/
Автор: Буттацо Дж. Джаквинта М. Гильдебрандт С.
Теги: математика вариационное исчисление функциональный анализ точные науки
Год: 2002
Текст
ОДНОМЕРНЫЕ
ВАРИАЦИОННЫЕ
ЗАДАЧИ. ВВЕДЕНИЕ
Джузеппе Буттацо
Университет Пизы, Италия
Мариано Джаквинта
Университет Пизы, Италия
Стефан Гильдебрандт
Университет Бонна, Германия
One-dimensional Variational Problems
An Introduction
Giuseppe Buttazzo and Mariano Giaquinta
Department of Mathematics
University of Pisa
and
Stefan Hildebrandt
Mathematics Institute
Bonn University
Введение
В первые 200 лет истории вариационного исчисления главенствовал
подход, который можно назвать классическим непрямым методом. Этот метод
основан на оптимистичной, но несколько наивной идее, что любая задача
минимизации имеет решение. Для определения решения сначала надо
найти условия, которым должна удовлетворять минимизирующая функция.
Такие условия называются необходимыми. Например, если
дифференцируемый функционал Т: С -> Ш достигает минимального значения в некоторой
внутренней точке и 6 С, то производная T'{v) функционала Т в точке и
должна обращаться в нуль. Если Т — вариационный интеграл в
некотором классе С функций и, то необходимое условие Т'(и) = 0 приводит к
уравнению Эйлера, которому должна удовлетворять функция и.
Анализируя необходимые условия, иногда можно исключить многих
претендентов на роль минимизирующей функции и успешно найти
единственное решение. Например, если по счастливой случайности существует
только одно решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее всем требуемым
условиям, то естественно было бы заключить, что это решение будет
также решением исходной задачи минимизации. Однако этот вывод, который
приняли такие мастера, как Гаусс, Штейнер, лорд Кельвин, Дирихле и Ри-
ман, может оказаться ошибочным, так как задача минимизации не всегда
имеет решение. Иначе говоря, следует доказать существование
минимизирующей функции прежде, чем делать заключение о том, что
единственное решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее необходимым условиям,
есть минимизирующая функция, или непосредственно убедиться в том,
что энергия нашего кандидата действительно меньше энергии любой
другого.
На самом деле ситуация гораздо сложнее. Во-первых, совершенно не
очевидно и даже не всегда верно утверждение о том, что минимизирующая
функция класса С1 принадлежит классу С2 и тем самым является
решением уравнения Эйлера. Чтобы убедиться в С2-регулярности
минимизирующей функции, следует предварительно доказать теоремы о регулярности,
которые основаны обычно на условиях эллиптичности. Во-вторых, не
очевидно и не всегда верно утверждение о том, что данное уравнение Эйлера
обладает (классическим) решением со всеми требуемыми свойствами.
Даже если такое решение существует, оно не обязательно единственное.
Если имеются несколько кандидатов на роль минимизирующей
функции, то который из них будет истинной (относительно или абсолютно)
минимизирующей функцией? Теория Якоби о сопряженных точках дает
достаточные условия, при которых экстремаль будет слабо минимизирую-
щей функцией. Сочетая эту теорию с теорией поля Вейерштрасса, можно
даже получить условия, при которых экстремаль доставляет строгий
относительный минимум минимизируемому функционалу.
В противовес этому окольному пути через уравнения Эйлера,
который становится слишком запутанным и сложным для многомерных
вариационных задач, можно попробовать исследовать задачу минимизации
прямым способом, непосредственно устанавливая существование
минимизирующей функции. В свою очередь, этот путь должен привести к теореме
существования решений уравнения Эйлера, удовлетворяющих некоторым
предписанным (например, граничным) условиям. Такой подход относится
к так называемым прямым методам вариационного исчисления и восходит
к работам Гаусса, лорда Кельвина, Дирихле и Римана по исследованию
граничных задач для потенциального уравнения Аи — 0. Следуя
Дирихле, 1 Риман применял рассуждение, которое называл принципом Дирихле:
Существует единственная функция, минимизирующая интеграл Дирихле
±J\Du\2dx
п
на множестве всех функций u £ C1(fi) П C°(Q), принимающих заданные
значения на границе д£1. Более того, эта функция гармоническая в Q.
Принцип Дирихле был дискредитирован и опровергнут Вейерштрас-
сом. 2 Но все же интерес к прямым методам никогда не угасал, и на рубеже
столетий Гильберт и Лебег описали несколько ситуаций, когда принцип
Дирихле может быть строго обоснован. Несколькими годами позже Тонелли
предложил простой прямой метод решения задач минимизации,
основанный на понятии полунепрерывности снизу вариационных интегралов.
Более точно, в начале прошлого столетия Гильберту удалось получить
прямое доказательство существования кратчайшей, соединяющей две
точки на поверхности, и доказать существование функции, минимизирующей
интеграл Дирихле в 2-мерном случае в классе функций с заданными
гладкими граничными условиями, и тем самым установить справедливость
принципа Дирихле для данной задачи.
Анализируя понятие площади поверхности, Лебег отметил, что
функционал площади не будет непрерывным, а лишь полунепрерывным
относительно равномерной сходимости поверхностей. Для демонстрации этого
феномена в одномерном случае он привел зигзаги Ck(t) типа
изображенных на рис. 0.1. Все эти кривые имеют длину \/2, однако их равномерный
предел c(t) = (t,0), 0 ^ i ^ 1, имеет длину 1. Соответственно, имеем
'Дирихле никогда не использовал этот принцип в своих публикациях. Однако его
студенты в Гёттингене неоднократно утверждали, что он часто и без каких-либо сомнений
применял этот принцип на своих лекциях.
2По-видимому, сомнения Вейерштрасса возникли еще до 1860 г., хотя он опубликовал
свои замечания лишь в 1870 г. в лекции, прочитанной в Берлинской академии. Риман,
умерший в 1864 г., был осведомлен о критике Вейерштрасса. Согласившись с
аргументами Вейерштрасса, он тем не менее был уверен, что его работа по абелевым функциям
в конечном счете будет строго обоснована (см. также И в п. 3.2).
1 1
= / \c(t)\ dt < liminf / left) | (ft = уД.
J fc-юо J
Понятие полунепрерывности вещественнозначных функций ввел Бэр,
который заметил, что на компактном множестве полунепрерывная снизу
функция достигает своего инфимума.
(Ъ)
(с)
Рис. 0.1
Тонелли показал, что теорему компактности Ариела — Асколи и
концепцию полунепрерывности Бэра можно перенести с вещественных
функций одной или нескольких переменных на случай вариационных
интегралов, и это может быть прекрасным средством при доказательстве прямыми
методами существования минимизирующих функций одномерных
вариационных интегралов. С тех пор до настоящего времени мы используем
идеи Тонелли, которые можно кратко изложить следующим образом.
Чтобы показать, что функционал Т(и), определенный на классе С, достигает
свой абсолютный минимум на С, сначала надо доказать, что функционал
ограничен снизу на С и, следовательно, имеет конечный инфимум.
Затем надо постараться проверить, что функционал секвенциально
полунепрерывен снизу относительно некоторой подходящей сходимости, в
которой множество будет секвенциально компактно. Либо можно постараться
доказать, что С содержит по крайней мере сходящуюся минимизирующую
последовательность {щ}, которая сходится к пределу и0 из С. Тогда
inf Г ^ ТЫ) ^ liminff(uji) ^ inf Т,
С к-уоо С
откуда следует
Г(и0) = inf T,
(0.1)
(0.2)
т. е. и0 доставляет абсолютный минимум функционалу Т ъС.
По условию Тонелли лагранжиан F(x,u,p) вариационного интеграла
о
Т(и) := / F(x, u(x), и'{х)) dx, [а, Ь] С М,
(0.3)
должен удовлетворять неравенствам
Fpp{x,u,p)^0, (0.4)
F{x,u,p)^c0\p\m-Cl (0.5)
для некоторых констант т > 1, с0 > 0, су ^ 0. При этих условиях Тонелли
рассмотрел класс абсолютно непрерывных функций на интервале / = [а, Ь] с
равномерной сходимостью. Он формализовал, использовал и
популяризировал идеи прямых методов в серии своих статей, лекций и монографий в
течение первых тридцати лет прошлого века.
Цель настоящей книги — изложить идеи Тонелли и некоторые из его
результатов, применимых для большого числа одномерных вариационных
задач, а также дать представление о современных направлениях развития
его идей. В настоящее время идеи Тонелли составляют столь
основательную часть нашей математической культуры, что многие из них могут
казаться слишком тривиальными. Однако эти идеи были совсем не
тривиальны в начале прошлого столетия. С другой стороны, их применение к
задачам минимизации вариационных интегралов отнюдь не тривиально, и
благодаря беспредельной свободе выбора декораций, идеи Тонелли
побуждают нас исследовать новые задачи, весьма далекие от нашего
первоначального интереса. Мы продемонстрируем это в последней главе книги,
где изложены приложения прямых методов к конкретным вариационным
задачам.
Мы расскажем читателю о трудностях, которые его ожидают, и
вопросах, возникающих при использовании прямых методов, на которые он
должен уметь отвечать. Начнем с подробного изложения на формальном
языке ключевых моментов прямых методов.
Грубо говоря, прямые методы — это всего лишь следующий рецепт:
Используй следующее обобщение теоремы Вейерштрасса для веществен-
нозначных функций нескольких вещественных переменных.
Теорема 0.1. Пусть ЯС-^lU {+оо} — функционал, определенный на
непустом множестве С со сходимостью, относительно которой С
секвенциально компактно и Т секвенциально полунепрерывен снизу. Тогда существует
элемент, доставляющий минимум функционалу J- на множестве С.
Чтобы применить эту теорему к функционалам вида (0.3), надо
действовать следующим образом.
(i) Сначала фиксируем класс С допустимых или пробных функций и
введем подходящее понятие сходимости иь —> и в С.
(ii) Далее показываем, что функционал Т корректно определен на
множестве С и ограничен снизу, так что величина inf T конечна. Это означает,
что можно найти минимизирующую последовательность в С, т. е.
последовательность функций Uk £ С, к — 1,2,..., такую, что Т(иь) -> inf T.
(iii) Затем доказываем, что Т секвенциально полунепрерывен снизу
на множестве С в смысле сходимости, выбранной в (i). Иначе говоря, надо
проверить, что при ч±к -> и
Т{и) ^liminf^iifc). (0.6)
(iv) Наконец, мы устанавливаем секвенциальную компактность
множества С относительно сходимости из (i). На самом деле, достаточно
доказать что любая (хотя бы одна) минимизирующая последовательность
содержит сходящуюся подпоследовательность, которая сходится к пределу
из множества С.
Очевидно, что после выполнения процедур (i)—(iv) можно применить
теорему и сделать вывод о существовании элемента щ, минимизирующего
функционал Т на множестве С. В этом случае будем говорить, что и0 —
решение задачи
Т -»■ min в С.
Сразу же возникает такой вопрос: Как выбрать множество С
допустимых функций и понятие сходимости в С? Очевидно, что множество С
должно быть полным относительно выбранной сходимости, чтобы сходящиеся в
С последовательности имели бы пределы в С, и понятие сходимости должно
быть довольно слабым с тем, чтобы из каждой минимизирующей
последовательности можно было бы выбрать сходящуюся подпоследовательность
или, эквивалентно, чтобы множество С было секвенциально компактно. С
другой стороны, если мы выберем слишком слабую сходимость, то будет
весьма затруднительно или даже невозможно доказать полунепрерывность
снизу функционала Т{и) относительно этой сходимости (или, что предел
некоторой "сходящейся" последовательности из С принадлежит С).
На самом деле, ситуация обычно бывает более сложной. Вариационные
задачи, которые представляют для нас интерес, приходят из физики или
дифференциальной геометрии и формулируются в классических
контекстах. Требуется минимизировать функционал Т на классе гладких
функций, удовлетворяющих определенным условиям (например, граничным).
Проиллюстрируем сказанное следующими примерами.
Ш
:У Минимизировать интеграл Дирихле
V(u) = j\u'\2
■ dx
на классе функций К\ := {и £ С°(1) ПС1(/): и(0) = а, и(1) — /?}, где
вещественные числа а. и /3 заданы и / := (0,1).
I 2 I Минимизировать длину графика отображений и: [О,1] —>■ Ж при
заданных значениях в 0 и 1, т. е. минимизировать функционал
1 1
£{и) = I \и'\ dx или Л{и) = f y/l + {u')2dx
на классе Кх или К2 := {и G С°{1) П D1^) :u(0) = o,u(l) = /?}, где Dl{I)
обозначает класс кусочно-гладких функций и: I -> №..
I 3 I Минимизировать длину графика отображений [0,1] на S1 С Ж2,
значения которых в 0 и 1 суть точка (1,0) £ 51, т. е. минимизировать
функционал
1 1
Ци) := J \u'\ dx или Л{и) := f y/l + [u')2dx
на классе К3 := {и £ С°{1,Ш2) П D^I.WL2) :«(-0 = ^.«(О) =_и{1) = (1,0)},
где £11(/,М2) обозначает класс кусочно-гладких функций и:1 -> Ш2.
I ^ I При заданной неотрицательной непрерывной функции F(x, z, £)
минимизировать функционал
1
Т{и) := / F(x, и, и) dx
на классе А'4 := {и £ С°{1) ПС1{Г):и(0) = а,и{1) = /?} или К5 ~ {и £
Cl([0,l]):U{0) = a,U{l)=p}.
Поскольку мы не можем ожидать, что ^-равномерно ограниченные
множества в допустимых классах ft',- окажутся секвенциально
компактными относительно С1-сходимости, потребуется ввести более слабое
понятие сходимости т. Но тогда мы не можем ожидать, что классы К,- будут
полными относительно этой новой сходимости. Поэтому, если мы
непреклонны в своем намерении пользоваться прямыми методами, то приходим
к необходимости пополнить классы К = А',- относительно выбранной
сходимости т и работать далее в классах /\(т) обобщенных функций, которые
не будут дифференцируемы в классическом смысле и даже не всегда
будут непрерывными. Расширив класс пробных функций от К до Км, мы
должны также продолжить наш функционал Т до нового функционала Тм,
определенного на Км. Вообще говоря, имеется много различных способов
продолжения Т. Какой выбрать? Временно отложив этот вопрос,
заметим, что, используя прямые методы, т. е. опираясь на постулат, что для
любой разумной задачи минимизации должен существовать
минимизирующий элемент, мы вынуждены работать в классах обобщенных функций
и согласиться с тем, что минимизирующий элемент не обязательно будет
гладкой функцией. Это обстоятельство отметил Гильберт в своей
знаменитой лекции на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900
г. 20-я проблема Гильберта, поставленная на этом конгрессе, звучит так:
Будет ли каждая регулярная вариационная задача иметь решение при
выполнении определенных условий на заданные граничные значения и, если
необходимо, при обобщенном понимании решения в некотором подходящем смысле?
Выбрав понятие сходимости т так, чтобы К(т) было секвенциально
полно относительно г и Тм секвенциально полунепрерывен снизу
относительно г, можно применить сформулированную выше теорему для С = Км
и Т = Тм- Тогда существует минимизирующий элемент ш(т) задачи
aT(T) -> min в -К(т)", т. е. задачи
тш{^(г)(и):и 6 #(,-)}■ (0-7)
В принципе, минимизирующая функция и^ и задача минимизации
(0.7) зависят от выбора сходимости т. Только лишь когда т выбрана как
сильнейшая сходимость, при которой А'(т) секвенциально компактно и Т^т)
секвенциально полунепрерывен снизу, можно считать задачу на минимум
(0.7) разумным обобщением исходной задачи и U(T) — обобщенной
минимизирующей функцией нашей исходной задачи минимизации. В противном
случае важные свойства пробных функций из А,- могут потеряться при
процедуре замыкания, и тогда задача (0.7) может оказаться по-существу
совершенно иной задачей на минимум.
Например, в I 2 I последовательность кусочно-гладких отображений
uk{x) = <
0, O^i^l/2-l/fc,
k/2(x + l/k - 1/2), 1/2 - 1/Jfe <£ x ^ 1/2 + 1/k,
1, 1/2 + 1/fc <$ я ^ 1
принадлежит К2 при а = 0и/? = 1и равномерно ограничена "по энергии",
т. е.
sup£(ufc) < оо или sup.4(ufc) < оо.
к к
Рис. 0.2
Пределом этой последовательности будет функция (см. рис. 0.2)
ЧХ) \1, 1/2^x^1.
Поэтому при выборе "поточечной" сходимости т отображение и(х)
принадлежит К2(т), и, если мы решим вычислять и' как поточечную
производную функции и (которая существует почти всюду), то получим
тогда как по очевидным топологическим причинам любое отображение v
из Кг, по крайней мере, покрывает интервал [0,1]; следовательно, £(v) ^ 1.
Рис. 0.3
В примере | 3 | ситуация еще сложнее. Очевидно, что функция
ик{х) = <
(1,0), 0^x^1/2,
(cos27rfc(a: - l/2),sin27rA:(a: - 1/2)), 1/2 ^ х ^ 1/2+ 1/к,
(1,0), l/2 + l/A^z^l,
принадлежит Кз- Посмотрев на график щ (см. рис. 0.3), мы с
очевидностью убеждаемся, что ни при'какой "слабой сходимости" на Кз возможный
предел и не будет наследовать свойство uk "покрывать" S1. Читатель,
имеющий опыт работы со "слабой сходимостью", заметит, что
последовательность {uk} слабо сходится к постоянной функции и[х) = (1,0). Итак, при
любом выборе слабой сходимости функций мы приходим к заключению,
что обобщенная минимизирующая функция в задаче 3 будет
постоянным отображением (1,0) с энергией £(и) = 0. Очевидно, что мы не можем
принять такую функцию в качестве обобщенного решения задачи
минимизации из примера 3 так как отображения v из А'з "покрывают" сферу
S1 по меньшей мере один раз и их "энергии" Цу) не меньше 27г!
Эти два примера показывают, сколь труден выбор подходящей
сходимости т и разумного продолжения Т[т) функционала Т.
Прежде, чем переходить к "каноническому"способу продолжения Т,
сделаем одно замечание.
Во многих случаях, как в примерах | 1 | | 2 | | 4 | имеется
естественная линейная структура в классах К, на которых мы минимизируем
Т. Классы К суть аффинные подпространства С1 или С0 П D1. Поэтому,
"замкнув" или "пополнив" пространство функций класса С1 (или D1) с
конечной энергией, мы получим пространство X. Затем мы возвращаемся к
С, требуя желаемые условия в слабой форме. Эта процедура часто
работает хорошо, но в то же время она является источником недоразумений, так
как корректная интерпретация вспомогательных условий в слабой форме
может оказаться нелегкой. Мы увидим далее, что в примере 4
минимизация на К$ и минимизация на ЛГ5 могут привести к различным результа-
там. Конечно, весьма затруднительно отличить обобщенные функции из
/\4(т) от обобщенных функций из Ks(T) ■
Теперь вернемся к продолжению Т(т) функционала Т. Ясно, что есть
много способов продолжить Т с класса К на класс К^. Если функционал
Т уже т-секвенциально полунепрерывен снизу в К (в противном случае
проблема становится еще более сложной), то будем продолжать Т не
произвольно, как любой -г-секвенциально полунепрерывный снизу функционал
на А'(т), а как наибольшее полунепрерывное снизу продолжение функционала
Т на Л'(т), так как мы хотим найти наилучшее продолжение. Такое
продолжение, рассмотренное уже Лебегом для функционала площади, часто
называют т-релаксацией.3 функционала Т Оно определяется формулой
TiT\[v) := inf{liminf:F(ufc) :uk £ К -г-сходится к и}.
fc-voo
Заметим, что теперь уже не очевидно, будет ли Т(т) вариационным
интегралом в классическом смысле и, даже если он таковым является, мы можем
не знать, как вычислить его лагранжиан. Отметим, что знание
лагранжиана Т(т) (х, и, £) играет существенную роль, если мы намерены
воспользоваться каким-либо исчислением, например, вывести необходимые условия,
подобные уравнению Эйлера.
Теперь допустим, что мы в состоянии применить прямые методы
вариационного исчисления к задаче минимизации min{.F(u) :u £ К}. Это
означает, что мы уже определили некоторую г-релаксацию min{Т(т) (и): и £
К(т)} исходной задачи минимизации иТ -> min в К" так, что приведенная
выше теорема применима в случае С = А'(т) и Т = Т(т). Противопоставив
релаксированную задачу ЯТ{Т} -> min в К(т)" исходной задаче "Т —ь min в
К", мы столкнемся с естественной проблемой регулярности
минимизирующей функции — проблемой, которую также обозначил Гильберт в 1900 г.
19-я проблема Гильберта заключается в следующем: Будут ли решения
регулярных задач вариационного исчисления всегда необходимо регулярны?
Это чрезвычайно тонкая и сложная проблема, по крайней мере, для
многомерных интегралов, и ее изучению посвящена большая часть
исследований последних десятилетий в области вариационного исчисления. Даже
для одномерных интегралов эта проблема не столь проста, и мы обсудим ее
лишь для класса регулярных интегралов (см. гл. 4). Конечно,
положительный ответ на вопрос о регулярности отвечает также на первоначальный
вопрос — действительно ли при данном расширении задачи минимизации
мы получаем наилучшую сходимость т. В частности, мы видим, что
проблема регулярности тесно связана с проблемой существования.
В течение длительного периода было принято считать, что
минимизирующие функции должны быть регулярны, если лагранжиан
удовлетворяет естественным условиям "эллиптичности и роста". Эта гипотеза не
подтвердилась. На самом деле, даже очень разумные задачи могут иметь
минимизирующие функции с особенностями, которые могут представлять
математический или физический интерес. По этой причине в настоящее
3Интересующийся читатель может обратиться к книге Буттацо [47], где
исследованы релаксации для некоторых функциональных пространств, а также к монографии
Джаквинта и др. [120].
время больше внимания уделяется не проблемам регулярности, а
качественному изучению минимизирующих функций, включая их особенности.
Более того, появление особенностей показывает, что выбор сходимости
т и r-релаксированного продолжения Т(т) являются важными вопросами.
Изучение особенностей с помощью релаксаций оказывается действительно
успешным при рассмотрении задач минимизации для отображений между
римановыми многообразиями. Хотя эти вопросы не обсуждаются в данной
книге, однако читатель должен быть предупрежден, так как проблемы с
выбором т и Т(т) возникают уже в одномерных задачах.
В данной книге рассматриваются одномерные задачи. Материал
расположен следующим образом.
В гл. 1 изложены классические "непрямые" методы, основанные на
необходимых и достаточных условиях оптимальности. Эти методы
иллюстрируются известными с давних времен примерами из вариационного
исчисления. В гл. 2 даны сведения о функциональных пространствах,
необходимые при использовании прямых методов в вариационном
исчислении. В частности, рассматриваются пространство абсолютно непрерывных
функций и пространство функций с ограниченной вариацией. Глава 3
посвящена полунепрерывности снизу. При использовании прямых методов
соответствующие результаты приводят к теоремам существования
решений задач минимизации. Здесь приведено оригинальное доказательство
Тонелли, а также иное доказательство — более современное и более
общее. Обсуждается также полунепрерывность снизу в пространстве BV. В
гл. 4 представлены результаты по регулярности минимизирующих
функций одномерных вариационных задач. В частности, приводится случай
регулярной подынтегральной функции, изученный впервые Гильбертом, и
замечательная теорема Тонелли о частичной регулярности. Наконец, в
последней главе мы укажем некоторые приложения и интересные примеры.
В частности, рассматриваются граничные задачи, задачи на собственные
значения для линейных дифференциальных операторов второго порядка,
проблема существования периодических решений гамильтоновых систем и
вариационных задач, в том числе и некоэрцитивных. Мы также кратко
опишем подход к решению проблемы существования в теории
оптимального управления. Наконец, мы приведем результаты о существовании и
регулярности для задач с препятствием, связанных с параметрическими
и непараметрическими вариационными задачами. В случае
параметрических задач изложенный метод доказательства существования основан на
идеях, восходящих к работам Эрдмана. Этот метод дает довольно прямой
и краткий путь к изучению параметрических задач.
Хотя в нашей книге рассматриваются минимизирующие функции
данного функционала, изучение критических точек, т. е. общих решений
уравнений Эйлера представляет не меньший интерес. Теория существования
критических точек более сложна, так как обычно требует определенных
топологических рассуждений, тогда как теория регулярности во многих
чертах схожа с теорией регулярности минимизирующих функций.
Читателю, интересующемуся изучением критических точек, мы рекомендуем
обратиться к книгам [93, 181, 215, 247].
Глава 1
КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
И НЕПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
В первой главе мы рассмотрим классический непрямой подход к
решению вариационных задач. Первый шаг состоит в нахождении необходимых
условий, при которых функция будет минимизирующей. Главным
необходимым условием является обращение в нуль первой вариации
минимизируемого функционала на минимизирующей функции. По этой причине
любая гладкая функция, претендующая на роль минимизирующей, должна
удовлетворять уравнению Эйлера, которое в случае одномерной
вариационной задачи представляет собой квазилинейное дифференциальное
уравнение второго порядка.
Следуя Кнесеру, будем называть С2-гладкое решение уравнения
Эйлера экстремалью. Второй, более трудный шаг состоит в выводе достаточных
условий, при которых экстремаль будет минимизирующей функцией.
Традиционно для этих целей используют теорию Якоби сопряженных точек
и теорию поля Вейерштрасса. Здесь мы ограничимся описанием подхода
Каратеодори к теории поля и доказательством того, что каждая
достаточно малая часть экстремали является локально минимизирующей функцией
при условии эллиптичности лагранжиана.
1.1. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА И ДРУГИЕ НЕОБХОДИМЫЕ
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
В этом параграфе мы выведем необходимые условия, которым должна
удовлетворять минимизирующая функция вариационного интеграла.
Главным необходимым условием является обращение в нуль первой вариации
вариационного интеграла на минимизирующих функциях. Для гладких
минимизирующих функций это условие приводит к уравнению Эйлера и,
в случае свободных граничных значений — к так называемым
естественным граничным условиям. Кроме того, во многих случаях первая
внутренняя вариация вариационного интеграла обращается в нуль, что приводит к
нётерову уравнению или уравнению Эрдмана.
Мы рассматриваем функционалы Т вида
T{u)= IF{x,u{x),u'{x))dx, (1.1)
которые будем называть вариационными интегралами. Обычно эти
интегралы берутся по ограниченному интервалу J = (а, Ь) в Ш.
Подынтегральная функция представляет собой композицию вещественнозначной
функции F[x,z,p) и отображения ж^-э- (i,u(i),u'(i)), ассоциированного с
произвольной гладкой функцией u : I -*MN. Функцию F(x,z,p) обычно
называют лагранжианом вариационного интеграла Т вида (1.1). Для простоты мы
часто будем предполагать, что F определена на / х MN х MN и
принадлежит, по крайней мере, классу С1. Тогда (1.1) корректно для любой
функции и € C1(/,1RVV). Часто мы будем рассматривать Т только в некоторой
"окрестности" такой функции и. В этом случае достаточно предположить,
что F 6 Сх{11), где U — открытое множество в Ш. х MN x RN,
содержащее 1-график {(х, u(x),v!(x)) : х б /}- Очевидно, что T{v) определено для
всех v 6 C^/.IR^), удовлетворяющих неравенству ||u —u||Ci(/) < & при всех
достаточно малых 6 > 0. Поэтому функция
Ф{е):=Т{и + е(р) (1.2)
определена при любом выборе функции ip е С^/.М^) и |е| < ео, где е0 :=
l/IMIc^/)- Кроме того, Ф принадлежит классу С1 на (—£о,£о) и
удовлетворяет условию
Ф'(0) = f{Fz(x, и, и')<р + Fp{x, и, и') - ц>'} dx. (1.3)
/
Положим
£Г(и,^):=Ф'(0). (1.4)
Будем называть 6Т{и, <р) первой вариацией Т в точке и по направлению ip.
Заметим, что выражение
6Т(иуф)= f{Fz{x,u,u'),p+Fp(x,u,u'),p'}dx '■ (1.5)
определяет линейный функционал от ip E C1(/,MVV). —
Определение 1.1. Функция и 6 C1(/,MVV)I удовлетворяющая равенству
f{Fz[x,и,u')ip+ Fp{x,и,и') ■ v?')} dx = 0 (1.6)
для всех <р e C£°(I,MN), называется слабой экстремалью функционала Т.
Мы будем называть и слабой С1-экстремалью, так как далее
рассматриваются слабые экстремали других видов.
Если и б Cl(I,MN), то (1.6) эквивалентно условию
6T(u, ip) = 0 для всех <р б CJ°(/,KW).
Иначе говоря, слабые ^-экстремали класса C1(/,MVV) являются
стационарными точками Т по всем гладким направлениям (р £ C%°(I,MN) в
том смысле, что производная Ф'(0) по направлению (р равна нулю:
lim - {F{u + (ре) - F(u)} = 0.
Следующее предложение очевидно.
Предложение 1.2. Если и 6 C1(/,MVV) — слабая минимизирующая
функция функционала Т, т. е.
T{u)^T(u + V>) (1.7)
для всех tp £ Q°(J, UN), где ||v?||ci(/) <S,0 <S ^.1,тои — слабая экстремаль
функционала Т.
Замечание 1. Экстремали, т. е. решения уравнений Эйлера, не
обязательно будут минимизирующими функциями. Например, локальные
минимумы и седловые точки также могут встретиться среди них.
Теперь покажем, что слабые экстремали класса С2 удовлетворяют
уравнению Эйлера. Для этого нам понадобится следующая
Лемма 1.3 (основная). Пусть f 6 С°(/) удовлетворяет равенству
I f(x)r](x) dx = 0 для всех jj 6 С™(Г). (1.8)
Тогда f(x) = 0 при всех х Е I.
Доказательство. Пусть хо — характеристическая функция интервала
/0 = (xD—S,x0+S) СС J, 6 > 0. Поскольку С£°(/) плотно в L2(I) в £2-норме,
из (1.8) получаем
j f{x) dx= f f(x)Xo{x) dx = 0. (1.9)
Jo J
Поэтому
xD+6
1 J f(x)dx = 0. (1.10)
x0—S
Устремляя S -> +0, заключаем, что f(x0) = 0 для любого х0€ I. D
Можно усилить результат леммы 1.3 следующим образом.
Лемма 1.4. Если f G Ll(I) удовлетворяет (1.8), то f(x) = 0 п. в. в 1.
Доказательство. Выберем /0 и хо такими же, как выше, и рассмотрим
кусочно-линейную функцию % б С°(1) такую, что rj£(x) := 1 на J0, rj£[x) :=
0 при \х — х0\ ~£ 6 + е и 7]е линейна на (хс — 6 — е,х0 — 6) и (х0 + 6, х0 + 6 + е),
где 0 < е <С 1. Поскольку С%°(1) плотно в С°(1) относительно равномерной
нормы на /, из (1.8) находим
/ f[x)r)e(x) dx = 0 при любом е > 0.
При е -> +0 справедливо (1.9) и, следовательно, (1.10). При 6 -> +0
получаем, что f(x0) = 0 во всех точках Лебега х0 € /. □
Теперь можно вывести уравнение Эйлера.
Предложение 1.5. Пусть и : I -ь RN — слабая экстремаль функционала
Т. Предположим, что и 6 C2(I,RN) и F G C2(U) в некоторой окрестности U
1-графика функции и. Тогда
— FJx, и{х), и'{х)) - Fz(x, и(х), и'(х)) = 0 на /. (1.11)
ах
Доказательство. Интегрируя по частям, из (1.6) получаем
j\ Fz{x, и, и') - — Fp{x,u, и') \<р{х) dx = 0
i
для всех tp G C™(I,RN). Выберем у = [ip1,... ,tpN) так, что <рк = 0 при
к ф i и ^ = г] б Сс°°(7). Тогда
/ I Fzi(x,u,u') - —Fpi(x,u,u') \r](x)dx = 0
i
для всех т] £ С£°(/). В силу леммы 1.3
Fzi(x,u(x),u'(x)) - —Fpi(x,u(x),u'(x)) = 0 на /
ах
для всех г G {1,2,... , N}. О
Уравнение (1.1) называется уравнением Эйлера для лагранжиана F.
Предложение 1.5 утверждает, что любая слабая С2-экстремаль
вариационного интеграла Т с С2-лагранжианом F необходимо удовлетворяет
уравнению Эйлера (1.11). Перейдем от векторной формы (1.11) к покомпонентной.
Тогда получим систему уравнений Эйлера
^-Fr(x,u(x),u'))-Fzi{x,u(x),u'{x)) = 0, l^i^N, (1.12)
которой будет удовлетворять любая С2-экстремаль и = (и1,... ,uN).
Очевидно, что (1.12) является системой N квазилинейных уравнений второго
порядка относительно N функций и1,... , uN.
Рассмотрим три примера.
ш
Для лагранжиана F(x,z,p) = u(x,z)y/l +р2, где ы(х, z) > 0, и TV = 1
рассмотрим вариационный интеграл
б
Т(и)= u(x,u)\/l + u'2dx
а
типа длины с весом и соответствующее уравнение Эйлера
^гмтНЫ] ~Ыг(а:'и)ч/1+и'2=0-
Имеем
kuy/l + и'2
d ( и' \
где /: = -—( —==^= J — кривизна графика функции и.
dx Vvl + u'2/
н
Лагранжиан F{x,z,p) = р2 + g(x)z2, N = 1, определяет вариационный
интеграл
о
Т{и)= f[u'2+q{x)u2]dx
с уравнением Эйлера —и" + q(x)u = 0.
I 3 I Пусть 1^(ж) принадлежит классу С1(1К3) и m — положительная
константа. Рассмотрим лагранжиан F[x, v) = — |г>|2 — V(x) при JV = 3, где
мы заменили z и р на а; и v соответственно, а независимую переменную
будем обозначать через t. Мы ищем функции x(t), на которых стационарен
вариационный интеграл
t2r
7?"
tl
<ft.
В механике Т{х) интерпретируется как действие движения точки х = x(t),
<i ^ t ^ t2) массы m в консервативном силовом поле 14 с потенциальной
энергией V и Г = -тпх2 — кинетическая энергия движения точки x(t).
Уравнение Эйлера для Т эквивалентно уравнению Ньютона тпх = —Vx(x).
Комбинируя предложения 1.2 и 1.5, получаем
Предложение 1.6. Предположим, что Т(и) ^ T{v) для всех v 6 C1(/,MVV)
таких, что u = v на 81 и \\u — v\\Ci{i) < S при достаточно малом 6 > 0. Пусть
и £ C2(J1IKvv)nC1(7,M;v) и F 6 С2. Тогда и удовлетворяет уравнению Эйлера
(1.11).
Определение 1.7. Любое решение и 6 C2(I,UN) уравнения Эйлера (1.11)
называется экстремалью функционала Т.
Иначе говоря, слабые минимизирующие функции функционала Т в
смысле предложения 1.6 являются ^-экстремалями, если они
принадлежат классу С2 и лагранжиан F принадлежит классу С2. Отметим, что
(слабая) минимизирующая функция функционала Т в С1 не обязательно
принадлежит классу С2, что подтверждает следующий пример.
[Т| Рассмотрим F{x,z,p) = z2(2x-p)2, N=1, / = (-1,1),
1
Т{и) - f и2{х)[2х - и'(х)]2 dx.
-1
Функция и б С1 (7) такая, что и{х) := 0 на [—1,0] и и(х) :— х2 на [0,1]
является единственной минимизирующей функцией функционала Т в классе
функций v G Сг{1), удовлетворяющих условиям v(—l) = 0 и v(l) — 1. Но
при этом и £ С2(1).
Мы исследуем регулярность слабых экстремалей и минимизирующих
функций в гл. 4.
Хотя слабая С1-экстремаль и функционала Т не обязательно
принадлежит С2, тем не менее оказывается, что уравнение Эйлера (1.11)
выполняется, даже если Fp(x, z,p) непрерывна. Этот факт доказывается с помощью
следующей леммы.
Лемма 1.8 (Дюбуа-Реймон). Предположим, что f б ^{1) удовлетворяет
равенству
[ f{x)r)'{x) dx = 0 для всех щ е С?{1). . _ (1.13)
Тогда существует константа с 6 Ш такая, что f[x) = с п. в. в I.
Доказательство. Фиксируем две точки Лебега х0,£ е I функции / и
положим с := f(x0). Предположим, что х0 < £ и (х0 - е,£ + е) СС /, е > 0.
Затем выберем кусочно-линейную функцию £ G С°(1), положив С(х) := 1
на [х0,£\, C(z) :=0 при х £ [х0-е,£ + е], С(ж) :=е-1(а: - х0 + е) на [х0-е,х0]
и Q(x) := е-1(£ — х + е) на [£,£ + е]. Используя аргументы аппроксимации,
из (1.13) заключаем, что справедливо равенство
Jf{x)C(x)dx = 0,
которое эквивалентно равенству
- / f{x) dx- - I f(x) dx = 0.
Го-Е f
При е -Ц-0 имеем f(x0) = /(£), т. е. /(£) = с в любой точке Лебега £ > х0.
При £ < хо, поменяв роли х0 и £, мы придем к тому же результату. Таким
образом, /(£) = с в любой точке Лебега £ функции /. □
Предложение 1.9. Пусть и £ C1(/,MN) —слабая экстремаль функционала
Т, т. е.
j{Fz{x, u, u')-tp + Fp[x, u, u') ■ tp'} dx = 0
i
для всех tp G C%°(I,WLN). Тогда существует постоянный вектор с 6 MN такой,
что
х
Fp(x,u{x),u'{x))=c + f Fz{t,u{t),u'{t))dt (1.14)
а
для всех х 6 (а, Ь) = I.
Доказательство. Интегрируя по частям, получаем
Ь Ь х
/ Fz[x, u, и1) ■ tp(x) dx = - I ( F2(t, u{t), u'{t)) dtj ■ <p'(x) dx
a a a
для всех ip e Q°(J). Следовательно,
x
I Fp{x,u{x),u'(x))- I Fz{t,u(t),u'{t))dt -ip'(x)dx = Q
I a
для всех ip G Q°(J). В силу леммы Дюбуа-Реймона получаем (1.14). □
Заметим, что функция
х
ж(х) := с+ / Fz[t,u{t),u'{t))dt (1.15)
а
в правой части (1.14) принадлежит С1 (I,M.N). Следовательно, Fp(-,u,и') 6
С^/.М^) и мы получаем (1.11) дифференцированием (1.14) по х. Таким
образом, справедливо
Следствие 1.10. Любая слабая ^-экстремаль функционала Т
удовлетворяет уравнению
— Fp{x, u(x),u'{x)) - Fz{x,u{x),u'{x)) = 0.
Отметим, что применение правила дифференцирования сложной
функции при дифференцировании Fp(-,u,u') no x в данном случае неправомочно.
Будем называть уравнение (1.14) уравнением Дюбуа-Реймона или
проинтегрированным уравнением Эйлера.
Рассуждая так же, как и выше, получаем
Предложение 1.11. Если u £ Lip(J, №N) — слабая непрерывная по
Липшицу экстремаль функционала Т, т. е. если ёТ{и, ip) = 0 для всех <р 6 С£°(/, MN),
то существует постоянный вектор с б №N такой, что
Fp(x,u{x),u'{x)) = c+ f Fz{t,u(t),u'(t))dx
для п. в. х £ / = (о, Ь) и
— Fp(x,u(x),u'[x)) = Fz(x,u(x),u'(x)) п. в. в I.
dx
Теперь мы выведем другое необходимое условие — так называемые
естественные граничные условия, которым должны удовлетворять
минимизирующие функции со "свободными граничными условиями". Введем
оператор Эйлера Lf(u) по формуле
LF{u) := Fz{;u,u')-DFp{;u,u'), D=^-. (1.16)
Пусть u 6 C2(I,UN), F 6 C2[U) и (а,/?) С /- Для любой функции у £
C1(/,MVV) интегрированием по частям получим тождество
Р
J{Fz{;n,u'),p + Fp{;-a,-a')V>'}dx
° р (1-17)
= / LF{u) ■ ipdx + [Fp[x,u(x),u'{x)) ■ v?(s)]£.
a
которое приводит к следующему результату.
Предложение 1.12. Предположим, что и £ C1(/,IKiV)J F £ C,1(t7) и
6T{u,<p) = Q для всех ip£ С1 (7,UN). (1.18)
Тогда функция Fp(x,u{x),u!(x)) обращается в нуль на концах х = а и х = b
интервала I.
Доказательство, (i) Предположим сначала, что и £ C2(I,MN) и F £
C2(U). Очевидно, что 6T(u,ip) = 0 для всех <р £ C^(I,MN). Следовательно,
Ьр{и) = 0 в силу предложения 1.5. Тогда из (1.17) и (1.18) получаем
[Fp{x,u{x),u'{x))v(x)]ba=0 (1.19)
при a = а и Р = Ь. Для любого вектора £ £ JS.N можно найти функцию
ip £ C^/.ffi^) такую, что ip(a) = 0 и <р(Ь) = f. В силу (1.19) функция
тг(а;) := Fp[x, u(x),u'(x)), x £ 7, (1.20)
удовлетворяет условию 7г(Ь)-£ = 0 для всех£ е RN. Следовательно, тт(Ь) — 0.
Аналогично п(а) = 0. Таким образом, утверждение доказано в частном
случае и е С2 и F е С2.
(ii) Теперь предположим, что и е C1(JF,IR7V) wf eC'(!/). В силу
предложения 1.9 функция Fp(x,u(x),u'(x)) принадлежит классу С1. Поэтому
справедливо (1.17). Повторяя приведенные выше рассуждения, завершаем
доказательство. D
Чтобы решить уравнение Эйлера Ьр{и) = 0, полезно ввести первые
интегралы, т. е. функции, которые постоянны вдоль 1-графика любого
решения уравнения Эйлера. Если N = 1, то можно привести уравнение Lf(u) =
0 к уравнению первого порядка. Если F не зависит от х, т. е. F — F(z,p),
первый интеграл, имеющий важное значение, определяется формулой
*(z,p)^p-Fp(ztP)-F{z,p). (1.21)
Предложение 1.13. Если Fx = 0, то Ф(х,и(х),и'(х)) = const на I для
любого решения и 6 С2(/, M.N) уравнения Lp{u) = 0, т. е. для любой экстремали
и функционала Т.
Доказательство. Непосредственно вычисляется
— Ф(и, и') = и' ■ Lf(u).
ax
Следовательно, <1Ф(и, u'))/dx = 0, если Ьр(и) = 0. D
Замечание 2. Закон сохранения "Ф(и, u') = const" может иметь больше
решений, чем уравнение Эйлера Ьр(и) = 0. Например, если и(х) = const и
F(c,0) = —h, то и — решение уравнения Ф(и,и') = h, но при этом и будет
решением уравнения Ьр{и) = 0 только в случае Fz(c,0) — 0. Поэтому,
решив уравнение Ф(и, и') = Л, следует проверить, действительно ли мы
получили решение уравнения Эйлера.
I ** I Пусть F(x,v) — — |v|2 — V(x) — лагранжиан, рассмотренный в | 3 |
и E(x,v) = v ■ Fv(x,v) — F(x,v) — соответствующая функция вида (1.21).
Легко видеть, что Е(х, v) = — \v\2 + V(x), т. е. Е(х,х) — полная энергии
движения х = x(t), и предложение 1.13 утверждает, что E(x(t), x(t)) = const
вдоль любой экстремали интеграла
Т{х) = j\^\x\2-V{x)
dt,
т. е. полная энергия постоянна вдоль любого решения x(t) уравнения
Ньютона тпх = — Vx(x).
В п. 3.1 закон сохранения Ф(и,и') = h используется для определения
экстремалей некоторых классических задач минимизации. Далее мы
покажем, что довольно большой класс функций u : [a,b] -»■ RN удовлетворяет
закону сохранения
Ф{и(х),и'(х)) = const на [а,Ь]. (1.22)
Для этого рассмотрим произвольные функцию и е С1(/, MN) и отображение
(t,e) >4i = £(*,е) класса С1 на /х (—е0,ео) такие, что для любого е Е
(—Ео.Ео) =: 1с, ео > 0, отображение £(,е) есть ^-диффеоморфизм I на себя
такой, что £(а,е) = а и £(Ь,е) = Ь. Далее мыпредполагаем, что д£/де(-,е) Е
С1(/) при е G /о и £(*,0) = * при всех t e J. Будем называть {^(-,е)}ЕЁ/о
допустимой параметрической вариацией, а семейство функций {w(-,e)}Ee/0
«(*, е) := u{£{t, e)), (t, е) € I x /0, (1.23)
называется допустимой внутренней вариацией и. Заметим, что w(<, 0) = u(i)
и w(i, е) имеет те же значения, что и функция u(t) в точках * = а и * = 6
соответственно. Положим
М'):=§(*.°). (1-24)
ь
Ф(е) := J F(t, w(*. e),w(*, е)) А = ^(«(-, е)), (1.25)
а
где г; обозначает производную по t. Если и — минимизирующая функция
класса С функций, инвариантных относительно допустимых
параметрических вариаций (т. е. и ЕС, и, следовательно, v(-,e) = ио((-, е) е С для любой
допустимой параметрической вариации {£(-,e)}Ee70)i то Ф(е) ^ Ф(0) при
|е| < е0| откуда Ф'(0) = 0. Положим
Щи,А):=Ф'(0). (1.26)
Будем называть дТ-(и, А) первой внутренней вариацией Т в точке и по
направлению А.
Предложение 1.14. Для и 6 C1(/,IRiV) внутренняя вариация Т по
направлению А = д£/де(-, 0) определяется формулой
ь
d?{u, А) = /"{[«' ■ Fp(i, u, u') - F(x, и, и*)]А' - Fx(x, u, u')X] dx. (1.27)
a
Доказательство. Так как t — ?"(£(*, е),е), дифференцированием по t и
е получаем (' = д/дх,' = 8/dt)
1 = т'№,е),еШ,е), 0 = r,(£(t,e),e) + r'(£(M),e)&(M)-
Кроме того, t = £(t, 0) = х и г'(х, 0) = 1, откуда
т£(х,0) =-Х(х). (1.28)
Таким образом, мы имеем разложение Тейлора т(х,е) по е:
г(х, е) = х - еХ(х) + ■ - - (1.29)
Выполнив замену переменных х ь^ t = т(х,е) в интеграле
ь
Ще) = J F(t, «(€(*, е)), «'(£(*, е)))ё(«, е) Л,
получим
Ь
Ф(е) = J F (т[х, е), и(х), и'{х) ^т^у)т'(х,е) dx.
а
Поскольку
заключаем, что
и,следовательно,
ь
Ф'(0) = f{-XFx(x,u,u') + X'u'-Fp[x,u,u')+F[x,u,u')(-X')}dx.
а
Предложение доказано. □
Пусть Х(х) ^произвольная функция класса С™(/). Положим т(х, е) :=
х — е\{х) при х G /, e_G (—£о,£о), £о > 0. Так как т'[х,е) = 1 — е\'(х), имеем
т"(х,е) > 0 при х е /, |е| < е0 -С 1 и А(а) = Л(Ь) = 0. Поэтому
отображение х н-э-1 = т{х,е) определяет С1-диффеоморфизм [а,Ь] на себя такой, что
т(а,е) = а и т(Ь,е) = 6 при условии |е| < е0 4С 1. Легко видеть, что ввиду
£(-,е) := г-1(-,е), |е| < е0 4С 1, мы определяем допустимую
параметрическую вариацию, удовлетворяющую (1-24). Таким образом, справедливо
Предложение 1.15. Если
^Ж-.е))|е=о=0 (L3°)
для любой допустимой внутренней вариации v(t, e) = u(£(t,e)) функции и, то
дГ(и,\) = 0 для всех А е СС°°(/). (1.31)
Применяя лемму Дюбуа-Реймона, по аналогии с предложением 1.9
приходим к следующей обобщенной версии закона сохранения (1.22).
Предложение 1.16. Если (30) выполняется для любой допустимой
внутренней вариации v(t,e) = u(£(t,e)) функции и, то существует константа с
такая, что имеет место уравнение Эрдмана
Ф(х, u(x), u'(x)) = с - Fx(t, u(t), u'(t)) dt для всех х е I, (1-32)
а
где Ф(х,г,р) := F(x,z,p) — р- Fp(x,z,p). Кроме того, так как u e C^J.IR^),
производная Fx[-,u,u') принадлежит С°(1). Тогда из уравнения (1.32)
вытекает, что Ф(-,и,и') принадлежит классу С1[1) и дифференцирование (1.32)
приводит к нётерову уравнению
— ${x,u(x),u'(x)) + Fx(x,u(x),u'(x)) = 0 в1. (1.33)
ах
В частности, если лагранжиан F не зависит от х, т. е. F = F(z,p), то
выполняется соотношение (1.22).
Замечание 3. Предположим, что F(z,p) — лагранжиан класса С1 на
MN х MN, положительно однородный второго порядка относительно р, т. е.
F(z, Лр) = X2F(z,p) для любого Л > 0. Тогда F = р ■ FT - F = Ф.
Следовательно, F(u(x),u'(x)) = const на [a,b], если (1.30) справедливо для любой
допустимой внутренней вариации v(t,e) = u(£(*,e)), |e| < |e0|i функции и.
Если, кроме того, F(z,p) > 0, где р ф 0, и и(а) ф и{Ъ), то
F(u(x), u'(x)) - h на [а, Ъ], (1.34)
где h — положительная константа, и, в частности, и'(х) ф 0 на [а,Ь].
Теперь заметим, что сказанное остается верным даже для функций
и класса H1,2(I,MN), удовлетворяющих (1.30) для любой допустимой
параметрической вариации. Этот факт будет использоваться в п. 5.9 при
доказательстве существования регулярных минимизирующих элементов
параметрических вариационных задач.
Зачастую довольно сложно определить, будет ли экстремаль
функционала Т на самом деле локально или даже глобально минимизирующим
элементом функционала Т в заданном классе отображений и е C1(/,MJV)I
например, в классе отображений с заданными граничными условиями. В
следующем разделе описан метод, который, в принципе, может
применяться при решении задач минимизации, хотя для применения к конкретным
задачам потребуются довольно громоздкие выкладки.
Известны другие необходимые условия, которым должны
удовлетворять минимизирующие элементы и вариационного интеграла Т{и); они
обычно приводятся при изложении классических результатов. Например,
минимизирующий элемент должен удовлетворять1 необходимому условию
Лежандра:
FpV.{x,u(*),A*))e?2 0 (1-35)
для всех £ G MN и х б J. Фактически, если u G Сг{1, MN) — слабый
минимизирующий элемент функционала Т в том смысле, что Т{и) ^ Т{и + <р)
'Здесь и далее мы используем соглашение о суммировании от 1 до N по
повторяющимся латинским индексам.
для всех <р е C£°(I,UN), где ||v||ci(/) < <*, 0 < S <£ 1, и если F принадлежит
классу С2, то функция Ф(е) := Т(и+е<р) удовлетворяет условию Ф(0) ^ Ф(е)
при |е| < S/\\(p\\Ci(i) и <р g С^/.Е^), откуда Ф'(0) = 0 и Ф"(0) ^ 0. Из
второго соотношения получаем
52Т{и,<р)^Ъ для всех <р <Е C™{I,mN), (1-36)
где <У2^"(и,^) := Ф"(0) — вторая вариация функционала Т в точке и по
направлению tp. Прямыми вычислениями получаем
ь
82Т{щ ¥>) = 2J Q{x, 4>{x), V'H) dx, (1.37)
a
где
2Q(xX, ir) := ajk(x)n^k + 26#(*К'я* + с,-к(*)С'С\ (1-38)
ajk(x) := ifpip*(e(a:))I 6jfc := F2ip*(e(i)),
с,-к(х) := F2i2fc(e(i)), e(i) := (x, u(x), u'(x)).
(1.39)
Здесь С и 7г обозначают N-ки (С1,••• ,CN) и (я-1,... ,я^). Используя ап-
проксимационные соображения, из (1.24) получаем, что 62F(u,<p) ^ 0 для
всех непрерывных по Липшицу функций ip : I -»■ MN, где suppv С I. В
частности, если [х0 — р,х0 + р] С I, р > 0, и £ = (f1,... ,£N) € Ем, можно
выбрать tp(x) так, что y>(z) = 0 в [а,х0—р]и[х0+р,Ь], <р(х) = \£р~1(х — х0+р)
в [х0 - р,х0] и tp(x) = \^р~1(х0 + р- х) в [х0,х0+р]. Тогда
Х0+р
0 ^ <52^"(u, v?) = J ajk(x)ZjZkdx + o(p) при р -»■ +0
х0-р
и,следовательно,
0^— I ajk{x)£i£kdx + o{l) при р ->+0.
х0-р
При р -> +0 получаем ajk{x0)£j£k ^ 0 для любых х0 € / и f 6 Мм, так
как коэффициенты Qjfc(i) непрерывны на 7, откуда вытекает необходимое
условие Лежандра (1.35).
Более подробную информацию о необходимых условиях читатель
может найти в [36, 35, 57, 3, 112, 113].
Теперь перейдем к теореме о множителях Лагранжа для
вариационных задач с так называемыми изопериметрическими условиями вида
G[v) = const,
(1.40)
где Q(u) — заданный функционал вида
ь
G{u) := I G{x,u(x),u'[x))dt
а
с лагранжианом G(x,z,p) класса С2 в окрестности 1-графика и.
Требуется найти функции и : I —»■ M.N, I = (а, Ь), которые доставляют минимум
заданному вариационному интегралу Т{и) вида (1.1) на классе всех С1-
отображений J -» Ж^, удовлетворяющих заданным граничным условиям,
а также дополнительному условию (1.40).
Предложение 1.17. Предположим, что и — слабый минимизирующий
элемент вариационного интеграла Т в классе С всех функций кбС1 (I, Ж^),
удовлетворяющих граничным условиям v(a) = a, v(b) — Р и ограничению Q[v) = с,
где с — заданная константа. Предположим, что SQ(u, <p) не обращается в нуль
ни для каких функций <р Е C£°(I,MN). Тогда существует вещественное число
А такое, что
5T{u,v) + \6Q{u,tp) = Q для всех v <EC™{I,WLN). (1.41)
Более того, если u £ C2(I,MN), то
^- Нр{х, и, и') - Hz{x, и, и') = 0, (1.42)
где Н(х, z,p) обозначает лагранжиан Н := F + AG.
Доказательство. По условию существует функция -ф е C%°(I,MN)
такая, что 6G(u,ip) = 1. Для этой функции и произвольно выбранной
функции <р е C%°(I,RN) определим две функции Ф : Q -»■ Ж и.Ф : Q -»■ Ж на
Q '■= (ОМ) : N < £о, 1*1 < *о}, где 0 < е0, *о «С 1, по формуле
Ф(е,г) :=Р(и + е<р + Щ, 9{e,t) := G[u +E(p + t$).
Так как Ф4(0,0) = 1, можно применить теорему о неявной функции. Тогда
при |е0| С 1 получаем функцию т е С*(—£0,£о) такую, что г(0) = 0 и
[е, т(е)) £ Q при |е| < е0 и Ф(е,т(е)) = с для всех е е (-еъ.ео), откуда
т'(О) = — Фе(0,0). Кроме того, функции uviv = u + etp + tr}) удовлетворяют
одинаковым граничным условиям в точках х — а и х = Ь, а С1-расстояние
между ними,
Wv - ullc>(7) ^ И Hvllci(J) + 1*11М1сч7)>
стремится к нулю при е -»■ 0 и t -»■ 0. Таким образом, Ф(е, т(е)) ^ Ф(0,0) при
|е| 4С 1, откуда ФЕ(0,0) + Ф((0,0)г'(0) = 0. Поскольку мы ввели множитель
Лагранжа А := -Ф4(0,0) = —SQ{u,ip), не зависящий от tp, мы приходим к
уравнению ФЕ(0,0) + АФ£(0,0) = 0. Таким образом,
5T[u, <p) + \6Q{u, V) = 0 для всех V G Cf {I, WLN),
откуда с учетом предложения 1.5 получаем (1.42). D
I 6 1 Рассмотрим вариационный интеграл из | 2|
о
T{u)= f[u'2+q(x)u2]dx
на функциях класса С1(/), / = (а,Ь), удовлетворяющих условиям и(а) = О,
и(Ь) = 0 и ограничению
/
ь
и2 dx = 1.
Тогда любая минимизирующая функция и £ С2(1) этой задачи является
решением задачи
—и" + q(x)u = Хи, и(а) = 0, и(Ъ) = О,
где А — некоторая константа. Таким образом, множитель Лагранжа А
является собственным значением оператора Штурма — Лиувилля
при нулевых граничных условиях, а минимизирующая функция и —
собственной функцией оператора L, соответствующей А. Легко видеть, что
А — наименьшее собственное значение оператора L при этих граничных
условиях.
1.2. КАЛИБРАТОРЫ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
Опишем подход Каратеодори [57] к достаточным условиям оптимальности,
который основан на идеях Иоганна Бернулли (см. [58]). Начнем с простого
геометрического замечания.
Предложение 1.18. Пусть Т : С —*Ш и М : С -> Ш. — два вещественных
функционала на множестве С. Предположим, что для некоторого элемента
щ 6 С выполнены следующие условия:
(i) T[u0) = M{u0) и T{u) ^ M{u) для всех u EC,
(ii) M(u) ^ M(u0) для всех u EC.
Тогда ^(u) ^ !F(uo) для всех u eC.
Доказательство. Поскольку T(u0) = M{u0), можно записать T{u) —
Huo) = ^(u)--M(uo) = [T{u)-M(u)] + [M{u)-M{u0)]. В силу (i) и (ii) оба
выражения в скобках неотрицательны для любой функции и£С. Поэтому
Т[и) - F(u0) ^ 0 для всех u Е С. □
Функционал М называется минимизирующим соприкасающимся
функционалом для Т в точке u0 Е С. Используя этот термин, переформулируем
предложение 1.18.
Функция u0 G С минимизирует функционал Т : С -4Ё, если существует
минимизирующий соприкасающийся функционал для Т в точке и0.
Применим этот геометрический принцип к вариационному интегралу
ь
a
с лагранжианом F(x,z,p) класса С2, который определен на всем
пространстве М х Ш.^ х RN. Положим / = (а, Ь). Рассмотрим Т как функционал на
классе C1(/,IR7V) или на его подклассе, например,
C(a,b) ={ue С\7,ШМ) : u(a) = a,u{b) = /3) (1.44)
с фиксированными граничными значениями а и /3. Возникает вопрос: Как
найти минимизирующий соприкасающийся функционал М для Т в и0 вида
ь
М{у)= I M(x,u(x),u'(x))dx, (1.45)
a
где лагранжиан М(х, z,p) принадлежит С2? Наиболее простой путь
обеспечить выполнение условий (i) и (ii) предложения 1.18 — потребовать, чтобы
М(и) была константой на С и выполнялись условия
М(х, uo, u'0(x)) = F(x, u0{x), u'0(z)), M(x, u[x),u'{x)) ^ F[x, u(x), u'{x))
для всех x G / и и G С. При этом естественно ввести
Определение 1.19. Калибратором тройки {F,uo,C}, где u0 G С,
называется лагранжиан M(x,z,p), удовлетворяющий следующим двум условиям:
(i) M(x,u(x),u'(x)) ^ F{x,u(x),u'(x)) для всех х G / и u G С, где
равенство достигается при и — и0,
(ii) соответствующий интеграл
о
М{и) := / M(x,u(x),u'(x))dx
инвариантен на С, т. е. М(щ) = М(и2) для любых щ,и2 G С.
Учитывая предложение 1.18, получаем следующее
Предложение 1.20. Предположим, что М — калибратор тройки {F, uD, С}.
Тогда М — минимизирующий соприкасающийся функционал для Т в точке
uq ЕС и, следовательно, Т(и0) ^ F(u) для всех и ЕС.
Замечание 1. Пусть М — калибратор тройки {F, и0, С]. Предположим,
что для любой функции и G С имеем и + etp G С для любой tp G C%°(I,RN)
и всех е таких, что |е| С 1. Тогда М(и + etp) = М{и) при |е| <g 1, откуда
6М(и,tp) = 0 для всех tp G C^(I,RN). Ввиду основной леммы
Mz[-,u,u')-—Mp[;u,u') = 0 на/
для любой функции и G CnC2(I,RN). Таким образом, калибратор М(х, z,p)
является нулевым лагранжианом в некоторой окрестности 1-графика и\ в
К х MN х RN. Поэтому рассмотрим класс нулевых лагранжианов М(х, z,p).
Нетрудно проверить, что такие лагранжианы описываются формулой
M(x,z,p) = Sx(x,z) + S,.[x,z)pi, (1.46)
где S[x, z) — произвольная функция класса С2 и
ь
М(и) = [ 4- S{x, u(x)) dx = S(b, u{b)) - S(a, u(a)) (1.47)
a
для любой функции u e C1(/,MJV) такой, что график u содержится в
области определения S.
Допустим, что задана экстремаль u e C(a,b) nC2(I,MN) функционала
T(v). В каких случаях и каким образом можно найти калибратор М для
тройки {F,uo,C6{a,b)} так, чтобы гарантировать неравенство Т(и) ^ T(v)
при всех v £ Сб{а,Ь) := С(а,Ь) П {v : sup7 \v(x) — и(х)\ < 6} для
некоторого 6 > 0? Чтобы ответить на этот вопрос, предположим что и вложено
в поле экстремалей F. Это означает следующее: существуют односвязная
область Г = {(х,с) : с е I0,x G 1(c)} вШх MN, где 10 — непустое
параметрическое множество в MN, 1(c) — интервал на вещественной оси, и
С^-диффеоморфизм / : Г -» G из Г на (односвязную) область G вШх MN
вида
f(x,c) = (xltp(x,c)), (1.48)
где у! = dy/dx e С^Г.М^),
u(x) = ip(x, cq) для всех х Е I (1-49)
для некоторого с0 е Jo, где [a,b] С int J(c0). Кроме того, пусть для любого
с 6 Id функция <р(-,с) является экстремалью функционала Т, т. е.
^(■^(■,c),V'(-.c))-^Fp(-^(-,c),v?'(-,c)) = 0.
Введем поле наклона р :G -> MxM^xIR™ экстремального поля / по формуле
p(x,z)~(x,z,T(x,z)), V:=iP,orleCl(G,m.N)- (150)
Назовем V : G -»■ ffi^ функцией наклона f на G. Имеем iff = Vo /,т. е.
V?'(z,c) = 7>(а:,^(х1с)) для всех (ж, с) еГ (1.51)
и, в частности.
u'(x) =V(x,u(x)), a^x^b.
(1.52)
Определение 1.21. С1-диффеоморфизм / :Г r>G односвязной области
Г = {[х,с) : с G 10,х 6 ф)}, G = /(Г), вида /(z,c) = (x,tp(x,c)), где
у' £ Cl(T,MN), называется полем наклона на G с наклоном V := у? о /-1 е
C1(G,^r), а отображение р : (x,z) н-э- (x,z,T(x,z)) — полем наклона f.
Будем называть / экстремальным полем на G, если функции ^(-, с): 1(c) —>
Mw являются экстремалями функционала Т, и оптимальным полем на G,
если существует функция S(x,z) класса C2(G) такая, что лагранжиан
Fm{x,z,p):=F{x,z,p)-Sx{x,z)-Sa{x,z)-p (1.53)
удовлетворяет условиям
F*^0 на GxMN, F*op=0 на G. (1.54)
Будем называть S эйконалом оптимального поля /. Наконец, оптимальное
поле / называется полем Вейерштрасса на G, если
F*(x,z,p)>Q, {x,z)eG,p?V(x,z). (1.55)
Предложение 1.22. Если f — оптимальное поле на G с эйконалом S, то
Т(и) ^ 5(6, и(Ъ)) - S(a, u(o)) (1.56)
для всех u e C1^, b],M.N) : graphu С G. Более того,
T(v) = S{b, u{b)) - S{a, u(a)), (1.57)
если u соответствует полю f, т. е.
u\x) =V{x,u(x)), (1.58)
где V — функция наклона поля /. Если f — поле Вейерштрасса на G, то
неравенство (1.56) можно усилить:
T(u) > S{b, u{b)) - S[a, u{a)) (1.59)
для всех v. G Cl([a, b],M.N) таких, что graph и С G, не соответствующих полю,
т. е. таких, что и'(а:о) Ф V{xq, u(x0)) в некоторой точке хо G I- В частности,
T(u) > T(u0) (1.60)
для всех u, uq G C(a, Ъ) : graph u С. G, graph u0 С G, если зд соответствует
оптимальному полю на G. Более того, Т(и) > Т(и0), если uD соответствует
оптимальному полю на G и и ф и0-
Доказательство. Введем класс
С :- С(а, Ъ) П {и : graph и С G} (1.61)
и предположим, что и0 G С соответствует оптимальному полю на G с
эйконалом S. Определим нулевой лагранжиан M(x,z,p) на G x UN по формуле
M[x,z,p) := Sx{x,z) + Sz{x,z) - p. (1.62)
Тогда модифицированный лагранжиан F*, определенный по формуле (1.53),
можно записать в виде F* = F — М. Из (1.54) вытекает условие (i)
определения 1.19. Тогда нулевой лагранжиан М является калибратором тройки
{F, и0,С}- Согласно предложению 1.20 мы получаем (1.60). Анализируя
доказательство предложений 1.18 и 1.20, нетрудно проверить, что
выполняется строгое неравенство F(u) > F(u0), если u0 соответствует полю Вей-
ерштрасса на G и и ф и0.
ь
Пусть М(и) — I М(х, и, и') dx — вариационный интеграл, соответству-
а
ющий лагранжиану М. Если и0 соответствует оптимальному полю, то
7[uq) = M{uQ) и М(и) = М(и0) для всех и £ С. В силу (1.47) получаем
T(uq) = S(b,u(b)) — S(a,u(a)) для любой функции и е С, т. е. справедливо
(1.57). С учетом (1.60) получаем требуемое неравенство (1.56). Аналогично
выводим неравенство (1.59) для поля Вейерштрасса на G. П
Таким образом, вопрос, будет ли заданная экстремаль и(х), а ^ х ^ 6,
функционала Т локальным минимизирующим элементом функционала Т
на С(а,Ь), сводится к нахождению калибратора М тройки {F,u,C}, где
С — С(а, 6) П {г; : graph г/ С G] и G — область в!х MN, содержащая graph и,
а эта задача сводится, в свою очередь, к вопросу, можем ли мы найти
оптимальное поле в достаточно малой окрестности G графика квИх MN
так, что и соответствует полю. В каких случаях можно вложить данную
экстремаль и в оптимальное поле? Для ответа на этот вопрос мы
сначала выведем необходимые условия для оптимального поля на Gc
эйконалом S(x,z) и полем наклона fp(x,z) = (x,z,V[x,z)). В силу (1.53) имеем
F*[x,z,p) = Fp(x,z,p) - Sz(x,z), и из (1.54) вытекает F* о р = 0, откуда
Sz(x,z) = Fp(x,z,V(x,z)). (1.63)
Из уравнения F* о р = 0 следует, что
Sx(x,z) = F(x,z,V(x,z))-Fp(x,z,V(x,z))V(x,z). (1.64)
Таким образом, эйконал S и поле наклона р оптимального поля на G с К х
Шм должны удовлетворять уравнениям Каратеодори (1.63), (1.64), которые
можно записать в виде
S, = Fp(p), Sx = F(p)-Fp(p)-V. (1.65)
Это приводит к следующему определению.
Определение 1.23. Поле / на G с полем наклона p(x,z) = (x,z,V(x,z))
на G называется полем Майера, если существует функция S G C2{G) такая,
что пара {5, V} удовлетворят уравнениям Каратеодори (1.65). Функция S
называется эйконалом поля Майера /.
Введем так называемую форму Бельтрами у для F. Это 1-форма на
1хК"х Шм, определенная формулой
1:={F-p-Fp)dx + Fp.dzt.
