МИНИСТЕРСТВО АВИАЦИОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ СОЮЗА ССР
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРО-ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
им. проф. Н. Е. Жуковского
ТРУДЫ ЦАГИ
№ 581
Jr
• । *
ТЕОРИЯ И РАСЧЕТ ЦЕНТРОБЕЖНОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ ВИНТОВ
С ГИДРАВЛИЧЕСКИМ МЕХАНИЗМОМ
А. М. Лепилкин
...	‘	’ К
- Л-- - ‘ .  »' -• - ~ -	jF  *. * __ -J ..
ИЗДАТЕЛЬСТВО БЮРО НОВОЙ ТЕХНИКИ
ЛИСТОК СТРОКИ? ПОВЕРНЕННЯ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
D — диаметр винта,
R — радиус винта,
tis — число оборотов винта в секунду,
Q = 2 т: zis — угловая скорость вращения виита,
V—скорость самолета,
Н—высота по стандартной атмосфере,
р — плотность воздуха,
N—мощность в л. с..
75 Дг
р£>5
₽ =
коэфициент мощности винта (мотора),
X = п &  — относительная поступь винта,
<? — угол установки лопастей, отсчиты-
ваемый от хорды лопасти на радиусе
k—число лопастей,
г — радиус элемента лопасти,
Ъ — хорда элемента лопасти,
с — толщина элемента лопасти,
t — время.
ТРУДЫ Ц А Г И
№ 581
гЛ
ТЕОРИЯ И РАСЧЕТ ЦЕНТРОБЕЖНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
АВТОМАТИЧЕСКИХ ВИНТОВ С ГИДРАВЛИЧЕСКИМ МЕХАНИЗМОМ
А. М. ЛЕПИЛКИН
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Работа посвящена теории и расчету центробежного регулирования числа оборотов
автоматических винтов с гидравлическим механизмом изменения шага. Проведено
исследование процесса регулирования и даны методы расчета автоматики винта, поз-
воляющие решать задачи подбора лопастей к данной втулке автоматического винта
и выбора параметров регулирующей системы.
ВВЕДЕНИЕ
Автомагическйй винт не должен допускать значительных отклонений числа оборотов
от заданного при изменении нагрузки винта вследствие изменения мощности мотора и
скорости самолета. Особенно нежелательно превышение заданного числа оборотов („за-
брос" числа оборотов), опасное, когда заданное число близко к номинальному числу обо-
ротов, для прочности винтомоторной установки1.
В настоящей работе рассматриваются вопросы теории и расчета регулирования
автоматических винтов с гидравлическим механизмом изменения шага и центробежным
регулятором числа оборотов, получивших наиболее широкое и преимущественное рас-
пространение.
Устойчивость числа оборотов тем больше, чем быстрее изменяется угол установки
лопастей с отклонением числа оборотов от заданного. Скорость изменения шага зависит
как от данных механизма изменения шага и центробежного регулятора, так и от момен-
тов действующих на лопасти сил относительно оси вращения лопасти во втулке. Поэто-
му при подборе лопастей к втулкам автоматических винтов и проектировании регули-
рующих систем необходимо руководствоваться как требованиями к аэродинамике винта,
так и требованиями к устойчивости числа оборотов.
Для расчета процесса регулирования числа оборотов автоматического винта необхо-
димо иметь довольно сложный комплекс сведений о моментах сил, действующих на ло-
пасти винта, и о работе гидравлического механизма и центробежного регулятора. При
определении необходимых зависимостей нельзя обойтись без допущений. При определе-
нии моментов воздушных сил мы применяем гипотезу стационарности, считая действие
воздуха на элемент лопасти зависящим только от мгновенных значений скорости обтекав
ния и угла атаки. Это допустимо, поскольку изменение условий обтекания в рассматри-
ваемых явлениях достаточно медленное. При расчете потери напора в гидравлическом
механизме мы полагаем, что движение масла подчиняется обычным законам гидравлики,
поскольку и здесь эффект нестационарности движения весьма невелик. Необходимые
для расчета гидравлические коэфициенты определяются опытным путем. Что касается
момента сил трения в механизме, то большая часть его может быть определена расчет-
ным путем с достаточной точностью. Однако остальная часть момента сил трения долж-
на определяться опытным путем.
1 Допустимое кратковременное относительное превышение номинального числа оборотов, зависящее от
динамической напряженности деталей двигателя, для современных авиационных моторов составляет всреднем10%.
4з ле отеки ие вшсип^	1
В работе проведено исследование процесса регулирования числа оборотов с реаль-
ным, обладающим массой регулятором, в котором проявляются силы трения. В результа-
те установлено, что без заметного ущерба для точности расчетов и надежности сужде-
ния об устойчивости регулирования можно считать регулятор не обладающим массой и
пренебречь силами трения. Переход к теории регулирования с таким „идеальным® регу-
лятором связан с значительными упрощениями и существенно облегчает практическое при-
менение теории регулирования. Поэтому для практических приложений рекомендуется
пользоваться только теорией регулирования с идеальным регулятором.
Среди практических приложений теории регулирования особое внимание уделено
расчету заброса числа оборотов при даче газа, поскольку случай резкой дачи газа
является расчетным для автоматики винта.
В конце работы даны сведения, необходимые для расчета сил и моментов в регу-
лирующей системе.
§ 1. СХЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Начнем с краткого описания основных схем регулирования винтов с гидравличес-
ким механизмом изменения шага и их действия, касаясь только тех элементов системы,
какие определяют процесс регулирования числа оборотов. При этом дадим основные
определения. Все это имеет целью облегчить переход к исследованию процесса регулирова-
ния.
А.	Поршневой гидравлический механизм
Поршневой гидравлический механизм состоит из цилиндровой группы, ось которой
совпадает с осью винта, и передачи к лопастям (фиг. 1 и 2). Он поиводится в действие
силой давления масла, подаваемого специальным насосом. Цилиндровая группа бывает
одностороннего и двустороннего действия. В односторонней цилиндровой группе под-
Фиг. 2
вижной частью бывает как поршень, так и цилиндр. Применяются кулисная и винтовая
передачи к лопастям, связывающие перемещение подвижной части цилиндровой группы
с одновременным поворотом всех лопастей на одинаковый угол.
При кулисной передаче (фиг. 1) подвижная часть цилиндровой группы имеет пазы,
параллельные плоскости вращения винта, в количестве, равном числу лопастей. На торце
каждой лопасти эксцентрично укреплен поводок, скользящий вдоль соответствующего
паза.	'
При винтовой передаче (фиг. 2) винтовая часть цилиндровой группы имеет пальцы,
скользящие одновременно вдоль неподвижных направляющих прорезей, параллельных
оси цилиндра, и винтовых прорезей в барабане. Последний имеет зубчатый венец (веду-
щую коническую шестерню), который находится в зацеплении с укрепленными на ком-
лях лопастей зубчатыми венцами (ведомыми коническими шестернями).
Бь Турбинный гидравлический механизм
Турбинный гидравлический механизм состоит из шестеренчатой турбины (гидромо-
тора), приводимой во вращение маслом, подаваемым специальным насосом, и редуктора.
Направление вращения турбины определяется направлением подачи масла. Передаточное
число редуктора от вала турбины к лопасти велико (порядка 1:3000) и осуществляется
с применением червячной передачи.
В.	Гидроцентробежный регулятор
Гидроцентробежный регулятор состоит из центробежного регулятора, связанного с
распределяющим золотником, и шестеренчатого масляного насоса с редукционным кла-
паном.
Редукционный клапан находится на пути масла от насоса к золотнику и поддержи-
вает постоянное давление, зависящее от затяжки пружины клапана, пропуская излишнее
масло обратно в подводящий маслопровод. Постоянство давления достигается лишь при
условии, что секундный расход масла в процессе изменения шага не превосходит секунд-
ной производительности насоса.
В установившемся режиме работы винта золотник находится в нейтральном поло-
жении. При этом шаг винта остается неизменным, в случае поршневого механизма,
вследствие того, что масло заперто в полости цилиндра, а в случае турбинного меха-
низма — вследствие того, что редуктор с червячной передачей может быть приведен во
вращение только крутящим моментом, прилагаемым со стороны гидромотора. Число
оборотов при этом определяется степенью сжатия пружины регулятора, противодейст-
вующей центробежным силам вращающихся грузиков, и задается летчиком с помощью
привода к подвижному упору пружины регулятора.
Восстанавливание заданного регулятору числа оборотов достигается тем, что при
увеличении числа оборотов золотник смещается таким образом, что начинается увели-
чение шага (винт становится „тяжелее"), а при уменьшении числа оборотов золотник
смещается в противоположную сторону, так что начинается уменьшение шага винта
(винт становится „легче").
Регулятор устанавливается обычно на моторе. В этом случае путь масла между
регулятором и цилиндровой группой пролегает внутри вала винта. Гидромотор может
быть установлен как внутри втулки винта, так и на моторе.
Г. Схемы регулирования
При обычных положительных углах установки лопастей преобладает момент центро-
бежных сил, стремящийся повернуть лопасть в сторону уменьшения шага. Действием
противовесов на комлях лопастей можно изменить соотношение моментов сил так, что
лопасти будут стремиться увеличить шаг. Существенное значение имеет момент сил
трения в механизме, всегда противодействующий изменению шага.
