/
Текст
e*+JO
111. у- ,
2(х4-2)
Ill у-In—-
х-2
8.13. у-(2х4-5)е“2<х+2).
115.y«2ta-^--l.
х+1
116. у«»(4—xje*-3.
8.17. у-
е~2(х+2)
2(х+2) ’
115. ^-(гх-Пе2*1*-*).
821. у»21п——3.
х—4
8.18. у-21п------:
х
е-(*+2)
120. у---------—.
3.
825. у--(2x4-3) е2^4"2).
827. у-In—-+2.
х
824. y-b—--1.
х+5
е“2(*-1)
826. у»---------.
У 2(х—1)
828. у-(х4-4)е“(х+3>.
- — . *+6
830. y—ta---
х
831. у-21п—+1.
х
Задача 9. Провести полное исследование функций и постро-
ить их графики.
5.1. у-VG-xj(xa-4x+1).
53. у *|Дх+2Хха+4х+1).
53. у-^-^^гх-г).
5.7. у-^х^ ^х+З)1.
53. у-^/Лх-гЛ
5.11. y-V^^A
5.1Х у-.|/(х+3)х^.
5.15L y-VCx-l^-V?-
А17. y-VS3^*^-
515. y-VS+lX^3.
521. у-</(х-2)*-</(ж~3А
521 y-Vc*-^:
525. y-tfx(x-3?.
52. y-~V(*+3Xxa+6x+6).
9Л у-цДхчлххЧгх-г).
5Ж y-V(x-3X^-6x4-6).
5Л у"|/х^(х4-2А
5.10 . у-^(х1-2х-3)а.
5.11 y-VAx“4)a-
5.14. у-</(*1Хх+2Л
5.M. у-^х+б^.
5.11 у-^/(х-1)*-|/(х~2Л
520. y-|/(x-3)?.
521 y-</(x+2Xx-4)3.
524. y-</x5-V(jr l)a-
526. у-Ъ/Щх+ЗУ.
9.27. у-1/(х+2У-1/(х+ЗУ.
939. у-^/х(х+6)2.
931. y-Vx(x-l)J.
938. у»</х(х-6)2.
930. у«^/(х+1)2-</(х+2)<
Задача 10. Провести полное исследование функций и постро-
ить их графики. 10.1. >»ee,iDX-|-co‘x. 103. y»ln(coex-|-smx). ЮЛ у-еГ'***. 10.7. Л’-Ь^япх). 10.9. y-e*inx~coex 10.11. y-ln(smx—cosx). 10.13. у-е-^со>х. 10.15. y-ta(-^coex). 10.17. y»e-“nx~0o,x. 10.19. y-in(—йпх—coex). 103. y-arctg[(sinx+cosx)/^). 10.4. y-l/(sinx+cosx). 103. y—arctg sinx. 103. y-l/(sinx— coax). 10.10. y*arctg[(sinx—cosxy^/lj. 10.12. y-l/(sinx+co8x)2. 10.14. y»—arctgcorx. 10.16. у»1/(мпх—cosx)2. 10.18. y-^/sinx. 1030. y—^(smx-co*x)/^2.
1031. 1033. y—ln(—^/2sinx). 1035. 1032. y—^cosx. 1034. y—y/cosx. 1036. y»^/(sinx+co*x)/^2.
1037. y-ln(co8x— rinx). 1039.y-tf/ico,x. 1031. y»ln(^co>x). 1038. y-B^rinx. 1030. у«в^(втх4-со»х)/^2.
ит. ИНТЕГРАЛЫ
Теоретические вопросы
1. Понятие первообразной функции. Теоремы о первообраз-
ных.
2. Неопределенный интеграл, его свойства.
3. Таблица неопределенных интегралов.
4. Замена переменной и интегрирование по частям в неоп-
ределенном интеграле.
5. Разложение дробной рациональной функции на простей-
шие дроби.
б. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование ра-
циональных функций.
7. Интегрирование выражений, содержащих тригонометри-
ческие функции.
8. Интегрирование иррациональных выражений.
9. Понятие определенного интеграла, его геометрический
смысл.
10. Основные свойства определенного интеграла.
11. Теорема о среднем.
12. Производная определенного интеграла по верхнему преде-
лу.Формула Ньютона' — Лейбница.
13. Замена переменной и интегрирование по частям в опреде-
ленном интеграле.
14. Интегрирование биномиальных дифференциалов.
15. Вычисление Площадей плоских фигур.
16. Определение и вычисление длины кривой, дифференциал
длины дуги кривой.
Теоретические упражнения
1. Считая, что функция —равна 1 при доказать, что
она интегрируема на отрезке [0, 1].
2. Какой из интегралов больше:
1 1
Г/йахУ . ГмПХ , л
11-^-1 dx или 1-^-cLx?
3. Пусть f(t) — непрерывная функция, а функции <р(х) и ф(х)
дифференцируемые. Доказать, что
1 | f(t)dt^(x)W(x)-A<p(x)W(x).
4. Найти 4
е** d/.
5. Найти точки экстремума функции
f(x)~ e-'dl.
6. Пусть f(x) — непрерывная периодическая функция с пери-
одом Т.,Доказать, что
7. Доказан*, что если f(x) -
четная функция, то
JW&x.
8. Доказать, что для нечетной функции f(x) справедливы
f(x)dx**Q.
»!
9. При каком условии, связывающем коэффициенты a, Ъ, с,
гсграл I Дх является рациональной функцией?
Расчетные задания
Задача 1. Найти неопределенные интегралы.
1.1. 1 (4—3x)e-3xdx. LX j arctg^4x—Idx.
ч (3x+4)e*»dx. 1A 1 (4x— 2)co«2xdx.
1Л. 1 (4—16x)ain4xdx. 1Ж I (5x-2)e3jcdx.
