Радиоавтоматика - Бесекерский В.А., Елисеев A.A., Небылов A.В.

Автор: Бесекерский В.А. Елисеев A.A. Небылов A.В.
Теги: общее машиностроение технология машиностроения автоматика и телемеханика радиотехника радиоавтоматика
Год: 1985
Похожие
Радиоавтоматика
Основы теории управления и радиоавтоматики
Авиационные системы радиоyправления. Том 1. Принципы построения систем радиоуправления. Основы синтеза и анализа
Электропреобразовательные устройства РЭС
Текст
                    РАДИО-
АВТОМАТИКА
учебное пособие
для вузов
РАДИО-
АВТОМАТИКА
Лод ред. В. А. Бесекерского
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов вузов, обучающихся
по специальности «Радиотехника»
МОСКВА
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
1985
Scanned & DJVUed
ББК 32.96
Р 15
УДК 62137/39(075)
В. А БЕСЕКЕРСКИЙ, А. А ЕЛИСЕЕВ, А. В. НЕВЫЛОБ,
А. А ОВОДЕНКО, Н П ПОЛЯКОВ
Рецензенты: кафедра радиотехнических систем Рязанского»
радиотехнического института (зав. кафедрой доц. Н. Г. Духанин);
зав. кафедрой Московского авиационного института им. С. Орджо-
никидзе, проф., д-р техн, наук В. Т. Фролкпн
Радиоавтоматика: Учеб, пособие для студ. вузов спец.
Р15 «Радиотехника»/!}. А. Бесекерский, А. А. Елисеев,
А. В. Небылов и др.; Под ред. В. А. Бесекерского.—М.:
Высш, шк., 1985.— 271 с., ил.
В пер.: 90 к.
В книге приведены основные понятия и определения радноавтоматики,
описаны элементы автоматических систем и типовые системы, изложены методы
анализа и синтеза непрерывных линейных стационарных и нестационарных,
систем управления и регулирования, нелинейных н дискретных систем, даны
сведения по адаптивным, комплексным н робастным системам.
„ 2404000000—457
₽ 001 (01)—85 КБ—5—19—85
ББК 32.96
6Ф6.8
© Издательство «Высшая школа», 1985
ПРЕДИСЛОВИЕ
Важность развития автоматических систем отмечается во многих
руководящих документах — Программе КПСС, решениях съездов
КПСС, постановлениях партии и правительства. Совершенствование
технологии и повышение производительности труда во всех отраслях
народного хозяйства — это важнейшие задачи технического прогрес-
са нашего общества, а их решение возможно лишь при широком внед-
рении автоматических систем. Это относится и к системам радиоавто-
матики, так как без их развития и совершенствования невозможно до-
стижение высоких характеристик современной радиоаппаратуры.
Настоящее пособие соответствует действующей программе курса
«Радиоавтоматика», утвержденной МВ и ССО СССР.
При написании пособия авторы опирались на опыт преподавания
данного курса в ленинградских вузах. Особое внимание в книге уде-
ляется рассмотрению элементов и устройств радиоавтоматики, а также
использованию приводимых сведений при расчете конкретных радио-
технических систем.
Гл. 1, 2 и 6 написаны Н. П. Поляковым, гл. 3 — А. А. Елисеевым,
гл. 4 — А. А. Оводенко, гл. 5 — В. А. Бесекерским, гл. 7 и 8 —
А. В. Небыловым.
Авторы выражают благодарность рецензентам: зав. кафедрой
Московского авиационного института проф. В. Т. Фролкину, доц.
В. И. Самойленко, Г. Ф. Коновалову, В. Н. Алехину, зав. кафедрой
Рязанского радиотехнического института доц. Н. Г. Духанину и доц.
Ю. Н. Гришаеву, а также коллективам этих кафедр за полезные со-
веты, способствовавшие улучшению учебного пособия.
Отзывы о книге просим направлять по адресу: 101430, Москва,
ГСП-4, ул. Неглинная, 29/14, издательство «Высшая школа».
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
Радиоавтоматика охватывает широкий класс автоматических сис-
тем, применяемых в различных радиотехнических комплексах, слу-
жащих для радиоуправления, радионавигации, радиолокации, ра-
диосвязи. Особенностью таких систем является использование для
управления радиосигналов. Их сходство с автоматическими система-
ми других назначений определяется общностью многих элементов,
из которых строятся эти системы (усилительно-преобразовательные
элементы, исполнительные элементы, корректирующие средства, уп-
равляющие ЭВМ и др.), а также единством теории.
Теория радиотехнических систем управления практически сов-
падает с общей теорией автоматического управления, которая, в
свою очередь, является ветвью кибернетики — науки об общих зако-
нах управления и обработки информации.	>
Начало теории автоматического регулирования, а впоследствии
теории автоматического управления было положено двумя работами
профессора Петербургского технологического института И. А. Выш-
неградского «Об общей теории регуляторов» (1876) и «О регуляторах
прямого действия» (1877). Эти работы были посвящены регулированию
паровых машин, и на начальной стадии теория автоматического регу-
лирования развивалась применительно к первичным двигателем.
В дальнейшем автоматическое регулирование стало применяться
для объектов различного назначения и устройства (механических,
гидравлических, электрических, электронных, радиотехнических и
др.), а впоследствии и для управления предприятиями, коллективами
людей, отраслями производства, экономикой в целом и др. В этих слу-
чаях термин «регулирование» был заменен на «управление».
Важную роль в становлении теории автоматического управле-
ния сыграли работы советских ученых А. А. Андронова, А. Н. Колмо-
горова, В. С. Кулебакина, Б. Н. Петрова, Е. П. Попова, В. В. Солодов-
никова, В. С. Пугачева, А. А. Вавилова, Я- 3. Цыпкина и др.
В развитии радиоавтоматики большое значение имеют работы
В. И. Сифорова, Г. П. Тартаковского, В. И. Тихонова, Б. X. Кривиц-
кого, Р. Л. Стратоновича, С. В. Первачева, Л. С. Гуткина, В. А. Ле-
вина и др.
Рассматривая в ретроспективе общую тенденцию в развитии те-
ории автоматического управления и регулирования, можно заметить,
что на ранних стадиях главенствовал детерминистский подход, когда
входные воздействия, полезные и возмущающие, задавались в виде
известных функций времени. При этом, конечно, нельзя было гаран-
4
тировать, что в реальной системе все будет происходить подобным обра-
зом. Затем стали использовать статистический подход, когда воздей-
ствия считали случайными функциями времени, но с известными ха-
рактеристиками. Для линейных систем задание корреляционных функ-
ций или спектральных плотностей воздействий позволило не только
решить задачу оценки точности рассматриваемой системы автоматиче-
ского управления, но и спроектировать ее оптимальным образом для
получения экстремального (чаще всего минимального) значения неко-
торой оценки точности. Для нелинейных систем строгое решение зада-
чи требовало знания законов распределения в виде, например, извест-
ных плотностей вероятности воздействий.
Статистический подход обусловил появление большого числа ра-
бот, посвященных решению проблемы оптимального построения сис-
тем автоматического управления. Были разработаны критерии ка-
чества (критерии оптимальности) в виде функционалов, которые сле-
довало минимизировать в процессе синтеза системы.
Оптимальные методы проектирования характерны не только для
области автоматического управления и регулирования. Эти методы
находят в настоящее время применение практически во всех областях
науки, техники, экономики. Однако некоторые нерешенные проблемы
затрудняют пока использование оптимальных методов управления
в ряде практических случаев.
Следует отметить, что решение задачи оптимизации требует зна-
ния априорной информации о воздействиях в системе, а именно зна-
ния их статистических характеристик (корреляционных функций,
спектральных плотностей, функций распределения и др.). Причем
принимаемые в процессе синтеза статистические характеристики могут
значительно отличаться от характеристик реальных воздействий.
Поэтому многие методы оптимального синтеза можно использовать
только в тех случаях, когда есть уверенность в том, что принимаемые
в расчете статистические характеристики сигналов близки к действи-
тельным. В принципе эту трудность можно преодолеть, расширив за-
дачи оптимизации путем включения в нее вопросов автоматического
определения статистических характеристик входных воздействий, для
которых потом решается задача оптимального управления, либо по-
средством использования методов адаптивного управления. В послед-
нем случае статистические характеристики входных воздействий в яв-
ном виде можно и не определять. Однако практика показала, что та-
кое решение задачи оптимизации приводит, как правило, к большому
усложнению системы управления, что затрудняет ее эксплуатацию и
снижает надежность работы. Одно из решений этой проблемы заклю-
чается в использовании так называемых робастных систем управле-
ния (robust — крепкий, сильный, прочный). В этот термин вкладыва-
ется смысл грубости системы, т. е. малой чувствительности ее к форме
спектров или к виду корреляционной функции, или к закону распре-
деления [41 случайных входных воздействий. Это позволяет строить
системы при наличии неполной априорной информации как о входных
воздействиях, так и о свойствах самих объектов управления. При этом
система автоматического управления может иметь несколько худшие
5
точностные показатели по сравнению с оптимальной, построенной для
случая полной априорной информации, но появляется гарантия при-
емлемой работы системы в любой возможной ситуации.
Технические средства, используемые при создании систем ав-
томатического управления, в последнее время достигли значительного
прогресса вследствие бурного развития электронной техники. Осо-
бые успехи как в СССР, так и за рубежом были достигнуты в микроэлек-
тронике, являющейся базой для создания современной усилительной
аппаратуры, электронных вычислительных машин, периферийных
устройств и средств автоматизации.
Успешная разработка и организация серийного производства боль-
ших и сверхбольших интегральных схем (БИС и СБИС), в которых
на площади в несколько квадратных миллиметров размещаются ты-
сячи элементов, открывают новые перспективы в создании, совершен-
ствовании и использовании цифровых автоматических систем. Совре-
менные цифровые управляющие вычислительные машины и устройства
при большой миниатюрности и малом потреблении энергии способны
перерабатывать большие массивы информации, обеспечивая при этом
весьма высокое быстродействие (десятки и сотни миллионов операций
в секунду) [19, 26]
Теория работы систем управления с использованием цифровых
вычислительных машин и цифровых устройств в настоящее время до-
статочно хорошо развита и позволяет использовать как оптимальные,
так и робастные методы цифрового управления объектами самого раз-
личного вида.
Большие вычислительные и логические возможности современных
микроЭВМ имеют особое значение для создания систем автоматиче-
ского управления, работающих по гибким программам. Примером
могут служить роботы-манипуляторы, особенно адаптивные роботы-
манипуляторы, способные выполнять не одну, а множество операций
без необходимости перестройки заложенной в них программы. Такие
роботы-манипуляторы представляют собой ступень в создании ис-
кусственного интеллекта.
Другим примером могут быть автоматизированные производствен-
ные участки, линии и целые цехи с заложенной в них гибкой програм-
мой управления, позволяющей легко перестраивать технологические
процессы в соответствии с существующими потребностями.
Внедрение микроэлектронной техники в системы автоматического
управления производством должно дать значительный экономический
эффект. Экономия может быть получена за счет увеличения произво-
дительности труда и улучшения качества продукции, расширения
функциональных возможностей и гибкости управления. Имеют зна-
чение и такие факторы, как сокращение потерь, затрат энергии и ма-
териалов. Следует также отметить социальное значение расширения
сфер использования автоматического управления — изменение харак-
тера труда, приближение физического труда к умственному.
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 1.1. ЗАМКНУТЫЕ И РАЗОМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ
Функциональная схема замкнутой автоматической системы. Рас-
смотрим типовую задачу автоматического управления. Пусть имеется
агрегат, состояние которого в каждый момент времени характеризуется
физической величиной y(t). Назовем этот агрегат объектом управле-
ния (ОУ) (рис. 1.1), а величину y(t) — управляемой величиной. Зада-
ча управления состоит в том, чтобы обеспечить требуемое изменение
во времени управляемой величины y(t), определяемое некоторой за-
данной функцией времени g(t). Эта функция, называемая задающим
воздействием, вырабатывается источником задающего воздействия.
Математически задача управления выражается требованием равенства
y(t) = g(t)-	(!-1)
Чтобы в процессе работьГ'агрегата управляемая величина изме-
нялась в соответствии с равенством (1.1), объект управления соединя-
ют с управляющим устройством УУ. Оно вырабатывает управ Л5кше
Рис. 1.1
Рис. 1.2
воздействие u(t), приложенное к объекту управления, способное при-
нудительно изменять величину y(t) так, что она возрастает, стремясь
к g(t), если до приложения управляющего воздействия имело место
неравенство y(t)<.g(t), и убывает, стремясь к g(t), если имело место
обратное неравенство y(t)>g(t).
Объект управления и управляющее устройство вместе образуют
систему автоматического управления или просто автоматическую сис-
тему . Для широкого класса автоматических систем управляющее воз-
действие зависит от степени отклонения величины y(t) от величины
g(t)'. его интенсивность убывает по мере того, как значение величины
у (t) приближается к требуемому ее значению g(t).
Для выработки необходимого управляющего воздействия управ-
ля ющее устройство должно получать информацию о соотношении
величин y(t) и g(t) в каждый момент времени. Для этой цели служит
вх одящий в состав системы управления элемент сравнения ЭС (рис. 1.2),
7
который сравнивает величины y(t) и g(t) и вырабатывает разностную
величину
e(t) = g(t)-y(t),	(1.2)
определяющую отклонение управляемой величины от заданного ее
значения. Величину e(f) называют рассогласованием или ошибкой
системы управления. Далее чувствительный элемент ЧЭ преобразует
величину e(t) в пропорциональную ей другую физическую величину,
удобную для усиления, например, в напряжение постоянного или пе-
ременного тока «д(/)• Элемент сравнения и чувствительный элемент
образуют измеритель рассогласования или дискриминатор автомати-
ческой системы и часто представляют собой одно целое в конструктив-
ном отношении. Величина uR(t) усиливается усилителем У и после уси-
ления подводится к исполнительному устройству ИУ, которое выра-
батывает управляющее воздействие u(t), приложенное к объекту уп-
равления ОУ и изменяющее управляемую величину y(t) таким образом,
чтобы свести к нулю рассогласование e(t), определяемое выражением
(1.2). Цепь, по которой управляемая величина y (t) поступает на вход
элемента сравнения, называют цепью главной обратной связи (ГОС).
Эта обратная связь является единичной отрицательной обратной
связью, так как передает управляемую величину на вход элемента
сравнения без изменения ее числового значения с одновременным
изменением ее знака на противоположный.
При описании работы автоматической системы часто пользуются
понятиями входа и выхода системы: говорят, что задающее воздействие
g(t) действует на входе автоматической системы, а управляемая вели-
чина y(f) получается на выходе. Соответственно задающее воздействие
называют входной величиной, а управляемую величину — выходной
величиной автоматической системы. Часто также управляемую вели-
чину называют откликом системы на входное воздействие.
Как следует из сказанного, действие автоматических систем рас-
смотренного типа основано на сравнении выходной величины с вход-
ной. Такие автоматические системы называют замкнутыми автомати-
ческими системами.
Замкнутые автоматические системы существуют в технике в виде
различных автоматических систем управления: систем автоматиче-
ского регулирования, следящих систем, вычислительных систем, ком-
пенсационных систем измерения, систем автоматического пилотиро-
вания, телеуправления, систем стабилизации, систем самонаведения
и т. п.
Рассматриваемые в данном пособии системы радиоавтоматики пред-
ставляют собой специальный класс замкнутых автоматических сис-
тем, объектами управления которых являются радиотехнические
устройства (следящие антенны, устройства временной задержки им-
пульсов, управляемые генераторы гармонических колебаний и т. д.),
а системы управления состоят из электрических, электромеханических
и электронных устройств. Системы радиоавтоматики входят в состав
более сложных автоматических систем, таких, как системы радиоуп-
равления беспилотными летательными аппаратами, системы управле-
8
ния воздушным движением в районе аэропортов, системы предупреж-
дения столкновений в воздухе самолетов и т. п.
Помимо замкнутых автоматических систем в современной технике
находят применение также незамкнутые автоматические системы
(рис. 1.3). В незамкнутых автоматических системах, как видно-из
рис. 1.3, управляющее устройство не получает информации об откло-
нении управляемой величины от заданного ее значения, так что про-
Рис. 1.3
Рис. 1.4
цесс работы этой системы не зависит непосредственно от результата
воздействия на управляемый объект. Поэтому точность работы таких
систем обычно невысока.
В данной книге рассматриваются только замкнутые системы радио-
автоматики.
Составные части систем радиоавтоматики и их характеристики.
Изучение принципа действия замкнутых автоматических систем
показывает, что всякая автоматическая система состоит из некоторых
типовых по их назначению в системе устройств или функциональных
элементов: источника задающего воздействия, элемента сравнения,
чувствительного элемента, усилительного устройства, исполнительного
устройства и объекта управления. Кроме того, для улучшения качества
работы автоматических систем в их состав вводят корректирующие
устройства (на рис. 1.2 не показаны). Каждый функциональный эле-
мент представляет собой более или менее сложное устройство, состоя-
щее из одного или нескольких более простых самостоятельных уст-
ройств, называемых элементами автоматики. Например, измеритель
рассогласования электромеханической следящей системы состоит из
сельсина-датчика и сельсина-трансформатора, каждый из которых пред-
ставляет собой самостоятельное в конструктивном отношении устрой-
ство. Усилители автоматических систем содержат, как правило, не-
сколько усилительных ступеней, каждая из которых конструктивно
может быть оформлена в виде отдельного блока.
Элементы автоматики характеризуются их назначением, принци-
пом действия, устройством (конструкцией) и электрической схемой.
Каждый элемент автоматики имеет вход и выход и характеризуется
его входной и выходной величинами (рис. 1.4). Например, входной
величиной усилителя напряжения является электрическое напряже-
ние, выходной — также напряжение; входной величиной исполни-
тельного электродвигателя является напряжение, подводимое к его
обмотке управления, выходной величиной — скорость вращения его
ротора и т. д.
Математическое выражение, связывающее выходную величину
элемента автоматики с его входной величиной, определяет собой тип
звена, к которому относится данный элемент. При этом различают два
случая: 1) когда зависимость выходной величины элемента от входной
9
соответствует установившемуся режиму; 2) когда эта зависимость со-
ответствует неустановившемуся (переходному) режиму. В первом слу-
чае зависимость «выход—вход» есть статическая характеристика
элемента, во втором случае — динамическая характеристика.
Статическая характеристика элемента описывается алгебраиче-
ским уравнением. По виду статической характеристики элементы ав-
томатики подразделяют на две
группы — линейные звенья и не-
линейные звенья
Статическая характеристика
линейного звена имеет вид
x2=kxr, где k — коэффициент
передачи линейного звена, име-
ющий размерность [Л]=[х2][х1]-1.
Статическая характеристика
нелинейного звена в общем слу-
чае имеет вид x2—f(x1'), где
/(•) — некоторая нелинейная
функция своего аргумента.
На рис. 1.5 представлены
типовые статические характери-
стики звеньев; а — характери-
стика линейного звена; б — ж —
характеристики нелинейных
с насыщением; в — характерис-
тика звена с зоной нечувствительности; г — характеристика звена с
насыщением и с зоной нечувствительности; д — характеристика зве-
на релейного действия; е — характеристика звена релейного действия
с зоной нечувствительности; ж — типовая дискриминационная харак-
теристика.
Существенно, что статические характеристики звеньев замкну-
тых автоматических систем являются нечетными функциями, т. е.
обладают свойством/(—х) =—f(x). Физически это означает, чтос изме-
нением знака входной величины звена изменяется знак его выходной
величины, что принципиально необходимо для функционирования зам-
кнутых автоматических систем.
Динамическая характеристика элемента автоматики определяется
дифференциальным уравнением, описывающим динамические про-
цессы в этом элементе. Например, часто используемый в автоматиче-
ских системах ЯС-фильтр нижних частот описывае!ся дифференциаль-
ным уравнением первого порядка: 7’4,h2+«2=u1. Уравнением такого же
вида Тдйд+йд=^диу описывается процесс изменения скорости вра-
щения ротора электродвигателя £2Д под действием приложенного к дви-
гателю управляющего напряжения ну. Поэтому ЛС-фильтр нижних
частот и электрический двигатель обладают аналогичными динамиче-
скими характеристиками и относятся к одной и той же группе динами-
ческих звеньев. Типовые динамические звенья автоматических систем
рассмотрены в § 1.5.
10
Классификация систем радиоавтоматики по характеру внутрен-
ни х динамических процессов. Всякая автоматическая система пред
ст авляет собой соединение отдельных элементов (звеньев). Поэтому ди
намические процессы в каждом звене отражаются на характере дина
мических процессов в автоматической системе в целом. Математиче-
ски это обстоятельство находит свое выражение в том, что динамиче-
ские процессы в автоматической системе описываются всей совокуп-
ностью уравнений звеньев, входящих в состав этой системы, или одним
уравнением, полученным из системы уравнений звеньев.
В зависимости от характера динамических процессов и соответст-
венно от вида уравнений, описывающих эти процессы, звенья и систе-
мы разделяют на следующие группы.
Системы непрерывного и дискретного действия. Звенья, непрерыв-
ным изменениям входной величины которых соответствуют непрерыв-
ные изменения выходной величины, называют звеньями непрерывного
действия. Процессы в таких звеньях описываются дифференциальными
уравнениями. Помимо звеньев непрерывного действия в автоматиче-
ских системах используются также звенья дискретного действия. Не-
прерывным изменениям входной величины звена дискретного действия
соответствуют дискретные, скачкообразные изменения его выходной
величины. Динамические процессы в звеньях дискретного действия
описываются разностными уравнениями.
Автоматические системы, состоящие лишь из звеньев непрерыв-
ного действия, являются системами непрерывного действия. Про-
цессы в таких системах описываются дифференциальными уравнения-
ми. Если же в составе автоматической системы имеется хотя бы одно
звено дискретного действия, то система в целом становится системой
дискретного действия и процессы в ней описываются разностным урав-
нением.
Системы линейные и нелинейные. Звенья, процессы в которых описы-
ваются линейными (алгебраическими, дифференциальными или раз-
ностными) уравнениями, называют линейными звеньями. Звенья,
процессы в которых описываются нелинейными уравнениями, называ-
ют нелинейными звеньями.
Автоматические системы, в состав которых входят лишь линей-
ные звенья, являются линейными системами. Процессы в линейных
автоматических системах описываются линейными уравнениями. Если
же автоматическая система содержит хотя бы одно нелинейное звено,
то система является нелинейной системой и процессы в ней описыва-
ются нелинейным (дифференциальным или разностным) уравнением.
Важным частным случаем нелинейных систем является автома-
тическая система релейного действия, т. е система, содержащая звено
релейного действия. Звеном релейного действия является, например,
рулевая машинка подвижного объекта.
Системы стационарные и нестационарные. Устройства (элементы),
входящие в состав автоматической системы, характеризуются некото-
рыми величинами, влияющими на динамические процессы в этих уст-
ройствах и в системе в целом. Например, усилитель напряжения ха-
рактеризуется коэффициентом усиления. Кроме того, если коллектор-
11
ная нагрузка транзисторного усилителя имеет индуктивный характер,
то помимо коэффициента усиления существенное влияние на процессы
в усилителе оказывает постоянная времени усилителя, равная отно-
шению индуктивности нагрузки к активному сопротивлению коллек-
торной цепи усилителя. Такие величины называют параметрами уст-
ройства.
Элементы автоматических систем, параметры которых не изменя-
ются в процессе работы автоматической системы, называют звеньями
с постоянными параметрами или стационарными звеньями. Постоян-
ство параметров таких звеньев находит свое математическое выра-
жение в постоянстве коэффициентов уравнений, описывающих про-
цессы в этих звеньях. Поэтому стационарным звеньям соответствуют
уравнения с постоянными коэффициентами.
Помимо стационарных звеньев в автоматических системах часто
встречаются звенья нестационарные, т. е. такие устройства, параметры
которых изменяются в процессе работы автоматической системы. При-
мером нестационарного звена может служить самолет. Одной из важ-
нейших характеристик самолета, как объекта управления, является
его момент инерции относительно центра масс в плоскости управления.
По мере выгорания топлива при полете самолета его масса и соответ-
ственно момент инерции изменяются, что отражается на динамике
процессов управления. Математически же момент инерции является
одним из коэффициентов уравнения движения самолета. Поэтому урав-
нение движения самолета — это уравнение с переменными коэффи-
циентами. Таким образом, нестационарным звеньям соответствуют
уравнения с переменными коэффициентами.
Если автоматическая система состоит лишь из стационарных звень-
ев, то она сама является стационарной системой и ей соответствует
уравнение с постоянными коэффициентами. В случае же, когда в сос-
таве автоматической системы имеется хотя бы одно нестационарное
звено, система в целом является системой нестационарной и ей соот-
ветствует уравнение с переменными коэффициентами.
Системы с распределенными параметрами и системы с сосредото-
ченными параметрами. Если в составе автоматической системы имеются
устройства типа длинных линий, волноводов и т. д., т. е. устройства,
в которых имеет место явление распространения процесса, то такие
системы описываются дифференциальными уравнениями в частных про-
изводных и называются системами с распределенными параметрами.
Если же подобные устройства в автоматической системе отсутству-
ют, то система описывается обыкновенным дифференциальным урав-
нением и называется системой с сосредоточенными параметрами.
Системы с запаздыванием. Наличие в составе автоматической сис-
темы устройства «с распространением» (а также некоторых других
устройств, например, цифровых вычислительных машин) приводит
к явлению запаздывания. Характерным примером может служить сис-
тема радиоуправления космическими летательными аппаратами. Ра-
диоканал связи наземного пункта управления с летательным аппара-
том является устройством с «распространением», но сам процесс рас-
пространения радиоволн, очевидно, не интересует инженеров-специа-
листов по автомата чесому управлению, которые должны лишь учиты-
вать конечный результат работы радиоканала — запаздывание управ-
ляющего сигнала с Земли на объект и сигнала обратной связи с объек-
та на Землю на время x3—D!c, где D — удаление летательного аппара-
та от Земли; с — скорость распространения радиоволн в космическом
пространстве.
Такие системы рассматривают как системы с сосредоточенными па-
раметрами. Они называются системами с запаздыванием и описыва-
ются обыкновенными дифференциальными уравнениями с запазды-
вающим аргументом.
Целесообразность классификации автоматических систем по ха-
рактеру динамических процессов в них состоит в том, что методы ре-
шения уравнений различных типов, соответствующих рассмотренным
классам автоматических систем, различны, как и методы исследова-
ния автоматических систем разных классов. Установление принадлеж-
ности исследуемой системы к тому или иному классу позволяет выб-
рать адэкватный метод анализа или синтеза этой системы.
§ 1.2. ТИПОВЫЕ СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ
Классификация систем радиоавтоматики по виду управляемой ве-
личины. В зависимости от вида управляемой величины можно ука-
зать три основных типа систем радиоавтоматики: системы автоматиче-
ского сопровождения по направлению движущихся объектов (АСН),
системы автоматического сопровождения по дальности движущихся
объектов (АСД) и системы автоматической подстройки частоты (АПЧ).
Применение таких систем радиоавтоматики позволяет решать ряд
задач. Так, система АСН осуществляет автоматическое измерение
угловых координат движущегося объекта и одновременно простран-
ственную селекцию этого объекта по угловым координатам.
Система АСД является устройством селекции по дальности движуще-
гося объекта и в то же время устройством измерения расстояния до
этого объекта. Еще более многообразны функции систем управления
частотой генераторов. Такие системы используются в качестве следя-
щих доплеровских измерителей скорости движущихся объектов, а
также в качестве устройств частотной селекции этих объектов. Кроме
того, системы ЧАП и ФАП широко применяются для постройки ча-
стоты гетеродина в супергетеродинных радиолокационных приемных
устройствах, для управления частотой гетеродина в устройствах сле-
дящего приема частотно-модулированных сигналов.
Система автоматического сопровождения по направлению движу-
щихся объектов. Положение движущегося объекта ДО в какой-либо
системе координат Ogr|g определяется расстоянием D от начала коор-
динат до этого объекта и направлением из начала координат на этот
объект (рис. 1.6). Направление на объект определяется двумя угловы-
ми координатами: азимутом и углом места.
Азимутом объекта называют угол а в горизонтальной (азиму-
тальной) плоскости Ц)ц между прямой Оу, соединяющей начало коор-
динат с проекцией объекта на эту плоскость, и координатной осью 0g.
13
Углом места объекта называют угол О в вертикальной (угломест-
ной) плоскости между прямой Оу, соединяющей начало координат
с проекцией объекта на плоскость £0ц, и прямой, проходящей^че-
рез начало координат и объект.
Измерение угловых координат движущихся объектов осуществля-
ется системой АСН. Система АСН (рис. 1.7) — это система радиоавто-
матики, состоящая из приемопередающего устройства ППУ, антенны
направленного действия А и двухканального следящего привода СП
этой антенны, посредством которого осуществляется поворот антенны
в двух плоскостях — азимутальной (горизонтальной) и угломестной
(вертикальной).
Рис. 1.6	Рис. 1.7
Таким образом, система АСН состоит из двух следящих систем,
в каждой из которых входной величиной является соответствующая
угловая координата (азимут или угол места) движущегося объекта,
а выходной величиной — угол, определяющий положение равносиг-
нального направления РСН в азимутальной или угломестной плоско-
сти. Обычно такие радиотехнические системы работают в импульсном
режиме, т. е. излучают в пространство короткие (длительностью 10-в с
и менее) радиоимпульсы с частотой повторений 103—104 имп/с. При
этом антенна работает и на прием и на передачу: посредством антенно-
го переключателя она подключается поочередно то к передатчику, то
к приемнику.
Антенна системы АСН является антенной направленного действия.
Из теории антенн известно, что если перед излучателем электромаг-
нитных колебаний сверхвысокой частоты поместить параболический
отражатель, размеры которого значительно превышают длину волны
этих колебаний, то излученная электромагнитная энергия будет рас-
пространяться лишь в узкой конусообразной области пространства,
симметричной относительно электрической оси антенны. При этом ин-
тенсивность излучения внутри этой области зависит от направления
излучения: по мере удаления от электрической оси антенны интенсив-
ность излучения убывает.
Зависимость относительной интенсивности излучения от направ-
ления характеризуется диаграммой направленности антенны.
Плоская диаграмма направленности, показанная на рис. 1.8, а
характеризует распределение интенсивности излучения РЯЗЛ(А9) в
плоскости, проходящей через электрическую ось антенны. Максимум
14
излучения соответствует направлению электрической оси антенны.
Кроме того, диаграмма направленности антенны устанавливает за-
висимость коэффициента усиления /гА антенны (при работе ее на прием)
от направления прихода А9 сигнала, отраженного от цели.
Антенна направленного действия совместно с приемопередающим
устройством образует угловой дискриминатор УД системы АСН. При
этом внутри диаграммы направленности формируется равносигнальное
направление, обладающее тем свойством, что при совпадении его с на-
правлением на объект напряжение на выходе дискриминатора равно
нулю. Если же равносигнальное направление не совпадает с направле-
нием на объект, т. е. если возникает угловое рассогласование e(t),
то на выходе дискриминатора появляется напряжение ошибки мд(/),
пропорциональное рассогласованию: un=knpe, где k№— коэффициент
передачи радиотехнического углового дискриминатора.
Рис. 1.9
На рис. 1.9 приведена функциональная схема одной из следящих
систем, образующих систему АСН, состоящая из измерителя рассо-
гласования, или углового дискриминатора УД , усилительного устрой-
ства У и исполнительного двигателя ИД с редуктором Р. Объектом
управления ОУ является следящая антенна А системы АСН. Кроме
того, для получения требуемых динамических характеристик следя-
щей системы в ее состав введено корректирующее устройство ДУ.
Юно состоит из тахометрического моста, вырабатывающего напряжение,
пропорциональное скорости вращения ротора исполнительного двига-
теля, и дифференцирующей цепи и представляет собой цепь гибкой об-
ратной связи, или связи по ускорению, охватывающей усилитель и ис-
полнительный двигатель следящей системы.
Возникающее в результате движения объекта рассогласование
•eft) преобразуется угловым дискриминатором в напряжение ошибки
мд(/), которое поступает на вход усилителя следящей системы. Вы-
ходное напряжение усилителя му(/) подводится к цепи управления ис-
полнительного двигателя. Под действием этого напряжения ротор дви-
15
гателя начинает вращаться с угловой скоростью Пу(/) и через редуктор
поворачивает антенну в соответствующей плоскости в сторону умень-
шения рассогласования.
Для обеспечения поворота антенны в двух плоскостях выход-
ные оси двигателей азимутальной и угломестной следящих систем
соединены с антенной посредством карданного подвеса. Если с не-
подвижным основанием антенны совместить систему координат, то
угловое положение антенны относительно этого основания определит
азимут объекта в горизонтальной плоскости и угол места объекта —
в вертикальной.
Заметим, что исполнительный двигатель с редуктором совмест-
но со следящей антенной представляют собой неизменяемую часть
системы АСН с заданными динамическими характеристиками. Эти
характеристики должны быть учтены при разработке управляющего
устройства — усилителя с корректирующими цепями — для получе-
ния требуемых динамических характеристик всей системы. Поэтому
в качестве объекта управления системы АСН целесообразно рассма-
тривать не одну антенну, а антенну и исполнительный двигатель-с ре-
дуктором как единое целое (в динамическом отношении). При этом
динамические свойства антенны, характеризуемые ее моментом инер-
ции относительно выходной оси следящей системы учитывают при рас-
чете постоянной времени исполнительного двигателя.
Система автоматического сопровождения по дальности движущихся
объектов. Система АСД предназначена для осуществления простран-
ственно-временной селекции по дальности этого объекта с одновремен-
ным измерением расстояния от пункта наблюдения до объекта. Прин-
цип действия радиотехнического измерителя дальности основан на ко-
нечной скорости распространения в пространстве электромагнитных
колебаний.
Пусть объект О' находится на расстоянии D от местоположения ра-
диолокационной станции (РЛС) (рис. 1.10). Через равные промежутки
времени Т, т. е. в моменты tk=kT (k=l, 2, . . ., п, . . .), где Т — пе-
Рис. 1.10
риод следования импульсов, РЛС излучает в пространство короткие
(С~КЕ6 с) зондирующие радиоимпульсы. Распространяясь в про-
странстве, они доходят до объекта и, отразившись от него, принима-
ются приемником РЛС в моменты времени	где tD~2Dic.
Здесь с — скорость распространения электромагнитных колебаний
в пространстве, tD— время распространения электромагнитных коле-
баний от РЛС до объекта и обратно. Измерив интервал времени между
моментами излучения зондирующих и приема отраженных радиоим-
пульсов, определяют дальность до объекта. D=ctDl2.
16
Ввиду возможного нахождения в зоне действия РЛС нескольких
объектов, во избежание приема отраженных сигналов от этих объектов
приемник в процессе работы РЛС большую часть времени «закрыт»
для приема сигналов и открывается специальным селекторным
импульсом лишь к моменту прихода импульса, отраженного от
выбранного объекта, на время, равное удвоенной длительности зон-
дирующего импульса. Селекторный импульс вырабатывается специаль-
ным устройством (временным модулятором), причем момент возник-
новения селекторного импульса должен быть согласован с моментом t D
прихода отраженного импульса, что обеспечивается специальной сле-
дящей системой автоматического сопровождения по дальности (АСД)
движущегося объекта, функциональная схема которой представлена
на рис. 1.11.
Система АСД состоит из временного дискриминатора ВД, управля-
ющего устройства УУ и временного модулятора ВМ. Входной вели-
чиной системы АСД является интервал времени tD между моментом из-
лучения зондирующего импульса и моментом приема отраженного от
объекта сопровождения импульса, выходной — интервал времени tc
между моментом излучения зондиру-
ющего импульса и моментом выработ-
ки селекторного импульса.
Встедствие движения объекта
дальность D и соответственно интер-
вал времени tD изменяются во вре-
Рис. 1.11
мени, в связи с чем возникает рассо-
гласование А/с=/D—tQ между положениями на временной оси отра-
женного и селекторного импульсов. Для обнаружения этого рассо-
гласования и преобразования его в пропорциональное значение по-
стоянного напряжения un=Z>npA/c служит временной дискриминатор.
Напряжение ия с выхода дискриминатора поступает на вход управляю-
щего устройства, которое вырабатывает напряжение иу, функционально
зависящее от ип и управляющее работой временного модулятора. Вре-
менной модулятор, являющийся объектом управления системы АСД,
представляет собой устройство управляемой временной задержки.
Он вырабатывает селекторный импульс с задержкой на время /с от-
носительно момента излучения зондирующего импульса, определяе-
мое напряжением цу, которое воздействует на устройство задержки та-
ким образом, что сводится к нулю рассогласование A/c=/D—/с. В ре-
зультате радиолокационный приемник «открывается» для приема сиг-
налов лишь к моменту прихода импульса, отраженного от выбранного
объекта сопровождения, на время, определяемое длительностью этого-
импульса. Тем самым обеспечивается пространственно-временная се-
лекция движущегося объекта по дальности. При этом временной ин-
тервал /с между моментом излучения зондирующего импульса и момен-
том выработки селекторного импульса пропорционален дальности D
объекта сопровождения, благодаря чему осуществляется измерение
этой дальности.
Система автоматической подстройки частоты. Достаточно широкий
круг задач, решаемых с использованием систем АПЧ, может быть све-
17
ден к следующей задаче: осуществить автоматическое управление ча-
стотой генератора гармонических колебаний так, чтобы частота /г
этих колебаний с точностью до постоянного слагаемого /о была равна
частоте /с колебаний на входе некоторого радиотехнического устрой-
ства, или, другими словами, чтобы разностная частота /р=/с—/г,
называемая обычно промежуточной, имела заданное значение /о-
В такой постановке задачи входной величиной (задающим воздей-
ствием) системы АПЧ как замкнутой автоматической системы явля-
ется частота /с входного сигнала, выходной управляемой величиной —
частота колебаний генератора /г, как показано на функциональной
схеме системы АПЧ, представленной на рис. 1.12.
Рис. 1.12
В состав системы АПЧ входят: смеситель СЛ1, усилитель промежу-
точной частоты УПЧ, дискриминатор Д (частотный или фазовый в за-
висимости от типа системы АПЧ), исполнительное устройство ИУ и
управляемый гетеродин УГ.
Смеситель—это устройство с двумя входами. На один вход по-
ступает входной сигнал с частотой/с, на другой — колебание управляе-
мого гетеродина частоты /г. На выходе смесителя выделяются колеба-
ния с частотой, равной разности частот колебаний на его входах, т. е.
колебания с промежуточной частотой /р=/с—/г, которые усиливаются
усилителем УПЧ. Колебания промежуточной частоты поступают на
вход дискриминатора, в котором тем или иным способом фиксируется
требуемое значение /0 промежуточной частоты (см. § 1.6). При отклоне-
нии частоты /р от заданного ее значения /0, т. е. при А/р=/0—/Р¥=0,
яа выходе дискриминатора создается постоянное напряжение ошибки
мд, зависящее от рассогласования А/р. Это напряжение подается на
вход исполнительного устройства, которое вырабатывает напряжение
му, изменяющее частоту /г колебаний гетеродина таким образом, чтобы
свести рассогласование А/р к нулю. При этом имеем А/Р=ДО—(/с—/г)=0
или /г=/с—/о, т. е. частота колебаний /г управляемого генератора с
точностью до постоянного слагаемого /0 равна частоте /с входного сиг-
нала радиотехнической системы.
Системы АПЧ подразделяют на системы частотной автоподстройки
(ЧАП) и на системы фазовой автоподстройки (ФАП).
В системах ЧАП в качестве измерителя частотного рассогласования
А/р применяется частотный дискриминатор ЧД, выходное напряжение
которого пропорционально этому рассогласованию, т. е. Мд=&чдА/р>
где /гчД— коэффициент передачи частотного дискриминатора.
В системах ФАП измерителем частотного рассогласования служит
фазовый дискриминатор ФД, выходное напряжение которого пропор-
ционально разности фаз Aq>p между выходными колебаниями смеси-
18
теля и опорным напряжением фазового дискриминатор а, имеющим ча»
стоту /о, т. е. ид=^фдАфр, где /гфд— коэффициент передачи фазового
дискриминатора. В этом случае система АПЧ сводит фазовое рассогла-
сование Афр между напряжением промежуточной частоты и опорным
напряжением к псстоянному значению. Но тем самым сводится к нулю
и частотнее рассогласование этих напряжений, так как разность фаз
двух гармонических колебаний может быть постоянной (в частности,
равной нулю) лишь при равенстве частот этих колебаний.
&1.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
НЕПРЕРЬ'ВНЫХ СИСТЕМ
Общая характеристика методов. Всякое устройство, рассматривав»
мое лишь с точки зрения математической зависимости между его выход-
ной и входной величинами как функциями времени, называется дина-
мической системой. Таким образом, динамической системой является
автоматическая система в целом и каждое ее звено в отдельности.
Задачей математического исследования автоматической системы,
как системы динамической, является определение реакции этой систе-
мы y(t) на заданное входное воздействие g(t) или, что является более
простой задачей, нахождение некоторых характеристик системы, опре-
деляющих ее общие свойства.
Основные методы математического исследования автоматических
систем можно разделить на две группы — временные методы и частот-
ные методы.
Временные методы базируются на использовании дифференциаль-
ного уравнения системы, позволяющего определить передаточную
функцию системы и найти такие важнейшие ее характеристики, как
переходная и весовая функции. Знание весовой функции позволяет
исследовать процессы в системе посредством интеграла свертки.
Частотные методы основаны на использовании частотной переда-
точной функции системы, а также на ее частотных логарифмических
хар актеристиках.
Использование дифференциальных уравнений. Дифференциальные
уравнения широко используются при исследовании процессов в
автоматических системах непрерывного действия, в особенности в сис-
темах нелинейных и в системах с переменными параметрами. Для ли-
нейных систем с постоянными параметрами развиты более удобные В
практическом отношении частотные методы.
Общий метод составления дифференциального уравнения автома-
тической системы заключается в следующем. Для каждого функцио-
нального элемента автоматической системы составляют в соответ-
ствии с его теорией дифференциальное уравнение, связывающее вы-
ходную реличину этого элемента с входной. В результате получают
систему уравнений, число которых равно числу функциональных эле-
ментов автоматической системы. В полученной системе дифференциаль-
ных уравнений величины g(t) и y(t) рассматривают как основные, а
все остальные величины на входе и выходе функциональных элемен-
тов — как промежуточные. Исключая из полученной системы уравне-
19
ний все промежуточные величины, получим уравнение, связывающее
величины t/ (£) и g(/), т. е. уравнение автоматической системы.
Процедура исключения промежуточных переменных из систем
дифференциальных уравнений достаточно трудоемкая Упрощение
этой процедуры для линейных систем достигается применением пере-
даточных функций.
Пусть дифференциальное уравнение линейной динамической сис-
темы имеет вид
dAx2	V . d'Xi
Л * dt*	,=о dt‘
(1-3)
где
Обозначим p=dldt оператор дифференцирования и запишем (1.3)
в виде
N	М
aN-kPkx2=	(1-4)
й=0	1=0
Рассматривая формально х2 как общий множитель в левой части
уравнения (1.4), а Х1— в правой, представим (1.4) в виде
DN(p)X2(t) = RM (p)Xi(/),
N
где DN(p)= ~^aN_kpk—дифференциальный полином левой части
fe = 0
м
уравнения; RM(p) = '^ibM_{p‘—дифференциальный полином пра-
1 = 0
вой части уравнения.
Разделив формально обе части уравнения на DN (р), получим
х2(/) = 1У(/?)Х1(/),	(1.5)
где W(p)=R m(p)/DN(p) — передаточная функция, соответствующая
дифференциальному уравнению (1.3).
Выражение (1.5) представляет собой лишь сокращенную оператор-
ную форму записи уравнения (1.3). При этом правую часть (1.5) фор-
мально рассматривают как произведение передаточной функции и функ-
ции времени.
Введенное понятие передаточной функции с использованием ал-
гебраизированного оператора дифференцирования p=dldt и функции
времени является нестрогим.
Строгое определение передаточной функции с использованием пре-
образования Лапласа и комплексной переменной /?=с+/а> изложено
далее.
Рассмотрим применение передаточных функций для свертывания
системы дифференциальных уравнений в одно уравнение более вы-
сокого порядка на примере системы АСН (см. рис. 1.9). Для простоты
рассмотрим систему АСН без корректирующего устройства. Процессы
20
в системе описываются следующими уравнениями:
е (0 = £(0—y(t)— уравнение для ошибки;
«д(0 = kK9e (/)— уравнение дискриминатора;
7,уИу + иу(/) = йуид (/) — уравнение усилителя (упрощенное);
7 й -|-О (/) = £ ц (/) | уравнения исполнительного двигателя
^(0 = ^рЙд(0	| с редуктором,
где &др— коэффициент передачи дискриминатора; 7У и ky— постоян-
ная времени и коэффициент передачи усилителя; Тя и kK— постоянная
времени и коэффициент передачи исполнительного двигателя;
— коэффициент передачи редуктора.
Уравнение исполнительного двигателя является в данном случае
одновременно и уравнением объекта управления — следящей антенны,
момент инерции которой учитывается при определении постоянной вре-
мени Та исполнительного двигателя.
Перепишем эти уравнения в операторной форме (1.5), т. е.
е(0 = ^(0—Z/(0,	(а)
«д(0 = М(0<	(б)
Ну (0 = 1Уу (р) ис (0 = t U<' (t),	(в)
йд(/) = 1Уд(р)Му(/) = -г-^Му(0,	(г)
//(/) = 1Ур(р)йд(/)=^-йд(0.	(д)
Подставляя последовательно (а) в (б), (б) в (в), (в) в (г) и (г) в (д),
получим
У (t) =	(р)	(р)	(Р) &др [£ (0—У (0] =
-р(.+Х’ю+г,р) feW-i/Wl.
откуда, обозначив Ki-=kwkykRkv, найдем уравнение системы АСН
[Тд7>з + (Тд + 7у)	+ р + KJ y(t)= К, g (0	(1.6)
или
(а0Р3 + а±р2 + а2р + а3) у (/) = bog (/),
где а0=ТдТу-, а1=Тя+Ту, а2=1; a3=b0=Ki.
В общем случае линейное дифференциальное уравнение замкнутой
автоматической системы запишем в виде
(аорп + а^-1 + ... + ап_гр + а„) у = (bapm + b^-1 + +bm)g
(1-7)
при т^п, или в операторной форме
r/(/) = /7(p)g(/),	(1.8)
21
где
о / \ m	п
H^ = -7r§)=^Pb‘m~‘l^akPn~k—	(к9>
1 = 0	й=0
передаточная функция замкнутой автоматической системы
/	т	п
\К(Р)=^Ь! "	D(p)=^ akpn~k I-
\	i - 0	k — 0	/
Как следует из (1.9), Н (р) представляет собой отношение полино-
мов символической переменной р, т. е. является дробно-рациональнои
функцией этой переменной.
Полное описание процессов в замкнутой автоматической системе,
т. е. описание изменений во времени управляемой величины y(t)
при заданном входном воздействии g(t), дается общим решением урав-
нения (1.7). Как известно из курса обыкновенных дифференциальных
уравнений, общее решение y(f) уравнения (L7) представляет собой
сумму общего решения yc(t) однородного уравнения
(аорп + а^-1 + . ..+«„)у=
получаемого из (1.7) приравниванием нулю его правой части, и част-
ного решения yB(t) неоднородного уравнения (1.7), т. е.
у(/) = Ус(Р) + ув(Р)-	(1-Ю>
Общее решение однородного уравнения yc(t) определяет свободное
движение автоматической системы, обусловленное начальным рассо-
гласованием системы в отсутствие внешнего воздействия. Частное
решение //в(0 неоднородного уравнения определяет вынужденное дви-
жение автоматической системы, т. е. реакцию системы на внешнее
воздействие в отсутствие начального рассогласования.
Общее решение однородного уравнения при некратных корнях ха-
рактеристического уравнения имеет вид
ус(0=2Сге¥,	(1.11)
1	= 1
где X;(i=l, п) — корни характеристического уравнения системы
D(P) = a<>Pn + aiPn~1+ ... +а„ = 0,	(1.12)
соответствующего дифференциальному уравнению (1.7); Сг— посто-
янные, определяемые начальными условиями.
Начальными условиями называют значения функции y(t) и п—1
ее первых производных в момент времени /=0, т. е. п чисел д/ (0), д/ (0),
. . . , ynl (0), среди которых, по крайней мере, одно должно быть от-
личным от нуля. В противном случае гее С;=0 и свободное движение
отсутствует. Это означает, что к моменту времени /=0 система нахо-
дилась в состоянии покоя.
Таким образом, общее решение г/с(/) однородного уравнения ищем
22
при ненулевых начальных условиях. Это решение характеризует про-
цессы в системе в отсутствие внешнего воздействия (с чем связано его
название «свободное движение») и определяется начальными условия-
ми.
Свободное движение нормально работающей автоматической сис-
темы с течением времени затухает, т. е. z/c(/)^-0 при /—-оо.
Частное решение неоднородного уравнения ys(t) ищем при нуле-
вых начальных условиях в соответствии с методикой, излагаемой в ру-
ководствах по дифференциальным уравнениям. Оно однозначно опре-
деляется для каждого дифференциального уравнения внешним воз-
действием g (t) (отсюда название—«вынужденное движение») и харак-
теризует реакцию автоматической системы на это воздействие.
Вынужденное, или установившееся, движение системы с той или
иной степенью точности воспроизводит задающее воздействие как
функцию времени, т. е.
Уз (t) =	(1.13)
где e(i) — установившаяся ошибка автоматической системы.
Системы, свободное движение которых с течением времени зату-
хает, называют устойчивыми. Устойчивость — важнейшее свойство
.автоматической системы, которое должно быть обеспечено в процессе
проектирования и наладки системы. Неустойчивые системы не могут
выполнять своих функций.
Как следует из (1.11), система устойчива тогда и только тогда, ког-
да все вещественные корни характеристического уравнения (1.12)
этой системы отрицательны, а все комплексно-сопряженные корни
этого уравнения имеют отрицательные вещественные части. Действи-
тельно, каждому отрицательному вещественному корню соответствует
в (1.11) слагаемое вида Ce~at, где а>0, а каждой паре комплексно-
сопряженных корней с отрицательной вещественной частью — слагае-
мое вида Се_₽< sin (со^+у), где р>0. Каждое из этих слагаемых стре-
мится к нулю при /—>оо и, следовательно, yc(t)/{->-<„^>-0, т. е. система
устойчива.
Таким образом, однородное дифференциальное уравнение автома-
тической системы дает возможность исследовать важнейшее свойство
системы — ее устойчивость.
Использование передаточных функций. Пусть дано дифферен-
циальное уравнение линейной динамической системы (1.3):
N	М
2	aN_kx^(t)= 2	M^N.
fe=0	i=0
Преобразуем по Лапласу левую и правую части этого уравнения. На-
помним что, если
00
L [х(/)1 = $ x(t)&~Pfdt = X (р),	(1-14)
о
где р=с-\-]<й — комплексная переменная, есть изображение по Лапла-
су функции времени x(t), то изображение по Лапласу k-n производной
23
этой функции при нулевых начальных условиях х(0)=х(0)=. . .=
=x'ft-n (0)=0:
L [х(М (/)] = pkL [х (/)] = ркХ (р).
Применив преобразование (1.14) к левой и правой частям уравнения
(1 3) и учитывая свойство линейности этого преобразования, получим
N	М
2 а,\-кРкхЛР>= 2 Ьм-1Р*ХЛР)
k=0	t=0
ИЛИ
N	М
хЛр) 2 ^N~kPk=xi(p) 2 ьм_;р\
fe = 0	i=0
откуда
= W W	(1  15>
где
w (p) = Rm(p)/dn(p)-	(1-16>
W	M
Здесь DN(p)~ 2 aN-kPk, Rm(p)= 2 ^M-tP1— полиномы перемен-
k — 0	1=0
ной p степеней N и M соответственно, W (р) называют передаточной
функцией динамической системы. Она определяет отношение изобра-
жения по Лапласу отклика системы к изображению входного воздей-
ствия. Как следует из (1.16), передаточная функция линейной динами-
ческой системы является дробно-рациональной функцией перемен-
ной р.
Формально передаточная функция динамической системы при
заданном дифференциальном уравнении этой системы определяется
очень просто. Для этого достаточно записать уравнение (1.3) в опера-
торной форме (1.4), а затем, рассматривая символ р как переменную
преобразования Лапласа, заменить в (1.5) функции времени хД/)
и х2(/) их изображениями ХДр) и Хг(р), т. е. имея выражение х2(/) =
= W(р)хД/), сразу пишем X2(p)=W (р)Х1(р).
Подчеркнем, что в отличие от (1.5) выражение (1.15) не носит фор-
мального характера и является алгебраическим (а не символическим!)
соотношением, определяющим изображение Х2(р) выходной величи-
ны системы через изображение Х±(р) входной величины. Таким обра-
зом, передаточная функция динамической системы определяет в обла-
сти изображений реакцию этой системы на заданное входное воздей-
ствие.
После того как в соответствии с (1 15) при заданной функции хДД
н<-йдено изображение Х2(р) отклика системы, функцию времени х2Д)
определяем путем обратного преобразования Лапласа, т. е.
С + /оо
х2 (/) = L"1 [Х2 (/?)] = f Х2 (/?) егМ/?,
С — / оо
где L-1— оператор, обратный оператору Лапласа L.
24
Практически обратное преобразование выполняют путем разло-
жения Х2(р) на простейшие дроби с последующим использованием
таблиц преобразований Лапласа.
Пример 1.1. Дано уравнение системы Тх2Ц-х2 = kx± и входное воздействие
*1 (0 = xm sin Q,t. Требуется определить процесс на выходе.
В соответствии с (1.5) получаем х2 (/) =kx± (/), (l-j-T1Р)> откуда W (p) = k/(l-\-Tp).
По таблицам изображений Лапласа находим
Al (p) = L [Xm Sin	•
Тогда
Y (n\-	kXmQ
AHW-(1 + 7,p)(p2 + Q2)-
Разложим X2 (p) на простейшие дроби.
1	A _i_ BP C	(Л4-ВТ)р® + (В + СТ)р+ДЙ®+С
(14-Tp) (p24-Q2)~l-)-7>+p24-Q‘!+p2-rQ2-	(I-)-?» (p24-Q2)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р в числителе левой и
правой частей этого равенства, получим систему алгебраических уравнений для
определения коэффициентов:
Д4-ВТ = 0, В4-СТ = 0, ДП2 + С=1.
Откуда находим	С=Г^Т^-
Воспользовавшись таблицами изображений Лапласа, находим
/-1 Г А 1 А т Т С-Ит
[l-J-Tp]- Т	1р 7’2£22
L-1 [p2 + Q2] =5 COS Qt — 1 + Г2й2 cosQZ,
,Г rC 1	C	1	sinQZ
L [p24-Q2]	Q S1I--“Z- 1^72^2 Q
« окончательно получаем процесс на выходе системы
х2 (0~	1-^2 (1^)1 = -*2П (0 4“ *2 у (0 ~
“ПТ® таг"Г+г?7® <s“ а,-та “3 и>-
где
г (t\= kXm
*2У V = TTW(sin ш ~ rQ cos Qz) •
Использование переходной и весовой функций. Переходная функ-
ция служит для оценки качества работы автоматической системы в пе-
реходном режиме. Переходной функцией линейной динамической сис-
темы называют отклик этой системы на единичную ступенчатую функ-
цию, определяемую как
1 0 при t < О,
„ри1>0.	<L17>
25
При заданном дифференциальном уравнении линейной динамиче-
ской системы ее переходную функцию наиболее просто определить
следующим образом. Записав дифференциальное уравнение в симво-
лической форме и обозначив переходную функцию <?(/), получим из
(1.5)
q(t) = W(p) 1(/).	(1.18)
Перейдем в область изображений по Лапласу:
Q(p) = W (р)Цр),
где
/(p) = L[l(01 = l/p.
Откуда, используя таблицы преобразования Лапласа и снова пере-
ходя во временную область, получим
q(t) = L~' [j W(p)] 1 (/).	(1.19)>
Необходимость умножения на 1 (t) функции, полученной в резуль-
тате обратного преобразования Лапласа, обусловлена тем, что пере-
ходная функция как реакция на воздействие, отличное от нуля лишь,
при равна нулю при t<_0, т. е. <?(^)=0при Z<0, что и обеспечи-
вается введением множителя 1 (t).
Рис. 1.13
Графическое изображение переходной функции называют переход-
ной характеристикой. Типовые переходные характеристики автома-
тических систем приведены на рис. 1.13. Кривые на рис. 1 13, а, &
соответствуют устойчивой системе, кривые на рис. 1.13, в, г — неустой-
чивой.
Пример 1.2. Пусть система описывается уравнением (Tp^-l)y = kg или у (t)=
=	g(t), где р —	. Тогда передаточная функция Н (р] = t , р=с+/сь
ь	/ 1 Т \	т" "
И Q(/’)='p(l + 7’p) = fe (?“ !+?>)•
26
Отсюда находим
= fe{l (t) - е~//7' 1 (t)} = k(l-e~i/T) 1 (О-
Весовой функцией линейной системы называют отклик этой систе-
мы на единичную дельта-функцию, которая может быть определена
как производная единичной ступенчатой функции:
6W_^±„[°	(L20)
'	dt	I оо при t = О,
'	₽
причем б (/,) dtr = 1 (t) и б (/) Л = 1 для любых а, р>0. Эту функ-
-®	-а
цию иногда называют функцией веса.
Дельта-функция обладает фильтрующим свойством, предельно уп-
рощающим вычисление определенных интегралов, в подынтегральное
выражение которых эта функция входит как сомножитель
t, + b
$ /(0б(^-0Л = /(О	(1.20а)
it-a
при любых 0<а,	для любой ограниченной функции f(t). Кроме
того, для любой ограниченной функции f(t) имеет место равенство
/(06(0=/(0)б(0, если f(0)#=0, и /(06(0=0, если f(0)=0.
Записав дифференциальное уравнение линейной динамической
системы в форме (1.5), с учетом (1.18) и (1.20) получим
W(t) = w (р) б(0 = w (р) р\ (0 = pW (р) 1 (0 = W(0 =4г• о-21)
Таким образом, функция веса динамической системы равна произ-
водной переходной функции этой системы. Поскольку функция w (t) —
реакция динамической системы на воздействие, приложенное к ее
-входу в момент времени Z=0 и отсутствующее при Z<0, а никакая ре-
альная система не может реагировать на входное воздействие до того,
как оно поступило на ее вход, ясно, что для всякой реальной динамиче-
ской системы w(t)=Q при t<_0. Требование
w(t) = 0 при t < 0	(1.22)
называют условием физической реализуемости системы. Поэтому в
каждом частном случае, когда весовой функцией системы является
некоторая конкретная функция времени f(t), которая определена для
всех t в интервале (—оо, Доо) и не равна нулю при t<S>, весовая функ-
ция
...	|/(0 при Z>0,
Ю —\0 при Z<0,
(1-23)
27
или
w(t) = f (t) 1(0,
(1-24)
где 1 (0 — единичная ступенчатая функция.
Таким образом, на весовую функцию физически возможной дина-
мической системы принудительно накладывается ограничение (1.22).
Например, весовая функция автоматической системы, описываемой уравнением
Ту (0 + У (О ~kg (0> формируется из функции /(Z) —е~//7 и имеет вид
* e-^'i(0= [^e’//7 ПРИ ^°’
1	I 0 при t < О,
так как f (t)	# 0 при t < 0.
Использование интеграла свертки. Если известна весовая функ-
ция w (0 динамической системы, то процесс на выходе этой системы при
произвольном входном воздействии xr(t) определится интегралом Дюа-
меля, или интегралом свертки
t
x2(t)=	—	,	(1.25>
о
где t'— переменная интегрирования.
Учитывая, что №(•) — () при отрицательных значениях своего аргу-
мента и соответственно w(t-—f)=0 при t'>t, иногда (1.25) записывают
в виде
xt(t)= \w(t—t’)xi (t')dt'.	(1.26>
о
Подчеркнем, что эта форма записи интеграла свертки для реальных
(физически возможных) систем является формальной, так как для
f>i в соответствии с (1.22) подынтегральное выражение в (1.26) сле-
дует положить равным нулю, т. е. выполнять интегрирование в преде-
лах
Процесс на выходе системы, определяемый (1.25), содержит пере-
ходную и установившуюся составляющие.
Установившаяся составляющая может быть выделена из (1.25),.
если нижний предел интегрирования положить равным —оо. Действи-
тельно, в этом случае от момента приложения t’=—оо внешнего воз-
действия Xi(f) к входу системы до текущего момента времени t'=t
процесс в системе будет длиться бесконечно долго и переходная сос-
тавляющая процесса полностью затухнет. Тогда
t
x2y(t)= $ w(t — t') x1(t')dt'.	(1.27)
Выражение (1.27) часто записывают в несколько ином виде. Сделаем
замену переменных, положив t—t’=t". Тогда t'~t—t", dt'=—dt”„
28
t"=Q при t'=t, f'->-|-oo при f->—оо. Учитывая, что при перемене
местами верхнего и нижнего пределов интегрирования знак интеграла
изменяется, из (1.27) получим
х2у(0 =	(1.28}
о
Здесь, в отличие от (1.26), интегрирование выполняется в пределах
0<Г'<+оо, чему соответствует изменение переменной Г в выражении
(1.27) в пределах (—оо, t).
Весовая функция динамической системы связана парой преобра-
зований Лапласа с передаточной функцией этой системы. Действи-
тельно, из (1.21) имеем w(t) = W (р)	откуда в соответствии с пра-
вилом перехода от дифференциального уравнения в форме (1.5) к
передаточной функции, полагая р=с+']ш, получаем L [ш(/)]) =
= W(p) L [6(^)] = 1У (р), так как L [б(/)] = 1. Соответственно
w(t) = L~1 [W (р)].	(1.29)
Пример 1.3. Пусть дифференциальное уравнение системы имеет вид
7х2(0-гХ2(0 = ^1(0 или (0 =	(0, Р —
Тогда передаточная функция этой системы
г	р = с+рл-
По таблице изображений Лапласа находим весовую функцию
'’‘‘Ш’НдаН'"'’1111'
Использование векторно-матричных уравнений. В ряде случаев
процессы, протекающие в управляемом объекте, характеризуются
не одной, а несколькими изменяющимися во времени взаимозависи-
мыми величинами y2(t),   , ym(t)- Такой объект управления на-
зывают многомерным.
Управление многомерным объектом осуществляется посредством
многомерной системы управления с несколькими задающими воздей-
ствиями г = 1, т, и несколькими управляемыми величинами
!/h(0> k=l, т. Процессы в такой системе управления описываются
не одним, а совокупностью дифференциальных уравнений.
Примером многомерной системы управления может служить сис-
тема управления самолетом, управляемыми величинами которой яв-
ляются высота и скорость полета, курсовой угол, угол тангажа, угол
крена. Указанные величины являются взаимозависимыми, т. е. из-
менение одной из названных величин влечет за собой изменение
других. Вследствие этого система управления самолетом является
многомерной и ее нельзя рассматривать как простую совокупность
одномерных систем.
Часто для удобства исследования многомерных (а иногда и одномер-
ных) систем управления дифференциальные уравнения этих систем
29
путем формальных преобразований приводят к’системе дифференциаль-
ных уравнений первого порядка и записывают в матричной форме в
виде
dx/dt = Лх-ф Ви,	(1.30)
где х=[х1, х2, . . ., хп]' - матрица-столбец размера (лХ 1), содержащая
п переменных, элементами которой являются управляемые величины
t/ДО и их производные; «=[«!, и2,  . иг]' — матрица-столбец разме-
ра (гХ1), содержащая г переменных, элементами которой являются
задающие воздействия gt(t) и их производные: Л=[аи]— квадрат-
ная матрица коэффициентов размера (лХл);	— прямоуголь-
ная матрица коэффициентов размера (пХг).
Переменные xt (/) называют переменными состояния, а всю их сово-
купность— пространством состояний, переменные «ДО — перемен-
ными управления, а матричное дифференциальное уравнение (1.30)—
уравнением состояния.
Решение уравнения состояния получают также в матричной форме.
Матрицы-столбцы переменных состояния х и переменных управле-
ния и называют также векторами: х — вектор состояния, и — вектор
управления. При этом уравнение состояния (1.30) называют векторно-
матричным уравнением. Строго говоря, такое наименование для мат-
рицы-столбца правомерно только тогда, когда ее элементы имеют
•одинаковую физическую размерность. В противном случае матрицу-
столбец можно называть вектором лишь условно. При этом образова-
ние линейной формы из элементов этой матрицы (например, при сос-
тавлении векторно-матричного дифференциального уравнения) осу-
ществляется с использованием размерных коэффициентов, уравниваю-
щих размерности слагаемых в полученной линейной форме.
Рассмотрим процедуру составления уравнения состояния для од-
номерной автоматической системы, описываемой уравнением (1.7).
Обозначим в (1.7) xh=yUt~l'> (t), k=\, п, ui=ga~1)(t), г = 1, г, где
г=т+1. Тогда xh=y(k>=xk+1. При этом дифференциальное уравне-
ние п-го порядка (1.7) преобразуется к системе п уравнений первого
порядка вида
Х1 = Х2,
х2 = х3,
х,
Х„_1 — хп,
а1 у а2 у
----------
а0 " а0 '
ИЛИ
х^ — Ох^ -ф 1х2 -Т 0х3 -ф ... -ф 0хп -ф OUj -ф 0и2 -ф ... -ф 0иг,
х2 = 0хх -ф 0х2 -ф 1х3 -ф ...	0х„ -ф Ot/j -ф 0и2 -ф 0иг,
30
xn-i — Олу 4- 0х2 ~Ь О*з Н- • • • 4" ^хп 4- O«i 4- 0^2 4" • •• 4~ Our,
хп = аЛ 4" а2х2 4" азхз И- • • • т апхп 4~ Р1ы14~ Рги2 "4  • • 4" firur>
где afe=—an+1_k/a0, k=l, n, Pi=br_1/a0, i=l, r.
Введем обозначения: х=[хп x2, . . xn]' — матрица-столбец раз-
мера (nXl) переменных состояния, или п-вектор состояния’, _u=[ult.
и2, . . иг]'— матрица-столбец размера (гХ1) переменных управле-
ния, или г — вектор управления,
ГО 1 о
0 0 1
А =
В =
0
0
о
-Л1
0 0 ... 1
a2 а3 ... а„_
— матрица коэффициентов размера (пхп);
гО О О
ООО
... 0~|
... о
ООО
₽2 ₽3
... о
... prJ
— матрица коэффициентов размера (пхг).
Тогда полученную систему уравнений первого порядка запишем
в виде одного векторно-матричного уравнения первого порядка, т. е.
в виде уравнения состояния, аналогичного (1.30).
Общее решение уравнения (1.30) представляет собой сумму обще-
го решения соответствующего однородного уравнения х~Ах и част-
ного решения неоднородного уравнения.
Общее решение однородного уравнения имеет вид x(t) = Q(t) x(Q),
где Q(t) — матрица размера (пХп), удовлетворяющая уравнению
Q=AQ при начальных условиях Q(0)=7 (здесь I — единичная матри-
ца).
Матрицу Q(t) называют фундаментальной матрицей уравнения
(1.30).
Она имеет вид Q(t)=eAt, где еА‘ = I+At+. . .+^ЛЛ/Я+. . .—
матричная экспонента.
Частное решение неоднородного уравнения (1.30) может быть вы-
ражено через фундаментальную матрицу и представлено в виде мно-
гомерной (матричной) свертки:
t	t
x(t) = Q (t) Q-1 (t) Bu (t) dx = Q (t) Q-1 (r) Bu (r) dx =
о	0
t	t
= ел (Z-T) Bu (t) dx — h. (t — т) и (т) dx,
о	о
где h.(t)=eAtB — матрица весовых функций размера (nXr) автомати-
ческой системы, описываемой уравнением (1.30).
31
На основании теоремы об изображении свертки получаем Х(р) =
—Н(р) U (р), где Х(р) и U (р) — соответственно матрицы изображений
переменных состояния и переменных управления; Н (р)— матрица
передаточных функций автоматической системы, определяемая как
изображение матрицы весовых функций.
Использование частотных передаточных функций. Частотные ме-
тоды исследования автоматических систем основаны на рассмотрении
установившейся реакции системы на гармоническое входное воздей-
ствие.
Частотные передаточные функции используются главным образом
в задачах анализа автоматических систем. Для решения задач синтеза
более удобен и получил широкое распространение метод логарифми-
ческих частотных характеристик.
Пусть дано дифференциальное уравнение динамической системы
[см. (1.3)]. Рассмотрим установившуюся реакцию этой системы на
гармоническое входное воздействие, которое запишем в комплексной
форме:
М0=Чте'((0/ + *‘) = х1те'и/,	(1.31)
где х1т— амплитуда гармонических колебаний; со — круговая частота
колебаний; ipj— начальная фаза колебаний; xlm=xlmel'i’1— комплек-
сная амплитуда колебаний.
Будем искать частное решение неоднородного уравнения (1.3)
при нулевых начальных условиях в виде
x2(.i)=x2mei^t+^ = x2meiai.	(1.32)
Подставляя (1.31) и (1.32) в (1.3) и учитывая, что
д/г
— e'“z = (/co)fte'“z,
получим
Х2т = W (/<•>) Х1т,
где
1V7 Ьа (/со)Л1+ 61 (/co)'W~1 + ... -I- Ьм RmU®)	/] QQ .
w - а. (№+а1	- DN(JW)
частотная передаточная функция динамической системы, описывае-
мой дифференциальным уравнением (1.3).
Как следует из (1.33), частотная передаточная функция является
дробно-рациональной функцией переменной /со.
Сравнивая (1.33) и (1.16), видим, что частотная передаточная функ-
ция может быть формально получена из передаточной функции путем
подстановки p=j(£-
Частотная передаточная функция есть комплексная функция пере-
менной со и, как всякая комплексная функция, может быть представле-
на в одной из форм:
W (/со) = U (со) jV (со)	(1.34)
или
W (фф = | W (/со) | е' ars = А (со) <“>,	(1.35)
32
где U(со) — вещественная часть функции IF(/со); У (со)— мнимая
часть функции IF(/со); A (co) = |IF(/co)| — модуль функции IF(/co);
tp(co) = arg IF(/со) — аргумент функции IF(/со) или фаза.
Модуль частотной передаточной функции динамической системы
определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) этой сис-
темы, а аргумент — фазо-частотную характеристику (ФЧХ).
Частотная передаточная функция является вектор-функцией и гра-
фически изображается на комплексной плоскости в виде вектора с пря-
моугольными координатами U (со) и V (со) или с полярными координа-
тами А (со) и ф(со), как показано на рис. 1.14. При изменении перемен-
ной со в пределах (—оо, -фоо) конец вектора описывает кривую, ко-
торую называют амплитудно-фазовой ха-
рактеристикой системы (АФХ).
Из рис. 1.14 может быть найдена связь
между вещественной и мнимой частями
функции IF(/со), с одной стороны, и мо-
дулем и аргументом — с другой:
А (со) = К(72 (со) + V2 (со), ф (со) = arctg
(1.36)
и
U (со) — А (со) созф(со), V (со) = А (со) sin ф (со).
Вещественная часть функции IF (/со) есть четная функция перемен-
ной со, а мнимая часть — нечетная функция. Действительно, запи-
шем (1.33) в виде
Г (/М) =	" |Р^) Р----------U (“) + 1V (СО) •
Знаменатель этого выражения, общий для U(со) и V(со), представляет
собой квадрат модуля функции DN (j(o) и содержит лишь четные степе-
ни со. Следовательно, мнимая и вещественная части частотной переда-
точной функции IF(/со) выделяются в числителе. Но при умножении
полиномов Ям(/со) и Dv(—/со) вещественная часть произведения со-
держит лишь четные степени со, а мнимая часть — лишь нечетные. Та-
ким образом, числитель и знаменатель функции U (со) содержат лишь
четные степени со и тогда U(—со) = !7(со), в то время как'числитель
функции У(со) содержит лишь нечетные степени со, а знаменатель—
четные, и тогда У(—со)=—У(со). Отсюда также следует, что модуль
А (со) = Kt/2 (со) V2 (со)— четная функция, т. е. А(—со)=А(со), а
фаза ф (со) = arctg	—-нечетная функция, т. е. ф(—со)=—ф(со).
Поэтому АФХ динамической системы представляет собой кривую,
симметричную относительно оси абсцисс, так как каждой точке АФХ
с координатами [U (со), V(со)] или [А (со), ф(со)] соответствует ее зер-
кальное отражение в оси абсцисс с координатами [t/(—со), У(—со)] =
= [t/(co), —У(со)] или [А (—со), ф(—со)] = [А (со), —ф(со)]. Соответст-
венно АЧХ системы симметрична относительно оси ординат, а ФЧ X
симметрична относительно начала координат.