Регулирование автоматического винта с поршневым гидравлическим механизмом
осуществляется по „односторонней" и „двусторонней" схемам. В двусторонней схеме
цилиндровая группа двустороннего действия и масло из насоса подается как для увели-
чения, так и для уменьшения шага. В односторонней схеме цилиндровая группа одно-
стороннего действия. Рабочий ход гидравлического механизма производится силой дав-
ления масла, а обратный ход — действием момента центробежных сил и сопровождается
вытеснением масла из полости цилиндра.
Односторонняя схема бывает „прямой" и „обратной". В обратной схеме использует-
ся то обстоятельство, что лопасти винта под действием момента центробежных сил стре-
мятся уменьшить шаг винта; в этой схеме рабочий ход гидравлического механизма дает
увеличение шага. В прямой схеме используются противовесы, так что лопасти с проти-
вовесами стремятся увеличить шаг винта; в этой схеме рабочий ход гидравлического
механизма дает уменьшение шага.
В прямой схеме при увеличении числа оборотов должен открываться сток масла из
цилиндра, а в обратной схеме в этом случае должен открываться доступ масла в цилиндр.
При увеличении числа оборотов грузики регулятора расходятся, сжимая пружину, а при
уменьшении числа оборотов сближаются под ее действием. Поэтому в прямой схеме при-
меняется регулятор „прямого" действия (фиг. 3), в котором масло из насоса подается
при отклонении золотника, уменьшающем сжатие пружины, а в обратной схеме при-
меняется регулятор „обратного" действия (фиг. 4), в котором масло из насоса подается
при отклонении золотника, сжимающем пружину регулятора.
В двусторонней схеме и при турбинном гидравлическом механизме как при увели-
чении, так и при уменьшении числа оборотов одновременно происходит подача масла из
насоса (с одной стороны) и отвод масла (с другой стороны). Поэтому в двусторонней
3
схеме и при турбинном механизме применяется регулятор „двойного" действия (фиг. 5 и 6),
представляющий собой спаренные регуляторы прямого и обратного действия.
Втулки винтов прямой и обратной схем могут работать с регулятором двойного
действия при выключенной ненужной ветви маслораспределения. В конструкции регуля-
тора двойного действия должна быть предусмотрена возможность его применения в
односторонней схеме.
Фиг. 3	Фиг. 4
Фиг. 6
. Мощность, затрачиваемая на регулирование числа оборотов, определяется масляным
насосом. Крутящий момент, необходимый для вращения шестеренчатого насоса,—
/-^ v-2 — ^2
Мн=Ьр-^-^-Ь,
(1.1)
где А р — создаваемый перепад давления,
г2 и гх — радиусы окружностей конца и основания зуба,
Ь — ширина зубьев (фиг. 7).
Объемная секундная производительность шестеренчатого
насоса определяется по формуле
/-2 — у-2
Q = x — —%—- b-w„ ,
(1.2)
где — угловая скорость вращения насоса,
х — коэфициент совершенства, зависящий от точности из--
готовления насоса и от перепада давления.
Для обычных конструкций при расчетных перепадах давления х== 0,7	0,8. Таким
образом, мощность, необходимая для вращения шестеренчатого насоса,
Wp = 9-^[4. C.J.
(1.3)
4
Эта мощность расходуется непрерывно как в процессе регулирования числа оборО^
тов, так и при установившемся режиме.
Редукционный клапан поддерживает заданное постоянное давление //* до тех пор,
пока секундный расход масла при изменении шага не превосходит секундной производи-
тельности масляного насоса. При расходе масла, равном производительности насоса,
давление в регуляторе, меньшее давления р%, определяется нагрузкой механизма изме-
нения шага. Это обстоятельство, как мы увидим, обусловливает ограничение скорости
изменения шага при рабочем ходе гидравлического механизма.
§ 2. СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ШАГА
Для процесса регулирования числа оборотов большое значение имеет величина ско-
рости изменения угла установки лопастей
z/<P
(2.1)’
Зависимость скорости изменения шага от действующих на лопасти крутящих момен-
тов в указанных выше схемах различна.
Перед тем как перейти к определению скорости изменения шага в различных схе-
мах регулирования, сделаем общее замечание.
Момент инерции лопасти относительно оси ее вращения во втулке и приведенный К
этой оси момент инерции движущихся деталей механизма изменения шага (как в случае
поршневого, так и в случае турбинного механизма) малы. Угловые ускорения при изме-
нении угла установки также малы. Следовательно, момент сил инерции относительно оси
вращения лопасти настолько мал, что им можно пренебречь, как это будет сделано нами,
без заметного ущерба для точности расчета и качественных выводов. На этом основании
крутящий момент лопасти относительно оси ее вращения при увеличении шага можно
представить в виде
Em' — та -|- тп — тТ,	(2.2)
где /иа—аэродинамический момент,
тц — момент центробежных сил,
тт — абсолютная величина момента сил трения в механизме, приходящегося на одну
лопасть,
а при уменьшении шага —
Е /и" = та -|- /иц -|- /ит.	(2.3) £m
[нгм]
В дальнейшем индексом (') будем обозначать
величину, соответствующую увеличению шага, а *60
индексом (")—величину, соответствующую умень-
шению шага.	_5
Если лопасти без противовесов (как, напри-
мер, в обратной схеме), то
Em'<Em"<0.	*40
При наличии достаточных противовесов (как,
например, в прямой схеме)
Em" >- Em' > 0 .
Аэродинамический момент /иа при данной
скорости самолета V зависит от числа оборотов
винта и и угла установки лопастей 'f, момент _
центробежных сил зависит от и и ср, а момент сил
трения практически зависит только от п (см. При-
ложение).
На фиг. 8 дана диаграмма Е/и(и„^) для ло-
пасти дуралевого винта серии 61-П D = 3 м при
V = 80 м/сек на высоте Н = 0.
А. Скорость изменения шага при поршневом гидравлическом механизме
Скорость изменения угла установки лопастей <и при поршневом механизме связана
со скоростью поршня зависимостью
Vn = ul,	(2.4)
где / — плечо гидравлической силы относительно оси вращения лопасти во втулке, зави-
сящее от кинематики передачи.
5
При кулисной передаче (фиг. 1) —
1 — е- cos (7 — г),	(2.5)
где е — расстояние от оси пальца до оси вращения лопасти,
е — угол между направлением е и хордой лопасти на радиусе 0,75/?.
При винтовой передаче (фиг. 2)—
(2.6)
zi
где е — радиус барабана,
zt и z2 — числа зубьев ведущей и ведомой шестерни,
а — угол подъема винтовых линий (прорезей).
Определим скорость поршня. Объемный секундный расход масла при протекании
через регулируемое отверстие (окно регулятора) под действием перепада давления Арх
определяется по формуле
f рм
где и»' гидравлический коэфициент, называемый коэфициентом расхода,
рм — плотность масла,
f—площадь полностью открытого окна регулятора,
'!> — степень его открытия.
При окне прямоугольной формы:
И	(2.7)
где h высота окна регулятора,
х— отклонение золотника от нейтрального положения.
Условимся считать положительным отклонение золотника при увеличении числа
оборотов.
Пользуясь тем, что q = vnF, где F— площадь поршня, находим
*n = Ho	(2>8)
Рм
Перепад давления крх определяется следующим образом.
Если в полость цилиндра подается масло, то
Д/Т =	~ ДР2>	(2.9)
где р* — давление масла в регуляторе на выходе из насоса,
Ра.—давление масла в указанной полости цилиндра,
Др2 — перепад давления на пути масла между полостью цилиндра и окном регулятора.
Если масло вытесняется из полости цилиндра, то
дР1=Рц-дР2.	(2.Ю)
Перепад давления Др2 можно представить формулой
1	/ р \ 2
=	(2.П)
где Е — гидравлический коэфициент данной системы.
Таким образом, полный перепад давления на пути масла между сообщенными по-
лостями цилиндра и канала золотника
Др=Др1 + Др2= рнЛ_|_ 1	(2.12)
z \ Г'ОТ J J
Давление масла в цилиндре ра различно для увеличения шага и для уменьшения
шага. Коэфициенты |л0 и 5 и, следовательно, перепад кр до некоторой степени зависят от
направления движения масла, поскольку рассматривается движение вязкой жидкости в
маслопроводе, не обладающем, в общем случае, геометрической симметрией относительно
середины пути.
6
Рассмотрим одностороннею схему. В случае прямой схемы при увеличении Шйга —
где k — число лопастей,
а при уменьшении шага—
В случае обратной схемы при увеличении шага —
„I _ , ът
Рп	k Fl
а при уменьшении шага—
Рц~ k pl
Пользуясь (2.9), (2.10) и (2.12), находим, что в случае прямой схемы—
а в случае обратной схемы—
, I f / 2 /	। k>-m' А ,
-РТу -(P. + -R-)ф; »
где р-' и [/' — величины коэфициента расхода
2 Ют"
рм FI
Ы<1,
(2.13)
(2.14)
(2.15)
характеризующего гидравлическую систему в целом, соответствующие увеличению и
уменьшению шага.
В формулах (2.13) и (2.14) давление р*, как было указано выше, известная постоян-
ная величина лишь до тех пор, Пока расход масла не достигает производительности
насоса, т. е. пока F\<^Q. Если \wlF\ = Q, то давление р* зависит от давления в ци-
линдре. При этом скорость изменения шага достигает предельной величины
lwlnpefl— >	(2.16)
т. е. становится пропорциональной числу оборотов винта.