L7. I (l-6x)e2xdx. 1Л. I Hx’+djdx
и. I ta(4xa+l)dx. 1.10. J(2-4x)on2xdx.
1.11. Jarctgi/бх—Idx. 1Л1 (•“^(dx—3)dx.
1.1Х |e-342-9x)dx. 1.14. Jarctf^/2x—Idx.
1.15. Jarctf-Узх—Idx. 1ЛС Jaretg^/jx—Idx.
1.17. p5x+6)coe2xdx. 1.М. (3x-2)coe5xdx.
". |*(х^2—3) cm 2xdx. 1Л. *(4x+7)coe3xdx.
IM. (2x-5)co«4xdx. • 1ЛХ |’(8~3з)см$с4х. .
fl
IM. (x+5)sin3xdx. 134. 1(2—3x)sin2xdx.
us. (4x+3)sin5xdx. 136. |*(7х—10)tin4xdx.
137. ^(>/2—8x)sin3xdx. 13X P xdx |cM3x’
1J>. Г xdx lan2x‘ 130. j*x sin2 xdx.
131. Гх CM xdx 1 m x
Задача X Вычислить определенные интегралы.
< ► b f < )
XI. 1 (x2+5x+6) CM 2xdx. XX 1 J (x2— 4)cos3xdx.
1 r a
< < >
XX I (x2+4x+3)cMxdx. x< j (x+2)2CM3xdx.
«V 1 ' a
XX (x2+7x+ 12) cm xdx. XX I (lx2 +4x4- 7)cm 2xdx.
— * 1 *
Х7, | (9x2+9x+ll)cM3xdx,. > ш I (8x2+16x+ 17)cM4xdx.
* 1*
X>. I (3x3+5)coe2xdx. XIX j*(2x2—15)coc 3xdx.
« Ze a 2«
XU. I (3—7х*)см2х<1х. XIX ^(1—8x2)co<4xdx.
0 0 a
XIX 1 (xa+2x-bl)sin3xdx. XIX ^(x2—3x)sm2xdx.
-1 1
56
115. |(х*—3x+2)anxdx.
о
117. J (x2+6x+9^fcm2xdx.
-з
<2
119. Г (1— 5x*) sin xdx.
Ill
118.
120.
<2
I (x2—5x+6)an3xdx.
«/<
Г (x2+17,5)«n 2xdx.
(3x—xa)sin2xdx.
In1 xdx
124. (x+l)ln2(x+l)dx.
о
1 I
-i
121
Задача 3. Найти неопределенные интегралы.
XII. Г япх—совх . f xcoex+sinx t
J (совх+кпх)* aSwJLX* 1 (ХЙ.Х)*
Г г*Х* Г xdx
XIX 1 dX
J **4-1 X14. j
XIX [-£=. XIX J Г1+1п(х-1)л dx
J аух-1 1 x-1
Х17. Г (x*4-l)dx J (х14-3x4-1)*' XIX j r4arctgx—x. 1 1+Л* *•
XIX 1 ——dx Jx*+4 X20. Г x+coex . —s dx. | xa4-28inx
Х21. f 2с<жх4-3йпх 4 J (2 япх—Зсмх)* X2X j
Х2Х 1 —1 ex. J (Vx+xJ* XM j L-i*1-
Х2Х X2X j
Х27. farctfx+x. 1 ~;—t*—**- J 1+x* X2X Г X- (aictgx)* | Дх.
X». X3X ^(arcrinx^+l « —dx 1 Vl-X1
Х31. f <u J Vx(x+1)
l+ln(x-l)
•41
Г (x’+Ddx
J (x* 4-3x4-1)**
2
4arctfx—x
х+солх
x*4-2shx
i/a
Г Зсовх+Змпх
J (2япх—Зсовх)1
1Д2^)+1
1 49. 0 xdx "‘j 3
411. j * x-l/x 7?^ 3 412. | <
i
413. j 414 j
c 0
nl 3
415. Г (arcsinx^+l 1 > 4M.J 1 7x(x+l)
“'i •‘ dx « 418. j ‘l+hixi djk
Xyjx2 + 1 i X
5 e
• dx ‘?+h?
4.2П. J dx.
419. Xyjx2—1 i X
i 4
421. I xdx 422. j • Pdx
(x’ + l)1’
0 0
*/4 0
423. । tgxlncotxdx. 424 f tg(x+l) J coea(x+l)
2 к
425. У (arccosx)1—1 424 f 1—coex t 1 7 :—udx
1 J (x—emxr r
я (/4 1 rft
[* sin x—coex A ‘ xcoex+sinx ,
(coex+emx)s (xsinx)2
0 я /4
F xdx
0 430.
J yjx^—x3— 1 /a
4 <31.] xdx V*-i
Задача 5. Найти неопределенные интегралы.
5.1.
53.
53.
5.7.
53.
. (x-lXx-2Xx-3)dX'
(х-1Хх+1Х*+2)
5.11. Г х2—Зх2—12
- ГТ dx.
5.13. (х-4Х*-3)х ГЗх3—2
—-=dx.
X*—X
5Л5. 3—— dx.
5.17. X2—X Г2ха-8х24-3 „
, dx. х2-2х ‘-xs4-9x24-4 .
5.19. —-5— -dx. x24-3x Г х2—5х2 4-5x4-23 л
S«21« । dx.
(х-1Хх4-1Х*-5) Г2х*-5х2-8х-8
533. —: dx.
535. х(х-2Хх+2) *Зх*4-Зх2-5х24-2 л
х(х-1Хх4-2)
537. ’х3-х*-6х2 4- 13x4-6
х(х-ЗХх4-2)
539. ,2х*4-2х2—Зха4-2х—9 ,
х(х-1Хх4-3)
531. 2х3-40х-8 .
х(х4-4Хх-2) *
5.10. * Xs—Зх2—12
dx.
(х—4Хх- ЗХх-2) 4Х24-х2 4-2 ;
5.12. dx.