(1.66)
Введем обозначение
Р*7 = {F(p) - V ■ Fp{p)) dx + Fpi{p) dz{. (1.67)
Тогда из уравнений Каратеодори (1.65) следует
d5 = p*7, (1-68)
т. е. 1-форма р*7 на G точная. Если область Содносвязна, уравнение (1.68)
эквивалентно уравнению
d(p*7) = 0, (1.69)
т. е. поле f является полем Майера, если р*ч для формы Бельтрами у с
полем наклона р поля f является замкнутой 1-формой на односвязной области
G. Кроме того, в силу (1.68) на односвязных областях G эйконалы
оптимальных полей и полей Майера однозначно определяются с точностью до
аддитивной константы.
Сформулируем изложенные результаты.
Предложение 1.24. Пусть f — оптимальное поле на G с эйконалом S и
полем наклона р. Тогда f — поле Майера на G с эйконалом S, т. е. dS = р*7-
Определение 1.25. Любое поле / : Г -» G на G такое, что f(x,c) =
(x,ip(x,c)), (г, с) € Г, продолжается до фазового потока
е(х, с) := [х, ip(x, с), (р\х, с))
в фазовом пространстве G х MN. Определим канонические моменты f:
Ч ■= ЗД, (1.70)
т. е. т)(х,с) = (t)i[x,c),... ,т)н(х,с)), где тц(х,с) — Fp.(e(x,c)). Скобки Ла-
гранжа [с",^] поля / определяются формулой
и h(x,c) := (x,ip(x,c),<p'(x,c)) называется кофазным потоком в кофазном
пространстве G х Ш". (Обычно мы отождествляем Mw и RN'.)
Лемма 1.26. Если f — поле на G с фазовым потоком е, то
d(e*7) = LF(V) ■ v?codcQ Adx+^ [c°, с?] dca A dcP, (1.72)
где сумма берется по всем упорядоченным парам (а, /?) таким, что a < /?.
Доказательство. Имеем
d(e*7) = d{F(e)da; + Fpk{e)[dipk - ipk' dx]}
= Fzk (e) dtpk Adx + Fp* (e) dtpk' Adx- Fpk (e) dtpk' Adx + dFpk (e)y£, dca.
Так как второй и третий члены в правой части сокращаются, получаем
d(e*7) =
FAe)-^{FMe))]&dc°AdX + ^^dceAdc°.
Поскольку k-R компонента ковектора Lp{v) имеет вид
LF(V)k=FMe)-^(Fpk(e)),
получаем тождество (1.72). □
Предложение 1.27. Лоле f : Г -> G такое, что f{x,c) = [х, ip(x,c)),
является полем Майера на односвязной области G из Ш х W* тогда и только
тогда, когда f является экстремальным полем с нулевой скобкой Лагранжа,
т. е. тогда и только тогда, когда
LF((p) = Q, [са,с<3] = 0для всеха,Р=1,... ,n. (1.73)
Доказательство. Поле / с полем наклона р является полем Майера на
G тогда и только тогда, когда d(p*-y) = 0. Так как / — диффеоморфизм из
Г на G, это уравнение эквивалентно /*d(f>*7) = 0. Кроме того, f*p = e и,
следовательно, f*d(p*f) = d(/*(f>*7)) = ^(е*7)- Таким образом, / — поле
Майера на G тогда и только тогда, когда
<f(e*7) = 0. (1.74)
В силу леммы 1.26 это уравнение эквивалентно (1.73). Таким образом,
требуемое утверждение доказано. □
Теперь изучим обратный вопрос: Когда поле Майера на G будет
оптимальным полем? Для ответа на этот вопрос, как и в примере Вейерштрасса,
введем S-функцию Вейерштрасса на G х Mw х T&N по формуле
£{х, z, q,р) := F{x, z,p) - F(x, z, q) - [p - q] ■ Fp{x, z, q). (1.75)
Очевидно, что £(x, z, q,q) = 0 для всех q G MN и, следовательно,
£(x,z,q,p)^0 или всех {x,z) e G, p,q£UN (1.76)
тогда и только тогда, когда F(x,z,p) — выпуклая функция относительно
р для любых (х, z) e G (будем писать £f вместо £, чтобы подчеркнуть
зависимость от F). Кроме того,
£(х, z, q,p)>0 ДЛЯ всех (x, z)eG, p,g G UN, p±q, (1.77)
если F(x,z,p) строго выпукла относительно р для всех (z,z) € G. В
частности, справедливо
Предложение 1.28. £-функцию Вейерштрасса для лагранжиана F
удовлетворяет условию (1-77), если существует константа m > 0 такая, что
Рр^(*'*,Р)&к2тп\£\2 (1-78)
для всех £ = (f1,... ,£N) e MN и {х, z,p)eGx MN.
Условие (1.78) называется достаточным условием Лежандра.
Определение 1.29. С2-лагранжиан F(x,z,p) называется эллиптическим
на G х JRN, если выполняется достаточное условие Лежандра (1.78).
Лемма 1.30. Если f — поле Майера на G с полем наклона p{x,z) =
(x,z,T(x,z)) на G и эйконалом S(x,z) и M(x,z,p) — нулевой лагранжиан,
M(x,z,p) = Sx[x,z) + Sz(x,z) ■ р, то модифицированный лагранжиан F* :=
F — М можно записать в виде
F*{x,z,p) =£F(x,z,V(x,z),p) длявсех {x,z,p) G G x MN.
Доказательство. Согласно определению 1.23 имеем Sx = F(p) — V ■
Fp(p) и Sz = Fp о p. Поэтому М можно записать в виде
M = Sx+p-Sz = (F(p) - V ■ Fp(p)) + p ■ Fp{p) = F(p) + ]p-V]- Fp[p),
откуда F* = F — M = F — F{p) — [p — P\ ■ Fp(p) и, следовательно,
F*{x,z,p) = F{x,z,p) - F{x,z,V(x,z))
-\p-V{x,z)]Fp{x,z,V{x,z)) = £F{x,z,V[x,z),p). (1.79)
Лемма доказана. П
Ввиду определений 1.21 и 1.29, леммы 1.30 и предложения 1.28
справедливо
Предложение 1.31. Поле Майера на G является оптимальным полем, если
F{x, z,p) — выпуклая функция по переменной р для всех (х, z) G G, и
является полем Вейерштрасса на G, если F удовлетворяет условию эллиптичности
(1.78).
Из предложений 1.22 и 1.31 получаем следующее достаточное условие.
Теорема 1.32. Пусть v.(x), a^x ^b, — экстремаль функционала
ь
T{v) = / F(x, v, v') dx,
a
вложимая в поле Майера f на G, т. е. и соответствует полю наклона для f.
Тогда
Т{и) ^ Т{у) для всех v£C = C[a, Ь) П {v : graph v С G},
где C[a,b) := {v G C'fla.bJ.K") : v(a) = u(a) = a,v(b) = u{b) = /?}, при
условии, что F{x, z, ■) выпукла для всех {х, z) G G. Кроме того,
T(v) < F(v) для всех v G С таких, что иф v,
если лагранжиан F эллиптический на G х MN.
С учетом этой теоремы остается лишь выяснить, при каких
условиях можно вложить заданную экстремаль в поле Майера. Если N = 1, на
этот вопрос легко ответить, так как в этом случае нет нетривиальных
скобок Лагранжа. Следовательно, каждое экстремальное поле является полем
Майера. Поэтому нам нужно лишь вложить данную экстремаль в
экстремальное поле. Локально это довольно простая проблема.
Действительно, пусть u(x), a ^ х ^ Ь, — экстремаль для лагранжиана F класса С3 с
условием Fpp ф 0. Тогда уравнение Lp[u) = 0 эквивалентно уравнению
в нормальной форме, и" = -ф(х,и,и'), где -ф G С1, к которому применимы
стандартные теоремы существования и единственности для обыкновенных
дифференциальных уравнений. Поэтому при с0 = и(хс) существует
однозначно определенное семейство решений <р(-,с) начальной задачи
Мр(-,с))=0, <р{хо,с) = с, г'(х0,с) = и'(х0) (1.80)
таких, что (р(х,с) определена на Г — [хс — 8,хс + 8) х (с0 — 6,с0 + 8), ес-
ли 0 < 8 <§; 1. Кроме того, ipc(x,c) существует и непрерывно зависит от
своих аргументов. Тогда ip(x0,c) = с влечет (рс[хо,с0) = 1, и в силу
теоремы о неявных функциях отображение / : Г -> G, определенное формулой
f(x,с) := {х, (р(х,с)), G := /(Г), является полем на G при 0 < 8 <§; I. Более
того, в силу единственности имеем и[х) = tp(x, с0) при г0 — 8 ^ х ^ хо + 8.
Таким образом, экстремаль и локально (т. е. в окрестности точки (ar0, u(zc))
вкладывается в экстремальное поле /. Аналогичные рассуждения
справедливы для граничных точек хо = о. и х0 = Ь.
В силу теоремы 1.32 при N = 1 справедлива
Теорема 1.33. Пусть F — лагранжиан класса С3 и u[x), a ^ х ^ Ь, —
F-экстремаль, удовлетворяющая условию эллиптичности
Рр^(х,и(хШЧк>™\£\2 (1-81)
для некоторого га>0и всех х G [a,b], p G MN, f G MN. Тогда каждая
достаточно малая часть и является локально минимизирующим элементом.
Более точно, для хо € [а, Ь] существуют интервал /с = [а0, bD] С [а, Ь] такой,
что х0 £ (ас, М, если х0 g (а, Ь), и х0 = ас или 6о соответственно, если хо = а
или Ь, и некоторое е > 0 такие, что
Ьо Ьо
I F(x,v.,u)dx < / F{x,v,v')dx
Oc Oo
для всех г/ G C^fao.fcoJilR^) таких, что г/(а0) = u(a0), v(b0) = u(b0), 0 <
sup|u(i) — v(x)\ < e.
В действительности теорема 1.33 справедлива для каждого N ^ 1, а
-не только для N = 1. Это утверждение можно обосновать следующим
образом. Выберем любую точку х0 G (а,Ь) (случай хо = о или z0 = 6
рассматривается аналогично). Пусть х* — точка Ж такая, что х* < г0,
т. е. подразумевается, что она "близко расположена к" х0. Положим z* :=
и(х*). Пусть и(х), а ^ х ^ 6, — F-экстремаль, которая в окрестности
(x0,z0), где z0 := и[х0), вложена в поле Майера. В силу условия (1.81)
det Fpp ф 0 на U х WN, где U — некоторая окрестность graph u в Ш х MN.
Поэтому уравнение Эйлера Lp(tp) = 0 эквивалентно некоторому уравнению
в нормальной форме <р" — Tp(x,ip,<p'), где -ф е С1. Следовательно, мы можем
однозначно решить начальную задачу
LfW;V)) = 0, f(x*,c) = z\ Vf{x*,c) = c, (1.82)
где <р(х,с) определена на Г£ := [х* — 8,х' + ё) х (с* — S, с* + 5), где с* :=
и'(х*), и tp'(x,c) и tp'c(x,c) непрерывны на ГЦ. В силу разложения Тейлора
по переменной х в точке х = х* получаем
<р{х,с) = z* + tp'[x*,c){x — х*) + ...,
откуда
<Рс[х,с) =<р'с(х*,с)(х-х*) + ...,
где многоточие заменяет члены высшего порядка по (я — х*). Тогда
detpc(a:,c) = (я - x*)N det tp'c(x*, с) -\
и из (1.82) получаем det <р'с{х*, с) = 1, если |с — с*| < S. Полагаем f(x,c) :=
(х,<р(х,с)). Тогда Df = dettpc, откуда
detDf(x,c) = {x-x*)N + ■■■ , (i,c)er;. (1.83)
Заметим, что <р(х,с) и, следовательно, f(x, с) также зависит от параметра
х*. Однако в силу (1.83) по непрерывности можно найти положительные
числа 60 и 5 такие, что
detDf(x,c*)фQ для всех х £ (х*,х* + S), с* = и(х*) : (1.84)
и любой точки х* G [х0 - S0,xo)-
Выбирая х* достаточно близкой к х0, находим х* < х0 < х* + S. Если
ip — решение задачи (1.82) с этой начальной точкой х* и / —
соответствующее отображение f(x,с) = (х, tp(x, с)), получаем det Df{x0,c*) ф 0, где
с* = и(х*). Следовательно, существует окрестность Г точки (х0,с*) вида
Г = (х0 - р,х0+р) х (с* - р, с* +р), р> 0 такая, что /|г — диффеоморфизм
из Г на G := /(Г), кроме того, и(х) — ip(x,c*) для х* — ё < х < х* +S. Таким
образом, при 0 < е < р часть и(х), х0 — е ^ х $С х0 + е, экстремали и
вложена в экстремальное поле /|г. Покажем, что /| — поле Майера. Так как
Г односвязна, надо лишь доказать, что все скобки Лагранжа [са,с^] для /
тождественно равны нулю. Убедиться в этом можно следующим образом.
Пусть е(х, с) = (х, tp(x),tp'(x, с)) — фазовый поток отображения /. Положим
тг := <р', Fp := Fp{e) и F„ := F„(e). Тогда
дх[ ' J ~ дса дх р дсР дс° р дсР
д д - dip д ~ д-к
~!й$~дх~ p"№~!kfi p'!hr'
Так как F2 = -=- Fv
ox
dx°[ ' J 8ca z dcP dc° p dcP dcP z 8ca dcP z dca
Непосредственно вычисляем
— \ca cp] = 0
dx"[ ' J
Таким образом, скобки Лагранжа зависят только от с, но не от х. Поэтому,
полагая х = х*, можно оценить их. Однако в силу (1.82) ip(x*,c) = z* и,
следовательно, 1рс«[х",с) = 0 для всех а = 1,... ,N. Поэтому [са, <г](х*, с) =
О, так что все скобки Лагранжа обращаются в нуль на Tg и, в частности,
на Г.
Таким образом, в эллиптической ситуации (т. е. Fpp > 0) каждая
достаточно малая часть экстремали может быть вложена в поле Майера.
Однако это не справедливо в глобальном смысле. Точнее, глобальная
экстремаль и(х), а ^ х ^ Ь, может быть вложена в поле Майера, если не существует
пары xi, X2 значений сопряженных параметров и, которая содержится в [a,b].
Это означает, что не существует нетривиального решения v уравнения
Якоби в точке и (т. е. нетривиального "поля Якоби" v вдоль и), равного нулю
в точках х = х\ и х = Х2, где а ^ xi < г2 ^ Ь. Здесь под уравнением Якоби
в точке и понимается уравнение Эйлера — Лагранжа для квадратичного
функционала
Q{v):=\&2T{u,v), (1.85)
где
PT{4tv):=^T[u + ev)\t=0 (1.86)
обозначает так называемую вторую вариацию функционала Т в точке и
по направлению v. Так как функционал Q(v) квадратичный по г/,
уравнение Якоби является линейным уравнением второго порядка. Теория
таких уравнений хорошо развита и изложена во многих книгах. Например,
по поводу теории сопряженных точек можно рекомендовать читателю
обратиться к книгам Каратеодори [57], Морса [194], Янга [294], а также к
книге Джаквинта-Гильдебрандт [113], где задача о глобальном вложении
рассматривается в п. 2.1-2.4, гл. 6, том I.
В заключительной части этого раздела мы изложим подход, при
котором используется гамильтониан. Начнем с определения преобразования
Лежандра £р, порожденного F. Здесь F(x, z,p) — функция класса С3, s ^ 2,
определенная на GxWlN, G — область в M.xMN. Пусть Fpp(x, z,p) —
положительно определенная матрица для всех (x,z) £ G и р £ MN. Преобразование
Лежандра представляет собой двухступенчатую процедуру. Сначала
определяется отображение Cf ■ {x,z,p) >-» £р(х,г,р) по формуле
CF{x,z,p):={x,z,y), y:-Fp(x,z,p). (1.87)
Так как Fpp > 0, отображение Fp(x,z, ■) есть ^-диффеоморфизм из MN
на некоторую область B*(x,z) с MN для любых {x,z) £ G. Поэтому Cf
является (^-диффеоморфизмом из fi := G x MN на область fi* := {(г, 2, у) :
(г, z) £ G, у £ В*(х, г)}. Обратное отображение CFl : Q* -»■ fi имеет вид
^(z.z.y) = (х, г, ф(х, z,y)), (1.88)
где VeC1^*,^^).
Затем определяется преобразование Лежандра Я для F как функция
Я : Л* —»■ М такая, что
H:={p-Fp-F}oCF\ (1.89)
или,эквивалентно,
Я(х, 2, у) := V(i, z, у) ■ Fp(i, z, ф(х, 2, у)) - F(x, z, -ф{х, z, у))
= Щх, Z,y) у- F(X, 2, Цх, 2, у)).
Функция H(x,z,y) называется гамильтонианом, соответствующим
лагранжиану F(x,z,p). Из (1.89) вытекает, что Я е С'"1, если F G Cs.
Теперь покажем, что Я принадлежит даже классу Cs, т. е. Я будет столь
же гладкой, как и F. Действительно, в силу (1.89)
Hsdx + Hzkdzk + Hykdyk = ykd^k + i)kdyk - Fxdx - Fzkdzk - Fpkdij)k,
где [x,z,y) — аргументы Hx, Hzk, НУк, -фк и {x,z,ij}{x,z,y)) — аргументы
Fx, Fzk, Fpk. Так как ук = Fpk(x,z,tl>(x,z,y)),
Hxdx + H2kdzk + HVkdyk = -Fxdx - Fzkdzk + ^kdyk,
откуда
lfi{x,z,y) = Hyh{x,z,y), (1.90)
и
Hx{x, 2, y) = -Fx(x, z, ф{х, z, j/)),
Hzk{x, z, y) = -Fzk{x, 2, tjj(x, 2, y)).
(1.91)
Так как Fx, Fz, -ф принадлежат Cs~l, мы заключаем, что Нх, Hz, Hy
принадлежат Cs_1 и, следовательно, Я принадлежит С". Более того, из
уравнений (1.88) и (1.90) получаем
CFl(x,z,y) = {x,z,Hy(x,z,y)), (1.92)
т. е.
С? = СН. (1.93)
Таким образом, преобразование Лежандра является инволюцией. Запишем
выписанные выше формулы в виде таблицы
F(x, 2, р) + Я(х, z,y) = yp,
y = Fp{x,z,p), p=Hy{x,z,y), (1.94)
Fx{x,z,p) + Hx(x, z,y) = 0, Fz{x,z,p) + H„(x,z,y) = 0,
где (x,z,p) и (x,z,y) — тройки в fi и fi* соответственно, т. е. (x,z,y) =
£f[x,z,p) или [x,z,p) = CH(x,z,y).
Теперь рассмотрим .F-экстремаль и G C2([a,b],MN), график которой
содержится в G, т. е. 1-graph и С fi, и положим 7г(г) := и'(х). Тогда
продолжение е(х) = (х,и(х),тс(х)) функции и в П удовлетворяет уравнениям
Эйлера
£ = *■ TxW=FM- (1-95)
Применив преобразование Лежандра £р,
h:=CFoe = CF(e), (1.96)
получаем
h{x) = (х, и{х), т)(х)), т)(х) = Fp(x, u(x), тг(аг)).
Следовательно,
e = CHoh = CH{h), (1.97)
т. е. е(х) = (х,и{х),тс(х)), где тс(х) = Ну[х,и(х),т)(х)). Таким образом,
(1.95) принимает вид
и' = Hy(x,u,v), г]'=-Нг{х,и,т]). (1.98)
Обратно, если h — решение (1-98), то е — решение (1.95). Система (1.98)
называется гамильтоновой системой. Сформулируем полученные
результаты в виде следующего предложения.
Предложение 1.34. Если Fpp(x,z,p) > 0 на fi = G x \S.N, то
преобразование Лежандра £р обратимо и можно определить соответствующий
гамильтониан Н по формуле (1.89). Поэтому уравнение Эйлера (1.95) и гамильтонова
система (1.98) эквивалентны в следующем смысле: если е — решение (1.95),
то h = Ср[е) — решение (1.98) и, обратно, если h удовлетворяет (1.98), то
е = Cn{h) удовлетворяет (1.95).
Теперь предположим, что / : Г -> G — поле Майера на G с полем
наклона p{x,z) — (x,z,T{x,z)) и эйконалом S. Тогда выполняются уравнения
Каратеодори
S* = F{p)-V-Fp{p), Sz = Fp(p). (1.99)
Теперь введем двойственное поле наклона ф(х, z) = (x, z, Ф(х, z)) по формуле
ф:=СРор = СР(р), (1.100)
т. е.
9(x,z) = Fp{x,z,V{x,z)), (1.101)
Т[х,г) = Ну(х,г,Щх,г)). (1.102)
Тогда уравнения Каратеодори эквивалентны двум уравнениям
Sx{x,z) = -H(x,z,i*(x,z)), Sz{x,z) = y{x,z), (1.103)
которые приводят к так называемому уравнению Гамильтона — Якоби
Sx + H(x,z,Sz) = 0 (1.104)
для эйконала S(x,z). Это одно скалярное уравнение с частными
производными первого порядка для 5, которое оказывается эквивалентным
системе (1.99) для {S,T}. Действительно, если S — С2-решение уравнения
Гамильтона — Якоби (1.104) на G, то для Ф := Sz получаем, что {5, Ф}
удовлетворяет (1.103). Определив p(x,z) = [x,z,V(x,z)), где V(x,y) =
Ну(х,г,Ф(х,г)) = Hy(x,z,Sz(x,z)), заключаем, что {S,T} удовлетворяет
уравнениям Каратеодори (1.99). Таким образом, справедливо
Предложение 1.35. Уравнение Гамильтона — Якоби (1.104) и уравнения
Каратеодори (1.99) эквивалентны. В частности, если S(x,z) —решение
уравнения (1.104) в области G, то p(x,z) = [x,z,T[x,z)) и поле
V{x,z) = Hy{x,z,Sz(x,z)) (1.105)
является полем наклона некоторого поля Майера f(x,c) = (х,<р(х,с)) на G,
которое может быть получено из р "интегрированием", т. е. решением
уравнением первого порядка
<p' = V(;V>)- (1106)
Итак, мы изложили иной метод построения полей Майера. Этот
метод можно также применять для вложения заданной F-экстремали в поле
Майера.
1.3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
В данном разделе мы опишем некоторые классические вариационные
задачи, которые были предметом исследований до открытия анализа
бесконечно малых или примерно в это же время.2
Принцип Ферма и законы геометрической оптики. В 1662 г. Ферма
открыл закон рефракции в геометрической оптике с помощью своего
знаменитого принципа, согласно которому природа всегда действует наиболее
коротким путем {la. nature agit toujours par les voies les plus courtes). В
контексте геометрической оптики этот принцип означает, что луч света
распространяется от одной точки до другой самым быстрым способом из всех
возможных.
Для вывода закона рефракции из принципа Ферма мы рассмотрим две
среды, разделенные плоскостью, и две точки А и В такие, как на рис. 1.1.
2 В книге [124] интересующийся читатель найдет богатый исторический
материал. Исторические замечания по этой теме содержатся также в книге Джаквинта-
Гильдебрандт [113].
Предположим, что свет движется в среде со скоростью, обратно
пропорциональной оптической плотности среды. Обозначим оптические плотности
двух сред через пг и п2. Согласно принципу Ферма луч света p0pt,
проходящий от точки А до точки В, должен быть таким, что время T(y0pt), за
которое луч свет проходит расстояние от А до В, минимально.
Очевидно, что кривая ifapt лежит в плоскости, которая проходит через А и В и
ортогональна плоскости, разделяющей эти среды. Введем декартовы
координаты х и у в этой плоскости и предположим, что линия раздела двух
сред проходит вдоль оси у = 0. Для z = (х, у) е М2 положим
"2,
К ' * - у < 0.
Тогда для любой плоской кривой <р : [0,1] -> Ш? время Т(<р) вычисляется по
формуле
1
T{V)=Jn{v)y\dt.
Рис. 1.1
Поэтому рассматриваемая задача минимизации может быть записана
следующим образом:
1
|/"Ы И М ■ чЩ = А <р(1) = #}-
1
mm
о
Решением оказывается кусочно-линейная кривая, как на рис. 1.1, где
^ = ^1, (1 107)
712 C°S Gl
что выражает обычный закон рефракции геометрической оптики.
Заметим, что эта задача может быть сведена к задаче минимизации
для функции одной вещественной переменной. Действительно, в каждой
из двух однородных сред, лучи света являются прямыми, так как путь
с наименьшим временем прохождения есть в точности путь
наикратчайшей длины. Таким образом, путь с наименьшем временем прохождения,
который соединяет точку А среды 1 с точкой В среды 2, должен быть
кусочно-линейной кривой, образованной двумя прямолинейными
сегментами АР и РВ, где Р = (х,0) — точка на х-оси. Время Т[х), необходимое
для распространения света вдоль этой кривой, выражается формулой
Т{х) = п1\А-Р\ + п2\Р-В\.
Таким образом, задача о наименьшем времени сводится к задачи
минимизации функции Т(х), где х пробегает Ш. Если А = (а,Ь) и В = (а,/?), где
а<аи/?<0<6,то время Т(х) можно записать в виде
Т{х) = тЧ[{а-х)2 + Ь*}112 + п1.[{а-х)2 + 02]11\
Тогда условие равенства нулю первой производной Т'(х) приводит к
уравнению
х — а а — х
"1 77 чч . лил = "2
[{х - а)2 + б2]1/2 '[[х-аУ+Р2]1/2'
которое в точности выражает закон рефракции (1.107).
Задача Ньютона оптимального аэродинамического профиля. В 1685 г.
Ньютон, изучая вопрос об определении формы вращающегося
симметричного тела в жидкости при наименьшем сопротивлении, пришел к задаче
вариационного исчисления, которая не сводится к задаче минимизации
функции конечного числа переменных. В своих "Principia" он писал: "В
прореженной среде, состоящей из равных частиц, свободно расположенных на
равном расстоянии друг от друга, шар и цилиндр с одинаковыми
диаметрами двигаются с одинаковой скоростью в направлении оси цилиндра. Тогда
сопротивление шара будет составлять половину сопротивления цилиндра... Я
считаю, что это наблюдение может быть полезным в кораблестроении."
Для лучшего понимания модели Ньютона представим себе, что среда
настолько сильно прорежена, что можно считать, что она состоит из малых
частиц, которые равномерно распределены и не зависят друг от друга.
Тогда взаимодействие между телом и частицами может быть вызвано лишь
ударом, если касательное трение не учитывается.
Теперь предположим, что тело радиально симметрично. Тогда можно
описать его профиль, как график функции и(г). Вычисления показывают,
что каждое столкновение между телом и частицей с массой m и скоростью
г; замедляет движение тела на величину
mv cos2 d = mv
i + КМГ
где значение угла $ изображено на рис. 1.2.
?
Рис. 1.2
Поэтому общее сопротивление профиля, заданного функцией и,
пропорционально интегралу
(1.108)
где R — радиус максимального сечения. В частности, из (1.108) следует,
что сопротивление сферы составляет половину сопротивления цилиндра
того же диаметра, что и утверждал Ньютон. Ясно, что без ограничения на
максимальную ширину тела инфимум функционала Т равен нулю.
Действительно, для последовательности функций u/,(r) = /i(l — т/R) имеем
lim ?[иъ) = 0, тогда как Т{и) не обращается в нуль ни на какой функции
h—юа
и. Кроме того, даже наличие оценки и вида 0 ^ и ^ М оказывается
недостаточным для существования минимизирующей функции. В этом можно
убедиться, рассмотрев последовательность функций u/,(r) = Msm2(hr)t
которые удовлетворяют условию 0 ^ u/, ^ M, но при этом
lim T(uh) = 0.
h-t-oo
Предположив, что и убывающая, приходим к задаче
min{Jc'(u) : u(0) = М, u(R) - 0, и ^ 0}. (1.109)
В терминах функции v(s) = u-1[M — s) задача (1.109) часто
записывается в виде
mm
м
1 + \V
:v(0)^0,v(M) = R,v'^o\.
Вычислив первую вариацию функционала из этой задачи минимизации,
мы получим уравнения Эйлера
G{if) = (vCp(v'))', if > 0,
Gp(i/(0)) = 1, v[0) > 0,
где G(p) = р3/(1 + р2). Из уравнений Эйлера получаем уравнение Дюбуа-
Реймона
v'vGp[v')-vG{v') = c
и условие щ'(0) = 1. Прямые вычисления приводят к уравнению
i/s с
[1+v12)2 2"
Чтобы проинтегрировать это уравнение, удобно использовать параметр z =
гЛ Получим
dz
~ v'is) dz~2\z3 + z z3)
Таким образом, мы получаем решение в параметрической форме
c(l + z2)2
»М = 2 —?—•
где константы А к с определяются из граничных условий s(z)\ = 0 и
w(s)| M= R. Чтобы выразить решение в старых переменных г и и, удобно
рассмотреть функцию
/(«)
= (I^fH+^+,!-4
при 4^1. Она строго возрастает и удовлетворяет условию
lira f(t) — +со.
t—ЮО
Пусть
Тогда и(г) = М для всех г е [0,г0] и при г ^ г0 можно описать кривую
и = и(г) в параметрическом виде
r(t) = Tft (i + *2)2. u{t) = м - Tft№(\ + t2)2,
где J G [1,7]- Интересно отметить, что du/dr ^ -1 и в классе {и —
М на [0,rD],u(R) — 0,и' ^ \/3/3} функционал J7 оказывается выпуклым.
Например, полагая М — R = 1, мы получаем оптимальный профиль, как
на рис. 1.3, где г0 ~ 0.35, и нормированное сопротивление
Со=h 11+WWdT
будет порядка С0 ~ 0.37.
Литература по задаче Ньютона довольно обширна. Обзор результатов
можно найти в [50]. Некоторые интересные приложения к инженерным
вопросам даны в книге [185].
Рис. 1.3
Интересно отметить, что, вообще говоря, даже для кругового
максимального сечения оптимальный профиль не будет радиально
симметричным (см. [45]), если для общих сечений Q С М2 и функций u : Q —> Ш
"сопротивление Ньютона" выбрано следующим образом (см. [50]):
1
1 + |gradu|2
dx.
Однако в радиально симметричной ситуации оптимальный профиль всегда
будет иметь плоскую часть с радиусом г0 в верхней части и справедливы
следующие асимптотические оценки, когда M/R стремится к +со:
го
R
27
16
(I)-3. *~т
-2
| 3 | Брахистохрона. В 1638 г. Галилей сформулировал задачу: Найти
кривую, соединяющую две данные точки А и В, вдоль которой точечная масса
под действием силы тяжести без трения перемещается за наименьшее
время из начальной точки А в конечную точку В, находящуюся ниже А.
Галилей ошибочно утверждал, что оптимальной кривой будет дуга окружности.
Правильное решение этой задачи о брахистохроне нашел Иоганн Бернулли
в 1697 г. Если в декартовых координатах сила тяжести действует вдоль
отрицательной у-оси, А — (xbj/i) — начальная точка и В = (х2,у2) —
конечная точка, xi < х2, у2 < j/i, и и : [xi,x2] -> Ш. — функция такая, что
u(xi) = j/i, 11(12) = J/2 и и(х) < yi при xi ^ х ^ х2, то время, необходимое
для перемещения точечной массы из А в В вдоль графика функции и с
начальной нулевой скоростью в точке А, определено формулой
ж » /,/l±№z,
' yfia J V У1 ~ u(x)
где д — ускорение силы тяжести. Чтобы вычислить решение задачи
тп\п{Т(и) : и(х{) = У!,и(х2) = у2},
воспользуемся уравнением Дюбуа-Реймона
vT2 [1 + и'2)1/2 _
(1 + и'2у/2{У1 - и)1/2 (j/i - и)У2 ~ С'
которое после некоторых упрощений сводится к уравнению
с2(1 + и'2)[У1-и) = 1.
Удобно выразить решение в параметрическом виде. Очевидно, что и ^
у\. Поэтому можно записать u(t) — yi — k(l — cost), где к — некоторая
положительная константа. Тогда это уравнение принимает вид
Выбрав кс2 = 1/2, получаем x(t) = к(1 — cost). Поэтому решение
оказывается циклоидой, которая параметрически описывается уравнениями
x(t) = xi+fc(t-sint), u(t) = у! -k(l- cost), t£[0,T],
где константы к и Т определяются условиями х(Г) = х2 и и(Т) = у2- На
рис. 1.4 изображена брахистохрона — кривая наискорейшего спуска с А —
(0,1) и В = Ви В2, В3, где В] = {тг/4,г]), В2 = (тг/2,0), В3 = (Зтг/4,»?),
2-q = 1 + cos Г, Т = 7г/2 + sinT, 0 < Т < 7г. Интересно отметить, что при
v2(x)
j/i - и(х) = —^- функционал Т принимает вид
Таким образом, задача о брахистохроне сводится к минимизации
выпуклого функционала.
Рис. 1.4
И
Задача о тяжелой цепи предложена Галилеем в 1638 г. Требуется найти
форму очень тонкой тяжелой нерастяжимой цепи, подвешенной в своих
точках экстремума. Решение нашли независимо Якоб и Иоганн Бернулли,
Гюйгенс и Лейбниц в период между 1690 и 1692 годами.
Выберем декартову систему координат х,ув вертикальной плоскости,
как в предыдущем примере. Пусть А = (xi,yi) и В = [х2,У2), х\ < х2, —
два экстремума цепи. Предположим также, что цепь геометрически
описывается графиком функции z = u(x), хх ^ х ^ х2. Тогда потенциальная
энергия всей цепи пропорциональна величине
T{u)= fuy/l+\u'\2dx,
Xl
тогда как условие нерастяжимости приводит к равенству
f^/l+\u'\*dx = L,
где L — полная длина цепи. Форма тяжелой цепи в состоянии равновесия
описывается функцией и, минимизирующей потенциальную энергию Т[и)
при дополнительных условиях
^2
/ \fl + \u'\2dx = L, и{хг) = yi, и[х2) = J/2-
Как и в случае задач минимизации с ограничениями в конечномерном
пространстве, необходимые условия оптимальности первого порядка
включают множитель Лагранжа А. Соответственно, уравнение Дюбуа-Реймона
принимает вид
*irSw - "(1+",2)1,!+A((iW - о+»")"2) = •■
где с — некоторая константа. Упростив это выражение, приходим к
уравнению с2(1 + и'2) = (и + Х)2, которое легко интегрировать. Решение и(х)
имеет вид
и(х) = — [ch(ax + /?) + 7],
а
где константы а, /?, -у определяются условиями
u(xi) = 2/i, и(х2) = у2, / \Л + \и'(х)\2 dx = L.
На рис. 1.5 показана форма цепи, закрепленной в точках А — (-1,1) и
В = (1,1).
Рис. 1.5
'—I Радиально симметричные минимальные поверхности. Рассмотрим две
точки А = (xltyi) и В = (х2,У2) в 1,у-плоскости где хг < х2 и у\,у2 > О-
Требуется найти функцию u : [xi,x2] -> Ж такую, что u(xi) = ylt u(x2) = У2
и график этой функции после вращения вокруг х-оси образует поверхность
наименьшей площади. Так как площадь поверхности вращения
вычисляется по формуле
Х-2
Т(и) = 2тг J \u(x)\y/l + \u'(x)\2dx,
(1.110)
мы приходим к задаче
Х-2
miJ / \и\^/1 + \u'\2dx : u(ii) = yi,u(x2) = у2,и > О У (1-Ш)
Кроме связных поверхностей, полученных вращением графиков
функций и(х), xi ^ х ^ х2, можно также рассмотреть вырожденную
поверхность, состоящую из двух дисков радиусов ух и у2 соответственно, которые
лежат в параллельных плоскостях, перпендикулярных х-оси, с центрами в
точках Pi = (xi, 0), Р2 = (х2,0). Площадь этой поверхности равна ir(y2+у§),
что сравнимо с площадью Т{и) минимальных графиков и, где Т(и)
определено в (1.110). Вырожденная поверхность, состоящая из двух дисков, имеет
наименьшую площадь в сравнении с любой поверхностью, полученной
вращением графика функции и : [xi,x2] —>Ш, и ^ 0, соединяющего А к В, при
условии, что и(х) имеет нулевое значение. Уравнение Дюбуа-Реймона
и'2
(1 + и/2)1/2
-и{1 + и'2)1<2 = с
можно преобразовать в уравнение и2 — с2(1 + и'2), которое легко
интегрируется. Поэтому при достаточно малых х2 — хх относительно yi и у2
решение задачи (1.111) имеет вид и(х) — — ch(ax + Ь), где константы а и
а
Ь определяются граничными условиями u(xi) = yi и и(х2) = у2. Однако,
если значение х2 — х\ довольно большое, задача (1.111) не будет иметь
решений. Для некоторых "средних" значений х2 — х\ задача (1.111) имеет
относительный минимум, но площадь его больше площади двух дисков.
Рассмотрим лишь случай, когда у\ > у2 и допустимые функции и
убывающие. Тогда удобно сделать инверсию осей и сформулировать задачу в
терминах функции v — и-1. Тогда задача состоит в нахождении
декартова графика минимальной поверхности, натянутой на круг радиуса yi при
уровне xi, и на круг радиуса у2 при уровне х2, т. е. требуется найти
решение задачи минимизации выпуклого функционала
mini fry/l + |г/(т-)|2 йт : v(Vl) = xuv(y2) =x2\. (1.112)
УЗ
Если х2 — ii достаточно мало относительно yi v.y2, то решение задачи
(1.112) существует и имеет вид v(r) = P+a \og(r+y/r2 — а2), где константы
а и Р определяются из граничных условий v(yi) = xi и v(y2) = x2. С другой
стороны, если х2 — х\ велико, то задача (1-112) не имеет решений в классе
гладких функций. Действительно, оптимальное v дано формулой
v(r)
Xl-y2lOg[ . I, Г > J/2,
\yi + у/У]\~Уг'
х2, г = у2
(см. рис. 1.6). Иначе говоря, минимальная декартова поверхность,
натянутая на два круга, имеет вертикальную часть, когда х2 - xi велико по
сравнению с у\ — у2.
Рис. 1.6
Упругие струны и балки.
А. Рассмотрим упругую струну, которая в состоянии покоя занимает
сегмент [—1,1] горизонтальной оси. Если мы воздействуем на струну и
обозначим через и(х) вертикальное смещение, то согласно простейшей модели
линейной упругости упругая энергия струны описывается величиной
1
>/и*)1а
dx.
-1
где к — положительная константа, зависящая от материала, из которого
изготовлена струна. Предположив, что струна закреплена в крайних точках и
нагрузка равномерно распределена, можно определить форму струны,
минимизируя общую энергию системы. Обозначим через д положительную
константу, которая дает равномерное распределение нагрузки. Требуется
минимизировать энергию
/■
-1
[k\u'\2 + gu]dx
(1.113)
при условиях и(—1) = и(1) = 0 в граничных точках х = ±1. Таким образом,
мы приходим к граничной задаче
-2ku" +g-0, u(-l) = 0, и{1) = О,
(1.114)
где дифференциальное уравнение — это уравнение Эйлера потенциальной
энергии (1.113). Непосредственно из (1.114) следует, что форма равномерно
нагруженной струны описывается формулой (см. рис. 1.7а.)
и(х) = ^(х2-1).
Рис. 1.7
Если нагрузка сконцентрирована в одной точке (например, в начале
координат х = 0), то задача минимизации принимает вид
mini J k\u'\2dx+gu(0) : u(-l) = u{l) = oi.
-l
В этом случае форма струны описывается формулой (см. рис. 1.7Ь)
«(*) = ^(И-1).
В. Аналогичная задача возникает если, вместо упругой струны
рассмотреть очень тонкую упругую балку, упругая энергия которой в
простейшей модели линейной упругости описывается формулой
1
Н f\u"(x)\2dx,
-1
где, как и выше, и(х) обозначает вертикальное отклонение балки в точке х,
а Я — положительная константа, зависящая от материала балки.
Предположим, что балка закреплена в концевых точках и нагрузка д распределена
равномерно. Тогда форма и(х), х— 1 ^ х ^ 1, балки может быть получена
решением следующей задачи:
mm
1
[ f[H \u"\2 + gu] dx : u{-l) = u{l) = 0, u'(-l) = u'[l) = o|. (1.115)
-l
Уравнение Эйлера, соответствующее (1.115), имеет вид 2Яг/4) + д = 0.
Таким образом, надо исследовать граничную задачу
2Hv.W + 5 = 0, и(-1) = и{1) = 0, и'(-1) = и'{1) = 0,
решение которой имеет вид (см. рис. 1.8а)
тогда как аналогичная задача с нагрузкой, сконцентрированной в начале
координат, имеет решение (см. рис. 1.8Ь)
Ф0 = -^(2|х|3-Зх2 + 1).
Рис. 1.8
С. Двумерным аналогом задачи об упругой струне является задача о
равновесии мембраны, которая в состоянии покоя занимает открытое
множество Q, пространства Ш.2, а упругая энергия мембраны описывается
величиной
■J[Du{x)\3
dx.
(1.116)
Рассмотрим случай, когда Q — единичный круг и нагрузка д распределена
равномерно. Тогда в полярных координатах эта задача формулируется
следующим образом:
mm
1
{ [[k\u'\2 + gu]rdr:u{l)=o\,
(1.117)
если мембрана закреплена на границе. В действительности, решения
должны быть радиально симметричными. Граничная задача для
соответствующего уравнения Эйлера имеет вид
-2к{ги')'+дг = 0, и(1) = 0
и решается любой функцией вида и(г) = — (г2 — 1) + с log г, где с — про-
Oft
извольная вещественная константа. Единственным решением с конечной
энергией будет такая функция при с = 0, так что форма равномерно
нагруженной круговой мембраны описывается функцией и[г) = -^- (г2 — 1).
On
Для мембраны, находящейся под действием нагрузки, сосредоточенной в
какой-либо точке, задача не имеет решений. Действительно,
1
infj [ k\u'\2rdr + gu(0):u{l)=o\
О ( Т -f- E\
Для функций иЕ(г) = — log! 1 условие иЕ(1) = 0 выполнено и общая
энергия выражается формулой
1
„2
*/№*+-»»=£[/^*+"0'(тЬ)]
Это выражение стремится к —оо при е -> 0.
D. Двумерным аналогом задачи об упругой балке является задача о
равновесии упругой пластины, упругая энергия которой равна
kf\Au\2dx, (1.118)
п
где Д — оператор Лапласа. Если в качестве fi мы рассмотрим единичный
круг и предположим.что нагрузка д распределена равномерно, то задача о
равновесии пластины, закрепленной на границе, записывается в полярных
координатах как задача минимизации
1
mm
о
[ Пк\и"\2 + кЩ- + ди г dr : и{1) = и'(1) = о\. (1.119)
Решая уравнение Эйлера
TV.™ + Iv!" - -U" + \и' + £г = 0,
г г2 2к
мы получим решение (см. рис. 1.9а)
(Ь)
Рис. 1.9
Аналогичная задача для закрепленной на границе пластины с
нагрузкой, сконцентрированной в начале координат, сводится с помощью
полярных координат к задаче
'{/'
min< / кг
о
1»Г + ^
dr + gu{0) :u(l) = u'(l) = oj
и имеет решение (см. рис. 1.9Ь)
и(г) = -^ (1 - г2 + 2r2 bgг).
Глава 2
АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
И ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА
В этой главе мы введем и изучим класс абсолютно непрерывных функций.
Определить такие функции можно двумя способами, первый из которых
восходит к работам Витали и Тонелли и является классическим, тогда как
второй способ более функционально-аналитический и использует так
называемые пространства Соболева. Подробное описание пространств Соболева
для произвольной размерности можно найти в различных книгах
(например, [1, 182, 295]). Здесь мы ограничимся рассмотрением функций из
пространств Соболева, определенных на интервалах вещественной прямой. Мы
сначала рассмотрим пространства Соболева Н1-р(а,Ь), р ^ 1, на интервалах
(а,Ь) прямой Ш, а затем выясним их связь с введенным Витали классом
абсолютно непрерывных функций. Последний параграф этой главы
посвящен изучению широкого класса функций с ограниченной вариацией. Этот
класс ввел Жордан.
2.1. ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Поясним на простом примере, почему нам потребуются пространства
Соболева. Допустим, что мы хотим решить прямыми методами задачу
минимизации одномерного интеграла Дирихле на (0,1)
1
ОД = I\u'(x)\2dx
о
в классе функций К(а,(3) := {и Е С1 ([0,1]) : и(0) = а,и(1) = /3}, q,j0 e К.
Очевидно, что 0 ^ inf V(u) < +со. Если {ии} — минимизирующая по-
следовательность, т. е. uk e К(а,/3) и V(uk) -> inf V, то можно считать,
К{а,р)
что
1
2 dx < inf 25 + 1
ЙГ(ог.ХЗ)
о
/
для всех к е N. Для всех х, у е [0,1] имеем
ик(х) - ик{у) = / u'k(t) dt.
у
В силу неравенства Гёльдера
Ы*)-Му)\ $ (/К12^) 1*-уГ/2.
о
1
1/2
Таким образом, последовательность {и*} ограничена в Сс,1/2([0,1]).
Следовательно, функции щ равномерно ограничены и равностепенно
непрерывны. Согласно теореме Арцела — Асколи, перейдя к подпоследовательности,
можно сделать следующий вывод: щ —у и равномерно в [0,1]. Кроме того,
так как L2-нормы производных и'к равномерно ограничены и
пространство L2(0,1) рефлексивно, и'к сходятся слабо в £2(0,1) к некоторой функции
v G £2(0,1). Напомним, что такое утверждение означает, что
1 1
/ u'k<pdx —)■ / v<pdx
о о
для всех <р G £2(0,1) или, эквивалентно, для всех <р е С£°(0,1). В
частности, если <р — гладкая функция с компактным носителем в (0,1), то из
равенства
1 1
/ u'k<pdx = — I Uk<p' dx
о о
следует равенство
1 1
/ v.k<p' dx — - I v(pdx для всех <р G С"(0,1), (2.2)
о о
которое можно интерпретировать следующим образом: v является слабой
производной функции и (даже поверхностно знакомому с теорией
обобщенных функций читателю ясно, что v является обобщенной производной и) и
мы будем писать и' вместо v, хотя и всего лишь непрерывна по Гёльдеру
и не обязательно дифференцируема.
Из сказанного выше ясно, что из любой последовательности функций
из К(а,Р) с равномерно ограниченными интегралами Дирихле можно
выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся к некоторой
функции и, причем последовательность классических производных и'к слабо
сходится к некоторой функции класса L2, которую обозначим и' и можем
интерпретировать как слабую производную и. Поэтому естественно ввести
на К(а,Р) сходимость в следующем смысле: последовательность функций
Uk G K{a,P) с равномерно ограниченными интегралами Дирихле т-сходится
к и тогда и только тогда, когда
Uk-ьи равномерно, и'к -> и' слабо в L2(0,1), (2.3)
где и обозначает слабую производную и, т. е. функцию v из £2(0,1),
удовлетворяющую (2.2).
Легко видеть, что К(о,/3) не будет полным относительно сходимости
т. Поэтому надо перейти к замыканию, определив Щт) как абстрактное
секвенциальное замыкание K(a,f3) относительно сходимости т, введенной в
(2.3), т. е. как наименьший секвенциально полный класс (относительно
сходимости г), содержащий К(а,0).
Для произвольной функции и 6 К(т)(а,0), обладающей слабой
производной и', теперь можем определить интеграл Дирихле просто как интеграл
Лебега /^-функции \и'\2:
1
V{T)(u):=J\n'\2dx.
о
Так как \w\2 — \z\2 ^ 2z(w — z) для любых двух функций w,z E L2(0,1),
получаем
1 1
lim inf /1*412 dx- [ \u'\2 ^ lim inf [ 2u'(u'k - и') dx = 0.
fc-юо J J fc-юо J
0 0
Следовательно, Z>(r) секвенциально полунепрерывен снизу на К(т) в смысле
сходимости (2.3).
Применяя прямые методы из п. 2.3 к С = К(т)(а,/3) и Т = Т>^т), можно
найти минимизирующую функцию и0 б С функционала Т на С. Но при
этом несколько вопросов все еще остаются без ответа:
(i) Является ли Х>(т) на KT(a,f3) наилучшим расширением V на Кт(а,(3),
т. е. является ли Т>(т) максимальным секвенциально
полунепрерывным снизу расширением VI
(ii) Является ли т самой сильной сходимостью из всех возможных,
согласованной с секвенциальной компактностью минимизирующих
последовательностей и секвенциальной полунепрерывностью снизу
функционала V или V{j)1
(iii) Можно ли интерпретировать минимизирующую функцию ад Е А'(т) [а,
Р) как "наиболее подходящее" обобщенное решение исходной задачи?
(iv) Что из себя представляет класс К^т) (а, /3)?
Что касается вопросов (ii) и (iii), только теорема регулярности может
дать положительный ответ. Как мы увидим в гл. 5, это действительно так
(что легко доказать в данном частном примере). Теперь мы постараемся
ответить на вопросы (i) и (iv).
Рассмотрим пространство гладких функций на (0,1) с конечными L2-
нормой и интегралом Дирихле, снабженное нормой
1 1 1,2
IMI^OU) := ( J M2 dx + J И2 Лс) , (2.4)
о о
порожденной скалярным произведением
1
(и, и)я1.=(о,1) := / (uv + u'v) dx. (2.5)
о
Обозначим пополнение по этой норме через Я1,2(0,1). Пространство
Я1,2(0,1) является гильбертовым пространством со скалярным
произведением (2.5) и нормой (см. (2.4)) ||и||я1.э(о,1) = (u.u)^2^. Кроме того, в
силу (2.1) Я1,2(0,1) С С0,1/2(0,1). В частности, граничные значения
функций и из Я1,2(0,1) определены корректно. Покажем, что Я1,2(0,1) = {и 6
С0-1/2^, 1) : и' 6 £2(0,1)} или Н1-2{0,1) = {и 6 L2(0,1) : и' е L2(0,1)}. Это
означает, что Я1,2(0,1) совпадает с пространством квадратично
интегрируемых или непрерывных по Гельдеру функций с показателем 1/2, имеющих
слабые производные в L2(0,1). Наконец, нетрудно видеть, что сходимость
(2.3) есть не что иное, как секвенциальная слабая сходимость в
гильбертовом пространстве Я1,2(0,1).
Поскольку в гильбертовом пространстве слабо секвенциально
замкнутые множества и слабо замкнутые множества совпадают, а также
совпадают выпуклые слабо замкнутые множества и выпуклые сильно замкнутые
множества, справедливы следующие утверждения.
(ii) AT(7-)(q,/3) есть сильное замыкание K(a,f3) в Я1,2(0,1), совпадающее с
{ueHl-2{0,l):u(0) = a,u{l)=(3},
О2) 2?(т) [и) является максимальным секвенциальным полунепрерывным
снизу расширением V на К^ (а, /?).
Действительно, для каждого и 6 К(а,(3) существует
последовательность {щ} в К(а,(3) такая, что V[uk) ->Z>(T)(u).
Теперь мы можем утверждать, что задача
1
miii [ Г \uf dx:ue Я1'2^, 1), и(0) = а, и(1) = /П (V)
о
может рассматриваться как обобщенная постановка исходной задачи
min{2?(u) :ueK{a,p)} (V)
и минимизирующие функции и0 этой задачи можно интерпретировать как
обобщенные решения задачи (V).
Следует отметить, что приведенные рассуждения не являются
точным воспроизведением оригинального подхода Тонелли, но лишь
апостериорное изложение его; ниже мы проведем сравнение с рассуждениями
Тонелли. Здесь мы хотели лишь продемонстрировать на простом
примере необходимость введения пространств Соболева. Другое объяснение, с
геометрической точки зрения, почему надо вводить в рассмотрение
пространства Соболева Я1,2, тесно связано с интегралом Дирихле и будет дано
ниже. Теперь мы определим пространства Соболева Я1,р для
произвольного вещественного показателя р ^ 1.
Пусть / — открытый интервал вМир^1 — произвольное
вещественное число. Обозначим через X линейное подпространство С1(/) функций,
для которых выражение
|Н|я1.-(/)~(/(1«г" + 1«'гв)^-) Р (2-6)
j
конечно. Очевидно, что X содержит С^(1), а также С1(/), если /
ограничена, кроме того, ]| • ||яi.p(/) является нормой на X. Легко видеть, что X не
является полным пространством относительно этой нормы.
Определение 2.1. Замыкание X по норме (2.6) в X обозначается через
Н1,р(1) и называется пространством Соболева. Замыкание СЩ) в Н1шР(1)
обозначается через Hq,p(I).
По определению пространства Соболева являются банаховыми
пространствами с нормой (2.6). Элементы этого пространства суть классы
эквивалентности последовательностей Коши в Сх(/) и могут быть
отождествлены с элементами пространства LP(I), так как согласно
определению пространства Я1,р(/) тождественное отображение определяет
вложение Я1,р(/) в 1/(1). Таким образом, как обычно принято, будем называть
элементы пространства Я1,р(/) функциями. Например, будем говорить,
что и € Н1,р(1) — непрерывная функция, если класс эквивалентности и
содержит непрерывную функцию или, эквивалентно, если представитель и
класса эквивалентности становится непрерывной функцией после
соответствующего изменения на множестве меры нуль.
Очевидно, что Я1,2(/) — гильбертово пространство, так как норма
(2.6) определяется в этом случае скалярным произведением
(и,«)я».а(/) := / uvdx+ I u'v'dx, u,vECl(r).
i I
Далее мы будем писать просто Нх(1) и Щ(1) вместо Я'-2(/) и Н^'2(1)
соответственно и, если при этом не возникает никаких недоразумений,
пишем ||-||i,Pl/ или ||-||liP вместо ННя1-^/) и (-, )ii2, или (-, ■) вместо (-, )я».=(/)-
Теперь покажем, что функция и е Я1,р(/), р ^ 1, обязательно имеет
обобщенную производную, которая называется также сильной Ьр-производной.
Чтобы определить ее для функции и б Я1,р(/), рассмотрим
последовательность {ик} в С1(/) ПЯ1,Р(7), сходящуюся в Н1шР{1) к и; в частности, {uk}
является последовательностью Коши относительно нормы (2.6). Тогда
существует функция v G LP(I) такая, что
lim |К - v\\LP{I) = 0.
fc-+oo
Легко видеть, что функция v не зависит от выбора аппроксимирующей
последовательности {и/с}; она однозначно определяется функцией и и
совпадает с классической производной и, если и G С1^) ПЯ1,Р(/). Функция v
называется сильной If-производной (обозначается и') функции и.
Другое определение обобщенной производной пришло из теории
распределений (обобщенных функций). Будем говорить, что для функции
и G LP(I), Р ^ 1, функция v G Lq, q ^ 1, является слабой производной,
если
/ wp' dx — — J vipdx \/<p G C^°(I).
Слабая производная также будет обозначаться через и', и, как легко видеть,
она единственна (если существует). Если {и*} — сильно
аппроксимирующая последовательность функции и G Н1,р(1), то, интегрируя по частям,
получаем
/ Uk<p' dx = — / uk<p' dx для всех <р G Cf{I).
Перейдя к пределу, заключаем, что каждая функция u G Я1,р(/) имеет
слабую LP-производную, которая совпадает с ее сильной производной.
Возникает естественный вопрос: если ^-функция в / имеет слабую
производную в LP(I), то будет ли она также обладать сильными
производными, т. е. будет ли она принадлежать Я11р(./")? На самом деле это
верно, т. е. понятия слабой производной в LP(I) и сильной производной в
LP совпадают. Прежде, чем удостовериться в этом, мы докажем теорему,
которая утверждает, что функции из Я1,р(/) в действительности являются
непрерывными функциями.
Теорема 2.2. (i) Каждая функция из Я1,1 (7) равномерно непрерывна в I,
в частности, Я1,1(7) С С°[Г), и справедливо неравенство
sup|u| $ / \u\dx+ / \u'\dx. (2.7)
/ meas/ J J
I i
Более того, имеет место фундаментальная теорема математического анализа,
т. е. для всех x,y£l
X
u(x)-u(y) = u'(t)dt.
(ii) Если u e Я1-р(/), р > 1, то и е C0-1'1^^) и
sup\u\^(—±-j[\u\pdx\ +(f\u'\Pdx) (measl)1-1'". (2.8)
Кроме того, для всех х,у Е I
\и{х) - и{у)\ ^ П \u'\r dx\ \x-y\
-„I1-1/?
Доказательство. Пусть {и/,} — последовательность в X, сильно
сходящаяся в Я1,1(/) к и. Очевидно, что последовательность {ик} равномерно
ограничена в Я1,1(/) и, в силу абсолютной непрерывности интеграла
Лебега, функции множеств
Е >-> I \и'к\ dx, E CI,
Е
равномерно абсолютно непрерывны, т. е. для любого е > 0 существует
положительное число 6 такое, что если measE < 6, то
f\u'k\dx<e (2.9)
Е
для всех к. Действительно, для всех е можно найти S такое, что
f\u'\dx<e/2,
Е
если measE < S, и мы получаем неравенство
/ \и'к - и'\ dx < е/2
i
для всех it, которые больше некоторого к(е), зависящего от е. Отсюда
следует, что (2.9) справедливо для к > к{е). Для завершения доказательства
достаточно выбрать 6 так, чтобы утверждения были справедливы также
для конечного множества функций ui,... , Ufc(e)- Тогда для всех х,у е. I
х
uk(x)-uk(y) = Ju'k(t)dt (2Л°)
и, в частности.
(2.11)
27
К(я)-^Ык|/К(*)И
У
М*)|^М»)1 + /К(*)И- (2-12)
Интегрируя неравенство (2.12) по у на J, получаем
Ы')\ ^ —Ц / М*)1 Л + / И*)1 * (2-13)
measi J J
I I
и заключаем, учитывая (2.11), что {ик} — последовательность равномерно
ограниченных и равностепенно непрерывных функций. Согласно теореме
Арцела — Асколи существует подпоследовательность {и*}, сходящаяся к
непрерывной функции. Следовательно, и непрерывна. Перейдя в (2.10)
и (2.13) к пределу при к -> оо, получаем утверждение (i). Вторая часть
теоремы устанавливается применением неравенства Гёльдера к (2.11) и
(2.13). Например,
X X ..
\и(х) - и(у)\^ || И*)|*| £( / И*)г" *) % - г/11_1/р
У У
Заметим, что в теореме 2.2 доказана непрерывность и. Более точно,
в классе эквивалентности и имеется непрерывная функция, т. е. если и —
функция из класса эквивалентности и, то после изменения значений и
соответствующим образом на множестве нулевой меры и становится
непрерывной функцией на J. Далее мы будем говорить о значениях и в точках без
специальных оговорок. В частности, так как каждая функция из Я1,р(7),
р ^ 1, равномерно непрерывна, можно считать, что корректно определен
след и на 81 и для I = (a,b) и и £ #1,P(J), р ^ 1, можно определить и(а) и
и(Ь) как lim и(х) и lim и(х) соответственно.
Теорема 2.3. Пусть I = (а, Ь) — ограниченный интервал в Ш.
Предположим, что функция и принадлежит LP(I) и существует слабая производная и'
класса LP(I). Тогда справедливы следующие утверждения.
(i) Существует функция U £ ЬР(Ш), которая имеет слабую производную
U' £ ZP(M) и удовлетворяет условию V — и на (а, Ь).
(ii) u £ ЯХ'Р(/).
Доказательство, (i) Выберем а' и Ъ' так, что a < a' < b' < b, и пусть
ч] — функция класса С1(М) такая, что 0^j?^1,jj = 1b (—оо, а') и т) = 0
в (б'.оо). Запишем и в виде и = щ + (1 — т))и и заметим, что щ и (1 — т])и
суть функции класса Lp(a,oo) и Lp(—oo,b) со слабыми производными класса
Lp(a,оо) и Lp(—оо,Ь) соответственно. Для любой функции (р £ О"(а,оо)
имеем
00 Ь Ь Ь Ь
1 тцшр' dx = I Tjwp' di = / ii[(jjv)' — т/ip] dx — — j u'rjtp dx — j urf<p dx
oo
= — I {и г] + щ')<р dx,
a
т. e. [t)u)' = u't) + urf e Lp(a,oo). Аналогично рассуждаем для (1 — т])и.
Теперь определим функции U\ и U2 по формулам
LMa + t):={M(a + f)' **°' %(a + t):=/ttl-4)«](a + *), ^ 0,
U ; \iju(a-*), i<0, 2^^; \[(l-v)u][a-t), t>0.
Ясно, что функция U ~ Ui + U2 удовлетворяет требуемому утверждению,
(ii) Если 5е — оператор свертки, определенный по формуле
{SeU){x) = -lu{x-y)<p{y/e)dy (тбМ),
где ip — неотрицательная функция класса С£°(—1,1) и / <p{y)dy = 1, то
нетрудно видеть, что S€U сходится в Я1,р(/) к функции U. Следовательно,
UeHl*{I), откуда иеЯ1'^/). □
На самом деле справедливо более сильное утверждение.
Теорема 2.4. Пусть I = (а,Ь) — ограниченный интервал в №.. Тогда
любую функцию и в Я1,р(/) можно аппроксимировать в Я1,р(/)
последовательностью {uk} функций класса С1(/) таких, что Uk(a) = u(a) и Uk(b) = u(b).
Доказательство. Для любого е > 0 рассмотрим аффинное
преобразование Ае такое, что Xc{a,b) = (a + e,b — е), и продолжим функцию v£{x) :=
u(X~l(x)) на (a, 6), полагая ее равной u(a) на х ^ a + е и u(b) на х ^ 6 — е.
Тогда легко видеть, что последовательность u^ = 5i/fe^2/A: обладает
требуемыми свойствами и сходится в Я1,р(/) к и. □
Рассмотрим замкнутое линейное подпространство Яц,р(а,6).
Очевидно, что оно совпадает с подпространством Я1,р(а,6) функций и таких, что
u(a) = u(6) = 0. Более того, если и £ Яо'р(а,6) и (а, 6) С /, то функция и,
равная и(х) на (а, 6) и нулю на I — {a,b), является функцией класса Яц,р(/).
Кроме того, если I С I, и£. Я1-р(/), v е Я1-р(/) и u-» G Я01,р(7), то функция
U(x):=Hx) На7, ~
1 ; \и(х) на/-/,
принадлежит пространству Я1,р(/), кроме того, U — и£ Я0,р(/), £/' = */ на
7, U' = и' на / - 7.
Теорема 2.5. Яо'р(М) = Н1-Р[Ш), р ^ 1. Кроме того, для любой функции
и£ Я1'р(М),р ^ 1, имеем lim u(i) = 0.
г—>±оо
Доказательство. Первое утверждение получаем, рассмотрев функцию
V G С£°(М) такую, что <р = 1 в (-1,1), у = 0 при |i| > 2, и заметив, что
функции ит(х) := u(ar)y>(i/r) сильно сходятся к и в Я1,р при г —» оо, если
и е ЯХ-Р(М). Теперь предположим, что и G Я1,Р(М) и {ик} —
последовательность функций класса С£°(М), сходящаяся сильно к и. Функции |и&|р-1и*
принадлежат С^(Ш), и справедлива оценка
Ы*)Г $ l\(\nkr1uky\dx = pj\nkrl\nlk\dx ^ pIKII^IKIbdi)
(ср. (2.12)). Используя неравенство Юнга
ab^^ar' +-W, р'= Р
р' р р — 1
получаем
sup K(i)| ^ р1» |К||я1.-(в). (2-14)
Следовательно, это же неравенство справедливо для функции и G Н1-р(
В частности, sup |u(i)—иг(а;)| —» 0 при г -> оо. Так как иг = 0 в окрестности
ж
бесконечности, справедливо второе утверждение теоремы. □
Замечание 1. В силу оценки (2.14) нетрудно убедиться в том, что
теоремы 2.2 — 2.4 справедливы также для любого открытого интервала в
Ш, ограниченного или неограниченного, при замене и(а) на lim u(x), где
г—»-—со
а — —оо, и оценки супремума в (2.7) и (2.8) — на оценку
sup|U(:c)Kp1/p|HI^-4/)- (215)
Замечание 2. По аналогии с пространствами Я1,р(/) и И^,р(1) можно
определить пространства Соболева Hlj>[I,MN) и Hq,p(I,Mn) отображений
со значениями в MN. Нетрудно убедиться в том, что
Н1*{1,Ж") = {и= (и1,--- ,«") :«'' бЯ1*(/),1= I,--- ,N] = {HlJ,{I))N,
Hp{I,m.N) = {ii = (г.1,... ,iz") : u* € Hp(I), i=l,...,N} = (Hl0'p{I))N.
Поэтому результаты, полученные для Я1,р(/), могут быть обобщены для
отображений v. e Я1,Р(/,М") простой переформулировкой
соответствующих утверждений для компонент функций и.
Пространства Соболева в одномерном случае имеют особое свойство:
они являются банаховыми алгебрами, т. е. если u,v £ Я1,р(/), то uv G
Я1,р(/), и выполняется обычное правило дифференцирования произведения.
В частности, если ip е С&(1) и u G #1,р(/). то wp G Н1*{1).
Отметим также следующие факты.
(а) Пространства Соболева являются "локальными" пространствами, т. е.
если Л,... It и / — открытые интервалы такие, что /с (J /,-, и u G Я1,Р(Л)
г"=1
для всех г — 1,... ,/, то и £ Я1,р(/). В этом легко убедиться, применив
разбиение единицы.
(Ь) Пространства Соболева инвариантны относительно
диффеоморфизмов, т. е. если g: I -+ Г — (^-диффеоморфизм, то д*:Н1*{Г) -» Н1-р{1),
определенное по формуле gt(u)(x) = u(g(x)), является изоморфизмом
банаховых пространств.
Благодаря свойствам (а) и (Ь) можно рассматривать пространства
Соболева на одномерных многообразиях М: если {(£/,-,<л-)} — атлас на М и
{Фх} — разбиение единицы, подчиненное покрытию {{/,-}, то u e Н1-Р(М)
тогда и только тогда, когда (V>,-u) о ipj1 e Я1,р для всех ъ. На самом деле, в
(Ь) достаточно потребовать, чтобы функция д была взаимно однозначна и,
вместе со своей обратной функцией, непрерывна по Липшицу.
Отображение и i-> {и, и') определяет изоморфизм пространства Н1,р(1)
в замкнутое подпространство LP(I) x LP(I) =: LP(I,U.2). Аналогичные
функциональные свойства £р-пространств нетрудно установить для
пространств Соболева. В частности, справедлива
Теорема 2.6. Н1,р(1) является сепарабельным банаховым пространством
для всех р ^ 1.
Следовательно, можно найти последовательность конечномерных
подпространств Vk таких, что каждая функция и G Я1,р(/) может быть запи-
оо
сана в виде ^ afcUfc, где aj, G Н и uj, G 14-
fe=i
Напомним, что Lp(I) при р > 1 — рефлексивное банахово
пространство. Это означает, что единичный шар в LP(I), p > 1, слабо
компактен. Другими словами, из каждой последовательности {ujj С LP(I) такой,
4Tosup||ufc||iP < оо, можно выделить подпоследовательность {ufej, которая
к
сходится слабо к некоторой функции и £ LP(I), т. е.
/ Ukiipdx—} I wpdx (2-16)
для всех функций ip из пространства Lp (I), p' = р/{р— 1), двойственного к
пространству LP{I). Действительно, так как С~(I) плотно в LP(J), р < оо,
достаточно иметь сходимость (2.16) для всех функций <р класса Cf(I).
Отсюда получаем следующую теорему.
Теорема 2.7. При р > 1 пространство Я1|Р(/) является рефлексивным
банаховым пространством.
В частности, из любой ограниченной последовательности {uk} в Я1,р(/),
р > 1, можно выделить подпоследовательность {ufej, которая слабо
сходится в Lp к функции u e Я1,р(/), а последовательность их слабых
производных и'к. слабо сходится в Lp к слабой производной и' функции и.
