Основные концептуальные положения баллистико-навигационного обеспечения полетов автоматических космических аппаратов - Почукаев В.Н.

Автор: Почукаев В.Н.
Теги: авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника междупланетные соединения (междупланетные полеты) космонавтика (аэронавтика) автоматика монография космические аппараты
ISBN: 978-5-9500368-8-0
Год: 2018
Похожие
Конструирование автоматических космических аппаратов
Баллистика и навигация космических аппаратов
Проектирование автоматических космических аппаратов. Вероятностные методы анализа
Введение в механику полета и управление космическими аппаратами
Текст
                    *+• -
* Ы %*•
•* * V
В. Н. Почукае?
ОСНОВНЫЕ КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
адллЙСТИ КО-НАВИ ГДЦЙОН НОГО .
ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПОЛЕТОВ АВТОМАТИЧЕСКИХ
КОСМИНЕСКИХАЛПАРАТОВ* i • /: % ^
*	•	'	-	■-*	i	i	л	}
h>\
Москва
Машиностроение -Полет
>^2018

в.н.почукаев
ОСНОВНЫЕ КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
БДЛЛИСТИКО-НАВИГДЦИОННОГО
ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПОЛЕТОВ АВТОМАТИЧЕСКИХ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Москва «Машиностроение-Полет» 2018

УДК 629.78.05.001.2
ББК 39.66
П65
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор
Ю. Г. Марков
доктор технических наук
К. А. Занин
П65 Почукаев В. Н.
Основные концептуальные положения баллистико¬
навигационного обеспечения полетов автоматических космических
аппаратов: монография / В. Н. Почукаев. - М.: Машиностроение-
Полет, 2018. - 156 с.: ил.
ISBN 978-5-9500368-8-0
Приведены основные концептуальные положения, лежащие в основе
формирования баллистико-навигационного обеспечения полетов автоматиче¬
ских космических аппаратов. Данные концептуальные положения определяют
основные структурные и функциональные особенности систем баллистико¬
навигационного обеспечения полетов. Рассмотрены следующие концептуаль¬
ные положения: понятие процесса как некоторое обобщенное движение; поня¬
тие среды обитания автоматического космического аппарата; понятие вирту¬
ального пространства; понятие прямого отображения среды обитания на вир¬
туальное пространство; идеология построения системы координат и системы
отсчета; определение адекватности прямого отображения среды обитания на
виртуальное пространство; навигационное поле как основной источник нави¬
гационной информации; процедуры, обеспечивающие отображение космиче¬
ских объектов всех видов на виртуальное пространство; определение про¬
странственно-временного состояния космического аппарата и модели его
движения в виртуальном пространстве; пространственно-временное действие
как обратное адекватное отображение процессов в виртуальном пространстве
на среду обитания.
Рассчитана на научных работников и специалистов, работающих в об¬
ласти создания космической техники и управления ею в полете, а также на
студентов старших курсов и аспирантов.
УДК 629.78.05.001.2
ББК 39.66
При использовании материалов этой книги ссылки на нее обязательны.
ISBN 978-5-9500368-8-0 © ООО Издательство «Машиностроение-Полет», 2018
© Почукаев В. Н., 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные сокращения и условные обозначения	 8
Предисловие	 10
Глава 1. Элементы теории управления сложными процес¬
сами. Основные понятия и определения	 18
1.1. Субъекты и объекты управления	 18
1.2. Процесс. Наблюдаемые и управляемые про¬
цессы. Сложный процесс	 18
1.3. Математическая модель базовых процессов.
Динамическая система как модель базового про¬
цесса. Понятие «состояние процесса»	 21
1.4. Память модели	 24
1.5. Целенаправленное управление	 25
1.6. Системы управления, наблюдения и иденти¬
фикации базовых процессов	 28
1.7. Понятие сложности модели	 31
1.8. Сложный процесс, определение математиче¬
ской модели, система управления сложным про¬
цессом 	 32
1.8.1. Основные определения	 32
1.8.2. Математическая модель сложного процесса.
Управление сложным процессом	 33
1.8.3. Граф целей	 36
1.8.4. Система управления сложной целеустрем¬
ленной системой	 37
Глава 2. Управление пространственно-временными про¬
цессами, порождаемыми функционирующими
космическими аппаратами	 40
2.1. Космический аппарат как объект пространст¬
венно-временного типа	 40
2.2. Декомпозиция сложного процесса, порождае¬
мого функционирующим космическим аппаратом 43

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
2.3. Целевая функция в системе управления про¬
странственно-временным состоянием как основ¬
ное связующее звено в формировании сложного
пространственно-временного процесса	 48
2.4. Управление пространственно-временным со¬
стоянием космического аппарата как управление
сложным процессом	 50
2.5. Наблюдаемые и управляемые базовые процессы 55
2.6. Управление первым базовым процессом
(управление глобальным пространственно-вре¬
менным состоянием космического аппарата)  57
2.7. Управление вторым базовым процессом
(управление движением относительно центра
масс)	 58
2.8. Управление третьим базовым процессом
(управление угловым положением навесного обо¬
рудования относительно корпуса космического
аппарата)	 58
2.9. Четвертый базовый процесс (определение
времени)	 59
2.10. Координатор системы управления сложным
пространственно-временным процессом	 61
Глава 3. Виртуальные пространства	 65
3.1. Введение	 65
3.2. Фундаментальные виртуальные пространства 66
3.3. Адекватность отображения пространственно-
временного континуума на фундаментальное вир¬
туальное пространство	 69
3.4. Обратное отображение элементов фундамен¬
тального виртуального пространства на фунда¬
ментальное физическое пространство	 70
3.5. Оперативное виртуальное пространство 	71
3.6. Адекватность отображения значимой области
на оперативное виртуальное пространство	 73

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
3.7. Обратное отображение элементов оператив¬
ного виртуального пространства на значимую об¬
ласть, являющуюся частью пространственно-
временного континуума	 75
3.8. Объекты значимой области при отображении
на оперативное виртуальное пространство	 76
Глава 4. Средства отображения траекторий космического
аппарата на оперативное виртуальное пространство 78
4.1. Навигационное поле как основной источник
навигационных измерений	 78
4.2. Основные виды навигационных полей и их
характеристики	 79
4.3. Глобальное искусственное навигационное поле 83
4.4. Оптическое навигационное поле	 86
4.5. Гравитационное навигационное поле	 88
4.6. Инерциальные измерительные приборы 	89
Глава 5. Методы и алгоритмы отображения движения кос¬
мического аппарата на оперативное виртуальное
пространство	 92
5.1. Методика отображения движения объектов
пространственно-временного континуума на опе¬
ративное виртуальное пространство	 93
5.2. Структура системы определения параметров
траектории по навигационным измерениям 	95
5.3. Математические модели движения центра
масс космического аппарата и относительно цен¬
тра масс космического аппарата	 96
5.3.1. Модель движения центра масс космического
аппарата	 96
5.3.2. Модель движения космического аппарата
относительно центра масс	 99
5.4. Методы обработки навигационных измерений
при решении задач идентификации и определении
параметров вектора состояния	 101

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
5.4.1. Статистическая обработка измерений - ос¬
новной метод определения параметров орбиты и
решения задачи параметрической идентификации 101
5.4.2. Требования к решению задач оценивания
вектора пространственно-временного состояния . .	102
5.4.3. Постановка задачи оценивания	 103
5.4.4. Метод решения задачи оценивания	 104
5.4.5. Геометрическая интерпретация метода оце¬
нивания вектора состояния	 109
5.4.6. Метод максимального правдоподобия  113
5.4.7. Априорные данные о значении вектора со¬
стояния	 117
5.4.8. Решение задачи оценивания вектора состоя¬
ния при различных значениях памяти модели
движения	 118
5.4.9. Решение задачи оценивания с малой опера¬
тивной памятью модели. Рекуррентные алгоритмы 119
5.5. Ошибки навигационных измерений и моделей
движения	 123
5.5.1. Некоторые допущения и определения 	123
5.5.2. Систематические ошибки	 125
5.5.3. Ошибки моделей движения	 129
5.5.4. Механизм действия ошибок в моделях дви¬
жения на точность определения вектора простран¬
ственно-временного состояния	 131
5.6. Решение задачи параметрической идентифи¬
кации модели движения	 132
5.6.1. Основной принцип решения задачи пара¬
метрической идентификации модели движения ...	132
5.6.2. Основные положения эквивалентности оши¬
бок в параметрах модели движения космического
аппарата и ошибок навигационных измерений ....	133
5.6.3. Формирование матрицы правдоподобия, поз¬
воляющей определить расширенный вектор состо¬
яния с помощью введения в него неточных пара¬
метров модели движения	 133

ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Глава 6. Пространственно-временные события, происхо¬
дящие на автоматическом космическом аппарате 137
Глава 7. Информационно-вычислительный комплекс сис¬
темы управления пространственно-временным
состоянием автоматического космического аппа¬
рата 	 145
7.1. Конструирование информационной среды,
являющейся средой обитания информационных
образов системы управления пространственно-
временным состоянием автоматического космиче¬
ского аппарата	 145
7.2. Структура подсистем 01, 011, ©III	 148
7.2.1. Подсистема 01, обеспечивающая адекватное
отображение движения автоматического космиче¬
ского аппарата в пространственно-временном
континууме на оперативное виртуальное про¬
странство 	 148
7.2.2. Подсистема 011, вычисляющая управляю¬
щую информацию для целенаправленного функ¬
ционирования целевой и служебной аппаратуры,
а также параметры корректирующих импульсов ...	151
7.2.3. Подсистема ©III, обеспечивающая прием,
хранение и выдачу пространственно-временной
информации в интересах подсистем 01 и 011	 153
Список литературы	 155

ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
АКА
БНО
КА
НАКУ
СИОУПВС КА
Sd
SI
Su
Sy
ss
У
At)
ф(0
svk
a(t)
БйдуРШ)9£р9£Щ]
- автоматический космический аппарат
- баллистико-навигационное обеспече¬
ние
- космический аппарат
- наземный автоматизированный ком¬
плекс управления
- система информационного обеспече¬
ния управления пространственно-вре¬
менным состоянием КА
- динамическая система
- наблюдаемая динамическая система
- управляемая динамическая система
- система управления
- подсистема наблюдения
- подсистема идентификации
- вектор, компонентами которого явля¬
ются измеряемые параметры
- целевая функция
- значение целевой функции на момент
достижения цели
- пространственно-временной конти¬
нуум
- тринадцатимерный вектор простран¬
ственно-временного состояния КА
- двенадцатимерный вектор простран¬
ственно-временного состояния КА на
момент времени t
- база данных, включающая соответст¬
венно: векторы пространственно-времен¬
ного состояния фундаментальных объек¬
тов, их модели движения, модели физи¬
ческих полей в пространственно-
временном континууме

ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ	9
d	- r-мерный вектор, составленный из г
компонент dh входящих в модель движе¬
ния Д#1)
9	- физическое пространство
- виртуальное пространство
- фундаментальное виртуальное про¬
странство
(Г(О)	- оперативное виртуальное пространство
q	- объект в пространственно-временном
континууме
gV	-образ объекта в фундаментальном вир¬
туальном пространстве
qv(0)	- образ объекта в оперативном виртуаль¬
ном пространстве
Q*	- значимая область в пространственно-
временном континууме
Д#1)	- модель движения КА
Gn	- «-мерное линейное пространство
Gm	- m-мерное подпространство, соответ¬
ствующее параметрам определяемой тра¬
ектории КА
0	- символ, обозначающий СИОУПВС КА
01	- подсистема, обеспечивающая отображе¬
ние движения КА на оперативное вирту¬
альное пространство
011	- подсистема, в пределах которой осу¬
ществляется вычисление всех видов
управления и пространственно-временных
действий, реализуемых на КА
0III	-подсистема, обеспечивающая хранение
всей информации, получаемой в результа¬
те функционирования системы 0, а также
априорной информации, закладываемой
до полета АКА
£PVD	- пространственно-временное действие
SP9VD	- план пространственно-временных дей¬
ствий

ПРЕДИСЛОВИЕ
Освоение космического пространства привело к необходимо¬
сти развития ряда новых научных и технологических направлений
деятельности, ранее не известных. Одно из таких направлений -
развитие баллистико-навигационного обеспечения полета КА
(БНО полета КА), имеющего важнейшее значение в космической
отрасли.
На всех этапах проектирования и создания любого космиче¬
ского проекта используются методы и средства БНО полета КА.
Поэтому различным проблемам БНО полета КА посвящено мно¬
жество работ, результаты которых представлены в монографиях,
научных журналах, отдельных статьях и препринтах. По пробле¬
мам БНО полета КА проводятся многочисленные конференции и
семинары различного уровня.
Вместе с тем существует ряд вопросов, которым уделено не¬
достаточное внимание научной общественности. Таковыми явля¬
ются вопросы, относящиеся к концептуальным положениям, ле¬
жащим в основе БНО полета КА.
В соответствии с определением концепции, сформулирован¬
ным в Толковом словаре С. И. Ожегова, под концепцией понима¬
ется «система взглядов на какой-то объект, явления, исследование,
основная мысль». В Толковом словаре В. Н. Даля дано такое опре¬
деление концепции: «понятие, образы понятий, способы понима¬
ния, соображения, выводы».
Исходя из указанных определений, под концепцией баллисти¬
ко-навигационного обеспечения полета КА будем понимать сово¬
купность основных понятий и операций и отдельных положений,
которые используются при решении задач, выполняемых при БНО
полета КА. В представленной Вашему вниманию монографии
предпринята попытка рассмотреть ряд вопросов, которые можно
отнести к разряду концептуальных положений, используемых при
решении разнообразных задач БНО полета КА.
При рассмотрении концептуальных положений в монографии
используется понятие виртуального пространства. Предполагает¬
ся, что виртуальное пространство сочетает в себе два свойства:

ПРЕДИСЛОВИЕ
11
1) служит образами реального физического пространства и
объектов, средой обитания которых является физическое про¬
странство;
2) представляет собой некоторую информационную систе¬
му, в рамках которой представляется возможным осуществлять
математические преобразования с объектами, принадлежащими
этому пространству.
Рассматривается два вида виртуальных пространств. Таковы¬
ми являются фундаментальное виртуальное пространство и раз¬
личные оперативные виртуальные пространства.
Перечислим ряд концептуальных положений, рассматривае¬
мых в данной монографии.
1. Понятие процесса как некоторого обобщенного действия,
включающего все виды движения, реализуемого на космическом
аппарате.
2. Понятие пространственно-временного континуума, яв¬
ляющегося средой обитания всех объектов реального физического
пространства.
3. Понятие прямого отображения пространственно-времен¬
ного континуума на фундаментальное и оперативные виртуальные
пространства.
4. Идеология построения системы координат и системы от¬
счета в оперативном виртуальном пространстве.
5. Понятие обратного отображения элементов виртуального
пространства на пространственно-временной континуум.
6. Определение адекватности прямого и обратного отобра¬
жений.
7. Навигационное поле как основной источник навигацион¬
ной информации.
8. Процедуры, обеспечивающие отображение всех видов
космических объектов на оперативное виртуальное пространство.
9. Определение пространственно-временного состояния КА
и модели его движения в фундаментальном и оперативном вирту¬
альных пространствах, рассматриваемые как образы реальных
объектов.

12
ПРЕДИСЛОВИЕ
10.	Пространственно-временное действие как обратное ото¬
бражение процессов, заданных в оперативном пространстве, на
пространственно-временной континуум.
Главы монографии расположены в такой последовательности,
чтобы основные определения, термины и методы выстраивались в
логическую цепочку.
Одно из фундаментальных свойств, присущих любому мате¬
риальному объекту, состоит в изменении его состояния в физиче¬
ском мире во времени. В природе не существует ни одного объек¬
та, который не обладал бы этим свойством. С данным свойством
связан ряд других фундаментальных понятий. К ним относится
управление состоянием объекта, так как управлять можно только
теми материальными объектами, состояние которых можно изме¬
нять. Управление же в свою очередь применяется только к тем
объектам, перед которыми поставлены цели, которые они должны
достичь.
Цель достигается приведением объекта в определенное со¬
стояние. Данную функцию выполняет система управления, кото¬
рая за счет целенаправленных воздействий на объект переводит
его в нужное состояние. Необходимым условием управления объ¬
ектом является наличие его формальной модели, в качестве кото¬
рой принимается динамическая система. В первой главе раскры¬
ваются основные положения, касающиеся целенаправленного
управления процессами, порождаемыми объектом управления.
Во второй главе проводятся дальнейшие исследования приме¬
нительно к функционирующим КА. Показано, что движение КА
можно рассматривать как сложный процесс, включающий движе¬
ние центра масс КА и движение КА относительно центра масс.
Сформулированные понятия дают основания для введения еще
трех важных понятий. К ним относятся: понятие субъекта, понятие
объекта, с которым связаны интересы субъекта, и система управ¬
ления изменением состояния объекта для достижения поставлен¬
ной субъектом цели. Цель субъекта функционально связана с со¬
стоянием объекта в определенные моменты времени.
Изменение состояния объекта можно рассматривать как про¬
цесс, порождаемый изменяющимся по времени объектом. Важной
особенностью данной функциональной связи является возмож¬

ПРЕДИСЛОВИЕ
13
ность существования сразу нескольких процессов, порождаемых
одним объектом. Поэтому цель субъекта можно трактовать как
совокупность целей, которые должны быть достигнуты в результа¬
те реализации процессов, порожденных данным объектом.
В третьей главе рассматриваются вопросы прямого отображе¬
ния пространственно-временного континуума на фундаментальное
и оперативное виртуальные пространства и обратного отображе¬
ния этих пространств на пространственно-временной континуум.
При этом отмечаются принципиальные отличия фундаментального
виртуального пространства от оперативных виртуальных про¬
странств.
Оперативное виртуальное пространство обладает двойствен¬
ностью: с одной стороны, оно является образом реального физиче¬
ского пространства, а с другой - оно служит информационной сис¬
темой, в рамках которой осуществляются все формальные вычис¬
ления, связанные с БНО полета КА. Фундаментальное виртуаль¬
ное пространство строится на основании совокупности знаний,
приобретенных человечеством за многие годы изучения космиче¬
ского пространства. Эти знания изложены во множестве научных
трудов, данных о космическом пространстве, справочников, в ко¬
торых хранится вся известная человечеству информация о косми¬
ческом пространстве. Они получены в основном для той части
пространственно-временного континуума (3VK), в которой распо¬
ложена Солнечная система. Поэтому под фундаментальным про¬
странством будет пониматься именно эта часть 0VK.
Объектами фундаментального пространства является все
множество материальных тел и физических полей, которые нахо¬
дятся в этой части 3VK. Кроме того, к этим объектам добавляется
звездная система, представляемая множеством материальных то¬
чек, положение которых в пространственно-временном континуу¬
ме определяется звездным каталогом. Совокупность всех данных
об указанных объектах позволяет построить фундаментальное
виртуальное пространство.
На практике часто вместо всего фундаментального простран¬
ства и объектов, ему принадлежащих, берется только его часть,
в дальнейшем называемая фрагментом фундаментального про¬
странства. В нем учитываются не все материальные объекты,

14
ПРЕДИСЛОВИЕ
а только та их часть, которую необходимо учитывать при разра¬
ботке конкретного космического проекта.
Фундаментальное виртуальное пространство является фунда¬
ментом для построения всех видов оперативных виртуальных про¬
странств. Оперативное виртуальное пространство имеет приклад¬
ной характер и выстраивается для каждого варианта, связанного с
проектированием и реализацией конкретного космического проек¬
та. Оперативное виртуальное пространство должно удовлетворять
потребностям практики. В нем заключены образы проектируемых
или уже функционирующих космических аппаратов. Эти образы
представлены информационными моделями и служат основой для
реализации баллистико-навигационного обеспечения полета КА.
Предполагается, что оперативное виртуальное пространство вклю¬
чает трехмерное пространство, удовлетворяющее всем восьми ак¬
сиомам Эвклида. В этом пространстве строится система коорди¬
нат, в которой в качестве системы отсчета принимаются фунда¬
ментальные объекты, принадлежащие фундаментальному вирту¬
альному пространству.
В оперативном виртуальном пространстве по осям системы
координат введена метрическая система отсчета. Все образы опе¬
ративного виртуального пространства или образы, сконструиро¬
ванные из элементов фундаментального виртуального пространст¬
ва, удовлетворяют условию адекватности как для прямого, так и
для обратного отображения. Таким образом, виртуальное про¬
странство удовлетворяет всем требованиям, необходимым для то¬
го, чтобы служить базой для проектирования космической систе¬
мы, способной решать поставленные задачи.
Четвертая глава посвящена описанию средств, с помощью ко¬
торых осуществляется отображение космической обстановки на
оперативное виртуальное пространство. Под космической обста¬
новкой понимается положение космических аппаратов в космиче¬
ском пространстве и модели их движения.
Навигационное поле есть физическое поле, средой обитания
которого является пространственно-временной континуум. Физи¬
ческое поле может быть навигационным только в том случае, если
оно удовлетворяет ряду необходимых требований:

ПРЕДИСЛОВИЕ
15
- наличие определенной степени заполнения данным полем
пространственно-временного континуума;
- наличие математической модели физического поля, за¬
данного в системе координат оперативного виртуального про¬
странства;
- наличие таких параметров физического поля, которые
можно интерпретировать в понятиях пространственно-временного
состояния КА, значения которых можно измерить. Данные пара¬
метры обычно называют навигационными;
- наличие прибора, который может измерять значения этих
параметров.
Показано, что навигационное поле бывает естественного и ис¬
кусственного происхождения.
В главе отмечены наиболее важные характеристики навигаци¬
онных полей, определяющих физическое поле как навигационное.
Особое внимание уделено искусственному навигационному полю,
порождаемому ГНСС ГЛОНАСС, GPS, а также оптическому и
гравитационному навигационным полям.
Пятая глава посвящена обсуждению процедуры отображения
движения КА на оперативное виртуальное пространство, трактуе¬
мой как нахождение вектора пространственно-временного состоя¬
ния КА по навигационным измерениям и решение задачи парамет¬
рической идентификации модели движения КА.
В главе приводятся основные теоремы, следствия из них, оп¬
ределяющие оптимальные алгоритмы обработки навигационных
измерений, обеспечивающие минимальную ошибку определения
параметров вектора пространственно-временного состояния КА.
Решается задача параметрической идентификации модели движе¬
ния КА.
Шестая глава посвящена планированию пространственно-
временных действий на КА. Под пространственно-временным
действием понимается любое действие на КА, которое приводит к
изменению пространственно-временного состояния КА. В задачу
пространственно-временного действия входит создание такого
пространственно-временного состояния КА, при котором целевая
и служебная аппаратура могут выполнять задачи, обеспечивающие
достижение поставленных целей. Пространственно-временное

16
ПРЕДИСЛОВИЕ
действие определено на множестве пространственно-временных
состояний вектора состояния КА. Пространственно-временное
действие является самой массовой операцией на КА, так как ни
одна цель, достигаемая работой целевой аппаратуры, а также ни
одна служебная операция, имеющая пространственно-временной
характер, не может быть выполнена, если для нее не подготовлены
соответствующие пространственно-временные условия, создавае¬
мые пространственно-временным действием.
К операциям, требующим создания необходимых пространст¬
венно-временных условий, относятся: исполнение импульсов кор¬
рекции орбиты и маневров КА, выполняемых реактивными двига¬
тельными установками, сближение и стыковка двух КА, наблюде¬
ние за объектами в космическом пространстве, фотографирование
определенных районов на поверхности Земли и других космиче¬
ских объектов, проведение навигационных измерений, наблюде¬
ние за звездным небом и т.д.
Таким образом, планирование пространственно-временных
действий на КА является важнейшим видом работ, выполняемых в
процессе управления движением космических аппаратов.
В этой главе рассмотрены различные аспекты, связанные с
планированием пространственно-временных действий на КА.
Седьмая глава посвящена анализу связи структуры программ¬
но-математического обеспечения системы управления КА, исполь¬
зуемого при БНО полета КА, с выполнением отображения про¬
странственно-временного континуума на оперативное виртуальное
пространство. Данная связь определяется той ролью, которую иг¬
рает операция отображения движения КА в пространственно-
временном континууме на оперативное виртуальное пространство.
Эта операция является источником главной информации, необхо¬
димой для работы системы управления КА. В соответствии с этим
программный комплекс любой системы управления КА делится на
три подсистемы, обозначаемые 01, ©II, ©III.
Подсистема 01 выполняет операцию по отображению движе¬
ния КА в пространственно-временном континууме на оперативное
виртуальное пространство. Тем самым в рамках данной подсисте¬
мы выполняется задача по определению вектора пространственно-
временного состояния и параметров модели движения, являющих¬
ся первичной информацией для работы системы управления КА.

ПРЕДИСЛОВИЕ
17
Подсистема 011 решает задачи, связанные с решением слу¬
жебных и целевых задач, поставленных перед КА.
В задачу подсистемы ©III входит хранение всех рассчитанных
данных. Кроме того, в данной подсистеме находится вся информа¬
ция, закладываемая на КА до его старта, необходимая для работы
системы управления КА. Эта информация содержит данные, взя¬
тые из материала, описывающего фундаментальное виртуальное
пространство, и закладываемые на борт КА до его старта.
Перечисленные подсистемы образуют единую систему про¬
граммно-математического обеспечения, реализуемую в рамках
БНО полета КА, называемую системой информационного обеспе¬
чения управления пространственно-временным состоянием КА
(СИОУПВС КА).
В заключение считаю необходимым отметить большую роль
Ирины Николаевны Хлебниковой в написании данной моногра¬
фии. Она принимала участие в написании третьей и четвертой
глав, а также в подборе необходимого материала, обсуждении и
редактировании текста, что в значительной степени определило
облик данной монографии.

Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
СЛОЖНЫМИ ПРОЦЕССАМИ.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1.	СУБЪЕКТЫ И ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ
Теория управления сложными процессами [4], как и многие
теории, описывающие различные явления реального физического
мира, должна опираться на некоторый основополагающий подход,
который в каждом конкретном случае, при рассмотрении отдель¬
ных физических аспектов мира, позволит выбрать нужную сово¬
купность основных понятий для того, чтобы получаемые теорети¬
ческие построения не оторвались от реального физического мира.
Подобный подход в теории управления сложными процессами ба¬
зируется на введении понятий субъекта и объекта. Под субъектом
управления понимается тот элемент физического мира, в чьих ин¬
тересах осуществляется управление. Под объектом управления
понимается совокупность элементов физического мира, состояние
которых определяет или каким-либо образом затрагивает интересы
субъекта.
Тем самым субъект, осуществляя воздействие на объект с по¬
мощью системы управления, достигает своих целей. Степень воз¬
действия на объект определяется теми конкретными целями, кото¬
рые субъект желает достичь.
1.2.	ПРОЦЕСС. НАБЛЮДАЕМЫЕ И
УПРАВЛЯЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ. СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕСС
Рассмотрим пару объект-субъект управления и те причины,
которые лежат в основе образования такой пары. Возможность
управления характеризуется определенным соотношением целей и
возможностей субъекта, а также свойством объекта быть управ¬
ляемым.

ПРОЦЕСС. НАБЛЮДАЕМЫЕ И УПРАВЛЯЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ
19
В природе практически нет объектов, которые не меняли бы
своего состояния во времени. Это свойство объектов внешнего
мира имеет важнейшее значение для субъекта управления, опреде¬
ляя для него потенциальную возможность достижения целей,
стоящих перед ним. Для различных объектов степень их изменчи¬
вости различна, и для каждого объекта это свойство определяет
величину того временного интервала, в пределах которого измене¬
ние состояния объекта возможно в определенных пределах. Вид
целей субъекта управления и время их достижения необходимо
соизмерять с величиной допустимого интервала управления.
Это важнейшее свойство объекта управления, состоящее в его
изменчивости во времени, имеет для субъекта управления прин¬
ципиальное значение. Обобщим свойства данной изменчивости
под общим названием «процесс».
Дадим более точное определение понятию процесса. Предста¬
вим процесс как явления внешнего мира, происходящие в объектах
и приводящие к изменению состояния этих объектов во времени.
Другим важнейшим условием достижения целей, стоящих пе¬
ред субъектом, является возможность целенаправленного воздей¬
ствия на процесс средствами, порождаемыми системой управления
объектом. Субъект должен иметь возможность наблюдать за раз¬
витием всех процессов, от состояния которых зависит достижение
целей управления. Следовательно, процессы должны обладать
свойством наблюдаемости (наблюдаемые процессы). Наблюдае¬
мые процессы, допускающие возможность оказывать влияние на
их изменение, будем называть управляемыми процессами. Эти три
фактора - изменчивость, наблюдаемость и управляемость процес¬
сов составляют основу создания системы управления. Как прави¬
ло, процессы могут быть представлены как совокупность более
простых процессов, относительно которых можно сказать то же
самое. Эта иерархия по сложности процессов определяется с пози¬
ций субъекта управления и ограничивается некоторыми процесса¬
ми, которые будем называть базовыми. Важнейшим свойством
базового процесса является возможность построения для него ма¬
тематической модели.
За базовый процесс будем принимать процесс, который пред¬
ставляет собой одну из форм функционирования составной части

20 Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ПРОЦЕССАМИ
сложного объекта управления, обладает определенной автономно¬
стью (слабой степенью взаимовлияния относительно других базо¬
вых процессов) и устойчивостью во времени. Базовый процесс
должен обладать свойствами идентифицируемости, наблюдаемо¬
сти, управляемости, а также важным свойством, состоящим в воз¬
можности представления его в виде формальной математической
модели. Требование управляемости не является обязательным для
всех базовых процессов, входящих в управляемые сложные про¬
цессы.
Сложный процесс определим как совокупность базовых
процессов.
Рассмотрим сложный процесс на примере космической систе¬
мы. Для достижения целей, стоящих перед космической системой,
пространственное положение и ориентация отдельных КА, входя¬
щих в систему, должны удовлетворять ряду условий. Для их дос¬
тижения в определенные интервалы времени управления КА по¬
требуется выполнение ряда действий (например, выполнение тре¬
буемой ориентации в пространстве и осуществление коррекции
орбиты с помощью двигательных установок, проведение экспери¬
ментов и т.п.). При этом само состояние КА должно удовлетворять
заданному множеству условий (нормальное состояние аппаратуры,
необходимый температурный режим, требуемое состояние газовой
среды и т.д.). Каждое из перечисленных действий можно рассмат¬
ривать как управление отдельным процессом. При рассмотрении
этих процессов необходимо иметь в виду, что они могут быть
управляемыми или только наблюдаемыми, а также сложными или
простыми (базовыми).
Все физические явления, происходящие внутри корпуса КА
(изменение температуры, изменение состава газовой среды, функ¬
ционирование аппаратуры), можно рассматривать как процессы.
Степень детализации и порядок декомпозиции сложных процессов
на базовые определяются с позиций субъекта управления, в соот¬
ветствии с теми целями, которые он должен достичь.
Таким образом, космической системе можно поставить в со¬
ответствие совокупность сложных процессов, декомпозируемых
на множество базовых процессов, среди которых могут быть как
управляемые, так и только наблюдаемые. При этом для построе¬

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БАЗОВЫХ ПРОЦЕССОВ	21
ния системы управления сложным процессом необходимо знание
формальных моделей протекания базовых процессов, а также мо¬
дели их объединения в единый сложный процесс. Поэтому субъект
должен иметь возможность построения этих формальных моделей.
В приведенном описании использованы следующие понятия: со¬
стояние объекта управления, наблюдение за ним, а также управле¬
ние этим объектом. Всем им можно дать точное математическое
определение. Этому будут посвящены следующие разделы.
1.3.	МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
БАЗОВЫХ ПРОЦЕССОВ. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
КАК МОДЕЛЬ БАЗОВОГО ПРОЦЕССА.
ПОНЯТИЕ «СОСТОЯНИЕ ПРОЦЕССА»
Каждому базовому процессу можно поставить в соответствие
математическую модель. Необходимо иметь в виду наличие боль¬
шого разнообразия базовых процессов, имеющих различную фи¬
зическую природу. Это в целом приводит к необходимости разно¬
образных способов их формального описания. Вместе с тем при
построении теории управления сложными процессами желательно
выбрать такую форму математического описания, которая удовле¬
творяла бы требованиям единообразия, полноты, алгоритмизируе¬
мое™, точности и быстродействия.
Эти требования имеют следующую трактовку. Желательно,
чтобы модели процессов имели единообразную форму представ¬
ления. Модель конкретного процесса должна включать всю сово¬
купность существенных параметров, определяющих важные сто¬
роны процесса; допускать построение вычислительных алгорит¬
мов для реализации ее программного эквивалента на ЭВМ; позво¬
лять вычислять параметры процесса с необходимой точностью за
приемлемое время.
Наиболее полно этим требованиям удовлетворяют модели,
создаваемые на базе формальной теории систем, и в частности
теории динамических систем. Поэтому динамическая система
(в формулировке Калмана) принимается как формальная схема для
определения конкретных моделей отдельных базовых процессов.

