ЗАДАЧНИК-
ПРАКТИКУМ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
И ВЫСШЕЙ |\
АЛГЕБРЕ
^П7
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Х^

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА
И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. А ЖДАНОВА
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
И ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
9
Под общей редакцией В. А. Волкова
ЛЕНИНГРАД
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1986

Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Ленинградского университета
Задачник-практикум по аналитической геометрии и высшей
алгебре: Учеб. пособие/Волков В. А., Ефимова Т. А., Райнес А. А.,
Шмидт Р. А.— Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986.
Пособие включает задачи с решениями по теории определителей
и матриц, системам линейных уравнений, комплексным числам и
уравнениям высших степеней, а также задачи аналитической
геометрии на прямой, на плоскости, в пространстве и векторной
алгебре. В каждом параграфе задачам предшествуют основные
теоретические положения и методические указания, необходимые для
решения типовых задач, их решения даются с краткими пояснениями
теоретических положений. Задачи для самостоятельного решения с
ответами и необходимыми указаниями подобраны с учетом
специфики факультетов.
Для студентов нематематических факультетов университетов, а
также втузов и педагогических вузов, особенно вечерних и заочных
форм обучения.
Рецензенты: кафедра высш. алгебры и теории чисел
Ленингр. ун-та (зав. кафедрой проф. 3. И. Бо-
ревич), проф. М. И. Башмаков (Ленингр.
электротехн. ин-т им. В И Ульянова
(Ленина))
1 702 000 000—036 © Издательство
07б(02)-86 Ленинградского
университета, 1986 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Раздел I. аналитическая геометрия .. 6
Глава I. Метод координат на прямой, на плоскости, в пространстве
и его простейшие приложения ...... —
§ 1. Метод координат на прямой. Основные задачи —
§ 2. Метод координат на плоскости. Простейшие задачи 10
1. Прямоугольная декартова система координат (10). 2.
Косоугольная система координат (16). 3. Полярная система
координат (17).
§ 3. Уравнение кривой на плоскости 23
§ 4. Метод координат в пространстве. Простейшие задачи .... 29
1. Прямоугольная декартова система координат (29). 2.
Косоугольная, цилиндрическая и сферическая системы координат
(32).
§ 5. Уравнение поверхности и кривой в пространстве 37
1. Уравнение поверхности (37). 2. Уравнение кривой (39).
Глава II. Прямая на плоскости .41
§ 1. Общее уравнение прямой Неполные уравнения. Уравнение
прямой в отрезках 42
§ 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение
прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пучок
прямых 44
§ 3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности,
перпендикулярности и совпадения двух прямых 49
§ 4. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от данной точки до
данной прямой 55
Глава III. Кривые второго порядка 60
§ 1. Окружность —
§ 2. Эллипс 64
§ 3. Гипербола 68
§ 4. Парабола 73
§ 5. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к
каноническому виду 77
1. Преобразование общего уравнения кривой второго порядка,
не содержащего произведения переменных (77). 2.
Преобразование общего уравнения кривой второго порядка (80),

Глава IV. Векторы и действия над ними 82
§ 1 Векторы. Линейные операции над векторами. Коллинеарные и
компланарные векторы. Разложение векторов. Координаты
вектора. Направляющие косинусы вектора .....—
§ 2. Радиус-вектор точки пространства 90
§ 3. Скалярное умножение векторов 92
§ 4. Векторное умножение векторов 97
§ 5. Правая и левая тройки векторов. Смешанное произведение
векторов 101
Глава V. Плоскость и прямая в пространстве . . 104
§ 1. Плоскость в пространстве —
1. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости.
Уравнение плоскости в отрезках на осях (104). 2. Уравнение
плоскости, проходящей через данную точку "л имеющей данный
нормальный вектор. Уравнение плоскости, проходящей через
три данные точки. Параметрические уравнения плоскости (109).
3. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до
плоскости (112). 4. Угол между двумя плоскостями. Условия
перпендикулярности и параллельности двух плоскостей (117).
§ 2. Прямая в пространстве 123
1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой
(123). 2. Угол между двумя прямыми. Условия
перпендикулярности и параллельности двух прямых (127).
§ 3. Прямая и плоскость в пространстве 133
1. Пучок и связка плоскостей (133). 2. Угол между прямой и
плоскостью. Условия перпендикулярности и параллельности
прямой и плоскости (138).
Раздел II. высшая алгебра 143
Глава I. Комплексные числа —
§ 1. Алгебраическая форма комплексного числа —
§ 2. Геометрическое изображение комплексного числа 147
§ 3. Тригонометрическая форма комплексного числа 151
Глава II. Многочлены и дробно-рациональные функции от одной
переменной 158
§ 1. Деление многочленов с остатком. Разложение многочленов на
множители . . . —
§ 2. Наибольший общий делитель. Алгорифм Евклида 167
§ 3. Кратность корня и производная многочлена 180
§ 4. Уравнения 3-й и 4-й степени 189
1. Уравнения 3-й степени"(189). 2. Уравнения 4-й степени (191).
§ 5. Метод Штурма 193
§ 6. Разложение дробей на простейшие дроби 199
1. Разложение на простейшие дробей без кратных корней в
знаменателе (200). 2. Разложение на простейшие дробей с
кратными корнями в знаменателе (201).
Глава III. Матрицы и определители 207
§ 1. Матрицы и основные операции над ними —
§ 2. Определители, их свойства и основные способы вычисления . .213
§ 3. Обратная матрица 222
§ 4. Ранг матрицы * . . . —
Глава IV. Системы линейных уравнений . 225
§ 1. Метод Гаусса —
§ 2. Линейные матричные уравнения 235
§ 3. Формулы Крамера 243
Ответы и указания . . .... 245
Указатель литературы 260
4

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий «Задачник-практикум» предназначен студентам
нематематических факультетов университетов, технических и
педагогических институтов и является пособием для
самостоятельного овладения способами и методами решения задач
аналитической геометрии и высшей алгебры в объеме действующих про-
граммчкурсов высшей математики.
При определении содержания «Задачника-практикума» за
основу были приняты программы по высшей математике для
химического факультета и специальности «Геофизика»
геологического факультета Ленинградского университета как наиболее
насыщенные.
Пособие состоит из двух разделов. В первом
рассматривается решение задач аналитической геометрии на прямой, на
плоскости, в пространстве и векторной алгебры. Второй раздел
посвящен комплексным числам, делимости многочленов,
нахождению корней полиномов, решению задач из теории матриц и
определителей, решению систем линейных уравнений.
При составлении «Задачника-практикума» имелось в виду,
что им будут пользоваться и студенты заочного и вечернего
отделений. В связи с этим в начале каждого параграфа помещены
основные определения, теоремы, формулы и другие краткие
сведения по теории и методические указания, необходимые для
решения последующих задач; затем приводятся подробные
решения типовых задач с краткими пояснениями теоретических
положений; в конце каждого параграфа содержится достаточное
количество задач для самостоятельного решения. Ответы к
задачам снабжены указаниями по их решению.
«Задачник-практикум» составлен на основе опыта проведения
практических занятий преподавателями кафедры общей
математики и кафедры высшей алгебры и теории чисел Ленинградского
университета и отличается от подобных задачников большим
количеством методических рекомендаций и способов решения
типовых задач, уточнением основных положений метода координат,
понятия угла и его величины; по разделу «Высшая алгебра»
аналогов практически не имеет,
5

Раздел I
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава I
МЕТОД КООРДИНАТ НА ПРЯМОЙ,
НА ПЛОСКОСТИ, В ПРОСТРАНСТВЕ
И ЕГО ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Метод координат заключается в установлении соответствия между
точками прямой (плоскости или пространства) и вещественными числами (или
их наборами) при помощи системы координат.
Система координат состоит яз геометрического объекта и правила,
посредством которых и устанавливается это соответствие.
Вещественные числа (или их наборы), поставленные при помощи
некоторой системы координат в соответствие точкам прямой (плоскости или
пространства), называются координатами точек в этой системе координат.
Если изменять объект или правило, то получаются разные системы
координат, и одним и тем же точкам в разных системах координат соответствуют,
вообще говоря, разные координаты.
§ 1. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПРЯМОЙ.
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
Прямая X, на которой заданы направление, точка О (начало) и
единичный отрезок (масштаб), называется числовой осью ОХ (рис. 1).
А*
1 X
Рис. 1. Рис. 2.
Начало О разбивает числовую ось на два луча. Луч, направление
которого совпадает с направлением, выбранным на прямой, называется
положительной полуосью; луч, противоположный первому по направлению,
называется отрицательной полуосью.
Числовая ось позволяет устанавливать взаимно-однозначное соответствие
между точками прямой и вещественными числами: так, если точка А
принадлежит положительной полуоси, то ей сопоставляется положительное
вещественное число а', равное длине отрезка ОЛ, х = \ОА\\ если точка А'
принадлежит отрицательной полуоси, то ей сопоставляется отрицательное
вещественное число х\ равное длине отрезка ОА\ взятой с противоположным знаком,
xf = —jO/T|; началу, точке О, сопоставляется число 0 (рис. 2). Обратно,
каждому положительному вещественному числу х сопоставляется точка А
положительной полуоси, определяющая отрезок О.А длиной, равной х\
отрицательному вещественному числу хг сопоставляется точка А' отрицательной
6

полуоси, определяющая отрезок ОА' длиной, равной —х'\ числу 0
сопоставляется точка О (начало)
Числовая ось, масштаб которой совпадает с единицей измерения длин
отрезков на прямой, и указанный способ установления соответствия между
точками прямой и вещественными числами образуют на прямой декартову
систему координат ОХ
Число х. поставленное в соответствие точке А при помощи декартовой
системы координат, называется ее декартовой координатой, что записывается
так: А (х).
Расстояние между точками Ai(x\) и А2(х2) прямой (т. е. длина отрезка
А\А2) вычисляется по формуле
9(АиА2) = |*2-*,|. (1)
Координата х точки М, делящей отрезок А\А2уА\(х{)уА2(х2), в отношении
X (X = р(Аи М)/р(М, Л2), определяется по формуле
х = (х} + \х,)/(\ +U (2)
Если точка М(х) делит отрезок А\А2 пополам (в этом случае X = 1), то
формула (2) имеет более простой вид:
* = (*,+ *?)/2. (2')
Если на прямой заданы две декартовы системы координат ОХ и 0'Х\
различающиеся только началом (положительные направления их осей
совпадают, масштабы одинаковы), то говорят, что одна из них получается
переносом другой на той же прямой. В этом случае координаты х и х' одной и той
же точки М в этих системах связаны ,х^
соотношением , , • *.
х = х> + а, (3) ° °'W М(Х> Х(Х'>
где а — координата начала 0' в системе Рис. 3.
координат ОХ (рис. 3).
Если на прямой заданы две системы координат, различающиеся только
масштабами е к е' (начала совпадают, положительные направления осей
одинаковы), то координаты х и х' одной и той же точки прямой в этих системах
связаны соотношением
х = ie'le) x' (4)
Формула
х — пх' Л- а (5)
определяет общее преобразование декартовых координат точек прямой, т. е.
изменение масштаба системы координат ОХ я перенос ее начала, причем если
п < 0, то и изменение направления оси ОХ.
Пример 1. Построить точки, координаты которых
удовлетворяют уравнению | х + 11 = 3.
Решение 1. В заданном уравнении освободимся от знака
абсолютной величины: х + 1 = ±3. Тогда Х\ = 2, х2 =—4.
Следовательно, уравнению удовлетворяют координаты двух точек
Ai(2) иА2(-4).
Согласно условию задачи на прямой уже задана система
координат ОХ (рис 4). Откладывая, вправо от начала О две
масштабные единицы, получим точку /li(2); откладывая влево от
начала О четыре масштабные единицы, получим точку Д2(—4).
Решение 2. Если заданное уравнение переписать в виде
\х—(—1)| = 3, то согласно формуле (1) полученное равенство
можно геометрически интерпретировать следующим образом:
7

расстояние между точкой А (х) и точкой В(—1) равно 3, т. е.
точка А (х) удалена от точки В(—1) на 3 масштабные единицы.
Тогда на прямой с заданной декартовой системой координат ОХ
(рис. 5), откладывая от точки В(—1) три масштабные единицы
а л A. J Я J
^
-Ц 0 1 2 X ~* -1 0 1 2 X
Рис. 4. Рис. 5.
вправо и влево, получим две точки А\(2) и А2(—4), координаты
которых удовлетворяют заданному уравнению.
Пример 2. В каком отношении точка С(— 1) делит отрезок
ЛЯ, Л (-3), 5(3)?
Решение. Для решения задачи необходимо найти X =
= р(Л, С)/р(С, В). Так как р(Л, С) = | —1 —(—3) | = 2, а
с,(хх) с2(х2) Р(С В) = \— 1 — 3| = 4, то
. j . i . Х = 2/4 =1/2.
*("*) *(;^ Пример 3. Отрезок, огра-
рис 5. ничейный точками А(—2) и
В (19), разделен на три
равные части. Определить координаты точек деления.
Решение. Если С\(х\) и С2(х2)— искомые точки (рис. 6),
то точка С\(х\) делит отрезок АВ в отношении h =
= р(Л, Ci)/p(Cb B)= 1/2, а точка С2(х2) делит отрезок С\В
в отношении к2 = р(Сь С2)/р(С2, 5)= 1, т. е. является его
серединой.
Зная отношение h\ = 1/2, в котором точка Ci(^i) делит
отрезок АВУ найдем по формуле (2) координату этой точки:
г _ — 2 + (1/2) - 19 _- -
Так как точка C2(x2) делит отрезок Cifi пополам, но
формуле (2х) найдем ее координату: х2 = (5 + 19)/2 = 12, х2=\2.
Пример 4. В какую точку нужно перенести начало системы
координат, чтобы точка А (3) получила новую координату
х' = —2?
Решение. Здесь на прямой имеются две декартовы
системы координат ОХ и О'Х', причем вторая получена переносом
первой, и требуется найти координату а точки О' в системе
координат ОХ.
Согласно формуле (3) х = х' + а. Тогда 3 = —2 -fa и a = 5.
Пример 5. Составить формулу, определяющую температуру
в градусах Цельсия, если измерение произведено термометром
Реомюра.
Решение. По шкале Реомюра температура таяния льда
равна 0°, температура кипения воды равна 80°; по шкале
Цельсия они составляют соответственно 0 и 100°. Эти две
температурные шкалы можно рассматривать как две системы коорди-
*

нат на прямой, различающиеся только масштабами е = 80° и
£'=100°. Тогда если tc— температура в градусах Цельсия, а
/р—температура по шкале Реомюра, то согласно формуле (4)
tc = (100/80) /Р, или /с =(5/4)/р.
1. Вычислить расстояние между точками: 1) А(\) и В(3);
2) А (—2) и В (5).
2. Найти координату точки Л, если известны В(—1) и
р(Л,В) = 3.
3. Найти точку М, делящую отрезок АВ, А(—2), В (5), в
отношении \= 3.
4. Найти координату точки В, зная, что точка С(—1) делит
отрезок АВ, А (—6), в отношении к = 3/2.
5. Даны две точки А(—5) и В(\). Определить: 1) точку М,
симметричную точке А относительно точки В\ 2) точку N,
симметричную точке В относительно точки А.
6. Определить координаты концов А и В отрезка, который
точками Р(—25) и Q(—9) разделен на три равные части.
7. В точках А(—2) и В (2) помещены грузы соответственно
массой 4 и 12 кг. Найти точку приложения
равнодействующей.
8. Горизонтальная балка длиной 5 м и массой 100 кг лежит
концами на двух неподвижных опорах Л и В. На каком
расстоянии от конца А можно поместить груз массой 500 кг, чтобы
давление на опору В не превышало 250 кг?
9. Каковы будут координаты точек Л(6), В(—7) и М(х)
после того, как начало координат будет перенесено в точку
О'(-5)?
10. Даны координаты 3 и 7 точки А в двух декартовых
системах координат, полученных одна из другой переносом начала.
Найти старую координату начала новой системы координат и
новую координату начала старой системы координат.
11. Зная, что один километр равен 468,7 сажени, написать
формулу, пользуясь которой можно делать новые пометки на
верстовых столбах при переходе на метрическую систему
измерения. Примечание: 1 верста содержит 500 сажен.
12. Составить формулу, определяющую температуру в
градусах Цельсия, если измерение проведено термометром
Фаренгейта. Примечание: по шкале Фаренгейта 32° — температура
таяния льда и 212° —температура кипения воды.
13. Проверка термометра обнаружила, что ртуть
поднимается до 96° при измерении температуры кипения воды и опускается
только до Г при измерении температуры таяния льда. Как
вычислить истинную температуру, в градусах Цельсия, пользуясь
показаниями этого термометра?
14. Преобразовать систему координат так, чтобы точка А (5)
сохранила свою координату, а точки, симметричные по
отношению к ней, обменялись своими координатами.
9

Y k
15. Как преобразовать систему координат, чтобы точки А и
В, имеющие координаты 3 и 7, получили новые координаты 2
и —6?
§ 2. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
1. Прямоугольная декартова система координат
Прямоугольная декартова система координат OXY на плоскости есть
совокупность геометрического объекта, состоящего из двух взаимно
перпендикулярных числовых осей ОХ и OY, имеющих общее начало О и одинаковые
масштабы, совпадающие с масштабом измерения расстояний на плоскости
(рис. 7), и следующего правила установления
взаимно-однозначного соответствия между
точками плоскости и парами вещественных чисел:
если М — произвольная точка плоскости, то,
проводя через нее прямые, параллельные осям ОХ
и OY, на этих осях получим точки Р и Q с
координатами хну соответственно. Эта пара (а,у)
вещественных чисел и ставится в соответствие
точке М\
если (х, у) — произвольная пара веществен-
\р(х) X ных чисел, то на осях ОХ и OY им соответствуют
точки Р и Q. Проводя через эти точки прямые,
параллельные осям ОХ и OY, в их пересечении
получим точку М, которая и ставится в
соответствие паре (*, у) вещественных чисел.
Числа х и у называются прямоугольными декартовыми координатами
точки М, что записывается так: М(х, у), причем х — первая координата, или
абсцисса, у — вторая координата, или ордината.
Оси ОХ и OY называются координатными осями] первая—осью абсцисс,
вторая — осью ординат.
Если величина угла между осью ОХ и осью OY равна л/2; то система
координат OXY называется правой (рис. 7, 8); если же эта величина равна
___ш__
/ +
<Р-/2
/
Рис. 7.
%12,
71/2^
Рис. 8.
—я/2, то система координат OXY называется левой (рис. 9). В дальнейшем
мы, как правило, будем пользоваться правой системой координат.
За угол между числовыми осями 0\Х и 02Y, имеющими общую точку А,
принимается ориентированный угол*), образованный лучами, исходящими из
*) Угол (а, Ь) считается ориентированным, если он образован
упорядоченной парой лучей а и Ь. Главное значение величины ориентированного угла
IQ

точки А и идущими в положительных направлениях этих осей (рис. 10).
Величине а угла между числовыми осями приписывается бесконечное
множество значений а = а0 + 2я& (k = 0, ±1, ±2, ...), где —я < а0 ^ я —
главное значение величины этого угла. Если оси параллельны и направлены
НА
-л/г
а
jn
0
к
Рис. 9.
в одну сторону, то а0 = 0; если они параллельны и направлены в
противоположные стороны, то а0 = я. Везде в дальнейшем, говоря о величине угла
п
У
0
k Y\
i
У
о4
а
-И
Т
i
X
X'
X
Рис. 10.
Рис. И.
между числовыми осями, мы, если специально не оговорено противное, будем
подразумевать ее главное значение.
Расстояние между двумя точками М\(хи У\) и М2(х2, У2) вычисляется по
формуле
р (Ми Мг) = V(*2-*i)2 + (</2-#■)'• (О
Координаты х и у точки М, делящей отрезок М\М2, Mi(*i, y\), Мг(хг, Уг),
в отношении X (X = р(Мь Af)/p(Af, M2)), определяются по формулам
«-(*,+ Л*,)/(1 + Л), у = (у, + Ху2)/(1 + X).
(2)
больше нуля, если кратчайший поворот около вершины первой стороны а до
совпадения со второй стороной b производится в направлении,
противоположном направлению вращения часовой стрелки; и оно меньше нуля, если этот
поворот производится в направлении, совпадающем с направлением
вращения часовой стрелки.
И

В частности, если точка М делит отрезок М\М2 пополам, то X = 1 и
х = (* + х2)/2, // = (//, + г/2)/2. (20
Площадь треугольника с вершинами с точках Л(лгь #.]), В(х2, г/г) и С(лг3,
г/з) вычисляется по формуле
5 = V? | [(*2 - *i) (Уз - Ух) - (*з - *,) (у2 - у,)] I, (3)
или, что то же самое:
S = -
Х\ У\ 1
Х2 IJ'i 1
X, У? I
(30
Преобразование прямоугольных декартовых координат при параллельном
переносе осей (без изменения их направлений) определяется формулами
I х = у' + Ь
где х, г/ — координаты произвольной точки М плоскости в старой системе
координат OXY\ х\ у' — координаты той же точки в новой системе координат
O'X'Y'; а, Ь — координаты начала О' в системе OXY (р~ис. 11).
Рис. 12.
Рис. 13.
Преобразование прямоугольных декартовых координат при повороте
координатных осей на угол величины а (без изменения начала и направлений
осей) определяется формулами
х = х cos a — у sin а,
у = х' sin а + у' cos а,
(5)
где х, у — координаты произвольной точки М плоскости в старой системе
координат OXY] х?', у' — координаты той же точки в новой системе координат
OX'Y' (рис. 12).
Формулы
{х = xf cos a — у' sin а + а.
у = *' sin а + У cos а + 6
определяют общее преобразование прямоугольных декартовых координат
точки М плоскости (т. е. поворот координатных осей системы координат OXY и
их параллельный перенос (рис. 13)).
Пример 1. В заданной системе координат OXY (рис. 14)
построить точку Л (4, — 2).
12

Решение. На осях ОХ и OY построим точки Р и Q
соответственно с координатами 4 и —2. Через эти точки проведем
прямые, параллельные осям коорди- * у
нат. В их пересечении и получим
искомую точку Л (4, — 2).
Пример 2. На осях координат
найти точки, каждая из которых I , , , PW
равноудалена от точек /1(1,1) и \п Т~
В (3,7).
Решение. Пусть М\ и М2 —
искомые точки, и точка М\ лежит на й(-2У(- 1A (4,-2)
оси ОХ, тогда ее координаты (х,0),
точка М2 лежит на оси OY, тогда
ее координаты (О,у). Так как точ- Рис. 14.
ки Mi и М2 одинаково удалены от
точек Л и В, то р(МьЛ) = р(МиВ) и p(Af2, A)= р(М2, В).
Воспользуемся формулой (1):
V(l - *)2-(1 -0)2= л/(3 - *)2 + (7 - О)2 и У(1 -0)2 + (1 _^)2=
= V(3-0)2 + (7-r/)2.
Решая полученные уравнения, найдем л; =14 и у =14/3,
Тогда Mi(14,0) и М2(0, 14/3).
Пример 3. Определить площадь параллелограмма, три
вершины которого лежат в точках Л(—2,3), В(4, — 5) и С(—3, 1).
Решение. Искомая площадь 5 параллелограмма равна
удвоенной площади треугольника ABC, т. е. 5==25длвс.
Тогда по формуле (3)
5 = 25дл5с = 2.72|[(4-(-2))(1-3)-
— (— 3 — (—2)) (— 5 — 3)] | = 20.
Пример 4. Три последовательные вершины параллелограмма
имеют координаты Л(3,—3), В(—1,1), С(1,6). Найти
координаты четвертой вершины D.
С'<-/.-2)
В (-1,1) 0(1,6)
/ _„-
U3.-3)
\ /
\ /
2)
Рис. 15.
A (J,'5)
ВЫ, J)
Рис. 16.
Решение. Зная, что диагонали параллелограмма в точке £
пересечения делятся пополам (рис. 15), найдем эту точку как
13

середину отрезка АС, Если ее координаты обозначить х\ и у\, то
по формулам (20 х\ =(3 + 1)/2 = 2, ух = (— 3 + 6)/2 = 3/2,
Б(2, 3/2).
А если х2 и #2 — координаты точки D, то по формулам (20
2 = (—1+х2)/2, 3/2=(1+У2)/2, откуда х2 = 5, </2 = 2 и
.0(5,2).
Пример 5. Вершины треугольника находятся в точках
Л(3,—5), В(—3,3) и С(—1,—2). Найти длину биссектрисы его
внутреннего угла при вершине Д.
Решение. Известно, что биссектриса внутреннего угла
треугольника делит противоположную сторону на части,
пропорциональные длинам прилежащих сторон. Найдем длины этих сторон:
р(Л, В) = V(- 3 - З)2 + (3 + 5)2 = 10, р(Л, С) =
= V(-l-3)2 + (-2 + 5)2 = 5.
Тогда если D(xyy)— точка пересечения биссектрисы и стороны
ВС (рис. 16), то она делит эту сторону в отношении
Л, = р(Я, D)/p(D, С) = р(Л, В)/р(А, С)=10/5 = 2.
Теперь найдем по формулам (2) координаты точки D:
-3 + 2-(-1) 5 3+2- (-2)
= -T>f/ =
1 + 2 3 ' * 1 + 2
з• и v з' з;1
и по формуле (1)—искомую длину биссектрисы:
Р (Л, D) = У(~ 5/3 - З)2 + (- 1/3 + 5)2 = 14 д/2 /3.
Пример 6. В точках Afi(xb #i), M2(x2> #г) и M3(x3, уъ)
помещены массы mi, m<i и т3 соответственно. Найти центр тяжести
этой системы.
Решение. Найдем сначала центр тяжести М'(х'уу')
системы двух масс гп\ и т% помещенных в точках М\ и М2. Из
механики известно, что центр тяжести этих масс делит отрезок
М\М2 на части, обратно пропорциональные массам,
сосредоточенным на концах отрезка, т. е. в отношении Х' = т2/т\. По
формулам (2) найдем координаты точки М'\
*\-\ *2 , У\ Н #2
х' т^ *\т\ + ^/^2 ,/ ni\ У\тх + у2т2
_W2_ тх + т2 ' v 1+.-J2L mi + m2
mi mi
Если точка M(x, (/)— центр тяжести системы трех масс mi, тг
и /л3, то она делит отрезок МГМЪ на части, обратно
пропорциональные массам, сосредоточенным в точках М' и М3у т. е. в от-
14

ношении X = тъ1{ш\ + m2). Тогда
""*" Ш\ + ^2 3 Х\ГП\ + *2^2 + -УЗ^З
1 _|_ тз mi + т2 + /Пз
^1 + #*2
_ У mi + т2 Уъ _ Ухгпх + у2т2 + Уг™ъ
1 . тз mi + m2 + m3
mi + m2
Замечание. Если в точках Mi(*bf/i)> M2 (х2, f/г), ...
..., Mk(xk,yk) помещены массы ти т2> ..., т*, то координаты
центра тяжести этой системы масс находятся по формулам
__ ххтх + х2т2 + ... + Xktnk
т\ + т2+ ... +mk *
__ j/imi + j/2m2 + ... + yunik
У пц + т2+ ... + nik
Пример 7. Даны точки Л (2, 1) и В(—1,3). Найти их
координаты в новой системе, если начало координат перенесено (без
изменения направления осей) в точку А.
Решение. В новой системе координат AX'Y' точка А есть
начало системы координат, следовательно, в этой системе
координат Л (0,0). Координаты х', у' точки В найдем по
формулам (4):
_1=*' + 2, х'=-3; 3 = */'+1, */' = 2; В(-3,2).
Пример 8. Определить величину угла, на который повернуты
оси, если формулы преобразования координат заданы равен-
ствами
*=(Уз72)*' + (1/2)*Л #=-(1/2)*' +(УВД/.
Решение. Согласно формулам (5) cosa = ^/3/2, sina =
= — 1/2, где а —величина угла поворота осей. Так как cos a > 0,
а sin a < 0, то угол поворота лежит в IV координатной четверти,
тогда a = —я/3.
Пример 9. Даны две точки М\ (9,-3) и М2(— 6, 5). Начало
координат перенесено в точку М\у а оси координат повернуты
так, что положительное направление новой оси абсцисс
совпадает с направлением отрезка М\М2. Вывести формулы
преобразования координат.
Решение. Выполним все построения, указанные в задаче:
в системе координатору построим точки М\(9У—3) и М2(—6,5);
перенесем начало системы координат в точку М\(9У—3),
получим промежуточную систему координат М\Х"Ч", которую
повернем на угол величины а так, чтобы положительное направление
новой оси абсцисс МХХ' совпало с направлением отрезка М\МЬ

и тем самым получим систему координат M\XrYr (рис. 17),
координаты а', уг точек которой необходимо связать с
координатами х, у этих же точек в системе координат OXY.
Система координат MxXrY' получена из системы координат
OXY общим преобразованием (т. е. параллельным переносом
осей и их поворотом). Координаты одних и тех же точек в этих
системах связаны соотношениями (6), причем координаты
нового начала нам известны: а = 9, Ь = —3, остается найти синус
и косинус угла поворота, т. е. sin а и cos а. Из &M\NM2 найдем
sin (я —а) и cos (я —а):
sin (*-«)= Р-<*-^> 5 + 3 -?-
cos (я — а)
р(МиМ2) V(-6-9)2 + (5 + 3)2 17*
р(Л/, Мх) __ 9 + 6 15
р(Л*ь М2) ~~~ 17 "~ 17 '
откуда sina = 8/17, cosa = —15/17. Тогда
15 , 8 f . л 8 t 15,-
x= — TFx —-yfy +9, y=-jfx -ТТУ — 3.
2. Косоугольная система координат
Косоугольная система координат отличается от прямоугольной
декартовой системы только величиной ф координатного угла, т. е. ф ф я/2 (рис. 18):
У
Рис. 17.
Рис. 18.
масштабы координатных осей ОХ и ОУ одинаковы и совпадают с масштабом
измерения длин отрезков на плоскости, правило установления
взаимно-однозначного соответствия между точками плоскости и парами вещественных
чисел — проведение прямых, параллельных координатным осям. Так, на
рис. 18 точка М имеет координаты (2,3).
Расстояние между двумя точками Мх(хи ух) и М2(х2, у2) вычисляется по
формуле
р (MXt М2) = V(*2 - *i)2 + (у 2 - Ух)2 + 2 (х2 - хх) (г/2 - ух) cos ф. (7)
Координаты точки М(х, у), делящей отрезок МХМ2, Mx(xXt ух), М2(х2, у2),
в отношении X, определяются по формулам
* — (*« + Хх2)/(\ + Я). у = (ух + Я|/2)/(1 + Л). (8)
Площадь треугольника с вершинами в точках А{хх, у\), В(х2у у2), C(xit
Уг) вычисляется по формуле
S = 7г I [(*2 - *\) (У* - У\) (*9 - *i) (Уа - Ух)\ sin <p |. (9)
16

В некоторых приложениях оказываются удобными косоугольные системы
координат, в которых масштабы координатных осей различны.
Пример 10. В косоугольной системе координат OXY с
величиной координатного угла ф = 2я/3:1) построить треугольник
с вершинами в точках Л (1,4), В(—5,0) и С(—2, —1); 2) найти
точку пересечения его ме- У v
диан и расстояние от нее \~З^Г\ ^
до начала системы коор- у\/\ \
динат. /Уч ^
Решение. Построе- / / (\ Чч
ние вершин ААВС пока- / / |\ \
зано на рис. 19. / £ / \ \р=2л/^
Для нахождения точки у / ~2 \ \^\ ч\
Е пересечения медиан д (~5jj—"'^^1^'м 0\ ^ 7
треугольника предвари- ' i ■ *- V/
тельно найдем точку D се- сг2гП \
редины стороны ВС (т. е. Рис. 19.
найдем ее координаты Х\
и »i): xi=(-5-2)/2 = -7/2, f/i =(0— 1)/2 = —1/2; D(-7/2,
-1/2).
Так как р(/4, Е)/р(Е, D) = 2/\ = 2, то координаты х и у
точки ,£ нетрудно найти по формулам (8) при К = 2:
1 + 2 {- 7/2) - 4 +2 (-1/2) .. „. 9 п
х — j-qpg— — -2. У — ПГ2—— !' с (—2,-1).
Теперь по формуле (7) найдем расстояние между началом
-системы координат и точкой Е:
р (О, Е) = V(- 2 - О)2 + (1 - О)2 + 2 (- 2 - 0) (1 - 0) cos 2я/3 =
3. Полярная система координат
В полярной системе координат геометрический объект, относительно
которого определяется положение точки на плоскости, включает в себя точку О
плоскости, называемую полюсом, и луч ОР, выходящий из полюса, называемый
полярной осью. Для определения положения точки М плоскости в полярной
системе координат (рис. 20) из полюса О проводят луч ОМ, и точке М
сопоставляется пара вещественных чисел: длина р отрезка ОМ, измеряемая в
масштабе измерения длин отрезков на плоскости, и величина 9 ориентированного
угла (ОР, ОМ) (не обязательно главное ее значение).
Полярная система координат, вообще говоря, не устанавливает
взаимнооднозначного соответствия между точками плоскости и парами вещественных
чисел. Однако если 9 брать из полуинтервала (—я, п\ т. е. —я < 9 ^ я, то
точки плоскости и пары (р, 9) вещественных чисел (р ^ 0, —я < 9 ^ я)
будут находиться во взаимно-однозначном соответствии, за исключением точки
О (точки полюса), для которой р = 0, а 9—любое вещественное число из
указанного промежутка.
Пары вещественных чисел (р, 9), где р ^ 0, а 9 — любое вещественное
число, поставленные в соответствие указанным способом точкам плоскости,
называются их полярными координатами, причем р считается первой
координатой и называется полярным радиусом, 9 — второй и называется полярным
17

углом. Желая показать, что точка М имеет полярные координаты р и 6,
пишут: А/(р, 6).
Расстояние между двумя точками Mi (pi, 81) и М2(рг, 62) вычисляется по
формуле
р (Mlt М2) = д/р^ + р^ - 2Plp2 cos (92 - 9,). (10)
Площадь треугольника, одна из вершин которого совпадает с полюсом,
а две другие находятся в точках /l(pb0i) и В(р2> 9г), определяется по
формуле
5 = 1/2Pip2|sin(92-e1)|. (11)
Если на плоскости заданы две полярные системы координат: ОР и ОР',
причем вторая получена поворотом полярной оси первой системы координат
Рис. 20.
Рис. 21.
на угол величины а, то координаты (р, 9) и (р', 9') одной и той же точки
плоскости в этих системах координат связаны соотношениями
Р = Р',
9 = а + 9'.
(12)
Если на плоскости заданы полярная и прямоугольная декартова системы
координат, причем полюс полярной системы совмещен с началом координат
декартовой системы, а полярная ось совпадает с положительной полуосью ОХ
(рис. 21), то зависимость между полярными координатами (р, 9) и прямо-
угольными декартовыми координатами (х, у) одной и той же точки плоскости
выражается формулами
f* = Pcose,
( у = р sin 9,
и обратно:
fP = V*2 + </2,
11& G = £//л: (хфО).
Пример И. Найти радиус вписанной в треугольник
окружности, если одна его вершина лежит в полюсе полярной системы
координат, а другие в точках Л(2, 0) и В(4, я/3).
Решение. Из геометрии известно, что г = S/p, где 5 —
площадь треугольника, р — его полупериметр. Площадь 5
треугольника вычислим по формуле (И), длины двух сторон
треугольника, а именно сторон ОА и Об, известны, они равны со*
18

ответственно 2 и 4 (рис. 22), длину стороны А В найдем по
формуле (10). Тогда
5 = (1/2) • 2 • 41 sin (я/3 — 0) | = 2 У3~>
р(Л, В) = У22 + 42 - 2 . 2 • 4 cos я/3 = 2 У 3~, и г =
2л/3 2
1/2(2 + 4 + 2 УЗ) 1 + Уз"
Уз
1.
Пример 12. В полярной системе координат даны точки
Л(3,я/3) и В(1,2я/3). Полярная ось повернута так, что в но-
B(4,n/J)
А (2,0)
Рис. 22.
У
J
0
о\
2\
А (10,71/6)
Р(Л
X
Рис. 23.
вом положении она проходит через точку Л. Определить
координаты точки В в новой системе координат.
Решение. Новая система координат получена из старой
поворотом полярной оси на угол, величина которого равна
а = я/3. Тогда согласно формулам (12) новые координаты р'
и 8' точки В будут следующими: р'=1, 8'= 2я/3 — я/3 = я/3;
В(1,я/3).
Пример 13. Найти полярные координаты точки Л, если ее
декартовы координаты х=— 1, у=\3 (полярная ось
совпадает с положительной полуосью ОХ).
Решение. По формулам (14): р = д/(— I)2 + (Уз~)2 =2,
tgG = — l/УЗ ; так как точка А лежит во II координатной
четверти (х < 0, у > 0), то 8 = 2я/3, А (2, 2я/3).
Пример 14. Зная полярные координаты точки А (10, я/6),
найти ее прямоугольные декартовы координаты, если полюс О'
в декартовой системе координат имеет координаты (2,3), а
полярная ось параллельна оси ОХ и совпадает с ней по
направлению.
Решение. Введем вспомогательную прямоугольную декар-
тову систему координат О'Х'Ч', начало О' которой совпадает
с. пол юсом О' и ось О'Х' совпадает с полярной осью (рис. 23).
19

Тогда координаты точки Л в полярной системе и в системе
О'Х'У^связаны соотношениями (13), откуда х! = 10 cos л/6 =
= 5л/3; у'= 10 sin я/6 = 5, а ее координаты в системах OXY
и O'X'Y связаны соотношениями (4)_, тогда окончательно а: =
= 5л/3+2, f/ = 5 + 3 = 8; Л (5 д/3 + 2, 8).
1. Найти координаты точек, симметричных точке М0(хо,уо)
относительно оси абсцисс, оси ординат, начала координат,
биссектрисы первого и третьего координатных углов.
2. Сторона квадрата равна 1. Определить координаты его
вершин, приняв за оси координат: 1) две непараллельные его
стороны; 2) две диагонали; 3) прямые, параллельные сторонам
квадрата и пересекающиеся в его центре.
3. Найти координаты вершин прямоугольника со сторонами
4 и 6 см, если точка пересечения его диагоналей принята за
начало системы координат, а стороны параллельны осям,
причем большая сторона параллельна оси ОХ.
4. Найти координаты вершин правильного треугольника со
стороной, равной а, если одна его вершина лежит в начале
координат и одна сторона направлена вправо по оси ОХ (весь
треугольник лежит в I четверти).
5. Вершинами треугольника служат точки Л (2,2), В(—5,1)
и С(3, —5). Найти центр описанного круга.
6. На координатных осях найти точки, удаленные от точки
М(6, —4) на 10 единиц.
7. Доказать, что треугольник с вершинами Л(—4,3), В (4, 7)
и С(5, —5) равнобедренный.
8. Найти координаты центра и радиус окружности,
проходящей через точку В(—10,4) и касающейся оси ОХ в точке
А (-6,0).
9. Дана окружность с центром в точке С(6, 7) и радиусом,
равным 5. Из точки Л (7, 14) к этой окружности проведены
касательные. Найти их длины.
10. Две вершины треугольника находятся в точках Л (1,2)
и В(5,—1), третья вершина С — на оси ОХ\ площадь
треугольника равна 4. Найти координаты вершины С.
11. Найти расстояние от точки (2,0) до прямой, проходящей
через точки (1, 1) и (5, 4).
12. Доказать, что точки А(—2,—1), В(—1, 1), С(1,5) лежат
на одной прямой.
13. Точка, двигаясь прямолинейно, прошла через точки
Л (5,5) и В (1,3). Определить точку, в которой она пересечет
ось ОХ.
14. Разделить отрезок между точками Mi (0,6) и М2(2,0)
в таком отношении, в каком находятся расстояния этих точек
от начала координат.
20

15. Даны две смежные вершины параллелограмма А(—3,5)
и В(1,7) и точка пересечения его диагоналей М(1, 1).
Определить две другие вершины.
16. От точки Mi(1,-1) до точки М2(—4,5) проведен
отрезок. До какой точки нужно его продлить в том же направлении,
чтобы его длина утроилась?
17. На продолжении отрезка АВ с координатами А(—5,5) и
6(1, —4) найти точку с абсциссой, равной 9.
18. Даны две точки А (3, — 1) и В(2, 1). Определить: 1)
координаты точки М, симметричной точке А относительно точки В;
2) координаты точки N> симметричной точке В относительно
точки А.
19. Доказать, что точка пересечения медиан треугольника
с вершинами в точках (х\,у\), (х2у у2) и (х3, уъ) имеет
координаты
х = (х\+х2 + хъ)/Ъ, у = (у\ + У2 + Уз)/3.
20. Вершины однородной треугольной пластинки находятся
в точках А(—1,2), В(3,3) и С(1,—1). Определить координаты
центра тяжести пластинки.
21. В точке А (2,5) помещен груз массой 60 г, а в точке
В(—3,0)—груз массой 40 г. Определить координаты центра
тяжести этой системы.
22. Однородный стержень изогнут в виде треугольника,
вершины которого находятся в точках А (2, —1), В(5, —1) и С(2, 3).
Определить координаты центра тяжести этого треугольника.
23. Найти положение центра тяжести однородного стержня,
согнутого под прямым углом, если длины его частей
соответственно равны 2 и 5
24. Найти положение центра тяжести проволочного
треугольника, длины сторон которого 3, 5 и 4 см.
25. Начало координат перенесено (без изменения
направления осей) в точку 0'(3, —4). Координаты точек А (—3,0) и
В(—1,4) определены в новой системе. Вычислить координаты
этих же точек в старой системе координат.
26. Написать формулы преобразования координат, если
точка Mi(2,—3) лежит на новой оси абсцисс, а точка М2(1,—7) —
на новой оси ординат, причем оси новой и старой систем
координат имеют соответственно одинаковые направления.
27. Найти расстояние между точками Л (1,2) и В (2,—1),
причем координаты точки В вычислены относительно системы
координат, полученной из прежней перенесением начала в точку
оч-1,з).
28. Одна и та же точка имеет относительно двух разных
систем координат координаты (2,5) и (—3,6). Определить
координаты начала каждой из этих систем относительно другой,
зная, что оси их имеют соответственно одинаковые направления.
21

29. Оси координат повернуты на угол а = 60°. Координаты
точек А (2 УЗ, -4) и В(УЗ, 0) определены в новой системе.
Вычислить координаты этих точек в старой системе координат.
30. Точка А имеет координаты (л/8 , — 1/д/2 ). Найти ее
новые координаты, если оси координат были заменены биссектри-'
сами координатных углов.
31. Дан равносторонний треугольник со стороной 20 мм.
Координатные оси, первоначально совпадавшие с основанием и
высотой треугольника, повернуты на угол 60°. Найти новые и
старые координаты вершин треугольника.
32. Определить старые координаты нового начала и
величину угла, на который повернуты оси, если формулы
преобразования координат заданы следующими равенствами: 1) х =
= -^-l,^/ = -^ + 3;2)x = (V2'/2)x, + (V2"/2)^ + 5, у =
= (-V2"/2)^ + (V2/2)/-3.
33. Как преобразуются координаты любой точки М(х, у),
если: 1) оставив ось абсцисс без изменения, переменить
направление оси ординат; 2) за ось абсцисс принять ось ординат и за
ось ординат — прежнюю ось абсцисс?
34. Дан квадрат ABCD, сторона которого а = 1. За оси
координат выбраны сначала стороны АВ и AD, а затем диагонали
АС и BD. Найти зависимость между координатами одной и той
же точки относительно этих двух систем координат.
35. Относительно косоугольной системы координат с
координатным углом ф = 5я/6 дана точка М(6,4). Определить
расстояние от этой точки до осей координат.
36. Определить координаты точки М, если расстояния ее от
осей координат равны соответственно 1 и 1,5; ф = я/6.
37. Определить координаты вершин правильного
шестиугольника, сторона которого равна 1, если за оси координат приняты
такие две его смежные стороны, что вершина, противоположная
началу координат, имеет положительные координаты.
38. Точки М(—3,-5) и N(xyy) симметричны относительно
оси ОХ. Найти координаты точки N при условии, что
координатный угол ф = я/3.
39. Определить величину координатного угла, зная, что
расстояние между точками Л(10,—4) и £(7,—1) равно 3.
40. Определить радиус окружности, описанной около
треугольника с вершинами в точках Л(0, 0), В(3, 1) и С(—1, 4),
если величина координатного угла равна 5я/6.
41. Дана точка А с полярными координатами (5,2я/3).
Найти: 1) точку В, симметричную точке А относительно полюса;
2) точку С, симметричную точке А относительно полярной оси.
42. Треугольник ABC задан полярными координатами вер-
22

шин: Л(5,я/2), В(8, 5я/6) и С(3, 7я/6). Доказать, что он
равнобедренный.
43. В полярной системе координат даны точки /1(8,—2я/3)
и В(6, я/3). Вычислить полярные координаты середины отрезка,
соединяющего эти точки.
44^ Вершины треугольника находятся в точках А (2 л/3 ,я/3)
В(д/3, 2я/3) и С(4 +УЗ, 2я/з). Доказать, что
треугольник прямоугольный.
45. В полярной системе координат даны точки УИ^З, я/3),
М2(1,2я/3), М3(2, 0). Полярная ось повернута так, что в новом
положении она проходит через точку Мх. Определить координаты
заданных точек в новой системе координат.
46. Определить полярные координаты точек А(—3,—4),
В(3,—4), С(—8, 0), D(0, —9) (полярная ось совпадает с
положительной полуосью ОХ).
47. Полярная ось полярной системы координат параллельна
оси абсцисс прямоугольной декартовой системы и одинаково
с ней направлена. Даны прямоугольные декартовы координаты
полюса 0(3,2) и точки М(3, 1). Определить полярные
координаты точки М.
48. Полюс находится в точке (3,5). Полярная ось
параллельна положительному направлению оси OY. Найти полярные
координаты точек М{ (9, — 1) и М2 (5, 5 -— 2 УЗ ).
§ 3. УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ НА ПЛОСКОСТИ
Уравнением кривой на плоскости (в назначенной системе координат)
называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют
координаты каждой точки этой кривой и только они.
В общем виде уравнение кривой записывается так:
F(x,y)=0 (1)
— в прямоугольных декартовых или косоугольных координатах;
Ф(Р,8)=0 (1')
— в полярных координатах; или
y = f(x\ x = q>(y); р = f (9), 9 = qp(p) (2)
— если одну переменную удобно выразить через другую.
Общие точки двух кривых определяются из решения системы двух
уравнений:
ГМ*. У)-0, ГФ, (Р, 9)= О,
U<*.rt-ft ИЛИ U(P,e) = o. (3)
Кривую на плоскости можно рассматривать как траекторию пути,
пройденного точкой, движущейся по какому-либо закону. Если абсцисса х точки
М(х, у) изменяется по закону х = ф(0, а ордината у — по закону у = г|)(/),
где / — некий параметр, то уравнения кривой записываются в виде
\ ч ' *е=(а, Ь). (4)
83

Такое задание кривой называется параметрическим, а равенства (4) —
параметрическими уравнениями кривой, т е. соотношения (4) есть
параметрические уравнения кривой, если для любой точки М0(х0% у0) кривой существует
такое t0^(a,b), что х0 •= ф(/о), Уо = Ф(^о), и для любого / е <а, Ь) точка
с координатами х = ср(0, У = ^(*) принадлежит кризой.
Если из равенств (4) можно исключить параметр /, то получается
уравнение траектории точки М(х, у) в виде (1), (Г), (2).
Чтобы составить уравнение кривой, заданной как множество точек
плоскости, надо:
1) на плоскости выбрать систему координат, если она заранее не задана;
2) взять произвольную точку кривой и как-либо обозначить ее
координаты в этой системе координат;
3) записать в виде равенства свойство, характеризующее точки данного
множества;
4) выразить через введенные координаты все величины, входящие в это
равенство.
Пример 1. Составить уравнение геометрического 1места точек
плоскости, одинаково удаленных от оси ОХ и точки В (0,—2).
Решение. На плоскости уже задана прямоугольная
декартова система координат OXY. Пусть точка М(ху у) — точка
данного геометрического места. Тогда согласно условию задачи
свойство, характеризующее точки геометрического места,
выразится равенством
р(ВуМ) = \у\ (*)
(расстояние от точки М(х, у) до оси ОХ есть абсолютная
величина ее ординаты).
Так как р(В, М) = У(х - 0)2 + (у + 2)2 = У*2 + у2 + 4у + 4,
то, подставляя это выражение в равенство (*), мы получаем
искомое уравнение: У*2 + у2 + Ау + 4 = | у |.
Это уравнение можно улучшить: возведя в квадрат обе части,
получим равносильное уравнение х2 + у2 + 4у + 4 = у2, или,
окончательно, х2 -\- 4у + 4 = 0.
Пример 2. Точка М при движении по плоскости все время
удалена от точки С на расстояние, равное г. Найти уравнение
траектории ее движения.
Решение 1. Введем на плоскости некую прямоугольную
декартову систему координат OXY. Пусть а и b — координаты
точки С; х и у — текущие координаты точки М в этой системе
координат.
Согласно условию задачи точка М лежит на искомой кривой
тогда и только тогда, когда р(С, М) = г. Так как р (С, М) =
= У(х - а)2 + (у - б)2, то У(х - а)2 + (у - Ь)2 = г, или (х — а)2 +
+ (у— Ь)2 = г2у и есть искомое уравнение траектории движения
точки М. Траектория движения представляет собой окружность
радиусом г с центром в точке С (а, Ь).
Решение 2. Введем на плоскости прямоугольную
декартову систему координат CXY так, чтобы ее начало совпало с
точкой С. Тогда в этой системе координат точка С будет иметь
координаты (0,0), текущие координаты точки М обозначим
24

Искомое уравнение определится условием р(С, М) = г; а так
как р(С, /И) =^= д/л:2 + У2> то *2 + У2 = г2 и есть искомое
уравнение в этой системе координат.
Решение 3. Введем на плоскости прямоугольную декар-
тову систему координат так же, как и в предыдущем решении,
и введем в рассмотрение параметр-/, равный величине угла АСМ
(рис.24).
Рис. 24.
Рис. 25.
При изменении / точка М будет двигаться по окружности
радиусом г, т. е. будет все время удалена от точки С на
расстояние, равное г.
Выразим через параметр t координаты х и у точки М:
( х = г cost у
\ у = г sin /, — оо </<-(- оо.
Полученные соотношения — параметрические уравнения
траектории движения точки М (параметрические уравнения
окружности радиусом г с центром в начале системы координат).
Если из полученной системы уравнений исключить параметр /
(для чего достаточно обе части уравнений возвести в квадрат и
почленно сложить), то получим результат предыдущего
решения, т. е. х2 + у2 = г2.
Решение 4. Введем на плоскости полярную систему
координат СР с полюсом в точке С (рис. 25).
Точка М будет удалена от точки С на расстояние г, если ее
первая координата р равна г (при любой второй координате 8).
Тогда уравнение траектории движения точки М можно
записать так: р = г.
Приведенные решения показывают, что одно и то же
геометрическое место точек в разных системах координат записывается
по-разному и выбор системы координат существенно влияет на
простоту этой записи.
Пример 3. Найти уравнение геометрического места точек,
равноудаленных от двух пересекающихся прямых.
Решение. Данные пересекающиеся прямые примем за оси
косоугольной системы координат OXY (рис. 26).
25

Известно, что геометрическое место точек, равноудаленных
от двух пересекающихся прямых, есть биссектрисы углов,
образованных этими прямыми.
Если точка М(ху у) — точка биссектрисы угла ХОУу то из
равенства прямоугольных треугольников MAP и MBQ (р(М,Д) =
= р(М, В), ZBMQ = ZAMP) следует, что у = х. Для второй
У
/
/
/
! с
\ я
0
/л
г \
\
\
\yrf~
iK^.
х Р /
R J
X
I
Рис. 26. Рис. 27.
биссектрисы образованных углов получим у = —х. Тогда
соотношение |х| = |у| и есть искомое уравнение геометрического
места точек.
Пример 4. По прямой катится без скольжения окружность
с радиусом R. Составить уравнение кривой, которую описывает
произвольная фиксированная точка этой окружности.
Решение. Введем прямоугольную декартову систему
координат. За ось X примем прямую, по которой катится окружность,
ориентированную в сторону движения окружности, за начало
координат — одну из тех точек этой оси, где фиксированная
точка М катящейся окружности попадает на ось Х\ ось У направим
так, как указано на рис. 27.
Рассмотрим какое-либо положение катящейся окружности, и
пусть точка А есть точка ее касания с осью X, С\— ее центр,
М — фиксированная точка окружности, уравнение движения
которой надо составить. ^
Обозначим t величину ориентированного угла (С\А, С\М).
Тогда задание / полностью определит и положение катящейся
окружности и положение точки М. Поэтому величину t можно
выбрать в качестве параметра для представления уравнения
кривой, описываемой точкой М. Отметим, что так как качение
окружности происходит без скольжения, то длина отрезка ОА
равна длине дуги AM и равна Rt.
Если х и у — соответственно абсцисса и ордината точки М,
то * = р(0, А)-р(А, Р) = Rt-R sin / = /?(/ -sin /),
у = р(0, С)-р(С, Q) = R-Rcost = R(l -cost).
26

Уравнения
'x=R(f-
sin/),
- cos /),
где / принимает все вещественные значения, и являются
параметрическими уравнениями кривой, которую описывает произ-
-4%R
-2KR
2UR
4nR
Рис. 28.
вольная фиксированная точка окружности, катящейся без
скольжения по данной прямой. Такая кривая называется циклоидой,
она изображена на рис. 28.
Пример 5. Вокруг неподвижной точки О вращается ось I и
по этой вращающейся оси движется точка М гак, что длина
отрезка ОМ пропорциональна величине
а угла поворота оси /, отсчитываемого
от некоторой неподвижной оси ОХ
(рис. 29). Определить уравнение
траектории движения точки М.
Решение. Зададим на плоскости
полярную систему координат следую
щим образом: полюс поместим в точк^
О, за полярную ось примем ось ОХ. Рис. 29.
Тогда в выбранной системе координат
координаты р и 0 точки М согласно условию задачи
связаны соотношением р = аЭ, где афО — коэффициент
пропорциональности и 0 = а. Кривая р = а8, описываемая точкой М,
называется спиралью Архимеда. На рис. 29 сплошной линией
изображена часть спирали Архимеда для случая а > 0, а
штриховой— часть спирали Архимеда для случая а < 0.
1. Найти уравнение кривой, являющейся геометрическим
местом точек, равноудаленных от точек Л (2, 5) и £(8, 1).
2. Определить траекторию точки М, которая при движении
все время остается вдвое ближе к точке Л (1,0), чем к точке
В (4,0).
3. Вывести уравнение геометрического места точек,
находящихся на расстоянии а от оси ОХ.
4. Из точки С(10,—3) проведены всевозможные лучи до
пересечения с осью ординат. Составить уравнение геометрического
места середин получающихся отрезков.
27

5. Написать уравнение кривой, по которой движется точка
М(х, у), оставаясь вдвое дальше от оси ОХ, чем от
оси OY. Лежат ли на этой кривой точки Р(1, 3), Q(2, 5),
Ж-2, 1)?
6. Два стержня вращаются вокруг двух неподвижных точек
А и В, расстояние между которыми равно 2а. При этом
вращении стержни остаются все время перпендикулярными
друг другу. Найти геометрическое место точек пересечения
стержней.
7. Составить уравнение множества точек, произведение
расстояний которых до двух данных точек F\ и F2 есть постоянная
величина, равная а2, где а — расстояние между точками F\ и F2
(эта кривая называется лемнискатой Бернулли).
"8. Точка движется так, что расстояния ее от двух
пересекающихся прямых остаются все время в постоянном отношении.
Написать уравнение ее траектории.
9. В декартовых координатах даны параметрические
уравнения геометрических мест:
1) (x = 3t, 2) (X = 2i2- 1, 3) f * = 3cos/f
\y = t + 5; U = / + 6; U = 5sin/.
Составить уравнения данных геометрических мест в этих
координатах.
10. Траекторией точки М является парабола, уравнение
которой у2 = 2рх. Вывести параметрические уравнения траектории
точки М, принимая в качестве параметра: 1) ординату точки М\
2) величину угла наклона отрезка ОМ к оси ОХ\ 3) величину
угла наклона отрезка MF к оси ОХ, где точка F имеет
координаты (р/2, 0) (так называемый фокус параболы).
11. Луч выходит из полюса и наклонен к полярной оси под
углом я/3. Составить уравнение этого луча в полярных
координатах.
12. Прямая проходит через полюс и наклонена к полярной
оси под углом 45°. Составить уравнение этой прямой в полярных
координатах.
13. Составить полярное уравнение прямой,
перпендикулярной полярной^оси и отсекающей от нее отрезок, длина которого
равна а.
14. Составить полярное уравнение прямой, параллельной
полярной оси и расположенной выше ее, если расстояние между
ними равно Ь.
15. Вычислить расстояние между точками пересечения
кривых х2 + у* = 25 и* + 7у —25 = 0.
16. Найти точки пересечения окружности радиусом 1,
проходящей через полюс полярной системы координат, с центром,
лежащим на полярной оси, и прямой, перпендикулярной
полярной оси и отсекающей от нее отрезок длиной 1/2.
28

§ 4. МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ.
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
1. Прямоугольная декартова система координат
Прямоугольная декартова система координат OXYZ в пространстве есть
совокупность геометрического объекта, состоящего из трех взаимно
перпендикулярных числовых осей OXt OY и OZ, имеющих общее начало О и
одинаковые масштабы, совпадающие с масштабом измерения расстояний в простран-
> У
х/
2 \ /
/а
IV /
/
/
/
/
/
/
VIII
/
/
у
VII
V
II
1 !
1 /
0
/
/
! / w
V
Рис. 30.
Рис. 31.
стве (рис. 30), и следующего правила установления взаимно однозначного
соответствия между точками пространства и тройками вещественных чисел:
если М — произвольная точка пространства, то, проводя через нее
плоскости, параллельные плоскостям YOZ,XOZ и XOY, на числовых осях OX,OY
и OZ получим точки Р, Q и R с координатами х, у и z соответственно. Эта
тройка (я, yt z) вещественных чисел и ставится в соответствие точке М\
Правые системы координат
Z\
-+Y
h.
-*Y
Рис. 32.
если (х, yt z) — произвольная тройка вещественных чисел, то на осях ОХ,
OY и OZ им соответствуют точки Р, Q и R Проводя через эти точки
плоскости, параллельные плоскостям YOZt XOZ и XOYy в их пересечении получим
точку М, которая и ставится в соответствие тройке {х, у, z) вещественных
чисел.
29

Числа х, у и z называются прямоугольными декартовыми координатами
точки М пространства, что записывается так: М(х, у, z), причем х — первая
координата, или абсцисса, у — вторая координата, или ордината, z — третья
координата, или аппликата.
Оси OX, OY и OZ называются координатными осями: осью абсцисс, осью
ординат и осью аппликат соответственно.
Плоскости YOZ, XOZ и XOY называются координатными плоскостями.
Координатные плоскости разделяют пространство на восемь октантов.
Нумерация октантов показана на рис. 31.
Как и на плоскости, различают правую и левую системы координат
OXYZ. Система координат OXYZ называется правой, если при кратчайшем
повороте первой оси ОХ вокруг начала О до совпадения ее со второй осью OY
Левые системы координат
2\
У к
-*»А
+ Y
Рис. 33.
направление движения «правого винта» совпадает с направлением третьей
оси OZ (рис. 32), и левой, если при таком повороте направление движения
«правого винта» противоположно направлению оси OZ (рис. 33).
Везде в дальнейшем, если специально не оговорено противное, мы будем
использовать правые системы координат.
Расстояние между двумя точками М\(х\, уи z{) и М2{х2, у2, 22) высчи-
тывается по формуле
р {Ми М2) = V(*2 - ххУ+{у2 - уху + (г2 - «О2. (1)
Координаты х, у, z точки М, делящей отрезок, ограниченный точками
Mi(xu y\, Z\) и М2(х2, у2, z2), в отношении К, определяются по формулам
хх + Хх2
.. _ У\ + Ag2 . у _ *1 + AZ2
у~ 1 + Я ' Z~ 1 + Я
(2)
1 + Я
В частности, при X = 1 имеем координаты середины отрезка М\М2:
х = (хх + х2)/2; у=(ух + </2)/2; z = (гх + z2)/2. (2')
Преобразование координат при параллельном переносе координатных осей
(без изменения их направлений) определяется формулами
х = х' + а\ у = у' + b, z = г' + с, (3)
где х, у, z — координаты произвольной точки М пространства в старой
системе координат OXYZ, х', у', z' — координаты той же точки М в новой
системе координат O'X'Y'Z', а, Ъ, с — координаты нового начала О' в системе
координат OXYZ.
Преобразование координат при повороте координатных осей (без
изменения начала и направлений осей) определяется формулами
х = х/ cos а! + у' cos Pi + z' cos Yi,
у == x' cos a2 + yf cos p2 + z' cos Y2, (4)
г = xf cos <x5 + у' cos fa + г' cos Ya,
30

где х, у, z— координаты произвольной точки М в старой системе координат
OXYZ\ х', у', г' — координаты той же точки М в новой системе координат
OX'Y'Z'\ a», Pi, Yi — величины углов, которые образуют новые оси с осью ОХ\
<*2, Рг> Y2 — величины углов, которые образуют новые оси с осью OY\ а3, Зз,
Уз — величины углов, которые образуют новые оси с осью OZ
Общее преобразование координат (параллельный перенос осей и их
поворот) задается формулами
х = а + х' cos di + у' cos Pi + z' cos Vi,
у = b + x' cos <z2 + y' cos (J* + z' cos Y2, (5)
z = с + x' cos a3 + */' cos p3 + z' cos уз-
Пример 1. Лежат ли на одной прямой точки Л(1,—5,3),
В(5,—1,7) и С(6,0,8)?
Решение 1. Вычислим расстояния между точками Л, В
и С по формуле (1):
Р(Д В) = V(1 - 5)2 + (- 5 + 1 ? + (3 - 7)2 = 4 У 3~,
р(Л, С) = У(1 - б)2 + (- 5 - О)2 + (3 - 8)2 = 5 У3~,
р (В, С) = У(5-6)2 + (-1-0)2 + (7-8)2 = уз".
Так как р(Л, С) = р(Л, В) + р(В, С), то точки Л, В и С лежат
на одной прямой.
Решение 2. Если точки Л, В и С лежат на одной прямой,
то все найденные по формулам (2) три значения А,, в котором
точка В делит отрезок АС, должны быть равными. Проверим:
с _ 1 + 6Я , 1 _ -5 + о-Я . 7 _ 3 + 8Я
5=-ттг,Л-4, -1 -—р^—, А,-4, 7--ГТ1Г, Я-4.
Пример 2. Вершины тетраэдра совпали с точками Л (—7,3, —2),
В(0,2, 1), С(4,—1,0) и D(—1,0—3). В результате некоторого
поступательного движения центр тяжести тетраэдра оказался
в точке М(6,—2,1). Каковы будут координаты вершин тетраэдра
после этого перемещения?
Решение. Найдем предварительно старые координаты
центра тяжести тетраэдра, рассматривая тетраэдр как систему
четырех точек, в которых сосредоточены единичные массы: х =
= (-7 + 0 + 4-1)/4 = -1, у =(3 + 2-1 +0)/4 = 1, г =
= (_2+1+0 —3)/4 = —1. (См. пример 6 § 2.) Указанное
в условии задачи перемещение тетраэдра можно заменить
параллельным переносом системы координат, при котором точка М
(центр тяжести тетраэдра), имевшая координаты (—1,1,—1),
получила новые координаты (6,—2,1). Зная старые и новые
координаты точки М, по формулам (3) найдем координаты а, 6,
с начала новой системы координат: —1=6 +а, а=—7; 1 =
— — 2 + 6, Ь = 3; — 1 = 1 + с, с = — 2.
31

Теперь по этим же формулам вычислим новые координаты
вершин тетраэдра:
для точки A: -7 = x'-7, х' = 0; 3 = //' + 3, у' = 0; -2 =
= 2'-2, z' = 0; Л (0, 0, 0);
для точки В:0 = х' — 7, х' = 7; 2=г/' + 3, у' = —\; 1 =
= z'-2, z' = 3; В (7, -1, 3);
для точки С: 4 = х' - 7, а' = 11; - 1 = #' + 3, #' = - 4; 0 =
= z'-2, z' = 2; C(ll, -4, 2);
для точки D: — \ = х' —7, х' ==6; 0 = г/' + 3, (/ = — 3; — 3 =
= z'-2, z' = -l; D(6, -3, -1).
2. Косоугольная, цилиндрическая и сферическая системы координат
Косоугольная система координат OXYZ в пространстве отличается от
прямоугольной декартовой системы только тем, что ее координатные оси не
обязательно перпендикулярны друг другу (рис. 34): масштабы координатных осей
/2
^M(x,y,z)
Рис. 34.
Рис. 35.
OXt OY и OZ одинаковы и совпадают с масштабом измерения длин отрезков
в пространстве; правило установления.взаимно-однозначного соответствия
между точками пространства и тройками вещественных чисел — проведение
плоскостей, параллельных координатным плоскостям.
В некоторых приложениях, например в кристаллографии, удобно
использовать косоугольные системы координат, в которых масштабы координатных
осей различны.
Координаты тонки М\ху у, z), делящей отрезок между точками М\(х\,у\,
Z\) и Мг(*2, У2, z2) в отношении X, определяются по формулам
1 +Я
«/ =
1 + Я
1 + Я
(6)
Цилиндрическая система координат в пространстве представляет собой:
плоскость а, в которой выбрана полярная система координат ОР, и
числовую ось OZ, перпендикулярную плоскости а (рис. 35); система координат
ОР и числовая ось OZ имеют общее начало и одинаковые масштабы,
совпадающие с масштабом измерения расстояний в пространстве;
32

правило установления соответствия между точками пространства и
тройками вещественных чисел заключается в следующем: каждой точке М ставится
в соответствие тройка вещественных чисел (р, 9, z) где р и 9 — полярные
координаты точки Ма проекции точки М на плоскость а, а 2 — координата точки
Мг — проекции точки М на ось OZ.
Числа р, 9 и z называются цилиндрическими координатами точки М, что
записывается так: М(р, 0, z).
Цилиндрическая система координат не устанавливает
взаимно-однозначного соответствия между множеством всех точек пространства и множеством
всех троек вещественных чисел. Однако если считать, что —я < 9 ^ я,
Рис. 36.
Рис. 37.
—с» < z < +оо, то это соответствие будет взаимно-однозначным (за
исключением точек оси OZ, для которых р = 0, 9 — любое число).
Если в пространстве заданы одинаково ориентированные цилиндрическая
и прямоугольная декартова системы координат, имеющие общее начало,
одинаковые масштабы, совпадающие оси 01 и оси ОХ и ОР (рис. 36), то
зависимость между цилиндрическими и прямоугольными декартовыми координатами
одной и той же точки М пространства записывается формулами
/ х = р cos 0,
\ у = р sin 9, (7)
и обратно:
> z = z,
р = л/х^+Т2,
sin 9 = у/V^+72,
cos 0 « х/л/х2 + У\
(8)
г = г.
Сферическая система координат состоит из двух взаимно
перпендикулярных лучей ОХ и 01 с общим началом О при следующем правиле
установления соответствия между точками пространства и тройками вещественных чи
сел: каждой точке М пространства ставится в соответствие упорядоченная
тройка вещественных чисел р, 9, <р, где р =» р(0, М) —расстояние от точки М
до начала О; 9 = (OX, ON) — величина ориентированного угла между
лучами ОХ и ON (точка N— проекция точки М на плоскость, проходящую
через луч ОХ перпендикулярно лучу OZ)\ ер = (ОД OZ) — величина
неориентированного угла между лучами ОМ и OZ (рис. 37).
2 Зак. 273
33

Числа р, 6, ф называются сферическими координатами точки М
пространства, что записывается так: Af (р, 6, ф). „¥¥ТТЛТ,Л„Л
Сферическая система координат не устанавливает взаимно-однозначного
соответствия между множеством всех точек пространства и множеством троек
вещественных чисел. Однако если считать, что -я<0<я, 5w <р^я, Т0 ЭТ0
соответствие будет однозначным (за исключением точек оси OZ, для которых
величина 9 произвольна, а для точки начала О произвольна и величина ср).
Если наряду со сферической системой координат в пространстве задана
и прямоугольная декартова система с осями, выбранными так, как указано
на рис. 37, то прямоугольные декартовы координаты (х у, г) точки М
пространства связаны с ее сферическими координтами (р, 9, <р) следующим
образом: Л .
* х = р cos 9 sin ф,
у = р sin 9 sin ф, (9)
. z = р cos ф,
и обратно:
р = V*2 + у2 + z\
{!
sin 9 = у/л/х2 + у\
cos 9 = */V*2 + «Л
(Ю)
. cos ф = z/л/х2 + у2 + z2.
Пример 3. Каковы будут геометрические места точек,
соответствующих постоянному значению одной из координат в косо-
(0,0,Z')/ n(x,y,z')y
/ /
Рис. 39.
угольной системе координат и постоянному значению
координаты р в цилиндрической и сферической системах?
Решение Пусть в пространстве задана косоугольная
система координат OXYZ (рис. 38). Рассмотрим все точки
M(xyyyz') пространства, у которых, например, третья
координата г' есть величина постоянная. Все такие точки будут
одинаково удалены от координатной плоскости OXY на расстояние а,
равное значению г', умноженному на синус угла между осью
34

01 и плоскостью OXY. А такое геометрическое место точек —
плоскость, параллельная плоскости OXY и проходящая через
точку с координатами (0, 0, г')
Пусть в пространстве задана цилиндрическая система
координат (рис. 39). Все точки М(р\ 9, г) пространства с постоянной
первой координатой будут одинаково удалены от оси 01 на
расстояние, равное р'. Такое геометрическое место точек
пространства представляет собой
цилиндрическую поверхность (точнее, прямой
круговой цилиндр).
Если в пространстве задана
сферическая система координат (рис. 40), то
все точки М(р', 8, ф) пространства с
постоянной первой координатой будут
одинаково удалены от точки О
начала системы координат на расстояние,
равное р'. Такое геометрическое место
точек пространства — сферическая
поверхность, или просто сфера, радиусом
р' с центром в точке О.
Пример 4. Зная прямоугольные декартовы координаты точки
Л(0,—1,1), найти ее цилиндрические и сферические
координаты.
Решение. Воспользовавшись соотношениями (8), найдем
цилиндрические координаты точки А:
М([\Ц)
Рис. 40.
р = л/о2 + (-1)2=1,
sine = —l/i = — 1,
cos 9 = 0/1=0:
г=\.
Тогда 9 = —я/2 и Л(1,—я/2,1). Воспользовавшись
соотношениями (10), найдем ее сферические координаты:
p = yo2 + (-i)2+i2 = y2, sine = — i/Vo2 + (—1)2 = — и
cos9 = 0/y02+(- 1)2 = 0, cos<p=l/V2".
Тогда 9 = —я/2, ф = я/4, А (д/2~, — я/2, я/4).
1. Для точки М(4, —5, —2) указать: 1) координаты точек,
представляющих собой проекции точки М на координатные
плоскости; 2) координаты точек, представляющих собой проекции
точки М на координатные оси.
2. Имеется точка М(2,3,5). Указать точки, симметричные
точке М, относительно: I) каждой из координатных плоскостей;
2) каждой из координатных осей; 3} начала координат.
2*
35

3. В каких октантах могут быть расположены точки,
координаты которых удовлетворяют одному из следующих
условий: 1) х — у = 0; 2) х + z = 0; 8) ху = 0; 4) yz > 0;
5) xyz<0?
4. Определить расстояние точки Л (12,—3,4) от начала и от
осей системы координат.
5. На оси OZ найти точку, удаленную от точки М(8,12,3) на
28 единиц.
6. На координатной плоскости OYZ найти точку, одинаково
удаленную от трех данных точек: А (3,1,2), В (4,—2,-2),
С(0,5,1).
7. Найти центр С и радиус R шаровой поверхности, которая
проходит через точку М(4,—1,—1) и касается всех трех
координатных плоскостей.
8. Дан треугольник с вершинами Л(2,—1,4), £(3,2, — 6),
С(—5,0,2). Вычислить длину его медианы, проведенной из
вершины Л.
9. Центр тяжести однородного стержня находится в точке
С(1,—1,5), один из его концов есть точка А(— 2,—1,7).
Определить координаты другого конца стержня.
10. В вершинах тетраэдра Ax(xuyuZi)y А2{хьУ2,*2),
Аг(х$у уг> z3), A*(x4> #4, Za) сосредоточены массы /щ, т2, т3, т4.
Найти координаты центра тяжести системы этих масс.
11. Даны три точки А (а, 0, 0), В (0, а, 0) и С (0, 0, —а).
Написать формулы преобразования координат для случая, когда
новое начало помещается в центре тяжести треугольника ABC, a
направления осей остаются неизменными.
12. Три ребра куба совпали с положительными
направлениями осей координат; затем куб повернули на угол величиной
2я/3 вокруг диагонали, проходящей через начало координат, и
ребра, совпавшие с осями, приняли за соответствующие новые
оси координат. Составить формулы перехода от старой системы
координат к новой.
13. Оси ОХ', О У7 и OZ' новой системы координат являются
биссектрисами углов YOZ, ZOX, XOY старой системы. Выразить
координаты х, у, z точки М через новые ее координаты х\ у\ г*.
14. Найти координаты вершин параллелепипеда с ребрами
а, Ь и с, приняв эти ребра за оси координат.
15. Правильный тетраэдр имеет ребра длиной а. Приняв за
координатные оси три ребра, сходящиеся в одной точке, найти
координаты центра тяжести этого тетраэдра.
16. Найти цилиндрические координаты точек по их
декартовым координатам Л(3,4,5), В(—6,0,8).
17. Найти сферические координаты точек А(—2,—2,—1) и
В (0,-4,3).
18. Найти декартовы координаты точки, лежащей на шаре
радиусом 1, зная ее широту 9=45° и долготу ф = 330°,
36

§ 5. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
И КРИВОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Уравнение поверхности
Уравнением поверхности в пространстве (в назначенной системе
координат) называется такое уравнение с тремя переменными, которому
удовлетворяют координаты каждой точки этой поверхности и только они.
Сама поверхность представляет собой геометрическое место точек
пространства, координаты которых удовлетворяют ее уравнению.
Поверхность может быть задана:
1) уравнением F(x, у, z) = 0; (1)
2) уравнением z = f(x, у) (у = qp(jc, г), х = ф(*/, 2)); (2)
3) уравнениями
rx = f(u,v),
I у = ф (и, v), (3)
v z = \|? (и, v), и е (a, b), v e (с, d),
которые называются параметрическими уравнениями поверхности (здесь везде
х, У, z — декартовы, цилиндрические, сферические или еще какие-нибудь
координаты).
Уравнения с двумя переменными вида
F(x, у) = 0 (F(y, z) » 0, F(x, z) - 0) (4)
определяют в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими,
параллельными оси OZ (оси ОХ, оси ОУ)у и направляющей, лежащей в плоско-
F(xty)*Q
Рис. 41.
сти OXY (OYZ, OXZ) и заданной в ней уравнением F(x, у) = 0 (F(yy z) = 0,
F(x, *)-0) (рис.41).
Для составления уравнения поверхности, заданной как геометрическое
место ТОчек пространства, надо:
1) в пространстве задать систему координат, если она заранее не
указана;
2) взять произвольную точку поверхности и как-либо обозначить ее коор-
, динаты в этой системе координат;
3) записать в виде равенства свойство, характеризующее точки данного
геометрического места;
4) выразить через введенные координаты все величины, входящие в это
равенство.
Пример 1. Вывести уравнение сферы с центром в точке С и
радиусом гк
87

Решение 1. Введем в пространстве прямоугольную декар-
тову систему координат OXYZ, и пусть в этой системе
координат точка С имеет координаты а, Ь, с. Согласно определению
сферы произвольная точка М(х, у, z) принадлежит сфере тогда
и только тогда, когда р(С, Л1)= г, или согласно формуле (1) § 4
VU-a)2 + (y-&)2+(z--c)2 = г,
и окончательно (х — а)2 + (у — b)2 + (z — с)2 = г2.
Последнее уравнение есть наиболее просто написанное
уравнение сферы радиусом г с центром в точке С(а,Ь,с) в
прямоугольных декартовых координатах.
Решение 2. Введем в пространстве прямоугольную декар-
тову систему координат CXYZ, начало которой находится в
точке С. Если M(xyy,z)—произвольная точка сферы, то
У(* - О)2 + (у - О)2 + (2 - О)2 = г, или x2 + y2 + z2 = r2.
Это уравнение сферы радиусом г с центром в начале
прямоугольной декартовой системы координат.
Решение 3. Введем в пространстве сферическую систему
координат с началом в точке С. Тогда так как сфера —
геометрическое место точек, равноудаленных от центра, то р=л и
есть уравнение сферы радиусом г с центром в начале
сферической системы координат.
Пример 2. Определить координаты центра и радиус
сферической поверхности, заданной уравнением х2 + у2 + z2 + 2х —
— 102 + 22 = 0.
Решение. В левой части равенства выделим полные
квадраты:
(х2 + 2х + 1) + у2 + {z2 — 10z + 25) + 22 — 1 — 25 = 0,
(x+\)2 + y2 + (z-5)2 = 4.
Тогда (см. пример 1) центр этой сферы находится в точке
(—1,0,5) и ее радиус равен 2.
Пример 3. Какую поверхность определяет уравнение у2 —
— х2 = 0 в прямоугольной декартовой системе координат?
Решение. Разложим на множители левую часть уравнения:
(У~х)(у + х) = 0.
Тогда хорошо видно, что уравнение описывает геометрическое
место точек пространства, у которых либо равны абсцисса и
ордината, х = у, либо они различаются только знаками, х = —у%
при любой аппликате 2. А это есть все точки двух биссектраль-
ных плоскостей между координатными плоскостями OXZ и OYZ.
Пример 4. Какую поверхность определяет уравнение
х2 + г2 — 10* + 42 + 28 = 0?
Решение. Заданное уравнение — уравнение вида (4)
(F(x, 2)=0), следовательно, оно определяет цилиндрическую
за