Рассмотрим двустороннюю схему. В этом случае давление масла в рассматриваемой
полости цилиндра зависит как от крутящего момента лопастей, так и от давления масла
в противоположной полости. При увеличении шага—	f >	>
р*-(Л/+Др") + ^р = о,
а при уменьшении шага—
^:-(ДХ+Д/')-^- = 0.
Но
(у)
поэтому для двусторонней схемы—
, V-f [ 2 (	. Ют'\ „ н/ / 2 f Ют"\
•=н]У’«+тУ "=«) *('•—ft)*’	(2Л7>
где
£ =—r..  1		2.18)
причем существует указанный выше формулой (2.16) предел.
7
По опытам, Проведенным в ЦАГИ автором, с серийными винтами на серийных Мо-
торах, 0,33, а Е = 40-:-60, причем влияние направления движения масла оказалось
незначительным, так что можно принять	при этом формула (2.18) дает
(2.15)
] 2
Отметим здесь, что при изменении только площади окна регулятора f коэфициент
$ изменяется таким образом:
Е -Е
Б. Скорость изменения шага при турбинном гидравлическом механизме
При турбинном гидравлическом механизме—
w = tor,	(2.20)
где wr — угловая скорость гидромотора,
I — передаточное число редуктора механизма (/<Ч).
Крутящий момент шестеренчатого гидромотора определяется по формуле
^-2 __ ^.2
М{ = Др-^-Ь,	(2.21)
где г2 и Tj—радиусы окружностей конца и основания зуба (фиг. 7),
b— ширина зубьев,
Д/? — перепад давления, на котором работает гидромотор.
Объемный секундный расход масла при вращении гидромотора
г? — “г
q =	- b — х< 1,	(2.22)
где х — указанный выше коэфициент совершенства, зависящий от точности изготовления
гидромотора и от перепада давления.
При увеличении шага должно быть
(2.23)
где •/] — к. п. д. передачи,
а при уменьшении шага должно быть
Л}г==~/г]£т"1.	(2.24)
Вследствие применения червячной передачи к. п. д. передачи в целом невелик;
можно считать, что = 0,5 -ь 0,6.
Определим угловую скорость лопасти <о. Имеем
Др =Р* - (Др' + ДР"),	(2-25)
где Д/Р—перепад давления на пути масла от канала золотника к гидромотору,
Др"—перепад давления на обратном пути.
Так как	______ „
7 = н7 \ /~ V Ф и	Др" ф,	(2.26)
У Рм	у Рм
где р' и и." — соответствующие величины коэфициента расхода р (ф) для данной системы,
то, следовательно,
. , । „ 1 ( 1 । 1 А ( я V
Др 4- Др — 2 Рм + р."2 J ) •
8
Пользуясь (2.21) и (2.25), получаем
~	/ 2
<7=Р-/|/ —
2Л4Г
р* (i-/•?)*
где [х — приведенный коэфициент расхода по формуле (2.18).
Пользуясь (2.22), (2.23) и (2.24), находим, что
,	2 х/	~ f
03 ——5----о P iT
„	2 х/ f
СО = —х---o-p-vr
Г2-Г2 b
2 ik | Е т' |
Р* ~
2 ik | Em" |
(i - ''D b
причем
।	’	2 ZxQ
|0>1<<0пРед--^7р-.
В. Чувствительность механизма к отклонению золотника регулятора
Гидравлический механизм изменения шага характеризуется в конечном счете вели-
чиной
,	(2.зо)
которую мы будем называть коэфициентом чувствительности механизма. Понятие коэфи-
циента чувствительности применимо только в случае | ф | < 1, если при этом |<o|<jw|npea-
В рациональной регулирующей системе при отклонениях числа оборотов от заданного,
находящихся в допустимых пределах, должно быть |ф|<4 и | ю | <; |ш|пред. Поэтому ве-
личина См в большинстве случаев является полноценной характеристикой гидравлического
механизма.
Коэфициент См при данной скорости V зависит от п, ср и ф.
Величины См и вообще величины скорости изменения шага различны для увеличе-
ния и для уменьшения шага, поэтому регулирование числа оборотов автоматических
винтов с гидравлическим механизмом несимметричное.
§ 3. УРАВНЕНИЯ ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ
Вращение винта вокруг его оси может быть представлено диференциальным урав-
нением	*
1^ = М + МВ ’	(?,1)
где /—момент инерции винта и движущихся деталей мотора,
2 = 2кп — угловая скорость вращения винта,
/И—крутящий момент мотора,
Мв —момент винта.
Момент мотора предполагается известной функцией времени A4(Z).
Момент винта определяется по формуле
=	(3.2)
2к 6
где [3 —коэфициент мощности винта, зависящий от угла установки лопастей ср и относи-
тельной поступи к, а при большой скорости конца лопасти
WK = г V2 + S2/?2	(3;3)
зависящий и от числа Маха
Ма = ^-,	(3.4)
а
где а — скорость звука.
Следовательно, при данной скорости 1/ момент винта Мв зависит от п и <р.
2
9
На фиг. 9 дана диаграмма [5 (<?, X) для трехлопастного винта с лопастями 61-П, полу-
ченная из опытов при малых числах Маха.
Согласно § 2
<0-4-,	(3.5)
h
где
г- = СмЖ,4-)’	(3’6)
х — отклонение золотника регулятора.
Движение золотника регулятора можно представить системой уравнений
сХау
tn —гг = P-—G — Т
at
dx
dt
(3.7)
— w
где т — приведенная масса перемещающихся вместе с золотником деталей регулятора,
w— скорость золотника,
Р — сила давления вращающихся грузиков,
G — сила упругости пружины регулятора,
Т—сила трения в регуляторе1.
1 Во время отвода вытесняемого из полости цилиндра масла при обычном конструктивном выполнении
регулятора на золотник действует сила реакции вытекающего масла, направленная в сторону отклонения
золотника. Эта сила, пропорциональная квадрату скорости масла (или угловой скорости вращения лопастей),
в существующих конструкциях может получить заметную величину. В нашем исследовании она не учи-,
тывается.
W
Сила давления грузиков может быть представлена так:
и?
X
(3.8)
р=
где tis— число оборотов винта в секунду,
у — степень редукции числа оборотов от шпинделя регулятора к оси винта,
А и В — постоянные регулятора (см. Приложение).
Сила упругости пружины зависит от ее сжатия. Приращение силы упругости пру-
жины
(3.9)
где g—жесткость пружины при начальном сжатии, соответствующем равновесному числу
оборотов, когда
G = A^j^\	(3.10)
здесь nSt— заданное число оборотов винта в секунду.
Формула (3.9) пригодна не только для цилиндрической пружины, но, при обычных не-
больших отклонениях золотника, и для конической пружины.
Трение в регуляторе состоит из сухого трения (в подшипниках грузиков и т. д.) и
жидкостного трения золотника.
Жидкостное трение ламинарного характера развивается на цилиндрических поверх-
ностях золотника и сводится к тормозящей силе, пропорциональной скорости скольжения
золотника:
T =	(З.Н)
где х—постоянная (см. Приложение).
Учет сухого трения в регуляторе несколько затруднителен. Пока мы ограничимся
замечанием, что трение этого рода проявляется незначительно. Роль сухого трения в ре-
гуляторе в процессе регулирования числа оборотов будет выявлена ниже.
Таким образом, для обычных небольших изменений
Фиг. 10
числа оборотов и отклонений золотника процесс регулиро-
вания числа оборотов может быть представлен системой
уравнений:
= —L [м (tj —
dl 2-7 ( v 2к ' sl
d? г ! х \ х
~dt — U ns,<?, h
>	7	(3.12)
d^ = A п1~пк. Shf -Bnl y.
dt mJ2 mhj2 m
Приводим данные серийного регулятора двойного дей-
ствия (тип Р-7): h — 3 мм, /=0,48 см2, /№^0,017 кг сек2\м,
А=4,75-10~3 и В = 0,81 • 10-3 кг сек2. На фиг. 10 даны ха-
рактеристики конической пружины этого регулятора — зависимости G и g от прогиба
пружины z. Для обычных условий эксплоатации х = 0,105 кг сек/м (см. Приложение).
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ
Поскольку система диференциальных уравнений, описывающая процесс регулирова-
ния числа оборотов, включает в себя сложные, частью получаемые путем эксперимента
зависимости, она может быть решена в общем случае лишь с помощью методов численного
интегрирования. Между тем для суждения об устойчивости регулирования и успешности
применения методов численного интегрирования необходимо аналитическое, хотя бы при-
ближенное, представление интегралов этой системы.