22 Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ПРОЦЕССАМИ
Динамическая система позволяет:
- описывать любой процесс, удовлетворяющий требовани¬
ям причинности и направленности;
- отражать детерминированный характер процесса или
свойство его неопределенности, которая может иметь стохастиче¬
скую или нестохастическую природу;
- обеспечить управляемость процесса, если процесс допус¬
кает эту процедуру.
Рассмотрим динамические системы двух видов:
1) детерминированная динамическая система представляет
класс детерминированных процессов;
2) стохастическая динамическая система определяет про¬
цесс, обладающий неопределенностью стохастического типа. Это
процесс, который может быть задан лишь своими вероятностными
характеристиками. Так, например, движение, как центра масс КА,
так и движение относительно центра масс, известно с некоторыми
ошибками. Поэтому эти процессы обычно определяются через та¬
кие статистические характеристики, как математическое ожидание
и матрица вторых моментов. В общем случае параметры состояния
процесса представляются последовательным рядом моментов рас¬
пределения соответствующего случайного процесса.
Любой из двух видов динамической системы в общем виде
может быть определен как только наблюдаемая или управляемая
система. Важнейшим свойством формальной модели в виде дина¬
мической системы является возможность введения понятия
состояние процесса. При этом сама формальная запись системы
есть ни что иное как запись динамического процесса. Оба вида
динамических систем могут быть записаны следующей совокуп¬
ностью элементов:
SD = (Г, *, X., и, и, Qo(x09 to, (p[/o, t\ t)\	(1.1)
где T - множество моментов времени /, в которые реализуется
процесс; множество Т представляется подмножеством множества
действительных чисел; для каждого конкретного процесса множе¬
ство Т либо конечное, либо счетное, либо эквивалентно множеству
точек, принадлежащих отрезку прямой; х = \\хиХ29 ...9хт\\- вектор,
параметры которого определяют состояние процесса; X - множе-

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БАЗОВЫХ ПРОЦЕССОВ	23
ство возможных состояний процесса, обозначаемое М(лг); в ряде
случаев X представляет собой m-мерное пространство; и - вектор
управления, определенный на множестве возможных управлений;
U - множество возможных управлений; Qo(x0, /о, (р[/о, t)9 О “ опера¬
тор перехода во множестве состояний процесса Х9 действующий
на момент / > реализующий отображение вида TxTxXxU-^X
и принадлежащий множеству возможных операторов; ф[/0, t) -
множество векторов управления и на полуинтервале [/0, О*
Как следует из приведенного соотношения (1.1), состояние
процесса задается вектором х, а само соотношение определяет
форму существования этого процесса и порядок его изменения по
времени. Тем самым данное соотношение может быть представле¬
но уравнением, определяющим данный процесс. Более того, это
соотношение позволяет выделить как наблюдаемые, так и управ¬
ляемые процессы.
Наличие компонент и, £/, <p[f0, t) в динамической системе ука¬
зывает на то, что процесс управляемого типа и определяет харак¬
теристики управления. Для процессов, обладающих только свой¬
ством наблюдаемости, эти компоненты в динамической системе
отсутствуют. Отсутствие компонент в кортеже SD динамической
системы будем обозначать знаком 0. Так, для только наблюдае¬
мых процессов принимается следующее соотношение:
и, £/, ф[/0, t) = 0.
Обозначим неуправляемую динамическую систему S^,
а управляемую - SUD. Таким образом, общее определение динами¬
ческой системы SD обеспечивает единообразное представление как
для наблюдаемых, так и для управляемых процессов, а также для
всех динамических систем рассмотренного вида: детерминирован¬
ных и стохастических. Рассмотрим перечисленные виды динами¬
ческих систем.
1.	Детерминированная система So = Sod-
Вектор параметров состояния х = \х\9 х2, ..., хт\ с требуемой
для поставленных задач точностью определяет детерминирован¬
ный процесс; Q(x0, /0, ф[/0,	0 = х(0 ~ оператор перехода, удовле¬
творяющий условиям полугруппы, реализует отображение

24 Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ПРОЦЕССАМИ
Тх ТхХх U^>X
или
Тх ТхХ->Х.
2.	Стохастическая динамическая система SD = SDs.
Параметры вектора состояния х стохастической динамической
системы представляются последовательностями моментов функ¬
ций распределения соответствующих случайных величин вплоть
до А:-го порядка. Для нормального закона распределения достаточ¬
но принять к = 2; х = \х\, Х2, хт\ - математическое ожидание;
случайного вектора х; F(x) - функция распределения вектора х.
Математическая модель процесса, будучи формальной схемой
его описания, естественно, имеет конечную точность представле¬
ния этого процесса. Допустимая ошибка математического пред¬
ставления процесса определяется особенностями целей управле¬
ния, а, значит, в конечном счете зависит от субъекта управления.
Вместе с тем, какая бы не была точность модели, использование ее
на длительном интервале в предположении, что заданы конкрет¬
ные параметры (вектор состояния) на момент времени t0, приводит
к недопустимым ошибкам. Так, например, какой бы точной не бы¬
ла модель движения центра масс КА, использование ее при задан¬
ных начальных условиях движения КА допустимо только на опре¬
деленном временном отрезке [t0 - tn]. Поэтому приходится перио¬
дически переуточнять начальные условия.
Для характеристики, определяющей величину временного ин¬
тервала, на котором можно пользоваться моделью без уточнения
начальных условий, вводится понятие памяти модели.
Память модели - важнейшая характеристика моделей. Дадим
более точное определение памяти модели.
Оставаясь в рамках определения стохастической динамиче¬
ской системы, будем полагать, что состояние процесса характери¬
компоненты матрицы вторых мо¬
ментов; х{ - j-й момент функции распределения i-и компоненты
1.4.	ПАМЯТЬ МОДЕЛИ

ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННОЕ УПРАВЛЕНИЕ
25
зуется нормальным законом распределения. Тогда вектор состоя¬
ния процесса в такой модели определяется двумя моментами: ма¬
тематическим ожиданием jc0 и матрицей вторых моментов Мх слу¬
чайного вектора jc. При этом точность описания векторов х харак¬
теризует эллипсоид
Предположим, что в некоторый момент времени t = t0 пара¬
метры процесса задаются вектором jc0 и матрицей вторых момен¬
тов 'Мх <МХ, где Мх - некоторая симметрическая положительно¬
определенная матрица, характеризующая величину предельно до¬
пустимой ошибки описания процесса.
Используя оператор перехода в пространстве состояний, за¬
данный в стохастической модели, мы можем по значениям jc0 и Мх
на момент времени /0 определить х(/) на произвольный момент
времени t. При этом, как правило, выполняется условие
Mx(t,) > Mx(tj), если tj > tj.
Это эквивалентно тому предположению, что с увеличением
интервала прогнозирования процесса точность описания процесса
данной моделью ухудшается, и может наступить такой момент
t = 4, что Mr(tk) > Мх. Следовательно, при t> tk использовать век¬
тор х(/) для описания процесса уже нельзя. Поэтому величину
временного отрезка [4 - 4] будем называть памятью модели и обо¬
значать Xs. Величина Xs может быть положена в основу классифи¬
кации стохастических моделей либо по абсолютному значению
этой величины, либо по ее значению, отнесенному к какой-либо
наперед заданной величине.
1.5.	ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Сформулируем понятие целенаправленного управления для
произвольной системы SUD.
Пусть на фазовом пространстве Т х X системы SUD определена
функция Дх, /). Данная функция Дх, t) удовлетворяет следующему
условию: цель, поставленная субъектом управления, может быть

26 Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ПРОЦЕССАМИ
представлена значением функции Дх;, t) на некоторый момент вре¬
мени t. Такую функцию будем называть функцией цели или целе¬
вой функцией.
Обозначим через М(Ф(/*)) (где /* е Г*) множество значений
этой функции, при которых обеспечивается достижение постав¬
ленной цели.
Не	Не
Т - множество терминальных моментов времени, Т е Г.
Тогда множество мДх;, /), задаваемое соотношением
М^дс, t) = {(**, U ) / (**, t*) <=ХхТ* ,fix*, /,*) е М(Ф(7*))},
будем называть целевым множеством.
Целенаправленным управлением системой SUD на интервале
(^о - 4)> заданным функцией цели Дх, t) и множествами М(Ф(/г*)),
где U е Г*, будем называть такое управление (р[/о> t\ выбранное из
допустимого множества управлений С/, при котором обеспечивает¬
ся выполнение условия
fix, ti) е М(Ф(/,*)),
гдех(и ) = Q*{х0, t0, ф[/0, t*), t*).
Целенаправленное управление интерпретируется как управ¬
ление данным процессом, при котором он в необходимые моменты
времени (в терминальные моменты) достигает требуемого состоя¬
ния, обеспечивающего достижение цели.
Целенаправленное управление связано с понятием множе¬
ство терминальных моментов.
В зависимости от типа множества Т* будем различать терми¬
нальное, развивающееся и смешанное управления.
В простейшем случае под терминальным управлением обычно
*
понимают такое управление, при котором множество Т состоит
из одного элемента / = /, называемого терминальным моментом
времени. Вместе с тем понятие терминального управления можно
расширить. Для этого предположим, что множество Г* есть цело¬
численное множество упорядоченных моментов /Д t2*, ..., tp*
(t* < t2 < tp ), при этом

ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННОЕ УПРАВЛЕНИЕ
27
tM-ti)>At ,	(1.2)
где At - заданный допустимый интервал.
Подобное управление будем также называть терминальным.
Таким образом, под терминальным управлением будем понимать
такое управление, в результате которого достигается либо конеч¬
ная цель, либо конечная совокупность целей, которые достигаются
в моменты времени, удовлетворяющие неравенству (1.2).
Под развивающимся управлением понимается такое управле¬
ние, при котором обеспечивается непрерывное или почти непре¬
рывное отслеживание заданных целей. В этом случае множество
Т* задается множеством моментов, принадлежащих временному
отрезку [t\ - t2\. Характерный пример развивающегося управления
есть стабилизация какого-либо процесса, например стабилизация
углового положения КА.
Под смешанным управлением понимаем управление, содер¬
жащее черты терминального и развивающегося управления. Тер¬
минальное множество в этом случае представляется соотношением
i'-IW.
'Г*
где 7,	- множество, соответствующее временному отрезку
1* *
Ь\ ~ t[2 • ‘
Если для достижения заданной цели существует не единст¬
венное управление, то можно говорить об оптимальном управле¬
нии. Дадим более строгое понятие оптимального управления.
Пусть М(ф[/;, /)) есть множество управлений, обеспечивающих
достижение поставленных целей. Определим на этом множестве
функционал качества, обозначаемый Л(ср[7о, /)).
Тогда оптимальным назовем управление, при котором дости¬
гается выполнение условия
Л(ф
опт [to, 0) = supA((p[7o, t));
ф[/0, t) е М(ф[/„ 0).

28 Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ПРОЦЕССАМИ
1.6.	СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, НАБЛЮДЕНИЯ И
ИДЕНТИФИКАЦИИ БАЗОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Для реализации целенаправленного управления должна суще¬
ствовать соответствующая система управления. Рассмотрим такую
систему применительно к базовым процессам, входящим в дина¬
мические системы SUD.
В работе системы управления можно выделить циклы, назы¬
ваемые в дальнейшем циклами управления, в пределах каждого из
которых повторяются следующие операции:
- наблюдение за процессом;
- идентификация модели процесса;
- оценивание вектора состояния процесса;
- решение задачи управления, т.е. нахождение (р[/ь t2),
обеспечивающего достижение заданной цели при известном век¬
торе состояния и модели движения КА;
- реализация управления.
Рассмотрим каждую из операций в отдельности.
Наблюдение за процессом сводится к измерению значений
некоторых функций, называемых функциями наблюдения, или из¬
мерению навигационных параметров, обозначаемых yz*(jc, /). Они
определены на множестве значений параметров наблюдаемого
процесса. Измерения проводятся на протяжении некоторого вре¬
менного интервала, называемого интервалом наблюдения или на¬
вигационным интервалом.
Идентификация. В соответствии с определением динамиче¬
ской системы вида S}или SUD, динамика развития процесса во
времени определяется оператором £?/•
В каждый оператор входит некоторое количество параметров
ри Pi, •••> Рп- Для того чтобы можно было пользоваться операто¬
ром, необходимо знать значение всех этих параметров. Но это ус¬
ловие в силу многих причин не всегда выполнимо. Поэтому необ¬
ходимо провести мероприятия по уточнению указанных парамет¬
ров. Данная процедура называется параметрической идентифика¬
цией оператора £?/. Обычно задачи подобного рода решаются на
основании результатов наблюдения за процессом.

СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, НАБЛЮДЕНИЯ И ИДЕНТИФИКАЦИИ 29
Определение вектора состояния. Решается задача определе¬
ния вектора состояния х, когда по результатам измерения значений
функций наблюдения (измерения навигационных параметров)
yt(x, t) на интервале наблюдения с использованием оператора,
уточненного при решении задачи идентификации, определяется
вектор состояния динамической системы на некоторый момент
времени /0. Важнейшими характеристиками данной операции яв¬
ляются: продолжительность интервала наблюдения и состав на¬
блюдаемых функций, обеспечивающих определение вектора со¬
стояния с требуемой точностью.
Решение задачи управления. При уточненном операторе,
определенном векторе состояния jc(/0) динамической системы SUD,
заданной целевой функцией Дх, /), и располагаемом составе ис¬
полнительных устройств требуется определить функцию управле¬
ние (р[7о, /), обеспечивающую достижение поставленной цели на
терминальном множестве моментов.
Реализация управления ф[/0, 0 сводится к техническому акту
силового воздействия на процесс средствами исполнительных си¬
ловых устройств.
В общем случае в системе управления можно выделить пять
подсистем:
1) подсистема наблюдения, включающая средства наблюде¬
ния и соответствующие решающие устройства, обеспечивающие
предварительную обработку измерений; ее будем обозначать Sy и
представлять следующим соотношением:
Sy = (Л, Ry\
где Л = {yt{xj9 tj) //=1,2,..., n9j = 1, 2,	Ry - решающее уст¬
ройство, т.е. информационно-вычислительная система, обеспечи¬
вающая предварительную обработку измерений;
2) подсистема идентификации, включающая средства, обес¬
печивающие серию специальных мероприятий, производимых над
процессом, а также систему наблюдения; данную систему будем
обозначать SS и задавать следующим соотношением:
SS = (MS9Sy(SD)9 Rd,

30 Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ПРОЦЕССАМИ
где MS - серия мероприятий, обеспечивающих решение задачи
идентификации; 7?; - решающее устройство;
3) подсистема, которая на основании совокупности измере¬
ний, проведенных в подсистеме 1, и оператора, для которого ре¬
шена задача идентификации в подсистеме 2, определяет вектор
состояния динамической системы х на некоторый момент времени
ti и обозначается
Sx = (Rx, Г, ри..., р„),
где Г - множество измерений; Rx - решающее устройство;
рп ~ уточненные параметры оператора;
4) подсистема аппаратно-программных средств, которые на
основании данных, полученных от второй и третьей подсистем,
а также значения целевой функции рассчитывают значение управ¬
ляющего воздействия, реализация которого обеспечивает такое
значение вектора состояния на момент е Г*, реализация которо¬
го обеспечивает создание условия для достижения цели;
5) исполнительное силовое устройство, реализующее управ¬
ление, рассчитанное подсистемой 4.
Подсистема 2, решающая задачу идентификации, использует¬
ся только тогда, когда в операторе Q(jc0, to, (р[/о, t), t) существуют
неопределенные параметры, что бывает только в особых случаях.
Поэтому наиболее часто система управления состоит из четырех
подсистем: первой, третьей, четвертой и пятой. В заключение от¬
метим важную особенность в функционировании системы управ-
Т-г	*	KS	**
ления. Пусть t есть терминальный момент времени, а / - момент
времени работы исполнительного силового устройства, тогда та¬
кое управление можно осуществлять только в тех случаях, когда
интервал времени
to < tJ{ < ty2 < Г <t < (to + Ю,
где ty и ty2 - соответственно время начала и окончания наблюде¬
ния за процессом; Xs - продолжительность памяти модели опера¬
тора Q(jc0, to, <p[fo, t), t)\ to - момент отсчета продолжительности па¬
мяти модели.
Это условие имеет достаточно простое объяснение: в основе
решения задач наблюдения и управления лежит понятие матема-

ПОНЯТИЕ СЛОЖНОСТИ МОДЕЛИ
31
тической модели, которая представляется в основном в виде сто¬
хастической динамической системы, поэтому решение задачи
управления может быть выполнено с необходимой точностью
лишь для интервалов, не превышающих величину памяти модели.
1.7.	ПОНЯТИЕ СЛОЖНОСТИ МОДЕЛИ
Как было отмечено выше, решение задач идентификации,
оценивания, управления, а следовательно, и реализации соответст¬
вующей системы управления базовым процессом базируется на
математической модели процесса, представляемой как динамиче¬
ская система. В зависимости от характера базового процесса, его
формальная модель может иметь различную степень сложности.
При этом уровень сложности может быть столь значительным, что
построение системы управления и решение задач управления
на базе такой модели становятся практически неосуществимыми
из-за ресурсных и технических ограничений.
Уровень сложности модели в общем виде трудно параметри-
зировать, но в каждом конкретном случае его всегда можно пред¬
ставить в виде набора числовых характеристик. Это могут быть
размерность пространств состояния X и управления U, характери¬
стики оператора перехода Q или интервал времени, который тре¬
буется для создания модели. Но наиболее универсальным показа¬
телем, характеризующим сложность модели, является необходи¬
мое быстродействие проведения расчетов с использованием моде¬
ли движения.
За показатель быстродействия модели примем величину вре¬
менных затрат, которые необходимы для получения прогноза раз¬
вития процесса на заданный интервал времени А^. Будем обозна¬
чать показатель быстродействия модели функцией h(At). В качест¬
ве меры показателя быстродействия примем h(ks) - затраты време¬
ни на прогнозирование процесса для временных интервалов, соот¬
ветствующих памяти модели. Хотя показатель h(Xs) зависит и от
ряда других факторов (методов вычисления, характеристик алго¬
ритмов, производительности вычислительных устройств), однако
при фиксированных ресурсах системы управления его значение в
общем случае связано со сложностью модели базового процесса.

32 Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ПРОЦЕССАМИ
В большинстве практических случаев возможности для реали¬
зации системы управления таковы, что при создании модели базо¬
вого процесса из всех возможных вариантов ее построения прихо¬
дится выбирать тот вариант модели, который при прочих равных
условиях обеспечивает максимальное быстродействие.
1.8.	СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕСС, ОПРЕДЕЛЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ
СЛОЖНЫМ ПРОЦЕССОМ
1.8.1.	Основные определения
Целью управления простым процессом является достижение
целей, стоящих перед субъектом управления. При введении поня¬
тия целеустремленной системы предположим, что функция цели
определена на множестве состояний управляемого процесса. Со¬
вокупность базовых процессов, на множестве состояний которых
определена цель субъекта управления, будем называть сложным
процессом. Для достижения цели, определенной на сложном про¬
цессе, субъект должен иметь такую систему управления, в распо¬
ряжении которой имелись данные о состоянии всех базовых про¬
цессов (наблюдаемых и управляемых), на пространстве состояний
которых определены его функции цели. При этом такое управле¬
ние должно быть скоординировано по всем базовым процессам.
Совокупность этих процессов, выделенных субъектом управ¬
ления из всего множества процессов, с которыми он связан и со¬
стояние которых влияет на цель субъекта, образует сложный
процесс.
Очевидно, что в данном случае достижение целей субъекта
возможно только в том случае, если в систему управления этими
процессами входят управляемые базовые процессы. Цель функ¬
ционирования этих процессов состоит в достижении частных
целей, представляемых целевыми функциями, областью определе¬
ния которых является пространство состояний данных базовых
процессов.
Интегральная система управления данным сложным процес¬
сом, куда входит все множество систем управления базовыми про¬
цессами, должна осуществлять координацию данными управляе¬

СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕСС. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 33
мыми базовыми процессами с учетом состояния наблюдаемых
процессов, а также синхронизацию их функционирования по вре¬
мени. Данную функцию в интегральной системе управления вы¬
полняет элемент интегральной системы, называемый координато¬
ром, который осуществляет координацию и синхронизацию функ¬
ционирования базовых систем управления. Из этого следует, что
система управления сложным процессом представляет собой
двухуровневую иерархическую систему, на верхнем уровне кото¬
рой находится координатор, а на втором уровне - базовые системы
управления. Между координатором и базовыми системами управ¬
ления происходит двухсторонний информационный обмен, при
котором координатор передает базовым системам управления за¬
дания на выполнение работ. Базовые системы управления прини¬
мают задание на управление базовыми процессами, осуществляют,
в соответствии с этим, целенаправленное управление ими и ин¬
формируют о результатах управления базовыми процессами коор¬
динатора.
Совокупность систем управления базовыми процессами,
функционирование которых скоординировано и синхронизирова¬
но, результатом которого является создание условий, обеспечи¬
вающих достижение цели субъекта управления, будем называть
системой управления сложным процессом. Совокупность целей
каждой системы управления базовым процессом будем называть
сложной целью. Таким образом, можно считать, что сложный про¬
цесс порождается сложной целью, поставленной субъектом.
1.8.2.	Математическая модель сложного процесса.
Управление сложным процессом
Математическую модель сложного процесса можно построить
на базе математических моделей базовых процессов.
По аналогии с базовыми процессами математическую модель
сложного процесса будем называть сложной динамической систе¬
мой и обозначать 5^.
Пусть задано некоторое множество динамических систем
M(SD), которые объединены в два подмножества: наблюдаемых

34 Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ПРОЦЕССАМИ
динамических систем	и управляемых динамических сис¬
тем	Предположим,	что сложная цель определена на про¬
странстве состояний всех базовых процессов. Тем самым модель
сложного процесса может быть представлена в виде
si = м"1,(5Ь,)и	s$	и	sl\
где
^D,i	**i,z>	00,1,/(^0,1,z5	*^0,1,75	i	~~	^5 •••’
^D,/ = {^2,j’ *2,75 ^5 И5 00,2,7(^0,2,75 X0,2,j> фЛ*05 0? */)b
7 = 1, 2
Все базовые процессы, образующие сложный процесс, реали¬
зуются на одном временном интервале. Данное множество про¬
стых процессов образует сложную динамическую систему:
5l=jM(5b) = {5b,i// = l> 2’ -’и0;
При этом выполняются следующие условия:
1) пространства состояний слагаемых динамических систем
между собой независимы;
2) векторы управления динамических управляемых систем
между собой независимы.
Множество состояний сложной динамической системы обо¬
значим X1 и определим как прямое произведение слагаемых мно¬
жеств состояний динамических систем:
Xs = Xf х Х\;
Xf = Хц х Х12 х ••• х Х1>щ ;
Х2 — Х2 \ х Х2>2 х...х Х2 п1 .

СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕСС. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 35
Вектор состояния определяется соотношением
*	~ ||*11 ’ *12 > •••5 *1 щ* *21’ *22? Х2п2 || *
Прямое произведение ТхХЕ будем называть фазовым про¬
странством сложной динамической системы и обозначать
G| =TxXz.
Пусть fj (х~, (*) - сложные функции целей, определенные
у
на фазовом пространстве G0 , на котором должны быть достигну-
X *
ты заданные цели, а М(Ф (t )) есть заданное множество значений
целевых функций /;Е(л:Е, t*), t е Т*, где Т* - множество терми¬
нальных моментов времени.
Целевое множество	t*)	определим	соотношением
M'f*2	>*')/{**	>*')еТ'хХ*
Данное множество, равное количеству моментов tj9 в которых
должно быть достигнуто заданное значение функции цели деком¬
позируем на к подмножеств:
где
м/Гдс2	>%*)
здесь Tj состоит из одного элемента f ■ .
Введем понятие целенаправленного управления сложной
динамической системой при заданной сложной функции цели.
Таковым будет называться совокупность управлений срy[f0, t),
j = 1,2, ..., п2, выбранных из соответствующих допустимых управ¬
лений, при которых обеспечивается выполнение условий:

36 Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ПРОЦЕССАМИ
1) число реализуемых управлений равно числу моментов t*,
в которых достигаются заданные значения функций целей, опре¬
деленных выше (к);
2) для каждого у’-го управления обеспечивается условие
прохождения объекта черезу-е целевое множество;
3) последовательность управлений, следующих друг за дру¬
гом, удовлетворяет условию: если управление выполняется для
у-го целевого множества, то следующее за ним управление обеспе¬
чивает прохождение объекта через (/' + 1)-е целевое множество.
1.8.3.	Граф целей
Особенность управления сложной динамической системой со¬
стоит в том, что цель функционирования может быть достигнута
только за счет соответствующих управлений слагаемых управляе¬
мых динамических систем. Кроме того, как уже отмечалось выше,
сложная целевая функция определена на всем пространстве со¬
стояний, включающем пространство состояний как управляемых,
так и только наблюдаемых систем, а цели можно достичь только за
счет соответствующих управлений первыми системами.
Отсюда следует, что единственной возможностью решения
задачи управления сложной системой в указанной постановке яв¬
ляется представление цели, стоящей перед всей системой, сово¬
купностью подцелей, которые можно поставить перед управляе¬
мыми базовыми системами таким образом, чтобы достижение по¬
следних означало бы достижение первой.
Эта цель осуществляется декомпозицией цели на совокуп¬
ность подцелей, что будет интерпретироваться как построение
графа целей.
Решение данной задачи упрощается за счет того, что рассмат¬
ривается двухуровневая иерархическая система. При этом сложная
целевая функция представляет собой последовательность частных
целевых функций, каждая из которых является целью управления
одним из базовых процессов. Поэтому граф, который представляет
собой декомпозируемую сложную целевую функцию, есть двух¬
уровневый граф типа дерева, в вершине которого стоит сложная
цель, а на втором уровне - цели, стоящие перед управляемыми ди¬
намическими системами.

СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕСС. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 37
1.8.4.	Система управления сложной
целеустремленной системой
Задачу синтеза системы управления сложной динамической
системой рассмотрим в следующей постановке. Задана сложная
динамическая система
Sl=M(Sj)i)\jM(SuDJ).
Определена сложная функция цели /s(jcs, t), множество значе¬
ний этой функции М(ФЕ(0), при которых обеспечивается достиже¬
ние сложной цели, и задано множество терминальных моментов Т*.
Решение задачи управления для сложной системы осуществ¬
ляется в два этапа, а именно:
1) декомпозиция функций цели на совокупность функций
подцелей, достигаемых базовыми системами управления;
2) решение задач управления для полученных функций под¬
целей для управляемых базовых динамических систем.
Проведем анализ работы системы управления сложной целе¬
устремленной системой, реализующей указанную стратегию
управления.
Управление любой сложной системой содержит следующие
фазы:
- наблюдение за всеми базовыми процессами, идентифика¬
ция моделей слагаемых базовых процессов и оценка их состояния;
- скоординированное и синхронизированное планирование
работы подсистем управляемых базовых процессов в соответствии
с подцелями, определенными для каждой из них;
- реализация спланированных управлений каждого управ¬
ляемого процесса в соответствии с выработанным для него
планом.
Рассмотрим систему управления системы	реали¬
зующую все перечисленные этапы управления, как 2-уровневую
систему управления. Нижний уровень данной системы состоит из
трех множеств:

38 Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ПРОЦЕССАМИ
М(ss(sl,))= \ss(slt)/i = 1, 2,щ) -
множеств подсистем наблюдений и идентификации и
мЦЯду))= М5ду)// = 1, 2,..., п2) -
множества подсистем управления,
где Su(S[) j) - подсистема управления базовой динамической сис¬
темой SuD j, входящая в целеустремленную систему
s£"7={m(s"J, м(<>Ь,,),/;•(*, t), м(фЕ(о), т*, Su^Sbj},
здесь Smz(s£j) =	- множество систем управления;
Su{Sqj^= {Гj, Vj, Rj} - система управленияу'-м базовым процес¬
сом; = Sdj (j = 1,2, ..., ri\) - система наблюдения базовых.не¬
управляемых, но наблюдаемых динамических систем. Она опреде¬
ляется следующей двойкой элементов:
^А,)={^Я;3Ь
где Л = {yzy(jcz, t) / i = 1, 2, ..., р}\ yzy(jc/, t) - функция наблюдений,
определенная на пространстве состояний динамической системы;
R], Rf - операторы оценивания и идентификации соответствен¬
но, позволяющие по результатам измерения функции наблюдения
решать задачу идентификации и оценить значения вектора состоя¬
ния динамической системы.
Во второй уровень иерархии входит один элемент, называе¬
мый координатором. Рассмотрим функции, которые он должен
выполнять.
1. Задается совокупность целей, которые должны быть дос¬
тигнуты.
2. На основании этих данных, исходя из сложных целей,
стоящих перед системой, и возможностей базовых систем управ¬

СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕСС. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 39
ления, решается задача декомпозиции цели, и ставятся задания для
каждой базовой системы управления. При этом одновременно мо¬
жет решаться и задача распределения ресурсов. Дело в том, что
каждая базовая система управления для своей работы должна за¬
трачивать определенные ресурсы. В некоторых случаях все ресур¬
сы базовых систем управления объединены и находятся в ведении
координатора, поэтому в зависимости от задач, которые стоят пе¬
ред базовыми системами, координатор должен выделить соответ¬
ствующие ресурсы.
3. После того как задания для каждой базовой системы управ¬
ления сформулированы, функционирование базовых систем
управления, а также всех систем наблюдения и идентификации
осуществляется независимо от координатора.
4. В процессе управления координатор должен отслеживать
ситуацию и в случае необходимости осуществлять перераспреде¬
ление целей. Эта операция необходима в связи с тем, что развитие
событий может отличаться от ранее запланированных. Вызвано
это наличием ошибок в работе базовых систем управления и на¬
блюдения.

Глава 2
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-
ВРЕМЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ,
ПОРОЖДАЕМЫМИ
ФУНКЦИОНИРУЮЩИМИ КОСМИЧЕСКИМИ
АППАРАТАМИ
2.1.	КОСМИЧЕСКИЙ АППАРАТ КАК ОБЪЕКТ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО ТИПА
Любой автоматический космический аппарат предназначен
для решения задач определенного типа в интересах некоторого
количества субъектов, которые обычно называют заказчиками.
На борту КА установлена аппаратура, которая решает эти задачи.
Ее будем называть целевой аппаратурой. Помимо субъектов-
заказчиков, необходимо иметь в виду и субъектов другого типа.
У них также есть свои задачи на КА, которые состоят в управле¬
нии КА, обеспечивающем выполнение задач субъектов-заказчи-
ков. В распоряжении этих субъектов на борту КА имеется также
аппаратура пространственно-временного типа, с помощью которой
они выполняют требуемое управление. Такую аппаратуру будем
называть служебной аппаратурой, а самих субъектов - управлен¬
цами. В общем случае не будем делать различие между ними,
и всех будем называть субъектами. Объектом является космический
аппарат, а системой управления объекта - система управления КА,
которое обеспечивает выполнение задач, поставленных субъектом.
Основные свойства любого КА как объекта управления опре¬
деляются тем, что он является объектом пространственно-времен¬
ного типа. К таким объектам относятся летательные аппараты,
транспортные средства, движущиеся по поверхности Земли, плав¬
средства, подводные лодки.
Все объекты, относящиеся к такому типу объектов, удовле¬
творяют ряду требований.