2 Зак 561
33
Запишем (1.32) с учетом (1.35) в виде
х2яе'*> = А (со) е'У (а}х1те'^1
£>ТП	\ /	1 w
ИЛИ
^2т_ е,	е,Ч> (а) >
х1т
откуда находим
хгт1х1т = А (со), Дф = ф2 —ф, =ф(со).	(1.37)
Из (1 37) видно, что амплитуда х2т выходных колебаний системы
при неизменной амплитуде входных зависит от частоты этих колеба-
ний. Отношение амплитуды выходных колебаний к амплитуде вход-
ных, как функция частоты, определяете модулем ч сютной переда-
точной функции системы Л (со). Фазовый ^двиг Дф между выходными
и входными колебаниями, как следует из (1.37), также зависит от
частоты этих колебаний и, как функция частоты, определяется аргу-
ментом частотной передаточной функции системы ф(со).
Таким образом, частотная передаточная функция динамической
системы полностью определяет прохождение гармонического колеба-
ния через эту систему.
В случае произвольного (не гармонического) входного воздействия
%i(Z) частотная передаточная функция системы равна отношению изоб-
ражений по Фурье выходной и входной величин этой системы. Дей-
ствительно, подвергнем преобразованию Фурье левую и правую части
уравнения (1.3). При этом преобразования Фурье входной и выходной
функций системы определяют комплексные спектры этих функций.
Если обозначить через и Х2(/со) соответственно спектры функ-
ций Xj(Z) и x2(Z), то
00
(/со) = F [%! (/)] = 5 ^(^е-'^л, Х2(/со) =
— 00
00
= F[x2(Z)] = J x2(Z) e-iat dtt
— 00
где F — оператор преобразования Фурье.
При этом предполагаем, что функции хг(1) и x2(t) абсолютно инте-
00	00
грируемы, т. е. интеграды |xj(Z)|A и | х2 (t) | dt существуют и
— X	— 00
имеют конечные значения.
Учитывая, что для всякой абсолютно интегрируемой функции
x(t) имеет место равенство
F [x<ft) (0] = (]ы)кР [х(Z)],
и подвергнув преобразованию Фурье уравнение (1.3), получим
N	‘	М
*2(» s aN_k(ja)k=X, (/со) 2 Ьм_1(]ыУ,
k=0	г=0
84
откуда
Х2 (ja>) = W (/со) Xj (/со),
(1.38)
где W (/со) совпадает с (1.33). Заметим, что формально выражение
(1.38) может быть получено из (1.15) подстановкой р=]ол.
Пример 1.4. Найдем установившееся движение системы по условиям примера
1.1, используя частотную передаточную функцию. Подстановкой /> = /со находим
Ц7 (/со) = —-__=	_ k_	aTctS т“
l+yCOT у
Тогда для вход г здейстдчг \(t) = xlm sir "'t, полагая - -=й, получ ч
л(й)=£//i-f-T^Q2, ф (й; = —aratg Й,,
отсюда
х2у (t)—xlmA (й) sin [й(-|-ф (й)]
-т- Xlmk sin (Qt—aratg ЙТ).
/ 1-|-T2Q2
Таким образом, установившийся процесс на выходе линейной
системы при гармоническом входном воздействии наиболее просто
определить при использовании ее частотной передаточной функции.
Использование логарифмических частотных характеристик. Ме-
тод построения логарифмических частотных характеристик состоит
в том, что амплитудная и фазовая частотные характеристики исследуе-
мой динамической системы изображают графически в виде непрерывных
кривых, причем строят эти кривые в логарифмическом масштабе.
Поэтому они называются: логарифмическая амплитудная частотная
характеристика (ЛАХ) и логарифмическая фазовая частотная харак-
теристика (ЛФЧХ). Кроме того, логарифмическую амплитудную ха-
рактеристику строят приближенно в виде отдельных прямолинейных
отрезков, называемых асимптотами ЛАХ, что существенно упрощает
построение этой характеристики. Такую ЛАХ называют асимптотиче-
ской.
Для некоторого достаточно широкого и важного класса систем
при использовании метода логарифмических частотных характеристик
оказывается возможным ограничиться построением ЛАХ без построе-
ния ЛФЧХ, так как для систем этого класса между амплитудной и
фазовой частотными характеристиками имеется однозначная связь,
благодаря которой амплитудная частотная характеристика системы
содержит исчерпывающую информацию о свойствах этой системы.
Это так называемые минимально-фазовые системы и звенья. Минималь-
но-фазовой называют такую линейную динамическую систему, у ко-
торой корни характеристических уравнений, соответствующих числи-
телю и знаменателю передаточной функции этой системы, имеют отри-
цательные вещественные части.
Благодаря простоте построения логарифмических частотных ха-
рактеристик использование их оказывается эффективным при решении
многих практических задач. В настоящее время метод логарифмиче-
ских частотных характеристик всесторонне разработан и относится к
числу основных методов анализа и синтеза линейных автоматических
систем как непрерывного, так и дискретного действия.
33
Пусть W(j<i>)==A (со) exp [/ф(со)]— частотная передаточная функ-
ция исследуемой динамической системы. Выражение для логарифми-
ческой амплитудной характеристики L (со), выраженной в Дб, запи-
сывают в виде
L (со) = 201g А (со).	(1.39)
При построении этой кривой частоту со откладывают по оси абсцисс
в логарифмическом масштабе. Значения функции Л (со) откладывают
по оси ординат в децибелах в линейном масштабе.
Логарифмическую фазовую характеристику строят в соответствии
с (1.36). При этом частоту со также откладывают по оси абсцисс в ло-
гарифмическом масштабе, а значения фазы ф(со) — по оси ординат в
градусах в линейном масштабе.
Способ построения асимптотической ЛАХ рассмотрим на конкрет-
ном примере. Пусть передаточная функция динамической системы
имеет вид
W (п} =___K1(1 + TiP>>__	(1.40)
W р(1 + 7’1р)(1 + 7’з/>) •	7	7
Нумерацию постоянных времени Т, в выражении передаточной
функции всегда производят в порядке убывания их числовых значе-
ний, т. е. Т^Т^Т^. . . В (1.40) примем строгие неравенства Т^>-
>72>73, тогда
К7(/со)=-
/со
где coft=l/7fe; k=A, 2, 3, причем ci^OkO^.
Величины cofe, обратные постоянным времени динамической систе-
мы, называют сопрягающими частотами этой системы.
Коэффициент передачи системы имеет в данном случае размер-
ность круговой частоты рад-с-1 или просто с-1. Таким образом, ча-
стотная передаточная функция W(j<n)— безразмерная функция ча-
стоты со.
В соответствии с (1.35) имеем	,
А (со) = Ki/l + (co/co2)2 ....... (L4
со/н (со/соО2 К1 + (со/со3)2
Ф (“>) = - f ~ arctg + arctg £-arctg .
(1.42)
Логарифмируя (1.41), получаем
L (со) = 201g А (со) = 201g	— 20 lg/1 + (co/coj2 +
4- 20 1g /1 + (со/со2)2—20 lg /1 + (со/соз)2. (1.43)
При построении асимптотической ЛАХ пользуются следующим
правилом. В выражении /1 (co/cofe)2 для всех значений cog;cofe пре-
36
небрегают вторым слагаемым по сравнению с единицей, а для значений
o£>cofe пренебрегают единицей по сравнению со вторым слагаемым.
Возникающая при этом ошибка не превышает нескольких децибел.
Если в выражении частотной передаточной функции содержится гп
сопрягающих частот, то асимптотическая ЛАХ состоит из rzi+l асимп-
тот. Каждую k-K> асимптоту строят в диапазоне частот
При этом первую асимптоту строят для 0<co:gCco1, а последнюю —
ДЛЯ (й^(йт.
В рассматриваемом примере т=3 и ЛАХ состоит из четырех асимп-
тот.
Первая асимптота соответствует изменению частоты в пределах
0<со^сох. В соответствии с правилом построения ЛАХ для первой
асимптоты из (1.43) получае
L(m) = 201g^ =-201g^-, co^cor	(1.44)
Для удобства построения первой асимптоты будем формально рас-
сматривать (1.44) при изменении частоты в пределах 0<со<оо. По-
скольку при построении ЛАХ переменную со откладывают по оси ча-
стот в логарифмическом масштабе, то (1.44) есть уравнение прямой,
проходящей через точку с координатами (со=К1, Е=0) и имеющей
наклон —20 дБ/дек (децибел на декаду), так как при изменении со
на одну декаду, т. е. в 10 раз, Е(со) изменяется на 20 дБ и, как следует
из (1.44), с ростом со функция Е(со) убывает.
На рис. 1.15 эта прямая изображена сплошной линией для co^Zajf
и пунктирной для со>со2. Сплошная линия есть первая асимптота ЛАХ
37
рассматриваемой системы Конец этой асимптоты, как следует из
(1.44), находится в точке (©J, LJ, где L±=L (со1)=20
Вторая асимптота соответствует изменению частоты в пределах
При этом из (1 43) получаем
L (со) = 20 1g *1 — 201g — = 20 lg——401g — =
= Li_401g^, ohCcoCco,. .(1.45)
Выражение (1.45) — уравнение отрезка прямой, проходящей через
точки (сох, и (со2, Л2), где в соответствии с (1 45) £2=Л(со2) =
=20 lgK1co1co2~2. Очевидно, наклон £ этого отрезка составляет
—40 дБ/дек.
Из (1 44) и (1 45) видно, что конец первой асимптоты и начало вто-
рой совпадают, т е в точке с абсциссой <0=0^ происходит сопряжение
первой и второй асимптот ЛАХ
Третью асимптоту строят в диапазоне частот со2^со^со3 В этом
случае из (1 43) следует
Z,(со) = 20 1g——20 1g — +20 lg—=
= 201g^|l—201g£ = L2-201g^, со2+>+>, (1.46)
Это уравнение отрезка прямой, проходящей с наклоном —20 дБ/дек
через точки (со2, £,2) и (со3, Т3), где в соответствии с (1 46) Т3=Т(со3) =
=20 1g (KxCOj/сОзСОз) Здесь также имеет место сопряжение второй и
третьей асимптот в точке (со2, Т2)
Четвертая асимптота соответствует диапазону частот co^cos
Из (1 43) получаем
(со) = 20 1g — — 20 1g — + 20 lg — — 20 lg — =
= 201g^—401g —= Z,3—401g —, co>co3 (1.47)
Из (1 47) следует, что четвертая, последняя асимптота ЛАХ рас-
сматриваемой системы представляет собой полупрямую, выходя-
щую из точки (со3, А3) и имеющую наклон — 40 дБ/дек В точке (со3,
L3) происходит сопряжение третьей и четвертой асимптот ЛАХ
Таким образом, ЛАХ системы с передаточной функцией (1 40)
полностью построена
Сопоставляя смежные асимптоты ЛАХ рассматриваемой системы,
первую — со второй, вторую — с третьей, третью — с четвертой, мож-
но сделать общий вывод о том, что при переходе со, в процессе ее изме-
нения, через значение очередной сопрягающей частоты cofe наклон
асимптоты ЛАХ изменяется-
а)	на —20 дБ/дек, если coft принадлежит множителю (l+jco/coft),
стоящему в знаменателе передаточной функции системы,
б)	на +20 дБ/дек, если принадлежит множителю (l+/«>/wft),
стоящему в числителе передаточной функции системы.
38
Отсюда также следует, что значение наклона каждой асимптоты
ЛАХ кратно значению —20 дБ/дек
Покажем, что по ЛАХ рассмотренной системы может быть восста-
новлена передаточная функция системы, а следовательно, и фазовая
частотная характеристика этой системы
Обратимся к рис 1.15 Мы видели при построении ЛАХ, что пер-
вая асимптота с наклоном —20 дБ/дек соответствует множителю в
составе передаточной функции системы вида Kj/jco Запишем этот мно-
житель
При переходе переменной со через точку <0=^ наклон асимптоты
становится равным —40 дБ/дек, т е изменяется на —20 дБ/дек Это
означает, что в знаменатель передаточной функции мы должны вклю-
чить множитель (1 +jco/coj Таким образом, на втором шаге получим
выражение KJ] со (1+j co/coj Далее, с ростом со переходим через точку
со=со2 При этом наклон асимптоты изменяется на +20 дБ/дек, чему
соответствует множитель (1+/со/со2) в числителе передаточной функции.
Следовательно, на третьем шаге получаем выражение —)-------------г-.
/со( 1 + /-7-)
Наконец, при со^со3 наклон асимптоты ЛАХ изменяется на —20 дБ/дек
и, следовательно, в знаменатель передаточной функции записываем
множитель (1 +/со/со3), т е после четвертого и последнего шага полу-
чаем выражение для искомой передаточной функции.
Ki

Ki (1 + 7+0
р(1+7’1р)(1 + 7’3р)’
р = ](л,
что совпадает с (1 40)
Таким образом, по ЛАХ динамической системы полностью восста-
новлена передаточная функция этой системы Поэтому для рассма-
триваемой системы построения ЛФЧХ можно не производить
§'1.4 „ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ^СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ
СоединениеТзвеньев систем радиоавтоматики. Как отмечалось,
всякая автоматическая система состоит из отдельных элементов, со-
единенных между собой определенным образом
При исследовании автоматической системы составляют ее схему,
в которой указывают все функциональные элементы системы и связи
между этими элементами Такую схему называют функциональной
(см рис 1 2)
Однако при математическом анализе процессов управления имеет
значение не функциональное назначение элементов системы, а их ди-
намические характеристики, заданные в виде дифференциальных урав-
нений, а для линейных систем — в виде передаточных функций этих
элементов Поэтому составляют схему автоматической системы, в ко-
39
торой указывают динамические звенья системы и связи между ними.
Такую схему называют структурной схемой автоматической системы.
Структурную схему получают из функциональной, замещая обоз-
начения функциональных элементов системы обозначениями или яв-
ными выражениями передаточных функций этих элементов. Так, на
рис. 1.16 представлена структурная схема, составленная на основании
функциональной схемы рис. 1.2.
Рис 1 16
Структурная схема автоматической системы позволяет получить
передаточную функцию или дифференциальное уравнение этой сис-
темы при известных динамических характеристиках ее звеньев, как
это было показано на примере простейшей в структурном отношении
системы (§ 1.3).
При определении передаточной функции достаточно сложной авто-
матической системы ее структурную схему упрощают, пользуясь ме-
тодами преобразования структурных схем, позволяющими перейти
от сложных перекрестных соединений звеньев в системе к некоторым
простейшим, типовым соединениям. Существует три вида таких сое-
динений: последовательное, параллельное и встречно-параллельное,
или охват обратной связью одного звена посредством другого.
Рис 1 17
Последовательное соединение звеньев. Последовательным называют
такое соединение звеньев, при котором, как показано на рис. 1.17,
выходная величина одного звена является входной величиной другого.
В соответствии с рис. 1.17 имеем
хп+1 (t) = W (р)Х1 (t) = Wn (р)хп (t) = Wn (р) Wn_t (р)хп_г (t) =
= • • • = ^„ (Р)	(p)  •	(p) W, (p) X1 (t),
откуда
w (P) = W, (p) W2 (p)... Wn_. (p) Wn (p).	(IA8)
Таким образом, при последовательном соединении звеньев переда-
точная функция такого соединения равна произведению передаточных
функций отдельных звеньев.
Выражение (1.48) справедливо при условии, что соединение выхода
каждого k-ro звена со входом следующего, (&+1)-го звена не изменяет
40
передаточную функцию k-ro звена. В противном случае передаточную
функцию Wk(p) k-ro звена нужно составлять с учетом влияния сле-
дующего звена.
Параллельное соединение звеньев. При параллельном соединении
звеньев, как показано на рис. 1.18, входная величина хх(/) поступает
на входы всех звеньев, входящих в это соединение, а выходная вели-
чина x2(f) равна сумме выходных величин отдельных звеньев, т. е.
х2 (0 = W (р) Х1 (0 = 2 wk (р) Х1 (0 = 2	(?)
k=i	L*=i
*1(0.
откуда
W(p)=iwk(p).	(1.49)
Таким образом, передаточная функция «сложного» звена, состоя-
щего из п параллельно соединенных звеньев, равна сумме передаточ-
ных функций отдельных звеньев.
Рис. 1 18
Рис 1 19
Охват звена обратной связью (встречно-пар аллельное соединение
двух звеньев). Схема звена, охваченного обратной связью, показана
на рис. 1.19. Как видно из схемы, на вход звена с передаточной функ-
цией Wr(p), охваченного обратной связью посредством звена с пере-
даточной функцией IF2(p), поступает сумма или разность (в зависимо-
сти от характера обратной связи) двух величин — входной х± (t) и
выходной x2(t), прошедшей через звено обратной связи.
В обозначениях рис. 1.19 имеем
х3 (0 = Xj (0 ± (0, х4 (0 = 1Г2 (р) х2 (t),
откуда
Х2 (0 = W (р) Х1 (/) = W, (р) х3 (t) = W, (Р)	(0 ±	(р) х2 (/)].
Окончательно получаем
= (1'50)
где знак минус соответствует положительной обратной связи, а знак
плюс — отрицательной.
41
Преобразования структурных схем линейных систем. Рассматривая
структурные схемы линейных автоматических систем, видим, что лю-
бая структурная схема состоит из элементов трех типов: звеньев, уз-
лов и сумматоров, соединенных между собой связями, как показано,
например, на рис. 1.20 и 1.21. Элемент сравнения, имеющийся в сос-
таве структурной схемы рис. 1.21, является частным случаем сумма-
тора, на выходе которого образуется разность двух его входных вели-
чин.
Рис 1 20
Если в структурной схеме исследуемой системы имеется участок,
содержащий сложные перекрестные связи, не сводящиеся к рассмо-
тренным простейшим соединениям звеньев, то этот участок выделяют
и подвергают структурным преобразованиям с целью приведения всех
его соединений к простейшим типовым. Структурные преобразования
состоят в изменении взаимного расположения элементов структурной
схемы (звеньев, узлов и сумматоров) таким образом, чтобы, не изме-
няя входных и выходных величин преобразуемого участка схемы,
изменить (упростить) характер соединений его звеньев.
|f Правила изменений взаимного расположения элементов структур-
ной схемы определяются табл. 1.1. Поясним смысл этих правил на при-
мерах. Пусть имеется исходная структурная схема динамической сис-
темы рис. 1.20, а. Для этой^схемы имеем
х2 = F, (х3 + xt) = Г, (W1X1 + ГЛ) = TF3 (IF, + W2) x,. (1.51)
Допустим, что требуется перенести узел со входа звена IF, на его
выход. После такого переноса (рис. 1.20, б) значение х3 на входе сум-
матора не изменилось, а значение х4 стало равным X4=IF2x1 = IF2IF1x1
42
вместо прежнего значения x4=IF2x1. Соответственно изменится и вы-
ходная величина х2. Чтобы величину х2 сохранить неизменной, не-
обходимо х^ умножить на передаточную функцию W~l(p), обратную
передаточной функции W\ (р), что означает необходимость включения
последовательно со звеном W± звена IF-}, как показано на рис. 1.20, в.
Действительно, для схемы рис. 1.20 в имеем
х2 = F, (х3 + х4) = IF3 (W1X1 + W,W^x3) =
= IF3 (1ГЛ + W2W^W1X1) = IF3 (IFX + Г2) X1,
что совпадает с (1.51).
Пусть теперь в схеме рис. 1.20, а необходимо перенести сумматор
со входа звена IF3 на его выход. Поскольку в выражении (1.51) IFS
а)
S)
Рис. 1.21
является общим множителем для величин х3 и х4, являющихся вы-
ходными величинами звеньев IF4 и IF2, то для сохранения неизменного
значения х2 следует звено с передаточной функцией IF3(p) включить
последовательно с каждым из звеньев и IF2, как показано на схеме
рис. 1.20, г, для которой
х2 = х3 + Xi = W3W1X1 + Г31ГЛ = IF3 (Wi + W2) xlt
что тождественно выражению (1.51).
Наконец, перенесем в схеме рис. 1.20, а сумматор с выхода звена
IF2 на его вход. Получим схему рис. 1.20, д, для которой
х2 = W3W2 + х3) = IF3IF2 + х^ = W3 (W2Wi + 1F2) X1
43
Таблица 11 Правила преобразования структурных схем линейных систем
Операция	Исходная схема	Эквивалентная схема	
Перестановка суммато ров или элементов срав нения	1р 43)	 Y X ~Х +Х 1	Х$ X , л ? т	л 4	14г 4—4 *5 X, -iXjf-tX, Х2	
Перестановка звеньев	—-4^1	ч ч |—	44	]	
Перенос узла с выхода на_вход сумматора				
Перенос узла с входа на выход сумматора	Т—г	*1	—
Перенос узла с выхода на вход звена	fqX]—-—г—х	*г J- I W,		<К4
Перенос узла с входа «а выход звена	I	1 *2 ~ !	*|WJ—*•		А О,
Перенос сумматора с выхода на вход звена	43	4	4+		 —EZ4
Перенос сумматора с входа на выход звена		4^	]	
Замена звеньев прямой и обратной цепей	Xi z"~\	Г “1	у . 11—1	1 я		—Hw4~ 4 —J
Переход к единичной обратной связи	—пЗ—Г* I	pjp—1		
44
вместо (1.51). Ясно, чтох2 останется неизменным при данном структур-
ном преобразовании лишь в случае, если последовательно со звеном
IFj включить звено W~l, как показано на схеме рис. 1.20, е, для кото-
рой находим
х2 = Г3Г2 (Х1 + х3) = Г3Г2	+ хг) = W3 (W, + Г2)
что совпадает с (1.51).
Читателю рекомендуется найти отношение выход — вход для всех
схем табл. 1.1 и убедиться, что для каждой пары эквивалентных схем
эти отношения тождественны.
Пример 1.5. Рассмотрим структурную схему рис. 1 21, а. В этой схеме пере-
крестные связи обусловлены наличием между сумматорами 1 и 2 звена W Чтобы
избавиться в этой схеме от перекрестных связей, достаточно, например, сумма-
тор 1 перенести со входа звена на его выход. При этом получим схему
рис. 1.21,6 и, поменяв сумматоры местами, придем к схеме рис. 1.21, в, для ко-
торой в соответствии с формулами (1.48) — (1.50) имеем
»	* W.
Wo = Wo W, 4- Wo Wo =------------
откуда
Г	W*3	G°) =
Ai (P)
_	(P) 1^2 (P) ^4 (p)+^3 (p)]	(P) V, (p)
1 + HMp) W5(P)We(p)
Передаточная функция замкнутой системы. При исследовании
автоматических систем возникают различные задачи, например опре-
деление характеристик переходного процесса в системе, определение
ее точности, помехоустойчивости и т. д. Решение этих задач требует
установления зависимостей между различными переменными автома-
тической системы, например, между выходной и входной величинами
системы, между ошибкой и входной величиной и т д. Эти зависимости
устанавливаются посредством соответствующих передаточных функ-
ций автоматической системы.
Так, процесс управления характеризуется зависимостью управляе-
мой величины y(t) от задающего воздействия g(t). Эта зависимость
определяется передаточной функцией замкнутой системы (1.9), кото-
рая может быть найдена методами, изложенными в § 1.3, если заданы
структурная схема системы и передаточные функции ее звеньев.
Чтобы получить выражение передаточной функции замкнутой
системы в общем виде, будем исходить из дифференциального уравне-
ния этой системы (1.7). Тогда в соответствии с (1.8) и (1.9), переходя
к изображениям Лапласа, имеем
У(р) = Я(р)О(р),	(1.52)
где
Н (p) = Y (p)/G(p) = R(p)/D(p).	(1.53)
Здесь R (р) — полином степени т; D (р) — полином степени п.
Передаточная функция замкнутой системы является одной из ос-
новных передаточных функций замкнутой автоматической системы.
15
Рис. 1 22
Передаточная функция разомкнутой системы. Помимо передаточ-
ной функции замкнутой системы при анализе и синтезе замкнутых
автоматических систем широко используют передаточную функцию
разомкнутой системы. Передаточной функцией разомкнутой системы
называют передаточную функцию, которая устанавливает зависимость
между управляемой величиной y(t) замкнутой автоматической си-
стемы и ее ошибкой e(t), т. е., по опреде-
лению,
№(р) = У(р)/Е(р),	(1.54)
где
E(p) = L[e(/)] = L[g(/) —1/(0] =
=G(p)-YJp).
Для передаточной функции разомкну-
той системы примем то же обозначение
W (р), что и для произвольной динамической системы (1-5).
Заметим, что в процессе определения передаточной функции зам-
кнутой автоматической системы по ее структурной схеме мы неизбеж-
но проходим этап определения передаточной функции разомкнутой
системы. Найдем, например, передаточную функцию замкнутой сис-
темы в соответствии со структурной схемой рис. 1.16, которая пред-
ставляет собой цепочку последовательно соединенных звеньев, охва-
ченную единичной отрицательной обратной связью.
Участок структурной схемы замкнутой автоматической системы
между точкой приложения ошибки е(/) и точкой фиксации выходной
величины y(t) называют разомкнутым контуром автоматической сис-
темы.
В соответствии с рис. 1.16, выражением (1.48) и определением
(1-54)
У (i) =	(р) Wy (р) Гиу (р) Гоу (р) е (t)« W (р) <(/),
где
w (р) =	(р)	(р) Гиу (р) Wоу (р)-	(1.55)
передаточная функция разомкнутой системы, соответствующая зам-
кнутой автоматической системе рис. 1.16. Приведем схему рис. 1.16
к виду схемы, представленной на рис. 1.22. Сопоставляя схему рис. 1.22
со схемой рис. 1.19, видим, что схема рис. 1.22 может быть получена
из схемы рис. 1.19, если в этой схеме положить %i(/)=g(/), х3(/) =
=е(/), W7!(р) = W(p), W.2(p) — \ и учесть, что главная обратная связь
замкнутой автоматической системы отрицательна. Тогда на основании
(1.50) находим передаточную функцию замкнутой системы;
<L56>
Выражение (1.56) устанавливает связь между передаточными функ-
циями замкнутой и разомкнутой систем, соответствующими одной’и
той же замкнутой автоматической системе.
Из (1.56) получим обратную зависимость
П7 (п\ _ Н(р) _	^ (?)	(р)	/1 С7ч
W{p> \—Н(р) D(p) — R(p)	Q(p)’	t1'57)
где Q(p)=D(p)—R(p) — полином степени п.
Заметим, что выражение (1.57) может быть получено из (1.54) с уче-
том (1.52) и (1.53).
Роль передаточной функции разомкнутой системы в исследовании
замкнутых автоматических систем чрезвычайно велика. В частности,
на использовании этой передаточной функции базируется один из ос-
новных методов анализа и синтеза замкнутых автоматических систем —
метод логарифмических частотных характеристик.
Передаточная функция для ошибки по задающему воздействию.
При исследовании точности замкнутых автоматических систем нас
интересует зависимость ошибки e(t) от задающего воздействия g(t).
Эта зависимость определяется передаточной функцией для ошибкип
задающему воздействию, которую обозначим Не(р). Если передаточ*
ная функция Не(р) известна, то по ее определению имеем Е(р) =
=He(p)G(p).
Чтобы найти эту передаточную функцию по заданной структур-
ной схеме автоматической системы, целесообразно выразить ее через
передаточную функцию замкнутой системы И (р) или через передаточ-
ную функцию разомкнутой системы W (р):
= (t58)
или, учитывая (1.56),
".W-T+w-	<L59>
После того как передаточная функция Не(р) найдена, ошибка зам-
кнутой автоматической системы для задающего воздействия, имею-
щего вид конкретной функции времени g(t), может быть определена
путем обратного преобразования Лапласа, т. е.
е(0 = Е-1[Е(р)] = Е-1 [He(p)G(p)].
Передаточная функция для ошибки по помехе. Системы радио-
автоматики работают, как правило, в условиях помех. При этом за-
1^7
Рис. 1.23
дающее воздействие g(t) всегда приложено ко входу системы, а помеха
v(t) может быть приложена в произвольной точке системы, как показа-
но на рис. 1.23, где разомкнутый контур системы радиоавтоматики
разделен на две части: первая, с передаточной функцией W^p), не
47
подвержена действию помехи, а на входе второй, с передаточной функ-
цией W2(р), действует помеха v(t). При этом передаточная функция
разомкнутого контура системы W (р) = (р) W2 (р).
Выходная величина системы радиоавтоматики может быть пред-
ставлена в виде J/i(t)=y(t)-}-ev(t), где y(t)=H(p)g(t) — реакция сис-
темы на задающее воздействие: ер(() = l +	— реак-
ция системы на помеху.
Ясно, что составляющая ev(t) выходной величины г/Д/) искажает
значение управляемой величины у (t), т. е. является ошибкой системы,
обусловленной помехой v(f).
Отношение изображения Ev(p) этой ошибки к изображению поме-
хи V(p) определяет передаточную функцию системы радиоавтоматики
для ошибки по помехе, т. е.
Н (p\ — IElSp') =	(1.60)
В частности, если помеха действует на входе системы, из (1.60)
получаем
Типовые передаточные функции систем радиоавтоматики. Боль-
шинство функциональных элементов систем радиоавтоматики обла-
дает свойствами апериодических, а также безынерционных звеньев.
Помимо этих звеньев в состав систем радиоавтоматики обычно входит
несколько интегрирующих и форсирующих звеньев. Таким образом,
типовая передаточная функция разомкнутого контура системы радио-
автоматики может быть представлена в виде
КгП(‘+^)
W(p) = —£7---------- при tn<n, [Kr] = t“r,	(1.61)
/г=1
где п—порядок дифференциального уравнения (1.7) замкнутой
системы; г — количество интегрирующих звеньев в составе системы;
т — количество форсирующих звеньев в составе системы; Кг— коэф-
фициент передачи системы по r-й производной входного воздействия.
Для типовых систем радиоавтоматики, рассмотренных в § 1.2, обыч-
но т=\, г<'2.
Как показано в гл. 2, качество автоматической системы (ее точ-
ность!) в сильной степени зависит от количества интегрирующих звень-
ев в составе этой системы. С увеличением количества интегрирующих
звеньев точность существенно возрастает.
Замкнутую автоматическую систему, не содержащую интегрирую-
щих звеньев (г=0), называют статической системой. Она имеет пере-
48
даточную функцию разомкнутого контура вида
КоЦО + Лр)
W(p)=~-------------•	(1.61а)
П (i+TkP>
k= 1
Замкнутая автоматическая система, содержащая одно интегрирую-
щее звено (г=1), имеет передаточную функцию разомкнутого контура
вида
tfifljl + T’/P)
^(Р)=-^------------>	(1-616)
pJI (i + T’ftp)
t=i
где Ki— коэффициент передачи системы по скорости, или добротность
по скорости, и называется астатической системой с астатизмом пер-
вого порядка.
Замкнутая автоматическая система с двумя интегрирующими звень-
ями (г—2), имеющая передаточную функцию разомкнутого контура
вида
Ksft (1 + Лр)
^(Р) = -^---------->	(1-61В)
р2 п (l+TkP)
k= 1
где /С2— коэффициент передачи системы по ускорению, или доброт-
ность по ускорению, называется астатической системой с астатизмом
второго порядка.
§ 1.5. ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ
РАДИОАВТОМАТИКИ
Классификация звеньев. Замкнутые автоматические системы часто
содержат в своем составе сложные динамические звенья, описываемые
дифференциальными уравнениями высокого порядка. Для облегчения
математического исследования таких систем сложные звенья в их
составе разбивают на более простые, элементарные звенья, описывае-
мые уравнениями не выше второго порядка:
(а0р2 4- агр 4- а2) х2 (/) = (Ьор + bj х,|(t),	(1.62)
d	,
где р = —, и соответственно имеющие передаточные функции вида
(1-63)
-^1 (р) ОоР2 + °1Р +
где р=-с+/ю.
49
Такие звенья называют типовыми. В (1.62) и (1.63) некоторые ко-
эффициенты могут быть равны нулю. При обращении в нуль тех или
иных коэффициентов будет изменяться вид уравнения и передаточной
функции, что отражает изменение динамических свойств звеньев. В со-
ответствии с этим звенья автоматических систем классифицируются по
виду их дифференциальных уравнений или, что то же самое, по виду
их передаточных функций. Так, все устройства, описываемые одина-
ковыми дифференциальными уравнениями и соответственно имеющие
одинаковые передаточные функции, относятся независимо от их назна-
чения, конструкции, принципа действия и т. д. к одной и той же клас-
сификационной группе динамических звеньев.
Различают следующие элементарные динамические звенья: пози-
ционные, дифференцирующие и интегрирующие. К позиционным звень-
ям относятся: безынерционное звено, апериодическое звено первого по-
рядка, апериодическое звено второго порядка и колебательное звено. Диф-
ференцирующие звенья: идеальное дифференцирующее, инерционное
дифференцирующее, форсирующее. Интегрирующие звенья: идеальное
интегрирующее, инерционное интегрирующее, изодромное.
Апериодическое звено первого порядка. Апериодическим звеном
первого порядка называют звено, описываемое дифференциальным
уравнением первого порядка:
(Тр + \)x2(t) = kx1(t),	(1.64)
где Т — постоянная времени звена; p—d/dt-, k — коэффициент переда-
чи звена.
К апериодическим звеньям относятся многие элементы радио-
электронных систем управления — исполнительные двигатели, уси-
лители мощности, магнитные усилители и т. д. Например, зависи-
мость скорости вращения Ил якоря исполнительного двигателя от
управляющего напряжения и описывается уравнением
(Тдр-Ь 1)ЙД = kAur
Аналогичного вида уравнением описываются процессы в 7?С-фильт-
ре нижних частот: (Тфр-\-\) и2=и1.
Апериодические звенья являются наиболее широко распростра-
ненными звеньями в составе автоматических систем.
Из (1.64) получаем передаточную функцию апериодического звена
Г(р)=та=ттт>’ где P = c+i(a> <L65>
и находим модуль и фазу этого звена:
А (®) = -r k = - k ,	(1.66)
К1 + со2Г2	К1 + ((О/йЦ)2
ф(ю) = — arctg<oT' = — arctg ((o/Wj) (и>0),	(1-67)
где а>1=1/7" — сопрягающая частота апериодического звена.
Из (1.66) получаем выражение для логарифмической амплитудной
характеристики апериодического звена (см. табл. 1.2):
L (<о) = 20 1g А (<о) = 201g А—20 1gК1 -ф (co/coi)2.
50
Таблица 1.2. Переходная характеристика и ЛАХ звеньев
Тип звена и его передаточная функция	Переходная характеристика				ЛАХ	
Апериодическое первого порядка W(p) = k/(\ + Tp)		T /	——— / f 1			/Л	I J \ZOlqk j
	0	t				1	r~‘>	IV
Безынерционное W(p)=k	ЧП			к	L(u)	1	0 \20tqK
	fl	t				I	(V
Колебательное F (р) = ^/(р2+2СиоР + + <Ф	7fr)|	£ fJ !* f 1^	,			Liw)	|Д41/ 20lq!< I \\ I Д
						1 w, \ w
Апериодическое второго порядка W(p) = k/(\ + T1P) (1 + + Г2р)	q(t)	—	л	к		L(u>) Z	JJ '' 1	\ .. Г
		t Tt]				Д’ Д’\ ш
Идеальное дифференциру- ющее W(p)=kp		t			L(to)	/20 / wcp 1/K Ш
Дифференцирующее с за- медлением (инерционное диф- ференцирующее) W (p) = kp/(!-[-Тр)			.		К т	Цю)	0 		 /1 20lqk / I /Zfl I /	I7"'’
	и	t				Шер =
51
Продолжение
Переходную характеристику апериодического звена получим из
(1.65):g\
q{t) = L~1 [1 Ц7(р)] =й(1-е-^ г) 1 (0>
которая,'как видно из графика (табл. 1.2), имеет апериодический (не-
периодический, неколебательный) характер, т. е. выходная величина
апериодического звена при ступенчатом входном воздействии изменя-
ется монотонно, асимптотически приближаясь к своему установивше-
муся значению. Практическую длительность переходной характери-
стики определяют величиной t^—ЗТ, при этом <?(/п) = 0>95<7 (°°)-
Весовая функция апериодического звена
w (/) = L-1 [W (р)] =% = -f е_//г1 (О-
52
Безынерционное звено. По мере уменьшения постоянной времени
Т апериодического звена уменьшается длительность /П=ЗТ' переход-
ной характеристики и расширяется полоса пропускания А<опр=(о1 =
=Т~1 этого звена. При этом переходная характеристика звена, явля-
ющаяся откликом звена на единичную ступенчатую функцию, все
более приближается по своему виду к этой ступенчатой функции. В пре-
деле при Т->0 выходная функция звена x2(t) в точности воспроизводит
(в соответствующем масштабе) входную функцию xl(t), т. е. при Т=О
из (1.64) потучаем
х2 (/) = kxx (/).	(1.68)
Звено, выходная величина которого пропорциональна входной
величине в каждый момент времени, называют безынерционным. Из
изложенного следует, что длительность переходных процессов в без-
ынерционном звене равна нулю, т. е. переходные процессы отсутству-
ют, а полоса пропускания такого звена бесконечно велика.
Практически к числу безынерционных звеньев относят любое
устройство, полоса пропускания которого значительно превышает
ширину спектра входного воздействия этого устройства. Свойствами
безынерционного звена обычно обладают такие элементы автоматиче-
ских систем, как дискриминаторы, широкополосные усилители и т. п.
Из (1.68) получаем передаточную функцию, частотные и временные
характеристики безынерционного звена: Wz(/?)=^=const; Л(<о)=й,
ф(ю)=0, q(t)=k\(t), w(f)=q(t)=k$(t).
Как следует из приведенных выражений, амплитудно-фазовая
характеристика безынерционного звена вырождается в точку, лежащую
на оси вещественных значений на расстоянии k от начала координат.
АЧХ безынерционного звена есть бесконечная прямая, параллельная
оси частот, что характеризует бесконечную ширину полосы пропуска-
ния этого звена. Переходная характеристика
и ЛАХ этого звена приведены в табл. 1.2.
Пример 1.6. Рассмотрим 7?С-цепочку, изображен-
ную на рис 1 24 Передаточная функция этой це-
почки соответствует апериодическому звену,
W(p) = k/(\+Tp), где *=Я2/(Я1 + Я2), ?’ =
= ^1^2С'/(^14- R2)’
С уменьшением емкости конденсатора постоян-
ная времени падает, и в пределе при С = 0 получим
безынерционное звено—делитель напряжения с коэффициентом^ передачи k =
=7?2Ч^1 + ^г)> передаточная функция которого W (p)— k.
Колебательное звено. Колебательное звено описывается дифферен-
циальным уравнением второго порядка
(T2p2 + 2gTp+l)x2(0 = Z’X1(0	(1.69)
или
(р2 + 2£<о0р + ®J) х2 (0 = foofo (О,	(1 -70)
где Т—постоянная времени; £—коэффициент затухания; <о0=
= \/Т — собственная частота незатухающих колебаний; k — коэффи-
циент передачи звена.

Рис 1 24
53
Примерами колебательного звена могут служить: резонансный
RLC-контур; акселерометр (измеритель ускорений), представляющий
собой механическую колебательную систему, и т. д.
Колебательные звенья радиотехнических устройств, обладающие
резко выраженными резонансными свойствами, имеют весьма малые
значения коэффициента затухания (£~10~2). Колебательные же звенья
автоматических систем имеют значения коэффициента затухания, близ-
кие к единице (£=0,5; 0,7).
Из (1.69) и (1.70) получаем
/ \	k	k(i)o
?	T2p2-'r'2t.T р 4-1	р2_|_2tf£>0p -*
откуда находим выражения для модуля, фазы, ЛАХ и переходной
характеристики звена:
т//1_^У + 4^^ y(l-vT + ^2v2 ’
ф ((О) = - arctg 1-2^, = - arctg (со > 0),
L (со) = 201g k + 201g_	1	,
v	&	(1—v2)2+4g2v2
где v = co/co0—относительная частота.
Переходная функция
q(t) = k p—e~St0»z ^cosXt-|-^y- sinXt^ j 1 (t);
здесь л = <o0 /1 — g2— частота затухающих колебаний.
Длительность переходной характеристики оценивается величиной
/п=3/(£ш0).
Весовая функция колебательного звена
w (t) = q (t) = е~ sin М 1 (t).
Переходная характеристика и ЛАХ звена приведены в табл. 1.2.
По мере приближения коэффициента £ к единице колебательный
характер переходной характеристики становится все менее выражен-
ным. При этом уменьшается частота затухающих колебаний и умень-
шается длительность переходного процесса. При значениях £^=1 корни
характеристического уравнения становятся вещественными, т. е.
частота затухающих колебаний становится мнимой величиной, и пере-
ходная характеристика звена приобретает вид апериодической кривой.
Колебательное звено превращается в апериодическое звено второго
порядка, описываемое уравнением вида
(Т2р2 + Тьр+ l)x2(t) = kx1(t) при Ть^2Та
или при изменении обозначений
[W + (7\ + Т2)'р + 1] хг\Г) = kx, (0,	(1.71)
54
где связь между постоянными времени дается равенствами
Л,2 = Л/2±/П/4-П .
В соответствии с (1.71) имеем
W = ХНЙ = (1 + Т1Р) (1 + Т2р) ’	(1,72)
что структурно соответствует последовательному соединению двух
апериодических звеньев первого порядка.
Из (1.72) находим выражения для переходной характеристики и
ЛАХ апериодического звена второго порядка:
'7(0 = Ц1-Т^;е-^+1(0,
L (<о) = 201g & — 20 1g К1+Л®2—201g /1+Л®2,
представленных в табл. 1.2.
Дифференцирующие звенья. Идеальным дифференцирующим звеном
называют звено, выходная величина которого пропорциональна про-
изводной входной величины, т. е. x2(t)=kx1(t) или x2(t)=kpx1(i),
где p=dJdt.
Передаточная функция звена:
(173)
где k—коэффициент передачи звена, имеющий размерность [&] =
=[x2][xiI_1[0; р=с+/(о.
Единственным примером идеального дифференцирующего звена
является тахогенератор, выходное напряжение которого uT(Z) пропор-
ционально частоте вращения Q(Z) его якоря, т. е. «т=йтП. Если в
качестве входной величины тахогенератора рассматривать не скорость
вращения, а угол поворота <х(/) его якоря, то «т=йа, т. е. имеем
идеальное дифференцирующее звено. Из (1 73) находим частотные и
временные характеристики звена: A(oj)-- /joj, ф(®)=л/2 при <о>0,
L(<o)=20 1g(M,
Переходная характеристика и ЛАХ приведены в табл. 1.2.
Реальные дифференцирующие устройства не являются идеальными
дифференцирующими звеньями, а принадлежат к числу инерционных
дифференцирующих звеньев, описываемых дифференциальным урав-
нением вида
Тх2-|-х2 =kxx
или
(Гр+ \)x2 = kpxr,	(1-74)
где Т — постоянная времени звена; p=d!dt-, k — коэффициент передачи
звена, имеющий размерность [Z’]=Lr2][.ri]~1[d.
55
Передаточную функцию звена получим из (1.74):
«Чй-ТтЬ-	(Г75)
Примером инерционного дифференцирующего звена является диффе-
ренцирующая /?С-цепочка (рис. 1.25), для которой
= l+RCp^1 = 14-Тр
где k=^T=RC.
В задачах коррекции динамических характеристик автоматических
систем важную роль играет форсирующее звено, представляющее со-
бой параллельное соединение безынерционного и дифференцирующего
звеньев. В соответствии с § 1.4 передаточная
______..	_ функция форсирующего звена имеет вид
Л! ° И = 1^1(р)-|1^2(р) = /г1- /г2р==/г1(1; Тр),
И, ЯН Uz	(1.76)
_______I_____о где Wzi(p)=^1—передаточная функция безынер-
ционного звена в составе форсирующего звена;
Рис’ 1,25	W2{p) k2p— передаточная функция идеального
дифференцирующего звена в составе форсиру-
ющего звена; T~k2lkx—постоянная времени форсирующего звена.
Как и идеальное дифференцирующее звено, форсирующее звено
может быть реализовано лишь приближенно. Форсирующее звено
входит в состав корректирующих цепей, а также в состав изодромного
звена.
Используя (1.75) и (1.76), нетрудно найти частотные и временные
характеристики инерционного дифференцирующего и форсирующего
звеньев. В частности, переходная характеоистика и ЛАХ этих звеньев
приведены в табл. 1.2.
Интегрирующие звенья. Идеальным интегрирующим звеном на-
зывают звено, выходная величина которого пропорциональна интегра-
лу от входной величины, т. е,
t
x2(t) = k x^f) dt',	(1.77)
о
где k — коэффициент пропорциональности, имеющий размерность
[й]=к2][х1]"1К]"1.
Продифференцировав это выражение, получим дифференциальное
уравнение интегрирующего звена х2=Ах1.
Примером идеального интегрирующего звена является исполни-
тельный двигатель следящей системы. При описании работы двигателя
мы устанавливаем зависимость между частотой вращения йд(/) его
якоря и управляющим напряжением иу(1) (см. рис. 1.9). Выходной же
величиной следящей системы является угол поворота $ (/) ее выходной
оси, связанной с якорем двигателя посредством редуктора. Поэтому
в составе следящей системы всегда имеется идеальное интегрирующее
56
звено, описываемое уравнением
О
где &р<*1 — коэффициент передачи редуктора.
Из (1.77) получаем
W (р) = k/p, А (<о) = &/<о,
ф (<о) =— л/2 для со > 0, L(<o) = 201g(Mo),
q(t) = kt\(t), w(t) = kl(t).
Переходная характеристика и ЛАХ звена приведены в табл. 1.2.
В автоматических системах часто используется параллельное сое-
динение идеального интегрирующего и безынерционного звеньев, на-
зываемое изодромным звеном. Как было показано в § 1.4, передаточная
функция изодромного звена
= | +	(1.78)
где k — коэффициент передачи звена, имеющий размерность [&] =
=Ijv2][jVi]—1[/]—х; T=kjk— постоянная времени звена.
Согласно (1.78) изодромное звено можно также рассматривать как
последовательное соединение идеального интегрирующего и форси-
рующего звеньев. Включение изодромных звеньев в состав автомати-
ческих систем является одним из важнейших способов повышения ка-
чественных показателей этих систем.
Из (1.78) получаем
ЛИ=|(Oi = T“1> ф» = —y + arctgcoT, (со > 0),
'	L (со) = 20 1g (й/ю) + 20 1g V1 + ((о/сщ)2,
q (/) = (kt + kJ 1 (t), w(t) = kl (t) + kJ (t).
Переходная характеристика и ЛАХ звена приведены в табл. 1.2.
В составе автоматических систем часто встречается звено, являю-
щееся результатом последовательного соединения идеального интегри-
рующего и апериодического звеньев и называемое инерционным интег-
рирующим звеном. Передаточная функция такого звена имеет вид
= <179)
где k и Т — соответственно коэффициент передачи и постоянная вре-
мени звена.
Примером такого звена является исполнительный двигатель, если
в качестве выходной величины этого устройства рассматривать угол
поворота 0 (t) выходной оси редуктора, а в качестве входной — напря-
жение иу(1) на управляющей обмотке двигателя:
Win}— е	О) = _Мд_
Uy(p) Qa(p)Uy(p) р(1+Тлр)'
57
Из (1.79) получаем
Л(<о) = —r k , ф(<о) =— Д—arctg юТ (<о>0),
’ ш К1 + T2w2 v '	2	&
L (<о) = 201g 201g J/1 -|Т2ы2,
q(t) = k\t-T (1—е_/г)] 1 (t),
w(t) = k(\ —	1 (t).
Переходная характеристика и ЛАХ звена приведены в табл. 1.2.
§ 1.6. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ
Дискриминаторы. Измерители рассогласования, или дискримина-
торы, служат для обнаружения рассогласования в системах радиоавто-
матики и преобразования этого рассогласования в величину, удобную
для усиления. В системах радиоавтоматики такой величиной является
постоянное или переменное напряжение.
Измерители рассогласования классифицируют по виду входной
величины системы радиоавтоматики. В соответствии с этим здесь рас-
сматриваются следующие основные дискриминаторы систем радиоавто-
матики: частотные дискриминаторы (измерители частотного рассогла-
сования); фазовые дискриминаторы (измерители фазового рассогласо-
вания); угловые дискриминаторы (измерители углового рассогласова-
ния); временные дискриминаторы (измерители временного рассогла-
сования).
Частотные дискриминаторы. Частотные дискриминаторы пред-
назначены для обнаружения отклонения частоты гармонических коле-
баний управляемого гетеродина от заданного ее значения и преобразо-
вания этого отклонения в пропорциональное ему напряжение постоян-
ного тока. Частотные дискриминаторы используются в системах час-
тотной автоподстройки частоты гетеродинов радиоприемных устройств,
а также в доплеровских системах селекции движущихся объектов.
Существует несколько разновидностей схем частотных дискримина-
торов. Для изучения принципа действия частотного дискриминатора
рассмотрим упрощенный вариант устройства — частотный дискрими-
натор на расстроенных контурах с двумя усилительными элементами.
Практически в схемах частотных дискриминаторов используется лишь
один усилительный элемент.
Чтобы выходное напряжение частотного дискриминатора зависе-
ло только от частоты входного сигнала и не зависело от его амплитуды,
на входе дискриминатора ставят амплитудный ограничитель (рис. 1.26).
Обозначим: S—крутизна характеристики транзисторов; ZJJ) и
Z2(f)— модули комплексных сопротивлений резонансных контуров
в стоковых цепях транзисторов (рис. 1.27, a); k% — коэффициент пере-
дачи детекторов; Тф — постоянная времени фильтров нижних частот
детекторов; / — частота входного сигнала; /0 — частота настройки
58
(переходная частота) частотного дискриминатора; А и /2 Р
ные частоты ftLC-контуров;	— расстройка входно о и ,
т. е. отклонение частоты входного сигнала от переходной
криминатора; Zo— сопротивление резонансных контуров на ч
настройки; м0 — напряжение сигнала на выходе ограничителя.
Тогда напряжения постоянного тока Uj и и2 на выход д Р
дискриминатора
Ы1 (J) = u9kfSZ1 (f), и2 (f) = u0k,xSZ2 (f)
и, соответственно, выходное напряжение ид дискриминатора (рис.
1.27, б)	/М <
ua = u2-u1=-.u0kaS[Z2(f)-Z1(f)l
При малых расстройках
“д =	[Z2-Z.-(Z.-Zo)] = uok,S= k4a\f,
где k4a—2ulskaSdZ/df — коэффициент передачи частотного дискрими-
натора, В/Гц.
Полученные соотношения иллюстрируются графиками на рис. 1.27,
из которых видно, что частотный дискриминатор является ограниченно-
линейным звеном, причем протяженность линейного участка дискрими-
национной характеристики (рис. 1.27, е) определяется полосой про-
пускания резонансных контуров дискриминатора: Afnp==2(/0—А)=
=2(/2—/о)=/2—А- Для сглаживания пульсаций напряжения на выхо-
де детекторов дискриминатора включены фильтры нижних частот с
постоянной времени Тф»5//0. С учетом фильтра нижних частот переда-
59
точная функция частотного дискриминатора имеет вид
^чд (р)=иа (р w (р)=м( 1+ад,
т. е. частотный дискриминатор как динамическое звено является апе-
риодическим звеном первого порядка.
Фазовые дискриминаторы. Фазовые дискриминаторы предназна-
чаются для обнаружения фазового сдвига между двумя переменными
напряжениями с одинаковыми или близкими по значению частотами
и преобразования этого сдвига в пропорциональное значение постоян-
ного напряжения.
В радиоэлектронных системах управления фазовые дискриминато-
ры используются для разделения каналов системы автоматического со-
провождения по направлению движущихся объектов, а также в каче-

Рис 1 28	Рис. 1.29	Рис 1 30
стве интегрирующих дискриминаторов в системах фазовой автопод-
стройки частоты и, в частности, в доплеровских измерителях скорости
движущихся объектов.
Существует несколько разновидностей схем фазовых дискримина-
торов. В данном пособии рассматривается дискриминатор на полевых
транзисторах, схема которого представлена на рис. 1.28. Чтобы вы-
ходное напряжение фазового дискриминатора зависело лишь от изме-
ряемого фазового сдвига и не зависело от амплитуды входного напря-
жения, перед фазовым дискриминатором ставят амплитудный ограни-
читель.
Обозначим: \иоа=ит sin <о0^ — опорное напряжение дискримина-
тора; «!, 2 = ± К2 и0 sin (<оо/ -ф ф) — входное парафазное напряжение
дискриминатора, где и0 — действующее значение напряжения сигнала
ис на выходе амплитудного ограничителя; <р — фазовый сдвиг входного
напряжения дискриминатора относительно опорного напряжения;
7?н — сопротивление стоковой нагрузки; С$ — емкость конденсатора
фильтра нижних частот; S — крутизна характеристики полевого тран-
зистора.
60
Тогда
(Л_1 г'о ± V 2 u0Ssin(®0/ + <р) 0<®0/<л
0	л<оз0/^2л,
где ii(Z), i2(t) — токи в стоковых цепях транзисторов.
Усредняя за период, получаем
2л	_
1 р	1 -уГ 2
2 = 2^ J 1’1.2 (®о0 d (®„0 =2 i0 ± Su0 cos <р
о
и находим напряжения на стоковых нагрузках. uhi,2=/?hIi,2 и выход-
ное напряжение дискриминатора
9 -\/~ 2 I
ил = ит—u«z = ~z~n * u0SR„ cos <р a; wnSZ?Hcos(p. (1.80)
Определим измеряемый фазовый сдвиг Д<р между напряжением сиг-
нала и опорным напряжением в соответствии с рис. 1.29, как А<р=
=л/2—<р, т. е. в качестве входной величины фазового дискриминатора
будем рассматривать дополнение угла ср до nz2. Тогда
ил = u0SRazos <р = u0SRn sin Дф,
откуда при малых фазовых сдвигах (Дф^30°) имеем
«д = u0SR н Дф = йфдДср,
где kt^—iioSRH — коэффициент передачи фазового дискриминатора,
В/рад.
Таким образом, по виду статической характеристики фазовый дис-
криминатор является ограниченно-линейным звеном.
Рассмотрим процессы в фазовом дискриминаторе в случае, когда
его входная величина — фазовый сдвиг Дф — не остается постоянной,
а изменяется во времени.
Составим схему замещения стоковых цепей дискриминатора, как
показано на рис. 1.30, где Rt — внутреннее сопротивление транзисто-
ра; иг=«о57?гДф/2 — напряжение эквивалентного генератора. Пере-
ходя к изображениям, на основании схемы замещения получаем
_ u0SRi АФ (р) RK/Rj _ *7 [0,5^фд
2	1 + /?„Сфр ±1+^^^’’
где ДФ(р) — изображение Дф(/); T^^R^C^— постоянная времени
фильтра нижних частот.
Отсюда находим изображение выходного напряжения дискрими-
натора
(р) =	(р) -(р) = Лф О) (1 -81)
61
и его передаточную функцию
г (0) = £а<р1 = 1фд
Дф(р) 1 + Тфр-
Таким образом, по виду динамической характеристики фазовый
дискриминатор является апериодическим звеном первого порядка.
Фазовые дискриминаторы широко используются в системах фазо-
вой автоматической подстройки частоты.
Найдем зависимость выходного напряжения фазового дискримина-
тора от частотного рассогласования системы автоподстройки частоты,
т. е. от отклонения частоты входного сигнала
от частоты опорного напряжения.
Обозначим: <ос=2л/с— угловая частота на-
пряжения сигнала; <о0=2л/0 — частота опор-
ного напряжения; Д/=/с—/0 — отклонение ча-
стоты напряжения «сот частоты напряжения «оп.
Пусть к начальному моменту времени t=0
рассогласование в системе как по частоте, так и
по фазе отсутствовало, т. е.	и Д<р(/)=0
при /<0, а в момент времени 1=0 частота сиг-
нала начала изменяться и возникло частотное
рассогласование Д/(/)=0=О при t^O, т. е. /с(/)¥=/о(О для t^O.
Представим напряжения ис и иоп, как это принято в электротехни-
ке, в виде векторов, вращающихся со скоростью йс=2л/с и й0=2л/0
(рис. 1.31). Тогда скорость вращения вектора ис относительно вектора
иоп, с одной стороны, как следует из рис. 1.31, равна П=с(Д<р/<Й, а с
другой — Й=ПС—й0=2л(/с—/0)=2лД/. Таким образом, ^2 = 2л Д/,
откуда, интегрируя, олучаем
t
Дф (/) = 2л Д/ (/f) dt’.
о
(1-82)
Следовательно, фазовый сдвиг между двумя гармоническими коле-
баниями пропорционален интегралу по времени от разности частот
этих колебаний. Поэтому, если в качестве входной величины фазового
дискриминатора рассматривать не фазовый сдвиг, а разность частот
напряжения сигнала ис и опорного напряжения «оп, то фазовый дис-
криминатор представляет собой интегрирующий частотный дискрими-
натор.
Найдем передаточную функцию дискриминатора для этого случая.
На основании (1.82) и (1.81) имеем
II	^фд Л/Т> / \ ^Фд о № (р)
а^~ 1 + ГфрДФ (?)~ 1 + 7фр2л~7~’
откуда
П7	2я*фд
&F (р)~~ рО + Тфр)’
62
т. е. фазовый дискриминатор, используемый как'частотный дискрими-
натор системы фазовой автоподстройки частоты, является инерционным
интегрирующим звеном.
Угловые дискриминаторы. Угловые дискриминаторы систем авто-
матического сопровождения по направлению движущихся объектов
предназначены для обнаружения отклонения равносигнального направ-
ления следящей антенны от направления на объект и преобразования
этого отклонения в постоянное или переменное напряжение.
б)
Рис. 1.32
В зависимости от способа формирования равносигнального направ-
ления угловые дискриминаторы систем АСН подразделяют на две
группы: 1) дискриминаторы с последовательным сравнением сигналов,
или дискриминаторы с интегральным равносигнальным направлением;
2) дискриминаторы с одновременным сравнением сигналов, или дис-
криминаторы с мгновенным равносигнальным направлением.
Рассмотрим дискриминатор с последовательным сравнением сиг-
налов.
Угловой дискриминатор с последовательным сравнением сигналов.
Если излучатель антенны привести во вращение с постоянной угловой
скоростью ®ск вокруг оси 00', направление которой не совпадает с
электрической осью антенны, то, как видно из рис. 1.32, а, ось макси-
мума излучения будет описывать в пространстве коническую поверх-
ность, а диаграмма направленности будет вращаться (сканировать) с
угловой частотой <оск.
На рис. 1.32, б показаны два крайних положения сканирующей
диаграммы в плоскости чертежа, разделенные интервалом времени,
равным половине периода сканирования.
Пересечем пространственную диаграмму направленности плоско-
стью Пл, перпендикулярной оси вращения, как показано на рис. 1.32, б.
Пусть О" — точка пересечения оси вращения с этой плоскостью.
В процессе сканирования ось максимума излучения описывает на этой
плоскости окружность с центром в точке О". Пусть В — точка пересе-
чения этой плоскости с направлением на объект. Если точка В не сов-
63
падает с точкой О", т. е. если объект ДО не находится на оси вращения
диаграммы, то, как видно из рис. 1.32, б, интенсивность облучения
объекта в процессе сканирования периодически изменяется: интенсив-
ность облучения максимальна, когда максимум излучения проходит
через точку А1г наиболее близкую к точке В; интенсивность облучения
объекта минимальна в момент наибольшего удаления максимума излу-
чения от точки В (в точке А2). Аналогично изменяется в процессе ска-
нирования и коэффициент усиления антенны (при работе ее на прием)
для сигналов, отраженных от объекта, находящегося на направлении
ОВ.
Соответственно изменяется и амплитуда радиоимпульсов, отражен-
ных от объекта и принятых радиоприемным устройством, как показано
на рис. 1.33, а.
Если же направление на объект совпадает с направлением оси вра-
щения диаграмм (точка В совпадает с точкой О"), то максимум излуче-
ния при сканировании находится на неизменном расстоянии от объек-
та и, следовательно, амплитуда радиоимпульсов, отраженных от объек-
та, будет постоянной, как показано на рис. 1.33, б.
Поэтому направление оси вращения диаграммы направленности
называют равносигнальным направлением.
Рассмотрим образование сигнала ошибки. Проведем через точку
О" в плоскости сечения диаграммы направленности горизонтальную
и вертикальную координатные оси 0"£ и 0"т) и обозначим 1, 2, 3, 4
точки последовательного пересечения этих осей максимумом излуче-
ния. Тогда положение объекта относительно равносигнального направ-
ления определяется вектором отклонения 9, имеющим две составляю-
щие— 9 и <р, где -& = |0| —отклонение объекта от равносигнального
направления; <р — направление отклонения в плоскости сечения диа-
граммы направленности.
Проекции 91 и Э2 вектора отклонения 0 на оси системы координат
0"^т] определяют значения углового отклонения объекта от равносиг-
нального направления соответственно в азимутальной и угломестной
плоскостях.
Приняв за начало отсчета времени момент прохождения оси макси-
мума излучения через точку 1, напишем выражение для огибающей
uor(f) отраженных от объекта радиоимпульсов;
_	ыог(0 = К2 uft(9)cos(®CK/—<р),	(1.83)
где /2 «д— амплитуда огибающей, пропорциональная при малом
отклонении 9 этому отклонению, т. е. ид=й*9(йд — коэффициент
64
передачи дискриминатора, определяемый свойствами только радио-
технической части системы АСН).
Огибающая uor (t) образуется на выходе детектора радиоприемного
устройства в виде переменного напряжения с амплитудой К2 ид и час-
тотой, равной частоте сканирования <оск.
Выделение из напряжения огибающей u0T(t) напряжений ошибки
иД1 и иД2 для азимутальной и угломестной следящих систем осуществля-
ется посредством двух фазовых дискриминаторов ФД1 и ФД2, источни-
ком питания которых служат генераторы опорных напряжений. Эти
генераторы, кинематически связанные с осью вращения антенны, выра-
батывают два напряжения и и2 частоты сканирования, сдвинутые
между собой по фазе на 90° так, что при указанном начале отсчета вре-
мени
ul(Z) = u0cos®cJ,	(1-84)
u2(t) =u0cos(®CK/ — л/2).	(1.85)
Напряжение Uj является опорным напряжением для фазового дис-
криминатора азимута ФД1, а напряжение и2 — опорным напряжением
фазового дискриминатора наклона ФД2. Напряжение иот подается на
входы обоих фазовых дискриминаторов.
Сопоставление выражений (1.84) и (1.85) с выражением (1.83) пока-
зывает, что фазовый сдвиг напряжения иот относительно напряжений
Uj и и2 равен ср и ср—л/2 соответственно, где <р — угол, определяющий
положение вектора отклонения 0 в плоскости сечения диаграммы на-
правленности.
В соответствии с (1.80) на выходе фазового дискриминатора канала
азимута возникает постоянное напряжение
^д1 = ^фд^д COS ф = ^фд^*д0 COS ф ^уд^1»
а на выходе фазового дискриминатора канала наклона напряжение
МД2 = ^фдид sin <р = бфдйдй sin <р = &уд&2,
где &фд — коэффициент передачи фазовых дискриминаторов; k7R=
— коэффициент передачи дискриминатора каждого из каналов
системы АСН, учитывающий коэффициент передачи фазовых дискри-
минаторов.
Зависимость напряжения ошибки ид112 от угла рассогласования
й1,2 называют дискриминационной характеристикой радиотехнического
углового дискриминатора. Таким образом, дискриминационная харак-
теристика— это статическая характеристика дискриминатора. При
малых углах рассогласования эта характеристика является линейной.
При больших угловых рассогласованиях дискриминационная ха-
рактеристика имеет вид ид=Р(Ь), показанный на рис. 1.34, а. Эту
характеристику нетрудно получить графически из рис. 1.34, б, если
учесть, что выходное напряжение дискриминатора пропорционально
разности отрезков OBj и ОВ2.
Из рис. 1.34, а видно, что с ростом &ид сначала возрастает, а затем
уменьшается. При напряжение ошибки обращается в нуль.
3 Зак. 561
65
В соответствии с характеристикой рис. 1.34, а радиотехнический
угловой дискриминатор с последовательным сравнением сигналов от-
носится к числу ограниченно-линейных звеньев.
По виду динамической характеристики этот дискриминатор явля-
ется безынерционным звеном с передаточной функцией W7Jl(p)=k7n.
Угловой 'дискриминатор с одновременным сравнением сигналов.
Антенна углового дискриминатора системы АСН с одновременным срав-
нением сигналов состоит из отражателя и четырех излучателей, распо-
ложенных симметрично относительно геометрической оси отражателя
и формирующих четыре пространственных диаграммы направленности,
как показано на рис. 1.35, а.
Линия пересечения этих диаграмм, совпадающая с геометрической
осью отражателя, является равносигнальным направлением антенны.
Если пересечь пространственную диаграмму направленности вер-
тикальной плоскостью, проходящей через равносигнальную ось 00't
то в плоскости сечения получим плоскую, угломестную диаграмму
Рис. 1.35
направленности, состоящую из двух лепестков, как показано на рис.
1.35, б. Аналогично может быть получена азимутальная диаграмма
направленности.
Так как в рассматриваемой системе все четыре излучателя работа-
ют одновременно — сначала на передачу, а затем на прием поочеред-
но, то интенсивность облучения объекта, находящегося в пределах диа-
граммы направленности, слабо зависит от направления на объект. Эта
зависимость характеризуется суммарной диаграммой направленности,
показанной на рис. 1.35, б пунктиром.
Поэтому в отличие от диаграммы направленности антенны системы
АСН с последовательным сравнением сигналов каждый отдельный ле-
песток диаграммы направленности антенны системы АСН с одновре-
менным сравнением сигналов характеризует зависимость коэффици-
66
UdZ
Рис. 1.36
ента усиления соответствующего излучателя антенны при работе на
прием от направления прихода отраженного от объекта сигнала.
Так, коэффициент усиления /гу1 излучателя Hi при приеме сигнала,
отраженного от объекта В (рис. 1.35, б), пропорционален отрезку OBi,
а коэффициент усиления ky2 излучателя И2 при приеме того же сигнала
пропорционален отрезку 0В2, т. е. &у1=&мОВ1/ОЛ4, ky2=kMOB2/OM,
где ОМ — отрезок, соответствующий максимуму диаграммы направ-
ленности; kM — максималь-
ное значение коэффициента
усиления излучателей.
В зависимости от спо-
соба обработки принятых
сигналов системы АСН с
одновременным сравнением
сигналов подразделяют на
фазовые, амплитудные и
суммарно-разностные си-
стемы. Ограничимся рассмотрением дискриминатора суммарно-раз-
ностной системы.
Рассмотрим образование сигнала ошибки в таком дискриминаторе
при сопровождении движущегося объекта в какой-либо одной плоскос-
ти, например угломестной.
Обозначим через угловое отклонение объекта от равносигналь-
ного направления 0'0" в угломестной плоскости.
Пусть v — сигнал, отраженный от объекта и принятый излучате-
лями Hi и И 2- Тогда поступающий с выхода излучателя Нг в канал
радиоприемного устройства сигнал
Vi = feylv = k^vOBi/OM
и соответственно сигнал на выходе излучателя И2
v2 = ky2v = kMvOB2/OM.
Излучатели Их и Я2 связаны с приемопередающим устройством
посредством суммарно-разиостного волноводного моста М, с одного
выхода которого снимается разностный сигнал (рис. 1.36):
ид = ^1—v2 — kMv (OB,—ОВ2)/ОМ tv kMyv$2,
где у — коэффициент пропорциональности, а с другого — суммарный:
V% = Vi + v2 = kMv (OBi + OB2)/OM « 2kMv.
Сигналы и vs поступают на преобразователи частоты, состоящие
из смесителей См^ и См % и гетеродина Г, на выходе которых образу-
ются разностное и суммарное напряжения промежуточной частоты
«д = /гсмЦд и u^=kcwv^, которые усиливаются усилителями промежу-
точной частоты УПЧц и УПЧ%.
Разностное напряжение с выхода УПЧ& поступает на вход фазового
дискриминатора ФД, опорным напряжением£и0П которого служит
суммарное напряжение на выходе УПЧ%.
3* Зак. 561
67
На выходе фазового дискриминатора образуется постоянное на-
пряжение ид2, которое в соответствии с ранее полученными соотноше-
ниями может быть представлено в виде
^Д2^фд^уПЧ^Д	^уд^2’
где /гфд — коэффициент передачи фазового дискриминатора; йупч —
коэффициент усиления усилителей промежуточной частоты; /гсм —
коэффициент передачи преобразователей частоты; /гуд — коэффициент
передачи углового дискрими-
натора с одновременным срав-
нением сигналов.
Аналогичный вид имеет
зависимость сигнала ошибки
ид1 от угла рассогласования
в азимутальной плоскости,
т. е. Цд1~^Уд^1.
Таким образом, при ма-
лых углах рассогласования
статические (дискриминаци-
онные) характеристики дис-
криминатора для азимуталь-
сопровождения линейны Для
uSTP
ид
Рис. 1.38
ного и угломестного каналов системы сопровождения линейны Для
больших угловых рассогласований дискриминационные характеристи-
ки имеют вид, аналогичный виду характеристик, представленных на
рис. 1.34, а, т. е. u„=F(fl).
По виду динамической характеристики этот дискриминатор явля-
ется безынерционным звеном с передаточной функцией Wyn(p)—kyn.
Временные дискриминаторы.
Временные дискриминаторы
предназначены для обнаруже-
ния временного рассогласова-
ния между отраженным и се-
лекторным импульсами системы
АСД (см. § 1.2) и преобразо-
вания этого рассогласования в
пропорциональное значение по-
стоянного напряжения.
Нечетная дискриминационная характеристика временного дискри-
минатора получается вследствие того, что временной модулятор систе-
мы АСД вырабатывает пару смежных следящих селекторных импульсов
(полустробов) мс1 и «с2, как показано на рис. 1.37. При этом взаимное
расположение на временной оси отраженного и следящих импульсов
характеризуется положением средней линии продетектированного
отраженного импульса (видеоимпульса) относительно границы раздела
следящих импульсов.
Временное рассогласование \tc=tD—tc является входной величи-
ной временного дискриминатора, причем вследствие движения объекта
рассогласование Д<с есть функция момента наблюдения, т. е. =
= А/С[п1.
68
Временной дискриминатор состоит из двух схем совпадений (логи-
ческих схем «И») CCi и СС2, сглаживающих цепей СЦА и СЦ2 и вычи-
тающего устройства ВУ (рис. 1.38).
На первые входы схем совпадений поступает последовательность
продетектированных отраженных радиоимпульсов (видеоимпульсов
цели) иотр(^). На второй вход первой схемы совпадения ССХ поступает
последовательность «ранних» следящих импульсов, а на второй вход
второй схемы совпадений СС2 поступает последовательность «позд-
них» следящих импульсов.
Положим, что видеоимпульсы — это импульсы прямоугольной фор-
мы с напряжением ий. Тогда на выходе схемы совпадений ССГ (рис. 1.39)
Рис. 1.39
г
образуется последовательность видеоимпульсов иА (t) с напряжением
«о и длительностью <и/2+ДЦп], а на выходе схемы совпадений СС2 —
последовательность видеоимпульсов uB(t) с напряжением ии и длитель-
ностью ta/2—ДЦп]. После сглаживания образуются усредненные на-
пряжения
-	О,5/И + Д/С[и]	- _ 0,5/и — Д/с [п]
иА — ио----т-----> иВ — иа у
После вычитания получаем выходное напряжение временного дискри-
минатора:
ил = иА—ив = 2и0	= при |Д^К^н/2,
где йвд=2«о/Т — коэффициент передачи временного дискриминатора.
Из графического построения, представленного на рис. 1.40, видно,
что ид пропорционально разности площадей импульсов последователь-
ностей иА и ив. Следовательно, ия возрастает линейно с ростом Д/с при
|Д^с|^и/2. По мере дальнейшего возрастания Д^с выходное напряже-
ние дискриминатора уменьшается и при | Д^с|^1,5^и становится рав-
ным нулю. Таким образом, по виду статической характеристики вре-
менной дискриминатор является ограниченно-линейным звеном.
69
Оценим порядок величины коэффициента передачи временного дис-
криминатора. Пусть ио=1О В, Т— 10~3 с. Тогда йвд=20-103 В/с=
=20 мВ/мкс. Динамические характеристики временного дискримина-
тора определяются свойствами сглаживающих цепей (7?С-фильтров
нижних частот), которые явля-
ются апериодическими звеньями
первого порядка с постоянными
времени ТЕД«0,1 с. Таким обра-
зом, временной дискриминатор
как динамическое звено автома-
тической системы является апе-
риодическим звеном первого по-
рядка с передаточной функцией
№вд (р)=Ьвд/(1 + Твдр).