х(х—1Хх—2) Г Xs—Зх2—12
5.14. з г: г- dx.
(х—4Хх—2)х ‘ Xs 4-Эх2-1
5.16. —з^+х—
‘3x’-12xs-7
5.18. ,-х94-25хэ4-1 ж
-= dx. х24-5х‘ ‘х342ха-2х345х2-7х49
(х4-ЗХх—1)х Г4х*4-2х2-х-3 ,
534. dx.
х(х-1Хх4-1)
,2х*4-2х2-41х24-20 ,
536. dx.
х(х—4Хх4-5)
‘Зх’-х2-12х-2 .
538. dx.
х(х4-1Х*~2)
,2х2-х2-7х-12
530.
• х(х-ЗХх4-1)
Задача 6. Найти неопределенные интегралы.
Г х24бх2413x4-9
J (х+1Хх+2)э *
Гх’-6х2+13х-6
J (х42Хх—2)э
JX2—6ха4-11х—10 л
—7---S3---ZT5—dx.
(х+2Х*--2)э
6.6.
х24-6х24-13х4-8
х(х+2)э
1 х2 4-бх2 4-14х 4-10
(х-МХ*+2)э
х2 4-бх2 4-11x4-7^
(х-МХ*+2)э
6.7. • * 6.9. 6.11. 6.13. 6.15. 6.17. 6.19. 621. 623. 6.25. 627. 629. 631. 2х3+6ха+7х+1 (x-IXx+l)’ 2№+6j?+7x+2 л х(х+1)> ’х,-4х3+1Эх-7 .
(х+1Хх-2)3 ‘х3—бха + 10х—10 (x+lXx-2)1 'Sx’+Sx’+ltfx+l ,
(x-lXx+1)3 *2хэ+6х3+7х+4 . (х+2Хх+1)3 ,2х3+6х3+7х (х-2Хх+1)3 *хэ+6х3+4х+24 (х-2Хх+2)3 ‘х3+6х3 + 18х—4 (х-2Хх+2)* ,x*-fa1-H4x-4 (х+2Хх-2)3 ,2х3-6х3+7х-4 (х-2Хх-1)3 ,х3+6ха-Юх+52 (х-гхх+2)1 >х1+6хд+13х+6 (х-2Хх+2)3
6.10.
6.12.
6.14.
6.16.
6.18.
620.
622.
624.
626.
628.
630.
х3+6ха + 10х+10
(x-lXx+2)1
‘х3—6х2+13х—8
<х-2У
Г х3—6х2 + 14х—6
(х+1Хх-2)»
х3+х+2
(х+2)х3
dx.
2х3+х+1 .
—---—-г- dx.
(х+1)х3
(*2х3+6х3+5х
. (х+2Х*+1)э
|*2х3+6ха+5х+4
. (х-2Хх+1)’
х3+6ха+14х+4 .
(х-2Хх+2)3
Гх3+6х3 + 10х+12
. (Х-2ХХ+2)3
,х3+6х3 + 15х+2
, (х-2Хх+2)3
*2хэ-6х3+7х
(х+2Хх-1)3
‘х3—6х2+13х—6
. (х+2Хх-2)3
Задача 7. Найти неопределенные интегралы.
7.1. ‘ х3+4х3+4х+2
(x+lftx’+x+l) ,
’ 2х3+7х2+7х—1
73. (х+2)3(х3+х+1)
х3+6х2+9х+6
(х+^^+гх+г)
7.7. 'Зх3+6х2 + 5х-1
(х+1)3(х3+2) Х*
,х3+6х3+8х+8
7Л • (х+2)3(х3+4) Г2х3-4х3-16х-12
7.11. (х—1)3(ха+4х+5) dX х3+2х3+10х
7.13. (х+1)3(х3-х+1)
72.
7.4.
‘х3+4х3+Зх+2
. (х+1)3(х3+1)
2хэ+4х3+2х-1
. (х+1)3(х3+2х+2)
2х3+11х3+16х+10<и
7Л. а 7А. 7.10. (х+2)а(х3+2х+3) *х3+9х3+21х+21 (х+З^+З) *х3+5х2+12х+4 . (х+2)3(ха+4)
7.1Х >-Зх3 + 13ха-13х+1 (х—2)2(х3—х+1) Х
7.14. ‘ Зх3+х+46 (х—1)3(ха+9) "*
7.15. Г4ха+24ха+20х-28 . Г 2х3+Зх3+Зх+2
(х+з^+гх+г) 7.16. (х2+х+1Хха+1)
7.17. г x’+x+i 7.18. Г х’+х+З
(х*+х+1Хх*+1) (ха+х+1Хх3 + 1)
7.19. а * 2х34-4ха+2х-ь2 (х*+х + IX*1+х+2) * 730. • 2ха+7ха+7х+9
(ха+х+1Хха+х+2) d
731. • Г 4ха+Зх+4 Г Зх,+4ха+6х
(х3+1Хха+х+1) 732. (ха+2Хха+2х+2)
73Х • гх1-^! х*+ха + 1
(х3-х+1Хха+1) 734. • (xa-x+lXx3+l)dX‘
735. Г х*+х+1 Г 2хэ+2х+1
(х3—x+lX*2**-!) 736. (x3-x+lXxa+l)dX’
737. Г х’+2х1+х+1
(х3+х+1Хха+1) 738. « (x2+x+2Xx3+2)dX‘
739. | ‘ 2х>+2ха+2х+1 (ха+х+1Хха+1)<и‘ 730. ‘ Зх3+7ха+12х+6
(ха+х+ЗХха +2х+3)
731. Г 2х>+Зх2+Зх+2
7-5 > г. dx.
Задача 8. Вычислить определенные интегралы.
2агсЦ2
8.1
жт3л(1-со<х)‘
2«гсЦ2
я/2
Jcoexdx
2+совх’
о
я/2
f coexdx
8.7.