КОСМИЧЕСКИЙ АППАРАТ КАК ОБЪЕКТ
41
1. Средой обитания таких объектов является либо простран¬
ственно-временной континуум (0VK), либо область 9VK, запол¬
ненная некоторой субстанцией. Таковой для летательных аппара¬
тов является атмосфера Земли, для транспортных средств - по¬
верхность суши, для плавсредств - водная поверхность, для под¬
водных лодок - водная среда и только для КА - пространственно-
временной континуум, за исключением отмеченных областей.
2. Перед каждым объектом пространственно-временного
типа поставлены цели определенного вида, которые они должны
достичь в процессе своего функционирования.
3. Первым этапом достижения каждой такой цели является
создание необходимых пространственно-временных условий, при
которых данная цель может быть достигнута. Таким образом, каж¬
дой такой цели ставится в соответствие множество пространствен¬
но-временных положений объекта, достижение которых является
необходимым условием достижения цели.
Рассмотрим, как данное условие может быть формально
записано.
Введем в пространственную компоненту пространственно-
временного континуума систему прямоугольных координат OXYZ.
Тогда пространственное положение объекта можно задать векто¬
ром а, определяемым соотношением
а = ||г, г, *F, *F, t\\,
где г = ||лг, у, z\\ - вектор координат объекта в пространстве;
dx dy dz
Ht9 ~dt* ~dt
ординаты единичного вектора, определяющие ориентацию объекта
d ocj d ос2 d ос3
г -
- вектор скорости объекта; Ч? = ||ось ос2, ос3|| - ко-
в пространстве; Ч* =
- вектор, задающий угло-
dt dt dt
вую скорость объекта; t - время.
Пространственное положение объекта на момент tt задается
вектором

42 Глава 2. УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
Пусть М/а) есть множество векторов, соответствующих мно¬
жеству пространственных положений объектов, являющихся не¬
обходимым условием достижения цели. Тогда пространственно-
временное условие, позволяющее достичь цели, задается соотно¬
шением а е М/а).
Из сказанного следует, что достижение любой пространствен¬
но-временной цели осуществляется в два этапа.
На первом этапе обеспечивается достижение такого простран¬
ственно-временного состояния объекта, при котором выполняется
условие
оу e Му(а),
где а, - вектор состояния, соответствующий данной цели.
Поэтому у всех объектов пространственно-временного типа
можно выделить две части. Первая часть обеспечивает выполне¬
ние пространственно-временных условий, необходимых для дос¬
тижения конкретной цели. Данная часть едина для достижения
всех пространственно-временных целей, поставленных перед объ¬
ектом. Вторая часть представляет собой совокупность исполни¬
тельных устройств, каждое из которых осуществляет действие,
обеспечивающее достижение определенной цели в рамках среды
существования данного объекта.
Поэтому каждый объект пространственно-временного типа
можно представить в виде транспортной платформы, на которой
установлены исполнительные устройства.
Транспортная платформа обеспечивает необходимое про¬
странственно-временное условие, при котором объект с помощью
исполнительных устройств достигает заданной цели, а также соз¬
дает необходимые условия для работы этих устройств.
Наиболее ярко наличие факта разделения пространственно-
временного объекта на две составные части проявляется на косми¬
ческом аппарате. В последующих разделах данной главы рассмат¬
риваются вопросы управления пространственно-временным со¬
стоянием КА как пространственно-временным объектом. При этом
в случае необходимости для достижения более ясного изложения
различных вопросов, связанных с управлением КА, материал, при¬
веденный в данном ведении, будет повторяться в требуемой
редакции.

ДЕКОМПОЗИЦИЯ СЛОЖНОГО ПРОЦЕССА
43
2.2.	ДЕКОМПОЗИЦИЯ СЛОЖНОГО ПРОЦЕССА,
ПОРОЖДАЕМОГО ФУНКЦИОНИРУЮЩИМ
КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ
Функционирующий КА порождает множество процессов раз¬
личного вида. Как правило, они относятся к сложным процессам,
неоднородным по своей природе. Поэтому первым шагом в изуче¬
нии данного сложного процесса является разделение его на сово¬
купность однородных процессов. Такую процедуру будем назы¬
вать декомпозицией сложного процесса, порождаемого КА, на бо¬
лее простые процессы. Результатом такой декомпозиции является
некоторая совокупность подмножеств процессов, каждый из кото¬
рых в силу определенных причин можно отнести к одному классу.
Родство процессов, входящих в один класс подмножеств, в основ¬
ном связано с их физической природой. В силу того, что все клас¬
сы подмножеств в совокупности порождены единым объектом,
каковым является КА, между различными классами процессов су¬
ществует причинно-следственная связь.
Множество всех процессов, порождаемых КА, в соответствии
с природой их появления, можно разбить на два крупных класса:
1) класс процессов, связанных со всеми видами пространст¬
венно-временного движения КА в пространственно-временном
континууме;
2) класс процессов, порождаемых функционированием со¬
вокупности технических элементов, из которых состоит КА.
В первый класс входят следующие простые процессы:
- движение центра масс;
- движение относительно центра масс;
- процессы, связанные с изменением положения навесного
оборудования на КА относительно корпуса КА, используемого
при решении задач пространственно-временного характера;
- система исчисления времени на борту КА.
Во второй класс входят процессы, порождаемые элементами и
системами КА:
- целевой аппаратурой;
- системой терморегулирования;
- системой электропитания;

44 Глава 2. УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
- системой управления движением центра масс;
- системой управления движением относительно центра
масс;
- системой управления положением навесного оборудова¬
ния;
- телеметрической системой;
- радиотехнической системой, обеспечивающей связь с
НАКУ;
- запоминающими устройствами и т.д.
Средой обитания КА является пространственно-временной
континуум. Данная среда в общем случае не является однородной
для различных КА, которые могут занимать различное положение
в межпланетном пространстве. Например, наличие атмосферы во¬
круг некоторых планет. Так как эта область космического про¬
странства достаточно ограничена относительно размеров всего
пространства, в общем случае будем считать, что область сущест¬
вования КА свободна от присутствия атмосферы. И только в от¬
дельных случаях атмосферу необходимо будет учитывать.
В непосредственной близости от планет плотность атмосферы
велика. Так общепринято считать, что атмосфера Земли начинает¬
ся с высоты 100 км от поверхности Земли. Поэтому именно с этого
момента считается, что КА начинает спуск на поверхность Земли.
По мере удаления от поверхности Земли плотность атмосферы по¬
степенно уменьшается, и влияние атмосферы учитывается как до¬
полнительная сила, создаваемая аэродинамическими силами, дей¬
ствующими на КА. До высот 600...700 км такие силы достаточно
заметны, но на больших высотах влияние атмосферы в большин¬
стве случаев не учитывается, так как в этих областях пространст¬
венно-временного континуума плотность атмосферы, а значит,
и влияние ее на движение КА, на несколько порядков меньше
влияния гравитационных сил. Поэтому влияние атмосферы на
движение космического объекта нужно учитывать только в опре¬
деленных случаях.
Пространственно-временной континуум включает все косми¬
ческое пространство, окружающее Землю. Однако, при решении
пространственно-временных задач, поставленных перед конкрет¬
ным КА, в каждом отдельном случае нет необходимости рассмат-

ДЕКОМПОЗИЦИЯ СЛОЖНОГО ПРОЦЕССА
45
ривать пространственно-временной континуум во всем его объеме
со всеми входящими в него объектами. Поэтому для каждого кон¬
кретного КА в качестве среды обитания выделяется область про¬
странственно-временного континуума, содержащая всю совокуп¬
ность пространственно-временных объектов, положение которых
необходимо для формирования его пространственно-временных
целей, а также для решения задач оценивания, идентификации и
управления. Данную область пространственно-временного конти¬
нуума будем называть значимой для субъекта областью.
Объекты, принадлежащие значимой области, разделим на два
класса:
1) объекты естественного происхождения;
2) объекты искусственного происхождения.
Важнейшей особенностью объектов первого класса является
их неуправляемость. Субъект не располагает возможностью вли¬
ять на их пространственно-временное состояние. Если исходить из
этой особенности, то к объектам первого класса следует отнести
космические корабли, у которых истек срок их активного сущест¬
вования, в связи с чем они превратились в неуправляемые косми¬
ческие тела. По этой же причине к объектам первого класса следу¬
ет отнести продукты жизнедеятельности КА, попавшие в космиче¬
ское пространство в связи с активными действиями КА (последние
ступени ракет носителей, отдельные их фрагменты). В совокупно¬
сти все эти объекты образуют особый вид объектов, называемых
«космическим мусором».
К объектам первого класса также относятся:
- метеориты, кометы;
- планеты Солнечной системы и их спутники;
- Солнце;
- объекты звездного неба и т.д.
К объектам второго класса следует отнести все функциони¬
рующие КА.
Космический корабль в пространственно-временном конти¬
нууме имеет шесть степеней свободы, определяющих положение
его центра масс (определяемое вектором г размерности три) и
движение относительно центра масс (двухмерный вектор W). Учи¬
тывая зависимость параметров от времени, можно считать, что

46 Глава 2. УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
положение КА в пространственно-временном континууме задается
одиннадцатимерным вектором а = ||г, г, Ч*, Ч*, /||, который будем
называть вектором пространственно-временного состояния КА.
Относительно вектора я следует сделать следующее замеча¬
ние. Вместо одиннадцатимерного вектора а часто используют де¬
сятимерный вектор a(t) = ||г, г, Ч*, Ч*|, который представляет собой
вектор пространственно-временного состояния на момент времени t.
Пространственно-временные цели, которые должен достичь
КА, зависят от совокупности параметров, задающих пространствен¬
но-временное состояние объектов, входящих в значимую область.
При этом необходимо иметь в виду, что у субъекта может быть
множество целей. Любой объект, принадлежащий значимой облас¬
ти, от пространственно-временного состояния которого зависит хо¬
тя бы одна из целей субъекта, называется значимым объектом.
Рассмотрим более подробно, что мы понимаем под простран¬
ственно-временным состоянием КА, и его изменение под действи¬
ем различных факторов. В пространственно-временном континуу¬
ме (£PVK) нет объектов, которые находятся в неподвижном состоя¬
нии. Они постоянно находятся в движении. Это движение может
быть описано формальной математической системой. Совокуп¬
ность пространственно-временных положений КА, которая описы¬
вается этой системой, образует некоторое множество. Это множе¬
ство положений КА будем называть глобальным состоянием кос¬
мического аппарата.
На КА могут воздействовать некоторые внутренние силы, на¬
пример силы, создаваемые реактивными двигательными установ¬
ками. В результате такого силового воздействия он переходит в
другое множество пространственно-временных положений, что
соответствует его новому глобальному пространственно-времен¬
ному состоянию. В общем случае изменение пространственно-
временного состояния осуществляется функционирующей систе¬
мой управления.
Отметим, что состояние КА и его изменение касаются не
только движения центра масс, но и движения относительно центра
масс, которое будем называть локальным.

ДЕКОМПОЗИЦИЯ СЛОЖНОГО ПРОЦЕССА
47
При определении понятия пространственно-временного со¬
стояния следует учитывать еще один фактор, который в значи¬
тельной степени влияет на достижение КА поставленной перед
ним цели. На корпусе КА может быть установлено навесное обо¬
рудование, которое может менять свое положение относительно
корпуса КА. Будем считать, что навесное оборудование имеет
один узел крепления с корпусом КА, который позволяет изменять
угловое положение оборудования относительно корпуса КА. Из¬
менение этого положения будем считать еще одним видом движе¬
ния, реализуемым на КА, а различное угловое положение навесно¬
го оборудования относительно корпуса КА будет означать различ¬
ное пространственно-временное состояние КА.
Поэтому задача создания нормальных условий работы целе¬
вой и служебной аппаратуры включает требование установки на¬
весного оборудования нужным образом относительно корпуса КА
в момент достижения поставленной цели. Тогда пространственное
положение относительно корпуса КА можно задать вектором Z
размерности kj (kt < 2), компоненты которого есть углы, опреде¬
ляющие угловое положение данного оборудования относительно
корпуса КА. Тогда,, если N есть количество единиц навесной целе¬
вой аппаратуры на КА, то ее положение относительно корпуса КА
задается вектором Аа = ||zb z2, ..., zN\\ размерности к =	•
Поэтому вектор а1 пространственно-временного состояния
(с учетом положения навесного оборудования) можно представить
соотношением
а1 = ||а, Да||.
Размерность т1 вектора состояния а1 определяется соотно¬
шением
mE=13 + f>w,
1=1
где ki - степень свободы соответствующего навесного устройства
(kt< 2).
Данный вектор в этом случае будем называть полным векто¬
ром пространственно-временного состояния КА.

48 Глава 2. УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
Изменение локального состояния КА не приводит к измене¬
нию глобального состояния КА, а лишь к изменению его про¬
странственно-временной ориентации.
Сформулированные определения устанавливают аналогию
между пространственно-временным состоянием КА и пространст¬
венно-временным состоянием процессов, порождаемых функцио¬
нирующим КА.
2.3.	ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМ СОСТОЯНИЕМ
КАК ОСНОВНОЕ СВЯЗУЮЩЕЕ ЗВЕНО
В ФОРМИРОВАНИИ СЛОЖНОГО ПРОСТРАНСТВЕННО-
ВРЕМЕННОГО ПРОЦЕССА
Основное назначение автоматических КА состоит в решении
задач, поставленных перед ними субъектом. Поэтому целью функ¬
ционирования автоматического КА является решение поставлен¬
ных перед ним задач. Если рассмотреть процедуру решения любой
задачи субъекта, то она сводится к выполнению следующей по¬
следовательности действий:
- автоматический КА должен доставить соответствующую
аппаратуру в заданную область космического пространства с не¬
обходимой точностью и в требуемое время;
- обеспечение ориентации КА, а также ориентации навес¬
ного оборудования необходимым образом, при которой целевая
аппаратура выполнит поставленную перед ней задачу;
- включение и выключение данной аппаратуры в заданное
время;
- обеспечение нормальной работы целевой и служебной
аппаратуры в период ее функционирования.
Подобная процедура проводится до тех пор, пока наблюдае¬
мый объект не вышел из зоны видимости аппаратуры наблюдения.
Результатом выполнения подобной процедуры являются данные,
полученные целевой аппаратурой в указанное бортовое время и
для определенных координат космического корабля. В данный со¬
став действий включен весь перечень пространственно-временных
мероприятий, которые должны быть осуществлены целевой и

ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ
49
служебной аппаратурой для того, чтобы решить поставленную за¬
дачу. Но на практике, в зависимости от вида эксперимента, выпол¬
няются не все перечисленные виды действий. Некоторые из них
становятся излишними. Все зависит от состава целевой аппарату¬
ры и конкретной поставленной задачи.
Следует отметить, что к подобному набору действий сводятся
служебные операции, выполняемые в целях управления функцио¬
нированием КА. Поэтому в дальнейшем не будем различать виды
деятельности по достижению как научных, так и служебных целей.
При решении задач управления пространственно-временным
состоянием космический корабль можно рассматривать как транс¬
портное средство, представляющее космическую платформу,
в задачи которого входит доставка аппаратуры, выполняющей по¬
ставленную перед КА задачу, в нужное место космического про¬
странства в требуемое время, а также создание условий, необхо¬
димых для ее нормальной работы. Совокупность этих требований
будем называть пространственно-временными условиями для
работы целевой и служебной аппаратуры.
Естественно, что у транспортного средства такого рода суще¬
ствует ряд специфических особенностей, связанных со средой его
обитания, что значительно отличает его от транспортных средств,
функционирующих в других средах. Важнейшей из этих особен¬
ностей является форма его существования как движущегося объ¬
екта в пространственно-временном континууме. Если для движе¬
ния транспортных средств в других средах существуют специаль¬
ные устройства (колеса при движении его на суше, непромокае¬
мый корпус для водного транспорта, крылья для летательных ап¬
паратов), кроме того, для перемещения в таких средах всем этим
транспортным средствам приходится затрачивать энергию для ра¬
боты силовых установок, обеспечивающих их движение, то, в со¬
ответствии с законами небесной механики, космическому аппара¬
ту ничего этого не требуется. Его движение обусловлено силами,
создаваемыми самой природой - гравитационным полем планет.
Кроме того, движение КА в значительной степени детерминирова¬
но. Таким образом, гравитационное поле определяет само движе¬
ние КА и служит опорой, позволяющей ему летать и не падать.
Естественно, нельзя исключить наличие и других сил, действую¬

50 Глава 2. УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
щих на КА: аэродинамических сил на низких орбитах, солнечного
давления. Но эти силы несравнимы с гравитационными силами и
при решении принципиальных задач в первом приближении могут
не учитываться.
Достижение целей, поставленных перед КА, с помощью целе¬
вой или служебной аппаратуры возможно только в том случае,
если она будет доставлена в нужную область пространства в за¬
данный интервал времени. Иначе говоря, задачей системы управ¬
ления КА является организация такого управления движением КА,
чтобы были созданы необходимые пространственно-временные
условия. Вектор а, при котором обеспечивается выполнение дан¬
ного требования, будем называть целевым пространственно-
временным вектором, обозначаемым ац(7). То есть система управле¬
ния должна обеспечить такое пространственно-временное состоя¬
ние КА, при котором вектор состояния равен целевому вектору.
Из изложенного также вытекает следствие, имеющее принци¬
пиальное значение при формировании системы управления про¬
странственно-временным состоянием КА.
Каждой цели мы можем поставить в соответствие целевую
функцию /ц(аЕ, t), значение которой определяет конкретную цель,
достигаемую при условии
а£(/) =йц(/) .
2.4.	УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-
ВРЕМЕННЫМ СОСТОЯНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО АППА¬
РАТА КАК УПРАВЛЕНИЕ СЛОЖНЫМ ПРОЦЕССОМ
Движение КА в пространственно-временном континууме
складывается из двух видов движения: движение центра масс и
движение относительно центра масс (если не учитывать движения
навесного оборудования). При этом выполняются операции, свя¬
занные с синхронизацией бортового и наземного времени. Поэто¬
му процесс, порождаемый движением КА, следует считать слож¬
ным. В этом случае система управления таким процессом пред¬
ставляет собой двухуровневую иерархическую систему. Нижний
уровень управления формируется системами управления базовыми
процессами. Верхний уровень занимает координатор. Цель, по¬

УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМ СОСТОЯНИЕМ 51
ставленная перед КА, может быть достигнута только за счет ско¬
ординированного действия систем управления базовыми процес¬
сами. Суть данной процедуры состоит в том, чтобы сложная цель
была декомпозирована на совокупность подцелей для каждого ба¬
зового процесса соответственно. При этом необходимо отметить,
что целевая функция сложной цели определена на всем множестве
пространственно-временных состояний космического корабля.
При этом необходимо иметь в виду, что базовые процессы бывают
как только наблюдаемые, так и управляемые.
Задача декомпозиции сложной цели возлагается на координа¬
тора. При этом следует отметить, что подцели могут быть постав¬
лены только перед управляемыми базовыми процессами. На ри¬
сунке 2.1 представлена структура системы управления сложным
пространственно-временным процессом.
При наличии различий в системах управления базовыми про¬
цессами в их структурах есть общие характерные черты. Эта осо¬
бенность присуща первому и второму базовым процессам.
Как уже отмечалось в главе 1, в работе системы управления
можно выделить циклы, называемые циклами управления, в пре¬
делах каждого из которых повторяются следующие операции:
- синхронизация бортового и наземного времени;
Рис. 2.1. Структура системы управления сложным пространственно-
временным процессом:
1 - система управления движением центра масс;
2 - система управления движением относительно центра масс;
3 - система управления навесным оборудованием;
4 - система синхронизации бортового времени

52 Глава 2. УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
- измерение навигационных параметров;
- идентификация модели базового процесса;
- оценивание вектора состояния процесса;
- решение задачи управления;
- реализация управления.
Данные операции в главе 1 были приведены для управления
любыми процессами. Здесь мы рассмотрим эти операции приме¬
нительно к управлению пространственно-временными процесса¬
ми, относящимися к управлению глобальным состоянием.
Синхронизация бортового и наземного времени. Этот вопрос
будет рассмотрен позже.
Измерение навигационных параметров. В качестве навига¬
ционных параметров, используемых при определении глобального
состояния КА, используются параметры навигационного поля.
Измерения осуществляются в пределах некоторого временного
интервала - интервала наблюдения, в дальнейшем называемого
навигационным интервалом. Измеряемые параметры будем обо¬
значать буквой у.
Идентификация. В соответствии с определением динамиче¬
ской системы SD, динамика процесса определяется оператором
Q(xо, t0, ф|/о, t], t, d),
где d = \\d\, d2,	d\\	-	/-мерный	вектор, содержащий l неизвест-
ных или неточных параметров модели движения КА, требующих
уточнения. В этих условиях первоочередной задачей любого
управления является задача определения точного значения этих
параметров, определяющих развитие пространственно-временного
процесса на интервале наблюдения, т.е. задача определения векто¬
ра d. Такую задачу будем называть параметрической идентифика¬
цией. Решение задачи параметрической идентификации осуществ¬
ляется по тем же алгоритмам, что и оценка вектора состояния цен¬
тра масс КА, но при этом используется вектор состояния расши¬
ренной размерности.
Оценивание вектора состояния. Решение задачи оценивания
осуществляется по навигационным измерениям, выполненным на
протяжении навигационного интервала наблюдений с использова¬
нием модели движения. Важнейшими характеристиками являются

УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМ СОСТОЯНИЕМ 53
продолжительность интервала наблюдения и состав наблюдаемых
функций, обеспечивающих определение вектора состояния с за¬
данной точностью.
Решение задачи управления. При заданных векторе состоя¬
ния a(t), целевой функции Да, t) и ее области значений Ф(f t), оп¬
ределяющих конкретную цель, определяется управление ф[*0, t),
обеспечивающее достижение поставленных целей, представляемых
как выполнение терминальных условий на моменты tut2, ..., tp.
Реализация управления ср[7о, t) сводится к техническому акту
силового воздействия на состояние пространственно-временного
процесса средствами исполнительных устройств.
В системе управления, реализующей эти операции, можно
выделить три элемента:
1) средства наблюдения за процессом, представляющие со¬
вокупность устройств, позволяющих определить значения изме¬
ряемых навигационных параметров;
2) решающий элемент, представляющий совокупность про¬
граммно-аппаратных средств, обеспечивающих решение задач
идентификации, оценивания, управления;
3) исполнительные устройства, обеспечивающие реализа¬
цию управления движением центра масс, движением вокруг цен¬
тра масс и положением навесного оборудования.
Определим формально систему управления процессом, задан¬
ную динамической системой So-
Su(Sp) = (r, Ru,V) - элемент, рассчитывающий значение
управляемых силовых воздействий на КА;
Г = t) / / = 1, 2,	-	множество	навигационных	функ¬
ций, определенных на фазовом пространстве системы SUD;
Ru - оператор, позволяющий определить значения множества
векторов управления ср[7о, t), обеспечивающих создание необходи¬
мых условий для достижения поставленной цели;
V - множество исполнительных устройств, реализующих
управление (p|70, t).
Аналогичным образом можно определить систему
параметрической идентификации S3 (Th R1), систему определения
вектора состояния Sa(Ty, Ra), систему наблюдения Sy(Ty, Ry) каждая

54 Глава 2. УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
из которых является составной частью системы управления про¬
странственно-временным состоянием КА. В выражения для систем
в составляющие Гу и R1, Ry, Ra и Ru вкладывается следующий
смысл:
Гу - множество измерений навигационных параметров;
R1 - решающее устройство системы параметрической иденти¬
фикации;
Ry - решающее устройство навигационно-измерительной сис¬
темы;
Ra - решающее устройство, которое по множеству навига¬
ционных измерений и модели движения, прошедшей этап иденти¬
фикации, определяет вектор пространственно-временного состоя¬
ния КА;
Ru - решающее устройство, определяющее управление.
Важнейшими характеристиками системы управления являют¬
ся продолжительность цикла управления Atu, время идентифика¬
ции, наблюдения Atp и величина интервала Aty, определенного как
промежуток времени, в течение которого можно проводить нави¬
гационные измерения (продолжительность навигационного интер¬
вала). Цикл управления включает операции навигационных изме¬
рений, идентификации, наблюдения, определения и реализации
управления. Значения Aty характеризуют промежуток времени, не¬
обходимый для накопления измерений функций наблюдения, по
результатам которых решаются задачи параметрической иденти¬
фикации и наблюдения.
Значения величин AtU9 Aty в значительной степени определяют
характеристики системы управления. Это дает основание ввести
классификацию систем SS(Ti9 R1), Sy(ry, Ry), Sa(Ty, Ra) по значению
величин Atu, Aty соответственно.
Между классами систем наблюдения и управления по призна¬
кам t(у), t(r), с одной стороны, и классами динамических стохас¬
тических систем по признаку величины памяти модели Xs - с дру¬
гой, имеет место существенная связь. В большинстве практиче¬
ских важных случаев между классами указанных систем можно
установить однозначное соответствие, если иметь в виду справед¬
ливыми выражения:

НАБЛЮДАЕМЫЕ И УПРАВЛЯЕМЫЕ БАЗОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
55
^ A/w/,	^ А/у/.
Это условие имеет достаточно простое объяснение: решение
задачи наблюдения и управления осуществляется с использовани¬
ем математической модели, которая представляется в виде стохас¬
тической динамической системы, поэтому решение задачи управ¬
ления может быть выполнено с необходимой точностью лишь в
пределах интервалов, величина которых не превышает величину
памяти модели.
Рассмотренная схема описания базовых систем наблюдения и
управления позволяет формализовать процедуру управления про¬
странственно-временным состоянием одного объекта.
Продолжительность цикла управления различными базовыми
процессами может меняться в значительных пределах. Так, цикл
управления базовым процессом движения центра масс может ме¬
няться от нескольких суток до нескольких месяцев и более.
Для базовых процессов, соответствующих движению относитель¬
но центра масс, цикл управления может составлять от 0,2 с (вари¬
ант 2.1) до десятка минут и часов (вариант 2.2). В связи с этим
продолжительность цикла управления в значительной степени
влияет на облик системы управления базовым процессом.
2.5.	НАБЛЮДАЕМЫЕ И УПРАВЛЯЕМЫЕ
БАЗОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
При рассмотрении вопросов, связанных с управлением про¬
странственно-временным состоянием КА, необходимо учитывать,
что эти процессы бывают наблюдаемые и управляемые. К первым
(наблюдаемым) относятся процессы, векторы состояния которых
можно только наблюдать с помощью средств наблюдения (к ним
относятся навигационно-измерительные средства). Ко вторым
(управляемым) относятся процессы, пространственно-временным
состоянием которых можно управлять.
Рассмотрим это свойство процессов более подробно. В соот¬
ветствии с принятой схемой, формальную модель рассматривае¬
мых процессов представим в виде динамической системы So, зада¬
ваемой соотношением
SD= {Т, а, М(a), Q(t0, а0, t)},

56 Глава 2. УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
где Т - множество моментов времени, в течение которых осущест¬
вляется только наблюдение за КА; а - вектор ||г, г, Ч*, Ч*, f||, за¬
дающий пространственно-временное состояние процесса; М(а) -
множество значений векторов состояния, образующих траекторию
движения КА; g(/0, а0, t) - оператор перехода на множестве М(а),
реализующий переход вектора состояния a(t0) в вектор a(t), что
эквивалентно отображению ТхТхМ(а) —> М(а). Данное отображе¬
ние эквивалентно описанию свободного движения КА, во время
которого на него не оказывается силового воздействия (кроме гра¬
витационного).
Данная форма представления пространственно-временного
состояния КА связана не с его управлением, а с формой существо¬
вания КА в пространственно-временном континууме, когда КА
движется по некоторой орбите. Совокупность таких пространст¬
венно-временных состояний КА будем называть глобальным про¬
странственно-временным состоянием КА. Управление же дви¬
жением КА связано с изменением его глобального пространствен¬
но-временного состояния. При этом следует отметить, что измене¬
ние ориентации КА не приводит к изменению его глобального
пространственно-временного состояния. Динамическая система,
которая отражает как изменение глобального пространственно-
временного состояния КА, так и изменение ориентации его в про¬
странстве, задается выражением
SUD = iT> «. м(а)> и> и, Q(to, «0, ф|>0, t), 0},
где и = \\щ9	щ\\ - вектор силового воздействия на процесс, из¬
меняющий скорость параметра г или Ч*, или того и другого; U -
множество возможных силовых воздействий; ср[7о, t) - программа
силовых воздействий на базовые процессы на интервале |7о -t\|.
Такие пространственно-временные процессы, как уже было
сказано выше, называются управляемыми. Формальную модель та¬
ких процессов будем обозначать SUD. Только при наличии управ¬
ляемых процессов в сложном пространственно-временном процессе
реализуется возможность целенаправленного управления КА и дос¬
тигается цель, поставленная перед космическим аппаратом.

УПРАВЛЕНИЕ ПЕРВЫМ БАЗОВЫМ ПРОЦЕССОМ
57
Представим полный вектор пространственно-временного со¬
стояния КА а1 в следующем виде:
11	||^ь	а3, ^4||?
где а\ - \\г, г||; а2 = Цч*, *р|; аъ = ||n, n|| ; щ = ||/||; ах - шестимерный
вектор, задающий пространственно-временное положение КА;
а2 - четырехмерный вектор, задающий ориентацию КА; а2 - р-мер-
ный вектор, задающий угловое положение навесного оборудова¬
ния относительно корпуса КА; а4 - момент наблюдения.
2.6.	УПРАВЛЕНИЕ ПЕРВЫМ БАЗОВЫМ ПРОЦЕССОМ
(УПРАВЛЕНИЕ ГЛОБАЛЬНЫМ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМ СОСТОЯНИЕМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА)
Первый базовый процесс, задаваемый вектором ах, может
быть как только наблюдаемый, так и управляемый. Поэтому ему
соответствуют динамические системы двух типов:
SyDl= {Т, ах, М(а), Q\(to, Яоь t)}\
SuDl = {Т, аи М(а), «ь Uu Q\(hu «оь Ф(*о, t), t)}.
Данные системы представляют собой систему дифференци¬
альных уравнений шестого порядка:
г = F\(t) - для наблюдаемых процессов;
г = F\(t) + F2(t) - для управляемых процессов,
ч
где Fx(t) - внешние силы, действующие на КА; F2(t) - внутренние
силы, действующие на КА (реактивные двигательные установки).
Следует отметить, что множество возможных пространствен¬
но-временных состояний первого базового процесса задается в
трехмерном линейном или в четырехмерном фазовом пространстве.