Так как L1(/) не является рефлексивным, Ям(7) также не будет
рефлексивным пространством. Однако Я1,1 (7) замкнуто относительно слабой
сходимости, т. е. если и* £ Я1,1(7) и имеют место сходимости1
/ Ukfdx—^ I utpdx, I u'ktpdx—b I vtpdx для всех ^б1°°(/),
Till
то u £ Я1,1(/). Однако в общем случае ограниченные
последовательности в Я1,1(/) не имеют слабо сходящихся подпоследовательностей. Как мы
увидим в конце данного раздела, ограниченные последовательности {и/,} в
Я1,1(/) имеют подпоследовательности, сходящиеся в Lp к некоторой
функции и, но их производные сходятся только лишь в смысле мер к некоторой
мере. В частности, из теоремы 2.2 следует, что для ограниченного
интервала / вложение Я1,р(/) w C(I) компактно при р > 1, но мы видим,
что непрерывное вложение Я1,1(7) w C(I) не будет компактным. Однако
справедлива
Теорема 2.8. Пусть I — ограниченный интервал Ш. Тогда вложение
Я1,1(/) '—t Lq(I) компактно для любого q £ (1, оо).
В доказательстве этой теоремы мы используем неравенство, которое
играет важную роль во многих рассуждениях. Поэтому мы сформулируем
его в виде отдельного утверждения.
Неравенство Пуанкаре. Пусть (а, Ь) — ограниченный интервал и и £
Н*-р{1). Тогда
ь ь
f Hp dx^{b- a)p f \u'\* dx. (2.17)
а а
В частности, выражение
ь j
Mi.,:=(/Vr"<fc)
\i/p
определяет норму в Н^'р(а,Ь), эквивалентную \\ ■ ||liP. Более общо, для всех
и £ Н1,р(а, Ь) и х0 £ [о, Ь] справедливо неравенство
ь ь
f \u{x) - u(x0)\p dx^.{b- a)p f \u'\p dx. (2.18)
Отметим, что в данном случае нельзя заменить функцию <р £ Ь°°(/) функцией <р £
С£°(Л- Действительно, если / = (0,1)ищ = fcXfc, где х* — характеристическая функция
1
интервала (l/fc,2/fc), то / u^ifidx-t-O для всех ч> £ С£°(0,1), тогда как, например, для
о
1
Ч> — 1 имеем 1 = I ukipdx -*■ I при к -* оо.
В частности,
ь
[ \ч(х) - щ\р dx^{b- a)* f \u'\p dx, (2.19)
a a
где U[ — среднее функции u на I, т. е.
U[ := / u dx =: -/ u dx.
measi J J
I I
Доказательство. Для всех х0 е [a,b]
X
u{x) — u(x0) = I u'(t) dt.
Таким образом,
ь
\u(x)-u{x0)\ ^ f\u'{t)\dt.
a
Интегрируя по (a, b) и применяя неравенство Гёльдера, получаем (2.18).
Если и обращается в нуль в точке х0, в частности, если u G #о,р(а, Ь), то
получаем (2.17). Наконец, (2.19) справедливо, так как ввиду
непрерывности и существует точка i0 € [a, b] такая, что щ = u(xo). □
Отметим, что в силу (2.18) для любой фиксированной точки х0 € [a,b]
|u(e0)| +
(yW<fc) "
является нормой в Я1,р(а,6), которая эквивалента норме || ■ ||iiP.
Доказательство теоремы 2.7. Надо доказать, что ограниченные
множества в Я1,1(/) относительно компактны в Lg(I). Достаточно показать,
что в случае ||ufc||i.i < с для всех к последовательность {и*} имеет
подпоследовательность {ufej, которая сильно сходится в Ьч{1). Напомним,
что подмножество Е полного метрического пространства X относительно
компактно тогда и только тогда, когда для всех е > О существует е-сеть,
т. е. конечное семейство {х^ ,... ,i[e } точек xf' таких, что Е
содержится в объединении шаров В(х\е',е). Теперь построим такую е-сеть в
Ьч{1). Пусть I = b — a — длина I. Для фиксированного е > 0 рассмотрим
разбиение интервала / на семейство интервалов А, - - • , Is таких, что длина
о о
интервала Ц = с < (е/(4с))9 при 1 ^ g ^ s и /,■ П /* = 0 при j ф к.
Тогда для всех к и j средние значения Ukjj = 4 Ukdx удовлетворяют оценке
\uk,ij\ $ с/а. Рассмотрим конечное семейство Q простых функций типа
д(х) = тцех1 + ■ ■ ■ + п,ехз, где ni,...,n, — целые числа, пробегающие
интервал (—N, N), N > с/(е ■ <т), и Xj — характеристическая функция
интервала Ij. Покажем, что для каждой функции ик ^'-расстояние от этой
функции до элемента д G.Q меньше, чем е. Для этой цели введем функцию
S
uj := 5Z"fc,/jXi- Из неравенства Пуанкаре и соотношения (2.7) получаем
i=i
/ К - "fcl9 dx ^ ^2 / \ик - u%\q dx
^ X](sup lu _ "Mil)9-1 / К - uk,ij\dx
^ 5Z ( ~ / lUfc ~~ и*Л-1dl + / Kl darJ o- / K| dx
^ {2cy~1c- f K| dx = г'"1^.
J
С другой стороны, согласно определению Q можно найти д G.G такую, что
\д[х) - и*к{х)\ ^ ^177 Для всех х е 7-
Поэтому
IK - 5|U,(/) ^ |К ~ ик\\ь-[1) + IK ~ 9\\ья{1) ^ 2«г1/<г + е/2. < е. П
Для удобства читателя мы приведем различные характеристики
пространств Соболева.
Теорема 2.9. Пусть р > 1 и и £ LP(I). Тогда следующие свойства
эквивалентны:
(i)ueHl-p(i),
(ii) существует константа с такая, что
I
wp' dx
I
^c\<p\\lp'ii) для всех у£ С?{I), р'= Р
(Л »■"■" осел г с ^с \А)' V — 7i
1 ' р — 1
(iii) существует константа с такая, что для любых интервала I CC / и
числа h £ Ш таких, что \h\ < dist(/, 81), справедлива оценка
\\u{x + h) - u{x)\\Lp{J) ^ c\h\.
При этом, можно считать, что с = |u'|LP/j\.
Доказательство. Утверждение (ii) вытекает из (i). Докажем, что (i)
вытекает из (ii). Ввиду теоремы Хана — Банаха линейная форма
у>>-> / wp'dx,
i
определенная для (р е С£°(Л С Lp (/), продолжается до ограниченной
линейной формы F[ip) на U (I). Ввиду теоремы Рисса о представлении
существует элемент д £ LP (J) такой, что
I
В частности,
/ wp'dx— J g<pdx для всех <р € С£°(Л-
Следовательно, и G #1,Р(Л в силу теоремы 2.3.
Теперь докажем, что (i) влечет (iii). Для х£ I имеем
x+h 1
и(х + h) — и(х) = I u'[t) dt = h I u'(x + sh) ds.
x 0
Поэтому
1
\u{x + ft) - u(x)\ ^ |ft| / \v!(x + sh)\ ds.
0
В силу неравенства Гёльдера
i
\u{x+h) - u(x)\r ^ \hf f \u'(x + sft)|" ds.
0
Интегрируя по J, находим
l
f \u{x + h)- u(x)\p dx ^ |/i|p f dx f \u'[x + sh)\p ds
Тогда мы получаем (iii), поскольку
\u'[x + sh)\pdx^. J \u'{y)\pdx, 0 < s < 1.
I+sh
Наконец, докажем, что (iii) влечет (ii). Пусть tp е С~(7). Выберем J
так, что spt ip с I и заметим, что при |Л| < dist(/, 5J)
/ u(i)[yj(a; — h) — <р(х)] dx — J [u[x + h) — u(x)](p(x) dx.
i I
В силу неравенства Гёльдера и утверждения (iii)
/
u(i)[y>(a; — h) — (р(х)] dx
^cWWvWlp'V)'
откуда получаем (ii), устремляя h к нулю.
Замечание 3. Из приведенного доказательства следует, что
утверждения (ii) и (iii) эквивалентны при р = 1, однако они не эквивалентны (i),
в чем нетрудно убедиться, рассмотрев функцию Хевисайда
«-ft:
Н(х)~Г' °°'
к ' 'n КО,
которая удовлетворяет (ii), но не будучи непрерывной, не принадлежит
Я1,1 (К). Анализируя доказательство теоремы 2.9, нетрудно заметить, что
оба утверждения (И) и (iii) при р = 1 эквивалентны следующему
утверждению:
(i*) Обобщенная производная и является мерой с ограниченной вариацией
на I.
На основе свойства (iii) теоремы 2.9 утверждение теоремы 2.1
часто доказывается с помощью критерия Колмогорова сильной компактности
Lp. Мы оставляем полное доказательство этого факта читателю, а здесь
ограничимся формулировкой и доказательством критерия Колмогорова.
Теорема 2.10. Пусть О, — ограниченное открытое множество в Шп.
Множество С пространства 1/(^1), р ^ 1, относительно компактно в LP(Q) тогда и
только тогда, когда выполнены следующие условия:
(i) С ограничено в LP(Q), т. е. sup |H|z,p(n) < оо,
«ее
(ii) функции из С равностепенно непрерывны в среднем, т. е. для любого
£ > 0 существует положительное число S такое, что
f\u(x + z)-u{x)\pdx^ep
Г2
для всех z таких, что \z\ < 6, где u G С продолжена нулем вне Q.
Доказательство. Сначала докажем, что условия (i) и (ii) достаточны
для относительной компактности. Это следствие теоремы Ариела — Аско-
ли и процедуры усреднения. Хорошо известно, что усреднения 5Е, которые
мы уже рассматривали в доказательстве теоремы 2.3, сходятся в Z,p(£2) к
и и в силу равностепенной непрерывности в среднем
\\SrjU - u||i,P(n) < £ для всех и е С, 7) < S. (2.20)
Действительно, если
Srju{x) := / и(х - у)фг] (у) dy, ф^у) := - ф(у/?}),
то
1/р
\Svu(x) - u(x)\ ^.(1 \и[х -у)- и(х)]?ф,,(у) dyj
откуда
/ \S,,u(x) - и(х)\р dx^. I фп [у) dy I \и(х -у)- и(х))Р dx<eF.
П B(0,jj) П
Более того, для фиксированного 7) семейство {S^u : и 6 С} равностепенно
непрерывно и равномерно ограничено. Действительно,
sup |5чы| ^ sup \ф^\ ||u||i,i(n),
\Sr,u(x) - Svu(y)\ ^ №v\up k - у\ \М\ьча)-
Тогда по теореме Арцела — Асколи семейство {5чи : и £ С} при
фиксированном г} относительно компактно в C°(fi) и, следовательно, в i/(fi).
Поэтому можно покрыть это семейство конечным числом шаров с радиусом е
в LP. В силу (2.20) те же самые шары с удвоенным радиусом покрывают
С. Таким образом, мы доказали достаточность.
Докажем необходимость условий (i) и (ii). Условие (i) тривиально
следует из существования е-сети. Для доказательства (ii) сначала покажем,
что каждая функция и в LP(Q) непрерывна в среднем. Опять используя
е-сеть, нетрудно убедиться в том, что в случае относительной
компактности С в U функции из С равностепенно непрерывны в среднем. Пусть
и е V(Q). Ввиду абсолютной непрерывности интеграла Лебега для е > 0
найдется 5 > 0 такое, что
( f \u(x)\r dxj <e/3,
п
если П < S. По теореме Лузина существует замкнутое множество Acfl
такое, что meas.A > measfi — 6/2 и и непрерывна на А. Следовательно,
существует S > 0 такое, что при \z\ < 6 и х, х + z G А имеем
N«)-»(« + «)l<3(nJn)'/p-
При фиксированном \z\ < £ положим
Hz := {у : х = х + z, х 6 A}, Az :- А П Нг = А \ [А \ Hz)
и выберем S столь малым, что Яг С fi. Очевидно, что
meas>lz > measfi — 6/2 — [measfi — (measfi — S/2)] = measfi — 6,
откуда meas(fi — Az) < 6. Следовательно,
( I \u{x + z) - u(x)\pdx\
n
1/P / r \!/P
<(/к.+.>-мг*) '+( / к.+.)-мг*)
П-А. П-А,
$2e. □
Замечание 4. Из проведенного доказательства видно, что
аналогичная'теорема верна также для неограниченных областей Q. Более точно,
справедливо следующее утверждение.
Подмножество С пространства Z,p(fi) относительно компактно в ЬР(П),
р ^ 1, тогда и только тогда, когда
(i) С ограничено в IP,
(ii) функции из С равностепенно непрерывны в среднем,
(iii) для любого е > 0 существует открытое множество Q С С ^ такое,
что / |щ|р da; < ер для всех и ЕС.
п-п
Как уже было отмечено, пространство H1,l(a,b) нерефлексивно. До
конца этого раздела мы детально изучим слабую сходимость в Hl,1(a,b),
поскольку она особо важна в вариационном исчислении.
Ключом к пониманию слабой сходимости в L1 (а, Ь) служит
естественно возникающий вопрос: Будет ли любая ограниченная последовательность в
L1 (а, Ь) содержать подпоследовательность, сходящуюся в некотором смысле.?
Нам потребуются некоторые сведения из теории меры. Более
подробно мы рассмотрим меры в п. 3-3, но для полного представления о
результатах и методах теории меры мы предлагаем интересующемуся читателю
обратиться к какой-либо из следующих хороших книг по данному
предмету, например, [99, 139, 229, 293].
Напомним, что мерой Радона fi на топологическом пространстве X
называется внешняя мера со следующими свойствами:
(i) у. регулярна относительно семейства открытых множеств, т. е.
fi(E) = inf \fi[a) : А открыто, Е С А},
(ii) fi{K) < 00 для всех компактных множеств К,
(ii) 1л(А) = sup {ц[К) : К компактно, К С А} для любого открытого
множества А.
Согласно теореме Рисса можно отождествить меры Радона с
непрерывными линейными функционалами а на С°(X) в том смысле, что любое
непрерывное линейное отображение а из Cj(X) в Ш представимо в виде
a(f) = J fdfia для всех v G С°{Х), (2.21)
где ца — мера Радона и, обратно, каждая мера Радона ца определяет
по формуле (2.21) непрерывный линейный функционал на С*(Х). Полная
вариация fj,a определяется как норма а, т. е.
\\ца\\ := sup{a(/) : / е С°(Х), |/(а;)| $ 1 для всех х G X]. (2.22)
Можно проверить, что пространство мер Радона с ограниченной полной
вариацией является банаховым пространством с нормой || ■ || из (2.22) и что
из каждой последовательности цк мер Радона с равномерно ограниченной
полной вариацией можно выделить подпоследовательность ц^, слабо
сходящуюся в смысле мер к мере Радона р, т. е. (yk,v) -* (PiV) Для всех
^Ф), где
(Р. v)= I V йц.
Любая функция u G Ll{a,b) (или, эквивалентно, мера Радона udx)
определяет непрерывный линейный функционал
V>->/
ь
uipdx
на C°(a,b). Легко вычислить, что полная вариация uda; на (а, Ь) является
в точности 1,1-нормой и на (а, Ь). Таким образом, перейдя к
подпоследовательности, мы заключаем, что любая ограниченная последовательность {и*}
в L1 (а, Ь) сходится в смысле мер к некоторой мере Радона р, т. е.
/
Uk<p dx -> {ц, у?) для всех <р G С° (ai Ь).
Заметим, что даже если ц имеет плотность ы относительно меры Лебега
(что обычно не выполняется, как показывает мера Дирака), вообще говоря,
следующая сходимость не имеет места:
/ Ukipdx -> I uipdx для всех <р G //"(а.Ь),
что означало бы слабую сходимость ик в L1.
Следующая теорема характеризует ограниченные множества в L1 (а, Ь),
которые секвенциально слабо компактны в Ьг(а,Ь).
Теорема 2.11. Пусть П — ограниченное открытое множество в!" и
{iik} — последовательность в Ll(£l) такая, что
{i) sup\\uk\\Li{n) <oo,
к
(ii) функции множеств Е •-> / |u* \ dx, E С fi, равностепенно непрерывны,
в
т. е. для любого е > О существует 6 > О такое, что
I \uk\dx < e
для всех к, если measE < 6.
Тогда существует подпоследовательность последовательности {и*}, слабо
сходящаяся в Z,I(fi). Более того, если {ик} слабо сходится в iI(fi), то
справедливы (i) и (ii).
Доказательство. Пусть справедливы (i) и (ii). Как мы видели,
существуют подпоследовательность {uki} и мера Радона а такие, что
/ ukiipdx ->■ a(ip) для всех (р G C°(fi).
Мы покажем, что для такой подпоследовательности предел
lim / ukt dx = -у(В) (2.23)
i-юо J
существует для всех измеримых множеств В, содержащихся в Q.
Нетрудно показать, что ввиду (i) и (ii) это означает, что j{B) = a(B) для каждого
измеримого подмножества В множества fi. Таким образом, а
оказывается абсолютно непрерывной относительно меры Лебега. В силу теоремы
Радона — Никодима она представима функцией и б L1(f2). Так как
ступенчатые функции плотны в L°°(fi), равенство (2.23) означает, что {uki}
слабо сходится к и в L1(fi). Теперь докажем, что предел (2.23)
существует. Для этого покажем, что < / uki dx > является последовательностью
в
Коши. Так как характеристическая функция хв множества В измерима и
ограничена единицей, по теореме Лузина можно найти последовательность
{iph} в C°(ft) такую, что H^Hi^n) ^ 1 и №(г) -> Хв(х) при п. в. х е П.
По теореме Егорова для 6 из (ii) можно найти открытое множество В{ с £2
такое, что measBs < 6 и iph сходятся равномерно на fi - Bs к хв- Тогда
/ {uki - ик.) dx = / (uki - ukj)xB dx\ ^ / (ufc. - ukj){xB - Vh) dx
в n в,
+ \ (uki-ukj)<phdx\+\ / (uki - ик].)(хв ~ <Ph) dx
П Cl-Be
^2 {\uki\+\ukj\)dx+ sup \хв~Ы {\uki\+\ukj\)dx
J n-Bt J
+
n
tfih dx
Для любого е > 0 можно найти h0 такое, что sup \хв — 4>h\ < £ Для всех
п-в,
h ^ ho. Так как iphB G C°(£l), последовательность / uki(pho dx
п
последовательностью Коши. Поэтому
является
I/
п
(ufci -ukj)iphodx
< £
для всех г и j, которые больше некоторого к0, зависящего от Ло и е. Наконец,
для некоторой константы К > 0 получаем
/
[■Uki ~ukj)dx
^ 4е + 2еК + е = (5 + 2К)е
для всех i,j ^ А;0. Тем самым первая часть теоремы доказана.
Теперь предположим, что {ик} слабо сходится в L1 к и, и для
упрощения изложения будем считать, что и = 0 (в противном случае можно
рассмотреть последовательность {ик — и}). Тогда (i) вытекает из теоремы
Банаха — Штейнгауэа. Для проверки (ii) мы сначала докажем следующее
утверждение, принадлежащее Лебегу:
Если (ii) не выполняется, то существуют положительное число z,
последовательность непересекающихся измеримых множеств Е1,- С ^ и возрастающая
последовательность целых чисел V{ таких, что
I
\uVi\dx~£ z для всех i G N.
По условию существует е > 0 такое, что для всех S > 0 можно найти
множество f cfi такое, что measF < 8, и v G N, которое может быть
произвольно большим, такие что
|u„| dx ^ е.
/'
F
Так как uv 6 L1^), для любого а > 0 существует 77 > 0 такое, что
/ \uv\ dx < а для всех измеримых множеств В таких, что measB < 77.
в
Положим <т = сг\ = е/2, Si = measfi. Найдем 771 > 0, Fi С fi и и\ G N
такие, что meas.Fi < 6г, I \uVl\ dx ^ е и / \uVl\ dx < ах для всех В таких,
Fi В
что measS < 771. Далее выберем сг2 = е/4 и <Т2 — 771/2. Найдем 772,-^2 С П
hi/2eN такие, что measi^ < <Ь, / |«i/2| <to ^ £ и / |iz^2| dz < o-2 для всех В
f3 в
таких, что measB < 772- Аналогично для всех г > 2 выберем ст,- = — её{ =
Ъ,
min{77i/2'_1,... ,77,-_i/2}. Затем найдем 77,- > О, F, С П и щ > i/,-_i такие, что
measFi < Sit / |u„v| ^ e, / |u„J dx < о-,-
Fi В
для всех В таких, что meas5 < 77,-. Теперь положим Ei = Fi— U F5. Имеем
9>»
( IK) ^ £measi^ £ 2FT = *•
l\uVi\dx= I \uVi\dx ^e- — ^ - для всех г ^ 1.
Ei Fi-\JF4
4>i
Так как Ei не пересекаются, утверждение доказано при г = е/2.
Теперь заметим, что, заменив Ei на Eif\{x : uUi(x) ^ 0} или на Е\Г\{х :
uVi(x) ^ 0} и г — на г/2, можно модифицировать утверждение следующим
образом. Существуют Ei С fi и щ такие, что
I f
J uVi dx
Ei
> z для всех i G N.
Построим функцию ip G L°°(fi) для которой последовательность / Uk<pdx
не сходится к нулю, что завершит доказательство. Функция <р равна 1 на
объединении некоторых множеств Е1, и 0 вне этого объединения.
Положим Е^ — Е\ и 1/№ := и- Выберем е^ так, что
/
|u„(i)|dz: < z/З для всех В таких, что measS < e^.
в
Если j Uk dx не сходится к нулю, доказательство завершено, так как
£(0
можно положить у? = Х£(0 • Иначе в качестве е№ выберем первое из
оставшихся множеств Ei, т. е. общая мера множеств Ej, j > г", меньше, чем е^1)
(это возможно, так как Ei не пересекаются) и соответствующий индекс i/,-
такой, что
£(1)
< z/З для всех к ^ щ
(это возможно, так как / Ukdx-^O). Обозначив через i/W индекс, соот-
ветствующий Е^2\ выберем е^ > 0 так, что
\uvw\dx < z/З для всех В таких, что measB < e^.
в
Если I ыь dx не сходится к нулю, доказательство завершено. В ином
£(0 (j £(2>
случае, рассуждая так же, как и выше, находим Е^к\ iAk\ е^ такие, что
> z/З для всех h ^ i/M,
measUE,- < e(fc-1), /им
/ I'M*) I < г/3 для всех В таких, что measB < е^к\
в
Наконец, положим <р := х и £(*)• Тогда
u^wfidx
I ии(к) dx+ I uv(i=) da; + / u„(*) da:
^ / u„<*) da: - | - | ^ | для всех ft € N,
что приводит к противоречию со слабой сходимостью и/, к нулю. □
Теорема 2.11 известна как теорема Данфорда — Петтиса, хотя первое
доказательство было дано Лебегом.
Теперь правомерен вопрос: Как выглядят самые слабые
"интегральные условия", которые могли бы заменить ограниченность в L1, но при
этом обеспечить секвенциально слабую компактность в L1? Следующая
теорема дает ответ на этот вопрос и содержит также критерии
секвенциально слабой сходимости в L1.
Теорема 2.12. Пусть С — подмножество Z,1(fi). Следующие утверждения
эквивалентны:
(ii) С секвенциально слабо компактно в 1/Х(П),
(i2) функции и в С равномерно ограничены в L1(fi) и функции множеств
Е -¥ I |ы| dx, E С fi, u € С, равностепенно абсолютно непрерывны,
в
(•з) функции ы е С равномерно интегрируемы, т. е. интегралы
\u(x)\dx
I
{геП:|ъ(а:)|>с}
стремятся к нулю, если положительное число с стремится к оо равномерно
для u G С,
(i4) существует функция ©:(0,+оо) -> Ж {можно считать эту функцию
выпуклой и возрастающей) такая, что
lim = оо, sup / 0(|u|) dx < с».
Доказательство. Как доказано в теореме 2.11, утверждения (ii) и fe)
эквивалентны. Теперь покажем, что (i2) эквивалентно (i3) и (i3)
эквивалентно (i4). Предположим, что функции в С равномерно интегрируемы.
Тогда для любого измеримого множества Е С £2 имеем
I \u\dx ^cmeasE + J \u[x)\dx.
{г€П:|ч(т)|>с}
Выбрав с настолько большим, чтобы второй член в правой части был
меньше, чем е/2, получим равномерную ограниченность С в L1 при Е = Q и
равностепенную абсолютную непрерывность функций из С при 6 = е/(2с).
Обратно, полагая с = l/&up ||w||i/i(n), где 6 — число из условия равносте-
с
пенной абсолютной непрерывности, и выбирая Е := {х G fi : |u(a;)| > с}, мы
находим, что функции в С равномерно интегрируемы в силу неравенства
/ |u(a;)|da;^- I \u(x)\dx.
{г€П:|«(а:)|>с}
Теперь покажем, что существование 0 в (i4) влечет равномерную
интегрируемость. Положим
М :=sup / 0(|щ(ж)|)йа;.
ii€C J
Для данного е > О выберем с настолько большим, чтобы выполнялось
неравенство 6{t)/t ^ М/е для всех t ^ с. Тогда \u\ ^ е0(|ы|)/М на множестве
{x : \u(x)\ > с} и, следовательно,
/ |u| dx ^ —— / G(|u|)da;^e для всех и G С.
{x:{u(x)\>c} {x:\v(x)\>c}
Для доказательства обратного утверждения, построим функцию G ви-
1
да / g(s) ds, где д — возрастающая функция такая, что д(0) = 0| 9 стре-
о
мится к оо при s^oohj постоянна на каждом интервале (п, п +1), п G N.
Для произвольной функции и G С запишем
ап(и) := / |u(ar)|dar.
{х£П:\и(х)\>п}
Так как до = 0, получаем
\u\dx^.gi / \u\dx+(gi+g2) / |u[dz4 — ^дпап(и).
П {1$М<2} {2$Н<3} П=1
Поэтому остается показать, что можно выбрать последовательность дп,
оо
стремящуюся к с», такую, что суммы J2 9п^п(у) равномерно ограничены
п=1
по и G С. Согласно условию равномерной интегрируемости можно выбрать
целые числа cn f оо такие, что
/ |ч(г)| dx ^ 2 п для всех и G С.
{г:|и(г)|>С11}
Тогда
. оо оо оо
/ |u|dar^ /J* / Mdz^ /J / |u|dar= У^ а&(и).
{|u|>cn} fc=c" {k$M$fc+l} fc=c"{|u|>fc} fc=c"
Ввиду выбора cn числа £ £ afc(/) равномерно ограничены для и G С, но
n fc=c„
эта сумма имеет вид 52«/fcafc(u)i гДе 9k — число целых п таких, что сп < к.
к
Теорема доказана. D
Непосредственно из теоремы 2.12 вытекает критерий секвенциально
слабой компактности в Н1ш1(а, Ь).
Теорема 2.13. Пусть {и*} — последовательность в Я1,1(а,6), а, 6 G R.
Предположим, что
(i) sup||ufc||i,i = К <oo,
к
(ii) функции множеств E н-> / \Duk\dx, E С {а,Ь), равностепенно абсо-
Е
лютно непрерывны.
Тогда существует подпоследовательность {и^}, которая слабо сходится
в Hl,l(a,b) к некоторой функции u £ Hl,1(a,b). Обратно, если {uk} сходится
слабо в Н1,1(а,Ь) к некоторой функции u £ Я1,1(а,6), то оба условия (i) и
(ii) выполняются. Наконец, оба условия (i) и (ii) выполняются тогда и
только тогда, когда последовательность {uk} равномерно ограничена в Ll(a,b) и
существует функция 6 : [0, оо) —» IR такая, что
Q(t)
—> оо при t —> оо, sup I Q(\u'k(x)\) dx <+00.
Доказательство. Из (i) и теоремы 2.1 следует, что последовательность
{и*,} (или некоторая подпоследовательность) сильно сходится в L1 к
некоторой функции и. Действительно, в силу (ii) подпоследовательность {uk\
сходится равномерно к и. По теореме 2.11, перейдя к другой
подпоследовательности, получаем, что {и'к} сходится слабо в L1 к некоторой функции
w £ Ll(a, Ь). С другой стороны,
ь ь ь
— I щф' dx = I v!ktpdx —> I w<p для всех ip £ C^(a, b),
a a a
Ь b
— I Ukip' dx —J- / шр1 dx.
a a
Следовательно, и' — w в смысле распределений и Uk сходится к и слабо в
Я1,1. Другие утверждения тривиально следуют из теоремы 2.10. □
Заметим, что с точностью до перехода к подпоследовательности
слабая сходимость {ик} в Я1,1(а,6) эквивалентна равномерной сходимости плюс
равностепенной абсолютной непрерывности функций множеств
/К1<
£>->. / \ui\dx.
Е
2.2. АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Как мы уже видели, главная идея в определении пространств Соболева
основана на понятии слабой производной или производной в обобщенном
смысле. Для гладких функций слабая производная совпадает с
классической производной. Однако для негладких функций, например, для почти
всюду дифференцируемых функций в классическом смысле эти два
понятия производной могут отличаться. Цель данного раздела состоит в
выяснении взаимосвязей между классическими производными почти всюду и
слабыми производными. Для этого мы рассмотрим абсолютно непрерывные
функции — концепцию, введенную Витали, и в дальнейшем интенсивно
развитую Тонелли в вариационном исчислении.
Пусть и £ Hl,1(a,b). Как мы уже видели, для всех х,у £ [а,Ь]
х
и(х) — и(у) = I u'(t) dt.
у
Используя теорему Лебега о дифференцировании, из равенства
x+h
и(х + h)~ и{х) _ 1 / л,,Л д
=!/"'«'
получаем, что для п. в. х из [а, Ь] функция и(х) дифференцируема в
классическом смысле, т. е.
Urn "(« + *)-"(«) = [и'(х)]
h-Ю h
существует п. в. в [а, Ь]. Таким образом, классическая производная,
которую обозначим через [^'(а;)], совпадает почти всюду с производной в
обобщенном смысле, т. е. и'(х) — [и'(х)] п. в. в [а, Ь]. Суммируем сказанное в
виде теоремы.
Теорема 2.14. Пусть и £ Hl,l(a,b). Тогда, возможно, после изменения и
на множестве меры нуль, и является функцией класса С0([a, b]), которая почти
всюду дифференцируема в классическом смысле и классическая производная
[и1] совпадает почти всюду со слабой L1-производной и'. Кроме того, для всех
х, у £ [а, Ь] имеет место фундаментальная теорема математического анализа:
X
u(x)-u{y)= fu'(t)dt. (2.24)
Так как функции класса Ll{a, Ь) или даже класса £,0О(а,6), которые
почти везде дифференцируемы в классическом смысле, не обязательно
непрерывны; вообще говоря, они не принадлежат Я1,1(а,6).
I * I Функция Хевисайда
С:
»«=<"■ ХЛ1'
почти всюду дифференцируема. Точнее, она дифференцируема всюду,
исключая 0, и классическая производная существует всюду, исключая 0, и
равна 0. Но сужение этой функции, например, на (-1,1) не принадлежит
ни одному из пространств Соболева Я1-р(-1, 1), р ^ 1. Легко проверить,
что производная в обобщенном смысле функции Хевисайда равна функции
Дирака в нуле, т. е. линейному непрерывному функционалу 60:<р у-* у?(0)
для всех у G С£°(—1,1). Действительно,
1 г
J Н{х)<р'{х) dx = J <р'{х) dx = -р(0) = -(So, V).
-1 О
Теперь предположим, что и принадлежит CD([a,b]) и, кроме того,
почти всюду дифференцируема в классическом смысле. Наконец,
предположим, что классическая производная [г/] функции -и принадлежит Ь1(а,Ъ)
или даже L°°(a,b). Будет ли это означать, что и принадлежит Я1-1 (а, Ь),
т. е. верно ли v! = [v.1]? Ответ на этот вопрос: нет, в чем можно убедиться,
рассмотрев функцию Кантора (или функцию Кантора — Витали), которая
непрерывная и неубывающая в [0,1], /(0) = 0, /(1) = 1 и классическая
производная которой равна нулю почти всюду.2
НРис. 2.1
Функция Кантора — Витали. Выберем строго убывающую
последовательность 1 = SD > Si > ..> Sn > ..., сходящуюся к нулю, и
положим Ео := [0,1]. Определим по индукции подмножества Е„ такие, что
Е0 D Ei э - (см. рис. 2.1). Предположим, что при л ^ 0 множества Еп
построены таким образом, что Еп является объединением 2" попарно
непересекающихся замкнутых интервалов, каждый из которых имеет длину
2 Относительно примера функции с такими же свойствами и, кроме того, строго
возрастающей см. [139, с. 278].
2~nSn- Удалим сегмент в центре каждого из этих 2" интервалов так, чтобы
каждый из оставшихся 2-2" интервалов имел бы длину 2~n~l6n+i (это
возможно, так как Sn+i < 5п), и обозначим через Еп+Х объединение этих 2n+1
интервалов. Тогда Е0 э £i Э Е2 D . - - и measЕп = 8п. Теперь положим
оо
Е := 0 Еп. Множество Е компактно и measE1 = 0. Определим
п=0
Gn{t) :=
{1/5п, х
0 Е
еЕп,
в ином случае
х
/п(*):= Jgn{t)dt, и = 0,1.
Очевидно, что /„(0) = 0, /„(1) = 1 и каждая функция fn монотонна и
постоянна на каждом сегменте в дополнении множества Еп (см. рис. 2.2).
Если / — один из 2" интервалов, объединение которых составляет Еп, то
Jgn{t) dt = J gn+l{t) dt = 2~",
откуда fn+i(x) = fn{?) для x £ En и
1
!/»(*) - fn+i{x)\ ^J]gn- <7n+i| A < 2
—n+l
1/3
2/3
Рис. 2.2
Поэтому {/„} сходится равномерно к непрерывной и неубывающей
функции / такой, что /(0) = 0, /(1) = 1 и [f'(x)] - 0 для всех х £ Е. Так
как measE = 0, имеем [f'(x)] = 0 почти всюду. В частности, (2.24) не
может выполняться. При 8п = (2/3)" множество Е называется канторовым
множеством.
Теперь дадим характеризацию Я1,1-функций с помощью классических
понятий, не используя понятия производной в обобщенном смысле.
Определение 2.15 (абсолютно непрерывная функция). Функция /: (а, Ь)
-> М называется абсолютно непрерывной,3 если для любого е > 0 существует
6 > 0 такое, что
N N
J2(ft-<*i)<S => £|/(#)-/(*.-)1<е. (2-25)
i=l i=l
где (ai,/?i),... , (c*jv,/?jv) — непересекающие сегменты на (а,6). Класс
абсолютно непрерывных функций обозначается через АС(а,6).
Очевидно, что любая функция u £ АС(а, 6) равномерно непрерывна на
(а, Ь). Поэтому ее всегда можно продолжить как непрерывную функцию
на замыкание (а, Ь).
Очевидно, что любая липшицева функция на (а, Ь) принадлежит АС(а, 6).
Действительно, если \и(х) — и(у)\ ^ к \х — у\ для всех х,у £ (а, 6), то (2.25)
выполняется при S = е/к.
Введем обозначение для полной вариации функции и: (а, 6) —> ffi:
N
V?(u) = sup £ |u(*,-) - «(si-i)!, (2-26)
j=i
где супремум берется по всем целым числам ЛГ и по всем {ij} таким, что
а < х0 < xi < ... < xn < 6.
Предложение 2.16. V%(u) < +оо для любой и £ АС(а, Ь).
Доказательство. Положим е = 1. Пусть S > 0 такое, что справедлива
импликация (2.25). Пусть уо < У1 < ■ ■ ■ < Ут — точки (а, 6) такие, что
Уо = а, ут — Ь и yi — у,_] < S. Если Xj, j = 1,... , N, — точки (а, Ь) такие,
что а < х0 < ii < ... < хм < 6, то обозначим через tk, к = 1,... , п, конечное
семейство точек (а, 6), полученное присоединением точек xj,j = 1,...,N,k
точкам у,-, г = 1,... , т— 1. Тогда п ^ N+m—1 и семейство {t;J порождаетт
групп последовательных интервалов, каждая группа покрывает интервал,
длина которого меньше или равна S. В силу (2.25)
N N
^2 \и(х{) - u{xi_i)\ ^ ^2 \u[tk) - u(*fc_i)| ^ rn.
i=l k = l
Так как можно выбрать т ^ 1 + [Ь — o)/S, переходом к супремуму по всем
семействам [xj] получаем ^(и) ^ 1 + (6 - а)/& < оо. П
3В смысле Витали.
Следующая теорема дает "классическую" характеризацию Я1
^-функций и характеризацию абсолютно непрерывных функций.
Теорема 2.17. Справедливо равенство АС(а,6) = Я1,1 (а, Ь). Более
точно, каждая функция u G АС(а,Ь) имеет почти везде классическую
производную [и1], которая принадлежит L1(a,6) и, рассматриваемая как элемент
пространства L1, является слабой производной [и1]. Обратно, каждая функция
v. G Я1,1 (a, b) с точностью до изменения на множестве меры нуль
является абсолютно непрерывной функцией. Наконец, -и 6 АС (а, Ь) тогда и только
тогда, когда и почти всюду дифференцируема в классическом смысле, [и1]
принадлежит L1 (a, b) и справедлива фундаментальная теорема математического
анализа, т. е. для всех х,у из {а,Ь)
X
u{x) - u{y) = J[u'(t)] dt. (2.27)
У
Поэтому Н1,р-функции являются первообразными Ьр-функций.
Прежде, чем доказывать теорему 2.17, сформулируем несколько
простых утверждений, представляющих также самостоятельный интерес.
Лемма 2.18. Пусть и £ С1 [a, b). Тогда полная вариация функции и
конечна, т. е. V£(v) < оо тогда и только тогда, когда
/
ь
|u'| dx < со.
В этом случае
ь
V^v) = j\v!\dx. (2.28)
Доказательство. Рассмотрим семейство {xj} в (a, b) такое, что a <
а?о < xi < ... < xjv < Ь. Тогда для каждого j = 1,..., N
\u(xj) — v,(xj-i)\ = / u'(x)dx ^ / |u'|di,
откуда
£ Mz,-) - ufo-oi ^ J H dx $ j H dx.
i=1 *„ о
Переходя к супремуму по всем семействам {xj}, в силу определения (3)
полной вариации получаем
V2(y) $ J\u'\dx.
a
Теперь докажем противоположное неравенство. Фиксируем а' > а и Ь1 < Ь.
Так как и б Cl{a,b), заключаем, что и' равномерно непрерывна на [а',Ь#].
Поэтому для любого е > 0 существует S > О такое, что \и'(х) — и'(у)\ < е
для любых х, у G [а1, Щ таких, что |х — у\ < S. Пусть х0 < a?i < . -. < хдг —
точки [а', Ь'] такие, что xj — xj-i < S для всех j = 1,... , N. Тогда в каждой
точке х Е [xj-i,Xj]
Xj Xj
u[xj) - n(zj_i) = / u'(y) dy= (u'(y) - u'(x)) dy + (xj - xj-^u'^x),
откуда
Иг)| ^ K»i)-«(«i-OI + ^__ ? Иг) _ и,ш dy
3 3 — 1 3 3 "~^- ^
< l"(gi)-"(gi-i)l , c
3Tj Xj—\
Интегрируя по [ij_i, xj] и суммируя по j = 1,..., N, получаем
/ \и'\ dx^Y^ Пхз) ~ u(xi-i)\ + Ф" ~ го) ^ Vf[u) + е(Ь - а).
i=i
Переходя к супремуму по всем семействам {xj} в [а',Ь'] и затем по всем
а' > а и Ь' < Ь, находим
J\u'\dx^(u)+e{b-a).
При е -> О получаем требуемое неравенство. П
Из леммы 2.18 и предложения 2.16 вытекает
Лемма 2.19. Для функции -u G С1 {а, Ь) следующие условия эквивалентны:
{i) u e AC(a,b),
(ii) Vf{u) < -и»,
ь
(iii) / |u'| dx < +oo,
(iv) функция множества Е ^ I \u'\dx, где Е измеримо и Е С (a,b),
Е
абсолютна непрерывна, т. е. для каждого е > 0 существует S такое, что
I
\u'\ dx < e, если measE < S.
Доказательство. Импликация (i)=>-(ii) следует из предложения 2.16,
а импликация (ii)=>-(iii) — из леммы 2.18. Импликация (iii)=>-(iv) хорошо
известна в теории меры и вытекает из того, что u' £ Ll(a,b). Импликация
N
(iv)=»(i) справедлива в силу того, что ][] (/?,- — a,) < S, и тогда, полагая
N
Е= U(ai"iA")i получаем
»=1
I dx < е.
£ |«(ft) - «(a.-)| £ £ / М dx=[ W
Лемма 2.19 дает обоснование следующему определению.
Определение 2.20. Семейство абсолютно непрерывных функций на (а, Ь)
называется равностепенно абсолютно непрерывным, если для всех е > 0
существует S > 0 такое, что (2.25) справедливо для всех элементов семейства.
Замечание 1. Очевидно, что семейство равностепенно абсолютно
непрерывных функций является семейством равномерно непрерывных и
равностепенно непрерывных функций. По теореме Арцела — Асколи такое
семейство относительно компактно в смысле равномерной сходимости.
Рассмотрим теперь функцию и Е AC(a, Ь) и продолжим ее на больший
интервал (а — т,Ь + г), полагая и(х) = и(о) для х Е (а — т,а) и и(х) — и(Ь) для
х Е (Ь,Ь + т). Очевидно, что это продолжение не меняет ни полной
вариации и, ни модуля максимума. Средние Sc и, введенные при доказательстве
теоремы 2.3 в п. 2.1, равномерно сходятся к и на (а, Ь) и удовлетворяют
равенству
Scu(y) — Scu(x) = - J [u(y — i) — и[х — t)]<p(t/e) dt
для всех х,у Е {а,Ь). Поэтому V£(Scv) ^ v£^(v) для всех (а,/?) С (а,Ь).
Учитывая лемму 2.19, получаем следующее утверждение.
Лемма 2.21. Пусть и Е АС(а,Ь). Тогда существует последовательность
функций {uk} в ^(ajb) П АС(а, 6), которая равностепенно абсолютно
непрерывна и сходится равномерно к и. Более того, так как функции
множества Е н-э- / lufcltiz равностепенно абсолютно непрерывны, можно считать, что
Е
(см. теорему 2.12, п. 2.1) u'k слабо сходятся в Ll(a, Ь) к и'.
Доказательство теоремы 2.17. В силу теоремы 2.2 в п. 2.1 любая
функция и £ Н1-1^^) принадлежит АС(а, Ь), т. е. Я1,1(а,Ь) С АС(а, Ь).
Обратное включение вытекает непосредственно из леммы 2.21. Поэтому
любая функция и £ АС(а, Ь) имеет почти всюду классическую производную,
которая совпадает почти везде с обобщенной производной, и справедливо
(2.27). Наконец, если выполняется (2.27), то и £ АС(а,Ь), что завершает
доказательство теоремы 2.17. □
Если и непрерывна и почти всюду дифференцируема, причем [и1] £
L1, то, вообще говоря, и не принадлежит АС. Следующее утверждение
показывает, что из дифференцируемости всюду следует и £ АС.
Предложение 2.22. Предположим, что /: [а, Ь] -> ДО дифференцируема в
каждой точке [а,Ь]. Пусть [/'] принадлежит L1 (а, Ь). Тогда
X
/(я) - /(а) = / [/'(*)] dt для всех х £ [а, Ь]. (2.29)
а
Доказательство. Достаточно установить (2.29) при х = Ь. Так как
[/'] G L1(a, b), для любого е > О можно найти простую функцию g = J2c*XEi,
где с; G М и Ei — измеримое множество, такую, что g ^ / и справедливо
неравенство
ь ь
j g{x)dx< J[f'{x)]dx
■ + £.
Преобразуя каждое множество Eit соответствующее с,- ^ 0, в открытое
множество А{ Э Ei и каждое множество Ei, соответствующее с, < О, в
компактное множество Ki С Ei, можно предположить, что g
полунепрерывна снизу. Добавив к g малую константу при необходимости, получаем
ь ь
[f'[x)] < 9{х) Для всех х G [a, b], / g[x) dx < I [f'(x)] dx + е.
а а
При фиксированном tj > 0 рассмотрим непрерывную функцию
х
F^x) := j g{t) dt - f[x) + /(a) + ф - a).
a
Имеем -F4(a) = 0. Покажем, что Fv(x) ^ 0 для всех х £ [a,b]. Положим
xD = sup{x £ (a, b) : Fv[t) ^ 0 для всех t <x}.
Достаточно показать, что х0 = b. Допустим противное. Тогда Fj,(x0) = 0 и
существует последовательность х„ 4- х0 такая, что Fv(xn) < 0, т. е.
0 > F4[xn) - Fv[x0) = Jg{t) dt - f[xn) + f{x0) + rj[xn - xD). (2.30)
Так как д полунепрерывна снизу и д(х0) > [f'{xD)], для достаточно больших
п имеем g(t) ^ [/'(го)] при любом t £ [х0, хп], откуда в силу (2.30) вытекает
o>[f(«,)]-/('")-/('n)+4,
Хп Xfj
что приводит к противоречию при п -> оо. Так как F4 ^ 0 в [а, Ъ] для всех
7j > 0, получаем при rj -> 0 и х = Ь неравенства
ь ь
/(b) - /(а) <£ 15(<) ей <£ J[f{t)] dt + e,
а а
откуда ввиду произвольности е
ь
f{b)-f(a)^J[f'[t)]dt.
а
Противоположное неравенство выводим, повторяя проведенное выше
доказательство для функции —/, которая также удовлетворяет условиям
утверждения. □
Теперь выведем несколько полезных следствий теоремы 2.17.
Так как каждая липшицева функция принадлежит АС, из теоремы
2.17 получаем
Следствие 2.23. Каждая липшицева функция и на (а, Ь) имеет
классическую производную [и1] п. в. в (а, Ь), а также обобщенную производную и'. Обе
производные рассматриваются как функции из L°°(a,b). В частности, -и
принадлежит всем пространствам Соболева #1,р(а,Ь).
Следующая теорема показывает, что обычное правило
дифференцирования сложной функции действует и в соболевских пространствах.
Теорема 2.2.4 (правило дифференцирования сложной функции). Пусть в
— липшицева функция на Ш, и пусть и принадлежит H1,p{a, b) для некоторого
р ^ 1. Тогда функция 6(и) = в о и принадлежит Hlj>(a,b) и справедливо
равенство
D6(u(x)) = 0'(и(х))£Ца:)). (2.31)
Доказательство этой теоремы основано на следующей лемме.
Лемма 2.25 (Балле Пуссен). Пусть g G AC(J). Если для некоторого
множества Е С I мера Лебега множества д[Е) равна нулю, то д' = 0 п. в. в Е.
Доказательство. Пусть В — подмножество Е, на котором |<7'(а:)| > 0.
Положим
Bn .-= {teB : \g(s) - g(t)\ > \s - t\/n для всех \s -1\ < 1/n}.
Имеем В = \JBn. Фиксируем п и для любого интервала J длины меньше,
п
чем 1/тг, рассмотрим множество А := J П Вп. Покажем, что meas A = О,
откуда будет следовать, что measB„ = 0 и, в свою очередь, meas Б = 0. Так
как meas^^A) = 0, для любого е > 0 можно выбрать последовательность
интервалов 1к такую, что д{А) С \Jh, I^nieas/fc < е. Положим Ak ■—
к к
д~1(1к)Г\А. Так как \JAk покрывает А,
к
meas*(j4) ^ yjmeas*(J^fc) ^/J SUP ls — ^li
к s,teAk
где meas* обозначает внешнюю меру Лебега.
Так как Ак С J(~)Bn, имеем sup \s—t\ ^ n sup |^(s)— g(t)\. Поскольку
g{Ak) С h и Ik — интервал, получаем sup \g{s) — g(t)\ ^ meas/fc. Таким
t,s£Ak
образом, meas* (Л) ^ nj^ measly ^ пе. Однако п фиксировано, а е может
быть выбрано произвольно малым. Следовательно, meas A = 0. D
В качестве прямого следствия леммы 2.25 сформулируем
утверждение, которое можно также доказать непосредственно.
Следствие 2.26. Если д абсолютно непрерывна, то д' = 0 почти всюду на
любом подмножестве, на котором g постоянна.
Доказательство теоремы 2.24. Пусть Z := {х : в' не существует в
точке х} и S := u~l(z). Заметим, что measu(S') = 0 и meas(0(u(a:))) = 0, так
как образ множества меры нуль при липшицевом отображении имеет меру
нуль. Очевидно, что 6(и(х)) абсолютно непрерывна, так что следует лишь
показать, что ее производная принадлежит If и выполнено (2.31). Имеем
D6{v)(x) = 6'{v.(x))Dv.{x) в каждой точке х £ (a,b) \S, в которой и
дифференцируема. С другой стороны, из леммы 2.25 следует, что D6(u)(x) = 0
п. в. в S и Du(x) = 0 п. в. в 5, откуда D6(u)(x) = в' [u(x))Du[x) п. в. в (о, 6),
что завершает доказательство. П
2.3. ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИЕЙ
Более тщательный анализ абсолютно непрерывных функций можно
провести в терминах функций с ограниченной вариацией, введенных Жорданом.
Каждой функции /: (a,b) -j-M, не обязательно непрерывной, поставим
в соответствие полную вариацию, определенную для х £ (а, Ь) формулой
Tj(x) := sup£ \f(xj) - /fo-OI,
i=i
где супремум берется по всем N и всем {xj} таким, что a < х0 < ... <
хн < х. Очевидно, что при х < у
(КТЛхКЗДКсх). (2.32)
Поэтому существует предел V06(/) = lim Tt (х). Если этот предел конечен,
х—>Ь—О
то / называется функцией с ограниченной вариацией и BV{a, b) обозначает
класс всех таких функций /.
Так как / не обязательно непрерывна априори, данное определение
имеет некоторый дефект: при изменении / даже в одной точке могут
измениться, как Tj(x), так и V^{f). Поэтому удобно найти
"нормализованных представителей" функций с ограниченной вариацией. Для этой цели
заметим, что справедливо следующее утверждение.
(a) Если f G BV{a, Ь)их<у,то \f{y) - f{x)\ ^ Tf{y) - Tf{x).
Действительно, для всех е > 0 найдутся точки а < х0 < ... < хрг = х
такие, что
N
£l/(*.-)-/fc-i)l >?/(*)-£.
i=l
Поэтому
Т/Ы > Ш -/(*)l + ££il/fc) -/(«.--01 > \т-Пу)\ + тЛх)-е,
откуда следует требуемое утверждение.
Из утверждения (а), в частности, следует, что {/(а;,)} —
последовательность Коши, если {Tf(xi)} — последовательность Коши. С другой
стороны, поскольку Tj — монотонная функция, а монотонные функции имеют
пределы слева и справа во всех точках и имеют не более, чем счетное число
разрывов, мы заключаем, что такими же свойствами обладает функция /.
В связи с этим определим с := lim f(t) и д(х) := f(x—0)—c. Очевидно, что
д(х) непрерывна слева и V£(g) ^ К?(/)- Итак, мы установили следующее
утверждение.
(b) Пусть f £ BV(a, b). Тогда f(x — 0) существует в каждой точке (а, Ь]
и f[x + 0) существует в каждой точке [a,b). Множество точек, в которых
f разрывна, не более, чем счетно, и существуют единственная константа с
и единственная* непрерывная слева функция д, удовлетворяющая условию
lim g = 0, такие, что f(x) = с + д(х) во всех точках непрерывности /.
т-ю+О
Используя (Ь), нормализуем f как с + д(х). Класс нормализованных
функций с ограниченной вариацией обозначим через NBV(a,b). Нетрудно
установить следующее утверждение.
(c) Если f £ NBV{a, Ь), то 7) (г) £ NBV[a, b).
Как мы увидим ниже, каждой функции u e NBV(a,b) можно
сопоставить меру Бореля. Поэтому напомним свойства мер, которые будет
далее использоваться. Более подробное изложение читатель может найти
в книгах по теории меры.
Кп-значная мера Бореля у. на (а, Ъ) — это просто счетно аддитивная
функция множества у.:Б —> Шп, где Б — семейство всех борелевских под-
4Единственность имеет место, так как две непрерывные слева функции, совпадающие
на плотном множестве, равны.
множеств (а, 6). Для любых Мп-значной меры Бореля у на (а, 6) и множества
В € Б определим полную вариацию у на В по формуле
У2 \fj.{Bj)\: Bj £ Б попарно различны, [J Bj С В >.
i=i i=i >
(2.33)
Тогда функция множества В i-j- |/j|(B) оказывается неотрицательной мерой
Бореля на (а, 6), которую обозначаем \у\.
Пространство7И(а,Ь;Мп) всех Мп-значных мер Бореля на (a,b) можно
снабдить нормой
\\у\\м:=\у\(а,Ь), (2.34)
относительно которой пространство становится банаховым.
Приведем другой эквивалентный способ построения М(а,Ь;ШП).
Рассмотрим пространство Со(а,Ь;Шп) всех равномерно непрерывных функций
на {а,Ь), равных нулю в точках а и b и снабженных равномерной нормой
sup. Тогда получаем сепарабельное банахово пространство. Пространство
7И(а,6;Мп) можно определить эквивалентным образом как пространство,
двойственное пространству Со(а, Ь;ШП), с отношением двойственности
(у, U)~ I U
dy. (2.35)
В этом случае нормой \\у\\м служит обычная дуальная норма
||р||л4 :=sup{0i,«> :гГеС0(о,6;Жп),|Н ^ 1},
и в М(а, Ь;ШП) можно ввести *-слабую топологию, определенную по
отношению двойственности (2.35). В частности, будем говорить, что
последовательность (fik) в М(а,Ь;ШП) *-слабосходится к мере у £ М(а,Ь;ШП) тогда и
только тогда, когда lim (p/,,u) = (y,u) для любой функции u G Со(а,Ь;Шп).
А-юо
Ввиду теоремы компактности Алаоглу из каждой ограниченной
последовательности {fih} в М(а, Ь; Шп) можно выделить подпоследовательность {yhk},
*-слабо сходящуюся к некоторой мере у £ М(а,Ь;Шп).
Предложение 2.27. Если уь -»■ у *-слабо в 7И(а,Ь;Мп), то lim уи{А) =
А-юо
/j(y4) для каждого относительно компактного борелевского множества А в (а, 6)
и справедливо равенство \у\(8А) = 0.
Доказательство. Поскольку можно проводить рассуждения для
каждой компоненты, будем считать, что п = 1. Представив IR-значную меру v
в виде v+ — v~, где неотрицательные меры v+ и v~ определены формулой
v+(E) := sup{i/(£) :В€Б,ВСЕ],
v~{E) := -mi{v{B) :В€Б,ВСЕ},
можно считать, что все рл и р неотрицательны. Для каждой непрерывной
функции tp с компактным носителем в А и значениями в [0,1] имеем
lim inf tih(A) ^ lim inf / ipdfih = / tpdfi.
Л-юо /i-юо J J
Переходя к супремуму по tp, получаем
о
lim inf fih(A) ^ ц(А), (a)
h—>oo
о
где А — внутренность А. Аналогично для каждой непрерывной функции
ф с компактным носителем в (а, 6), значениями в [0,1] и такой, что ф = 1
в А, имеем
lim sup^/,(A) ^ lim sup / фйцн = I фйц.
h-yco Л-юо J J
h—ус
Переходя к инфимуму по ф, получим
lim sup рЛ (А) ^ ц(А), (Ъ)
Л—уоо
где А — замыкание А. Требуемое заключение следует из (а) и (b). D
Определение 2.28. Для заданной неотрицательной конечной меры Боре-
ля v на (а, Ь) будем говорить, что у, £ М(а,Ь;Ш.п)
(i) абсолютно непрерывна относительной (пишем ц <S и), если |^|(5) = О
при условии v(B) = О,
(ii) сингулярна относительно v (пишем ц L и), если существует В £ Б,
v(B) - 0, такое, что Н((а, Ъ) \ В) = 0.
Например, если v — мера Лебега, то для любой и £ Lx(a, Ь;М") мера
/i{B):=ju
dx
в
абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, а для любой точки хо €
(а, Ъ) мера Дирака 6Хо, определенная по формуле
х tm.-j1' *о€В,
сингулярна относительно меры Лебега.
В дальнейшем для заданной функции u £ Ll(a,b;U") будем обозначать
через uv (или просто и, если это не приводит к недоразумениям) меру из
М(а,Ь;Ш.п), определенную по формуле
{w)(B) := I udv {В еВ).
Кроме того, если и: (а, Ь) -> М. — ограниченная борелевская функция и
fi £ M(a,b;M.n), обозначим через иц меру из М(а,Ь;Шп), определенную
формулой
{ufi)(B) — udfi (В€Б).
Хорошо известно, что любая мера у, £ М(а,Ь;Шп), абсолютно
непрерывная относительно v, представима в виде у — w для некоторой функции
и £ Ll(a,b;M.n); более того, ввиду теоремы Радона — Никодима функцию
и можно получить по формуле
у(х-е,х + е) . .
и(х) — hm —) f для v-n. в. x€(a,b).
£->+о v(x-e,x + e)
Имеет место следующая теорема Лебега — Никодима о разложении мер из
М(а,Ъ;Шп).
Теорема 2.29. Для любой меры р £ М{а, 6; Мп) существуют единственная
функция u £ Ll(a,b;M.n) и единственная мера у' £ M[a, Ь;Шп) такие, что
(i) у = uv + у",
(ii) у' сингулярна относительно v.
Меры uv и ys называются абсолютно непрерывной частью и сингулярной
частью меры у относительно v, а функция и часто обозначается через dy/dv.
Следующая теорема отождествляет функции из NBV(a, b) с мерами
из M(a,b).
Теорема 2.30. (i) Если у — мера Бореля из М(а, Ъ) и
f(x) := у(а(х)), xe(a,b), (2.36)
то/6 NBV(a,b).
(ii) Обратно, каждой f £ NBV(a, b) соответствует единственная мера
Бореля у £ М(а, Ь) такая, что справедливо (2.36); более того, для такой меры
у имеем Tf(x) = |р|((а,а:)).
(ш) Если выполнено (2.36), то / непрерывна именно в тех точках х, в
которых у({х}) = 0.
Доказательство, (i) Ввиду свойств мер Бореля, если {xn} | х, то
y((a,x)) = lim y((a, хп)). Таким образом, f(xn) -¥ f[x). Если {хп} \. а,
п—>оо
то fi((a,xn)) -> 0 и, следовательно, f(xn) -+ 0. Наконец, для a < xq < ... <
iff = х имеем
N N
£l/(*0 - /(I.--0I = £|/i([ii_i>i0)l ^ H(".*),
»'=1 i=l
откуда
T}{x) ^ \y\(a,x) для всех х £ (a,b). (2.37)
(ii) Сначала заметим, что / можно записать как разность двух
неубывающих функций из NBV[a, b). Действительно, / = - (Т/ + /) — - (7) - /)
и ввиду свойств функции Т/ заключаем.что функции и := - (7} + /) и
v := - (7) —/) принадлежат NBV(a,b) и не убывают. Далее, неубывающей
функции и (и v) сопоставляется мера Бореля /j„ (и ^„) следующим образом.
Для каждой точки х е (а, Ь) рассмотрим множество
i i-\-jji если и непрерывна в точке х,
&х
\[и[х),и[х+)],
если и(х+) > и[х),
и каждому множеству Е С (а, 6) поставим в соответствие множество U Ех.
х£Е
Затем определим ци(Е) := £*( \J Ех), где С1 — одномерная мера Лебе-
х£Е
га. Положим р := Яъ — Pi/ и обозначим через А меру рт7,
ассоциированную таким же образом с Т/. Нетрудно показать, что у. — мера Бореля
и для любого интервала [а,/?) имеем /л([а,/?)) = /(/?) — /(а). Более того,
А([а,/?)) = 2)(/3) -Т>(а). Следовательно, |р(Е)| ^ А(Е), т. е. |р|(о,а;) ^
А((а,а;)) ^ Tf(x), откуда с учетом (2.37) получаем (ii). Утверждение (ш)
следует непосредственно. П
Теперь вернемся к рассмотрению абсолютно непрерывных функций.
Из определения следует, что если и е АС(а,Ь), то и G BV(a,b). Вычитая
значение ива, что правомерно, получаем и — и(а) G NBV(a,b). Теперь
рассмотрим меру /j, ассоциированную с и так же, как в доказательстве
теоремы 2.30. Легко видеть, что определение абсолютной
непрерывности и сводится в точности к условию, что мера ц абсолютно непрерывна
относительно меры Лебега С1. Следовательно, справедлива
Теорема 2.31. Пусть f G NBV(a, b) и ц — мера, ассоциированная с f
согласно теореме 2.30. Мера ц абсолютно непрерывна относительно меры Лебега
тогда и только тогда, когда f абсолютно непрерывна.
Теперь результаты о дифференцировании мер можно перенести на
случай функций.
Пусть g G L}(a, b). Положим
X
f(x):=Jg(t)
dt.
Для меры ц = gC1 имеем /(i) = ц((а,х)) и ц < С1. Из теоремы 2.30
следует, что / е NBV(a,b), а из теоремы 2.31 получаем, что / абсолютно
непрерывна. Более того, по теореме Радона — Никодима [f'(x)] существует
почти всюду и имеет место соотношение
1П*)] = ^ (*)=*(*) п.в.в(а,Ь).
Более общо, для меры ц, ассоциированной с функцией / из NBV(a,b), ввиду
разложения Лебега — Никодима из теоремы 2.29 получаем
Е
Полагая fs(x) := fis((a,x)), x £ (а,Ь), находим
[/;(*)] = 0 п.в.в(а,Ь),
[/,(^] = ^Т^ п. в. в (а, 6),
X
f(x) = fs(x) + J[f(t)]dt.
а
Наконец, /, = 0 тогда и только тогда, когда / абсолютно непрерывна.
Функция f, называется сингулярной частью /. Для канторовской
функции / имеем f — ft.
Теперь подытожим приведенные выше утверждения.
Теорема 2.32. (i) Если д £ Ll(a, b) и для х £ (а, 6)
X
f(x):=Jg(t)dt,
то f принадлежит NBV(a, b), абсолютно непрерывна и удовлетворяет условию
\f[x)]=g(x) п. в. в (а, 6).
(п) Если f £ NBV[a,b), то f почти всюду дифференцируема, [/'] £
L1(a,6) и существует функция fs £ NBV(a,b) такая, что [/^(х)] = 0 п. в. и
X
f(x) = f3(x) + J[f'(t)]dt, xe(a,b).
Функция f, равна нулю тогда и только тогда, когда f абсолютно непрерывна.
(iii) Если f £ BV(a,b), то f дифференцируема почти всюду и [/'] е
L\a,b).
(iv) Соотношение
я;
f{x)-f(a)=J[f{t)]dt, i£(a,6), [f]€Ll(a,b)
имеет место тогда и только тогда, когда f абсолютно непрерывна.
С функционально-аналитической точки зрения удобно считать, что
функции с ограниченной вариацией определены почти всюду, и
отождествлять функцию с ограниченной вариацией и и класс эквивалентных
функций, которые совпадают с и почти всюду. В этом случае для любой
функции и G BV(a, b) существует функция и £ NBV(a, 6) такая, что и(х) = и(х)
для п. в. х ё [а, Ь). Более того, из теоремы 2.32 следует, что функция и
принадлежит BV(a, b) тогда и только тогда, когда обобщенная производная и',
определенная по формуле
о
(и', <р) = — I utp' dx для любой <р G Cf[a, Ь),
является мерой из М{а,Ъ). Тогда BV(a,b) можно снабдить нормой
Mbv:=\\u\\li + \\u'\\m,
относительно которой BV(a, Ь) становится банаховым пространством. Мы
приведем лишь наиболее важные свойства пространства BV(a,b).
Читатель, интересующийся более глубоким и систематическим подходом,
может обратиться к книгам [99, 120, 122, 180, 295].
Предложение 2.33. Пространство BV(а, Ь) несепарабельно.
Доказательство. Для х е (а,Ь) введем функцию
**<•>={°:«-
Тогда Нх G BV(a, b) и обобщенная производная Н'х совпадает с мерой
Дирака ёх, сосредоточенной в точке х. Если бы BV(a,b) было сепарабельным,
то подпространство Л = {Нх : х е {a,b)} также было бы сепарабельным
относительно индуцированной нормы. Однако это исключено, так как
\\НХ - Hy\\BV > WK - Н'у\\м = \\6Х - 6У\\М = \\SX\\M + \\6У\\М = 2
для хфу. □
Функции Нх, введенные выше, не являются абсолютно непрерывными.
Поэтому вложение Hl,1(a,b) С BV(a,b) строгое. Более того, рассуждая
так же, как при доказательстве предложения 2.33, можно показать, что
H1,l(a, b) не будет плотным в BV(a, b). Действительно, если и — абсолютно
непрерывная функция к х Е (a,b), то
\W - Щ\ву z ||«' - н'х\\м = \W - ьх\\м = IMU,- + \Ым Z 1,
откуда следует, что Нх нельзя аппроксимировать в BV-норме абсолютно
непрерывными функциями.
Однако справедлив следующий результат об аппроксимации гладкими
функциями.
Предложение 2.34. Для любой функции и 6 BV(a,b) существует
последовательность {ип} функций из С°°(М), которые сильно сходятся к и в L}[a,b)
и удовлетворяют условию
ь
lim / \u' \dx= |u'|(a,b).
n-»oc J
Доказательство. Фиксируем функцию и е BV(a, b) и продолжим ее на
всю прямую М, полагая
К '' \и(Ь-0), х^Ь.
Для последовательности средних {рп} определим un = u*pn. Тогда функции
Un принадлежат С°°(Ш) и сходятся к и в Llfab). Более того, ввиду свойств
оператора свертки
ь
У Kl d* ^ IKIIjmw = IKIK ь).
а
Противоположное неравенство
ь
\и'\(а,Ь)< lim inf / K|da;
П-+СО J
a
справедливо, поскольку и'п стремится к и' *-слабо в М(а,Ь) и норма в
М[а,Ь) полунепрерывна снизу относительно *-слабой сходимости. □
Из предложения 2.34 вытекает
Следствие 2.35. Функция
о
d(u,v) := \u-v\dx + \ \\v?\\Mlaib) - \\^\\лл(а,ь)\
представляет расстояние в BV(a,b), относительно которого С°°(М) является
плотным подпространством.
Кроме того, BV вкладывается в L°°. Более точно, справедливо
Предложение 2.36. Любая функция u G BV[a,b) принадлежит Lco(a,b) и
удовлетворяет оценке
||и|и»(а,б) ^ ^т^ IMU'to-b) + IMI-MKt.)-
Доказательство. Пусть u е BV(a,b). Изменяя и на множестве
нулевой меры Лебега, можно считать, что u e NBV(a,b). Поэтому если и' —
обобщенная производная и, то
и(у) — и(х) — I dv!
\р.у)
для всех х,у £ (а,Ь). Поэтому \и(у)\ ^ \и{х)\ + \и'\([х,у)) ^ |и(я:)| + |М1л1(о.ц-
Интегрируя по частям относительно х, находим
о
Ну)\ ^ j^ J \u\ dx + \\u'\\M{aib).
Взяв существенный супремум по у, получим требуемое неравенство. □
Предложение 2.37. Для любой ограниченной последовательности в BV(a, b)
существует подпоследовательность, которая сходится п. в. в (а, Ь), т. е. почти
всюду, за исключением множества нулевой меры Лебега.
