки к гиперболам (рис. V. 7.5).
4° Для двуосного кристалла изохроматические кривые
имеют вид гипербол, если пластинка вырезана параллельно
604
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
[V.7
оптическим осям, и лемнискат, через полюсы которых
проходят две гиперболы (вместо креста для одноосного
Рис. V. 7.5. Рис. V. 7.6.
кристалла), если пластинка вырезана перпендикулярно к
биссектрисе угла между осями (рис. V. 7.6).
6. Вращение плоскости поляризации
Г Вращение плоскости поляризации заключается в
повороте плоскости поляризации световой волны при
прохождении ее через некоторые вещества, называемые
оптически активными.
Оптической активностью обладают некоторые кристаллы,
в том числе и не обнаруживающие явления двойного луче-
преломления (стр. 594), многие чистые жидкости, растворы
и газы. Все вещества, оптически активные в аморфном со-
стоянии, обладают в большей или меньшей степени этим
же свойством в кристаллическом состоянии. Обратное
положение не всегда имеет место.
2° Для большинства оптически активных веществ об-
наружено существование двух модификаций, осущест-
вляющих вращение плоскости поляризации соответственно
по и против часовой стрелки (для наблюдателя, смотря-
щего навстречу лучу). Первая модификация называется
правовращающей или положительной, вторая — левовра-
щающей или отрицательной.
3° В твердых телах угол ср поворота плоскости поля-
ризации прямо пропорционален длине d пути светового
луча в теле:
ср = ad,
где а — вращательная способность (удельное вращение)^
зависящая от рода вещества, температуры и длины волны.
Эта формула остается справедливой и для двоякопре-
V 7.fi1 ВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ
605
ломляющего кристалла, если свет в нем распространяется
вдоль оптической оси (стр. 593); значения а в двуосном
кристалле могут быть неодинаковыми для разных опти-
ческих осей. Для лево- и правовращающих модификаций
вращательные способности одинаковы по величине.
4° Для растворов угол поворота плоскости поляри-
зации
ср = [a] cd,
где |а] — удельное вращение, с — концентрация оптиче-
ски активного вещества в растворе. Величина [а] зависит
от природы оптически активного вещества и раствори-
теля, температуры и длины волны света. Весьма чувстви-
тельный метод определения концентрации с, основанный
на этом соотношении, называется по- р
ляриметрией (сахариметрией). А\ г
5° Теория Френеля представляет
линейно поляризованный свет до /
входа в оптически активное веще- / у J \
ство как совокупность двух цирку- 4
лярно поляризованных волн с оди I г 1
наковыми частотами и амплитудами \ А /
и объясняет вращение его плоско- \ \ у
сти поляризации существованием
двух фазовых скоростей света в оп- у \А
тически активном веществе, соответ-
ствующих его правой и левой кру- phc.v. 7.7.
говым поляризациям. Если фазовые
скорости в веществе для поляризованных указанным
образом волн соответственно равны vd (показатель пре-
ломления nd) и (показатель преломления п^), то по про-
хождении пути d в веществе угол поворота плоскости
поляризации (рис. V. 7.7) равен
где Хо — длина волны света в вакууме. Правовращающими
являются вещества с п? > nd, левовращающими—с n^<znd.
6° Оптически неактивные вещества под действием
магнитного поля приобретают способность вращать пло-
скость поляризации света, распространяющегося вдоль
направления поля. Это явление называется эффектом
Фарадея. Угол поворота плоскости поляризации равен
. у = VdB,
606 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА [V.8
где В — индукция однородного магнитного поля (стр. 393),
d — длина пути света в веществе, И — постоянная Верде
(удельное магнитное вращение), зависящая от природы
вещества, температуры и длины волны света. Направле-
ние вращения плоскости поляризации зависит только от
природы вещества и направления магнитного поля. Знак
вращения отсчитывается для наблюдателя, смотрящего
вдоль магнитного поля. Большинство веществ дает правое,
положительное, вращение: все диамагнитные (стр. 433) и
некоторые парамагнитные (стр. 433) вещества дают правое
вращение; левое, отрицательное, вращение дают некото-
рые парамагнитные вещества.
7° Естественная оптическая активность вещества в не-
кристаллическом состоянии обусловлена асимметрией мо-
лекул. В кристаллических веществах оптическая актив-
ность может быть также обусловлена особенностями
расположения молекул в решетке.
Магнитное вращение плоскости поляризации обуслов-
лено возникновением асимметрии оптических свойств ве-
щества под действием магнитного поля.
8° Зависимость вращения плоскости поляризации от
длины волны света называется вращательной дисперсией,
В первом приближении имеет место закон Био:
А
а"“Х2 •
Для постоянной Верде И справедлива формула
где А, а и Ь — коэффициенты, зависящие от природы
вещества и температуры.
ГЛАВА 8
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
1. Дисперсия света
Г Дисперсией света называется зависимость оптиче-
ских характеристик вещества от длины волны падающего
на него света Обычно под дисперсией света понимается
дисперсия показателя преломления п света в веществе,
выражаемая зависимостью
п=/(М==<р(со),
V.8.1]
ДИСПЕРСИЯ СВЕТА
607
где X — длина волны и — циклическая частота световой
волны. Дисперсия света называется нормальной в случае,
если показатель преломления монотонно убывает с уве-
личением длины волны; в
света называется ано-
мальной (рис. V. 8.1).
Нормальная дисперсия
света наблюдается вдали
от полос или линий по-
глощения света веще-
ством (стр. 615), аномаль-
ная — в пределах полос
или линий поглощения.
2° Дисперсия света
объясняется смешением
электронов в атомах ве-
щества под действием
электрического поля па-
дающей на них световой
противном случае дисперсия
волны и внутреннего
поля частиц вещества (стр. 350). В результате этого воз-
действия возникают вынужденные колебания электронов,
приводящие к излучению ими вторичных световых волн.
Так как дипольные моменты атомов (стр. 347) зависят от
частоты колебаний электронов в атомах, определяемой
циклической частотой падающей волны со, то относитель-
ная диэлектрическая проницаемость вещества, а с нею
и п= тЛер. (стр. 536) оказываются зависящими от частоты
света. Наложение падающей и вторичных волн в веще-
стве приводит к изменению фазовой скорости результирую-
щей электромагнитной волны. В случае нормальной (ано-
мальной) дисперсии скорость фронта волны (фазовая ско-
рость) возрастает (убывает) с увеличением длины волны.
3° Решение задачи о дисперсии света в электронной
теории сводится к нахождению смещения s электронов в
электрическом поле световой волны. Дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний электрона в поле
световой волны (в случае разреженных газов):
/Пе s — Рзл /*сопр 4“ ^возвр,
где 7?эл = е^ = bEq sin at— сила, с которой действует на
электрон в атоме электрическое поле монохроматической
волны, Лсопр = as — сила сопротивления, вводимая для
60R МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИК’А [V.8
учета затухания колебаний электрона, проявляющегося в
конечной длительности испускания им вторичных волн,
FB03Bp=-fcs--возвращающая сквазиупругая» сила, со-
ответствующая представлению об атомных электронах
как о гармонических осцилляторах (стр. 100), а и b — не-
которые постоянные, со — циклическая частота волны,
Ео — амплитуда падающей световой волны.
4° Решение дифференциального уравнения колебаний
электронов без учета их затухания (а = 0) приводит к
следующему результату:
е = П2 = 1 -I__l^*3____,
' т& (о>2 — 0)2)
где М — число атомов (осцилляторов) в единице объема
вещества, а>0 — циклическая собственная частота колеба-
ний электронов в атомах, to — циклическая частота па-
дающего света.
5° Для совокупности циклических частот соответ-
ствующих переходам электронов между всевозможными
энергетическими уровнями k и i в атомах газа:
те 77^ — <о8 ’
I k 1К
где Wk — вероятность нахождения атомов вещества на
/г-м энергетическом уровне,— сила осциллятора, равная
fib
3m е с3
Здесь — коэффициент Эйнштейна для спонтанного из-
лучения частоты <&ik (стр. 666), с—скорость света в вакууме,
те — масса электрона, е — его заряд.
6° При учете затухания колебаний электронов вво-
дится комплексный показатель преломления п' = п(1 —- {*)
(стр. 543). В классическом приближении для случая одной
собственной частоты а>0*
2 2
«2 (1 — %2) = 1 + W/о -----5---Д-----j-----=-
2лЧ = 4itAT,^
1
(mJ - ш2)2Ч- <o/me)2
V.8.1|
ДИСПЕРСИЯ СВЕТА
609
где а — коэффициент затухания Величина
________________________1_________
(«.§ - <ь2)2 4- <Ь2 (а/те)2
называется дисперсионным множителем.
Т Электрон в атоме колеблется под влиянием эффек-
тивного поля (стр. 350), учитывающего воздействие на
него, кроме поля электромагнитной волны, поля других
частиц этого вещества. Учет этого поля при одновремен-
ном пренебрежении затуханием и возможностью наличия
ряда собственных частот колебаний электронов приводит
для конденсированных электрически изотропных диэлек-
триков к формуле Лоренца — Лорентца
п2 — I_4к д, 1
^+-2— 3 т2_ш2 •
8° Величина
_ - 1 ।
Г Д2 2 р »
где р — плотность, называется удельной рефракцией ве-
щества. Для данного вещества г не зависит от р. Ве-
личины Aft и й = р.г, гдеДг—атомный вес, Г/— удель-
ная рефракция атомов Z-ro сорта в молекуле с моле-
кулярным весом р., называются соответственно атом-
ными и молярной рефракциями (стр. 353). Часто моляр-
ная рефракция аддитивно складывается из атомных:
r = 1Де Qi—числа атомов Z-ro сорта в мо-
лекуле.
9° Для электронов проводимости в металлах классиче-
ская теория дисперсии полагает <о0 = 0, так что для них
действительная и мнимая части комплексного показателя
преломления определяются из уравнений:
Я» (1 — *)» = 1 — £ —J——,
4 ' mQ <оа (а/те)а ’
10° Дисперсия рентгеновых лучей вдали от линий их
поглощения характеризуется тем, что со >> со0; в соответ-
ствии с этим показатель преломления для них без учета
затухания дается формулой
Я2=1- ±^<L
т <о2
е
39 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
610 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА [V.8
Поэтому можно осуществить полное внутреннее отраже-
ние рентгеновых лучей при падении их из воздуха на
границу с веществом. Смысл п < 1 состоит в том, что фазо-
вая скорость рентгеновых лучей в веществе больше с —
скорости света в вакууме. Их групповая скорость мень-
ше с в соответствии с требованиями теории относитель-
ности (стр. 480).
2. Спектральный анализ
1° Произвольный периодический во времени физичес-
кий процесс, зависимость которого от времени описы-
вается периодической с циклической частотой со функцией
<p(Z), удовлетворяющей условиям Дирихле, может быть
представлен в виде суперпозиции бесконечного числа гар-
монических колебательных процессов, частоты которых
образуют дискретную последовательность. Эта сумманазы-
вается рядом Фурье:
со
<р (t) = (Ап cos nut -|- Вп sin nut),
n = 0
где An и Bn — коэффициенты Фурье:
А = т 5 ^о=о,
6)
h + T tQ + T
An = ~f (0 cos nat dt, Bn = — <p(0 sin n^t dt,
6» to
Т = 2п/<л, а начальный момент времени tQ произволен.
Ряд Фурье может быть также записан в виде:
00
<f (0 = Со + 2 Сп COS (nu>t — фп).
n = l
Совокупность величин Сп образует спектр амплитуд
функции cp(Z), а совокупность — спектр начальных фаз',
спектр интенсивностей определяется совокупностью вели-
чин С%,
2° Произвольный непериодический во времени физиче-
ский процесс может быть представлен в виде ряда Фурье
(п. Г) в интервале времени (в течение которого процесс
удовлетворяет условиям Дирихле) t0 t t0 + Т, где ве-
V.8.2]
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
611
личины tQ и Г>0 произвольны. Однако, вне указанного
интервала времени ряд Фурье не будет равен представля-
емой им функции Представление же рядом Фурье перио-
дического во времени процесса имеет силу в любой мо-
мент времени.
3° Произвольный непериодический во времени физичес-
кий процесс, зависимость которого от времени описы-
вается функцией f(t), удо-
влетворяющей условиям Ди-
рихле на любом конечном
интервале времени, причем
00
интеграл | f (t) | dt сходит-
ся, может быть представлен
в виде бесконечной суммы
периодических во времени
колебательных процессов, циклические частоты которых со
образуют непрерывную последовательность. Эта сумма
называется интегралом Фурье:
00 оо
f(t) = 1 $ с («>) du> = Re $ С (<•>) eia>‘ d «.
— оо О
ИЛИ
00
/(£) ==-i-^ [Л (<о) COS tot -|- В (со) Sin со£] tfco,
О
где
С $ f®e-i«*dt = A (to)- lB(to\
— 00
а символ Re означает действительную часть следующего
за ним комплексного выражения. Величины
'С = С (со) d СО
имеют смысл бесконечно малых комплексных амплитуд
синусоидальных колебаний с циклическими частотами от
со до со -|- dto3 из которых составляется f(t). Соответст-
венно величины С (со) называются спектральными плот-
ностями.
39*
612
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
[V.8
4° Примером ограниченного во времени периодиче-
ского процесса может служить акт излучения группы волн
(стр. 527). Функция, описывающая гармонический колеба-
тельный процесс в излучающей системе, соответствующий
испусканию простейшей группы волн, в зависимости от
времени имеет вид (рис. V. 8. 2):
Н0 =
О при t < t0,
a sin &*t при tQ t tQ + т,
О при t > t0 + т,
где t0 — момент начала испускания (в дальнейшем пред-
полагается, что начало отсчета времени t выбрано так,
что £0 = — т/2), т — длительность испускания группы волн,
о* — циклическая частота колебаний источника волн.
Представление f(t) в виде интеграла Фурье имеет вид:
оо
f(t) = § Я (<“>) sin
о
где
V2
= 2а sin <D*6 sin £ =
б
В случае, когда сЛ >> 2тс, т. е. длительность излучения
во много раз больше периода колебаний источника волн,
функция g2(«) = \В (со)/тс]2, характеризующая распределе-
ние интенсивности в спектре f(t), выражается следую-
щей приближенной формулой:
aJsin [ («>*-<>) у]Г
g*(“)=sd—--------------j
График этой функции приведен на рис. V. 8. 3. Цент-
ральный максимум соответствует аз = и равен (а т/2тс)2.
Расстояние Д« между двумя нулевыми значениями
ограничивающими центральный максимум, равно 4к т. Сле-
довательно, чем короче волновая группа, тем больше ве-
личина До).
V.8.2]
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
613
5е Разложение волн (световых, звуковых) на составля-
ющие их монохроматические компоненты называется спек-
тральным анализом воля. Оптический спектральный при-
бор состоит из анализатора, который производит простран-
ственное разделение монохроматических компонент слож-
ной волны, обладающих различными частотами со, и детек-
тора, который фиксирует значения интенсивностей этих
волн. В качестве анализаторов применяются призмы, ди-
фракционные решетки (стр. 561) и т. д., в качестве дете-
кторов — глаз, фотопла-
стинки, счетчики квантов
излучения и т. д.
6° Каждая монохрома-
тическая компонента вол-
ны, зафиксированная де-
тектором, называется
спектральной линией.Так
как процесс излучения
атомами ограничен во
времени, то представле-
ние о монохроматических
компонентах излучения
является идеализацией.
В действительности каж-
дая спектральная линия
занимает некоторую об- Рис. v. 8.3.
ласть частот. Шириной
спектральной линии называют интервал частот Д<о (или
интервал длин волн ДХ) между двумя нулями функции g2 (ю),
ближайшими к главному максимуму этой функции при
ю = ю*. Ширина спектральной линии связана с длитель-
ностью волновой группы (рис. V. 8.2) соотнои ением
Дю • т == 4п.
Чем больше т, тем уже (монохроматичнее) спектральная
линия, и наоборот. Идеальная монохроматичность линии
(ю = ю*, Дю = 0) возможна лишь при т = оо, т. е. при
бесконечной длительности излучения волны. Для свето-
вых волн, испускаемых атомами, не подверженными ника-
ким внешним воздействиям (спонтанное излучение,
стр. 666), величина Дю (или ДХ) называется естественной
шириной спектральной линии. Полушириной спектральной
линии называют интервал частот Дю (или длин волн ДХ)
между точками ее контура, для которых 1= £макс/2.
614 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА |V.«
Т Столкновения возбужденных излучающих атомов
с соседними атомами приводят к тому, что линии в
спектрах имеют • ширину, превышающую их естествен-
ную ширину Это явление, называемое ударным ушире-
нием спектральных линий, все более заметно с усиле-
нием теплового движения атомов. Оно связано с тем, что
при столкновениях уменьшается длительность т излуче-
ния света возбужденными атомами и тем самым увели-
чивается ширина Д<о (квантовую трактовку явления см.
на стр. 666). Кроме того, при усилении теплового движе-
ния в веществе увеличиваются скорости его атомов и
возникает уширение линий вследствие эффекта Доплера
(стр. 492), называемое доплеровским уширением.
8° Если какая-либо волна может быть представлена в
виде набора монохроматических волн с дискретными часто-
тами, то спектр этой волны называется линейчатым.
Спектр волны называется сплошным, если частоты моно-
хроматических волн, входящих в ее состав, образуют не-
прерывную последовательность. Спектр волны называется
полосатым, если соответствующие ему спектральные ли-
нии образуют дискретные группы (полосы), которые со-
стоят из множества тесно расположенных линий
9° Спектр электромагнитных волн, излучаемых каким-
либо веществом, называется спектром испускания (эмис-
сионным спектром) этого вещества. Спектр электро-
магнитных волн, поглощаемых каким-либо веществом, на-
зывается спектром поглощения (абсорбционным спект-
ром) этого вещества.
3. Поглощение света
Г Поглощением света называется уменьшение энергии
или интенсивности световой волны при ее распростране-
нии в веществе вследствие перехода энергии электро-
магнитного поля волны в другие формы. Основным про-
цессом, при котором происходит поглощение света, яв-
ляются столкновения атомов, возбужденных световой
волной, с другими атомами, сопровождающиеся передачей
энергии от одного атома к другим с помощью безызлу-
чательных переходов (стр. 701). В металлах поглощение
света увеличивает кинетическую энергию электронов
проводимости (стр. 358) и ионов решетки, а также число
электронов, участвующих в проводимости.
V.8.3] ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА
2° Поглощение светя в веществе описывается законом
Бугера — Ламберта:
I = Ioe~v-dt
где /о — интенсивность плоской световой волны до по-
глощения, / — интенсивность после прохождения ею слоя
вещества толщиной d. Величина
1 1 h
fx = 7ln7
называется линейным коэффициентом поглощения света.
Численное его значение определяет толщину слоя веще-
ства, по прохождении которого интенсивность световой
волны уменьшается в е = 2,718... раза. Значение р. зави-
сит от длины световой волны и рода вещества.
Закон Бугера — Ламберта для разбавленных растворов
(закон Бэра):
l=loe-Acd,
где с — концентрация растворенного вещества (если рас-
творитель не поглощает света), А — постоянная, завися-
щая от свойств вещества и от длины световой волны,
но не зависящая от концентрации растворенного ве-
щества.
3° Поглощение света в металлах (стр. 543) описывается
законом Бугера — Ламберта с коэффициентом поглощения
4п
р. = г- ПХ,
ло
где Хо — длина волны света в вакууме, п и пх—соответ-
ственно величины действительной и мнимой частей пока-
зателя преломления (стр. 543). Теоретический расчет р.
для металлов затруднителен.
4° Поглощение света становится особенно сильным при
приближении его частоты к частотам собственных ко-
лебаний электронов в атомах вещества или атомов в мо-
лекулах вещества (резонансное поглощение). Последова-
тельность частот резонансного поглощения может в за-
висимости от рода и состояния вещества быть дискретной
или непрерывной, а также представлять собой их комби-
нацию. Соответственно этому спектры поглощения назы-
ваются линейчатыми, сплошными и полосатыми.
5° Линейчатые спектры поглощения состоят из ряда
линий поглощения, отстоящих друг от друга на расстоя-
616 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА (V.8
ниях, превышающих их ширину (стр. 612). Эти спектры
возникают при распространении света в разреженных
газах или парах. .По закону Кирхгофа вещество погло-
щает те линии спектра, которые оно испускает, будучи
источником света. Сплошные спектры поглощения харак-
терны для раскаленных конденсированных сред. Полоса-
тые спектры, в которых наблюдаются дискретные со-
вокупности тесно расположенных спектральных линий
(полосы), отделенные друг от друга промежутками, срав-
нимыми с шириной полос, характерны для молекул
(см. также стр. 720).
4. Рассеяние света
Г Рассеянием света называется отклонение световых
лучей во все стороны от первоначального направления.
Рассеяние света возникает в тех случаях, когда среда,
в которой распространяется свет, является оптически
неоднородной.
2° Оптически однородной называется среда, в которой
показатель преломления не зависит от координат и
является постоянным по всему объему среды. Под
действием падающего света оптические электроны- мо-
лекул среды совершают вынужденные колебания и из-
лучают вторичные волны. Малые по сравнению с длиной
волны X участки объема среды, содержащие, однако, еще
достаточно большое число молекул, можно рассматривать
как источники вторичных когерентных волн (рассеиваю-
щие центры). Вследствие равномерного распределения мо-
лекул оптически однородной среды по ее объему рассея-
ние света в такой среде отсутствует: для всех направле-
ний, отличных от направления первичного пучка света,
вторичные волны взаимно погашаются в результате их
интерференции.
3° Оптически неоднородной называется среда, показа-
тель преломления которой не остается постоянным, а из-
меняется от точки к точке среды (например, за счет флук-
туаций плотности, присутствия в среде инородных малых
частиц и т. п.). Вторичные волны в этом случае имеют
некогерентные составляющие, благодаря чему наблюдает-
ся рассеяние света. Появление некогерентных вторичных
волн связано с тем, что рассеяние света осуществляется
на «некогерентных», т. е. не связанных друг с другом,
неоднородностях, которые, кроме того, хаотически пере-
V.8.4]
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
617
мещаются в среде вследствие теплового движения. Тем
самым хаотически изменяются разности хода между вто-
ричными волнами, излучаемыми отдельными неоднородно-
стями.
4° Рассеяние света химически однородной средой
(истинными растворами, стр. 250, чистыми газами и т. п.)
называется молекулярным. Причиной этого рассеяния
являются флуктуации плотности среды (стр. 228). При
критической температуре среды (стр. 239) эти флук-
туации особенно велики; наблюдаемое при этом силь-
ное рассеяние света называется критической опалес-
ценцией.
5* Согласно статистической теории флуктуаций
(стр. 226), интенсивность света, рассеиваемого единицей
объема химически однородной среды,
J kT 0 / дп \2
где k — постоянная Больцмана, Т—абсолютная темпера-
тура, р — коэффициент сжимаемости вещества среды,
р — плотность среды, п — показатель преломления веще-
ства для длины волны X. Интенсивность света, рассеян-
ного единицей объема оптически неоднородного идеаль-
ного газа (рэлее&ское рассеяние),
xw0 ’
где п — показатель преломления газа, No — число моле-
кул газа в единице объема. Сильным рассеянием корот-
ких световых волн в атмосфере объясняется голубой цвет
неба, а также голубоватая окраска света, рассеиваемого
газом, освещаемым белым светом.
6° Зеркальное отражение света свободной поверхно-
стью жидкости нарушается молекулярным движением
в ней. Когда неровности поверхности жидкости стано-
вятся сравнимыми с длиной световой волны, зеркальное
отражение сменяется диффузным (стр. 540). Сохранению
зеркального отражения способствует поверхностное на-
тяжение жидкости (стр. 245). Интенсивность света, рас-
сеянного поверхностью жидкости, пропорциональна X~s.
Т Рассеяние света неоднородной средой, если раз-
меры неоднородностей в ней малы по сравнению с дли-
ной световой волны и если неоднородности обладают
показателем преломления, отличным от показателя пре-
ломления окружающей их среды (мутные среды), назы-
618
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
[V.8
вается явлением Тиндаля. Этот вид рассеяния света
присущ дисперсным средам (аэрозоли, гидрозоли, кол-
лоидные растворы и т. д.).
8° Интенсивность рассеянного света при малых неод-
нородностях в явлении Тиндаля имеет распределение,
симметричное относительно направления падающего
пучка и перпендикулярной к нему линии. Кривая, опи-
сывающая это распределение в плоскости, в которой
лежат направление падающего пучка и направление на-
блюдения рассеянного света, называется индикатрисой
рассеяния. Если падающий свет неполяризован, то инди-
катриса рассеяния описывается уравнением
где — интенсивность света, рассеянного под углом & к
направлению падающего пучка света, /тс/2 — интенсив-
ность света в направлении & = к/2 (рис. V.8.4).
9° Если линейные размеры неоднородностей сравнимы
по порядку величины с длиной волны, то интерферен-
ция (стр.545) между све-
Направление пер- ТОм, рассеянным отдель-
/1 вечного пучка ными участками неодно-
родности, делает рассея-
ние несимметричным —
вперед рассеивается боль-
ше света, чем назад
(эффект Ми).
10° Если спектральное
распределение интенсив-
ности в падающей свето-
вой волне имеет вид
/с/э/(Х), то при явле-
нии Тиндаля спектраль-
ное распределение интенсивности в рассеянной волне:
/
Свет, наблюдаемый вдоль направления падающего пучка,
обогащается более длинноволновым излучением. В на-
правлениях, составляющих заметные углы с указанным
направлением, рассеянный свет оказывается более ко-
ротковолновым.
1Г При рассеянии естественного света (стр. 591) про-
исходит его частичная поляризация. При угле рассеяния
V.9.1] равновесное тепловое излучение 619
а = гс/2 в случае электрически изотропных (неполярных)
молекул (стр. 347) рассеянный свет полностью поляризо-
ван в плоскости, проходящей через падающий и рассеян-
ный лучи. В случае электрически неизотропных молекул
рассеянный свет при том же угле рассеяния поляризован
лишь частично. Мерой неполноты поляризации рассеян-
ного света является величина
где 1 у и /j_ — интенсивности составляющих рассеянных
волн, соответствующих поляризации в указанной выше
и перпендикулярной к ней плоскости.
Комбинационное рассеяние света см. стр. 722.
ГЛАВА 9
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
1. Равновесное тепловое излучение
Г Тепловым излучением называется электромагнит-
ное излучение тела, обусловленное возбуждением атомов
или молекул тела вследствие их теплового движения.
Интенсивность теплового излучения и его спектральный
состав зависят от температуры, химической природы и
агрегатного состояния светящегося тела. При достаточно
низкой температуре в тепловом излучении отсутствует
видимый свет.
2° Спектральной характеристикой теплового излучения
является лучеиспускательная (излучательная) способность
тела Е^ Т:
где б/Физл — энергия электромагнитного излучения, испу-
скаемого за единицу времени с единицы площади поверх
ности тела в интервале частот от v до ^4
3° Наряду с излучением тела способны поглощать
падающие на них электромагнитные волны. Спектральной
характеристикой noi лощения является поглощательная
способность тела равная отношению поглощенной
620 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ [V.9
телом энергии б/Фп0ГЛ к полной энергии дГФ падающих
на него волн с частотами в интервале от v до
т—величина безразмерная. т и А^ т зависят, по-
мимо частоты излучения и температуры тела, от его
химического состава, формы и состояния поверхности.
4° Тело называется абсолютно черным, если оно при
любой температуре полностью поглощает все падающие
на него электромагнитные волны: А^
Реальные тела не являются абсолютно черными, од-
нако некоторые из них по оптическим свойствам близки
к абсолютно черному телу (сажа, платиновая чернь, чер-
ный бархат в области видимого света имеют Д т, мало
отличающиеся от единицы).
Тело называется серым, если его поглощательная спо-
собность одинакова для всех частот v и зависит только
от температуры, материала и состояния поверхности
тела (АъТ — Ат).
5° Тепловое излучение называется стационарным, если
температура излучающего тела остается неизменной за
счет непрерывного его нагревания. Стационарное тепло-
вое излучение, происходящее внутри теплоизолированной
системы тел, могущих обмениваться энергией лишь путем
испускания и поглощения электромагнитных волн, назы-
вается равновесным тепловым излучением. При равно-
весном тепловом излучении энергия электромагнитных
волн, излучаемых в единицу времени каждым телом си-
стемы, равна энергии волн, поглощаемых этим телом за
то же время. Если два тела поглощают разные количе-
ства энергии, то и испускание у них должно быть раз-
личным (правило Прево). Примером равновесного тепло-
вого излучения является излучение, устанавливающееся
внутри замкнутой полости с излучающей оболочкой, окру-
женной абсолютно теплонепроницаемой изоляцией.
6° Между лучеиспускательной Е^ Т и поглощательной
Д т способностями любого непрозрачного тела суще-
ствует соотношение (закон Кирхгофа в дифференциальной
форме)'.
Ev,T
V.9.1] РАВНОВЕСНОЕ ТЕПЛО ОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 621
Отношение лучеиспускательной способности тела к его
поглощательной способности не зависит от материала
тела и равно лучеиспускательной способности ev 7 абсо-
лютно черного тела, являющейся функцией только ча-
стоты и температуры (функция Кирхгофа).
Из закона Кирхгофа следует, что, если тело при дан-
ной температуре не поглощает излучения в интервале
частот от » до v dx (А^ 7 =0), то оно не может и из-
лучать в этом интервале частот; Е^ Т = А^ 7 е¥ 7=0.
Однако из того, что 7 0, еще не следует, что
Е и^° в Данном интервале частот при температуре Т
абсолютно черное тело может практически не излучать
волн (ev 7«s0). Так, например, красное стекло при ком-
натной температуре сильно поглощает зеленые лучи, но
почти не излучает их, так как при этой температуре
абсолютно черное тело их тоже практически не излучает,
7° Интегральная излучательная способность тела ЕТ*
Е-р=- Е^ 7 dx.
Е7 представляет собой плотность мощности излучения
т. е. энергию излучения всех возможных частот, испу-
скаемого с единицы поверхности тела за единицу времени.
Интегральная излучательная способность е7 абсолютно
черного тела:
оо
е7 == j ev, 7 d'*'
8е Соотношение между интегральной излучательной
способностью Ej серого тела и его поглощательной спо-
собностью Ат\
Еъ 7dx — A^ 7 Tdx.
Интегрируя по v от 0 до оо и учитывая, что для серых
тел Ay j = AT, получим:
ОО 00
7 dx = А7 jj sv> 7 dxt
622
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
(V.9
ИЛИ
Закон Кирхгофа в интегральной форме (для серых
тел): отношение интегральной излучательной способности
серого тела к его noi лощательной способности равно
интегральной излучательной способности абсолютно чер-
ного тела
9° Интегральная излучательная способность любого
тела:
00
^7 = j 7 ev, Т
ИЛИ
Ет =
где а — степень черноты тела:
а зависит от температуры, материала и состояния поверх-
ности тела.
10° Поглощательная способность тел 7 может из-
меняться в пределах от 0 до 1. Поэтому O^a^l. Для
абсолютно черного тела a = L Непрозрачные тела, у ко-
торых степень черноты а = 0, не излучают и не поглощают
электромагнитных волн (£v г= Д^ 7 = 0). Падающее на
них излучение они полностью отражают. Если при этом
отражение происходит в соответствии с законом отра-
жения геометрической оптики, то тело называется зер-
кальным.
2. Законы излучения абсолютно черного тела
1° Законы излучения абсолютно черного тела уста-
навливают зависимость е7 и 7 от частоты и темпера-
туры.
Закон Стефана—Больцмана:
е2 = аР.
V.9.2] ЗАКОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА 623
Интегральная излучательная способность абсолютно
черного тела пропорциональна четвертой степени его аб-
солютной температуры. Величина о — универсальная по-
стоянная Стефана, равная 5,67-10~8 эрг-смг*>ceK~x -град~*.
2е Распределение энергии в спектре излучения абсо-
лютно черного тела, т. е. зависимость ev Т от частоты
при различных температурах, имеет вид, изображенный
на рис. V. 9.1. При малых частотах т пропорциональна
произведению №Г, а в области больших частот ev т про-
до
порциональна е т , где а — некоторая постоянная.
Площадь S, ограниченная кривой зависимости т от
n и осью абсцисс, пропорциональна ег:
оо
S ОО ег= \
По закону Стефана—Больцмана эта площадь пропорцио-
нальна четвертой сте-
пени абсолютной тем-
пературы.
3° Закон Вина-.
е,?. =
где с — скорость света
в вакууме, a f(y/T)—
универсальная функ-
ция отношения часто-
ты излучения абсо-
лютно черного тела
к его температуре.
Частота излучения vMaKC, соответствующая максималь-
ному значению лучеиспускательной способности еу т
абсолютно черного тела, согласно закону Вина равна
VM8KC---
где bi — постоянная величина, зависящая от вида функ-
ции /(v/Г).
Закон смещения Вина—Голицына', частота, соответ-
ствующая максимальному значению лучеиспускательной
способности ev> 7 абсолютно черного тела, прямо пропор-
циональна его абсолютной температуре.
624 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ [V.9
Связь лучеиспускательной способности ev, г, отнесен-
ной к интервалу частот d\ с лучеиспускательной спо-
собностью ех г, отнесенной к интервалу длин волн afk:
______ с
еХ, 7 — Х2 еу, Т’
Другая форма закона Вина:
__ С5 , / С \
ЕХ, 7 Х5~ ' \Х7 / •
4° Длина волны Хмакс, соответствующая максимальному
значению лучеиспускательной способности ех т:
х — А
Лмакс — у •
Длина волны, соответствующая максимальному значе-
чению лучеиспускательной способности ех 7 абсолютно
черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной
температуре. Величина b — постоянная Вина, равная
0,2898 см • град.
Закон смещения объясняет, почему при понижении
температуры нагретых тел в их спектре все сильнее пре-
обладает длинноволновое излучение.
Значения Хмакс и \макс не связаны формулой Х = с>,
так как максимумы ev> 7 и ех 7 расположены в разных
частях спектра.
5° Закон Рэлея—Джинса для лучеиспускательной спо-
собности абсолютно черного тела:
______ 2^2 -
ev, 1 — ~ёГ е>
где v—частота света, с — скорость света в вакууме,
е — средняя энергия линейного осциллятора (стр. 100). По
закону равномерного распределения энергии по степеням
свободы (стр. 211) е = &Г, где k — постоянная Больцмана,
Т—абсолютная температура. Поэтому
%. т= ~kT-
В области больших частот этот закон приводит к рез-
кому расхождению с опытом, носящему название «ультра-
фиолетовой катастрофы*-. ev 7 монотонно возрастает с
ростом частоты, не имея максимума, а интегральная лу-
чеиспускательная способность абсолютно черного тела
0.2) ЗАКОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА 625
обращается в бесконечность. Это противоречит не только
законам теплового излучения, но и закону сохранения
энергии.
6° По классическим воззрениям энергия излучающего
атома — линейного осциллятора — пропорциональна квад-
рату амплитуды его колебаний, которая может изменяться
непрерывно. Поэтому энергия атома также изменяется
непрерывно и может принимать любые значения.
По квантовой теории Планка энергия линейного
осциллятора может принимать лишь определенные дис-
кретные значения, отличающиеся друг от друга на це-
лое число элементарных порций е0, называемых квантами
энергии. В соответствии с этим излучение и поглощение
энергии атомами должно происходить не непрерывно,
а дискретно — отдельными порциями (квантами).
7° Средняя энергия £ атомного осциллятора по кван-
товой статистике (стр. 215)
е =----,
£о
е — I
причем
е0 = Л»,
где v — частота излучения, h = 6,625 • 10-27 эрг • сек —
универсальная постоянная Планка. В атомной и ядерной
физике часто вместо h применяется величина й = Л/2л =
= 1,05 • 10~27 эрг • сек.
Формула Планка для лучеиспускательной способно-
сти абсолютно черного тела:
______ /iv
ev,7 ~2 ’
И ,
е — I
Другой вид формулы Планка:
___________________2тсс2 h
Xs he
ЫТ
с
Формула Планка хорошо согласуется с результатами
экспериментов по измерению распределения энергии в
спектре абсолютно черного тела при различных темпе-
ратурах. Как частный случай в ней содержится закон
Рэлея — Джинса (при h» < kT). В области больших
40 В. М. Яворский, А. А. Детлаф
626
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
(V.1
частот (hv^kT) формула Планка дает:
Av
2itAv3 tr'r
\т^ — е kT-
Из формулы Планка следуют закон смещения Вина—
Голицына и закон Стефана—Больцмана. Постоянная Сте-
фана может быть выражена через постоянную Планка:
° 15A«cS ’
Численное значение постоянной Планка находится по из-
вестным значениям /г, а и с. Ее можно также выразить
через постоянную Вина Ь,
3. Понятие об оптической пирометрии
Г Пирометрией называется совокупность методов
измерения высоких температур, основанных на исполь-
зовании зависимости между температурой и лучеиспу-
скательной способностью (интегральной и спектральной)
для абсолютно черного тел» <стр 624). Применяемые для
этой цели приборы называются пирометрами. Опреде-
ляемые с их помощью температуры могут иметь различ-
ный смысл.
2° Радиационной температурой Тг данного тела на-
зывается температура такого черного тела, суммарное
излучение которого совпадает с излучением исследуе-
мого тела. Для измерения истинной температуры тела Т
по его радиационной температуре Тг используется соот-
ношение
где Эт — Ет/^т—отношение интегральных лучеиспуска-
тельных способностей данного (Ет) и абсолютно черного
(t7) тел при температуре Т.
3° Цветовой температурой Тс нечерного тела назы-
вается температура Т такого черного тела, которое имеет
распределение энергии в спектре, наиболее близкое к
распределению энергии испытуемого тела при данной
температуре. Ее измерение сводится к определение
V.10.1] ФО 1 ©ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ 627
Хмакс из КРИВОЙ распределения энергии и вычислению 7
из закона смещения Вина—Голицына (стр. 623).
4° Яркостной температурой Гя данного тела назы-
вается температура абсолютно черного тела, интенсив-
ность излучения которого на определенной длине волны
равна интенсивности излучения исследуемого тела в дан-
ном направлении. Если 7 есть отношение яркости
(стр. 590) тела для длины волны X к яркости абсолютно
черного тела при данной температуре, вычисленное для
направления, перпендикулярного к излучающей поверх-
ности, то истинная температура Т тела определится из
соотношения
. n const /1 1 \
1пЭх,г
где const = hc/k = 1,438 см • град,
глава ю
ДЕЙСТВИЯ СВЕТА
1. Фотоэлектрический эффект
Г Электромагнитное излучение имеет двойственную
корпускулярно-волновую природу’, с одной стороны, оно
обладает волновыми свойствами, обусловливающими яв-
ления интерференции, дифракции, поляризации, с другой
стороны, представляет собой поток частиц — фотонов,
обладающих нулевой массой покоя и движущихся со
скоростью, равной скорости света в вакууме. Энергия W
фотона и его импульс р для соответствующей ему волны
с частотой v и длиной волны в вакууме X равны:
\-yrr_• _he ____h'i_ h
где h — постоянная Планка (стр. 625).
Фотоны обладают моментом количества движения,
равным т (т=1, 2, ...), и подчиняются квантовой
статистике Бозе—Эйнштейна (стр. 214). При малых часто-
тах 'v излучения преобладающую роль играют волновые
свойства, при больших v — корпускулярные свойства.
Фотоны возникают (излучаются) в процессах перехо-
да молекул, атомов, ионов и атомных ядер из возбуж-
денных состояний (стр. 674) в состояния с меньшей энер-
гией, в результате ускорения и торможения заряженных
40*
628 ДЕЙСТВИЯ СВЕТА [V.10
частиц, а также при распаде и аннигиляции (стр. 786)
частиц.
2® Фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом)
называется процесс взаимодействия электромагнитного
излучения с веществом, в результате которого энергия
фотонов передается электронам вещества. Для конден-
сированных систем (твердых и жидких тел) различают
внешний фотоэффект, при котором поглощение фото-
нов сопровождается вылетом электронов за пределы
тела, и внутренний фотоэффект, при котором электроны,
оставаясь в теле, изменяют в нем свое энергетическое
состояние так, что переходят из одной энергетической
зоны в другую (стр. 660). В газах фотоэффект состоит в
ионизации атомов или молекул под действием излуче-
ния (фотоионизация, стр. 727).
Особым видом фотоэффекта является поглощение фо-
тонов жестких гамма-лучей атомными ядрами, сопровож-
дающееся вылетом из ядер составляющих их нуклонов
(ядерный фотоэффект см. стр. 772).
3е Электроны, вылетающие из вещества при внеш-
нем фотоэффекте, называются фотоэлектронами. Если
между облучаемым телом и некоторым проводником
(анодом) создать электрическое поле с разностью потен-
циалов ср, ускоряющее фотоэлектроны, то возникает
упорядоченное движение этих электронов, называемое
фотоэлектрическим током (фототоком). При некото-
ром значении ср >> 0 фототок / достигает насыщения
(/ = /н), когда все электроны, покидающие облучаемое
тело (катод), достигают анода. Для прекращения фото-
тока между анодом и катодом необходимо создать за-
держивающее поле с разностью потенциалов <ръ равной
^к макс _ Л
<Р1 =------— < о,
где е — абсолютная величина заряда электрона, WK макс —
максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов. Для
фотоэффекта, вызываемого видимым светом и ультра-
фиолетовыми лучами, максимальная скорость фотоэлект-
роков Омакс<« и «’"к макс ='««Lac/2- где '«-масса
покоя электрона.
4° Из закона сохранения энергии следует уравнение
Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:
V.10.1] ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ 629
где А = еу0— работа выхода электрона из облучаемого
вещества (стр. 383), <р0—потенциал выхода, h» — энергия
фотона. Величины А и ср0 зависят от начального энер-
гетического состояния фотоэлектрона.
В соответствии с законом сохранения импульса фо-
тоэффект возможен только на связанных в кристалличе-
ской решетке электронах.
Внешний фотоэффект возможен при частоте излуче-
ния Alh. Частота м0 = A/h и соответствующая длина
волны Х0 = с7г/Д называются красной границей фотоэф-
фекта (порогом фотоэффекта). Величина Хо для .щелоч-
ных металлов соответствует видимой области спектра,
для большинства других металлов — ультрафиолетовой
части спектра.
5° Законы внешнего фотоэффекта.
а) Закон Столетова. Фотоэлектрический ток насы-
щения для данного катода прямо пропорционален мощ-
ности Ф излучения, поглощаемого катодом, если спект-
ральный состав излучения неизменен:
/Н = £Ф,
где k — фоточувствительность катода. Закон Столетова
является следствием квантового характера поглощения
излучения (стр. 625): число фотоэлектронов пропорцио-
нально числу N поглощенных веществом фотонов; по-
следнее при постоянном спектральном составе излучения
пропорционально Ф. Для монохроматического излучения
/V = ф/й\.
б) Закон Эйнштейна. Максимальная кинетическая
энергия фотоэлектронов линейно возрастает с увеличе-
нием частоты падающего излучения и не зависит от его
интенсивности:
макс = -^мин»
где ,4МИН — работа выхода для электронов вещества, на-
ходящихся на наиболее высоком энергетическом уровне
в зоне проводимости (уровне Ферми, стр. 359).
6° Отношение числа фотоэлектронов, вышедших из
облучаемой поверхности, к числу поглощенных зато же
время фотонов называется квантовым выходом (кван-
товой чувствительностью) фотоэффекта Соотетсгву-
ющ(в отношение суммарных энергий фотоелектроноз
и фотонов называется энергетическим выхооом фото-
эффекта.
630 ДЕЙСТВИЯ СВЕТА |V.10
Квантовый выход фотоэффекта для металлов при
возрастает с увеличением v вплоть до значений
^1==|и71|/'Л, где. Wi — значение энергии электрона на
самом нижнем уровне зоны проводимости. Дальнейшее
увеличение v приводит к уменьшению квантового выхода
вследствие уменьшения вероятности поглощения фотонов
(эффективного сечения фотоэффекта). При > 2ЛМЙН
становится возможным явление каскадного фотоэффекта
(выбивания одним фотоном двух и более фотоэлектронов),
вызывающее увеличение квантового выхода фотоэффекта.
7° Явление заметного возрастания квантового выхода
(и фототока насыщения) в определенных диапазонах
частот падающего излучения называется селективным
(избирательным) фотоэффектом. В этом случае кванто-
вый выход сильно зависит от угла падения излучения и
от его поляризации. В случае излучения, поляризованного
в плоскости падения, селективный фотоэффект отсут-
ствует. Если излучение поляризовано в плоскости, пер-
пендикулярной к плоскости падения, то селективный фо-
тоэффект максимален и зависит от угла падения Z, воз-
растая при его увеличении от 0 до л/2. Указанные осо-
бенности свидетельствуют о влиянии волновых свойств
излучения на внешний фотоэффект.
8° В случае сложных катодов (соединения щелочных
металлов с сурьмой или висмутом; катоды с полупровод-
никовыми слоями) внешний фотоэффект обусловлен по-
глощением фотонов электронами, находящимися либо в
заполненной зоне, либо на примесных уровнях (стр. 380).
Вследствие малой работы выхода квантовая чувствитель-
ность сложных катодов в области видимой части спектра
значительно превосходит квантовую чувствительность
металлических катодов.
9° Внешний фотоэффект, вызванный фотонами рент-
геновского или гамма-излучения, заключается в поглоще-
нии энергии фотона атомом и выбрасывании электрона
из какой-либо внутренней оболочки атома. При этом атом
оказывается возбужденным и фотоэффект сопровождается
испусканием фотона вторичного рентгеновского излуче-
ния или добавочного фотоэлектрона в том случае, если
энергия возбуждения атома передается одному из его
элекхронов (эффект Оже, стр. 701).
В случае внешнею фотоэффекта для электронов,
выбиваемых с 7<-оболочки атома (стр. 694), угловое рас-
пределение фотоэлектронов выражается приближенной
VJO.I]
ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ
631
зависимостью:
/оо sin2 0 (1 +4? cos 0) cos2 <р,
где р = (нерелятивистский случай), с, — скорость
фотоэлектрона, 0 — угол между направлениями движения
электрона и поглощаемого фотона, ср — угол между пло-
скостью, проведенной через эти два направления, и век-
тором напряженности Е электрического поля излучения.
В случае неполяризованного излучения
/ со sin2 0 (1 + 4р cos 0).
При 0 <С 1 максимум излучения фотоэлектронов соответ-
ствует 0 = л/2 и <р = 0;* при увеличении 0 (более жесткое
излучение) максимум * соответствует меньшему значе-
нию 0, т. е. отклоняется в направлении падающего из-
лучения.
10° Внутренний фотоэффект (фотопроводимость) в
полупроводниках и диэлектриках. В беспримесных веще-
ствах он наблюдается при таком значении частоты фото-
нов (выше красной границы v0), когда энергия фотона
становится достаточной для переброса электрона из за-
полненной валентной зоны в зону проводимости. Введе-
ние в полупроводник примесей приводит к снижению
частоты v0 вследствие того, что при этом происходит
переброс электронов в зону проводимости с донорных
примесных уровней или переброс из валентной зоны на
акцепторные примесные уровни (стр. 381). Если фотопро-
водимость возбуждается монохроматическим излучением
(v v0), то при слабом освещении или большой прово-
димости в отсутствие излучения (темновая проводимость)
она пропорциональна мощности Ф поглощаемого излуче-
ния, при сильном же освещении или малой темновой
проводимости — пропорциональна р^Ф. Сильное погло-
щение света может вызвать обратный фотоэффект —
снижение проводимости полупроводника вследствие того,
что фотоны интенсифицируют процессы рекомбинации
электронов и дырок и тем снижают концентрацию сво-
бодных зарядов в соседних участках полупроводника.
1Г Внутренний фотоэффект в паре из электронного и
дырочного полупроводников (стр. 380, 381) называется
вентильным фотоэффектом в р — n-переходе. В резуль-
тате поглощения фотонов (с частотой v2>v0) р- и и-по-
лупроводниками в них возникают пары свободных за-
рядов (электронов и дырок), которые разделяются элек-
632
ДЕЙСТВИЯ СВЕГА
[V.IO
трическим полем р — n-перехода: электроны преимуще-
ственно переходят в «-полупроводник, а дырки —
в р-полупроводник. При этом дырочный полупроводник
заряжается положительно, а электронный — отрицательно,
между ними создается разность потенциалов и в замы-
кающей их внешней цепи возникает электрический ток.
Контактная разность потенциалов в р — «-переходе по-
нижается по сравнению с ее значением в отсутствие
облучения. Вентильный фотоэффект в р — «-переходе
представляет непосредственное преобразование энергии
электромагнитного излучения в энергию электрического
тока. Это явление используется в фотоэлектрических
источниках тока (кремниевые, германиевые и др. фото-
элементы).
2. Эффект Комптона
Iе Эффектом Комптона называется изменение частоты
или длины волны фотонов при их рассеянии электронами
и нуклонами. Эффект Комптона отличается от фотоэф-
фекта тем, что фотон передает частицам вещества свою
энергию не полностью. Частными случаями эффекта Комп-
тона являются рассеяние рентгеновских лучей на элек-
тронных оболочках атомов и рассеяние гамма-лучей на
атомных ядрах. Эффект Комптона существен при энер-
гиях рентгеновских фотонов и гамма-фотонов, значительно
больших энергии связи соответственно электронов в ато-
мах и нуклонов в атомных ядрах. Поэтому при теорети-
ческом рассмотрении электроны и нуклоны считаются
свободными.
2° Рассеяние фотона на связанном электроне или ну-
клоне можно рассматривать как процесс их упругого
столкновения. Рассмотрение обычно проводится в лабо-
раторной системе координат (стр. 653), в которой электрон
вначале предполагается покоящимся, а после столкнове-
ния— движущимся со скоростью v, не малой по срав-
нению со скоростью с налетающего фотона. Из закона
сохранения энергии:
Y 4- тос3 = + тс3,
где X и X' — длины волн, соответствующие первичному
и вторичному фотонам, т0 — масса покоя электрона или
нуклона, т = т0/ У1 — (о2/с2) — релятивистская масса
V.10.2] ЭФФЕКТ КОМПТОНА 633
электрона или нуклона (стр. 487), и из закона сохранения
импульса (стр. 62) при столкновении:
/ \2 /А\8 । /Л\2 2Л2 Q
0™)’ = (.т) +(?) - XV cos 0-
где 9 — угол между направлениями первичного и рас-
сеянного фотона (рис. V.10.1), получается следующая
зависимость для изменения длины волны ДХ = Х'— X
при комптоновском рассеянии:
ДХ = —- sm2 тг .
т qc 2
Величина
___ h | 2,426- 10~10 см для электрона,
с mQc [ 1,32- 10—13 см для нуклона
называется комптоновской длиной волны для электрона
и нуклона.
3° Изменение (смещение) .
длины волны в эффекте Комп- >.
тона зависит от угла рассеяния _____Л ч
фотонов 6 и имеет наибольшую ~
величину для обратного рассек- X.
ния (0 = 180°). При наблюде- ''
нии вдоль первоначального на- Л
правления движения фотонов рИс. V. 10.1.
(О = 0°) эффект отсутствует.
Угловое распределение числа фотонов после комптонов-
ского рассеяния дается формулой Клейна—Нишины:
J ,дч _ J 1 + COS2 0 111 е2 (1 — cos 6)2 1
1 al (U) u + e (1 _ cos e)]2 |i -t- p _|_e(1 _cose)](i_|_cos2 0)p
где /(0) — интенсивность в направлении 0 = 0° (рассея-
ние вперед), t. — hlmQc\ а—множитель пропорциональ-
ности. При е <С 1 рассеяние следует закону Рэлея
(стр. 617) и является практически изотропным. При e 1
все рассеянное излучение практически направлено вдоль
первичного излучения.
4° Рассеивающий электрон (нуклон), приобревший
скорость при столкновении с фотоном в эффекте Комп-
тона, называется электроном (нуклоном) отдачи. Рас-
пределение электронов отдачи по углам дается формулой:
/ (?) = * (г+2е17!7! [(2+2е) (2* -2г+2)+2е2гь
J 14-6 z% (z -f- 2e)^
634
ДЕЙСТВИЯ СВЕТА
[V.10
где
г = 1 + (1 + e)?tg2cp, причем (1 + е) tg ср = — Ctg у
Кинетическая энергия электронов отдачи
Т _ he 2е
1 X z4-2e
достигает максимального значения
т _________________________he 2t
7 макс х l-J-2e
в направлении 0 = 180° (<р = 0°).
3. Давление света
Г Давлением света называется механическое дейст-
вие, производимое электромагнитными волнами при па-
дении на какую-либо поверхность.
2° Согласно электромагнитной теории света, давле-
ние света объясняется возникновением механических сил,
действующих на электроны, находящиеся на поверхно-
сти освещаемого тела, со стороны электрической и ма-
гнитной компонент поля световой волны. Электрическое
поле световой волны вызывает колебания зарядов в по-
верхностном слое тела. Магнитное поле действует на
эти заряды с лоренцевой силой (стр. 407), направление
которой совпадает с направлением вектора Пойнтинга
световой волны (стр. 467). Величина давления света,
оказываемого на некоторую поверхность нормально па-
дающим на нее параллельным пучком света, определя-
ется абсолютной величиной вектора Пойнтинга.
3° Если W — энергия электромагнитного излучения,
падающего нормально на некоторую поверхность еди-
ничной площади за 1 сек, с — скорость распространения
световой волны в вакууме, ^ — коэффициент отражения
света поверхностью (стр. 538), то давление р света на
эту поверхность равно
Р=т<1 + ^)-
Давление света
{W/c для абсолютно поглощающего (абсолютно
черного) тела (7? = 0),
2W/c для абсолютно отражающего тела (/?=!).
V.10.4]
ХИМИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ СВЕТА
635
4е Квантовая (фотонная) теория света объясняет све-
товое давление как результат передачи фотонами своего
импульса атомам или молекулам на поверхности тела.
Световой поток с частотой передающий 1 см2 поверх-
ности тела за 1 сек энергию W, состоит из 7V= W hv
фотонов, причем импульс каждого фотона равен Л\/с
(стр. 627). При своем поглощении фотон отдает импульс
Л\/с, при отражении (упругом рассеянии) — импульс 2/гч с,
так как его импульс при этом меняется с —|—/г>/с на
—folc. Общий переданный фотонами импульс при коэф-
фициенте отражения 7?:
Таким образом, результаты электромагнитной и кванто-
вой теории света в расчете светового давления совпа-
дают.
5е Световое давление, существование которого было
эксперименталью доказано опытами П. Н. Лебедева,
является одной из причин, обусловливающих появление
хвостов у комет при значительном приближении их к
Солнцу. Ввиду малых размеров частиц вещества в коме-
тах их отталкивание световым давлением, пропорцио-
нальное площади поверхности частиц, превышает их
притяжение гравитационным полем Солнца, пропорцио-
нальное объему частиц. Световое давление совместно
с гравитационными силами и газовым давлением опре-
деляет равновесные размеры звезд. При преобладании
над силами притяжения оно, возможно, является одной
из причин неустойчивости ярких звезд с чрезмерно боль-
шой плотностью потока энергии электромагнитного из-
лучения, возникающей при некоторых нарушениях в ходе
термоядерных циклов (стр. 774) в звездах.
4. Химические действия света
1° Действие электромагнитного поля световых волн
на движение внешних (валентных) электронов в атомах
вызывает ряд изменений состояния этих электронов,
сопровождаемых фотохимическими реакциями. К числу
таких реакций относятся разложение сложных молекул
на их составные части, образование сложных молекул
из более простых, а также образование комплексов оди-
наковых молекул (полимеризация, стр. 277).
636
ДЕЙСТВИЯ СВЕТА
IV.10
2° Разложение под действием света сложных молекул
на более простые или на отдельные составляющие их
атомы называется фотохимической диссоциацией молекул
(фотодиссоциацией). Этот процесс становится возмож-
ным при частоте света v, удовлетворяющей условию
где ч0 — граничная частота фотодиссоциации, D — энер-
гия диссоциации молекулы (стр. 703). Примерами таких
реакций служат разложение углекислоты под действием
солнечного света (сложная реакция, здесь условно счи-
таемая идущей в один этап):
2 СО2 + 2Л» 2 СО + О2,
диссоциация молекул хлора на свету:
С12 А» — С1 + С1,
разложение бромистого серебра в фотографических мате-
риалах при их освещении:
AgBr -|- to —* Ag + Br.
3° Световое возбуждение фотохимических реакций
имеет резонансный характер, т. е. эти реакции обладают
максимальным выходом продуктов при некоторой опре-
деленной для каждой реакции частоте света.
4° Для фотохимических реакций имеет место закон
эквивалентности', каждому поглощенному веществом
кванту света с энергией /Ь, причем v соответствует
линии поглощения вещества, отвечает превращение одной
молекулы вещества.
Закон Бунзена — Роско', количество вещества, про-
реагировавшего в фотохимической реакции, пропорцио-
нально мощности излучения Ф и времени освещения t*.
Q = k^t.
где k — коэффициент пропорциональности, зависящий
от рода реакции (предполагается, что спектральный
состав света постоянен и обеспечивает осуществление
реакции).
5° В ряде фотохимических реакций в веществах слож-
ного состава поглощение светового фотона переводит
молекулу одного рода в возбужденное состояние (стр. 674),
V.11.I] КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ 637
из которого она выходит, отдав избыток своей энергии
молекуле другого рода и вызвав тем химическое пре-
вращение последней. Такие реакции называются сенсиби-
лизированными, а молекулы — инициаторы реакции —
сенсибилизаторами. Такого типа реакции происходят,
когда частота поглощаемого сенсибилизатором фотона
лежит вне полос поглощения основного вещества, а
энергия, отдаваемая при этом молекулами сенсиби-
лизатора, достаточна для химического превращения
молекул сенсибилизируемого вещества. Примером та-
кой реакции является образование перекиси водо-
рода Н2О2 из Н2 и О2 при сенсибилизации атомами
ртути и освещении их смеси светом с длиной волны
2537 А, соответствующей линии поглощения атомов
ртути. Реакция идет по следующей возможной схеме;
Hg 4- to — Hg*,
Hg*4-H2-^HgH + H (Hg* + H2-^Hg + 2H),
2H + O2 — H2O2,
где Hg* означает возбужденный атом ртути. Возбужде
ние атома ртути снимается при передаче нергии воз-
буждения молекуле водорода, вызывающей 'ее диссоци-
ацию на второй ступени реакции.
глава п
ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ
1. Классификация процессов люминесценции
Г Люминесценцией называется излучение света те-
лами, избыточное над тепловым (стр. 619) при той же тем-
пературе и имеющее длительность более 10-10 сек. Это
излучение может быть вызвано бомбардировкой веще-
ства электронами и другими заряженными частицами,
пропусканием через вещество электрического тока (не-
тепловое действие), освещением вещества видимым све-
том, рентгеновыми и гамма-лучами, а также некоторыми
химическими реакциями в веществе. Люминесцентное
излучение имеет локальный характер, т. е. оно испуска-
ется сравнительно небольшим числом атомов вещества.
В отличие от теплового, люминесцентное излучение не
является равновесным (стр. 620).
2° Люминесценция связана с переходом излучающих
свет атомов, молекул и ионов в возбужденное состояние.
638 ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ [V-и
Последующее их возвращение в нормальное или менее
возбужденное состояние (стр. 674) сопровождается испу-
сканием света. 'Длительность возбужденного состояния
зависит от степени возбуждения атома или молекулы и
от окружающей их среды; обычно эта длительность по
порядку величины равна 10~я сек. Если возбужденное
состояние метастабильно (стр. 674), то время пребыва-
ния в нем атома или молекулы может достигать 10“4 сек и
более.