58 Глава 2. УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
2.7. УПРАВЛЕНИЕ ВТОРЫМ БАЗОВЫМ ПРОЦЕССОМ
(УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ОТНОСИТЕЛЬНО
ЦЕНТРА МАСС)
Процесс, соответствующий второй базовой системе, задавае¬
мой вектором а2, может быть как наблюдаемым, так и управляемым.
В первом случае динамическая система записывается в виде
^D2 =	Qlito, Я02? 0);
а во втором случае имеет вид
$1)2 =	а2,	U2,	U2,	Ql(to2, Я02? ф(*0, 0? 01*
Для процесса второго типа принципиальное значение имеет
величина продолжительности цикла управления.
Если величина продолжительности цикла управления исчис¬
ляется минутами, то мы имеем процесс, соответствующий по¬
строению требуемой ориентации КА.
Если же величина продолжительности цикла управления ис¬
числяется долями секунд, то имеет место процесс, соответствую¬
щий стабилизации углового положения. Это объясняется тем, что
за время, соответствующее данному циклу управления, в системе
управления должны быть реализованы все четыре вида элементар¬
ных действий:
- проведено наблюдение углового положения КА;
- определено угловое положение КА в пространстве;
- рассчитана величина силового воздействия на угловое
положение КА;
- реализовано рассчитанное силовое воздействие на угло¬
вое положение КА.
2.8. УПРАВЛЕНИЕ ТРЕТЬИМ БАЗОВЫМ ПРОЦЕССОМ
(УПРАВЛЕНИЕ УГЛОВЫМ ПОЛОЖЕНИЕМ НАВЕСНОГО
ОБОРУДОВАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО КОРПУСА
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА)
Следует отметить, что в данном случае имеют место только
управляемые процессы. Угловое движение навесного оборудова¬

ЧЕТВЕРТЫЙ БАЗОВЫЙ ПРОЦЕСС (ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ)	59
ния задается программой, поступающей от системы управления
КА. Поэтому не следует сравнивать третий базовый процесс со
вторым базовым процессом.
2.9.	ЧЕТВЕРТЫЙ БАЗОВЫЙ ПРОЦЕСС
(ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ)
Данный базовый процесс является только наблюдаемым.
Традиционно считается, что время, входящее во все виды
операторов динамических систем, есть некоторая переменная, зна¬
чение которой следует рассматривать как постоянно возрастаю¬
щую величину, не требующую уточнения. Но такое мнение оши¬
бочно. Оно связано с тем, что время есть некоторая сущность про¬
странственно-временного континуума 0VK. Его (время) мы не в
состоянии изменить. Но, признавая безусловную правильность
этого положения, мы не учитываем того, что время (t), используе¬
мое в системах управления динамических систем, моделирующих
реальные системы управления, в определенной степени обладает
теми же свойствами, что и параметры a(t) и Время можно
только наблюдать, а значит, требуется определять его значение.
При этом предполагаем, что момент времени, безусловно, задает¬
ся. Это не совсем так.
На самом деле существует весьма сложная процедура опреде¬
ления данной сущности, которую принимаем за значение времени
и которая используется при определении вектора состояния а. Для
формирования этого времени в каждом государстве созданы само¬
стоятельные системы, в результате работы которых в каждой из
стран определяется свое национальное время. При этом нацио¬
нальное время для разных государств не обязательно совпадает.
Поэтому существует следующий уровень определения времени,
так называемое всемирное время, которое определяется некото¬
рой наднациональной системой на основании всей совокупности
национальных времен.
В каждой стране национальное время определяется некоторой
системой, расположенной в определенном месте данной страны.
Поэтому для определения потребительского времени, которым
пользуются физические и юридические лица данной страны, тре¬
буется система, которая позволяет определять время для другой

60 Глава 2. УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
точки пространства, в котором располагаются данные лица, а не в
той, в которой время вычисляется.
Для этой цели существует система, которая называется систе¬
мой синхронизации, позволяющая узнавать время (национальное
или всемирное) в той точке пространства, в которой находится по¬
требитель. При этом предполагается, что каждое потребительское
лицо располагает своим устройством для определения текущего
времени на временных интервалах между двумя моментами син¬
хронизации.
Данное средство представляет собой некоторое устройство,
в основу работы которого положен тот или иной физический
принцип. Оно называется часами. При этом, естественно, продол¬
жительность секунды этого потребительского средства практиче¬
ски всегда отличается от продолжительности секунды не только
всемирного, но и национального времени. Процесс, порождаемый
часами, в результате которого определятся текущее время, можно
описывать как динамический системой SDt, задаваемой в виде
SDt={Т, и Q(to,t)}.
Оператор Q(to, t) задается некоторым аналитическим соотно¬
шением, позволяющим на каждый момент времени t определять
поправку к моменту времени, определяемому потребительским
средством (часы потребителя).
Тогда Т есть одномерное пространство, соответствующее ча¬
сам, вычисляющим текущее время первоисточника (тогда Xt - вся
временная ось, соответствующая часам первоисточника, t - их те¬
кущее время, g(f0, t) - формула, рассчитывающая поправку к ча¬
сам потребителя). Но существующая система вычисления текуще¬
го потребительского времени имеет два источника ошибок:
1) все системы, использующие процедуру синхронизации,
доставляют потребителю синхронизированное время с некоторой
ошибкой At, величина которой зависит от совершенства исполь¬
зуемой системы синхронизации;
2) модель расчета поправки к потребительским часам также
имеет ошибку (данная модель есть скалярная функция).
Таким образом, текущее время, наравне саиТ, можно счи¬
тать равноправным параметром вектора состояния КА.

КООРДИНАТОР СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
61
При этом существуют цели, которые сводятся только к вре¬
менной фиксации некоторых событий. Примером может служить
определение моментов времени фиксации некоторых событий,
имеющих пространственно-временной характер.
Необходимо иметь в виду, что в некоторых случаях нет необ¬
ходимости проведения работ по синхронизации бортового и на¬
земного времени. Момент времени включается в число уточняе¬
мых параметров при определении вектора а. Такая возможность
появляется при использовании искусственного навигационного
поля, создаваемого навигационными системами ГЛОНАСС и GPS.
2.10.	КООРДИНАТОР СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
СЛОЖНЫМ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМ
ПРОЦЕССОМ
Решение задачи управления для сложной системы осуществ¬
ляется следующим образом: сложная цель разбивается на сово¬
купность подцелей для управляемых динамических систем, дос¬
тижение которых обеспечит достижение сложной цели.
Проведем анализ работы системы управления целеустремлен¬
ной системы, реализующей указанную стратегию управления.
Управление любой сложной системой содержит следующие
фазы:
- идентификация моделей слагаемых базовых процессов и
оценка их состояния;
- планирование работы элементов системы управления для
достижения поставленных целей;
- реализация спланированных мероприятий в непосредст¬
венное управление базовыми динамическими системами;
- оценка результатов управления.
Рассмотрим систему управления SD, реализующую все пере¬
численные этапы управления. В связи с тем что рассматривается
только 2-уровневая система управления, ее можно представить
следующей совокупностью компонент:
М(5у(5д 5,1, /)) = {£у(*$А 1, /)> *’ = 1 j 2, ..., щ};
M(^,w))={W^w)J = U,иг},

62 Глава 2. УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
состоящих из множества систем идентификации, множества систем
наблюдений и из м(&/(£д5 j2,y)) =	s, 2, у)? У =	2,	..., п3 -
множества систем управления.
Здесь	2, у) “ система управления базовой динамиче¬
ской управляемой системы, входящей в целеустремленную систе¬
му. Каждая из этих систем состоит из трех элементов:
S^B,S.ij) = 1Г2Vlji
s,1, /) и Wa 5,2, у) •
где 5У(^д s, 1,/) и	“	системы	наблюдения	и иденти¬
фикации базовыми неуправляемыми, но наблюдаемыми динами¬
ческими системами, соответственно.
Каждая из них определяется следующей двойкой элементов:
Wd,S,2j) -hi-K/)’
где Л,у и Л,у - функции наблюдений, определенные на простран¬
стве состояний А динамической системы; R]и ; - операторы
оценивания и идентификации, позволяющие по результатам изме¬
рения функции наблюдения оценить значения вектора состояния
динамической системы и решить задачу идентификации, соответ¬
ственно.
Во второй уровень иерархии входит один элемент, который
называют координатором [1]. Его будем обозначать КС. Рассмот¬
рим функции, которые он должен выполнять.
1.	Основной задачей координирующего элемента является
декомпозиция функции цели на совокупность подцелей. Иначе
говоря, исходя из тех целей, которые стоят перед целеустремлен¬
ной системой, координатор должен для каждой базовой системы
управления сформулировать соответствующую цель, достижение

КООРДИНАТОР СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
63
которой и должно быть обеспечено управляемым базовым процес¬
сом. Решение этой задачи возможно только в том случае, если ко¬
ординатору известны векторы состояния всех наблюдаемых и
управляемых базовых процессов на заданные терминальные мо¬
менты времени.
В связи с этим первой задачей, выполняемой координатором,
является оценивание всей ситуации, касающейся сложного про¬
цесса на текущий момент времени и на предстоящий интервал
времени. Для этого с помощью моделей базовых процессов осуще¬
ствляется прогнозирование состояния сложного процесса на за¬
данный интервал времени. Но, учитывая, что в число базовых сис¬
тем входят динамические системы, необходимо для каждой из них
определить тип действующего оператора. Поэтому для всех базо¬
вых процессов, описываемых динамическими системами, выпол¬
няется операция идентификации, результатом которой является
уточнение действующей формальной модели, с помощью которой
и осуществляется прогнозирование состояния базовых процессов,
и оценка интегральной ситуации на заданный интервал времени.
2. На основании этих данных, исходя из целей, стоящих перед
системой и возможностей базовых систем управления, решается
задача декомпозиции цели и вырабатываются задания для каждой
базовой системы управления.
3. После того как задания для каждой базовой системы
управления сформированы, функционирование этих систем,
а также всех систем наблюдения осуществляется независимо от
координатора.
4. В процессе управления координатор должен отслеживать
ситуацию и в случае необходимости осуществлять перераспреде¬
ление целей. Эта операция необходима в связи с тем, что развитие
событий может отличаться от ранее запланированного. Вызвано
это наличием ошибок в работе базовых систем управления и на¬
блюдения, а также возможностью развития пространственно-
временных процессов, не соответствующих предсказанным ис¬
пользуемыми моделями.
Очевидно, что идеальных систем не бывает, а поэтому вве¬
денные допущения можно считать вполне уместными. И их нали¬
чие имеет далеко идущие последствия. Действительно, если по¬

64 Глава 2. УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
добный случай имеет место, то существует несколько вариантов
выхода из данной ситуации.
Обнаружив факт нерасчетного развития управляемого слож¬
ного процесса, осуществляют коррекцию задач, поставленных пе¬
ред базовыми системами управления таким образом, чтобы ском¬
пенсировать выявленные возмущения. Однако, к сожалению, этот
вариант коррекции работы системы управления не всегда может
быть реализован при наличии консервативных, неизменяющихся
базовых систем управления. В этом случае единственным вариан¬
том является коррекция целей. Если же в процессе функциониро¬
вания двухуровневой системы управления возникают возмущения
значительно более высокого уровня, чем описанные выше, то кор¬
рекция целей вообще может быть единственным выходом из таких
нештатных ситуаций. Примером подобных возмущений может
быть появление новых, ранее не предусмотренных целей. Коррек¬
ция целевой обстановки, являющаяся крайней мерой, существенно
снижает качество функционирования системы управления и ука¬
зывает на ее низкие адаптационные способности.

Глава 3
ВИРТУАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
3.1.	ВВЕДЕНИЕ
В течение многих сотен лет величайшие умы человечества ра¬
ботали над теориями, объясняющими устройство мира. На первом
месте всегда стоял вопрос внешней среды, являющейся местом
обитания всех объектов мира, впоследствии названной простран¬
ственно-временным континуумом. Упорный труд ученых раскрыл
многие тайны, которые позволили человечеству понять, в каком
мире оно живет, какова структура среды обитания, как обеспечить
себе наиболее комфортное проживание.
Величайшим достижением явилось постижение многих зако¬
нов вселенной, что позволило человеку шагнуть за пределы атмо¬
сферы Земли и выйти в космос. Были созданы технические систе¬
мы, позволяющие осваивать космическое пространство.
При этом важнейшей задачей являлась задача управления
объектами, функционирующими в космическом пространстве. Ре¬
шение данной задачи возможно в том случае, если известны
структурные особенности пространственно-временного континуу¬
ма, а также основные законы, определяющие поведение объектов
всех видов, средой обитания которых он (пространственно-
временной континуум) является.
К таким объектам относятся:
- планеты и их спутники;
- особенности движения тех и других, определяющие их
пространственные траектории.
Помимо материальных объектов, средой обитания физических
полей, среди которых особо следует отметить гравитационные по¬
ля и геомагнитные поля различного вида, является пространствен¬
но-временной континуум (0VK).
Данные знания, раскрывающие законы природы, управляю¬
щие миром космических объектов, явились результатом исследо¬

66
Глава 3. ВИРТУАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ваний гениев человечества, среди которых следует назвать Архи¬
меда, Эвклида, Галилео, Коперника, Ньютона, Лейбница, Эйн¬
штейна.
Рассмотрим, в какой форме открытые законы мироздания ис¬
пользуются при решении задач управления движением КА.
При разработке любого космического проекта, прежде всего,
определяется некоторая область космического пространственно-
временного континуума, в пределах которой он должен быть реа¬
лизован. Обозначим эту область £1*.
На первом этапе создания космического проекта проводятся
обширные баллистические исследования, касающиеся данного
проекта. Они включают в себя следующие работы: нахождение
оптимальных схем полета КА, выбор параметров орбит, схемы
управления движением КА на всех участках траектории, опреде¬
ление средств навигации, обеспечивающих требуемую точность
определения орбит, время полета на каждом участке, решение во¬
просов ориентации при выполнении целевых задач и т.д.
Баллистический проект разрабатывается в некоторой инфор¬
мационной среде, которую будем называть виртуальным про¬
странством. Виртуальное пространство является информационным
образом той области пространственно-временного континуума,
в котором должен быть реализован разрабатываемый космический
проект.
В настоящей главе рассматриваются все виды виртуальных
пространств, используемых при проведении баллистических ис¬
следований.
3.2.	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВИРТУАЛЬНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
Для того чтобы полученные знания о пространственно-
временном континууме можно было использовать при решении
конкретных задач, необходимо, чтобы они были представлены в
аналитическом виде, в форме соответствующих таблиц, в сово¬
купности числовых данных, что и сделано в настоящее время. Бла¬
годаря этому появляются возможности разработки аналитических
моделей всех основных информационных космических конструк¬
ций. На основании этого мы имеем четкое представление об эле¬

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВИРТУАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	67
ментах окружающего нас космического пространства, к которым
можно отнести все объекты, входящие в солнечную систему. Со¬
вокупность этих данных можно рассматривать как модель косми¬
ческих объектов внешнего мира, средой обитания которого явля¬
ется пространственно-временной континуум. В дальнейшем будем
называть все множество этих данных фундаментальным виртуаль¬
ным пространством и обозначать .
Рассмотрим наиболее важные особенности данной модели.
Она состоит из трехмерного пространства, обозначаемого в даль¬
нейшем 9зVF, и времени, обозначаемого . При этом будем ис¬
ходить из того, что две указанные составляющие фундаментально¬
го виртуального пространства и ^tF независимы друг от дру¬
га. Следует отметить, что в новейшей физике данное положение
подвергается сомнению, что, в частности, отмечается в теории от¬
носительности. Однако практика показывает, что в макромире, где
объекты имеют достаточные размеры, а их скорости относительно
невелики и не превышают 60...70 км/с, выдвинутая гипотеза о не¬
зависимости пространства и времени приемлема, и не было случа¬
ев, когда результаты расчетов, полученные на базе данной гипоте¬
зы, приводили к сбою.
Считаем, что объекты в трехмерном пространстве 9^ подчи¬
няются пяти аксиомам Эвклида, а в качестве времени в простран¬
стве используется всемирное время.
В качестве математической модели объектов фундаменталь¬
ного космического пространства можно принять динамическую
модель Sot- Поэтому к движению этих объектов можно применять
те же критерии, что и для обычных динамических систем. В част¬
ности, каждому объекту qt космического пространства поставим в
соответствие оператор QAi(t0, jc0, t)9 который по значению t0 и х0
позволяет определить х на момент t. Важнейшая особенность этих
операторов состоит в том, что продолжительность памяти их мо¬
дели исчисляется тысячами лет. Это равносильно тому, что струк¬
тура солнечная система характеризуется исключительной устой¬
чивостью и постоянством. Эта особенность существенно упрощает

68
Глава 3. ВИРТУАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
исследования движения объектов, созданных человеком, и, одно¬
временно с этим, построение систем управления их пространст¬
венно-временным состоянием.
Все материальные физические объекты, средой обитания ко¬
торых является пространственно-временной континуум (9VK),
обозначим qF, а физические поля, находящиеся в 0VK - через 9F.
Образы объектов qF и полей 9Р в фундаментальном виртуальном
пространстве 9F будем обозначать qF и 9F . Введем в фундамен¬
тальное виртуальное пространство 9F систему координат. Наибо¬
лее распространенной является декартова система координат.
Все объекты qF физического пространства 9V находятся в по¬
стоянном движении двух видов: движении центра масс объекта и
движении относительно центра масс объекта. Траектории движе¬
ния фундаментальных объектов определяются законом всемирно¬
го тяготения. В связи с этим образы этих объектов qvF в фунда¬
ментальном виртуальном пространстве должны также находиться
в движении (виртуальном) указанных двух видов. Наличие систе¬
мы координат в фундаментальном виртуальном пространстве
позволяет задавать это движение системой дифференциальных
уравнений.
Над созданием образов qF всех небесных тел, Солнечной
системы, а также образов физических полей в фундаментальном
виртуальном пространстве человечество трудилось ни одну сотню
лет. Работы в этом направлении продолжаются и в настоящее вре¬
мя во множестве научных институтов, лабораторий и обсервато¬
рий. Результатом этих работ явилась совокупность знаний об объ¬
ектах Солнечной системы, которыми обладает человечество. Эти
знания зафиксированы в монографиях, справочниках, каталогах и
других средствах хранения информации. В совокупности они об¬
разуют фундаментальную базу знаний об объектах Солнечной
системы всех видов, средой обитания которых является простран¬
ственно-временной континуум. Обозначим эту базу знаний и дан¬
ных ФБДЗ 9VK.

АДЕКВАТНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ
69
Из этой базы выделим часть данных, соответствующих образам
фундаментальных объектов, принадлежащих Солнечной системе,
обозначаемых аД7) = ||г, г, *Р, *Р, /||, и модели движения этих объек¬
тов, обозначаемые £F, а также модели физических полей, обозна¬
чаемые £9F . Совокупность этих данных, касающихся образов фун¬
даментальных объектов, образуют базу данных, обозначаемую
БД qF [«ДО? ^	]•	Отдельно	выделим	звездный	каталог.
3.3.	АДЕКВАТНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО КОНТИНУУМА
НА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ВИРТУАЛЬНОЕ
ПРОСТРАНСТВО
Все объекты qF, являющиеся образами фундаментальных
объектов qF, удовлетворяют условию адекватности. Оно эквива¬
лентно требованию отображать все основные пространственно-
временные характеристики фундаментальных объектов с необхо¬
димой точностью. К этим характеристикам относятся:
- вектор пространственно-временного состояния яД7)?
- модель движения объекта £F;
- модели физических полей £9F.
Данное требование состоит в следующем. Предположим, что
требуется провести натурный эксперимент, касающийся фунда¬
ментальных объектов пространственно-временного континуума.
Эксперимент строится таким образом, чтобы экспериментатор
обладал средствами, позволяющими ему наблюдать результаты
данного эксперимента. При проведении эксперимента необходи¬
мые данные берутся из БД qvF[ap{i), £F, £$£]. Если результаты
эксперимента, наблюдаемые располагаемыми средствами, будут
соответствовать расчетным, то можно считать, что характеристики
фундаментальных объектов правильно отображены в фундамен¬
тальном виртуальном пространстве. Это означает выполнение ус¬
ловия адекватности отображения фундаментальных объектов в
фундаментальном виртуальном пространстве. Иначе говоря, зна¬

70
Глава 3. ВИРТУАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ния, отображенные в базе БД#£[аДУ), £F, JE9JH, удовлетворяют
условию адекватности.
Предположим, что эксперимент состоит в наведении антенны
телескопа на некоторый фундаментальный объект. При наведении
телескопа используются данные, взятые из	[<МД	£f, £9f].
Тогда наблюдаемый объект должен находиться в фокальной плос¬
кости телескопа.
Естественно, что эксперименты подобного рода могут быть
проведены в различных вариантах в большом количестве. И в ка¬
ждом случае, при наличии адекватного отображения, эксперимент
будет давать положительный результат. Наиболее ярким подтвер¬
ждением адекватности отображения 9VK на фундаментальное
виртуальное пространство является успешно проведенный косми¬
ческий проект.
3.4.	ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО ВИРТУАЛЬНОГО
ПРОСТРАНСТВА НА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ
ФИЗИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Проведение космических экспериментов, которые в какой-то
степени могут отразиться на фундаментальных объектах, дает ос¬
нование для введения нового понятия, именуемого обратным ото¬
бражением элементов 9F на 9F. При этом подготовка эксперимен¬
тов ведется на основании данных, взятых из БД qvF [аДД £F, £9F ],
что эквивалентно тому, что эти данные взяты из фундаментально¬
го виртуального пространства. Данный вид действий можно ин¬
терпретировать как обратное отображение ряда данных, получен¬
ных в фундаментальном виртуальном пространстве, на фундамен¬
тальное физическое пространство. Результат эксперимента может
носить как материальный, так и информационный характер.
Используя понятие обратного отображения, можно дать но¬
вое, более наглядное определение адекватности. Действительно,
если прямое отображение 9F —> 9F обеспечивает такое значение
данных, вошедших в БД#£ [аДД £F, £9F\ при которых эти дан¬

ОПЕРАТИВНОЕ ВИРТУАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
71
ные, используемые при проведении эксперимента, не имеют оши¬
бок методического характера, а результаты эксперимента соответ¬
ствуют ожидаемым, то это равносильно выполнению условия аде¬
кватности обратного отображения.
3.5.	ОПЕРАТИВНОЕ ВИРТУАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Информационной средой, в которой разрабатывается балли¬
стический проект космической системы, является виртуальное
пространство. В целом данное виртуальное пространство анало¬
гично фундаментальному пространству. Но между ними есть ряд
существенных отличий. Прежде всего, необходимо отметить, что
при проектировании космического проекта рассматривается не все
фундаментальное пространство 9V, а только некоторая его область
Q* a 9F. Эта область выбирается таким образом, чтобы она охва¬
тывала все траектории КА, входящих в космический проект, и все
фундаментальные объекты, с которыми данные КА взаимодейст¬
вовали бы в процессе реализации проекта. Данные фундаменталь¬
ные объекты qFi (/ = 1, 2, ..., и) будем называть значимыми объ¬
ектами, а выбранную область Q - значимой областью. Значи¬
мая область определяется разработчиком космического проекта.
Виртуальное пространство, на которое отображается значимая об¬
ласть со всеми входящими в нее объектами, будем называть опе¬
ративным виртуальным пространством и обозначать 9^(0)1.
В связи с тем, что в дальнейшем оперативное виртуальное про¬
странство часто упоминается в тексте, определение «оперативное»
будем опускать, если из контекста ясно, что речь идет именно об
оперативном виртуальным пространстве.
Важной отличительной особенностью оперативного вирту¬
ального пространства является наличие в нем образов космиче¬
ских аппаратов, участвующих в космическом проекте, что вносит
ряд принципиальных отличий оперативного виртуального про¬
странства от фундаментального виртуального пространства.
Прежде всего, необходимо отметить, что величина памяти
моделей, соответствующих данным образам КА, ограничена, в от¬
личие от величины памяти моделей фундаментальных объектов,
которая больше на несколько порядков.

72
Глава 3. ВИРТУАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В рамках одного и того же космического проекта используют¬
ся, как правило, различные части значимой области О, , в зависи¬
мости от этапа реализации проекта. Эти области будем различать
по индексам и обозначать АО, (i = 1, 2,	В	соответствии с
этим оперативное виртуальное пространство также разбивается на
Не
части, каждой из которых соответствует область AQz , образом
которой она является при проекции Q* на виртуальное пространст¬
во. Обозначим эту часть виртуального пространства 9^(О, AQ* )1.
Существует несколько оперативных виртуальных пространств:
ЗЧО, AQ*)I, 040, AQ*)II, ....
Оперативное виртуальное пространство первого уровня 940)1
используется наиболее часто. В этом оперативном виртуальным
пространстве рассматриваются: процессы выведения КА на орби¬
ту, полеты одиночных КА и спутниковые системы.
Оперативное виртуальное пространство второго уровня 940)11
используется при решении задач сближения двух КА. При иссле¬
довании участка ближнего наведения сближение и стыковку ра¬
ционально рассматривать в оперативном виртуальном пространст¬
ве третьего уровня 940)111. Подобное разбиение используемых
оперативных виртуальных пространств связано с использованием
различных моделей движения, расчетами коррекций, решением
задач определения орбит.
В оперативном виртуальном пространстве каждого уровня
строится прямоугольная система координат. Но системы отсчета в
каждом конкретном случае выбираются различные. Для виртуаль¬
ного пространства 9*(0)1 в качестве объектов системы отсчета вы¬
бираются, как правило, фундаментальные объекты. Из фундамен¬
тальных объектов в качестве системы отсчета могут быть выбраны
конструкции из нескольких фундаментальных объектов (напри¬
мер, барицентр) либо из одного фундаментального объекта, нахо¬
дящегося в различные моменты времени в различном пространст¬
венном положении (например, средний экватор).
Центр системы координат также выбирается для каждого слу¬
чая по-разному. Так, при использовании оперативного виртуаль¬
ного пространства первого уровня 940)1 центр системы координат

АДЕКВАТНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ ЗНАЧИМОЙ ОБЛАСТИ	73
совмещается с центром планеты. При использовании оперативного
виртуального пространства второго и третьего уровней центр сис¬
темы координат совмещается с центром тяжести одного из КА.
Вектор пространственно-временного состояния а в оператив¬
ном виртуальном пространстве определяется выражением
а=\\г, г, Ч», У, *||.
Все КА, входящие в разрабатываемый космический проект,
должны быть отображены на оперативное виртуальное простран¬
ство. То же самое должно быть сделано и для значимых фунда¬
ментальных объектов. Множество перечисленных отображаемых
объектов может быть представлено как отображение значимой об¬
ласти Q. со всеми входящими в нее объектами на оперативное
виртуальное пространство.
3.6.	АДЕКВАТНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ
ЗНАЧИМОЙ ОБЛАСТИ
НА ОПЕРАТИВНОЕ ВИРТУАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Понятие адекватности отображения значимой области Q* на
оперативное виртуальное пространство имеет тот же смысл, что и
понятие адекватности отображения фундаментального простран¬
ства на фундаментальное виртуальное пространство. Однако спе¬
цифика реализации космического проекта вносит ряд особенно¬
стей в процедуру адекватного отображения на оперативное вирту¬
альное пространство. Эти особенности проявляются при рассмот¬
рении управления пространственно-временным состоянием КА.
Как уже отмечалось, временной интервал управления пространст¬
венно-временным состоянием КА делится на серию подинтерва-
лов. В пределах одного временного подинтервала выполняется
последовательность операций, касающихся управления движением
центра масс КА и движением относительно центра масс. Таковы¬
ми операциями являются:
1) наблюдение за движением КА с помощью навигационных
измерительных средств;
2) решение задачи идентификации модели движения центра
масс КА и модели движения относительно центра масс;

74
Глава 3. ВИРТУАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
3) определение параметров траектории КА по результатам
навигационных измерений с использованием модели движения
центра масс, а также модели движения относительно центра масс;
4) расчет параметров управления движением центра масс
КА, обеспечивающих достижение поставленной на данном подин-
тервале цели;
5) реализация рассчитанного управления движением КА с
помощью исполнительных устройств КА (под исполнительными
устройствами понимаются как реактивные двигательные установ¬
ки, так и средства, обеспечивающие движение относительно цен¬
тра масс).
Вследствие ограниченности точности построения исполни¬
тельных устройств и систем, выполняющих каждую из перечис¬
ленных операций, они осуществляются с некоторыми ошибками,
величина которых зависит от степени совершенства используемо¬
го оборудования. Поэтому после выполнения каждого этапа нака¬
пливаются ошибки в параметрах траектории КА. Поэтому если
даже на самом первом этапе ошибка в значении вектора состояния
была вполне приемлема, к моменту выполнения последнего этапа
эта ошибка может достичь значительной величины. Эта особен¬
ность является основной причиной разбиения полного временного
интервала на подинтервалы.
Адекватность отображения траектории на оперативное вирту¬
альное пространство предполагает наличие полного соответствия
параметров траектории их истинному значению. Отображение
траектории КА на оперативное виртуальное пространство осуще¬
ствляется с помощью технических средств, которые, в силу огра¬
ниченности их возможностей, выполняют эти операции с некото¬
рой ошибкой. Поэтому есть все основания считать, что совпадения
параметров отображенных объектов q на оперативное виртуальное
пространство с истинными значениями параметров орбит не будет.
А это означает, что получение требуемого значения точности в
параметрах траектории невозможно. Поэтому при выполнении та¬
кой операции определяют предельно допустимую ошибку в ото¬
бражении q —» qv. В зависимости от этого разбивают траекторию
полета на участки, которые оканчиваются моментами проведения
корректирующих импульсов или маневрами.

ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
75
Выход из этого положения состоит в разбиении орбиты объ¬
ектов q на отдельные участки и проведении нового цикла управле¬
ния. Подобного рода мероприятия будут продолжаться до тех пор,
пока к моменту выполнения операций, связанных с выполнением
задач, поставленных перед КА в проектируемом космическом про¬
екте, не будет достигнута требуемая степень адекватности.
3.7.	ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
ОПЕРАТИВНОГО ВИРТУАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА
НА ЗНАЧИМУЮ ОБЛАСТЬ, ЯВЛЯЮЩУЮСЯ ЧАСТЬЮ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО КОНТИНУУМА
На некоторых этапах управления осуществляется расчет па¬
раметров маневров КА и определение ориентации КА относитель¬
но центра масс. Реализация этого этапа обеспечит такую траекто¬
рию КА, при которой создаются пространственно-временные ус¬
ловия для целевой и служебной аппаратуры, при которых их
функционирование обеспечит достижение поставленных перед КА
целей.
После вычисления параметров корректирующего импульса в
оперативном виртуальном пространстве будет сформирована но¬
вая траектория, обеспечивающая такое положение КА, при кото¬
ром с помощью целевой и служебной аппаратуры будет достигну¬
та поставленная перед ним цель. Тем самым в оперативном вирту¬
альном пространстве формируется новый образ значимой области
Q . Реализация рассчитанного маневра, таким образом, приведет к
новому пространственно-временному состоянию значимой облас¬
ти. Таким образом, результатом проведения корректирующего им¬
пульса является появление нового состояния значимой области Q .
Подобного рода деятельность можно считать обратным отображе¬
нием значимой области Q* в новом состоянии на пространственно-
временной континуум. Это действие можно записать следующим
образом:
ЗЩ*) <- 34Q*).
Введение понятия прямого и обратного отображения позволя¬
ет записать формулу взаимодействия пространственно-временного

76
Глава 3. ВИРТУАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
континуума и оперативного виртуального пространства следую¬
щим образом:
3>(0*) S 9^(0*).
3.8.	ОБЪЕКТЫ ЗНАЧИМОЙ ОБЛАСТИ
ПРИ ОТОБРАЖЕНИИ НА ОПЕРАТИВНОЕ
ВИРТУАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Важнейшим этапом баллистического обеспечения управления
полетом КА является процедура отображения значимой области
Q* на оперативное виртуальное пространство.
Рассмотрим, для каких объектов, принадлежащих значимой
области Q , необходимо применять процедуру отображения их на
оперативное виртуальное пространство. В соответствии с опреде¬
лением значимой области объекты, средой обитания которых она
является, можно разбить на две группы:
1) в первую группу входят объекты, входящие в базу дан¬
ных БД qvF [а&),£р,£Щ];
2) во вторую группу входят космические аппараты.
Объекты первой группы уже являются образами фундамен¬
тальных объектов, принадлежащих фундаментальному простран¬
ству 9V, отображенному на виртуальное фундаментальное про¬
странство. Поэтому их образы входят в базу данных БД<^ [*МД
Jg/r, £$£] без изменения, благодаря чему их образы в оперативном
виртуальном пространстве 9^(0)1 совпадают с образами этих же
фундаментальных объектов в виртуальном фундаментальном про¬
странстве. Поэтому для того чтобы отобразить значимую область
Q* на оперативное виртуальное пространство, достаточно выпол¬
нить эту процедуру только для КА, входящих в эту область.
Образами КА в оперативном виртуальном пространстве явля¬
ются векторы пространственно-временного состояния КА и моде¬
ли движения КА в системе координат пространства 9^(0)1.
Таким образом, для того чтобы отобразить КА на 9^(0)1, не¬
обходимо решить две задачи:

ОБЪЕКТЫ ЗНАЧИМОЙ ОБЛАСТИ
77
1) определить тринадцатимерный вектор пространственно-
временного состояния КА aF = ||г, г, *Р, ЧР, ?|| или, что то же самое,
ap(i) = ||г, г, *Р, ЧРЦ (следует отметить, что в этом случае вектор со¬
стояния виртуальных фундаментальных объектов рассматривается
в той же системе координат, что и объекты, соответствующие КА);
2) построить модель движения центра масс КА в принятой в
{Pv(0)I системе координат, а в случае необходимости решить зада¬
чу параметрической идентификации модели, если в ней имеются
параметры d\9 d2, ..dk,, требующие уточнения.
Модель движения КА задается моделью движения его центра
масс и моделью движения относительно центра масс. Для одного и
того же КА может существовать несколько вариантов модели
движения относительно центра масс. Вариант действующей моде¬
ли зависит от этапа полета КА, поэтому он определяется програм¬
мой полета.
Следует отметить, что если бортовое и наземное время син¬
хронизированы, то вектор пространственно-временного состояния
задается следующим образом:
aF=\\r, г, Y, ЧР, t\\.
В противном случае требуется решение еще одной задачи:
синхронизация бортового и наземного времени. Следует отметить,
что решение первой и второй задач (оценивания и идентификации)
в большинстве случаев сводится к одной задаче определения рас¬
ширенного вектора пространственно-временного состояния. Дан¬
ный вопрос будет подробно рассмотрен в пятой главе.
Для решения перечисленных задач, касающихся определения
вектора пространственно-временного состояния а, и задачи пара¬
метрической идентификации модели необходимо решить два
вопроса:
1) исследовать процедуру проведения навигационных изме¬
рений;
2) разработать оптимальные алгоритмы определения векто¬
ров состояния и решения задачи параметрической идентификации.