Доказательство. Пусть {и„} ограничена в норме BV(a,b). Согласно
предложению 2.36 {и„} ограничена в Lc°(a,b) и нормы ||ип||л<(а,ь) также
ограничены. Поэтому можно выделить подпоследовательность (для
простоты сохраним обозначение {un}) такую, что
(i) vfn -»• v! *-слабо в M(a,b) для некоторой меры у. £M(a,b),
(ii) un(xa) -»• f для некоторой точки f £ Ж и хо £ (a,b) такой.что
<[{*о}) = р({*о}) = 0.
"Для каждой точки х £ (а, Ь) полагаем
\€ — р{(х,х0)), х<х0.
Поскольку каждую функцию un для п. в. а; £ (a,b) можно записать как
"п(я) =
{un(x0) + u'n((x0,x)), х ^ xD,
ип(^о) + <((а;,го)), х < х0,
из (i), (ii) и предложения 2.27 получаем, что lim шп(аг) = и(х) для п. в. а; £
П-ЮО
(а, Ь), я({а;}) = 0, т. е. п. в. в смысле меры Лебега. □
Из предложений 2.36 и 2.37 вытекает
Следствие 2.38. Для любого р < оо вложение BV(a,b) -»• Lp(a,b)
компактно. Более того, сходимость на BV(a,b) (часто называемая ВУ-*-слабой
сходимостью), определенная условиями
un -> u сильно в Lx(a, b), v,'n—* u' *-слабо в M(a, b),
такова, что последовательности в BV, ограниченные по норме, будут BV-*-
слабо компактны.
Завершим этот параграф двумя неравенствами типа Пуанкаре.
Предложение 2.39. Для любой функции u £ NBV(a, b)
ь
\и\ dx^(b- о)[\и'\(а, Ь) + \и(а+)\].
I
Доказательство. Из равенства
и(х) — и(а+) = I du' в каждой точке х G (а, Ь)
(а,х)
получаем \и(х)\ ^ |u(a + 0)| + |u'|(a,6) в каждой точке х е (а,Ь). Интегрируя
по частям на (а,Ь), получаем требуемое неравенство. □
Предложение 2.40. Для любой функции u £ BV(a, b)
ь
/L
\и - й\ dx ^ —— W\{a, Ь),
а
Ь
где й — среднее и на (а, Ь): й= / и dx.
b —a J
a
Доказательство. Сначала рассмотрим гладкую функцию и. Тогда для
любых точек х, у е (a, b)
\и(х) - и(у)\ -
У
dt
у
SW'dt, х^.у,
j\u'\dt, у^х,
У
откуда
ь
f\u-u\dx^ j— ff \и(х) - и(у) | dx dy ^ —- if I J И dt J dx dy.
a (o,b)x(a,b) {x$y} x
При
x
F{x) = J\v!\
dt
a
последний член принимает вид
by b b
^/(/Иу)-^))^)^=^/(/(^-°)НИ^)^,
где последнее равенство получено интегрированием по частям. Интегрируя
по частям, для этого члена получаем выражение
ь
^7^ (y-a)(b-y)\u'\{y)dy-
Так как (у — а)(Ь — у) ^ (Ь — а)2/4, окончательно находим
ь ь
Поскольку для гладких функций требуемое неравенство установлено,
получить его для произвольных функций и е BV(a,b) можно с помощью
утверждения о плотности из предложения 2.34. □
Замечание 1. Неравенства в предложениях 2.39 и 2.40 неулучшаемы.
Действительно, (при (а, Ь) = (0,1)) для любого е > 0 полагая
\х/е, х ^.е,
Uc(l):=\l, х>е,
получаем
1
/ иЕ dx = 1 - -, / и'£ dx - 1,
откуда видно, что неравенство в предложении 2.39 при е —у 0 неулучша-
емо. В случае неравенства из предложения 2.40 достаточно рассмотреть
функцию
(опять же при (а, Ь) = (0,1)), для которой получаем
1
й=0, f\u\dx=l, |в,|(0,1) = 2.
Глава 3
ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ
И СУЩЕСТВОВАНИЕ
Согласно изложенным выше результатам теорема о полу непрерывности
относительно слабой сходимости в пространствах Соболева является
ключевым моментом применения прямых методов к функционалам ?{у) в
Соболевских пространствах или в классе абсолютно непрерывных функций.
В следующих разделах мы докажем довольно общие теоремы о
полунепрерывности. При условии коэрцитивности прямыми методами можно
установить теоремы существования.
3.1 ТЕОРЕМА О ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТИ СНИЗУ
Пусть / — ограниченный интервал в Ж, I = {а,Ь), и пусть F(x,u,p) —
непрерывный лагранжиан из J x KN x M.N в Ж. Рассмотрим вариационный
интеграл
T[u)= f F[x,u(x),u'(x))dx. (3.1)
Функционал Т определен для каждой абсолютно непрерывной функции на
/. Справедливо
Предложение 3.1. Предположим, что функция F неотрицательна и
ограничена снизу L1-функцией. Тогда вариационный интеграл ^(и) корректно
определен (значение оо допустимо) для всех функций и из пространства
Соболева Я1-т(/,Ж^), m > 1.
Это утверждение вытекает из следующей леммы, в которой
содержится тот же результат, но вместо непрерывности F(x,u,p) предполагается
измеримость по х и непрерывность по (и,р) для п. в. х.
Лемма 3.2. Пусть h(x, у) — функция вещественных переменных х е Ж",
у £ Ж*, измеримая по х для всех у и непрерывная по у для п. в. х. Если
ш:Ж" -> Ж* — измеримая функция, то х -» h(x, w(x)) также измерима.
Доказательство. Пусть {sj} — последовательность простых функций
такая, что w(x) = limsi(x) при i -»оо п. в. в Ж. Каждая функция Sj име-
h
ет вид sj(x) = 52 Кха., где А\,... ,Aij — измеримые множества, которые
i=l
можно считать непересекающимися. Заметив, что для любого
вещественного числа а
'i
{iGl": h[x,Si[x)) > a} = [J [{x E M" : h(x,\j) > а} П Aj],
3=1
заключаем, что h[x,s,(i)) измерима. В силу непрерывности h{x,y) по у
получаем, что h(x,Si(x)) -*■ h(x,w(x)) для п. в. х. Следовательно, h(x,w(x))
измерима. □
Главный вопрос, которым мы интересуемся здесь, заключается в
следующем: При каких условиях на подынтегральную функцию F[x,u,p)
интеграл Т{и) будет секвенциально полунепрерывным снизу относительно
слабой сходимости в Я1,г™(/), тп ^ 1? Заметим, что если {и*} —
последовательность липшицевых функций с равномерно ограниченными
константами Липшица, сходящаяся равномерно к функции и, то {и*} слабо сходится
к и в любом пространстве Н1 ,тп(1), m ^ 1. Необходимое условие
полунепрерывности снизу дает следующая
Теорема 3.3. Если Т{и) секвенциально полунепрерывен снизу в смысле
равномерной сходимости функций, равномерно непрерывных по Липшицу, т. е.
T[u) ^ liminf^(ufc) (3.2)
k-YOO
для всех Ufc таких, что supfc |и*|1Лр < +°о и и* —¥ и равномерно, то для всех
хо G /, ыо 6 MN, pa 6 Ш. и tp Е C£°(I,WLN) справедливо неравенство
I F(x0,u0,po + <p'(x))dx ^ F(x0,v.0,po)measI. (3.3)
I
В частности, подынтегральная функция F(x,u,p) выпукла пор для всех
фиксированных х Е I ии ЕMN.
Доказательство. Для большей наглядности сначала рассмотрим
случай, когда подынтегральная функция F не зависит явно от х и и, т. е. F =
F(j>). Без потери общности можно считать, что / — единичный интервал с
центром в начале координат. Продолжим данную функцию ip e С£° (J, RN)
периодически на всю прямую Ш и определим у>и для всех положительных
целых чисел v по формуле <pv(x) :— i/_1v(^i). Положим иц(х) := и0 +рох и
uv{x) -.= uo[x) + <fiv{x). Последовательность {u„} имеет равномерно
ограниченные константы Липшица и сходится равномерно к и0- По условию
F{pD) meas/ ^ liminf / F(p0 + D<pv(x)) dx.
v-лсо J
Далее, Dipv(x) = ^(yx). Следовательно, сделав замену переменных в
интеграле vx = y и учитывая периодичность <р, получим
F(p0) meas/ ^ liminf- / F{pD + v'[y)) dy = / F{pD + <p'[y)) dy.
iz-j-oo V J J
Неравенство (3.3) доказано в случае F = F(р).
Рассмотрим общий случай. Опять предположим для простоты, что
I — единичный интервал с центром в нуле и функция <р продолжена
периодически на ffiL Для х0 е I рассмотрим интервал R := (х0,х0 + h), где
h настолько мало, что R с I. Так же, как и выше, полагаем (pv{x) :=
i/~1h<p(i>h~1(x—x0)), u0(x) :— и0+ро(х—хо), uv{x) := u0(x)+<pl/(x). Для
каждого v интеграл T{uv,R) может быть записан как сумма интегралов по v
подынтервалов I, из R размера v~xh так, что /,- := (к,-, z.+i), z,- — xD+iis~1h,
i = 0,...,i/—l. Па каждом таком интервале интеграл имеет вид
/ F[x,uv{x),u'v(x))dx = v~xh J F{xi + u~lhytuv{xi-\-v~lhy),pc-\-(p'(y))dy.
Переходя к пределу при с->оои учитывая непрерывность F, получаем
lim T(uv, R)= I dx I F(x, щ,(х), р0 + и'(у)) dy
R
и по условию
I dx I F{x,uD(x),pD + (p'(y))dy^ I F(x,uo(x),po)dx.
R I R
Разделив на h и устремив h к нулю, приходим к формуле (3.3).
Покажем, что из (3.3) вытекает выпуклость F по р. Очевидно, что
(3.3) имеет место для всех липшицевых функций <р с нулевыми
граничными условиями на 81. Как и выше, без потери общности можно считать, что
I = (0,1). Положим £ ~ Afi + (1 - A)f2, A G (°> !)• &•& G MN, и рассмотрим
липшицеву функцию Щх) из (0,1) С Ш в Ш1* такую, что
?<->=<?■ n^J:
Очевидно, что
1 X 1
$(1) = £(0) + J tf(t) dt = £(0) + jt1dt+jbdt = £(0) + f.
0 О А
Следовательно, для ip(x) := tp{x)—£5(0)—fi получаем уз(0) = v>(l) = 0. Таким
образом, из (3.3) следует
1 л г
F{xD,u0,£) ^ / F[xD,uD,<p')dx- / F{x0,v.0,ti)dx+ I F{x0,u0,£2) dx
^ \F{x0,u0,£i) + (1- X)F{xD,uD,Z2)-
D
Будем говорить, что подынтегральная функция F(x,u,p) квазивыпук-
ла (в смысла Морри), если выполняется (3.3). Заметим, что понятие
квазивыпуклости эквивалентно тому, что линейные функции 1(х)
минимизируют в классе функций и таких, что и(х) = 1(х) на 81, "замороженный
функционал"
?о{и) := / F(x0,uo, Du) dx
i
для всех х0 е / и uo G №N. В частности, если F класса С2 по р, то F
выпукла по р, т. е. Fpp(x0, и0,р) ^ 0 для каждого р, как мы уже видели в
теореме 3.3.
Замечание 1. Действительно, как мы видели в доказательстве
теоремы 3.3, для любой непрерывной функции F(x,u,p) из квазивыпуклости
следует выпуклость по р. Заметим, что из выпуклости очевидно следует
кваэивыпуклость. Следовательно, в одномерном случае квазивыпуклость
и выпуклость эквивалентны. Можно показать, что для многомерных
интегралов, определенных на скалярных функциях (т. е. когда N = 1),
выпуклость и квазивыпуклость опять же эквивалентны, тогда как для
многомерных интегралов, определенных на векторнозначных функциях,
кваэивыпуклость оказывается более слабым условием, что выпуклость.
Интересующийся читатель может обратиться к книгам Морри [193] и Дакороньи
[75], где подробно обсуждаются выпуклость и кваэивыпуклость в
вариационных задачах для многомерных интегралов (см. также Джаквинта и др.
[120]). Простой заменой знаков в силу теоремы 3.3 также получаем, что
из секвенциальной полунепрерывности сверху функционала Т{и)
относительно слабой сходимости в Н1>т(1), т ^ 1, следует, что подынтегральная
функция F(х, и,р) вогнута по р. Таким образом, если функционал ^[и]
непрерывен относительно слабой сходимости в H1,Tn(I), m ^ 1, то
подынтегральная функция F должна быть одновременно выпуклой и вогнутой
по р, т. е. F(x, u,p) будет линейной по р,
F{x,u,p) = А{х,и)+В(х,и)р (3.4)
при некоторых функциях А и В. С другой стороны, несложно проверить,
что интегральные функционалы с линейными лагранжианами по р
секвенциально слабо непрерывны в Я1,т(7), m ^ 1. Таким образом, справедливо
Предложение 3.4. Интеграл Т[и) в (3.1) непрерывен относительно
секвенциально слабой сходимости в H1,m{I), m ^ 1 {или, эквивалентно,
относительно равномерной сходимости последовательностей {и*} с равномерно
ограниченными L1 -нормами градиентов), тогда и только тогда, когда лагранжиан
F(x,u,p) линеен по р, т. е. тогда и только тогда, когда F(x,u,p) имеет вид
(3.4).
Согласно следующей теореме выпуклость по р является достаточным
условием полунепрерывности функционала Т[и).
Теорема 3.5 (теорема Тонелли о полу непрерывности). Пусть I —
ограниченный открытый интервал на Ш и F(x,u,p) — лагранжиан,
удовлетворяющий следующим условиям:
(i) F и Fp непрерывны по (х,и,р),
(ii) F неотрицательна и ограничена снизу ^-функцией,
(iii) F выпукла по р.
Тогда функционал Т{и) в (3.3) секвенциально слабо полунепрерывен
снизу в Hlim(I,MN) для всех т^\,т. е. если {uk} слабо сходится в Я1,т(/,Е^)
к и, то
T{u) ^ liminf^Ufc). (3.5)
k—voo
Эквивалентно, (3.5) имеет место, если {щ} равномерно сходится кии L1-
нормы u'k равномерно ограничены.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай m = 1, так как,
если {uk} слабо сходится к и в H1,m(I,mN) при некотором тп > 1, то эта
последовательность сходится к и также и в Я1,1(/,М7У).
Пусть {uk} — последовательность, слабо сходящаяся к и в Я1,1(/,М7У).
Переходя к подпоследовательности, можно считать, что {щ} сходится к и
в Lg(I,MN) для каждого q ^ 1 и, следовательно, почти всюду (даже
равномерно, но этот факт в данном случае не требуется). Теперь допустим,
что Т[и) конечно. Для любого положительного е можно найти компактное
подмножество К С I такое, что по теореме Егорова вц-ж равномерно в
К и по теореме Лузина и к и' непрерывны в К, а по теореме Лебега об
абсолютной непрерывности
/ F{x, и, и1) dx^ I F(x, и, и') dx — t
к i
(если Т(и) = +оо, то можно считать, что Р(и,К) > 1/е).
Так как F выпукла по р, получаем
Ник) ^ / F[x,uk,u'k)dx ^ / Fp{x,uk,u')(u'k-u')dx+ / F[x,uk,u')dx
к к к
= f F{x, ик, и') dx+ J Fp(x, и, u')K ~ «О dx
К К
+ j[Fp[x, ик,и') - Fp{x,и,и')]{и'к - и') dx.
К
Поскольку и и и' непрерывны на К, функция Fp(x, и, и1) ограничена.
Следовательно,
/
Fp(x,u,u')(u'k -i/)dx->0, к-too.
К
Так как (и'к — и') равномерно ограничены в -t1(/) и Fp(x,uk,u') — Fp{x,u,u')
сходятся равномерно к нулю на К при к —»• оо, получаем
/ [Fp(x, ufcj и') - Fp(x, и, u')](wfc — u') dx -> 0, к -»• оо.
к
Таким образом,
liminf / ^(z,ufcl u'k) dx^ I F(x,и, и') dx~£ I F[x, и, и') dx — е.
К К I
Поскольку это соотношение верно для всех е, в силу (i) получаем
требуемый результат. □
Замечание 2. Условия теоремы 3.5 можно значительно ослабить. Для
полноты изложения мы приведем другое доказательство, в котором
подынтегральная функция F(x,u,p) предполагается полунепрерывной снизу по
(и,р) и выпуклой по р. Отметим, что первое доказательство, в котором
вместо условия (i) теоремы 3.5 ставилось условие
(i') F(x,u,p) — функция Каратеодори, т. е. F измерима по х для всех и
и р и непрерывна по (и,р) для п. в. х
было получено Де Джорди в 1968 г. в неопубликованной работе [78].
Позднее Олеч [208] в 1976 г. и Иоффе [146] в 1977 г. независимо обобщили
теорему 3.5 на случай, когда подынтегральная функция F{x,u,p) только лишь
полунепрерывна снизу по (и,р). Доказательство, которые мы даем ниже,
следует схеме доказательства Иоффе.
По поводу дальнейших ослаблений условия полунепрерывности снизу
относительно и мы рекомендуем интересующемуся читателю обратиться
к статьям Де Джорджи и др. [80], Амбросио [8] и к книге Буттацо [47].
Рассмотрим функционал вида
Т{и, v) := / F{x, u(x),v{x)) dfi(x), (3.6)
n
где (fi, A, fi) — пространство с неотрицательной конечной мерой //, F: fi x
Шт xRM [0,-Ьоо] — А®Вт®В„-измеримая функция [Вт и Вп
обозначают а-алгебры борелевских подмножеств ffim и Е" соответственно) и (и, v)
принадлежит Lj,(fi;IRm) x L* (fi;Mn).
Пусть fi = (а,Ь), /i — мера Лебега и т — п = 1. Если мы сможем
установить секвенциальную полунепрерывность снизу функционала 7
относительно сильной сходимости в Lj,(fi;Mm) no u и слабой сходимости в
L*(fi;M") no v, мы немедленно получим секвенциальную
полунепрерывность снизу относительно слабой сходимости в Я1,1(а,6;М7У) функционала
ь
Теорема 3.6. Предположим, что функция F удовлетворяет следующим
условиям:
(i) для ц-п. в. х G fi функция F(x, -, -) полунепрерывна снизу на WLm х Шп,
(ii) для ц-п. в.г£Пи всех u G Шт функция F(x, u, ■) выпукла на Ш.т хМ".
Тогда функционал Т, определенный в (3.6), секвенциально
полунепрерывен снизу в пространстве L|,(fi;ffim) x L^(Q\M.n) с сильной топологией на
L*(fi;Mm) и слабой топологией на Lj,(fi;M").
Доказательство. Пусть Uh -» u сильно в L*(fi;IRm) и vh -»■ v слабо в
Lj,(fi;M"). Надо доказать, что
Т{и, v) ^ liminfF(uhl vh). (3.7)
h—voo
Перейдя к подпоследовательности при необходимости, можно считать, что
нижний предел в правой части (3.7) конечен, т. е.
lim ^{ип ,vh) = ceU. (3.8)
h—voo
Так как {vh} слабо компактна в L* (fi;Mn), по теореме Данфорда — Петтиса
(см. теоремы 2.11 и 2.12 в п. 2.1) существует функция i?:[0,oo) -»• [0,оо),
которую можно считать выпуклой и строго возрастающей, такая, что
= оо, sup / 0(Ы) dp. ^ 1. (3.9)
леи J
t-Voo I
П
Полагая H(t) = y/tti(t), Ф(*) = 0(Я-1(*)), 6,(1) = Я(Ь,(а:)|), получаем
(i) Н строго возрастающая и H(t)/t -»• оо при t -»• оо,
(ii) Ф строго возрастающая и Ф(*)/< -> оо при t -> оо,
(iii) fl(t)/H(f) -*■ оо при < -> оо,
(iv) Ф(&(*)) = 0(Мх)|).
В силу (3.9) имеем
sup / Ф(£л) dp. ^ 1.
леи J
a,
Опять применяя теорему Данфорда — Петтиса, заключаем, что
последовательность {£/,} слабо компактна в ij,(fi). По теореме Маэура
некоторая последовательность выпуклых комбинаций (£/,,г>л) сильно сходится
в £* (fi) х L^(fi;M"), т. е. существуют Nn -* оо и a,-,/, ^ 0 такие, что
^2 ai,h = l, vh = Yl <**.№ -*■v сильно в ^J,(fi;M")>
7?ft = ]T ОчД,- -► 7? СИЛЬНО В L^(fi)-
»=JVi. + l
Перейдя к подпоследовательности, можно считать, что Vh -> v fi-n. в. вП
и Vh —> Л Я"п- в. в О, а также и/, —»• и fi-n. в. в П. Пусть г£$] — точка, в
которой указанные выше сходимости имеют место. Положим
eh := max{|u(i) - и,(г)| : Nh < г ^ Nh+i},
лгЛ+1
Ал := £ °!1.л^1(я:.и«(а:).щ1"(а:)).
А := {КЧ, Л) GMn+2 : r, G Я(|М|),А > F(r,e,«)
для некоторого s G Ш™ такого, что \s — и(х)\ ^ ен}-
Тогда ей -> 0 и по определению и/,, 77л, А/, точка (u/,(a:),9j/,(2:),A/,(z:))
содержится в выпуклой оболочке Ан ■
Так как Ль С Шп+2, по теореме Каратеодори о выпуклых
оболочках в евклидовых пространствах вектор (vh(x),T}h(x),Xh[x)) может быть
представлен как выпуклая комбинация га + З элементов Ah, т. е.
существуют ft,/, $: 0, viih G Ж", 77,-,/, ^ О, А,-,/, ^ 0, г = 0,... , п + 3, такие, что
bH,h,Vi.h,bi,h) G Ah для каждого г" и выполнены условия
п+3 п+3
£ ft,* = 1, £ >0г".лг'*.А = ^W.
n+3 n+3
£ Pi,hVi,h = Vh{x), £ Pi.hKh = Aftfc).
i=l i=l
Поэтому для некоторых s,->ft G Mm таких, что Is,,/, - u(x)\ ^ ел, имеем А,-,/, ^
Обозначим через / множество индексов г таких, что
последовательность \vi,h\ не стремится к оо при Л -» оо. Так как
п+3
£ А-,цЯ(Кл1) = Ч*М -> ч(*)>
множество / не может быть пустым. Переходя к подпоследовательностям,
можно считать, что щ,-^ -> Ui для всех г G /, |г^л| -> +оо для всех г £ /,
ft,;, —»• ft для всех г = 1,..., п + 3. Из соотношения
п+3
£ft,/»*'i1/i = ^л(а:) -> w(i)
i=l
получаем, что ft = О для всех г ^ /. Кроме того, из соотношения
т]Н(х) = J2ft.w.b z £ Д.**.* = £ftv» К*1 **Р^
•=i *</ it!/ ,i;,"'fc|
получаем, что А,А|и,-,л| -> 0 для всех г g I, откуда J2 /3,- = 1 и £ /%*>,- = w(r).
Наконец, в силу условий теоремы имеем
F[x,u(x),v(x)) <£ Y]/3iF(2:,u(a:),Ui) ^ liminf V]PilhF{x,sith,vith)
■f—Г ft-юо ^—*
71+3
Si,h,Vi,h) ^ liminf А/, (я)
n—voo ^—' A—v+oo
1=1
и в силу леммы Фату
/ F(x, и, v) dfi ^ liminf / / А/,(х) dfi
п n
= liminf У^ aih F(x,ui}Vi)dfi. (3.10)
Л-voo z—' /
Фиксируя е > 0, в силу (3.8) при достаточно больших h получаем
F(x, щ, Vi) dfi^.c + e для всех г G [Nh + 1,N/,+i].
/'
В силу (3.10) Т(и, v) ^ с + е. Полагая е -* +0, получаем требуемое
утверждение. □
Замечание 3. Легко видеть, что теорема 3.6 остается верной при
предположении, что мера fi всего лишь а-конечна.
Замечание 4. Для Л® Вт ®Б„-измеримых функций F:fix Rm xln->
[0,+оо] и неатомной меры fi (такой, как мера Лебега) можно доказать,
что условия (i) и (ii) теоремы 3.6 необходимы для секвенциальной
полунепрерывности снизу функционала Т, определенного в (3.6), относительно
сильной топологии в L*(fi;Mm) и слабой топологии в L*(fi;M"), если Т не
равен +оо тождественно (см. статью Иоффе [146] и книгу Буттацо [47]).
3.2. СУЩЕСТВОВАНИЕ В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА
Пусть / = (а, 6) — ограниченный интервал в К и F(x,u,p) — лагранжиан,
определенный на / х RN x RN, N ~£ 1. Будем говорить, что F(x, и,р) имеет
• суперлинейный рост, если существует функция 6{р) такая, что
F(x,u,p) ^ 6(р) для всех х,и,р, 6(р)/\р\ -> оо при \р\ ->■ оо. (3.11)
• полиномиальный рост ш, если существуют положительные
константы со, ci, с2 и константа m ^ 1 такие, что
со |рГ < F{x, u, р) ^ cj |p|m + с2 для всех г, и,р. (3.12)
Очевидно, что лагранжиан полиномиального роста т > 1 будет иметь
суперлинейный рост.
Непосредственным следствием теоремы 3.5 из п. 3.1 и критерия слабой
сходимости в Я1,1(а,6) (см. теорему 2.12 в п. 2.1) является следующая
Теорема 3.7 (теорема Тонелли о существовании). Предположим, что
лагранжиан F(x, u,p) удовлетворяет следующим условиям:
(i) F(x, u,p) и Fp(x, u,p) непрерывны по (x,u,p),
(ii) F(x,u,p) выпукла пор,
(iii) F{x, u,p) имеет суперлинейный рост.
Тогда существует минимизирующая функция функционала
I
в C(a,f3) := {и £ Я1'1((а,6),М/у) : и(а) = а,и{Ь) = /?}, где а и (3 —
фиксированные векторы в MN.
Доказательство. В силу (3.2) функционал Т ограничен снизу. Пусть
{uk} — минимизирующая последовательность в (а, /?). Можно считать, что
inf JF(uk) < +оо, иначе ^(u) = +оо тождественно на С (а, /?). Так как F
имеет суперлинейный рост, последовательность {uu) равномерно ограничена в
Я1,1(/,М/У). Кроме того, интегралы
[ 6(u'k)dx
i
равномерно ограничены. Ввиду теоремы 2.12 из п. 2.1 последовательность
(подпоследовательность) {и/,} слабо сходится в Я1,1(/) и равномерно на J
к некоторой функции u £ ^^(I.WL1^), которая принимает значения а и
Р в точках а и 6 соответственно. В силу теоремы о полунепрерывности
(см. теорему 3.5 в п. 3.1) Р(и) ^ liminfjr(itfc), т. е. и — минимизирующая
fc—J-DO
функция функционала Т на (а,0).
Замечание 1. Принимая во внимание замечание 2 из п. 3.1, нетрудно
показать, что теорема 3.7 остается верной, если вместо (i) мы потребуем,
чтобы F{x,u,p) была функцией Каратеодори или, более общо (в силу
теоремы 3.6 из п. 3.1) F была L® Bn ® C/v-измеримой (£ обозначает сг-алгебру
всех измеримых по Лебегу подмножеств /) и удовлетворяла условиям
для п. в. х £ I функция F{x, -,'■) полунепрерывна снизу на MN x MN,
для п. в. х £ I и всех и £ №.N функция F(x, -, •) выпукла на №.N.
Замечание 2. Если F имеет полиномиальный рост m > 1, то
минимизирующая функция из теоремы 3.7 принадлежит HliTn(I,M.N). Более того,
любая минимизирующая функция функционала Т в C(a,f3) является
минимизирующей функцией функционала Т в Cm{a,P) = {u £ H1,m(I,JSLN) :
u(a) = a, u{b) = /?} и обратно. На самом деле, в этом случае доказательство
существования минимизирующей функции в Cm(a,(3) и, следовательно, в
С{а,Р) несколько проще, так как Я1,7Т1(/,М7У) рефлексивно и нам не
потребуется критерий слабой компактности в Я1,1.
Замечание 3. Используя неравенства Пуанкаре, нетрудно показать,
что вместо граничных условий и(а) = а и и(Ь) = /? в определении С[а, /?)
можно поставить граничное условие и(а) = а и никаких условий не ставить
в точке b либо не ставить условий ни в точке а, ни в точке Ь, но потребо-
ь
вать
, чтобы / и dx = 0. При этом минимизирующая функция существует
а
в соответствующих классах.
Замечание 4. Тонелли доказал несколько обобщений теоремы 3.7. Мы
приведем здесь только одно из них: в теореме 3.7 достаточно потребовать,
чтобы F была суперлинейного роста по р вне некоторого малого множества
(х, и)-значений, например, вне графика кривой конечной длины.
| 1 | Для любых a G Ш. и р > 1 рассмотрим функционал
1
?«Аи)-= fxa\u'\"dx,
определенный для каждой функции и £ Я1-1 (0,1), и соответствующую
задачу
min{Та,р{и) : и е Ям(0,I), "(0) = а, т(1) = 6}, (3.13)
где а и b — вещественные числа такие, что афЬ. Вейерштрасс заметил,
что при а = р — 2 поставленная задача минимизации не имеет решения,
если аф Ь. Действительно, для последовательности функций иь{х) = а +
arctg(hx)
(6 — а) , выражение
v ' arctg/г к
- / х (Ь-Д)2 ( t , h \
2,2^/,) = ^ rVr ( arctgh - J
2/iarctg^/i V 1+n2/
стремится к нулю при /i —» оо. Поэтому
inf{J-2,2H : и £ Н1Л{0,1),и(0) = а,и(1) = Ъ] = 0.
С другой стороны, ни для какой функции и £ Я1,1(0,1) такой, что и(0) ф
и(1), не может выполняться равенство ^2,2(") = 0, так как иначе и' = 0
п. в. в (0,1) и, следовательно, и(0) = и(1).
Теперь изучим общий случай TQiV. При а ^ 0 условия теоремы
существования (см. теорему 3.7, а также замечание 1) выполняются.
Поэтому задача (3.13) имеет решение для любых а и Ь. Решение
единственно в силу строгой выпуклости функционала Та,Р, а из уравнений
Эйлера — Лагранжа вытекает, что ха\и'\р~^и' = с (с = const), откуда и(х) =
При а > 0 функционал TatV все еще остается секвенциально слабо
полунепрерывным снизу на Я1,1^, 1), но подынтегральная функция F(x,z) =
xa\z\p уже не удовлетворяет условию суперлинейного роста из теоремы 3.7.
Однако мы увидим, что для некоторых значений аир можно установить
существование решения задачи (3.13). Более точно, это имеет место тогда
и только тогда, когда р > а + 1. Действительно, пусть q — вещественное
число такое, что 1 < q < р/(а + 1). По неравенству Гёльдера
/г /г \ Я/Р / г \ {р-я)/Р
iM4.-/(MVV**< (/■VT *) (>-°'"р-')*•)
="~м>"(^У
о
(р-9)/Р
Поэтому последовательность {и/,}, при которой .FaJ,(u/i) ограничены,
будет ограниченной в Я1,5(0,1) и, следовательно, слабо относительно
компактной в Я1,1 (0,1), что вместе с полунепрерывностью снизу функционала
ТагР обеспечивает существование решения задачи (3.13). Как и выше,
решение единственно и имеет вид и(х) = о + (Ь — а)аг(р_1_а)/(р-1^. Напротив,
при р ^ q +1, как и в случае, который рассмотрел Вейерштрасс,
inf{*-aiP(u) : и е #1Д(0,1), "(0) = а, и(1) = 6} = 0. (3.14)
Рассуждая так же, как и выше, заключаем, что задача (3.13) не может
иметь решений, если а ф Ъ. Так как Та<р ^ TptV при а ^ /?, достаточно
доказать (3.14) при р = а + 1. Для этого при любом е > 0 рассмотрим
функцию
/ \ ■ /J. \ ^С1 + z/e)
^(«) = « + №-«) М1_1/е).
которая принадлежит Я1,1(0,1) и удовлетворяет граничным условиям и(0) =
а и и(1) = Ь. Имеем
, 1 Ь-о
e + xlog(l + l/e)'
откуда
т г,)- |ь-°|р h • у i &
'aAU*>~\log(l + l/e)\P J {e + xj x + edX
\b-a\P f 1 . \b-a\P
■ dx =
f-L
J E +
^ |log(l + l/e)\P J e+x |log(l + l/e)!?-1 *
0
и это выражение стремится к нулю при е -+ +0.
Читатель может установить подобный результат для более общей
задачи минимизации, например,
1
1ШП
о
1
inj I a{x)\u'\J'dx:ueH1-1(0,l),u(0) = a,u{l) = b\. (3.15)
Более точно, задача (3.15) имеет решение при произвольных граничных
данных а и b тогда и только тогда, когда функция (а(аг))1^1-р) принадлежит
11(0,1). В этом случае решение единственно и имеет вид
о о
I 2 I От условия выпуклости (ii) в теореме Тонелли о существовании (см.
теорему 3.7) нельзя отказаться. Действительно, рассмотрим функционал
1
F[u) = J[{l-\u'\*)* + u*]dx,
о
где подынтегральная функция F(u,p) = (1 — |р|2)2 + и2 удовлетворяет всем
условиям теоремы 3.7, исключая выпуклость по р. Тогда задача
min{F(u) : и G #м(0,1),Ц0) = и{1) = 0}
не имеет решения. Действительно, если <р(х) — функция, равная 1/2 —
\х — 1/2| на [0,1] и периодически продолженная на IR, то функции uh(x) :=
\tp(hx)t h e N, принадлежат Hl,l(0,l) и удовлетворяют граничным
условиям ин{0) = Uh{l) = 0. Кроме того,
1
F{uh) = ±Jv4X)dX=^,
поскольку |u^(ar)| = 1 п. в. Поэтому инфимум Т на классе допустимых
функций равен нулю, но ни для какой функции и равенство Т{и) = 0 не
1
достигается, так как это означало бы / иг их = 0 и, следовательно, и = 0,
/и^ = 0и,
о
откуда Т[и) = 1.
| 3 | Теперь рассмотрим несколько иной пример:
1
F(u)~J\(l-\U'\2)2 + U]dx.
о
Покажем, что задача
min{:F(u) : Я1Д(0,1),и{0) = а,и{1) = Ъ] (3.16)
имеет решение для любых о.беК, хотя подынтегральная функция не
выпукла по и'. Рассмотрим функционал
1
G{u) = j[<p{v!) + и] dx,
где <р определена как выпуклая огибающая функции (1 — \р\ ) , т. е.
Функционал Q удовлетворяет всем условиям теоремы существования.
Поэтому существует решение й задачи
тпт{д(и) : и G Я1'1 (0,1), и{0) = а, и{1) = 6}.
В силу уравнения Эйлера — Лагранжа имеем <р'{й') = х + с п. в. в (0,1), где
с = const. Так как (р'{р) = 0 для всех р £ (—1,1), получаем, что \й'(х)\ ^ 1
п. в., откуда <р(й') = (1 - |г£'|2)2 п. в. в (0,1). Таким образом,
inf 7 ^ Т{й) -д(й)=: minG ^ inf T,
поэтому v, — решение задачи (3.16). Нетрудно показать, что й —
единственное решение задачи (3.16). Доказательство оставляем читателю.
I 4 | В качестве примера1 воспользуемся прямыми методами
вариационного исчисления для исследования вопроса о существовании решения задачи
w" = f{x) - h(x)ew на 0 < х < 1, ад'(О) = и/(1) = 0. (3.17)
На первом шаге мы сведем задачу к частному случаю, когда_ / = const.
Пусть z — решение задачи z" = f — c, z'(0) = z'(l) = 0, где с := / — среднее
функции /. Положим u:—w — z. Теперь будем решать задачу
и" = с - h[x)eu на 0 < х < 1, и'(0) = и'(1) - 0. (3.18)
Интегрируя (3.18), получаем
fhe,1dx = c, (3.19)
где / = (0,1). Это равенство приводит к необходимому условию на знак h.
Например, если с > 0, то функция h принимает положительные значения.
Три случая с<0,с = 0ис>0 существенно различаются. В качестве
модельных примеров рассмотрим случаи с = —1, с = 0 и с = 1.
Случай 1: с = —1. Тогда и" = — 1 - h{x)eu. Естественно рассмотреть
функционал
;(.)=,/(!„>-„-*.)*.
Если h < const < 0, то —и — heu > const, и можно применить теорию
Тонелли.
'Этот пример сообщил авторам Джерри Каждан.
Если h равно нулю или принимает положительные значения,
ситуация усложняется. Главная трудность — убедиться в том, что функционал
J ограничен снизу. При и = к = const очевидно, что функционал будет
неограниченным снизу, за исключением случая, когда / h dx < 0. На самом
деле это также необходимое условия существования решения
дифференциального уравнения. Чтобы убедиться в этом, умножим уравнение на е~и
и проинтегрируем по частям. Тогда
- f h dx = f{e-uu' 2 + e-u)dx>0. (3.20)
Можно показать, что это условие не является достаточным. Кроме того,
оказывается, что для любого h существует константа ту0 такая, что можно
решить уравнение и" = -l-[h(x)+T]]eu при т] < т]0, но не при т) > tj0. Методы
вариационного исчисления оказываются не самым лучшим инструментом
в этом случае (метод верхних и нижних решений более продуктивен).
Случай 2: с = 0. Тогда и" = -h{x)eu. Допустим, что h ^ 0. Из (3.19)
получаем необходимое условие: h меняет знак. Еще одно необходимое
условие получаем (как и для (3.20)) умножением на е-" и интегрированием
по частям:
-/** = /.-v»*>o.
Для формулировки вариационной задачи запишем и = v. + v, где
u=fudx
обозначает среднее функции и и v J_ 1. С учетом (3.19) будем искать
минимум функционала
J{v)=l-jv'4x,
где v G Я1 подчиняется двум ограничениям:
Сначала проверим, что минимизирующая функция решает нашу задачу.
Уравнение Эйлера в данном случае имеет вид v" = ahev + /?, где а, /? —
множители Лагранжа. Интегрируя и используя первое ограничение,
находим, что р = 0. Аналогично, умножая на е~и и интегрируя по частям с
учетом / hdx < 0 получаем, что а > 0. Таким образом, а — е1, так что
и := v + 7 — требуемое решение уравнения и" = —Ле".
Рутинными выкладками можно показать, что эта вариационная
задача имеет минимум, так как слабая сходимость в Я1 влечет равномерную
сходимость, и поэтому слабый предел удовлетворяет требуемым
ограничениям. Таким образом, необходимое и достаточное условие разрешимости
уравнения состоит в том, что h меняет знак и / h dx < 0. Мы не
знаем никакого иного способа доказательства, кроме как приведенного выше
метода вариационного исчисления. В точности такое же доказательство
применимо для дифференциального уравнения с частными производными
ди
-Ли = h(x)eu в &, т- = 0наЖ
on
в случае ограниченной двумерной области fi, хотя в данном случае нет
равномерной сходимости. При размерности 3 и выше никаких результатов,
кроме необходимых условий, неизвестно.
Случай 3: с= 1. Тогда и" = 1 — h(x)eu. Как и выше,
J [и) := ff-u'2 + u- heA dx
и и = и + v, где в 1 1. Тогда мы можем решить (3.19) относительно
и = — log [ / hev dx 1. Получим
T{v) := J[u) = [l-v'2dx-log( f hev dx J - 1.
Будем искать минимум этого функционала на множестве всех функций v £
Н1 таких, что / v dx = 0. Заметим, что для этого достаточно рассмотреть
функции, удовлетворяющие условию / hev dx > 0. Так как h принимает
положительные значения, такие допустимые функции v существуют.
Сначала заметим, что уравнение Эйлера — Лагранжа приводит к
задаче
/ hev dx
по-
где А — множитель Лагранжа для ограничения / dx = 0. Интегрируя,
лучаем А = 1. Теперь запишем / hev dx = е7. Получаем требуемое решение
и = v —у.
Чтобы доказать, что задача на минимум имеет решение, покажем,
что Т ограничен снизу. В силу неравенства Соболева \v{x)\ ^ ||?/||. Таким
образом, если |/i(2r)| ^ М, то
/
hev dx < Me»"'».
Поэтому
T(v) > i fv'2dx- \\v'\\ - logM - 1.
Так как \\v'\\ ^ A + (1/A) ||w'|| для любого А > 0, полагая А = 4, находим
T(v) ^ \ ||«'|[2 + const. Таким образом, Т ограничен снизу и
минимизирующие последовательности {vj} ограничены в Н1. Слабо сходящаяся
последовательность сходится равномерно. Остается лишь провести рутинные
выкладки.
Итак, уравнение и" = 1 — he" на 0 < х < 1 с граничными условиями
Неймана имеет решение тогда и только тогда, когда h принимает
положительные значения. Аналогичное дифференциальное уравнение с
частными производными на компактных двумерных многообразиях без края
интенсино изучалось, но за исключением случая сферы S2 никаких
существенных результатов не получено. При более высоких размерностях
практически все вопросы остаются открытыми.
Вернемся к вопросам, обсуждавшимся перед | 1 | -1 3
Отметим, что теорема 3.7 очень проста и условия ее, при которых
применяются прямые методы в классе абсолютно непрерывных функций,
самые слабые из всех возможных. По этой причине может создаться
впечатление, что мы нашли правильное пространство, в котором
рассматривается задача, и правильное обобщение задачи на минимум для любого
вариационного интеграла с лагранжианом суперлинейного роста.
К сожалению, ситуация несколько сложнее. Если мы будем
рассматривать минимизирующую функцию из теоремы 3.7 как обобщенное
решение классической задачи "Минимизировать Т на классе гладких функций
таких, что u(a) = а и u(b) = /?", то надо ожидать, что Т[у) совпадет с
инфимумом на классе гладких функций, т. е.
Ы{Г{у) : v £ Я^Ч/.Ш") : v{a) = a, v(b) = /?}
= inf{T{y) : v гладкая, v(a) = a, v(b) = /?}. (3.21)
Мы покажем, что это так, когда F имеет полиномиальный рост порядка
m > 1, но неверно в случае подынтегральных функций общего вида
суперлинейного роста или даже таких, что c0|p|m ^ F(x,u,p), m > 1, с0 > 0.
Если равенство (3.21) не выполняется, будем говорить, что имеет место
эффект Лаврентьева, который будет рассмотрен подробно в п. 4.3.
Для лагранжианов с полиномиальным ростом справедливо
Предложение 3.8. Пусть лагранжиан F(x,u,p) является функцией Кара-
теодори, т. е. выпуклой пори полиномиального роста порядка m > 1, т. е.
выполнено (3.12), и пусть {uk} —последовательность в Hl,m(I,M.N). Если [u'h]
сильно сходится в Н1,тп к и, то T{uk) сходится к Р{у).
Доказательство. Перейдя при необходимости к
подпоследовательности, можно считать, что uk —»■ u(i) и u'k(x) —¥ u'[x) для п. в. а; из I и функция
я(Ф=Х;1К1'-к-1г"1
принадлежит L1. Действительно, так как \и'к\р сходится сильно в L1 к \и'\р,
можно найти подпоследовательность \u'ki\p такую, что
/|KJP-K-ilP|^^2-'.
Следовательно,
F(x, Ufc(ar),Ufc(ar)) -*• F(x, u(x),u'(x)) п. в. в V,
\F(x, ик, и'к)\ ^ ci \u'k\v + с2 ^ cig(x) + с2.
Замечание 5. Предложение 3.8 справедливо и при более слабом
условии |F(ar,u,p)|^ci|p|m + C2.
В качестве тривиального следствия предложения 3.8 получаем
следующее утверждение, которое содержит также факты, отмеченные в
замечании 2.
Теорема 3.9. Пусть F(x, и,р) — лагранжиан, выпуклый пор и
полиномиального роста порядка m > 1. Тогда справедливы следующие утверждения.
(i) J7{u) конечно тогда и только тогда, когда u £ H1,m(I,MN).
(ii) Минимизирующие функции функционала F в С(а, /?) совпадают с
минимизирующими функциями функционала Т в C(q,/?) П Hlim(I,M.N). Более
точно, и — минимизирующая функция функционала Т в С(а,Р) тогда и только
тогда, когда T(u) ^ T{v) для всех v из C(q,/?) П H1'm(I,WLN).
(ш) Для любой функции и такой, что F(u) < оо, т. е. для любой функции
u G H1,m(I,MN) существует последовательность функций uk из С1{1) таких,
что Uk(a) = u(a), uk(b) = u(b) и T(uk) сходится к F(u). В частности, F(u)
является наибольшим полунепрерывным снизу продолжением функционала Т
на С2(7) или на С[а, /?) П С1(1), т. е.
дляиеН1-1^^) :
Г[ч) = тЦИтшЩик) : ик £ С1 (7),
fc-юо
Uk слабо сходятся к и в H1,l(I,RN};
для и £ С(а, /?) :
Т(и) = inflliminfJ'fufc) : ик £ С(а,0) П С1 (7),
fc-юо
ик слабо сходятся к и в Hl,1(I,WLN}.
В действительности мы установили более сильное утверждение:
Предложение 3.10. Пусть F(x, и, р) — лагранжиан, строго выпуклый по
р и полиномиального роста порядка m > 1. Если {ик} сходится к и слабо в
Я1,т и в энергетической норме, т. е. Т{ик) —»■ Т{и), то {ик} сходится сильно
к и в Я1,т. В частности, любая минимизирующая последовательность {ик}
в С(а, /?) сходится к минимизирующей функции и в С(а, 0) не только слабо в
Я1,1 или Я1,т, но также сильно в Я1,т.
Доказательство. Полное доказательство утверждения читатель
может найти в статье Решетняка [220]. Здесь мы установим предложение
3.10 при дополнительном условии равномерной строгой выпуклости
функционала F в следующем смысле: для некоторого положительного числа ро
такого, что /i0 < со (со — константа из (3.12)), лагранжиан
F(x,u,p)-no\pr (3.22)
выпуклый. В этом случае функционал
f[F{x,u,u')-nD\u'\m]dx
i
секвенциально полунепрерывен снизу относительно слабой сходимости в
HliTn(I,MN). Используя условие T{uk) ->F(u), получаем
/[F{x,u,v!)- vo \u'\m] dx ^ liminf /[F(x,uk,u'k) -ц0 КПdx
i I
— lim !F[uk) — /Jolimsup / lu*|mda:
fc-+°o fc-юо J
I
— I F(x,u,u')dx — /i0limsup / ^Г^а:,
J fc-»oo J
т. e.
limsup / K|m dx ^ f \u'\m dx.
k-t-oo J J
I
Следовательно,
f \u'k\m dx-+ f \u'\m dx, (3.23)
I I
так как всегда верно неравенство
[ \u'\m dx ^liminf f \u'k\m.
i i
Хорошо известно, что из (3.23) и слабой сходимости и'к к и' вытекает
сильная сходимость и'к к и' в U. Таким образом, получаем утверждение
предложения 3.10 при дополнительном условии (3.22). □
3.3. ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ СНИЗУ В ПРОСТРАНСТВЕ МЕР
Рассуждения из п. 3.2 не будут справедливы, если подынтегральная
функция F(x,u,p) не имеет суперлинейного роста относительно р. Этот факт
объясняется тем, что минимизирующие последовательности {«„}
функционала Т не обязательно удовлетворяют критерию Данфорда — Петтиса
слабой сходимости в L1 для производных {v.'n}. Например, если F(x,u,p) =
\р\ + \и — f[x)\, где / G i1(a,b), можно получить лишь оценку {и'п} типа
ь
J\u'n\dx^C,
а
где С — некоторая положительная константа, а мы знаем, что
ограниченные последовательности в L1 могут сходиться (в смысле *-слабой
сходимости мер) к мерам, которые не будут абсолютно непрерывны
относительно меры Лебега (например, к мере Дирака ёХо). Таким образом, когда
рассматривается задача с линейным ростом, т. е. F(x,u,p) ^ а\р\ для
всех х, и, р, где а > 0, следует ожидать, что решения и имеют свойство
«' €■ M[a,b;MN), т.е. uG BV(a,b;MN). Например, подынтегральные
функции F[p) = \р\ и ^/1 + \р\2 соответственно имеют линейный рост, так что
условие суперлинейного роста для них не выполнено.
Чтобы использовать прямые методы вариационного исчисления для
вариационных задач с линейным ростом, нам потребуется теорема о
полунепрерывности снизу в пространстве BV(a,b;MN). Соответствующее
утверждение будет получено с помощью теоремы о полунепрерывности
снизу для функционалов на пространстве мер.
Далее в качестве Г2 мы рассматриваем интервал вещественной прямой
Ж, а в качестве ц — меру Лебега на Я В общем случае Г2 — сепарабель-
ное локально компактное метрическое пространство с положительной
конечной мерой Бореля ц. Обозначим через В сг-алгебру всех борелевских
подмножеств fi.
Как уже отмечалось в (2.33) (см. п. 2.3), для любых векторнозначной
меры А: Б ->■ MN и В е Б полная вариация А на В определяется по формуле
|А|(В) = sup< ^2 |A(Bj)|: Bj G В попарно различны, (J Bj С В
*■ i=i i=i
Таким образом, функция множества В ь-э- |А|(В) оказывается
положительной мерой, которая будет обозначаться |А|.
Нам потребуется следующая лемма о локализации.
Лемма 3.11. Пусть v — неотрицательная мера Бореля на Q и {/„} —-
последовательность неотрицательных v-измеримых функций на Q. Для f —
sup{/„ : n G К} справедливо равенство
Jfdv^sapl^JfidtA, (3.24)
где супремум в правой части берется по всем конечным борелевским
разбиениям (B{)i£f множества Q.
Доказательство. Неравенство "^" тривиально. Для доказательства
противоположного неравенства введем функции gn := sup{/j : 1 $ г ^
n}, n G N. Очевидно, что {дп} — неубывающая последовательность v-
измеримых функций, супремум которой равен /. В силу теоремы о
монотонной сходимости
I fdv = supj I gndv:n^n\. (3.25)
Рассмотрим попарно непересекающиеся борелевские множества Bi,... ,Вп
такие, что Q = Bi U ... U Вп и дп — ft в Д. Из (3.25) получаем
/ fdv = sup j y^lfjdi>:nem>
П i=1Bi
^ sup< 2J / fi dv : [Bi)i£f — конечное борелевское разбиение ft >.
Лемма доказана. П
Пусть F:MN ->■ [0,oo] — выпуклая полунепрерывная снизу функция.
Обозначим через F°° функцию рецессии (см., например, Рокафеллар [228]),
определенную по формуле
F~(p) = Inn FiP0+tp)t
где ро — любая точка такая, что F(po) < оо. Можно показать, что это
определение не зависит от ро, а функция F°° выпукла, полунепрерывна
снизу и положительно однородна степени 1 на MN.
Теперь мы можем доказать следующую теорему о полунепрерывности
снизу на M(a,b;MN).
Теорема 3.12. Пусть F:£l х Ж^ —> [0,оо] — функция такая, что
справедлива аппроксимационнаи формула
F(x, р) = sup{a„ (х) + Ь„ (х) - р : n G N} для всех (х, р) е П х MN,
(3.26)
где a„ G I<ioC(ft; fA и &n G C(f2; ffiw). Тогда функционал
лг d\
секвенциально *-слабо полунепрерывен снизу на М(а, Ь;Ш ), где А = — //+Ая
а//
обозначает разложение Лебега — Никодима А относительно ц и F [х, ■) —
функцию рецессии функции F(x, -) для любого г£0.
Доказательство. Для упрощения изложения введем обозначение для
второго слагаемого в правой части (3.27). Будем писать
JF»[x,\-) вместо JF™(x,-^)d\y\.
п п
Для любого тг е N полагаем
Fn[x,p) := [ап{х) + Ьп{х) ■ р]+, {х,р) eflxl^
Гп[Х,В):= J Fn(x,^\d» + J F™(x,\'), XeM{a,b;UN),B€B(Q).
в в
Фиксируем A G М(а, 6;Ж^). Введем обозначения: v — мера // + |А5| и Z —
/z-пренебрежимое множество, на котором сосредоточена А*. Положим
f{x) := i v , **„,' v
М"-зи<4 I€Z-
Тогда
^(A) = J f{x) dv, Tn (A) = Jfn (x) dv.
Ввиду леммы 3.11
^(A) = Sup{^Ji(A,S,-):
(Bi)i€i — конечное борелевское разбиение fi >. (3.28)
Так как ц и |АЛ| — регулярные меры, Ji(A, Д) = вир{^(А, К) : К
компактно, К с Bi}. В силу (3.28)
*4A) = eup[£j4-(A,Ai):
(A',-)i6j — непересекающиеся компактные подмножества Q >. (3.29)
Так как два непересекающихся компактных множества находятся на
положительном расстоянии друг от друга, из (3.29) получаем
:Г(А)=81лР[]Г^(А,Л):
(A),-ej — непересекающиеся открытые подмножества ft >. (3.30)
Таким образом, для завершения доказательства достаточно показать, что
для любых п е N и открытого подмножества А из П функционал Тп(,А)
секвенциально *-слабо полунепрерывен снизу на M(a,b;MN).
Повторяя рассуждения, аналогичные проведенным выше при
рассмотрении локализации, получаем
Тп[КА)=,Л.)(/(ап+Ьп ■ т^+1Ьп • mvm}
А А
= sup < / уа„ dfi+ <pbn ■ dX >.
ч>есс(А) 17 J J
Поэтому достаточно установить полунепрерывность снизу функционала
А>-*• / ipan dfi+ I tpbn ■ dX
A A
для любой функции (p G CC[A). Доказательство этого тривиально, так как
ввиду условий на ап и Ьп эти функционалы *-слабо непрерывны. D
Замечание 1. Очевидно, что аппроксимационное условие (3.26) из
теоремы 3.12 выполнено, если функция F = F(p) не зависит от (х, и), выпукла,
полунепрерывна снизу на MN или, более общо (см., например, [47, следствие
3.4.2]), если F(x,p) удовлетворяет следующим условиям:
(i) F полунепрерывна снизу на fi x MN,
(ii) для любой х € П функция F(x, -) выпукла на MN,
(Hi) существует u0 6 Z£°(f2;ffiw) такая, что F[x, щ(х)) е L™(fi).
В качестве следствия приведем теорему, аналогичную результату Ре-
шетняка, о полунепрерывности снизу.
Теорема 3.13. Пусть F: О, х MN -»• [0, оо] — функция такая, что
(i) F{x,p) полунепрерывна снизу относительно (х,р),
(ii) для любого х £0, функция F(x, ■) выпукла и положительно однородна
степени 1.
Тогда функционал
r{\) = JF(x,X)
п
секвенциально *-слабо полунепрерывен снизу на M(a,b\MN), где, напомним,
/ F(x,X) обозначает / F(x,dX/d\X\)d\X\.
п
Замечание 2. Если в теореме 3.12 мера ц не является зарядом никакой
точки П, т. е. fj.({x}) = 0 для всех х е fi, полунепрерывность снизу F°°(x,p)
в точке (х,р) является необходимым условием полунепрерывности снизу
функционала Т. Действительно, для фиксированных хс G П, ро £ М" и
заданных последовательностях хп ->■ х0 в ft и р„ ->■ р0 в MN
достаточно рассмотреть меры А = poSXo и А„ = рп£х„- Имеем А„ -» А *-слабо в
M[a,b;MN). Таким образом, *-слабая полунепрерывность снизу
функционала Т на M(a,b;MN) означает, что
■И^сРо) = ^"(А) ^ liminfyfAn) = limmf^"(a;nip„).
п—юо n—>oo
Поэтому в ситуации, рассмотренной Решетняком, когда F(x, -) выпукла и
положительно однородна степени 1, функционал Т секвенциально *-слабо
полунепрерывен снизу на M(a,b;MN) тогда и только тогда, когда функция
F(a,p) полунепрерывна снизу по переменным [х,р).
3.4. СУЩЕСТВОВАНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ BV
В этом разделе результаты о полунепрерывности снизу из п. 3.3 и
прямые методы вариационного исчисления используются для доказательства
существования решений задач минимизации в пространстве BV.
Напомним, что при заданном интервале / = (а, Ь) вещественной
прямой Ш функция u:I -¥ J&N принадлежит i?V(/;M ) тогда и только тогда,
когда и принадлежит L1 (/; MN) и обобщенная производная и' принадлежит
M[I\UN). В п. 2.3 мы изучали пространство BV(I;UN) и его основные
свойства. В дальнейшем мы часто будем рассматривать разложение
меры и' на абсолютно непрерывную часть и'а относительно меры Лебега и
сингулярную часть u's. Кроме того, обозначим через й плотность и'а
относительно меры Лебега. Тогда разложение Лебега — Никодима производной
и' имеет вид и' = ййх + и',. Из п. 3.3 непосредственно следует
Теорема 3.14. Пусть F(x,p) удовлетворяет аппроксимационной формуле
из теоремы 3.12, п. 3.3 (см. также замечание 1 в п. 3.3). Тогда функционал Т,
определенный для и б BV(I; M.N) по формуле
Т{и) = J F{x, ii)dx + J F°°(x, u's),
секвенциально полунепрерывен снизу относительно *-слабой BV(I; Ш")-схо-
димости.
Замечание 1. Так как *-слабая ВТ/-сходимость влечет сильную L1-
сходимость (см. предложения 2.36 и 2.37 в п. 2.3), по лемме Фату получаем,
что если подынтегральная функция F удовлетворяет условиям
приведенной выше теоремы, то функционал
i i i
♦-слабо BV-секвенциально полунепрерывен снизу, если G(x,v) —
неотрицательная борелевскан функция, полунепрерывная снизу по и.
Предположим, что подынтегральные функции F и G в (3.31)
удовлетворяют следующим оценкам снизу:
F{z,p)2a\p\-a{x), (3.32)
G(x,u)2PW\-b(x) (3.33)
для некоторых положительных констант а и (3 и интегрируемых функций
а(х) и Ь(х). Тогда функционал Т в (3.31) удовлетворяет неравенству
(а Л/?)IM|ijv < Н™) + С для всех и е BV(I;MN),
где С— I[а(х) + b(x)]dx. Следовательно, функционал Т коэрцитивен от-
носительно *-слабой ВТ/-сходимости. Прямыми методами вариационного
исчисления мы получаем существование решения задачи
min{^(u) : и € BV{I;MN)}.
Лля исследования задач минимизации с фиксированными граничными
значениями и(а) = а и и(Ь) = (3 удобно ввести интервал Г — (а',Ь'), а' < а,
Ь' > Ь, и класс
A0ip = {к£ BV(I'\ WlN) : и(х) = а при х < а, и(х) = (3 при х > Ь}.
Тогда задача на минимум для функционала Т с граничными значениями
и(а) — а и и(Ь) = (3 может быть поставлена в виде
о о
J f F(x,u)dx + f F°°[x,u's) + fG[x,u)dx:ueAaA. (3.34)
Заметим, что функция и в Aatp может иметь скачок в граничных точках
интервала I. В этом случае
«'.(а) = [«(а+) - а] ■ 6а, <(6) = [/3 - и{Ь~)] • *ь
и, следовательно,
J F°°(x,u's)= J F~(x,ii:) + FO0(aI[ii(a+)-a]) + F»(b,iy?-U(b-)]).
[a.fc] (a,6)
Используя предложение 2.39 из п. 2.3, получаем, что при условии (3.32)
существуют две положительные константы сисо такие, что
о
[ F{x,ii)dx+ f F°°{x, u's) Z с \\u\[bv ~ со
а [а,Ь]
для всех и е -4а,/з- Поэтому условие (3.33) на G не обязательно для коэр-
цитивности. Таким образом, справедлива
Теорема 3.15. Пусть F(x,p) — функция, удовлетворяющая аппроксима-
циониой формуле из теоремы 3.12 а п. 3.3. (см. также замечание I в п. 3.3) и
неравенству (3.32). Тогда задача на минимум при произвольных граничных
УСЛОВИЯХ
ь ь
[ J F{x, u)dx + f F°°(a;, u's) + f G{x, u)dx:ue BV[I, RN\
имеет решение, если G(x, u) — неотрицательная борелевская функция, которая
полунепрерывна снизу относительно и и удовлетворяет неравенству (3.33).
Задача на минимум при данных граничных условиях
ь ь
i{ J F{x, u)dx + J Fco(x, u'J + / G(x, u)dx:ue Aafi \
ь
mm{j •"
M]
имеет решение, даже когда функция G не удовлетворяет неравенству (3.33).
Замечание 2. Если F(a, -) и F(b, ■) имеют суперлинейный рост, то
<->={*'
F°°(b,p)=F°°{a..p) = {~' рФ°'
р = U.
Следовательно, задача (3.34) может быть записана обычным образом:
ь ь
mm\j • ■ '
liiJ / F(x, u)dx+ / F°°(a;, u's) + / G[x, u) dx :
о (о,Ь) a
u e BV{I;UN),u{a) = a,u(b) = /?j.
Следующие примеры показывают, что общие вариационные задачи с
линейным ростом могут иметь решения, которые не принадлежат Н1'1.
LLI Пусть I — интервал [-1,1] и /: I -> Ш определена так:
(-V
Для фиксированного положительного числа к введем функционал
1
Tk[v) = j[\u'\ + к |u -f(x)\] dx.
-l
Функционал Тк можно определить для любой функции u e BV (I), полагая
1
Тк[и) = \\u'\\mid + kj\u- f{x)\dx.
-l
Согласно теореме 3.15 задача
min{Tk[u) :ueBV(l)} (3.35)
имеет решение. Покажем, что при ft > 1 единственное решение задачи
(3.35) имеет вид и[х) = f(x) и тем самым и £ Н1ш1[1).
Рассуждения проведем в три этапа.
Шаг 1. Достаточно рассмотреть функции и е NBV(I), \и(х)\ ^ 1, для
всех х G I. Действительно, легко видеть, что для каждой и е NBV(I)
функция v, определенная формулой v(x) := max{—l,min{u(a;), 1}}, дает
наименьшее значение функционала Тк-
Шаг 2. Ограничимся рассмотрением функций и е NBV(I),
неубывающих на /. Действительно, если \и\ ^ 1 на I, то легко видеть, что функция
vix\ ._ finf{u(
1sup{u
[у)-У^ я}, a; < 0,
(У) : У ^ a;}, x ^ 0,
является неубывающей и дает наименьшее значение функционалу Тк-
Шаг 3. Если к > 1, то единственное решение задачи (3.35) имеет вид
и = /. Действительно, полагая a = lim u(z) и /? = limu(a:), получаем
Х->-1 1->1
Q^-l, /?<£1
10 1
Тк{и)^ fu' + k f\a + l\dx + k f'\p-l\dx
-i -1 о
= (3 - a + к{2 + a - /?) = Ik + (/? - a)(l - ft).
Кроме того, приведенное выше неравенство строгое, если и ф /. Так
как /3 ^ q (в силу шага 2) и ft > 1, получаем Тк(и) ^ 2ft + 2(1 — ft) = 2,
причем неравенство строгое, если и ф /. Наконец, так как .?>(/) = 2
при ft > 1, заключаем, что и = / будет единственным решением задачи
(3.35). Аналогично можно показать, что при 0 < ft < 1 постоянные функции
и = с, где \с\ ^ 1, являются единственными решениями задачи (3.35), а при
ft = 1 — решениями будут все функции вида
{ci,
С2,
«ю=с *>и; -1 ^^^С2^ 1.
| 2 I Пусть а: [0,1] —»- Ж — неотрицательная измеримая функция. Покажем,
что при соответствующем выборе М > 0 и а(х) задача
1
in[ f y/l + a{x)\u'\2dx : u G Ям(0, l),u(0) = 0, u(l) = M |
не имеет решений (см. [114]). Действительно, если и е Н1ш1(0,1) было бы
решением, то из уравнения Эйлера должно следовать
где с — некоторая константа. Таким образом, решение и должно быть
неубывающим, если М > 0. Более того, из (3.36) вытекает, что
O^c^infVa, (3.37)
где inf означает существенный инфимум на (0,1). Решая (3.36)
относительно и', получаем
1/2
( °2 V
U'{X) = {a2(x)-c2a(x)J '
откуда
л \ i/2
M = JAx)dx = j(—±—} dx. (3.38)
о о
Функция с2/[а2{х) - с2а(х)] возрастает относительно с и достигает
максимального значения при с = inf л/а ввиду (3.37). В силу (3.38) получаем
1 1/2
М ^
о
а2(х)-а(х)Ыа) Л" ^
Таким образом, чтобы показать, что не существует Я1|1-решения, мы
выбираем а(х) так, чтобы правая часть (3.39) была конечной. Тогда (3.39)
нарушается при достаточно больших М.
Заметим, что подынтегральная функция F(x,p) = у/\ + а(х)\р\2 удов-
летворяет всем условиям теоремы 3.14 о полунепрерывности снизу,
если а(х) непрерывна. Поэтому, если мы дополнительно поставим условие
а(х) ^ а > 0 для всех х £ (0,1), где а — некоторая положительная
константа, то ввиду теоремы 3.15 задача
1 1
min< / y/l + а(х)й2 dx + I \/а(х) \u's\
L о о (3.40)
+ у/Щ\и{0)\ + y/a~(VJ К1) ~М\:и£ BV{0,1)|
имеет решение. Отметим, что задачу (3.40) может записать в виде
1 [ у/1 + а[х)й2 dx + f y/^x)\u's\:ueBV{m),
0 [0,1]
и(х) = 0 при х < 0, и(х) = М при х > 1 >.
Глава ^
РЕГУЛЯРНОСТЬ
МИНИМИЗИРУЮЩИХ
ФУНКЦИЙ
В этой главе изложена теория регулярности для одномерных вариационных
задач в классе абсолютно непрерывных функций или, более общо, в
пространствах Соболева Н1,тп.
В п. 4.1 мы изучаем вариационные интегралы Т{и) с лагранжианами
полиномиального роста порядка тп > 1. Мы докажем, что
минимизирующие функции из Я1,т будут настолько регулярны, насколько им
позволят подынтегральные функции. В частности, они будут класса С°° или
вещественно-аналитическими, если лагранжиан F принадлежит классу С°°
или является вещественно-аналитической функцией.
В п. 4.2 доказывается теорема Тонелли о частичной регулярности,
которая утверждает регулярность минимизирующих функций класса АС.
В п. 4.3 мы изучаем так называемый эффект Лаврентьева, уже
встречавшийся в п. 3.2. Кроме того, мы приведем некоторые примеры из [21, 76],
которые показывают, что результат Тонелли оптимален. Из этих
примеров также видно, что сингулярности возникают, когда мы рассматриваем
минимизирующие функции для общих интегралов в АС. Это завершит
дискуссию, начатую в п. 4.2 примером Маньи.
4.1. РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Основной результат дает следующая
Теорема 4.1. Пусть I = (a,b)— ограниченный интеграл в!, и пусть
F(x,u,p) — лагранжиан класса С2, определенный в I x M.N x mN, N ^ 1, и
удовлетворяющий следующим условиям: _
(i) существуют константы c0,ci > 0 такие, что для всех (x,z,p) €E I x
c0\p\m^F{x,z,p)^c1(l + \Pr), (4.1)
(ii) существует функция M(R) > 0 такая, что
\Fz{x,z,p)\ + \Fp(x,z,p)\ ^ M(R)(1 + \p\2) (4.2)
для всех {x,z,p)e7xUN x MN, x2 + \z\2 ^ R2,
(Ш) для всех {х, z,p) £ / х MN х RN и £ £ UN - {0}
Fpipb(x,z,p)ee>0. (4.3)
Пусть С — класс функций v £ H1,m(I,M.N), I — [a,b),
удовлетворяющих граничным условиям v(a) = а и v(b) = /?. Предположим, что и £ С —
(локально) минимизирующая функция вариационного интеграла
T(u) := I F{x, u[x), u'{x)) dx (4.4)
в С. Тогда и принадлежит C2(I,MN) и удовлетворяет уравнению Эйлера
Lp[u) — 0. Кроме того, если F класса Ск, 2 ^ к ^ оо, то u £ Ck(I,MN),
и и — вещественно-аналитическая функций, если F(x,z,p) — вещественно-
аналитическая функция.