3° Люминесценция, сразу прекращающаяся после окон-
чания действия возбудителя свечения, называется флуо-
ресценцией. Люминесценция, сохраняющаяся длительное
время после прекращения действия возбудителя свечения,
называется фосфоресценцией. Разграничение на флуорес-
ценцию и фосфоресценцию является достаточно условным.
Люминесценция под действием света называется фото-
люминесценцией, под действием бомбардировки электро-
нами — катодолюминесценцией, под действием электриче-
ского тока и поля —электролюминесценцией, под дейст-
вием химических превращений—хемилюминесценцией.
Люминесцирующие вещества называются люминофорами.
2. Механизмы возбуждения люминесценции
1° При электронном возбуждении люминесценции энер-
гия бомбардирующих электронов передается атомным
электронам и переводит атомы в возб'гжденное состояние.
Передача энергии возможна лишь при условии, что ки-
нетическая энергия бомбардирующего электрона
где Ен и Ев - полная энергия атома соответственно в
нормальном и ближайшем к нему возбужденном со-
стояниях. Атом возвращается из возбужденного состоя-
ния в нормальное, испустив квант света (фотон) ча-
стоты у:
Лу = 2?в —Ен.
При достаточных энергиях возбуждения возвраще-
ние атома из возбужденного в нормальное состояние
может происходить в несколько этапов через всё
менее возбужденные состояния. Этому соответствует
V.11.3]
ЗАКОНЫ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ
639
испускание нескольких фотонов различных частот, при-
чем суммарная их энергия равна энергии начального воз-
буждения.
2° Фотолюминесценция возбуждается при освещении
люминофоров светом частоты, совпадающей с одной из
собственных частот электронов в атомах люминофора
или большей их. Как правило, спектральный состав фо-
толюминесцентного излучения значительно отличается от
спектрального состава света, возбуждающего фотолюми-
несценцию. Это относится и к монохроматическому воз-
буждающему свету. В том случае, когда при освещении
пара или газа монохроматическим светом в нем воз-
буждается свет той же частоты, имеет место резонансное
излучение.
3° Электролюминесценция в газах вызывается электри-
ческим разрядом, в котором энергия возбуждения сооб-
щается молекулам газа механизмом электронного или
ионного удара (стр. 725). Электролюминесценция в полу-
проводниках связана с выбрасыванием электронов из
валентной зоны или с донорных уровней (стр. 380) в зону
проводимости электрическим полем. Испускание света
происходит при последующем возвращении электронов
либо обратно в валентную зону, либо на примесные
уровни в запрещенной зоне (сгр. 380).
4° Хемилюминесценция вызывается химическими пре-
вращениями в веществе, сопровождающимися перестрой-
кой внешних электронных оболочек атомов. Излучение
света приводит к образованию химического соединения
с более устойчивой в данном окружении и при данных
условиях электронной конфигурацией (стр. 684). Хеми-
люминесценция часто сопровождает процессы окис-
ления с образованием более устойчивых продуктов сго-
рания.
5е Флуоресценция обусловлена самопроизвольными пе-
реходами атомов или молекул люми ' |юпа из возбуж-
денного состояния в нормальное. Фосфоресценция обус-
ловлена наличием метастабильных возбужденных состоя-
ний атомов и молекул, переход из которых в нормальное
состояние затруднен по тем или иным причинам (стр. 666).
>Например, в полупроводниках p-типа это связано с осе-
данием электронов на акцепторных уровнях (стр. 381).
Переход из метастабильного состояния в нормальное воз-
можен лишь в результате дополнительного возбуждения,
например теплового.
640 ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ [V.ll
3. Законы люминесценции
Г Свет фотолюминесценции, как правило, имеет ббль-
шую длину волны, чем возбуждающий свет {правило
Стокса). Если люминофор обладает не линиями, а поло-
сами поглощения (стр. 615), то максимум излучения при
фотолюминесценции смещен в длинноволновую сторону
от максимума поглощения в полосе. При возбуждении
светом любой частоты, лежащей в пределах полосы по-
глощения люминофора, спектр его фотолюминесцентного
излучения не меняется. Если люминофор имеет несколько
полос поглощения, то возбуждение светом, соответству-
ющим какой-либо полосе, может изменять спектр, его
фотолюминесценции в других полосах. Полосы поглоще-
ния и фотолюминесценции всегда отчасти перекрываются.
2° В некоторых случаях (особенно при возбуждении
монохроматическим светом) фотолюминесцентное излу-
чение имеет в своем спектре длины волн, меньшие длины
волны возбуждающего света {антистоксово излучение).
Это явление объясняется тем, что к энергии возбуждаю-
щего фотона добавляется энергия теплового движения
атомов или молекул люминофора:
^люм = ^погл +
где а — коэффициент, зависящий от природы люмино-
фора, k — постоянная Больцмана, Т—абсолютная темпе-
ратура люминофора. Антистоксово излучение проявляет-
ся все отчетливее по мере повышения температуры
люминофора.
3° Отношение энергии, излучаемой при фотолюминес-
ценции, к поглощаемой энергии возбуждающего ее света
называется энергетическим выходом фотолюминесцен-
ции. Отношение соответствующих чисел фотонов в из-
лучениях называется квантовым выходом фотолюминес-
ценции. Энергетический выход фотолюминесценции воз-
растает прямо пропорционально длине волны X поглощае-
мого излучения, а затем, достигая в некотором интервале
при X Хмакс максимального значения, быстро спадает
до нуля при дальнейшем увеличении X {закон Вавилова).
Этот закон является следствием квантового характера
возбуждения фотолюминесценции: резкое уменьшение
энергетического выхода при X > Хмакс объясняется тем,
что энергия поглощаемых фотонов становится недоста-
точной для возбуждения молекул люминофора.
V J 1.3|
Законы люминесценции
641
Величины квантового и энергетического выходов силь-
но зависят от природы люминофора и внешних условий —
температуры, наличия примесей и т. д. Это связано с воз-
можностью безызлучательных переходов молекул из воз-
бужденного в нормальное состояние (тушение люминес-
ценции). Основную роль в процессах тушения играют
столкновения второго рода, в результате которых энер-
гия возбуждения переходит во внутреннюю энергию теп-
лового движения молекул. Имеет место также резкое
уменьшение интенсивности флуоресценции при чрезмерно
большой концентрации молекул люминесцирующего ве-
щества (концентрационное тушение). В этом случае
из-за сильной связи между молекулами невозможно об-
разование изолированных центров люминесценции.
4° Интенсивность свечения флуоресценции спадает со
временем по закону:
где // — интенсивность свечения в момент времени t%
10 — интенсивность свечения в момент прекращения воз-
буждения люминесценции, т — средняя продолжитель-
ность возбужденного состояния атомов или молекул лю-
минофора. Величина т имеет обычно порядок 10-9 —
10-8 сек. В отсутствие тушащих процессов т слабо за-
висит от условий, в которых находятся излучающие мо-
лекулы, и определяется в основном внутримолекуляр-
ными процессами.
5° Интенсивность свечения фосфоресценции спадает
со временем по закону:
/ 7 °
1 (1 -f- at}n 1
где а и п—постоянные; величина а лежит в пределах
от долей сек~1 до многих тысяч сек~1', а со /70, где/0—
интенсивность фосфоресценции в момент ее возбуждения;
п заключено в пределах от 1 до 2. Длительность фосфо-
ресценции определяется в основном процессами, внеш-
ними по отношению к излучающим молекулам.
41 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
ОТДЕЛ VI
АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТЫ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
1. Волновые свойства частиц. Волновая функция
Г Квантовой (волновой) механикой называется раз-
дел теоретической физики, изучающий законы движения
частиц в области микромира (в масштабах 10-7— 10-13 см).
При движении частиц со скоростями v << с, где с — ско-
рость света в вакууме, применяется нерелятивистская
волновая механика; при v^c она заменяется релятиви-
стской волновой механикой. Объектами изучения волно-
вой механики являются кристаллы, молекулы, атомы, атом-
ные ядра и элементарные частицы.
2° В основе волновой механики лежат представления
Планка о квантах энергии (стр. 624), Эйнштейна о фото-
нах (квантах электромагнитной энергии, стр. 627), а также
гипотеза де Бройля о волновых свойствах частиц веще-
ства. Формула де Бройля'.
mv р ’
где т — масса движущейся частицы, v — ее скорость,
h — постоянная Планка (стр. 625), X — длина волны, свя-
занная с движущейся частицей вещества. Эти волны на-
зываются волнами де Бройля. Другая форма соотношения
де Бройля;
где к = 2к п/Х — волновой вектор, п — единичный вектор
в направлении распространения волны.
VI.1.1] ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ 643
Длина волны де Бройля электрона после прохожде-
ния им ускоряющего напряжения U:
к==7^й = W в вольтах>-
3е Гипотеза де Бройля подтверждается опытами по
отражению и прохождению электронов и других частиц
через кристаллы. В этих опытах наблюдается дифрак-
ционная картина, наличие которой служит признаком
волнового процесса. Этот эффект наблюдается, когда
длина электронной волны имеет порядок межатомного
расстояния в кристалле (стр. 564). Метод исследования
строения вещества, основанный на дифракции электро-
нов, называется электронографией.
4° Согласно статистической интерпретации, волны де
Бройля имеют особый фи ический смысл «волн вероят-
ности». Каждому свободному электрону пучка, падающе-
го на кристалл, сопоставляется плоская волна де Бройля.
Взаимодействие электронов с узлами кристаллической
решетки вызывает рассеяние электронов, которое можно
рассматривать как дифракцию плоской волны на трехмер-
ной структуре. Дифракционная картина в этом случае
есть проявление статистической закономерности, согласно
которой электроны с наибольшей вероятностью попада-
ют в определенные места плас инки (темные кольца) и
с меньшей вероятностью — в другие места (светлые коль-
ца). Плоская падающая волна соответствует равной ве-
роятности нахождения электрона в любом месте прост-
ранства. Если пучок электронов испускается точечным
источником, то пучку сопоставляется расходящаяся сфе-
рическая волна. Интенсивность волны вероятности
служит мерой вероятности обнаружить частицу в данном
месте пространства.
5° Распределение вероятности нахождения частицы
в дачном месте пространства в данный момент времени
характеризуется функцией ф (х, у, z, t), называемой вол-
новой функцией (или ^-функцией). Эта функция может
быть как действительной, так и комплексной. Физический
смысл имеет лишь квадрат ее модуля / = । ф|3 = фф*, где
ф* — функция, комплексно сопряженная ф. Величина/
имеет смысл плотности вероятности пребывания части-
цы в данной области пространства.
41*
644 НЕРЕПЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [VI.1
6° В квантовой механике вводится понятие плотно-
сти физической величины, Например, плотность заряда:
Р = е | ф |2,
плотность тока частиц с зарядом^ и массой nv.
j= ?rad Ф* ~ Ф* grad Ф)-
Для р и j справедлив закон сохранения заряда (уравне-
ние непрерывности, стр. 466).
7° Свободной частице сопоставляется плоская волна:
<р (г, Z) = ee''l2’”'-(kr>l.
где — частота (\ = е/Х), к — волновой вектор, г — ра-
диус-вектор, характеризующий положение частицы в
пространстве. Частота \ и волновой вектор к связаны
с энергией и импульсом частицы соотношением Планка
(стр. 625; и формулой де Бройля (стр. 642):
/гк
Р “' 2тс ‘
отличие от
Е = П
Для волн де Бройля, в
волн, существует дисперсия (стр. 528)
в вакууме. Фазовая скорость волн де
к
Групповая скорость волн де Бройля:
Tz d<£> hk
V = — = --------------------- - 77
dk 2itm ’
где v —скорость частицы. Дисперсия
что группы волн де Бройля (волновые пакеты, стр. 527)
расплываются со временем. Это не позволяет представ-
лять частицы в виде групп волн де Бройля.
электромагнитных
даже для частицы
Бройля:
приводит к тому,
2. Уравнение Шредингера
Г Основное уравнение квантовой механики, опреде-
ляющее вид функции ф для различных случаев движения
и взаимодействия микрочастиц, называется уравнением
Шредингера. Для одной частицы оно имеет вид:
2V бТ = - ДФ + и (*> у>z' $ Ф-
где А — оператор Лапласа, U — потенциальная энергия
VI.1.31 СООТНОШЕНИЯ НЕТОЧНОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА 645
частицы, т— масса частицы, i — У — 1. Уравнение
Шредингера записывается также в виде:
где Н — гамильтониан, или оператор Гамильтона (стр. 86).
2° В случае свободного движения частицы (U = 0)
уравнение Шредингера имеет решение:
рхх - руу —p2z),
ф (х, у, z, t) = ае
описывающее плоскую волну (стр. 524).
3° Случай |^|ф|2 = 0 соответствует стационарным,
т. е. неизменным во времени, состояниям движения ча-
стиц. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид:
(E — U (х, у, z)) = 0
или
= Еф,
где Н — гамильтониан, совпадающий с оператором пол-
ной энергии. Решения этого уравнения, называемые
собственными функциями, существуют только при
определенных значениях Е, называемых собственными
значениями. Совокупность собственных значений Е на-
зывается энергетическим спектром частицы (или систе-
мы частиц). Если U — монотонная функция и £/ —0 на
бесконечности, то в области Е < 0 собственные значения
образуют дискретный спектр (стр. 613). Основной задачей
квантовой механики является нахождение спектров и
состояний частицы (или системы частиц).
5° Собственные функции нормированы тем условием,
что вероятность обнаружить частицу во всем простран-
стве равна достоверности, т. е. 1:
+°°
|ф|2аП/ = 1.
—оо
3. Соотношения неточностей Гейзенберга
Г Импульс частицы в волновой механике не связан
с координатами частицы, поскольку понятие «координа-
та волны» лишено физического смысла. Поэтому в вол-
новой механике лишено также физического смысла
646 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ДОЛ
понятие траектории частицы, для которой каждому значе-
нию координат соответствует точное значение импульса
частицы.
2° Неточность Ах в определении координаты х ча-
стицы связана с неточностью крх в определении проекции
рх ее импульса соотношением неточностей Гейзенберга',
^Рх^^
Аналогично ку кру и Дз Др~ ~.
Чем точнее определены координаты частицы (т. е. чем
меньше Дх, ку и ДД тем менее точно определены зна-
чения проекций ее импульса (т. е. тем больше крХ1 кру
и Д/?г). Точно определенным координатам частицы соот-
ветствует полная неопределенность в значениях проекций
ее импульса.,
3° С помощью средних квадратичных отклонений
(стр. 226) Дх2 и Др^ для оценки степени отклонения из-
меренных в каждом отдельном случае величин х и рх
от их средних значений соотношение Гейзенберга запи-
сывается в форме:
'
Ни при каких обстоятельствах невозможно измерить
одновременно абсолютно точно и координаты и импуль-
сы частиц.
4е Соотношения Гейзенберга имеют место для любой
пары канонически сопряженных величин (стр. 87). Соот-
ношение для энергии Е и времени t:
ДЕ Д;=г£.
Энергия частицы в каком-либо состоянии может быть
определена тем точнее, чем дольше частица находится
в этом состоянии.
5° В основе соотношения неточностей Гейзенберга ле-
жит сложное взаимоотношение корпускулярных и волно-
вых свойств микрочастиц, для описания которого оказы-
ваются неадекватными заимствованные из классической
физики понятия координат и импульсов частиц.
Корпускулярные свойства частиц можно было бы
описывать с помощью классических понятий, если бы на
VI. 1.4) ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 647
эти свойства неотделимо от них не накладывались вол-
новые свойства. Корпускулярно-волновой дуализм (двое-
значность) частиц микромира есть проявление наиболее
общей взаимосвязи двух основных форм материи, изу-
чаемых физикой, — вещества и поля (стр. 785).
6° В квантовой механике существенно изменяется
(по сравнению с классической физикой) понятие о про-
цессе измерения и измерительном приборе. Процесс изме-
рения в микромире неизбежно связан с существенным
влиянием прибора на ход измеряемого явления. Напри-
мер, для определения положения электрона его необхо-
димо «осветить» квантом малой длины волны (порядка
размеров электрона). Но с уменьшением длины волны
кванта растут его частота и энергия, в результате чего
соударение кванта с электроном существенно изменяет
импульс последнего и притом на неопределенную (поряд-
ка А,2кДх) величину.
7° Соотношения Гейзенберга не являются утвержде-
нием о принципиальной ограниченности наших знаний
о микромире. Они отражают лишь ограниченную приме-
нимость понятий классической физики в области микро-
мира.
4. Простейшие задачи волновой механики
Волновая функция ф (г, О, описывающая произвольное
состояние микрочастицы, гамильтониан которой не зави-
сит явно от времени, может быть представлена в
виде суперпозиции полного набора волновых функций
стационарных состояний:
Ф (Г, t) = £ сп (г, <),
п
ИЛИ
ф (г, *) = S с„ фп (г) с h ,
п
где сп — постоянные коэффициенты, фл (г) — волновые
функции стационарных состояний, являющиеся решения-
ми стационарного уравнения Шредингера, Еп — собствен-
ные значения, дающие энергетический спектр состояния
частицы или системы. Суммирование производится по
всем дискретным стационарным состояниям.
648 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [V1J
А. Гармонический осциллятор
1° Одномерным - (линейным) гармоническим осцилля-
тором называется частица с массой /п, колеблющаяся с
собственной циклической частотой <о0 (стр. 97) под дей-
ствием упругой силы (стр. 60) вдоль некоторого направ-
ления.
Потенциальная энергия осциллятора, колеблющегося
вдоль оси х:
Уравнение Шредингера:
2° Совокупность уровней энергии :
Еп — (л + 4) > и = 0, 1, 2, 3,...,
где \0 = <о0/2я. Уровни Еп расположены на равных рас-
стояниях друг от друга. Наименьшая энергия
' ___ Г? ___ h'iQ
мин
которую может иметь гармонический осциллятор, назы-
вается нулевой энергией.
Ее можно уменьшить,
лишь изменяя свойства
самого осциллятора, т. е.
<оо, но этого нельзя осу-
ществить никакими внеш-
ними воздействиями. В
нуль Ео нс обращается
ни при каких условиях,
в том числе при Т = 0° К.
Схема квантовых уров-
ней энергии и ход потенциальной энергии гармониче-
ского осциллятора показаны на рис. VI. 1. 1.
3° Собственные (волновые) функции:
V х0 \ 2 / v0
где х0 = jfh/ZnmuQ, Нп — полином Чебышева — Эрмита
VI.1.4] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 649
п-го порядка:
Для /2 = 0, 1, 2:
Фо(х)
1 —x2/2xj
= —-===£ °,
V 2х0/тс" х°
= 1 № __ 2\ е^/2х"
]Лзх0 /тс \ х$ /
Число узлов функции tyni т. е. ее значений, равных ну-
лю, равно квантовому числу п (стр. 652).
4° Сопоставление вероятностей нахождения частицы,
колеблющейся с амплитудой а относительно положения
равновесия по гармоническому
закону, вычисленных по волно-
вой и классической механике,
приведено на рис. VI 1 2.
Максимумы волновой функции
располагаются вблизи точек
максимального отклонения, но
все же отличаются от них
(Yh в отличие от
У 3h 2™()т в классическом
случае) В квантовой механике
вероятность найти частицу при
х > а, т. е. в области, где по-
Рис. VL 1.2.
тенциальная энергия частицы больше ее полной энергии,
не обращается в нуль. Это не противоречит закону со-
хранения энергии, так как по соотношению неточностей
Гейзенберга (стр. 646) величины кинетической и потен-
циальной энергии частицы (в том числе гармонического
осциллятора) не являются одновременно точно измери-
мыми (кинетическая энергия зависит от скорости, или
импульса, а потенциальная — от координат частицы).
5° Для состояния с Е = Е0 (нулевые колебания) клас-
сическая вероятность обнаружить частицу равна 1 для
х = 0 (осциллятор покоится в положении равновесия), а
650 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (VIJ
квантовая вероятность при х = 0 имеет максимум, по-
степенно спадая по обе его стороны и обращаясь в нуль
лишь на бесконечности.
Б. Ротатор
Г Ротатором называется материальная точка с мас-
сой т, вращающаяся в пространстве на постоянном рас-
стоянии от неподвижного центра.
Центробежная энергия ротатора:
+ О _ Р?
У' 8тс2 тг* 2тг* ’
где pi — момент импульса (момент количества движения)
частицы (стр. 69), г — расстояние от частицы до центра,
/—орбитальное квантовое число (стр. 673).
2° Волновую функцию ротатора представляют в виде
произведения радиальной RnL (г) и сферической Ylm (fl, <р)
функций:
Фп(г, ?) = ^(г)У/т(А, т),
г, fl и ср имеют обычный смысл координат сферической
системы.
Уравнение Шредингера для радиальной функции
ц(г) = г/? (г):
d*u , 8^т г A2Z(z+ 1)] п
dr* ЛЗ I. |
Уравнения для орбитальной и азимутальной функций:
Г/т(А, <Р) = в W Ф (ср),
\ d ( п d&\ j т} \
-т-п-та sin fl I + I X — т-То-J О =0,
вш v dv \ «о/ * \ sin® V/ ’
где X — постоянная величина.
3° Энергетический спектр ротатора:
_ftSZ(Z + 1)_ р3{
где /z — момент инерции ротатора, I — целые числа, со-
впадает с классическим выражением для кинетической
энергии вращательного движения (стр. 58). Момент
импульса pi различен для разных квантовых чисел I.
VI. 1.41 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 651
Расстояния между энергетическими уровнями растут с
увеличением Z. Уровни энергии ротатора показаны на
рис. VI. 1. 3.
4° Орбитальная и азимутальная вол 1
новые функции ротатора: -5
6(») = с(1 - 72- D' --------------------------*
X — COS 2
О
где с = const, mi — целое число, назы- рис- VI. 1.з.
ваемое магнитным квантовым числом
(стр. 688), — I < mi < Z, так что каждому состоянию с дан-
ным I соответстует 2Z + 1 подсостояний с т~±.Ц
±(l- 1), ±(/-2)......... ±1, 0.
В. Движение в кулоновском поле
(водородоподобный атом)
Г Потенциальная энергия кулоновского взаимодей-
ствия (стр. 338) единственного электрона —е и ядра -\-Ze
водородоподобного атома (стр. 669):
u=-z-£,
где г — расстояние между частицами, Z—порядковый
номер ядра (стр. 727). Эффективная потенциальная энер-
гия для электрона, вращающегося в кулоновском поле
ядра:
f/ (Г\ = h'2l<l + о _
и 8«2 тг^ г •
2° Уравнение Шредингера для радиальной части
и (г) = /7? (г) полной волновой функции ф (г, $, ср) (стр. 650):
d*u , Гр A2ZU +- I)
“Г Лз 8«2 тг2 “Г г | «— U
При Е < 0 оно имеет дискретный спектр собственных
значений (уровней энергии) и непрерывный спектр уров-
ней энергии при £>0. Случай £ = 0 соответствует иони-
зации атома; Е > 0 соответствует свободному электрону.
3° При Е < 0 непрерывные конечные и однозначные
решения и (г) или R (г) уравнения Шредингера существуют
652 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [V1.I
лишь для следующих собсл енных значений Еп:
Р WZWm I RhZ*
образующих энергетический спектр водородоподобного
атома. Здесь п = 1, 2, 3, 4,... называется главным кванто-
вым числом, /?— постоянная Ридберга (стр. 669). Энергия
водородоподобного атома не зависит от орбитального кван-
тового числа, принимающего значения/ = 0, 1, 2,..., п — 1
(стр. 673), т. е. все состояния с разными Z при одном и
том же п вырождены.
4° Радиальные волновые функции Rni'>
Rni® = Nnle-^4l
где £ = 2Zp/n = 2Zr/na0, а0 — радиус первой орбиты элект-
рона в атоме водорода (см. ниже),
— присоединенные полиномы Лагерра. Множитель Nnl
определяется из условия нормировки:
8
—оо
5° Уравнения для орбитальной и азимутальной волно-
вых функций аналогичны уравнениям для этих функций
в случае ротатора (стр. 651). Волновые функции для ряда
значений п и Z:
n=l, Z = 0 (1 s-подгруппа, стр. 694)
+•=Л
п = 2, 1 = 0 (2з-подгруппа)
ф20= -4=(-Y/s(2--V-Zr/2e°;
Y /2nwo/ \ До / ’
п = 2, Z = 1, mi = 0 (2р-подгруппа)
ф210 = -2=( zУ/3 re- Zr/^Os »;
Т 0 4/2тс \°0/
п — 2, Z—1, mi = + 1 (2р-подгруппа)
ф — —М-У/2 re~Zrl2a,,^n^e±i't
Т21 ± 1 8V л \а0/ ’
где а0 = h2!4n2 те2 — первый боровский радиус, mi — маг-
нитное квантовое число (стр. 688).
VI.1.4] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 653
Г. Движение в поле центральной силы
Г Рассеянием в силовом поле, обладающем централь-
ной (сферической) симметрией, называется отклонение
частиц от первоначального направления их .движения в
результате взаимодействия с рассеивающим центром.
В частности, этим центром может быть атом или ион.
Число частиц, рассеянных в единицу времени под уг-
лом 6 относительно направления г их первоначального
движения внутрь телесного угла равно:
dV=a(0)nrfQ, •
где п — число частиц, проходящих за единицу времени
через единицу площади поперечного сечения в первона-
чальном пучке частиц {интенсивность пучка).
Величина а, имеющая ра «мерность площади, называет-
ся эффективным дифференииалъным поперечным сече-
нием рассеяния внутрь телесного угла dQ. Величина
а == а (0) dQ = 2тс^ о (0) sin 0 dd
называется полным эффективным селением рассеяния
частиц. Иногда дифференциальное поперечное сечение
обозначают d<s, а полное — о. Полное эффективное сече-
ние определяется как общее число частиц, рассеянных
за единицу времени из падающего пучка единичной ин-
тенсивности.
Если рассеяние происходит без потери кинетической
энергии частицей, оно называется упругим, в противном
случае — неупругим.
2° Если рассеивающий центр не неподвижен, то столк-
новение рассматривается в одной из двух систем коор-
динат: лабораторной {л. с. к.), относительно которой учи-
тываются движения и рассеивающей и рассеиваемой час-
тиц, или системе иентра масс (ьентпра инерции) (стр. 70)
сталкивающихся частиц (с-система).
Если в системе л. с. к. рассеивающий центр с массой М
до столкновения покоится и на него налетает частица
с массой т и скоростью v0) то кинетическая энергия
обеих частиц
654 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [VI.1
а скорость движения центра масс частиц относительно
л. с. к.:
г, /2т£0
В с-системе кинетическая энергия относительного движе-
ния обеих частиц:
Е = Е<> м + т’ Е = ТЕ° ПРИ М — т.
Энергия частицы в системе л. с. к. после рассеяния связана
с ее энергией до рассеяния:
Ei Al2 + m2 + 2 Alm cos 9
Eq (A! + m)2 ’
мин«= ПРИ 0=180°, т. e. при центральном
ударе (в — угол рассеяния). Соотношения между углами
рассеяния частицы т в с-системе (0) и в системе л. с. к.
(»):
tg» = COS» = , m + ^C0‘6
Ь т -h М cos в / m2 + Л42 + 2mAl cos 0
3° Если потенциал U рассеивающего центра имеет
сферическую симметрию, то поток рассеянных частиц
представляется в виде расходящейся сферической волны:
ikr
+ = fl(6)_£_,
где а (0) называется амплитудой рассеяния} | а (0) |2 = а (0).
4° Уравнение Шредингера для рассеяния в поле си-
лового центра частиц с массой т имеет вид, указанный
на стр. 651. Рассматриваются решения при Е>0, соответ-
ствующие свободному движению частиц (стр. 651). Потен-
циал сил при этом считается достаточно быстро убываю-
щим с г (не менее быстро, чем 1/г).
5е Амплитуда рассеяния для упругих столкновений:
а = 27* S <2/ + <е2П1/ - ъ (cos е);
z=o
полное эффективное сечение:
71 оо
о — 2 л J I а (&) I2 sin 6 d0 = р У, (2/+0 sin2i]Z,
о ' *=о
VI. 1.4] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 655
где k* = Si&mElh? — квадрат волнового числа налетающей
частицы,/—квантовые числа, определяющие момент им-
пульса частиц (стр. 682), Pt (cos 0)— полиномы Лежандра,
тц — так называемые фазы рассеяния, зависящие от свойств
рассеивающего поля. Отдельные члены ряда называются
парциальными эффективными сечениями рассеяния <*i.
Максимальное значение
а I макс = (2/4- 1).
Рассеяние при / = 0 сферически симметрично, при /=1
имеет симметрию диполя, при / = 2 — симметрию квадру-
поля и т. д.
Эффективные сечения для неупругого рассеяния
имеют сложный вид, зависящий от структуры частиц,
проявляющейся при их столкновении.
6° Если U можно рассматривать как слабое возмуще-
ние, мало изменяющее первоначальное движение частиц
(этому случаю соответствует малость всех фаз рассея-
ния, т)/ < гс/'2), то для а (0) при упругих столкновениях
применяется формула Борна\
da
64n4ms
h*
\U(r)-^rdr
О
где /<=2fcsin-^— модуль вектора, связывающего им-
пульсы рассеянных и падающих на центр частиц, dQ — те-
лесный угол. Формула Борна применима, когда интенсив-
ность рассеянной волны вблизи рассеивающего центра мала
по сравнению с интенсивностью падающей волны (сла-
бое рассеяние), а также при высоких энергиях частиц
(при k > 1).
7° Для упругого рассеяния заряженных частиц с заря-
дом ег кулоновским полем центра (ядра с зарядом Ze)',
й
° <в> = 4^4 [2 — F (0)]2 cosec4 т,
где
z
F(0) =
1 4- 4*2 аЧ sin2 у
— так называемый атомный фактор рассеяния, а — ра-
диус рассеивающего центра, 0 — угол рассеяния
656 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА |VU
в с-системе (стр. 653). Для быстрых частиц (ka > 1)
справедлива формула Резерфорда-.
а(6)
Z2 е2 е3
4т- v*
4 0
cosec4 ,
где v — скорость, т — масса частиц.
Д. Прохождение частиц сквозь
потенциальный барьер
Г При взаимодействиях двух частиц, в которых
участвуют два рода сил — дальнодействующие силы от-
талкивания и близкодействующие силы притяжения, потен-
циал результирующих сил взаимодействия имеет вид,
показанный на рис. VI. 1.4
Z//Z/1 (такой потенциал соответ-
ствует, например, взаимо-
действию а-частицы с
ядром атома, стр. 749).
2е Потенциальной
ямой называется область
(Г < ''макс) возле притя-
гивающего центра, в ко-
торой потенциальная
энергия частицы С/<£/макс
(рис. VI. 1.4). Для
частицы, находящейся
энергия Е с UM&KC и
в потенциальной яме, полная
уровни ее энергии в соответствии с этим дискретны.
Область под потенциальной кривой называется потен-
циальным барьером. Его высота h и ширина а зави-
сят от энергии Е частицы в потенциальной яме. Для
того чтобы частица могла выйти из потенциальной
ямы или же проникнуть в нее и вне, согласно клас-
сической механике ей нужно сообщить энергию, рав-
ную или большую разности высоты барьера и ее энергии
( I ^макс Е \ = h).
3° Поведение частицы в потенциальной яме описывает-
ся стационарным уравнением Шредингера для В<с7макс
с потенциальной энергией 4/(г), зависящей от формы
потенциальной ямы. Частица в яме может участвовать
в колебательном движении (осциллятор, стр 648), враща-
тельном движении (ротатор, стр. 650) и в комбинации
VI.1.4] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ IОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 657
этих движений. Все эти движения не свободны и проис-
ходят в поле притягивающего центра.
4° Волновая функция частицы ф (х) в одномерной
потенциальной яме в случае, когда яма ограничена
барьером конечной высоты и ширины, не обращается в
нуль на стенках потенциального барьера и вне его.
Вопреки тому, что следовало бы ожидать по классической
фи ике, в квантовой механике существует отличная от
нуля вероятность нахождения частицы вне потенциаль-
ной ямы даже в том случае, когда , энергия частицы в
яме недостаточна для преодоления ею барьера (стр 649).
Если потенциальный барьер ра деляет две потенциаль-
ные ямы, то вероятность прохождения частицы через
барьер отлична от нуля только в том случае, когда по
другую сторону барьера имеется уровень или ряд уров-
ней с той же или меньшей энергией. Переход через
барьер на уровень равной энергии называется резо-
нансным переходом.
5° В простейшем случае одномерного потенциального
барьера прямоугольной "формы’зависимость потенциала
от координаты (рис. VI. 1. 5):
— оо < х < О
О < х < а
а < х < + оо
U — 0 (область I/,
U—Uq (область II),
U — 0 (область III).
Условие U} = — aU, 6'11 = О, 6/П1 = — bU (рис. VI. 1.6)
соответствует барьеру между двумя ямами различной
глубины. Можно рассматривать частицу, налетающую на
Рис. VI. 1.5.
барьер при свободном ее движении, а
также частицу, налетающую на барьер
из ямы. Первый слу-
чай соответствует про-
никновению частицы
в яму, второй — осво-
бождению ее из ямы
6° В соответствии
С тремя областями U
уравнение Шрединге-
Рис. VI. 1.6.
ра для задачи о про-
хождении сквозь барьер имёет три различных решения.
Для потока свободных частиц, падающих на барьер,
решение дает н£- только отраженную волну, учитываю-
щую отражение от барьера частиц с энергией меньше
42 Б. М Яворский, А. А. Детлаф
658 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [VI.I
его высоты, но и прошедшую («преломленную») волну,
отвечающую проникновению частиц сквозь барьер.
7° Величина
о=/прох
;пад
называется прозрачностью потенциального барьера, где
/пад и ^прох ~ интенсивности падающей и проходящей
волн (стр. 643).
8* Прозрачность прямоугольного барьера:
4п ________
D = Doe
где а — ширина, Uo — высота потенциального барьера,
Е — энергия частицы (обе отсчитываются от общего нуля,
соответствующего дну потенциальной ямы), т — масса ча-
стицы, Dq — коэффициент, близкий к 1. Если барьер имеет
не прямоугольную, а более сложную форму, то
— V^m (U(xy—E)dx
D = Doe Xi
где Xi и xa — координаты точек начала и конца барьера
для данного значения Е. Прозрачность прямоугольного
барьера становится существенной, когда
9е Явление прохождения («просачивания») частиц
сквозь потенциальные барьеры называется туннельным
эффектом. Согласно классической физике, частицы мо-
гут проходить только над барьерами, т. е. при энергии
Е > Uq. В области, где U (х) > Е, поскольку Е = Т + U =
= р2,2т + U, оказывается, что р2/2т<0, т. е. импульс
частицы становится мнимой величиной. Бессмысленность
этого и означает классический запрет для частицы
пройти чере* барьер при U(x)z>E. Величина D при
/г—> 0 (переход к классической физике), когда U > Е,
обращается в нуль, т. е. барьер становится непрозрач-
ным для частиц.
Туннельный эффект является чисто квантовым явле-
нием, связанным с невозможностью одновременного точ-
ного определения кинетической и потенциальной энер-
гий частицы (стр. 649). Неточности в определении
VI.1.4] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 659
координаты частицы, проходящей сквозь барьер (Дх* а*,
где а — ширина барьера), соответствует такая неточность
Др^. импульса частицы, что Ьр*х;2т^>и— Е, т. е. изме-
нение кинетической энергии частицы, вызванное измере-
нием ее координаты, превышает ту энергию, которой
недостает частице для прохождения над барьером. В ре-
зультате частица получает возможность пройти через
барьер «классическим» способом.
Е. Движение электронов в периодических
полях
Г Движение электронов в кристаллах является дви-
жением в электрическом поле, потенциал которого обла-
дает трехмерной периодичностью. Точное решение зада-
чи о таком движении (многоэлектронная задача) оказы-
вается невозможным и заменяется решением приближен-
ной задачи о движении одного электрона в некотором
внешнем периодическом поле кристаллической решетки;
решение при этом обладает многими существенными
особенностями решения точной задачи.
2° Волновая функция электрона выбирается в форме
плоской волны в импульсном представлении Фурье:
c^eikxak’
—0°
где k = 2np/h, р — импульс электрона, с (k)— амплитуда
в импульсном представлении. Величина k называется
квазиимпульсом. Потенциальная энергия U(х) электрона
в кристалле представляется в виде ряда Фурье
2itinx
+°° а
U(x) = 2
П= — 00
где а — параметр кристаллической решетки, описываю-
щий периодичность кристалла или периодичность потен-
циала поля в кристалле. Отыскиваются величины c(k) и
Еп, соответствующие данному виду U (х).
3° Уровни энергии электрона в периодическом поле
образуют отдельные полосы:
E = Ej(k)t /=1,2,3,...,
42*
660
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ Ю АНТОВАЯ МЕХАНИКА
(VI.1
в которых энергия зависит от волнового числа (квази-
непрерывный энергетический спектр в полосе). Эти по-
лосы называются роками дозволенной энергии или разре-
шенными зонами. Раз-
решенные зоны отделе-
ны друг от друга ин-
тервалами запрещенных
значений энергии (за-
прещенные зоны). По
мере увеличения номера
зоны j запрещенные зо-
ны суживаются (возмож-
но также перекрытие
разрешенных .он), пока
не во никает полностью
непрерывный спектр (при
у —со). На границе зоны
энергия . электрона пре-
терпевает разрыв. Об-
щий ход энергии в со-
Рис. V1.1.7. вокупности зон показан
на рис. VI. 1. 7.
4° Волновые функции электрона, движущегося в перио-
дическом одномерном поле:
Ф/ (X) = S Cj
п= — со
i(k-[-2nn/a) х
2пп\ е
/2тс
Т’-*-' а
п = — оо V
где k' = k + 2тт/а соответствуют плоским волнам, моду-
лированным с периодичностью потенциала (с периодом
решетки а). Вид действительной части ф (х) показан на
рис. VI. 1.8 сплошной линией. Вблизи значений х, соответ-
ствующих положениям ионов в решетке, ф (х) близка к
волновым функциям атомных электронов.
5° Периодичность энергии в пределах разрешенной
зоны приближенно записывается в виде:
£;(й) = U £/mCos (тай).
т =0
V1.I.4] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 661
Ограничиваясь в этом ряде двумя первыми членами,
можно при /г^О разложить Ej(k) в ряд по степеням k:
Е (k) = const + —,
v 7 1 feTC'-'zn*’
т. е. отличие движения электрона в кристалле от свобод-
ного его движения учитывается введением вместо обыч
ной массы т электрона эффективной массы:
Л2 1 а2
4к2 fd E^k)\ •
\ d№~ )k = 0
Обычно для /г = 0 или 2к/а эффективная масса /п* < 0.
Под действием электрического поля, приложенного к
кристаллу, электрон, имевший энергию, соответствующую
границе зоны (равный
нулю импульс), начинает
двигаться так, как если
бы он имел эффективный
заряд
е*:
е* = е .
т*
за-
Знак
ряда
обычному.
6° На основе изложенных закономерностей построе-
на зонная теория твердых тел, объясняющая многие
особенности металлов и неметаллических кристаллов
(полупроводников и изоляторов). Модуляция плоской
эффективного
противоположен
волны периодическим потенциалом поля кристалличес-
кой решетки приводит к изменению плотности вероят-
ности (стр. 643) |<р|2 электронов в решетке по сравнению
с движением свободных электронов. В случае наруше-
ния строгой периодичности потенциала поля решетки,
вызванного тепловыми ангармоническими колебаниями
ее атомов (стр. 256) и дефектами структуры решетки,
возникает рассеяние электронных волн, в результате
чего изменяются в данном направлении величина |<р|2 и
плотность тока электронов j (стр. 644). Рассеяние элек-
тронных волн обусловливает сопротивление электриче-
скому току (стр. 361). Степень этого рассеяния пропор-
циональна величине и числу нарушений периодичности
потенциала; увеличение амплитуды колебаний атомов
662 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (VI.1
(С ростом температуры) и числа искажений структуры
решетки (например, примесями) приводит к росту элек-
трического сопротивления. Вблизи абсолютного нуля
температуры тепловое рассеяние электронных волн
стремится к нулю, но часть рассеяния, обусловленная
дефектами решетки, при этом не уменьшается и дает
заметный вклад в общее сопротивление.
Т Зоны энергии в кристаллах подразделяются на:
а) полностью занятые электронами зоны (валентные
зоны), образованные из энергетических уровней элек-
тронов внутренних оболочек свободных атомов;
б) частично или целиком незаполненные зоны
(зоны проводимости), уровни энергии в которых соот-
ветствуют энергиям внешних коллективизированных
электронов изолированных атомов (или ионов). Пе-
реход электрона из одной зоны в другую осуществля-
ется путем поглощения или отдачи им энергии, доста-
точной для переброса электрона через запрещенную зону.
8е В металлах при комнатной температуре (Т— 300°К)
энергетические уровни в зоне проводимости заняты не
полностью (стр. 359), что обусловливает хорошую элек-
тропроводность металлов. В изоляторах первая незапол-
ненная зона отделена от нижней целиком заполненной
зоны широкой запрещенной зоной. Пробой изолятора
поэтому возможен только в сильных электрических полях.
Кристаллические полупроводники принадлежат к
типу твердых тел, у которых, в отличие от изоляторов,
запрещенная зона между полностью заполненной (валент-
ной) зоной и первой незаполненной зоной не очень ве-
лика, так что возможен переброс электронов путем
теплового возбуждения. Поэтому при Г>0 в них возможен
электрический ток и верхняя зона оказывается зоной
проводимости.
9° При наложении однородного магнитного поля на
металл или полупроводник электроны, находящиеся
в зоне проводимости вещества, начинают описывать
окружности в плоскости, перпендикулярной к направле-
нию магнитного поля, либо же спирали (если электроны
обладают компонентами скорости вдоль магнитного поля).
Частота обращения по окружности (или спирали) равна
— еВ
где е — заряд электрона, т* — эффективная масса элек-
VI.1.5] КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 663
трона (стр. 661), В — индукция магнитного поля в вещест-
ве, чц— ларморова частота электронов в металле или
полупроводнике (стр. 430). При одновременном приложе-
нии к веществу переменного электрического поля наблю-
дается сильное избирательное поглощение энергии поля
при частоте ^ц, называемое циклотронным резонансом
(ввиду сходства траекторий электронов при наложении на
вещество магнитного поля с траекториями их в цикло-
троне, стр. 411). С помощью циклотронного резонанса
можно определять эффективные массы ги* электронов в
полупроводниках и металлах, длины свободного пробега
электронов (стр. 360) и т. д.
5. Квантовые переходы
1° Изменение состояния микрочастицы или системы
микрочастиц под действием каких-либо внутренних или
внешних причин называется квантовым переходом ча-
стицы или системы из начального состояния А (в мо-
мент времени £ = 0) в конечное состояние В (в момент
времени t — Т). Квантовый переход обычно связан с из-
менением энергии частицы (или системы частиц).
2е Изменение состояния системы характеризуется ве-
личиной Рдв, называемой вероятностью перехода из со-
стояния А в состояние В. Вычисляются вероятности
перехода в непрерывном спектре уровней энергии, в дис-
кретном спектре, а также из непрерывного спектра в
дискретный и наоборот.
3° Вычисление вероятностей квантовых переходов мо-
жет быть проведено в случае, когда причина, вызываю-
щая изменение состояния системы, действует в течение
конечного промежутка времени. Решение уравнения Шре-
дингера (стр. 644), определяющего ф(х,_у, г, t) по волновой
функции в начальный момент времени t = 0, (х, jy, z, 0),
представляет значительные трудности и может быть до-
ведено до конца лишь в случаях, когда переход системы
вызывается взаимодействиями, слабыми по сравнению с
силами, действующими в системе. В этих случаях слабые
воздействия на систему рассматриваются как малые воз-
мущения.
4° В теории возмущений гамильтониан системы (стр. 86)
представляется в виде суммы гамильтониана невозмущен-
ной системы Н° и возмущающего члена W (г, t), причем
W < Н°. Задача решается последовательными приближе-
664 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (VI.)
ниями: сначала отыскивается решение соответствующего
уравнения для /7°, а затем в это решение вносятся
поправки W, имеющие порядок малости, отвечающий но-
меру п приближения, (WlHQ)n.
5° Уравнение Шредингера, рассматриваемое в первом
приближении теории возмущений для движения вдоль
оси х:
£ Ц = ^°(х)Ф + W(x, ОФ
с помощью разложения ф (•*, 0 по волновым функциям
стационарных состояний (стр. 647) невозмущенной системы:
h
Ф (х, о = L Сп (0 фп (X) е
п
приводится к виду:
}h dcm 2ni vmnl
idT = liwmne en(t),
n
где
Wmn — $ Фт (X) W (X, О фп M dx
называется матричным элементом энергии возмущения
(^матричным элементом перехода), а
Ет ~ Еп
называется боровской частотой перехода из состояния
с энергией Ет в состояние с энергией Еп для данного
вида возмущения. Задача сводится к отысканию коэффи-
циентов cm(t), характеризующих вероятность квантовых
переходов (п. 6°) и удовлетворяющих условию
6° Величина
Ртп (О == I стп (О I2
называется вероятностью перехода из состояния с энер-
гией Ет в состояние с энергией Еп к моменту времени I.
В первом приближении теории возмущений (когда cff =0
vi.1.5] Квантовые переходы 665
при t = 0 и мало) для квантовых переходов в ди-
скретном спектре
Ртп(0 = ‘>31 wmn(ymn)\H.
Обычно рассматривается Ртп = Pmn(t)lt (вероятность пе-
рехода за единицу времени). Переход возможен, если воз-
мущение содержит в своем спектре частоту соответ-
ствующую переходу, поскольку Ртп отлична от нуля толь-
ко при Wmn (»тп) Ф 0. Формула для Ртп относится к
дискретному спектру энергий (Ет, Еп<(У) и может быть
обобщена на случаи: переходов в непрерывном спектре
(Е>0), переходов из непрерывного спектра в дискрет-
ный и обра!но и переходов под влиянием возмущения,
не зависящего от времени.
7° Примером квантовых переходов системы под влия-
нием слабых возмущений являются взаимодействия ато-
мов с электромагнитным полем. Поглощение атомами фо-
тонов сопровождается переходом атомных электронов из
одного состояния с энергией Ет в другое с энергией Еп.
Если падающая на атом электромагнитная волна имеет
в своем спектре частоту \тп = (Ет — Еп) /А (условие ча-
стот Бора), то переход наступает при частоте
8° Если длина волны излучения, падающего на атом,
много больше размеров атома, то напряженность элек-
трического поля в волне & в пределах атома почти по-
стоянна. Энергия возмущения W =— ger, где ег =
~Pq — дипольный момент атомного электрона.
Матричный элемент перехода:
тп (Nmn) = & (Утп) Ртп,
где
Ртп = — е 5 Фт г ф„ dV
— матричный элемент дипольного момента.
Вероятность перехода
Ртп = । & (vmn) I2 \Ртп I2*
Вероятность перехода атома из состояния Ет в состоя-
ние Еп в единицу времени равна вероятности поглоще-
ния' кванта излучения с частотой vmn в единицу времени:
&тп — S I Ртп Is,
т,п
666
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
(VI.I
где суммирование производится по различным комбина-
циям Еп и Ет .вырожденных уровней, дающим одну
и ту же по условию Бора (стр. 665). Величина Втп
называется коэффициентом Эйнштейна для поглощения
света с частотой \тп. Соответствующая величина для
обратного самопроизвольного перехода Еп Ет, сопро-
вождающегося испусканием кванта света той же частоты,
равна
Апт == 3^75 2
т. п
Апт называется коэффициентом Эйнштейна для спон-
танного излучения света с частотой \тп. Связь между
Апт и
&тп'
8kAv3 а
л ____ тп т о
Лпт-------
где gm и gn — статистические веса состояний т и п
(числа различных квантовых состояний с энергиями
Ет и Еп).
9° Величина Апт определяет время жизни tnm системы
в состоянии п по отношению к спонтанному переходу
из этого состояния в другое состояние т:
Ввиду конечного значения тпт соответствующая ему
энергия состояния п имеет некоторую неточность в соот-
ветствии с соотношением Гейзенберга (стр. 646):
др h
2тст .
пт
Величина &Еп = Гп называется шириной уровня Еп. Зна-
чение Гп определяет естественную ширину спектраль-
ной линии (стр. 613):
г
Д^. = —-— I ДХ„« I = —
^упт — I пт I —
пт
пт
Любая причина, уменьшающая тпт, уширяет уровни,
соответствующие этому состоянию, и соответствующие
спектральные линии (стр 613).
Для электромагнитных взаимодействий атомов вели-
чина хпт имеет порядок 10“8 сек. В тех случаях,
когда Апт малб (хпт 10~8 сек), соответствующее состо-
яние с энергией Еп называется метастабильным (стр. 674).
V 1.1.5]
КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
667
10е Метастабильным состояниям системы соответст-
вуют переходы, запрещенные в той или иной степени.
Этот запрет связан с тем, что из числа мыслимых пере-
ходов из состояния Еп в состояние Ет и обратно могут
реализоваться лишь те, для которых матричный эле-
мент Wmn (утп) > 0. Это условие приводит к так назы-
ваемым правилам отбора (стр. 673), которые формули-
руются в виде соотношений между квантовыми числами,
характеризующими начальное и конечное состояния
системы при переходе под действием данного возму-
щения.
11° Существование правил отбора связано с тем, что
матричный элемент дипольного момента(или момента
иной мультипольности, стр. 756) и вероятность пере-
хода Ртп имеют наибольшее значение, когда волновые
функции фт, начального и конечного состояний
системы при переходе существенно перекрываются
в какой-либо области пространства-. Переходы между
состояниями, для которых матричный элемент пренебре-
жимо мал, называются запрещенными для данного вида
матричного элемента (данного вида возмущения). Этот
запрет, однако, не абсолютен, а говорит лишь о том,
что запрещенные переходы имеют матричный элемент
и вероятность, весьма малые по сравнению с переходами,
разрешенными правилами отбора.
12° Например, волновые функции гармонического
осциллятора (стр. 648), соответствующие разным значе-
ниям квантового числа п, перекрываются в значительной
области пространства, что дает существенную вероятность
перехода из состояния с каким-либо п' в состояние с и",
причем п" может значительно отличаться от п' (стр. 700).
Если же осциллятору во время этого перехода сообщено
некоторое дополнительное возмущение, существенно из-
меняющее то переход может стать очень маловероят-
ным. Интенсивности линий, разрешенных правилами отбора,
будут наибольшими в том случае, когда внешние при-
чины не изменяют заметным образом состояния системы
в момент перехода {адиабатическое приближение), В при-
менении к электронным переходам в молекулах, ядра
которых совершают колебательное движение, это поло-
жение называется принципом Франка — Кондона (стр. 719).
13* Взаимодействие электромагнитного поля с атомами
лежит в основе теории спектров излучения и поглоще-
ния света атомными системами. Вид спектра (положение
668 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [V1.1
спектральных линий) определяется схемой уровней энер-
гии квантовой системы. Длины волн связаны с часто-
тами перехода соотношением
7 _ с
ктп — ~ .
тп
а интенсивности спектральных линий связаны с общим
числом атомов в излучающей системе, их статистическим
распределением по состояниям и с вероятностями соот-
ветствующих переходов:
^тп — ап^пт ~ $тВтп>
где ад, — некоторые коэффициенты, различные для
испускания и поглс щения излучения (стр. 666); в них учтены
также статистические веса состояний (стр. 666).
Отыскание значений Еп квантовой системы (схемы
уровней энергии) по виду спектра путем комбинирова-
ния различных наблюдаемых значений \тп называется
комбинационным принципом Ритца.
14° В отсутствие внешних воздействий квантовая
система (например, атом) находится в стационарном состо-
янии с наименьшей энергией Ет. При воздействии
на систему (например, электромагнитным излучением) она
переходит на более высокий уровень с энергией Еп, погло-
щая кванты излучения с вероятностью, определяемой
коэффициентом Эйнштейна Втп (п. 8°).
С этого более высокого уровня система может вер-
нуться на исходный уровень либо спонтанно, с вероят-
ностью, определяемой коэффициентом Апт, либо вынуж-
денно (индуцированно), с вероятностью, зависящей от
коэффициента вынужденного излучения Впт — Втп.
В состоянии равновесия числа актов поглощения и из-
лучения атомами за 1 сек квантов h^nm равны друг другу
(условие детального равновесия):
^т^тп^тп = Nn (Bnrn$nrn Апт\
где Nm и Nn<.Nm—числа атомов на уровнях энергии
Ет и Еп> ?пт=ртп—объемная плотность энергии из-
лучения с частотой Утп.
Если QnmBnm > Апт, то с помощью специальных ме-
тодов можно перевести систему в состояние с № > Nm.
Такое «инверсное» распределение по состояниям можно
условно описывать распределением Больцмана (стр. 212)
с отрицательной абсолютной температурой (стр. 163).
VI.2.1] АТОМЫ С ОДНИМ ВАЛЕНТНЫМ ЭЛЕКТРОНОМ 669
При воздействии на такую систему либо внешним
электромагнитным полем с частотой vmn, либо спонтан-
ным излучением соседних атомов можно получить инду-
цированное излучение большого числа атомов системы за
малый промежуток времени, которое обладает высокой
когерентностью (стр. 544), мощностью и узкой направлен-
ностью.
Соответствующие устройства, работающие в диапазоне
ультракоротких радиоволн, называются мазерами, рабо-
тающие в оптическом диапазоне — лазерами.
глава 2
АТОМ
1. Атомы и ионы с одним валентным электроном
Г Атомом называется наименьшая частица химического
элемента, обладающая его химическими свойствами. Атом
состоит из положительно заряженного ядра и электро-
нов, движущихся в его кулоновском поле. В атоме заряд
ядра (стр. 727) равен по абсолютной величине суммарному
заряду всех его электронов. Ионом данного атома назы-
вается электрически заряженная частица, образующая-
ся при потере или приобретении электронов атомом.
2° Простейшей атомной системой является атом водо-
рода, состоящий из одного электрона, движущегося в
кулоновском поле одного протона. Водородоподобными
(изоэлектронными водороду), т. е. имеющими также по
одному электрону, являются ионы Не+, Li++, Ве+++, В4+,
Сб+ и т. д. К числу атомов с одним валентным электро-
ном, не входящим в состав заполненных электронных
оболочек (стр. 694), относятся атомы Li, Na, К, Rb и Cs.
3° Спектр излучения атома водорода является линей-
чатым (дискретным). Частоты линий этого спектра опи-
сываются формулой Бальмера — Ридберга'.
v = cR т2^=р^п.2 wa j»
где
/?= •
Величины,7? и 7?' называются постоянной Ридберга (соот-
ветственно в сек~} и еле1) Значение R = 3,288 • 1015 сек1',
670 ATOM [VI.2
значение R' см. стр. 675. Величины пит называются
главными квантовыми числами (стр. 652), причем т > п.
Группа линий с* одинаковым п называется серией. При
п = 1 получается серия Лаймана, при п = 2 — серия Баль-
мера, при п = 3 — серия Пашена, при п = 4 — серия Брек-
кетта, при п = 5 — серия Пфунда. Первая из них лежит в
далекой ультрафиолетовой области, вторая охватывает
видимую область, остальные спектральные серии водо-
рода лежат в инфракрасной области. Для изоэлектрон-
ных водороду атомов справедлива сериальная формула
Бальмера — Ридберга:
где Z—порядковый номер элемента в периодической
таблице Менделеева (стр. 695).
4е Наибольшей частоте для каждого п в формуле Баль-
мера (при т = оо) соответствует граница серии. Частота,
соответствующая границе серии, называется термом и
обозначается Тп:
Тп = ^ (для водорода).
Терм для изоэлектронного водороду атома: Tn =
5° Соответствующая терму энергия водородоподобного
атома:
р hRZ*. р |*п|
Абсолютная величина Еп называется энергией связи
электрона в атоме, находящегося в состоянии с данным п.
Наименьшее из Еп,
^мин= hRZ2,
отвечает основному, или нормальному, состоянию
атома. Наибольшее, Емакс = 0, соответствует ионизации
атома, т. е. отрыву от него электрона. Энергия ионизации
равна по абсолютной величине энергии связи электрона
в атоме. Потенциал ионизации (стр. 371) ср = hRZ*ien\
где е — абсолютная величина заряда электрона. Схема
уровней энергии в атоме водорода показана на рис. VI. 2.1.
Спектр водорода объясняется постулатами Бора.
6Р Первый постулат Ьора\ электроны могут двигаться
в атоме только по определенным орбитам, находясь на
которых, они, несмотря на наличие у них ускорения, не
VI.2.1] АТОМЫ С ОДНИМ ВАЛЕНТНЫМ ЭЛЕКТРОНОМ 671
излучают (стр. 529). Эти орбиты соответствуют стационар-
ным состояниям электронов в атоме и определяются
условием
nh
где гп — радиус n-й орбиты, mevnrn — момент количества
движения электрона на
этой орбите, п — целое
число (и т*:0).
Второй постулат Бо-
ра: атом излучает (по-
глощает) квант электро-
магнитной энергии, когда
электрон переходит с ор-
биты с большим (мень-
шим) на орбиту с мень-
шим (большим) п. Энер-
гия кванта равна разно-
сти энергий электрона на
орбитах до и после пе-
рехода:
Е = hvmn = Ет Еп\
частота кванта (фотона),
возникающего или по-
глощаемого при перехо-
де, равна
__Ет — Еп
Nmn —
(условие частот Бора,
стр. 665).
7° Постулаты Бора не
Рис. VI. 2.1.
следуют ни Из каких по-
ложений классической физики и получают объяснение
на основе волновой механики. Стационарные состоя-
ния электронов, вводимые первым постулатом Бора,
представляют собой стационарные состояния движения
электронов в кулоновском поле, даваемые решением соот-
ветствующего уравнения Шредингера (стр. 652). Возмож-
ность излучения и поглощения квантов является резуль-
татом квантовых переходов электрона из одного стацио-
нарного состояния в атоме в другое. Вероятность этого
672
А ГОМ
IVI,2
перехода дается формулой, приведенной на стр. 665, а ча-
стота — условием частот (стр. 665), совпадающим с требо-
ванием второго постулата Бора. Волновая механика по-
зволила рассчитать интенсивности спектральных линий,
чего не смогла сделать теория Бора.
8° Понятие электронной орбиты в атоме, вводимое
теорией Бора, является условным вследствие волновой
природы электрона и соотношения Гей ^енберга (стр. 645),
как и вообще понятие траектории микрочастицы, обла-
дающей волновыми свойствами. Электроны в атоме в со-
ответствии с общими свойствами их волновых функций
(стр. 652) представляются в виде заряженных «облаков»,
плотность которых (плотность вероятности, стр. 643) ма-
ксимальна на расстояниях г от ядра, называемых радиу-
сами «орбит». Среднее расстояние электрона от ядра в
водородоподобном атоме (для Z> 1) для состояния элек-
трона с квантовыми числами п и I (стр. 652):
Эта формула приближенна, так как не учитывает отсут-
ствия сферической симметрии у «орбит» с /т^О. Вели-
чина а0 = 0,529 • 10~8 см на ывается радиусом первой бо-
ровской орбиты в атоме водорода (стр. 652).