Глава 4
СРЕДСТВА ОТОБРАЖЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
НА ОПЕРАТИВНОЕ ВИРТУАЛЬНОЕ
ПРОСТРАНСТВО
4.1.	НАВИГАЦИОННОЕ ПОЛЕ
КАК ОСНОВНОЙ ИСТОЧНИК
НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Физическое поле в пространственно-временном континууме
называется навигационным, если оно удовлетворяет следующим
условиям:
1) физическое поле полностью или частично заполняет про¬
странственно-временной континуум (в случае, если космический
проект реализуется в некоторой ограниченной области, то доста¬
точно, чтобы данное поле покрывало эту область);
2) должна быть известной модель физического поля в сис¬
теме координат оперативного виртуального пространства;
3) в модели физического поля можно выделить отдельные
элементы, которым можно поставить в соответствие некоторые
параметры пространственно-временного континуума;
4) значение этих элементов физического поля можно изме¬
рить с помощью специальной аппаратуры;
5) существует прибор, называемый навигационным, кото¬
рый может измерять значение этих элементов.
Измерениям, выполняемым навигационно-измерительным
прибором, должен быть поставлен в соответствие момент времени
проведения измерений. Поэтому при проведении измерений, свя¬
занных с навигационным полем, должно присутствовать устройст¬
во, измеряющее время, т.е. часы.
Как отмечалось в третьей главе, в космических проектах весь
интервал времени полета КА делится на отдельные участки, назы¬

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ НАВИГАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 79
ваемые навигационными интервалами. Это вызвано необходимо¬
стью обеспечения адекватности отображения КА на оперативное
виртуальное пространство, а также требованием выполнения тако¬
го управления движением КА, при котором обеспечивается дос¬
тижение цели полета КА. На каждом навигационном интервале
проводится серия навигационных измерений с таким расчетом,
чтобы по результатам обработки этих измерений получить пара¬
метры орбиты, обеспечивающие выполнение условия адекватно¬
сти при отображении траектории движения КА на оперативное
виртуальное пространство. Деление интервала полета на навига¬
ционные интервалы может осуществляться по различным крите¬
риям. Но наиболее часто навигационные интервалы определяются
как промежутки времени между двумя корректирующими импуль¬
сами, следующими один за другим. При этом должно быть выпол¬
нено следующее условие: навигационные измерения на последнем
навигационном интервале должны обеспечивать адекватность ото¬
бражения КА на оперативное виртуальное пространство.
4.2.	ОСНОВНЫЕ ВИДЫ НАВИГАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ
И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
В пространственно-временном континууме существуют нави¬
гационные поля различного вида. Рассмотрим их и дадим им крат¬
кую характеристику.
1.	Навигационные поля естественного и искусственного про¬
исхождения.
Навигационные поля естественного происхождения созданы
самой природой. Навигационные поля искусственного происхож¬
дения созданы человеком с помощью специальных технических
средств.
К полям естественного происхождения относятся:
- оптические навигационные поля;
- геомагнитные навигационные поля;
- гравитационные навигационные поля.
К полям искусственного происхождения относятся:
- электромагнитные навигационные поля;
-	квантооптические навигационные поля.

80
Глава 4. СРЕДСТВА ОТОБРАЖЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ КА
2. Область заполнения навигационным полем пространствен¬
но-временного континуума 0VK.
Поля, заполняющие весь пространственно-временной конти¬
нуум:
- оптическое навигационное поле;
- гравитационное навигационное поле.
3. Поля, частично заполняющие пространственно-временной
континуум:
- электромагнитные поля локального типа;
- электромагнитные поля координатного типа;
- геомагнитное поле.
4. Поля, заполняющие узкие области пространственно-
временного континуума:
- электромагнитные поля особого вида, они создаются, как
привило, наземными радионавигационными станциями;
- лазерные поля.
5. Непрерывные и дискретные навигационные поля.
К непрерывным полям относятся: оптические, гравитацион¬
ные, геомагнитные и электромагнитные. Они заполняют простран¬
ственно-временной континуум без разрывов.
Остальные навигационные поля искусственного происхожде¬
ния относятся, как правило, к дискретным полям. Технические
средства, создающие данные поля, работают в двух режимах: ре¬
жим молчания и режим радиоизлучения. Режимы последовательно
идут один за другим. Временная продолжительность как первого,
так и второго зависит от технических средств, создающих навига¬
ционное поле. Дискретные навигационные поля различаются по
величине области пространственно-временного континуума, кото¬
рую они заполняют.
6. Интервалы времени, в течение которых навигационные по¬
ля существуют.
Навигационные поля естественного происхождения имеют
бесконечно большой временной интервал существования. Времен¬
ной интервал существования навигационных полей искусственно¬
го происхождения определяется временем работы технических
средств, создающих данные поля.

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ НАВИГАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 81
7. Навигационные поля координатного и локационного типа.
Навигационные поля координатного типа по одномоментному
измерению параметров поля позволяют определить, полностью
или частично, отдельные параметры вектора а = ||г, г, *Р, *Р, /|| в
некоторой, принятой в данном оперативном виртуальном про¬
странстве, системе координат.
Навигационные поля локационного типа позволяют опреде¬
лить положение всех объектов, находящихся в области лоцируе-
мого пространства. К навигационным полям первого типа отно¬
сятся гравитационное и геомагнитное поля, а также практически
все поля искусственного происхождения, за исключением локаци¬
онных. К навигационным полям локационного типа относятся оп¬
тическое поле и искусственные поля, создаваемые локационными
техническими средствами.
8. Возможность появления ошибок в измерениях параметров
навигационного поля.
Практически при измерении параметров всех полей различно¬
го вида могут создаваться условия, при которых появляются
ошибки.
9. Предельная точность навигационных измерений по нави¬
гационным полям.
Предельная точность навигационных измерений по навигаци¬
онным полям зависит от множества факторов. Поэтому невозмож¬
но одной характеристикой описать эту точность. Ошибки измере¬
ний могут появиться как из-за самого навигационного поля, так и
из-за характеристик навигационно-измерительного прибора. Осо¬
бо следует отметить появление ошибок в навигационных измере¬
ниях полей искусственного происхождения.
10. Доступность навигационного поля.
Данная характеристика показывает, в каких условиях должен
находиться навигационно-измерительный прибор, чтобы он мог
проводить навигационные измерения по данному навигационному
полю.
Из всех перечисленных навигационных полей естественного
происхождения существует только одно поле - гравитационное,

82
Глава 4. СРЕДСТВА ОТОБРАЖЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ КА
которое обеспечивает возможность навигационных измерений при
любом положении навигационно-измерительного прибора. Кроме
этого, следует отметить еще один вид навигационных полей ис¬
кусственного происхождения - навигационное поле, которое спро¬
ектировано таким образом, чтобы можно было проводить навига¬
ционные измерения в некоторой околоземной области космиче¬
ского пространства. Таковым является навигационное поле, созда¬
ваемое системами ГЛОНАСС и GPS.
В изложенном материале приведены самые общие сведения о
навигационных полях. Но существуют навигационные поля, за¬
служивающие особого внимания в силу своих уникальных ка¬
честв. Таковыми являются поля, созданные спутниковыми систе¬
мами ГЛОНАСС и GPS, оптическое и гравитационное навигаци¬
онные поля. Поэтому следующие разделы посвящены обсуждению
основных свойств этих навигационных полей.
11.	Параметричность навигационного поля.
Параметричность навигационного поля является одной из
важнейших его информационных характеристик. Под параметрич-
ностью поля понимается количество параметров вектора состоя¬
ния КА, которые могут быть определены по одномоментному из¬
мерению параметров навигационного поля одним навигационным
прибором в один момент времени. Параметричность может ме¬
няться от 1 до 6. Данная характеристика имеет большое значение
для системы навигации. Если параметричность меньше шести, то
для определения всех параметров траектории требуется проведе¬
ние измерений в течение определенного интервала времени. При
этом продолжительность временного интервала зависит от инфор¬
мационных характеристик навигационных измерений.
Вместе с тем следует отметить, что обычно, независимо от
параметричности поля, измерения проводятся на протяжении не¬
которого временного интервала. Это позволяет повысить точность
определения параметров траектории, а также устранить сбойную
навигационную информацию, которая, как правило, бывает во
всех видах навигационных измерений. Параметричность поля
имеет особое значение в тех случаях, когда требуется определить
параметры траектории в кратчайшее время.

ГЛОБАЛЬНОЕ ИСКУССТВЕННОЕ НАВИГАЦИОННОЕ ПОЛЕ
83
4.3.	ГЛОБАЛЬНОЕ ИСКУССТВЕННОЕ
НАВИГАЦИОННОЕ ПОЛЕ
Глобальное искусственное навигационное поле (ГИНП), по¬
рождаемое глобальной навигационной спутниковой системой
(ГНСС), в настоящее время имеет самый высокий рейтинг, по
сравнению с другими полями. Для этого имеется ряд важнейших
причин. Рассмотрим их по порядку.
1.	Поле имеет искусственное происхождение, а, значит, ха¬
рактеристики и показатели поля заранее определяются Техниче¬
ским заданием (ТЗ), выданным на технические средства, создаю¬
щие данное поле. Поэтому в конструкцию этих технических
средств закладываются наивысшие достижимые характеристики в
области создания этих средств и технических систем, измеряющих
параметры созданного навигационного поля.
Тем самым по признакам уровня глобальности, как по про¬
странственной, так и по временной константам, поле можно оце¬
нить по высшему баллу.
По параметричности поле спроектировано также по наивыс¬
шему баллу, так как по одномоментному измерению можно опре¬
делить г, г, *Р, *Р, t (т.е. 13 параметров). Предельно достижимая
точность по координатам исчисляется в миллиметрах, по угловым
положениям - в долях минут, по времени - в нескольких не. Это
достигается возможностью проведения измерений сразу несколь¬
кими навигационными спутниками.
Навигационный прибор в состоянии измерить все данные па¬
раметры, при этом точность измерений, в зависимости от требова¬
ний, предъявляемых к системе пространственно-временного обес¬
печения, приближается к теоретически достижимой.
Габаритно-массовые характеристики и энергопотребление на¬
вигационного прибора позволяют устанавливать его на любой КА,
вплоть до микроКА. Технология проведения измерений вполне
доступна для реализации на любом КА, находящимся в области
околоземного пространства на высоте до 2000 км над поверхно¬
стью Земли.
Технология производства данных навигационных приборов
хорошо освоена в мире, а их производство носит массовый харак¬

84
Глава 4. СРЕДСТВА ОТОБРАЖЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ КА
тер, в связи с чем их стоимость непрерывно снижается, благодаря
чему установка этих приборов на самый простейший КА стано¬
вится доступной.
2. Другим важнейшим следствием искусственного происхож¬
дения навигационного поля является возможность дальнейшей
непрерывной его модернизации. Действительно, непрерывный
мониторинг поля, накопление знаний о его характеристиках, изу¬
чение факторов, влияющих на его показатели, позволяют разраба¬
тывать пути его модернизации. Это можно проследить на процес¬
сах модернизации навигационных систем ГЛОНАСС, представ¬
ленных, соответственно, системами ГЛОНАСС, ГЛОНАСС-М,
ГЛОНАСС-К. Последний вариант системы, в котором реализуют¬
ся межспутниковые измерения, представляет собой качественно
новую систему, в которой, помимо существенного улучшения по¬
казателей по точности, достоверности и доступности, обеспечива¬
ется снижение интегральной стоимости самой системы (в резуль¬
тате значительного увеличения срока ее существования, а также
снижения эксплуатационных расходов на ее обслуживание).
В последующих разделах рассмотрим каждый из введенных
показателей в отдельности.
3. Глобальность искусственного навигационного поля.
Глобальная навигационная спутниковая система спроектирована
таким образом, что создаваемое ею навигационное поле обладает
следующими характеристиками: заполняет все околоземное про¬
странство в сфере до высот около 2000 км над поверхностью Зем¬
ли; при высотах более 2000 км возникают разрывы в заполнении
полем; однако, учитывая специфику полета КА, этот фактор не
имеет столь решающего значения.
ГИНП спроектировано таким образом, чтобы обеспечить его
непрерывное существование на всей временной оси. Разрывы во
времени его существования возникают в тех случаях, когда имеет
место разрыв в заполнении трехмерного пространства, как это
имеет место в областях пространства выше 2000 км.
Обеспечение заданного варианта заполнения ГИНП около¬
земного пространства достигается соответствующей пространст¬
венной структурой навигационных спутников: выбором парамет¬
ров их орбит, а также количеством навигационных ИСЗ (НИСЗ),
входящих в спутниковую группировку в данной области.

ГЛОБАЛЬНОЕ ИСКУССТВЕННОЕ НАВИГАЦИОННОЕ ПОЛЕ
85
4. Параметричность глобального искусственного навига¬
ционного поля. По информации, находящейся в каждом кванте
(или группе квантов) глобального искусственного навигационного
поля, порождаемого ГНСС, по одномоментному измерению можно
определить до 13 параметров: г, г, *Р, *Р, /, входящих в вектор,
определяющий пространственно-временное состояние любого ог¬
раниченного твердого тела, находящегося в пространственно-
временном континууме.
5. Состав навигационных сигналов ГНСС. Будем считать,
что высота КА над Землей не меньше 300 км, а число НИСЗ, вхо¬
дящих в группировку ГНСС, равно, например, 24.
Навигационные измерения по ГНСС КА может получать от
спутников, находящихся в пределах прямой видимости. Если на
КА установлена антенна навигационного приемника, оптическая
ось которой направлена в зенит, то наблюдения будут проводиться
в верхней полусфере.
Исследования по определению числа ИСЗ, наблюдаемых
в верхней полусфере, показали, что для КА, находящегося в пре¬
делах сферы с высотой Н < 2000 км, количество одновременно
наблюдаемых НИСЗ одной спутниковой системы в верхней полу¬
сфере при высоте полета КА Н < 2000 км колеблется в преде¬
лах 4...9.
С ростом высоты КА над поверхностью Земли количество
спутников будет уменьшаться. Необходимо отметить, что для оп¬
ределения значений г, г и t должна быть прямая видимость не ме¬
нее четырех НИСЗ.
Навигационной аппаратурой, установленной на КА, измеря¬
ются значения следующих навигационных функций:
-	время прихода навигационного сигнала;
- значение фазы несущей частоты;
- разность фаз Дер;
- доплеровский сдвиг частоты Fd.
На основании одномоментных измерений вычисляются зна¬
чения следующих навигационных функций:

86
Глава 4. СРЕДСТВА ОТОБРАЖЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ КА
- псевдорасстояния от КА до НКА;
- псевдорадиальной скорости;
- угла визирования НИСЗ с КА;
- угловой скорости линии визирования;
- фазы навигационного сигнала.
Сигналы навигационных спутников представляют собой не¬
прерывные когерентные колебания, в которых несущая частота мо¬
дулирована широкополосным дальномером периодической псевдо¬
случайной последовательностью (ПСП).
При этом в связи с отсутствием временной синхронизации
между часами на борту НКА и КА, вместо временной задержки
принимается псевдозадержка.
Под псевдозадержкой понимается разность между моментом
излучения сигнала спутником по шкале времени НКА и моментом
приема сигнала по шкале времени приемника, установленного на
КА. Именно введение понятия псевдозадержки привело к понятию
псевдодальности Z)nc, величина которой (отличие измеренной
дальности от истинной) вычисляется по формуле
^ПС ^А^ПС?
где А/пс - псевдозадержка.
Аналогично, под псевдодоплеровской частотой понимается
измеренный на борту КА доплеровский сдвиг несущей частоты
радиотехнического сигнала, излучаемого НКА, который отличает¬
ся от истинного значения излучаемого сигнала НКА из-за неста¬
бильности и расхождения номинальной частоты опорного генера¬
тора приемника КА.
4.4.	ОПТИЧЕСКОЕ НАВИГАЦИОННОЕ ПОЛЕ
Первое навигационное поле, которое использовалось челове¬
чеством для решения задачи пространственно-временного обеспе¬
чения управления пространственно-временным состоянием, было
оптическое. Уже потом открыли геомагнитное поле и стали ис¬
пользовать его как навигационное.

ОПТИЧЕСКОЕ НАВИГАЦИОННОЕ ПОЛЕ
87
Гравитационное же поле использовалось в самом простейшем
своем представлении - как линия отвеса. И только оптическое по¬
ле использовалось во всех его проявлениях. Более того, практиче¬
ски все биологические существа именно оптическое поле исполь¬
зуют для решения своих жизненно важных задач: найти, напасть,
убежать, построить, встретиться и т.д.
Это говорит об исключительных потенциальных возможно¬
стях, куда входит исключительная его информативность, сбор всей
окружающей пространственно-временной информации в каждом
кванте пространственно-временного континуума, возможность не
только определить практически все параметры вектора состояния,
но и определить пространственные конфигурации всех возможных
объектов.
При этом навигационный прибор обладает исключительной
простотой, надежностью, минимальным энергопотреблением и
малыми габаритно-массовыми характеристиками. И в этом он, так
же как и ГИНП, является уникальным.
Единственной особенностью, препятствующей его широкому
применению в автоматизированных системах, является исключи¬
тельно сложная обработка видеосигнала, которая была недоступна
для периода раннего развития вычислительной техники.
Однако значительный прогресс в создании микропроцессоров
дает основание считать, что эти устройства, обладающие необхо¬
димыми вычислительными мощностями, способными обеспечить
нужный уровень обработки, а также соответствующее программ¬
ное обеспечение, будут созданы в ближайшем будущем. Это от¬
кроет большие перспективы в использовании оптического навига¬
ционного поля при создании перспективных систем пространст¬
венно-временного обеспечения управления пространственно-
временной системой.
Оптическое навигационное поле может быть использовано во
всех средах, куда попадает солнечный свет (либо искусственный
источник света). Космическое пространство в этом отношении не
является исключением. В космическом пространстве находится
огромное количество объектов, излучающих или отражающих
свет. Такими объектами являются тела Солнечной системы, Солн¬
це, звезды. К ним также относятся тела искусственного происхож¬

88
Глава 4. СРЕДСТВА ОТОБРАЖЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ КА
дения: ИСЗ, космические корабли и станции, КА, вышедшие из
строя, для которых известны параметры вектора их пространст¬
венно-временного состояния.
Навигационными функциями для оптических навигационных
приборов являются:
- направления на звезды и другие светящиеся объекты, по¬
зволяющие определить все параметры ориентации;
- функции, значение которых зависит от углового расстоя¬
ния между двумя космическими объектами, или угловые размеры
отдельных объектов; если известны модели движения объектов,
относительно которых проводятся навигационные измерения,
и параметры их векторов состояния в заданной системе координат,
данная навигационная информация позволяет определить коорди¬
наты объектов в той же системе координат, что и наблюдаемые
объекты.
Оптическое поле обладает очень высокой предельной точно¬
стью представления информации.
Таким образом, точность навигационных измерений зависит
от измерительных ошибок прибора, точности задания моделей
движения наблюдаемых объектов и качества их пространственно¬
го описания.
В последнее время созданы совершенные оптические прибо¬
ры, в которых в фокальной плоскости устанавливаются ПЗС мат¬
рицы высокого разрешения. Такая конструкция структурно подоб¬
на глазу живых существ, что сулит большие перспективы косми¬
ческим навигационным приборам. Проблема использования таких
приборов теперь сводится к разработке алгоритмов, способных
обрабатывать поступающую информацию.
Решение данной проблемы позволит построить уникальные
навигационные приборы, которые будут служить хорошим допол¬
нением к навигационным приборам, использующим информацию
от ГИНП.
4.5.	ГРАВИТАЦИОННОЕ НАВИГАЦИОННОЕ ПОЛЕ
При использовании гравитационного поля как навигационно¬
го необходимо иметь в виду, что измеряется не сила гравитации,

ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ
89
а градиент гравитационного поля. Градиент гравитационного поля
задается положительно-определенной симметрической матрицей.
Таким образом, измерение градиента гравитационного поля позво¬
ляет одномоментно определить шесть независимых параметров,
куда входят три координаты, определяющие положение КА в про¬
странстве, а также вектор гравитационных сил. Благодаря этому
представляется возможным определить один из параметров ориен¬
тации КА.
Навигация по градиенту гравитационного поля имеет ряд не¬
оспоримых достоинств.
1. Гравитационное поле расположено во всей Вселенной, по¬
этому в будущем, когда будет получена модель гравитационного
поля всей Вселенной или ее части, представится возможность
осуществлять навигацию за пределами Солнечной системы.
2. Гравитационное поле не имеет помех, поэтому при его ис¬
пользовании не существует опасности использования ошибочных
измерений.
Модель гравитационного поля известна. Единственным не¬
достатком в настоящее время является отсутствие прибора, изме¬
ряющего градиент гравитационного поля на борту. Но это дело
времени. Уже предпринимались попытки построения такого при¬
бора. Подобные приборы можно разделить на два типа. К первому
типу относятся градиентометры, построенные на базе высокоточ¬
ных акселерометров. Следует отметить, что в этом направлении
имеет место существенный прогресс. Ко второму типу относятся
градиентометры ротационного типа. Макет такого градиентометра
уже создан.
4.6.	ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ
В разделах 4.2 - 4.6 рассмотрена задача отображения значи¬
мой области на оперативное виртуальное пространство. Процедура
отображения объектов, принадлежащих значимой области, пред¬
ставляет собой не что иное, как определение вектора пространст¬
венно-временного состояния КА и решение задачи идентификации
модели движения КА по измерениям навигационно-измеритель¬

90
Глава 4. СРЕДСТВА ОТОБРАЖЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ КА
ного прибора. При этом источником данных для навигационно¬
измерительного прибора является навигационное поле. Помимо
навигационных приборов, работа которых основана на использо¬
вании навигационных полей, существуют навигационные прибо¬
ры, работающие на других физических принципах. Таким прибо¬
ром является инерциально-измерительный прибор, например аксе¬
лерометр. Достаточно распространена точка зрения, согласно ко¬
торой инерциальный прибор можно рассматривать в качестве на¬
вигационного прибора наравне с прибором, работающим по нави¬
гационному полю. В этом допущении кроется не совсем точное
представление о роли навигационно-измерительного прибора в
решении задачи отображения КА на оперативное виртуальное
пространство.
Как уже отмечалось, отображение КА на оперативное вирту¬
альное пространство £^(0)1 сводится к решению задачи оценива¬
ния вектора пространственно-временного состояния КА, а также к
решению задачи параметрической идентификации модели движе¬
ния КА либо к решению задачи идентификации при наличии не-
моделируемых ускорений.
Решение первой задачи возможно только при наличии инфор¬
мации, получаемой от навигационного поля. Вторая задача имеет
два варианта решения. Выбор варианта решения зависит от того,
какого типа неопределенности имеют место в используемой моде¬
ли движения:
- либо в число параметров, входящих в модель движения,
входят параметры, значение которых известно неточно;
- либо в правых частях дифференциальных уравнений мо¬
дели движения КА, определяющих силы, действующие на центр
масс КА, присутствуют немоделируемые ускорения, не имеющие
аналитического выражения.
Задачи первого типа решаются за счет включения неточных
параметров модели в число уточняемых при определении вектора
пространственно-временного состояния КА параметров. В этом
случае на КА устанавливается прибор, измеряющий инерциальные
силы. Он как раз и измеряет данные немоделируемые ускорения.

ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ
91
Таким образом, появляется возможность поместить результаты
этих измерений в правые части дифференциальных уравнений мо¬
дели движения КА. А это означает решение задачи идентификации
модели движения КА. Практика управления КА с использованием
инерциального прибора для решения данной задачи доказала эф¬
фективность этого метода. Особенно этот метод эффективен при
работе ракеты-носителя, выводящей КА на орбиту, а также при
работе разгонного блока. Инерциальный прибор типа датчика уг¬
ловых скоростей позволяет определить все компоненты угловой
скорости КА. В этом случае инерциальный прибор является нави¬
гационным прибором, определяющим компоненту, входящую в
вектор пространственно-временного состояния КА.

Глава 5
МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ
ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
НА ОПЕРАТИВНОЕ ВИРТУАЛЬНОЕ
ПРОСТРАНСТВО
В третьей и четвертой главах рассмотрена общая постановка
задачи отображения движения объектов, средой обитания которых
является пространственно-временной континуум 0VK, на опера¬
тивное виртуальное пространство. Образами данных объектов яв¬
ляются векторы пространственно-временного состояния а =
= \аь а2, «4! (где а\ = ||г, г||, а2 = |*Р, тЦ, а4 = t) и модели движения
этих объектов, в дальнейшем называемых образами объектов,
принадлежащих 0VK, в оперативном виртуальном пространстве.
Вектор а\ определяет положение центра масс КА, а вектор
а2 - положение КА относительно центра масс. Таким образом,
отображение объектов, принадлежащих 0VK, на оперативное вир¬
туальное пространство сводится к определению положения центра
масс КА по результатам навигационных измерений. Алгоритмы
решения первой и второй задач существенно различаются.
Определение положения центра масс КА осуществляется на
основании обработки множества навигационных измерений, со¬
держащих ошибки. Алгоритм решения данной задачи, в котором
используются статистические методы обработки, должен обеспе¬
чить минимальное влияние этих ошибок на точность определения
вектора а\. Нахождение такого алгоритма представляет собой
сложную самостоятельную задачу.
Определение положения КА относительно центра масс в
большинстве случаев намного проще и носит характер решения
геометрических задач.
В связи с этим в данной главе рассмотрены основные особен¬
ности решения первой задачи, отражающиеся на основных кон¬
цептуальных положениях БНО полета КА.