Статические эквиваленты
дискриминаторов. Радиотехни-
ческие системы работают в ус-
ловиях мешающих воздействий
(помех), которые могут сущест-
венно снизить качество работы
систем радиоавтоматики. При
анализе влияния помех на работу системы радиоавтоматики необ-
ходимо учитывать нелинейность дискриминационной характеристики
дискриминатора системы. При этом полезной оказывается обобщенная
структурная схема радиотехнической следящей системы, представлен-
ная на рис. 1.41, состоящей из нелинейного безынерционного дискри-
минатора с характеристикой ua=F(e) и линейной части с передаточной
функцией Wo(p) = W(р)//гдр, где /гдр — коэффициент передачи дискри-
минатора, соответствующий линейному участку дискриминационной
характеристики; IF(/?) — передаточная функция разомкнутого контура
линеаризованной системы радиоавтоматики.
Рис. 1.41
Ограничимся случаем аддитивной помехи, когда искаженное поме-
хой напряжение сигнала исп(0 представляет собой аддитивную смесь
сигнала и помехи, или, другими словами, алгебраическую сумму собст-
венно напряжения сигнала wc(^; g), содержащего информацию об уп-
равляющем воздействии g(t), и напряжение помехи т. е. ыСп(0 =
=uc(<; g)+Wn(0- При этом выходное напряжение ыдп(0 дискримина-
тора системы радиоавтоматики будет состоять из напряжения ошибки
«д(0 и напряжения помехи ua(t) (см. рис. 1.41): «дп(0=ыд(0+«п(0.
где ид(^)=/гдре(^). При наличии помехи «„(0 напряжение ыд(0 зависит
не только от рассогласования системы e(t), но и от относительной ин-
тенсивности помехи.
70
Пусть Рс и Рп — соответственно мощности полезного сигнала и
помехи на входе дискриминатора. Относительная интенсивность по-
лезного сигнала и помехи характеризуется отношением q2—PcIPn,
которое называют отношением сигнал/шум по мощности. Дискримина-
ционная характеристика дискриминатора ua=F(e), рассмотренная в
предыдущих разделах, при наличии помехи существенно зависит от
отношения <?2, т. е. ия~F(e; q2). При уменьшении этого отношения мак-
симумы дискриминационной характеристики снижаются и коэффици-
ент передачи /гдр дискриминатора падает, как показано на рис. 1.42.
Это объясняется нормирующим действием нелинейных элементов радио-
приемного устройства, таких, как амплитудный ограничитель, детек-
тор, устройство автоматической регулировки усиления и т. д.
Напряжение помехи на выходе дискриминатора wn(0 представляет
собой случайный процесс со спектральной плотностью мощности S (со;
е), зависящей от рассогласования е системы радиоавтоматики.
Часто напряжение wn(0 имеет постоянную спектральную плот-
ность в полосе частот, значительно превышающей полосу пропускания
линейной части системы с передаточной функцией 1У0(р)- В этом случае
помеху можно считать белым шумом и представить ее в виде
ип (t) — KS (0; e)u0(t), где S (0; е) — значение спектральной плотно-
сти напряжения помехи un(t) на нулевой частоте; u9(t) — белый шум
со спектральной плотностью, равной 1 Ва/Гц.
Зависимость S (0; е) от рассогласования е называют флуктуацион-
ной характеристикой дискриминатора. Качественный характер ее
показан на рис. 1.43.
Дискриминационная F (е; q2) и флуктуационная S (0; е) характе-
ристики дискриминатора являются важнейшими его характеристика-
ми, используемыми в задачах исследования систем радиоавтоматики,
работающих в условиях аддитивных помех.
Объекты управления систем радиоавтоматики. Объектами управ-
ления типовых систем радиоавтоматики, рассмотренных в § 1.2, явля-
ются: управляемые генераторы — в системах АПЧ, устройства вре-
менной задержки — в системах АСД, устройства управления положе-
нием диаграммы направленности — в системах АСН.
Управляемый генератор УГ системы АПЧ представляет собой гене-
71
ратор гармонических колебаний. В цепь резонансного контура этого
генератора включен элемент, управляющий частотой его колебаний,
например полупроводниковый диод V (варикап), емкость запертого
р-и-перехода которого зависит от приложенного к этому переходу
управляющего напряжения иу, как показано на рис. 1.44. При изме-
нении емкости р-и-перехода варикапа изменяется резонансная частота
контура генератора и соответственно частота его колебаний. При малых
относительных изменениях Д/г частоты колебаний управляемого гене-
ратора, т. е. при Д/г</0 (/о — промежуточная частота системы АПЧ),
справедлива зависимость Д/Г=^1.иу, Т/гг] = Гц/В, т. е. статическая ха-
рактеристика управляемого генератора линейна.
и г ~UM COSZ7T \fr0 +4 fr (isv)] t
Рис. 1.44
При скачкообразном изменении управляющего напряжения соот-
ветствующее значение частоты колебаний /г=/го+^гыу устанавливает-
ся за время, равное нескольким десяткам периодов колебаний генера-
тора, т. е. управляемый генератор является апериодическим звеном
первого порядка с передаточной функцией
^(/') = гТ(§2"ТтЬ-™е7'г=1',,Л-
Обычно постоянная времени Тт на несколько порядков меньше по-
стоянных времени остальных звеньев системы АПЧ. В этом случае
ею можно пренебречь и рассматривать управляемый генератор как
безынерционное звено с передаточной функцией Wyr(p)=kT.
Рис. 1.45
Объект управления системы АСД — устройство временной задерж-
ки, или временной модулятор, состоит из генератора пилообразного
напряжения ГПН и компаратора К, рис. 1.45 (применяются и другие
схемы временного модулятора — на ждущем мультивибраторе, на
фантастроне). ГПН «запускается» в момент излучения зондирующего
импульса th. При этом на выходе ГПН возникает линейно изменяюще-
еся во времени напряжение ил, поступающее на один из входов компа-
ратора. На второй вход компаратора поступает управляющее напря-
жение «у, пропорциональное (с точностью до ошибки сопровождения)
72
дальности D сопровождаемого объекта (см. § 1.2). В момент времени
th, когда достигается равенство напряжений ил(0 и иу, на выходе ком-
паратора возникает видеоимпульс, запускающий формирователь се-
лекторных импульсов, момент возникновения которых t'k задержан
относительно момента излучения зондирующего импульса th на время
tz=t'k—tk, пропорциональное управляющему напряжению иу. Дейст-
вительно, как следует из рис. 1.45, выходное напряжение ГПН изме-
няется по закону ил—им{1—в момент t'k выполнения равенства
ил(^)=ыу имеем uM(t'k—t^lTn=uy, откуда получаем	—tk =
=TntiyluM или te=kBMuy, где kBti=Tnluv— коэффициент передачи
временного модулятора.
Таким образом, объект управления системы АСД — временной
модулятор является линейным безынерционным звеном с передаточной
функцией WBM(p)=kB№.
Объектом управления каждого из двух каналов системы АСН явля-
ется устройство управления положением диаграммы направленности
в соответствующей плоскости, состоящее из исполнительного двигате-
ля, связанного посредством редук-
тора Р, и карданного подвеса КП
со следящей антенной А, как по-
казано на рис. 1.46.
При возникновении в системе
АСН рассогласования на выходе
управляющего устройства появляется управляющее напряжение и'у,
под действием которого ротор исполнительного двигателя приходит во
вращение с угловой скоростью Пд. Зависимость Пд от иу определяется
дифференциальным уравнением 7дПд+Пд=йдг/у, где Тл — постоянная
времени двигателя; kR—коэффициент передачи двигателя, 1/гд] =
=рад-с~1-В~1. При этом антенна А поворачивается в соответствующей
плоскости (азимутальной или угломестной) с угловой скоростью 6=
=/>рПд, где kv — коэффициент передачи редуктора совместно с кар-
данным подвесом.
Переходя к изображениям, получаем (7'др+1)Пд(р)=^д6гу(р),
/90 (р)=^рПд(р), откуда находим передаточную функцию объекта уп-
равления системы АСН, определяемую отношением изображения угла
поворота антенны к изображению управляющего напряжения:
^оу (р)
е (?)
иу (р)
ри + тяРу
Таким образом, объект управления системы АСН — устройство
управления положением диаграммы направленности, как динамическое
звено автоматической системы, является инерционным интегрирующим
звеном.
Глава 2
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ
СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ
§ 2.1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ
Критерии устойчивости. Понятие устойчивости замкнутых авто-
матических систем было рассмотрено в § 1.3. Там же было показано,
что устойчивой является та автоматическая система, у которой все
корни характеристического уравнения (1.12), соответствующего диффе-
ренциальному уравнению (1.7) этой системы, имеют отрицательные
вещественные части.
Если корни характеристического уравнения изобразить в виде то-
чек на комплексной плоскости, как показано на рис. 2.1, где на оси
абсцисс откладывают значение вещественной части корня, а на оси ор-
динат — значение мнимой части, то устойчивая система может быть
определена как система, все корни характеристического уравнения
v,j3 которой лежат в левой полуплоскости (т. е. имеют
*	отрицательные вещественные части). Таким образом,
।	''	исследование устойчивости замкнутой автоматичес-
I	>	кой системы связано с необходимостью решения ал-
—I-----у'ь—— гебраического уравнения, степень которого опреде-
|	ляется порядком дифференциального	уравнения си-
I	стемы.
' $	;	Однако выражения для корней алгебраического
р	уравнения	являются	достаточно простыми лишь для
Рис. 2 1	уравнений	не выше	второй степени.	Для уравне-
ния третьей или четвертой степени они в силу их
сложности практически не пригодны для анализа устойчивости авто-
матической системы, а корни уравнения выше четвертой степени в об-
щем виде получены быть не могут. В связи с этим были разработаны
критерии (признаки) устойчивости, позволяющие судить об устойчи-
вости системы непосредственно по коэффициентам характеристического
уравнения без вычисления корней. Кроме того, указанные критерии
позволяют не только ответить на вопрос, устойчива система или нет,
но, что гораздо важнее, и осуществить выбор некоторых параметров
системы, обеспечивающий ее устойчивость, т. е. решить в какой-то
мере задачу синтеза.
Покажем, что необходимым (но не достаточным) условием устойчи-
вости системы является положительность всех коэффициентов харак-
теристического уравнения (1.12) (при положительном коэффициенте
а0 при старшей степени). Это значит, что при положительности всех
коэффициентов система может быть устойчивой, но может быть и неус-
тойчивой. Если же не все коэффициенты характеристического уравне-
ния положительны, то система наверняка неустойчива и никаких до-
полнительных исследований устойчивости не требуется.
Ограничиваясь для простоты случаем отрицательных вещественных
корней, представим левую часть алгебраического уравнения (1.12) в
74
виде
аорп + а1рп-1^- ... Л-а^р 4-а„ = а0(р—Pi) (?—?*)• ’ ЛР~Рп) =
= «0(р +а,) (р + а2). . .(/? + «„),	I2’1'
где Рй=—«л (aft>0) — корни этого уравнения, й=1,п.
Раскрыв скобки и приравняв коэффициенты при одинаковых сте-
пенях переменной р в левой и правой частях равенства (2.1), учрежда-
емся, что при отрицательных корнях рк характеристического уравне-
ния (1.12) все коэффициенты этого уравнения положительны (ПРИ “°'>
>0).
Заметим, что для уравнений первого и второго порядков полученное
условие устойчивости является не только необходимым, но и достаточ-
ным, в чем нетрудно убедиться прямым вычислением корней уравнения.
Критерий устойчивости Гурвица. Критерий устойчивости Гурвица
относится к числу алгебраических критериев, т. е. критериев, сформу-
лированных в виде некоторых алгебраических формул. Критерий Гур-
вица приведем без доказательства. Составим из коэффициентов харак-
теристического уравнения замкнутой автоматической системы (1.12)
квадратную матрицу, пользуясь следующим правилом.
По главной диагонали матрицы записывают коэффициенты уравне-
ния от аг до ап. Затем каждый столбец матрицы заполняют коэффици-
ентами этого-же уравнения: вверх — в порядке возрастания индекса
коэффициентов, вниз — в порядке убывания. В тех местах каждого
столбца, где индекс оказывается отрицательным или превышает п,
записывают нуль. Таким образом, матрица имеет вид
~ аг	а3	а.	...	0	0
а0	а2	ai	...	0	0
0	О]	а,	...	0	0
(2-2)
0 00 ... а„_1 0
О 0 0 ... ап_2 ап_
Затем из элементов этой матрицы, расположенных симметрично
относительно главной диагонали, составляют определители Гурвица:
А
п
аг а3
Д2 =
«о «2
аг	а3	а3	...	0
а0	а2	ai	...	0
0	а,	а3	...	0
Д3 —
й, а3
а0 а2 at
0 аг а3
£Z1 йд й-
й0 й2
0 аг а3
А^а,,
0	0
0	0
0	0
Критерий Гурвица формулируется следующим образом. Для устой-
чивости системы с характеристическим уравнением (1.12) необходимо
75
и достаточно, чтобы при a0>Q все п определителей Гурвица, составлен-
ных из коэффициентов этого уравнения, были положительны, т. е.
чтобы
Д1 > О, Д2 > 0........Д„_!	> О, Д„ > 0.
Фактически при определении устойчивости системы необходимо
вычислить не п, ап — 2 определителя, поскольку	в силу
необходимого условия устойчивости, а Дп=апДп_1, так как последний
столбец определителя Дп содержит лишь один отличный от нуля эле-
мент ап, причем a^>Q.
В качестве примера рассмотрим условия устойчивости системы
АСН (см. § 1.3), дифференциальное уравнение которой имеет вид (1.6):
[7\V + (Л + ту) р* + р +	у (t) = K.g (t),
чему соответствует характеристическое уравнение
«оР3 + агр2 + <£р + а3 = 0,
(2.3)
где й0=ТдТу, а^Тд+Ту, «2=1, «3=/<1.
Поскольку необходимое условие устойчивости выполнено, т. е.
все коэффициенты характеристического уравнения положительны, си-
стема может быть устойчивой. Условие устойчивости, т. е. значения
параметров системы, при которых система будет устойчивой, определим
посредством критерия Гурвица. Из матрицы (2.2) для данного случая
получаем
Д1=ц1, Д,= ai =<2.а.,—a„a4,
•	|«0
аэ 0
Ц2 0
£?1 <23
«1
--^3 Д 2 •
Д3= а0
0
Таким образом, для рассматриваемой системы имеем лишь одно
условие устойчивости Д2>0, т. е. ауа2—а0а^>0 или а1а2>а0а3.
Подставляя значения коэффициентов, получаем
Тл + Ту>ТлТуКг.	(2.4)
При проектировании замкнутой автоматической системы постоян-
ные времени ее звеньев, в частности постоянная времени Та исполни-
тельного двигателя и постоянная времени Ту усилителя, являются
заданными. Они определяются свойствами соответствующих элементов
автоматики, входящих в состав системы, и не могут быть изменены в
процессе проектирования системы. Значение же коэффициента Ki=
=kMlkykakp (см. § 1.3) можно изменять в широких пределах, регулируя
коэффициент передачи ky усилителя. Поэтому найдем допустимое по
условию (2.4) значение при заданных Тл и Ту:
7^ < 1/Тд+1/Ту.	(2.5)
Из (2.5) видно, что увеличение постоянных времени отрицательно
сказывается на устойчивости системы, так как при этом снижается
предельное значение коэффициента передачи системы Klt при котором
система еще остается устойчивой.
76
Устойчивость многомерных систем. Если уравнение автомати-
ческой системы записано в переменных состояния (1.30), где матрица
коэффициентов
«11 й12
«21 й22
«1?г
а2п
- @п1	' * * ^un-
to характеристическое уравнение системы может быть получено путем
приравнивания нулю определителя |А—р1\, где / — единичная матри-
ца размером пХп. В результате имеем
«11	Р «12	• • ' «1л
«21	«22	Р * * ' «2л
«?21	@п2	• • • ^пп Р
Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение,
аналогичное (1.12): |	' щ
| А — р/| = (—р)« + а1(—p)«-i +...ал_1(_ р) + я„ = 0.
Полином в левой части этого выражения называют характеристи-
ческой или собственной функцией матрицы А, а корни Xj, Х2, . . .,
Хп характеристического уравнения — собственными значениями мат-
рицы А.
Автоматическая система, описываемая уравнением (1.30), устой-
чива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А
имеют отрицательные вещественные части.
Каждой матрице А может быть поставлена в соответствие квадра-
тичная форма х'Ах. Если для всех х=£0 эта квадратичная форма имеет
строго положительные (отрицательные) значения, то ее называют поло-
жительно (отрицательно) определенной формой. Соответственно матри-
ца А также называется положительно (отрицательно) определенной.
Рассмотрим случай, когда матрица А — симметрическая, т. е. ее
элементы удовлетворяют равенству atj=a}i.
Собственные значения симметрической положительно (отрицатель-
но) определенной матрицы являются положительными (отрицательны-
ми) действительными числами.
Существует критерий Сильвестра положительной определенности
симметрической матрицы. Симметрическая матрица А будет положи-
тельноопределенной, если все ее главные диагональные миноры строго
положительны, т. е. если
«11
0,
«11
«12
М > 0.
«22 I
.... | Л | > 0.
Таким образом, в случае, когда матрица А коэффициентов уравне-
ния (1.30) симметрическая, вопрос об устойчивости системы, описывае-
мой этим уравнением, может быть решен на основании критерия Силь-
вестра положительной определенности матрицы А, взятой с обратным
знаком, а именно: если матрица (—А) положительно определенная, то
77
соответственно матрица А будет отри цательно определенной и, следо-
вательно, все ее собственные значения отрицательны и система устой-
чива.
Критерий устойчивости Михайлова. Рассмотрим левую часть ха-
рактеристического уравнения (1.12), которая представляет собой ха-
рактеристический полином:
О (р) «=аорп + щр"-1 + ... + ап_гр + ап.	(2.6)
Подставив в этот полином р=/со, получим характеристический комп-
лекс:
D (/со) = аа (ja)” + аг (jti>)n~1 4- ... 4- = | D (/“)	>
где |Z>(/co)| — модуль характеристического комплекса; тр(со) =
= arg D (ja) — аргумент характеристического комплекса.
Найдем полное приращение аргумента тр (со) при изменении со от
—оо до +оо для устойчивой и неустойчивой систем. Для простоты
ограничимся случаем вещественных корней характеристического урав-
нения.
Представим характеристический полином в виде D(p)=a0(p—
—Р1)(р—Рз)-  -(р—Рп) и соответственно О (jco)=czo(/co—pJG’co—р2). . .
(/со—рп), где Pk, k=l, п — корни характеристического уравнения.
Для устойчивой системы при вещественных корнях имеем pk=
——ак, aft>0, 6=1, п. Тогда D (jco)=ao(/co4-a1) (/co4-a2). . .(/со+
п
4-an) и аргумент^ (со) = У. arctg —. Отсюда
*=1
Aipesip (оо)—-гр (— оо) = гт/2—(—пп/2) = 2пп/2.
Таким образом, полное приращение аргумента характеристическо-
го комплекса устойчивой системы при изменении со от —оо до^+«»
составляет 2пл/2.
Если же система неустойчива и среди п корней характеристического
уравнения этой системы имеется т положительных корней, т. е. если
Рь=аь>0> k=\, tn, pt=—af, аг>0, Z=m4-l,n, то
D (/со) = а0 (ja—aj (/со—а2)...(/со—а„) (/со4- а„+1)... (/со + а„)
т	п
и тогда г|)(со) = ^2 arctg—^-4- У, arctg
*=1	* ilm + I	а<‘
откуда
Аг|) = г|) (оо)—гр (—оо) = 2 [т 7) 4*(п—/п) у] =
= 2(п—2т) ~ <2п%.
Следовательно, полное приращение аргумента характеристического
комплекса неустойчивой системы меньше чем 2пп/2.
78
Аналогичный результат может быть получен и при наличии среди
корней характеристического уравнения комплексно-сопряженных кор-
ней.
Сформулируем критерий устойчивости Михайлова. Характеристи-
ческий полином (2.6) не будет иметь корней в правой полуплоскости,
если полное приращение аргумента ф (со) при изменении со от —оо до оо
равно 2пл/2, где п — степень полинома D (р).
Критерий устойчивости Найквиста. Критерий устойчивости Найк-
виста позволяет судить об устойчивости замкнутой автоматической
системы по виду амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) разомкну-
того контура этой системы. Вывод критерия Найквиста базируется на
критерии устойчивости Михайлова.
Пусть замкнутая автоматическая система описывается дифферен-
циальным уравнением D (p)y(t)=R (p)g(t), где D (р)=аорп+а1рп~1+...
+ап_1р+ап — характеристический полином замкнутой системы сте-
пени n; R (p)=bopm+b1pm~'l-\~. . +bm_1p-[-bm — полином степени т,
причем m<Zn.
Тогда передаточная функция замкнутой автоматической системы
Н (r>\ = R	• - R-bm-XpR-bm	/9
D (р)	aopn + aiPn~1+...+an^ipR-an '	' ’ ’
а передаточная функция разомкнутого контура этой системы
tw / ч	Я(р) (р) __ ьорт + ь1рт~1+ ... R-bm
КР>	D(p)~R(p) Q(p) Сор„+С1р«-1+...+с„ ’
где Q(p) — полином степени п.
Введем вспомогательную функцию
У1(Р)_1+Г(Р)_1+«Й_^>.	(2.8)
Если
W (j(R) = U (со) + /У(соь	(2.9)
то
F1(/a>) = l + t/(co) + jV(£o).	(2.10)
Из (2.9) и (2.10) видно, что если начало вектора поместить
в точку с координатами (—1; /0), как показано на рис. 2.2, то конец
этого вектора при изменении со от —оо до оо опишет ту же кривую, что
и конец вектора W (jco), т. е. амплитудно-фазовую характеристику ра-
зомкнутого контура автоматической системы.
Представим полином D (jco) и Q(jсо) в виде
D (jco) = | D (jco) | exp [/4|?o (co)], Q (jco) = i Q (/co) | exp [jipQ (co)],
где фо (co) — аргумент полинома D (jco); i|?q (co) — аргумент полинома
Q(j co).
Тогда
= wrexp 1	= 11F1 (/£0) 1 еЖ (и>’
79
где |W'1(/®)|=|D G’m)|/|Q(/®)| — модуль вектора U7i(/«>);
^ifa)=^Dfa) — % fa)—	(2.H)
аргумент вектора 117, (/co).
При изменении частоты со от —оо до оо вектор 117, (/со) как указы-
валось, опишет на плоскости UOV АФХ разомкнутой системы, совер-
шив при этом поворот на угол Дф,, определяемый в соответствии с
(2.11) разностью полных приращений аргументов характеристических
полиномов D(ja) и Q(/co).
Найдем полное приращение аргумента Лф, вектора УГД/со):
Дф^Дфд—Дфс?
при изменении со от —оо до оо для различных типов автоматических
систем при условии, что замкнутая автоматическая система устойчива,
т. е. по критерию Михайлова, Дфс=пл при со £ (—оо, оо).
Статическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии. Рас-
смотрим систему, в состав которой входят лишь устойчивые позицион-
ные звенья, т. е. систему, все корни характеристического полинома
разомкнутого контура которой имеют отрицательные вещественные
части. Тогда, применяя критерий Михайлова к полиному Q(/co), имеем
Ac|)Q=nn и, следовательно, Дф^Дфд—Ai|)Q=nn—пл=0.
Таким образом, вектор (/со), описав АФХ этой системы, не дол-
жен совершить ни одного оборота вокруг своего начала координат,
т. е. вокруг точки с координатами (—1, /0) (рис. 2.3). Из рисунка ясно,
что для рассматриваемой системы Дф,—0 лишь в том случае, если АФХ
этой системы не охватывает точку с координатами (—1, /0). Если АФХ,
изображенная на рис. 2.3, охватывает эту точку, то полное приращение
аргумента Дф, составит 8л/2.
Для дальнейшего важно отметить, что внутренняя область, ограни-
ченная кривой Ц7(/со), лежит справа от этой кривой при движении по
ней в направлении возрастания частоты со от 0 до оо и далее от —оо
до 0.
Следовательно, рассматривая условия устойчивости статической
автоматической системы, приходим к выводу, известному как критерий
устойчивости Найквиста. Для устойчивости замкнутой автоматической
системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточ-
80
но, чтобы АФХ разомкнутого контура этой системы, построенная при
изменении частоты <о в пределах от —оо до оо, не охватывала крити-
ческую точку с координатами (—1, /0).
Астатическая система с астатизмом первого порядка. Рассмотрим
автоматическую систему, содержащую помимо устойчивых позицион-
ных звеньев одно интегрирующее звено. Примерный вид АФХ такой
системы показан на рис. 2.4. Характеристический полином разомкну-
того контура
п-1
Q(p)=pII (1+Пр)
6=1
имеет один корень, равный нулю, и п—1 корней с отрицательной ве-
щественной частью. Применяя критерий Михайлова к этому полино-
му, находим, что при изменении ю от —оо до оо полное приращение
аргумента этого полинома Лфр=(п—1)л.
jv(w)
а> =±оо
1
Рис. 2.5
' Л’А'ггАф(п—1)л=л. Это означает, что вектор
при изменении со от 0 до оо и далее от —оо до 0 должен повер-
нуться на угол л против часовой стрелки (Aipj положительно), как по-
казано на рис. 2.4. Из рисунка видно, что АФХ рассматриваемой систе-
мы делит плоскость на две области — «внутреннюю», лежащую справа
от АФХ при движении по ней в направлении возрастания частоты, и
«внешнюю». Как и в предыдущем случае, замкнутая автоматическая
система будет устойчивой, если точка с координатами (—1, / 0) не по-
падает во внутреннюю область, т. е. если АФХ системы не охватывает
эту точку.
Таким образом, приведенная формулировка критерия устойчивости
Найквиста остается справедливой и для автоматических систем с ас-
татизмом первого порядка.
Астатическая система с астатизмом второго порядка. Рассмотрим
автоматическую систему, содержащую помимо устойчивых позицион-
ных звеньев два интегрирующих звена. Примерный вид АФХ такой
системы показан на рис. 2.5. Характеристический полином разомкну-
81
того контура системы с астатизмом второго порядка
П-2
Q (р)=р2 П (1 + Tkp)
k=i
имеет два корня, равных нулю, и п—2 корней с отрицательной вещест-
венной частью. Применяя критерий Михайлова к этому полиному, на-
ходим, что при изменении <о от—оо до оо полное приращение аргумен-
та этого полинома Афр=(«—2)л.
Тогда	—Афр=«л—(п—2)л=2л. Это означает, что вектор
(/со) при изменении со от 0 до оо и далее от —оо до 0 должен повер-
нуться на угол 2л против часовой стрелки (Ai^ положительно), как
показано на рис. 2.5. Из рисунка видно, что АФХ рассматриваемой
системы делит плоскость на две области — «внутреннюю», лежащую
справа от АФХ при движении по ней в направлении возрастания час-
тоты, и «внешнюю». Таким образом, как и в предыдущих случаях, си-
стема с астатизмом второго порядка будет устойчивой, если точка с
координатами (—1, / 0) не попадет во внутреннюю область, т. е. если
АФХ разомкнутого контура системы не охватывает эту точку.
Преимуществом критерия Найквиста является возможность ис-
пользования его для определения устойчивости системы по снятым
экспериментально частотным характеристикам, когда ввиду сложности
исследуемой системы трудно получить ее дифференциальное уравнение.
Абсолютно устойчивые^иIусловно устойчивые системы. Рассмот-
рим замкнутую систему^радиоавтоматики, описываемую, например,
уравнением (1.6) и имеющую пе-
редаточную функцию разомкнуто-
го контура вида
ir(rt-p(, + rJ,-(, + T,p). (2.12)
соответствующую астатизму пер-
вого порядка. Из (2.12) при р=]<а
получаем
А (со) = —К* = ,
со V 1 V 1 +<о27'1
ф(со) = — у—arctgwTj—arctgwT2.
(2.13)
АФХ устойчивой системы, соответствующая (2.12), изображена
на рис. 2.6, кривая А (для положительных со). Точка пересечения АФХ
с отрицательной полуосью абцисс соответствует частоте <ор, при кото-
рой ф((Ор) = 180°. Точка пересечения АФХ с окружностью единичного
радиуса соответствует частоте <ос, при которой А (сос) = 1. Эту частоту
называют частотой среза разомкнутой системы.
Изменению со от 0 до оо соответствует движение точки по АФХ в
направлении, указанном на рис. 2.6 стрелкой. Для устойчивой систе-
мы, как следует из рисунка, <ор>(ос.
82
При увеличении добротности системы Кг, как видно из (2.13),
АФХ «раздувается» и приближается к критической точке (—1; j 0),
при этом частоты <ос и (ор сближаются и в случае, когда АФХ (кривая
Б на рис. 2.6) проходит через критическую точку (—1, j 0), становятся
равными (<ос=сор). При этом у характеристического уравнения (2.3)
системы появляется пара чисто мнимых корней р1)2=±/₽12 и в систе-
ме возникают незатухающие гармонические колебания с круговой час-
тотой Р12-
Этот случай соответствует так называемой колебательной границе
устойчивости. При дальнейшем увеличении добротности Ki АФХ си-
стемы будет охватывать критическую точку (—1, /0) и система станет
неустойчивой. Аналогичный результат (2.5) был получен для рассмат-
риваемой системы при использовании критерия Гурвица.
Системы, добротность которых ограничена условиями устойчивости
лишь сверху, называют абсолютно устойчивыми системами. При про-
ектировании замкнутых автоматических систем добротность их выби-
рают не из условий устойчивости, а из условий точности (§ 2.3), и,
как правило, добротность систем высокой точности значительно пре-
восходит значение, допустимое по условиям устойчивости. Для обеспе-
чения устойчивости системы в этом случае в ее состав включают кор-
ректирующие устройства, содержащие форсирующие звенья, которые
в определенной полосе частот уменьшают отрицательный фазовый
сдвиг, вносимый интегрирующими и апериодическими звеньями. При
этом АФХ деформируется (рис. 2.7, кривая 2). Кривая 1 соответствует
АФХ системы без корректирующих звеньев.
Как видно из рис. 2.7, а, АФХ скорректированной системы не ох-
ватывает критическую точку (—1, j 0), и, следовательно, система ус-
тойчива.
Заметим, что после коррекции в системе появилось три частоты
<ор1, ®р2 и (Ор3, для которых ф((ор)=—180°, вместо одной кф до коррек-
ции, причем (Ор1>(оР2>-®рз- Кроме того, изменились соотношения:
(О*<со* —до коррекции, что свидетельствует о неустойчивости систе-
мы, и (оР1>(ос — после коррекции, что характерно для устойчивой
системы. При этом существенным является то обстоятельство, что две
частоты: <ор2 и (ор3 меньше частоты среза <ос.
Рассмотрим устойчивость скорректированной системы. Из рис. 2.7
видно, что при увеличении добротности скорректированной системы
точка, соответствующая частоте <ор1, приближается к критической точ-
83
ке (—1, /0), и при некотором значении добротности АФХ скорректиро-
ванной системы будет охватывать критическую точку, как показано
на рис. 2.7, б, т. е. система станет неустойчивой. Таким образом, у
скорректированной системы ограничение сверху для добротности Ki
сохраняется, хотя граничное значение добротности скорректированной
системы в десятки раз больше гра-
ничного значения добротности не-
скорректированной системы.
При уменьшении добротности к
критической точке (—1, /0) будет
приближаться точка АФХ, соответ-
ствующая частоте <ор2, как это сле-
дует из рис. 2.7, а. При некотором
достаточно малом значении Ki эта
точка окажется правее точки
(—1, /0), и АФХ системы, как вид-
но из рис. 2.7, в, снова будет охва-
тывать критическую точку, т. е. си-
стема станет неустойчивой. Следо-
вательно, для рассматриваемой
скорректированной системы помимо ограничения добротности сверху
появляется ограничение допустимого значения добротности снизу,
т. е. система будет устойчивой при Ki, если Amin ^Ki^Kmax-
Системы, допустимые значения добротности которых имеют огра-
ничение как сверху, так и снизу, называют условно устойчивыми. За-
метим. что для условно устойчивых систем с астатизмом не выше вто-
рого порядка число частот (opi, меньших частоты среза, всегда четно.
Это используют для анализа устойчивости автоматических систем ме-
тодом логарифмических частотных характеристик.
На рис. 2.8 представлены ЛАХ и ЛФХ условно устойчивой системы.
Как показано на рисунке, для удобства анализа разметка шкалы ЛФХ
сделана так, что горизонталь, проходящая через точку ф=—180°,
совпадает с осью частот. Как видно на рис. 2.8, рассматриваемая систе-
ма имеет три частоты, на которых ф(<ор)=—180°: фр1, <ор2 и <орз, при-
чем две из них (четное число!) меньше частоты среза <ос. При этом, как
показано на рисунке, асимптота ЛАХ в окрестности частоты среза име-
ет наклон —20 дБ/дек.
Можно показать [5], что необходимым и достаточным условием ус-
тойчивости системы, состоящей из минимально-фазовых звеньев, явля-
ется то, что ЛАХ системы в окрестности частоты среза должна иметь
наклон —20 дБ/дек или, другими словами, что асимптота ЛАХ, пере-
секающая ось частот, должна иметь наклон —20 дБ/дек.
При увеличении или уменьшении добротности системы Ki логариф-
мическая амплитудная характеристика перемещается вдоль оси орди-
нат параллельно самой себе вверх или вниз. При этом точка, соответ-
ствующая частоте среза, перемещается по оси частот или вправо (при
увеличении Ki) или влево (при уменьшении Ki). Если изменения доб-
ротности достаточно велики, то, как показано на рис. 2.8 (ЛАХ-2 или
ЛАХ-3), наклон ЛАХ в окрестности частоты среза уже не будет ра-
84
вен —20 дБ/дек и соответственно число частот (орг, меньших частоты
среза, не будет четным.
Так, в рассматриваемом примере ЛАХ-2 пересекает ось частот с
наклоном —40 дБ/дек, при этом все три частоты <орг (нечетное число!)
оказываются меньше частоты среза. ЛАХ-3 пересекает ось частот с
наклоном —60 дБ/дек и при этом левее точки <ос лежит лишь одна (не-
четное число!) точка, соответствующая частоте (орз.
И в том и в другом случае система неустойчива.
§ 2.2.	ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА
Общие сведения. Основным условием работоспособности замкнутой
системы радиоавтоматики является ее устойчивость. Однако для нор-
мального функционирования автоматической системы одной устойчи-
вости недостаточно. Система должна удовлетворять также определен-
ным .требованиям, предъявляемым к качеству ее работы. Качество ра-
боты систем радиоавтоматики характеризуется показателями качества,
которые можно разделить на три груп-
пы: показатели точности, показатели
запаса устойчивости и показатели
быстродействия.
|Показатели качества, определяе-
мые по переходной характеристике.
Рассмотрим переходную характерис-
тику системы, представленную на
рис. 2.9. На основании переходной
характеристики определяют такие по-
казатели качества переходного про-
цесса, как перерегулирование, определяющее запас устойчивости, и
быстродействие.
Перерегулированием называют относительную величину макси-
мального отклонения управляемой величины г/тах от установившегося
значения г/(оо) в переходном процессе, т. е.
о = Уты-У&) 100%.
У(°°)
Рекомендуемые значения перерегулирования, полученные на осно-
вании опыта эксплуатации автоматических систем, составляют 10—
30%.
Быстродействие системы определяют по длительности переходного
процесса ta. Длительность переходного процесса определяют как вре-
мя, протекающее от момента приложения на вход единичного скачка
до момента, после которого имеет место неравенство
|г/(0—^(оо)(<А при t>tn,
где А — заданная малая постоянная величина, представляющая собой
допустимую ошибку, составляющую обычно 1—5% значения скачка
на входе.
85
Иногда дополнительно к величине перерегулирования о задается
допустимое число колебаний, которое может наблюдаться в течение
времени переходного процесса. Это число составляет обычно 1—2. В не-
которых системах колебания вообще не допускаются, а иногда допус-
кается до 3—4 колебаний.
Частотные показатели качества. В задачах анализа и синтеза си-
стем радиоавтоматики широко используются частотные методы. При
этом наиболее удобными для оценки качества работы системы являют-
ся частотные показатели качества переходного процесса, такие, как
запасы устойчивости по амплитуде и по фазе и показатель колебатель-
ности, который также определяет запас устойчивости.
Как было показано в § 2.1, при изменении добротности условно ус-
тойчивой системы АФХ приближается к критической точке (—1, /0).
При этом переходная характеристика системы становится более коле-
бательной — возрастает перерегулирование, длительность переходно-
го процесса и число колебаний в переходном процессе. Чтобы указан-
ные показатели качества переходного процесса не превышали допу-
стимых по техническому заданию на проектируемую систему значений,.
АФХ должна быть несколько удалена от критической точки (—1, /0).
Степень удаленности АФХ системы от критической точки характери-
зуется запасами устойчивости.
Запасом устойчивости по амплитуде ДА называют расстояние
между критической точкой (—1, /0) и ближайшей к ней точкой пересе-
чения АФХ с отрицательной полуосью абсцисс, как показано на рис.
2.10, а, т. е. ДА = тш {AAi, ДА2}, где ДА1,а=1—A(<opi,2). Для хоро-
шо демпфированных систем ДА ^0,6.
Запас устойчивости по фазе характеризует удаленность точки АФХ,
соответствующей частоте среза <ос от критической точки (—1, /0). Его
определяют в соответствии с рис. 2.10, а, как угол
р= 180°—|ф(о?с) |.	(2.14)
В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по фазе
составляет 30—60° (демпфированием называют повышение запаса ус-
тойчивости системы).
В соответствии с заданными значениями запасов устойчивости по
амплитуде и по фазе может быть построена запретная область для АФХ
проектируемой системы, как показано на рис. 2.10, б.
86
Показатель колебательности. Использование рассмотренных по-
казателей запаса устойчивости связано с необходимостью задания двух
чисел: АЛ и р. В этом отношении более удобно определять запас устой-
чивости по показателю колебательности.
Показателем колебательности Мтах называют абсолютный макси-
мум АЧХ замкнутой системы, отнесенный к значению АЧХ при <о=0.
Для астатических систем |//(0)| = 1 и тогда
Мтах = тах|Я(/(»)|,	(2.15)
как показано на рис. 2.11.
Имеется определенная связь между показателем колебательности
системы и характером ее переходного процесса: при увеличении Мтах
возрастает перерегулирование, длительность переходной характерис-
тики и число колебаний в переходном процессе.
Рис. 2.12
Рекомендуемые значения показателя колебательности составляют
1,1—1,5.
Показатель колебательности системы можно определить также по
АФХ разомкнутого контура этой системы. Обозначим: М = \Н(j<o)|.
Тогда
м = I Г(/ф) I _ у РЧЧ) + У2(Р)
|1 + Г(/сй)|	(co)]2+V2 (Ш) •
Возводя в квадрат правую и левую части этого равенства и освобожда-
ясь от знаменателя, после несложных преобразований получим
(U + C)2 + V2 = R2,	(2.16)
где
С = М2/(М2— 1),	(2.17)
R=M/(M2— 1).	(2.18)
Это уравнение окружности с радиусом R и с центром в точке (—С, 0).
Задаваясь для М рядом значений, получим в соответствии с (2.16)
семейство окружностей, радиус которых, как видно из (2.18), убывает
с ростом М. Это показано на рис. 2.12 при Если в этой же систе-
ме координат ((7, У) построить АФХ разомкнутой системы, то Мтах
87
определится значением М, соответствующим той окружности, которой
касается АФХ системы.
Если при проектировании системы ставится условие, чтобы ее по-
казатель колебательности не превышал некоторого значения Л1тах,
то для выполнения этого условия необходимо, чтобы АФХ не заходила
внутрь окружности, соответствующей этому значению М. Таким обра-
зом, эта окружность является запретной зоной по заданному показа-
телю колебательности Л1тах для амплитудно-фазовой характеристики
разомкнутой системы. Например, на рис. 2.12 показана запретная об-
ласть для АФХ, ограниченная окружностью, соответствующей Afmax=2.
В дальнейшем для упрощения записи показатель колебательности
будем обозначать не Л1тах, а просто М.
Применение показателя колебательности как показателя качества
переходного процесса особенно эффективно при синтезе автоматических
систем с использованием логарифмических амплитудных характери-
стик. Как показано в [5], проектируемая система будет обладать задан-
ным показателем колебательности М, если протяженность асимптоты
ЛАХ, пересекающей ось частот,
причем положение этой асимптоты относительно оси частот определя-
ется ординатами
A2 = 201g^=l	(2.20}
и
<2-21>
как показано на рис. 1.15.
§ 2.3.	МЕТОДЫ ЗАДАНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТОЧНОСТИ
Требования к точности систем радиоавтоматики в установившемся
режиме. Точность системы радиоавтоматики является важнейшим
показателем качества. Чем выше точность системы, тем выше ее ка-
чество. Однако предъявление завышенных требований к точности при
проектировании системы радиоавтоматики вызовет неоправданное удо-
рожание системы, усложнение ее схемы и конструкции. Однако недо-
статочная точность может привести к несоответствию характеристик
системы условиям ее функционирования и, в конечном счете, к необхо-
димости проведения повторной разработки. Поэтому обоснование до-
пустимой ошибки системы радиоавтоматики является одной из основ-
ных задач, решаемых на начальной стадии проектирования системы.
Допустимая ошибка системы радиоавтоматики может быть опре-
делена следующим образом. При проектировании системы радиоавто-
матики задаются характеристики радиотехнической части системы,
такие, как частота несущей, длительность и период следования зонди-
рующих радиоимпульсов (при импульсном излучении), размеры отра-
88
жателя системы и т. д., на основании которых может быть определена
ширина 2ем дискриминационной характеристики дискриминатора си-
стемы (см. рис. 1.42). Очевидно, что допустимая ошибка едоп проекти-
руемой системы не может превышать полуширины ем дискриминацион-
ной характеристики. Таким образом, следует положить
едоп = хем, х<1.	(2.22)
Можно принять х«0,14-0,2. Как показывают расчеты, при таких зна-
чениях х получаются вполне приемлемые значения добротности систе-
мы (K-j=504-100с~1 для систем с астатизмом первого порядка) и в то
же время обеспечивается линейность режима работы системы.
Ошибки слежения в установившемся режиме. Как следует из (1.1),
ошибка е(t)=g(t)—y(t) замкнутой автоматической системы зависит от
вида задающего воздействия g(t). Поэтому при теоретическом иссле-
довании точности автоматических систем оценку установившихся оши-
бок обычно производят для некоторых простейших функций времени,
или типовых воздействий g(t), таких, как единичная ступенчатая функ-
ция 1 (/), гармоническая функция и т. д.
При анализе систем радиоавтоматики в качестве типового воздей-
ствия широко используют полиномиальную функцию
g(t) = [go + got+±'got*) 1(0,	(2.23)
где g0 — начальное значение задающего воздействия; g0 — начальная
скорость изменений задающего воздействия; g0 — ускорение, с кото-
рым изменяется задающее воздействие.
Такая функция достаточно хорошо описывает движение объектов
сопровождения.
При известном задающем воздействии g(f) ошибка системы e(t) =
 =Н,.(p\g(i), где Не(р) — передаточная функция для ошибки по задаю-
щему воздействию (§ 1.4). Установившуюся ошибку еуст определим как
е (/)!/-*<». В соответствии с теоремой о конечном значении из свойств
преобразования Лапласа имеем е (/)!/_>«. =р£'(р)1р->о, откуда следует,
что установившемуся режиму системы (/->оо) в области изображений
соответствует значение р->0. Поэтому при вычислении установившейся
ошибки передаточную функцию для ошибки Не(р) можно разложить
в степенной ряд по степеням р в окрестности точки р=0, т. е. предста-
вить в виде
<2-24)
ft = 0	\ dp* Jp=o k=0K-
где ck = (d-^}	, k = 0, 1, 2, ...
\	/ p = 0
Коэффициенты ch называют коэффициентами ошибок. Для изобра-
жения установившейся ошибки при этом получим выражение
Е (p) = He(p)G (р) = нр+у с2р2 + ...^G(p)	(2.25)
89
и, переходя во временную область, находим
еусг(0= + +	•••) g(t), P = ^t’	<2'26>
или
еуст (0 = CQg (0 + C.g (0 + 1 C2g (/) + , , . + 1 Ckgik} (/) + ...=
= ео (0 + ei (0 + е2 (0 + • • • +е£ (О + • • •,	(2.27)
где eh(f)=ckg{,!)	k--Q, 1, 2, . . . — составляющая установившейся
ошибки системы по k-й производной.
Таким образом, каждый /г-й коэффициент ошибки ch определяет
значение составляющей ошибки по k-й производной входного воздей-
ствия.
Использование полученного выражения наиболее удобно в случае,
когда функция g(t) имеет конечное число т отличных от нуля произ-
водных, т. е. когда g(t) — полиномиальная функция, например, вида
(2.23). В этом случае бесконечный ряд (2.27) превращается в полином,
содержащий т+1 слагаемых.
Из (2.27) следует, что при полиномиальном задающем воздействии
основная составляющая установившейся ошибки определяется коэффи-
циентом ошибки с наименьшим индексом, т. е. коэффициентом с0, если
он отличен от нуля, коэффициентом сг при со=О, коэффициентом с2 при
со =О, Cj=O и т. д.
Можно показать, что для статической системы (т. е. для системы с
астатизмом нулевого порядка) все коэффициенты ошибок отличны от
нуля. При этом основную роль играет коэффициент ошибки Со^Д/Щ-
+Ко), так как при полиномиальном задающем воздействии g(t) этот
коэффициент определяет наиболее быстро нарастающую во времени
составляющую установившейся ошибки.
Для системы с астатизмом первого порядка со=О и основную роль
играет коэффициент ошибки cj^IZ/G.
Для системы с астатизмом второго порядка равны нулю первые два
коэффициента ошибок co=Ci=O и основным коэффициентом ошибки
является коэффициент с2=2/К2-
Вообще, для астатической системы с астатизмом r-го порядка обра-
щаются в нуль первые г коэффициентов ошибок, т. е. c0=Ci=-  сг_1 =
=0, и первым отличным от нуля является r-й коэффициент ошибки сг =
=г\/Кг-
Таким образом, зная коэффициенты ошибок исследуемой системы,
можно в соответствии с (2.27) оценить установившуюся ошибку системы
при известном задающем воздействии g(t). В частности, для полиноми-
ального задающего воздействия установившаяся ошибка приближенно
может быть определена как eyCT(t)=g(t)/(l+Ko) — для статической
системы, еуст (Z) =g(t')lK1 — для системы с астатизмом первого порядка,
eycT(0=g'(0/Z<2 — для системы с астатизмом второго порядка, . .
еуст(0=ДЛ> (ФДг— для системы с астатизмом r-го порядка.
Заметим, что определение коэффициентов ошибок путем дифферен-
цирования передаточной функции для ошибки — процедура довольно
90
трудоемкая. Поскольку передаточная функция — всегда дробнорацио-
нальная функция переменной р, коэффициенты ошибок удобнее нахо-
дить делением числителя передаточной функции для ошибки на ее
знаменатель с последующим сравнением полученного ряда с рядом '
(2.24).
Ошибки типовых систем радиоавтоматики. Рассмотрим подробнее
установившиеся ошибки систем с астатизмом нулевого, первого и вто-
рого порядков при задающем воздействии вида (2.23).
Для статической системы (г=0) на основании изложенного имеем
еуст(0 ~ 4g(0 = (g0 + g0t+^g0t2) IU+-Ko) = бет + Рек + буек,
где
g = __go • g — Sot .	__2g\
CT 1 + Ko’ CK 1+Ko’ yCK 2(l+K0)‘	1	’
Следовательно, установившаяся ошибка статической системы при
полиномиальном входном воздействии вида (2.23) имеет три состав-
ляющие: постоянную ошибку ест, зависящую от начального значения
go входного воздействия; ошибку еск, зависящую от начальной скорости
входного воздействия g0 и неограниченно возрастающую с течением
времени, и ошибку еуск, зависящую от ускорения g0 и неограниченно
возрастающую пропорционально квадрату времени.
Постоянную ошибку ест, пропорциональную постоянной составляю-
щей входного воздействия go, называют статизмом. Статизм — это ошиб-
ка, свойственная только статической системе. Как будет показано, эта
ошибка отсутствует (равна нулю) у астатических систем (отсюда назва-
ние: астатическая система; это система, у которой отсутствует статизм).
Для системы с астатизмом первого порядка (г=1)
буст (0 ~ g (0/^1 = go'Kx + "got!K1 = eZK + е>ск,
где
ecK = go!Kv eycK='got/K1.	(2.29)
Таким образом, в астатической системе с астатизмом первого порядка
статизм, т. е. ошибка, пропорциональная постоянной составляющей
go входного воздействия, равен нулю. Ошибка сск, зависящая от на-
чальной скорости go изменений входного воздействия — величина по-
стоянная, пропорциональная этой скорости и обратно пропорциональ-
ная добротности системы по скорости Ki-
Что же касается ошибки еуск, то она не имеет самостоятельного зна-
чения, поскольку скорость изменений всяких реальных величин всегда
ограничена и, следовательно, задающее воздействие g(t) не может бес-
конечно долго изменяться с постоянным ускорением. Поскольку сумма
go+go/ представляет собой мгновенную скорость V(0 изменений вход-
ного воздействия, то установившаяся ошибка рассматриваемой системы
может быть записана в виде
еуст (0 =17(0/^1- где v(t)= 'go+ 'gol-	(2.30)
91
Для системы сопровождения по углу пли по дальности движущихся
объектов это означает, что если объект движется с постоянной скоро-
стью V=g0 или с постоянным ускорением, то установившаяся ошибка
системы сопровождения пропорциональна скорости движения объекта.
Эту ошибку называют скоростной ошибкой системы радиоавтоматики.
Для системы с астатизмом второго порядка (г=2)
eycT = g(t)/K2 = g0/K2 = eyCii.	(2.31)
Следовательно, в астатической системе с астатизмом второго поряд-
ка обращаются в нуль статизм и скоростная ошибка. Установившаяся
ошибка этой системы при полиномиальном задающем воздействии вида
(2.23) постоянна и пропорциональна ускорению изменений входного
воздействия и обратно пропорциональна добротности системы по уско-
рению К2.
Полученные результаты позволяют выявить такое важнейшее
свойство астатических систем, как память.
Рассмотрим для определенности систему с астатизмом второго по-
рядка, передаточная функция которой
W (р) = К.О + Тр) =	U + Tp) _	(2.32)
Здесь добротность системы по ускорению К2, равная произведению
коэффициентов передачи всех звеньев системы, формально представлена
в виде трех сомножителей, где /гдр — коэффициент передачи дискрими-
натора; kY — произведение коэффициентов передачи всех остальных
звеньев системы, включая первый интегратор; k2 — коэффициент пере-
дачи второго интегратора.
Рис. 2 13
В соответствии с (2.32) на рис. 2.13 изображена структурная схема
системы с астатизмом второго порядка.
Рассмотрим случай, когда задающее воздействие изменяется с по-
стоянной скоростью, т. е. g(t) = Vt, V=const.
Как было показано, для системы с астатизмом второго порядка
установившаяся ошибка в этом случае равна нулю. Следовательно,
выходное напряжение uR дискриминатора равно нулю, а управляемая
величина в каждый момент времени равна задающему воздействию,
т. е. y(t)=g(t) = Vt.
Поскольку управляемая величина y(t), как видно из рис 2.13,
является выходной величиной второго интегратора, то выходное на-
92
пряжение первого интегратора пропорционально производной от
z/(0, т. е.
“-Й = тЛ	<2-33>
Таким образом, при постоянной скорости изменения задающего
воздействия напряжение на выходе первого интегратора в установив-
шемся режиме пропорционально этой скорости. При этом напряжение
«д на входе первого интегратора равно нулю. Другими словами пер-
вый интегратор «запоминает» значение постоянной скорости V, с кото-
рой изменяется задающее воздействие.
Если теперь разомкнуть выходную цепь дискриминатора, то систе-
ма этого «не заметит» и будет функционировать по-прежнему, г. е.
управляемая величина y(t) будет изменяться по закону y—Vt Это
означает, что система с астатизмом второго порядка в установившемся
режиме отрабатывает задающее воздействие, изменяющееся с постоян-
ной скоростью, не по рассогласованию, а по памяти.
Следовательно, астатическая система с астатизмом второго порядка
обладает памятью по скорости или памятью по первой производной от
задающего воздействия. Аналогично можно показать, что астатическая
система с астатизмом r-го порядка обладает памятью по (г—1)-й про-
изводной входного воздействия
Значение свойства «памяти» астатических систем для систем радио-
автоматики состоит в следующем. Рассмотрим астатическую систему
сопровождения движущихся объектов с астатизмом второго порядка,
т. е. систему, обладающую памятью по скорости. Если объект движется
с постоянной относительно пункта наблюдения скоростью, то сопро-
вождение объекта осуществляется «по памяти». Пусть в некоторый
момент времени на входе приемного устройства системы сопровождения
появилась шумовая помеха настолько большой интенсивности, что
коэффициент передачи &др дискриминатора упал до нуля (в § 1.6 при
рассмотрении статистического эквивалента дискриминаторов указы-
валось, что коэффициент передачи &др дискриминатора падает с ростом
интенсивности помехи). Это эквивалентно размыканию выходной цепи
дискриминатора.
В статической системе или в системе с астатизмом первого порядка
это привело бы к нарушению процесса сопровождения и через некото-
рое время — к срыву слежения.
В системе же с астатизмом второго порядка процесс сопровождения
не будет нарушен, так как ввиду наличия у системы памяти по скорости
выходная величина у (/) системы будет продолжать изменяться с преж-
ней скоростью (т. е. со скоростью, которая была до появления помехи).
Следовательно, до тех пор, пока скорость объекта сопровождения будет
оставаться неизменной, система будет сопровождать объект так же,
как и в отсутствие помехи (в действительности, срыв слежения в момент
исчезновения помехи может произойти в результате флуктуаций вы-
ходной величины y(t), обусловленных прохождением помехи через
систему сопровождения. Но это явление другого порядка).
Таким образом, увеличение порядка астатизма системы радиоавто-
93-
матики является эффективным средством повышения помехоустойчи-
вости этой системы.
Заметим также, что, как следует из (2.33), система автоматического
сопровождения движущихся объектов с астатизмом второго порядка
обеспечивает измерение не только текущих координат объекта, но и
скорости его движения.
Установившаяся ошибка при гармоническом воздействии. В за-
дачах анализа и синтеза систем радиоавтоматики широко используются
частотные методы и, в частности, метод
логарифмических частотных характерис-
д	тик. В этом случае оказывается полезной
оценка установившейся ошибки системы
, при гармоническом воздействии.
„________।__________ Запишем гармоническое задающее воз-
Шк	ш действие с частотой сок в комплексной фор-
Рис. 2.14 ме: i(0=iM ехр(/(ок0, где км — комп-
лексная амплитуда, учитывающая началь-
ную фазу колебания §(/)• Тогда устано-
вившаяся ошибка системы е(/) будет представлять собой также гармо-
ническое колебание с амплитудой ем и частотой сок : е(/)=ем exp (;®к/).
По аналогии с (1.32) для отношения комплексных амплитуд ошибки и
задающего воздействия получим ем/^м=//е(/ик), где Не(/(о)=1/П +
+ 1F(/<d)] — частотная передаточная функция системы для ошибки по
задающему воздействию.
Оценивая точность системы при гармоническом задающем воздей-
ствии по амплитуде ошибки, в соответствии с (1.37) получим
e„=g„i^oK),=|г£>к)1 =л£)* (2,34)
так как амплитуда ошибки должна быть значительно меньше амплиту-
ды задающего воздействия, что возможно, как следует из приведенного
выражения, лишь при IW(;ик)|^>1.
На основании (2.34) можно сформулировать требования к ЛАХ
из условия, чтобы амплитуда ошибки не превышала заданного допус-
тимого значения ej, при заданной частоте сок задающего воздействия.
Из (2.34) при емХ^е“ получаем A (wK)^gM/e“, откуда находим условие
для ЛАХ:
£K) = 201gAH)>201g^.	(2.35)
м
Таким образом, для выполнения приведенного условия точности
ЛАХ системы должна проходить не ниже контрольной точки Ак с ко-
ординатами сок, L (ык), как показано на рис. 2.14.
§ 2.4.	ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
Общие сведения. При исследовании систем радиоавтоматики,
особенно описываемых дифференциальными уравнениями высокого
порядка, а также уравнениями с переменными коэффициентами и нели-
94
нейными уравнениями, широкое применение находят электронные вы-
числительные машины, как аналоговые (АВМ), так и цифровые (ЦВМ).
Применение вычислительных машин позволяет исследовать процес-
сы в системах в тех случаях, когда нахождение решения дифференци-
ального уравнения системы аналитическими методами затруднительно
или вообще невозможно. Исследование систем радиоавтоматики по-
средством вычислительных машин называют моделированием этих
систем — аналоговым или цифровым, в зависимости от типа вычисли-
тельной машины.
Моделирование систем радиоавтоматики на АВМ. Аналоговое мо-
делирование динамических систем и, в частности, систем радиоавтома-
тики основано на том, что процессы в аналоговых вычислительных
машинах описываются дифференциальными уравнениями. Причем
схему модели на АВМ можно составить так, что дифференциальное
уравнение модели будет таким же, как и дифференциальное уравнение
исследуемой системы. Тогда изменения во времени выходной величины
модели будут характеризовать соответствующие изменения выходной
величины системы.
Существует две разновидности электронных моделирующих ма-
шин: модели структурного типа и модели матричного типа. Первые
позволяют моделировать исследуемую систему по ее дифференциальному
уравнению, записанному в обычном виде, или по ее структурной схеме,
что дает возможность достаточно просто исследовать влияние парамет-
ров системы на ее динамические характеристики. Модели матричного
типа требуют записи дифференциальных уравнений исследуемой систе-
мы в особой матричной форме и потому менее удобны для исследования
замкнутых автоматических систем.
В дальнейшем рассмотрим лишь модели структурного типа.
Основным элементом аналоговой вычислительной машины является
операционный усилитель, представляющий собой усилитель постоян-
ного тока с большим коэффициентом усиления по напряжению (порядка
104—105). Во входную цепь операционного усилителя включается не-
которое сопротивление Zi(p), и кроме того, усилитель охватывается
отрицательной обратной связью через сопротивление Z0(p), как пока-
зано на рис. 2.15. При этом передаточная функция операционного уси-
лителя выражается через сопротивления Л(р) и Zo(p):
г<'”=й| —(2-36>
Знак «минус» в (2.36) показывает, что операционный усилитель
инвертирует входной сигнал (меняет его знак). Это связано с установ-
кой в усилителе нечетного числа каскадов.
Если во входную цепь операционного усилителя включить резис-
торы Rlt R2, . . ., Rn, а в цепь обратной связи сопротивление Ro, как
показано на рис. 2.16, то получим суммирующий усилитель, выходное
напряжение которого
п
и. (Р) = -Хтгим
k= 1
95
или при
R1 = Ri = ... = Rn = R
п
Ut(p) = k 2 где k = — R0/R.
I — 1
Включая во входную цепь и в цепь обратной связи операционного
усилителя различные комплексные сопротивления, получим, как сле-
дует из (2.36), усилители с различными передаточными функциями.
Рис. 2.15
Рис. 2.16
Это дает возможность моделировать динамические звенья автоматиче-
ских систем. Схемы набора на аналоговой модели типовых звеньев
приведены в табл. 2.1, в соответствии с которыми могут быть найдены
соответствующие передаточные функции.
1.	Безынерционное звено. На основании (2.36) имеем
lF(p) = &, где k = — RJR^
2,	Идеальное интегрирующее звено. В соответствии с (2.36) находим
W (р) s: —xc/R « k/p, где k = — i/(RC).
3.	Апериодическое звено первого порядка. Имеем Z1(p)=/?1, Z0(p) =
=/?2/(1+/?2Ср). На основании (2.36) получаем
W(p)=kl(\+Tp), где k = — R.jR1, T = R2C.
4.	Инерционное дифференцирующее звено. Имеем Zo(p)=/?o, Zx(p) =
= /?1+1/Ср=(1+/?1Ср)/Ср. В соответствии с (2.36) получаем
№(p)efy/(l + ?», где k = -RtiC, T = RlC.
5.	Изодромное звено. Имеем Zo(p)=(l-[-RoCp)/Cp, Z1(p)=R1 и в
соответствии с (2.36) получаем
W(p)Bak(i + Tp)/p, где k^—l/R.C, T = R0C.
В некоторых АВМ (например, в машине МН-10) отсутствует возмож-
ность включения последовательной 2?С-цепи в цепь обратной связи
•операционных усилителей. В этом случае изодромное звено набирают
на модели в соответствии с его определением как параллельного соеди-
нения идеального интегрирующего и безынерционного звеньев по схеме
рис. 2.17, для которой
W^P^¥¥ + R1C-p¥ = k» + ki = kii-±r£’
Al АЗ AgCp Ав	р	р
96
Таблица 2.1. Модели типовых звеньев
4 Заи Е61
97
П родолжение
Тип звена
Схема набора звена на модели
Неустойчивое апериодиче-
ское первого порядка
где
г R% R4 , t R4 . 'р R^R^RtP
«3 ’ K1~RsReC’ ~Ti~ RiR3
6.	Апериодическое звено второго порядка набирают как последова-
тельное соединение двух апериодических звеньев первого порядка.
Для схемы набора табл. 2.1, п. 6 имеем
W (р) (i + TiPHl + T^p)
где k = ^-^-T1=RiC1-,
7.	Инерционное интегрирующее звено набирают в виде последова-
тельного соединения идеального интегрирующего звена и апериодичес-
кого звена первого порядка. В
соответствии со схемой табл. 2.1,
п. 7 имеем
uz W(p} =_____—	____!---=
J-	ь
= <2-37>
где
 k="R^C~i' T = R*C*-
8.	Колебательное звено формируют на модели путем охвата отрица-
тельной обратной связью инерционного интегрирующего звена, как
показано в табл. 2.1, п. 8. Здесь на операционном усилителе 1 набрано
идеальное интегрирующее звено, на операционном усилителе 2 — апе-
риодическое звено первого порядка, операционный усилитель 3 явля-
ется инвертором, необходимым для получения отрицательной обратной
связи (если в контуре модели замкнутой системы содержится четное
число усилителей, то обратная связь будет положительной).
Для схемы табл. 2.1, п. 8 при R[=R1 обратная связь будет единич-
ной, и в этом случае из (2.37) в соответствии с (1.50) имеем
W ( п} =_____-_____— _____*___= ю°____________
Р(Ч~Т'р)4-й	7’р2 + р + ^	р2 + 2$со0р+ (Оо’
98
где
Ь__	1 Rs Rs . 'Г_ пр
RiCr R2 Rt ’ -КзЧ.
При этом (О0 = /л7т, £=1/(2/£Т).
9.	Неустойчивое апериодическое звено первого порядка формируется
на модели в виде замкнутой динамической системы с положительной
обратной связью. Для получения положительной обратной связи в
контур модели замкнутой системы включается четное число операци-
онных усилителей. В качестве примера рассмотрим схему набора на
модели неустойчивого апериодического звена первого порядка. Это
звено может быть получено путем охвата положительной обратной свя-
зью идеального интегрирующего звена, как показано в табл. 2.1, п. 9.
Для разомкнутого контура модели звена имеем
ГДе Т-^С.
А 2 AIV р	1 р	Кз
После замыкания обратной связи (при имеем единичную обрат-
ную связь) и согласно (1.50) получим W (р) = 1/(Тр—1), что соответст-
вует неустойчивому звену.
При моделировании автоматических систем реальные переменные,
характеризующие процессы в исследуемой системе, отображаются на-
пряжениями, которые называют машинными переменными. Определе-
ние характеристик переходного процесса в исследуемой системе осу-
ществляется на основании визуального наблюдения на экране осцил-
лографа изменений во времени выходной машинной переменной мо-
дели.
Соответствие между машинными и реальными переменными уста-
навливается посредством масштабных коэффициентов. Обозначив
и t/2 входное и выходное напряжение модели, имеем UY=mg, U2=my,
где пг — масштабный коэффициент, имеющий размерность [«][§]“
Масштабный коэффициент пг выбирают так, чтобы при заданном мак-
симальном значении gM задающего воздействия удовлетворялись усло-
вия: Н1М^ил0П и ^м^^/доп, где НЛ0П — максимальное допустимое
значение напряжения — машинной переменной, определяемое напря-
жением питания машины и указываемое в ее техническом описании.
Учитывая возможное перерегулирование в исследуемой системе, со-
ставляющее 10—50%, целесообразно пг выбирать из условия
— 1,5 mgM или т1М=и1М/(1,5 gM).
Если длительность переходных процессов в исследуемой системе
составляет доли секунды, то наблюдение переходного процесса на эк-
ране осциллографа затруднительно.
В таких случаях применяют масштабирование времени, т. е. вводят
машинное время	причем масштабный коэффициент времени
mt выбирают из условия получения желаемой длительности t* переход-
ной характеристики модели при заданной длительности in переходной
характеристики системы.
Обычно выбирают /„=34-5 с и при известном /п определяют mt
как целую часть отношения При этом постоянные времени Tt
4* Зак. 561	99
и коэффициенты передачи kj звеньев пересчитывают в машинные пара-
метры Т; и в соответствии с соотношениями:
( mtkj — для дифференцирующих звеньев,
^/ = | k'i — Для позиционных звеньев,
Vtn^kj — для интегрирующих звеньев.
/С* = Кгггцг — для добротности системы с астатизмом г-го порядка.
Соответственно единица измерения машинного времени (машинная
секунда)	т. е. скорость протекания процессов в модели умень-
шается в mt раз по сравнению по скоростью протекания процессов в
моделируемой системе.
Набор задачи на электронной модели структурного типа может быть
осуществлен двумя способами: 1) по дифференциальному уравнению
исследуемой системы; 2) по структурной схеме исследуемой системы
[5].
Рассмотрим моделирование системы по ее дифференциальному урав-
нению. Для определенности рассмотрим систему АСН, описываемую
дифференциальным уравнением третьего порядка (1.6), которое запи-
шем в виде
(а0р3 + агр2 + а2р ф- а3) у (t) = bog (/).	(2.38)
Переходя к машинным переменным U^mg и U3=my, получим диф-
ференциальное уравнение модели исследуемой системы
+	(2.39)
которое с точностью до обозначений входной и выходной переменных
совпадает с уравнением исследуемой системы.
Для составления с'емы набора уравнения (2.39) на модели разре-
шим это уравнение относительно старшей производной:
и2 =	и, ф- и2 ф- и2)=р
«0	\ ао	а0	а0 /
(2.40)
где
Р = &0/а0; ak = ak/a0, & = 1, 2, 3.
Рассмотрим цепочку из трех последовательно соединенных интег-
раторов (рис. 2.18). Если на вход первого интегратора подать величину
U2, то на выходе интеграторов получим соответственно (с учетом того,
что каждый операционный усилитель изменяет знак напряжения)
— и2, й3, —U2-
Просуммировав эти величины и входну ю величину U± с соответст-
вующими коэффициентами, получим на выходе сумматора величину,
определяемую правой частью выражения (2.40), т. е. величину Д2,
которая поступает на вход первого интегр атора. Таким образом, будет
получена схема набора дифференциального уравнения (2.38), представ-
ленная на рис. 2.18.
100
Подавая на вход модели напряжение t/1(O=t/ol (О, получим на
выходе напряжение U2(t), воспроизводящее переходную характерис-
тику исследуемой системы.
Преимуществом рассмотренного метода моделирования автомати-
ческих систем является сравнительная простота схемы набора на моде-
ли дифференциального уравнения, в которой используются усилители,
выполняющие простейшие типовые операции — интеграторы, инверто-
ры и сумматоры.
Рис. 2.18
Недостатком метода является невозможность исследования влияния
отдельных параметров системы на ее динамические характеристики,
что обусловлено тем, что каждый коэффициент дифференциального
уравнения системы зависит от нескольких ее параметров, а не от од-
ного.
В этом отношении более удобным является метод моделирования
системы по ее структурной схеме. При использовании этого метода
составляют модели звеньев исследуемой системы, затем модели звеньев
соединяют между собой в соответствии со структурной схемой.системы
и замыкают цепь главной обратной связи. При этом первый (входной)
операционный усилитель модели всегда является сумматором с двумя
входами: один для машинного управляющего воздействия UL(t) и
второй для машинного сигнала обратной связи U2(t).
Поскольку обратная связь должна быть отрицательной, то, если в
контуре модели системы содержится нечетное число последовательно
соединенных операционных усилителей, выходное напряжение U2
модели подводится непосредственно к первому операционному усилите-
лю модели, в противном случае — через инвертирующий усилитель с
коэффициентом передачи А=—1.
Рассмотрим составление схемы набора системы АСН при модели-
ровании ее по структурной схеме. Уравнение (1.6) этой системы полу-
чено из совокупности уравнений (а)—(д) (см. § 1.3), на основании кото-
рых напишем передаточные функции функциональных элементов этой
системы.
Передаточная функция дискриминатора 1^др(р)=^др соответствует
безынерционному звену.
Передаточная функция усилителя Wy(p)=kyl(l-{-Typ) соответст-
вует апериодическому звену первого порядка.
101
Передаточная функция объекта управления — исполнительного
двигателя с редуктором и следящей антенной
W (п} = —_	(2.41)
oyW р(1 + Гдр)	v
соответствует инерционному интегрирующему звену.
Для упрощения схемы набора объединим звенья, соответствующие
дискриминатору и усилителю, в одно звено с передаточной функцией:
А, Ь
(2.42)
Тогда структурная схема рассматриваемой системы может быть
представлена в виде последовательного соединения двух динамических
Рис. 2.19
звеньев: апериодического звена первого порядка с передаточной функ-
цией (2.42) и инерционного интегрирующего звена с передаточной функ-
цией (2.41), как показано на рис. 2.19.
Передаточная функция разомкнутого контура этой системы
ь ь ь ь	к,
W (р) = 1Гдр (р) lFy (р) lFoy (р) = p(1+-^-ryp-j = р(1+РдР)1(1+руР) •
(2.43)
Составив в соответствии с табл. 2.1 схемы набора на модели указан-
ных звеньев и соединив их в соответствии со схемой рис. 2.19, получим
схему набора исследуемой системы, представленную на рис. 2.20. В со-
став модели включен делитель напряжения с регулируемым коэффици-
ентом передачи Лгн^1 для регулировки коэффициента передачи А*
модели.
Передаточная функция W* (р) разомкнутого контура модели систе-
мы АСН, соответствующая схеме рис. 2.20:
Ki
W* (р) = U‘^p} =__________________
б/е(р) Р(1+Т1р) (1 + 71Р)
(2.44)
102
где
ие(р) = иЛр)-^Лр)<
(2-45)
/\1 К 3^2 *\4
добротность по скорости модели исследуемой системы;
T* = R,C3-	(2.46)
постоянная времени модели исполнительного двигателя системы;
r2=R2C-	(2.47)
постоянная времени модели усилителя исследуемой системы, совпадает
с передаточной функцией системы (2.43).
Выбрав масштабный коэффициент времени tnt, определим при за-
данных Тд и Ту системы соответствующие параметры модели:
Т[ и Т*2, т. е.	Ti=mtTn, Tl~mtTy. Затем на основании
соотношений (2.45), (2.46), (2.47) подберем значения сопротивлений
резисторов в схеме набора, учитывая, что емкости конденсаторов в
аналоговых вычислительных машинах имеют значение С=1 мкФ (в не-
которых машинах имеются конденсаторы со значениями емкости
С=1 мкФ и С=0,1 мкФ).
Наличие зависимостей вида (2.45) — (2.47), выражающих значения
машинных параметров системы через сопротивления и емкости схемы
набора, дает возможность достаточно просто изменять значения доб-
ротности и постоянных времени звеньев системы при исследовании
влияния этих параметров на динамические характеристики системы.
Так, добротность системы на модели можно изменять в широких
пределах изменением коэффициента передачи kn делителя напряжения.
Для изменения постоянных времени апериодических звеньев целе-
сообразно включать в цепь обратной связи операционных усилителей
вместо конденсаторов С\ и С3 магазины емкостей. При этом изменение
емкости, устанавливаемой на одном магазине, отражается, как это
следует из (2.46) и (2.47), назначении лишь одной постоянной времени.
При моделировании автоматических систем, содержащих нелиней-
ные звенья, метод моделирования по структурной схеме также имеет
определенные преимущества перед методом моделирования по диффе-
ренциальному уравнению. Типовое нелинейное звено (см. § 1.1) наби-
рают на операционном усилителе с использованием диодов и включают
в модель системы в соответствии с ее структурной схемой. Вопросы
моделирования на АВМ нелинейных автоматических систем рассмотре-
ны, например, в [4].