83.
вт3х(1 +совх)'
я/2
Я/2
f совх—втх _
2arctf(l/2)
2агсЦ(1/2)
I атх(1-втх)'
2«Ц(1/3)
я/2
Г coaxdx
J 5+4 совх’
я/2
Г coexdx
J 1 + нпх-сов х
О
8Ж
J совх(1 — совх)'
2«tct|2
я/2
J (1+мпх—совх)3*
2«rctf(l/2)
Г 1+snx
J 1+совх+мпх
о
я/2
f (l+coex)dx
J 1+совх+втх
о
8.15.
8.17.
8.21.
«/2
Jsinxdx
1+cosx+sinx
о
2
J coexdx
1+ccex+smx'
°
Г coexdx
J 1 +cocx-unx*
я/2
о
я/2
Jsinxdx
(1 +ЙПХ)3'
о
о
Jsinxdx
(1+cosx-sinx)r
-я/2
яД
f sinaxdx
2«гсЦ2
839.
831.
яД
Jsinxdx
2+ЙПх'
о
я/2
Jsinxdx
5+3smx*
О
Задача 9. Вычислить
гсЦЗ
««"(l/VD
f 3+2tgx
8.14.
еле.
8.18.
8J0.
2arctg(l/2)
Г Ч** <
J (1- клхУ
0
2MCtf(l/3 v
f coexdx.
о
о
Г ccaxdx - ... ...
J (l+coex—sinx)2*
-я/2
2«ctg(l/2)
J О-*”*)*!*
СО*х(1 +СО8Х)’
О
я/2
2ж/3
830.
о
о
cos*xdx
(l+coex-smx)2
я/2
о
я/4
совх(1 +совх)'
определенные интегралы.
я/4
f 2ctgx+l
I (Zsinx+coex)2
агеЦЗ
2sinax+3coBax—1
9Л.
1—sin 2х+4со«2 х
о
9Л.
arctg(l/3)
f
J 18sin2x+2coe2
•«"•Та/з
«/4
6tgxdx
3sin2x+5cos*x‘
0
я/4
мп1 х+2сов2 х—3
О
0
arct(3
J 2sin2x—Scot2x+1
-mste(l/3)
arcccaO/^)
9.10.
*/4
9.11.
tgx
9.13.
9.15.
9.17.
9.19.
9.21.
9.23.
9.25.
9.27.
(8ШХ+2СМХ)2
6sin2x
«М
arctf 3
sin2 х—Scot* х+4
J 2ain2x+18coe3x
о
•rat*(2/3)
J 3cot2x—4
о
aretg2
f 12+tgx
J 3sin*x+12cot2x
J 9sin2x+4cos2x
о
n/4
о
f 3tg*x—50
J 2tgx+7
-MCCCM0A/«)
4tgx—S
4coa2x—sin2x+l
о
| 11—3tgx
J tgx+3
- areootOAA)
ал:см(1/^)
36 dx
(6—tgx)sin2x*
-ВГС1
«/4
(sinx+Зсовх)3
9.20.
9.16.
3sin*x+4cos2x—7’
«oOzyio)
arcu(|/V*")
я/4
2tgx+5
(5-tgx)sin2x
I 3t**+2
J 2sin2x+5
о
6sh*xdx
4+3 cos 2x’
»cea(3/7w>
9JJ4.
о
^4
f 4~7t5*
J 2+3tgx
2tgx—5
(4 cos x-sin x)2
arcan^^j
f 8tgxdx
3cos*x+8sin2x— T
12 dx
9.19.
«С ««(1/^26)
(6+5tgx)sin2x
930.
x/3
f tg*x
J 4+3cos2x
931.
3tg*x—1
tg’x+S
Задача 10. Вычислить определенные интегралы.
X
10.1. 2® sin® xdx.
*П-
x cos2 xdx.
10X
о
2x
103. J sin* x cos4 xdx.
о
X
103. |24cos’(x/2)dx.
о
«
10.7. 2® sin’x cos2 xdx.
fa
2x
10.9. J sin2 xcos’xdx.
10.11. |24sine(x/2)dx.
о
10.13. 2® sin4 xcos4xdx.
2x
10.15. j cos® xdx.
0
«
10.17. J24sin’(x/2)cos1(x/2)dx.
0
10.19. I 2®sin1xco6’xdx.
«4
2x
10.4. J an2(x/4)cos’(x/4)dx.
о
0
10.6. | 2* sin® xdx.
-x/2
«
103. J24sin4xcoe4xdx.
о
2x
10.10. j* cos‘(x/4)dx.
о
о
10.12. J 2® sin* xcos1 xdx.
10.14 . J24sin1xca8*xdx.
о
2x
10.16 . j sm®(x/4)dx.
о
0
10.18 . I 2®sin4xco84xdx
-W2
«
1030. |г4 cos® xdx.
0
3-207-
10.25.
2я
J sin* xdx.
о
J 24sin4(x/2)cos4(x/2)dx.
0
, 2*
1032. J sine(x/4)cos2(x/4)dx.
о
о
1034. I 2* sin2 х cos6 xdx.
2* cos* xdx.
j 24sin*xdx.
о
2x
J sin6xcoe2 xdx.
0
1039, |2*sfaa(x/2)cose(x/2)dx.
о
2я
1038.
j sin*(x/4)co6*(x/4)dx.
о
0
I 2* cos* xdx.
1031. J sin43xcoe43xdx.
0
Задача 11. Вычислить определенные интегралы.
-7/3
113. I
9-2x
2x—21
11Ж
113.
10/3
11.7.
11.10.
11.9.
11.11.