МЕТОДИКА ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ	93
5.1.	МЕТОДИКА ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО КОНТИНУУМА
НА ОПЕРАТИВНОЕ ВИРТУАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Одним из основных этапов при решении большинства задач
БНО полета КА является определение параметров орбит космиче¬
ских объектов и их моделей. В связи с этим важнейшей базовой
операцией, предшествующей всем вычислениям, проводимым в
рамках БНО полета, является расчет математических аналогов об¬
разов объектов (вектора состояния и модели движения) в опера¬
тивном виртуальном пространстве. Поэтому технология реализа¬
ции данной операции имеет первостепенное значение среди задач,
выполняемых при баллистико-навигационном обеспечении. Дан¬
ные образы объектов q делятся на два класса:
1) образы фундаментальных объектов qF, средой обитания
которых является пространственно-временной континуум (0VK);
2) образы объектов искусственного происхождения (косми¬
ческие корабли), находящиеся в пространственно-временном кон¬
тинууме (0VK) и являющиеся элементами космического проекта.
Между этими образами объектов двух классов в оперативном
виртуальном пространстве имеет место значительное различие,
отражающееся на вариантах определения параметров вектора со¬
стояния и модели движения и влияющее на реализацию космиче¬
ского проекта.
Образы фундаментальных объектов получены в результате
трудов ученых разных стран, выполняющих эту работу в течение
не одной сотни лет. Полученные результаты систематизированы и
сведены к некоторому единому виду, и помещены в различные
виды носителей (каталоги, монографии, электронные носители
и т.д.). Будем считать, что эти данные сведены в совокупность до¬
кументов, которые будем называть базой, содержащей все фунда¬
ментальные данные, содержащие необходимые характеристики
фундаментальных объектов. При проведении исследований в об¬
ласти БНО полета наибольшее значение имеют данные о векторах
состояния фундаментальных объектов, модели их движения, дан¬
ные о физических полях, средой обитания которых является про¬
странственно-временной континуум. Предполагается, что эта ин¬
формация сведена в базу данных БД qvF [<ap{t), £F, £%\

94
Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Естественно, к сожалению, что такой базы данных, матери¬
ально организованной и функционирующей, представленной в не¬
котором вычислительном устройстве, пока нет. Главное, что все
материалы, необходимые для построения подобной базы, в биб¬
лиотеках, научных институтах, обсерваториях имеются. Поэтому
можно считать, что вся совокупность данных для такой базы дос¬
тупна. В будущем такая возможность будет реализована. Главное,
что те, кому это необходимо, эти данные могут получить.
Данное допущение имеет чисто методологическое значение,
поэтому данная база данных носит некий виртуальный характер.
Это позволяет считать, что при проведении баллистических иссле¬
дований и расчетов все указанные необходимые характеристики
образов фундаментальных объектов нам известны.
Образы объектов искусственного происхождения (космиче¬
ские аппараты) определяются в процессе реализации космического
проекта с помощью специальной системы, позволяющей опреде¬
лять векторы пространственно-временного состояния КА, а также
(в случае необходимости) уточнять параметры модели их движе¬
ния (решение задачи идентификации). Решение данной задачи от¬
носится к разряду сложных и составляет самостоятельную область
в научной дисциплине, изучающей различные проблемы, связан¬
ные с БНО полета.
Таким образом, задача отображения искусственных объектов
на оперативное виртуальное пространство рассматривается как
задача определения параметров траектории КА по результатам
навигационных измерений. Данная задача отличается многообра¬
зием вариантов постановок и решений, зависимостью качества
решения от большого числа факторов, так что ее можно отнести к
самостоятельной области исследований. В данной главе рассмот¬
рим наиболее принципиальные вопросы, встречающиеся практи¬
чески во всех задачах определения траекторий различного класса:
- структура системы определения параметров траектории
по навигационным измерениям и основные теоремы;
-	ошибки навигационных измерений;
-	модели движения КА, используемые при определении
параметров траектории по результатам измерений;
- решение задачи идентификации модели движения КА;

СТРУКТУРА СИСТЕМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ТРАЕКТОРИИ 95
- методика определения параметров траектории по навига¬
ционным измерениям.
Следует заметить, что изложение данного материала осущест¬
вляется не в том порядке, как это отмечено в приведенном списке,
а в порядке, который более наглядно раскрывает суть поставлен¬
ных вопросов.
5.2.	СТРУКТУРА СИСТЕМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПАРАМЕТРОВ ТРАЕКТОРИИ
ПО НАВИГАЦИОННЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ
Система определения параметров траектории по навигацион¬
ным измерениям состоит из следующих элементов:
1. Навигационно-измерительное устройство, которое предна¬
значено для получения навигационных измерений. В традицион¬
ном случае проводятся измерения на протяжении некоторого на¬
вигационного интервала tH - tK. Измерения проводятся с некоторым
шагом. Необходимо отметить, что существует очень большое раз¬
нообразие навигационно-измерительных приборов. Все они рабо¬
тают по навигационным полям. При этом возможны два вида ба¬
зирования навигационно-измерительных систем:
1) системы, которые базируются на Земле;
2) системы, которые установлены непосредственно на бор¬
ту, в результате чего имеется возможность построения системы
автономной навигации, в которой все перечисленные этапы реше¬
ния навигационной задачи выполняются с помощью бортовых вы¬
числительных средств.
2. Архив навигационной информации, куда полученные из¬
мерения попадают для хранения.
3. Предварительная обработка навигационной информации.
Дело в том, что в навигационные измерения может попасть сбой¬
ная информация, и если не избавиться от такой информации, то
ошибка в определении параметров траектории может быть значи¬
тельной. Поэтому должна существовать программа, предназначен¬
ная для фильтрации траекторной информации. Принцип построе¬
ния подобных программ зависит от типа навигационно-измери¬
тельного прибора. В программу на основе анализа особенностей

96
Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
работы навигационно-измерительного прибора закладывается ал¬
горитм предварительной обработки измерений, которая должна
выбраковывать сбойную информацию.
4. Решение задачи параметрической идентификации.
5. Следующий этап обработки навигационных измерений со¬
стоит в определении параметров траектории на основании исполь¬
зования всей совокупности навигационной информации и скор¬
ректированной модели движения, на основании данных, получен¬
ных при решении задачи параметрической идентификации.
Порядок определения траектории, приведенный выше, пред¬
ставляет собой процедуру решения навигационной задачи в общем
виде. Отмечены лишь наиболее важные этапы решения данной за¬
дачи. В заключение отметим, что подобную структуру задачи опре¬
деления параметров называют навигационной задачей по полной
выборке, понимая под этим использование при ее решении всех на¬
вигационных измерений, за исключением выбракованных. Рассмат¬
ривается также рекуррентный метод решения задачи навигации.
5.3.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ
ЦЕНТРА МАСС КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА И
ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
5.3.1.	Модель движения центра масс космического аппарата
Облик модели движения, используемой при описании движе¬
ния КА, зависит от целей и задач, поставленных перед КА. Поэто¬
му описать все их многообразие нереально. Но у всех моделей есть
общие характерные черты.
1. Все модели движения задаются системой дифференци¬
альных уравнений шестого порядка.
2. В правую часть системы дифференциальных уравнений
движения обязательно входят гравитационные силы от централь¬
ного тела, но, в зависимости от типа КА, они учитываются с раз¬
ной степенью точности, определяемой числом гармоник.
3. Помимо гравитационных сил от центрального тела, в сис¬
тему дифференциальных уравнений движения могут входить гра¬
витационные силы от других небесных тел.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС КА	97
4.	Кроме этих сил, в правую часть системы дифференциаль¬
ных уравнений движения могут входить аэродинамические силы и
силы светового давления.
Поэтому в настоящем разделе ограничимся лишь одним вариан¬
том записи модели движения с целью показать общий вид системы
дифференциальных уравнений, задающих модель движения ИСЗ
d^v	1	01
—- = GM3grad- + grad/?3 + gradtfA + gradRc + p v SCD + AF.
dtz	r
Уравнение записано в прямоугольной системе координат:
- ось Xнаправлена на Северный полюс;
- ось У лежит в плоскости экватора и направлена в точку
весеннего равновесия;
-	ось Z - дополняет систему до правой.
Здесь М3 - масса Земли; G - гравитационная постоянная; grad -
градиент функции; для функции — он вычисляется по формуле
7?з - потенциал гравитационного поля Земли, учитывающий ее не-
центральность; формула для вычисления значения гравитационно¬
го потенциала Земли в точке, задаваемой координатами г, ф, X
в сферической системе координат с центром в центре Земли, зада¬
ется выражением
безразмерная постоянная, учитывающая форму Земли; ф - геоцен¬
трическая широта; Апк и Bnk - безразмерные величины, учитываю¬
щие форму Земли;
г
х (Апк cos кХ + Впк sin кХ),
здесь P„(snKp') - зональные гармоники; P%(sтф^=„ - сектори-
альные гармоники; /jf (sin ч>')к#п ~ тессеральные гармоники; Jn -

98
Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Спк ~ Впк
\2(п -к)\(2п + \)Л
(п-к)\
R\ - потенциал от гравитационного поля Луны; Rc - потенциал от
гравитационного поля Солнца; p2v2SCD - силы, учитывающие
аэродинамику верхних слоев атмосферы; AF - прочие силы, учи¬
тывающие световое давление, притяжение других планет.
Приведенное уравнение движения ИСЗ учитывает все силы,
действующие на него в полете. Но на практике в таком виде это
уравнение редко используют. Рассмотрим причины такого поло¬
жения:
Г 1 л
- первый член правой части уравнения
grad-
на не¬
сколько порядков больше всех остальных членов;
- значение гармоник, учитывающих нецентральность, на
три порядка больше всех остальных сил последующего ряда;
- значение сил от атмосферы Земли резко уменьшается с
высотой (пропорционально квадрату радиуса Земли); поэтому вы¬
ше 600.. .700 км это влияние незначительно;
- гравитационный потенциал от Луны и Солнца создают
силы, которые заметны только на высоте больше 10.. .20 тыс. км;
- влияние светового давления намного меньше всех ос¬
тальных сил;
- значение гармоник Земли с увеличением п и радиуса г
резко снижается.
Из этого следует, что количество учитываемых сил зависит от
следующих факторов:
- назначения спутника, которое определяет высоту его
полета;
- времени его активного существования;
- задач, которые спутник выполняет;
- требуемых точностей прогнозирования движения.
Поэтому, если даже выбрать тип модели движения спутника,
удовлетворяющий особенностям его движения, то и для него кон¬
кретный облик используемой модели будет меняться в некоторых
пределах.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС КА
99
5.3.2. Модель движения космического аппарата
относительно центра масс
Описание движения КА относительно центра масс осуществ¬
ляется с помощью системы дифференциальных уравнений в свя¬
занной системе координат, а также дифференциальных уравнений,
позволяющих пересчитать данные из связанной системы в инерци-
альную систему координат. Начало связанной системы координат
Cxyz совпадает с центром масс КА, а оси Ох, Оу, Oz параллельны
осям строительной системы координат.
Рассмотрим первую систему дифференциальных уравнений:
где К - кинетический момент относительно центра масс; со - век¬
тор угловой скорости; Му - вектор моментов, созданный реак¬
тивными силами, действующими на КА; MG - вектор моментов
гравитационных сил; Mg - вектор моментов, создаваемый гиро-
динами и парой сил; / - время; звездочкой сверху обозначается
производная по времени в связанной системе координат.
Кинетический момент КА определяется соотношением
где У - тензор инерции.
Кроме того, учитывая, что векторное произведение со х К =
= со х J(o может быть представлено в виде К((о)Ло, где if((o) - косо¬
симметричная матрица, соотношение (5.1) можно переписать сле¬
дующим образом:
dt dt
(5.1)
К =J<o,
(5.2)
J— + K(<a)J<a = Mf + MG + Mg;
(5.3)
  N
Mr
n=1
(5.4)

100 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
MG - GM3 * ** dm ;
г
(5.5)
к
где г„ - радиус-вектор от центра масс до точки приложения реак¬
тивной силы fn(n = 1,2,..., N); G - гравитационная постоянная;
Мз - масса Земли; г - радиус-вектор от центра Земли до элемента
массы dm АК; р - радиус-вектор от центра массы тела до элемента
массы dm; М,- - момент, порождаемый гиродинами или парой сил.
Кососимметрическая матрица К(со), соответствующая вектору
© и определяемая соотношением
Гравитационный момент MG определен по модели сфериче¬
ского гравитационного поля Земли.
Так как величины моментов, вызванные гравитационными си¬
лами, намного меньше моментов от реактивных сил и гиродинов,
при рассмотрении движения относительно центра масс в большин¬
стве случаев можно ограничиться рассмотрением только моментов
Му и MG.
В строительной системе координат Ox\y\Z\ положение любых
точек объекта будем определять радиус-вектором р, а начало этой
системы задается точкой О, не совпадающей с центром масс (точ¬
ка С) КА. Но именно в строительной системе координат известны
точки приложения управляющих сил, задаваемых векторами f„
Обозначим через рц радиус-вектор от точки О до центра масс
dm АК (обозначим буквой С). Момент Му, создаваемый силами
/„, может быть переписан по формуле
0 CDZ - СОу
tf(a>)=-coz	0	(О*
(О у	~(£>х	0
(5.6)
со =
(5.7)
(и= 1,2, ...,7V).

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
101
Mf =х /„ = £(р„ - рц) X /„ .	(5.8)
/7=1	/7=1
Поэтому дифференциальное уравнение движения КА относи¬
тельно центра масс может быть записано в виде
+ К((й)М = £(р„ -рц) xfn+Mg.	(5.9)
/7=1
N
Отметим, что компоненты Е(р„-р ц)х fvi создают момент,
п=1
не равный нулю только в том случае, если направление действия
N
суммарной силы	fn	не	проходит через центр масс АК.
/7=1
Вторая система дифференциальных уравнений имеет вид
at
где беек - ортогональная матрица размерности 3*3, задающая по¬
ложение связанной системы координат в инерциальной.
5.4.	МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
ИДЕНТИФИКАЦИИ И ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ
ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ
5.4.1.	Статистическая обработка измерений - основной метод
определения параметров орбиты и решения задачи
параметрической идентификации
В основе всех систем управления движением КА лежит про¬
цедура определения вектора пространственно-временного состоя¬
ния с необходимой точностью. Эту задачу можно считать главной,
без которой невозможно выполнение ни одной функции управле¬
ния КА, понимая его в самом широком смысле слова. Определение
параметров орбиты осуществляется статистическим методом.

102 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
5.4.2.	Требования к решению задач оценивания вектора
пространственно-временного состояния
Задачи оценивания вектора пространственно-временного со¬
стояния по результатам измерения должны удовлетворять основ¬
ным условиям [2]:
- состоятельности;
- несмещенности;
- эффективности.
Рассмотрим каждое из этих условий в отдельности.
Оценка называется состоятельной, если она обладает свойст¬
вом сходимости по вероятности к действительному значению.
Так если мы оцениваем значение вектора состояния а, истин¬
ное значение которого а , а(п) есть оценка того же вектора при
использовании п измерений, то условие состоятельности можно
записать так:
где г) - положительное число, стремящееся к нулю.
Иначе говоря, с увеличением количества измерений ошибки в
определении параметров вектора состояния должны стремиться к
нулю.
Оценка называется несмещенной, если ее математическое
ожидание при п —► оо совпадает с действительным значением.
Данное условие может быть выражено соотношением
где а - истинное значение вектора состояния; п - количество на¬
вигационных измерений.
Оценка называется эффективной, если по сравнению с любой
другой оценкой она обладает наименьшим разбросом. Учитывая,
что величина разброса характеризуется значением векторного цен¬
трализованного момента, то условие эффективности оценки можно
написать следующим образом:
ЬГМЭ1 а*(и)-а][а*(и)-а j Ь<ЬТ м\а(п)-а\[а(и)-а]г}б,

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ НАВИТАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
103
где а (п) - эффективная оценка вектора состояния при п измере¬
ниях; а - оценка вектора состояния а другим методом; Ъ - произ¬
вольный вектор.
Иначе говоря, эффективная оценка должна обеспечивать наи¬
меньшую ошибку в определении вектора состояния.
Условия, предъявляемые к методам оценки, записаны в по¬
рядке их важности.
5.4.3.	Постановка задачи оценивания
1. Пусть нам дана некоторая модель движения, которую мож¬
но представить в виде
/а, d, t) = 0,
определяющая движение объекта в пределах некоторого множест¬
ва моментов t s Т.
Здесь а - w-мерный вектор состояния системы; d - р-мерный
вектор, состоящий из параметров, входящих в модель движения,
значение которых известно с недостаточной точностью.
2. Дана совокупность навигационных функций уь у2, ..., у*,
определенных на множестве возможных значений а и d и завися¬
щих от времени, т.е.
У/(л, d, ^), i 1? 2, ..., к.
3. Предполагается, что каждая навигационная функция изме¬
ряется в моменты t{, j = 1,2,..., и/.
Требуется определить.
к
Необходимо по результатам У = навигационных изме-
/=1
рений
у j (л, d, t j |, i 1, 2, ..., k) j 1, 2, ..., Hf
определить вектор состояния а и вектор параметров d, входящих в
модель движения. При этом предполагается, что в каждый момент
времени tlj проводится только одно навигационное измерение.

104 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Представленная задача записана в общем виде. Но в таком ка¬
честве она встречается редко, поэтому рассмотрим три варианта
постановки этой задачи.
1. Задача оценивания вектора состояния а. Она отличается
от задачи, записанной в общем виде тем, что векторы параметров d
считаются известными.
2. Задача оценивания вектора параметров d. В этом случае
вектор состояния а считается известным. Задачу подобного типа
обычно называют задачей параметрической идентификации.
3. Решение задачи в общем виде, когда одновременно опре¬
деляется и вектор состояния а, и вектор параметров модели d. Не¬
обходимо отметить, что в практике космической баллистики эта
задача встречается достаточно часто. Примером может служить
задача уточнения параметров верхних слоев атмосферы, которая
решается периодически. (Часто эта задача называется задачей оп¬
ределения баллистического коэффициента.)
В основе решения приведенных задач лежат одни и те же ме¬
тоды. Поэтому для простоты написания и пояснения в дальнейшем
будем рассматривать задачу в первой постановке. Естественно,
там, где это имеет принципиальное значение, будут рассматри¬
ваться задачи и в других постановках. Задачу в первой постановке
будем для сокращения называть задачей оценивания вектора со¬
стояния КА, а иногда просто задачей оценивания; а задачу в по¬
становке 3 будем называть: определение параметров траектории и
решение задачи параметрической идентификации.
5.4.4.	Метод решения задачи оценивания
Рассмотрим общие свойства довольно широкого класса мето¬
дов решения задач оценивания.
Общий принцип решения задач оценивания вектора состояния
по результатам измерения состоит в следующем.
Пусть проведены измерения некоторого количества навигаци¬
онных функций уь у2, ..., jn в моменты tu t2, ..., t„. При наличии
модели движения эти же параметры могут быть рассчитаны, если
известно нулевое приближение а0 вектора пространственно-
временного состояния КА а. Обозначим рассчитанные навигаци¬
онные функции на этот момент времени через у (a, t\) = у,(а).

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
105
Составим вектор невязок
АУ = у-у(«о),	(5.10)
где
У = ||Уь У2, .... Уя|Г, У(йо) = ||у(во, 0), у(йо, t„)WT.
Таким образом, вектор невязок является функцией навигаци¬
онных измерений и нулевого приближения вектора пространст¬
венно-временного состояния КА.
Решение задачи оценивания вектора состояния а сводится к
нахождению такого вектора а , при котором достигается мини¬
мальное значение некоторой критериальной функции, характери¬
зующей степень приближения вектора у (а ) к вектору измерений у.
Способов задания критериальной функции в настоящее время
предложено достаточно много. К ним относятся:
- метод наименьших квадратов;
- метод максимального правдоподобия;
- метод медиан и т.д.
При формировании этих функций обычно пытаются учесть
ряд дополнительных факторов, и в первую очередь вид функции
распределения ошибок измерений. Однако все эти методы имеют
некоторые общие черты. Решим задачу оценивания вектора со¬
стояния а исходя из самых общих допущений и вида скалярной
функции Ф(Ду), служащей критерием близости векторов у и у (а).
Основная теорема оценивания вектора состояния по ре¬
зультатам измерений. Введем функцию Ф(Ду), определяющую
качество обработки навигационных измерений, выражающееся в
определении такого метода обработки, при котором достигается
наименьшее влияние ошибок измерений.
Функция Ф(Ду) зависит от вектора измерений у и вектора про¬
странственно-временного состояния КА а. Наилучшим признается
такое значение вектора пространственно-временного состояния
КА а*, при котором достигается минимальное значение функции
Ф(Ду).
Не уменьшая общности, в качестве искомого вектора выбира¬
ется такой вектор а , для которого выполняется условие

106 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Ф(Ду’) = min„ е М(«)Ф(Ау),
(5.11)
где М(«) - множество допустимых значений вектора а; Ду* = Ду(а).
Будем считать, что функция Ф(Ду) определена и непрерывна
на всем возможном множестве значений Ду.
Кроме того, будем предполагать, что функция Ф(Ду) удовле¬
творяет следующим условиям.
1.	У функции Ф(Ду) существуют следующие вектор и матрица:
dQ>
dAjt
; Ф
ДуДу
д2Ф
5Ду,-5Ду j
= Л,
/=1,2, ...,и, j= 1,2,	Ду	=	||Дуь	Ду2,	...,	Ду„||.
Ф(Ду) имеет размерность 1 х п, а матрица А - размерность пхп.
2.	На множестве М(а) функция Ф(Ау) имеет единственный,
минимум, а матрица А - положительно-определенная.
Из условий 1 и 2 следует, что существует единственный век¬
тор а = а , при котором обеспечивается минимум функции Ф(Ду),
являющейся критерием качества обработки навигационных изме¬
рений. Условие (5.11) при этом эквивалентно выполнению сле¬
дующего условия:
^Ф(Ау)
dAji
= О,
(5.12)
где О - нулевой вектор.
Предположим, что в измерениях уь у2, у„ нет ошибок изме¬
рений. Тогда система (5.11) является совместимой и поэтому мож¬
но найти такой вектор а , при котором будет выполнено условие
у = у(а*).
Следовательно, вектор невязок Ау в этом случае будет прини¬
мать нулевое значение:
Ау = у - у (а) = О.

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
107
Учитывая, что в этом случае а- а , и в соответствии с соот¬
ношением (5.12), имеет место равенство
Фду ~
яФ(Ду)
dAji
= 0.
(5.13)
Ду=0
Поскольку Ф(Ду) есть сложная функция от а, то с учетом ра¬
венства
Ду. = у.-у,(а, ?,), /= 1, 2, п,
условие (5.12) можно записать в виде
^ЛФ(Лу) gy,.(g)
ы\ dAji dbaj
= 0,
(5.14)
i= 1,2, ...,«, j = 1,2, ..., w,
где m - размерность вектора a.
Введем обозначения:
(5.15)
W(a) = ||<Bi(a), ..., оо„(а)||, i = 1,2, ...,w.
Окончательно соотношение (5.12) можно переписать как
W(a) Фду(а) = О.	(5.16)
Разложим Ф(Ду) в ряд по вектору Ду, и, ограничиваясь первы¬
ми двумя членами ряда, а также используя соотношение (5.12),
получим
ФДу(а) = Фду(а)ду=о + ФдудуДу(а) = А Ду(а),	(5.17)
где Ду,- = у,- - у, (а, /,), Ду = (Дуь Ду2,..., Ду„).
Разложим также функции у (а) и W(a) в ряд относительно не¬
которого значения вектораа0: W{a) = W(a0) + ... = W,
у(в) = y(a0) + В" (а0)Дя + ...,
(5.18)
где Да = а - «о.

108 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Подставляя (5.17) и (5.18) в основное соотношение (5.16), ог¬
раничиваясь линейными членами и введя обозначение Ау = у - у(а),
получим систему линейных уравнений для вычисления Аа:
WA(Ay-WT(Aa)) = 0.
Поскольку det(WAWT) * 0, то, разрешив уравнение относи-
тельно Да, получим
Aa = (WAW ТУ1 WA Ау.	(5.19)
Обозначив Н= (WAWT)~] WA, в дальнейшем называемую мат-
рицей правдоподобия, окончательно можно записать
Да = НАу.
Полученный результат сформулируем в виде теорем.
Теорема 1.
Все методы обработки измерений, удовлетворяющие введен¬
ным ограничениям на функцию Ф(Ду), определяющие их оптималь¬
ность, приводят к решению системы несовместимых уравнений:
Ду = у-у (а).	(5.20)
Решение этой системы в линейном приближении выражается
формулой
Аа=НА у;	(5.21)
H=(WAWTy{WA,	(5.22)
д2Ф(Ду)"
где А =
dAyfiAy
, /, j = 1, 2,..., п, - симметрическая положи¬
тельно-определенная матрица.
Из теоремы вытекает справедливость очень важного следствия.
Все методы составления критериальной функции Ф(Ду), опре¬
деляющей критерий близости искомого а и истинного а значе¬
ний вектора состояния системы, в линейном приближении отли¬
чаются друг от друга лишь различным способом выбора матрицы
А = Фдуду. Поэтому можно установить однозначное соответствие
между множеством способов составления функции Ф(Ду) и мно¬
жеством симметрических положительно-определенных матриц А,

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 109
входящих в уравнение (5.20). И именно этим отличаются различ¬
ные критерии оптимизации обработки навигационных измерений.
Доказанная теорема значительно упрощает методы исследо¬
вания и нахождение оптимальных методов обработки измерений с
целью получения эффективной оценки вектора пространственно-
временного состояния КА.
Действительно, все эти методы лежат в довольно узкой облас¬
ти, определяемой видом матрицы
А =
д Ф(Ду)
бДуубДу •
, /, у = 1, 2,..., п.
5.4.5.	Геометрическая интерпретация
метода оценивания вектора состояния
Предположим, что проведено п навигационных измерений
функцииу(а):уьу2, ...,у„.
Составим вектор невязок:
Ду = (у - у(я0)) = ||Дуь Ду2? ..., Ду„||,
где Яо - некоторое нулевое приближение вектора состояния а .
Пусть Да - вектор, удовлетворяющий условию
а0 + Да = а*,
где а - значение искомого вектора состояния.
Перепишем уравнение невязок с учетом данного выражения:
Ау = у(а)-у(а0).	(5.23)
Разложим у (а) в степенной ряд и учтем только один член:
у(а*) = у(а0) + |^-Да + ...)
да,
/= 1,2,	j=	1,2, ..., т.
Подставляя данное выражение в соотношение (5.23) и проведя
элементарные преобразования, получим

110 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
где W -
d(lj
Ay = WAa,
,i= 1,2, j= 1,2,
Так как в общем случае в измерении функции у (а) существу¬
ют ошибки, учитывая, что п> т, получим несовместимую систему
уравнений для определения Да:
Ay = WAa,
В том случае, если измерение функции у (а) проведено без
ошибок, система Ду = WAa становится совмещенной и может быть
решена.
Построим «-мерное линейное пространство G„, задав п векто¬
ров //, / = 1, 2, ..., п. В этом пространстве определим w-мерное ли¬
нейное пространство Gm из т векторов /•*, i = 1, 2, ..., т с помо¬
щью следующих процедур.
Пусть дана матрица
W =
1Т V	11
где L =
дУ/
daj
i= 1,2, ...,«, j= 1,2, ...,«7.
Каждому вектору /, поставим в соответствие вектор /, е Gw, ком¬
поненты которого в системе координат, задаваемой векторами /*,
i = 1, 2, ...,«, совпадают с параметрами вектора /,, / = 1, 2, ..., т.
Между векторами /, и I* существует связь следующего рода: лю¬
бому линейному преобразованию вектора /,, в результате которого
получается некоторый новый элемент й, можно поставить в соот¬
ветствие такое же преобразование с векторами /*, обеспечиваю¬
щее появление элемента Ъ . При этом можно считать, что элемен¬
ту Ъ соответствует элемент Ъ .

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
111
Предположим, что в измерениях функции у (а) отсутствуют
ошибки. Тогда, как уже отмечалось, система уравнений Ду = WAа
совместима, а, значит, имеет решение, т.е. можно определить век¬
тор Да. При этом компоненты вектора Да равны параметрам век¬
тора Ду в системе векторов /1, /2, 1т• Используя свойство соот¬
ветствия между векторами /ь /2, ..., /да и /*, /2*,..., Тт, можно счи¬
тать, что вектор Ду принадлежит подпространству Gw, а компо¬
ненты вектора Да есть параметры вектора Ду в системе векторов
Т г г
1\’12> •••’ lm •
Если в измерениях функции у(а) присутствуют ошибки, то
система уравнений Ду = WAa несовместима и не может быть ре¬
шена. Решение может быть получено только в том случае, если
вектор Ду лежит в подпространстве Gm. Поэтому для решения этих
уравнений относительно вектора Да необходимо каким-то образом
отобразить вектор Ду на подпространство Gm. Именно эта проце¬
дура имеет место, когда в случае несовместимости уравнения
Ду = WAa вектор Да определяется по формуле
Да = //Ду.
Покажем, что при определении вектора Да по приведенной
формуле осуществляется процедура отображения вектора Ду на
подпространство Gm, благодаря чему система управления стано¬
вится совместимой и приобретает вид
АУпр = WTAa,
где Дупр - проекция вектора Ду на подпространство Gm.
Матрица Н, вычисляемая по формуле
H=(WAWT)~yWA~\
является псевдообратной матрице W, в чем можно убедиться, пе-
ремножая матрицы Ни W:
HW т = (WA W г)“‘ WA WT = Е„.

112 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Тогда WTH - матрица, осуществляющая проекцию вектора
Ду g Gm на подпространство Gm (проецирующая матрица) [3].
Умножим правую и левую части уравнения Ду = WAa на про¬
ецирующую матрицу Qnp:
QnpWAa = бпР Ду = Аупр;
W(WA W т)~1 WAW тАа = Дупр ;
WAa=Aупр.
Вектор Дупр принадлежит подпространству Gw, поэтому сис¬
тема линейных уравнений Дупр = WtSa совместимая, а это озна¬
чает, что она имеет решение относительно Да. При этом Да состо¬
ит из компонент вектора Дупр в системе векторов /*, /2*,Тт.
Проецирующая матрица Qnp зависит от матрицы А. Поэтому
все методы обработки навигационных измерений, обеспечиваю¬
щие минимальную ошибку, с позиции критерия оптимальности
Ф(Ду) отличаются друг от друга только видом матрицы А, исполь¬
зуемой при составлении матрицы Н.
Теорема 2.
Все методы статистической обработки траекторных измере¬
ний и нахождения вектора состояния отличаются друг от друга
различным способом проецирования пространства G на подпро-
(—* —*	—* \
1Х , /2,1т), которое в дальнейшем будем называть
пространством определяемых параметров.
Действительно, различным матрицам А* будут соответство¬
вать свои матрицы правдоподобия
H=(WA*Wr)-'WA*.	(5.24)
/_ _ \
Таким образом, способ проецирования G на Gm (/*, l\,..., fm j
определяется матрицей А. Рассмотрим теперь, каким образом мат¬
рица А определяет направление проецирования.
Как уже отмечалось, матрица //*, соответствующая матрице
А , позволяет вычислить координаты проекции произвольного

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
113
вектора t на подпространство Gm (/*, /2,/„*) в системе векторов
7* 7*	7*
*1 > *2> •••> */и’ т-е-
А а*=яУ.
Ядром преобразования пространства G, соответствующим
проецированию пространства G на подпространство Gm
( — )|с — )|с	—^ \
, /2,/mj с помощью проецирующей матрицы gnp, является
(н-т)-мерное подпространство, которое проецируется в начало
координат подпространства Gm (/*, /2,	/^). Это подпространст¬
во обозначим G„_m(/4). Если G„_TO(,4) - ядро пространства G,
соответствующее (?пр при проецировании на Gm (l*,	и
1 € Gn_m(A), то Qnpl = О, или
WTHl =Wt(WAWt)~xWA1 =0.	(5.25)
Но учитывая, что матрицы А и (WAWT)~X - невырожденные,
данное соотношение эквивалентно соотношению
WAl =0.	(5.26)
При этом оно справедливо для любого вектора / € G„_m(A).
Следствие. Данное свойство ядра преобразования равносиль¬
но тому, что проецирующая матрица £?пр инициирует отображение
/—* —*	—* \
пространства G на подпространство Gw ^ , /2,1т) параллельно
подпространству Gn_m(A).
5.4.6.	Метод максимального правдоподобия
Рассмотрим теперь конкретный метод оценивания вектора со¬
стояния, использующий определенный вид скалярной функции
Ф(Ау) как критерий оптимальности. Покажем, что в рамках допу¬
щений, введенных при доказательстве теоремы 1, большое пре¬
имущество перед остальными методами имеет метод, который на¬
зывают методом максимального правдоподобия.

114 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Приведем основные соотношения метода максимального
правдоподобия.
Пусть Р есть функция плотности распределения ошибок изме¬
рений. Тогда функция Р(Ау), где А у = у - у (а) - условная плот¬
ность распределения измерений при условии а = а . При оценке
вектора а по методу максимального правдоподобия в качестве век¬
тора а принимается такой вектор, который для заданного вектора
измерений у обеспечивает максимальное значение условной плот¬
ности распределения.
Покажем, что вектор а , найденный по методу максимального
правдоподобия, обеспечивает наименьшее значение матрицы
ошибок определения вектора пространственно-временного со¬
стояния а.
Рассмотрим интерпретацию этого метода при нормальном за¬
коне распределения ошибок измерений.
Плотность распределения для нормального закона принимает
вид
Р(Ду /<*)= [(2я)" detl?]"2 exp{-{[y-y(a)]£-1[y-y(a)f}}.	(5.27)
Несложно проверить, что максимум Р(Ду) достигается при та¬
ком значении а, при котором квадратичная форма [у - у(а)]В~{[у -
- у(а)]г достигает своего минимума.
Здесь В - матрица вторых моментов ошибок измерений. По¬
этому скалярная функция Ф(Ау) в данном случае приобретает вид
Ф(АУ) = [у-у(а)}В1[у-у(а)}т.	(5.28)
Функция Ф(Ду) удовлетворяет всем требованиям, сформули¬
рованным в теореме 1. При этом имеет место равенство
ФдудУ = В'=А.	(5.29)
В этом случае матрица Н определяется соотношением
H=(WBrxWTyxWBT{.	(5.30)
Сравнивая соотношения (5.30) и (5.22), получим важный ре¬
зультат, который сформулируем в виде теоремы 3.