Рассмотрим вместо функций п, и, w и х их отклонения от начальных значений
Ъп = п — п0, оц> = ® — ср0, w — w0, 8х = х- х0,	(4.1)
считая скорость самолета V заданной функцией времени. Положим для простоты, что до
11
начального момента времени t—О движение было установившимся, так что п0 п*,
х0 —О и 7<у(, = 0. Чтобы получить приближенное аналитическое решение системы урав-
нений (3.12), сделаем предположение о малости отклонений (4.1). Тогда, разложив члены
уравнений по степеням отклонений и отбросив величины второго порядка малости, полу-
чим систему линейных уравнений
d dt	/Ъп \ )	4~«n	0/2 ft*		= Q(t)	
dt>rJf dt					ox	= 0
d dt	у h j	4“ «31	0/2 ft*	.	VW + fl33-y	.	ox ‘ г °34 ~h	=0
d dt	\h)			8w + «43T		= 0
(4.2)
с постоянными коэфициентами
/	ап = а «24 = -	H P d)J 2Л /2;	о <5p 012 = 7^ _ Л	_ ShP — Bnl fi33 m	asi	mhj2
	«31 	 «43 == —	mhj2 - 1	
(4-3)
где
М
2~ In '
вычисленными для начальных значении п, » и V, в которой
(4-4)
Q(0 =
м (о /и„ (/?», ?0, V)
2к //г*
(4.5)
Чтобы решить систему уравнений (4.2), воспользуемся методами операционного
исчисления. Для этого введем вместо функций—, оф,... их „изображения"
03 ЙП
F. = \h~U n.dt
о
00
=). f е~>(Sep dt
(4.6)
Символические равенства
(4.7)
означают, что Fn — изображение „оригинала" — , что F,,-—изображение оригинала 8ф и
ft*
т. д. Нетрудно убедиться непосредственным вычислением интеграла типа (4.6), что, на^
пример,
~eat.	(4.8)
Л — а	' •
12
Пользуясь свойствами
>Л(>)
d /Ъп
dt (n*
dc'6
^^dt’-
находим, что система (4.2) изображается системой
(к 4- a1})Fn-sral2Fl(	~Fq
X F4	—й24 Fх = О
«81 Fn	+ (Х + «Зз) Fu> + «34 Fx = О
«43 Fw 4“ ^ Fх~
(4.9)
Отсюда следует операционное решение в виде изображений
где
				(4.Ю)
	x4“«n	«12	0	0	
	о хф-о	0	«24	(4.И)
D(X) =	«31	о	X 4“ «83	«34	
	0	0	«43	ХД-0	
— определитель алгебраической системы (4.9), Dj{— его миноры у'-го столбца первой
строки. Остается построить оригиналы. Для этого преобразуем полученное решение. Вы-
D,
ражения
будучи рациональными функциями X, могут быть приведены к виду:
Bi _ V 1
D Zj	’
где Х]; Х2, . . . — корни уравнения четвертой степени DQ) 0.
Представим равенства (4.10) так:
X
^11 \ mJ р .
xz)'(xm)
Теперь воспользуемся теоремой Бореля, которая гласит: если FF2	(t),
= J Л (/ - z)/2 (т) dz.
о
В нашем случае согласно (4.8) /1(£) = eW, Следовательно, искомые оригиналы
“ = У f (/-т) Q (4 d
ft*	Q'm)
т = 1 0
4 t
8Ф = V f е’ ('-т) Q (4 dx
J u v-m)
tn = 1 0
(4-12)
13
Формулы (4.12) можно представить так:
4
(4.13'

где
t
ст (/) = J QCOd-r.	(4.14)
о
В этой форме более очевидно то обстоятельство, что функция Q(t), относительно
которой не было сделано никаких ограничений, может иметь ограниченные разрывы
и быть равной нулю в течение некоторых отрезков времени. Очевидно, что на этих от-
резках времени функции с,„ — постоянные величины.
Полученное решение остается достаточно точным до тех пор, пока отклонения on,
В®, . . . невелики. Если функции on, 8ф, . .. построены до момента времени 1\, когда снова
х=0, то для продолжения решения надо взять новые начальные условия и учесть, что
с этого момента коэфициент я24 принимает другое значение, поскольку величины См для
увеличения и уменьшения шага различны.
Перейдем к изучению полученного приближенного решения. Развертывая определи-
тель (4.11), получаем
D = V ф. +	+ Cgl 4- = 0,	(4.15)
где, поскольку aiS — — 1,
г1 = ап_Ь°зз
^2 = ®11®83 Н-*^34
Cg = CntZg4
С4 = 6l126Z24CZ3j	>
Выражение (4.15) может быть приведено к виду
D = (X* + А X 4- В) (X2 4-«Х 4- Ь),	(4.17)
где А, В, а и b — числа, связанные между собой зависимостями
С j — А —|~ п
е, = В+Аа+Ь
АЬ-\~Ва	*
ci-=Bb
Для центробежных регуляторов воздушных винтов характерным является то обстоя-
тельство, что приведенная к золотнику масса весьма мала, жидкостное трение золотника
незначительно, а сила давления грузиков и сила упругости пружины сравнительно велики.
Поэтому коэфициенты а31 и а84, обратно пропорциональные приведенной массе, весьма
велики в сравнении с коэфициентами пп, п]2 и а24, а коэфициент о33 — величина того же
порядка, что и коэфициенты яп, а]2 и а24, хотя и обратно пропорционален приведенной
массе. Следовательно, коэфициент сг сравнительно мал, а коэфициенты с2, с& и с4 весьма
^3	^4
велики; однако отношения — и невелики, поскольку остаются ограниченными при
^2	^2
неограниченном уменьшении приведенной массы. Но отсюда следует, что числа а и b
весьма малы в сравнении с числом В, но являются величинами того же порядка, что
и число А. В самом деле, равенства (4.18) можно представить так:
А = с, — а
ь = ^-
В
В = с2 — Аа — b
cs — Ab
В
(4.19)
14
Ёсли предположить, что Дпслй а и b малы, то число А также мало, поскольку коз-*
фициент с, невелик, а число В, приблизительно равное коэфициенту с2, весьма велико.
В таком случае
У £4	£ 3
b^ —;	1 ,
г* у	г< ’
т* е. действительно числа а и b малы, и
А^с,— В^с.
Но с2~йз4, так что, с большой точностью,
а ап
Л^а83
2^24^31
й34
В ам
(4.20)
Полученные приближенные значения для коэфицнентов А, В, а и b могут быть сколько
угодно уточнены следующим процессом последовательных приближений: найденные по
формулам (4.20) приближенные значения чисел а и b подставляются в первую пару
равенств (4.19), после чего уточненные значения чисел А и В вносятся во вторую пару
равенств и т. д., пока не будет достигнута требуемая точность. Этот процесс сходится
весьма быстро. Однако в большинстве случаев формулы (4.20) дают результат, не нуж-
дающийся в уточнении.
Согласно (4.17) характеристическое уравнение четвертой степени
£>(Х) = 0	(4.21)
равноценно двум квадратным уравнениям
Р4-Д)-4-В = 0; P-J-gX + ^^O,	'(4.22)
из которых первое дает большие корни
а второе — малые корни
(4.23)
(4.24)
уравнения (4.21).
Приводим пример расчета для винта обратной схемы. Данные механизма: 5=310 см2 = 0,031 м1, е =
= 6,5 см = 0,065 м, е = 40°. Винт имеет 0 = 3 .и; / = 4,3 кг мсек2. Диаграмма ₽(?, X) для этого винта дана
на фиг. 9. Исходный режим: N ~ 900 л. с. при п = 1 600 об/мин = 26,7 об/сек (на винте) на скорости V =
= 80 м/сек у земли. Диаграмма 17я(щ, ?) для этого случая дана на фиг. 7. Регулятор (указанный выше)
имеет передаточное число / = 0,65 и обеспечивает р* — 20 кг/см2. Плотность масла рн = 95 кг сек2/м*.
д р п д р
Вычисляем: р = 0,117 и Х=1,00. По диаграмме р (<р, X) находим: ср = 28°,8, gy =— 0,2 и = 0,86. По
диаграмме Ym(ns, ср) находим: Х/и'= —52 и S/n"=—13 кг м. Вычисляем: р — е =— 11°,2; I =6,5 cos (—11 °,2) =
= 6,26 см. Приняв [л0 = 0,33, получаем у = 0,398 и С* = 0,224 сек-1. Для щ=26,7 об/сек получаем Р=8,0 кг,
чему соответствует g=ll,6 кг/см.
Вычисляем: а = 0,56 сек~1 и
ап = 2,08,
й24 = — 0,398,
а.Л = - 313000,
#12 = 4,11,
«24 = — 0.224,
«зз — 6.18,
ам = 41700
Следовательно,
С1 = 8,26; с2 = 41713; с3 = 87000; с\ = 512000; q = 289000.
По формулам (4.20) для увеличения шага
« = 2,08; 5=12,3;
>4 = 6,18; 5 = 41700;
X = _ 1,04 + 3,35/ ; Хб = - 3,09 + 204/,
М	' —— *	w
а для уменьшения шага
« = 2,08, 6 = 6,91, А = 6,18, 5 = 41700,
Хм = — 1,04 + 2,416/, Хб = — 3,09 + 204/.
Погрешность оказывается менее 0,1 %.