11.12. j
о
'6—X
x^!4
— 14/13
5/2
Гх+ч/Зх-2-lO
(5Дх+2+45^х)(2х+2)1’'
о
4
Г (4^7х-7зх+2)<1х
J (^Зх+2+4^^xX3x+2)1'
f (4yr^x-^/2x4-l)<b
J (y/2x+1 +4>/iZjcX2x+l)a
J(4y/l^x-y[^)dx
о (Vx^i+s/T^Xjc+i)2’
1131.
[ (4j2^-yfa+2)dx
J (Тх+г+^У^Хх+г)2’
Задача 12. Вычислить определенные интегралы.
чГэ
1X10.
12.12.
12.14.
12.18.
12Д2.
YkXl.
i/Л
12.29. f -------~7=.
Задача 13. Найти неопределенные интегралы.
Задача 14. Вычислить площади фигур, ограниченных графи-
ками функций.
141. j-fx-2)3, у-4х-8.
143. j-4-х2,
у-?-2х.
145. ^4—х2, у—О,
х—О, х—1.
147. со«хмп2х, у—О
(04х4я/2).
149. у-- у ----,
Ху/1 +1пх
у—О, х—1, х—е3.
1411. у-(х+1)2,
/-Х+1.
1413. у-хд/зб-х2, У-0
(0<х<6).
1415. xarctgx, у—О,
X-yfi.
1417. х- Je’ - b х“°.
у—In 2.
1419. j-x/(l+Vx), j-0,
x—1.
1421. x—(у—2)3,
x~4y—8.
14.2. у^ху/э—з^, у—0.
(04x43).
144 у—sin x cos2 x, у—0
(04х4я/2).
144 y—x\/4—x2, y-0
(04x42).
148. y-^-l.y-O,
x—ln2.
1410. y—arccosx, y—0,
x-0.
141X j-2x-x2+3,
j-x2-4x+3.
1414 x-arccoej, x-0,
J"0-
1416. y-x*j9-x*,y-0
(04x42^2).
1418. yxJ^-^.y^
(04x42).
1420. у-1/(1+coex), v-0,
x—x/2, x— — n/2.
14J2. j—co»3 xsin2x, j—0
(04х4я/2).
1423.
x
JF—O, x«*l.
1424 х-4-у2, x^-ly.
1435. x-—j , x—0, y-1, y-e3.
y^Jl+lny
1437. y-x^/lfi—x3, у—0
(0<x<4).
14.29. y—(x—I)3,
K-x-l.
1431. x—4—(у—I)3, x-y2-4y+3.
ei/»
1436. y-—r. y-0, x-2, x-1.
1438. x-V*-/.
y-0, y-1.
1430. y—x3co*x,y—0,
(0<х<я/2).
Задача 15. Вычислить площади фигур, ограниченных лини-
ями, заданными уравнениями.
15.1.
сое3/,
sin3/,
х-2 (х>2).
(y-4(l-coer),
y—4 (0<х<8я, y>4).
153. Jx—2cot/(
[y—6 star,
У-3 (y>3).
15.7. fx—16cot3/,
ly—sin3/.
153. x—^2cos/,
У-2 (y>2).
ISA Jx—16co*3/,
|y—2 sin3/,
x-2 (x>2).
15.6. fx-2(/-sta/),
[y—2(1— cos/),
у—3 (0<x<4x, y>3).
153. (x-6cotr,
)y—2smf.
15.9. fx—3(/—sin/),
(y—3(1—cos/),
y—3 (0<x<6jc, y>3).
15.10. fx-
^y—5/2 sin3/,
x—4 (x>4).
15.11.
15.13.
е-г^Дсов/,
-З5/2ЙП/,
у-З (у>3).
jy—32COS3/,
[у—sin3/,
х—4 (х>4).
15.15. (х—6(/—sin/),
(у-6(1 —со*/),
у—6 (0<х<12я,у>6).
15.17. fx—6сое/,
(у—4 яп/,
у-ъ/з <y>bjl).
15.12. fx—6(/—sin/),
(у—6(1—cos/X
у—9 (0<х<12я, у>9).
15.14. fx—Зсов/,
(у—8 sin/,
у-4 (у>4).
15.16. fx—8cos3/,
(у—4 sin3/,
х-З^/з (х>з7з).
15.18. fx—10 (/—sin 0,
(у-10(1-сов/),
у-15 (0<х<20я, у>15).
15.19. fx-2V2COS31,
ly—5/2 sin3/,
x-1 (x>l).
1531. Jx—/—sin/,
|y—1—cos/,
У-1 (0<х<2я, y>l).
1533. Jx—9cos/,
[y-4sinr,
y-2 (y>2).
1535. Jx-24cos3r,
1у-2яп3<У
x—9^/з (x>9y/l).
1537. Jx-2(/—sin/),
ly"2(l-co8f),
У-2 (0<х<4я, у >2).
1539. (x-bficosr,
ly—Syjl sine
y-5 (y>5).
1531. x—32 cos3/,
y—3sin3/,
x-12^ (x> 125/3).
1530. Jx—-^2cos/,
ly—4^2sin/,
У-4 (y>4).
1532. Jx—8cos3r,
ly—8sin3/,
x-1 (x>l).
1534. Jx—8(/—sin/)
|y-8(1—cos/)
y-12 (Q<x< 16л, у >12).
1534. Jx—Зсов/,
(у—8 sin/,
у-4л/з (y>4V3).
1538. fx-45/2cos3/,
ly—^2sin3C
x-2 (x>2)?
1530. |x*4(r—sinr),
(y-4(l-coe/),
y—6 (0<х<8я,y>6).
Задача 16. Вычислить площади фигур, ограниченных лини
ями, заданными уравнениями в полярных координатах.
14.1. г—4сс«3ф, г-»2 (г>2).
143. гоч/Зеовф, r—sinp,
(0<ф<я/2).
143. г»2со«ф, г»"2\/зип9
(0<$><я/2).
14.7. г-4 sin Зф, г-3 (г>3).
14,9. г—созф,
г—у/1 сое (ф—я/4)
(-я/4<ф<я/2).