Разобьем доказательство на несколько этапов. Сначала докажем
Предложение 4.2. Пусть u £ С1(/|МЛГ) — слабая экстремаль
функционала Т, Fp £ CX(U) в некоторой окрестности U кривой (x,u(x),u'(x)) и
Fpp(x,u(x),u'(x)) обратимо для всех х £ /. Тогда и £ С2(/,1
Доказательство. Выберем окрестность U 1-графика и таким образом,
чтобы Fpp(x,z,p) было обратимо в каждой точке (x,z,p) б U. Согласно
предложению 1.9 из п. 1.17 существует постоянный вектор с £ M.N такой,
что Fp(x,u(x),u'(x)) = 7г(х) для всех х £ J, где
х
tv{x) := J Fz[x,u{t),u'{t))dt + c. (4.5)
a
Ввиду условий на и и F имеем и £ С1(1). Таким образом, отображение
G:IxRN -> M.N, определенное по формуле G(x,p) — Fp(x, и(х),р)—ж(х),
принадлежит классу C1(IxUNxRN) и удовлетворяет условию detGp (x, и'{х)) ф
0 при всех х £ I, так как Gp(x,u'(x)) = Fpp(x,u(x),u'(x)) для всех х £ I.
Поскольку р — и'(х), х £ I, — решение уравнения G(x,p) = 0, по теореме о
неявной функции имеем и' £ C^/.IR^). □
Если F более высокого класса регулярности, то теорема о неявной
функции обеспечивает и более высокую гладкость и. Очевидно следующее
Предложение 4.3. Предположим, что лагранжиан принадлежит классу Ск,
2 ^ к ^ оо, в некоторой окрестности U 1-графика слабой экстремали и £
C1(I,M.N) функционала Т и detFpp(x,z,p) ф 0 для всех (x,z,p) £ U. Тогда
и 6 Ck(I,MN). Более того, и — вещественно-аналитическая функция, если
F — вещественно-аналитическая функция в U.
Теперь мы распространим результат предложения 4.2 на слабые лип-
шицевы экстремали функционала У. Для этого надо предположить, что
Fpp — положительно определенная матрица, так как в нашем
доказательстве потребуется глобальная обратимость отображения (x,z,p) -> (x,z,y),
где у = Fp(x,z,p). Причиной этого является тот факт, что и'(х) уже не
будет непрерывной, и поэтому мы не можем оперировать в малой
окрестности ро = и'(хо) ни для какой точки х0 £ /.
Предложение 4.4. Пусть и £ Lip(/, M.N) — слабая яипшицъва экстремаль
функционала Т. Предположим, что Fp принадлежит классу С1 на I х M.N х MN
и FpP(x,z,p) — положительно определенная матрица в I x KN x M.N. Тогда
ueC2(i,uN)-
Доказательство. Рассмотрим отображение Ф: (х, z,p) -> (x,z,q) из / х
UN х UN на себя такое, что Ф(х,;г,р) := (x,z,Fp(x,z,p)). Так как Fpp > О,
стандартными рассуждениями доказывается, что Ф — С1-диффеоморфизм
из / х UN х MN на образ V := Ф(/ х UN x RN). В силу предложения 1.11 из
п. 1.1 существует постоянный вектор с£ KN такой, что
Fp(x,u(x),u'(x)) = тг(х) п. в. в /, (4.6)
где 7г(х) определено в (4.5). Очевидно, что 7г £ АС(/,МЛГ), 7г'(х) = Fz(x,u(x),
u'{x)) п. в. в/, тг' = Fz(-,u,u') G ^(/.М"). Положим <г(х) := (x,u{x),u'(x)) и
е(х) := (х, ы(х), 7г(х))._Функция <г(х) определена почти всюду в /, а функция
е(х) — для всех х £ I. Из (4.6) получаем
Ф(сг(х)) = е{х) п. в. в /. (4.7)
Чтобы показать корректность определения Ф_1(х, ы(х), тг(х)) для всех х £ I,
надо доказать, что е(х) £ V для всех х £ I. Этот факт априори неочевиден,
так как из (4.7) следует, что е(х) G V п. в. в /, откуда е(х) £ V для всех
х£ I, поскольку е(х) непрерывна на J.
Так как и £ Lip(I,M.N), существует константа к > 0 такая, что |ы(х) —
U(0I ^ * Iх ~~ £1 Для всех х.£ G /- Поэтому
|и'(х)|з£ А п. в. в/. (4.8)
Рассмотрим множество /С := {Ф(х,ы(х),р) :х € / х М^, |р| ^ к}. Очевидно,
что /С — компактное подмножество V и в силу (4.7) и (4.8) имеем е(х) £ /С
п. в._в /. Так как е(х) непрерывна на /, получаем, что е(х) G К, С V для всех
х £ I. Таким образом, функция (x,u(x),v(x)) := Ф_1(е(х)), х £ I, корректно
определена и непрерывна. С другой стороны, в силу (4.7) (х,и(х),и'(х)) =
с(х) — Ф_1(е(х)) п. в. в /, и поэтому и'(х) = v(x) п. в. в /. Таким образом,
X X
и(х) - u{a) + I u'(t) dt = u(a) + I v(t)
dt.
и мы получаем, что u_e C1(/,MJV). Теперь, применив предложение 4.2,
заключаем, что и £ C2(1,MN). □
Доказательство теоремы 4.1. В силу (4.1) интеграл T{v) корректно
определен для любой функции v £ С. Пусть ip e Lip(/,IR7V) иееМ.
Предположим, что \<р[х)\ ^ Q в / и |v'(x)| ^ Q п. в. в /. Фиксируем 0 < е0 ^ 1.
Пусть \е\ < £о. Тогда существует число R такое, чтох2+|и(а;)+е^(я;)|2 ^ R2
для всех х € 7. Кроме того, [и'+еу?'!™ <£ 2rn~1(|u'|m+Qrn)- В силу (4.2)
функция Fz{x,u + e(p,u' + eip') + Fp(x,u+£tp,u'+e(p') почти всюду мажорируется
^-функцией QM(R)[1 + 2m_1(Qm + |u'|m)]. По теореме Лебега о
мажорируемой сходимости Ф(е) := Т[и + е<р) принадлежит классу С1 на (—£о,£о)-
Поскольку и — локально минимизирующая функция функционала T[v) на
С, получаем, что Ф(0) ^ Ф(е) при |е| ^ е0 -С 1, если уз G C%°(I,RN), откуда
Ф'(0) = 0 и, следовательно,
f{F,[x, и, и')<р+ Fp(x, и, и') - <р'} dx = 0 (4.9)
для всех <р G С?{1,Ш"), т.е. и£ AC(I,UN) и и' е Lm{I,UN) — слабая Я1-"1-
экстремаль функционала Т. Кроме того, в силу (4.2) Fz(-,u,u') e 1}{1ЪШ^').
Рассуждая так же, как в предложениях 1.9 и 1.11 из п. 1.1, можно
показать, что существует вектор с G Ш.1* такой, что
х
Fp{x,u(x),u'(x)) =c+ Fz(t,u(t),u'(t))dt п. в. в /,
а
и мы опять получаем уравнение (4.6).
Теперь мы рассуждаем так же, как в доказательстве предложения 4.4
при условии, что образ е(/) при отображении е: / —> Ш. х Mw х M.N
принадлежит области значений Ф. Это достигается в силу условия (iii), из которого
следует, что Fp(x,z,MN) = MN, откуда V = / х MN x MN. Согласно
сказанному выше и е C2(I,MN), и из предложения 4.3 мы получаем утверждение
теоремы 4.1. □
Из проведенных выше рассуждений вытекает
Теорема 4.5. Если u G HltTn(I,M.N) — "критическая точка" функционала
Т или, более точно, слабая Н1,тп-экстремаль, т. е. 8Т{и, уз) = 0 для всех уз G
C£°(I,M.N), то и принадлежит C2(I,MN) и удовлетворяет уравнению Эйлера
Lf(u) = О, если выполнены условия теоремы 4.1. Кроме того, и £ С*, если
F принадлежит классу С1, 2 ^ А ^ со, и к — вещественно-аналитическая
функция, если F — вещественно-аналитическая функция.
Замечание 1. Аналог теоремы 4.5 можно доказать для решений и £
Я1-т(/,Млг) уравнения
f{A[x,u,u')<p' + B{x,u,u')ip}dx=0 Vy>€C~ [I,UN), (4.10)
т. е. для слабых решений и уравнения
— А(х,и,и') = В{х,и,и') в /, (4.11)
dx
если выполнены условия теоремы 4.1 с заменой Fp и Fu на А и В
соответственно.
Закончим этот раздел тремя примерами. Первые два показывают, что
условие невырожденности Fpp необходимо, а из третьего примера видно,
результат теоремы 4.1 не будет оптимальным.
LLI Любая липшицева функция и0 на (0,1) такая, что и'0 принимает лишь
значения 1 и —1, минимизирует интеграл
/<-""*
{u'2-l)2dx
в классе {и G Я1-4(0,1): ы(0) = ыо(0), ы(1) = ы0(1)}. Здесь Fpp(p) = Up2 - 4.
I 2 I Решением задачи
1
min
-i
является функция
1
J f и2 (2а: - и')2 dx:u£ Hll2(0,1),u(-l) = 0,u(l) = l|
u(x) = I0' _1 * X * °"
которая принадлежит классу C1,1([-1,1])I но не принадлежит классу С2.
Здесь Fpp(x,u,p) = 2и2 ^ 0. Этот пример уже рассматривался в п. 1.1.
I 3 I Подынтегральная функция интеграла
ь
(й2 + и2 + еи) dx
не удовлетворяет условиям теоремы 4.1. Тем не менее, заметив, что
минимизирующие функции, удовлетворяющие граничным условиям Дирихле,
существуют в Н1,2(а,Ь) и ограничены, можно, применив некоторую
модификацию теоремы 4.1, доказать, что минимизирующие функции на самом
деле являются гладкими функциями.
4.2. ТЕОРЕМА ТОНЕЛЛИ О ЧАСТИЧНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ
Теперь исследуем регулярность минимизирующих функций общих
вариационных интегралов. В отличие от п. 4.1 мы не требуем, чтобы
подынтегральная функция F имела полиномиальный рост порядка то > 1, и для
упрощения изложения рассмотрим лишь скалярный случай.1
Сформулируем основной результат.
Теорема 4.6 (теорема Тонелли о частичной регулярности). Пусгь F(x,
uiP) — гладкий лагранжиан, скажем, класса С°°, Fpp{x,u,p) > 0 для всех
1 По поводу более общих результатов и векторного случая см. гл. 6.
(z, u,p) и и £ AC(a, b) — в сильном смысле локально минимизирующий
элемент функционала
ь
a
в классе С всех абсолютно непрерывных функций на [a,b]c теми же
граничными значениями, как у и. Тогда и имеет [возможно, бесконечную)
классическую производную [и'(х]\ в каждой точке [а, Ь] и [«*]: [а, Ь] —> KU {+оо, —оо}
непрерывна. Более того, сингулярное множество Е := {х € [a, b]: [u'(x)] = ±оо}
замкнуто и имеет меру нуль. Кроме того, и принадлежит классу С°° вне Е.
После доказательства теоремы 4.6 мы приведем несколько следствий,
которые устанавливают регулярность всюду при дополнительных
предположениях. В следующем разделе мы приведем результат, из которого
вытекает следующее утверждение.
(a) При общих предположениях теоремы 4.6, и даже при условии, что F
имеет рост выше линейного, множество Е, вообще говоря, непусто.
Действительно, любое замкнутое множество нулевой меры может
оказаться сингулярным множеством минимизирующей функции некоторого
вариационного интеграла.
Другие примеры в гл. 6 показывают, что
(b) Уравнение Эйлера может не выполняться для минимизирующих
функций из теоремы 4.6.
В доказательстве теоремы 4.6 используются некоторые классические
результаты о локальной разрешимости уравнений Эйлера для
функционала Т, а также некоторые факты теории поля (см. п. 1.2). Основные идеи
доказательства заключаются в следующем. Если в некоторой точке
разностные отношения и равномерно ограничены, можно решить в
классическом смысле граничную задачу Дирихле с данными и для уравнения Эйлера
соответственно функционалу Т в малой окрестности такой точки. Более
того, так как решение и задачи Дирихле можно вложить в поле Майера
и выполняется условие Вейерштрасса, и является минимизирующей
функцией функционала Т в малом интервале и совпадает си. В частности, и
регулярна в окрестности рассматриваемой точки. Так как и почти
всюду дифференцируема в классическом смысле, разностные отношения почти
всюду ограничены. Следовательно, и регулярна в открытом множестве fio
и Е := [а, Ъ] — Qq имеет меру нуль.
Прежде, чем доказывать теорему 4.6, заметим, что она применима к
минимизирующим функциям, полученным в теореме Тонелли о
существовании (см. теорему 3.7 в п. 3.2), если N — 1.
Для удобства читателя сформулируем в лемме 4.7 некоторые
результаты теории обыкновенных дифференциальных уравнений в той форме, в
которой они будут использованы ниже.
Лемма 4.7. Пусть F(x,z,p) — гладкий лагранжиан и Fpp > 0. Пусть
А С К2 — ограниченное открытое множество и М, 6 — положительные кон-
станты. Тогда существует е > 0 такое, что при (х0, и0) € А, \а\ ^ М, |/?| ^ М
классическое решение u(x; а, /3) уравнение Эйлера
-— Fp{x, u, u') + Fz(s, и, и') = 0, (4.12)
удовлетворяющее начальным условиям
u(x0;a,P) = u0 + a, u'(x0;a,f3) = /?, (4.13)
существует при \х — хо| < е и единственно. Более того,
(a) v. и и' — функции класса С1 переменных х, а, /? в множестве S :=
{{х, а, Р): |х - х0| < е, |а| ^ М, \/3\ ^ М},
(b) на множестве S
\u'(x;a,P)-p\<6, (4.14)
— (х; а, (3) > 0, sign — (х; а, (3) = sign(x - x0). (4.15)
Доказательство. Так как Fpp > 0, решение уравнения (4.12)
эквивалентно решению уравнения u" = f(x,u,u'), где f(x,u,p) := {—pF^u — Fpx +
Fz)/Fpp. Существование, единственность и гладкость, а также гладкая
зависимость от данных, следуют из стандартных результатов теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. Так как
Qix Ou Зи
— (х0;а,/?) = 1, — (хо;а,/?) = 0, — (х0;а,/?) = 1,
можно выбрать малое е так, что будет верно (Ь). □
Лемма 4.8. Пусть тп, р, М\ — положительные константы. Тогда найдется
е > О такое, что при (х0, хг) С [a, b], 0< xi — х0 < е, \u0\ ^ тп, \(щ — u0)/(xi -
х0)| < М\ существует единственное решение и £ С2([х0, х{\) уравнения (4.12),
удовлетворяющее условиям и(х0) = u(x0), tl(xi) = u(xi) и max |ы(х)—ы0| < р.
[х0,хг]
Более того, v. — единственная минимизирующая функция интеграла
Ffcfecxi)) := / F(x,u,u')dx
на Л := {и е Я1,1(х0,Х1) :и(х0) = u0,u(xi) = щ, max \и{х) — и0| < р}-
Доказательство. Положим с :— т + р, А = (а, Ь) х (—а, а) и выберем
М > max(Mb 2р), 0<6 <М - М\. Пусть е > 0 такое же, как в лемме 4.7,
и пусть ЗМе < р. Интегрируя (4.14), для х е [x0lxi] получаем
\и(х; а,Р)-и0-а- 0{х - х0)| ^ <5(х - х0). (4.16)
Поскольку по условию ыо — Mi(x — хо) ^ щ ^ и0 + Mi(x — хо), находим
u(xi;0,M)^uo + M1(x1-xo)+(M-Mi-(J)(xi - x0) > щ,
u(xi;0,-M) ^ uD ~Mi{xi -хо)- (М - Mi -(5)(xi - х0) <щ.
Так как du/dP{xi;0, р) при (5 G [— М, М], существует единственное (30 G
[— М,М] такое, что гфс^О,Ро) = щ- Определим й(х) :— и(х;0,/3о)- Полагая
х = xi, а = О, Р = Ро в (4.16), получаем \иг — и0 — Ро[х\ — х0)| ^ <S(zi — х0).
Таким образом,
\po\^S + Mi. (4.17)
Опять используя (4.16), для х G [хо, xi] получаем \и(х) — ыо| ^ (S + \Ро\)(х —
хо) ^ [2S+Mi)e < р. Предположим, что v 6 С2([х0, хг]) — еще одно решение
(4.12), удовлетворяющие условиям v(xq) — и0, v(x1) = ui и max |w(x)—u0| <
[3:0,2:1]
p. Тогда для некоторого х е (xo.xi) имеем г/(х) = и (х, w(x)) G А
Х\ — Хо
Применяя лемму 4.7 и формулу (4.14) с (х,г;(х")) вместо (х0,ыо) и v'(x)
вместо р, при х € [хо, xi] находим
v (х)
Xi — Хо
£6.
В частности, |г/(хо)| ^ М\ + 8 < М. Поскольку существует единственное
Ро € [— М, М] такое, что решение (4.12) с начальными значениями ы(хо) —
uq и ы'(хо) = Ро принимает значение ui в точке Х], получаем, что v'(xD) — р
и, следовательно, v — v..
Покажем, что и — минимизирующая функция для Т(и\ (xo.xi)) в А.
Рассмотрим однопараметрическое семейство решений {и(;а,Ро): Ы ^ М}.
В силу (4.16) и (4.17) для х € [xo.xi] имеем
и(х; М, Ро)-и0^М+ (Ро - 8)(х - х0) ^ М - (2S + Мх)е > р,
и(х; -М, Ро) -и0^ -М + (Ро + 6)(х - х0) ^ -М + (28 + Mj)e < -р.
Так как ди/да(х;а,Ро) > 0, функция и вложима в поле экстремалей,
которые покрывают область [хо, xi] х [ио — р, и0+р]. Так как Fpp > 0, по теореме
Вейерштрасса (см. п. 1.3) получаем Т(щ(хо,х\)) > Т{и\ (x0lxi)) для всех
и е А, где равенство имеет место тогда и только тогда, когда и = й. □
Доказательство теоремы 4.6. Обозначим через С(а, Ь) класс абсолютно
непрерывных функций на (а,Ь) с такими же граничными условиями, как
и и. Тогда существует константа Si > 0 такая, что T(v) ^ F(v) Для всех
v G C(a,b), max|u(x) — v(x)\ ^ Si. Пусть х — точка из [а, 6], в которой
[».Ч
разностные отношения для и равномерно ограничены, т. е.
М(х) := liminf
u(x) — и(х)
< +оо. (4.18)
Предположим, что хфЬ к рассмотрим xi > х, где xi — x достаточно мало,
так что max |u(x) —u(x)| < tfi/2. Выберем Мг > М(х). В силу (4.8) можно
*:G[5>i]
применить лемму 4.8 при хо = х, и0 = и(х), р = Si/2, щ — и(х{), где
xi e (x,xi) такое, что
xi — х < е,
u(ii) — и(х)
Xi — Х~
< Afi
Пусть и — соответствующее решение уравнения Эйлера, и пусть и е (а, Ь)
определено по формуле
(и[х),
\и{х)
х £[x,xi],
в других случаях.
Тогда max|u(i) - и(х)\ ^ ^ и, следовательно, ?{и) - F(u) = T{u; (ii.xi)) -
?{u;{xi,xi)) ^ 0. Поскольку и — единственная минимизирующая
функция функционала T{\[xi,x{)) такая, что и(хх) = u(xi), Ufa), max \й{х) -
v.[xi)\ < Si/2, имеем и = и в [х, хх] и, следовательно, и G С2([ж,ii]).
Аналогично, если х ф а, то и G C2([r0,S]) для некоторых г0 < ж. В частности,
и непрерывна по Липшицу в окрестности любой точки х е [а, Ь], в которой
М(х) < оо. В силу предложения 4.4 из п. 4.1 и гладкая в окрестности
любой такой точки х. Поскольку и дифференцируема п. в. в [а,Ъ], заключаем,
что П0 ™ {a; G [а,Ь]:М(х) < оо} является открытым подмножеством [а,Ь]
полной меры и и € C°°(fio)-
Остается показать, что классическая производная [и'(х)] функции и{х)
существует везде и является непрерывной функцией со значениями в 1R и
{±оо}. Достаточно рассмотреть точки х0 из Е := [a,b] \fi0- Сначала
предположим, что хо £ (а, 6). При соответствующем отражении переменных х
и (или) и можно считать, что существуют jy -»■ i0) jy < £о, такие, что
lim "(Жо) ~ U^ = +ос.
j-vt» х0 — 1У
В этом случае мы получим существование [и'(х0)] = +oo и непрерывность
[и'(х)] в точке х0, если покажем, что при Xj -> х0, zj -» х0, £j ^ zj
ulxj) — ulzj)
hm -^ i-2i = +oo. 4.19)
j-VOO Ij — Zj
Пусть М и 5 произвольны. Применим лемму 4.7, положив uo = u(x0).
Решения {и(;а, М) :\а\ ^ М} уравнения Эйлера образуют поле экстремалей,
покрывающих некоторую окрестность точки (zo.uo) G М2. Таким
образом, при достаточно малом \х — х0| существует единственная функция а(х)
такая, что |а(х)| ^ М и и{х) = и(х;а(х),М). В силу теоремы о неявной
функции и формулы (4.15) а зависит непрерывно от х. Очевидно, что
а(х0) = 0. Покажем, что а(х) неубывающая в окрестности xq. Тогда
u(xj) - u[zj) _ u{xj;a{xj),M) - u{zj;a(zj),M)
JL ч "~~ Zn At i ~~" Zi
^ u{xyM^M)-u{zyM^M) = Aw..a{gj)tM)>M-5,
Xj Zj
где xj ~%.wj~z zj и было использовано (4.14). Так как М и S произвольны,
мы получаем (4.19).
Теперь покажем, что а(х) монотонна вблизи точки х0. Предположим
противное. Тогда существуют последовательности aj -> i0l bj —»• х0, cj ->
х0 такие, что a.j < bj < Cj и a(aj) = a[cj) ф a(bj). При больших j решение
Vj(x) := u(x;a(aj),M), aj ^ x ^ Cj, удовлетворяет условиям Vj(aj-) = u(aj),
Vj(bj) ф u(bj), Vj[cj) = u(cj), max\u(x) — Vj(x)\ ^ S\. Так как vj вложено в
[°j.cj]
поле экстремалей, по формуле Вейерштрасса
■м -г
I F(x, и, и') dx> I F{x, vj^'j) dx,
что противоречит нашему предположению о том, что и доставляет строгий
относительный минимум функционалу. Таким образом, а либо не
убывает, либо не возрастает вблизи точки z0- Последнее исключается, так как,
интегрируя (4.14) и сравнивая с (4.16), мы видим, что
"^ < s I м "^ ~ и^
хо — Vj ^ жо — yj
откуда a[yj) < 0 при достаточно больших j. Аналогичные рассуждения
справедливы для х0 = а или хо = Ь. О
В качестве следствия теоремы 4.6 получаем следующее утверждение.
Теорема 4.9. Пусть F(x, и,р) — гладкий лагранжиан суперлинейного
роста, т. е.
F(x,u,p)
lim —^—j—:—- = оо,
|p|-voo \р\
гессиан Fpp удовлетворяет условию Fpp > 0. Пусть u G АС(а,6) доставляет
сильный локальный минимум функционалу
ь
7W=/n*, «.«■)«*.
Пусть выполнено одно из следующих условий:
F,{-,u,v>)eL1{a,b), (4.20)
Fx{-,u,u') £ Ll{a,b). (4.21)
Тогда u — гладкая функция и удовлетворяет уравнению Эйлера
-— Fp{x, u, u1) + Fz(x, u, v!) = 0 (4.22)
dx
и уравнению Дюбуа-Реймона
— [F{x, u, u') - u'{x)Fp(x, u, u')] = Fx(x, u, u'). (4.23)
ax
Доказательство. Пусть Qq — максимальный интервал в fi* := [а, 6]
с исключенным сингулярным множеством Е функции и. По теореме 4.6
и — гладкая функция, удовлетворяющая (4.22) и тем самым (4.23) в £20-
Если выполняется (4.20), то, интегрируя (4.22), получаем
\Fp(x, и(х), u'[x))\ ^ const, х € По- (4.24)
Если выполнено (4.21), то из (4.23) выводим, что
\u'(x)Fp{x, u(i),u'(i)) - F(x, и(х),и'(х))\ <£ const, i6fi0, (4.25)
откуда получаем требуемое утверждение, так как условия роста и
выпуклости приводят к соотношению
\Fp{z,u,p)\-*oo, pFp{x,u,p)-F{x,u,p)^oo (4.26)
при \р\ -> оо равномерно по г € [а, Ь] и и принадлежит компактному
множеству в М. Поэтому из (4.24) или (4.25) следует, что и' ограничено в П0
и, следовательно, П0 = [а,Ь]. Докажем (4.26). Ввиду выпуклости F(x,u,p)
пор имеем F(x,u,0) ^ F(x,u,p) — pFp(x,u,p). Следовательно, при р ф 0
-F,(,,u,p)*—^ ^—
Поэтому при фиксированных х и и
lim Fp[x,u,p) = +оо, lim Fp(x,u,p) = — оо.
p-y+co p—f—oo
Так как Fv возрастает по р, при р ^ М имеем F(x,u,p) ^ F(x,u,M).
Отсюда мы заключаем, что первый предел в (4.26) будет равномерным по
(ж, и) на компактном множестве; в противном случае существуют
сходящаяся последовательность (xj,uj) и последовательность pj -> +oo такие,
что lim mf Fp{xj, иj,pj) < оо, что противоречит неравенствам
j —foo
liminf Fp(xj,Uj,pj) ^ liminf Fp(xj,uj,M) ^ Fp(x,u,M)
j —foo j —foo
для всех М. Аналогично рассуждаем при р —>• —со.
Для доказательства второго утверждения в (4.26) заметим, что F(x,
u,l)^F(x,u,p)-[p-l)Fp{x,u,p). Тогда
PFp(x, u,p) - F(x, u.p) > F(:Cp"'P) ^ - F(x, и, 1) -fT,
если р > 1. Поэтому при фиксированных х и и имеем lim \pFp(x,u,p) —
р—foo
F(x, u,p)] = оо равномерно по а; и и, поскольку pFp — F возрастает по p. D
Непосредственно из теоремы 4.9 вытекает следующее утверждение о
регулярности.
Теорема 4.10. Пусть F(x,u,p) — гладкий лагранжиан суперлинейного
роста, удовлетворяющий условию Fpp > 0. Предположим, что либо F зависит
только от и и р, т. е. F =■ F(u,p), либо F зависит только от х и р, т. е. F =
F(x,p). Тогда любая минимизирующая функция u G АС(а, Ь) функционала
T{v) с учетом граничных значений принадлежит C°°([a, b]).
Замечание 1. Если 1 < m < оо, то сформулированные выше теоремы
остаются справедливы (с теми же доказательствами), если мы заменим АС
на Я1-7" в обоих утверждениях и в определении относительного минимума
в сильном смысле.
4.3. ЭФФЕКТ ЛАВРЕНТЬЕВА И СИНГУЛЯРНОЕ МНОЖЕСТВО
В этом параграфе мы покажем ,что строгое неравенство
Ы{Т[и): u G AC(a, b),u[a) = а,и(Ъ) = /?}
< inf {T{v) : u G С1 ([а, Ь]), u{a) = a, u{b) = /?}
может иметь место даже для вариационных интегралов Т с лагранжианами
F[x,z,p) суперлинейного роста. Это так называемый эффект Лаврентьева,
открытый М. А. Лаврентьевым [161] в 1926 г. и исследованный затем в
школе Тонелли в Пизе (см. [271]). В частности, Манья [178] построил пример
полиномиального лагранжиана F{x,u,p), для которого также проявляется
эффект Лаврентьева. Мы изложим подробно пример Маньи с некоторыми
дополнительными обобщениями.
Рассмотрим вариационный интеграл
1
T{v) ~ [{и3 - х)2 и'е dx. (4.27)
о
Очевидно, что и(х) := х1/3 является минимизирующей функцией для Т(и)
в классе С(0,1) := {и G Я1-1 (0,1) :и(0) = 0,и(1) = 1}, так как Т{и) ^ О
для всех и 6 С(0,1) и Т{х113) =. 0. Функция ж1'3 также минимизирует
функционал Т в классе С(0,1) П С1(0,1).
Покажем, что существует положительная константа 7] такая, что !F(u) >
т] для любой функции из С(0,1) с ограниченными производными на (0,1).
Более того, для любой последовательности липшицевых функций {и/,} из
С(0,1), сходящейся равномерно к ж1'3, имеем
Т(ик) -> оо. (4.28)
В частности,
0 = inf Т < inf Т. (4.29)
С(0,1) С(0,1)П1лр(0,1)
В силу (4.28) и (4.29) функцию х113 невозможно аппроксимировать в
энергетической норме функциями класса С(0,1)П1лр(0,1). Кроме того, продолжая
функционал в (4.27) из класса С(0,1) П Lip(0,1) на все пространство С(0,1)
с помощью интеграла Лебега, мы тем самым выбираем некоторое
полунепрерывное продолжение функционала Т, которое не будет наилучшим,
т. е. не будет наибольшим полунепрерывным продолжением Т
функционала Т. Напомним, что наибольшее продолжение Т дается формулой
J{u) := inf{liminf.F(un) :un G С(0,1) П1лр(0,1),и„ =1 и на [0,1]}.
л—>оо
Здесь "ип =3 и на [0,1]" означает, что функции ип сходятся равномерно к
и в [0,1].
Ситуация кардинально меняется, если мы не будем требовать,
чтобы аппроксимирующая последовательность {и„} удовлетворяла граничным
условиям и„(0) = 0 и Un(l) = 1. Тогда и(х) := а;1/3, 0 ^ х <С 1, может быть
аппроксимирована функциями ип G Lip(0,1) такими, что ип =$ и на [0,1] и
Т{ип) ->• F(u), например, функциями вида
Читатель может проверить, что на самом деле можно выбрать даже
такую последовательность ип € С1 ([0,1]), что ип =$ и на [0,1] и !F(un) ->■
Т{и). Более того, можно аппроксимировать и{х) = х1/3 функциями ип (=
С(0, ljnC^O, 1) такими, что u„ =» u и .F(u„) ->■ ^(u), просто полагая ип = и.
Ввиду сказанного, наиболее разумным обобщением задачи
min{:F(u): и G С(0,1) П Lip(0,1)} (7>)
является не задача
min{:F(u):ueC(0,l)}, (^i)
а задача
min{7(u):ueC(0,l)}. {V)
Функционал Т называется релаксированным функционалом для Т, а
задача (V) — релаксированной_задачей на минимум, соответствующей (V).
В общем случае Т{и) ^ Р{и) и класс {u G С(0,1): ^(и) < оо} может
оказаться значительно уже класса С(0,1), хотя любая Я1,1^, 1)-функция
может быть аппроксимирована в Я1,1-норме функциями класса Lip(0,1)
или даже класса С°°([0,1]).
Представляет интерес такой вопрос: Существует ли лагранжиан для
Т, т. е. представим ли функционал Т как интеграл вида
1
У{и) = fj(x, u{x), u'{x)) dxl
Мы не будем останавливаться на этом вопросе, а ограничимся
ссылкой на работу Буттацо-Мизель [51] и обзорную статью Буттацо-Беллони
[48], где этот вопрос исследован довольно подробно. Некоторые замечания
по этому поводу будут даны в гл. 6. Сделаем еще одно замечание. У
читателя может сложиться мнение, что все неприятности с функционалом
Т происходят из-за того, что лагранжиан F(x,z,p) = (z3 — х)2 \р\е не
растет быстрее линейных функций и вырождается при и(х) = х1!3. Однако
это не так. Действительно, рассмотрим произвольное вещественное
число 1 < а < 3/2. Тогда х113 £ #1,<7(0,1). Можно найти положительную
константу е такую, что
1
е
о
Положим
1
f \Dx1/3\° dx < т].
Ti{u) := f [{и3 - х)2йе + e \й\°] dx.
Очевидно, что Ту (и) > т] для всех и 6 С(0,1) с ограниченными
производными на (0,1), тогда как Ji(uo) < V Для wo(z) = х1/3, т. е. (4.29) выполняется с
Т\ вместо Т. Подынтегральная функция Fi(x,u,p) функционала Т\ теперь
невырожденная, выпуклая по р и удовлетворяет неравенствам
e|pr^*i(*.«.iO$cill>l6 + «a.
где ci — положительная константа, зависящая от верхней грани и.
Ниже мы увидим, что подобный эффект может наблюдаться и для таких
подынтегральных функций F(x,u,p), которые гладкие, выпуклые по р и
удовлетворяют условию роста типа
\р\2 $ F{x,u,p) ^ a \p\m + с2, тп> 2.
Теперь докажем высказанные утверждения. Обозначим через Со
кривую (х, х1/3), 0 ^ х ^ 1, в х, у-плоскости и через J?i и Г г — кривые (х, х1^3/2)
и (г,хд/3/4), 0 ^ х ^ 1, соответственно (см. рис. 4.1). Для любой точки
f £ (0,1/2) обозначим через Щ область в х, у-плоскости, ограниченную ГЧ,
Г2 и прямыми х = f и у = 2£. Легко видеть, что в Щ выражение (у3—х)2 до-
49
стигает абсолютный минимум е(£) = —f2. Пусть (х,и(х)), х\ ^ х ^ х2, —
64
абсолютно непрерывная дуга в Щ такая, что (xi,u(xi)) — (f.f1'3/^)- Тогда
?{и, (хих2)) = J[u3(x) - х]2\и'\6 dx > ^2 j И6 dx.
Xl Xi
Используя выпуклость, легко показать, что интеграл / |u'|6da; достигает
своего минимального значения на линейной функции и от (11,12).
Следовательно,
49
Г(и, (яя, га)) £ ^ fWfa) ~ u(Xl)]6(x2 - ц)"5.
Поэтому, если fri.ufri)) = (f.f1'3/*) и {х2,и{х2)) = (2£,у2), где (201/3/4 $
2/2 $ (201/3/2, то
Пи, (хи х2)) ъ^е- Г5 (| (201/3 - ^1/3)6 = 4"6 | (21/3 - 1)Т1
Последнее выражение положительно и стремится к +оо при f -»• 0. Поэтому
можно показать, что существует постоянная щ такая, что 7r(u,(xi,x2)) ^
4i, если мы учтем, что f G (0,1/2).
Рис. 4.1
Опять, если (xi,u(xi)) = (f,f1/3/4), но (яг.ф^)) = (х2,х\,3/2), где
£$ z2 ^ 2е, то
49 ■>
^(и,(*1.*2))^^С2А(я!2,0.
А(х2,0 := (*2,fl-5(*3 -0-5Q*2/S " ^1/3)
Таким образом, в любой фиксированной точке f G (0,1/2) имеем A(z2,f) -»•
+оо при х2 -> f. Поэтому мйнимум Л должен достигаться либо в точке
х2 — 2£, либо в точке х2 = о£, где 1 < а < 2. В первом случае мы опять
получаем Т{и, (11,12)) ^ ifr. Во втором случае
dz
и а удовлетворяет уравнению
которое не зависит от £ и не имеет никаких решений a G (1,2). Таким
образом, Т(и,(х1,х2)) ^ щ, где т}2 — положительная константа.
Наконец, если (х,и(х)), 1/2 ^ xi ^ х ^ х2 ^ 1, — дуга, пролегающая
между Ti и Гг с концами на Г2 и Ti соответственно, то
1 1/3 ^ / л ^ 1 1/3 ^ ^ / \ 1 1/3 , л 1 1/3
-а; ' ^.и{х)^.-х', х1^.х^.х2, и(х1) = -х1' , и(х2) = -х2 >
откуда
^К (,1? х2)) :> g г-2^ - ^г5 Q *2/3 - 1 ^/3У.
Тогда опять получаем Т(и, (xi,x2)) ^ т]3, где tj3 — положительная
константа. Полагаем т] := тш(»71,»72,»7з)-
Если (х,и(х)), 0 ^ х ^ 1, — произвольная гладкая дуга С, где и'(а:)
ограничена на (0,1), то С лежит ниже Г^ в некоторой окрестности начала
координат. Поэтому С имеет максимальную дугу (х,и(х)), ху ^ х ^ х2,
расположенную между Г] и Гг и с концами на Г2 и Ti соответственно.
Если 0 < ii < 1/2, то Т(и) ^ min(77i,772). Если 1/2 ^ ц < 1, то Т{и) ^ щ.
Тогда
1
I {и3 - х)2\и'\6 dx $> т)
о
для липшицевых функций и на (0,1) таких, что и(0) = 0 и к(1) = 1.
Таким образом, если {uj,} — последовательность липшицевых
функций, удовлетворяющих условиям и*(0) = 0 и и*(1) = 1 и сходящихся слабо
в Я1,1 к а:1/3, то .F(ufc) стремится к +оо.
В заключение докажем, что любое замкнутое подмножество Е
интервала [а, Ь] меры нуль может быть сингулярным множеством
минимизирующей функции вариационного функционала, лагранжиан которого F(x,u,p)
имеет суперлинейный рост и удовлетворяет условию F(x, u,p) ^ с0 \р\2 для
каждого р, где со — положительная константа-
Предложение 4.11. Пусть Е — замкнутое подмножество [a, b] нулевой
меры и С(0,1) := {u G AC(a,b):u(a) = 0,u(b) = 1}. Тогда можно найти
функции v G С(0,1), ip,ip 6 С°°(М) и число е > О такие, что ф ^ 0, ф" ^ О
в М., ф о v £ C°°(IR) и для F(x, u,p) :— [<p(u) — 1р^(х))]2ф(р) + ер2 выполнены
следующие утверждения:
ь
(i) функционал Т(и) := I F(x, u, и') dx достигает инфимум на С(0,1),
a
(ii) если и — минимизирующая функция функционала Т в С(0,1), то
сингулярное множество и есть в точности множество Е,
(Hi) имеет место эффект Лаврентьева
inf Т < inf Т.
С(0,1) C(0,l)nLip
Доказательство. Для построения функций v, <р, ф выберем
последовательность {Uk} открытых множеств в №. таких, что measUk < 2к,
Uk+i С Uk, DkUk — E, и последовательность функций {дк} с С°°(М)
таких, что 0 ^ дк ^ 1, дк = 0 в Шп — Uk и дк = 1 на Uk+i- Положим
■= 1 + ^дк, а:= gdx.
fc=i „
Очевидно, что д - 1 Е L2(№), g G С°°(№- Е), j^IbI, д ^ к в Uk+i-
Наконец, положим
с
v(t) := a-1 / g(x) dx, t G [a, b].
а
Легко видеть, что
«еС(0,1), v'eL2(a,b), veC°°([a,b])-E),
v' $> а-1 в [а,Ь], v'^ ка'1 в Uk+i-
Пусть F :— v(E). Тогда F — замкнутое нигде не плотное подмножес-
оо
тво [0,1]. Полагая V := (0,1) — F, можно записать V = (J G„, где {Gn} —
n=l
последовательность компактных множеств таких, что G„ С Gn+i- Пусть
/г„ принадлежат С°°(М), удовлетворяют равенству hn = 0 вне G„, hn ^ 0 в
1 и /г„ > 0 в G„_i. Определим
Vn(0 := / hn(x)dx.
Тогда ipn G С°°(М) и <рп о v G С°°([а,Ь]). Для каждого п выберем 8п > О
такое, что при к = 0,... ,п
Sn\Dkvn(t)\ <С 2-", <ЧД"(^П ov)(t)\ <С 2-", t G [а,Ъ]-
Положим <р = ^2п^п<Рп- Этот ряд и все его производные сходятся
равномерно в №.. Так как <р' = Х^л^п и, следовательно, <р' > 0, заключаем, что
ip g C°°(IR), ipo v б G°°([a,b]), v? строго возрастающая на [0,1]. Для каждого
t G [0,2a] определим
r,(t) ~ Ы{[у(х) - <р(у)]2 :х,уе [0,1], \z-y\2 t/2a]. (4.31)
Так как <р непрерывна и строго возрастает на [0,1], функция щ непрерывна
и возрастает на [0,2a], 7j(0) = 0 и щ{1) > 0 при 0 < t < 2a.
Для к = 1,2,... положим dk ~ dist(£',M- Uk), так что dn убывает и
стремится к нулю. Определим р на (0,оо) следующим образом: p(dn) —
(п — 2)a_1/8, n = 3,4,..., р постоянна на [^з,оо) и линейна на каждом
интервале [dn+i,dn], " = 3,4, Тогда р непрерывна и убывает. Поэтому
p(t) —> +00 при t —»■ 0. Ввиду (16) получаем
v'(t) ^ 8p(dist(t, Е)) для каждого t £ [а, Ь] - Е. (4.32)
Кроме того, р строго убывающая на (0, ^з] и существует непрерывная
убывающая обратная функция на (а_1/8,+оо):
p-4t)v(p-4t)Y
Таким образом, мы определили положительную непрерывную
возрастающую функцию h на [а_1/8,+оо]. Продолжим h как непрерывную и
возрастающую функцию на [0,+оо) так, что h = 0 на [0,/3] при некотором (3 > 0.
Наконец, при t G М- определим
*(*):= Л(1)(£) +£М"+1)(^) ".
где кп — четные положительные целые числа такие, что степенной ряд
имеет бесконечный радиус сходимости. Тогда ip(t) ^ h(n + 1) при t £
[п, п + 1], п = 1,2,..., откуда
1>{t)2h{t), *^0, (4.33)
и ф 6 C°°(IR), ф ^ 0, ^" ^ 0, ^(0) = 0.
Ключевым моментом доказательства предложения 4.11 является
следующее утверждение.
Пусть и £ С(0,1). Предположим, что для некоторого to G Е производная
u'(t0) существует и конечна. Тогда
Я>(«) := [[<рЫх)) ~ <p{v{x))]24>{u'{x)) dx > Q" V8-
Докажем это утверждение. Имеем либо и(*о) $ *>(*с), *о < Ь, либо
и(*о) ^ ^(*о), *о > а. Предположим, что u(t0) ^ v[to), *o < Ь. Аналогичное
рассуждение справедливо и в другом случае. Так как to G Е, заключаем,
что i/(to) = +°о, тогда как и'(*о) конечно и u(to) $ и(*с)- Таким образом,
можно найти to <г <Ь такое, что
и(г)-*(*о)^Иг)-1>(*0)]. (4-34)
Кроме того, так как v(b) = u(b) = 1, найдется s такое, что г < s < b и
«(я) - «(to) = ^ [«(в) - t»(t0)],
I (4-35)
Тогда v(t) - u{t) ^ \ [v(t) - v(t0)] ^ [t - t0)/2a при г ^ t ^ s, так как v' ^ a-1
в силу (4.30). Используя (4.31), получаем
И«(*)) - p(u(t))]2 ^ 4(t - to). (4.36)
В силу (4.32), (4.34), (4.35) и условия v(r) < v(s) при г < s получаем
S —to
и(я) - и(г) ^ - [«(я) - в(*о)] ^ 2 A p(t) Л. (4.37)
о
С другой стороны,
3
u(s) - u(r) = A u'(<) eft = J u'{t) dt+ I u'{t) dt, (4.38)
т G H
где G := {t G (r, s): u'(t) ^ p(t -10)}, Я := (г, s) - G. Тогда
* — t0
J u'dt^. J p(t) dt. (4.39)
G 0
Если t G Я, то в силу (4.33) имеем
^W) a, M„-W) >(<_<^_„).
так как u'(t) ^ p(t — to) влечет p_1(u'(i)) ^ t —10- Следовательно,
u'dt^. (t- t0)Tj[t - t0)ip{u'(t)) dt
Н т
s
^ f(t - *«,)[?(«(*)) - ?(«(*))] WW) Л $ (e - to)^o(u),
г
где мы использовали (4.36). Учитывая это соотношение, а также (4.37)-
(4.39), находим
5 —to
Я
I p[t) dt^(s- *о)Я)(и).
Так как p(t) ^ а_1/8 Для всех t, получаем Т0{и) ~£ а-1 /8, что и требовалось.
Теперь мы можем закончить доказательство предложения. Выберем
е > 0 такое, что
6
8а f v'2{t)dt< 1/е,
и заметим, что
ь
F{v)=e I v,2dt<a-l/Z,
а
поскольку .Fo(f) = 0. Утверждение (i) вытекает из теоремы Тонелли о
существовании. Пусть и — минимизирующая функция в С(0,1). Тогда
Т(и) ^ T{v) < q_1/8, откуда Ро{и) < а-1/8 и в силу приведенного
выше утверждения сингулярное множество Ео функции и содержит Е.
Следовательно, (И) справедливо. Для завершения доказательства надо лишь
показать, что Е0 не содержит точек, лежащих вне Е.
Сначала заметим, что если и — минимизирующая функция
функционала F, то и монотонно возрастающая на [а, Ь]. В ином случае можно найти
точки *о, t\ такие, что а ^ t0 ^ t\ ^ Ь и u(to) = u{ti), если и не будет
постоянной на [toi *i]- Тогда можно уменьшить Т(и), считая и, равной константе
на [to,*i]- Предположим, что Ео — Е непусто, и пусть t G Ео - Е. Можно
считать, что t является концом открытого интервала J с [а, Ь], на котором
функция и гладкая. Можно также считать, что t — правый конец
открытого интервала J (если t — левый конец J, то рассуждения аналогичны).
Уравнение Эйлера — Fp — Fz выполняется в J, и мы имеем
ах
Fz(-, и, и') = 2ч,'(и)[<р(и) - ф)Щи'),
Fp(-,u, и') = Ш - у>(»)] W) + 2ы'.
Так как и монотонно возрастающая и t принадлежит сингулярному
множеству Ео функции и, имеем u'(s) —> оо при s ->• i, s G J. Поэтому при
s -»• t, s 6 J
Fp{s, u{s), u'{s)) -* +00. (4.40)
Если u(t) ф v(t), то
\Fz(x,u(x),u'(x))\ ^ const F(x,u(x),u'(x))
для x, близких к t. Следовательно, Fz G i1(s,i) для s, близких к J. В
силу уравнения Эйлера это противоречит (4.40). С другой стороны, если
u(t) = v(t), то в силу u'(t) = 00 и v'(t) < 00 можно найти s < t такое, что
и(х) < v(x) при s < х < t. Тогда Fz(x,u(x),u'(x)) < 0 при s < x <t, так что
в силу уравнения Эйлера Fp(x,u(x),u'(x)) < 0 убывает на этом интервале,
что опять противоречит (4.40). □
Глава 5
ПРИЛОЖЕНИЯ
Для иллюстрации результатов по существованию и регулярности из
предыдущих глав мы продемонстрируем в этой главе, как применяются прямые
методы на нескольких интересных примерах.
В противоположность изначальной идеи о том, что минимизирующие
элементы можно найти среди решений уравнений Эйлера,
удовлетворяющих заданным граничным условиям, прямые методы и теория
регулярности, развитые в гл. 3 и 4, обеспечивают существование и регулярность
решений краевых задач для уравнений Эйлера, соответствующих
одномерным вариационным интегралам. Несколько примеров рассматривается в
п. 5.1.
В п. 5.2 и 5.3 изложен вариационный подход к спектральной задаче
для оператора Штурма — Лиувилля и к задаче о колебании струны.
Хорошо известно, какое важное значение имела задача о колебании струны в
развитии математического анализа и, в частности, в процессе разработки
понятия функции, теории рядов Фурье и особенно теории гильбертовых
пространств. Здесь мы кратко рассмотрим оценки для первого
собственного значения линейного оператора.
В п. 5.4 рассматривается одномерная (непараметрическая) задача с
препятствием — простейший пример вариационных задач с
ограничениями, которые приводят к так называемым вариационным неравенствам.
В п. 5.5 и 5.6 изложены приложения прямых методов к доказательству
существования периодических решений и, в частности, для гамильтоновых
систем на множествах энергетического уровня.
В п. 5.7 рассматриваются вариационные задачи, которые не
удовлетворяют условиям коэрцитивности. В этом случае прямые методы
неприменимы и необходимо потребовать дополнительные условия согласования,
чтобы обеспечить существование решения.
В п. 5.8 мы опишем общую схему исследования задач оптимального
управления. Для одномерных задач мы приведем общий результат о
существовании оптимальной пары, осуществляющей управление.
Наконец, в п. 5.9 рассматриваются вопросы существования и
регулярности для параметрических вариационных задач.
5.1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим вариационный интеграл
1 1
T(v) — | f(i2 + v2)dx - f fv dx, (5.1)
о о
где / — заданная функция класса L2(0,1). Используя теорему Тонелли или
просто заметив, что интеграл
1
j(i2 + v2)
dx
равен квадрату нормы в Яо'2(0,1) и, следовательно, полунепрерывен снизу
относительно слабой сходимости в гильбертовом пространстве Яд (0,1), а
1
интеграл / fvdx непрерывен относительно слабой сходимости в Яд (0,1),
о
сразу получаем существование минимизирующей функции функционала
(5.1) в пространстве Я^. Действительно, для всех е > 0
я«) >!/V2+«')dx - (If2 d*) (fu2dx)
О 0 0
1 11
^j{u4 + u2)dx-E-fu2dx-±-jf*dx,
О 0 0
а при е = 1/2
i l
T{u) 5> 1 f{u' 2 + u2)dx- f f2 dx.
о о
Так как для всех tp E Hl(G, 1) функция ^(u + ttp) дифференцируема по t,
минимизирующая функция и (которая единственна в силу строгой
выпуклости Т) удовлетворяет уравнению Эйлера
— ^(« + *Vo)|t=o=0 для всех v е Я^(0,1),
которое приводит к интегральному равенству
1 1
/ (и'<р' + wp) dx= I fipdx для всех tp е Яд (0,1). (5.2)
Регулярность и также следует из общих результатов, описанных в гл. 4.
Однако в данном случае регулярность можно установить независимо и
гораздо проще. Действительно, из (5.2) следует, что и решает (в слабом
смысле) краевую задачу
-u" + u = f в (0,1), ы(0) = ы(1) = 0. (5.3)
В частности:
(i) Так как / е L2{0,1) и и е Щ{0,1), из (5.3) следует, что и" е Ь2(0,1),
т. е. и е Я2(0,1). По индукции находим, что если / е Нк(0,1), где А; е N,
тоиеНк+2(0,1).
(ii) Если / б С([0,1]), то и" е С([0,1]), т. е. и е С2([0,1]), так как
любая функция из Я1 (0,1) принадлежит С([0,1]). Так же, как и выше, по
индукции заключаем, что и е Cfc+2([0,1]), если / е Ск([0,1]).
Теперь заменим однородные условия Дирихле ы(0) = ы(1) = 0
неоднородными, т. е. рассмотрим задачу
-и" + и = f в (0,1), и(0) = а, ы(1) = /?. (5.4)
Для гладкой функции и0 такой, что и0(0) = а и ыо(1) = Р (например,
линейной аффинной функции, проходящей через точки (0,а) и (1,/?)), задача
(5.4) эквивалентна однородной задаче Дирихле
-«" + « =/ + <-«!>. «(0)=S(1) = 0, (5.5)
где и — ы + uq.
Аналогично можно исследовать задачу (5.4), минимизируя
вариационной интеграл Т в (5.1) на замкнутом выпуклом множестве, фактически,
линейном аффинном подпространстве
С(а,0) := {v € H\0,l):v(0) = а,„(1) = /?}.
Конечно, в однородном случае оба подхода приводят к одному и тому
же результату .
Теперь предположим, что / принадлежит С°([0,1]) и«£ Я1 (0,1) —
слабое решение задачи (5.4), т. е. u £ C(a,P) и выполняется (5.2). Как мы
уже видели, в этом случае и принадлежит С2([0,1]). Пусть х0 Е [0,1] —
точка, в которой и достигает своего максимума. Если х0 — 0, то и(х) < а
для всех х е [0,1]; если х0 = 1, то и(х) ^ /? для всех х Е [0,1]; если 0 < х0 < 1,
то и'{х0) = 0, и"(х0) $ 0 и, следовательно, и{х0) = f(x0) + и"(х0) $ /(аг0).
Поэтому
и{х) ^ maxia, /?, sup/(a:)} для всех х € [0,1]. (5.6)
(0.1)
Аналогично
min{a,/?, inf f(x)} ^ и(х) для всех х е [0,1]. (5.7)
Эти неравенства известны под названием принцип максимума. На самом
деле они справедливы для слабых решений задачи (5.4) при менее
ограничительном условии: / принадлежит L°°(0,1) и тем самым и не
обязательно будет функцией класса С2. Самый простой путь убедиться в
этом — применить так называемый метод срезок, который состоит в
следующем. Положим А; = max{a,/?,sup/}. Как мы видели в гл. 2, функция
(o.i)
v,W(x) := тах{ы - к,0] принадлежит Ях(0,1) и, фактически, Яо(0,1).
Полагая ifi = v,W в (5.2), получаем
1
/«**+/.,*>*-/**>*,
о
т. е.
1 1
/[(u(fc))2 + fa(fc))2] dx = /(/ - k)uW dx.
о о
Так как / — A: ^ О, имеем
l
f[(uM)* + (uWf]dx^O,
о
т. е. uW — о, откуда следует и ^ к, т. е. получаем (5.6). Аналогично
доказывается (5.7). Таким образом, справедливо следующее
Предложение 5.1 (принципмаксимума). Пусть I = (0,1) ни 6 Я1 (0,1) —
слабое решение задачи (5.4) с правой частью / E L°° (0,1) и граничными
условиями ы(0) — а и ы(1) = /?. Тогда
minia,/?, inf /} ^ u(x) ^ max{a,/?, sup/} для всех х £ I.
(0.1) (0,1)
В частности,
(i) если и ^ 0 на в/ и / ^ 0 на J, то и ^ 0 в /,
(ii) если и = 0 на 81 и f Е Ь°°(/), то ||и||х,«.(/) ^ ||/||x.~(j) и, более точно,
inf/ ^ u(i) ^ sup/ для всех г G J.
1 i
(ш) если f{x) = 0 на1, то |Hlr»(j) $ 1М|г-(э/)-
Теперь рассмотрим однородную задачу Дирихле для линейного
оператора второго порядка в дивергентной форме, т. е.
-{pu'y+ru' + qu = f в /:= (0,1), ы(0) = 0, ы(1) = 0, (5.8)
где р G С1 (7), T,qe С°(Т), / е С°(Г) (или / G Ь2(/)) — заданные функции,
р[х) ^ a > 0 для всех х Е I. (5.9)
Оператор — (ри1)' + ri/ + qu часто называют оператором Штурма — Ли-
увилля.
По аналогии сформулируем слабую постановку задачи (5.8). Найти
функцию и £ #о(0,1) такую, что
1 (pu'ip' + ru'ip + quip) dx = I ftp dx для всех ip E HJ;(I). (5.10)
/ I
Заметим, что любой линейный дифференциальный оператор au"+bu'+
cu, a 6 С1 (I), b e C°{I), можно записать в дивергентной форме, т. е. как
оператор Штурма — Лиувилля (au')' + (b — a')u' + cu. Заметим, что слабая
постановка (5.10) имеет смысл, даже когда р — всего лишь непрерывная
функция на /.
Однако возникает серьезное затруднение, так как билинейная форма
a[u, ip) :— I [pu'ip' + ru'ip + quip) dx
I
не симметрична, и поэтому (5.10) может и не быть уравнением Эйлера ни
для какого вариационного интеграла. Ниже мы покажем простой трюк,
который поможет свести (5.8) к вариационной задаче. Введем
первообразную R функции т/р, т. е. функцию R G С1 (Г) такую, что R' = г/р, и
положим С = е_я. После умножения на С уравнение в (5.8) можно
очевидным образом переписать в виде
-Qpu" - Qp'u' + Cru + Qqu = Cf
или —(Cp^')'+C?u = C/i так как С'р+Ст = О.1 Таким образом, мы приходим
к задачам вида
-(pu'Y + qu = f, и[0) = и{1) = 0, (5.11)
где р, q, f удовлетворяют тем же условиям регулярности, как и выше, и
условию коэрцитивности
р(х) ^ v > 0 для всех х е I. (5-12)
Заметим, что билинейная форма
b(u, ip) := / (pu'ip' + quip) dx
I
симметрична и является уравнением Эйлера для интеграла
2 Jip^ + qv^dx.
43 слабой постановке (5.10) это достигается заменой <р на Cv-
Теперь предположим, что q ^ 0. Используя неравенство Пуанкаре,
заключаем, что вариационный интеграл
T(v) := - / (pi)2 + qv2) dx- fv dx
коэрцитивен в Щ (I) и
^И^^1М1яг-«=11/НЬ(о- (5ЛЗ)
Действительно, для любого положительного е имеем
T{v) ^^Ji2dx- \\f\\L4l)\\v\\L4I) Z^Ji2dx-c0 ШщфЦщ!)
I I
^^Jv2dX-e-\\b\\L4l)-^\\f\\L2{I),
I
откуда при е = v/2 получаем (5.13).
Ввиду коэрцитивности и полунепрерывности снизу функционала Т
относительно слабой сходимости в Hi существует минимизирующий элемент
функционала T(v) в пространстве Hq(I). Этот минимизирующий элемент
является слабым решением задачи (5.11), т. е. удовлетворяет равенству
b(u,tp) — ftpdx для всех <р б Яц(7). (514)
i
Нетрудно убедиться, что он единствен. Действительно, применив метод
срезок, легко видеть, что справедлив принцип максимума.2 Наконец, из
(5.14), т. е. из равенства
/ pu'ip' dx — (f — qu) dx для всех ip G Hq(I)
следует, что pu' принадлежит Ях(7). Поэтому и' = 1/ppu' принадлежит
Ях(/). Следовательно, ^принадлежит Н2(1), если / £ L2(I), или
принадлежит С2(1), если / G С°(1), и удовлетворяет (5.11) в классическом смысле.
Заметим, что при q < 0 метод не работает. Например, задача
-u"-n2u = 0 в (0,1), u(0) = u(l) = 0
имеет бесконечно много решений csimri. Как мы увидим в следующем
разделе, 7г2 является собственным значением оператора —и" с нулевыми
граничными значениями на интервале (0,1).
2Линейность уравнения Эйлера и принцип максимума обеспечивают единственность.
Аналогичный подход можно применить к задаче Неймана. Например,
легко видеть, что для / G L2{I) существует единственный
минимизирующий элемент функционала
- (u2+u2)- fudx
о о
в Я1 (Л, который удовлетворяет при всех <р £ ЯХ(Л равенству
1
(iiip + uip)= I fipdx. (5.15)
/ о
В частности, (5.15) имеет место для всех tp e #о(Л- Таким образом, u e
Н2{1) и, следовательно, и е С1 (7) и -u" + u-f = 0 на /. Интегрируя (5.15)
по частям, находим, что для любой функции tp G Hl(I)
J {-и" + u-f)<pdx + u(l)p(l) - u(0)p(0) = 0.
Так как первый интеграл равен нулю, имеем u(l)tp(l) — й(0)<р(0) = 0 для
всех ip G Я1 (Л) т. е. й(1) = й(0) = 0. Итак, мы решили задачу
-и" + и = /на (0,1), u(0) = u(l) = 0. (5.16)
Аналогично, минимизируя вариационный интеграл
1
- / (й2 + и2) dx- fudx + au{0) - /?u(l),
о /
мы решим задачу
-и"+ u = f на (0,1), й(0) = а, ы(1) = /?.
Аналогичным образом можно рассмотреть смешанные задачи на
отрезке, на одном конце которого поставлено условие Дирихле, а на
другом — условия Неймана, или периодические краевые задачи, в которых
соответствующий функционал энергии полунепрерывен снизу и коэрцити-
вен, т. е. исключены из рассмотрения собственные значения. Мы не будем
обсуждать подробно эти задачи, предоставляя читателю возможность
самостоятельно разобраться с деталями, но лишь отметим, что для решений
задачи (5.16) справедлив следующий принцип максимума:
inf/ ^ u(x) ^ sup/ для всех х е I-
i I
Читатель может легко убедиться в этом.
5.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
В этом разделе мы рассмотрим следующую задачу. Пусть задан оператор
Штурма — Лиувилля L на ограниченном интервале (а, 6), т. е.
Lu := —(ри'У + qu,
где р е С1[[а, 6]), q G С°([а, 6]), р ^ v > 0 для всех х е [а,Ь]. Для упрощения
изложения предположим, что q ^ 0. Рассмотрим задачу на собственные
значения
-{pu'Y + qu = Хи, и[а) = и{Ь) - 0, (5.17)
где А — вещественное число. Значения А, для которых задача (5.17) имеет
нетривиальное решение, называются собственными значениями
дифференциального оператора Аи := — (ри1)' + qu с граничными условиями Дирихле,
а нетривиальные решения, соответствующие этому А, — собственными
функциями, соответствующими А.
Конечно, в (5.17) можно заменить граничные условия Дирихле
условиями Неймана или смешанными условиями. Оставим анализ таких
спектральных задач читателю.
Как мы уже видели в п. 5.1, каждое слабое решение задачи (5.17)
является на самом деле классическим С2-решением. Таким образом,
можно не заботиться о регулярности и проводить рассуждения в слабом Яд-
контексте. Кроме того, по причинам, которые станут понятны ниже,
удобно изучать более общую задачу (5.17): Найти Аии^О такие, что
-{p(x)u'Y + q(x)u = Xtr(x)u, u(a) = u(b) - 0, (5.18)
где <т(х) — непрерывная строго положительная функция на [а, 6], a p(x) и
q(x) удовлетворяют тем же условиям, как и выше. (Заметим, что условие
q(x) ^ 0 можно отбросить, так как можно добавить член с<т[х) с
положительной константой с к обеим частям дифференциального уравнения.)
Для изучения (5.18) рассмотрим гильбертово пространство Щ(а,Ь) и
произвольное замкнутое линейное подпространство V С Hl(a,b). В силу
общего результата о существовании (см. гл. 3) и непрерывности функцио-
ь
нала
/ cu2 dx в L2 справедливо
Предложение 5.2. Пусть V —замкнутое линейное подпространство
пространства Щ(а,Ь) и V ф {0}. Тогда функционал
ь
Т{и) := / (pu2 + qu2) dx
a
достигает инфимум на множестве
ь
W
~Vn |ибЯ£(а,6): /<ru2 dx = А
по крайней мере на одном элементе W.
На самом деле предложение 5.2 легко доказывается без привлечения
общих результатов. Пусть {uk} dW — минимизирующая
последовательность, т. е. T(uk) -» А = infT(u). Очевидно, что [uk] равномерно огра-
ничена в Н^(а,Ь). Заметим, что квадратичная форма Т{и) выводится из
симметричной билинейной формы A(u,v) на Н£(а,Ь) по формуле
о
T(u) = A(u, u), A(u, v) := / (pu'v' + quv) dx.
Поэтому
T(uk) = A{uk, uk) = A(uk -u,uk-u) + 2A{u, uk) - A(u, u)
^ 2A(uk,u) - A{u,u).
Ввиду последнего неравенства Т полунепрерывен снизу относительно
слабой сходимости в #о(а, Ь) и слабо сходящаяся минимизирующая
последовательность сильно сходится в Щ(а,Ь). Перейдя к подпоследовательности,
получаем, что Uk -> u слабо и сильно в Щ{а,Ъ) и, кроме того,
6 6 6
I au\dx —> / tru2dx, т. е. / си dx = 1.
а а а
Теперь определим индуктивно последовательность замкнутых
линейных подпространств #о(а,6). Пусть
6
Vt := Н${а,Ъ), Wi = V1nlu: [<ru2dx=l\.
а
В силу предложения 5.2 существует элемент щ G W\ такой, что
^Ы = .4(111,111) = Ai := inf{^(u) :u € Wi}.
Определим V-j как замкнутое линейное подпространство всех векторов из
Щ(а,Ь), которые "ст-ортогональны" и\, т. е.
ь
V2 := < и e&fab): / <ruuidx = 0>.
Положим
W2
:= У2Г\ l и: / au2dx= \Л
Опять с учетом предложения 5.2 находим элемент и2 € W2 такой, что
?Ы = Л(и2,и2) = А2 := mi{T(u):u EW2}.
Действуя далее по индукции, на шаге п получаем подпространства
ь
Vn := < и G #о (а, Ь): I пищ dx = 0, i = 1,2,... , тг — 1 >,
а
Ь
rn —Vnn\u: [<ru2dx=l\
W,
и находим элемент ип £ Wn такой, что
^К) = Л{ип,ип) = А„ := Ы{Т{и):ие Wn].
Затем определим Vn+i следующим образом:
ь
Vn
Vn+1 := I и е Vn : / аищ dx = 0, г = 1,2,... , n У
Так как
ь
Vn+i = < и е Vn : / сиип dx = 0 >,
получаем W\ Э W2 D Wz ■ ■ ■ D Wn D Wn+i Э • • • . Следовательно,
Ai ^ A2 ^ • ■ ■ ^ A„ ^ An+i
Кроме того, последовательность {ип} "ст-ортогональна", т. е.
ь
/ <типик =6пк. (5.19)
а
Теперь покажем, что А„, ип для каждого п е N являются
соответственно собственным значением и собственной функцией оператора
Штурма — Лиувилля Аи = — {ри'У + qu с условиями Дирихле. Этот факт
вытекает из результатов п. 1.2 следующим образом. Если tpi G Ц, е ф О,
б
/ <т(щ + e<pi)2 dx = 1, то Т(щ + etfi) ^ А,-, откуда
а
Ь
Л(щ + eipi,Ui + etpi) ^ А* / <т(щ + ещ)2 dx для всех щ G V{.
Групируя члены при степенях е, запишем
ь
2е\А(ъ, tpi) - А,- / cunpi dx + е2 А(&,40,-) — A, / aip2 dx\ ^ 0
для всех еб1. Поэтому
ь
Л(щ, (fi) — А,- / a-Uiipi dx = 0 для всех ipi £ VJ-.
С учетом (5.19) получаем
Л{щ,ик) = Xi6ik, (5.20)
откуда
ь
Л{щ,<р) — А,- / cuiipdx = 0 для всех <р е #j}(a,Ь), (5.21)
а
а это означает, что uj является слабым решением задачи (5.18) при А = Aj.
Таким образом, мы установили, что совокупность задач минимизации
ь
mm
a
Ь
irJ / (jm2 + qu2)2 dx :u G Wn >
определяет последовательность {(An,un)} собственных функций un и
собственных значений А„.
Теперь покажем, что система (А„, un) полна в следующем смысле: если
(А, и) является решением задачи (5.18) ии^О, то А должно быть одним из
чисел Ап и и должно быть кратным un. Это утверждение можно выразить
так: А является простым собственным значением.3 Сначала покажем, что
lim A„ = +оо. (5.22)
П-УОО
В противном случае последовательность {Ап} должна быть ограниченной и
можно выделить подпоследовательность {uni}, слабо сходящуюся в Hq(o, b)
к некоторой функции и. Тогда (перейдя к подпоследовательности)
ь
I *
(т(и — uni)2 dx —¥ 0, z —¥ оо,
33аметим, что собственные значения, соответствующие периодическим граничным
условиям, не являются простыми. Например, А = п2 — двойное собственное значение
длн и" + Хи = О с собственными функциями sinnz и cosni на (0,2ir).
и, следовательно, из (5.19) вытекает, что
ь
I erfai, — un)z dx = 2, к ф 7i,
а
откуда
ь
/ сг(и — u„)2 dx = 2 для всех п;
а
мы приходим к противоречию. Теперь покажем, что любой элемент v G
#о(а,6) представим в виде с--ряда Фурье, т. е.
со
« = У]с,чл-|
i=l
где с,- — а-коэффициенты Фурье и относительно Uj, т. е.
