И.Б. Хриплович
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[bb=O 0 51.8mm 18.5mm\rcdiogo.pcx

УДК 539
Интернет-магазин
[bb=O 0 39.8mm 10.9mmjmathesis.pcx
http://shop.rcd.ru
Интересующие Вас книги, выпускаемые нашим издательством, дешевле и
быстрее всего приобрести через интернет-магазин. Регистрация в магазине
позволит вам
•	приобретать книги по наиболее низким ценам;
•	подписаться на регулярную рассылку сообщений о книгах;
•	самое быстрое приобретение новых книг до поступления их в магазин.
Хриплович И. Б.
Общая теория относительности. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаоти-
ческая динамика», 2001, 120 стр.
В книге, написанной на базе лекционных курсов, прочитанных автором в
Новосибирском государственном университете, разобраны основы общей те-
ории относительности, а также различные опыты и эксперименты, подтверж-
дающие эту теорию. При общей конспективности изложения, ряд вопросов
разобран достаточно подробно, имеются задачи для самостоятельного реше-
ния.
Для студентов физических и математических факультетов университетов
и специалистов.
©Хриплович И.Б., 2001
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001
http://rcd.ru

Содержание
Предисловие	5
Глава 1. Введение	7
Глава 2. Частица в гравитационном поле	10
2.1.	Электродинамика и гравитация		10
2.2.	Принцип эквивалентности и геометризация тяготения ...	12
2.3.	Уравнения движения точечной частицы		13
2.4.	Ньютоновское приближение		14
Глава 3. Основы римановой геометрии	16
3.1.	Контравариантные и ковариантные тензоры. Тетрады ...	16
3.2.	Ковариантное дифференцирование		18
3.3.	Снова символы Кристоффеля и метрический тензор ....	21
3.4.	Простая иллюстрация свойств риманова пространства ...	24
3.5.	Тензор кривизны 		26
3.6.	Свойства тензора Римана		28
3.7.	Относительное ускорение двух частиц		31
Глава 4. Уравнения Эйнштейна	33
4.1.	Общий вид уравнений		33
4.2.	Линейное приближение		34
4.3.	Снова электродинамика и гравитация 		35
4.4.	Возможны ли альтернативные теории гравитации?		36
Глава 5. Слабое поле. Наблюдаемые эффекты	38
5.1.	Смещение частоты света
в постоянном гравитационном поле 		38
5.2.	Отклонение луча света в поле Солнца		39
5.3.	Гравитационные линзы		41
5.4.	Микролинзы		43

4	Содержание
Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения	46
6.1.	Действие для гравитационного поля		46
6.2.	Гравитационное поле точечной массы 		49
6.3.	Прецессия орбит в поле Шварцшильда		53
6.4.	Задержка луча света в поле Солнца		56
6.5.	Движение в сильном гравитационном поле		58
6.6.	Гравитационное поле заряженной точечной массы		61
Глава 7. Взаимодействие спина с гравитационным полем	65
7.1.	Спин-орбитальное взаимодействие 		65
7.2.	Спин-спиновое взаимодействие		67
7.3.	Прецессия орбиты, обусловленная вращением центрально-
го тела 		70
7.4.	Уравнения движения спина в электромагнитном поле ...	72
7.5.	Уравнения движения спина в гравитационном поле		74
Глава 8. Гравитационные волны	79
8.1.	Свободная гравитационная волна		79
8.2.	Излучение гравитационных волн		82
8.3.	Гравитационное излучение двойных звезд		87
8.4.	Резонансная трансформация электромагнитной волны ...	89
8.5.	Синхротронное излучение ультрарелятивистских частиц .	91
8.6.	Излучение в гравитационном поле 		94
Глава 9. Космология и ОТО	97
9.1.	Геометрия изотропного пространства	97
9.2.	Изотропная модель Вселенной	101
9.3.	Изотропная модель и наблюдения	105
Глава 10. Насколько черны черные дыры?	108
10.1.	Энтропия и температура черных дыр 	108
10.2.	Энтропия, площадь горизонта, квантование	114

Предисловие
Лекции по общей теории относительности читаются на физическом
факультете НГУ уже довольно давно, сначала в качестве факультатива,
а в настоящее время как альтернативный курс для магистрантов. Этот
альтернативный курс длится один семестр. Лекции, примерно 32 часа,
сопровождаются таким же количеством семинаров, студенты выполня-
ют задание, состоящее из 10 - 12 задач. Экзамен в конце семестра сдают
30 - 35 магистрантов. Судя по результатам сдачи задания и экзамена,
есть основания полагать, что, по крайней мере, 20 - 25 человек реально
усваивают содержание курса.
Книга (так же, как и сам курс) в большей степени базируется на
классической монографии Ландау и Лифшица [1]. Эта монография пред-
назначена в первую очередь для теоретиков, однако целый ряд вопросов
изложен в ней так, что здесь, что называется, ни убавить ни прибавить.
Хотя книга Ландау и Лифшица хорошо известна, эти вопросы для пол-
ноты излагаются и здесь, но несколько более конспективно. Однако я
стремился по возможности приблизить изложение к обычному универ-
ситетскому курсу физики, сделав его максимально доступным не только
для теоретиков.
Большое влияние на эту книгу оказал также курс лекций Берко-
ва и Кобзарева [2, 3]. В частности, из него заимствован вывод урав-
нений движения из уравнений Эйнштейна (восходящий, по-видимому,
к П.А.Дираку и Л.Д.Ландау), вывод решения Шварцшильда (принад-
лежащий Г. Вейлю), а также изложение вопросов космологии.
Однако здесь содержится большое количество материала, отсутству-
ющего в указанных книгах. Разумеется, отбор этого материала опреде-
лялся в значительной мере моими собственными научными интересами.
Заметная часть содержания книги на самом деле не излагалась на
лекциях, а разбиралась на семинарах. В ряде случаев последователь-
ность изложения строится, исходя из необходимости вовремя создать
нужный задел для семинарских занятий и своевременного выполнения
заданий студентами.
Следует отметить, что некоторые вопросы, рассмотренные в кни-
ге, достаточно сложны, хотя и не требуют дополнительных знаний. Они

6	Предисловие
обычно не излагаются ни на лекциях, ни на семинарах. Есть также труд-
ные задачи, которые не входят в число обязательных. Этот материал
предназначен для самостоятельной работы тех студентов и магистран-
тов, которые наиболее серьезно интересуются предметом.
Трудно переоценить отпечаток, который наложило на эту книгу мно-
голетнее сотрудничество с В. М.Хацимовским и А.И.Черных в препо-
давании ОТО. В частности, им принадлежат некоторые задачи в кни-
ге. В.В.Соколов, В. М.Хацимовский и А.И.Черных сделали также мно-
жество полезных замечаний по тексту рукописи книги.
Исключительно важным был для меня живой интерес многочислен-
ных студентов и магистрантов.
Некоторые оригинальные результаты, изложенные в книге, были
получены в сотрудничестве с А. А. Померанским, О. П. Сушковым и
Э.В. Шуряком.
Всем им моя глубокая искренняя благодарность.
Я признателен также Г. Г. Кирилину и Р. Н. Ли за помощь при подго-
товке книги к печати.
Литература
[1] Л.Д.Ландау, Е. М.Лифшиц, Теория поля, М.: Наука, 1988.
[2] А.В.Берков, И. Ю. Кобзарев, Теория тяготения Эйнштейна. Общие
принципы и экспериментальные следствия, М.: Издательство МИФИ,
1989.
[3] А.В.Берков, И. Ю.Кобзарев, Приложения теории тяготения Эйн-
штейна к астрофизике и космологии, М.: Издательство МИФИ, 1990.

Глава 1
Введение
Общая теория относительности (ОТО) — современная теория тяготе-
ния, связывающая его с кривизной четырехмерного пространства-вре-
мени.
В своем, так сказать, классическом варианте теория тяготения была
создана Ньютоном еще в XVII веке и до сих пор верно служит челове-
честву. Она вполне достаточна для многих, если не большинства, задач
современной астрономии, астрофизики, космонавтики. Между тем, ее
принципиальный внутренний недостаток был ясен уже самому Нью-
тону. Это теория с дальнодействием: в ней гравитационное действие
одного тела на другое передается мгновенно, без запаздывания. Ньюто-
новская гравитация соотносится с общей теорией относительности так
же, как закон Кулона с максвелловской электродинамикой. Максвелл
изгнал дальнодействие из электродинамики. В гравитации это сделал
Эйнштейн.
Начать следует с замечательной работы Эйнштейна 1905 года, в
которой была сформулирована специальная теория относительности и
которая завершила в идейном отношении развитие классической элек-
тродинамики. У этой работы несомненно были предшественники, сре-
ди которых нельзя не упомянуть Лоренца и Пуанкаре. В их статьях
уже содержались многие элементы специальной теории относительнос-
ти. Однако ясное понимание, цельная картина физики больших скорос-
тей появились лишь в упомянутой работе Эйнштейна. Не случайно до
сих пор, несмотря на наличие прекрасных современных учебников, эту
работу можно рекомендовать для первого знакомства с предметом даже
студентам-первокурсникам.
Что же касается ОТО, то все ее основополагающие элементы были
созданы Эйнштейном.
Впрочем, предчувствие того, что физика связана с кривизной про-
странства, можно найти в трудах замечательных ученых прошлого века:
Гаусса, Римана, Гельмгольца, Клиффорда. Гаусс, который пришел к иде-
ям неевклидовой геометрии несколько ранее Лобачевского и Больяи, но

8	Глава 1. Введение
так и не опубликовал своих исследований в этой области, не только счи-
тал, что "геометрию приходится ставить в один ряд не с арифметикой,
существующей чисто a priori, а скорее с механикой". Он пытался прове-
рить экспериментально, путем точных (для того времени) измерений,
геометрию нашего пространства. Его идея вдохновила Римана, полагав-
шего, что наше пространство, действительно, искривлено (а на малых
расстояниях даже дискретно). Жесткие ограничения на кривизну про-
странства были получены из астрономических данных Гельмгольцем.
А Клиффорд считал материю рябью на искривленном пространстве.
Однако все эти блестящие догадки и прозрения были явно преждевре-
менны. Создание современной теории тяготения было немыслимым без
специальной теории относительности, без глубокого понимания струк-
туры классической электродинамики, без осознания единства простран-
ства-времени. Как уже отмечалось, ОТО была создана в основном уси-
лиями одного человека. Путь Эйнштейна к построению этой теории был
долгим и мучительным. Если его работа 1905 года "К электродинамике
движущихся сред" появилась как бы сразу в законченном виде, остав-
ляя вне поля зрения читателя длительные размышления, тяжелый труд
автора, то с ОТО дело обстояло совершенно иначе. Эйнштейн начал ра-
ботать над ней с 1907 года. Его путь к ОТО продолжался несколько
лет. Это был путь проб и ошибок, который хотя бы отчасти можно про-
следить по публикациям Эйнштейна в эти годы. Окончательно задача
была решена им в двух работах, доложенных на заседаниях Прусской
Академии наук в Берлине 18 и 25 ноября 1915 года. В них были сфор-
мулированы уравнения гравитационного поля в пустоте и при наличии
источников.
На последнем этапе создания ОТО в нем принял участие Гильберт,
который сформулировал вариационный принцип для уравнений грави-
тационного поля. Вообще, значение математики и математиков для ОТО
очень велико. Ее аппарат, тензорный анализ, или абсолютное диффе-
ренциальное исчисление, был развит Риччи и Леви-Чивита. Математик
Гроссман, друг Эйнштейна, познакомил его с этой техникой.
И все же ОТО — это физическая теория, и притом завершенная.
Она завершена в том же смысле, что и классическая механика, клас-
сическая электродинамика, квантовая механика. Подобно им она дает
однозначные ответы на физически осмысленные вопросы, дает четкие
предсказания для наблюдений и экспериментов. Однако область приме-
нимости ОТО, как и любой иной физической теории, ограничена. Так,
вне этой области лежат сверхсильные гравитационные поля, где важ-

Глава 1. Введение	9
ны квантовые эффекты. Законченной квантовой теории гравитации не
существует.
ОТО — удивительная физическая теория. Она удивительна тем, что
в ее основе лежит по существу всего один экспериментальный факт, к
тому же известный задолго до создания ОТО (все тела падают в поле
тяжести с одинаковым ускорением). Удивительна тем, что она создана
в большей степени одним человеком. Но прежде всего ОТО удивитель-
на своей необычайной внутренней стройностью, красотой. Неслучайно
Ландау говорил, что истинного физика-теоретика можно распознать в
человеке по тому, испытал ли он восхищение при первом же знакомстве
с ОТО.
Примерно до середины 60-х годов ОТО находилась в значительной
мере вне основной линии развития физики. Да и развитие самой ОТО
было отнюдь не очень активным, оно сводилось в основном к выяс-
нению определенных тонких мест, деталей теории, к решению пусть
важных, но достаточно частных задач. На моей памяти уважаемый фи-
зик старшего поколения не советовал молодым теоретикам заниматься
ОТО. "Это наука для пожилых людей", — говорил он.
Вероятно, одна из причин такой ситуации состоит в том, что ОТО
возникла в каком-то смысле слишком рано, Эйнштейн обогнал время.
А с другой стороны, уже в его работе 1915 года теория была сформу-
лирована в достаточно завершенном виде. Не менее важно также, что
наблюдательная база ОТО оставалась очень узкой. Соответствующие
эксперименты чрезвычайно трудны. Достаточно напомнить, что крас-
ное смещение удалось измерить лишь спустя полвека после того, как
оно было предсказано Эйнштейном.
Однако в настоящее время ОТО — бурно развивающаяся область на-
уки. Это результат огромного прогресса наблюдательной астрономии,
развития экспериментальной техники. Исследования по квантовой гра-
витации — передовой фронт современной теоретической физики.

Глава 2
Частица в гравитационном поле
2.1. Электродинамика и гравитация
Для начала сравним уравнения движения точечной частицы в электро-
магнитном и в гравитационном полях, сравним также между собой и
уравнения для этих полей.
Уравнения движения частицы с массой т и зарядом е во внешнем
электромагнитном поле F^ хорошо известны:
B.1)
us
Здесь ид = dx^/ds — 4-скорость частицы; ds2 = r}ltvdxlldxv — 4-мерный
интервал в пространстве Минковского; диагональный метрический тен-
зор в этом пространстве выбираем в виде г]й1/ = diag A, —1, —1, —1); ско-
рость света принимаем равной единице, с = 1.
Уравнения электромагнитного поля таковы:
Здесь четырехмерная плотность тока точечных частиц (помеченных ин-
дексом а) равна
))<%	B.3)
В лоренцевой калибровке д^А11 = О уравнение Максвелла B.2) сводится
к виду
UAV = АттГ; ? = дйдй = д2 - А.	B.4)
Уравнения B.1) и B.2), вместе с начальными условиями для зарядов и
полей на пространственноподобной поверхности, полностью определяют
эволюцию системы. Уравнения электродинамики линейны, для электро-
магнитных полей справедлив принцип суперпозиции.

2.1. Электродинамика и гравитация	11
Уравнения движения точечной частицы во внешнем гравитацион-
ном поле таковы:
^ = -rSXti».	B.5)
Здесь символ ГД;г/к в случае слабого гравитационного поля следующим
образом выражается через его потенциал, симметричный тензор второго
ранга h^:
гд,^ = « E"V* + dKhi*v - дйКк).	B.6)
Уравнения для слабого гравитационного поля (в калибровке, аналогич-
ной лоренцевой) выглядят так:
? V = -167rfc (Тдг/ - 1 п^Т:).	B.7)
Здесь
к = 6,67390(9) • 1(П8 см3 • г • с	B.8)
— ньютоновская гравитационная постоянная, а тензор энергии-импульса
точечных частиц равен
Сходство с электродинамикой очевидно, но и отличие, на самом деле,
очень велико.
Дело в том, что источником электромагнитного поля служат за-
ряды, при этом само электромагнитное поле нейтрально, оно заряда не
несет. Источником же гравитационного поля является энергия, однако и
само гравитационное поле обладает энергией. Поэтому уравнения грави-
тационного поля в действительности нелинейны. Линейные уравнения
B.6), B.7) справедливы, как уже отмечалось, лишь для слабых полей.
Задача
2.1.1 Как ведут себя плотность тока B.3) и тензор энергии-импульса
B.9) при преобразованиях Лоренца? Как преобразуется 5(r — го(?))?

12	Глава 2. Частица в гравитационном поле
2.2. Принцип эквивалентности
и геометризация тяготения
В основе ОТО лежит ясный физический принцип, твердо установленный
экспериментальный факт, известный еще Галилею: все тела движут-
ся в поле тяжести (в отсутствие сопротивления среды) с одинаковым
ускорением, траектории всех тел с заданной скоростью искривлены в
гравитационном поле одинаково. Благодаря этому, в свободно падаю-
щем лифте никакой эксперимент не может обнаружить гравитационное
поле. Иными словами, в свободно движущейся в гравитационном по-
ле системе отсчета в малой области пространства-времени гравитации
нет. Последнее утверждение — это одна из формулировок принципа эк-
вивалентности. Данное свойство поля тяготения отнюдь не тривиально.
Достаточно вспомнить, что в случае электромагнитного поля ситуация
совершенно иная. Существуют, например, незаряженные, нейтральные
тела, которые электромагнитного поля вообще не чувствуют. Так вот,
гравитационно-нейтральных тел нет, не существует ни линеек, ни ча-
сов, которые не чувствовали бы гравитационного поля. Нет объектов,
которые в этом поле можно было бы отождествить с прямыми, как в
евклидовой геометрии. Поэтому геометрию нашего пространства естес-
твенно считать неевклидовой.
Однако в локальной системе, связанной со свободно падающим
лифтом, метрика остается метрикой Минковского, а интервалы време-
ни и координат измеряются обычными часами и линейками. Во всем же
пространстве при наличии гравитационного поля этого нельзя сделать.
Координаты ж0,ж1, ж2,ж3 — просто метки в пространстве-времени. Они
непрерывны, т.е. двум близким точкам соответствуют близкие значе-
ния жд. Общий вид интервала таков:
здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющимся индек-
сам. Симметричный тензор второго ранга g^vix) определяет риманово
пространство. Так как в локально-инерциальной системе он сводится к
Vij,v = diag(l, —1, —1, —1), то ранг матрицы g^ix) равен 4, а сигнатура
равна (—2).
Разумная физическая реализация системы координат в римано-
вом пространстве — это пыль без столкновений. Каждая пылинка имеет
пространственную метку жт, m = 1,2,3, на каждой пылинке произ-
вольно идущие часы. Координаты непрерывны, на некоторой простран-

2.3. Уравнения движения точечной частицы	13
ственноподобной поверхности на всех часах положено х° = 0. В такой
физически разумной метрике goo > 0, метрика gmn поверхности х° = 0
имеет ранг 3 и сигнатуру (—3).
Метрика, создаваемая хорошо локализованным распределением
гравитирующих масс, асимптотически плоская. Однако наша Вселенная
в целом может быть и неэвклидова.
2.3. Уравнения движения точечной частицы
В специальной теории относительности траектория, по которой движет-
ся свободная точечная частица между двумя точками А и В, определя-
ется вариационным принципом
гв
8
) \ ds = 0,	B.11)
Ja
где ds — интервал в пространстве Минковского. Поскольку действие
гравитационного поля сводится к изменению метрики пространства-
времени, то в этом поле вариационный принцип имеет ту же фор-
му B.11), однако теперь ds — интервал в римановом пространстве, ко-
торый определяется формулой B.10). Иными словами, так или иначе,
в пространстве Минковского или пространстве Римана, точечная час-
тица движется по геодезической.
Начнем с вариации ds2:
2 = Sig^dx^dx") = dxgl,vSxxdx^dx" + g^dSx» dxv + dxfid5xl/).
Перебрасывая d с dSx11 и d8xv на остальные множители, т.е. фактически
интегрируя по частям, и переобозначая индексы суммирования, полу-
чаем отсюда:
2ds5ds = 5xx[(dxg^ - d^gXv - dvg\il)dxlldxv - 2gXvd2xv].
Переходя затем к 4-скорости u11 = dx11 /ds, находим, таким образом,
5 \ ds = о / 5xxds[u»uv{dxgv,v - d^gxv - dvgXli) - 2gllXu't].
JA	l JA
Окончательно, приходим к следующему уравнению движения для то-
чечной частицы в гравитационном поле:
Г?АЛЛ = 0,	B.12)

14	Глава 2. Частица в гравитационном поле
где
г«а = \ g^4dKg,x + dxgvK - 8vgKX),	B.13)
а контравариантный метрический тензор g^v связан с ковариантным
тензором gVK соотношением g11"' gVK = S1^. Величина Г^Л носит название
символа Кристоффеля. Нетрудно убедиться в том, что в случае слабого
гравитационного поля, когда метрика пространства мало отличается от
плоской, g^v = Ццц + кй„, \hftul <С 1, эти уравнения переходят в соотно-
шения B.5), B.6), выписанные ранее в разделе 2.1.
Полезно ввести ковариантный вектор 4-скорости ий = g^u"'. Ис-
пользуя соотношения B.12) и B.13), а также тождество
нетрудно показать, что ковариантная 4-скорость удовлетворяет уравне-
нию
^ = ?#^«"«"-	B-14)
ds 2 дх»	у '
Отсюда следует вполне естественное утверждение: в гравитационном
поле, не зависящем от некоторой координаты жд, сохраняется соответ-
ствующая ковариантная компонента 4-скорости ид, а с ней и ковари-
антная компонента 4-импульса рд = тид. Так, в гравитационном поле,
не зависящем от времени t, сохраняется энергия Е = ро, а в аксиально-
симметричном поле, не зависящем от ф, сохраняется Lz = рф.
Локально-инерциальная система в заданной точке соответствует
такому выбору координат, при котором g^, = г]^, Г^л = 0. Таких
систем существует множество, они связаны друг с другом преобразова-
ниями Лоренца.
Физически достаточно очевидно, что локально-инерциальную сис-
тему можно выбрать не только в точке, но и на геодезической, т.е. на
всей траектории точечной частицы, движущейся в гравитационном по-
ле. Такие координаты называют нормальными координатами на геоде-
зической.
2.4. Ньютоновское приближение
Как соотносятся уравнения B.12) с обычными уравнениями движения
нерелятивистской частицы в слабом гравитационном поле? Итак, пусть

2.4. Ньютоновское приближение	15
скорость частицы мала, »«1; отклонение метрики от плоской мало,
gflV = 4llV + Ь,ц„, |/1Д1/| < 1,
и к тому же поля медленно меняются во времени, т.е.
В этом приближении уравнения B.12) сводятся к
Потребуем теперь, чтобы был выполнен закон Ньютона,
dt2 "^
где ф — потенциал гравитационного поля. Естественное граничное усло-
вие для хорошо локализованного источника гравитационного поля:
goo —> 1, </>—>¦ 0 при \хт\ —> оо.
Тогда
goo = 1 + 2ф.
В частности, на большом расстоянии г от источника массы М получаем:
2кМ
goo = 1 - -^т"
(мы восстановили въявь в этой формуле скорость света с).
Величину
_ 2кМ
называют гравитационным радиусом. Для Солнца (его масса М0 =
= 2 • 1033 г) гравитационный радиус равен rgQ и 3 км. При радиусе
Солнца _R0 и 7 • 1010 см, даже на его поверхности отклонение метрики
от плоской очень мало: rff0/_R0 ^ 10~5. Приведем еще значение грави-
тационного радиуса Земли: rg§ и 1 см.

