Автор: Микрин Е.А. Звягин Ф.В.
Теги: авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника междупланетные соединения (междупланетные полеты) космонавтика (аэронавтика) механика авиация космические аппараты
ISBN: 978-5-7038-5276-7
Год: 2020
Похожие
Текст
Е.А. Микрин, Ф.В. Звягин
Введение в механику полета
и управление космическими
аппаратами
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА
Управление в технических системах
May 20, 1958
Ft c. fiEAUMA^N
2,335.548
FU*S A«Sv .5» W
3
ROBERT £.
Атж^то
Е.А. Микрин, Ф.В. Звягин
Введение в механику полета
и управление космическими
аппаратами
Учебник для вузов
МОСКВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МГТУ ИМ. Н.Э. БАУМАНА
2020
УДК 629.78
ББК 39.6
М59
Рецензенты'.
Научный руководитель ФГУП «ЦАГИ», д-р физ.-мат. наук, академик РАН
С.Л. Чернышев',
Начальник отдела ФГНУ «Научно-исследовательский институт прикладной
механики и электродинамики», д-р техн, наук, профессор, чл.-корр. РАН
В.Г. Петухов
Микрин, Е. А.
М59 Введение в механику полета и управление космическими аппара-
тами : учебник для вузов / Е. А. Микрин, Ф. В. Звягин. — Москва : Изда-
тельство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2020. — 566, [2] с.: ил.
ISBN 978-5-7038-5276-7
Представлены основные сведения о технологическом цикле космических по-
летов, даны примеры практических задач, решаемых в процессе предваритель-
ного проектирования и управления полетом космических аппаратов и их груп-
пировок.
Для студентов, обучающихся по специальностям, связанным с управлением
движением космических аппаратов; также может представлять интерес для спе-
циалистов в области проектирования космических полетов.
УДК 629.78
ББК 39.6
ISBN 978-5-7038-5276-7
© Микрин Е.А., Звягин Ф.В., 2020
© Оформление. Издательство
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
Предисловие
Настоящий учебник представляет собой вводный курс механики космическо-
го полета и управления космическими аппаратами, изучаемый в рамках спе-
циализаций специальности 24.05.06 «Системы автоматического управления»
в течение нескольких семестров.
Цель изучения представленного материала — освоение системы об-
щих принципов, положений и методов проектирования космических полетов
и управления космическими аппаратами в процессе осуществления космиче-
ских полетов.
После изучения учебника студенты овладеют:
• базовыми знаниями законов механики космического полета;
• базовыми методами анализа, проектирования и управления космиче-
скими полетами;
• практическими навыками предварительного проектирования и управ-
ления космическими полетами.
Планируемые результаты обучения
Дисциплины, в которых используется данный учебник в качестве основ-
ного дидактического материала, построены по модульному принципу. Каж-
дый модуль представляет собой логически завершенный раздел курса.
Для каждого модуля приведен набор планируемых результатов обучения,
заданных программой дисциплины. Достижение этих результатов оценивает-
ся при текущем контроле усвоения дисциплины.
Для изучения материала учебника необходимо предварительное освоение
следующих дисциплин: иностранный язык; математический анализ; интегра-
лы и дифференциальные уравнения; линейная алгебра и функции многих пе-
ременных; информатика; физика; теоретическая механика.
Методика проработки и освоения материала модулей дисциплин
Изучение дисциплин, входящих в учебный план специальности, пред-
усматривает достижение ряда результатов обучения, т. е. те знания (пом-
нить и понимать), умения (применять, анализировать, оценивать, создавать)
и навыки, которыми студенты должны овладеть в процессе освоения дис-
циплины.
Планируемые результаты обучения сформулированы в программе дисци-
плины. Достижение каждого результата оценивается при текущем или про-
межуточном контроле.
Лекционные занятия посвящены рассмотрению ключевых, базовых по-
ложений курса и разъяснению учебных заданий, предназначенных для само-
стоятельной проработки.
Семинарские занятия проводятся для закрепления усвоенной информа-
ции, приобретения навыков ее применения для решения практических задач
в предметной области дисциплины.
5
Предисловие
Большое число расчетных примеров, а также приложения, приведенные
в данном учебнике, облегчают усвоение материала и позволяют обучающим-
ся самостоятельно выполнять учебные задания.
Самостоятельная работа студентов включает в себя проработку лек-
ционного курса, выполнение домашних заданий, подготовку рефератов и пр.
Результаты работы студентов формируются в виде их личных портфолио, ко-
торые учитываются на промежуточной аттестации.
Предусматривается также расширение материала учебника в результате
поиска, анализа, структурирования и представления в компактном виде со-
временной информации из всех возможных источников. Для этого в начале
каждого раздела учебника приведено краткое описание обсуждаемых тем, по
которым обучающийся может сформировать представление о содержании
раздела и дополнительно его проработать, обратившись к различным доступ-
ным ему источникам информации.