Моделирование систем радиоавтоматики на ЦВМ. Недостатком
аналоговых вычислительных машин является сравнительно невысокая
точность, не превышающая нескольких процентов [4]. Если требуется
получение переходной характеристики системы с более высокой точ-
ностью (порядка десятых долей процента), то целесообразно применение
для исследования автоматических систем цифровых вычислительных
машин. Цифровая вычислительная машина используется для численно-
го решения дифференциального уравнения, описывающего процессы в
103
исследуемой системе. В библиотеках программ современных вычисли-
тельных машин имеются стандартные программы для решения диффе-
ренциальных уравнений достаточно широкого класса, в том числе и
нелинейных. Поэтому трудностей при использовании ЦВМ для иссле-
дования систем радиоавтоматики, связанных с необходимостью разра-
ботки программы численного интегрирования дифференциального урав-
нения, как правило, не возникает.
Заметим, что при инженерных расчетах, связанных с вычислением
переходных характеристик линейных систем радиоавтоматики, опи-
сываемых дифференциальными уравнениями невысокого порядка (пя-
того-шестого), а также при решении соответствующих задач курсового
и дипломного проектирования весьма эффективным является исполь-
зование программируемых микрокалькуляторов типа БЗ-21 и БЗ-34.
Так, микрокалькулятор типа БЗ-21 дает возможность вычислить
переходные характеристики линейных систем, описываемых уравне-
ниями до шестого порядка включительно.
Глава 3
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ
СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ
§ 3.1. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ
Общие сведения’ о случайных процессах. Большинство действую-
щих на входе устройств и систем радиоавтоматики процессов являются
случайными, лишь при определенных допущениях их можно считать
регулярными или детерминированными. Математический аппарат ис-
следования прохождения подобных сигналов через звенья и системы
автоматического управления основывается на теории вероятностей и
теории случайных процессов (функций).
Случайной функцией x(f) называют семейство случайных величин,
зависящих от аргумента t, пробегающего произвольное множество
[81. Если аргумент интерпретировать как время, то вместо термина
случайная функция употребляется термин случайный процесс (иногда
говорят вероятностный или стохастический процесс).
Действительную функцию хДт1о)=х(/, т]0) при фиксированном т]0
называют реализацией или траекторией случайного процесса. Если
фиксировать то x(t0, т]) является обычной случайной величиной,
т] — элемент пространства событий.
Примерами случайных процессов могут быть, например, измеряе-
мые радиолокационной станцией координаты самолета, угол визиро-
вания движущегося объекта головкой самонаведения, помехи в систе-
ме телеуправления и т. д.
Типовые'случайные процессы. Рассмотрим спектральные и корре-
ляционные характеристики некоторых случайных процессов, у кото-
рых х=0, т. е. центрированных процессов.
104
1. Белый шум. Под белым шумом понимают случайный процесс»
имеющий одинаковое значение спектральной плотности на всех часто-
тах S(co) = Ai при —оо<
<со<оо (рис. 3.1, а).
Корреляционная функ-
ция белого шума имеет вид
00
R (т) = — J N cos cordco =
О
=#6(т).	(3.1)
Процесс, имеющий кор-
реляционную функцию ви-
да (3.1), является чисто
случайным процессом, так
как при любом т^=0 отсут-
ствует корреляция между
последующими и предыду-
щими значениями случай-
ной величины. Процесс с
подобного рода спектраль-
ной плотностью является
физически нереализуемым,
так как ему соответствуют
бесконечно большие дисперсия и средний квадрат случайной ве-
тичины D = хг =R(0)-> оо, а следовательно, и бесконечно большая
мощность.
Чтобы получить физически реальный процесс, вводят понятие бело-
го шума с ограниченной спектральной плотностью (рис. 3.1, б)'
5’(со) = Н’	(3.2)
I 0, |<о | > соп,
где соп/2л — полоса частот для спектра шума.
Из (3.2) получаем корреляционную функцию
й’п
R (т) = J s (со) cos (сот) dco = — sin (сопт).
о
Для этого процесса
®п
? = Д=0— flVdco = lV-^.
2л J	л
2. Экспоненциально коррелированный процесс. Такой процесс имеет
корреляционную функцию вида (рис. 3.1, в)
2?(т) = Де-1т1/7',	(3.3>
где D — дисперсия; 7-1—косффипиент, определяющий ширину по-
лосы частот.
105
Корреляционной функции (3.3) соответствует спектральная плот-
ность вида
СО
S(w) = 2^(T)cos(wT)dT=r-|^5 = r-p^2.	(3.4)
о
Спектральную плотность S(®) иногда называют энергетическим
спектром функции x(t) [5].
3. Типовой входной сигнал следящей системы. В качестве типового
сигнала для следящей системы часто принимают график изменения
угловой скорости Q на входе в соответствии с рис. 3.2. Скорость сохра-
няет постоянное значение в течение некоторых интервалов времени
Т, t3, . . .).
Переход от одного значения к другому совершается мгновенно.
Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона.
В соответствии со сказанным будем считать, что математическое
ожидание Q=0, а средний квадрат скорости равен дисперсии: Q2=
=Dfl^=o.
График такого вида получается, например, в первом приближении
при слежении радиолокатором за движущимся объектом. Постоянное
Рис. 3 2
значение скорости соответствует
движению объекта по прямой. Пе-
ремена знака или значения скоро-
сти соответствует маневру объекта.
Обозначим ц среднее число пе-
ремен скорости за 1 с. Тогда 7,=р-1
будет средним значением интервала
времени, в течение которого угло-
вая скорость сохраняет постоянное
значение. Применительно к радио-
локатору это значение будет сред-
ним временем движения объекта по прямой.
Для определения корреляционной функции необходимо найти
среднее значение произведения
/?я(т) = й(/) Q(/4-r).
При нахождении этого произведения могут быть два случая.
1. Моменты времени t и t-\-x относятся к одному интервалу. Тогда
среднее значение произведения угловых скоростей будет равно средне-
му квадрату угловой скорости или дисперсии:
R, (т) = Й(ОЙ(7Т0 = Й* = Da .
2. Моменты времени t и Ггт относятся к разным интервалам. Тогда
среднее значение произведения скоростей будет равно нулю:
Я2(т) = Q(/)Q(/ + t) = О,
так как произведения с положительным и отрицательным знаками бу-
дут равновероятными.
106
Корреляционная функция
Яа (т) = PJ>, (т) + Р2/?2 (т) = Р^ (т),
где Pi — вероятность нахождения моментов времени t и t-\-x в одном
интервале; Р2=1—Pi — вероятность нахождения их в разных интер-
валах.
Вероятность появления перемены скорости на малом промежутке
времени Ат пропорциональна этому промежутку и равна цАт или
АтТ1-1 Вероятность отсутствия перемены скорости для этого же про-
межутка равна 1—АтТ5-1. Для интервала времени т вероятность от-
сутствия перемены скорости, т. е. вероятность нахождения моментов
времени t и t-\-x в одном интервале постоянной скорости, будет равна
произведению вероятностей отсутствий перемены скорости на каждом
элементарном промежутке Ат, так как эти события независимые.
В результате для конечного промежутка Ат получаем
Р1 = (1—Ат/7у ат
Устремив Ат->0 и переходя к пределу, получим
Р1= lim (1— Ьх/Ту	=
Дг->-0
и окончательно
/?o(T) = £)ae-iTl/7' = Q2e-^l'7\	(3.5)
Знак модуля при т поставлен вследствие того, что выражение (3.5)
должно соответствовать четной функции. Выражение для корреляци-
онной функции совпадает с (3.5). Поэтому спектральная плотность
рассматриваемого процесса должна совпадать с (3.4):
2TDO 2uD„
(3.6)
Графики корреляционной функции и спектральной плотности сов-
падают с изображенными на рис. 3.1, в. Формула спектральной плот-
ности (3.6) записана для угловой скорости процесса Q (см. рис. 3.2).
Если перейти от угловой скорости к углу, то получится нестационар-
ный случайный процесс с дисперсией, стремящейся к бесконечности.
Однако в большинстве случаев следящая система, на входе которой
действует этот процесс, обладает астатизмом первого и более высоких
порядков. Поэтому первый коэффициент ошибки с0 у следящей системы
равен нулю. Это дает возможность использовать спектральную плот-
ность (3.6) при расчете динамической ошибки следящей системы.
Недостатком формул (3.5) и (3.6) является также то, что подобная
модель входного процесса приводит к бесконечной дисперсии углового
ускорения, что определяется принятым мгновенным переходом от од-
ной угловой скорости к другой (см. рис. 3.2).
Для более точного описания входного процесса принимают, что эти
переходы совершаются не мгновенно, а по экспоненте с некоторой по-
стоянной времени. Это показано на рис. 3.2 штриховой линией.
107
При такой модели входного процесса вместо выражений (3.5) и
(3.6) получаются следующие зависимости:
7?«(T) = Daf7-?Ve-|r|/r1_ T^e-lti/7-q ,	(3.7)
2(Л+Т2)£>а	2тЮв	2TjDQ
(l+w27l)(l+co27l)	(Л-Г,) (I I соа?Д) (7\—Л) О + ш2^)’
(3-8)
где 7\—среднее время, которое проходит от одной перемены скорости
до другой; Т2 — постоянная времени экспоненты, характеризующая
инерционные свойства объекта.
Если перейти к угловому ускорению e=ci'Q/d(, то для него
р _ п_ Г_________!____е-| т i/t.i____!----е-1 г |/Л 1 _
'	я [Л(Л— Т2)	^T2(T2—Ti) J
=	( Ti e-lт -I--------е-lт .
В\Т!— Т2	'Т2— Т1 ]
S (со) = 2t°2 (Г1 + Г2) Dq = Г(,)2 (Т1 + Т2) TiT2Dr =
Е“ (14-to2Ti)(14-to2T22)	(1 4-to2Ti)0+to2Tl)
_______STiTgPg______f________________
’-(7’i-7,2)(l+co27’i) -T (T 2~ Ti) (l+<o27i) •
Здесь Z)2=-Z)g/(7,17,2) — конечная дисперсия углового ускорения на
входе.
4. Нерегулярная качка. В некоторых случаях угловые перемещения
подвижного объекта, вызванные воздействием волнения при движении
в водной среде или турбулентностью атмосферы при движении в воз-
душной среде, описываются гармонической функцией а=А sin (Р(+ф)
с известными амплитудой А и угловой частотой р, соответствующей
собственной частоте колебаний объекта, и неизвестной начальной фа-
зой ф, лежащей в интервале 0—2л.
Для движения такого типа корреляционная функция имеет вид
Ro(t)= Do cos рт, где 7)о=О,5Л2— дисперсия рассматриваемой коор-
динаты (например, угла наклона). Однако на самом деле рассматривае-
мое движение обычно отличается от гармонического (рис. 3.3, а). Для
учета затухания корреляционной связи между последующими и преды-
дущими значениями рассматриваемой координаты вводят корреляци-
онную функцию вида (рис. 3.3, б).
/?0 (т) = Doe~^lт I cos (рт),	(3.9)
где Р — преобладающая частота (близкая к собственной частоте коле-
бания объекта); р — параметр затухания.
Для этой корреляционной функции спектральная плотность
е z..\  г) Г_____J_______1______J____1   аРр 0 + Ь®2)
—	[|i2+(p_(B)2 Т м2+(р+(В)8J — | 1 + о/(в+&(/<в)2|2*
Здесь а=2р/(р2+Р2); 6= 1 /(Р2+р2).
108
можно применить формулу
Однако при этом дисперсия
А)
Рис. 3.3
График спектральной плотности изображен на рис. 3.3, в.
Неудобством рассмотренной аппроксимации (3.9) является то, что
этой формулой можно описать поведение какой-либо одной координа-
ты — в данном случае угла наклона объекта. При этом дисперсия угло-
вой скорости стремится к бесконечности. Для описания процесса, пред-
ставляющего собой угловую скорость,
(3.9) непосредственно к этому процессу,
угла наклона будет стремиться к.беско-
нечности.
Более удобно записать корреляцион-
ную функцию в виде
Ro(т) = Пое-и 1т 1 Гсозрт-)--^ э1п|3|т|1 ,
L	Н	J
при этом спектральная плотность
5o(®) = jA) 21(0)2 +
, 2р + ц -]	2aD0
' ц2-|-(р _|_(о)2 J	11Ч-а/со+&(/и>)*(3 | *
а спектральная плотность для первой
производной рассматриваемой коорди-
наты
о / \ _ _______2асо2£>о____
1	[ 1 + aj со 4- b (/со)2 ( 2
Ее интегрирование в бесконечных
пределах дает конечную дисперсию уг-
ловой скорости: D1=Z)0(p2+P2). Одна-
ко дисперсия углового ускорения и здесь получается бесконечной.
Чтобы получить конечное значение дисперсий первой и второй про-
изводных^рассматриваемой координаты, требуется использование еще
более сложных выражений для корреляционной функции.
Узкополосные случайные процессы. Случайный процесс с не-
прерывным энергетическим спектром называют узкополосным, если
его'энергетический спектр сосредоточен в относительно узкой полосе
частот около некоторой частоты со0. Условие узкополосности матема-
тически может быть выражено неравенством соп<^со0, где со0 — цент-
ральная частота спектральной плотности мощности.
При некоторых весьма общих предположениях [81 можно по задан-
ному случайному стационарному процессу x(t) образовать с помощью
преобразования Гильберта новый сопряженный x(t) стационарный
случайный процесс
z/(/) = —lim Г^-^-dx.
у ’ л J t—x
109
Тогда случайный процесс x(t) и ему сопряженный процесс y(t)
удобно представить в виде
х (/) = £ (/)созФ(/),
у = sin Ф(/).	(3.10)
Можно показать [8], что взаимная корреляционная функция случай-
ного процесса x(t) и сопряженного ему процесса y(t)
RXy (г) = — Ryx СО =	f 5 (®) sin сот dco,
о
где S(co) —энергетический спектр процесса x(t).
Взаимный энергетический спектр процессов x(t) и y(t) определяется
соотношением
^(ю) =
/ — jS (со), со
I jS (co), (p
>0,
<0.
Энергетические спектры исходного x(f) и сопряженного y(f) слу-
чайных процессов совпадают друг с другом, ибо они по определению
имеют одинаковые амплитудные составляющие, фазы которых сдви-
нуты на эт/2, а энергетический спектр не зависит от фаз.
Из последнего выражения следует, что при т=0 эти случайные
процессы некоррелированы, а если они являются гауссовыми процес-
сами, то эти процессы независимы.
Особый интерес представляют так называемые узкополосные слу-
чайные процессы.
Рассмотрим выражение для корреляционной функции узкополос-
ного стационарного (по крайней мере, в широком смысле) случайного
процесса
СО
R (т) = — S (со) cos сот dco.
г. 0
Введем новую переменную со=со0—со, где со0 — центральная час-
тота спектральной плотности мощности исходного случайного процес-
са x(t). Тогда
Ио
Я(г) = ^- J 5(со0—co)cos[(co0—co)x]dco =
— 00
J S(co0—co)coscordco
— со
COS(00t4-
й)о
г	-|
1 С
+ — I S(co0—co)sincordco
sin со0т.
НО
Введем обозначения
СО
Rc(^) = — J S (соа—со) cos сот dco,
— со
со
^.s(T)=“ J 5 (со0 — со) sincoTc/co.
— со
Из последней формулы находим
R (г) = Ко fr) cos [со0т—ц(т)],
где
RI (т) = R2 (т) + RI (т); р (т) = arctg [Z?s (x)/Rc (т)].
Так как энергетический спектр S(co0—со) расположен в низкочас-
тотной области, что вытекает из условия узкополосности исходного
случайного процесса, то /?с(т) и Rs(x) будут медленно меняющимися
функциями т. Если S (со0—со) можно считать симметричной относи-
тельно центральной частоты со0, то
Б
со) cos сот dco
cos со0т = Rc (т) cos со0т.
Следовательно, корреляционная функция узкополосного процесса,
энергетический спектр которого расположен симметрично относитель-
но высокой частоты со0, равна умноженной на cos со0т корреляционной
функции /?с(т), соответствующей спектру, полученному из исходного
смещением на со0 в область низких частот.
Из выражения (3.10) вытекает справедливость равенств
ГД(0 = Гх2(0+№(0 и Ф (0 = arctg
где Е (/),Ф (Z) — огибающая и фаза исходного случайного процессах^).
Введем обозначение Ф(/)=со0/—ср(/) и, подставив его в (3.10),
получим
х (t) = £ (t)'cos’[co0t—ф (01 = И (t)'cos out	sinco,/»
y (t) = E\t) sin [co0t—<p (/)] = A (t)'sin’co0t—cos co0t,
где
A (t) — E (t) cos <jp((t); C (t) = E (t) sin <p'(t).
Отсюда
E^(/) = rЛЧО+Wrrф(0 = arctg	'.
Иногда вводят понятие комплексной огибающей Z(f) узкополос-
ного случайного процесса x(t):
x(t) = ReZ(t)
где Z{t)=EО.
111
Из (3.10) также следует
A (t) = х (/) cos aot 4- у (t) sin со0/,
C (t) = xU) sinco0Z—y(t) cos со0Л	. (3.11)
Обозначим RA(x), Rc(x), Rac(x), Rca (t) корреляционные и взаимно
корреляционные функции введенных случайных процессов A (t) и C(t).
Тогда из (3.11) следует
Ra (г) = Rc (г) = R (?) cos со0т 4- Rxy (т) sin со0т,
Rac (г) = — Rca СО = RM sin со0т—Rxy (т) cos со0т.	(3.12)
С учетом (3.12) определяем
R (т) = Ra (т) cos Ъот 4- Rac (т) sin со0т.
Выражая корреляционную функцию R(x) процесса через эйергети-
ческий спектр S(co), из (3.12) имеем
СО
RA СО = Rc СО = J 5 (®) COS [(со — со0) т] dco.	(3.13)
о
Для узкополосного процесса
со
Ra СО — Rc (О =	JS(coo—со) cos сот da.	(3.14)
— со
Из формулы (3.13) следует, что дисперсии введенных в рассмотре-
ние случайных процессов А (О и С (О одинаковы и равны дисперсии
исходного процесса x(f), т. е. /?А(0)=/?с(0)=/?(0).
Соотношение (3.14) показывает, что для узкополосного исходного
случайного процесса x(t) корреляционные функции случайных п>г
цессов A (t) и C(t)— медленно меняющиеся функции по сравнению
с cos со0Л Принимая во внимание (3.10), находим, что корреляционные
функции огибающей Е (/) и фазы <р(/) также являются медленно меняю-
щимися по сравнению с cos со0/, а их энергетические спектры сосредо-
точены в низкочастотной области. Отсюда следует, что узкополосный
процесс носит характер высокочастотного колебания частоты соо
и медленно меняющихся огибающей и фазы.
Для взаимных корреляционных функций процессов А (/) и С (t)
из (3.12) имеем
СО
Rac (Al = — %са (О = У 5 (®) sin [(®—®0) О da. (3.15)
о
Для узкополосного процесса, принимая во внимание (3.15), на-
ходим
СО
Rac СО = — Rca (О =	f 5 (®о~®) sin сот da.
112
Из формулы (3.15) вытекает, что при т=0, т. е. в совпадающие мо-
менты времени, случайные процессы A(t) и C(t) всегда некоррелиро-
ваны, а если A (t) и С (t) — гауссовы процессы, то они еще и независимы
между собой.
Прохождение случайных процессов через разомкнутые линейные
цепи. Элементы радиоавтоматических устройств подразделяют на
нелинейные неинерционные и линейные инерцион- _______________
ные. Ранее были даны соответствующие определе-	—*
ния и указаны их основные свойства, которыми	Xй*
теперь и воспользуемся. Известно [5], что любое
линейное инерционное звено или система полно- Рис- 3,4
стью описываются передаточной функцией W (р) и
функцией веса w(t), связанными между собой преобразованием Лапла-
са: W(p)=L{w(t)}.
Пусть имеется разомкнутое звено, описываемое указанными ха-
рактеристиками, на входе которого действует случайный процесс
x(t) с корреляционной функцией Rx(tlt t2) (рис. 3.4).
На основании известной формулы свертки (интеграл Дюамеля)
выходной сигнал
t	t
у (/) = wJ(t) x(t—x)dx= w (t—x)x{x)'dx.	(3.16)
о	о
Для математического ожидания случайного выходного процесса
y(t), используя возможность перестановки нахождения среднего и ин-
тегрирования, получим
СО
М {y(t)} =. 5 W (t—r)|ij(T)’/iT= y(t).	(3.17)
о
; ля определения корреляционной функции Ryfti, t2) выходного про-
цесса у°(1) найдем центрированное значение выходного процесса, по-
ложив xc(t)=x(t)—x(t), y°(t)=y(t)—y(t):
if (O — $w (л)^/^—*0
о
tz
= ^(T))K(r-T])dT).	(3.18)
о
Для корреляционной функции Ry(tlt t2\ из (3.18) получаем
л 6
== м {у° (/JJy0 (Q) = J J af(T])	W Ь)} X
с 0
J $ ^(n)®(^)M(*2 —Ч ЧЛ—(3.19)
0 0
где Rx(1lt t2) определяется для входного случайного процесса x(t).
Б Зак. Б61
Дисперсия выходного процесса получается из формулы (3.19)
при Zi=Z8:
h	h
Dy (О = $ w (л) dr) $ w (к) Rx [(^-r)), (G-%)] dX. (3.20)
о	0
Предположим, что случайный процесс на входе является стацио-
нарным, т. е. его корреляционная функция Rx(ti, t2)=Rx(r) зависит
только от сдвига —t2=x. Однако за счет конечной полосы пропуска-
ния любого звена процесс на выходе вначале будет нестационарным,
а его корреляционная функция и дисперсия могут быть определены
с учетом общих выражений (3.19) и (3.20) по формулам
о
Ry (^ 1 Л) = $ w Cn) dr) 5 W (%) Rx (т—Т) + X) dX,
°	I	(3.21)
Dy (^i)= даСп) dr) ®(М #*(^—Л) dX.
о	о
Если в (3.21)	оо иоо	и рассматриваемое	звено (или сис-
тема) устойчиво, то Ry(tr, t2) и Dyiti) стремятся к некоторым пре-
делам:
CD	СО
/?г,(т) = $ ®(T))dT) 5 w(X)Z?x(T—T] + X)dX,
0	0	(3.22)
CD	CD	x	'
Dy :	$ w (T))dr) J w (X)	Rx (%—T)) dX.
о	0
Для нахождения указанных статистических характеристик уста-
новившегося стационарного процесса на выходе системы можно вос-
пользоваться и спектральной плотностью входного процесса Sx(co).
Между спектральной плотностью процесса на выходе линейного
звена с передаточной функцией W (р) и входной спектральной плот-
ностью Sx(co) имеется зависимость [3, 5]
S>) = >IF(/a))pSx(W).	(3.23)
Для нахождения дисперсии Dy выходного случайного процесс
необходимо проинтегрировать по всем частотам спектральную плот-
ность, определяемую по формуле (3.23):
СО	00
У S>)d(o.= ^ у | ^(/®)|»Sx((o)do.	(3.24)
— CD	— g
В частном случае, когда физические размерности входной невыход-
ной величин одинаковы, а входной процесс представляет собой белый
шум Sx(w)=M=const, дисперсия выходного процесса
CD
Dy = J I W I*	(3-25)
114
где Д/8 — эквивалентная полоса пропускания белого шума, опреде-
ляемая как интеграл в бесконечных пределах от квадрата модуля
частотной передаточной функции.
При вычислениях интеграла (3.24) обычно приходится иметь дело
подынтегральным выражением вида |В(/(о)|2/|Л (/'со)|2, где А (/со) и
В (/со) — некоторые полиномы комплексной переменной /со. Учиты-
вая, что в реальной системе при наивысшей степени полинома знаме-
вателя 2п степень полинома числителя не должна превосходить 2п—2
для удобства интегрирования представим это выражение в виде
I В (/со) I2 _ ba (/co)2n-2-|-fri (/co)2n~4+ .. - + &П-1
|Л(/со)|2	|a0(/co)n + <zi (/и)п-1 + ...+ап|2
В приложении 1 вычислены интегралы этого типа до значений
п=5.
Рассмотрим несколько примеров прохождения случайных процес-
сов через типовые линейные звенья.
1. Дифференцирующее звено. Для определения корреляционной
функции процесса на выходе дифференцирующего звена необходимо
вначале ввести понятие производной случайной функции [8]. Произ-
водная случайной функции x(t)
dx(t) .. x(f+AQ-x(Q
<U ~ д™о *
(3.26)
В (3.26) под пределом понимают предел уже не случайной функции,
а дисперсии
д/^о U <U A* J J
Для дифференцируемости случайной функции x(t) необходимо
чтобы она была непрерывной в среднеквадратическом значении:
lira М{[х(/ + А/) — х(/)]2} = 0.	(3.27)
Однако не все случайные процессы, непрерывные в среднеквадрати-
ческом значении (3.27), имеют производные, т. е. дифференцируемы.
Заметим, что достаточным условием дифференцируемости стохастиче-
ского процесса является ограниченность второй производной от кор-
реляционной функции. Для стационарных процессов это условие со-
d2R (т)	«
стоит в выполнении неравенства < оо при любом т, из которого
вытекает другое условие дифференцируемости /?(0)<оо.
Найдем среднее значение производной от случайного процесса.
Учитывая^определение (3.26), для у (t)=dx(t)/dt имеем
М {у (/)} = М J lira +	=
= Jim ^+д0)-^(0} = м {х(/)})
115
т. е. математическое ожидание производной процесса равно производ-
ной его математического ожидания.
2. Интегрирующее звено. Интеграл от случайной функции опреде-
ляют, как и производную в среднеквадратическом значении. Итак,
у (/) = х(%) dK.	(3.28)
о
Представдяя интеграл (3.28) как предел суммы, получим
f *	) t
M\y(t)} = M- Hx(X)dX[ = \M{x(X)}dX,
lo J о
t. e. действия интегрирования и нахождения математического ожида-
ния можно переставлять, что было использовано ранее [см., например,
(3.25) и (3.27)].
При прохождении через линейные звенья и цепи изменяются законы
распределения случайных процессов. Исключение составляет нормаль-
ный процесс, который на выходе любой линейной цепи сохраняет свое
распределение, а изменяется лишь его корреляционная функция.
При поступлении случайного сигнала на идеальное дифференци-
рующее устройство (3.26) с передаточной функцией W(p)—p спект-
ральная плотность выходной величины (производной от входной ве-
личины) может быть получена умножением спектральной плотности
входной величины на со2:
S2 (co) = co2S’t (со),
при двойном дифференцировании — на со4 и т. д.
При поступлении случайного сигнала на идеальное интегрирую-
щее звено (3.28) с передаточной функцией W7'(p) = l/p спектральная
плотность выходной величины (интеграла от входной величины) может
быть получена делением спектральной плотности входной величины
на со2:
S2 (co) = S1 (со)/со2,
при двойном интегрировании — на со4 и т. д.
Рассмотрим вопрос о взаимной корреляции процессов на выходах
двух линейных систем, когда на их входах действует один и тот же
случайный процесс x(t) со спектральной плотностью S(co).
Пусть уidt) и y2(t) процессы на выходах этих систем, а их функции
веса: ^(7) и w2(t). Тогда в соответствии с (3.16)
00
(7) = $ а>1 (7—т) X (т) dx,
— 00
00
77» (7) = \w2(t—x)x(x)dx.
116
Взаимная корреляционная функция R12(ti, t2) этих процессов по
(3-19)
я 12 (/1, /2) = $ $	(П) (n) G1 —	T))dT]d%.
— со — со
Для линейных систем с постоянными параметрами и стационарного
в' широком смысле случайного входного процесса последняя формула
переходит в (3.21).
Используя это соотношение и введенное ранее понятие взаимной
спектральной плотности S12(®)> получим
S12'(co) =	R(x—т) + ^) w1\(x})w2(‘k)e-’ax dx dXdx}. (3.29)
--00 — 30 —CD
Заменой x на x—rj+X в (3.29) удается разделить переменные ин-
тегрирования и получить
512(со)аа5(и) lFj/и) Ц72(—/и),	(3.30)
где Wi(/®), lF2(/co) — передаточные функции соответствующих линей-
ных систем.
Если линейные системы одинаковы, то Wi(j(>i)=W2(Ja) и (3.30)
переходит в (3.23).
Прохождение случайных процессов через замкнутые линейные си-
стемы. Рассмотрим замкнутую структуру с обратной связью (рис. 3.5).
Корреляционные функции и спектраль-
ные плотности задающего воздействия g(t) и
помехи f(t) считаем заданными и известны-
ми.
Пусть he (t) функция веса для ошибки по
задающему воздействию, a hf(t) функция веса
для ошибки по помехе. Тогда с учетом адди-
тивного характера взаимодействия задающего воздействия и помехи
и формулы (3.16) для ошибки e(t) получаем
ff(t)
e(tj
ytt)
y(t)
Рис. 3.5
w;p!
СО	со
е(0= $ g(t—K)ha(K)dk+ J /(/—X)/iz(X)dX. (3.31)
О	о
Для корреляционной функции 7?е(т) ошибки имеем
/ Т ®	CD
Re(x) = lira ' J dt J g(t + x—rj) he(x]) dx\ J g (/ —X) he(K)dX +
T CD	CD	T CD
+ J dt §f(t + x—x})h.f(x])dx]	X)/iz(X)dX+ J dt ^gtt + x—t])x
— TO	0	-TO
117
x/ie(r))dr)j/(( — K)hf(K)dk +	g(t—'k)ht(K)dlx
0	— TO
X J f(t + x— T]) hf (я) dt] .
о	J
Переходя к пределу, находим
7?е(т)=	{W/(r + MWMWt+X-W’l) +
+ hf (%) Rfg (т + %-T]) he(y\) + he (%) Rg/ (r + %-T]) h, (T))} dr),	(3-32)
где'/?^(т) и Rig(x) — взаимные корреляционные функции.
Для спектральной плотности ошибки Se(a) имеем
Se (и) = J Re (т) е-'“т dx, De = -^j Se (со) dco.
— CD	— CD
Как показано в [4],
Se (со) = | Не (/со) |2 Sg (со) + | Н (/со) |2 (со) ф- Не (/со) Н* (/со) Sfg (со) ф-
+ Д;(/со)Д(/со)5г/(со),	(3.33)
где /7е(/со), Н (/со) — частотные передаточные функции замкнутой сис-
темы для ошибки по задающему воздействию и для ошибки от действия
помехи соответственно; Sg(co) и S/(co) — спектральные плотности по-
лезного g(t) и мешающего f(t) воздействий; Sgf (со), Sfg(co) — взаимные
спектральные плотности полезного сигнала и помехи (звездочкой обоз-
начена операция сопряжения).
Если между помехой f(t) и задающим сигналом отсутствует кор-
реляция, то (3.33) принимает вид
Se (со) = | Не (/со) (со) + | Н (/со) |2 Sf (со).	(3.34)
Если предположить, что помеха действует на входе в месте прило-
жения задающего воздействия g(t), то (3.34) переходит в формулу
W -1	+ |ттЖ> l‘s'w- (3-35>
Из основного выражения (3.35) можно получить ряд частных слу-
чаев. Пусть, например, помеха отсутствует, т. е. /(/)=0. Тогда
Se (“)= | ! ф V (/со) |2 •	(3’36)
Дисперсия ошибки согласно (3.24) и (3.26) может быть рассчитана
по формуле
n If Sg (со)
2л J | 1 + U7(/co) |2 аа-
118
Если задающее воздействие g(t)=O, то для определения дисперсии
ошибки имеет место соотношение
— со
Рис, 3.6
Все приведенные формулы для спектральной плотности ошибки
e(t) могут быть переписаны для спектральной плотности выходного
процесса y(t), для чего в исходном
выражении (3.33) надо заменить
Не(]а) на частотную передаточную
функцию	замкнутой	системы
№(/®)/[1 + №(/®)].
В многоканальных системах вход-
ной сигнал представляет собой век-
тор г=[г(], а линейная обработка сво-
дится к взвешенному суммированию,
как показано на рис. 3.6.
Выходной сигнал y(t) определяем
соотношением
1/(0 = 2^ = ^ = ^-
I = 1
(3.37)
где	— вектор весовых коэффициентов.
Желаемый выходной сигнал определяется линейной обработкой W
полезного векторного сигнала «:
£(0 = IFTU = UT№.	(3.38)
Тогда ошибку системы с учетом выражений (3.37) и (3.38) находим
как разность:
e = z/(Z)—gr(/) = H7Tr — 1ГТ«.	(3.39)
Из (3.39) получаем выражение для дисперсии ошибки
D = е~2 = (lFTr—gy = Wr77iW—2Wfrg+'gi = WTn^W—
—	+ WWW = W7RrrW—2W'TRraW + WTRaaW, (3.40)
где		
	GG У» ••• r/1 r2r2 ...	— автокорреляционная матрица вход- ного сигнала;
Rru. =	i\u2 . . . Г2^1 Г2^2 " • •	— взаимная корреляционная матрица входного и полезного сигналов;
	WjW2 . . .	— автокорреляционная матрица полез-
яиа =	^2^1	^2^2 • • •	ного входного сигнала.
119
Таким образом, как следует из формулы (3.40), для нахождения
дисперсии ошибки необходимо знание корреляционных матриц вход-
ных сигналов RTT, Rru=Rar и Raa.
Память следящей системы. В ряде случаев устройства радио-
автоматики работают в условиях пропадания задающего воздействия
сигнала на их входе. К таким пропаданиям приводят глубокие ампли-
тудные флуктуации входного процесса, а также действие некоторых
видов помех. Так, если на входе приемного устройства действует ши-
рокополосная интенсивная помеха, то в нелинейных элементах прием-
ника происходит подавление ею полезного сигнала, что приводит
к резкому уменьшению сигнала на входе дискриминатора и, как след-
ствие, на входе сглаживающих цепей.
Пусть закон изменения задающего воздействия имеет вид
g(t)^g0+<it.	(3.41)
Для автодальномера это соответствует изменению расстояния между
локатором и объектом управления с постоянной скоростью, для сис-
темы автоматического сопровождения по направлению — перемеще-
нию объекта с постоянной угловой скоростью. Предположим, что до
размыкания следящей системы (так физически можно моделировать
пропадание задающего воздействия) в ней существовал стационарный
режим. Положим также, что до размыкания система радиоавтоматики
работала в условиях малого уровня внутренних шумов, при которых
ошибка слежения подчинялась закону нормального распределения:
0(х, 0)=&(х, t)lt=o- После размыкания системы математическое ожида-
ние и дисперсия ошибки начинают увеличиваться и плотность вероят-
ности меняется во времени. Предположим, что одномерный закон нор-
мального распределения ошибки сохраняется, тогда к моменту t=t±
нового появления сигнала (замыкания системы) он принимает вид
Q	ехр{-•	(3.42)
у 2лхт(/1) I zu J
Если в момент времени ошибка слежения окажется в пре
делах раскрыва дискриминационной характеристики, то режим автс
сопровождения по выбранному параметру может возобновиться.
В противном случае произойдет срыв сопровождения. Вероятность
того, что через время после размыкания системы рассогласование
находится в пределах раскрыва характеристики дискриминатора, ха-
рактеризует память следящей системы. Память является полезным
свойством следящей системы, которое позволяет сохранить режим
слежения при пропадании сигнала на некоторое время.
Величина Рп может быть с учетом (3.42) рассчитана по формуле
а
Ра (^f)= $ (х> 11) dx,	(3.43)
— а
а—границы раскрыва характеристики дискриминатора.
₽Из S3.43) вытекает, что следящая система обладает тем большей
памятью, чем медленнее увеличиваются после размыкания системы
120
математическое ожидание и дисперсия ошибки слежения. Характер
их изменения зависит от структуры и параметров фильтра устройства
радиоавтоматики, вида задающего воздействия g(t) и интенсивности
флуктуационного напряжения на выходе дискриминатора.
Пусть в качестве названного фильтра используются два последова-
тельно соёдиненных интегратора. После размыкания системы напря-
жение на выходе первого интегратора сохраняется неизменным, а на
выходе второго, следовательно, линейно нарастает. В такой же, но
замкнутой следящей системе, на вход которой подается управляющее
воздействие (3.41), в установившемся режиме на выходе первого ин-
тегратора образуется напряжение с фиксированным средним значе-
нием. Из этих рассуждений следует, что при наличии двух интеграто-
ров и размыкания системы на выходе второго интегратора продол-
жается формирование процесса, совпадающего с g(t) (3.41).
§ 3.2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ
В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Система автоматического сопровождения по направлению. Функ-
циональная схема одного из каналов системы с суммарно-разностной
обработкой представлена на рис. 3.7. В нее входят: пеленгационное
устройство, состоящее из антенны А, фазирующего кольца ФК на вол-
новодах или коаксиальных кабелях, смесителей — суммарного СМ1
и разностного СМ2 каналов, гетеродина Г, усилителей промежуточной
частоты — суммарного УПЧ\ и разностного УПЧ2 каналов, устрой-
ства быстрой автоматической регулировки усиления БАРУ, фазового
детектора ФД и детектора огибающей ДО-, усилительно-преобразую-
щее устройство, состоящее из предварительного усилителя Уг и уси-
лителя мощности У2; исполнительное устройство, состоящее из ис-
полнительного двигателя Д, редуктора Р и карданова подвеса КП.
Принцип действия этой системы изложен в § 1.2 и 1.6.
121
На рис. 3.8 приведена структурная схема рассматриваемой системы,
представляющей собой последовательно соединенные звенья: пелен-
гационное устройство — безынерционное звено с коэффициентом пере-
"'	_	i электронный усилитель —
безынерционное звено с ко-
эффициентом передачи (ко-
эффициентом усиления) Aj,
значение которого требует-
ся определить в процессе
расчета, и усилитель мощ-
ности — апериодическое
звено первого порядка с
передаточной функцией
U7y(p)=^/(1+Typ), гДе
k-y—10	— коэффициент
передачи (коэффициент усиления по напряжению), Ту=0,0125 с—
дачи Лгп=0,01 В/град, предварительный
п. | Пеленгационное^ Усилительно-лреовра-]
\ устройство ।। зующее устройство I
X !	-----
Кп
/Гу
Лу
1^ТдР\\
_______J
\иа
в бы*
|	исполнительное I
|	устройство I
|1 ° ГП
Рис. 3.8
постоянная времени усилителя мощности, а также исполнительное
устройство, содержащее двигатель — инерционное интегрирующее
звено с передаточной функцией Wn(p)=ka/[p(].+Tnp)l, где /гд=
=50 град/(В -с) — коэффициент передачи двигателя по скорости, Тл=
=0,05 с — электромеханическая постоянная времени двигателя; ре-
дуктор и карданов подвес с коэффициентом передачи fep = l/i, где i=
= 1000—передаточное отношение редуктора.
Для описания движения сопровождаемого объекта по направлению
принят типовой входной сигнал следящей системы (§ 3.1) со спектраль-
ными плотностями для угловой скорости Q и угла 0:

(“) = 1	0272 >	$9 (®) = Ш2 (| _|_Ю27’2) »
где Ос=1 град2/с2=3600 угл.мин2/с2—дисперсия угловой скорости
движения объекта; Т=5 с — среднее время движения объекта по
прямой.
Пересчитанная на вход системы помеха (рис. 3.8) принята
в виде белого шума со спектральной плотностью Sv(g))=Nv=
= 0,000055 град2/Гц=0,2 угл.мин2/Гц.
В процессе расчета требуется определить суммарную средне-
квадратичную ошибку сопровождения, условия ее минимизации и най-
ти рекомендуемые (оптимальные) значения для общего коэффициента
усиления канала управления (добротности по скорости)
=kak3kykRk-p[c~1] и для коэффициента усиления электронного уси-
лителя
Передаточная функция разомкнутой системы
__ ДА Kyt	КЯ к	А1
“ пэ Т+Р7\ р(1 + Тдр) = р(1+рТу)(1 + рТд) -
Передаточная функция замкнутой системы
Н (р\ = -У (Р>> _-----------____________
{Р> \ + W(p)	TyTap3-b(Ty+Ta)p2+p+^-
122
Передаточная функция замкнутой системы для ошибки по задаю-
щему воздействию
гг / к _ Р (1 Ч~Тур) (1 Ч~Тдр)
ЛР)~ т^Тар3+(Гу + Гд) р2 +-^+^ •
Дисперсия ошибки, вызванной движением объекта:
00
D1 = -^ j |Де(/со) |2Se((0)d(0 =
— со
__ 1 С /® (1 Ч*/’®) Ту (1 4-/<оТд)	2 2DG7W<o 1
“ 2л J ТуТд (/<о)з + (Т + тд) (/©)*+/со+Ki и2 (1+<о2Л)= 2^ Х
— 00
С  ____________2РаТ[Т^Т^ + (Ту + Та)^+ l]<fo____________
J |7’7’у7’дО®)4+(7’Ту+ТТд+ТуТд)(/и)2+(Т+Ту+Тд) (/(о)2+(1+Л17’)/<о+Л1|*-
“х	j
Интегрируя последнее выражение в соответствии с приложением 1,
получим
(Ло + Л1Л + Л2№1)Ой7’
1 К(ВоЧ-ад(1-К1/Кю)*	1	’
где -
Ао = Т2 + 7Ту + ТТЛ + ТуТд « Т2;
Л1=<?2у+П)+ту+П—Т2Жо«- Т2/^о;
Л2 = ТТ2Т2д; Во = Т2 + ТТу + ТТЛ « Т2, В1 = Т3.
В последних выражениях использовано критическое значение об-
щего коэффициента усиления /С10, при котором замкнутая система те-
ряет устойчивость. Оно может быть получено применением любого
критерия устойчивости к рассматриваемой системе. Условие устой-
чивости
К,< 1/Ту+1/Тд = /С1в=100 с-1.
Подставляя в (3.44) полученные значения коэффициентов, имеем
Ох
DaT ,
(1Ч-ЛД)+ Лю (1Ч-ЛД) (1-Л1/Лю)
DaT [i i _E£^L_1
— Л1(1Ч-Л1Г)[ ' ГЛ10(1— Л1/Л1») J 
(3.45)
Первое слагаемое в последнем выражении представляет собой
дисперсию ошибки в идеальной системе при ТУ=ТД=О, т. е. в том
случае, когда канал управления сводится к идеальному интегрирую-
щему звену с передаточной функцией W (p)=KJp. В этом идеализи-
рованном случае, учитывая обычно выполняемое неравенство KiT^l,
можно пользоваться упрощенной зависимостью ’D1~Dq/Ki. Тогда-
среднеквадратичная ошибка слежения будет равна отношению сред-
неквадратичной угловой скорости движения объекта к добротности
по скорости, т. е. о1=ой//С1.
123
Второе слагаемое в (3.45) представляет собой дополнительную дис-
персию ошибки в реальной системе. При приближении к границе ус-
тойчивости эта составляющая дисперсии стремится к бесконеч-
ности.
На рис. 3.9 построена дисперсия ошибки Di в функции добротности
Ki (кривая 1). Минимальное значение дисперсии Di«0,431 (угл.мин)-
соответствует добротности ^«95 с-1. При этом среднеквадратичное
значение ошибки ох = К0,431 =0,656 угл. мин.
Дисперсия ошибки, вызванной действием помехи, определяется
выражением
°2 =	।Н 125»(“) da =
— 00
1 С	KiNv dw
2л J |7’уТд(/(й)з + (Ту + Тд)(/<о)2+/(о+Л1|2 *
— 00
Интегрирование последнего выражения в соответствии с прило-
жением 1 дает
* n	1
2	2 1-ад10 •
Первый сомножитель соответствует дисперсии ошибки в идеализи-
рованной системе при Ту=7,д=0, а второй показывает увеличение дис-
персии ошибки в реальной системе при приближении к границе устой-
чивости. При /<!-> /С10 ди-
сперсия ошибки, вызванной
действием помехи, стремится
к бесконечности.
Последнее выражение мо-
жет быть записано в виде
О2 = Nv А/ = Nv bfИ1	
Здесь Af — полоса пропуска-
ния реальной системы, кото-
рая оказывается более широ-
кой за счет наличия в канале
управления апериодических
звеньев;	— полоса
пропускания идеализирован-
ной системы.
На рис. 3.9 построен гра-
фик дисперсии ошибки О2 в
функции добротности Ki (кри-
вая 2). Видно, что дисперсия возрастает с увеличением добротности,
причем в реальной системе возрастание происходит быстрее, чем
по линейной зависимости, которая характерна для идеализирован-
ной системы.
124
Оптимизация параметров системы автоматического сопровождения
по направлению. Полная дисперсия ошибки может быть получена
суммированием Ое=О1+О2 (рис. 3.9, кривая 3). Эта кривая пока-
зывает, что минимальное значение дисперсии соответствует значению
/Copt=30c-1. При этомD^in=8,24 угл.мин2, а среднеквадратичное зна-
чение полной ошибки слежения о™111 = К D™In = К8,24 = 2,88 угл. мин.
Для идеализированной системы вопрос определения оптималь-
ного значения добротности легко решается аналитически. Запишем
выражение для полной дисперсии ошибки:
Чтобы найти минимум дисперсии, продифференцируем последнее
выражение по добротности [и приравняем производную нулю:
-2Ой//С?+0,5^ = 0.
Отсюда находим оптимальное значение добротности
/Сор^^Ой^^ 41,6 с-1
и минимальное значение дисперсии ошибки
=6,24 угл. мин-,
агп1п _ у£>min — 2,5 угл. МИН.
Полученное оптимальное значение добротности по скорости при
заданных значениях параметров системы автосопровождения по
направлению может быть обеспечено, если коэффициент усиления
электронного усилителя &э=6000.
Рис. 3.10
Система автоматического сопровождения по дальности. Функцио-
нальная схема этой системы в сочетании с приемопередающим уст-
ройством приведена на рис. 3.10. В нее входят: приемопередающее
устройство, состоящее из антенного коммутатора А К, приемника 77,
передатчика ПРД. Это устройство является безынерционным звеном
125
с коэффициентом передачи ka\ устройство автосопровождения по
дальности, включающее пеленгационное и исполнительное устрой-
ства; при этом в состав пеленгационного устройства входят временной
дискриминатор ВД, представляющий собой апериодическое звено
первого порядка с передаточной функцией WB(p)=kB(l-]-TBp)~'s-,
сглаживающий фильтр СФ, в качестве которого используется интег-
ратор, имеющий передаточную функцию wjfij—kjp- В состав испол-
нительного устройства входят временной модулятор ВМ и генератор
селекторных импульсов ГСИ. Исполнительное устройство можно
полагать безынерционным звеном с коэффициентом передачи kM.
Принцип работы этой системы изложен в § 1.2 и 1.6.
Рис. 3.11
На рис. 3.11 приведена соответствующая структурная схема рас-
сматриваемой системы. Здесь: g — задающее воздействие (текущее
значение дальности до объекта); у — управляемая величина (изме-
ренное значение текущей дальности); e=g—у — ошибка измерения;
иа — внутренняя помеха измерения; v — помеха, пересчитанная на
вход; v=va/kn; скорость V=g.
Пересчитанная на вход помеха может быть принята в виде белого
шума со спектральной плотностью 5г,=Л/о[м2/Гц] (рис. 3.11), а спект-
ральная плотность полезного сигнала (типовой входной сигнал сле-
дящей системы) имеет вид (3.8).
7	и2(1+и«Т?)(1 + и2Т|) ’
Зададимся следующими параметрами, характеризующими движе-
ние объекта: <ту=50 м/с; Dy=<jy=2500 м2/с2— среднеквадратичное
значение и дисперсия скорости движения объекта; 7\=60 с — сред-
нее время движения объекта с постоянной скоростью; =2 м/с2;
Оу =4 м2/с4 — среднеквадратичное значение и дисперсия ускорения
объекта.
Для нахождения значения Т2 используем следующую зависимость:
= i J ®2Sy(co)dco = -^- J (04S^((0)d(0 =
— оо	— оо
_Д_ Г (022Dy (7\+ Г2) d(0 Dv
2n +	TtT2'
откуда
T2 = Dr/(T1D{,) = 2500/(60-4)= 10c.
126
Пересчитанная на вход системы помеха v (см. рис. 3.11) принята
в виде белого шума со спектральной плотностью
Sv (со) = Nv = 1,25 м2/Гц.
В процессе расчета требуется установить границы целесообразно-
сти введения в систему одного, как указано на рис. 3.11, или двух
интеграторов.
Система с одним интегратором. Передаточные функции разомкнутой
W (р), замкнутой Н(р) систем, а также передаточная функция Не(р)
для ошибки определяются выражениями
Г(Р) = р(1+р7’в); Н^ = т^ + р + Ъ >
н (р) = ..pSL±2j>p)..
Т^ + р + Кг’
где Ki= knkBkzk^c Ч—добротность по скорости.
Эквивалентная полоса пропускания белого шума
2л j
Kidv>_______
I П (/и)2+/и-|-Л112
Ki
2 '
Дисперсия ошибки от действия помехи
Р2й=ад/2.
Дисперсия динамической ошибки определяется выражением
00
J \He(i(^\2Sg((il)da =
— со
= 1 е _________а2 (14- <о2Тв) 2D У (Г14- Та) dco
2л J |Тв(/и)24-/ш4-Л1|2и2(14-и2Т?)(14-ш27’2) ’
— 00
Так как Тв — малая величина по сравнению с 7\ и Т2 и неучет Тв
не может нарушить условие устойчивости в исходном выражении для
Н(р) и Не(р), то в дальнейшем положим Тв=0.
Тогда
л _ 1 С _______________2D у (Т14~ 7*г) das_________
1-2яЗ | /©4-^1|2| ЛТа (/и)24-(7’14-7’2)М4-1 I2 ~
— 00
_ J_ С ______________________2Dy(Tj4-T2)da_____________________
2л J [Т1т2(/и)34-(Т14-т24-л1г1т2)(/и)24-(14-Л1Т14-л1т2)/ш4-л1]2~
~	Dv(Ti + Tv+KiTiTz)________Dv t\ 4-Г1 4-tf (Т 4-Т')4-К1Т Т
Л1[14-К1(Л4-Т2)4-№1Т1Т21
Поскольку всегда выполняются условия	и /С1Т2^>1, то
в дальнейшем с большой степенью точности можно положить
Dl = Dv/Kl
127
Суммарная дисперсия ошибки
De = Dx + D2 « Dv/Kl + 0,5 (ад).
Исследуя на минимум последнее выражение, получаем, что он
достигается при
и составляет
л™ _ п г ад2/3. м 4Dv \1/3 31
Ue + 2 ‘
Подставляя исходные данные, находим дисперсию ошибки в опти-
мальном случае;
Среднеквадратичная ошибка сопровождения по дальности
amin = j/’gmiH = J/-2I = 4,58 м.
Система с двумя интеграторами. При последовательном подключе-
нии к первому интегратору (см. рис. 3.11) второго, передаточная функ-
ция которого также равна kcp~\ для устойчивой работы полученной
Рис. 3.12
схемы необходимо дополнительно параллельно первому интегратору
включить безынерционное звено с коэффициентом передачи k3 (рис.
3.12). Тогда передаточная функция двух интеграторов и введенного
звена
где т=£3/£с — постоянная времени параллельной цепи.
Передаточные функции разомкнутой №(р), замкнутой Н(р) сис-
тем, а также передаточная функция Не(р) системы для ошибки опре-
деляются выражениями
Р) р2(1+рТв)’
Н (р) =-----ffg.P+Pfl____
Т’вР3 Р2 ^2ТР ^2 *
Н (р) =-----р2 (1 +рГв)
ГврЗ+р2 + /(2Тр+/(2’
где К2=&п^в^с^м1с-2]—добротность по ускорению
128
Условием устойчивой работы рассматриваемой системы является
выполнение неравенства т>Тв. Зададимся значением 7\=0 01с.
Если выполнено неравенство т^Тв, то можно положить Тв=0 и рас-
четы вести по упрощенным выражениям передаточных функций:
WW- р2 , п(р)-р2 + КгХр+К2,
Не (Р)= p2+Ztp+A2 ’
Эквивалентная полоса пропускания белого шума
00
- со
_ 1 Г /<2| l + r/w|2<to 1+А2Т2
2л J I (/®)2-|—А2т/со-|~ А2 I2	2т 
— 00
Чтобы рационально выбрать величину т, найдем ее значение,
обеспечивающее минимум полосы пропускания белого шума;
т=1/ИГ2.
Минимальное значение Af3 при этом составит
А/™п=1/т=ИС
Дисперсия ошибки, обусловленная шумовой составляющей:
Дисперсия динамической ошибки
00	00
1 р	1 Р	V*
D*=2n I (J03) |2	(<о) cfco =j | (j(0)2 + ^Tjfi>4-^ |2Х Х • • • —”
— со	— 03
X2Dv(7’i+7’2)d®	_ 1 С 2DV(7\+
хи2|Т1Т20«)2 + (Т1 + Т2)/®+1 |2 2л Д 1ТЧТ2 (/и)4-
+ T2)a>2dti>
.	+(Т1+Т2-|-^тТ1Т2)а®)®+(1+К2Л7’2+^тТ1-г
-рАгтТ’г) (j®)2 + (Тх + ^2 + т) Аг/®+Аг I2
Точное выражение для Dx получается очень громоздким. Если
учесть, что и т<^Т'2, то получим
D1«Dv/(7<2TJT2) = Di,//<2.
Дисперсия полной ошибки
+ Р2 = D,?/Я2 + ПС
129
Для минимизации De продифференцируем последнее выражение по
К2 и приравняем производную нулю:
-2£»{>//C2s + ^/2l/^ = o.
Решая последнее уравнение, находим
К?* = (4D-VINV)^ = (4 • 4/1,25)2/6 = 2,77 с"2.
Минимальное значение дисперсии полной ошибки
£)min = £). /_Л^_\4/8 1 дг /IPt' У/5	1/4D- N*
Подставляя исходные значения в последнюю формулу, получаем
Дипп = 5. 8/4.4.^254 = 2,6 м2.
Минимальное среднеквадратичное значение ошибки сопровожде-
ния по дальности
a”in =	1,61 м.
Заметим, что ошибка при применении двух интеграторов оказа-
лась меньше, чем в случае использования одного интегратора.
Постоянная времени параллельной цепи (см. рис. 3.12) должна
быть принята
т= 1/КЛ?₽‘ = (К2Д73)"1«0,6с.
Условие устойчивости г>Тв (0,6 с>0,01 с) выполняется.
Области применения одного или двух интеграторов в цепях сгла-
живания. Полученные выражения для минимальных дисперсий оши-
бок сопровождения по дальности позволяют установить границы
целесообразности введения в систему одного или двух интеграторов.
Для этого приравняем полученные значения D^in;
4 ^0,5ПЛ2=4|/4ЩдГ<.
Из последнего выражения находим граничные значения дисперсии
и среднеквадратичной величины ускорения объекта:
= 0,565	<4 =	(3.46)
Если заданное значение	то следует использовать схему
с одним интегратором, а если заданное значение , то преиму-
щество имеет схема с двумя интеграторами.
Подставляя в (3.46) числовые значения, находим
Dp = 0,565	25005/1,252 = 1,78 105 м2/с4,
а- = К 1,78-106 = 4,21.102 м/с2 = 421 м/с2.
Так как в нашем примере получилось —2 м/с?, то надлежит
применять схему с двумя интеграторами.
130
Глава 4
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 4.1. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ
Общие сведения. Реальные системы радиоавтоматики, как правило,
имеют переменные во времени параметры. Таковы, например, системы
радиоуправления подвижными объектами, системы радионавигации
и др. Эти системы при работе в различных практических ситуациях
содержат одно или несколько звеньев с переменным коэффициентом
передачи, зависящим от времени. Так, в системе углового сопровож-
дения вследствие изменения дальности до объекта сопровождения
крутизна дискриминатора становится функцией времени.
Для изучения нестационарных систем существует ряд аналитиче-
ских методов, однако анализ нестационарных систем или систем
с переменными параметрами значительно сложнее, чем стационарных.
Систему радиоавтоматики называют стационарной, если ее реакция
на любое данное возмущение не зависит от момента его приложения,
т. е. при любом сдвиге во времени входного возмущения без измене-
ния его формы выходная переменная в стационарной системе претер-
певает такой же сдвиг во времени без изменения своей формы В не-
стационарных системах при сдвиге входного возмущения во времени
без изменения формы их выходные переменные сдвигаются во времени
и изменяют свою форму.
Математически это выражается в том, что дифференциальные
уравнения системы содержат переменные во времени коэффициенты.
Непостоянство коэффициентов уравнения возникает вследствие изме-
нения во времени параметров отдельных звеньев. Изменение коэффи-
циентов во времени усложняет задачу исследования динамики подоб-
ных систем. Только дифференциальные уравнения с переменными
параметрами первого и второго порядков могут быть решены в общем
виде. Уравнения более высоких порядков решаются методами чис-
ленного интегрирования, а также на ЭВМ [4].
Синтез систем радиоавтоматики с переменными параметрами осу-
ществляется с помощью ЭВМ, которая позволяет оценить качественные
показатели и подобрать необходимые корректирующие средства.
Синтез нестационарных систем с переменными параметрами резко уп-
рощается, если систему рассматривать как квазистационарную, т. е.
такую, параметры которой изменяются настолько медленно по срав-
нению с длительностью переходных процессов, что их можно считать
постоянными [4]. Таким образом, нестационарная система описы-
вается уравнением
aoa)$-+--.+a„-1W^ + an(Ox =
= ba (0	+ ... + Ьт_1 (/)	(4.1)
Коэффициенты а», . . . , ап и bQ, . . . , Ьт являются функциями вре-
мени, которые задаются либо графиками, построенными на основании
эксперимента, либо аналитически.
131
Переходная функция и функция веса. Так как коэффициенты урав
нения (4.1) меняются с течением времени, то эти функции будут зави-
сеть от момента приложения единичного скачка или единичного им-
пульга на входе.
На рис. 4.1 показаны графики изменения во времени одного из
коэффициентов исходного уравнения a^f), переходной функции q
и функции веса w. При поступлении на вход нестационарной системы
функции
единичной ступенчатой
=	—И) реакция ее, представ-
ляющая собой переходную функцию
данной системы q(t—И, Н)=^(т, И),
оказывается зависящей от двух пе-
ременных: текущего времени t, от-
считываемого от некоторого момента,
соответствующего, например, началу
работы системы, и времени $ (сме-
щения), соответствующего поступле-
нию на вход ступенчатой функции.
Ее можно также представить в ви-
де функции смещения И и текущего
времени x=t—И, отсчитываемого от
момента приложения ступенчатой функции на входе.
Если на вход подать единичную импульсную функцию, которую
можно представить как предел отношения
6	11‘~6>~ Т(*+Д<>)1 - Я 1	(4.2)
то процесс на выходе, т. е. функцию веса, по принципу суперпозиции,
можно представить в виде разности двух смещенных на АН переходных
функций с измененным в 1/АН раз масштабом:
w(t-b И) = lira q[t~^	О+ДО].
до^о	ДО
Правая часть этого выражения — производная от переходной
функции по аргументу 0 с обратным знаком. В результате получим
формулу, связывающую функцию веса системы с переходной функцией
w(t—И, Н) = ®(т, Н) = —	И, 0).	(4.3)
Весовая функция оказывается зависящей от тех же переменных: /нН
или/ и 0. Ее можно изобразить в виде некоторой поверхности (рис. 4.2).
Эта поверхность переходит в плоскость /ОН при /<Н. Границе перехода
поверхности в плоскость соответствует биссектриса /=Н. Это объяс-
няется тем, что в реальных системах реакция не может появиться
ранее, чем будет приложен импульс на входе системы [4]. Поэтому при
/<Н функция веса должна быть тождественно равна нулю. Сечение
поверхности весовой функции вертикальной плоскостью, параллель-
ной оси t (рис. 4.2, а), дает весовую функцию для зафиксированного
132
момента приложения единичного импульса на входе системы (tt==
=const). Эту функцию называют нормальной весовой функцией системы
с переменными параметрами:
w-=w(t—{}, {}), {} = const.	(4.4)
Она является параметрической функцией, так как в нее входит фик-
сированный параметр tt=const и ее можно использовать для харак-
теристики переходных процессов в нестационарной системе.
Сечение поверхности весовой функции вертикальной плоскостью,
параллельной оси Oft, дает так называемую сопряженную функцию
веса (рис. 4.2, б): w=w(t—{}, {}), t=const. Она может быть получена
путем обработки семейства нормальных весовых функций, построен-
ных для различных моментов приложения единичного входного им-
пульса (рис. 4.3). Эта функция также является параметрической, так
как содержит параметр £=const.
Сопряженная функция является функцией смещения 0, но может
быть представлена и как функция 9=t—В- (рис. 4.2, б), называемого
реверс-смещением, так как 0 отсчитывают от точки {}=/ в сторону,
противоположную смещению!}. Это осуществляется подстановкой в со-
пряженную весовую функцию значения {}=/—0 при /=const:
ay = ay(0, t—0), t = const.
Проиллюстрируем сказанное примером. Пусть имеется весовая
функция нестационарной системы вида: w(t—tt, {})=/ге~“^~в)/Л
Зафиксировав смещение и положив t}=t}0=const, получаем нормаль-
133
ную функцию веса: w(t—ft0, fto)=/te“d»e-a///, или в другом виде, при
переходе к аргументу r=t—ft:
Нормальная функция веса показана на рис. 4 4, а, б. Зафиксировав
текущее время и положив Z=Z0=const, получим сопряженную функ-
цию веса (рис. 4.4, в):
ш(/0—ft, ft) = -^—е“<>.
го
Перейдя к реверс-смещению 0=/о—ft, получим
w (0, t—в) = ke~a<i/ia.
Эта функция построена на рис. 4.4, г. Весовая функция является
характеристикой линейной нестационарной системы. Ее сечение (см.
рис. 4.2, а), т. е. нормальная весовая функция, построенная для раз-
личных значений смещения	где Т — время работы системы,
может быть использована для оценки качества регулирования (коле-
бательности, быстроты затухания процессов и т. д.). Второе ее сечение
(см. рис. 4.2, б), т. е. сопряженная весовая функция, может быть ис-
пользована для нахождения реакции системы на входное воздействие
произвольного вида. Пусть на систему с весовой функцией w(t—ft, ft)
действует входной сигнал /(/). Элементарная реакция системы на
импульс, приложенный в момент времени ft, может быть найдена как
произведение площади импульса f(t)d$ на весовую функцию, которая
134
является реакцией системы на импульс единичной площади:
dx(t~) = w(t—ft, ft)f(ft)dft при	(4.5)
Полный сигнал на выходе системы x(t) определяем как сумму эле-
ментарных реакций вида (4.5):
t
x(t)= ft, ft)f(ft)dft.	(4.6)
о
Интегрирование ведем по смещению ft. Весовая функция является
сопряженной. Верхний предел интегрирования можно заменить на
бесконечность, так как при ft>Z весовая функция тождественно равна
нулю:
x(t) = \w(t—ft, ft)f(ft)dft.
о
При переходе к реверс-смещению формула (4.6) может быть пред-
ставлена в виде интеграла свертки:
t
х(/) = $цу(е,	в) de.	(4.7)
о
Построение переходных процессов. Нахождение переходной функ-
ции или функции веса нестационарной системы, являющейся ее ис-
черпывающей характеристикой, обычно сопряжено с большими труд-
ностями. Существующие методы позволяют решать задачу нахождения
весовой функции только в численном виде. Однако для систем регули-
рования, описываемых дифференциальными уравнениями первого
и иногда второго порядков, удается решать задачу в общем виде.
Поэтому в некоторых случаях приходится сложную нестационарную
систему приближенно сводить к более простой, которая описывается
уравнением не выше второго порядка. Большинство нестационарных
систем относится к так называемым квазистационарным системам,
параметры которых меняются сравнительно медленно. В таких систе-
мах коэффициенты дифференциального уравнения мало меняются
в течение времени переходного процесса, определяемого временем
затухания нормальной функции веса.
Дифференциальное уравнение первого порядка dx/dt+P (t)x=Q (t)
имеет аналитическое решение:
x(/) = e-s<«[$ Q(0es<z><#4-C],	(4.8)
где S (t)=$P(t)dt', С — постоянная интегрирования, определяемая
начальными условиями.
Пример 4.1. Пусть имеется уравнение
= Д	(4.9)
Определяем для него семейство переходных характеристик
?(/—ft» ft)=g(r, ft).
135
Для единичной ступенчатой функции уравнение (4.8) можно записать в виде
(/-©).
Приведем (4.9) к виду (4.8):
dx_ ai _ 1 (/—&)
d.t'tX~ t
При этом получаем
P(f) = a1/f; eS(<) = /a>;
S(f)=jp(f) dt = ^?±dt = a1 In Z;
e-S(0=Z-Oi. Q (/)=1.^~^. ;
Q (t) dt = tai/a1.
Учитывая, 'что [x (/) = e~s*i> £ J Q (/) eStfldf-j-Cj , получим q (t — (h O) = Z-aiX
X[tai/a1-\-C] = l/a1-\-C/tai.
При нулевых начальных условиях (для / = •&) должно выполнят-ся равенство
7(0, 'й’) = 0. Определяем постоянную интегрирования
С=—-ЩЬ/щ.
Окончательно
(410>
“1
Дифференцируя выражение (4.10) по О, получим функцию веса
аа(/—&, 0) = —-^q(t—ft,
или
(4J1>
Для уравнения (4.8) весовую функцию можно найти сразу из об-
щего решения, если на вход подать единичный смещенный импульс
Q(t)~d(t—ft). Проделав необходимые выкладки, получим
t
w(t—$, й) = е-«(б<», где R(t, W) = \P(f)dt. (4.12)
в
Запишем дифференциальное уравнение в более общем виде
//у
и приведем его к виду (4.8)
д_ 01 U) г ва fi(t}
Если входной сигнал представляет собой единичный импульс,
приложенный в момент времени /={}, т. е. f(t)=$(t—D), то решение
при нулевых* начальных условиях будет соответствовать весовой
136
функции
w(t—9, ft) = Ms е
v ' ' do (ft)
'	t	(4-13)
где	/? (Z, ft) = —d^a, ln-y
о
Рассмотрим опять в качестве примера уравнение (4.8). Приведем
его к виду
Тогда
R(t, ft) = j^-d( = fllln^,
о
а также функция веса
ft^e"'’"»^,	(4.14)
что совпадает с выражением (4.11).
В большинстве случаев при исследовании нестационарных систем
прибегают к численным или графическим методам [11, 34].
Метод последовательных приближений используют для нахожде-
ния весовой и переходной функций, а также для определения реакции
системы при любом известном входном воздействии f(t). Рассмотрим
исходное уравнение (4.1). Пусть коэффициенты a^t) меняются во
времени сравнительно медленно. Для некоторого момента времени
представим их в виде суммы постоянной и изменяющейся частей:
af\t) = a°i + al = at (ft) + aftt—ft).
После этого исходное уравнение (4.1) запишем в виде
=	(4.15)
Q»(0=M05r+- -+WA
ТДе	d"x
y(t) = a0^-+ :Л! + а*пх.
Так как коэффициенты а’(/) меняются сравнительно медленно,
то функция y(t) мала и ее можно рассматривать как возмущение.
Тогда к (4.15) можем применить метод последовательных прибли-
жений, и решение (4.15) запишем в виде ряда
Х(0в*1+^ + *з+"«
Зафиксируем переменные коэффициенты a, (()e=a^(ft). Для на-
хождения первого приближения (при «замороженных (Коэффициен-
137
тах» необходимо решить уравнения
4*= /„(/).	(4.16>
Для получения второго приближения необходимо в правую часть
уравнения (4.15) подставить первое приближение х1г а в левую
часть — х = х1-|-х2. В результате получаем уравнение с фиксирован-
ными коэффициентами:
0Й“Х2 1	10	Г » dnXi .	,	*1
•••+«% = — |а0	+...+ОЛ],
решение которого обычными методами позволяет определить х2.
Повторяя этот процесс многократно, находим рекуррентную фор-
мулу для определения k-ro члена ряда:
ао	= — [.о*	• + йЛ-1]	(4.17)>
Ряд (4.25) сходится тем быстрее, чем медленнее изменяются коэффи-
циенты at.	.
Передаточная функция. Связь между входной и выходной вели-
чинами в нестационарной системе определяется интегральной зави-
симостью
t
x(0=$®G—ft, ft)f(ft)dft.	(4.18)
о
Предположим, что к входному сигналу f(t) можно применить
преобразование Фурье. Тогда сигнал представим в виде
+ 00
Объединив две предыдущие формулы, получим
x(t)— § w(t—ft.ft)^ У F dm. ‘ (4.19)’
— 00	— 00
В первом интеграле нижний предел равен —оо. Это означает, что
входное воздействие может начаться в любой момент времени при
Л<0, в том числе и при /-Э-—оо.
Изменив в (4.19) порядок интегрирования и умножив правую
часть на е;м<е~'м<=1, получим
+ 00	+t
У F(J®)ef“fd® у w(t—ft, Й)Х
— СО	•» 00
Xe~,ta V-^dft t=-^- С W (ja), t) F (/®) eiat d®.	(4.20}
138
Отметим, что здесь введена параметрическая частотная переда-
точная функция нестационарной системы:
t
UZ(/(O, /)= f w(t—ft, ft)e-'“('-0)dft.
При переходе к реверс-смещению 0 = /—ft эта функция прини-
мает вид
W (jm, /) = Jay(0, t—0)e_'M0d0.
о
Правая часть, находящаяся под знаком интеграла, представляет со-
бой изображение Фурье функции времени x(t), поэтому
Х(>, = t)F(ja).
Итак, изображение Фурье выходной величины нестационарной
системы X(ja, t) есть изображение Фурье входной величины Ffja),
умноженное на параметрическую частотную передаточную функцию.
Разница по сравнению с системой, имеющей постоянные параметры,
заключается в том, что выражение (4.16) записано для фиксирован-
ного момента времени /=const. Поэтому частотную передаточную
функцию называют параметрической [так как в W (ja, t) входит
параметр г].
Переходя в формуле (4.20) к преобразованию Лапласа, получим
+ со
x^Bsii S W ^Р’ t)F(P)zptdp,
— со
где параметрическая передаточная функция
W(p, l)= J w(t—ft, ft)e-P(z-OMft= у ®(0, t —0)e~p0d0.	(4.21)
— со	0
Использование формулы (4.21) для нахождения параметрической
передаточной функции нерационально, так как требует знания ве-
совой функции, что усложняет задачу. Более удобно находить пара-
метрическую передаточную функцию непосредственно из исходного
дифференциального уравнения (4 1). Пусть /(/)=6(/—ft). Тогда ре-
шение этого уравнения будет соответствовать функции веса w=*
= w(t—ft, ft). Подставим эти значения в (4.1):
к (0 ^-г •  • + ап (/)! w (/-ft, ft) = [&0 (/) Г + ... + Ьт (/)] 6 (/-ft).
(4.22)
139
Умножим левую и правую части (4.22) на ер0 и проинтегрируем по $
в пределах от —°о до t:
dn
й° ~dF
i w(t—{},
+ • • • + ап (О X
w (/—{}, ft) eP®d$ = [60 (t) pm + ... + bm (0]
На основании (4.21) величины в квадратных скобках можно предста-
вить в виде
t
J ш(/—йЛ)ер<Мй=И7(рД)ер*.
— со
Тогда
Ое<Ц ...+а„(0[^(Р> Ох ,
х е<] = р0 (/) рт + ... + Ьт (0] еР1.
Продифференцировав левую часть и сократив на ер/, получим
А(Р, t)W(P, tU^ + .l.+ ^n = B(p, П. (4.23)
Здесь введены обозначения
Л(р, t) = aa(t)p"+ ... +an(t),
В(р, t) = ba(t)p^+...+bm(t).	(4.24)
Уравнение (4.23) может быть решено методом последовательных
приближений. Для этого запишем его следующим образом.
А(р, t)W(p, t) = B(p, t) + N{W(p, /)},
.r(W7, Al ( dA dW	1 dnA d'lW 1 /Л
Решение будем искать в виде ряда W (р, t) = W0(p, f)+Wi(p, 0+- •
Положив N=Q, получим первое приближение
w.(p.	(4-26>
Формула (4.26) есть передаточная функция системы с «заморожен-
ными» коэффициентами. Для вычисления первой поправки Wt(p, t)
подставим первое приближение в правую часть (4.22), тсгда
Формула для £-й поправки имеет вид
Wk(p, 0 = --%7,1п’	(4-27)
/1 {Pj I)
По найденной функции 117 (р, t) можно получить параметрическую
частотную функцию W(/<о, t) подстановкой р=/<о.
140
Ввиду сложности математического решения синтез систем радио-
автоматики с переменными параметрами, как правило, осуществ-
ляется вычислительными машинами непрерывного или дискретного
действия, а также посредством реального моделирования. ЭВЛ1 позво-
ляют просмотреть все наиболее важные режимы работы системы,
оценить ее качественные показатели и подобрать необходимые кор-
ректирующие средства.
Однако часто, особенно для квазистационарных систем, синтез
можно провести аналитическим путем. Это позволяет более созна-
тельно подойти к определению структуры проектируемой системы
и параметров корректирующих средств, что значительно сокращает
объем последующих исследований и проверок на ЭВМ и моделях.