15
Таким образом, движение рассматриваемой механической системы состоит из двух
движений, значительно отличающихся друг от друга. Движение, отвечающее большим
корням, всегда представляет собой быстрые колебания с частотой
и коэфициентом затухания
Период быстрых колебаний
(4.25)
(4.26)
(4.27)
порядка 0,03 секунды. Мы будем называть поэтому движение, отвечающее большим кор-
ням, короткопериодическим. Движение, отвечающее меньшим корням, в тех случаях когда
оно представляет собой колебания, имеет различную длительность полуколебаний в сто-
рону увеличения и уменьшения шага. Пусть v' и /'—„частоты" полуколебаний для уве-
личения и уменьшения шага, вычисленные по формуле
^=i/ Мт)2,	(4‘28)
Тогда период колебания
7'м = Т-+^“-	<4-29)
м м
Коэфициенты затухания этих полуколебаний у/ и у", вычисляемые по формуле
а
р-м —
(4.30)
практически одинаковы для обоих полуколебаний. Период колебаний в этом движении
порядка 2 и более секунд. Мы будем называть поэтому движение, отвечающее меньшим
/ CL
корням, длиннопериодическим, включая случай b — \~2 ) <С0> когда оно является апе"
риодическим.
Формулы (4.20) можно переписать, согласно (4.3), так:
а — с
Т д\
А = — ;
т
а д р r 2Дп’
F W2-^?
ghp — Bn2
mhj2
(4-31)
Следовательно, частота короткопериодических колебаний практически равна частоте
собственных колебаний регулятора, а частота длиннопериодических колебаний практически
не зависит от приведенной к золотнику массы.
Чтобы выявить роль указанных двух движений в процессе регулирования числа
оборотов, достаточно определить соотношения между частными амплитудами этих коле-
баний. Амплитуды колебаний числа оборотов характеризуются величинами	зату-
хание колебаний характеризуется величинами у.
Рассмотрим величины
Dn 1л
Имеем
Du =
X
о
о
0
где а43 — —1, так что
изз
аа
“24
П34
к
(4.32)
16
Далее, из (4.17) имеем
D' = (2а + Л) (X2 + а). -р />) + (2К 4- a) (Xs 4 /IX 4 В).	(4.33)
Возьмем большие корни. В этом случае
19ц — kg [((Zgg -4) Хб 4 «34	^]>
т. е. здесь уже нельзя удовлетвориться приближенными формулами (4.20). Чтобы полу-
чить достаточно точную оценку величины Ои, обратимся к равенствам (4.19). Согласно
(4.20) Ла^япя33; поэтому более точно
B = a3i — b.
Далее, путем исключения величины а из двух равенств (4.19) находим
д__С\В cs
— В b ’
Заменяя в числителе В через с2— аА — Ь, получаем
__ <?](<?» — &) —с3
в — ь 4
Но с2 — я, jrtgg 4 «34- Поэтому
д __ «33«84~~|~С1 («11«33
в — ь 4 «н
(4.34)
(4.35)
Пользуясь (4.34) и полагая ял^яп, получаем
А я33 ( 1 4 26-—асЛ 4	~а	«33-«и ь	(4.36)
\	«34 J	«34	«34
Следовательно,
Du (Х6) ~ Xfi (- х 4 1 \ь х6 ь.
\	«34	/
Из (4.33) имеем
D' (Хб) = (2 х6 4 А) (х| 4 «^ 4 &)•
Но Х|^ — я34, a 2 Х6 4^1 == 42v6/, так что D'Qc, )~42 «34 7б «.
Таким образом, для больших корней —
Й¥~4-тЛ—= —лД-^4—(4-37)
D 1 2 я34 v6i 2я34 v6 )
Возьмем малые корни. В этом случае с большой точностью
^11 О'” ) ~ «34-
Из (4.33) имеем
D' (Хм) = (2).м 4 а) (к2 4 Л Хм 4 В).
Но В я34, а 2 Хм 4 « = 4 2 vM i, так что D' (Хм)	4 2 л34 vM i.
Таким образом, для малых корней —
Р\\_____|_ 1 ХМ   1 / . -у- i^m .
~ ~ 2 vM t ~ 2 ( vM
(4.38)
Полученные приближенные выражения для достаточно точны, особенно точна
формула (4.38) для малых корней, дающая погрешность порядка 0,1%.
3
*7
Величина — весьма мала; так, для данных приведенного выше примера — = 0,000295
«34	«34
для увеличения
шага и
— =_0,000165 для уменьшения Шага,
«34
т. е. величины
Qn
D'
для ко-
роткопериодических колебаний в несколько тысяч раз меньше, чем для длиннопериоди-
ческих колебаний.
Рассмотрим величины р.. Возьмем большие корни. Согласно (4.35) А^>0, если
b
сз
«1
или, в развернутом виде,
«34
«11	«33
(4.39)
(4.40)

В существующих конструкциях это условие выполняется всегда. В самом деле, пра'
вая часть неравенства (4.40) велика, если только a3S / 0, а число b сравнительно мало-
Для данных приведенного выше примера имеем 12,3 <31210 для увеличения и
6,91 <31210 для уменьшения шага, т. е. нарушение условия (4.40) возможно было бы
лишь при увеличении числа Ь, например за счет увеличения чувствительности механизма,
в несколько тысяч раз, что невыполнимо. Следовательно, всегда Д>0 и р-б>0, т. е.
короткопериодическое движение всегда затухающее.
Мы видим, что одного жидкостного трения золотника более чем достаточно для
обеспечения затухания короткопериодических колебаний. Отметим к тому же, что неуч-
тенное в проведенном исследовании сухое трение способствует затуханию короткоперио-
дических колебаний.
Возьмем малые корни. Для винта на режиме положительной тяги и на режиме ветряка
ап>0 и, независимо от жидкостного трения, всегда п>0. Поскольку существует управ-
ляемость винта, Поэтому вещественные части малых корней всегда отрицательны
и, значит, длиннопериодическое движение всегда затухающее. Заметим только, что при
^<"4" оно является апериодическим; в этом случае малые корни будут
— Ь.
(4.41)
Что касается сухого трения, то оно не влияет на характеристики длиннопериодиче-
ского движения. В самом деле, если движение тела вдоль поверхности трения состоит
из основного поступательного перемещения и малых колебаний большой частоты, то сила
сухого трения, действующая попеременно то в направлении перемещения, то в Противо- .
положном направлении, не влияет на эту основную часть движения.
Итак, оказывается, что амплитуды короткопериодических колебаний числа оборотов
ничтожно малы в сравнении с амплитудами длиннопериодических колебаний. Вообще
основным, определяющим процесс регулирования числа оборотов является длинноперио-
дическое движение. Короткопериодическое движение является добавочным движением,
которое может быть отброшено без ущерба для практических расчетов и выводов. На
этом основании можно сделать весьма важные выводы.
Поскольку характеристики длиннопериодического движения практически не зависят
от приведенной массы регулятора, оно весьма близко к движению с безинертным, т. е.
не обладающим массой, регулятором. Следовательно, отбросив короткопериодическое
движение, можно перейти вообще к предположению о безинертности регулятора.
Согласно формулам (4.31) и (4.38) характеристики длиннопериодического движения
практически не зависят от жидкостного трения золотника; независимость их от сухого
трения отмечена выше. Таким образом, удерживая лишь длиннопериодическое движение,
можно перейти вообще к движению с идеальным, без массы и сил трения, регулятором.
А так как удобства, связанные с переходом к идеальному регулятору, весьма велики,
то в дальнейшем в приложениях к практике мы будем пользоваться лишь теорией регу-
лирования с идеальным регулятором. Эта теория, как установлено проведенным исследо-
ванием, достаточно точно воспроизводит процесс регулирования числа оборотов.
Теория регулирования с идеальным регулятором дает правильное суждение об
устойчивости регулирования, поскольку по этой теории устойчивость имеет место тогда,
18
когда она существует вообще. Возможность неустойчивости в действительной схеме,
связанная с силами инерции масс регулятора, полностью устраняется проявлением сил
трения в регуляторе.
Вообще при наличии управляемости винта можно не ставить вопроса о существова-
нии устойчивости: она всегда имеет место. Практическое значение имеет лишь опреде-
ление меры устойчивости, т. е. определение величины отклонения числа оборотов от
заданного в тех или иных условиях и быстроты затухания этого отклонения. Это может
быть сделано с достаточной точностью на основе теории идеального регулятора.
Заметим еще, что численное интегрирование точной системы уравнений (3.12) прак-
тически ^весьма затруднительно, так как для получения надежного результата интервал
интеграции необходимо делить на весьма малые отрезки kt порядка 0,003 секунды.
§ 5. ТЕОРИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ С ИДЕАЛЬНЫМ РЕГУЛЯТОРОМ
Уравнения процесса регулирования с идеальным регулятором сравнительно просты.
Движение золотника определяется уравнением
которое можно представить так:
А («?-	-Вп$ j =
где
Отсюда
2 Ап*
ghp — Вп* >
(5Л)
(5.2)
—величина, характеризующая чувствительность регулятора к отклонению числа оборотов
от заданного числа оборотов пЛ:. Мы будем называть величину Ср коэфицнентом чувстви-
тельности регулятора.
Таким образом, уравнения процесса регулирования с идеальным регулятором
имеют вид:
₽ (,7Л, ?) rv, 9
причем в случае поршневого механизма (§ 2, А)
d®
dF
Q
Fl
(5.4)
(в односторонней схеме это ограничение относится только к рабочему ходу цилиндро-
вой группы), а в случае турбинного механизма (§ 2, В) —
I 2 Q /-Z
| dt " г| — г* b
(5.5)
Система уравнений (5.3) дает возможность решать задачи об устойчивости режима
при конечных отклонениях от него и об устойчивости числа оборотов в процессе пере-
хода от одного режима нагрузки винта к другому. Эта система уравнений легко ре-
шается методами численного интегрирования.