Каждый раздел учебника завершается списком контрольных заданий, ко-
торые необходимо проработать самостоятельно, учитывая, что аналогичные
задания будут предложены при текущем контроле усвоения каждого модуля
дисциплины. Их следует выполнять строго по графику учебной работы, об-
суждая результаты на семинарах и консультациях.
Текущий контроль проводится в течение каждого модуля, его итоговые
результаты складываются из оценок домашних заданий, рефератов, контроль-
ных работ, работы на лекциях и семинарах.
Для завершения работы в семестре студент должен выполнить все кон-
трольные мероприятия, иметь полный комплект подготовленных домашних
заданий и рефератов.
Промежуточная аттестация по дисциплинам основана на результатах
текущего контроля, а также включает в себя дополнительное контрольное
мероприятие. Оно служит для оценки владения студентом ключевыми, базо-
выми положениями предметной области, умением их применять, проводить
оценку, анализировать и решать проектные задачи.
Освоение дисциплины, ее успешное завершение на стадии промежуточ-
ного контроля (экзамена) возможно только при регулярной работе во время
семестра и планомерном прохождении текущего контроля. Создать портфо-
лио по модулям в каждом семестре, пройти по каждому модулю плановые
контрольные мероприятия в течение экзаменационной сессии невозможно.
Авторы выражают искреннюю признательность рецензентам книги —
научному руководителю ФГУП «ЦАГИ» д-ру физ.-мат. наук, академику РАН
С.Л. Чернышеву и д-ру техн, наук, профессору, чл.-корр. РАН В.Г. Петухову
за внимательное прочтение учебника, а также сделанные ими весьма точные
и полезные предложения по улучшению структуры и содержания изложенно-
го материала.
Замечания и предложения присылать в Издательство МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
Основные сокращения и обозначения
АГСК — абсолютная геоцентрическая система координат (СК)
БП — биэллиптический перелет
ГИСК — геоцентрическая инерциальная СК
ГСК — гринвичская СК
ГСО — геостационарная орбита
ГЭСК — геоцентрическая экваториальная СК
ИХП — интегральный характеристический показатель
КА — космический аппарат
МСК — Международная космическая станция
НОО — низкая круговая орбита ожидания
ПН — полезная нагрузка
СА — спускаемый аппарат
СК — система координат
ТДУ — тормозная двигательная установка
Fe — вектор равнодействующей сил
u,, uw, Uj, — единичные векторы, определяющие оси координат
в оскулирующей плоскости
О — истинная аномалия
— момент силы Fz относительно центра системы координат О
гр — радиус перицентра
Re = 6378 км — экваториальный радиус Земли
G = 6,6742 IO-11 м3/кг • с2 — универсальная гравитационная постоянная
со£ = 72,9217 • 10-6 рад/с — угловая скорость собственного вращения
Земли в инерциальной системе координат
а(/) — вектор ускорения
е — вектор эксцентриситета орбиты
е — эксцентриситет орбиты
g — ускорение свободного падения
G — центр масс системы тел
g0 = 9,807 м/с2 — ускорение свободного падения на уровне моря
h — удельный угловой момент
I — импульс силы
i,j,k — единичные орты осей системы координат х, у, z
I, J, К — единичные орты осей системы координат X. У, Z
P — фокальный параметр орбиты
r(0 — вектор положения
T — период обращения
v(0 — вектор скорости
w — вес
X,Y,Z — оси абсолютной (неподвижной) системы координат
x,y,z — оси подвижной системы координат
z — высота над поверхностью Земли
7
Основные сокращения и обозначения
а Y т е — угловое ускорение — траекторный угол — точка весеннего равноденствия — удельная энергия орбиты
ц — гравитационный параметр
= 398 600 км3/с2 — гравитационный параметр Земли
р я (0 Е но а b ^пар 0 — радиус кривизны — вектор абсолютной угловой скорости — вектор угловой скорости — полная механическая энергия космического аппарата — угловой момент относительно точки О — большая полуось конического сечения — малая полуось конического сечения — параболическая (освобождения) скорость — угол наклона ветвей асимптот гиперболической
3 А Voo траектории — угол между асимптотами гиперболы, угол поворота — направленный радиус — скорость тела, движущегося по гиперболической траектории на бесконечном удалении
Р, q,w Zg t ме п Е Mh Jn Mh F X C(z),S(z) a, RA 3, dec i Q 0) N Q R,(0) Oto — единичные векторы перифокальной системы координат — функции Лагранжа — время — средняя аномалия — среднее движение — эксцентрическая аномалия — параболическая средняя аномалия — функции Бесселя первого рода — гиперболическая средняя аномалия — гиперболическая эксцентрическая аномалия — универсальная аномалия — универсальная большая полуось, угловое ускорение — функции Штумпфа — прямое восхождение — склонение — наклонение орбиты — долгота восходящего узла — аргумент перицентра — вектор положения линии узлов — матрица направляющих косинусов — матрица вращения на угол ф относительно оси i — матрица перехода от перифокальной системы координат