9° Для нахождения термов атомов с одним валентным
электроном принимается, что действие электронов запол-
ненных оболочек атома на валентный (внешний) электрон
может быть заменено экранированием ими положитель-
ного заряда ядра. Рассматривается движение одного ва-
лентного электрона в поле атомного остатка (остова),
состоящего из ядра и заполненных электронных оболо-
чек. Состояниям электрона с различными значениями Z
соответствуют, согласно волновой механике, электронные
«облака» различного вида симметрии. Например, при / = 0
«облако» сферически симметрично. Вид «орбит» (в
смысле волновой механики) зависит от величины орби-
тального квантового числа I (стр. 673). При Z = 0 «орбита»
имеет вид окружности, при Z= 1, 2, 3,... она переходит
в эллипс, все более вытянутый с ростом Z (рис. VI. 2.2.).
«Орбиты» с Z = 1, 2, 3,..., проникая в область простраНг
ства, где проходят «орбиты» электронов заполненных обо-
лочек, испытывают дополнительное взаимодействие с
«орбитами» атомного остатка. Энергетические уровни
атомов с одним внешним электроном вычисляются
VI.2.I] АТОМЫ С ОДНИМ ВАЛЕНТНЫМ ЭЛЕКТРОНОМ 673
по приближенной формуле:
Р __ hRZ**
Cnl ~ (Л-Д)2 »
где эффективный заряд ядра
Z* = Z — <s,
а — так называемая постоянная экранирования, увели-
чивающаяся с ростом Z, а
1 _ И£±±
д _ 3 а 7*2 Зл2
4 а2 (Z - V2)Z (Z+1/2)(Z-H)(Z +8/2)
называется квантовым дефектом; здесь а = 2л e*)hc — по-
стоянная тонкой структуры (стр. 683), а0 — первый
боровский радиус атома водорода (стр. 652).
10е Правила отбора (стр. 667) для дипольного излуче-
ния имеют вид:
1щ = ± 1»
где / — орбитальные квантовые числа, связанные с
главными квантовыми числами условием
/ = п — 1, п — 2,..., 0.
43 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
674
ATOM
(V!.2
Обозначения термов, которым соответствуют различные Z:
Z 0 12 3 4
• Терм s р d f g
Буквы s, р, d, f соответствуют английским наименова-
ниям спектральных серий атомов с одним внешним
электроном; s — sharp (резкая), р — principal (главная),
d — diffuse (диффузная), f—fundamental (фундамен-
тальная). Переходы возможны лишь между термами
Tn,i и Тт,1±\, причем на числа т и п правила отбора
не накладывают никаких ограничений. Комбинироваться
поэтому могут только s- и р-термы, р- и d-термы и т. д.
11° Любой из термов может быть как начальным, так
и конечным для перехода. Поскольку
I Еп4 Em^i ±i| = | Em>i ±i Еп,11»
где Еп Ет, то при комбинировании получаются одина-
ковые частоты как для спектров поглощения (Ет < Еп),
так и для спектров испускания (Ет > Еп). Интенсив-
ности соответствующих линий обоих спектров в общем
случае не равны из-за неодинаковости условий возбу-
ждения спектров поглощения и испускания.
12° Состояние атома, в котором он имеет энергию,
большую чем в основном состоянии (стр. 670), называется
возбужденным. Спектры поглощения соответствуют
переходам атома из основного в возбужденное состояние,
спектры испускания — переходам из возбужденного в
основное или менее возбужденное состояние. Степень
возбуждения оценивается разностью энергий между
возбужденным и нормальным состояниями. Возбужденное
состояние, характеризуемое большим временем жизни
атома в нем, называется метастабилъным (стр. 666).
13° Наличие стационарных возбужденных состояний
в атомах доказано опытами Франка и Герца, в которых
газ бомбардировался электронами определенной энергии.
Одновременно измерялись потери энергии электронами
и наблюдался спектр свечения газа, вызванного электрон-
ной бомбардировкой. Опыты с парами ртути установили,
что электроны с энергией Е<4,9 эв не вызывают све-
чения газа и отражаются атомами газа упруго. При
Е 4,9 эв появляются медленные электроны, что ука-
зывает на полную передачу электронами с Е = 4,9 эв
своей энергии атомам ртути; одновременно возникает
спектральная линия ртути с Х = 2537А, частота которой
VI.2.1] АТОМЫ С ОДНИМ ВАЛЕНТНЫМ ЭЛЕКТРОНОМ 675
по правилу Бора соответствует разности энергий воз-
буждения и нормального состояния атома ртути. Этот
результат означает, что атом ртути, переведенный
электронным ударом в возбужденное состояние, возвра-
щается в основное состояние, высвечивая квант с длиной
волны X = 2537 А.
14° С учетом движения в атоме водорода и электрона
и ядра относительно общего центра инерции в сериаль-
ной формуле (стр. 669) под /пе следует понимать приве-
денную массу системы электрон — ядро:
те М те
и. =--------=-----------
те -|- М те ’
+ ~М~
где М — масса ядра, те — масса электрона. При учете
движения ядра постоянная Ридберга имеет наименьшее
значение для атома водорода, 7?'н = 109 677,6 см~*; пре-
дельного значения она достигает при М = оо, R'^ =
= 109 737,3 см~\
Вследствие различия значений R для разных М в
спектрах проявляется изотопический эффект (см. также
стр. 720), связанный с существованием нескольких изото-
пов одного и того же химического элемента (стр. 728).
Для смеси изотопов этот эффект состоит в наличии
дополнительных спектральных линий к линиям атомов,
ядра которых принадлежат изотопу с наибольшей
распространенностью. Интенсивности этих линий относят-
ся как процентные содержания изотопов в веществе, а
частоты смещены друг относительно друга для изотопов
с массами /14 и 714' на величину
Av те , 2Х
—^-й-О-р2).
15° При взаимодействии отрицательных мюонов (стр. 782)
с веществом атомные ядра могут захватывать мюоны на
орбиты, образуя с ними мезоатомы. Поведение мюонов
в атомах существенно не отличается от поведения электро-
нов, за исключением малой продолжительности жизни
мюонов. Радиус мюонной орбиты в мезоатоме при-
близительно в 207 раз меньше радиуса соответствующей
43*
676 ATOM fVI.2
электронной орбиты, так как *^207 (стр. 782). По-
этому атомные электроны не оказывают сильного влия-
ния на движение, мюона в атоме. Малый радиус мюон-
ной орбиты и его уменьшение с ростом заряда ядра
(стр 6/2) приводит к тому, что уже при Z«*=;30 мюоны
должны проникать в ядро. На энергетических уровнях
мюона поэтому сказываются размеры и структура ядра,
которое в этом случае уже нельзя считать точечным,
как это делается при решении уравнения Шредингера
для атома (стр. 651).
16° При замедлении позитронов (стр. 782) в веществе
иногда образуется позитроний — система из позитрона
и электрона, движущихся вокруг общего центра тяже-
сти. Позитрон нельзя считать неподвижным, так как его
масса равна массе электрона. Радиус электронной орби-
ты в позитронии вдвое больше радиуса соответствующей
орбиты в атоме водорода, а энергия связи позитрония
вдвое меньше энергии связи атома водорода.
В зависимости от ориентации спинов (стр. 428) элек-
трона и позитрона возникают два состояния позитрония:
ортосостояние при параллельной ориентации спинов и
парасостояние при их антипараллельной ориентации (см.
также стр. 681). Ортопозитроний имеет среднее время жи-
зни 1,4 • 10~7 сек и при аннигиляции (стр. 786) превраща-
ется в три гамма-кванта; парапозитроний имеет среднее
время жизни 1,25 - 10~10 сек и в процессе аннигиляции
превращается в два гамма-кванта. Переход ортопозитро-
ния в парапозитроний возможен при столкновении его с
молекулами газа уже при комнатной температуре. Этот
переход ускоряет процесс аннигиляции позитрона с элек-
троном.
2. Многоэлектронные атомы
Iе Многоэлектронными атомами называются атомы с
двумя и более электронами. Уравнение Шредингера
(стр. 645) для многоэлектронных атомов:
N N
где Д* = —4- 4- — , г,- — расстояние /-го электрона
VI.2.2]
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ
677
_ 1 хп
от ядра, Vi = -7 2J — — половина потенциальной энер-
i^k ik
гии взаимодействия между Z-м и всеми остальными
электронами; суммирование распространяется на N элек-
тронов атома; для нейтрального атома W = Z; Zez ri —
потенциальная энергия взаимодействия /-го электрона
с ядром, Е— полная энергия атома. Остальные обозначе-
ния см. стр. 645.
2° Уравнение Шредингера для многоэлектронного
атома может быть решено только приближенными мето-
дами, прежде всего методами теории возмущений. В ос-
нове решения лежит представление энергии взаимодей-
ствия между электронами Vi как малого возмущения по
сравнению с энергией взаимодействия электронов с яд-
ром. В качестве нулевого приближения получаются соб-
ственные значения Еп и собственные функции соот-
ветствующие решению с И/ = 0:
N N
Еп = У] Eni, = П ;
z=l i=l
N
знак П означает произведение N волновых функций
z= 1
tyni. Решение уравнения Шредингера методами тео-
рии возмущений практически возможно только при ма-
лых значениях N.
3° С увеличением N даже приближенное решение
уравнения Шредингера методом теории возмущений
становится затруднительным. В приближении централь-
ного поля в атоме для отыскания решения используются в
основном два метода: метод Хартри и метод Томаса —
Ферми.
Метод Хартри основан на замене электрического по-
ля ядра и всех электронов атома, кроме одного вы-
деленного, некоторым постоянным по времени само-
согласованным полем, в котором движется выделенный
электрон. Внесение потенциала этого поля в уравнение
Шредингера позволяет найти для каждого выделенного
электрона значения квантовых чисел п и I и тем самым
энергетические состояния электронов. Метод Хартри да-
ет хорошие результаты в основном для сравнитель-
но небольших Z. Метод Хартри может быть уточнен
678 ATOM [VI.2
учетом квантовых обменных эффектов (метод Хартри —
Фока).
Метод Томаса — Ферми основан на так называемой
статистической модели атома, в которой предполагает-
ся непрерывное распределение электронных зарядов
в атоме с плотностью, удовлетворяющей уравнению
Пуассона (стр. 342) для потенциала электрического поля.
Плотность электронных зарядов вычисляется независимо
с помощью квантовой статистики (стр. 213).
Метод Томаса — Ферми применим как к атому, так и
к иону, но при этом по-разному задается потенциал на
границе (атома или иона).
В случае нейтрального атома для функции ср (х), связан-
ной с потенциалом атома V (х),
И(х) = у<р(х), где х = -, (л = -^Г7-5,
из статистической теории атома следует уравнение Тома-
са — Ферми
<р3/з
здесь г — расстояние от ядра атома, а0—первый боров-
ский радиус атома водорода,/г — заряд ядра. Уравнение
Томаса — Ферми хорошо описывает распределение элек-
тронов в тяжелых атомах.
4° Уравнение Шредингера для 7V=2 (атом гелия):
д1^ + д2^ + ^(е + ^ + ^-^)ф’ = о,
где Ai и Д2 — операторы Лапласа, Е — полная энергия ато-
ма, Ze2!r\ и Ze21г* — потенциальные энергии взаимодейст-
вия каждого из электронов с ядром, г12 — расстояние
между электронами, е^г^ — энергия взаимодействия меж-
ду электронами.
Уровни энергии и собственные функции в нулевом
приближении, в котором пренебрегается взаимодействием
электронов:
Е = ЕП1 + ЕПз,
где Еп = — 2u2me4Z2/Z?n2 и — водородоподобная волно-
вая функция электрона (стр. 652).
В первом приближении теории возмущений нормаль-
ное состояние атома гелия вычисляется с учетом энергии
VI,2.2]
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ
679
взаимного отталкивания электронов, описываемых волно-
выми функциями нормального состояния водородоподоб-
ного типа. Полная энергия основного состояния двухэлек-
тронной системы в нулевом приближении:
Ео = 2Z2EH.
В первом приближении:
Et=^2?-^Z^EW
где Ен— энергия атома водорода в нормальном состо-
янии.
5° При решении задачи о произвольном состоянии
электронов в атоме гелия необходимо учитывать нераз-
личимость электронов (стр. 214). Вследствие того, что оба
электрона атома гелия неотличимы друг от друга, собст-
венные функции могут быть двух видов:
^ = ^(7)^(2) и ^ = ^(2)^(7),
где цифры в скобках означают «номер» электрона. По-
скольку энергия Еп, соответствующая этим двум случаям,
одна и та же, то ЧТ описывает дважды вырожденное со-
стояние (стр. 207). Вырождение уровней энергии, связанное
с неразличимостью атомных электронов (и вообще любых
одинаковых микрочастиц), называется обменным. Оно ти-
пично для квантовых систем.
6° Полное решение уравнения Шредингера может
быть представлено в виде линейной комбинации (суммы
или разности) его частных решений для N = 2:
А =^4)^(2)-^(2)^ (1)
либо
СО (2) + (2) (7).
Волновая функция изменяет знак при перестановке
местами цифр (электронов) 7 и 2 и называется антисим-
метричной. Волновая функция при этом не меняет
знака и называется симметричной,
Т При учете возмущения, т. е. взаимного отталкива-
ния электронов, е2/Г12, обменное вырождение снимается
и двукратно вырожденное состояние расщепляется на два
с энергиями Es и ЕА. Средняя энергия возмущения ДЕ,
680
ATOM
1 V1.2
вызванная взаимодействием двух электронов в атоме
гелия:
при нормировке волновой функции (стр. 645)
| Т |2 dVidV2 =1
—ОО
выражается через симметричную и антисимметричную
волновые функции следующим образом:
ДЕ=^|ЧГ|2 ^-dVidV^I ^|Т|2<ПЛ dVs = C±A,
где
m2 = {I Фш (1) I ‘ I 'Ь 0 I 2 ± <рП1 (1) ф„2 (/) <1^ (2) ф*„2 (2)};
при этом первый интеграл в знаменателе равен 1 в силу
нормировки волновых функций, а второй — 0 в силу их
ортогональности. Первое слагаемое интеграла в числите-
ле соответствует кулоновскому взаимодействию электро-
нов, представляя собой произведение плотностей вероят-
ности для каждого из электронов, и называется кулонов-
ским интегралом. Второе слагаемое не имеет аналогии
в классической физике и связано с обменным взаимодей-
ствием электронов, обусловленным их неразличимостью;
оно называется обменным интегралом (см. также стр. 705).
8° Существование спина (стр. 428) как новой независи-
мой переменной, описывающей наряду с координатами
состояние микрочастиц, приводит к усложнению волновых
функций. С учетом спина их записывают в виде:
т = V (х, у, г, + ± t), где Й = А
Обычно из Ф* выделяют отдельно спиновую волновую
функцию Sa:
Ф = Ф (*, У, г, t) Sa (ps),
где индекс а = ± х/а, а = ± й/2 (стр. 428). Аргумент
этой функции имеет только два значения; сама функция
определяется следующим образом:
с (п J1» если a = =t х/2 при /?5 = ±Й/2,
a \Ps) (0, если a = zp: i/2 ПрИ ps = + й/2.
Спиновая функция обладает определенными свойствами
VI.2.3] ВЕКТОРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 681
симметрии. Для двухэлектронной системы возможны 4
спиновые функции:
S.s = Sa(/)Sa(2)t
S$=Sf(nSf(2),
Ss=Sa(nSp(2) + S«(2)Sp(Z),
S4=Se(/) Sp (2)-Sa(2)S& (7),
где индексы а и ₽ соответствуют спинам электронов, рав-
ным Й/2 и — Й/2, а цифры обозначают «номера» электро-
нов. Первые три функции являются симметричными и
относятся к трехкратно вырожденному ортосостоянию
атома, характеризующемуся суммарным спином 5=1 (в еди-
ницах Й, стр. 682); последняя функция является антисим-
метричной и относится к парасостоянию с суммарным
спином 5 = 0 (в единицах Й).
Полная волновая функция Ф* = может быть сим-
метричной: У? 5 = ф535(или Т5 = 4'л 5л) и антисимметрич-
ной: Тл=ф55л (или 1®рд=ФЛ'3 * 55/ & соответствии с
принципом Паули (стр. 693) полные волновые функции,
отвечающие состояниям двухэлектронной системы, долж-
ны быть антисимметричными.
3. Векторная модель атома
Г Для целей систематики сложных спектров много-
электронных атомов и изучения тонкой структуры спек-
тров (стр. 683) применяется векторная модель атома.
В этой модели момент, соответствующий орбитальному
движению каждого электрона, представляется векто-
ром 1, момент, соответствующий спину электрона, —
вектором s (см. стр. 428).
Проекции векторов 1 и s на некоторое направление
(совпадающее с направлением внешнего магнитного поля)
квантованы и принимают значения, кратные h. Это на-
зывается пространственным квантованием орбитального
и спинового моментов электрона ,в атоме.
Проекция вектора 1 принимает значения (в единицах Й)
Z, Z — 1,..., 0,..., — Z, т. е. всего 2Z + 1 значение; проек-
ция вектора s принимает значения -]- Vs и —(в едини-
цах Й). Модули векторов 1 и s равны: | | | = У 1(1 + 1)Й
и |$|=(/з/2)П.
682
ATOM
[VI.2
Сумма j = 1 + s, где |jl— /у(у+1)^, называется
полным вектором момента импульса электрона] j назы-
вается внутренним квантовым числом, величины I и s
называются соответственно орбитальным *и спиновым
квантовыми числами.
2° В атоме (ионе) с двумя и более электронами орби-
тальные и спиновые моменты всех его электронов могут
складываться двумя способами.
Первый способ осуществляется,
когда взаимодействие орби-
тальных моментов 1/ и \k элек-
тронов и спиновых моментов
S/ и S£ друг с другом сильнее,
чем взаимодействие моментов
1/ и S/. Связь орбитального и
спинового моментов в этом слу-
чае Называется слабой (рэссел—
саундеровской, LS-) связью. Она
является наиболее распространенной в легких атомах.
Векторы орбитального и спинового моментов электронов
складываются в этом случае порознь, образуя вектор сум-
марного орбитального момента атома (рис. VI. 2.3):
N
L= Si,-, |L|= /£(£ + 1)Й
Z=1
и вектор суммарного спинового момента атома:
N
S = 2sf, I S 1= /3(3+ 1) й,
f=1
где N—число электронов в атоме. Оба суммарных
момента складываются в суммарный полный момент
атома:
J = L + S, | J | = /J(J+l)k
Величина J вектора J, выраженная в единицах й, назы-
вается суммарным внутренним квантовым числом
атома, величины L и S — соответственно суммарным
орбитальным и спиновым квантовыми числами атома.
Ввиду различной возможной ориентации векторов L и S
квантовое число J принимает следующие значения:
/ = £ + $, L + S- 1..... \L — S\,
т. е. J имеет 23+1 значение приА^>5 и 2£ + 1 значе-
VI.2.3]
ВЕКТОРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА
683
ние при Геометрическому сложению векторов
L и S соответствует алгебраическое сложение L и S.
3° Второй способ сложения орбитальных и спиновых
моментов атомных электронов осуществляется, когда
взаимодействие 1/ и sz- для
каждого из электронов силь-
нее, чем взаимодействие по- - <<
рознь орбитальных и спино- J
вых моментов различных элек- С
тронов между собой. Связь z
моментов атомных электронов \\\ /
в этом случае называется силь-
ной связью или jj-связъю.
। '
Эта связь существует преиму-
щественно в тяжелых атомах. Рис- V1- 2-4-
Векторы орбитального и спи-
нового моментов каждого электрона атома складываются,
давая вектор полного момента электрона (рис. VI. 2. 4)
Ji — 1/ + Si-
Суммарный полный момент атома образуется сложением
полных моментов каждого из электронов:
J = 2 j/- |J| = Г/(/+1)й.
i=l
4° Для атома с двумя внешними электронами при сла-
бой связи суммарный орбитальный момент
L = li-р 1g, т. е. L = /i -|- /з, /1 -|- /а — 1, •••, 14— 4|;
максимальное значение L отвечает параллельной, а мини-
мальное — антипараллельной ориентации орбитальных мо-
ментов обоих внешних электронов в векторной модели.
Суммарный спиновый момент
S = Si4-s2, т. е. S = Si ± s2 = 1 или- О,
соответственно при параллельной и антипараллельной
ориентации спиновых моментов.
5° Величина 2S -|- 1 называется мультиплетностью
терма (стр. 687). Она показывает, на какое число компо-
нент расщепляется каждый спектральный терм вследствие
дополнительного к кулоновскому взаимодействию (элек-
тронов с ядром и друг с другом) взаимодействия спиновых
и орбитальных моментов атома (тонкая структура).
В соответствии с двумя значениями S для атома
с двумя' внешними электронами получаются два вида
684 ATOM [V1.2
мультиплетов:
синглеты (одиночные термы) при 5 = 0,
триплеты (тройные термы) при 3=1.
Мультиплетность терма 23 + 1 совпадает с мулыпиплет-
ностью системы, которой принадлежит данный терм,
только при L S.
Оптически разрешенными являются квантовые пере-
ходы (стр. 663) между термами с одинаковыми 3, т. е.
при ДЗ = 0, и оптически запрещенными — переходы меж-
ду термами с разными 3 (интеркомбинационный запрет).
Этот запрет жестко выполняется только в легких атомах.
6° Для характеристики термов многоэлектронного ато-
ма принято обозначение
(«!/!?! (n2/2)fe2...2S+'Z,7>
где вначале указываются электронные конфигурации
атома, соответствующие данному его терму, т. е. числа
электронов ^i, &а,... в. состояниях с данными главным и
орбитальным квантовыми числами электронов пг-, ука-
зываются также мультиплетность терма 23+ 1, обозна-
чение терма L атома и значение полного квантового чис-
ла атома J. Для обозначения величин, характеризующих
состояние атома, используются прописные символы, для
отдельных электронов — строчные.
7° Взаимодействие магнитных моментов электронов и
атомного ядра вызывает возникновение сверхтонкой
структуры спектральных термов. Магнитный момент
ядра, складывающийся из магнитных моментов составля-
ющих его нуклонов (стр. 734), имеет порядок величины
ядерного магнетона (стр. 733) р.яд = , где Мр — масса
протона (стр. 811). В соответствии с малостью ядерного
магнетона, по сравнению с магнетоном Бора (стр. 428)
сверхтонкая структура спектральных линий характери-
зуется расщеплениями линий, в тысячи раз меньшими,
чем в тонкой структуре.
Магнитное взаимодействие электронов и ядра, подоб-
но взаимодействию самих электронов, в векторной моде-
ли атома выражается с помощью вектора ядерного
момента I (спина):
F = I + J, | F | = VF(F-\- 1) й,
где J—вектор суммарного полного момента количества
V1.2.4] ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА 685
движения электронов атома, F — вектор полного момента
количества движения атома (включая его ядро). Соот-
ветствующее F квантовое число F может принимать
значения (при фиксированном J):
F = J + 1, J+1-l, ...» |У —Z|.
Систематика спектральных линий при сверхтонкой
структуре не отличается от принятой для тонкой струк-
туры в случае слабой связи.
Векторную модель молекулы см. стр. 709.
4. Эффект Зеемана
Г Эффектом Зеемана называется расщепление спек-
тральных линий под действием на излучающее вещест-
во внешнего магнитного поля. Различаются эффекты
Зеемана: нормальный и аномальный, а также продоль-
ный и поперечный. Продольный эффект наблюдается
вдоль направления магнитного поля, поперечный — в
направлениях, перпендикулярных к направлению магнит-
ного поля.
2° При нормальном продольном эффекте Зеемана каж-
дая спектральная линия расщепляется на две компоненты
(нормальный зеемановский дублет) с частотами v ± Д\,
где v — частота линии в отсутствие магнитного поля.
При нормальном поперечном эффекте Зеемана наряду
с указанным дублетом наблюдается несмещенная линия,
т. е. всего три линии (нормальный зеемановский три-
плет) с частотами v, v + Д\. В продольном эффекте линия
с v — Д\ имеет левую круговую поляризацию (стр. 600),
линия с v 4-Д\ —правую круговую поляризацию В попе-
речном эффекте двум компонентам соответствует плос-
кость поляризации (стр. 526), параллельная направлению
внешнего магнитного поля (^-компоненты), несмещенной
линии — плоскость поляризации, перпендикулярная к это-
му направлению (ъ-компонента). Каждая из двух ли-
ний в продольном эффекте имеет ту же интенсивность,
что и ^-компонента в поперечном эффекте. Интенсив-
ность те-компоненты в поперечном эффекте вдвое боль-
ше интенсивности каждой из a-компонент, а-компонента
с частотой v — Д> называется красной, с частотой v + Д» —
фиолетовой (рис VI 2.5).
3* Эффект Зеемана, наблюдаемый в спектрах погло-
щения, называется обратным. Закономерности обратного
686
ATOM
[VI.2
эффекта Зеемана аналогичны закономерностям прямо-
го. Интенсивность те- и a-компонент в обратном эффекте
зависит от поляризации падающего света. Вследствие
того, что частоты компонент близки к частоте основной
линии (зона поглоще-
ния, стр. 607), имеет
место дисперсия по-
казателя преломле-
ния, и последний для
красной а-компонен-
ты имеет иное зна-
чение, чем для фио-
летовой. Поскольку
обе эти линии имеют
противоположную по
знаку круговую по-
Рис. VI. 2.5. ляризацию, то при
распространении све-
та этих частот в веществе происходит отставание одной из
них по фазе от другой, т. е. вращение плоскости поля-
ризации (явление Фарадея, стр. 605).
4° В классической теории нормального эффекта Зее-
мана движение электрона в атоме рассматривается как
гармоническое колебание под действием квазиупругой воз-
вращающей силы (стр. 607). Наложение на атом магнитного
поля приводит к появлению лоренцевой силы (стр. 407),
действующей на атомные электроны:
F= | [vH] | = j-vH sin(v, Н),
где Н — напряженность магнитного поля (стр. 395), v —
скорость электрона. Движение электрона в магнитном
поле может быть разложено на три: одним из них явля-
ется гармоническое колебание вдоль направления поля,
для которого sin (v, И) = 0 и F = 0; два других соответ-
ствуют равномерным вращениям, правому и левому, в
плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, для
которых sin (v, Н) = ± 1 и F = ± evHfc. Это вращение
является ларморовой прецессией (стр. 430). Первое из дви-
жений не изменяется в магнитном поле, и ему соответ-
ствует несмещенная те-компонента, двум другим — сме-
щенные магнитным полем a-компоненты спектральной ли-
нии в поперечном зееман-эффекте.
VI.2.4]
ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА
687
Расщепление линий Д^ в нормальном эффекте Зеемана
совпадает с ларморовой частотой:
Д\» = (в гауссовой системе),
где е и т— заряди масса электрона, с — скорость света
в вакууме. Величина Д\» обычно весьма мала; при Н ~ 104 э
Дм/м~10~б. Эффект Зеемана можно наблюдать лишь с
помощью приборов с высокой разрешающей способностью
(стр. 586).
5° Нормальный эффект Зеемана наблюдается только
в сильных магнитных полях. В слабых магнитных
полях имеет место аномальный эффект Зеемана. В
этом эффекте расщепление спектральных линий являет-
ся значительно более сложным, чем в нормальном. Число
компонент линий нередко значительно превышает их чис-
ло в нормальном эффекте, распределение интенсивности
в системе компонент (зеемановском мультиплете) ока-
зывается весьма сложным. Расстояния между ком-
понентами линий определяются по-прежнему величиной
напряженности магнитного поля 77. На рис. VI. 2.5 пока-
заны линии, соответствующие дублету натрия в случае
аномального (а) и нормального (б) эффектов Зеемана, а
также переход от первого ко второму. Переход от ано-
мального к нормальному эффекту Зеемана при увеличе-
нии напряженности внешнего магнитного поля назы-
вается эффектом Пашена — Бака.
6° Классическая теория не дает объяснения аномаль-
ному эффекту Зеемана. Квантовая теория эффекта Зее-
мана (нормального и аномального) рассматривает его
как результат изменения энергетических уровней атомных
электронов вследствие взаимодействия их спинового и
орбитального моментов между собой и с внешним маг-
нитным полем (пространственное квантование, стр. 681).
Для описания этого взаимодействия привлекается вектор-
ная модель атома (стр. 681). Различаются случаи слабого
и сильного магнитных полей.
7° Слабым называется такое поле, которое вызывает
расщепление уровней меньшее, чем расстояния между
компонентами данного мультиплета (естественное рас-
щепление). В слабом магнитном поле взаимодействие
орбитального магнитного момента со спиновым сильнее,
чем взаимодействие каждого из них с полем. Последнее
взаимодействие рассматривается как малое возмущение,
688 ATOM [VI.2
вызывающее изменение энергии &Е атома в магнитном
поле с напряженностью Н'.
№ = gm |лБ И,
где т — магнитное квантовое число, |лБ—магнетон Бора
(стр 428), g— так называемый фактор (множитель) рас-
щепления Ланде:
1 , j(J+i)-£ (£ + D + S (5+D
s '1" 2J(J+1)
(обозначения см. на стр. 682). Число компонент мульти-
плета определяется соотношением между L и S.
Множитель Ланде для различных компонент мульти-
плета принимает значения, лежащие:
а) при L^>S— между значениями, соответствующими
L + 25 L - 25 + 1.
£ + 5^^^£-5+1 ’
б) при L^S — между значениями, соответствующими
J = S zt L:
I + 2S 25 + 1 - L
L + S 5+1 — L ’
Если спин отсутствует (S = О, J = £), то g= 1; если
L = 0, то g = 2.
Величина расщепления при аномальном эффекте Зее-
мана:
= (mtgi — m2g2) ,
где mi и m2 — магнитные квантовые числа, gi и g2 — фак-
торы Ланде, vL = еН/4птс — ларморова частота. Для
света, линейно поляризованного параллельно вектору Н,
mi = т2; для света с круговой поляризацией, перпенди-
кулярной к Н, /П1 = т2 ± 1.
8° В сильном магнитном поле взаимодействие орби-
тального и спинового моментов электрона разрушается
и каждый из этих моментов порознь взаимодействует
с магнитным полем. При увеличении напряженности маг-
нитного поля расщепление линий растет, пока не начи-
нают сливаться друг с другом компоненты мультиплетов
соседних спектральных линий. Условно с этого момента
поле считается сильным (рис. VI. 2.5, б). Наконец, из
всех компонент мультиплетов остаются только три линии
<1.2.4] ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА 689
(для поперечного эффекта Зеемана) или две линии (для
продольного эффекта) с частотами
v = + (т.-т,),
где v0 — частота несмещенной линии, еН/4птс — лармо-
рова частота, mi и т3 — магнитные квантовые числа.
Для последних существует правило отбора:
mi — та = ± 1,0,
откуда получается зеемановский триплет. В сильных по-
лях результаты классического и квантового расчетов эф-
фекта Зеемана совпадают.
9° Наличие спина приводит к тому, что каждый энер-
гетический уровень электрона в атоме дважды вырожден'
(стр. 207). Наложение магнитного поля на атом снимает
это вырождение и каждая спектральная линия расщепля-
ется минимум на две (спиновый дублет).
10е Электронным парамагнитным резонансом назы-
вается избирательное поглощение электромагнитного из-
лучения веществом, связанное с переходами его атомных
электронов между зеемановскими уровнями энергии, ко-
торые возникают при наложении на вещество постоян-
ного магнитного поля. Для переходов, подчиняющихся
правилу отбора по магнитному квантовому числу (п. 8°).
Дд1 = ±1, резонансная частота равна
vsnp — h 9
где g—фактор Ланде (п. 7°). равный 2 для свободных
электронов (электронов проводимости в металлах), р.Б —
магнетон Бора, Н — напряженность постоянного магнит-
ного поля, наложенного на вещество, h — постоянная
Планка.
11° Накладываемое на вещество магнитное поле обыч-
но достаточно велико для того, чтобы снять спиновое
вырождение магнитных подуровней (п. 9°). Одновремен-
но с ним на вещество накладывается вызывающее пере-
ходы слабое электромагнитное поле, магнитный вектор
которого перпендикулярен к вектору постоянного маг-
нитного поля.
Величина v9np для /7~Ю3 э имеет порядок 108 Мгц
и требует для своего наблюдения радиоизмерительной
техники (в диапазоне сантиметровых волн).
44 Б. м. Яворскцй. А. А. Детлаф
690
ATOM
[VI.2
12° Форма и интенсивность линий, наблюдаемых в
электронном парамагнитном резонансе, зависят от взаимо-
действия спинов атомных электронов друг с другом и с
решеткой твердого вещества.
Спин-спиновое взаимодействие атомов обусловлено на-
личием не равного нулю полного спинового магнитного мо-
мента атома (стр. 682). В общем случае оно добавляется
к взаимодействию атомов с внешним магнитным полем,
приводя к уширению резонансных линий. Это взаимо-
действие быстро убывает с ростом расстояния между
атомами и может быть сделано пренебрежимо малым
при разведении парамагнитного вещества в немагнитных
растворителях.
13° Спин-решеточное взаимодействие обязано тому,
что орбитальный магнитный момент атома, связанный
ЛЗ-связыо (стр. 682) со спиновым моментом атома,
связан вместе с тем электрическими силами с внутри-
кристаллическим полем (спин непосредственно с ре-
шеткой не взаимодействует). Это взаимодействие обу-
словливает то, что спины атомов ориентируются по
направлению внешнего магнитного поля не мгновенно, а
постепенно. Это явление называется спин-решеточной
релаксацией и характеризуется периодом т, связанным
с энергией атомного перехода соотношением неточ-
ностей Гейзенберга (стр. 646). Переход атома на бо-
лее высокий (поглощение) или на более низкий (излуче-
ние) уровень зеемановского расщепления происходит не
раньше, чем соседние атомы в решетке смогут отдать
или воспринять квант энергии ^эпр = №.
Если спин-решеточная релаксация осуществляется пу-
тем обмена с решеткой фононами (стр. 261), то время ре-
лаксации для водородоподобных атомов или ионов (с сум-
марным спиновым квантовым числом S =1/s, стр. 682)
С
т °° н*Т%
Эта формула обычно имеет место при Т > 0D, где 0D —
дебаевская температура кристалла (стр. 262).
Если спин-решеточная релаксация осуществляется пу-
тем рассеяния атомами акустических волн в решетке, то
С
Х °° Я2 Г7 ’
Эта формула обычно имеет место при Г<< 0D. Здесь т—
VI.2.4] ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА 691
период релаксации, Н — напряженность магнитного поля,
С — множитель пропорциональности, зависящий от силы
//-связи (стр. 683) и от расщепления орбитальных уровней
во внутрикристаллическом поле, Т — абсолютная темпе-
ратура вещества. Эти формулы справедливы при прене-
брежении спин-спиновым взаимодействием.
14° Электронный резонанс в ферромагнетиках, помимо
перечисленных выше факторов, зависит также от нали-
чия размагничивающих полей. В общем случае резонанс-
ная частота для перехода с Д/п = Jz 1 равна
Мр = Ф
где Nx, Nyy Nz — так называемые размагничивающие фак-
торы для осей х, у, Iz — намагниченность об-
разца в направлении приложенного магнитного поля Hz,
Предполагается, что магнитная компонента электромагнит-
ного высокочастотного поля направлена вдоль оси х, а
также, что образец намагничен однородно и что фактор
Ланде g одинаков по всему образцу.
Если постоянное магнитное поле и магнитная компо-
нента переменного поля параллельны плоской поверхно-
сти образца, то
Mp = £F
где В — индукция магнитного поля в образце. Если же
постоянное магнитное поле перпендикулярно, а перемен-
ное — параллельно плоской поверхности образца, то
^фр = ^(Я-4яД
где /—намагниченность образца.
Для малых сферических образцов
Для длинных круговых цилиндров при направлении
постоянного магнитного поля вдоль оси цилиндра и при
перпендикулярной к ней магнитной компоненте высокоча-
стотного поля:
вфр h 4 ‘ z
44*
692 ATOM |V1.2
Эти соотношения справедливы при условии, что глуби-
на проникновения высокочастотного поля в образец на ре-
зонансной частоте, (глубина скин-слоя, стр. 425) сравнима
с размерами образца.
5. Эффект Штарка в водородоподобных атомах
Эффектом Штарка называется расщепление спект-
ральных линий под действием на излучающее вещество
внешнего электрического поля. Поскольку даже очень
сильные внешние электрические поля слабы по сравнению
с внутриатомными, их действие на движение атомных
электронов можно рассматривать как неболь-
шое возмущение. Соответственно штарковское расщеп-
ление линий очень малб и для наблюдения требует при-
боров с высокой разрешающей способностью (стр. 586).
Линии расщепляются на ряд компонент (сателлитов),
располагающихся в случае водорода симметрично по
обе стороны от основной линии.
2° В водороде в первом приближении теории возму-
щений (стр. 663) имеет место линейный эффект Штарка,
частично снимающий вырождение между уровнями един-
ственного атомного электрона (стр. 652). Расщепление:
где & —напряженность однородного электрического поля,
Пх и п2 — так называемые параболические квантовые числа,
п,х-{-п^<2п, где п — главное квантовое число (стр. 652).
Наличие линейного эффекта Штарка означает, что атом
водорода обладает средним дипольным моментом
за. ч
вызванным поляризацией атома в электрическом поле.
3° После частичного снятия вырождения в линейном
эффекте Штарка остается вырождение состояний, отли-
чающихся значениями магнитного квантового числа.
Дальнейшее снятие вырождения происходит в эффекте
второго приближения — квадратичном эффекте Штар-
ка. Соответствующее расщепление:
д-*« = 117na — 3(«i - 9mS + 19J 8а
VI.2.6] ПРИНЦИП ПАУЛИ. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 693
зависит, помимо прочих квантовых чисел, также от маг-
нитного квантового числа т. Квадратичный эффект
Штарка всегда отрицателен и смещает энергетические
уровни в сторону меньших энергий.
6. Принцип Паули. Периодическая система элементов
Г Квантовая механика на основе принципа тождест-
венности одинаковых частиц (стр. 214) приводит к выводу
о двух типах (классах) состояний частиц, зависящих только
от природы частиц. В природе существуют: а) частицы,
обладающие спином, равным целому числу единиц Й
(бозоны, стр. 214), описываемые симметричными полными
волновыми функциями (стр. 679); б) частицы, имею-
щие спин, равный полуцелому числу единиц Й (ферми-
оны, стр. 215), описываемые антисимметричными полны-
ми волновыми функциями ЧГд (стр. 679).
2° Для всех частиц, обладающих полуцелым спином
(в единицах Й, фермионов), справедливо утверждение:
в данной квантовой системе в одном и том же кванто-
вом состоянии не может находиться более одного фер-
миона. Это утверждение называется принципом исклю-
чения или принципом Паули. Квантовомеханическая фор-
мулировка принципа Паули состоит в требовании анти-
симметричности полных волновых функций для систем
частиц, подчиняющихся этому принципу.
3° В применении к атому, в котором электронное
состояние однозначно определяется набором четырех
квантовых чисел: главного п, орбитального /, магнитного
орбитального и магнитного спинового ms, принцип
Паули гласит: в атоме каждый электрон обладает своим
набором квантовых чисел п, /, и ms, отличным от на-
бора этих чисел для любого другого электрона.
4° Принцип Паули лежит в основе систематики за-
полнения электронных состояний в атомах и дает объяс-
нение периодичности свойств химических элементов —
периодической системе элементов Д. И. Менделеева.
Общее число электронных состояний в многоэлектрон-
ном атоме, различающихся хотя бы одним из чисел л,
/, mi и ms при данном главном квантовом числе п равно
п— 1
2 2(2/+ 1) = 2п«.
/=0
694
ATOM
[VI.2
Электроны, занимающие совокупность состояний с одина-
ковым значением числа п, образуют электронную оболочку.
Главное квантовбе число п.... 1 2 3 4 5 67
Максимальное число возможных
электронных состояний...... 2 8 18 32 50 72 93
Символ оболочки............... К L М N О Р q
5° В каждой из оболочек электроны распределяются по
подгруппам, или подоболочкам, соответствующим данно-
му значению 1(1^п, стр. 652). Максимальное число элек-
тронных состояний в подоболочке с данным / равно 2(2/+1)
Значение орбитального
квантового числа /........О 1 2 3 4........
Число возможных электронных
состояний.....................2 б 10 14 18.......
Символ подгруппы..............s р d f °........
6° Порядок заполнения электронных состояний в обо-
лочках, а в пределах одной оболочки—в подгруппах сле-
дует порядку расположения энергетических уровней с
данными пи I. Сначала заполняются состояния с наимень-
шей возможной энергией, затем состояния со все более
высокой энергией. Для легких атомов этот порядок соот-
ветствует тому, что сначала заполняется оболочка с
меньшим л, и лишь затем начинается заполнение
электронами следующей оболочки. В пределах одной
оболочки сначала заполняются состояния с /=0, а затем
состояния с большими /, до / = л - 1.
7° Начиная с калия (Z=19) указанный порядок за-
полнения электронных оболочек часто нарушается, так
как оказывается, что некоторым состояниям электронов
с ббльшим значением и соответствует меньшая энергия,
чем в еще не занятых состояниях с меньшим л. Это от-
носится к состояниям (л + 1) s и (л + 1) р по сравнению
с состояниями nd и nf. Элементы, у которых происходит
достройка предыдущих оболочек (подоболочки 3d, 4d, 4/,
5d и 5/) при уже частично заполненных последующих
оболочках, называются переходными.
8° В нижеследующей таблице указано распределение
электронов по состояниям (оболочкам и подоболочкам)
в различных химических элементах, а также основные
термы соответствующих атомов. Переходные элементы
обведены рамкой.
VI.2.6] ПРИНЦИП ПАУЛИ. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
695
Распределение электронов в атомах
Элемент Is L M N Основной терм
is 2p 3s 8d 4s 4p
Н 1 1 — — — — — — s*/2
Не 2 2 — — — — — — — ‘So
Li 3 2 1 — — — — — — S5‘/S
Be 4 2 2 — — — — — — ‘So
В 5 2 2 1 — — — — — 2p‘/2
С 6 2 2 2 — — — — — ’Po
N 7 2 2 3 — — — — — ‘S3/2
О 8 2 2 4 — — — — — 3P2
F 9 2 2 5 — — — — — 3p’/2
Ne 10 2 2 6 — — — — — ‘So
Na 11 1 — — — — 3S‘/2
Mg 12 2 — — — — ‘So
Al 13 2 1 — — — 3p‘/2
Si 14 Конфигурация 2 2 — — — ’Po
P 15 неона 2 3 — — — ‘5a/2
S 16 2 4 — — — ’P2
Cl 17 2 5 — — — ap’/2
Ar 18 2 6 — — — ‘So
К 19 1
Ca 20 — 2 — ^0
Sc 21 Конфигурация I 2 — 2£>3/2
Ti 22 аргона 2 2 — зХ2
V 23 3 2 — 4p’/2
Cr 24 5 1 — ’S,
Mn 25 5 2 — e*’/2
Fe 26 6 2 —
Co 27 7 2 — *po/2
Ni 28 8 2
696
ATOM
[ VI.2
Продолжение
Элемент К | L М N Основной терм
Is 2s | 2р 3s | Зр | 3rf 4s 4p
Си 29 Zn 30 Ga 35 Ge 32 А» 33 Se 34 Br 35 Kr 36 Конфигурация аргона 10 10 10 10 10 10 10 10 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 a«‘/2 ‘$0 ар‘/2 ’Ро ‘«’/2 «Р2 ар’/2 1$0
Эле- мент Конфигурация внутренних слоев N О P Основной терм
Id 4/ 5s 5р | bd 6s
Rb 37 Sr 38 Y 3? Zr 40 Nb 41 Mo 42 Tc 43 Ru 44 Rh 45 Pd 46 Конфигурация криптона 1 2 4 5 6 7 8 10 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1 2 2 2 1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 1 as‘/2 ‘So а°’/2 ал2 в°‘/2 JSt в^/2 6Л> ‘$о
Ag 47 Cd 48 In 49 Sn 50 Sb 51 Те 52 J 53 Xe 54 Cs 55 Ba 56 Конфигурация палладия 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 6 6 II 1 1 1 1 1 I I I 1 1 1 1 1 1 1 1 “ *‘/2 ар>/2 »Р« ‘S»/2 »Р2 ар»/2 *«0 а5*/2 ‘So
VI.2.6] ПРИНЦИП ПАУЛИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 697
П родолжение
Элемент Конфигурация внутренних слоев N 0 р Основ- ной терм
4f 5s | 5р 5d Gs
Слои от Is до 4d содержат 46 электронов 2 3 4 5 6 7 7 9 10 11 12 13 14 14 Слои 5s и 5p содер- жат 8 элек- тронов -11 11 11 -1 11 11 1 - 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 •о»/, %. Ч, 7F0 ’*4 *НгЧг *Iv4t гч
La 57 Се 58 Рт 59 Nd 60 Pm 61 8m 62 Eu 63 Gd 64 Tb 65 Dy 66 Ho 67 Er 68 To 69 Yb 70 Lu 71
Элемент Конфигурация внутренних слоев О Р Q Основ- ной терм
5d 5f 6s | 6р 6d 7s
"ГТ Та 73 W /4 Re 75 Os 76 It 77 P1 78 Слои от 1s до 5р содер- жат 68 элек- тронов 2 3 4 5 6 7 9 1 1 1 111 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 111 1 1 1 111 1 1 1 1 1 11 11 1 ‘F4, 'D, *D ^3
Au 79 Hg 80 Ti 81 Pb 82 Bi 83 Po 84 Ar 8b Rd 86 Fr 87 Ra 88 Слои от 1s до 5d содержат 78 электронов 1 11 11 11 11 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 6 1 11 11 11 11 1 1 11 11 11 1-01 ’Si/, ’So '8*1, 4>, tp4, ‘So ’Si/, ’So
698 ATOM (VI.2
Продолжение
Элемент Конфигура- ция внутрен- них слоев 0 Р Q Основ- ной терм
5d 6s 6р 6d 7s
Ас 89 — 2 6 1 2
Th 90 — 2 6 2 2
Ра 91 2 2 6 1 2
и 92 3 2 6 1 2 5-Сб
Np 93 4 2 6 1 2 6^11/г
Pu 94 6 2 6 2 7F0
Am 95 Слои от Is до 5d 7 2 6 — 2
Cm 96 содержат 78 7 2 6 1 2 w2
Bk 97 электронов 8 2 6 1 2
Cf 98 10 2 6 — 2
Es 99 11 2 6 — 2 4/15/2
Fm 100 12 2 6 2 *нв
Md 101 13 2 6 — 2 2^/2
No 102 14 2 6 2 ls0
Lw 103 14 2 6 1 2
9° Внешними (валентными) электронами атома назы-
ваются электроны, входящие в состав s- и р- подгрупп
оболочки с наибольшим числом п для данного атома.
Этими электронами определяются химические и оптиче-
ские свойства атомов.
10° В заполненной s-подгруппе компенсированы маг-
нитные спиновые моменты электронов; в заполненных
р-, d-, f-,.. . подгруппах компенсированы также маг-
нитные орбитальные моменты электронов. Поэтому маг-
нитный момент атома с заполненными группами равен
нулю, и соответствующий элемент обладает диамаг-
нитными свойствами (стр. 433). В атомах с незаполнен-
ными подгруппами некомпенсированный (не равный нулю)
магнитный момент обусловливает парамагнетизм (стр. 433),
а в ряде случаев — ферромагнетизм или антиферромагне-
тизм (стр. 437).
11° Заполнение nd-подгруппы и л/-подгруппы в ато-
мах происходит при почти неизменной электронной
конфигурации (n-i-l)s- и (л+1) р-подгрупп и поэтому
почти не влияет на химические свойства переходных
элементов, которые в пределах данной группы элементов
являются сходными. Заполнение nd- и п/-подгрупп, од-
нако, существенно сказывается на рентгеновских спек-
трах (стр. 699) атомов, связанных с электронными пере-
дхоами во внутренних оболочках атома.
VI.2.7] РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЫ 699
12е Суммарное число электронов в s- и р-подгруп-
пах равно 8 (стр. 694). Механизм отдачи или присоедине-
ния валентных (внешних) электронов лежит в основе
большинства химических реакций (см. также стр. 702).
Энергетически оказываются выгодными отдача электро-
нов атомами с менее чем наполовину занятой s-\-p-
подгруппой и присоединение электронов атомами с бо-
лее чем наполовину занятой з + р-подгруппой. Атомы с
наполовину занятой s + р-подгруппой могут в зави-
симости от ряда условий либо отдавать, либо приоб-
ретать электроны, что обусловливает двузначность (амфо-
терность) их химических свойств.
7. Рентгеновские спектры
Г Существуют два типа рентгеновского излучения —
с линейчатым спектром (стр. 613), называемое характе-
ристическим, и со сплошным спектром (стр. 613), назы-
ваемое белым. Белое рентгеновское излучение вызы-
вается торможением быстрых электронов при их движе-
нии в веществе (тормозное излучение, стр. 531). Характери-
стическое излучение связано с электронными переходами
в глубокие оболочки средних и тяжелых атомов. Для
этих оболочек разности энергий Ет — Еп значительно
больше, чем разности энергий для внешних оболочек.
Поэтому частоты характеристических рентгеновских
спектров на несколько порядков больше частот опти-
ческих спектров.
2° Характеристическое излучение возникает в ре-
зультате вырывания электрона с одной из близких к
ядру оболочек атома. Если эта ионизация осуществляется
благодаря соударениям быстрых электронов с атомами,
то рентгеновское излучение называется первичным.
Рентгеновское излучение называется вторичным или
флуоресцентным, если оно возникает в результате
фотоионизации атомов (стр. 727) под действием погло-
щаемых атомами рентгеновских фотонов.
3° При ионизации атома возникают электронные пе-
реходы на освободившееся состояние в оболочке, из ко-
торой был выбит электрон, с оболочек с большими кван-
товыми числами п. Так, при выбивании электрона из
ЛГ-оболочки становятся возможными переходы в эту
оболочку из L- (п = 2), Л4- (п = 3) оболочки и т. д., с по-
следующими электронными переходами на освобожда-
700
ATOM
[VI.2
ющиеся места в этих оболочках, пока этот процесс не
закончится полным перераспределением электронов по
состояниям в ато.ме. Возникающие при этих переходах
фотоны и образуют характеристическое рентгеновское из-
лучение. На рис. VI. 2.6 показана общая схема этих
переходов, удолетворяющих следующим правилам от-
бора: | Д/| = 1, |Д/|=0, 1 для дипольного излуче-
Н-серия
"И
fig fig 7з
й/А 7г\ fit 7i
Its'
fit /
i о i/г
2 0 1/2
2 11/2
2 13/2
M-серия
Mi .
Мп -
Мл-
Mir
Mv
7-
Nm
Mjf
Nr
Nb
Njb
inn
------3 01/2
~r—z--31 1/2
-fi-^^31 3/2
—/-$3 2 3/2
-ТГТГЗ 2 5/2
НШ1
4 О 1/2
4 1 1/2
4 13/2
4 2 3/2
42 5/2
4 3 ‘5/2
43 7/2
3E
Рис. VI. 2.6.
ния, |Д/|=0, 2, | Ду ] = 0, 1, 2 для значительно более
слабого квадрупольного излучения.
Спектральные линии, обусловленные переходами
электронов в /<-, А- и т. д. оболочки атома, образуют
L- и т. д. серии характеристического спектра. Линии
каждой серии обычно обозначают греческими буквами
с подстрочными индексами (например, КЛ1, К(,2,и т. п.).
4° Закон Мозли для характеристических частот
спектра:
=0(Z-o)>
VI.3.1] ИОННЫЕ МОЛЕКУЛЫ 701
где /? — постоянная Ридберга (стр. 669), Z — атомный
номер химического элемента, о — постоянная экрани-
рования (стр. 673), а — постоянная, зависящая от кванто-
вых чисел оболочек, между которыми совершается
переход.
5е Рентгеновские спектры поглощения, в отличие от
оптических, не содержат отдельных линий поглощения
Коэффициент поглощения (стр. 614) рентгеновских лу-
чей веществом убывает с увеличением их частоты. Эта
монотонная зависимость скачкообразно нарушается (ска-
чки поглощения) в областях частот, при которых энер
гия рентгеновских квантов становится достаточной для
освобождения из атома электрона с /<-, М-, ...
оболочки.
6е Кроме испускания рентгеновского излучения, в тя-
желых атомах наблюдается эффект Оже. Энергия, осво-
бождающаяся при спонтанном электронном переходе из
L-, А4- или /V-оболочки атома в состояние на более глу-
бокую оболочку, оказывается больше энергии ионизации
для внешних (валентных) электронов. За счет этой энергии
перехода может происходить не испускание фотона рент-
геновых лучей, а удаление внешнего электрона из атома,
не сопровождающееся излучением (безрадиационные, или
безызлучательные переходы).
глава з
МОЛЕКУЛА
1. Ионные молекулы
Iе Молекулой называется наименьшая частица данно-
го вещества, обладающая его основными химическими
свойствами и состоящая из одинаковых или различных
атомов, соединенных в одно целое химическими связями
(химическими силами). Химические силы имеют в своей
основе различные взаимодействия внешних электронов
атомов.
2° Большой класс молекул образуют ионные молекулы,
состоящие из ионов химических элементов, входящих в
молекулу. Общая сумма положительных и отрицательных
зарядов ионов в молекуле равна нулю, вследствие чего
ионные молекулы электрически нейтральны. Силы, обес
702 МОЛЕКУЛА [VI.3
печивающие устойчивость молекулы, имеют электричес-
кую природу.
3° Образование ионных молекул определяется повы-
шенной устойчивостью внешней восьмиэлектронной s + р-
подгруппы в атомах (стр. 699). Атомы, внешняя оболочка
которых насчитывает более четырех электронов, стремят-
ся приобрести электроны, необходимые для дополнения
их внешней оболочки до восьмиэлектронной (обладают
так называемой электроотрицательностью). Особая ус-
тойчивость восьмиэлектронной конфигурации объясняет-
ся тем, что при заполнении всех восьми состояний
в з + р - подгруппе она становится мало восприимчи-
вой к внешним воздействиям ввиду полной компенса-
ции орбитальных и спиновых моментов электронов
(стр. 698).
4° Образование ионной молекулы при сближении ато-
мов осуществляется путем перехода внешних электронов
от электроположительных к электроотрицательным ато-
мам с образованием соответственно положительных, и
отрицательных ионов этих атомов. Различают в связи с
этим положительную валентность элемента (валент-
ность по отношению к водороду), максимальная величи-
на которой равна числу внешних электронов элемента N,
и отрицательную валентность элемента (валентность
по отношению к фтору\ часто употребляемая валент-
ность по отношению к кислороду составляет половину
валентности по отношению к фтору), максимальная ве-
личина которой равна 8—N.
5° Потенциальная энергия двухатомной ионной моле-
кулы, образованной однозарядными ионами А~ и В+, равна
2 2
.,_ е2 . be% _____еРе\ еРе% ^Ре\ А?2' ,
U г ' г% г2 г3 “Г 2at + 2a2 *
где г — расстояние между ионами, ре1 и ре2 — дипольные
моменты каждого из ионов (стр. 347), и а2 — поляри-
зуемости ионов (стр. 347), b — постоянная. При диссоциа-
ции молекулы на ионы (г —>оо) £7 = 0. Первый член справа
учитывает энергию кулоновского притяжения разноимен-
но заряженных ионов, второй член — энергию взаимного
отталкивания ионов, третий и четвертый члены — энергию
притяжения свободных зарядов ионов диполями с диполь-
ными моментами ре1 и ре2, образовавшимися вследствие
взаимной поляризации электронных оболочек ионов, пятый
VI.3.1]
ИОННЫЕ МОЛЕКУЛЫ
703
член — взаимодействие самих индуцированных дипольных
моментов, шестой и седьмой члены — энергию деформации
квазиупругих диполей (квази-
Рис. VI. 3.1.
6 Потенциальная энергия ион-
ной молекулы U имеет минимум
Ue при г = ге, соответствующем
равновесному расстоянию между
ионами (рис. VI. 3.1):
5 (ai + «2) । 4atag
9r?
Ue =
18г|
Величина ге находится из условия
аи I А
— г=ге = 0, означающего усло-
вие минимума потенциальной энергии молекулы. Прибли-
женное уравнение для ге имеет вид (если в разложении
Pei и Ре* 110 степеням 1/г отбросить члены с г выше г9):
1 I 2 (al+g2) । 14a1a2 _96
.2 .
е
е
е
Чем больше глубина
молекул, тем меньше
минимума потенциальной кривой
у них ге. Приближенно
Ге
т. e. чем меньше ге, тем выше прочность молекулы.
7° Распад молекулы на составляющие ее ионы назы-
вается диссоциацией молекулы. Величина Ue связана
с энергией £)и диссоциации молекулы на два иона соот-
ношением:
D* = -Ue.
С энергией диссоциации D молекулы на нейтральные
атомы величина £>и связана соотношением
Г>„ = D + e<f — Е,
где ср — потенциал ионизации атомов (стр. 371), Е — энер-
гия сродства к электрону электроотрицательного атома.
8° Примерами типичных ионных молекул могут слу-
жить молекулы щелочно-галоидных солей, образованные
704 МОЛЕКУЛА [VI.3
ионами атомов элементов I и VII групп периодической
системы: NaCl (Na+Cl~), RbBr, CsJ и т. п. Поскольку
ионные молекулы могут быть образованы лишь из ионов
атомов различных химических элементов, связь ионов
в таких молекулах называется также гетер аполярной
(от греческого «гетеро» — «разный»).
2. Атомные молекулы
Г Атомными молекулами называются молекулы, в
которых основное состояние соответствует нормальным
состояниям (стр. 670) нейтральных атомов. Силы, обеспе-
чивающие устойчивость атомных молекул, являются об-
менными (стр. 680) и имеют специфически квантовый ха-
рактер. Они действуют между внешними электронами
атомов в молекуле (стр. 698).
2° В простейшем случае молекулы водорода, образо-
ванной из двух одинаковых атомов, уравнение Шредин-
гера (стр. 645) имеет вид:
/ 2 \
\ 1=1 /
где
2 / \
г12 rI, II r™/
Первый член в U соответствует кулоновскому взаимо-
действию между электронами атомов I и II, второй —
кулоновскому взаимодействию между ядрами атомов I
и II (приближенно полагают n=const, т. е. считают ядра
I и II неподвижными — так называемое адиабатическое
приближение, стр. 667), третий член учитывает кулонов-
ское взаимодействие электрона атома I с ядром атома II
и электрона атома II с ядром атома I.
3° В нулевом приближении при решении задачи о мо-
лекуле водорода считают г{ п=оо, т. е. пренебрегают
возмущением в атоме I, вызванным присутствием атома
11, и обратно. Уравнение Шредингера при этом распада-
ется на два уравнения для изолированных атомов водо-
рода Решением их в этом приближении служит волно-
вая функция вида
фо = Ф1 (7) фп (2),
VI.3.21
АТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ
705
отвечающая связи каждого из электронов со своим яд-
ром. При сближении атомов I и II становится возможной,
вследствие неразличимости обоих электронов, волновая
функция вида ф'= (2) (/), отвечающая связи
каждого из электронов с чужим ядром. Полная волновая
функция имеет вид:
Ь. S=^A. $[ (П Фп (2) ± Ф1 (2) Фп (П],
где NA s—нормирующий множитель, индекс А и знак
минус отвечают антисимметричной волновой функции, ин-
декс S и знак плюс — симметричной.
Потенциальная энергия молекулы водорода
где
-1-00
s = $ $ Ф, (/) Фц СО Ф, (2) Ф П (2) dv, dVt,
—со
С — кулоновский интеграл (стр. 680),
X 1Ф, (Л I* I
А — обменный интеграл (стр. 680),
4° Интегралы С и А отрицательны, причем | А 12> | С |;
интеграл S< 1. Для двух знаков в выражении для U:
Величина U+ соответствует устойчивому состоянию мо-
лекулы водорода, а величина £/ —неустойчивому состоя-
нию Вид U+ и Z/_ в зависимости от расстояния между
ядрами атомов в молекуле изображен на рис. VI. 3. 2. Кри-
вая U+(r) сходна с потенциальной кривой для ионных моле-
кул. Соответствующие устойчивому и неустойчивому
45 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
706
МОЛЕКУЛА
(VI.3
состояниям молекулы водорода распределения электронной
плотности (величины е | ф |2) показаны на рис. VI. 3. 3.