По поводу применения методов численного интегрирования необходимо сделать сле-
дующее замечание.
19
Мы имеем дело с системой
dn , ,	.. d’i , , Л	„
fn (п> Ъ О ,	—ft (rti f> t) >	(5-6)
где функции fn и /т имеют весьма простой вид и легко вычисляются, однако включают
в себя численно заданные зависимости. Ясно, что для уравнений такого тина наиболее
эффективными оказываются такие методы численного интегрирования, как метод Рунге-
Кутта и сходные с ним методы. Метод Рунге Кутта заключается в следующем. Интег-
ралы n(t) и ср (У) находятся шаг за шагом, переход от значений «р и ср0 при t — t0 к по-
следующим производится по схеме: вычисляются величины
si«=/„(n0> сс0, t0)
°2 n—fn по 4	2~ ’ ®° —2 ’	2 /	'
о3п — /«(^«4	?о4"°г?>4 I Д/)Д7;
?---/ф (,1о> ?о» А>)
Пп + -у ,	+	+	\ Ы
3rf=:A(«o + a2/l, То + V?- +
•(5.7)
после чего находятся приращения
Дгс— М-М5?»	. д . а1? + 4о2? + 6з?
6	’	6
(5-8)
Этот метод является обобщением метода Симпсона. При пользовании им достаточ-
ная для практических расчетов точность достигается при делении интервала интеграции
на отрезки Д/^0,1 секунды. Однако почти такую же точность при той же величине Д/
дает следующая упрощенная схема: вычисляются величины
rjfl fn(^0> То» ^о) rj,f —?о> ^о)
(5-9)
и находятся приращения

Зср
ДМ,
&t
GCE
Т’
(5.10)

Она представляет собой обобщение правила трапеций.
Однако полезно также иметь аналитическое, хотя бы и приближенное, представле-
ние для процесса регулирования числа оборотов.
Соответствующая системе (5.3; линейная система имеет вид
где
(5.П)
(5.12)
(5.13)
20

Решением системы уравнений (5.11) при начальных условиях

О
являются функции
\п 11
2^/п + Яц
Q (х) d т,
2
£?~
т=1 О
«ы Q(^
где Хт — корни квадратного уравнения
X2 —j— Gjj X	<Xj2 ^21 ==
kj = — [Л	i'i;	Х2 = — |Л — tv,
где
(5.14)
(5.15)
(5.16)
(5.17)
При наличии управляемости вещественные части корней уравнения (5.15) отрица-
тельные, так что решения (5.14) устойчивы.
Для практического применения следует формулы (5.14) взять в виде:
— == g-i"' [(v cos v t -ф- p. sin v t) C] (tj — (p. cos v t— v sin v t) c2 (()],
3® = [sin v t f] (/) — cos v t c2 (/)|,
(5.18)
где
t
c, = ev~ cos vt Q (-) d~;
о
t
c., — j e!,z sin vt Q (?) d т
0
(5.19)
— функции, являющиеся постоянными величинами на отрезках времени, где Q = 0.
Формулы (5.14) и (5.18) представляют собой функции т и 8® лишь в пределах дан-
ного полуколебания от момента времени п = /г... до следующего момента времени п — п*,
так как величины v для увеличения и уменьшения шага различны. Поэтому свободные
колебания состоят каждое из двух полуколебаний различной длительности (фиг. 11) и
период колебаний определяется по формуле (4.29).
При конструктивно обусловленном ограничении ‘
диапазона изменения шага, какое свойственно механиз- п.
мам с простой кулисной передачей, могут иметь место	I*"7-*!_________П
любые отклонения числа оборотов от зада того. По
достижении упора минимального шага (®_®m;n) число о-----------V----— _——t
оборотов начинает падать, а по достижении упора мак-	/
симального шага (® = ®шлх) оно начинает возрастать.	/
В практике иногда приходится рассматривать смешан- _______'
ные процессы, в которых гинт частью работает как
автоматический винт и частью как винт фиксированного	Фиг. 11
шага. В этом случае формулы (5.18) неприменимы и
необходимо применять указанные выше методы численного интегрирования. За пределами
автоматического регулирования система (5.3) упрощается: остается лишь первое уравне-
ние для моментов относительно оси винта.
21
В общем случае единственной мерой устойчивости работы винта является величина
максимального отклонения числа оборотов от заданного при данном изменении нагрузки
винта. Лишь в тех случаях, когда с достаточной точностью применимы линеаризирован-
ные уравнения (5.11), можно дать более удобную меру устойчивости. Поскольку в этом
случае отклонение числа оборотов от заданного пропорционально функции, изображаю-
щей изменение нагрузки винта, мерой устойчивости является величина максимального
отклонения числа оборотов от заданного для данного „единичного“ закона изменения
нагрузки винта.
§ 6. ЗАБРОС ЧИСЛА ОБОРОТОВ ПРИ ДАЧЕ ГАЗА
Для расчета заброса числа оборотов при даче газа крутящий момент мотора удобно
представить так:
(6.1)
где А?! и /И2 — начальная и конечная величины момента,
/(Q —функция, равная нулю при£ = 0 и равная единице при t — Т, где Г—время
дачи газа.
Вводя безразмерное время
-4,	(б-2)
можно представить систему уравнений (5.3) так:
(п_\	М2Т I	3(п/р) /_п VI
d т ( n^J	Q*I |	р2 п*] J
do 1	/ п. V 1
(6.3)
где
м2

(6.4)
2* = 2 кп,* — заданная угловая скорость винта,
₽2— коэфициент мощности винта в конечном установившемся режиме, причем
для всех схем
х
/Г
< 1;
do
Т
а
для обратной и двусторонней схем
< “шах Т.
Поскольку регулирование устойчиво, превышение заданного числа оборотов является
наибольшим в момент первого максимума функции п(т). Поэтому для определения заброса
числа оборотов, т. е. величины
А/1 \ Нтах И*
--	=-----------	(Ь.О)
И*	7U	’
* /шах	*
достаточно проинтегрировать систему (6.3) до момента первого максимума функции и(т).
Если начальный уюло1 больше конструктивно минимального угла oinjn, то система (6.3)
имеет начальные условия п — п* и
dn
dt
Если — «mi,,, то начальное число оборотов' пу меньше п% и изменение шага начи-
нается только с момента времени, когда будет п = п*. Число оборотов определяется
22
по кривой f. (Л) для rf = ?min как соответствующее Mlt т. е. как соответствующее точке
пересечения кривой р(Х) с параболой р = сХ2, где с — —.
Р Ds V2
Интегрирование системы уравнений (6.3) выполняется по указанным выше (в § 5)
методам численного интегрирования. При этом вполне достаточная точность получается
при делении интервала интеграции на отрезки Дт ==0,08 -г- 0,10.
Рассмотрим влияние параметров винтомоторной установки и автоматики на величину
заброса числа оборотов, возможного в пределах области регулирования, т. е. при усло-
вии, что cpmin <л <С ?тах. В рациональной регулирующей системе при забросе числа обо-
ротов, меньшем допустимого заброса числа оборотов, отклонение золотника не превышает
высоты окна в канале золотника (л-^/z) и, в случае обратной или двусторонней схемы,
расход масла при увеличении шага не превышает производительности насоса (<»<С «Дфел ).
В дальнейшем мы будем рассматривать только заброс числа оборотов для указанных
регулирующих систем.
При сделанных ограничениях заброс числа оборотов практически зависит от весьма
небольшого числа комбинированных параметров.
В самом деле, зависимость р от <р весьма близка к линейной, так что для малых
отклонений числа оборотов от заданного числа можно принять
Р = - ?0
Рг ®2~ % ’
где <р0—угол, соответствующий р = 0 при данной величине X.
Далее можно взять среднее значение величины в процессе увеличения шага.
В результате, вводя переменную
6=4,	(6 6)
г2
можно систему уравнений (6.3) с достаточной точностью заменить системой
V A [Pi + (1 - А)/С) - GzT
db___ 1	/ ii1 X
re]- J ’
где постоянные величины
/И,	М,Г	СТ
Р1 ~ М2 ’ РйI ’ Рз ~ ?2—а
(6.7)
(6.8)
— параметры системы диференциальных уравнений (6.7). Таким образом, зависимость
числа оборотов от времени и, значит, относительный заброс числа оборотов при данном
законе нарастания крутящего момента мотора, характеризуемом функцией /(?), практи-
чески зависит только от трех указанных параметров р,, /?, и ps Эти параметры включают
в себя данные винта, режима его работы и характеристику автоматики винта.
Заброс числа оборотов тем больше, чем больше величины pL и /?., и чем меньше
величина р3. Рассмотрим предельные значения параметров р2 и р3. Очевидно, что при
п
р2~^0 п -» п* тождественно, а при р2 <х> —----» оо. Для р3-=0 функция ге(т) опреде-
ляется уравнением
d / п X _
d т n*j Р2
Пя
где С постоянная, а при ps се п п* тождественно (это можно доказать строго,
интегрируя уравнения, линеаризированные в окрестности точки = и переходя к
пределу р3 — оо).