ь
с,- := / стлц- dx.
со
Пусть w„ = ]Г] CjUj. Очевидно, что w — v„ принадлежит Vn+i, и ввиду ми-
нимальности A>,+i заключаем, что
ь
А{у -vniv-vn) ^ A„+i / er(v - vn)2dx. (5.23)
а
Из соотношений (5.19) и (5.20) следует
ь ь то ь ь
I er{v - vn)2 dx= I crv2 dx - ^ c2 = / еги2 dx — I era2 dx, (5.24)
a a ,—* a a
n
A{v -vn,v- vn) = ^(w,v) - 5^A,-C( = -4(w,u) --4(wn,w„). (5.25)
i=l
В силу (5.22) существуете такое, что А„ > 0 для всех п^ N. Поэтому
из (5.23) и (5.25) находим
ь
O^fciv-vn)2dx ^ KliAv,«), (5.26)
откуда
ь
J a{v - vn)2 dx -»• 0. (5.27)
a
В силу (5.24)
ь ь
I avn dx —> \ Gv dx
или, эквивалентно,
ь „
/ crv2dx = 2_]с1-
Из (5.25) находим
п
A{vn, vn) = Y2 Л»с.? ^ A(v, v).
i=l
оо
Следовательно, ряд ]Г] ^*<$ сходится. Таким образом,
i=i
Г
/ a(vn - vm)2 dx = ^2 ci -»• °.
i-m+1
(5.28)
A[vn — vm,vn-vm)= Y2 A,-c?->0,
i=m+l
если n > m и n, m -> оо. Ввиду коэрцитивности J" последовательность
{un} является последовательностью Коши в Яо(а,6), а в силу (5.27) окон-
оо
чательно заключаем, что «„чив Н^[а,Ь). Кроме того, A{v,v) = ]Г] А,с?.
Наконец, рассмотрим произвольное решение (А, и) задачи (5.18). Имеем
ь ь
А / <гищ dx = А{и, щ) = Aj / o-u,-u dz,
откуда
о
(А — А,) / <тищ dx = 0 для
всех г.
Следовательно, если А ф \ для всех г", то в силу (5.28)
оо
/ (7U2 dx = 2_] I о"ищ dx = О,
"* i=i
откуда и = 0. Поэтому Л = А,- для некоторого г. Докажем, что все \{
являются простыми собственными значениями. Для этого допустим, что А
совпадает с двумя собственными значениями из последовательности {А„}.
Тогда можно найти две линейно независимые функции щ и й2, которые
будут собственными функциями, соответствующими А, и любая
линейная комбинация /Ш1 + -уЩ = 0 также будет собственной функцией,
соответствующей А. Очевидно, что можно найти числа ц и -у такие, что
fj,ui(a) + 7^2(1) = 0 и рй{(а) + 7^2(а) = 0- Однако ввиду единственности
решения задачи Коши тогда выражение цЩ + 7^2 тождественно равно
нулю, что противоречит независимости щ и йг- Таким образом, мы доказали
полноту системы [Хп,ип)-
Суммируем полученные результаты в следующей теореме.
Теорема 5.3. Задача на собственные значения (5.18) имеет бесконечно
много собственных значений. Они сгущаются на бесконечности, и каждое
собственное значение простое. Полная последовательность {А„, и„}
собственных значений А„ и собственных функций un, где Ai < A2 < ■ ■ ■ < А„ -»■ оо,
может быть получена решением рекурсивной последовательности задач
минимизации
ь
mm ~"
где
|Т{и) := При2 + qu2)dx-.ueWA,
a
Ь
rn:=Vnnlu:f(Tu2dx = l\,
a
Ь
= H^[a,b), Vn = lu£Hl{a,b):l(ruuidx = Q, i = 1,2,... ,n- li.
Другими словами,
A„=irK) = min|T^-:u?t0,u6Vr„|. (5.29)
J au2 dx
a
Последовательность {(Aniu„} удовлетворяет двум соотношениям полноты
ь ™ ь ь
/оо г г
(tvw dx = 2_, I <TVUi dx J a-wui dx, A(v, w) = 2_]A(v, щ)А(гп, щ)
»=i J J i=\
и любой элемент v € НI (а, 6) может быть записан как ряд Фурье в виде
v — 2^ <ЧЩ, ci = / сгьщ dx.
Кроме того Ai > 0, если q ^ О.
ь
Величину Т(и) I I au2 dx часто называют отношением Рэлея.
a
Замечание 1. На самом деле ряд Фурье сходится равномерно и даже в
некоторых классах Ch, если коэффициенты р, q, a достаточно гладкие. Для
общих краевых задач собственные значения не обязательно простые
(например, в случае периодических граничных значений). То же замечание
верно для систем и операторов с частными производными.
Чтобы охарактеризовать n-е собственное значение А„, согласно
теореме 5.3 необходимо знать предшествующие п — 1 собственные функции
ui,... , u„_i. Поэтому эту теорему часто называют рекурсивной характе-
ризацией собственных значений. В следующей теореме представлена другая
характеризация.
Теорема 5.4 (минимаксная характеризация собственных значений).
Рассмотрим 7i — 1 произвольных функций vi,... ,г)„_1 класса L2[a,b). Пусть
ь
d(vi,... ,vn) — инфимум отношений Рэлея Т{и) I I au2 dx по всем u G H£(a,b)
а
Ь
таким, что и ф О, / auvi dx = 0, i = I,... ,п — 1. Тогда n-е собственное зна-
a
чение А„, определенное в (5.29), имеет вид А„ = max{d(i>i,... , u„_i)}.
Доказательство. Пусть uj.,... ,un — первые п собственных функций
7»
задачи (5.18), определенных в теореме 5.3. Положим и = J2 c«'u«> c»' G №, и
рассмотрим 7г — 1 уравнений
о
Ь
cruv{ dx = 0, г = 1,... , п — 1
a
относительно с\,... , с„. Существует нетривиальное решение ci,... , сп, ко-
п
торое можно нормировать условием $2 с? = 1. Поэтому
;=i
Г
<ru2dx=l, Т{и) = ^2л<с< ^ л*.
•I i=l
откуда
d[vi,... , w„_i) ^ A„ для любых tJi,... , un_! G L2[a, b)
и A„ =d(ui,... ,u„_i). □
В завершение наших исследований спектральной задачи для
оператора Штурма — Лиувилля отметим, что собственные значения зависят от
граничных условий и от области. В частности, используя вариационную
характеризацию и единственность решения задачи Коши, заключаем, что
если Afc(a,6) — к-е собственное значение задачи (5.18) в области (а, Ь), то
Afc(c.d) ^ Afc(a,b), если (а, Ъ) с (c,d), причем неравенство строгое, если
(а, Ь) — собственный подынтервал (с, d).
Слабая монотонность собственных значений Afc (a, b) в зависимости от
области (а, 6) непосредственно следует из теоремы 5.4, так как множество
соответствующих функций для большего интервала содержит аналогичное
множество для меньшего интервала. Для доказательства сильной
монотонности предположим, что с ^ a < Ъ < d и \k(c,d) = Afc(a,b). Затем выберем
последовательность {/Зт} вещественных чисел /Зт таких, что
b<Pl<P2<---<Pm< Ртп+1 <-■-<£*-
Пусть Afc(c,/3m) — собственные значения для (c,/3m) «iij'e H^(c,pm) —
соответствующие собственные функции. Ввиду слабой монотонности А*
имеем Afc(c,d) ^ Afc(c,/3m) ^ Afc(a,fc), откуда Xk(c,d) = Afc(c,/3m) = Afc(a,6)
для всех тл G N. Определим Wm б Hl(c,d) по формуле Wm(x) := и™(х)
при а; б [с./Зт] и гит(э:) := 0 в иных случаях. В силу единственности
решения задачи Коши и™ (г) не может тождественно обращается в нуль на
подобласти (с,рт). Поэтому для любого т £ N функции w1,... ,wm
линейно независимы. Предположим, что vi,... ,um-i G^^d)'— собственные
функции, соответствующие Xi(c,d),... ,Am_i(c,d) на интервале (с,d).
Положим w = ciwi-\—cmwm б Яо(с,^), где ci,... ,cm £Ш. Можно определить
(ci,... , ст) ф (0,... , 0) следующим образом:
d
I erwvj dx = 0, j = 1,... , in — 1.
с
Так как г^,... , Wm линейно независимы, мы заключаем, что ш/Ои
поэтому можно считать, что
d
I aw2 dx = 1.
с
Тогда в силу характеризации Am(c, d) из теоремы 5.3 имеем Am(c, d) ^ ^(ш)
для всех m б N, где
d
■^(v) ~ -А[(р, -ф), А{<р, -ф) := / {рр'чр' + qtpip) dx.
Кроме того,
Pi Pi
j {pw'jip' + qwjip) dx = Afc(c,/3j) / awjtpdx
с с
для всех (р е H^(c,Pj). Таким образом, при I ^ j
d
A(wj, W[) = Afc(c, d) I a-WjWi dx.
с
Так как A[wj,wi) = A(wi,wj), это соотношение справедливо для любой
пары (j,l). Поэтому
л
?W) = X] ciciA(w3i w') = Мс. d) ^ cjci / erwjwi dx - Afc(c, d).
Следовательно, Am(c, d) ^ Xk(c,d) для всех m£R Однако это невозможно,
так как Am(c, d) -» оо при т —» оо, так что Afe(c,d) < Afc(a,6), если (a, 6) С
(c,d), (",b)#(c,d).
В заключение заметим, что построенная теория существенно зависит
от того факта, что мы рассматриваем задачу (5.18) на ограниченном
интервале. В случае неограниченных интервалов спектр оператора Штурма —
Лиувилля может быть непрерывным.
Теперь мы докажем теорему о числе нулей произвольной собственной
функции и (заметим, что и(х) Щ 0 по определению).
Теорема 5.5. n-я Собственная функция un задачи (5.18) имеет в точности
п — 1 нулей на (a, b), и между двумя соседними нулями un на [a, b] находится
В ТОЧНОСТИ ОДИН НуЛЬ Un+1-
Доказательство, (i) Любая собственная функция и может иметь лишь
конечное число нулей на [a,b]. В противном случае должна существовать
точка сгущения с нулей функции и, и тогда и(с) — и'(с) = 0, откуда и(х) =
О, что противоречит определению.
(ii) Собственная функция ui, соответствующая наименьшему
собственному значению А, не имеет нулей в (a, b). В противном случае мы рассмотрим
наименьшей нуль £ функции ui(x) на (a,b) и положим v(x) := ui[x) при
а ^ х ^ f, v(x) := О при f < х ^ Ь. Тогда v(x) ф. О на (а,6) и v G Я^(а,6).
Поскольку
ь
A{u,v) — \\ I iruvdx,
имеем
ь ь
Ai = / (pi2 + qv2) dx J I av2 dx.
Так как Ai — минимум отношения Рэлея на функциях и ф 0 из Щ (а, Ь),
функция v является собственной функцией, соответствующей
собственному значению Ai, и v(x) — 0 при f < х < Ь, что противоречит (i).
(iii) Предположим, что и — собственная функция на (а, 6),
соответствующая собственному значению А. Пусть а и /? — два последовательных нуля
функции u(x), a ^ а < /3 ^ 6. Тогда А — наименьшее собственное значение на
интервале (а,/3) и uL ., — соответствующая простая собственная функция.
Очевидно, что сужение и(х) на [а,/?] является собственной функцией на
этом интервале, соответствующей собственному значению А. Пусть v\ —
собственная функция на (а,/3), соответствующая наименьшему собствен-
/■
ному значению ц\ на этом интервале. Если А > ц\, то / crui;icfa; = 0 и
vi(x) ф 0 на (а,/3) в силу (ii). Так как сг(х) > 0, функция и(х) меняет знак
внутри интервала (а,/3), что противоречит условию на и.
(iv) Предположим, что и и v — собственные функции на (а, 6),
соответствующие собственным значениям А и у. соответственно. Пусть а и /? —
последовательные нули функции и на [а,Ь], где а < (3, и пусть А < р.. Тогда
существует по крайней мере один нуль £ функции v ва < £ < р. В противном
случае существуют два последовательных нуля -у и S функции v такие, что
a^-y^a<P^S^b. Однако одновременное выполнение равенств а = 7 и
(3 = 8 невозможно, так как тогда и и v должны быть собственными
функциями на (а,/3), соответствующими наименьшему собственному значению
на (ог,/3), что противоречит неравенству А < ц. Таким образом, [а,0]
является собственным подынтервалом [7,<Ч, скажем, /? < 6, и vL „ является
собственной функцией на (■у,6~), соответствующей собственному значению
у., которое является наименьшим собственным значением на (7, S) согласно
(iii). Таким образом,
fj. = min <
о
I (jpw2 + gw2) dx
2
в
I erw2 dx
< 7
■.■ш£Н1{7,6),-шфО
С другой стороны,
/
А = / (pi2 + qv?) dx/ <ru2 dx,
так как и[а) = u(/3) = 0. Поэтому функция w(x) такая, что w(x) := и[х)
при q ^ х ^ /?, w(x) := 0 при 7 $ х ^ а и /3 ^х8, принадлежит Hq(j,S) и
удовлетворяет условию
6 в
А = / (pw2 + qw2) dx I J aw2 dx ^ fi,
1 т
что противоречит предположению А < \x.
(v) Между двумя последовательными нулями u„ имеется в точности один
нуль un+l. Это утверждение получается применением (iv) к и = и„ и
v = un+i с учетом А„ < Ап+1.
(vi) Собственная функция un на (а, 6) имеет по крайней мере п — 1 нулей
на (а,Ь). Это утверждение получаем по индукции из (v).
(vii) Собственная функция ип имеет не более, чем п — 1 нулей на (a, b).
Предположим противное. Пусть ип имеет не менее п нулей £i,... ,6» на
(с,6), а := & < 6 < 6--- < £» < £n+1 =_Ь. Положим Ij := Kj-i.fj],
j = 1,2,....n+1, £ :=£,, Г = (a, {J, т. е. /' = Л U/2 U ... U/„. Пусть
Wj[x) := fcju„(z) при х G /j И njj(ai) := 0 при a: G [а,Ь] — J, 1 ^ j ^ п, где
kj G М выбрано так, что
о
/■
и? dx = 1.
Тогда функции wi,... , wn принадлежат Я1 (a, f) и удовлетворяют условиям
/ awjwkdx = tfjfc, / (рЦщ4 + giujiufc) dx = Antfjfc.
Выберем произвольно функции vlt... ,w„_i G L2{a,g). Тогда можно
определить тг-ку (ci, C2, - - - , cn) G Ж" — {0} такую, что w := c^w1 + c2w2 H cnwn G
#o(a,£) удовлетворяет условию
/
erwvi dsc = 0, 1 ^ l $ 7i — 1.
Теперь нормируем (cx,... , cn) так, чтобы c^ + c^-i 1- cj[ = 1. Тогда
/
(rw2 dx = 1.
Поскольку
(рй)2 + gu)2) da; = ^ A„£j-fcCj-cfc = A„,
j,fc=i
применяя принцип минимакса Куранта (теорема 5.4), заключаем, что п-е
собственное значение А^ на интервале V = [а,£] удовлетворяет условию
Х'п < А„. С другой стороны, этот принцип утверждает сильную
монотонность А„ < Х'п, так как Г = [а,(\ является собственным подынтервалом
[а,Ь], и мы приходим к противоречию.
(viii) В силу (vi) и (vii) п-я собственная функция ип на (а, Ь) имеет в
точности п — 1 нулей на (а, Ь). Ввиду (v) существует ровно один нуль un+i
между двумя последовательными нулями аир* функции un, a ^. a < 0 ^.Ь, и
мы заключаем, что un+i(a) ф 0 при а > а и u„+i(/3) ф 0 при /3 < 6. □
Представляет интерес вопрос об оценках собственных значений, в
частности, первого собственного значения. Этот вопрос очевидным образом
связан с задачей оптимальных неравенств таких, как оптимальная
константа в неравенстве Пуанкаре. Прямые методы, так же, как теория поля
и ряды Фурье, оказываются прекрасным средством для выяснения этого
вопроса. Мы не будем обсуждать результаты в этом направлении
подробно, а ограничимся лишь некоторыми простыми результатами, связанными
с оператором —и".
Сначала рассмотрим задачу на собственные значения
—и" — \и на (a, b), u(a) = и(Ъ) = 0.
(5.30)
Как мы видели выше, все собственные значения задачи (5.30)
положительны и первое собственное значение Ai равно инфимуму отношению Рэлея —
Ритца
/ ь
Ai = min <
/*
dx
а
I и2 dx
:и€Н%{а,Ь),ифО
Эквивалентно, обратное число к Ах может рассматриваться как неулучша-
емая константа в неравенстве Пуанкаре
и о
I и2 dx ^ — I й2 dx для всех и 6 Н\{а, Ь).
В этом случае имеем Xi
-ш
Более точно, справедливо
Предложение 5.6. Последовательность {А„} собственных значений задачи
(5.30) определяется формулой
An = "2(db) ' п=1-2----'
( я? — о \
■ собственными функциями ип(х) = sin I nir J. В
частности.
где равенство имеет место тогда и только тогда, когда и пропорциональна
( х — fl\
первой собственной функции, и(х) = Csinl я- ).
V b-aj
Доказательство. Так как все собственные значения задачи (5.30)
положительны, общее решение уравнения u" + Xu = 0 определяется формулой
u(x) = Csin[y/X{x - iD)], где С и xD — константы интегрирования. При
граничных условиях u(a) = u(b) = 0 получаем, что л/Х{а - х0) и л/А(Ь — х0)
являются целыми кратными эт, что приводит к равенству
■=*Ш'-
(5.31)
где и — целое число. Поэтому любое собственное значение имеет вид (5.31)
и соответствующая собственная функция определяется равенством
un(x) = sin [ П7Г 1. (5.32)
\ b-aj
С другой стороны, легко видеть, что функции un в (5.32) и числа А„ =
п2(тт/(Ь — а))2 удовлетворяют условиям
u" + A„un = 0, u„(a) = u„(6) = 0,
и потому являются собственными функциями и собственными
значениями задачи (5.30). Полагая п = 1, получим первое собственное значение
Xi = (jt/(6 — а))2, обратное к которому будет неулучшаемой константой в
неравенстве Пуанкаре. □
Теперь предположим, что допустимые функции для функционала Т
должны удовлетворять лишь условию и(а) = 0, а значение u{b) может быть
произвольным. В силу п. 1.2 тогда для уравнения Эйлера надо поставить
естественное условие u'(b) = 0, т. е. задача на собственные значения и
собственные функции принимает вид
-u" = Xu на (а, Ъ), и{а) = 0, и'(Ь) = 0. (5.33)
Общее решение дается формулой и{х) — Csm[y/\(x — хв)]. При граничных
условиях u(a) = u'[b) = 0 получаем, что л/А(а — хо) и у/Х{Ь — х0) — 7г/2 будут
целыми кратными тг, и поэтому
(П7Г — ТГ/2"\ '
Ь-а )
(5.34)
для некоторого целого п. Соответствующая собственная функция
определяется по формуле
un(x) =sin ( п--J7r—— (5.35)
С другой стороны, функции ип в (5.35) и числа АП| определенные по
формуле (5.34), удовлетворяют уравнению (5.33). Поэтому первое собственное
значение есть Ai = -(ж/(Ь — а))2, а обратное к нему будет неулучшаемой
константой в неравенстве Пуанкаре, где задано лишь и(а) = 0.
Суммируя вышесказанное, сформулируем следующее
Предложение 5.7. Последовательность {А„} собственных значений задачи
(5.33) определяется по формуле
с собственными функциями
В частности,
Ь 2 6
/ u2 dx ^ 4[ 1 I й2 dx для всех u G H1(a,b), u(a) = 0,
a a
где равенство имеет место тогда и только тогда, когда и пропорционально
первой собственной функции, т. е.
, . _ . (ж х - а\
u(z)=Csin^-—J.
Теперь рассмотрим случай, когда оба значения u(a) и и(Ъ) могут быть
произвольными. Этот случай соответствует спектральной задаче
-u" = \u на (а,Ъ), ы'(о) = ы'(6) = 0. (5.36)
Действуя как и выше, получаем, что собственные значения определяются
формулой
Xn = {n-l)2(-^j , 71 = 1,2,...,
а соответствующие собственные функции будут такими:
( X ~* Q \
un(x) = cos I (n — 1)7Г 1.
\ Ь-aJ
Заметим, что для первого собственного значения имеем Ai = 0 и
пространство соответствующих Ai = 0 собственных функций есть пространство
констант; оно ортогонально в L2(a,b) подпространству функций с нулевым
средним по (а, 6). Из этой вариационной характеризации собственных
значений вытекает равенство
о
j\A2dx ь
ы\ —ь -.иеН^а.Ь), fudx=0
h
dx
'№'
Таким образом, справедливо
Предложение 5.8. Для любой функции u G ^(а.Ь) с нулевым средним,
справедлива оценка
I u dx — О,
a
Ь 2 Ь
fu2dx<£ (Ь-^-) f\u'\2dx,
где равенство имеет место тогда и только тогда, когда
и(х) = С COS ( 7Г I .
V b~aJ
Аналогично доказывается
Предложение 5.9. Для любой периодической функции u e Я1 (а, 6) с
нулевым средним справедлива оценка
ь 2 ь
Ju*dz$(j^ J\ufdx,
a a
где равенство имеет место тогда и только тогда, когда
„(я) = ^cos(^z) + Bsm(^-z).
В качестве следствия равенства Парсеваля получаем
Предложение 5.10. Для любой периодической функции u e H1(a, Ь)
(5.37)
где равенство имеет место тогда и только тогда, когда
л г, ( 2*- \ „ ■ ( ^ \
и(х) = +А + В cos I 1 I + С sin I х I.
Доказательство. Выполняя замену переменной х = а + ——в и пола-
гая /(в) = и(а + (6- а)/(2тт)в), из формулы (5.37) находим
JfdS-JtfFM^^Qfde). (5.38)
0 0 О
Разлагая /(б) в ряд Фурье и учитывая, что ряд Фурье сходится в Я1-норме,
так как / е Я^О^тг), получаем
1 оо с»
/(в) = - ао + ^(а|, cos кв+bk sin кв), /'(в) = ^ к(-ак sin A6+fcfc cos кв).
fc = l * = 1
В силу равенства Парсеваля
2тг со 2* оо
//* «w = *[£ «2+ 2>2+ **)]• /l/la«w = *E*a(°2 + *2).
о fc=1 о °
откуда следует (5.38). Более того, равенство в (5.38) имеет место тогда и
только тогда, когда f(e) = - аа + ai cos б + bi sin в, т. е.
, х . „ ^ 27Г \ ^ . / 2тг \ ,_,
u(i) = Л + 5cosl il+Csinl- х\. □
Как показано в п. 2.1, неравенство
i/g /г \Vp
(J\u\*dx^ " $с(р,д)Ц\иГ<1х^
о о
справедливо для всех u G Яо'р(0,1) и р, q ^ 1 или, эквивалентно,
Г / \и\ч dx} ^ с{р, д){Ъ - ау-ЧР+Чч ( f |u'p> dx\ (5.39)
а а
для всех и £ н1'р(а,Ъ).
Заканчивая этот параграф, покажем, что неулучшаемая константа
с(р, д) в (5.39) определяется при р > 1 формулой
где р' — сопряженный показатель к р, т. е. 1/р+ 1/р' = 1, и В — так
называемая Р-функция. Напомним, что /?-функция В(х,у) определяется
при х, у > 0 по формуле
1
В(х,у) = Jt^il-t)*-1^
о
или, эквивалентно,
ir/2
В{х, у) = 2 f cos237"1 в sin22'-1 в d6.
о
Несложно показать, что в терминах 7-функции Эйлера
оо
Т{х)= ff-xe-*dt (x>0)
о
Г(х)Т(у)
можно записать В(х,у) = ч • Напомним (доказательства можно най-
Г(х + у)
ти, например, в [101]), что
Г[х + 1) = хТ(х) для всех х > 0, Г(п + 1) = п! для всех n G N,
В(1/2,1/2) = Г(1/2) = V5F-
Докажем следующее
Предложение 5.11. Пусть 1 < р < +оо и 1 ^ q < +00. Для любой функции
u £ Яо'р(а, Ь) справедливо неравенство
(h^4^'-\+:j^;:,wM^
i/p
Доказательство. Сделаем замену переменной i = a + (Ь — a)t и
предположим, что а = 0 и Ь = 1. Очевидно, что неулучшаемая константа c{p,q)
в (5.39) будет тогда обратной величиной для
1
] (5.41)
о о
или, эквивалентно,
1
inf [ Г /" Ир аЛ :uE Я^р(0,1), f \u\q dx = l|
sup <
о
1
1/р
:U6^'7(0,1),^0
> .
(5.42)
Используя прямые методы вариационного исчисления и учитывая
компактность вложения Яо'р ■^ Lq, заключаем что инфимум в (5.41) или
супремум в (5.42) достигается. Заменив каждый элемент и„
минимизирующей последовательности на |г/„|, мы видим, что инфимум в (5.41) или
супремум в (5.42) достигается на неотрицательной функции и. Согласно
общей теории из п. 1.2 и является слабым решением задачи
(\и'\р- V)' + Аи"-1 = 0, и(0) = и(1) = 0, и^О (5.43)
в следующем смысле:
1 1
/ \u'\p-2u'ip' dx-X ич~1<pdx = 0 для всех <р € С*{0,1), (5.44)
о о
где множитель Лагранжа А определяется по формуле
1 1
А= I \и'\р dx I I \и\" dx.
Из (5.43) получаем, в частности, что Iw'C-2**' — абсолютно непрерывная
функция. Теперь фиксируем х\ < xi в (0,1) и выберем в (5.44)
последовательность <рп такую, что (очевидно, что (5.44) справедливо также для всех
непрерывных по Липшицу функций <р с компактным носителем в (0,1))
О, 0 ^ х ^ xi — 1/п,
п(х — xi + 1/п), х\ — 1/п < х ^xi,
Vn{x) = < 1, xi < х < х2,
—п[х — х2 — l/n), xi ^ а; < х2 + 1/п,
.0, хг + 1/п <£ а; ^ 1.
Имеем
12 1 1
О < А / и5-1 da; = lim А / ич~ 1<рп dx - lim / luT" Vw' dx
xt О О
= li/'^i)!"-2"'^!) - КЫГ2и'(а:2).
Неравенство строгое, если и не обращается в нуль на (агьагг)- Поэтому
]и'\р~2и' убывает на (0,1) и, следовательно, и' убывает на (0,1).
Мы можем нормировать (возможно, изменив значение А) функцию и
так, что maxu = 1. Умножив (5.43) на и' и воспользовавшись равенством
■и?(\и'\р-2и')' = — {\v?\p)', получаем, что
— \uf + - и9 = const.
Р Я
Выписав это уравнение в точке х, в которой и достигает максимума, и(х) =
1, находим
I |„'|Р + h. иЯ _ I |и'^)|" + - 11*(х) = -
Р Я У Ч Я
и, следовательно,
|«Г = ^(1-««).
Легко видеть, что точка х является единственным нулем и'. Поэтому
u'(l - uq)-lfp
= i(рЭД1/р на (0.x),
\-tf\/qy/r на(х,1).
Так как
1
/"(1 - и«)-1/р dx = / u'(l - ui)-1'p dx = x(p'A/g)1/p,
о о
1 1
/"(1 - u9)-1/'' dx = /" 1/(1 - u<>)-xlp dx=[x- l){p'\lqY,p,
0
находим x = 1/2. Поэтому
l
(p'A/g)1/p = 2|(1 - г/*)"1'* Ax = ^ B(l/g, 1/p')
о
и для и получаем задачу
и'{1 - и*)-1'? = - B(l/q, 1/р') на (0,1/2), «(0) = 0, «(1/2) = 1.
Я
Таким образом, и явно определяется по формуле
[ (1 - s5)-1/p dx = — B(l/g, 1/p'), 0 < х <<: 1/2,
о
и и[х) = и{1 — х) при 1/2 ^ х ^ 1. Простыми вычислениями находим
1 1/2 1
- - Jf
fu5dx = 2 [ ugdx = 2 l^-du^
J J J V q + p1
0 0 0
1 1/2 1
J WY dx = 2J \u'\p dx = 2J [и'Г1 du = (2*Д^
„_1jl_ (2B(l/q,l/P'W
P1) '
откуда получаем требуемое утверждение в силу формулы (5.42). □
Замечание 2. В предельном случае р = 1 легко показать, что
супремум в формуле (5.42) не достигается в пространстве Н0' (О,1), а только на
функции и е BV[M) вида
. . Го, х < 0 или х > 1,
u(x) = \i. -e(o,i).
Поэтому c(l,q) — 1/2 для всех д ^ 1.
Аналогично, когда q = +oo ир^1, нетрудно показать, что
ЧкГ"еЯ"(0'1)"'*0}
достигается на функции и(х) — 1 — \2х — 1|, так что с(р,оо) = 1/2 для всех
5.3. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
Рассмотрим идеально упругую струну, находящуюся под растягивающим
напряжением т вдоль оси х с концами, закрепленными в точках х = О и
х = L. При такой конфигурации струна находится в состоянии
равновесия. Допускается свободное колебание струны в плоскости, содержащей
ось х, так, что каждая частица струны движется по прямой,
перпендикулярной оси х. Предполагается, что амплитуда колебания настолько мала,
что наклон струны в любой точке мал в каждый момент времени.
Соответственно, относительное удлинение также мало, так что можно считать
напряжение постоянным. Наконец, предполагается, что система
консервативна и, в частности, без трения. Поперечное смещение точки O^i^Lb
момент времени t обозначается через w(x,t). Таким образом, w(x,t)
описывает форму струны в момент времени t. Так как концы струны
закреплены, w(0,t) = w(L,t) = 0 для всех t.
Поскольку струна идеально упруга, при деформации выполняется
работа, необходимая для достижения деформированной конфигурации при
увеличении длины струны по сравнению с ее длиной в состоянии
равновесия. Таким образом, потенциальная энергия в заданный момент времени
имеет вид
V = t f{y/l + w^-l)dx.
Считая \wx\ малым, можно записать i/l + \wx\2 в виде
v/i + Ы2 = 1 + 2 KI2 + °(К12)-
Пренебрегая членами высокого порядка по \wx\2, можно считать, что
L
V=^rf\wx\2dx.
о
Кинетическая энергия записывается в виде
L
Т=^ Jtr\w\2dx,
где р[х) обозначает плотность распределения массы вдоль струны. В силу
принципа Гамильтона реализуется именно то движение струны, при
котором интеграл
[(Т -V)dt=l- f f(aw2 - Tw2x) dx dt
t, t, о
стационарен. Таким образом, движение описывается уравнением Д'Аламбера
d2w (т(х) 82w
дх2 т dt2 '
(5.45)
С2
которое является уравнением Эйлера для интеграла (T—V)dt. Это урав-
нение Эйлера выводится так же, как в одномерном случае. Уравнение
(5.45) с граничными условиями
w[0,t) =w(L,t) = 0
и начальными условиями на смещение и скорость
w(x, 0) = Ф(а;), го(х, 0) = Ф(х) (5.46)
определяет фактическое движение струны.
Даниил Бернулли предложил исследовать эту задачу, рассматривая
только те решения, при которых каждая частица осуществляет простое
гармоническое движение, отличающееся лишь по амплитуде от движения
других частиц. Такое движение, называемое собственным колебанием
струны, можно описать функцией вида
w(x,t) = u(x)f(t), (5.47)
где и(х) представляет форму, a f(t) — величину. Подставив (5.47) в (5.45),
получаем
г «"(-)_ ПО (5.48)
<т(х) u(x) f(t)
Так как левая часть зависит только от х, а правая часть зависит только
от t, единственно возможная ситуация — это, когда обе части равны
константе, которую обозначим —Л. Таким образом, из (5.48) получаем два
обыкновенных дифференциальных уравнения
d2u , , . п d2f ,г п
с граничным условием
и(0) = иЩ = 0.
Описанный подход часто называют методом разделения переменных. Первая
задача
d2u
t-t-2+\<t(x)u = 0, u[0) = u(L) = Q
является спектральной задачей Штурма — Лиувилля и, как мы видели в
п. 5.2, имеет нетривиальные решения только для счетного числа
собственных значений 0 < Ai < А2 < • ■ • < Ап < ■ • •, An -» 00 с соответствующими
собственными функциями un. Для каждого А„ общее решение уравнения
d2f
-^ + Ап/ = 0
записывается в виде an cos y/X^t + bn sin y/\^t, где а„ и bn — произвольные
константы. Таким образом, для каждого п функции
wn(x,t) := Un(x)(ancos i/\n* + bnsin \An*) (5.49)
являются решениями (5.45) и удовлетворяют граничным условиям. Так
как любая гладкая функция представима рядом Фурье по и„,
v = 5Z cnun, cn := / cr{x)vun dx,
i=1 о
можно выбрать константы an и Ьп так, что функция
wn{x,t) — ^ wn(a:,Z) = У^ un(x)(an cos т/J^t + 6nsin yfat) (5.50)
n=0 n=0
удовлетворяет начальным условиям (5.46). Таким образом, реальное
движение получается как суперпозиция собственных колебаний.
Очевидно, что решение (5.49) периодично по времени с периодом Ч-к/л/Х^,
и частотой у/Х^/2-к и струна может колебаться с любым дискретным
множеством частот, которые определяются собственными значениями А„.
Наименьшее собственное значение Aj соответствует основной частоте yfXl/2-к
струны и общее движение колеблющейся струны есть линейная
суперпозиция колебаний различных частот, представленных формулой (5.49).
5.4. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПРЕПЯТСТВИЯМИ
Рассмотрим вариационный интеграл
ь
Т{и) = \ F(x, и, и') dx,
где гладкий лагранжиан F(x, z, p) является выпуклой функцией по р. Для
упрощения изложения предположим, что F(x,z,p) растет как полином
степени т > 1 (см. п. 3.2). Используя прямые методы, мы доказали в п. 3.2,
что Т(и) достигает абсолютный минимум на каждом аффинном
подпространстве С{а,Ъ) = {и £ Н1,тп[а,Ь):и(а) = а,и[Ь) = /?}. В точности так
же можно показать, что Т[и) достигает минимального значения на любом
непустом замкнутом выпуклом множестве К пространства C(a,b).
Предположим, что и — минимизирующая функция функционала Т на
замкнутом выпуклом множестве К пространства С(а,Ъ). В общем случае
и не обязательно будет "внутренней точкой" К. Поэтому первая вариация
Т в и не обязательно обращается в нуль по всем гладким направлениям.
Однако Хи + (1 - X)v е К для всех А б [0,1], если v £ К. Так же, как в
п. 1.1, нетрудно показать, что функция ^:[0,1] ->М, определенная
формулой <р[Х) := Т[Хи + (1 — X)v], дифференцируема. Тогда <р'{1) ^ 0, откуда
ь
f[Fp{x, и, и') ■ [и' - v') + Fz(x, и, и') - [и - v)] dx^O (5.51)
а
для всех v £ К.
Соотношение (5.51) называется вариационным неравенством. Оно
должно выполняться для всех v б К, если и — минимизирующая функция
функционала Т на К. Такое неравенство замещает условие обращения в нуль
первой вариации функционала Т на минимизирующих функциях
функционала Т на аффинных подпространствах С(а,6).
Интересный пример такого сорта задач — это так называемая задача с
препятствием. Пусть ф — непрерывная функция (называемая
препятствием) на [а, 6] такая, что -ф(а) < а и ^(6) < /?. Рассмотрим подмножество К$
функций и £ С[а, Ь) таких, что и(х) ^ ф(х) при а^х ^.Ь. Легко видеть, что
Кф — замкнутое выпуклое и непустое множество. Следовательно, задача
ь
f\u'\2dx:uE КЛ (5.52)
а
имеет решение, которое можно интерпретировать как состояние
равновесия упругой струны (при малых возмущениях), которая под действием
силы остается выше препятствия и закреплена в концевых точках,
которые находятся "выше тр", (т. е. выше графика функции -ф).
Минимизирующая функция и задачи (5.52) определяется единственным образом, так
min<
как
о
функционал - / |u'|2di строго выпуклый на К$. Используя процеду-
а
ру минимизации, получим минимизирующую функцию и класса Я1,2(а,Ь)
и тем самым и G С°,х^2[[а,Ь]).
Рис. 5.1
На рис. 5.1 показано, что гладкость и не может быть выше класса С1,1,
даже если препятствие ф — вещественно-аналитическая функция. Если
гладкость ф ниже класса С1, то мы не должны ожидать меньшей
регулярности, чем С1, как показано на рис. 5.2.
Рис. 5.2
Теперь вкратце остановимся на проблеме регулярности
минимизирующей функции и. Для этого рассмотрим коинцидентное множество I :=
{х G [a,b]:u(x) = Ф{х)}, на котором минимизирующая функция и задачи
(5.52) совпадает с препятствием тр. Это множество замкнуто (так как и и
ф непрерывны), возможно, пустое и J с (а, Ь), так как V(a) < а = и(а) и
■ф{Ь) < (3 = и(Ь). Дополнение
Г :={х6 [а,Ь]:и(х) > ф{х)}
открыто в [а,Ь].
Покажем, что и"(х) = 0 на /'. Действительно, если i0 6 7' П (а,Ь),
то существует окрестность U точки х0 в (а,Ь) и число тп > 0 такие, что
и(х) ^ тп для всех х б U. Поэтому для любых ip б C£°(U) и |е| <§: 1 имеем
u + ey G /fy, откуда
/
ь
и'(х)(р'(х) dx = 0.
Следовательно, и б Сто(/' П (а, Ь)) и и"(х) = 0 для всех х б Г П (а, Ь). Так
как [а, а + S] U [Ь - J, Ь] с /' при 0 < 6 <с 1, заключаем, что и б С°°(/') и
и"(х) = 0 на /', тогда как и(х) — ф(х) для любого х € I. Поэтому и(х) может
оказаться нерегулярной только в точках коинцидентного множества.
Теперь применим вариационное неравенство (5.51) к лагранжиану F(p) —
- \р\2, множеству К = К-ф и пробной функции v = и + р, где ip —
произвольная неотрицательная функция класса С™(а,Ь). Получим
/
6
u'{x)ip'{x) dx ^ 0 для всех tp G Cf(a, b), <р(х) ^ 0. (5.53)
Пусть {ipj} — последовательность функций класса С™(а,Ь) с носителем в
фиксированном компактном множестве А из [а,Ь), равномерно сходящаяся
к нулю. Выберем функцию Ф б С^°(а,Ь) такую, что Ф(х) ^ 0 на (а,Ь) и
Ф(х) ^ 1 на А. Тогда
-е^Ф(х)<^(х)<^Ф(х), а^х^Ь,
где {ej} — некоторая последовательность положительных вещественных
чисел такая, что ej -> 0. Применяя (5.53) к tp = е,-Ф ± ipj} получим
ь ь ь
-ej / и'(х)Ф'(х) dx ^. / u'(x)ip'j(x)dx ^ Ej / и'(х)Ф'(х) dx,
откуда
о
lim / и'(х)<р'Лх) dx = 0.
j-юо J
Поэтому отображение
ь
T{V) := J u'(x)<p'(x) dx, <р G Сс°>, Ь),
является непрерывным положительным линейным функционалом на
пространстве С£°(а,Ь) относительно равномерной сходимости. По теореме
Рисса о представлении существует положительная мера у. такая, что
I u'ip' dx = I <pd(j. для всех ip G С%°(а,Ь).
Это соотношение можно записать как равенство
и" = -у (5.54)
в смысле распределений на (а, 6). Из вышесказанного мы заключаем, что
носитель меры у. содержится в коинцидентном множестве I. В частности,
из (5.54) следует, что решение и является вогнутой функцией и,
следовательно, непрерывной по Липшицу на (с, Ь). Ввиду вогнутости
и'(х~) ^ и'(х+) для всех х G [а,Ъ). (5.55)
Теперь предположим, что £ — точка коинцидентного множества /,
т. е. и(х) — и(£) ^ ф(х) — ф(£) для всех х G (а, Ь). Если х < f, то
u(x)-u(Q ф{х)-ф(£)
х-£ ^ х-£ '
откуда и'(£~) ^ ф'(£~), если Ф'[£~) существует и, если х > f, то
"(*)-"(£) >№)-*{*)
х-£ ' х-£
Следовательно, и'(£+) ^ Ф'(£+), если Ф'{£+) существует.
Теперь предположим, что ф' имеет только точки разрыва х G (а, Ь),
в которых ф'(х~) ^ ф'[х+). Например, так будет для функции ф класса
С1. Тогда и'(Г) ^ Ф'(Г) ^ Ф'(£+) ^ "'(£+)- В силу (5.55) и'{С) = и'{£+).
Поэтому и'(х) непрерывна на / и, следовательно, на (а,Ь). Итак, мы
установили следующий результат: Если ф G ^(а.Ь), то также и G С1 ([с,6]) и
и'[х) = ф[х) при всех х е I. Действительно, можно показать, что
минимизирующая функция и совпадает с вогнутой оболочкой ф функции уф,
определенной формулой
ф(х), хе(а,Ь),
Уф(х)~{а, х-а,
[Р, х = Ь,
т. е. с наименьшей вогнутой функцией, которая больше или равна 7^-
Действительно, так как и вогнута и и ^ 7^1 имеем и ^ ф. С другой стороны,
и(х) — ф(х) ^ ф[х) на I, а и — аффинная функция на каждом
максимальном подынтервале 1 с /' и совпадает с -уф на границе 1, откуда и(х) ^ ф(х)
на 1.
Теперь докажем, что и е С1,1(а,Ь) при условии ^ £ С1,1(а,6). Сначала
покажем, что и е Н2^2(а, Ь). Для этого введем разностный оператор Дл по
формуле
Дди(х) := — Ы(х + Л) — и(х)]
п
для Л е М, 0 < |Л| < ё, и х е (а + <5, 6 - ё), 0 < J « 1. Тогда
А_Л[7г2(х)Дли(х)] = /Г2{т72(х)и(х + Л)
+ 7?2(x-/i)u(x-/i)-[7?2(x) + 7?2(x-/i)]u(x)} 1 ' '
для любой функции т](х). Для А_л[»?2(х)Дл^(х)] справедливо аналогичное
тождество. Для любого ё, 0 < 26 < b — а, обозначим через It интервал
(а + ё,b — S). Выберем число г > 0 такое, что 6г < Ь - а, и функцию
?7 Е Q°(Z2r) такую, что т](х) = 1, на Т3г и 0 ^ 7?(х) ^ 1. Затем фиксируем Л
такое, что 0 < |Л| < г, и е такое, что 0 < 2е < г2. Полагаем
v:=u + y, ^:=еД_Л[т72ДЛ.(и-^)]. (5.57)
Тогда <р(х) = 0 при i - о « 1 или 6 - х <С 1, х Е [а, 6] и, следовательно,
v E С(а, 6). В силу (5.56) и (5.57)
г>(х) = ч£>(х) + [и(х) — V'(x) + ^(х)]
^(х) + {1 - eft~V(x) + 772(х - Л)]} [«(яг) - ф{х)]
+ eh~2{r]2{x)[u(x + ft) - tf>(x + ft)] + т?2(г - ft)[u(x - Л) - ф(х - ft)]},
откуда г>(х) ^ ^(х) при а ^ х ^ Ь. Следовательно, u E Кф. В силу (5.5)
б
-е / и'Д_Л[чаДЛ(г1' - ф')] dx <£ 0.
а
Разделив на е, получаем
б
и'(-А-11)[т]2А11{и'-ф')]с1х^0.
I'
Это неравенство можно преобразовать следующим образом:
б
r)2(Ahu')Ah{u' - ф') dx <^ 0.
/■
В силу неравенства Шварца
JV2\Ahuf dx $ Jr]2(Ahu')(A^')dx <: \JV2\Ahu'\2dxJr,2\A^'\2dx ,
откуда
б
J r)2\Ahu'\2 dx ^ jт)2\Анф'\2 dx
и, следовательно,
6-3г Ь-2г
J \Ahu'\2dx^ J \A^'\2dx.
а—Зг а—Зг
Так как ф e C1,1(aI6), существует константа с(г) > 0 такая, что [ф'[у) —
Ф'(х)] ^ с(г) \у — х\ ПРИ всех х,у Elf. Поэтому
Ь-2г
[ \Анф'\2 dx <£ с2(г)(Ъ - а) =: с*(г).
а—2т
Таким образом,
6-3г
j \Ahu'\2dx^c*(r) (5.58)
а—Зг
для любого 0 <\h\<r. В частности,
Ь-Зг
j \A1/nu'\2dx^c*(r)
а—Зг
для всех достаточно больших целых чисел п. Следовательно, существует
последовательность {hj} положительных вещественных чисел таких, что
hj -» 0 и А^и' стремится слабо в Ь2(1зт) к некоторой функции w 6 Ь2(1зг).
Ввиду равенства
/ tpAhju' dx = - / u'A-hjfdx
заключаем, что
/ ipw dx — — j u'ip' dx.
%3r %3r
Таким образом, w является производной и' на Хзг в смысле распределений
и и" е L2{l3r), т.е. ue Н%£{а, Ь). Поэтому и е С1-г/2(с, Ь) и и' е АС(Х) для
любого подынтервала I с (о,Ь)- Так как и(х) — ф(х) на коинцидентном
множестве I, заключаем, что и'(х) = ф'(х) п. в. в I, и, следовательно,
и"(х) = -ф"(х) п. в. в /, а и"(х) = 0 для всех х е /'. Отсюда получаем
и" £ L°°([a,b]), и тогда в силу уже доказанного и е С1г1([а,Ь\).
В точности так же можно установить аналогичные результаты по
регулярности для решений задач с препятствиями для более общего
вариационного интеграла
ь
Т{и) / F(x,u,u')dx,
чем в случае эллиптического лагранжиана F, т. е. для F(x,z,p) с
положительно определенным гессианом Fpp.
5.5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
Периодичность является важным атрибутом многих движений в природе
и особенно в небесной механике. Поэтому не удивительно, что очень много
важных публикаций затрагивают проблему существования периодических
решений нелинейных систем, как в лагранжевом, так и в гамильтоновом
формализме. К счастью, есть несколько великолепных книг по этому
предмету и, в частности, о приложениях вариационных методов (например, [93,
181,215,257]), так что можно было бы воздержаться от изложения вводной
части в эту теорию. Но хотя мы и рекомендуем интересующемуся
читателю обратиться к литературе, тем не менее в этом параграфе приведем
несколько простейших примеров, в которых требуется найти
периодические решения с заданным периодом. В следующем параграфе мы
рассмотрим периодические решения автономных систем, период которых не будет
заранее известен.
Для простоты мы ограничимся рассмотрением проблем
существования периодических решений неавтономной системы
ii{t) = W(*, u{t)) в [О, Г], (5.59)
т. е. будем исследовать вопрос о существовании функций и е С2([0, T\;M.N),
удовлетворяющих уравнению (5.59) и периодическим граничным условиям
и[0) = и(Т), й{0) = ii{T). (5.60)
Далее всегда предполагаем, что потенциал V{t,x) является гладкой
функцией (например, класса С1) из [0, Т] х M.N в М , периодической с периодом
Г, зависящим от переменной t. (Предположение о периодичности на самом
деле не является необходимым, но в ином случае вопрос о решении с
периодом Т кажется весьма надуманным). Заметим, что здесь VV означает
взятие градиента V(t, и) относительно только переменной и.
Формально, (5.59) является уравнением Эйлера для вариационного
интеграла
т
М:=/|>
ОД== kH2 + V(t,u(t))
dx, (5.61)
и мы приведем элементарные условия на V, которые гарантируют
существование минимизирующей функции интеграла (5.61) в классе гладких Т-
периодических функций. Для упрощения изложения обозначим через Е\
подкласс H1,2(0,T;MN) периодических функций таких, что u(0) = и(Т),
т. е.
Н\ := {и Е Я1-2(01Г;Кдг) :u(0) = и(Т)}.
Мы не требуем выполнения естественного граничного условия й(0) =
й(Т), которое в принципе лишено смысла в случае пространства Я1,2.
Заметим, что даже в очень специальном случае ii = f{t) при V(t, и) = f{i)u
т
можно указать очевидное необходимое условие / f(t) dx = 0. В общем слу-
о
чае, необходимым условием разрешимости (5.59) является существование
функции и:[0,Т] ->-Ш^, удовлетворяющей (5.60) и равенству
т
W(t, u(t)) dt = 0.
о
I
Предложение 5.12. Предположим, что потенциал V(t,x) является
периодической функцией от х, т. е. существуют линейно независимые векторы
такие, что V{t, х + tj) — V(t, ж) для всех t £ [0,Т*] и х £ Ш^,
j = 1,... , N. Тогда функционал £(и) в (5.61) имеет хотя бы одну
минимизирующую функцию и в Яу. Более того, и принадлежит классу С2 в [0,Т] и
является решением задачи (5.59), (5.60).
Доказательство. Так как V — гладкая периодическая функция,
справедливо неравенство V(t,x) ^ h(t) для некоторой функции h £ L1(0,T) (на
самом деле, для некоторой постоянной функции h(t)). Следовательно,
существует константа с\ такая, что
±
£(и) ^ - / \й\2 dt — сх для всех и £ Н^.
Поэтому существует константа сг такая, что любая минимизирующая
последовательность {uk} удовлетворяет условию
х
I
\й\2 dt ^ с2 для всех fceN. (5.62)
1 1
Запишем u* = й~к+йк, где йк :— — I Uk(t) dt и, следовательно, — / udt — 0.
о о
В силу (5.62) и неравенства Пуанкаре (см. п. 2.1) имеем ЦидЦдо.а ^ сз
для всех к G N и некоторой константы сз > 0. С другой стороны, ввиду
периодичности V получаем £ (и + ту) = £ (и) для всех и G Яг, j = 1, - -. , N.
Таким образом, последовательность {ifc}, определенная формулой
N
vu :— ик + 2J ^jkTj, Xjk G Z,
3=1
является также минимизирующей последовательностью для функционала
JV
£, и поэтому можно предположить, что \йк\ ^ J2 \Tj\> Следовательно, мы
3=1
нашли минимизирующую последовательность, которая равномерно
ограничена в Я1,2. Поскольку функционал £ полунепрерывен снизу в слабой
сходимости в Я1*2, существует минимизирующий элемент для £ в Ят.
Учитывая результаты п. 4.1, мы легко выводим, что
минимизирующая функция и принадлежит С2([0, Г],Ж") и удовлетворяет (5.59) и условию
и(0) = и(Т). Остается доказать, что й(0) = и(Т). Умножая (5.59) на любую
гладкую Т-периодическую функцию у и интегрируя по частям, получаем
т
0 = !\-щр + W(t, u)v] dt + й(Т)ф{Т) - й(0)£(0) = [ii{T) - u(0)] • v(0),
о
откуда следует й(Т) — i(0) = 0, так как ip произвольна. П
Задача (5.59), (5.60) становится более сложной, если мы будем
рассматривать непериодические потенциалы V. В этом случае мы установим
два результата. Первый относится к скалярному случаю N = 1 и
иллюстрирует полученный ранее результат Лихштентейна [172] и Тонелли [265],
а второй результат, полученный гораздо позднее (см. [181]), относится к
случаю N > 1.
Предложение 5.13. Пусть N = 1. Предположим, что \х\, больше, чем
некоторое фиксированное число I, и всех t G [0,Т] справедливо неравенство
zVc(t,z)^0. (5.63)
Тогда функционал £{и) в (5.61) имеет по крайней мере один минимизирующей
элемент и в Яу. Более того, и принадлежит классу С2 в [0,Т] и является
решением (5.59), (5.60).
Доказательство. Сначала заметим, что в силу (5.63)
V(t..u) ^ m\n{V[T,x) : r G [0,T], х G [-1,1]}.
Поэтому при некоторой константе С]
1
£(u) ^ - / v?dt — ci для всех и € Яу.
Следовательно, существует константа с2 такая, что любая
минимизирующая последовательность {ик} в Н\ удовлетворяет неравенству
т
|ufc|2 dt ^ с2 для всех к е N.
Можно считать, что каждая функция ик принимает по крайней мере одно
значение в интервале [—/,/]. Действительно, в противном случае uk[t) > I
или uk[t) < —I на [0,Т], так как ик непрерывна. Предположим, например,
что uk(t) > I на [О, Т]. Пусть тпк — минимум ик в [О, Т]. Вместо ик
рассмотрим новую функцию uk(t) :— uk(t) — [тпк — I). Тогда минимум ик равен I и
в силу (5.63) £(ик) ^ £{ик). Аналогично рассматривается случай ик < — I в
[0,Т]. Так как ик принимает значение из [—/,/] в некоторой точке *0,
t
К(*)1 ^
/ йк(т) dr + uk(t0) ^1+ J \йк\dt.
Поскольку {ик} равномерно ограничена в Hj., можно завершить
доказательство так же, как при доказательстве предложения 5.12. □
Предложение 5.14. Предположим, что V(t, х), х £ \&N, выпукла по х при
всех t £ [О, Т] и, кроме того,
1
т
V(t, x)dt-±оо при \х\ -> оо. (5.64)
о
Тогда задача (5.59), (5.60) имеет решение, минимизирующее £ в Я}..
Доказательство. Как и выше, достаточно показать, что
минимизирующая последовательность в Яу ограничена в Я1,2. По условию (5.64)
т
выпуклая функция i^l V(t, x) dt имеет минимум в некоторой точке х и
о
т
/ Vx(t, x) dt = 0. Ввиду выпуклости V(t,x) ^ V(t,x) + Vx{t, х){х — х). Сле-
0
довательно, если {uk} — минимизирующая последовательность для
функционала £, то
т т т
£Ы) =г ^ f\uk\2dt + fv{t,x)dt+ fvx{t,x)[uk{t)-x]dt
т т т
= 2 /Ы2Л + JV[t,x)dt+ fvx{t,x)uk[t)dt,
0 0 0
где
т
Uk(t) :=Uk-7p Uk(t)dt.
о
С другой стороны, так как среднее значение йк равно нулю, находим
т
Pfc(*) I < / I"* I dt Для всех t G [0, T\,
о
откуда
т . 2 т
IML^(/l**l*) $Tj\uk\2dt. (5.65)
о
Поэтому
*M Z \j\uk\2dt + Jv{t,x)dt - (J \Vx(i,x)\d?j \\uk\\e
T 1/2
>\j\uk\2dt-cx-c2(j\iik\2dt\ ,
где ci и С2 — некоторые константы. Следовательно, существует константа
с3 такая, что
т
/ |iift|2 dt <£ с3 для всех к е N. (5.66)
о
В силу (5.65)
||ui:||TO ^ с4 для всех 4бМ. (5.67)
Остается показать, что последовательность {Щ} средних значений
т
1 f ,
Uk '■— — I Uk dt
ограничена. Ввиду выпуклости
v(t,^)=v(t,±[uk(t)-zk(t)f) <: \v{t,uk[t)) + ± v(t,-zk(t)).
Поэтому
т т _ т
£ К) ^ | /" К|2 dt + 2fv(t,^\dt-f V(t, -uk{t)) dt,
0 0 0
откуда в силу (5.67) получаем
т
£(uk)>2Jv(t,?f)
dt— cs,
где cs — некоторая константа. Так как {ик} является минимизирующей
последовательностью, в силу условия (5.64) заключаем, что
последовательность {Щ} ограничена. □
Замечание. Если V(t,x) строго выпукла по х, то условие (5.64)
эквивалентно условию существования точки х G MN такой, что
т
fvx(t,x)dt = 0. (5.68)
о
Действительно, если верно (5.68), тог — единственная точка минимума
т
функционала х н-> / V[t, x) dt. Поэтому
о
т
<У:=тш / [V(t,x + x) - V{t,x)]dt > 0.
M=i J
о
Таким образом, при |аг| > 1
т т
^/^,^(-+г)+(1-^)-)д-/у(*,й)Л
о о
т т т
^ 1^7 Jv{t,x + x)dt+(l--^\ jv{t,x)dt- fv{t,x)dt
О 0 0
т т
= ^(Jv[t,x+*)A-Jv[t,x)\
о о
т. е.
т
IV(t,x+x)dt>&\x\+ fv{t,x)dt,
о о
и мы получаем соотношение (5.64).
5.6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
В гамильтоновой механике естественно рассматривать периодические
решения гамильтоновых систем
i{t) = lHs(x(t)), (5.69)
где Я — С2-гамильтониан в Шш и I — обычная симплектическая матрица
(О Е\
_„ п 1, где Е — единичная матрица в RN.
Фактически, рассматриваются периодические решения с заданным периодом. Так
как
^- Н{х, (*)) = УЯ(аг) ■ х = -{1х, х) = О
на любом решении x(t) системы (5.69), имеем H(x{t)) = const на решениях
системы (5.69). Таким образом, требуется найти периодические решения
на заданной поверхности постоянной энергии. Более точно, требуется
исследовать структуру всех периодических решений, что может дать
информацию о структуре всех траекторий.
Уравнение (5.69) — это уравнение Эйлера соответствующего гамиль-
тонова действия
т
Щх;(0,Т)) = J^{x,li)+H(x(t)f) dt,
и решения при заданном периоде Т могут рассматриваться как
критические точки 71(х) на множестве Т-периодических траекторий класса С1.
Кроме того, периодические решения на данной энергетической
поверхности {Я = а} могут рассматриваться как стационарные точки И[х; (0,1)) в
классе
1
S0 := [х G C^K.M2^) :x{t + 1) = x{t), f H{x{t)) dt = a\.
о
Действительно, используя правило множителей Лагранжа, при
соответствующих условиях можно надеяться показать, что для любой
критической точки х для "Н в S0 существует константа Т ф 0 такая, что х =
Т1Нх(х). Изменяя масштаб с помощью множителя Т, получаем Т-пери-
одическое решение (5.69) на энергетической поверхности {аг:Я(аг) = а}.
Однако интеграл
1
- [x,Xx)dx
о
не будет ограниченным ни сверху, ни снизу, в чем легко убедиться
подстановкой Xk{t) := (cosAfc*)ar0 — [sinXkt)Jx0, Xk = 27гА, x0 6 M2JV, |io| — 1,
откуда |arfc| = 1, (Jxk, ik) = А* и, следовательно,
l
If 1
^ / (arfc, Jik)dt= -Xk -> ±oo при к -»■ ±oo.
о
Ввиду этого затруднения вариационный подход к проблеме
существования периодических решений гамильтоновых систем долгое время
считался безнадежным. Поворотной точкой стала статья Рабиновича [213], в
которой существование периодических траекторий на строго выпуклой
гиперповерхности доказывалось минимаксными методами. Вскоре после
появления этой статьи было установлено, что такие траектории можно также
получить минимизацией двойственного функционала (см. [62, 63, 66]).
Начиная с этого момента, вариационные методы получили новое развитие и
привели ко многим интересным результатам. Эта область еще не
исследована окончательно, и многие вопросы остаются открытыми. Мы не в
состоянии дать здесь обзор результатов этой интересной, но чрезвычайно
обширной области исследований и рекомендуем интересующему читателю
обратиться к великолепно написанным книгам [93, 181, 215, 247], которые
уже упоминались в предыдущем разделе. Здесь же мы довольствуемся
"доказательством на основе двойственной минимизации" следующего
фундаментального результата Рабиновича [213] и Вайнштейна [292], который
обобщает более раннюю работу Сейферта [235] (см. также [196]).
Теорема 5.15. Предположим, что функция Н £ C1(1HL2JV) строго выпукла
неотрицательна и коэрцитивна, т. е. Н(х) -»■ оо при \х\ —> оо и Я(0) = 0.
Тогда для любого a > 0 существует периодическое решение х G С1(Ж1М27^)
гамильтоновой системы
х = !#,(*), (5.70)
где H{x(i)) = а для всех t.
Доказательство. Сначала покажем, что вопрос о том, будет ли
поверхность уровня Н = const соответствовать периодическому решению
системы (5.70), связан с поверхностью и симплектической структурой 2, но не
с конкретным гамильтонианом Н.
Очевидно, что гамильтониан На := 1/аЯ удовлетворяет тем же
условиям, что и Н. Более того, если поверхность уровня На — 1 несет
периодическое решение гамильтоновой системы х = XVHa{x), то, изменяя
масштаб с помощью множителя а, можно найти периодическое решение
системы (5.70) на поверхности Я = а. Таким образом, можно считать,
что а = 1.
Ввиду строгой выпуклости Я поверхность уровня S = Я_1(1)
является границей выпуклого множества С := {аг е Шш:Н(х) < 1}.
Теперь рассмотрим функцию расстояния Fq для выпуклого множества
С, которая определяется следующим образом. Для любой точки £
единичной сферы s2N-1 в M2N существует единственное число r(f) > 0 такое, что
г(£)£ е S. Для р ~%. 0 и f е S2^-1 положим
[ph
I0'
fti*)-^ ;:s
Для фиксированного числа 1 < q < 2 положим4 Н(х) := Fq(x), т. е.
'(рМО)9. р>о, fes2"-1,
= /("
1°.
Ввиду строгой выпуклости гамильтониана Я дифференциал dH будет
строго монотонным отображением и, следовательно, взаимно однозначным. По
теореме о неявной функции г е С1^2^-1), и мы заключаем, что Я
принадлежит C1(M2JV). Кроме того, Я положительно однородный степени д.
Полагая S :— {х G M2N :Н[х) = 1}, получаем S = S. Следовательно, Vff(i)
пропорционально УЯ(аг) при х £ S, скажем, УЯ(аг) = А(аг)УЯ(аг) в любой
точке х £ S. После параметризации
x(t) ~x(s{t)), s(t) = \(x-(s))
периодическое решение х на 5 системы
dx ~
- = 2УЯ(,)
перейдет в периодическое решение на Я исходной гамильтоновой системы
(5.70). Наконец, можно легко проверить, что Я строго выпуклый. С этого
момента мы можем считать, что Я равно Я.
Пусть Я* — преобразование Лежандра — Фенхеля5 Я. Так как Я
положительно однородный степени q > 1, функция Я* всюду конечна. Кроме
того, Я*(0) = 0 и Я* ^ 0. Так как градиент Я строго монотонный,
заключаем, что Н* G С1 (см., например, Джаквинта-Гильдебрандт [113, Т. II,
гл. 7, п. 3.3]). Обозначая через р = q/(q — 1) > 2 сопряженный показатель к
4Такой выбор станет ясен из дальнейшего.
53аметим, что х включает как обобщенные координаты, так и импульсы. Таким
образом, сопряженный Я'кН отличается от обычного преобразования Лежандра Н,
которое обычно относится лишь к импульсам. Напомним, что Н*(у) := sup{xy - Н[х) -.х g
д, получаем
=4(^-r)-K^r):-k21=^(r)- (571)
т. е. Н* положительно однородный степени p > 2.
Теперь мы готовы дать эквивалентную двойственную формулировку
задачи (5.70). Введем пространство
1
X = {j/ G L"((0, l),ffi27V): J ydt = о}.
о
Если х G C'1([0,1],M2/V) — 1-периодическое решение (5.70), то функция у :=
—Хх принадлежит X и является решением системы уравнений
у = -Хх, (5.72)
у = Vtf (аг). (5.73)
Используя компактный интегральный оператор К:Х -»■ Я1,р((0, l),ffi2JV),
определенный по формуле
1
(Ky)(t) ~ JXydt,
о
можно обратить уравнение (5.72) с точностью до постоянной
интегрирования аг0 6 Шт. Так как соотношение (5.73) эквивалентно соотношению
х = VH*(y) (см., например, Джаквинта-Гильдебрандт [113], Т. II,
предложение 6, с. 91], заключаем, что (5.72), (5.73) эквивалентно системе
х=Ку + х0, (5.74)
x = VH*(y) (5.75)
для некоторого х0 6 M2N. Тогда
1
f[VH*(y)-Ky]7]dt = 0 для всех -q G X. (5.76)
о
В свою очередь, из этого уравнения вытекает (5.74), (5.75).
Действительно, если у е X — решение (5.76), то (см. п. 1.1) VH*[y) — К(у) =
const = xc. Следовательно, у является решением (5.74), (5.75) для
некоторого х е Я1-р((0, l),M27V). Возвращаясь к (5.72), (5.73), из (5.73) получаем,
что у е С°([0,1],M27V). Следовательно, х принадлежит классу (^([О, l],ffi2JV)
и является 1-периодическим решением уравнения (5.70), которое
эквивалентно (5.76).
Уравнение (5.76) является уравнением Эйлера для функционала
пЪ)--=/[нЪ)-\(у.ку)]*-
В силу (5.71) функционал И" коэрцитивен в X. Кроме того, Н*
выпуклый и А' — компактный оператор. Следовательно, Ц* полунепрерывен
снизу относительно слабой сходимости в IP. Таким образом, мы без
особого труда устанавливаем существование минимизирующего элемента у'
в X, который является решением (5.76). В силу (5.71) квадратичный член
/
(у, Ку) dt будет доминирующим в окрестности у = 0. Так как К име-
о
ет положительные собственные значения, легко проверить, что inf Ц* < 0
и, следовательно, у* ф 0. Ввиду сказанного выше существует
константа аг0 такая, что х = Ку*+с есть решение (5.70) и х ненулевое, так как
у* ф 0. Следовательно, H(x(i)) = /? для некоторого Р > 0. Однако Н = Н
положительно однороден. Таким образом, некоторое кратное х от х будет
удовлетворять (5.70) при H(x(t)) = /, что и требовалось доказать. □
5.7. НЕКОЭРЦИТИВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
В п. 5.5 мы уже рассматривали задачу
т
minj /Т^ И2 + V(t,u) dt:ue tf^O.TjR^J.ufO) = и(Т)\, (5.77)
о
которая некоэрцитивна в том смысле, что существуют
последовательности функций {и„}пеи которые не будет слабо компактными, хотя их
интегралы энергии равномерно ограничены. Например, если в задаче (5.77)
потенциал V{t, -) является периодической функцией в смысле
предложения 5.12 из п. 5.5 то последовательность un\t) := пт не будет слабо
компактной в H1(0,T;MN), тогда как соответствующие интегралы энергий
т
"1. „■> ... Л .
at равномерно ограничены.
/["
2\uf + V(t,un)
В таких ситуациях прямые методы вариационного исчисления не
могут применяться непосредственно, и необходимо сделать дополнительные
предположения относительно V для гарантии существования
минимизирующих функций (см. предложения 5.12-5.14 в п. 5.5).
В этом разделе мы изложим общую схему изучения некоэрцитивных
задач минимизации и приведем некоторые приложения этого общего
подхода к задачам вида (5.77).
Далее X обозначает рефлексивное банахово пространство и?:Х->
R U {оо} — заданный функционал, который предполагается секвенциально
слабо полунепрерывным снизу на X. Требуется найти условия на
функционал Т, которые были бы слабее обычных условий коэрцитивности, но при
этом обеспечили бы существование решения задачи
ты{Т{и):и£Х). (5.78)
Для этого мы введем так называемый функционал рецессии Т^,
соответствующий функционалу Т, который определяется следующим образом:
Tooiu) = inf < liminf — :tn —>■ +00, un —> u слабо в Х >
^п-Ц-оо tn )
для любой функции u E X. Укажем в терминах функционала Т^
необходимое условие существования решения задачи (5.78).
Предложение 5.16. Если задача на минимум (5.78) имеет решение, то
•Foo(u) ^ 0 для всех и £ X.
Доказательство. Предположим, что задача на минимум (5.78) имеет
решение или сделаем более слабое допущение: inf{Т[и) :и £ X} = тп> —со.
Тогда для любой функции и £ X
Tcaiu) ^ inf< liminf — : tn -> 00 > > 0.
Вообще говоря, неотрицательность Тх не гарантирует существования
минимизирующей функции, в чем легко убедиться, полагая Х = 1и Т(и) —
еи. Поэтому мы потребуем дополнительные условия на Т, которые вместе с
неотрицательностью Т^, обеспечат существование решения задачи (5.78).