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
115
Теорема 3.
Каждому конкретному способу формирования функции Ф(Ду)
в линейном приближении можно поставить в соответствие метод
максимального правдоподобия, составленный для нормального
закона распределения ошибок измерений, у которого матрица вто¬
рых моментов ошибок измерений вычисляется по формуле
В — ФдуДу.
При этом значения оценок параметров движения, найденных с
помощью обоих методов по одной и той же выборке измерений,
будут одинаковыми.
Поскольку вектор а в линейном приближении получается из
вектора измерений у путем линейного преобразования, то матрица
ошибок определения вектора а может быть записана в виде
K=(WB~xWTy\	(5.31)
где К - матрица ошибок определения вектора состояния.
Воспользуемся формулой (5.31), тогда соотношение для К
примет вид
К = НВНТ.	(5.32)
Пусть г) (а) - некоторая функция, определенная на множестве
векторов а.
Тогда в линейном приближении можно записать
r\(a) = blAa,
где =
дх\
да.
, / = 1, 2, ..., т.
Учитывая свойства линейного преобразования параметров для
нормального закона при линейном преобразовании случайных
векторов, получим значение для дисперсии функции г| по формуле
А!=<«„■
Как уже отмечалось, матрица вторых моментов ошибок изме¬
рений В является мерой разброса вектора измерений у относитель-

116 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
но его математического ожидания, а эллипсоид 3i «-го порядка,
записанный по формуле
1ВХ1Т= 1,
определяет поверхность в пространстве G, которому принадлежат
случайные «-мерные вектора с одинаковой плотностью вероятно¬
сти. Тем самым пространство внутри эллипсоида характеризует
определенную вероятность того, что вектор ошибок измерений у
будет лежать внутри или на поверхности данного эллипсоида. Ис¬
пользуя данную геометрическую интерпретацию, можно сделать
важное заключение относительно связи направления проецирова¬
ния матрицы £Пр, задаваемой матрицей А и проекцией эллипсоида
3i на то же подпространство Gm (/*, l\,..., /^).
В соответствии с формулой (5.30) для случая нормального за¬
кона распределения ошибок измерений можно записать А — В~\
Формула для эллипсоида возможных разбросов вектора изме¬
рений в пространстве G имеет вид
1ВХ1Т = 1.
Данный эллипсоид рассекается подпространством Gm
(/*, /2,..., 7^) таким образом, что в сечении получаем эллипсоид
размерности m, который в системе базисных векторов Ц,Тт
подпространства Gm (/*, l\,..., /^) может быть представлен сле¬
дующим соотношением:
bT{WBrxWTyxb= 1.	(5.33)
Тогда на основании теоремы 3 можно сделать следующее за¬
ключение.
Согласно теореме 3 матрица В, порождающая проецирующую
матрицу gnp = WT(WB~XWT)~XWB, обеспечивает такое проецирова¬
ние эллипсоида ошибок 3i на подпространство Gm (/*, /2*,..., /^),
при котором проекция этого эллипсоида на это подпространство
совпадает с эллипсоидом Э2, образованным от пересечения 3i и
(—* —*	—* \
1Х , /2,..., lm). Эта проекция обеспечивает

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ	117
— ^	\
/l , /2,	1т)	При
проецировании эллипсоида 3i на это подпространство. Таким об¬
разом, если проецирующую матрицу £?пр строить с помощью мат¬
рицы В Ф В, то проекция эллипсоида 3i образует в подпростран-
(—$ —Не	—if \	Н<
1Х , /2,1т) эллипсоид Э2 , который будет содержать в
себе эллипсоид Э2.
5.4.7.	Априорные данные о значении
вектора состояния
В ряде случаев некоторые параметры вектора состояния зара¬
нее известны с некоторой точностью. Для упрощения будем счи¬
тать, что известны все параметры вектора состояния с точностью,
задаваемой матрицей В размерности т*т. Эти данные можно
учесть при решении задачи определения вектора состояния. Для
учета данного обстоятельства предположим, что до проведения
навигационных измерений были проведены непосредственно из¬
мерения параметров вектора состояния а =
рые можно представить следующим образом:
ах, а2,..
кото-
* • 1	1
Y; =«/, 1 = 1,..., т, —L = l.
dat
Тогда матрицу ошибок измерений Ве можно представить
дующей клеточной матрицей:
Ве =
В	°тхп
O/ixm	В
где В - матрица априорных ошибок вектора а размерности т ут;
Отх„ - нулевая матрица размерности т *п.
Матрица W в этом случае представляется соотношением
& = \ЩтЩ\.

118 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
5.4.8.	Решение задачи оценивания
вектора состояния при различных значениях
памяти модели движения
Во всех предыдущих рассуждениях исходили из допущения о
существовании интервала времени, в течение которого можно
проводить измерения, предполагая, что модель измерений остается
неизменной. Поэтому моменты измерения tu t2, tn можно выби¬
рать произвольно. В результате этого при построении методов об¬
работки измерений величина памяти моделей не рассматривалась.
Такое допущение справедливо до тех пор, пока не рассматри¬
ваются алгоритмы решения задач оценивания. В тех случаях, когда
необходимо выбирать алгоритмы решения задач оценивания, ве¬
личину памяти модели оценивать необходимо. Кратко рассмот¬
рим, как величина памяти модели влияет на алгоритм обработки
измерений и оценки вектора состояния.
Величина памяти модели, а значит, интервал времени, в тече¬
ние которого можно получать навигационные измерения, имеет
большое значение для выбираемой схемы решения задач. Кон¬
кретный вариант алгоритма необходимо выбирать исходя из того,
какие возможности по времени проведения навигационных изме¬
рений существуют и какие изменения в течение этого интервала
происходят с моделью движения.
Все множество моделей по признаку величины памяти можно
разделить на три класса:
1) класс моделей с очень большой памятью;
2) класс моделей со средней величиной памяти;
3) класс моделей с малой величиной памяти.
Рассмотрим задачи оценивания со средней величиной памяти
модели.
Такие модели позволяют осуществлять прогнозирование дви¬
жения на большой интервал времени с приемлемыми для системы
управления точностями.
Для КА с высотами полета от 300...350 км и выше можно по¬
строить модель, которая позволяет осуществлять достаточно точ¬
ный прогноз движения, начиная от нескольких витков (6... 10 ч) до
месяца (для очень высоких КА).

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ	119
Принципиальным отличием данного метода является то, что
обработка навигационных измерений проводится одновременно для
всех измерений, полученных на полном навигационном интервале.
Данные условия сбора информации позволяют решать не
только задачу оценивания вектора а, но также в пределах интерва¬
ла памяти модели осуществлять решение задач параметрической
идентификации. Алгоритмы решения подобных задач определения
векторов состояния обычно называют алгоритмами, работающими
по полной выборке измерений.
Рассмотрим теперь случай, когда величина памяти модели со¬
ставляет от нескольких месяцев до нескольких лет. Такие задачи,
как правило, относятся к уникальным задачам. Таковыми являются:
- уточнение параметров орбит планет или их спутников;
- решение задач геодинамики, предназначенных для опре¬
деления дрейфа континентов;
- уточнение стационарных гравитационных полей (грави¬
тационного поля Земли, Луны);
- работы, связанные с выравниванием систем координат по
измерениям с опорными пунктами;
- априорные обработки измерений, когда модели достаточ¬
но хорошо известны и осуществляется их нивелировка.
Как правило, в рамках таких задач осуществляется решение
задач параметрической идентификации.
Характерной особенностью приведенных задач является
очень большое количество определяемых параметров, в число ко¬
торых входят координаты пунктов наблюдения, уточнение дейст¬
вующих сил, определение других параметров модели. Как видно,
все эти задачи относятся к задачам идентификации. Число таких
параметров расширенного вектора состояния может составлять
сотни и тысячи. Это вызывает значительные сложности и, прежде
всего, обращение матриц очень большого порядка.
5.4.9.	Решение задачи оценивания с малой оперативной
памятью модели. Рекуррентные алгоритмы
Существует большой круг задач, когда величина памяти мо¬
дели мала либо очень мала. Такая ситуация имеет место в тех слу¬

120 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
чаях, когда мы имеем дело с очень переменчивыми моделями и на
объект действуют силы, величину и направление которых трудно
предугадать. Модели большинства объектов, движущихся на зем¬
ной поверхности или в атмосфере, в основном относятся к этому
классу моделей.
Рассмотрим особенности при определении параметров векто¬
ра состояния, когда память модели слишком мала и невозможно
накопить требуемое количество информации. В основе любой за¬
дачи оценивания параметров вектора состояния лежит решение
несовместимой системы уравнений
Ду = ую-у(а),
где уиз - вектор навигационных измерений.
Тем самым в самой постановке задачи оценивания закладывает¬
ся предположение о том, что существует достаточный интервал вре¬
мени, в пределах которого можно набрать п измерений уь у2, ..., у„,
и в пределах этого интервала можно считать, что модель движения
достаточно постоянна.
Но для малой величины памяти модели такие условия не вы¬
держиваются. Величина памяти модели во многих случаях может
составлять от нескольких секунд до долей секунд. Естественно,
что в таких условиях стабильность модели отсутствует, и необхо¬
димо каждый раз определять новый вектор состояния. Возможна
ли в таких условиях навигация?
Ответ на этот вопрос положительный. Да, навигация возмож¬
на, и хотя действуют те же принципы оценивания вектора состоя¬
ния, требуется доработка алгоритмов, которые и в этих условиях
позволяют определить на каждый момент вектор состояния модели.
Во всех этих алгоритмах действует один и тот же принцип.
Рассмотрим его, прежде всего вербально, на уровне понятия.
А потом дадим точные математические формулировки.
Пусть задана модель движения с очень ограниченной памятью
и величина памяти которой равна At, также существуют навигаци¬
онные измерительные приборы, которые могут провести серию
измерений значений навигационных функций в пределах данного
интервала. Проведем эти измерения. В результате этого предос¬
тавляется возможность определить вектор состояния а на этом ин¬

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
121
тервале, хотя и с малой точностью. На границе интервала опреде¬
ляется вектор состояния с соответствующей матрицей ошибок К.
В конце первого интервала осуществляется силовое воздействие
на объект, в результате которого меняется вектор состояния, вели¬
чина которого (возмущения) может быть неизвестной. С этого мо¬
мента начинается новый навигационный интервал.
На следующем интервале модель уже будет изменена. Отли¬
чие первого интервала от второго будет состоять в том, что к на¬
чалу измерений известно априорное значение вектора состояния а
с соответствующей матрицей вторых моментов К\, которую, со¬
гласно уже описанной методике, можно учитывать в дальнейших
расчетах. Тем самым можно считать, что предыдущая информация
на первом интервале частично сохранилась и ее можно использо¬
вать на втором интервале. На третьем интервале А/3 ситуация по¬
вторяется. Получаем некоторый рекурсивный процесс, который
позволяет накапливать измерительную информацию.
Информация от предыдущих интервалов теряется из-за не¬
предвиденных шумов, возникших в результате силового воздейст¬
вия. В зависимости от величины шумов модели информация от
/-го навигационного интервала сохранится не более чем на N сле¬
дующих витках.
Наличие шумящей модели приводит к тому, что при опреде¬
лении вектора состояния на i-м интервале используется информа¬
ция не более чем с N предыдущих интервалов.
Рассмотрим простейший пример рекуррентной обработки ин¬
формации.
Предположим, что проведено п измерений, образующих век¬
тор у„, при этом ошибки измерений независимы, а матрица вторых
моментов задана как Вп = Е„. Все п измерений обработаны и опре¬
делена матрица правдоподобия Нт вектор пространственно-
временного состояния ап и матрица вторых моментов Кп ошибок
определения вектора ап.
Пусть проведено еще одно измерение уп+\- Поставим такую
задачу: провести уточнение вектора ат не осуществляя пересчет
всех предыдущих значений. Получаем классическую постановку
рекуррентного метода обработки информации.

122 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Обозначим Кп = (w„W„r У , Н„ = (tV„W„r )"' Wn,Ay = yn- у „(а),
Ау = (Ауь Дуг, •••, Ауи) расчетные элементы, используемые при оп¬
ределении вектора ап до поступления нового измерения у„+\. Най¬
дем алгоритм, позволяющий определить вектор ап + ь не пересчи¬
тывая при этом все перечисленные элементы.
При добавлении измерения у„ + 1 вектор ап + \ вычисляется по
формуле
Используя формулу обращения суммы матриц [3], соотноше¬
ния можно переписать:
После раскрытия скобок и группировки членов окончательно
получим следующее выражение для вектора ап+\ и матрицы Кп + \\
ап+1
(k„-s-1k,
)(^иДу»+о>и+]Ауй+1),
ап+1 ^п
п+\®*п+\^п
)
Кп(о„+1Ау„+];
1 + <в
Кп+\ =Kn+S 1Кп(о„+1(о1+1Кп;
^и+1=1К«и+1
Данный алгоритм в изначальном виде непригоден для обработ¬
ки реальных измерений при короткой памяти модели, но хорошо
иллюстрирует достоинства и недостатки рекуррентных методов.

ОШИБКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ 123
1. Безусловным достоинством является простота вычисле¬
ний и возможность получения вектора состояния системы непо¬
средственно после проведения (п + 1)-го измерения.
2. При выводе формул было введено допущение, ограничи¬
вающее возможности использования данного метода на практике.
Метод пригоден для случая независимых ошибок, и если корреля¬
ционная матрица имеет недиагональный вид, сложность вычисле¬
ний значительно возрастает, а в некоторых случаях невозможно
получение рекуррентных соотношений.
3. Неучет шумов от модели также является недостатком
рассмотренного метода.
5.5.	ОШИБКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И
МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ
5.5.1.	Некоторые допущения и определения
При рассмотрении различных аспектов обработки навигаци¬
онных измерений (способы задания ошибок измерения, декомпо¬
зиция ошибок, выбор методов обработки измерений при рассмот¬
рении ошибок определения параметров) будем исходить из пред¬
положения, что ошибки навигационных измерений распределены
по нормальному закону. В связи с этим введем ряд определений и
обозначений.
Пусть имеется случайный «-мерный вектор, составленный из
всех результатов измерений, подлежащих совместной обработке:
УГ=11УьУ2, ...,У«11-
Плотность распределения случайного вектора с нормальным
законом распределения определяется соотношением
P(y) = ((2n)"det5)"^exp АутВ~1Ау ,	(5.35)
2 )
где Ду = у - уц; Ду = |[у1ц, у2ц, Дупц|| - центральный вектор (мате¬
матическое ожидание); В = ||йу||, (i,j = 1, 2, ..п) - симметрическая

124 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
положительно-определенная матрица центральных вторых момен¬
тов ошибок измерений размерности п х п.
Нормальный закон полностью определяется двумя характери¬
стиками: математическим ожиданием вектора уц и матрицей вто¬
рых моментов ошибок измерений В, что существенно облегчает
проведение как исследований, так и вычислений.
Компоненты случайного вектора для нормального закона рас¬
пределения независимы между собой только тогда, когда коэффи¬
циенты корреляции между ними, определяемые формулой
равны нулю.
В зависимости от величины коэффициента корреляции необ¬
ходимо различать три типа ошибок:
1) независимые ошибки, если ку = 0, i Ф j. Соответствуют век¬
тору независимых случайных величин. Такой вектор будем обо¬
значать Ьо, его независимую корреляционную матрицу - В0 (диаго¬
нальная матрица с положительными элементами, ее ранг равен п);
2) систематические ошибки, если ку = 1 при любых i, j. Ранг
матрицы Во равен единице, она всегда может быть представлена в
виде произведения
В0 = ЬТЬ,	(5.36)
где Ъ - вектор-строка размерности п.
Компоненты вектора b можно рассматривать как значения не¬
которой независимой функции, задающей систематическую ошиб¬
ку ф. В частности, если у - вектор, составленный из результатов
измерений в моменты U(i = 1,2,..., п), то Ъ - вектор, составленный
из значений функций ф(/), на моменты измерений t\,t2, tn\
3) коррелированные ошибки, если 0 < ку < 1 при i ф j. Матри¬
ца ВК0р всегда может быть представлена в виде суммы матриц В0
и АВ.
Обозначим
^В = Вкор - Во,

ОШИБКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ 125
где 5кор - матрица вторых моментов коррелированных ошибок;
Во - положительно-определенная диагональная матрица;
Определим В0 таким образом, чтобы АВ > 0.
Будем считать, что ранг такой матрицы АВ равен г, г < п.
Запишем АВ следующим образом:
где Qr - неполная ортогональная матрица размерности п*г, удов¬
летворяющая условию
где qt - вектор размерности rx 1; АВ0К - диагональная матрица раз¬
мерности г*г, составленная из собственных значений матрицы АВ.
Число диагональных элементов AJ?0K, отличных от нуля, равно
рангу матрицы AJ5, т.е. г.
Примечание. Во множестве симметрических матриц В раз¬
мерностей п*п можно ввести частичную упорядоченность типа
больше - меньше, состоящую в выполнении следующего условия:
Вх > В2, если матрица АВ = В{ - В2 - неотрицательно¬
определенная.
Независимые ошибки навигационных измерений, задаваемые
диагональной матрицей Во, приводятся к стандартной матрице
правдоподобия:
Использование предположения о независимых ошибках суще¬
ственно упрощает исследование точности определения параметров
вектора пространственно-временного состояния и всех последую¬
АВ = QrAB0K qJ, ,
QTr Qr = Er-
Qr ~ \\яи 4i, •■■■> Яг\\,
Обозначим С = B£KQr, тогда можно записать:
В = Во + ССТ.
(5.37)
5.5.2.	Систематические ошибки

126 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
щих исследований, связанных с ошибками определения вектора
пространственно-временного состояния. Вместе с тем нельзя ис¬
ключать случаи, когда ошибки навигационных измерений корре-
лированы. В этом случае матрица 5, по которой строится матрица
правдоподобия, имеет недиагональный вид. Эта особенность су¬
щественно усложняет дальнейшие исследования, например оценку
потребных импульсов, которые определяют запасы реактивного
топлива, что особенно важно при полете к дальним планетам.
В связи с этим особый интерес представляет исследование ва¬
риантов, когда помимо случайных ошибок в измерениях присутст¬
вуют систематические ошибки. Систематические ошибки, с пози¬
ции исследования их влияния на ошибки определения вектора
пространственно-временного состояния, обладают рядом важных
особенностей. Прежде всего, следует отметить существенную про¬
стоту формул, позволяющих определить их влияние на ошибки
вектора состояния. Вторым достоинством является возможность с
их помощью создавать аналитические конструкции, которые по¬
зволяют моделировать матрицы ошибки навигационных измере¬
ний, подобные матрице для коррелированных ошибок измерений.
Кроме того, конструкции, аналогичные систематическим ошиб¬
кам, встречаются при исследовании ошибок, возникающих при
наличии ошибок в параметрах моделей движения КА, если они
заданы неточно. Все это делает рациональным выделение исследо¬
вания влияния систематических ошибок измерений на ошибки в
определении вектора состояния в отдельный раздел.
Рассмотрим два варианта обработки навигационных измере¬
ний (т.е. построения матрицы правдоподобия) при определении
ошибок в определении вектора состояния.
Предположим, что матрица ошибок измерений 5, при нали¬
чии систематических ошибок, задается соотношением
i=1
т
где В0 - диагональная матрица; /,/,	-	матрица /-й систематиче¬
ской ошибки.

ОШИБКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ 127
Рассмотрим первый вариант, в котором матрица правдоподо¬
бия строится только по матрице В0. В этом случае формула для
матрицы if принимает стандартный вид
Я* -	J"1	WBq	.
Тогда матрица ошибок в определении вектора состояния Ка
вычисляется по формуле
Ка = Н*ВН*т= Н*
*<>+£///,7
/=1
Н'Т = Й'В0ЕГТ + Н'
v*=
(5.38)
Матрица	симметричная и положительно-определен-
/=1
ная. Поэтому ее можно представить в виде QDQг, где D есть диа¬
гональная матрица размерности ранга г, первые г диагональ¬
ных членов - положительные числа, а остальные диагональные
члены равны нулю; Q - ортогональная матрица размерности
у которой первые г столбцов соответствуют г первым диагональ¬
ным членам матрицы D. Поэтому матрицу Q можно представить в
виде QiQu, где Q\ - матрица размерности mxr, a Qw - матрица раз¬
мерности m*{m - г). Столбцы ее соответствуют нулевым диаго¬
нальным членам матрицы D. Матрицу D можно представить в виде
D
А
О
О,
(m-r)xr
rx(m-r)
d,
ГДе J?2 0(m-r)x{m-ry
Введем матрицу С по формуле
C = ftD2,
г
что позволяет представить матрицу ^/,/f в виде произведений
i=i
двух матриц:

128 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
£/,./[ = ссг.
i=1
/
( r )
-1 >
-1
f г Л
w
WT
w
\Во+Ш\
V 1=1 )
J
17
Окончательно матрицу Ка представим в виде
Ка = Н*ВоН*т + H*CCTlfT.
Рассмотрим второй вариант.
В этом случае матрица правдоподобия принимает вид
#** =
Матрицу ошибок определения вектора пространственно-
временного состояния в этом случае можно вычислить по формуле
Н** Bo+^ljlf Н**т = Н*(в0+ССтУ н*т.
^	/=1	)
Используя формулу обращения суммы двух матриц, получим
(в0 +ССТУ = ВцХ + Во'CSC7В1;	(5.39)
Н*'(В0 + ССТУ'Н*'Т =
^BqxwtY+{fVBQXwTY Bqxcs;xct Bq^BqxwtY =
= (w«o1)'1 +h*cs;xcth*t,
где
S;x=Er + CB 2QTB 2CT;
Q = E„-B~2Wt({VBoXWtYwBq2 ■
Очевидно, что Sr> 0, S~x <QX, откуда следует

ОШИБКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ 129
Таким образом, матрица правдоподобия, построенная на мат¬
рице (Во + СС7), учитывающая систематические ошибки, обеспе¬
чивает меньшую матрицу ошибок определения вектора простран¬
ственно-временного состояния по сравнению с матрицей правдо¬
подобия, в которой систематические ошибки не учитываются
(первый вариант обработки навигационно-измерительной инфор¬
мации).
Поэтому, если в измерениях присутствуют систематические
ошибки, то для повышения точности определения вектора про¬
странственно-временного состояния матрицу правдоподобия не¬
обходимо строить с учетом наличия этих ошибок.
5.5.3.	Ошибки моделей движения
У субъекта управления, как правило, есть альтернативы по
выбору требуемой модели (требования могут различаться в зави¬
симости от поставленных задач). Учитывая, что модель движе¬
ния - это, прежде всего, важнейший элемент системы управления,
вопрос о выборе модели необходимо решать в зависимости от ин¬
тересов субъекта, а значит, от целей и задач управления, требова¬
ния предельно достижимых точностей навигационных систем,
требования по времени, отводимому на управление. В зависимости
от этого выбирают модель с требуемой точностью описания дви¬
жения. Поэтому при решении задач оценивания необходимо стре¬
миться задать модель движения с требуемой точностью. При этом
необходимо, чтобы параметры орбиты определялись с максималь¬
но возможной точностью.
Рассмотрим причины, которые могут привести к ошибкам в
определении модели движения:
1) неточное задание сил в правых частях дифференциаль¬
ных уравнений движения;
2) неправильное задание массово-инерциальных характери¬
стик КА;
3) неточное задание ряда других параметров модели.
Последовательно рассмотрим каждый из перечисленных фак¬
торов.

130 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
1. Рассмотрим движение КА. Общее количество сил, вклю¬
ченных в модель движения, велико. Исходя из уравнения движе¬
ния, ошибки в модели движения КА могут быть вызваны:
- учетом не всех гравитационных сил, действующих на КА,
что определяется количеством используемых гармоник уравнений
гравитационного потенциала;
- неверным учетом аэродинамических сил для низколетя¬
щих КА (до высоты порядка 600...700 км); специфика этих сил в
том, что в процессе полета они могут существенно меняться за
счет изменения плотности атмосферы, вызванного изменением
солнечной активности;
- наличием на объекте неучитываемых сил (при проведе¬
нии ориентации, за счет негерметичности систем КА, содержащих
газ, который при выходе в открытый космос создает реактивную
тягу;
- неправильной работой двигателей при проведении ма¬
невров.
2. Неправильное задание массово-инерциальных характери¬
стик КА (масса КА, положение его центра масс, тензор инерции).
Раньше считалось, что величина этих параметров остается посто¬
янной. Однако с появлением пилотируемых кораблей и станций
ситуация изменилась существенным образом. В ряде случаев из¬
менение этих параметров в полете может привести к значитель¬
ным ошибкам в работе систем управления движением относитель¬
но центра масс, в том числе и к незапланированным расходам топ¬
лива при проведении маневров.
3. Помимо перечисленных факторов, могут быть и другие
причины, приводящие к ошибкам в моделях, описывающих дви¬
жение КА, например изменение в конфигурации КА (для больших
пилотируемых станций) и т.д.
Из всех перечисленных факторов только причины пер¬
вого типа - неправильный учет сил - существенно влияют на про¬
цедуру определения параметров движения по навигационным изме¬
рениям.

ОШИБКИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ 131
5.5.4.	Механизм действия ошибок в моделях движения
на точность определения вектора
пространственно-временного состояния
При анализе влияния ошибок в моделях движения на точность
определения вектора пространственно-временного состояния не¬
обходимо иметь в виду, что при определении векторов состояния
вместо самих навигационных измерений используется разность
между измеренным значением навигационных функций и их рас¬
четным значением:
Ау„3 = Уиз(*,■) - У(я, ti)9	(5.40)
где уиз(^) - значение навигационной функции, измеренное в мо¬
мент t = у (a, tj) - значение той же функции, рассчитанной на тот
же момент времени, по приближенным значениям вектора состоя¬
ния а.
Предположим, что в модели движения существует ошибка,
которая влияет на величину расчетного значения навигационной
функции. Тогда вместо формулы (5.40) для расчета Ауиз необходи¬
мо использовать следующую формулу:
АУиз (*/) = (уИЗ (*/ ) - АУиз (« )) - АУ(« >	»
где а - ошибочное значение вектора состояния; AM - матрица
априорно заданных ошибок вектора состояния а, вызванных
ошибками в модели.
При этом величина Ay (а, AM) ведет себя как систематиче¬
ская ошибка. Таким образом, появление ошибки в модели движе¬
ния приводит к эффекту, аналогичному появлению дополнитель¬
ной систематической ошибки измерений, что, естественно, сказы¬
вается на точности определения вектора состояния.
Пусть d\, d2,	dr- параметры модели движения КА, извест¬
ные с ошибками, a Wp - матрица размерности п хг:

132 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
W =
р
&fi
ddj
, /=1,2,
j= 1,2,
Тогда если Т - диагональная матрица вторых моментов оши¬
бок априорно заданного вектора d, то при расчетах матрицу В*
следует вычислять по формуле
В* -В + Wp TWp,
где В - матрица ошибок измерений при наличии ошибок в пара¬
метрах модели; Т- ненулевая матрица размерности ш *п.
Помимо непосредственного увеличения ошибки в векторе со¬
стояния, ошибки в модели движения приводят к дополнительным
ошибкам в векторе состояния в процессе движения КА. Они свя¬
заны с тем, что модель движения неточная, поэтому в процессе
движения данная неточность на каждый очередной момент време¬
ни приводит к дополнительной ошибке вектора состояния. Будем
называть дополнительные ошибки при решении задачи определе¬
ния вектора а по результатам траекторных измерений ошибками
первого рода, а ошибки, возникающие при движении КА, ошиб¬
ками второго рода.
5.6.	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ
5.6.1.	Основной принцип решения задачи
параметрической идентификации модели движения
Основной принцип решения задачи параметрической иденти¬
фикации модели движения состоит в отождествлении ошибок в
параметрах модели движения КА с ошибками навигационных из¬
мерений. Метод отождествления ошибок рассматривается в дан¬
ном подразделе.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ 133
5.6.2.	Основные положения эквивалентности ошибок
в параметрах модели движения космического аппарата и
ошибок навигационных измерений
Наличие эквивалентности ошибок в параметрах модели дви¬
жения КА и ошибок навигационных измерений определяется сле¬
дующими двумя положениями:
1. Наличие ошибок в параметрах модели движения КА при¬
водит к появлению систематических ошибок навигационных из¬
мерений (см. п. 5.5). При этом число систематических ошибок
равно числу параметров модели движения, заданных с ошибками.
2. Решение задачи нахождения поправок к параметрам мо¬
дели движения не отражается на точности определения вектора
пространственно-временного состояния а КА, как это следует из
теоремы эквивалентности [1]. Но при этом необходимо отметить,
что систематические ошибки навигационных измерений влияют на
матрицу ошибок Ка определения вектора состояния а, а также на
увеличение размерности вектора а , вызванное включением в этот
вектор неточных параметров модели движения d\, d2, dr (df).
При этом вектор пространственно-временного состояния КА опре¬
деляется по матрице правдоподобия
Н* = (Wa(B + ССУ WTa ) Wa(Ba + ссту\
где В - матрица ошибок навигационных измерений размерности
их«; ССТ - матрица систематических ошибок, вызванных ошибка¬
ми в параметрах модели движения размерности п*п.
5.6.3.	Формирование матрицы правдоподобия,
позволяющей определить расширенный вектор состояния
с помощью введения в него неточных параметров
модели движения
Матрица правдоподобия it* имеет такую же структуру, что и
матрица правдоподобия для обычного случая, когда вектор со¬

134 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
стояния а содержит только пространственно-временные парамет¬
ры, а матрица Н определяется соотношением
Обозначим матрицу правдоподобия для расширенного векто¬
ра состояния Нх. Она определяется соотношением
Найдем соотношения, входящие в Д£, а именно выражения
для Wx и В?.
Рассмотрим матрицу Wx. Она должна включать данные, по¬
зволяющие по навигационным измерениям определить вектор со¬
стояния а. Таким элементом является матрица
Аналогичная матрица, но уже для определения вектора d,
также должна входить в матрицу Wx. Обозначим ее Wd. Она опре¬
деляется соотношением
В отличие от параметров вектора а, для вектора d существует
априорная информация уь у2, ..., уг, ошибки в которой задаются
матрицей ошибок Т размерности г*г. Априорную информацию
для параметров d\, d2, ..., dr можно рассматривать как просто из-
мерения этих параметров. Это дает основание записать —- в виде
H=( WaB lWJ y'WaBr'.
dd,
соотношения

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ	135
дdi
1, 1=1,2, г.
Суммируя все изложенное относительно элементов матрицы
Wz, ее можно представить в виде
Wy =
ОщХГ
К
Ег
wd
В соответствии с этим матрицу Въ можно представить в виде
Т	О II
*гхг
(1	Д м
пхг	°пхп II
Матрица Къ =	)”	приобретает	следующий	вид:
ОщХГ
Wa\
Иг
prxr
Orxn
-1
р^/ихг
м тЛ
w4
Ег
Wd\
Н^ЛХГ
D
Dnxn
II Er
wd\
Перемножая между собой клеточные матрицы, входящие в
и учитывая, что
T
*rxr
Oyxn
-1
T~\
*rxr
®rxn
^nxr
D
0пхп
^nxr
D-l
°ПХП
получим следующее выражение для матрицы в клеточном виде:
waBxwTa
waBxwJ
(weB-'w?J
Tr + WrB~]Wj
Используя формулу Фробениуса [3], обратим данную клеточ¬
ную матрицу и получим следующее выражение для матрицы К

136 Глава 5. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
К? =
waB xwl о„
Огхт @гхг
+
(WaB~'WaTYlVaB-'W<
-Е
(waB-'waTywaB-'w(
-Е
W B~XWT о
wr а1* гг а ^тхг
а
о.
S~'x
+
+
Hawa
S
Hawa
-Е
-Е
S=T,.+ W,B l wj - WrB l Wj (WaB l Wj ) 1 WaB l Wr.
Матрица правдоподобия Hz для определен™ вектора az =
определяется соотношением
1 1Ж/Т / ГГ/ »1 JI/T \-1 гт/ 0-1 1

Глава 6
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ
СОБЫТИЯ, ПРОИСХОДЯЩИЕ
НА АВТОМАТИЧЕСКОМ КОСМИЧЕСКОМ
АППАРАТЕ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СОБЫТИЯ
Автоматический космический аппарат - это объект, средой
обитания которого является пространственно-временной контину¬
ум. В процессе функционирования автоматического космического
аппарата на нем совершается ряд операций, связанных с управле¬
нием полетом, а также выполнение различного рода действий, не¬
обходимых для решения задач, поставленных перед ним.
В связи с тем, что эти операции в значительной степени свя¬
заны с пребыванием АКА в космическом пространстве, каждую из
данных операций назовем пространственно-временным событием
или сокращенно PV-S.
Пространственно-временные события можно разделить на два
класса.
1.	К событиям первого класса относятся операции, реализа¬
ция которых не меняет пространственно-временное состояние
АКА. Примерами таких операций служат:
- проведение траекторных измерений, необходимых для оп¬
ределения параметров орбит АКА, а также измерений в целях оп¬
ределения углового положения и движения АКА относительно его
центра масс;
- фиксация временных событий, связанных с выполнением
целевых задач, решаемых на борту АКА и не меняющих его про¬
странственно-временного состояния; одним из примеров операций
подобного рода является проведение наблюдений заданных облас¬
тей космического пространства или каких-либо территорий на по¬
верхности Земли.