Глава 3
Основы римановой геометрии
3.1. Контравариантные и ковариантные тензоры.
Тетрады
Соображения, изложенные в начале этой главы, справедливы для
пространств более общих, чем пространство ОТО. Чтобы подчеркнуть
это обстоятельство, будем использовать для тензорных индексов не гре-
ческий, а латинский алфавит. Многие результаты этой главы не зависят
ни от размерности пространства п, ни от сигнатуры метрики.
Рассмотрим преобразование координат хг = fl(x'). При этом диф-
ференциалы координат преобразуются так:
дт* I,
. .	• .'*.	(зл)
дх'к
Контравариантным вектором называется совокупность п величин А1,
которые при преобразовании координат преобразуются, как дифферен-
циалы координат:
г	дх* 'к
Пусть ф — некоторый скаляр. Его частные производные преобра-
зуются по иному закону:
К ' '
=
дх* дх* дх'к'
Ковариантным вектором называется совокупность п величин А{, кото-
рые при преобразовании координат преобразуются как производные от
скаляра:

3.1. Контравариантные и ковариантные тензоры. Тетрады	17
Аналогично определяются тензоры различных рангов. Так, кон-
травариантный тензор второго ранга преобразуется как
ковариантный тензор второго ранга — как
смешанный тензор второго ранга — как
1 ,к
дх'1 ,к
А	C-7)
Вернемся теперь к интервалу B.10). Поскольку ds2 = gijdxldx^
— инвариант, то ясно, что gij — ковариантный тензор. Его называют
метрическим тензором. Контравариантным метрическим тензором на-
зывается тензор g1*, обратный gij, т. е.
Найдем теперь, как выглядит в криволинейных координатах эле-
мент объема. Введем вектор dr, соединяющий две бесконечно близкие
точки х1 и хг + dxl: dr = e.{dx%. Здесь е^ — вектор, касательный к ко-
ординатной линии г, проходящей через исходную точку х. Ясно, что
бесконечно малый вектор dr можно задать через его компоненты dra в
локальной лоренцевой (или декартовой) системе координат. Выражение
для вектора dr можно переписать в виде dra = e\dxl. Четверку линейно-
независимых реперных векторов е\ в четырехмерном пространстве, ну-
меруемых индексом а, называют тетрадой.
Квадрат длины вектора dr, очевидно, равен dr2 = (eiej)dxldx:>.
С другой стороны, это не что иное, как ds2 = gijdxldxK Отсюда ясно,
что
gij = (etej) = e?eja.	C.8)
Элемент объема dV, построенный на векторах eidx1, G^dx2,... вы-
ражается, как известно, через определитель Грама:
dV =

18	Глава 3. Основы римановой геометрии
(здесь нет суммирования по i, j), или
dV = ^det(yeiej)dx1dx2 ... dxn =
= y/det(gij) dx1dx2 ... dxn = y/gdx1dx2 ... dxn.	C.9)
В ОТО, где g = det(gij) < О, элемент объема равен
dV = y/^gdx1dx2dx3dx4.	C.10)
Задачи
3.1.1.	Является ли вектором координата xll
3.1.2.	Доказать прямым расчетом, что скалярное произведение двух
векторов AlBi — инвариант. Доказать то же самое для A^Bij.
3.1.3.	В евклидовом пространстве ковариантные тензоры не отличают-
ся от контравариантных, они преобразуются при поворотах одинаково.
Какому свойству матрицы поворотов соответствует это совпадение?
3.2. Ковариантное дифференцирование
Дифференциал вектора dA%(x^) = АЧх^ + dx^) — Аг(х^) — это раз-
ность векторов, взятых в двух разных точках. Поскольку в криволи-
нейных координатах в разных точках пространства векторы преобра-
зуются по-разному (дхг/дх к в C.2) — функции координат), то теперь,
в отличие от случая евклидовых координат, dAl вектором не является.
Чтобы обобщить понятие дифференциала так, чтобы он стал вектором,
надо сначала перенести вектор АЧх^) параллельно самому себе в точ-
ку х^ + dxK Обозначим его изменение при этом параллельном переносе
через 5Аг. Вот теперь разность DA' = dAl — 5А1 является вектором.
Величина 5А1 должна быть линейной не только по dx^, но и по
самому вектору А1. Последнее ясно из того, что сумма двух векторов

3.2. Ковариантное дифференцирование	19
— тоже вектор. Итак, 5Аг можно представить в виде
SA{ = -VikiAkdxj ,	C.11)
где сами Г*й — функции координат. В декартовых координатах все
Г}* = 0.
Наряду с Fljk используются также величины
Г/j* = guT)k .	C.12)
Скаляры, в том числе и скалярные произведения векторов, при
параллельном переносе не меняются. Поэтому из 8 (AiB1) = 0 следует
В*5А{ = -AidВ1 = AirikjBkdxj ,
или, в силу произвольности В1,
SAi = rkjAkdxj .	C.13)
Таким образом,
DAi = dAi + TikjAhdxj = {djAi + ThjAk) dxj ,
DAt = dAi - T^Audxi = (djAi - TkjAk) dxj.
Поскольку DA1, DA1 и dx* — векторы, то выражения в скобках в этих
формулах являются тензорами. Эти тензоры,
д*л*+Г*лк'	(ЗЛ4)
называют ковариантными производными векторов А1 и А1. Разумеет-
ся, в евклидовых координатах Г]у = 0 и ковариантные производные
совпадают с обычными.
Поскольку трансформационные свойства тензоров второго ранга
такие же, как у произведения векторов, то легко получить следующие
выражения для соответствующих ковариантных производных:
А% = djAil + VkjAkl + TlkjAik;	C.16)

20	Глава 3. Основы римановой геометрии
4., . — Я.4-1— Г* Ли — Г* /4-i	HIS4)
Обобщение на тензоры произвольных рангов очевидно. Заметим, что для
скаляра ковариантная производная совпадает с обычной.
Поскольку индекс, означающий ковариантную производную, тен-
зорный, то его можно поднять с помощью контравариантного метричес-
кого тензора, получая таким образом т. н. контравариантную производ-
ную. Например,
Как преобразуются коэффициенты Г^- при переходе от одной сис-
темы координат к другой? Сравнивая законы преобразования левой и
правой частей уравнения C.14), находим:
„ь „', дхк дх'т дх'п д2х'г дхк
5 tz •	(о.19)
Отсюда ясно, что коэффициенты Г^ ведут себя как тензоры лишь по
отношению к линейным преобразованиям координат, в этом случае не-
однородное слагаемое в правой части исчезает.
Заметим, что это неоднородное слагаемое в правой части C.19)
симметрично по i,j. Поэтому антисимметричная по i,j комбинация
Sfj = Tkj - Гк{ преобразуется по закону
ok _ a'l дхк дх'т дх'п
ij ~ тп~д^~№~дх1
и, следовательно, является тензором. Sfj называют тензором кручения
пространства.
В силу принципа эквивалентности геометрия нашего пространст-
ва-времени обладает замечательным свойством: тензор кручения равен
нулю. Действительно, в локально-инерциальной системе координат про-
странство ОТО не отличается от плоского, от пространства Минковско-
го. Иными словами, в этой системе все коэффициенты Г?„, вместе со
своей антисимметричной частью Sfj, обращаются в нуль. Однако по-
скольку Sfj — тензор, то, обращаясь в нуль в некоторой системе коор-
динат, он равен нулю тождественно, в любой системе. Пространства, в
которых тензор кручения равен нулю, называют римановыми. Для ко-
ординат и тензоров риманова пространства мы используем греческие

3.3. Снова символы Кристоффеля и метрический тензор	21
индексы. В римановом пространстве не только Г?д = Г?„, но и, разуме-
ется, 1 к^1/[1 — 1 к,[ii/.
Задачи
3.2.1.	Доказать соотношение C.19).
3.2.2.	Сколько независимых компонент имеет Г?д?
3.2.3.	Пусть задана локально-евклидова система координат в точке
хг = 0. Доказать, что преобразование
хг = х1 + cljklx'jx'kxl
оставляет систему координат локально-евклидовой. Вычислить
ЯГ* ЯГ*
aL jk _ al jk
дх'1 дх1
в точке хг = 0.
3.3. Снова символы Кристоффеля
и метрический тензор
Ковариантная производная метрического тензора равна нулю. Дей-
ствительно, с одной стороны,
^ = D{gllvAv) = Dgllv Av + gflv DA» .
А с другой стороны, как для всякого вектора,
DA^ = gllv DAV .
Отсюда, в силу произвольности вектора А",
Dgllv = 0, или gltv.,x = 0.	C.20)
Явный вид последнего равенства с учетом C.18) таков:
dxgpv - Гм,„а - Г„)ДА = 0.

22	Глава 3. Основы римановой геометрии
Переставляя индексы, получаем:
Теперь, помня о симметрии ГЙ1„а = Г^д,,, легко находим
и, соответственно,
Г?„ = \ ёГХ (dvgx» + д^х ~ dxg^).	C.22)
Таким образом, в римановом пространстве коэффициенты Г^„
совпадают с символами Кристоффеля B.13), возникшими в уравнениях
движения точечной частицы, которые следуют из вариационного прин-
ципа B.11). И это вполне естественно. Сами эти уравнения B.12), кото-
рые можно записать в виде
Tlii^1 — fJii^1 -A- F1'* 11пИт — П
являются, в соответствии с принципом эквивалентности, ковариантным
обобщением на риманово пространство обычных уравнений свободного
движения
dV = 0, или — = 0.
as
Выведем полезное выражение для Г^„. Из определения символа
Кристоффеля следует, что
ц	1 ц,Х(	1 ц,Х
Метрический тензор gx^ можно рассматривать как матрицу. Проделаем
следующие преобразования с произвольной матрицей М:
(HndetM = lndet(M + SM) - lndetM = lndet[M (M + SM) =
= lndet(/ + M~lSM) = ln(l + Sp M~XSM) = Sp M~XSM.
Таким образом,
SpM~1dvM = ^lndetM	C.23)
и
>/=i.	C.24)
-g

3.3. Снова символы Кристоффеля и метрический тензор	23
Приведем еще два полезных соотношения:
g^dxgflv = -eTvdxg^	C.25)
^.	C.26)
Ковариантное обобщение дивергенции вектора таково:
}	C.27)
Отсюда, в частности, следует, что в римановом пространстве примене-
ние оператора Даламбера к скаляру ф выглядит так:
J	иФ) •	C.28)
Теорема Гаусса имеет вид
d4x у/ЧА».,» = f dS,,, у/ЧА».	C.29)
Еще одно полезное соотношение:
Для антисимметричного тензора A^v = —AV>1 ковариантная ди-
вергенция равна
^).	C.31)
Кроме того, для него
+ d^Avx + dvAXfi.	C.32)
Задачи
3.3.1. Доказать формулы C.25)-C.32).

24	Глава 3. Основы римановой геометрии
3.3.2.	Является ли скаляром А = Ле1(Ай1У), где А^и — тензор второго
ранга? Вычислить ковариантную производную А.\.
3.3.3.	Вычислить символы Кристоффеля для цилиндрических и сфери-
ческих координат.
3.3.4.	Выписать явный вид формул C.27), C.28) в цилиндрических и
сферических координатах.
3.3.5.	Записать уравнения Максвелла в римановом пространстве.
3.4. Простая иллюстрация некоторых свойств
риманова пространства
Наглядное представление о некото-
рых свойствах риманова пространства
можно получить на простейшем при-
мере сферы. Рассмотрим на ней сфери-
ческий треугольник, фигуру, ограни-
ченную дугами большого радиуса. Как
известно, дуга большого радиуса, со-	|width=0.69Jng31.eps
единяющая две точки на сфере, — это
кратчайшее расстояние между ними,
т. е. геодезическая. Выберем в качест-
ве этих дуг участки меридианов, от-
личающихся на 90° долготы, и эквато-
ра (см. рис. 3.1). Сумма углов это-
го сферического треугольника отнюдь
не равна тг, сумме углов треугольника на плоскости:
а + /? + 7=|т-	C-33)
Заметим, что превышение суммы углов данного треугольника над тг
может быть выражено через его площадь S и радиус сферы R:
а + C + 1-ж= ^ .	C.34)

3.4. Простая иллюстрация свойств риманова пространства	25
Можно показать, что это соотношение справедливо для любого сфери-
ческого треугольника. Заметим также, что обычный случай треуголь-
ника на плоскости также вытекает из этого равенства: плоскость может
рассматриваться как сфера с R —>• сю. Перепишем формулу C.34) иначе:
tf^ = fl±?±l^.	C.35)
Отсюда видно, что радиус сферы можно определить, оставаясь на ней,
не обращаясь к трехмерному пространству, в которое она погружена.
Для этого достаточно измерить площадь сферического треугольника и
сумму его углов. Иными словами, Rm К являются по существу внутрен-
ними характеристиками сферы. Величину К принято называть гауссо-
вой кривизной, она естественным образом обобщается на произвольную
гладкую поверхность:
g(x)=lima + /? + 7"".	C.36)
Здесь углы и площадь относятся к малому треугольнику на поверхнос-
ти, ограниченному геодезическими на ней, а кривизна, вообще говоря,
меняется от точки к точке и является величиной локальной. И в общем
случае, так же, как и для сферы, К служит внутренней характерис-
тикой поверхности, не зависящей от ее погружения в трехмерное про-
странство. Гауссова кривизна не меняется при изгибании поверхности
без ее разрыва и растяжения. Так, например, цилиндр можно разогнуть
в плоскость, и поэтому для него, так же, как для плоскости, К = 0.
На соотношения C.35), C.36) полезно взглянуть несколько иначе.
Вернемся к рис. 3.1. Возьмем на полюсе вектор, направленный вдоль
одного из меридианов, и перенесем его вдоль этого меридиана, не ме-
няя угла между ними (в данном случае нулевого), на экватор. Далее,
перенесем его вдоль экватора, снова не меняя угол между вектором и
экватором (на сей раз тг/2), на второй меридиан. И наконец, таким же
образом вернемся вдоль второго меридиана на полюс. Легко видеть, что,
в отличие от такого же переноса по замкнутому контуру на плоскости,
вектор окажется в конечном счете повернутым относительно своего ис-
ходного направления на тг/2, или на
a + j3 + -y-TT = KS.	C.37)
Этот результат, поворот вектора при его переносе вдоль замкнутого кон-
тура на угол, пропорциональный охваченной площади, естественным об-
разом обобщается не только на произвольную двумерную поверхность,

26	Глава 3. Основы римановой геометрии
но и на многомерные неевклидовы пространства. Однако в общем слу-
чае n-мерного пространства кривизна не сводится к одной скалярной
величине К(х). Это более сложный геометрический объект — тензор
кривизны, или тензор Римана. К его изучению мы теперь приступаем.
3.5. Тензор кривизны
Если хй (s) — параметрическое уравнение кривой (здесь s — длина
дуги), то вектор им = dx^/ds — это орт касательной к кривой. Если
эта кривая — геодезическая, то вдоль нее Du^ = 0. Иными словами,
если им параллельно перенести из точки жм на геодезической в точку
хй + dx11 на ней же, то он совпадет с вектором им + du^, касательным
к геодезической в точке хй + dx11. Таким образом, при движении вдоль
геодезической орт касательной переносится параллельно себе.
По определению при параллельном переносе двух векторов "угол"
между ними остается неизменным. Поэтому при параллельном переносе
любого вектора вдоль геодезической угол между ним и касательной к
геодезической не меняется, т. е. остаются постоянными составляющие
вектора по геодезическим линиям во всех точках пути.
Мы уже видели выше, что на поверхности сферы вектор после па-
раллельного переноса по замкнутому контуру не совпадает в исходной
точке с самим собой. Рассмотрим теперь более общую задачу: найдем
изменение АА^ вектора А^ при параллельном переносе в римановом
пространстве по бесконечно малому замкнутому контуру. В общем виде
это изменение записывается в виде интеграла § 6АЙ по данному конту-
ру. Учитывая соотношение C.13), получаем:
lxAvdxx.	C.38)
Преобразуем этот интеграл с помощью теоремы Стокса. Для этого нам
понадобятся значения вектора Ац внутри бесконечно малого контура
интегрирования. Строго говоря, эти значения не являются функциями
точки, а зависят от пути, по которому в эту точку приходят. Однако для
бесконечно малого контура эта неоднозначность имеет второй порядок
малости, так что ею можно пренебречь и определять вектор Ац внутри
через его значения на контуре с помощью производных:
daAv = Т^Ар .	C.39)

3.5. Тензор кривизны	27
Теперь, снова учитывая, что площадь А/рт внутри контура бесконечно
мала, получаем с помощью теоремы Стокса:
ДА, = \ [др{Т»тА^) - ат(Г^Лм)] Д/'т =
= \ [дрГ»т А„ - дтГ»р Ай + Г?т дрА» - Т»р дтА^] АГ ¦
Учитывая соотношение C.37), получаем в итоге:
Л^ЛАГ,	C-40)
где
PC	-Я W _Я Г/1 i ГС Г" _ ГМ ро-	/о д-|\
— тензор кривизны, или тензор Римана.
Аналогичная формула справедлива и для контравариантного век-
тора Av. Поскольку при параллельном переносе скаляры не меняются,
то
Avt\Bv = AAVBV + Av \ Д" БМД/"Т =
В силу произвольности вектора Вй отсюда следует:
AA" = -l-R»vpTAvAr.	C.42)
Операции ковариантного дифференцирования неперестановочны.
В частности,
¦^р-ф;^ ~ Ар.^.^ц = И p^vAT ,	(o.4oj
A».,KV - А».и.ф = -R"TtlvAT ,	C-44)
Apa-,fi;v — Ара-.у.ц = К pflvATa + К aflvApT .	C.45)
Эти тензорные соотношения легко доказываются в локально-инерциаль-
ной системе координат.
В плоском пространстве тензор Римана равен нулю. Действитель-
но, в таком пространстве можно выбрать координаты так, что везде
Г^р = 0, а следовательно, и RTptiV = 0. А тензор, равный нулю в одной
системе координат, равен нулю и во всякой другой.

28	Глава 3. Основы римановой геометрии
Верно и обратное: если тензор Римана равен нулю, то простран-
ство плоское. Действительно, локально в данной точке можно в любом
пространстве выбрать евклидову систему. А при RTpflll = О параллель-
ный перенос евклидова репера из данной точки в любую другую не
зависит от пути. Таким образом, евклидову систему можно однознач-
но построить во всем пространстве. Это и означает, что пространство
плоское.
Задачи
3.5.1.	Доказать формулы C.43)-C.45).
3.5.2.	Как выглядит уравнение Максвелла B.2) в гравитационном поле
в ковариантной калибровке Лоренца, где А1* = О?
3.5.3.	Напряженность электромагнитного поля F^ в плоском пустом
пространстве удовлетворяет уравнению OF^ = 0. Как выглядит соот-
ветствующее уравнение в гравитационном поле?
3.6. Свойства тензора Римана
Антисимметрия тензора Римана по двум последним индексам,
ТУТ		 	 ТУТ
очевидна из его определения (см. C.40), C.41)). Для исследования
остальных свойств симметрии удобно перейти от смешанных компо-
нент к ковариантным:
Перейдя снова в локально-инерциальную систему, можно дока-
зать следующие свойства симметрии тензора RTpflv:

3.6. Свойства тензора Римана	29
Антисимметрия по первым двум индексам, C.46), достаточно очевидна:
она обеспечивает сохранение длины вектора при обходе по замкнутому
контуру. Симметрия относительно перестановки пар индексов, C.47),
менее наглядна, поскольку смысл этих пар разный. Первая относится к
вектору, который мы переносим, а вторая — к площадке, вокруг кото-
рой этот вектор переносится.
Далее, равна нулю циклическая сумма по трем индексам тензора
Римана при фиксированном четвертом:
Rrpitv + Rrnvp + Rrupn = 0 .	C.48)
Наконец, имеет место тождество Бьянки:
R'pWT + R%r^ + R%,r;fl = 0-	C-49)
Сверткой по двум индексам из тензора Римана можно построить
тензор второго ранга, или тензор Риччи. Определим его следующим об-
разом:
Д/.* = R%Pv = дРТ% - dvY"w + Г>рГ?„ - Г^Г-р .	C.50)
Любая другая свертка тензора кривизны либо обращается в нуль, либо
совпадает с этой с точностью до знака. Тензор Риччи симметричен:
Riiu = Run ¦	C.51)
Свертка тензора Риччи дает инвариант — скалярную кривизну
пространства:
R = g^R^ .	C.52)
Отметим еще дифференциальное тождество:
К-," = \ д^	C-53)
возникающее при свертке тождества Бьянки C.49).
Найдем число независимых компонент тензора Римана для произ-
вольной размерности пространства п. Тензор RTPIIV антисимметричен
по перестановкам т <—> р, /л <—> v. Таким образом, полное число не-
зависимых комбинаций в n-мерном пространстве и для пары тр, и для

30	Глава 3. Основы римановой геометрии
пары fj,v равно п(п — 1)/2. С другой стороны, тензор RTPIJ,V симметри-
чен по перестановке этих пар между собой, тр <—> [iv. Поэтому полное
число независимых комбинаций индексов равно
1 п(п — 1) \п(п — 1)
2 2 [ 2
Однако следует еще учесть условия цикличности C.46):
Чтобы найти их число, заметим, что тензор BTptiV полностью антисим-
метричен. Например,
J^pTfiv = tipTfxv ~г ttpjxvT ~г ttpvTji = ~ti-Tp)xv ~ kiTjivp ~ tirvpfx = ~-E>Tpiiv
Нетрудно сообразить поэтому, что полное число независимых условий
цикличности C.46) равно п(п — 1)(п — 2)(п — 3)/4!. Окончательно полное
число независимых компонент тензора Римана равно
1 п{п - 1) \п(п - 1) 1 п{п - \){п - 2)(п - 3)
C.54)
2 2 | 2	J	4!
п (п — 1)
12
В частности,
при п = 4 тензор Римана имеет 20 независимых компонент;
при п = 3	6 компонент;
при п = 2	1 компоненту.
Вообще говоря, число компонент тензора кривизны в каждой дан-
ной точке можно сделать еще меньшим. Действительно, локально-инер-
циальная (или локально-евклидова) система в данной точке определена с
точностью до вращений. Соответствующим выбором параметров пово-
рота можно обратить в нуль еще п(п—1)/2 компонент тензора кривизны.
В результате, кривизна четырехмерного пространства характеризуется
в каждой точке 14 величинами, трехмерного — 3 величинами. Это сооб-
ражение не относится к двумерию, где в качестве единственной харак-
теристики можно выбрать скалярную кривизну: скаляр нельзя обратить
в нуль никакими поворотами.
В четырехмерном пространстве, при условии Дм„ = 0 (в следу-
ющей главе будет показано, что этим свойством обладает тензор Римана

3.7. Относительное ускорение двух частиц	31
для гравитационного поля в пустоте), тензор кривизны имеет 10 неза-
висимых компонент. В каждой заданной точке пространства можно так
выбрать систему координат, что все компоненты RTpfiv выражаются
через не более чем 4 независимых величины.
Задачи
3.6.1.	Доказать формулы C.46)-C.49).
3.6.2.	Выразить тензор Римана в двумерном пространстве через ска-
лярную кривизну.
3.6.3.	Выразить тензор Римана в трехмерном пространстве через ска-
лярную кривизну и тензор Риччи.
3.6.4.	Как связана скалярная кривизна поверхности сферы с радиусом
этой сферы?
3.6.5.	Вычислить тензор Римана, тензор Риччи и скалярную кривизну
поверхности тора.
3.6.6.	Вычислить тензор Римана поверхности конуса. Исследовать пове-
дение интеграла J y/g d2x R в окрестности вершины конуса следующим
образом: заменить вершину сферической шапочкой, а затем устремить
радиус г шапочки к нулю.
3.7. Относительное ускорение двух частиц,
движущихся по близким геодезическим
Пусть частица а движется в гравитационном поле. В нормальных
координатах на геодезической уравнение движения этой частицы сво-
бодное:

32	Глава 3. Основы римановой геометрии
Уравнение движения частицы Ь, движущейся по соседней геодезической,
ds2 r	as as
ядке по разности
(по т. н. геодезическому отклонению) к
сводится в первом порядке по разности координат ^(s) = x^(s) —
я гм г Ь"^ -^ - П
r d
ds1	r	as ds
Отсюда в нормальных координатах на траектории частицы а уравнение
для геодезического отклонения rf таково:
^ + д^рт^иРит = 0.	C.55)
Это уравнение можно переписать в ковариантной форме, пригод-
ной в произвольной системе координат. Заметим для этого, что обыч-
ная производная любого порядка вдоль геодезической совпадает с ко-
вариантной, так что вместо d^rf /ds2 можно писать D^rf /Ds2'. Далее,
поскольку в нормальных координатах символ Кристоффеля на геодези-
ческой исчезает, то
Я FM , г _	Р" - п
т pv ~ ds ~
Поэтому во втором слагаемом в C.53) можно сделать замену:
Последнее выражение записано в нормальных координатах. А его кова-
риантная форма такова: ВУ1 pVTuT. В результате приходим к следующему
общековариантному уравнению геодезического отклонения:
^J+i?VX«V = 0.	C.56)
Это уравнение описывает фактически приливные силы, действу-
ющие на систему двух частиц в неоднородном гравитационном поле.