KkZ
поверхность с образующими, параллельными оси OY. Ее
направляющая в плоскости OXZ задана уравнением х2 + г2—10х +
+ 42 + 28 = 0. Выделим в левой части этого уравнения полные
квадраты: (х2— \0х + 25) +(г2 + 4z + 4) + 28 — 25 — 4 = 0,
(х-5)2 + (г + 2)2 = \.
Направляющая цилиндрической поверхности есть окружность,
лежащая в плоскости OXZ, радиусом 1 с центром в точке (5,—2).
Таким образом, заданное
уравнение определяет прямой круговой
цилиндр.
Пример 5. Плоскость а
движется в пространстве равномерно
со скоростью а, оставаясь
перпендикулярной некоторой оси К.
В плоскости а равномерно
вращается вокруг точки пересечения
оси К с плоскостью а прямая I
с угловой скоростью со.
Поверхность, описываемая прямой I в
указанном сложном ее движенииг
называется геликоидом. Найти
уравнение этой поверхности.
Решение. Введем в про- Рис.42,
странстве прямоугольную декар-
тову систему координат OXYZ следующим образом: за ось OZ
примем ось К и направим ее в сторону перемещения плоскости
а. Тогда плоскость а будет параллельна координатной
плоскости OXY.
Предположим, что в начальный момент времени ^ = 0
плоскость совпадает с плоскостью OXY, а прямая / — с осью ОХ.
Пусть за некоторое время / прямая I из начального положения
переместилась в положение прямой RM, где М(х, уу z)—
произвольная точка геликоида (рис. 42). За это время прямая /
повернулась на угол, величина которого равна coif.
Пусть точка М удалена от оси OZ на расстояние, равное и,
и Р, Q, R — ее проекции на оси координат. Тогда
* = р(0, P) = p(0, W)cos(arf) = HCOs(atf)f
у = р (О, Q) = р (О, N) sin (со/) = и sin (со/),
z = p(0, R) = p(N, M) = at,
где и и t — любые вещественные числа, есть параметрические
уравнения геликоида.
2. Уравнение кривой
Кривую в пространстве можно рассматривать либо как пересечение двух
поверхностей, и тогда она задается системой двух уравнений
( Fl(xty,z)=Q,
X F2 (x, yt z) = 0,
(5)
39

либо как траекторию пути, пройденного точкой, движущейся по какому-то
закону, и тогда она задается системой трех уравнений
# = <р (О,
. 2 = ф(/), /<
(6)
•:<а,Ь),
где /(/), ф(0, Ф(0—функции параметра /. Уравнения (6) называются
параметрическими уравнениями кривой в пространстве. Здесь везде *, у,
z—декартовы, косоугольные, цилиндрические, сферические или какие-нибудь другие
координаты точки пространства.
Пример 6, Какая кривая определяется уравнениями
(x2 + y2 + z2=20,
\z —2 = 0?
Решение. Кривая представляет собой пересечения сферы,
заданной уравнением х2 + у2 + z2 = 20, и плоскости, заданной
уравнением ж — 2 = 0, параллельной координатной плоскости
L2 OXY и проходящей через точку
0i]^ (0,0,2). Подставляя 2 = 2 в
первое уравнение системы, получим
х2 + у2 = \€>. Итак, кривая
представляет собой окружность
радиусом 4 и с центром в точке
(0,0,2).
Пример 7. Какая кривая
определяется уравнениями
Г* = о,
Ь = о?
Рис. 43. Решение. Первое уравнение
системы определяет
геометрическое место точек, абсциссы которых равны нулю, т. е.
координатную плоскость OYZ\ аналогично второе уравнение системы
задает координатную плоскость OXZ. Тогда заданная система
уравнений определяет ось OZ.
Пример 8. Отрезок длиной а вращается вокруг некоторой
оси, оставаясь ей перпендикулярным, и одновременно одним
своим концом перемещается по этой- оси. Перемещение конца
отрезка по оси пропорционально- величине угла поворота.
Второй конец отрезка при этом движется по траектории,
называемой винтовой линией. Составить ее уравнение.
Решение. Введем прямоугольную декартову систему
координат OXYZ так, чтобы ось OZ совпала с осью, по которой
движется один из концов отрезка, и направление оси OZ совпало
с направлением перемещения отрезка, оси ОХ и OY выберем
так, как указано на рис. 43.
40

Пусть данный отрезок переместился из положения ОА в
положение 0\А\, и при этом перемещении величина угла поворота
пусть равна /. Тогда
х = a cos/,
у = а sin/,
z = bt,
где Ь — коэффициент пропорциональности (шаг винта).
Полученные уравнения являются параметрическими уравнениями
винтовой линии при — оо < / < -}- °°-
1. Какие поверхности задаются следующими уравнениями
в прямоугольной декартовой системе координат: 1) х=а\
2) у = 0] 3) xz = 0\ 4) хуг = 0; 5) yz + z2 = Q\ 6) x2=l?
2. Найти координаты центра и радиус сферы, заданной
уравнением х2-\-у2-\-z2 — 2л: + \у + 1 = 0. Как расположены
относительно этой сферы точки Л(2, —2, 0), В(0,2,1) и С(1,-2,2)?
3. Из точки Р(2, 6, —5) проведены всевозможные лучи до
пересечения с плоскостью OXZ. Составить уравнение
геометрического места их середин.
4. Написать уравнение сферической поверхности с центром
в точке (5,1,-3), проходящей через точку (2,-3,-3).
5. Вывести уравнение геометрического места точек, сумма
квадратов расстояний которых до двух точек F\ и F2 равна
постоянной величине 4а2, расстояние между точками F\ и F2 равно
2а.
6. Какие поверхности определяются уравнениями: 1) 9л:2 —
-у2 — 90х + 214 = 0; 2) y = 5z2\ 3) х2/16 — у2/49 = 0; 4) х2 —
— ху = 0?
7. Какие из точек Л(0, 1, 1), Я(0, 1,— 1) и С(0, 1,0) лежат
на кривой
x2 + (y-l)2 + (z+l)2=U
х = 0?
8. Какие кривые определяются уравнениями:
1) ( х=о, 2) ( *-5 = 0, 3) ( x2+tf + z2 = 49,
\г=0; t z + 2 = 0; ( r/ = 0?
9. Составить уравнение кривой пересечения плоскости OXY
и сферы с центром в точке (0, 1, 1) и радиусом, равным 2.
Глава II
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
В декартовой системе координат каждая прямая определяется линейным
уравнением (т. е. уравнением первой степени) и, обратно, каждое линейное
уравнение определяет прямую.
41

§ 1. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.
НЕПОЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ
Уравнение вида
Ах + Ву + С = 0 , (1)
где А я В одновременно не обращаются в нуль (т. е. А2 + В2Ф0),
называется общим уравнением прямой.
Прямая, заданная уравнением (1), делит плоскость на две полуплоскости
так, что для координат точек одной полуплоскости выполняется неравенство
Ах + By + С > О,
а для координат точек другой полуплоскости — неравенство
Ах + Ву + С <0.
Если в уравнении (1) один или два коэффициента обращаются в нуль,
то уравнение (1) называется неполным:
1) С = 0 — уравнение Ах + Ву = 0 определяет прямую, проходящую
через начало координат;
2) В = О, А ф О, С ф 0 — уравнение Ах + С = 0, или х = —С/А,
определяет прямую, параллельную оси OY и пересекающую ось ОХ в точке х = а,
где а = —С/Л;
3) В = О, Л =^ О, С = 0 — уравнение
А*: = 0, или х = 0, определяет прямую,
совпадающую с осью ОУ;
4) А = О, В =?£ О, СФО — уравнение
£# + С = 0, или у = —С/В, определяет
прямую, параллельную оси ОХ и пересекающую
ось ОУ в точке у = Ь, где Ь = —С/В\
5) А = О, В =£ О, С = 0 — уравнение
5г/ = 0, или г/ = 0, определяет прямую,
совпадающую с осью ОХ.
Если в уравнении (1) ни один из
коэффициентов не равен нулю, то его можно
переписать в виде
х/а + у/Ь=1 (2)
Рис. 44. где а = —С/А и Ь = —С/В есть
соответственно абсцисса и ордината точек пересечения
прямой с осями координат (рис. 44).
Числа \а\ и \Ь\ выражают длины отрезков, отсекаемых прямой на осях
координат, считая от точки О начала системы координат. Уравнение (2)
называют уравнением прямой в отрезках.
Пример 1. Определить положение отрезка АВ относительно
прямой Зх-\-2у — 6 = 0, если координаты его концов равны
соответственно (1,1) и (2,2).
Решение. Подставим координаты концов отрезка АВ в
левую часть уравнения данной прямой:
для точки Л (1, 1): 3-1 +2-1—6<0;
для точки 6(2,2): 3-2 + 2-2 — 6 > 0.
Точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно
прямой, следовательно, отрезок АВ пересекает данную прямую,
42

Пример 2. Построить прямую, заданную уравнением х— 2у—
— 4 = 0.
Решение 1. Прямая вполне определяется двумя ее точками.
Найдем точки А и В ее пересечения с осями координат. Если
точка А—точка пересечения прямой с осью ОХ, то ее ордината
равна 0; для нахождения ее абсциссы подставим в уравнение
прямой у == 0 и получим х = 4. Если точка В— точка
пересечения прямой с осью OY, то ее абсцисса paBHia 0; для нахождения
ее ординаты подставим в уравнение прямой х = 0 и получим
ц =—2. Построим найденные точки А (4,0) и £(0,—2) и
проведем через них прямую (рис. 45).
Решение 2. Прямая задана общим уравнением. Перепишем
это уравнение в уравнение в отрезках, для чего свободный член
—4 перенесем в левую часть
уравнения и обе его части разделим на У\
4: х/4 + у/-2=\.
Построим отрезки, которые
прямая отсекает на осях координат, для
чего отложим на оси ОХ четыре
единицы вправо от начала
координат и две единицы вниз по оси OY.
Получим точки А и Ву через которые
и проведем прямую (см. рис. 45).
Пример 3. Определить площадь
S и периметр Р треугольника,
заключенного между осями координат
и прямой Зх — \у — 12 = 0.
Решение. Общее уравнение прямой преобразуем в
уравнение прямой в отрезках: х/4-\-у/—3=1. Прямая отсекает на
осях координат отрезки длиной в 4 и 3 единицы соответственно,
следовательно, 5 = (1/2) -4-3 = 6 (кв. ед.). Для нахождения
периметра треугольника найдем длину с его гипотенузы.
Гипотенуза определена точками (4,0) и (0,—3). Тогда
с = У(4-0)2 + (0 + 3)2 =5 и Р = 4 + 3 +5=12.
1. Определить положение прямой Зх + 4у—12 = 0
относительно треугольника с вершинами К(—4, 1), L(2, 5), М(6, 3).
2. Площадь треугольника 5 = 1,5 кв. ед., две его вершины
суть точки Д (2,—3) и В(3,—2); центр тяжести этого
треугольника лежит на прямой 3* — у — 8 = 0. Определить координаты
третьей вершины С.
3. Составить уравнения прямых, проходящих через точку
(3, —2) параллельно осям координат.
4. Определить, при каком значении а прямая
(а + 2)х + (а2 — 9) у + За2 — 8а + 5 = 0
1) параллельна оси абсцисс; 2) параллельна оси ординат;
3) проходит через начало координат.
43

5. Определить, при каких значениях тип прямая
(2т — п + 5)х + (т + 3п — 2)у + 2т + 7п + 19 = О
параллельна оси ординат и пересекает ось абсцисс в точке (5, 0).
6. Написать уравнение гипотенузы треугольника с катетами
а и Ь, если эти катеты — отрезки на положительных
направлениях осей координат.
7. Дан ромб, диагонали которого равны 4 и 10. Найти
уравнения всех его сторон, зная, что оси координат направлены по
его диагоналям из точки их пересечения.
8. Через точку (3, 2) провести прямую, отсекающую равные
отрезки на осях координат.
9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
С(4,—2), если эта прямая отсекает от оси OY отрезок, вдвое
больший, чем на оси ОХ.
10. Через точку Л4(4,—3) провести прямую так, чтобы
площадь треугольника, образованного ею и осями координат, была
равна 3.
11. Через точку (2,—1) провести прямую, отрезок которой
между осями координат делился бы в этой точке пополам.
12. Йри каких значениях А прямая Ах-\-8у — 20 = 0
отсекает на координатных осях равные отрезки?
13. Даны прямая х/а + у/Ь = 1 и луч, вращающийся около
начала координат; точку их пересечения обозначим Р. На луче
откладывается от начала координат отрезок ОМ так, чтобы
отрезки ОМ и ОР находились в постоянном отношении X, т. §.
р(0, М)/р(Оу Я)™ X. Определить геометрическое место точек М.
§ 2. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ,
ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ
В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ,
ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ДАННЫЕ ТОЧКИ.
ПУЧОК ПРЯМЫХ
Уравнение вида
y=hx + b №
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Параметр ky называемый угловым коэффициентом прямой, определяет
направление прямой и равен тангенсу угла а наклона прямой к оси OX, k =
=* tg а (рис. 46); параметр b — ордината точки (0, Ь) пересечения прямой
с осью OY — определяет отрезок, отсекаемый прямой на оси OY.
За угол меоюду прямой L и числовой осью X принимается
ориентированный угол (X, L), образованный лучом, идущим из точки пересечения прямой
С осью в положительном направлении оси X, и прямой L, и имеющий главное
значение 6 ^ а < я, причем а = 0, если прямая и ось или не имеют общих
точек, или совпадают.
44

Для перехода от общего уравнения прямой Ах + By + С = О, В ф О, к ее
уравнению с угловым коэффициентом общее уравнение разрешается
относительно переменной у. Тогда k = —А/В и Ь = —С/В.
Если прямая проходит через две точки М\(х\, у\) и М2(х2, у2), то ее
углевой коэффициент определяется по формуле
Ь = (У2 — Ух)/(х2 — *i)- (2)
Уравнение вида
y — yo*=k(x — Xo) (3)
есть уравнение прямой, проходящей через данную точку Мо(*о, #о) в данном
направлении k, где k — угловой коэффициент прямой.
Уравнение вида
{х — xi)/(x2 — xi) = (у - У\)1(У2 — Ух) (*i Ф *2, У\ Ф Ы (4)
есть уравнение прямой, проходящей через две данные точки Afi(*i, #i) и
М2(х2, 1/2). Если jci = х2, то уравнение прямой записывается так: х = *i; если
#i = 1/2, то так: у =* у\.
Пучком прямых (собственным) называется
множество всех прямых плоскости,
проходящих через одну и ту же точку, называемую
центром пучка. Множество всех параллельных
между собой прямых называется пучком
параллельных прямых, или несобственным
пучком.
Уравнение
а(Алх + В{у + Сх) + Р(Л2* + В2у + С2) = О,
(5)
Рис. 46.
где а и Р — любые вещественные числа, не обращающиеся одновременно в
нуль, является уравнением произвольной прямой пучка прямых.
Любая прямая пучка определяется отношением а: Р или Р : а, а
координаты центра пучка — из решения системы уравнений
(Ахх + Вху + Сх—О,
\ А2х + В2у + С2 =■ 0.
(в)
Если а ф 0, то, деля обе части уравнения (5) на а и полагая Р/а
получим другое уравнение пучка:
А]Х + В1У + С{ + q(A2x + В2у + С9) « 0, (7)
которое определяет любую прямую пучка, кроме той, которая соответствует
а = 0, т. е. кроме прямой А2х + В2у + С2 = О-
Если Р ф 0, то, деля обе части уравнения (б) на р и полагая а/р = р,
получим еще одно уравнение пуч»ка:
р(Ахх + ВЛу + С,) + А2х + В2у + С2 = 0, (8)
которое определяет любую прямую пучка, кроме той, которая соответствует
О, т. е. кроме прямой Ахх + Ъху + pi *■ 0.
Три прямые Ахх + В{у -f Cx
принадлежат одному пучку, если
А,
А2
Аг
0, А2х + В2у + С2= 0, Аъх + Вгу + С3 = 0
Вх С,
В2 С/2
В* Сз
«0.
(9)
Пример 1. Написать уравнение прямой, параллельной
биссектрисе второго координатного угла и отсекающей на
отрицательной полуоси OY отрезок, равный 4.
45

Решение. Искомая прямая, как и биссектриса второго
координатного угла, образует с осью ОХ угол, равный Зя/4,
поэтому ее угловой коэффициент & = tg3rc/4 =—1. Кроме того,
известно, что Ъ = —4. Тогда можно записать уравнение искомой
прямой в виде (1): у = —х— 4.
Пример 2. Найти угол, образуемый осью ОХ и прямой 3* —
~Зу+\=0.
Решение. Заданное общее уравнение прямой перепишем
в уравнение с угловым коэффициентом, для чего разрешим его
относительно переменной у: у = х-{~
+ 1/3. Здесь угловой коэффициент k =
= 1, следовательно, tg а = 1 и а = я/4.
Пример 3. Луч света направлен по
прямой 2х — Ъу — 12 = 0; дойдя до оси
абсцисс, он от нее отразился.
Определить точку встречи луча с осью абсцисс
и уравнение отраженного луча.
Решение. Пусть точка А — точка
встречи луча с осью ОХ. Тогда ее
ордината равна 0, а абсцисса х опреде-
Рис 47. лится из заданного уравнения прямой:
2х — 3-0— 12 = 0, х = 6, Л(6,0).
Так как угол а падения луча равен углу отражения, то
(рис. 47) прямая, на которой лежит отраженный луч, составляет
с осью ОХ угол, равный я — а. И тогда ее угловой коэффициент
fei=tg(rc— а)=—tg а равен угловому коэффициенту k
заданной прямой, взятому с противоположным знаком. Найдем
угловой коэффициент заданной прямой: k = —А/В = —2/—3 = 2/3,
значит, k\ = —2/3, и запишем уравнение прямой, на которой
лежит отраженный луч, воспользовавшись уравнением (3):
#-0 = -7з(л:-6), у = — 7з*+4, или 2* +Зу - 12 = 0.
Пример 4. Составить уравнение прямой, проходящей через
начало координат и точку (—1, —8).
Решение. Заданная прямая проходит через две точки (0, 0)
и (—1, —8), и ее уравнение можно записать, воспользовавшись
формулой (4):
(х - 0)/(- 1 - 0) = (у - 0)/(- 8 - 0), или у = 8*.
Пример 5. Даны вершины треугольника /4(1,—2), £(5,4)
и С(—2,0). Составить уравнение биссектрисы его внутреннего
угла при вершине А.
Решение. Известно, что биссектриса внутреннего угла
треугольника делит противоположную сторону на части,
пропорциональные длинам прилежащих сторон. Тогда (рис. 48)
р(£, М)/р(Му С)= р(А, В)/р(Л, С) и точка М пересечения
биссектрисы AM со стороной ВС делит отрезок ВС в отношении
Х = р(А,В)/р(А,С).
46

Найдем расстояния между точками А и В и точками А и С:
р (А, В) = у(5 - If + (4 + 2)2 = У52,
р (Л, С) = У(-2-1)2 + (0 + 2)2 = УТЗ,
и высчитаем к: К = У52/У13 = 2,
Теперь найдем координаты л:, у точки М:
x=rJ> + M-2) _i/q. ,._ 4 + 2-0
1+2
_№,_i+L»_f м(|. 1),
и запишем.уравнение биссектрисы: J __ = J "\_ , или 5* +
+ у-3 = 0.
Пример 6. Через точку пересечения прямых 2х-\-Ьу— 8 = 0
и х — Зу + 4 = 0 провести прямые, одна из которых проходит
через начало координат, а другая
параллельна оси абсцисс.
Решение. Воспользовавшись
формулой (5), запишем уравнение
пучка, которому принадлежат
данные и искомые прямые:
а(2х + 5у-8) + Р(х-Зу + 4)=0.
Так как первая искомая прямая
проходит через начало координат, то
координаты точки 0(0,0) должны удовлетворять уравнению
пучка, т. е.
а(2-0 + 5-0 —8) + Р(0 —3-0 + 4) = 0, откуда — 8а + 40 = 0.
Выразим р через а: р = 2а, и подставим ее значение в
уравнение пучка: а(2х + 5у — 8) + 2а(х — Зу + 4) = 0. Сокращая на
а^Ои приводя подобные члены, получим уравнение первой
искомой прямой: \х— у = 0.
Для нахождения уравнения второй прямой уравнение пучка
перепишем в следующем виде: (2а + Р)х + (5а — Зр)у — 8а +
+ 4р = 0, т. е. в виде общего уравнения прямой. В уравнении
прямой, параллельной оси абсцисс, коэффициент при
переменной х равен нулю, следовательно, 2а + Р = 0, или р = —2а.
Подставляя значение р в последнее уравнение, после
сокращения на а ф 0 и приведения подобных членов получим уравнение
второй искомой прямой: \\у—16 = 0.
1. Написать уравнение прямой: 1) проходящей через точку
А (2, 5) и имеющей угловой коэффициент k = 3; 2) проходящей
через точку (0,0) и имеющей угловой коэффициент k = —2;
3) являющейся биссектрисой первого и третьего координатных
углов; 4) проходящей через начало координат и образующей
47

с осью ОХ угол 120°; 5) отсекающей от оси OY отрезок, равный
двум единицам, и имеющей угловой коэффициент k = —3.
2. Найти уравнения прямых, отсекающих на оси OY отрезок,
равный 7 единицам, и наклоненных к оси ОХ под углами:
1) 60°; 2) 135°; 3) 0°.
3. Какова должна быть зависимость между коэффициентами
Л и В, чтобы прямая Ах + By + С = 0 была наклонена к оси ОХ
под углом ф = 135°?
4. Определить значения параметра 6, при которых прямая
у = Ъх + b отсекает на оси ОХ отрезок длиной а = 4.
5. Написать уравнения сторон равнобочной трапеции, зная,
что основания ее равны 10 и 6, а боковые стороны образуют
с основанием угол 60°. За оси координат взяты большее
основание и ось симметрии трапеции.
6. Сила Р приложена к началу координат, составляющие ее
по осям соответственно равны 5 и —2. Найти уравнение
прямой, по которой направлена сила,
7. Точка, вышедшая из начала координат, должна
одновременно перемещаться по направлению оси абсцисс с
постоянной скоростью v\ и по направлению оси ординат с
постоянной скоростью V2. Найти истинную траекторию движущейся
точки.
8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
(4,—6) и параллельной биссектрисе первого координатного
угла.
9. Под каким углом к оси ОХ надо направить луч из точки
Л (5, 2), чтобы отраженный луч прошел через точку В (—1,4)?
10. Через точки Л(—1,2) и В (2,3) проведена прямая.
Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.
11. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ОХ
отрезок, равный 3, и проходящей через точку (—5, 3).
12. Какой угол образует с осью ОХ прямая, проходящая
через точку М(1,3) и точку пересечения медиан треугольника
с вершинами А(— 1, 4), 5(2, 3), С(5, 8)?
13. Доказать, что условие принадлежности трех точек
Mi(xi,yi), M2(*2, £/г) и Мз(*з> Уг) одной прямой можно записать
в виде
Х2 У2 1
*з Уз 1
= 0.
14. Даны две точки. Л(—3,8) и В (2,2). На оси абсцисс
найти такую точку М, чтобы ломаная АМВ имела наименьшую
длину.
15. Дано уравнение пучка прямых а(Зх-\-у—1) + р(2а: —
~-у — 9) = 0. Доказать, что прямая jc-(-3|/-f-13 = 0
принадлежит этому пучку.
48

16. Дано уравнение пучка прямых а(5хЦ- Зу + 6) + Р(3л: —
•— 4^/ — 37) = 0. Доказать, что прямая 7х + 2у—15 = 0 не
принадлежит этому пучку.
17. Дано уравнение пучка прямых а(21л: + 8у— 18)+Р(П*+
+ Зг/ + 12) = 0. Найти прямые этого пучка, отсекающие от
координатных углов треугольники с площадью, равной 9 кв. ед.
18. Через точку пересечения прямых х + у — 6 = 0 и 2х +
Ц-у—13 = 0 провести прямую, отсекающую на осях равные
отрезки.
19. Дано уравнение пучка прямых а(3х — \у — 3)+Р(2х +
+ 3у—1) = 0. Написать уравнение прямой этого пучка,
проходящей через центр тяжести однородной треугольной пластинки,
вершины которой суть точки Д(—1,2), В (4,—4) и С(6,—1).
20. Через точку пересечения прямых 2х — Ъу—1=0, х +
-\- 4у — 7 = 0 провести прямую, делящую отрезок между
точками А(4,-3) ий(-1,2) в отношении X = 2/3.
21. Найти прямую, которая принадлежит одновременно двум
пучкам:
(x + y-l)+q(x-l) = 0 и (2x-3y) + q'(y+l) = 0.
22. Даны стороны четырехугольника: х — \у + 3 = 0 (АВ),
2х + у—12 = 0 (ВС), х —1/ + 6 = 0 {CD), x + 2y — 3 = 0
(AD). Написать уравнения его диагоналей.
§ 3. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ.
УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ,
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ
И СОВПАДЕНИЯ ДВУХ ПРЯМЫХ
За угол между двумя прямыми Lx и L2 принимается тот ориентированный
угол (Li, L2), главное значение а0 которого заключено в промежутке 0 ^
< а0 < я, причем а = 0, если прямые не имеют общих точек или совпадают.
Если прямые Lx и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом у =
= k{x + Ь.\ и у = k2x + b2y то величина ф угла (Lb L2) между ними высчиты-
вается по формуле
tgq> = (fc2-*i)/(l+*i*2). (I)
Условие параллельности этих прямых имеет вид
Ь\ = К (2)
условие их перпендикулярности
kx = —1/£2 (3)
и условие совпадения
k\ = k2, b,x = b2. (4)
Если прямые L\ и L2 заданы общими уравнениями
Ахх + Вху + С, =- 0, Л2х + В2у + С2 =- 0,
то величина ф угла (Lu L2) между ними высчитывается по формуле
tg ф = (АХВ2 - А2ВХ)1(АХА2 + ВХВ2), (5)
условие их параллельности
Ai/A2 = Я1/Б2, или АХВ2 — А2ВХ=* 0, (6)
49

условие их перпендикулярности
Ах1Вг = —BxIA2t или 4,Л2 + ВЛВ2 = 0.
(7)
Если А\1А2 Ф В[/В2, то прямые имеют одну общую точку; если А\/А2 =
= BJB2 Ф Ci/C2, то прямые не имеют общих точек; если AJA2 = Bi/£2 =
= CJC2, то прямые совпадают.
Для нахождения точки пересечения двух прямых решается система
уравнений
(. k = k2x + b2,
(9)
если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, и система
(Ахх + Вху + Сх=Ь
\А2х + В2у + С2 = 0,
если прямые заданы общими уравнениями.
Пример 1. Вычислить величину угла между прямыми:
1) у = 3х и у = — 2х + 5; 2) у = 4х — 7 и у = — х/4 + 2;
3) y = 5x — 3 и у = 5х + 8.
Решение. Будем считать, что прямые упорядочены
порядком их записи.
Тогда: 1) k\ = 3, ft2 = —2 и tg(p = (fe> — А,)/(1 + Мг) =
= (—2 —3)/(1 — 6)= 1, откуда ф = л/4; 2) А, = 4, £2 = -1/4
и tgqp = (ft2—*i)/(l+Ai*2) = (— 1/4 — 4)/(1 — 1) не существует,
следовательно,ф = я/2;3) k\ = 5, ^2 = 5,1&Ф = (k2 — k\)/(\ -\-kxk2) =
= (5 — 5)/(1 + 25) = 0, следовательно, ф = 0.
Пример 2. Определить величину угла между гипотенузой
у = — д/3 х+1 и катетом y = V3 * — 5 прямоугольного
треугольника. __
Решение. Здесь k\=—уз, a k2= УЗ, тогда по
формуле (1) _ _
_ &2 — fei _ Уз + Уз = _ /о~ = 2я я
g(P~~ 1 + М2 1—УЗ -Уз" И Ф 3 2"
Так как угол между гипотенузой и катетом треугольника
острый, то найдена величина внешнего угла треугольника,
смежного с искомым (рис. 49). Тогда
величина искомого угла равна я — ф =
= я/3.
Пример 3. Составить уравнения
катетов равнобедренного прямоугольного
треугольника, зная уравнение
гипотенузы Зх — (/ + 5 = 0 и вершину
прямого угла С(4, —1).
Решение. Так как треугольник
прямоугольный и равнобедренный, то
величина его острых углов равна 45°.
Обозначим k\ = 3 угловой
коэффициент прямой, на которой лежит гипотенуза, a k2 — угловой
коэффициент той прямой, на которой лежит один из катетов тре*
50
Рис. 49.

угольника и которая образует с прямой, определяющей
гипотенузу, угол величиной 45°. Тогда тангенс угла между этими
прямыми равен 1, и из формулы (1) найдем k2:
Зная угловой коэффициент прямой и точку, через которую
она проходит, запишем ее уравнение: у+\ = 1/2(х — 4), или
х + 2у — 6 = 0.
Так как прямые, на которых лежат катеты, перпендикулярны,
то угловой коэффициент й3 прямой, на которой лежит другой
катет, определим из соотношения (3): й3 = —1/^2, kz = —2.
Зная ее угловой коэффициент и точку,
через которую она проходит, запишем
уравнение этой прямой: у + 1 =—2(х—
— 4), или 2х-\-у — 7 = 0.
Итак, уравнения катетов: х — 2у —
— 6 = 0 и 2х + у—7 = 0.
Пример 4. Основанием равнобедрен- Рис. 50
ного треугольника служит прямая х —
— 2у = 0, а одной из боковых сторон — прямая х + у — 3 = 0.
Составить уравнение другой боковой стороны, зная, что она
проходит через точку (1,—1).
Решение. Обозначим k\ = 1/2 угловой коэффициент
прямой, на которой лежит основание треугольника, ki = —1
—угловой коэффициент прямой, на которой лежит данная боковая
сторона. Тангенс угла а от основания до данной боковой стороны
определим по формуле (1):
tga = (*2 - *i)/(l + M2) = (- 1 - 1/2)/(1 - 1/2) = -3.
Так как величина угла от основания до другой боковой стороны
равна я—а (рис. 50), то тангенс угла между ними tg(rc — а) =
= — tga = 3.
Если й3 — угловой коэффициент прямой, на которой лежит
искомая боковая сторона, то тангенс угла от основания до
искомой боковой стороны выразится соотношением
3 = (*3 - Ai)/d + Mi) = (*з - 1/2)/(1 + *з/2), откуда кг = -1.
По направлению прямой (ft3 = —7) и точке М(1,—1), ей
принадлежащей, запишем уравнение искомой боковой стороны:
у + 1 = —7 (х — 1), или 7х + У — 6 = 0.
Пример 5. Установить, какие из перечисленных ниже пар
прямых параллельны, совпадают или пересекаются (в последнем
случае найти точку их пересечения): 1) х + у — 3 = 0 и 2х +
+ 3у — 8 = 0; 2) у = х + 5 и 2х — 2t/ + 3 = 0; 3) у=х/2 + 2
их/(-4)+*//2=1.
51

Решение. 1) Прямые заданы своими общими уравнениями,
поэтому удобно сравнить отношения их коэффициентов: А\/А2 =
= ЧьВх/В2=Чъ.
Так как А\/А2 ф В\/В2, то прямые пересекаются. Для
нахождения точки их пересечения решим систему уравнений
* + У — 3 = 0, 2х + Зу — 8 = 0, получим х = 5, у = —2.
2) Преобразуем уравнение второй прямой в уравнение
прямой с уголовым коэффициентом: у =х-\-3/2. У данных прямых
равны угловые коэффициенты fti = ft2=l, а свободные члены
не равны: Ь\ = 5, Ъ2 = 3/2, следовательно, прямые параллельны.
3) Преобразуем второе уравнение в уравнение прямой с
угловым коэффициентом: у = х/2 + 2. У данных прямых равны
угловые коэффициенты ft1 = ft2=l/2 и свободные члены Ь\ =
= 62 = 2, следовательно, прямые совпадают.
Можно было бы перейти к общим уравнениям данных
прямых: х — 2у + 4 = 0 и 2х — 4у + 8 = 0, и убедиться в
пропорциональности их коэффициентов: 1/2 = —2/(—4) =4/8.
Пример 6. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку (—8, 1) параллельно прямой 2х — у + 7 = 0.
Решение 1. Запишем общее уравнение искомой прямой:
Ах -f- By + С = 0. Так как искомая прямая параллельна данной,
то их коэффициенты при переменных х и у пропорциональны,
в частности равны. Тогда уравнение искомой прямой можно
переписать в виде 2х — у + С = 0.
Для нахождения коэффициента С в уравнение прямой
подставим координаты точки (—8,1), через которую проходит эта
прямая: 2- (—8)— 1 • 1 + С = 0, С =17. Тогда 2х — у+\7 = 0
есть уравнение искомой прямой.
. Решение 2. Преобразуем уравнение данной прямой в
уравнение с угловым коэффициентом у=*2х-\-7. Так как искомая
прямая параллельна данной, то ее угловой коэффициент k равен
угловому коэффициенту данной прямой, следовательно, fe=2.
Искомая прямая проходит через точку (—8, 1), значит, ее
уравнение: у— 1 = 2(х + 8), или 2х — у+ 17 = 0.
Решение 3. Запишем уравнения всех прямых, проходящих
через точку (хо, уо): А(х — хо) + В(у — у0)==0. Так как
искомая прямая параллельна прямой 9.x — у + 7 = 0, то можно
считать, что А = 2, В = —1, а так как она проходит через точку
(—8,1), то Хо = — 8, уо—1. Тогда 2(х+ 8)—1 • (у—1)= 0,
или 2х — у + 17 = 0, и есть искомое уравнение.
Пример 7. Составить уравнение прямой, параллельной и
равноудаленной от двух параллельных прямых х-\- у — 1 =0hjc +
+ у + 13 = 0.
Решение. Преобразуем данные уравнения в уравнения
прямой с угловым коэффициентом: у = —х + 1 и у = —х— 13.
Первая прямая пересекает ось ординат в точке (0, 1), вторая —
в точке (0,—13); тогда искомая прямая должна пересечь ось
ординат в точке, делящей отрезок между точками (0, 1) и
52

(О,—13) пополам, т. е. в точке (0,--6). Так как искомая
прямая параллельна данным прямым и пересекает ось ординат
в точке (0, —6), то k = —1 и b = —6, и ее уравнение имеет вид
У = — х — 6.
Пример 8. Через точку пересечения прямых Зх— 5у + 2 = 0,
5х— 2у + 4 = 0 провести прямую, параллельную прямой 2х —
-0 + 4 = 0.
Решение. Запишем уравнение пучка прямых (см. формулу
(9)), который образуют данные прямые: Зх — Ъу + 2 + q(5x —
— 2f/ + 4) = 0, или
(3 + bq)x + (-5 - 2q)y + 2 + \q = 0.
Искомая прямая параллельна данной, следовательно, должно
выполняться соотношение (6): (3 + 5^)/2 = (—5 — 2q)/—1,
откуда q = 7. Подставляя q = 7 в уравнение пучка, получим
уравнение искомой прямой: 38х— 19у + 30 = 0.
Пример 9. Установить, какие из перечисленных пар прямых
взаимно перпендикулярны: 1) х — у = 0 и х + У = 0; 2) х —
— 2у + 3 = 0 и у = 2х + 5; 3) х + 3 = 0 и у — 2 = 0; 4) х/3 +
+ у/3= 1 иу = Зх/2—1.
Решение. 1) Прямые заданы общими уравнениями.
Проверим для них выполнимость условия перпендикулярности (7):
А\/В2 = —В\/А2у 1/1=—1/—1. Прямые перпендикулярны.
2) Первое уравнение преобразуем в уравнение прямой с
угловым коэффициентом: у = х/2 + 3/2, и проверим выполнимость
условия (3) перпендикулярности двух прямых, заданных
уравнениями с угловым коэффициентом: 1/2^—1/2. Прямые не
перпендикулярны.
3) Прямые перпендикулярны, так как одна из них
параллельна оси ординат, другая — оси абсцисс.
4) Первое уравнение преобразуем в уравнение прямой с
угловым коэффициентом: у = —2х/3 + 2. Так как k\k2 = —1
(—2/3-3/2 = —1), то данные прямые перпендикулярны.
Пример 10. Найти уравнение перпендикуляра, восставленного
в точке пересечения прямых 4х + 3t/ — 5 = 0 и 8х — Ъу + 23 = 0
к первой прямой.
Решение 1. Решая систему уравнений Ах-\-Зу — 5 = 0,
8л: — Ъу + 23 = 0, найдем точку А пересечения прямых: А(—1,3).
Определим угловой коэффициент k\ первой данной прямой:
k\ = —4/3. Так как искомая прямая перпендикулярна первой
данной прямой, то ее угловой коэффициент k = —l/^i = 3/4.
Зная угловой коэффициент и точку, принадлежащую прямой,
запишем ее уравнение: у — 3 = 3/4(х+ 1), или Зх — \у + 15=0.
Решение 2. Запишем уравнение пучка прямых,
определенного заданными прямыми: 4х + Зу — 5 + Q (&х — 5f/ + 23) = 0.
Выразим через q угловой коэффициент искомой прямой:
(4 + 8<7)*.+ (3-5<7)1/-5 + 23<7 = 0, k = (4 + 8?)/(5?-3),
63

и воспользуемся условием (3) перпендикулярности искомой
и первой из данных прямых, зная, что угловой коэффициент
первой данной прямой kx = — 4/3: (4 -\-'8q)/(5q — 3) = 3/4, откуда
q = —25/17. Подставляя значение q в уравнение пучка, найдем
уравнение искомой прямой: Зх— 4у -\- \5 = 0.
Пример 11. Найти точку, симметричную точке М(—2,9)
относительно прямой 2х — Зу + 18 = 0.
Решение. Если N — точка, симметричная точке М
относительно прямой 2х — 3t/+18 = 0, то точки М и /V лежат на
м прямой MN, перпендикулярной пря-
^х мой 2х — 3t/ + 18 = 0, и одинаково
\ удалены от этой прямой, т. е.
р(Л4, М,)=р(М/, N) (рис. 51), где
М' — проекция точки М на данную
прямую.
Найдем уравнение прямой MN.
Так как угловой коэффициент к\
данной прямой равен 2/3, k\ =2/3,
Ън то угловой коэффициент прямой MN
k = —\/k\ = —3/2, и тогда уравне-
Рис. 51. ние прямой MN у — 9 =—3/з(^ +-
+ 2), или Зл: + 2у — 12 = 0, так как
прямая MN проходит через точку М(—2,9).
Найдем координаты точки М' как пересечение данной прямой
и прямой MN:
(2х — 3у+ 18 = 0,
13*+ 2*/-12 = 0, Af (0,6).
Точка М^О, 6) делит пополам отрезок MN. Из соотношений
0 = (—2 + х) /2 и 6 = (9 + у)/2 найдем координаты х и у
искомой точки N: х = 2} у = 3 к N(2,3).
1. Из точек Л (1,2) иВ(3, 1) проведены прямые через начало
координат. Определить величину угла между этими прямыми.
2. Составить уравнение прямой, которая проходит через
начало координат и образует угол 45° с прямой у = 2х-\-5.
3. Стороны треугольника ABC лежат на прямых Зх — у = 0
(АВ)У х + 4у — 2 = 0 (ВС), 2х + 7у = 0 (АС). Найти величину
угла между высотой, проведенной из вершины В, и стороной АВ.
4. Даны уравнения боковых сторон равнобедренного
треугольника 7х — у + 4 = 0, х-\-у — 2 = 0 и точка (3,5) на его
основании. Составить уравнение основания.
5. Из точки М(1,—2) под углом а к прямой х + у— 1 =0
направлен луч света. Известно, что tg а = 3. Определить
уравнения прямых, на которых лежат падающий и
отраженный лучи.
54

6. Показать, что уравнение прямой, проходящей через точку
(*о, Уо) и параллельной прямой Ах + By + С = 0, имеет вид
А (х — хо) + В {у — уо) = 0.
7. Можно ли подобрать коэффициенты X и [х так, чтобы
прямые Зх — 2у + 1 =0 и Ял: + |ии/ — 3 = 0 совпали?
8. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты X
и jli для того, чтобы прямые Хх + \iy + 1 = 0, 2х — Ъу + 5 = 0
их— 1=0 имели общую точку?
9. Даны середины Mi (2,3), М2(—1,2), М3(4, 5) сторон
треугольника. Составить уравнения его сторон.
10. Показать, что точки А(—2, — 2), В(—3, 1), С (7, 7) и
D(3, 1) являются вершинами трапеции, и составить уравнения ее
средней линии и диагоналей.
11. Найти уравнение прямой, пересекающей ось ординат
в точке (0, —3) и перпендикулярной к прямой 2х — Ъу — .1 =0.
12. Показать, что уравнение прямой, проходящей через точку
(хо, уо) и перпендикулярной к прямой Ах + By + С = 0, имеет
вид В(х — хо) — А (у — уо) = 0.
13. Даны вершины треугольника: А (3, 3), В(5, —3), С(0, —1).
Составить уравнение высоты, опущенной из вершины, лежащей
на оси ординат.
14. Найти прямую, проходящую через точку пересечения
прямых х — у — 5 = 0, 2а: — Зг/ — 1=0 и перпендикулярную к
прямой х + 2у = 0.
15. Даны две вершины треугольника (—6, 2) и (2, —2) и
точка (1,2) пересечения его высот. Найти третью вершину.
16. На прямой х — Ъу-\- 1 =0 найти точку, равноудаленную
от двух точек (—3, 1) и (5, 4).
17. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из
его вершин (3,—4) и уравнения двух высот 7х — 2у—1=0
и 2х — 7у — б = 0.
§ 4. НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.
РАССТОЯНИЕ ОТ ДАННОЙ ТОЧКИ
ДО ДАННОЙ ПРЯМОЙ
Общее уравнение прямой
ax + by — p = 0, (1)
в котором а2 + Ь2 = 1 и р>0, называется нормальным уравнением прямой.
Здесь (рис. 52) р — длина перпендикуляра ОР, опущенного из начала
системы координат на прямую, a = cosa, b = sin а, где а —величина угла
между осью ОХ и перпендикуляром ОР.
Общее уравнение прямой Ах + By + С = 0 приводится к нормальному
виду умножением обеих его частей на нормирующий множитель
\1 = ±\/л/А2 + В*у (2)
знак которого противоположен знаку свободного члена С.
Расстояние р от данной точки М0(х0, у0) до прямой (1) вычисляется по
формуле
р= \ах0-Ьу0-р\. (3)
55

Если прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С-
этого расстояния удобно пользоваться формулой
Лхр + Ву0 + С
-О, то для нахождения
Р =
V'л2 + в2
Отклонением d точки Мо(*о, Уо) от прямой называется расстояние р,
тое со знаком «+» или «—», а именно
или
d = ахо + Ьуо — р,
d _r Ах0 + Ву0 + С
V'а2 + в2
(3')
взя-
(4)
(4')
Рис. 52.
Две точки плоскости лежат по одну сторону от данной прямой, если их
отклонения от этой прямой имеют одинаковые знаки, и по разные стороны от
нее, если их отклонения имеют разные
знаки. Начало системы координат
всегда имеет неположительное отклонение и
равно свободному члену — р.
Пример 1. Привести к
нормальному виду уравнения
следующих прямых: 1) 2х + 3 = 0;
2) д/(_2) + 0/(-3)=1;3) у =
= —х—1.
Решение. 1) Найдем нор-
мирующий множитель: \х =
= ±\/л/А2 + В> = ±1/V4T0=
= ±1/2. ТаккакС = 3>0, то
jm = —1/2. Умножая обе части уравнения на |д = —1/2,
получим — х — 3/2 = 0.
2) Запишем общее уравнение данной прямой: 3* + 2*/ + 6 =
= 0, и умножим обе его части на нормирующий множитель |ы =
=_ 1/уз2 + 22 = --J У13 (|i<0, так как С=6>0): (— 3/д/13 )х-
— (2/V13 ) у — 6л/13 =0.
3) Запишем общее уравнение данной прямой: х + у-\-1 =0,
и умножим обе его части на нормирующий^ множитель^ [х =
= _ 1/д/2_(ц < 0, таккакС=1 > 0): - (\/л/2 ) х - (1/л/2 )у -
-(Vl/V2)-0.
Пример 2. Найти расстояние от точки М(—1,5) до прямой
4х + 3у — 5 = 0.
Решение. Применяя формулу (3'), найдем искомое
расстояние:
р = j[4 • (— 1) + 3 • 5 — 5]/л/42 + З2 |=6/5.
Пример 3. Найти расстояние между параллельными прямыми
3*4-4*/— 18 = 0 и Зх + 4^ + 43 = 0.
Решение. Возьмем на первой прямой произвольную точку,
например точку (6,0), и по формуле (3') найдем расстояние р
от нее до второй прямой:
р = | (+ 3.6 + 4-0 + 43)/УЗ2 + 42 | = 61/5,
W

Это расстояние и есть расстояние между данными
параллельными прямыми.
Пример 4. Составить уравнения прямых, параллельных
прямой 5х+12у — 1 =0 и отстоящих от нее на расстоянии,
равном 5.
Решение. Приведем данное уравнение к нормальному
виду:
ц= 1/V524- 122= 1/13; (5/13) * +(12/13) у -1/13 = 0.
Если точка М(ху у)—произвольная точка искомой прямой, то
она удалена от нее на расстояние, равное 5, т. е. должно
выполняться равенство | (5/13)* + (12/13) у — 1/13 | = 5.
Отсюда получаем уравнения двух прямых, удовлетворяющих
условию задачи:
(5/13)* +(12/13) у- 1/13 = 5 и (5/13)* + (12/13)у -1/13 = -5,
или 5л;+12*/ — 66 = 0 и 5х + 12у + 64 = 0.
Пример 5. Через точку Р(1, 1) провести касательные к
окружности, имеющей центр в точке С(1,—3) и радиус, равный 2V2.
Решение. Запишем уравнение всех прямых, проходящих
через точку Р (1, 1): у — I = k(x — 1), или kx — у + 1 — k = 0.
Так как искомые прямые касаются окружности, то они удалены
от ее центра на расстояние, равное 2д/2 . Тогда, нормируя
полученное уравнение {\х= ± 1/д/^2+ 1 ) и подставляя в него
координаты точки С(1,—3), получим равенство
\[к-1-1.(-3)+1-к]/л/¥ТТ\ = 2л/'2,
из которого найдем k: k = ±\.
Подставляя значения k в уравнение у— 1 = k(x— 1), найдем
искомые прямые: у — 1 = ± 1 • (х — 1), или х — у = 0 и х -\- у —
-2 = 0.
Пример 6. Составить уравнения биссектрис углов между
прямыми Зх — \у + 7 = 0 и 5* + 12у — 1 =0.
Решение. Биссектрисы являются геометрическим местом
точек, равноудаленных от сторон угла. Значит, если М(х, у) —
произвольная точка биссектрисы, то ее расстояния р\ и р2 до
двух данных прямых равны между собой: р\ = р2. Найдем эти
расстояния по формуле (3'):
^_|8*-4У + 7
п _ | Ъх + \2у - 1
Р2— 13
и составим равенство
3* - 4у + 7
5
Б* + 120 - 1 I 3* - Ау + 7 . Ъх + \2у - 1
if . ИЛИ f— =± jJ
57

Отсюда и получим уравнения биссектрис:
(3* — 4у + 7)/5 = (5* + 120 - 1)/13, или 7х - 56*/ + 48 = 0, и
(3* - 4у + 7)/5 = - (Ъх + \2у - 1)/13, или 32х + 4у + 43 = 0.
Замечание. Обратим внимание на следующий факт. Две
пересекающиеся прямые (рис. 53) разбивают плоскость на
четыре части так, что отклонения точек от прямых в двух из них
Рис. 53.
имеют одинаковые знаки, а в двух других — противоположные.
Причем одна из биссектрис М\М2 углов расположена в областях,
имеющих отклонения одинаковых знаков, а другая Л43Л44 — в
областях, имеющих отклонения разных знаков. Поэтому уравнения
биссектрис углов можно записать
так: d\ = ±:d2, где d\ —
отклонение точек биссектрисы от одной
прямой, di— их отклонение от
второй прямой.
Пример 7. Стороны
треугольника ABC заданы уравнениями
Зх — 4у = 0 (АВ), 4х — 3у = 0
(ВС) и Ъх+\2у—Ю = 0 (АС).
Найти уравнение биссектрисы его
внутреннего угла С.
Рис. 64. Решение. Согласно
замечанию к предыдущему примеру
уравнения биссектрис углов, которые образуют прямые АС и
ВС, можно записать так: dUc = ±:dBc, где dAc — отклонение
точек биссектрисы от прямой AC, dBc — отклонение точек
биссектрисы от прямой ВС, или, приводя уравнения прямых к
нормальному виду:
5 j 12 10 , f4 3 \
£8

Определим знаки отклонений йлс и dec точек биссектрисы
внутреннего угла С треугольника от прямых АС и ВС, для чего
в выражение ^лс = (5/13) а: + (12/13) у — 10/13 подставим
координаты точки В, а в выражение dBC = (4/5) х — (3/5)
у—координаты точки А (рис. 54).
Координаты точки В найдем, решая систему уравнений
За: —4t/ = 0, 4л: — Зу = 0, В (0,0),
координаты точки А — решая систему
Зх — 4t/ = 0, 5x+12y— 10 = 0, А(5/7, 15/28).
т л 5 n i 12 n 10 ^ с\ й 45 315>.л
Тогда йлс = Тз -°+1з '°""1з < °» dflC= Т7 - 5~^8 > °-
Значит, искомая биссектриса проходит в тех областях, на
которые прямые АС и ВС делят плоскость, где отклонения точек
имеют разные знаки, следовательно, уравнение искомой
биссектрисы имеет вид dAc = —dBc, или (5/13) *+(12/13) у — (10/13) =
= — (4/5) х + (3/5) у, и окончательно 77л: + 21 у — 50 = 0.
1. Вывести уравнение геометрического места точек,
отклонения которых от прямой 8л:— 15у — 25 = 0 равны —2.
2. Написать уравнение окружности с центром в точке
С (6, —3), касающейся прямой Зл: — \у — 15 = 0.
3. Даны две параллельные прямые —х + Зу + 5 = 0 и х —
— Зу + 2 = 0. Найти уравнение прямой, им параллельной и
одинаково удаленной от каждой из них.
4. Через точку М(—1, 4) проведена прямая, расстояние
которой до точки Р(—2, —1) равно 5. Составить ее
уравнение.
5. Определить, лежит ли начало координат внутри или вне
треугольника, стороны которого заданы уравнениями 7х— Ъу —
— 11 = 0, 8л: + Зу + 31 = 0, х + 8у — 19 = 0.
6. Даны уравнения двух сторон квадрата 4л: — Зу + 3 = 0,
4л: — Зу— 17 = 0 и одна из его вершин Л(2, — 3). Составить
уравнения двух других сторон квадрата.
7. На прямой х + 2у — 12 = 0 найти точки, равноудаленные
от прямых х-\- у — 5 = 0 и 7х — у + 11 =0.
8. Составить уравнение биссектрисы того угла между
прямыми 2л: — у + 7 = 0 и Зх-— 6у — 8 = 0, в котором лежит точка
М(1,2).
9. Найти центр круга, вписанного в треугольник, уравнения
сторон которого х = 2, х + #--4 = 0, * — t/ — 2 = 0,
59

Глава III
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. ОКРУЖНОСТЬ
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости,
равноудаленных от одной и той же точки, называемой ее центром.
М
М(х,у)
Рас. 55.
Рис. 56.
В прямоугольной декартовой системе координат уравнение окружности
имеет вид
(x-ay+(y-b)* = R\ (1)
где (а, Ь) —координаты ее центра С, a R— ее радиус (рис. 55).
Если центр окружности находится в начале системы координат, то
уравнение (1) имеет более простой вид:
Уравнения (1) и (Г) каазываются каноническими уравнениями
окружности.
Уравнения
' х = а + R cos /,
y = b + Rs'mt
(О < / < 2я)
(2)
являются параметрическими уравнениями окружности. Здесь (а, Ь) —
прямоугольные декартовы координаты центра С окружности, R — ее радиус, / (0 ^*
<; / < 2я) — величина ориентированного угла между положительным
направлением оси ОХ и подвижным радиусом СМ (рис. 56).
Если центр окружности находится в начале системы координат, то
уравнения (2) имеют более простой вид:
\X = «C°St; <0«<2я). (20
^ y = R sin t
В полярной системе координат окружность определяется уравнением
р2 - 2рро cos(9 - 9о) + 920 = R2, (3)
где (р, 9) — координаты произвольной точки окружности; (р0, 90) —
координаты ее центра С и R — ее радиус (рис. 57).
Если центр окружности совпадает с полюсом полярной системы
координат, то ее уравнение
СО

где R — радиус окружности.
Если окружность задана уравнением (1) или (1) и (х0у у0)— координаты
ее точки то уравнение касательной к окружности в этой точке имеет
вид
(x-a)(xo-a) + (y-b)(y0-b) = R2
(4)
или
хх0 + ууо = R2. (40
х<.
^Г\\60
д/ср,е)
/? \
? 1
—►»
Общее уравнение второго порядка с
двумя переменными р -
Ах2 + By2 + Сху + Dx + Еу + F = 0
в прямоугольной декартовой системе координат определяет окружность, если
А = ВФ0иС = 0:
Ах2 + By2 + Dx + Ey + F = 0. (5)
Если в уравнении (5) разделим обе его части на А ф 0 и выделим полные
квадраты, то получим:
(х-а)>+ (y-b)* = R2
— окружность с центром в точке (а, Ь) и радиусом R\
или (х — а)2+ (£/ — Ь)2 = 0
— вырожденную окружность (точку М(а, Ь))\
или (х — а)2 + (y — b)2 = —R2
— мнимую окружность (пустое множество точек).
Пример 1. Написать уравнение окружности, диаметром
которой служит отрезок MN, где М (2, —3), N (—6, 3),
Решение. Координаты центра С(а,Ь) окружности найдем
как координаты точки, делящей отрезок MN пополам: а = {хм +
+ xN)/2 = (2-6)/2=-2, Ь=(ум + yN)/2 = (-3 + 3)/2=0. Радиус
окружности
Л=р (С, М)=л/(хс-хм)2+(Ус - ум)2 = V(-2 - 2)2 + (-3)2 = 5.
1 огда (х + 2)2 + #2 = 25 — искомое уравнение.
Пример 2. Уравнение окружности х2 + у2 + 2х— Юу + 1 =0
привести к каноническому виду.
Решение. Выделяя полные квадраты в левой части данного
уравнения, получим х2 + 2х + 1 + у2 — Юу + 25+1 — 1—25=0,
или {х+1)2+(у — 5)2 = 25.
Согласно соотношению (1) данное уравнение определяет
окружность с центром в точке (—1, 5) и радиусом, равным 5.
Пример 3. Какая линия определяется уравнением
х2 + у2 + \0х — 4у + 29 = 0?
Решение. Приведя уравнение к каноническому виду
(см. пример 3), получим (* + 5)2+(#— 2)2=0. Значит,
уравнение определяет вырожденную окружность, т. е. точку (—5,2).
Пример 4. Написать уравнение окружности, проходящей
через три точки Л{0, 2), В(1, 1) и С(2,—2).
61

Решение 1. Уравнение окружности будем искать в виде
х2 + У2 + Dx + Еу + F = 0. Так как точки Л, В и С
принадлежат искомой окружности, то, подставляя в записанное уравнение
их координаты, получим систему трех линейных уравнений
4 + 2£ + F = 0, 2 + D + E + F = 0, 8 + 2D — 2Е + F = 0,
решив которую, будем иметь Е = 4, D = 6, F = —12. Тогда
х2 + у2 + 6х + 4у — 12 = 0 — искомое уравнение.
Для нахождения радиуса и центра окружности приведем
последнее уравнение к каноническому виду: (х + З)2 -\-{у + 2)2 =
= 25, откуда точка (—3,—2)—центр окружности, и ее радиус
равен 5.
Решение 2. Уравнение окружности будем искать в
каноническом виде (х — а)2-\-{у — Ь)2 = R2. Подставляя в это
уравнение координаты точек Л, В и С, получим систему трех уравнений
a2 + b2 — 4b + 4 = R2, a2-\-b2 — 2a — 2b + 2 = R2,
a2 + b2 — 4a+2b + 8 = R2,
решив которую, будем иметь а = —3, b = —2 и R = 5.
Следовательно, (х + З)2 + (у + 2)2 = 25 — искомое уравнение
окружности, и точка (—3, —2)—ее центр, а радиус равен 5.
Пример 5. Написать уравнение касательной к окружности
х* + у* = 5в точке Л1(1,—2).
Решение. Воспользуемся формулой (4х): хх0 + ууо = /?2,
и запишем уравнение искомой касательной (здесь х0= 1, у0 =
= —2 и /? = У5~): *. 1 + */•(—2) = 5, или* —2# —5 = 0.
Пример 6. Написать уравнения касательных к окружности
х2 + у2 + €>х — 8t/+17 = 0, проведенных из точки Л (0,5).
Решение. Заметим, что точка А не принадлежит
окружности, поэтому воспользоваться формулой (4) нельзя.
Уравнения касательных будем искать в виде у = kx -f- 5.
Приведем уравнение окружности к каноническому виду: (х +
+ 3)2 + (у-4)2 = 8.
Из системы уравнений y = kx-\-5, (х + 3)2 -\-(у — 4)2 = 8
определим общие точки прямой и окружности, для чего у из
первого уравнения подставим во второе: (х + 3)2 + (kx-\-1)2 = 8,
или x2{k2 + \) + 2x(k + 3) + 2 = 0. Поскольку прямая касается
окружности, то это уравнение имеет единственное решение,
следовательно, его дискриминант равен нулю, т. е. (& + 3)2 —
— 2(k2 + 1) = 0, или k2 — 6A — 7 = 0, откуда k\ = 7 и k2 = — 1.
Тогда у = 7х-\-5 и у = —х + 5 — искомые уравнения.
Пример 7. Уравнение окружности х2 + 2х + у2 — 6# — 6 = 0
записать в параметрической форме.
Решение. Приведем уравнение окружности к
каноническому виду:
(*+1)2 + (</-3)2=16.
Так как центр этой окружности имеет координаты (—1,3) и ее
62

радиус равен 4, то согласно формулам (2) ее параметрические
(х =
уравнения имеют вид <
— 1 +4 cos/,
3 + 4sin/ (0</<2я).
Пример 8. Написать уравнение окружности радиусом а,
центр которой расположен выше полярной оси, касающейся
полярной оси в полюсе.
Решение. Пусть Л4(р,
6)—произвольная точка окружности и О А = 2а —
ее диаметр (рис. 58). В треугольнике
ОАМ ZAMO = я/2, ZAOM= я/2 — в.
Тогда ОМ = О A cos ZAOM, или р =
= 2а cos (я/2 — 8), и окончательно р =
= 2а sin 8 — уравнение окружности.
Пример 9. Уравнение окружности х2 +
+ у2 = ах записать в полярной системе
координат.
Решение. Используем связь между полярными и
декартовыми координатами точки: x = pcos8, y = psin0. Тогда
уравнение окружности можно переписать в следующем виде:
р2 cos2 8 + р2 sin2 8 = ар cos 8, или р = a cos 0.
1. Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке
(—3, 4) и проходящей через начало системы координат.
2. На оси абсцисс найти центр окружности, проходящей
через точки Л (2,3) и В (5, 2), и написать уравнение этой
окружности.
3. Найти координаты центра и радиус окружностей:
1) х2 + у2 + 6х — 8у— 11 =0; 2) х2 + у2 — 6х — 7 = 0.
4. Какие геометрические места точек определяют уравнения:
1) 5л:2 + 5*/2- 10* + 20*/ +31=0; 2) х2 + у2-4х + 6у + 14 = 0
3) х2 + у2 + 2х-4у + 5=0?
5. Составить уравнение окружности, касающейся оси ОХ
и проходящей через точки М(—2, 1) и Af(6, 5).
6. Составить уравнение окружности, касающейся осей
координат и проходящей через точку М (1, 2).
7. Написать уравнения окружностей радусом /?= д/5~,
касающихся прямой х — 2у — 1 =0 в точке М (3, 1).
8. Составить уравнения касательных, проведенных из начала
системы координат к окружности (х — 2)2-\-{у — 4)2 = 2.
9. Найти уравнения касательных к окружности к2 + у2 = 5,
параллельных прямой 2х — у -\- 1 =0.
10. Найти длину касательной, проведенной из точки М(5, 8)
к окружности х2 + у2 — \х — 8у + 11 =0.
11. Найти центр и радиус окружности, описанной около
треугольника с вершинами Л(4, 1), В(—3, — 6) и С (5,0).
63

12. Найти центр и радиус окружности, вписанной в
треугольник со сторонами Зх + 4у — 12 = 0, 4х — Зу + \2 = 0, 8х +
+ 6у + 9 = 0.
13. Найти геометрическое место точек, обладающих тем
свойством, что касательные, проведенные из них к окружности
(х — 5)2 -\-(у + 2)2 == 9, имеют одну и ту же длину 1 = 4.
14. Относительно полярной системы координат составить
уравнение окружности, радиус которой равен а, а центр
находится: 1) в полюсе; 2) в точке (а,0).
15. Записать в полярной системе координат уравнения
окружностей: 1) х2 + у2 = у\ 2) (х— \)2 + (у — 1)2 = 4.
16. Записать в параметрической форме уравнения
окружностей: 1) (х + ЗУ + (у — 5)2 = 49; 2) (jc + 2)2 + у2 = 25.
§ 2. ЭЛЛИПС
Эллипсом (рис. 59) называется геометрическое место точек плоскости,
сумма расстояний которых до двух данных точек (фокусов) есть величина
постоянная, большая, чем расстоя-
*.
ъ\
"1 \ г-- . -
V 1
1
*1
0
2С
h
М
\ъ\
Тг
ь
ь
Рис. 59.
ние между фокусами.
Фокусы эллипса принято
обозначать буквами F\ и F2,
расстояние между ними — 2с, постоянную
сумму расстояний Г\ и г2 от
произвольной точки М эллипса до его
фокусов — 2а. Очевидно, что а>с.
Отрезки А\Аг (р(Д Л2) =
= 2а) и ВХВ2 (p(Bi,B2)=2ft*=2X
X л/а2—с2 называются
соответственно большой и малой осями
эллипса, точка О — центром
эллипса. Точки АиВиА2, В2 называются
вершинами эллипса, расстояния г\
и г2 от точки М эллипса до его
фокусов называются фокальными
радиусами этой точки.
Отношение расстояния между
фокусами к длине большой оси
эллипса называется его
эксцентриситетом, обозначается буквой е:
е = с/а (е < 1).
(1)
Две прямые 1\ и /2,
параллельные малой оси эллипса и
отстоящие от нее на расстоянии, рав-
Рис. 60. ном ale, называются директрисами
эллипса.
Отношение расстояния Г\ (или г2) от любой точки эллипса до фокуса F\
(или F2) к расстоянию d\ (или d2) от нее до соответствующей директрисы 1\
(или 12) равно эксцентриситету:
ri/di = е и r2/d2 «= е. (2)
Эти соотношения позволяют дать другое определение эллипса: эллипс —
геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до дан*
64

ной- точки (фокуса) и до данной прямой (директрисы) есть величина
постоянная, меньшая единицы.
Если оси прямоугольной декартовой системы координат выбраны так, как
показано на рис. 60, то в этой системе координат уравнение эллипса имеет
вид
х2/а2 + у2/Ь2=\,
(3)
"(р,в)
и оно называется каноническим уравнением
эллипса; фокальные радиусы г\ и г2 точки
М(х, у) эллипса вычисляются по формулам
гх = а + ех, г2 = а — ех\ (4)
директрисы /i и /2 имеют уравнения
х = ±а/е; (5)
касательная к'эллипсу (3) в точке М0(х0, г/о)
определяется уравнением
хх0/а2 + УУо1Ь2 = 1
уравнения
{х = a cos /,
у = b sin /
(0 < / < 2л)
(6)
(7)
являются параметрическими уравнениями
эллипса, где / — величина угла между осью ОХ
и прямой ОМ, соединяющей центр эллипса с
его точкой.
В полярной системе координат F2P
(рис 61) уравнение эллипса имеет вид
р = pl(\ — ecos 8).
(8)
Рис. 62.
где е < 1 — эксцентриситет эллипса; р = Ь2/а— фокальный параметр.
Замечания. 1. Если фокусы эллипса расположены на оси OY (рис. 62),
то уравнение эллипса имеет тот же вид (3), но в этом случае b > а и с =
= <y/b2 — а2 . Эксцентриситет такого эллипса вычисляется по формуле
е = с/Ь, (9)
директрисы находятся по формуле
У = ±Ь/е. (10)
2. Если а = 6, то уравнение (3) определяет окружность.
Пример 1. Дано уравнение эллипса 25х2 + 169у2 = 4225.
Вычислить длину его полуосей, найти координаты фокусов,
эксцентриситет, директрисы и расстояние между ними. Найти
фокальные радиусы точки М(-\ЛЗ, 10 д/2/13) и точки эллипса,
расстояние которых до левого фокуса F\ равно 14.
^Решение. Разделив обе части данного уравнения на 4225,
получим каноническое уравнение эллипса x2/169 + г/2/25 = 1,
откуда а2 = 169, Ь2 = 25. Значит, длины полуосей равны
соответственно а = 13, 6 = 5. Поскольку Ь2 = а'2 — с2, то с =
= л/а? — Ъ2 = 12. Тогда координаты фокусов: Fi(0,—12), F2(0,
12).
По формуле (1) находим эксцентриситет в = с/а = 12/13.
3 Зак. 273
65

По формуле (5) запишем уравнения директрис: х = ±а/е =
= ±169/12. Расстояние между ними d= 169/12—(—169/12) | =
= 169/6. _
Точка M(Vl3, 10 д/2/13) лежит на эллипсе. По формулам
(4) найдем ее фокальные радиусы: г, = 13 + (12/13) д/13 = 13 +
+ 12/V13, г2= 13 — (12/13) д/13 = 13 — 12/V13 .
По формулам (4) (г\ = а + ех) найдем абсциссы точек,
расстояние которых до левого фокуса равно 14: 14 = 13 +(12/13)*,
х= 13/12.
Подставляя найденное значение х в уравнение эллипса, най-
дем ординаты этих точек:*/=± 5 д/1—а:2/169 =± 5 дЛ — 1/144 =
= dz 5 д/143/12 . Следовательно, условию задачи
удовлетворяют две точки: (13/12, 5д/143/12) и (13/12,-5 V143/12).
Пример 2. Написать каноническое уравнение эллипса, фокусы
которого лежат на оси ординат, симметричного относительно
начала системы координат, если расстояние между
директрисами равно 9, а расстояние между фокусами — 4.
Решение. Здесь d = 9 и 2с = 4, т. е. с = 2. Согласно
формуле (10) уравнения директрис имеют вид у = ±Ь/еу и
расстояние d между ними равно 2Ь/е\ а так как d = 9, то 2Ь/е = 9.
По формуле (9) е = с/Ь\ а так как с = 2, то е = 2/Ь. Из
системы уравнений 2Ь/е = 9, е = 2/6 найдем b2: b2 = 9.
Поскольку с2 = Ь2 — а2, то а2 = Ь2 —- с2 = 5. Следовательно,
каноническое уравнение эллипса: х2/5 + у2/9 = 1.
Пример 3. Вывести условие, при котором прямая Ах + Ву-\-
+ С = 0 касается эллипса х2/а2 + У2/Ь2 = 1.
Решение. Прямая касается эллипса тогда и только тогда,
когда имеет с ним единственную общую точку. Общие точки
прямой и эллипса найдем из системы уравнений
Ах + By + С = 0, х2/а2 + tflb2 = 1.
Считая В Ф 0, из первого уравнения системы выразим у: у =
= — (\/В) (Ах-\- С). Подставляя найденное выражение у во
второе уравнение системы, получим квадратное уравнение
относительно х:
(В2Ь2 + А2а2) х2 + 2АСа2х + (с2а2 - BW) ="0.
Это уравнение имеет единственное решение (т. е. равные корни)
тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю, т. е.
4Л2С2а4 - 4 (В2Ь2 + А2а2) (С2а2 - В2а2Ь2) = 0.
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим условие
касания прямой эллипса: А2а2 + В2Ь2 = С2.
Если В = 0, то А ф 0, и х = —С/А — уравнение данной пря*
мой. Эта вертикальная прямая касается эллипса, если — С/А =
= ±а.
66

Нетрудно заметить, что ранее полученное при В ф О условие
А2а2 + В2Ь2 = С2 касания прямой и эллипса включает в себя
и случай при В = 0, следовательно, оно является общим
условием касания прямой Ах + By + С = 0 эллипса х2/а2-\-у2/Ь2= 1.
Пример 4. Написать уравнение касательной к эллипсу *2/4 +
+ у2/3 = 1 в точке М (—1, 3/2).
Решение. Воспользуемся формулой (6) (здесь хо = —1,
у0 = 3/2, а2 = 4, ft2 = 3) и запишем уравнение искомой
касательной:
*•(—1)/4 + #-3/2/3= 1, или х — 2у + 4 = 0.
Пример 5. Написать уравнение касательной к эллипсу
\г2/30 + f/2/24 = 1, параллельной прямой 2х — f/ + 17 = 0.
Решение. Поскольку касательная параллельна прямой
2х — у + 17 = 0, то ее угловой коэффициент k = 2, и ее
уравнение можно записать в виде у = 2х + С. Значение С определим
из условия касания прямой эллипса (см. пример 4), учитывая,
что а2 = 30, 62 = 24, А = 2, В = —1: 30-4 + 24-1 = С2, С =
= +12. Следовательно, условию задачи удовлетворяют две
касательные: у = 2х-\- 12 и у = 2х— 12.
Пример 6. Относительно декартовой прямоугольной системы
координат написать каноническое уравнение эллипса, если
известно его уравнение в полярной системе координат р = 25/ (13 —
— 12 cos 6).
Решение. Перепишем данное уравнение эллипса в виде
25/13 ■ г /оч
р = t _ (i2/i3) cos 8 ' сРавнивая эт0 уравнение с уравнением (8),
заключаем, что е= 12/13, р = Ь2/а = 25/13. Значения а и Ъ
найдем из системы уравнений <\/а2 — Ь2/а= 12/13, Ь2/а = 25/13:
а = 13, b = 5. Тогда х2/169 + У2/25 = 1 — искомое каноническое
уравнение данного эллипса.
1. Дано уравнение эллипса 9х2 + 5у2 = 45. Найти длины его
полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения
директрис.
2. Составить каноническое уравнение эллипса, симметричного
относительно начала системы координат и с фокусами,
лежащими на оси ОХ, если: 1) расстояние между фокусами равно 6,
большая полуось равна 5; 2) малая полуось равна 3,
эксцентриситет равен л/5/2; 3) большая полуось равна 10,
эксцентриситет равен 4/5; 4) сумма полуосей равна 8, расстояние между
фокусами 8; 5) расстояние между директрисами равно 18,
большая полуось равна 12.
3. Написать уравнение эллипса, симметричного относительно
начала системы координат и проходящего через точки (3, —2)
и (3 Уз/2~> V2").
3*
67

4. Меридиан земного шара имеет форму эллипса, отношение
осей которого равно 299/300. Определить эксцентриситет
земного меридиана.
5. Земля движется по эллипсу, в одном из фокусов которого
находится Солнце. Наименьшее расстояние от Земли до Солнца
равно приблизительно 147 500000, а наибольшее— 152 500 000км.
Найти большую полуось и эксцентриситет орбиты Земли.
6. На эллипсе х2/100 + у2/36 = 1 найти точку, расстояние
которой от правого фокуса в 4 раза больше расстояния ее от
левого фокуса.
7. Определить расположение точек плоскости Mi(3,5),
АЫ—1,2), М3(0, 3) относительно эллипса, заданного
уравнением х2/15 + у2/9 = 1.
8. Найти касательные к эллипсу х2/169 + у2/25 = 1,
перпендикулярные к прямой 1 Зх + 12у — i115 = 0.
9. Эллипс, симметричный относительно координатных осей,
проходит через точку (3,12/5) и касается прямой 4х + 5у —
— 25 = 0. Найти его уравнение.
10. Эллипс, симметричный относительно осей прямоугольной
декартовой системы координат, касается двух прямых: х+у —
— 5 = 0 и х — Ау — 10 = 0. Найти его уравнение.
11. Доказать оптическое свойство эллипса: луч света,
исходящий из одного фокуса эллипса, отразившись от эллипса,
проходит через его второй фокус.
12. Дан эллипс х2/25-\- у2/9 = 1. Написать уравнение этою
эллипса в полярной системе координат, полюс которой
находится в одном из фокусов эллипса, а полярная ось направлена
в сторону второго.
13. Траекторией точки М является эллипс х2/а2 -f- у2/Ь2 = 1.
Вывести параметрические уравнения траектории точки Му
принимая в качестве параметра / величину угла наклона отрезка
ОМ к оси ОХ.
§ 3. ГИПЕРБОЛА
Гиперболой (рис. 63) называется геометрическое место точек плоскости,
разность расстояний которых до двух данных точек {фокусов) есть величина
постоянная (эта постоянная положительна и меньше расстояния между
фокусами).
Фокусы гиперболы принято обозначать буквами F\ и F2, расстояние между
ними — 2с, постоянную разность расстояний г, и г2 от произвольной точки
гиперболы до ее фокусов — 2а. Очевидно, что а < с.
Отрезки ЛИ2 (р(Ль А2) = 2а) и ВХВ, (р (Я, В7) = 2 л/с2 - а2 « 2b) на-
зываются соответственно вещественной и мнимой осями гиперболы, точки Ау и
А? — вершинами гиперболы, точка О — ее центром.
Прямая F{F2 называется фокальной осью гиперболы.
Расстояния г\ и г2 от точки М гиперболы до ее фокусов называются
фокальными радиусами этой точки.
Диагонали прямоугольника, центр которого совпадает с точкой О, а
стороны равны и параллельны осям гиперболы, являются асимптотами гиперболы,
63

Отношение расстояния между фокусами к длине вещественной оси
гиперболы называется ее эксцентриситетом, обозначается буквой е:
е = с/а (е> 1). (1)
Две прямые 1\ и /2, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от
нее на расстоянии, равном а/е, называются директрисами гиперболы.
Рис. 63
Отношение расстояния г\ (или г2) от любой точки гиперболы до фокуса
F\ (или F2) к соответствующему расстоянию d\ (или d2) от нее до директрисы
/i (или /2) равно эксцентриситету:
rrfdi = е и r2/d2 = е. (2)
Эти соотношения позволяют дать другое определение гиперболы: гипербола —
геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до
Рис. 64.
данной точки (фокуса) и до данной прямой (директрисы) есть величина
постоянная, большая единицы.
Если оси прямоугольной декартовой системы координат выбраны гак, как
показано на рис. 64, то в этой системе координат уравнение гиперболы
имеет вид
хЧа2 - yW = 1р (3)
69

и оно называется каноническим уравнением гиперболы; асимптоты гиперболы
определяются уравнениями
у = ± (Ь/а) х\ (4)
фокальные радиусы гх и г2 точки М гиперболы вычисляются по формулам
rx = a + ex, r2 = —a + ех, - (5)
если точка М лежит на правой ветви гиперболы, и по формулам
г\ = —а — ех, г 2 = а — ех, (6)
если она лежит на левой ветви; директрисы U и /2 имеют уравнения
х = ±а/е, (7)
Замечания. 1) Если фокусы гиперболы расположены на оси О У
(рис. 65), то ее уравнение имеет вид
-х2/а2 + у2/Ь2 = \. (3)
Оксцентриситет этой гиперболы равен
е = с/Ьу (9)
асимптоты определяются уравнениями
y = ±(b/a)xt (Ю)
ч директрисы
У = ±Ь/е. (И)
2) Две гиперболы, определяемые уравнениями х2/а2 — у2/Ь2 = 1 и ~-х2/а2+
Л-У21Ь2 = 1 в одной и той же системе координат, называются сопряженными.
3) Гипербола с равными полуосями
(а = Ь) называется равносторонней. Ее
каноническое уравнение: х2 — у2 = 1
или — х2 + у2 = 1.
Касательная к гиперболе (3) или
(8) в точке М0{х0у у0) определяется
уравнением
■ хх0/а2 — ууо/b2 = 1
или —хх0/а2 + ууо/b2 = 1.
(12)
Рис. 65.
Рис. 66.
В полярной системе координат (рис. 66) уравнение правой ветви
гиперболы имеет вид
Р = P/(1 -ecos8), (13)
где е > 1 — эксцентриситет гиперболы; р = Ь2/а — ее фокальный параметр.
Пример 1. Дано уравнение гиперболы 7x2 — 9tp = 63.
Вычислить длину ее полуосей, координаты фокусов и эксцентриситет.
70