На практике применяют приближенные методы, два из который
приведены ниже.
Метод замороженных коэффициентов. Замораживание коэффициен-
тов исходного дифференциального уравнения достигается путем
замораживания переменных во времени параметров в фиксированный
момент времени При этом нестационарная система сводится
к системе с постоянными параметрами, но разница заключается в том,
что исследование системы с замороженными коэффициентами должно
последовательно проводиться для различных моментов времени £=•&,
0<3}<7\ где Т — время работы системы. Если во всем рабочем ин-
тервале времени от 0 до Т качество системы радиоавтоматики оказы-
вается приемлемым, то ее считают работоспособной и при изменении
коэффициентов уравнения в исследованных пределах. Эффективность
данного метода может зависеть от правильного выбора фиксированных
моментов времени, для которых замораживаются коэффициенты.
Необходимо так их выбирать, чтобы охватить все возможные варианты
значений коэффициентов, обратив особое внимание наточки, в которых
происходит значительное изменение коэффициента или смена его
знака.
Метод замороженных реакций. Во многих случаях переменными
параметрами обладает не вся система, а одно из ее звеньев. Чаще
всего таким звеном является объект управления. Задача синтеза
будет сильно упрощена, если звено с переменными параметрами
исследовать отдельно, а затем приближенно заменить его в окрестно-
стях некоторой точки эквивалентным звеном с постоянными пара-
метрами. Этот метод более точный, чем метод «замороженных коэффи-
циентов». Идея его состоит в следующем. Пусть имеется некоторая
система управления, содержащая звено с переменными параметрами.
Часть системы, соответствующую постоянным параметрам, выделим
в отдельное звено. Для звена с постоянными параметрами может быть
определена весовая функция ®i(x), зависящая только от времени т=
=t—&, и соответствующая ей передаточная функция
+ со
Н?1(р)= ? w (т) e~Tpdi.	(4.28)'
о i
Определим весовую функцию w2(t—ft, -&)=®2(т, для звена с пере-
менными параметрами. Ее можно найти точно, если дифференциаль-
141
ное уравнение звена имеет первый или второй порядок. Найденную
функцию w2 заморозим для некоторого фиксированного момента
времени /={}0, полагая при этом, что весовая функция на небольшом
интервале времени вблизи точки /=Ф0 зависит только от т=/—й»
и не зависит от зафиксированного значения смещения, т. е. получим
функцию
^) = ®2(т, Ю-	(4-29)
Для такой весовой функции передаточная функция имеет вид
W2(p, $„) = J ®2(т, doJe-'MT.	(4.30)
о
Эта передаточная функция по своей сущности является параметри-
ческой, так как содержит фиксированный параметр $»• Но по своим
свойствам она полностью совпадает с передаточной функцией звена
с постоянными параметрами. Поэтому назовем ее эквивалентной пере-
даточной функцией. С ней можно оперировать так, будто рассматри-
ваем звено с постоянными параметрами. Тогда можно записать сокра-
щенно: И/2(р, ft0) = W\(p)- Но исследование нестационарной системы
нужно проводить при различных значениях фиксированного пара-
метра в пределах О<^о<Т. Найдем для нестационарной системы,
используя эквивалентную передаточную функцию, передаточную
функцию разомкнутой системы
а также замкнутой системы
^(Р) _
~ 1 + Н7(р) - 1 + W1 (р) W2 (р)
и передаточную функцию по ошибке
(Р) = 1 — (р) = j + W1 (р) nz2 •	(4.31)
В некоторых случаях более целесообразно замораживание переходной
функции звена с переменными параметрами q2(t—й, Oo)=9s(T> й0).
Для переходной функции может быть найдена передаточная функция
4-оо
^(р, Ъо) = р 5 Q2(t>
о
В тех случаях, когда объект описывается уравнением сравнительно
высокого порядка, для нахождения его реакции на входное воздейст-
вие и определения передаточной функции можно использовать вычис-
лительные машины различных принципов действия.
142
§ 4.2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ
Общие сведения. Исследование случайных процессов можно про-
водить с применением численных методов и моделирования.
Решение той или иной задачи методом моделирования заключается
в разработке структурной схемы некоторой динамической системы,
движение которой описывается уравнениями исходной задачи [4].
При воздействии на нестационарную систему случайных сигналов
характеристикой точности ее работы в большинстве случаев является
дисперсия ошибки на выходе системы. Поэтому задача состоит в ис-
следовании методов построения схем моделирующих устройств для
получения дисперсии в заданной точке системы, если известны стати-
стические свойства входного сигнала.
Наиболее простым способом моделирования для определения
статистических характеристик выходного сигнала является подача
на вход моделирующего устройства, воспроизводящего движение ис-
следуемой системы, сигналов в виде реализаций заданного входного
случайного процесса с последующей обработкой выходных сигнатов.
Другие способы исследования нестационарных процессов с помощью
моделирующих устройств направлены на непосредственное исполь-
зование аналитических соотношений между статистическими характе-
ристиками входного и выходного сигналов, причем моделирование
применяется для автоматизации наиболее трудоемкой части расчетов.
Желательно решать задачу исследования на моделирующих устрой-
ствах полностью. Однако при этом как на класс исследуемых систем,
так и на класс входных случайных процессов накладываются огра-
ничения, связанные с необходимостью получения удобных для при-
менения аналитических зависимостей. Поэтому такие способы моде-
лирования нестационарных процессов хорошо разработаны лишь
для класса линейных систем.
Наиболее простым для исследования случаем нестационарного
выходного процесса является такой, когда входной сигнал стациона-
рен и исследуемая система имеет постоянные параметры. Поскольку
система с постоянными параметрами является частным случаем систе-
мы с переменными параметрами, перейдем к рассмотрению способов
применения моделирующих устройств для данного случая.
Метод формирующих фильтров. Применение метода основано на
возможности представления спектральной плотности входного про-
цесса в виде дробно-рациональной функции частоты. При этом воз-
можно разложение SBX(е>)=Чг(/со)Чг(—/со), где ЧЧ/о)) и Y(—ja>)—
комплексно-сопряженные функции. Тогда
Sbx(®)»|T(/<o)P	(4.32)
и SBX (со) можно трактовать как спектральную плотность стационар-
ного процесса на выходе фильтра с постоянными параметрами и с
передаточной функцией Чг (/со), на входе которого действует белый шум
некоторой интенсивности А'. Этот фильтр и формирует из белого
шума заданный входной процесс. Таким образом, исследуемую сисгему
143
•с заданным входным процессом можно заменить последовательным
соединением этой системы с формирующим фильтром с белым шумом
на входе. Для исключения нестационарности самого формирующего
фильтра необходимо включать вход исследуемой системы по истечении
времени /кф — эффективной длительности импульсной переходной
функции формирующего фильтра (рис. 4.5).
Рис. 4 5
t
Теперь в соответствии с формулой £>вых (Z)=Af w2(t, для полу-
чения дисперсии достаточно определить сопряженную импульсную
переходную функцию полученного соединения, возвести ее в квадрат
и проинтегрировать до некоторого момента времени t. Для исключения
влияния переходного процесса в формирующем фильтре нижний пре-
дел интегрирования нужно взять равным —оо. Сопряженная импульс-
ная переходная функция может быть найдена либо моделированием
сопряженной системы уравнений, либо моделированием инверсной
системы [4]
Моделирование координатной функции. Интегральное каноническое
представление корреляционной функции имеет вид
R(tlt /2) = § G(co)jx(/i,	/w)dw,	(4.33)
р
•где x(t, ja) — координатная функция соответствующего канониче-
ского разложения случайной функции; G(w) •— некоторая заданная
функция.
Запишем соотношение между спектральной плотностью входного
сигнала и корреляционной функцией выходного сигнала через неста-
ционарную параметрическую передаточную функцию системы W (j©, t):
+ 00
Явых аV Q j 5ВХ (со) W (/®, Qe - W (](Л, t2) № d<o. (4.34)
•Сравнивая выражения (4.33) и (4.34), видим, что формула (4.34) есть
каноническое представление корреляционной функции выходного
сигнала с координатной функцией W (ja, Если координатная
функция известна, то вычисления по формуле (4.34) не представляют
особого труда. Таким образом, основной задачей является определение
координатной функции. Использование для этого моделирующих уст-
ройств основывается на следующих выводах. Выражение для коорди-
144
нтаной функции имеет вид
t
W(jo, t) e’at = ^w(t, X) е/иХdX.
о
(4.35)
Это выражение представляет собой интегральную связь между комп-
лексным входным сигналом е'и/ и комплексным выходным сигналом
W(jto, t)&at системы с импульсной переходной функцией w(t, %).
синусоидальных
сигналов
Рис. 4.6
хг (w, t)
Так как реально можно получить только действительные сигналы,
необходимо отдельно определить вещественную и мнимую части ко-
ординатной функции. Вводя обозначения
xr (со, t) = Re [W (jto, t) е/и/],
x{(to, t) = Im [IF(/<o,	(4.36)
запишем предыдущую формулу в виде
t
xr (to, t) + /хг (to, 0=5 ® (0 20 (cos + / sin ®X) dk
о
или
t	t
xr (to, 0=5 ®l(0 20cos (®20 xt (®> 0=5® (0 ?0 sin (co20 dX. (4.37)
о	о
По полученным формулам легко построить схему моделирования, по-
казанную на рис. 4.6. Схема позволяет определить вещественную
и мнимую составляющие координатной функции для фиксированных
значений частоты. Так как обычно требуется определить дисперсию
+ оо
выходного сигнала, то согласно формуле Пвых(0 = -^- SBX(<a)x
о
X | W (jto, t) |2 da необходимо иметь квадрат модуля нестационарной
параметрической передаточной функции системы. Возводя в квадрат
левые и правые части соотношений (4.36) и складывая результаты,
получаем
[хг(<0, 0]2 + [хг(й), 0]2 = ] W (jto, t)\2.	(4.38)
Эти формулы используются для определения квадрата модуля пара-
метрической функции на модели. Схема моделирования состоит из
двух одинаковых устройств с импульсными переходными функциями
145
w(t, 5), на вход которых одновременно в момент времени /=0 подают
синусоидальные сигналы со сдвигом по фазе на л/2 один относительно
другого. Выходные сигналы возводят в квадрат и складывают
(рис. 4.7). Повторно проводя эксперимент для различных значений
частоты, можно получить серию кривых, из которых построением
легко найти |H7(/w, /)|2 для данного момента наблюдения tH (рис. 4.8).
Эта функция используется для вычисления DBbIX(Z).
Этот способ также не обеспечивает полной автоматизации процесса
определения дисперсии, так как требуется выполнить операцию
интегрирования по переменной с». Однако общий объем работы значи-
тельно сокращается по сравнению с предыдущим способом, опреде-
ление же интеграла сводится к подсчету площади, образуемой кривой
S(w)|lT(/<»,/)|2 с осью со
Моделирование нестационарных процессов. В большинстве слу-
чаев оно основывается на непосредственном использовании формул,
связывающих корреляцион-
ную функцию входного и
дисперсию выходного сигна-
ла:
где
£>вЫХ(0 =
t	t
= 2^ ay (/, l)'dl и) /?BX x
о	g
X (u, E) du
или
t
l)d%,
о
H(t, g) = w (t, u) RBX (u, I) du.
(4.39)
Так как во всех этих формулах интегрирование ведется по второму
аргументу импульсной переходной функции, то для использования
моделирующих устройств необходимо иметь сопряженную импульс-
14f>
ную функцию, т. е. функцию w(t, £), у которой независимой перемен-
ной является a t играет роль параметра. Для этого достаточно
найти дифференциальное уравнение с независимой переменной
которому бы удовлетворяла функция с фиксированным значением t.
Этому условию отвечает сопряженное уравнение. Следовательно, мо-
делируя сопряженное уравнение для некоторого фиксированного
значения t, можно получить выходной сигнал в виде w(t, 5) как функ-
цию Однако моделирование сопряженных уравнений в ряде случаев
вызывает затруднения и неудобства, в особенности, если система
задана структурной схемой. Разработана методика применения моде-
лирующих устройств для исследования систем в общем нестационар-
ном случае, основанная на построении специальных схем моделиро-
вания, позволяющих полностью автоматизировать весь процесс вы-
числения дисперсий.' Теория построения указанных схем, называе-
мых инверсными, является развитием идеи сопряженных систем в при-
менении к преобразованию структурных схем. Эта теория состоит в
отыскании правил преобразования структурных схем исследуемых
систем таким образом, чтобы реакции их на входной импульсный
сигнал в виде дельта-функции были эквивалентны изменению соответ-
ствующей импульсной переходной функции w(t, £) по переменной при
некотором фиксированном значении t. Аналитически это выражается
в том, что необходимо найти дифференциальные уравнения звеньев
и уравнения связей между ними с независимой переменной 5, которым
бы удовлетворяла функция w(t, £), одновременно удовлетворяющая
исходным дифференциальным уравнениям звеньев и уравнениям свя-
зей с независимой переменной I.
Глава 5
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 5.1.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Виды нелинейных систем. Нелинейной называют систему, описы-
ваемую нелинейным дифференциальным уравнением. Обычно система
является нелинейной вследствие наличия в ней одного или нескольких
звеньев, описываемых нелинейным дифференциальным уравнением
или имеющим нелинейную статическую характеристику. При этом
система может иметь в своем составе линейные или линеаризованные
обычными методами звенья.
Нелинейным считают такое звено, которое не поддается линеариза-
ции в том смысле, что отказ от учета его нелинейных свойств сущест-
венно искажает результаты последующего анализа и делает их не-
приемлемыми.
Нелинейные звенья могут входить в состав автоматической системы
вследствие неизбежности применения тех или иных технических
устройств, но могут быть случаи, когда нелинейные зависимости
специально вводятся в систему для получения каких-либо желаемых
ее свойств.
6* Зак. 561
147
Виды нелинейностей. Одним из характерных видов нелинейных
статических характеристик звена x2=F(x1), где хх и х2 — входная и
выходная величины, являются характеристики релейного типа
(рис. 5.1). Они присущи часто используемым в автоматических систе-
мах реле различных типов (электронные, электрические, пневматиче-
ские, механические и др.) [20].
Рис. 5.1
Характеристики на рис. 5.1, а, б относятся к двухпозиционному
реле (имеет два устойчивых положения). Первый случай соответствует
идеальному реле, второй — реле с гистерезисной петлей. Характе-
ристики на рис. 5.1, в, г относятся к трехпозиционному реле (имеет
три устойчивых положения). Первый случай соответствует идеаль-
ному реле, второй — реле с гистерезисной петлей.
Для характеристики на рис. 5.1, а может быть записана аналити-
ческая зависимость вида
xt = F (хх) = с sign xlt
для характеристики на рис. 5.1, б
С При Х1'^Ь,
0 при | < Ь,
—с при xt —Ь.
148
Подобным образом можно записать аналитические выражения для
характеристик, изображенных на рис. 5.1, в, г.
Нелинейная статическая характеристика может иметь непрерыв-
ный вид (рис. 5.2). Характеристики на рис. 5.2, а, б соответствуют
ограниченно линейному звену с насыщением. Такие характеристики
имеют, как правило, все усилители. Характеристика на рис. 5.2, в
соответствует ограниченно линейному звену с зоной нечувствитель-
ности и насыщением. Такие характеристики имеют обычно исполни-
тельные элементы (двигатели различного вида). В этом случае входная
величина хг представляет собой напряжение, прикладываемое к двига-
телю, а выходная величина х, — его частоту вращения. Появление
зоны нечувствительности объясняется здесь наличием сил сухого
трения на оси двигателя, редуктора и приводимого в движение объекта.
Криволинейные статические характеристики произвольного типа
(рис. 5.3) свойственны многим радиотехническим функциональным
элементам. Так, характеристики, подобные изображенным на
рис. 5.3, а, встречаются в различного рода дискриминаторах. Харак-
теристики на рис. 5.3, б, в соответствуют линейному и квадратичному
детекторам.
Наряду с однозначными характеристиками (рис. 5.3) имеют место
и неоднозначные характеристики (рис. 5.4). Характеристика на
рис. 5.4, а соответствует петлеобразной (гистерезисной) зависимости.
Она может определяться, например, кривой намагничивания сердеч-
ника. Характеристика на рис. 5.4, б соответствует люфту в механиче-
ской передаче, например в редукторе, соединяющем двигатель с объек-
том. Встречаются статические характеристики и более сложного вида.
Динамические нелинейности описываются нелинейными дифферен-
циальными уравнениями. Так, в функции входной или выходной
149
величины может меняться «постоянная времени» в уравнении апери.
одического звена первого порядка:
F (xj х2 + х2 = kxt,
F (х2) х2 х2 = kxt.
Другой пример — зависимость коэффициента демпфирования ко-
лебательного звена от входной величины
Т2х2 + F (xj х2 + х2 = kxt.
В некоторых случаях в функции от входной или выходной вели-
чины может меняться структура автоматической системы, что тоже
соответствует появлению
нелинейности. Подобные
системы называют систе-
мами с переменной стру-
ктурой.
Наконец, для улучше-
ния качества управления
или для придания системе
желаемых свойств можно
применять нелинейные за-
коны управления. Так, при формировании управляющего воздействия
в функции ошибки управления могут быть использованы зависи-
мости
и = k (1 + b | е |)'е,
и = k (sign е) V 1 b | е | ,
где k и b — константы.
В первом случае будет более энергичное действие регулятора при
больших отклонениях е и большой запас устойчивости в установив-
шемся состоянии. Во втором случае при больших отклонениях будет
менее энергичное, но более плавное управление и повышенная точ-
ность (возможно с меньшим запасом устойчивости) в установившемся
состоянии. Подобные нелинейные законы носят название функцио-
нальных.
Кроме того, могут быть использованы так называемые логические
нелинейные законы управления, когда формирование управляющего
воздействия происходит с помощью различных логических устройств,
оптимизирующие нелинейные законы, которые соответствуют опти-
мальной нелинейной фильтрации, и др.
Особенности процессов в нелинейных системах. В нелинейных
автоматических системах процессы имеют особенности, которые не
встречаются в линейных системах.
В нелинейных системах неприменим принцип суперпозиции, кото-
рый позволяет в линейных системах определять выходную величину
как сумму составляющих, вызываемых действием различных факторов
(задающего воздействия, возмущающих воздействий, помех). Выход-
150
ная величина при наличии различных воздействий должна опреде-
ляться для всех воздействий в совокупности.
Понятие устойчивости в нелинейных системах оказывается более
сложным. Возможно, что значения начальных условий или наблюдае-
мых в автоматической системе отклонений будут влиять на устойчи-
вость. Так, может оказаться, что для «малых», т. е. не превосходящих
некоторых значений отклонений или начальных условий, система
будет устойчивой, а для «больших», т. е. превосходящих эти значения
отклонений,— неустойчивой, с расходящимися процессами. В этом
случае система оказывается устойчивой «в малом» и неустойчивой
«в большом». Возможна и обратная картина, когда система устойчива
«в большом» и неустойчива «в малом». Если система устойчива при
любых отклонениях, то говорят, что система устойчива «<? целом».
На рис. 5.5, а изображена следящая система сопровождения с не-
линейным чувствительным элементом (дискриминатором). Здесь g(t) —
задающее воздействие; y(t)— управляемая величина; e(t) — ошибка
сопровождения; F(е) — нелинейная зависимость, по которой дискри-
минатор вырабатывает сигнал управления; W(р) — передаточная
функция линейной части системы; v(t) — внутренний шум.
Типичная статическая характеристика дискриминатора изобра-
жена на рис. 5.5, б. Сигнал на его выходе отличен от нуля только
в пределах апертуры характеристики, т. е. при выполнении условия
|е|<е0- Если это условие выполняется, то процессы в системе могут
быть сделаны сходящимися, и следящая система будет осуществлять
сопровождение по заданной величине g(t). При невыполнении этого
условия ошибка выходит за пределы апертуры характеристики Д1 ск-
риминатора, пропадает сигнал управления и с большой вероятностью
может произойти срыв слежения, т. е. в следящей системе возникает
расходящийся процесс без возврата в состояние синхронизации. Это
типичный случай устойчивости «в малом» и неустойчивости «в большом».
Ограниченность апертуры характеристики дискриминатора кроме
возможного появления срыва слежения определяет и вторую пробле-
му — обеспечение надежного захвата сигнала следящей системой при
начальной ее синхронизации. Если рассогласование в системе велико
и выходит за пределы апертуры характеристики дискриминатора, то
необходимо организовать поисковое движение выходной вел; чины
с тем, чтобы при попадании рассогласования в пределы апертуры про-
цессы оказались бы сходящимися и рассогласование в дальнейшем
оставалось бы малым. При этом будет осуществляться слеженье за
151
входным сигналом. При узкой апертуре характеристики дискрими-
натора эта задача может оказаться сравнительно трудной.
В нелинейных системах возможен новый вид установившегося ре-
жима, называемый автоколебаниями. Под автоколебаниями понимают
устойчивые собственные колебания с постоянной амплитудой и по-
стоянной частотой. Для возникновения автоколебаний не нужен внеш-
ний источник возбуждения. Они возникают самопроизвольно и могут
существовать неограниченное время.
Методы исследования нелинейных систем. Общим методом исследо-
вания устойчивости нелинейных систем является прямой метод Ляпу-
нова. В его основе лежит теорема Ляпунова об устойчивости нелиней-
ных систем. В качестве аппарата исследования используется
так называемая функция Ляпунова, представляющая собой знако-
определенную функцию координат системы, имеющую также знако-
определенную производную по времени. Применение этого метода
ограничивается его сложностью.
Более простым методом расчета устойчивости нелинейных систем
является метод, разработанный румынским ученым В. М. Поповым.
Однако он пригоден для некоторых частных случаев.
Процессы в нелинейной системе могут быть исследованы на основе
кусочно-линейной аппроксимации. В этом случае нелинейные харак-
теристики отдельных звеньев разбивают на ряд линейных участков,
в пределах которых задача оказывается линейной и может быть ре-
шена достаточно просто. На границах участков необходимо произ-
вести «сшивание» отдельных кусков процесса в единый процесс. Метод
может применяться, если число участков, на которые разбивается
нелинейная характеристика, невелико. Это имеет, например, место
для релейных характеристик (см. рис. 5.1). При большом числе участ-
ков метод оказывается слишком громоздким. Однако использование
ЭВМ позволяет преодолеть эту трудность и с успехом рассчитывать
процессы в нелинейных системах при любых нелинейных характери-
стиках и вообще при наличии нелинейных зависимостей произволь-
ного вида.
Метод фазового пространства в принципе позволяет исследовать
системы с нелинейностями произвольного вида, а также с несколькими
нелинейностями. При этом в фазовом пространстве строят так назы-
ваемый фазовый портрет процессов, протекающих в нелинейной
системе. По виду фазового портрета можно судить об устойчивости,
возможности возникновения автоколебаний, точности в установив-
шемся режиме. Однако размерность фазового пространства равга
порядку дифференциального уравнения нелинейной системы. Это за-
трудняет использование метода для исследования систем, описываемых
дифференциальным уравнением выше второго порядка. В случае диф-
ференциального уравнения второго порядка фазовое пространство
представляет собой фазовую плоскость, и этот метод может быть
с успехом применен [4].
Для анализа случайных процессов в нелинейных автоматических
системах можно применять математический аппарат теории марков-
ских случайных процессов. Однако сложность метода и возможность
152
решения уравнения Фоккера — Планка, которое требуется при ана-
лизе, только для уравнений первого и в некоторых случаях второго
порядка, ограничивает его использование [13].
Все перечисленные методы относятся к числу точных. Их слож-
ность и ограниченность применения привели к разработке приближен-
ных, но более простых методов исследования нелинейных систем.
Приближенные методы позволяют во многих случаях достаточно про-
сто получить прозрачные и легко обозримые результаты анализа
нелинейных систем [41.
Метод гармонической линеаризации основан на замене нелинейного
элемента его линейным эквивалентом, причем эквивалентность дости-
гается для некоторого движения системы, близкого к гармоническому.
Это позволяет достаточно просто исследовать возможность возникно-
вения автоколебаний в системе. Однако метод может быть применен
и для исследования переходных процессов [4].
Метод статистической линеаризации также основан на замене
нелинейного элемента его линейным эквивалентом, но при движении
системы под действием случайных возмущений. Метод позволяет срав-
нительно просто исследовать поведение нелинейной системы при
случайных воздействиях и найти некоторые статистические характе-
ристики.
§ 5.2.	ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
Рис. 5 6
Основы метода. Данный метод является приближенным, но он
применим к нелинейным системам, описываемым дифференциальным
уравнением любого порядка. Мы рассмотрим его только применитель-
но к расчету автоколебаний в автоматических системах. *
Предположим, что замкнутую автоматическую систему можно
разбить на линейную часть и нелинейное звено (рис. 5.6). Уравнение
линейной части запишем в общем виде:
Ар) у=1Жр)/@(р)]у>	(5-0
где 1ГЛ (р) — передаточная функция линейной ча-
сти; х и у — входная и выходная величины нели-
нейного звена.
Пусть уравнение нелинейного звена имеет вид
y = F(x).	(5.2)
Метод гармонической линеаризации применим и к более сложным
нелинейным зависимостям, например y=F(x, х); y=F(x, у)', у=
=F (х, х, у) и др. Здесь х и у — производные входной и выходной
величин нелинейного звена. Ограничимся указанным случаем (5.2).
Поставим задачу отыскания автоколебаний в данной нелинейной
системе (рис. 5.6). Автоколебания будут, строго говоря, несинусои-
дальными, однако будем считать, что для переменной х они близки
к гармонической функции. Это оправдывается тем, что линейная часть
(5.1), как правило, представляет собой фильтр нижних частот. Поэтому
линейная часть будет задерживать высшие гармоники, содержащиеся
153
в переменной у. Данное предположение носит название гипотезы
фильтра. Если это предположение не выполняется и линейная часть
представляет собой, например, фильтр верхних частот, то метод гар-
монической линеаризации может дать ошибочные результаты.
В связи со сказанным будем считать, что на вход нелинейного
звена поступает гармонический сигнал х=а sin mt, где а и со — ампли-
туда и угловая частота. Подставляя это выражение в заданную нели-
нейную функцию (5.2), разложим ее в ряд Фурье:
y — F (a sin mt) = Со + sin mt ф- C\ cos mt + D2 sin 2coZ + C2cos 2co/ +   
Положим, что в искомых колебаниях отсутствует постоянная
составляющая, т. е. удовлетворяется равенство
2л
Co = -^-J F (asincoZ) c/(wZ ) = 0.
о
Это условие выполняется всегда, когда нелинейная характеристика
симметрична относительно начала координат (см. рис. 5.1—5.4)
и отсутствует приложенное к нелинейному звену внешнее воздействие.
Можно находить автоколебания и при наличии постоянной состав-
ляющей [4], но тогда решение надо искать в виде х=х0+а sin mt.
В записанном разложении в ряд Фурье произведем замену sin mt-=
=xla‘, cos mt=px/(am) и отбросим все высшие гармоники ряда, счи-
тая, что они не пропускаются линейной частью. Тогда для нелиней-
ного звена получим приближенную формулу
y = q(a)x+q' (а) рх/т,	(5.3)
где q (а) и q'(a) — коэффициенты гармонической линеаризации, опреде-
ляемые формулами разложения в ряд Фурье:
2л
<7 = -^- = — j F (a sin ср) sin ср dcp,	(5.4)
о
2л
Я' = 77 = 777 f (a sin ср) cos ср dcp,	(5.5)
о
где ср=соЕ
Таким образом, нелинейное уравнение (5.2) заменяется прибли-
женным уравнением для первой гармоники (5.3), похожим на линей-
ное уравнение. Особенность его заключается в том, что коэффициенты
уравнения зависят от искомой амплитуды автоколебаний. В общем
случае при более сложном характере нелинейной зависимости, на-
пример y=F (х, х), эти коэффициенты будут функцией как амплитуды,
так и частоты искомых колебаний.
Проделанная операция замены нелинейного уравнения прибли-
женным линейным носит название гармонической линеаризации, а ко-
эффициенты, найденные по формулам (5.4) и (5.5), называют гармо-
ническими коэффициентами передачи нелинейного звена.
154
На основании уравнения линейной части системы (5.1) и прибли-
женного уравнения нелинейного звена (5.3) получаем передаточную
функцию разомкнутой системы
Г (р, а) = ^2 Г,? (а)+^-^р1	(5.6)
и характеристическое уравнение замкнутой системы
Q(p) + R(p)[q(a)+g-^p\=Q.	'	(5.7)
Из выражения (5.6) подстановкой р=/'со находим частотную пере-
даточную функцию разомкнутой системы
w =	4-/^7' («)]•	(5-8)
X \1Ш)
Ее можно представить в виде произведения частотной передаточной
функции линейной части системы 1Гл(/со), которая является функцией
частоты, и эквивалентной передаточной функции нелинейного звена,
которая для рассматриваемого типа нелинейной зависимости (5.2)
является функцией только амплитуды:
a) = WAi^Wn(a)-,	(5.9)
здесь 1Гл(»=7?(/со)/р(/со); W»(a)=q(a)+jq'(a).
Модуль эквивалентной передаточной функции нелинейного звена
| W„ (а) | = |/ [<? « ф [<?' «	(5.10)
равен отношению амплитуды первой гармоники на его выходе к ампли-
туде входной величины. Аргумент его
ф (а) = arctg [<?' (а)/<7(а)]	(5.11)
определяет сдвиг фаз между первой гармоникой на выходе нелинейного
звена и синусоидальным входным сигналом.
Можно показать, что для нелинейных звеньев с однозначными
и симметричными относительно начала координат характеристиками,
не имеющими гистерезисных петель, коэффициент гармонической ли-
неаризации q'(a)=0. Поэтому для таких звеньев эквивалентная пере-
даточная функция является чисто вещественной—1Гн(а)=<7(а) и
ф(а)=0.
Часто используется величина, обратная эквивалентной передаточ-
ной функции нелинейного звена:
гн (а) = W„ (а) = и(а) + jv (а),	(5.12)
называемая иногда эквивалентным импедансом нелинейного звена.
Использование ее удобно при расчете автоколебаний по критерию
Найквиста.
Гармоническая линеаризация типовых нелинейностей. В качестве
примера рассмотрим релейную характеристику, изображенную на
рис. 5.1, в. Так как для этой характеристики q'(a)=0, то нужно найти
155
только коэффициент q(a) в соответствии с формулой (5.4). Для этой
цели подадим на вход звена гармоническую функцию и построим из-
менение во времени выходной величины (рис. 5.7). В пределах зоны
нечувствительности вы одной сигнал равен нулю. Вне зоны
нечувствительности выходной сигнал у=±с. Фазовый угол ср1э соот-
ветствующий равенству мгновенного значения входного сигнала х=Ь,
равен arcsin(b/a). Учитывая симметрию подынтегральной функции,
имеем
2Л	л/2
= F (a sin ср) sin ср Фр ==-1- f csincpdcp^
°	 <р,
<513>
Так как q'(q)=Q, то окончательно
= S V’ <“>*)	(5.14)
Иногда в рассмотрение вводят нормированную эквивалентную
передаточную функцию. Для этого формулу (5.14) представляют в виде
Я (а) = 1ГН (а) = |	/1 -	= k ± /1-1 = ^но (а). (5.15)
156
Таблица 5.1
157
П родолжение
Здесь коэффициент k=db может быть присоединен к передаточной
функции линейной части системы; а.=а/Ь — относительная амплитуда
входного сигнала; 1Гн0(а) — нормированное значение эквивалентной
передаточной функции, соответствующее релейной характеристике
при &=1 и с=1.
В табл. 5.1 приведены результаты гармонической линеаризации
для некоторых типовых нелинейностей.
Расчет автоколебаний по критерию Найквиста. Для расчета авто-
колебаний используют различные критерии устойчивости. Наиболее
просто и наглядно использование критерия Найквиста. Этим случаем
и ограничимся.
Особенно удобно использование критерия Найквиста в случае,
когда имеется нелинейная зависимость вида y=F(x) и эквивалентная
передаточная функция нелинейного звена зависит только от амплитуды
входного сигнала.
158
Возможность возникновения в нелинейной системе периодического
режима движения определяется появлением в решении характери-
стического уравнения (5.7) пары часто мнимых корней, когда все
остальные корни лежат в левой полуплоскости. Это соответствует
прохождению амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой сис-
темы через точку (—1, /0) комплексной плоскости. Для определения
условий прохождения через эту точку приравняем функцию (5.9) —1:
W(ja, a) = W\(>)№H(a) = -l. |	(5.16)
Чтобы решить это уравнение, можно, задаваясь различными зна-
чениями амплитуды, строить каждый раз амплитудно-фазовую ха-
рактеристику. При некотором значении амплитуды а=А характери-
стика будет проходить через точку (—1, /0) (рис. 5.8, а). Частота
co=Q в точке (—1, /0), определяемая по отметкам частоты на характе-
ристикё, и амплитуда а=А, для которой построена данная характе-
ристика, соответствуют частоте и амплитуде искомого периодического
режима х=А sin Ш.
Заметим, что подобным образом можно отыскивать периодическое
решение для нелинейных зависимостей любого вида, приводящих,
в частности, к тому, что эквивалентная передаточная функция нели-
159
немного звена зависит не только от амплитуды, но и от частоты. Если
же ограничиться рассмотрением нелинейной зависимости вида у=
= F(x), то процесс нахождения периодического режима можно упро-
стить.
Уравнение (5.16) запишем в виде
^«(>) = -l/TFH(a) = -zH(a).	(5.17)
Последнее уравнение просто решается графически. Для этой цели
необходимо построить отдельно АФХ линейной части и обратную АФХ
нелинейного звена, взятую с обратным знаком (рис. 5.8, б). Точка пере-
сечения двух АФХ определяет решение уравнения (5.17). Частоту
периодического режима co=Q находим по отметкам частоты на годо-
графе линейной части, а амплитуду а—А — по отметкам амплитуды
на годографе нелинейного звена.
Однако найденный периодический режим соответствует автоколе-
баниям только тогда, когда он будет устойчив в том смысле, что этот
режим может существовать в системе неограниченно длительное время.
Устойчивость периодического режима можно определить следующим
образом.
Предположим, что линейная часть системы в разомкнутом состоя-
нии устойчива или нейтральна. Дадим амплитуде периодического ре-
жима некоторое положительное приращение АЛ. Это соответствует
сдвигу от точки пересечения по годографу нелинейной части в сторону
роста амплитуд. Для случая, изображенного на рис. 5.8, б, это будет
сдвиг по годографу -~zH(a) влево и вниз, что соответствует росту мо-
дуля zH(a) и уменьшению модуля 1Гн(а). В результате произведение
WH(a) уменьшится по модулю, и АФХ передаточной функции
разомкнутой системы (рис. 5.8, а) уже не будет проходить через точку
(—1, /0), а пройдет так, что точка не будет охватываться АФХ. Но
этот случай соответствует устойчивости замкнутой системы в том
смысле, что процессы в ней должны быть затухающими. Поэтому ам-
плитуда колебаний будет уменьшаться.
Таким образом, положительное приращение амплитуды колебаний
для случая, изображенного на рис. 5.8, б, влечет за собой переход
к затухающему процессу, что вызывает уменьшение амплитуды. Ана-
логичным образом можно показать, что всякое случайное уменьшение
амплитуды колебаний приводит здесь к возникновению неустойчивости
замкнутой системы, появлению в ней расходящихся процессов и вос-
становлению прежней амплитуды колебаний.
Следовательно, всякое случайное отклонение амплитуды колеба-
ний от амплитуды периодического решения А (рис. 5.8, б) так изменяет
систему, что амплитуда восстанавливает свое значение. Это соответ-
ствует устойчивости периодического режима, который, следовательно,
соответствует автоколебаниям.
Критерий устойчивости периодического режима здесь сводится
к тому, чтобы часть кривой —?и(а), соответствующая меньшим ампли-
тудам, охватывалась АФХ линейной части. Этот случай относится
к виду АФХ системы, который соответствует наличию одной точки
160
пересечения характеристики с отрицательной частью оси веществен-
ных значений (рис. 5.8, а).
На рис. 5.8, в изображен более сложный случай, когда АФХ ра-
зомкнутой системы имеет два пересечения с отрицательной частью оси
вещественных значений. Здесь возможно прохождение АФХ через
точку (—1, /0) при двух значениях амплитуды: А± и А2 и соответствен-
но при двух частотах: и Q2.
На рис. 5.8, г для этого случая показано взаимное расположение
годографов линейной и нелинейной частей системы. Две точки пере-
сечения соответствуют двум возможным периодическим решениям
с параметрами А± и в одной точке и Л2и — в другой. Аналогич-
но тому, как это делалось в проделанном анализе, можно убедиться,
что первая точка соответствует неустойчивому периодическому ре-
жиму, а вторая — устойчивому, т. е. автоколебаниям.
В более сложных случаях, например при неустойчивой в разомк-
нутом состоянии линейной части, можно определить устойчивость
получаемого периодического режима, рассматривая расположение
АФХ разомкнутой системы. Общим здесь остается то положение, что
для получения устойчивости периодического режима необходимо,
чтобы положительное приращение амплитуды приводило к сходя-
щимся процессам в системе, а отрицательное — к расходящимся.
При отсутствии в системе возможных периодических режимов,
близких к гармоническим, что обнаруживается изложенным расчетом,
существует много различных вариантов поведения системы. Однако
в таких системах, где линейная часть обладает свойством подавления
высших гармоник, особенно в таких системах, где при одних пара-
метрах имеется периодическое решение х=А sin Git, а при других —
нет, есть основания полагать, что при отсутствии периодического
решения система будет устойчива относительно равновесного состоя-
ния. В этом случае устойчивость равновесного состояния можно
оценить требованием, чтобы при устойчивой или нейтральной в ра-
зомкнутом состоянии линейной части ее АФХ не охватывала годо-
графа —zH(a).
Пример расчета автоколебаний. Рассмотрим релейную следящую систему
(рис. 5.9), осуществляющую автоматическое слежение по направлению. Система
содержит нелинейное звено НЗ, представляющее собой чувствительный элемент
с релейной характеристикой F (е), где cq и а2—углы поворота задающей и ис-
полнительной осей; е = а±—а2— ошибка (рассогласование) системы, и линейную
часть Л7, содержащую усилитель, исполнительный двигатель и редуктор. Пере-
даточную функцию линейной части запишем в виде
^1
Wл (Р) = р(1 + Тур)(1 + Тдр) ’
где kr—коэффициент пропорциональности между напряжением на входе усили-
теля (7ВХ и частотой вращения исполнительной оси а2 в установившемся режиме;
Ту и Тд — постоянные времени усилителя и двигателя.
Напряжение на вход усилителя поступает от релейного чувствительного эле-
мента в соответствии с зависимостью t/BX = t/o ПРИ е^Ь, С/В1£=0„при |е| < b и
(7ВХ =—Uo при е<—Ь. Здесь b—зона нечувствительности релейного элемента.
Примем следующие числовые значения: Т'у = 0,016с,	= 0,1 с, b= 1 угл. мин.
161
Установившаяся скорость исполнительной оси при подаче напряжения от чувст-
вительного элемента на вход усилителя <х2=4°/с —240 угл. мин/с.
Найдем добротность по скорости линейной части с присоединенным коэффи-
циентом передачи нелинейного звена k2—U0/b:
K = a2/b = k1k2 = 240 с-1.
Частотная передаточная функция линейной части
Гл (/со) -	
Годограф линейной части изображен на рис. 5.10.
На основании табл 5.1 (при с=1 и 6=1) нормированное значение коэффи-
циента гармонической линеаризации
где а = а/Ь—относительная амплитуда.
Так как для рассматриваемого случая q' (а)-0, то 1ГН0 (<х) =г/0 (<х), а также
— z0 (а) =—I/W'ho («) = — ла2/(4 У а?— 1).
Графики изменения ?0 («) и г0 (а) в функции относительной амплитуды изо-
бражены на рис. 5.11, а, б. Годограф нелинейной части —г0 (а) изображен на
рис. 5.10. Он построен в соответствии с рис. 5.11,6. Годограф имеет две ветви.
При а—* 1 значение —г0 (а) уходит в —оо вдоль вещественной оси.
При увеличении относительной амплитуды модуль величины — г0 (а) умень-
шается, при а=У 2 достигает минимального значения | г0 (а) | = л/2, а затем
—го (а) уходит опять в —оо вдоль оси вещественных значений.
Годограф линейной части может иметь с годографом нелинейной части две
точки пересечения. Нижняя из них в соответствии со сформулированным крите-
рием соответствует устойчивому периодическому режиму, т е. автоколебаниям.
Для нахождения частоты периодического режима необходимо определить,
при какой частоте годограф линейной части пересекает отрицательную часть оси
вещественных значений. Это будет тогда, когда сдвиг фаз, т е. аргумент комп-
лексной величины (/со) достигает значения —180°. Из выражения для (/со)
имеем
ф = —90°—arctg соТу—arctg co7\.
Отсюда, полагая со = £2, имеем
Q (Г у Т д)
arctg QTy-J-arotg	= arctg -j—	-	= 90°.
1 -ia * у * Д
Решая последнее равенство, находим угловую частоту автоколебаний:
,Q = \!Уту\= 1//0,016-0,1 = 25 с-1.
162
Эта частота соответствует периоду автоколебаний T = 2n/Q = 6,28/25 м 0,25 с. Для
нахождения амплитуды автоколебаний определим значение модуля | (jw) | =
= | г0 (а) | в точке пересечения. Модуль частотной передаточной функции линей-
ной части при co=Q
____________К_______________240-0,016-0,1 3 3
Q К 1+Q2T|	Ту + гд 0,016+0,1
Следовательно, | г0 (а) | = ла2/(4 У а2— 1) = 3,3. Решение этого уравнения дает
а' = 1,8 и а" = 4,1. В соответствии с
соответствует пересечение годо-
два значения относительной амплитуды:
рис. 5.10 устойчивому периодическому режиму
графа линейной части с нижней ветвью годог-
рафа нелинейной части, где амплитуды боль-
ше. Поэтому значение а" = 4,1 соответствует
амплитуде искомых автоколебаний: А = Ьа" —
= 1-4,1 =4,1 угл. мин
Из рис. 5.10 может быть получено усло-
вие отсутствия автоколебаний в рассматривае-
мой системе. Очевидно, что пересечения двух
годографов не будет, если при ф =—180° мо-
дуль | Гл(/со)| < л/2. В соответствии с изло-
женным это условие запишем следующим об-
разом:
л/2.
QKl+Q2Ty Kl+Q2^ +
Откуда может быть получено требование к добротности по скорости:
К
КТуТя
при выполнении которого в системе будут отсутствовать автоколебания.
§ 5.3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
Основы метода. Исследование прохождения случайных сигналов
через нелинейные звенья автоматических систем сопряжено со значи-
тельными трудностями и в большинстве случаев не может быть осу-
ществлено точными теоретическими методами. Поэтому в основном для
исследования подобных систем нужно использовать моделирование
на ЭВМ.
163
Однако иногда требуется хотя бы ориентировочно оценить влияние
нелинейных звеньев при теоретическом анализе системы. В этом слу-
чае приобретают значение приближенные методы. Одним из наиболее
удобных является метод статистической линеаризации.
При его использовании предполагается, что случайные воздействия
на автоматическую систему имеют нормальное распределение. После
y7j	ИЗ	прохождения таких воздействий через
нелинейные звенья нормальное распре-
деление будет нарушаться. Однако для
приближенной оценки точности систе-
мы, как и в случае линейных систем,
Рис. 5.12
можно и здесь воспользоваться двумя
первыми вероятностными моментами — математическим ожиданием и
дисперсией, что эквивалентно использованию корреляционной теории
(или спектральных плотностей).
Сущность статистической линеаризации заключается в том, что
нелинейное звено заменяется эквивалентным, которое одинаково
с исходным нелинейным звеном преобразует два первых вероятност-
ных момента. При этом предполагается, что, как и в случае гармони-
ческой линеаризации, последующие линейные элементы, на которые
поступает выходной сигнал нелинейного звена, обладают свойством
фильтра и влияние неучитываемых высших вероятностных моментов
будет ослаблено. Это и позволяет применить подобный метод для ин-
женерных расчетов.
Разомкнутые системы. Рассмотрим разомкнутую цепь (рис. 5.12),
состоящую из линейного звена ЛЗ с передаточной функцией W(p),
на входе которого действует случайный сигнал g(t), и нелинейного
звена НЗ. Выходная величина y(t) связана со входной x(t) нелинейной
зависимостью y=F(x).
Пусть входной сигнал g(t) представляет собой сумму математиче-
ского ожидания g(f), являющегося регулярной функцией времени,
и центрированного случайного стационарного процесса g°(f), для ко-
торого известны корреляционная функция/Q (т) и спектральная плот-
ность Sg(co).
Сигнал на выходе линейного звена x(f) представим также в виде
суммы регулярной составляющей — математического ожидания х (/)
и центрированного случайного процесса x°(t).
Регулярная составляющая на выходе линейного звена определяет-
ся обычными методами расчета прохождения детерминированного
сигнала через линейную систему (гл. 2).
Для случайной составляющей на выходе линейного звена может
быть определена корреляционная функция или спектральная плот-
ность в соответствии с изложенным в гл. 3. Это дает возможность
определить дисперсию выходной величины Dx.
Таким образом, на выходе линейного звена оказываются извест-
ными математическое ожидание x(t) и дисперсия Dx.
Величину y=F(x) на выходе нелинейного звена представим также
в виде суммы регулярной составляющей (математического ожидания)
164
и случайной составляющей
F = ~F + F0 = F + cf^ = ~qx + qaxF.	(5.18)
Здесь введен эквивалентный коэффициент передачи нелинейного
звена q° по случайной составляющей. При этом регулярную
состав-
определена по формуле для
ляющую F можно использовать
непосредственно либо представить
в виде произведения qx, где q — эк-
вивалентный коэффициент передачи
регулярной составляющей. Для оп-
ределения последнего коэффициен-
та применимы различные методы
линеаризации зависимости F=F (х).
Статическая линеаризация дает <?=
= Flx, а динамическая — q=dFldx.
Последний случай совпадает с обыч-
ной линеаризацией, используемой
в нелинейных системах и вытекаю-
щей из разложения в ряд Тейлора.
Регулярная составляющая может быть
математического ожидания. Для однозначной нелинейной функции
F = M(F(x + xJ)} = J F (x + x°)$(x)dx,
(5.19)
где &(х)— плотность вероятности.
Для нелинейности более общего вида: y=F(x, рх) имеем
00	00
F =	5 f(x+x°> рх +рх°)$(х, px)dxd(px). (5.20)
— 00 — 00
Последняя формула может быть, в частности, использована для опре-
деления математического ожидания в случае нелинейных петлеобраз-
ных характеристик. Так, для характеристики, изображенной на
рис. 5.13, в случае симметричной функции распределения
-ь,	ъг
F= F(x + x°)$(x)dx+~ § (FJx + x0)-)-
- оо	— bi
+ F2 (x-j-x0)] й (x)dx-{- F (x + x°)^(x) dx.
b2
(5.21)
Эквивалентный коэффициент передачи для случайной составляю-
щей можно определить следующими способами.
Первый способ основан на использовании среднеквадратичных
отклонений ох и oF. Коэффициент передачи находим по их отношению:
ох г М {(х0)2) •
(5.22)
165
В случае однозначной нелинейности расчетная формула приобре-
тает вид
4° = ^]/' J F2(x + x°)$(x)dx—F2.	(5.23)
— 00
В более общем случае, когда y-=F(х, рх), а также при наличии
петлевых нелинейных характеристик формула (5.23) оказывается
более сложной. Она может быть получена при использовании тех же
обобщений, которые были сделаны при нахождении формул (5.20)
и (5.21).
Второй способ предполагает определение эквивалентного коэффи-
циента передачи из условия минимума математического ожидания
квадрата разности истинного значения F и ее заменяющегося значения
(5.18). Это условие имеет вид
отсюда
M{[F—F—<7°х0]2} = min,
M{W) rPx.
4	M{(x°)2}	’
(5.24)
(5.25)
здесь rFx — значение взаимной корреляционной функции переменных
F и х при т=0.
Если нелинейная зависимость имеет однозначный характер, то
из (5.25) имеем
оо	оо П
<7°=^2 С F°x°b(x)dx = ~ С F (x-^-x°)x°b(x)dx.	(5.26)
CFx J I	Ox J
— 00 J	— 00
Эта формула также может быть распространена на случай, когда
y=F(x, рх), и на петлевые характеристики по аналогии с формулами
(5.20) и (5.21).
Второй способ определения эквивалентного коэффициента пере-
дачи приводит к более простым формулам. С точки зрения точности
оба метода примерно равноценны. В некоторых случаях первый метод
дает завышенные значения для оценки корреляционной функции
величины y--=F(x), второй — заниженные. Поэтому существует реко-
мендация [4] использовать для расчета среднее значение двух эквива-
лентных коэффициентов передачи, определенных двумя способами.
Статистическая линеаризация типовых нелинейностей. Рассмот-
рим идеальную релейную характеристику (рис. 5.14, а). При поло-
жительном значении х в соответствии с формулой (5.19)
(5.27)
166
где интеграл вероятностей
, ~	, X 'Ох	„ ,
ф(ё)= /v S ехР
о
Числовые значения интеграла вероятностей имеются в справоч-
никах. Для отрицательных значений х результат получается анало-
гичным, но с обратным знаком.
Зависимость относительного значения смещения на выходе F/c
"Закона распределения входной величины показана на рис. 5.14,6.
Характеристика F (х) имеет симметрию относительно начала коорди-
нат (нечетная функция), поэтому случай х<0 может быть получен из
изображенной характеристики инвертированием знаков х и F.
Линеаризация разложением в ряд Тейлора дает из (5.27) эквива-
лентный коэффициент передачи регулярной составляющей в точке х=
=х0 для малых отклонений от этой точки:
dF  £ ЭФ (.сщ)  с
дх	дх	ах
2 \ох/
(5.28)
В частном случае при хо=О
«•“£/4-	<5'29>
В соответствии с формулой (5.23) эквивалентный коэффициент пере-
дачи случайной составляющей
q° = ±V с* f ° W dx~~Fi = 7^ ,Z 1 “°2 W = 7Г Ti & aj. (5.30)
r	J	°x	°x
— X
В соответствии с формулой
о 2с
q —-----exp
щ 2л F
(5.25)
LfZYl
2 \ох/
(5.31)
^Ф2(*> ста)-
167
Графики полученных функций <pi и ф2 построены на рис. 5.14,в'.
Эти функции являются четными, т. е. <pi(—х, <тж)=ф1(х, сж) и ф2(—%*
<М=фг(х, or»)-
В частном случае, когда х=0 и Г=0, эквивалентный коэффициент
йередачи из формул (5.30) и (5.31) определяется соответственно вы-
ражениями
= с/(стх К2л) = 0,8с/оЛ.
(5.32)
Для релейной характеристики с зоной нечувствительности
(рис. 5.15, а) математическое ожидание выходной величины можно
выразить через интеграл вероятностей. При 0<х<6
Г = |[Ф(«1)-Ф(«Л	(5.33)
При х>Ь соответственно
Г = |[Ф(ц1)-Ф(-ц2)];	(5.34)
здесь и1=(Ь+х)!^х, и2=(Ь—х)/ах.
Как следует из формулы (5.34), при х-> оо на выходе имеем F с.
Полученная характеристика изображена на рис. 5.15, б.
При х<0 могут быть получены аналогичные формулы. При этом
характеристика F (х) будет нечетной функцией.
168
Представив эквивалентный коэффициент передачи случайной со-
ставляющей в виде <7°=сст^1ф(х, стж), по формулам (5.23) и (5.25) на-
ходим соответственно
/	/ f \2 1
Ф1= I/ 1 — ( — ) — -Q-[Ф («1)Ч-Ф (I «2 I) stgnZ«2l ,
Ф2 = [ехр (— 0,5м?) + ехр (— 0,5«|)].
(5.35)
(5.36)
Эти зависимости являются четными функциями величины х. Они
изображены для случая х>0 на рис. 5.15, в, г.
В частном случае при х=0 из формул (5.35) и (5.36) можно полу-
чить соответственно
<7? = Ф1 (0, <ух) = V 1 -Ф(6/ох),	(5.37)
их	их
^ = ^/^ехр(-т4)-	(5.38)
Для линейной характеристики с насыщением (рис. 5.16, а) имеем
F - 4 [ «,Ф («,) +	1)1 +
1-J[ехр (—0,5и[)—ехр (— 0,5»))].
У 2зт
(5.39)
Соответствующий график построен на рис. 5.16, б.
Функции, определяющие эквивалентный коэффициент передачи
случайной составляющей по формулам (5.23) и (5.25), будут
Ф1=-р—	°(Msignu2 —
2	1 1 1/2
— ^-j^(«2eXp(—0>5uD + «ieXp(—°>5«2))](	>	(5-40)
ф2 =-^[ф(“1)+ ф(| U21) signal-	(5-41)
Графики полученных зависимостей изображены на рис. 5.16, в, г.
Пример прохождения случайного сигнала через разомкнутую цепь.
Рассмотрим разомкнутую цепь (см. рис. 5.12), у которой передаточная
функция линейной части соответствует апериодическому звену пер-
вого порядка W (p)=k/(l + Tp), а нелинейное звено представляет собой
безынерционный усилитель с характеристикой, изображенной на
рис. 5 16, а. Зададим следующие исходные данные: 6=1, Т=0,1 с,
зона линейности нелинейного звена по входу Ь=\ В, максимальное
значение сигнала на его выходе с=10В.
Пусть на входе действует полезный сигнал g в присутствии флукту-
ационной помехи, представляющей собой белый шум с интенсивностью
169
N=0,8 В2/Тц. Требуется построить статическую характеристику сово-
купности двух звеньев y=fi(g) с учетом подавления усиления, вноси-
мого помехой, определить результирующий коэффициент передачи
в точке gO и построить зависимость среднеквадратичного значения
случайной составляющей сигнала на выходе нелинейного звена в функ-
ции значения полезного сигнала на входе оу=/2(й')-
В соответствии с изложенным в гл. 3 математическое ожидание
выходной величины линейного звена в установившемся режиме x=kg.
Так как 6=1, то x=g.
Дисперсия случайной составляющей на выходе линейного звена
в соответствии с (3.25)
„	1 Р , П7 / • \ 19 м j 1 С k2N dm k2N .
= J |Г(/со)РЛ/^ = ^ j 7____==__ = 4B2.
— X	— X
При a1=(jx/b на основании графика рис. 5.16, б может быть по-
строена зависимость y=fi(g), которая изображена на рис. 5.17, а
как для положительных, так и для отрицательных значений g. На
этом же рисунке штриховой линией показана та же статическая ха-
рактеристика y=fi(g)> но при отсутствии флуктуационной помехи.
Из рисунка следует, что флуктуационная помеха в системе с ограни-
ченной линейностью подавляет усиление. В точке g'=x=0 по наклону
170
характеристики можно определить, что общий коэффициент передачи
[рзух звеньев составляет примерно 37% от коэффициента передачи при
отсутствии флуктуационной помехи и равен 3,7.
На основании графиков, изображенных на рис. 5.16, в, г, может
быть построена зависимость среднеквадратичного значения случайной
составляющей сигнала на выходе от полезного сигнала на входе при
сгЛ = 2 В (рис. 5.17, б):
G.J =	= 0,5с [Ф1 (£п ) + Фа (Х1; (Г,)],
где хг=х Ъ,
Случайные процессы в замкнутых нелинейных системах. В замкну-
тых системах (см. рис. 5.5, а) при использовании статистической лине-
аризации возникают трудности, связанные с тем, что сигнал на входе
Рис. 5.17
нелинейного элемента в канале ошибки зависит от получаемых коэф-
фициентов линеаризации, которые в свою очередь определяются пара-
метрами сигнала. Это приводит к необходимости решать систему урав-
нений, связывающих эти величины. Рассмотрим задачу анализа нели-
нейной системы при действии случайного входного сигнала. При этом
будем предполагать, что регулярная составляющая исследуемой ве-
личины системы (математическое ожидание) постоянна или медленно
меняется во времени по сравнению с составляющими основных частот
спектра случайной составляющей.
Рассмотрим методику расчета нелинейных замкнутых систем при
случайных воздействиях применительно к расчету ошибки. При этом
предположим, что нелинейность находится во входных элементах ка-
нала управления, Это может быть, например, дискриминатор. Тогда
входным сигналом для нелинейности будет ошибка системы управле-
ния. В этом случае математическое ожидание х соответствует матема-
тическому ожиданию е, а среднеквадратичное значение ах=ае.
171
Рассмотренная методика может быть использована и для расчета
других величин, однако в соответствии с изложенным при статистиче-
ской линеаризации нелинейностей нужно рассматривать величину х,
являющуюся входной величиной нелинейности (см, рис. 5.12).
Пусть динамика системы описывается уравнением, записанным для
ошибки, вида
Q(p)e(t) + R(p)F(e) = Q(p)g(t),	(5-42)
где e=g—у — ошибка системы (у— управляемая величина); Q(p)
и R(p)— полиномы; F (е)— нелинейная функция; g — задающее
воздействие.
Задающее воздействие равно сумме математического ожидания и
случайной составляющей: g=g-\-g°. Ошибка системы тоже может быть
представлена в виде такой суммы: e=e-\-e°.
Пусть в системе отсутствуют автоколебания. Тогда, применив
статистическую линеаризацию (5.18) и подставив полученное выраже-
ние в (5.42), разобьем последнее на два:
Q(p)e+R(p)F = Q(p)g,	(5.43)
[Q(p) + ^(p)?0]e° = Q(p)^0	(5-44)
соответственно для регулярных и случайных составляющих задающего
воздействия и ошибки. При этом F(е, ое) и q°(e, ое) определяют для
каждой конкретной нелинейности в соответствии с изложенным.
В установившемся режиме g, е и сте оказываются постоянными.
Тогда уравнение (5.44) становится алгебраическим:
Q (0)!; + R (0) F (ё, <те) = QJ(O) ~g.	(5.45)
В уравнение (5.45) входят две неизвестные величины е и ае. Таким
образом, из этого уравнения может быть определена зависимость
математического ожидания ошибки как функции среднеквадратичного
значения случайной составляющей ошибки е(сте).
Равенство (5.45) справедливо для статических систем. В астатиче-
ских системах Q(p)=pQi(p)- Это соответствует астатизму первого
порядка. Тогда вместо (5.45) получим равенство
W №) = Q1(0)K	(5.46)
Здесь V — постоянное значение скорости изменения задающего воз-
действия.
Из (5.46) также может быть определена зависимость е(сге). Анало-
гичное уравнение может быть получено и при астатизме более высо-
кого порядка.
В уравнении (5.44) случайная составляющая входного воздействия
задана в виде спектральной плотности Sg (со) или корреляционной
функции Kg(r). Тогда на основании изложенного в гл. 3 может быть
172
найдена дисперсия случайной составляющей ошибки:
со
^ = -7- f 1777 -5/^1 / J 2 sg (со) rfco.	(5.47)
2л J IQ (/ш) + ?о7? (/со) |	’
— со
Здесь в зависимости <?°—q°(e, <те) надо заменить е найденной зависи-
мостью е(сте). Тогда в уравнении (5.47) остается одна неизвестная
величина сте. Интеграл в (5.47) может быть вычислен с помощью при-
ложения 1, а затем определено значение сте.
После нахождения сте может быть вычислено и математическое ожи-
дание ошибки по ранее определенной зависимости е(сте). Таким об-
разом, рассмотренная методика позволяет определить два первых
момента ошибки в исследуемой системе.
Однако зависимость е(пе) не всегда можно найти из уравнений
(5.46) и (5.47) в явном виде. Поэтому совместное решение уравнений
для е и сге приходится делать либо численно, для чего целесообразно
использовать ЭВМ, либо графически.
При исследовании неустановившихся режимов, когда полезный
сигнал управления меняется во времени, исследуемый процесс уже
не будет стационарным. Однако в большинстве случаев полезный сиг-
нал можно считать медленно меняющимся по сравнению с изменением
во времени помехи. Тогда возможно в первом приближении исследо-
вать случайный процесс как стационарный. Однако в этом случае
нельзя использовать формулы (5.45) и (5.46), справедливые для уста-
новившегося режима, а следует воспользоваться дифференциальным
уравнением (5.43). Как и в случае установившегося режима, совмест-
ное решение двух уравнений (5.43) и (5.47) может быть произведено
на основе численных методов с использованием ЭВМ или графиче-
ским путем.
Рассмотрим существо этих методов. Уравнение (5.47) запишем
в виде
<т> = /;(ё, ffe),	(5.48}
где Це, сте) — интеграл, определяемый по приложению!. Затем
построим зависимость левой и правой частей (5.48) от сте. Левая часть
дает параболу 1 (рис. 5.18), а правую часть можно построить, зада-
ваясь каждый раз постоянным значением е и вычисляя интеграл
Це, ое) (кривые 2). Перенеся абсциссы точек пересечения этих кривых
на плоскость (сте, е) и отложив для каждой из них соответствующие
кривым 2 ординаты е, получим искомую зависимость сге(е) в виде
кривой 3.
Подставив полученную зависимость сте(е) в вычисленное для данной
нелинейности выражение F (х, ох), что в рассматриваемом случае
дает F (е, <те), исключим из него величину и получим функцию от
одной переменной К=т](е), которую можно назвать функцией смеще-
ния. Здесь математические ожидания е и F представляют собой сме-
173
щения центра случайных составляющих на входе и на выходе не-
линейности
Когда функция смещения найдена, ее можно подставить в диффе-
ренциальное уравнение (5.43)'
<2(р)ё+/? (p)T](e) = Q(p)g(0	(5 49)
и отсюда по заданной функции g(f) путем решения дифференциаль-
ного уравнения найти регулярную составляющую ошибки
Функция смещения обычно име-
ет вид плавной кривой (рис. 5.19),
которую в некоторых пределах
можно подвергнуть линеаризации:
F = kne = (dt]/de)~=oe (5 50)
Рис 5 18
Тогда уравнение (5 49) оказывает-
ся линейным
Q(p)e+R (p)M = Q(P)g(0 (5 51)
Часто встречается случай, когда линейная часть системы с пере-
даточной функцией R(p)/Q(p) не пропускает спектр частот, соответст-
вующий случайной составляющей сигнала g° и определяемый спект-
ральной плотностью S^(co) Тогда отыскание величины ае значительно
упрощается Из (5 47) следует
X
=	(5 52)
— CD
те не зависит от формы нелинейности и от величины е, а непо-
средственно равно дисперсии случайной составляющей gu
В этом случае вместо дифференцирования функции смещения (5 50)
можно определить коэффициент передачи нелинейного звена йн непо-
средственно из выражения F(х, стж), которое для ошибки имеет вид
F (е, ае) Тогда
7 =k„ е = {dF/de) е	(5.53)
Здесь kH получаем как функцию от сте, т е. Рн=^(сГе).
174	ч
Затем надо подставить величину сте = |/ D“.
Вместо этого можно воспользоваться одной из кривых^ на
рис 5 14, б—5 16, б, соответствующей значению <те = l'Dg. В ре-
зультате подстановки (5 50) или (5 53) уравнение для определения ре-
гулярной составляющей ошибки (5 45) станет линейным
Отметим, что согласно формуле (5 47) величина <те зависит от спек-
тральной плотности помехи S| (со) Поэтому и определяемая через
величину ое функция смещения и крутизны йн зависят не только от
параметров системы, но и от спектральной плотности входного сиг-
нала. Это означает, что все статические и динамические качества
и даже устойчивость системы по полезному сигналу будут зависеть
не только от параметров системы, но и от входного воздействия Сле-
довательно, устойчивая при отсутствии помех нелинейная система
может при определенном уровне помех потерять свои качества
Пример расчета замкнутой системы. Рассмотрим следящую систему автомати-
ческого сопровождения по направлению (рис 5 20) На схеме обозначено g — за-
дающее воздействие, у — управляемая
величина, е — g—у — ошибка слеже-
ния, и — управляющее воздействие
Нелинейный элемент соответствует
звену с ограниченной зоной линейно-
сти (см рис 5 16) Совместно с ли-
нейным звеном, имеющим коэффици-
ент передачи klt нелинейное звено об-
разует дискриминатор Д с ограничен-
ной зоной линейности
Рис 5 20
Исполнительная часть канала управпения (уси,1итель, двигатель, редуктор)
описывается звеном с передаточной функцией W (р) = k2/p
Примем следующие исходные данные kA-- 10 В/град, й2 = 10 град/В-с, b = 1 В,
с=-1В Случайной составляющей входного сигнала соответствует спектральная
плотность экспоненциально коррелированного процесса
Sg((o) = 27’D/(l-j-(o27’2),	(5 54)
где D= 1 град2 = 3600 у1л мин2 и Т — 1 с
При объединении линейного звена с коэффициентом передачи kr и нелиней-
ного звена с ограниченной зоной линейности (см рис 5 16) в одно нелинейное
звено получим зону линейности его по входу be— b/k1 = O,l град = 6угл мин и
максимальный сигнал на выходе се = с— 1 В
Требуется построить зависимость установившейся ошибки от постоянной ско-
рости слежения e = f(Q), где fi = g, при наличии помех
Исходные уравнения (5 46) и (5 47) в рассматриваемой задаче имеют вид
k2 F (е, <те) — Q,	(5 55)
2	1 f | /ю 2 2TD с'м
°е~2л J |/(o + ?o£2 | 1+ы27’2’	(5 56>
— со
где <?с— коэффициент статистической линеаризации дискриминатора
Начнем с решения (5 55) В соответствии с изложенным в гл 3 и приложе-
нием 1 эта зависимость должна быть представлена в виде
<т2 ~ 1 С	2ГО“2 da	D	Г5 57Д
е 2л J |7’0а.)2 + (1+^27’)/Ш + 9ойг|2“1 + ^27’~	( °
— со
Коэффициент статистической линеаризиции q° = ce<ye 10,5 (<pi + <p2), где графики
функций <р3 и ф2 определяются формулами (5 40) и (5 41) и даны на рис 5 16, в, г
175
В соответствии с этим формула (5.56) может быть преобразована:
7=------------(5.58)
1 -j-0,5cecrg (<pi+ <р2)
Задаваясь различными значениями математического ожидания ошибки е, можно
построить ряд зависимостей I—I (е, <те). Они изображены на рис. 5.21, а совме-
стно с кривой Ge-fiiPe), показанной штриховой линией и представляющей собой
7 угл мин г
Рис. 5.21
квадратичную параболу. Точки пересечения соответствуют решениям уравнения
.(5.56). По этим точкам на рис. 5.21, б построена зависимость, связывающая между
собой математическое ожидание е и среднеквадратичное значение случайной со-
ставляющей ошибки <те.
Указанная зависимость позволяет по семейству кривых на рис. 5.16, б по-
строить функцию смещения (рис. 5.22, а). Для этой цели необходимо, задаваясь
значениями х1 = е/Ье и определяя по рис. 5.21,6 соответствующее значение <Ti =
~<зе1Ье, находить по семейству кривых значение Tlce. Далее можно построить
искомую функцию смещения F = r](e).
176
Построим теперь зависимость, связывающую между собой скорость слежения
П и установившуюся ошибку е. При отсутствии помех в линейной зоне связь
между ошибкой и скоростью слежения определяется добротностью: е = Q/K =
= Q/(kik2), где К=100с-1. При достижении зоны линейности, т. е. при е — Ь,,-=
= 6 угл. мин=0,1 град, скорость слежения достигает своего максимального зна-
чения и больше расти не может. Это показано на рис. 5.22, б штриховой линией.
При натичии помех значение скорости слежения при заданной установив-
шейся ошибке может быть найдено из (5.54) умножением функции смещения F
:.а коэффициент передачи k2. Это показано на рис. 5.22, б сплошной линией.
Из^рис. 5.22, б видно, что наличие помех ухудшает качественные показатели
системы слежения. При одинаковом значении скорости слежения установившаяся
сшибка имеет большее значение, что эквивалентно снижению добротности по
скорости.
Глэвэ 6
СИНТЕЗ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ
НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
§ 6.1. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ фильтров при бесконечном
ВРЕМЕНИ НАБЛЮДЕНИЯ
Постановка задачи оптимального синтеза. В гл. 3 была рассмотрена
задача оптимизации параметров системы радиоавтоматики при нали-
чии случайных возмущений (помех). В данной главе рассмотрим более
общую задачу оптимального синтеза — задачу оптимизации структуры
п параметров системы. Такая задача возникает в случае, когда не
только помеха, но и задающее воздействие являются случайными
функциями времени.
При случайных воздействиях на входе системы мгновенная ошибка
является также случайной функцией времени и потому не может слу-
жить показателем качества системы. Показателем качества системы
радиоавтоматики при случайных воздействиях служит среднеквадра-
тичная ошибка, определяемая как ае = VDe, где
т
De=lim §e*(t)dt-	(6.1)
г-*® _уг
дисперсия ошибки.
Определим дисперсию ошибки при известных спектральных плот-
ностях задающего воздействия и помахи.
Пусть входное воздействие г(/) линейной системы радиоавтоматики
представляет собой аддитивную смесь случайного задающего воздей-
ствия g(t) и помехи v(t), т. е.
r(f)=g(f) + v(th	(6-2)
как показано на рис. 1.41 .
Предположим, что g(f) и v(t) — нормальные стационарные слу-
чайные процессы с равными нулю математическими ожиданиями
и с известными спектральными плотностями 5г(со) и S^co) или корре-
ляционными функциями Rg(y) и 7?Дт). Кроме того, ограничимся слу-
7 Зак 561	17?
чаем, когда задающее воздействие и помеха статистически независимы.
Тогда спектральная плотность входного воздействия 5г(®)=5г(®)-т
+SI,(w).
Ошибка е(/) замкнутой системы радиоавтоматики при входном
воздействии вида (6.2) может быть представлена в виде суммы двух
составляющих: ошибки eg(t) по задающему воздействию и ошибки
e„(t) по помехе:
e(t)=eg(t) + ev(t).	(6.3)
Если Н (р) — передаточная функция замкнутого контура этой сис-
темы, то в соответствии с (1.58) и (1.60)
eg(t)=[l—H(p)]g(t), ev(t) = H (p)v(t).	(6.4)
При статистически независимых задающем воздействии и помехе
ошибки eg(t) и e^t) также статистически независимы и спектральная
плотность Se(w) ошибки e(t) в этом случае равна сумме спектральных
плотностей составляющих ошибки:
Se(®) = Seg(®) + SeI,’(®),	(6.5)
где Seg(u>) — спектральная плотность ошибки eg(t); Sn(<o) — спект-
ральная плотность ошибки ejj.).
Из (6.4) на основании (3.48) находим
(®) = | 1—/7 (/®) 12S^(co),	(6.6)
sec(®) = l//(/®)l2S®(®)-	(6-7)
Тогда с учетом (6.5) получаем, что дисперсия ошибки системы
оо	со
D-=2T J S^(®)^® = i J И 1-"ОМТ^ (®) + |//(/®)|2Sv(co)}d®
— сс	— со
(6-8)
и соответственно среднеквадратичная ошибка зависят от вида пере-
даточной функции Н (р) этой системы. При тех же спектральных
плотностях S^(w) и ЗДю) задающего воздействия и помехи значения
среднеквадратичной ошибки для систем с разными передаточными
функциями будут различными. В терминах функционального анализа
среднеквадратичная ошибка системы в рассматриваемых условиях ее
работы есть функционал от передаточной функции системы
ое = V De = J \Н (/со)}, определяемый выражением (6.8).
Задачей оптимального синтеза является нахождение такой пере-
даточной функции Нопт (р), при подстановке которой под знак инте-
грала (6.8) при заданных спектральных плотностях Sg(a>) и Sv(a>)
дисперсия ошибки Dе, полученная в результате вычисления этого ин-
теграла, будет; иметь наименьшее из всех возможных значений, соот-
ветствующих любым /7(р)у=/70ПТ(р).
178
В терминах функционального анализа задачей оптимального син-
теза является нахождение передаточной функции Нот(р), доставляю-
щей экстремум (минимум) функционалу (6.8), определяющему значе-
ние выбранного показателя качества системы — среднеквадратичной
ошибки.
Передаточную функцию Нопт(р), обладающую указанным свойст-
вом, называют оптимальной передаточной функцией, а экстремум
выбранного показателя качества — критерием оптимальности. В дан-
ном случае критерием оптимальности является критерий минимума
среднеквадратичной ошибки:
J = mine2.	(6.9)
Поскольку передаточная функция системы определяет ее струк-
туру, приходим к следующей формулировке: задачей оптимального
синтеза системы радиоавтоматики при заданных спектральных плот-
ностях задающего воздействия и помехи является синтез структуры
этой системы, оптимальной по критерию минимума среднеквадратич-
ной ошибки.