Теорема 5.17. Пусть Т: X -> Ж U {оо} — секвенциально слабо
полунепрерывный снизу функционал. Предположим, что
(i) выполнено условие компактности: при любых последовательности^ —>■
оо и слабо сходящейся последовательности {un} ограниченность T(tnun)
сверху влечет сильную сходимость {un},
(ii) выполнено необходимое условие Т^ ^ 0 на X,
(iii) выполнено условие совместности: если T<x>{w) = 0, то для некоторого
у. > 0 имеет место неравенство Т{и — цтп) ^ Т{и) для всех и £ X.
Тогда задача на минимум (7.58) имеет хотя бы одно решение.
Доказательство. Так как Т полунепрерывен снизу относительно
слабой сходимости,задача
min{T{u) :u£X, \\u\\ <С n) (Vn)
имеет решение un для любого п £ N. Более того, опять же ввиду
полунепрерывности снизу функционала Т можно выбрать un так, что
||uri|| = min{||u|| :u — решение {Vn)}- (5.79)
Если такая последовательность {un} минимизирующих функций un
ограничена по норме, то некоторая подпоследовательность (для которой
сохраним прежнее обозначение {un}) сходится слабо к некоторому элементу и
пространства X, который является решением задачи (5.78), поскольку
Т{и) ^ liminf Т{ип) = Ы{Т{и) :и 6 X}.
n—foo
Теперь покажем, что такая последовательность {и„} не может быть
неограниченной, и тем самым завершим доказательство. Мы будем рассуждать
от противного и предположим, что подпоследовательность {||и„||} (для
которой по-прежнему используется индекс п) стремится к оо. Так как
нормированные векторы wn = un/||un|| ограничены, ввиду рефлексивности X
можно считать (опять же, выделяя подпоследовательность), что {wn}
слабо сходится к некоторому элементу w £ X. Так как ип — решение задачи
(7>„), имеем
Т(ип+1) ^ Т{ип) для каждого n G N.
Таким образом, значения ?{ип) ограничены сверху (случай, когда Т
тождественно равен оо, тривиален). По определению Т^ получаем
Л»Ы>) < lim inf , ,—- = hm inf ,, ' < 0.
n-fco ||un|| п-юо ||un||
Ввиду необходимого условия (ii) имеем Ра,{ы) = 0. Напомним, что ||un|| -»■
оо, wn —> w слабо в X и значения ^(ЦипЦшп) = F(un) ограничены сверху.
В силу условия (i) wn -»■ w сильно в X, откуда следует, что ||Н1 = 1, так
как \\wn\\ = 1 для всех п G N. Кроме того, поскольку 7u{w) = 0, из условия
согласования (ш) вытекает существование у. > 0 такого, что
Т{ип - yw) ^ F(un) для всех n e N. (5.80)
Наконец,
\\ип - цш\\ = ||(1 - у/\\ип\\)ип + ц(гип - w)\\
<: (i - /VIKIDIMI + ii IK - HI = IKII + MIK - HI - i)-
Правая часть последнего равенства строго меньше, чем ||un|| при п»1,
так как \\w — wn\\ —> 0. В силу (5.80) ип — y.w является решением задачи
(Рп), и норма его строго меньше, чем ||un|| при п » 1 Мы приходим к
противоречию с (5.79). □
Замечание 1. Теорема 5.17 включает обычный коэрцитивный случай
классических прямых методов вариационного исчисления. Действительно,
рассмотрим секвенциально слабо полунепрерывный снизу функционал Т на
X, удовлетворяющий стандартному условию коэрцитивности: для любого
t еШ. множество {и е Х:?[и) ^ t} ограничено в X. Это условие можно
переформулировать следующим образом: существует функция <р:Ш -»■ М
(которую можно считать непрерывной, положительной и строго
возрастающей) такая, что неравенство Т[и) ^ t влечет неравенство ||u|| ^ <p(t). Это
свойство оказывается эквивалентным неравенству
||и|| ^ <р(Т(и)) для всех и е X.
(5.81)
Теперь очевидно, что существование минимизирующей функции
функционала Т эквивалентно существованию минимизирующей функции
функционала Ф(и) := <р(Т[и)). Поэтому, чтобы установить существование
минимизирующей функции функционала 7, достаточно показать, что Ф
удовлетворяет все условиям теоремы 5.17. Полунепрерывность снизу функционала
Ф непосредственно вытекает из аналогичного свойства Т, а условия (i), (ii),
(ш) следуют из (5.81), в чем несложно убедиться. В частности, условие
(iii) тривиально, так как ввиду равенства Фоо(ш) = 0 имеем w = 0.
Теперь более подробно рассмотрим случай выпуклых (и
секвенциально слабо полунепрерывных снизу) функционалов Т. В этом случае вместо
данного выше определения функционала рецессии Т^ используется более
общее определение выпуклой рецессии Т°° по формуле
*-(„) := Кш H^ + tu)
V ' t-юо t V '
(см., например, [228]), где u0 — любой элемент X такой, что T(uq) < со.
Заметим, что предел в правой части (5.82) существует ввиду
выпуклости функции t н-> T[uo + tu)/t. Эквивалентность Tm и J700 устанавливает
следующее
Предложение 5.18. Пусть Т:Х -» ffi U {оо} — выпуклый секвенциально
слабо полунепрерывный снизу функционал. Тогда Тт{и) = Т°°(и) для любой
функции u EX. В частности, определение (5.82) функционалаТ°° не зависит
от выбора uo-
Доказательство. Пусть и б X и и0 — любая точка такая, что ^"(ио) <
оо. Выбирая последовательность чисел tn таких, что tn -»■ со и
Я» = lim ^+^1,
и полагая u„ :=u + uo/t„, получаем
Для доказательства обратного неравенства воспользуемся выпуклостью и
полунепрерывностыо снизу функционала Т. Для любых t > 0 и
последовательностей („-jooHUn-m слабо в X имеем
T(uq + tu) ^ liminf Т\ ( 1 - — 1 u0 + — tnun I
п-юо \Д W *" J
<£ liminf \(1^1\тЫ + 1 ?{tnun)] = F(vc) + Hminf Щ*±.
n-foo |Д tn ) tn J n-foo tn
Так как („-юоии„-И1 — произвольные последовательности, получаем
Р(ио + tu) ^ Р[ио) + ^оо(и). Поэтому
T[u0+tu)-T(uc)
; $ >oo(u)
для любого t > 0. В пределе при t -> оо получаем F°°(u) ^ :FTO(u). □
Замечание 2. Если функционал Т выпуклый, то достаточно наложить
более простое условие, из которого вытекает условие согласования (iii)
теоремы 5.17:
(iii') множество ker J"°° = {и £ X : Р°°{и) = 0} является линейным
подпространством X.
Действительно, предположим, что выполнено условие (iii')- Пусть w e
X таково, что T°°{w) = 0. Так как ker T°° — линейное подпространство,
имеем JF°°(—w) = 0. Следовательно, если J"(uo) < оо в точке и0, то для
любого и £ X имеем
Т[и -w)^. liminf ^((1 - \/t)u + (u0 - tw)/t)
t—fOO
^ liminf (1 - l/*)^(«) + (1/*) Huo - tw) = T{u) + Т°°{-ии) = T{u),
t—fOO
что является условием согласования (iii) при fi ~ 1.
Замечание 3. Анализ доказательства теоремы 5.17 показывает, что в
случае произведения пространств Х\ х • ■ • х Х^ условие согласования (iii)
можно заменить следующим более слабым условием:
(iii") Если Tooiwi,... , Wff) = 0, то для некоторых положительных чисел
А*1,... ,fiN выполнено неравенство !F(ui—fiiwi,... ,ujv_ I^n^n) ^ F(ui,... ,uw)
для всех (ui,... , u/v).
Теперь мы уточним изложенные результаты в случае, когда X —
пространство Hj. = {u е Я1(0,Т;МЛ^) :и(0) = и(Т)} и функционал Т имеет
вид
m-f
1 _
1
l\uf + V(t,u)
dt.
где V — борелевская функция такая, что V(t, ■) полунепрерывна снизу на
MN и для некоторых q < 2 и a(t),b(t) G i^O.T) имеем
V{t,u) $> -a(t) - b(t) \и\ч для п. в. t 6 (0,Т) и любых u G WLN. (5.83)
Легко устанавливается секвенциально слабая полунепрерывность снизу
функционала Т (см. п. 3.1). Установим свойство компактности (i) из теоремы
5.17. Если tn -> оо и ип ->■ и слабо вЯ^и :F(fn^n) ограничены сверху, то в
силу (5.83)
1
lim f\u'\2dt = 0,
п—юо /
откуда следует, что {ы„} сильно сходится к константе. Необходимое
условие (ii) .Too(u) ^ 0 для любой функции и 6 Я^ тривиально выполняется,
если и — непостоянная функция, так как в этом случае .Foo(u) = оо.
Действительно, если („ -+ оо и и„ -» и слабо в Яу, где и — не константа,
то
X X
liminf f\u'n\2dt^ f\u'\2dt>G.
n-*o° J J
В силу (5.83) и условия q < 2 получаем
т
limirf ^0 Uminf /■ К К|2 _ bm-i]un
dt = ОО.
Тогда необходимое условие (ii) сводится к следующему:
^ъо(с) ^ 0 для любого постоянного вектора с е М^.
(5.84)
Укажем наиболее простой случай, когда минимизирующая функция задачи
(5.77) такова, что потенциал V удовлетворяет условию Липшица вида
\V(t,u)-V(t,v)\^.k(t)\u-v\ для п. в. t€ (0,T) и любых u,v eM.N,
(5.85)
где к е Ьг(0,Т), и условию коэрцитивности
lim
|с|-+оо
X
fv(t,c)dt =
оо.
(5.86)
В этом случае задача (5.77) коэрцитивна, и результат о существовании
немедленно вытекает из прямых методов вариационного исчисления.
Надо лишь показать, что Т(и) -> оо, если ||u||#i -> оо. Используя условие
Липшица (5.85), получаем
п
т
\2 + V(t,u(0))
л
dt- k(t)[u(t)-u(G)]dt
для всех ибЯу. Кроме того,
И*)-«(0)| =
т т
fu'{s)ds <£ (т f\u'\2dt
\ 1/2
'■) ■
Следовательно,
т
dt-C
1 /9
(/и1*)
для некоторой константы С. Так как норма в Ят эквивалентна выражению
(|и2л+К0)|2У ,
о
\\v.\\Hi -» оо влечет T[v) -»■ оо.
Теперь рассмотрим случай, когда V(t, ■) выпукла и ^(*,ко(*))
интегрируема для некоторой функции ыо £ йу- Тогда функционал Т будет
выпуклым и можно применить теорему 5.17, а также предложение 5.18 и
замечание 2. Принимая во внимание (5.84), заключаем, что из неравенства
т
lim fV{t'Uo{^ + Xc)dt^0 для любого с еШ" (5.87)
о
и равенства
т
lim
О
|V(.,„oW-AC)a = 0| (688)
вытекающего из условия
lim / V{t, uD(t) + Ac)/A «ft = 0,
следует существование минимизирующей функции функционала Т на Яу.
Другими словами, (5.87) и (5.88) эквиваленты следующему свойству: для
любого с б К^ функция Фс, определенная формулой
1
ФС(А) := /V(t,u0{t) + Ас)Л, Х£Ш,
либо является константой, либо удовлетворяет условию lim ФС(А) = оо.
\Х\-юо
Например, в условиях предложения 5.14 из п. 5.5 имеем Т°°(с) > 0 для
любого с бМ^— {0}, и тогда (5.87) и (5.88) тривиально выполняются.
Теперь рассмотрим частный случай, когда V[t,x) := V(x) — h(t)-x, где
V:MN ->MU{oo} — выпуклая полунепрерывная снизу функция (конечная
хотя бы в точке х0) и Л G £1(0,Г). Если V дифференцируема, то уравнение
Эйлера — Лагранжа, соответствующее задаче минимизации функционала
Т на Яу, имеет вид
-и" + W(u) = h(t), u(0) = и(Г), и'{0) = и'(Т).
Учитывая (5.84) и (5.87) и полагал
т
h:=^Jh{t)dt,
мы выводим необходимое условие существования
~h • с ^ V°°(c) для каждого c6lw (5.89)
В силу (5.88) условие согласования, достаточное для существования
минимизирующей функции, имеет вид
Лс=Г(с) => У°°(-с) = V°°(c). (5.90)
Если V неотрицательна и положительно однородна степени q > 1, то
(5.89) и (5.90) принимают вид
Л • с ^ 0, если V(c) = 0, (i)
{с G IRW : V(c) = 0, h ■ с = 0} — подпространство (ii)
соответственно, так как
V ' \оо. V(x)^0.
Зазор между необходимым условием (i) и достаточным условием (ii)
приводит к некоторым интересным примерам, один из которых мы
опишем. Положим ЛГ = 1 и рассмотрим задачу
-и" + и+ = h(t), u{0) = u(T), и'(0) = и'(Т). (5.91)
Функционал, связанный с (5.91), имеет вид
т
Т(и) = 1[\[\и'\2 + И2] - h(t)u\ dt. (5.92)
о
В силу выпуклости функционала Т решение задачи (5.91) эквивалентно
минимизации функционала (5.92) на Е\. В силу (5.89) и (5.90) приходим
к следующему утверждению:
• при h < 0 решение всегда существует,
• при h > 0 решений нет.
Остается изучить случай h = 0. Здесь справедливо следующее:
(a) Решение задачи (5.91) всегда существует.
(b) Каждое решение задачи (5.91) не положительно.
Для доказательства рассмотрим линеаризованную задачу
-u" = h{t), u(0) = u{T), u'(0) = u'(T). (5.93)
Так как h = 0, задача (5.93) имеет решение w e Ях(0,Т) которое, с
точностью до подходящего слагаемого, можно считать неположительным. Тогда
w — решение задачи (5.91) и тем самым утверждение (а) доказано. Теперь
допустим, что и — решение задачи (5.91) и и+ ф 0. Тогда Т{и — с) < 7[и)
для любого с > 0, что противоречит тому, что и — точка минимума
функционала Т. Следовательно, и^Ои утверждение (Ь) также доказано.
Другой интересный случай, для которого применима изложенная
выше общая схема, — это случай периодической функции V(t, -) (см.
предложение 5.12 в п. 5.5), т. е. для подходящих независимых векторов п е UN,
почти всех t 6 (О,Т) и всех и б T&N имеем V(t, и + т.) = V(t, и), i = 1,.... N.
Предположим также, что существует функция a(t) из £1(0,Т) такая, что
V(t, и) ^ a(t) для п. в. t е (0,Т) и всех и б WLN. Необходимое условие
(5.84) очевидно выполняется. Поэтому для доказательства существования
минимизирующей функции достаточно показать, что условие
согласования (ш") замечания 3 также выполнено. Это означает, что для каждого
с 6 JSLN надо найти вектор fi е WLN, компоненты которого щ положительны
И уДОВЛеТВОрЯЮТ УСЛОВИЮ T[v.i — JUlCi, ... ,Ufl[ — /Х/уС/у) ^ Т{и\, ... , Uyv) ДЛЯ
всех «1,... ,ылг. Желаемого можно достигнуть, выбрав в качестве
вектора (/xici,... , vnCn) один из элементов решетки {/г,т,: г = 1,... , N, Ы G Щ.
Очевидно, что такой выбор всегда возможен.
5.8. СУЩЕСТВОВАНИЕ В ТЕОРИИ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Задачи оптимального управления — это задачи минимизации,
описывающие поведение систем, которые могут модифицироваться под действием
оператора. Поэтому в таких задачах присутствуют два сорта
переменных: одна из них описывает состояние системы и не может изменяться
под действием оператора (такая переменная называется переменной
состояния), другая, напротив, находится под прямым управлением оператора,
который может менять свою стратегию в рамках допустимости (эта
переменная называется управляющий).
Состояние системы (т. е. переменная состояния) может изменяться
оператором косвенным путем, через действие на переменную управления
через связь, которое обычно задано дифференциальным уравнением, так
называемым уравнением состояния. Наконец, действуя непосредственно
на управляющие переменные, оператор должен достигнуть определенной
цели. Эта цель обычно состоит в минимизации функционала, который
зависит и от управления, и от состояния. Минимизируемый функционал
называется функционалом цены.
Вождение автомобиля во многих отношениях является задачей
оптимального управления. Например, функционалом цены может служить
количество расходованного горючего, положение и скорость автомобиля —
это переменные состояния, тогда как ускорение и угол поворота руля —
управляющие переменные. Уравнение состояния в данном случае
определяется балансом сил. Другие типичные примеры задач оптимального
управления: управление ракетой для поражения движущейся цели за
наикратчайшее время или управление фабрикой с целью получения максимальной
прибыли.
Чтобы пояснить идеи, введем обозначения: У — пространство
состояний, U — множество управлений, А — множество допустимых пар,
т. е. подмножество всех пар (х,у) б U х У, где у и и связаны уравнением
состояния, / - функционал цены, определенный на U х У. Задача
оптимального управления — это задача минимизации
min{/(u, у): {-и, у) 6 А]. (5.94)
Заметим, что ограничения можно снять, полагая I = +оо там, где эти
ограничения не выполняются.
Здесь мы не касаемся общей теории оптимального управления. На эту
тему написано много хороших книг (см., например, [31, 59, 291]). Имея в
виду продемонстрировать приложения изложенных выше результатов, мы
ограничимся рассмотрением весьма специального класса задач
т
mini f f(t,y{t)Mt))dt:y> = a(t,y) + b{t,y)u, 3/(0) =y0\. (5.95)
о
Здесь пространство состояний У есть пространство Н1,1(С,Т;Шк)
абсолютно непрерывных функций на (0,Т), введенных в гл. 2, множество
управлений U совпадает с L1(0IT;M'n)1 множество А допустимых пар состоит
из пар (и,у) б L^O.T-.W") х Н1-1(0,Т;Шк) таких, что у1 = a(t,y) + b(t,y)u,
3/(0) = j/o, а функционал цены J определен интегралом
т
I(u,y)= J f(t,y{t),n{t))dt.
о
Мы докажем, что при определенных условиях на функции о, 6, / задача
минимизации (5.95) имеет решение.
Следующая лемма описывает поведение решений последовательностей
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Лемма 5.19. Пусть дп: (0, Г) х IR^ —> MN — последовательность функций
Каратеодори (т. е. gn[t,y) измеримы not и непрерывны по у) такая, что
(i) выполняется условие Липшица \gn(t,yi) - gn[t,y2)\ ^ Ln(t) \уг - у2\,
где {Ln(t)}n слабо компактно в L^O.T),
(ii) 5n(-,3/) -»■ 5оо(-,у) слабо в L1(0,T;UN) для любого у e JSLN.
Тогда решения уп 6 Я1,1(0,Т;1К^) задач Коши
l/=9n{t,y) в{0,Т), у(0) = уо
сходятся равномерно в [0,Т] к решению у^ £ H1,l(0,T;MN) задачи Коши
l/=9n{t.v) в{0,Т), y(G)=yo,
причем з4 -» j4j слаб° в Р^Т-.Ш").
Доказательство. Сначала покажем, что функция д^ удовлетворяет
условию Липшица, аналогичному условию (i). Последовательность {Ln}
имеет подпоследовательность (которая будет обозначаться теми же
индексами), сходящуюся слабо в L^O.T) к некоторой интегрируемой функции
L[t). Кроме того, из условия Липшица для дп следует неравенство
т т
(t, yi) - 9n{t,»)) ■ v{t) dt^ J Ln{t) \yi - y2\ \tj{t)\dt
о о
для любой функции ц е L°° (О, Т; ffiN). Переходя к пределу при п ->■ с», в
силу (а) получаем
т т
J{9oa(t,yi)-gca{t,y2)) ■ ч(*) Л ^ У L(t) |s/x - 1й| |ч(*)1 *•
о о
Определяя т] по формуле tj(<) := v, если f G (*о,т"), где г> e М^, и
т — to
т?(*) '■= 0, если t £ (to, т), получаем
т Т
—— {9ca{t,yi)-9oo[t,y2)) -vdt^. —— J L(t)\yi -y2\\v\dt,
о о
откуда следует условие Липшица (i) для дт с функцией L(t). В силу леммы
Гронуолла и (i) {yn} ограничена в 1°°(0,Т;М^), а в силу уравнений {у'п}
ограничена в L^O.TjM^). Так как Ln[t) и дп[-,0) слабо компактны в L1,
легко также показать, что j/J, слабо компактны в L1. Следовательно,
подпоследовательность {уп} стремится к некоторой функции у Е Я1,1(0,Т;Е^).
Так как задача Коши с дт имеет единственное решение, достаточно
показать,что у1 = goo[t,y) или, эквивалентно, что для каждого t € [0,Т]
t t
Jim^ / gn(s, yn{s)) ds = g^s, y(s)) ds. (5.96)
о о
Для e > 0 обозначим через уе кусочно-постоянную функцию такую, что
||у — Уе\\оо ^ е. В силу условия Липшица (i)
t t t
/ gn[s,yn{s))ds- / 5TO(s,y(s))ds ^ / \gn(s,yn{s)) ds - gn(s,ye{s))\ds
ooo
t t с
+ / \9oo(s,y{s)) ~g00{s,yc(s))\ds + / gn(s,ye(s))ds - / g^s,ye(s))ds
0 0 0
T T
^ Hlfo — И.Ц /" Ln(s) ds + \\y - ус\\т J L{s) ds
о о
t t
+ \ 9n(s,yc(s))ds- / 5oo(s,yc(s))ds\.
Поскольку ус кусочно-постоянные, с учетом (ii) заключаем, что последний
член стремится к нулю при п -»оо. Следовательно,
limsup
п—юо
С [
/ 5n(s,l/n(s))ds- / gca(s,y(s))ds
^Се,
где С — некоторая константа. Таким образом, мы получаем (5.96) при
е->0. □
Теперь рассмотрим задачу (5.95) при следующих условиях на данные
а. Ь, /. Функции а : (О, Т) х Шк ->• М* и 6 : (О, Т) х Шт -> Шкт являются
функциями типа Каратеодори, подчиненные условиям
K*,Wi)-a(*.»)|<or(0l»i-»4|, aeL\0,T), (5.97)
а(<,0)е^1(0,Т;М'с), (5.98)
\b(t,yl)-b(t,y2)\^P(t)\yi-y2\, /?6LP'(0,T), (5.99)
6(t>0)6 2/(0>T;Kfcm)1 (5.100)
где р G [1,оо] задано и р' — сопряженный показатель. Предполагается,
что подынтегральная функция /: (0, Т) хШк х Шт -»• [0, +оо] является боре-
левской функцией (или, по крайней мере, C®Bk® Вт-измеримой, как в
теореме 3.6 из п. 3.1) такой, что
f(t, •, •) полунепрерывна снизу на Шк х Rm, (5.101)
f(t,y,-) выпукла на Шт. (5.102)
Кроме того, / удовлетворяет условию коэрцитивности в следующем
смысле: если р е (1,-Ьоо), то существуют с > 0 и 7 £ 11(0,Т) такие, что
/(t1y,u)^cH',-7(*); (5-103)
если р = 1, то существуют суперлинейная функция в:Ш. —*■ Ш и 7 £ Ll(0,T)
такие, что
/(*, у, ч)> 6(\и\)- 7(f); (5.104)
если р = +оо, то существует R > 0 такое, что
f{t, у, и) = оо, если |ы| ^ R. (5.105)
Предложение 5.20. При условиях (5.97)-(5.102) функционал
jr(u \ _ J / Д* ■ У>u)dt' если У1 = а(*> У) + 6(*> ^)и- ^(°) = У°>
^+оо в ином случае
секвенциально полунепрерывен снизу относительно [слабой Шр) х ( слабой
/Г1,1)-сходимости ((слабой L°°) x [слабой Я1,1) в случае р = +оо).
Доказательство. Для простоты мы рассмотрим лишь случай р < со.
Пусть ы„ -> к слабо в £Р(0,Г;Мт) и уп -»• з/ слабо в Я1-1(0,Т;М'с).
Кроме того, можно предположить, что liminf Т[ип,уп) < оо, так как в ином
п-юо
случае утверждение тривиально. Переходя при необходимости к
подпоследовательностям, можно считать, что T[un,yn) < оо для любого тг £ N.
Следовательно, выполняются дифференциальные уравнения
у'п = a(t, Уп) + b[t, уп)ип, з/„(0) = з/о-
При
9n[t, У) = a[t, У) + b[t, y)un[t), 5оо(*. у) = a[t, у) + b[t, y)u[t)
выполнены условия леммы 5.19. Поэтому предельная функция y[t)
удовлетворяет задаче
У1 - о(<. У) + К*. У)и, 3/(0) = г/о-
С другой стороны, ввиду теоремы 3.6 из п. 3.1 о полунепрерывности снизу
т т
/ Ж У,") dt ^ Hminf / /(*, уп, un) dt,
о о
откуда
T[u,t) ^ liminf F[un,yn). D
Теперь установим наш основной результат о существовании.
Теорема 5.21. Яри условиях (5.97)-(5.105) задача минимизации (5.95)
имеет хотя бы одно решение.
Доказательство. В силу предложения 5.20 надо доказать лишь коэрци-
тивность функционала Т. Опять для упрощения изложения мы рассмотрим
только случай р < оо. Пусть ып 6 £р(0, Г; М™) и уп 6 Я^(О,Т;Шк) — две
последовательности такие, что Т[ип, уп) ^ С, где С — некоторая константа.
Надо показать, что (возможно, после перехода к подпоследовательностям)
{ип} сходится слабо в Z/(0,T;IRm) и {уп} сходится слабо в Я1-1(0,Г;М'с).
Согласно (5.103)—(5.105) можно считать, что u„-m слабо в ^(O.TjIR"1)
для некоторой функции и и, кроме того,
i/n = a[t, yn) + b[t, уп)ип, у[0) = уо.
В силу леммы 5.19 уп -*у слабо в Я1,1(0,Т;1К':), где у — решение задачи
У1 = о(*. у) + b[t, y)u, з/(0) = з/о-
□
5.9. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
В этом заключительном параграфе рассмотрим вариационные интегралы
Т{х):= j F(x(t),x(t))dt, (5.106)
где лагранжиан F(x, v) положительно однородный первой степени
относительно v. Такие интегралы Т(х) определены на кривых x:[ii,i2] -> №N в
MN. Ввиду условия однородности
F(x, Xv) = XF(x, v), A > 0, (5.107)
функционал Т инвариантен относительно параметризаций кривых. Это
означает, что если <t:[ti,t2] ->• [ty,t2] -— произвольный С^-диффеоморфизм
из [7i,r2] на [*1,*г] такой, что dujdr > 0, и мы полагаем z := хост, т.е. z(t) =
х(<г(т)), П ^ г ^ г2, то
J F(x{t),x(t))dt= I F(z(r),k(T))dT. (5.108)
Другими словами, Т(х) = T{x о а). Нетрудно показать, что верно
также обратное утверждение: из свойства инвариантности (5.108) вытекает,
что лагранжиан F(x,v) интеграла (5.106) должен удовлетворять условию
однородности (5.107). Наиболее известные примеры — это евклидова длина
£{х)= f\x(t)\dt (5.109)
ti
кривой в RN и риманова длина
Т{х) = / ^(«(iJJi'Wi*!*)* (5П0)
относительно линейного элемента ds2 = gnt(x)dxtdxk. В дальнейших
рассмотрениях мы всегда предполагаем, что F(x, v) —лагранжиан класса С°(Кх
№N), удовлетворяющий (5.107) при всех (х, v) e К х Шм, где К — замкнутое
связное множество в M.N.
Очевидно, что F(x,0) = 0. Поскольку функционалы длины (5.109) и
(5.110) имеют подынтегральные функции F(v) = \v\,F(x,v) = \gik(?)vlvkYl2,
мы не можем считать F гладкой в точке v — 0. Соответственно, надо
предположить F G С2(К х [MN - {0})), чтобы вывести уравнение Эйлера
Fx(x,x)-jtFv{x,x) = 0 (5.111)
для параметрического интеграла (5.106). Так как Fv(x,v), Fvv[x,v) и т. д. не
нуждаются в определении в v = 0, мы ограничимся рассмотрением лишь
регулярных кривых x(i), ti ^ t ^ t2, чтобы избежать дополнительных
дискуссий о поведении x(t) в окрестности особых точек, т. е. будем считать,
что x(t) ф 0. Для гладкой кривой поставим условие
|i(*)| = l на [tut2]. (5.112)
Параметрическая кривая x(t) называется нормальной кривой или
нормальным представлением. Для каждой регулярной С2-кривой x:[ti,*2] -* К
можно ввести эйлерово ковекторное поле e(t) = (ei(i),... ,eN(t)) по формуле
е := LF(x) = Fx(x,x) -—Fv[x,x). (5.113)
at
В качестве прямого следствия (5.107) получаем
LF[x)x = 0, (5.114)
т. е. эйлерово ковекторное поле e(t) вдоль любого регулярного С2-движения
x(t) перпендикулярно полю скоростей x(t).
Далее считаем, что все кривые х: I -> M.N параметризованы на
фиксированном интервале / = [0,1], где / := (0,1). Затем определим функционал
Т{х) по формуле
1
Т(х):= IF{x,x)dt. (5.115)
о
Будем минимизировать Т{х) на подходящем классе кривых х:7-ь К С MN,
соединяющих две заданные точки Pi и Pi из К. Разнообразные проблемы
возникают при работе с этим функционалом. Например, мы могли бы
вставить один или несколько "интервалов постоянства" в заданную
кривую х:1 -> К и ввести новую параметризацию. Для полученной кривой
z:I -» К должно выполняться T{z) — Т[х), но z(t) = 0 на подмножестве
положительной меры в /. Так как производные F(x, v) не определены для
v = О, мы не можем считать, что минимизирующие элементы
функционала Т, содержащиеся во внутренности множества К, обязательно будут Т-
экстремалями. Выйти из такой ситуации можно было бы, ограничившись
процессом минимизации лишь на нормальных кривых. Но тогда следует
потребовать дополнительное условие \x(i)\ — 1 на /, которое оказывается
не будет замкнутым относительно слабой сходимости в Соболевском
пространстве Я1,1(/,МЛГ), но именно это пространство естественно
использовать, если мы предполагаем
гщМ^ F(x,v)^.m2\v\, {x, v) 6 К х RN, (5.116)
где mi, m2 — константы такие, что 0 < т^ ^ т2. Чтобы избежать эти и
другие подобные трудности, мы будем минимизировать вместо Т{х) дру-
гой функционал
1
Q{x):= IQ{x,x)dt (5.117)
о
с лагранжианом
Q{x, v) := ^ F2(x, v), {x, v) £ К x RN. (5.118)
Используя предложение 1.16 и замечание 3 из п. 1.1, можно утверждать,
что любой элемент х, минимизирующий Q, удовлетворяет условию
Q[x(i),i(i)) = h>On.B.Bl. (5.119)
В силу (5.116) \х\ принадлежит классу L°°{I) и х е 1лр(/,М^). Применив
результаты из п. 1.1.1, получим, что 8Q(x,X) = 0 для всех А 6 С~(/), откуда
вытекает (5.119), так как Q(x,v) положительно однородна второй степени
относительно v и, следовательно, Q е С1 (К х Mw), если F принадлежит
классу С1 на К х (UN - {О}).
Кривая х б Я1,1(7',М;у), удовлетворяющая (5.119) при некоторой
константе h > О, называется квазинормальной. Ввиду (5.116) каждая
квазинормальная кривая принадлежит классу Hli0°(I,M.N) и, следовательно,
непрерывна по Липшицу на /. Из (5.116) и (5.119) вытекает, что y/2h/m2 ^ \x(t)\
п. в. на /. Поэтому можно вывести уравнение Эйлера Lq(x) = 0 для
минимизирующего элемента х 6 Q такого, что х(1) С intK, при условии, что
F[x,v) класса С2 на Кх (Kw-{0}), откуда Q £ C2{Kx (WLN-{0})). Заметим
что (5.119) эквивалентно условию F(x(t), x(t)) = y/2h > 0 п. в. в I, так как
F }> 0. Более того, Qv = FFV и Qx = FFX, откуда Lq{x) = y/2hLp(x) с
некоторой константой h > 0 для любой квазинормальной кривой х £ C2(I,M.N).
Поэтому каждая квазинормальная F-экстремаль является Q-экстремалью и
vice versa.. Кроме того, как мы покажем ниже, каждый минимизирующий
элемент функционала Q является минимизирующим элементом
функционала Т. Поэтому вместо минимизации функционала Т будем
минимизировать функционал Q, получая тем самым минимизирующие элементы и
экстремали с "хорошим поведением" (т. е. квазинормальные). Эта идея
хорошо известна в римановой геометрии, где функционал длины
£{х)= / у!дц,(х)х*хк(И
о
заменяется интегралом Дирихле
1
ОД = 2 [д*к[ф*хк&-
Теперь сформулируем наши условия на параметрический лагранжиан F(x, v),
определенный на К х MN.
Условие А. Лагранжиан F(x, v) принадлежит классу С1 на Kx(UN—{0})
и имеет следующие свойства:
(i) существуют числа mi и т2 такие, что 0 < т^ ^ т2 и выполнены
соотношения (5.116),
(ii) F(x,v) выпукла относительно v.
Зафиксируем две точки Р\ и Р2 из К такие, что Pi ф Pi, и
предположим, что Pi и Р2 можно соединить в К липшицевой дугой. Тогда
множество
C=C(PltP2,K) := {х £ Я^/.М*),^/) С К,х(0) = Pi,z(l) = Р2}
непусто. Рассмотрим вариационную задачу
Т -5- min в С. (7>)
Справедлива следующая теорема существования.
Теорема 5.22. Пусть К — замкнутое множество в M.N и F(x, v) —
параметрический лагранжиан на К х M.N, удовлетворяющий условию А.
Предположим, что С = C(Pi,P2,K) непусто. Тогда существует квазинормальная
(следовательно, непрерывная по Липшицу) кривая х £ С, минимизирующая Q
на множестве С. Кроме того, х минимизирует Т на множестве все
квазинормальных кривых в С и даже на множестве всех кривых С.
Доказательство. Заметим, что (m2/2)|u|2 ^ Q{x,v) ^ (тп1/2)\ь\2 для
всех (x,v) & К х UN. Кроме того, для любой точки х б К функция Q(x,v)
выпукла по к £ Ши. Тогда в силу теоремы 3.9 из п. 3.2 существует х G С
такая, что Q{x) = infQ. Как и в п. 1.1, получаем, что внутренняя
вариация dQ(x,X) обращается в нуль для всех A G С£°(1) и, следовательно,
Q(x(t),x(t)) = h п. в. в I согласно предложению 1.14 и замечанию 3 из
п. 1.1. В силу (5.118) имеем h ^ 0, и тогда h > 0, так как h = 0 влечет
\i(t)\ = 0 п. в. в /, откуда x(t) = const на / и поэтому Pi = P2; мы приходим
к противоречию. Таким образом, х квазинормальна и из (5.116) вытекает
\x(t)\ ^ т^лДК п. в. в 7, откуда х е L°°(I,UN). Следовательно, х:1 -» UN
непрерывна по Липшицу. Наконец, в силу неравенства Шварца имеем
T2(z) ^ 2Q(z) для всех z 6 H1,2(I,M.N) таких, что z(I) С К, где знак
равенства имеет место тогда и только тогда, когда Q(x(t),x(t)) = const п. в. в /.
Определив С* = C*(Pi,P2, А") по формуле С* := {z &C:z квазинормальна},
получаем
Q(x) = infQ = infQ = i f infJF) ,
с с* 2 \c )
откуда Т(х) = infT. Другими словами, минимизирующий элемент х
функционала Q в С минимизирует Т в классе С* и, следовательно, на множестве
всех липшицевых кривых в С, которые липшицевыми преобразованиями
параметра т:1 —> I, где т'(и) > 0 п. в., могут быть преобразованы в
квазинормальную кривую в С. Этот результат достаточен для наших
геометрических целей, а ввиду следующей леммы мы получаем даже равенство
mfT = infТ и, следовательно, Т[х) = mfT, что и утверждалось. □
Лемма 5.23. Для любой точки х б СПLip(/,MiV) можно найти
квазинормальную кривую £ Е С такую, что F[() = F{x).
Доказательство. Непрерывная возрастающая функция
1
r{t):=j\x\
dt
имеет не более, чем счетное число интервалов постоянства, которые
согласованы с интервалами постоянства для х. Перемещая внутренние части и
совмещая дырки, после введения новой линейной параметризации получим
функцию гбС такую что T{z) = Т(х) не имеет интервалов постоянства
Таким образом, можно считать, что исходная кривая х не имеет
интервалов постоянства и o-(t) строго возрастает. Тогда и определяет
гомеоморфизм из / на [0,1], где / — длина дуги х. Положим f := х о г, где г —
обратное к с. Положим s\ = cr(ti) и «г = с(<г) Для некоторых *i,*2 G I,
h^t2. Тогда
'2 '2 '2
s2-si= f\x\dt = f\dx\= f\d£\
и, в частности, |f(s2) — f(si)| ^ |s2 — si| для любых Si,S2 G [0,0- Поэтому
£(s) непрерывна по Липшицу на [0, /] и
»2
If 001 ds = s2-slt 0 ^ si ^ s2 ^ 1,
»2
/'
откуда |f(s)| = 1 п. в. в [0,Z] и
<
о
Таким образом, можно считать, что исходная кривая х принадлежит
классу С П Lip(/, MN) и удовлетворяет условию \x(t)\ = I > 0 п. в. в /. Положим
1 i
:= I F(x, х) dt, ir{t) := с'1 J F{x, x) dt.
с :
с Ь
В силу (5.116) с > 0 и о- — липшицево отображение / на себя. Тогда
£ := х с о—1 удовлетворяет условиям Т(х) = Т{£), f G С, и ^(£(*)|£(*)) = с,
а также соотношению Q(f (*)■£(*)) = - с2 > 0 п. в. в J. □
Замечание 1. Вместо (5.116) достаточно предположить, что mi\v\ ^
F[x,v) для всех {x,v) Е К х MN.
Если в качестве Т взять функционал длины и в качестве К —
связное риманово многообразие, изометрически вложенное в пространство RN,
то видно, что любые две точки Pi и Рг на К можно соединить
наикратчайшей, содержащейся в К. То же верно, если в качестве К мы возьмем
дополнение Шп — Q некоторого открытого множества П с M-N при условии
что ffi" - Q непусто и любые две точки из К можно соединить липшицевой
дугой, лежащей в К. Таким образом, мы решили задачу с препятствием
для функционала длины и, более общо, для довольно широкого класса
параметрических вариационных интегралов.
Как мы видели выше, минимизирующий элемент функционала 7вС
не обязательно будет экстремалью. На самом деле, может быть лишь одна
липшицева кривая в К, соединяющая Pi и Р2, так как мы не поставили
никаких условий регулярности на К. Тем не менее справедливо
Предложение 5.24. Предположим, что F(x, v) класса С1 на К х (IR^ — {0}).
Пусть х б С(Р\, Рг, К) — квазинормальный минимизирующий элемент
функционала Т на множестве всех кривых из C(Pi, P2, К), Р\ ф Pi- Предположим,
что z(J) С intK. Тогда х является слабой липшицевой экстремалью
функционала Т.
Доказательство. Пусть <р е C^{I,RN). Рассмотрим однопараметри-
ческое семейство кривых z{t,e) :— x(t) + eip[t), t E I, \x\ < e0- Для
достаточно малых eo > 0 и S > 0 получаем, что z(t,e) G К и |z(*,e)| > 6 п. в. в
J для всех е 6 [—ес.ео]- Следовательно, /(e) := T(z(-,e)) дифференцируема
и /(e) ^ /(0) для всех |е| ^ eo <S 1. Вспоминая рассуждения из п. 1.1,
получаем /'(О) = 0, т. е.
1
6Т[х, <р) = f[Fx(x, x)<p + Fv{х, x) ip]dt = 0. О
о
Теперь мы докажем теоремы регулярности для слабых липшицевых
экстремалей, которые применимы к минимизирующим элементам х
функционала Т в С, удовлетворяющим условию х(1) с int К.
Лагранжиан F(x,v) называется эллиптическим, если коэффициенты
gnc(x,v) := Qvivk(x,v) удовлетворяют условию
gik(x, v)C£k > 0 для всех f e MN - {0}, х 6 К, v &UN - {0}. (5.120)
Заметим, что g^ = Fv,Fvk + FFvtvk, F(x,v) = v'Fv,(x,v), vkFvivk(x,v) = 0.
Таким образом, (Fvivk) не может быть положительно определенной
матрицей, так как v принадлежит ядру Fvv. Поэтому наиболее сильное
возможное условие на Fvv состоит в том, что Fvv ^ 0 и нуль-пространство Fvv(x, v)
одномерно. Нетрудно показать, что это условие согласуется с условием
эллиптичности, сформулированным выше.
Предложение 5.25. Пусть F(x, v) —эллиптический лагранжиан класса С2,
удовлетворяющий условиям теоремы 5.22, их — квазинормальная кривая в
К, являющаяся слабой липшицевой экстремалью функционала Т. Тогда х —
экстремаль функционала Т, т.е. х £ C2(I,№N), i(t) ф О и Lf(x) = О.
Доказательство. Существует константа с > О такая, что F(x,x) = с,
откуда
О < c/m2 ^ \x{t)\ ^ с/тг для п. в. t £ /. (5.121)
Поэтому существует постоянный вектор А £ MN такой, что
t
Fv{x{t), x{t)) = А + f Fx{x{s), i(«)) ds. (5.122)
о
Умножив (5.122) на с и полагая Q := -F2, получаем
Е
Qv{x(t),x(t)) = Xc+ Qx(x(s),x(s))ds п. в. в J.
Введем гамильтониан Ф(х, у), соответствующий Q(x, v), класса С2 при у ф
0. Тогда для момента y(t) := Qv(x(t),x(t)) получаем уравнение
t
y(t) = Ac - / Фх{х{б), y(s)) ds п. в. в J. (5.123)
о
Из наших условий вытекает, что подынтегральная функция Фг(э:(<) ,?/(<))
принадлежит классу L°°(/,ffiiV). В силу (5.123) y(t) непрерывна по Липшицу
на J. Таким образом, $x(x(t),y(t)) непрерывна на /, и из (5.123) теперь
следует, что y(t) принадлежит классу С1 на /. Учитывая равенство x(t) =
<^^(x(t),y(t)) и условие Ф £ С2, заключаем, что х £ Cl(I,MN), т. е. г £
C2(I,M.N). Дифференцируя (5.122), получаем уравнение Эйлера Lf{x) = 0
на J.
Следствие 5.26. Любое решение х задачи (V) является С2-экстремалью
функционала Т при условии, что х(1) С int К.
Аналогично можно показать, что а; принадлежит С2, если К — гладкое
риманово многообразие без края, вложенное в M.N. Это можно доказать,
локально распрямив К, что приводит к преобразованию xwT посредством
уплощающего диффеоморфизма и, и тем самым мы выводим локальное
уравнение Эйлера для и. Более подробное изложение содержится в книге
Джаквинта-Гильдебрандт [113, гл. 2, § 2 и гл. 8, п. 4.4].
Глава 6
КОММЕНТАРИИ
6.1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
ПО ВАРИАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
Вариационные задачи, под названием изопериметрические задачи,
изучались еще в античные времена. Однако отправной точкой вариационного
исчисления принято считать год 1696, когда Иоганн Бернулли дал
формулировку задачи о брахистохроне в журнале "Acta. Eruditorum Lipsiae". На
самом деле, настоящая вариационная задача была поставлена еще
Ньютоном в 1686 г. — это его знаменитая задача об определении формы
вращающегося симметричного тела при минимальном сопротивлении. Первый
учебник по вариационному исчислению "Metbodus inveniendi Hneas curvas
maximi miniimve proprietate gaudentes"* написал Леонард Эйлер в 1744 г. В
этом учебнике Эйлер популярно объяснял такие сложные вопросы, как
вариационные задачи с дифференциальными уравнениями в качестве
дополнительных условий. Учебник сопровождался двумя приложениями, в
которых Эйлер рассмотрел упругие линии и впервые дал математически
удовлетворительное обоснование принципа наименьшего действия. В 1755 г. Ла-
гранж развил так называемое ^-исчисление, которое он считал
разновидностью "высшего" исчисления бесконечно малых. Однако в 1770 г. Эйлер
показал, что на самом деле ^-исчисление может быть сведено к
обычному исчислению бесконечно малых. Для обоснования этого утверждения
он "вложил" данную минимизирующую или максимизирующую кривую
в однопараметрическое семейство кривых, продифференцировал
вариационный интеграл по кривым этого семейства относительно параметра и
получил нулевое значение первой вариации этого интеграла в точке
экстремума. Этот подход, ставший классикой, используется с тех пор до нашего
времени и известен под названием уравнения Эйлера — Лагранжа.
Однако никаких достаточных условий, гарантирующих свойство
минимума для решений уравнений Эйлера не было известно во времена Эйлера
и Лагранжа. По-видимому, первым изучил этот вопрос в частном случае
Иоганн Бернулли, но его статья 1718 г. оставалась незамеченной в
течение двух столетий. Впервые "вопрос достаточности" систематически стал
изучать Лежандр в 1788 г. И хотя его статья была с ошибками, как отме-
'См. Л. Эйлер, Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума,
либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле,
М.-Л., 1934. — Прим. перев.
тил Лагранж в 1797 г., идеи Лежандра оказали большое влияние на Якоби,
возобновившего исследование достаточных условий в 1837 г. В очень
короткой статье Якоби схематично набросал знаменитую теорию
сопряженных точек, большей частью без доказательств, которые разрабатывались
другими математиками в последующие десятилетия. Спустя 50 лет Шеф-
фер [L. Scheeffer] и Вейерштрасс обнаружили, что положительность второй
вариации может оказаться недостаточным фактором для того, чтобы
экстремаль, т. е. стационарная кривая, обладала свойством минимальности.
В 1879 г. Вейерштрасс указал метод доказательства свойства
минимальности. Этот метод, известный теперь как теория поля Вейерштрасса,
развивали впоследствии Майер [A. Mayer], Кнесер [A. Kneser], Гильберт и Ка-
ратеодори. В п. 1.2 мы кратко изложили идеи Каратеодори в несколько
модифицированном виде. Подробное изложение можно найти в
монографии Джаквинта-Гильдебрандт [113]. Комментарии из этой монографии
могут служить введением в долгую историю вариационного исчисления.
Систематическое изложение этой теории представлено в монографии [124].
Мы также рекомендуем обратиться к очень интересному учебнику [294],
в котором оригинально представлены как классические методы, так и
некоторые идеи, связанные с прямыми методами и приводящие к так
называемым мерам Юнга. В последние годы изучение этих мер стало важным
направлением вариационного исчисления, но, к сожалению, мы не имеем
возможности затронуть этот вопрос в данном контексте. Вероятно,
читатель не найдет в этой книге многих тем и исторических фактов, которые
он или она хотели бы узнать подробнее. Для более глубокого ознакомления
с этой темой мы можем рекомендовать книгу Джаквинта-Гильдебрандт
[113], которая может также служить путеводителем по литературе.
6.2. ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ И КОМПАКТНОСТЬ
Понятия общей топологии можно найти во многих учебниках и
монографиях по теории вещественных функций или функциональному анализу [44,
230, 139, 199, 293, 90] (более специальное изложение см. в [153, 89, 42]).
Для удобства читателя мы приведем здесь основные определения и
результаты, касающиеся понятий полунепрерывности и компактности, которые
обычно вводятся в контексте топологических пространств.
Пусть (X, т) — топологическое пространство, т. е. множество X с
фиксированным семейством т {топологией) открытых множеств. Отображение
Т:Х—* Ки{оо} называется т-полунепрерывным снизу (r-п.н.с. или п.н.с. для
краткости), если для каждого t G Ш. множество Uf := {х е Х:Т(х) > t)
открыто в X или, эквивалентно, множество V* := {х е X :Т(х) ^ t)
замкнуто в X. Легко проверить следующее
Предложение 6.1. (i) Т:Х -ъ 1U {оо} полунепрерывно снизу тогда и
только тогда, когда подгрвфик epi^) := {(x,t) G X х (1U {oo}):T(x) ^ t}
замкнут в X х (MU {оо}).
(ii) Если {Ti}i£i — семейство полунепрерывных снизу функций, то
функция Т[х) :— sup^i(a;) также полунепрерывна снизу.
(Ш) Если T nQ полунепрерывны снизу иА^ 0, то T + Q и XT
полунепрерывны снизу.
(iv) Если последовательность {хп} т-сходится к х, то
Т{х) ^ liminf Т(хп).
п-*оо
Условие (iv), вообще говоря, не означает, что F полунепрерывно снизу.
Однако, если (X, т) удовлетворяет первой аксиоме счетности, т. е. если для
любого х б X существует счетная фундаментальная система окрестностей, то
(iv) эквивалентно условию полунепрерывности снизу.
На самом деле, с точки зрения вариационного исчисления, нет
необходимости работать с топологическим пространством. В действительности
нам нужно лишь пространство, в котором определена сходимость, и
секвенциально полунепрерывные снизу функции (с.п.н.с. для краткости).
Определение 6.2. Предположим, что в X определено понятие
сходимости. Отображение Т: X ->■ Ш U {оо} называется секвенциально
полунепрерывным снизу, если для каждой последовательности {я*}, сходящейся к х е X,
имеем Т[х) ^ liminf Т[хь).
1с-юо
Можно показать, что понятие секвенциальной полунепрерывности
снизу является на самом деле топологическим (см. [88]).
Предложение 6.3. Рассмотрим топологическое пространство (X, т) и
обозначим через rseq топологию на X, замкнутые множества которой являются
секвенциально т-замкнутыми подмножествами X. Тогда справедливы
следующие утверждения.
(i) Tseq является сильнейшей топологией в X, в которой сходящиеся
последовательности т-сходятся.
(ii) T секвенциально т-полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда
Т Tseq-полунепрерывна снизу.
(Hi) rseq = т, если (X, t) удовлетворяет первой аксиоме счетности.
Заметим: что в вариационном исчислении часто используют слабую
СХОДИМОСТЬ, ПрИ КОТОРОЙ Tseq Ф Т. ОдНЭКО ДЛЯ ВЫПуКЛЫХ фуНКЦИЙ В ба-
наховом пространстве имеет место следующий результат (см., например,
Данфорд-Шварц [90, т. I, гл. V]).
Предложение 6.4. Пусть X — банахово пространство и F: X ->■ (—оо, оо) —
выпуклая функция. Тогда справедливы следующие утверждения.
(i) F сильно полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда F слабо
полунепрерывна снизу.
(и) Если X* сепарабельно, то F слабо полунепрерывна снизу тогда и
только тогда, когда F секвенциально слабо полунепрерывна снизу.
(iii) Если X = V* и V — сепарабельное банахово пространство, то F
*-слабо полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда F секвенциально
*-слабо полунепрерывна снизу.
Другое важное понятие — это компактность.
Определение 6.5. Топологическое пространство X называется
компактным, если из каждого открытого покрытия X можно выбрать конечное
подпокрытие.
Еще более важным является понятие секвенциальной компактности.
Определение 6.6. Пространство X, снабженное сходимостью,
называется секвенциально компактным, если из каждой последовательности в X
можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Существуют компактные пространства, которые не являются
секвенциально компактными, а также секвенциально компактные пространства,
которые не являются компактными. Тем не менее справедливо
Предложение 6.7. В метрическом пространстве X понятия компактности
и секвенциальной компактности совпадают.
Более того, имеет место следующий критерий компактности.
Предложение 6.8. Метрическое пространство X (секвенциально)
компактно тогда и только тогда, когда X вполне ограничено, т. е. тогда и только тогда,
когда для любого положительного е пространство X может быть покрыто
конечным числом шаров радиуса меньше е.
Сформулируем одну из наиболее важных теорем компактности,
которая в действительности является первой ступенью доказательства многих
других результатов о компактности.
Теорема 6.9 (Арцела -Асколи). Пусть X — компактное метрическое
пространство и К — подмножество пространства непрерывных функций С°(Х, Щ
с равномерной нормой. Множество К (секвенциально) компактно тогда и
только тогда, когда функции из К равномерно ограничены и равностепенно
непрерывны.
В случае X = [0,1] Асколи [16, с. 545-549] показал достаточность этого
условия для компактности, а Арцела [14] установил необходимость.
Четкое доказательство этой и других соответствующих теорем дал Арцела
[15]. Обобщение на случай, когда областью является пространство, в
котором введено понятие предела (в частности, метрическое пространство),
принадлежит Фреше [102-104].
Еще раз подчеркнем, что наш интерес к полунепрерывности и
компактности обусловлен следующим простым обобщением результата Вейер-
штрасса о существовании точек минимума.
Теорема 6.10 (Вейерштрасс). Пусть Т:Х -4 Ми {оо} —
секвенциально полунепрерывная снизу функция на X, и пусть С С X — секвенциально
компактное подмножество X. Тогда Т достигает минимум на С.
Понятия компактности и секвенциальной компактности совпадают в
метрическом пространстве, как мы уже установили в предложении 6.7
выше. Для банахова пространства со слабой топологией приведем теорему
Эберлейна — Шмульяна (см., например, Данфорд-Шварц [90, Т. I, с. 430]).
Теорема 6.11 (Эберлейн — Шмульян). Пусть Е — подмножество
банахова пространства X. Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) каждая последовательность в Е имеет слабо сходящуюся
подпоследовательность,
(ii) слабое замыкание Е слабо компактно.
6.3. АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Одна из центральных проблем, рассмотренных Лебегом, связана с
соотношением между интегралом и первообразной, т. е. с задачей определения
функции по ее производной. Этот вопрос считался очень важным в конце
позапрошлого столетия. Лебег [164] доказал, что если f интегрируема на
(а, 6), то функция
ь
F(x):= Jf(t)dt
a
дифференцируема почти всюду и ее производная равна f(x). Обратно, если
функция g дифференцируема на (а, 6) и производная д' = / ограничена, то f
интегрируема и справедлива формула
X
g{x)-g(a)= [ f(t)dt.
Задача становится намного сложнее, когда д' не ограничена, так как
в этом случае производная д' не обязательно будет всюду определена и
интегрируема. В предположении, что функция д непрерывна,
производная д' существует почти всюду и одна из разностных производных всюду
конечна, Лебег доказал, что д будет функцией с ограниченной вариацией.
Функции с ограниченной вариацией ввел Жордан [150] в связи с задачей о
спрямляемости кривых. Наконец, Лебег показал, что функция с
ограниченной вариацией д имеет почти всюду производную д', которая интегрируема,
но, вообще говоря, равенство
х
g(x)-g(a) = jg'(t)dt (6.1)
а
может не выполняться. В сноске на последней странице книги [164] Лебег
отметил, что для справедливости (6.1) следует предположить, что полная
вариация д по счетному множеству интервалов общей длины / стремится
к нулю, когда I стремится к нулю.
По-видимому, Витали открыл это условие независимо от Лебега и
дал полную характеристику функций, которые являются
первообразными [283]. Витали ввел класс абсолютно непрерывных функций в точности
таким же способом, как изложено в п. 2.2, и установил следующий
результат: Необходимым и достаточным условием справедливости равенства (6.1)
является условие абсолютной непрерывности g на (а, 6). Он также построил
пример непрерывной неубывающей функции с ограниченной вариацией,
которая не является абсолютно непрерывной. Аналогичный пример был
предъявлен также в [168].
В гл. 3 мы уже могли убедиться в полезности класса абсолютно
непрерывных функций для вариационного исчисления. Здесь мы опишем еще
одно приложение, связанное с определением длины кривой.
Жордан [150] определил длину непрерывной кривой С в Ш.3,
описываемой координатами (x(t),y(t),z(t)), t 6 {а,Ь), как супремум длин всех
многоугольников с вершинами на кривой. Кривая конечной длины называется
спрямляемой. Жордан показал, что необходимым и достаточным условием
того, чтобы кривая (x(t),y(i),z(t)) была спрямляемой, будет следующее: x(t),
y(t), z{t) — функции с ограниченной вариацией.
В качестве следствия Лебег [163, 164] показал что если х, у, z
существуют везде или х, у, z имеют ограниченные разностные производные, то
ь
длина С — I у/х2 + у2 + z2 dt.
a
Полный ответ дал Тонелли [254]. Используя теорему Витали, он
доказал следующее утверждение.
Теорема 6.12. Длина I спрямляемой кривой удовлетворяет неравенству
ь
I > J y/x2+j? + z2dt,
a
где равенство достигается тогда и только тогда, когда x(t), y{t), z(t) абсолютно
непрерывны.
Гораздо сложнее задача определения площади поверхности, и мы не
будем здесь ее рассматривать, а рекомендуем читателю, интересующемуся
классическими результатами для этой задачи, обратиться к книгам [216,
232]. Заметим, что вопрос о минимальной поверхности является одним из
самых важных в вариационном исчислении, и именно эта задача послужила
источником многих открытий.
6.4. ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА
Теория пространств Соболева возникла в связи с многомерными
вариационными задачами и, в частности, в связи с принципом Дирихле и граничными
задачами для дифференциальных уравнений с частными производными.
Но эта теория оказалась полезной во многих других областях, как
например, в теории аппроксимации и вещественном математическом анализе.
Соответственно и литература по этой теме необозрима и простирается
далеко за рамки данной книги. Сведения о пространствах Соболева можно
найти во многих книгах по эллиптическим дифференциальным
уравнениям с частными производными (см., например, [2, 105, 121, 144, 145, 160,
173, 174, 193, 200]), а систематически теория пространств Соболева
изложена в [1, 97,158, 182, 295]. В некоторых из указанных книг описываются
также обобщения пространств Соболева такие, как пространства
Никольского, Слободецкого, Бесова (см., например, [245, 205, 33, 280, 279]).
Принято эти пространства ассоциировать с именем С. Л. Соболева,
хотя, возможно, это не очень оправдано с исторической точки зрения. На
самом деле какое-то недолгое время эти пространства назывались
пространствами Беппо Леви. На систематической основе эти пространства были
введены независимо Соболевым [242] (см. также [243]), Калкиным [53] и Морри
[191] (см. также [192]), но, конечно, эти авторы не были первыми среди тех,
кто использовал функции с обобщенными производными в случае многих
независимых переменных.
Вероятно, впервые функции с обобщенными производными применил
в контексте вариационного исчисления Беппо Леви [171] в 1906 г. Он
рассматривал непрерывные функции, которые абсолютно непрерывны по
каждой переменной для почти всех других переменных и имеют первые
производные в L2. Аналогичные классы функций рассматривал также Фубини
[111], впоследствии Тонелли [270] (см. также [275]), а затем Никодим [204].
Непрерывные функции, которые абсолютно непрерывны по каждой
переменной при почти всех других переменных и имеют первые производные в
L1, часто называют абсолютно непрерывными в смысле Тонелли, а
множество таких функций обозначают ACT.
Функции Соболевского типа использовал также Эванс (G. С. Evans)
[195, 196] в 1920 г. при изучении потенциалов. В 1930 г. Реллих [219]
доказал £2-компактность ограниченных множеств из Н1,2, а Лере [169]
использовал /Г1,2-пространства при исследовании уравнений Навье — Стокса.
Возможно, многие другие авторы также применяли в своих исследованиях
функции с обобщенными производными, но аккуратные сведения об этом
не сохранились в истории.
Интерес к изучению и применению пространств Соболева резко
возрос в 40-е и 50-е годы. Мы назовем лишь некоторые работы наиболее
влиятельных авторов: Морри [190, 192], Фридрихе [107-109], Кондратов
[157], Шиффман [237], Сигалов [240, 241], Дени [84], Дени- Ж. Л. Лионе [85],
Ладыженская [159] Ладыженская-Уральцева [160], Ароншан-Смит [12, 13],
Ниренберг [206], Джон [148, 149], Лаке [162], Браудер [46]. Начиная с 50-
х, эта теория и ее приложения бурно развивались, и чрезвычайно сложно
проследить все достижения в этом направлении в историческом развитии.
Общие неравенства, как неравенство Пуанкаре, имеют принципиально
важное значение в вариационном исчислении и в теории эллиптических
дифференциальных уравнений с частными производными. Эти
неравенства восходят к Пуанкаре [210] (первые работы в этом направлении см. [7,
261, 128, 136, 212]).
Теорема о компактном вложении Я1,р в L4 установлена Реллихом [219]
в случае р = 2и Кондрашовым [157] в общем случае.
6.5. НЕВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ НА МЕРАХ
И ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИЕЙ
В теореме 3.12 и замечании 1 из п. 3.3 мы видели, что при различных
подынтегральных функциях F(x,p), выпуклых по р, получаются *-слабо
полунепрерывные снизу функционалы на пространстве мер. Эти функци-
оналы определяются следующим образом:
П>) = J F(x,^)dn + J F~(*,A'). (6.2)
n n
Полунепрерывность снизу имеет место, например, для лагранжианов вида
F = F(p), где F выпукла и полунепрерывна снизу.
Аналогично в силу теоремы 3.6 из п. 3.1 заключаем, что все
функционалы вида
F(u)= IF(x,u)dx (6.3)
п
слабо полунепрерывны снизу в L4(£l,MN), если F(x,p) — измеримая
функция по (х,р), выпукла и полунепрерывна снизу по р.
Обратно, можно доказать (см. [49]), что функционалы вида (6.3), где
лагранжиан F является измеримой функцией, выпуклой по р, суть в
точности те функционалы, которые слабо полунепрерывны снизу на L^fijlR^)
и локальны в том смысле, что
Т{и + v) = Т[и) + ?{ь), если и-к = 0п.в.вй
(Без потери общности мы здесь предположили, что .F(O) = 0.) Другими
словами, для функционалов на ^(П.М^) из слабой полунепрерывности снизу
и локальности следует выпуклость. Это уже не так для функционалов,
определенных на пространстве мер A^fi.IR^). Действительно, можно
показать (см. [38-40]), что если-мы определяем локальность на A^(f2,M,v) по
правилу
7"(Ai + А2) = ^"(Ai) Ч-^Аг), если Ai,A2 взаимно сингулярны на Г2,
то функционалами вида (6.2) могут быть только те функционалы, которые
локальны, *-слабо полунепрерывны снизу и выпуклы на M(Q,MN). С
другой стороны, если мы не будем требовать выпуклости априори, то получим
интегральное представление
F{X) = jF(x,^)d»+ J F°°(x,\') + JG{z,\4x))db (6.4)
для некоторой меры ц и подынтегральных функций F и G, где Ах —
множество атомов А, )) — считающая мера, А( — атомная часть A, Ав(х) -
значение А'({а:}).
Лагранжиан F(x,p) должен быть выпуклым по р, a G(x,p) —
субаддитивным по р, т. е.
G(x,p! +p2) ^ G(x,px) + G{x,p2) для всех х,рир2,
и F и G связаны асимптотическим условием
F°°(x,p)= lim Щ±Е1. (6.5)
Например, при F(p) — |р|2 и G(p) = 1, условие (6.5) выполнено. Поэтому
функционал
Т(\)
fl^ldfi + MAx), А* = 0,
— ) J \ац\
оо, А5 ф О
будет локальным и *-слабо полунепрерывным снизу на Л-^П.М^), но не
будет выпуклым.
Аналогичное рассмотрение для BV(I,E.N), I := (a, 6), приводит к
функционалам вида
r(\) = JF(x,u)dx+ J ^~(ж, «;> + у g(«, [«]) «щ,
/ (a,6)\Su Su
где [и] обозначает скачок и и Su — множество точек разрыва и. Например,
функционал в (6.6) принимает вид
J\u\2dx + $(SU), u'a = 0,
а
оо, и', ф О,
который представляет собой одномерный вариант общей модельной
задачей механики разрушения. Подробности и соответствующую
библиографию можно найти в статьях Де Джорджи [79], Де Джорджи-Амбросио [9],
Де Джорджи и др. [83], Бучитте и др. [41].
6.6. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
Как уже упоминалось, истоки прямых методов прослеживаются в
исследованиях Гаусса, Томсона, Дирихле и Римана в связи с принципом Дирихле.
Первое обоснование принципа Дирихле дал Гильберт [140, 141] в 1900 г. Он
показал, что прямые методы подходят для решения одномерных
регулярных задач, связанных с существованием геодезических на поверхности, а
также для обоснования принципа Дирихле. Его статьи инициировали
последующие важные работы [163, 55, 171, 111, 165]. Особо значимыми были
статьи Лебега [163, 165], где было отмечено важное значение понятия
полунепрерывности для определения длины кривой.
В серии статей [256, 258, 260, 259], начиная с 1911 г., Тонелли доказал
существование минимизирующих элементов для одномерных
вариационных задач (как в параметрическом, так и в непараметрическом случаях)
и применил свой метод к некоторым конкретным задачам таким, как
существование периодических орбит [257], устойчивость состояние
равновесия жидкой массы под действием молекулярных сил [262] и свойство
минимальности сферы [264].2 В своем доказательстве Тонелли придавал особое
значение понятию полунепрерывности. Это понятие возникало и в статьях
Лебега, но однако он, как и другие более поздние авторы, доказывали
теоремы существования, используя возможность локального решения уравнения
Эйлера. По этой причине сущность прямых методов и причины, почему
они работают, оставались скрытыми, а область их применения казалась
довольно ограничительной. Этот факт отметили Адамар [127, 126], когда
развивал метод наискорейшего спуска для доказательства существования
минимизирующего элемента, и Гурса [125].
Значение прямых методов впервые ясно объяснил Тонелли в своей
работе об одномерных вариационных задачах. Фундаментальная статья
Тонелли [266] в 1915 г., которой предшествовали для кратких анонса [263]
в 1914 г., была написана уже в современном стиле, и эту работу можно
считать вторым важным этапом в развитии прямых методов.
После Первой мировой войны Тонелли опубликовал обзор своей теории
[267, 268] и систематически изложил ее в своей монографии [269]. Кроме
того, идеи своего подхода он докладывал на нескольких конференциях и,
в частности, на Международном конгрессе математиков в Торонто [272] и
в Болонье [274] (см. также [276, 277]). Позднее Тонелли пробовал
распространить свои результаты на двумерные задачи [273, 275], по-прежнему
работая с абсолютно непрерывными функциями, будучи убежденным, что
именно этот класс функций наиболее подходит для таких задач.
Возможно, это убеждение и явилось главным ограничителем в его теории.
Действительно, чтобы получить компактность, он вынужден был работать с
подынтегральными функциями, у которых рост по производным должен
быть выше второго порядка (так как только в этом случае имеет место
непрерывность согласно Соболевским теоремам вложения), хотя некоторые
предельные случаи с интегралом Дирихле поддавались исследованию с
помощью так называемых монотонных функций в смысле Лебега (см. [165]
и [273, 275]).
Важный новый виток в развитии прямых методов был обусловлен
работами Морри [192, 190], в которых вместо пространства абсолютно
непрерывных функций рассматривались функциональные пространства,
эквивалентные пространствам Соболева. Работа Морри открыла третий этап
развития прямых методов. На основе общих идей Тонелли Морри
сформулировал современный прямой подход к проблеме существованию и
регулярности минимизирующих элементов многомерных вариационных задач.
Теоремы о полунепрерывности и существовании из гл. 3 впервые были
установлены в [269] (см. также [267]). В нашем изложении мы следуем
[276, 277, 192] и, в большой степени, [193]. Пример Маньи был опубликован
в [179, 178] вслед за статьей М. А. Лаврентьева [161] (см. также статью
[59], которую мы использовали в нашем тексте). Пример I 2 I приводится
из [114]. L—J
2 Наиболее важные результаты Тонелли, внесшие вклад в вариационное исчисление,
собраны во втором и третьем томах издания Ореге scelte [278] и в его монографии [269].