Согласно принципу Паули (стр. 693) в устойчивом состо-
янии молекулы суммарный спин обоих электронов S = 0
и этому состоянию соответствует симметричная орби-
тальная волновая функция (синглетное состояние). В не-
устойчивом состоянии молекулы водорода суммарный
спин обоих электронов S = 1 и орбитальная волновая
функция антисимметрична (триплетное состояние).
4° Обменное взаимодействие электронов в молекуле
водорода можно понимать в том смысле, что электрон
каждого из ее атомов проводит некоторую долю време-
ни у ядра другого атома, осуществляя тем самым связь
обоих атомов в молекулу.
5° В общем случае в образовании молекул участвуют
и ионная и атомная связи. В случае ионных молекул ти-
па NaCJ, CsJ и т. п. на первый план выступает кулонов-
ское взаимодействие ионов, в случае молекул типа На,
Na, Оа и т. п. основную роль играет обменное взаимо-
действие атомов.
6° Химические связи в молекулах осуществляются
электронами s- и р-подгрупп оболочки с наибольшим
значением главного квантового числа п (стр. 698). Эти
связи имеют одинаковую прочность в расчете на один
электрон (при данном числе валентных электронов). От-
сюда следует вывод об отсутствии индивидуализации
состояний валентных электронов, т. е. о невозможности
описать состояние каждого валентного электрона в мо-
лекуле волновой функцией, свойственной исключительно
VI.3.2)
АТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ
707
этому состоянию и отличной от волновых функций для
других валентных электронов. Валентные электроны мо-
лекулы находятся не в s- или p-состояниях, а в смешанном
s-p-состоянии, которое описывается волновой функцией,
представляющей собой линейную комбинацию функций,
отвечающих s- и p-состояниям. Такое смешанное состоя-
ние называется гибридным.
Т В случае обычной химической связи между атома-
ми, называемой также сигма (<з)-связъю, электронная
плотность валентных электронов распределена симмет-
рично вокруг линии, соединяющей ядра атомов в моле-
куле. Сигма-связь может осуществляться как s-, так и
р-электронами атомов. Она имеет место во всех молеку-
лах с насыщенными валентностями. Вследствие симмет-
рии сигма-связи возможно вращение одной части моле-
кулы относительно другой с осью вращения, совпадающей
с осью симметрии связи. В непредельных и ароматиче-
ских соединениях с ненасыщенными валентностями имеют
место пи (п)-связи, образуемые р-электронами и не обла-
дающие осевой симметрией. Для пи-связей характерны
«перемычки» электронной плотности по обе стороны от
направления сигма-связи (рис. VL 3. 4). В силу асиммет-
рии электронной плотности при этом виде связей вра-
щение частей молекулы друг относительно друга невоз-
можно. Это проявляется, например, в изомерии молекул,
т. е. в существовании двух не переходящих самопроиз-
вольно друг в друга форм молекулы, обладающих
45*
708
МОЛЕКУЛА
[VI.3
зеркальной симметрией (так называемых поворотных изо-
меров). Свойства симметрии электронных плотностей,
соответствующих .электронам, осуществляющим сигма-
и пи-связи, определяют пространственную направлен-
ность валентностей, которая обусловливает определен-
ное пространственное расположение атомов в молекуле
(изображаемое обычно стереохимическими формулами).
8° Атомные молекулы в ряде случаев образованы оди-
наковыми атомами. Поэтому связь атомов в таких моле-
кулах называется также гомеополярной (от греческого
слова «гомео»— «одинаковый»), или ковалентной. Гомео-
полярными являются молекулы Н2, N2, О2, молекулы
гидридов, например LiH, PdH и т. д., боридов металлов
и т. д., образованные из атомов элементов первых трех
групп периодической системы.
3. Электронные спектры молекул
Г В соответствии с возможными типами движений в
молекуле (стр 221) волновая функция молекулы может
быть приближенно представлена в виде произведения
трех волновых функций, отвечающих электронным дви-
жениям, колебаниям и вращениям молекулы, при условии
взаимной независимости этих движений:
*=МЛв.
При подстановке Ф в соответствующее уравнение Шре-
дингера оно может распадаться на три уравнения, реше-
ние каждого из которых дает энергетический спектр
соответствующего движения: Е3,ЕК,Е3. Полная энергия мо-
лекулы приближенно равна
£ = £э+£к + £в.
По порядку величины ЕЭ>ЕК>ЕВ (см. также стр. 222).
2° Электронные термы молекул не отличаются по
своему происхождению от электронных термов изолиро-
ванных атомов (стр 670). Число электронных термов зна-
чительно превышает число этих термов в атомах. Любой
атом в молекуле находится в электрическом поле осталь-
ных ее атомов; электронные уровни молекул образованы
из электронных уровней ее атомов, расщепленных на
многочисленные подуровни в результате эффекта Штар-
ка (стр. 692) во внутримолекулярном поле.
VI.3.3] ЭЛЕКТРОННЫЕ СПЕКТРЫ МОЛЕКУЛ 709
3° Энергетические электронные уровни молекулы оп-
ределяются ее электронной конфигурацией, т. е. сово-
купностью квантовых чисел, соответствующих состояни-
ям всех электронов молекулы. В основу систематики
этих уровней и спектров молекул кладется векторная
модель молекулы, являющаяся обобщением векторной
модели атома (стр. 681).
4° Основой систематики электронных уровней двух-
атомных и линейных многоатомных молекул является
орбитальное квантовое число молекулы'.
N
1=1
где суммирование производится по всем электронам моле-
кулы. Число Л определяет значение проекции полного
(суммарного) орбитального момента молекулы на какое-
либо направление (например, на ось молекулы). Величи-
на определяет проекцию орбитального момента 1-го
электрона на ось молекулы.
Термы, соответствующие Л = 0, 1, 2, 3,..., обознача-
ются 2, П, Д и т. д. В молекулах имеет место слабая
связь (стр. 682), так что вектор орбитального момента коли-
чества движения молекулы Л представляется в виде
т
Л = S
k— 1
где Ц относятся к отдельным атомам молекулы, число
которых равно т.
5° Аналогично вводится спиновое квантовое число
молекулы, определяющее проекцию ее полного спино-
вого момента 3 на некоторое направление (например,
на ось молекулы):
N
s = 2 sz>
1=1
причем
т
S= 2 s*.
Л=1
Суммирование проводится, как указано в п. 4°. Вводится
также внутреннее квантовое число молекулы'.
2 = д±2.
710
МОЛЕКУЛА
IVI.3
Систематика электронных термов молекулы по числам
й, A, U является обобщением систематики электронных
термов атома по .числам J, A, S. Для обозначения моле-
кулярного терма применяется символ 22+1А2. ПриА = 0
(для £-термов) спин не имеет ориентации относитель-
но оси молекулы и квантовые числа £ и Q теряют смысл.
6° Векторная модель молекулы принимает во внимание
также вращение молекулы, в результате которого возни-
кает внутримолекулярное магнитное поле. При система-
тике молекулярных термов учитывается, что электриче-
ское поле молекулы, обусловливающее расщепление соот-
ветствующих атомных термов, не всегда настолько
сильнб, чтобы нарушить связь L, и в отдельных
атомах. Это обобщение систематики молекулярных тер-
мов приводит к трем типам гундовских термов двух-
атомной молекулы.
1-й тип. Взаимодействие спиновых моментов атомов в
молекуле (S/, S&) и взаимодействие различных L/ с полем
(L;, g) велики по сравнению с взаимодействиями (L/, S/),
где & — напряженность электрического внутримолекуляр-
ного поля, которое велико. Комбинации векторов
O = A + S
соответствует систематика молекулярных термов, ука-
занная в п. 4° и 5°. Вектор Й комбинирует с вектором момен-
та количества движения ядер Y (вращение молекулы без
учета ядерных спинов), давая суммарный вектор
J = Q + Y.
Отвечающее вектору J квантовое число J принимает це-
лые значения, когда £ и Y целые.
2-й тип. Взаимодействие (Lr-, Y) велико по сравне-
нию с (L/, Sj), а также (S/, Sk). Квантовое число £, а
с ним й утрачивают смысл. Вместо них систематику ве-
дут по числу А, соответствующему вектору
К = А + Y.
Этот вектор вместе с вектором спинов S дает вектор
полного момента молекулы
J=K + S.
При достаточно больших А вводят квантовое число
<5 == dt S, ± (S — 1),..., соответствующее проекции спи-
VI.3.31
ЭЛЕКТРОННЫЕ СПЕКТРЫ МОЛЕКУЛ
711
на атомов на ось вращения молекулы. При усилении
вращения ядер (возрастание К) тип 2 переходит в тип 1.
3-й тип. Спин-орбитальное взаимодействие для отдель-
ных атомов (Lf, S/) велико по сравнению с остальными
взаимодействиями. Этот случай имеет место в слабом
электрическом поле и соответствует случаю сильной связи
в атоме (стр. 683). Получают смысл вектор Jz атомного пол-
ного момента и число Q, определяющее проекцию Jf на
ось молекулы, числа же А и £ перестают быть примени-
мыми. Комбинация векторов Й и Y дает полный вектор
J = Q + Y.
Векторные диаграммы, соответствующие трем типам гун-
довских термов молекулы, приведены на рис. VI. 3. 5.
7° Электронные термы, соответствующие данной паре
начального и конечного уровней перехода (их число опре-
деляется числом возможных комбинаций Li для отдельных
атомов, дающих данное суммарное число А), называются
положительными, если соответствующая им волновая
функция симметрична(ф+), и отрицательными в случае ан-
тисимметричной функции (<р_). В соответствии с величиной
суммы орбитальных квантовых чисел S/^для каждого из
атомных термов, из которых возникают молекулярные
термы, последние называются четными (обозначаются
индексом g) при 2 Ц = 2п и нечетными (обозначаются
индексом и) при £// = 2и-|- 1, где п — целое число. Рас-
щепление термов на положительные и .отрицательные
соответствует двукратному вырождению соответствующих
уровней, так как энергия, отвечающая состояниям с ф+ и
в данном случае одинакова. При наличии вращения
712 МОЛЕКУЛА rvi.3
молекулы внутримолекулярное магнитное поле снимает
это вырождение и общее число термов с А >0 удваивает-
ся (так называемое ^-раздвоение). Вырождение также сни-
мается в молекулах, образованных из различных изото-
пов одних и тех же атомов, например в молекулах HD,
О16О18. С135С137 и т. д. В случае электронных молекуляр-
ных термов, происходящих из одних и тех же атомных
термов одинаковых атомов, А-раздвоения числа термов
не происходит.
8° Для электронных спектров молекул существуют
правила отбора, аналогичные правилам для атомных
спектров (стр. 673):
да = о, т-1;
в соответствии с этим правилом допустимы лишь ком-
бинации термов П—II,. . ., а также П**Д,...;
Д£ = 0,
т. е. допускаются лишь комбинации термов с одинаковы-
ми полными спиновыми числами, а также
ДО = 0, ±1.
Кроме указанных, существуют правило интеркомбинаци-
онного запрета (стр. 684);
Д$ = 0,
согласно которому запрещены комбинации между тер-
мами различной мульгиплетности (этот запрет строго вы-
полняется только для молекул с малым суммарным заря-
дом ядер), а также правила отбора, связанные с симмет-
рией молекулярных термов, согласно которым возможны
только комбинации положительных термов с отрицатель-
ными и четных с нечетными.
4. Колебательные спектры молекул
Г При смешении из равновесных положений атомов
в молекуле могут возникать их колебания около положе-
ний равновесия (внутримолекулярные колебания). Коле-
бания атомов в молекуле могут быть рассмотрены в рам-
ках аналитической механики (стр 108). В квантовой тео-
рии внутримолекулярные колебания рассматриваются как
причина возникновения колебательных спектров моле-
кул. Колеблющиеся атомы в молекуле рассматриваются
VI.3.4]
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СПЕКТРЫ МОЛЕКУЛ
713
во многих случаях как ангармонические осцилляторы
(стр. 100).
2° В простейшем случае двухатомной молекулы ее
потенциальную энергию записывают с помощью потен-
циала Деннарда— Джонса'.
ад=(д-4.)'
где а и b — постоянные, ^или потенциала Морзе'.
U($) = D(\ — е~аР)2,
r~re
где р =----, а — постоянная, ге — равновесное расстоя-
г е
ние между атомами, соответствующее минимуму U (г)',
р — относительное смещение атомов из их равновесных
положений. Величина D имеет смысл энергии диссоциа-
ции молекулы на атомы (стр. 703), D — — U (Q).
Уравнение Шредингера для колебаний молекулы:
где /е — момент инерции молекулы в равновесном со-
стоянии (стр. 715), Ек — колебательная энергия молекулы.
3° При малых колебаниях молекулы £/(р)^*£)а2р2 и
уравнение Шредингера сводится к уравнению для гармо-
нического осциллятора (стр. 648). Колебательный энерге-
тический спектр:
Ev = h ч (о + 4) ,
где
а
2^
v—частота собственных колебаний осциллятора, a ti =
= 0, 1, 2, 3,... называется колебательным квантовым
числом, для которого имеет место правило отбора
Д v = ± 1.
Величина
Ео = Яч
называется нулевой колебательной энергией (стр. 648).
Колебательные энергетические уровни рассматриваемых
714
МОЛЕКУЛА
rvi.s
молекул находятся на одинаковом расстоянии дру! от
друга.
4° В случае ангармонических колебаний двухатомной
молекулы ее энергетический колебательный спектр
Ev = h.»(v+ I) — Пхч (v+ 4Г
где
называется постоянной ангармоничности. Колебатель-
ный энергетический спектр двухатомной молекулы пока-
зан на рис. VI. 3.6. Расстояние между энергетическими
уровнями
kE — hv — 2 (v 1) xh»
убывает с ростом о. В этом случае правил отбора для
о не существует. Интенсивность линий спектра быстро
убывает с ростом Дгг.
Энергетические уровни
У сходятся к границе ЬЕ = О,
для которой
^макс — 1
Рис. VI. 3.6.
И
Е = — = D
^макс — 4Х — z-y’
т. е. максимальная колеба
тельная энергия молекулы
равна ее энергии диссоци-
ации D.
5° Если различные про-
странственные положения
атомов в молекуле разделены потенциальными барьерами,
то внутреннее вращение молекулы (стр. 715) полностью
заторможено и возможны лишь ее крутильные колебания
(стр. 272); энергетический спектр для малых амплитуд ко-
лебаний симметричных молекул (С2Н4, С2Н0 и др.) пред-
ставляется формулой (п. 3°), в которой
Здесь Uo — высота потенциального барьера, разделяю-
VI.3.6I ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ СПЕКТРЫ МОЛЕКУЛ 715
щего равновесные конфигурации атомов в молекуле,
п — число одинаковых минимумов £7, т. е. число энерге-
тически тождественных конфигураций атомов в моле-
куле, В — вращательная постоянная (стр. 222).
5. Вращательные спектры молекул
Г Возможны два основных вида вращения молекул:
вращение молекулы как целого вокруг некоторого на-
правления или точки и вращение одних частей молеку-
лы относительно других — внутреннее вращение. Для мо-
лекул, химическая связь в которых является пи-связью
(стр. 707), внутреннее вращение полностью заторможено.
2° Характер вращения молекулы как целого опреде-
ляется пространственным расположением атомов в моле-
куле, т. е. формой молекулы, которая может быть оха-
рактеризована подобно твердому телу тремя главными
моментами инерции (стр. 67), отвечающими трем глав-
ным осям молекулы (стр. 67):
/f = S mk r*k , i = 1, 2, 3,
ft
где mk — масса k-ro атома в молекуле, а — его рас-
стояние от соответствующей главной оси. Главные оси
симметричных молекул совпадают с их осями симметрии,
а плоскость симметрии всегда перпендикулярна к одной
из главных осей. Если все Д- молекулы равны друг другу,
то она называется сферическим волчком} если равны
друг другу два из //, то молекула называется симметрич-
ным волчком} если все три Ц различны, то молекула назы-
вается асимметричным волчком. К первому типу относят-
ся молекулы Р4, СН4, СС14 и т. п., ко второму типу —NH8,
РС13, ВС13 и т. п., к третьему — Н2О и т. п.
3° Внутреннее вращение молекулы обычно затруднено
наличием потенциального барьера между различными по-
ложениями равновесия при вращении, соответствующими
определенной симметрии молекулы. В тех случаях, когда
это вращение практически невозможно, допустимо лишь
кручение молекулы, сопровождаемое крутильными коле-
баниями (стр. 272). Если энергия крутильных колебаний
достаточно велика, то молекула может, преодолев потен-
циальный барьер, перейти в соседнее равновесное состо-
яние. Однако этот переход может происходить и при
меньшей «крутильной» энергии молекулы вследствие
716 МОЛЕКУЛА [VI.3
проникновения сквозь потенциальный барьер (туннель-
ный эффект, стр. 658).
4° Энергетический спектр вращения двухатомной мо-
лекулы как целого при предположении, что расстояния
между ядрами ее атомов неизменны и равны равновес-
ным ret находится путем решения уравнения Шрединге-
ра для ротатора (стр. 650):
£. = 8^/(/+1) = ЛВ7(/+1)>
где 1е = Л4г| — момент инерции молекулы, В — враща-
тельная постоянная молекулы (стр. 222), J— вращатель-
ное квантовое число. Такой же вид имеет энергетиче-
ский спектр вращения молекул типа сферического волчка.
Проекция вектора полного момента J на заданное на-
правление вращения молекулы определяется квантовым
числом
М7 = ± J, ±(J— 1),...,0,
принимающим 2J + 1 значение. Если J проектируется на
направление магнитного поля, то Mj имеет смысл магнит-
ного квантового числа (стр. 688). Число J подчиняется
правилу отбора:
AJ = 0, ±1 при А т^О,
AJ==tl при А = 0.
Учет растяжения молекулы (нежесткости ротатора) при
ее вращении видоизменяет энергетический вращательный
спектр молекулы:
E3 = hBJ(J+ l) + hDe J* (J+ I)2,
где De = const <C В — постоянная, характеризующая не-
жесткость ротатора.
5° При вращении молекулы возникает внутримолекуляр-
ное магнитное поле, в котором вырожденные термы, от-
вечающие значениям ± А, расщепляются на два — поло-
жительный и отрицательный. Снятие вырождения имеет
место только при А>0 (при А = 0 вырождения нет) и
называется А-раздвоением (стр. 712).
6е Волновые функции, характеризующие вращатель-
ные состояния, соответствующие данному электронному
состоянию в молекуле, представляются в виде ф = фэфв,
где фэ— электронная волновая функция, а фв— враща-
тельная волновая функция соответствующего вида. Такое
VI.3.5)
ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ СПЕКТРЫ МОЛЕКУЛ
717
представление возможно потому, что Е9 > Ев и тем са-
мым вращение молекулы практически не влияет на ее
электронные термы. Функция
Фв =
ф+ при J = 2n, где« + » соответствует поло-
жительным термам,
ф_ при J = 2n4“l, где « — > соответствует отри-
цательным термам.
При заданной фв положительность или отрицательность
терма зависит от симметрии фэ. Для молекул, состоящих
из одинаковых атомов, различают симметричные (s)
термы, к которым относятся все положительные и чет-
ные, а также отрицательные и нечетные термы, и анти-
симметричные (а) термы, к которым относятся все отри-
цательные и четные, а также положительные и нечетные
термы. Комбинироваться могут только положительные
термы с отрицательными (стр. 712), а также только сим-
метричные или только антисимметричные термы. Ввиду
невозможности комбинации вращательных термов в моле-
кулах с одинаковыми ядрами вращательные спектры у
одноизотопных молекул вида Х2 отсутствуют.
7° В силу запрета комбинаций симметричных термов
с антисимметричными вращательные термы молекул с
одинаковыми ядрами разбиваются на две взаимно неком-
бинирующиеся группы. Учет ядерного спина и свойств
симметрии полной волновой функции молекулы (стр. 705)
приводит к образованию двух систем термов, одной
из которых соответствуют четные, а другой — нечет-
ные значения вращательного числа J. В соответствии
с тем, что величина 27+1 определяет статистический
вес данного вращательного состояния (стр. 718), а значит,
и интенсивность спектральных линий (стр. 668), линии, от-
носящиеся к каждой из систем термов, имеют разную
интенсивность (чередование интенсивностей). Термы с
большим значением 2J + 1 называются ортотермами,
термы с меньшим 27 + 1 — паратермами. Например, в
случае молекулы Н2 паратермы с 7 = 0 симметричны, а
ортотермы с 7 = 1 антисимметричны Отношение интен-
сивностей спектральных линий ортоводорода и цараводо-
рода равно
2>/орто Т~1 __ ,
^пара + 1
718
МОЛЕКУЛА
[V1.3
8° В общем случае распределение интенсивности меж-
ду отдельными линиями во вращательном спектре связа-
но с распределением молекул по вращательным состоя-
ниям, характеризуемым числами J. Если это распределе-
ние является больцмановским (стр. 212), то
AZ(J) = A7
hBJ(J+ 1)
” kT
(2J+l)e
hBJ(J-\-\) ’
~ -------kT
2 (2УН-1) e
J = 0
где N (J) — число молекул, находящихся на У-м враща-
тельном уровне, W— общее число молекул.
9° Энергетический спектр молекулы типа симметрич-
ного волчка:
Ев = hBJ (J + 1) + И (А - В) К* + h (*х - Ъ У
где
д h, r-ъ h » h д А I
Z И —момент инерции молекулы относительно ее оси,
/(J) и — моменты инерции вращающихся друг относи-
тельно друга частей молекулы по отношению к ее оси,
— момент инерции относительно осей, перпендикуляр-
ных к оси молекулы, 7, 7<, и k2 — вращательные кван-
товые числа, принимающие значения:
7= Л, /<+1, Л+ 2, ... ; /< = 0, 1, 2, ... ;
fe2 = zt Я; /г1==0, ± 1, ±2, ...
Первые два члена формулы относятся к вращению мо-
лекулы как целого, третий — к внутреннему вращению
молекулы.
Внутреннее вращение молекулы определяет сущест-
вование поворотных изомеров (стр 281).
VI.3.6] ЭЛЕКТРОННО-КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СПЕКТРЫ МОЛЕКУЛ 719
6. Электронно-колебательные спектры молекул
Г Электронно-колебательные спектры молекул свя-
заны с электронными переходами в атомах молекулы, ко-
леблющихся около своих равновесных положений. Нало-
жение колебательного спектра на электронный прояв-
ляется в том, что каждой линии электронного перехода
соответствует ряд колебательных линий, образующих
полосу.
2° Частоты электронно-колебательного спектра двух-
атомной молекулы выражаются формулой Деландра'.
чк=>»+*' ’ +4)—(у+4)— v (5+4) +
+^(»+ 4-) >
где штрих относится к верхнему уровню перехода, а
величины v и х даются формулами стр. 713 и 714.
3° Частоты спектра, соответствующие о = const (фик-
сированному нижнему уровню перехода), образуют
поперечную серию Деландра; они характерны для спек-
тров поглощения молекул. Частоты, соответствующие
v’ == const (фиксированному верхнему уровню перехода),
образуют продольную серию Деландра, характерную для
спектров испускания молекул. Иногда в спектрах выделя-
ются диагональные серии Деландра cv = v'. В каждой
серии существует нулевая полоса, обусловленная перехо-
дами v = 0 vr = 0 и смещенная относительно соответ-
ствующей линии электронного спектра на величину Eo/h,
где Ео — нулевая колебательная энергия молекулы
(стр. 713).
4° Линии в пределах полосы электронно-колебатель-
ного спектра, соответствующие разным v — v' = Дя,
имеют сравнимую интенсивность даже при больших зна-
чениях Да. Это связано с тем, что электронные переходы
в молекулах совершаются настолько быстро, что за время
переходов не успевают существенно измениться ни рас-
стояния между ядрами в молекуле, ни их импульсы в
процессе колебаний. Такой стационарности внешних усло-
вий в течение перехода соответствует большая его
вероятность, а значит, и интенсивность соответствую-
щих спектральных линий (принцип Франка — Кондона).
720 МОЛЕКУЛА fVI.3
5е В связи с тем, что моменты инерции молекул и
связанные с ними частоты молекулярных колебаний и
значения константы ангармоничности (стр. 714) зависят от
масс атомов, входящих в молекулу, в электронно-коле-
бательных спектрах проявляется изотопический эффект
(стр. 675). Для нулевой полосы электронно-колебатель-
ного спектра изотопическое смещение линий равно
дм0 = (^_ 1) р + —+ —
— (№—1) рх'(»’ + 4)2 — vx(* + r)2]’
где у = "Кр-'/р-, р', р — приведенные массы молекул двух
изотопных составов: р = —, mi и т2 — массы каж-
дого из атомов в молекуле (в двухатомной молекуле),
х имеет значение, указанное на стр. 714. В выражение для
v входит момент инерции / = р./^2, где R — приведенный
радиус молекулы.
7. Вращательно-колебательные спектры молекул
Iе Вращательно-колебательные спектры молекул обра-
зуются при колебательных переходах в атомах молекулы,
вращающейся как целое. Частоты вращательного спектра
по порядку величины в сотни и тысячи раз меньше ча-
стот колебательного спектра. Вращение молекулы, не на-
рушая ее колебательного спектра, приводит к «размытию»
его линий в полосы, в результате чего спектр приобре-
тает характерную линейчато-полосатую структуру. По-
скольку Еъ Ев, то на спектр, соответствующий элек-
тронным переходам, вращение молекулы практически не
влияет.
2е Вращательно-колебательный спектр молекулы
при неизменной ее электронной энергии возникает при на-
ложении колебательного спектра на вращательный:
в' — Бп е' — в
*вк — vb I ¥к — h * h ’
где штрихами обозначены верхние энергетические со-
стояния в каждом из переходов.
3° При наложении вращательно-колебательного спек-
тра на электронный частбты vBK9 спектра двухатомной мо-
лекулы с учетом ангармоничности осциллятора (стр. 714) и
VI.3.7] ВРАЩАТЕЛЬНО-КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СПЕКТРЫ МОЛЕКУЛ 721
нежесткости ротатора (стр. 716) равны
7пкэ =^а + [ 4 ( ® + 4) — ® + 4) ] +
+ [B^J(J+1) + DbJs(-/ + DsL
где
Ву =В — ае "° + 4) + 7е ® + 4) >
Dv=De+^v+ 4),
ае, Че — эмпирические константы, соответствующие
равновесному состоянию молекулы (остальные обозначе-
ния см. на стр. 714 и 716 ). При этом х<<1, DV<^BV, так
что влияние вторых членов в квадратных скобках сущест-
венно лишь при очень больших значениях v и J.
4° Колебательная (линейчатая) структура враща-
тельно-колебательного спектра характеризуется частотами
= v(l —х) (и' — v) — nx (v'* — va),
где v'—v = kv—разность колебательных квантовых
чисел верхнего и нижнего уровней перехода. Струк-
тура имеет вид серий линий, номер серии определяется
значением и для начального уровня. Линии каждой се-
рии сходятся к граничной частоте (0макс)> соответст-
вующей диссоциации молекулы (стр. /14). Интенсивность
линий быстро уменьшается с ростом Дг>.
5* Вращательная (полосатая) структура враща-
тельно-колебательного спектра характеризуется часто-
тами
4 = < + в„ [у (J’ + о- J(J+1)] +
6 +D„[J'V+1)’-/2 (/+!)’].
Предполагая, что молекула жесткая (Dv = 0), имеем:
4к = 4к + в [г у + о - / и + о].
В соответствии с правилом отбора Д/ = 0,4^1 (стр. 716)
46 Б. М. Яворский, А. А. Деи ф
722
МОЛЕКУЛА
| VI.3
для молекул, нормальное состояние которых есть S-со-
стояние, получаются следующие группы линий:
J' = J + 1, v+1 =± мк + 2В (J + 1) — положительная,
или R-ветвь полосы;
J’ =J — 1, v_1 = vK — 2BJ—отрицательная,
или Р-ветвь полосы;
Jr= J, \0 = »к — нулевая или Q-ветвь полосы.
В случае 2-термов (А = 0) нулевая линия »0 выпадает.
8. Комбинационные спектры молекул
Г Явление комбинационного рассеяния состоит в том,
что в спектре света, рассеянного каким-либо жидким
или твердым телом, наблюдаются наряду с частотами
излучения источника света также смещенные частоты.
Линии спектра, которым соответствуют vc = \0—на-
зываются стоксовыми, линии с vo = \»0-|-v— антисто-
ксовыми, где v0 — первоначальная частота света. Ли-
нии мс, образуют комбинационный спектр молекул.
2е Простейшее объяснение возникновения комбина-.
ционного рассеяния сводится к следующим двум схемам
взаимодействия кванта с рассеивающей молекулой:
+ Е (1) - hvc + Е (2), /Ьо 4- Е (2) -> + Е (/),
где Е (1) и Е (2) — энергии колебательных состояний мо-
лекулы, причем Е (1) < Е (2). В первом случае 31 счет
энергии фотона молекула переходит в более высокое
колебательное энергетическое состояние и возникает
рассеянный фотон с меньшей частотой Во втором
случае взаимодействие кванта с возбужденной молеку-
лой приводит к появлению рассеянного фотона с боль-
шей частотой va, равной
и переходу молекулы в более низкое колебательное со-
стояние.
3° Комбинационные спектры могут соответствовать
тем же переходам молекулы, которые дают электронный,
колебательный, вращательный, электронно-колебательный
и вращательно-колебательный спектры, с тем отличием
от них, что указанные для этих спектров правила отбора
VI.3.9] СПЛОШНЫЕ И ДИФФУЗНЫЕ СПЕКТРЫ МОЛЕКУЛ 723
могут не соблюдаться и заменяются новыми. Так, для
электронных спектров иногда наблюдаются комбинацион-
ные линии, нарушающие запрет Д2 = 0, для вращатель-
ных спектров возникает правило отбора Д/ = 0,± 2.
9. Сплошные и диффузные спектры молекул
1° Сплошные (истинно непрерывные) спектры моле-
кул характеризуются тем, что их нельзя разделить на от-
дельные линии ни при какой сколь угодно высокой раз-
решающей способности спектрального прибора. Сплош-
ные спектры молекул связаны с переходом молекулы
из дискретного состояния с£<0в непрерывное состоя-
ние с£>0. Этому переходу соответствует как иониза-
ция молекулы, так и ее диссоциация на ионы или ней-
тральные атомы. Диссоциация молекулы может быть вы-
звана увеличением колебательной энергии молекулы
до таких пределов, при которых колебательным пере-
ходам в молекуле будут соответствовать квантовые числа
^^^макс (стр. 714). В результате таких переходов моле-
кула, перейдя в неустойчивое возбужденное состояние,
уже не возвращается в исходное состояние, а диссоции-
рует. Диссоциация молекулы может быть также вызвана
соударением ее с достаточно быстрой частицей (например,
нейтроном), а также поглощением молекулой кванта из-
лучения, обладающего достаточной энергией {фотодис-
социация).
2° Возникновение сплошного спектра может быть
также вызвано нагреванием вещества. В результате нагре-
вания молекулы приобретают большие скорости движения.
Возникающее при этом доплеровское смещение частот
спектральных линий (стр. 614) приводит к перекрыванию
линий и даже слиянию отдельных линий в полосы. Дру-
гой причиной превращения дискретного спектра моле-
кулы в непрерывный является ударное уширение линий
(стр. 614), проявляющееся преимущественно во враща-
тельных спектрах и вызванное существенным уменьше-
нием времени жизни молекулы в возбужденном состоянии
и соответственным увеличением ширины линии. В резуль-
тате ударного уширения вращательные линии в полосе
могут перекрыться настолько, что исчезнет ее враща-
тельная структура, а при еще более высоких давлениях
и температурах вещества ударное уширение может при-
вести и к перекрыванию отдельных полос.
46*
724
МОЛЕКУЛА
IV1.3
3° Диффузные спектры молекул характеризуются раз-
мытостью полос, вызванной сильным уширением враща-
тельных линий даже при обычных давлениях и темпера-
турах. Соответствующие этому уширению времена жи<ни
молекулы в возбужденном состоянии на один-два порядка
меньше периода вращения молекулы, в результате чего
исчезает квантованность вращения и связанная с ней ди-
скретная вращательная структура полос спектра. Это явле-
ние вызывается так называемой предиссоциацией молекулы.
Отличие ее от диссоциации состоит в том, что последняя
происходит непосредственно из дискретного устойчивого
в неустойчивое состояние молекулы, характеризуемое
частно потенциальной кривой (стр. 703), соответствующей
отталкиванию атомов в молекуле, тогда как предиссоциа-
ция возникает из возбужденного состояния молекулы.
Предиссоциация происходит в два этапа: сначала имеет
место переход молекулы из нормального в возбужденное
состояние, а затем происходит переход молекулы из воз-
бужденного состояния не в нормальное, а в неустойчивое.
Вероятности перехода молекулы в нормальное состо-
яние с испусканием кванта излучения и перехода предис-
социацией в неустойчивое состояние определяют время
жизни молекулы в возбужденном состоянии. При боль-
шой вероятности безызлучательного перехода время жиз-
ни молекулы в возбужденном состоянии оказывается ма-
лым и соответствующая ширина спектральных линий —
большой.
10. Молекулярная спектроскопия
Г Изучение электронных спектров молекул дает
сведения того же характера, что и изучение атомных
спектров. Дополнительными являются сведения об элект-
ронных уровнях в молекуле, о распределении плотности
электронов в молекулах и природе химических связей.
Особый интерес для исследования структуры молекул
представляет изучение колебательных и вращательных
спектров молекул.
2° Колебательные и вращательные спектры молекул
дают сведения о пространственном расположении атомов
в молекулах, о возможных их равновесных конфигура-
циях, о распределении молекул по этим конфигурациям.
Знание формы молекул позволяет понять природу
валентных связей в них и тем самым выяснить реакцион-
VI.3.11] ИОНИЗАЦИЯ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ 725
ные способности молекул. Вращательные спектры обычно
находятся в инфракрасной области, и обнаружение и
исследование их требует специальной техники инфра-
красной спектроскопии.
3° Благодаря простоте методов спектроскопия ком-
бинационного рассеяния обладает рядом преимуществ
перед инфракрасной спектроскопией. Из комбинационных
спектров находятся частоты собственных колебаний мо-
лекул (по колебательным спектрам), моменты инерции
и форма молекул (по вращательным спектрам), а также
те структурные изменения, которые претерпевают моле-
кулы при изменениях агрегатного состояния вещества.
4° Новая область молекулярной спектроскопии—ра-
диоспектроскопия — основана на эффекте Зеемана (стр.
685) — расщеплении спектральных линий во внешнем ма-
гнитном поле. Радиоспектроскопия исследует, в отличие
от оптической спектроскопии, не спектральные линии,
обязанные переходам с какого-либо уровня на подуровни
другого уровня, а спектральные линии, вызванные пере-
ходами между самими этими подуровнями. Частоты этих
спектральных линий (стр. 687) лежат обычно в области
ультракоротких радиоволн (от десятков Мгц). Спектраль-
ная картина в радиоспектрах молекул оказывается во
много раз проще, чем в оптических спектрах, что имеет
большое значение для анализа сложных молекулярных
спектров, которые подчас состоят в оптической области
из многих тысяч линий. Это обстоятельство, наряду с вы-
сокой чувствительностью радиоспектроскопических мето-
дов, во много раз превышающей чувствительность опти-
ческих методов, обеспечивает радиоспектроскопии боль-
шие преимущества в области молекулярных спектров.
11. Ионизация атомов и молекул
Г Ионизация, т. е. отрыв электронов от атомов или
молекул, вызывается многими причинами. Термическая
ионизация вызвана увеличением энергии теплового дви-
жения атомов или молекул и происходит при нагревании
вещества в результате соударений атомов или молекул
с достаточной энергией. Ионизация электронным или
ионным ударом обычно происходит в сильных электри-
ческих полях, в которых ионы или электроны приобре-
тают достаточную для ионизации энергию, например при
газовом разряде (стр. 372). К этому же виду относится
726 МОЛЕКУЛА [VL3
ионизация, вызываемая корпускулярными излучениями
(альфа-частицами, протонами, дейтронами и т. д.) при
их прохождении • в веществе. Фотоионизация вызы-
вается поглощением атомами и молекулами квантов
электромагнитного излучения с достаточной энергией.
2° Энергия ионизации атома зависит от величины за-
ряда его ядра и от той оболочки, из которой выбивается
электрон, возрастая приблизительно квадратично с уве-
личением атомного номера Z и уменьшаясь по мере
увеличения номера оболочки п. Численно энергия иони-
зации равна энергии связи электрона с атомом на
данном уровне (стр. 670).
3° При термической ионизации, наблюдающейся чаще
всего в пламенах, в результате столкновения атомов или
молекул кинетическая энергия их относительного движе-
ния превращается в работу ионизации:
тъ*
— = еЪ
где <р—потенциал ионизации (стр. 371). Степень иониза-
ции а, равная отношению парциального давления
(стр.139) газа ионов к сумме давлений газа ионов и
газа нейтральных атомов, подсчитывается в условиях
термодинамического равновесия в пламенах по формуле
Саха для константы ионизационного равновесия Кп
(стр. 189 и 190):
„ а2 - e^/kl
= (kT) е
где р — давление газа, т — масса электрона, — потен-
циал ионизации, k — постоянная Больцмана (стр. 138),
Т —абсолютная температура. Формула Саха приближенна,
так как не учитывает распределения электронов по раз-
личным состояниям в атомах газа, а также процессов
возбуждения атомов без ионизации и безызлучательных
переходов (стр. 701).
4° В случае молекул наряду с ионизацией атомов мо-
жет иметь место также диссоциативная ионизация, т.е. рас-
пад молекулы с одновременной ионизацией продуктов
диссоциации. Диссоциативная ионизация имеет место пре-
имущественно в случае многоатомных молекул. Возни-
кающие при этом ионы могут соединяться с нейтраль-
ными атомами или молекулами, приводя к образованию
комплексных ионов. Степень ионизации при данной энер-
VI.4.11
СОСТАВ И РАЗМЕРЫ АТОМНЫХ ЯДЕР
727
гии ионизирующих частиц связана с распределением
атомов и молекул по энергетическим состояниям.
5° Фотоионизация происходит при энергиях фотонов,
равных или превышающих энергию ионизации:
„ . Ас
Е — hv——— ₽г=еф,
где ср—потенциал ионизации, v—частота фотона. Крас-
ная граница фотоионизации:
еф
*о- А •
Фотоионизация жесткими (гамма, рентгеновскими) фото-
нами связана главным образом с отрывом от атомов
электронов, входящих в глубокие электронные оболочки,
фотоионизация оптическими фотонами—с отрывом от
атома внешних, валентных электронов. Возможны также
процессы фотонейтрализации отрицательных ионов,
св язанные с отрывом от них внешних, избыточных Элек-
тр онов.
ГЛАВА 4
АТОМНОЕ ЯДРО
1. Состав и размеры атомных ядер
1° Все атомные ядра состоят из элементарных частиц
(стр. 779), называемых протонами и нейтронами. Протоны
имеют положительный заряд, равный по абсолютной ве-
личине заряду электрона, нейтроны электрически ней-
тральны. Протон и нейтрон считают двумя различными
зарядовыми состояниями (стр. 780) одной и той же час-
тицы, именуемой нуклоном.
2° Количество протонов в ядре называется порядко-
вым номером ядра Z; оно равно атомному номеру соот-
ветствующего химического элемента в периодической
таблице Д. И. Менделеева (стр. 693). К настоящему вре-
мени известны ядра с Z от 1 (водород) до 103 (лоурен-
сий). Количество нейтронов в ядре обозначается N. Для
всех ядер TV^Z (за исключением 1Н1, ,Не8 и других
недавно открытых нейтронодефицитных ядер). Для лег-
ких ядер отношение N/Z 1; для ядер, отвечающих
элементам в конце периодической таблицы, NIZ*1,6.
728 АТОМНОЕ ЯДРО [VI.4
3е Полное число нуклонов в ядре A = N-\-Z назы-
вается массовым числом ядра. Ядра, имеющие одно и
то же Z при разных А (т. е. при разных N), называются
изотопами. Ядра, имеющие одно и то же Л при разных
Z, называются изобарами. Общий символ для обозначе-
ния ядра: Z\A или , X—символ соответствующего дан-
ному Z химического элемента.
4° К настоящему времени известно около 300 устой-
чивых и свыше 1000 неустойчивых (радиоактивных) изото-
пов. Устойчивые изобары, большей частью, встречаются па-
рами. Среди легких ядер устойчивые изобары не встреча-
ются. Устойчивые изобарные пары, за исключением пар
с А = 113 и 123, имеют четные Л, Z и N, причем для
членов пары Z отличаются на две единицы.
Известно 59 устойчивых изобарных пар и 5 изобар-
ных триад.
Изобарные пары
А Пара А Пара A Пара
36 1в8 18Аг 104 44Ru 46Pd 152 б2вт e40d
40 18Аг 2оОа 106 46Pd 4sOd 154 82$П1 e40d
46 2()Са 22Т1 108 46Pd 48Cd 156 e40d eeDy
48 2оСа 22Ti ПО 46Pd 48Cd 158 e40d eeDy
54 24Сг 26Be 112 48Cd 50$n 160 e40d eeDy
58 2бРе 28^1 113 48Cd 49In 162 eeDy esEr
64 2sNi зо^п 114 48Cd soSn 164 eeDy esEr
70 8oZtl згОе 116 48Cd soSn 168 esEr 7oYb
74 820е 34Se 120 5()Sn 52^6 170 esEr 70Yb
76 заОе 34Se 122 50Sn 52Te 174 7oYb 72H1
78 84Se seKr 123 51^b 52^6 176 7oYb 72Ht
80 34Se 8бКг 126 52^6 54Xe 180 72Hf 74W
82 84Se звКг 128 52^6 54Xe 184 74W 760s
84 авКг 38$г 132 54Xe 56Ba 186 74W 760s
86 seKr 38$г 134 54Xe 56Ba 190 760s 78Pt
92 40Zr 42Мо 138 56Ba 5вСе 192 760s 78Pt
94 40Zr 42Мо 142 5sCe eoNd 196 78Pt 80Hg
98 42Мо 44Ru 144 eoNd 62$П) 198 78Pt 80H£
100 42Мо 44Ru 148 eoNd в2^Ш 204 8oHg 82Pb
102 44Ru 46Pd 150 eoNd 62^m
VI.4.2] ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ ЯДЕР. ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ 729
Изобарные триады
А Триада
50 22Ti 23v 24СГ
96 4oZr 42М0 44Ru
124 50Sn эгТе ,4Хе
130 егТе 54Хе бвВа
136 54 Хе 56^ а бвСе
5° Ядра, состоящие из четного (нечетного) числа про-
тонов и четного (нечетного) числа нейтронов, называют-
ся четно-четными (нечетно-нечетными). Ядра состоящие
из четного (нечетного) числа протонов и нечетного (чет-
ного) числа нейтронов, называются четно-нечетными
(нечетно-четными).
6° Ядра не имеют резко выраженной границы. По-
этому радиус ядра имеет условный смысл. Эмпирическая
формула для радиуса ядра:
Л = /?0Л1/з, где Яо=(1,3*1,7).10-18 см.
Объем ядра пропорционален числу нуклонов в нем.
Плотность ядерного вещества постоянна для всех ядер,
ее значение по порядку величины равно *~1014 г/см9 =
~ 108 т!см9. Предположение, что ядра имеют сфериче-
скую форму, справедливо не всегда (стр. 734).
2. Энергия связи ядер. Ядерные силы
1° Энергией связи ядра Е (A, Z) (энергией связи нукло-
нов в ядре) называется разность между энергией протонов
и нейтронов в ядре и их энергией в свободном состоя-
нии:
E(A,Z) (A -Z)Ma]}cz,
где Мяд— масса ядра, Л4Р и Мп— массы протона и ней-
трона. Если Е выражено в Мэв, а МЯд, и Ми— в атом-
ных единицах массы (стр. 810), то:
E(A,Z) = 931,141{А4Яд — [l,0075957Z + 1,008982( A-Z)]}
йли
Е( A, Z) = 931,141 {М - [1,0081445Z + 1,008982 (A -Z)]},
где М—масса атома. Энергия связи ядра отрицательна и
730
АТОМНОЕ ЯДРО
TVT.4
по абсолютной величине равна работе, которую нужно
затратить для расщепления ядра на составляющие его
нуклоны. Очень .часто под энергией связи ядра понимают
положительную величину —Е
Рис. VI. 4.1.
Удельной энергией связи ядра называется величина
£/Д равная средней энергии связи, приходящейся на
один нуклон.
2° Дефект массы х):
д = м _ а [0,01 (Д — 100)а — 64] IO"8 А.Е.М.,
где Л4 — масса атома, А — массовое число.
Упаковочный множитель
1) Под дефектом массы часто понимают величину — Е (A, Z)/c%.
VI.4.2] ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ ЯДЕР. ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ 731
представляет «удельный» (в расчете на один нуклон) де-
фект массы. Зависимость энергии связи, дефекта массы
и упаковочного множителя от массового числа А ядра
приведена на рис. VI. 4. 1.
3° Величина энергии связи ядра определяет его устой-
чивость относительно распада. В случае, когда для ато-
мов соседних изобаров (стр. 728)
M(AZ)>M(AZ+1),
где Л4 — масса атома, так что для энергий связи ядер
Е (Л, Z) > Е (Д Z + 1) + (Мн - Мп) с*,
где Л4Н—масса атома водорода, (Л4Н—Л4П) с2=0,782/Изе,
ядро zX"4 неустойчиво по отношению к электронному
распаду (стр. 750): zXA —^Z_^_1YA -j-e~-|- Ъ где е~ ~~
электрон, — антинейтрино (стр. 782). В случае, когда
M(AZ+l)>M(AZ) + 2/n0,
так что
Е (Д Z + 1) > Е (A, Z) + 2 т0с3 — (Мн — Мп)с2,
где т0 — масса электрона, ядро z+iYa неустойчиво
по отношению к позитронному распаду (стр. 750):
z+ iYa —* zXA + е+ + где е+ — позитрон, v — нейтрино
(стр. 782). В случае, когда
M(A,Z+l)>M(AtZ) + £
так что
E(A,Z+ 1) > Е (Д Z) Д £ — (7ИН — 44п) с3,
где е — энергия связи электрона в атоме (стр. 670), возмо-
жен захват ядром электрона с атомной оболочки (Е-за-
хват, стр. 750): ^-|-1уЛ + е~“* z*A' ЯДРа> неустойчивые
относительно позитронного распада, неустойчивы и отно-
сительно Е-захвата. Другие виды неустойчивости ядер
см. стр. 748, 773.
4° Изобарные ядра ZXA и z_|_i YA устойчивы при энер-
гии связи ядра, находящейся в интервале
E(H,Z) + (Мп - Мн) с3 + е > E(AZ+ 1) > E(A,Z) Д
+ (МД -Л4н)с3.
732
АТОМНОЕ ЯДРО
[VI.4
5° Ядро, имеющее наименьшую возможную энергию,
равную энергии связи, называют находящимся в основном
состоянии. Если ядро имеет энергию Е > Емин, то гово-
рят о возбуждённом состоянии ядра. Случай Е = О
соответствует диссоциации ядра на составляющие его
нуклоны.
6° Из факта существования устойчивых ядер следует,
что между составляющими его нуклонами действуют
некоторые силы, связывающие их в ядро. Эти силы на-
зываются ядерными силами. Энергия ядерных сил и ку-
лоновского взаимодействия протонов в ядре равна энергии
связи. Ядерные силы обладают следующими свойствами:
а) свойство зарядовой независимости: ядерные силы,
действующие между двумя протонами, или между двумя
нейтронами, или же между протоном и нейтроном, оди-
наковы. Отсюда вытекает, что ядерные силы имеют не-
электрическую природу;
б) свойство насыщения: каждый нуклон взаимодей-
ствует только с ограниченным числом ближайших к нему
нуклонов. Это следует из характера зависимости энергии
связи и дефекта массы от массового числа (стр. 729 и 730).
При отсутствии насыщения должно было бы быть
Ес/э/ЦЛ- 1);
в) ядерные силы являются силами притяжения;
г) ядерные силы являются короткодействующими, т. е.
проявляются на расстояниях между нуклонами, сравни-
мых по порядку величины с размерами самих нуклонов;
д) ядерные силы имеют нецентральный характер, а
их потенциал лишен сферической симметрии (так назы-
ваемые тензорные силы);
е) ядерные силы зависят от ориентации спинов взаимо-
действующих нуклонов.
7° Согласно современным представлениям ядерные
силы являются обменными. Предполагается, что взаимо-
действие между нуклонами осуществляется путем обмена
к-мезонами (стр. 786), причем протонное и нейтронное со-
стояния нуклона описываются «зарядовой координатой» —
изотопическим спином (стр. 780).
8° Наличие у я-мезона не равной нулю массы покоя
объясняет короткодействующий характер ядерных сил.
Согласно соотношению неточностей Гейзенберга (стр. 646)
время обмена нуклонов к-мезонам и не может превышать
для которого
ЬЕ М П,
VI.4.3] МАГНИТНЫЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЯДЕР 733
где &Е = т^с2 — энергия покоя тс-мезона. Расстояние, на
которое за время М может удалиться тс-мезон от нуклона
в ядре, даже двигаясь со скоростью, близкой к скорости
света в вакууме, составляет 7?0 h/m^c 1,2 • 10~18 cjw,
т. е. примерно совпадает со значением радиуса ядра
(стр. 729) и по порядку величины совпадает с радиусом
действия ядерных сил. (Для фотонов /Пф = 0 и А>0=оо,
т. е. электромагнитное поле имеет бесконечно большой
радиус действия; см. также стр. 786.)
3. Магнитные и электрические свойства ядер
Г Нуклоны в ядре обладают орбитальным и спиновым
магнитными и механическими моментами (стр. 428 и 429).
Нуклоны являются фермионами (стр. 215), их спин равен
й/2. Орбитальный juz и спиновый магнитные моменты
нуклонов равны:
где / и s — орбитальное и спиновое квантовые числа, a gf и
gs — соответствующие гиромагнитные отношения, причем
А ( 1 для протона, h. J + 5,585 для протона,
Ияд ( 0 для нейтрона, ^яд (— 3,826 для нейтрона.
Здесь
^Д = 2^==5-050-10~а4 3P2iZC
—так называемый ядерный магнетон (Л4р—масса протона).
2° В ядерной физике спином ядра называется его пол-
ный момент импульса (стр. 682). Он геометрически скла-
дывается из полных моментов нуклонов, составляю-
щих ядро (см. ниже). Соответственно внутренние
квантовые числа нуклонов складываются алгебраически
и дают суммарное целое число (0, 1, 2, 3,...) при чет-
ном массовом числе' А и суммарное полуцелое число
(1/2, 3/2, 5/2,...) при нечетном А. В первом случае
ядра подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна, во вто-
ром — статистике Ферми — Дирака (стр. 214 и 215).
3° Изложенное в п. 2° является следствием того, что
в ядрах осуществляется сильная (jj) связь (стр. 682)
между спиновым и орбитальным моментами каждого ну-
клона. Поэтому каждый нуклон характеризуется полным
734 АТОМНОЕ ЯДРО IVI.4
моментом импульса:
j = 1 -|- S.
Спин J и магнитный момент ц ядра равны:
А
J = S ji, Ц=£ЦядЛ I Л =
i= 1
где g—величина, аналогичная фактору Ланде для атома
(стр. 688).
Классификация состояний ядра по значениям суммарных
орбитального и спинового чисел L и S (в случае силь-
ной связи эти числа имеют условный смысл, стр. 683)
производится так же, как в векторной модели атома.
Для обозначения этих состояний используется спектро-
скопическая символика (стр. 684). Квантовое число J
принимает целые значения (в единицах h) при четных А
и полуцелые (в тех же единицах) при нечетных А.
4° Магнитные моменты четно-четных ядер (стр. 729)
равны нулю. Магнитные моменты четно-нечетных и не-
четно-четных ядер (стр. 729) могут быть рассмотрены
в однонуклонной модели ядра. В ней предполагается,
что магнитные моменты таких ядер обусловлены движе-
нием одного «валентного» нуклона около остальной части
ядра, состоящей из четного числа нуклонов, векторная
сумма орбитальных и спиновых моментов которых рав-
на нулю. В этом случае
J == 1 -I- S, |1 = gtl + gsS.
По абсолютной величине магнитные моменты ядер равны
/2 - 1,293/ , т . 1
j 1 Р*яд лля — “'I 2 >
|(Л- 2,293)для / =
— Ь913 1Чд для l = J+ у,
Р*ч.н. = 1,913 . , , I
j ] Р*яд для^ L--' ~2~ ’
где индексы «н. ч.» и «ч. н.» соответствуют нечетно-чет-
ным и четно-нечетным ядрам.
5° Электрический заряд нуклонов (протонов) в ядре
в общем случае распределен асимметрично. Мерой от-
клонения этого распределения от сферической симмет-
рии служит квадрупольный электрический момент
VI.4.3] МАГНИТНЫЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЯДЕР 735
ядра Qo. Распределение заряда в ядре приближенно пред-
ставляют в виде эллипсоида вращения. Квадрупольный
момент ядра:
Qo =4 Ze № - д2)>
где b и а — полуоси эллипсоида. Для ядра, вытянутого
вдоль направления спина, соответствующего полуоси
Qo > 0, для ядра, сплющенного в этом направлении,
Qo < 0. Для сферического распределения заряда в ядре
Qo = 0; это имеет место при спине ядра, равном 0 или
1/2 (в единицах /г).
6° Дипольный электрический момент (стр. 332) ядра
в основном состоянии равен нулю.
7° Во внешнем магнитном поле происходит квантова-
ние спина ядра (пространственное квантование, стр. 681)
и каждый энергетический уровень расщепляется на
2J -j- 1 подуровень (зеемановское расщепление ядерных
уровней).
Избирательное поглощение электромагнитного излу-
чения веществом, связанное с переходами его ядер меж-
ду различными зеемановскими подуровнями энергии, на-
зывается ядерным парамагнитным резонансом. Резонанс-
ные частоты для переходов, подчиняющихся правилу от-
бора для магнитного (внутреннего) квантового числа
/пДстр. 689), Дтп/ = ± 1, равны
м __
^япр — h '
где g— фактор расщепления для ядра, введенный в п. 3° и
получаемый из спинового и орбитального гиромагнитных
отношений (стр. 733), р.яд — ядерный магнетон, Н — на-
пряженность внешнего постоянного магнитного поля,
h — постоянная Планка.
Частоты ядерного парамагнитного резонанса при одном
и том же значении Н по порядку величины в р.Б/уяд ~
~/пяд//п9Л ~ 104 раз меньше частот электронного пара
магнитного резонанса (стр. 689) и лежат в области 10б —
10е гц для обычно применяемых магнитных полей (^ 108э).
Спин-решеточная релаксация ядерных спинов (стр. 690)
ввиду слабого взаимодействия ядерных спинов с решет-
кой имеет периоды, достигающие многих часов; они в ты-
сячи раз больше, чем в электронном парамагнитном ре-
зонансе.
736 АТОМНОЕ ЯДРО (VI.4
8° Если ядро имеет квадрупольный электрический мо-
мент Q (стр. 734), то вследствие его взаимодействия с внут-
римолекулярным’ или внутрикристаллическим электриче-
ским полем возникает штарковское расщепление (стр. 692)
уровней ядра. В предположении, что это (статическое)
внутреннее поле обладает аксиальной симметрией,
энергетический спектр штарковских подуровней имеет вид:
р ~ 7<У+ ° ,
J — щ \^dz2 4/ (2/ _ п ,
где nij — магнитное квантовое число, J — спин ядра,
— ВТ0Рая производная от потенциала внутреннего
поля в месте ядра, Oz — ось симметрии этого поля.
9° Величина в основном определяется валент-
ными электронами, а также распределением по орбитам
р-электронов внешних электронных оболочек, не имеющих
партнеров (пар) в химической связи (стр. 707). В кристал-
лах на величину существенное влияние оказывают
примеси и другие дефекты решетки.
Весьма часто встречающиеся отклонения внутримоле-
кулярных и внутрикристаллических полей от аксиальной
симметрии учитываются введением параметра асим-
метрии
е= — (д±?\ 1 / (^
| \дх2/о \ду2 /о I / \dze/o’
С учетом этого параметра в формулах для энергетического
спектра штарковских подуровней вместе с(^^ вводится
\dz% /о
множитель А [1 + /(е)], где А — численный параметр, за-
висящий от J и mj, a f (е) вычисляется по теории возму-
щений (стр 663) при предположении малости отклонения
поля от аксиальной симметрии, е 1
10° Избирательное поглощение веществом электромаг-
нитного излучения, связанное с переходами его ядер между
штарковскими подуровнями энергии (п 8°), называется
ядерным квадруполъным резонансом. Если эти переходы
удовлетворяют правилу отбора hnij— j±z 1, rrij==J,
]—1, —J, то резонансные частоты равны
»кр — l^0 V (2/-1)А
V1.4.4] МОДЕЛИ ЯДРА 737
и спектр состоит из серии равноотстоящих линий. Наи-
большая частота соответствует =
' якр/макс-—
Ядерный квадрупольный резонанс является эффектив-
ным методом определения структуры молекул и кристал-
лов, их симметрии и т. д. на основе анализа внутренних
полей в них, от которых зависят положения и интенсив-
ности резонансных линий.
4. Модели ядра
А. Капельная модель
Г Ввиду незнания точного характера сил, действую-
щих в атомном ядре, для изучения и теоретического
предсказания его свойств пользуются моделями ядра,
основанными на внешней аналогии свойств атомных ядер
со свойствами жидкой капли, электронной оболочки атома
и т. д. Соответственно этому модели ядер называются
капельной, оболочечной и т. д.
2° В капельной модели ядра силы, действующие
в ядре, предполагаются аналогичными молекулярным си-
лам в капле жидкости (стр. 244). Энергия притяжения
нуклонов Ео, обусловленная ядерными силами, соответ-
ствует энергии молекулярного притяжения молекул
жидкости в капле. Второй вклад в энергию ядра, Е& дает
кулоновское отталкивание одноименно заряженных про-
тонов, растущее с увеличением их числа в ядре; это
соответствует снижению устойчивости капли с ростом
ее массы, т. е. числа молекул в капле. Нуклоны, нахо-
дящиеся на поверхности ядра, испытывают одностороннее
притяжение ядерными силами, которое характеризуется
энергией и коэффициентом «поверхностного натяже-
ния» а (стр. 245).
3° Полная энергия связи ядра (в Мэв) выражается по-
луэмпирической формулой Вайцзекера*.
(4-И3
£=—15,75 Л+94,8 v л ~ +
+ 17,8 Л*/» +0,710 Z» А~'1г +34 Л~«/4 8,
где первые два члена соответствуют энергии Ео, тре-
тий — Еа, четвертый — Е^ Последний член вводится
47 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
738 АТОМНОЕ ЯДРО (VI.4
для учета эффекта «спаривания», проявляющегося в осо-
бой устойчивости четно-четных ядер (В = —1) и неустойчи-
вости нечетно-нечетных ядер (В = 1). Для ядер с нечет-
ными А величина Ь = 0.