Замкнутые системы радиоавтоматики часто являются следящими
радиотехническими измерителями параметров движения объектов:
угловых координат, дальности и составляющих вектора скорости. Та-
ким образом, задающее воздействие g(t) системы является измеряемой
величиной, а выходная (управляемая) величина y(t)— результатом
измерения или в терминах теории оптимальной фильтрации оценкой
измеряемой величины g(t).
Оптимальный следящий измеритель вырабатывает, таким образом,
оптимальную по критерию минимума среднеквадратичной ошибки
оценку y(t) измеряемой величины g(t).
(Система, оптимальная по критерию минимума среднеквадратич-
ной ошибки, может быть нелинейной. Тогда задачей оптимального
синтеза является нахождение оптимальной системы не в классе ли-
нейных систем, а в более широком классе нелинейных систем, что су-
щественно усложняет решение задачи. Однако в случае, когда задаю-
щее воздействие и помеха — нормальные (гауссовы) случайные про-
цессы, оптимальная система является линейной.
Уравнение Винера — Хопфа. Как доказывается в теории оптималь-
ной фильтрации, необходимым и достаточным условием оптимальности
системы по критерию минимума среднеквадратичной ошибки является
отсутствие корреляции между мгновенной ошибкой системы, проверяе-
мой на оптимальность, и выходной величиной любой другой линейной
системы. Поясним это утверждение. Пусть Н(р)— произвольная
передаточная функция; /70ПТ(р)— передаточная функция системы,
проверяемой на^оптимальность; у (t)=H (р)г (/) и y0(t)=HonT(p)r(t) —
выходные величины этих систем при входном воздействии (6.2).
Система с передаточной функцией /70пт(р) будет оптимальной
тогда и только тогда, если мгновенная ошибка этой системы e0(t) =
=g(t)—yo(t) не коррелирована со случайной функцией y(t), т. е. если
(б-1 °)
179
7* Зак. 561
Из (6.10) может быть получено интегральное уравнение — урав-
нение Винера — Хопфа, решение которого определяет весовую функ-
цию оптимальной системы:
t
lhom(t-VRA$—v)d$ = Ker(t-r).	(6.11)
о I
Уравнение Винера — Хопфа — линейное интегральное уравнение,
определяющее при заданных корреляционных функциях /?г(-) и Rgr(-)
весовую функцию /гопт (/) системы, оптимальной по критерию мини-
мума среднеквадратичной ошибки.
Решение уравнения Винера — Хопфа без учета условия физической
реализуемости синтезируемой системы. Приступая к решению интег-
рального уравнения Винера — Хопфа, обратим внимание на то, что
левая часть уравнения (6.11) по своей структуре близка к интегралу
свертки функций h0Tn(t) и RT(t) вида (1.25) и отличается от него тем,
что аргументом функции Rr(-) под знаком интеграла является раз-
ность л)—т, а не величина <1, что характерно для интеграла свертки.
Нетрудно заметить, что левая часть (6.11) будет точной сверткой, если
пределы интегрирования принять не от 0 до t, а от —оо до оо, так как
в этом случае слагаемое т в аргументе функции RT($—т) можно от-
бросить. Действительно, если (1 изменяется в пределах от —оо до оо,
то и разность —т изменяется в тех же пределах при любом конечном т.
Переход к бесконечным пределам интегрирования означает, что
синтезируемая система будет оптимальной лишь при бесконечном
времени наблюдения, т. е. в установившемся режиме.
Итак, запишем (6.11) в виде
СО
$ hom(t-$)Rr($-x)db = Rgr(t-x)
— со
и сделаем замену переменных, обозначив О—т=Х, t—r=f. Тогда
(6.11) примет вид
5 hom(t'-ARrWl = Rsr(t'Y	(6-12)
— 00
Здесь, очевидно, левая часть уравнения — свертка функций /гопт(-)
и RA-).
При решении уравнения (6.12) на данном этапе откажемся от тре-
бования физической реализуемости системы, т. е. от требования, чтобы
весовая функция системы обращалась в ноль при отрицательных зна-
чениях ее аргумента (1.22). В этом случае уравнение (6.12) решается
достаточно просто.
Воспользуемся теоремой о свертке из теории преобразования
Фурье, которая гласит: преобразование Фурье свертки двух функций
равно произведению преобразований Фурье свертываемых функций.
Обозначив буквой <F оператор преобразования Фурье, из (6.12)
180
получаем
&\hom (0] [Я, (01=& [Rgr (01=[Rg (/)]	(6-13)
при статистической независимости g(t) и v(t).
Но преобразование Фурье весовой функции системы есть частотная
передаточная функция этой системы [см. (1.38)1, а преобразование
Фурье корреляционной функции случайного процесса есть спектраль-
ная плотность этого процесса, т. е.
1Лопт (0] = опт (М F [Я, (/)] = Sr (со), <F (/)] = Ss (СО)
и из (6.13) получаем
^опт (/®) sr (®) = sg (®) > гДе Sr (®) = Sg (со) + Sv (со),
откуда находим частотную передаточную функцию оптимальной сис-
темы
Нопт(/®)=______________ (6.14)
Sg(co) + SH<o)
Напомним, что эта передаточная функция соответствует физически
нереализуемой системе.
Подставляя (6.14) в (6.8), найдем дисперсию Dimin ошибки опти-
мальной физически нереализуемой системы:
_ 1 е Sg (со) Sv (со)
Demin- 2я J Sg ((Oj+Sj,(со) da>-	^6Л5)
— со
Практическое значение полученного результата заключается в том,
что дисперсия ошибки Demin определяет потенциальную точность
оптимальной системы при заданных спектральных плотностях задаю-
щего воздействия и помехи этой системы, т. е. теоретическую нижнюю
границу дисперсии ошибки, определяемую лишь расчетным путем,
но не достижимую ни для какой реальной системы.
Синтез оптимальной физически реализуемой системы. Синтез оп-
тимальной системы с учетом условия физической реализуемости
(1.22) — задача более сложная, чем синтез физически нереализуемой
системы. Для решения этой задачи необходимо рассмотреть два вспо-
могательных вопроса: преобразование взаимных спектральных плот-
ностей линейными системами и оптимизация структуры системы при
входном воздействии r(t) типа белого шума. После решения этих во-
просов определение оптимальной передаточной функции физически
реализуемой системы осуществляется достаточно' просто с использова-
нием приема «приведения входного воздействия к белому шуму».
Рассмотрим преобразование спектральных плотностей. Пусть x^t)
и x2(t) два стационарных и стационарно связанных’случайных процесса^
с известной взаимно корреляционной функцией /?Х]Х: (t)=x1(0*2^+t)
со
и взаимной спектральной плотностью SXiX2 (/со) = PXiX:(t) е-/WT dx.
— со
Если процесс x^i) проходит через линейную динамическую систему
181
с передаточной функцией W^p), а х2(0 — через систему с передаточной
функцией W2(p) (рис. 6.1), то взаимная спектральная плотность про-
цессов y^t) и y2(f) на выходе этих систем
Syij2 № =	(/®)	(~ /®) SXtX3 (/СО).	(6.16)
В частности, если один из процессов, например %i(Z), не подвер-
гается линейному преобразованию, то, полагая y1(t)=x1(t) и W\(p) = l,
ПОЛУЧИМ
5х„/2(/со) = Г2(-/со)5Х1Ха(/со).	(6.17)
Рассмотрим теперь синтез оптимальной системы при входном воз-
действии типа белого шума.
Пусть входное воздействие системы r(t)=g(t)-\-v(f)=n(t) — белый
шум со спектральной плотностью Sn(co)=S0=const и с корреляцион-
ной функцией /?п(т)=506(т), где б(-)—дельта-функция.
Обозначим через hn(t) и Нп(р) соответственно весовую и передаточ-
ную функции системы, оптимальной при гипотетическом входном
воздействии r(t) в виде белого шума. Тогда
уравнение Винера — Хопфа (6.12) примет вид
So	hn(t—>.) 6 (Z)	=(/), откуда, исполь-
— со
Рис. 6 1	зуя фильтрующее свойство 6-функции (1.20а),
получаем Sohn(t)=Rgn(t) и, учитывая условие
физической реализуемости системы (1.22), находим
при
(	0 при t < 0.
(6.18)
Таким образом, весовая функция системы, оптимальной при белом
шуме на ее входе, с точностью до постоянного множителя So1 равна
взаимной корреляционной функции задающего воздействия g(f) и пол-
ного входного сигнала типа белого шума г (/)=«(/). Оптимальную пере-
даточную функцию Нп(р) можно найти путем прямого преобразования
Фурье весовой функции. Учитывая, что Ап(/)=0 при /<0, в соответст-
вии с (6.18) имеем
со	со
Htl (](£>)= 5 hn(t)e~‘at dt = 5 Rgrl(t)e~iat dt =
— x	0
= J (/co)e'“zdco ]e~/wZd/ =
0	- co	'
CO	X
=	(6.19)
0	— x
x
где Sgn(ja>)— Rgn (r) e-‘at dx — взаимная спектральная плотность
процессов g(t) и n(f), предполагаемая известной.
182
Для решения уравнения Винера — Хопфа при произвольном вход-
ном воздействии r (t), определяемом реальным задающим воздействием
g(t) и реальной помехой v(f), воспользуемся методом приведения вход-
ного воздействия r(t) к белому шуму n(f).
Представим спектральную плотность Sr(co) входного воздействия
r(f) в виде произведения двух комплексно-сопряженных функций
Т(/со) и Чг(—/со):
Sr (со) = Y (/со) Y(—/со).	(6.20)
Такое представление спектральной плотности случайного процесса
называют факторизацией спектра.
Гипотетическая динамическая система с передаточной функцией
'Чг(/со), определяемой выражением (6.20), преобразует случайный про-
цесс типа белого шума со спектральной плотностью So=const в про-
цесс с заданной спектральной плотностью Sr(co) и называется форми-
рующим фильтром.
Пропустим входное воздействие через линейный фильтр с переда-
точной функцией
Ф(/со) = 1/[Т(/со)].	(6.21)
На выходе этого фильтра получим процесс, спектральная плотность
которого равна (см. гл. 3)
S„ (со) = | Ф (/со) | * Sr (со) = Sr (со)/| Т (/со) |2,
т. е. получаем процесс в виде белого шума n(t).
Фильтр с передаточной функцией (6.21), где Т’О'со) определяется
выражением (6.20), называют отбеливающим фильтром, который пре-
образует случайный процесс r(t) со спектральной плотностью Sr(co)
в белый шум.
Если последовательно с отбеливающим фильтром включить звено
с передаточной функцией Нп(р), определяемой выражением (6.19), то
получим систему, оптимальную для заданного входного воздействия
г(/), с передаточной функцией
Ясвт (/со) = Ф (/со) Н„ (фф = Н* (/со)/[Т (/со)].	(6.22)
В соотношении (6 19) передаточная функция Нп(]<ф выражается
через взаимную спектральную плотность процессов g(t) и п(/), но при
произвольном входном воздействии г(/)У=п(/) известной является вза-
имная спектральная плотность процессов g(t) и v(/). Поэтому необ-
ходимо выразить спектральную плотность Sgn(/co) через спектральную
плотность Sg,(/co). Тогда искомая передаточная функция НОпт(/®)>
оптимальная для известных задающего воздействия g(t) и помехи
v(t), будет определена.
В соответствии с обозначениями, принятыми при выводе формулы
(6.17), в рассматриваемом случае следует положить: g'(/)=x1(/)=z/1(/) —
183
непреобразуемый процесс; r(f)=x2(f) — процесс, преобразуемый отбе-
ливающим фильтром с передаточной функцией Ф(/со) = 1/т(/®), соот-
ветствующей передаточной функции Ц72(/со) в (6.16); n(t)=y2(f) —
белый шум на выходе отбеливающего фильтра. Тогда в соответствии
с (6.17) имеем
Sgr. (/®) = Ф (— /®) Sgr (jc,)) =-Y(-/®)-----'	(6'23)
Подставляя (6.23) в (6.22), с учетом (3.19) получаем выражение,
определяющее оптимальную передаточную функцию //опт(/®) системы
при входном воздействии r(f)=g(f)+v(f) с заданными спектральными
плотностями Sg(co), S0(co) и Sgv
СО
^oni (/®) = 2лТ (усо) § e~iat
О
Если задающее воздействие g (/) и
висимы, то Sgu(/co)=O и тогда
со
^ппт G’®) ~ п иг /•—< \ е-/м/
опт О / 2лТ (/со) J
О
Д^е^с/соЛ.
т (—/®)
(6-24)
помеха v(f) статистически неза-
СО
С e!u>t da, dt.
J Т (— /со)
(6.25)
Определить оптимальную передаточную функцию НОпт(/®) в соот-
ветствии с (6.25) довольно просто.
Если в (6.25), как следует из предыдущих рассуждений, нижний
предел в первом интеграле положить равным —оо, то мы снова полу-
чим передаточную функцию (6.15) физически нереализуемой системы.
Имея это в виду, представим (6.25) в виде
х 00	со
^опт(/®) = ь w7~~v 1 f	С ~ ё	d<£> dt—
onTj >	2лт(/ш) I J	J Т (— /со)
' — X	— со
О	со	ч
— f е_/'м< f ф f е/ш dco dt I = * -
J	J	Т(—/со)	1	T(/u>)
—	—	JO
(6.26)
где
F„(/®)= j e-/“^ j
составляющая функции Sg(co)/1F(—/со), обусловливающая физическую
нереализуемость системы с передаточной функцией (6.14). Чтобы
выделить из функции Sg(co)/’F(—/со) физически реализуемую часть,
поступим следующим образом. Разложим эту функцию на простейшие
184
дроби, т. е. представим в виде
= V 4. У bi + р (ia))
^ (— /со) -“/со——/со—7; +	и
k	I
где Р (J®) — некоторый полином.
Первая сумма объединяет дроби, полюсы которых лежат в левой
полуплоскости, а вторая сумма — дроби, полюсы которых лежат в пра-
вой полуплоскости. Именно вторая сумма и определяет функцию
ЛЛ/®)-
Таким образом, оптимальная передаточная функция физически
реализуемой системы
I f V	_
Гпт О) = Y (/со) < 2- /to+ Р (/со) > .	(6.27)
( k	)
Запишем это выражение в виде
^опт(/®) = :ф-^ ЧД—/со) ] + ’	(6.28)
где оператор [-]+ означает процедуру разложения на элементарные
дроби функции, заключенной в квадратных скобках, и последующего
отбрасывания дробей, полюсы которых лежат в правой полуплоскости.
Итак, процедура определения оптимальной передаточной функции
физически реализуемой системы^состоит из следующих этапов:
1)	факторизация спектральной плотности 5г(со),т. е. представление
ее в виде
Sr (со) = Чг(/со)Чг(—/со);
2)	разложение функции’Sg(co)/4r (—/со) на элементарные дроби
и отбрасывание дробей с полюсами в правой полуплоскости;
3)	запись явного выражения для оптимальной передаточной функ-
ции в виде (6.27).
В случае, когда помеха v(t)' представляет собой белый шум со
спектральной плотностью SB(co)=/V=const, процедура нахождения
оптимальной передаточной функции еще более упрощается.
Выражение для’оптимальной передаточной функции, как показано,
например, в [2], при этом имеет вид
Яопт (/со) = 1 -ГФ (»]•	(6-29)
Соответственно передаточная функция разомкнутого контура спти-
мальной системы
№onT(jco) = ¥(/co)//jV-l.	(6.30)
Дисперсия ошибки оптимальной системы определяется выражением
(6.8) при подстановке в' него //(/со)=//опт (/со).
Пример 6.1. Рассмотрим синтез оптимальной структуры системы АСН. Пусть
спектральная плотность задающего воздействия имеет вид
Sg (Ш) = Ш2 (1 4 72(02) •	(6'31)
185
Такая спектральная плотность соответствует случайным изменениям текущих
координат маневрирующего объекта. Пусть для определенности g(0=a(O—ази"
мут объекта Тогда в (6 31) D—дисперсия угловой скорости объекта в азиму-
тальной плоскости, Т—среднее значение интервала времени, в течение которого
эта скорость остается постоянной
Помеха v (I)— флуктуации направления прихода отраженных от объекта
радиоимпульсов —в пределах полосы пропускания системы АСН имеет постоян-
ную спектральную плотность N и ее можно рассматривать как белый шум
Взаимная корреляция между задающим воздействием и помехой отсутствует.
Тогда
5Г (“) = Sg «») +	«о) = мЧ1 + ^2(о2) + N =
= 2DT (1 +	(1 + ^мт2) <1 — /<0Т1) (1 — /сот2)
/(о{1-НиТ) {—/(о) (1—/(о7)	’
где
Т!Т2 = VNTH2D), Ti + т2 = KaG(2D7)+2 VNT!(2D)
Выделим множитель
Т (ja>) = [5г ((О) +2V] + = V 2DT	
s	/(О (I —/со/)
В соответствии с (6 29) и (6 30) находим
<632)
<633>
где
тэ = 7’(}<a2-|-2a— а), а = УN/(2DT3), K=V2DT/N.
При этом дисперсия ошибки оптимальной системы, найденная на основании
(6 8) при подстановке найденной передаточной функции (б 32)
Oemln = ^[Kl + /8D7VV-l].	(6 34)
Для принятых в гл 3 значений параметров входных сигналов N = 55X
Х10-6града с, £>=1град2 с-2, I —5с из (6 34) получаем
Детт = 7'04 Ю-4град,
Oemin=KjDemin= 1.58 угл МИН
Соответствующая ошибка, полученная в гл 3 в задаче оптимизации парамет-
ров системы АСН, составила ое mln = 2,5 угл мин.
Таким образом, в результате оптимального синтеза получена передаточная
функция системы АСН, соответствующая вполне реализуемой структуре — после-
довательному соединению двух типовых динамических звеньев — изодромного и
апериодического первого порядка.
Оптимальный синтез при наличии неизменяемой части системы.
При проектировании систем радиоавтоматики часто возникает такая
ситуация, когда оптимальный синтез проводится при условии, что
система должна содержать функциональные элементы с заданными
неизменяемыми характеристиками. Например, при проектировании
системы АСН выбор исполнительного двигателя с редуктором, усили-
теля и дискриминатора определяется требованиями, не связанными
с задачей оптимального синтеза, и характеристики этих устройств
на стадии оптимального синтеза системы являются заданными.
186
Таким образом, возникает задача оптимального синтеза при нали-
чии в составе проектируемой системы заданной неизменяемой части.
В этом случае оптимизация структуры системы осуществляется по-
средством корректирующих цепей
Рассмотрим использование для оптимизации структуры системы
последовательной корректирующей цепи
Если Wн(р) — передаточная функция неизменяемой части системы;
Wk(p) — передаточная функция последовательной корректирующей
цепи, то передаточная функция разомкнутого контура этой системы
W (p)=Wn(p)Wk(p). Потребовав, чтобы W (p) = Wопт (р), где №опт (р) —
передаточная функция системы, полученная в результате оптималь-
ного синтеза, найдем передаточную функцию последовательной кор-
ректирующей цепи
^(Р) = ^оП№(Р)]>	(6 35)
чем и решается задача оптимального синтеза при наличии неизменяе-
мой части системы.
Заметим, что передаточная функция W(р), определяемая соотно-
шением (6 35), реализуется, как правило, лишь приблизительно, так
как (6 35) приводит к физически нереализуемой динамической системе.
Пример 6.2. Пусть передаточная функция неизменяемой части прсектируемой
системы АСН определяется выражением (2 12), а синтезированная оптимальная
передаточная функция —выражением (6 33)
W (пх =________Ki_______	О ~Ь ТэР)
н(Р) Р(1 + 7’др)(1 + 7’ур) ’ опт(р) Р(1 + Тр)-
Тогда в соответствии с (6.35) получаем
w/ ! К (1 + тэР) (1 + ^дР) (1 + ^уР)
к (Р) - А?	Г+7>	’
что соответствует физически нереализуемой динамической системе, поскольку сте-
пень числителя найденной передаточной функции выше степени ее знаменателя.
Реализуемая передаточная функция корректирующей цепи WK (р) имеет вид
w/*	(1 + тэр) (1 + ТцР) (1 + ТуР)
K{P)~k (1+Тр)(1 + Т1Р)(1+Тгр) ’
где 71 и Т2 — достаточно малые постоянные времени.
Оптимальная весовая обработка сигналов в радиотехнических
системах. Для борьбы с помехами в радиотехнических системах
часто используется прием сигналов на разнесенные антенны При
этом для выделения полезного сигнала из помех применяется метод
оптимальной весовой обработки принятых сигналов, заключающийся
в следующем
Пусть прием осуществляется на п приемных антенн На вход
каждой антенны поступает сигнал	i= 1, п, представ-
ляющий собой аддитивную смесь полезного сигнала s,(/) и помехи
щ(/), как показано на рис 6 2 Совокупности входных сигналов, по-
лезных сигналов и помех запишем в виде матриц-столбцов размера
(пХ1) /=[/1, /г, • • • ,/J', S=[S!, S2, . .	, sj', У = [щ, V2,	, vj',
причем f=s+v
187
Задача оптимальной фильтрации в данном случае заключается
в получении наилучшей по критерию минимума среднеквадратичной
ошибки оценки величины g, являющейся результатом некоторого за-
данного линейного преобразования А совокупности полезных сигна-
лов, т. е. g=As, гдеД = [а1,
а2, . . . , ап}' — заданная
матрица-столбец коэффици-
ентов преобразования.
В качестве оптималь-
ной оценки у величины g
при весовой обработке
принятых сигналов исполь-
зуется линейная комбина-
ция этих сигналов вида
у = 2 ®Jk = w'f- Здесь
, k = \
W=[©!, w2,  •  ,	—
матрица-столбец весовых
коэффициентов шг, выбранных из условия минимума среднеквадра-
тичной ошибки оценки величины g.
Найдем уравнение для определения оптимальной матрицы весовых
коэффициентов W.
Дисперсия ошибки оценки определяется выражением
De = e2 = (y—g)2 = (W'f—A's)2 =
= WR//W~2WR/SA ^A'RSSA,
где	ПРИ b k=l, n — автокорреляционная матрица
входного сигнала размера nXn; RfS=fs'—[ftsk] при i,k=\, n — вза-
имная корреляционная матрица входного и полезного сигналов раз-
мера nXn; /?ss=ss'=[s;sfe] при i,k=\, п — автокорреляционная мат-
рица полезного сигнала размера «Хп.
Процедура минимизации дисперсии ошибки De как функции ве-
совых коэффициентов wt приводит к следующему уравнению для ве-
совой матрицы W, представляющему собой уравнение Винера — Хоп-
фа для задачи оптимальной весовой обработки сигналов:
RffA—R/sW = 0,
из которого находим оптимальную весовую матрицу W=Rfs1RffA,
обеспечивающую при известных корреляционных матрицах Rff и Rfs
минимум среднеквадратичной ошибки оценки величины g.
§ 6.2. ФИЛЬТРЫ КАЛМАНА
Общие замечания. Фильтры Винера обеспечивают минимум сред-
ней квадратичной ошибки системы лишь при бесконечном времени
наблюдения, т. е. в установившемся режиме, и при условии стацио-
нарности случайных процессов, соответствующих задающему воздей-
ствию и помехе.
188
Иногда требуется минимизировать ошибку системы радиоавтома-
тики при любом конечном времени наблюдения, т. е. с учетом пере-
ходных процессов, а также при нестационарных случайных воздей-
ствиях на входе системы.
В этом случае эффективным методом оптимального синтеза является
метод, разработанный Калманом и Бьюси [2], сводящий задачу на-
хождения оптимальной оценки y(t) входного воздействия g(t) к ре-
шению некоторого дифференциального уравнения. Этот метод успешно
реализуется при использовании вычислительных машин, в особен-
ности цифровых. Современное развитие микропроцессорной техники
привело к широкому использованию этого метода для оптимизации
бортовых систем обработки информации летательных аппаратов,
морских судов и других объектов.
Системы, оптимизируемые указанным методом, носят название
фильтров Калмана.
Уравнения состояния. В основе теории оптимальной фильтрации
Калмана лежит понятие пространства состояний (см. гл. 1). Поэтому
метод Калмана называют также методом пространства состояний.
В отличие от метода Винера случайное задающее воздействие g(t)
и помеха v(t) в методе Калмана характеризуются не спектральными
плотностями Sg(co) и SB(co), а уравнениями состояния. Ограничиваясь
случаем, когда помеха v(t) является белым шумом со спектральной
плотностью SB(co)=2V=const, покажем, как может быть получено
уравнение состояния для задающего воздействия при заданной спек-
тральной плотности этого воздействия.
Пусть спектральная плотность задающего воздействия имеет вид
Sг “) = а„<о2»+а„_1(о2»-2+ ... +«i<o2+1 '	’36)
Произведя факторизацию спектральной плотности (6.36), найдем
передаточную функцию ^(со) формирующего фильтра для задающего
воздействия.
Пусгь Sg(co)=4fg(/co)4fg(—/со), тогда на основании (6.36) ^(/со)
имеет вид
О’ю) = Уп	(/со)"-1 + . . . +/COY1+ 1 •
Здесь коэффициенты yk, &=1, п, однозначно определяются коэффици-
ентами аг, с = 1, п, из (6.36).
Обозначим через «(/) порождающий белый шум, из которого фильтр
с передаточной функцией (6.37) формирует случайное задающее
воздействие g(t) со спектральной плотностью (6.36). Тогда из (6.37)
при подстановке /со -> р -> d/dt, разделив числитель и знаменатель
на получим
ё (0 = 4S (р) и (/) = рп+ап_1Р»-1+..._(-а1Р + а0 u
189
откуда найдем стохастическое дифференциальное уравнение для
случайного задающего воздействия со спектральной плотностью (6 36):
+    + а. (О = W). (6-38)
Запишем теперь (6.38) в форме уравнения состояния. Обозначим
xk (/) = dk~ 1g/dtk~*, k=\,n,	(6.39)
тогда	_______
xk(t) = dkg/dlk = xk+1 (/), k=\,n— 1.	(6.40)
Используем векторно-матричные обозначения для совокупностей
переменных и коэффициентов:
	х =[лу, х2,  	• > *„]' —	(6.41)
матрица-столбец размера «Х1, или		«-вектор;	
	В = [0, 0, ..	, М' -	(6.42)
матрица-столбец размера «Х1;			
	"010	0 ~	
	0	0	1	0	
А =	0	0	0	0	(6.43)
	0	0	0	1	
	^1	^2	  •	
квадратная матрица размера пХп.
Тогда уравнение (6.38) запишем в виде одного матричного урав-
нения первого порядка [см. гл. 1, вывод уравнения (1.30)]:
dx/dt & Лх (/) + £«’(/),	(6 44)
которое и является уравнением состояния для «-мерного задающего
воздействия x(i'). Количество переменных состояния хг, . . . , хп
в этом уравнении определяется степенью полинома в знаменателе вы-
ражения (6 36) для спектральной плотности задающего воздействия
g(t), которому в матрице [хп х2, ... , хп]' соответствует обозначе-
ние лу.
Чтобы из совокупности п переменных состояния, содержащихся
в матричном уравнении (6.44), выделить задающее воздействие g(t),
необходимо (6.44) дополнить матричным уравнением вида
g(f) = Cx(t),	(6.45)
где С=[1, 0, 0, ... , 01 — матрица размера 1Х«.
Уравнения (6.44) и (6.45) являются исходными соотношениями
для оптимального синтеза методом пространства состояний.
Заметим, что (6 38) является дифференциальным уравнением фор-
мирующего фильтра, возбуждаемого белым шумом «(/). На рис. 6.3
представлена схема набора на модели формирующего фильтра, соот-
190
ветствующая (6.38), которая может быть использована для получения
случайного процесса с заданной спектральной плотностью при моде-
лировании систем радиоавтоматики, работающих в условиях случай-
ных воздействий.
Синтез фильтров Калмана. В общем случае фильтр Калмана пред-
ставляет собой многомерный нестационарный следящий измеритель,
т. е. систему с переменными параметрами. Нестационарность фильтра
Рис. 6.3
Калмана обусловлена, во-первых, тем, что фильтр Калмана является
оптимальным при конечном времени наблюдения, т. е. является оп-
тимальным не только в установившемся, но и в переходном режиме,
а во-вторых, тем, что задающее воздействие и помеха могут быть
нестационарными случайными процессами.
Задача синтеза такого многомерного нестационарного фильтра
состоит в следующем [2]. Дан случайный нестационарный и-мерный
процесс х(/)=[х!(/), x2(t), . . . , хл(01', описываемый уравнением
состояния
—	(6.46)
где u(t) — случайный r-мерный процесс типа белого шума, порождаю-
щий случайный процесс x(f); A(t) — квадратная матрица коэффици-
ентов размера пХп; B(t) — прямоугольная матрица коэффициентов
размера пХг. В отличие от (6.44) коэффициенты уравнения (6.46)
переменные, что является следствием нестационарности процесса x(t).
Корреляционная матрица порождающего белого шума u(t) имеет
вид
КИЙ(/, B)-«(O«,(^) = Q(O6(/-B),	(6.47)
где Q(/) — матрица размера гХг, элементы которой имеют размер-
ность и смысл спектральных плотностей qit и взаимных спектральных
плотностей ql} составляющих цг(/) и и7(/) процесса «(/); б(-) —дельта-
функция.
На вход синтезируемого фильтра поступает m-мерная совокуп-
191
ность наблюдаемых величин, имеющая смысл многомерного входного
воздействия,
Х	=	+	(6 48)
где C(t) — матрица наблюдений размера тХп, v(t)— случайный
m-мерный процесс типа белого шума (например, флуктуационные
помехи в каналах связи) с корреляционной матрицей
киимжн),	(6 49)
здесь R (i) — положительно определенная симметричная матрица
размера тХт, для которой существует обратная матрица Р-1(0.
Элементы матрицы R(t) имеют смысл и размерность спектральных
плотностей р„ и взаимных спектральных плотностей рг7, составляю-
щих t>i(/) и и7(/)т-мерной помехи v(t)
Оптимальный фильтр, имея на входе совокупность наблюдаемых
величин г(/)=[Г1(0, г2(0>  • • , должен дать оценку y(t) про-
цесса х(/), оптимальную по критерию минимума среднеквадратичной
ошибки измерений каждой из составляющих процесса x(f)
Выражение для критерия оптимума многомерного фильтра Кал-
мана аналогично формуле (6 9) и имеет вид Zft=mine|, k=\, п, где
ep=lxk(t)—yh(f)]2
Как доказывается в теории оптимальной фильтрации [81, опти-
мальная оценка у(/) процесса х(/) удовлетворяет n-мерному матрич-
ному дифференциальному уравнению (уравнение оценки)
dy/dt^A (/) у (0 [г (0—С (/) y(tf],	(6 50)
где
K(t) = P(t)C (tjR-^t)—	(6.51)
матричный коэффициент передачи оптимального n-мерного фильтра
(фильтра Калмана),
р (0 =	(6 52)
дисперсионная матрица ошибок фильтра.
Элементами последней матрицы являются величины
(/) = \х{ (t}—yi (/)] [х} (t)—yj (/)]>
причем на главной диагонали этой матрицы находятся дисперсии
ошибок оптимального фильтра D„(/)=[%,(/)—г/г(/)Р=е2
Дисперсионная матрица ошибок P(t) определяется путем решения
дисперсионного уравнения
^^AP + PA'—PC'R-'CP + BQB'	(6 53)
Уравнение (6 53) — это матричное нелинейное дифференциальное
уравнение Риккати Для его решения необходимо задать начальное
значение P(t0) дисперсионной матрицы Если в начальный момент
времени t=ta процесс у (4) на выходе фильтра равен нулю, то, как
192
видно из (6 52), P(t0)=x(t0)x'(t(l) соответствует матрице дисперсии ком-
понент измеряемого процесса x(t)
Совокупность уравнений (6 50), (6 51) и (6 53) определяет струк-
туру и характеристики фильтра Калмана.
Структурная схема многомерного фильтра Калмана, соответствую-
щая уравнению (6.50), приведена на рис 6 4.
Рис 6 4
Пример 6.3. Рассмотрим синтез одномерного фильтра Калмана.
Пусть задающее воздействие синтезируемой системы g (/)—стационарный слу-
чайный процесс с дисперсией D и спектральной плотностью
^(Ш)-Ш2+Ш2	1+TW’	(6 54>
где S0 = 2D/(o0, со0—круговая частота, определяющая ширину спектра (6 54);
Т= 1/coq.
Задающее воздействие g (/) поступает на вход системы в аддитивной смеси
с помехой v (/), представляющей собой белый шум со спектральной плотностью
Sc (со) = N = const и корреляционной функцией (т) = <У6 (т), т е входное
воздействие системы
r(t)=g (0+^(0	(6 55)
Найдем уравнение состояния для задающего воздействия со спектральной
плотностью (6 54) Разложив (6 54) не ксмплекснс сопряженные множители, най-
дем передаточную функцию (/со) формирующего фильтра для задающего воз-
действия g (/)
^(р)=1/(1 + Гр),
откуда
g(t) = 4g(p)U(t) = u(t)/V + Tp)
ИЛИ
g(t)+g(t)IT=u(t)/T	(6 56)
В рассматриваемом случае входное воздействие х (t) имеет лишь од ту состав-
ляющую x(t) = g (/) и уравнение состояния в соответствии с (6 56) имее’’’ вид
dx/dt=—x(t)/T+u(t)/T,	(6 57)
где и (/)— одномерный порождающий белый шум со спектральной плотностью So
и корреляционной функцией Каи (т) = S06 (т)
Сопоставляя (6 56) и (6 55) с (6 46) и (6 48) и учитывая (6.47) и (6 49), имеем
для одномерной задачи
Л'(()=-1/Т, В (/)=1/Г, Q(O = So, R(t) = N, с (0=1
Критерий оптимальности в зтом случае имеет вид
Z = mine2 = min [g (/)—у (Z)]2
Теперь можно написать уравнения фильтра Калмана для рассматриваемой
задачи-
193
уравнение оценки на основании (6.50)
dy/dt = -^y(t) + K(t)[r(t)-y(t)],	(6.58)
выражение для коэффициента передачи из (6.51)
K(t)=~PW,	(6-59)
дисперсионное уравнение из (6.53)
^-=_2-Р(0-1рч0+^.	(6-б0)
ного фильтра Калмана и в соответствии
Рис. 6.5
Для одномерной задачи при стационарном входном воздействии г (/) диспер-
сионное уравнение является нелинейным обыкновенным дифференциальным урав-
нением первого порядка с постоянными коэффициентами.
Решив дисперсионное уравнение (6.60), найдем дисперсию ошибки одномер-
с (6.59) определим коэффициент пере-
дачи К (t) этого фильтра, фигурирую-
щий в уравнении оценки (6.58).
При изменении коэффициента пе-
редачи К (0 фильтра Калмана в соот-
ветствии с (6.59) выходная величина
фильтра у (/) будет представлять „со-
бой оптимальную оценку задающего
воздействия g(f), т. е. оценку с ми-
нимальной среднеквадратичной ошиб-
кой.
гра Калмана, соответствующая (6.58),
изображена на рис. 6.5.
Рассмотрим характеристики установившегося режима одномерного фильтра
Калмана. Общие характеристики, соответствующие конечному времени наблюде-
ния, приведены, например, в [2].
В установившемся режиме, т. е. при t—> оо, дисперсия ошибки фильтра
Р(0/^_„— величина постоянная, не зависящая от t, и, следовательно, Р (/) = 0
при t—>-00.
Тогда, обозначив De=P (оо), из (6.60) получаем
О_____£) _L £)2 I *^°
и----т e~N е+ Л'’
откуда
Структурная схема одномерного
при N < 80.
В установившемся [режиме при /V < 8а относительное значение среднеквад-
ратичной ошибки
Как следует 1:(6.61), относительная среднеквадратичная ошибка оптималь-
ного одномерного фильтра при помехе типа белого шума зависит только от отно-
сительной интенсивности помехи, характеризуемой отношением спектральной плот-
ности помехи N к спектральной плотности So порождающего белого шума.
В установившемся режиме коэффициент передачи К (f) фильтра Калмана
имеет постоянное значение
K«, = K(oo) = De,W = (V<l-{-S0/W— 1)/Г, и тогда уравнение оценки (6.58) яв-
ляется уравнением с постоянными коэффициентами
y(t) = -^y(t) + K„ [r(t)-y(t)\,
194
или
у (О Ч-	Н—у (f) — к°°г (t),
соответствующим апериодическому звену первого порядка;
§ 6.3. ПОНЯТИЕ О НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Задача нелинейной фильтрации. Рассмотренные в § 6.1 и 62 методы линей-
ной оптимальной фильтрации позволяют синтезировать оптимальную систему
лишь в том случае, когда задающее воздействие и помеха являются нормальными
(гауссовыми) случайными процессами с известными корреляционными функциями
(или спектральными плотностями). Если же входные воздействия системы не,яв-
ляются нормальными процессами, то оптимальную систему следует искать в более
широком классе—классе нелинейных систем. Методы синтеза нелинейных опти-
мальных систем объединены под названием методов нелинейной оптимальной
фильтрации.
При нелинейной фильтрации входное напряжение нвх (/) синтезируемой си-
стемы записывают в виде
«вх (0 = "с (Л g) + «п- (0,	(6.62)
где нс (Л g)—полезный сигнал, содержащий информацию об измеряемой вели-
чине g(t), которая является модулирующей функцией некоторого параметра
сигнала нс; иш (/)— аддитивная помеха типа белого шума.
Задачей нелинейной фильтрации является нахождение такого нелинейного
оператора обработки напряжения нвх (/), который обеспечивает [получение опти-
мальной по критерию минимума среднеквадратичной ошибки опенки и (t) изме-
ряемой величины g(f).
В теории оптимальной нелинейной фильтрации основными являются два
метода: метод Р. Л. Стратоновича и метод И. А. Большакова и В. Г. Репина
[13, 14].
Метод Р. Л. Стратоновича основан на описании измеряемой величины g (/}
как случайной функции времени с помощью марковского процесса [13]. При
этом, как и в методе пространства состояний, функция g (/) является одной, из
составляющих n-мерного вектора состояний х (t) = [хх (/), x2(f), ..., хп (/)]', от-
дельные компоненты которого описываются нелинейными стохастическими диффе-
ренциальными уравнениями первого порядка вида
dxildt = Д (х) + и, (0, i = 1, п.
где fi (х)— детерминированные нелинейные функции п переменных хг (/), х2 (/), ...
..., х„(/); гг(-(/) — порождающие белые шумы с известными корреляционными
функциями.
Соответственно «уравнение наблюдения» на основании (6.62J записывают
в виде uBX(t) = uc(t, х)-]-иш(/).
При известной априорной плотности вероятности вектора х (Г) определяют
оптимальный нелинейный оператор обработки сигнала ивх (/), обеспечивающий
оптимальную по критерию минимума
среднеквадратичной ошибки оценка
у (/) измеряемой величины g (/).
Когда измеряемая величина и по-
меха являются нормальными случай-
ными процессами, оптимальный опе-
ратор приводится к системе уравне-
ний фильтра Калмана.
Таким образом, метод Калмана
является частным случаем более общего
метода оптимальной нелинейной фильт-
рации.
Метод И. А. Большакова и В. Г.
турной схемы системы радиоавтоматики
Рис. 6 6
Репина основан на представлении струк-
в виде последовательного соединения без-
ынерционного нелинейного дискриминатора с линейной дискриминационной харак-
теристикой и линейного фильтра с передаточной функцией И?о (р) (рис. 6.6).
195
Нелинейность дискриминатора связана с операцией демодуляции сигнала
функционально приписываемой дискриминатору, которая является операцией
нелинейной.
При этом производят раздельно оптимальный синтез дискриминатора и опти-
мальный синтез линейного фильтра.
Синтез линейного фильтра осуществляют по методике, рассмотренной в § 6.1
или 6.2.
Задачей рассматриваемого метода нелинейной фильтрации является синтез
безынерционного дискриминатора, осуществляющего оптимальную демодуляцию
входного сигнала системы «вх (/).
Методика синтеза оптимальных дискриминаторов основных радиотехнических
следящих измерителей изложена в [19].
Глава 7
ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ
§ 7.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ
ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ
Импульсные, цифровые и дискретные системы, функционирование
многих систем радиоавтоматики связано с квантованием информации
во времени, которое происходит либо на входе системы, либо внутри ее
контура. Например, в РЛС с импульсным излучением информация
о задающих воздействиях систем АСД и АСН поступает лишь в момен-
ты приема отраженных от цели радиоимпульсов. При работе РЛС
в режиме обзора квантование информации во времени происходит за
счет вращения антенны, в диаграмму направленности которой периоди-
чески попадают те или иные объекты. Иногда контур системы радио-
автоматики замыкается через линию связи с временным разделением
каналов, что также приводит к импульсному режиму работы. Все
подобные системы называют импульсными системами радиоавтома-
тики или в общем случае импульсными системами автоматического
управления. Для их исследования требуются специальные методы,
отличные от развитых применительно к непрерывным автоматическим
системам. Исключение составляют лишь импульсные системы, в ко-
торых частота квантования существенно превышает ширину полосы
пропускания непрерывной части. Они называются квазинепрерывными
и могут быть исследованы теми же методами, что и непрерывные
системы.
Еще более отличаются от непрерывных цифровые системы, содер-
жащие в своем контуре цифровое устройство обработки информа-
ции — ЦВМ или специализированный цифровой вычислитель. В циф-
ровых системах информация квантуется не только во времени, но
и по уровню. Это объясняется заменой непрерывного сигнала цифро-
вым кодом определенной длины, происходящей во входном аналого-
цифровом преобразователе (АЦП), а также эффектами округления
в выходном цифро-аналоговом преобразователе (ЦАП) и в самой ЦВМ.
И импульсные, и цифровые системы принадлежат более широкому
классу дискретных систем автоматического управления. Понятие
196
дискретной системы допускает возможность квантования сигналов
во времени и(или) по уровню.
Если в цифровой системе радиоавтоматики АЦП, ЦАП и ЦВМ
имеют достаточно большое число разрядов, то при исследовании
такую систему можно линеаризовать, а погрешности от квантования
по уровню учесть добавлением в сигнал шумов квантования с опре-
деленными статистическими характеристиками.
Методы исследования линеаризованных цифровых и линейных им-
пульсных систем имеют много общего. В обоих случаях используются
понятия идеального импульсного
элемента, приведенной непрерыв-
ной части, решетчатой функции и
импульсного фильтра. Введем эти
понятия при рассмотрении упро-	а)
щенной схемы импульсной систе-	иия \лнч	|
мы, изображенной на рис. 7.1, а,
где ИЭ — импульсный элемент,
НЧ — непрерывная часть. Возму-
щающее воздействие на схеме не
показано.
Импульсный элемент преобразу-
ет непрерывный сигнал рассогла-
сования е(/) в импульсы e*(t) определенной формы и длительности,
следующие с периодом дискретности (повторения) Т, который будем
считать постоянным. В большинстве случаев при этом имеет место
амплитудно-импульсная модуляция первого или второго рода (АИМ-1
или АИМ-2) (рис. 7.2, а, б). Заметим, что систему с АИМ-2 называют
импульсной системой с конечным временем съема данных, поскольку
она реагирует не только на значение рассогласования к моменту
начала очередного импульса, но и на его изменение за время длитель-
ности импульса. Анализ такой системы весьма сложен, что обычно
заставляет пренебрегать изменением рассогласования за время дли-
тельности импульса и условно заменять АИМ-2 на АИМ-1.
Так как при АИМ-1 существенны значения рассогласования лишь
в моменты начала импульсов, целесообразно выделить для рассмотре-
ния именно такие значения. Для этого используется замена непре-
рывной функции e(t) решетчатой функцией е [п], где п —дискретное
время, п=0, +1, ±2, ... Решетчатой функцией времени называют
функцию, определенную лишь в дискретные моменты времени t=nT.
Операция замены непрерывной функции решетчатой выражается фор-
мулой е [п\=е(пТ) (рис. 7.2, в). В более общем случае рассматривают
смещенную решетчатую функцию е [п, е]=е(пТ'+еТ'), где е — отно-
сительное смещение, 0^е<1.
С понятием решетчатой функции связано понятие идеального
импульсного элемента, который ее вырабатывает из исходной непре-
рывной функции. Переход от решетчатой функции е [nJ, являющейся
математической абстракцией, к реально существующим в системе
импульсам e*(t) осуществляется с помощью формирующего элемента.
При АИМ-1 он представляет собой генератор прямоугольных им-
197
пульсов, следующих с периодом Т, причем высота каждого из них
определяется текущим значением решетчатой функции. Таким обра-
зом, реальный импульсный элемент заменяется последовательным
соединением идеального импульсного элемента ИИЭ и формирующего
элемента ФЭ (см. рис. 7.1, б).
Формирующий элемент наравне с непрерывной частью определяет
динамические свойства импульсной системы, поэтому его целесообраз-
но условно присоединить к непрерывной части. При этом получается
приведенная непрерывная часть ПНЧ, ко входу которой приложена
решетчатая функция е [п], а на выходе образуется непрерывная
функция y(t) (см. рис. 7.1, б).
При анализе динамики замкнутой системы особый интерес пред-
ставляют значения выходной величины y(t) в дискретные моменты
времени t=nT, поскольку именно они влияют через цепь главной
обратной связи на дискретные значения рассогласования е [п]. Рас-
смотрение вместо непрерывной функции y(t) решетчатой функции
у [n]=y(f)\t^nr позволяет считать приведенную непрерывную часть
системы импульсным фильтром.
Импульсным фильтром называют любое динамическое звено (или
систему), входная и выходная величины которого рассматриваются
в дискретные моменты времени. Замена приведенной непрерывной ча-
сти импульсным фильтром — эффективный прием при исследовании
импульсных и цифровых автоматических систем. Естественно, что
вся замкнутая система при этом также считается импульсным фильт-
ром, входной и выходной сигналы которого — решетчатые функции
g [п] и у [и]. Связь между ними выражается некоторым разност-
ным уравнением, которое можно записать через значения входного
и выходного сигналов:
аау [п] + а^у [п— 1] +-Н aty \п—/] =
= Ьйё[п] + Ь^[п—1]+ .. .-\-Ьт[п—т].	(7.1)
Нахождение и анализ этого разностного уравнения составляют задачу
исследования дискретной системы.
/-преобразование. Мощным математическим аппаратом исследо-
вания дискретных систем и решения разностных уравнений является
z-преобразование. Оно играет ту же роль, что и преобразование Лап-
ласа при исследовании непрерывных систем и решении дифференци-
альных уравнений.
198
Для некоторой решетчатой функции / [п], определенной при п^О,
г-преобразование записывают через дискретное преобразование Лап-
ласа
Рд(р) = 2/[п]е-^
с использованием аргумента z=epT:
п = 0
Для смещенных решетчатых функций вводят модифицированное
^-преобразование:
2е {/[«]} = Z {f[n, e]} — F(z, е) = e]z~n.
п = 0
z-преобразование можно применить также к изображению исход-
ной непрерывной функции по Лапласу:
оо
о
При записи Z [Fл(р)} = F (г) подразумевают, что фактически z-преоб-
разование взято от решетчатой функции f [п], однозначно связанной
с изображением F (р).
Таблица 7.1 Изображения решетчатых функций
Исходная непрерывная функция		Несмещенная решетчатая функция	z-преобразование	
оригинал	преобра- зование Лапласа		простое	модифицированное
Л(0 =	—	6о [«]	1	0
[ 1 при 1=0,				
^Опрн t Ф 0				
1(0	1 ~р	1 [«]	Z г— 1	z г— 1
	1		Тг	Г 8	11
i		пТ		7'7 1		 —1—	 1
	р2		(г-1)2	L г— 1 1 (г—1)2J
t»	1	(пТ)'	Т2г (г +1)	Т2гГ е2 . 2е г+1 1
2!	+	21	2! (г — I)3	2! [г —1 1 (г—I)2 1 (г—I)3]
е-аГ	1	е~апГ =dn	Z	d = e-“r
	р+<х		г—d	г— d
			d = e~aT	
1 е~аТ	а	। р-сспТ	(l~d)z	z	zdz
	р(р+а)		(z—l)(z—d)	z—1	г—d
199
z-преобразования некоторых решетчатых функций, а также исход-
ные непрерывные функции и их изображения по Лапласу приведены
в табл. 7.1. Там введена единичная импульсная решетчатая функция
[ 1 при п = 0,
‘Д Г и! = \ п	, п
* 0 1 1	| 0 при п О,
играющая при исследовании дискретных систем такую же роль, как
6-функция при исследовании непрерывных систем.
Более подробные таблицы z-преобразований имеются, например,
в [2, 4, 17]. Там же описаны его свойства, некоторые из которых без
доказательства приведены далее.
1.	Свойство линейности:
z[	S^FJz).
Ь=1 J i=i
2.	Теорема запаздывания:
Z Ц [п — tn]} = z~mF (г).
3.	Начальное значение оригинала:
f[0] = lim,^-F(z).
Z-> с® 4
4.	Конечное значение оригинала:
lira f[n] = lira ~[F (z).
z—> 1	4
5.	Изображение свертки двух решетчатых функций:
= Л (z)Fa(z).
Обратный переход от изображения F (г) к оригиналу f [и] в симво-
лической форме записывают как обратное г-преобразование: /[«] =
=Z-1{F(z)}. Эта задача не представляет трудностей, если изображе-
ние является табличным. При более сложном изображении оно обычно
заменяется суммой дробей первой степени. Например, если изображе-
ние есть отношение двух многочленов
F — в — 'гВ° &>'
Г А (г) А (2) ’
причем степень числителя не выше степени знаменателя, а корни
знаменателя простые, то его можно представить л виде суммы [4]
г / \ V В° 2
^(г) —X Л(г,) z—zf
где Д(г) — производная полинома A (z) по z; zt (i=l, 2, . .. ,	—
корни знаменателя.
200
Отсюда, воспользовавшись табл. 7.1, получим
(г<) ~п
Tf-4(z,) 1’
Для нахождения оригинала часто применяют также разложение
изображения в ряд Лорана
р (z) = c0 + CiZ-1 + qz~2+ •• • +cftz"*+ . . .
Так как по определению z-преобразования
F (г) = f [0] -г f [1] 2-1 + f [2] z"2 + . . . 4- f [6] 2~* + . ..,
то коэффициенты ряда Лорана совпадают с соответствующими значе-
ниями оригинала, т. е. f [0]=со, f [lj=cx, f [2]=с2 и т. д. Наиболее
удобным приемом разложения дробно-рациональных функций в ряд
Лорана является деление числителя на знаменатель.
Дискретные передаточные функции. Рассмотрим разностное урав-
нение импульсного фильтра в форме (7.1):
I	т
S — i]= S&jg'tn —/],
1=0	/=0
где g [м] и у [м] — входной и выходной сигналы.
Используя свойство линейности z-преобразования, перейдем к из-
ображениям
I	т
^i,aiZ{y\n-i]}=^ibjZ{g[n-j}}
1=0	/ = 0
или, на основании теоремы запаздывания,
I	т
У(г) 2й{г-‘ = 0(г) S^z-Л	(7.2)
1=0	/=0
Здесь за знаки суммирования вынесены изображения Y(z)=Z{y [п]}
и G(z)=Z{g [и]}, не зависящие от переменных i и /.
Из (7.2) получим для изображения искомой решетчатой функции
выражение
т
2bjZ-J
Y(z) = ^-----С(г) = Д(г)С(г),	(7.3)
2а'г-'
i=0
где введена дискретная передаточная функция импульсного фильтра
H(z). Она определяется как отношение z-преобразования выходного
сигнала к z-преобразованию входного сигнала.
Дискретная передаточная функция играет в дискретных системах
ту же роль, что и обычная передаточная функция в непрерывных сис-
темах, которую также определяют как отношение изображений, но
поЛапласу.
201
Выражению (7.3) соответствует запись дискретной передаточной
функции как дробно-рациональной функции от г-1:
уу	&о+ Ь1г~г+    + Ьтг~т	(7 А)
При этом особенно наглядна ее взаимно однозначная связь с разност-
ным уравнением импульсного фильтра (7.1) через коэффициенты аг
и bj. Разделив числитель и знаменатель (7.4) на z-1 в старшей степени,
можно получить дробно-рациональную функцию аргумента г-1. За-
метим, что соотношение порядков числителя и знаменателя дискретной
передаточной функции (7.4), записанной относительно г-1, может быть
произвольным и не влияет на возможность физической реализации
импульсного фильтра. Это видно из разностного уравнения (7.1),
в которое ни при каких порядках величин I и т не входят будущие
значения входной и выходной величин.
При нахождении дискретной передаточной функции за основу
обычно принимаются временные характеристики дискретной системы.
Важной временной характеристикой импульсного фильтра является
решетчатая весовая функция h [м], определяемая как реакция им-
пульсного фильтра на единичную импульсную решетчатую функцию
б0[м], поданную на его вход при нулевых начальных условиях.
В соответствии с этим определением при g [м]=б0[м] на выходе по-
лучаем у [n]=h Ln]. Тогда выражение (7.3) конкретизируется в виде
Z{h [n])=//(z) Z{80 [nJ}. Поскольку Z{60[[n]} = l, то
H(z) = Z{h[n]}.
Таким образом, дискретная передаточная функция импульсного фильт-
ра есть z-преобразование его решетчатой весовой функции. Следова-
тельно, правая часть выражения У (z)=//(z) G(z) является произве-
дением изображений решетчатых функций h [п] и g [п], в соответствии
со свойством z-преобразования равным изображению их свертки. По-
этому при переходе к оригиналу получим для выходной решетчатой
функции
п
У[п] = S/i[v]g-[n—v].	(7.5)
\ = 0
Частотные характеристики импульсных фильтров. Пусть выходной
сигнал импульсного фильтра является решетчатой функцией синусо-
идального вида:
g [n] = a sin (сопТ + ср),	(7.6)
где а, <р и со — амплитуда, начальная фаза и частота; Т — период
дискретности.
При анализе удобно использовать ее символическую запись как
последовательности комплексных чисел:
g [и] = ае1 (“"Т’-кс) = йе;’ч> е/ш"7’ = ае1апТ,	(7.7)
мнимая составляющая которых совпадает с (7.6). Здесь а=ае<“ —
комплексная амплитуда.
202
Зная решетчатую весовую функцию импульсного фильтра h [п],
найдем его реакцию у [и] на рассматриваемый сигнал. Для этого,
используя формулу свертки (7.5) и выражение (7.7), запишем
У [п] = 2 h. М g[n— v] = 2 М cze/“<fl_'v> г = ае,апТ 2 h М e_/Mv7’.
%=0	\=0	\=0
(7.8)
Введем в рассмотрение комплексную функцию
Н (е'“0 = 2h [v] e-/MV7’ = 2 Л [v] z-v { jtaT = Н (г) [г=е/шг, (7.9)
v=0	v=0
которую запишем в виде
Н (<УюТ) = А (со) еЧ> <“>.	(7.10)
Здесь А (со) = |Д(е'ш7’)| иф(со)=аг§ Н(е'ыТ) — вещественные функции,
являющиеся модулем и аргументом функции Н(е1аТ).
С учетом (7.9) и (7.10) представим (7.8) в аналогичном (7.7) виде:
у [и] = Л/со) ае> [<™т+ф(И)] _ ае, [Ф(И)]е/шпт =
= be1 [<p+il’.(<>>)]e/Bn7’ = Ье'апТ,	(7.11)
где Ь=А (со) а — амплитуда;	(“Л—комплексная ампли-
туда функции у [и].
Выделив мнимую составляющую выражения (7.11), получим
у [и] = b sin [соиТ + <Р + Ф (со)].
Таким образом, искомый выходной сигнал линейного импульсного
фильтра представляет собой, как и входной сигнал, гармоническую
решетчатую функцию.
Функция Н (е'ыТ) равна отношению комплексных амплитуд вы-
ходного н входного сигналов. Поэтому по аналогии с частотной пере-
даточной функцией непрерывной системы она называется частотной
передаточной функцией импульсного фильтра. Графики ее модуля
Л(со)=й/я и аргумента ф(со) называют амплитудной частотной харак-
теристикой (АЧХ) и фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).
Вводятся и другие частотные характеристики импульсного фильтра,
например логарифмические.
Как видно из (7.9), частотная передаточная функция получается
из дискретной передаточной функции Н (z) посредством подстановки
г—е/ат.
При рассмотрении частотной передаточной функции как функции
круговой частоты со выясняется, что вследствие периодичности комп-
лексного аргумента е-'ш7’-— cos шТ+i sin со Г она тоже периодическая
и ее значения повторяются с периодом, равным круговой частоте кван-
тования 2л/Т. Такую же периодичность имеют все частотные характе-
ристики импульсного фильтра. Физически это объясняется тем, что
гармонические сигналы на частотах сои а>±2лИТ, /= 1, 2, . . . невоз-
можно различить, наблюдая их лишь в дискретные моменты времени
203
t = пТ. Поэтому импульсный фильтр реагирует на такие сигналы со-
вершенно одинаково.
Периодичность частотных характеристик импульсного фильтра,
рассматриваемых в функции частоты со, делает их построение неудоб-
ным. Поэтому часто применяются частотная передаточная функция
и частотные характеристики с использованием так называемой псевдо-
частоты. Переход к псевдочастоте делается на основе ш-преобразо-
вания.
Введем комплексную величину w как билинейное преобразование
комплексной величины г:
® =	(7-12)
z4-l
Возможно и обратное преобразование
г = |±^.	(7.13)
1—w
Сделав в (7.12) подстановку г = е'“7’, получим
р/соГ_1	_
(7Л4)
где A = tg а>Т12 представляет собой так называемую относительную
псевдочастоту. Соотношение w = /А, по форме совпадает с используемой
для непрерывных систем записью р=/со.
Удобно ввести в рассмотрение абсолютную псевдочастоту
/. = —X=^tg-T.	(7.15)
При выполнении условия со71<;2, когда tg аТ/2 « со7К2, она практи-
чески совпадает с круговой частотой со, т. е. Х«со. Это облегчает ис-
следование дискретных систем. Кроме того, важно, что при изменении
частоты в пределах —п/Т со п/Т псевдочастота пробегает все значе-
ния от —оо до оо. Поэтому при переходе к псевдочастоте наиболее ин-
тересный интервал частот, где полностью определяется форма частот-
ных характеристик, растягивается до бесконечной длины, а периодич-
ность частотных характеристик пропадает.
С использованием псевдочастоты частотную передаточную функцию
импульсного фильтра с учетом (7.13)—(7.15) записывают в виде
Она обычно является дрсбно-рациональной функцией.
Характеристики решетчатых случайных процессов. Решетчатую
функцию f [л] называют решетчатым случайным процессом, если ее
значения в каждый момент дискретного времени являются случай-
ными величинами. Каждая из этих случайных величин характеризует-
ся одномерным, а их совокупность — многомерным законами распре-
204
деления. Будем рассматривать стационарные решетчатые случайные
процессы, законы распределения значений которых не зависят от
дискретного времени п. Для них, как правило, выполняется свойство
эргодичности, позволяющее определить математическое ожидание
и средний квадрат как средние по дискретному времени:
N	N
n=-N	п=0
I N	/V
£2[п] = lim 2Л^ЕТ	=
Для центрированных решетчатых процессов, обычно используемых
при анализе точности дискретных систем, математическое ожидание
равно нулю, а средний квадрат совпадает с дисперсией, т. е. g1 [nJ=Dg.
По аналогии с непрерывными случайными процессами вводится
понятие корреляционной функции’
N	л
Я [т] = lim jgvTTT Е + = пАтЕ +
Корреляционная функция решетчатого случайного процесса яв-
ляется неслучайной решетчатой функцией, основные свойства которой
определяются соотношениями: [0]=g2[n],	[oo]=(g [и])2, 7? [0]—
—R [oo]=Dg, /?[0]>/?[т], /? [—т\ = R [т].
Статистическая связь значений двух стационарных случайных
процессов gj[n] и g2[n] характеризуется взаимной корреляционной
эункцией
N	V
'n=-N	Л'->и'v ~Г 1 „_0
IpnT?!, 2[m]==0 эти процессы называют взаимно некоррелированными.
Анализ прохождения случайных процессов через стационарные
фильтры наиболее просто провести в частотной области, когда свойства
фильтра характеризуются частотной передаточной функцией, а свой-
ства процесса — спектральной плотностью. Спектральную плотность
стационарного решетчатого случайного процесса вводят как двусто-
роннее ^-преобразование корреляционной функции:
S(z) = 2 R\tn\z~m.	(7.17)
m= - оо
Ее можно выразить также через обычное одностороннее z-преобразо-
вание корреляционной функции:
F(z) = Z {Я[т]} = £ Я[/п]г-'»,
m = 0
205
если разбить интервал суммирования в (7.17) на части и использовать
свойство четности корреляционной функции. Тогда
S(z) = 2	2 R[/n] г"'»—R[0] =
m=.O	m = —оо
= F(z)~ 2^[-m]z”-/?[0] = F(z) + F(z-1) —/?(0)
m= 0
или при переходе к круговой частоте со
S (е;’“7’) = F (eF*T) + F	[0] = 2 Re F (e'aT) — R (0). (7.18)
При записи (7.18) учтено, что функции F(е'и7’) и F(e~iaT) являются
комплексно-сопряженными, т. е. имеют одинаковые вещественные
и противоположные по знаку мнимые части. Отсюда же видна четность
спектральной плотности.
Интегрирование спектральной плотности на интервале ±л/Т
дает средний квадрат решетчатого процесса:
л/Т	л/Т
= f S(e^)^o = ^ js(e^)dco. (7.19)
-л/Т	О
Множитель Т, равный периоду дискретности, отличает формулу
(7.19) от соответствующей формулы для непрерывного процесса. При-
чина этого связана с тем, что размерность спектральной плотности
(7.18) решетчатого процесса отличается от размерности спектральной
плотности непрерывного процесса как раз на размерность времени.
Спектральная плотность может быть представлена как функция
псевдочастоты. Поскольку справедливы равенства
’1+МТ/2	12___. XT. , dX	dX
-е 1— /ХТ/2 ’ ® Т arCtg 2 ’	— 1 + Х2Т2/4	11 +7ХТ/2|2 ’
соотношения (7.18) и (7.19) принимают вид
— СО
Спектральная плотность S*(X) удобна тем, что она обычно является
дробно-рациональной функцией квадрата псевдочастоты, а не транс-
цендентной периодической функцией, как S(e^“7’). Это позволяет
использовать при вычислении интегралов вида (7.21) таблицы, состав-
ленные для интегралов спектральных плотностей непрерывных слу-
чайных процессов (см. приложение).
Типовой задачей анализа импульсных фильтров при случайных
воздействиях является нахождение спектральной плотности выход-
ного решетчатого случайного процесса SJ(X) по известным спектрать-
ной плотности входного процесса S*& (X) и частотной передаточной
206
функции фильтра Решение этой задачи, как и в непрерывных
системах, имеет вид
=	(7.22)
При этом средний квадрат выходного процесса
I//*(A)l2SgA)
। 1 + АТ/2,2
(7.23)
Шумы квантования по уровню. В отличие от импульсных систем
цифровые системы радиоавтоматики не являются линейными импульс-
ными фильтрами даже при малых рассогласованиях, поскольку пред-
Т
Рис 7 4
ставление сигналов в цифровой форме связано с их квантованием по
\ ровню. Статическая характеристика входного АЦП показана на
рис. 7.3, где — цена единицы его младшего разряда; g — исходное
непрерывное значение входной величины; ge — ее цифровое представ-
ление.
Число отличных от нуля уровней одной ветви рассматриваемой
характеристики
Ц1 = 2“‘-1=§тах/б1,	(7.24)
где ах — число двоичных разрядов преобразователя (без учета знако-
вого разряда); gmax — значение входной величины, которому соответ-
ствует максимальное возможное двоичное число на выходе преобра-
зователя.
При правильном построении преобразователя величина gmax должна
совпадать с максимальным возможным значением входной величины.
Если АЦП входит в контур замкнутой системы радиоавтоматики,
то высокое качество ее работы может быть достигнуто только при до-
статочно малой величине бх. В этом случае статическую характерис-
тику АЦП можно линеаризовать, а погрешности от квантования по
уровню'учесть добавлением во входной сигнал шума квантования ^,
не коррелированного с сигналом. Соответствующая эквивалентная
схема показана на рис. 7.4. где 671 — коэффициент передачи линеари-
зованного АЦП.
207
Максимальное значение шума квантования составляет 8^2. Дис-
персия этого шума, если допустить, что уровень его плотности вероят-
ности бу1 в интервале от —6х/2 до +6х/2 постоянен,
-61/2
Корреляционная функция шума квантования [т] затухает тем
быстрее, чем меньше величина 6Х по сравнению со среднеквадратичным
приращением (изменением) входного сигнала за время, равное пери-
оду дискретности Т. Можно показать, что при выполнении условия
61^2,2Тст-,	(7.26)
где Og — среднеквадратичное значение производной входного про-
цесса, корреляционная функция отлична от нуля практически
только при tn = 0, так как уже при m = 1 ее значение пренебрежимо
мало и составляет RV1 [1]^0,01 RV1 [0]. Тогда для корреляционной
функции шума квантования справедливо выражение
=	(7.27*
где 60[щ] —единичная импульсная решетчатая функция.
Решетчатый случайный процесс с корреляционной функцией
вида (7.28) называют дискретным белым шумом. Его спектральную
плотность в соответствии с формулой (7.17)
$М = 2 ^1[/n]z-'» = 7?w[0J=41.
— 00
При переходе к частоте со и к псевдочастоте по формулам (7.18),
(7.20) спектральная плотность не изменяется и с учетом (7.25)
(К) = SV1 (е^) = SV1 (г) = Dvl = 8[/12.	(7.28,
Таким образом, при выполнении условия (7.26) шум квантования
по уровню во входном АЦП можно считать дискретным белым шумом
с равномерной спектральной плотностью.
Форма статической характеристики выходного ЦАП совпадает
с изображенной на рис. 7.3, но по оси абсцисс откладывается поступаю-
щая с ЦВМ цифровая величина, а по оси ординат — соответствующая
ей выходная величина аналогового сигнала, которая может принимать
лишь дискретные значения, кратные цене единицы младшего разряда
ЦАП 6г. При линеаризации ЦАП он, аналогично АЦП, заменяется
линейным звеном с коэффициентом передачи 62, на выход которого
добавляется дискретный белый шум v2[«I с дисперсией =6у12.
§ 7.2. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
Передаточные функции импульсных систем. Большинство им-
пульсных систем радиоавтоматики можно представить в виде замкну-
того контура, показанного на рис. 7.1, где импульсный элемент вктю-
208
чен в канале ошибки непосредственно после элемента сравнения. Это
соответствует импульсному режиму работы дискриминатора. Динами-
ческие свойства такой системы определяются ее приведенной непре-
рывной частью, которая изображена на рис. 7.5 как последовательное
соединение формирующего элемента и непрерывной части с передаточ-
ной функцией Ws(p). При ’рассмотрении выходной величины y(t)
лишь в дискретные моменты времени t = nT приведенную непрерывную
часть можно считать импульсным филь-
тром, основными характеристиками кото-
рого являются решетчатая весовая функция
wnln] и дискретная передаточная функ-
ция 1Уп(з). Найдем эти характеристики.
Решетчатую 'весовую функцию приве-
денной непрерывной части определим как
ее реакцию на единичную импульсную
решетчатую функцию е [«]=60 [«1, пока
занную на рис. 7.6. Там же показан при
Рис. 7.5
е[л]
7'
мерный вид вызванных подобным входным воздействием функций
е*(7) и’р(/). Выходной сигнал формирующего элемента е*(7) является
одиночным импульсом, в случае АИМ-1 имеющим прямоугольную
форму. В общем случае форма импульса может быть произвольной.
Выходной сигнал непрерывной части «/(/) — непрерывная функция,
являющаяся реакцией непрерывной части на одиночный импульс
е*(7). Найдем ее по формуле свертки
t
y(t) = е* (т) wH (t — т) dx,	(7.29)
о
где жн(т) — весовая функция непрерывной части, связанная с переда-
точной функцией WH (р) обратным преобразованием Лапласа: wH(t) =
=L-'{Ws(p)\.
Решетчатая весовая функция wn[n] получается в результате диск-
ретизации во времени описываемого выражением (7.29) сигнала y(t),
т. е. wn [п\=у (t)\t=nT.
Дискретную передаточную функцию приведенной непрерывной ча-
сти найдем как z-преобразование весовой функции Wa(z)=Z
или, в эквивалентной записи, Wn (z)=Z \ Y(р)}, где У (р) — изображе-
ние по Лапласу функции y(f). Учитывая, что в соответствии с (7.29)
функция y(f) является сверткой функций e*(f) и ее изображение
равно произведению изображений этих функций;
У(р) = ЛДр)Гн(р),	(7.3(?
209
где FK(p)=L {e*(t)\ — изображение по Лапласу одиночного выход-
ного импульса формирующего элемента.
Выражение (7.30) позволяет записать искомую дискретную пере-
даточную функцию приведенной непрерывной части:
^n(2) = Z{F„(p)TFH(p)%	(7.31)
Фактически полученное выражение (7.31) дает дискретную пере-
даточную функцию разомкнутого контура системы, обозначаемую
через W(г), так как кроме приведенной непрерывной части в системе
нет других динамических звеньев, а идеальный импульсный элемент
производит лишь дискретизацию сигнала рассогласования, не изменяя
его значений. Если работа импульсного элемента соответствует АИМ-1
и импульс e*(t) является прямоугольным с единичной высотой и отно-
сительной деятельностью у, то для изображения Еи (р) получим
“	уТ
F. (р) = $ е* (/) exp (- pt) dt = fl exp (-pt) dt =	(7.32)
о	о	P
При у<1 в формуле (7.32) можно приближенно принять
ехр(—урТ)^1—ЧрТ, что дает FK(p)=yT или при подстановке в (7.31)
W(z)^yTZ{Wn(p)}.	(7.33)
Формула (7.33) справедлива, если можно пренебречь влиянием
конечной длительности импульса и считать короткие прямоугольные
импульсы на выходе реального импульсного элемента эквивалентными
по своему действию на систему серии б-функций. Для этого обычно
достаточно, чтобы в непрерывной части системы содержалось апери-
одическое звено с постоянной времени, превышающей длительность
импульса.
Если интересоваться значениями выходного сигнала y(t) в смещен-
ные по отношению к тактовым точкам мойенты времени /=(п+е) Т,
0<8< 1, то в формулах (7.31) и (7.33) следует перейти к модифициро-
ванному 2-преобразованию. Тогда получим дискретную передаточную
функцию
W (г, 8) = Ze {Еи (р) Wu (р)} « yTZs {1ЕН «	(7.34)
связывающую изображения выходной величины и ошибки соотноше-
нием
У (г, 8) = И7(г, 8) E(z, 0)=U7(2, e)E(z).	(7.35)
Здесь изображение ошибки взято при 8= 0, так как импульсный эле-
мент реагирует на ошибку лишь в тактовых точках.
Пример 7.1. Найдем дискретную передаточную функцию разомкнутой системы.
IE (г, е) для случая, когда импульсный элемент осуществляет АИМ-1, а непре-
рывная часть имеет передаточную функцию
ь
причем постоянная времени Тн превышает длительность импульса ти = уТ.
210
Воспользовавшись приближенной формулой (7.34), не учитывающей конечную
длительность импульса, получим

zd8 \	„ г—d—d8(z—1)
г—d )	(г— 1) (г—d)
где K~yTkH; d~exp(—T/Tn) < 1.
При е = 0 формула приобретает более простой вид:
W(z) =
K(l-d)z
(г—l)(z—d)
Рассмотрим теперь замкнутую систему, считая ее импульсным
фильтром со структурной схемой, показанной на рис. 7.7, где е [ц] =
=g In] — у [п]. Переходя к изображениям, запишем Е (z) = G(z) — Y (z)
или E (z) = G (z) — W (z)E (z). Реше-
ние последнего уравнения относи-
тельно Е (z) дает
£(z)=TTW = ^(z)G(z)’(7"35)
где
“ 1 + Г (г)	(7.37)
Рис. 7.7
— дискретная пеоедаточная функция замкнутой системы для ошибки.
Подставляя (7.36) в (7.35), для изображения выходной величины
получим
Г (z, 8) =	= н (Z, 8) G (г),	(7.38)
где
»>=1тНг	(7'39)
— дискретная передаточная функция замкнутой системы.
В частном случае, когда е О, выражение (7.38) записывают в со-
кращенной форме Y(z)--H (z)G(z), где H(z)=H(z, 0).