Глава 4
Уравнения Эйнштейна
4.1. Общий вид уравнений
Естественно принять, что общековариантные уравнения гравита-
ционного поля должны быть уравнениями второго порядка, а источни-
ком в них должен служить тензор энергии-импульса Тд„. Общая струк-
тура этих уравнений такова:
aR»v + bg^R + c^v = Г"".
Из условия T^v.v = 0 и тождества C.51) следует, что Ь = —а/2. Таким
образом, приходим к уравнениям Эйнштейна:
Wv - - g^R + \g»v = 8пкТ^.	D.1)
Коэффициент 8тгк в правой части (к — ньютоновская постоянная) обес-
печивает, как будет показано ниже, согласие с обычным законом Ньюто-
на в соответствующем приближении. Так называемая космологическая
постоянная Л, во всяком случае, чрезвычайно мала согласно экспери-
ментальным данным; поэтому последнее слагаемое в левой части урав-
нения D.1) обычно опускают.
Заметим, что если все же Л ф 0, то космологический член в урав-
нении D.1) можно представить как эффективную добавку
8тгк°
к тензору энергии-импульса материи Т7*". Эта добавка достаточно свое-
образна. В отличие от тензора энергии-импульса частиц, имеющих мас-
су покоя, для т'"' не существует системы отсчета, в которой отлична от
нуля лишь компонента т00. В отличие от тензора энергии-импульса без-
массовых частиц, след т'"' отличен от нуля: т? = —\/2тгк. Разумеется,
в локально-геодезической системе т**" = —(\/8Tvk)r)flv.

34	Глава 4. Уравнения Эйнштейна
В отсутствие материи Т'*" = 0, так что уравнения Эйнштей-
на D.1) сводятся к
Д"" = 0.	D.2)
Пространства, метрика которых удовлетворяет условию D.2), называют
пространствами Эйнштейна. Уравнения D.1) (в отсутствие космологи-
ческой постоянной) переписывают также в следующем виде:
Д"" = 8ттк ( Т"" - - g^TjM .	D.3)
Уравнения Эйнштейна составляют по существу содержание классичес-
кой общей теории относительности.
4.2. Линейное приближение
В линейном приближении, g^ = j]^ + /гм„, |/i^j/| <S 1, тензор
Риччи выглядит так:
Налагаем на метрику т. н. гармоническое условие
dphw ~ о Chilli = 0,	D.4)
z
аналогичное условию Лоренца д^А^ = 0 в электродинамике. В этой
калибровке уравнение Эйнштейна в линейном приближении сводится к
обычному волновому уравнению (разумеется, для безмассового поля):
-?V = Ытгк (т^ - i Tj^Txxj ¦	D-5)
Так же как и в электродинамике, в линейном приближении можно не
делать различия между верхними и нижними тензорными индексами.
Рассмотрим случай, когда источником поля служит покоящееся
тело плотности р, т. е. единственная отличная от нуля компонента тен-
зора энергии-импульса — это Too = р. Тогда
A/ioo =

4.3. Снова электродинамика и гравитация	35
' p(r')dr'
tooЧ) =
= -2kj
Таким образом, на больших расстояниях от гравитирующей массы М
находим, как и ожидалось,
2к [	2кМ
hOo =	/ p(r')dr' =	.	D.6)
г J	г
Остальные компоненты метрики вдали от гравитирующей массы тако-
вы:
2кМ
hon = 0, hmn =	Smn .	D-7)
г
Разумеется, уравнение D.5) имеет нетривиальные, волновые ре-
шения и в отсутствие источников. Эти свободные решения описывают
гравитационные волны. Существование гравитационных волн — важное
следствие ОТО.
4.3. Снова электродинамика и гравитация
В разделе 2.1 подчеркивалось сходство между электродинамикой и
гравитацией. Обратим теперь внимание на существенное отличие меж-
ду ними. Хорошо известно, что из уравнений Максвелла следует только
одно, скалярное условие сохранения электромагнитного тока, но отнюдь
не векторное уравнение движения заряда, которое имеет четыре ком-
поненты. Действительно, применив к d^F^" = Airjv оператор dv, немед-
ленно находим dvjv = 0. Полученное уравнение непрерывности говорит
о движении заряженной частицы не так уж много: только то, что ее
мировая линия нигде не рвется.
Применим теперь оператор ковариантной производной D/Dxv к
уравнению Эйнштейна D.1). В силу тождества C.53) приходим к век-
торному уравнению:
T»v.v = 0.	D.8)
В отличие от закона сохранения тока четыре уравнения D.8) полностью
определяют движение частиц. Продемонстрируем это на примере пы-
ли — облака точечных невзаимодействующих частиц малой массы, дви-
жущихся во внешнем гравитационном поле. Тензор энергии-импульса
пыли равен Т**" = pu^u", где р — инвариантная плотность энергии,

36	Глава 4. Уравнения Эйнштейна
определенная в сопутствующей системе. Уравнение D.8) можно перепи-
сать здесь так:
Г""., = (р«"«");1/ = (ри");1/«" + pu».X = (р«");1/«" + р — = 0. D.9)
Умножая полученное тождество на им и учитывая, что имим = 1, нахо-
дим отсюда прежде всего уравнение непрерывности для плотности тока
частиц пыли
{puv),v = 0,
а затем и искомое уравнение движения
Du11
Ds
= 0.
Рассмотрение на примере пыли проведено исходя из соображений прос-
тоты. Можно доказать и для одной частицы, что ее уравнения движения
содержится в уравнениях Эйнштейна.
Обсуждаемое замечательное свойство уравнений гравитации бы-
ло сформулировано Эйнштейном так: "Вещество указывает пространст-
ву, как изгибаться; пространство указывает веществу, как двигаться".
А в электродинамике уравнения линейны, в ней справедлив прин-
цип суперпозиции, сумма полей покоящихся зарядов служит решением
так же, как и поле каждого из них. Поэтому, если бы уравнения движе-
ния заряженных частиц в поле не были заданы, изначально покоившиеся
заряды вполне могли бы покоиться и дальше. Уравнения же гравитации
нелинейны, принципа суперпозиции здесь нет, так что изначально поко-
ившиеся тела должны прийти в движение. На самом деле этот аргумент
тесно связан с приведенным выше выводом уравнений движения, осно-
ванном на существовании четырех законов сохранения для тензорных
уравнений гравитационного поля. Дело в том, что нелинейность урав-
нений поля — необходимое следствие их тензорной структуры.
4.4. Возможны ли альтернативные
теории гравитации?
Прежде всего, экспериментально твердо установлено дальнодейст-
вие гравитации, так что она должна описываться безмассовым полем
(или, по крайней мере, масса покоя этого поля должна быть чрезвычай-
но мала).

4.4. Возможны ли альтернативные теории гравитации?	37
Простейшая мыслимая альтернатива эйнштейновской гравита-
ции — скалярная теория. Релятивистская инвариантность требует, что-
бы скалярное поле взаимодействовало со скалярной характеристикой ве-
щества. Такой разумной характеристикой служит след Т^ его тензора
энергии-импульса. Однако для частиц с нулевой массой покоя, в том
числе и для света, Tjf = 0. Таким образом, в скалярной теории свет не
будет взаимодействовать с гравитационным полем. Но отклонение луча
света гравитационным полем Солнца, задержка луча света в этом по-
ле, а также смещение частоты фотона гравитационным полем Земли —
твердо установленные экспериментальные факты.
Не лучше обстоит дело и с векторной теорией. В ней взаимодей-
ствие частиц и античастиц имеет (как в обычной электродинамике)
разный знак: если протоны притягиваются к Земле, то антипротоны
должны были бы от нее отталкиваться. Но это заведомо не так. Кроме
того, и здесь нейтральный фотон не будет взаимодействовать с грави-
тационным полем.
Таким образом, общая теория относительности, в которой грави-
тационное поле описывается симметричным тензором второго ранга, —
это простейшая теория гравитации, не противоречащая эксперименту.
С наилучшей точностью, ~ 0,2%, предсказания ОТО проверены
для задержки света в поле Солнца (см. ниже раздел 6.4). Строго говоря,
нельзя исключить, что на этом уровне существует примесь скалярного
поля к тензорному.

Глава 5
Слабое поле. Наблюдаемые эффекты
5.1. Смещение частоты света
в постоянном гравитационном поле
Начнем с оценки возможной величины эффекта. Если говорить о
поле Земли, то естественно считать, что относительное смещение час-
тоты света Аш/ш, зафиксированное приемником, который находится на
высоте h над источником, должно быть пропорционально этой высоте,
а также ускорению свободного падения g. И тогда простые соображения
размерности дают
До; gh
	 r*j
ш	с1
где с — скорость света.
А теперь — количественное рассмотрение. В постоянном поле
(т. е. не зависящем от мирового времени t) сохраняется энергия Е. Как
известно, она выражается через действие S с помощью соотношения
Е = — dS/dt. Точно так же в постоянном поле сохраняется и частота
волны ш, связанная с эйконалом Ф аналогичным соотношением:
Однако часы, покоящиеся вместе с источником света, и часы, покоящие-
ся вместе с приемником света, показывают собственное время, каждые
свое. Частота по собственному времени т
9Ф	9Ф dt	ш
дт	dt дт ,/ёьо
в слабом гравитационном поле Земли сводится к
/ кМ\
V г )

5.2. Отклонение луча света в поле Солнца	39
Если детектор расположен на высоте h над источником, то частота, за-
фиксированная детектором, будет сдвинута в красную сторону по срав-
нению с частотой источника. Этот сдвиг равен (А. Эйнштейн, 1907)
kMh	gh
шТ(г + h) - шт{г) = -ш —=— = -ш—^ .
В окончательном выражении восстановлена въявь скорость света с. Со-
гласие с исходной простой оценкой очевидно.
Относительная величина поправки очень мала. Даже при h ~
~ 100 м она составляет
Эффект был впервые измерен на мэссбауэровском переходе в 57Fe. Пред-
сказание теории подтверждается экспериментально в пределах 1%.
5.2. Отклонение луча света в поле Солнца
Очевидная оценка из соображений размерности для угла отклоне-
ния в такова:
Р
где р — прицельный параметр волнового пакета. К ответу в = rg/p
приводит и наивный расчет эффекта в рамках представления о быст-
рой частице, отклоняющейся на малый угол в обычном ньютоновском
потенциале.
Для количественного расчета обсуждаемого эффекта вполне до-
статочно приближение слабого поля. В этом приближении общековари-
антное уравнение эйконала
сводится в центрально-симметричном поле к
1 2] = о. E.1)
Мы используем здесь решение D.6), D.7) для метрики вдали от грави-
тирующей массы; в этом приближении отличные от нуля контравари-
антные компоненты метрики равны
g00 = 1 + "f , gmn = Smn (l " 7) •	E-2)

40	Глава 5. Слабое поле. Наблюдаемые эффекты
Далее переходим к сферическим координатам и полагаем, что движение
происходит в плоскости в = тг/2.
Учитывая малость rg/r, уравнение E.1) удобно переписать как
+ 2 ^) (ЭД2 - [(9ГФJ + 1 (д0ФJ] = 0.	E.3)
Решение ищем в виде
ф = -ut + изрф + ф(г),
где и> — частота света. Соответствие прицельного параметра р с обыч-
ным интегралом момента количества движения L очевидно: р —>• L/fkj
(мы полагаем здесь скорость света с = 1).
Радиальная часть эйконала равна
ф(г) =ш t
2г
— =
Здесь фо(г) описывает невозмущенное прямолинейное движение пакета,
а малая гравитационная поправка составляет
.	= = u>rg\n (г + уг2 — р2 ) + const.
у г2 - р2	^	'
Как обычно, траектория пакета находится дифференцированием полно-
го эйконала по интегралу движения:
дФ	х	\ дф
—— = const, или ф =	— .
ар	из ар
Отсюда отклонение луча света от прямой при изменении его расстоя-
ния г до Солнца от —R до р, а затем от р до R (R —>• сю) составляет
,	^=_„. »Ь» = ?1.	E.4)
ш ар	ар р р
Для минимального р, близкого к радиусу Солнца, угол отклонения #
равен 1,75". Это предсказание ОТО (А. Эйнштейн, 1915) подтверждено
наблюдениями с точностью около 1%.
Напомним, что наивный расчет эффекта в рамках представления
о быстрой частице, отклоняющейся на малый угол в обычном ньюто-
новском потенциале, приводит к ответу (см. начало раздела), который

5.3. Гравитационные линзы41
вдвое меньше правильного. Расхождение неслучайно: в рассматрива-
емом ультрарелятивистском случае работает не только ньютоновский
потенциал, т. е. отклонение goo от единицы. Ровно такой же вклад в
отклонение дает и пространственная метрика gmn (см. E.1)—E.3)).
5.3. Гравитационные линзы
Поскольку звезда отклоняет световые лучи, она может рассматри-
ваться как своеобразная гравитационная линза. Такая линза смещает
видимое изображение звезды-источника по отношению к ее истинно-
му положению. В простейшем случае соосного расположения источни-
ка, линзы и наблюдателя, изображение источника выглядит как окруж-
ность (О.Д. Хвольсон, 1924; А. Эйнштейн, 1936). Мы рассмотрим сразу
более общую задачу, когда источник S смещен на расстояние ? отно-
сительно оси линза — наблюдатель L — О (см. рис. 5.1). Для простоты
рассмотрения мы заменили на этом рисунке реальную траекторию ло-
маной линией. В силу малости угла отклонения в, расстояние ? мож-
но считать совпадающим с прицельным параметром р. И тогда, снова
учитывая малость углов в и ф, находим следующее соотношение для
истинного отклонения:
С = Иг -lsO = ty -h2^-	E.5)
*[width=0.69]fig51.eps
Рис. 5.1
В упомянутом простейшем случае соосного расположения, когда ? = О,
получаем из E.5), что воображаемый радиус кольца — изображения в
плоскости линзы — равен
а его угловой размер —
Вопреки возможной наивной оценке из соображений размерности, этот
угол убывает обратно пропорционально не самим характерным рассто-
яниям, а лишь корню из них. Тем не менее, наблюдение эффекта прак-
тически невозможно, даже если и источником, и линзой служат звезды.

42Глава 5. Слабое поле. Наблюдаемые эффекты
Однако эффект становится наблюдаемым, когда источником является
туманность, а гравитационной линзой — галактика (Ф. Цвикки, 1937).
Оценим угловой размер кольца для случая, когда эта линза состоит из
1О10 звезд с массами того же порядка, что и масса Солнца. Пусть она
находится от нас на расстоянии порядка 10е световых лет, или 1019 км,
а источник расположен гораздо дальше (т. е. / ~ /8 3> /<>)• При этом
^ 10~4 рад ~ 10 угловых секунд.
Такое разрешение уже вполне под силу астрономам.
Обратимся теперь к более общему случаю, когда гравитацион-
ная линза не лежит на прямой, соединяющей источник с наблюдателем.
Здесь удобно перейти к безразмерным переменным:
С	С 1о
х= — , у = —- .
ко	ко I
В этих переменных уравнение E.5) сводится к
у = х	,	E.6)
х
с очевидным решением:
х± = \ (у±
Таким образом, в общем случае, когда
источник S смещен относительно на-
правления на линзу L, картина оказы-
вается иной. Возникают два изображе-
ния (см. рис. 5.2), одно из которых, 1\,
лежит снаружи кольца, соответствую-	*[width=0.70jfig52.eps
щего осесимметричной картине, а дру-
гое, /г, — внутри. Расстояние между	Рис. 5.2
ними,
Д = х+ — Х- =
минимально при у = 0, т. е. при соосном расположении источника,
линзы и наблюдателя. Поскольку, однако, при таком расположении оба

5.4. Микролинзы43
изображения должны сливаться в окружность, ясно, что для у <g 1 эти
изображения выглядят как дуги.
Впервые гравитационная линза была обнаружена в 1979 году. Этой
линзой служила, действительно, галактика, создающая двойное изобра-
жение квазара с угловым расстоянием между компонентами ~ 6 угло-
вых секунд. В настоящее время известно несколько источников в ра-
диодиапазоне, которые выглядят как две дуги.
Задача
5.3.1 Как выглядит обычная оптическая линза, которая имитирует от-
клонение луча света гравитационным полем звезды? Как меняется тол-
щина такой линзы с радиусом?
5.4. Микролинзы
Если масса объекта, действующего в качестве линзы, невелика,
скажем, меньше массы Солнца, то разрешить угол между изображени-
ями практически немыслимо. Тем не менее, обнаружить эффект гра-
витационной линзы и в этом случае можно, благодаря тому, что при
сближении изображений их суммарная яркость растет. Усиление яркос-
ти К определяется увеличением телесного угла видимого изображения
по сравнению с телесным углом реального источника.
Чтобы оценить эффект, заметим, что ? и С, а также х и у, —
это на самом деле двумерные векторы, лежащие в плоскостях линзы и
источника соответственно. Векторная запись уравнения E.6) выглядит,
очевидно, так:
У = х-^.	E.7)
Введем в плоскостях линзы и источника координатные оси. При этом
индексом 1 будем обозначать те параллельные друг другу оси, которые
лежат в плоскости, проходящей через источник, линзу и наблюдателя,
т. е. в плоскости рис. 5.1. Индекс 2 присвоим осям, которые направлены
ортогонально осям 1. Обсуждаемое отношение телесных углов составля-

44Глава 5. Слабое поле. Наблюдаемые эффекты
ет, очевидно,
К =
И \ Р
Здесь <5?i,2(^A,2) — размеры изображения (источника) по осям 1, 2.
В безразмерных переменных это отношение составляет
Обе частные производные берутся при у^ = 0. Поэтому в силу E.7) х\
и у\ связаны тем же уравнением E.6):
1
Уг = хг	,
а соотношение между жг и у^ выглядит так:
х2
У2 = Х2 - -2 •
Х1
Таким образом, для двух разных изображений обсуждаемое отношение
телесных углов составляет
Uу1 + 4 ± у)
К±= \
Для обоих изображений это отношение растет при малых у:
Таким образом, и суммарная яркость изображений возрастает:
К = К++К_~ - .
У
Что происходит, когда вблизи линии, направленной от наблюда-
теля к источнику, проходит звезда, играющая роль гравитационной
линзы? Даже если не удается разрешить возникающее двойное изоб-
ражение, наблюдаемая яркость источника возрастает при приближении
линзы к линии источник — наблюдатель. Явление это, так называемое
микролинзирование, имеет достаточно специфический характер: рост

5.4. Микролинзы45
яркости и ее последующее падение симметричны во времени, причем
изменение яркости происходит одинаковым образом на всех длинах волн
(угол отклонения E.4) не зависит от длины волны). Еще одна отличи-
тельная черта явления состоит в том, что, ввиду его крайней редкости,
повторение "вспышки" звезды за счет микролинзирования практически
исключено.
Эффект микролинзирования не только был обнаружен. Таким об-
разом был открыт новый класс небесных тел — слабосветящиеся карли-
ковые звезды, так называемые коричневые карлики, именно они играют
роль микролинз.
Задача
5.4.1 Вывести соотношение E.8).

Глава 6
Вариационный принцип. Точные решения
6.1. Действие для гравитационного поля.
Тензор энергии-импульса материи
Действие Sg для гравитационного поля должно быть интегралом
по четырехмерному пространству, инвариантным относительно любых
преобразований координат. Естественно потребовать, чтобы уравнения
поля, возникающие при варьировании действия, содержали производ-
ные метрического тензора g^ не выше второго порядка. Тогда подын-
тегральное выражение в Sg должно содержать производные от метрики
не выше первого порядка. Иными словами, оно может зависеть лишь
от g^ и Г*„. Однако из этих величин построить скаляр нельзя. Дейст-
вительно, переходя в локально-инерциальную систему, можно в любой
заданной точке сделать метрику плоской, а символы Кристоффеля обра-
тить в нуль. Однако на самом деле на роль подынтегрального выраже-
ния может подойти скалярная кривизна R. Хотя она и содержит вторые
производные метрики, но зависит от них линейно, так что эти вторые
производные устраняются интегрированием по частям.
Итак, покажем, что варьирование действия К J d4x ^—gR, дей-
ствительно, приводит к уравнениям Эйнштейна при соответствующем
выборе мультипликативной константы К. Вариация интеграла равна
S J d4x ^gR = sjd4x y/^
= J d4x V=? (sg^R^ + ^f R + g^8R^ .	F.1)
Далее (см. раздел 3.3),

6.1. Действие для гравитационного поля47
Используя тождество g^1'g^ = 4, представим второе слагаемое в F.1)
так:
S^i	\.	F.2)
Последнее слагаемое в F.1) рассмотрим в локально-инерциальной систе-
ме. Меняя местами операции варьирования и дифференцирования, на-
ходим в этой системе
Хотя символы Кристоффеля не являются тензором, так как преобра-
зуются при замене координат неоднородно, однако, в силу того же со-
отношения C.19) вариации символов Кристоффеля преобразуются по
однородному закону:
"" "тдх'р дх» дх"
и поэтому образуют тензор. Таким образом, величина
— вектор. Поэтому дивергенция др11р, которая была записана в
локально-инерциальной системе, общековариантно выглядит так:
В итоге, последнее слагаемое в вариации действия F.1) сводится к ин-
тегралу от полной дивергенции J d4x dp(y/—gUp) и поэтому может быть
отброшено.
Чтобы определить константу К в полученной таким образом ва-
риации гравитационного действия
^gR = K
^ - i gltvR\ 8gTv, F.3)
нам понадобится уравнение Эйнштейна с правой частью, с источником.
Поэтому найдем вариацию действия материи, скажем, на примере ма-
териальной точки:
I ds = —m S /
m = —та 5 I ds = —m S / у'g^dx^dxv =

ШГлава 6. Вариационный принцип. Точные решения
1	/"Ар- dr^dr^ 1 Г
=	ml —.	= =	ml
2	J ^gpTdxPdxr	2 J
dsu^u^Sg^.
Последний интеграл по ds преобразуем с помощью очевидного тождест-
ва
dt
ds '
к виду
i J'd'x^rgfn'v.'ig^ = - \ jttxJ^gr-Sg,,,.
2
Здесь
—	общековариантная плотность массы, а
Т^ = ри^и^	F.5)
—	тензор энергии-импульса точечной частицы. И наконец, с помощью
тождества
находим
SSm= - d^x^gT^Sg^.	F.6)
I J
Из соотношений F.3) и F.6) следует, что вариационный принцип
о Ь„ + Ьт) = U
приводит к уравнению Эйнштейна D.1) (с нулевой космологической по-
стоянной) при условии
К= ~ 167Tfc '
Воспользуемся, кстати, соотношением F.6), чтобы получить об-
щековариантное выражение для тензора энергии-импульса электромаг-
нитного поля. Ковариантное действие для этого поля выглядит так:
Jem =

6.2. Гравитационное поле точечной массыАЭ
Варьирование с учетом соотношения F.5) и формулы F.2) дает
Т - 2
1^~ jzr
Вернемся к действию
Sg=-
с тем, чтобы исключить из него вторые производные. Слагаемые с про-
изводными от символов Кристоффеля в подынтегральном выражении
В11 — V 6 6 Лд,/ — V 6 6 \upLiiv uvLiip>i-api-iiv L a
1
avL fip)
после интегрирования по частям и отбрасывания полных производных
сводятся к
С учетом тождеств
последнее выражение приводится к виду:
bV ЬЬ У1-цт1-up *- nvL рт)'
Таким образом, действие для гравитационного поля после исключения
вторых производных выглядит так:
WrKp - г^г;т).	F.8)
6.2. Гравитационное поле точечной массы
Для решения задачи о поле точечной массы используем действие
в форме F.8). Мы выразим подынтегральное выражение через компо-
ненты метрики, обладающей сферической симметрией, а затем получим
уравнения поля непосредственной вариацией действия по функциям, от
которых оно зависит. При этом нам не придется вычислять тензор Рич-
чи, входящий в уравнения Эйнштейна D.1).

50Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
Как обычно, поместим источник в начало координат. Сферичес-
кая симметрия задачи означает, что можно ввести координаты х\, жг,
Жз так, что ds2 будет переходить в себя при преобразованиях, имею-
щих вид евклидовых поворотов этих координат. Таким образом, мы ото-
бражаем трехмерное физическое пространство в трехмерное евклидово.
При этом вращения в физическом пространстве отображаются во вра-
щения в евклидовом пространстве, которые оставляют инвариантной
величину г = \fx\ + х\ + х\. В изображающем евклидовом простран-
стве нет разницы между ко- и контравариантными векторами, так что
использование координат ж», с нижними индексами к противоречиям
не приводит. Наряду с г = vx2, из х и dx можно построить еще два
скаляра: dx2 и xdx. Поэтому в статическом сферически-симметричном
случае интервал может быть записан так:
ds2 = a2(r)dt2 - b(r)dx2 - c(r)(xdxJ.
С помощью замены переменных вида х —> f(r)x можно добиться, чтобы
Ь(г) = 1. И тогда сферически-симметричная метрика выражается через
две неизвестные функции от г:
ds2 = a2(r)dt2 - dx2 - c(r)(xdxJ,
g00 = a2(r), gmn = -Smn - c(r)xmxn.	F.9)
При этом выборе системы координат пространственная метрика
dl2 = dx2 + c(r)(xdxJ = dr2 + r2(de2 + sin2 в d4>2) + cr2dr2 =
= d2(r)dr2 +r2(d02 + sin2 в d<f>2), d2(r) =l + c(r)r2
такова, что элемент дуги окружности в плоскости в = тг/2 равен dl =
= rd<fi, т. е. длина окружности с центром в начале координат равна,
как обычно, 2тгг. Простые вычисления показывают, что в метрике F.9)
отличны от нуля следующие компоненты символа Кристоффеля Гp^v:
Xi	(	1 с'
Го,;о = -Гг,оо = aa' — , Tiyjk = - I cxtSjk + - —
r	\	l r
Очевидно, g00 = I/a2, так что
О _ a xi
1 гО —	•
a r

6.2. Гравитационное поле точечной массы51
Чтобы найти Гоо и FJfc, рассмотрим величину gkmgmnxn- С одной сто-
роны, в силу тождества gkmgmn = ё1^, эта величина равна Хк- С другой
стороны, прямое вычисление дает gmnxn = —(Smn + cxmxn)xn = —d2xm,
так что gkmgmnxn = —d2gkmxm. Отсюда ясно, что
рк™,	L т,
Теперь без труда находим, что
i aa' Xi { Xi (	1 с'
Гоо= -^-^ TjA= ^S+
Заметим, наконец, что в силу сферической симметрии задачи подын-
тегральное выражение в действии достаточно вычислить в одной точке,
xi = г, Х2 = Хз = 0. В этой точке отличны от нуля лишь следующие
компоненты пространственной метрики:
__j2 „__._-)	„11 _	„22 _ ЯЗ _ 1
gll — —U> ) g22 — g33 — —-I, g — ~~n' б — S — -i
и символов Кристоффеля:
I
го _го _ « ri _ «« ri _ri _ '
1 10 — L 01 —	5	00 — ^2 '	22 — J- 33 — ^2 С '
2d2 d '
При подстановке этих выражений в формулу F.8) слагаемые
взаимно сокращаются, а остальные члены дают
Удобно перейти теперь к новым независимым функциям: и = гA
— 1/сР), w = ad. Варьирование действия
Ss=	 / dtdruw'
2к J

52Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
тривиально. Оно дает w = c\, u = сг- Возвращаясь к прежним функци-
ям, легко находим
Поскольку а2 входит в интервал ds2 только через a2dt2, то, меняя шкалу
времени, можно положить с\ = 1. И наконец, вспомнив, что на больших
расстояниях от гравитирующей массы М goo = 1 ~ 2кМ/г, получаем
С2 = 2кМ = rg. Таким образом, мы приходим к метрике, полученной
К. Шварцшилъдом A916), для гравитирующей точечной массы:
/ _ 2Ш\ ^ _(_ 2кМ\ х ^2 _ r2 2
V	г )	V	г )
m2ed<p2). F.10)
Заметим, что пространственная часть метрики F.10) не переходит при
г —> ос в решение gmn = —ётпA + 2кМ/г), найденное в разделе 4.2
для случая слабого поля. Дело в том, что эти два ответа соответствуют
разному выбору радиальной координаты. Если положить в F.10)
F.11)
то мы получим такое выражение для интервала, в котором простран-
ственная метрика изотропна и отличается от евклидовой только общим
множителем (т. н. конформно-евклидова):
A	IA \2	/	\4
~ Vg' Р ) dt2 - ( 1 + ^ ) [dp2 + р2Ш2 + sin2 в d<p2)}. F.12)
1 + rg/4pj	V 4/V
Очевидно, асимптотика этой метрики при г 3> rg согласуется с найден-
ной в разделе 4.2.
Задачи
6.2.1.	Найти поверхность вращения, на которой геометрия такая же,
как на "плоскости", проходящей через начало координат в решении
Шварцшильда.
6.2.2.	Получить преобразование координат F.11), переводящее шварц-
шильдовы координаты в изотропные.

6.3. Прецессия орбит в поле Шварцшильда53
6.2.3. Найти сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна
с космологической постоянной. Оценить ограничение на величину этой
постоянной, которое следует из того, что для Плутона (радиус орбиты
этой планеты ~ 1015 см) законы Кеплера справедливы с точностью,
лучшей, чем 10~5.
6.3. Прецессия орбит в поле Шварцшильда
Снова простая оценка из соображений размерности дает для отно-
сительной величины прецессии ~ rg/r, где г — характерный радиус ор-
биты. Иными словами, за один невозмущенный оборот радиус-вектора
(на угол 2тг) полуось эллиптической орбиты прецессирует на угол
F.13)
г
Количественное рассмотрение движения частицы начнем с урав-
нения, связывающего ее энергию Е = ро с трехмерным импульсом р
и массой т:
g^PrPv - m2 = 0.	F.14)
Для решения этой задачи удобно использовать изотропные координа-
ты F.12). В случае диагональной метрики ее контравариантные компо-
ненты gf1" обратны ковариантным, так что явный вид уравнения F.14)
здесь таков:
Движение частицы в центрально-симметричном гравитационном поле,
как и во всяком центральном поле, происходит в плоскости, проходящей
через центр. В качестве этой плоскости мы выбрали плоскость в = тг/2.
Энергия Е и орбитальный момент L — интегралы движения.
Здесь мы выйдем за рамки линейного приближения и учтем чле-
ны второго порядка по rg/p. Умножив уравнение F.15) на (l + rg./Dp)L
и разлагая полученные коэффициенты в ряд по rg/p, находим:
+ 2 ^ + — М Е2- (\ + ^ + - -
р 8 р V	V Р 8 /

54Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
Положим далее Е = т + е, где е — нерелятивистский интеграл энергии,
и будем удерживать только члены не выше второго порядка по 1/с (с —
скорость света, которую мы здесь явно не выписываем). В возникшем
таким образом соотношении
2 9	\ F n '	9 I
можно отбросить е2 рядом с 2ms, а также 4ms рядом с т2 при rg/p.
Очевидно, ни та, ни другая поправка к прецессии орбиты не приводит.
Оставшееся выражение перепишем в виде
1 / 2 L2\ ктМ 3 тг2
? = 	 В Ч	~
2т \" р2)	р	4 р2
Таким образом, задача свелась к движению в ньютоновском потенциале
с возмущением
8U{p) =	.
р2
Такой же результат дает рассмотрение задачи в метрике Шварцшиль-
да F.10). Простой расчет (см., например, Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц,
Механика, §15, задача 3) показывает, что это возмущение приводит к
повороту большой полуоси а орбиты частицы на угол
F.17)
аA - е1) аA - е1)
за один оборот. Здесь е — эксцентриситет невозмущенной эллиптичес-
кой орбиты. Наша исходная оценка F.13) подтвердилась (с точностью
до множителя 3/2).
Если говорить о планетах Солнечной системы, то наибольшего эф-
фекта следует ожидать у Меркурия, поскольку радиус его орбиты наи-
меньший. Впрочем, и для него эффект ничтожный: формула F.17) дает
для смещения перигелия Меркурия всего лишь 43,0" в столетие. Тем не
менее соответствующая, непонятная в то время аномалия в движении
Меркурия, на уровне 45" ± 5" в столетие, была известна астрономам до
Эйнштейна. Ее естественное объяснение было первым триумфом ОТО.
Долгое время вращение перигелия Меркурия оставалось единственным
реально наблюдавшимся нелинейным эффектом ОТО. В настоящее вре-
мя это предсказание ОТО подтверждается радиолокационными измере-
ниями с точностью ~ 1%.

6.3. Прецессия орбит в поле Шварцшильда55
Ниже приведены предсказания ОТО (первое число) и результаты
измерений (второе число) для других объектов. Единицы те же: угловые
секунды в столетие.
Меркурий:	43,03,	43,11 ±0,45.
Венера: 8,6, 8,4 ±4,8.
Земля: 3,8, 5,0 ±1,2.
Икарус:	10,3, 9, 8 ± 0, 8 .
Большой эксцентриситет орбиты астероида Икарус усиливает эффект
(см. формулу F.17)), а также позволяет измерить прецессию с большей
точностью.
Можно ожидать, что в движении двойных звезд эффект окажет-
ся гораздо большим, поскольку гравитационные поля в этих системах
намного сильнее. Действительно, тщательные исследования двойного
пульсара PSR 1913+16 (PSR означает пульсар, а цифры относятся к ко-
ординатам на небесной сфере: прямое восхождение 19ft13m, склонение
16°) показали, что в этой двойной звезде периастр орбиты поворачивает-
ся на 4,2° в год. Кстати, таким образом удалось определить с высокой
точностью массы ее компонент: 1,442 М0 и 1,386 М©. Неудивитель-
но, что вращение периастра здесь столь велико: при массах компонент,
сравнимых с массой Солнца М©, расстояние между ними, 1,8 х 106 км,
мало по сравнению, скажем, с радиусом орбиты Меркурия, 0,6 х 108 км.
Задачи
6.3.1.	Найти прецессию орбиты за счет релятивистской поправки в при-
тягивающем кулоновском потенциале.
6.3.2.	Найти прецессию орбиты за счет релятивистской поправки в при-
тягивающем скалярном потенциале, считая, что он вводится в уравне-
ние p^Pfi = m2 путем замены m —>¦ m + ф.

56Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
6.4. Задержка луча света в поле Солнца
Эффект, рассматриваемый в этом разделе, линейный по rg и с такой
точки зрения должен был бы обсуждаться в предыдущей главе. Однако
этот эффект представляет интерес не только в связи с эксперименталь-
ной проверкой ОТО. Его подробное рассмотрение весьма поучительно в
смысле сравнения шварцшильдовых и изотропных координат. Поэтому
данный раздел помещен в настоящей главе.
Итак, рассмотрим распространение сигнала из точки 3 (ri =
= (х\,у)) в точку В (гг = (х2,у)) в гравитационном поле, которое созда-
ется массой М, расположенной в точке С (го = 0) (см. рис. 6.1). Реально
речь идет о влиянии гравитационного поля Солнца на распространение
радиолокационного сигнала, посланного с Земли на Венеру. Отсюда и
обозначения точек на рис. 6.1.
*[width=0.69]fig61.eps
Рис. 6.1
Рассмотрим задачу сначала в шварцшильдовых координатах. Для
нашего случая перепишем интервал F.10) так:
= Л _ r_g\
\ r /
r /	r \ r
Учитывая тождество dr = (r • dr)/r, легко находим отсюда в первом
порядке по rg:
( rs
dt = dx [1+ -г +
2r 2r3
Очевидно, задержка сигнала AT обусловлена двумя последними слагае-
мыми в правой части этой формулы. Интегрируя их, находим, что время
задержки равно
ДГ = Г ЫМ±^ _гл(Ы_ъ
g Х2 + Г2	2 U	Г2
Напомним, что при рассматриваемом положении планет (см. рис. 6.1)
х\ < 0, |xi| > ж2.
А в изотропных координатах имеем, соответственно,
rg/4p

6.4. Задержка луча света в поле Солнца57
(чтобы отличить продольную изотропную координату от продольной
шварцшильдовой, мы помечаем ее штрихом);
dt = dx' A + ^
V Р
F.19)
Нет ничего удивительного в том, что ответы F.18) и F.19) выгля-
дят по-разному: они записаны в разных координатах. Действительно,
выражение F.19) можно получить из F.18) непосредственно заменой
переменных F.11).
Тем не менее возникает естественный вопрос: как сравнивать те-
орию с экспериментом? Вопрос не праздный, т. к. нелогарифмическое
слагаемое в F.18) хотя численно и невелико, но может быть вполне срав-
нимо с экспериментальной точностью.
Ответ заключается в следующем. Времена вообще и периоды об-
ращения планет в частности измеряются в астрономии с гораздо лучшей
точностью, чем расстояния. Фактически, используемые точные значе-
ния расстояний определяются из периодов обращения планет с помощью
третьего закона Кеплера. Как известно, орбиты и Земли, и Венеры близ-
ки к круговым. Так вот, в шварцшильдовых координатах третий закон
Кеплера для круговых орбит справедлив, а в изотропных — нет. Таким
образом, сравнивать с результатами измерений следует именно форму-
лу F.18I. А поправку на конечный эксцентриситет орбиты нужно при
необходимости вводить дополнительно.
Результаты измерений задержки сигнала в поле Солнца для Вене-
ры согласуются с предсказанием ОТО в пределах точности, составляю-
щей 3 - 4%. Лучшие эксперименты, проведенные с помощью спутников с
активным отражением, подтверждают этот результат ОТО с точностью
0,2%.
Задачи
6.4.1. Получить формулу F.19) из F.18) с помощью замены перемен-
ных F.11).
хКак не вспомнить здесь известное высказывание В.А. Фока: "Физика — наука, по
существу, простая. Главная проблема в ней — понимать, что какая буква означает".

58Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
6.4.2. Доказать, что третий закон Кеплера выполняется для круговых
орбит в шварцшильдовых координатах и не выполняется в изотропных.
6.5. Движение в сильном гравитационном поле
Рассмотрим теперь движение точечной частицы в сильном грави-
тационном поле. Удобно использовать для этого уравнение Гамильтона-
Якоби:
g^dnSdyS-m2 = 0.
Для движения в плоскости в = тг/2 это уравнение выглядит в шварц-
шильдовых координатах так:
- r-f)"' (dtsf - (i - rf) (ад2 - 1 (ад2 - m2 = о. F.20)
Его решение ищем в виде
S = -Et + L4> + s(r).
Нас здесь интересует случай радиального движения частицы, ког-
да орбитальный момент L = 0. При этом
Искомая зависимость г = r(t) находится из уравнения dS/дЕ = const:
dr
o = - f
Jrn
t-to = -
Выбор знака перед интегралом соответствует движению частицы к
центру, г с ростом t уменьшается. В качестве начального условия при
t = О выберем г = Го, г = 0. При этом
1 — —
Го
Для простоты примем еще, что го 3> rg. И тогда получаем
dr^/r jrg

6.5. Движение в сильном гравитационном поле59
Отсюда при г —>¦ rg находим:
<-r drrr
Г
или г — т\, ~
г —
Таким образом, с точки зрения удаленного наблюдателя, частица асимп-
тотически приближается к гравитационному радиусу, достигая его
только при t —у оо. При этом скорость частицы dr/dt асимптотичес-
ки стремится к нулю.
Рассмотрим еще распространение света по радиусу из точки г в
точку г0 > г. Здесь ds2 = О, так что dt = dr^\grr\/y/g^ и время
распространения света
At= f°dr(l- Щ'1 =ro-r + rg\n Г°~ Tg	F.21)
Jr v r /	r — rg
стремится к бесконечности по мере того, как исходная точка г прибли-
жается к rg. Сигнал с поверхности г = rg идет бесконечное время. Более
того, частота света, воспринимаемая удаленным наблюдателем, также
падает с приближением источника к rg, меняясь по закону
ш ~ 1 - ^ .	F.22)
Один множитель ^/1 — rg/r в этом соотношении возникает, как обычно,
из Vgoo, a Другой связан с движением источника к центру.
Однако падение частицы на центр выглядит совершенно иначе
для наблюдателя, свободно падающего вместе с этой частицей. Интервал
собственного времени равен
				(r	r \-1/2
dr = y/goodt2+grrdr2 = ^Jgoo(dt/drJ+grrdr = (-S- - -^\ dr.
Видно, что частица достигает сферы Шварцшильда за конечное собст-
венное время
=-/'0
ГА	,
dr.
При этом вблизи гравитационного радиуса скорость частицы по собст-
венному времени стремится к с.
После того, как частица пересечет сферу Шварцшильда, она дви-
жется к центру г = 0 и достигает его также за конечное время. Здесь,

бОГлава 6. Вариационный принцип. Точные решения
при г < rg, goo становится отрицательным, a grr — положительным.
Иными словами, внутри сферы Шварцшильда t становится пространст-
венноподобной координатой, а г — времениподобной! Движение части-
цы при г < rg показывает, как течет "время" г в этой области: оно течет
в начало координат г = 0. Но это означает, что даже если попытаться,
скажем, включив ракетный двигатель, изменить при г < rg направление
движения частицы на обратное, то это не удастся, каким бы мощным
ни был двигатель. Внутри сферы г = rg движение возможно только к
центру.
Таким образом, сфера Шварцшильда — это горизонт событий,
односторонний клапан, не пропускающий наружу, к удаленному наблю-
дателю, никаких сигналов. Отсюда и название такого объекта — черная
дыра. Впрочем, мы увидим дальше, что это название не совсем точно.
В заключение этого раздела, еще раз отметим, что шварцшиль-
дова система координат неполна: она не описывает движение внутри
сферы г = rg. Кроме того, в ней goo обращается в 0, a grr — в беско-
нечность при г = rg. Эта особенность специфична для данной системы
координат. Инварианты метрики в точке г = rg регулярны. Это оче-
видно для детерминанта метрического тензора, g = —r4 sin2 в, и может
быть доказано прямым расчетом для инварианта RliVpTRlll'pT. Однако
этот инвариант обращается в бесконечность при г = 0. В этой точке
метрика имеет истинную сингулярность.
Чтобы построить систему координат, свободную от сингулярнос-
ти при г = rg, можно выбрать совокупность свободно падающих пыли-
нок и пронумеровать их радиальной меткой Л, а в качестве времени
выбрать собственное время т на пылинке (Леметр, 1938). Сингулярнос-
ти в этой системе координат, действительно, нет. Но нет и неподвижных
частиц внутри горизонта. Кстати, в этой системе не только инвариант
R\ivpTR}lvpT остается конечным при г = rg, конечны в сопутствующей
системе и все компоненты тензора Римана. Иными словами, в этой сис-
теме координат остаются конечными на горизонте и приливные силы,
действующие на протяженное, неточечное тело (см. раздел 3.7).
Задачи
6.5.1. Найти радиусы круговых орбит в поле черной дыры (С.А. Ка-
план, 1949).

6.6. Гравитационное поле заряженной точечной массы61
6.5.2.	Найти сечение гравитационного захвата черной дырой нереляти-
вистской (на бесконечности) частицы и первую неисчезающую поправ-
ку по v/c к этому сечению (Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков, 1964).
6.5.3.	Найти сечение гравитационного захвата черной дырой ультра-
релятивистской (на бесконечности) частицы и первую неисчезающую
поправку по 1/7 к этому сечению (Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков, 1964).
6.5.4.	Частица, имеющая на бесконечности скорость v^ <1 и прицель-
ный параметр р = 2rg(l + S)/voo, S <S 1, рассеивается на черной дыре и
снова уходит на бесконечность. Описать качественно движение части-
цы (Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков, 1964). Чему равна ее скорость вблизи
черной дыры?
6.5.5.	Ультрарелятивистская частица с прицельным параметром р =
= (Зл/3/2)г^A + S), S <S 1 рассеивается на черной дыре и снова уходит
на бесконечность. Описать качественно движение частицы. Чему равна
ее скорость вблизи черной дыры?
6.5.6.	Получить соотношение F.22).
6.6. Гравитационное поле заряженной
точечной массы
Поскольку любой, даже исходно заряженный астрофизический объ-
ект быстро нейтрализуется окружающим веществом, случай заряжен-
ной звезды сам по себе нереалистичен. Однако рассматриваемая задача
представляет несомненный методический интерес как достаточно прос-
тое, но нетривиальное обобщение решения Шварцшильда.
И при наличии заряда у точечного источника, метрика, создавае-
мая им, по-прежнему имеет структуру F.9). Чтобы найти в этом случае
функции a(r) и с(г), займемся сначала полем заряда. Очевидно, магнит-
ного поля у него нет, как и в отсутствие гравитации. Для нахождения
электрического поля используем ковариантное уравнение Максвелла:
F.23)

62Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
Явный вид левой части его нулевой компоненты таков:
триО 		Ft I I 7r irmO\
* -fi - —r=<Jm\S-8b )¦
Что же касается правой части этой компоненты, то так же, как инвари-
антная плотность массы задается формулой F.4), инвариантная плот-
ность заряда равна
Соответственно,
Возникающее таким образом уравнение
сразу решается с помощью теоремы Гаусса:
р
г2
Отсюда радиальное электрическое поле равно
„ _ „ _ gmgrr е _ , е
г1
Действие для электромагнитного поля в этом случае таково:
[
J
\ J dtdrr2 —}
I J	ad
Таким образом, полное действие здесь равняется (в тех же переменных
и = гA - 1/сР) и w = ad)
^ j't^7^)	F.26)
Варьирование действия по метрике следует производить, фиксируя ко-
вариантные компоненты поля, в данном случае Fqt, поскольку имен-
но для них исходное определение и в римановой геометрии, F^ =
= d^Aj, — д„АЙ, не содержит ни метрики, ни символов Кристоффеля.

6.6. Гравитационное поле заряженной точечной массыбЗ
Заметим также, что варьирование полного действия (включающего, на-
ряду с Sg и Sem, также —efA^dx^) именно по ковариантным компо-
нентам Ай приводит к уравнению Максвелла F.23) в римановом про-
странстве.
Варьирование полученного действия F.26) по и дает w' = 0, w =
= с\. Как и в случае решения Шварцшильда, примем с\ = 1, т. е. w =
= ad = 1. Далее, варьирование по w приводит к и' = kr2F2r/w2 =
= ке2/г2, или и = гA — 1/d2) = С2 — fee2/r. Отсюда
Снова вспомнив, что на больших расстояниях от гравитирующей массы
gQ0 = 1 — 2кМ/г, получаем сг = 2кМ = rg. Таким образом, приходим к
метрике гравитационного поля заряженной точечной массы (Г. Райсс-
нер, 1916; Г. Нордстрем, 1918):
, , / 2кМ ке2\ , 2
ds2 = 1	+ — dt2-
Г	Г'
Радиусом горизонта служит здесь корень
rrn = kM+ л/к2М2 - ке2	F.28)
уравнения
4
+ 4
г	г1
Разумеется, из двух корней этого уравнения мы выбрали тот, который
переходит в rg = 2кМ при е = 0. Решение Райсснера — Нордстрема
имеет физический смысл лишь при е2 < кМ2. Заряженную черную
дыру с е2 = кМ2 называют предельной.
Полезно привести иной вывод метрики Райсснера — Нордстрема,
менее строгий, зато наглядно поясняющий происхождение слагаемого
ке2/г2 в F.27). Начнем с решения Шварцшильда F.10). При наличии,
наряду с точечной массой Mq, распределенной массы т(г) естественно
произвести в выражении F.10) замену
М ->• Мо + т(г).

64Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
В данном случае т(г) есть не что иное, как электростатическая энергия
заряда е, заключенная внутри сферы радиуса г:
, ч , Г j 2 F2r е2 Г dr е2 ( 1 1 \
туг) = 4тг / агг 	 = — / — = — — — - I .
W	У	8тг 2 Уго г2 2 V го г У
Как обычно, электростатическая энергия классического точечного заря-
да линейно расходится и, чтобы получить конечный ответ, приходится
вводить минимальное расстояние го- Возникшее таким образом слагае-
мое е2/Bго) соответствует классической перенормировке массы и вмес-
те с "затравочной" массой Mq собирается в "наблюдаемую" массу
е2
М = М0+ — .
2г0
А слагаемое — е2/Bг) в т(г) приводит к замене
е2
М -)• М
2г
в метрике Шварцшильда F.10), в результате чего возникает метрика
Райсснера — Нордстрема F.27).
Эти рассуждения не просто приводят к правильному результа-
ту. Они верны по существу, фактически отличаясь от первого, строгого
вывода лишь тем, что здесь мы с самого начала положили ad = 1.

Глава 7
Взаимодействие спина с гравитационным
полем
Спином в этой главе обычно называется для краткости собствен-
ный, внутренний момент количества движения классической частицы,
не связанный с ее движением как целого. В этом смысле можно гово-
рить, например, о спине гироскопа, находящегося на спутнике Земли
(см. ниже раздел 7.2).
7.1. Спин-орбитальное взаимодействие
Обсудим взаимодействие спина частицы s с ее орбитальным мо-
ментом 1, связанным с движением в центрально-симметричном грави-
тационном поле. Это поле будем считать слабым, т. е. описывать по-
тенциалом ф = —кМ/r, где, как обычно, М — масса источника гра-
витационного поля. Нас интересует здесь взаимодействие, линейное по
спину s. А поскольку орбитальный момент частицы 1 ортогонален ее
радиус-вектору г и импульсу р, то спин-орбитальное взаимодействие,
будучи скаляром, должно быть пропорционально (Is). Важно, что ска-
лярное произведение (Is) двух аксиальных векторов — истинный ска-
ляр (а не псевдоскаляр), это необходимо в силу инвариантности отно-
сительно отражения координат. Далее, в слабом внешнем поле спин-
орбитальное взаимодействие должно быть пропорционально величине
этого поля, т. е. кМ. После этого простые соображения размерности
диктуют вид обсуждаемого взаимодействия:
,	G.1)
,.^з(),
тс2гл
где т — масса самой частицы.
Отметим соответствие между G.1) и оператором спин-орбитального
взаимодействия в водородоподобном ионе с зарядом ядра Ze:

ббГлава 7. Взаимодействие спина с гравитационным полем
(здесь спин электрона s и его орбитальный момент 1 включают постоян-
ную Планка Н и имеют размерность действия, как и в нашей, классичес-
кой, задаче). Действительно, из сравнения ньютоновского взаимодейст-
вия кМт/г с кулоновским Ze2/r (для зарядов Ze и — е), следует соот-
ветствие между кМт и Ze2, а затем и между формулами G.1) и G.2).
Более того, положительный знак численной константы в формуле G.2),
происходящей фактически от притягивающего кулоновского взаимодей-
ствия, позволяет полагать, что и в гравитационном спин-орбитальном
взаимодействии G.1), происходящем от ньютоновского притяжения, по-
ка не найденный численный коэффициент будет положительным. Так
оно и есть на самом деле.
К сожалению, для того чтобы найти въявь этот коэффициент, тре-
буются довольно громоздкие вычисления1. Поэтому приведем здесь без
вывода полную формулу для гравитационного спин-орбитального взаи-
модействия (А. Фоккер, 1921):
^. |^з (Is).	G.3)
2 тс1 г6
Уравнения движения для спина записываются через скобки Пуассона:
I = «••¦>•
Используя скобки Пуассона для компонент спина {si,Sj} =
= —EijkSk (они должны иметь ту же структуру, что и для компонент
орбитального момента), получаем
ds _ 3 kM
~dt= 2^A^[ J'
Таким образом, спин прецессирует с угловой скоростью
1 Относительно экономный расчет описан в конце этой главы.

7.2. Спин-спиновое взаимодействие^!
Задача
7.1.1 Вычислить усредненную по периоду частоту прецессии спина час-
тицы, движущейся в гравитационном поле центрального тела по эллипсу
с большой полуосью а и эксцентриситетом е.
Указание. Удобно перейти от усреднения по времени к усредне-
нию по углу ф с помощью соотношений:
dt _ йф A-е2K/2	1 _ l + ecos0
~Т ~ ~Ък (l + ecos(/>J ' г ~ аA-е2) '	^ ' '
7.2. Спин-спиновое взаимодействие
Теперь речь пойдет о взаимодействии спина s пробной частицы со
спином So источника гравитационного поля. В линейном приближении
So влияет лишь на компоненты h(,n гравитационного поля источника. За-
метим сразу, что gon = Щп + hon = hon. Нетрудно показать также, что
hOn = hOn. Поскольку нас интересуют здесь лишь эффекты, обуслов-
ленные собственным вращением источника поля, то всеми остальными
компонентами h^ мы пренебрегаем.
Попытаемся сначала угадать общую структуру вектора
g= (/ioi,/kJ,/iO3) = (gbbgb2,gb3)-
Он входит в интервал ds2 в комбинации gondtdxn. Поскольку интервал
не меняет знак при обращении времени dt —> —dt и является истинным
скаляром (не псевдоскаляром), вектор g должен, вместе с dt, менять
знак при обращении времени и, вместе с dxn, быть полярным (не акси-
альным) вектором. Первое требование допускает пропорциональность
g и So: спин, подобно орбитальному моменту, при обращении времени
меняет знак. Однако спин — аксиальный вектор, поэтому в выражение
для полярного вектора g он должен входить в комбинации г х So, где
г — радиус-вектор пробной частицы. Далее, в приближении слабого по-
ля g должен быть пропорционален ньютоновской постоянной к. И тогда
простые соображения размерности подсказывают, что

68Глава 7. Взаимодействие спина с гравитационным полем
Прямой расчет немногим сложнее. В стационарном случае урав-
нение для hon таково (см. D.4)):
AhOn = ШкТОп.	G.7)
Приняв, что внутреннее движение в источнике нерелятивистское, пра-
вую часть этого уравнения можно переписать в виде 16Trkpvn =
= —WTrkpv11, где р — плотность массы источника, a v11 — компонен-
ты обычного, контравариантного, локального вектора скорости v. Те-
перь ясно, что уравнение G.7) для вектора g совпадает с точностью до
обозначений со стационарным уравнением для вектор-потенциала А в
электродинамике. Используя известное решение этого, последнего урав-
нения (см. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория поля, §44), без труда на-
ходим:
Рассмотрим теперь движение вектора спина s пробной частицы в
гравитационном поле, создаваемом спином источника So- Начнем с ко-
вариантного уравнения движения спина. В свободном случае оно, оче-
видно, выглядит так:
f^=0	G.9)
(в этой главе собственное время обозначается через т). Ковариантный
вектор спина частицы S^ определен следующим образом. В системе по-
коя этой частицы он имеет лишь пространственные компоненты, т. е.
в этой системе S^ = @, s), а в любой другой системе его компоненты
находят с помощью преобразования Лоренца из системы покоя. В гра-
витационном поле уравнение G.9) переходит в
=	Ь T$TSvuT = 0.	G.10)
Считая пробную частицу нерелятивистской, получаем отсюда:
dsm _гт„_г	„ _ С	.„
dt	п0	т'п	2 п т т
или
ds с
_= -sx[Vxg].

7.2. Спин-спиновое взаимодействие69
Таким образом, спин s прецессирует в таком гравитационном поле с
угловой скоростью (Л. Шифф, 1960)
Соответствующий гамильтониан спин-спинового взаимодействия вы-
глядит так:
v ( \ ,. 3(rso)(rs)-r2(sos)
Vss = (ws) = к	—	.	G.12)
Заметим, что спин прецессирует так, как если бы мы рассматри-
вали его в системе координат, вращающейся с угловой скоростью —ш по
отношению к инерциальной системе, в которой спин покоится. В этом
смысле можно говорить об "увлечении" инерциальной системы с угло-
вой скоростью —и) за счет собственного момента источника гравитаци-
онного поля.
Задачи
7.2.1.	Доказать соотношение hon = hOn.
7.2.2.	Тонкая сферическая оболочка радиуса R вращается с угловой ско-
ростью Г2. Ее полная масса распределена равномерно. Найти метрику
вне и внутри оболочки, считая малым ее отклонение от плоской. Найти
угловую скорость и> увлечения инерциальных систем внутри оболочки.
7.2.3.	Найти вклад в отклонение луча света, обусловленный вращением
гравитирующего центра. Предположить, что плоскость движения луча
ортогональна оси вращения центра.
7.2.4.	Спутник с гироскопом находится на околоземной орбите. Оце-
нить частоту прецессии гироскопа 1) за счет спин-орбитального взаи-
модействия, 2) за счет спин-спинового взаимодействия с собственным
моментом вращения Земли So. Как следует ориентировать ось гироско-
па относительно плоскости орбиты спутника и саму плоскость орбиты
относительно So, чтобы максимально усилить относительный вклад вто-
рого эффекта по сравнению с первым?

70Глава 7. Взаимодействие спина с гравитационным полем
7.2.5. Лучи света, выходящие	[angle=270,totalheight=5cm]fig71.eps
из источника в вершине А,
движутся по путям ABC и	гис. (Л
ADC и интерферируют на
экране в точке С (см. рис. 7.1).
В центре квадрата ABCD
вращается тело с осью враще-
ния, ортогональной плоскости
квадрата. Оценить численно
сдвиг	интерференционной
картины при изменении на-
правления вращения, если
тело — это Земля, а сторо-
на квадрата равна ее диаметру.
7.3. Прецессия орбиты, обусловленная вращением
центрального тела
Вращение центрального тела приводит к прецессии не только спина час-
тицы, но и ее орбиты. Прецессирует теперь не только перигелий, т. е.
вектор Рунге — Ленца
А=1	ь*
m	r
как это было, благодаря нелинейной поправке, в центральном поле.
В этом случае, при нецентральной поправке к полю, не сохраняется
также орбитальный момент частицы 1. Он прецессирует, а с ним и са-
ма плоскость орбиты, нормаль к которой направлена вдоль 1 {И. Лензе,
Г. Тирринг, 1918).
Поправка к функции Лагранжа частицы L = —mds/dt за счет
отличного от нуля вектора g составляет
2&Ш
SL = -mc(gv) = - -^ ([г х v] s0).
равна
G.14)
Соответствующая поправка к гамильтониану частицы равна
2к

7.3. Прецессия орбиты, обусловленная вращением центрального тела 71
Обратим внимание на аналогию между гравитационными эф-
фектами, обсуждающимися в этой главе, и эффектами, известными
из атомной физике. По отношению к спин-орбитальному взаимодей-
ствию G.3) это соответствие уже упоминалось. Теперь, если спин-
спиновое взаимодействие G.12) — это очевидный аналог сверхтонко-
го спин-спинового взаимодействия в атоме (разумеется, не в s-волне),
то G.14) соответствует сверхтонкому взаимодействию орбитального мо-
мента электрона со спином ядра.
Уравнение движения для орбитального момента частицы выгля-
дит так:
f {lal,} ^[o],
at	c2rd
т.е. орбитальный момент частицы, а с ним и плоскость ее орбиты, пре-
цессируют с угловой скоростью
2к
с2 г6
Усредненная по периоду обращения угловая скорость составляет
2к
Аналогично вычисляется производная по времени вектора Рун-
ге — Ленца G.13). Его усредненная угловая скорость равна
Очевидно, можно сказать, что плоскость орбиты, вместе с 1, также пре-
цессирует с усредненной угловой скоростью (и>г)- Иными словами, (и>г)
является угловой скоростью пространственной прецессии эллипса орби-
ты как целого.
Задачи
7.3.1.	Доказать формулы G.15), G.16).
7.3.2.	Как выглядит гравитационное спин-орбитальное и спин-спиновое
взаимодействие в задаче двух тел с разными массами mi, гаг и спинами
Sl, S2?

72Глава 7. Взаимодействие спина с гравитационным полем
7.4. Уравнения движения спина
в электромагнитном поле
В следующем разделе общая задача о прецессии спина во внеш-
нем гравитационном поле будет сведена к аналогичной задаче для слу-
чая внешнего электромагнитного поля. Сами по себе уравнения движе-
ния спина релятивистской частицы в электромагнитном поле не име-
ют непосредственного отношения к ОТО и к тому же хорошо извест-
ны (см. В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Квантовая
электродинамика, §41). Однако, по крайней мере для связности изложе-
ния, вкратце рассмотрим в этом разделе именно задачу, относящуюся
к электромагнитному полю.
Начнем с прецессии спина заряженной частицы в ее собственной
системе. Уравнение, описывающее эту прецессию, хорошо известно:
s = Ц [s х В];	G.17)
здесь В — внешнее магнитное поле, е и т — заряд и масса частицы,
g— ее гиромагнитное отношение (для электрона g и 2). Иными слова-
ми, спин прецессирует вокруг направления магнитного поля с частотой
— (eg/2m)B. В том же нерелятивистском пределе скорость прецессирует
вокруг направления В с частотой — (е/т)В:
v = — [у х В].
т
Таким образом, при g = 2 спин и скорость прецессируют с одинаковой
частотой, угол между ними сохраняется.
Перейдем теперь к релятивистскому обобщению уравнения G.17).
Для этого удобно использовать четырехмерный вектор спина S^, уже
упоминавшийся в разделе 7.2. Обсудим подробнее его определение. Как
уже говорилось, в системе покоя частицы S^ не имеет временной компо-
ненты и сводится к обычному трехмерному вектору спина s, т. е. в этой
системе SM = @,s). А в системе отсчета, в которой частица движется
со скоростью v, вектор SM строится из @,s) с помощью преобразования
Лоренца, так что здесь
So = 7vs, S = s + l!lM .	G.i8)
7+1
Таким образом, просто по определению четырехмерного вектора спина,

7.4. Уравнения движения спина в электромагнитном поле73
имеют место тождества:
S^Sf, = -s2 (= const), S^Uf, = О	G.19)
(как обычно, нм — четырехмерная скорость).
Правая часть уравнения для dS^/ds должна быть, очевидно, ли-
нейной и однородной по напряженности электромагнитного поля F^ и
по самому 4-вектору 5М, а также может зависеть от ид. В силу первого
тождества G.19), правая часть должна быть четырехмерно ортогональ-
ной самому Бц. Поэтому общий вид искомого уравнения таков:
—— -^z. cyT' iS ~\~ ijii F \ii iS\	[7 20)
Сравнивая нерелятивистский предел этого уравнения с G.17), находим
a = eg/2m. Учтем далее, что, в силу второго тождества G.19),
dS^ _	du^
dr	dr
и вспомним классическое уравнение движения заряда в поле:
то^ =eFia,uv.	G.21)
Теперь, умножая уравнение G.20) на им, получаем:
Итак, релятивистское уравнение движения спина таково:
^ = KnF»vSv ~ in ig ~ 2)"/«^а«^а	G.22)
(Я.И. Френкель, 1926; В. Баргман, Л. Мишель, В. Телегди, 1959).
Перейдем теперь в уравнении G.22) от 4-вектора S^ к трехмерно-
му вектору s, непосредственно характеризующему внутренний момент
количества движения частицы в ее "мгновенной" системе покоя. При
этом, наряду с соотношениями G.18), нужно использовать уравнения
движения заряда в поле. После довольно длинных вычислений находим:
G.23)

74Глава 7. Взаимодействие спина с гравитационным полем
Задачи
7.4.1.	Вывести уравнение G.23) из G.22).
7.4.2.	Получить из уравнения G.23) гамильтониан спин-орбитального
взаимодействия в атоме водорода.
7.5. Уравнения движения спина
в гравитационном поле
Из сохранения момента импульса в плоском пространстве-времени
в сочетании с принципом эквивалентности следует, что 4-вектор спи-
на S^ параллельно переносится вдоль мировой линии частицы. Парал-
лельный перенос вектора вдоль геодезической жм(т) означает равенство
нулю его ковариантной призводной:
^ = „.
Понятие спина непосредственно связано с группой вращений. Поэтому
его естественно описывать в локальной лоренцевои системе координат,
используя тетрадный формализм (см. раздел 3.1). Тетрадные компонен-
ты спина
Sa = Б^е^
(первыми буквами латинского алфавита, а, Ъ, с, d, мы обозначаем здесь
и ниже четырехмерные тетрадные индексы) ведут себя как векторы
при преобразованиях Лоренца локально-инерциальной системы. Однако
они не меняются при общековариантных преобразованиях жм = /м(ж').
Иными словами, четыре компоненты Sa — мировые скаляры. Поэтому
в силу соотношения G.24), уравнение для них выглядит так:
— = — = S'el^u" = паЬ1ш ndSc.	G.25)
JJt ат
Здесь 7аЬс = еад;1/ еб ес — т- н- коэффициенты вращения Риччи. Взяв
ковариантную производную от тождества еад е^ = г]аь, легко показать,
что они антисимметричны по первой паре индексов:
labc = -Ъас-	G.26)

7.5. Уравнения движения спина в гравитационном полеТЪ
Разумеется, уравнение для тетрадных компонент 4-скорости выглядит
точно так же, как для спина:
rhia
^Г = Va"lbcduduc.	G.27)
Смысл уравнений G.25), G.27) ясен: тетрадные компоненты обоих век-
торов меняются одинаково, лишь за счет вращения локального лоренце-
ва репера.
Точно так же, в силу уравнения G.22) при g = 2 и уравне-
ния G.21), четырехмерный спин и четырехмерная скорость заряженной
частицы с гиромагнитным отношением g = 2 прецессируют с одинако-
вой угловой скоростью во внешнем электромагнитном поле:
dSa _ е	ь dua _ е	ь
—ТГ — —*аЬЭ , —ТГ — —fabU .
at m	at m
Иными словами, имеет место очевидное соответствие:
- Fab ^ labcuc.	G.28)
m
Оно позволяет получить частоту прецессии ш трехмерного вектора спи-
на s во внешнем гравитационном поле из выражения G.23) с помощью
простой замены:
— -В* —>• - - еш7ысмс; — Е{ -^ joicuc.	G.29)
m	2	m
Таким образом, эта частота равна (А.А. Померанский, И.Б. Хриплович,
1998)
Общий множитель 1/и^, в выражении G.30) связан с переходом в левой
части уравнения G.25) к дифференцированию по мировому времени t:
d dt d 0 d
~dr= drdt = Uwdt'
Величина u°UJ снабжена индексом w с тем, чтобы подчеркнуть, что это
мировая, а не тетрадная компонента 4-скорости. Все остальные индексы
в выражении G.30) тетрадные, с = 0,1,2,3; i,k,l = 1, 2,3.

76Глава 7. Взаимодействие спина с гравитационным полем
Однако в некотором отношении взаимодействие с гравитацион-
ным полем первого порядка по спину существенно отличается от со-
ответствующего взаимодействия с электромагнитным полем. В случае
электромагнитного поля взаимодействие, вообще говоря, зависит от сво-
бодного феноменологического параметра — ^-фактора. Более того, если
допустить нарушение инвариантности относительно отражения коорди-
нат и обращения времени, в электромагнитном случае появляется еще
один свободный параметр — электрический дипольный момент части-
цы. Дело в том, что и магнитный, и электрический дипольные момен-
ты взаимодействуют с напряженностью электромагнитного поля, так
что это взаимодействие калибровочно-инвариантно при любых значе-
ниях этих моментов. Только независящее от спина взаимодействие с
электромагнитным вектор-потенциалом фиксировано сохранением за-
ряда и калибровочной инвариантностью. Напротив, коэффициенты вра-
щения Риччи 7абс; входящие в выражение G.30) для частоты прецес-
сии в гравитационном поле, в отличие от тензора Римана, нековариант-
ны. Обсуждаемое взаимодействие спина с гравитационным полем одно-
значно фиксировано законом сохранения углового момента в плоском
пространстве-времени в сочетании с принципом эквивалентности, оно
не содержит свободных параметров {Л.Д. Ландау). С другой стороны,
нет ничего удивительного в том, что и> зависит не от тензора Римана,
а от коэффициентов вращения. Эта частота и не должна обладать свой-
ствами тензора: достаточно вспомнить, что спин, который покоится в
инерциальной системе отсчета, прецессирует во вращающейся.
Нетрудно убедиться в том, что в приближении слабого поля, где
giiv = Vtiv + h^, \hpV\ С 1,
нет различия между тетрадными и мировыми индексами в eafl, тетрада
выглядит так:
Связь тетрады еад с метрикой
еац,еь„г)аЬ = g^
в приближении слабого поля сводится к
б/и/ -г е„д = n^ij.

7.5. Уравнения движения спина в гравитационном поле77
Если потребовать, чтобы тетрады выражались только через метрику,
то мы приходим к т. н. симметричной калибровке для тетрад, где
1
2
Тогда в приближении слабого поля коэффициенты Риччи таковы:
Tube = 2 (hbc,a - hacfi).	G-31)
Теперь, используя соотношения G.30), G.31), можно, например,
элементарно решить задачи о спин-орбитальном и спин-спиновом вза-
имодействий при произвольной скорости частицы. Случай, когда ско-
рость частицы велика, а гравитационное поле слабое, соответствует,
очевидно, задаче рассеяния. Еще один возможный случай — это частица
со спином, связанная другими силами, например, электромагнитными;
здесь мы ищем поправки к частоте прецессии, которые обусловлены
гравитационным взаимодействием. Итак, рассмотрим эти задачи.
Начнем со спин-орбитального взаимодействия. В центрально-сим-
метричном поле, которое создается массой М, метрика имеет вид:
rg _ 2кМ_	_ rg _ 2kM
0 —	—	? nmn —	°mn —	°mn-	\imO^)
Г	Г	Г	Г
Отличные от нуля коэффициенты Риччи здесь таковы:
кМ ,.	. ч	кМ	__
Jijk = —s- (Ojkri - oikrj), 7(но =	s- Ti.	G.33)
г	rA
Их подстановка в формулу G.30) дает следующее выражение для час-
тоты прецессии:
27+ 1 кМ . . 27+ 1 кМ
"is = ——;	з" r x v = —i	з L	7-34)
7 + 1 rA	7+1 rnr
В пределе малых скоростей, 7 —> 1; ответ переходит в классический
результат G.4).
А теперь спин-спиновое взаимодействие. Используя выраже-
ние G.8) для компонент метрики, обусловленных спином So централь-
ного тела, находим отличные от нуля коэффициенты Риччи:
i	S	 - V,-	s—

78Глава 7. Взаимодействие спина с гравитационным полем
Частота спин-спиновой прецессии составляет
wss= к
- к —J— [v(s0V) - so(vV) + (vs0)V] (W) - .	G.36)
7+1	г
В пределе малых скоростей эта формула переходит в классический ре-
зультат G.11).
Задача
7.5.1 Найти частоту прецессии спина в поле Шварцшильда (не считая
поле слабым). Рассмотреть случай круговых орбит (Т.А. Апостолатос,
1996).