Эта формула приводит к согласию с экспериментом в
значениях Е для ядер с большими массовыми числами.
Она неприменима для легких ядер.
Б. Оболочечная модель
Г В оболочечной модели ядра принимается, что
энергетическая структура (уровни энергии нуклонов) ядра
подобна энергетической структуре электронной оболочки
атома. Каждый нуклон характеризуется индивидуальной
волновой функцией и индивидуальными квантовыми чис-
лами п и I (стр. 652). Существуют две системы нуклонных
состояний — одна для протонов, другая для нейтронов;
обе системы уровней заполняются нуклонами незави-
симо друг от друга. Ядра, имеющие только заполненные
нуклонные оболочки, должны обладать повышенной устой-
чивостью (проявляющейся, например, в их большей рас-
пространенности в природе), а также должны иметь сфе-
рически симметричное распределение заряда (близкий
к нулю квадрупольный момент, стр. 734).
2° Распределение нуклонов по ядерным уровням
и группирование уровней по нуклонным • оболочкам
дается в таблице на стр. 739. В этой таблице под числом
частиц на уровне и в оболочке понимается число прото-
нов или нейтронов порознь.
3° Порядок заполнения нуклонных оболочек с ростом А
сходен с порядком заполнения электронных оболочек с
ростом Z. Ввиду сильной спин-орбитальной связи все
уровни с 1^=0 расщепляются на два подуровня с / =
= Z±1/2, заполняющихся независимо. Общая схема
протонных и нейтронных уровней, наиболее согла-
сующаяся с опытными данными, приведена на рис. VI. 4. 2.
4° Предсказания оболочечной модели в общем соот-
ветствуют действительности. Наиболее устойчивыми по
сравнению с соседними ядрами являются ядра со значе-
ниями N или Z, равными 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 и 152.
Эти числа названы магическими. Распространенность в
природе таких ядер наиболее велика, а квадрупольные
моменты их близки к нулю. Ядра, у которых магическими
VI.4.41
МОДЕЛИ ЯДРА
739
Номер оболоч- ки (чис- ло п) Уровни энергии Термы для сильной связи Число частиц на уровне Число частиц в обо- лочке Число частиц в ядре с за- полненной обо- лочкой
1 1s ls*/2 2 2 2
2 2р 1 1 2р>/2 4 2 6 . 8
3 3d 1 3^/2 t «»/, 6 4
2s 2’1/2 2 12 20
4 V 1 4^/а 1 4А/2 8 6 8 28
Зр I 3РЗ/2 1 3^/2 4 2
&£ 5?8/2 *> 10 22 50
5 5^7/2 8
4d 1 «»/2 1 4rf’/2 6 4
3s 3«/2 6Лц/2*) 2 12 32 82
6 6/z 6Л’/а 10
5/ ( S/7/а 1 5^/а 8 6
4р ( 4рз/а 1 4^/а 4 2
И 7'18/2*) 14 44 126
*) Уровни g, h, i из далеких оболочек с большими п попадают
в близкие оболочки с малыми п в результате их сильного расщепле-
ния при спин-орбитальной связи.
47*
740
АТОМНОЕ ЯДРО
[VI.4
числами являются и N и Z, называются дважды магиче-
скими. Эти ядра (2Не4, 8О1в, 20Са40, 82РЬ208) обладают
Рис. VI. 4.2.
особой устойчивостью, проявляющейся, в частности, в том,
что они являются наиболее распространенными в природе
изотопами этих элементов.
5° С одной стороны, аналогия нуклонных оболочек
в ядре и электронных оболочек атома имеет внешний
характер. Электроны атома движутся в центральном куло-
новском поле ядра, тогда как поле, в котором движутся
нуклоны, не имеет центрального характера. Электроны
в атоме не испытывают столкновений друг с другом —
только при этом условии можно говорить о числе Z,
определяющем систему атомных уровней энергии, как
о точном квантовом числе, соответствующем стацио-
VI.4.4]
МОДЕЛИ ЯДРА
741
парному движению. При высокой же плотности ядер-
ного вещества нуклоны должны испытывать частые столк-
новения друг с другом, так что квантование их дви-
жения, казалось бы, невозможно.
С другой стороны, успех оболочечной модели говорит
о том, что для ядер / имеет смысл точного квантового
числа. Это, по-видимому, связано с тем, что нуклоны
в основном состоянии ядра не могут испытывать столкно-
вений друг с другом, поскольку один из сталкиваю-
щихся нуклонов при неупругом рассеянии (об упругом
рассеянии говорить не имеет смысла ввиду тождествен-
ности нуклонов в ядре) должен переходить в состояние
с меньшей энергией. Последнее, однако, недопустимо
ввиду того, что все более низкие уровни энергии заняты
другими нуклонами, а для нуклонов справедлив принцип
Паули (стр. 693).
6° Оболочечная модель ядра хорошо оправдывается
для легких ядер и ядер, находящихся в основном (невоз-
бужденном) состоянии.
В. Обобщенная (коллективная) модель
Г Обобщенная (коллективная) модель ядра предста-
вляет собой синтез капельной и оболочечной моделей.
В этой модели принимается, что нуклоны ядра движутся в
некотором усредненном самосогласованном поле (стр. 677),
действующем на выделенный нуклон со стороны осталь-
ных. Эта усредненность поля теряется вблизи «поверх-
ности» ядра вследствие того, что нуклоны, не входящие
в состав заполненных нуклонных оболочек («валентные»
нуклоны), вызывают у «поверхности» ядра флуктуации
потенциала самосогласованного поля, что проявляется
в «деформации» ядерной «поверхности». Эти деформации
возникают тем более легко, что в ядре нет центрального
тела, которое стабилизировало бы движение системы
нуклонов. В результате деформаций нарушается сфери-
ческое распределение заряда в ядре и оно приобретает
квадрупольный электрический момент (стр. 734).
2° Оболочечная и капельная модели рассматриваются
как предельные случаи обобщенной модели ядра. Обо-
лочечный аспект обобщенной модели состоит в том, что
в ней сохраняют смысл индивидуальные состояния ну-
клонов и нуклонные оболочки. Вместе с тем эти состояния
•определяются не непосредственным взаимодействием
742 АТОМНОЕ ЯДРО (V1.4
нуклонов, а их коллективным взаимодействием, как в ка-
пельной модели, через нарушение потенциала взаимо-
действия «деформациями» ядерной поверхности. Капельный
аспект обобщенной модели проявляется при больших
возбуждениях ядра (сильных «деформациях» и сильных
искажениях самосогласованного поля), когда теряется
индивидуализация состояний отдельных нуклонов. При
очень высоких возбужденных состояниях из ядра могут
«испаряться» отдельные нуклоны (стр. 772).
3° Ввиду несферической фор*мы ядер, имеющих нуклоны
сверх заполненных оболочек, при вращении таких ядер
возникает вращательный спектр энергии ядра (стр. 716):
£в = -^- [/(/+ D- Л(Л +1)1,
где /яд — момент инерции ядра, Jo = Q — момент импульса
ядра (в единицах ft) в основном состоянии, a J=Q,
Q-j-1, Q + 2, ... есть момент импульса ядра, в кото-
ром возбуждено коллективное вращательное движение
А
нуклонов. Квантовое число Q= У складывается из
i = 1
проекций <о/ моментов импульса (в единицах ft) всех А ну-
клонов на ось симметрии ядра. У четно-четных ядер Jo = O и
£« = А;7(7+1)-
Если деформация ядерной «поверхности» обладает сим-
метрией, при которой /яд(&, ?) = /яд(7С — ?)» то ОТСУТ“
ствуют вращательные состояния с J — 1, 3, 5, 7, ...
4° Магнитные моменты ядер в обобщенной модели.
Для четно-четных ядер
__ ZJ_
^ч.ч А ^ЯД’
где р.ад — ядерный магнетон, Z и А — порядковый номер и
массовое число ядра. В основном состоянии таких ядер
Jo = Q = 0 и fi4 4 — 0.
Для нечетно-четных ядер:
/о
^н.ч
9 74 7° _______
’ Jo+1 ЛгН ’
- '>84 7ТП +-J-TT-
/о-Г* Л) ~Г 1
Vl.4.5]
ЕСТЕСТВЕННАЯ7 PАДИОАКТИВНОС ГЬ
743
Для четно-нечетных ядер:
+ 2,36 Аг.
^Ч.Н --
-1',46-Ат-
Приведенные формулы имеют смысл при Уо >> 1/а.
5е Квадрупольные моменты ядер в обобщенной модели:
в состоянии, определяемом J и Q,
г> _ 3S2 - J(J+ 1) п .
v (J+l)(2J4-3) Vo’
в основном состоянии с Q = Jo
Q___ 7o(2Jo —1) ,
—(Jo-H)(2Jo + 3) Vo’
смысл Qo см. на стр. 735.
5. Естественная радиоактивность
Г Явление естественной радиоактивности заклю-
чается в самопроизвольных превращениях одних атомных
ядер в другие, сопровождаемых испусканием альфа-
частиц, бета-частиц и гамма-лучей.
2° Альфа-радиоактивность (альфа-распад) ядер свя-
зана с превращением ядер с массовым числом А в ядра
с А — 4 при одновременном испускании альфа-частиц,
являющихся ядрами гелия 2Не4. Бета-радиоактивность
(бета-распад) ядер связана с превращением ядер с по-
рядковым номером Z в ядра с Z 1 (или с Z—1),
сопровождающимся испусканием бета-частиц (элек-
тронов или позитронов), либо ^-захватом (стр. 750).
Бета-распад часто сопровождается испусканием гамма-
лучей, представляющих собой потоки фотонов жестких
электромагнитных излучений с длиной волны порядка
Ю~8—Ю-11 см. Ядро, испытывающее радиоактивный
распад, называется материнским, возникающее ядро —
дочерним. Если последнее также распадается, то иногда
говорят о «внучатном» ядре.
744
АТОМНОЕ ЯДРО
(VI.4
3° Самопроизвольный {спонтанный) распад атомных
ядер следует закону
* М =
где No— количество ядер в данном объеме вещества в
момент времени Z = 0, N— количество ядер в том же
объеме к моменту времени t, \ — постоянная распада.
Постоянная X имеет смысл вероятности распада ядра за
1 сек\ она равна доле ядер, распадающихся за 1 сек. Ве-
личина 1 /X называется средней продолжительностью
жизни радиоактивного изотопа. Для характеристики
устойчивости ядер относительно распада пользуются по-
нятием о периоде полураспада Т1/2, равном времени, в те-
чение которого исходное количество ядер данного ве-
щества распадается наполовину. Связь величин X и 7\/g:
т in 2
1 Vs — Т’
Число распадов ядер данного препарата в единицу време-
ни называется активностью препарата; отнесенное к
единице массы препарата, это число называется удель-
ной активностью вещества препарата. Активность:
А = ХЛГ = Х NQe~u.
4° Если получающееся в результате распада исходно-
го ядра новое ядро также радиоактивно и, распадаясь,
дает устойчивое или вновь радиоактивное ядро и т. д.,
то имеет место цепочка радиоактивных превращений.
В этом случае суммарная активность ядер, образую-
щихся в цепочке, при измерении ее каким-либо прибором
(см., например, стр. 764), зависит от времени по более
сложному закону, поскольку постоянные распада для
различных звеньев цепочки не равны друг другу и, кро-
ме того, прибор имеет различную эффективность реги-
страции различных излучений от каждого из звеньев
цепочки превращений.
Если X; — постоянная распада ядра в Z-м звене це-
почки, a ki — восприимчивость детектора излучения к
излучению Z-ro звена, то суммарная активность
п
А= SfeiMi-
i=l
VI.4.5] ЕСТЕСТВЕННАЯ РАДИОАКТИВНОСТЬ 745
В случае цепочки из двух звеньев (п = 2):
Л _ S, I (I - + ‘4 тйг .*'];
индекс «нуль» относится к моменту времени Z = 0.
5° Устойчивость ядер (в среднем) снижается с воз-
растанием их массового числа (стр. 728). Естественная
радиоактивность легких и средних ядер — редкое явле-
ние (наблюдаемое у ядер 19К40, 37Kb87, 49In115, 57Ьа188,
92Sm147, 7iLu17e и ysRe187). Среди тяжелых атомов (начи-
ная от А >> 200) естественная радиоактивность есть универ-
сальное явление. Эти ядра образуют 3 естественно- и
1 искусственно-радиоактивных семейств, называемых по
наиболее долгоживущему (с наибольшим Tif, стр. 744)
«родоначальнику» семейства: семейство урана (от 92U288),
семейство тория (от 90Th232), семейство актиния (от
89Ас235) и семейство нептуния (от 93Np287, получаемого
искусственно). Массовые числа членов каждого из радио-
активных семейств характеризуются формулой
А = 4п + а,
где и —целое число, а = 0 для семейства тория, а=1
для семейства нептуния, а = 2 для семейства урана,
а==3 для семейства актиния. Переход от одного члена
семейства к другому осуществляется цепочкой последо-
вательных альфа- и бета-распадов и заканчивается на
устойчивом ядре, которым для семейства с а = 0 явля-
ется 82РЬ208, для а= 1 — 88Bi209, для а = 2— 82РЬ206 и
для а = 3— 82РЬ207. Последовательность радиоактивных
превращений в этих семействах показана на рис. VI. 4. 3,
где вертикальные стрелки, параллельные оси А, соответ-
ствуют альфа-распадам, а горизонтальные стрелки — бе-
та-распадам. Для этой последовательности превращений
в радиоактивных семействах справедлив закон смещения
Фаянса — Содди'.
—д____4л А'= А )
Z = Z - 2J а'Распад> Z = Z + 11 распад,
где (A, Z) и (A'f Z') — материнское и дочернее ядра.
6° В настоящее время известно десять элементов с
Z>92, называемых трансуранов ыми. Все они в природ-
ных условиях, по-видимому, не существуют и получены
746
АТОМНОЕ ЯДРО
| V1.4
237 233 229 225 227 277 273 209
VI.4.5]
ЕСТЕСТВЕННАЯ РАДИОАКТИВНОСТЬ
747
Rn(Em) Pd Bl „„Pb
Рис. VI. 4.3.
748 АТОМНОЕ ЯДРО (VI. 4
искусственным путем (стр. 772). Всем трансурановым эле-
ментам присуща радиоактивность с периодами полурас-
пада, быстро уменьшающимися при возрастании Z. К транс-
урановым элементам относятся нептуний (93Np237), плуто-
ний (94Ри244), америций (Э5Ат243), кюрий (96Ст248), берклий
(97Вк247), калифорний (9fJCf249), эйнштейний (99Es254), фер-
мий (100Fm253), менделевий (lylMd256), нобелий (i02No254?) и
лоуренсий (103Lw?). Приведенные массовые числа в боль-
шинстве случаев соответствуют наиболее долгоживущему
изотопу данного элемента. Для короткоживущих эле-
ментов массовые числа определены лишь ориентировочно
У Np насчитывается 11 изотопов с 4 = 231 -241, у
Ри-14 с 4 = 232-246, v Am -10 с 4 = 237-246, у
Ст-13 с 4 = 238-250, у Вк-8 с 4 = 243-250, у
Cf-11 с 4 = 244 - 254, у Es-11 с 4 = 246 - 256, у
Fm - 7 с 4 = 250 - 256, у Md и Lw пока найдено по
одному изотопу.
Основным видом радиоактивного превращения транс-
урановых элементов является альфа-распад. Изото-
пы трансурановых элементов тем устойчивее, чем мень-
ше для них число нейтронов /V при данном числе про-
тонов Z; изотопы с заполненными ядерными оболочками
(стр. 738) имеют ббльшие Т1/2, чем соседние с ними.
Трансурановые элементы неустойчивы по отношению к
спонтанному делению ядер (стр 773).
6. Альфа-распад
1° Альфа-распад (стр. 743) испытывают только тяжелые
ядра с 4 =-200. Вылетаюшие из ядер альфа-частицы име-
ют дискретный спектр энергий и составляют несколько
групп. Обычно наиболее интенсивной является группа с
наибольшей энергией альфа-частиц. Наличие нескольких
групп альфа-частиц называется тонкой структурой
альфа-спектра В спектрах альфа-радиоактивных ядер
с весьма малыми периодами полураспада Tlf наблюдаются
также группы альфа-частиц с энергиями, превышающими
энергию наиболее интенсивной группы (длиннопробежные
альфа-частицы). Периоды полураспада альфа-излучателей
с ростом энергии альфа-частиц от примерно 4 до 9 Мэв
уменьшаются от ^109 лет до ~10~6 7 сек (стр. 750). Все-
го известно около 25 естественных и около 100 искусст-
венных альфа-радиоактивных ядер.
VI.4.6]
АЛЬФА-РАСПАД
749
2° Альфа-распад рассматривается как проникновение
альфа-частиц сквозь потенциальный барьер ядра (тун-
нельный эффект, стр. 658). Потенциал ядерных сил пред-
ставляется в виде потенциальной ямы, соответствующей
устойчивому состоянию ядра. Яма отделена от области
вне радиуса действия ядерных сил потенциальным барь-
ером конечной ширины и высоты; высота потенциально-
го барьера обычно превышает энергии испускаемых
ядром альфа-частиц. Дискретный спектр альфа-частиц сви-
детельствует о наличии для них в ядре дискретных энер-
гетических уровней, набор которых различен для разных
альфа-радиоактивных ядер.
3° Наиболее интенсивная группа альфа-частиц соот-
ветствует переходу из основного состояния материнско-
го ядра в основное состояние дочернего ядра. Группы аль-
фа-частиц с меньшей энергией отвечают переходу из
основного состояния материнского ядра на возбужденные
энергетические уровни дочернего ядра. Длиннопробеж-
ные альфа-частицы связаны с распадом материнского яд-
ра в одном из его возбужденных состояний, обладающих
большой энергией.
4° Образование альфа-частиц из двух протонов и
двух нейтронов происходит
мом процессе альфа-распа-
да. Обособлению этой груп-
пы нуклонов способствует
насыщение ядерных сил
(стр. 732), так что сформи-
ровавшаяся альфа-частица
подвержена меньшему дей-
ствию ядерных сил притя-
жения и вместе с тем боль-
шему действию кулонов-
ских с1Тл отталкивания от
протонов ядра, чем отдель-
ные нуклоны. Этим, види-
мо, объясняется тот факт,
что самопроизвольно из ядра
в ядре, по-видимому, в са-
могут вылетать лишь альфа-
частицы, а не отдельные нуклоны.
5° Прозрачность (проницаемость) D потенциального
барьера (рис. VI. 4. 4) для альфа-частицы с энергией
E:>U0 дается формулой (стр. 658)
D^e~2Q
750
АТОМНОЕ ЯДРО
(V1.4
(для G > 1), где
Яо
G=l$ /2Ma(G-E)rfr =
/?
= 1J _£)л.,
R
Ма — масса альфа-частиц, Ze — заряд ядра, I орбиталь-
ное квантовое число альфа-частицы в ядре. Остальные
обозначения см. на рис. VI. 4.4.
6° Постоянная альфа-распада (стр. 744) X связана с
величиной D соотношением
> vD
K~W
где R— радиус ядра (2R— ширина потенциальной ямы),
v — скорость альфа-частицы в ядре.
7* Эмпирическая формула, связывающая пробег Ra
альфа-частиц в воздухе (стр. 761) с постоянной X альфа-
распада ядра:
In X = A In Ra + В,
где А и В — постоянные, имеющие различные значения
для каждого из радиоактивных семейств, называется зако-
ном Гейгера—Неттола. Она указывает, что с ростом про-
бега, т. е. энергии альфа-частиц, X возрастает и соот-
ветственно Ti/ быстро уменьшается.
7. Бета-распад
Г Под понятием бета-распада объединяют три вида
ядерных превращений: электронный (|3~) распад, позитрон-
ный (Р+) распад и Е-захват. Условия устойчивости
ядер относительно разных типов бета-распада см. стр. 731.
К настоящему времени известно около 900 бета-радио-
активных изотопов. Из них только около 20 являются
естественными, остальные получены искусственным пу-
тем (стр. 779). Подавляющее большинство этих изотопов
испытывает р~-распад. В каждом акте ^“-распада испу-
скается один электрон. Теоретически возможен двойной
бета-распад, в каждом акте которого испускались бы два
электрона; двойной бета-распад достоверно не обнаружен.
VI.4.71
БЕТА-РАСПАД
751
2° При бета-распаде спектр энергий испущенных
электронов или позитронов является непрерывным,
простираясь от Е = 0 до Е — Ео, где величина Ео назы-
вается верхней границей бета-спектра. Для бета-радио-
активных ядер величина Ео заключена в области энер-
гий примерно от 15 кэв до
15 Мэв. Бета-распад обычно
сопровождается испусканием
гамма-лучей, которые имеют
дискретный спектр энергий. Вид
спектра бета-частиц показан
на рис. VI. 4.5. Кривая распре-
деления бета-частиц по энер-
гиям обычно имеет максимум
при Е = 1/ЪЕО.
3° При бета-распаде вместе
с электроном испускается анти-
нейтрино, а вместе с пози-
троном испускается нейтрино (стр. 782). Электрон (пози-
трон) и антинейтрино (нейтрино) имеют при бета-распаде
равные по величине и противоположно направленные
спины, так что изменение спина ядра при этом равно
нулю. Сплошной спектр бета-частиц обязан различному
распределению энергии между электроном (позитроном)
и антинейтрино (нейтрино), причем сумма энергий обеих
частиц равна Ео-
4° Согласно современным представлениям электрон
(позитрон) и антийейтрино (нейтрино) не существуют
в атомных ядрах, а образуются в момент вылета из яд-
ра в результате особого (слабого, стр. 784) взаимодейст-
вия между нуклонами ядра. Поскольку при бета-распаде
происходит рождение новых частиц, к нему непримени-
мы методы нерелятивистской квантовой механики, и за-
дача рассматривается методами квантовой теории поля.
5° Энергетическая схема процессов бета-распада пред-
ставлена на рис. VI. 4.6. Процессу бета-распада соот-
ветствует переход ядра из одного дискретного энерге-
тического состояния в другое. По оси ординат отло-
жены энергии покоя атомов за вычетом энергии покоя
системы, состоящей из дочернего иона и электрона, ко-
торые образуются из атома (Л, Z) при р~-распаде. Пере-
ход из состояния / (E(Z)>0) дает Р'-распад, в котором
E(Z) > Е (Z-|- 1). Переход в состояние // соответствует
превращению Z+l—>Z? т. е. Е-захвату. В зависимости
752
АТОМНОЕ ЯДРО
[VI.4
от электронной оболочки, с которой захвачен элек-
трон, различают К-, Л-, М-захват и т. д. Обра-
зующееся при Е-за-
хвате дочернее возбуж-
денное ядро переходит в
основное состояние, ис-
пуская квант гамма-лу-
чей с соответствующей
энергией (стр. 755). Пе-
реход ядра в состояние
/// (Е (Z) < — 2т0с2) со-
ответствует превраще-
нию Z-j—1 —Z посред-
ством либо Е-захвата,
либо р+-распада; в пер-
вом из этих превраще-
ний испускается также
гамма-квант. Бета-рас-
пад, в котором дочерние
ядра возникают в един-
ственном энергетическом
состоянии, называется
простым. Если дочерние
ядра возникают в не-
скольких состояниях, то бета-распад называется сложным.
6° Вероятность распределения бета-частиц по энер-
гиям дается приближенной формулой^
w (е) = С2/(е, Z) e (s2 — 1 («0 — е)\
Здесь С2 — некоторая константа, пропорциональная квад-
рату модуля матричного элемента перехода ядра из на-
чального в конечное состояние (п. 7°) ядра с порядковым
номером Z,
f(^ Z)
2те
— е~~
(для испущенной (3-частицы в состоянии с моментом
импульса Z = 0), b = hWmQZe\ Ze — заряд ядра, е =
= Е/т^с2, е0 = EqIitiqC2, Eq — верхняя граница бета-
спектра (стр. 751), т0 — масса покоя электрона, k — вол-
новое число (стр. 499) для волны, сопоставляемой выле-
тевшей бета-частице (стр. 644); Ъ следует брать с мину-
сом для позитронов и с плюсом для электронов.
VI.4.7]
БЕТА-РАСПА Ц
753
Формула для w (е) справедлива при условии, что масса
покоя нейтрино mv равна нулю (опыт показывает, что
.mv < 10“4m0).
7° Постоянная бета-распада А (стр. 744) равна
= 2тсЗД7 I ^ik |2W§C4F (Tjo),
где g—некоторая константа.
F W = *4~ ''Qo |2 4” 30 4“ ~4~ 4" Arsh *По»
т)о — относительный импульс бета-частицы (электрона)
т)0 = р^т^с, ро — импульс, соответствующий Ео, | |2 —
матричный элемент (стр. 664), определяющий вероятность
бета-перехода ядра. Вид волновых функций ядра ф/ и
в соответствующих переходу состояниях неизвестен
(вследствие незнания точного вида потенциала ядер-
ных сил, стр. 732). Матричный элемент Hik заключен
в пределах 0 < | Hik | < 1. Для бета-перехода между зер-
кальными ядрами (у которых Ai = А2 и Aj — Zi = Z2)
близок к единице.
8° При замене X на период полураспада Гt/ :
2кЗ Й7 |П2
?Г1/2 — \H.k\*
Величина FTi/2 называется сравнительным периодом
полураспада. Принята следующая классификация типов
бета-распада по значениям FT1/2\
lg PTif =3 — 4 — сверхразрешенные бета-переходы',
функции tyi и мало отличаются друг
от друга;
lg FTt/ = 4 — 6 —разрешенные бета-переходы,', <\>k замет-
но отличается от но | Hik |2 ф 0;
lg Fl i/2 =6 — 8 — однократно запрещенные бета-пере-
ходы', соответствуют случаям, когда
«валентные» (сверх заполненных обо-
лочек) нуклоны в конечном и началь-
ном ядрах находятся в разных оболоч-
ках, со слабым перекрыванием их вол-
новых функций (стр. 667);
48 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
754 АТОМНОЕ ЯДРО [VI.4
lg .FTl/2 = 9- 10 - дважды запрещенные бета-переходы,
соответствуют еще большему разли-
чию конечного и начального состоя-
ний материнского и дочернего ядер.
Наблюдаются бета-распады, для которых lg FT1/2 дости-
гает 23.
9° График Кюри, характеризующий распределение
бета-частиц по энергиям, строится, при известной / (е, Z),
по формуле . ____________________
/--------™{е} -TJ- = С(е-ео),
' f(e,Z)e(e2 —1)
где w (е) определяется из экспериментальных значений
интенсивности I (е) (w(e) пропорционально 1 (е)). Всем раз-
решенным переходам присущ прямолинейный график Кю-
ри (обратный вывод незаконен), для запрещенных бета-
переходов график Кюри, как правило, криволинеен.
10° Постоянная распада Л для случая разрешенного
К-захвата:
=-ЙГ-|Яи|2
где
о /2к2е2\3Г л 1 /2тг7е2\2]2
Fk(£o,Z) = 2k(—) _-j J
смысл s0 см. на стр. 752. Эта формула не учитывает ре-
лятивистских эффектов, которые становятся существен-
ными, когда величина Ео (стр. 751) приближается к энер-
гии покоя электрона, равной 0,511 Мэв.
11° Состояние квантовой системы называется четным,
если соответствующая ему волновая функция не меняет
своего знака при изменении знаков всех координат ча-
стиц системы (при инверсии), и нечетным в противном
случае. Понятие четности волновой функции связано с
симметрией пространства, т. е. с равнозначностью в нем
правого и левого направлений, верха и низа и т. д.
Любая система частиц, если число частиц в ней оста-
ется неизменным или же меняется на четное число, мо-
жет описываться только либо четной, только либо нечетной
функцией (сохранение четности). Системе частиц до бета-
распада и после бета-распада должны соответствовать
волновые функции одинаковой четности (ядро—до рас-
пада; ядро, бета-частица и (анти)нейтрино— после распада).
Vi.4.8J ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ 755
12° В последнее время выяснилось, что при слабых
взаимодействиях (стр. 784), которые, в частности, вызывают
бета-распад, четность волновой функции системы при
распаде может изменяться (несохранение четности).
Наряду с состоянием, описываемым, скажем, четной функ-
цией, может возникнуть и нечетное состояние. Впервые
это явление было обнаружено при бета-распаде К-мезо-
нов (стр. 782); оно заключается в том, что при этом рас-
паде могут из одного К-мезона возникать как два, так
и три гс-мезона. В бета-распаде нарушение сохранения
четности проявляется в асимметрии пространственных
направлений электронов, испущенных ядрами: в направ-
лении спина ядер вылетает меньше электронов, чем в
противоположном. Из этой асимметрии вытекает опреде-
ленная связь направления спина частицы с направлением
ее движения в пространстве. В частности, для антиней-
трино установлена «левая» ориентация движения (спи-
ральность), т. е. его вращение против часовой стрелки,
если смотреть в направлении его движения, а для
нейтрино — правая спиральность. Подробнее о нарушении
сохранения четности см. стр. 785.
8. Гамма-излучение
Iе Гамма-излучением называется жесткое электромаг-
нитное излучение, энергия которого высвобождается при
переходах ядер из возбужденного в основное или в менее
возбужденное состояние, а также при ядерных реакциях.
В первом случае энергия гамма-квантов равна разности
энергий конечного и начального уровней ядра. В каждом
акте перехода ядро излучает один гамма-квант. В связи
с дискретностью энергетических уровней ядра гамма-
излучение имеет линейчатый спектр. Частоты гамма-кван-
тов связаны с разностью энергий условием частот Бора
(стр. 665).
2° Гамма-квант уносит из ядра момент импульса
Р = й У7(7+Т),
в результате чего момент количества движения ядра J в
конечном (k) состоянии отличается от значения его в на-
чальном (/) состоянии. Условие излучения с мультиполь-
ностью порядка /:
48'
756
АТОМНОЕ ЯДРО
(VI.4
Поскольку для гамма-кванта /^1, то невозможны ядер-
ные переходы с излучением, если Jk = Q (<нуль-нуль>-
переходы).
3° Величина 2Z называется мулътипольностъю (стр.
530) гамма-излучения. При I = 1 имеет место дипольное,
при / == 2 — квадрупольное, при / = 3 — октупольное и
т. д. излучение. Переходу ядра с 2/-польным электричес-
ким излучением соответствует изменение спина на ± I.
В соответствии с правилом отбора для I (стр. 673) наи-
большую интенсивность имеют переходы с Д/=± 1.
Поэтому дипольное электрическое гамма-излучение обыч-
но много интенсивнее квадрупольного и т. д. При малых
энергиях возбуждения ядра, когда нуклонные переходы
происходят в пределах одной нуклонной оболочки, ди-
польное электрическое излучение слабо и сравнимо по
интенсивности с квадрупольным. Существенное преобла-
дание дипольного излучения наступает при больших энер-
гиях возбуждения ядер.
4° Наряду с радиационным переходом ядра, при кото-
ром излучается гамма-квант, существует конкуриру-
ющий с ним безызлучательный процесс, называемый
внутренней конверсией гамма-излучения. В этом процес-
се энергия, освобождающаяся при ядерном переходе, пе-
редается без посредства гамма-кванта одному из атомных
электронов, вызывая ионизацию атома. Внутреннюю кон-
версию формально, для облегчения расчетов, считают
идущей в две стадии: на первой стадии ядро как бы из-
лучает гамма-квант, который на второй стадии поглоща-
ется электроном и передает ему свою энергию (конвер-
тирует).
5° Отношение вероятностей вылета /^-электрона из
атома при внутренней конверсии и испускания гамма-
кванта за этот же промежуток времени называется пар-
циальным коэффициентом конверсии на Л>оболочке
атома. Аналогично вводятся парциальные коэффициенты
для внутренней конверсии с Л4-, . . . оболочек атома:
ХА Ч ХЛ4
WK = -г- , WL = > • • •
А^ Ау Ау
Сумма парциальных коэффициентов называется полным
коэффициентом внутренней конверсия.
Ч
w = ^=wK +wL +w,M + ...,
V1.4.8J
ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ
757
где Хе — вероятность испускания конвертированных элек-
тронов из всех оболочек атома. Величина Хе растет с
уменьшением энергии возбуждения ядра и с увеличением
мультипольности гамма-излучения.
6° Когда энергия, освобождающаяся при ядерном
переходе, превышает удвоенную энергию покоя (стр. 488)
электрона 2/п0с2 = 1,02 Мэе, становится возможной
внутренняя конверсия с образованием пар электрон —
позитрон (стр. 786). Соответствующий коэффициент
конверсии возрастает с увеличением энергии ядер-
ного перехода и уменьшением мультипольности ?-излуче-
ния.
7° В ряде случаев время жизни ядра в возбужден-
ном состоянии на несколько порядков превышает вели-
чину т = 1/(Хе-|-Х7), которая имеет порядок 10~81 сек
(ядерная постоянная времени). Для таких метастабильных
(стр. 666) состояний ядра оно может доходить до несколь-
ких часов. Разновидности одного и того же изотопа,
обнаруживающие наряду с периодом полураспада, соответ-
ствующим обычному гамма-переходу, также период, отве-
чающий гамма-переходу из метастабильного возбужден-
ного состояния, называются ядерными изомерами. Как
правило, ядерные изомеры данного изотопа имеют раз-
личные значения спина.
8° Явление ядерной изомерии объясняется оболочеч-
ной моделью ядра (стр. 738) возникновением в ядрах с
почти заполненными нуклонными оболочками (при N и
Z вблизи магических чисел, стр. 738) возбужденных
состояний с квантовыми числами /, сильно отличающи-
мися от / для основных состояний ядер. В связи со
значительным различием волновых функций возбужден-
ного и основного состояний в этом случае вероятность
перехода между ними оказывается малой (стр. 667), а
время жизни в возбужденном состоянии — большим.
Опыт показывает, что ядерная изомерия действительно
наблюдается лишь для N и Z, имеющих значения вблизи
(меньше) чисел 50, 82, 126 (стр. 738), где возникают
«острова изомерии».
9° Существуют пять разновидностей изомерных пере-
ходов. В изомерных переходах первого типа возбужден-
ные ядра приходят в основное состояние только с
испусканием гамма-квантов или электронов внутренней
конверсии. В переходах второго типа ядра, достигнув
основного состояния, испытывают в нем бета-распад.
758
АТОМНОЕ ЯДРО
IVI.4
В переходах третьего типа ядра могут перейти в
основное состояние не только с излучением гамма-кванта
или электрона конверсии, но также путем (3—-распада
или Е-захвата (стр. 750). В переходах четвертого
типа ядра переходят в основное состояние только пу-
тем бета-распада с превращением в ядра соседнего
изобара (стр. 728). В переходах пятого типа пара изо-
меров превращается в новую изомерную пару другого
изотопа.
10° При испускании ядром гамма-кванта само ядро,
вследствие закона сохранения импульса, приобретает
противоположно направленный импульс (отдача). Если
ядра, испускающие гамма-кванты, находятся в твердом
теле, то спектр гамма-лучей состоит из двух компонент:
а) компоненты с естественной шириной гамма-линии Г,
определяемой временем жизни ядер в данном возбуж-
дейном состоянии (стр. 666), и с энергией Е; б) компо-
ненты с шириной линии Еу >> Г, где и—средняя
квадратичная скорость теплового движения (стр. 195)
гамма-радиоактивных ядер в твердом теле; эта компо-
нента имеет энергию, смещенную относительно значения
Е на величину энергии отдачи
7? =
£2
2Af0ca ’
где Мо — масса излучающего ядра (если считать его
свободным и движущимся со скоростью и<^с).
В результате линии гамма-излучения и поглощения
(той же линии) сильно размываются и, кроме того,
сдвинуты по энергии друг относительно друга на вели-
чину ~ 27?. Ввиду того, что для гамма-излучения 7? в
общем не мало по сравнению с Е, явление резонансного
поглощения гамма-лучей (Е™Л = Епог„ или = \>погл)
обычно практически не наблюдается.
11° При определенных условиях удается добиться
того, что излучаемый гамма-квант передает импульс не
одному излучающему ядру, а всему кристаллу в целом.
В результате излучаемой линии соответствует энергия
отдачи R 0 (М велико) и 1>^Г, т. е. ширина линии
приближается к естественной, а сдвиг по энергии практи-
чески исчезает. Это явление названо эффектом
Мёссбауэра. Одним из условий его четкого проявления
VI.4.9] ПРОХОЖДЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО
759
является условие
R^2k вя,
где 0D — дебаевская температура кристалла (стр. 262), k —
постоянная Больцмана (стр. 138). При гамма-
переходы «без отдачи» можно наблюдать уже при
комнатной температуре; при R ~ k®D необходимо для
наблюдения применять низкие температуры.
12° Чрезвычайная малость естественных ширин
многих гамма-линий по сравнению с энергией гамма-пе-
реходов позволяет использовать эффект Мёссбауэра для
проведения тончайших экспериментов (с чувствитель-
ностью порядка Г/Е, достигающей 10~1в). Этот эффект
нашел применение для измерения сдвига частоты фотонов
в гравитационном поле, для измерения весьма малого
зеемановского расщепления (стр. 685) ядерных уровней
энергии и т. п.
9. Прохождение заряженных частиц
и гамма-излучения через вещество
Г Заряженные частицы и гамма-лучи, проходя через
вещество, взаимодействуют с электронными оболочками
и ядрами его атомов. Эти взаимодействия приводят к
упругому рассеянию частиц и квантов (стр. 653), неупру-
гому рассеянию (стр. 653), сопровождающемуся возбуж-
дением и ионизацией атомов, возбуждением ядерных
реакций (стр. 767), а также к нарушениям структуры
вещества, называемым радиационными повреждениями.
2° Потери энергии заряженными частицами при про-
хождении в веществе на ионизацию и возбуждение
атомов называются ионизационными; потери энергии
на тормозное (стр. 531) и черепковское (стр. 491) излуче-
ния называются радиационными. Обычно рассчитываются
средние потери энергии частицами на единицу пути их
ТдЁ\ г.
в веществе: — (^), где с--полная энергия частицы.
Ионизационные потери для нерелятивистских частиц
(при v << с):
— (^ =2ад/г2-^-(ln-^ + 4-),
\дх/ион Т \ W ’ 2 /’
где п—число атомов в 1 см* вещества, п = Д/лрМ,
NА — число Авогадро, р — плотность, А — атомный вес
760
АТОМНОЕ ЯДРО
[VI.4
вещества, Z—атомный номер вещества, z— атомный
номер налетающей частицы, Т = /тш2/2 — кинетическая
энергия частицы ,в начале ее пути, W — средняя энергия
ионизации атомов вещества (W^13,5Z эв). В реляти-
вистском случае (vic 1)
- (р) = In (T9+ma^a.
\дх/иои тос^
Ионизационные потери сначала быстро убывают с уве-
f in
личением энергии частиц [как —а затем, пройдя
через минимум при Т^2т0с2, начинают логарифмичес-
ки возрастать.
3° Радиационные потери для нерелятивистских элект-
ронов
__ ев
\дх/рад 3 m^hc^
не зависят от начальной энергии электронов. В релятивист-
ском случае
— (р) =87t-^-raZ2(7'+m0c2) [ In _ ' I.
\дх/рад тЗЛсб v 1 7 [ m0c2 3 J
Формула справедлива при Г < — ^п^с, где а —
постоянная тонкой структуры (стр. 812). Радиационные
потери в этом случае также логарифмически растут с Т.
4° Соотношение между радиационными и ионизацион-
ными потерями:
(<?Д/^)рад ^zy+rn^) е 8.108эв.
(ЙВ/Л»)ИОН £о
При Т + moc2 > Eq/Z радиационные потери начинают
превалировать.
5° Часто пользуются также эмпирическими формула-
ми, связывающими первоначальную энергию частицы с
длиной ее пути в веществе до полной остановки, назы-
ваемой пробегом частицы.
6° Альфа-частицы при энергиях, соответствующих
большинству альфа-радиоактивных ядер, в основном вы-
зывают ионизацию атомов вещества, а также ряд ядер-
ных реакций (стр. 767). Наряду с этим происходит упру-
гое рассеяние альфа-частиц на ядрах атомов, описываемое
формулой Резерфорда (стр. 656). Пробег альфа-частип
VI .4.9] ПРОХОЖДЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО 761
в воздухе и конденсированных средах мал ввиду значи-
тельной их ионизирующей способности (интенсивности
ионизации) и связанной с нею быстрой потери энергии
альфа-частицами.
7° Пробег альфа-частиц в воздухе:
~R„= 9,8-10-28 V* см,
где va — начальная скорость альфа-частиц (см/сек).
Пробег протонов в воздухе:
/?р = (^-0,2)(ш,
где соответствует энергии альфа-частицы Еа = 4ЕР,
Ер — энергия протона. Пробег L какой-либо тяжелой за-
ряженной частицы с массовым числом А в конденсиро-
ванной среде связан с ее пробегом в воздухе соотноше-
нием
£ = 3,2- 10-4 А/Д,
р
где р— плотность среды, R — пробег в воздухе. Для
случая газов эти пробеги имеют порядок см, для кон-
денсированных сред — порядок мк.
8° Электроны при прохождении через вещество испы-
тывают неупругое и упругое рассеяния; последнее описы-
вается формулой Резерфорда (стр. 656). Ионизация на еди-
ницу длины пробега электрона в первом приближении
пропорциональна р NAZ/Ау\, где р — плотность, А —
атомный вес, NA— число Авогадро, Z—атомный номер
вещества, v0— начальная скорость электрона.
9° Максимальный пробег электронов, возникающих
при бета-распаде, определяется граничной энергией бета-
спектра Eq (стр. 751). Например, для пробега в алюминии
в области энергий 0,15 Мэв < Ео <0,8 Мэв
Яиакс = 0,407/«.8>,
в области энергий Ео > 1 Мэв
Ямакс = 0-54£о-°>15.
где ^макс выражено в единицах рх, х — длина пробега,
р — плотность вещества (рх имеет размерность г/см2).
Наряду с /?макс вводится также толщина слоя половин-
762 АТОМНОЕ ЯДРО [VI.4
ного ослабления dl/s, для которой бета-излучение
в веществе ослабляется вдвое. Величина d1/2 в общем слу-
чае неодинакова для разных глубин поглощающего ве-
щества. Величина Лмакс Ддя бета-излучателей меняется от
мк для 0,15 < Ео < 1 Мэв до см при 1 < Ео < 10 Мэв.
10° При прохождении гамма-лучей через вещество
они вызывают в нем фотоэффект (стр. 628), комптон-эффект
(стр. 632) и образование пар электрон — позитрон (стр. 757).
Фотоэффект существен при Е^ 0,5 Мэв, комптон-эф-
фект— при 0,5 ^£^^5 Мэв, образование пар — при
£7^>5 Мэв. Относительная доля этих процессов в ослаб-
лении потока гамма-квантов зависит в основном от атом-
ного номера вещества Z.
11° Ослабление интенсивности гамма-лучей в веще-
стве, при условии, что пучок гамма-лучей очень узок
происходит по закону
/ = 10е~^х,
где / — интенсивность на глубине х, /0 — интенсивность
до входа в вещество. Для широких пучков гамма-лучей
/ = 10е~^х В (р.х, Ег Z),
где В — так называемый фактор накопления излучения
£со(1 +[лх)п> 1, «%24-3. Величина р, называется ли-
нейным коэффициентом ослабления излучения и имеет
смысл обратной длины, на которой излучение ослабляет-
ся в е ( = 2,718) раз. Поскольку ослабление гамма-лучей
в веществе строго пропорционально его плотности р, часто
наряду с р. вводят массовый коэффициент поглощения
р./р. Пользуются также слоем половинного ослабления
для гамма-лучей'. dV/ = — = Проникающая способ-
/2 {X |Х
ность гамма-лучей определяется их первоначальной энер-
гией, плотностью вещества и атомным номером вещества.
Для очень жестких гамма-лучей, с энергиями порядка
10е — 108 эв, проникающая способность может достигать
нескольких метров (в конденсированных средах).
12е Величина р. записывается в виде суммы:
Р- = М-ф + Нк + Нп + Р*яд>
где
р.фС/э/'П'1
— коэффициент для фотоэлектрического поглощения,
VI.4.9] ПРОХОЖДЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО 763
А — длина волны гамма-лучей, т и п — постоянные,
т 2,9 -т- 4,4, п 3, Z — атомный номер ядра; р,к — коэф-
фициент для комптоновского рассеяния:
з
Р-к — ~4~ X
X -1п <’ + + i ln 0+2*) - (тйь).
где р,0 0,2 р см? 1г для в&ех веществ, кроме водорода; для
последнего р0 0,4 р см2!г\ е = h ^!mQc2 = /0,511 Мэв —
отношение энергии гамма-кванта к энергии покоя элек-
трона;
ГТ2Г для s < *
2s + для s > 1;
|лп — коэффициент для образования пар электрон — пози-
ТР°Н:
и растет с частотой гамма-квантов;
р.яд — коэффициент поглощения гамма-лучей для не-
упругих взаимодействий с атомными ядрами (ядерный
фотоэффект, стр. 772).
13° При расчетах интенсивности гамма-лучей в данном
веществе, если источник излучения находится в другой
среде, необходимо учитывать отражение излучения на гра-
нице двух сред (стр. 535), а также самопоглощение излу-
чения в самом источнике вследствие его конечных раз-
меров. Фактор, учитывающий эти обстоятельства, назы-
вается альбедо. Величина альбедо быстро возрастает с
уменьшением энергии гамма-лучей.
14° Единицы активности (радиоактивности) препаратов
определяются числом атомных ядер, распадающихся в
единицу времени, т. е. числом испускаемых ими частиц
или квантов в единицу времени. Единица кюри опреде-
ляется как активность препарата, в котором в одну се-
кунду происходит 3,700* 1010 актов распада.
Применяются также кратные и дольные единицы: ми-
крокюри (10~е кюри), милликюри(10-3 кюри), килокюри (108
кюри), мегакюри (10е кюри). Наряду с кюри применяется
(реже) резерфорд — активность препарата, в котором в од-
ну секунду совершается 10е актов распада;
1 кюри = 3,7 • 104 резерфордов.
764
АТОМНОЕ ЯДРО
[VI.4
15° Ионизирующее действие излучения определяется
его дозой. За единицу дозы рентгеновского и гамма-
излучения принимается рентген (р)— доза излучения,
при которой суммарный заряд положительных (или от-
рицательных) ионов, образующихся в 1,293- 10~в кг воз-
духа, равен 13-109 кулонов. Это соответствует образова-
нию 2,С8 • 109 пар одновалентных ионов в 1 см3 воздуха
при нормальных условиях (стр. 138) и связано с затра-
той энергии около 86-10-7 дж]кг. Для характеристики
поглощенной дозы излучения используется также рад,
соответствующий поглощению 0,01 дж энергии излуче-
ния в 1 кг облученного вещества.
Кроме того, пользуются физическим и биологическим
эквивалентами рентгена (фэр и бэр). Фэр — доза корпус-
кулярного облучения (а- и р-частицами, нейтронами),
соответствующая такому же поглощению энергии в 1 кг
облучаемого вещества, что и при дозе в 1 р для рент-
геновских и гамма-лучей. Бэр — доза любого вида ионизи-
рующего излучения, которая создает в живом организме
такой же биологический эффект, как и доза в 1 р рентге-
новских и гамма-лучей.
16° Энергия излучения, поглощенная в единице объ-
ема или массы вещества в единицу времени, называется
мощностью дозы. Для гамма-лучей мощность дозы N
связана с их интенсивностью / соотношением:
N = <Р-ф + Р*кэ) 4
где р.ф — коэффициент фотоэлектрического поглощения
гамма-лучей, jxK9 — часть коэффициента комптоновского
рассеяния, соответствующая переходу энергии гамма-
квантов в энергию электронов отдачи.
10. Методы наблюдения и регистрации ионизирующих
частиц и квантов излучения
Г Для измерения суммарной ионизации, производи-
мой радиоактивным излучением от источников со срав-
нительно большой активностью (порядка не менее со-
тен и тысяч частиц в сек), применяется ионизационная
камера. Она представляет собой замкнутый объем
с окошком для впуска излучения, в который введены
два электрода. Под действием приложенного к ним
напряжения ионы, созданные излучением в газе, дви-
VI.4.10] МЕТОДЫ РЕГИСТРАЦИИ ЧАСТИЦ И КВАНТОВ 765
жутся к электродам. Ионный ток обычно слаб и требу-
ет для своего измерения чувствительных электрометров.
Напряжение на электродах выбирается с таким расче-
том, чтобы камера работала в режиме насыщения своей
вольтамперной характеристики (стр. 372).
2° Для наблюдения за поведением отдельных ионизи-
рующих частиц при различных их взаимодействиях
с атомами и ядрами известных веществ применяются
камера Вильсона, толстослойные фотопластинки и пу-
зырьковые камеры.
3° В камере Вильсона находятся насыщенные пары
(стр. 238) какой-либо жидкости. Периодически путем рез-
кого расширения объема камеры пары делаются пере-
сыщенными (стр. 239). Если в момент расширения в ка-
меру влетает ионизирующая частица, то образованные
ею ионы пара становятся центрами конденсации (стр. 239)
молекул пересыщенного пара. При освещении пара
в этот момент сильным пучком света и одновременном
стереофотографировании фиксируются ионные следы
(треки) траекторий ионизирующих частиц в камере. По-
мещение камеры в магнитное поле позволяет по искри-
влению треков частиц определять их энергию и знак
заряда, а по толщине треков — величины заряда и массы
частиц (т. е. производить их идентификацию, или отож-
дествление). Пуск камеры может также производиться
по сигналу от счетчика (п. 8°), зарегистрировавшего
появление частицы в схеме совпадений (п. 11°).
4° В толстослойных фотопластинках ионизирующие
частицы создают треки из ионов галоидного серебра.
Созданное частицами скрытое фотографическое изобра-
жение становится видимым после проявления пластинок
и изучается стереографически на послойных срезах фото-
эмульсии. Метод фотопластинок имеет преимущество
перед камерами Вильсона в большой задерживающей
способности, т. е. в сильном торможении частиц, позволяя
изучать взаимодействия частиц очень больших энергий
(стр. 789).
5° Преимущества получения непосредственно простран-
ственной картины треков частиц с высокой задержива-
ющей способностью для частиц высоких энергий соеди-
няет в себе пузырьковая камера. Она представляет со-
бой сосуд, наполненный какой-либо прозрачной перегре-
той жидкостью. Ионизирующая частица, попадая в
камеру, вызывает резкое вскипание жидкости в узком
766
АТОМНОЕ ЯДРО
[VI. 4
канале вдоль своего пути. Возникающая при этом цепочка
пузырьков пара фотографируется, как в камере Вильсона.
Рабочими жидкостями для пузырьковых камер являются
углеводороды и ’ спирты, позволяющие непосредственно
изучать эффекты столкновений в камере быстрых час-
тиц с ядрами водорода (протонами).
6° Для регистрации ионизирующих частиц при невы-
сокой активности их источников применяются счетчики:
пропорциональный, Гейгера—Мюллера, искровой и сцин-
тилляционный. Не позволяя непосредственно идентифи-
цировать частицы, счетчики дают возможность опреде-
лить плотности их потока и распределение частиц по
энергиям в потоке.
7° Пропорциональный счетчик представляет собой
обычно цилиндрический сосуд, заполненный каким-либо
газом, с двумя концентрическими электродами, один из
которых (анод) является проволокой, натянутой по оси ци-
линдра, а другой (катод) образует внешнюю металлическую
оболочку рабочего объема счетчика. При попадании иони-
зирующей частицы в счетчик, вследствие того что он
работает на линейной части вольтамперной характеристи-
ки рабочего газа (стр. 373), в счетчике возникает неса-
мостоятельный разряд (стр. 37.1). Возле анода из-за боль-
шого градиента напряженности электрического поля воз-
никает ударная ионизация (стр. 371) молекул газа пер-
вичными ионами, и появляется импульс тока, величина
которого пропорциональна первичной ионизации, т. е.
энергии влетевшей в счетчик частицы.
8° Счетчик Гейгера—Мюллера не отличается су-
щественно по конструкции и по принципу действия от
пропорционального счетчика, но работает на участке
насыщения вольтамперной характеристики наполняюще-
го его газа (так называемом плато), вследствие чего
создает одинаковые импульсы тока независимо от пер-
вичной ионизации, т. е. непосредственно считает число
ионизирующих частиц.
9° Работа сцинтилляционного счетчика основана на
явлении люминесценции (стр. 637). Световая вспышка,
возникающая при попадании заряженной частицы в сцин-
тиллирующий кристалл, воспринимается фотоумножи-
телем и сосчитывается электронной схемой. Высота им-
пульса зависит от интенсивности вспышки, а последняя
определяется энергией частицы. Поэтому счетчик позво-
ляет определять распределение частиц по энергиям.
Vl.5.11 ОСНОВНЫЕ понятия 767
10е В случаях, когда ионизация, создаваемая частица-
ми в рабочем объеме счетчика или ионизационной ка-
меры, незначительна либо же вовсе отсутствует (для
нейтральных частиц), перед регистрирующими прибора-
ми или внутри них устанавливаются вещества, из кото-
рых первичные частицы выбивают заряженные частицы.
Например, для регистрации гамма-лучей, создающих сла-
бую ионизацию в газах и веществах с малыми атомными
номерами, используются тонкие металлические фольги,
и счетчик регистрирует выбитые из фолы фотоэлектроны.
Для регистрации нейтронов используются водородосодер-
жащие вещества, причем счетчик регистрирует протоны,
выбитые из них нейтронами.
11° Для наблюдения за движением какой-либо одной
частицы в потоке или для наблюдения за движением
частиц одного сорта в потоке, состоящем из ряда сор-
тов частиц, используются несколько счетчиков или ка-
мер, связанных в схему совпадений. В этой схеме импуль-
сы счетчиков засчитываются только в том случае, если
ионизация последовательно зарегистрирована за малый
промежуток времени во всех счетчиках. Метод совпаде-
ний дает возможность устанавливать направления дви-
жения частиц, их скорости, распределение потоков
в пространстве, а также генетическую связь между пер-
вичными и образованными ими в результате взаимодей-
ствий вторичными частицами в веществе и т. д.
12° Если в единицу времени счетчик регистрирует
большое число частиц, то для счета числа его импульсов
механические нумераторы непригодны вследствие их
инерционности. В этих случаях перед нумератором уста-
навливаются пересчетные схемы — специальные элек-
тронные устройства, пересчитывающие число импульсов
счетчика в отношении 1 : 2П либо в отношении 1: 10ш
(более распространены схемы первого типа с и = 6,
т. е. с пересчетом на 64).
ГЛАВА 5
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
1. Основные понятия
Г Ядерными реакциями называются превращения
атомных ядер, вызванные их взаимодействиями с элемен-
тарными частицами или друг с другом. В большинстве
768 ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ [V1.5
ядерных реакций участвуют два ядра и две частицы;
одна пара ядро — частица называется исходной, а другая —
конечной.
2° Ядерные реакции символически записываются в виде
А + а—* В + b + Q или А (а, Ь) В,
где А и В — исходное и конечное ядра, а и b — исходная
и конечная частицы в реакции. Величина Q называется
энергией ядерной реакции. Она равна разности энергий
конечной и исходной пар в реакции. При Q <С О реакции
идут с поглощением энергии и называются эндотерми-
ческими} при Q 2> 0 реакции идут с выделением энергии
и называются экзотермическими.
3° Эндотермические ядерные реакции становятся воз-
можными при пороговой кинетической энергии вызываю-
щих их частиц:
^порог = I Q I (va "С с)>
где Ма — масса неподвижного ядра (мишени), Ма — масса
налетающей на ядро частицы, va — ее скорость.
Для экзотермических реакций Впорог = О-
4е Ядерные реакции могут быть рассмотрены как
неупругие столкновения (стр. 653) частицы а и ядра А,
в результате которых возникают новое ядро В^А и новая
частица Ъ^Ьа. Столкновение частицы а с ядром А, при-
водящее к вылету из ядра частицы Ь = а, но с иной
энергией, называется неупругим рассеянием на ядре.Во всех
ядерных реакциях сохраняются: суммарные электрический
заряд, массовое число, энергия, импульс и спин взаимо-
действующих частиц и ядер.
5° Ядерные реакции изучаются методами теории стол-
кновений. Вероятность ядерной реакции характеризуется
величиной эффективного сечения неупругого столкнове-
ния а (стр. 653). Наряду с эффективным сечением, ядер-
ные реакции характеризуются выходом — отношением
числа образующихся ядер В к числу исходных частиц а.
Функция, описывающая зависимость а от энергии частиц Е,
называется функцией возбуждения ядерной реакции.
Ядерные реакции можно рассматривать как квантовые
переходы системы (я-|-Л) в систему (Ь-{-В). Состояния
каждой из них, вследствие свободного движения частиц а
и Ь, принадлежат непрерывному энергетическому спектру.
VIA 11
ОСНОВНЫЕ понятия
769
Вероятность ядерной реакции определяется матричным
элементом перехода НА(аЬ)В (стр. 664).
6° Полное (интегральное) эффективное сечение ядерной
реакции вводится аналогично тому, как это делается в тео-
рии столкновений (стр. 653). Для реакции А-\-а —*В-[-Ь
Ph
аА (a, b)B == COnst ' ^-у(2А + (2/в+0 \НА(а,Ь)в\*>
иаиЬ
где JB и Jb — спиновые квантовые числа ядра В и ча-
стицы Ь\ \НА(а Ь)В\* — значение квадрата модуля матрич-
ного элемента для перехода, рь — импульс частицы d, va
и vb — скорости частиц а и Ь.
Т Эффективные сечения прямой А-\- а —>В-\-Ь и
обратной В -|- b —* А + а ядерных реакций связаны соот-
ношением
°А(а,Ь)в _ PH24+D (2^ + 1)
°В(Ъ.а)А ^(24 + ') (24+D ’
где ра и рь — импульсы частиц а и Ь. Формула эта назы-
вается принципом детального равновесиям позволяет опре-
делить сечение реакции по сечению обратной ей реакции.
8° Формулы п. 6° и 7° применимы в случае, когда ядер-
ная реакция происходит в один этап. Наряду с такими
реакциями возможны реакции, при которых происходит
захват частицы ядром. В этих случаях энергия частицы
быстро распределяется между нуклонами ядра и ни
один из них не получает достаточной энергии для
вылета из ядра. Проходит большое время сравнительно
с ядерной постоянной времени (10~21 сек), пока энергия
в ядре вновь концентрируется на одной частице и сле-
дует вылет ее из ядра. Такие ядра, образовавшиеся в ре-
зультате поглощения частицы и находящиеся в возбуж-
денном состоянии, называются состав ними. Ядерная
реакция при этом идет как бы в два этапа:
а + А-+ С-»В + Ь,
где С — составное ядро. Время жизни составных ядер
достигает 10-14 сек.
9° Возбужденному составному ядру соответствуют
уровни энергии конечной ширины Г, связанной с веро-
ятностью распада ядра в единицу времени w соотно-
шением (стр. 666) Г = &Е = Распад возбужденного
49 Б. М. Яворский А. А. Детлаф —
770 ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ [VI.5
ядра может произойти с испусканием частицы Ь = а (уп-
ругое рассеяние) с вероятностью ws и с испусканием ча-
стицы Ь^Е а (ядерная реакция) с вероятностью wr. Соответ-
ствующие парциальные ширины уровня-.
= Tr = Hwr, T=TS + Tr.
При высоких возбуждениях уровни ядра сливаются и инди-
видуальное описание поведения нуклонов ядра при реак-
ции сменяется статистическим описанием (стр. 737). Налета-
ющая частица рассматривается как источник повышения
«температуры» ядра, а вылетевшая из ядра частица — как
результат «испарения» ядерного вещества. Такой подход
к ядерным реакциям хорошо оправдывается в реакциях
при высоких энергиях частиц (стр. 788).