Найти уравнения асимптот, директрис и фокальные радиусы
точек М (б, л/21~) и N (-9,2 v'IT).
Решение. Разделив обе части уравнения на 63, приведем
уравнение гиперболы к каноническому виду (3): х2/9— у2/7 = 1,
откуда а2 = 9, Ь2 = 7 и а = 3, b = д/7 • Поскольку Ь2 = с2 — а2,
то с = У а2 -f- &2 = л/9 + 7=4. Тогда координаты фокусов:
Fi(0, — 4), F2(0t 4). Эксцентриситет вычислим по формуле (1):
е = с/а = 4/3. Уравнения асимптот найдем по формулам
(4): # = ± (Ь/а)х= ± (V? /3) *, уравнения директрис —по
формулам (7): х = ±а/е = ±9/4.
Поскольку точка /И (б, <\/21 ) лежит на правой ветви
гиперболы (хм>0), то ее фокальные радиусы вычислим по
формулам (5):
г\ = а + ех =11, г2 = — а + ех = 5.
Поскольку точка ЛА(—9,2 л/14) лежит на левой ветви
(*лг <0), то ее фокальные радиусы вычислим по формулам (6):
r\ = —a — ех = 9, г2 = а — ех = 15.
Пример 2. Написать уравнение гиперболы, фокусы которой
расположены на оси OY симметрично относительно начала
системы координат, если расстояние между директрисами равно 8,
а эксцентриситет гиперболы равен у/5 /2.
Решение. Так как фокусы гиперболы лежат на оси OY, то
согласно формулам (11) и (9) уравнения директрис у=±Ь/е
и эксцентриситет е = с/Ь.
Расстояние между директрисами d=\ b/e—(— b/e) | = 2b/e = 8.
Значит, b = 4е = 2У5~. Но e = c/b= ^a2 + b2/b2, или e2fc2 =
= a2-\-b2. Подставляя в это равенство значения е и ft,
получим (5/4) -4-5 = а2 + 20, откуда а2 = 5, и уравнение
гиперболы имеет вид —х2/5-\- у2/20 = 1.
Пример 3. К гиперболе х2/8 — у2/9 = 1 провести касательные
через точки: 1) М(-л/10, УЗ~/2); 2) W(2,0).
Решение. 1) Непосредственной подстановкой координат
точки М в уравнение гиперболы убеждаемся, что точка М
принадлежит гиперболе, следовательно, для написания касательной
к гиперболе, проходящей через эту точку, можно
воспользоваться формулой (12):
_УШх/8-(*/л/3/2)/9=1, или 9 Л/Г0 х + 4 ^Jy + 72 = 0.
2) Точка N(2,0) гиперболе не принадлежит, поэтому
формулой (12) пользоваться нельзя. Уравнение касательной будем
искать в виде у — 0 = k (х — 2) или —kx + у + 2k = 0. Удобно
воспользоваться условием А2а2 — В2Ь2 = С2 касания прямой
гиперболы (см. задачу 8 из упражнения к этому параграфу). Здесь
A = -k} В= 1, C = 2ky a? = 8, b2 = 9. Тогда 8ft2-9 = 4ft2, от-
71

куда k = ±3/2, и условию задачи удовлетворяют две прямые
у = (±3/2)(х — 2), или — Зх + 2у + 6 = 0 и 3* + 2у — 6 = 0.
Пример 4. К гиперболе х2/15— у2/6= 1 провести
касательную перпендикулярно прямой к — 2у = 0.
Решение. Поскольку касательная перпендикулярна прямой
х — 2у = 0, то угловой коэффициент k касательной равен —2:
k = —2. Значит, ее уравнение можно записать в виде у =
=—2х+С, или —2х — t/+C = 0. Для определения
коэффициента С воспользуемся условием А2а2— В2Ь2 = С2 касания
прямой гиперболы (см. задачу 8 из упражнения к этому
параграфу). Здесь А = — 2^В = — 1, а2 = 15, Ъ2 = 6: 4-15— Ь6 =
= С2. Тогда С=± л/54 , и условию задачи удовлетворяют две
прямые: у = — 2х± дД)4.
Пример 5. Составить каноническое уравнение гиперболы,
если дано ее уравнение в полярных координатах р = 9/(4 —
— 5cos9).
Решение. Правую часть данного уравнения представим
в следующем виде: р ==-77 Г 1 — -r-cosBj и сравним полученное
уравнение с уравнением (13): полагая е = 5/4, р = 9/4, из
системы уравнений
___5^ =_9 а2 + Ь2 _ 25 Ь^_±
4 ' ^ 4 а2 16 ' а 4
определим а2 = 16 и Ь2 = 9. Тогда искомое уравнение гиперболы
х2/16 — у2/9=1.
1. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на
оси OY симметрично началу системы координат, если: 1) мнимая
ось равна 4-\/3, гипербола проходит через точку (6, —4);
2) уравнения асимптот у = + {\2/Ъ)х и расстояние между
вершинами 48; 3) расстояние между директрисами 50/7,
эксцентриситет 7/5.
2. Написать канонические уравнения двух сопряженных
гипербол, зная, что расстояние между директрисами первой из них
равно 7,2, а расстояние между директрисами второй 12,8.
3. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы
с эллипсом х2/35 + у2/10= 1 и проходящей через точку (4 д/2,
з).
4. Определить угол между асимптотами гиперболы, если ее
эксцентриситет равен 2.
5. На гиперболе *2/16 — у2/9 = 1 найти точку, для которой
расстояние от левого фокуса вдвое больше, чем от правого.
6. Дан эллипс х2/16 + у2/12=\. Составить уравнение
гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы —
в вершинах данного эллипса.
72

7. Доказать оптическое свойство гиперболы: луч света,
исходящий из одного фокуса гиперболы, отразившись от нее, идет
по прямой, соединяющей точку отражения с другим фокусом.
8. Вывести условие, при котором прямая Ах + By -f- С = 0
касается гиперболы х2/а2 — у2/Ь2 = 1.
9. Найти касательные к гиперболе х2/4—1/2/5 = 1,
параллельные прямой Ъх — 2у = 0.
10. Гипербола, симметричная относительно осей системы
координат, касается прямой х — у — 2 = 0 в точке М(4, 2).
Составить уравнение этой гиперболы.
11. Дано уравнение гиперболы х2/25 — у2/\44 = 1. Составить
полярное уравнение ее левой ветви, считая, что направление
полярной оси совпадает с положительным направлением оси
абсцисс, а полюс находится: 1) в левом фокусе гиперболы;
2) в правом фокусе.
12. Дано уравнение гиперболы х2/а2 — y2/b2 = l. Составить
ее полярное уравнение при условии, что направление полярной
оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а
полюс находится в центре гиперболы.
13. Составить уравнения асимптот и директрис гиперболы
2
Р= 7= •
1 — V2 cos 9
§ 4. ПАРАБОЛА
Параболой (рис. 67) называется геометрическое место точек плоскости,
равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы),
лежащих в этой же плоскости.
Рис. 67. Рис. 68.
Фокус параболы принято обозначать буквой F, директрису — буквой /,
расстояние от фокуса до директрисы — буквой р.
Точка Л — середина отрезка BF — называется вершиной параболы.
Расстояние г от точки М параболы до ее фокуса F называется фокальным,
радиусом этой точки.
Отношение расстояния г от любой точки М параболы до фокуса F к
расстоянию d от нее до директрисы называется ее эксцентриситетом, и он равен
73

1, e = r/d = 1. Тогда: парабола — геометрическое место точек плоскости,
отношение расстояний которых от данной точки (фокуса) до данной прямой
(директрисы) есть величина постоянная, равная единице.
Если в прямоугольной декартовой системе координат парабола
расположена так. как указано на рис. 68, то в этой системе координат уравнение
Рис. 69. Рис. 70.
параболы имеет вид
У2 = 2рх, (1)
и оно называется каноническим уравнением параболы; фокальный радиус г
точки М(х, у) параболы вычисляется по формуле
г = х + р/2; (2)
парабола симметрична относительно оси абсцисс; уравнение касательной
к параболе в ее точке М0(х0, у0) имеет вид
ууо = р(х + х0). (3)
Замечание. Уравнение параболы, симметричной относительно оси OY
и проходящей через начало системы координат (рис. 69), имеет вид
*2 = 2qy. (4)
Фокус ее расположен в точке (0, <?/2), ^(О, q/2)t y = —<?/2 — ее директриса.
Фокальный радиус точки М такой параболы вычисляется по формуле
r = y + q/2. (5)
а
хх0 = q(y + уо) (6)
— уравнение касательной в точке М0(х0, уо)ч
В полярной системе координат (рис. 70) уравнение параболы имеет вид
р = р/(1 — cos 9), (7)
где р — параметр параболы.
Пример 1. Найти координаты фокуса и уравнение
директрисы параболы у2 = 8*. Вычислить длину фокального радиуса
точки М(2, 4).
Решение. Парабола задана каноническим уравнением
вида (1). Следовательно, 2р = 8, р = 4 Тогда координаты
фокуса (2,0), /7(2,0), уравнение директрисы: х = —2. Длину фо*
74

кального радиуса точки М(2,4) вычислим по формуле (2):
г = х + р/2 = 2 + 2 = 4.
Пример 2. Написать уравнение параболы, симметричной
относительно оси OY, с центром в начале системы координат, если
она проходит через точку В(1,—2).
Решение. Так как парабола симметрична относительно оси
OY и имеет вершину в начале системы координат, то ее
уравнение имеет вид х2 = 2ду. Поскольку точка £(1, —2) лежит на
параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы,
т. е. 1=2<7-(—2), откуда q = —1/4, и х2 = —1/2у— уравнение
параболы.
Пример 3. На параболе */2 = 4,5х найти точку, находящуюся
от директрисы на расстоянии d = 9,125.
Решение. По определению параболы для любой ее точки
выполняется соотношение r/d = 1. Следовательно, г = d =
= 9,125. По формуле (2): 9,125 = х + 1,255, откуда х = 8.
Подставляя х = 8 в уравнение параболы, найдем, соответствующие
ему значения у: у = ± У 4,5 • 8= ±6. Значит, условию
задачи удовлетворяют две точки: (8,6) и (8,—6).
Пример 4. Через точку М(5,—7) провести касательную к
параболе у2 = 8х.
Решение. Точка М(5,—7) не принадлежит параболе
((—7)2=И=8-5), следовательно, пользоваться формулой (3)
нельзя.
Так как искомая касательная проходит через точку (5,—7),
то ее уравнение имеет вид у + 7 = k(x — 5). Общие точки
прямой y + 7 = k(x — 5) и данной параболы у2 = 8х определяет
система уравнений у + 7 = k(x — 5), у2 — 8х. Из второго
уравнения системы выразим х = у2/8. Подставляя его выражение в
первое уравнение, получим квадратное уравнение относительно у:
(k/8)y2 — у — 5k — 7 = 0. Это уравнение имеет равные корни
(касательная с параболой должна иметь одну общую точку),
когда его дискриминант равен нулю, т. е. когда 1 +4(6/8) (5й +
+ 7) = 0. Упрощая полученное уравнение, имеем квадратное
уравнение относительно k: 5k2 -f 76 + 2 = 0, решая которое
получим k\ = —1, Й2 = —2/5. Значит, условию задачи
удовлетворяют две прямые: у -\-7 = — (х — 5) и j/ + 7 = —2/5(х — 5), или
х + у + 2 = 0к2х + 5у + 25 = 0.
Пример 5. К параболе у2 = 12л: провести касательную
параллельно прямой Зх — у + 5 = 0.
Решение. Поскольку искомая касательная параллельна
прямой Зх — у + 5 = 0, то ее угловой коэффициент равен 3,
следовательно, уравнение касательной можно записать в виде
у = Зх + С.
Коэффициент С определим из условия, что касательная и
парабола имеют одну общую точку. Общие точки касательной и
параболы определяет система уравнений у2 = \2х, у = Зх-\- С.
Выражая из первого уравнения х и подставляя его во второе
75

уравнение, получим уравнение {/аУ2 — У + С = 0. Оно имеет
равные корни, когда его дискриминант равен нулю, т. е. когда
1—4-,/4С = 0, откуда С=\ и уравнение касательной у =
= 3х+ 1.
Пример 6. Относительно прямоугольной декартовой системы
координат написать каноническое уравнение параболы, если ее
уравнение в полярной системе координат имеет вид р =
= 1/(3—3cos0).
Решение Данное уравнение параболы перепишем в виде
р =( 1/3)/(1 — cos 9). Сравнивая это уравнение с уравнением
(7), заключаем, что р = 1/3. Следовательно, каноническое
уравнение параболы у2 = 2/з*.
1. Составить каноническое уравнение параболы в каждом из
следующих случаев: 1) расстояние от фокуса, лежащего на оси
ОХу до вершины равно 4; 2) расстояние от фокуса,
расположенного на оси OY, до директрисы равно 6; 3) парабола
симметрична относительно оси абсцисс и проходит через точку
А! (1,2); 4) парабола симметрична относительно оси ординат и
проходит через точку Л4(5, 1).
2. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее
имеет координаты (а, 6), параметр равен р и направление оси
симметрии совпадает: 1) с положительным направлением оси
ОХ; 2) с отрицательным направлением оси ОХ\ 3) с
положительным направлением оси OY\ 4) с отрицательным
направлением оси OY.
3. Под острым углом к горизонту брошен камень, который,
двигаясь по параболе, упал на расстоянии 24 м от
первоначального положения. Определить параметр траектории, зная, что
наибольшая высота, достигнутая камнем, равна 6.
4. Дана парабола у2 = \2х. Провести к ней касательную:
1) в точке с абсциссой х = 3; 2) перпендикулярно прямой
2х-\-у — 7 = 0; 3l) образующую с прямой 4л: — 2у + 9 = 0
угол я/4.
5. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить
параметр этой параболы, зная, что пролет арки равен 24 м, а высота
6 м.
6. Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму
параболы, параметр которой р = 0,1 м. Определить высоту
струи, если известно, что она падает в бассейн на расстоянии
2 м от места выхода.
7. Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления
расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними
равно 20 м. Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки
крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить
величину прогиба этого троса в середине между точками
крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги
параболы.
76

8. Доказать оптическое свойство параболы: луч света,
исходящий из фокуса параболы, отразившись от параболы, идет по
прямой, параллельной оси этой параболы.
9. Из фокуса параболы у2 = \2х под острым углом а к оси
ОХ направлен луч света Известно, что tga=3/4. Дойдя до
параболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой,
на которой лежит отраженный луч.
10. Составить уравнение параболы, приняв ее ось за
полярную ось и вершину за полюс.
11. На параболе р = р/(\—cos8) найти точку: 1) с
наименьшим фокальным радиусом; 2) с фокальным радиусом,
равным параметру параболы.
§ 5. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ
КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Уравнение
Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + F = 0, (1)
где А2 + С2 Ф 0, т. е. коэффициенты Л и С одновременно не равны нулю, в
прямоугольной декартовой системе координат является общим уравнением,
кривой второго порядка
1. Преобразование общего уравнения кривой
второго порядка, не содержащего произведения переменных
Такое уравнение есть частный случай уравнения (1) при В = 0 и имеет
вид
Ах2 + Су2 + Dx + Еу + F = 0. (2)
В случае, когда ни один из коэффициентов Л и С не равен нулю, А ф 0,
С Ф 0, уравнение (2) выделением полных квадратов сводится к виду
А(х-х0У + С(у-у0)* = К. (3)
Уравнение (3) можно упростить введением новой системы координат
О'Х'У, которая получается из системы координат ОХУ параллельным
переносом координатных осей, так, что новое начало О' в системе координат ОХУ
имеет координаты (х0 у0) (в этом случае х' = х — *0, у' = у — уо):
Ахп + Су" = К. (4)
Если коэффициенты А и С одного знака, то уравнение (4), а
следовательно, и уравнение (2) определяют кривую эллиптического типа и сводятся'
к одному из видов:
х"2/а* + y'W = 1 - эллипс;
х/'2/а'? + у'21Ь^ = 0 — вырожденный эллипс, т. е. точка с координатами
х' = 0, // = 0;
х'2\а2 + у'2\Ь2 = — 1 — мнимый эллипс, т. е. пустое множество точек.
Если коэффициенты А и С разных знаков, то уравнение (4), а
следовательно, и уравнение (2) определяют кривую гиперболического типа и
сводятся к одному из видов:
х'21а2 — у'21Ь2 = ± 1 — гипербо.ш,
х/2/а'2 — у'2/Ь2 = 0 — пара пересекающихся прямых у' = (b/а) х'
и у' = (- Ь/а) х'.
77

В случае, когда один из коэффициентов А или С равен нулю, например
С = 0, уравнение (2) выделением полного квадрата переменной х сводится
к виду
А(х-х0)2 + Е(у-уо) = 0 (5)
и введением новой системы координат О'Х'Ч' (х' = х — х0, у' = у — уо)
упрощается:
Ах'2 + Еу' = 0. (6)
Такое уравнение, а следовательно, и уравнение (2) определяют кривую
параболического типа и сводятся к одному из видов:
х/2 = 2qy' — парабола;
х'2 = а2 — пара параллельных прямых х' = а и х' = —а;
х'2 = 0 — пара совпадающих прямых х' —- 0, т. е. ось ОТ';
*'2 = — а2 — пара мнимых прямых, т. е пустое множество точек.
Аналогично при А = 0 уравнение (2) определяет кривую параболического
типа и сводится к одному из видав:
у'2 = 2рх' — парабола;
у'2 = £2 _ яара параллельных прямых I/' = 6 и (/' = —6;
у'2 = 0 — пара совпадающих прямых у' = 0, т. е. ось 0'Х'\
у/2 = — Ь2 — пара мнимых прямых, т. е. пустое множество точек.
Пример 1. Определить тип каждого из следующих уравнений,
привести уравнения к каноническому виду и установить, какой
геометрический образ они определяют: 1) 4х2 + 9у2 — 40л: +
+ 36^+100 = 0; 2) 4л:2 — 25у2 +
+ 50*/ — 24* + 89 = 0: 3) 9л:2 —
— 16у2 — 36л: + 32у + 20 = 0;
4) Ау2 — 8у — 2л:— 1 =0.
Решение. 1) Здесь В = 0, А и
С одного знака, следовательно,
уравнение определяет эллиптическую
кривую.
Для приведения данного
уравнения к каноническому виду
перепишем его следующим образом:
4 (х2 — Юх) + 9 (у2 + 4у) = —100,
и дополним выражения в скобках до полных квадратов:
4 (х2 — 10* + 25) + 9 (у2 + \у 4- 4) = — 100 + 100 + 36,
или после преобразований: 4(л: — 5)2 + 9(у + 2)2 = 36.
Теперь перенесем начало системы координат в точку О'(5, —2),
полагая л/ = л: — 5, у' = у-\-2. В новой системе координат
O'X'Y' последнее уравнение будет иметь вид
4х'2 + 9у'2 = 36, или л-,2/9 + у'2/4 = 1.
Это есть уравнение эллипса с полуосями а = 3, d = 2 и с
центром в точке О'(5, —2) (рис. 71).
2) Здесь В = 0, А и С разных знаков, следовательно,
данное уравнение определяет гиперболическую кривую.
После выделения полных квадратов данное уравнение
примет вид
Рис. 71.
78

4 (x - З)2 - K(y - 1 )2 = 100, или (х - 3)2/25 —(г/ -1)2/4 = 1.
Введением новой системы координат O'X'Y' (х' = х — 3, f/'•=»
= у—1) упростим последнее уравнение:
х'2/25-*/'2/4=1.
Это уравнение гиперболы с полуосями а = 5 и 6 = 2 (рис. 72).
3) Здесь В = 0, А и С разных знаков, следовательно, данное
уравнение определяет гиперболическую кривую.
Рис. 72.
0'fltf
Выделяя полные квадраты, получим 9(х — 2)2—16(#— 1)2 =
= 0, или, раскладывая левую часть на множители:
[3(*-2) + 4(t/-l)][3(*-2)-4(y-l)] = 0,
и окончательно (Зх + 4# — 10) (Зле — 4у — 2) = 0. Данное
уравнение распадается на два:
3* + 4# — 10 = 0 и 3* —4у —2 = 0,
и определяет две прямые, пересекающиеся в точке (2, 1) (рис. 73),
Рис. 73.
Рис 74.
4) Здесь В = 0 и А = 0, следовательно, уравнение
определяет кривую параболического типа.
После выделения полного квадрата переменной у 4 (у2 —
в-20+ 1) — 4 — 2*- 1 =0 получим: (j, - 1]2 = ]/2(х + 5/2).
Г9

Введением новой системы координат О'Х'У (л;'= х-f 5/2,
у' = у— 1) упростим последнее уравнение: у'2 = 1/2х'. Это
уравнение определяет параболу с параметром р= 1/4 (рис. 74).
2. Преобразование общего уравнения кривой второго порядка
Общее уравнение (1) кривой второго порядка поворотом системы
координат OXY на угол величиной а приводится к уравнению (2).
Величина угла а определяется из соотношения
clg 2а = (А - С) 12В. (7)
Переход к новой системе координат ОХ'У осуществляется по известным
формулам
{х = х' cos а — у' sin a,
(8)
у = х' sin а + у' cos а.
Значения sin а и cos а вычисляются по формулам
sin a = V(l — cos2a)/2 , cos a = VO + cos2a)/2, (9)
где
cos 2a = ctg2a/Vl + ctg22a. (10)
После приведения уравнения (1) к виду (2) дальнейшее его упрощение
производится методами, описанными в п. 1.
Пример 2. Уравнение х2 + ху + у2 — Зх— 6у+ 3 = 0 привести
к каноническому виду и установить, какой геометрический
образ оно определяет.
Решение. Систему координат OXY повернем на угол,
величину которого определим по формуле (7):
ctg 2a = (А - С)/2В = (1 — 1)/2 -1=0, 2а = л/2, а = я/4.
Тогда согласно формулам (8)
, л/2 , л/2 х' — у' , л/2 . , л/2 х' + у'
х = х' — у' -*— = -~-, у = х' — h У -У— = —т^~ •
22 л/2 22 лД
Подставляя найденные выражения х и у в данное уравнение,
получим уравнение данной кривой в системе координат OX'Y':
( х' - у' Y , *'-/ *' + / ,
I V2" J + л/2 Л/2 +
+ С~7^~J ~3-^—6-W~ + 3-°'
или после упрощений З*'2 + */'2 — 9 л/2 х' — 3 V2 / + 6 = 0.
Это уравнение есть уравнение вида (2), причем в нем Б = 0,
А и С имеют одинаковые знаки, следовательно, оно, а значит, и
данное уравнение определяют эллиптическую кривую.
Выделяя в последнем уравнении полные квадраты;
3 (*' - 3 V2")2 + (/ - 3 УЗ? = 12,
80

и вводя новую систему координат 0'X"Y" (х" = х' — 3 У2~, у" =
= у' — 3д/2 ), в этой системе координат получим уравнение
л:"2/4+*/"2/12=1,
которое определяет эллипс с полуосями а = 2, 6 = 2 д/3 и с
фокусами, расположенными на оси O'Y" (рис. 75).
Пример 3. Какой
геометрический образ определяет
уравнение Ах2 — Axtj + У2 + 4л: —
— 2# + 1 = О?
Решение. Сведем данное
уравнение - к каноническому
виду, для чего сначала
освободимся от члена,
содержащего произведение ху.
По формуле (7) найдем
ctg 2a=(4-l)/(-4)=-3/4.
По формуле (10) вычислим
cos 2а = (-3/4)/У 1+9/16 =
=—3/5 и по формулам (9)
sin а =У(1 +3/5)/2=2/У5~,
cosct=y(l-3/5)/2= 1/У5.
Тогда согласно формулам
(8)
_ х' ,2 _ х' — 2у'
Х~ Л/5 Ул/5~ л/5 ; У_Л У5
Подставляя найденные выражения х и у в данное уравнение,
получим уравнение кривой в системе координат OX'Y':
/ х' — 2у'ч
4("
У = х —т=г
Рис. 75.
vr
2х" + у'
V5
_ 'У 1 *'-_^' 2*'+/ ■
V5 / V5 V5
^ 2х' + у' Л2 , . х' - 2у'
о 2х' + у'
V5
1=0,
исходное опреде-
0.
или после упрощений (У5 у' — 1 )*" = 0.
Последнее уравнение, а следовательно, и
ляют пару совпадающих прямых у' — 1/д/5 =
1. Определить тип каждого из следующих уравнений,
привести уравнения к каноническому виду и установить, какой
геометрический образ они определяют: 1) х2-\-2у2-\-4х — 4t/ = 0;
0; 4) 6л-2 +
0; 6) 4</2+.
2) Ах2 —у2 — 8л: — 6*/ — 4 =0;3) Ах2 + Ах + 2у — 1
+ 8у2 + 3х — 4у+1 = 0; 5) 2л:2 + 6л: + Зу + 6 =
+ Ах — 2у + 1 =0.
2. Следующие уравнения привести к каноническому виду и
установить геометрические образы, ими определяемые: 1) 5л:2 -f-
81

+ 8ху + 5у2—18х-18у + 9 = 0; 2) бху - 8y2 + 12* -^ 26y -
-11=0; 3) 7х2+16ху-23у2—Ш-16у- 218 = 0; 4) 9jc2+
+24xt/ -J- 16f/2 — 40a: + 30y = 0.
Глава IV
ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
§ 1. ВЕКТОРЫ.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ.
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА.
НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ ВЕКТОРА
Величины, которые вполне определяются их числовым значением (время,
температура, масса, длина отрезка, площадь, объем и т. д.), называются ска-
лАрными. Для характеристики скалярных величин служат вещественные <1исла
(скаляры).
Величины, определяемые не только их числовым значением, но и
направлением (сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля и др.),
называются векторными, и для их характеристики служат векторы.
Вектором называется направленный отрезок прямой, т. е. отрезок, один
из концов которого объявлен началом, а другой — концом.
Векторы будем обозначать одной маленькой или двумя большими
полужирными буквами: а, АВ. На чертеже векторы изображаются отрезками,
снабженными стрелками, указывающими их направление (рис. 76).
• *•
А В
Рис. 76.
Длина вектора называется его модулем и обозначается |а|, |АВ|. Длина
вектора а — величина неотрицательная, т. е. | а | ^ 0.
Два вектора а и b называются равными, а = Ь, если:
1) они расположены на одной или параллельных прямых;
2) имеют равные модули;
3) одинаково направлены. (На рис. 76 а = Ь.)
Из определения равенства векторов следует: начало любого вектора может
быть выбрано произвольно, параллельное перемещение вектора не меняет
вектора.
Вектор, у которого конец и начало совпадают, называется нулевым
вектором, или нуль-вектором, и обозначается 0. Нулевой вектор имеет длину,
равную нулю, и не имеет определенного направления.
Вектор а' = —а называется противоположным вектору а, если он
расположен на той же прямой (или прямой, ей параллельной), что и вектор а,
имеет тот же модуль, но направлен в противоположную сторону. (На рис. 70
вектор с противоположен вектору Ь.)
82

Суммой а + b векторов а и b называется вектор с, направленный из
начала вектора а в конец вектора Ь, при условии, что начало вектора b
совмещено с концом вектора а.
Для нахождения суммы двух данных векторов а и b (рис. 77) пользуются
«правилом треугольника»: при любой точке А строят векторы АВ = а и ВС =
= Ь, тогда вектор АС = а + b (рис. 77, а); или «правилом параллелограмма»:
векторы а и b приводят к общему началу А (А В' = a, AD = b) и на них как
-► А
Рис 78.
на сторонах строят параллелограмм, диагональ АС этого параллелограмма,
выходящая из той же вершины А, является суммой двух векторов (рис. 77,6).
Чтобы построить сумму нескольких векторов а/, где /= 1, 2, ..., п,
достаточно совместить начало каждого последующего вектора а/ с концом
предыдущего a/-i и построить вектор а,
соединяющий начало первого вектора ai с концом
последнего вектора а„ (рис. 78).
Сложение векоторов 1) коммутативно:
a + b = b + a; (1)
2) ассоциативно:
а + (Ь + с) = (а + Ь) + с = а + b + с.
(2)
Сумма взаимно противоположных
векторов есть нуль-вектор, т. е.
а + (-а) = 0 (3)
Разностью а — b векторов а и b называется гакой вектор х, который в
сумме с вектором b дает вектор а, т. е. х = а — Ь, если b + х = а.
Для построения вектора a —b векторы а и b приводят к общему началу.
Тогда вектор, соединяющий конец второго вектора b с началом первого
вектора а, и есть вектор а — b (рис. 79, а).
Справедливо соотношение
а—Ь=а+ (—Ь),
которое позволяет указать другое правило построения разности векторов: для
построения разности а — b векторов а и b достаточно к вектору а прибавить
вектор —Ь, противоположный вектору b (рис. 79. б).
Произведением вектора а на вещественное число X называется вектор,
обозначаемый Ха или аХ, длина которого равна |Х| -|а|, а направление совпадает
с направлением вектора а, если X > 0, и противоположно направлению
вектора а, если X < 0.
Умножение вектора на число: 1) ассоциативно относительно числовых со-
множителей:
(Хц)а = Х(ца); (4)
2) дистрибутивно относительно сложения чисел и сложения векторов:
(X + |л)а = Ха + ца, Х(а + Ь) = Ха + ХЬ. (5)
83

Вектор единичной длины называется единичным вектором, или ортом.
Орт а0> совпадающий по направлению с вектором а ф 0 или с числовой осью,
называется соответственно ортом вектора а, или ортом числовой оси.
Орт ао вектора а ф 0 определяется из соотношения
а0 — а/|а|. (6)
Векторы а и b называются коллинеарными, если при приведении их к
общему началу они лежат на одной прямой Нуль-вектор коллинеарен любому
вектору, каждый вектор коллинеарен самому себе.
Рис. 79.
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов а
и b является существование соотношения
аа + pb = 0 (а2 + Р2 Ф 0), (7)
или
a = ХЪ (если b ф 0). (7')
Векторы a, b и с называются компланарными, если при приведении их к
общему началу они лежат в одной плоскости.
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a, b
и с является существование соотношения
аа + pb + ус = 0 (а2 + р2 + у2 Ф 0). (8)
Если векторы а и b не коллинеарны, то любой третий компланарный им
вектор с единственным образом может быть «ра?ложен по векторам а и Ь»
(или «по базису а, Ь»), т. е. представлен в виде
с = аа + pb. (Э)
Два вектора, разложенные по одному и тому же базису а, Ь,
коллинеарны, если соответствующие коэффициенты в их разложениях пропорциональны.
Если векторы a, b и с не компланарны, то любой четвертый вектор d
единственным образом может быть «разложен по векторам a, b и с» (или «по
базису а, Ь, с»), т. е. представлен в виде
d = aa + Pb + YC- (10)
Два вектора, разложенные по одному и тому же базису а, Ь, с,
компланарны, если соответствующие коэффициенты в их разложениях пропорцио
нальны.
Если i, j, k — орты координатных осей прямоугольной декартовой системы
координат OXYZ, то любой вектор а единственным образом раскладывается
по координатным ортам:
a = Xi + yj + Zk, (11)
где X, У, Z — вещественные числа, называемые координатами вектора а в
системе OXYZ. Тот факт, что числа X, У, Z — координаты вектора а,
записывается так: а = {X, Y, Z).
84

Если вектор АВ задан -двумя точками А(х\ч у\% г\) и В(х2 ц2у z2), то его
координаты X, У, Z вычисляются по формулам
X == х2 — хи У = у2 — Ни 2 = 22 —2j. (12)
Два вектора a = {Хь Уь ZJ и b = {Х2, Кг, ^г} равны тогда и только тог-
да, когда равны их соответствующие координаты:
Х{ = Х2, К, = У2, Zi = Z2; (13)
коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты
пропорциональны:
XJX2=YlIY2 = ZlIZ2. (14)
Три вектора a = {Хи Уь Z^, b = {Х2, Y2, Z2} и с = {Х3, У3, Z3} «ожпла-
парны тогда и только тогда, когда
Xi Yx Zx
Х2 Y2 Z2
лз Уч Z%
(15)
При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при
вычитании —вычитаются, при умножении вектора на число — умножаются на
это число:
а + b _ {Хх + Х2. У, + У2, Z, + Z2}, (16)
а - b = [Хг - Х2у У, - Г2, Z, - Z2}, (17)
Ла—{Л*ь ЯГ,, XZil, если а = {X,, У,, Z^, b = {*2, Г2, Z2} (18)
Модуль вектора а =. {X, Y,Z) высчитывается по формуле
|a' = V^ + y2 + Z2. (19)
Если вектор а = {Я, У, Z} составляет с осями координат OX, OYy OZ
соответственно углы величиной а, р, у (за величину угла между вектором и
числовой осью принимается величина ф неориентированного угла, заключенная
в промежутке [0, л], при этом ф = 0, если направления вектора и оси
совпадают, ф = я, если их направления противоположны), то косинусы этих углов
называются направляющими косинусами вектора а и вычисляются по
формулам
cos а = X/V*2 +Y2+ Z2. cos р = Y/л/Х2 + У2 + Z2.
, , (20)
cos у = Z/л/Х2 + Y2 + Z2
Для направляющих косинусов вектора выполняется соотношение
cos2 a + cos2 Р + cos2 у = 1 (21)
Направляющие косинусы вектора и его модуль вполне определяют
положение вектора в пространстве относительно заданной системы координат.
Пример 1. По данным векторам а и b построить вектор
7*а —ЗЬ.
Решение Пусть а и b — данные векторы (рис. 80).
Возьмем произвольную точку А пространства и построим векторы
АВ = Уга и АС = ЗЬ. Тогда согласно определению разности
векторов вектор С В = '/2а —ЗЬ.
Пример 2. Как должны быть связаны ненулевые векторы а и
Ь, чтобы имело место соотношение: 1) |a + b| = |a —b|;
2) a/|a| = b/|b|?
85

Рис. 80.
Решение. 1) Равенство |a + b| = |a — b| означает, что
длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а
и Ь, равны. А такой параллелограмм есть прямоугольник,
следовательно, векторы а и b перпендикулярны.
2) В левой части равенства а/|а| = b/|b| записан орт а0
вектора а, а в правой части — орт bo вектора Ь. Равенство ортов
двух векторов означает
а / их одинаковую направ-
Ъ\^^^^* ленность, значит,
векторы а и b имеют
одинаковые направления.
Пример 3. Показать,
что если сумма a-f-b-f-c
трех ненулевых векторов
a, b и с равна нуль-вектору, то из этих векторов можно
составить треугольник.
Решение. Равенство а + Ь + с = 0 согласно правилу
сложения векторов означает, что если начало вектора b совместить
с концом вектора а, а начало вектора с — с концом вектора Ь,
то конец вектора с совместится с началом
вектора а (рис. 81), т. е. ломаная,
составленная из векторов, замкнется, образуя
треугольник.
Пример 4. Три силы m, n и р,
приложенные к одной точке, имеют взаимно
перпендикулярные направления. Определить
величину их равнодействующей г, если известны величины сил:
|т| = 2, |п|=10, |р|=11.
Решение. Так как силы взаимно перпендикулярны, то их
равнодействующая направлена по диагонали параллелепипеда,
построенного на векторах m, n и р как на сторонах, и ее
величина |г| равна длине этой диагонали. Тогда
Рис. 81.
|r|=Vlm|2 + |n|2 + |p|2=V4+100+121 = 15.
Пример 5. Даны векторы_а и Ь. Коллинеарны ли векторы
р, = а —2УЗ~Ь и р2= — У3~а + 6Ь?
Решение 1. В разложении вектора р2 вынесем за скобку
— У3~: р2= — Уз (а — 2 уз b). Тогда р2 = — V3 Pi» что
свидетельствует о том, что векторы pi и р2 коллинеарны и
противоположно направлены.
Решение 2. Так как два вектора, разложенные по некол-
линеарным векторам, коллинеарны, если соответствующие
коэффициенты в разложениях пропорциональны, то,_проверяя_это
условие для данных векторов pj и р2: 1/ — УЗ = —2 УЗ /6,
убеждаемся в их коллинеарности.
Решение 3. Чтобы найти линейную зависимость между
векторами pi и р2 (т. е. представить их в виде api -+- рр2 = 0, где
86

аир одновременно не обращаются в нуль), надо из равенств,
их определяющих, исключить векторы а и Ь; если этого сделать
нельзя, то векторы pi и р2 не коллинеарны.
Из первого разложения исключим вектора: a = p1 + 2yr3~b;
из второго разложения — вектор Ь: _Ь = рз/6 +_УЗа /б, или, так
как а = р, + 2 V3 b, b = р/6 + д/3 (pi + 2 л/3 Ь)/б и
окончательно b = Р2/6 + л/3" Pi/6 + b. Отсюда рз/6 + д/з" Pi/б = О,
что и свидетельствует о коллинеарности векторов pi и р2.
Пример 6. Из точки О выходят два вектора ОА = а и ОВ = Ь.
Найти какой-нибудь вектор ОМ, идущий по биссектрисе угла
АОВ.
Решение. Найдем орты а0 и Ь0 векторов а и Ь: а0 = а/|а|,
Ьо = Ь/1Ь|, и на них как на сторонах построим ромб (рис. 82).
Тогда, так как диагональ ромба
делит его углы пополам, вектор ОМ =
= а0 + Ьо, или OM = a/|a|+b/|b|,
лежит на биссектрисе угла АОВ.
'Пример 7. Даны три вектора: а =
= {3,-1}, Ь={1,—2} и с—{—1,7}.
Определить разложение вектора р = 0
= а + b + с по базису а, Ь.
Решение. Зная координаты
векторов a, b и с, найдем по формуле
(16) координаты вектора р: р={3 + Рис.82.
+ 1-1,-1-2 + 7}, р={3,4}.
Если аир — коэффициенты разложения вектора р по
базису а, Ь, то p = aa + pb. Разложим векторы р, а и b по
координатным ортам i и j: p==3i + 4j, a = 3i — j, Ь = i — 2j. Тогда
31 + 4j = a (31 - j) + P (i - 2j), или 31 + 4j = (3a + P) i + (-a -
— 2p)j. Так как два вектора равны тогда и только тогда, когда
равны их соответствующие координаты, то 3 = За + р, 4 = —а —
— 2Р, откуда a = 2, р = —3. Тогда р = 2а — ЗЬ.
Пример 8, Определить координаты вектора Ь, если известно,
что он направлен в противоположную сторону к вектору а = 5i —»
— 4j + 2V2k, и его модуль равен о.
Решение. По формуле (6) найдем орт а0 вектора а, для
чего предварительно по формуле (19) найдем модуль вектора аз
| а | = V52 + (-4)2 + (2 д/2")2 - 7,
а0 = а/| а |= 1/7 (51 - 4j + 2 ^2 к).
Так как вектор b направлен в противоположную сторону к
вектору а, то его орт b0 = —а0, т. е. Ь0 = —y7(5i — 4j + 2^2k),
а так как модуль вектора b равен 5, то Ь = 5Ь0. Отсюда
b = - (25/7j i + (20/7) j - (10 v"2"/7) k.
87

Пример 9. Лежат ли три точки Л (2,4, 1), В (3,7,5) и
С (4, 10,9) на одной прямой?
Решение. Точки Л, В и С лежат на одной прямой, если
векторы АВ и ВС коллинеарны. По формуле (12) найдем
координаты векторов АВ и ВС:
АВ={3—2, 7—4, 5—1} = {1,3,4}, ВС={4—3, 10-7, 9—5} =
= {1,3,4}.
Соответствующие координаты векторов АВ и ВС
пропорциональны: 1/1 =3/3 = 4/4, следовательно, векторы АВ и ВС
коллинеарны, и точки Л, В и С лежат на одной прямой.
Пример 10. Принадлежат ли четыре точки Л(1,—1,—2),
£(6,5,5), С(7, 6, 7) и D (5,4,3) одной плоскости?
Решение. Точки Л, В, С и D лежат в одной плоскости,
если векторы АВ, АС и AD компланарны. Найдем координаты
этих векторов (формула (12)):
АВ = {6-1, 5+1, 5 + 2} = {5, 6, 7},
АС = {7-1, 6+1, 7 + 2} = {6, 7, 9},
AD = {5-1, 4+1, 3 + 2} = {4, 5, 5};
и по условию (15) проверим их компланарность:
15 6 71
6 7 9=175 + 216 + 210— 196 — 225 — 180 = 0.
4 5 51
Точки Л, В, С и D лежат в одной плоскости.
Пример 11. Вектор а составляет с координатными осями ОХ
и OY углы а = 60° и (3=120°. Найти его координаты, если
длина равна 2.
Решение. Найдем направляющие косинусы вектора а:
cos a = cos 60° = 1/2, cos р = cos 120° = —1/2> Для нахождения
третьего направляющего косинуса воспользуемся соотношением
(21): cos2a +cos2p + cos2y = 1, откуда cosy=±V2/2.
Значит, условию задачи удовлетворяют два вектора: ai с
направляющими косинусами cos a = 1/2, cos р = — 1/2, cosy = V2"/2 и
а2 с направляющими косинусами cos а = 1/2, cos р = — 1/2,
cos y = — У2 /2. Координаты {Х\, Y\, Z{} и {Х2> Y2, Z2} этих
векторов найдем из соотношений (20): для вектора ai
1/2 = ^/2,^=1; -1/2 = 172, Г, = -1; V2/2 = Z,/2,Z, = V2;
для вектора а2
1/2 = ^/2,^2=1; -1/2 = 172, Г2=-1;
-V2/2 = Z2/2,Z2=-V2".
Тогда а1 = {1, -1, л/2~} и a2 = {l, -1, - л/2~}.
88

Пример 12. Разложить ветер, дующий со скоростью 10 м/с
с северо-запада под углом в 150° к северу, на западную и
северную компоненты.
Решение. На рис. 83 вектор АВ — вектор скорости
данного ветра, а векторы АС и AD — его составляющие западная и
северная компоненты. Так как
ACBD — прямоугольник, то |АС| =
= |AB|sin30° = 5, |AD| = |AB|X
X cos 30° = 5УЗ. Значит, западная
компонента равна 5 м/с, а северная —
5 УЗ м/с.
1. Как должны быть связаны
векторы а и Ь, чтобы выполнялись
соотношения: 1) a + b = X(a —b); 2) |а +
+Ь| = |а| + |Ь|; 3) |а+Ь| = |а|-|Ь|;
4) |а-Ь| = |а| + |Ь|; 5) |а + Ь|>
>|а —Ь|; 6) |а + Ь|<|а —Ь|?
2. В треугольнике ABC проведены
медианы AD, BE и CF. Найти сумму
векторов AD + BE + CF.
3. Точка О является центром тяжести треугольника ABC.
Доказать, что ОА + ОВ + ОС = 0.
4. К двум тросам подвешен груз массой 30 кг (рис. 84).
Определить силы, возникающие в тросах, если ZACB= 120°.
у/////////////////////////
Рис. 84.
Рис. 85.
5. Груз массой 60 кг поддерживается двумя стержнями: АВ и
СВ (рис. 85). Определить силы, возникающие в стержнях, если
ZACB = 90°, ZABC = 30°.
6. В тетраэдре ABCD даны ребра, выходящие из вершины А:
AD = d, AB = b, AC = с. Выразить через эти ребра остальные
ребра тетраэдра, медиану DM грани BCD и вектор AQ, где
Q —центр тяжести грани BCD.
7. Зная разложение векторов I, m и п по трем
некомпланарным векторам a, b и с, проверить, будут ли векторы 1, m и п
компланарны, и в случае утвердительного ответа дать линейную
89

зависимость, их связывающую: 1) 1=2а — b — ct m=2b — с—-а,
п = 2с — а — Ь, 2) I = а + b + с, m = b + с, п = —а + с.
8. Доказать, что для двух неколлинеарных векторов а и Ь,
исходящих из одной точки, вектор |b|a-f|a|b коллинеарен
биссектрисе угла, определяемого векторами а и Ь, а вектор
|Ь|а — |а|Ь коллинеарен биссектрисе смежного с ним угла.
9. Представить вектор d ={4,12, —3} как линейную
комбинацию векторов а ={2,3, 1}, Ь={5, 7, 0} и с={3, —2,4}.
10. Из одной точки проведены векторы а={—12,16} и Ь =
= {12,5}. Найти координаты единичного вектора, который,
будучи проведенным из этой же точки, делил бы угол между
векторами а и b пополам.
11. Даны векторы а ={2,3}, Ь = {1,—3}, с ={—1,3}. При
каком значении коэффициента а векторы p = a-f-cxb и q =
= a + 2с коллинеарны?
12. Проверить, что четыре точки Л(3, —1, 2), В(1, 2, — 1),
С(—1,1,-3) и D (3,—5,3) служат вершинами трапеции.
13. Луч образует с двумя осями координат углы в 60°. Под
каким углом наклонен он к третьей оси?
14. Разложить северо-западный ветер, скорость которого
5,7 м/с, на западную и северную компоненты.
15. Камень лежит на склоне, тангенс угла которого равен
1/7. Какова компонента вертикальной силы, действующей на
камень в направлении вдоль склона, если вес камня равен mg?
16. Найти направление и скорость ветра, являющегося
результатом взаимного действия морского бриза, дующего на
берег со скоростью 14 м/с, и ветра, дующего с берега на море со
скоростью 9 м/с и под углом в 60° к береговой линии.
17. Ветер, дующий в горизонтальном направлении со
скоростью 2,5 м/с, обусловливает подъем некоторой массы кучевых
облаков со скоростью 5 м/с. Определить направление и
скорость движения облаков.
§ 2. РАДИУС-ВЕКТОР ТОЧКИ ПРОСТРАНСТВА
Если в пространстве выбрана точка О (полюс), то каждой точке М
пространства соответствует единственный вектор ОМ, связывающий полюс с этой
Рис. 86. Рис. 87
точкой, и, наоборот, каждому вектору г соответствует единственная точка
М — конец вектора г, отнесенного к полюсу (рис. 86).
90

Вектор г, определяющий положение точки М пространства относительно
полюса О, называется радиус-вектором точки М, что записывается так: М(т).
Если даны две точки Mi(ri) и М2(гг), то вектор, их соединяющий (рис.87),
равен разности радиус-векторов этих
точек:
MiJVb = г2 — Гь
(1)
Радиус-вектор г точки Му делящей
отрезок M\M2t Mi(ri), Мг(гг), в
отношении К (рис. 88), определяется по
формуле
г-(г, + А,г2)/(1 + Л). (21
Если, в частности, точка
М—середина отрезка М\Мг, то
г=(г, + г2)/2. (3)
Рис. 88.
Если полюс О совпадает с началом О прямоугольной декартовой системы
координат OXYZ, то координаты радиус-вектора г = {X, У, Z} точки М
совпадают с ее декартовыми координатами х, у, г, т. е. X = ху Y = у, Z = г.
Пример 1. Даны радиус-векторы п, г2 и г3 трех
последовательных вершин параллелограмма. Найти радиус-вектор его
четвертой вершины.
Решение. Пусть данные радиус-векторы определяют
соответственно вершины А(т\), В(т2) и С(г3) (рис. 89). Тогда
вектор АВ=г2 —п. Векторы АВ
и DC равны, следовательно,
DC = r2 — гь а значит, искомый
радиус-вектор г = г3 — (г2 —
— г1) = г1 —г2 + г3.
Пример 2. Записать условие
принадлежности одной плоскости
четырех точек Л(п), В(г2), С(г3)
и/)(г4).
Решение. Очевидно, что
для принадлежности точек Л, В,
С и D одной плоскости
необходимо и достаточно, чтобы
векторы АВ, АС и AD были
компланарны (рис. 90). Найдем эти
гь АС = г3 — гь AD = r4 — гь и запишем
условие их компланарности (формула (8) из § 1): а(г2 — n)-f-
+ Р(г3 — Г0 +v(r4 — г0 = 0 (ct2 + p2 + Y2=£0), которое и
является условием принадлежности точек А(Г\)У В(г2), С(г3) и
D(r4) одной плоскости.
Пример 3. Найти точку, делящую отрезок МХМ2 в
отношении Х = 2У если известны радиус-векторы п = —3i + 2j +4k и
г2 = 61 + к концов этого отрезка, т. е. М\ (—3i + 2j + 4k),
M2(6i + k).
векторы: А В =г2
91

Решение. Если г — радиус-вектор искомой точки, то
согласно формуле (2)
г =
ri + Яг2
или
r=-31 + 2i+4+k + 2(61 + k)=3i+-|j + 2k,
1 + Я
и M(3i + |j + 2k).
1. Зная радиус-векторы п, г2 и г3 трех последовательных
вершин параллелограмма, найти радиус-вектор г точки
пересечения диагоналей параллелограмма.
2. Зная радиус-векторы rlf r2 и r3
вершин треугольника, найти
радиус-вектор точки пересечения его медиан.
3. Записать условие принадлежности
трех точек Л (г^, В(г2) и С(г3) одной
прямой.
4. Даны три последовательные
вершины трапеции А(г\), В(г2) и С(г3).
Найти радиус-векторы: г4 четвертой
вершины D, г' точки пересечения
диагоналей, зная, что основание AD в X раз
больше основания ВС.
5. Зная радиус-векторы rAf rB, rD, rA четырех вершин
параллелепипеда ABCDA'B'C'D'', найти радиус-векторы четырех
остальных его вершин.
6. Даны две смежные вершины А(\ -|- 3j — 3k) и S(2i — 5j -\-
-f- 5k) параллелограмма и точка /C(i-f j-fk) пересечения его
диагоналей. Найти остальные вершины.
§ 3. СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Скалярным произведением (а, Ь) двух векторов а и b называется число,
равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними,' т. е.
(а Ь) = |а|-|Ь|-соз(аГь). (1)
(За угол между векторами а и b принимается неорчентироранный угол,
образованный этими векторами при приведении
их к общему началу (рис. 91).)
Скалярное умножение векторов 1) ком-
мутативно:
(а, Ь) = (Ь. а); (2)
2) ассоциативно относительно умножения
на число:
(аа, b) = a (a\ b) (a, pb) = р (а, Ь) (3)
3) дистрибутивно относительно сложения
секторов:
(а, + а2, Ь) = (аь b) + (a,, b), (a. Ь, +
+ Ь2)-(а, Ь,)+(а, Ь2). (4)
Для двух векторов а и Ь:
1) (а, Ь) = О тогда и только тогда, когда угол между ними прямой)
(а Ь) = л/2, или один из векторов есть нуль-век iop;
/
Рис. 91,
У2

2) (a, b) > 0 тогда и только тогда, когда угол между ними острый:
О <(а?Ь)<л/2;
3) (а, Ь) < 0 тогда и только тогда, когда угол между ними тупой;
л/2 < (аГь) < л.
Скалярное произведение (а, а) называется скалярным квадратом. Ясно,
что
(а, а) = |а|2. (5)
Для координатных ортов i, j, k прямоугольной декартовой системы
координат
(I. 0 = (], J) = (k, Ю = 1, (6)
(1, j) = (i, k)-а ю=о. (7)
Если векторы а и b заданы своими координатами а = {Xh Yu Z\), b =
= {Х2, Y2, Z2], то в такой системе
(a, b)^XxX2 + YiY-l + ZlZ2t (8)
cos (О) = XXX2+YXY2 + ZXZ2 (9)
ylx]+Y\+z{ V^2+^2+Z2
Векторы а и Ь, скалярное произведение которых равно нулю, называются
ортогональными.
Пример 1. Вычислить скалярное произведение векторов
За —2Ь и a -f- 2b, если векторы а и b образуют угол ф = 2я/3
и |а| = 3, |Ь| = 4.
Решение. Согласно свойствам (2) — (4) векторные
многочлены можно перемножать по правилам умножения
алгебраических многочленов. Тогда (За — 2Ь,
а + 2Ь) = (За,а) + (-2Ь,а) + (За,
2b) + (-2b, 2Ь) = 3(а, а)- 2(а, Ь) +
+ 6(а, b)-4(b, b) =3|a|2 + 4(а,
b) —4|b|2 = 3-32+4.3-4cos2ji/3 —
_4-42 = — 61.
'Пример 2. Доказать, что вектор
р = (а, c)b — (а,Ь)с ортогонален
вектору а.
Решение. По определению Рис.92,
два вектора ортогональны, если их
скалярное произведение равно нулю. Высчитаем скалярное
произведение векторов р и а: (р, а) = ((а, c)b —(a, b)c, а)—
= ((а,c)b, a) —((a,b)c, а). Если вынести за знак скалярного
произведения числовые множители (а, с) и (а, Ь), то (р, а) =
= (а,с) (Ь, а) — (а, Ь) (с,а) = 0. Следовательно, векторы р и а
ортогональны.
Пример 3. Треугольник ABC задан векторами АВ=Ь и
АС = с. Выразить через векторы b и с вектор h, направленный
по высоте АН (рис. 92).
Решение. Выразим вектор h через векторы АВ и ВН:
h = AB + BH = b + BH.
Так как вектор ВН коллинеарен вектору ВС = с —Ь, то ВН =
^Х(с-Ь). Тогда h = b + Mc-b}.
93

Для нахождения величины X воспользуемся
перпендикулярностью векторов АН и ВС. Так как они перпендикулярны, то
(АН, ВС) = 0, или (Ь + Х(с— Ь), с — Ь)= 0. Раскрывая
скалярное произведение, получим (Ь, с) + Х(с, с — Ь) — (Ь, Ь) — ЦЬ, с —
— Ь) = 0, откуда
(Ь,Ь)-(Ь,с) или Я=_(М>^0 <Ь,Ь-с)
(с, с - Ь) - (Ь, с - b) ' ri " (b - с, b - с) — | b - с |2 '
Подставляя значение X в выражение вектора h, окончательно
получаем
h = b+-^f(c-b).
Пример 4. Вычислить величину угла между векторами р =
= За + 2Ь и q = а + 5Ь, где а и b — единичные взаимно
перпендикулярные векторы.
Решение 1. Согласно формуле (1) cos(p, q) = (p, q)/|p|X
X|q|. Так как а и b — единичные взаимно перпендикулярные
векторы, то
(р, q) = (3a + 2b,a + 5b) = 3.|a|2 + 2(a, b)+15(a, b) +
+ 10|Ь|2 =3 + 2-0+ 15-0+ 10= 13,
I PI = V(p7pT= V(3a + 2b, 3a + 2b)= л/9ТТ= >y/W,
Iq 1= V(qTq)= V(a + 5b, a + 5b) = V^+25 = ^/W.
Тогда cos(pTq)= 13/V13 V26= l/V2 и (pTq) = n/4.
Решение 2. Если единичные взаимно перпендикулярные
векторы а и b принять за координатные орты прямоугольной
декартовой системы координат OXY, то в этой системе
координат векторы р и q будут иметь следующие координаты: р ={3,2},
q ={1, 5}, и тогда по формуле (9)
, -""\ 3-1+2-5 1 , ,^ ч ..
cos (p, g) = . ' =- = —— и (р, q) = Ji/4.
VF' Ч/ л/32 + 22 лЛ2 + 52 л/2
Пример 5. Даны векторы а={4, —2, —4} и Ь={6, —3,2}.
Вычислить скалярное произведение векторов 2а —ЗЬ и а + 2Ь.
Решение. Найдем координаты векторов 2а —ЗЬ и а + 2Ь:
2а — ЗЬ={2-4 — 3-6, 2-(—2) —3-(—3), 2-(—4) — 3-2} =
= {—10, 5, -14},
а + 2Ь={4 + 2.6, _2 + 2-(—3), —4 +2-2} = {16,—8,0}.
Тогда согласно формуле (8)
(2а —ЗЬ, а + 2Ь) = —10-16 + 5- (—8)— 14-0 = —200.
Пример 6. Даны вершины треугольника А(—1,-2,4),
В(—4,—2,0) и С(3,—2,1). Определить величину его
внутреннего угла при вершине В,
94

Решение. Угол, равный внутреннему углу В треугольника
ABC, образован векторами ВА и ВС (а не векторами АВ и ВС,
которые образуют внешний угол при вершине В (рис. 93)).
Определим координаты этих векторов:
ВА={-1 + 4, -2 + 2, 4-0} = {3,0,4}, ВС={3 + 4, -2 +
+ 2, 1 —0} = {7,0, 1},
и их модули:
| ВА | = л/32 + 02+ 42 = 5, | ВС |= V72 + О2 + 12 = 5 д/2^
По формуле (9)
соз(ВАГвС) = ^±^±±± = ^.
5 • 5 V2 V2
Отсюда (ВЛ7вС) = л/4.
Пример 7. Вектор х перпендикулярен векторам а = 31 + 2j +
+ 2k и b = 18i — 22j — 5k и образует с осью OY тупой угол.
Найти его координаты, зная, что |х|= 14.
Решение. Запишем координаты векторов а и b: a =
= {3,2,2}, b ={18, —22, —5}, и пусть X, У, Z —координаты
вектора х, х = {Х, У, Z}. Так как вектор х перпендикулярен
векторам а и Ь, то 3X + 2y + 2Z = 0 и 18Х — 22У — 5Z = 0, а так
как |х|=14, то по формуле (19) из § 1 X2 + У2 + Z2 = 196.
Решая систему уравнений 3* + 2У + 2Z = 0, 18* — 22У —
— 5Z = О, X2 + У2 + Z2 = 196, получим координаты двух
векторов xi = {—4, —6, 12} и х2 = {4, 6, —12}.
Искомый вектор х образует с осью OY тупой угол. Это
означает, что скалярное произведение вектора х на орт j оси OY есть
величина отрицательная. Проверим, какой из векторов: Xi или
х2, удовлетворяет этому условию. Запишем координаты орта
j: j ={0,1,0}, и по формуле (8) высчитаем скалярные
произведения:
(Xl, j) = —40 — 6-1 + 12-0 < 0, (х2, j) = 4-0+ 6-1-12-0 >0.
Следовательно, искомый вектор есть вектор х ={—4, —6, 12}.
Пример 8. Даны три силы: Fi = 5i + 2j — 7k, F2 = 31 + 6j +
+ 4k и F3 = 121 + j + 15k. Найти величину, направление
равнодействующей силы R и работу, которую она производит, когда
95

точка М\(0У 1,0) ее приложения, двигаясь прямолинейно
перемещается в положение Л12(1,0, 1).
Решение. Найдем равнодействующую сил Fi, F2 и F3:
R = F! + F2 + F3 = (51 + 2] — 7k) + (3i + 6] + 4k) + (121 +
+ j+15k) = 20i + 9j + 12k, или R = {20, 9, 12}.
По формуле (19) из § 1 найдем ее величину |R|: |R| = 25.
Направление равнодействующей R определяется ее
направляющими косинусами. По формулам (20) из § 1
cos a = X/\ R| = 20/25 = 4/5, cos p = У/| R| = 9/25,
cos Y = Z/|R|= 12/25.
Искомая работа А =| R| • |MiM2|cos(R, MiM2), т. е. А =
= (R, Л/^Мг). Найдем координаты вектора MiM2: MjM2 = {1—0,
0—1, 1—0} = {1, —1, 1}, и вычислим A: 4=(R, MiM2) =
= 20-1 +9-(—1)+ 12-1 =23.
1. Найти скалярное произведение коллинеарных и
противоположно направленных векторов а и Ь, если |а| = 3, |Ь|=1.
2. Векторы а и b взаимно перпендикулярны; вектор с
образует с ними углы, равные я/2. Зная, что |а| = 3, |Ь| = 5, |с| = 8,
вычислить (а + b + с)2.
3. Найти модуль вектора а = —m + 2п, где m и п —
единичные векторы, угол между которыми равен 45°.
4. Вычислить длину диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах А = 5р 4- 2q и В = р — 3q, если известно, что
|рI = 2л/2, |q| = 3 и (рТя) = я/4.
5. Доказать, что вектор р = Ь — а (а, Ь)/а2 ортогонален
вектору а.
6. Зная векторы а и Ь, на которых построен параллелограмм,
выразить через них вектор, совпадающий с высотой
параллелограмма, перпендикулярной к стороне а.
7. Какой угол образуют единичные векторы s и t, если
известно, что векторы р = s + 2t и q = 5s — 4t взаимно
перпендикулярны?
8. Зная векторы, образующие треугольник: АВ = 2а —6Ь,
ВС = а + 7Ь и СА = —За — Ь, где а и b — взаимно
перпендикулярные орты, определить углы этого треугольника.
9. Даны три вектора: а={3,1,2}, Ь={2,7,4} и с =
= {5, —8, 10}. Вычислить (а, Ь)с.
10. Показать, что четырехугольник с вершинами Л (4,0,8),
5(5,2,6), С(3, 1,4) и 0(2,-1,6) есть квадрат.
11. Даны вершины треугольника Л (2, 1, л/2), Я(1, 0, 0) и
С(1 + +•% а/3", — д/б). Найти его углы.
12. Найти угол между диагоналями параллелограмма,
построенного на векторах а = 2i + j и b = —j + 2k.
96

13. Даны три вектора: a=3i —2j + 4k, b = 5i + j + 6k,
с = —3i +■ 2k. Найти вектор х, удовлетворяющий одновременно
трем уравнениям:
(а,х) = 4, (Ь,х) = 35, (с,х) = 0.
14. Даны два вектора: а ={8,4,1} и Ь={2,—2,1},
выходящие из одной и той же точки. Найти вектор х, исходящий из
этой же точки, перпендикулярный вектору а, равный ему по
длине, компланарный с векторами а и b и образующий с
вектором b острый угол.
15. Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен векторам
а ={2,3,—1} и Ь={1,—2,3} и удовлетворяет условию
(х, 2i — j + к) = —6.
16. Вычислить, какую работу производит сила! = {3,—2,—5},
когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно,
перемещается из положения А (2,—3,5) в положение В(3,—2,—1).
17. Доказать, что уравнение (г — г0, г — r0) = R2 определяет
сферу с центром С(г0) и радиусом, равным R.
§ 4. ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Векторным произведением [а, Ь] векторов а и b называется вектор,
который: 1) имеет длину, равную |а| • |b|-sin (a , b); 2) ортогонален каждому
а
^ i
[а,Ъ]
Рис. 94.
Рис. 95.
из векторов а и Ь; 3) направлен по правилу «правого винта» при вращении
вектора а к вектору b (рис. 94).
Векторное умножение векторов: 1) антикоммутативно:
[а, Ь] = -[Ь, а]; (1)
2) дистрибутивно относительно сложения векторов:
[a, b + с] = [а, Ь] + [а, с], [а + Ь, с] = [а, с] + [Ь, с]; (2)
3) ассоциативно относительно умножения на число:
[аа, pb] = ар [a, b]. (3)
Векторное призведение вектора а на самого себя есть нуль-вектор, т.е.
[a, al = 0.
Векторное произведение векторов а и b есть нуль-вектор тогда и только
тогда, когда векторы а и b коллинеарны, т. е. условие
fa, b] = 0
4 Зак. 273
(5)
97

есть необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов а и Ъ.
Для координатных ортов i, j, k прямоугольной декартовой системы
координат
П. i] = [j, Л = [k, k] = 0. [i, j] = k, [i, k] = - j,
[]\ k] = l, [j, i] = — k, [k, i] = j, [k, ]] = -i. (6)
Для запоминания этих произведений удобно пользоваться схемой (рис.95).
Если на этой схеме кратчайший переход от первого сомножителя ко второму
совершается по часовой стрелке, то произведение равно третьему орту,
взятому со знаком плюс; если против часовой стрелки, то произведение равно
третьему орту, взятому со знаком минус; произведение одноименных ортов
равно нуль-вектору.
Если векторы а и b заданы координатами а = {Хи Уь Zt}, b = {Х2, Y2, Z2),
то
..ь„{|;
ИЛИ
к, z,
Y2 Zi
>
[a, b] =
*i zA
x2 z21
1 J k
Xt Г, Z,
X,
Y2 Z2
X{ Yx
X2 Y2
.
w
(7)
(8)
Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах а
и Ь, применяется формула
5=|[а, Ь]|, (9)
а для вычисления площади треугольника, построенного на этих векторах,—
формула
S= |[a, ЬЦ/2. (10)
Двойным векторным произведением векторов a, b и с называется вектор
d = [a, [b, с]]. (И)
Для двойного векторного произведения справедливы соотношения
[a, [b, c]]=b(a, с)-с (а, Ь), (12)
[а, [Ь, с]] + [Ь, [с, а]] + [с, [а, Ь]] = 0. (13)
Пример 1. Преобразовать выражение [2а — b, a — b-f-c].
Решение. Согласно формулам (2), (3) векторное
умножение векторных многочленов производится по тем же правилам,
что и умножение алгебраических многочленов. Тогда, используя
антикоммутативность векторного умножения (1) и тот факт, что
векторное произведение вектора на самого себя равно
нуль-вектору, получим
[2а — Ь, а — b + с] = 2 [а, а] — [Ь, а] — 2 [a, b] + [b, b] +
+ 2[a,c]-[b,c] = [a,b]-2[a,b] + 2[a,c]-[b,c] =
= -[а,Ь]+2[а,с]-[Ь,с].
Пример 2. Вычислить площадь 5 параллелограмма,
построенного на векторах AB = m + 2n и AD = m — Зп, если
| m | = 5, | п | = 3 и (т, п)=я/6.
98

Решение. Согласно формуле (9)
5=| [АВ, AD]| =
= | [m + 2n, m —3n] | = | [m, m] + 2[n, m] —3[m, n] —6[n,n] | =
= |5[n, m] | = 5-|n| -|m| -5т(тГп) = 5-3-5-1/2 = 75/2.
Пример 3. Найти координаты вектора [2a + b, b], если а =
= {3,-1,-2}, Ь={1,2,-1}.
Решение 1. Упростим задание вектора [2a + b, b]:
[2a + b,b] = 2[a,b] + [b,b] = 2[a,b].
По формуле (7) найдем координаты вектора [а, Ь]:
[а
, Ь] = {|
-1 -2
2 -1
3 -2
1 -1
'{5, 1,7}.
Тогда [2а + Ь,Ь]={10,2, 14}.
Решение 2. Найдем координаты вектора 2а+ Ь:
2а + b ={2-3 + 1, 2- (-1) + 2, 2- (-2)- 1} = {7, 0, -5},
и по формуле (7) найдем координаты вектора [2а -f- b, b]:
f 10 —5
[2a + b,b]=| 2 _,
7 -5
1 -1
7 Oh
j 2|| = {10,2, 14}.
Пример 4. Вычислить площадь S параллелограмма,
построенного на векторах а = {8, 4, 1} и b = {2,—2, 1}.
Решение. Согласно формуле (9) 5=|[а, Ь]|. Найдем
координаты вектора [а, Ь]:
[а
(\ 4 1
8 1
2 1
4|}-
-2 /
{6, -6, -24},
и по формуле (8) из § 1 | [а, Ь] | = д/б2 + (~6)2 + (-24)2 =
= 18 д/2. Следовательно, 5 = 18д/2-
Пример 5. Найти площадь 5 треугольника, построенного на
векторах а = i — 2j + 5k и b = 5j — 7k.
Решение 1. Найдем вектор [a, b]: [a, b] = [i — 2j + 5k,
5j —7k] =5[i, j]-10[j, j] + 25[k,j]-7[i, k]+14[j, k] -
— 35[k, k]. Учитывая соотношения (6) и (1), окончательно
получим
[а, Ь] = 5k — 25i + 7j + 14i = — 11 i + 7j + 5k.
Теперь, зная координаты вектора [a, b]={—11,7, 5}, найдем по
формуле (8) из § 1 его модуль: | [а, Ь] | = лЛ"-11)2 + 72 + 52 ==
= Vl95- ТогДа 5 = V 195/2.
Решение 2. Векторы а и b заданы в разложении по
координатным ортам, следовательно, известны их координаты: а =
= {1,-2,5}, Ь={0, 5, —7}. По формуле (7) найдем координаты
99

вектора [a,b]:
[а
. Ь] = {|
-2 5
5 -7
1 51 11 —21 "I
о -7|'|о sIH-11'7- 5}>
его модуль: | [а, Ь] | = д/195. Следова-
и по формуле (8) из § 1
тельно, S = У195/2.
Пример 6. Сила Р ={2, —4, 5} приложена к точке М0 (4, —2,3).
Определить момент этой силы относительно точки А (3,2,—1).
Решение. Момент силы Р относительно точки А есть
вектор [АМ0, Р]. Найдем координаты вектора АМ0: АМ0={1, — 4,4},
и координаты искомого вектора [АМ0, Р]:
[AM,
" Р] = {1
-4
—4
1 4
2 5
-4IJ
1 -4
2
{-
j, b = i + k
4, 3, 4}.
j-k.
И С
Пример 7. Даны векторы a = i-
Найти вектор [а, [Ь, с]].
Решение 1. Найдем вектор [Ь, с]: [Ь, с] = [i + k, j — k] =
= [i, J] + [k,j]-[U]-[k,k] = k-i+j=-i+j + k. Тогда
[a, [b,c]] = [i-j, -i + j + k] = -[i, i] + [j, i]+[i,j]-[j, j] +
+ [i, k]-[j, k] == —k + k — j — i = —i — j.
Решение 2. Воспользуемся соотношением (12):
[a, [b, c]] = b(a, c)-c(a, b).
Зная координаты векторов а={1, —1, 0}, b ={1,0,1} и с =
= {0, 1, —1}, высчитаем скалярные произведения (а, с) = 1-0 —
— Ы+0-(—1) = —1 и (а, Ь) = 1-1 — l-O + O-l =1. Тогда
[a, [b, c]] = (i + k).(-l)-(j-k).l=-i-k-j + k = _i-j\
1. Зная три вектора a, b и с, найти: 1) [(a + b)/2, b —а/2];
2) [а + 2Ь —с, а —2Ь].
2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах а = —Зт + 5п и b = — т + п, где т и п — единичные
векторы, величина угла между которыми равна 60°.
3. Даны векторы а={3, — 1,—2} и b ={1,2,-1}. Найти
координаты векторного произведения [2а — Ь, 2а + Ь].
4. Найти площадь треугольника ABC, в котором Л (2, 1,0),
Д(_3,-6,4),С(-2,4,1).
5. Найти единичный вектор с, перпендикулярный каждому из
векторов а = 3i — j + 2k и b = — i + 3j — k.
6. Найти векторы [[a, b],c] и [a, [b, с]] ,если a = i + 3j — k,
b = —2i — j 4- 2k, с = —i — j — k.
7. Найти единичный вектор р, перпендикулярный
одновременно вектору а ={3,6,8} и оси абсцисс.
8. Вектор т, перпендикулярный оси аппликат и вектору
a = 8i—15j + 3k; образует острый угол с осью абсцисс. Зная,
что |т| = 51, найти его координаты.
100

9. Сила Q = {3,4,— 2} приложена к точке С(2, — 1,— 2).
Определить величину и направление момента этой силы
относительно начала координат.
§ 5. ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ.
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов а, Ь, с называется
правой, если при приведении их к общему началу при вращении от вектора а к
вектору b «правый винт» движется в то полупространство, куда направлен
Рис. 97.
вектор с (рис. 96); если же «правый винт» движется в полупространство,
противоположное тому полупространству, куда направлен вектор с, то тройка
векторов а, Ь, с называется левой (рис. 97).
Тройки векторов Ь, с, а и с, а, Ь, полученные из исходной тройки векторов
а, Ь, с при помощи круговых перестановок, имеют'с ней одинаковую
ориентацию (т. е. если, например, исходная тройка правая, то они тоже правые).
Тройки векторов Ь, а, с, а, с, b и с, Ь, а, полученные из исходной тройки
векторов а, Ь, с другими перестановками, имеют ориентацию,
противоположную ориентации исходной тройки (т. е. если, например, исходная тройка
правая, то они левые).
Смешанным произведением трех векторов a, b и с называется скалярное
произведение вектора [а, Ь] на вектор с, т.е. число, равное ([а, Ь], с).
Геометрически смешанное произведение векторов интерпретируется как
объем параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах, взятый
со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если
тройка векторов левая.
Свойства смешанного произведения:
1) Смешанное произведение ([а, Ь], с) не изменяется при круговой
перестановке векторов a, b и с:
([а, Ь], с) = ([Ь, с], а) = ([с, а], Ь), (1)
и меняет свой знак при других перестановках, т. е.
([а, Ь], с) =-([Ь, а], с) = -([а, с], Ь) = -([с, Ь], а). (2)
Если в первом равенстве соотношения (1) воспользоваться
коммутативностью скалярного умножения векторов, то
([а, Ь], с) = (а, [Ь, с]), (3)
что позволяет смешанное произведение векторов обозначать символом abc.
abc > 0, если тройка векторов а, Ь; с правая;
2) abc < 0, если тройка векторов а, Ь, с левая; (4)
abc = 0, если векторы а, Ь, с компланарны.
101

3) Смешанное умножение дистрибутивно:
ab (ci + с2) = abci + abc2, a (bi + b>) с = abic + ab2c,
(ai + a2) be = a^c + a2bc;
ассоциативно относительно умножения на число:
(аа) be = a (abc), a (Pb) с = Р (abc), ab (ус) = Y (abc).
(5)
(6)
Если векторы a, b и с заданы координатами: а = {Х\, Y\, ZJ, b = {Х2,
У2, Z2), с = {Х3, К3, Z3}, то
аЬс = Ьг2 Y2 l\ (7)
| X$ Кз Z$ I
Равенство нулю смешанного произведения векторов a, b и с является
необходимым и достаточным условием их компланарности^ т. е. если
abc =
*1
х»
х3
к,
Y2
Гз
Z\
гг
z3
= о,
(8)
то векторы a, b и с компланарны.
Пример 1. Определить какой является тройка ортов I, j, k
прямоугольной декартовой системы координат OXYZ.
Решение. Найдем смешанное произведение векторов i, j, k:
ijk=([i,j],k) = (k,k)=l>0.
Следовательно, тройка векторов i, j, k является правой.
Пример 2. Вычислить произведение а(Ь — с) (а + Ь + 2с).
Решение. Согласно свойствам (5) и (6) векторные
многочлены в смешанном произведении векторов перемножаются по
тем же правилам, что и алгебраические многочлены. Тогда
а (Ь — с) (а + Ь + 2с) = aba — аса + abb — acb -f- 2abc — 2acc.
Произведения aba, аса, abb и асе равны нулю, а произведение
acb = —abc (некруговая перестановка векторов), следовательно,
а (Ь — с) (а + b + 2с) = abc + 2abc = ЗаЬс.
Пример 3. Вывести условие принадлежности четырех точек
A(xuyuzi), В(х2уу2,г2), C(x3fy3yzz) и D(xh -yA, г4)
одной плоскости.
Решение. Очевидно, что точки Л, В, С и D лежат в одной
плоскости тогда и только тогда, когда векторы АВ, АС и AD
компланарны. Найдем координаты указанных векторов:
АВ={х2 — хи У2 — У\, z2 — zx}y АС={*з —*ь Уг — Уи
2з — zi}, AD= {x4 — xi, Уа —уи zt — zi}.
Необходимым и достаточным условием компланарности трех
векторов есть условие (8), следовательно, необходимым и
достаточным условием принадлежности четырех точек одной плоско-
102

сти есть условие
\Х2 — %\ У'1 — У\ %2 — Zl\
Us — *i Уъ — У\ г3 —*! =0.
I %4 — Х\ У\ У\ z4 Z\ I
Пример 4. Вычислить объем V тетраэдра, вершины которого
находятся в точках /1(2, —1, 1), 5(5,5,4), С(3,2, —1) и D(4, 1,3).
Решение. Так как объем тетраэдра, построенного на
векторах АВ, АС и AD, равен 1/6 объема параллелепипеда,
построенного на этих же векторах, то V = | АВ-AC-AD|/6. Найдем
координаты векторов АВ, АС и AD:
АВ={3,6,3}, АС ={1,3,—2}, AD ={2,2,2}.
Тогда согласно формуле (7)
13 6 3|
V =
1 3
2 2
-2
2
= -g-| 18-24+ 6-18+12-12|=3.
Пример 5. Доказать тождество ([а, Ь], [с, d]) = (а, с) • (b, d) —
-(a,d).(b,c).
Решение. Обозначим вектор [с, d] = e. Тогда левую часть
равенства можно переписать так:
([а.Ь], [c,d]) = ([a,b],e) = (a, [Ь,е]) = (а, [b, [c,d]]).
Двойное векторное произведение [Ь, [с, d]] распишем,
используя соотношение (7) из § 4: [Ь, [с, d]] = c(b, d)—d(b, с). Тогда
([а, Ь], [с, d]) = (a. c(b, d)- d(b, c)) = (a, c(b, d))-(a, d(b, c)).
Вынося числовые множители (b, d) и (b, с) за знаки скалярных
произведений, окончательно получим
([а, Ь], [с, d]) = (b, d)(a, c)-(b, с) (a, d) = (a, с) (b, d)-
-(а, d)(b, с).
1. Определить, какой является тройка векторов а, Ь, с
(правой или левой), если: 1) а = i, b = k, c = j; 2) a = i + j, b =
= I — j, с = k.
2. Вычислить произведения:
1) b(c + a)(b + 2c);2) (a + b) (a — 2b + с) (с — а),если abc = 5,
3. Вектор с перпендикулярен векторам а и b, величина угла
между которыми равна 30°. Зная, что |а| = 6, |Ь| = 3, |с| = 3,
вычислить abc.
4. Проверить, компланарны ли данные векторы:
1) р = {2, -1, 2}, q = {1, 2, -3}, г = {3, -4, 7};
2) р = —2i — 3j — 4k, q = 3i + 4j + 5k, г = 3i + 3j + 3k.
103

5. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на
векторах а = i + 2j — 3k, b = —i -f- j -f- 2k и с = 2i — j — k За
основание взят параллелограмм, построенный на векторах а и Ь.
6. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого
расположены в точкахЛ(2,—1,-1),В(5,—1,2),C(3,0,—3),D(6,0,-1).
7. Найти длину высоты АН тетраэдра A BCD, вершины
которого находятся в точках Л (2,—4,5), В(—1,—3,4), С(5, 5,—1),
©(1,-2,2).
8. Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в
точках А (2, 1,-1), 5(3,0,1), С(2, —1,3). Найти координаты
четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси
ординат.
9. В треугольной призме АВСА'В'С векторы АВ={0, 1,-1}
и АС ={2,—1,4} определяют основание, а вектор АА'=
= {—3,2,2} направлен по боковому ребру. Найти объем призмы
и ее высоту.
10. Доказать тождества:
1) ([a,b], [c,d]) + ([a,c], [d,b]) + ([a,d], [Ь,с]) = 0;
2) [[a,b], [c,d]] = c(abd)-d(abc);
3) [a, [b, [c,d]]] = (acd)b-(a,b)[c,d].
Глава V
ПЛОСКОСТЬ
И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости.
Уравнение плоскости в отрезках на осях
Всякая плоскость относительно прямоугольной декартовой системы
координат OXYZ определяется уравнением первой степени от трех переменных х,
у, z, т. е. уравнением
Ax-\-By + Cz + D = 0 (А2 + В2 + С2 =5*0), (I)
и обратно, всякое уравнение вида (1) определяет плоскость и называется
общим уравнением плоскости.
Уравнение (1) записано в координатной форме, в векторной форме
записи оно имеет вид
(г, n)+D = 0, (Г)
где п = {Л, В, С) — нормальный вектор плоскости (нормальным вектором
плоскости, или просто нормалью, называется любой ненулевой вектор,
перпендикулярный >цлоскости); г = {х, у, г) — радиус-вектор произвольной точки
плоскости.
104