14.11. г—4созЗф, г—3 (г>3).
14.1Х г—совф,
Г—8Шф
(0<ф<я/2).
14.15 . г—совф, г-2cosp.
14.17 . г— 1+>/2совф.
143. г—со82ф.
144. г—4 sin 3<р, г—2 (г >2).
144. г-втЗф.
143. г—совЗф.
14.10. г—8Шф,
г—5/2 сое (ф—я/4)
(0<ф<Зя/4).
14.12. г-1/2+втф.
14.14. г—^2сов(ф—я/4),
г — у/1 sin (ф - я/4)
(я/4<ф<Зя/4).
14.14. г—sin ф, г—2 sin ф.
14.18. г— 1/2+совф.
16.19. r— 1 + 5/2sin q>. 1631. г—(3/2)совф, г—(5/2)совф. 1633. г—адбф. 1635. г-=со8ф+5тф. 1637. г«2со8бф. 1639. г—3sin?,г-5sing». 1631. r-бsing», г-4sing». 1630. r-(5/2)sing>, r-(3/2)iing». 1632. r»4cos4g». 1634. ra>2cosg», r*3co8g». 1636. r"2sin4g». 1638. r-cosg»—sing». 1630. r-2sing», r—4sing».
Задача 17. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравне-
ниями в прямоугольной системе координат.
17.1. y-lnx, yfi^xtyfis. 173. Ю<2.
4 2
173. у-^1—x^+arcsinх, 0<х<7/9. 17.4. у—In у/з <х<л/8.
17Л у- -Incosx, 0<х<я/б. 17Л. у-е*+6, hu/*<х<Иц/15.
17.7. <у"2+агсяп^х+-Ух—х1,1/4<х<1.
173. у-1п(х*-1Х 2<х<3.
17.9. у- Vl-x3 +агесовх, 0<х<8/9. 17.10. у-1п(1 -х3), 0<х<1/4.
17.11. у-2+chx, 0<х<1. 17.12. у-1-lncosx, 0<х<я/6.
17.13. у-е’+В, Ьц/в<хСИц/24.
17.14. у-—агссов^+-Ух=х3,0<х<1/4.
17.15. у-2-е”, byfi^x&nyfi.
/------------------- 15
17.16. y-arcsinx—х1, 0<х<—.
17.17. у-1-Inainx, я/3<х<Я/2. 17.18. у-1-In (х3-!), 3<х<4.
17.19. у-у/х—х*-агссоъу/х+5, 1/9<х<1.
1730. .у— —агссо«х+-У1—xi + l, 0<x<9/16.
17.21. y-lnainx, я/3<х<х/2. рц j-ln7-tax, yfi^x^yfi.
1733. у—chx+3, 0<х<1.
1734. 14-arcsinx—^1—x1,0<x<3/4.
1735. y-tocosx+2, 0<Х<я/6. ^««*+26, Inyfi^x&ny/lA.
17.27. y^^-+3,0<x<2.
1738. y—arccos^/x—^/x—x3+4,0<x<l/2.
1739. j-(eb+e"b+3)/4, 0<x<2. 1730. y-e»+e, кц/з <x<taV^-
1731. у-(1-е*-е"я)/2, 0<x<3.
Задача 18* Вычислить длины дуг кривых, заданных парамет-
рическими уравнениями.
{х« 5 (/—sin /),
у—5(1 — cos/),
0«£/<я.
t» 4 (сое/4-/sin/),
—4 (sin/—/cost),
0</<2.
е—3 (2 cos/—cos 2/),
—3(2 sin/—sin 2/),
0</<2я
{х-(/а —2) sin/4-2/cos/,
у—(2—/3)cos/4-2/sin/,
0</^я
183.
С—Юсов1/,
-10 sin1/,
0</<я/2^
18.7.
х-3(/—sin/),
7—3(z—сов/),
я</<2я.
их
[у “С* (сов/-sin 0.
0</<я.
{1 1 _
X——C08Z—--сов 2/,
2 4
1 . 1 . ,
у--мп z—-мп 2/,
X
x-3(coe/+/sin/),
y-3(sin/—/сов/),
0</<н/3.
{х-бсов1/,
у—бет1/.
0</<и/3.
(х—2,5 (/—sin 0»
18.1Х
e-6(coe/4-/sin/X
—б (вхп /—/сов /X
0</<я.
{х—8 cos1 /.
о сов г.
у-8 мп1/,
0</<^/6.
7-4(1-сов I),
я/2</<2я/3.
x-8(coe/+/ein/),
у-8 (sin/-/сов/X
0</<я/4.
х«4сов3/,
18J2.
я/2</<2я/3.
fx -'(/*-2) sin t+2t cos /,
[у—(2— z3) cos z+2z sin z,
0</<я/3.
'x-e^coez+sin/),
^7—e*(coe Z—sin/),
я/2</<я.
x—3,5 (2coer—cos2/)
[7—3,5 (2 sin z—sin 2/X
0</<я/2.
fx-f/3-2) sin z+2/сов/,
[7»(2—Z3) cos /4-2/ sin /,
0</<я/2.
x-e'(coe/4-5in/),
7-er(coe/—sin/),
0</<2я.
x-2(2coe /—cos 20,
7—2 (2 sin/—sin 2/),
0</<я/3.
x - (z3 - 2) sin / 4-2/cos/,
7—(2—/’Jcos t+2t sin t,
0</<2я.
я/6</<я/4.
x-2(/-sin0,
7-2(1-сов/),
0</<я/2.
18Д4. { f
ly-e(coez—smz),
0</<Зя/2.
18J6. fx"4<2coM-cos2/)’
I7—4 (2 sin t— sin 2/),
0</<я.
1831.
x—2(cosr+tsinr),
^—2 (sin r—(cost),
000/2.