23
где С =
ОПЕЧАТКА
После формулы (6.3) напечатано: где...,
должно быть:
£ £ __коэфициент чувствительности регулирующей системы
Фиг. 12
Закон нарастания крутящего момента мотора
при даче газа еще не изучен. Хотя увеличение
крутящего момента мотора даже при резкой даче
газа почти следует за открытием дроссельной
заслонки, но изменение крутящего момента во всех
случаях может быть только плавным. Поэтому
производные функции /(т) при т = 0ит^1 долж-
ны быть равны нулю. Можно считать, что
/(т)т).	(6.9)
Эта функция при т^О равна нулю вместе
со своей производной и асимптотически, но весьма
быстро стремится к единице. При т=1 функция
/(т) равна 0,98, т. е. практически достигает своего
предела (фиг. 12).
Заметим, что принятие одного наиболее ве-
роятного закона нарастания крутящего момента
(каковым является принятый нами закон) целесообразно потому, что дает возможность
сравнивать устойчивость различных винтов в одинаковых условиях.
На фиг. 13 и 14 даны диаграммы
функции I---- в зависимости от р2
\	J max
и р3 для принятого закона (6.9) при
Pi = 0 и Рх = 0,3, полученные путем
численного интегрирования прибли-
женной системы уравнений (7). При
наличии таких диаграмм легко опре-
делить заброс числа оборотов для
данных условий. Для этого доста-
точно вычислить параметры р2 и р3,
причем в параметр р2 ввести среднее
значение угла ® и числа оборотов п:
„ _____ /1тах 4~ Я*
«ср —	Q ’
Поскольку до расчета величина
/г,пзх неизвестна, для определения
ССр делается предположение о величине заброса,
после чего, если будет необходи-
мость, величина Сср уточняется.
Пример. Определить для указан-
ного выше (в примере § 4) впита при тех
же условиях (’=80 м:сек, Н =0) и том же
моторе заброс числа оборотов при даче
газа от А'= 360 л. с. до АГ=12>'Ю л. с.
за время Т — 2 сек при числе оборотов
винта n* = 1 700 об/мин = 28,2 об!сек.
Имеем pj -0,3. Вычисляем:
<>,,,= 2 я: 28,2 - 177 сек
75 N 75-1200
Л4ч ~— q	177	— 508 к2м 1
- 508’2
177-4,3 —
24
Далее вычисляем':
2 п 508
?2 = “q [25.3»~28 2'2 ^^З!= 0,3-0,131 = 0,0394;
80
;	к А ~ 3-28,2 ~0’94-
По диаграмме ₽(?,?.) находим для А =0,94 <р0=18°,5; -^ = 22°; <р2 = 29°. Вычисляем-
ой - ¥о == 10° ,5 = 0,183 рад; ?ср = (22 Ц- 29): 2 = 25°,5;
9ср — е = — 14°,5; cos (<рср — г) = 0,969; I = 0,065-0,969 = 0,063 м.
Коэфициент [л будем определять по формуле
0,33
У1 L5,45'^‘
Вычисляем: для п* = 28,2 Р— 4,75 1 (Г 6-28,22:0,65''= 8,92 кг; при этом g=12,4 кг/см. Вычисляем
г _	2-4,75-10-3-28,22
-Р ~ 12,4 • 0,3  0,652 — 0.81 • 10-з - 28,22
Я = 0,031 -0,063 = 1,96-10-3 мЪ.
' Дя
1)	Предположим, что относительный заброс — = 0,1. Тогда
х 8,1 .
ф =	=-^-(1,12—1) = 0.85; [л = 0,148; яср = 29,6.
По диаграмме S т (я,, <р) находим 2 т' — — 65,5; k S т' = — 197;
= °^96-?0-3— V(2°-104 - ,9б1Ы = °’1665: С = 0.1665-8,1 = 1,35;
1,35-2	, <
л о,18г 14,7,
Ди
По диаграмме находим для р% — 1,335 и р3 —.14,7 -—=0,11.
2)	Предположим, что — =0,110; тогда ф = 0,9.3; ц = 0,138, яср = 29,7 о6!сек; 5лп'=— 66 кгм;
Дя
ASm’ = — 198 кгм; С = 1,26; р3= 13,8; в результате — =0,112, т. е. в дальнейшем уточнении нет надоб-
пости.
3)	Определим максимальные значения скорости увеличения угла установки и секундного расхода масла.
Имеем для -^- = 0,112:
“шах = *>26	= 0,148 сек~1 — 8,5 град сек\
q = 0,148-1,96-10-3 = 0,290-10“з ^3 = 0,290 л1сек± 17,4 л]мин.
Следовательно, расход масла близок к производительности иасоса.
§ 7. ЗАБРОС ЧИСЛА ОБОРОТОВ ПРИ НАБОРЕ СКОРОСТИ
Для расчета заброса числа оборотов при наборе скорости скорость самолета, являю-
щуюся известной функцией времени, удобно представить так:
ww,	(7.1)
где Vi и 1/2 — начальная и конечная величины скорости,
f(t) — функция, равная нулю при t — 0 и равная единице при t=T, где Т — время
набора скорости.
Если набор скорости происходит при постоянной мощности мотора (как, например,
при входе в пикирование), то заброс числа оборотов можно определить с помощью при-
веденных выше диаграмм — (/’ьРа>Рз)- В самом деле, увеличение скорости самолета
4
25
при неизменном шаге винта равноценно увеличений крутйЩёго момента мотора на вели-'
чину
Д/и~— -Lpd^-|L(x_x,),
t
где Xj — начальная величина относительной поступи винта. А так как величина частной
производной от р по X весьма мало зависит от шага винта и обычный заброс числа обо-
ротов невелик, то
где М — момент мотора (постоянная величина),
р! — начальная величина коэфйциента мощности винта.
Следовательно, это условное приращение момента мотора можно считать известной
функцией времени.
Итак, при наборе скорости условный момент мотора
...
Сравнивая это выражение с выражением для момента мотора при даче газа
7и=уИ1|1+(4?-1)/(0
находим, что при равных значениях параметра должно быть
М2 __	. Эр Хг — Xt
dX Pi ’
Таким образом, заброс числа оборотов при наборе скорости можно считать завися-
щим только от трех параметров:
1	МТ Л <?р Ха —X, \	НГ
А 1 др Х2-Хт ’	Qj[l dX р, / Ps	(7-2)
1 ах  р2
где <р0 и tp2 — углы установки при _р -О и при P = P2 = Pi для Хъ а Т — время набора
скорости, так же как и заброс числа" оборотов при даче газа, зависит от параметров (6.8).
Принятая выше функция (6.9) достаточно хорошо изображает также закон нарастания
скорости самолета при входе в пикирование. В самом деле, в начале входа имеет место
значительное ускорение. Этому соответствует начальный участок кривой f(f) параболи-
ческого вида. Затем возрастающее лобовое сопротивление самолета начинает тормозить
самолет и скорость его приближается к предельному значению. Поэтому для расчета за-
броса числа оборотов при входе в пикирование можно пользоваться приведенными выше
Дп ,
диаграммами------(Р1.Р2. Рз)-
ч*
1»—.-----»-----------;—.—
« 1Й '
ПРИЛОЖЕНИЕ
А. КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ ЛОПАСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ ВРАЩЕНИЯ
ЕЕ ВО ВТУЛКЕ
При вращении винта на лопасти его действуют воздушные и центробежные силы,
создающие крутящий момент относительно оси вращения лопасти во втулке.
Условимся считать положительным момент, стремящийся увеличить шаг винта.
а)	Момент воздушных сил
Момент воздушных сил относительно оси вращения лопасти во втулке можно пред-
ставить в виде интеграла, распространенного вдоль лопасти:
тя = у f т\ b2 dr,	О)
где Wz —коэфициент момента профиля сечения лопасти на радиусе г относительно оси
ее вращения,
U7=fVs 4-SV2
(2)
— скорость элемента лопасти. Для вычисления mz необходимо располагать результатами
аэродинамического расчета винта для данных значений » и К, который дает распределе-
ние по радиусу действительных углов атаки а и соответствующих коэфициентов поляры
су и сх. Определив соответствующие величины коэфициента момента профиля относитель-
но передней кромки тг, величины тг можно найти по формуле:
mZ = — тг + — (сv cos 7	sin 7),
(3)
где I—расстояние от передней кромки профиля до оси вращения лопасти,
1 ~~ угол между направлением скорости элемента W и направлением I (фиг. 15).
При обычных небольших смещениях центров тяжести сечений от оси вращения
в пределах обычных углов атаки можно принять
и sin Формулу (1) можно представить так:
где
7 а и
cos 1
(4) •
.2
г2
1Р
(5)
тя — 7$D*t£,—,
/(?
При больших скоростях конца лопасти необходимо учитывать влияние сжимаемости
воздуха, т. е. нужна зависимость х(<р, X, Ма), где Ма —число Маха (3.4).
С увеличением числа Маха центр давления воздушных сил на профиль смещается к
задней кромке. При обычных небольших смещениях центра тяжести сечений от оси вра-
щения влияние сжимаемости воздуха может значительно изменить величину момента
вплоть до изменения его знака.
В целом крутящий момент воздушных сил та зависит (на данной высоте полета)
от V, п и ср. На большей части диапазона обычных режимов работы винта он стремится
увеличить шаг винта.
27
На фиг. 16 дан график зависимости ma(ns,a) для трехлопастного винта, геометричес-
кие характеристики которого приведены на фиг. 22. График этот получен расчетом без
учета сжимаемости воздуха для винта 0 = 3 м при скорости V- 80 м сек на высоте /7 = 0.