Для координат всех точек пространства, лежащих по одну сторону от
плоскости (1) ((Г))» выполняется неравенство
Ax + By + Cz + D >0 ((г, n)+D>0), (2)
а для координат всех точек пространства, лежащих по другую сторону:
Ах + By + Cz + D < 0 ((г, n) + D < 0). (2')
Если в уравнении (1):
1) D = 0, то уравнение
Ах + By + Cz = 0 (3)
определяет плоскость, проходящую через начало системы координат;
2) С = 0, то уравнение
Ах + By + D = 0 (4)
определяет плоскость, параллельную оси OZ (или содержащую ее, если и
/> = 0);
3) В = 0, то уравнение
А* + Cz + D = 0 (5)
определяет плоскость, параллельную оси OY (или ее содержащую, если и
D = 0);
4) А = 0, то уравнение
Бг/ + Cz + D (6)
определяет плоскость, параллельную оси ОХ (или ее содержащую, если и
D = 0);
5) А = В = 0, то уравнение
Cz + D = 0, или z = — D/C, (7)
определяет плоскость, параллельную координатной плоскости OXY (или
совпадающую с ней, если и D = 0);
6) Л = С = 0, то уравнение
By + D = 0, или у = — D/B, (8)
определяет плоскость, параллельную координатной плоскости OXZ (или
совпадающую с ней, если и D = 0);
7) В = С = 0, то уравнение
Л* + Д = 0, или х = —D/A, _ (9)
определяет плоскость, параллельную координатной плоскости 07Z (или
совпадающую с ней, если и D = 0).
Если в уравнении (1) ни один из коэффициентов не равен нулю, то его-
можно переписать в виде
х1а + у/Ь + г/с=1, . (10)
где а = —D/A, b = — D/B, с = —D/C.
Уравнение (10) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.
Числа а, Ь и с имеют простой геометрический смысл — их модули \а\, \Ь\ и
|с| есть длины отрезков, которые отсекает плоскость от осей координат,
считая от начала системы координат, т. е. они являются соответственно абсциссой,
ординатой и аппликатой точек (а, 0, 0), (0, Ь, 0), (0, 0, с) пересечения
плоскости с осями координат OX, OY и OZ (рис. 98).
Пример 1. Найти все нормали плоскости Зле — у+ 5 = 0.
Решение. Одна из нормалей данной плоскости есть
вектор, координаты которого равны коэффициентам при
переменных х, у и г, т. е. вектор п ={3,—1,0}. Тогда все нормали пло-
105

скости — векторы, коллинеарные вектору п, т. е. векторы п =
= Яп = {ЗЯ, —Я,, 0}, где К ф 0.
'Пример 2. Записать в векторной форме уравнение плоскости
2х — 4у — z— 15 = 0.
Решение. В качестве нормального вектора плоскости
возьмем вектор п, координаты которого равны коэффициентам при
переменных х, у и г, п={2,—4,-1}, или в разложении по
координатным ортам n=2i — 4j — к. Если r = х\ — у] + 2к —
радиус-вектор произвольной точки плоскости, то согласно
соотношению (Г) данное уравнение
плоскости в векторной форме
записи будет иметь вид
(г, 21 — 4j — к) — 15 = 0.
Пример 3. Записать в
координатной форме уравнение
плоскости
(r,i-2j + 3k)+l=0.
Решение 1.
Радиус-вектор г произвольной точки
Рис.98. М(ху у, z) плоскости разложим
по координатным ортам: г =
= *i + */j + 2k, и подставим его разложение в уравнение
плоскости:
(xi + yj + zk, i_2j + 3k)+l=0.
Высчитывая скалярное произведение векторов, получим х — 2у +
+ 32 + 1 = 0.
Решение 2. Запишем координаты нормального вектора
плоскости п={1,—2,3} и координаты радиус-вектора г ее
произвольной точки: г = {х, yf z). Тогда согласно соотношениям (1)
и (Г) данное уравнение можно переписать в виде х — 2у +
+ 3.2 + 1 = 0.
Пример 4. Как расположены точки А(3\ — 2j), B(i + j + k) и
C(i — 2j + к) относительно плоскости Зх + by — 22 + 1 = 0?
Решение. Подставим координаты точек Л, В и С в
уравнение плоскости:
Л(3,-2,0): 3-3 —5-2-2-0 + 1=0,
5(1,1,1): 3.1+5-1-2-1 + 1 >0,
С(1,—2,1): 3-1—5-2 —2-1 +КО.
Следовательно, точка Л принадлежит плоскости, а точки В и С
лежат в разных полупространствах относительно заданной
плоскости.
106

'Пример 5. Указать особенности в расположении следующих
плоскостей: 1) 3x-z = 0; 2) (г, 3i + 5j) = 5; 3) (г, 3i) = 0.
Решение. 1) В уравнении отсутствуют переменная у и
свободный член, следовательно, плоскость, с одной стороны,
параллельна оси OY, с другой — проходит через начало системы
координат, значит, она проходит через ось OY.
2) Нормальный вектор плоскости имеет координаты {3,5,0},
следовательно, он перпендикулярен оси OZ, значит, плоскость
параллельна оси OZ.
3) Нормальный вектор плоскости имеет координаты {3,0,0},
следовательно, он перпендикулярен осям OY и OZ,*a тогда
данная плоскость им параллельна, т. е. она параллельна плоскости
OYZ, а так как и свободный член равен нулю, то плоскость
проходит и через начало системы координат, значит, данное
уравнение плоскости есть уравнение координатной плоскости OYZ.
Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей
через: 1) точку М(1, —1, 2) параллельно плоскости OXY\ 2) точку
М (4i — j + 2k) и ось ОХ\ 3) две точки Мх (7,2, —3) и М2 (5, 6, —4)
параллельно оси ОХ.
Решение 1. 1) Согласно соотношению (7) уравнение
плоскости, параллельной плоскости OXY, имеет вид Cz-\-D= 0. Так
как плоскость проходит через точку М( 1,-1,2), то ее
координаты удовлетворяют уравнению плоскости, т. е. C-2 + D = 0.
Отсюда D = —2C. Подставляя значение D = —2С в уравнение
плоскости Cz + D = 0: Cz — 2С = 0, и сокращая на С Ф 0,
получаем искомое z — 2 = 0.
2) Запишем уравнение плоскости, проходящей через ось ОХ
(см. соотношение (6)), в векторной форме: (г, В] -\- Ск) = 0.
Вынесем С за знак скалярного произведения и разделим обе части
уравнения на СфО: (г, (B/C)j + к) = 0. Так как плоскость
проходит через точку М(4\ — j + 2k), то выполняется равенство
(4i —j + 2k, (#/C)j + k) = 0, откуда, раскрывая скалярное
произведение, найдем В/С: —В/С + 2 = 0, В /С = 2. Подставляя
В/С = 2 в уравнение плоскости, получим искомое уравнение
(r,2j + k) = 0.
3) Согласно соотношению (6) уравнение плоскости,
параллельной оси ОХ, имеет вид By -f- Cz + D = 0, или после деления
обеих частей уравнения на D Ф0 (плоскость не проходит через
начало системы координат): (B/D)y -\-(C/D)z + 1 = 0.
Так как плоскость проходит через точки МХ(7У2У—3) и
Мг(5, 6—4), то выполняются равенства
(S/D).2 + (C/D)(-3)+l=0, (S/D).6 + (C/D)(-4)+l=0.
Решая эту систему уравнений, найдем B/D = 1/10 и C/D — 2/5
и запишем искомое уравнение: 1/юу + 2/5z + 1 = 0, или у +
+ 4£+ 10 = 0.
Решение 2. 1) Так как плоскость параллельна
координатной плоскости OXY, то в качестве ее нормального вектора мож-
107

но взять орт оси OZ, т. е. вектор п={0,0,1}. Теперь, зная
нормальный вектор плоскости и точку М( 1,-1,2), ей
принадлежащую, запишем уравнение этой плоскости (см. соотношение (11)):
0-(х— l)+0-(y+l)+l-(z — 2) = 0, или г — 2 = 0.
2) Найдем нормальный вектор n = ai + Pj + yk искомой
плоскости. Так как плоскость содержит ось ОХ, то ее нормальный
вектор перпендикулярен оси ОХ, т. е. перпендикулярен орту i.
Следовательно, (ai + PJ + Y^» 0 = 0, откуда a = 0. Вектор
ОМ = 4i — j + 2k лежит в искомой плоскости, следовательно, он
перпендикулярен вектору n = pj + yK и их скалярное
произведение равно нулю: (pj + yk, 4i— j + 2k) = 0, откуда — р +
+ 2у = 0. Чтобы соблюдалось последнее равенство, можно
считать, например, р = 2, у = 1. Тогда n = 2j + к. Зная нормальный
вектор п плоскости и точку Му ей принадлежащую, запишем ее
уравнение (см. соотношение (11)): (г — 4i + j— 2k, 2j + k) = 0,
или после упрощения (г, 2j + к) = 0.
3) Так как искомая плоскость параллельна оси ОХ, то ее
нормальный вектор n={a, p, у) перпендикулярен орту i =
= {1,0,0}, а значит, их скалярное произведение равно нулю:
a-1 +p.0 + Y-0 = 0, откуда a = 0. Вектор MiM2 ={—2, 4,—1}
принадлежит искомой плоскости, следовательно, он
перпендикулярен ее нормальному вектору, а тогда их скалярное
произведение равно нулю: —2-O-j-4-Э^— 1-y = 0, или 4р — у = 0. Значит,
можно положить р = 1, у = 4. Теперь, зная нормальный вектор
п ={0,1,4} плоскости и одну ее точку, например точку М\ =
= (7,2,—3), запишем ее уравнение:
0 • (х — 7) + 1 • (у — 2) + 4 • (г + 3) = 0, или у + \г + 10 = 0.
Пример 7. Найти точки пересечения плоскости 2х — у +
+ Зг — 6 = 0 с осями координат.
Решение. Общее уравнение плоскости преобразуем в
уравнение плоскости в отрезках на осях: х/3 + у/—6 + г/2 = 1.
Тогда непосредственно видно, что искомые точки имеют
координаты (3,0,0), (0,-6,0) и (0,0,2).
Пример 8. Вычислить объем V пирамиды, ограниченной
плоскостью 2х — Ъу + 6г — 12 = 0 и координатными плоскостями.
Решение. Общее уравнение данной плоскости преобразуем
в уравнение плоскости в отрезках на осях: х/6 + у/—4 + z/2 = 1.
Плоскость отсекает от осей координат отрезки длиной в 6, 4 и 2
единицы соответственно. Если за основание пирамиды взять
треугольник, лежащий в плоскости OXY (он прямоугольный с
катетами, равными 6 и 4 единицам), то высота ее будет равна 2.
Тогда К=7б-6-4-2 = 8.
Пример 9. Вычислить длины отрезков, отсекаемых на осях
координат плоскостью (г, Xi + HJ + vk) = a.
Решение. Если a = 0, то плоскость проходит через'
начало системы координат и длины отрезков, отсекамых ею от осей
координат, равны нулю. Если a =7^=0, то разделим обе части дан-
108

ного уравнения на а и запишем уравнение плоскости в отрезках
на осях:
V' а/А, ^ а/ц ^ а/v )
Тогда непосредственно видно, что длины отрезков, отсекаемых
на осях координат, равны соответственно |а/Я|, | cx/jm|, |a/v|.
Пример 10. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку М(3,2,4) и отсекающей от осей координат отрезки
равной длины.
Решение. Пусть плоскость пересекает ось ОХ в точке
(а,0,0), т. е. отсекает от нее отрезок, равный \а\. Так как
плоскость отсекает на других координатных осях отрезки той же
длины, то точки пересечения ее с осями координат OY и OZ
могут иметь координаты (0, ±а, 0) и (0, 0, dta). Воспользуемся
соотношениями (10) и составим уравнения всех плоскостей,
отсекающих от осей координат отрезки длиной \а\: х/а-\-у/а-\-
-f z/a = 1, х/а + У/ — а + z/—a = 1, х/а + У 1а + г/—а = 1,
х/а -f у/—а + г/а = 1. Для каждого из этих уравнений найдем
соответствующее значение а, подставляя в них координаты
точки М(3,2,4): 3/a + 2/a + 4/a = l, a = 9; 3/a+2/(—a) +
+ 4/(—a)=l, a = — 3; 3/a + 2/a + 4/(—a)= 1, а=\\ 3/a +
+ 2/(-a)+4/a = l,a = 5.
В итоге получим четыре уравнения плоскости,
удовлетворяющие условию задачи: х/9 + у/9 + г/9 = 1, х/—3 + у/3 + г/3 = 1,
*/l + y/l+z/-l = l, x/5 + y/-5 +z/5 = l.
2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей
данный нормальный вектор. Уравнение плоскости, проходящей через три данные
точки. Параметрические уравнения плоскости
Уравнение вида
A(x-Xo)+B(y-yo)+C(z-z0) = 0 (И)
в координатной форме записи, или
(г-го, п) =0 (110
в векторной форме записи, является уравнением плоскости, проходящей через
точку M0(x0t y0t z0) (М0(г0)) и имеющий данный нормальный вектор п = (Л,
В, С}.
Уравнение вида
I * —*i У — У\ z — zx I
*2 — *i У2 — У\ z2 — Z\ =0 (12)
Us — хх уз — У\ zz — zx I
в координатной форме заниси, или
(г —ri)(r2 —г0(гз —п) =0 (12')
в векторной форме записи, является уравнением плоскости, проходящей через
три данные точки Мх(хи уЛ, zi), М2(х2, у2, z2) и М3(*з, y9t z3) (Mi(ri), Af2(r2)
и Мз(гз)).
109

Уравнения
' x = x(l + иа1 Л- vbu
» z = z0 + ua3 + vbz
— oo < и < + oo,
— oo < V < + °°*
в координатной форме записи, или
г = Го + «а + vh
(13)
(130
в векторной форме записи, называются параметрическими уравнениями
плоскости. Здесь (рис. 99) г = {*, у, z] — радиус-вектор произвольной точки М
плоскости, г0 = {х0, г/о, z0) — радиус-вектор
фиксированной точки М0 плоскости, а =
= {аи а,2у аг) и b = {bu b2, Ьг) — неколли-
неарные векторы, принадлежащие
плоскости, и и v — вещественные параметры.
'Пример 11. Составить уравнение
плоскости, проходящей через
точку М(1,2, —1) перпендикулярно к
вектору п ={1, 1, 2}.
Решение. В качестве нормаль-
Рис 99. ного вектора плоскости можно
взять данный вектор п ={1,1,2}.
Тогда уравнение плоскости можно записать в виде (11): \-{х —
— 1) + 1 • (У — 2) + 2• (z + 1) = 0, или после упрощения: х + у +
+ 22—1=0.
'Пример 12. Даны две точки Ml(i-\-2j — k) и Af2(3j-fk).
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Mi
перпендикулярно к вектору MiM2.
Решение. Найдем вектор MiM2: M1M2 = —i + j + 2k. Так
как он перпендикулярен к плоскости, то, используя его в
качестве нормального вектора, запишем уравнение плоскости в виде
(11'):
(r-i-2j + k, -i + j + 2k) = 0.
'Пример 13. Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку Mo(i — к) параллельно векторам а = 5i -j- k и Ь =
= j-k.
Решение 1. Так как плоскость параллельна векторам а и
Ь, то в качестве ее нормального вектора можно взять вектор
n = [a, b], ибо он перпендикулярен векторам а и Ь, а
следовательно, и искомой плоскости. Найдем вектор п (см. формулу (8)
из § 4):
" J Ы
n =
5 0 1
0 1 -1
= — i Ч- 5j -Ч- 5к.
Используя уравнение плоскости в виде (Н')> запишем
уравнение искомой плоскости: (г — i + k, —i + 5j + 5k) = 0.
110

Решение 2. Пусть М(т)—произвольная точка
пространства. Очевидно, что она будет принадлежать искомой плоскости
тогда и только тогда, когда векторы М0М, а и b будут
компланарны. Найдем вектор М0М: М0М = г — i + к, и запишем
условие компланарности векторов М0М, а и Ь: (г — i + k) (5i +
+ к) (j — к) = 0. Последнее уравнение и есть уравнение искомой
плоскости.
Решение 3. Рассуждения, проведенные в решении 2,
проведем в координатной форме. Пусть M(xyyyz)—произвольная
точка плоскости. Найдем координаты векторов М0М, а и Ь:
М0М={дг—1, у, 2+1}, а={5,0, 1}, b = {0,1, —1}. Условие
компланарности этих векторов
= 0
X
-1
5
0
У
0
1
z+1
1
-1
и дает искомое уравнение.
'Пример 14. Написать уравнение плоскости, проходящей через
точки М\(1,—1,2) и М2(3,0,—3) параллельно вектору а =
= {2,1,-1}.
Решение 1. В качестве нормального вектора искомой
плоскости можно взять вектор n = [MiM2, a], так как он
перпендикулярен векторам MjM2 и а и, следовательно, перпендикулярен
и искомой плоскости. Найдем координаты вектора MiM2:MiM2 =
= {2, 1,—5}, и координаты вектора п:
п =
i j k
2 1 -5
2 1 -1
:4I-8j, n={4, -8, 0}.
Зная нормальный вектор плоскости и точку, ей принадлежащую
(например, точку М\(1,—1;2)), запишем уравнение плоскости
в виде (И): 4- (х — 1) — 8(у + 1) = 0, или х — 2у — 3 = 0.
Решение 2. Если M(x,yyz) — произвольная точка искомой
плоскости, то векторы MjM, MjM2 и а компланарны. Найдем ко«
ординаты векторов MjM и MiM2:M1M={a:—1,у+1,2 — 2},
М!М2={2, 1,—5}, и запишем условие компланарности векторов
MiM, MiM2 и а:
|х—1 у + 1 2—21
2 1 -5 =0
1
-1
Последнее уравнение и есть уравнение искомой плоскости.
'Пример 15. Составить уравнение плоскости, зная три ее
точки 4(1,-3,2), 5(5,1,-4) и С(2,0,3).
Ill

Решение,
виде (12):
1 У + Ъ
Уравнение искомой плоскости удобно записать
1+3
0 + 3
г —21
—4 — 2
3 — 2
!=0,
ИЛИ
х-\
4
1
У + 3 2-2
4 -6
3 1
= 0.
к
'Пример 16. Составить уравнение касательной плоскости
сфере (х — 2)2 + (у-3)2 + (г+ 1)2 = 24 в точке М0(0,1,3).
Решение. Так как плоскость, касательная к сфере,
перпендикулярна ее радиусу, проведенному к точке касания, то в
качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять
вектор СМо, где С — центр сферы. Зная координаты центра сферы
С(2,3,-1) и точку касания М0(0, 1,3), найдем координаты
вектора СМ0: СМо={—2,—2,4}, и искомое уравнение плоскости
в виде (И): —2(х —0) —2(#—1)+4(z —3) = 0, или х + у —
- 2z + 5 = 0.
'Пример 17. Написать общее уравнение плоскости по ее
параметрическим уравнениям х = 2 + 3« — 4у, у = 4 — v> z = 2 -f- Зи.
Решение 1. Из заданной системы уравнений исключим
параметры и и vy для чего из второго уравнения выразим параметр
v: v = 4 — уу а из третьего — параметр и: u=(z— 2)/3, и
подставим их значения в первое уравнение: л: = 2 + 3-(2— 2)/3 —
— 4-(4 — у). После упрощения получим искомое уравнение
х — 4у — z+ 16 = 0.
Решение 2. Векторы а ={3,0,3} и Ь={—4,-1,0} не
коллинеарны и принадлежат данной плоскости, следовательно,
можно найти ее нормальный вектор п как векторное
произведение этих векторов:
-{|-
3
-4
3 °1) ,
-4 -l|H3'-
12, -3}.
В качестве нормального вектора удобнее взять вектор ni =
= {1,—4, — 1} А так как плоскость проходит через точку
М0(2, 4,2), то, воспользовавшись формулой (11), запишем
уравнение искомой плоскости:
1(х — 2)— Цу — 4)— l(z — 2) = 0, или х — \у — z + 16 = 0.
3. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Общее уравнение плоскости
ax + by + cz — p = 0, (14)
в котором сумма квадратов коэффициентов при переменных *, у и z равна
единице: а2 + Ь2 + с2 = 1, и р ^ 0, называется нормальным уравнением
плоскости. В векторной форме записи оно имеет вид
(г, п0)-р = 0, (140
где г — радиус-вектор произвольной точки плоскости; п0 — орт нормального
вектора этой плоскости и р^0. Здесь (рис. 100) р — длина перпендикуляра
112

OP, опущенного из начала системы координат на данную плоскость; а, Ь и
с — направляющие косинусы орта п0 нормального вектора плоскости, т. е.
а = cos а, Ь = cos р, с = соь у.
Для перехода от общего уравнения плоскости (1) или (Г) к нормальному
виду (14) или (14') обе его части умножаются на нормирующий множитель
ц = ± l/V-42 + Д2 + С2,
или в векторной форме записи
й = ±1/|п|,
взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена D.
Расстояние р от данной точки М0(х0,
у0, 20) (или Мо(г0)) до плоскости,
заданной уравнением (14) (или (14')), вы-
считывается по формуле
р= \ахъ + Ьуо + сг0 — р\, (16)
или по формуле
Р= | (го, no) — Pb (16')
(15)
(15')
Если плоскость задана общим
уравнением (1) (или (Г)), то для
нахождения расстояния р от точки М0(х0, у0,
г0) (или (М0(г0)) удобно пользоваться
формулой
Рис. 100.
Р =
Ах0 + Ву0 + Czp + D
л/А2 + В2 + С2
(г0, n) + D I
Р =
|п|
(17)
(170
Отклонением d точки М0(х0, у0, г0) (или М0(г0)) от плоскости (1) или
(Г)) называется расстояние р, взятое со знаком «+» или «—>, а именно
, = Ахр + Ву0 + Cz0 + D
Vл2 + в2 + с2
d =
(го, n) + D
(18)
(180
Две точки лежат по одну сторону от плоскости, если их отклонения от
этой плоскости имеют одинаковые знаки, и по разные стороны от нее, если
знаки их отклонений различны.
Начало системы координат всегда имеет неположительное отклонение и
равно свободному члену — р нормального уравнения плоскости.
'Пример 18. Привести к нормальному виду уравнения
следующих плоскостей: 1) д/3(л: — 1) + {у + 10 + у'з)=0; 2) (r, i+
+ V^j + k) — 10 = 0, и найти углы, которые образуют их
нормальные векторы с осями системы координат.
Решение. 1) Дано уравнение плоскости, проходящей через
точку (1, —10 — д/3, 0). Раскрывая скобки и приводя подобные
113

члены, преобразуем его в общее уравнение плоскости: л/3х +
По формуле (15),учитывая, что свободный член больше нуля,
найдем нормирующий множитель [х== — 1/У(Уз)2 + I2 + 02 =
= — 1/2 и умножим на него обе части общего уравнения данной
плоскости: — (У 3/2) х — (1/2) # — 5 = 0. Полученное уравнение
и есть искомое.
Коэффициенты — V3/2» —1/2, Опри переменных ху у и г
в нормальном уравнении плоскости есть координаты орта п0
нормального вектора п плоскости, а так как координатами орта
нормального вектора плоскости служат его направляющие
косинусы, то углы, которые образует орт нормального вектора
плоскости, а следовательно, и сам этот вектор, соответственно равны
а = arccos ( — У3/2) = 150°, р = arccos (—1/2) = 120°,
Y = arccos0 = 90°.
2) Дано общее уравнение плоскости в векторной форме
записи. Для перевода его в нормальное уравнение по формуле
(15') найдем нормирующий множитель ji, учитывая, что
свободный член —10 меньше нуля: [х = 1/д/12 -f- (д/"2)2+ 12= 1/2, и
умножим обе части данного уравнения на [х = 1/2:
(г, (l/2)i + (У2/2) J + (1/2) к) -5 = 0.
Полученное уравнение и есть искомое.
Углы, которые образует нормальный вектор плоскости с
осями системы координат, соответственно равны
а = arccos (1/2) = 60°, р = arccos (У 2/2) = 45°,
у = arccos (1/2) = 60°.
пример 19. Вычислить расстояние от точки М0(\-\-2] — Зк)
до плоскости: 1) (r,5i~3j + k) + 4 = 0; 2) Ах — 32—1=0.
В одном или разных полупространствах относительно данных
плоскостей лежат данная точка и начало системы координат?
Решение. 1) Для вычисления искомого расстояния
воспользуемся формулой (17'):
_^ I (г0> n) + D
9 I |п|
(i + 2] - Зк, 51 - 3j + к) + 4
У5*-М-3)2+12
•-6-3+4
V35
= 0.
Так как р = 0, то точка М0 принадлежит данной плоскости.
2) Для вычисления искомого расстояния воспользуемся
формулой (17):
Ахр + Ву0 + Czp + D
V^2 + В2 + С2
4-1 + 0 • 2 — 3 - (—3) — 1
V42 + О2 + (-3)2
_12_
5
1U

Так как отклонение d точки М0 от данной плоскости равно
р, т. е. d > 0, то точка М0 и начало системы координат лежат
в разных полупространствах относительно данной плоскости.
гПример 20. Вычислить расстояние между параллельными
плоскостями 2х — у-\- 2z + 9 = 0 и Ах — 2у + 4z — 21 = 0.
Решение 1. На одной из плоскостей, например на первой,
возьмем какую-нибудь ее точку, например М0(0,9,0), и по
формуле (18) найдем расстояние от этой точки до второй плоскости:
4.Q-2-9 + 4-0-21
л/42 + (-2)2 + 42
J9
6
21
2
Оно и будет искомым.
Решение 2. Запишем нормальные уравнения данных
плоскостей:
- 7з х + 7з.</ - 7з2 -3 = 0, 2/3* -Чау + %z - у2 = 0.
Орты п0 и п" нормальных векторов этих плоскостей имеют
координаты разных знаков: п^ = {—2/3, 1/3, —2/3}, п" = {2/3, —
— 1/3, 2/3}, значит, они противоположно направлены. А это
означает, что плоскости лежат по разные стороны от начала системы
координат (начало системы координат лежит между
плоскостями). Следовательно, расстояние между плоскостями равно
сумме р\ и р2 свободных членов в нормальных уравнениях этих
плоскостей, т. е. равно 3 + 7/2 = 13/2.
'Пример 21. Написать уравнение плоскости, расположенной на
равном расстоянии от двух да-нных параллельных плоскостей
Зх + 2у — г — 3 = 0 и Зх + 2у — г— 1=0.
Решение 1. Приведем уравнения плоскостей к
нормальному виду:
3 л 2_ 1_ __ з _ п
Уй х ' УГ5 У УТ4 z УП — '
3 . 2
Vl4 У14
1
1
УТ4 л/\4
0.
Если М(х, у, z)—произвольная точка искомой плоскости, то
расстояния (см. формулу (16)) от точки М до данных плоскостей
равны, т. е. выполняется равенство
7=-* +
у -
л/\4 л/\4 У14 л/\4
3
— X
У14
или Зх -f 2у
ШУ-
Vl4 * У14 ~ У14
z — Ъ = ±{3х + 2у — г-
1).
Возможно только Ъх + 2у — z — 3 = — (За: + 2у — z — 1), откуда
Ъх-\-2у — z — 2 = 0. Это и есть искомое уравнение.
115

Решение 2. После приведения уравнений плоскостей к
нормальному виду нетрудно заметить, что данные плоскости
расположены по одну сторону от начала системы координат (орты их
нормальных векторов одинаково направлены). Значит, и искомая
плоскость, расположенная между данными, имеет тот же орт
нормального вектора и удалена от начала системы координат
на расстояние р, равное полусумме расстояний р\ и р2> на
которые удалены от начала^ системы координат данные плоскости:
p = (p1 + p2)/2 = (3/yl4+ l/vl4)/2 = 2/VT4. А тогданормаль-
ное_^уравнение искомой плоскости имеет вид (з/д/14) х + (2/
/л/Й) у - (1/л/14) z - (2/У14) = 0, откуда Зх + 2у — г — 2 = 0.
Пример 22. Составить уравнения
плоскостей, делящих пополам
двугранные углы, образованные
двумя пересекающимися плоскостями
г — Ъу + 2z — 5 = 0 и Ъх — 2у — 2+
+ 3 = 0.
Решение. Каждая точка
плоскости, делящей двугранный угол
пополам, находится на одинаковом
расстоянии от плоскостей,
образующих этот угол. Пусть М(хуууг)—произвольная точка искомой
плоскости. По формуле (17) найдем расстояния pi и р2 от этой
точки до данных плоскостей:
Рис
Pi =
х — Зу + 2z — 5
Vh
Р2 =
3x — 2y — z + 3
VT4
Так как р\ = рг, то
х — Зу + 2z — 5 _ ( Зх — 2у — z + 3
-<>
или
х — 3y + 2z — 5 = 3* — 2у — 2 + 3 и x — 3y + 2z — 5 = —3x'+
+ 2</+г-3.
Преобразовав последние уравнения, получим окончательно
уравнения двух плоскостей, удовлетворяющих условию задачи:
2х + у — 32 + 8 = 0 и 4х — Ъу + 2 — 2 = 0.
Пример 23. Составить уравнение плоскости, делящей
пополам тот двугранный угол между плоскостями 2х—14у + б2 —
— 1=0 и Ъх-\-Ьу — 52 + 3 = 0, в котором лежит начало
системы координат.
Решение. Отклонение точки начала системы координат от
любой плоскости всегда величина неположительная.
Следовательно, искомая биссектральная плоскость проходит в тех
вертикальных углах, где находятся точки пространства, отклонения
которых от данных плоскостей имеют одинаковые знаки
(рис.101). Значит, после приведения уравнений данных плоско-
116

стеи к нормальному виду
2 14 . 6 In
2V59 2д/59 * 2V59 2 Уб9
3 5.5 3
ifzx ш У +"
V59 V59 V59 V59
для всех точек M(x,yyz) искомой плоскости должно выполнять-
А А 2 14 6 1
ся равенство d\=d2y или —=" jc 7= У Н t=-z т= =
^ 2V59 2д/59 V 2 л/59 2 V59
"W'-W'+W*—^f' откуда 8*-4</-4z +
-f- 5 = 0 и есть искомое уравнение.
Пример 24. Определить, лежат ли точки Afi(l,2, — 3) и
М2(2, —1, 1) в одном, смежных или вертикальных углах,
образованных плоскостями 2х — у + 5z — 1 =0 и За: — 2у + 6z — 1=0.
Рис. 102.
Решение. По формуле (18) найдем знаки отклонений
точек Mi и М2 от данных плоскостей:
для точки Mi
З^-ЬЗ+^-З)-! з.1-».2 + 6.(-8)-1
1 V30 7
ДЛЯ ТОЧКИ М2
2-2— 1 •(— 1) + 5- 1 — 1 ^ п А _3-2-2-(-l) + 6-l-U n
йг щ >0, di 1 >0-
Так как отклонения d\ и d2 точки Мх от данных плоскостей
оба отрицательны, а отклонения dz и d4 точки М2 от данных
плоскостей оба положительны, то точки М\ и М2 лежат в
вертикальных углах, образованных данными плоскостями (рис. 102).
4. Угол между двумя плоскостями. Условия перпендикулярности и
параллельности двух плоскостей
Если две плоскости заданы общими уравнениями
А\Х + Вху + Cxz + Dj = 0, А2х + В2у + С2г + D2 = 0,
117

Или в векторной форме записи
(г, ni) + D, =0, (г, n2) + D2 = 0,
то величина ф угла между ними высчитывается по формуле
АХА2 + В{В2 + СХС2
COS ф =
или в векторной форме записи
cos ф =
л^а\ + в\ + с\ ^а1+в\ + с
(Пь П2) I
|ni |-|п2| Г
Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда
ЛИ 2 + BiB2 + CiC2 = 0,
(пь п2) = 0;
AJA2 = ВХ1В2 = CXIC2^DXID2,
или в векторной форме записи
и совпадают, когда
AJA2 = BJB2 = did = DJD2.
или в векторной форме
параллельны, когда
[щ, п2] = 0;
(19)
(19')
(20)
(200
(21)
(21')
(22)
Пример 25. Найти величину двугранного угла, образованного
плоскостями (г, 3j — к) = 0 и (г, 2j + к) — 1 = 0.
Решение. Нормальные векторы данных плоскостей
соответственно равны ni =3j — к и n2 = 2j + к. Найдем их модули:
|п1|=Л/зчгР=уто, |п2|=л/2мп"2=у5;
и по формуле (19') высчитаем косинус искомого угла ф:
cos ф =
(ni, п2)
|ni |-|п2
3-2-Ь1
1 я
^г, откуда ф = —
V2
л/Юл/5
Пример 26. Установить взаимное расположение следующих
пар плоскостей:
1) <\/2x — y + 3z+ V2 = 0 и 2х — -у/2у + 3-y/2z + 2 = 0;
2) (г, 3i + j-k) + 2 = 0 и (г, 61 + 2j-2k) + 3 = 0;
3) (г, 2i + 3j-k)+l=0 и (г, i — j — к) -Ь 2 = 0.
Решение. 1) Данные плоскости совпадают, так как для
них выполняется условие (22): д/2/2 = —1/(— У2)=3/(3 у 2)=
= V2/2.
2) Плоскости параллельны, так как координаты их
нормальных векторов пропорциональны, а свободные члены им не
пропорциональны: 3/6 = 1/2 = —1/ — 2 ф 2/3.
3) Плоскости пересекаются, так как координаты их
нормальных векторов не пропорциональны: 2/1 ф 3/(—1). Более того,
плоскости перпендикулярны, ибо скалярное произведение их
118

нормальных векторов равно нулю:
(щ, n2) = (2i + 3j-k, i_j_k)=2-3+l=0.
Пример 27. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку М0(—2i + 7j + 3k) параллельно плоскости (г, i — 4j +
+ 5k)—1=0.
Решение. В качестве нормального вектора искомой
плоскости можно взять нормальный вектор данной плоскости, т. е.
вектор n = i —4j + 5k. Теперь, зная нормальный вектор
плоскости и точку М0у ей принадлежащую, запишем ее уравнение:
(г + 21 — 7j — 3k, i — 4j + 5k) = 0, или (г, i — 4j + 5k) + 15 = 0.
Пример 28. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку Mq(3,4,0) и перпендикулярной двум плоскостям х +
+ y + 5z —9 = 0 и 2х +у+ 2z+\ = 0.
Решение 1. Так как искомая плоскость перпендикулярна
данным плоскостям, то ее нормальный вектор п
перпендикулярен их нормальным векторам ni и п2. А тогда в качестве
нормального вектора п искомой плоскости можно взять вектор,
равный векторному произведению векторов щ и п2, т. е. п =
= [пьп2].
Найдем координаты вектора п:
1 5
2 2
1 1
2 1
j} = {-3, 8, -
1>-
Искомая плоскость проходит через точку М0 (3,4,0), значит,
ее уравнение можно записать в виде — 3(х — 3)+8(у— 4) —
— l.(z —0)=0, или Зх — 8^+2 + 23 = 0.
Решение 2. Пусть М (х, у, г) — произвольная точка искомой
плоскости. Тогда векторы М0М, nj и n2 (ni и п2 — нормальные
векторы данных плоскостей) компланарны. Найдем координаты
этих векторов: М0М = {л: — 3, у — 4, z}, ni={l,l,5}, n2 =
= {2, 1,2}, и запишем условие их компланарности:
а: — 3 г/ — 4 z
1 1 5
2 1 2
= 0.
Последнее уравнение и есть уравнение искомой плоскости.
Пример 29. Составить уравнение плоскости, которая
проходит через точки Мх(\ — j — 2k) и M2(3i + j + к)
перпендикулярно плоскости (г, i — 2j — 3k) — 5 = 0.
Решение 1. Нормальный вектор п искомой плоскости
перпендикулярен вектору М.М2 и нормальному вектору щ данной
плоскости, следовательно, в качестве вектора п можно взять
вектор, равный векторному произведению векторов MjM2 и щ.
119

Так как MiM2 = 2i + 2j + 3k, а щ = i — 2j — 3k, то
j k|
2 2 3
1 -2 -3
= 9j — 6k.
Искомая плоскость проходит через точку Mi(i — j — 2k) и
имеет нормальный вектор n = 9j — 6k, следовательно, ее
уравнение можно записать в виде (г —i + j + 2k, 9j — 6k) = 0, или
(г—i + j + 2k, 3j-2k)=0.
Решение 2. Если N(r)— произвольная точка искомой
плоскости, то векторы MiN,MiM2 и ni (ni — нормальный вектор
данной плоскости) компланарны. Найдем векторы PA{N и MiM2:
MiN = г — i + j + 2k, M!M2 = 21 + 2j + 3k,
и запишем условие компланарности векторов MiN, MiM2 и riii
(г — i + j Ч- 2k) (2i + 2j -h 3k) (i — 2j — 3k) = 0,
или после упрощения (г, 3j — 2k)— 1=0. Последнее уравнение
и есть уравнение искомой плоскости.
Пример 30. Через ось ОХ провести плоскость, образующую
угол 60° с плоскостью УТбл: + У2# + 2z — 1 — 0.
Решение. Искомая плоскость проходит через ось ОХу
следовательно, ее общее уравнение имеет вид By + Cz = 0. Если
В = 0, то искомая плоскость совпадает с плоскостью ОХУ,
имеющей уравнение 2 = 0. Проверим, не удовлетворяет ли эта
плоскость условию задачи, для чего найдем величину угла, который
образует плоскость z = 0 с данной плоскостью. Здесь tii =
= {0,0,1}, п2 = (УТб, V^2} и
о • У П) + о • УГ+ 1-2
cosqpa
(П|, П2)
|п2|
1 -4
= _, ф = 60°.
Следовательно, плоскость г = 0 — искомая.
Если В ф 0, то уравнение искомой плоскости можно
представить в виде у + Ez = 0. Так как искомая плоскость образует
с данной угол 60°, то должно выполняться равенство
1 I 0 ■ У10 + 1 • л/2 + Е • 2
2 _ I 4 • У1 +Е2
откуда Е= 1/(2 У 2), и у + (l/(2 У"2))г = 0, или 2 д/2# + 2 = 0,
есть уравнение искомой плоскости. Итак, условию задачи
удовлетворяют две плоскости: г = 0 и 2 <\j2y + z = 0.
1. Определить координаты точки, имеющей абсциссу, равную
единице, и расположенной в плоскостях OXZ и 2x — y-\-z—~
-6 = 0.
120

2. Проверить, лежат ли точки Л и В, радиус-векторы которых
Г] = {2, 1,6} и г2 = {5,-1,3}, и точка С(3, —2, 0) на плоскости
(r,3i + 5j — 2k)+ l =0.
3. Указать особенности расположения плоскостей по
отношению к системе координат: 1) х — z + 1 = 0; 2) х + 2у + Зг = 0;
3) * + 2г = 0; 4) х-3 = 0; 5) (r, /J + W + vk)=0; 6) (г, jij+
+ vk) = 0; 7) (r,w) = 0.
4. Написать уравнения плоскостей: 1) проходящей через
точку М(1,2,—1) и. параллельной координатной плоскости 0X1]
2) проходящей через точки Af i (1,2, — 4), М2(2, 0,—3) и
параллельной оси 01\ 3) проходящей через точку Af(2, 1,—5) и ось
OZ.
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОХ
и параллельной вектору р= {1, —2, 3}.
6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
М\(—1, 0, 0), М2(0, 0, 1) и параллельной вектору р= {2, 1, 2}.
7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Л (21 — 7J + Зк) перпендикулярно: 1) орту i; 2) вектору 4i+
+ 5j-k.
8. Найти точки пересечения плоскости (г, 2i — 3j + k) + 3 = 0
с осями системы координат.
9. Написать уравнение плоскости, параллельной оси OZ и
отсекающей на положительной полуоси ОХ отрезок длиной в три
единицы, а на отрицательной полуоси OY отрезок длиной в
четыре единицы.
10. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки
Mi(1,0, 1) и М2(—1, 3, 2) и отсекающей на оси абсцисс отрезок
длиной вдвое больше отрезка, отсекаемого на оси ординат.
11. Составить уравнение плоскости, отсекающей от
отрицательной полуоси 01 отрезок, равный 5, и перпендикулярной
вектору п ={—2, 1, 3}.
12. Зная основание Р(п) перпендикуляра, опущенного
изначала системы координат на плоскость, составить уравнение этой
плоскости.
13. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от
точек Л(2,—1,3) и 5(4,5,-3).
14. Найти уравнение плоскости, проходящей через ось ОХ
и точку Л (1, 1, 1).
15. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОХ
параллельно вектору р={1,—2,3}.
16. Составить уравнение плоскости, параллельной орту к и
вектору а = 5i + 3j — 2k и проходящей через точку A (2i + 4j —
— 3k).
17. Проверить, можно ли провести плоскость через точки с
координатами (2, 1, 0), (1, —1, 2), (0, 4, —2) и (3, 1, 2).
18. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось OY
и равноудаленной отточек (2,7,3) и (—1, 1,0).
121

19. Составить параметрические уравнения плоскости,
проходящей через точку Af0(2i + 3j —- 5k) и параллельной векторам
Г1 = — 51 + 6j + 4k и г2 = 41 - 2j.
20. Написать общее уравнение плоскости по ее
параметрическим уравнениям г = 5к + и (i + J + 6к) + v (i — j — 4k).
21. Привести каждое из следующих уравнений плоскости к
(о с
г, у i — -=- X
Xj + yk) + 3 = 0; 3) (r,3i-4j)-l=0;4)-* + 5 = 0;5) (r,
j)=-2.
22. Доказать, что плоскость 5х— 2у + z—1=0 не
пересекает отрезка, ограниченного точками А (1, 4, —3) и В (2, 5, 0).
23. Найти объем куба, две грани которого лежат на
плоскостях (г, Hi — 2j — 10k) +15 = 0 и (г, Hi —2j—10k) +
+ 45 = 0.
24. Вычислить высоту hs пирамиды с вершинами в точках
S(0,6,4), Л(3,5,3), В(—2, 11,— 5), С(1,—1,4).
25. На оси OY найти точку, расстояние от которой до
плоскости х-\-Зу — 2 + 8 = 0 равно расстоянию от точки
Л(0, —19/3,0) до этой плоскости.
26. Составить уравнение геометрического места точек,
удаленных от плоскости (г, i + 3j) + 5 = 0 на расстояние, равное 3.
27. На оси ОХ найти точку, равноудаленную от двух
плоскостей Ах — 5у + 3 = 0 и 2x + y + 6z — 1 =0.
28. Установить расположение плоскости 2х — 2у — г + 9 = 0
относительно сферы: 1) (я— I)2 + (у — l)2 + (z—1)2 = 4;
2) (*+1)2 + (у + 2)2 + (г-11)2 = 5.
29. Определить, лежат ли точка М(2>—1,3) и начало
системы координат в одном, смежных или вертикальных углах,
образованных при пересечении плоскостей 2x + 3y — 5г—15 = 0
и 5л: — у — Зе — 7 = 0.
*30. Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот
двугранный угол между плоскостями 2х — y-\-2z — 3 = 0 и
Ъх-\-2у—6г—1=0, в котором лежит точка М(1,2,—3).
31. Найти величину угла между плоскостью л/\5х -\~3у -\~
+ z + 3 = 0 и координатной плоскостью OXZ.
32. Определить, при каких значениях / и т следующие пары
уравнений будут определять параллельные плоскости:
1) тх + Зу — 2z — 1 = 0 и 2х — Ъу — lz = 0;
2) (r,2i + /j + 3k) — 5 = 0 и (г, mi — 6j — 6k) + 2 = 0.
33. Определить, при каких значениях / следующие пары
уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:
1) Бх + у — Зг — 3 = 0 и 2x + ly—3z+ 1 =0;
2) (r,3i-5j + /k) — 3 = 0 и (r,i + 3j + 2k) + 5 = 0.
34. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
(3,—5, 1) и параллельной плоскости х — 2г/ + 4г = 0.
122

35. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало
системы координат и перпендикулярной двум плоскостям (г, 2i —
— j + 5k) + 3 = 0 и (r,i + 3j — k)— 7 = 0.
36. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
Л(1,—1,3) и В(1,2, 4) и перпендикулярной плоскости 2х—
-3y + z+l=0.
37. Даны уравнения трех граней параллелепипеда: 2x + 3t/ +
+ 4г — 12 = 0, х-\-Ъу — 6 = 0, г + 5 = 0 и одна из его вершин
(6, —5, 1). Составить уравнения трех других его граней.
38. Написать уравнение плоскости, проходящей через две
точки Mi(0,0,2) и М2 (0,1,0) и образующей угол 45° с
плоскостью OXZ.
§ 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой
Прямая в пространстве рассматривается как пересечение двух плоскостей.
Уравнения
ГЛ1л: + В1Г/ + С12 + О1 = 0,
\ А2х + В2у + C2z + D2 = 0, U
у которых коэффициенты при переменных не пропорциональны, или в
векторной форме записи
Г (г, 11,) + /), = 0,
I (г, n2) + D2 = 0,
называются общими уравнениями прямой в пространстве.
Каждый ненулевой вектор а = {k, I, m), лежащий на прямой или
параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.
Если прямая задана соотношениями (1) или (Г), то ее направляющий
вектор а находится по формуле
\\В2 С2\ \А2 С2\ \А2 В2\у
или
ч
с, Г
а = [
л, с,
А2 С2
пь п2].
*
А,
А2
S,
В2
(2)
-(2')
Если известны точка М0(х0, у0у z0) (или М0(го)) прямой и ее
направляющий вектор а = [k, /, m}, то прямая определяется уравнениями
(х — x0)/k = (у — у0)/1 = (2 — z0)/m (3)
и в векторной форме записи
[г-го, а] = 0, (3')
которые называются каноническими уравнениями прямой.
Если известны две точки Мх(хи уи Z\) и M2(jc2, у2, z2) (или М,(г,) и
М2(г2)) прямой, то прямая задается уравнениями
(х - *i)/(*2 - *i) = (if - */i)/(</2 - i/i) = (2 - 2i)/(z2 - zx), (4)
или в векторной форме записи
[г — гь г2 — г,] = 0, или [г, г2 — г,] = [гь г2], (40
которые называются каноническими уравнениями прямой, проходящей через
две данные точки,
123

то
Если каждое отношение в соотношении (3) обозначить буквой t:
(х - x0)/k = (*/ - у0)/1 = (2 - z0)/m = t,
, х = Х0 + kt,
\ У = У о + И, — °° < t < + оо,
v z = z0 + mt,
(В).
или в векторной форме записи
г = го + а/. (5')
Уравнения (5) и (5') называются параметрическими уравнениями прямой.
Пример 1. Указать особенности в расположении следующих
прямых: J
1)
. А2х + С^г = 0;
2)
Г (г. а»
) + А = о,
PJ) + D2 = 0;
3)[r-2j-k,i + 2k]=0.
Решение. 1) Очевидно, что данная прямая проходит через
начало системы координат (координаты точки 0(0,0,0)
удовлетворяют ее уравнениям). По формуле (2) найдем координаты
направляющего вектора а этой прямой:
41
О С,
О С2
А,
С,
С2
\И--\ХссП-
Так как направляющий вектор а прямой коллинеарен орту j
оси OY, то прямая параллельна оси О У, а так как она проходит
через начало системы координат, то она и совпадает с этой осью.
2) По формуле (2') найдем направляющий вектор а данной
прямой: a = [ai, pj] = офк. Так как он коллинеарен орту к оси
OZy то данная прямая параллельна оси OZ.
3) Данная прямая проходит через точку, радиус-вектор
которой г0 = 2j + к, и перпендикулярна оси ОУ, так как ее
направляющий вектор а = i + 2к ортогонален орту j этой оси.
Пример 2. Найти прямую, по которой пересекаются биссект-
ральная плоскость, проходящая в I, III, V и VII октантах, и
координатная плоскость OXY.
Решение. Данную биссектральную плоскость можно
задать уравнением х— у = 0, а координатную плоскость OXY —
уравнением 2 = 0. Тогда общие уравнения искомой прямой:
Г а: — г/ = 0,
I 2 = 0.
Пример 3. Прямая задана общими уравнениями
Г 2х — Зу — 32: — 9=0,
1 х- 2у + 2 + 3=0.
Записать ее канонические уравнения.
124

Решение 1. Для записи канонических уравнений прямой
в виде (3) надо знать какую-нибудь точку этой прямой и ее
направляющий вектор. В качестве координат точки прямой можно
взять любое решение данной системы двух уравнений, например
(0,0,-3), а направляющий вектор найдем по формуле (2):
ГI —3 -31 12 —31 12 —ЗП
a = t|-2 l|,~|l I'M -2|J=={~9, ~5, ""
1}.
Тогда (х — 0)/—9 = (у — 0)/—5 = (z + 3)/— 1, или х/9 = у/5 =
= (z + 3)/1,— искомые уравнения прямой.
Решение 2. Для записи канонических уравнений прямой
в виде (4) надо знать две точки этой прямой. В качестве
координат этих точек можно взять два произвольных решения
данной системы уравнений, например (0,0,—3)- и (27,15,0). Тогда
искомые уравнения имеют вид
х — 0 у — 0 z + З х у 2 + 3
— или — = •§-=---
27-0 16-0 0 + 3' Г1"1Г1 9 5 1 '
Пример 4. Прямая задана уравнением г = i + 2к + (2i — j —
— к)^. Записать ее канонические уравнения в координатной
форме записи.
Решение. Прямая задана параметрическими уравнениями
в векторной форме записи. Известна точка, принадлежащая
прямой: ее радиус-вектор г0 = i + 2k, а значит, она имеет
координаты {1,0,2}, и направляющий вектор а = 2i — j — к, т. е.
а = {2, -1,-1}. Тогда (х - 1)/2 = (у - 0)/(-1) = (г -
— 2)/(—1) — ее канонические уравнения в координатной форме
записи.
Пример 5. Составить уравнения прямой: 1) проходящей
через две точки Ali(i —j + 3k) и Af2(i + j — k); 2) проходящей
через точку М(2,—1,0) и параллельной вектору S={3,—5,1};
3) проходящей через точку М0(г0) и перпендикулярной к
плоскости (г, n)+D = 0; 4) проходящей через точку Af0(2, 0, I) и
параллельной прямой
' x=—l+t,
y = 2 + 2t,
z = —t.
Решение. 1) Уравнение прямой запишем в виде (4/):
[г — i + j — 3k, i + j-k —i+j —3k] = 0, или
[г-i + j —3k, 2j-4k] = 0,
и окончательно [г — i + j — 3k, j — 2k] = 0.
2) Если в качестве направляющего вектора а взять вектор S,
то можно записать канонические уравнения прямой:
{x-2)/3 = (y+\)/(-5) = z/U
125

3) В качестве направляющего вектора прямой можно взять
нормальный вектор п данной плоскости. Тогда [г — г0, п] = 0 —
канонические уравнения искомой прямой.
4) В качестве направляющего вектора искомой прямой
можно взять направляющий вектор данной прямой, координаты
которого соответственно равны 1,2,-1. Зная координаты 2,0,1
точки, через которую проходит
искомая прямая, запишем ее
уравнение:
У= 2/,
2=1 ~ /,
— оо </< + оо.
'Пример 6. Даны вершины
треугольника /1(3,-1,-1), 5(1,2,
—7) и С (—5,14,-3). Составить
канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при
вершине В.
Решение. Предварительно найдем точку D пересечения
искомой биссектрисы со стороной АС. Известно, что биссектриса
внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону
на части, пропорциональные длинам прилегающих сторон, т. е.
(рис. 103) p(A,B)/p(B,C) = p(A,D)/p(D9C). Найдем р(А,В),
р(В, С) и их отношение X:
Р(Л, в) = У(1
Р(В.С)
3)2 + (2+1)2 + (-7+1)2=7,
V(—5 — 1)2 + (14 —2)2 + (—3 + 7)2= 14,
Я = р(Л, В)/р(В9 С) =1/2.
3-5.(1/2) 1
Теперь найдем координаты точки D: х-
1 + 1/2
з •
-1 + 14.(1/2) _ -1-3.1/2 _ 5. n/1/з 4 -5ЛП
У— ПП72—"-4> z~ 1 + 1/2 "~ з' и\ч**% о/б).
Зная две точки В (1,2, — 7) и D (1/3,4,— 5/3) искомой
биссектрисы, запишем ее канонические уравнения (4):
х — 1 у— 2 _ z + 7 х - 1 _ у - 2 z + 7
1/3- 1
4-2
■5/2 + 7
ИЛИ
■2/3
16/3 '
и окончательно (х— 1)/1 =(у — 2)/(—3) = (г + 7)/(—8).
Пример 7. Составить уравнения движения точки М(ху у, z),
которая, имея начальное положение М0(3, —1, —5), движется
прямолинейно и равномерно в направлении вектора S =
= {—2, 6,3} со скоростью v = 21, и найти ее местоположение
через три единицы времени после начала движения.
Решение. В качестве направляющего вектора прямой, по
которой движется точка, можно взять вектор S. Найдем вектор v
126

скорости движения точки по прямой. Для этого достаточно opt
So направляющего вектора S прямой, по которой движется
точка, умножить на величину скорости v = 21: S0 = S/1 S | = {—2/7,
6/7, 3/7}, v = uSo и v={—6, 18,9}. Тогда уравнения движения
точки M(x,y,z) можно записать в виде
х = 3 — 6/,
у = — 1 + 18/,
z = — 5 + 9/,
где — оо < / < -f- оо — время движения точки. Для определения
местоположения точки через три единицы времени после начала
движения н-адо в последних уравнениях положить / = 3: х = 3 —
— 6-3 = — 15, у = — \ + 18-3 = 53, 2 = —5 + 9-3 = 22. Через
три единицы времени точка М (х, у, z) из положения М0 (3, — 1, —5)
переместилась в точку с координатами (—15,53,22).
2. Угол между двумя прямыми. Условия перпендикулярности и
параллельности двух прямых
Угол между двумя прямыми вполне определяется углом между их
направляющими векторами ai = {ku /ь т.\] и а2 = {k2y /2, т2).
Величина ф угла между двумя прямыми определяется по формуле
k\k> + ixl2 + тхт2
COS ф =
или в векторной форме записи
СОБф
(аь а2)
1*1 14*2 11
Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда
k\k2 -f Ц2 + тхт2 = О,
или в векторной форме записи
(аь а2) = 0;
параллельны или совпадают, когда
k\/k2 = l\lh = rn\/m2t
или в векторной форме записи
[аь а2] = 0.
Пример 8. Вычислить величину угла между прямыми
У _ 1 z I 3* + У — 52 + 1 = 0,
(6)
(60
(7)
(70
(8)
(80
Г Зд
И 1 2л
1 -2 3 " I 2x + 3y-8z + 3 = 0.
Решение. Найдем координаты направляющего вектора ая
второй прямой:
-{li:
-5
8
3 -5
2 -8
1}
{7, 14, 7}
(для дальнейших вычислений удобнее взять не вектор а2, а
вектор а2 = {1, 2, 1}, ему коллинеарный), и по формуле (6) высчи-
127

таем косинус угла между прямыми, учитывая, что координаты
направляющего вектора ai первой прямой известны, ai =
= {1,-2,3}:
' 1 • 1 -2-2+ 1 -3
cosqp =
= 0, откуда qp:
я
2
Пример 9. Установить взаимное расположение прямых:
* = 2 + 4/, Г л; = 7 — 6/,
1) i У= -6/, и < у = 2 + %
z = — 1 — 8/ I z= 12/;
2) г = — 3k + (9i + 5j + k) /
f (r, 2i
И l (г, I-
JC — 6
-3j-3k)-9 = 0,
2 j + k) + 3 = 0;
У+1. _ 2 + 2 e
3 -2 1 '
4) [r — i — 2j, 2i — 2j — k] = 0 и [г -f- 5i — 4k, —2i + 3j] = 0.
Решение. 1) Нетрудно заметить, что координаты
направляющих векторов at =={4, — 6, — 8} и а2 =={—6,9, 12} данных
прямых пропорциональны: 4/(—6) = —6/9 = —8/12,
следовательно, прямые либо параллельны, либо совпадают. Они
параллельны, если ни одна точка первой прямой не принадлежит
второй, и совпадают, если любая точка первой прямой
принадлежит и второй. Возьмем на первой прямой какую-либо точку,
например точку (2,0,—1), и подставим ее координаты в
уравнения второй прямой: 2 = 7 — 6/, 0 = 2 + 9/, —1 = 12/. Тогда из
первого уравнения t = 5/6, из второго / = —2/9, из третьего
t = —1/12, что свидетельствует о том, что точка (2,0,—1) не
принадлежит второй прямой, следовательно, данные прямые
параллельны.
2) Найдем направляющий вектор а2 второй прямой:
а9 =
-3
-2
1 —
J +
2 -3
1 -2
к = — 91 — 5j — к.
Видно, что направляющие векторы данных прямых коллинеар-
ны, следовательно, прямые либо параллельны, либо совпадают.
Подставим радиус-вектор точки М0(—Зк), принадлежащей
первой прямой, в уравнение второй прямой:
Г (—Зк, 2i — 3j — Зк) — 9 = 0,
( (-Зк, 1 — 2j + к) + 3 = 0,
и непосредственным подсчетом убедимся в справедливости
полученных равенств. Это означает, что точка М0(—Зк) принадлежит
и второй прямой. Значит, данные прямые совпадают.
3) Координаты направляющих векторов ai *={2, 1,4} и а2 =
= {3,—2, 1} данных прямых не пропорциональны, следовательно,
прямые либо пересекающиеся, либо скрещивающиеся. Они бу-
128

дут пересекающимися, если векторы аь а2 и MjM2 где М{ и М2—
какие-либо точки, принадлежащие соответственно первой и
второй данным прямым, компланарны, и будут скрещивающимися,
если эти векторы не компланарны.
В качестве точек Мх и М2 удобно взять известные точки
Mi(1,7,3) и Af2(6,—1,—2). Найдем вектор MiM2: MiM2 =
= {5,—8,—5}, и высчитаем смешанное произведение векторов
аь а2 и MiM2:
12 1 41
ai • а<> • М.Мо =
3 -2
5 -8
1
-5
= 0.
Так как смешанное произведение этих векторов равно нулю, то
векторы компланарны, а значит, данные прямые пересекаются.
4) Координаты направляющих векторов ai = 2i — 2j—к и
a2 = —2i + 3j не пропорциональны. Найдем смешанное
произведение векторов аь а2 и MiM2, где Af](i + 2j), М2(—5j -f- 4k) и
MiM2 = —i —7j + 4k:
I 2 -2 -1 I
aj • a2 • JV^Ma = — 2 3 0 = 19 ф 0.
|-1 -7 4|
Следовательно, данные прямые — скрещивающиеся.
Замечание В процессе решения задач 3) и 4) мы
получили признак принадлежности двух прямых одной плоскости:
если две прямые заданы каноническими уравнениями [г — п,
ai] = 0 и [г — г2, а2] = 0, то'они лежат в одной плоскости тогда
и только тогда, когда aia2(r2 — п) = 0, или в координатной
форме записи
k\ ■ 1\ Ш\
%2 *2
'2 ^2
= о,
где k\, lu tn\ — координаты направляющего вектора одной
прямой; k2y /2, m2 —координаты направляющего вектора другой
прямой; Х\, Уи Z\ — координаты точки, принадлежащей одной
прямой; х2у Уъ z2 — координаты точки, принадлежащей другой
прямой.
Эти же условия являются достаточными условиями
пересечения двух прямых.
Пример 10. Найти точку пересечения двух прямых
5 Зак. 273
Й9

Решение. Пусть (jc0,*/о> *о) —точка пересечения данных
прямых При каком-то значении t\ параметра / ее координаты
будут удовлетворять уравнению первой данной прямой, а при
каком-то значении h — уравнениям второй данной прямой, т. е.
«o=l-f2/i, y0 = 7 + tu 20 = 5 + 4/!
и
«0 = 6 + 3/2, Уо = — 1 — 2/2, z0 = /2.
Приравнивая полученные значения г0, уо и г0, получим систему
трех уравнений с двумя неизвестными t\ и h\
1+2/1 = 6+3/2, 7 + ti "=—1~2/2, 5+ 4/, =/2.
Понятно, что если эта система имеет единственное решение, то
данные прямые пересекаются; если она имеет бесконечное
множество решений, то прямые совпадают; и наконец, если она не
имеет решений, то прямые не
имеют общих точек.
Решая полученную систему,
убеждаемся, что она имеет
единственное решение t\ = — 2, /2 =
=—3. Подставляя t\ = —2 в
уравнение первой прямой (или
/2 = —3 в уравнение второй
прямой), найдем координаты точки
пересечения данных прямых: хо=
= —3, уо = 5, г0 = —3.
Пример 11. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного
из точки A (2i + 3j + к) на прямую [г + i — 2k, 2i — j + 3k] = 0.
Решение. Для решения задачи достаточно найти
направляющий вектор ai = k\ + /j + тк искомого перпендикуляра. Так
как искомая и данная прямые перпендикулярны, то их
направляющие векторы ai = k\ -f /j + mk и а = 2i — j + 3k
ортогональны, следовательно, (ai,a) = 0. Отсюда 2fe —/+3m = 0.
Векторы аь а и М0А, где M0(—I + 2k) —точка,
принадлежащая данной прямой, компланарны, следовательно, aiaM0A = 0,
откуда
I k I tn\
Рис. 104
2-1 3
3 3-1
= 0
(здесь 3, 3, —1—координаты вектора М0А), или —8&+11/ +
+ 9т = 0.
Разрешим систему уравнений 2k — / + 3m = 0, —8&+Ш +
+ 9m = 0 относительно переменной /: k = /, т = —1/3. Полагая
/ = 3, получим & = 3, т = — 1. Тогда за направляющий вектор
искомуого перпендикуляра можно взять вектор aj=3i + 3j —k
и уравнение перпендикуляра записать в виде [г — 2i — 3j — k,
31 + 3j — k] = 0.
130

Пример 12. Найти расстояние между двумя параллельными
прямыми
" * = 2 + 3/, ( х = 7 + 3/,
у = _1+4/, и j у=1+4Л
2 = 2/ I z = 3 + 2/.
Решение. Очевидно, что расстояние между данными
прямыми равно высоте h треугольника ABC (рис. 104). Так как
Saabc = \[&u AB] |/2, то А=|[аь АВ]|/|а,|.
Найдем координаты вектора АВ: АВ ={5,2,3}; координаты
вектора, равного векторному произведению векторов ai = {3,4,2}
и АВ ={5,2,3}:
[а, АВ]
41
4 2
2 3
3 2
5 3
3 41
5 2
J = {8, 1, -14},
V82+l2 + (-14)2
V29,
д/261; модуль
и, наконец, искомую
Рис. 105.
и его модуль | [а, АВ]
вектора аь | а{ | = Уз2 + 42 + 22
величину A: /i = 3.
пример 13. Найти
расстояние между двумя скре~
щивающимися прямыми
[г —ri,ai]=0
и [г — г2, а2] = 0.
Решение. Если,
например, через первую прямую
провести плоскость,
параллельную второй данной прямой, то расстояние от произвольной
точки второй прямой до построенной плоскости и будет
искомым (рис. 105).
В качестве нормального вектора этой плоскости можно взять
вектор n=[ai,a2], а в качестве точки, через которую она
проходит,— точку, радиус-вектор которой Гь Тогда (г — п,
[аь а2])=0 — уравнение построенной плоскости. Приведем его
к нормальному виду, для чего разделим обе его части на модуль
вектора [аь а2]:
(г — гь [аь а2]/| [аьа2] |) = 0,
и высчитаем искомое расстояние h как расстояние от точки,
радиус-вектор которой равен г2, до этой плоскости:
A=|0V
г,, [аьа2]/| [аьа2] |)|.
1. Указать особенности в расположении следующих прямых:
f (г, a.l + P.j+Y.k) = 0f
' l(r, otji + рл Y2k) = 0;
5* 131

2) (*-l)/2^(«/-2)/0 = (z+l)/0;3) [r,j] = 0.
2. Записать уравнения прямой, по которой плоскость (г, 2i—-
— j)+ 1 =0 пересекает координатную плоскость OYZ.
3. Записать параметрические уравнения прямых:
( x + 2y + z—l=0,
"b-y+l-O; 2) [r-i + j-k. 2j + k] = 0.
4. Составить уравнения прямой: 1) проходящей через две
точки Mi(2, —3, 2) и Af2(3, 5, 3); 2) проходящей через точку
-Мо(го) и параллельной вектору S; 3) проходящей через точку
M0(3i + 5j ■+- к) и параллельной прямой г = 2i — 3k-f-(4i —
— 3j)/; 4) проходящей через точку М0(1,2, 3) и
перпендикулярной плоскости 2х -f У—1=0; 5) проходящей через точку
М(—1,2,—3) и параллельной двум плоскостям х-\- у — 8z -f
+ 1 = 0 и х — 2у + Ъг = 0; 6) проходящей через точку А (0,1,0)
и перпендикулярной двум прямым л:=1 — t, у = 2 + 3/, г =
= 5 + 2* и х/2 = (r/-6)/(-5)=(z+ l)/3.
5. Составить уравнения прямой, которая проходит через
точку 4(1,—5,3) и образует с осями системы координат углы,
соответственно равные 60, 45 и 120°.
6. Установить, какие из следующих точек лежат на одной
прямой: 1) Л(3,0,1), 5(0,2,4), С (—3,4,7); 2) 4(1,2,3),
5(10,8,4), С(3,0,2).
7. Даны вершины треугольника Л (21 — j — 3k), B(5i + 2j —
— 3k) и С(—-7i+ llj + 6k). Составить канонические уравнения
биссектрисы его внешнего угла при вершине А.
8. Составить уравнения движения точки М(х, у, z), которая,
двигаясь равномерно и прямолинейно, прошла расстояние от
точки М{(—7, 12,5) до точки М2(9,—4,—3) за промежуток
времени от t\ = 0 до U = 4.
9. Точка М(х, у, z) движется прямолинейно и равномерно из
начального положения М0(20,—18,—32) в направлении,
противоположном вектору S={3,—4,—12}, со скоростью v = 26.
Составить уравнения движения точки М и определить точку, с
которой она совпадает в момент t = 3.
10. Показать, что прямые
( x + y + z— 1=0, ( 2x + 3y + 6z — 6 = 0,
( r/ + 4z = 0 И t 3x + 4y + 7z = 0
Параллельны, и записать уравнение плоскости, в которой они
расположены.
11. Показать, что прямые [г — i,4i — j + k] = 0 и [г + 2j —
— 2k, i — j+k] = 0 пересекаются. Найти точку их пересечения
и плоскость, в которой они расположены.
12. Доказать, что если две прямые (х— а\)/l\=(y— b\)/т\ =
= (z — C\)/n\ и (х — a2)/h = {у — Ь2)/т2 = (г — с2)/п2
пересекаются, то уравнение плоскости, в которой они лежат, может
132

быть представлено в следующем виде:
12 т2 п2
13. Найти расстояние от точки Л (7i + 9j + 7k) до прямой
[г —2i —j, 4i + 3j + 2k] = 0.
14. Найти уравнения прямой, проходящей через точку
Л!(0,3,—2) и пересекающей прямые:
x = 3t,
и у = 2 — 2/,
*=-1 -/.
15. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного източ--
ки Л (3,2, 1) на ось ОХ.
16. Найти проекцию точки М(0, 1,2) на прямую х = 1 + 2/,
у = —\ +3/, z = 2 +t.
17. Найти точку М', симметричную данной точке М(4, 3, 10)
относительно прямой (х — 1) /2 = (у — 2) /4 = (г — 3)/5.
18. Найти угол и кратчайшее расстояние между диагональю
куба и непересекающей ее диагональю грани, если ребро куба
равно 1.
§ з. прямая и плоскость
В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Пучок и связка плоскостей
Совокупность всех плоскостей, проходящих через прямую, называется
пучком плоскостей, прямая — осью пучка.
Уравнение
а (А,х + Bxtj + C,z + DO + Р (А2х + В2у + C2z + D2) = 0, (1)
или в векторной форме записи
а ((г, щ) + DO + р ((г, n2) + D2) = 0, (1')
где аир одновременно не обращаются в нуль (а2 + Р2 ¥= 0), является
уравнением произвольной плоскости пучка.
Ось пучка определяется уравнениями А\Х + В\у + Ciz + D\ = 0 и А2х +
+ В2у + C2z + D2 = 0.
Если а =^= 0, то уравнение
Л!* + £i</ + Ciz + Dx+y (А2х + В2у + С2г + D2) = 0, (2)
или в векторной форме записи
(г, nO + Di + Yttr, n2) + D2)-0, (20
определяет все плоскости пучка (1) ((Г))» кроме второй плоскости А2х +
+ #2</ + C2z + D2 = 0 ((г, п2) + D2 = 0).
Если р ф 0, то уравнение
Y IA* 4- Si</ + CiZ + D,) + A2x + B2y + С2г + D2 = 0, (3)
133

или в векторной форме записи
Y ((г, щ) + D,) + (г, п2) 4- 02 = О, (3Г)
определяет все плоскости пучка (1) ((Г))» кроме первой плоскости Ахх +
+ Вху + dz + Di = 0 ((г, щ) + А = 0).
Совокупность всех плоскостей, проходящих через точку Af0, называется
связкой плоскостей с центром в точке М0.
Уравнение
а (А:х + В,0 + Схг + ЯО + Р (Л2* + ^ + С2* + D2) +
+ y {Аъх + Вз# + С3г + АО - 0. (4)
или в векторной форме записи
а ((г, щ) + Dx) + Р ((г, п2) + D2) + у ((г, п8) + ДО = 0, (4')
где а, р, у одновременно не обращаются в нуль (а2 + Р2 + Y2 ^ 0)» является
уравнением произвольной плоскости связки.
Система уравнений
/Ахх + Вху + Схг + Dx = 0,
\ А2х + В2у + C2z + D2 = 0, (5)
I A3x + В3у + C3z + D3 = 0,
или в векторной форме записи
■(г, n,) + D,=0,
(г, п2) + D2 = 0, (5Г)
. (г, п3) + £>з = 0,
!!
определяет координаты х0, */о, z0, или радиус-вектор г0, точки М0 центра
связки плоскостей.
Пример 1. Определить, принадлежит ли плоскость Ах— 8у +
+ 172— 8=0 пучку плоскостей а(5# —у + 42—1)+р(2х +
+ 2y-3z + 2)=0.
Решение 1. Чтобы плоскость Ах — 8у + 172 — 8 = 0
принадлежала данному пучку плоскостей, необходимо, чтобы она
проходила через ось пучка, т. е. через прямую
( 5х — у + Az — 1 = 0,
{ 2х + 2у — 3z + 2 = 0,
а для этого достаточно, чтобы две точки этой прямой
принадлежали плоскости Ах — 8у + 172 — 8 = 0.
Возьмем на оси пучка две ее произвольные точки, например
точки (0,—1,0) и (5,—24,—12), и подставим их координаты е
уравнение данной плоскости: 4-0 — 8-(—1)+17-0 — 8 = 0,
0 = 0; 4-5 —8-(—24)+17-(—12)—8 = 0, 0 = 0. Так как две
точки оси пучка принадлежат данной плоскости, то эта
плоскость принадлежит пучку.
Решение 2. Перепишем уравнение пучка в следующем
виде:
(5а + 2р) х + (-а + 2р) у + (4а - Зр)г + (-а + 2р) = 0,
134

Если плоскость 4л: — 8у + 17z — 8 = 0 принадлежит пучку, то
при каких-то значениях аир должны выполняться равенства
5а + 2р = 4, —а + 2р = —8, 4а — Зр = 17, — а + 20 = —8.
Решая полученную систему уравнений, получаем а = 2, р = —3.
Итак, данная плоскость принадлежит данному пучку, причем
ее уравнение можно получить из уравнения пучка, полагая а = 2,
р = -з.
Решение 3. Плоскость \х — 8y-\-\lz— 8 = 0
принадлежит данному пучку, если система
Ах — 8у+ 172 — 8 = 0,
5* — у + 4г — 1 = 0,
2х + 2у — 32 + 2 = 0
имеет бесконечное множество решений. В данном случае так
будет, если ранг расширенной матрицы
'4 -8 17
5-1 4
2 2 -3
этой системы равен 2. Вычисляя ранг указанной матрицы (см.
раздел II, гл. III, § 4), убеждаемся, что система имеет
бесконечное множество решений, следовательно, данная плоскость
принадлежит данному пучку плоскостей.
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку A (i — 2j -f- 3k) и прямую:
f (r, 2i-3j + k)-3 = 0,
I (r, i + 3j + 2k)+l=0.
Решение. Составим уравнение пучка плоскостей, осью
которого является данная прямая, для чего воспользуемся
соотношением (2'):
(r,2i-3j + k)-3+p((r,l + 3j + 2k)+l) = 0,
предварительно убедившись, что радиус-вектор i —2j + 3k точки
А не удовлетворяет второму уравнению в задании данной
прямой:
(I—2j + 3k, i + 3j + 2k)+ 1 = 1— 6+6+1^ 0.
Так как искомая плоскость принадлежит записанному пучку
плоскостей и проходит через точку Л, то радиус-вектор i — 2j +
+ 3k этой точки удовлетворяет уравнению пучка, т. е.
(i_2j + 3k, 2i - 3j + k)- 3 + p((i - 2j + 3k, i + 3j +
+ 2k)+l) = 0.
Отсюда, высчитывая скалярные произведения, найдем р:
11-3 + р(1 + 1) = 0, р = -4.
135

Подставляя р = —4 в уравнение пучка плоскостей, найдем
уравнение искомой плоскости: (г, 2i — 3j + k) — 3 — 4((г, i + 3j +
+ 2k)+l) = 0, или после преобразований (г, 2i + 15j + 7k) +
+ 7 = 0.
Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую пересечения плоскостей Зх — у + 2z + 9 = 0, х +
+ z — 3 = 0 и параллельной оси ОХ.
Решение. Запишем уравнение всех плоскостей,
проходящих через данную прямую: а(3* — у + 2z + 9) + P(# + z — 3) —
= 0, или
(За + Р) х — ау + (2а + р) z + (9а — Зр) = 0.
Уравнение плоскости, параллельной оси ОХ, имеет вид By +
+ Cz + D = 0. Тогда если искомая плоскость принадлежит
пучку плоскостей, то За + р = 0, откуда р = —За.
Подставляя р = —За в уравнение пучка плоскостей а (За: —
— у + 2z + 9) — За (я+ 2 — 3) = 0 и сокращая на а^О,
получим искомое уравнение у + z — 18 = 0.
Пример 4. В пучке плоскостей, заданном уравнением
a ((г, 2i — j + 3k) — 5) + р ((г, i + 2j — k) + 2) = 0, найти
плоскость, параллельную вектору а = 2i — j — 2k.
Решение. Перепишем уравнение пучка плоскостей в виде
(г, (2a+p)i+(-a + 2p)j+(3a-p)k) + (-5a + 2p) = 0.
Пусть (г, А\ + В) + Ck) + D = 0 — уравнение искомой
плоскости. Тогда А = 2а + р, В = —а + 2р, С = За — р, а так как
искомая плоскость параллельна вектору а = 21 — j — 2k, то
нормальный вектор п = А\ + В) + Ск искомой плоскости
ортогонален вектору а = 2i — j — 2k, т. е. их скалярное произведение
равно нулю. Следовательно, 2А — В — 2С = 0, или 2(2а+р) —
—■(—а + 2р) —2(3а —Р) = 0, откуда а = 2р. Подставляя
а = 2р в уравнение пучка плоскостей и сокращая на р=7^=0,
получим искомое уравнение (г, 5i + 5k) — 8 = 0.
Пример 5. Найти плоскость, проходящую через линию
пересечения плоскостей (г, i + 5j + k) = 0, (r, i — k) + 4 = 0 и
образующую угол величиной я/4 с плоскостью (г, i — 4j — 8k) + 12 =
= 0.
Решение 1. Запишем уравнения всех плоскостей,
проходящих через линию пересечения данных плоскостей: a (r, i + 5j +
+ k)+p((r,i-k) + 4) = 0 или (г, (a + p)i + 5aj+(a-p)k) +
+ 4(5 = 0.
При некоторых фиксированных значениях аир плоскости
(г, (а+p)i + 5aj+ (a —P)k) + 4p = 0 образует с плоскостью
(г, i — 4j — 8k) +12 = 0 угол величиной я/4. Тогда согласно
формуле (19) из § 1 (здесь ni =(a +ft)i +5aj+(a—P)k, п2 =
= i — 4j — 8к, ф = я/4), будет выполняться равенство
(а + Р) - 20а - 8 (а - р)
У (а + р)2 + 25а2 + (а - р)2 У1 + 16 + 84
1
V*"
136

решая которое относительно а, получим а = 0 и а =—4р/3.
Подставляя значения а в уравнение пучка и сокращая на р=й=0,
получим уравнения двух плоскостей: (г, i — к) + 4 = 0 и (г, i +
+ 20j-f-7k)—12 = 0. удовлетворяющих условиям задачи.
Решение 2. Предварительно выясним, нет ли среди
данных плоскостей (г, i + 5j + k) = 0 и (г, i — k) + 4 = 0 искомой,
для чего найдем величину угла между каждой из них и
плоскостью (г, i — 4j — 8k) + 12 = 0:
| 1 - 20 - 8 | 1 , я
С08ф1= . =г=-тг, ф, ф —;
VI +25+ 1 Vl + 16 + 64 У? 1 4
™* |1+8| 1 я
COS(p2 = . ._ =——, ф = —.
VI + 1 Vl + 16+ 64 V2 4
Итак, плоскость (г, i— k) + 4 = 0 удовлетворяет условиям
задачи. Это дает нам возможность записать уравнение пучка
плоскостей в более простом виде:
(r,i + 5j + k)+p((r,i-k) + 4) = 0, или
(г, (l + P)i + 5j+(l-p)k) + 4p = 0.
При некотором значении р в этом пучке плоскостей найдется
плоскость (г, (1 + P)i + 5j+(1 — Р)к) + 4Р = 0, которая с
плоскостью (i\i—4j — 8k) +12 = 0 образует угол величиной я/4.
Тогда должно выполняться равенство
1 (1 Ч- Р) — 20 — в (1 — Р) 1 1
V(l + Р)2 + 25 + (1 - р)2 Vl + 16 + 64 V2 '
откуда р = —3/4. Подставляя это значение р в уравнение пучка
плоскостей, получим уравнение (г, i + 20j + 7k) — 12 = 0 второй
плоскости, удовлетворяющей условиям задачи.
Пример 6. В связке, определяемой плоскостями х + У — z +
+ 2 = 0, Ах — Ъу + z— 1=0 и 2х + у — 5 = 0, найти плоскость,
проходящую через ось абсцисс.
Решение. Уравнение искомой плоскости запишем в виде
(4):
a(x + y-z + 2)f№x-3y + z-l)+y(2x + y-5) = 0t
или после очевидных преобразований
(а + ц + 2у)х + (а-3$ + у)у + (-а+ p)z +
+ (2a-p-5Y) = 0. (*)
Так как искомая плоскость проходит через ось абсцисс, то в по*
следнем уравнении a -f 4р + 2у = 0 и 2а — р — 5у = 0.
Из системы уравнений а + 4р + 2у = 0, 2а — р— 5у = 0
выразим переменные аир через переменную у: а = 2у, Р = —у.
Подставляя эти выражения в уравнение (*) и сокращая на
у ф 0, получим искомое уравнение 2у — z = 0,
137