10° Эффективное сечение ядерной реакции (для изо-
лированного уровня) с образованием составного ядра, вы-
зываемой нейтронами с нулевым моментом импульса (Z=0),
выражается формулой Брейта— Вигнера-.
„ _ л__________Ldr__________
г-- 1 ’ -- й.2 >
(£-£о)а + т(Г. + Гг)а
при условии, что ЕЕ = Е— Е0<^Е0. Такая ядерная реак-
ция имеет резонансный характер: величина аг достигает
максимума при энергии частицы Е, равной энергии Ео
уровня ядра. Ширина резонансного уровня Г возрастает с
ростом степени возбуждения ядра.
В большинстве случаев составные ядра образуются
в ядерных реакциях при малой энергии частиц.
2. Общая классификация ядерных реакций
Г Ядерные реакции классифицируются: а) по энергии
вызывающих их частиц; б) по роду участвующих в них
частиц; в) по роду участвующих в них ядер; г) по харак-
теру происходящих ядерных превращений.
2° Различают ядерные реакции при малых, средних
и высоких энергиях. Реакции при малых энергиях (по-
рядка эв) происходят в основном с участием нейтронов.
Реакции при средних энергиях (до нескольких ЛЬв)
вызываются также заряженными частицами, гамма-кван-
тами и вторичными космическими лучами (стр. 789). Реак-
ции при высоких энергиях (сотни и тысячи Мэв) приводят
к разложению ядер на составляющие их нуклоны и к
VI.5.2] ОБЩАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ 771
рождению отсутствующих в свободном виде элементар-
ных частиц (мезоны и т. д.).
3° По роду участвующих в ядерных реакциях частиц
различают: а) реакции под действием нейтронов, б) реак-
ции под действием заряженных частиц — протонов, дей-
тронов (ядер тяжелого водорода), альфа-частиц (ядер
гелия) и многозарядных ионов тяжелых химических
элементов; источниками заряженных частиц являются:
естественно-радиоактивные элементы (стр. 743), ускорители
заряженных частиц (стр. 410), космические лучи (стр. 788);
в) реакции под действием гамма-квантов.
4° По роду участвующих в ядерных реакциях ядер
различают: реакции на легких ядрах (с массовыми числа-
ми Д<50), реакции на средних ядрах (50 < Л < 100)
и реакции на тяжелых ядрах (Л >100).
5° По характеру превращения ядер при ядерных реак-
циях различают: кулоновское возбуждение, радиационный
захват, реакцию срыва, деление ядер и т. д.
6° Для реакций под действием заряженных частиц
характерно наличие кулоновского потенциального барьера,
который должны преодолеть частицы, чтобы проникнуть в
ядро и вызвать реакцию. Благодаря туннельному эффекту
(стр. 658) такие реакции начинаются при энергиях частиц,
меньших высоты потенциального барьера (которая для
ядер имеет порядок величины Мэе), но при этом имеют
малую вероятность. При малых энергиях частиц образу-
ются составные ядра (стр. 769), распадающиеся наиболее
вероятно с вылетом нейтрона, для которого не сущест-
вует кулоновского барьера. В области малых энергий наи-
более вероятно неупругое рассеяние протона р или
альфа-частицы а, т. е. реакции (р, р) и (а, а). В области
средних энергий (Е ~ 1 Мэв) становятся возможными реак-
ции (р, п), (а, п), (а, 2п) и (а, Зп) с вылетом в каждом акте
реакции соответственно одного, двух и трех нейтронов п.
7° Особым видом реакции является реакция срыва
на дейтронах d, типа (d, р) или (d, п), в которой направле-
ния движения почти всех испущенных ядрами протонов
и нейтронов совпадают с направлением пучка дейтронов.
Такая реакция истолковывается как срыв частицы с ядра
в результате «задевания» его дейтроном. Несмотря на то,
что эффективное сечение этой реакции дает резонанс-
ную функцию возбуждения (стр. 768), она идет без обра-
зования составного ядра. При сравнительно небольших
энергиях дейтронов реакция срыва называется процессом
49*
772
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[VL5
Филлипса — Оппенгеймера. При высоких энергиях дей-
тронов реакция срыва рассматривается как результат
взаимодействия налетающей частицы не со всем ядром
в целом, а с отдельными его нуклонами, которым непо-
средственно передается энергия частицы. Ядро при этом
распадается в две стадии: сначала «испаряются» нуклоны
с большими энергиями, непосредственно воспринявшие
удар налетевшей частицы, а затем возбужденное вылетом
быстрых нуклонов ядро приходит в основное состояние,
испуская более медленные вторичные нуклоны. Такого
рода реакции имеют место под действием космических
лучей или частиц из ускорителей. Реакции на тяжелых
ядрах под действием альфа-частиц или ускоренных много-
зарядных ионов являются основным источником получения
ядер трансурановых элементов (стр. 745).
8° Для реакций под действием нейтронов характерна
заметная вероятность уже в области тепловых энергий
нейтронов (Еп^ 0,025 эв) в силу отсутствия для нейтронов
потенциального барьера для проникновения в ядро. Реак-
ции с нейтронами при малых энергиях идут с образова-
нием составного ядра и являются резонансными. Распро-
страненной реакцией для медленных нейтронов является
их радиационный захват протонами ядер (п, 7), в резуль-
тате которого составного ядра не образуется, а ядро
возвращается из возбужденного в основное состояние,
испустив гамма-квант (стр. 755), преимущественно в на-
правлении движения нейтрона. Для быстрых нейтронов
имеет место радиационное (неупругое) их рассеяние
с испусканием гамма-квантов (п, П7). Нейтроны также
вызывают реакции деления ядер (подробнее см. стр. 773).
9° При взаимодействиях ядер с налетающими гамма-
квантами происходит фотоядерная реакция (ядерный
фотоэффект). Виды этой реакции: испускание ядром
одного или нескольких протонов, нейтронов, альфа-частиц,
а также деление (фотоделение) ядер. Одной из распрост-
раненных реакций является фоторасщепление дейтрона'.
d + 7 —> п р, которое становится возможным, когда
энергия гамма-кванта превысит энергию связи протона
и нейтрона в дейтроне (2,23 Л4эв). Ядерный фотоэффект
объясняется с помощью представления о составном ядре,
возбужденном поглощением гамма-кванта. В этой реак-
ции наиболее вероятно испускание нейтрона. Наряду с
этим (особенно для тяжелых ядер) существен процесс
выбивания нуклона из ядра прямым «ударом» гамма-кванта,
VL6.2] ОБЩАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ 773
при котором вылетающий нуклон забирает почти всю
энергию гамма-кванта. Функции возбуждения (стр. 768)
фотоядерных реакций характеризуются очень широким
максимумом эффективного сечения в области энергий
= 15 -г- 25 Мэв почти для всех ядер (так называемый ги-
гантский резонанс). При 2тп с\ 2тр n са про-
исходят реакции фоторождения мезонов, нуклонов и т. д.
(тп — масса покоя тс-мезона,трД1— масса покоя нуклона).
Область фоторождения соответствует энергиям 108—10®эв.
10° Ядерные реакции деления (а также самопроизволь-
ное, или спонтанное, деление ядер) возможны лишь для
очень тяжелых ядер элементов, расположенных в конце
периодической системы. Неустойчивость ядер относи-
тельно деления связана с большим количеством в них
протонов и связанным с ним увеличением кулоновских
сил отталкивания, особенно вблизи границ ядра. Поэтому
потенциальный барьер для развала ядра на две и более
крупные части (осколки) оказывается невысоким и может
быть преодолен уже при небольших энергиях акти-
вации, сообщаемых ядру попаданием в него нейтро-
нов даже с малой кинетической энергией. В результате
резонансный захват нейтрона ядром с образованием со-
ставного ядра сопровождается делением последнего. Ука-
занный потенциальный барьер может быть также пре-
одолен посредством туннельного эффекта (спонтанное
деление ядер).
1Г В рамках обобщенной модели ядра (стр. 741) де-
ление ядра рассматривается как результат такой дефор-
мации ядерной поверхности, при которой возникает ее
неустойчивость, приводящая к возникновению «пере-
тяжки» и последующему отделению друг от друга двух
и более частей ядра по разные стороны «перетяжки»
(подобно дроблению жидкой капли). Из обобщенной модели
также следует, что ядра с отношением квадрата атомного
номера к массовому числу Z2/4^45 совершенно не-
устойчивы относительно деления (потенциальный барьер
для деления исчезает) и в природе существовать не мо-
гут. Число равных по массе осколков, на которые мо-
жет разделиться ядро, зависит от Z и А; в частности,
для урана энергетически допустимо образование 14 ос-
колков.
12° Наиболее вероятным в реакции деления является
деление ядра на две части. При делении тепловыми
ТМ ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ [VI.5
нейтронами и спонтанном делении отношение масс оскол-
ков примерно 3 : 2. Вероятность деления ядра на три части
составляет 10-2 4-10“6 от вероятности деления на две
части. Деление ядра на еще большее число частей имеет
пренебрежимую вероятность при обычных энергиях час-
тиц. Оба образующихся осколка перегружены нейтронами
(для них в нормальном состоянии jV/Z^sl,3, тогда как
для исходных ядер NIZ^ 1,6) и вследствие этого на-
ходятся в сильно возбужденных состояниях, из кото-
рых они приходят в основное состояние в ряд стадий,
испытывая несколько бета-распадов (стр. 750) и испуская
нейтроны (так называемые запаздывающие нейтроны).
Реакции деления ядер обычно являются экзотермиче-
скими с количеством выделившейся энергии Q Ю8 эв
в каждом акте реакции. Энергия реакции освобождается
в виде кинетической энергии осколков и нейтронов, вы-
летающих непосредственно в момент реакции из деля-
щегося ядра (мгновенные нейтроны).
13° Особым видом ядерных реакций являются экзо-
термические реакции синтеза легких ядер, эффективно
протекающие при сверхвысоких температурах (порядка
107 —109 °К) и самопродолжающиеся за счет значительного
выделения в них энергии. Такие реакции названы тер-
моядерными. Высокие температуры в них необходимы для
того, чтобы кинетическая энергия теплового движения ядер
ока .алась достаточной для преодоления кулоновского по-
тенциального барьера ядер и последующего возбуждения
реакции синтеза. Термоядерные реакции начинаются при
энергиях теплового движения ядер, несколько меньших вы-
соты потенциального барьера (туннельный эффект, стр. 658),
но имеют при этих энергиях малое эффективное сечение.
14° Термоядерные реакции являются, по-видимому,
основными источниками энергии звезд. Известны два
термоядерных цикла, в которых энерговыделение про-
исходит за счет превращения ядер водорода в ядра ге-
лия. В одном из вариантов протонно-протонного цикла*.
Р + Р -*d+e++y
d-|_p_>2He8 + 7,
22Не3—> 2р + 2Не4,
ядро гелия образуется из 4 протонов и выделяется энер-
гия около 25 Мэв. В одном из вариантов углеродно-
VI.5.3] ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ 775
азотного цикла:
6С12-Ьр->№ + 7, 7n14 + p->8015 + 7,
7N18 — eC13 + e+ + v, 8015->7N15 + e+ + v,
eC18 + p —* 7N14 + 7, 7N15 + p->6C12 + 2He4,
t. e. 4p — 2He4 -j- 2e+ C* —»нейтрино, у — гамма-
квант), ядро углерода 6С12 играет роль «катализатора»;
этот цикл также сопровождается большим выделением
энергии. Более медленным из этих циклов является
первый. Он имеет полупериод, в течение которого ре-
агирует половина всех ядер водорода, равный по поряд-
ку величины 1010 лет.
3. Физические основы ядерной энергетики
Г Зависимость эффективного сечения ядерной реакции
деления от энергии вызывающих ее нейтронов различна
для разных ядер. Для одной группы ядер (например, U233,
U235, Ри238, Ри241) функция возбуждения (стр. 768) реакции
имеет максимумы для медленных нейтронов (Е ~ 0,025 эв),
а также для промежуточных нейтронов (В~ 1 —108 эв).
Для другой группы ядер (например, Th232, U238, Ри240)
эффективное сечение реакции деления является наиболь-
шим для быстрых нейтронов (Е~10® эв). Это связано
с различной энергией активации ядер.
2° В каждом акте реакции деления тяжелых ядер из
сильно возбужденных ядер испускаются за время 10~14 сек
от 2 до 3 мгновенных нейтронов (стр. 774). Энерге-
тический спектр нейтронов деления простирается от~ 102
до 107 эв; средняя энергия в этом спектре около 2-10® эв.
Нейтроны деления, взаимодействуя с соседними ядрами
делящегося вещества, в свою очередь вызывают в них
реакцию деления и т. д. Такая реакция деления назы-
вается цепной.
3° Скорость цепной реакции деления v равна числу
актов деления ядер в веществе за единицу времени:
v — av<> г]___е — (”i + *а> (1 —
1 — р.а 1 ’
Здесь щ — удельная скорость реакции (в расчете на один
исходный нейтрон), vQ — скорость зарождения нейтронов
в делящемся веществе, v2 — удельная скорость убыли числа
нейтронов, участвующих в реакции, а — вероятность
176
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[Vl.fi
захвата нейтрона, испущенного в предшествующем
акте реакции, делящимся ядром, р. — коэффициент
размножения нейтронов в реакции, t — время.
Величина vQ определяется в основном вероятностью
спонтанного деления (стр. 773) ядер данного изотопа при
отсутствии внешнего облучения вещества нейтронами.
Величина ц2 определяется скоростью утечки нейтронов
за пределы делящегося вещества и скоростью их выхода
из реакции вследствие поглощения их (не сопровождае-
мого делением) ядрами примесей к делящемуся веществу
и- другими изотопами делящегося элемента. Коэффициент
размножения нейтронов р. равен отношению числа вто-
ричных к числу первичных нейтронов в каждом акте
реакции и определяется геометрической конфигурацией
объема, в котором происходит реакция, его размерами,
а также размерами и веществом замедлителя и отра-
жателя нейтронов (стр. 777). Для возникновения цепной
реакции необходимо, чтобы р.>1.
4° Удельная скорость реакции деления:
Vi = a (v) vN,
где a(v) — эффективное сечение реакции деления дан-
ного изотопа при скорости v нейтронов, N — число ядер
делящегося изотопа в веществе.
При р.а < 1
и происходит стационарная цепная реакция деления.
При р.а >> 1
lim v «=« lim = оо,
/—*00 / —* оо Л
где А = (&1 -|- ^а)(р*а — 1), т. е. цепная реакция оказы-
вается саморазгоняющейся.
5° Форсировать ядерную реакцию можно либо путем
увеличения vh либо путем уменьшения v2. Первое, в
частности, достигается повышением массы делящегося
вещества. Второе осуществляется быстрым замедлением
нейтронов до энергий, при которых максимально сечение
деления основной массы вещества, а также отражением
нейтронов от вещества отражателя. Комбинация деляще-
гося вещества, замедлителя и отражателя нейтронов имеет
свои критические размеры (и связанную с ними Крита*
V1.5.3] ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ 77?
ческую массу), при превышении которых т. е.
возникает неуправляемая реакция деления, носящая, ввиду
очень быстрого выделения больших количеств энергии,
характер взрыва (атомная бомба). '
6е Устройство, в котором поддерживается управляе-
мая ядерная цепная реакция деления (p.a < 1), называется
ядерным реактором. Ядерные реакторы состоят из пяти
основных элементов: делящегося вещества, замедлителя
быстрых нейтронов, отражателя нейтронов, системы
охлаждения, системы безопасности и регулирования.
7° В качестве делящегося вещества используются
обычно изотопы урана U233, U235, U238, изотоп тория Th232,
а также изотопы плутония Ри238, Ри240, Ри241.
8° В качестве замедлителя нейтронов применяются
материалы, имеющие большое сечение для неупругого
рассеяния нейтронов и вместе с тем малое сече-
ние для захвата нейтронов, т. е. материалы, быстро
снижающие энергии нейтронов до величины, при кото-
рой сечение их реакции с делящимся изотопом стано-
вится максимальным. В качестве замедлителей нейтронов
обычно применяются графит, тяжелая вода (D2O), а также
соединения бериллия.
9° В качестве отражателей нейтронов, окружающих
активную зону реактора, в которой находятся делящееся
вещество и замедлитель, применяются те же вещества,
что и для замедлителя. Эффективность отражателя быстро
возрастает с увеличением его толщины и достигает пре-
дела, когда эта толщина в несколько раз превышает
среднюю длину свободного пробега (стр. 197) нейтронов
в нем.
10° Система охлаждения предназначена для отвода из
активной зоны реактора выделяющейся в ней энергии
деления (обычно в виде определенного количества теп-
лоты), в которую переходит кинетическая энергия оскол-
ков деления при их торможении в делящемся веществе
и замедлителе. Через активную зону реактора прокачи-
вается теплоноситель (вода, газ, некоторые жидкие ме-
таллы и сплавы), который затем через теплообмен-
ник передает тепло во вторичную тепловую систему
реактора.
1Г Система безопасности служит двум целям: недо-
пущению самопроизвольного разгона (стр. 776) цепной
реакции и обеспечению защиты окружающего реактор про-
странства от интенсивных потоков нейтронов и гамма*
778 ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ [VI.5
лучей, существующих в активной зоне реактора. Для пер-
вой цели применяются вдвигаемые в активную зону стерж-
ни из вещества с. высоким сечением поглощения ней-
тронов (например, из кадмия). Вторая цель достигается
окружением реактора массивными слоями веществ, силь-
но поглощающих нейтроны и гамма-лучи (например,
комбинацией бетона и свинца), а также полной замкну-
тостью цепей теплоносителя и отсутствием утечек в них.
12° По области энергий нейтронов реакторы делятся
на тепловые, промежуточные и быстрые. В послед-
них используются непосредственно нейтроны деле-
ния и замедлитель отсутствует. По расположению де-
лящегося вещества и замедлителя реакторы делятся
на гомогенные, в которых оба вещества равномерно
смешаны друг с другом, и на гетерогенные, в которых
оба вещества нах щятся порознь в виде блоков. Реак-
торы также подразделяются по таким признакам,
как вид и агрегатное состояние делящегося вещества и
теплоносителя, а также по своему целевому назначению.
13° В реакторе-размножителе ядра одного деляще-
гося вещества превращаются в результате ядерных ре-
акций в ядра другого делящегося вещества, причем вслед-
ствие различного изотопного состава делящихся элемен-
тов количество воспроизводимого делящегося изотопа пре-
вышает количество первоначального изотопа. В бридерных
реакторах воспроизводимое и первоначальное вещества
представляют собой изотопы одного и того же химиче-
ского элемента (например, «сжигается» U235, воспроизво-
дится U238), в реакторах-конверторах — изотопы разных
химических элементов (например, «сжигается» U285,воспро-
изводится Ри239).
14° Для создания высокой температуры в неуправля-
емой термоядерной реакции (Т— 5 •107 °К) применяется
атомная бомба (стр. 777), дающая такую температуру
при взрыве на весьма малый 10~6 сек) промежуток
времени, за который, однако, успевает произойти термо-
ядерная реакция в массе изотопов водорода (водородная
бомба).
15е В основе термоядерной энергетики лежит исполь-
зование энергии экзотермических реакций синтеза лег-
ких ядер (стр. 774). Наиболее доступной по области необ-
ходимых температур является реакция между ядрами дей-
терия и трития: J)2 + Д3 — 2Не4 + п -|- Q, Q = 17,6 Men
в каждом акте реакции, нейтрон уносит ~ 14,1 Мэв.
Vl.6.1] КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ Ш
Управляемая термоядерная реакция, самоподдержи-
ваясь за счет выделения энергии, сможет длительное
время протекать в контролируемых масштабах. Нагрев
и управление поведением термоядерной смеси при этом
определяются тем обстоятельством, что смесь при сверх-
высоких температурах переходит в состояние плазмы
(стр. 375). Для такого нагрева скорость подвода энергии
к смеси должна превышать скорость утечки энергии
из нее. Основными видами утечек являются тепло, ухо-
дящее через стенки реактора, а также тормозное излу-
чение (стр. 531) в плазме.
16° Образование возбужденных ядер в реакциях с ней-
тронами (в большинстве случаев медленными) приводит
к распаду ядер спустя значительное время после оконча-
ния реакции, вызванной нейтронным облучением. Излу-
чение таких ядер, состоящее обычно из бета-частиц
и гамма-лучей, называется искусственной (наведенной)
радиоактивностью. Периоды полураспада искусственно-
радиоактивных ядер лежат в интервале от долей секунды
до тысяч лет. В настоящее время можно получать искус-
ственно-радиоактивные изотопы, обладающие высокой
удельной активностью (стр. 744), что позволяет со-
здавать весьма компактные источники радиоактивного
излучения, широко применяемые в различных областях
науки и техники.
ГЛАВА 6
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
1. Классификация элементарных частиц
Г Элементарными частицами называются' частицы,
которым на современном уровне развития физики нель-
зя приписать определенной внутренней структуры. Вме-
сте с тем рассматривать элементарные частицы как ма-
териальные точки (стр. 13) допустимо лишь до тех пор,
пока не возникают такие неупругие взаимодействия их
друг с другом, которые обусловлены наличием у них
внутренней структуры. Соответствующая такому рассмот-
рению область энергий элементарных частиц лежит ниже
2иг0с2, где т0 — масса покоя (стр. 487) данной эле-
ментарной частицы.
2° В основу классификации элементарных частиц кла-
дутся их масса, изотопический спин и вид их взаимодей-
780 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ (VI.6
ствия. Эта классификация приведена на стр. 782—783. По
своим массам частицы относятся к трем классам: лепто-
нам (легкие частицы), мезонам (средние частицы) и бари-
онам (тяжелые частицы). По знаку заряда различают по-
ложительно заряженные, отрицательно заряженные и
электрически нейтральные частицы. Различают также ча-
стицы со спином * '2 (в единицах И) — истинные частицы
и частицы со спином 0 и 1 в тех же единицах — кванты
электромагнитного (фотон) и кванты ядерных полей (к- и
К-мезоны). Частиц с электрическим зарядом | е | > 1 и
спином s> 1, по-видимому, не существует.
3° Полагают, что близкие по массе частицы представ-
ляют собой различные зарядовые состояния одной и той
же частицы. Для характеристики частиц чисто формаль-
но вводят изотопический спин Г, свойства которого ана-
логичны свойствам обычного спина (стр. 681). Считают,
что в отсутствие электромагнитных и ядерных взаимо-
действий частица существует только в одном состоянии.
При наличии электромагнитных взаимодействий из части-
цы возникает зарядовый мультиплет, число компонент
которого (т. е. число различных частиц) равно 2Т + 1;
величина Tz формально рассматривается как проекция
изотопического спина.
В точной аналогии с обычным спином Tz = Т, Т —1,...,
0,...,— Т, т. е. принимает 2Т + 1 значение. Для извест-
ных к настоящему времени элементарных частиц Т = Ъ*
и 1; первому значению соответствуют зарядовые дубле-
ты, второму — зарядовые триплеты. Частиц с 1 не
обнаружено. Компоненты зарядового мультиплета с рав-
ными по величине, но противоположными по знаку Тг
соответствуют частице и ее античастице. Для заряжен-
ных частиц разные знаки Тг отвечают разным знакам элек-
трического заряда частицы и античастицы. Для нейтраль-
ных частиц разные знаки Tz отвечают противоположным
знакам магнитного момента и ряда других характеристик
частиц. Частицы, свойства которых полностью тождествен-
ны свойствам их античастиц, называются истинно ней-
тральными.
4° Для классификации элементарных частиц вводятся
также барионный и лептонный заряды и странность
а) Барионным зарядом называется квантовое чис-
ло В, характеризующее сохранение барионов. Принима-
ется, что для барионов В — 1, для антибарионов В=.—1
и для остальных элементарных частиц Z? = 0.
Vl,e.l] КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ 781
6) Лептонным зарядом называется квантовое число А,
характеризующее сохранение лептонов. Принимается, что
для лептонов £=1, для антилептонов L = —1, для ос-
тальных элементарных частиц А = 0.
Для изолированной системы при всех происходящих в
ней превращениях элементарных частиц алгебраическая
сумма барионных зарядов и алгебраическая сумма леп-
тонных зарядов остаются неизменными (законы сохране-
ния барионных и лептонных зарядов).
в) . Странностью называется квантовое число S,
характеризующее особенности превращений так называе-
мых «странных частиц» — К-мезонов, Л-, X- и Е-гипе-
ронов. Значения S удовлетворяют формуле Гелл-Мана и
Нишиджимы'. S = 2 (Q -— Tz) — В, где Q — электрический
заряд частицы (в единицах е), В—ее барионный заряд,
Tz — изотопический спин частицы. Величина Y = B-\-S
называется гиперонным зарядом частицы.
При сильном взаимодействии (см. п. 6°) выполняется
закон сохранения странности*, алгебраическая сумма
странностей всех частиц в изолированной системе по-
стоянна.
5° Преобразованием зарядового сопряжения назы-
вается переход от частицы к ее античастице. В таком пе-
реходе одновременно в соответствующих уравнениях за-
меняются на противоположные знаки всех зарядов, маг-
нитных моментов, полей и т. д. В рамках классификации
элементарных частиц преобразование зарядового сопря-
жения изменяет знаки Z, Tz, В, L, S n Y.
6° Предполагают, что между элементарными частица-
ми существуют три вида взаимодействий, характеризуе-
мых каждое своей константой и временнбй постоянной
взаимодействия.
а) Сильные взаимодействия имеют место между барио-
нами, антибарионами и мезонами (к и К). Этими взаимо-
действиями обусловлены ядерные силы между нуклона-
ми и процессы образования мезонов и гиперонов в ядер-
ных взаимодействиях при высоких энергиях. Интенсив-
ность взаимодействия характеризуется константой
Ферми g*i1lc~ 1, где g—так называемый ядерный заряд,
соответствующий полю ядерных сил. Процессы, в кото-
рых проявляются сильные взаимодействия, называются
быстрыми и протекают за времена порядка 10~28 сек.
б) Электромагнитные взаимодействия имеют место
между электрически заряженными частицами. Этими
782
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
[VI.6
Класе Название Обозначение Масса покоя в ед. mQ Заряд в ед. е Спин в ед. А
Фотон 7 0 1 0 1
Нейтрино V 0 О 1/з
3 Антинейтрино V 0 0 Vs
о н Электрон е~ 1 -1 Vs
с V Позитрон е+ 1 +1 Vs
Отрицательный мюон И” 206,77 -1 Vs
Положительный мюон И+ 206,77 Vs
Пи-плюс 7С+ 273,18 4-1 0
Пи-минус Л~ 273,18 —1 0
Пи-нуль «о 264,20 0 0
Ка-плюс к+ 966,6 4-1 0
3 и о со 0) Ка-минус к- 966,6 -1 0
£ Ка-нуль К° 974,2 0 0
Анти-ка-нуль Ro 974,2 0 0
Протон Р 1836,12 4-1 Vs
о ч Антипротон Р 1836.12 -1 Vs
а Нейтрон п 1838,65 0 Vs
X Антинейтрон п I83S.65 0 Vs
Ламбда-нуль до 2182,80 0 Vs
Анти-ламбда-нуль до 2182,80 0 Vs
{С Сигма-плюс s+ 2327,7 4-1 Vs
о S Анти-сигма-плюс S+ 2327,7 -1 Vs
Сигма-минус s- 2340,3 -1 Vs
со о сх Анти-сигма-минус S“ 2340,6 +1 Vs
ф Сигма-нуль SO 2331,8 0 Vs
С- Анти-сигма-нуль so 2331,8 0 Vs
Кси-минус s- 2580,2 -1 Vs
Анти-кси-минус s- 2580,2 4-1 Vs
Кси-нуль so 2566 0 Vs
Ahi и-кси-нуль so 2566 0 Vs
У У Г* t- Р .° 5° 5° сд ед 2® о® 2 2® 2 © о © о о о со оо 1,01.108 1,01.108 X ч 75 75 »- ьо КЗ КО УI 8 &t & & •2 1 о ? ? ? ? гч _ 1 1 ь* 1 1 | ° Д 00 ® 00 00 ' NO NO NO N0 Г Z 8 8 8 8 о о ® о» 8 Время жизни в сек
Vt Vt Vt Vt I I I I I I 0 0 to to to to w to to to Изотопиче- ский спин Т
_L±± 1 о o+ l_ £+ о О ю w to to ~t L L ~t to to tO to L <°L± to to to to Проекция изо- топического спина Tz
+ I + I + I + I + I + I О О О О 1 + 1 4^ О О О Странность 5
M? « t>? I> 4- + 00 сиг oq гаг га 4 1111 £г£ £г£ £ £ * * ++++ о © © © t>?t> а я я я + + + + Д + + + -! -+-+-! а я я а ‘ а тэг-о =/я ° ° + 1 + '+ + + + ri ri о о о о n —► р 4- е~4“ v n —► р 4- е+ 4- v 7^ Я % 7^ to Он-О | 4- 1 1 1 11 а 1 я 4 + + + + а + а + О а а * * ’ * 1 1 Г + + _j_ ^ “ £ .£ + Я|а a,|4-+_i_" 1 + + .!= •= + +,+ + » + + ^+t-! + t »'» 2 ?> =^а=Ч/ + t,t4 »»++,+ tt*+t+" 4- 1 1 < г + е + + — Я я _о © 4 1 CD CD 4- 1 + + + + < г < г Схема распада
VI.6.1 ] КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
784 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ [VI.6
взаимодействиями обусловлены кулоновские силы между
заряженными частицами, а также процессы рождения
электронов и позитронов гамма-квантами. Интенсивность
взаимодействия ’характеризуется постоянной тонкой
структуры а (стр. 812), a — e2/tlc^ 1/137. Соответствую-
щие процессы называются электромагнитными и про-
текают за времена порядка 10-16 — 10~17 сек.
в) Слабые взаимодействия имеют место при распадах
элементарных частиц и бета-распадах ядер. Интенсивность
взаимодействия характеризуется константой f*lhc~ 10-18,
где f имеет смысл заряда, соответствующего гипотетиче-
скому полю слабых взаимодействий. Соответствующие
процессы называются медленными и протекают за времена
порядка 10“8 -г- 10~10 сек.
Т Для всех взаимодействий элементарных частиц
выполняются законы сохранения сумм величин, характе-
ризующих свойства частиц до и после данного вида
взаимодействия: законы сохранения энергии, импульса,
электрического заряда, момента импульса и спина, барион-
ного и лептонного зарядов (стр. 781). Кроме того, при
сильных взаимодействиях справедливы закон сохранения
изотопического спина, являющегося при этом точным
квантовым числом, закон сохранения четности (стр. 754)
и закон сохранения странности (стр. 781).
8° Если, кроме сильного взаимодействия, частица
участвует еще в электромагнитном взаимодействии, то
изотопический спин теряет свойство точного квантового
числа, и в результате возникает различие между масса-
ми частиц с разными значениями Tz. Сама величина Tz,
однако, при этом сохраняется.
9° При слабых взаимодействиях частиц нарушают-
ся закон сохранения четности и закон сохранения стран-
ности. Во всех распадах мезонов и гиперонов Д5 = 0;
1.
10° Законы сохранения в физике связаны с общими
свойствами пространства и времени. Именно, изотропность
(однородность) одной величины из пары канонических
сопряженных переменных (стр. 87) влечет за собой закон
сохранения для другой величины. Из изотропности про-
странства следует закон сохранения момента импульса,
из однородности хода времени — закон сохранения энер-
гии, из симметричности пространства относительно пре-
образования инверсии — закон сохранения четности со-
стояния (стр. 754) и т. д.
VI.6.2]
ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
785
11° Несохранение четности при слабых взаимодейст-
виях указывает на несимметричность пространственных
свойств частиц относительно инверсии (стр. 754), что,
однако, противоречит изотропности пространства при
слабых взаимодействиях ввиду сохранения момента им-
пульса в таких взаимодействиях. Противоречие устраняет-
ся принципом Ландау — Ли — Янга. Этот принцип гласит,-
что при слабых взаимодействиях, в отличие от сильных,
закон сохранения четности, а также инвариантность
относительно преобразования зарядового сопряжения
(инверсии частиц) могут порознь не выполняться, но
должна иметь место инвариантность относительно сово-
купности обоих преобразований, называемой комбиниро-
ванной инверсией. При такой инвариантности асимметрия
проявляется только в зарядах частиц, пространство же
остается симметричным.
12° Говорить о сохранении четности можно только
для истинно нейтральных (стр. 780) частиц, так как
прочие частицы при комбинированной инверсии пере-
ходят в отличные от них античастицы. Для истинно ней-
тральных частиц закон сохранения комбинированной чет-
ности совпадает с законом сохранения обычной четности.
Нарушение четности при распаде К°-мезонов объяс-
няется тем, что нейтральные К0- и К°-мезоны образуют
друг с другом две комбинации: К° и К2° (см. таблицу на
стр. 782—783), для одной из которых комбинированная чет-
ность равна + 1, а для другой — 1. Сохранение комбини-
рованной четности приводит к тому, что К?- и К2°-мезоны
имеют различные времена жизни и схемы распадов (на 2
и на 3 к-мезона; в скобках в таблице указаны распады, ко-
торые, видимо, являются общими для Кг и К2-мезонов).
2. Частицы и поля
1° Каждому виду поля сопоставляются частицы, на-
зываемые квантами поля. Квантами электромагнитного
поля являются фотоны, квантами ядерного поля — к-ме-
зоны, квантами гравитационного поля — гипотетические
гравитоны. Кванты поля всегда являются бозонами
(стр. 214). Отличие квантов полей от истинных («вещест-
венных») частиц по признаку равенства у них нулю массы
покоя не может считаться достаточным, так как, цапри-
мер, для к-мезонов mQ^§.
5Q Б, М, Яворский А. А. Детлаф
786
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
[VT.6
2° Взаимодействия частиц друг с другом, проявляю-
щиеся в их притяжении или отталкивании, описываются
как виртуальный обмен частиц квантами поля, соответ-
ствующего данному виду взаимодействия. Точный меха-
низм взаимодействий частиц в настоящее время неизве-
стен. Представление о виртуальном обмене фотонами при
электромагнитном взаимодействии правильно передает
зависимость силы взаимодействия (напряженности поля)
от расстояния г между частицами (<х>г-2).
3° При столкновении частицы с то^О с ее античас-
тицей возможна их аннигиляция, при которой обе час-
тицы превращаются в кванты поля, соответствующего
виду взаимодействия этих частиц. При аннигиляции элек-
трона и позитрона возникают кванты электромагнитного
гамма-излучения, при аннигиляции нуклона и антинукло-
на— к-мезоны и т. п. Число квантов при аннигиляции
определяется законами сохранения электрического заря-
да (а также нуклонного заряда в случае барионов), энер-
гии и импульса. Вероятность данного вида аннигиляции
зависит также от направления спинов частицы и ее ан-
тичастицы. Однофотонная аннигиляция электрона и по-
зитрона возможна лишь вблизи какой-либо третьей час-
тицы (например, ядра). При нерелятивистских скоростях
движения электронов и позитронов большую вероятность
имеет задержка' аннигиляции с образованием метаста-
бильной системы — позитрония (стр. 676). Наиболее рас-
пространена двухфотонная аннигиляция', известна также
аннигиляция, при которой электрон и позитрон превра-
щаются в три фотона.
4° Обратным аннигиляции процессом является фото-
рождение (стр. 773) частиц и их античастиц из квантов
поля, когда энергия последних достигает величины 2т0е2,
где mQ — масса покоя возникающей частицы»
5° Процессы рождения и аннигиляции частиц и их
античастиц формально объясняются теорией Дирака как
результат взаимодействия частиц и вакуума. Вакуум
представляется как энергетическая «зона», заполненная
целиком фермионами, верхний энергетический уровень
которой имеет энергию—т0с2. Фермионы, находящиеся
в вакууме (при Е^—mQc2), необнаружимы, так как
не могут принимать участия в каких-либо взаимодейст-
виях: это означало бы, что они могут терять энергию
и занимать более низкие уровни в зоне; для фермионов
это невозможно ввиду принципа Паули (стр. 693). При со-
VI.6.2] ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ 787
общении частицам в вакууме энергии ДЕ^>2т0е2 они пе-
рескакивают через запрещенную «зону», их энергия
Е^>тос*п частицы становятся наблюдаемыми. Возникаю-
щие при этом вакансии в зоне отрицательных энергий
ведут себя как античастицы.
6° Воздействие на «потенциально заряженный» вакуум
внешних по отношению к нему заряженных частиц при-
водит к поляризации вакуума. Взаимодействие поляризо-
ванного вакуума с зарядом электрона приводит к появ-
лению нулевой энергии колебаний (стр. 648) («.дрожащий
электрон*).
Т Взаимодействие электронов с вакуумом проявляется
также в следующих эффектах:
а) Появление аномального магнитного момента элек-
трона, отличающегося от значения магнитного момента в
нерелятивистской квантовой механике (стр. 428) на вели-
чину радиационной поправки'.
И = 1*5 2,973 £ + ...)= 0,0011454 |*б,
где а — постоянная тонкой структуры (стр. 812), р.Б — ма-
гнетон Бора (стр. 428).
б) Изменение кулоновского потенциала поля электро-
на на расстояниях г < Н/т^с'.
<f(r) = — e TSZ’ где ₽ (г) = 1 + fSF 1п "Ат? ~ • • •»
т \ / ‘ttzr • ' 1 отса т сг ’
е
те — масса электрона. Формула для р (г) справедлива
в области, где второй и последующие члены разложения
много меньше единицы.
в) Изменение волновых функций и уровней энергии
электрона в атоме. Небольшая радиационная поправка
к энергии уровней 22si/2 и 22р1/з, вырожденных для ато-
ма водорода в нерелятивистской квантовой механике
(стр. 651), приводит к снятию вырождения и расщеплению
этих уровней (лэмбовский сдвиг уровней). В результате
становится возможным запрещенный (стр. 667) переход
22p1/g 7-* 22s1/g с появлением соответствующей спектраль-
ной линии. Расщепление уровней 22р1/2 и 22s1/2 составляет
по частотам величину ~ 109 гц и может быть обнаруже-
но радиоспектроскопическими методами (стр. 725).
8° Взаимодействие частиц и вакуума является формой
описания универсального взаимодействия и взаимопре-
50*
788 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ fVJ.6
вращаемости частиц вещества и квантов поля. Двойствен-
ность свойств частиц и фотонов (стр. 647) получает смысл
проявления сложной природы материальных объектов, за-
ключающейся в одновременном и неразрывном наличии
у них корпускулярных и полевых свойств. Корпускулярные
свойства объектов преобладают при их кинетических
энергиях Ек т0с2. При энергиях Ек^т0с2 начинают за-
метно сказываться полевые свойства. В области энергий
Ек > т0с2 картина взаимоотношения корпускулярных и по-
левых свойств становится крайне сложной и не допускает
даже приближенного их разграничения.
9° Структура элементарных частиц не может быть опи-
сана наглядными геометрическими представлениями. Эта
структура, по-видимому, не является стационарной. С од-
ной стороны, она определяет вид взаимодействия данной
элементарной частицы с другими и проявляется в этом
взаимодействии. С другой стороны, эта структура является
отражением всех взаимодействий, которые испытывает
частица в данный момент времени.
10° Предполагают, что электроны и позитроны состоят
из внешнего «облака» фотонов, виртуально испускаемых
и поглощаемых частицей. Внутренние области электрона
и позитрона, возможно, образованы виртуально рождаю-
щимися и аннигилирующими за времена порядка 10-16 сек
парами электрон — позитрон. Нуклоны, возможно, имеют
внешние области, состоящие из полевых «облаков» вир-
туальных гс-мезонов, имеющих размеры ~ 10~18 см и
плотность, спадающую к границам нуклона. Внутренние
области нуклона, вероятно, образованы из нескольких
слоев все более тяжелых частиц («ке/ж» нуклона). Эти
последние также рождаются и аннигилируют виртуально
парами частица — античастица (например, К-мезон — анти-
К-мезон, нуклон — антинуклон и т. п.), причем указанные
процессы должны иметь очень высокую частоту («период»
порядка 10~28 сек).
3. Космические лучи
Г Космическими лучами называются потоки элемен-
тарных частиц и ядер, приходящих на Землю из косми-
ческого пространства. Первичными называются космичес-
кие лучи за границами земной атмосферы. Вторичные кос-
мические лучи образуются в результате взаимодействия ча-
стиц первичных лучей с ядрами атомов атмосферных газов.
V1.6.3J КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ 789
*2° Первичные космические лучи состоят на 99°/0 из
протонов и альфа-частиц Ядра других легких элемен-
тов (вплоть до железа) присутствуют в них в относительных
количествах, примерно соответствующих их средней рас-
пространенности в природе. Электроны (позитроны) и фо-
тоны в первичных лучах, по-видимому, отсутствуют.
Первичные лучи имеют изотропное пространственное рас-
пределение. Средняя энергия протонов в них составляет
(3 -г-15)-10® эв, но может достигать и 1018 эв.
3° При высокой энергии первичных частиц (>5- 108 эв)
столкновения их с атомами воздуха приводят, как пра-
вило, к образованию электронно-ядерных ливней. Резуль-
татом взаимодействия первичной частицы с ядрами атомов
воздуха является расщепление последних на отдельные
нуклоны и более крупные части, а также образование
неустойчивых частиц (тс^- и те°-мезонов). Последующие
распады р— _> е- и к° -^2^ е+ + е~ приводят к об-
разованию мягкой электронно-фотонной (п. 4°) компоненты
ливня. Эта компонента затем интенсивно размножается
вследствие последовательного (каскадного) образования
новых пар е+ — е“ (стр. 757) и тормозного излучения
частицами (стр. 531) новых гамма-квантов (электронно-
каскадный процесс). Возникающие при расщеплении ядер
энергичные нуклоны способны в свою очередь вызывать
электронно-ядерные ливни (ядерно-каскадный процесс).
Совокупность последовательных ядерных взаимодействий
высокой энергии приводит к образованию широких атмо-
сферных ливней (называемых также ливнями Оже). Пос-
ледние при энергиях первичных частиц свыше 1018 эв
могут содержать многие миллионы частиц (в основном е—)
при поперечных размерах ливня более 1 км.
4° Электроны, позитроны и фотоны во вторичном кос-
мическом излучении называются мягкой компонентой
его, мюоны, образовавшиеся при распаде к-мезонов и
слабо взаимодействующие с ядрами атомов атмосферы, —
жесткой компонентой. Соотношение между интенсив-
ностями обеих компонент сильно меняется с высотой
вследствие неодинакового поглощения различных частиц
в атмосфере, а также из-за распада нестабильных частиц.
Число протонов и нейтронов во вторичных лучах быстро
уменьшается с увеличением глубины атмосферы. Ко-
личество электронов и фотонов при этом сначала
резко нарастает, достигает максимума на высоте
790 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ [VI.6
13—20 км, а затем падает. Медленнее других спадает
число мюонов.
5° Магнитное поле Земли искривляет траектории
заряженных частиц в космических лучах и не позволяет
достигать нижней атмосферы частицам с энергией, мень-
шей пороговой:
^орог = M*c* + P*c't
где ________________
Рс = 59,6Z cos4 X[l-/l-sin £ cos <р cos8 X]"M09 эв,
М— масса покоя частицы, Z— заряд частицы, X—гео-
магнитная широта, С и <р—зенитный и азимутальный угыл
для направления движения частицы. Это обрезает спектр
первичных космических лучей со стороны малых энергий.
Для вертикально движущихся протонов Епорог= 14 -109 эв
на геомагнитном экваторе, 1,5-10® эв на геомагнитной
широте 50° и равна нулю у геомагнитных полюсов. В
результате интенсивность космических лучей у геомагнит-
ных полюсов выше, чем на геомагнитном экваторе (широт-
ный эффект).
6° Действие магнитного поля Земли на частицы кос-
мических лучей, обладающие средней и малой энергией,
приводит к образованию вокруг Земли радиационных
поясов—областей с резко повышенной концентрацией
заряженных частиц. Эти пояса особенно толсты вблизи
геомагнитного экватора и исчезают у геомагнитных
полюсов Земли. Более близкий к Земле радиационный
пояс состоит в основном из протонов и простирается
примерно от 600 до 6000 км над поверхностью Земли.
Внешний радиационный пояс состоит в основном из элек-
тронов и простирается от 20 000 до 60 000 км над поверх-
ностью Земли.
7° Колебания интенсивности вторичных космических
лучей во времени называются вариациями космических
лучей. Атмосферные вариации связаны с нерегулярными
изменениями атмосферного давления, с переменной вели-
чиной солнечной активности, влияюшей на процессы в
атмосфере, и т. д. Звездно-суточные вариации связаны с
вращением Земли (т. е. движением предполагаемых источ-
ников первичных лучей за пределами солнечной системы).
Кроме того, известны вариации космических лучей с
27-дневной, сезонной, годовой, 11-летней и т. д. периодич-
ностью.
V 1.6.3] КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ 791
8° Первичные космические лучи сверхвысоких энер-
гий (более 1012 4- 1013 эв), по-видимому, в основном
генерируются в нашей Галактике при взрывах новых
и сверхновых звезд в результате неизвестных пока изме-
нений в их термоядерных циклах (стр. 774). Доля сол-
нечных вспышек в этом излучении очень мала.
Вещество звезд при взрывах разлетается на большие
расстояния и попадает в межзвездные переменные маг-
нитные поля, где получает дальнейшее ускорение. Вслед-
ствие малой плотности межзвездного вещества средняя
длина свободного пробега ускоряемых частиц весьма ве-
лика, так что при большой длительности (108 4- 109 лет)
ускорительных процессов частицы космических лучей
набирают очень высокие энергии. При их ускорении и
торможении в магнитных межзвездных полях возникает
тормозное и синхротронное (стр. 531) излучение частиц,
лежащее в диапазоне видимого света и коротких радио-
волн (космическое радиоизлучение).
Потоки космических лучей меньших энергий испу-
скаются Солнцем. Интенсивность этих потоков резко воз-
растает при солнечных вспышках.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В РАЗЛИЧНЫХ
СИСТЕМАХ ЕДИНИЦ1)
1. Единицы измерения механических величин
1° До 1963 г. были приняты три метрические си-
стемы единиц:
а) абсолютная физическая система СГС (CGS), в ко-
торой основными единицами являются сантиметр, грамм
и секунда;
б) абсолютная практическая система МКС (MKS), в
которой основными единицами являются метр, килограмм
и секунда;
в) техническая система МКГСС (MKGS), в которой
основными единицами являются метр, килограмм-сила
и секунда.
С 1933 г. в СССР в качестве предпочтительной вве-
дена Международная система единиц СИ (SI), которая
для механических единиц совпадает с системой МКС, а
для электромагнитных — с системой МКСА.
В качестве единицы плоского угла во всех системах
единиц принят радиан, а в качестве единицы телесного
угла — стерадиан.
2° Определения основных единиц.
Единица длины — метр (м) есть длина, равная 1 650 763,73
длин волн в вакууме излучения, соответствующего
переходу между уровнями 2р10 и 5<75 атома криптона-86.
Переход к новому определению метра по сравнению
с прежним (расстояние между двумя штрихами на пла-
тино-иридиевом эталоне длины) не связан с изменением
величины метра, а лишь повышает точность его воспро-
изведения.
1) Основные определения и основные сведения о теории размернос-
тей см. стр. 314 и 315,
1. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
793
Сантиметр (см) — одна сотая метра.
Килограмм (кг) — единица массы — представлен мас-
сой международного прототипа килограмма.
Грамм (г)— одна тысячная килограмма.
Секунда (сек)— 1/31556925,9747 часть тропического го-
да для 1900 г. января 0 в 12 часов эфемеридного времени.
Тропическим годом называется промежуток времени меж-
ду двумя последовательными прохождениями Солнца
через точку весеннего равноденствия. Эфемеридным
временем называется равномерно текущее время, кото-
рое применяется в астрономии с тех пор, как было уста-
новлено, что вращение Земли и ход основанного на нем
всемирного времени неравномерны. Новое определение
секунды не связано с изменением ее величины по срав-
нению с прежней.
Килограмм-сила (кгс или кГ) — сила, сообщающая мас-
се, равной массе международного прототипа килограмма,
ускорение, равное 9,80665 м)сек2.
Радиан (рад) — угол между двумя радиусами круга,
вырезающими на окружности дугу, длина которой равна
радиусу.
Стерадиан (стер) — телесный угол, вершина которо-
го.расположена в центре сферы и который вырезает на
поверхности сферы площадь, равную квадрату со сторо-
ной, равной радиусу сферы.
3° Приставки, служащие для обозначения производных
единиц метрических систем, кратных и дольных главной
единице:
Наименование Отношение к главной единице Сокращенное обозначение
русское международное
Пико 10-12 п Р
Нано Ю—о н п
Микро ю-в мк Р
Милли 10-з м ш
Санти 10-2 с с
Деци 10-1 д а
Дека 10 да da
Гекто 102 г h
Кило 103 к К
Мега 10в - М М
Гига 100 Г G
Тера 1012 Т Т
4° Размерности и единицы измерения некоторых геометрических и механических вели-
чин в различных системах единиц
Величина Формула размер- ности в системе 1) Единицы измерения в системе
СГС МКС и СИ МКГСС
СГС, МКС и СИ МКГСС наимено- вание сокращен- ное обозна- чение наимено- вание сокращен- ное обозна- чение наимено- вание сокращен- ное обозна- чение
Длина L L санти- метр см метр м метр м
Масса М L-1FT2 грамм г кило- грамм кг кГ • сек%/м
Время т Т секунда сек секунда сек секунда сек
Плошадь L2 L2 квадрат- ный сан- тиметр см'2 квадрат- ный метр м2 квадрат- тый метр м2
Объем L3 L3 кубиче- ский сан- тиметр СМ2 кубиче- ский метр мз кубиче- ский метр м3
Частота т-i т-i герц гц герц гц герц гц
Угловая скорость Т-1 т-i — рад/сек — рад/сек — рад/сек
Угловое ускорение Т-з Т-2 — рад/сек'2 — рад/сек'2 — рад/сек'2
Скорость LT-1 LT-1 — см/сек — м/сек — м/сек
Ускорение LT-2 LT-2 — см/сек'2 — м/сек'2 — м/сек2
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение
Величина Формула размер- ности в системе Ц Единицы измерения в системе
СГС МКС и СИ МК сс
СГС, МКС и СИ МКГСС наимено- вание сокращен- ное обозна- чение наимено- вание сокращен- ное обозна- чение наимено- вание сокращен- ное обозна- чение
Сила LMT-2 F дина дин 2) ньютон н кило- грамм- сила кге или кГ
Количество движе- ния LMT-1 FT — г • см./сек — кг • м/сек — кГ • сек
Импульс силы LMT-1 FT — дин • сек — н • сек — кГ • сек
Плотность L-3M L-4FT3 — г/см* — кг/мЗ — кГ • сек^/м*
Удельный вес L-2MT-2 L-3F — дин/с м3 — н/м* — кГ/м*
Работа и энергия L2MT-2 LF Эрг эрг джоуль дж — кГ • м
Мощность L2MT-3 LFT-1 — эрг/сек ватт вт — кГ • м/сек
Момент силы L2MT-2 LF — дин • см — н • м — кГ • м
Момент инерции L2M LFT2 — г • с-и2 — кг - л<2 — кГ • м • сек*
Момент количества движения L2MT-1 LFT — г • см^/сек — кг-м^/сек — кГ • м • сек
Импульс момента си- лы L2MT-1 LFT — дин • см • сек — н • м • сек — кГ • м • сек
[. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
Продолжение
Величина Формула размер- ности в системе 1) Единицы измерения в системе
СГС МКС и СИ МКГСС
СГС, МКС и СИ МКГСС наимено- вание сокращен- ное обозна- чение найм ено- вание сокращен- ное обозна- чение наимено- вание сокращен ное обозна- чение
Давление (напряже- ние) L-1MT-2 L-2F -») дин/см- -<) «/4f2 - кГ/м-
Динамическая вяз- кость (коэффициент внутреннего трения) L-1MT-1 L-2FT пуаз пз — «•сек/м^ — к Г • сек/м*
Кинематическая вяз- кость L2T-1 L2T^1 стокс ст — м^/сек — м'^/сек
Модули линейного растяжения (Юнга), сдвига и всестороннего сжатия L-1MT-2 L-2F — дин/см^ — н/м^ — кГ/м*
1) Символы L и Т означают единицы длины и времени, М — массы (в системах СГС, МКС и СИ), (в системе МКГСС). 2) Прежде обозначалась дн. 8) Прежде называлась бар {бар), новое определение бара см. стр. 798. *) Прежде называлась миллипьеза {мпз]. F — силы
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ 797
5е Соотношения между единицами измерения некото-
рых величин (стандартное ускорение 9,80665 м/сек* заме-
нено приближенной величиной 9,81 м/сек*)
Величина Соотношения между единицами измерения
в системах СГС, МКС, СИ и МКГСС
Длина............... 1 см — 10-2 м
Масса............... 1 г = 10~« кг; 1 кГ-сек2/м = 9,81 кг
Площадь............. 1 см- = 10—*
Объем . ........... 1 см3 = 10-е мз
Сила............. . 1 дин =10-5| кГ=9,81 н
Плотность........... 1 г/см3 = Ю3 кг/м3; 1 кГ-сек2/м4 = 9,81 кг/м3
Удельный вес........1 дин/см3 = 10 н/м3; 1 кГ/м3 = 9,81 н/м3
Работа и энергия ... 1 эрг = 10~7 дж; 1 кГ*м = 9,81 дж
Мощность...........• 1 эрг/сек — 10—7 ] кГ'М/сек = 9,81 втп
Давление, модули ли-
нейного растяжения,
сдвига и всесторонне-
го сжатия....... 1 дн/см2 = 10~1 н/м2; 1 кГ/м* = 9,81 н/м2
Динамическая вязкость 1 пз = 10~1 н-сек/м2; 1 кГ'Сек/м2 —
— 9,81 н>сек/м2
6° Внесистемные единицы и их связь с единицами си-
стемы СИ.
Величина Единица измерения
наименование сокращен- ное обозна- чение связь с единицей системы СИ
Длина микрон ангстрем мк А } мк = 10-е м 1 А = 10-ю м
Масса тонна центнер карат m цн 1 m = Юз кг 1 цн = 102 кг 1 карат = 2 • 10-4 кг
Время час минута ч мин 1 ч = 3600 сек 1 мин = 60 сек
Плоский угол градус о
минута f *' =та,10~2Ро<>
секунда tf = рад
798
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение
Единица измерения
Величина наименование сокращен- ное обозна- чение связь с единицей системы СИ
Площадь ар гектар а га 1 а = 10\м^ 1 га = 104 м2
Объем литр л 1 л = 1,000028- Ю-з м3
Угол поворота оборот об 1 об = 2тс рад
Угловая ско- рость — об/мин об/ сек 1 об/мин = рад/сек 1 об/ сек = 2тс рад/сек
Сила тонна-сила тс 1 тс = 9,80665 • 103 н
Работа ватт-час вт- ч 1 вт- ч = 3,6 • 103 дж
Мощность лошадиная сила л. с. 1 л. с. = 735,499 вт (75 к Гм/сек)
Давление 1) Старое бар (новый)1) миллиметр ртутного столба миллиметр во- дяного столба техническая атмосфера физическая атмосфера определение бара бар мм рт. ст. мм вод. ст. ат или кГ/см^ атм . см. стр. 1 1 бар = 105 н/м* 1 мм рт. ст. = = 133,322 л/м2 1 мм вод. ст. = = 9,80665 л/м2 1 ат — 9,80665* 104 н/м* 1 атм=1,01325* 105 н/м2 (760 мм рт. ст.) 96, примечание *).
I. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ 799
2. Единицы измерения тепловых величин
Г Для измерения тепловых величин в качестве пред-
почтительной установлена Международная система еди-
ниц СИ, основными единицами которой являются метр,
килограмм, секунда и градус Кельвина.
Допускается также применение внесистемных единиц,
основанных на калории.
2° В качестве основных приняты абсолютная термо-
динамическая шкала температуры (Г° К) и стоградусная
международная температурная шкала (Г С). Основной
реперной точкой первой шкалы, используемой в системе
СИ, является температура тройной точки (стр. 266) воды,
равная 273,16° К. Основные реперные точки второй шка-
лы — температуры плавления льда (0° С) и кипения воды
(100° С) при нормальном давлении (101 325 н!м*).
3° Калория устанавливается на основе следующего
соотношения: 1 кал = 4,1868 дж.
(Размерности и производные единицы измерения неко-
торых молекулярных и тепловых величин см. в таблице
на стр. 800 — 802.)
3. Единицы измерения электрических и магнитных
величин
Г Единицы Международной системы СИ для электри-
ческих и магнитных величин совпадают с соответствую-
щими единицами принятой ранее системы МКСА. В ка-
честве четвертой основной единицы принят ампер. При
использовании этой системы единиц все уравнения элек-
тромагнитного поля нужно записывать в рационализован-
ной форме.
2° Определение единицы силы тока — ампера (а): ам-
пер есть сила неизменяющегося тока, который, проходя
по двум параллельным прямолинейным проводникам
бесконечной длины и ничтожно малого кругового сече-
ния, расположенным на расстоянии 1 метр один от другого
в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу,
равную 2-10~7 единицы силы системы СИ на 1 метр длины.
3° Кроме того, в физике применяются следующие
три системы единиц, построенные на основе системы СГС
для механических величин:
а) абсолютная электрическая система единиц СГСЭ,
в которой основными единицами являются сантиметр,
Величина Размерность в системах СИ и СГС 1) Единица измерения в системе Внесистемные единицы Связь между еди- ницами в разных системах
си СГС
Коэффициент диффу- зии L2T-1 м2/сек см2/сек - 1 см2/сек = = 10~4 м2/рек
Коэффициент внут- реннего трения L-1 МТ-1 кг/м. • сек г/см • сек (пуаз) - 1 /13=10—1 кг/м* сек
Коэффициент по- верхностного натяжения МТ-2 кг/сек2 (н/м; дж/м2} г/сек2 (дин/см\ эрг/см2} — 1 г/сек2 = . — Ю-з кг/сек2
Удельный объем L8M-1 м^/кг см^/г — 1 слсз/г=10-з м^/кг
Молекулярный вес М* моль~^ (СГС) М* кмоль~1 (СИ) кг/моль г/моль — 1 г/моль — = 1 кг/кмоль
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение
Яворский, А. А. Детлаф
Величина Размерность в системах СИ и СГС 1) Единица измерения в системе Внесистемные единицы Связь между еди- ницами в разных системах
СИ СГС
Количество тепла, внутренняя энергия, энтальпия, изохорно- изотермный, изобарно- изотермный и хими- ческий потенциалы L2MT-2 дж эрг кал ккал 1 эрг — 10~? дж 1 кал = 4,1868 дж 1 ккал — 103 кал
Теплоемкость, энтро- пия L2MT-2 • град-1 дж/ град эрг/град кал/град
Удельная теплоем- кость, удельная эн- тропия L2T-2•град 1 дж/кг • град эрг/г-град кал/г • град ккал/кг-град 1 эрг/ г- град = = 10—4 дж/кг-град 1 кал/г- град = =4,1868-103 дж/кг-град
Удельная теплота фа- зового перехода L2T-2 дж/ кг эрг/г кал/г ккал/кг 1 эрг/г=\0~^ дж/кг 1 кал/г=1 ккал/кг= = 4,1868«103 дж/кг
I. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
Продолжение
Величина Размерность в системах СИ и СГС М Единица изм1 СИ грения в системе СГС Внесистемные единицы Связь между еди- ницами в разных системах
Коэффициент тепло- проводности LMT-8 X X град.-1 ет/м • град эрг/см • сек • град кал/см • сек X X град ккал/м-ч-град 1 эрг/см- сек-град= = 10—5 вт/м - град 1 кал/см-сек-град— = 4,1868 X X Ю2 ет/м • град 1 ккал/м-ч-град = = 1,1630 вт/м-град
Коэффициенты те- плоотдачи и теплопе- редачи мт-з х X град.-1 вт/м^ • град эрг/см* • сек • град кал/см'2 • секХ Хград ккал/м2 • ч X X град 1 эрг/см^-сек-град= = 10~з кт/м2-град 1 кал/см2 X X сек - град = = 4,1868-\Мет/м2Х Хград 1 ккал/м^-ч-град= = 1,1630 вт/м* X X град
Коэффициент темпе- ратуропроводности *) Символы L, М и L2T-1 Т означают ед1 м2/сек тайцы длины, м^ см2/сек ассы и времени в сс ютветствующих системах единиц.