'x-2cosat, -
7-2sanar,
0<г<я/4.
x—(la—2) sin t+2t cos t,
(2—^cos t+2rsin t,
O^t^K.
1830.
e—(P—2)sinZ+2rcoet,
—(2-ta) cos r+2lsin t,
00<3я.
e—e*(сое/4-sin r),
—e* (cos r—sin r),
я/6<г<я/4.
Задача 19. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравне
нмями в полярных координатах.
19.1. 0—Зе3*'4, —я/2<ф<я/2.
193. 0—5/2®*, —я/2<?<я/2.
193. р-бе12*'9, -я/2 О 0/2.
19.7. 0—4е**/а, 000/3.
19.9. 0-5е’*/1а, 0<?<я/3.
19.11. 0-1—sin?, —я/2О<-*/6.
19.13. 0-3(1+sin?), — я/6<?<0.
19.15. 0-5(1— сое?), —я/ЗО<0.
19.17. 0-7(1— sin?), — я/бОО/6.
19.19. 0-2?,ОО<3/4.
19.21. 0—2?, 0<?<5/12.
1933.- 0—4?, 0<ф<3/4.
1935. 0-5?, 0<?< 12/5.
19.27. 0—8 сов?, 0<ф<я/4.
19.29. 0—2sinp, 0<ф<я/б.
1931. 0-6smp, 000/3.
193. 0—2®4*'3, -я/2ОО/2.
193. 0-5®9*'12, -я/2ОО/2.
1945. 0-Зе’*/* 000/3.
193. 0—^2е*, 0<ф<я/3.
19.10. 0- 12е12*'3,0О<я/3.
19.12. 0—2(l—cos?), —я<?<—я/2.
19.14. 0-4(1— sin?), 000/6.
19.16. 0—6(1+sin?), — я/2О<°.
19.18. 0-8(1—cos?), —2я/3<?<0.
1930. 0—2?, 0<?<4/3.
1932. 0-2?, 0О< 12/5.
1934. 0—3?, 00^4/3.
1936. 0—2cos?, 0<?<я/б.
1938. 0—6cos?, 000/3.
1930. 0—8sin?, 000/4.
Задача 20. Вычислить объемы тел, ограниченных поверх
ностями.
20.1. —+/-1, х^у, z-О (у>0).
203. ^+^-z2-l,r-0,z-3.
2°А ^+^+j-l,z-l, z-0.
20.7. z-x’+Oy2, z-3.
203. z—x2+4y2, z-2.
20.9.
х2 / _z2e
9+16 64~
l,z-16.
2045. x2+y2—9, z—y, z—0, (y>0).
203. ^+3^—z2—1, z—0, z—3.
2в-шй+т+й-,-1-2’,-°-
20.il z-yyfi, z-О, (у>0). 20.12. х-2х4+8Л z-4.
MIX п+=-»’-1.*-0. х-1 о! ХЭ х4 у4 z4 М.15. -+£+--!, z—3, z—0. 1О У м 20.17. я-хЧЗу4, z—5. 20.16. ^+^-1,х-у7з, z-О (у>0). 3 10 1 М.18. “+“^“1. z-О, х-4.
20.19. 1,*-20. 9 25 100 мм £+£+£-1, *-*•г_0- 10 7 04
ми. ^+^-1. »--р t-о. (у>ох 2032. z-4x*+9y\z-6.
2021 х4+^-я4-1, z-О, я—3. X4 у4 Z4 20J5. —+—+—.1 х-5, х-0. 16 9 100 * 2034. -1» Xw2°- 25 9 100 ММ *-Л. х-0 О>0).
2027. x-lx^+ie/. г-6. ММ +£-х»-1, г-0, г-2. ммй4+й»-1-1-в’1-а
Задача 21. Вычислить объемы тел, образованных вращением
фигур, ограниченных графиками функций. В вариантах 1 — 16
ось вращения Ох, в вариантах 17 — 31 ось вращения Оу.
21.1. у— — х4+5х—6, у—0. 21.3. у—Зйпх, у—atax, 0<х<я. 21Л у—rin4x, х—я/2, у—0. 21.7. у—хе*, у—0, х—1. 21.9. у—2х—х4,у—— х+2. 21Л1. у-Лу’-х-О. 21.13. у—1—х4, х-0^х—у/у—2, х—1. 21.15. у^х1, у—у[х. 21.17. у-агссм(х/3), у-жгссовх, у-0. 21.19. у—х4, х—2, у-0. 21.21. у—у/х— 1,у—0, у— 1, х—ОД 21Л1у-(х-1Лу-1. 21.25. у—Xs, уомх4. 21.2. 2х—х4—у—0, lx4—4х4-у—0. 21.4. у—5совх. у—cosx, х—0, х>0. 21.6. х—\/у—2,х—1, у— 1. 21JB. у-2х—х4, у— —х+2, х-0. 21.10. у-е1-*,у-О, х—0, х-1. 2U2. х4+(у-2)4-1. 21.14. (у-х4, у-1, х«1 21.16. у—вт(ях/2Х у-х4. 21.18. у-агсат(х/5),у—агсй>х,у-я/2. 21.20. у—х4+1, у—х, х—0, х— 1. 21JX у-lnx. х-2, у-0. 21.24. /-х-г, у-0, у-х4, у-1. X X 21.26. у-агссов-, у—агссов-, у—0. J J
21.27. y»arcsinx, y=arccosx, j’=0.
21.29. y=№, y=x.
2131. y=(x-1)2, x=0, x=2, y=0.
21.28. y=x2 — 2x+l, x«2, y«0.
2130. у=arccosx, у =arcsin x, x±0:
Задача 22
Варианты 1 — 10
Вычислить силу, с Которой вода давит на
плотину, сечение которой имеет форму рав-
нобочной трапеции (рис. 2). Плотность воды
р=1000 кг/м3, ускорение свободного паде-
ния g положить равным 10 м/с2.