2. Угол между прямой и плоскостью. Условия перпендикулярности и
параллельности прямой и плоскости
За угол между прямой и плоскостью принимается нетупой угол между
прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 106).
Величина ф угла между прямой и плоскостью вычисляется по формуле
| Ak + Bl + Cm |
sin ф = —\ —/ ,
ojk'2 + I2 + m2 лЛ42 + В2 + С2
или в векторной форме записи
sin ф =
|(а,п)1
|а|-|п|
(6)
(60
где а = {k, I, m) — направляющий вектор прямой; п = (Л, В, С}— нормальный
вектор плоскости.
Прямая и плоскость перпендикулярны
тогда и только тогда, когда
A/k = B/l =.C/mt (7)
или в векторной форме записи
[а, п] = 0; (Г)
и параллельны, когда
Ak + Bl + Cm = 0, (8)
или в векторной форме записи
Рис. 106. (а, п) -= 0. (8')
Пример 7. Определить величину угла между прямой
f (r, 3i — j — к) + 5 = 0,
I (r, i — j — к) — 1 = 0
и плоскостью (г, 4i — 8j + к) — 3 = 0
Решение. Сначала найдем направляющий вектор данной
прямой
II j k!
-1 -1
•1 -1
2j - 2к.
В качестве направляющего вектора а данной прямой удобно
взять вектор а = j - k. Теперь, зная направляющий вектор
а = j — к и нормаль n = 4i — 8j + к, вычислим по формуле (б7)
величину ф угла между данными прямой и плоскостью:
| (а, п) | | — 8 -
Sin ф = ' , ' = J т=—
а | • п | л/2-9
Ч
1
Л/2.
Пример 8. Из точки А (1,0,-1) опустить перпендикуляр на
плоскость 2х — у -+- 5 = 0.
Решение. В качестве направляющего вектора а искомого
перпендикуляра можно взять вектор п = {2, —1,0} данной
плоскости. Зная точку и направляющий вектор прямой, запишем ее

канонические уравнения:
(x-l)/2 = y/(-l) = (z+l)/0.
Пример 9. Найти точку пересечения прямой [г — 7i — 4j — 5k,
5i + j + 4k] = 0 и плоскости (r, 3i — j -f 2k) — 5 = 0.
Решение. Канонические уравнения прямой перепишем в
ее параметрические уравнения: г = 7i + 4j -j- 5k+(5i + j + 4k)£,
— oo << / <C + °°-
Если прямая и плоскость пересекаются, то при некотором
значении параметра / радиус-вектор точки прямой будет
удовлетворять уравнению плоскости. Найдем это значение параметра
ty для чего радиус-вектор г = 7i + 4j -f- 5k -f- (5i + j + 4k) t
произвольной точки прямой подставим в уравнение плоскости:
(71 + 4j + 5k + (51 + j + 4k) U 3i - j + 2k) - 5 = 0,
21 — 4+ 10+ 15/ — ^+ 8/ — 5 = 0, /= 1.
Подставляя /=1 в параметрические уравнения прямой, найдем
радиус-вектор искомой точки: г = 7i + 4j + 5к + 5Г+ j + 4к,
r= I2i + 5j + 9k.
Пример 10. Принадлежит ли прямая r = i — 3j — 2k+(2i —
— j + 5k) t плоскости (r, 4i + 3j — k) + 3 = 0?
Решение. Очевидно, что для принадлежности прямой
плоскости необходимо выполнение двух условий: ортогональность
направляющего вектора прямой и нормали плоскости и
принадлежность хотя бы одной точки данной прямой этой плоскости.
Проверим выполнимость этих условий. Найдем скалярное
произведение направляющего вектора а = 2i — j + 5k и
нормали n = 4i + 3j — k:
(a, n) = (21 — j + 5k, 4i + 3j — k) = 8 — 3 — 5 = 0,
a_Ln —первое условие выполнено.
Проверим выполнимость второго условия, для чего радиус-
вектор i — 3j — 2k точки прямой подставим в уравнение
плоскости:
(I — 3j — 2k, 4i + 3j — k) + 3 = 0, 4 — 9 + 2 + 3 = 0, 0 = 0.
Второе условие тоже выполнено, следовательно, данная прямая
принадлежит данной плоскости.
Пример 11. Найти точку М\ симметричную точке М(\ + 5j +
+ 2k) относительно плоскости (г, 2i — j — k)+ll=0.
Решение. Искомая точка Mf лежит на прямой, проходящей
через данную точку М перпендикулярно к данной плоскости, и
удалена от нее на расстояние р(ЛГ, А)= р(М, А) (рис. 107).
Запишем параметрические уравнения прямой, проходящей
через точку М перпендикулярно данной плоскости: г = i + 5j +
+ 2k + (2i — j —k)/, и найдем радиус-вектор тА точки А (см.
139

пример 3):
"Г
(i + 5j + 2k + (2i-j-k)/, 2i-j-k)+ll=0,
2 —5 —2 + 4/ + / + /+ 11 =0, / = —1.
U = i + 5j + 2k + (21 - j - k) (-1); та = -i + 6j + 3k.
Так как точка А — середина отрезка ММ\ то радиус-вектор
точки М' можно найти из соотношения гА = (гм + гм,)/2: гм, =
= 2гл-гм, rM/ = 2(-i + 6J + 3k)-(I + 5J + 2k); rM, = -3i +
+ 7j + 4k.
Пример 12. Записать уравнение плоскости, проходящей через
данную точку параллельно двум данным прямым.
Решение. Пусть данная точка М0 имеет радиус-вектор
Го, М0(г<з), а прямые заданы своими каноническими уравнениями:
[г— п, ai] = 0 и [г —г2, а2] = 0.
Так как искомая плоскость
параллельна данным прямым, то
ее нормаль п перпендикулярна
направляющим векторам ai и а2
данных прямых, следовательно,
в качестве нормали искомой
плоскости можно взять вектор п,
равный векторному
произведению векторов ai и а2, n = [ai, a2].
А тогда, зная точку М0(г0),
принадлежащую плоскости, и ее
нормаль, можно записать
уравнение этой плоскости: (г — г0,
[ai,a2]) = 0, или, используя понятие смешанного произведения
векторов: (г — r0)aia2 = 0.
Последнее соотношение в координатной форме можно
записать так:
У-У о
/i
Рис. 107.
X — Xq
k2
I
l2
Z — Zq
m2
= 0,
где x0, yoy zo — координаты данной точки M0\ ku /ь т\ —
координаты направляющего вектора ai первой данной прямой; k2, /2,
т2 — координаты направляющего вектора а2 второй данной
прямой; и оно является уравнением искомой плоскости в
координатной форме записи.
Пример 13. Записать уравнение плоскости, проходящей через
данную прямую и точку вне ее.
Решение. Если прямая задана, например,
параметрическими уравнениями в векторной форме записи: г = Т\ + а/, а
Го — радиус-вектор данной точки М0, то в качестве нормали
искомой плоскости можно взять вектор п = [АМ0, а] = [г0 — п, а]
140

(рис. 108), так как n_J_AM0 и п 1 а, и уравнение искомой
плоскости записать так: (г — Го, [го — гь а] ) = 0, или (г — г0) (г0 —
— г,)а = 0.
Если же прямая и точка зада- ч^о(го)
ны в координатной форме, то
уравнение искомой плоскости можно
записать так:
х — х0 У — Уо z — Zq
хо — х\ Уо — У\ zo — z\
k I m
= 0,
Рис. 108.
где x0, уо, zo— координаты данной точки; хь уи z\ — координаты
одной из точек данной прямой; &, /, т — координаты
направляющего вектора данной прямой.
1. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало
системы координат и линию пересечения плоскостей 2х-\-Ъу—
— 6z + 4 = 0 и Зу + 2z + 6 = 0.
2. Через линию пересечения плоскостей (г, 4i — j + 3k)— 1 =
= 0, (г, i + 5j — k) + 2 = 0 провести плоскость, параллельную
оси ординат.
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
(г, i + 3j-k) = 0,
(г, 2I-j + k)+l =
0
параллельно прямой [г + i — 7j + 5k, —2i + 3j + 2k] = 0.
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию
пересечения плоскостей (г, 2i + j — к) + 1 = 0, (г, i -f j -f 2k) +
+ 1=0 параллельно отрезку, ограниченному точками /4(2i +
+ 5j — 3k) и £(3i— 2j + 2k).
5. В пучке, определяемом плоскостями (г, 3i + j — 2k) ^- 6 =
= 0 и (г, i — 2j -f 5k)— 1 =0, найти плоскости,
перпендикулярные этим плоскостям.
6. Через линию пересечения плоскостей х + 28у -f- 2z + 17 =
= 0 и 5х + 8у — г+1=0 провести плоскость, касающуюся
сферы х2 + у2 -f- z2 = 1.
7. Написать уравнение плоскости, принадлежащей пучку
плоскостей а ((г, 3i — 4j + к) + 6) + р ((г, 2i — 3j + к) + 2) = 0 и
равноудаленной от точек A (3i — 4j — 6k) и B(i + 2j + 2k).
8. Через линию пересечения плоскостей 2х — у + z — 3 = 0 и
х + у — 3z— 1=0 провести плоскость так, чтобы она~ отсекала
от оси ОХ отрезок, равный 5.
9. Через ось OZ провести плоскость, образующую с
плоскостью 2х + у — л/bz — 7 = 0 угол, равный я/3.
10. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку пересечения, трех плоскостей (г, i — j) == 0, (г, i + j —2k) +
141

+ 1=0, (r, 2i + к)—4 = 0 и: 1) проходящей через ось
ординат; 2) параллельной плоскости OXY\ 3) проходящей через
начало системы координат и точку A (2i + j + 7k).
11. Определить величину угла между прямой (л; + 3)/1 =
— (у —2) /(—2) = (z+ 1)/2 и плоскостью 4х + 2у + 2г — 5 = 0.
12. Найти точку пересечения прямой и плоскости:
-z-4 = 0;
Зх + Ъу — z — 2 = 0.
13. При каком значении коэффициента а плоскость (г, а! +'
+ 3j — 5k)+l=0 будет параллельна прямой [г —i + 2j, 4i +
+ 3j + k] = 0?
14. Доказать, что прямые * = 2 + 4/, у = —6/, z = — 1 —8/ и
х = 7—6/, у = 2 -f- 9/, 2=12/ лежат в одной плоскости, и
написать уравнение этой плоскости.
15. Установить взаимное расположение в пространстве:
(3x + 5y-7z + 16 = 0,
1) прямой \ 0 ft п и плоскости 5л:—г—4 = 0;
2) прямой г = 13i -f- j + 4k + (8i + 2j + 3k) t и плоскости
(r, i + 2j-4k)+l=0;
3) прямой [г + i — 3j, 2i + 4j + 3k] = 0 и плоскости (г, 3i—
-3j + 2k)=5;
4) прямой х = 2 — t,y = —1+2/, z = 3t и плоскости х —
— 2y — 3z + 1 = 0.
16. Через точку Afi(ri) провести плоскость,
перпендикулярную прямой г = Го + а/.
17. Найти проекцию точки А (1,2,-3) на плоскость 6х — у+
+ 32 — 41 =0.
18. Найти проекцию прямой [г — 4j + k, 4i + 3j — 2к] = 0 на
плоскость (г, i — j + Зк) + 8 = 0.
19. Найти точку, симметричную точке Л (2, 7, 1) относительно
плоскости х — 4у + z + 7 = 0.
20. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через
прямую г = Го + а/ перпендикулярно плоскости (г, n) + D = 0,
можно записать в виде (г — Го) an = 0.

Р а здел IT
ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
Глава I
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Комплексными числами называют объекты, которые можно складывать,
вычитать, перемножать и делить (с выполнением обычных свойств этих
действий) и среди которых содержатся все вещественные числа. При построении
множества С комплексных чисел постулируют существование такого объекта
(комплексного числа /), называемого мнимой единицей, что i2 = —1, и
считают, что все комплексные числа могут быть получены из этого числа и всех
вещественных чисел с помощью сложения и умножения. Так, если это число I
умножить на любое вещественное число Ь, то полученное произведение Ы есгь
опять-таки некоторое комплексное число (при этом считают, что. 1-/ = /,
0-t = 0). Далее, к любому такому произведению можно прибавить любое
вещественное число а, полученная сумма снова есть некоторое комплексное
число а + Ы (при этом 0 + bi = bi). Дальнейшие операции сложения и
умножения с суммами такого вида (с учетом обычных свойств этих действий и
равенства i2 = —1) дают опять суммы такого же вида, т. е. любое комплексное
число х представимо в виде х = а -f- bi, где а, Ъ е R (R — множество всех
вещественных чисел).
Представление комплексного числа х в виде а + Ы единственно, т. е.
a -f- Ы = а\ + b\i тогда и только тогда, когда а = аи b = b\. Такое
представление называют алгебраической формой комплексного числа. Вещественные
числа а и Ьу однозначно определяемые данным комплексным числом х,
называются соответственно вещественной и мнимой частями числа х (обычные
обозначения. a = Re*, b = \mx). Если Im x = 0, то х е R; если Re* = 0,
то х называют мнимым (или чисто мнимым) числом.
В множестве комплексных чисел определена операция сопряжения,
однозначно сопоставляющая каждому числу х сопряженное с ним число х =
s= Re x — i Im x, т. е. если х = а + bi, a, &gR, то х = а — bi.
Простейшие свойства операции сопряжения:
1. X = X.
2. х = х тогда и только тогда, когда х е R.
3 х±у = х ± у ху = х-у\ х/у = х/у, у Ф 0.
4. х + х = 2Re х, х — х = 2Мт х.
5. х-х е R; если х ф 0, то хх > 0.
Замечание. Свойство 5 операции сопряжения удобно использовать
при нахождении алгебраической формы частного пары комплексных чисел,
заданных алгебраическими формами:
а + Ы (а + bi) (с + di) ^_ (а + Ы) (с — di) ас + bd + (be — ad) i
С + di ~~ (с + di) (с + di) ^ (c + di) (c - di) = c2 + d2 ~~
Qg 4- 6d , 6c — ad
e c2 + d2 + c2 + d2 '
143

Если х = а + Ы, а, Ъ е R, то хх — {а + 6t) (а — Ы) = а2 — (б/)2 = сР -f
+ б2 ^ 0. Таким образом, существует арифметическое значение квадратного
корня -у/хх = д/а2 + b2 • Оно называется модулем числа х и обозначается
М, т. е.
| х | = л/а2 + Ь\ х х = \х |2.
Простейшие свойства модуля комплексного числа:
1. Ы ^ 0 и Ы = 0 тогда и только тогда, когда х = 0.
2. |*| = |*|.
3. Если х е R, то |*| равен абсолютной величине числа х.
4. |*у1-|*|-|0|; |*/</1 = М/Ш у^о.
Пример 1. Вычислить (т. е. представить в алгебраической
форме): 1) 2 + 3/+ (5 — 7/); 2)4 + / —(7 + 2/); 3) (3 + 2/)(5 —
-20; 4) (2 + 0/(1+3/)
Решение. Пользуясь обычными свойствами действий:
коммутативностью, ассоциативностью и дистрибутивностью,
получим:
1) 2 + 3/ + (5 — 70 = (2 + 5) + (3 — 7) / == 7 — 4/;
2) 4+/-(7 + 2/) = (4-7) + (1-2)/ = -3-/;
3) (3 + 20(5 —20 = 3-5 + 2/.5 — 3-3/ —2-3/2= 15 + 10/ —
— 9/ —6-(—1) = 21 + /;
4) используем,-кроме того, замечание к свойству 5 операции
сопряжения:
2 + / (2 + 0 (1 - з/) 5 — 5/1 1 .
1+3* (1 + 3/) (1 — 30 10 2 2 U
Пример 2. Найти вещественные решения уравнения
(2 + /)х + (1-/)г/ = 5-2/.
Решение. Преобразуя левую часть уравнения, получаем
2* + у + (х — у) / = 5 — 2/.
Ввиду вещественности х и у и единственности алгебраической
формы комплексного числа это уравнение равносильно системе
2х+у = 5, х — у= — 2, откуда *=1, у = 3.
Пример 3. Вычислить (т. е. представить в алгебраической
форме) д/4 + 3/.
Замечание. Употребление знака радикала здесь не вполне
законно: обычно им обозначается арифметическое значение
корня (из неотрицательного вещественного числа), которое
определено однозначно; однако и такое его употребление встречается
достаточно часто. Смысл знака радикала ясен: найти все
значения квадратного корня.
Решение. Пусть х — искомое число. Тогда по определению
квадратного корня 4 + 3/ = х2. Если х = а + Ы, a, 6eR, то
4 + 3/ == (а + Ы)2 = а2 — Ь2 + 2аЫу откуда, так как а и b —
вещественные числа, а2 — Ь2 = 4, lab = —3.
144

Решим полученную систему уравнений. Из второго уравнения
выразим Ъ = —3/(2а) и подставим его значение в первое
уравнение: а2 — 9/4а2 = 4. Обозначая а2 = и, получаем квадратное
уравнение 4и2—\6и — 9 = 0, из которого определяем
и = (8 ± УНЮ~)/4 = (8 ± Ю)/4.
Так как а — вещественное число, то и ^ 0. Значит, и = 9/2, т. е.
а=±3/л/2~ и ft=Tl/V2". Тогда хх =_3/д/2" —JIa/2 1, x2 =
= —З/д/2 + l/Vl *> или *i.2=± (3/V2 — 1/V2 0 (здесь уже
знак радикала обозначает арифметическое значение корня).
Пример 4. Решить уравнение (т. е. найти алгебраическую
форму его корней) х2 — (2 -f i)x +(—1 +- 7i) = 0.
Решение. Используя обычную формулу для корней
квадратного уравнения, получаем
_ 2 + / ± V4 + 4/ — 1 + 4 — 28/ _ 2 + idhV7 —24/ __
_ 2 + / ± (4 - 3/)
— 2
откуда xi = 3 — /, а:2 = — 1 + 2/.
Замечания. 1. Квадратный корень из числа 7 — 24/
извлекается, как в примере 3.
2. В формуле перед знаком радикала можно было бы
поставить только знак «+», так как об арифметическом значении
корня здесь говорить нельзя.
Пример 5. Вычислить in, яе Z (Z — множество всех целых
чисел).
Решение. Вычислим сначала [п для нескольких
натуральных показателей: i° = 1 (по определению), Iх = /, /2 = —1,
/3 = —/, /4=1, /5 = L Видно, что значения степени начинают
повторяться: i4 = i°, ib = i\ Обобщим это наблюдение. Возьмем
произвольное целое п и поделим его с остатком на 4; п = 4k + г,
rGZ,0^r^3. Тогда in = i4k+r = i4k • ir = (/4) * • ir = i\ так как
iA = 1. Значения Г для 0 ^ г ^ 3 уже найдены. Итак,
при n = 4k,
при я = 4& + 1>
при n = 4k + 2,
при n = 4k + 3. •
Пример 6. Вычислить (1 + /)3047.
Решение. Для начала найдем (1 -f О2-' (1-+ О2 = 1 + 2/ -f-
'+ I* = 2/.Тогда (1 + О3047 =(1 + i)2'15280 + 0 = (2/)1523(1 + /) =
= 21523(—0(1 + 0 = 21523(—/ —/2) = 21523 — 21523/. Здесь мы
использовали результат предыдущего примера: j1523 = —/, так как
1523 = 4/г + 3 (1520 делится на 4).
/ 1
- 1
v. — /
145

Пример 7. Вычислить (a + be + се2) (а + be2 + се); а, 6,се
gR, е=- 1/2+ л/3/2/.
Решение. (а + be + се2) (а + be2 + се) = а2 + abe2 +
+ асе + abe + 62е3 + бее2 + асе2 + бее4 + с2е3 =а2 + (а6 +
+ ас)е +(ab + 6с + ас)е2 + (62 + с2)е3 + бее4. Теперь найдем2,
о л 2 ( 1 . V3 Л2 1 Уз . ,
3 и 4-ю степени числа е: е*= I ~~ у + ~2 V = Т 2 * '
. 3 .*__ 1 _ V3 .*_*_( 1 ■ Уз .V 1 Уз Л
1 3 .о , 4 о
= -г-1 = 1; е4 = е6е = е.
4 4
Подставляя найденные значения е в последнее выражение,
получим
а* + ъ2 + с2 + (аб + 6с + ас) (е + е2) = а2 + б2 + с2 — аЪ —
— 6с — ас.
Замечания. 1. Условие а, 6, cgR нужно только для
того, чтобы можно было гарантировать, что в итоге получили
алгебраическую форму искомого числа. Все равенства верны,
разумеется, при любых комплексных а, 6, с.
2. В процессе решения было получено равенство е3= 1, так
же легко видеть, что (е2)3= 1, т. е. е и е2 — кубические корни
из 1. Этот факт полезно запомнить. Заметим также, что е2 = ё.
Пример 8. Решить уравнение х2 + 2х + 3 = 0.
Решение. Представим число х в алгебраической форме:
х = а + Ы,а, бе R. Тогда х2 + 2х + 3 =(а + Ы)2 + 2(а — Ы) +
+ 3 = а2 + 2а6* — б2 — 2bi + 2а + 3 = а2 + 2а + 3 — Ь2 +
+ (2а6 — 2b)i = 0, и уравнение заменяется такой системой
уравнений:
а2 + 2а + 3 — Ь2 = 0, 2а6 -26=0.
Из второго уравнения системы имеем: 6 = 0 или 6 Ф 0,
а = 1. Если 6 = 0, то а2 + 2а+ 3 = 0 (первое уравнение), что
невозможно при aeR (дискриминант этого уравнения меньше
нуля). Значит, а=1, и тогда из первого уравнения системы
6 — б2 = 0, 6 = ± д/6 . Следовательно, уравнение имеет два
корня: хи2 = 1 ± / У 6 .
Пример 9. Решить уравнение х2\х\ = 2х.
Решение. Здесь нет надобности обращаться к
алгебраической форме. Умножим обе части уравнения на х: jc3|jc| =
= 2хх = 2\х\2, или \х\- (х3 — 2\х\)=0. Отсюда либо |х| = 0,
тогда и х = 0, либо |л'|=й=0, тогда *3 = 2|х|. Возьмем модули
левой и правой частей последнего равенства: |*3| = |2|x| |, т. е.
|х|3 = 2|л:|, откуда |*|2 = 2 (так как |л:|=£0), и |xJ=V2
(так как | х | ^ 0). Отсюда х3 = 2_ д/2", т. е. 0 = х3 — 2 <\/2 = л;3—
_ (д/2")3 = (х —_У2") (х2 + х У 2" + 2)._3начит, ^либо х = У2*,
либо х = (- V2 ± У2 - 8)/2= - V2 /2 ± (V6 /2)/.
140

Итак, получено четыре значения х:0,У2, -У2/2±(Уб/2)/.
Поскольку в процессе решения мы умножали обе части
уравнения на х, значение х = 0 требует проверки подстановкой
в исходное уравнение.
Замечание. Если вспомнить, что все кубические корни из
любого числа получаются умножением одного £3 них на все
кубические корни из 1, то уравнение х3 = 2 л]2 можно решить
проще: один из корней равен У2, а два других получаются
умножением У2 на — 1/2 ± (Уз /2) /— отличные от 1
кубические корни из 1 (см. замечание 2 к примеру 7).
1. Вычислить: 1) (3 — 2i)2 + (1 + 3i) (—2 + 5i); 2) (2+
+ 3i) (4 — 5/) — (2 — 3£) (4 + 50; 3) (2 + »&^f* : 4) (а +
+ bi)/(c + di) + (a — bi)/{c — di), a, 6, с, dGR; 5) (1+
+ itga)/(l-itga); 6) {а +Ы)/(Ь - ai), а, Ъ е= R; 7) (1 +
+ 01939/(1 — О1987; 8) У-15 + 8/; 9)_У-8/; 10) У-11+60/»
а — бе2 , _ ^ 1 , Уз .
!1)
а -{- be
a, JgR, e:
-i +
2. Решить уравнения: 1) х2— (2 + i)x—\+7i = 0\ 2) я2 —
5/ = 0; 3) {2+i)x2 — {5 — i)x + 2 — 2i = 0;
= 0; 5) * + |*|=l—3/; 6) (15 — 7i)x\x\ =
— (3-2/)х + 5-
4) *4 — Зх2 + 4 =
= л;3+(8 + 15/)*.
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Мнимая ось
А
Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат и
сопоставим каждому комплексному числу х = а + bi, a, b e R, точку с
координатами (a, b) (рис. 109). Этим устанавливается взаимно-однозначное
соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Плоскость при этом
называется комплексной
плоскостью, ось абсцисс — вещественной
осью (так как ее точки
соответствуют вещественным числам), ось
ординат — мнимой осью (по такой
же причине). Говорят, что точка
плоскости изображает
соответствующее ей комплексное число х\
эту точку удобно обозначать той
же буквой х.
Наряду с изображением
комплексных чисел точками можно
изображать их также векторами:
число х = а + Ы изображается
вектором с координатами {a, b},
т. е. радиус-вектором соответствующей точки. При этом сумма комплексных
чисел изображается суммой соответствующих им векторов, произведение
комплексного числа на вещественное — произведением соответствующего вектора
на это вещественное число. Вектор, изображающий число х, также
удобно обозначать той же буквой х.
Вещественная ось
►
Полярная ось
Рис. 109.
147

Если на плоскости наряду с декартовой имеется согласованная с ней
Полярная система координат (см. рис. 109), то каждая точка плоскости, а
значит, и каждое комплексное число определяются полярными координатами.
Ясно, что полярный радиус точки — это модуль соответствующего числа х\ он
же равен длине вектора, изображающего число х. Полярный угол этой точки
Л^
<f = 71
5=0
Рис. ПО.
называют аргументом числа х и обозначают arg*; он равен величине
ориентированного угла между вещественной осью и вектором, изображающим
число х. Аргумент данного числа имеет бесконечно много значений: если одно
из них равно ф (и число не равно нулю), то все значения этого аргумента
• образуют множество {qp + 2kn \ k e Z}, где k
Х+У пробегает все целые числа (для нуля
значениями аргумента удобно считать все
вещественные числа). При записи, таким образом,
допускается некоторая вольность: запись «arg* = qp»
следует читать: «одно из значений аргумента
числа х равно ср» (мы можем написать arg i=
= я/2 и arg i = —Зя/2, но из этих «равенств»
не следует, конечно, что я/2 = —Зя/2).
Отметим, что arg* = —arg x (рис. ПО, а);
аргумент неотрицательного вещественного
числа равен нулю, аргумент отрицательного
вещественного числа равен я (рис. 110,6).
При решении задач с использованием
геометрического изображения комплексного числа
следует иметь в виду, что в большинстве
теорем и соотношений планиметрии рассматриваются величины
неориентированных углов (т, е, их наименьшие абсолютные величины), тогда как аргумент
комплексного числа — это величина ориентированного угла.
Использование геометрического изображения комплексного числа обычно
оказывается полезным, если в формулировку задачи входят лишь
соотношения между модулями и аргументами упомянутых там чисел.
Пример 1. \х + у\ = \х — у\, argx = (p, хфО, уфО. Найти
argf/.
Решение. Изобразим числа х и у векторами (рис. 111).
Данное в условии равенство |* + (/| = |х — у\ означает, что
равны длины диагоналей получившегося параллелограмма, т. е.
что это прямоугольник. Значит, наименьшая абсолютная величина
угла между векторами х и у равна я/2, т. е. arg у может быть
равен только ф + я/2 или ф —я/2. Перебирая разные возмож-
Рис. 111.
148

ности относительного расположения точек х и у, видим, что
условие задачи допускает оба варианта: argy = (p + n/2
(рис. 112) и arg у = ф — я/2 (рис. 113).
Замечание. Первоначальный рисунок не соответствует
допустимому относительному расположению точек х и у, однако
это нисколько не помешало решить задачу.
Рис. 112. Рис. 113.
Пример 2. |*|= а, \у\ = Ъ, \х + j/| = с. Найти \х — у\.
Решение. Числа х и у изобразим векторами (рис. 114).
Поскольку в параллелограмме сумма квадратов длин
диагоналей равна сумме квадратов длин его1 сторон, имеем 2|х|2 +
Рис. 114. Рис. 115.
+ 2M2=|x + t/l2 + l*-r/l2, т. е. 2а* + 2Ь2 = с2 + \х-у\>)
откуда \х — у\ = л/2а2 + 2Ь2 — с2.
Пример 3. arg* = ср. Найти arg(jc + |x|).
Ре ше н и е. .Числа х и |х| изобразим векторами (рис. 115)
(|л:| — вещественное неотрицательное число, поэтому точка |х|
расположена на положительной вещественной полуоси). Длины
сторон получившегося параллелограмма равны (обе равны |х|),
следовательно, это ромб. Значит, диагональ делит угол пополам.
Однако ф — не обязательно наименьшее по абсолютной величине
значение величины этого угла (см. рис. 115). Пусть это
наименьшее значение arg* равно ф0. Тогда arg(*+ |х|)= ф0/2 и ф =
= Фо + 2nk. Если k четно, k = 2/, то ф/2 = ф0/2 + 2л/, т. е.
149

можно написать arg(x+ |x|)= ф/2. Если же k нечетно, k =
= 21— 1, то ф/2 = фо/2 + 2я/ — я и avg(x +\x\)= ф/2 + я.
Итак,
Г ф/2 при 2я • 2/ — я < ф < 2я • 2/ + я,
arg(x + U|) = |(p/2 + jc при 2я(2/-1)-ЖФ<2я(2/-1) + я
для некоторого целого /.
Замечания. 1. Если ф = 2яй + я (k — целое), то х +
—|— | а:| == 0, и его аргументом мы можем считать любое
вещественное число, так что полученный ответ годится и для этого
случая. То же верно и при х = 0.
2. Указанные в ответе области для ф расположены на
числовой оси так:
rSit -4п -Jrt> -2п .-я 0 П 2% Jrt 4п Sn 6я 7/1
Определяющие эти области условия можно записать короче: ф
лежит в первой из этих областей, если cos ф/2 ^ 0, и во второй,
если cos ф/2 < 0.
Пример 4. |*—1*| | = |*|- Найти
argx.
Решение. Числа х и \х\ изобразим
векторами (рис. 116). В силу условия
задачи получившийся треугольник —
равносторонний. Поэтому argx может
быть равен только я/3 или —я/3.
Перебирая разные возможности
расположения точки х, видим, что условие задачи
допускает два варианта: argx = n/3
(рис. 117) и arg х = — я/3 (рис. 118).
Замечание. Ответ охватывает и случай х = 0.
Рис. 116.
агд- х = я/J
Рис. 117.
Рис. 118.
1. 1*1 = 1^ arg(* + 0) = q>. Найти arg(x — у).
2. Найти х, если \х + х0\ = \х — х0\, где х0 — фиксированное
комплексное число.
150

3. x + jc=]x|. Найти arg*.
4. \x +\x\ | = |*|. Найти arg*.
5. arg x = arg(jc -f y) = ф. Найти arg у.
6. \x
7. |jc
8. \x
+ \y\ = \x +y\, argx = qp. Найти arg у.
+ \У\ = \Х — У\> argx = cp. Найти arg*/.
== Ijc — |jc|/1. Найти arg*.
9. x — x = \x\i. Найти arg*.
10. \x — jc| = |jr|. Найти arg*.
§ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Если х = а + bi, a, feeR; |*| = г, arg x = ф(см. рис. 109), то а =
= г cos ф, b =' г sin ф, т. е. х = г (cos ф + i sin ф).
Такое представление числа х называют его тригонометрической формой
(при этом имеется в виду, что непосредственно задано именно ф, а не cos ф
и sin ф) Если в тригонометрическом представлении комплексного числа
раскрыть скобки, то получится частный случай его алгебраической формы.
Если дано, что х = p(cos 9 + i sin 0), где peR и р^О, то |*| = р и
arg х = 0, и это тригонометрическая форма числа х. Если же р < 0, то это не
есть тригонометрическая форма, но довольно часто это не существенно для
выполнения вычислений (см. ниже).
Если заданы а и Ь, то ф можно найти из соотношения tg ф = b/а (при
а Ф 0), т. е. либо ф = arctg b/a, либо ф = arctg b/a + я (при а = 0 либо
ф = я/2, либо ф = —я/2). Выбор из этих двух возможностей производится по
знаку cos ф (который совпадает со знаком а), или по знаку sin ф (который
совпадает со знаком Ь). Так как г = |*|, то г = л/а2 + Ь2.
Когда говорят о выполнении действия над комплексными числами в
тригонометрической форме, то имеют в виду нахождение модуля и аргумента
результата этого действия через модули и аргументы чисел, над которыми
производится это действие. Модуль и аргумент суммы (разности) плохо
выражаются через модули и аргументы слагаемых, поэтому сложение и
вычитание в тригонометрической форме не производятся. Напротив, умножение и
производные от него действия удобнее выполнять именно в
тригонометрической форме:
[/■|.(cosq>i 4Wsinq>i)][r2(cosq>2 + *sinq)2)] = r{r2 (cos (ф! + ф2) + "i sin (ф! + ф2)),
так как
\xy\ = \x\-\yl arg (ху) = arg x + arg y\
Г\ (соэф! + / sin Ф1) г, . .
—Ч . . v = —~ (cos (ф, — ф2) + / sin (ф! — ф2)),
г2 (cos ф2 +1 sin ф2) r2 Y ^ ^ ^2'h
\х/у\ = \х |/| у | arg (х/у) = arg x — arg у,
так как
[г (cos ф + /' sin ф)]" = rn (cos 1ф + / sin шр),
так как | хп | = | х |л% arg хп = п arg x при любом целом п.
Во всех этих формулах можно брать любые значения аргументов чисел
хну. Формулы остаются справедливыми при любых значениях ги г2, г (даже
при невещественных, но тогда нет смысла их использовать), так что если
нам нужно только с удобствами выполнить действия, то в представлении х =
= г (cos ф + / sin ф) можно не обращать внимания на знак числа г, особенно
если нас интересуют вещественная и мнимая части результата (а не модуль
или аргумент).
При извлечении корня (с натуральным показателем) формула для
аргумента несколько усложняется: если у — какой-то корень л-й степени из числа
X (т. е. у" = x)t то
151

n
IУ I — VI x I (арифметическое значения корня!), arg у = (l/л) arg jc 4- 2л&/п
при некотором целом k.
Наоборот, при любом целом k эти формулы дают модуль и аргумент
некоторого корня п-й степени из числа х; при этом для х Ф 0 все различные
корни получаются, если k пробегает, например, интервал от 0 до п—1, и
количество их равно п (поскольку корень не единствен, лучше избегать за-
писи типа у = V* /•
Таким образом, все корни п-й степени из х = г (cos ф + t sin qp), г е R,
г ^ О, даются формулой
П/~ ( Ф + 2я£ . . . Ф + 2я£ \ , . Л п ,
yk = yr I cos -2-Т-! 1- i sin -^ J, k = 0, 1, 2, ..., n — 1.
В частности, числа
е. = cos г- / sin , k = 0, 1, 2 n — 1,
— это все корни пи степени из /, другими словами, все корни уравнения хп —
— 1=0. Заметим, что ek=^el и что на комплексной плоскости точки е*
лежат на единичной окружности с центром в точке 0 и делят ее на п равных
частей.
Если у — один (любой) из корней п-й степени из числа х, то все корни из
этого числа могут быть получены умножением у на все корни п-й степени
из 1:
У = УЧ> УН Уеп-\> или У> Уг1> УеЬ •••» У*?"1-
Пример 1. Представить в тригонометрической форме:
1) -1 + /д/3.
Решение. Найдем модуль г и аргумент ф данного числа:
г= д/(-1)2+(Уз")2 = 2, tg Ф = V3"/(— 1) = — л/3". откуда
либо ф = —я/3, либо ф = —я/3 + я = 2я/3. Поскольку cos ф < 0
(вещественная часть числа- отрицательна), то выбираем
значение ф = 2я/3.
Ответ: 2[соэ(2я/3)+ i sin(2jt/3)].
2) —11
Решение. | —7i\ = 7, arg(—7i) = —я/2.
Ответ: 7 (cos (—я/2) + i sin (—я/2)).
Замечания. 1. Вместо —я/2 можно взять Зя/2 (т. е.
—я/2 + 2я).
2. Аргумент здесь можно найти, представив себе (хотя бы
мысленно) положение точки —71 на комплексной плоскости.
3. Можно действовать и так: —7i = 7(—i) = 7(0 + i(—1)) =
= 7 (cos (—я/2) -f i sin (—я/2)), это — искомая
тригонометрическая форма, так как 7 > 0.
3) 1 + со5ф -f i sin ф.
Решение 1. Найдем модуль и аргумент данного числа:
г = | 1 + cos ф + i sin ф | = д/1 + 2 cos ф 4- cos2 ф + sin2 ф =
= V2(l + созф) =У2-2соз2ф/2 =2|cosq>/2|,
. 71 , I . I \ sin© 2 sin ф/2 • cos ф/2 , /0
tgarg (l + cos Ф + i sin Ф) = t + Js ф = ^ ф/2 = tg ф/2;
152

О, то
так как 1 + costp
arg (1 +соБф + i sin ф) = *{
ф/2 при cos ф/2 > О,
ф/2 + я при cos ф/2 < 0.
Рис. 119.
При cos ф/2 = 0 очевидно годится любое значение аргумента.
Ответ: 2 cos ф/2 (cos ф/2 + / sin ф/2) при cos ф/2 ^ 0,
—2 cos ф/2 (cos (ф/2 + я) -f / sin (ф/2 + я)) при cos ф/2 < 0.
Замечание. Разумеется, при любом ф равенство 1 +
+ cos ф + i sin ф = 2 cos ф/2 (cos ф/2 -f i sin ф/2) выполняется,
просто при cos ф < 0 это не тригонометрическая форма.
Решение 2. Преобразуем
данное число:
1 + cos ф + i sin ф =
= 2 cos2 ф/2 + i 2 sin ф/2 cos ф/2 =
= 2 cos ф/2 (cos ф/2 + i sin ф/2).
Если cos ф/2>0, то это и есть
искомая тригонометрическая форма.
Если же cos ф/2 < 0, то внесем —1
внутрь скобок:
2 cos ф/2 (cos ф/2 + i sin ф/2) =
= —2 cos ф/2 (cos tp/2 + я) +
+ isin(q>/2 + n)).
Решение 3. Используем геометрическое изображение
комплексного числа (рис. 119). Здесь у = cosq>+isinq>, \y\ =
= 1, arg^ = <p; * = 1+ cosq> + isin<p, argx = \|). Ясно, что
cos \|э ^ 0 и что, поскольку полученный треугольник
равнобедренный, | а:| = 2 cos -ф; 2я|? = ф + 2nk при некотором целом k (так
как tp может быть задано любым вещественным числом).
Можно брать любое значение arg*, поэтому мы вправе взять г|э =
= ф/2 или 1|)=ф/2 + я в зависимости от знака cos ф/2.
Пример 2. Вычислить:
i)((i-/V3")/(i + 0)18.
Решение: Сначала найдем модули и аргументы числителя
и знаменателя, а затем и самой степени:
11 — /л/з"| = 2, arg(l — /д/з") = — я/3 (см. пример 1.1)),
|1 + /|=V§". arg(l+/) = *t/4,
аге(17+У3)'3=^13(^ п/3 ~ л/4)== ~~13'7я/12 = ~7я -7я/12;
153

прибавив 8я, получим 5я/12 (это значение удобнее, чем —91 я/12).
Ответ: 64 д/2" (cos 5я/12 + / sin 5я/12).
Замечания. 1. Запись вычислений можно было бы вести
и так- f 1 - * УЗ V3 / 2 (cos Н- я/3) + / sin (- я/3)) \13 =
4 1+/./ V У2 (cos я/4 + / sin я/4) )
= (V2" (cos (— я/3 - я/4) + i sin (- я/3 — я/4)))13 =
= (V2")13(cos 13 • (- 7я/12) + / sin 13 • (- 7я/12)) =
= 26V2"(cos(-9^/12) + /sin(-9^/12)) =
= 64 д/2" (cos 5я/12 + / sin 5я/12).
2. Этот пример нетрудно было бы решить и не обращаясь
к тригонометрической форме (см. примеры 6 и 7 § 1).
2) (cos ф — / sin ф)/(1 + cos ф + / sin ф).
Решение cosф — / sin<р _ cos(— ф) + / sin (— ф) _
1 + cos ф + / sin ф 2 cos ф/2 (cos ф/2 + i sin ф/2)
1 - (cos (- Зф/2) + / sin (- Зф/2)).
2 cos ф/2
Замечания. 1. Здесь использован пример 1.3).
2. Знак cos ф/2 нас не интересует —формула для частного
верна всегда, а полученная форма ответа не хуже, чем
тригонометрическая.
3. Можно записать ответ и так: -z /o"(cos Зф/2 •— / sin Зф/2).
Пример 3. Найти все корни:
1) 5-й степени из х = (д/З — i) 1(8+ 81).
Решение. Предварительно найдем модуль и аргумент
данного числа:
UI=WW = T7T' аг6д: = ф = ф1-ф2,гДе18ф1 = -.-^г,
Так как cos ф1 > 0 и cos ф2 > 0, то ф1 = —я/6, ф2 = я/4 и ф =
= —я/6 — я/4 = —5я/12. Далее, д/l х I = Л/1—7=7 =—^»
ф/5= —я/12, и все искомые корни даются формулой
1 г / я , 2nk \ . . . / я , 2nk \l
^=vrLC0Sr^+— )+/slnrii+—)[
k = 0, 1, 2, 3, 4.
2) 6-й степени из 1 -f- cos ф -f- i sin ф.
Решение. Опять используем пример 1.3). В отличие от
154

примера 2.2) здесь нужно иметь именно тригонометрическую
форму, чтобы можно было говорить об арифметическом
значении корня из первого множителя. Ответ получаем сразу:
У„ = \
при cos-|->0.
V^f [cos (A + "-Я^) + / sin (i + !2£il)]
при cos y < 0;
£ = 0, 1, 2, 3, 4, 5;
у = 0 при cos ф/2 = 0.
3) 3-й степени из /.
Решение. Возьмем то значение аргумента данного числа/,
которое удобно делится на 3: из рис. 120 видно, что таковым
является —Зя/2. Поскольку |/|=1, то
одним из искомых корней будет у0 =
= cos (—я/2) + i sin (—я/2) = — и
Остальные корни найдем, умножая у0 на
корни 3-й степени из 1, т. е. на —1/2 ±
±/Уз"/2 (см. пример 7 § 1): —/(— 1/2±
=fc /л/з"/2)=(1/2) i ± V3"/2.
Ответ: у0=- i, у{ = Уз/2 + (1/2)i,
й=-уз/2+(1/2)*. Рис/120.
Пример 4. Решить уравнения:
1) д;9 + 8 = 0
Решение. Корни этого уравнения, просто по определению,
есть корни 9-й степени из —8, и только они. Один из них
очевидно равен —^2; все остальные корни получим, домножая его
на все корни 9-й степени из 1: xk = — $2 [cos (2я&/9) +
+ /sin(2nfc/9)], k = 0, 1, 2, ..., 8.
2) *6 + 4л;3 + 8 = 0.
Решение. Полагая у = х3> получим у2 + 4у + 8 = 0,
откуда у = — 2 ± V4 — 8 = — 2 ± 2/ = 2 V2" [cos (Зя/4) ±
±i sin(3n/4)]. Извлекая кубический корень, получаем ответ:
Xi+* = ^/¥[cos(nJ4 + 2nk/3)±isin(jt/4 + 2nk/3)], k = 0, l, 2.
Замечания. 1. Корни из числа cos ф — / sin ф сопряжены
с корнями из числа cos ф + i sin ф, т. е. в формуле для корней
надо лишь заменить i на —/.
2. Извлекать корень из числа у можно и так: один из корней
155

равен л/2 (cos я/4 + / sin я/4) = aJJ (д/2*/2 +* V2"/2) = \ + ft
умножая его на корни из 1, получаем: (1 + 0( — y + ' "2 J^
= — у— -^ \-:'(—-о + 2~J* Аналогично находим
остальные значения х. Окончательно получим
*1§2=1±/, ^4 = -|--/-±/(-]- + ^1),
_ 1 . л/з" , .(\ , Уз Л
3) х5 + ах4 + оАс8 + а3*2 + a4* + a5 = 0, a e С, a=^0.
Решение. Левая часть уравнения есть сумма членов
геометрической прогрессии со знаменателем а/х, и поэтому она
равна (х6 — аь)/(х — а). Домножая обе части уравнения на
х — а, получаем хь — аь = О, или л:6 = а6. Корнями этого
уравнения являются корни 6-й степени из а6. Один из них равен a, a
остальные a[cos(tt&/3)+ i sin(nk/3)]> k = 1,2, ..., 5 (см.
пример 4.1)). Поскольку мы умножали обе части уравнения на
х — а, то значение х = а нуждается в проверке подстановкой в
исходное уравнение, которая показывает, что это значение не
годится.
Ответ: xk = OL [cos (я&/3) + i sin (я/г/3) ], k = 1, 2, 3, 4, 5.
4) (х+ 1)^ — (л: — 1)^ = 0.
Решение. Разделив обе части уравнения на (х—1)",
получим
{-—[) — 1==0> откуда —j =6fc = cos—+ * sin—,
т. е. х + 1 = ek(x— 1), или x(ek — 1)= 1 + е*. При ek = 1 (т.е.
при k = 0) последнее уравнение решений не имеет. Для k =
= 1,2, ..., п — 1 имеем
х =
e*-! (efe-1)(s~1) 8*8*-v
rt. . 2я/г 2я/г
— 2i sin sin
— I
n n 2nk t 2nk
2 — 2 cos 1 — cos
n n
_ . sin {2nk/n) *_ 1 о i
Тогда xk = -i , _ cos (2nk/n) , ft=l, 2, .... я-1.
Замечание. При желании можно преобразовать
полученное выражение:
sin {2nk/n) . 2 sin (nk/n) • cos (nk/n) . . я/г
""' 1 -cos(2nk/n) ~ ~~l 2 sin2 (я/г/я) — ~~ ' C g ~/Г '
156

Если еще учесть, что ctg — = — ctg Гя — — )=— ctg — —=
/я
= —ctg— (l = n — k)y то ответ можно записать так: xi =
= /ctg(/я/я), /=1,2, ... ,"Л— 1.
Пример 5. Найти сумму k-x степеней всех корней п-й
степени из числа а.
Решение. Пусть |30 — один из этих корней. Тогда все
корни (различные при а ф 0) суть произведения р0е*, k =
= 1,2, ..., п—\, где ek = cos(2nk/n) + i s'm(2nk/n)— корни
az-й степени из 1. Искомая сумма S равна
Ро* + (РА)* + (№2)* + ••• + (&>«„-,)* =
= р*(1+е* + е?* + ••• +в*»-»*).
В скобках стоит сумма членов геометрической прогрессии. Если
гкФ 1, т. е. k не делится на п, то
5=Ро*-—ir = Po—^ = 0 ("ккак е^=1);
1 Ь| 1 — 6j
если же ef=l, т. е. k делится на п, k = nq> то
S=p*(l + 1 + 1 + ... + 1) = ^яп = тя (так как Р£ = а).
Ответ: 0, если k не делится на п\ naq, если й = nq, q — целое
число. Ответ очевидно годится и для случая а = 0.
1. Представить в тригонометрической форме: 1) 2 — 2/;
2) -3 + /д/3~; 3) 5; 4) —4; 5) 3/; 6) У2~- 2 + (л/2 + 2) /;
7) а + /, ogR, а =7^=0; 8) cos ф — /sin cp; 9) —3(со8ф +
+ / sin ф).
о о п (V3~+/)(cosqp + /sin(p) 0v / л/3~+3/ \26
2. Вычислить: 1) — — —■ —; 2) I —7= •=- ) ;
(—1 + 1) (cos г|) — I sin г|)) \ л/2 —i л/2 J
3) (1+со5ф +/sin ф)п; 4) (sin cp + / cos ф)Л; 5) (lj-j- / tg ф)/г;
6) все корни 7-й степени из числа (16+ 16/)/(l — / Уз ); 7) все
корни 4-й степени из числа — /.
3. Пользуясь таблицами (или калькулятором), вычислить в
явном виде (в десятичной записи) алгебраическую форму всех
кубических корней из (2,1 + 0,5/) (—1,3 + 1,1/)/(1,6 — /).
4. х + 1/х = 2 cos ф, Найти хп + \/хп.
5. х + 1А = 2 sin ф. Найти хп + \/хп.
6. Решить уравнения: 1) х6 + 27 = 0; 2) х8 + хА + 1 = 0.
7. Выяснить, при каких вещественных а уравнение х5 -f x +
+ а = 0 имеет корни с модулем, равным 1, и найти эти корни.
157

Глава II
МНОГОЧЛЕНЫ
И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ С ОСТАТКОМ.
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
Многочлен от одной переменной с числовыми коэффициентами однозначно
представляется в виде конечной суммы
/ = сс0 + cti* + а.2х2 + ..., (1)
где х — переменная, ао, аь аг, ... — числа (при этом считается, что 0-** = 0,
\xk = хк), и всякая такая сумма есть многочлен.
В частности, каждое число есть в то же время многочлен, так же, как и
сама переменная. Число, рассматриваемое как многочлен, называют
«постоянной», или «константой» (запись: f = const).
Представление (1) называют разложением многочлена f по
(возрастающим) степеням переменной х.
Основной смысл понятия «переменная» в алгебре заключается как раз в
единственности такого представления, т. е.
сс0 + си* + «2*2 + • • • = Ро + М + fax2 + ...
(х — переменная; а/, Р/ — числа) тогда и только тогда, когда а0 = р0, oci = Pi,
«2 = Р2, • • • В остальном же это понятие аналогично таким, как, например,
число, вектор, матрица (т. е. с переменной можно выполнять некие
алгебраические операции — сложение и умножение — с определенными свойствами).
Далее везде будем считать, что уже выбрана и зафиксирована некоторая
переменная х.
Однозначность разложения (1) равносильна утверждению:
ао + oci* + а2х2 + ... =0 (а0, «i, а2, ... — числа)
тогда и только тогда, когда ао = ai = а2 = ... = 0. Здесь имеется в виду
равенство нулю именно самого многочлена, а не его значения (см. ниже) в
какой-то точке.
Однозначно определяемые слагаемые в разложении (1) называются
членами многочлена\ многочлен, содержащий только один ненулевой член axk,
а ф 0, называется одночленом степени k.
Для многочленов определены операции сложения, вычитания и
умножения с обычными свойствами этих действий.
Если / ф 0, то его степень — это наибольшая из степенен его ненулевых
членов; она обозначается deg /. Член этой наибольшей степени называется
старшим членом многочлена, а его коэффициент — старшим коэффициентом.
Постоянный член (т. е. ао в представлении (1)) называется свободным
членом многочлена.
Многочлен 0 не имеет старшего члена и старшего коэффициента, степень
его не определена (иногда, впрочем, считают deg 0 = —00, приписывая
символу —оо определенные свойства).
Простейшие свойства степени многочлена:
1. deg (f ± g) не больше степени каждого слагаемого (когда эти степени
определены).
2. deg fg = deg f + deg g (при этом же условии).
Если f ф 0, то в разложении его в сумму его членов можно поставить
158

слагаемые в порядке убывания степени:
I = а0хп + а{хп~1 + • • + ап.
Тогда а0 ф О — старший коэффициент многочлена /, а0хп — его старший член
и я — его степень.
Старший коэффицием произведения многочленов равен произведению
старших коэффициентов сомножителей.
Значение многочлена (1) в точке с есть число
f(c) = a0 + а,с + а2с2 + ...
Так же определяется и значение многочлена в «точке», являющейся не
числом, а, к примеру, тоже многочленом. Например, f(x2), f(x + 3). Поскольку
представление (1) однозначно, то и значение f(c) определено однозначно.
Для любой пары многочленов f и g
(f±g)(c) = f(c)±g(c), (fg)(c) =f(c)g(c).
Понятие значения многочлена в данной точке однозначно связывает с
каждым многочленом / некоторую функцию числового аргумента с числовыми
значениями, а именно функцию, сопоставляющую каждому числу с значение
f(c) многочлена в этой точке. Эту функцию обычно называют многочленом
и обозначают так же, как и исходный многочлен. Числу, рассматриваемому
как многочлен, соответствует постоянная функция, отсюда и название
«константа» для таких многочленов. В случае многочленов с числовыми
коэффициентами разные многочлены определяют разные функции, поэтому всегда
можно переходить от рассмотрения многочлена к рассмотрению определяемой
им функции, и наоборот.
Если f(c) = 0, то с называют корнем многочлена f. Если f — многочлен
с вещественными коэффициентами и с — его корень, то сопряженное число с
также есть корень многочлена f.
Всякий многочлен, не являющийся константой, имеет хотя бы один
(комплексный) корень.
Если f, g— пара многочленов и g ф О, то существует такая пара
многочленов ау г, что:
l)f = gQ + r.
2) либо г = О, либо deg r < deg g.
Условия 1) и 2) определяют пару многочленов q, r однозначно; многочлен
q называют (неполным) частным, а многочлен г — остатком при делении
многочлена I на многочлен g.
Если коэффициенты многочленов f, g вещественны (рациональны), то
таковы же и коэффициенты многочленов q и г.
Нахождение пары многочленов q, r по многочленам fug, разложенным
по степеням переменной х, производится при помощи алгорифма деления с
остатком, известного из школьного курса.
Говорят, что многочлен f делится на многочлен g (обозначение: f\g),
если существует такой многочлен q, что f = gq. Это равносильно тому, что
при делении с остатком многочлена f на многочлен g остаток равен нулю.
Простейшие свойства делимости многочленов:
1. Если f j h и g I Л, то (/ ± g) \ Н.
2. Если f • g, то для любого многочлена h hf • g.
3. Нуль делится на любой многочлен.
4. Если / • g и g : f, то / = ag, где а — некоторое число, отличное от нуля.
5. Если / • g, f ф 0, то deg f ^ deg g.
Особо выделяется случай деления многочлена на линейный двучлен х — с
(с— число).
Теорема Безу. Остаток при делении многочлена f на двучлен х — с равен
f(c).
Теорема Декарта. Многочлен f делится на двучлен х — с тогда и только
тогда, когда с есть корень многочлена f (т. е. f(c) = 0).
159

Деление с остатком многочлена f = а0хп -f а\Хп-у + ... + ап-\х + ап на
двучлен х — с можно выполнять при помощи схемы Горнсра: составляется
| ао
к
и
ао
a_i_
»1
II
V +
ai
»
_^2 •
ь2 .
II
с + а2
••
• •
к.
ап-\
К-х
II
-2С + ап-
-1
К-
"п
К
II
-1е+ V
Здесь первая строка — коэффициенты многочлена / (по убывающим степеням),
во второй строке слева от черты — корень линейного двучлена, справа от
черты — первый элемент равен ао, каждый последующий элемент получается из
предыдущего умножением его на с и прибавлением числа, стоящего над
чертой. Полученные числа Ь$, Ьи ..., Ьп~\—коэффициенты неполного частного
(по убывающим степеням), Ъп — остаток, т. е.
f = (x-c) (b0xn-{ + Ьххп~2 + ... + Ьп-х) + Ьп.
Схему Горнера удобно использовать, если все коэффициенты и степень
многочлена f, а равно и с, заданы явно (например, десятичной записью), и,
кроме того, количество ненулевых членов ненамного меньше степени.
Всякий многочлен f ф 0 можно разложить на линейные множители с
комплексными коэффициентами, т. е. представить в виде
f = а0(х — cti) (х — сс2) ... (х — ап) (может быть п = 0).
При этом ао — старший коэффициент многочлена f; ai, аг, .... a„ — его корни
(не обязательно различные), и любой корень многочлена f совпадает с одним
из чисел а/. Такое разложение единственно с точностью до порядка
сомножителей. Если в этом разложении объединить одинаковые множители в степени,
то
f = a0 (x — ai) l (x — a2) 2 ... (х — am) m,
где ai, o&2, . • •, am — все различные корни многочлена f.
Всякий многочлен f ф 0 с вещественными коэффициентами можно
разложить на вещественные множители 1-й и 2-й степени:
/-aoU-aO*1 (*-a2)*2 ... (х - am)kfn (х2 + рхх + ао'1 ... (х* +
+ psx + qs) s
(может быть m = 0 или s = 0), где pt — \qt < 0 для i = 1, 2 s. При
этом:
1) a0 — старший коэффициент многочлена f;
2) ai, &2, . > •» am — все ег0 вещественные корни;
3) каждый из многочленов х2 + pix + qi неразложим на вещественные
множители меньшей (т. е. 1-й) степени и имеет два невещественных
сопряженных (тем самым различных) корня, являющихся в то же время корнями
многочлена /; такими корнями исчерпываются все невещественные его корни.
Пример 1. Вычислить (т. е. разложить по степеням х):
1) /=(3 — 2х + 5х2 + 4х*) + (х — х2 — *3).
Решение. Используя ассоциативность и коммутативность
сложения (переставляя и группируя слагаемые) и
дистрибутивность умножения (приводя подобные члены), получим
f = 3 +JL—2X + х) + (5х2 - х2)- х3 + 4х4 =
= г — х + 4х2 — х* + Ах\
160

2) f=(2 — 5x + 3x2 + x3)(3 + x + 2x3 + x*).
Решение. Можно, конечно, просто раскрыть скобки и
привести подобные члены, однако технически более удобно
приводить подобные члены непосредственно в процессе раскрытия
скобок. Члены степени k получаются при умножении члена 0-й
степени на член k-й степени, члена 1-й степени — на член (k—1)-й
степени, 2-й степени — на (k — 2)-ю степень и т. д. Действуя
таким образом, получаем
/ = 2-3+ (2-1— 5-3)*+ (2-0 — 5-1 + 3-3)л:2 +
+ (2-2 — 5-0 + 3.1 + 1-3)jc3 +
+ (2-1—5-2+3-0+ l-l)Jt4+(—5-1 + 3-2+ 1-0)jc5 +
+ (3-1 + 1 -2)л:6 + 1 • lx7 = 6 — 13* + 4л:2 + Юл:3 — 7л:4 + х5 +
+ 5л:6 + х7.
Замечание. Вычисление каждого коэффициента лучше
производить последовательным накоплением (в простых
случаях, как здесь, — просто в уме). Подробная запись здесь
приведена только для того, чтобы была видна последовательность
действий. Конечно, если данные многочлены записаны по
убывающим степеням л:, так же можно вести и вычисления.
3) f=(x — a) (xn~l + ахп~2 + а2хп~3 + ... + ап~2х + а»-1).
Решение. / = хп + (а — а)хп~1 + (а2 — а2)хп-2 + ...
+ (а"-1 — ап~х)х
ап = хп — ап
Пример 2. Поделить с остатком многочлен / на многочлен g:
1) f = 2xb — jc4 + 23jc2— 15*+21, g = x2 + 2x— 3.
Решение. Здесь удобно использовать алгорифм деления
с остатком:
2jc5 — х
' 2хъ + 4л:4 -
6х3
+ 23л:2-15л:+ 21 1 х2 + 2х - 3
2х3-5х2+ 16л: — 24
_ - 5л:4 + 6х3 + 23х2
"-5л:4-10л:3+ 15л:2
_16л:3+ 8х2- 15л:
16л:3 + 32л:2-48л:
_ -24л:2+ 33*+ 21
- 24л:2 - 48л: + 72
81л:-51
Ответ: / = #(2л:3 — 5л:2 + 16л: —24) +81л: —51.
2) / = 2л:5 —Зл:4—11л:3 + 12* + 5, g = x — 3.
Решение. Здесь удобно использовать схему Горнера:
12 -з
-и
0 12
3|2
-2 -6
-6 -13
6 Зак. 273
161

Ответ: f = g(2x4 + Зг3 - 2x2 - 6x ~ 6) - 13.
3) f=(\+x)»+(l-x)«,g = x2-l.
Решение. Здесь неудобно применять алгорифм деления и
схему Горнера — многочлен / не разложен по степеням х, и даже
если раскрыть скобки, необходимого упрощения не получим.
Лучше использовать часто применяемый в задачах с
многочленами метод неопределенных коэффициентов, заключающийся в
том, что разложение искомого многочлена пишется с
неизвестными пока коэффициентами, а затем эти коэффициенты как-либо
находятся. Здесь удобно так поступить с остатком. Его степень
меньше deg g = 2, т. е. / = gq + а + Ьх, где а и Ь — неизвестные
пока коэффициенты. Для нахождения коэффициентов а и Ь
возьмем значения многочлена в точках 1 и —1:
f(l) = g(l)q(\) + a + b,
/(-D = *(-l)f(-l) + a-6, Т' е'
2n = 0-q(l) + a + b = a + b1
2n = 0-q(—l) + a — b=a — b,
f —• 2п
откуда а = 2д, 6 = 0, т. е. f = g-q + 2n. Отсюда q = 1 =
— JFZTi и T — g ХТ^Г\ ^ •
Пример 3, Многочлен / при делении на х2 + х + 1 и на х— 1
дает в остатке соответственно 2х — 3 и 5. Найти остаток при
делении многочлена / на хъ— 1.
Решение 1. Условие задачи означает, что
f={x2 + x+ {)qi+2x-31 f=(x-l)q2 + 5.
Запишем искомый остаток г с неопределенными
коэффициентами (deg г <3): г = а + Ьх + сх2. Тогда
f = (x3__l)q + r=(x_ !)(*» + * + i)q + a+bx + cx2.
Преобразуем это представление многочлена / двумя- способами:
, f = (x? + x+ i)(*_ \)q + (x2 + x+ l)c + (b-c)x + a-c =
\ = (х2 + х + 1) [...] + (Ь - с) х + а - с,
] / = (х - 1) (х2 + х + 1) q + (х - 1) (сх + Ь + с) + а + b + с =
(по сути дела, мы поделили с остатком многочлен / на х2 -f-
+ х -f- 1 и на х— 1; мы не выписываем содержимое квадратных
скобок, так как оно нам не нужно). Полученные равенства
означают, что (Ь — с)х -\- а — с и а-\- b + с — остатки при делении
162

многочлена / на х2 + х + 1 и на я— 1, поэтому
( (Ь — с) х + а — с = 2х — 3,
6 —с = 2, Га = -1,
а — с = — 3, откуда < 6 = 4,
a + b + c = 5, l с = 2.
Ответ: 2*2 + 4jc— l.
Решение 2. Так же, как и в первом решении, имеем
/ = (*2 + *+l)<7i + 2*-3,
/= {x-\)q2 + 5f
f = (x3-l)q + a + bx + cx2.
Пусть elf2 — корни многочлена л:2 + х+l:eb2=--T-±f-
■ V3
пал -р л -р 1. t>if 2 = — т-ц
ei = 82> e2 = ep ei, 2=1- Тогда
/(e/) = 0-<7i(e/)+2ei — 3 = 2е/— 3, /(1) = 0-<72(1) + 5 = 5
(можно и сразу написать /(1) = 5 по теореме Безу). С другой
стороны, из третьего представления многочлена /
/(e,) = 0-?(e,) + a+te, + cej и f(l) = o.q(l) + a + b + c,
т. е.
а + Ьг{ + сг2 = 2г{ — 3,
а + Ьг2 + съ\ = 2е2 — 3,
а + Ь + с =5.
Эту систему уравнений относительно а, 6, с удобнее всего
решать так: сложив все уравнения, получим За = —3, т. е. а = —1.
Далее, Ь + с = 5 — а = 6, т. е. Ь.= 6 — с\ подставляем значение
b в первое уравнение: I+(& — c)ei + сг2 = 2г\— 3, т. е. с(г2 —
— ei) = —2 —4бь или /д/3с = — 2/д/3 . Отсюда с = 2 и
6 = 4.
Замечания. Нам не нужно здесь решать систему по всем
правилам (т. е. следить за равносильностью), так как заранее
известно, что такие а, 6, с существуют.
2. Если бы в условии было сказано, что многочлен /
веществен (имеет вещественные коэффициенты), то а, 6, с обязаны
были бы быть вещественными числами, и подстановка только
одного корня ei дала бы два уравнения (можно было бы
приравнять вещественные и мнимые части).
Пример 4. Вычислить f(c):
1) / = 3x6 + 5jc5 + 2jc4 + 6jc3 — Зх2 + 7х + 5, с = — 2.
Решение. Здесь удобно применить схему Горнера (по
теореме Безу f(c) равно остатку при делении многочлена / на дву-
6* 163

член х — с):
'3 5 2 6-3 7 5
3—14—2 15—5 (остаток)
Ответ: —б.
2) f = (x-l)io + (*+l)4,c = 2.
Решение. Здесь схема Горнера неприменима — многочлен
/ не разложен по степеням х. Просто заменяем х на 2:
/(2) = (2—1)10 + (2+1)4 = 1 +34 = 82,
3)^ f = х5 + ах4 - (а2 + б3) х2 - аЬъх + 2a2b2, c = b.
Решение. Хотя многочлен / и разложен по степеням х, но
коэффициенты не заданы явно числами. Схема Горнера здесь
только затруднит вычисления. Делаем непосредственную
подстановку:
f(b) — Ьъ + аЪк —(а2 + б3) Ь2 — аЬЧ + 2а2Ь2 =
= Ьъ + аЬ* — а2Ь2 — Ьъ — аЬ* + 2а2Ь2 = а2Ь2.
Пример 5. Разложить на линейные множители:
1) З*4 — 23*2 — 36.
Решение. Найдем корни данного многочлена. Пусть
х2 = у, тогда
3^-23,-36 = 0, У|,,д*±^у + Ж_,Д*Д1
6 б
■;
у{=9, У2аа"- 4/3, xU2 = ±3, xSt 4 = ± / (2/д/3 ). Старший
коэффициент многочлена равен 3. Все двучлены войдут в
разложение только в первых степенях, так как число их равно степени
многочлена.
Ответ: 8(* - 3)(х + 3)(х - i-L^(x + I -V).
2) *я—1.
Решение. Корни этого многочлена есть корни степени п
из 1: , гк = cos(2nk/n) + I sin (2nk/n), k = 0, 1,2, ..., n— 1.
В разложение входят все линейные двучлены х — е*, и только
они. Поскольку их число равно степени многочлена, все они
входят в первых степенях. Старший коэффициент многочлена
равен 1.
Ответ: (х — е0) (х — ei) ... (* — e„_i), efe = cos(2лЛ/лг)-f-
+ isin(2Tck/n).
3) (x+ l)n—(x—l)n.
Решение. Корни этого многочлена xk = ictg(nk/n), k =
= 1,2, ..., /г —f (см. пример 4.4) § 2 гл. I). Выпишем
несколько членов разложения скобок?
(* + 1)" — {х— 1)" = ** + пхп-{+ ... — (хп — пхп~х + ...) =
= 2пхп-х + ...
164

Видно, что степень многочлена равна п — I (т. е. числу корней),
а старший коэффициент равен 2п. Тогда
(х+1)я-(х-1)я =
= 2n(*-fctg£)(*-ictg-f-) ...(х-/<*е(в~1)я).
Пример 6. Разложить на вещественные неразложимые
множители:
1) х4 - 6х3 + 9х2 - 16.
Решение, *4 — бх3 + 9х2 — 16 = {х2 — Зх)2 — 16 = (*2 —
— Зх — 4) (х2 — Зл: + 4). Корни первого множителя: хи 2 =
3 ± V9+ 16 3 ± 5 п
= у-—.■ = —iy— . Дискриминант второго множителя
9 — 12 < 0, следовательно, этот множитель неразложим.
Ответ: (х+ 1) (х — 4) (х2 — Зх + 4).
2) х8 + х4+ 1.
Решение. Разложим многочлен сначала на линейные
множители. Замена # = х4, решение полученного квадратного
уравнения и извлечение корней 4-й степени из у дают
*1.2=±(^ + т0' *.« = ±(-Х--тО'
Число корней равно степени многочлена, поэтому
X8 + X4 + 1 =(Х— Х\) (X — Х2) ... (Х—Х8).
Чтобы получить вещественное разложение, перемножим
двучлены с сопряженными корнями (для каждого корня найдется
ему сопряженный, так как коэффициенты многочлена
вещественны). Такими корнями будут х\ и *3> х2 и х4, х$ и х7, х& и jc8.
Тогда (х — х\) (х — хъ) =х2 — х(х{ + хг) + х{х3 = х2 — х д/3 + 1 •
Аналогично получаем три остальных произведения.
Ответ: (х2 - х д/3~+ l) (х2 + х д/3~+ 0 (х2-х + \){х2 + х + 1).
3) хп— 1.
Решение. Возьмем разложение этого многочлена на
линейные множители (см. пример 5.2)):
^-1=^-60)^-60 ... (х-вя_{)9 e, = cos^ + /sin^,
и выделим вещественные двучлены: гк е R, если sin(2n&/n) = 0,
т. е. если 2k ] п. При п нечетном это так только для k = 0 (ибо
k < я), тогда ео = 1. При /г четном, п = 2т, корни вещественны
для k = 0 и k = m: ео = 1, em = — 1. Для всех прочих к гк
невещественно; сопряженными с е* являются корни en-k, так как
sin (2 (n_— fe) п/п) = sin (2л — 2nk/n) = —sin (2nk/n), т. е. ej =
с=п е„_ь е2 = еЛ_2 и т, д.
165

Найдем произведения пар сопряженных корней:
(х — ek) (х — гк) = х2 — х (гк + ek) + гкгк = х2 — х • 2 cos -^- + 1.
Тогда хп — 1 =
1 (х — 1)11 ( х^ — х • 2cos——hi) при п нечетном,
= I т_г(гг-2)/2 , 2nk \
I (х—1)(х+1)|| ( х2 — х • 2cos——f- 1J при /г четном.
Пример 7. Найти, при каких значениях а и 6 многочлен /
делится на многочлен g:
1) f=(x+l)»+ax« + byg = x*-l.
Решение. g = (х — 1) (х + 1). Чтобы многочлен / делился
на многочлен g, надо, чтобы / ; (х— 1) и / ': (х + 1). По теореме
Декарта, это равносильно тому, что /(1)= /(—1) = 0, т. е. 2п +
+ а + Ь = а (—1) "+6=0. При п четном это невозможно, при
п нечетном имеем а = 6 = —2п~х.
2) / = а(х5 —2х4 —2х3 + 7х2 + 5х—1)+6(х3 —Зх2 + 6х —
-2) - 2, а, 6 <= R, £ = х2 - 4х + 5.
Решение. Найдем корни многочлена g и разложим его на
множители: хи 2 = 2 ± У 4 — 5 = 2 ± /; g =(х — 2 — /) (х — 2 +
+ 0- Видно, что для нужной делимости необходимо и
достаточно, чтобы числа X\t2 были корнями многочлена /.Поскольку
коэффициенты многочлена / вещественны, а х2 = хь
достаточно, чтобы /(xi) = 0 (тогда и /(л;2) = 0).
Для вычисления f(x\) удобно использовать схему Горнера
для каждого из многочленов, стоящих в скобках:
Ц—2—2 7 5 -1 ш [1—3 6 -2
2 + /|l / —3 + 2/ -1 +/2 + / 2 + 4/' 2 + /|l -1+/ 3 + / 3 + 5/
Тогда /(2 + /)= а (2+ 4/)+6(3 + 5/)—2 = 0, откуда 2а +
+ 36 = 2, 4а+56 = 0 (так как a, 6eR). Решая последнюю
систему уравнений, получаем а = —5, 6=4.
1. Вычислить (т. е. найти разложение по степеням х):
1) (2х4 — х3 + х + 3)(х3 + х2-2х + 1); 2) (х3 + 3х2-2х —
- 2) (х3 - Зх2 - Зх + 1); 3) (х3 + х2 - х - 1) (х3 - 2х - 1).
2. Поделить с остатком многочлен / на многочлен g: 1) / =
= Зх5 + 5х3 + Зх2 + х — 9, g = х2 — х + 3; 2) / = х6 — 2х5 +
+ 5х3-5х2 + 3, g = x3-2x + 2; 3) / = х3 + х2-х+1, £ =
= 3х2-2х+ 1; 4) / = х20 + х10+ 1, £=(х3-1); 5) / = 2х5 +
+ 5х4 + 5х2 —9х + 5, g = x + 3; 6) / = х6 — 5х5 + 2х4 + 7х3 +
+ Зх2 + 5х-4, £ = х-4; 7) / = х4 + х3, g = x-i\ 8) / =
= х30+ 1, g = x— 1.
3.. Многочлен / при делении на х — а, х — 6 и х — с дает
в остатке соответственно а, 6 и с. Найти остаток при делении
многочлена /на (х — а) (х — 6) (х — с).