£ИНЗЖР1ГИ<Ш
I. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ 803
грамм, секунда, а абсолютная ди электрическая проницае-
мость считается безразмерно й и равной единице для
вакуума:
»о = 1;
б) абсолютная электромагнитная система един иц СГСМ,
в которой основными единицами являются сантиметр,
грамм, секунда, а абсолютная магнитная про ницаемость
считается безразмерной и принимается равной единице
для вакуума:
Ро = 1;
в) абсолютная гауссова система единиц, в которой
основными единицами являются сантиметр, грамм, се-
кунда, а абсолютная диэлектрическая и магнитная про-
ницаемости считаются безразмерными и принимаются
одновременно равными единице для вакуума:
.«» =(*» = !.
В случае использования систем единиц СГСЭ, СГСМ
и гауссовой уравнения электромагнитного поля записы-
ваются в нерационализованной форме.
4° Размерности и единицы измерения основных
электрических и магнитных величин в системе
СИ (МКСА):
Величина Размерность Единица измерения
название сокращен- ное обо- значение
Работа и энергия Мощность Количество электри- чества (электрический заряд) Поток электрическо- го смещения (индук- ции) Электрическое сме- щение (индукция) Разность потенциа- лов, напряжение, элек- тродвижущая сила м2 • кг/сек* м2 • кг/сек* а • сек а • сек а •сек/м2 м2 • кг/а • сек2 джоуль ватт кулон, ампер- секунда кулон кулон на квадратный метр вольт дж вт к к к/м* в
51*
804
ПРИЛОЖЕНИЯ
Пооюлжеяяе
Величина Размерность Единица измерения
название сокращен ное обозна- чение
Электроемкость Электрический мо мент Вектор поляризации (поляризованность) Электрическая по стоянная Напряженность элек трического поля Электрическое сопро- тивление Удельное электриче ское сопротивление Удельная электриче ская проводимость Подвижность ионов Магнитный поток Магнитная индукция Магнитный момент Вектор интенсивно сти намагничения (на магниченность) Индуктивность и вза- имная индуктивность Магнитная .постоян- ная Напряженность маг- нитного поля Магнитодвижущая сила Магнитное сопро- тивление , сек*/м% • кг а • сек м а •сек/м? 7 2 • сек*/м* - кг м • кг/а - сек^ кг/а^ • сек* кг/cfl • сек3 (х2 . сек^ м* кг а • сек^/кг и* кг/а- сек^ кг/а сек^ а м% аил ма • кг/а* • сек3 м • кг/а* • сек2 а/м а «8 . сежа/лс2 • кг фарада ф — к • м — К/Х2 фарада ф/м на метр вольт в /м на метр ом ом — ом • м — 1/ом • м — м* /в- сек вебер вб тесла тл — а • м2 — а/м сенри гн генри гн/м на метр ампер а/м на метр ампер а или или ампер- ав виток — а/вб или ав/вб
5° Размерность и соотношения между единицами измерения электрических величин
в системах СГСЭ, СГСМ и гауссовой (с — электродинамическая постоянная, равная ско-
рости света в вакууме: с^З-1010 см!сек)
Величина Размерность в системах Связь между единицами
СГСЭ и гауссовой СГСМ ед. СГСЭ 1) ед. СИ ед. СГСМ ед. СИ ед. СГСЭ а)
ед. СГСМ
Количество электричества (электрический заряд) слс3/з . г1/з . сек-1 см1 f2. г1/2 10с — 1 10 с~1
Поток электрического смеще- ния (индукции) СМ3/2 • 21 /2 . сек~~1 см1! 2 • г1/2 10 • (4лс)~1 10/4л с—1
Электрическое смещение (ин- дукция) см~~1/2. гА/2. сел:-1 см—3/2. г1/2 105 • (4лс)~1 105/4л С-1
Разность потенциалов, напряже- ние, электродвижущая сила см1/2 . гА/2. сел:-1 см3/2 . //а . сел:-2 10- 8с io-» с
Электроемкость см слс~1 • сек2 ЮЭс-з 109 С~2
Электрический момент см?!* - г1 /з. сел:-1 СМ3,2 • г1/2 (Юс)—1 10-1 С-1
Вектор поляризации (поляризо- ванность) еле-1 /2. г1/а. сел:-1 см—3^2. гА/г 1О5С-1 105 с—1
[. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
Продолжение g
___________ s
Величина Размерность в системах Связь между единицами
СГСЭ и гауссовой СГСМ ед. СГСЭ*) ед. СИ ед. СГСМ ед. СИ ед. СГСЭ2) ед. СГСМ
Электрическая постоянная — см~2 • сек2 ЮН /4пс* 10И/4К . с~*
Напряженность электрического поля см 1 /а. г1 /а. сел:-1 см1/* • г1/* • сек~2 10-вс 10—в с
Сила тока см3/** г1/г. сек~2 см1/* • г1/* • сек"1 Юс-1 10 с-1
Электрическое сопротивление см~1 • сек см • сек 10-вс2 10—9 с*
Удельное электрическое сопро- тивление сек см* • сек—1 10-Иса 10-11 с*
Удельная электрическая прово- димость сек—1 см~* • сек I011C-2 1011 с~*
Подвижность зарядов см3/2-г'1/2 см1/* • г— 1/г . сек 104с~1 104 С~1
1) Таковы же значения отношений единиц гауссовой системы к единицам СИ (МКСА). 2) Таковы же значения отношений единиц гауссовой системы к единицам СГСМ.
ПРИЛОЖЕНИЯ
6° Размерности магнитных величин и соотношения между единицами их измерения
в системах СГСЭ, СГСМ и гауссовой (с — электродинамическая постоянная* равная ско-
рости света в вакууме: с«гзЗ-1010 см!сек).
Величина Размерность в системах Единица изме- рения в систе- мах СГСМ и гауссовой Связь между единицами
СГСЭ СГСМ и гауссовой
назва- ние сокра- щенное обозна- чение ед. СГСЭ ед, СГСМ1) ед. СГСЭ2)
ед. СИ ед. СИ ед. СГСМ
Магнитный поток см1/2- 2x/s см8/2. г1/2 . сек:-1 макс- велл мкс 10—ВС 10-8 с
Магнитная индук- ция СЖ—3/2 . 2^2 см-1/а . г1/2.сек~1 гаусс гс 10--^ 10—4 с
Магнитный мо- мент см8/а . гх/2 см5/з . г1/г. сел:-1 — - 10-ЗС-1 10-з С—1
Вектор интенсив- ности намагничения (намагниченность) см”8/а. см”1/8 •г1/8»сел:-1 — — 103с-1 Юз I 1
I. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
Продолжение g
_____________ QO
Величина Размерность в системах Единица изме- рения в систе- мах СГСМ и гауссовой - Ч Связь между единицами
СГСЭ СГСМ и гауссовой назва- ние сокра- щенное обозна- чение ед. СГСЭ ед. СГСМ1) ед. СГСЭ2)
ед. СИ ед. СИ ед. СГСМ
Индуктивность и взаимная индуктив- ность см—1 • сек2 см санти- метр 3) см 10~8с2 10-й С2
Магнитная по- стоянная см~2 • сек2 — - - 10- 7.4тес2 10—7 . 4 тс С2
Напряженность магнитного поля см1^. г1/2* сек~2 см~~х 12 • г112 > сек~х эрстед 103/4лс 103/4л С—1
Магнитодвижу- щая сила см8/2 - г1/2 - сек~2 см1/2 • гХ/2 . сек~г гиль- берт гб 10/4лс 10/4л С—1
Магнитное сопро- тивление см • сек~2 см-1 - - Ю9/4лс2 10»/4л С"2
i) Таковы же значения отношений единиц гауссовой системы к единицам системы 2) Таковы же значения отношений единиц СГСЭ к единицам гауссовой системы В ГОСТ 8033-56 это наименование ликвидировано. СИ (МКСА).
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
809
7° Внесистемные единицы энерши.
а) электронвольт (эв), 1 эв = 1,60207- 10~ь дж;
6) килоэлектронвольт (кэв), 1 кэб=101 * 3 4 * эв,
в) мегаэлектронвольт (Мэв), 1 Л4эв=10езв;
г) гигаэлектронвольт (Гэе), 1 Гэе==101)эв.
4. Единицы измерения уровня громкости звука
Уровень громкости звука L* = k lgy-*(cTp. 514)изме-
' о
ряется в белах (б) и децибела* (дб). В первом случае
k-1, а во втором к = 10.
5. Единицы измерения световых величин
Г Основной единицей в системе СИ является единица
силы света—свеча (св), значение которой принимается
таким, чтобы яркость полного излучателя при температуре
затвердевания платины была равна 60 св на 1 см2
2° Производные световые единицы
Величина Единица измерения Внесистемные единицы
название сокращен- ное обо- значение назва- ние сокра- щенное обозна- чение
Световой поток люмен ’) лм
Световая энергия люмен секунда лм ген — —
Светность (свети- мость) люмен на квад- ратный метр (люкс) лмм2 (лк' фот ЛАЦСМ* Ф
Освещенность люкс а) лк фот *) Ф
Количество освеще- ния ЛЮКС- секунда лк • сек —
Яркость нит ’) свеча на квад- ратный метр нт св!м’ стильб6) сб
1) Световой поток, испускаемый точечным источником света
с силой света в 1 свечу в телесный угол, равный 1 стерадиану.
г) Освещенность поверхности сферы радиусом 1 метр, созда-
ваемая находящимся в ее центре точечным источником света
сила света которого равна 1 свече.
’) Яркость равномерно светящейся плоской поверхности в
перпендикулярном к ней направлении, если в этом направлении
сила света 1 м2 поверхности равна 1 свече
4) 1 ф — I /ш/сиг=10< лк.
^^jlc6=J^HrrL
810
ПРИЛОЖЕНИЯ
6. Некоторые единицы измерения в атомной
и ядерной физике
Г Атомная единица массы (А. Е. М.) — 1/16 массы
атома изотопа кислорода О16:
1 А. Е. М. = 1,66035 • 10~24 г.
2е Барн — единица измерения эффективного попереч-
ного сечения ядерных реакций:
1 барн = 10“84 см2.
приложение п
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ *)
Атомная констан-
та теплоемкости й/£ = (4,79894 ± 0,00021 )• 10~п сек- град.
Атомный вес ней-
трона*
Мп = 1,008982 ±0,000003 А.Е.М.
Атомный вес про-
тона Мр = 1,0075957 ± 0,000001 А.Е.М.
Атомный вес
электрона Л4е = (5,48760 ± 0,00004) • 10~4 А.Е.М.
Атомный вес ато-
ма водорода Л4Н = 1,0081445 ± 0,000001 А.Е.М.
Заряд электрона е = (4,80294 ± 0,00008) • 10~10 ед.
СГСЭ.
Заряд удельный
альфа-частицы 2е/та = 4822,33 ± 0,51 ед.СГСМ-г”1.
Заряд удельный
протона е/тр = 9578,77 ± 1,0 ед. СГСМ • г"1.
Заряд удельный
электрона е/те = (1,75888 ± 0,00003) • 107 ед.
СГСМ - гЛ
Ионизационный
потенциал водо-
рода срн = 13,527 эв.
Комптоновская
длина волны про-
тона Хр = (1,32140 ± 0,00002). 10-18 см.
х) Данные взяты из «Handbook of Chemistry and Physics», 41 ed.,
1959—1960. Данные, отмеченные * и **, взяты, соответственно, из «Спра-
вочника химика», т. I, Госхимиздат, 1962 и книги Дж. Сандерса «Основ-
ные атомные константы», Госатомиздат, 196^.
П. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ 811
Комптоновская
длина волны
электрона
Магнетон Бора
» ядер-
Ле =(2,42627 + 0,00002). 10~10 см.
р.Б = (9,27334 + 0,0002) • 10~81 эрг-гс~\
ный ** |хяд = (5,05038 + 0,00018) • 10~84 эрг-гс~1.
Масса альфа-
частицы та = (6,64422 0,00012) Л 0~84 г.
» атома
водорода /пн = (1,67339 + 0,00031) • 10-24 г.
» протона тр = (1,67248 + 0,00031). 10-84 г.
» электрона те = (9,1086 + 0,0003) • 10~88 г.
Множитель пере-
вода Х-единиц
в ангстремы 1Х.Е.= (1,00203 ± 0,00002) • 10~аА.
Объем одного мо-
ля идеального
газа при норм. усл.
Отношение масс
22,4139 + 0,0011 л.
протона и элек-
трона тр/те = 1836,13 it 0,02.
Постоянная
Больцмана
» Вина
» га-
зовая
» гра-
витационная *
Постоянная План-
ка
» радиа-
ционная первая
Постоянная ра-
диационная
вторая
Постоянная Рид-
берга для водо-
рода
k = (1,38049+0,00005). 10“1в эрг-СЮ”1-
b = 0,289780 + 0,000005 см • °К.
R = (8,31436 + 0,00038) • 107 эрг X
X (°К)-1 • моль”1.
7 = (6,670 + 0,007). 10~8слг8. г'1 . сек~\
h = ( 6,6254 + 0,0002) • 10~27 эрг • сек.
h/e = (1,37944 + 0,00002). 10~17
эрг • сгк/ед. СГСЭ.
8-А = (27,9865 ± 0,001). Ю-4® г- см.
с, = (4,9920 ± 0,0002) • 10-16 эрг • см.
сг = 1,43879 ± 0,00003 см • ‘К.
/?н= 109677,57 + 0,01 см~*.
812
ПРИЛОЖЕНИЯ
Постоянная Рид-
берга для гелия /?Не = 109722,263 -t- 0,01 смг1.
Постоянная Рид- .
берга для
М = оо R^ = 109737,31 ± 0,01 см-1.
Постоянная Сте-
фана — Больц- о = (5,6696 0,0004) • 10~5
мана эргсм2 • сек • (°К)4,
Потоянная тон-
кой структуры а = (7,29729 ± 0,00003) • 10~3,
а-1 = 137,0371 ±0,0005.
Радиус первой
боровской ор-
биты а0 = (5,29173 ± 0,00002) • 10~8 см.
Радиус электрона
классический г0 = (2,81751 ± 0,00006) • Ю"13 см.
Расщепление
дублетное в во-
дороде Д\//с = 0,365076 ± 0,000038 см~1.
Расщепление зе- е . „ _
емановское (4,6703 ± 0,0005) -10 см 1 • гс .
Скорость света
в вакууме
Скорость элек-
трона по про-
хождении
1 в:
Температура аб-
солютного ну-
ля
Ускорение силы
тяжести (нор-
мальное)
Число Авогадро
» Лошмидта
» Фарадея
с =(2,997928±0,000004). 1010 см-сект1.
v = (5,93188 ± 0,0003) • 107 см • сект1.
0°К = —273,15° С.
g = 980,665 см • сек~*.
NA = (6,0247 ± 0,0002) • 1088 моль'1
(физическая шкала).
Nl = (2,68709 ±0,00009) • 1018слг-3
F = 96520 ± 2 к/г-экв (физическая
шкала).
ЛИТЕРАТУРА
Отдел 1. Физические основы классической механики
Учебники и учебные пособия
Архангельский М. М., Курс физики ^механика), Учпедгиз, 1961
Бабаков И. М., Теория колебаний, Физматгиз, 1958.
Б а т ь М. И., Джанелидзе Г. Ю. и Кельзон А. С..
Теоретическая механика в примерах и задачах,' !. 1, Физматгиз, 1961
Воронков И. М., Курс теоретической механики, Физматгиз, 1961
Горелик Г. С., Колеоания и волны, Физматгиз, 1959.
Зисман Г. А. и Тодес О. М., Курс общей физики, г. 1,
Физматгиз, 1958.
Кашин Н. В., Курс физики, т. 1, «Высшая школа», 1961.
Китайгородский А. И., Введение в физику, Физматгиз, 1959.
Лойцянский Л. Г. и Лурье А. И., Курс теоретической
механики, тт. 1, II, Гостехиздат, 1954.
Невзглядов В. Г., Теоретическая механика, Физматгиз, 1959.
Папалекси Н. Д. (ред.), Курс физики, т. I, Гостехиздат, 1948.
Путилов К. А., Курс физики, т. 1, Физматгиз, 1962.
Савельев И. В., Курс общей физики, т. I, Физматгиз, 1962.
Стрелков С. П., Механика, Гостехиздат, 1956.
Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, Гостехиздат, 1950
Фриш С. Э. и Т и м о р е в а А. В., Курс общей физики, т. 1
Физматгиз, 1961.
Ш т р а у ф Е. А., Курс физики, т. 1, Судпромгиз, 1960.
Яворский Б. М., Детлаф А. А., Милковская Л. Б
и Сергеев Г. П., Курс лекций по физике, т. 1, «Советска>
наука», 1958.
Литература по отдельным вопросам
Андронов А. А., Витт А. А. и X а й к и н С. 9., Теори
колебаний, Физматгиз, 1959.
Б у т е н и н Н. В., Элементы теории нелинейных колебаний, Сул
промгиз, 1962.
Голдстейн Г., Классическая механика, Гостехиздат, 1957.
Ден Гар тог Дж. П., Механические колебания, Физматгиз, 1961
3 о м мерфе льд А., Механика, ИЛ, 1947.
Каудерер Г., Нелинейная механика, ИЛ, 1961.
К и р п и че в В. Л., Беседы о механике, Гостехиздат, 1951.
К о м п а н е е ц А. С., Теоретическая физика, Гостехиздат, 1955.
Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М.. Механика, Физматгиз, 19ог
Лурье А. И. Аналитическая механика, Физматгиз, 1961.
Мандельштам Л. И., Лекции по механике, Изд. АН СССР, 195
Пановко Я. Г., Основы прикладной теории неупругих колебании
Маш гиз, 1957.
814
ЛИТЕРАТУРА
П а н о в к о Я. Г., Вн утреннее трение при колебаниях упругих систем,
Физматгиз, 1960.
Полак Л. С., Вариационные принципы механики и их применение
в физике, Физматгиз, 1960.
Поль Р. В., Механика, акустика и учение о теплоте, Гостехиздат,
1957.
Семенченко В. К., Избранные главы теоретической физики,
Учпедгиз, I960.
Стретт Дж. В. (лорд Р I л ей), Теория звука, т. I, Гостехиздат, 1955.
Суслов Г. К., Теоретическая механика, Гостехиздат, 1946.
Теодорчик К. Ф., Автоколебательные системы, Гостехиздат, 1952.
Тимошенко С. П., Колебания в инженерном деле, Физматгиз,
1959.
X а й к и н С. Э., Физические основы механики, Физматгиз, 1962.
Харкевич А. А., Нелинейные и параметрические явления в ра*
диотехнике, Гостехиздат, 1956.
Отдел 11. Основы термодинамики и молекулярной
физики
Учебники и учебные пособия
Базаров И. П., Термодинамика, Физматгиз, 1961.
Вукалович М. П. и Новиков И. И., Техническая термо*
динамика, Госэнергоиздат, 1962.
Жданов Г. С., Физика твердого тела, Изд. МГУ, 1961.
Зисман Г. А. и Тодес О. М., Курс общей физики, т. 1,
Физматгиз, 1958.
Карапетьянц М. X., Химическая термодинамика, Госхимиздат,
1953.
Кашин Н. В., Курс физики, т. 1, «Высшая школа», 1961.
Китайгородский А. И., Введение в физику, Физматгиз, 1959.
Кудрявцев Б. Б., Курс физики (теплота и молекулярная физика),
Учпедгиз, 1960.
Л е в и ч В. Г., Введение в статистическую физику, Гостехиздат, 1954.
Л е о н т о в и ч М. А., Введение в термодинамику, Гостехиздат, 1950.
Папалекси Н. Д. (ред.), Курс физики, т. 1, Гостехиздат, 1948.
Путилов К. А., Курс физики, т. 1, Физматгиз, 1962.
Савельев И. В., Курс общей физики, т. I, Физматгиз, 1962.
Тимирязев А. К., Кинетическая теория материи, Изд. МГУ,
1954.
Уманский Я. С., Финкельштейн Б. Н. и Блантер
М. Е., Физические основы металловедения, Металлургиздат, 1949.
Фриш С. Э. и Т и м о р е в а А. В., Курс общей физики, т. I,
Физматгиз, 1961.
Ш т р а у ф Е. А., Курс физики, т. 1, Судпромгиз, 1960.
Яворский Б. М., Детлаф А. А., Милковская Л. Б.
и Сергеев Г. П„ Курс лекций по физике, т. 1, «Советская
наука», 1958.
Литература по отдельным вопросам
А л ф р е й Т., Механические свойства высокополимеров, ИЛ, 1952.
Бильмейер Ф., Введение в химию и технологию полимеров, ИЛ,
1958.
Больцман Л., Лекции по теории газов, Гостехиздат, 1956.
ЛИТЕРАТУРА
815
Борн М. и К у н ь X., Динамическая теория кристаллических
решеток, ИЛ, 1958.
Волькенштейн М. В., Конфигурационная статистика полимер-
ных цепей, Изд. АН СССР, 1959.
Волькенштейн М. В., Строение и физические свойства моле
кул, Изд. АН СССР, 1955.
ВоюцкийС. С., Растворы высокомолекулярных соединений, Госхим
издат, 1958.
Герцфельд К., Кинетическая теория материи, ОНТИ, 1935.
Гиббс Дж. В., Основные принципы статистической механики, Гос-
техиздат, 1946.
Гиббс Дж. В., Термодинамические работы, Гостехиздат, 1950.
Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч. и Берд Р., Молекуляр
ная теория газов и жидкостей, ИЛ, 1951.
Гликман С. А., Введение в физическую химию высокополимеров
Изд. Сарат. ун-та, 1959.
Гроот де С. Р., Термодинамика необратимых процессов, Гостех-
издат, 1956.
Грю К. Э. и И б б с Т. Л., Термическая диффузия в газах, Гос-
техиздат, 1956.
Гу ггенгей м Э., Современная термодинамика, Гостехиздат, 1941.
Гудьер Дж. Н. и Ходж Ф. Г., Упругость и пластичность, ИЛ,
1960.
Гуревич Л. Э., Основы физической кинетики, Гостехиздат, 1940.
Д е н б и г К., Термодинамика стационарных необратимых процессов
ИЛ, 1954.
Джо’нс К. и Ферри В., Разделение изотопов методом термо-
диффузии, ИЛ, 1947.
Додж Б. Ф., Химическая термодинамика, ИЛ, 1950.
Зейтц Ф., Современная теория твердого тела, Гостехиздат, 1949.
Зоммерфельд А., Термодинамика и статистическая физика,
ИЛ, 1955.
Каргин В. А. и Слонимский Г. Л., Краткие очерки по
физико-химии полимеров, Изд. МГУ, 1960.
Киттель Ч., Введение в физику твердого тела, Физматгиз, i960.
К о б е к о П. П., Аморфные вещества, Изд. АН СССР, 1952.
Компанеец А. С., Теоретическая физика, Гостехиздат, 1955.
Коттрелл А. X., Дислокации и пластическое течение в Кристал
лах, Металлургиздат, 1958.
Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М„ Статистическая физика,
Гостехиздат, 1958.
Л е о н т о в и ч М. А., Статистическая физика, Гостехиздат, 1944.
Лоренц Г. А., Лекции по термодинамике, Гостехиздат, 1946.
Лоренц Г. А., Статистические теории в термодинамике, ОНТИ,
1935.
Майер Дж. и Гепперт-Майер М., Статистическая меха-
ника, ИЛ, 1952.
Микрюков В. Е., Курс термодинамики, Изд. МГУ, 1955.
Мотт Н. и Герни Р., Электронные процессы в ионных кристал-
лах, ИЛ, 1950.
Н а й Дж., Физические свойства кристаллов, ИЛ, 1960.
Новиков И. И. и Воскресенский К. Д„ Прикладная
термодинамика и теплопередача, Госатомиздат, 1961.
Пайерл с Р., Квантовая теория твердых тел, ИЛ, 1956.
Паттерсон Г. Н., Молекулярное течение газов, Физматгиз, I960
Поль Р. В., Механика, акустика и учение о теплоте, Гостехиздат
1957.
Пригожин И., Введение в термодинамику необратимых процессов
816 ЛИТЕРАТУРА
Самойлович А. Г., Термодинамика и статистическая физика,
Гостехиздат, 1953.
Семенченко В. К., Избранные главы теоретической физики,
Учпедгиз, 1960.
С п р о у л Л., Современная физика, Физматгиз, 1961.
Т р е л о а р Л., Физика упругости каучука, ИЛ, 1953.
Фаулер Р., Гуггенгейм Э., Статистическая термодинамика,
ИЛ, 1949.
Физика полимеров, под ред. М. В. Волькенштейна, ИЛ, 1960.
Фишер И. 3., Статистическая теория жидкостей, Физматгиз, 1961.
Френкель Я. И., Введение в теорию металлов, Физматгиз, 1958.
Френкель Я. И., Кинетическая теория жидкостей, Изд. АН СССР,
1959.
Френкель Я. И., Статистическая физика, Изд. АН СССР, 1948.
Хилл Т., Статистическая механика, ИЛ, 1960.
Шредингер Э., Статическая термодинамика, ИЛ, 1948.
Эпштейн П. С., Курс термодинамики, Гостехиздат, 1948.
Ю м - Р о з е р и В., Рейнор Г. В., Структура металлов и спла-
вов, Металлургиздат, 1959.
Отдел III. Основы гидроаэромеханики
Учебники и учебные пособия
Абрамович Г. Н., Прикладная газовая динамика, Гостехиздат, 1953.
Аржаников Н. С. и Мальцев В. Н., Аэродинамика, Оборонгиз,
1956.
К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А. и Розе Н. В., Теоретическая
гидромеханика, Гостехиздат, т. I, 1955; т. II, 1948.
Лыков А. В., Теория теплопроводности, Гостехиздат, 1952.
Михеев М. А., Основы теплопередачи, Госэнергоиздат, 1956.
Литература по отдельным вопросам
Абрамович Г. Н., Теория турбулентных струй, Физматгиз, I960.
Гинзбург И. П., Прикладная гидрогазодинамика, Изд. ЛГУ, 1958.
Гольдштейн С. (ред.), Современное состояние гидродинамики
вязкой жидкости, тт. I, II, ИЛ, 1948.
Гребер Г., Эрк С. и ГригулльУ., Основы учения о тепло-
обмене, ИЛ, 1958.
Зельдович Я. Б., Теория ударных волн и введение в газодина-
мику, Изд. АН СССР, 1946.
Карслоу Г. С., Теория теплопроводности, Гостехиздат, 1947.
Кутателадзе С. С., Основы теории теплообмена, Машгиз, 1962.
Л а м б Г., Гидродинамика, Гостехиздат, 1947.
Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред,
Гостехиздат, 1954.
Л е в и ч В. Г., Физико-химическая гидродинамика, Изд. АН СССР, 1952.
Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, Гостехиздат, 1957.
Мак-Адамс В. X., Теплопередача, Металлургиздат, 1961.
Прандтль Л., Гидроаэромеханика, ИЛ, 1949.
Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, Гостех-
издат, 1957.
Слезкин Н. А., Механика вязкой несжимаемой жидкости,, Гостех-
издат, 1955.
Т а р г С. М., Основные задачи теории ламинарных течений, Гостех-
издат, 1951.
Фабрикант Н. Я.. Аэродинамика, ч. 1, Гостехиздат, 1949.
ЛИТЕРАТУРА
817
Ферри А., Аэродинамика сверхзвуковых течений, Гостехиздат, 1952.
X о у а р т Л. (ред.), Современное состояние аэродинамики больших
скоростей, тт. I, II, ИЛ, 1956.
Черный Г. Г., Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью,
Физматгиз, 1959.
Ш и р о к о в М. Ф., Физические основы газодинамики, Физматгиз, 1959.
Эйгенсон Л. С., Моделирование, «Советская наука», 1951.
Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М., Теория тепло* и массообмена,
Госэнергоиздат, 1961.
Я б л о н с к и й С. В., Техническая гидромеханика, Гостехиздат, 1956.
Якоб М., Вопросы теплопередачи, ИЛ, 1960.
Отдел IV. Электричество и магнетизм
Учебники и учебные пособия
Власов А. А., Макроскопическая электродинамика, Гостехиздат,
1955.
Жданов Г. С., Физика твердого тела, Изд. МГУ, 1961.
Иваненко Д. Д. и Соколов А. А., Классическая теория
поля, Гостехиздат, 1951.
Калашников С. Г., Электричество, Гостехиздат, 1956.
Капцов Н. А., Электрические явления в газах и вакууме, Гостех-
издат, 1950.
Капцов Н. А., Электроника, Гостехиздат, 1956.
Китайгородский А. И., Введение в физику, Физматгиз, 1959.
Папалекси Н. Д. (ред.), Курс физики, т. П, Гостехиздат, 1948.
Путилов К. А., Курс физики, т. II, Физматгиз, 1962.
Тамм И. Е., Основы теории электричества, Физматгиз, 1959.
Фриш С. Э. и Тиморева А. В., Курс общей физики, т. 11,
Физматгиз, 1961.
Яворский Б. М., Детлаф А. А. и Милковская Л. Б.,
Курс лекций по физике, т. 2, «Высшая школа», 1960.
Литература по отдельным вопросам
Акулов Н. С., Ферромагнетизм, Гостехиздат, 1939.
Арцимович Л. А., Управляемые термоядерные реакции, Физмат-
гиз, 1961.
Барнард Дж., Современная масс-спектрометрия, ИЛ, 1957.
Баум Ф. А., Каплан С. А. и Станюкович К. П., Вве-
дение в космическую газодинамику, Физматгиз, 1958.
Беккер Р., Электронная теория, ОНТИ, 1936.
Белов К. П., Упругие, тепловые и электрические явления в ферро-
магнетиках, Гостехиздат. 1957.
Бергман Т. Г., Введение в теорию относительности, ИЛ, 1947.
Б о з о р т Р., Ферромагнетизм, ИЛ, 1956.
Борн М., Теория относительности Эйнштейна и ее физические
основы, ОНТИ, 1938.
Браун Р., Теория диэлектриков, ИЛ, 1952.
Волькенштейн Ф. Ф., Электропроводность полупроводников,
Гостехиздат, 1947.
Вонсовский С. В. и Шур Я. С., Ферромагнетизм, Гостехиз-
дат, 1948.
Вонсовский С. В., Современное учение о магнетизме, Гостех-
издат, 1953.
Гапонов В. И., Физическая электроника, т. I, II, Физматгиз, 1960.
52 Б- М. Яворский, А. А. Детлаф—.
818
ЛИТЕРАТУРА
Глазер Р., Основы электронной оптики, Гостехиздат, 1957.
Гольдштейн Л. Д. и Зернов Н. В., Электромагнитные поля
и волны, «Советское радио», 1956.
Грановский В. Л., Электрический ток в газах, Гостехиздат, 1952.
Гринберг А. П., Методы ускорения заряженных частиц, Гостех-
издат, 1950.
Д а н ж и Дж., Космическая электродинамика, Госатомиздат, 1961.
Д ж е л л а Дж., Черенковское излучение, ИЛ, 1960.
Диэлектрическая спектроскопия, сб. статей под ред. Г. А. Смоленского,
ИЛ, 1960.
Добрецов А. Н., Электронная и ионная эмиссия, Гостехиздат, 1950.
Дорфман Я. Г., Магнитные свойства и строение вещества, Гостех-
издат, 1955.
Зейтц Ф., Современная теория твердого тела, Гостехиздат, 1949.
Зисман Г. А. и Тодес О. М., Курс общей физики, т. II, Физ-
матгиз, 1959.
Зоммерфельд А., Электродинамика, ИЛ, 1958.
Иоффе А. Ф., Физика полупроводников, Изд. АН СССР, 1957.
К а^п^ц о в Н. А. (ред.), Радиофизическая электроника, Изд. МГУ,
К а у л и н г Т., Магнитная гидродинамика, ИЛ, 1959.
Кельман В. М., Электронная оптика. Изд. АН СССР, 1955.
К е н ц и г В., Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики, ИЛ, 1960.
К и т т е л ь Ч., Введение в физику твердого тела, Физматгиз, 1960.
Кобленц А. и Оуэнс Д., Транзисторы, ИЛ, 1956.
Кол Г. и Эльзассер В. М., Магнитная гидродинамика, Физ-
матгиз, 1959.
К о м п а н е е ц А. С., Теоретическая физика, Гостехиздат, 1955.
Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных
сред, Физматгиз, 1958.
Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Теория поля, Физматгиз, I960.
Ливингстон М., Розе М. и Намиас М., Циклотрон, Гос-
техиздат, 1948.
Ливингстон М., Ускорители, ИЛ, 1956.
Лоренц Г. А., Теория электромагнитного поля, ОНТИ, 1933.
Лоренц Г. А., Теория электронов, Гостехиздат, 1953.
Максвелл Д. К., Избранные сочинения по теории электромагнит-
ного поля, Гостехиздат, 1952.
Мартин Т. Л., Физические основы электротехники, Госэнергоиздат,
1961.
Миддлбрук Р. Д., Введение в теорию транзисторов, Госатом-
издат, I960.
Мик Дж. и Крэге Дж., Электрический пробой в газах, ИЛ, 1960.
Н а й Дж., Физические свойства кристаллов, ИЛ, 1960.
Нейман Л. Р. и Калантаров П. Л., Теоретические основы
электротехники, тт. I—III, Госэнергоиздат, 1959.
П а й е р л с Р., Квантовая теория твердых тел, ИЛ, 1956.
П а й е р л с Р„ Электронная теория металлов, ИЛ, 1947.
Паули В., Основы теории относительности, ИЛ, 1948.
Пикельнер С. Б., Основы космической электродинамики, Физ-
матгиз, 1961.
Поливанов К. М., Ферромагнетизм, Госэнергоиздат, 1957.
Полупроводники в науке и технике, тт. I, Ц. Изд. АН СССР, 1957—1958.
Р и к Г. Р., Масс-спектрометрия, Гостехиздат, 1952.
Р у м е р Ю. Б. и Рывкин М. С., Теория относительности,
Учпедгиз, 1961.
С к а н а в и Г. И., Физика диэлектриков, Гостехиздат, 1949.
Смайт В., Электростатика и электродинамика, ИЛ, 1954.
С о м и н с к и й М. С., Полупроводники, Физматгиз. 1961.
ЛИТЕРАТУРА
819
Спитцер Л., Физика полностью ионизованного газа, ИЛ, 1957.
С про у л Л., Современная физика, Физматгиз, 1961.
Стрэттон Дж., Теория электромагнетизма, Гостехиздат, 1948.
Телеснин Р. В. и Яковлев В. Ф„ Курс физики (электри-
чество), Учпедгиз, 1960.
Ф В. А‘» Теория пространства, времени и тяготения, Физматгиз,
Фр е й л и х Г., Теория диэлектриков, ИЛ, 1960.
Ф р е н к е л ь Я. И., Введение в теорию металлов, Физматгиз, 1958.
Шенберг Д., Сверхпроводимость, ИЛ, 1955.
Шокли В., Теория электронных полупроводников, ИЛ, 1953.
Ш т р а у ф В. А., Электричество и магнетизм, Гостехиздат, 1950.
Эйнштейн А., Сущность теории относительности, ИЛ, 1955.
Энгель А„ Ионизованные газы, Физматгиз, 1959.
Отдел V. Волновые процессы
Учебники и учебные пособия
Горелик Г. С., Колебания и волны, Физматгиз, 1959.
Зисман Г. А. и Тодес О. М., Курс общей физики, т. III,
Физматгиз, 1961.
Калинин В. И. и Герштейн Г. ПЛ., Введение в радиофизику,
Гостехиздат, 1957.
Китайгородский А. И., Введение в физику, Физматгиз, 1959.
Королев Ф. А., Курс физики (оптика, атомная и ядерная физика),
Учпедгиз, 1962.
Ландсберг Г. С., Оптика, Гостехиздат, 1957.
Папалекси Н. Д. (ред.), Курс физики, тт. I, И, Гостехиздат, 1948.
Поль Р. В., Введение в оптику, Гостехиздат, 1947.
Путилов К. А. и Фабрикант В. А., Курс физики, т. III,
Физматгиз, 1960.
Фриш С. Э. и Т и м о р е в а А. В., Курс общей физики, т. Ill,
Физматгиз, 1961.
Че чу л ин А. А., Волновые процессы, оптика, элементы атомной
и ядерной физики, Физматгиз, 1959.
Литература по отдельным вопросам
А д и р о в и ч Э. И., Некоторые вопросы теории люминесценции
кристаллов, Гостехиздат, 1951.
Б е р а н е к Л., Акустические измерения, ИЛ, 1952.
Бергман Д., Ультразвук, ИЛ, 1952.
Блохин М. А., Физика рентгеновских лучей, Гостехиздат, 1953.
Борн М., Введение в оптику, ДНТВУ, 1938.
Бриллюэн Л. И. и Пароди М., Распространение воли
в периодических структурах, ИЛ, 1959.
Вайнштейн Л. А., Электромагнитные волны, М., 1957.
Вильсон А., Оптика металлов, ИЛ, 1953.
Волькенштейн М. В., Молекулярная оптика, Гостехиздат, 1951.
Гинзбург В. Л., Распространение радиоволн в плазме, Физматгиз,
1960.
Джеймс Р., Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей,
ИЛ, 1950.
Зингер Дж., Мазеры, ИЛ, 1961.
Зоммерфельд А., Оптика, ИЛ, 1953.
К о м п а н е е ц А. С., Теоретическая физика, Гостехиздат, 1955.
5-*
820
ЛИТЕРАТУРА
Корсунский М. И., Оптика Строение атома. Атомное ядро.
Физматгиз, 1962.
Красильников В. А., Звуковые волны в воздухе, воде и твер-
дых телах, Физматгиз, 1960.
Л а м б Г., Динамическая теория звука, Физматгиз, 1960.
Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Теория поля, Физматгиз,
1960.
Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред,
Гостехиздат, 1954.
Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных
сред, Физматгиз, 1958.
Лоренц Г. А., Лекции по теоретической физике, ОНТИ, 1935.
Люменесцентный анализ, под ред. М. А. Константиновой, Физматгиз,
1961.
Мартин Л., Техническая оптика, Физматгиз, 19$0.
М о р з Ф., Колебания и звук, ИЛ, 1949.
Р ж е в к и н С. Н., Курс лекций по теории звука, Изд. МГУ, 1960.
Розенберг Г. В., Оптика тонкослойных покрытий, Физматгиз,
1958.
Русинов М. М., Техническая оптика, Машгиз, 1961,
С к у ч и к Е., Основы акустики, тт. I, II, М., 1958—1959.
С л ю с а р е в Г. Г., Геометрическая оптика, Гостехиздат, 1946.
Соколов А. В., Оптические свойства металлов, Физматгиз, 1961.
Стретт Дж. В. (лорд Рэлей), Теория звука, г. 11, Гостехиздат,
Стрэттон Дж., Теория электромагнетизма, Гостехиздат, 1948.
Тудоровский А. И., Теория оптических приборов, тт. I, II,
Гостехиздат, 1948.
X а р к е в и ч А. А., Спектры и анализ, Физматгиз, 1962.
Шифрин К., Оптика мутных сред, Гостехиздат, 1954.
Шишловский А. А., Прикладная физическая оптика, Физматгиз,
1960.
Отдел VI. Атомная и ядерная физика
Учебники и учебные пособия
Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, «Высшая школа»,
1961.
Веселов М. Г., Элементарная квантовая теория атомов и молекул,
Физматгиз, 1961.
Д а в ы д о в. А. С., Теория атомного ядра, Физматгиз, 1958.
Добротин Н. А., Космические лучи, Гостехиздат, 1954.
Зисман Г. А. и То дес О. М., Курс общей физики, т. III,
Физматгиз, 1961.
Китайгородский А. И., Введение в физику, Физматгиз, 1959.
Кондратьев В. Н., Структура атомов и молекул, Физматгиз, 1959.
Королев Ф. А., Курс физики (оптика, атомная и ядерная физика),
Учпедгиз, 19&2.
Маляров В. В., Основы теории атомного ядра, Физматгиз, 1959.
Папалекси Н. Д. (ред.). Курс физики, т. II, Гостехиздат, 1948.
Путилов К. А. и Фабрикант В. А., Курс физики, т. III,
Физматгиз, I960.
Фриш С. Э. и Т и м о р е в а А. В., Курс общей физики, т. Ill,
Физматгиз, 1962.
Чечулин А. А., Волновые процессы, оптика, элементы атомной
и ядерной физики, Физматгиз, 1960.
Шпольский Э. В., Атомная физика, тт. 1, II, Гостехиздат, 1951.
ЛИТЕРАТУРА
821
Литература по отдельным вопросам
Айзенбуд Л. и Вигнер Е., Структура ядра, ИЛ, 1959.
Ахиезер А. И. и Померанчук И. Я., Вопросы теории
ядра, Гостехиздат, 1948.
Балдин А. М.. Гольданский В. И. и Розенталь И. Л.,
Кинематика ядерных реакций, Физматгиз, 1959.
Батлер С., Ядерные реакции срыва, ИЛ, 1960.
Беге Г., Физика ядра, ИЛ, 1948.
Бете Г., Лекции по теории ядра, ИЛ, 1949.
Бете Г. и Гофман Ф., Мезоны и поля, тт. I, П, ИЛ, 1957.
Бете Г. и Моррисон Ф., Элементарная теория ядра, ИЛ,
№58.
Бете Г. и Солпитер Э., Квантовая механика атомов с одним
и двумя электронами, Физматгиз, I960.
Блатт Дж. иВайскопф В., Теоретическая ядерная физика,
ИЛ, 1954.
Бор О., Прохождение излучения через вещество, ИЛ, 1953.
Бэкон Дж., Дифракция нейтронов, ИЛ, 1957.
Вайнштейн Б. К., Структуоная электронография, М., 1956.
Волькенштейн М. В., Ельяшевич М. А. и Степа-
нов В. И., Колебания молекул, тт. I, II, Гостехиздат, 1949.
Волькенштейн М. В., Строение и физические свойства молекул,
Изд. АН СССР, 1955.
Гайт л ер В., Элементарная квантовая механика, ИЛ, 1948.
Г а й т л е р В., Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.
Галанин А. Д., Теория ядерных реакторов на тепловых нейтронах,
Госатомиздат, 1959.
Г а м б о ш П„ Статистическая теория атома и ее применения, ИЛ,
1951.
Гейзенберг В., Физика атомного ядра, Гостехиздат, 1947.
Гепперт-Майер М. и Йенсен И. Г. Д., Элементарная
теория ядерных ооолочек, ИЛ, 1958.
Герцберг Г., Атомные спектры и строение атомов, ИЛ, 1948.
Герцберг Г., Спектры и строение двухатомных молекул, ИЛ,
1949.
Глесстон С., Эдлунд М., Основы теории ядерных реакторов,
ИЛ, 1954.
Гольданский В. И. и Лейкин Е., Превращения атомных
ядер, Изд. АН СССР, 1958.
Горди В., Смит В. и Трамбаруло Р., Радиоспектроскопия,
Гостехиздат, 1955.
Грошев Л. В. и Шапиро М. С., Спектроскопия атомных
ядер, Гостехиздат, 1952.
Деформация атомных ядер, сб. статей под ред. Л. А. Слива, ИЛ, 1958.
Дирак П. А. М., Введение в квантовую механику, Физматгиз, 1960.
Д о б р е ц о в Л. Н., Атомная физика, Физматгиз, 1960.
Дорфман Я. Г., Магнитные свойства атомного ядра, Гостехиздат,
1948.
Ельяшевич М. А., Атомная и молекулярная спектроскопия,
Физматгиз, 1961.
Зоммер фельд А., Строение атома и спектры, т. 1, II, Гостех-
издат, 1956.
К о м п а н е е ц А. С., Теоретическая физика, Гостехиздат, 1955.
Кондон Е. и Шортли Г., Теория атомных спектров, ИЛ, 1949.
Корсунский М. И., Оптика. Строение атома. Атомное ядро,
Физматгиз, 1962.
Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Квантовая механика, ч. 1
Гостехиздат, 1948.
822
ЛИТЕРАТУРА
Ландау Л. Д. и Смородинский Я. А., Лекции по теории
атомного ядра, Гостехиздат, 1955.
Л е й п у н с к и й О. И., Гамма-излучение атомного взрыва, Госатом-
издат, 1959.
Марков М. А., Гипероны и К-мезоны, Физматгиз, 1958.
Маршак Р. и С у де р ш ан Э., Введение в физику элементар-
ных частиц, ИЛ, 1962.
Месси Г. и Б а р х о п Е., Электронные и ионные столкновения,
ИЛ, 1958.
М о т т Н. Ф. и М е с с и Г., Теория атомных столкновений, ИЛ,
1951.
Нильс Бор и развитие физики, под ред. В. Паули, ИЛ, 1958.
Паули В., Элементарные частицы, ИЛ, 1948.
П а у л и н г Л., Теория химической связи, Госхимиздат, 1947.
Прайс В., Регистрация ядерного излучения, ИЛ, 1960.
П и н с к е р 3. Г., Дифракция электронов, Изд. АН СССР, 1949.
Сдвиг атомных уровней, под ред. Ю. Швингера, ИЛ, 1951.
С е г р е Э. (ред.), Экспериментальная ядерная физика, тт. I—III,
ИЛ, 1955, 1961.
Семенченко В. К., Избранные главы теоретической физики,
Учпедгиз, 1960.
Соколов А. А. и Иваненко Д. Д., Квантовая теория поля,
Гостехиздат, 1952.
Соколова. А. Введение в квантовую электродинамику, Физматгиз,
1959.
С пр оу л Р., Современная физика, Физматгиз, 1961.
Стефенсон Р., Введение в ядерную технику, Гостехиздат, 1958.
Стрендберг М., Радиоспектроскопия, ИЛ, 1956.
Сыркин Я. К. и Д я т к и н а М. Е., Строение молекул и хими-
ческая связь, Госхимиздат, 1947,
Р а й с н е р Г., Поляризация нуклонов при рассеянии, ИЛ, 1960.
Ферми Э., Молекулы и кристаллы, ИЛ, 1947.
Ферми Э., Лекции о тс-мезонах и нуклонах, ИЛ, 1955.
Ферми Э., Элементарные частицы, ИЛ, 1953.
Френкель Я. И., Принципы теории атомных ядер, Изд. АН СССР,
1955.
Хартри Д., Расчеты атомных структур, ИЛ, 1960.
Шифф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1957.
Эндрю Э., Ядерный магнитный резонанс, ИЛ, 1957.
Ю м - Р о з е р и В., Атомная теория для металлургов. Металлург-
издат, 1955.
Я н о с с и Л., Космические лучи, ИЛ, 1949.
Я но сси Л., Взаимодействия при больших энергиях, Гостехиздат,
1956.
ПРЕДМЕТНЫЙ
Аберрации электронно-оптических
систем 417
Аберрация сферическая попереч-
ная 583, 584
---- продольная 583
— сферохроматическая 586
— хроматическая 583, 585, 586
Абсорбция 266
Автоколебания 120, 126—130
Адиабата 149, 153
—, дифференциальное уравнение
173, 174, 175
— ударная (Гюгонио) 518
------- в магнитной гидродина-
мике 480
Адсорбат 266
Адсорбент 266
Адсорбция 266, 267
Аксоид 25
Активность оптическая 604
— поверхностная адсорбата 267
— радиоактивного вещества 744
------- удельная 744
— химическая 188
Акустика физиологическая SIS-
SIS
Акцепторы 381
Альбедо излучения 763
Альфа-распад 743, 748—750
Альфа-частицы 743, 748
Амплитуда волны 499
---- комплексная 501
— колебания 97
— — векторная 97
— рассеяния 654
Анализ гармонический колеба-
ний 99
— нейтроноструктурный 418, 565
— поляризованного света 598—600
— рентгеноспектральный 567, 568
— рентгеноструктурный 565
— спектральный 613
Анализатор поляризации 598
— спектральный 613
Аналогия оптико-механическая 91.
413, 414
Анастигматы 585
УКАЗАТЕЛЬ
Анизотропия оптическая 593
----искусственная 596, 597
Аннигиляция 786
Антиферромагнетизм 432, 437 , 4<_
Античастицы 780, 782
Апертура интерференции 545—547
— числовая объектива 587
Апланаты 584
Апохроматы 586
Ассоциация молекул 234
Астигматизм наклонных пучков
584, 585
Атом, векторная модель 681—685
— водородоподобный 651, 652, 669—
676
—, определение 669
Атомы многоэлектронные 676—68!
Ахроматы 586
Барьер потенциальный 656
----, прозрачность 658
Бета-распад 731, 743, 750—755
Бетатрон 410, 411
Бета-частицы 743
Биения 98, 99
Бозоны 214, 693
Бомба атомная 777
— водородная 778
Вакуум, определение 203
—, теория Дирака 787
Валентность 702
—, пространственная направлен
ность 708
Вектор волновой 501
— главный системы сил 39
— Пойнтинга 467, 526
— Умова 503
Величина адсорбции 267
— парциальная мольная 180, 18
Величины интенсивные 136
— физические 315
— экстенсивные 136
Вероятность перехода 663
— состояния системы 205—207
-------, нормировка 206
824
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Вероятность состояния системы,
плотность 206
— — термодинамическая 225
Вес молекулярный полимера 280
—, определение 46
— удельный 47
--- средний 48
Вещества аморфные 272
— —, определение 272
— — простые 272
— кристаллические, определение
— оптически активные 604
— поверхностно-активные 245,
267
Вещество растворенное 132, 250
— термометрическое 134
Взаимодействие спин-решеточное
163, 690, 691
— спин-спиновое 163, 690
— частиц и полей 787, 788
Взаимодействия ближнего поряд-
ка 282—285
— дальнего порядка 282, 285—287
— сильные 781
— слабые 784
— электромагнитные 784
Вибратор магнитострикционный
442
— см. Осциллятор
Видимость интерференционных по-
лос 547
Влагосодержание пара 238
Возбуждение ядер кулоновское 771
Возгонка 263, 265
Возмущения малые в квантовой
механике 663
Волна звуковая боковая 508
— — отраженная 504
— — преломленная 504
— отраженная 504, 535
— преломленная 504, 535
Волны бегущие 498
— вторичные 552
— де Бройля 642—644
— звуковые 495, 497
— инфразвуковые 513
— когерентные 544
— магнитогидродинамические
475 - 479
- Маха 491
— некогерентные 544
— , определение 494
— поверхностные. 494, 495
— поперечные 494*
— продольные 494
--- плоские 497 498, 500
---синусоидальные 499—502
---сферические 498
Волны продольные цилиндриче-
ские 502
— стоячие 508—511
— ударные в газах 517—522
— ультразвуковые 513, 515—517
— упругие 494
---в кристалле 261, 262
— электромагнитные монохрома-
тические 524
---, определение 522
--- плоские 524
---поляризованные линейно 525
------- циркулярно 525
—------эллиптически 525
---, шкала 528
Волчок асимметричный 715
— симметричный 715
— см. также Гироскоп
— сферический 715
Восприимчивость диэлектриче-
ская 349
— —, связь с диэлектрической
проницаемостью 353
---, формула Дебая — Ланжеве-
на 350
— магнитная 436
— —, связь с магнитной прони-
цаемостью 436
Вращение внутреннее молекулы
281, 715
— — —, заторможенность 714, 715
— плоскости поляризации 604—
606
— — — магнитное 606
— свободное (инерционное) 74 75
Время жизни системы 666
- — ядра 757
— реверберации 512
— релаксации в жидкостях 241,
244
-------твердых телах 264
---затухающих колебаний 105
---резин 291
— собственное 484
— эфемеридное 793
Выпрямитель 453—454
Вырождение идеального газа 217
---—, параметр 217
---—, температура 218
— состояния 207
— уровней обменное 679
Высокоэластичность резин 290—
295
Высота пьезометрическая 301
— скоростная 309
Выход фотолюминесценции кван
товый 640
— — энергетический 640
— фотоэффекта квантовый 629
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
825
Выход фотоэффекта энергетиче-
ский 629
— ядерной реакции 768
Вязкость 199
— вторая 305, 307
---, дисперсия 307
— динамическая (первая) 305
— жидкостей 243, 244
— кинематическая 305
— полимера 2^—288
— разреженных газов 203
Газ идеальный, законы 137—140
— —, определение 137
— реальный, определение 233
— электронный в металле 218—
220, 358
Газы разреженные 203 -204
— , сжижение 240
Гамильтониан см. Функция Га-
мильтона
Гамма-излучение 743, 755—759
---, внутренняя конверсия 756
Гармоники 99
Генератор Ван-де-Граафа 343, 410
Гидроаэродинамика, предмет 296
Гидроаэромеханика, предмет 296
Гидроаэростатика, предмет 296
Гидродинамика магнитная, пред-
мет 471
---, уравнения 472, 473
Гидролокация 517
Гироскоп 79—82, 83
Гистерезис диэлектрический 354
— магнитный 440, 441
Грамм-атом 134
Грамм-молекула 134
Грамм-эквивалент 369
Граница верхняя бета-спектра 751
— длинноволновая фотоэффекта
629
График Кюри 754
Громкость звука 514
Давление 133
— в капиллярах 247
— внутреннее в газе 233
— волновое 497
— звуковое 504, 507, 508
— осмотическое 250
— парциальное 139
— поверхностное 246, 247
— света 634, 635
— статическое 309
Двигатель вечный второго рода,
неосуществимость 161
— — первого рода, неосуществи-
мость 146
Движение абсолютное 27
— броуновское 231, 232
---, формула Эйнштейна 232
— в кулоновском поле (водородо-
подобный атом) 651, 652
— — неинерциальных системах
отсчета 51, 52
— — поле центральной силы (рас-
сеяние) 653—656
— вращательное двухатомной мо-
лекулы 223, 715
---, определение 23
— газа дозвуковое 521, 522
---сверхзвуковое 521, 522
— жидкости безвихревое (потен-
циальное) 302
--- вихревое 302
---в трубах 323—327
---вязкой ламинарное 321, 322
--------- плоское 322
-------, определение 305, 306
-------турбулентное 322—-324
---дозвуковое 319, 326
---идеальной 304, 305
---неустановившееся 302
--- плоское 310, 311
--- сверхзвуковое 319, 326
---установившееся 302, 309, 310
— инфинитное 76
— колебательное двухатомной мо-
лекулы 223, 713
— — см. Колебания
— мгновенное плоскопараллельное
30
— относительное 27
— переносное 27
— плоское, определение 17
— под действием центральных сил
75-79
— поступательное, определение 23
— равномерное 19
— равнопеременное 22
— тела переменной массы 42, 43
— финитное 76
— электронов в периодических
полях 659—663
Деионизация газа 376
Действие 90
— магнитного поля на проводники
с токами 402, 403
Декремент логарифмический зату-
хания 105
Деление ядер 773, 774
— — спонтанное 748, 773
Демодуляция 532
Десорбция 266
Детандеры 240
Детектор 613
Дефект квантовый 673
826
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Дефект массы ядра 730
Дефектоскопия ультразвуковая
517
Деформация 267
— всестороннего растяжения (сжя
тия) 270
- остаточная 269
— относительная 268
— пластическая 243, 268
— резин высокоэластическая 290
--- пластическая 290
--- упругая 290
— упругая 268
Диаграмма векторная колебания
98
- — сложения амплитуд вторич
ных волн 553, 554
- направленности 565
- s - Т 176—180
— термодинамическая 137
Диамагнетизм 433
Диафрагма апертурная 579
— поля зрения 580
Динамика, предмет 14
— релятивистская 487—489
Диод 452, 453
— полупроводниковый 454, 387
— сдвоенный 453
Диоптрия 576
Диполь магнитный 402
— электрический 332
---«жесткий» 347
---индуцированный 337, 338
Дисперсия волн де Бройля 644
— вращательная 606
— второй вязкости 307
— рентгеновых лучей 609, 610
— света 606—610
---аномальная 607
---нормальная 607
---, электронная теория 608,
609
— спектрального прибора линей-
ная 566, 567
------- угловая 566
— электромагнитных волн 526
-------аномальная 528
-------нормальная 528
Диссипация энергии 62
Диссоциация молекулы 703
— электролитическая 368
---, коэффициент 368
Дисторсия 585
Дифракция радиоволн 533, 534
---на поверхности Земли 565
-------рельефе 565
— рентгеновых лучей 564
— света, графический метод рас-
чета 553, 554
Дифракция света на многомерных
структурах 563—565
---- , обратная задача 565
— — , определение 551
— — , плоские волны (Фраунго-
фера) 557-563
----, принцип Гюйгенса 551, 552
— — , — Гюйгенса — Френеля 552
----, сферические волны (Фре-
неля) 554—557
Диффузия 199—202
Дихроизм 596
Диэлектрик в электрическом поле
346-353
Длина волны 500, 501
— — де Бройля электрона 643
----комптоновская протона 810
-------электрона 633, 810
— приведенная физического маят-
ника 103
— пути 17
---- оптическая 547
— свободного пробега 197
----— молекул средняя 197—198
— — — электронов в металле 360
— собственная 485
— стоячей волны 509
— характеристическая распределе-
ния Больцмана 213
Добротность контура 452
Доза излучения 764
----, мощность 764
Домены в сегнетоэлектриках 353
----ферромагнетиках 438
Доноры 380
Дросселирование газа 237
Дроссель 453
Дуализм корпускулярно-волновой
627, 647, 787
Дублет зарядовый 780
— нормальный зеемановский 685
— спиновый 689
Дуга электрическая 374—375
«Дырка» в полупроводниках 379
Единицы измерения в атомной и
ядерной физике 810
----механических величин 792—
798
----световых величин 809
----тепловых величин 799
----уровня громкости звука 809
----физических величин 314—315
---- электрических и магнитных
величин 799—809
В-захват 731, 743
Емкость выходная лампы 456
— электрическая 344—346
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
827
Жидкости ассоциированные 243
— неассоциированные 243
— , определение 241
Жидкость баротропная 307
— вязкая 297
— идеальная 297
— кипящая 238, 248
— несжимаемая 297
— перегретая 240
— переохлажденная 265, 276
— сжимаемая 297
Задача гидродинамики основная
307
— Кеплера 77
Закон Авогадро 137
— Амага 140
— А м онтона 50
— Ампера 393
— Архимеда 300
— Бера для поглощения света 615
— Био для вращательной диспер-
сии 606
— Био—Савара—Лапласа 394—396
— Бойля — Мариотта 137
— Брюстера 541
— Бугера — Ламберта 615
— . Бунзена — Роско 636
— Вавилова 640
— Вант-Гоффа для полимеров 287
— Вебера — Фехнера 514
— взаимосвязи массы и энергии 488
— Видемана — Франца 360, 361
— Вина 623
— всемирного тяготения 45—48
— Гейгера — Нетолла 750
— Гей-Люссака 137
— Гесса 148
— Гука 60, 268—271
— Дальтона 139
— Дебая для теплоемкости 263
— действующих масс 189, 190
— Джоуля — Ленца 360, 364
— инерции см. Закон Ньютона
первый
— Кеплера второй 75
---первый 78
--- третий 78
— Кирхгофа для поглощения све-
та 616
------- теплового излучения 620,
621
— Кнудсена 204
— Кулона для взаимодействия за-
рядов 328, 329
— трения 51
— Кюри для парамагнетиков 432,
Закон Кюри — Вейсса 432
— Лапласа для поверхностного
давления 246, 247
— Малюса 598
— Мозли 701
— Ньютона второй 37—39
— — первый 31
---- третий 39
— обратимости световых лучей
569
— Ома 359
---- для магнитной цепи 405
------- тока в электролитах 370
-------участка цепи 363
— основной динамики вращатель-
ного движения 72, 73
----— поступательного движе-
ния 39—41
— отражения 505, 537
— Паскаля 299
— полного тока для магнетиков
437
—------— токов проводимости 404
—------обобщенный 462
— преломления см. Закон Снелли-
уса
— равномерного распределения
энергии по степеням свободы
211, 257
— распределения Максвелла 193—
— растворимости Генри 251
— Рэлея — Джинса 624
- сложения скоростей в класси-
ческой механике 28
—------теории относительности
485
— смещения Вина — Голицына 623
----Фаянса — Содди 745
— Снеллиуса 505, 537
---- в электронной оптике 414
— соответственных состояний 234
— сохранения барионного заряда 781
----изотопического спина 784
----импульса 41, 42
------- электромагнитного поля
467, 468
----и превращения энергии 52
—------_ _ см. также Закон
термодинамики первый
— — лептонного заряда 781
— — магнитного потока в магнит-
ной гидродинамике 474
— — массы 35
---- механической энергии 61, 62
----момента импульса 73—75
---- странности 781
----циркуляции скорости 311
— — четности 754
828
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Закон сохранения электрических
зарядов 328, 466
--- энергии электромагнитного
поля 467
— Стефана — Больцмана 217, 622
— Столетова для фотоэффекта 629
— термодинамики второй 161, 162
, статистический смысл 225,
226
---первый 145, 146
---третий 191, 192
— «трех вторых» 390
— Фарадея электромагнитной ин-
дукции 418, 419
— Фика второй 200
---первый 201
— Шарля 137
— Эйнштейна для фотоэффекта 629
— эквивалентности для фотохими-
ческих реакций 636
— электролиза второй 369
--- объединенный 369
— — первый 368, 369
Закономерности статистические
205
Законы Вольты 384
— Рауля 251
— сохранения, связь со свойства-
ми пространства и времени 784
Запрет интеркомбинационный для
атомов 684
---— молекул 712
Заряд барионный 781
— гиперонный 781
— лептонный 781
— удельный альфа-частицы 810
--- протона 810
--- частиц 409
--- электрона 810
— электрический 328
---индуцированный 343
---поляризационный (связанный)
351
---точечный 328
— электрона 810
— элементарный 369
— эффективный электрона в кри-
сталле 661
---ядра в атоме 673
Затухание апериодическое 104
Захват радиационный нейтронов
772
Защита электростатическая 344
Звуки музыкальные 513
— слышимые 513
Зеркало параболическое 573
— плоское &70 .