Глава 8
Гравитационные волны
8.1. Свободная гравитационная волна
В этой главе (как и в предыдущей) мы не выходим за рамки ли-
нейного приближения к уравнениям Эйнштейна1. В линейном приближе-
нии, при дополнительном, т. н. гармоническом, условии D.4), гравита-
ционное поле описывается уравнением D.5). Решения соответствующего
свободного уравнения — гравитационные волны.
Покажем прежде всего, что каким бы ни было слабое поле hfiV(x),
всегда можно выбрать такое преобразование координат
после которого преобразованное поле h'^x') будет удовлетворять усло-
вию D.4). Действительно, в силу закона преобразования C.6) примени-
тельно к метрическому тензору g^ = ц^ + h^, имеет место соотноше-
ние
дхр дхт
г)и" + КЛх>) = з^г -Q^;[nPr + hpT(x)] = r]fll/ + hfll/(x)-dflel/(x)-dl/efl(x),
или
КЛ*) = КЛх) - д»е„{х) - дие^х).	(8.1)
Заметим, что, поскольку е^, наряду с h^, является малой величиной,
в аргументах этих функций нет смысла различать х и х'. Теперь
д„К„(х) - 1 dvh'^ix) = д^„{х) - 1 dvh^ix) - Uev{x).
Итак, при любом исходном hllv(x), выбрав векторные параметры е„(х)
так, чтобы они удовлетворяли уравнению
Ш„(х) = д^„(х) - - dvhwix),	(8.2)
хТолько в последнем разделе, (8.6), обсуждается слабая гравитационная волна,
излучаемая при движении в сильном внешнем гравитационном поле.

ШГлава 8. Гравитационные волны
можно подчинить h'^x) гармоническому условию
d*Kv{x) - \ duh'^ix) = о.
Однако это условие все еще не фиксирует однозначно систему отсчета.
Очевидно, над полем hfiV(x), удовлетворяющим гармоническому усло-
вию, можно произвести, сохраняя это условие, новое преобразование
координат (8.1) с параметрами е„(х), подчиняющимися уравнению
Пе„(ж) = 0.
Рассмотрим, как гармоническое условие, в сочетании с возмож-
ностью этого дополнительного преобразования координат, позволяет за-
фиксировать амплитуду плоской волны. Итак, пусть hllv{x) = eIJjVe~lkx.
В силу волнового уравнения D.5), 4-вектор кц удовлетворяет условию
к2 = 0. Гармоническое условие на тензор поляризации ем„ выглядит так:
kjxGjxV ~ ~Z кц&цц = U.	(°-^)
Выберем волновой вектор в виде кй = шA,0,0,1). Тогда компоненты
v = a = 1,2 уравнения (8.3) дают
еао = еа3.
Сумма компонент v = 0 и v = 3 приводит к
eaa = en + е22 = 0.
А после этого из компоненты v = 0 следует, что
еоз = х (е«о + езз)-
Проведем теперь дополнительное преобразование с параметрами ev{x) =
= ieve~lkx:
Полагая в нем ea = ea3/oj (a = 1,2), e0 = еоо/Bш), е3 = е33/Bш), мы
обращаем тем самым в нуль соответственно е'а3, е'оо, е'33. В результате
у тензора поляризации остаются лишь 2 независимые компоненты:
en = -e22, ei2 = e2i
(штрихи у них теперь опускаем).

8.1. Свободная гравитационная волна81
Рассмотрим, как преобразуется 2x2 матрица
en ei2
ei2 -en
при повороте на угол ф вокруг оси z. Это преобразование e'ab =
OacObdecd, где
„ _ / cos ф sin (
у — sin ф cos (
удобно записать в виде е' = ОеОт, после чего легко находим
е'п = cos20en + sin20ei2, e'12 = —
Перейдем теперь от линейных поляризаций ец, ei2 к циркулярным е± =
= (—ец Т «ei2)/\/2. Для е± это преобразование выглядит так:
е1±=ё**фе±.	(8.4)
По аналогии с квантом электромагнитного поля, фотоном, вводит-
ся понятие гравитона, кванта гравитационного поля. Закон преобразова-
ния (8.4) соответствует тому, что проекция момента количества движе-
ния гравитона на направление его импульса, ось z, равна ±2. А посколь-
ку проекция орбитального момента на импульс равна нулю тождествен-
но, то это означает, что проекция спина гравитона на направление его
движения, т. н. спиральность, равна ±2. Напомним, что спиральность
фотона равняется ±1. Справедливо следующее общее утверждение: при
любом значении спина s(^ 0) безмассовой частицы, она имеет только 2
состояния поляризации, со спиральностями ±s.
И еще одно замечание, касающееся гравитона. В главе 4 было по-
казано, что требование общей ковариантности жестко фиксирует вид
уравнения второго порядка для гравитационного поля. Фиксируется тем
самым и линейное приближение к нему, из которого видно въявь, что
это поле безмассовое. Единственное дополнительное предположение об
отсутствии космологической постоянной, на самом деле, несущественно
для этого вывода. Нетрудно видеть, что в пределе слабого поля космоло-
гический член в волновом уравнении сводится к постоянному слагаемо-
му, а отнюдь не к добавке —т2й,р„, соответствующей конечной массе.
Таким образом, в рамках общековариантного уравнения второго поряд-
ка нет места для ненулевой массы гравитона. Никаких эксперименталь-
ных указаний на конечную массу гравитационного поля не существует.
Ее обнаружение означало бы принципиальный выход за рамки ОТО.

82Глава 8. Гравитационные волны
Задачи
8.1.1.	Найти компоненты тензора Римана для плоской гравитационной
волны, распространяющейся вдоль оси z.
8.1.2.	Найти изменение во времени относительного расстояния между
двумя частицами под действием плоской гравитационной волны, рас-
пространяющейся вдоль оси z. Принять, что вначале частицы находи-
лись в плоскости ху.
8.1.3.	Найти частоту прецессии спина в поле плоской гравитационной
волны, распространяющейся вдоль оси z.
8.2. Излучение гравитационных волн
Вернемся к волновому уравнению D.5). Взяв от него след и выразив
таким образом Т\\ через h\\, перепишем это уравнение в виде
-аф^ = 16жкТ^,	(8.5)
где ф^„ = h^v — | rj^hw. Как видно из уравнения (8.5), гармоническое
условие дцфц,, = 0 на поле волны естественным образом согласуется с
законом сохранения д^Т^ = 0. Следует отметить, что уравнение (8.5),
конечно же, линейно по полю гравитационной волны, однако не обя-
зательно линейно по гравитационному полю вообще. Достаточно взять
простой случай, когда источником служит система нерелятивистских
частиц, связанных гравитационными силами. Ясно, что без учета вкла-
да тензора натяжений, квадратичного по гравитационному потенциалу
ф, Тр„ сохраняться не будет.
Запаздывающее решение уравнения (8.5) таково:
Как показано в разделе 8.1, в волновой зоне h\\ —>¦ 0 , так что в этой
области фцц —>¦ hfiv, да и от h^ остаются лишь чисто пространственные

8.2. Излучение гравитационных волн83
компоненты. Кроме того, здесь, при R ^> г', как обычно, можно заме-
нить в знаменателе под интегралом |R — г'| —>¦ R. В итоге на больших
расстояниях имеем:
hmn(R,t) = - — f dr'Tmn(r',t-\K-r'\).
Для системы нерелятивистских частиц подынтегральное выраже-
ние в правой части удобно преобразовать так, чтобы вместо Ттп, зави-
сящего от деталей движения и взаимодействия этих частиц, в него во-
шло просто распределение их масс. Для этого проинтегрируем сначала
с весом хк закон сохранения д^Т^п = 0:
/ drxk(doTOn + dmTmn) =dt drxk TOn - / drТкп = 0.
Учитывая симметрию Tj.n = Тпк, перепишем полученное соотношение
так:
/ dr Ткп = -dt I dr {хк ТОп + хп Ток).
Аналогично, проинтегрировав с весом хкх\ закон сохранения д^Т^0 = 0,
получаем
/ dr xk xi (д0Т00 + dmTm0) = dt / dr xk xt Too - dr (хк Ты + х{ Ток) = 0.
Таким образом,
2к f
hmn = ~ ~j^d2t / drxkxi Too.
Учтем теперь, что для нерелятивистской системы Тоо совпадает с плот-
ностью массы р, а в волновой зоне hnn = 0. Тогда ответ выражается
через квадрупольный момент распределения массы qmn:
2к	f
hmn = ~ ТГБ Qmn, Qmn = dr ( 2,Xk X{ - Г26Ы) р.
(8.6)
Ответ представляется достаточно естественным по следующим
причинам. Если мультипольное разложение векторного электромагнит-
ного излучения, т. е. поля в волновой зоне, начинается с дипольного
члена, то заранее можно было ожидать, что для тензорного гравитаци-
онного излучения такое разложение начнется с квадруполя. С другой

84Глава 8. Гравитационные волны
стороны, хорошо известно, что для системы частиц с одинаковым от-
ношением е/т отсутствует и электрическое дипольное, и магнитное
дипольное излучение. А для гравитационного поля роль отношения е/т
играет отношение гравитационной массы к инертной, которое, как из-
вестно, для всех частиц одинаково. Поэтому дипольного гравитацион-
ного излучения быть не должно.
Перейдем теперь к расчету интенсивности гравитационного излу-
чения. Для этого нам нужна плотность потока энергии гравитационного
поля, т. е. ?q компоненты его тензора энергии-импульса (ТЭИ). Что ка-
сается ТЭИ материи Т?, то он удовлетворяет условию
грц _ грц ,-p/J, грр _ рр грц _ 	 п I /—уТЧ^) _ ГР ТЧ* — О
J г/;р — J v,fi + L рц-1 v L pi/J p ~ r—w(ilV & ± v ) L liv± p ~ u-
Благодаря наличию слагаемого —Т^Т^ в этом соотношении, ТЭИ ма-
терии Т? не сохраняется, что вполне естественно в присутствии грави-
тационного поля. Но тогда следует построить из g^ (или h^) такую
величину t?, чтобы имело место соотношение
Теперь стандартным образом получаем закон сохранения 4-импульса:
Р„= [ dr^/=g(T° + t°v) = const.	(8.7)
Однако истинного тензора t^ не существует. Действительно, в силу
принципа эквивалентности, систему координат можно всегда выбрать
так, что в любой заданной точке метрика станет плоской, а ее первые
производные обратятся в нуль. Но тогда в этой точке обращается в нуль
и структура t?, которая строится из первых производных. Для истин-
ного тензора это означает, что тензор равен нулю тождественно. Тем
не менее, подходящий псевдотензор ??, который ведет себя как тензор
при линейных преобразованиях координат, построить можно, и даже не
единственным способом. При этом для асимптотически плоской систе-
мы полные энергия и импульс сохраняются и определены интеграла-
ми (8.7) однозначно.
В интересующем нас случае слабой гравитационной волны псев-
дотензор t? строится достаточно просто. Начнем с действия F.8). За-
метим, что в нашем случае слагаемое — g^V Ттрт в подынтегральной

8.2. Излучение гравитационных волн85
плотности можно сразу отбросить. Действительно,
в пределе слабого поля равно hPfiyfi — 1/2 /iw,p и обращается в нуль
в силу гармонического условия. На самом деле, само это условие вне
рамок линейного приближения формулируется в виде
= о.
Нетрудно показать, что и второй множитель в этом слагаемом, Г^т, об-
ращается в нуль для гравитационной волны. Оставшиеся члены второго
порядка по h^p в действии приводятся после интегрирования по частям
и отбрасывания полных производных к следующему виду:
[ A
J ¦
Здесь учтено условие гармоничности и то, что в волне h^ = 0. Если
учесть к тому же, что в волне ho^ = 0, то подынтегральное выраже-
ние, равное лагранжевой плотности свободной гравитационной волны,
выглядит так:
8 = ИД h hmn^hmn^p.	(8-8)
Теперь плотность потока энергии вычисляется так же, как это делается
обычно (см. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория поля, §32):
дЬB)	1
llmn,3	OZ7TK
Мы учли здесь, что в плоской волне hmn^ = —hmn$.
Конечно, для волны, распространяющейся вдоль оси 3, hmnhmn =
— h^i +h\2 +^h\2. Однако расчет полной интенсивности излучения тре-
бует интегрирования по углам, т. е. по направлениям п распространения
волны. Поэтому структуру h\ 1 + h\2 + 2/if2 наД° переписать в виде, при-
годном для произвольного п, а не только направленного вдоль оси 3.
Прежде всего, тензор, квадрат которого входит в ответ, должен лежать
в плоскости, ортогональной п, т. е. удовлетворять условию nmhmn = 0.
Такой поперечный тензор выглядит следующим образом:

86Глава 8. Гравитационные волны
Но это еще не все. Тензор, входящий в ответ, должен, кроме того, иметь
нулевой след. Поэтому его правильный вид для произвольного направ-
ления п таков:
""inn — ^mn ~ X ("ш« ~~ птпп)"'Ц-
Итак, свертка, которая входит в ответ, при произвольном п равна
hmnhmn. Простые преобразования дают
Удобно сразу усреднить это выражение по направлениям п. С помощью
формул
(ЩП]) = ^ Sij, (nirijnmnn) = — (SijSmn + SimSjn + SinSjm) (8.10)
получаем
2
Теперь, с учетом соотношений (8.6), (8.9), (8.11), находим оконча-
тельный ответ для полной интенсивности гравитационного квадруполь-
ного излучения (А. Эйнштейн, М. фон Лауэ, 1918):
1 " "	к
I = 4тгД2 ——- (hmnhmn) = -—г qmnqmn.	(8.12)
62тгк	45с°
В этом ответе восстановлена явная зависимость от скорости света с.
Как и следовало ожидать, полученный результат (8.12) весьма
близок по своей структуре к соответствующей формуле для электро-
магнитного квадрупольного излучения (см., например, Л.Д. Ландау,
Е.М. Лифшиц Теория поля, §71). В частности, он также имеет порядок
малости с~5.
Обсуждаемый эффект чрезвычайно мал, регистрация гравитаци-
онного излучения от любого мыслимого земного источника выглядит
совершенно нереальной.
Задача
8.2.1 Вывести соотношения (8.10).

8.3. Гравитационное излучение двойных звезд87
8.3. Гравитационное излучение двойных звезд
Что же касается обнаружения гравитационных волн от некоторых
космических источников гравитационного излучения, в частности от
двойных звезд, то здесь ситуация иная. Рассмотрим поэтому несколько
подробнее задачу о гравитационном излучении двух тел, связанных гра-
витационным взаимодействием. Если расстояние между телами много
больше размеров каждого из них, то оба тела можно считать точечными.
Тогда
р(г) = пц ё(г - ri(t)) + m2 S(r - r2(i));
здесь mi:2 — массы тел, ri,2(t) — их траектории. Квадрупольный мо-
мент этой системы равен
Qmn — М y^va^'n ** Omnji
где /х = niini2/(mi + m2) — приведенная масса, а г = ri(t) — v2(t) —
относительная координата. Используя уравнение движения
km
г =	— г, m = nil + m2
г
и результат его дифференцирования по времени
km Г 3r(rv)
— — 	 v — 	I v —
получаем
qmnqmn = 24 (^Р~У [12rV - ll(rvJ] =
yrv + n^
где 1 = /х [г х v] — орбитальный момент системы.
В простом случае круговой орбиты (когда (rv) = 0) легко нахо-
дим, что полная интенсивность излучения, или потеря энергии в еди-
ницу времени, равна
dE _ 32 к4т1т1(т! + т2)
~ dt ~ 5	с5г5

88Глава 8. Гравитационные волны
Учитывая соотношение Е = —kmini2/2r, получаем, что скорость сбли-
жения компонент двойной звезды за счет гравитационного излучения
составляет
64
5	с5 г3
Качественно эти результаты, разумеется, справедливы и для случая эл-
липтической орбиты с не слишком большим эксцентриситетом.
Хотя гравитационное излучение даже от двойных звезд до сих пор
не было обнаружено непосредственно, имеется прямое указание на то,
что оно реально существует. Тщательные измерения импульсов радио-
излучения от двойного пульсара PSR 1913+16 (см. краткие сведения о
нем в разделе 6.3) показали, что компоненты этой двойной звезды сбли-
жаются на несколько метров в год. Эффект количественно в точности
такой, каким он должен быть за счет потери энергии на излучение гра-
витационных волн. Заметим, что их энергия в данном случае огромна,
она сравнима с полной энергией излучения Солнца.
Ожидается, что в ближайшие несколько лет гравитационное из-
лучение двойных звезд будет непосредственно зарегистрировано при-
емниками, использующими лазерные интерферометры.
Задачи
8.3.1.	Вывести соотношение (8.13).
8.3.2.	Найти связь между изменением энергии и изменением орбиталь-
ного момента за счет гравитационного излучения (ГИ) при круговых
орбитах компонент двойной звезды.
8.3.3.	Найти среднюю по периоду обращения интенсивность ГИ при эл-
липтических орбитах компонент двойной звезды. (П. Питере, Дж. Мэ-
тьюз, 1963)
8.3.4.	Найти среднее по периоду обращения изменение орбитального мо-
мента за счет ГИ при эллиптических орбитах компонент двойной звез-
ды. (П. Питере, 1964)
8.3.5.	Как меняется за счет ГИ эксцентриситет эллиптических орбит
компонент двойной звезды? (П. Питере, 1964)

8.4. Резонансная трансформация электромагнитной волны89
8.3.5.	Как меняется за счет ГИ период обращения при эллиптических
орбитах компонент двойной звезды? (П. Питере, 1964)
8.3.6.	Частица, имеющая на бесконечности скорость «оо <1 и прицель-
ный параметр р = 2rg(l + S)/v00, S <S 1, рассеивается на черной дыре
(см. задачу 6.5.4). Оценить полную потерю энергии на ГИ, если части-
ца снова уходит на бесконечность (Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков, 1964).
Как меняется сечение захвата этой частицы при учете ГИ?
8.3.7.	Предположим, что существует безмассовое скалярное поле, вза-
имодействующее с тензором энергии-импульса обычной материи. Оце-
нить интенсивность излучения этого скалярного поля двойной звездой.
8.3.8.	Оценить полную потерю энергии на гравитационное излучение
при сближении двух тел сравнимой массы на расстояние, сравнимое с
гравитационным радиусом.
8.4. Резонансная трансформация
электромагнитной волны в гравитационную
Пусть свободная волна, в которой напряженности электрического и
магнитного поля равны е и Ь, распространяется в постоянном внешнем
поле с напряженностями Е и В. При этом в тензор натяжений Ттп
электромагнитного поля, который служит источником гравитационной
волны hmn, входят суммарные напряженности, так что
-?ftmn = WwkTmn = Щ(Е + е)т(Е + е)„ + (В + Ъ)т{В + Ъ)п]. (8.14)
В правой части волнового уравнения в данном случае стоит именно Ттп
(а не Ттп + 1/2 SmnT?), т.к. для электромагнитного поля Т? = 0.
Очевидно, постоянная часть Ттп гравитационную волну не гене-
рирует, так что ЕтЕп + ВтВп в правой части можно сразу отбросить.
Далее, в случае слабой электромагнитной волны можно заведомо пре-
небречь и вкладом етеп + bmbn в Ттп.
На самом деле, даже если свободная волна сильная, ее тензор на-
тяжений ттп ~ етеп + ЬтЬп в принципе не может генерировать грави-

ЭОГлава 8. Гравитационные волны
тационную волну. Докажем это утверждение. Выберем в качестве оси
z направление п распространения волны. Поскольку в свободной элек-
тромагнитной волне b = п х е, то в нашем случае &i = — е2 и &2 = ei.
Поэтому щ = т22 ~ eiei + e2e2, a n2 = r2i = 0. Очевидно, такой тензор
натяжений не может служить источником гравитационной волны, кото-
рая также должна распространяться вдоль оси z: в этой гравитационной
волне должна быть отлична от нуля хотя бы одна из двух поляризаций,
/ill = —/l22 ИЛИ /li2 = Л.21-
Итак, в правой части уравнения (8.14) достаточно сохранить лишь
интерференционные члены Етеп + Епет + ВтЪп + ВпЬт.
Характерные черты обсуждаемого явления можно выяснить на
следующем частном примере. Пусть внешнее поле чисто магнитное и
направлено вдоль оси х: В = E,0,0), а магнитное поле волны выглядит
так: b = @, Ьеш^~1\О). Тогда уравнение (8.14) сводится к виду
(-д20 + d2z)h12 = 4кВЬе^*-г1
Его решение таково:
/ii2 = -2ikBb - е^(*-*).	(8.15)
При этом поток энергии в гравитационной волне равен (очевидно, диф-
ференцировать по z предэкспоненту в выражении (8.15) невыгодно)
(заметим, что поскольку нас интересует лишь тот вклад в ?§, который
квадратично растет с z, то, как и в случае обычной плоской волны, диф-
ференцировать по z следует лишь экспоненту). А поток энергии элек-
тромагнитной волны, очевидно, равняется
Ъ2
Го3= —cos2u;(z-t).
Таким образом, во внешнем поле происходит резонансный переход элек-
тромагнитной волны в гравитационную, с коэффициентом трансформа-
ции
t3 1
К	кВ

8.5. Синхротронное излучение ультрарелятивистских частии91
(М.Е. Герценшпгейн, 1961). Несмотря на резонансный характер перехода,
т. е. на линейный рост амплитуды гравитационной волны с ростом z,
эффект настолько слаб, что едва ли его удастся наблюдать в обозримом
будущем.
Однако обсуждение этого явления представляет не только чис-
то методический интерес. На аналогичных эффектах основаны поиски
других, негравитационных, гипотетических полей с нулевой или очень
малой массой покоя.
Задача
8.4.1 Как изменится на очень болыцих расстояниях квадратичный рост
потока энергии гравитационной волны?
8.5. Синхротронное излучение
ультрарелятивистских частиц
без специальных функций
Синхротронное излучение, т. е. излучение заряженной частицы во
внешнем магнитном поле, рассматривается во многих учебниках (см.,
например, Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теория поля, §74). Однако рассмот-
рение это основывается обычно на анализе точного решения задачи. Для
излучения ультрарелятивистских частиц в гравитационном поле подоб-
ный анализ и само точное решение несравненно более сложны. В случае
излучения в гравитационном поле качественный подход оказывается не
только более наглядным, более поучительным с физической точки зре-
ния, но и заведомо более практичным.
Подробный качественный анализ обычного синхротронного излу-
чения, проведенный ниже, служит введением к следующему разделу,
где рассматривается излучение ультрарелятивистских частиц в грави-
тационном поле. Можно думать, что соображения, изложенные здесь,
будут полезны и сами по себе, безотносительно к задачам, рассмотрен-
ным в следующем разделе.
Начнем с полной интенсивности излучения. В локально-инерци-

92Глава 8. Гравитационные волны
альной системе (ЛИС), сопутствующей электрону, она равна
^'~eVJ~ ^(E1J-	(8-16)
Здесь е и m — заряд и масса электрона, a — его ускорение, Е — на-
пряженность электрического поля; I, a и Е снабжены штрихами, чтобы
указать, что они относятся к ЛИС. Е' получается из магнитного поля
В в лабораторной системе (ЛС) преобразованием Лоренца
Е' ~ Въ 7 = -=L= .	(8.17)
Вспомним теперь, что I — инвариант. Действительно, интенсив-
ность излучения выражается через вероятность испускания фотона W
и его энергию fuv так: / = Whw. Далее, вероятность W в ЛС связана
с вероятностью W' в ЛИС соотношением W = W/j (вспомним, что
время жизни нестабильной частицы в ЛС в j раз больше, чем в ЛИС).
С другой стороны, как хорошо известно, и) = 0/7- В итоге Г = I.
Теперь, подставляя в (8.16) выражение (8.17) для электрического
поля Е' в ЛИС, получаем хорошо известный результат
р4
I	чВ2-у2.	(8.18)
Если вместо магнитного поля В фиксировать радиус го траектории
электрона, связанный с В соотношением еВ ~ mj/ro, выражение для
полной интенсивности выглядит так:
/	j-.	(8.19)
r
Перейдем теперь к угловому распределению излучения. В ЛИС
оно имеет обычную дипольную форму, это просто тригонометрия. Ины-
ми словами, в ЛИС в' = k'tjk[ ~ 1. Здесь к'щ\ — поперечная (продольная)
компонента волнового вектора фотона. В ЛС эти компоненты таковы:
kt = k't, ki = kfj. Поэтому в Л С ультрарелятивистский электрон излу-
kt
чает в конус с характерным углом
(8-20)
Наблюдатель принимает сигнал, только находясь внутри конуса
излучения, который движется вместе с электроном. Элементарное рас-
смотрение показывает, что электрон светит на наблюдателя только с

8.5. Синхротронное излучение ультрарелятивистских частиц92>
участка дуги траектории, имеющего тот же угловой размер, что и сам
конус. В данном случае это означает, что угловой размер этого участка
дуги равен вс ~ J~1- Иными словами, длина формирования излучения,
которая в нашей ультрарелятивистской задаче (» й с = 1) совпадает с
временем формирования, равна
At ~ Го#с ~ ^от-
Тогда длительность приема сигнала с учетом продольного эффекта Доп-
лера составляет
St = A - nv)At ~ (92 + j~2)At,	(8.21)
где п = k/fc. При в ~ вс ~ 71 получаем Stc ~ Го7~3- Это означает, что
характерная частота излучения в 73 раз больше, чем частота обращения
ojc ~ St'1 ~ 73^о ~ 73^о-	(8.22)
Обратимся теперь к спектральному распределению синхротрон-
ного излучения. Его интенсивность быстро падает при u) ^> u)c. Предпо-
ложим, что при w^wc она меняется по степенному закону: /(u>) ~ wv.
Тогда, сравнивая полную интенсивность, которая дается интегралом
с формулой (8.19), получаем v = 1/3. Иными словами,
I(uj) ~ w1/3 при w^wc,	(8.23)
или для дискретного спектра
/„ ~ и1/3 при и^73-	(8-24)
И наконец, найдем угловое распределение излучения для области
частот
uo«w« wc, или 1«в«73.
Естественно ожидать, что здесь характерные углы в больше, чем 7-
По-прежнему, пока угол конуса излучения мал, в <С 1, электрон светит
на наблюдателя с участка дуги траектории, имеющего тот же угловой
размер 9. Но тогда, вместо соотношения (8.21), получаем
St ~ и)'1 ~ в2 At ~ 03ro ~ ^о;.