Заметим, что изображение смещенных значений ошибки E(z, е)
принципиально не может быть получено на основе аналогичного (7.38)
выражения, в которое входило бы изображение только несмещенных
значений задающего воздействия G(z). В отличие от выходной величины
текущая ошибка зависит от закона непрерывного изменения задающего
воздействия g(t), а не только от его значений при t=nT. Поэтому пере-
даточной функции Не (г, е) не существует и для нахождения изображе-
ния смещенных значений ошибки следует использовать формулу
Е (z, e) = G(z, е)—Y (z, e) = G(z, е)—Н (z, e)G(z).	(7.40)
Из выражения (7.39) легко получить обратное по отношению к нему
выражение
^(2> е) = АШ-	(7.41)
1 л г
в* Зак. 561
211
Таким образом, существует взаимно однозначная связь между диск-
ретными передаточными функциями W (z, е) и Н (г, е). Знание любой
из них позволяет записать разностные уравнения для смещенных
значений выходной величины или ошибки и дает полную информацию
для исследования всех свойств линейной импульсной системы. Во
многих практических случаях период дискретности достаточно мал
для того, чтобы при исследовании можно было ограничиться рассмот-
рением процессов в системе лишь в тактовых точках t=nT. Тогда сле-
дует принять е=0и использовать дискретные передаточные функции
№(z) и H(z).
Построение переходных процессов. При известной дискретной пере-
даточной функции замкнутой импульсной системы (7.39) выражение
(7.38) позволяет найти изображение выходной величины Y (г, е)=
=H(z, e,)G(z) при произвольном входном воздействии с известным
изображением G(z). Переход от изображения Y(z, е) к оригиналу
у [п, е] по таблице путем разложения в ряд Лорана или другими
известными методами дает решетчатую функцию, соответствующую
дискретным значениям переходного процесса. Наиболее простые
выкладки получаются при е=0. Если значения выходной величины
в тактовых точках 1-=пТ не позволяют достаточно хорошо представить
непрерывную функцию, описывающую реальный сигнал на выходе
системы, то вычисления повторяют при е=0,5 или других дробных
значениях относительного смещения. Получив дискретные отсчеты
у [п, е] в достаточно большом числе точек и соединив их на графике
плавной линией, можно построить кривую переходного процесса с не-
обходимой точностью.
Переходный процесс можно построить и без нахождения z-преоб-
разования выходного воздействия путем непосредственного решения
разностного уравнения, описывающего систему и взаимно однозначно
связанного с дискретной передаточной функцией H(z, е). Рассмотрим
его запись (7.1), произведенную при е=0. Аналитическое решение
такого неоднородного разностного уравнения состоит из переходной
и вынужденной составляющих выходной величины:
У И = Упер И + Ув [«]•
Переходная составляющая является общим решением однородного
разностного уравнения, полученного приравниванием нулю правой
части неоднородного уравнения. По аналогии с общим решением диф-
ференциального уравнения ее записывают в виде
Упер [П] = А1г1 + ^2г2 + • • • +	(7-42)
Здесь*гг’(г = 1, 2, {. . . , /) — корни характеристического уравнения
1 + 1Г(г) = 0,	(7.43)
левая часть которого — знаменатель дискретной передаточной функ-
ции замкнутой системы (7.39); А( — постоянные, определяемые из
начальных условий.
Однако на практике более удобно численное решение разностного
уравнения, основанное на его записи в виде рекуррентного соотно-
212
шения
У [«] = (М [«] -г b±g [n— l]+...+^g[n—m] —
—а1у\п—\]~... — а1у\п—1})аё1.	(7.44)
Формула (7.44) позволяет вычислить каждое последующее значение
переходного процесса по его предыдущим значениям и значениям
входного воздействия. Она хорошо машинизируется и используется
при решении разностных уравнений на ЦВМ. Пусть, например, вход-
ное воздействие — единичная ступенчатая решетчатая функция
( 1 при п 7> О,
ew=i[»]=; 0 пр„ „<0,
а начальные условия нулевые, т. е. у [—l\=y I—/+1] = . . - —у I—1]=®
=0. Тогда значения переходного процесса составят
у [0] = Ьиаё\
У [1] = (ьо +— а,у [0]) аё1 = (b0 + — Ьо^А1) аё1,
У [2] = (bo + bi + Ь2 — агу [ 1] — а2у [0]) ау1 = (Ьо -ф Ьг + Ь2—Ь^аё1—
—Ьу^аё1—Ьу^аё2—b0a2a^) аё1. и т. д.
Аналогично производится численное решение при е=#0.
Пример 7.2. Построим переходную характеристику замкнутой импульсной
системы, рассмотренной в примере 7.1, при следующих значениях параметров:
Т=0,1 с, у=0,1, *„=100 0-!, Тн=0,2с. Тогда K=VTAH=1, d=exp(—77Гн)=0,607.
Для дискретной передаточной функции замкнутой системы запишем выражение
н,	, _ (z, е) Kz[z—d—ds(z—l)] _	бр + М"1
' 1 + №(г)~(г—1)(г—d) + <K(l—d)z	Ц-^г-Ч ^г-2 ’
где = (1— de); Z>1 = /((de —d); а! = К— Kd — 1— d; e2 = d.
Переход от дискретной передаточной функции к соответствующему разност-
ному уравнению даст
у[п, R]=bog [nj + big [n — lj—агу [п—\, г]—а2у[п — 2, е].
При построении переходной характеристики следует принять g [л] = 1 [л].
Полученная рекуррентная формула позволяет легко вычислить последователь-
ные значения смещенной решетчатой функции у [п, е] при п =0, 1, ... на уни-
версальной ЦВМ или с помощью микрокалькулятора. Относительное смещение
можно взять произвольным из интервала 0<е < 1.
При е=0, когда 6о = 0, ф = 0,393, ex = —1,214, д2 = 0,607, найденные в ре-
зультате вычислений значения переходного процесса у (/) в тактовых точках
t==nT показаны на рис. 7 8 светлыми кружками Поскольку провести кривую у (t)
лишь по этим дискретным значениям затруднительно, повторим вычисления при
8 = 0,5. Тогда значения коэффициентов Ьо и bi изменятся и составят 6о = 0,221,
61 = 0,172 Найденные в результате вычислений значения переходного процесса
в моменты времени / = (/гЦ-0,5) Т показаны на рис 7 8 темными кружками.
Соединив плавной линией точки, помеченные светлыми и темными кружками,
получим кривую переходного процесса y(t), являющуюся переходной характе-
ристикой импульсной системы. Заметим, что ее не следует путать с решетчатой
переходной характеристикой импульсного фильтра, определенной лишь в дискрет-
ные моменты времени.
Устойчивость импульсных систем. Импульсная система устойчива,
если переходный процесс в ней затухает с течением времени и пере-
ходная составляющая выходной величины, выражающаяся форму-
213
лой (7.42), удовлетворяет условию
limz/nep[n] = 0.	(7.45)
П-*оо
Из (7.45) и (7.42) ясно, что для устойчивости линейной импульс-
ной системы должно выполняться условие
|zf|<l (i=l, 2, ..., /),	(7.46)
т. е. все корни характеристического уравнения 1 + W (z) = 0 должны
лежать внутри области устойчивости, имеющей вид круга единичного
Рис. 7.8	Рис. 7.9
радиуса на комплексной плоскости z. Она показана на рис. 7.9, а.
Например, система с характеристическим уравнением первого порядка
г+Л = 0 будет устойчива при |Л| < 1.
При характеристическом уравнении более высокого порядка не-
посредственное использовавие условия (7.46) затруднительно. Однако
исследование устойчивости существенно упрощается, если перейти
к ^-преобразованию, описываемому соотношениями (7.12)—(7.14).
Учитывая, что z = e/w7’=cos ьзТ+j sin а>Т, каждой точке окруж-
ности единичного радиуса в плоскости z с определенными координа-
тами cos ыТ и j sin ыТ по вещественной и мнимой осям соответствует
некоторая частота <о из интервала от нуля до 2n.IT. Однако поскольку
w = j tg <лТ/2, при изменении со в указанном интервале изображающая
точка в плоскости w движется по мнимой оси от нуля до /оо и далее
от —/оо к нулю, т. е. проходит вдоль всей мнимой оси. Поэтому ок-
ружность единичного радиуса, являющаяся границей области устой-
чивости в плоскости z, при переходе к ^-преобразованию отображается
в мнимую ось плоскости w. Область устойчивости в плоскости w лежит
слева от мнимой оси, как показано на рис. 7.9, б, и совпадает по форме
с областью устойчивости непрерывных систем, которая, напомним,
лежит слева от мнимой оси плоскости р.
Это делает правомерным использование при исследовании устой-
чивости импульсных систем всех критериев устойчивости, разработан-
ных применительно к непрерывным системам. Необходимо лишь пе-
рейти от переменной z к переменной w или, при использовании
частотных критериев устойчивости, к псевдочастоте.
214
Пусть, например, система имеет характеристическое уравнение
второго порядка
г2 + Лг + й = 0.	(7.47)
Посредством подстановки (7.13) оно преобразуется к виду
(1 — Aa~B)w2— 2(1 —В)т>Н-1 + Л + В = 0.
Теперь можно воспользоваться алгебраическим критерием устой-
чивости. Как следует из критерия Гурвица (см. § 2.2), необходимым
и достаточным условием устойчивости системы второго порядка яв-
ляется положительность коэффициентов ее характеристического урав-
нения. Поэтому система с характеристическим уравнением (7.47)
будет устойчива лишь при выполнении неравенств
1 — Л + В> О,
В< 1,
1 + Л + В> 0. ,
(7.48)
Пример 7.3. Найдем условие устойчивости для системы, рассмотренной в при-
мере 7.1. Она имеет характеристическое уравнение
—Д' (1—4) г_
+(г-1)(г-4)
или
г2+(К— 1— d—KcT)z+d = 0.
Это уравнение совпадает с (7.47) при А —К—1—d—Kd, В — d. Поэтому с ис-
пользованием ^-преобразования можно получить условие устойчивости в виде
неравенств (7.48). Учитывая, что 4 = ехр(—Т/Тк) < 1, только первое из этих
неравенств налагает существенное ограничение на параметры системы. Оно дает
условие устойчивости
K<lQ + d)_ 2cth —
Л < 1— d	2ТН '
Оценка качества управления. Показатели запаса устойчивости,
быстродействия и точности импульсной системы, характеризующие
качество ее работы, могут быть определены в результате построения
кривой переходного процесса, а также посредством различных кри-
териев качества.
При оценке запаса устойчивости особенно удобны частотные
критерии. Например, склонность системы к колебаниям в переходном
процессе можно оценить по значению показателя колебательности М,
введенного в § 2.3 как высота наибольшего пика нормированной АЧХ
замкнутой системы. Как и в случае непрерывных систем, получение
заданного показателя колебательности сводится к выполнению тре-
бования, чтобы АФХ разомкнутой системы не заходила в запретную
область, окружающую точку (—1, /0) в соответствии с рис. 2.12.
Крайняя правая точка этой запретной области лежит на расстоянии
Л4/(А4+1) от оси ординат. При этом безразлично, построена ли АФХ
в функции частоты <о или псевдочастоты Г.
Пример 7.4. Пусть дискретная передаточная функция разомкнутого контура
импульсной системы имеет вид
W (г) ^КгТЦг-1).
215
Выясним, как влияет величина Лл на показатель колебательности замкнутой
системы М. Для этого, выполнив подстановку г~е!<л/\ перейдем к частотной
передаточной функции
Х1Т
w	_________A17__________=__________________KiT___________________
cos <oT- 1 + j sin <oT _2 s.n2 aT + ,2s.n <oT cos <oT
AiT ( . а>Т . . а>Т
~+k°s —
2sin~
В координатах U = ReV и 17==1тИ7 АФХ будет представлять собой вертикаль-
ную прямую линию, проходящую на расстоянии KiT/2 слева от оси ординат.
Она показана на рис. 7.10. Там же штриховкой выделена запретная область по
условию получения заданного показателя колебательности М.
Видно, что допустимое расположение АФХ соответствует неравенству
откуда
Ki <2М/[Т (М+ 1)].
Для получения значения М— 1,3, свидетельствующего о малой колебатель-
ности системы, должно выполняться условие	Границе устойчивости
системы соответствует величина Ki, обращающая неравенство в равенство при
М—>оо, т. е. А1 = 2/Г. Это ясно также из критерия устойчивости Найквиста,
поскольку при таком Ki АФХ пройдет через точку с координатами (—1, /0).
АФХ импульсной системы имеет одну и ту же форму независимо
от того, построена ли она в функции частоты <о или псевдочастоты
А., однако логарифмические частотные характеристики целесообразно
строить только в функции псевдочастоты. При этом методика оценки
запаса устойчивости по ЛАХ разомкнутой системы L*(A.) =
=20 lg|IF*(/A)| и ее ЛФХ Ap*(A)=arg IF*(/A) не отличается от исполь-
зуемой при исследовании непрерывных систем. Удобным критерием
является величина запаса устойчивости по фазе Дф=180°+ф*(Аср),
где А*ср — псевдочастота среза, на которой £*(Аср)=0 или IW*(/Аср)I=
= А*(Аср) = 1. В системе с хорошим запасом устойчивости должно
выполняться условие Дф=(304-60)°. Заметим, что после нахождения
псевдочастоты среза можно приближенно оценить также время пере-
ходного процесса в системе по формуле да (5 4- 10)/Аср.
216
Пример 7.5. Построим ЛАХ и ЛФХ для импульсной системы, рассмотренной
в примере 7.4, и исследуем, как зависит ее запас устойчивости по фазе от зна-
чения Ki-
Используя формулу (7.16), перейдем от дискретной передаточной функции W (г)
к частотной передаточной функции
U7* (750 - U7 ( '+&Т/2 V К1 ° ->^Т^
откуда
А* (X) == I Г* (/%) I = K1	t др* (X) = -90° -arctg ~ .
A	Z
Соответствующие ЛАХ и ЛФХ построены на рис. 7.11. Асимптотическая ЛАХ
состоит из двух участков с наклонами—20 дБ/дек и нулевым. Прохождение точ-
ной ЛАХ, пересечение которой с осью абсцисс дает псевдочастоту среза, показано
пунктирной линией. Из рисунка видно, что с увеличением когда ЛАХ будет
перемещаться вверх, запас устойчивости по фазе будет монотонно уменьшаться
от 90° до нуля. Нулевым он станет при К±Т = 2, когда точка излома асимптоти-
ческой ЛАХ совпадает с осью абсцисс.
Для получения аналитической зависимости Аф от Ki запишем уравнение
К1И1+^РГМ __ь
Хср
откуда	,_________Ki
С₽	К1 —К<Г2/4 ’
Aip=180°+ip*(Xcp) = arcctg—^==-^arctg 1/
fl- KiT2/4	'
При Х1=1/7' получим Аф = 45°, при Х1=1,5/7’ — Дф=30°.
Установившаяся точность импульсной системы при задающем воз-
действии полиномиального вида может быть оценена по коэффициен-
там ошибок. Аналогично непрерывным системам, начиная с некоторого
момента времени ошибку импульсной системы можно представить
в виде ряда
e[«] = Cog[«] + c1gfn]4--g-g[.i]+....	(7.49)
где g [n], g [n], g [п] — решетчатые функции, получающиеся в ре-
зультате дискретизации во времени задающего воздействия g(t)
и его производных. Коэффициенты ошибок са, clt с2, . . . представляют
собой коэффициенты разложения дискретной передаточной функции
по ошибке He(z), выражаемой формулой (7.37), в ряд Маклорена
по степеням р, т. е.
= Vd4He (ергу
(7.50)
р=о
Величины, обратные коэффициентам ряда (7.49), по аналогии с не-
прерывными системами называют соответствующими добротностями.
Например, добротности по скорости и ускорению составляют Ki =
= СГ1, А2 = 2с^1.
Установившуюся точность при задающем воздействии гармони-
ческого вида g[n]=gM sin (<oKnT4-cp) оценивают на основе формулы
(7.10) при использовании частотной передаточной функции по ошибке.
217
Для амплитуды ошибки справедлива формула
ем = |	(&аТ) |w=Wr g.„, = | Н*е (jX) |x=xKgM.	<Г.51)
где	^K=4’tg¥'-
Исследование точности управления при случайных воздействиях.
В качестве основного показателя точности импульсной системы при
случайных воздействиях, рассматриваемых как решетчатые стацио-
нарные случайные процессы, обычно принимают средний квадрат зна-
чений ошибки в тактовых точках е2 [п].
Если ко входу системы приложены два воздействия — задающее
g [п] и возмущающее v [nJ, причем взаимная корреляция между ними
отсутствует, то, как и в непрерывных системах, средний квадрат ре-
зультирующей ошибки является суммой двух составляющих:
е2 [п] = е| [п] 4- с2 [п].	(7.52)
Динамическая ошибка е„ [п] связана с тем, что высокочастотные
спектральные составляющие задающего воздействия подавляются сис-
темой и на выход не проходят. Ее можно представить как результат
пропускания решетчатой функции g [п] через импульсный фильтр с
дискретной передаточной функцией He(z), определяемой формулой
(7.37). При известной спектральной плотности задающего воздействия
Sg (А) средний квадрат динамической ошибки с учетом (7.23) вычисля-
ют по формуле
СТ	00
TSTTi _ Т_ f \H;w\2Sg (А) . _ Т_ С	Sg* (л) dA	7 „
egLrtJ— 2л.) |1+/АТ/2|2 “ 2л J Ц1 + «7*(А)1(1+А7’/2) I2 ' (	'
— X	— со
Ошибка ош возмущающего воздействия evln] объясняется прохожде-
нием на выход системы низкочастотных спектральных составляющих
возмущающего воздействия. Средний квадрат этой ошибки при из-
вестной спектральной плотности возмущающего воздействия S* (К)
с учетом (7.23) и (7.39 ) вычисляют по формуле
СО	со
лЕл т	____Т_ Г |1Г*(гА) l2^ (A)dA	,
2л ,1	|1+ДТ/2|2 2л J I +
Часто спектральная плотность S„ (А) при малых значениях А
изменяется настолько медленно, что ее можно считать равномерной в
пределах полосы пропускания системы. Тогда формула (7.54) прини-
мает вид
^F] = S;(O)TA/9,	(7.55)
где
Д; _ 1 С _________I Ц7* (/A) I2 dA_	/у сс\
/э-2лЗ | [1 + Г* (/A)J (1 +/АТ/2) I*	'
218
— эквивалентная полоса пропускания замкнутой импульсной систе-
мы для дискретного белого шума.
Формулы (7.52) — (7.56) позволяют вычислить средний квадрат
результирующей ошибки е- Ini и оценить точность системы. Входящие
в них спектральные плотности решетчатых случайных процессов
g [п] и v [п], соответствующих дискретным значениям задающего и
возмущающего воздействий, однозначно связаны со спектральными
плотностями и корреляционными функциями исходных непрерывных
процессов и могут быть выражены через эти характеристики.
Существенно, что если при анализе непрерывных систем радиоав-
томатики непрерывное возмущающее воздействие v(t) обычно можно
было считать белым шумом, то при анализе импульсных систем такая
модель недопустима, так как она привела бык бесконечно большому
уровню спектральной плотности S„(A,)=D0 решетчатого процесса
v [п]. Поэтому необходимо учитывать конечную ширину спектра не-
прерывного возмущающего воздействия, приложенного ко входу им-
пульсного элемента. Часто это воздействие считают экспоненциально-
коррелированным шумом с корреляционной функцией /?Он(г) =
=О0ехр(—ц|т|) и спектральной плотностью
SU“) = ^-	(7.57)
Тогда Rv[m]=RVii(r)\x=niT=Dvexp(:—p.|m|7") и для спектральной плот-
ности решетчатого процесса v [п] в соответствии с (7.18) можно записать
SUe'.’>2Ref'(e><---)-R40]=	’	<7 Я)
где d=exp(—рТ).
Перейдя в (7.58) к псевдочастоте по формуле (7.20), получим
. 2D„Ta (1 + ^/4)
ro + эт-э ’	(7'59>
где эквивалентная постоянная времени
'г __ 7 1 -|-d _ Т ,, цТ
1 9 ” 2 1— d~ 2 с 1 2 '
(7.60)
Учитывая, что cth a «s 1/а+а/З при а 1, из (7.59) и (7.60) для вхо-
дящей в формулу (7.55) величины S„ (0) при цТ<;2 найдем выражение
s;(0)=^=D„cth4L«-^(1 + nr-).	(7.61)
§ 7.3. ТЕОРИЯ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ
Преимущества цифровых систем. Систему радиоавтоматики назы-
вают цифровой, если вся она или ее отдельные функциональные эле-
менты построены с использованием ЦВМ или специализированных
цифровых устройств. К важным преимуществам цифровых систем пе-
ред аналоговыми относятся высокая стабильность параметров, про-
стота настройки и регулировки, большая надежность.
219
Применение цифровой техники существенно смягчает ограниче-
ния на допустимую сложность алгоритмов обработки сигналов, поз-
воляет выбирать структуру дискриминатора и управляющего фильтра
в соответствии с результатами их оптимального математического син-
теза. Часто в усложнении алгоритма обработки даже нет необходи-
мости и надо лишь более точно реализовать принятый алгоритм.
В аналоговых системах это невозможно без более точного подбора и
настройки элементов, обеспечения их большей стабильности в про-
цессе работы. Самыми опасными являются нестабильности, приводя-
щие к смещению нуля дискриминационной характеристики, а также
к дрейфу нулей операционных усилителей управляющего фильтра, что
может быть вызвано изменением температуры, нестабильностью на-
пряжения питания, старением элементов, повышением уровня радиа-
ции и многими другими факторами. В результате возникает так назы-
ваемая инструментальная, или приборная, ошибка, которая может
составлять значительную часть суммарной ошибки системы.
Цифровые системы отличаются тем, что в них точность реализации
принятого алгоритма обработки не зависит от величин технологиче-
ских допусков на параметры цифровых элементов и от нестабильно-
стей этих параметров. Это является следствием использования в циф-
ровых элементах дискретной логики, когда состояние каждого эле-
мента характеризуется одним из двух уровней — нулем или единицей.
Различие между такими уровнями настолько велико, что практически
исключена возможность самопроизвольного перехода от одного уров-
ня к другому из-за каких-либо нестабильностей или неточности на-
стройки. Поэтому инструментальные ошибки в цифровых системах
имеют совершенно другую природу, чем в аналоговых. Они определя-
ются принятым алгоритмом работы, периодом дискретности во вре-
мени, разрядностью используемых цифровых кодов и могут быть сде-
ланы весьма малыми.
Следует иметь в виду, что переход к цифровым методам является
общей тенденцией при построении систем управления. Поэтому при
проектировании систем радиоавтоматики часто ставится требование,
чтобы их выходные сигналы, например координаты сопровождаемых
радиолокационных целей, имели цифровое представление для после-
дующей обработки на управляющей ЦВМ. В такой ситуации исполь-
зование в системе радиоавтоматики цифрового управляющего фильтра
особенно оправдано, так как технически более просто подвергнуть ана-
лого-цифровому преобразованию не выходную величину системы, а
ошибку слежения, имеющую меньший диапазон изменения. При этом
выходная величина может быть получена в самой ЦВМ в результате
вычислений.
Преимущества цифровых систем проявляются не только в лучших
эксплуатационных характеристиках, технологичности, более высоком
качестве работы в рамках обычных одноконтурных структурных схем,
но и в возможности широкого использования эффективных методов
комплексирования различных измерительных систем в единые слож-
ные и гибкие комплексы на базе управляющих ЦВМ, принципов са-
монастроки и самоорганизации, описанных в гл. 8.
220
Выполнение вычислений, связанных с реализацией принятых за-
конов управления, во взаимосвязанных цифровых вычислителях или в
управляющей ЦВМ позволяет организовать тесное взаимодействие
между различными системами управления, установленными, например,
на летательном аппарате, упростить обмен информацией между ними.
Создаются предпосылки для более эффективного и гибкого применения
радиолокационных измерителей, навигационных датчиков и других
бортовых устройств, выходные сигналы которых содержат часть избы-
точной информации, не Используемой в данной системе, но весьма по-
лезной при решении других задач управления. При отказе какого-
либо датчика потеря снимаемых с него данных может частично вос-
полняться за счет информации, извлеченной из показаний других дат-
чиков. Аналогичным образом при отказе одного из цифровых вычисли-
телей наиболее важные из решавшихся им задач могут распределяться
между оставшимися вычислителями. Это приводит к существенному
повышению живучести комплекса управления, поскольку при выходе
из строя части аппаратуры он в целом сохраняет работоспособность и
качество управления удерживается в допустимых пределах, хотя и
ухудшается по сравнению с номинальным режимом функционирования.
Быстрое развитие элементной базы цифровой микроэлектроники —
интегральных схем, микропроцессоров, микро ЭВМ (см. § 7.4) — долж-
но обеспечить преимущество цифровых систем перед аналоговыми и
по таким показателям, как габариты, масса, стоимость.
Методика составления структурных схем. Как отмечалось в §7.1,
цифровые системы радиоавтоматики являются нелинейными импульс-
ными системами, содержащими кроме импульсных и непрерывных ли-
нейных звеньев нелинейности релейного типа. Точный анализ подоб-
ных систем в общем случае может быть выполнен лишь путем модели-
рования на универсальной ЦВМ.
Эффективный прием упрощения анализа состоит в линеаризации
АЦП и ЦАП, введении аддитивных шумов квантования по уровню и
представлении цифровой системы в виде линейного импульсного фильт-
ра. Однако многообразие вариантов построения цифровых систем
затрудняет разработку единой универсальной методики такого иссле-
дования. В связи с этим выделим для детального рассмотрения лишь
ограниченный, хотя и довольно широкий подкласс цифровых систем,
содержащих аналоговый дискриминатор с пренебрежимо малой постоян-
ной времени, цифровой фильтр, корректирующее устройство и анало-
говое исполнительное устройство. При других вариантах построения
цифровой системы методика ее исследования может иметь некоторые
отличия, особенно при большой инерционности дискриминатора или
при наличии нескольких цифровых элементов с разными периодами
дискретности [13, 14].
Функциональная схема исследуемой системы показана на рис. 7.12.
Кроме дискриминатора Д, цифрового фильтра ЦФ и исполнительного
устройства ИУ она включает АЦП, ЦАП и экстраполятор Э, предназ-
наченный для получения непрерывного входного сигнала исполнитель-
ного устройства из дискретных во времени значений выходной‘‘вели-
чины ЦАП. Как правило, используется экстраполятор нулевого поряд-
221
ка, представляющий собой фиксатор с запоминанием на период дис-
кретности Т.
Считывание выходного кода АЦП и его ввод в ЦВМ или цифровой
вычислитель, реализующий цифровой управляющий фильтр, проис-
ходит в дискретные моменты времени t=n Т. Значения выходной ве-
личины цифрового фильтра поступают на ЦАП и экстраполятор также
в дискретные моменты времени /=(п+5) Т, где'относительноезапазды-
Рис. 7.12
вание ^=т/У<1 соответствует времени запаздывания выходной ве-
личины т, связанному с конечной быстротой выполнения вычислений и
задержками в АЦП и ЦАП. Поэтому значения входной и выходной
величин цифрового фильтра обозначены на функциональной схеме
как решетчатые функции х [п] и [п, 51.
При составлении структурной схемы цифровой системы смещеннук>
решетчатую функцию [п, удобно заменить несмещенной решет-
чатой функцией [и], а запаздывание на время х=сТ учесть путем
условного присоединения к непрерывной части системы, в частности
к исполнительному устройству звена чистого запаздывания с переда-
точной функцией ехр(—рх). Такое структурное преобразование не от-
ражается на свойствах замкнутой системы, но упрощает ее исследова-
ние.
Поскольку на вход экстраполятора подается решетчатая функция
хДп], а на его выходе образуются импульсы с определенной длитель-
ностью, равной периоду дискретности Т, тоэкстраполятор выполняет
роль введенного в § 7.1 формирующего элемента. В случае экстраполя-
тора нулевого порядка, выходные импульсы которого имеют прямо-
угольную форму и соответствуют амплитудно-импульсной модуля-
ции с запоминанием на период Т, изображение одиночного выходного
импульса экстраполятора при Xjln]=б0[п] описывается формулой
(7.32), где следует принять у=1:
Си (р) = l-±x2l~PZ2 = 2-С1- = 1—L .	(7.62>
и v /	р	р	гр	' г
На структурной схеме экстраполятор нулевого порядка представляет-
ся прямоугольником, внутри которого записана правая часть выра-
жения (7.62). Такое представление условно, поскольку выражение
(7.62) дает не передаточную функцию экстраполятора, а изображение
его выходного импульса. Передаточную функцию экстраполятора
нельзя определить как отношение изображений его выходного и вход-
ного сигналов, так как выходной сигнал непрерывен, а входной — ре-
шетчатая функция времени.
Структурная схема цифровой системы показана на рис. 7.13, где
— коэффициент передачи дискриминатора с пренебрежимо малой
постоянной времени; D (z) — дискретная передаточная функция циф-
222
рового управляющего фильтра; Шиу(р) — передаточная функция ис-
полнительного устройства; v(t) — возмущающее воздействие, при-
веденное к входу системы.
Линеаризованный АЦП отображен на структурной схеме, как и
на рис. 7.4, идеальным импульсным элементом и линейным безынер-
ционным звеном с коэффициентом передачи бр1, входной сигнал ко-
Рис. 7.13
торого суммируется с шумом квантования по уровню vjnl. Линеари-
зованный ЦАП отображен линейным безынерционным звеном с коэф-
фициентом передачи б2, к выходному сигналу которого добавляется
шум квантования по уровню ц2[ц]. Аддитивные шумы квантования
по уровню являются дискретными белыми шумами с дисперсиями
£)w=6^/12 и £>02=б^/12. Здесь бх и б2— цены единиц младших раз-
рядов АЦП и ЦАП (см. § 7.1).
Пунктирной лйнией на структурной схеме выделена приведенная
непрерывная часть (ПНЧ) системы — совокупность экстраполятора и
исполнительного устройства.
Передаточные функции цифровых систем. При рассмотрении вы-
ходной величины системы y(f) лишь в дискретные моментд времени
/=п Т приведенная непрерывная часть приобретает свойства импульс-
ного фильтра с дискретной передаточной функцией, выражаемой фор-
мулой (7.31) и в случае экстраполятора нулевого порядка обозначае-
мой через l^o(z). С учетом (7.31), (7.32) и теоремы запаздывания запи-
шем выражение
(2) = Z {Fa (р) Wa (p)}=z{(p)e-P } =
= (1— z) ~1Z /	(p) e-j ,	(7>63)
где модифицированное z-преобразование взято при e^l—5=1—t/T.
Заметим, что выражение для смещенной дискретной передаточ-
ной функции приведенной непрерывной части lF0(z, sj также имеет
вид (7.63), но при е=1—5+^1 = 1—rlT+^.
При г<^Т запаздыванием в цифровом фильтре можно пренебречь.
Тогда из формулы (7.63) получим
^о(г)
z — 1
г
(7.64)
Пример 7.6. Найдем дискретную передаточную функцию цифровой системы,
исполнительное устройство которой является" непрерывным интегрирующим звеном
с передаточной функцией Ц7иу (р) -£иу/р. При учете запаздывания в цифровом
223
фильтре формула (7.63) дает
г_л z—1 , )Аиу| kayT ( Z	,	{ Т т])
l*o (z)——5—Ze }—“j——"	( -; ъ I — яИу   i “Т ] ’
z2 ip2) z \z—i	j y\z—i z /
Если запаздывание т пренебрежимо мало, то 11\, (г) « Аиу7/(г—1).
Поскольку при последовательном соединении импульсных фильтров
с одинаковыми периодами дискретности результирующая дискретная
передаточная функция равна произведению дискретных передаточ-
ных функций этих фильтров, с учетом изображенной на рис. 7.13
структурной схемы для дискретной передаточной функции разомкну-
того контура цифровой системы запишем выражение
U7(z) = ^6ri62D(z)U70(z)	(7.65)
Тогда дискретные передаточные функции замкнутой системы для вы-
ходной величины Н(г) и для ошибки He(z), как и в любой замкнутой
импульсной системе, можно определить по формулам (7.37) и (7.39).
Переход к частотным передаточным функциям осуществляется по
обычным формулам, описанным в § 7.1 и 7.2. При этом полезно иметь
в виду следующее свойство, позволяющее упростить выкладки [2].
Если в передаточной функции исполнительного устройства 1Еиу(р)
отсутствуют постоянные времени, меньшие половины периода дискрет-
ности, а запаздывание т пренебрежимо мало, то для частотной переда-
точной функции приведенной непрерывной части как функции псе-
вдочастоты справедливо выражение
^(М)=^иу«=А(1-мт-
Оценка качества управления. Запас устойчивости и быстродей-
ствие линеаризованной цифровой системы с известной передаточ-
ной функцией анализируются так же, как для импульсной системы.
Однако при оценке точности цифровой системы возникает необходи-
мость учета дополнительных ошибок, вызванных шумами квантования
по уровню. Средний квадрат результирующей ошибки в общем случае
состоит уже не из двух слагаемых, как в формуле (7.52), а из четырех:
е2 [n] = е| [n] + e2v [n]“4i [«]"+[п]“	(7.66)
Первые два слагаемых в (7.64), соответствующие динамической ошиб-
ке и ошибке от возмущающего воздействия, выражаются формула-
ми (7.53) и (7.54). Найдем выражения для последних двух слагаемых,
вызванных шумами квантования цДц] и v2[n] со спектральными плот-
ностями S*B(K)=DB1 и S’2(^)=DO2.
Поскольку между точкой приложения шума vjn] и входом системы
включено безынерционное звено с коэффициентом передачи kn, для
спектральной плотности ошибки от этого шума можно записать выра-
жение
W 1 н* (А) |2 = v-1 я* (/Л) р,
Ад	«д
224
где Н* (jK)— частотная передаточная функция замкнутой системы»
выражаемая формулой (7.16).
Тогда средний квадрат ошибки от квантования по уровню в АЦП
с учетом (7.23), (7.25) и (7.65) составит
^"7^1- т С Se*01(X)dX	DV1T f	16ГХ62О* W ll^o GA) I2
01 2л J | 1+ДТ/2 ~ 2л J |[1+IV'*(M)](1+A7,/2)|2
— CO	— 00
_ Ыт f ID* (/X) < GA) I2 dX	, fi
24л J | [1 + W* GA)] (1 + jkT/2) |2 ‘	(./.o//
— Л
Выражение (7.67) можно записать также в виде
где эквивалентная полоса пропускания замкнутой системы Д/8 опре-
деляется по формуле (7.56).
Аналогичным образом для среднего квадрата ошибки от квантова-
ния по уровню в ЦАП можно получить
DmT f I Го* ОА) |2 dX	|r0‘GA)|2dX	,
02[ J 2л J |[i + uz*(A)](i+/W72)|2	24л J |[l+r*(/W+/A772)!J2 '
— CO	— 00
(7.68)
Однако при записи выражения (7.68) не учтено, что значение шума
v2[nl принципиально не может повлиять на выходную величину циф-
рового фильтра Xi [п] в тот же момент дискретного времени. Такое
влияние может проявить лишь на последующих значениях, начиная с
хДп+1]. Но в момент времени п+1 значение шума v2 [п+П будет ста-
тистически не связано со значением и2[/г], поскольку шум квантова-
ния — дискретный белый шум. Если исполнительное устройство об-
ладает достаточной инерционностью, то это явление можно не учи-
тывать. Если же исполнительное устройство — безынерционное звено,
то формула (7.68) теряет силу, так как главная обратная связь будет
приводить к увеличению, а не к уменьшению величины е„2[п]. В этом
случае можно воспользоваться приближенной формулой
^Й«^у62712,	(7.69)
полученной без учета главной обратной связи. Здесь /гуУ— коэффи-
циент передачи исполнительного устройства.
Понятие о методах синтеза цифровых систем и цифровых фильтров.
Синтез цифровых систем радиоавтоматики, как и синтез непрерывных
систем, обычно проводят в два этапа: сначала синтезируются дискри-
минатор и согласующееся с ним исполнительное устройство, а затем —
корректирующее устройство. Преимущество раздельного синтеза ди-
скриминатора и фильтра состоит в большей простоте и в возможности
использования схем дискриминаторов, полученных эвристическими ме-
тодами. Вместе с тем следует иметь в виду, что если требуется обеспе-
225
чить теоретически предельно высокое качество системы, т. е. провести
оптимальный синтез по определенному критерию, то такой синтез в
общем случае должен быть выполнен по отношению ко всей системе в
целом. Подобные задачи составляют предмет исследования теории оп-
тимальной нелинейной фильтрации дискретных процессов, которая на-
ходится сейчас в стадии развития. Однако в характерном для практики
случае сравнительно медленного изменения задающего воздействия
раздельный синтез не приводит к потерям в качестве управления, что
делает правомерным его использование.
Если считать, что дискриминатор и исполнительное устройство
заданы, то синтез цифровой системы сводится к синтезу цифрового
фильтра, т. е. выбору дискретной передаточной функции D(z), периода
дискретности, количества двоичных разрядов в АЦП и ЦАП и цен
единиц младших разрядов этих преобразователей.
Поскольку цифровой фильтр фактически выполняет в системе функ-
ции последовательного корректирующего устройства, его дискретная
передаточная функция должна удовлетворять условию
П(2) = 1Еж(г)/1Енч(2),	(7.70)
где W.Jz')— желаемая дискретная передаточная функция разомк-
нутого контура системы; 1Енч(а) — дискретная передаточная функция
неизменяемой части, которую в соответствии со структурной схемой
на рис. 7.13 можно определить как
При выборе желаемой дискретной передаточной функции Wx(z)
или однозначно связанной с ней частотной передаточной функции
применимы те же подходы, что и в непрерывных системах.
Однако здесь подразумевается, что показатели точности, запаса устой-
чивости и быстродействия характеризуют закономерности изменения
управляемой величины как решетчатой, а не непрерывной функции
времени. Возможно использование оптимальных дискретных фильтров
Винера или Калмана [2, 16]. Весьма широко используется метод лога-
рифмических частотных характеристик, согласно которому сначала
с учетом требований по точности и быстродействию выбирают низко-
частотный участок ЛАХ Л’к(7.) =20	Затем с учетом тре-
бований по запасу устойчивости формируют ее среднечастотный уча-
сток таким образом, чтобы вблизи частоты среза был достаточно про-
тяженный отрезок ЛАХ с наклоном —20 дБ/дек.
Если ЛАХ неизменяемой части системы в области низких псевдо-
частот может быть приведена к приемлемому виду простым переме-
щением вдоль оси ординат, т. е. изменением добротности, то коррек-
ция сводится к демпфированию системы для получения требуемого
запаса устойчивости. Методы демпфирования с подавлением высоких
и средних псевдочастот и с поднятием высоких псевдочастот иллюстри-
руются рис. 7.14, а, б, в соответственно, где желаемые ЛАХ показаны
пунктиром, а ЛАХ неизменяемой части — сплошной линией.
226
Часто при нахождении дискретной передаточной функции цифро-
вого фильтра за основу принимают передаточную функцию
его непрерывного прототипа, который привел бы передаточную функ-
цию разомкнутого контура системы к желаемому виду. Считается, что
чем ближе динамические свойства цифрового фильтра и идеального
непрерывного фильтра-прототипа, тем выше качество цифровой систе-
мы. Однако полная эквивалентность цифрового и непрерывного фильт-
ров невозможна хотя бы потому, что выходной сигнал непрерывного
фильтра в общем случае — сранительно гладкая непрерывная функ-
ция, а выходной сигнал цифрового фильтра с экстраполятором нуле-
вого порядка — ступенчатая функция, скачкообразно изменяющаяся
в тактовых точках. Поэтому близость динамических свойств цифрового
и непрерывного фильтров можно понимать несколько по-разному, рас-
сматривая, например, временные или частотные характеристики этих
фильтров [9].
Один из наиболее простых подходов состоит в том, что ставится тре-
бование хорошего совпадения АЧХ и ФЧХ цифрового и непрерывного
фильтров на низких частотах 0^ю^согр. Граничную частоту югр
выбирают так, чтобы на рассматриваемом отрезке низких частот была
сосредоточена основная часть мощности в спектре задающего воздей-
ствия. Если период дискретности достаточно мал и выполняется ус-
ловие югр<^л/7', то для нахождения частотной передаточной функции
цифрового фильтра достаточно заменить в частотной передаточной
функции непрерывного фильтра-прототипа частоту со на псевдочастоту
X и учесть коэффициенты передачи линеаризованных АЦП и ЦАП. Это
дает формулу
ПЧ/^^бД-Ч^фЦсо)/^.	(7.71)
Перейдя в (7.71) к переменной z по формулам (7.12) и (7.14), получим
выражение для дискретной передаточной функции цифрового управ-
ляющего фильтра
0<2>=тИ»(т-гт^-	(7'72>
Заметим, что цифровой фильтр может быть реализован в виде устой-
чивого алгоритма вычислений, удовлетворяющего условию грубости
[3], только в случае, когда степень числителя дробно-рациональной
частотной передаточной функции D* (/А) не превышает степени ее зна-
менателя и, следовательно, найденная по формуле (7.72) дискретная
передаточная функция D (z) не содержит в знаменателе свободных
множителей z+1.
227
Пример 7.7. Найдем дискретную передаточную функцию цифрового управ-
ляющего фильтра и алгоритм работы реализующего его цифрового вычислителя,
если непрерывный фильтр-прототип является интегрирующим звеном с передаточ-
ной функцией (р) ~k$lp.
В соответствии с формулой (7.72) получим
Аф7’61г+1 kT 1+г-1
где — С
Так как дискретная передаточная функция связывает г-преобразования вход-
ного и выходного сигналов цифрового фильтра X (г) и Х± (г) уравнением (г) =
= D (г) X (г), то при переходе к оригиналам получим рекуррентное соотношение
kT
xi [«] = ~2 (х [га]+х [га—1]) + %1 [га—1],
известное в вычислительной математике как формула трапеций для дискретного
интегрирования.
Приведенный пример поясняет смысл метода синтеза цифровых
фильтров, основанного на замене частоты псевдочастотой и часто
называемого методом билинейного преобразования. Он состоит в том,
что непрерывные интегрирующие звенья, входящие в фильтр-прототип,
заменяются дискретными интеграторами, работающими по формуле тра-
пеций .
Выбор периода дискретности. При выборе периода дискретности
Т приходится находить компромиссное решение с учетом двух противо-
речивых требований. Во-первых, чрезмерное уменьшение периода ди-
скретности при определенном быстродействии цифрового вычисли-
теля ограничивает допустимую сложность алгоритма вычислений, ко-
торые производятся в реальном масштабе времени и на каждом такте
должны быть выполнены за время, не превышающее значения Т. Во-
вторых, увеличение периода дискретности также нежелательно, посколь-
ку это приводит к возрастанию информационных потерь при квантова-
нии непрерывного сигнала рассогласования и в конечном счете ухуд-
шает качество управления. Последнее обстоятельство связано с пе-
риодичностью частотных характеристик цифровых фильтров, вслед-
ствие которой удается придать им желаемую форму лишь на частотах
ах^л/Т. Это приводит к нежелательным динамическим искажениям об-
рабатываемого сигнала, а также к увеличению составляющей ошибки
от возмущающего воздействия. Рассмотрим сначала влияние периода
дискретности на качество обработки полезного сигнала рассогласова-
ния. Если нахождение дискретной передаточной функции цифро-
вого фильтра проведено по непрерывному прототипу с использованием
формул (7.71) и (7.72), то абсолютная погрешность реализации его же-
лаемой АЧХ Аф(со) = |(/со)| на граничной частоте <огр составит
ЛА (<огр) = Аф1(согр)-Аф [Л (<огр)],	(7.73)
где A,(corp)=27'-1tg согр772.
Считая функцию Аф(со) дифференцируемой в окрестности точки
(Огр, перепишем (7.73) в виде произведения производной функции
228
Аф(со) на приращение ее аргумента:
[Шп,-М<%)].	(7.74)
1 гр
Пусть требуется обеспечить настолько близкие к желаемым дина-
мические свойства управляющего фильтра, чтобы относительная по-
грешность реализации АЧХ не превышала малой величины е, т. е.
|АА (югр)|Л4ф(юГр)<Е. Тогда из (7.74) получим требование
I “гр— (“г₽) I	еАф (югр) (| бМф (ш)/Ао |а= <„rii) -1.	(7.75)
Введем обозначения
corJ) = (o772, У7! (ю) = | 1 —tg(o/co|,
с учетом которых левую часть (7.75) запишем в виде
I “гр — к (“гр) I = “гр I 1 — tg ~ 2₽ “ | = “rpF 1 (“гр)•
Это позволяет получить из (7.75) неравенство
Fг (о?гр)
гЛф (сОрр)
Югр
(Мф (со)
doj
(7.76)
Значения функции Fi(co), вычисленные по формуле (7 76), даны
в табл. 7.2.
Таблица 72
®Гр	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,40
^1(«гр)	8,34-Ю"4	3,35- IO-3	7,59-10-3	0,0135	0,0214	0,0311	0,057
“гр	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00	1,00
fl (Игр)	0,0926	0,140	0,203	0,287	0,400	0,557	0,786
Формула (7.76) и табл. 7.2 позволяют обоснованно выдвинуть тре-
бование к периоду дискретности Т исходя из заданной АЧХ непрерыв-
ного прототипа цифрового фильтра Аф(со) и величин граничной часто-
ты в спектре задающего воздействия согр и относительной погрешности
реализации АЧХ е. Для этого следует вычислить правую часть неравен-
ства (7.76), найти по табл. 7.2 требуемое значение югр и, наконец,
определить максимальное допустимое значение периода дискретности
по формуле
Т 2(огр/югр.	(7.77)
229
Заметим, что аналогичным образом можно вывести требование к
величине периода дискретности по заданной допустимой погрешности
реализации ФЧХ фильтра.
Теперь рассмотрим влияние периода дискретности на средний квад-
рат ошибки от непрерывного возмущающего воздействия со спектраль-
ной плотностью ^„(ю), выражаемой формулой (7.57). Это влияние
обусловлено тем, что вследствие периодичности АЧХ цифрового фильт-
ра он пропускает спектральные составляющие возмущающего воздей-
ствия не только вблизи нулевой частоты, где лежит полоса пропуска-
ния непрерывного фильтра-прототипа, но и вблизи частот +2л//7',
1=1, 2, ... Их вклад эквивалентен увеличению уровня спектральной
плотности воздействия на нулевой частоте, который составит
со	/СО	\
(0) = Е SVH	= sva(0)Q1 + Е	J • <7-78>
Так как даже при 1=1 знаменатель выражения под знаком суммы в
(7.78) существенно превышает единицу, то справедлива приближенная
формула
(СО	\
H^Ey =S(H(°) (1 + лй • (7-79>
1=1	/	4	7
X
Здесь использована сумма бесконечного ряда 2 /-2 = л2/6.
Учитывая, что Svn(Q)=2Dv/[t, формула (7.78) вполне согласуется
с (7.61). Различие в множителе Т объясняется тем, что (7.61) выражает
спектральную плотность решетчатого случайного процесса, а (7.79) —
эквивалентного непрерывного процесса.
Таким образом, эффект квантования непрерывного сигнала рас-
согласования во времени приводит к увеличению уровня спектраль-
ной плотности эквивалентного непрерывного возмущающего воздей-
ствия на относительную величину
5^(0)—Sj,H (0)_ |i2T2	ол\
Svn(0) ~ 12 •	<7-80>
Поскольку средний квадрат ошибки от возмущающего воздействия в
соответствии с формулой (7.55) пропорционален уровню его спектраль-
ной плотности на нулевой частоте, выражение (7.80) дает также отно-
сительное превышение среднего квадрата ошибки от возмущающего
воздействия в цифровой системе по сравнению с гипотетической не-
прерывной системой, получаемой при Т-+-0. Если эта величина не
должна превышать некоторого малого числа А, то из (7.80) следует,
что Т ^К12А/ц. Например, при А О,08 период дискретности должен
удовлетворять условию
Т<1/р.	(7.81)
С целью смягчения требования (7.81) иногда целесообразно спе-
циально несколько увеличить постоянную времени дискриминатора.
230
При этом уменьшается характеризуемая показателем р ширина спектра
воздействия, подвергаемого квантованию во времени.
Заметим, что в некоторых случаях зависимость суммарной средне-
квадратичной ошибки цифровой системы от периода дискретности при
фиксированной структуре системы не является монотонно возрастаю-
щей. Тогда существует некоторое оптимальное значение периода ди-
скретности, максимизирующее точность управления в системе с задан-
ной структурой.
Пример 7.8. Выберем период дискретности системы с цифровым управляющим
фильтром, синтезированным по непрерывному фильтру-прототипу, при следующих
исходных данных- Лф(ш) = 1/ (1 -ф- 7'ico2)/(l -ф- Т'Д2) , 7'1=1 с, 7'2 = 0,1с, шгр =
= 10 с-1, е=10~2, р = 20с-1.
При этом получим: -4ф (шгр) = 7,1,
<Мф(Ю) __	(7ai-7l) шгр	_ о 35 с_ 1
Ля	(1+7’^ш2р)1/2(1+7’2ш2гр)з/2	’ С ’
еЛф(согр)/]</Дф((о)1	\-i	ю-2 7,1 оп
шгр Ао |м=“гР/	10-0,35	2,0‘ ° •
По табл. 7.2 находим шгр = 0,70, что при подстановке в (7.77) дает 7’sg0,14c.
Формула (7.81) дает условие Т «С 0,05 с. Обоим найденным требованиям удовлет-
воряет значение Т = 0,05 с.
- Выбор характеристик АЦП и ЦАП. Цены единиц младших разрядов _
преобразователей и 62 выбирают исходя из допустимых значений
средних квадратов составляющих ошибки управления <?2Х Ш и <?22[п],
вызываемых шумами квантования по уровню. Более просто эта задача
решается по отношению к АЦП. Дело в том, что точки приложения
шума квантования в АЦП vjnl и возмущающего воздействия v In]
разделяет лишь безынерционное звено с коэффициентом передачи ka.
Поэтому в соответствии с формулами (7.55) и (7.67) справедливо вы-
ражение
Cyl [п] _
е22 [ll] kpSv (0)
т. е. средние квадраты ошибки от шума квантования и флуктуацион-
ной ошибки от возмущающего воздействия относятся так же, как
уровни спектральных плотностей приведенных к входу системы шума
квантования и возмущающего воздействия. Если необходимо, чтобы
величина такого отношения не превышала 10“2, то ошибка от кванто-
вания в АЦП практически не будет увеличивать результирующую ошиб-
ку управления. Это дает неравенства	1С)-2/гД S* (0),
61 Д ]/ S* (0)/3. Отсюда после перехода к спектральной плотности
непрерывного возмущающего воздействия по формуле	(0)
получим
(7.82)
OF	1
Поскольку условие (7.82) выведено в предположении, что шум кван-
тования по уровню — дискретный белый шум, оно имеет силу только
231
при выполнении неравенства (7.26). Если в процессе работы системы
средневадратичное значение производной возмущающего воздействия
может по каким-либо причинам сильно уменьшиться, а задающее вос-
действие почти постоянно, то неравенство (7.26) нарушится. Тогда сред-
невадратичная ошибка управления за счет эффекта квантования в
АЦП может сильно возрасти и даже достичь максимального возмож-
ного значения 0,5 8JkR. Иногда это обстоятельство накладывает более
жесткие требования на величину 6Х, чем условие (7.82).
После выбора цены единицы младшего разряда АЦП следует оп-
ределить требуемое число разрядов аь используя вытекающую из
(7.24) формулу
«х > log» (1 +х%М = 3,3 lg (1 +х%М,	(7.83)
где х^хах — максимальное значение входной величины АЦП, которое
можно приближенно найти через полуширину линейного участка диск-
риминационной характеристики Ал с помощью соотношения .Са.х~
л-
Как правило, необходимое число двоичных разрядов АЦП в кана-
ле ошибки системы радиоавтоматики составляет 5—8.
При выборе цены единицы младшего разряда ЦАП 62 следует за-
даться допустимым значением Оцап среднего квадрата ошибки от шу-
ма квантирования по уровню v2[nl, которая обычно составляет несколь-
ко процентов от среднего квадрата результирующей ошибки управле-
ния. Если исполнительное устройство является безынерционным зве-
ном с коэффициентом передачи &иу, то, как следует из (7.69), неравен-
ство еа2 [п]<Оцап выполняется при
б2 К12ЦцАп/^Иу-	(7.84)
Если исполнительное устройство обладает значительной инерци-
онностью, то с учетом (7.68) для выбора 62 получим условие
00	. -|1/2
62 < К12Г>цап (-£- ( -г----|МХ-----------г2)	•	(7.85)
цап^2л J {1+Fo (Д)](1+Д772) I2/
м	—' 00
Требуемое число двоичных разрядов в ЦАП составит
a2>;3,31g(l+x{yixn/62),	(7.86)
где хцдп— максимальная возможная выходная величина ЦАП.
Если исполнительное устройство — безынерционное звено, то
-^ЦАП~£тах/^иу. где gmax — максимальное значение задающего воз-
действия.
Следует иметь в виду, что в цифровых системах радиоавтоматики
часто предусматривается непосредственное преобразование выходного
кода цифрового фильтра в управляемую величину (в управляемый
параметр выходного сигнала), т. е. исполнительное устройство и
ЦАП делают совмещенными. Например, в системе АСД может исполь-
зоваться преобразователь кода во временной интервал, а в системе
АСН преобразование кода в угол поворота может осуществлять шаго-
232
вый двигатель. При таком построении системы без существенных тех-
нических трудностей в ЦАП можно обеспечить большее число разрядов,
чем в АЦП.
§ 7.4. ПРИМЕРЫ ЦИФРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ
РАДИОАВТОМАТИКИ
Цифровые временные дискриминаторы. Один из наиболее простых
в реализации вариантов построения цифрового временного дискрими-
натора представлен на рис. 7.15, а. Основным элементом такого ди-
скриминатора является преобразователь АЦП временного интервала
т между отраженным от цели импульсом иц и зондирующим импульсом
Рис. 7.15
и3 в двоичное число Nx, из которого вычисляется опорное двоичное
число No. Последнее соответствует поступающей с выхода системы
АСД по цепи главной обратной связи оценке измеряемой дальности,
полученной как результат работы системы в предыдущие моменты
времени. Таким образом, на выходе дискриминатора вырабатывается
цифровой сигнал рассогласования АД = АТ—Ао-
Входящий в состав дискриминатора АЦП фактически представляет
собой неследящий измеритель дальности, однако он может успешно
работать лишь в составе следящей системы АСД, которая за счет
стробирования приемника обеспечивает выделение только одного от-
раженного импульса, соответствующего сопровождаемой цели, на
каждый зондирующий импульс.
Более детальная схема рассматриваемого дискриминатора показа-
на на рис. 7.15, б [19]. Временной интервал т фиксируется триггером
Тр, который последовательно переводится из одного состояния в дру-
гое зондирующим импульсом и импульсом цели. В течение этого ин-
тервала времени триггер вырабатывает сигнал, отпирающий логиче-
ский элемент И, обозначенный на схеме &. На другой вход логического
элемента И поступают с генератора счетных импульсов ГСП короткие
счетные импульсы, период следования которых Тсч на несколько по-
рядков меньше периода зондирования. Далее они попадают на счетчик
Сч. Число счетных импульсов, успевших пройти через логический эле-
мент И на счетчик за время т, составляет целую часть отношения т/Тсч,
т. е. Аг=[т/7,сч]. Следовательно, осуществляется преобразование вре-
менного интервала т в двоичный код Nx с ценой единицы младшего раз-
ряда б1=Тсч.
233
Перед началом каждого цикла работы в счетчик вводится в допол-
нительном коде опорное число No, с которого и начинается счет. В мо-
мент окончания счета после прихода импульса цели в счетчике ока-
зывается записанным число Nb=NT—No, являющееся цифровым сиг-
налом рассогласования. Устройство считывания УС обеспечивает его
считывание по команде, вырабатываемой из задержанного импульса
цели. Положительное рассогласование выдается на выход дискрими-
натора в прямом коде, отрицательное — в дополнительном. После это-
го вырабатывается команда на сброс показаний счетчика и ввод нового
числа Уо для следующего цикла работы.
Рис 7 16
. Ри" 7 17
Другая возможная схема цифрового временного дискриминатора
показана на рис. 7.16 [9, 13]. В отличие от рассмотренной ранее в ней
используется аналоговый опорный сигнал в виде двух следящих им-
пульсов' ис1 и ис2. Интервалы времени, соответствующие взаимному
перекрытию импульса цели иц с первым и вторым следящими импуль-
сами, выделяются логическими элементами Й1 и И2 и заполняются
счетными импульсами с помощью генератора счетных импульсов ГСИ
и логических элементов ИЗ и И4 В первый из указанных интервалов
попадает Ni, а во второй — N2 счетных импульсов, которые подаются
соответственно на вычитающий и суммирующий входы реверсивного
счетчика РСч. В каждом такте работы реверсивный счетчик вычисля-
ет цифровой сигнал рассогласования N^ = N2—Ni, после считывания
которого показания счетчика обнуляются. Описанный временной дис-
криминатор можно рассматривать как преобразователь непрерывного
сигнала рассогласования в двоичное число N& с ценой единицы млад-
шего разряда, равной периоду следования счетных импульсов Тсч.
Цифровые частотные дискриминаторы. Широкое распространение
получили цифровые частотные дискриминаторы, работающие по прин-
ципу подсчета числа пересечений входным процессом нулевого уровня
в течение определенного мерного интервала времени Tw. Возможная
схема такого дискриминатора [13, 19] показана на рис. 7.17. Входной
сигнал ис поступает на формирующее устройство ФУ, где преобразует-
ся в последовательность импульсов, появляющихся в моменты пере-
сечения этим сигналом нулевого уровня, например от отрицательных
значений к положительным. Число импульсов, выработанных за время
Тм, составит N=fcTK, где Д. — частота входного сигнала. Именно
столько импульсов пропускается логическим элементом И, отпирае-
мым триггером Тр, на счетчик Сч в каждом цикле работы. Триггер уп-
234
равляется импульсами начала (и) и конца (к) мерного интервала, ко-
торые могут вырабатываться с высокой стабильностью во времени,
обеспечиваемой кварцевым генератором. Перед началом счета в счет-
чике в дополнительном коде устанавливается число N0=f0TM, соответ-
ствующее переходной частоте дискриминатора fa. Поэтому в конце
мерного интервала времени в счетчике оказывается записанным число
Nb=N—No, зависящее от частотного рассогласования A/=/c—fo
Оно считывается устройством считывания УС, после чего счетчик подго-
тавливается к следующему циклу работы. Цена единицы младшего раз-
ряда выходного кода описанного дискриминатора составляет бх =
=А/ТЫ и при малых значениях мерного интервала может оказаться
недопустимо большой.
Меньшая погрешность измерения частотного рассогласования до-
стижима в цифровом частотном дискриминаторе, построенном как
периодомер [19]. Однако он более сложен. Принцип его работы заклю-
чается в формировании временного интервала, соответствующего за-
данному числу периодов входного сигнала, и заполнении этого интер-
вала счетными импульсами.
Используются также цифровые частотные дискриминаторы, по-
строенные по аналоговому прототипу с двумя расстроенными конту-
рами [9] и содержащие два перестраиваемых узкополосных цифро-
Рис 7 18
вых фильтра ЦФ1 и ЦФ2 (рис. 7.18), резонансные частоты которых
несколько разнесены относительно переходной частоты. Другими
элементами схемы являются АЦП, квадратичные преобразователи
КП1 и КП2, соответствующие амплитудным детекторам с квадратичной
характеристикой в аналоговом частотном дискриминаторе, устройство
вычитания и накопитель Н. Изменение переходной частоты происхо-
дит под действием управляющего сигнала иу, поступающего по цепи
главной обратной связи. При этом резонансные частоты цифровых
фильтров перестраиваются так, что их разность сохраняется практи-
чески постоянной. Если частота входного сигнала лежит точно посе-
редине между резонансными частотами цифровых фильтров, т е. сов-
падает с переходной частотой, то цифровой сигнал рассогласования
оказывается равным нулю.
Цифровые фазовые детекторы. Возможная схема построения
цифрового фазового детектора показана на рис. 7.19 [19]. Принцип
ее работы заключается в том, что разность фаз между колебаниями
входного ивх и опорного иоп сигналов преобразуется во временной
интервал, фиксируемый триггером Тр и заполняется счетными импуль-
сами, проходящими от генератора счетных импульсов ГСП через ло-
гический элемент И на счетчик Сч
235
Для уменьшения ошибки из-за дискретного отсчета фазы использу-
ется увеличение периода сравниваемых колебаний в т раз с помощью
делителей частоты. Синусоидальные колебания на их выходах преоб-
разуются формирователями Ф1 и Ф2 в остроконечные импульсы, сле-
дующие с интервалами tnlfm и где /вх и /оп — частоты входного
и опорного сигналов. Эти импульсы управляют работой триггера, за-
ставляя его открывать логический элемент И на время (т//вх) (Д<р/2л),
соответствующее фазовому сдвигу Аф на частоте /оп/т. За указанное
время число счетных импульсов, прошедших на счетчик, составит
Л/’=(тДф)/(2л/:оп7’сч), где 7\ч — период следования счетных импуль-
сов.
Чтобы учесть знак разности фаз, фаза опорного колебания сдвигает-
ся на —л, что расширяет интервал времени, в течение которого логи-
ческий элемент И открыт, на полпериода сравниваемых колебаний.
За это время в счетчике даже при Дф=0 установится число Na=ml
/(2/0ПТсч). Оно компенсируется путем записи в счетчик перед началом
каждого цикла работы в дополнительном коде числа Ne. В результате
к концу каждого цикла работы в счетчике образуется цифровой сигнал
рассогласования по фазе МД=ЛГ, который считывается устройством
считывания УС по специальной команде. Положительные значения
рассогласования считываются в прямом коде, отрицательные — в до-
полнительном. Цена единицы младшего разряда выходного кода сос-
тавляет б1=2л/оп7,сч/т.
Другие варианты построения цифровых фазовых детекторов опи-
саны, например, в [9, 13].
Цифровые исполнительные устройства. Осуществляя непосред-
ственное преобразование цифрового управляющего сигнала в опор-
ный сигнал, один из параметров которого является управляемой ве-
личиной, цифровые исполнительные устройства совмещают в себе
функции ЦАП, экстраполятора и аналогового исполнительного устрой-
ства.
В цифровых системах АСД широко используются в качестве ис
полнительных устройств преобразователи кода, снимаемого с цифро-
вого управляющего фильтра, во временной сдвиг следящих импуль-
сов. Принцип работы такого преобразователя [13, 19] поясняется
схемой на рис. 7.20, которая позволяет сформировать импульс за-
пуска генератора следящих импульсов и3, задержанный относи-
тельно синхронизирующего импульса СИ на время, пропорциональ-
236
ное цифровому управляющему сигналу Ау. Число перед нача-
лом каждого цикла работы преобразователя записывается в регистр
памяти РП. Синхронизирующий импульс, поступая на триггер Тр,
переводит его в состояние, при котором открывается логический
элемент И. При этом счетные импульсы, следующие с периодом 7СЧ
с генератора счетных импульсов ГСИ, попадают на счетчик Сч, по-
степенно увеличивая записанное в нем число. В момент времени,
когда содержимое счетчика нарастает до значения Ау, записанного
в регистр памяти, срабатывает схем? сравнения СС и выдает импульс
и3, задержанный относительно синхр' ви-
зирующего импульса на время т=Ау7‘'сч.
При этом триггер переводится в исходное
состояние, обнуляется содержимое счетчи-
ка и осуществляется переход к следующе-
му циклу работы.
Поскольку цена единицы младшего раз-
ряда описанного преобразователя кода во
временной интервал составляет ?>2=ТСЧ,
малая ошибка от квантования по уровню
достигается в нем лишь при высоком бы-
стродействии счетчика и других элементов
схемы. В связи с этим иногда оказывается
С Jрог
Рис 7.20
целесообразным использование других вариантов построения пре-
образователя [19].
В системах частотной и фазовой автоподстройки в качестве циф-
ровых исполнительных устройств применяются цифровые синтеза-
торы частоты, формирующие гетеродинные синусоидальные колебания
с частотой	A/'yAf, где /ц—центральная частота; Ny—управ-
ляющее число, поступающее с цифрового управляющего фильтра;
А/ — шаг дискретизации частоты. Они подробно описаны в [19].
Там же описаны цифровые синтезаторы поворота диаграммы направ-
ленности фазированной антейной решетки, которая может служить
электронным исполнительным устройством в системах АСН.
Шаговые исполнительные электродвигатели. В качестве электро-
механического исполнительного устройства в цифровых системах АСН
может применяться шаговый электродвигатель, входной сигнал ко-
торого представляет собой последовательность управляющих импуль-
сов. Каждый из них заставляет ротор двигателя поворачиваться на
некоторый фиксированный угол Дф, а результирующий угол поворота
ротора пропорционален числу поданных управляющих импульсов.
Поэтому шаговый двигатель является преобразователем единичного
(унитарного) кода в угол поворота. Поскольку точное преобразова-
ние двоичного кода на выходе цифрового управляющего фильтра в
единичный код легко выполняется на типовых элементах дискретной
микроэлектроники, шаговый двигатель очень хорошо приспособлен
для работы в составе цифровой автоматической системы.
В современных шаговых двигателях [6] шаг Дф составляет от 1 до
22,5°, пусковой момент вращения — от 1,5 до 1500 Н-м. При необхо-
димости шаг может быть уменьшен, а момент вращения увеличен по-
237
средством понижающего редуктора. Частота приемистости, характе-
ризующая наибольшую частоту следования управляющих импульсов,
отрабатываемую двигателем без сбоев, достигает 4—6 кГц.
Различают шаговые двигатели с механической и электромагнит-
ной связью между ротором и статором. Примером первого типа дви-
гателей является шаговый искатель с храповым колесом, ранее широко
применявшийся в автоматических телефонных станциях. Их недо-
статок — низкая частота приемистости и малый ресурс работы.
--- а)
,, 1	2	3	4	5 6	7	в	9	10	11	12	13 74
yh_n _П.	П	_П_П_.П..	Л_	П	П	П	П	П._Д.
~1	г~1	I-----1_____CZZZ
и*\ .1----1 I---------1 -I-----771______С
Ч_. _Г77~1 ._______f7~77~L_ _ сто_________
।—~l	।-----1 _ rm_
5)
Рис 7 21
В системах управления наибольшее распространение получили
шаговые двигатели с электромагнитной связью ротора и статора.
В пазах статора такого двигателя уложено несколько обмоток управ-
ления, оси которых имеют взаимное смещение по углу. Ротор представ-
ляет собой либо постоянный магнит, либо сердечник с обмоткой воз-
буждения. Для осуществления вращения ротора в одном направлении
статорные обмотки поочередно подключаются к источнику управляю-
щего напряжения, что приводит к повороту магнитного поля в статоре.
Изменение направления вращения достигается изменением очередности
включения обмоток. Необходимые коммутации токов в обмотках вы-
полняются специальной схемой управления двигателем.
Число статорных обмоток управления в шаговых двигателях раз-
личных типов может составлять 1, 2, 3, 4 или более. Реверсирование
возможно при наличии более двух обмоток. Увеличение числа обмоток
управления приводит к возрастанию частоты приемистости и КПД дви-
гателя, но заставляет усложнять схему управления. Наиболее рас-
пространены трех- и четырехобмоточные шаговые двигатели.
238
Ротор и статор имеют большое число зубцов (полюсных выступов),
выполненных так, что с зубцами ротора одновременно может полно-
стью совпадать лишь часть зубцов статора. Этим достигается умень-
шение шага до величины Дер— 36О°/(тот3), где те—число пространст-
венно сдвинутых обмоток управления; т3 — число зубцов на роторе.
Упрощенная схема включения обмоток четырехобмолочного шаго-
вого двигателя показана на рис. 7.21, а, где иу—управляющие им-
пульсы; и, (; = 1, 2, 3, 4) — импульсы напряжения на обмотках ста-
тора; ФИ — формировать импульсов; РИ — распределитель импуль-
сов; УМ,— усилитель мощности. Формирователь импульсов преобра-
зует входные импульсы произвольной формы в прямоугольные им-
пульсы требуемой длительности. Распределитель импульсов преобра-
зует единичный код в четырехфазную систему прямоугольных импуль-
сов напряжения, которая через усилители мощности подается на ста-
торные обмотки. Соответствующие временные диаграммы представле-
ны на рис. 7.21, б. При необходимости изменения направления вра-
щения на распределитель импульсов подается сигнал реверсирования
СР, изменяющий последовательность подачи импульсов в статорные
обмотки.
Усилители мощности для шаговых двигателей малой мощности
(десятки ватт) строят на транзисторах, а для силовых двигателей —
на тиристорах.
Цифровые управляющие фильтры. Алгоритм работы линейного
Цифрового фильтра описывается рекуррентной формулой
Х1И = 2 Ь{х[п — 0— 2 a,Xi[n — /],	(7.87)
1=0	/ = 1
где х [п] и х^п] — числа на входе и выходе фильтра.
В случае, когда все коэффициенты а} нулевые, фильтр называют
нерекурсивным, в общем случае — рекурсивным. Формула (7.87}
взаимно однозначно связана с дискретной передаточной функцией
фильтра D(z). Нерекурсивному фильтру соответствует дискретная
передаточная функция, знаменатель которой тождественно равен
единице.
Алгоритм (7.87) можно реализовать либо схемными, либо программ-
ными средствами. При схемной реализации строят узкоспециализи-
рованный вычислитель, содержащий соединенные в единой непере-
страиваемой схеме элементы памяти, перемножители и сумматоры в
количестве, зависящем от числа соответствующих операций в алгорит-
ме (7.87). Программную реализацию производят на базе управляющей
ЦВМ или микропроцессора, выполняющих вычисления по заданной
программе. В обоих случаях при разработке цифрового фильтра долж-
ны быть оценены требования к быстродействию, количеству ячеек
памяти и ширине разрядной сетки вычислителя или ЦВМ. Они зави-
сят не только от вида алгоритма (7.87) и свойств замкнутой системы
в целом, но также от выбранной формы построения вычислительного
алгоритма. Используются в основном четыре таких формы [2, 19, 13].
Прямая форма (рис. 7.22) требует l+т элементов задержки.
239
Каноническая форма (рис. 7.23) позволяет уменьшить требуемое
число элементов задержки до значения, равного максимальному из
чисел I и т. Это объясняется отсутствием разделения на элементы за-
Рис. 7.22
.держки для входных и выходных величин — на одном и том же эле-
менте производится задержка и тех и других.
Последовательная (каскадная) форма (рис. 7.24) предполагает
.представление дискретной передаточной функции D(z) в виде произ-
Рис. 7.23
ведения L более простых дискретных передаточных функций обычно
первого или второго порядка.
Параллельная форма (рис. 7.25) является следствием представ-
ления функции D (?) в виде суммы М более простых дискретных пере-
даточных функций. Каждое из получающих-
ся элементарных цифровых звеньев реали-
зуется с использованием либо прямой, либо
канонической формы.
Рис. 7.24
Требуемое быстродействие вычислителя, легко оценить исходя
из необходимости выполнения всех арифметических операций, свя-
занных с получением очередного выходного числа [п], в пределах
одного периода дискретности Т (или определенной части периода ди-
2240
скретности в случае управляющей ЦВМ, работающей в режиме раз-
деления времени). Оно слабо зависит от формы построения вычисли-
тельного алгоритма и в основном определяется числом умножений при
реализации алгоритма (7.87), равным 1-\-т.
Выбор ширины разрядной сетки вычислителя является весьма
сложной и ответственной задачей. Конечная ширина разрядной сетки
проявляется в двух аспектах. Во-первых, коэффициенты разностного
уравнения (7.87) представляются двоичными числами с конечным
числом разрядов и, следовательно, округляются. Это приводит к изме-
нению динамических свойств фильтра и даже может нарушить устой-
чивость системы. Во-вторых, результат каждого умножения операнда
на коэффициент усекается или округляется, что аналогично эффекту
квантования по уровню в АЦП или ЦАП и может быть учтено введе-
нием аддитивных шумов квантования.
В [9] показано, что наиболее критичны к ограниченности разрядной
сетки цифровые фильтры, реализованные в прямой или канонической
форме, особенно при высоком порядке дискретной передаточной функ-
ции D(/). Предпочтительнее в этом смысле последовательная и парал-
лельная формы.
Самым достоверным методом исследования эффектов квантования и
округления в вычислителе является моделирование на универсальной
ЦВМ. Если порядок цифрового фильтра невелик, то при ориентировоч-
Рис 7.26
ном расчете ширину разрядной сетки вычислителя можно взять на
несколько двоичных разрядов большей, чем число разрядов в АЦП или
ЦАП.
Цифровая система АСН. В качестве примера замкнутой цифровой
системы радиоавтоматики рассмотрим систему АСН, функциональная
схема азимутального канала которой приведена на рис. 7.26. Угловое
рассогласование между направлением на цель и равносигнальным
направлением антенны измеряется аналоговым угловым дискримина-
тором Д, выходной сигнал которого через АЦП поступает на цифровой
фильтр ЦФ. Вырабатываемый им управляющий сигнал подается на
шаговый электродвигатель ШД, который через редуктор Р с передаточ-
ным числом /гр поворачивает антенну в требуемом направлении. Ра-
боту шагового двигателя обеспечивают преобразователь П двоичного
выходного числа управляющего фильтра в единичный код, т. е. в по-
следовательность из Xi управляющих импульсов, следующих с неко-
торым периодом Ту, и схема управления СУ, усиливающая управляю-
щие импульсы по мощности и распределяющая их по обмоткам шаго-
вого двигателя.