— сферическое 573
— электронное 415
Значение среднее статистическое
физической величины 206
Значения эффективные тока и
э. д. с. 449
Зона активная ядерного реактора
777
— валентная 662
— волновая 529
— запрещенная 660
— проводимости 662
— — металла 359
— разрешенная 660
Зоны Френеля 553
— энергетические 359
Зрачки оптического прибора 579,
580
Излучатели ультразвука 515
Излучение антистоксово 640
— бетатронное (синхротронное)531
— Вавилова — Черенкова 491, 492
— магнитное дипольное 530
— резонансное 639
— тепловое 619—625
— тормозное 531, 532 , 699
— электрическое дипольное 530
--- квадрупольное 530
— электромагнитных волн 529—532
--- вторичное 535
Изобара 149, 153
Изобары 728
—, пары 728
—, триады 729
Изображение 569
— действительное 415, 570
— мнимое 415, 570
—, освещенность 580
— перевернутое 574
— прямое 574
—, резкость 580
— стигматическое 416, 569
Изомерия молекул 707
— ядерная 757, 758
Изомеры поворотные 281, 708
— ядерные 757, 758
Изоморфизм 255
Изотерма 149, 153
— реального газа 238
Изотопы 728
Изотропность пространства 94,
784
Изохора 149, 153
Импульс 36, 37, 41, 42
— обобщенный 84
Импульсы мгновенные 62
Инвариант Аббе нулевой 572
Инверсия 754
— комбинированная 785
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
829
Индикатриса оптическая 593
— рассеяния 617
Индуктивность 422
— взаимная 426
Индукция магнитная 393
---, закон Ампера 393
---, — Био — Савара — Лапласа
394
---, линии 394
---, поток 404, 405
---, —, теорема Остроградско-
го — Г аусса 405
---, правило буравчика 394
— насыщения 441
— остаточная 441
— электрическая см. Смещение
электрическое
— электромагнитная 418
---, закон Фарадея 418, 419
— - электростатическая 343
Инертность 31
Интеграл Бернулли 309
• — действия 90
— кулоновский для атома гелия
680
— — — двухатомной молекулы
705
— обменный для атома гелия 680
—------двухатомной молекулы 705
— состояний 209
— Фурье 611
Интегралы движения 91—96
Интенсивность вихря 303
— волны вероятности 643
---звуковой 503, 504
--- электромагнитной 526
— излучения 529—532
Интервал между событиями 482 —
483
Интерференция поляризованных
лучей 601—604
— света 545
---в тонких пленках 548—551
---, порядок 546, 549
Ионизация 370
— диссоциативная 726
— , кратность 371
— , потенциал 371
— , работа 371
— термическая 725, 726
— ударная 371, 725
Ионосфера 534
Ионы 367
Искривление изображения 585
Испарение жидкостей 248
— твердых тел 265
Источник волн 494
— света, подчиняющийся закону
Ламберта 590
Источник света точечный 589
— тока 362
---фотоэлектрический 632
Кавитация 516
Камера Вильсона 765
— ионизационная 764, 765
— пузырьковая 765, 766
Капилляры 247
Катастрофа ультрафиолетовая 625
Катод сложный 630
Катодолюминесценция 638
Квазиимпульс 659
Квантование пространственное
атома 681
— — ядра 735
Кванты поля 785
— энергии 625
Кенотрон 453
Керн нуклона 788
Кинематика, предмет 14
Кипение 248, 249
Класс симметрии 254
Колебания автономные 120
— ангармонические 100
---в решетке 256, 257
— внутримолекулярные 712—715
— вынужденные диссипативной си-
стемы нелинейные 125, 126
— — консервативной системы мно-
гомерные 117—120
--------— одномерные 106—108
--------— нелинейные 124—125
---, определение 100
— крутильные 272
— — молекулы 714
— магнитострикционные 442
— механические 99—130
— модулированные 99
— неавтономные 120
—, определение 96
— параметрические 121
— периодические 96
— поляризованные линейно 115
--- циркулярно 115
--- эллиптически 114
— свободные диссипативной систе-
мы нелинейные 122—124
---затухающие многомерные
116, 117
--------одномерные 104—106
---консервативной системы мно-
гомерные 108—116
--------одномерные 100—104
------------ нелинейные 121
122
---, определение 99
— субгармонические 125
830
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Колебания электромагнитные вы-
нужденные 448—452
---незатухающие 447
---свободные 447 #
Количество движения см. Им-
пульс
— тепла 145
--- приведенное 162
Кольца дифракционные 555
— изохроматические 603
— Ньютона 550
Кома 584
Конвекция 313
Конверсия внутренняя гамма-излу-
чения 756
Конденсат электронный 252
Конденсаторы, соединение парал-
лельное 346
— , — последовательное 346
Конденсация пара 249
Конденсор 581, 582
Константа равновесия термодина
мическая 189
Константы подобия 317
— см. также Постоянная
Контур колебательный 445—452
Конус световой 484
Конфигурации полимера 281
— электронные 684
Концентрация 250
— весовая 139
— молярная 139
— раствора эквивалентная 370
Координаты нормальные 111
--- нормированные 111
— обобщенные 83
Коэффициент бародиффузии 200
— Ван-дер-Ваальса 142
— внутреннего трения 199, 305
— внутренней конверсии 756
— восстановления при ударе 63, 64
— вторичной электронной эмиссии
392
— вязкости см. Вязкость
— давления термический 176
--- термодинамический 175
— Джоуля — Томсона 174
— диффузии 200
---в жидкостях 214
— затухания 609
--- колебаний 104
— квазиупругой силы 101, 256
— магнитной вязкости 473, 475
— модуляции 532
— образования пар 763
— объемного расширения терми
ческий 175
- ослабления излучения линейный
762
Коэффициент ослабления излуче-
ния массовый 762, 763
— отражения в акустике 507
---— оптике 538
— поглощения звука 512
--- света в металле 543
---— линейный 615
— полезного действия термодина-
мический 155—157
— прозрачности анализатора 598
--- в акустике 507
---— оптике 538
— размагничивания 422
— размножения нейтронов 776
— расширяемости термодинами-
ческий 175
— Пуассона 269, 271
- самодиффузии 201
— сжимаемости термодинамиче-
ский 175
— скорости 326
- сопротивления температурный
361
— температуропроводности 258
— теплового расширения 256
— теплоотдачи 313, 314
— теплопередачи 259
— теплопроводности 198, 199
— — электронной 260
— термодиффузии 200
— трансформации 426
— трения 50
— — истинный 51
— — качения 51
---скольжения 50
— упругости 60, 268
- усиления триода 456
— — — статический 465
- холодильный 157
- Эйнштейна для вынужденного
излучения 668
- — — поглощения света 665, 666
— — — спонтанного излучения 666
Коэффициенты вириальные 234
— теплоотдачи 259
— трения обобщенные 116
— Фурье 610
Кратность вырождения состояния
207
— ионизации 371
— растяжения полимера 291
Кривая видности 591
— намагничивания техническая 439
— резонансная контура 450
— — — относительная полуши-
рина 452
— Столетова 441
— сублимации 265, 266
Кривые изохроматические 60§
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кривые резонансные 108
Кристаллизация 265
Кристаллиты 254
Кристаллохимия 255
Кристаллы валентные 255
— глобулярные 289
— двоякопреломляющие 594
— двуосные 593, 594
— жидкие 241
— ионные 255
— металлические 254, 255
— молекулярные 255
— , монокристаллы 254
— одноосные 593, 594
— , определение 253
— , поликристаллы 254
— , свойства векторные 254
— , — скалярные 254
— , — тензорные 254
— , симметрия 254
Критерии подобия 317—319
Критерий Грасгофа 320
— Нуссельта 319
— Пекле 319
— Прандтля 319
— Рэлея 567
— см. также Число
Кружок рассеяния 583
Кручение 271
Кюри (единица) 763
Лавина 374
Лагранжиан см. Функция Ла-
гранжа
Лазер 669
X-переход 252
А-раздвоение 712, 716
Лампы электронные 452—457
Летучесть 187
Ливни электронно-ядерные 789
Линза магнитная 415, 416
— оптическая толстая 574
---тонкая 574—576
— электростатическая 414, 415
Линии комбинационные антисток-
совы 722
---стоксовы 722
— магнитной индукции 394
— силовые электростатического
поля 330
Линия вихревая 303
— действия силы 33
— мировая 481
— спектральная 613
— — , доплеровское уширение 614
— — , естественное расщепление
687
---, полуширина 613
831
Линия спектральная, ударное уши-
рение 614
---, ширина 613
--- , — естественная 613
— тока 302
- удара 63
— узлов 25
Лупа 581
Луч 500, 523
— земной 565
— световой, закон обратимости 569
— — необыкновенный 594
---обыкновенный 594
--- , определение 568
---сопряженный 569
Лучепреломление двойное 594
— — искусственное 596—598
Лучи каналовые 374
— катодные 374
— космические 788—791
Люк 580
Люминесценция, определение 637
Люминофор 638
Магнетон Бора 428, 810
— ядерный 684, 733, 810
Магнитодиэлектрики 421
Магнитострикция 441—442
Мазер 669
Масса, зависимость от скорости 487
— критическая делящегося веще-
ства 777
— , определение 35
— покоя 487
— приведенная 86
— электромагнитного поля 427
— эффективная 661, 663
Масс-спектрограф 409
— , двойная фокусировка 410
Маятник крутильный 103, 104
— математический 102, 122
— плоский двойной 112, 113
— пружинный 102
— — двойной 118, 120
— физический 103
---, приведенная длина 103
— — , центр качания 103
— Фуко 32
— циклоидальный 102, 103
Маятники связанные 115
Мезоатомы 675, 676
Мезоны 782, 783
Мениск 246
Метод аналогии 318
- графический сложения вторич-
ных волн 553, 554
- затемненного поля 587
— Лагранжа в гидродинамике 300
832
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Метод моделирования 318
— статистический, предмет 131
— термодинамический, предмет 131
— - Томаса—Ферми 678
— фотоупругости 597
— Хартри 677
— Хартри—Фока 677, 678
— Эйлера в гидродинамике 300,
301
Методы ускорения частиц 410, 412
Механика квантовая, предмет 13,
642
_ классическая, предмет 13
— релятивистская, предмет 13, 487
Микрополя 468
Микроскоп 581
Микроскопия электронная 417, 418
Микросостояние системы 214
Микрочастица, определение 13
Множитель дисперсионный 609
— упаковочный 730
Модель атома векторная 681—685
--- статистическая 678
— молекулы векторная 709
— ядра капельная 737, 738
— — обобщенная (коллективная)
741-743, 773
_ _ оболочечная 738—741
— — однонуклонная 734
Модуль всесторонней объемной
упругости 270
— сдвига 271
— упругости 268
— Юнга 268, 271
Модуляция 532
Молекула атомная 704—708
— ионная 701—704
— , определение 701
Молизация 368
Молния 374
Момент гироскопический 91
— импульса 69—72
— — гироскопа собственный 80
---, закон сохранения 73—75
--- нуклона полный 734
---электрона (спин) 428
---ядра полный 734
— инерции 65—69
— — главный 66
---— центральный 67—69
---центробежный 68
— кинетический 70, 71
— крутящий 271
— магнитный 397, 398
---атома орбитальный 429, 682
-------- индуцированный 431
---— полный 682
--------спиновый 682
--- нейтрона 733
Момент магнитный нуклона ор-.
битальный 733
-------спиновый 733
--- протона 733
---электрона аномальный 787
------- орбитальный 429
-------спиновый 428
— — ядра в обобщенной модели
742, 743
— — --- однонуклонной модели
734
— силы 64, 65
— системы сил главный 64, 65
— трения 51
— электрический дипольный 332,
347
— — — , матричный элемент 665
------- ядра 735
---квадрупольный ядра 735
-------— в обобщенной модели
743
Монокристаллы 254
Мономеры 277
Монохроматизация света 551
Мостик Уитстона 367
Мощность 55, 56
— дозы облучения 764
— спектральная источника 687
Мультиплет 687
— зарядовый 780
Мультиплетность системы 684
— терма 683
Мультипольность гамма-излучения
756
Нагреватель 155
Наклеп 269
Намагниченность 431
— , насыщение 435
— спонтанная в ферромагнетиках
438
Напор скоростной 309
— температурный 314
Направление легчайшего намагни-
чения 438
— трудного намагничения 438
Напряжение 268
— анодное 455
— в гидроаэростатике 297
— зажигания разряда 372, 373
— запирания лампы 455
— касательное 268
— на участке цепи 363
— нормальное 268
— пробивное конденсатора 346
— сеточное 454
Напряженность поля гравитацион-
ного 48
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
язз
Напряженность поля магнитного
395
-------плоской волны 525
— — — .циркуляция 403
---массовых сил 297
— — электрического 330—334
— плоской волны 525
— — — , циркуляция 337
Насыщение техническое феррокаг-
не1иков 440
Натяжение поверхностное жидко-
сти 245
Нейтрино 751, 782
— , спиральность 755
Нейтрон 727, 782
Нейтронография см. Анализ ней
троноструктурный
Нейтроны запаздывающие 774
— мгновенные 774
Неравенство Клаузиуса 167
Несохранение четности 755
Нить вихревая 303
Номер порядковый ядра 727
Нуклоны отдачи 633
Нутация 82
Обертоны 513
Области сиботаксические 242
Обмен виртуальный квантами полу
786
Оболочки электронные 694
— ядерные 738
Образование пар 757
— - , коэффициент 763
Объектив 581
— иммерсионный 581, 587
— , относительное отверстие 580
Объем исключенный эффективный
286
— молярный 134
— парциальный 140
— - собственный 233
— удельный 133
Однородность времени 92, 784
— пространства 93. 784
Окуляр 581
— компенсационный 586
Опалесценция кршическая 239, 617
Оптика геометрическая, предмет
568
— просветленная 540
— электронная 413—418
— — , законы подобия 416
— - связь со световой оптикой
413, 414
Орбита 76
— , параметр 77
— , эксцентриситет 77
53 Б. М. Яворский, А. А. Детлаф
Орбита электронная в атоме 672
Ортосостояние атома гелия 681
— молекулы водорода 706
— позитрония 676
Ортотермы 717
Освещенность 589
Оси свободные тела 75
Остаток атомный 672
Осциллятор 100
— ангармонический 100
— гармонический 88, 100
— — в квантовой механике 648—
650
Ось вращения мгновенная 24, 25
— динамической симметрии тела
67. 68
— инерции тела главная 67
— — — — центральная 67
— оптическая кристалла 593
--- линзы главная 575
------- побочная 575
— симметрии 254
Отверстие относительное объектива
580
Отношение гиромагнитное для ор-
битальных моментов электрона
429
— — - спиновых моментов элек-
трона 428
— термодиффузионное 20е
Отношения гиромагнитные для
протона и нейтрона 733
Отражение полное внутреннее зву-
ка 506
- — — света 537
— света диффузное 540
---диэлектриками 536, 537
— — зеркальное 537
— — металлами 542 , 543
— — с потерей полуволны 539
— — сферической поверхностью
573
Падение свободное 47
Пакет волновой 527
Пар 238. 239
Пара вращения 31
Парадокс Гиббса 166
- часов 484
Парамагнетизм 433—435
Параметр вырождения 217
Параметры критические 233. 231
- состояния 132, 133
— — приведенные 233
Парасостояние атома гелия 681
— двухатомной молекулы 706
- позитрония 676
834
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Паратермы 717
Переменные Лагранжа 300
— Эйлера 301
Переход безрадиапионный 701
- квантовый 663—667
— р— п 468
— резонансный через барьер 657
— фазовый 186
— — второго рода 186, 252
— — первого рода 186, 264
Перигелий 77
Период волны 501
— дифракционной решетки 561
— колебаний 96
— обращения тела 24
— — частицы в магнитном поле
408
— полураспада 744
_ _ сравнительный 753
— условный затухающих колеба-
ний 105
— электромагнитных свободных
колебаний 447
Пирометрия 626, 627
я-связь 707
«-теорема 316, 317
Плавление 263
Плазма 375—377
Пластинка в полволны 600
---целую волну 600
— — четверть волны 600
— плоскопараллельная 570
Плеохроизм 596
Плоскости кардинальные 578
—- сопряженные 574
---главные 574, 577
— фокальные 577
Плоскость главная кристалла 594
— колебаний 496, 526
—- поляризации 526
— — , вращение 604—606
— сдвига 270
— симметрий 254
Плотность диффузионного потока
200
— оптическая среды 537
— тела 35, 133
— — средняя 35
— тепловой мощности тока 360
— тока 357
— физической величины 644
— энергии магнитного поля 427
— — электростатического поля 356
Поверхность волновая 500
— гидрофильная 246
— гидрофобная 246
— идеально рассеивающая 590
— разрыва в гидродинамике 518,
Поверхность разрыва в гидроди-
намике, см. также Скачок уплот-
нения
~ магнитной гидродинамике
- эквипотенциальная в электро-
статике 341
Поворот электронного изображения
, хроматическая разность
Поглощение звуковых волн 511, 512
— резонансное гамма-лучей 758
— рентгеновых лучей 701
— света 614, 615
— — «металлическое» 543
— — резонансное 615
Подвижность ионов в жидкостях 370
Подгруппа электронная 694, 698, 699
Подсистема квазизамкнутая 208
Позитроний 676
Показатель адиабаты 147
— политропы 149, 152
— преломления абсолютный 536
---комплексный 543
---одноосного кристалла 594, 595
---относительный 505, 536
Поле гравитационное 48
---, напряженность 48
--- , потенциал 48
— магнитное 392
— — внутреннее 435, 436
— — , действие на проводники е
токами 402, 403
— — , напряженность 395
— — , простейшие случаи 396—402
— массовых сил 297
— самосогласованное 677
— скоростей 301
— электромагнитное 427 , 459
— — , уравнения Максвелла 460
- электростатическое 330
— — , действие на диэлектрики
346—353
---, напряженность 330—334
---, потенциал 338—342
— — , проводник в нем 342—344
— —, суперпозиция 331
--- условие потенциальности
337
Поликристаллы 254
Полимеры 277—295
Полиморфизм 255
Политропа 149, 153
Полоса спектральная 719
— — , ветвь нулевая 722
— — , — отрицательная 722
— — , — положительная 721
— — нулевая 719
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
835
Полосы интерференционные 546
---, видимость 547
— — равного наклона 550
— — равной толщины 549
— поглощения 607, 614
Полупроводники, определение 378
Поляра ударная 521
Поляризаторы 592, 598
— скрещенные 601
Поляризация вакуума 787
— колебаний 114, 115
— света при отражении 541
— — — рассеянии 618
— — циркулярная (круговая) 600
— — эллиптическая 599
— электрическая 348
— — ионная 349
— — ориентационная 349
— — спонтанная сегнетоэлектри-
ков 354
— - электронная 349
Поляризуемость 347
Поляриметрия (сахариметрия) 605
Помехи 565
Порог осязания 514
— слышимости 514
— ядерной реакции 768
Порядок ближний 241
— дальний 253
— интерференции 546
Постоянная альфа-распада 750
— ангаомоничности 714
— бета-распада 753
— Больцмана 138, 622. 811
— Верде 606
— Вина 624, 811
— времени ядерная 757
— газовая удельная 138
— - универсальная 138, 811
— гравитационная 45, 811
— ионизационного равновесия 726
— Керра 598
— /^-захвата 754
— Коттона — Мутона 598
— Кюри 432
— магнитная 395
— Планка 625, 811
— распада 744
— Ридберга 652. 669, 675, 811
— Стефана 626, 811
— тонкой структуры 673, 784, 812
— - Ферми 781
— Холла 382
— экранирования 673
— электрическая 329
— электродинамическая 445
— эмиссионная 391
Постоянные физические универ-
сальные 810—812
Постулат Бора второй 671
- — первый 670, 671
Потенциал изобарно-изотермный
(Гиббса) 168
— — — — гомогенной системы
182, 183
— — — — стандартный 190
---изоэнтропийный 168
— изохорно-изотермный 168
— — изоэнтропийный 168
— ионизации 371
--- водородного атома 670
— Леннарда — Джонса 713
— Морзе, 713
— поля векторный 464—466, 496
— — скалярный 464—466, 496
— скорости 302
— химический 181
— электростатического поля 338—
342
Потери ионизационные 759, 760
— на гистерезис 441
— радиационные 759, 760
Поток жидкости 303
— магнитный 404
— — , теорема Остроградского —
Гаусса 405
— напряженности 352
— световой энергии 588
-------- полный 588
— смещения 334, 335, 352
---, теорема Остроградского —
Гаусса 335, 352
— тепловой удельный 258
— энергии волны 504
Пояса радиационные 790
Правила Кирхгофа для магнитных
цепей 406
-------электрических цепей 364—
367
— отбора 667
---для вращательных спектров
молекул 716
-------дипольного электрического
излучения 673
---— колебательных спектров
молекул 713
---— комбинационных спектров
молекул 722, 723
------- электронных спектров мо-
лекул
Правило Дюлонга и Пти 262
— левой руки 394
— Ленца 418
— Максвелла 239, 240
---(буравчика) 394
— правой руки 419
— Прево 620
— Стокса 639
53*
836
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Правило фаз Гиббса 186
Предел пропорциональности 268
— прочности 269
— текучести 269
— упругости 269
Предиссоциация 724
Представление процесса импульс-
ное 659
Преломление сферической поверх-
ностью 572
Преобразование Галилея 43
— зарядового сопряжения 781
— Лоренца для импульса и энер-
гии 489
--- — координат и времени 484
--- — электромагнитного поля
490, 491
Прецессия 80
— быстрая 81
— ларморова 430
— медле> Н1я 82
— псевдоре^улярная 82
— регулярная 81
Приборы проек ионные 582
— спектральные 566—568
Призма 571
Принцип автофазировки 411, 412
— Гюйгенса 551, 552
— Гюйгенса — Френеля 552
— детального равновесия 767
— Ландау — Ли — Янга 785
— Ле-Шателье 185, 186
— Мопертюи 90, 91
— наименьшего действия Гамиль-
тона 90
— недостижимости абсолютного
нуля температуры Нернста 191
— независимости действия сил 38
— неразличимости тождественных
частиц 214
— отвердевания 297
— относительности механический
43-45
— — Эйнштейна 480, 481
- Паули 359, 681, 693
— причинности классический 87
— Ритца комбинационный 668
— суперпозиции волн 499
— — магнитных полей 396
— — электрических полей 331
— Ферма 91, 568. 569
— Франка — Кондона 667, 719
Пробег альфа-частиц 761
— бета-частиц 761
— протонов 761
— частиц 760
Пробой электрический газа 372
Проводимость жидкостей 367, 368
~ контакта односторонняя 386
Проводимость металлов 358 - 361
— полупроводников 378—381
— темновая 631
Проводники в магнитном поле 402
— в электростатическом поле 342—
344
Прожектор 573
Прозрачность потенциального барь-
ера 658
— — — для альфа-распада 749, 750
Проницаемость диэлектрическая
относительная 329
— — — , связь с диэлектрической
восприимчивостью 353
— лампы 455
— магнитная относительная 395
— — — , связь с магнитной вос-
приимчивостью 436
Пространство темное катодное 373
— фазовое 87, 89
— фарадеево 373
— четырехмерное 481
Прохождение частиц через веще-
ство 759—764
------- потенциальные барьеры
656—659
Процесс адиабатического расшире-
ния и сжатия 179, 180
— перемагничивания 440
— термодинамический 135
---адиабатический 136, 149, 151,
152
---изобарный 136, 149, 150, 152
---изотермический 136, 149, 150,
152
---изохорный 136, 149, 150, 152
---изоэнтальпийный 143
---изоэнтропийный 163
--- круговой 136
— — необратимый 154, 178—180,225
— — — , эквивалентный обрати-
мый процесс 154
— — обратимый 153, 225
— — политропный 149, 151 — 153
— — равновесный 136
— Филлипса — Оппенгеймера 771,
772
Процессы качественно одинаковые
318
---подобные 317
— релаксационные в аморфных
телах 273
— ядерно-каскадные 789
Пульсация скорости 322
Пути оптические таутохронные 547
Пучность стоячей волны 509
Пучок света гомоцентрический 569
— — параксиальный 571
— сил, см. Система сходящихся сил
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
837
Работа выхода 358, 359, 383
— ионизации 371
— , определение 53
— перемещения заряда в электро-
статическом поле 338
---проводника с током в маг-
нитном поле 407
— расширения газа 143, 144
Равенство Клаузиуса 162
Равновесие адсорбционное 266
— жидкости 297—300
— термодинамической системы
истинное 185
— — — , константа 189
------- метастабильное 185
---— , общие условия 180—185
— химическое 185, 187—191
Рад 764
Радиоактивность естественная 743—
759
— искусственная 779
Радиовещание 532, 533
Радиоизлучение космическое 791
Радиолокация 533, 534
Радиолуч 535
Радиосвязь 532
Радиоспектроскопия 725
Радиус боровский первый 652, 812
— дебаевский экранирования 377
— инерции тела 65
— ядра 729
Раздувание молекулярного клубка
285
Размерность физической величины
315
Размеры критические делящегося
вещества 777
Размягчение 274
Разность потенциалов 338
— — контактная 383
---— , законы Вольты 384
— увеличений хроматическая 586
— фаз когерентных волн 547
— хода оптическая 548
Разрывы в магнитной гидродина-
мике 478
Разряд газовый дуговой 374, 375
— — искровой 374
— — кистевой 374
— — коронный 374
---несамостоятельный 371 372
— — самостоятельный 372—о75
---тлеющий 373
— конденсатора апериодический
446
Распад ядер спонтанный 744
Распределение Бозе — Эйнштейна
214, 215
— Больцмана 212
Распределение Гаусса 227
— Гиббса квантовое 208
--- каноническое 208, 209
--- микроканоническое 207
— Максвелла 212
— Максвелла—Больцмана 211—213
215
— молекул по скоростям 193, 194,
196, 197
—------энергиям 195, 196
— нуклонов по ядерным уровням
738-740
— спектральное 612
— Ферми — Дирака 215
Рассеяние звуковых волн 512, 513
— радиационное нейтронов 772
— рентгеновых лучей обратное
633
— света 616—618
--- оптически неоднородной сре-
дой 616
--- комбинационное 722
— — молекулярное 617
— — рэлеевское 617
— частиц 653 —656
--- неупругое на ядрах 768
— электронных волн в кристаллах
661
Расстояние наилучшего зрения 581
— равновесное ионов в молекуле
703
— фокусное 572
Раствор 131
— истинный 250
— — ионный 250
— — молекулярный 250
— коллоидный 250
— разбавленный 250
— — полимера 287, 288
— сильного электролита 250
— твердый 250, 265
Растяжение 268
— всестороннее 270
Расход 303 , 324—325
Расширение тепловое линейное 256
— — объемное 256, 257
Расщепление естественное спект-
ральной линии 687
— уровней ядра зеемановское 735
Реакторы ядерные 777, 778
Реакции термоядерные 774—775,
778-779
— фотохимические 635, 636
— ядерные, классификация 770—
775
— — , характеристики 767, 768
Реакция деления ядер цепная 775.
776
— срыва 771
838
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Резерфорд (единица) 763
Резины 290
Резкость изображения 581
Резонанс 108
— «гигантский» 773
— напряжений 450
— токов 451
— циклотронный 662, 663
— электрической цепи 450—452
— электронный в ферромагнетиках
691, 692
---парамагнитный 689
— ядерный квадрупольный 736, 737
— — парамагнитный 735
Резонаторы акустические 510, 511
Рекомбинация 373
Релаксация спин-решеточная 690,
735
— спин-спиновая 690
Рентген (единица) 764
— — , эквивалент биологический
764
---, — физический 764
Рефракция атомная 609
— молярная 353, 609
— радиоволн 534
— света 540
— удельная вещества 609
Решетка дифракционная 561
— — фазовая 563
— кристаллическая 253
Ротатор 88, 89, 222
— в квантовой механике 650, 651
Ряд Фурье 99, 610
Самовозбуждение жесткое 129
— мягкое 129
Самодиффузия 200, 201
Сверхпроводимость 361, 442—445
Сверхтекучесть гелия 251—253, 445
Светимость 590
Светосила 580
Светофильтры 551
Свечение тлеющее (отрицательное)
373
Связи голономные 15
— неголономные 15
— , определение 15
— , стационарные 15
— , уравнения 15
а-связь 707
Связь гомеополярная 255, 708
— ионкая 255, 702
— коэффициентов переноса 202
— металлическая 255
— сильная 683
— — в ядре 733, 734
— слабая 682
Сдвиг 270
— уровней лэмбовский 787
Сегнетоэлектрики 353—355
Семейства радиоактивные 745—747
Сенсибилизаюры 637
Серия спектральная атома 670, 674
---— , граница 670
— — — , изотопический эффект
675
---Деландра диагональная 719
--------поперечная 719
--------продольная 719
Сетка антидинатронная 457
— управляющая 454
— экранирующая 456
Сечение эффективное газокинетв-
ческое 197
---рассеяния звука 513
-------- частиц 653
---соударения молекул 197
---ядерной реакции 769—770
Сжатие 268
— всестороннее 270
Сжижение газов 240
Сжимаемость адиабатическая 175
— изотермическая 175, 227
Сила Ампера 393, 394
— взаимного притяжения тел 45
— взаимодействия проводников
402—403
— восстанавливающая 121
— вынуждающая 106
---полигармоническая 125
— — приведенная 120
— действия магнитного поля на
проводники 403
— звука 503, 504
— инерции даламберова 52
кориолисова 52
переносная 52
— квазиупругая 101
— коэрцитивная 441
— Лоренца 407—409
— магнитодвижущая 405
— неупругого сопротивления при-
веденная 123
— обобщенная 84
— , определение 33
— оптическая линзы 576
—-------магнитной 415
--- — электростатической 415
— осциллятора 608
— предельная iрения покоя 49
— равнодействующая 33
— реактивная 42
— света средняя сферическая 589
— — точечного источника 589
— сопротивления 320
— термоэлектродвижущая 387
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
839
Сила тяги ракеты 48
— центральная 75
— центростремительная 38
— электродвижущая 362, 363
— — взаимной индукции 425, 426
— — самоиндукции 423
— — флуктуационная 231
Силы ван-дер-ваальсовы 235, 236,
255
— внешние 34
— внутренние 34
— инерции 52
— массовые 297
— непотенциальные 57
— нестационарные 57
— поверхнос1ные 297
— потенциальные 56
— ударные 62
— упругие 268
— химические 701
— электрические сторонние 362
— ядерные 732, 733
Симметрия кристаллов 254
Симплекс 316
Синглет 684
Синхротрон 412
Синхрофазотрон 412
Система диссипативная 61
— замкнутая в механике 34
— консервативная 61
— координат лабораторная 653
— материальных точек, определе-
ние 14
— неподвижная при вращении 24
— оптическая 576
— — центрированная 577—579
— — — идеальная 577—578
— отсчета 14
---абсолютная 27
--- гелиоцентрическая 32
--- геоцентрическая 32
— — инерциальная 32
— — неинерциальная 32, 51, 52
— — относительная 27
— подвижная при вращении 24
— сходящихся сил 34
— термодинамическая 131
— — ге1ерогенная 132
— — гомогенная 132
— — изолированная 132
— центра масс (инерции) 653
— элементов периодическая 693—
698
Системы единиц измерения 314,
792
— термодинамические безвариант-
ные 187
— — двухвариантные 187
— — необычные 163
Системы термодинамические
одновариантные 187
Скачки поглощения /01
Скачок уплощения косой518,520,521
- - прямой 518- 520
Скин-эффект 425
Скорости обобщенные 83
Скорость абсолкмная 27
- волны фазовая 500
— групповая 527
---волн де Бройля 644
— звуковых волн 495, 496
— космическая вторая 79
— — первая 78
— критическая 326
— линейная 23
— лучевая 595
— мгновенная 18
— молекул наиболее вероятная 195
— — средняя арифметическая 195
— — - квадратичная 195
— относительная 28
— переносная 28
— радиальная 18
— ceeia в вакууме 812
---фазовая 491, 524
— секюриальная 20, 75
— средняя 19
— — турбулентного движения 322
- трансверсальная 18, 19
— угловая вращения 23
- - гироскопа собственная 80
- четырехмерная (четырехско
рость) 486
Слой двойной поверхностный 383
- — р - «-перехода 386
- запирающий 385, 386
- пограничный 321
— половинного ослабления для
бета-частиц 761, 762
- — - — гамма-лучей 762
Смачивание 245, 246
Смещение красное 492
- Элек грическое 334 —336
Сокращение лоренцово 485
Соленоид 400- 402
Соотношение Коши в гидродинами
ке 31U
Соотношения неточностей Гейзен
берга 645—647, 666, 732
Сопло Лаваля 326
Сополимеры 279
Сопро1ивление внутреннее триода
455
— волновое среды 498
- конiура активное 449
— - волновое 448
— — емкое!ное 449
— — инду к хинное 449
840
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Сопротивление контура полное
(эффективное) 449
— магнитное 405, 406
— термическое 259
— электрическое удельное 360
— - участка цепи 363
— электролита удельное 370
— эффективное 367
Сорбция 266
Состояние атома возбужденное 674
— — метастабильное 674
— — основное 670
— квантовой системы стационар-
ное 645
— — —, статистический вес 666
— — — четное или нечетное 754
— молекулы гибридное 707
— — синглетное 706
— — триплетное 706
— системы вырожденное 207
— — метастабильное 666
— — эргодическое 207
— стандартное 187
— ядра возбужденное 732
— — основное 732
Состояния соответственные 234
Спектр амплитуд 501, 610
— атома 670, 674, 675
— —, сверхтонкая структура 684,
685
— —, тонкая структура 673, 689
— дискретный 614
— испускания 614
— линейчатый 614, 615
— масс 409
— молекулы вращательно-коле-
бательный 720 — 722
— — вращательный 715 — 718, 725
— — диффузный 724
— — колебательный 712 — 715, 724
— — комбинационный 722, 723
— — сплошной 723
— — электронно-колебательный
719, 720
— — электронный 708 — 712, 724
— непрерывный 613
— поглощения 614, 615
— полосатый 614, 615
— рентгеновский 699 — 701
— - — вторичный 699
— — первичный 699
— — сплошной 699
— — характеристический 699 — 701
— частот 501
— энергетический атома гелия
678, 679
— — водородоподобного атома 652
— — вращения молекулы 716, 7|8
--- колебаний молекулы 714
Спектр энергетический много-
электронного атома 677
— — осциллятора 648
— — ротатора 650, 716
— — частицы 645
— — электрона в периодическом
поле 659 — 661
— ядра вращательный 742
Спектрограф оптический 566
— рентгеновский 568
Спин 428
— изотопический 732, 780
- — , закон сохранения 784
— ядра 684, 733
Спираль Корню 554, 556
Спиральность нейтрино 755
Способность вращательная 604
— лучеиспускательная 619
— — интегральная 621
— поглощательная 619
— разрешающая оптического при-
бора 587
— — спектрального прибора 567,
588
Среда диспергирующая 526
— мутная 617
— оптически неоднородная 540,
616
— — однородная 616
— сплошная 296
Сродство химическое 188
Статика, предмет 14
Стекло, определение 274
Стеклование 273 — 277
Степени свободы 15
— — термодинамические 186
Степень полимеризации 277
— поляризации 541
— черноты тела 622
— электролитической диссоциации
368
Столб разряда положительный 378
Стопа 540
Странность 781
— , закон сохранения 781
— , несохранение при слабых вза-
имодействиях 784, 785
Страты 373
Струйка 302
Структура оптическая двумерися
- — трехмерная 564
— спектра линейчато-полосатая 720
— — полосатая 719
---сверхтонкая 684, 685
— — тонкая 673, 689
-------- для альфа-частиц 748
— элементарных частиц 788
Сужение поперечное 269
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
841
Сумма статистическая 209
— — , связь с термодинамически-
ми величинами 210
Суперпозиция колебаний 98
Сухость пара 238
Сфера молекулярного действия 236
Схема пересчетная 767
— совпадений 767
Счетчики излучения 766
Текучесть жидкостей 242
Телевидение 532, 533
Тело абсолютно твердое 14
— — черное 620
— вращения в динамическом смыс-
ле 67
— зеркальное 622
— рабочее 146, 1.55
— серое 620
— твердое 253
— — , зонная теория 661, 662
Тембр 513
Температура 134
— абсолютная 135
— — отрицательная 163, 668
— , абсолютный нуль 135
— , — — , недостижимость 191
— вырождения электронного газа
218
— дебаевская, см. Температура
характеристическая кристалла
— инверсии 237
— кипения 249
— кристаллизации 264
— — полимера 290
— критическая 239
— Кюри для сегнетоэлектриков 354
— — - ферромагнетиков 438
— перехода в сверхпроходящее
состояние 442, 443
— плавления 263
— — полимера 290
— радиационная 626
— размягчения 274
— статистическая 208, 209
— стеклования 274
— Флори 285
— характеристическая для враще
ния молекул 224
— — — колебаний молекул 223
— — кристалла 262
— цветовая 626
— , шкала Кельвина 135
— , — Фаренгейта 134, 135
— , — Цельсия 134, 135
— , — эмпирическая 134
— электронная плазмы 376
— яркостная 627
Теорема Гельмгольца 496
— Карно 156
— Кенига 59
— Лармора 430
— Лиувилля 89
— Остроградского — Гаусса для
потока магнитной индукции 405
— — — —— смещения 335, 336,
352
— подобия вторая 318
— — первая 317
— — третья 319
— Томсона в гидродинамике 311
— Штейнера 66
Теория близко действия 330, 460
— газов кинетическая, предмет
192
— Дирака 786, 787
— размерностей 314 — 317
— электронная Лоренца 468 — 471
Теплоемкость атомная 145
— в адиабатном процессе 152
— в изобарном процессе 147, 152
— в изотермическом процессе 152
— в изохорном процессе 147, 152
— в политропном процессе 152,
— газов 221 — 225
— — вращательная 224
— — колебательная 223
— молярная 145
— твердых тел 261 — 263
— тела 144
— — средняя 144
— удельная 145
Теплообмен конвективный 313
— , понятие 53
Теплоотдача 313
Теплопроводность 198
— , коэффициент 198 — 199
— твердых тел 257 — 261
— — — решеточная 261
— --- стационарная 258
— — — электронная 260
Теплота испарения 187
— парообразования удельная 249
— плавления удельная 263
— фазового перехода 186
--- — удельная 187
- физической адсорбции 267
Термодинамика, второй закон 161
- , основное соотношение 167
— , основные дифференциальные
уравнения 172— 176
— , первый закон 145—149
— , предмет 131
— , третий закон 191
Термостат (в статистике) 208
842
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
1ермы атомные 670
— — , мулы иплетность 68d
— — , обозначения 674
— — , характеристика 684
— молекулярные вращательные 717
— — колебательные 714
— — электронные 708, 710 — 712
— основные элементов 695 — 698
Ток вихревой — см. Токи Фуко
- индукционный 418
— квазистационарный 367
— конвекционный 356
— насыщения разряда 372
— — эмиссии 390
— , плотность 357
— постоянный 357
— проводимости 356
— пульсирующий 453
— , сила 356, 357
— смещения 461
— флуктуационный 231
— фотоэлектрический 628
Токи Фуко 420, 421
— — самоиндукции 424
Тон основной 513
— простой 513
Тороид 399 — 400
Точка критическая 239
— материальная 13
— мировая 481
— седловая электростатической
линзы 415
— тройная 187
— эвтектическая 265
Точки апланатические 587
— кардинальные оптической си-
стемы 578
— фазовые 87, 126, 127
Траектория 16
— фазовая 87, 126
Транзистор плоскостной 459
— точечный 457 — 459
Трансконформация 281
Трансформ а юр 426
Греки 765
Трение внешнее 49—51
— внутреннее 49
— — см. также Вязкость
— качения 49
— кинематическое 49
— покоя 49
— скольжения 49, 50
— — жидкостное 50
— — сухое 50
Триод 454 , 455
— полупроводниковый — см. Тран-
зистор
Триплет о84
— зарядовый 780
Триплет нормальный зеемановский
685
Трубка вихревая 303
— тока 302
Грубы зрительные 581, 582
---, телескопическая система 582
Увеличение зрительных труб 582
— линзы линейное 576
— лупы 581
— микроскопа 581
— оптического прибора 579
— оптической системы линейное
578
— — — продольное 578
--- — угловое 678
— проекционного прибора 582
— спектрального прибора 582
— сферической поверхности 573,
574
Углы Эйлера 25
Угол апертурный 580, 587
— Брюстера 539, 541
— зрения 579
— краевой 246
— кручения относительный 271
— Маха 522
— нутации 26, 80
— отражения 505, 537, 538 — 540
— падения 505, 537
— — критический 506, 537
— преломления 505, 537
— прецессии 25
— призмы преломляющий 571
— проекции 580
— сдвига 270
— трения 50
— чистого вращения 25
Удар 62, 63
Удлинение относительное 268
Узел стоячей волны 509
— цепи 364
Ультразвук 515—517
Ультрамикроскоп 587
Упругость формы 241
Уравнение Бернулли 309
— Бернулли — Эйлера 310
— Ван-дер-Поля 130
— Вант-Гоффа 251
— вековое - см. Уравнение харак-
теристическое
— вихревой линии 303
— волновое 496, 497
— гармонических колебаний97, 101
— Гельмгольца для гальваническо-
го элемента 171, 172
— — — синусоидальных волн 499
— Гиббса для адсорбции 267
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
843
111 11 I I 1111 1111 I I 11 I II I I I I I 11
Уравнение гидростатики основное
299
— движения вязкой жидкости 305,
806
— — идеальной жидкости 301 — 305
— — точки 37, 38
— диффузии 200
— закона сохранения энергии 473
— кинетической теории газов ос-
новное 192, 193
— Кирхгофа для тепловых эффек-
тов 149
Клапейрона — Клаузиуса 187
— — для твердых тел 264
Клаузиуса — Мосотти 353
Лапласа для функции тока 311
линий тока 302
Майера 147
Менделеева — Клапейрона 138,
140, 217
Навье — Стокса 305, 306, 320
— — в магнитной гидродинами-
ке 473
неразрывности в гидродинамике
304, 473
Ньютона для вязкости 199
продольной волны 499
— плоской волны 498
— — стоячей волны 509
— сферической волны 509
— — стоячей волны 510
Пуассона для потенциала 342
состояния Бертло 234
— Ван-дер-Ваальса 233
— — приведенное 234
— Вукаловича и Новикова 234
— идеального газа 138
— — — Бозе — Эйнштейна 217
— калорическое 135
— Майера 234
— термическое 135
Томаса —Ферми 678
ударной адиабаты 518
— — в магнитной гидродинами-
ке 480
— Фурье для 1еплопроводности 198,
258
— характеристическое затухающих
колебаний 117
— — свободных колебаний 110
— Шредингера 644
— . — для атома гелия 678
— — — водородоподобного атома
651
— — — двухатомной молекулы 704
задачи возмущений 664
— — — колебаний молекулы 713
— — — многоэлектронного атома
676, 677
Уравнение Шредингера для осцил-
лятора 648
— — — ротатора 650, 716
---— стационарных состояний
645
— Эйнштейна для фотоэффекта
628
— электромагнитных колебаний
вынужденных 448
— — — свободных 445
— энергии в гидродинамике 311,
312
Уравнения Гамильтона канониче-
ские 87
— Гиббса — Гельмгольца 171
— Гиббса — Дюгема 180, 181
— Даламбера для потенциалов 465
---, см. также Уравнение волно-
вое *
— Коши—Римана 311
— Лагранжа второго рода 85, 86
— Лоренца для микрополей 468—
470
— Максвелла460—463, 523, 536
— материальные 463
— равновесия жидкости 298, 299
— связей 15
— состояния реального газа 233—
235
— траектории 16
— установившихся колебаний 130
— Эйлера динамические 72, 73
— — для движения идеальной
жидкости 304, 305
— — кинематические 26
— электронной оптики основные
416, 417
Уровень интенсивности звука 514
— Ферми 359
Уровни акцепторные 381
— — донорные 380
— локальные 380
Ускорение абсолютное 28, 51
— вращательное 26
— касательное 22
— конвективное 301
— кориолисово 29, 51
— линейное 26
— локальное 301
— мгновенное 20
— нормальное 22
— осестремительное 26
— относительное 28 51
— переносное 28, 51
— радиальное 21
— свободного падения 47
— — стандартное значение 47
— среднее 22
— трансверсальное 21
844
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ускорение угловое 26
— четырехмерное (четырехускоре-
ние) 486
Ускорители заряженных частиц
410—412
Условие адиабатичности движения
идеальной жидкости 313
— Вульфа — Брэгга 568
— Лагранжа — Гельмгольца 574
— нормировки Лоренца 465
— отсутствия конвекции 299
— прилипания жидкости 309
— синусов Аббе 574, 584
— скольжения жидкости 308
— устойчивого равновесия жид-
костей 245
— частот Бора 665, 671
Условия граничные для уравне-
ний вязкой жидкости 309
--- ----- идеальной жидкости
308, 309,
-------— Максвелла 464
Устойчивость ядра относительно
распада 731
Участок гидродинамической ста-
билизации 324
Уширение спектральных линий
доплеровское 614, 723
- — — ударное 614, 723
Фаза волны 499
— — начальная 499
— колебания 97
— — начальная 97
— рассеяния 655
— термодинамическая 181
Фазотрон 412
Фазы магнитные 438
Фактор атомный рассеяния 655
- накопления излучения 762
- расщепления Ланде 688
Фермионы 215, 693
Ферриты 421, 442
Ферромагнетизм 437—442
Ферромагнетики, гистерезис 440
— жесткие 441
- мягкие 441
— , процесс перемагничивания 440
—, — технического намагничива-
ния 439, 440
- , техническое насыщение 440
Фигуры Лиссажу 114
Физика молекулярная, предмет 131
- статистическая, предмет 204
Фильтры в радиотехнике 453, 454
Флук ’’апии 226 — 229
- в измерительных приборах
229-230
Флуктуации изотермические объе-
ма и плотности 227, 228
— изохорические температуры
228
— квадратичные 226
— относительные 226
— , распределение Гаусса 227
— электрические в радиоаппара
туре 230, 231
Флуоресценция 638
— , интенсивность свечения 64)
Фокусировка двойная в масс-спек-
трографах 410
— жесткая в ускорителях 412
Фокусы оптической системы 577
— сферической поверхности 573
Фононы 261, 445
Формула Бальмера — Ридберга
669, 670
— Больцмана для энтропии 225
— Борна 655
— Брейта — Вигнера 770
— Вайцзекера 737
— Гелл-Мана и Нишиджимы 781
— Гопкинсона 405
— Дебая — Ланжевена 350
— де Бройля 642
— Деландра 719
— Жюрена 247
— Клейна — Нишины 633
— Лоренца — Лорентца 609
— Найквиста 231
— Планка для теплового излуче-
ния 216, 625
— — — энергии фотона 625
— Пуазейля 325
— Резерфорда 656
— Саха 726
— стехиометрическая 188, 189
— Стокса для силы сопротивле-
ния 320
— сферического зеркала 573
— сферической поверхности
оптике 572
— Томсона 447
— тонкой линзы общая 575
— Циолковского 43
— Эйнштейна для броуновского
движения 232
Формулы Френеля 538, 539, 543
Фосфоресценция 638, 639
— , интенсивность свечения 641
Фотоделение ядер 772
Фотодиссоциация молекул 636, 723
Фотоионизация 726, 727
Фотолюминесценция 639
Фотометрия 588—591
Фотон 627
Фотонейтрализация ионов 727
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
845
Фотопластинки толстослойные 765
Фотопроводимость полупроводни-
ков 379
— см. Фотоэффект внутренний
Фоторасщепление дейтрона 772
Фоторождение частиц 773, 786
Фо I очувствите льность катода
629
Фотоэлектроны 628
Фотоэффект вентильный 631, 632
— внешний 627—630
— — , закон Столетова 629
— — , — Эйнштейна 629
— — , красная граница 629
— — , уравнение Эйнштейна 628
— внутренний 628, 631
— , выход 629
— каскадный 630
— обратный 631
— селективный 630
— ядерный 628, 763, 772, 773
Фронт волны — см. Поверхность
волновая
Функции собственные для атома
гелия 678, 679
— — — водородоподобного атома
652
— — — движения частицы 645
--- — двухатомной молекулы
704, 705
— — — многоэлектронного атома
677
— — — осциллятора 648
— — — ротатора 651
— термодинамические вырожден-
ного газа Бозе — Эйнштейна 217
— —------— электронов в металле
220
— — теплового излучения 216, 217
Функция возбуждения ядерной
реакции 768
— волновая 643
— — антисимметричная 679
— — представление в виде ряда
647
— — симметричная 679
— — спиновая 680, 681
_ __ t уравнение Шредингера 644
— Гамильтона, определение 86, 87
— — релятивистской частицы 489
— — системы 211
— диссипативная 106, 108, 116, 312
— Лагранжа, определение 83
— — релятивистской частицы 487
— Ланже вена 285, 350, 434
— — обобщенная 435
— радиального распределения в
жидкостях 241
— силовая 56, 57
Функция состояния 136
— тока 310, 311
— характеристическая в термоди-
намике 167, 168
Характеристика вольтамперная 373
---падающая 375
— квазиупругая 121
— триода анодная статическая
455
— — динамическая 456
--- сеточная статическая 455
---— — , крутизна 455
Хемиадсорбция 251, 266
Хемилюминесценция 638
— , механизм 639
Холодильник 155
Центр волны 498
— инерции 35, 36
— качания физического маятни-
ка 103
— масс—см. Центр инерции
— оптический линзы 575
— приведение 34
— — системы сил 64
— рассеивающий 653
— силы 75
— тяжести тела 47
Центры конденсации 239
— кристаллизации 264
— парообразования 248
— примесные в полупроводниках
379, 380
Цепи полимерные 277—282, 284
Цепочка радиоактивных превра-
щений 744, 745
Цепь магнитная 405, 406
— электрическая 363, 364—367
Цикл Дизеля 158
— Карно 155
---обобщенный 177
— — обратимый 176, 177
— Отто 158
— предельный 127—128
— протонно-протонный 774
— термодинамический 136
--- газовых турбин 160
---обратный 155
---поршневых двигателей 158,
159
— — прямой 155
— Тринклера — Сабатэ 159
— углеродно-азотный 775
Циклотрон 411
Циркуляция напряженности мах-
нитного поля 403, 437
846
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Циркуляция напряженности элек-
тростатического поля 337
— скорости 302
---, закон сохранения 311
Частица истинно нейтральная 781,
785
— сплошной среды 300
Частицы элементарные 779—783
Частота 97
— волны ЭД1
— колебаний 96
— комбинационная 125
— несущая 532
— перехода боровская 664
— резонансная 108
— — контура 450
— собственная 101, ПО
Чередование интенсивностей во
вращательных спектрах 717
Число Авогадро 134, 812
— квантовое внутреннее атома 682
--- — молекулы 709
--- — электрона 682
---вращательное 716
— — главное 652, 670
--- колебательное 713
---магнитное 651, 688
— — орбитальное атома 660, 673,
682
--- — молекулы 709
— — — электрона 682
— — спиновое атома 682
— — — молекулы 709
— — — электрона 682
— Лошмидта 138, 812
— массовое ядра 728
— Мака (Маиевского) 319
— оборотов тела 24
— Рейнольдса 318, 319
— — критическое 323, 325—326
— — магнитное 474
— степеней свободы 15
— Струхаля 319
— Фарадея 172, 369, 812
— Фруда 319
Числа магические 738
Чувствительность спектральная
Относительная глаза 591
— — приемника 591
Ширина интерференционной поло-
сы 546
— спектральной линии естествен-
ная 613
— уровня 666
— — составного ядра 769
Ширина уровня составного ядра
парциальная 770
Шумы 230, 513
Шунт 365
Эвтектика 265
Эквивалент механический единицы
тепла 146
— рентгена биологический 764
— — физический 764
— тепловой единицы работы 146
— химический 369
— электрохимический 369
Экспозиция 590
Электроемкость 344 — 346
— взаимная 345
Электролиз 368, 369
Электролюминесценция 638
— , механизм 639
Электронография 565, 643
Электроны валентные 698
— отдачи 633
— проводимости 358
Электроотрицательность 702
Электропроводность газов 370, 371
— удельная 360
Электростатика, основная задача
334
— , предмет 328
Элементы переходные 694
— трансурановые 745, 748
Эллипс рассеяния 585
Эллипсоид диэлектрической про-
ницаемости 592, 593
— инерции 67
Эмиссия автоэлектронная 391
— термоэлектронная 389
— фотоэлектронная 392
— электронная вторичная 392
Энергия активации для жидкости
242
— внутренняя 140—142, 168
---газовой смеси 184
— , диссипация 62
— , закон сохранения и превраще-
ния 52
— звуковых волн 502—504
— кинетическая 58, 83
— магнитного поля, плотность 427
— механическая 58—61
— — . закон сохранения 61—62
— молекулы 221
— намагниченной среды, плот-
ность 436, 437
— нулевая 223
--- колебаний молекулы 713
—------системы 223
— — осциллятора 222, 648, 787
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
847
Энергия поверхностная 244, 267
— — свободная жидкости 244
— покоя 488
— , понятие 52
— потенциальная 59
— — деформированного тела 271
— свободная 168
— связи электрона в атоме 670
--- ядра 729
— — — в капельной модели 737,
738
— > — — удельная 730
— тока собственная 427
— Ферми 218, 260
— электрическая заряженного про-
водника 355
— — поляризованного диэлектри-
ка 356
— электромагнитного поля 467,
468
— электростатического поля,
плотность 356
---— потенциальная 337. 338
— ядерной реакции 768
— — — пороговая 768
Энтальпия 142, 143, 168
— газовой смеси 184
Энтропия 163
— газа Ван дер-Ваальса 166
— газовой смеси 183
— идеального газа 164, 165
— - смеси идеальных газов 165,
166
— смешения 165
— удельная 176
— , формула Больцмана 225
Эффект Баркгаузена 439
— вентильный 454
— — контакта 385
— Джоуля^-Томсона 237, 240
— динатронный 457
— Доплера в акустике 511
— — в оптике 492, 493
— — — — поперечный 493
— дробовой 230
— Зеемана аномальный 685, 687—
689
— — нормальный 685—687
— — обратный 685, 686
— изотопический в атомных спек-
трах 675
— — — молекулярных спектрах
720
---— сверхпроводимости 443
Эффект исключенного объема
см. Взаимодействия дальнего по-
рядка
— Керра 597, 598
— Кнудсена 204
— Комптона 632, 633
— Коттона—Мутона 598
- Мёссбауэра 758, 759
— механокалорический 253
- Ми 618
— Оже 630, 701
— Пашена—Бака 687
— Пельтье 388, 389
— пьезоэлектрический 354
---обратный 355
— тепловой процесса 148
— — стандартный 191
— Тиндаля 617
— туннельный 658, 659
— — в альфа-распаде 749
— Фарадея 605
— Холла 381—383
— Штарка для ядра 736
---квадратичный 692
---линейный 692
Явление взаимной индукции 425
— гидратации 250
— застоя 50
— осмоса 250
— самоиндукции 421—425
— сверхтекучести 252
— см. также Эффект
Явления капиллярные 247
— контактные в металлах 383—385
---в полупроводниках 385—387
— переноса в газах 198—203
— термоэлектрические в метал-
лах 387—388
— ----- полупроводниках 389
— эмиссионные в металлах 389—
392
Ядра зеркальные 753
— магические 738
— — дважды 740
— четно-четные и т. п. 729
Ядро дочернее 743
— материнское 743
— отдачи 758
— потока 324
— составное 769
Яма потенциальная 656
Яркость 590
Борис Михайлович Яворский
и Андрей Антонович Детлаф.
Справочник по физике.
М. 1965 г., 848 стр. с илл
Редактор К. П. Гуров
Техн, редактор Н. Я. Мурашова.
Корректор О. А. Бутусова.
Печать с матриц. Подл, к печати 18/III
1965 г. Бумага 70х901/32 Физ. печ. л. 26,5.
Условн. печ л 31,01 Уч.-изд. л. 43,40.
Тираж 150000 экз. Т-01659. Цена 1р. 40 к
Заказ Ne 8026
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 1 «Печат-
ный Двор» имени А. М. Горького «Главпо-
лиграфпрома» Государственного комитета
Совета Министров СССР по печати,
Гатчинская, 26.
Отпечатано в типографии
Франклин, г. Будапешт.