94Глава 8. Гравитационные волны
Таким образом, в этой области частот
^-гГ1'3.	(8.25)
В заключение этого раздела подчеркнем, что полученные резуль-
таты применимы к излучению не только при финитном движении ульт-
рарелятивистской частицы в магнитном поле, но и в более общем случае,
при рассеянии во внешних электромагнитных полях, если характерные
углы рассеяния превышают 7-
Задача
8.5.1 Ультрарелятивистский электрон рассеивается во внешнем элек-
тромагнитном поле на большой угол. Найти мгновенную интенсивность
гравитационного излучения. Основной механизм его генерации в этом
случае — резонансный переход электромагнитного синхротронного из-
лучения в гравитационное (О.П. Сушкое, И.Б. Хриплоеич, 1974).
8.6. Излучение ультрарелятивистских частиц
в гравитационном поле
В этом разделе так же, как и в предыдущем, мы не ограничиваем-
ся случаем движения по окружности, который для поля Шварцшильда
представляет чисто методический интерес из-за неустойчивости ульт-
рарелятивистских круговых орбит. Обсуждается также излучение при
инфинитном движении. Излучение электромагнитных и гравитацион-
ных волн рассматривается параллельно. Излагаемый подход был развит
И.Б. Хрипловичем, Э.В. Шуряком A973).
Легко видеть, что и в этом случае излучение частицы по-
прежнему сосредоточено в области углов в ~ I/7 (см. (8.20)). Одна-
ко принципиальное отличие от синхротронного излучения заключается
в том, что во внешнем гравитационном поле, просто в силу принципа
эквивалентности, траектория излученной частицы, фотона или грави-
тона, очень близка к траектории ультрарелятивистского излучателя.
Поэтому здесь длина формирования излучения, и электромагнитного,
и гравитационного, для движения по окружности совпадает по порядку
величины с радиусом траектории го, а не сокращается по сравнению с

8.6. Излучение в гравитационном поле95
ним в 7 Раз; как это имело место во внешнем электромагнитном по-
ле. Из-за нелокального формирования излучения говорить о его полной
интенсивности в ЛИС нет смысла.
Поэтому будем оценивать дифференциальную интенсивность dl
в элемент телесного угла dil по стандартной формуле
dl ~ и> u R dil —— .
dV
Здесь и — характерная амплитуда поля волны; uJu2 — оценка для плот-
ности потока импульса, т. е. для Гц в случае электромагнитной волны,
для ?q — в случае гравитационной. Множитель dt/dt' соответствует то-
му, что интенсивность измеряется по времени t наблюдателя, а не по
времени t' источника. Поскольку t = t' + |r — r(t')|, то для ультрареля-
тивистской частицы
^ Г " Г(«') _ п 	1 , х	2
= 1 — nv
г — г(?'I	2 \72
или
/ 1	\
Д*'.	(8.26)
Так как излучение сосредоточено в области углов в ~ I/7, то его харак-
терные частоты равны
ис г*-> 7 k'o ^7 — •	(8.27)
го
Они превышают частоту обращения не в 73 раз, как в случае синхро-
тронного излучения (см. (8.22)), а только в j2. В этом отношении ситуа-
ция здесь сходна с той, которая имеет место при рассеянии во внешнем
электромагнитном поле на малые углы, < 1/j.
При w^wc излучение распространяется под характерными углами
#;>1/7 относительно направления движения излучателя, так что
At ro02 '
или
(а не (wq/шI/3, как в случае синхротронного излучения, см. (8.25)).

96Глава 8. Гравитационные волны
Перейдем теперь от этих общих соотношений к конкретным вы-
ражениям для электромагнитного и гравитационного излучения. В каж-
дой из последующих формул они описываются соответственно первым
и вторым выражением.
Трехмерно-поперечные (по отношению к п) амплитуды поля и в
волновой зоне таковы:
ev±	ев	Vke{Vl_J	Укев2
±Г^ 1 - nv ~ в2 + 1/72 ;	1 - nv ~ в2 + 1/72 '
Напомним, что л/ке, где е — энергия частицы, играет ту же роль в
гравитации, что и заряд частицы е в электродинамике.
Дифференциальные интенсивности излучения для углов
равны
ЛТ	„2 1	AL
dlem e2 1 dlgr ke2 1 km2-y2 I
дЯ г2 в3 ' дЯ г2 в	г2 в'
И наконец, полные интенсивности:
<?_ [л d9 е272. т ке2 [л dB ke2 ,	km2j2
-Lp.m. ^ <7
' 0 •'1/7 u	'0	'0
(8.29)
Обсудим теперь вкратце более реальную задачу об излучении
ультрарелятивистской частицы, пролетающей с прицельным парамет-
ром р в поле Шварцшильда. Длительность сигнала в этом случае равна
At ~ p/j2, так что характерные частоты составляют и>с ~ j2 /p. Пол-
ную интенсивность излучения можно получить из формул (8.29) заме-
ной 1/гц —>¦ г2./р4. Действительно, если при движении по окружности
ускорение равно dv/dt' ~ 1/го, то в задаче рассеяния оно составляет
dv/dt' ~ rg/p2. Дальше остается умножить интенсивность на характер-
ное время пролета, и мы получаем оценки для полной потери энергии:
e2r272	ke2r2	km2-у2 г2
Мп7= 	г—^Ьт.	(8.30)
Задача
8.6.1 Ультрарелятивистская частица с прицельным параметром р =
= C\/3/2)rg(l + §), ^ « 1 рассеивается на черной дыре (см. зада-
чу 6.5.5). Оценить полную потерю энергии на ГИ, если частица снова
уходит на бесконечность. Как меняется сечение захвата этой частицы
при учете ГИ?

Глава 9
Космология и ОТО
9.1. Геометрия изотропного пространства
В основе современной космологии лежит решение уравнений Эйн-
штейна, найденное А.А. Фридманом A922). Это решение основано на
предположении об однородности и изотропии распределения материи
во Вселенной.
В реальном мире материя (или, по крайней мере, ее большая
часть) конденсирована в звезды, звезды — в галактики, галактики — в
скопления галактик. Но на этом неоднородности, по-видимому, конча-
ются: астрономические наблюдения, по крайней мере, не противоречат
предположению об однородности и изотропии "газа" из скоплений га-
лактик.
В случае полной изотропии трехмерного пространства его тензор
Римана Rijki выражается через его же метрический тензор go-. Дей-
ствительно, возьмем произвольную точку в этом пространстве и вы-
берем в ней локально-евклидову систему координат с ортогональными
осями. В этой системе компонента -R1212 тензора Римана является га-
уссовой кривизной К двумерной поверхности, касательной к векторам
вида ае\ +/3ег. В силу изотропии трехмерного пространства, К не за-
висит от ориентации плоскости (ei, ег). Иными словами, тензор Rijki
переходит сам в себя при преобразованиях вращения в используемом
локально-евклидовом пространстве, т. е. должен выражаться через тен-
зор Smn. Поэтому, с учетом свойств симметрии C.44), C.45), а также
равенства -R1212 = К, тензор кривизны выглядит в локально-евклидовом
пространстве следующим образом:
Естественное обобщение полученного равенства на произвольные коор-
динаты таково:
Rijki = К (gikgji - gugjk).	(9.1)

98Глава 9. Космология и ОТО
Коэффициент К в этом равенстве не зависит от координат, в чем не-
трудно убедиться, подставив соотношение (9.1) в свернутое тождество
Бьянки C.53). Таким образом, изотропное пространство одновременно
является однородным. Однако константа К может зависеть от времени.
Свертка соотношения (9.1) по ik и по jl связывает коэффициент К
со скалярной кривизной R трехмерного пространства:
R = QK.
В зависимости от знака скалярной кривизны, возможны три сущест-
венно разных случая пространственной метрики изотропного простран-
ства: 1) пространство постоянной положительной кривизны, К > 0; 2)
пространство постоянной отрицательной кривизны, К < 0; 3) простран-
ство нулевой кривизны, К = 0. Разумеется, последний случай соответ-
ствует плоскому, евклидову пространству.
Геометрию пространства постоянной положительной кривизны
удобно исследовать, рассматривая ее как геометрию на трехмерной
гиперсфере в неком вспомогательном четырехмерном евклидовом про-
странстве (разумеется, не имеющем отношения к четырехмерному про-
странству-времени). Уравнение гиперсферы радиуса а в этом простран-
стве имеет вид
2	2	2	2	2
хх + х2 + х3 + х4 = a ,
а элемент длины на ней равен
dl2 = dx\ + dx\ + dx\ + dx\.
Выражая вспомогательную координату х± через физические х\, х^, Жз
и исключая dx\ из dl2, находим
dl2 = dx\ + dx2 + dx2 +
Чтобы связать постоянные а2 и К, положим жз = 0. Ясно, что получен-
ная таким образом поверхность — двумерная сфера с гауссовой кривиз-
ной
K=h-	(9-3)
Перейдем от х\, х2, хз к сферическим координатам г, 9, ф. Вмес-
то прямого пересчета заметим, что при смещении вдоль радиуса, т.е.

9.1. Геометрия изотропного пространства^
при dr||r, продольный интервал равен
г2 \	dr2
dll =dr2 [1
1 - r21 a2 '
С другой стороны, при смещении dr ± r поперечный интервал состав-
ляет dl\ = dr2. Ясно отсюда, что в сферических координатах
d}2 = —^тт^ + r2(d92 +sin2 ed<t>2)-	(9-4)
Разумеется, начало координат может быть выбрано в любой точке про-
странства. Длина окружности в этих координатах равна 2тгг, а поверх-
ность сферы равна 4тгг2. Длина радиуса окружности и сферы
больше г.
Далее, удобно ввести четырехмерные сферические координаты а,
0<Х<7Г?0<$<7ГH<</><2тгво вспомогательном пространстве:
Xi = a sin x sin 0 cos ф, x-i = a sin \ sin 0 sin ф, хз = a sin \ cos в,
X4 = a cos x-
При этом, очевидно, г = asin% и интервал становится равным
dl2 = a2[dX2 + sin2 x(de2 + sin2 вdф2)].	(9.5)
В новых переменных расстояние точки от начала координат равно ах-
Поверхность сферы S = 4тга2 sin2 \ по мере удаления от начала рас-
тет и достигает на расстоянии тга/2 максимального значения, равного
4тга2. Затем она начинает убывать и обращается в нуль на максимально
возможном расстоянии тга. Объем пространства с положительной кри-
визной конечен:
dф sinede sm2Xdxa3 = 2ж2а3.	(9.6)
./о	^о
Разумеется, однако, границ у этого пространства нет. Отсюда сле-
дует, в частности, что полный электрический заряд в таком простран-
стве равен нулю. Действительно, любая замкнутая поверхность в конеч-
ном пространстве охватывает с обеих своих сторон конечные области

ЮОГлаваЗ. Космология и ОТО
пространства. Поток электрического поля через эту поверхность равен
полному заряду, находящемуся в области по одну сторону поверхности.
Но он же равен полному заряду в области по другую сторону поверх-
ности, взятому с обратным знаком. Ясно отсюда, что сумма зарядов с
обеих сторон поверхности равна нулю. По аналогичной причине равен
нулю и полный 4-импульс во всем замкнутом пространстве.
Обсудим теперь пространства с постоянной отрицательной кри-
визной. Из (9.3) ясно, что формально это соответствует замене а —>¦
га. Поэтому геометрия пространства отрицательной кривизны соответ-
ствует геометрии на четырехмерной псевдосфере мнимого радиуса. Те-
перь
К - 1
а2
а элемент длины в координатах г, в, ф равен
rlr2
dl = 	„ + г (d9 + sin вdф ),
1 + rz /a1
причем 0 < г < оо. Замена переменных г = ashx дает
dl2 = a2[dx2 + sh2 x(dO2 + sin2 вdф2)].	(9.7)
Объем пространства отрицательной кривизны бесконечен.
Разумеется, возможен и случай плоского, евклидова мира, где
К = 0.
Задачи
9.1.1.	Доказать, что К не зависит от координат.
9.1.2.	Доказать равенство (9.3) прямым расчетом скалярной кривизны
пространства. Вычисление удобно проводить вблизи начала координат,
т. е. для малых х\, х^, жз-
9.1.3.	Преобразовать интервал (9.4) к виду, где он пропорционален ев-
клидову выражению.
9.1.4.	Доказать соотношение (9.6).

9.2. Изотропная модель Вселенной101
9.2. Изотропная модель Вселенной
В случае замкнутой Вселенной наглядный 2-мерный аналог реше-
ния, которое мы ищем, — раздувающаяся сфера, мыльный пузырь. В
сопутствующей системе координат материя на сфере покоится, т. е. уг-
ловые переменные каждой пылинки не меняются, лишь радиус сферы
растет со временем. В нашей же задаче 3-мерного пространства оста-
ются постоянными координаты \i ®i Ф каждой галактики, растет лишь
шкала расстояний a(t).
Ввиду отсутствия выделенного направления в пространстве ком-
поненты gom {m = 1,2,3) метрического тензора, образующие 3-мерный
вектор, должны обращаться в нуль. Компонента goo зависит только от t,
так что надлежащим выбором временной координаты можно обратить
goodt2 в dt2. Итак, 4-мерный интервал приводится к виду
ds2 = dt2 - dl2 = dt2 - a2(t)[dX2 + sin2 x(d02 + sin2 Odcf?)].
Удобно перейти от времени t к новой переменной г], определяемой соот-
ношением dt = a(t)di]. В результате интервал записывается в виде
ds2 = a2{ri) [drj2 - dX2 - sin2 X(d02 + sin2 0d4>2)}.	(9.8)
Чтобы записать уравнения Эйнштейна, нужно вычислить тензор Риччи.
Вклад в него дает, во-первых, кривизна 3-мерного пространства. Этот
вклад сразу находится из формулы (9.1) (с учетом псевдоевклидовости
4-мерного пространства):
Другой вклад в тензор Риччи обусловлен зависимостью метрики от ц.
Компоненты символа Кристоффеля, содержащие производную по ц (ее
обозначаем штрихом), равны
Г° - — Г° -- — р-. Г* - —Л*	(9 Ш
m~ a' ij ~ а3 3' oj ~ a j'
Компоненты Г{^ и Тг00 равны нулю, так как в нашем 3-мерном простран-
стве нет выделенного направления. По этой же причине обращаются в
нуль компоненты i?0; тензора Риччи. Его чисто временная компонента
равна
Доо = -3 (- - 4V	(9-П)
V а а2 I

ШГлава 9. Космология и ОТО
И наконец, соответствующий вклад в чисто пространственные компо-
ненты равен
Полное выражение для пространственных компонент тензора Риччи та-
ково:
?
Скалярная кривизна равна
так что 00 компонента уравнения Эйнштейна записывается в виде
Доо - \gooR = 3 (^ + U = 8тгкТ00.
Совершенно аналогичные вычисления в случае открытой Вселенной при-
водят к уравнению, отличающемуся от этого лишь знаком при 1 внутри
скобки. А для Вселенной, в которой трехмерное пространство само по
себе плоское, евклидово, это слагаемое вообще отсутствует. Что же ка-
сается правой части, то, поскольку и0 = djj/ds = I/a, имеем и для
замкнутой, и для открытой, и для плоской Вселенной
Тоо = googoopu°u° = pa2.
Итак, в общем случае изотропной Вселенной обсуждаемое уравнение
имеет следующий вид:
?3 "
Здесь и ниже q = 1 для замкнутой Вселенной, q = — 1 для открытой
Вселенной, q = 0 для плоской Вселенной.
Поскольку в используемой сопутствующей системе координат
пространственные компоненты 4-мерной скорости равны нулю, т. е. ко-
ординаты х, в и ф каждой пылинки не зависят от т), то все остальные
компоненты тензора энергии-импульса пыли, кроме Тоо, равны нулю.

9.2. Изотропная модель ВселеннойЮЗ
Компоненты On уравнений Эйнштейна вырождаются в тождества 0=0,
a mn компоненты выглядят так:
2 -^	Н	о) gmn = 0,
а6 а4	2 /
или просто
a° a* a*
Заметим, что если переход от трехмерной геометрии замкнутой
Вселенной к геометрии открытой сопровождается заменой а —> га, то со-
ответствующий переход в динамическом уравнении (9.15) требует еще
одной замены: ц —у щ.
Объем замкнутой Вселенной растет в процессе расширения ~ а3,
а полная масса пыли остается постоянной, так что плотность пыли ме-
няется по закону р = с/а3. С учетом этой зависимости приходим к
уравнению для замкнутой Вселенной
а'2 + а2 = 2аоа , где ао = — кс,
о
или
а'2 + (а — а0J = а\.
Это, очевидно, интеграл энергии для осциллятора с положением равно-
весия в точке а = ао- При соответствующем выборе начального условия
решение для a(rf) таково:
а = аоA — cost]).	(9.16)
Так как по определению dt = adj], то
t = ao(i] - s'mr]).	(9-17)
Уравнения (9.16), (9.17) описывают в параметрической форме эволюцию
замкнутой Вселенной. Эта эволюция имеет циклический характер: рас-
ширение из точки до атах = 2зд сменяется сжатием в точку, а затем
все начинается сначала.
Перейдем к случаю открытой Вселенной. Глядя на (9.16) и помня
о том, что этот переход сопряжен с заменой ц —>¦ щ, а также о том, что
а > 0, естественно предположить, что в этом случае
a = ao(ch7j-l).	(9.18)

ШГлава 9. Космология и ОТО
Легко проверить, что функция (9.18) действительно удовлетворяет
уравнению (9.15) (при q = —1). Соответственно, в этом случае
t = ao(shri-J]).	(9.19)
Здесь расширение из точки продолжается бесконечно. Плотность пыли,
которая определяется здесь уравнением (9.14), с ростом ц падает, харак-
тер разлета приближается к свободному, так что в асимптотике радиус
а растет линейно со временем.
И наконец, в случае плоской Вселенной, наряду с тривиальным
решением a = по, t = пот], существует нетривиальное:
a = a0r]2, t=^-rf, или a(t) ~ t2/z.	(9.20)
о
Это решение соответствует интервалу вида
ds2 = dt2 - ait4^(dx2 + dy2 + dz2).
На самом деле зависимость ait) ~ t2/3 имеет место и в двух дру-
гих случаях, но только при малых временах. В этом нетрудно убедиться,
рассматривая соответствующие формулы, (9.16) и (9.17), (9.18) и (9.19),
в пределе ц —\ 0. В указанном пределе
da	I /q
dt
Заметим, что для замкнутой Вселенной такой же режим наступает и
при последующем сжатии в точку.
Однако в области сингулярности, где плотность р обращается в
бесконечность, найденное описание неприменимо. Прежде всего, здесь
непригодно приближение "пыли", используемое для описания вещества.
Но есть и более глубокая причина: здесь мы имеем дело с предельно
сильными полями и поэтому необходима квантовая теория гравитации.
Задачи
9.2.1. Получить соотношения (9.10) - (9.13) и аналогичные формулы
для открытой Вселенной.

9.3. Изотропная модель и наблюденияЮБ
9.2.2.	Найти асимптотическое поведение при t —у сю плотности р в от-
крытой Вселенной.
9.2.3.	Получить соотношения (9.20) для плоской Вселенной.
9.3. Изотропная модель и наблюдения
Вернемся в нынешнюю эпоху. Выберем положение наблюдателя
за начало координат в изотропной Вселенной. При этом расстояние до
галактики с координатами \t $? Ф составляет I = ах, а скорость ее
удаления, обусловленного расширением Вселенной, равна
da	I da
Таким образом, замечательное качественнное предсказание модели со-
стоит в том, что скорость v "разбегания" галактик (в данный момент t)
пропорциональна расстоянию / между ними. Это предсказание находит-
ся в согласии с наблюдениями красного смещения в спектрах галактик,
которое интерпретируется как доплеровское. Численное значение коэф-
фициента пропорциональности, т. н. постоянной Хаббла, полученное из
современных астрономических наблюдений, таково:
Я = - — = 57 ± 11 км/с/Мпк	(9.21)
a dt
A Мпк (Мегапарсек) = 106 парсек, 1 парсек к, 3 световых года).
Вернемся к уравнению (9.14). Его можно переписать в следующей
форме:
„2| 9 8тг
н +^ = ткр>
или
Здесь введена т. н. критическая плотность
о тт2

ШГлава 9. Космология и ОТО
указанная численная величина рс соответствует значению (9.21) для
постоянной Хаббла. Из формулы (9.22) видно, что тип геометрии Все-
ленной определяется соотношением между истинной плотностью р и
параметром рс, выражающимся через постоянную Хаббла. Если плот-
ность больше критической, Вселенная замкнутая; если меньше крити-
ческой, — открытая; если равна критической, — плоская.
Обычно обсуждается отношение fl = р/рс- Оценки средней плот-
ности вещества, основанные на светимости галактик, дают для плот-
ности видимой материи Hi pa 0,1. Однако плотность невидимой, тем-
ной материи, по-видимому, гораздо больше. На это указывают, в част-
ности, оценки массы скоплений галактик, основанные на распределе-
нии скоростей отдельных галактик. Количественно для темной материи
п2 -0,4.
Более того, анализ совокупности данных наблюдательной астро-
номии, а также серьезные теоретические соображения, указывают на
то, что Вселенная должна быть плоской, иными словами, на то, что
И = 1. В настоящее время это рассматривается как серьезное указание
на существование ненулевой космологической постоянной Л, эффектив-
но дающей вклад ври дополняющей, таким образом, fli+fb до единицы.
Заметим, что требуемая величина Л ничтожно мала (речь идет о харак-
терных значениях Х/8тгк ~ рс ~ 3 • 10~30 г/см ), так что едва ли она
может проявиться где-либо, кроме космологии.
Обсудим теперь связь между постоянной Хаббла и возрастом Все-
ленной. Для плоского мира, при И = 1, из соотношения (9.20) следует,
что H(t) = (l/ajda/dt = 2/3L Это означает, что в предположении плос-
кой Вселенной ее возраст Т (т. е. время, прошедшее с момента, когда
плотность была бесконечной) связан с нынешним значением (9.21) по-
стоянной Хаббла соотношением
Т=\^.	(9.23)
Очевидно, найденное соотношение имеет место также на ранних ста-
диях разлета в замкнутой и открытой Вселенной, где в обоих случаях
a ~ ?2/3. Даже на поздней стадии разлета открытой Вселенной, когда
плотность уже настолько мала, что а линейно растет со временем, связь
между Т и Н отличается от (9.23) лишь коэффициентом: 1 вместо 2/3.
Таким образом, поскольку отношение О, во всяком случае, не столь да-
леко от 1, оценка (9.23), по-видимому, вполне разумна. Численное зна-
чение возраста Вселенной при Н к, 60 км/с/Мпк составляет, согласно

9.3. Изотропная модель и наблюдения107
соотношению (9.23),
Т и 12 • 109 лет.	(9.24)
Возраст Земли, согласно данным по содержанию радиоактивных
элементов в земной коре, составляет около 4-Ю9 лет. Оценки возраста
старых звездных скоплений выглядят, как 10-109 лет. Поэтому время
жизни Вселенной заведомо не может быть намного меньше результа-
та (9.24).