б)	Момент центробежных сил
При вращении винта элемент лопасти на
радиусе г' испытывает действие центробежной
силы dZ=Pidafi2r' (где р( - плотность материа-
ла лопасти, da — объем элемента), направленной
вдоль радиуса вращения г' (фиг. 17). Проекция
этой силы на плоскость ху, нормальную к оси
вращения лопасти, равна dZ sin ф, а момент ее
относительно этой оси dtna= — pjQV'j'sintpda.
Следовательно, действие центробежных уско-
рений на лопасть сводится к крутящему моменту
тц = — й2 f р] у г' sin ф da	(6)
(интегрирование производится по объему ло-
пасти). Поскольку	, формулу (6) мож-
но представить так:
= Й2 | [5/f sin 20 4-
-ф (Л — Л ) sin 28] pj dr,	(7)
где 5-=—площадь сечения, нормального к оси вращения лопасти,
/j — расстояние центра тяжести сечения от этой оси,
О угол между направлением lt и плоскостью вращения винта,
h и /ц — минимальный и максимальный моменты инерции сечения,
v — угол наклона главной оси инерции его к плоскости вращения винта (фиг. 18).
При обычных небольших смещениях центра тяжести сечений от оси вращения ло-
пасти первым слагаемым в формуле (7) можно пренебречь.
Фиг. 18
В случае деревянных винтов, выполняемых с переменной
можно пользоваться формулой (7), вводя в расчет переменную
осредненную по сечению.
Если не учитывать деформации лопасти, то
плотностью материала,
по радиусу плотность,
е = 6о-Н;
8 = 80 -ф ©,
(8)
где Оп и 80 вместе с — постоянные данного сечения.
Тогда формула (7) дает
/Иц =-----у- Й2 (Л sin 2? 4~ В cos 2<f),
(9)
28
(10)
где
А = р [57* cos 260 (Aj — k ) cos 2<%] pj dr,
В — I' [S7| sin 260 (7^ — k ) sin 2&0] pt dr
суть постоянные лопасти.
В целом момент центробежных сил /лц зависит от п и <р. Действие центробежных
ускорений таково, что каждый элемент лопасти стремится приблизиться к плоскости
вращения оси лопасти. Поэтому в обычных условиях работы винта центробежный момент
лопасти стремится уменьшить шаг винта. Он достигает максимума при угле установки
близком к 45°.
На фиг. 16 дан график зависимости /пц (ns, <s) для указанного выше винта при
/| — 0.
Путем установки на комлях лопастей специальных противовесов можно добиться
того, что центробежный момент лопасти с противовесом будет стремиться увеличить шаг
винта (фиг. 7). Центробежный момент противовеса может быть вычислен по формуле
(9), если в ней взять
А — — р2 cos 2&о J (7TJ k ) dr,
В = — p2 sin 260 J (7Tj — lr ) dr
(И)
где 60 — угол заклинения главной оси Е инерции противовеса относительно хорды лопасти
на радиусе 0,75 R (фиг. 19);
7г и7т — моменты инерции противовеса относительно осей с и т;, проходящих через ось
вращения лопасти,
р2 — плотность материала противовеса.
Для винтовых профилей можно пользоваться
следующими формулами:
5 = (0,7 н- 0,75) cb; 7; = (0,42 0,51) с3 tr,
7, =ь (0,4	0,48) cb\ х = (0,42 0,47) Ь,
где с—толщина профиля, а л—расстояние центра
тяжести от передней кромки профиля.
Отметим, что направление главной оси инер-
ции £ весьма близко к внутренней хорде профиля.
Фиг. 19
в)	Момент сил трения
Основной частью момента трения в механизме изменения шага является момент
трения в подшипниках лопастей. Эта часть момента может быть определена расчетом с
достаточной точностью.
В качестве подшипников лопастей применяются исключительно подшипники качения,
чаще всего роликовые (ввиду больших нагрузок). Момент трения в подшипнике качения
можно вычислить по формуле:
тт = td-P,	(12)
где Р — нагружающая (осевая или радиальная) сила,
d - диаметр окружности центров тел качения,
т - безразмерный коэфициент трения; для шариковых подшипников 0,003; для
роликовых подшипников т = 0,004 ч-0,0045.
Затруднения могут возникнуть лишь при определении реакций опор, поскольку в
некоторых конструкциях (например, в трехопорной втулке) имеет место статическая
непреодолимость реакций опор. Однако основным является момент трения в упорном
подшипнике, нагружаемом действующей на лопасть центробежной силой порядка 15 30 т.
Поэтому можно не заботиться о вычислении нагрузок на радиальные подшипники: вычис-
лив момент трения в упорном подшипнике, надо увеличить его примерно на 10%.
29
Действующая на лопасть винта центробежная сила определяется по формуле
Z=Q2JP1Srrfr,	(13)
где интегрирование производится по длине лопасти.
В поршневом гидравлическом механизме имеет место трение поршня в цилиндре
и трение в передаче. Эта сравнительно небольшая часть момента трения должна опреде-
ляться опытным путем.
В случае турбинного механизма трение в гидравлическом механизме учитывается
коэфициентом полезного действия редуктора т).
Таким образом, при поршневом механизме на одну лопасть приходится момент
трения
m-t who4-1,1 t-d-Z,	(14)
где величины d и х относятся к упорному подшипнику.
Величина /пг0 в существующих конструкциях для работающего винта—порядка
3-^5 кгм.
При турбинном механизме
wiT ~ 1,1 t-d-Z,	(15)
где также величины d и т относятся к упорному подшипнику.
На фиг. 16 дана диаграмма /пт (и) для указанного выше винта.
Б. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕНТРОБЕЖНОГО РЕГУЛЯТОРА
При вращении плоского грузика относительно оси регулятора (фиг. 20) центробеж-
ные ускорения создают момент относительно оси грузика
М = Ргр йр b f I — У (а + ») sin Ф) 4- (£, -	| т; cos ,
где ргр — плотность материала грузика,
йр — угловая скорость шпинделя регулятора,
b — толщина грузика,
а—расстояние оси грузика от оси регулятора,
?2(т|) и (т)) — координаты контура грузика в связанной с ним
системе координат £ и
Ф — угол между осью и осью регулятора.
Вдоль оси золотника действует сила
kM
I COS Ф ’
Фиг. 20
где k — число грузиков,
I — плечо силы давления грузика.
Имеем
1де
А'0 = Ргр4" f
P=Q2(/<04-^cos'P + ^sin<]>);	(16)
A'l^Prp -g/- I («2 — $1)®^ ; АГ2 = Ргр— (=2 —51)^^ (17)
— постоянные регулятора.
Проведем ось tj при нейтральном положении золотника параллельно оси регулятора.
Тогда отклонение золотника x = /sin6. Следовательно, при малых отклонениях золотника:
COS’psp 1, sin’|> ~ -j и
Р=П^Д4-Д^-У	(18)
30
где tip — число оборотов регулятора (об]сек),
Л = 4^(/<0 + К1);
В = ^~К2
(19)
— постоянные регулятора.
Для регулятора Р-7 Л = 4,75-10-3 кг сек1
кривая Ср (пР ) для серийного регулятора Р-7.
Коэфициент х, характеризующий
лен по формуле
5
д .
где 5— площадь трения,
Д— зазор между поверхностями трения,
у. — коэфициент вязкости масла.
и 5 = 0,81-10 3 кг сек2. На фиг. 21 дана
Коэфициент вязкости авиационного масла при температуре 60° по Цельсию
и^0,007 кгсек1м2. Для регулятора типа Р-7, у которого 5 = 2,25 см2, при зазоре
Д = 15 микрон = 0,015 мм * = 0,105 кгсек)м.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Автоматические воздушные винты. Сборник. Оборонгиз, 1941 г.
2.	Г. И. М а й к а п а р, А. М. Л е п н л к и н, Д. В. X а л е з о в- Аэродинами-
ческий расчет винтов по лопастной теории. Труды ЦАГИ № 529, 1940 г.
3.	Л. Прандтль и О. Титьенс. Гидро-и аэродинамика, ч. II, ОНТИ, 1935 г.
4.	А. М. Э ф р о с и А. М. Данилевский. Операционное исчисление и кон-
турные интегралы. ОНТИ, 1937 г.
5.	Н. А. Крылов. Лекции о приближенных вычислениях. Академия наук
СССР, 1933 г.
6.	Дж. Скарборо. Численные методы математического анализа. Перевод
с английского. ГТТИ, 1934 г.

Отв. редактор А. А. Горяйнов
Объем 4 печ. л., 42 880 зн. в печ. л.
Подписано к печати 13/V 1946 г.
Учетно-авторских листов 4,1
Г-92781
Гип. изд-ва БНТ
Зак. № 1065
г

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение....................................... 1
§ 1.	Схемы регулирования....................... 2
§ 2.	Скорость изменения	шага............... 5
§ 3.	Уравнения процесса	регулирования.......... 9
§ 4.	Исследование процесса регулирования , . .	11
§ 5.	Теория регулирования с идеальным регулято-
ром .......................................... 19
§ 6.	Заброс числа оборотов при даче газа .... 22
§ 7.	Заброс числа оборотов при наборе скорости . 25
Приложение.................................... 27