4. Вычислить f(c): 1) / = 2хъ — 4х4 — 7х3 + Ъх2 — Ъх + 2,
с = 3; 2) f = 3x« + 7xb + 4x* + 5x'6 — х + 6, с = — 2; 3) f =
= jc4 —2x3 + 2x2 —jc + 4, с = 2+/; 4) f = x10 — х9, с =/.
5. Разложить на линейные множители: 1) хА + 4; 2) я4—
— 4(х2 + 2х+ 1); 3) (Jt + 2)" + Jt".
6. Разложить на вещественные неразложимые множители:
1) *4 + 4; 2) х6 + 27; 3) *4 — 4(х2 + 2х+ 1); 4) х2п + хп + \;
5) (х+2)" + х".
7. Доказать, что х3т + х3п+1 + х3?+2 ] х2 + х+ 1.
8. Найти условие, при котором f ] g: Г- f = x3m — х3п+] +
+ х3р+2, g = x2-x+ 1; 2) f = x3m + x3n+l + x3P+2, g = x* +
+ x2+U 3\f = x2n + x«+\, g = x2+x+l\ 4) f = (x+\)n-
-xn-l, g = x2 + x+\; 5)f = (x+\)n + xn+\, g = x2 + x +
+ 1; 6) / = x30 + ax17 + b, g = x3-\.
9. f (xn) ; x — 1. Доказать, что f ] x — 1.
§ 2. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ.
АЛГОРИФМ ЕВКЛИДА
Наибольшим общим делителем пары многочленов f и g (НОД(\, g))
называется тот их общий делитель, который делится на любой их общий
делитель.
Везде далее будем исключать случай / = g = 0, тогда НОД((, g) ^Ои
может быть определен как общий делитель наибольшей степени.
НОД(^, g) всегда существует и единствен с точностью до постоянного
множителя, т. с. если d — какой-то наибольший общий делитель пары
многочленов /, g, то все ее наибольшие общие делители — это все многочлены ad,
где а = const =^=0. (Тем самым часто употребляемая запись НОД((, g) = d
не очень корректна; говоря точнее, это не есть равенство: мы можем записать
НОД((, g) = d и НОД((, g) = 2d, но отсюда не следует, что d = 2d. Запись
НОД(1, g) = d понимается так: «многочлен d есть один из наибольших общих
делителей пары многочленов /, g».)
Нормализованный (т.е. имеющий старшим коэффициентом 1) НОД((, g)
единствен. Если коэффициенты многочленов fug вещественны
(рациональны), то таковы же и коэффициенты их нормализованного НОД.
Если известны разложения многочленов f и g на линейные (или, более
общо, на неразложимые) множители, то НОДЦ, g) можно найти просто
сравнением этих разложений. В иных ситуациях для отыскания НОД((, g) часто
бывает полезным следующее свойство:
НОДЦ, g) =НОДи + §п, g) (*)
для любых многочленов /, g, h. В частности, используем теорему о делении
с остатком: f = gq -{- г, тогда
НОД (I, g) = НОДи-gq, g) = НОД (г, g),
т. е. пару многочленов f, g можно заменить парой многочленов g, r, где
deg г < deg g (если г =£0). Продолжая таким же образом снижать степень,
т. е. заменяя один из многочленов остатком от деления его на другой, в конце
концов получим
НОД(f, g) = НОД(ё, г) = . .. = НОД^, 0) = d,
т.е. последний делитель в этом процессе (многочлен d) и есть НОД([, g).
Этот процесс называется алгорифмом Евклида. Его удобно применять, когда
можно эффективно выполнить деление с остатком.
167

Часто бывает удобно комбинировать оба вышеизложенных приема
нахождения НОД двух многочленов, т. е. алгорифм Евклида и сравнение
разложений.
Если d = НОД(\, g), то существуют такие многочлены и и v, что d =
= fu + gv- Такое представление называют линейным представлением НОД.
Пара многочленов u, v определена не однозначно; ее всегда можно выбрать
так, что deg и < deggi, deg v < deg /1, где f = dfit g = dg,, и такая пара
уже единственна. Если при этом многочлены /, g, d имеют вещественные
(рациональные) коэффициенты, то таковы же и коэффициенты этой пары
многочленов и, v. Найти эту пару многочленов можно либо методом
неопределенных коэффициентов, либо при помощи алгорифма Евклида.
Пример 1. Найти ЯОД (/,#):
1) /=(х4-1)2,£ = х3(х-1)3(х+1).
Решение. Многочлен g уже разложен на линейные
множители; разложение многочлена / на вещественные неразложимые
множители получить легко: / = [ (х2 — 1) (х2 + 1) ]2 = (х —
— 1)2(х + \)2(х2 + I)2. Выбирая множители, входящие в оба
разложения, получаем: НОД((, g) = (x — \)2(х + 1).
2) f = xn + x — 2,g = x2—1.
Решение. Здесь легко раскладывается на множители
только многочлен g: g=(x—1)(х+ 1), однако и этого уже
достаточно для нахождения НОД (f9g)\ так как / (1) = 1 + 1 — 2 = О,
f(—1) = (—1)п — 1 —2ф0, то значит (по теореме Декарта)
многочлен / делится на х— 1 и не делится на х-\- 1, а потому
HOM(f,g) = x-l.
Замечание. Здесь существенно использован тот факт, что
множитель х—1 входит в разложение многочлена g в первой
степени, так как нахождение показателя степени, с которым он
входит в многочлен /, требует иных средств (см. § 3).
3) / = хв + 2 х5 - 2х* - х3 + х2 - 7х + 6, g = (х2 - 1 )2 (х + 2)3.
Решение, g =(х—1)2(х+ 1)2(х + 2)3. Проверим по
схеме Горнера, какие из этих множителей и с каким показателем
степени входят в многочлен /:
112-2-11-76
1
1
-1
—2
—2
1
1
1
1
1
3
4
3
2
0
1
5
2
1
1
0
5
3
3
1
1
6
3
0
-6 0
0
Здесь мы начали проверку с двучлена х—1. Оказалось, что
/ : х— 1. Поскольку этот двучлен входит в многочлен g во
второй степени, мы должны проверить, делится ли многочлен / на
(х — 1)2, т. е. делится ли /i = // (х — 1) на х — 1. Коэффициенты
частного f\ у нас уже есть. Берем их в качестве нового заголовка
схемы Горнера. В записи это отмечается проведенной под ними
чертой. Видно, что и f\ х— 1. Дальнейшую делимость на х— 1
проверять уже не надо, так как многочлен g не делится на
(х—I)3. Тогда берем следующий двучлен х-\- 1. Проверку те-
168

перь можно вести для частного f2 = f/(x — l)2 = f\/(x — 1),
коэффициенты которого уже получены (опять проводим черту
в таблице). Видя, что f2(—1)^=0, проверяем делимость на х + 2
и получаем, что многочлен f2 (а значит, и многочлен /) делится
на х + 2. Для проверки делимости на (х + 2)2 делим новое
частное (снова проводим черту) на х + 2. В итоге получаем, что
многочлен / дважды делится на х— 1 и один раз на х + 2,
следовательно, НОД (/, g) = (х — 1)2(х + 2).
Замечание. Здесь нам не помешало то, что показатели
степеней множителей в многочлене g больше 1 (см. замечание
к предыдущему примеру).
4) f = x5 + 2x4+x3 + 7x2 + x + 6y g = jc4 + 4jt3 + 4*2 + 3* +
+ 14.
Решение. Здесь не видно, как разложить на множители
хотя бы один из многочленов, зато удобно применить алгорифм
Евклида. Делим с остатком многочлен / на многочлен g:
х5 + 2х4+ х3 +
х5 + 4х* + 4х3 +
7х2+ х +
Зл:2 + 14*
Л'4 + 4х3 + Ах2 + 3* + И
х-2
- 2л:4 - Зл-3 +
- 2л:4 - 8л-3 -
4л:2 — 13.v + 6
8л:2— 6л- -28
5лг>+12х2-7л: + 34
5л-3+12*2- 7л:+ 34
Теперь надо делить многочлен g на полученный остаток
5л:3-f- 12л:2 — 7л: + 34. При этом появятся дробные коэффициенты.
Этого можно избежать, предварительно домножив многочлен g
на 5 (умножение или деление любого многочлена на ненулевую
константу не меняет НОД):
_5л-4 + 20л:3 + 20л^+15л:+ 70
5*4+12лг»- 7л? + 34л: \х.% 8
8.V3 + 27л?-19л- + 70
_ 40л;3 + 135л^ - 95л- + 350
40л-3 + 96л:2 - 56л-+ 272
39л? —39л; + 78
Здесь, чтобы после 1-го шага деления избежать появления
дробных коэффициентов, мы умножили промежуточный остаток
снова на 5. При этом, конечно, мы не получим неполного частного,
но оно нам и не нужно.
Сокращаем полученный остаток на 39 и делим на него
предыдущий делитель:
_5л:3+12л?- 7л:+34
5x3— 5л? + Юх |5л:+17
_ 17л-2- 17л: + 34
17л:2-17л-+ 34
л?-л: + 2
169

Очередной остаток равен нулю, следовательно, последний
делитель и есть НОД(1, g), значит, НОД(1, g) = х2 — х + 2.
5) f = xb-2x4-3x2 + 4x + 4, g = (x2-4)2(x3 + 2x2-4x-3).
Решение. Будем искать НОД(\^) «по кускам»: сначала
проверим, входят ли в многочлен / легко выделяемые линейные
множители многочлена g\ (x — 2)2 и (х + 2)2, для чего
используем схему Горнера (множитель х — 2 проверяем дважды):
2
2
-2
1 -2 0
1 0 0
1 2 4
1 -2 4
-3
-3
5
-11
4
-2
8
20
4
0
Видно, что из проверяемых множителей в многочлен / входит
только х — 2, причем в первой степени.
Теперь применим алгорифм Евклида к частному /i = f/(x — 2)
(его коэффициенты получены в схеме Горнера) и оставшемуся
множителю хг + 2х2 — \х — 3 многочлена g:
хА -Зх
' х* + 2хг — 4х2 - Зх
- 2х3 + 4л2 - 2
- 2х3 - 4х* + 8* + 6
8л:2-
_ л-3 + 2л2 -
х3 — х2 -
Зх2-
З*2-
-8л:-
-Ах-
— х
-Ъх-
-Zx-
-8 =
-3
со со 1
1 1
1 + 2х2 - 4* - 3
\{х2-х-\)
х + 3
0
НОД оставшихся множителей многочленов fug равен х2 —
- х - 1, тогда НОД(!, g) = (x-2)(x2-x-l).
6) / = Х35 + Х31+ l,g=*31 + JK29-t-l.
Решение. Вычисления по алгорифму Евклида будут
здесь очень громоздкими. Используем равенство (*) несколько
иначе:
d = НОДЦ g) = НОД (f-g,g), f-g = *35 - х2" = х2»(х* - 1).
Поскольку х не входит множителем в многочлен /, то d =
= НОД(х6 — 1, g). Этим мы сразу добились большого
понижения степени одного из многочленов, но, кроме этого, видно
разложение одного из них: х6 — 1 = П£=о (* ~~ efc)> гДе е^ —корни
6-й степени из 1. Осталось выяснить, которые из е* являются
корнями многочлена g. Поскольку е|=1, то е|1 = еГел = ел»
e? = efekl=zekl и S(e*) = e* + e*1 + 1=0> значит, е*+вЛ +
+ 1=0, т. е. еЛ — невещественный кубический корень из 1„
170

Так как кубический корень из 1 является и корнем6-й степени
из 1, то общими корнями многочленов х6—1 и g будут е и
ё—два невещественных кубических корня из 1, а
следовательно, d = ИОД (}^) = (х — е)(х — ё) = х2 + х + 1.
Пример 2. Найти вещественные корни многочлена
х5 - (2 - i) хА + /л:3 + (2 - 40 х2 - (7 + 3/) х + 6 - 2/.
Решение. Пусть а — такой корень. Тогда
а5 - (2 - /) а4 + /а3 + (2 - 4/) а2 — (7 + 3/) а + 6 - 2/ = 0,
и ввиду вещественности а
а5 — 2а4 + 2а2 — 7а + 6 = 0, а4 + а3 — 4а2 — За — 2 = 0,
т.е. а есть общий корень многочленов f — хъ — 2 л:4 -f- 2x2 —
— 7х + 6 и g = л:4 + х3 — 4л:2 — 3* — 2, а значит, и корень
ноди,8).
HOM(f,g): начнем выпол
х4 + х3 - 4л;2 — 3* - 2
Найдем HOM(f,g)
х5 - 2л:4 +
л:5 + л:4 — 4л:3 —
начнем выпс
2л:2- 7л:+ 6
Зл;2- 2л-
-Зл:4 + 4л-3+ 5х2-
-Зл:4-Зл:3+12л-2 +
7л:3-
7л:2-
5л-+ 6
9л-+ 6
14л-
х — 3
Остаток легко раскладывается на множители: 7л:3 — 7х2—14л: =
= 7х(х-\- 1) (х — 2), поэтому продолжать алгорифм Евклида
нецелесообразно. Множитель х не входит в многочлен g.
Проверим, не являются ли многочлены х-\-\ и х — 2 множителями
многочлена g, для чего применим схему Горнера:
-1
2
1 1
1 0
1 3
-4
—4
2
-3
1
1
—2
-3
0
Итак, НОД(\, g) = x — 2, следовательно, искомый корень
многочлена один и равен 2.
Пример 3. Найти НОД(\^) и его линейное представление:
1) / = 3л:5 — 7л:4 + л:3 — 2л:+ 5, £ = л:4— 1.
Решение 1. НОД{\^) найдем разложением многочлена
g на множители: g = {х— 1) (х + 1) (л:2 + 1), и проверкой
делимости многочлена / на эти множители по схеме Горнера:
1
—1
i
3
3
3
3
—7
—4
—7
3/-4
1
-3
4
-6 — 4/
0
-3
—7
-6/ + 1
—.2
-5
2
14-/
5
0
(множитель х-\- /, т. е. корень —i, можно не проверять). Итак,
й = НОД(1в) = х-\.
171

Линейное представление d = fu + gv сократим на d: 1 =
= f\u + g\v. Многочлены f\ (подчеркнутая строка
коэффициентов в схеме Горнера) и g{ известны: ^ = Зд:4 — 4х3 — Зх2 —
— 3* — 5, gi =(х + 1) (х2 + 1) = х3 + х2 + х+ 1. Учитывая
условия, наложенные на степени многочленов и и v (deg и. <
< degg"i, deg v < deg/i), запишем их представление с
неопределенными коэффициентами:
(Зх4 - 4х3 - Зх2 -Зх- 5) (ад:2 + Ъх + с) + (х3 + х2 + х + 1)(а{х3 +
+ b{x2 + схх-\- dx) = 1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях я,
получим систему линейных уравнений:
лг:
г1:
х":
х:
+ а,
+ а, + 6,
3c + Ci + 6, + c,
= 0,
-о,
= 0,
За
— 4а + 36
— За - 46 -
— За — 36 — 4с + а, + 6, + с, + d, = 0,
— 5а — 36 — Зс +6, + ci + di= О,
— 56 — Зс + с, + d, = О,
-5с +d, = l.
Получившаяся система уравнений (как и всегда в задачах
такого типа) сложно решается «вручную», поэтому при
«ручном» счете лучше использовать другие способы решения таких
задач (см., например, решение 2); при машинных вычислениях,
напротив, этот путь удобнее. Методы решения систем
линейный уравнений рассматриваются в гл. IV «Системы линейных
уравнений», поэтому мы не будем решать полученную систему,
а укажем ответ: а = —1/4, 6 = —1/2, с = 1/4, ai = 3/4, b\ =
=—1/4, С\ =—4, di=9/4, и отметим следующее
обстоятельство. Расширенная матрица (см. гл. IV) этой системы такова:
3
—4
-3
-3
-5
0
0
0
3
-4
-3
-3
-5
0
0
0
3
—4
-3
-3
-5
1
1
1
1
0
О
о
о
1
1
1
1
о
о
о
о
1
1
1
1
о
0
0
0
1
1
1
1
0]
0
0
0
0
0
и
Первый ее столбец—коэффициенты многочлена /ь дополненные
нулями, в последующих столбцах эти коэффициенты сдвигаются
вниз каждый раз на 1, и число таких столбцов равно deggi =3.
Остальные столбцы матрицы коэффициентов так же строятся
из коэффициентов многочлена gx (число их равно deg/i=»4).
172

Эта закономерность сохраняется всегда. Столбец свободных
членов тоже всегда одинаков.
Решение 2. Начиная, как и в решении 1, получим
U (ах2 + Ьх + с) + (х + 1) (х2 + 1) v = 1
(в отличие от решения 1 мы записали с неопределенными
коэффициентами только многочлен и и не стали раскрывать скобки
в многочлене g\). Нужные для нахождения а, Ьу с уравнения
получим, придавая х значения, равные корням многочлена g\.
Технически удобнее переписать последнее равенство так:
аХ2 + ьх + с + (х + 1) (х2 + 1) vlfx = l/fx.
Тогда при х = — 1 имеем а — Ъ + с = l//i(—1)= 1/2; при
x = i имеем —a + bi + c = l/(l + i)=l/2 — {l/2)L Значения
/i(—1) и f\(i) были получены ранее в схеме Горнера
(подчеркнутые остатки). Так как а, 6, с вещественны, то из последних
двух соотношений а — Ь + с = 1/2, — а + с = !/2, Ь = — ]/2-
Отметим, что эта система гораздо проще полученной в
решении 1. Ее решение не составляет большого труда: а = —у4,
ъ = -72, с = 74, т. е. и = -74*2 - 72* + 74.
Теперь найдем v—{l—f\u)/g\:
fxu = у4 (Зл4 - 4*3 - Зх2 - 3* - 5) (- х2 - 2х + 1) =
= У4 (- З*6 - 2х5 + 14jc4 + 5л:3 + 8х2 + 7х- б).
Отбрасывая пока, для удобства, множитель 1/4, делим 4 — 4f\u
на g\. Это можно проделать по алгорифму деления с остатком
или по схеме Горнера — трудоемкость здесь примерно одинакова.
Для примера используем схему Горнера — последовательно
делим многочлен 4 — 4flu = 3x6 + 2x5—\4xi — 5x3 — 8x2 — 7x + 9
на двучлены х — 1, х — /, х + г.
13
— 1 IS
;|з
2
-1
-1 +3/
— 14
-13
-16-/
-5
8
9 - 16/
-8
-16
9/
—7
9
0
9
0
i 13 -1 -16
Итак, v = '/4 (Зх2 - х2 - 16* + 9).
Ответ: НОДЦ, g) = x— 1 =
Замечания. 1. Применяя этот способ, мы использовали,
что нужная пара многочленов и> v заведомо существует. В
частности, не надо было решать полученную систему уравнений по
всем правилам (т. е. следить за равносильностью
преобразований).
2. В приведенном здесь способе важно правильно выбрать
степень многочлена и (и многочлена и, если это нужно, — см.
далее замечание 4). Если возьмем ее меньше, чем должно, то
173

сумеем найти искомые коэффициенты (если подставим не все
корни), но ответ будет неверен. (Если сделать такую же
ошибку в решении 1, то полученная там система не будет иметь
решений, так как она равносильна исходной задаче, тем самым
ошибка будет выявлена.)
3. При решении мы использовали, во-первых, то, что есть
разложение многочлена g\ на линейные множители, и,
во-вторых, то, что эти множители входят в разложение в первых
степенях,— иначе нам не хватило бы уравнений.
4. Если было бы известно разложение на множители
многочлена f\ (как многочлена g\ в приведенном примере), то
многочлен v можно было бы найти совершенно аналогично тому,
как был найден многочлен и.
5. Мы нашли только одно линейное представление НОД({, g),
то, в котором степени многочленов и и v наименьшие. Обычно
этого бывает достаточно, в противном случае см. пример 4.
2) f = Jfi — jfi + 9х4 — 9х3 + 18л:2 — 6х + 4, g = хъ + х4 +
+ 5х3 + 5х2 + 4х - 12.
Решение. Для нахождения HOM(fyg) здесь естественно
применить алгорифм Евклида. Имея в виду, что затем придется
находить линейное представление НОД, каждое деление (кроме
последнего) будем записывать еще и краткой записью,
выписывая в ней явно только частное:
Jt6-x5 + 9x4- 9x3+18x2- 6х+ 4
~х6+х5 + 5х4+ 5х3+ 4х2+12*
_-2л;5 + 4х4-14х3+ 14х2- 18*+ 4
— 2хь-2х4 — Юл:3- 10х2- 8л:—24
л:5+*4+5х3+5х2+4х+12
х — 2
6х4- 4х3 + 24х2-10х+28 = 2г1
f — g(x — 2) + 2г, (краткая запись).
Можно сократить остаток на 2 и следующим делителем брать
г\ = Ъх4— 2х'6 -f 12х2 — 5х + 14, но в краткой записи нужно
иметь остаток полностью, т. е. 2гх (так как там равенство).
Во избежание появления дробей в следующем делении
можно сначала домиожить многочлен g на нужный коэффициент,
учтя это в краткой записи. Здесь нужно домножить на 9 = З2,
так как в середине процесса деления такого домножения делать
нельзя, ибо нам нужно частное — сравните с примером 1.4):
9х5 + 9х4 + 45х3 + 45х2 + Збх + 108
9х5 — 6л:4 + Збх3 - 15х2 + 42х
__15х4+ 9х3 + 60х2- 6х+108
15х4 - 1 Ох3 + 60х2 - 25х + 70
Зх4-2х3 + 12х2-5х+14
Зх + 5
19х3 + 19л: + 38= 19г2,
9g = M3x + 5)+19rtj
174

3*4-2x3+ 12л:2— 5л: + 14
3-у4 + 3jc2+ 6л:
_-2л:3 + 9л:2- 11х+ 14
-2л:3 - 2л:- 4
х3 + х + 2
Зх-2
9х2 — 9х + 18 = 9г3> г, = г2 (Зл: — 2) + 9г3;
х2 -х + 2
л:3
х3-
+ х+2
-х2+2х
х2-
X2-
х + 2
х + 2
х+1
О
Итак, НОД{(, g) = г3 = х2 — х + 2. Краткая запись
последнего деления не нужна.
Теперь находим линейное представление #ОД(/, g). Из
последней краткой записи выражаем г3 через г\ и г2; подставляем
Г2, выраженное через g и п из предыдущей краткой записи,
а затем п, выраженное через многочлены / и g из первой
краткой записи:
Гг = I СП - г2 (Зх - 2)) = | г, - 1 -1- (9g - г, (Зл: + 5)) (Зл: - 2) =
= -g±(3x-2) + r1[±+±±(3x + S)(3x-2)] =
= -g-kr(3x-2) + ri±-±r(9x2 + 9x + 9):
= g-& (Зх-2) + ±(f -g(x -2))±(x2 + х + l) =
= fj-k(x2+x+l)+g[-^(3x-2)-^(x-2)(x2+x+l)]:
f x* + x+\ . - x3 + x2 - bx + 6
—' 38 """в 38
Ответ:
38 ^ s 38
HOM(f, g) = x2-x + 2 = f ^±^ + g^l±4-Z^±l
Пример 4. Найти все такие пары многочленов и и vt что
fu + gv = h, где / = Зх5 + х4 - 6х3 + Зх2 + Зх - 2, g = Зх4 +
+ 4х3 — Зх3 — 2х + 1, h = х3 — 2х + 1.
Решение. Говоря другими словами, мы должны в
множестве многочленов решить уравнение
fu + gv = h ' (1)
с неизвестными и и v. Пусть d = #ОД(/, g). Если существует
хотя бы одно решение и0у vo> то h = fuo + g^o и h } dy ибо / \ d
и g[ d. Обратно, пусть к \ d} h = dh\. Поскольку многочлен d
175

линейно представляется через многочлены /, g, т. е. d = fu* +
+ gv*y то h = dh\ = fu*h\ + gv*h\, т. е. пара многочленов
uo = u*hu vo = v*h\—решение нашего уравнения. Итак,
условие h • d необходимо и достаточно для разрешимости
уравнения (1).
Чтобы найти все множество решений (когда h \ d), разделим
обе части уравнения (1) на d: получим равносильное уравнение
f[u + glv=hl (f = dfu g = dg{).
Зафиксируем какое-либо решение u0i Vo этого уравнения. Пусть
и, v — его любое решение. Тогда /,и + gYv =h{ = f{u0 + g{vQi
откуда fx (и — uQ) = g{ (v0 — v).
Поскольку многочлены /i и gi не имеют общих множителей,
то и — uo ] gu и — uq = gxw и vq — v = fiw, т. е.
:tio + g\W, v=*v0 — f{w.
(2)
Обратно, при любом многочлене w пара многочленов и, v,
полученная по формулам (2), будет решением уравнения (1), т. е.
формулы (2) дают множество решений уравнения (1), когда w
пробегает множество всех многочленов.
Теперь приступим к вычислениям. Для нахождения
НОД(/,§") удобно применить алгорифм Евклида:
3jc5+ х4 — 6х3 + Зх2 + Зх-2
Зг5 + 4х4 - Зх3 - 2х2 + х
-Зх4-
— Зх4-
-Зх3 + 5х2 + 2х-
- 4л;3 + Зх2 + 2х-
-2
-1
Зл;4 + 4л;3 - Зх2 - 2х + 1
х-1
х3 + 2х2
Зх4 + Ах3 - Зх2 - 2х + 1
Зл;4 + 6л;3
-2л;3-
-2л;3-
— Зл;
■ Зл;2 + х+1
■ 4х2 + 2
х3 + 2х2 - 1
х2+ х-1
х3 + 2х2
х3 + х2 — х
Зх
r2, g = rl(3x — 2) + r2;
1
х2 + х - 1
*+ 1
л:2 + л; - 1
л;2 + х - 1
О
Итак, d = HOM(f,g)=r2=x2 + x—l.
m

Проверим делимость многочлена h на многочлен d:
\х2 + х-\
X3
х* +
—
х2-
X2
X2
-2х + \
— х
-х+ 1
-х+ 1
о
h\ d, значит, множество решений уравнения (1) не пусто.
Заодно получено h\ = х— 1.
Ищем линейное представление многочлена d из краткой
записи алгорифма Евклида: d = r2 = g — Г\ (Зх — 2) = g — (f —
~g(x— 1)) (Зх - 2) = / (- Зх + 2) + g (Зх2 - 5х + 3). Умножая
обе части последнего равенства на h\ = х — 1, получаем
h = dh{ = f (- Зх + 2) (х - 1) + g (Зх2 - 5х + 3) (х - 1),
т. е. одним из решений будет пара многочленов и0 — (— Зх + 2) X
X (х - 1) = - Зх2 + 5х - 2, v0 = (Зх2 - 5х + 3) (х — 1) = Зх3 —
— 8х2 + 8х — 3.
Чтобы получить все множество решений, нужно вычислить
f{ = f/d и g\ = g/d. Это можно сделать обычным образом, но
можно опять использовать краткую запись алгорифма Евклида
и последнее деление:
g/d = g/r2 = (rjr2) (Зх - 2) + rjr2 = (х + 1) (Зх - 2) + 1 -
= Зх2 + х-1,
//rf = f/r2 = ^/r2(x-l) + r1/r2 = (3x2 + x-l)(x-l) + x+l =
= Зх3 - 2х2 - х + 2.
Ответ: и= - Зх2 + 5х - 2 + (Зх2 + х - 1) w9 у = Зх3-8х2 +
+ 8х — 3 — (Зх3 — 2х2 — х + 2) до, w пробегает множество всех
многочленов.
Замечания. 1. Ответ будет-изящнее, если в качестве
начального решения выбрать пару многочленов наименьших
степеней. (Довольно часто такое требование диктуется условием
задачи.) Получить их просто: надо заменить многочлены и0 и
у0 остатками при их делении на многочлены g{ и fx
соответственно. В приведенном примере эти остатки таковы: и0 + g\ =
= 6х — 3 и v0 — /i =—6х2 + 9х — 5 (они получаются из ответа
при w = 1).
2. Таким же образом можно найти все линейные
представления НОД(1^), зная одно из них (см. замечание 5 к
примеру 2.1)).
3. Если нужно найти только вещественные решения, надо
в ответе брать все вещественные многочлены w.
Пример 5. Найти многочлен / наименьшей степени, дающий
при делении на х3 — 1 и на х4 — 1 соответственно остатки 7х2 —
— 9х+1 иЗх3 + 5х2 — 4х — 5,
177

Решение. Из условия задачи следует, что
/ = (х3 - 1) и + 7х2 - 9х + 1 = (хА - 1) v + Зх3 + 5х2 — Ах - 5,
откуда (х3 — 1) и — (х4 — 1) v = Зх3 — 2х2 + 5х — 6. Получили
уравнение, аналогичное уравнению предыдущего примера.
d = НОД(х3—1, хА—1) легко находится сравнением
множителей: х3 — 1={х— 1)(х2 + х+ 1), х*^1=(х-1)(х+ 1)(х2+ 1),
так что d = х — 1.
Проверим делимость правой части уравнения на d:
|3 -2 5 -6
1 13 16 О
Поскольку известны разложения данных многочленов, можно
использовать метод неопределенных коэффициентов. Здесь он
удобнее, так как позволяет сразу найти решение уравнения
(причем наименьших степеней)', тогда как алгорифм Евклида,
хотя в данном случае и очень простой в исполнении, дает
только линейное представление НОДЦ, g), и придется еще
проделывать дополнительные процедуры (см. предыдущий пример и
замечание 1 к нему). Кроме того, для нахождения многочлена / не
нужны оба многочлена и и v> достаточно знать один из них (лю-!
бой), что в методе неопределенных коэффициентов наполовину
сокращает вычисления. В этой задаче лучше находить много-'
член и, так как его степень меньше.
Разделим обе части полученного уравнения на d = x — 1 и
распишем многочлен v с неопределенными коэффициентами:
(х2 + х + 1) и - (х + 1) (х2 + 1) (ах + Ь) = Зх2 + х + 6
(правую часть последнего равенства дала проведенная схема
Горнера), откуда а* + Ь = — {х+1)(х2+1) —(х2 + х+ 1) [...]
(многоточие показывает, что нам не интересно содержимое
квадратных скобок). Если е — один из корней многочлена х2 +
+ х + 1 (е2 + е + 1 = 0, е3 = 1), то при х = г
ае + Ь =
Зе2 + е + 6 _ 3(-1-е) + е-6 - 2е + 3 _ 0 __ q
— (е + 1) (е2+ 1) е3 + е2 + е+1 = 1 + 0 - ~~гг 6'
Поскольку е невещественно, то а = 2 и Ъ = —3, т. е. v = 2х — 3 и
/ = (jc4 - 1) (2х - 3) + Зх3 + 5х2 - Ах - 5 = 2х5 - ЗхА + Зх3 +
+ Ъх2 — 6jc — 2.
Пример 6. Уничтожить иррациональность в знаменателе
дроби (а+1)/(а2 + а—1), где а—корень многочлена / =
= х3+х+ 1.
Решение. Требование задачи означает, что нужно
представить данную дробь в виде суммы неотрицательных и по
возможности меньших степеней числа а с рациональными коэффи-
178

циентами (показатели степеней должны быть меньше degf = 3,
так как а3 уже можно заменить на —а— 1).
Известно, как решается эта задача в простейших случаях,
например для дробей l/(a + b <\/2), l/(a + bi). В более
сложных случаях помогает развитая в предыдущих примерах
техника.
Обозначим g = х2-\-х—1, Л = л: + 1, тогда данная дробь
представится в виде h(a)/g(a). Найдем многочлены и и v так,
чтобы fu + gv = h. Тогда h(a) = f (а) и (а) + g (cO v (a) = g (а) v (а)
(так как /(а) = 0), т. е. h(a)/g(a)= v(a), и задача решена.
Если таких многочленов и, v нет, это значит, что задача
поставлена некорректно: либо g(a) = 0, либо a есть корень
некоторого делителя многочлена /, и надо указать, какого именно. При
корректной постановке задачи должно быть НОД(1, g)= I.
Используем для решения алгорифм Евклида:
X3 + Х+1
X? + X2 — X
- х2 + 2х + 1
- х2- х+1
Зх
х2 + х - 1
х—1
= 3г,
X2 + X - 1
_х—1
X
— 1
х+1
= — г2
f = g(x — \) + 3ru g = ri(x+l) — r2,
\=r2 = rl(x+l)—g =
= j[f-g(*~ !)](*+l)-£ = f^-£—£^-.
0д-Л + 1Лд-^1+1(х+1) = -* + *' + »* + »,
Для понижения степени берем остаток при делении многочлена
v на многочлен f; здесь достаточно из многочлена х3 + х2 +
+ 2*+ 2 вычесть многочлен f, получим х2 + х+1. Тогда
(а + 1)/(а2-Ьа-1) = -7з(а2 + а+1).
1. Найти HOM(f,g): 1)/ = (г!-1)2(л:3-1)2, ^ = (дг—1)3(-^-+-1)3;
2)f = (x*-lf, £ = (^ + ^+1)5; 3)/ = *159-1, g = xl65-l;
4) f = xm + x55-l, g = x6-l; 5) / = х6 - Зх5 + 5х? - Зх2 + 4,
g = (x2-\)3(.*2-4)3; 6) f = x* + 3x5 + 4xt-x3-2x2 + 5x-3,
g = x5 + 2xA + 3x3-2x2-7x + 4\ 7) ! = х? + х*-х3-2х-\,
# = Зл:4 + 2л:3 + л:2 + 2л:-2; 8) f = х5 + х4 - х3 - Зх2 - Зх ~ 1,
g = xi-2x3-x2-2x+l; 9) f = x* — 4x*+ l, g = x3 -3x2+ 1;
Ю) f = x6-4x5+l4x3-\8x2+\lx-6, g = x5-2x4-bx3 +
+ 7*2-4x + 3; П) f = x6-x* — x* + x* — x—l,
g=s(x*-\ftf + x*—5x—3); 12) f = *" + Злг-4, g = x"-'-3x+2;
13) f = xiT + x35 + x25 + xl* + xi0+l, g = л:19 + *10 + 1.
179

2. Найти рациональные корни многочлена
х5 + (2 + л/2") х4 + (1 + л/2") *3 + (3 - 3 л/2") *2 +
+ (1 -Зд/2~)*-2-2У2~-
3. Найти ЯОД(/, g) и его линейное представление: 1) f =
= (jt— 1)(х —2)(х —3), £ = (х2-1)(х + 2); 2) f = x7-2x5 +
+ 2х4 + 4л:3 + 2jc2-3x-4, g --= (х2-1 )2; 3) f = х4 + 2х3-х2-4х-2,
gr = x4 + x3-x2-2x-2; 4) / = 4х4 - 2jc3 - 16х2 + Ъх + 9,
g = 2x3-x2-5x + 4; 5) f = 2xA + Зх3 - Зх2 - Ъх + 2, g = 2x3 +
+ х2-х-1.
4. Найти все такие пары и, v многочленов, что fu + gv = h:
1) / = л4 + х3 - З*2 - 4х — 1, g = х3 + х2 - х - 1, h = x2-3x-4;
2)/ = x5 + 3v4 + x3 + x2 + 3x+ 1, g = xi + 2x3 + x+2, h = x2-\\
3) f = 3x3-2x2 + x + 2, g = x2-x+l, h = 2x+l.
5. Найти многочлен наименьшей степени, дающий при
делении на многочлены / и g остатки, соответственно равные г\ и r<i*
1) / = ** + х«-*з_1э ^ = (х2— I)2, п = х4 + х+2, г2 = 4х3 +
+ 7х2-Зх-4; 2) f = х5 + 2х4 - х3 + х2 - 2х - 1, g = x4 + x3-
-x2 + x — 2t r] = -3x4 + x3 + xf r2 = 3x3-2x2 + 3x-5.
в. Уничтожить иррациональность в знаменателе: 1) , , ,
а3 - За + 1 = 0; 2) *~%~\ , а3 + а2 + За + 4 = 0;
3) 1/(За3 + а2 - 2а - 1), а4 - а3 + 2а + 1 = 0.
§ 3. КРАТНОСТЬ КОРНЯ
И ПРОИЗВОДНАЯ МНОГОЧЛЕНА
При выяснении вопросов, связанных с делимостью, мы должны уметь
узнавать не только то, входит ли двучлен х— с в разложение данного
многочлена (что позволяет сделать теорема Декарта), но и то, в какой степени он
входит в это разложение (если входит вообще, т. е. если с — корень
многочлена). Показатель этой степени называют кратностью корня в данном
многочлене. Другими_ словами, с есть корень кратности k многочлена f, если
f • (x — c)k и f • (х — c)k+l, k^\. Корни кратности 1 называют простыми,
остальные — кратными.
Часто бывает нужно узнать лишь, прост корень или кратен. Для
выяснения вопросов, связанных с кратностью корня, часто бывает полезным понятие
производной многочлена.
В алгебре производная многочлена определяется формально:
производная многочлена f = а0 + а\Х + а2х2 + а3*3 + ... — это многочлен f' = ck\ +
+ 2а2х + За3х2 + ...
Если же рассматривать многочлен с числовыми коэффициентами как
функцию, то это понятие совпадает с обычной производной, определяемой в
анализе, и, следовательно, все свойства производной сохраняются у
производной многочлена.
Простой корень многочлена не является корнем его производной; кратный
корень кратности k > 1 является корнем производной, и кратность его в
производной равна k— 1.
Для того чтобы число с было корнем кратности k многочлена /,
необходимо и достаточно, чтобы f(c) = f'(c) = f"(c) = ... = fik~l>(c) = 0 и
f(*)(c) =^0 (Г, Р", .... p*~D,p*> — соответственно 2,3, .... (fc—1),£-я
производные многочлена /, т е. Г = (Р)', Р" = (f")', .... р*> = (Р*"1*)')-
180

Делимость f] (x — c)k равносильна тому, что кратность корня с в
многочлене / больше либо равна к. В терминах производной это означает, что
f(c)=f'(c) =...-/<*-«) (с) =0.
Всякий многочлен можно представить в виде
Ьо — Ь^х—с) +Ь2(х — с)2 + ...,
т. е. разложить его по степеням линейного двучлена х — с. Такое разложение
определено однозначно и дается формулой Тейлора
^!{с)^^{х^с)^^^(х^сУ^...^^^(х^сГ.
Пример 1. Найти кратность корня с в многочлене /:
1) f = x7-x6-3x5 + 4x4-x*+3x2 — 5x + 2, c=\.
Решение. Здесь нет надобности обращаться к
производной— схема Горнера удобнее. Делим на х—1 сначала
многочлен f, затем частное и т. д., и считаем, сколько раз многочлен /
разделится на х— Г.
11-1-3 4-13—52
1 1 1 0—3 1 0 3—2 0 — первый
1 | 1 1—2—1—12 0 — второй
1 1 1 2 0—1—2 0 — третий
1 I 1 3 3 2 0 — четвертый
1 | 1 4 7 9
Искомая кратность равна 4.
2) / = jc80 — 40jc41 + 40jc39— l, c=\.
Решение. Здесь схема Горнера неудобна — степень
многочлена велика, а ненулевых членов всего 4.
Вычисляем значение /(1) непосредственной подстановкой:
/(1)= 1 — 40 + 40 — 1 = 0. Итак, 1 — корень многочлена /.
Берем производную: f = 80jc79 — 40-41д:40 -f 40-39jc38. Нас
интересует кратность корня 1 в многочлене /', так что можно
выбросить из многочлена f множители, не делящиеся на х—1,—
здесь такой множитель 40*38, и вместо многочлена f
рассматривать далее многочлен f\ = 2хи — 41 х2 + 39.
Теперь вычислим /i(l): 2 — 41+39 = 0. Поскольку
1—корень многочлена /i (а значит, и многочлена /'), то берем
производную многочлена f{: f[ = 2 • 41 х40 — 41 • 2х. Снова можно
выбросить множитель 2-41л: и рассматривать многочлен /2 =
= jc39 — 1: /2(1) =0. Далее, /2 = 39л;38 и f2(l)^0. Итак, в
точке 1 обращаются в нуль сам многочлен и две его первые
производные, а третья его производная в этой точке в нуль не
обращается, значит, искомая кратность многочлена равна 3.
Замечание. Конечно, /i^/', но если кратность корня 1
в них одинакова, то f\(l) = 0 тогда и только тогда, когда ///(1) =
= 0; дальше можно рассудить так же. Вычисления с
многочленами /ь /2 получаются гораздо проще (в этом примере еще и
184

потому, что количество ненулевых членов все время
уменьшается).
Пример 2. Найти, при каких а и Ъ многочлен / = ах19 -f-
+ Ьх7—12 делится на (л;+1)2.
Решение. Условие задачи означает, что —1 есть корень
многочлена / кратности, не меньшей 2, что равносильно
утверждению f(—1)=/'(—1) = 0.
Найдем /': /' = 19ах18 + 76л:6, значения многочлена / и его
производной f при х = —1:/(—1) = —а —6—12 = 0, /'(— 1) =
= 19а + 76 = 0, откуда а = 7, Ъ = —19.
Замечание. Только одного условия /'(—1) = 0
недостаточно, так как —1 может быть корнем многочлена /', не будучи
корнем многочлена /.
Пример 3. Найти НОД (хп + хп~2 — (п — П*2 + п — 3, (х2 -
-1)2(*-1)).
Решение. (х2 — I)2 (х — I) = (х — I)3 (х + I)2. Выясним,
какие из этих множителей и с какими кратностями входят в
многочлен / = хп + хп~2 — (п—1)х2 + п — 3, для чего сначала,
вычислим его значения при х = 1 и прид:= — 1: /(1) = 1 + 1 —
— п + 1 + п - 3 = 0; f (- 1) = (- 1)я + (- 1Г~2 - п + 1 + п -
— 3 = 2 . (— 1)" — 2, значит, /(—1) = 0 при п четном, /(—1)=^0
при п нечетном.
Поскольку многочлен / делится на х—1 (/(1) = 0),
выясняем, делится ли многочлен /на (х— I)2, для чего находим его
производную:
/' = пхп-1 + {п - 2) хп"3 - 2 (п - 1) х = xf,, где
/1 = пхп~2 +(п-2) хп~* - 2 (п - 1),
и значение многочлена fx при x=l: f\(l)= п + п — 2 — 2(az —
-1) = 0.
Поскольку многочлен / делится н на х -f 1, но только при п
четном, то поступаем аналогично: /i(—\) = n-\-n — 2 —
— 2(лг — 1) = 0.
Далее, найдем производную многочлена f\\
/; = Л (п - 2) я""3 + (лг — 2) (лг — 4) я""5 = (лг — 2) *" ~5/2,
где /2 = azjc2 + я — 4, и продолжим процесс: /2 (1) = м + /г — 4 =
= 2лг — 4, откуда /2(1) = 0 при лг = 2, /2(1)=^0 при пф2. По
смыслу задачи /г ^ 2 (при я < 2 /— не многочлен), так что
значение лг = 2 допустимо, Ы — 1) нас уже не интересует, так как
кратность корня —1 в НОД не более 2.
Все вычисления закончены, так как кратность корня 1 в
НОД не более 3.
Ответ: (jc—1)2 при п нечетном; (х—l)2(x + 1)2 при п
четном, п > 2; (х— 1)3(х+ I)2 при /г = 2.
Замечания. 1. При п = 2 / = 0 (нулевой многочлен), так
что последняя часть ответа очевидна. Мы не заметили вовремя
182

этого обстоятельства, но наша процедура все равно дала
верный результат.
2. Сравните с примером 1.2) § 2 и замечанием к нему.
Пример 4. Найти все пары и, v многочленов, такие, что
(х — I)6 (х - 3) и + (х2 - l)3 v = 2х4 — б*3 + б*2 - 2х.
Решение. Пусть / = (х — 1)6 (х — 3), g = (х2 — 1)3. Тогда
d = ЯОД(/, g") = (jc—I)3. Делим правую часть данного
уравнения на d:
[2—66—20
1 1 2 -4 2 0 0
1 1 2 —2 0 0
1 1 2 0 0,
и получаем, что 2л:4 — б*3 + 6х2 — 2х = 2х (х — 1) (х — 1) (х — 1)
(если бы мы сразу заметили, что 2хА — 6х3 + 6х2— 2х =
= 2х(х— I)3, то схема Горнера не понадобилась бы).
Теперь разделим обе части данного уравнения на d =
= (*-1)з:
(x-l)3(x-3)u + (x + \)3v = 2x. (*)
Для нахождения многочленов и и v применим метод
неопределенных коэффициентов. Пусть v = box3 + Ъ\Х2 + Ъгх + bs(deg v <
<С 4), тогда
&0*3 + Ьхх2 + b2x + b3= (jr+*1)3 — {х — I)3 (х — 3) (л,^3 •
Подставляя х = 3 и х = 1, получим два уравнения относительно
6о, &ь b2l b3:
27&о + 9Й! + Щ + Ь3 = 2 . 3/43 = 3/32,
&о + &1+&2 + &з = 2-1/23=1/4.
Еще два уравнения можно получить, дважды дифференцируя
последнее равенство и подставляя каждый раз *= 1. При этом
второе слагаемое в правой части каждый раз будет равно нулю,
так как первоначально кратность корня 1 в нем равна 3 (то,
что это не многочлен, а дробь, не меняет дела).
Дифференцируем:
ЗЬ0х2 + 2Ьхх + Ь2 = (2х (х + 1 )"3)' - (х - 1 )2 [... ] = 2 ((* + 1)~3 +
+ л:.(—3)(д:+ 1)-4)-(д:— I)2 [...] = 2 (л: + 1)"4(1 —2л:)— (л:—
-D2[...]
(многоточие в квадратных скобках означает, что нас не
интересует их содержимое, однако мы уверены, что множитель
(х — I)2 можно вынести за эти скобки) и подставляем значение
З&о + 2ЬХ + ^ = 2 • (- 1)/24 = - 1/83
183.

Еще раз дифференцируем:
660а: + 261=2 • (-4)(х + 1Г5(1 - 2х) + 2 (х + 1Г4(- 2) -
и подставляем л: = 1: 6&0+2&i=2-(—4) • (—1)/25+2-(—2)/24=
= 0.
В итоге получили систему уравнений 2760 + 9^ + 362 + Ь3 =
= 3/32, bo + b{ + b2 + bz=l/4, 3b0 + 2bl + b2=- 1/8, 3ft0 + 6i=0.
Начиная с последнего уравнения, последовательно получаем:
Ь{ = - 360, Ь2 = - 1/8 - З&о -2ЪХ = - 1/8 + 360, &з = 1/4 + 1/8-
_ Ь0 = 3/8 - &о, 2760 - 2760 - 3/8 - 960 + 3/8 - 60 = 3/32, или
860 = 3/32, откуда
60 = 3/256, 6, = -9/256, 62 = -23/256, 63 = 93/256.
Теперь будем находить многочлен и. Пусть и = а0х2 -f
+ й[Х + а2 (deg и < 3). Тогда
о v
а0х2 + а^ + а2 = (jc __ 1)3(jc__3) — (х + 1)3[,..],
и при * = -1 а0-а1+а2 = -2/((-2)3.(-4)) = -1/16. Еще
два уравнения можно получить так же, как и выше, но здесь
дифференцирование правой части более громоздко. Обратимся
к решению 1 примера 3 из § 2. Выписанная там система,
взятая целиком, неудобна для решения, но в ней есть простые
уравнения: 1-е и последнее, 2-е и предпоследнее и т. д. Мы
можем использовать это, благодаря тому, что нам уже известны
коэффициенты многочлена v. В качестве двух недостающих
уравнений возьмем 1-е и последнее, т. е. приравняем старшие
коэффициенты и свободные члены в соотношении (*). Старшие
коэффициенты (при я6): а0 + 6о = 0, или а0 = —bo = —3/256.
Свободные члены: За2 + 6з = 0, или а2 = —(1/3)63 = —31/256 (не
надо раскрывать скобки в соотношении (*): старший
коэффициент и свободный член произведения равны произведениям
соответственно старших коэффициентов и свободных членов
сомножителей). И, наконец, из ранее полученного уравнения
имеем а\ = а0 + а2 + 1/16 = —3/256 — 31/256 + 16/256 =
= —18/256.
Ответ: и = --^(Зл;2 + 18* + 31) + (х + l)3 w, v =
= -^(З*3 — 9*2 — 23* + 93) — (х — I)3 (х — 3) w, w пробегает
множество всех многочленов.
Замечания. 1. По поводу окончательной формы ответа
см. решение примера 4 из § 2 и замечания к нему.
2. Нахождение линейного представления НОД есть частный
случай задачи о решении уравнения fu + gv = h и потому
может производиться таким же образом.
184

Пример 5. Выяснить, имеет ли многочлен f = хп + х + 1
кратные корни.
Решение. Число с есть кратный корень многочлена / (т.е.
его кратность больше 1) тогда и только тогда, когда f(c) =
= /'(с) = 0, т. е. когда сп + с + 1 =0, псп~1 + 1=0, откуда сХ
Х(сп~1 + 1)+ 1=0, сп-] = -1/п) с(- l//i+ 1)+ 1=0, сп'1 =
= —1/п; с = —п/(п—\), сп-х = —\/п\ (—п/(п—1))п-1 =
= —1/п. Последнее равенство невозможно, ибо (при п > 1)
абсолютная величина правой части меньше 1, а левой —
больше 1. Случаи п = 0 и я= 1 тривиальны, следовательно,
многочлен / не имеет кратных корней.
Замечание. Можно рассуждать несколько иначе — см.
следующий пример, но вычисления при этом будут, по существу,
те же самые.
Пример 6. Найти, при каких а многочлен / = хп — ахп~1 + 1
имеет кратные корни.
Решение. Продемонстрируем здесь другое рассуждение.
Число с есть кратный корень многочлена / тогда и только тогда,
когда /(с) = //(с) = 0, т. е. с — общий корень многочлена / и его
производной /', а значит, и многочлена d = НОД({, /'). Найдем
этот многочлен: d = НОД(}> /') = НОД (хп — ахп~{ + 1 > пхп~{ —
— (п— \)ахп~2). Множитель х не входит в многочлен /, поэтому
производную f можно сократить на пхп~2: d = #ОД(/, ft), где
f\ = f'/(nxn-2) = x—((п — \)/п)а. Многочлен d имеет корень с,
если и ^(с) = 0, откуда с=((п—\)/п)а, и /(с)=0, т. е.
М^Г-«(^Г+'=«"(^)">^-')+
+ 1=_а«_^_У +If тогда ап:
(п-\)п-
Ответ: при ап = пп/ (п — 1) п~1.
Замечания. 1. Ответ можно было бы записать и так:
а=———;—, но, как отмечалось в главе «Комплексные чис-
п — 1
ла», такого употребления знака радикала лучше избегать
(другое дело, если бы требовалось найти только вещественные
значения а).
2. Если бы мы рассуждали, как и в предыдущем примере, в
вычислениях х заменился бы на с и только.
Пример 7. Отделить кратные корни многочлена
f = х5 — IOjc3 — 20х2 — 15* — 4.
Решение. Отделить кратные корни —значит найти
многочлен fi, множество корней которого то же, что и у многочлена /,
и все корни которого просты. Другими словами, если/ = а0(д:—
— с^)*! ... (х — ат)*Ч где а, ф а/ при 1ф\, то f{ =(x — а{) .. .
?.. (х — ат) (с точностью до постоянного множителя).
185

В HOM(f,f) могут входить лишь множители х — аг,
поскольку в многочлен /' корень х — а, входит с кратностью k,-— 1,
то и в НОД (f,f) он входит с той же кратностью, т. е.
HOM(f, /') = (*-(*,)*■-' ...(*.
ат) т ', значит, в качестве /i
можно взять частное f/HOM(f,f).
Найдем НОДЦ,Г), где f = 5х*- ЗОх2 - 40* — 15 = 5 (ж4 -
— 6л:2 — 8л: — 3), применяя алгорифм Евклида:
4 - 6л:2 - 8л: - 3
- Юл:3-20л:2-15л:-'
- 6л:3- 8х2- Зх
- 4л:3-12л-2-12л:-4 = -4(л:3 + Зл:2 + Зл:+1)
л:4 — 6л:2 - 8х — 3
л:4 + Зл-3 + 3JC2 + х
_-Зх3- 9л:2 - 9л: - 3
- Зх3 - 9л:2 - 9л: - 3
Xs + Зх2 + Зх + 1
л: —3
О
Получим, что НОД(1, /') = л;3 + Зл:2 + Зл: -f- 1. Делим многочлен f
на НОДЦ, Г):
— Юх3 -20л:2 -15л: -4
х5 + Зх4 -
- Зл-4 -
- Зл;4 -
—
- 3л~> +
-13л-3-
- 9х3-
— 4л-3-
-4л;3-
л-2
2W-
9л-2-
12л;2-
12л-2-
15л:
Зл-
12л--
12л:-
-4
-4
х? + 3х2 + 3х + 1
Зх — 4
0
Ответ: х2 — Зле — 4.
Замечание. Так как 1-й остаток в первом делении после
сокращения на —4 есть (х + I)3» можно было бы оставшиеся
два деления провести по схеме Горнера.
Пример 8. Разложить многочлен / по степеням х — с:
1) f = x5 + 7x4+l0x3-\3x2-llx+ 17, с = -3.
Решение. Здесь лучше применить схему Горнера (а не
формулу Тейлора). Если многочлен f разложен по степеням
X — С, ТО
/ = Ь0 + Ь{ {х — с) + Ь2 (х — с)2 + ... = Ь0 + (х ■
Х[Ь2 +...]],
,с)[Ь1 + (х-с)Х
и очевидно, что bo— остаток при делении многочлена / на
х — с, Ь\ — остаток при делении предыдущего частного нах — с
и т. д.
186

Тогда
1
-з|
-з|
—з 1
—з | 1
-з|
1
7 10 —13 -11 17
1 4—2—7 10 —13
11-5 8 -14=6,
-2 1 5 = 62
—5 16=ft3
-S = bt
= ьь
Ответ: f = (x + 3f — 8(х + 3)4-(- 16(* + 3)3 + 5 (х + З)2 -
— 14(jc + 3) — 13.
2) / = (лг — 1)га + jc" Ч- 1. с = 2.
Решение. Здесь удобнее использовать формулу Тейлора:
f(2)=r + 2n+l=2 + 2";
Г*=п(х-1)а-1 + пха-1 = п[(х-1)я-1 + хп-Ч
Г (2) = п (1+2"-');
/" = „(„_1)[(х-1)п-2 + хп-2],
/"(2) = rt(t-l)(l + 2't-2);
P = n(n-1)... (я —Jfe + 1)[(jc—1)Л_* + хп_*]р
/<*>(2) = я(я- 1) ... (n-k+ 1)(1 +2"-*);
f(») = n(n-l) ... 2- 1 -[1 + 1],
/W(2) = rtl(l+2°) = n!2.
Ответ:
- ' 2iL±^-(x_2) + ^ii(l+2-')(x-2J»+ ...
,«(»-l)..-|(«^-* + l)(1+2B-*)(je_2)*+ ...+2(х-2Г=а
/ = 2 + 2"
= 1+Ц:оСп(1+2ге-*)(^-2Л
Замечание. C„
n(n- 1) ...{n — k+ 1)
это ft-й
биномиальный коэффициент, или число сочетаний из п по k.
Пример 9. Вычислить (т. е. разложить по степеням х)
многочлен f(x — 2), где f = x5 + &x4 + 9x3—4x2 — 7x + 3.
Решение. Мы должны заменить х в многочлене / на х — 2.
Непосредственная подстановка с последующим раскрытием
скобок и приведением подобных членов — очень громоздкая
процедура. Можно и здесь применить схему Горнера, но не прямо
187

(x — 2 — не число), а следующим образом: разложим многочлен.
f по степеням х + 2 (см. предыдущий пример):
1
—2 |
—2 |
—2 |
—2 |
—2 |
1 6
1 4
1 2
1 0
1 -2
1 —4
9
1
—3
—3
1
—4
—6
0
6
—7
5
5
3
—7
/ = (х + 2)5 - 4 (х + 2)4 + (jc + 2)3 + 6 (х + 2)2 + 5 (* + 2) - 7.
Если в полученном разложении заменить х на х — 2, то и
получится искомое разложение f(x — 2) = хъ — 4jc4 + x3 -f- 6x2 +
+ 5л: —7.
1. Найти кратность корня с в многочлене/: \) f = х5 — 5х*-{■
+ 7x3-2x2 + 4x-8,c = 2;2)f = x2<l - nxn+l + пхп~х - 1, с = 1;
3) f = л:29 — 29а:15 + 29л:14 — 1, с = 1; 4) / = .v5 + 7л4 + 16*3 +
+8ЛГ2—16л:—16, с = —2; Ь) f = х2п+х-(2п+\)хп+1+{2п+\)хп-\,
с «= 1; 6) f = л:2^1 _ 1 п (П + 1)(2я + 1) (л:^2-л:"-') + 1 (п-1) X
Х(п + 2)(2п+ 1)(хп+1-хп)-\, с = \.
2. Найти условия, при которых f'-g: 1) f = axn-\- bxn~l-\-1,
g = (*-l)2; 2) / = (х+1)»-х»-1, g = (л-2 + л-+ l)2;
3) f = (x+l)n + xn+l, g^tf + x+lf.
3. Найти ЯОД(/, g): 1) / = л:20 - 4л:5 + 3, g = (x2 - Зл: + 2f;
2) f = xn-nx + n-l, g = (x2-iy-, 3) / = (* + Ш*3 - I)3,
|Г = (^ + л:+1)(л:40-5л:29 + 5л^1-1); 4) / = (л:3 + 1)(jc- l)3,
g = (x3 -x2 + x) (x36 — 9x19 + 9л:15 — 1).
4. Найти HOM(f, g) и его линейное представление:
\)f = x\ g = {x-\)\ 2)f = (x2-xf{x+\f, g = (x2+x?(x2-\f-
3) / = л:2(л;2-1)2, g = 16л:7-8л:6-32л5+ 14a:4+ \Ъх3-Ъх2 + х-\.
б. Найти все пары и, v многочленов, такие, что /u-f-gi> = /ti
1) /=»дс»(д^ — 1). )? = л:(л:3-1)) Л = 4л^-4л^; 2) / — л»,
£ = (л:—l)3, h = x— 1.
6. Найти многочлен наименьшей степени, дающий при
делении на (л;— I)2 и (л; — 2)3 остатки 2л: и Зл: соответственно.
7. Выяснить, имеет ли многочлен / кратные корни: 1) / =
= хп + л:"-1 + 1; 2) f = xn — 2x+l.
8. Найти, при каких а многочлен / имеет кратные корни:
1) f = х2п + ахп + 1; 2) f = х3п + Зах2п — 4а.
9. Отделить кратные корни: 1) л:6 — 6л:4 — 4л;3 — 9л:2 + 12л: + 4;
2) л-5 —6л;4 + 16л;3 —24л;2 + 20л- —8; 3) л;6 — 2л:5 — л:4 — 2л:3 + 5л:2+
+ 4л; + 4; 4) л:7 - Зл:6 + 5л-5 - 7л:4 + 7л:3 - 5л:2 + Зл: - 1.
10. Разложить многочлен / по степеням х — с: 1) / = л;4 +
+ 2л:3-3*2-4л:+1, с = -1; 2) / = л:4 - 8л:3 + 24л:2 - 50л: +
188

+ 90, c = 2\ 3) f = x5 + 5x4 + 8x3 + 6x2+3A:-l, с — —2; 4) f =
= *я + (2 —х)я, c=l.
11. Вычислить (т. е. разложить по степеням x)f(x + с):
1) / = х4-х3 + 1, с = 3; 2) / = jc4 + 4x3 + 6jc2+ 10jc + 20,
с = — 2;
3) / = х5 - 4*4 + 5х3 - Зх2 + 2х + 2, с = 2.
§ 4. УРАВНЕНИЯ 3-й И 4-й СТЕПЕНИ
1. Уравнения 3-й степени
Уравнение 3-й степени х3 + ах2 + Ьх + с = 0 подстановкой х = у — а/3
приводится к виду у3 + РУ + <7 = 0- Корни такого уравнения даются форму-
лой Кардано, однако эта формула в ее классическом виде не очень удобна
для использования: в ней фигурируют некоторые кубические корни, значения
которых надо выбирать согласованно; это условие согласования — некий
«довесок» к формуле, о котором легко забыть (часто так и происходит).
Формулу Кардано лучше использовать в таком виде:
у = и- рЦЗи), где и = $- 17/2 + V<72/4 + р3/27.
Здесь можно брать любое (одно) значение квадратного корня; три значения
кубического корня дают три корня приведенного уравнения. Заметим, что
и Ф 0 при р ф 0; если же р = 0, то никакая специальная формула не нужна
(уравнение двучленное).
Чтобы не запоминать формулу, можно пользоваться методом решения, по
сути повторяющим ее вывод. Метод этот таков (считаем р ф 0): полагаем
у = и + vf подставляем его в уравнение:
(и + v)3 + р (и + v) + q = и3 + v3 + 3uv(u + v) + р (и + v) + q = 0.
Для уничтожения двух средних членов требуем, чтобы 3uv = —р. Тогда
получаем: uv =* — р/3, и3 + у3 *= — q- Возводим первое уравнение в куб:
u3v3 =» — р3/27, и3 + у3 = — Я у замечаем, что u3, v3 — корни квадратного
уравнения
z2 + qz - р3/27 = 0.
Далее действуем так: выбираем один (любой) корень Z\ этого квадратного
уравнения, берем в качестве и\ одно (любое) значение кубического корня из
zx и вычисляем корни кубического уравнения по следующей схеме:
ии Vi^ — p/Зии #1 = "1 + 1>ь *i = */i — а/3;
U2 = UiBi, 1>2 = 01в2, \j2 = U2 + v 2, х2 = У2 — а/3;
«в = «i*2. 08=»Oiei, #3 = «3 + t>3, x3 = y3 — а/3;
где ei 2 = — 1/2 ± / д/З/2 —невещественные кубические корни из 1.
Заметим, что е2 = е^ =» ej и е1 = е2 = е2, это позволяет варьировать
нахождение и2, v2, «з, t/3. *
Пример 1. Решить уравнения:
1) jk3-6jk + 9 = 0.
Решение. Уравнение уже приведено (отсутствует член
с х2). Используем указанную модификацию формулы Кардано:
<72/4 + ДО = (q/2)2 + (р/3)3 — 81/4 - 8 — 49/4, У49/4 = 7/2
(берем только одно значение квадратного корня),
- ?/2 + 7/2 — - 9/2 + 7/2 *= - 1.
189

Одно из значений^—1 есть и\ =—1, еще два значения
получим, умножая и\ на ei, 2 — кубические корни из 1:
Xl = Ul ~~ "зиГ = ~~ ' ~ ~Г = "~ 3> "2 = "iei = — еь
_i_;VL-_9^1-/ Уз""!_ 3 , , Уз"
— 2 ' 2 ZV 2 ' 2 У-" 2 ~Г1 2 "
Так как коэффициенты данного уравнения вещественны, то
* з . Уз"
вместе с х2 его корнем будет х3 = х2 =-к —t -^- (так что jc3
3 л/з"
не надо вычислять по формуле). Итак, Xi = —3, х2, 3=>-~± i %~ -
2) x3 + 9jc2+ 18л: + 28 = 0.
Решение. Полагаем х = у — 3. Тогда у = х + 3, и
разложим левую часть уравнения по степеням х + 3. Используем
схему Горнера:
| 1 9 18 28
- 31 1 6 0 28
— 3 | 1 3 -9
•3 1 0
|1
Уравнение преобразуется к виду у3 — 9у + 28 = 0. Полагаем
у = u + v:
(u + v)3-9(u + v) + 28 = u3+v3 + 3uv(u+v)-9(u + v) + 28=0.
Полагаем 3uv = 9, тогда uv = 3, и3 + v3 = —28; u3v3 = 27,
и3 _j_ v3 _ __28; z2 + 28z + 27 = 0. Очевидный корень уравнения
z\ = — 1 (можно, конечно, его найти по известной формуле),
тогда
щ = — 1, ^= —= —3, г/i = — 4, *, = — 7;
1 . V5" з , 0. д/з"
"2 = Щгх = у — « -^- • *>2 = ^2 = % + 3* "Т"в
г/2 = 2 - / V3, *2 = - 1 + * У 3.
Поскольку коэффиценты уравнения вещественны, х3 = — 1 —
—/ -у 3. Итак, уравнение имеет корни х\ =—7,#2,3=— 1 ±/УЗ.
3) x3 + 3x — 2i = 0.
Решение. Уравнение приведено, полагаем x = u + v:
(и + v)3 + 3(и + v) -2i = и3 + v3+ 3uv(u + v) + 3(u + v)-2i=i0>,
uv = —l9 и3 + v3 = 2i\ u3v3 = — 1, и3 + v3 = 2/;
z2 — 2iz —1=0; zx=i + д/— 1 + 1 = '•
190

Один из кубических корней из i равен —i (см. пример 3.3) из
§ 2 гл. I), тогда
щ = — /, v{ = — 1/— / = — /, Х\ = — 2*\
и2 = щг{ = i/2 + V3/2, v2 = v{e2 = i/2 — д/з/2, х2 = /,
u3 = ихг2 = i/2 — д/з/2, v3 = v{e{ = i/2 -f- У 3/2, x3 = i.
Ответ: x\ = —2i, x% 3 = i.
Замечания. 1. Здесь мы должны были вычислять х$ в
противоположность примерам 1 и 2, так как не все
коэффициенты уравнения вещественны.
2. Можно было бы чуть упростить вычисления, если бы
заметили, что u\ = vu а потому щ + v2 = Щ (ъ\ + е2) = — щ и щ +
+ v3 = щ (е2 + е^ = и2 + v.> = х2.
3. Оказалось, что это уравнение, точнее говоря, его левая
часть, имеет кратный корень. Это следствие того, что
вспомогательное квадратное уравнение имеет только один корень (два
совпадающих корня), или, что то же самое, q2/4 + р3/27 = 0.
4) x3-3abx + a3 + b3 = 0.
Решение. Полагая х = и -\- и, получаем
(и + vf - ЗаЬ (и + v) + а3 + Ь3 = и3 + v3 + 3uv (и + v) - ЗаЬ {и +
+ v) + a3 + b3 = 0,
uv = ab, и3 + v3 = — а3 — Ь3. Сразу видно одно из решений
этой системы: щ = — a, v\ = — Ъ, так что незачем прибегать к
стандартной процедуре:
щ = — ау v{ = — b,
а . Уз
Щ = щг{ = y — i
Ответ: х{ = — а — Ь, л2,3 = —«— ZJZ * —2~
Замечание. При выписывании ответа мы воспользовались
тем, что при вещественных а и Ь не надо вычислять jc3; но если
выписанное значение xz есть корень уравнения при (любых)
вещественных а и Ь> то ясно, что это хг будет корнем и при
любых а и Ъ.
2. Уравнения 4-й степени
Уравнения 4-й степени можно решать методом, Феррари Левая часть
уравнения х4 + ах9 + Ьх2 + сх + d = 0 раскладывается на два множителя 2-й
степени, которые последовательно приравниваются к нулю. Для нахождения
такого разложения левую часть представляют как разность квадратов, для
чего сначала представляют ее как разность между квадратом некоторого
квадратного трехчлена и многочленом 2-й степени: хк + ахг + Ьх2 + сх + d =
191

= (x2+a/2+'k)2 — (члены степени, не большей 2), оставляя К пока неопреде-|
ленным. В вычитаемое при этом входят лишние члены уменьшаемого (т. е. чле-,]
кы степени, не большей 2) и такие же члены левой части (с обратным зна-^
ком). Для того чтобы вычитаемое было полным квадратом, надо, чтобы его!
дискриминант был равен нулю. Это условие дает уравнение 3-й степени
относительно к. беря в качестве К любой корень этого уравнения, получаем
искомое.
Отметим одно обстоятельство. Во многих учебниках перед началом этой
процедуры делается замена неизвестной, уничтожающая член 3-й степени.
При вычислениях с числами эта операция излишняя — затрачиваемый на это
труд не компенсируется последующими облегчениями, даже если использовать
полученные при этом промежуточные формулы (которые, к тому же, трудно
запомнить). К этому добавляется еще и то, что все упражнения в этом
задачнике (как и в большинстве других) с целью избежать громоздких вычислений
составлены так, что один из корней вспомогательного кубического уравнения
легко угадывается; если же предварительно избавиться от члена 3-й степени,
эта возможность исчезает. (Конечно, последнее замечание касается только
учебных задач.)
Пример 2. Решить уравнения:
1) *4 - 2*3 - б*2 - 26* -15 = 0.
Решение. Представляем левую часть уравнения в виде
разности квадратов: *4 — 2*3 — б*2 — 26* — 15 = (*2 — х + К)2 —
- [х2 + Ь2 + 2Кх2 - 2%х + б*2 + 26*+15] =
лишние члены из квадрата остаток левой части
• первой скобки уравнения
= (х2 - х + Я)2 - [х2(7 + 2Я) + л:(26 - 2Я) + к2 + 15] =
= (х2-х + Х)2-[Ах2 + Вх + С], где Л = 7 + 2Я, В = 26-2Л,
С = к2+\Б,
£) = В2_4ЛС = (26_2Л)2-4ЛС = 4(13-Л)2-4ЛС = 0,
или (13 -К)2 -(7 + 2Я)(Я2+ 15) = 0, 169 - 26Я + К2 -7А2 -
— 2Я3 — 105 — ЗОЯ = — 2Я3 — 6Я2 — 56Я + 64 = 0, или Я3 + ЗЯ2 +
+ 28Я —32 = 0. Легко заметить, что Я = 1 —корень этого
уравнения. При Я=1 А = 9, 5 = 24, С = 16, тогда
Ах2 + Вх + С = 9х2 + 24х+ 16 = (Зл; + 4)2.
Левая часть исходного уравнения при этом равна {х2 — х +
+ I)2 — (3* + 4)2 = (х2 — 4х — 3)(х2 + 2х + 5), следовательно,
х2 — Ах — 3 = 0, хх, 2 = 2 ± д/7;
х2 + 2х + 5 = 0, х3,4 = - 1 ± 2i.
2) х4 + 4х* + 5л;2 | 4л: -4- 4 — 0.
Решение, х4 + 4л;3 + 5л;2 + 4 = (л:2 + 2л: + Я)2 - [4л;2 + Я2 +
+ 2Ях2 + 4Ял; — 5л:2 — 4л: — 4]. В квадратных скобках: Ах2 -(-
+ Вх+ С = (2Я— 1)л;2 + 4(Я— 1)л; + Я2 — 4. Возьмем четверть
дискриминанта этого трехчлена и приравняем его к нулю:
(1/2 В)2 - АС = 4 (Я - I)2 - (2Я - 1) (Я2 - 4) = 4Я2 - 8Я + 4 -
- 2Я3 + Я2 + 8Я - 4 = 0.
133

Сразу видно, что можно взять Х = 0. При этом
Лх2 + Вх + С = -х2-4х-4 = -(х + 2)2.
Тогда левая часть данного уравнения
(х2 + 2х)2 + (х + 2)2 = (х2 + 2х)2 - i2 (х + 2\2 =
= (х2 + (2 + i) х + 21) (х2 + (2 - i) x - 2i)
и х2+ (2 + i) x + 2i =0, аг1§ 2 = (— 2 — / ± (2 — /))/2; так как
коэффициенты уравнения х2 + (2 — /) л: — 2i = 0 сопряжены с
коэффициентами предыдущего уравнения, то
*з.4 = *1.2 = (-2 + /±(2 + /))/2.
Ответ: л:1,3 = =Ы', л:2,4 = —2.
Решить уравнения: 1) х3 + 6х2 - \2х + 32 = 0; 2) х3 + 9х2 —
- 18х + 44 = 0; 3) хг - Зх2 — бд: + 36 = 0; 4) х3 - \2х2+ Ых -
-40=0; 5) jc3-6/jc + 4(1 -/) = 0; 6) х3 + (3 - 3/ д/3 )х -
-9 = 0; 7) jc3 + Зад: + 1 -а3 = 0; 8) х4 + 3*3+ 4х2 + х - 3 = 0;
9) л:4 + Зг3 + 2л:2 + х - 1 = 0; 10) хА + хг - 4л:2 - х + 1 = 0;
И) х4-6х*+ 15л:2 — 18л: + 10 = 0.
§ 5. МЕТОД ШТУРМА
Метод Штурма позволяет находить число вещественных корней
многочлена / с вещественными коэффициентами на данном промежутке (а, Ь)
вещественной оси. Для этого строится конечная последовательность f0, fi, ...
..., fk многочленов, называемая рядом Штурма. Показанием этого ряда в
точке cgR называется число перемен знака в последовательности чисел
fo(c), fi(c), ..., fk(c) (нули при этом отбрасываются). Например, в
последовательности 2, 1, —1, 0, —3, 4, 0, —1, 5 — четыре перемены знака (отмечены
скобками внизу). Достаточно знать только знаки чисел в этой
последовательности, обычно только их и выписывают: +» +» —> 0, —, +, 0, —, +• В
дальнейшем показание ряда Штурма в точке с будем обозначать V(c).
Если f(a) Ф 0 и f(b) Ф 0, то число корней многочлена f на промежутке
[а, Ь] (без учета их кратности) равно V(a) — V{b) (если не запрещать числам
а и Ь быть корнями многочлена f, то корень Ь при этом входит в счет, а
корень а — нет). Это означает, в частности, что V(x)—невозрастающая
функция переменной х.
Способ построения ряда Штурма для многочлена f, пригодный для любого
промежутка (з том числе и для всей вещественной оси), состоит в следующем.
Полагают fo = f, fi = f. Далее, каждый последующий многочлен
получается из двух предыдущих как взятый с обратным знаком остаток при
делении первого из них на последующий, т. е. /0 sss f i<7i — fs, U = /2^2 — fa и т. д.
Если последний построенный таким образом ненулевой многочлен есть
константа (так будет, если многочлен не имеет кратных корней), то на нем и
заканчивается построение; если же он не есть константа, то для завершения
построения делят на него все полученные многочлены, включая его самого (они
все разделятся нацело).
От этого стандартного процесса возможны некоторые отклонения.
Во-первых, если в процессе построения из полученного многочлена выбросить
какой-то его множитель и продолжить процесс, то получится ряд Штурма,
пригодный для любого замкнутого промежутка, на котором выброшенный
множитель всюду строго положителен (например, если очередной многочлен ока-
7 Зак. 273 193

зался равным *б + 2х5 и его заменили на х + 2, т. е. выбросили множитель Хъ,
те получ§нный в конце концов ряд будет рядом Штурма для [е, +оо) при
сколь угодно малом е > 0; если же заменили хь + 2хъ на —х —2, т. е.
выбросили —Xs, то получится ряд Штурма для (—оо, —е] при любом е > 0).
В частности, всегда можно выбросить множитель, положительный на всей
оси, — например х2+\, так же как любую положительную константу.
Другое отклонение от стандарта заключается в том, что при нахождении
очередного многочлена fi не обязательно брать именно остаток при делении
ft-2 на ft~x, нужно только, чтобы выполнялось равенство //-2 = fi-iQ — f/, при
этом может быть deg ft ^ degft-i. Снижение степени на каждом шагу
обеспечивает конечность процесса, но иногда можно добиться этого по-другому,
например сокращением полученного многочлена, как указано выше.
Метод Штурма применяется также для разделения вещественных корней
многочлена. Разделить вещественные корни многочлена — значит найти для-
каждого вещественного корня промежуток длиной, не превосходящей
заданного числа, в котором лежит только один этот корень, так, чтобы эти
промежутки попарно не пересекались. Для определенности во всех примерах и
задачах будем считать, что длина такого промежутка не больше 1. Техническая
сторона будет рассмотрена в примерах.
Пример 1. Разделить вещественные корни многочлена /:
1) / —= л:3 + л:2 — 2л: — 1.
Решение. Строим ряд Штурма: f0 = x3 + х2 — 2х — 1, f'0 =
==3jc2+ 2x — 2 = f1. Перед делением многочлена /0 на
многочлен /i для удобства деления умножим многочлен /0 на 9:
_ 9*3 + 9х2 — 18* — 9 |Зд:2 + 2* —2
Э^ + б*2- 6* \Зх+1
_3**-12х-9
Э*2+ 2х -2
-14*-7
Меняем у остатка знак и сокращаем на 7: f2 = 2х-\- 1.
Нас интересует далее остаток при делении многочлена f\ на
многочлен /2, а точнее, только его знак. Можно определить его,
вычисляя f\(—1/2) (—1/2 —корень многочлена /2): /i(—1/2) =
=- 3-1/4 + 2- (—1/2) — 2 < 0 — можно взять /3 = 1 (меняем
знак!). Поскольку /з = const Ф0, построение закончено.
Составляем теперь таблицу (порядок ее заполнения
объясняется ниже):
— оо — 2 — О) f"*2 + оо
V(x)
f0 = x3 + x2_2x-l
f, = З*2 + 2х - 2
/2 = 2*+ 1
Ь = 1
—
+
—
+
- + - -
—
+
+
- +
+
+
+
+
В колонке слева стоит построенный ряд Штурма. В заголовке
(над чертой) по мере надобности пишутся значения переменной
194

х (т. е. вещественные числа) в естественном порядке, в
последней строке — показания ряда Штурма % еоответствующих
точках, а в середине таблицы — знаки значений многочленов ряда
Штурма.
Заполнение таблицы начинается с краез. Символы —оо и
+оо здесь означают: «очень большое по абсолютной величине
отрицательное (положительное) число». При росте абсолютной
величины значения х знак многочлена, начиная с некоторого
места, перестает меняться и совпадает со знаком его старшего
члена; поскольку *3 < 0 при х < 0, то многочлен / в —оо имеет
знак «—», так же определяются прочие знаки в ±оо. Выписав
знаки, подсчитываем число их перемен V(—оо) и V(+oo).
Видим, что данный многочлен имеет V(—оо)— У( + оо)=3
вещественных корня. Поскольку нет оснований предполагать, что все
корни расположены где-то далеко от нуля, следующим
значением х берем 0 (это, конечно, не принципиально — можно было
бы сейчас взять х = 1). Находя знаки многочленов в нуле и
затем 1/(0)= 1, видим, что многочлен / имеет один
положительный и два отрицательных корня (1—0=1 и 3—1=2). Для
нахождения нужного промежутка с положительным корнем
берем х = 1; /о(1)< 0. Нам не нужны здесь знаки остальных
многочленов, ибо многочлен f0 имеет всего один положительный
корень, и притом простой (при машем способе построения ряда
Штурма многочлен /о не может иметь кратных вещественных
корней), знаки же его в 0 и в 1 совпадают, значит, этот корень
не лежит в промежутке [0,1]. Берем х = 2; /0(2)>0 — знак
сменился, значит, этот единственный положительный корень
лежит в промежутке (1,2). Этот факт отмечен скобкой вверху
таблицы.
Аналогично находим промежутки для отрицательных корней.
Поскольку их всего два и /о(—1)>0, то знак только одного
многочлена f0 в точке —1 уже определяет положение корня в
промежутке (—1,0) (единственного в этом промежутке). Если
бы оказалось, что fo( —1)<0, то понадобились бы знаки всех
многочленов, чтобы узнать, сколько корней лежит в промежутке
(—1, 0)— нуль или два.
Ответ: многочлен / имеет три вещественных корня, лежащих
соответственно в промежутках (—2,—1), (—1,0), (1,2).
2) / = *6 - 14*4 + Н*3 + 49*2 — 98* + 49.
Решение. Строим ряд Штурма:
р = 6x5-4. 14*3 + 3- 14*2 + 2.49*~98 =
= 2 (З*5 - 28*3 + 21 х2 + 49* — 49).
3/=3*6-42*4+42*3+ 147*2-294*+147
3*6-28*4+21*3+ 4Э*2- 49*
^14*4+21*Ч~98*2-245*+147 = -7(2*4-3*3- 14*2 + 35* - 21)
|3*5-28*3+21*2+49*-49
*
/♦
195

6л:8 -56л3 + 42л2 + 98л-
' б*5 - 9л:4 - 42л3 + 105л-2 - 63л
98
2л4-Зл3-14л2+35л-21
Зл; 9
9л:4-14л-3- 63л2 + 161л-
18л:4 — 28л-3 — 126JC2 + 322л- -
18л4 - 27л;3 - 126л-2 + 315л; -
- л-3 + 7л-
2л-4 —Зл-3- 14л2 + 35л
2л:4 - 14л;2 + 14л
-Зл3 + 21л
-Зл3 + 21л
98
196
189
7
-21
-21
-21
л? - 7л: + 7
2л;-3
0
Последний ненулевой остаток х3 — 7х -\- 7 ф const; делим на
него все полученные многочлены (предпоследний уже разделен
в последнем делении):
л:6 - 14л4 + 14л3 + 49л:2 - 98л: + 49
7л4 + 7л-3
-7л4 + 7л-3 + 49л2 - 98л
- 7л4 + 49л2 - 49л
Зл6-
Зл5-
7л3 - 49л + 49
7л3 - 49л + 49
0
• 28л3 + 21л2 + 49л-
-21*» + 21л'2
■ 7л3 + 49л-
■ 7л3 + 49л-
0
Ь = 2л-3; U
Составляем таблицу:
-49
-49
-49
= 1.
л3 - 7л + 7
л3-7г + 7 = /0
7л+ 7
Зл2-7 = /,
h = *3 - 7х + 7
f,-3*»-7
f 2 = 2х - 3
/i-l
V(x)
— оо
—
+
—
+
3
—4
—
-3
+
—2
+
— 1
+
0
+
—
—
+
2
1
+
—
—
+
2
3/2
—
2
+
+
+
+
0
+ оо
+
+
+
+
0
Получив здесь f0(l) > 0, еще не знаем, сколько корней в
промежутке (0,1) (в отличие от промежутка (—1,0)), их может
быть 0 или 2, поэтому вычисляем знаки остальных многочленов,
196