Глава 10
Насколько черны черные дыры?
10.1. Энтропия и температура черных дыр
Классические представления о черных дырах, изложенные выше, в
разделе 6.5, принципиально неполны. Первым осознал это Дж. Уилер. Он
рассуждал примерно так. Возьмем ящик, заполненный излучением при
некоторой температуре Т. Он обладает, естественно, и конечной энтро-
пией. Сбросим этот ящик в черную дыру. Тогда энтропия наблюдаемой
части Вселенной навсегда уменьшится. Но это явное нарушение второго
начала термодинамики! Для спасения второго начала просто необходи-
мо принять, что сама дыра обладает энтропией, которая возрастает при
поглощении этого ящика. А телу с ненулевой энтропией естественно
приписать и конечную температуру. Несмотря на всю неожиданность
этого вывода, он достаточно естествен и с чуть иной точки зрения. Ведь
черная дыра — идеальный поглотитель, абсолютно черное тело, для ко-
торого температура вполне обычная характеристика.
Попробуем оценить сначала эту температуру просто из соображе-
ний размерности. Будем использовать для нее энергетические единицы.
Кстати, в этих единицах энтропия безразмерна, так что оценить ее по
размерности нельзя. Сама черная дыра характеризуется единственным
параметром — массой М. Помимо нее, если оставаться в рамках класси-
ческой физики, в нашем распоряжении есть еще две мировые констан-
ты, fc и с, одна из которых, гравитационная постоянная к, по-видимому,
должна входить в ответ просто по смыслу задачи. Очевидная комби-
нация Мс2 не подходит на роль температуры: она слишком велика, да
и не содержит к. Но никакой иной комбинации, имеющей размерность
энергии, из М, к и с построить нельзя. Есть однако еще одна мировая
константа — постоянная Планка Н. Используя ее, построить требуемую
комбинацию размерности энергии уже несложно. Температура черной
дыры составляет по порядку величины Нс3/кМ, или (с точностью до
двойки) hc/r-g.
Формально задача решена, но возникает естественный вопрос: ка-

10.1. Энтропия и температура черных дырЮд
кое отношение имеет квант действия h к нашей, на первый взгляд, совер-
шенно классической задаче? Чтобы ответить на него, следуя Дж. Бекен-
штейну A973), взглянем на ящик с излучением с несколько иной точки
зрения. Будем адиабатически опускать на тросе ящик с излучением к
черной дыре. Трос намотан на маховик, находящийся вдали от черной
дыры. Маховик раскручивается, и его энергию в принципе можно ис-
пользовать. Вспомним, что энергия тела в гравитационном поле черной
дыры равна
Е = тс2 Jl - rg/r.
Поэтому при медленном, адиабатическом опускании ящика, наполненно-
го излучением и имеющего полную массу т, выделенная таким образом
энергия равняется
АЕ = тс2 A - yjl - rg/r) .
Когда ящик приблизится к горизонту, откроем задвижку в его
дне. После того как излучение уйдет к горизонту, вернем ящик с по-
мощью троса в исходное положение, на большое расстояние от черной
дыры. Энергия, которую мы таким образом извлекли с помощью махо-
вика, на первый взгляд равна энергии всего излучения, которое было
запасено в ящике. Казалось бы, все оно прилипло к горизонту.
Однако дело обстоит не так. В силу соотношения неопределеннос-
ти, размеры ящика не могут быть меньше, чем длина волны излучения
Л. В свою очередь, характерная энергия квантов Нш — это не что иное
как температура излучения Т\. Таким образом, размеры ящика, в том
числе и его высота, ограничены неравенством d > foc/T\. С другой сто-
роны, здесь принципиально важна возможность вернуть ящик в исход-
ное положение, на большое расстояние от горизонта. Поэтому верхняя
стенка ящика заведомо остается на расстоянии, превышающем d, от го-
ризонта. Естественно тогда, что реально превратить в полезную работу
можно не все излучение, содержащееся в ящике, а лишь его долю, огра-
ниченную соотношением
ч~1-1<1--^.	A0.1)
Обсуждаемая система, состоящая из черной дыры и ящика с излучени-
ем, который связан с маховиком, может рассматриваться как тепловая

ИОГлава 10. Насколько черны черные дыры?
машина с температурой рабочего тела, излучения, Т\. Величина ц —
не что иное как коэффициент полезного действия этой машины. А он,
как известно, ограничен максимальным КПД, который дается формулой
Карно:
Т
Vmax = 1 - — ,	(Ю-2)
где Т — температура холодильника. Сравнивая соотношения A0.1) и
A0.2), приходим к выводу, что величина hc/rg по порядку величины
совпадает с температурой Т холодильника, черной дыры, в полном со-
ответствии с результатом, полученным из соображений размерности.
Чтобы получить численный коэффициент в соотношении Т ~
~ hc/rg, рассмотрим следующую задачу. Пусть квазиклассический вол-
новой пакет распространяется из точки Го = rg+e, близкой к горизонту,
в удаленную точку г (е <^. rg, г 3> rg). Квазиклассичность пакета позво-
ляет использовать при описании его движения соотношения, полученные
в разделе 6.5 для точечной частицы. Время распространения пакета из
Го в г, согласно F.20), равно
IT' 	 IT'	IT'
t = г - r0 + г An	— к, г + TV In -	A0.3)
g r0 - rg	g e
(заметим, что обозначения го и г здесь переставлены по сравнению
с F.20)). Если частота была wo в точке го = rg + е, то в точке г она
равняется
wi = ш0 Jgoo(ro = rg + е) и wo J — ¦
V rg
Поскольку, в силу A0.3),
е	( t-r
- = exp
г
то частота ш\ зависит от времени по закону
*-¦
^i = ^o \l — exp
а фаза волны равна
t-r
dtuii = — zuiq л/гГв- exp I —-—

10.1. Энтропия и температура черных дыр111
Спектральная функция волнового пакета выглядит на больших рассто-
яниях так:
/И ~ I dteiultexp (-2iuH
С помощью замены переменных
этот интеграл выражается через Г-функцию:
/И ~ Bш0	2i
(мы отбросили множители, не зависящие отш). В результате спектраль-
ная плотность волнового пакета на больших расстояниях такова:
|/И|2 ~ е-2пшге\Г(-2шгя)\2 = — -j—^	 = — ехр(-4тгшг.)
A0.4)
(напомним, что речь идет о квазиклассическом волновом пакете, так
что wrg 3> 1)- Замечательным образом спектральная плотность сигна-
ла, пришедшего на бесконечность из окрестности горизонта, совершенно
универсальна. А если перейти от частоты и) к энергии hw, то видно, что
ведущий, экспоненциальный множитель в A0.4) соответствует высоко-
частотной асимптотике распределения с температурой
he he3
Впервые это выражение для температуры черной дыры было получено
С. Хокингом A974).
Неизбежным следствием конечной температуры черной дыры яв-
ляется вывод о том, что она на самом деле излучает. Дыра рождает
не только фотоны и нейтрино с энергиями порядка Т, но и частицы с
ненулевой массой покоя m (если только температура дыры достаточно
велика, Т > тс2). Итак, одно из самых удивительных свойств черных
дыр состоит в том, что они светят!
Этот вывод был впервые сделан В.Н. Грибовым1. Один из его ар-
гументов был таким. Соотношение неопределенности АЕ At > h поз-
1 Грибов четко сформулировал утверждение о том, что черные дыры излучают,
в обсуждениях, проходивших в 1971 или 1972 году. Это известно мне по независи-
мым рассказам А.Д. Долгова, Д.И. Дьяконова, Л.Б. Окуня, присутствовавших при
этих дискуссиях. Остается лишь сожалеть о том, что Грибов не опубликовал свой
результат, по-видимому, считая его самоочевидным.

112Глава 10. Насколько черны черные дыры?
воляет рождение пар частиц из вакуума на время t, не превышающее
h/E; здесь Е — полная энергия пары (как минимум, 2тс2 для частиц
с массой). Гравитационное поле в окрестности горизонта очень велико,
так что уход одной из родившихся частиц пары в черную дыру, а дру-
гой — на бесконечность разрешен по энергии. В квантовой механике,
за счет туннельного эффекта такого рода, процессы рождения частиц
становятся возможными. В частности, рождение электрон-позитронных
пар в сильных электрических полях не только давно изучается теоре-
тически, но и наблюдалось экспериментально в столкновениях тяжелых
ионов. По существу, аналогичное явление может служить объяснением
излучения черных дыр.
Стоит привести здесь и другое соображение Грибова. Черная дыра
заведомо не может удерживать излучение с длиной волны, превышаю-
щей гравитационный радиус. Очевидно соответствие этого аргумента
выражению A0.5) для температуры, т. е. для частоты, за которой начи-
нается экспоненциальный спад интенсивности.
На самом деле, для реальных черных дыр температура A0.5) ни-
чтожно мала. В частности, при массе, сравнимой с массой Солнца, она
составляет всего лишь около 10~7 кельвин. Например, для того, чтобы
эта температура стала достаточной для рождения электронов и пози-
тронов, самых легких частиц с ненулевой массой покоя, масса черной
дыры должна быть на 17 порядков величины меньше массы Солнца, т. е.
не должна превышать 1017 г. Однако у звезд столь малой массы грави-
тационное поле слишком мало, они не могут сжаться до своего гравита-
ционного радиуса, не могут превратиться в черную дыру. Такие легкие
черные дыры могли бы, в принципе, возникать на самых ранних стадиях
эволюции Вселенной, когда плотность вещества была очень велика.
Могут ли, однако, подобные минидыры сохраниться с тех пор?
Может ли их возраст приближаться к времени жизни Вселенной т ~
~ 1010 лет ~ 1017 с? Препятствием здесь служит само тепловое излуче-
ние черной дыры. Оценим его интенсивность I из соображений размер-
ности. Для этого достаточно разделить Т на характерное время, которое
есть не что иное, как rg/c:
сТ mi с4
10.6)

10.1. Энтропия и температура черных дырПЗ
Мы ввели здесь так называемую планковскую массу
тр= Г^\ =2,2-10-5г.	A0.7)
С другой стороны, очевидно, / = — c2dM/dt. Решая дифференциальное
уравнение
dM _ трс2
~dT ~ ~ НМ2'
находим, что до нашего времени могли дожить звезды с начальной мас-
сой
/
M>mp\-\ .	A0.8)
Здесь tp — так называемое планковское время:
tP= ^ = (Щ) =0,54-Ю3 с.	A0.9)
трс2 Vе/
Вместе с энергией черная дыра теряет и массу. При этом, согласно
соотношению A0.6), интенсивность ее излучения растет, она светит все
ярче и ярче. Гравитационный радиус черной дыры становится меньше и
меньше. Чем же кончается этот процесс? Очевидно, звезда не может вы-
светить больше энергии, чем имеет. Излучение заведомо прекратится,
когда температура черной дыры станет сравнимой с ее энергией покоя,
при
м
т. е. когда масса минидыры уменьшится до планковской:
М ~ тпр.
Здесь наше полуклассическое рассмотрение квантовых эффектов в окре-
стности черных дыр, да и в гравитации вообще, теряет применимость.
Здесь требуется последовательная квантовая теория гравитации. Одна-
ко такой теории до сих пор не существует.
Вернемся к вопросу, могли ли дожить до нашего времени яркие
минидыры, возникшие на ранних стадиях эволюции Вселенной. Соглас-
но формуле A0.8), начальная масса самого яркого подобного долгожите-
ля выглядит достаточно скромно: она составляет примерно 1015 г. Одна-
ко последняя стадия его эволюции накануне выхода на планковские мас-
штабы должна быть весьма впечатляющей: взрыв мощностью в тысячи

114Глава 10. Насколько черны черные дыры?
самых больших водородных бомб. Эти явления до сих пор астрономами
не наблюдались.
10.2. Энтропия черных дыр и площадь горизонта.
Квантование черных дыр
Теперь, когда температура A0.5) черной дыры вычислена, нахож-
дение ее энтропии становится простой задачей. Хорошо известное тер-
модинамическое соотношение dE = TdS связывает приращение энергии
тела Е с приращением его энтропии S. В нашем случае Т задано форму-
лой A0.5), а Е = Мс2. Решая возникшее дифференциальное уравнение
dM = -^— dS
с естественным граничным условием
S = 0 при М = 0,
находим
4тгШ
Удобно ввести т. н. планковскую длину
=1,6-10-33см.	A0.10)
И тогда приходим к следующему замечательному соотношению между
энтропией черной дыры и площадью ее горизонта А = 4тгг|.:
Ч Ч'
Пропорциональность энтропии площади горизонта была установлена
Дж. Бекенштейном A973).
Второе начало термодинамики накладывает серьезные ограниче-
ния на возможные процессы не только в обычной жизни. Оно играет
важную роль и в физике черных дыр. Из него следует, в частности,
важное утверждение: при любом взаимодействии между черными ды-
рами сумма площадей их горизонтов возрастает или остается постоян-
ной. Впервые оно было получено С. Хокингом A971) из совершенно иных
соображений.

10.2. Энтропия, площадь горизонта, квантование 115
Поучительными особенностями обладают температура и энтро-
пия черных дыр, имеющих заряд и внутренний момент количества дви-
жения. К сожалению, рассмотрение решения Керра, описывающего дыру
с внутренним моментом, чрезвычайно громоздко2. Ограничимся поэто-
му рассмотрением заряженных черных дыр.
Покажем, что и для заряженной черной дыры энтропия связана с
площадью ее горизонта
Агп = <±тгг2гп = 4тг (кМ + л/к2М2 - kq2^	A0.11)
тем же соотношением Агп/А121 (радиус горизонта rrn для решения Райсс-
нера — Нордстрема дается формулой F.27), здесь мы обозначаем заряд
черной дыры через q). Вспомним, что энтропия не меняется при адиаба-
тическом, медленном изменении параметров системы. Именно это име-
ло место в примере с адиабатическим опусканием груза на поверхность
горизонта шварцшильдовской черной дыры: масса дыры и площадь ее
горизонта не менялись. Рассмотрим теперь аналогичный адиабатичес-
кий захват частицы заряженной черной дырой. Пусть частица с зарядом
е имеет на бесконечности полную энергию е, лишь слегка превышаю-
щую eq/rrn. Из-за кулоновского отталкивания эта частица достигает
горизонта очень медленно. В результате захвата масса черной дыры
увеличивается на AM = е ( ф 0!), а ее заряд — на Aq = e. Изменение
поверхности горизонта в этом процессе
8irrrnk	8wrrnk
A&Mrrn-Aqq)=	(errn-eq)
/k2M2 k2
, Arnqq)
- kq2	^/k2M2 - kq
исчезающе мало для непредельной черной дыры (при q2 < кМ2) в силу
условия е —> eq/rrn.
Аналогичный результат справедлив и для керровской черной ды-
ры. (Ее внутренний момент J ограничен условием J2 < к2М4, у пре-
дельной керровской дыры J2 = к2М4.)
Таким образом, площадь горизонта непредельных черных дыр не
меняется при адиабатических процессах (Д. Кристодулу, Р. Руффини,
2Даже в книге Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица, Теория поля, §104, вместо соот-
ветствующего решения уравнений ОТО приводится сноска: "В литературе нет кон-
структивного аналитического вывода метрики Керра, адекватного ее физическому
смыслу, и даже прямая проверка этого решения уравнений Эйнштейна связана с
громоздкими вычислениями".

ИбГлава 10. Насколько черны черные дыры?
1970, 1971). Поэтому в общем случае энтропия черной дыры пропорцио-
нальна именно поверхности горизонта:
S = А.	A0.12)
р
А чему равна в общем случае температура черной дыры? Обоб-
щение термодинамического соотношения dM = TdS для заряженного
объекта выглядит так:
dM = TdS + ф dq,
где ф — электростатический потенциал. Дифференцируя выражение
A0.12), находим:
_ dM _	hsJk2M2 - kq2
OS
2тг (kM
kq2j
Из этого соотношения следует, в частности, важный вывод: температура
предельной черной дыры равна нулю. Этот результат справедлив и для
керровской черной дыры.
Однако интенсивность излучения предельных черных дыр отнюдь
не равна нулю, хотя, разумеется, и не имеет температурного характе-
ра. В случае предельной заряженной дыры природа этого излучения —
рождение частиц ее электрическим полем3. Это излучение ограничено
условием А(кМ2 — q2) > 0. Очевидно, в данном случае потеря энергии
должна сопровождаться потерей заряда, т. е. излучаться могут лишь
заряженные частицы, среди которых нет безмассовых. В естественной
ситуации, когда заряд излученной частицы сравним с зарядом электро-
на, ограничение на ее массу ц выглядит вполне либерально:
ц < л/атр,	A0.13)
где а = 1/137. Ясно, что предельная черная дыра (разумеется, при соот-
ветствующей массе М) может излучать любые известные заряженные
элементарные частицы, включая И^-бозон и i-кварк.
Следует заметить, что ни поверхность горизонта, ни, следователь-
но, энтропия черной дыры не обращаются в нуль в предельном случае, т.
3Вообще говоря, этот механизм излучения работает и для непредельных заряжен-
ных дыр наряду с температурным.

10.2. Энтропия, площадь горизонта, квантование 117
е. при нулевой температуре. Возникает, таким образом, противоречие с
теоремой Нернста, т. н. третьим началом термодинамики, согласно ко-
торому энтропия системы должна обращаться в нуль при нулевой тем-
пературе. Однако, по-видимому, особых причин для беспокойства здесь
нет. Фактически теорема Нернста справедлива лишь при условии, что
основное состояние системы невырождено. Хотя в обычных термоди-
намических системах это условие, как правило, выполняется, не видно
физических оснований для того, чтобы считать невырожденным состо-
яние предельной черной дыры.
Вернемся теперь к свойству адиабатической инвариантности пло-
щади горизонта непредельной черной дыры. Как известно, квантование
адиабатического инварианта выглядит совершенно естественным. На
этом соображении основана гипотеза о квантовании поверхности гори-
зонта черных дыр (Дж. Бекенштейн, 1974). Если принять эту гипотезу,
то общая структура условия квантования для больших (обобщенных)
квантовых чисел п сразу становится очевидной. Для шварцшильдовской
дыры, которая характеризуется единственным параметром М, и кван-
товое число должно быть только одно. Поэтому для нее условие кванто-
вания должно выглядеть так:
An=pi2pn,	A0.14)
где п — положительное целое число. Действительно, присутствие квад-
рата планковской длины lp = hk/c3 в этом выражении для площади
поверхности совершенно естественно. А чтобы площадь горизонта оста-
валась конечной в классическом пределе, степень п должна совпадать со
степенью h в 12р. Этот аргумент можно проверить, рассматривая любое
квантовомеханическое среднее, не исчезающее в классическом пределе.
Из условия квантования A0.14) сразу следует спектр массы чер-
ной дыры:
A0.15)
Расстояние между соседними уровнями равно
Мп -
Спектр излучения черной дыры становится дискретным, с частотами
перехода, кратными A0.16). Он имеет огибающую, соответствующую

118Глава 10. Насколько черны черные дыры?
хокинговской температуре A0.5), с обычным максимумом (для бозонов)
при
т2рс2
Следует однако сказать, что полной ясности в вопросе о кванто-
вании черных дыр до сих пор нет. И дело не только в том, что разные
соображения приводят к разным предсказаниям для константы /3 в усло-
вии квантования A0.14). Мы до сих пор остаемся, в лучшем случае, в
рамках полуклассического приближения к квантовой теории гравита-
ции, которая до сих пор не построена.
Задачи
10.2.1.	Найти максимально возможное выделение энергии при слиянии
двух черных дыр с массами т\ и т^-
10.2.2.	Доказать условие A0.13).
И. Б. Хриплович
Общая теория относительности
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Корректор 3. Ю. Соболева
Подписано в печать 29.04.01. Формат 60 х 84У16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 5,81. Уч. изд. л. 5,93.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага офсетная №1.
Тираж 300 экз. Заказ № 8.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426057, г. Ижевск, ул. Пастухова, 13.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@uni.udm.ru

[bb=O 0 25.0mm 21.7mmjemblema.pcx
Издательство «РХД»
426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1
Удмуртский государственный университет
Тел.: C412) 76-82-95, 78-39-33
E-mail: borisov@imi.udm.ru
http://rcd.ru
Учебники и учебные пособия
Д.В.Аносов. Лекции по линейной алгебре. 1999 г., 112 стр.
Охвачен широкий круг вопросов линейной алгебры. Изложены также вопросы, свя-
занные с двойственностью во внешней алгебре и алгебраическим прототипом соот-
ношений Ходжа-Лепажа из теории комплексных многообразий.
В.И.Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 2000 г.,
376 стр.
Отличается от обычных учебников большей связью с приложениями, в особенности
с механикой, и более геометрическим, бескоординатным изложением.
В. И. Арнольд. Геометрические методы в теории обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. 2000 г., 364 стр.
Изложен ряд основных идей и методов, применяемых для исследования обыкновен-
ных дифференциальных уравнений. В данное издание включены некоторые допол-
нительные разделы.
А. В. Болсинов, А.Т.Фоменко. Интегрируемые гамильтоновы системы.
Геометрия, топология, классификация (т. 1,2). 1999 г., 448 стр.
Излагается теория лиувиллевых слоений, описано качественное поведение интеграль-
ных траекторий при бифуркациях торов Лиувилля, получена траекторная классифи-
кация интегрируемых гамильтоновых систем, приведены общие методы вычисления
топологических инвариантов.
А. П. Маркеев. Теоретическая механика. 1999 г., 572 стр.
Строгое, целостное и компактное изложение основных задач и методов теоретичес-
кой механики.
М.И.Рабинович, Д. И. Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн.
2000 г., 560 стр.
Теория описана своими явлениями и эффектами, встречающимися в медицине, био-
физике, гидродинамике, радиоэлектронике, физике плазмы и других областях науки
и техники.

120
С. В. Лутманов. Курс лекций по методам оптимизации.
Систематическое введение в современную теорию экстремальных задач, охватыва-
ющее широкий круг проблем оптимизации — от линейного программирования до
дифференциальных игр нескольких лиц.
М. Е. Пескин, Д. В. Шредер. Введение в квантовую теорию поля.
Охватывает наряду со стандартными разделами, такими как квантование свободных
полей и правила Фейнмана, изложение идей и методов ренормгрупп и функциональ-
ного интегрирования, а также теорию калибровочных полей.
Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Руководством при выборе материала послужили наиболее интересные применения в
теории обыкновенных дифференциальных уравнений в технике и теории автомати-
ческого управления.
Интересующие Вас книги можно заказать почтой или электронной почтой:
subscribe@uni.udm.ru.
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через
Интернет-магазин:
http://rcd.ru/shop.
Книги также можно приобрести в Москве:
1.	МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 15 этаж).
2.	По вопросам оптовой продажи (свыше 300 руб.) обращаться по адресу:
ФТИАН, Нахимовский проспект, д. 36/1, тел.: 332-49-86 (почтовый адрес:
Нахимовский проспект, д. 34).
3.	Магазины:
«Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40, тел. 137-06-33).
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8, т. 290-45-07).