Указание. Давление на глубине х равно
pgx.
Рис. 2
22.1. а=4,5 м, Ь=6,6 м, Л=3,0 м.
223. а=5,1 м, />=7,8 м, Л=3,0 м.
22.5. о=5,7 м, />=9,0 м, Л=4,0 м.
22.7. а=6,3 м, А = 10,2 м, Л»4,0м .
22.9. а = 6,9 м,Л = 11,4 м, А = 5,0 м.
22.2. о=4,8 м, А=7,2 м, А=3,0 м.
22.4. о = 5,4 м, А=8,4 м, А=3,0 м.
22.6. а=6,0 м, А=9,6 м, А=4,0 м
22.8. а=6,6 м, А=10,8 м, А=4,0 м.
22.10. о=7,2 м, Ь—12,0 м, А=5,0 м.
Варианты 11 — 20
Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме
спутника с поверхности Земли на высоту Н км. Масса спутника
равна т т, радиус Земли А3=6380 км. Ускорение свободного
падения g у поверхности Земли положить равным 10 м/с2.
22.11. т=7,0 т, Я=200 км.
22.13. т=6,0 т, Я=300 км.
22.15. m=5,0 т, Я=400 км.
22.17. w=4,0 т, Я=500 км.
22.19. т=3,0 х, Я = 600 км.
22.12. /и=7,0 т, Я=250 км.
22.14. т=6,0х, Я=350км.
22.16. т=5,0 х, Я=450 км.
22.18. т=4,0 х, Я=550 км.
22.20. /я = 3,0 х, Я=650 км.
Варианты 21 — 31
Рис. 3
Цилиндр наполнен газом под атмос-
ферным давлением 103, 3 кПа. Считая газ
идеальным, определить работу (в джоу-
лях) при изотермическом сжатии газа по-
ршнем, переместившимся внутрь цилинд-
ра на Л м (рис. 3).
Указание. Уравнение состояния га-
за pV= const, где р— давление, V —
объем.
2X21. Я—0,4 м, Л-0,35 м, Л-0,1 м.
2233. Я-0,4 м, Л-0,2 м, Л-0,1 м.
22.25. Я—0,8 м, Л—0,6 м, Л—0,2 м.
22.27. Я—1,6 м, Л—1,4 м, Л—0,3 м.
2239. Я—1,6 м, Л—0,8 м, А—0,3 м.
2231. Я-2,0 м, Л-1,0 м, Л-0,4 м.
2232. Я—0,4 м, Л—0,3 м, Л—0,1 м.
2234. Я-0,8 м, Л-0,7 м, Л-0,2 м.
2236. Я—0,8 м, Л—0,4 м, Лч«0,2 м.
2238. Я-1,6 м, А-1,2 м, Л-0,3 м.
2230. Я—2,0 м, Л-1,5 м, Л-0,4 м.
V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Теоретические вопросы
1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Задача Коши для дифференциального уравнения первого поряд-
ка. Формулировка теоремы существования и единственности ре-
шения задачи Коши.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделя-
ющимися переменными, однородные и приводящиеся к однород-
ным.
3. Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бер-
нулли.
4. Уравнения в полных дифференциалах.
5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравне-
ний первого порядка методом изоклин.
6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача
Коши. Формулировка теоремы существования и единственности
решения задачи Коши. Общее и частное решения. Общий и част-
ный интегралы.
7. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение
порядка.
8. Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Ли-
нейное однородное дифференциальное уравнение, свойства его
решений.
9. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функ-
ций. Необходимое условие линейной зависимости системы функ-
10. Условие линейной независимости решений линейного од-
нородного дифференциального уравнения.
11. Линейное однородное дифференциальное уравнение. Фун-
даментальная система решений. Структура общего решения.
12. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Структура общего решения.
13. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
14. Линейные однородные дифференциальные уравнения с по-
стоянными коэффициентами (случай простых корней характери-
стического уравнения).
15. Линейные однородные дифференциальные уравнения с по-
стоявными коэффициентами (случай кратных корней характери-
стического уравнения).
16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами. Метод подбора.
Теоретические упражнения
1. Пусть Ji —решение дифференциального уравнения
£[у]=0. Показать, что введение новой искомой функции и=у/У1
приводит к дифференциальному уравнению, допускающему по-
нижение порядка.
2. Написать уравнение линии, на которой могут находиться
точки Перегиба графиков решений уравнения у'=/(х, у).
3. Написать уравнение линии, на которой могут находиться
точки графиков решений уравнения y'—f(x, у), соответствующие
максимумам и минимумам.
Как отличить максимум от минимума?
4. Линейное дифференциальное уравнение останется линей-
ным при замене независимой переменной x=<p(t), где функция
q>(t) произвольная, но дифференцируемая достаточное число раз.
Доказать это утверждение для линейного дифференциального
уравнения второго порядка.
5. Доказать, что линейное дифференциальное уравнение оста-
ется линейным при преобразовании искомой функции
y**a(x)z+p(x).
Здесь z — новая искомая функция, а(х) и р(х) — произвольные,
но достаточное число раз дифференцируемые функции.
6. Составить общее решение уравнения у +р(х)у=0, если
известно ненулевое частное решение yt этого уравнения.
7. Показать, что произвольные дважды дифференцируемые
функции У1(х) и у2(х) являются решениями линейного диф-
ференциального уравнения
У У1 Ул
У Ул Ул =0.
У Ул Ул
8. Составить однородное линейное дифференциальное урав-
нение второго порядка, имеющее решения yt =х, Уг—х1-
Показать, что функции х и х2 линейно независимы в ин-
тервале (— оо, 4- оо).
Убедиться в том, что определитель Вронского для этих функ-
ций равен нулю в точке х=0. Почему это ие противоречит
необходимому условию линейной независимости системы реше-
ний линейного однородного дифференциального уравнения?