Период следования управляющих импульсов Ту определяет мак-
симальное возможное значение средней угловой скорости поворота
антенны а^санх. Действительно, если управляющие импульсы поступа-
9 Зак 561	/	241
ют на шаговый двигатель непрерывно, причем каждый импульс за-
ставляет его ротор повернуться на величину шага Дф, то антенна будет
поворачиваться со средней угловой скоростью a,pm=kp^(p/Tу. Отсюда
<£рДф/а™х.	(7.88)
Удовлетворяющее неравенству (7.88) значение Ту обычно оказывается
существенно меньшим периода дискретности Т, с которым работают
АЦП и цифровой фильтр. Это позволяет при рассмотрении динамиче-
ских свойств системы считать шаговый двигатель дискретным интег-
рующим звеном (накопителем) с передаточной функцией (?) =	>
работающим с периодом Т, а на структурной схеме системы из фак-
тически имеющихся двух импульсных элементов с периодами Т и
Ту учитывать лишь первый.
Рис 7,27
Структурная схема рассматриваемой цифровой системы АСН изоб-
ражена на рис. 7.27, где ац— азимут радиолокационной цели (задаю-
щее воздействие); арсн — угол поворота равносигнального направле-
ния антенны в азимутальной плоскости (управляемая величина);
Да — угловое рассогласование (ошибка); v — возмущающее воздей-
ствие, приведенное к входу углового дискриминатора; kn и kp— коэф-
фициенты передачи углового дискриминатора и редуктора; Щ— шум
квантования по уровню в АЦП; — цена единицы младшего разряда
АЦП; D(z) и (z) —дискретные передаточные функции цифрового
фильтра и шагового двигателя (ац, арсн, Да, v — функции времени
t; Xi и Vi— решетчатые функции дискретного времени п).
Выбор параметров системы производят на основе методики, изло-
женной в § 7,3, в такой последовательности. С учетом характеристик
задающего и возмущающего воздействий, требований по точности, бы-
стродействию и запасу устойчивости находят желаемую дискретную
передаточную функцию разомкнутого контура системы и требуемую
величину периода дискретности Т. Принимая во внимание неравенство
(7.88), выбирают период следования управляющих импульсов в схеме
управления шаговым двигателем Ту, оценивают возможность выпол-
нения условия ТЧ<^Т. Исходя из допустимой ошибки от квантования
по уровню в АЦП, выбирают цену единицы его младшего разряда 61;
затем по формуле (7.83) определяют требуемое число разрядов в АЦП.
Наконец, по известным желаемой дискретной передаточной функции
разомкнутого контура системы и дискретной передаточной функции
неизменяемой части системы с использованием формулы (7.70) опреде-
ляют дискретную передаточную функцию цифрового фильтра. С уче-
том выбранного ранее периода дискретности Т можно оценить требуе-
242
мое быстродействие цифрового вычислителя, на котором управляющий
фильтр реализуется.
Примеры других цифровых систем радиоавтоматики рассмотрены
в [9, 13, 19].
Использование микропроцессоров и микроЭВМ. Новые возмож-
ности для совершенствования систем радиоавтоматики, усложнения
и оптимизации алгоритмов их функционирования появились в 70-х го-
дах в связи с разработкой и началом массового производства микро-
процессоров.
Характеристики радиотехнических систем, как и характеристи-
ки вычислительной техники, систем управления, в очень сильной мере
зависят от конструктивного и технологического совершенства исполь-
зуемой при их построении элементной базы. Пройдя за несколько де-
сятков лет путь от электронных ламп, транзисторов к интегральным
схемам и, наконец, к большим и сверхбольшим интегральным схе-
мам (БИС и СБИС), разработчики аппаратуры столкнулись с новыми
проблемами. Высокие затраты на проектирование и технологическую
подготовку производства БИС окупаются лишь при большом объеме
их выпуска и ограниченной номенклатуре. Однако при использовании
узкоспециализированных БИС с неизменяемой структурой на практике
требуется все большее число их типов с малым объемом выпуска. По-
этому развитие микроэлектроники преимущественно в направлении
увеличения номенклатуры узкоспециализированных БИС при отно-
сительно малой их серийности оказалось нецелесообразным. Выход
был найден в разработке микропроцессорной техники, включающей
микропроцессорные наборы БИС и микроЭВМ.
Воспользуемся следующими определениями [1, 15]. Микропроцес-
сор — это БИС, реализующая логические и арифметические операции,
функции которой задаются программным путем. Вследствие этого ми-
кропроцессоры являются универсальными БИС, способными выпол-
нять функции многих типов узкоспециализированных БИС. Благодаря
универсальности микропроцессоры могут выпускаться большими пар-
тиями, что обеспечивает быстрое снижение их стоимости, доступность
и гибкость в применении.
Микропроцессорный/ набор представляет собой совокупность спе-
циально разработанных совместимых БИС, в которую кроме микро-
процессора входит БИС оперативного, постоянного и перепрограмми-
руемого запоминающих устройств (ОЗУ, ПЗУ и ППЗУ), интерфейсные
БИС для связи микропроцессора с внешними устройствами и памятью,
а также другие схемы, обеспечивающие работу микропроцессора.
Часто микропроцессор, рассматриваемый в составе микропроцессор-
ного набора, называют центральным процессорным элементом (ЦПЭ).
Наиболее распространены микропроцессорные наборы с однокристаль-
ными микропроцессорами, ширина разрядной сетки которых фикси-
рована и составляет 8 или 16 бит. Это отечественные наборы серий
К580, К581, К586 и некоторые другие [10]. В них применяется аппарат-
ное управление, т. е. программа вычислений может быть составлена с
использованием лишь ограниченного числа базовых команд (порядка
102), список которых для каждого типа микропроцессора постоянен.
9* Зак. Б61
243
Таблица 7.3
Серия	Число типов БИС	цпэ	Разряд- ность, бит	Число базовых команд	Время цикла, мкс	Потребляе- мая мощ- ность, мВт	Температур- ный диапазон, °C
К580	9	К580ИК80	8*	78	2,0	750	— 104-4-70
К582	1	К582ИК1	4*		1,5	200	— 104-4-85
К584	1	К584ИК1	4*	459	2,0	140	-104-4-70
К536	7	К536ИК1	8*	149	10		— 104-4-50
К581	3	К581ИК1	16		1,6	900	-104-4-55
К587	4	К587ИК2	4*	168	2,0	5	-604-4-85
К588	4	К588ИК2	16*		2,0	5	-604-4-85
К589	7	К589ИК02	2*		0,1	750	—104-4-70
К1800	4	К1800ВС1	4*		0,3		— 104-4-70
Примечание.
* — возможность наращивания разрядности.
Особую группу образуют секционные микропрограммируемые на-
боры БИС, включающие в себя БИС арифметико-логического устрой-
ства, микропрограммного управления, микропрограммной памяти и
др. На основе такого набора можно построить арифметико-логическое
устройство любой требуемой разрядности, используя несколько сек-
ций БИС. При этом применяется микропрограммное управление, т. е.
потребитель должен сам разработать систему команд, хорошо отве-
чающую специфике конкретной задачи, и записать ее в ПЗУ микропро-
граммной памяти в виде элементарных управляющих сигналов (ми-
крокоманд). Примером могут служить отечественные наборы серий
К582, К584, К585, К588, К589 и др. Базовая разрядность каждой их
секции составляет от 2 до 16 бит.
Характеристики некоторых микропроцессорных наборов и их
центральных процессорных элементов приведены в табл. 7.3.
Микропроцессорными модулями называют функционально закон-
ченные и конструктивно оформленные, как правило, на одной плате
изделия, состоящие из микропроцессора и других вспомогательных
БИС. Они предназначены для встраивания в какие-либо изделия и не
имеют собственных источника питания, корпуса, пульта управления,
внешних устройств.
МикроЭВМ представляет собой конструктивно завершенные вы-
числительные устройства, реализованные на базе микропроцессорного
набора, состоящие из одного или нескольких модулей и выполненные
в виде автономного прибора, как правило, со своим источником пита-
ния. В последние годы разработаны однокристальные микроЭВМ в
виде одной СБИС, где размещаются микропроцессор, ОЗУ, ПЗУ и
интерфейсные схемы, а иногда даже АЦП и ЦАП. Характеристики
некоторых серийно выпускаемых микроЭВМ приведены в табл. 7.4.
Микропроцессорная техника, особенно с учетом тенденции ее
быстрого совершенствования, способна существенно повысить ка-
чество обработки информации в радиолокационных, навигационных и
244
Таблица 7.4
Наименование моделей	Быстродействие, тыс опер/с	Разрядность, бит	Объем ОЗУ, слов	Объем ПЗУ, слов	Число байт парал- лельного ввода- вывода	Габаритные размеры, мм	1 Масса, кг	Примечание	
«Электроника	10	16	128	1024	4	267X270X	1,2		
С-5-11»						Х29			
«Электроника	10	16	128	2048	4	284X298X	1,5		
С5-12» «Электроника С5-21»	200	16	256	2048	4	ХЗО 252X302X Х29	1,2		Одно- платные
«Электроника С5-41»	1000	16	1-г-4к	1-?4к	4	—	—		модели
«Электроника	До 550	До 32	16к	16к	—	180Х390Х	О.з		
НЦ-80-01						Х20			
«Электроника С5-31»	150	16	128	1024	3	—	—		Одно-
«Электроника	До 550	До 32	128	1024	—	32X26,6Х	0,01		1 криста л ь-
НЦ-80»						Х2,9			
К1801ВЕ1	» 500	16	128	1024	—	—	—		дсл и
«Электроника	250	16	64к	2к	8	340X325X	—		Много-
60»						Х85			платная
управляющих системах, обеспечить их большую надежность и гиб-
кость, ускорить разработку и упростить обслуживание. Это связано
прежде всего с возможностью отказаться от чрезмерной централиза-
ции вычислений в единственной мощной управляющей ЦВМ и принять
концепцию распределенной вычислительной системы, содержащей ряд
локальных цифровых вычислителей в конкретных электронных под-
системах. Такие вычислители (микроЭВМ или микропроцессорные мо-
дули) должны выполнять относительно простые функции нижнего
иерархического уровня обработки информации. Для решения задач
более высокого уровня, а также с целью резервирования они могут
быть связаны каналами передачи данных между собой и с более
мощной управляющей ЦВМ.
Основным фактором, сдерживающим сейчас широкое применение
микропроцессоров в системах радиоавтоматики, является их срав-
нительно невысокое быстродействие. Микропроцессорные модули
существенно проигрывают по быстродействию цифровым устройствам,
построенным на серийных логических схемах малой и средней сте-
пени интеграции. В связи с этим пока они используются лишь в от-
дельных элементах радиоавтоматики: в дискриминаторах, устройст-
вах обнаружения и захвата при построении блоков фильтрации и
накопления, в устройствах пересчета координат и масштабного пре-
245
образования, в АЦП, в устройствах управления фазированными ан-
тенными решетками и др. Наиболее целесообразно применение микро-
процессоров при построении цифровых управляющих фильтров, где
они способны упростить реализацию принципов самонастройки и ком-
плексирования (см. гл. 8).
Пример 7.9. Оценим характеристики микропроцессорного модуля, в котором
микропроцессорный набор К580 используется для реализации цифрового управ-
ляющего фильтра с дискретной передаточной функцией
DM = -blZ+b2
г(г+щ)
и разностным уравнением
*1 [га] =Ь1х [п— 1] +62х [п—2] —a±Xi [п— 1].
К характериси кам микропроцессора К580ИК80, приведенным в табл. 7.3, доба-
вим следующие. Тип управления—аппаратный с жесткой логикой. Объем адресуемой
памяти—64 кбайт. Тактовая частота — 2 мГц. Максимальное число подключаемых
внешних устройств (ВУ) ввода и вывода — 256. Напря-
жения питания: 4-12 В ± 5%, 4-5 В ± 5%, —5 В 4 5%.
Микропроцессор содержит 5000 транзисторов на одном
кристалле размером 4,2X4,8 мм2, помещенном в ме-
таллокерамический корпус с 48 выводами (модифика-
ция КР580ИК80 — пластмассовый корпус с 40 вывода-
ми). Взаимозаменяем с микропроцессором Intel 8080А
(США).
Как и во многих других микропроцессорах, для
упрощения программирования в микропроцессоре
К580ИК80 предусмотрена возможность организации
стека, т. е. специальной области памяти, в которую
информация заносится последовательно и извлекается
только в порядке, обратном порядку занесения. При
адресации к стеку достаточно указать адрес первой
занятой в нем ячейки.
Укрупненная структурная схема возможной-про-
граммы решения разностного уравнения приведена на
рис. 7.28. Она составлена при следующем распределе.
нии регистров общего назначения' А, В, С и D — ра-
бочие регистры: Е, И и L — регистры сверхоператив-
ной памяти, в которых хранятся соответственно операн-
ды хг[п—1], х [п—2] и х [га—1]. В ячейках памяти с
номерами AW, AW4-1 и AW4-2 хранятся соответ-
ственно коэффициенты — аъ Ь2 и Ьг. Для реализации
программы в каждом периоде дискретности требуется
выполнение трех операций умножения, а также ряда
операций сложения и обращения к памяти.
Операция умножения не входит в список из 78
относительно простых базовых команд (типа пересылки
из регистра в регистр, сложения и т. п.), реализован-
ных в микропроцессоре на аппаратном уровне. Поэто-
му она должна быть представлена в виде последова-
тельности базовых команд самим разработчиком схе-
мы. Для облегчения такой работы служит специаль-
ный язык программирования — АССЕМБЛЕР.
Каждая операция умножения 16-разрядных двоичных чисел с фиксированной за-
пятой, соответствующих двойной ширине разрядной сетки микропроцессора, пред-
полагает выполнение порядка 102 базовых команд (с плавающей запятой — порядка
104). В свою очередь каждая базовая команда в зависимости от сложности выпол-
246
няется за время от 3 до 18 тактов. Поскольку тактовая частота — 2 мГц, длительность
такта равна 0,5 мкс. Следовательно, операция умножения будет выполняться за вре-
мя около 0,5 мс, а вычисление хг [га] займет около 1,5 мс.
Кроме микропроцессора К580ИК80 микропроцессорный модуль должен включать
еще около 10 вспомогательных БИС, которые могут быть размещены на плате с пло-
щадью (Зэ-4) 102 см2.
Глава 8
АДАПТИВНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ СИСТЕМЫ
РАДИОАВТОМАТИКИ
§ 8.1. ПОНЯТИЕ ОБ АДАПТИВНЫХ И РОБАСТНЫХ СИСТЕМАХ
Адаптивные системы. Условия работы реальных систем радио-
автоматики часто таковы, что характеристики задающего и возму-
щающего воздействий либо известны недостоверно, либо существенно
изменяются во времени. Некоторым случайным изменениям или раз-
бросу могут быть подвержены также параметры самой системы. Преж-
де всего это относится к коэффициентам передачи дискриминаторов
систем АСН, АСД и АПЧ, которые зависят от мощности принимаемого
радиосигнала и особенностей построения системы АРУ. Поэтому ка-
чество работы системы радиоавтоматики, синтезированной в расчете
на определенные условия функционирования, на практике может ока-
заться существенно ниже ожидаемого. Избежать этого позволяет по-
строение адаптивных систем, параметры или даже структура которых
при изменении внешних условий автоматически изменяются, поддер-
живая тем самым оптимальный,
близкий к оптимальному или задан-
ный режим работы.
Адаптивные системььс перестрой-
кой только параметров называют
самонастраивающимися, с пере-
стройкой структуры — самооргани-
зующимися. Остановимся лишь на
самонастраивающихся системах,
как на более простых в реализации.
Самонастраивающиеся системы
обычно строят по принципу на-
Допол нательная	'
информация Устройства
--------------* настройки
Рис. 8.1
ращивания, заключающемуся в том, что к основному следящему кон-
туру добавляют устройство настройки его параметров. Упрощенная
схема самонастраивающейся следящей системы показана на рис. 8.1.
Кроме сигналов, поступающих с основного контура, в устройстве
настройки может быть использована также дополнительная полезная
информация о ходе процесса управления, источники которой не обяза-
тельно являются устройствами, входящими в основной контур.
Из трех неотъемлемых элементов основного контура — дискрими-
натора, фильтра и исполнительного устройства — наиболее просто
поддаются перестройке параметры управляющего фильтра. Поэтому
выходные сигналы устройства настройки можно трактовать как тре-
247
буемые значения перестраиваемых параметров управляющего фильтра.
При аналоговой реализации управляющего фильтра в виде электри-
ческих цепей перестройка осуществляется с использованием управ-
ляемых сопротивлений. При цифровой реализации следует предусмот-
реть возможность изменения значений коэффициентов соответствую-
щего разностного уравнения. С целью упрощения системы иногда це-
лесообразно плавную перестройку параметров заменить дискретной.
Более сложен вопрос о выборе закона функционирования устрой-
ства настройки и способа получения информации, необходимой для
правильной настройки. В теории самонастраивающихся систем авто-
матического управления, активно развивающейся в последние деся-
тилетия, разработано большое число методов решения этой задачи.
Однако многие из них неприменимы к радиотехническим следящим
системам по следующим причинам. Во-первых, ни задающее воздей-
ствие g(t), ни возмущающее воздействие v(t), ни ошибка управления
<?(/) в таких системах непосредственно не наблюдаются, т. е ни в од-
ной точке системы нет сигнала, пропорционального g(t), v(t) или e(t).
Наблюдаются лишь комбинации из этих процессов. Например, вы-
ходной сигнал дискриминатора пропорционален сумме ошибки и воз-
мущающего воздействия. Во-вторых, из-за малой ширины линейной
части статической характеристики дискриминатора нежелательна по-
дача на вход системы каких-либо дополнительных пробных сигналов,
которые могли бы быть использованы для контроля динамических
свойств основного контура. В-третьих, существенные проблемы созда-
ет скоротечность процесса управления в радиосистем’ах, в результате
чего жесткие требования предъявляются к быстродействию устройства
настройки.
Перечисленные обстоятельства затрудняют широкое внедрение
самонастройки и вообще адаптации в радиотехнические следящие
системы (значительно большее распространение адаптация получила
в радиолокационных обнаружителях). Пока оказывается оправданным
использование лишь простейших и довольно грубых ее методов, реа-
лизация которых, как правило, не связана с текущим анализом ка-
чества управления.
Рассмотрим некоторые из таких методов самонастройки на примере
системы АСН, основной контур которой синтезирован оптимальным
образом как фильтр Винера при известных спектральных плотностях
взаимно не коррелированных задающего и возмущающего воздействий
Sg(<o) = 2D&Tl S(a) = N	(8.1)
7 соЧ'+ш2?'2!)
и имеет в разомкнутом состоянии передаточную функцию
Р (I + Т1Р)
где /С—ц/а; т = (|/а2-р2а—а) Т1;Т*1—Т1. Здесь введен безразмерный
коэффициент а = \/rN/(2DgT31).
Естественно, что оптимальные параметры системы зависят от ве-
248
личин Dg, 7\ и N, характеризующих свойства задающего и возмущаю-
щего воздействий. Если эти свойства изменяются, то для сохранения
оптимальности системы, т. е. для поддержания минимального значе-
ния среднего квадрата ошибки е2, ее параметры должны перестраи-
ваться. Далее показано, что при нестационарности лишь величин
Dg и N можно ограничиться относительно простым вариантом само-
настройки по разомкнутому циклу за счет получения дополнительной
информации из системы АСД. Если же нестационарна величина ТД
то необходима более сложная самонастройка по замкнутому циклу.
Рис. 8.2
Самонастройка по разомкнутому циклу. Сначала выясним, как
можно оценить фактический уровень спектральной плотности возму-
щающего воздействия N. Первоисточником этого воздействия являются
радиопомехи и шумы нп> наложенные на радиосигнал сопровождаемой
цели иц и попадающие в интервал времени, в течение которого прием-
ник открыт поступающим из систем АСД стробирующим импульсом
Рис. 8.3
истр. Если на интервалах времени, соизмеримых с длительностью стро-
бирующего импульса, помеху можно считать стационарной, то интен-
сивность помехи в стробе пстр совпадает с ее интенсивностью в сосед-
нем интервале времени, выделяемым некоторым вспомогательным стро-
бом пстр1. Взаимное положение стробов истр, истр1 и импульса цели
показано на рис. 8.2. Измерив интенсивность помехи Рп в стробе исгрХ—
и зная функциональную связь этой интенсивности с уровнем спектраль-
ной плотности возмущающего воздействия, приложенного ко входу
системы АСН, можно вычислить величину N. Схема соответствующего
устройства (рис. 8.3) содержит стробируемый УПЧ, детектор Д, фильтр
нижних частот ФНЧ и функциональный преобразователь ФП.
Теперь выясним, каким образом можно оценить дисперсию угло-
вой скорости объекта слежения Dg, т. е. дисперсию первой производ-
ной задающего воздействия системы АСН. Исходим из гипотезы о том,,
что ее изменение вызвано изменением радиальной дальности объекта
слежения г. Действительно, при одних и тех же путевой скорости и
курсе объекта слежения угловая скорость линии визирования тем
больше, чем меньше дальность этого объекта. Дисперсию угловой ско-
рости можно в первом приближении считать обратно пропорциональной
219
квадрату дальности и определять ее по формуле Dg ^Dg0(r0/r)2, где
Dga — дисперсия угловой скорости объекта слежения, находящегося
на некоторой контрольной дальности г0. Эта формула позволяет вы-
числять оценку величи-
ны Dg в результате
функционального пре-
образования ФП ради-
альной дальности г, вы-
рабатываемой системой
АСД.
Таким образом, ве-
личины N и Dg могут
быть оценены в процес-
се работы системы АСН
с использованием инфор-
Рис. 8.4
мации, поступающей из
системы АСД. Это дает возможность организовать автоматическую
перестройку параметров основного следящего контура системы АСН
в соответствии со схемой, приведенной на рис. 8.4. Особенностью схе-
мы является невозможность контроля качества настройки параметров
основного контура, из которого в устройство настройки не поступает
никакой информации. Такую самонастройку называют самонастройкой
по разомкнутому циклу. Ее недостаток состоит в нарушении условий
оптимальности основного контура в случае невыполнения допущений,
принятых при выводе законов перестройки параметров, а также при
других изменениях условий работы системы, не связанных с изменением
величин Рп и г.
Самонастройка по замкнутому циклу. Рассмотрим возможную схе-
му самонастройки по замкнутому циклу с косвенным, а не прямым кон-
тролем качества функционирования основного контура. Для поясне-
ния принципа ее работы запишем выражение для спектральной плот-
ности суммарного сигнала на выходе дискриминатора с учетом задаю-
щего и возмущающего воздействий в виде
s»w-| 1+^Х) Гк,м+£,(<
(8.3)
Подставив в (8.3) выражения (8.1), (8.2) для спектральных плот-
ностей воздействий и оптимальной передаточной функции разомк-
нутого основного контура системы и приняв приближенное выражение
для передаточной функции дискриминатора 1ЕД (/со)~/гя, справедли-
вое в ограниченной полосе частот, в результате получим 5д(со) =
—k2 N. Следовательно, при оптимальной настройке системы спектраль-
ная плотность суммарного сигнала на выходе дискриминатора (точнее,
на выходе элемента сравнения) равномерна. Заметим, что полученный
результат справедлив для любой оптимальной следящей системы, син-
тезированной как фильтр Винера. Легко убедиться в том, что при не-
оптимальных значениях параметров системы спектральная плотность
5д(со) становится неравномерной. Этот факт можно использовать для
контроля качества настройки системы путем сравнения значений 5д(со)
250
при двух различных значениях частоты и |32 и рассмотрения их раз-
ности AS=Sn (рх) — £д(р2). Схема соответствующего устройства по-
казана на рис. 8.5, где Фх и Ф2— узкополосные фильтры, настроенные
на частоты рх и р2, ИМ± и ИМ2— измерители мощности.
Если может стать неоптимальным значение только одного пара-
метра основного контура, например параметра 7\* в передаточной
функции (8.2), то устройство на-
стройки в зависимости от знака ве-
личины AS должно уменьшать или
увеличивать значение настраивае-
мого параметра до тех пор, пока
не будет выполнено условие AS^O.
При этом образуется замкнутый
контур самонастройки, динамичес-
кие свойства которого выбирают с
учетом обычных требований по точ-
ности, быстродействию и запасу
устойчивости замкнутых систем.
Многомерные самонастраивающиеся системы. На практике часто
возникает необходимость одновременной настройки нескольких пара-
метров основного контура а2........ат для поддержания близкого
к оптимальному значения показателя качества работы системы I.
Например, в рассмотренной системе АСН с передаточной функцией
(8.2) т=3, а1=К1, а2=т, a3=TJ, а показателем качества является
средний квадрат ошибки 1—е2.
Настройка параметров должна производиться таким образом, чтобы
обеспечить приближение к экстремуму функции I(alt a2, . . ., am).
Для этого требуется непрерывно или в дискретные моменты времени
определять составляющие градиента, т. е. вектора
т
grad 7
где'/,— единичные векторы координатных осей аг.
При достижении точки экстремума выполняется условие: grad /==0,
т. е. d//da,=0, i=l, 2, . . ., tn, являющееся признаком оптимальной
настройки параметров системы.
Необходимость управления несколькими параметрами основного»
контура делает устройство настройки и всю самонастраивающуюся
автоматическую систему многомерными. Итеративные методы поиска
оптимальных значений параметров в многомерных системах хорошо»
разработаны [4] (метод градиента, метод наискорейшего спуска, метод
Гаусса— Зайделя и др.), однако их использование в радиотехнических
следящих системах встречает определенные трудности.
При построении многомерных самонастраивающихся систем радио-
автоматики следует учитывать, что самонастройка по замкнутому цик-
лу отличается высокой точностью, но трудно реализуется, а само-
настройка по разомкнутому циклу более проста в реализации. В свя-
зи с этим может оказаться целесообразным использование комбини-
251
рованной самонастройки, когда часть параметров (в простейшем слу-
чае один) настраивается по замкнутому, а часть — по разомкнуто-
му циклам.
Робастные системы. Удовлетворительной работы системы радйо-
автоматики в условиях изменения характеристик внешних воздействий
и некоторой нестабильности ее собственных параметров часто можно
добиться без использования адаптации. Для этого необходимо синте-
зировать систему с постоянными параметрами таким образом, чтобы
даже при действии указанных возмущающих факторов качество ее ра-
боты не опускалось ниже допустимого уровня. Подобные системы,
рассматриваемые как альтернатива адаптивным системам, получили
название робастных (от англ, robust—грубый, сильный).
Робастные системы не способны соперничать по качеству управле-
ния с адаптивными системами, которые могут оптимально перестраи-
ваться вслед за изменением характеристик внешних воздействий. Од-
нако в тех случаях, когда не требуется предельно высокого качества
управления, существенное преимущество робастных систем, состоящее
в простоте реализации, неоспоримо.
Синтез робастных систем автоматического управления может быть
проведен на основе различных идей, методов и частных методик. Весь-
ма полезными при этом оказываются результаты, полученные в теории
чувствительности и теории инвариантности. Иногда используется так
называемый минимаксный подход, когда система синтезируется как
оптимальная (например, по критерию минимума среднеквадратичной
ошибки) при наиболее неблагоприятных характеристиках внешних
воздействий.
Применительно к радиолокационным следящим системам особенно
эффективен метод синтеза, связанный с использованием для описания
динамических свойств задающего воздействия не спектральной плот-
ности, а более грубых, но и более достоверных числовых характери-
стик. В качестве таких характеристик берут максимальные или сред-
неквадратичные значения первой и второй производных задающего
воздействия, т. е. скорости и ускорения. Эти величины можно срав-
нительно легко оценить исходя из скоростных и маневровых свойств
движущихся объектов, являющихся объектами радиолокационного
слежения [3]. Вследствие того что при синтезе системы не используется
спектральная плотность задающего воздействия, возможные измене-
ния ее формы не могут повлечь за собой нарушение требований к ка-
честву управления. Рассмотрим такой метод синтеза робастных систем
более подробно.
Ограничение динамической ошибки. Пусть для задающего воздей-
ствия известны максимальные значения его первой и второй производ-
ных gmax И gmax, а требования к точности системы со тоят в том, чтобы
максимальная динамическая ошибка управления не превышала не-
которой допустимой величины е^ах. Выясним, каким условиям должна
подчиняться частотная передаточная функция разомкнутого контура
системы W(/со) для получения требуемой точности.
Сначала будем считать, что задающее воздействие имеет вид гармо-
нической функции £(/)=£тах Sin (со/+ф) С ЭМПЛИТуДОЙ gmay_, ЧЭСТОТОЙ
252
со и произвольной начальной фазой ср. Максимальное значение первой
производной такого воздействия составит max g(Z)=max (gmax®x
Xcos (®Z4-cp)}=g-max(o, второй производной—max g(t) = max gmaxx
X co2 sin (®H~®)}=g-max®2. Поскольку они должны быть ограничены ве-
личинами gmax и gmax, справедливы неравенства gmax® Cgmax, gmaX®2<
^gmax- Отсюда ясно, что амплитуда задающего воздействия не может
быть произвольно большой и должна удовлетворять условиям gmax^
^gmax/® И £fmax ^S-gmax/®2'
Объединяя два последних неравенства в одно с учетом того обстоя-
тельства, что g-max/®<gmax/®2 при ®<gmax/gmax, получим следующую
зависимость допустимой амплитуды гармонического задающего воз-
действия от его частоты:
~ min j gmax tgmax I   I gmax/® При ®SC®i,J	(8.4)
ём"" I CO ’ • и2 I	I gmax/®2 при ®>®n
ГДе ®j gmaj gmax-
Если «С®!, то при оценке максимальной возможной амплитуды
задающего воздействия существенно ограничение его первой произ-
водной, если ®>®х— второй производной. Если ®=®ъ то при мак-
симальной возможной амплитуде воз-
действия достигнут предельно больших
значений амплитуды первой и второй
его производных.
Амплитуду ошибки обработки опи-
санного гармонического задающего воз-
действия найдем с помощью модуля ча-
стотной передаточной функции для
ошибки:
Спах = | Фе (И I gmax = |Т+^77^)Т ‘
При значениях частоты ®, лежащих в пределах полосы пропуска-
ния системы, когда |IF(/®)|^>1, выражение (8.5) практически совпа-
дает с выражением emax =grnax/W(/®)|. Следовательно, должно выпол-
няться условие
gmax/|^(/®)l<4aX.	(8-6)
Из (8.6) и (8.4) получим требование к частотной передаточной функ-
ции разомкнутого контура системы
। г(/®)|>Мтах,У”ах“1при “S"1’
(gmax/^max®2) ПрИ®>®г
(8-7)
Неравенство (8.7) можно отобразить запретной областью на пло-
скости ЛАХ разомкнутой системы L(®)=20 lg|IF(j®)| дБ. В соответ-
ствии с его правой частью граница этой запретной области образуется
двумя прямыми с накпонами —20 дБ/дек при ®<®х и —40 дБ/дек
 253
при (о>со1. Точка излома А! имеет координаты
(0, = ^, Л (ю,)^ 201g 0^--—•
ётах	6 maxgmax
Описанная запретная область показана на рис. 8.6. Заметим, что
поскольку при выводе (8.7) сделано предположение |W(jw) |5>> 1, рас-
сматривается лишь верхняя часть плоскости ЛАХ выше уровня 0 дБ.
Смысл построенной запретной области состоит в следующем. Если
ЛАХ разомкнутой системы заходит в ее пределы, то существует такое
гармоническое задающее воздействие, которое приводит к недопустимо
большой динамической ошибке управления, превышающей значение
етах- Следовательно, при синтезе системы ее передаточная функция
должна быть выбрана так, чтобы низкочастотная часть ЛАХ обяза-
тельно проходила выше границы запретной области.
Можно показать [3], что если учитывать задающие воздействия
произвольной формы, а не только гармонические, то динамическая
ошибка способна превысить значение е°м даже в том случае, когда нера-
венство (8.7) выполняется, но близко к равенству. Чтобы гарантиро-
вать получение требуемой точности при произвольной форме задаю-
щего воздействия, следует несколько поднять границу запретной обла-
сти для ЛАХ, однако весьма незначительно (примерно на 3 дБ). По-
этому в первом приближении можно считать, что прохождение ЛАХ
за пределами запретной области, соответствующей неравенству (8.7),
является не только необходимым, но и достаточным условием ограниче-
ния динамической ошибки величиной е^х.
Аналогично производят построение запретной области для ЛАХ ра-
зомкнутой системы и в том случае, когда известны не максимальные,
а среднеквадратичные значения первой ст^ и второй ag производных
задающего воздействия, а требование по точности состоит в том, чтобы
среднеквадратичное значение динамической ошибки не превышало не-
которого допустимого значения ст’. Форма запретной области при этом
совпадает с изображенной на рис. 8.6, а координаты точки излома At
составляют
о..	а2.
®1 = V-, £ (®1) = 201g .
g	Oe<Jg
Ограничение суммарной ошибки. Под суммарной ошибкой управ-
ления понимают сумму динамической ошибки и ошибки от возмущаю-
щего воздействия. Приведенное ко входу системы возмущающее воз-
действие будем считать белым шумом с известным уровнем спектраль-
ной плотности N, соответствующим наиболее тяжелой помеховой об-
становке, в которой система радиоавтоматики должна нормально ра-
ботать. Тогда среднеквадратичная ошибка от возмущающего воздей-
ствия составит
сте?,= /А<,	(8.8)
где Д/а— эквивалентная полоса пропускания замкнутой системы для
белого шума, выражаемая формулой (3.50). Возмущающее воздей-
ствие считаем некоррелированным с задающим воздействием.
254
Пусть требуется синтезировать систему таким образом, чтобы
среднеквадратичная суммарная ошибка сте = КOeg+°eV не превышала
некоторой заданной допустимой величины ст’. Эта задача более слож-
на, чем ограничение только среднеквадратичной динамической ошибки
CTeg, так как здесь предъявляются противоречивые требования к пере-
даточной функции системы. С одной стороны, сохраняют силу условие
(8.7) и изображенная на рис. 8.6 запретная область для ЛАХ, так как
среднеквадратичная динамическая ошибка не только не должна пре-
вышать значения ст?, но не может и достигать его — иначе даже при
малой ошибке от возмущающего воздействия требования к суммарной
ошибке будут нарушены. Однако среднеквадратичная ошибка от воз-
мущающего воздействия также не должна достигать ст?, т. е. с учетом
формулы (8.8) эквивалентная полоса пропускания должна удовлетво-
рять условию
Ч < (°2)Ж	(8.9)
Если одновременное выполнение условий (8.7) и (8.9) невозможно, то
задача синтеза робастной системы при заданном значении о? не имеет
решения.
Выясним, при каких ЛАХ разомкнутой системы не может быть
выполнено условие (8.9). Для этого рассмотрим типовые ЛАХ, низко-
частотные отрезки которых содержат асимптоты с наклонами —20,
—40 или —60 дБ/дек, но вблизи частоты среза обязательно имеется
достаточно протяженный участок с наклоном —20 дБ/дек, вследствие
чего обеспечивается хороший запас устойчивости замкнутой системы.
Можно показать [3], что для системы с такими ЛАХ эквивалентная
полоса пропускания с хорошей точностью оценивается по формуле
A/a~co0Z/2.	(8.10)
Здесь со0— так называемая базовая частота, соответствующая точке
пересечения асимптоты ЛАХ с наклоном — I 20 дБ/дек и оси абсцисс,
а коэффициент I равен 1,2 или 3 в зависимости от наклона асимптоты,
для которой определяется базовая частота.
Из (8.9) и (8.10) для базовой частоты получим неравенство
coo<2(ct?)2/(ZAZ),	(8.11)
определяющее допустимое крайнее правое положение асимптоты ЛАХ
с наклоном —Z 20 дБ/дек. Его можно использовать при построении за-
претной области для ЛАХ, обеспечивающих выполнение условия
(8.9). Для этого на оси абсцисс надо отметить точки со^ =2(ст’)2/М,
со" =<о'/2, ®^"=®УЗ и провести через них прямые с наклонами соот-
ветственно —20, —40 и —-60 дБ/дек так, как это сделано на рис. 8.7.
В результате получим границу запретной области в виде ломаной ли-
нии, точки излома которой Л2 и А3 имеют координаты
®2 = ~4— = ~2N ’	(®г) = 12 дБ, <О3 =, L (®3) = 21 дБ.
Если ЛАХ разомкнутой системы заходит в пределы описанной
запретной области, то требование по точности управления не будет
255
выполнено, так как среднеквадратичная ошибка только от возмущаю-
щего воздействия превысит допустимую величину среднеквадратич-
ной суммарной ошибки.
Объединяя запретные области для ЛАХ, построенные при учете
динамической ошибки на рис. 8.6 и при учете ошибки от возмущаю-
щего воздействия на рис. 8.7, получим результирующую область, ко-
Рис. 8.7
Рис. 8.8
торая показана на рис. 8.8. Далее синтез, обеспечивающий требуемую
точность робастной системы, сводится к выбору ЛАХ, проходящей на
некотором расстоянии от левой и правой запретных областей и удов-
летворяющей обычным требованиям по запасу устойчивости замкну-
той системы. В качестве примера одна из приемлемых ЛАХ показана
на рис. 8.8 пунктирной линией.
Заметим, что если левая и правая запретные области накладыва-
ются одна на другую, то получение требуемой точности в робастной
системе невозможно. Строго говоря, оно невозможно даже при каса-
нии этих запретных областей, так как в этом случае среднеквадра-
тичная суммарная ошибка, каждая из двух составляющих которой смо-
жет достигать величины о’, составит ]/2аое. Легко показать [3], что
для гарантированного получения требуемой точности должен быть не-
который интервал между левой и правой запретными областями, ми-
нимальная ширина которого по горизонтали составляет около четверти
декады.
§ 8.2. КОМПЛЕКСИРОВАНИЕ|РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ
С ДАТЧИКАМИ ДРУГИХ ТИПОВ
Понятие о комплексировании. Под комплексированием в измери-
тельных системах понимают совместное использование двух или не-
скольких независимых источников информации для повышения точ-
ности и помехоустойчивости измерений. Если измерительная система
построена на базе следящего радиотехнического измерителя, допол-
ненного каким-либо нерадиотехническим датчиком или датчиками
(инерциальным, гироскопическим, аэродинамическим, барометриче-
ским и др.), она называется комплексной системой радиоавтоматики
[14]. Наиболее широкое распространение комплексные системы полу-
чили при решении навигационных задач, т. е. при измерении коор-
динат и параметров движения объектов. Например, скорость самолета
может измеряться доплеровским измерителем скорости и угла сноса
256
(ДИСС), а также путем интегрирования показаний акселерометра,
измеряющего ускорение. Для измерения высоты целесообразно
использовать радиолокационный и барометрический высотомеры. Для
измерения углов крена и тангажа могут служить радиовертикаль и
гироскопический датчик углов — гировертикаль. Ряд подобных при-
меров легко продолжить.
Рис. 8.9	Рис. 8.10
Обобщенная функциональная схема комплексной измерительной
системы показана на рис. 8.9, где Д1г Д2, •  , Дп— разнотипные
датчики, на основе выходных сигналов которых хДО, x2(t), . . xn(t)
вычислитель вырабатывает оценку g(t) измеряемой величины g(i).
Смысл комплексирования состоит в выработке оценки g(t) с точностью,
превышающей достижимую при раздельном использовании датчиков.
Требуемый для этого алгоритм работы вычислителя зависит от многих
факторов и может описываться дифференциально-разностным уравнени-
ем достаточно общего вида. В частном случае, когда вычислитель и
датчики представимы непрерывными линейными динамическими звенья-
ми с постоянными параметрами, справедлива эквивалентная структур-
ная схема комплексной системы, показанная на рис. 8.10 и содержа-
щая п параллельных каналов с суммированием их выходных сигналов.
Здесь Ц7Д1 (р), xt (t) и vt (t) — соответственно передаточная функция,
выходной сигнал и погрешность i-ro датчика, приведенная к его входу,
Ft(p)— передаточная функция i-ro канала вычислителя, i=l, 2, . . .,
п, п^2. Каждый из каналов вычислителя представляет собой линей-
ный динамический фильтр.
В соответствии с рассматриваемой структурной схемой для изобра-
жений выходного сигнала комплексной системы g(i) и ошибки измере-
ния е (/)=£(/)—g(t) запишем
п.	п
G(P)=%	(р) Fz (р) G (р) + 2 гд1. (р) F,. (р) к,, (р),
1 = 1	1=1
Е (p) = G(p)—G(p)
п
1- 2 ^(/Wp)
1=1
п
xG(p)-2^ai-(p)F,.(p)V(p).	(8.12)
t= 1
257
Передаточные функции каналов вычислителя обычно выбирают
так, что выполняется условие
п
2 Wal(p)Fi(p)=\.	(8.13)
i =1
Как видно из (8.12), при этом ошибка измерения не зависит от задаю-
щего воздействия g(t) и определяется лишь погрешностями датчиков.
Равенство (8.13) называется условием инвариантности, а система, в
которой оно выполняется,— инвариантной по задающему воздействию.
Задающее воздействие проходит на выход такой системы без какого-
либо запаздывания или сглаживания, т. е. воспроизводится без дина-
мической ошибки. Это особенно важно в случае, когда комплексная
измерительная система выполняет функции чувствительного элемен-
та какой-либо другой автоматической системы (например, системы
стабилизации), динамические свойства которой должны быть очень вы-
сокими.
Поскольку условие инвариантности накладывает ограничение лишь
на «взвешенную» сумму передаточных функций F^p), а не на каждую
из них в отдельности, остается определенная свобода в их выборе, ко-
торая может быть использована для уменьшения ошибки от погреш-
ностей датчиков.
Рассмотренная структурная схема комплексной системы, которую
принято называть n-канальной схемой фильтрации, не является един-
ственно возможной. Однако при анализе динамических свойств и
точности любой линеаризованной комплексной системы ее структурную
схему всегда можно преобразовать к эквивалентной схеме фильтрации.
Принципы построения двухканальных комплексных систем радио-
автоматики. Остановимся на часто встречающемся случае комплек-
сирования следящего радиотехнического измерителя с одним нерадио-
техническим датчиком. При выборе схемы такой двухканальной ком-
плексной системы радиоавтоматики необходимо учитывать, что дискри-
минатор следящего радиотехнического измерителя можно считать ли-
нейным звеном лишь при малых значениях ошибки. Поэтому для умень-
шения вероятности срыва слежения и повышения помехоустойчиво-
сти желательно, чтобы эффект комплексирования проявился в высокой
точности не только системы в целом, но и самого радиотехнического
измерителя. Схема фильтрации таким качеством не обладает, так как
условия работы радиотехнического измерителя после комплексирова-
ния в ней нисколько не улучшаются и используется лишь его выход-
ной сигнал.
Ясно, что при разработке схемы комплексной системы радиоавтома-
тики за основу должна быть взята обычная схема замкнутой системы,
а сигнал с нерадиотехнического датчика следует ввести непосредст-
венно в ее контур. На рис. 8.11, а показан вариант такой схемы для
случая, когда нерадиотехнический датчик является безынерционным
звеном с единичным коэффициентом передачи, погрешностью ц2(0
и выходным сигналом х2 (f)=g(f)+v2(f). Радиотехнический измеритель
имеет обычный выходной сигнал x1(t)=g(t)+v(t).
258
Покажем, что ошибка описанной комплексной системы, одновре-
менно являющаяся ошибкой радиотехнического измерителя, не за-
висит от задающего воздействия. Для этого представим ее схему в
эквивалентном, но более развернутом виде, как показано на рис. 8.11,6.
Видно, что задающее воздействие подается сразу на оба входа элемен-
та сравнения (дискриминатора): на
один вход непосредственно, а на
другой — через цепь главной об-
ратной связи. Поэтому изменение
задающего воздействия не вызовет
изменения ошибки e(t) и, следова-
х2
тельно, изменения выходной вели-
чины радиотехнического измерите-
ля y(t). Однако в выходную вели-
чину комплексной системыg(t) воз-
действие g(t) полностью войдет из
сигнала нерадиотехнического дат-
чика.
Не реагируя на изменение зада-
ющего воздействия, контур радио-
технического измерителя в то же
время будет подавлять погреш-
ность нерадиотехнического датчика
v2(t), поскольку в выходную вели-
чину y(t) будет добавляться состав-
ляющая, противоположная v2(t) по
знаку. Это становится особенно на-
глядным, если схему подвергнуть
дальнейшим эквивалентным преоб-
разованиям в соответствии с рис.
8.11, в, г, д.
На рис. 8.11, в суммирование си-
гнала х2 (/) с сигналом у (t) заменено
его вычитанием из сигнала -4(0,
что позволило освободить замкну-
тый контур радиотехнического изме- *
рителя от дополнительных связей. —
На рис. 8.11, а он заменен одним
динамическим звеном с передаточ-
ной функцией F(р) = W (р)/[ 1 +	Рис. 8.11
+ lF(p)], т. е. введена в рассмот-
рение передаточная функция замкнутой системы.
Схема, изображенная на рис. 8.11, г, называется схемой компен-
сации и работает следующим образом. После вычитания сигналаx2(t) =
=--g(f)+v2(f) из сигнала x1(t)=g(t)+v(t) задающее воздействие ком-
пенсируется и остается аддитивная смесь погрешностей v(t)—v2(f).
Эта смесь подается на фильтр с передаточной функцией F(p), хорошо
пропускающий погрешность v2(t), но подавляющий погрешность v(f).
Поэтому на выходе фильтра получается хорошая оценка погрешности
259
нерадиотехнического датчика со знаком минус. При ее суммировании
с сигналом нерадиотехнического датчика х2 (/) погрешность v2 (t) почти
полностью компенсируется, что обеспечивает высокую точность изме-
рения. От схемы компенсации легко перейти к эквивалентной ей двух-
канальной схеме фильтрации, изображенной на рис. 8.11, д. Как и
следовало ожидать, для нее выполняется условие (8.13), т. е. рассма-
тривается комплексная система, действительно инвариантная по зада-
ющему воздействию.
Заметим, что сигнал (/) представляет собой не выходной сигнал
радиотехнического измерителя, а ненаблюдаемую смесь задающего и
возмущающего воздействий, приложенную к входу. Возмущающее
воздействие v(t) остается тем же, что и в некомплексной системе радио-
автоматики, и его можно считать белым шумом. В отличие от него по-
грешность нерадиотехнического датчика v2 (t) обычно является весьма
низкочастотным случайным процессом. Такое различие в спектрах
погрешностей — необходимое условие выигрыша в точности при ком-
плексировании. Низкочастотный фильтр с передаточной функцией
F(р) при этом хорошо подавит погрешность v(t), высокочастотный
фильтр с передаточной функцией 1—F(p) — погрешность v2(t), а за-
дающее воздействие пройдет на выход без искажений за счет параллель-
ного включения фильтров.
В общем случае нерадиотехнический датчик может не быть безы-
нерционным звеном и иметь произвольную передаточную функцию
№д2(Д). Тогда его сигнал необходи-
мо сначала пропустить через фильтр
с передаточной функцией
№2(р) = Жд2(р) (8.14)
(если он реализуем), а затем уже
вводить в контур радиотехнического
измерителя, как в схеме на рис.
8.11, а. Однако тот же результат ча-
Рис. 8.12
сто достигается проще, если входящие в контур элементы удается раз-
бить на две части с передаточными функциями №г(р) и W2(p), причем
W1(p)W2(p) — W(p), и перенести точку введения сигнала нерадиотех-
нического датчика так, как показано на рис. 8.12. Равенство (8.14)
служит условием инвариантности для схемы, изображенной на этом
рисунке. Эта схема особенно характерна для случая, когда нерадио-
технический датчик вырабатывает производную задающего воздей-
ствия. Тогда звено с передаточной функцией W2(p) — интегратор,
обязательно имеющийся в контуре астатической следящей системы.
Анализ точности и синтез комплексных систем. Будем считать,
что погрешность нерадиотехнического датчика v2(t)— стационарный
случайный процесс с известной спектральной плотностью Sv2(со).
Возмущающее воздействие v(t), приведенное ко входу радиотехниче-
ского измерителя, как обычно считаем белым шумом с известным уров-
нем спектральной плотности Sz/(a)=N. Взаимная корреляция между
процессами v(f) и v2(t) отсутствует, так как они имеют различную фи-
зическую природу.-
260
Имея в виду двухканальную комплексную систему в виде замкну-
того контура, отметим, что, как было показано выше, при любых пере-
даточных функциях W (р) в ней выполняется условие инвариантности.
Поскольку в инвариантной системе задающее воздействие не влияет
на величину ошибки, его свойства не представляют интереса при ана-
лизе точности измерения. Не имеет значения также наличие или от-
сутствие взаимной корреляции процессов g(t) и v(t) или v2(t).
Исходя из изображенной на рис. 8.11, д эквивалентной схемы филь-
трации, для спектральной плотности ошибки измерения запишем фор-
мулу
Se (<о) = 11 -F (ja) Р Sv2 (<о) +1 F (ju) р N.	(8.15)
Подставив в (8.15) выражение для передаточной функции замкну-
той системы F (р) через передаточную функцию разомкнутой системы
W (р), получим
Se (®) = | 1 + Г (/ш) |	+| 1 + Г (До) |	(8.16)
Средний квадрат ошибки измерения найдем как интеграл от спектраль-
ной плотности (8.16) по частоте
J S,W*4 J	+	(8.17)
— 00	— 00
Здесь Д/э— эквивалентная полоса пропускания замкнутой системы.
Легко убедиться в том, что выражение (8.17) можно получить также
из выражения (3.60) для среднего квадрата ошибки в некомплексной
системе, если заменить в нем спектральную плотность задающего воз-
действия Sg(co) на спектральную плотность погрешности нерадиотех-
нического датчика Sc2(co). Ведь в соответствии со схемой компенсации
на рис. 8.11, г фильтр с передаточной функцией F (р) выделяет погреш-
ность нерадиотехнического датчика v2(t) из смеси —v2(t)+v(t), а в
некомплексной замкнутой системе такой фильтр должен выделять за-
дающее воздействие g(t) из смеси g(t)+v(t).
Сделанный вывод указывает на то, что применительно к комплек-
сным системам можно использовать методы синтеза и оптимизации,
развитые для обычных замкнутых автоматических систем, если фор-
мально считать «задающим воздействием» погрешность нерадиотех-
нического датчика. В частности, при оптимизации комплексной систе-
мы по критерию минимума среднеквадратичной ошибки можно вос-
пользоваться методом оптимальной линейной фильтрации. Если спек-
тральная плотность Sv2(<£>) достоверно не известна, эффективным ока-
зывается синтез робастных комплексных систем.
Особо следует остановиться на случае, когда задающее воздействие
имеет вид g(t)=gi(f)+gz(t), причем на радиотехнический измеритель
оно поступает полностью, а на нерадиотехнический датчик—лишь одна
его'составляющая g2(f). Такая ситуация характерна при сопровожде-
нии движущейся радиолокационной цели посредством РЛС, установ-
ленной на движущемся объекте. При этом составляющая g2 (/) вызва-
261
на собственным движением объекта, a g^t) — движением цели. Нера-
диотехнический датчик может воспринимать лишь собственное движе-
ние объекта, вырабатывая, например, сигнал x2(t)=g2(t)~\-v2(t).
Естественно, что комплексная система радиоавтоматики в этом
случае получается инвариантной лишь по воздействию g2 (О, и воздей-
ствие g^f) должно учитываться при исследовании точности системы.
Такой учет можно произвести, введя в рассмотрение эквивалентную
погрешность нерадиотехнического датчика ^2экв(0=1’2(0—gi(0 Тог-
да выходной сигнал нерадиотехнического датчика примет вид x2(t) =
=£(0+и2экв(0, чт0 позволяет провести исследование точности сис-
темы рассмотренными выше методами.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица интегралов
I — _L С Q (/а>)
п~ 2 л J A (fa) А (—/со) ’
— со
где	A (ja) = aQ (ja^+aj. (/со)'»-1-)-... 4-а„,
G (/со) =60 (/со^-’+Й! (/со)«~-*+ ... +6П_!
и все корни A (fa) расположены в верхней полуплоскости
Интеграл	Формулы для расчета
/1	(2aofli)-1
/2	[-60+^-1 L	fl2 J
^3	(—Л2^0“|~а0^1 — ЯоД1&2аЗ ) [2flo (^3—а1а2)]-1
/4	[^0 (	“Ь а2аз)—-|-Яоа1^2 “Ьа0^3а4 1 (^0^3 —	] X X [2а0 («о«з+«1^4—а^з)] “1
Л	M6/(2a0A6), ^5==^0 (—Доа4а5_|~а1а4 ~|~а2а5—^2a3a4 ) 4~	(—^2^6 “Ь a3al) “Ь “Ь йо^2 (а0а5—а1й4) “Ь^О^З (	a0a3“|~ala2)	1 (	“Ь^О^З “Ь -f-	—Л1а2Лз)} Аб = йо ^б — 2(z0ai(Z4(3:5 — Oq^2^з^б Ч- До^3^4 “Ь Д1 ^4 4~	—tZi(22^3^4
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1	Балашов Е П, Пузанков Д В Микропроцессоры и микропро-
цессорные системы — М Радио и связь, 1982
2	Бесекерский В А Цифровые автоматические системы — М Наука,
1976
3	Бесекерский В А Небылов А В Робастные системы авто-
матического управления—М Наука 1983
4	Бесекерский В А ПоповЕ П Теория систем автоматического
регулирования — М Наука 1975
5	Гоноровский И С Радиотехнические цепи и сигналы — М Совет
ское радио, 1977
6	Дискретный электропривод с шаговыми двигателями / Под ред Г М Чили-
кина—М Энергия, 1971
7	Дымова А И,Альбац ME Бонч-Бруевич AM Радиотех-
нические системы — М Советское радио, 1975
8	Левин Б Р Теоретические основы статистической радиотехники — М
Советское радио, 1974
9	Лихарев В А Цифровые методы и устройства в радиолокации — М
Советское радио 1973
10	Микропроцессорные комплекты интегральных схем Справочник / Под ред
А А Васенкова и В А Шахнова —М Радио и связь, 1982
11	Обрезков Г В.Разевич В Д Методы анализа срыва слежения —
М Советское радио, 1972
12	Основы радиол правления 1 Под ред ВАВейцеляиВ. Н Типу-
гина—М Советское радио 1973
13	ПервачевСВ Радиоавтоматика Учебник — М Радио и связь, 1982.
14	Первачев С В Валуев А А,Чиликин В М Статистиче-
ская динамика радиотехнических следящих систем — М Советское радио, 1973
15	Прангишвили И В Микропроцессоры и микроЭВМ — М Энергия,
1979
16	Рабинер Л, Гоулд Б Теория и применение цифровой обработки
сигналов Пер с англ / Под ред Ю Н Александрова—М Мир, 1978
17	Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления /
Под ред В А Бесекерского—М Наука, 1978
18	Смотов В Б , У гр юмов Е П,Фомичев В С Микроэлектрон-
ные цифро аналоговые и аналоговые преобразователи информации — Л Энергия,
1976
19	Теоретические основы радиолокации Под ред В Е Дулевича —
М Советское радио, 1978
20	Устройства и элементы систем автоматического регулирования и управления.
Кн 1—3 / Под ред В В Солодовникова—М Машиностроение, 1976.
21	Фельдман Ю И,Гидаспов Ю Б Гомзин В г! Сопровож-
дение движущихся целей —М Советское радио, 1978
22	Цыпкин Я 3 Основы теории автоматических систем — М Наука, 1977.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 152
Белый шум 105
Быстродействие 85
I
Вектор состояния 31
— управления 31
Взаимная спектральная плотность 117
Движение системы вынужденное 2
---- свободное 22
Дискриминатор 8, 58
Запас устойчивости 86
---- по амплитуде 86
---- по фазе 86
Звено автоматической системы 10
— апериодическое первого порядка 50,
51
----второго порядка 51 Bi
— безынерционное 51, 52
— дифференцирующее идеальное 51, 55
---- инерционное 51, 55
— изодромное 52, 57
—	интегрирующее идеальное 52 57
---- инерционное 52, 57
—	колебательное 51, 53
—	линейное 10
—	нелинейное 10, 153
—	форсирующее 56
Инверсные схемы 147
Критерий устойчивости 74
—	оптимальности 179
Коэффициенты гармонической линеари-
зации 154
Кусочно-линейная аппроксимация 152
Линеаризация гармоническая 153
—	статистическая 164
Матрица фундаментальная 31
—	весовых функций 31
—	передаточных функций 32
Метод замороженных коэффициентов 141
---- реакций 141
2С4
—	последовательных приближений 137
Моделирование координатной функции
144
—	нестационарных процессов 146
Нелинейный закон управления 150
—	звено 153
—	система 11, 147
Нелинейность динамическая 149
—	статическая 148
Нерегулярная качка 108
Объект управления 7
---многомерный 29
Ошибка динамическая 218
—	от возмущающего воздействия 218
—	ограничения 252, 254
Память следящей системы 120
Показатель колебательности 86
Преобразователь аналого-цифровой 196,
221, 231
— цифро-аналоговый 136, 221 231
Приведенная непрерывная часть 198, 223
Пространство состояний 30
Псевдочастота 204
Реверс-смещение 133
Самонастройка по разомкнутому контуру
249
—	по замкнутому контуру 250
Система автоматическая 7
—	адаптивная 247
—	астатическая 49,91
—	дискретная 196
—	импульсная 196
—	квазинепрерывная 1,96
—	квазистационарная 135
—	комплексная 256
—	линейная 11
—	нелинейная 11
—	непрерывная 11
—	нестационарная 11, 131
—	робастная 5,252
—	самонастраивающаяся 247
—	с запаздыванием 12
— с распределенными параметрами 12
— с сосредоточенными параметрами 12
—	статическая 48
—	стационарная 11
—	цифровая 196 , 241
Типовой входной сигнал следящей сис-
темы 106
Узкополосный случайный процесс 109
Уравнение векторно-матричное 29
— Вннера — Хопфа 179
—	дисперсионное 192
—	оценки 192
— разностное 198
—	состояния 30
—	характеристическое 22
Условие физической реализуемости 27,
181
Устойчивость в большом 151
—	в малом 151
—	в целом 151
Фазовое пространство 152
Факторизация спектра 183
Фильтр импульсный 198
— Калмана 188
— отбеливающий 183
— формирующий 183	'
— цифровой 221, 239
Функция весовая (функция веса) 25
— — нестационарной системы 132
---решетчатая 202
---сопряженная 133
—	передаточная 20
—	— дискретная 201
---замкнутой системы 45
— — — — для ошибки по задающему
воздействию 47
—-------— для ошибки по помехе 47
--- оптимальная 185
---параметрическая 139
---частотная 32, 203
--------параметрическая 139
Функция переходная 25
---нестационарной системы 132
—	случайная 104
—	смещения 133
Характеристика амплитудно-фазовая 30
—	амплитудно-частотная 33
—	динамическая 10
—	дискриминационная 10
—	логарифмическая амплитудно-частот-
ная 35
---фазо-частотная 35
—	переходная 26
—	фазово-частотная 33
Частота сопрягающая 36
—	среза 86
Экспонента матричная 31
Экспоненциально коррелированный про-
цесс 105
Экстраполятор 221
Электродвигатель шаговый 237
Элемент автоматики 9
—	импульсный 197
—	— идеальный 197
—	сравнения 7
—	формирующий 197
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН,
ПРИНЯТЫЕ В КНИГЕ
А	— матрица коэффициентов
А (со)	— модуль частотной передаточной функции
— k-й коэффициент левой части дифференциального уравнения
ац	— элемент матрицы коэффициентов
В	— матрица коэффициентов
— Ь-й коэффициент правой части дифференциального уравнения
—элемент матрицы коэффициентов
С	— матрица наблюдений
с	— скорость света,
Ch	— k-й коэффициент ошибки
D	— дисперсия, дальность
D (р)	— дифференциальный (характеристический) полином
Е (р)	— изображение ошибки
е(0	— мгновенное значение ошибки
F	— нелинейная функция
Fi	— передаточная функция z-го вычислителя
F	— оператор преобразования Фурье
j	— частота
/ (t)	— функция времени
G(p)	— изображение задающего воздействия
g(t) — мгновенное значение задающего воздействия
Н(р) — передаточная функция замкнутой системы
h (t)	— весовая функция замкнутой системы
I — интеграл, функционал качества
K(t, g)— корреляционная матрица
Кг — коэффициент передачи разомкнутой системы с астатизмом r-го порядка
k	—	коэффициент передачи звена
L	—	оператор преобразования Лапласа
L(to) —логарифмическая амплитудная частотная характеристика
М	—	показатель колебательности,	символ математического ожидания
N	—	уровень белого шума
Р	—	вероятность события
Р (t)	—корреляционная матрица ошибок оценки переменных состояния
р — аргумент преобразования Лапласа, оператор дифференцирования
Q — фундаментальная матрица многомерной системы
266
Я	переходная функция системы или звена, коэффициент гармонической
линеаризации
R{^}	—корреляционная функция стационарного случайного процесса
R(t) —матрица спектральных плотностей
т	— степень астатизма, дальность
S	— спектральная плотность
—дискретная спектральная плотность
Т	—	период дискретности
Тк	—	постоянная времени	k-ro	звена
t	—	текущее время,
U	—	вещественная часть	частотной передаточной функции
и — напряжение, управляющее воздействие, полезный сигнал
V — мнимая часть частотной передаточной функции
о — помеха
W — матрица весовых коэффициентов
W(р) — передаточная функция
О'ш) — частотная передаточная функция
ю — весовая функция звена, разомкнутой системы
К,-(р) —изображение i-й переменной состояния
xi (0	— »-я переменная состояния, координатная функция
Y (р)	— изображение управляемой (выходной) величины
—управляемая (выходная) величина
Z	—	символ z-преобразования
z	—	комплексная	переменная
<х	—	азимут
а*	—	вещественная	часть й-го корня характеристического уравнения
Р	— центральная частота узкополосного фильтра
у	— относительная длительность импульса
5	— дельта-функция, цена единицы младшего разряда преобразователя
е	— ошибка, смещение
6	— реверс-смещение
©	— угол места, смещение
Л	— мнимая часть корня	характеристического уравнения, псевдочастота
Ц — показатель ширины спектра экспоненциально-коррелированного процесса,
число уровней квантования
v	— относительная частота
£	— показатель затухания колебательного звена
л	— отношение длины окружности к диаметру
а	— среднеквадратичное значение
т	— временной сдвиг, временное запаздывание
Ф(/о>) —передаточная функция отбеливающего фильтра
<р — начальная фаза, фазовый сдвиг
Ф (/ф) — результат факторизации спектра
ф	— фазовый сдвиг
Q угловая скорость
<о	— угловая (круговая) частота
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	................................................ 3
Введение ...............................................................   4
Глава 1 Основные позятия и определения .................................. 7
§ 1 1 Замкнутые и разомкнутые системы радиоавтоматики	. .	7
Функциональная схема замкнутой автоматической системы (7) Состав-
ные части систем радиоавтоматики и их характеристики (9) Классифи-
кация систем радиоавтоматики по характеру внутренних динамических
процессов (11)
§ 1 2 Типовые системы радиоавтоматики .	...................... .	13
Классификация систем радиоавтоматики по виду управляемой величины
(13) Система автоматического сопровождения по направлению движу-
щихся объектов (13) Система автоматического сопровождения по даль-
ности движущихся объектов (16) Система автоматической подстройки
частоты (17)
§ 1.3 Математические методы описания линейных непрерывных систем .	19
Общая характеристика методов (19) Использование дифференциальных
уравнений (19) Использование передаточных функций (23) Исполь-
зование переходной и весовой функций (25) Использование интеграла
свертки (28) Использование векторно матричных уравнений (29) Ис-
пользование частотных передаточных функций (32)
Использование логарифмических частотных характеристик (35)
§ 1 4. Передаточные функции систем радиоавтоматики....................... 39
Соединение звеньев систем радиоавтоматики (39) Преобразование
структурных схем линейных систем (42) Передаточная функция зам-
кнутой системы (45) Передаточная функция разомкнутой системы (46)
Передаточная функция для ошибки по задающему воздействию (47)
Передаточная функция для ошибки по помехе (47) Типовые переда-
точные функции систем радиоавтоматики (48)
§ 1 5 Типовые динамические звенья систем радиоавтоматики................. 49
Классификация звеньев (49) Апериодическое звено первого порядка
(50) Безынерционное звено (53) Колебательное звено (53) Дифферен
цирующие звенья (55) Интегрирующие звенья (56)
§ 1 6 Основные элементы систем радиоавтоматики........................... 58
Дискриминаторы (58) Частотные дискриминаторы (58) Фазовые
дискриминаторы (60) Угловые дискриминаторы (63) Угловой дискри-
минатор с последовательным сравнением сигналов (63) Угловой ди-
скриминатор с одновременным сравнением сигналов (66) Временные
дискриминаторы (68) Статические эквиваленты Дискриминаторов (70)
Объекты управления систем радиоавтоматики (71)
268
Г л а в a 2 Детерминированные процессы в линейных стационарных системах
§ 2 1 Устойчивость замкнутых систем
Критерии устойчивости (74) Критерий устойчивости Гурвица (75)
Устойчивость многомерных систем (77) Критерий устойчивости Ми-
хайлова (78) Критерий устойчивости Найквиста (79) Статическая сис-
тема, устойчивая в разомкнутом состоянии (80) Астатическая система
с астатизмом первого порядка (81). Астатическая система с астатиз-
мом второго порядка (81) Абсолютно устойчивые и условно устойчивые
системы (82)
§ 2 2 Показатели качества.............................................
Общие сведения (85) Показатели качества, определяемые по переход-
ной характеристике (85) Частотные показатели качества (86)
§ 2 3 Методы задания и определения точности ..........................
Требования к точности систем радиоавтоматики в установившемся ре-
жиме (88) Ошибки слежения в установившемся режиме (89) Ошибки
типовых систем радиоавтоматики (91) Установившаяся ошибка при
гармоническом воздействии (94)
§ 2 4 Использование электронных вычислительных машин..................
Общие сведения (94) Моделирование систем радиоавтоматики на АВМ
(95) Моделирование систем радиоавтоматики на ЦВМ (103)
Глава 3 Случайные процессы в линейных стационарных системах . . .
§ 3 1 Исследование установившихся режимов	..................
Общие сведения о случайных процессах (104) Типовые случайные про-
цессы (104) Узкополосные случайные процессы (109) Прохождение
случайных процессов через разомкнутые линейные цепи (113) Прохож-
дение случайных процессов через замкнутые линейные системы (117)
Память следящей системы (120)
§ 3 2 Примеры расчета дисперсии ошибки в радиотехнических системах . .
Система автоматического сопровождения по направлению (121) Опти-
мизация параметров системы автоматического сопровождения по на-
правлению (125) Система автоматического сопровождения по дально-
сти (125) Система с одним интегратором (127) Система с двумя интегра-
торами (128) Области применения одного или двух интеграторов в це-
пях сглаживания (130)
Глава 4 Нестационарные системы........................................
§ 4 1 Методы исследования детерминированных процессов
Общие сведения (131) Переходная функция и функция веса (132)
Построение переходных процессов (135) Метод последовательных при-
ближений (137) Передаточная функция (138) Метод замороженных
коэффициентов (141) Метод замороженных реакций (141)
§42 Методы исследования случайных процессов в нестационарных системах
Общие сведения (143) Метод формирующих фильтров (143) Моделиро-
вание координатной функции (144) Моделирование нестационарных
процессов (146)
Глава 5 Нелинейные системы ..............................
§ 5 1 Основные понятия	. .	...
Виды нелинейных систем (147) Виды нелинейностей (148) Особенности
процессов в нелинейных системах (150) Методы исследования нелиней-
ных систем (152)
5 2 Гармоническая линеаризация......................................
Основы метода (153) Гармоническая линеаризация типовых нелиней-
ностей (155) Расчет автоколебаний по критерию Найквиста (158)
Пример расчета автоколебаний (161)
74
74
С5
88
94
104
104
121
131
13Г
148
147
147
158
269-
§ 5.3. Статистическая лианеризация	163
Основы метода (163). Разомкнутые системы (164). Статистическая ли-
неаризация типовых нелинейностей (166). Пример прохождения слу-
чайного сигнала через разомкнутую цепь (169). Случайные процессы
в замкнутых нелинейных системах (171). Пример расчета замкнутой
системы (175).
Г л а в а 6. Синтез систем радиоавтоматики на основе теории оптимальной
фильтрации................................................. 177
§6.1. Синтез линейных фильтров при бесконечном времени наблюдения . .	177
Постановка задачи оптимального синтеза (177). Уравнение Винера —
Хопфа (179). Решение уравнения Винера — Хопфа без учета условия
физической реализуемости синтезируемой системы (180). Синтез оп-
тимальной физически реализуемой системы (181). Оптимальный синтез
при наличии неизменяемой части системы (186). Оптимальная весовая
обработка сигналов в радиотехнических системах (187)
§ 6.2. Фильтры Калмана............................................... 188
Общие замечания (188). Уравнения состояния (189).
Синтез фильтров Калмана (191)
§ 6.3. Понятие о нелинейной фильтрации............................... 195
Задача нелинейной фильтрации (195). Метод Р. Л. Стратоновича (195).
Метод И. А Большакова и В. Г. Репина (195)
Глава 7. Дискретные системы радиоавтоматики	196
§7.1.	Математическое описание дискретных процессов и систем	196
Импульсные цифровые и дискретные системы (196). Z-преобразование
(198). Дискретные передаточные функции (201). Частотные характе-
ристики импульсных фильтров (202). Характеристики решетчатых слу-
чайных процессов (204). Шумы квантованпя по уровню (207)
§ 7.2.	Теория линейных импульсных систем	208
Передаточные функции импульсных систем (208). Построение переход-
ных процессов (212). Устойчивость импульсных систем (213). Оценка
качества управления (215). Исследование точности управления при
случайных воздействиях (218)
§ 7.3.	Теория цифровых систем.......................................... 219
Преимущества цифровых систем (219). Методика составления струк-
турных схем (221). Передаточные функции цифровых систем (223).
Оценка качества управления (224). Понятие о методах синтеза цифро-
вых систем и цифровых фильтров (225). Выбор периода дискретности
(228). Выбор характеристик АЦП и ЦАП (231)
§ 7.4.	Примеры цифровых элементов и систем радиоавтоматики............. 233
Цифровые временные дискриминаторы (233). Цифровые частотные
дискриминаторы (234). Цифровые фазовые детекторы (235). Цифровые ис-
полнительные устройства (236). Шаговые исполнительные электродви-
гатели (237). Цифровые управляющие фильтры (239).	••
Цифровая система АСН (241). Использование микропроцессоров и
микро-ЭВМ (243)
Глава 8. Адаптивные и комплексные системы радиоавтоматики.............. 247
§8.1. Понятие об адаптивных и робастных системах....................... 247
Адаптивные системы (247). Самонастройка по разомкнутому циклу (249).
Самонастройка по замкнутому циклу (250). Многомерные самонастраи-
вающиеся системы (251). Робастные системы (252). Ограничение дина-
мической ошибки (252). Ограничение суммарной ошибки (254)
270
§ 8.2. Комплексирование радиотехнических измерителей с датчиками других
типов........................................................... 256
них комплексных систем радиоавтоматики (258). Анализ точности
и синтез комплексных систем (260).
Приложение............................................................ 262
Рекомендуемая литература ............................................. 263
Предметный указатель.................................................. 264
Условные обозначения физических величин, принятые в книге............. 266
Виктор Антонович Бесекерский, Александр Александрович Елисеев,
Александр Владимирович Небылов, Анатолий Аркадьевич Оводенко,
Николай Павлович Поляков
РАДИОАВТОМАТИКА
Зав редакцией Л А Романова Редактор И Г Волкова Младший редактор И А
ва Художник В Н Боровков Художественный редактор Т В Панина Технич*
редактор Р С Родичева Корректор Р К Косинова
ИБ № 4872
Изд № ЭР 376 Сдано в набор 1 9 04 85 Подп в печать 13 11 85 Т 19705 Фс
60х90*/м Бум тип № 2 Гарнитура литературная Печать высокая Объем 17
1печ л 17усл кр *отт 17,1 2 уч изд л Тираж 12 000 экз Заказ <№ 1140/561 Цена90
Издательство «Высшая школа*, 101430, Москва, ГСП 4, Неглинная ул , ч 29/14
Набрано в ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Зна
МПО Первая Образцовая типография имени А А Жданова Союзлолиграфпрома
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
говли 113054, Москва, Валовая, 28
Отпечатано в Подольском филиале ПО «Периодика* «Союзполиграфпрома* Госкоме
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли 142100, г Подо.
-ул Кирова, 25