То же происходит затем в точке я = 2; найдя V(2),
обнаруживаем в промежутке (1,2) два корня. Делим этот промежуток
пополам точкой к = 3/2, знак многочлена /0 в этой точке уже
полностью описывает положение этих корней.
Ответ: многочлен / имеет 3 вещественных корня в
промежутках (-4,-3), (1,3/2), (3/2,2).
3) f — х5 4- 5л:4 4- 1 Ox2 5х 3.
Решение. /' = 5л:4 + 20л:3 +'20* — 5 = 5 (х4 + 4л;3 +- 4л: - 1).
Сравнительно нетрудно заметить, что х4 + 4л:3 + 4* — 1 = л:4 —
-1 +4л:3 + 4л: = (л:2- 1)(л:2 + 1) + 4л:(л:2+ l) = (л^+l)(л:2 + 4л:-
— 1). Множитель х2 + 1, положительный на всей числовой оси,
можно отбросить: /i =х2 + Ах — 1,
х5 + 5л:4
+ Юл:2
5х - 3 I х2 + 4л: - 1
л:5 + 4л:4 — л:3
л-4+ л;3 + Юх2
х4 + 4л:3 — х2
-Зх3+ 11л-2-
-Зл:3-12.г +
23л-2 -
23x2-t
5х
Зх
8х-
92*-
• 3
-_2Ъ
|х3 + л:2-3л:4-23
- 100л:+20-=-20(5х-1);/,=5л:-1.
f, (1/5) = 1/25 + 4/5 - К 0, значит, /3 = 1.
j0 = х5 + 5*< + 10а:2 - 5* _ 3
fx = х2 -f 4х - 1
/2 = 5^ — 1
/з = 1
l^W
— оо
+ 1 + 1
3
—6
-5
+
— I
+
0 1
- +
+
1
+ 00
+ + + +
0
Чтобы избежать ненужных вычислений, мы перед поиском
промежутка для последнего корня приблизительно оценили его
местоположение: если при очень больших по абсолютной
величине значениях х значение многочлена в основном определяется
его старшим членом, то при «сравнительно больших» — двумя
старшими членами (если коэффициенты многочлена не
слишком разнятся по абсолютной величине). Естественно ожидать
поэтому, что наибольший по абсолютной величине корень будет
лежать около той точки, в которой сумма двух старших членов
обращается в нуль (если эта точка сравнительно далека от 0),
В нашем случае х5 — 5х4 обращается в нуль при х = —5,
поэтому после нахождения двух первых интервалов мы сразу
пробуем это значение. Полученный знак « + » показывает, что
корень лежит слева от —5, и следующим значением х берем —6.
197

Таким образом, нам не пришлось находить значения f(—2),
f(-3),f(-4).
Отметим, что в точках —5 и —6 уже выгодно применять
схему Горнера; поскольку нам нужны только знаки, точные
вычисления в ней кое-где заменяем оценкой (пишем только знак):
-5
-6
5 О
10 -5 -3
0 0 10
-1 6 -26
-55 +
+ -
Ответ: многочлен / имеет три вещественных корня в
промежутках (-6,-5), (-1,0), (0,1).
4) / = хи- 11х8+ 1.
Решение. /'=11л:10-8. 1 lx8= llx7(x*-8).
Видны все вещественные корни этого многочлена: 0 и 2,
значит, он сохраняет знак на каждом из промежутков (—оо,
—е], [е, 2 —е], [2-f-е, +°°) (е > 0 сколь угодно мало), так
что на каждом из этих промежутков можно заменить его
константой того же знака, и ряц Штурма для каждого из этих
промежутков будет состоять всего из двух многочленов. Технически
удобнее взять многочлен f]=x7(x3 — 8)—его знак на каждом
из промежутков совпадает со знаком той константы, которой
его следует заменить. Все три таблицы рисуем рядом, одну за
другой:
/, = х1 (*8 - 8)
V(x)
— ОО —
+
1
-1-е
- +
+
0
е 1
+ -
1
2-е
—
о 1
2 + 8 3
- +
+
1
+ оо
+
+
0
/ (2) = 211 - 11 . 28 + 1 = 28 (23 - 11) + К 0,
/(3) = З11 — 11 -38+ 1 = З8 (З3 — 11)4- 1 >0.
Знаки /(=Ье) и /(2 ± е) совпадают со знаками /(0) и /(2)
соответственно, так как е сколь угодно мало, и /(0)=т^0, /(2)=^=0.
Ответ: многочлен / имеет три вещественных корня в
промежутках (—1,0), (0,1), (2,3).
Замечание. Поведение функции V(x) подчеркивает, что
здесь три таблицы, а не одна: функция V{x) возрастает при
переходе через 0 и 2, чего в одной таблице быть не может.
Пример 2. Найти число вещественных корней многочлена
Решение. /'=1+-ур +
•=/i
1 (я-1)1
Делить с остатком многочлен / на многочлен f\ затруднительно;
уП
возьмем /2 = — (/ "- /О = ~т (т* е- / = fi * * ~~ /г)- У многочлена
п\
198

f2 единственный корень: 0. Нетрудно заметить, что многочлен f
не имеет положительных корней, так что нас интересует только
отрицательная полуось, но многочлен /2 сохраняет на ней знак,
и потому /, /i=//, /2 — это ряд Штурма для (—оо, е] (е > О
сколь угодно мало):
,.-1+-^+...+^-
х хп~*
f 1 = 1 4- — 4- ... -1
хп
V(x)
— С» — 8
(-1Г +
(-0й-1 +
1 0 при п нечетном
1 при п четном
(при любом п имеет место (—I)"-1 =(—l)rt+1= — (—\)пу так
что V(—00)= 1).
Ответ: многочлен / имеет один вещественный корень при п
нечетном и не имеет вещественных корней при п четном.
1. Разделить вещественные корни многочлена: 1) х* — х +
+ 5; 2) х3 + Зх - 5; 3) л:4 — jc — 1; 4) л:4 - л:3- 4л:2 + Ах — 1;
5) Зл:4 + 12л:3 + 9х2 - 1; 6) х5 - 5л:4 + 5л:3 - 30л:2 + 2; 7) л:5—5л:4—
- 5л:3 - Юл:2 - 20л: + 3; 8) х5 + 5х4 + л:3 + 6л:2 - 2; 9) х5 — 5л:3 —
- 20л: - 2; 10) х6 - 6л:4 + 2л:3 + 6л:2 — 1; 11) х31 - 93л:27 + 1.
2. Найти число вещественных корней многочлена
/ = ((л: + ах _ 1 )/лг)л + л:'1 — лгл: — лг + 1, я>3.
§ в. РАЗЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ
НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
Дробно-рациональная функция, или просто дробь, есть отношение (т. е.
частное) fig пары многочленов f и g, где g ф 0. В частности, всякий
многочлен есть дробь, т. е. множество дробей строго содержит в себе множество
многочленов.
Одна и та же дробь может быть представлена в виде частного
различных пар многочленов (т.е. разными записями): fig = fh/(gh), g Ф 0, h Ф 0.
Если НОД({, g) = 1, 10 f/g —несократимая запись. Такая запись
существует у каждой дроби, и она единственна для данной дроби, если
дополнительно потребовать, чтобы многочлен g был нормализован, т. е. имел старшим
коэффициентом 1.
Действия с дробями производятся по обычным правилам и обладают
обычными свойствами.
Дробь называется правильной, если степень ее числителя меньше степени
знаменателя (соотношение этих степеней не зависит от выбора записи дроби).
Комплексная простейшая дробь — это дробь с несократимой записью
А/(х — а)*, где А, а е С, k — натуральное число.
Вещественная простейшая дро.бь — это дробь с несократимой записью од-
А Вх + С л о п
ного из двух типов: т- или г-, где Л, В% С, с, р, ое R,
(х-сГ (x2 + px + q)k
199

p2 —• Aq < 0 (т. е корни многочлена x2 + px -f q невещественны), k —
натуральное число.
Всякая правильная дробь представима в виде суммы комплексных
простейших дробей; всякая правильная вещественная дробь представима в виде
суммы вещественных простейших дробей. Такие представления называют
разложением дроби на простейшие.
1. Разложение на простейшие дробей без кратных корней в знаменателе
Один из способов разложения такой дроби на простейшие дает формула
Лагранжа. Эта формула применима к дробям f/ф, чей знаменатель ф 1) не
имеет кратных корней, 2) при разложении на вещественные простейшие
имеет только вещественные корни. (Впрочем, условие 2) можно обойти —
см. пример ниже.)
Если ф «= (х — ai) (х — а2) ... (х — ал), а* ф а/ при i Ф /, то
п
? ~ (*-Л,)(*-а,)...(х-а„) ~" 2j ф' (а*) (х - ak) ~ ^"шжи.
Значение производной cp'(cu) можно вычислять и так:
(выбрасывается из разложения многочлена ф множитель х — ос*, после чего
подставляется х = а*).
Пример 1. Разложить (х + 2)/(jt4 — 1) на простейшие
(комплексные) дроби.
Решение. Знаменатель хА — 1 не имеет кратных корней, его
корни 1, —1, /, —i — корни 4-й степени из 1; <р' = 4х3. По
формуле Лагранжа
х + 2 _ 1 +2 . —1+2 . 1 + 2 ,
jc4 - 1 — 4 • I3 (х - 1) + 4 • (-1)3 (* + 1) + 4/3 (* - /) +
. -/ + 2 3 1 . 2 + i
"*" 4-(-/)8(* + 0 4(.v-l) "^ 4(*+1) "*" -4i(x-i) ■*"
, 2 — / _ 3 . 1 . — 1 + 2/ — 1 - 2/
""•" 4/ (л: + /) — 4 (дс - 1) + 4 (* + 1) "*" 4 (х - i) + 4 (х + i) '
Пример 2. Разложить на вещественные простейшие дроби:
1) (2jk-3)/[x(jk2-1)(jk2-4)].
Решение. У знаменателя ф = х(х — I) (х + I) (х — 2) (х-\-
+ 2) все корни просты и вещественны, следовательно,
применима формула Лагранжа; Здесь неудобно вычислять сначала
q/, а затем ее значения. Лучше действовать другим способом:
подставлять корень ak в дробь y/(x—ak):
2х — 3 2 л: — 3
х (х2 - 1) (х2 - 4) ~~" х (х - 1) (х + 1) (* - 2) (* + 2) —
_ 2-0-3 . 21—3 ,
— х (0 — 1) (0 + 1) (0 — 2) (0 + 2) + (х - 1) • 1 • (1 + 1) (1 - 2) (1 + 2) +
, 2-(-Q-3
"*" (х + 1) (-1) (-1 - 1) (-1 - 2) (-1 + 2) "Г
200

, 2-2 — 3 ,
+ (jc — 2) ■ 2 ■ (2 — 1) (2 + 1) (2 + 2) "i"
2 . ( 2) 3
+ (x + 2) (-2) (-2 - 1) (-2 + 1) (-2 - 2) =
3 . 1 , 5 , 1 7
— 4x + 6 (x - 1) + 6 (x + 1) + 24 (x - 2) 24 (* + 2) '
Разумеется, подробная запись не нужна, здесь она
приведена для того, чтобы был виден порядок вычислений, которые
надо производить сразу: сначала в знаменатель пишется
двучлен х — a*, a затем вычисляются коэффициенты в числителе и
знаменателе.
2) (л; + 1)/(х3 — 1).
Решение. Знаменатель tp = х3 — 1 = (х— 1) (х2 + х + 1) =
= (х—1) (jc — ех) (л: — е2) не имеет кратных корней (его
корни—кубические корни из 1), но не все они вещественны.
Однако формулу Лагранжа все же можно использовать: разложим
дробь сначала на комплексные простейшие, а затем сложим
сопряженные пары невещественных слагаемых. Все
невещественные слагаемые обязательно разобьются на такие пары, ибо
исходная дробь вещественна. ц>' = 3х2\ напомним, что е^ = е2,
&2 == 6р 8j = 6.2 = 1, 6j = 62,
Х+ 1 _ 2 , в! + 1 , во + 1 , __
1 3 (л: — 1) Зе]-(л —ej) Зе| (л — е2)
2 ■ e^-f 1) , вА(в2+ 1) 2 .
~Г Q/v о.\ I О/,. 0_\ О /v 1\ I
3 (л: — 1) ' 3(х — е{) ' 3(л'—е2) 3 (л: — 1)
JL ?2 + в1 , -81 + 82 _ 2 1 1
~*~ 3(^-80 "Г" 3(*-е2) ~" 3 (jc — 1) 3(^^60 3 (jc — е.) —
2 х — е2 + * — et 2 &£ + 1
3 (л: — 1) ЗСх-еОСх-е,) — 3 (л: — 1) '3(*Ч-'* +' 1) '
2. Разложение на простейшие дробей с кратными корнями в знаменателе
Простейший случай, когда формула Лагранжа неприменима, — это Дробь
flgk, где g — либо линейный двучлен х — а, либо при разложении на
вещественные простейшие дроби — квадратный трехчлен с отрицательным
дискриминантом. В этом случае можно получить требуемое, разложив многочлен f по
степеням многочлена g, т. е. представив его в виде f = a0 + a{g + a2g2 + ...,
где а0, а\> • • • — константы, если g = х — а, и многочлены степени не большей
1 в другом случае. Если g = х — а, это разложение можно получить по схеме
Горнера, во втором случае — алгорифмом деления с остатком.
Пример 3. Разложить на вещественные простейшие дроби:
1) f/gb=(x4 + 5x* + 5x2-3x+ 1)/(х + 2)\
Решение. Используем схему Горнера:
/ 3 + 5g-g2-3g3 + g* 3 . 5
1 3.1 3 5
g3 #2 + g ~ (* + 2)5 + WTW
-2
-2
-2
-2
1 5
1 3
1 1
1 -1
1 -3
5
-1
-3
-1
-3 1
-1 3
5
(* + 2)3 (* + 2)2 » х + 2 *
+
201

Заметим, что числители полученных простейших дробей —
остатки от деления, выданные схемой Горнера.
2) f/g3 = (х5 + З*4 + х3 - 2х2 + 2х + 3)/(х2 + х + I)3.
Решение. Дискриминант многочлена g отрицателен.
Используем алгорифм деления с остатком. Делим многочлен / на
многочлен g:
_ х5 + З*4 +• х3 - 2х2 + 2х + 3
X5 + JC4 + X3
X2 + X + 1
jc3 + 2jc2 — 2д: — 2 = ^t
_ 2*4 - 2х2
2х4 + 2*3 + 2*2
_ — 2jc3 — Ах2 + 2х
— 2л3 - 2х2 - 2л
__ - 2х2 + Ах + 3
-2*2-2*-2
Делим частное ^i на многочлен g:
х3 + 2х2 — 2х —2
X3 + JC2 + JC
_ л:2 — 3jc — 2
х2 + *+1
х2 + х+1
х+ 1=?2
— 4д: — 3 = r2, ?i = gq2 + r2, deg ?2 < deg gt
следовательно, процесс деления окончен:
/ = ёЯ\ + rx = rx + g (г2 + gq2) = г, + Га? + ?2#2>
f ri + r2g + q2g2 _ ri . r2 , ?2
~~ (х2 + х + l)3 (*2 + * + 1)2 + х2 + * + 1 •
Если знаменатель дроби имеет более одного множителя и среди них есть
кратные, приходится применять метод неопределенных коэффициентов. Прежде
всего нужно ясно представлять себе, что получить разложение дроби на
простейшие можно только тогда, когда знаменатель дроби разложен на линейные
множители, а в вещественном случае — и 2-й степени с отрицательным
дискриминантом.
k k k
Если g «g/ gz2... £mm — такое разложение, то разложение дроби на
простейшие имеет вид
= 1 o- + • • • H 5—I 1 9- + • •. H
где ft/ — многочлен с неопределенными коэффициентами, степени меньшей, чем
степень многочлена gi. Коэффициенты многочленов fa находятся совершенно
подобно тому, как это делается при отыскании линейного представления НОД
(см. § 2, 3), а именно, умножая последнее равенство на многочлен £, полу-
202

чают равенство многочленов и находят коэффициенты одним из способов,
описанных в § 2, 3.
Пример 4. Разложить на простейшие (комплексные) дроби:
1) l/[*3(*-l)«].
Решение. Воспользуемся видом разложения дроби f/g на
простейшие и запишем: хз(х__х)а = — + ^т + ^г + TZTf +
+ (Х1 п2 + (л 1 пз + (л—\)4 • Технически удобнее умножать не
на весь знаменатель, а порознь на каждую степень линейного
множителя:
1/(х — 1)4 = а{х2 + а2х + а3 + х3[...];
х = 0: 1 = а3.
Дифференцируем: —4/(д:—1)5-=2а1д:+ а2 + д:2[...]; jc = 0: 4=а2.
Опять дифференцируем: 20/(# — l)e = 2^ + х [.. .]; * = 0: 20 =
= 2alf aj = 10.
Теперь так же находим коэффициенты 6/. С целью
сокращения записи будем вести ее несколько иначе:
Ь{ (х - 1)з + Ь2(х - D2 + Ы* - 1) + ЬА + (х - 1)« [...] = I/*3;
х = 1: 64 = 11
З61 (* - I)2 + 262 (* - 1) + Ь3 \Хят1 = Ь3 = - З/*4 \х_х = - 3,
6з = -3;
6&! (х — 1) + 2&2 |хв1 = 262 = 12/х6 U.! = 12, 62 = 6;
6&! — - 60/jc6 U„! = - 60, Ьх = - 10.
Итак, ai = 10, a2 = 4, a3=l, 61=—10, 62 = 6, 63=— 3,
b\ = 1, следовательно,
1 10 . 4 . 1 10 6 3,1
л:3 (л: — I)4 х ~ х2 ^ х3 х— \ ~ (х — I)2 (х — I)3 ' (х — I)4 *
2)(*+1)/[*2(*2+1)2Ь
Решение. Поступаем так же, как в предыдущем примере:
*+1 01 i «2 i 6i ■ 62 1 Cl 1 Сз
x2(x2+\)2 x l x2 l x-i l (x-i)2 * x + i l (x + i)2 '
a{x + a2 + x2[.. .] = (*2 + \)2 ;
jt = 0: a2 = 1;
a1 = ((A:+l)(A:2-l)-2yUo =
= ((л:2 - I)"2 + (x-l) (-2) (л:2 - l)"3. 2x) L0 = 1;
bx(x-i) + b2 + (x-i)2[...) = Jllix)r}
*«/: 62 = (/+l)/(_2)2 = (l+/)/4j
203

&, = ((*+1)(х2+/*Г2)'и =
= (-2)-2+(^+1)(-2)(-2)-а.З/ = |(-2 + 3/).
Коэффициенты С) и сг можно не вычислять: они сопряжены
с коэффициентами Ь\ и b%, так как исходная дробь вещественна.
Ответ- *+' 1,1, -2 + з< i + i -2-31
~ 4(x + i)* •
Пример 5. Разложить на вещественные простейшие дроби:
1) 1/(*<-1)2.
Решение. Запишем разложение данной дроби, используя
неопределенные коэффициенты:
1 й{ I fl2 I Ь\ . 6, .
"Г /v_1\2 ~Г ~ _|_ i "Г /-1142 "Г
(JC4-1)2 JC — 1 ^ (*-1)2 П Х+1 ^ U+D2
. С\Х + ^1 , С2Х + d2
^ +
^ *2+ 1 ^ (*2 + О2 '
и найдем эти коэффициенты так же, как и в предыдущих
примерах:
а,(* — 1) + а.2 + (х I)2 [...]= (JC+1)2(^2+1)2 =(JC8+X2 + JC + 1)2;
х = 1: а2 = 1/16;
_ — 2(3*'+ 2*+ 1) I 3_
а\— (х*+х* + х+\)* \х-\~ 16 ;
Ь\(Х+ 1) + Ь2+(Х+ 1)2[...]=U-1)2U2+1)2= („З,.^ + *-!)' J
1
*=—1: б2=7б;
-2(3*2-2* + О
{X* - JC2 + JK ~ I)3
х—1 16 ;
(cxx + dx)(x2+l) + c2x + d2 + (x2+lf{...]=l/(x2-lf;
x = i: c2i + d2=l/4, c2 = 0, d2=l/4;
с, (л:2 + 1) + (<ч*\+ ^i) 2a: + c2 \x_t = 2c^2 + 2dxx \Xmmt =
= — 2ci + 2rf!/ = — 2.2jc/U2-~1)3U-/ = -^/2, ^ = 0, d, = 1/4.
Ответ: -{p—[у = "" i6(*- l) + 16(*~1)2 + i6(*+l) +
+ _J + ! + l
16 (x + l)2 ^ 4 (*2 +1) ^ 4 (*2 + l)2
2) (2x-l)/[(*+l)*(x2-f-x+l)].
204

решение. (jc+ 1)8(x. + JC+ 1} — Y+T "+" (* + i)2 +(*+ i)3 +
+ х2 f ^ 1. ] Найдем сначала коэффициенты 6 и с:
Ьх + с + (х> + х + 1)[.. .] = (2х - 1)/(х+ I)*.
Пусть е —корень многочлена *2-f-x+l, т. е. е2 + е+1=0,
е3=1;
х=г: be + c= ^j, =p^ = -2e+l,
Поскольку е невещественно, то 6 = —2, с = 1.
Теперь лайдем коэффициенты ai, a2 и a3:
а1(х+1)2 + а2(х+1) + а3 + (д:+1)3[...] = (2^-1)/(^ + х+1);
а: = — 1: а3 = — 3;
_ 2 (*2 + х + 1) - (2х - 1) (2х + 1)
(jc2 + ^+1)2
-1
Дальнейшее дифференцирование более затруднительно.
Вместо этого домножим разложение на весь знаменатель и
приравняем старшие коэффициенты:
2х - 1 = ах (х + I)2 (х2 + х + 1) + ... + (Ьх + с) (х + I)3;
л;4: 0 = ^ + 6, ах = — Ь = 2.
(В слагаемых, замененных многоточием, заведомо нет членов
4-й степени.)
п 2х— 1 ^^2 1 3
твет: (* + l)3U2 + * + l) *+1 (х+\)2 (х+\)>
2л - I
х2 + к + I '
3) 1/[х(*2 + 1)3].
Решение. Видно, что в разложении будет единственное
слагаемое со знаменателем, имеющим корень 0; найдем сначала
его:
1 а . , г 1 1
х(х2 + I)3
Y+ ••-, а + х[...]= (jC2+i)s i x = 0: a=l-
Теперь найдем разность
1 1_ _ 1 -(*2+ 1)э 1 — л:6 — Зл:4 — Зх2 - 1
х(лг2+1)3 х ~~ к (х2 + I)3 — *(х2 + 1)3
_ хъ + З*3 + 3*
_ (*2+08
206

и разложим числитель последней дроби по степеням х2 + Ь
хъ + Зх3 + 3-v
л:5 + jc3
2.^ + 3*
2x^+2*
*2 + 'l
л^ + 2л;
х2+\
х = г3
т. е. x* + 3x3 + 3x = x + x(x2+l) + x(x2+l)2. Тогда
1 1 X X X
х(х2+ I)3 — х (*2+1)3 (*2+1)2 х2+\*
Замечание. Мы могли так же поступить и в предыдущем
примере.
4) (*2 + 3*+1)/[*<(л:2+1)].
Решение. Иногда полезно перед началом стандартного
процесса провести некоторые очевидные преобразования
Данией дроби. Так, в нашем примере
х2 + 3* -Ы *2+* . 3* 1 . 3
х*(х2+ 1) " хА (х2 + Г) "^ *4 (х2 + 1) = *4 ~*~ *3 (*2 + 1)
и одно слагаемое уже выделено. Можно продолжить
аналогично:
1 х2+ 1 - х2 _ 1 1 1 х9 + 1 - х2 __
*8(д*+ 1) "^ *»(** + 1) л:8 *(*2+1) а:3 * (*2 + 1) —
__ J 1 ■ х
~ х3 х ""•" *2 + 1 '
Метод неопределенных коэффициентов не понадобился вовсе.
Л *' + Зх + 1 1,3 3 . 3*
0тввт: if'fr'-H) ==7" + Т3"-"Т + 7м:Т-
Замечания. 1. Понятно, что указанный способ
эффективен лишь тогда, когда числитель можно легко разбить на
слагаемые, которые при почленном делении на знаменатель
сокращались бы.
2. Эффективность указанного способа подсказывает,, что
целесообразно попробовать его и в случае неудачи или лишь
частичного выделения слагаемых применить метод неопределенных
коэффициентов.
1. Разложить на простейшие (комплексные) дроби
l) x*-\ ; 2) jc4 + 4 ; 3^ Xs - х2 + х - 1 ; 4) (*-1)(* + 2)(* + 3)
-ч 1 fi4 1 ?v *5+4*4-х3--12л:2+7л:+10
°Мх-*1)(х-2)(*-3)(х-4); 0) 1с*^\; П (х + 2)6
q\ *8--5*4 + 8*8--*2-2a:~3, Qv x lm x
8) £^р -, 9) (Х2 _L i)2 . 10) (^+1)2
« , ч 1 , оч 5х2 + 6* - 2S , 0ч 2*в-5*5+4л:4-4л:3+3*2-2л:-5
и) -(T^TF1 12) (^-ГИ*-2); 13) *7(*-D
206

1Av 25*4 — 40x3 - 50* + 13 - - v 1
(x + \){x- l)6 ' u; (д:л- l)2 *
2. Разложить на вещественные провтейшие дроби
X2 X2 1 1
!) и-16 ; 2> л:6 + 27 ; 3> х (х2 + 1) ; 4>
-v 1 Cv *5 + Зл:3-~л:2 + 4*-2 -ч *5 + 2*я - б*2 - Зл: - 9
5) -is—г; 6) / о , аз 1 7)
х4-16' Z; *б + 27' °; л: (л:2 + 1) ' * (*2 + 1)(*2 + 4)
J fi, х5 + З*3 - х2 + 4* ~ 2 - jcs + 2*a - 6*2 - 3
^-1; ' (*2+l)8 ; П (*2+x + 2>1-
8) (jc + 1) (л:2 + l)2 ; 9^ *(* + l)2(*2 + * + l)2 ; 10^ (*» - I)2
1n ^ . 19ч ** + 2*3-3* , q. (*-?)»
' (л:2+ 1)(л:2 + л:+ l)2 ' ; (* - l)4 (л:2 + 1) ' ' (*+О1 (*2 + О
Глава III
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. МАТРИЦЫ
И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Матрицей называется совокупность гп-п чисел (вещественных илл
комплексных) или функций, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m
строк и п столбцов.
Обозначение матрицы:
а\\ а\2 ... Am
^21 Д22 • • • а2П
ат\ ат2 • • • атп II ат\ ami • • • атпп
или А = ||а//|| = (а//) (1*1,2 т; / = 1, 2, ..., п).
Элементы ац этой совокупности называются элементами матрицы. Первый
индекс элемента указывает номер строки, второй — номер столбца, на
пересечении которых стоит этот элемент.
Две матрицы А = (ац) и В = (Ьц) (i = 1, 2, ..., m, /el, 2, .... я)
считаются равными, А = В, тогда и только тогда, когда их соответствующие
элементы равны: ац = 6//.
Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу
столбцов, т. е. m = п. При этом число m «= п называется порядком матрицы.
Для квадратной матрицы вводится понятие главной и побочной
диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ аца22... апп> идущая
из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол. Побочный
диагональю называется диагональ aniain-i)2... am, идущая из левого нижнего угла
матрицы в правый верхний угол.
Квадратная матрица назывется диагональной, если все ее элементы,
расположенные вне главной диагонали, равны нулю.
Диагональная матрица порядка п имеет вид
107

Если dx = d2 = ... = dn = d, то при d = 1 получается единичная
матрица Е п-то порядка, а при d = 0 — нулевая матрица 0:
(1 0 ... 0\ /0 0 ... 0>
О 1 ... О 1 0 ( О О ... О
О О ... 1/ \0 О ... 0>
Отметим, что понятие нулевой матрицы вводится и для неквадратных
матриц, т. е. нулевой матрицей называется любая матрица, все элементы
которой равны нулю.
Суммой А + В двух матриц А = (ац) (i= 1, 2, .... m; /= 1, 2, .... я)
и В = (Ьц) (/= 1, 2, ..., т; /' = 1, 2, ..., п) называется матрица С = (сц)
(i = 1,2, ..., m; / = 1, 2, .... /г), где Сц = а;/ + &//•
Замечание. Из определения суммы матриц следует, что складывать
можно .только те матрицы, у которых одинаковое число строк и одинаковое
число столбцов.
Сложение матриц коммутативно: А + В = В + А (в частности, A -f 0 =
= 0 + А = А) и ассоциативно: (А + В) + С = А + (В + С).
Произведением ХА матрицы А = (ац) (i = 1, 2, .... m; / = 1, 2, .... п)
на число X называется матрица С = (сц) (i = 1, 2, ..., m; / = 1, 2, .... п),
у которой Ct/ = Хац.
Замечание. Умножать на число можно любые матрицы, при этом каж*
дый элемент исходной матрицы умножится на это число.
Умножение матрицы на число ассоциативно относительно числового
сомножителя: (Х\х)А = Х([хА), дистрибутивно относительно сложения матриц:
Х(А + В) = ХА + ХВ, дистрибутивно относительно сложения чисел: (Х +
+ \i)A = ХА + М-
Отметим, что 1 -Л = А, (—1) -А = —А, О-А = 0.
Разностью А—В двух матриц А = (ai,) (/= 1, 2, .... m; / = 1, 2, ...
..., я) и В = (6//) (t = 1, 2, .... m; / = 1, 2, .... я) называется матрица
С = (с//) (i = 1, 2, .... m; / = 1, 2, .... п), которая в сумме с матрицей В
дает матрицу А, т. е. С = А — В, если Б + С = А.
Разность С двух матриц А и Я может быть получена по правилу: С =
= Л + (—1) -В (в частности, Л —Л = Л + (—1) -Л = 0), значит, ее элементы
с i,- = ац — Ьц.
Замечание. Из определения разности матриц следует, что действие
вычитания можно производить только над теми матрицами, у которых
одинаковое число строк и одинаковое число столбцов.
Произведением А В матрицы А = (ац) (/=1,2, .... т; / = 1, 2, ..., п)
на матрицу В = (Ьц) (i = 1, 2, .... п\ / = 1, 2, .... р) называется матрица
С = (сц) (t=l,2 т; /=1,2,..., р), где
CiJ = аПЬЦ + ai2b2J + • • • + fl* A/ - Z *I" aikbkJ'
Правило составления элементов матрицы С: элемент сц, стоящий на
пересечении t-й строки и /-го столбца матрицы С = АВ, равен сумме попарных
произведений соответствующих элементов /-й строки матрицы Л и /-го столбца
матрицы В.
Замечания. 1. Из определения произведения матриц следует, что
перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой
матрицы равно числу строк второй.
2. Для того чтобы оба произведения АВ и ВА были определены и имели
одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы Л и Б
были квадратными одного и того же порядка.
Умножение матриц ассоциативно: (АВ)С =■ А (ВС), дистрибутивно
относительно сложения матриц: (А + В) С = АС + ВС и Л (В + С) = АВ + АС.
Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, АВ Ф ВА, но для
единичной и нулевой матриц справедливы соотношения
АЕ=*ЕА =Л, Л0 = 0-Л «0.
208

Если А—произвольная матрица /1-го порядка и Е— единичная матрица
того же порядка, то
Л° = Е, Л1 = Л, Л2 = Л • А, Л3 = А - А • Л Ат = А -А ... А.
т раз
Таким образом вводится понятие степени матрицы.
Замечание. Понятие степени матрицы вводится только для
квадратных матриц, и показатель степени матрицы — целое неотрицательное число.
(Для невырожденных матриц (см. § 3) можно определить степень с целым
отрицательным показателем.)
Для любых целых неотрицательных чисел k и / имеют место формулы
Л*.А1 = A1 -Ak = Ak+t, (Akf=Akl.
Для матриц вводится операция транспонирования, однозначно
сопоставляющая каждой матрице А = (at/) (i = 1, 2, ..., m; / = 1, 2, .... п)
матрицу Л' = (<*/*)(/= 1, 2 л; /= 1, 2, .... т), а^ = а^. Иначе говоря,
операция транспонирования заключается в замене строк данной матрицы на
столбцы с сохранением порядка их следования. Так, если
(ап аХ2 ... aln\ / ап а2Х ...
а2\ а22 ... а2п I Т0 Л' = | й{2 й22 •"
ami Я/пг ... amn' ^ «m а2я ...
Матрица Л' называется транспонированной по отношению к матрице Л.
Операция транспонирования обладает следующими свойствами:
Л" = (Л')' = Л;
(аЛ + рВ)' = аЛ' + P#', где а и Р—любые числа;
(АВ)' = В'А'.
Замечание. Последние два свойства выполняются, если выполнимы
сложение аА -Ь р£ и умножение АВ.
Если Л — квадратная матрица п-го порядка и f (х) = Oq + ai* + <*2*2 + • • •
... + Дт*т — многочлен от переменной х, то выражение
а0А° + ахА + а2А2 + ... + amAm
называется многочленом от матрицы А и обозначается f(A) (здесь Л° = Е—
единичная матрица я-го порядка).
Ясно, что f(A) является также квадратной матрицей я-го порядка.
Замечание. Понятие многочлена от матрицы вводится только для
квадратных матриц.
Если j(x) и g(x)—два многочлена, Л — квадратная матрица, то из
равенств l(x) +g(x) = ф(*), f(x)g(x) = a|)(*) вытекают равенства f(A) +
+ £И)=ф(Л), f(A)g(A)=y(A) (f(A)g(A)=g(A)f(A)).
/1 2\ /5 6\
Пример 1. Сложить матрицы! I, I I.
Решение. (' *) + (* 3Н3 + 7 ^HlO ю)'
/-1 2 -Г\
Пример 2. Умножить матрицу А = i . I н
Л = 3.
209
12-1.
а число

Решение.
, 12-14 / -1 -3 2-3 -1 -3'
ы=з.| . л ,)-| 4>3 0>3 ьз.
I 12
—3 6 —3'
О 3.
Пример 3. Перемножить матрицы:
Г' ' \
1) Л= 10 1 и В =
-1 1
АВ = \ 1 О
0 1
-1 • 1 + 1 -3+ 1 -2
1 • 1+0-3+ 1 -2
1 о-1 + 1.3 + (-1)
Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов
матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведение ВА не
имеет смысла, так как число .столбцов матрицы В (два) не
равно числу строк матрицы А (три).
1 2<
/ Л V. I \ /
2) А
Решение.
Оба произведения АВ и ВА имеют смысл, так как условие
перемножения матриц выполняется, но являются матрицами
разных порядков.
3)
л = (з i)HB = ( \ i)'
8Ю

Решение.
м-(~! >)(з ?)-(! з)-
Оба произведения определены и имеют одинаковый порядок, но
АВ Ф ВА.
4)А = (1 |)ив-(12 "J).
Решение.
AB = (l l)(-2 _!Ь(-10 II)'
/_4 —1 \/6 1\ /-26 -5\
М-(-2 JU lH-10 -J'
Оба произведения определены и имеют одинаковый порядок,
причем АВ = ВА.
/3 IV
Пример 4. Выполнить действие I 1 9 I .
Решение.
с ;у-с i)a i)o iH" х a-
/35 20 \
= V20 15 J"
Пример 5. Вычислить f(A), если f(x) = x2 — 2x+l,
A-(l "!)■
Решение.
= (o ~i) + (~o J) + (o i) = (o o)-
1. Перемножить матрицы, определить, существуют ли оба
произведения А В и ВЛ:
1)ЛЧз J !)'B=(j j)2M=(o 1 2)'fi-(j)
211

3) Л =
(5 1 О -3);
6! А
;)■
2. Вычислить АВ — ВА, если
Л =
В;
3. Найти произведения матриц:
/4 3\/—28 93\/7 3\
!) V7 бД 38 -126/12 \Г
Л О Owl 2 3\/0 0 2\
2) [ 0 1 О II 3 2 1 || 0 2 0 1.
VO О lAl 1 1/V2 О О/
4. Найти степени матриц:
/1 2V /1 IV /Л 14"
1>G i);2)U iJi3)(o J:4>
1) f{x) = *-5x + 3, ^ = (_3 3);
5. Найти значение многочлена от матриц:
2 -1
-3 3.
1 -2 3^
2) /(*) —Злс*-2* + 5, Л = | 2 -4 1
.3 -5 2.
212

§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, ИХ СВОЙСТВА
И ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Определителем (детерминантом) матрицы А = (ац) (i = 1, 2, ..., п, ] =
= 1, 2, .... п) п-го порядка называется сумма всех произведений элементов
этой матрицы, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки, т. е.
сумма V ± Дгаа'2р • • • яп©. гДе а. Р. • • •. ю — некоторая перестановка чисел
1, 2, .... п\ перед слагаемым ставится знак «+», если в этой перестановке
число инверсий четное, и «—», если число инверсий нечетное. (Напомним, что
два числа, входящих в перестановку, образуют инверсию, если б льшее число
этой пары предшествует меньшему Число пар, образующих инверсию,
называют числом инверсий перестановки.)
Определитель матрицы А обозначается |Л|, или deM, или
\а\\ aV2 ... а\п\
а2\ а22 ••• а2П
I Я/21 аП2 ••• fl/Jfll
Отметим, что при использовании терминологии «строка» («столбец»)
определителя подразумевается строка (столбец) той матрицы, определитель
которой рассматривается.
Замечание. Понятие определителя вводится только для квадратных
матриц.
Свойства определителей:
1. Определитель не меняется при транспонировании (свойство
равноправности строк и столбцов).
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет лишь
знак (свойство антисимметрии при перестановке двух строк или
столбцов).
3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
4. Умножение некоторой строки (столбца) определителя на некий
коэффициент равносильно умножению определителя на этот коэффициент.
5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то и
определитель равен нулю.
6. Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны,
то определитель равен нулю.
7. Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить другую
строку (столбец), умноженную на произвольное число, то величина
определителя не изменится.
8. Если в определителе Л некоторая i-я строка (аца12... а1п) является
линейной комбинацией других строк (b\b2...bn) и (t\C2...cn) с
коэффициентами соответственно X и [х, то Л = XAt + цД2, где Д] — определитель, у
которого /я строка равна {bib2. -Ьп), а все остальные строки те же, что и у
определителя Д, Д2 — определитель, у которого i-я строка равна (С\С2...сп),
а все остальные строки те же, что и у определителя Д (строка (аха2... ап)
является линейной комбинацией строк (b{b2...bn)t (cic2...cn), ..., (did2...
...dn) с коэффициентами X, \it ..., v, если а, = kbt + \icf + ... + vdt для всех
/ = 1, 2 п). Аналогичное свойство справедливо и для столбцов.
9 Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить строку
(столбец), являющуюся линейной комбинацией нескольких других строк
(столбцов) этого определителя, то определитель не изменится.
10. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше
(ниже) диагонали, нули, равен произведению элементов главной диагонали)
аи 0 ... 0 О
О О
\Л\
а2\
а22
(л-1)| "(л-1)2 ••• а(п-\)(п-1)
лп\
*Л2
ап (я-Ь ап
— «11^22 ••• V-Utfi-iAm
213

11. Определитель порядка я, у которого все элементы, лежащие выше
(ниже) побочной диагонали, нули, равен, произведению числа (—1) 2 и
элементов побочной диагонали:
аи
а21
V-D1
аП1
ап
а22
а(я-1)2 '
0
••
■•
•«
.,
• а1(п-1)
• а2(п-1)
0
0
ащ
0
0
0
\А\ =
п(п — \)
а\па2(п-\) ••* а(п-1)2ал1'
Минором Mif, соответствующим элементу ац определителя я-го порядка,
называется определитель (п—1)-го порядка, получающийся из исходного
вычеркиванием i-й строки и /-го столбца.
Минор, взятый со знаком (—1)'_/. называется алгебраическим
дополнением Atj элемента ац исходного определителя. Ясно, что Ац = (—1)'+Ш//.
12. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя
Д на их алгебраические дополнения равна этому определителю, т. е.
Д = aixAix + ai2Ai2 +...+ atnAin (Д - а^ + a2jA2f +...+ anJAnf).
Полученные соотношения называются соответственно разложением
определителя по элементам i-й строки и разложением определителя по элементам j-го
столбца.
13. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя
на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки
(столбца) равна нулю.
Определители первого, второго и третьего порядков вычисляются по
формулам
flu fli2
fl21 A22
= fll]fl22 — Al2fl2I
(из произведений элементов, стоящих на главной диагонали, вычитается
произведение элементов, стоящих на побочной диагонали);
й\\ а\ч а\г
а2\ а22 Агз
Я31 А32 АЗЗ
= fl]lfl22fl23+fll2fl23fl31+fl]3fl2lfl32 — aI3a22^3I—А23А32АЦ— АззА21А12«
При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться
правилом треугольников, изображенном на следующей схеме:
*о о* о* --*
+ -
214

или правилом дополнения: к определителю приписывай» справа первый и
второй столбиьл
Произведения из трех элементов, стоящих на главной диагонали и на прямых,
ей параллельных, берутся со знаком «+»» а произведения из трех элементов,
стоящих на побочной диагонали и на прямых, ей параллельных, беруется со
знаком «—.».
Определители четвертого и более высоких порядков при вычислении
сводятся к определителям более низких порядков (например, третьего) или к
треугольным. Техническую сторону вычисления определителей, а также
некоторые специальные приемы покажем на примерах.
Пример. Вычислить определители:
10 1
1) Д =
2 1
3
5 0-1
Решение 1. Воспользуемся формулой для вычисления
определителей третьего порядка:
Д =
1 . 1 • (—1) + 0-3-5+ 1-0-2 — 1-1-5 —
3-0-1 — (—1) .2-0 = —6.
Решение 2. Заметим, что во втором столбце все элементы,
кроме одного, равны нулю. Тогда разложим определитель по
элементам второго столбца:
Л = 0-(—I)1
+ 0-(-1)2+3
+ 2
1
2
2
5
1
3
3
-1
=
|+Ь(-
1 1
5 -1
-1)2+2
1 1
5 -1
-б — -
+
Замечание. Первое и третье слагаемые в разложении
можно было не выписывать.
112 3
2) Д =
12 3 1
2 3 6 4
3 5 9 4
Решение. Если определитель разложить по какой-либо
строке или столбцу, то его вычисление сведется к вычислению
четырех определителей третьего порядка. Очевидно, что это не
лучший путь. Применим способ получения в какой-либо строке
?1q

(столбце) нулей: если из второй строки вычесть первую, из!
третьей—-удвоенную первую, из четвертой — утроенную
первую, то получим определитель i
1 1
0 1
0 1
0 2
2
1
2
3
3
-2
-2
-5
равный исходному. Разложим его по первому столбцу]
Д=Ь(-1)
i+i
1 1 -2
1 2 -2
2 3-5
Здесь уже надо вычислить лишь один определитель третьего
порядка.
Если же продолжить процесс «получать нули» (например, из
второй строки вычесть первую), то
А =
3) Д =
11-21
О 1 0 =1-(-1)
2 3 -5 I
1-13-2 4
0 3 2 0 1
0 0 4-1-1
0 6 4 2 3
1-13-2 5
2+2
1 -2
2 -5
■ — 5 + 4 = — I.
Решение. Если из пятой строки вычесть первую, а из
четвертой— удвоенную вторую, то полученный определитель
-1 3
3 2
0 4
0 0
0 0
-2
0
-1
2
0
будет треугольным с нулями под главной диагональю, и он
равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали,
т. е.
Д = 1-8-4-2-1=24.
216

1
2
3
n-l
n
1
1
3
n —
n
1
n
1
1
1
—
n
•
.
•
1 .
.. 1
.. 1
.. 1
.. 1
.. n
4) An-
(Индекс п у определителя А указывает на его порядок.)
Решение. Если вычесть из второй строки удвоенную
первую, из третьей — утроенную первую и т. д., то получится
треугольный определитель
1 1 1 ... 1 1
-1 -1
О -2
-1
-2
-1
—2
О
0 0 0
0 0 0
с нулями под главной диагональю. Тогда
Д-1.(-1).(_2)...(2-п)(1-я) =
= (-1)"_1. 1 • 1-2 ... (п-2)(п-1) = (-1)"_1("-1)!
2 + а 1
5) Д =
2 + 6
2 + с
2 + d
а
Ь
с
d
Решение. Элементы первого столбца являются суммами
двух слагаемых, это дает возможность данный определитель
представить как сумму двух определителей:
А =
В первом определителе первый и четвертый столбцы
пропорциональны, следовательно, он равен нулю; во втором определителе
первый и третий столбцы равны, следовательно, он тоже равен
нулю, значит, и А = 0.
1 1 1 ... 1 1
2
2
2
2
1
2
3
4
а
Ь
с
d
а
а
а
а
+
а
Ь
с
d
1
2
3
4
а
Ь
с
d
а
а
а
а
6) А„ =
0
0
0
п
2
0
0
п
2 ..
3 ..
0 ..
п .
. 2
. 3
. п-\
п
2
3
п- 1
2п
217

Решение. Элементы последней строки определителя
представим в виде сумм 0 + я, 0 + п, • • •, 0 + я, п + п. Это дает
возможность данный определитель представить в виде суммы
двух других:
Л* =
111...
0 2 2...
0 0 3...
0 0 0...
0 0 0...
1
2
3
п-\
0
1
2
3
п-\
п
+
1
0
0
0
п
1
2
0
0
п
1
2
3
0
п
...
... п
. . .
1 1
2 2
3 3
- 1 п-\
п п
Первый из этих определителей треугольный с нулями под глав^
ной диагональю,следовательно,он равен 1-2-3... (п — \)п = п\\
второй определитель равен нулю, так как у него первая и по-
7) Ал-
Решение. Здесь продемонстрируем метод вычисления
определителей, получивший название метода получения
рекуррентной формулы.
Представим элементы первого столбца в виде сумм двух
слагаемых а + Р, 1 + 0, 0 + 0, ..., 0 + 0 и запишем определитель
как сумму двух определителей:
+
жи пропорциональны,
а+р ар 0
1 а+р
0 1
0 0
0 0
ар .
а + р .
0
0
значит,
.. 0
.. 0
.. 0
а + Р
1
Ап = п\ + 0 = «1
0 1
0
0
ар
а+Р
(а^Р,
д» =
+
1 а
1
0
0
1 о
р
0
0
0
0
ар
а + Р
1
0
0
ар
а+Р
1
0
0
0
ар
а+Р
0
0 .
0 .
ар .
а+р •
0 .
0 .
.. 0 0
.. 0 0
.. 0 0
..а+р ар
1 а + р
.. 0 0
.. 0 0
.. 0 0
..а+р ар
.. 1 а+р
Если в первом определителе из второго столбца вычесть
первый, умноженный на р, из третьего столбца вычесть получен-
218

ный второй, умноженный на р, и т. д., то получим определитель
а 0 0 ... О О
1 а 0 ... О О
О 1 а ... О О
0 0 0
0 0 0
а О
1 а
= а
(все элементы, стоящие над главной диагональю, равны нулю).
Если второй определитель разложить по элементам первого
столбца, то получим определитель
<*+Р
1
0
0
ар .
а + р .
0 .
0 .
. 0
. 0
• а+Р
. 1
0
0
ар
а+Р
— такого же вида, как и исходный определитель Дя> но на
единицу меньшего порядка, значит, его можно записать так: рДл-ь
В итоге получим соотношение Дд = аЛ + рД„_ь связывающее
данный определитель порядка п с определителем такой же
структуры, но порядка п — 1.
Соотношения такого типа носят название рекуррентных.
В общем случае рекуррентное соотношение связывает п-й член
какой-то последовательности через некоторое число ее
предыдущих членов,
В нашем случае членами этой последовательности являются
определители. Найдем несколько ее первых членов:
*,-«+>-*=f
А2 =
Д3 =
а+р ар
1 а+р
а+р ар
1 а+р
0 1
" »
= а2 +
0
ар
а+Р
*2 = .
а-р
= «.з
а3 + а2р + ар2 + рэ
Р4
о-р
Подмеченная закономерность позволяет записать:
д4 = (а*+1-р*+1)/(а-р).
Докажем, что оно справедливо для любого k. Применим метод
математической индукции, т. е., предполагая, что соотношение
219

верно для k = n—1 (я ^2), покажем, что оно верно и для
k = п. При k = п — 1 имеем
Подставим значение определителя Д„_| в рекуррентную формулу:
л* = <*п + Р-^
ап __ рп an+l __ anp + aap __ рп-Ц _ an+. ,pn+i
Итак, полученная формула справедлива для любого /г,
следовательно, Д„ = (а"+1 - fS*+,)/(a- p).
Замечание. Можно было бы обойтись и без угадывания
формулы для Дя. Получив рекуррентную формулу Д„=ап-|-
+ рДя-1, выпишем соотношения
Ап = аи + вД„_„
Д»-1=«о»-, + рДЛ_2,
Дя-2 = а"-2+РДп-з.
Д2 = а2+рД,.
1
Р
Р2
р""2
Умножим левые и правые части этих соотношений на
множители: первое на 1, второе на р, третье на р2 и т. д., последнее
на prt~2, и сложим левые и правые части:
+ р*-2д2=
о"+роЛ-' + р2«п-а +
Д„ + рД«-1 + рД„-2 +
... +p»-V + pA„-I + P2A,-2+ ••• +P""4-
После приведения подобных членов будем иметь
A.-aB+pae-4pV-2+ ... +prt-V + p"-1A„
или, так как А\ = a + р,
Д„ = ап+рап-' + р2а"-2+ ... + p""V + Р""'а + Р" =
= (а«+>_р«+1)/(а_р).
1. Вычислить определители:
4)
7)
1)
3 -1
-1 3
; *)
cos a — sin a
sin a cos a
с
—с
1+6/ С -
: -J- cii a -
-ь
а2
ab
ab b2
; 5)
и
н
,
где i
; 3)
d2 + ab + b2 а2-
■ab + b2
a-\-b a — b
sin a cos a 1
sin р cos p 1
? =
= -1;
8)
; 6)
3 2 1
2 5 з'
|3 4 3|
1 1 logfca
|bg06 1
; 9)
a b c\
b с a\
с a b\
220

10)
cos a sin a cos p sin a sin pi
-sin a cos a cos p cos a sin p.
0 — sin p cos p I
При каком условии справедливо равенство
4)
7)
1
cos a
cos p
cos a 1 cos у
cos p cos -у 1
=
0
cos a
cosp
3. Вычислить определители:
1)
a 3 0 51
0 6 0 2
1 2 с 3
0 0 0 d\
3 6 5 5 4
5 9 7 8 6
6 12 13 9 7
4 6 6 5 4
2 5 4 5 с
; 2)
' ; 5)
и
х а.\ а2 ... a„_i 1
d\ X (X*i ... dfi^\ 1
(X\ a^ x ... &n—i 1
a{ a2 (X3 ... x 1
a.\ 0% из ... an 1
Oil... 11
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
1
1 1
... 0
3 _з _2 -5
2 5 4 6
5 5 8 7
4 4 5 6
1 2 3 .
-1 0 3 ..
-1-2 0 ..
-1 -2 -3 ..
1; 8)
; 10)
n
1 6, 0
-1 1-6, 6
0 -1 1-
0 0 С
0 0 С
1 n n ... n\
n 2 n ... n\
n n 3 ... «
n
n
n
... n\
cos a cos p
0 cosy
cosy 0
1 1
; 3)
1 1
. n
. n
. n
. 0
; 6)
3 -
2
1
1
11 5
2 \
2 :
|2 :
0 ...
, 0 ... 1
-62 63 ... 1
I 0 ... 1-
1 0 ... —
•
?
•2 1
0 3
0 2
1 3
I 2 .
2 2 .
2 3 .
2 2 .
0
D
D
&«-i
1
1
1
-2
2
.. 2
.. 2
.. 2
.. л
0
0
0
Ьп
l-bn
9)
4. Получить рекуррентную формулу и вычислить
определители:
1)
а0
-S/i
0
ах U2 ... a„_!
jc, 0 ... 0
—f/2 *2 ... 0
ап
0
0
о о
Уп хп
2)
1 2 3 4 ... п-1
— 1x0 0... 0
0 0 0 0 ... х
0 0 0 0 ... -1
rt
0
0
X
%
•

§ 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Матрица Л-1 называется обратной по отношению к матрице Л, если
АА~1 = А~1А = £, где Е — единичная матрица.
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц, и
матрицы Л, Л-1 и Е одного порядка.
Для того чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и
достаточно, чтобы определитель матрицы Л был отличен от нуля.
Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется
невырожденной (или неособенной), в противном случае — вырожденной (или
особенной). Вырожденные матрицы обратных матриц не имеют. Всякая не*
вырожденная матрица А имеет единственную обратную матрицу А"1:
'Лц/А Л21/А ... Лл1/А \ /Л,, А2\ ... Апг
Л-1=| ^12/А Л22/А ... Л„2/Д =!|
>Лт/Д Л2П/А ... Ллл/Д/ \Л in Л2п ... Ап
где А = det Л, Ац — алгебраическое дополнение элемента ац матрицы Л,
составленную по следующему правилу, каждый элемент матрицы Л заменяется
его алгебраическим дополнением, затем полученная матрица транспонируется
и каждый ее элемент делится на определитель матрицы Л.
Для невырожденных матриц справедливы соотношения
(Л-,)-1 = Л и (ЛД)-1 = £-V»-1.
Пример. Найти матрицу, обратную матрице Л
-с:)
Решение. Найдем определитель Д данной матрицы: А ==
= ad — be. Если ad — bc=Q, ad = bc, то данная матрица
вырожденная и обратной матрицы не имеет. Если ad=£bc, то
матрица Л имеет обратную матрицу Л-1. Для ее нахождения
найдем алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы:
Лц = d, Л12 = —с, А2\ = —Ь, Л22 = я, тогда
1 ( d -6\
-Ьс\—с а)
аа — be
(другой способ нахождения обратной матрицы указан в гл. IV,
§ 2, пример 3).
/7 9\
1. Найти матрицу, обратную матрице Л = I « 9 I , и
проверить равенство А-А"1 = Е.
2. Найти матрицу, обратную матрице Л =
§ 4. РАНГ МАТРИЦЫ
Рангом г матрицы Л называется целое число г, такое, что среди миноров
г-го порядка матрицы Л имеется хотя бы один, отличный от нуля, а все
миноры (г+1)-го порядка равны нулю или миноров порядка (г+1) вообще
нет.
Минором матрицы А = (ац) (I = 1, 2 m\ j = 1, 2, . ., п) (не
обязательно квадратной) называется определитель k-ro порядка с элементами,
222

лежащими на пересечении k любых строк и k любых столбцов матрицы А
(k не превосходит наименьшего из чисел тип). При k = 1 под минором
первого порядка понимается элемент ац матрицы А.
Так, для матрицы
abed)
12 3 4
-10 6 6
a b
1 2
2 3
0 5
bed
2 3 4
0 5 6
1 4
а с d
1 3 4
-15 6
a d
- 1 6
— миноры 2-го порядка,
миноры 3-го порядка.
Справедливы следующие утверждения:
если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг такой матрицы тоже
равен нулю;
если к матрице приписать строку или столбец из нулей, то ранг исходной
матрицы не изменится;
если в матрице все миноры £-го порядка равны нулю, то равны нулю и
все миноры более высокого порядка (если таковые существуют).
Задача нахождения ранга матрицы, если пользоваться только
определением, требует, как правило, вычисления большого количества определителей (у
матрицы с п строками и п столбцами СтСп миноров /г-го порядка), потому
при ее решении целесообразно пользоваться так называемым гауссовским
алгорифмом, основанным на элементарных преобразованиях матрицы.
Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются:
1) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля,
2) прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на любое
число,
3) перемена местами двух строк, (столбцов).
Применяя к матрице А цепочку элементарных преобразований, получим
новую матрицу В Этот факт будем записывать так: А ->- В.
При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется, т. е.
если А -> В, то гЛ = гв. Значит, при нахождении ранга матрицы А
целесообразно провести такие элементарные преобразования, которые привели бы к
матрице В, ранг которой найти несложно.
Такими матрицами, в частности, являются трапециевидные матрицы.
Трапециевидная матрица в общем случае выглядит так:
1 a2i
а>2п
О О
О О
••• 1 ar(r+i) ••• агп
Jo о
Например, матрицы
1 аи а>п Ям
10 1 а2з <*24
10 0 1 а34
{о о о 1
трапециевидные.
.. О
1 an «13
1 «23
О О
О О
/1 а12 «и аи\
\ 0 1 а23 а24 /
223

В трапециевидной матрице число ненулевых строк равно ев рангу.
Так как любую матрицу элементарными преобразованиями всегда можно
привести к трапециевидной, то при вычислении ранга данной матрицы ее
целесообразно свести именно к такому виду. Отметим, что алгорифм Гаусса
особенно эффективен при вычислении ранга матриц с числовыми элементами.
Пример. Найти ранг матрицы:
1 0 4 — Ь
1) А
2 1 И 2
11 4 56 5
2-15 -6^
Решение. Элементарными преобразованиями сведем
матрицу к трапециевидной:
Здесь проведены следующие преобразования: ко второй строке
исходной матрицы прибавлена первая, умноженная на —2; к
третьей строке прибавлена первая, умноженная на —11; из
четвертой строки вычтена первая, умноженная на 2; из новой
третьей строки вычтена новая вторая, умноженная на 4;
наконец, к четвертой строке прибавлена третья.
Полученная матрица имеет ранг 2, так как она
трапециевидна и имеет две ненулевые строки, значит, и ранг исходной
матрицы А равен 2.
Замечание. Конечно, нет необходимости после каждого
преобразования выписывать полученную матрицу. Достаточно
было выписать только первую и четвертую (элементы четвертой
матрицы получаются из элементов первой), а затем последнюю
(ее элементы получаются из элементов четвертой),
/ 1 X Х\
2>лЧ-з з з)" -.
224

Решение. Ранг этой матрицы не более 2, так как в ней
только две строки. Выпишем все миноры 2-го порядка:
1 X
-3 3
1 Я,
-3 3
X X
3 3
1 X
-3 3
Третий минор при любом X равен нулю, два первых
= 3 + ЗА, равны нулю при Х = — 1, и отличны от нуля при
любых других значениях X.
Ответ: г = 1 при % = — 1, г = 2 при X ф — 1.
1. Найти ранг матрицы путем нахождения наивысшего
порядка минора, отличного от нуля:
/1 X -1 2'
2) ( 2 — 1 Я 5
\1 10 -6 1
2. Найти ранг матрицы, применяя алгорифм Гаусса:.
10 0 1 41
1)
/1 X Х\
U 1 \У
1)
3)
0 10 2 5
0 0 13 6
1 2 3 14 32
4 5 6 32 77 J
'2 3 5—3
3 4 3-1
5 6-1 3
/
; 2)
1
~2\
-з .
-Б/
/ 2
г
1
11
[
\ 2
1
0
4
— 1
11
4
56
5
2
— 1
5
—6
Глава IV
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
§ 1. МЕТОД ГАУССА
Систему линейных уравнений (линейную систему) можно записать так:
' fli i*i + Я12*2 + • • • + а\пХп — Ьи
а2Ххх + а22х2 + ... + а2пхп = Ь2,
k <*т\х\ + Ят2*2 + • • • + атпхп = Ьп
(1)
хп — неизвестные; ац, ..., атл, &i, ..., 6m — коэффициенты
, amn — коэффициенты при неизвестных; Ьи Ь2> . .., bm
—свободные члены), пг — число уравнений% п — число неизвестных. Заметим, что
может быть тф п.
Здесь Х\, х2,
системы (ац,
1/28 Зак. 273
225

задание системы уравнений всегда подразумевает, что надо получить
какую-то информацию о множестве ее решений: либо решить систему (т. е.
найти все множество ее решений), либо — частный случай того же аспекта —
исследовать ее, т. е. выяснить, существует ли хотя бы одно решение
(совместна ли система) и если существует, то единственно ли оно (является ли
система определенной). Могут потребоваться и какие-то иные сведения о
множестве решений.
Две системы называются равносильными, если множества их решений
совпадают, т. е. каждое решение первой системы есть решслие второй, и
обратно. Равносильность двух систем будем обозначать значком ~. Поскольку
все, что нас интересует, — это множество решений системы, то замена
данной системы на равносильную не влияет на результат, который должен быть
получен.
Коэффициенты системы могут в принципе быть любыми объектами.
Однако здесь мы рассматриваем только системы с числовыми коэффициентами
(лишь в § 3 допущена более общая ситуация).
Решением (одним) системы (1) является последовательность чисел £ь
£г, ..., %п, удовлетворяющая всем уравнениям системы:
auih + ШгЪ + • •. + din\n = bi для всех i = 1, 2 m,
т. е. обращающая их в верные числовые равенства.
Вся информация о линейной системе (кроме наименования неизвестных,
которое не сказывается на множестве решений) содержится в ее
коэффициентах. Поэтому матрица
'ап аХ2
Д21 °22
аш Ь\
а2п Ь2
*ami am2 amn b
m
составленная из коэффициентов системы (1), полностью определяет эту
систему. Эта матрица называется расширенной матрицей системы (1). Всякая
(числовая) матрица с более чем одним столбцом есть расширенная матрица
некоторой линейной системы.
Матрица
(ап аХ2 ... аХп \
а2\ а22 ... а2п I
0>т\ 0>тг ••• ^тп '
составленная из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется
матрицей этой системы; каждый ее столбец естественным образом соответствует,
одному из неизвестных.
Если обозначить
В =
столбец свободных членов системы (1), то ее расширенная матрица может
быть записана так: (А \ В).
При элементарных преобразованиях строк (но не столбцов!)
расширенная матрица системы переходит в расширенную матрицу равносильной
системы.
226

Метод (или схема) Гаусса заключается в приведении расширенной мат*
рицы данной системы элементарными преобразованиями строк к некоторому
специальному виду — прямой код схемы Гаусса, и нахождению затем
множества решений системы с полученной расширенной матрицей (эта система
равносильна исходной) — обратный ход схемы Гаусса.
Использование преобразований только строк не дает возможности
привести любую матрицу к трапециевидной, однако любая матрица может быть
приведена к общему виду, а именно
1
*
1
0 '•
1
* *
*
1
*
1
0 '•
1
* *
о
(2)
Здесь в участках матрицы, помеченных 0, все элементы равны нулю; знаки *
и ** означают, что в соответствующих участках элементы матрицы могут быть
любыми числами. Такая матрица и должна быть получена при выполнении
прямого хода схемы Гаусса.
Рассмотрим теперь обратный ход, т. е. процесс решения системы с
расширенной матрицей вида (2). Нулевые строки этой матрицы соответствуют
уравнениям 0 = 0, удовлетворяющимся любыми значениями неизвестных, поэтому
на них можно не обращать внимания. Может иметь место один из двух
случаев.
Случай 1. В матрице (2) группа столбцов, содержащая последний из
участков, помеченных ** (правый верхний участок), на самом деле
отсутствует. Тогда последняя ненулевая строка этой матрицы есть (00... 1), что
соответствует уравнению 0=1, не имеющему решений. Значит, и вся система
не имеет решений (т. е. несовместна).
Случай 2. Последний из участков, помеченных **, захватывает хотя бы
один столбец (и значит, захватывает столбец свободных членов). В этом
случае всем неизвестным, соответствующим участкам, помеченным ** (свободным
неизвестным), придаются произвольные значения, после чего значение
каждого из оставшихся неизвестных определяется из соответствующего уравнения:
из последнего нетривиального (т. е. определяемого ненулевой строкой матрицы
(2)) уравнения находится значение последнего из оставшихся неизвестных;
это значение подставляется в предпоследнее уравнение, откуда находится
значение предпоследнего неизвестного, и т. д. ^_
V38*
227

Пример 1. Решить систему:
3*! + 2*2 + 4*3 + 4лг4 + 5*5 = 2,
7хх + 5х2 + 9*3 + 8*4 + 9лг5 = 3,
5*! + Зх2 + 7*3 + 9jc4 + 4*5 = 3,
6*! + 5*2 + 7*з + 5*4 — 5*5 = —-3.
Решение. Выписываем расширенную матрицу системы и
проводим прямой ход схемы Гаусса (пояснения см. ниже):
1)
-1
15
14
11
6 1Л
-33 -4
-26 -2
-41 -9 /
1 1
0 1
0 0
0 0
1
-1
0
0
-1
-11
И 1
0
6
41
-7
0
1
9
-2
0
Прежде всего нужно было получить единицы в верхнем
левом углу матрицы (см. матрицу (2)). Это можно было бы
сделать, разделив 1-ю строку на 3, но тогда появились бы дроби.
Чтобы избежать этого, поступаем иначе: 1-ю строку умножаем
на 2 и вычитаем из нее 3-ю строку. Полученную новую строку,
умноженную на 7, 5 и 6 соответственно, вычитаем из 2, 3 и 4-й
строк. Результатом всех этих операций является вторая из
написанных матриц (не нужно переписывать матрицу после каждой
операции: перед глазами имеется все, что нужно, а лишнее
переписывание увеличивает вероятность описки). Далее, 4-ю
строку переставляем на 2-е место, меняя в ней знаки, и прибавляем
эту новую 2-ю строку, умноженную на 2, к старым 2-й и 3-й
строкам, сдвигая их соответственно на 3-е и 4-е места;
результат— третья матрица. Теперь 3-ю строку делим на —7,
полученную новую 3-ю строку, умноженную на 8, прибавляем к 4-й.
Прямой ход закончен (для большей наглядности в последней
матрице выделены соответствующие участки подобно тому, как"
это сделано в матрице (2), кроме того, отделен столбец
свободных членов).
Проведем теперь обратный ход. Здесь свободные неизвестные
*з и *5, придаем им произвольные значения: *3 = а; *5 = р.
Последняя ненулевая строка (т. е. 3-я строка) последней матрицы
определяет уравнение *4 — 7*5 = —2; оставляя в ее левой части
только *4 и подставляя имеющееся значение неизвестной *5,
получаем *4 = —2 + 7р. Переходим к предыдущему (т. е. 2-му)
уравнению. Оставляя в левой части только *2 (первое из
неизвестных, входящих в это уравнение с ненулевым коэффициен-
22$

том), перенося все остальные члены направо и подставляя
имеющиеся значения неизвестных *3> х4, х5, получаем
л:2 = 9 + а+П(—2 + 7р) —41р = — 13 + а + Збр.
Таким же образом из первого уравнения имеем
Xi= 1 — (— 13 + а + 36Э) —а4 (—2 + 7Р) —бр = 12 —2а —35р.
Итак, система имеет бесконечное множество решений
х{=? 12 —2а —35р, *2 = — 13 — а+ 360, *3 = а,
*4 = -2 + 7р, *5 = р,
где а, р —любые числа.
Замечание. При записи обратного хода не следует явно
выписывать уравнения. Надо приучаться читать уравнения
прямо по матрице (здесь последнее уравнение было выписано
только для лучшего понимания того, что же именно делается).
Запись обратного хода целесообразно вести так. Запишем
заготовку ответа:
х\ =
х2 =
*3 =
*4 =
х5 =
затем будем вписывать в нее произвольные значения
неизвестных:
х\ =
*з = а
Ха =
*5 = Р
и далее последовательно получаемые значения остальных
неизвестных:
хх = \ -(-13 + а + Збр)-а + (-2 + 7р)-бр = 12-2а-35р,
х2 = 9 + а+11(-2 + 7р)-41р = -13 + а + 36р,
*3 = а,
jc4 = -2 + 7p,
*5=Р» а> Р—любые числа.
Вычисление значений *ь *2, *4 производится здесь же.
!3*i + 5х2 + 2*з + 4*4 = 3,
5*j + 9*2 — 2*з + 2*4 = 9.
229

Решение. В расширенной матрице сначала вычитаем 2-ю
строку из 1-й, чтобы получить единицу в верхнем левом углу
матрицы, а затем новой 1-й строкой получаем нули в 1-м
столбце; далее, из новой 3-й строки вычитаем новую 2-ю:
Последняя строка последней матрицы дает уравнение 0 = 2, не
имеющее решений. Значит, система несовместна.
Замечание. Строго говоря, последняя матрица не есть
матрица вида (2) (нужно еще умножить 2-ю строку на —1 и
3-ю — на 1/2), но это отличие несущественно. Если вместо
единиц на границе нулевого участка в матрице (2) стоят любые
ненулевые числа, обратный ход проводится почти без
изменений— нужно только учитывать эти коэффициенты при
нахождении значений соответствующих неизвестных (см. следующий
пример). Более того, если в процессе приведения матрицы в ней
появилась строка (00 ... а), афО, дальше приводить матрицу
не надо: эта строка уже указывает на несовместность системы.
2хх — 5*2 + 7*з = 9,
4х{ + 2х2 — 4*3 = — 7,
5*! — 2*2 + 2*з = 1.
Решение. В расширенной матрице из 1-й строки вычитаем
3-ю и получаем этой строкой нули в первом столбце, далее, 2-й
строкой получаем нули во 2-м столбце и т. д.:
8)
5
2
4
5
1 -3 -6 ч
-579'
2 -4 -7
-2 2 1 )
/1-111
1 0 -3 5 i
~1 0 02!
\0 0 2!
/1-1 1
0-3 5
~1 0 6-8
\0 3-3
ч /1-11
Г \ 0-3 5
М~1 0 0 2
\) Vo оо
1
7
-11
-4
1\
7 I
3
о/
*, = 1-3/2+ 1/6 = -1/3, *2 =
= 3/2.
■1/3-(7-5-3/2)= 1/6, л:3 =
230

4)
Свободных неизвестных нет, поэтому решение единственно,
3^ + 4*2+ 3*з+ 2*4 = О,
5*! + 7*2 + 4*3 + 3*4 = О,
4*j + 5*2 + 5*з + 3*4 = О,
5*! + 6*2 + 7*3 + 4*4 = 0.
Решение. Система, все свободные члены которой равны
нулю, называется однородной. При всех допустимых в схеме
Гаусса преобразованиях матрицы нулевой столбец остается
нулевым, поэтому писать его нет надобности. Лишь при обратном
ходе надо вспомнить, что все свободные члены — нули.
В матрице данной системы из 2-й строки вычтем 4-ю,
поставим результат на 1-е место и используем его для получения
нулей в 1-м столбце. Затем сократим 2-ю строку на —2 и
продолжим процесс получения нулей:
3 4 3 2х
5 7 4 3
4 5 5 3
5 6 7 4/
/»
1 1°
Но
' Vo
2
-2
-3
-4
-1 (К
6 2
9 3
12 4/
(Х 2
10 1
~1 ° °
\0 0
-1
-3
0
0
0
-1
0
0
*1==а — 2(3а+ р) = — 5а — 2р, *2 = р + 3а, *3 = а, *4 = Р;
а, р — произвольные числа.
Замечание. Если записать решение как столбец, то его
можно преобразовать так:
Х =
= а
где
<x*i + Р Х2,
Хх =
Это означает, что любое решение данной системы есть линейная
комбинация пары столбцов Хи Х2, и наоборот, любая их
линейная комбинация есть решение этой системы. Кроме того, эта
пара — наименьший набор столбцов с указанным свойством. Та-
231

кой набор столбцов называется базисом пространства решений,
или фундаментальной системой решений данной однородной
системы (он определен не однозначно). Как правило, в тех
случаях, когда в процессе решения какой-то задачи появляется
однородная линейная система, бывает нужно найти только
базис (любой или подчиненный каким-то условиям) пространства
ее решений.
Отметим еще, что базис Хи Х2 можно найти и так: после
окончания прямого хода положим *3 = 1, лг4 = 0 и найдем
соответствующие значения х2 и х\ — получим столбец Х\\
положив затем *3 = 0, *4 = 1, найдем столбец Х2 (т. е. для
нахождения одного из членов базиса нужно взять для одного из
свободных неизвестных значение 1, а для остальных — 0).
Пример 2. Выяснить, совместна ли данная система:
( 5* + 8*/ + 6z = 7,
1) \ 3* + 5r/ + 4z = 5,
I 7x + 9y + 4z=l.
Решение. В расширенной матрице из 3-й строки вычитаем
удвоенную 2-ю и ставим полученную строку на 1-е место; далее,
как обычно:
-1 -4
1 2
0 0
Последняя ненулевая строка не есть (00011), поэтому система
совместна. Поскольку находить решение не требуется, обратный
ход не нужен.
!7хх + 8*2 — 5*з + 6д:4 — 4*5 = 5,
6*! + 7*2 — 4*з + 4*4 + 3*5 = 5,
5*! + 9*2 + 7*3 + 5*4 + 7*5 = 3.
Решение. Из 1-й строки вычитаем 2-ю и получаем нули:
7 8 -5 6 -4 5\ /11-1 2 -7 0\
6 7-44 35 ~ 01 2 -8 45 5 ~
5 9 7 5 7 3/ \0 4 12 -5 42 3/
\0 0 4 . .
В последней матрице 1-я и 2-я строки заменены многоточием,
так как они уже не могут влиять на совместность системы.
Последние, замененные многоточием, элементы 3-й строки
вычислять не надо, так как уже ясно, что последняя строка не есть
(00 ... 0|1). Система совместна.
232

3xj + 4*2 — 5*з + 7x4 = 2,
7*, -f- 9.v2 + 3*з — 2*4 = 5,
3) ] 8*! + 7*2 + 6*3 + 4*4 = 9,
5*! + 8*o — 3*з + 9*4 = 2,
6*j + 4*2 — 5*з + 3*4 = 8.
Решение. Из 2-й строки вычитаем удвоенную 1-ю, ставим
полученную строку на 1-е место и получаем нули:
3 4
7 9
8 7
5 8
6 4
-5
3
6
-3
-5
7 2
-2 5
4 9
9 2
3 8
/ч^
[1
0
0
0
0
1
1
-1
3
-2
13
-44
-98
-68
-83
-16
55
132
89
99
1
-1
1
-3
2
О 0 -142 187 0]
0 0 64 -76 0|
0 0 -171 209 0
В последнем столбце, начиная с 3-го места, стоят нули, так что
при дальнейших преобразованиях там не может появиться 1.
Поэтому система совместна.
Замечание. В частности, однородная система всегда
совместна. Это ясно и непосредственно: у однородной системы есть
решение (0,0, ..., 0)—нулевое, или тривиальное. Поэтому
основной вопрос, возникающий при исследовании однородной
системы,— есть ли у нее нетривиальное решение (т. е. единственно
ее решение или нет).
f 5*! + 7*2 + 4*3 + 3*4 = 2,
2*j + 3*2 + 3*з + 4*4 = 3,
4*j + 5*2 — *з ~~ 6*4 = — 3,
4*j + 7*2 + 5*3 — 9*4 = — 7.
Решение. Из 1-й строки вычитаем 3-ю; далее, как обычно:
57 4 3 2\./1 2 5 9 5'
23 3 4 3 | | 0 —1 —7 -14 -7
4 5 -1 -6 -3 ]~1 0 -3 -21 -42 -23
4 7 5-9-7/ Vo -1 -15 -45 -27
4)
0 0 0 0
-2
9 Зак. 273
233

Две первые строки далее не нужны; 4-ю строку в последней
матрице можно не вычислять, так как 3-я строка уже
показывает, что система несовместна.
Пример 3. Найти, при каких значениях параметра а
совместна система
* + r/ + 2z = -3,
3* + 2у + \z = а.
5* + 3r/ + 6z = a2.
Решение.
000
Система совместна, если а2-
а = 3.
1 2 —3.
0 -1 -2 а + 9
ч0 -2 -4 а2+15>
2а —3,
2а — 3 = 0, т. е. при а
-1 и
D
1. Решить системы:
*i + 3*2 + 3*з + 5д:4 = — 1,
2*j + 6*2 + 5*з + 6*4 = 1,
3*! + 7*2 + 4*3 + 8*4 = 2,
3*! + 5*2 + *3 + 9*4 = 1;
2) Г 2*j + 3*2 + 4*3 + 3*4=0,
4*j + 6*2 + 9*3 + 8*4 = —3,
6*! + 9*2 + 9*3 + 4*4=8;
3) ( 2*i — *2 + -^3 — -^4 == * 9
Z*j ~~* *2 0*4 — ^,
3*i — *з + *4 == —3,
2*j + 2*2 — 2*з + 5*4 =•—6;
4)
2*1 + *2 *з + ХА — 1 >
«j*i ~"~ ^*2 + ^*3 ~"~ о*4 === ^|
5*!+ *2— *з + 2*4 = — 1,
2*j — л?2 + *з — 3*4 = 4;
5)
f 2*i+ *2+ *з = 2,
*i + 3*2 + *з = 5,
*i + *2 ~Ь 5*з = —7,
^ 2*i + 3*2 — 3*з = 14;
6) ( 5*1 + 3*2 + 4*з — 2*4 + 3*5=1,
8*! + 5*2 + 5*з — 4*4 + 4*5 = 2,
7*i + 4*2 + 7*з — 3*4 + 7*5 = — 1,
V> 4*! + 3*2 — *3 — 3*4 — 2*6 = 4.
234

2. Найти базисы пространств решений однородных систем:
1) ( 3*! + 5*2 + 2*3 + 4*4 = О,
5*! + 4*2 + Злг3 + 5*4 = О,
9*! + 2*2 + 5*з + 7*4 = О,
5*! — 9*2 + 2*з = 0;
2) f 3*! + 3*2 + 5*з + 7*4 + 4*5 = О,
2*j + 2*2 + 3*з + 5*4 + 3*5 = О,
4*j + 4*2 + 7*3 + 9*4 + 5*5 = О,
5*j + 5*2 + 9*з+11*4 + 6*5 = 0;
3) ( 2*! + 3*2 — *з + 5*4 = О,
3*! — *2 + 2*3 — 7*4 = О,
4*j + *2 — 3*з + 6*4 = О,
*! — 2*2 + 4*3 — 7*4 = 0.
3. Выяснить, совместны ли системы:
1) ( 3*i + *2 — 2*з + *4 — хь== 1»
2*j — *2 + 7*3 — 3*4 + 5*5 = 2,
*! + 3*2 — 2*3 + 5*4 ""-7*5 = 3,
3*! — 2*2 + 7*3 — 5*4 + 8*5 = 3;
2) ( 5*! + 7*2 + 4*з + 5*4 — 8*5 + 3*6 = 1,
2*j + 3*2 + 3*з — 6*4 + 7*5 — 9*6 = 2,
7*! + 9*2 + 3*з + 7*4 — 5*5 — 8*6 = 5.
4. Найти, при каких значениях параметра а совместна
система
* + 2r/ + (a-l)z = 4,
3* + 7у + a2z = -3,
4* + 9у + a3z = а.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если обозначить
Х =
столбец неизвестных, то система (1) из § 1 может быть записана в виде
матричного уравнения
AX = Bt
23d