В [269] доказывается липшицева регулярность минимизирующих
элементов регулярных интегралов. Переход от липшицевой непрерывности
(фактически, от С1) к классу С2 принадлежит Гильберту.
Теорему о частичной регулярности из п. 4.2 установил Тонелли [269].
Наше доказательство следует статье [21], которое с небольшими
модификациями и улучшениями согласуется с доказательством Тонелли. Болл и
Мизель первыми показали, что сингулярное множество Е может оказаться
непустым. Дальнейшее исследование сингулярного множества можно
найти в [68, 70, 71, 76]. Предложение 4.11 из п. 4.3 взято из [76]. Более ранний
результат такого же типа, но при условии, что лагранжиан F
удовлетворяет лишь условиям
\р\ ^ F{x, v,p) ^ const (1 + |р|2), (6.7)
F(x,u,p)
Ы
oo при \р\ -» oo, (6.8)
был доказан в [21].
Мы уже отмечали, что при условии (6.7) класс абсолютно непрерывных
функций не годится, потому что
(i) пределы функций с равномерно ограниченными градиентами в L1
являются функциями с ограниченной вариацией, и их производные суть
меры, имеющие, вообще говоря, ненулевую сингулярную часть
относительно меры Лебега,
(ii) минимизирующий элемент может не существовать в АС; но даже
если минимизирующий элемент существует в АС, мы вынуждены
допустить, что он может оказаться с серьезной патологией.
Например, Дэви [76] доказал следующий результат.
Предложение 6.13. Пусть заданы замкнутое множество Е С [а, Ь] меры
нуль, функция v е С(0,1) класса С°° вне множества Е такая, что i/ >0и
г/(х) -> оо при dist(x, Е) -4 0, а также непрерывная функция р[х) на [а, Ь]
класса С°° вне множества Е. Тогда можно найти функцию F(x,p) такую, что
F{x,p) 2 0, Fpp > 0, со|р| ^ F{x,p) ^ Cl(l + |р|2),
Fp{v(x), v'(x)) = р(х), х G [а, Ь] - Е,
и v является минимизирующей функцией функционала
ь
T[v) := f F(u, u') dx.
В частности, справедливы следующие утверждения.
(a) Если р абсолютно непрерывна, то уравнение Эйлера будет
выполняться в следующем смысле: Fz(y, v1) 6 L1 и Fv{v,ri) — неопределенный
интеграл.
(b) Если р такая, что р' £ L1, то Fz(u,i/) el1 и уравнение Эйлера не
выполняется.
(с) Если Е — канторово множество и р — канторова функция, то
Fz = 0, но Fp не константа.
Для лагранжианов, зависящих только от х, р, справедливо следующее
утверждение (см. [76]). Рассмотрим лагранжиан
F{x,p) := (1 + И2)1'2 + х2|р|2, х е [-1,1],
и соответствующую вариационную задачу с граничными условиями и(1) —
а, и(-1) = -а (а ^ 0) и отметим, что Fpp = (1 + |p|z)_3/2 + 2x2 > 0. Тогда
существует а\ > 0 такое, что
(a) если 0 ^ а ^ ait то Т{и) имеет единственный минимизирующий
элемент; этот элемент принадлежит классу С°°, если а < qi и имеет
особенность в точке i = 0, если а = а1г
(b) если а > ау, то не существует минимизирующих элементов в АС
с условиями и(1) = а и и(—1) = —а.
Другие примеры можно найти в [21, 76], а дальнейшие результаты —
в [249, 250, 248].
6.7. ЭФФЕКТ ЛАВРЕНТЬЕВА
Впервые наличие зазора между инфимумами значений вариационного
интеграла для гладких функций и для абсолютно непрерывных функций
отметил М. А. Лаврентьев [161]. Позднее Манья [178] указал более простой
пример. Условия, при которых эффект Лаврентьева исключается из
рассмотрения, приведены в [10,176, 68]. Дальнейшие исследования и примеры
можно найти в [21, 76, 138, 137].
По нашему мнению, следующие два факта оказались причиной того,
что явление зазора вызвало удивление и беспокойство.
(i) Непоколебимая убежденность Тонелли в том, что именно АС
является тем пространством, в котором следует минимизировать одномерные
вариационные интегралы; это убеждение разделяли и до сих пор разделяют
многие математики.
(ii) Плохое поведение многих функционалов относительно слабой
сходимости при их продолжении (например, при помощи теоремы Лебега о
мажорирующей сходимости).
Более точно, появление зазора вызвано тем, что естественные
функционалы, определенные на гладких функциях, могут превратиться в
странные объекты, если их продолжить на абсолютно непрерывные функции.
Для полноты картины с эффектом Лаврентьева мы приведем
сведения из теории релаксации, изложенной в книге Буттацо-Мизель [51], и
дополним их примерами. При абстрактном определении релаксации мы
рассматриваем два топологических пространства X и У, где У плотно в
X, и функционал Т.Х -»■ (—со,со], который полунепрерывен снизу
относительно топологии в X. Рассматривая сужение Т\у функционала 5наУи
его релаксацию Т\у, определенную по формуле
.У|у:= vnzx.{Q:X -> (-со, +со]:^.^-полунепрерывен снизу, Q ^ Т на У)
мы сразу же получаем неравенство Т ^ Т\у на X. Поэтому •7Г|У= F+ £,
где функционал £ ^ О будем называть функционалом зазора Лаврентьева
для Т и X, Y. Заметим, что £(щ) имеет смысл только, когда Т{и) < +оо,
и мы будем говорить, что эффекта Лаврентьева нет, если £ равен нулю
тождественно. Так как ^"|у^ Т на У, имеем £(и) = 0 для каждого иёУ,
но возможно £(щ) > 0 для некоторого и G X\Y\ в этом случае мы говорим,
что Т указывает на наличие зазора Лаврентьева между пространствами У
иХ.
Согласно общей теории релаксированных задач (см. Буттацо [47])
справедливо следующее релаксированное равенство:
inf{Т{у): у G У} = inf(Т\у [х):хеХ} = Ы{Г{х) + С[х) :хеХ).
Таким образом, inf{Т(у): у £У} = Ы{Т(х):х е X}, если £(и) = 0.
Рассмотрим функционалы Т вида
Т(и) = I F(x, и, и') dx
о
на пространстве Я1,1(0,1), где подынтегральная функция F: (0,1) хШ xffi -»•
М удовлетворяет следующим условиям:
(i) F — функция Каратеодори (т. е. F(x,z,p) измерима по а; и
непрерывна по [z,p)),
(ii) F(x,z,-) выпукла на М для всех (x,z) G fi x M,
(iii) F{x, z, 0) = 0 для всех (х, г) е fi x M,
(iv) существует функция ы:П х М х М -> [0,оо) такая, что ui(x,r,t)
интегрируемая по х, возрастающая по г и t и справедливы неравенства
0 ^ F(x, z,p) ^ u(x, \z\, \p\) для всех (ip2,p)efixRx EL
Чтобы воспользоваться абстрактной схемой, обозначим через X
пространство всех функций и G Н1ш1[0,1) таких, что и(0) = 0, и через У —
пространство непрерывных по Липшицу функций и таких, что и(0) = 0.
Следующий результат получен в [51].
Теорема 6.14. Существует функция W: (0,1) х Ш. -> №. такая, что
функционал зазора Лаврентьева £ для Т определяется формулой
£[u) = lrminfW(x,u[x))
для любой и G Я£~((0,1]) П Я 1Д(0,1) такой, что и(0) = 0.
Замечание 1. Здесь Я,о™((0,1]) обозначает пространство всех
функций, которые непрерывны по Липшицу на каждом интервале [S, 1], S > 0.
Другими словами, мы имеем дело с функциями ы, которые сингулярны
лишь в одной точке (для простоты будем считать, что эта точка —
начало координат). Насколько нам известно, проблема представления £(и) для
произвольной функции u G Я1Д(011) такой, что и(0) = 0, до сих пор еще не
решена.
Функция W из теоремы 6.14 определяется формулой
W(x,s) = \iminfV(x,t),
где V — функция значений
1
V(x,t) := inf [ jF(y, u,u') dy.u G Я1-оо(0, i),u(0) = 0,u(x) = t\.
о
В качестве примера рассмотрим лагранжиан такого же типа, как в примере
Маньи:
(1) FaiPiTn{x,u,p) = {ulul*-1 - i")2jpr, где a > /? > 0 и т > 1 (в
примере Маньи рассматривалась функция -Рз,1,б)- Согласно определению из
[137] функция F называется однородной, если F(x,z,p) = tF{tx,Vz,ri~lp)
для всех {x,z,p) и t > 0, где 7 — некоторое число из (0,1). Тогда функция
из (1) однородна, если т — a —. Поэтому мы будем различать три
a — р
случая: субоднородность, однородность, супероднородность.
В субоднородном случае m < a(l + 2/?)/(а — /?) функционал С
тождественно равен нулю и эффекта Лаврентьева нет. Действительно, любая
допустимая функция и может быть аппроксимирована непрерывными по
Липшицу функциями
\U(E)X/E, X ^ £,
для которой ИшТ(ис) = Т(и).
В однородном случае m = а(1 + 2/?)/(а — /?) имеем
иг(...) = л-' СМГ [ « fj£iy +, _ J^_ ПЛУ],
20 1 + 2/3
где A' = 1 -, 7 = 1 —. Например, на функции u(x) = x^la
m — 1 m
2q2
C(u) = K™-1 "*
(a + m)(2a + m)
Заметим, что даже если все подынтегральные функции FqaiqpiTn
обращаются в нуль на некоторой функции и(х) = хр1°, соответствующие
функционалы зазора, вычисленные на этой функции, будут различными.
В супероднородном случае m > a(l + 20)/{a — 0) имеем W(x,s) =
A"m_1(|s|/a:'T)raI где А' и 7 такие же, как и выше. Например, на функции
и(х) = хР1° получаем С(и) — +оо.
Укажем еще один класс подынтегральных функций, для которых
можно явно вычислить функцию W, представляющую функционал зазора С:
F,im(*IzIp) = |z-*«||Pri 0 < g < 1.
Однородный случай имеет место при т = (1 + д)/(1 -}),и тогда мы
находимся в следующей ситуации (см. [30]).
В субоднородном случае т < (1 + д)/(1 — д) мы рассуждаем так же,
как и выше, и заключаем, что функционал С тождественно равен нулю.
Следовательно, эффект Лаврентьева не имеет места.
В однородном случае т = (1 + g)/(l — д) имеем
W(x, s)
/ rn \m(\s\\mTm+l Hj
\m+l) \xi) [ m zfj'
\m+l) [m \xi) m \xi J J'
s^x*,
s>xg.
В супероднородном случае m > (1 -f- g)/(l — g) имеем
w(x,s) = кп-чм/хт, k = i--Ц, 7 = 1- —-
m — 1 77i
Вопрос о возможности аппроксимации минимизирующего элемента с
помощью минимизирующей последовательности липшицевых функций
рассматривался впервые в статье М. А. Лаврентьева [161], где показано, что
следующее условие достаточно для того, чтобы исключить эффект
Лаврентьева: Для любого г > 0 существует сг > 0 такое, что |-Fz(a:, z,p)\ ^ сг для
всех [x,z,p) G (0,1) х [—г, г] х №. (здесь использовалась равномерная
сходимость). В тот же год Тонелли [277] нашел более общее условие, достаточное
для С = 0: F(x, z, р) = G[x, z, p) + Н{х, z, p), где G удовлетворяет условию (а)
ниже и Н удовлетворяет одному из условий (/?) или (7) ниже:
(а) для любого г > 0 существует сг > 0 такая, что \G(x, z,p)\ ^ сг(1 + \р\)
для любых (х, z, p) G (0,1) х [—г, г] х №.,
(/?) для любого г > 0 существует ст > 0 такая, что \Hz{x, z, р)\ ^ сг(1+|р|)
для любых (х, z, р) 6 (0,1) х [—7-, т-] х Ш,
(7) для любого г > 0 существует сг > 0 такая, что \Hz{x,z,p)\ ^ сг(1 +
\Hz(x, w,p)\) для любых (х, z, w,p) G (0,1) х [—г, г] х [—г, г] х М.
В [68] рассматривались несколько случаев, когда решения задачи
1
minj fF(x,u,u')dx:ueH1-1{0,l),u(0) = a,u{l) = b\
о
непрерывны по Липшицу при следующих условиях:
(i) F(x,z,p) локально ограничена по [x,z,p) и измерима по х,
(ii) F[x, z,p) локально непрерывна по Липшицу по (z,p) равномерно по х,
т. е. для любого г > 0 существует сг > 0 такая, что \F(x, z\,p\)—F(x, z2,p2)\ ^
Cr(|zi - г2\ + |pi - р2|) Для всех х Е (0,1) и |zi|, \z2\, \pi\, Ы ^ г,
(iii) F(x,z,p) выпукла пор,
(iv) существует суперлинейная функция в (в(г)/г -» +со при г -> +оо)
такая, что F(x, z,p) ^ #(|р|).
Укажем условия, когда минимизирующие функции непрерывны по
Липшицу.
(2) F,(*,«(*),«'(*)) 6L1 (°.1),
(3) существуют с > 0 и а е L}[Q, 1) такие, что \Fz[x,u[x),u'[x))\ $
с \FPix, и(г). "'W)! + а(г).
(4) выполняется условие типа Бернштейна: существует а £ L1(0,1) та-
р р _р yiF
кая, что Ф = — ^ — удовлетворяет неравенству \Ф(х, и(х),и'(х))\ $
Fpp
а(х)(1+\и'(х)\).
Можно доказать (см. [68]), что условия (2), (3), (4) вытекают
соответственно из следующих условий:
(5) для любого т > О существуют сг > 0 и ar e L1(0,1) такие, что
\Fx(x,z,p)\^. cr |^(ж,г,р)| + аг(2;) для всех {x,z,p) € (0,1) х [-r,r]xR,
(6) для любого т > 0 существуют сг > 0, dT > 0 и ar e L1(0,1) такие,
что \F2(x,z,p)\ $ сг|^(аг,г,р)| + ^^р(г,г1р)|+аг(а:) ДЛЯ любых {x,z,p) €
(0,1) х [-г, г] хМ,
(7) существуют числа а ^ 1, к > 0, непрерывная функция ^:М ->Ки
для любого г > 0 положительная константа сг такие, что для всех (x,z,p) e
(0,1) х [-г,г]х!
*"(*. *,*>) £ flW + * |р|а, \F(x, z,p) $ cr(l + bl1+Q)-
Для подынтегральных функций вида F(x,p) (нет зависимости от z)
справедливо следующее
Предложение 6.15. Если F:(0,1) хШх [0,+оо] — борелевская функция
такая, что
(i) F(x, •) выпукла и полунепрерывна снизу для почти всех х е (0,1),
(ii) если существует uD e Я1-00 такая, что F(x,u'D) e L1, то между
пространствами Я1-1 и Н1,с° нет зазора Лаврентьева.
Доказательство. Сведем рассматриваемую задачу к случаю ио = 0с
помощью функции G{x,p) = F(x,p + u'0(x)). Чтобы показать, что
функционал зазора Лаврентьева £ тождественно равен нулю, следует доказать, что
для каждого слабо полунепрерывного снизу функционала ^:Я1,1(0,1) -»•
[0,+оо], мажорируемого функционалом Т сверху на Я1,со, имеем Q $ Т.
Для этого фиксируем произвольную функцию и 6 Я1,1 (0,1) и для п£Н
определим
t
wn{x) := max{—n,min{w'(z),n}}, un(s) := w(0) + / wn(t)dt.
о
Имеем ы„ е Я1,оо(0,1), «„(0) = и(0) Hi%-m сильно в Я1,1.
Действительно, для некоторой константы С > 0 имеем
/ (" + И)<
У ил,
|К - «||я1.. ^ С ||< - u'||ix $ С / (n + \u'\) dx
$2С
где последний интеграл стремится к нулю при п -> оо, так как и G Я1,1.
Поскольку F(x, •) выпукла, имеем
Q[u) ^.\\тпЫТ{ип)
71-* СО
= liminfi / F{x,u')dx+ / F{x,n)dx+ j F(x,-n)dx\
{|u'K"} {u'>n} {u'<-n}
^liminfj j F{x,u')dx+ J \^-F{x,u')
{|u'|$n} {|«'l>n}
+ ('-и)'И*}
l
<£ /.F(x,u')dx + liminf / ^(х,0)<*х.
О {|«'l>n}
В силу интегрируемости J"(x, 0) и сходимости meas{|u'| >n}->0 при п —»
oo мы получаем £(u) ^ ^(u), что и требовалось. D
В автономном случае F = F(z,p) справедлив следующий общий
результат об аппроксимации, полученный в [6].
Теорема 6.16. Пусть F:RN x RN -> [0, оо] — борелевская функция.
Предположим, что для любого г > 0 существуют сг > 0 и Мг > 0 такие, что
F[z,p) ^ Мг при \z\ ^ г и \р\ ^ сг. Тогда для любых m G [0,оо) и u E
H1,m(/,]RJV), / = (0,1) существует последовательность un e Я1,со(/,М^),
которая сходится к и в Н1,гп-норме и аппроксимирует и по энергии, т. е.
1 1
/ F(un, u'n) dx -»■ / .F(u, u') dx при n
—¥ oo.
Кроме того, если лагранжиан F ограничен на ограниченных множествах,
аппроксимирующая последовательность может быть взята из класса
С1(1,ММ). Наконец, если лагранжиан F непрерывен, то аппроксимирующую
последовательность можно взять из C°°(I,M.N).
Теорема 6.16 допускает следующее обобщение (см. замечание 2.9 из
[6]). Пусть D — подмножество MN, V — семейство отображений из [0,1] в
М и k, m — положительные числа. Будем говорить, что V (к, сг)-связывает
D, если
— все функции v e V Л-непрерывны по Липшицу,
— все функции 11-> F(v(t),v'(t)), где v e V, равномерно интегрируемы
на [0,1],
— для любых »/1, J/2 £ D существуют v е V и xi,x2 G [0,1] такие, что
2/1 = v[xi), 1/2 = v(x7) и |xi - х2| $ с |yi - уъ\-
Тогда справедливо следующее обобщение теоремы 6.16 (см. [6]).
Пусть функция и принадлежит #1,т(0,1;Ш^) при некотором т 6 [1, оо).
Предположим, что существует семейство V, которое (к,а)-связывает образ
и для некоторых к, с. Тогда и может быть аппроксимирована по энергии
последовательностью липшицевых функций, сходящихся к и в Н1'тп-норме.
Это утверждение можно применить к функционалам вида
1
Т(и)= J F{u,u')dx
о
с ограничением и е Т, где
Т := [и G Я1'"^/;»"): u{t) G М для всех t G [0,1]}
и М — замкнутое липшицево подмногообразие MN. Тогда
рассматриваемый автономный функционал принимает значение +оо, если и£Т. Однако
результат об аппроксимации остается все еще верен. Отметим, что для
лагранжианов вида F(z,p) ограничения типа {и ^ 0} не влияют на
аппроксимацию регулярными функциями, тогда как для автономных
подынтегральных функций второго порядка такого вида ограничения могут привести к
зазорам (см. [61]).
6.8. ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИИ СТРУНЫ
В 1747 г. Д'Аламбер нашел общее решение уравнения
д2и , д2и
= a
2 '
dt2 дх2
(6.9)
в виде <p(x + at) + ф(х — at). Вскоре после этого, в 1753 г. Даниил Бернулли
исследовал эту же задачу, но совершенно другим методом. Еще раньше
Тейлор заметил, что функции
пжх rmait — /?)
Sin—— COS -, 71=1,2,...,
являются решениям дифференциального уравнения (6.9) и удовлетворяют
граничным условиям
и(0,*) = 0, u(l,t) = 0.
Этот факт привел Бернулли к выводу, что каждое решение (6.9) может
быть записано как суперпозиция тонов. Следует отметить, что Эйлер не
принял решения Бернулли, так как он не представлял, каким образом такая
сумма аналитических функций могла бы давать произвольные начальные
данные. Этот вопрос выяснился в работах Фурье и в последующих работах
Дирихле, Римана и многих других математиков начала прошлого столетия.
Концепции и методы, развитые при решении задачи о колебании
струны, имеют очень важное значение для многих других задач физики. В
частности, это относится к идее, что движение физической системы в
окрестности равновесного состояния можно получить как суперпозицию
собственных колебаний. Для пояснения мы, следуя Лагранжу, рассмотрим
систему с конечным числом степеней свободы.
В этом случае потенциальная энергия относительно обобщенных
координат описывается функцией U(q), которая равна нулю в q = 0 состоянии
равновесия. Если состояние равновесия устойчиво, можно представить
потенциальную энергию с точностью до членов высшего порядка как
положительно определенную квадратичную форму U = 5Za»"fc9<9fc- Аналогично,
кинетическая энергия выражается положительно определенной
квадратичной формой Т— ^2bik(q)qiqk и с точностью до членов высшего порядка мы
можем рассматривать Ь,-*(д) как константы. В этом случае уравнения
Эйлера
^5Г dU_ _
dt dqi dqi
принимают вид
Bq + Aq = Q, (6.10)
где А и В обозначают матрицы (о,-*) и (Ь,-*) соответственно. Заменяя
координаты qj новыми декартовыми координатами xj, мы можем
преобразовать одновременно Т и U к диагональной форме Г = х\ + ■ - - + х% и
U = Хгх1 + h Ani£. Тогда уравнения (6.10) сводятся к п
гармоническим колебаниям ж,- + А,-ж,- = 0, i = 1,... ,п. Таким образом, движение в
окрестности точки устойчивого равновесия можно представить как
конечную сумму собственных колебаний. Систематическое введение
собственных колебаний в физику принадлежит Томпсону-Тайту, Рэлею, Куранту-
Гильберту. История вопроса подробно описана в [281, 54].
Вариационный подход к задачам на собственные значения восходит к
Рэлею и Фишеру. Важное развитие их идей принадлежит Ритцу [W. Ritz],
Вейлю [Н. Weyl] и позднее Куранту. Систематическое изложение
соответствующих концепций можно найти в монографии Курант-Гильберт [74].
Современный подход с приложениями к дифференциальной геометрии
изложен в [60].
Неулучшаемые константы в неравенствах и оценки собственных
значений играют важную роль в физике и в геометрии. Интересующийся
читатель может обратиться, например, к работам [136, 212, 29, 60].
6.9. ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ЗАДАЧА
С ПРЕПЯТСТВИЕМ. НЕКОЭРЦИТИВНЫЕ ЗАДАЧИ
Вариационные задачи с неравенствами в качестве ограничений изучали
Штейнер, Вейерштрасс, Больца [О. Bolza] и Адамар. Систематическое
изучение вариационных неравенств началось с фундаментальной статьи Фи-
керы [100] о задаче Синьорини в 1964 г. и работы Минти [187, 188] о
монотонных операторах в 1962 и 1963 гг. В 60-х годах важный вклад в развитии
этого направления внесли Стампаккья, Ж. Л. Лионс-Стампаккья, Брау-
дер, Леви, Леви-Стампаккья, Брезис-Стампаккья, Нитше. В последующие
два десятилетия это направление интенсивно развивалось. Интересующий-
ся читатель может ознакомиться с результатами этой теории по книгам
Киндерлерер-Стампаккья [154] и Фридман [106].
Общая теория некоэрцитивных задач, включая функционалы
рецессии, соответствующие общей энергии системы, исследовалась в [19], где
также приведены приложения к задачам механики сплошных сред.
Интересующийся читатель может ознакомиться с этой статьей, а также
близкими публикациями [18, 52, 253, 218].
6.10. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
В гл. 5 мы всего лишь привели подборку примеров, предназначенных для
иллюстрации общей теории, изложенной в предшествующих главах. Тем
не менее мы предлагаем читателю обратиться к классическим работам
Пуанкаре [211], Биркгофа [34], Зигель — Мозер [239] и к статье Арнольда и
др. в энциклопедии [11]. Несмотря на свой преклонный возраст эта теория
до сих пор остается актуальной и в настоящее время быстро развивается.
Задачи, включающие сингулярные потенциалы такие, как ньютоновские
потенциалы, представляют особый интерес, и много вопросов до сих
остались открытыми.
Литература
1. R. A. Adams. Sobolev Spaces. Academic Press, New York, 1975.
2. S. AgmoD. Lectures on elliptic boundary value problems. Van Nostrand, Princeton,
NJ, 1965.
3. H. И. Ахиезер. Лекции no вариационному исчислению, М., Гостехиздат, 1955.
[English translation: The Calculus of Variations. New York, 1962.]
H. И. Ахиезер, И. М. Глазман. Теория линейных операторов в гильбертовом
пространстве. М.- Л., Гостехиздат, 1950. [English translation: Ungar, New York,
1961. Reprint: Pitman, London, 1980.]
5. L. Alaoglu. Weak topologies of normed linear spaces. Ann. Math. (2) 41, 252-267
(1940).
6. G. Albert], F. Serra Cassano. Non-occurrence of gap for one-dimensional autonomous
functionals. Proceedings of "Calculus of Variations, Homogenization, and Continuum
Mechanics", CIRM, Marseille-Luminy, 21-25 June 1993, edited by G. Bouchitte,
G. Buttazzo, and P. Suquet. World Scientific, Singapore, 1994, 1-17.
7. E. Almansi. Sopra una delle esperienze del Plateau. Ann. Mat. Ser. Ill, 12, 1-17
(1906).
8. L. Ambrosio. New lower semicontinuity results for integral functionals, Rend. Accad.
Naz. XL, 11, 1-42 (1987).
9. L. Ambrosio. Existence theory for a new class of variational problems. Arch. Ration.
Mech. Anal. Ill, 291-322 (1990).
10. T. S. Angell. A note of approximation of optimal solutions of free problems of the
calculus of variations. Rend. Circ. Mat. Palermo 2, 258-272 (1979).
11. V. I. Arnold, V. V. Kozlov, A. I. Neishtadt. Encyclopedia of Mathematical Sciences,
Vol. 3: Dynamical Systems III. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1988.
12. N. Aronszajn, К. Т. Smith. Functional spaces and functional completion. Ann. Inst.
Fourier 6, 125-185 (1956).
13. N. Aronszajn, К. Т. Smith. Theory of Bessel potentials I. Studies in eigenvalue
problems, Technical Report No. 22, University of Kansas, 1959.
14. С Arzela. Funzioni di linee. Atti R. Accad. Lincei, Mem. CI. Sci. (4) 5, 342-348
(1889).
15. C. Arzela. Sulle funzioni di linee. Mem. Accad. Sci. 1st. Bologna, CI. Sci. (5) 5,
55-74 (1895).
16. G. Ascoli. Le curve limiti di una varieta data di curve. Atti R. Accad. Lincei, Mem.
CI. Sci. (3) 18, 521-586 (1883-1884).
17. C. Baiocchi, A. Capelo. Variational and quasivariational inequalities: applications to
free boundary problems. Wiley, Chichester, 1.984. [Русский перевод: К. Байокки, А.
Капело. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам
со свободной границей. М., Наука, 1988.]
18. С. Baiocchi, F. Castaldi, F. Tomarelli. Some existence results on noncoercive
variational inequalities. Ann. Scuola Norm. Sup.Piza CI. Sci. 13, 617-659 (1986).
19. С. Baiocchi, G. Buttazzo, F. Castaldi, F. Tomarelli. General existence results for
unilateral problems in continuum mechanics. Arch. Ration. Mech. Anal. 100, 149-
189 (1988).
20. J. M. Ball, V. J. Mizel. Singular minimizers for regular one-dimensional problems in
the calculus of variations. Bull. Am. Math. Soc. 11, 143-146 (1984).
21. J. M. Ball, V. J. Mizel. One-dimensional variational problems whose minimizers do
not satisfy the Euler-Lagrange equation. Arch. Ration. Mech. Anal. 90, 325-388
(1985).
22. J. M. Ball, N. S. Nadirashvili. Universal sets for one-dimensional variational
problems. Cole. Var. 1, 429-438 (1993).
23. S. Banach. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leurs applications aux
equations integrates. Fund. Math. 3, 133-181 (1922).
24. S. Banach. Sur les fonctionnelles lineaires I, II. Stud. Math. 1, 211-216 (1929).
25. S. Banach. Teorja operacyj. Warsaw. 1931.
26. S. Banach. Theorie des operations lineaires. Monografje Matematyczne. Warsaw,
1932. Reprint by Chelsea, New York, 1978.
27. S. Banach, S. Sales. Sur la convergence forte dans les champs LP. Stud. Math. 2,
51-57 (1930).
28. S. Banach, H. Steinhaus. Sur le principe de la condensation de singularite. Fund.
Math. 9, 50-61 (1927).
29. C. Bandle. Isoperimetric inequalities and applications. Pitman, London, 1980.
30. M. Belloni. Rilassamento di problemi variationali con fenomeno di Lavrentiev. Ph.D.
Thesis, Universita. di Pisa, Pisa, 1995.
31. L. D. Berkovitz. Optimal Control Theory. Springer, Berlin, 1974.
32. S. Bernstein. Sur les equations du calcul des variations. Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.
29, 431-485 (1912).
33. О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. Интегральные представления
функций и теоремы вложения. М., Наука, 1977. [English translation: О. V. Besov,
V. Р. fl'in, S. M. Nikol'skii. Integral representations of functions and imbedding
theorems. Washington, DC, Vol. I, II, 1978-1979.]
34. G. D. Birkhoff. Dynamical systems. Am. Math. Soc. Coll. Publ. 9. Providence, RI,
1927.
35. G. A. Bliss. Lectures on the calculus of variations. The University of Chicago Press.
Chicago, 1946 (and several reprints).
36. O. Bolza. Lectures on the Calculus of Variations. Chicago, 1904.
37. O. Bolza. Vorlesungen iiber Variationsrechnung. Teubner, Leipzig, 1909.
38. G. Bouchitte, G. Buttazzo. New lower semicontinuity results for nonconvex functional
defined on measures. Nonlinear Anal. 15, 679-692 (1990).
39. G. Bouchitte, G. Buttazzo. Integral representation of nonconvex functionals denned
on measures. Ann. Inst. H. Poincare Anal. Nonlineaire 9, 101-117 (1992).
40. G. Bouchitte, G. Buttazzo. Relaxation for a class of nonconvex functionals denned
on measures. Ann. Inst. H. Poincare Anal. Nonlineaire 10, 345-361 (1993).
41. G. Bouchitte, A. Braides, G. Buttazzo. Relaxation results for some free discontinuity
problems. J. Reine Angew. Math. 458, 1-18 (1995).
42. N. Bourbaki. Elements de mathematiques. Livre III: Topologie generate. Livre V:
Espaces vectoriels topologiques. Livre VI: Integration. Hermann, Paris, 1940-1955.
[Русский перевод: Н. Бурбаки. Общая топология. М., Наука, 1969.]
43. N. Bourbaki. Elements d'Histoire des Mathematiques. Masson, Paris, 1984.
44. H. Brezis. Analyse fonctionnelle. Masson, Paris, 1983.
45. F. Brock, V. Ferone, B. Kawohl. A symmetry problem in the calculus of variations.
Cole. Var. 4, 593-599 (1996).
46. F. E. Browder. Strongly elliptic systems of differential equations. In Contributions
to the theory of partial differential equations, pp. 15-51, Annals of Math. Studies,
Princeton University Press, Princeton, NJ, 1954.
47. G. Buttazzo. Semicontinuity, Relaxation and Integral Representation Problems in
the Calculus of Variations. Pitman Res. Notes in Math. 207. Longman, Harlow,
1989.
48. G. Buttazzo, M. Belloni. A survey on old and recent results about the gap
phenomenon. In "Recent Developments in Well-Posed Variational Problems", edited by
R. Lucchetti and J. Rcvalski. Kluwer Academic Publishers, Dordecht, 1995, 1-27.
49. G. Buttazzo, G. Dal Maso. On Nemydni operators and integrals representation of
local functionals, Rend. Mat. 3, 491-509 (1983).
50. G. Buttazzo, B. Kawohl. On Newton's problem of minimal resistance. Math. Intell.
15, 7-12 (1993).
51. G. Buttazzo, V. J. Mizel. Interpretation of the Lavrentiev phenomenon by relaxation.
J. Fund. Anal. 10, 434-460 (1992).
52. G. Buttazzo, F. Tomarelli. Computability conditions for nonlinear Newmann
problems. Adv. Math. 89, 127-134 (1991).
53. J. W. Calkin. Functions of several variables and absolute continuity. I Duke Math.
J. 6, 170-185 (1941).
54. J. T. Cannon, S. Dostrovsky. The evolution of dynamics: Vibration theory from 1687
to 1742. Studies in the History of Math, and Phys. Sciences 6, Springer, New York,
1981.
55. C. Caratheodory. Uber die starken Maxima und Minima bei einfachen Integralen.
Math. Ann. 62, 449-503 (1906).
56. C. Caratheodory. Vorlesungen titer reelle Funktionen. Teubner, Leipzig, 1918, 1927.
57. C. Caratheodory. Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster
Ordnung. B. G. Teubner, Leipzig und Berlin, 1935.
58. C. Caratheodory. Uber die diskontinuierlichen Losungen in der Variations rechnung.
Thesis, Gottingen. 1904, Gesammelte Math. Schriften I, pp. 3-79, С. Н. Beck,
Munchen, 1954.
59. L. Cesari. Optimization — theory and applications. Springer, New York, 1983.
60. I. Chavel. Eigenvalues in Riemannian Geometry. Academic Press, New York, 1984.
61. C. W. Cheng, V. J. Mizel. On the Lavrentiev phenomenon for autonomous second
order integrands. Arch. Ration. Mech. Anal. 126, 21-34 (1994).
62. F. H. Clarke. Periodic solutions to Hamiltonian inclusions. J. Differ Equations 40,
1-6 (1968).
63. F. H. Clarke. A classical variational principle for Hamiltonian trajectories. Proc.
Am. Math. Soc. 76, 186-188 (1979).
64. F. H. Clarke. Regularity, existence and necessary conditions for the basic problem in
the calculus of variations. In Contributions to modern calculus of variations, edited
by L. Cesari (Tonelli centenary symposium, Bologna, 1985.) Pitman, London, 1987.
65. F. H. Clarke. An indirect method in the calculus of variations. Trans. Am. Math.
Soc. 336, 655-673 (1993).
66. F. H. Clarke, I. Ekeland. Hamiltonian trajectories with prescribed minimal period.
Commun. Pure Appl. Math. 3, 103-116 (1980).
67. F. H. Clarke, I. Ekeland. Nonlinear oscillations and boundary value problems for
Hamiltonian systems. Arch. Ration. Mech. Anal. 78, 315-333 (1982).
68. F. H. Clarke, R. B. Vinter. Regularity properties of solutions to the basic problem
in the calculus of variations. Trans. Am. Math. Soc. 289, 73-98 (1985).
69. F. H. Clarke, R. B. Vinter. On the conditions under which the Euler equation or the
maximum principle hold. Appl. Math. Optim. 12, 73-79 (1984).
70. F. H. Clarke, R. В. Vinter. Existence and regularity in the small in the calculus of
variations. J. Differ. Equations 59, 336-354 (1985).
71. F. H. Clarke, R. B. Vinter. Regularity of solutions to variational problems with
polynomial Lagrangians. Bull. Pol. Acad. Sci. 34, 73-81 (1986).
72. J. A. Clarkson. Uniformly convex spaces. Trans. Am. Math. Soc. 40, 394-414 (1936).
73. R. Courant. Dirichlet's principle, conformal mappings, and minimal surfaces.
Interscience, New York, 1950.
74. R. Courant, D. Hilbert. Methoden der mathematischen Physikl, II. Springer, Berlin,
1924, 1937. [Русский перевод: Р. Курант, Д. Гильберт. Методы математической
физики. М., Гостехиэдат, 1951.]
75. В. Dacorogna. Direct methods in the calculus of variations. Springer, Berlin, 1989.
76. A. M. Davie. Singular minimizers in the calculus of variations in one dimension.
Arch. Ration. Mech. Anal. 101, 161-177 (1988).
77. M. M. Day. Normed linear spaces. Springer, Berlin, 1958.
78. E. De Giorgi. Teoremi di semicontinuita nel calcolo delle variazioni. Istit. Naz. Alta.
Mat., Roma, 1968-1969.
79. E. De Giorgi. Free discontinuity problems in calculus of variations. In Frontiers in
pure and applied Mathematics, a collection of papers dedicated to J. L. Lions on
the occasion of his 60th birthday, edited by R. Dautray, North-Holland, Amsterdam,
1991.
80. E. De Giorgi, L. Ambrosio. Un nuovo tipo di funzionale del calcolo delle variazioni.
Atti. Accad. Naz. Lincei Rend. Ci. Sci. Fiz. Mat. Nat. 82, 199-210 (1988).
81. E. De Giorgi, G. Buttazzo, G. Dal Mazo. On the lower semicontinuity of certain
integral functionals. Atti. Accad. Lincei 74, 274-282 (1983).
82. E. De Giorgi, F. Colombinj, L. C. Piccinini. Frontiere orientate di misura minima e
questioni collegate. Scuola Normale Superiore, Pisa, 1972.
83. E. De Giorgi, M. Carriero, A. Leaci. Existence theorem for a minimum problem with
free discontinuity set.- Arch. Ration. Mech. Anal. 108, 195-218 (1989).
84. J. Deny. Les potentiels d'energie finie. Acta Math. 82, 107-183 (1950).
85. J. Deny, J. L. Lions. Les espaces du tupe de Beppo Levi. Ann. Inst. Fourier 5,
305-370 (1955).
86. U. Dierkes, S. Hildebrandt, A. Kuster, O. Wohlrab. Minimal surfaces I, II,
Grundlehren math. Wiss. 295, 296, Berlin, 1992.
87. J. Diestel. Geometry of Banach spaces: Selected topics. Springer, Berlin, 1975.
88. M. Dolcher. Topologie e strutture di convergenza. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI.
Sci. 14, 63-92 (1960).
89. J. Dugundji. Topology. Allyn and Bacon, Boston, 1966.
90. N. Dunford, J. Schwartz. Linear Operators I—III. Interscience, New York, 1958, 1963,
1971. [Русский перевод: Н. Данфорд, Дж. Шварц. Линейные операторы. Ч. 1.
Общая теория. М., ИЛ, 1962.]
91. VV. F. Eberlein. Weak compactness in Banach spaces. Proc. Nat. Acad. Sci. USA
33, 51-53 (1947).
92. D. Th. Egoroff. Sur les suites des fonctions measurables. CR Acad. Sci. Paris 152,
244-246 (1911).
93. I. Ekeland. Complexity methods of Hamiltonian mechanics. Ergebnisse. Math.
Grenzgebiete (III Ser.), Vol. 19, Springer, Berlin, 1990.
94. I. Ekeland, R. Temam. Analyse convexe et problemes variationnels. Dunod, Paris,
1974. [Русский перевод: И. Экланд, Р. Темам. Выпуклый анализ и вариационные
проблемы. М., Мир, 1979.]
95. G. С. Evans. Fundamental points of potential theory. Rice Inst. Pamphlets No. 7,
Rice Institute, Houston, 252-359 (1920).
96. G. С. Evans. Potentials of positive mass. I. Trans. Am. Math. Soc. 37, 226-253
(1935).
97. L. C. Evans, R. F. Gariepy. Lecture notes on measure theory and fine properties of
functions. CRC Press, Roca Ration, FL, 1992. [Русский перевод: Л. К. Эванс, Р.
Ф. Гариепи. Теория меры и тонкие свойства функций. Новосибирск, Научная
книга (ИДМИ), 2002.]
98. P. Fatou. Series trigonometriques et series de Taylor. Acta Math. 30, 335-400 (1906).
99. H. Federer. Geometric measure theory. Grundlehren math. Wiss. 153, Springer,
Berlin, 1969.
100. G. Fichera. Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di Signorini
con ambigue condizionali al contorno. Atti. Accad. Naz. Lincei. Mem. CI. Sci. Fis.
Mat. Sez. I a(8) VII, 91-149 (1963-1964).
101. W. H. Fleming. Functions of several variables. Addison-Wesley, Reading, MA, 1965.
102. M. Frechet. Sur quelques points du calcul fonctionnel. Rend. Circ. Mat. Palermo
22, 1-74 (1906).
103. M. Frechet. Sur Ies ensembles de fonctions et les operations lineaires. CR Acad. Sci.
Paris 144, 1414-1416 (1907).
104. M. Frechet. Sur les operations lineaires. I, II, III. Trans. Am. Math. Soc. 5, 493-499
(1904); 6, 134-140 (1905); 8, 433-446 (1907).
105. A. Friedman. Partial Differential Equations. Holt, Rinehart and Winston, New York,
1969.
106. A. Friedman. Variational principles and free boundary problems. Wiley, New York,
1982. [Русский перевод: А. Фридман. Вариационные принципы и задачи со
свободными границами. М., Наука, 1990.]
107. К. О. Friedrichs. On the identity of weak and strong extensions of differential
operators. Trans. Am. Math. Soc. 55, 132-151 (1944).
108. К. О. Friedrichs. On the differentiability of the solutions of linear elliptic equations.
Commun. Pure Appl. Math. 6, 299-326 (1953).
109. К. О. Friedrichs. On differential forms on Riemannian manifolds. Commun. Pure
Appl. Math. 8, 551-558 (1955).
110. G. Fubini. Sugli integral! multipli. Atti Accad. Nac. Lincei, Rend. 16, 608-614
(1907).
111. G. Fubini. II principio di minimo e i teoremi di esistenza per problemi di contorno
relativi alle equazioni alle derivate parziali di ordine pari. Rend. Circ. Mat. Palermo
23 (1907), 58-84.
112. И. М. Гельфанд, С. В. Фомин. Вариационное исчисление. М., Физматгиз, 1961.
[English translation: I. M. Gelfand, S. V. Fomin. Calculus of variations. Prentice
Hall, Engelwood Cliffs, NJ, 1963.]
113. M. Giaquinta, S. Hildebrandt. Calculus of variations I, II, Grundlehren math. Wiss.
310, 311, Springer, Berlin, 1995.
114. M. Giaquinta, G. Modica, J. Soueek. Functionals with linear growth in the calculus
of variations. Commun. Math. Univ. Carolinae, 20, 143-171 (1979).
115. M. Giaquinta, G. Modica, J. Soucek. Cartesian currents and variational problems
for mappings into spheres. Ann. Sci. Norm. Sup. Pisa 16, 393-485 (1989).
116. M. Giaquinta, G. Modica, J. Soufek. The Dirichlet energy of mappings with values
into the sphere. Manuscr. Math. 65, 489-507 (1989).
117. M. Giaquinta, G. Modica, J. Soucek. Liquid crystals: relaxed energies, dipoles,
singular lines and singular points. Ann. Sci. Norm. Sup. Pisa 17, 415-437 (1990).
118. M. Giaquinta, G. Modica, J. Soueek. The Dirichlet integral for mappings between
manifolds: Cartesian currents and Homology. Math. Ann. 294, 325-386 (1992).
119. M. Giaquinta, G. Modica, J. Soucek. The gap phenomenon for variational integrals
in Sobolev spaces. Proc. R. Soc. Edinburgh. A-120, 93-98 (1992).
120. M. Giaquinta, G. Modica, J. Soueek. Cartesian currents in the calculus of variations
I, II. Ergebnisse Math. Gienzgebiete (III Ser.) Vol. 37 and 38, Springer, Berlin, 1998.
121. D. Gilbarg, N. S. Trudinger. Elliptic partial differential equations of second order,
Grundlehren math. Wiss. 224, Springer, Berlin, 1977 (2nd edition). [Русский
перевод: Д. Гилбарг, М. Трудингер. Эллиптические дифференциальные уравнения с
частными производными второго порядка. М., Наука, 1989.]
122. Е. Giusti. Minimal surfaces and functions of bounded variations. Birkhauser, Basel,
1984.
123. E. Giusti. Metodi diretti net calcolo delle variazioni. Unione Matematica Italiana,
Bologna, 1994.
124. H. H. Goldstine. A history of the calculus of variations from the 17th through the
19th century. Springer, New York, 1980.
125. E. Goursat. Sur quelques fonctions de ligne semi-continues. Bull. Soc. Math. France
43, 118-130 (1915).
126. J. Hadamard. Sur une methode de calcui des variations. CR Acad. Sci. Paris 143,
1127-1129 (1906).
127. J. Hadamard. Memoire sur le probleme d'analyse relative al'equilibre des plaques
elastiques encastres. Mem. diver. Savants, 1-128 (1908).
128. J. Hadamard. Lecons sur le calcui des variations. Hermann, Paris, 1910.
129. H. Harm. Uber Folgen linearer Operationen. Monatschr. Math. Phys. 32, 3-88
(1922).
130. H. Hahn. Uber lineare Gleichungssysteme in linearen Raumen. J. Reine Angew.
Math. 157, 214-229 (1927).
131. H. Hahn, A. Rosental. Set functions. University of New Mexico Press, Albuquerque,
1948.
132. P. R. Halmos. Measure theory. Van Nostrand, New York, 1950.
133. P. R. Halmos. Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity.
Chelsea, New York, 1951.
134. P. R. Halmos. 7Vaii;e set theory. Van Nostrand, New York, 1960.
135. P. R. Halmos. A Hilbert space problem book. Van Nostrand, New York, 1967.
136. G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya. Inequalities. Cambridge University Press,
Cambridge, 1934.
137. A. C. Heinricher, V. J. Mizel. The Lavrentiev phenomenon for invariant variational
problems. Arch. Ration. Mech. Anal. 102, 57-93 (1988).
138. A. C. Heinricher, V. J. Mizel. A new example of Lavrentiev phenomenon. SIAM
J. Control Optimization 26, 1490-1503 (1988).
139. E. Hewitt, K. Stromberg. Real and abstract analysis. Springer, Berlin, 1965.
140. D. Hilbert. Uber das Dirichletsche Prinzip. Jber. Deutsch. Math. Vere. 8, 184-188
(1900).
141. D. Hilbert. Uber das Dirichletsche Prinzip. Festschrift zur Feier des 15-jahrigen
Bestehens der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen 1901. Math.
Ann. 49, 161-186 (1904).
142. S. Hildebrandt, A. Tromba. Mathematics and optimal forms. W. H. Freeman
Scientific American Library, New York, 1984. Revised and enlarged edition: The
parsimonious universe. Springer, New York, 1996.
143. R. Holmes. Geometric functional analysis and its applications. Springer, New York,
1975.
144. L. Hormander. Linear partial differential operators. Gnmdlehren math. Wiss. 116,
Springer, Berlin, 1963. [Русский перевод: Л. Хёрмандер. Линейные
дифференциальные операторы с частными производными. М., Мир, 1965.]
145. L. Hormander. The analysis of linear partial differential operators. Vols I-IV,
Gnmdlehren math. Wiss. 256, 257, 274, 275, Springer, Berlin, 1983, 1985.
146. A. D. Ioffe. On lower semicontinuity of integral functionals I, SIAM J. Control
Optimization 15, 521-538 (1977).
147. R. C. James. A nonreflexive Banach space isometric its second conjugate space.
Ptoc. Nat. Acad. Sci. USA 37, 174-177 (1951).
148. F. John. On linear partial differential equations with analytic coefficients. Commun.
Pure Appl. Math. 2, 209-253 (1949).
149. F. John. Derivatives of continuous weak solutions of linear elliptic equations.
Commun. Pure Appl. Math. 6, 327-335 (1953).
150. C. Jordan. Cours d'Analyse de I'Ecole Polytechnigue, 3th edition. Gauthier-ViUars,
Paris, 1909-1915.
151. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ, М., Наука, 1984.
152. J. Kazdan, F. Warner. Remarks on some quasilinear elliptic equations. Commun.
Pure Appl. Math. 28, 567-598 (1975).
153. J. L. Kelley. General Topology. Princeton, Van Nostrand, 1955. [Русский перевод:
Дж. Л. Кели. Общая топология. М., Наука, 1968.]
154. D. Kinderlehrer, G. Stampacchia. An introduction to variational inequalities and
their applications. Academic Press, New York, 1980. [Русский перевод: Д. Киндер-
лерер, Г. Стампаккья, Ввеедение в вариационные неравенства и их приложения.
М., Мир, 1983.]
155. G. Kothe. Topological vector spaces. 2 vols. Springer, Berlin, 1969, 1970.
156. А. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального
анализа. М., Наука, 1974.
157. В. И. Кондратов. О некоторых свойствах функций из пространства Lp, Докл.
АН СССР 48, 563-566 (1945).
158. A. Kufner, О. John, S. FuHk. Functions spaces. Academia. Praha, 1977.
159. О. А. Ладыженская. Замыкание эллиптического оператора, Докл. АН СССР 79,
723-725 (1951).
160. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения
эллиптического типа, М., Наука, 1964. [English translation: О. A. Ladyzhenskaya,
N. N. Uraltseva. Linear and quasilinear elliptic equations. Academic Press, New
York, 1968.]
161. M. Lavrentiev. Sur quelques problemes du calcul des variations. Ann. Math. Рига
Appl. 4, 107-124 (1926).
162. P. D. Lax. On Cauchy's problem for hyperbolic equations and the differentiability
of the solutions of elliptic equations. Commun. Pure Appl. Math. 8, 615-633 (1955).
163. H. Lebesgue. Integrate, Longueur, Ann. Mat. Ser. HI, 7, 31-259 (1902).
164. H. Lebesgue. Lecons sur I'integration et la recherche des fonctions primitives.
Collection Borel, Gauthier-ViUars, Paris, 1904.
165. H. Lebesgue. Sur le probleme de Dirichlet. Rend. Circ. Mat. Palermo 24, 371-402
(1907).
166. H. Lebesgue. Sur les integrates singulieres. Ann. Fac. Sci. Toulouse, 25-117 (1909).
167. H. Lebesgue. Sur rintegration des fonctions discontinues. Ann. Ec. Norm. (3) 27,
361-450 (1910).
168. H. Lebesgue. Legons sur I'integration et la recherche des fonctions primitives.
Collection Borel, Gauthier-ViUars, Paris, 1928.
169. J. Leray. Sur les mouvements d'un liquide visqueux emplissant l'espace. Acta Math.
63, 193-248 (1934).
170. B. Levi. Sopra l'integrazione delle serie. Rend. R. 1st Lombardo, Ser. II, 39, 775-780
(1906).
171. B. Levi. Sul principio di Dirichlet. fiend. Circ. Mat. Palermo 22, 293-359 (1906).
172. L. Lichtenstein. Uber einige Existenzprobleme der Variationsrechnung. J. Reine
Angew. Math. 145, 24-85 (1915).
173. J. L. Lions. Equations differentielles operationnelles et problemes aux limites.
Springer, Berlin, 1961.
174. J. L. Lions, E. Magenes. Problemes aux limites поп homogenes et applications.
Dunod, Paris, 1968. English edition: Non-homogeneous limit problems and
applications. Springer, Berlin, 1972. [Русский перевод: Ж.-Л. Лионе, Э. Мадже-
нес. Неоднородные граничные задачи и их приложения (1-й том). М., Мир, 1971.]
175. Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. М., Наука,
1965.] [English translation: L. A. Lusternik, V. J. Sobolev. Elements of functional
analysis. Ungar, New York, 1965.]
176. P. D. Loewen. On the Lavrentiev phenomenon. Can. Math. Bull. 30,102-108 (1987).
177. N. Lusin. Sur les propretes des fonctions mesurables. CR Acad. Sci. Paris 154,
1688-1690 (1912).
178. B. Mania. Sopra un esempio di Lavrentieff. Boll. UMI 13, 146-153 (1934).
179. B. Mania. SulTapprosimazione delle curve e degli integrali. Boll. UMI 13, 7-28
(1934).
180. U. Massari, M. Miranda. Minimal surfaces of codimensions one. North-Holland,
Amsterdam, 1984.
181. J. Mawhin, M. Willem. Critical point theory and Hamiltinian theory. Springer, New
York, 1989.
182. В. Г. Мазья. Пространства Соболева, Л., Изд-во ЛГУ, 1985. [English translation:
V. G. Maz'ja. Sobolev spaces. Springer, Berlin, 1985.]
183. S. Mazur. Uber convexe Mengen in linearen normierten Raumen. Stud. Math. 4,
70-84 (1933).
184. E. J. McShane. Integration. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1944.
185. A. Miele. Theory of optimal aerodynamic shapes. Academic Press, New York, 1965.
186. Д. П. Мильман. О некоторых критериях регулярности пространств типа (В),
Докл. АН СССР 20, 234 (1938).
187. G. J. Minty. Monotone (nonlinear) operators in Hilbert space. Duke Math. J 29,
341-346 (1962).
188. G. J. Minty. On a "monotonicity" method for the solution of nonlinear equations in
Banach spaces. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 50, 1038-1041 (1963).
189. A. F. Monna. Dirichlet's principle. Oosthoek, Scheltema & Holkema, Utrecht, 1975.
190. С. В. Morrey. Existence and differentiability theorems for the solutions of variational
problems for multiple integrals. Bull. Am. Soc. 46, 439-458 (1940).
191. C. B. Morrey. Functions of several variables and absolute continuity. II. Duke Math.
J. 6, 187-215 (1940).
192. С. В. Morrey. Multiple integrals in the calculus of variations and related topics.
Univ. of California. Publ. in Math., new series I, 1-130 (1943).
193. С. В. Morrey. Multiple integrals in the calculus of variations. Grundlehren math.
Wiss. 130, Springer, Berlin, 1966.
194. M. Morse. The calculus of variations in the large. Am. Math. Soc. Publ., New York,
1934.
195. Л. Moser. Stable and random motions in dynamical systems. Ann. Math. Studies 77,
Princeton University Press, Princeton, NJ, 1973.
196. J. Moser. Periodic orbits near an equilibrium and a theorem of A. Weinstein.
Commun. Рите Appl. Math. 29, 727-747 (1976).
197. M. E. Munroe. Measure and Integration, 2nd edition, Addison-Wesley, Cambridge,
MA, 1970.
198. B. Sz. Nagy. Introduction to real functions and orthogonal expansions. Oxford
University Press, New York, and Akademiai Kiado, Budapest, 1965.
199. J. P. Natanson. Theory of functions of a real variable, 3rd edition, Frederick Ungar
Publ., New York, 1964.
200. J. Necas. Les methodes directes en theorie des equations elliptiques. Editeurs
Academia, Praque, 1967.
201. J. von Newmann. Mathematische Begrtindung der Quantenmechanik. Nachr. Gesell.
Wiss. Gottingen, Math.-Phys. KL, 1-57 (1927).
202. J. von Newmann. Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen
Operatoren. Math. Ann. 102, 370-427 (1929-1930).
203. O. Nikodym. Contributions a la theorie des fonctionnelles linearies en connection
avec la theorie de la mesure des ensembles abstraits. Mathematica, Cluji, 130-141
(1931).
204. O. Nikodym. Sur une classe de fonctions considerees dans l'etude du probleme de
Dirichlet. Fund. Math. 21, 129-150 (1933).
205. С. М. Никольский. Аппроксимация функций нескольких переменных и теоремы
вложения. М.,Наука, 1977.
206. L. Nirenberg. Remarks on strongly elliptic partial differential equations. Commun.
Pure Appl. Math. 8, 648-674 (1955).
207. J. C. Nitsche. Lectures on minimal surfaces I. Cambridge University Press,
Cambridge, 1989.
208. C. Olech. A characterization of L1-weak lower semicontinuity of integral functionals.
Bull. Acad. Pol. Sci. 25, 135-142 (1977).
209. B. J. Pettis. A note on regular Banach spaces. Bull. Am. Math. Soc. 44, 420-428
(1938).
210. H. Poincare. Sur les equations de la physique mathematique. Rend. Circ. Mat.
Palermo 8, 57-155 (1894).
211. H. Poincare. Les methodes mouvelles de la mecanique celeste, Vols 1-3, Gauthier-
Villars, Paris, 1892-1899.
212. G. Polya, G. Szego. Isoperimetric inequalities in mathematical physics. Princeton
University Press, Princeton, NJ, 1951. [Русский перевод: Г. Полна, Г. Cere. Изопе-
риметрические неравенства в математической физике. М., Фитзматгиз, 1962.]
213. P. H. Rabinowitz. Periodic solutions of Hamiltonian systems. Commun. Pure-Appl.
Math. 31, 157-184 (1978).
214. P. H. Rabinowitz. Periodic solutions of a Hamiltonian system on a prescribed energy
surface. J. Differ. Equations 33, 336-352 (1979).
215. P. H. Rabinowitz. Minimax methods in critical point theory with applications to
differential equations, CMBS Regional Conference Ser. Math. 65, Am. Math. Soc,
Providence, RI, 1986.
216. T. Rado. On the problem of Plateau. Springer, Berlin, 1933.
217. J. Radon. Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen. S.-B.
Acad. Wiss. Wien 122, 1295-1438 (1913).
218. B. D. Reddy, F. Tomarelli. The obstacle problem for an elastoplastic body. Appl.
Math. Optim. 21, 89-110 (1990).
219. R. Rellich. Ein Satz iiber mittlere Konvergenz. Nachr. Acad. Wiss. Gottingen,
Math.-Phys. KL, 30-35 (1930).
220. Ю. Г. Решетник. Общие теоремы о непрерывности и о сходимости с
функционалом. Сиб. мат. журн. 8, по. 5, 1052-1071 (1967).
221. Ю. Г. Решетняк. Пространственные отображения с ограниченным искажением,
Новосибирск, Наука, 1982. [English translation: Y. G. Reshetnyak. Space mappings
with bounded distorsion. Transl. Am. Math. Soc. 73, Amer. Math. Soc, Providence
(1989).]
222. F. Riesz. Sur une espace de geometrie analytique des systemes des fonctions
sommables. CR Acad. Sci. Paris 144, 1409-1411 (1907).
223. F. Riesz. Sur les operations fonctionnelles lineaires. CR Acad. Sci. Paris 149, 974-
977 (1909).
224. F. Riesz. Untersuchungen iiber Systeme integrierbarer Funktionen. Math. Ann. 69,
449-493 (1910).
225. F. Riesz. Sur la convergence en moyenne I, II. Acta Sci. Math. Szeged. 4, 58-64,
182-185 (1928-1929).
226. F. Riesz. Zur Theorie des Hilbertschen Raumes. Acta Sci. Math. Szeged 7, 34-38
(1934).
227. F. Riesz, B. Sz. Nagy. Lecons d'analyse fonctionnelle. Gauthier-Villars, Paris, and
Akadimici Kiado, Budapest, 1965.
228. R. Rockafellar. Convex analysis. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1970.
[Русский перевод: Р. Рокафеллар. Выпуклый анализ. М., Мир, 1973.]
229. W. Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill, New York, 1966.
230. W. Rudin. Functional analysis. McGraw-Hill, New York, 1973. [Русский перевод:
У. Рудин. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.]
231. S. Saks. Addition to the note on some functionals. Trans. Am. Math. Soc. 35, 967-
974 (1933).
232. S. Saks. Theorie de I'integrale. Monodgrafje Matematyczne, Warszawa, 1933.
[Русский перевод: С. Сакс. Теория интеграла. М. ИЛ, 1949.]
233. H..Schaefer. Topological vector spaces. 2nd edition, Springer, New York, 1971.
234. M. Schechter. Principles of functional analysis. Gordon & Breach, New York, 1969.
235. H. Seifert. Periodische Bewegungen mechanischer Systeme. Math. Z. 51, 197-216
(1948).
.236. C. Severini. Sopra gli sviluppi in serie di funzioni ortogonali. Atti. Acad. Gioenai di
Catania (5) 3, 1-10 (1910).
237. M. ShifTman. Differentiability and analyticity of solutions of double integral
variational problems. Ann. Math. 48, 274-284 (1947).
238. В. Л. Шмульян. Линейные топологические пространства и их связь с
банаховыми пространствами, Докл. АН СССР 22, 471-473 (1939).
239. С. L. Siegel, J. Moser. Lectures on celestial mechanics. Springer, Berlin, 1971.
240. А. Г. Сигалов. Регулярные двойные интегралы вариационного исчисления в
непараметрической форме. Докл. АН СССР 73, 891-894 (1950).
241. А. Г. Сигалов. Двумерные задачи вариационного исчисления, Успехи мат. наук
6, 16-101 (1951).
242. С. Л. Соболев. О некоторых оценках, относящихся к семействам функций,
имеющих производные, интегрируемые с квадратом, Докл АН СССР 1 (1936), 267-270.
243. С. Л. Соболев. Об одной теореме функционального анализа. Мат. сб. 46, 471-497
(1938).
244. С. Л. Соболев. Некоторые применения функционального анализа в
математической физике. Л., Изд-во ЛГУ, 1950.]
245. Е. М. Stein. Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton
University Press, Princeton, NJ, 1970. [Русский перевод: И. Стейн. Сингулярные
интегралы а дифференциальные свойства функций. М., Мир, 1973.]
246. H. Steinhaus. Additive und stetige Funktionaloperationen. Math. Z. 5, 186-221
(1919).
247. M. Struwe. Variational methods. Applications to nonlinear partial differential
equations and Hamiltonian systems. 2nd edition. Ergebnisse Math. Grenzgebiete
(III Ser.), Vol. 34, Springer, Berlin, 1996.
248. A. M. Сычев. О классической задаче вариационного исчисления, Докл. РАЯ 44,
116-120 (1992).
249. А. М. Сычев. Критерий непрерывности интегрального функционала на
последовательности функций. Сиб. мат. журн. 36 (1995).
250. А. М. Сычев. Примеры классически неразрешимых регулярных скалярных
задач, удовлетворяющих стандартным условиям роста. Сиб. мат. журн. 37 (1996).
251. А. Е. Taylor. Introduction to functional analysis. Wiley, New York, 1967.
252. В. М. Тихомиров. Рассказы о максимумах и минимумах. Наука, Москва, 1986.
253. F. Tomarelli. Noncoercive variational inequalities for pseudomonotone operators.
Rend. Semin. Mat. Fiz. Milano 61, 141-183 (1991).
254. L. Tonelli. Sulla rettificazione delle curve. Atti Accad. Sci. Torino 43, 783-800
(1908).
255. L. Tonelli. SulTintegrazione per parti. Atti Accad. Naz. Lincei (5) 18, 246-254
(1909).
256. L. Tonelli. Sui massimi e - minimi assoluti del calcolo delle variazioni. Rend. Circ.
Mat. Palermo 32, 297-337 (1911).
257. L. Tonelli. Sulle orbite periodiche. Rend. R. Accad. Lincei 21, 251-258, 332-334
(1912).
258. L. Tonelli. Sul caso regolare del calcolo delle variazioni. Rend. Circ. Mat. Palermo
35, 49-73 (1913).
259. L. Tonelli. Sui problemi isoperimetrici. Rend. Circ. Mat. Palermo 36, 333-344
(1913).
260. L. Tonelli. Sui problema degti isoperimetri. Rend. R. Accad. Lincei 22, 424-430
(1913).
261. L. Tonelli. Su una proposizione dell' Almansi. Rend. R. Accad. Lincei 23, 676-682
(1914).
262. L. Tonelli. Sulla stabffita dell' equilibrio di una massa liquida sottomessa alle sole
forze molecolari. Ann. Mat. Pure Appl. 23, 61-106 (1914).
263. L. Tonelli. Sur une methode directe du calcul des variations. CR Acad. Sci. Paris
158, 1776-1778, 1983-1985 (1914).
264. L. Tonelli. Sulle proprieta di minimo della sfera. Rend. Circ. Mat. Palermo 39,
109-138 (1915).
265. L. Tonelli. Sulle soluzioni periodiche nel calcolo delle variaziord. Rend. Accad. Lincei
24, 317-324 (1915). Cf. also Opere, Vol. II, nota 35.
266. L. Tonelli. Sur une methode directe du calcul des variations. Rend. Circ. Mat.
Palermo 39, 233-264 (1915).
267. L. Tonelli. La semicontinuita nel calcolo delle variaziord. Rend. Circ. Mat. Palermo
44, 167-249 (1920).
268. L. Tonelli. Criteri per l'esistenza della soluzione in problemi di calcolo delle
variazioni. Ann. Math. Рига Appl. 30, 159-221 (1921).
269. L. Tonelli. Fondamenti di calcolo delle variazioni I, II. Zanichelli, Bologna, 1921-
1923.
270. L. Tonelli. Sulla quadratura delle superficie. Atti. R. Accad. Lincei (6) 3, 633-638
(1926).
271. L. Tonelli. Sur une question du calcul des variations. Rec. Math. Moscou 33, 87-98
(1926).
272. L. Tonelli. Sul calcolo delle variazioni. Proc. Congr. Toronto 1, 1928, 555-560.
273. L. Tonelli. Sur la semicontinuite des integrates doubles du calcul des variations. Acta
Math. 53, 325-346 (1929).
274. L. Tonelli. Sulla semicontinuita degli integrali doppi. Atti Congr. int. Mat. Bologna
3, 1930, 65-67.
275. L. Tonelli. L'estermo assoluto degli integrali doppi. Atti Sci. Norm. Sup. Pisa (2)-
3, 89-130 (1933).
276. L. Tonelli. II calcolo delle variazioni secondo la scuola italiana ed i suoi recenti
risulati. Atti I Congr. UMI, 1938, 26-39.
277. L. Tonelli. L'analisi funzionale nel calcolo delle variazioni. Ann. Sci. Norm. Sup.
Pisa 9, 289-302 (1940).
278. L. Tonelli. Орете scelte, Vols 1-4 Edizioni Cremonese, Roma, 1960-1963.
279. H. Triebel. Interpolation theory, function spaces, differential operators. VEB
Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1978. [Русский перевод: Х. Три-
бель. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные
уравнения. М. 1980.]
280. Н. Triebel. Spaces of Besov-Hardy-Sobolev type. ТеиЪпег, Leipzig, 1978.
281. С. A. Truesdell. The rational mechanics of flexible or elastic bodies, 1638-1788. In " '-.-.
Leonard Euler, Opera Omnia, Ser. 2, XI, part 2, Zurich, 1960.
282. C. de la Vallee Poussin. Jntegrale de-.Lebesgue, fonctions d'ensemble,..classes de
Baire. Collection Borel, Gauthier-Villars, Paris, 1916.
283. G. Vitali. Sulle funzioni integrali. Atti Acad. Sci. Torino, CI. Sci. 40, 1021-1022
(1094-1095).
284. G. Vitali. Sopra l'integrazione di serie funzioni di una variable reale. Boll. Acad.
Gioenia di Catania 86, 1-6 (1905).
285. G. Vitali. Sur problema delta misura dei gruppo di punti di una retta. Bologna Tip.
Gamberini e Parmeggiani, 1905.
286. G. Vitali. Un contribute) alTanalisi delle funzioni. Atti. Acad. Naz. Lined Ser. V,
14, 365-368 (1905).
287. G. Vitali. Una proprieta delle funzioni misurabui. Rend. 1st. Lombardo, Ser. II, 38,
559-603 (1905).
288. G. Vitali. Sull'integrazione per serie. fiend. Circ. Mat. Palermo 23, 137-155 (1907).
289. G. Vitali. Operc sull'analisi reale e complesse. Edizioni,Cremonese, Bologna, 1984.
290. G-Vitali, G. Sansone. Moderna teoria delle funzioni di variabile reale I, II. Zanichelli,
Bologna, 1951.
291. J. Warga. Optimal control of differential and functional equations. Academic Press,
New York, 1972.
292. A. Weinstein. Periodic orbits for convex Hamiltonian systems. Ann. Math. 108,
507-518 (1978).
293. K. Yosida. Functional analysis. Grundlehren Math. Wiss. 123, Springer, Berlin,
1965. [Русский перевод: К. Иосида. Функциональный анализ. М-, Мир, 1967.]
294. L. С. Young. Lectures on the calculus of variations and optimal control theory.
W. B. Saunders, Philadelphia, 1968. [Русский перевод: Л. Янг. Лекции по
вариационному исчислению и теории оптимального управления. М., Мир, 1974.]
295. W. P. Ziemer. Weakly differentiable functions. Springer, Berlin, 1989.