138	Глава	6.	ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ	СОБЫТИЯ
2.	К событиям второго класса относятся операции, реализа¬
ция которых приводит к изменению пространственно-временного
состояния АКА. К ним относятся выполнение коррекций или ма¬
невров АКА, изменение углового положения АКА относительно
его центра масс, изменение углового положения навесного обору¬
дования относительно корпуса АКА.
В настоящей главе рассмотрим события только второго клас¬
са, так как они связаны с изменением параметров движения, реа¬
лизуемого на АКА, то будем называть их пространственно-
временными действиями, результатом которых будут те измене¬
ния, о которых было сказано выше. Для событий второго класса
введем новое условное обозначение 0VD.
Существует три вида движения автоматического космическо¬
го аппарата (АКА), которые принципиально отличаются друг от
Друга:
1) движение центра масс АКА;
2) движение относительно центра масс АКА;
3) изменение положения навесного оборудования АКА от¬
носительно корпуса АКА.
Движение центра масс определяется как глобальное состояние
АКА, а движение относительно центра масс - как локальное со¬
стояние АКА. Изменение как глобального, так и локального со¬
стояния АКА вызвано одним из видов действий, реализуемых
АКА. Все виды действий обозначим буквой D с некоторой сово¬
купностью символов, которые характеризуют вид действий.
В полном виде действие представляется следующим образом:
Ау(*н”*к)- Значение каждого из символов или индексов опреде¬
ляет конкретную характеристику действия. Прежде всего, отметим
значение выражения (tH - tK), где tH - момент начала действия; tK -
момент окончания действия. Если At = tK- tH исчисляется несколь¬
кими секундами или минутами, то действие будем называть одно¬
моментным. Если величина At больше указанного интервала, дей¬
ствие будем называть протяженным. Примером одномоментных
действий может служить стыковка двух АКА на заключительном
этапе.

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СОБЫТИЯ
139
ВИДЫ СИЛОВЫХ ДЕЙСТВИЙ
Силовые действия можно разбить на два вида. Первый вид
действия осуществляется силовыми установками, установленными
на АКА. Основная особенность действий, выполняемых силовыми
установками, состоит в изменении глобального состояния АКА.
Второй вид действия заключается в работе аппаратуры АКА,
не меняющей состояние АКА. Примером может служить работа
целевой аппаратуры АКА (например, аппаратуры наблюдения),
а также работа служебной аппаратуры, установленной на АКА.
Под действиями с индексом к понимаются такие действия, ко¬
торые приводят к изменению состояния как глобального, так и ло¬
кального типа (т.е. действия силовых установок). Индекс к, опре¬
деляющий эти действия, принимает два значения: 1 или 2. Дейст¬
вия, приводящие к изменению глобального состояния АКА, зада¬
ются индексом к, равным единице, а локального состояния - ин¬
дексом к, равным двум. Другие значения индекса к означают неси¬
ловые действия, о чем будет сказано ниже. Действие с индексом к,
равным единице, означает включение реактивной двигательной
установки. Действие с индексом к, равным двум, означает измене¬
ния, связанные с ориентацией АКА. Существует несколько типов
силовых установок, воздействующих на ориентацию АКА. К ним
относятся:
- гиродины;
- диски вращения;
- парная реактивная установка, образованная двумя реак¬
тивными двигателями, реактивные силы которых равны по вели¬
чине и направлены в противоположные стороны.
Линии, проходящие через точки крепления противоположных
реактивных силовых установок, проходят через центр масс, а точ¬
ки крепления установок находятся на одинаковом расстоянии от
центра масс АКА. Несовпадение значений этих расстояний приво¬
дит к возникновению силы, воздействующей на движение центра
масс. Обычно такого рода возмущение в движении центра масс
называется немоделируемым ускорением и приводит к изменению
значения вектора состояния центра масс АКА, сокращению вре¬
менного интервала адекватности модели движения, а также к со¬

140	Глава	6.	ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ	СОБЫТИЯ
кращению памяти модели движения. Действие с индексом к, рав¬
ным трем, означает изменение углового положения навесного обо¬
рудования.
ВИДЫ ДЕЙСТВИЙ, ЗАДАВАЕМЫХ ИНДЕКСОМ /
Такие действия делятся на три типа:
1) действия, осуществляемые силовыми установками; они
обозначаются индексом г, равным единице;
2) действия, связанные с включением целевой или служеб¬
ной аппаратуры, обеспечивающей достижение одной из заданных
целей, поставленных перед АКА (/ = 2);
3) действия, связанные с включением пространственно-
временной служебной аппаратуры; они относятся, прежде всего,
к изменению направления радиотехнических антенн, как излу¬
чающих, так и принимающих сигналы (/ = 3).
При разворотах навесного оборудования относительно корпу¬
са АКА используются поворотные механические устройства,
обеспечивающие ориентацию оборудования в нужном направле¬
нии и на требуемую величину.
Связь пространственно-временных силовых действий с
базовыми системами. Система управления пространственно-
временным состоянием представляет собой двухуровневую иерар¬
хическую систему, состоящую из координатора (верхний уровень)
и двух базовых систем (нижний уровень). Первая базовая система
обеспечивает управление реактивной двигательной установкой,
а вторая базовая система - управление ориентацией АКА.
При выполнении операции коррекции орбиты либо операции
управления разгонным блоком требуется не только определение
величины реактивного импульса, но и правильная его ориентация.
Таким образом, для реализации данных операций необходимо за¬
действовать как первый, так и второй базовый блок. Первый базо¬
вый блок обеспечивает требуемое значение реактивного импульса.
Второй блок обеспечивает требуемую ориентацию реактивной
двигательной установки. При выполнении операции по обеспече¬
нию требуемой ориентации АКА или навесного оборудования ис¬
пользуется только второй базовый блок.

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СОБЫТИЯ
141
Все ранее рассмотренные индексы, используемые для обозна¬
чения действия, определяют параметры действия и режим работы.
Третий индекс j означает включение устройства, выполняющего
данное действие, и его выключение. Если j = 1, то это означает
включение устройства, реализующего данное действие в момент
t = tH. Если j = 2, то это означает выключение данного устройства в
момент t = tK.
ПЛАН ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ
ДЕЙСТВИЙ
Автоматический космический аппарат предназначен для дос¬
тижения определенных целей, выполняемых специализированной
целевой и служебной аппаратурой. Кроме того, на АКА установ¬
лены специализированные средства, используемые при управле¬
нии целевой и служебной аппаратурой. Важнейшая особенность
целевой и служебной аппаратуры состоит в том, что она может
выполнять свои функции только в тех случаях, когда созданы оп¬
ределенные пространственно-временные условия. Пространствен¬
но-временная область пространственно-временного континуума,
в пределах которой выполняются данные условия, называется це¬
левой областью. Таким образом, для того чтобы целевая и служеб¬
ная аппаратура выполняла свое функциональное назначение, тра¬
ектория АКА должна проходить через целевые области простран¬
ственно-временного континуума, соответствующие конкретным
целям. При этом для каждого вида целевой и служебной аппарату¬
ры существуют свои целевые области, в пределах которых требуе¬
мая цель может быть достигнута.
Поэтому первый этап составления плана пространственно-
временных действий состоит в определении мероприятий, обеспе¬
чивающих построение такой траектории движения АКА, завися¬
щей от значения начального вектора пространственно-временного
состояния АКА, последующих маневров и коррекций, чтобы было
обеспечено ее прохождение через все целевые области.
Только после этого могут быть определены все действия и
моменты их выполнения. Реализация этих действий обеспечит
достижение всех целей, поставленных перед АКА.

142	Глава	6.	ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ	СОБЫТИЯ
Обозначим план пространственно-временных действий сово¬
купностью символов JP9VD АКА, его можно задать соотношением
gWD = M(3VD,(rH;-0),
где /н - момент, соответствующий началу полета; tK - момент, со¬
ответствующий окончанию полета.
Введем понятие плана пространственно-временных событий.
ПЛАН ПОЛЕТА
Каждое пространственно-временное действие Ду(/Н - tK), вы¬
полняемое целевой или служебной аппаратурой, является заклю¬
чительным этапом достижения очередной пространственно-
временной цели. Но для того чтобы эта цель была достигнута,
должна быть реализована серия операций, выполняемых совокуп¬
ностью элементов самого автоматического космического аппарата.
Обозначим такие операции Ха, Х/2, Хги/. Эти операции должны
быть выполнены перед началом работы целевой или служебной
аппаратуры, обеспечивающей достижение конкретной простран¬
ственно-временной цели. Совокупность этих операций на АКА,
реализующих возможности, созданные системой управления про¬
странственно-временным состоянием АКА для работы целевой
или служебной аппаратуры, образует последовательность работ,
выполняемых элементами самого автоматического космического
аппарата. Эту последовательность пространственно-временных
действий АКА можно представить как целенаправленное синхро¬
низированное функционирование элементов АКА, которое вклю¬
чает как обеспечение требуемого пространственно-временного
состояния и работу аппаратуры АКА, так и обеспечение условий
для работы целевой или служебной аппаратуры. В совокупности
функционирование всех этих элементов АКА в течение всего по¬
лета обеспечивает реализацию плана пространственно-временных
действий АКА, что равносильно достижению целей, поставленных
перед ним.

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СОБЫТИЯ
143
Документ, содержащий все данные, касающиеся целенаправ¬
ленной и синхронизированной последовательности действий эле¬
ментов АКА, представляет собой план полета. Он является основ¬
ным документом, определяющим порядок работы элементов АКА,
который позволяет достичь пространственно-временные цели, по¬
ставленные перед АКА. В силу синхронизированного функциони¬
рования элементов АКА, согласованного с временами и режимами
условий выполнения целевых и служебных пространственно-
временных операций, указанных в плане пространственно-
временных действий, план полета может быть представлен в виде
кортежа
99VD = M{(Xl{tHi-tKi))/i = 1,2,...,/?},
где SP9VD - план полета, обеспечивающий синхронизированное
функционирование элементов АКА; х,-(*н/ - tKi) - элементы АКА,
синхронизированные и упорядоченные в соответствии с програм¬
мой работы элементов АКА и с порядком, указанным в плане про¬
странственно-временных действий, функционирующие во времен¬
ном интервале (tHi - tKi); р - количество целей, которые должен
достичь АКА.
План полета, включающий порядок функционирования эле¬
ментов К/(7Ш - tKi), составлен таким образом, чтобы любому про¬
странственно-временному действию	предшествовало
функционирование совокупности элементов К,* (Ун/ - *к/), которые
обеспечивают необходимые условия для реализации действия
Ду(Ун“^к). Множество этих элементов, синхронизированных и
взаимно увязанных в соответствии с планом пространственно-
временных действий, будем обозначать кортежем
ДМ, (К/р (Ун/ - tKd)-
Кортеж {D/у (Ун “О;	~^к/))}	будем	называть	ис¬
полнительной системой, обеспечивающей достижение конкретной
цели, поставленной перед АКА.
Из изложенного следует, что исходными данными, на основа¬
нии которых составляется план полета, является план пространст¬
венно-временных действий.

144	Глава	6.	ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ	СОБЫТИЯ
ЭТАПЫ ПОЛЕТА АКА
Как уже отмечалось выше, полет практически любого АКА
можно разбить на отдельные этапы. Введение данных этапов вы¬
звано необходимостью сохранения адекватности отображения ре¬
альной траектории движения АКА на оперативное виртуальное
пространство на участки, в пределах которых сохраняются усло¬
вия адекватности отображения. При этом следует отметить, что в
зависимости от особенностей полета АКА состав задач для раз¬
личных этапов полета может существенно различаться между со¬
бой. Существует также функциональное назначение каждого этапа
полета.
Всю траекторию полета АКА обычно можно разбить на два
участка: транспортный и целевой.
В задачи АКА на транспортном участке входит доставка целе¬
вой аппаратуры до целевой области. В задачи АКА на целевом
участке входит организация функционирования АКА таким обра¬
зом, чтобы выполнить задачи, поставленные на данном участке
траектории. При этом как на том, так и на другом участке траекто¬
рия движения АКА делится на отдельные этапы.
Интервалы времени между транспортным и целевым участка¬
ми траектории могут отличаться на порядки. Все зависит от целей
и задач АКА. Примером может служить доставка спутника для
обзора поверхности планеты, а также доставка на поверхность
Марса движущейся платформы.

Глава 7
ИНФОРМАЦИОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ
КОМПЛЕКС СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМ
СОСТОЯНИЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
7.1.	КОНСТРУИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ СРЕДЫ,
ЯВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДОЙ ОБИТАНИЯ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ОБРАЗОВ СИСТЕМЫ
УПРАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМ
СОСТОЯНИЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
Все расчеты, выполняемые при баллистическом проектирова¬
нии космического проекта, выполняются в некоторой информаци¬
онной среде, содержащей информационные образы элементов и
систем управления пространственно-временным состоянием авто¬
матического космического аппарата. Указанная информационная
среда конструируется из двух составляющих:
1. Проецирование значимой области пространственно-
временного континуума, в пределах которой реализуется космиче¬
ский проект, на оперативное виртуальное пространство, удовле¬
творяющем условию адекватности. Предполагается, что эта об¬
ласть содержит фундаментальные объекты пространственно-
временного континуума qF, которые входят в космический проект
как обязательная составляющая, а также физические поля, которые
используются как навигационные поля.
2. Данные о значимой области пространственно-временного
континуума. В значимую область пространственно-временного
континуума входят все объекты космического проекта. В опера¬
тивное виртуальное пространство вводится система координат.
Благодаря этому каждому объекту оперативного виртуального
пространства можно поставить в соответствие математический
аналог.

146 Глава 7. ИНФОРМАЦИОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС
В силу того, что целевая область есть часть 9VK, в котором
действуют законы небесной механики, аналоги таких же законов
действуют в оперативном виртуальном пространстве. Благодаря
этому с объектами оперативного виртуального пространства мож¬
но проводить математические преобразования. Таким образом,
оперативное виртуальное пространство можно рассматривать как
информационную систему, для которой разрабатывается про¬
граммно-математическое обеспечение, используемое при балли-
стико-навигационном обеспечении полета КА.
Благодаря этому баллистико-навигационные исследования,
проводимые в интересах разрабатываемого космического проекта,
выполняются в рамках данной информационной среды.
Функционирующая система управления пространственно-
временным состоянием автоматического космического аппарата
содержит часть информационной среды, благодаря чему балли-
стико-навигационное обеспечение системы целенаправленного
управления АКА обеспечивает достижение целей, поставленных
перед реализуемым комическим проектом.
Таким образом, материальным воплощением оперативного
виртуального пространства и всех операций, выполняемых в его
пределах, является информационно-вычислительный комплекс.
Данную систему будем называть системой информационного обес¬
печения управления пространственно-временным состоянием АКА
или сокращенно СИОУПВС АКА, обозначаемой символом 0.
Данную систему разобьем на три подсистемы: 01, 011, 0III.
Рассмотрим распределение задач между этими подсистемами и
принципы взаимодействия их между собой.
Подсистема 01 представляет собой программный комплекс,
решающий первоочередную задачу любого пространственно-
временного управления, состоящую в определении вектора про¬
странственно-временного состояния АКА на определенный мо¬
мент времени t по результатам навигационных измерений, удов¬
летворяющего условию адекватности, а также задачу параметри¬
ческой идентификации модели движения. Иначе говоря, подсис¬
тема 01 осуществляет адекватное отображение движения АКА в
пространственно-временном континууме на оперативное вирту¬
альное пространство. При этом необходимо отметить, что подоб¬

КОНСТРУИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ СРЕДЫ	147
ное отображение касается только параметров движения АКА. Па¬
раметры движения фундаментальных объектов qF целевой области
выбираются из базы данных БД qvF [<МД S@f\ и используются
в первозданном виде.
Подсистема 011 представляет собой информационно¬
вычислительную систему, которая на основании данных, получен¬
ных от подсистемы 01, решает всю совокупность задач, связанных
с достижением целей, поставленных перед АКА, а также служеб¬
ных целей.
Подсистема ©III представляет собой интегральную базу дан¬
ных, хранящую результаты расчетов, полученных в подсистемах
01 и ©И.
Рассмотрим принципы взаимодействия перечисленных под¬
систем между собой.
1. В подсистеме 01 определяется вектор пространственно-
временного состояния на момент времени t - a(t) и модель дви¬
жения £(t), полученные в результате обработки навигационных
измерений. Значения a(t) и £(/*) должны удовлетворять условию
адекватности. Помимо определения значений a(t) и <£(/),
в рамках подсистемы 01 уточняются результаты проведенного
корректирующего импульса. В задачи подсистемы 01 также вхо¬
дит определение углового положения АКА и параметров вращения
АКА относительно его центра масс, если такая задача ставится.
Все результаты, полученные в процессе функционирования под¬
системы 01, отсылаются в подсистему ©III для хранения.
2. Подсистема 011 должна составлять план пространствен¬
но-временных действий и определять параметры корректирующе¬
го импульса. Для этого ей требуется знание вектора пространст¬
венно-временного состояния a(t) и модели движения £(/), а также
план работы аппаратуры, функционирование которой обеспечива¬
ет достижение поставленных перед АКА целей. При этом адекват¬
ность полученных данных должна быть гарантирована. Аналогич¬
ная ситуация имеет место тогда, когда подсистеме 011 требуется
рассчитать параметры ориентации АКА, а также моменты включе¬
ния и выключения целевой аппаратуры. Такого же рода ситуация
возникает при определении параметров требуемого вращения АКА
относительно центра масс и при определении требуемого углового

148 Глава 7. ИНФОРМАЦИОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС
положения навесного оборудования. Для решения задач ориента¬
ции, как правило, используются векторы аД7) и модели «£Д0, за~
дающие положение фундаментальных объектов. Все перечислен¬
ные исходные данные находятся в подсистеме ©III, откуда под¬
система 011 их получает.
3.	Подсистема ©III является местом хранения данных всех
видов, необходимых для подсистем 01 и 011. Источником этих
данных являются подсистемы 01 и 011, а также некоторые данные
могут быть заложены заранее, в период подготовки к полету АКА.
Последние относятся к данным, определяющим вектор простран¬
ственно-временного состояния фундаментальных объектов, их
модели движения, а также план работы целевой и служебной
аппаратуры.
7.2.	СТРУКТУРА ПОДСИСТЕМ 01, 011, 0III
Рассмотрим более подробно структуру подсистем 01, 011,
©III, взаимодействие их между собой и особенности их работы.
7.2.1. Подсистема 61, обеспечивающая адекватное
отображение движения автоматического космического
аппарата в пространственно-временном континууме
на оперативное виртуальное пространство
Назначение подсистемы 01 сводится к определению вектора
пространственно-временного состояния а = ||г, г, *Р, *Р, f|| или
a(t) = Iг, г, *Р, *р| на определенный момент времени t и, если это
потребуется, идентификации модели движения АКА, представ¬
ленных в оперативном виртуальном пространстве.
В рамках подсистемы 01 решаются следующие задачи:
1.1. планирование навигационных измерений параметров на¬
вигационного поля;
1.2. задача параметрической идентификации моделей движе¬
ния АКА (если это требуется);
1.3. выдача заказов на проведение навигационных измерений
параметров навигационного поля и передача навигационных изме¬
рений в подсистему ©III для хранения;

СТРУКТУРА ПОДСИСТЕМ 01, 011, ©III
149
1.4. определение параметров векторов r{f) и r(t*);
1.5. проверка текущих векторов r(t) и r(t) и параметров моде¬
ли движения АКА на выполнение условия адекватности;
1.6. синхронизация бортового и наземного времени;
1.7. определение параметров движения АКА относительно
центра масс по результатам измерений навигационных приборов,
определяющих параметры движения относительно центра масс,
а также ориентации навесного оборудования, и передача их в под¬
систему ©III для хранения.
Подсистема 01 представляет собой двухуровневую систему.
На нижнем уровне подсистема 01 состоит из следующих блоков:
2.1. блок планирования навигационных измерений;
2.2. блок подготовки исходных данных для работы навигаци¬
онно-измерительных приборов, определения режима их работы,
моменты включения и выключения навигационных приборов;
2.3. блок выбора требуемой навигационной задачи (если таких
задач больше, чем одна);
2.4. блок решения задачи определения векторов r(t) и r(t) на
определенный момент времени t и уточнения параметров модели
движения, если в этом есть необходимость;
2.5. блок проверки адекватности параметров траектории дви¬
жения (векторов r(t) и r(t) и параметров модели движения);
2.6. блок решения задачи определения параметров ¥(0, *Р(0;
2.7. блок решения задачи синхронизации бортового и назем¬
ного времени.
На верхнем уровне находится координирующий блок, кото¬
рый на основании данных, полученных от плана пространственно-
временных действий, хранящегося в ©III, или от отдельных блоков
подсистемы 01 (например, блока проверки адекватности) органи¬
зует работу всех остальных блоков, в соответствии с теми задача¬
ми, которые должны быть выполнены подсистемой 01.
Сделаем ряд дополнений к представленному материалу.
П. 1.1. Возможны два варианта планирования навигационных
измерений. В большинстве случаев план навигационных измере¬
ний известен заранее. В этом случае нет необходимости в решении
данной задачи. Однако существуют такие полетные ситуации, ко¬

150 Глава 7. ИНФОРМАЦИОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС
гда требуется выбрать наиболее приемлемый план навигационных
измерений, обеспечивающий наименьшие ошибки определения
параметров траектории. Методов нахождения оптимального плана
навигационных измерений достаточно много и в данном материа¬
ле они не обсуждаются.
П. 1.5. Проверка адекватности модели движения АКА. Среди
этих моделей есть простые, не требующие применения сложных
методов и алгоритмов. К ним относится модели, используемые
при параметрической идентификации. Поэтому их можно без ус¬
ложнения основной задачи решать в рамках подсистемы 01. Одна¬
ко существуют такие случаи, когда требуется использовать весьма
сложные методы для определения степени адекватности модели.
В этом случае их приходится выделять в самостоятельные задачи.
П. 1.6. Синхронизация бортового и наземного времени. Преж¬
де всего, необходимо учитывать требуемую точность синхрониза¬
ции. При невысокой точности задача решается в рамках подсисте¬
мы 01 и не требует выполнения специальных мероприятий. Воз¬
можны также варианты, когда решение задачи синхронизации
осуществляется одновременно с определением векторов r(t*) и
r(t*). Примером может служить случай, когда используются на¬
вигационные измерения, получаемые от навигационных спутнико¬
вых систем. В этом случае решение задачи синхронизации осуще¬
ствляется за счет расширения числа параметров вектора a(t).
Во всех остальных случаях решение задачи синхронизации выли¬
вается в самостоятельную задачу, требующую самостоятельных
мероприятий и специальной аппаратуры. Поэтому данную задачу
нужно выделять в самостоятельную и не включать в число задач,
решаемых в подсистеме 01.
П. 1.7. Задача идентификации модели движения АКА имеет
два варианта решения. Если задача относится к разряду парамет¬
рической идентификации, когда требуется уточнить значение не¬
которых параметров модели движения, то ее решение находится
расширением размерности вектора состояния АКА. Поэтому зада¬
ча не выходит за рамки типовых задач подсистемы 01. Если же
задача идентификации имеет другой вид (например, определение
положения центра масс АКА), то для ее решения необходимо при¬

СТРУКТУРА ПОДСИСТЕМ 01, 011, 0III
151
менять другие методы. Она уже не может быть решена в рамках
подсистемы 01 и ее требуется выделять в самостоятельную задачу.
Нахождение векторов Ч* и , а также их изменение по вре¬
мени (случай, когда АКА движется относительно центра масс)
требует использования других навигационно-измерительных
приборов и других алгоритмов решения задачи определения век¬
торов Ч* и , чем при определении параметров траектории АКА.
Наиболее часто используются следующие навигационно¬
измерительные приборы:
- навигационные приборы, работа которых основана на ис¬
пользовании оптического навигационного поля, к ним относятся
звездный и солнечный датчики;
- датчики, работа которых основана на измерении теплово¬
го излучения планет;
- навигационные приборы, работа которых основана на из¬
мерении параметров искусственного навигационного поля, созда¬
ваемого ГНСС ГЛОНАСС, GPS;
- навигационные приборы, работа которых основана на ис¬
пользовании инерциальных измерительных устройств;
- наземные радиотехнические средства.
Для ориентации АКА, движущихся вблизи планет, имеющих
магнитное поле, используются магнитные датчики.
Следует отметить, что не все виды ориентации АКА вычис¬
ляются в подсистеме 01. Когда ориентация требуется для коррек¬
тирующего импульса, данные для выполнения этой операции вы¬
числяются в процессе расчета параметров корректирующего им¬
пульса, в число которых входят параметры, определяющие на¬
правление корректирующего импульса.
7.2.2.	Подсистема 011, вычисляющая управляющую
информацию для целенаправленного функционирования
целевой и служебной аппаратуры, а также параметры
корректирующих импульсов
Подсистема 011 является ядром информационно-вычислитель¬
ного комплекса. Она подготавливает информацию для исполни¬
тельных приборов, включая целевую и служебную аппаратуру,

152 Глава 7. ИНФОРМАЦИОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС
работающих на каждом навигационном интервале. Подсистема 011
также осуществляет расчет параметров коррекции траектории.
Исходной информацией для подсистемы 011 являются:
- совокупность целей, поставленных перед АКА;
- бортовое время, вычисляемое бортовыми часами, син¬
хронизированное с наземным временем;
- векторы пространственно-временного состояния АКА и
его модель движения, адекватные истинному движению АКА в
пространственно-временном континууме.
Эти данные хранятся в подсистеме 0III.
Общий интервал работы подсистемы 011 разбивается на
подинтервалы, называемые навигационными интервалами, в соот¬
ветствии с особенностями работы АКА. Каждый интервал, как
привило, обеспечивает достижение цели, имеющей пространст¬
венно-временной характер. В каждом временном подинтервале
осуществляется подготовка информации для целевой работы ис¬
полнительного прибора, функционирование которого обеспечива¬
ет достижение очередной цели, поставленной перед АКА на дан¬
ном целевом интервале. При этом работа исполнительного прибо¬
ра выполняется в соответствии с планом полета. План полета для
данного временного интервала строится на основании информации
0VD, рассчитываемой в подсистеме 011, и информации, содержа¬
щей параметры цели, которая должна быть достигнута на этом
временном интервале. Эта информация рассчитывается программ¬
ными блоками подсистемы 011.
Общая организация функционирования подсистемы 011 осу¬
ществляется следующим образом. Подсистема 011 построена по
иерархическому принципу. На нижнем уровне находятся про¬
граммные блоки, вырабатывающие управляющую информацию
для исполнительных устройств. На верхнем уровне находится ко¬
ординатор. Исходными данными для координатора являются:
- план пространственно-временных действий (0VD), рас¬
считанный самой подсистемой 011, переданный в подсистему ©III;
- бортовое время, получаемое от бортовых часов.
На основании этих данных координатор определяет очеред¬
ной целевой временной интервал, определяются программные

СТРУКТУРА ПОДСИСТЕМ 01, 011, 0III
153
блоки, которые должны подготавливать требуемую, согласно пла¬
ну 0VD, информацию для работы исполнительных устройств.
На основании этих данных программные блоки самостоятельно по
запросу получают необходимую информацию от подсистемы ©III.
Данная информация включает данные о векторе пространственно-
временного состояния a(t), данные о модели движения, а также
другую информацию пространственно-временного характера, не¬
обходимую для расчета данных для работы исполнительных уст¬
ройств. О факте выполнения задания информируется координатор,
который пересылает расчетную информацию в блок составления
плана полета, в соответствии с которым организуется работа ис¬
полнительных устройств, реализация которого (плана) обеспечи¬
вает достижение заданной цели данной целевой области.
Таким образом осуществляется неразрывная связь подсисте¬
мы 011 с исполнительными устройствами.
7.2.3.	Подсистема 6III, обеспечивающая прием, хранение и
выдачу пространственно-временной информации
в интересах подсистем GI и 011
Подсистема ©III представляет собой базу данных, получаю¬
щую, хранящую и выдающую информацию подсистемам 01 и 011.
Информация носит пространственно-временной характер. Источ¬
ником данной информации являются априорные данные, заклады¬
ваемые в подсистему ©III в начале полета:
- информация о целях, которые должны быть достигнуты
АКА в процессе его функционирования (в ряде случаев целевая ин¬
формация выдается в виде программы работы целевой аппаратуры);
- информация о пространственно-временных характери¬
стиках фундаментальных объектов, получаемая из БД qF [<), £F,
JKP/r] и необходимая системе управления пространственно-
временным состоянием АКА;
- информация о навигационных измерениях навигационно¬
измерительных приборов;
- информация о значениях вектора пространственно-
временного состояния АКА a(t*) и модели его движения, удовле¬
творяющая условию адекватности и получаемая от подсистемы 01;

154 Глава 7. ИНФОРМАЦИОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС
- информация о рассчитанных данных, касающаяся управ¬
ления исполнительными приборами и получаемая от подсистемы
011;
- информация о работе исполнительных устройств по
окончании их функционирования.
Всей поступающей в подсистему ©III информации присваива¬
ется имя, полученное универсальным устройством присвоения
имен. Кроме перечисленной информации, в подсистеме ©III может
храниться и другая информация, необходимая для работы подсис¬
тем 01 и 011, содержание которой зависит от конкретного косми¬
ческого проекта, на котором устанавливается система 0.
Следует также отметить следующую важную особенность
данных, хранящихся в подсистеме ©III. Как уже отмечалось, в ра¬
бочую область, соответствующую космическому проекту, входит
совокупность фундаментальных объектов и моделей qF и £Р.
Эти объекты хранятся в базе данных BJlqF [<ap{t), £F, JE0V]. В силу
большой продолжительности памяти моделей этих объектов, их
адекватность сохраняется на большие интервалы времени, исчис¬
ляемые тысячами лет. Поэтому нет необходимости выполнять
операцию по проверке их адекватности. И если эти объекты попа¬
ли в рабочую зону, то пространственно-временные характеристики
можно принимать такими, какими они были в базе данных
БД qF [aAt\ £f, S$?f]. В таком виде они поступают в подсистему
©III и не меняются в течение всего полета.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бажинов И. К., Почукаев В. Н. Оптимальное планиро¬
вание навигационных измерений в космическом полете. М.: Ма¬
шиностроение, 1976.
2. Брандин В. Н., Разоренов Г. Г. Определение траекторий
космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1987.
3. Бранец В. Н., Севастьянов Н. Н., Федулов Р. В. Лекции
по теории систем ориентации, управления движением и навигаци¬
ей. Томск: Изд-во ТГУ, 2013.
4. Гандмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.
5. Лобачев В. П., Почукаев В. Н. Некоторые теоретические
аспекты синтеза и анализа Центра управления полетом. М., 1988
(Препринт ИКИ АН СССР, Т-14347).
6. Лысенко Л. Н., Бетанов В. В., Звягин Ф. В. Теоретиче¬
ские основы баллистико-навигационного обеспечения космиче¬
ских полетов. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014.

Научное издание
Почукаев Владимир Николаевич
ОСНОВНЫЕ КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
БАЛЛИСТИКО-НАВИГАЦИОННОГО
ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПОЛЕТОВ АВТОМАТИЧЕСКИХ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Редактор Л.А. Камбарова
Корректор А. И. Евсейчев
Инженер по компьютерному макетированию Н.К Смольянина
ISBN 978-5-9500368-8-0
9 785950 036880
Сдано в набор 20.04.2018 г.
Подписано в печать 20.06.2018 г. Формат 60 х 90 Vi6.
Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать офсетная.
Уел. печ. л. 8,3. Уч.-изд. л. 9,75.
Тираж 400 экз. Заказ 129566.
ООО Издательство «Машиностроение - Полет»,
107076, Москва, Стромынский пер., 4
Отпечатано в типографии Публичное акционерное общество
«Т8 Издательские Технологии»
109316 Москва, Волгоградский проспект, дом 42, корпус 5

Владимир Николаевич Почукаев, доктор технических
наук, профессор. Работает в Центре управления поле¬
тами космических аппаратов с 1961 года. Принимал
участие в баллистико-навигационном обеспечении
полетов космических аппаратов большинства отече¬
ственных проектов.
В данной монографии изложены основные фунда-
. ментальные положения, используемые при решении
задач баллистико-навигационного обеспечения полетов
космических аппаратов различного назначения.