где А — матрица этой системы; В — столбец ее свободных членов. Такая
запись называется матричной записью линейной системы. Обратно, матричное
уравнение АХ = Ву где В — столбец, эквивалентно линейной системе с
расширенной матрицей (А \ В) в следующем смысле: если решение линейной
системы записывать в виде столбца, то указанные матричное уравнение и
линейная система имеют одно и то же множество решений (если высота столбца В
не равна числу строк матрицы А, т. е. если нельзя составить матрицу (А \ В),
то уравнение АХ = В не имеет решений).
Пусть теперь в уравнении АХ = В матрица В произвольна. Для
существования решения необходимо, чтобы число строк матрицы В было равно числу
строк матрицы А. Далее, если решение X существует, то число его столбцов
равно числу столбцов матрицы В.
Если Х\, Х2, .... Xs и В\t В2> .... Bs — столбцы матриц X и В
соответственно, т. е. X = (X1IX2I ... \Xs)y В = (В\\В2\ ... \BS), то из определения
умножения матриц следует, что уравнение
A(Xl\X2\...\Xs) = (В||В2|...|А)
эквивалентно (в очевидном смысле этого слова) системе матричных
уравнений
•АХхш*Ви
АХ2=*ВЪ
AXS = BS,
т.е. системе систем линейных уравнений. Все эти системы имеют одну и ту
же матрицу коэффициентов, поэтому их можно решать одновременно,
применяя алгорифм Гаусса к «s раз расширенной» матрице (i4|£i|£2| ... \BS) =»
=* (А\В). Таким образом, процесс решения матричного уравнения АХ а В
сводится к применению гауссова алгорифма к матрице (А \ В).
Пример 1. Решить матричное уравнение:
•>G ? .>-G О-
/я|т /1 3 7 2 14 /1 3 71 2114
Решение. (Л|В) = (2 ? g Q J~(0 { _5|_4|0).
В последней матрице отделены столбцы свободных членов. На«
ходим решение системы с каждым из этих столбцов:
хп = 2 - 7а - 3 (-4 + 5а) = 14 - 22а,
х2\ = —4 + 5а,
*8i = а;
х12—1 — 7р —3-5р = 1 -220,
•"•22 == 5Р>
-«32 =Р-
1 -2204
Итак, ^ = 1 —4+ 5а 50 I (а, р — любые числа).
2)
3 1
О 3
)•
236

Решение. Попробуем составить матрицу (Л|В) (А —
матрица-коэффициент, В — матрица-свободный член):
5 2 113 1
4 7 3 2 0 3 — матрица не получилась.
О 1 2
Уравнение не имеет решений.
2-й столбец свободных членов дает несовместную систему.
Уравнение не имеет решений.
/1 3 2\ /1 ON
4) 3 8 5 U = [3 1
\2 7 6/ 43 -4>
Решение. Часто бывает удобно при проведении гауссова
алгорифма получать нули не только под диагональными
элементами матрицы, но и над ними. Если в уравнении АХ = В (в
частности, в линейной системе) матрица А невырождена, то таким
образом можно получить на ее месте единичную матрицу, что
исключает надобность в обратном ходе: если (Л|£) ~ (£| С),
то уравнение АХ = В равносильно уравнению ЕХ«**СУ т. е.
Х = С. Конечно, зачастую мы не можем быть заранее
уверенными в том, что матрица А неособенна, но и в случае особенной
или даже неквадратной матрицы А такой образ действий
упрощает обратный ход. Этот дополнительный труд оказывается
ненужным лишь когда уравнение не имеет решения, что вполне
компенсируется остальными случаями.
чО
2
5
6
О
-1
О
1
3
3
-1
-1
аэг

Здесь сначала 1-й строкой получены нули в 1-м столбце, затем
2-й строкой —во 2-м столбце, наконец, 3-й строкой —в 3-м
столбце, после чего изменены знаки во 2-й строке. Поскольку
в левой половине последней матрицы стоит единичная матрица
£, то правая половина и есть (единственное) решение данного
уравнения:
2
Х =
Решение. Хотя здесь матрица-коэффициент и не
квадратная, будем получать нули также и выше диагонали, как в
предыдущем примере. Для удобства вначале из 1-й строки вычтем
3-ю; получив нули в 1-м столбце, 3-ю строку поставим на 2-е
место и ею получаем нули во 2-м столбце:
(
4
7
5
3
4
6
Можно сразу выписать ответ (удобнее начинать заполнение
искомой матрицы с последней строки):
1_|_8а 1+8р-
1-5р
— 1 — 2р
Х =
6) X
(а, р — любые числа).
1
О
-?)■
Решение. Чтобы привести уравнение ХА = В к
«стандартному» виду (где матрица-неизвестное стоит вторым
сомножителем), надо транспонировать его левую и правую части:
23*

А'Х' = В'. Теперь имеем (вначале из 1-й строки вычитаем 2-ю)
Учитывая проделанное ранее транспонирование, получим
-о-
Решение. Уравнение имеет вид АХВ = С. Положим
ХВ = У и найдем матрицу У из уравнения AY = С (вначале из
удвоенной первой строки вычитаем 2-ю):
(А\С)
■С
4 -1 -1
7 1 1
\0 I
1)~С '
0J \0 -2
11 11 -
-14 -14
-3
28
-3
28
2 У
-I»)
■1}
значит, Y ■■
/ 11 11 -7\
Л—Н -14 9/'
11 -7>
■14 9,
Теперь решаем уравнение ХВ = Y, или, что то же, В'Х' = У"
(вначале из 3-й строки вычитаем 1-ю — так проще получить
нули в 3-й строке, затем из 1-й строки вычитаем 2-ю и получаем
нули во 2-й строке):
8 5
9 'б
6 8
-1
(В'\Г):
11
11
-7
0
11
■18
+ 1
0
0
-14\
-14 ~
J
°\
-14 ~
23/
0 0
1 0
0 1
+ 1
3
-4
-1
-4
5
239

Учитывая транспонирование, имеем
( 1 3 ~4\
Пример 2. Решить систему матричных уравнений
>-а D-
Решение. Система имеет вид
Л„* + Л12К = ВЬ
или
f4 \Al2 \(Х\_(Вг \
\ А21 \А22 )\ у ) \вг)-
V А2{Х -f- ^22i 0-2>
Составляем расширенную матрицу и проводим алгорифм Гаусса:
V А211 Л221 fi2 )
1 1
1
-1
0
1 1
1
2
-3
1
1
2
0
1
-1
2
0 1
1 1
1 0
-1 2
1 3
0
7
-2
-9
-1
3|
6
0
—8
з)
1
1
-2
1
О
1 О
О 1
О О
О О
О О
П о
О 1
о о
о о
о о
2
-2
3
О
1
1
-1 -1
О 1
3]
о
о
-1
о
о
-1
1
3
-2
1
11
3
3
-8
О
01
3
9
О
7
—2
-9
-1
-7
7
12
-16 -11
-1 О
5 41 361
-5 -2 -17 -16
3 1 12 9
1 3—4-2
12-1 О
■240

[1 0
0
0 1 0
0 0 +1
0 0 0
[0 0 0
/"W
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 -28
0 13
0 +8
1 3
0 +1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
85
58'
-37 -25
-24 -15
-4 -2
-3 -2
1 2
2 1
0 1
5 4
-3 -2
„ / Ei I 0 I С, \
Последняя матрица разделена на клетки I -^- -=—\-^- I в соот-
\ 0 | £41 С2 /
ветствии с делением первоначальной матрицы на группы
столбцов. Она определяет систему
{
ЕХХ =Си
где Е\у ЕА — единичные матрицы порядков 1 и 4.
Итак, Х = (1 2), Y-.
\ 2
0
5
1-3
1]
1
4
—2j
Пример 3. Найти матрицу, обратную матрице А:
Решение. Поскольку А — квадратная матрица, то решение
уравнения ЛХ = £, если оно существует, и будет матрицей,
обратной матрице Л; если же это уравнение не имеет решения, то
не существует матрицы, обратной матрице А. Решаем это
уравнение:
3 3 1 0 0N
-1 -2-3 10
1 3 —2 0 1>
241

1 5 4 1 0 ON
0-2-1-210
О 2 1 —1 0 1>
чО О О
Замененные многоточием элементы можно не вычислять — ущ
ясно, что левую половину матрицы нельзя привести к единичной
матрице £, значит, у матрицы А нет обратной.
Замечание. Если А—числовая матрица, то
продемонстрированный в примере 3 способ нахождения ей обратной
матрицы А-1 гораздо более эффективен, чем вычисления по
известной формуле для обратной матрицы (см. гл. III, § 3), где
требуется вычислить det Л и еще п2 алгебраических дополнений
(п — порядок матрицы Л).
1. Решить матричные уравнения:
242

H: 4>
4J -D
2. Решить систему матричных уравнений
(2 3\ /2 4 5\ /—2 2^
5 7\Х+ 4 3 3 \y= -1 3
,12/ V3 2 3/ \ 1 (V
1С О'+П 1D'-U J)-
3. Найти матрицы, обратные данным:
2
1
1
2 3
-1 0
2 1-
1) 1-10; 2) 3 4 4 ; 3)
§ 3. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА
Если матрица А линейной системы АХ = В квадратная и
невырожденная, то эта система совместна и имеет единственное решение, которое может
быть получено по формулам Крамера
xt = Aj/A, / = 1, 2,
где A = dety4—определитель матрицы А (называемый также определителем
данной системы); А/ — определитель матрицы, получаемой из матрицы А
заменой 1-го столбца (т. е. столбца коэффициентов при xt) столбцом В свобод-
ных членов.
Использование формул Крамера при решении линейных систем весьма
ограничено (матрица коэффициентов при неизвестных должна быть квадратной
и невырожденной), а при решении числовых систем и нецелесообразно, так
как оно требует примерно в п2 раз больше вычислительных операций, чем
схема Гаусса (п — порядок матрицы А). Формулы Крамера удобны, если
нужно лишь как-то записать решение, не вычисляя его. И лишь в редких
случаях их уместно использовать для нахождения решения. Так, например, в
схеме Гаусса недопустимы преобразования столбцов, тогда как при
вычислении определителей ими пользоваться можно. Если матрицу системы можно
легко упростить преобразованиями столбцов, но не строк, применение формул
Крамера может быть оправдано, как и в том случае, когда det А с трудом
приводится к треугольному виду, но может быть сравнительно легко вычислен
другими методами.
243

Пример. Решить систему
[ хх/(а{ + Ьх) + xj(ax + b2) + х3/(а{ + b3) + xj(ax + ЬА) = 1/аи
! Xi/(02 + Ьх) + xj(a2 + b2) + х3/(а2 + b3) + xj(a2 + 64) = l/a2,
j x{/(a3 + b{) + x4(a3 + b2) + x3/(a3 + b3) + xj{a3 + bA) = l/a3,
I x{/(aA + bx) + xJ(aA + b2) + x3/(aA + b3) + xJ(aA + 64) = l/a4.
Решение. Вычисления по схеме Гаусса, даже при
правильной их организации, здесь будут очень громоздкими.
Попробуем использовать формулы Крамера. Определитель этой
системы
1111
fli + bi
1
a2 + Ьх
1
аг + Ьх
1
d! + Ь2
1
a2+ b2
1
a3 + b2
1
fli + Ьъ
1
a2+ b3
1
<*з + b3
1
fli + ^4
1
«2+ &4
1
a3 + bi
1
Я4+&1 u4 + b2 a4+b3 a4 + &4
есть дробно-рациональная функция, т. е. частное двух
многочленов от переменных аь ..., а4, 6Ь ..., &4- Ее знаменатель
очевидно равен произведению всех сумм ат + Ьп, т. е. он равен
4 4
П П(Ят + ^п)- Если ат = ап или bk = biy то Д = 0 (совпа-
дают две строки или два столбца), поэтому числитель этой
дроби должен делиться на каждую из разностей ат — ап и
bk — bi, а значит, и на их произведение Ц (am —a„)X
_^ 1 <m<rc<4
X П (bk ~~ Ь/\ степень которого равна числу сомножителей,
l<fc</<4
т. е. 12. Далее, степень каждого слагаемого (т. е. разность
степеней числителя и знаменателя), из которых состоит
определитель А, равна —4, поэтому и степень определителя тоже равна
—4; степень его знаменателя равна 16, следовательно, степень
числителя равна 12. Поэтому числитель отличается от
произведения П (ат — ап) • И (bk — bt) только ненулевым
1<т</г<4 1<£</<4
числовым коэффициентом. Каждый из определителей А/
получается из определителя А при bt = О, значит, при делении А* на
А упомянутый числовой коэффициент сокращается так же, как
и все выражения в скобках, не содержащие bi. Поэтому
A, Alfr-o (0 - b2) (0 - b3) (0 - b4) v
*1== A A (ai + 0) (a2 + 0) (a3 + 0) (a4 + 0) A
v (fli + bx) (a2 + 61) (Дз + 61) (fl4 + bx)
A (6l_62)(6l_63)(6l_64) =
244

_ Ь2ЬъЬа (ах + Ьх) (а2 + &i) (а3 + Ьх) (а4 + Ьх)
а{а2аъаА (Ьх — Ь2) {Ь\ — Ьъ) (Ь{ — Ь4)
Аналогично вычисляются лгг, *з, хц.
Решить систему
| xi + х2 + ... + хп = 1,
I а\х\ + ^2*2 "Ь • • • ~Ь а/Л = ^>
afo + а£х2 + ... + а2пхп = б2,
[а*"1^ + ап2-'х2 + ... + апп~'хп = б'1"1.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
РАЗДЕЛ I
Глава I
§ 1. 1. 1) 2; 2) 7. 2. л:! = —4, х2 = 2. 3. 13/4. 4. 7/3. 5. 1) Л1(6);
2) N(—11). 6. Л(7), В(—41). 7. 1. Указание: точка приложения
равнодействующей делит отрезок между точками приложения действующих сил на
части, обратно пропорциональные величинам этих сил. Значит, если С(х) —
точка приложения равнодействующей, то отношение, в котором она разделит
отрезок АВ, равно \ = р(Л, С)/р(С, В) = 12/4 = 3. 8. Не далее чем на
два метра. Указание: ввести систему координат, принимая точку А за ее
начало, и учесть, что на опору В уже давит половина веса балки, т. е. 50 кг,
следовательно, из 500 кг она может принять давление не более 200 кг, тогда
300 кг должно приходиться на опору А. 9. Л(11), В(—2), М(х + 5). 10. —4
и 4. 11. х = (5000/4687)*' « (16/15)*', где *' — число верст. 12. tc = (5/9)X
Х(^ф—32), где ta — температура по шкале Цельсия, £ф— температура по
шкале Фаренгейта. Указание: сначала перенести начало системы
координат в тдчку 0'(32), затем изменить масштаб. 13. х = (20/19) (/—1), где t —
показание термометра, х— истинная температура по Цельсию. Указание:
сначала перенести начало системы координат в точку 1, затем изменить
масштаб. 14. Перенести начало системы координат в точку 10 и изменить
направление оси. 15. х = (—1/2)*' + 4. Указание: воспользоваться общей
формулой преобразования координат на прямой х = пх' + а. Подставив в эту
формулу значения старых и новых координат точек, получим систему двух
уравнений, решая которую найдем п и а.
§ 2. 1. (Хо, —уо), (—Хо, уо), (—хо, — у0), (уо, хо). 2. 1) (0, 0), (1, 0), (1,
1), (0, 1), или (0, 0), (—1, 0), (0, 1), (—1, 1), или (0, 0), (—1, 0). (—1,-1),
(0, —1), или (0, 0), (1, 0), (1, —1), (0, —1) в зависимости от того, какие
стороны квадрата приняты за оси системы координат; 2) (V2/2, 0), (О, V2/2),
(-V2/2, О), (0, -V2/2); 3) (1/2, 1/2), (—1/2, 1/2), (—1/2. —1/2),
(1/2, —1/2). 3. (3, 2), (—3, 2), (—3, —2), (3,-2). 4. (а, 0), (а/2, а л/з J2),
(0, 0). 5. (—1, —2). Указание: обозначить х и у координаты центра,
составить систему двух уравнений с неизвестными х и у, воспользовавшись тем,
что центр описанной окружности одинаково удален от вершин треугольника.
6. (0,4), (0,-12), (б — 2л/2\ 0), (б + 2л/2Г 0). Указание: сначала
найти точку (0, у) на оси абсцисс, затем точки (0, х) на оси ординат. 8. (—6,
4), 4. Указание: так как окружность касается оси ОХ, то радиус,
проведенный в точку касания, перпендикулярен оси ОХ, и значит, абсцисса центра
окружности равна —6. 9. 5. Указание: сначала найти координаты одной
из точек касания. 10. (5, 0) или (7/3, 0). Указание: воспользоваться
формулой (3). Вершина С имеет координаты (х, 0), так как лежит на оси ОХ.
246

11. 7/5. Указание: искомое расстояние является высотой треугольника,
образованного данными точками. 12. Указание: необходимое и
достаточное условие принадлежности трех точек одной прямой — равенство нулю пло-
шади треугольника, который они образуют. 13. (—5, 0). Указание:
воспользоваться указанием к задаче 12. Искомая точка имеет координаты (х, 0).
14. (3/2, 3/2). 15. (5, —3), (1, —5). 16. (—14, 17). Указание: если М —
искомая точка, то точка М2 делит отрезок М\М в отношении X = 1/2. 17. (9,
-16). 18. 1) М(\, 3); 2) ЛГ(4, —3). 20. (1, 4/3). 21. С(0, 3). 22. (3, 1/2).
23. (2/7, 25/14). Указание: ввести прямоугольную декартову
систему координат, поместив начало в точку О, оси ОХ и OY направить по
отрезкам О А и ОВ. 24. (1, 3/2). Указание: воспользоваться указанием к
задаче 23, обратив внимание, что треугольник прямоугольный. 25. А(0, —4),
В(2, 0). 26. х = х'+\, у = у' — 3. 27._d = 0. 28. (5, —1), (—5, 1).
2D. Л(3д/3, 0, Д(л/з"/2, 3/2). 30. Л(Уз/2, -5/2). 31. (10,0), (0,10 л/з),
(-10,0) и (5,-5 V3), (15,5 Уз"), (-5,5 УГ). 32. 1) О' (-1,3), а = я:
2) <Г(5, -3), а = -я/4. 33. 1) х = х\ у = - у'; 2) * = */', У = *'
3'4. х = (У2/2) х' - (л/Ш у' + 1/2, у = (л/2/2) х' + ЫШ у' + 1/2. 35. 2 и
3, 36. (3,2), (—3,2), (—3, —2), (3, —2). Указание: четыре решения, ибо не
указано месторасположение данной точки относительно осей координат.
37. (0,0), (1,0), (2,1), (2,2), (1,2), (0,1). 38. (-8,5). 39. я/3. 40. 2 л/§".
Указание: воспользоваться формулой 5Д = abc/(4R), где а, Ь и с — длины
сторон треугольника. 41. Б (5, —я/3), С (5, —2я/3). 43. (1, —2я/3). 44.
Указание: использовать теорему, обратную теореме Пифагора. 45. М\ (3,0),
М2 (1, я/3), М3 (2, - я/3). 46. А (5, - я/2 — arcsin (3/5)), В (5, - arcsin (4/5)),
С (8, я), D(9, -я/2). 47. (1, -я/2). 48. ЛГ, (б л/5", -Зя/4), М2 (4, —5я/6).
§ 3. 1. 3* — 2у — 9 = 0. 2. х2 + у2 = 4. 3. у ± Ъ = 0. 4. ос— 5 = 0. У к а -
з а н и е: каждая точка искомого геометрического места принадлежит средней
линии треугольников, образованных лучами и осью ординат. 5. у лЬ Зх = 0.
Кривой принадлежит точка Р. 6. х2 + У2 = о,2. Указание: ввести
прямоугольную декартову систему координат, приняв за ось ОХ прямую АВ и
поместив начало в середину отрезка АВ. 7. (х2 + У2)2 — 2а2(х2 — у2) = 0 — в
прямоугольных декартовых координатах, где за ось ОХ принята прямая F^,
начало находится в середине отрезка FXF2\ р2 = 2а2 cos 29 — в полярной
системе координат. 8. у = сх, где с — коэффициент пропорциональности.
Указание: см. пример 3. 9. 1) х — 3#+15 = 0; 2) х — 2у2 + 24у + 71 = 0;
3) х*/9 + f/2/25 = 1. 10. 1) х = t2/2, у = t, — 00 < t < +«r, 2) x =
= 2/?ctg2/, y = 2pctgt, 0<t<n; 3) x = (p/2)ctg2(//2), у = /?ctg2(//2),
0 < t < 2я. 11. 9_= я/3. 12. 9 = я/4, 9 = —Зя/4. 13. p = a/cos 0. 14. p =
= fc/sin6. 15. 5У2. 16. (1, я/3) и (1, —я/3). У к а з а н и е: решить систему
уравнений р = 2cos 6, р = l/2cos 6.
§ 4. 1. 1) на плоскость OXY: (4, —5,0), на плоскость OXZ: (4,0, —2),
на плоскость OYZ: (0, —5, —2); 2) на ось ОХ: (4, 0, 0,), на ось OYi (0, —5, 0);
на ось OZ: (0, 0, —2). 2. 1) относительно плоскости OXY: (2, 3, —5),
относительно плоскости OXZ: (2, —3, 5), относительно плоскости OYZ: (—2, 3, 5).
2) относительно оси ОХ: (2, —3, —5), относительно оси OYi (—2, 3, —5),
относительно оси OZ: (—2, —3, 5). 3) относительно начала: (—2, —2, —5).
3. 1) в I, III, V и УП; 2) во II, IV, V и VIII; 3) в I, III, V и VII; 4) в I, II, VII,
и VIII; 5) во II, IV, V и VII, 4. р (О, Л) = 13, dox =» Й, d0Y н=4У!(Г,
doz = ЗУТ7\ 5. (О, 0, 3 + УбТТ) и (0, 0, 3 - У574"). У к а з а н и е: все точки
247

оси OZ имеют координаты (0, 0, z). 6. (О, 1, —2). Указание: все точки
координатной плоскости OYZ имеют координаты (0, у, z). 7. С (3, —3, —3),
R=S. 8. 7. 9. В (4, —1, 3). 10. x=Xmix./Zmi, у ^Em.yJEm., z = 2^z./2w.,
/ = 1, 2, 3, 4. Указание: см. пример 6 § 2. 11. х = х' + а/3, у = у' + а/3,
z = z' — а/3. 12. x = z', y = x',z = y'. Указание: учесть, что поворот
на угол 2я/3 есть треть полного оборота. При таком повороте ось абсцисс
перейдет в ось аппликат, ось ординат — в ось абсцисс, ось аппликат — в ось
ордината 13. х=*(у' + г')/т/2, у*-(х' + г')/*/2, z = (х'+ у')/л/2,
14. (0, 0, 0), (а, 0, 0), (а, 6, 0), (0, Ь, 0), (0, 0, с), (а, 0, с), (а, Ь, с) (0, Ь, с).
15. (а/4, а/4, а/4). Указание: предварительно найти координаты вершин,
затем см. пример 2. 16. Л (5, arcsin (4/5), 5), В (6, я, 8). 17. Л (3, —Зя/4,
— arccos(l/3)), В (5, -я/2, - arccos (3/5)). 18.(Уб/4, - VsTA, ^Ы).
§ 5. 1. 1) плоскость параллельная координатной плоскости OYZ\ 2)
координатная плоскость OXZ\ 3) плоскости OXY и 07Z; 4) совокупность всех
трех координатных плоскостей; 5) плоскость OXY и плоскость, делящая
пополам двугранный угол между плоскостями OXY и OXZ и проходящая в III,
IV, V и VI октантах, 6) две плоскости, параллельные плоскости OYZ и
проходящие через точки (0, 0, 1) и (0, 0, —1), т. е. удаленные от нее на
расстояния, равные единице. 2. (1,-2, 0), г = 2. Точка А — внутри сферы, точка В —
вне ее, точка С — на сфере. 3. у — 3 = 0. 4. (* — 5)2+ (у — 1)2+ (z + 3)2 =
= 25. 5. х2 + у2 + z2 = а2. Указание: ввести прямоугольную декартову
систему координат так, чтобы точки F{ и F2 имели координаты (—а, 0, 0) и (а,
0, 0). 6. 1) гиперболический цилиндр; 2) параболический цилиндр; 3) две
пересекающиеся плоскости; 4) две плоскости. 7. В(0, 1, —1). 8. 1) ось ординат;
2) прямая, проходящая через точку (5, 0, —2) параллельно оси OY\ 3)
окружность, лежащая в плоскости OXZ с центром в начале системы координат
и радиусом 7. 9. х2 + {у— 1)2+ (z—1)2 = 4, г = 0.
Глава II
§ 1. 1. Прямая пересекает стороны KL и КМ. 2. Ci(l, —1) или С2(—2,
—10). Указание: обозначить координаты точки С х и у, выразить через
координаты вершин треугольника координаты его центра тяжести (см.
задачу 19 § 2 гл. I), воспользоваться принадлежностью центра тяжести
треугольника прямой Зх — у — 8 = 0, формулой площади треугольника
(формула (3) § 2 гл. 1) и решить полученную систему уравнений. 3. * —3 = 0
и у + 2 = 0. 4. 1) а = —2, 5г/ — 33 = 0; 2) а, = —3, х — 56 = 0, а2 = 3,
5* + 8 = 0; 3) ах = 1, Зх — 8у = 0; а2 = 5/3, 33* — 56t/ = 0. 5. т = —4;
я = 2, х — 5 = 0. 6. */а + у/Ь = 1 или х/Ь + у/а=\. 7. х/± 2 + у/± 5 = 1
или */±5 + у/±2 = 1. 8. */5 +у/5 = 1, */1 + у/-1=г1. 9. лг/3 + г//6 = 1
*/—3+ г//—6 = 1, X/—S + у/—10 = 1. 10. Зх + 2у — 6 = 0 иЗх + 8у+ 12 = о!
11. л: — 2у — 4 = 0. 12. А — ± 8. 13. */Ла + Г//Я6 = 1 — прямая, параллельная
первоначальной.
§2. 1. 1) у = Ъх — 1; 2) у = —2х; 3) */=*; 4) у = —^/Зх\ 5) */ = -3*±2.
2. 1) у = л/Зх±Т 2) */ = — *±7; 3) у = ± 7. 3. Л = Я. 4. 6 = ± 20.
5. t/ = 0, у = 2л/з, у = л/Зх + Ьл/з, у = —л/з~х + 5 л/з. 6. у = —0,4*.
7. у = (v2lv{) х. Указание: в любой момент времени / движущаяся точка
имеет абсциссу * = v{t и ординату у = v2t. Исключая t из этих двух уравне-
246

ний, получаем искомую траекторию. 8. у = х — \0. 9. а = л/4. Указание:
учесть, что если бы луч не отразился, то он прошел бы через точку,
симметричную точке В. 10. (—7, 0), (0, 7/3) 11. Зх + 8у — 9 = 0 и Зх+2у+9 = 0.
Указание: прямая проходит через точку (3, 0) или через точку (—3, 0).
12. oc = arctg2. Указание, воспользоваться условием задачи 19 §2 гл. I.
14. М(\, 0). Указание: учесть, что ломаная АМВ имеет одинаковую длину
с ломаной AMBi, где В{ — точка, симметричная точке В относительно оси ОХ,
и что ломаная АМВ\ имеет наименьшую длину, когда три точки Л, М и В\
лежат на одной прямой. Для решения задачи надо предварительно найти точку
пересечения прямой АВ} с осью ОХ. 17. 2х + у — 6 = 0, 9дг + 2г/ + 18 = 0.
Указание, воспользоваться уравнением прямой в отрезках. 18. х + у —-
— 6 = 0. 19. 7х + \9у — 2 = 0. Указание: воспользоваться условием
задачи 19 § 2 гл. I 20. 2х — у — 5 = 0. 21. 2х — Ъу — 2 = 0. У к а з а н и е:
искомая прямая определяется как уравнением первого пучка, так и уравнением
второго. Чтобы они одновременно определяли одну прямую, необходимо,
чтобы их коэффициенты были пропорциональны, отсюда и находятся q и q'.
22. 7х — у — 6=0, х + &У — 21=0. Указание: диагональ АС
рассмотреть как прямую, общую пучкам, образованным прямыми AD и АВ и
прямыми CD и ВС, а диагональ BD — как прямую, общую пучкам, образованным
прямыми AD и DC и прямыми АВ и ВС, и воспользоваться указанием к
задаче 21.
§ 3. 1. я/4 или Зя/4 в зависимости от того, какую прямую считать первой
в указании угла между ними. 2. у = 1/3х. 3. arctg (1/23). Указание:
учесть, что угол между высотой треугольника и его стороной острый. 4. Зх +
+ у — 14 = 0 и х — 3# + 12 = 0. Указание: обозначить к угловой
коэффициент прямой, на которой лежит основание, и учесть, что если тангенс угла,
образованного основанием с одной стороной треугольника, равен tg ф, то
тангенс угла, образованного основанием с другой стороной треугольника, равен
—tgq> (см. пример 4). 5. х — 2у — 5 = 0, 2х — у — 4 = 0. Указание:
записать уравнения прямых с угловыми коэффициентами и воспользоваться
формулой (5). Учесть, что если тангенс угла между данной прямой и падающим
лучом равен 3, то тангенс угла между данной прямой и отраженным лучом
равен —3. 7. Да, X = —9, \х = 6. 8. ЗХ + 7[х + 3 = 0. 9. 3* — 5у + 9 = 0,
х — # + 3 = 0, х — 3#+11 = 0. Указание: записать уравнения средних
линий треугольника и использовать факт их параллельности сторонам
треугольника. 10. kBc = кол = 3/5, Зх — Ъу + 5 = 0, х — у = 0, г/ — 1 = 0.
11. 5* + 2*/ + 6 = 0. 13. х — Зу — 3 = 0. 14. 2х — у — \9 = 0. 15. (2, 4).
Указание: найти уравнения высот треугольника, проведенных из данных точек,
затем уравнения сторон, пересечение которых определяет третью вершину
треугольника. 16. (29/18, 47/54). Указание: искомая точка лежит на
пересечении перпендикуляра, проведенного к отрезку, определяемому данными
точками, через его середину, и данной прямой. 17. 2х + Ту + 22 = 0, 7х + 2у —
— 13 = 0, х — г/ + 2 = 0. Указание: две стороны треугольника лежат на
прямых, проходящих через данную вершину перпендикулярно данным
высотам. Для нахождения третьей стороны надо найти две другие вершины
треугольника как пересечения соответствующих сторон и высот.
§ 4. 1. 8л: — 15# + 9 = 0*. 2. (х — б)2 + (у + 9)2 = 9. Указание:
радиус окружности равен расстоянию от ее центра до касательной. 3. 2х —
— 6у — 3 = 0. Указание: обозначить М(х, у) произвольную точку прямой
и приравнять ее расстояния от данных прямых. 4. 5х + \2у — 43 = 0. у —
— 4 = 0. Указание: см. решение примера 4. 5. Внутри треугольника.
6. Зх + 4у + 6 = 0, Зх + Ау — 14 = 0 или 3* + \у + 6 = 0, Зх + \у + 26 =
= 0. Указание: два решения. Одна из сторон квадрата есть прямая,
проходящая через точку А (2, —3)перпендикулярно данным сторонам, а вторая
сторона ей параллельна и отстоит от точки А (по разные от нее стороны) на
расстояние, равное длине стороны квадрата. 7. (0, 6), (—1, 13/2).
Указание: искомые точки лежат на пересечении прямой л: -+ 2г/ — 12 = 0 и
биссектрис углов, образованных двумя другими данными прямыми. 8. 9* — 9у +
249

-f 13 = 0. Указание: см. решение примера 7. 9. (У 2 + 1, 1). Указание: |
центр круга, вписанного в треугольник, лежит на пересечении биссектрис его ;
внутренних углов. Нахождение внутренних биссектрис треугольника рассмо- '.
трено в примере 7. I
Глава III
§ 1. 1. {х + З)2 + {у — 4)2 = 25. 2. (х — 8/3)2 + У2 = 85/9. Указание: |
учесть, что центр С окружности имеет координаты (х, 0). Из соотношения |
р(Л, С) = р(В, С) найти х, а затем, зная координаты центра окружности, j
найти ее радиус. 3. 1) С(—3, 4), R «= б; 2) С(3, 0), R = 4; 4. 1) мнимая ок- !
ружность; 2) мнимая окружность; 3) точка (—1, 2). Указание: привести !
уравнения окружностей к каноническому виду. 5. (х — I)2 + (у — 5)2 — 25,
[х + 9)2 + (у — 25)2 = 625. Указание: удобно найти координаты (х, 0)
точки касания. Тогда задача сводится к задаче, рассмотренной в примере 4.
6. (х— 1)2+ {У— 1)2= 1, (* —5)2 + {У — 5)2 = 25. Указание: сначала
найти координаты (х, 0) и (0, у) точек касания осей координат, далее см.
пример 4. 7. (а: — 2)2 + (г/-3)2 = 5и {х — 4)2 + {у + I)2 = 5. У к а з а н и е:
учесть, что прямая, соединяющая точку М(3, 1) и центр С(х0, у0)
окружности, перпендикулярна данной прямой, а расстояние между точками М и С
равно У 5 • 8. f/= 7х, у = х. 9. у = 2* ± 5. Указание: искомые
касательные параллельны данной прямой и удалены от начала системы координат на
расстояние, равное радиусу окружности. 10. 1 = 4. Указание: привести
уравнение окружности к каноническому виду, найти ее центр и радиус и
расстояние между данной точкой и центром окружности. 11. С(1, —3), R = 5.
Указание: см. пример 4. 12. С(—33/16. 351/112), R = 633/560. Указа-
н и е: учесть, что центр окружности равноудален от данных прямых. 13. (х —
— 5)2 + (у + 2)2 = 25. Указание: искомые точки равноудалены от центра
данной окружности. 14. 1) р = а\ 2) р = 2а cos 0. У к а з а н и е: см. пример 8.
15. 1)р* sin 0; 2) р2 — 2 У 2 р cos (0 — я/4) = 2. Указание: см. пример 9.
16» 1) (х = — 3 + 7 cos 0, 2) (х = — 2 + 5 cos 6,
\у шш 5 + 7 sin 0; \у = 5 sin 0, 0 < 0 < 2я.
Указание: см. пример 7.
§ 2. 1. а = V5"> Ь -= 3, F, (0, —2), F2 (0, 2), е = 2/3, у = ± 9/2. Указание;
обратить внимание, что а < Ь, следовательно, фокусы эллипса лежат
на оси OY. 2. 1) *2/25 + t/2/16 = 1; 2) *2/18 + у2/9« 1; 3) *2/100 + ^/36 = 1;
4) х2/25 + у2/9=1, 5) д:2/36+t/2/20= 1. 3. *2/18 + t/2/8= 1, 4. е « 0,08.
б. а =150 000 000 км, е=1/60, 6. (—15/2, ± 3 УТ/г). 7. Точка Мх
лежит вне эллипса, точка М2 — внутри эллипса, точка Мз принадлежит
эллипсу. 8. 12* - 13*/ ± 169 = 0. 9. *2/25 + у*/9 = 1 и *2/(225/16) + |/2/16 « 1.
10. *2/20 + У2/5 = 1. Указание: удобно воспользоваться результатом
примера 3. 11. Указание: достаточно показать, что всякая касательная к
эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами точки касания.
12. р = 9/(5 — 4 cos0).
13. ( х = ab cos t/^/а2 sin21 + b2 cos21 ,
1 у = afc sin //V<*2 sin21 + b2 cos21 (0 < / < 2я).
§ 3. 1. 1) -*2/12+t/2/4=l; 2) —a:2/100+ t/V576=l; 3) -*2/24 + f/2/25=l.
2. *2/36-t/2/64 = ± 1 или *2/64—t/2/36 = ±l. 3. *2/16 — y2/9«l. 4.120°.
5. (48/5, ±3 Vl 19/5). 6. *2/4 — y2/\2=\. 7. Указание: достаточно показать,
что фокальные радиусы точки отражения образуют равные углы с
касательной, проведенной через эту точку. 8, А2а2 — В2Ь2 = С2. Указание: см. ре-
250

шение примера 3 § 2. 9. 3* — 2t/ dh 4 = 0. Указание: см. пример 4;
10. х2/8 - t/74 =1.11. 1) р = 144/(5 + 13 cos 0); 2) р = - 144/(5 + 13 cos 0).
12. р2 = 62/(^2 cos2 9—1). 13. Асимптоты: p=2/sin (0—я/4) и p=2/sin (6—Зя/4);
директрисы: р = — л/2 /'cos 0 и р = — 3 V^T/cos 0.
§ 4. 1. 1) у2=\6х\ 2) х2 = 24у\ 3) у2 = \х\ 4) х2 = 25у. 2. 1) (у - Ь)2 =
= 2р(х- а); 2) (у - Ь)2 = — 2/? (х - а); 3) (* — а)2 = 2р(у — Ь)\ 4) (х—а)2=
= — 2р (г/ — Ь). 3. /? = 12. 4. 1) * + У + 3 = 0, в точке (3, —6); х — у + 3=0,
в точке (3, 6); 2) х — 2у + 12 = 0; 3) 3* + У + 1 = 0. У к а з а н и е: см.
примеры 4,5. 5. 12. 6. 5 м. 7. 40 см. 8. Указание: достаточно показать, что
касательная к параболе образует с осью параболы и фокальным радиусом
точки касания равные углы. 9. г/—18 = 0. Указание: воспользоваться
условием задачи 8. 10. р = 2р cos 0/sin2 0. 11. 1) (р/2, я) — вершина параболы;
2) две точки (/?, я/2) и (/?, Зя/2).
§ 5. 1. 1) эллипс х'2/6 = у'2/3 = 1, центр О' (—2, 1), большая ось
параллельна оси ОХ\ 2) гипербола —х'2/(1/4) + у'2/\ = 1, центр О' (1, — 3),
действительная ось параллельна оси OY\ 3) парабола #'2 = — х/2у', вершина
О'(—1/2, 1), ось параллельна оси OY, выпукла вверх; 4) мнимый эллипс;
5) парабола х/2 = — (3/г) у\ вершина О' (—3/2, —Ч2), ось параллельна оси OF,
выпукла вверх; 6) парабола у 2 = — х\ вершина 0/(—3/i6, 'А), ось
параллельна оси ОХ, выпукла вправо. 2. 1) эллипс #"2/9 + */"2/1 — 1 с центром
С(1, 1); 2) гипербола *"2/1 — у"2/9 = 1 с центром С (— 1, —2); 3) гипербола
аг,/г2/9 — г/,,2/25 = 1 с центром С(1, 0); 4) парабола с параметром р = 1 и
вершиной в точке (0, 0).
Глава IV
§ 1. 1. 1) векторы а и b коллинеарны; 2) векторы а и b коллинеарны и
одинаково направлены; 3) векторы а и b коллинеарны и имеют
противоположные направления; 4) векторы а и b коллинеарны и имеют
противоположные направления; 5) угол между векторами а и b острый; 6) угол между
векторами а и b тупой. 2. 0. Указание: стороны треугольника считать
векторами. Выразить через них медианы и воспользоваться замечанием к
решению примера 3. 3. Указание: центр тяжести треугольника лежит в точке
пересечения медиан и делит их в отношении 1 : 2. Воспользоваться указанием
к задаче 2. 4. Растягивающие силы равны 10 д/З и 20 V3- 5. На стержень
АВ действует растягивающая сила в 120 кг, на стержень ВС — сжимающая
сила в 60 УЗ" кг. 6. ВС = с - b, CD = d - с, DB = b — d, DM = (b "t" c) - d,
AQ = ^ -. 7. 1) m + n + I = 0; 2) не компланарны. Указание: см.-ре-
о
шение 3 примера 5. 8. Указание: доказать, что длины векторов | b | а и | а| b
равны, и воспользоваться теоремой: диагонали ромба делят его углы пополам.
9. d = a -f Ь — с. У к а з а н и е: см. решение примера 7. 10. {З/У130, 11/д/Тзо}.
Указание: см. указание к задаче 8. 11. а = —2. Указание: выразить
координаты векторов р = {Xlf У1} и q = {A"2, ^2} через координаты векторов
a, b и с и воспользоваться условием коллинеарности. 12. Указание: найти
координаты векторов АВ, ВС, CD и DA и попарно проверить их
коллинеарность. 13. 45° и 135°. Указание: см. решение примера 11. 14. Северная
компонента 4,03 м/с, западная 4,03 м/с. 15. 0,1414 tng. 16. На берег под углом
в 54° к береговой линии со скоростью 7,7 м/с. 17. Вверх по склону под углом
в 63#27r к горизонту со скоростью 5,6 м/с.
§ 2. 1. г = (Г|+Гз). 2. г = (Г1+Г32 + Гз). 3. г2 - г,=Я (г, - г,), Я^0.
Указание: точки А, В и С лежат на одной прямой, если векторы АВ и
251

АС коллинеарны 4. г4 = г, + Я (г3 — г2), г' = (г{ + ^г3)/(1 + X). 5. rc=rD +
+ гв " гл- ГВ' = гв - га + ГЛ" гс = гд + го + гЛ/ - 2гА, г0/ = г0-гд +гл,.
6. С (I — j + 5к) и D(7j-3k)
§ 3. 1. —3. Указание: так как векторы коллинеарны и
противоположно направлены, то величина угла между ними равна я. 2. 162. 3. У 5—2 У£
4. 15 и У593. 5. У к аз а ни е: см. решение примера 2 6. h = а' 2 а — Ь.
Указание: см. решение примера 3. 7. я/3. 8. А = я/2, Б = arccos
С= arccosf g J. Указание: см. решение примера 6. 9. {21,42,21}.
10. Указание: достаточно показать равенство и перпендикулярность
диагоналей четырехугольника^ 11. 30°, 60°, 90°. 12. я/2. 13. x = 2i + 7j + 3k.
14. {5/V2, -11/У2, 4/V2}. Указание: см. решение примера 7. 15.
х = {—3, 3, 3}. 16. 31. Указание: см. решение примера 8.
§ 4. 1. 1) 3/4 [а, Ь]; 2) 4 [Ь, а] 4- [а, с] + 2 [с, Ь]. 2. Уз*. У к а з а н и е: см.
решение примера 2. 3. {20, 4, 28}. Указание: см. решение примера 3.
4. У2331/2. У к а з а н и е: найти координаты двух векторов, выходящих
из одной вершины, и воспользоваться формулой (12). 5. ci=(—5i+j + 10k)/V 126,
с2 = (5i — j — 10k)/Vl26. Указание: вектор [а, Ь] коллинеарен искомому
вектору. Искомый единичный вектор с равен вектору [a, b]/1 [a, b] |, взятому
со знаком плюс или минус, в зависимости от того, совпадает ли он с ним
по направлению или противоположно направлен. 6. 51 — 5к и — i — 4j — 13k.
7. pi = {0, —4/5, 3/5}, p2 = {0, 4/5, —3/5}. Указание: вектор,
перпендикулярный к оси абсцисс, перпендикулярен и к ее орту. Далее см. указание
к задаче 5. 8. m=45i + 24j. Указание: см. решение примера 7. 9. coscc=2/3,
cos p = —2/15, cos у = 11/15. Указание: см. решение примера 6.
Направление вектора определяется его направляющими косинусами.
§ 5. 1. 1) левая; 2) левая. Указание: см. пример 1. 2. 1) —10; 2) —20.
3. ±27. Указание: воспользоваться геометрическим смыслом смешанного
произведения векторов. 4. 1) компланарны; 2) компланарны. 5. /г = 10/д/б9.
6.1/2.7. АН = Ъ. 8. Dx (0, 8, 0) или D2 (0, -7, 0). 9. V =17/2, h = У17 .
Указание: объем призмы равен 1/2 объема параллелепипеда. 10.
Указа н и е: см. решение примера 5.
Глава V
§ 1. 1. (1, 0, 4). Указание: так как точка принадлежит плоскости
OXZ, то известна ее вторая координата у0 = 0. Третья координата
определяется из условия принадлежности этой точки данной плоскости. 2. Точка А
и С лежат на данной плоскости, точка В не лежит на ней. Указание:
радиус-векторы точек Л, В и С разложить по координатным ортам, подставить
эти разложения в уравнение плоскости, высчитать скалярные произведения и
убедиться в выполнимости или невыполнимости полученных равенств. 3. 1)
параллельна оси OY\ 2) проходит через начало системы координат; 3)
содержит ось OY\ 4) параллельна плоскости OYZ\ 5) проходит через начало
системы координат; 6) содержит ось ОХ\ 7) совпадает с плоскостью OXZ.
4. 1) г/ — 2 = 0; 2) 2х + у — 4 = 0; 3) х — 2у = 0. Указание: см.
пример 6. 5. Зу + 2z = 0. Указание: если плоскость параллельна вектору, то
ее нормальный вектор ему ортогонален. 6. х — z+1 =0. Указание:
коэффициенты А, В, С и D общего уравнения плоскости определяются из реше-
262

ния системы уравнений, два из которых получаются из условия
принадлежности искомой плоскости точек Mi и М2, третье — из ортогональности
нормального вектора плоскости данному вектору. 7. 1) (г, к) =0; 2) (г, 2j +
+ Зк) = 0. 8. (—3/2, 0, 0), (0, 1,0), (0, 0, —3). Указание: привести общее
уравнение плоскости в уравнение в отрезках (см. пример 9). 9. х/3 + у/—4 =
= 1. Указание: предварительно записать уравнение плоскости,
параллельной оси OZ, затем преобразовать его в уравнение в отрезках. 10. х-\-2у—
— 4z + 3 = 0, X — 2y-\-8z — 9 = 0. Указание: см. пример 10. 11. 2х —
— у + Зг—15 = 0. Указание: записать уравнение искомой плоскости в
отрезках. Так как вектор п = {—2, 1, 3} перпендикулярен плоскости, то ее
нормальный вектор п' = {1/а, \/Ь, —1/5} коллинеарен вектору п. Из условия
коллинеарности векторов найти а и Ь. 12. (г — Г;, п) =0. 13. x-\-3y — 3z—
— 9 = 0. Указание: геометрическое место точек, равноудаленных от двух
данных точек, есть плоскость, перпендикулярная отрезку, их соединяющему,
и проходящая через его середину. 14. у — z = 0. Указание: если плоскость
проходит через ось ОХ, то она проходит через точку О(0, 0, 0) и содержит
вектор i = {1, 0, 0}. 15. х — 1 = 0. Указание: см. пример 13. 16. (г, 3i —
—5j) + 14 = 0. 17. Да, х + у + z — 2 = 0. 18. Зх — z = 0 и x—z = 0.
Указание: одна плоскость проходит через середину данного отрезка
перпендикулярно к нему, вторая — параллельна этому отрезку. 19.. г = 2i + 3j — 5k +
+ w(—5i + 6j + 4k) + u(4i —2J), —oo < u, v < +oo. 20. x + by — z + 5 = 0.
21. 1) (2/7)*- (3/7)y- (6/7)2-11/14 = 0; 2) (r, — (3/7)i + (6/7)j-(2/7)k)-
-3 = 0; 3) (r, (3/5)1 — (4/5)j) — 1/5 = 0; 4) x — 5 = 0; (r, — j) — 2 = 0.
22. Указание: плоскость пересекает отрезок А В, если точки А и В лежат
в разных полупространствах относительно плоскости, и не пересекает его, если
точки А и В лежат в одном полупространстве. Точки А и В лежат в одном
полупространстве относительно плоскости, если их отклонения от этой
плоскости имеют одинаковые знаки. 23. 8. Указание: объем куба равен кубу
расстояния между данными плоскостями. 24. 3. Указание: найти
расстояние от точки S до плоскости, проходящей через точки Л, Б и С. 25. (0, 1, 0).
26. (г, i + 3j) — 5.= 0 и (г, i + 3j) + 15 = 0. 27. (—2, 0, 0) и (—1/3, 0, 0).
28. 1) плоскость проходит вне сферы; 2) плоскость пересекает сферу и
проходит через ее центр. Указание: расположение плоскости относительно
сферы определяется расстоянием от центра сферы до плоскости. 29.
Точка М и начало системы координат лежат в одном угле. Указание:
см. пример 24. 30. 23* — у — 42 — 24 = 0. Указание: см. пример 23.
31. arccos(3/5). Указание: за нормальный вектор плоскости OXZ можно
принять n = j. 32. 1) / = —10/3, т = —6/5; 2) / = 3, т = — 4. 33. 1) / =
= —19; 2) / = 6. 34. х — 2у + 42— 17 = 0. Указание: см. пример 27.
35. (г, 2i — j — k) =0. Указание: см. пример 28. 36. Зх + у — 32 + 7 = 0.
Указание: см. пример 29. 37. 2х + Зу + 42 — 1 = 0, х + Зу + 9 = 0, z —
— 1=0. Указание: убедиться, что данная вершина параллелепипеда не
принадлежит ни одной из данных плоскостей, затем записать уравнения
плоскостей, проходящих через эту вершину и параллельных данным граням.
38. Две плоскости ± V^ JC + 2t/ + 2 — 2 = 0. Указание: точки А(0, 0, 2) и
Б(0, 1, 0) лежат соответственно на осях OZ и OY. Если точка С (а, 0, 0) —
точка пересечения искомой плоскости с осью ОХ, то уравнение этой плоскости
можно записать в виде х/а + у/\ + 2/2 = 1. Тогда за нормальный вектор
искомой плоскости можно взять вектор ги = (1/а, 1, 1/2}, а за нормальный
вектор плоскости OXZ — вектор п2 = {0, 1, 0}. Для нахождения коэффициента
а теперь достаточно воспользоваться соотношением (19).
§ 2. 1. 1) прямая проходит через начало системы координат; 2) прямая
параллельна оси ОХ и проходит через точку (1, 2, —1); 3) прямая совпадает
с осью OY.
( * = /,
Г (г, 21 - ]) + 1=0,
2.{ =()< 3.1) ,-! + '. 2,г-1-| +
I 2 =-1-3/, _оо</<+оо,
253

+k + (2i + k)/, -oo</<+oo. 4. 1) (jc_2)/l-(y + 3)/8 = (z-2)/i;
2) r = r0 + s/, -oo</< +oo; 3) [r —3i —5j — k, 4i — 3j] = 0; 4) (*-l)/l =
[ * = -l + ll/,
= (t/ — 2)/l = (2T —3)/0; 5) { t/ = 2+13/,
( z = — 3 + 3/, —oo < / <"+oo.
Указание: если прямая параллельна двум плоскостям, то за ее
направляющий вектор можно взять вектор, равный векторному произведению
нормальных векторов данных плоскостей. 5.(* — 0/1 = (У + 5)/л/2 = (z — 3)/—1.
Указание: в качестве направляющего вектора а прямой удобно взять
орт ао, образующий с осями системы координат углы, сответственно равные
60, 45, 120°, т. е. вектор а0 = {cos 60°, cos 45°, cos 120°}. 6. 1) да; 2) нет.
Указание: чтобы три точки А, В и С лежали на одной прямой, достаточно,
чтобы векторы АВ и АС были коллинеарными. 7. [г — 2i + J + 3k, 6i — j + 7k] =
= 0. Указание: см. пример 6. 8. * = —7 + 4/, у = \2 — 4/, 2 = 5 — 2/.
—oo < / < -f-oo. Указание: см. пример 7. 9. x = 20 — 6/, у = 18 + 8/, z =
= —32 + 24/, —oo < / < +oo, (2, 6, 40). У к а з а н и е: см. пример 7.10. 4x+
+ 3y = 0. Указание, см. решение примера 2.1). В качестве нормального
вектора искомой плоскости удобно взять n = [a, MiM2], где а —
направляющий вектор одной из данных прямых, М\ — одна из точек первой прямой,
Мг — одна из точек второй прямой. 11. го = —3i + j — к, (г, j + k) = 0. У к а -
з а н и е: см. решение примера 9.3) и замечание к примеру 9. Для нахождения
точки пересечения прямых удобно написать их параметрические уравнения и
воспользоваться решением, изложенным в примере 10. В качестве нормального
вектора искомой плоскости удобно взять вектор, равный векторному
произведению направляющих векторов данных прямых. 13. д/22 Указание: см.
решение примера 12. 14. х = —93/, у = 3 + 30/, z = — 2 + U ~°° < t < +oo.
Указание: координаты направляющего вектора искомой прямой можно
найти из условий компланарности векторов ai = {5, 2, —1}, аг = {3, —2, 1} и
ММ(, где Afi(l, —5, 0) —точка на первой данной прямой; и векторов аь а2,
ММ2, где М2(0, 2, — 1) — точка на второй прямой. 15. (х — 3)/0 = (у — 2)/2=
= (z — 1)/1. 16. (11/7, —1/7, 16/7). Указание: сначала найти прямую,
проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой. Точка
пересечения этой прямой с данной и есть искомая. 17. (2, 9, 6). Указание:
сначала найти проекцию М" данной точки М на данную прямую (см.
указание к задаче 16), затем воспользоваться фактом, что точка М" есть середина
отрезка М'М. 18. я/2 и \/л/6. Указание: ввести прямоугольную декар-
тову систему координат так, чтобы ее оси совпали с тремя ребрами куба. В
этой системе координат написать уравнения прямых, на которых лежат
данные диагонали куба.
§ 3. 1. 6* + 9у + 22z = 0. 2. (г, 211 + Нк) - 3 = 0. 3. (г, 3i + 2j) + 1 = 0.
Указание: искомая плоскость параллельна вектору — 2i + 3J + 2k (см.
пример 4). 4. (г, 9i + 7j + 8к) + 7 = 6. Указание: искомая плоскость
параллельна вектору АВ. 5. (г, 41 i — 19j + 52k) —68 = 0 и (г, 33i + 4J — 5k) —
— 63 = 0. 6. 3* — \y — 5 = 0 и 387а: — 164t/ — 24z — 421 = 0. Указание:
искомые плоскости удалены от центра сферы (0, 0, 0) на расстояние, равное 1,
7. (Г| i — 2j + k)— 2 = 0 и (г, i-5j + 4k) — 20 = 0. 8. х — \\у + 2Ьг — 5 = 0
и х + \8у — 45г + 5 = 0. Указание: уравнение пучка плоскостей записать
в виде уравнения плоскости в отрезках. 9. х + 3у = 0 и 3# — # = 0.
Указание: уравнение пучка плоскостей, проходящих через ось аппликат, имеет
вид ax + pt/=0. 10. 1) (г, 101—7k)=0; 2) (г, j)—7=0; 3) (г, 39i-29j-7k) = 0.
Указание: см. пример 6. 11. sin qp = л/bfa. 12. 1) (2, 4, 6); 2) (0, 0, 2).
13. a = —1. 14. 5а: — 22t/ + 19z + 9 = 0. 15. 1) пересекаются в точке (2, 4, 6):
2) прямая принадлежит плоскости; 3) прямая перпендикулярна плоскости.
16. (г - Г1, а) = 0. 17. (7, 1, 0). 18. [г + 9i + j, 7i + 4J - k] = 0. У к а з а н и е:
для нахождения проекции прямой на плоскость достаточно знать проекции
двух ее точек на эту плоскость. 19. (4, —1, 3).
254

РАЗДЕЛ II
Глава I
жены; 3) 3 +/; 4) — 2 2 ; 5) cos 2а + / sin 2а; 6) /. Указание: вы
9) ±(2-2/); Ю) ±(5 + 6/); 11) \ Д пи_Ц2° • Указание: какое
= "F"T/: 4) ^1.2==±l~^ + ^"/)' *3,4 = ±l-V---r 0'5)^=-4~3/
§ 1. 1. 1) —12 — 13/; 2) 4/. Указание: вычисления будут короче, если
использовать тот факт, что члены разности двух комплексных чисел сопря-
2 (ас + bd)
с2 + d2
числения будут короче, если в числителе вынести / за скобки; 7) —2; 8) ±(1+4/);
2а2 + b2 — ib Уз"
2(а2-а& + 62)
число сопряжено со знаменателем? Использовать замечание к примеру 7.
2. 1) *i = 3 — /, х2 = — 1 + 2/; 2) *i = 2 + /, *2 = 1 -^3/; 3) х{ = 1 — /, х2 =
_±(^+^,).л,.=±(4-1')5>"—
Указание: использовать алгебраическую форму числа х\ 6) #i = 0, #2,3=
l |—=- Н т=- Mi *4 5 = ± (4 У17 -- / У17 ). Указание: домножить
^ЧУ2 У2 /
обе части уравнения на х, поделить на \ х\2 и обозначить у = х2/\ х \. Найди
у, перейти к модулям, найти | х |, а затем и х.
§ 2. 1. ф + я/2 или ф — я/2, если хф— у или # = г/ = 0. При х=—уФ0
условия задачи никак не определяют искомый аргумент, -хотя можно сказать,
что он равен arg x. 2. На комплексной плоскости — все точки прямой,
перпендикулярной вектору х0. 3. я/3 или —я/3. 4. 2я/3 или —2я/3. 5. ф или ф+я.
6. ф, если хфО или х = у = 0. При 0 = хФ-у условия задачи никак не
определяют arg у. 7. ф + я, если хфО или х = у = 0. При 0=*хФу условия
задачи никак не определяют arg у. 8. я/6 или 5я/6. Указание: где на
комплексной плоскости расположена точка | х | /? 9. я/6 или 5я/6.
Указание: где на комплексной плоскости расположена точка | х \ /? 10. я/6, или
—я/6, или 5я/6, или — 5я/6.
§ 3. 1. 1) 2 л/2" (cos (- я/4) + / sin (- я/4)); 2) 2 y3"(cos 5я/6 + / sin 5я/6);
3) 5 (cos 0 + / sin 0). Указание к задачам 3), 4), 5): обычная процедура
здесь не нужна. Определить, где на комплексной плоскости расположены
данные числа; 4) 4 (cos я + / sin я); 5) 3 (cos я/2 + / sin я/2); 6) 2 Уз X
X(cos (arctg (— 3 — 2 У2) + я) + / sin (arctg (—3 — 2 У2") + я)). Указание:
определить знак вещественной части; 7) У1 + a2 (cos arcctg a + / sin arcctg a).
Указание: по знаку какой части — вещественной или мнимой — удобнее
здесь выбирать нужное значение аргумента?; 8) cos (—ф) + / sin (—ф).
Указание внести —1 под знак синуса; 9) 3 (cos (ф + я) + / sin (ф + я)). Указан ив:
внести —1 внутрь скобок; 2. 1) У2 (cos (ф + г|) — 7я/12) + / sin (ф + г|)—7я/12));
2) З13 (cos 7я/6 + / sin 7я/6), или, что то же самое, —З13 (cos я/6 + / sin я/6);
3) 2п cosn ф/2 (cos лгф/2 + / sin яф/2). Указание: использовать пример 1.3)
и замечание к его решению; 4) cos п (я/2 — ф) + / sin п (я/2 — ф), или, что
то же самое, cos шр — / sin пу при п = 4 k, sin яф + / cos пу при п = \k + 1,
— cos шр + / sin яф при п = 4k + 2, — sin ny — i cos пу при п = 4k + 3,
feeZ. Указание: представить sin ф и cos ф соответственно как cos 6 и
sin 0 (чему равно такое 6?) или вынести / за скобки; 5) (l/cos^)X
X (cos шр + / sin шр). Указание: вынести 1/cos ф за скобки; 6) У2 X
X (cos (я/12 + 2я/г/7)+ /sin (я/12 + 2я^/7)), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6;
7) ± (cos я/8 — / sin я/8), ± (sin я/8 + / cos я/8). Указание: один из корней
умножить на корни 4-й степени из 1 (каковы эти корни?). 3. 0,59+1,10/,
— 1,25 — 0,04/, 0,66+1,06/. Указание: вычисления вести в такой по-
255

следовательности: найти квадраты модулей сомножителей и знаменателя,
квадрат модуля всего данного числа, модуль искомых корней, аргументы
сомножителей и знаменателя, аргумент данного числа, аргумент первого
корня; вещественную и мнимую части первого корня, далее так же для
двух остальных корней. 4. 2 cos жр. Указание: из данного
соотношения найти возможные значения х, а затем требуемое число.
б. 2 cos п (я/2 — ф). См. указание к предыдущей_задаче, а также ответ к
задаче 2.4). е. 1) xlt 2=± i уз". *з,4 = ±(4 + ^-<). ^,б=±(-|-:^- <);
2)«,,_±(fi+±(). ,l4_±(#-j<> ,1е_±(!+4Ц
х7 8 = ±Гу— 2" 0' 7# а==2' *==~~1; а==~2' ^ = 15 а=1, *12 =
i , Уз" . - , 1 _,_ Уз"
тригонометрическую форму числа х.
= — — ± -^—г, а = — 1, #j 2 == тг =±= ~^—*'• Указание: использовать
Глава II
§ 1. 1. 1) 2х7 + *б — 5*5 + 5*4 + 3*3 + х2 — 5* + 3; 2) *б - 14л;4 - 4*3 +
+ 15л:2 + 4а: — 2; 3) х6 + *5 - З*4 - 4*3 + х2 + Зх + 1. 2. 1) f=*gX
X (З*3 + З*2 - * - 7) - 3* + 12; 2) f = g (*з __ 2х2 + 2х — \) + Зх2 - 6* + 5;
3)/ = 4f* + ^)"*+9-;4)/=^ F=l + *2 + * + i =
= fir (*17 + а:14 + *п + . • • + х2 + х7 + *4 + х) + *2 + х + 1. Указание:
сначала найти остаток методом неопределенных коэффициентов. 5) / = gX
X (2*4 — *3 + З*2 — 4* + 3) — 4. Указание к задачам 5) —7): применить
схему Горнера; 6) / = g {х5 - хА - 2*3 - х2 - х + 1); 7) f = g (x3 + (1 + О X
X *2 + (-1 + 0 х - 1 - /) + 1 - /; 8) f = g (х™ + х28 + • • • + х + О + 2.
Указание: сначала по теореме Безу найти остаток. Можно бы и сразу
заметить, что х30 + 1 = (*30 - 1) + 2. 3. х. 4. 1) 5; 2)0; 3) — 3 + 9/;
4) —1 — /. Указание: везде, кроме задачи 4), применить схему Горнера.
б. 1) (*-i-0(*-i+0(*+i--0(*+i + *); 2) (*-1-л/з")Х
п-\
X (х - 1 + УЗ) (х + 1 - /) (х + 1 + 0; 3) 2 Д (* + 1 + i ctg (2/г^°Я);
6. 1) (*2 - 2* + 2) (х2 + 2* + 2); 2) (х2 + 3) (х2 + 3* + 3) (х2 - Зх + 3);
л-1
3) и-1-УзГ)и-1 + Уз)(^+2^+2); 4) Д (*2-2* соз(3*+[)2я +1);
(я-2)/2
5) 2 Ц (*3 + 2, + ___-L___) при п четном, 2(*+1)Х
(я-3)/2
X Д (*2 + 2* + cos2 [(2* + 1) я/2/»] ) ПРИ П Н6ЧеТН0М- 7- Указание:
fe=0
использовать то, что корни многочлена х2 + х + \ — это кубические корни
из 1. 8. 1) т, я, р одновременно четны или одновременно нечетны.
Указание: корни многочлена g — это кубические корни из — 1; 2) т, /?, п + 1
одновременно четны или нечетны. Указание: см. указания к задачам 7
и 8. 1); 3) п не делится на 3. Указание к задачам 3) —6): см. указание
250

к задаче 7; 4) п = 6k ± 1; 5) п = 6& ± 2; 6) а «= 0, 6 = — 1 Я. Указание:
положить // = хп и доказать, что f (у) \ у — \
§ 2. 1. 1) (х - I)3 (* + О2; 2) (х2 + * + I)2: 3)jc3-1. Указание:
рассмотреть £ - f; 4) *2 - х + 1; 5) {х + I)2 (* - 2)2; 6) *2 + * - 1: 7) *2 + 1;
8) *2 + л: + Г, 9) 1; 10) * — 3. Указание: первый остаток разложить
на множители; 11) (х + \) (х2 — х — \); 12) л: — 1; 13) х2 + х + 1.
Указание: обратить внимание на последние три члена многочлена f.
2.-2.^ 3. iy-l=;^±L + ,^l; 2) ,.-iW-Z^t2_ +
+ g *4~2*3 + 2*-l . 3) x2_2 = n_x_l) + g(x + 2).9 4) *-l =
. — x+\ , 2*2 —2* —3 C4 , , — 2*2 — 3* , 2*3 + 5*2 — 6
= /—1 + g з ; 6)i-/-—g + g g .
4. 1) u = Sx—2 + (x2 — 1) w, v = — Зл:2 + 2л: + 6 — (a:3 — 3a: — 1) w, ш
пробегает множество всех многочленов; 2) 0 (таких пар нет); 3) и— Ъх — 2 + gwt
v = —9л:2 + 3* + 5 — /ву, ау пробегает множество всех многочленов.
5. 1) х6 + 3*5 + 2хА - 2х\ 2) х5-х* + х2 — х — 1. 6. 1) (а2 —а+1)/3;
2) 17а2 - За + 55; 3) -За3 + 8а2 - 10а + 3.
§ 3. 1. 1) 3; 2) 3; 3) 3; 4) 4; 5) 3; 6) 5. 2. 1) а = п - 1, Ь = - п\ 2) п =
= 6*+UsZ;3)rt = 6H4JeZ.3. 1) (* - I)2; 2) (х - I)2 при п ф 1,
(*2 - I)4 при л = 1; 3) U+1) (х - I)2 (*2 + * + 1); 4) (*+0 (х - l)2 (*2-*+l).
4. 1) 1 = / (-20*3 + 70*2 - 84* + 35) + £ (20*3 + \0х2 + 4х + 1); 2) *3 X
Х(,-,)*(*+0- = / 2^+ff + 39 +g -Я*+ 57*-48*+16 .
3) (jc+ 1)2(*- 1) == / • 64л:2 (д: — 1) + ^ (—4л:2 + 2л: + 1). 5. 1) ы = -Зл- + 5 +
+ (* - l)2 ai,ti = Зл-2 + 4л- - л-2 (л- + 1) w; 2) и = —Зл-2 + 7л- — 4 + (х — I)3 ш,
и = Зл:2 + 2л: + 1 — x3w, w пробегает множество всех многочленов.
6. 4*4 — 27*3 + 66*2 — 65* + 24. 7. 1) нет; 2) имеет только при п = 2.
8. 1) ± 2; 2) 0, ±1. 9. 1) х2 - х - 2; 2) *3 - 4*2 + 6* - 4; 3) х3 - х2 - х - 2;
4) *3-*2 + л-- 1. 10. 1) {х+ 1)4-2(* + I)3 — 3 (л- + 1)2 + 4(* + 1)+ 1;
2) (л--2)4-18 (л--2)+ 38; 3) (л- + 2)5 - 5 (л- + 2)4+8 (* + 2)3 - 2 (* + 2)2-
-б<* + 2) + 1: 4)2 + 2^р1)-(л--1)2 + 2 п(п - \) (п-2) (п-S) х
X(a:-1)4+...*=2 + 2C2(*-1)2+2C^(*-1)4+... П. 1)*4+11*3 +
+ 45л-2 + 8U+ 55; 2) л-4 - 4л-3 + 6л-2 + 2л-+ 8; 3) х5 + 6л-4 + 13л-3 + И*2 +
+ 2л- + 2.
§ 4_ 1. —8, 1 ± / л/ъ. 2. — 11, 1 ± / л/3". 3. —3, 3 ± i Уз! 4._ 10,
1±*УЗ. 5. Xi =2 + 2/, л-2 з = —1 -*. 6. /УЗ, (3+ /д/з")/2, — (3 + / Уз )/2.
7. а — 1, 1/2 (1 — а ± (]_ + а) i У§"). _ 8. -1 ±j У^, (-1 ± УГ)/2.
9. (-1 ± / У§")/2, -1 ± л/2. 10. (1 ± Уб)/2, -1 ± У2. 11. 1 ± /, 2 ± i.
§ 5. 1. Многочлен имеет по одному корню в промежутках: 1) (—2, —1);
2) (1, 2); 3) (-1, 0), (1, 2); 4) (-2, -1), (-1, 0), (1, 3/2), (3/2, 2); 5) (-4, -3),
(-1,-2/3), (-2/3,-1/2), (0,1); 6) (-1,0), (0,1), (5,6). Указание
к задачам 6) —9): производная легко раскладывается на множители;
7) (-2, -1), (0, 1), (6, 7); 8) (-6, -5), (-1, 0), (0, 1): 9) (-3, -2), (-1, 0),
(2, 3); 10) (-3, -2), (-1, 0), (0, 1), (1, 2); 11) (-4, -3), (0, 1), (3, 4).
2. 2 при п четном, 3 при п нечетном. Указание: рассмотреть многочлен
ее/ Х + П— 1
§ 6* * 1} 4 (х - 1) "~ 4 (л- + 1) "" 4 (л- - i) + 4 (л- + i) ; 2)""1б"Х
*\ а: — 1 — / + л: — 1 -Ь t + *+1-/ + *+1 + / У } ^^Г"1"
267

-2 + / -2-/, 1 4 9,
T 2(*-i) 2(* + /) ' ' 12 (jc — I) 3(* + 2) ^ 4(* + 3)f
5) "~ 6(*- 1) + 2 (x — 2) " 2 (jc — 3) + 6 (* - 4) ; 6) T £*=<> e*/(*~ Bk)>
e, = cos 2£я/я + i sin 2knln\ 7) —— :—, ^.9 + ——г-ггз- + -;—г-^п—
* ' * + 2 (* + 2)2 ^ (x + 2)3 T (* + 2)4
5 12_. gv 1 5 8 7
(* + 2)5 (* + 2)6 ' ; * - 2 (* - 2)2 "*" (* - 2)3 ^ (x - 2)4 ^
io , 5 . m__! L_. m ' |
•^ /v _ o\6 » y/ yi /v _ i\2 л /v _i_ i\2 » 1U' ^ГТЗ 7\2~«~
^ (*-2)5 ^ (*-2)6' } 4(*-l)2 4(*+l)2> 1W' 4(x-i)2
+ _i • и) 35 35 15 5__
t4(jc + 02 256 (*-l) 256 (л: — l)2 ^ 128 (л: — l)3 64 (a: — l)4 ^
1 35 35 15 5
+ 32(*-l)5 256 (a: + 1) 256 (a: + l)2 128 (л: + l)3 64 (a: + i)4
1 •; 12) 3 4,1 1 2 ,
32(*+l)5> (*-D3 (*-l)2^*-l (*+l)2 ^+1
, 1 . ,«ч 3,5435 3 . 2 2
, 4 Z 22 46 26 . ^_
(*-l)2 (*-l)8 (*-04 (x- l)5 ^ (*-l)6 ' ' "2 A
Гх-л£=Я-1 Г2
. , ..._.. b^_ ^« = v и, — о^
> — -о (л— 1) > , е. =cos \-
. 2&я ' 1 1 1 1 / 1
+ «sin л »Zel'8(Jc-2) 8(* + 2) + 2(*2 + 4)' ^ 18 U2 + 3* + 3 +
, 1 2_V q\ J х л\ Л * 1
*2 + 3* —3 *2 + 3>Г ' х х2+\9 ' Ах 3(*2+1)
. х ъ±.(_± 1 . оГ*-и х cos (knln) - 1 у
"*" 12(а:2 + 4) ' 0) 2п \х - 1 х + 1 "*" Z^/fe = i *2 - 2а: cos (*я/л) + \)*
fi\ 2Х~~Х 4- *~"1 4- * • 7^ 1 Д. *~1 М
0) (л:2 -h О3 (л:2 + О2 л:2 + 1 " ' (х2 + х + 2)3 ^ {х 2 + х + 2)2 "*"
, -х-* . 8ч 1 . *~1 ■ *+1 . 9ч _ i. ,
"*" *2 + х + 2 ' ; 4 (jc + 1) ^ 4 (jc2 + О 2 (^2 + О2 ' ^
7 3 6^ + 2 3^ + 2 1
"+" ~ _L 1 "• / v _1_ 1 \2 v2 I v _I_ 1 / v2 I v I 1 \2 » 1U/
*+1 U+l)2 ^2 + ^+l (^2 + ^+l)2> 9 (л: — I)2
L f • H)_L_+ ! *
9 (а:2 + л: + 1) 3(*2 + *+1)2> } х2 + 1 х2 + х + 1 (^2 + ^+1)2'
12) * | 4* . jo) _^ ! *__» 24
JC2+1 ' (^-1)3> ' Х2+\ Х+\ (*+1)3 ' (Л+1)4
16
U + 1)5 •
Глава III
^ 3 4ч
А . _ /12\
произведение
i \ у/
^2 1 1>
ВА не существует, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк
,3 2 1>
§ 1. 1. 1) ЛВ=-(10 3) в^ = (7 2 3): 2) ЛВ = (1д)' ПР
не существует, так как число столбцов матрицы В не равно ч
Л 2 К
матрицы А\ 3) Л£ = 1 6 4 2 1, £Л = (10); 4) произведение ЛБ не сущест-
\9 6 3/
вует, так как число столбцов матрицы А не равно числу строк матрицы В,
/10 15 —5\
В А я I I; 5) произведение АВ не существует, так как число
258

столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А ВА = (\\ —1);
/28 27 8\
6) Л£ = 1 I, произведение В А не существует, так как число столб-
/3 1\
цов матрицы В не равно числу строк матрицы А 7) АВ = I I, ВА =
=П1> »>-с:> -<::). *"-(
/4 13 4\ /2 ~~9 Ч о /'
"■(: |;;)лв-вп;:::)1',(»-а>2ч
6 4
8 5
О 6
)■
4. 1) /7 104 2)
(:
2)
21
13
9
-23
34
22
15<
10
25
С 0=3* С
)
0
г~1\ 4) ИЗ 3 9ч
п У ( 7 2 5)
V 4 1 3/
)
2 2 2>
1) /0 0>
§ 2. 1. 1) 8; 2) 0; 3) —263; 4) 1; 5) sin(ct— р); 6) 0; 7) а2 + b2 + с2+а*2;
8) 8; 9) За&с — а3-Ь3 — с3; 10) 1. 2. cos2 а + cos2 р + cos2 у = 1. 3. 1) abed.
Указание: разложить определитель по последней строке, затем по
второй строке; 2) 90; 3) 0; 4) 5; 5) п\ Указание: ко всем строкам, начиная
со второй, прибавить первую; 6)—2(п — 2)! Указание: вычесть вторую
строку из всех последующих, затем из второй вычесть первую, умноженную
на 2; 7) (х — щ) (х — а2) ... (х — ап). Указание: из каждого столбца
вычесть последний, умноженный соответственно нааь а2 ап. 8) 1. Указа-
н и е: ко второй строке прибавить первую, к третьей — получившуюся вторую
и т. д.; 9) (— \)п-1(п—1). Указание: все столбцы прибавить к первому,
затем первую строку вычесть из всех остальных; 10) (—\)п~1п\ Указание;
вычесть последнюю строку из всех предыдущих. 4. 1) Д„+1 = *„Дп+
+ апу\у2 •.. Уп, Д*+1 = а0*1*2 ... Хп + а\У\Х2 ... хп + а2у{у2х3 ... хп + .:.
... + а>пУ\Уч ■ Уп. Указание: разложить определитель по последнему
столбцу; 2) Ап = *A*-i -f n, A„ = хп~х + 2*"-2 + ... + (л — 1)* + п. У к а
з а н и е: разложить определитель по последнему столбцу.
-9/5
7/5.
1. / 2/5 —9/5\ 2. И —а ас — К
V—1/5 7/5 У (О 1 -с ]
М) 0 1 /
§ 4. 1. 1) при К = 1/2 г = 1, при К # 1/2 г = 2. Указание: см.
пример 2; 2) при X = 3 г = 2, при X Ф 3 г = 3. 2. 1) 3; 2) 2; 3) 2.
Глава /V
§1. 1. 1) *, =-7 -(25/2) а, *2 = 5 + (13/2) а, х3 = —3 - 4а, *4 = а;
2) ЛГ1 = 7/2 — (3/2) а, *2 = а, х3 = — 1, *4 = — 1; 3) *, = 0, х2 = 2, лг3 = 5/3,
х4 = —4/3; 4) система несовместна; 5) Х\ = 1, #2 = 2, #3 = — 2; 6) Х\ =
= — 5 — 5а — 7Р, jc2 = 10 + 7а+12Р, *3 = а, х4 = 2 + 2р, лг5 = Р (а и В
Г—7/13) ' Л|"" ' "*
любые числа). 2. 1) Х\ =
-1/13
1
0
х> =
—9/13
-5/13
0
1
или Xi =
-7
— 1
13
0
*2 =
259

-9
-5
О
13
2) *i =
r-1
1
0
0
1 0.
, *2 =
'—4'
0
1
1
0.
, *з =
f ~~31
0
1
0
> li
3) система не имеет
нетривиальных решений; 3. 1) нет; 2) да. 4. При всех а Ф — 1.
§ 2. 1.
"(1Ь
2) решений нет;
1 + сс/2
За/2
а, р—любые числа; 4) решений нет; 5) (
1 -1>
х-(_; J).-(-;=;). * ■>(_
-1 + Р/2ч
2-30/2),
2\
3) / 1 + (
-4 -3,
-5 -3 ;
б 4/
-4
2) обратной
матрицы нет; 3)
£ Я. Y. =
-10 5 1
3 -2 1
5 -2 -2
3-1-1
Й>-в*)
k = i
-3
0
3
1J
== ■—— Указание. Определитель этой си-
(b-at)U (ai~ak)*
k ф 1
стемы есть определитель Вандермонда, рассматриваемый в любом курсе
алгебры и почти во всех учебниках, посвященных матрицам и определителям.

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М., 1968. 912 с.
Вахвалов С. В., Моденов П. С. Сборник задач по аналитической
геометрии. М., 1964. 440 с.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. М., 1968. 236 с.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., 1964.
256 с.
Моденов П. С. Аналитическая геометрия. М., 1969. 698 с.
Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.
М., 1968. 356 с.
Боревич 3. И. Определители и матрицы. М., 1970. 200 с.
Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. М., 1979. 375 с.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., 1965. 431 с.
Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре.
М., 1977. 288 с.

ИБ № 2226
Задачник-практикум
по аналитической геометрии
и высшей алгебре
Редактор Г. И. Чередниченко
Обложка художника В. А. Тюлюкина
Художественный редактор О. Н. Советникова
Технический редактор А. В. Борщева
Корректоры Е. К. Терентьева, Э. М. Рыбакова
Сдано в набор 26.07.84. Подписано в печать 20.12.85. Формат бум. 60X90'/ie. Бумага
тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 16,5. Усл. кр.-отт. 16,69.
Уч. изд л. 15,86. Тираж 12 500 экз. Заказ 273. Цена 50 коп.
Издательство ЛГУ имени А. А Жданова. 199164, Ленинград,
Университетская наб., 7/9.
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Зна»
мени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союз*
полнграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29,