J2 Q к геоцентрической экваториальной системе координат — вторая зональная гармоника — средняя скорость прецессии линии узлов 8
Основные сокращения и обозначения
СО — средняя скорость изменения аргумента перицентра
л JD J2000 — юлианская дата при 0 ч мирового времени UT — юлианская дата — начало юлианской эпохи, отсчитываемой с полудня
0G ит Rp ф ф' л А а Av Ave Ар «М> ur g 1 января 2000 г. — звездное время гринвичского меридиана для 0 ч UT — мировое (всемирное) время — полярный радиус — геодезическая широта — геоцентрическая широта — долгота — азимут — угол места — потребный импульс скорости — суммарная характеристическая скорость маневра — удельный импульс ракетного топлива — матрицы Клохесси — Уилтшира — потенциал ньютоновского (центрального) поля тяготения — разностное гравитационное ускорение в центральном поле тяготения (приливное ускорение)
1, m, n a, P,Y — орты осей орбитальной системы координат — углы поворота осей визирной системы координат относительно осей орбитальной системы координат
<P ^"вл T D c 0BX Р(й) К Cx Cy = KCx — фазовый угол между векторами положений двух планет — радиус сферы влияния планеты — вектор тяги — аэродинамическая сила сопротивления — эффективная скорость истечения топлива — угол входа в атмосферу — распределение плотности атмосферы по высоте — аэродинамическое качество спускаемого аппарата — коэффициент силы лобового сопротивления — коэффициент аэродинамической подъемной силы спускаемого аппарата
Sm °x s nx,ny Li yfrS+ jjrS- fflU+ — площадь миделя спускаемого аппарата — баллистический параметр — баллистический коэффициент — продольные составляющие вектора перегрузки — z-я точка либрации — устойчивые многообразия точки либрации — неустойчивые многообразия точки либрации
r(x,y,z,x,y,z) —функция Якоби
Г' 1 to — интегральный характеристический показатель z-й орбиты
9
Введение
В настоящее время существует довольно много работ, посвященных ди-
намике полета и управлению космическими аппаратами (КА). Не стремясь
к созданию совершенно нового и всеобъемлющего труда, авторы тем не ме-
нее поставили перед собой задачу собрать максимальное число методов, ал-
горитмов и примеров решения задач, которые могут возникать в повседнев-
ной практике предварительного проектирования космического полета. Что
же подразумевается под такой постановкой задачи и почему потребовалась
еще одна публикация?
Исторически сложилось так, что наиболее передовые и точные матема-
тические методы применялись для исследования задач небесной механики.
Сначала для обработки астрономических наблюдений, что носило скорее чи-
сто научный интерес, а позже, с началом полетов в космос, эти методы стали
применять для практических исследований. При этом математический аппа-
рат описания динамики полета естественных и искусственных небесных тел
усложнялся, уточнялся и расширялся, что делало его, к сожалению, все менее
понятным даже для студентов старших курсов технических вузов. Особен-
ности процесса обучения специалистов в области управления летательными
аппаратами, для которых в первую очередь и написан данный учебник, за-
ключаются в том, что они получают на первых курсах достаточно обширные
сведения по физике, высшей математике, теоретической механике и другим
предметам. При этом зачастую сведения из одной области науки используют-
ся для решения задач из другой области чисто технически, без вникания в их
физический смысл. Последующее обучение направлено на то, чтобы научить
будущих специалистов комплексному использованию всех полученных ими
знаний для решения управленческих задач с ориентацией в первую очередь
на их физическую реализуемость. Совершенно очевидно, что такие задачи,
хотя бы на первых этапах, должны быть максимально понятны и осознавае-
мы. Следует отметить, что задачи управления КА вследствие своей специфи-
ки относятся именно к задачам такого типа. Детализация расчетов в них до
известной степени достаточно высокая, начиная с простейших аналитических
соотношений вплоть до многомерных рядов с дальнейшим углублением в об-
ласть хаотической динамики.
Традиционное изложение материала классических учебников строится
на описании наблюдений, приведших к открытию законов всемирного тя-
готения, законов Кеплера, выводу уравнений относительного движения КА
с дальнейшим описанием его возмущенного движения. В том или ином виде
такой материал присутствует и в данном учебнике. Существенным отличием,
с точки зрения авторов, является то, что помимо общетеоретических сведе-
ний рассмотрено большое число примеров и задач, закрепляющих эти све-
дения, а наиболее важные с практической точки зрения задачи оформлены
в виде алгоритмов, которые легко могут быть запрограммированы в любом
математическом пакете. Именно поэтому их реализация на конкретном языке
программирования не приводится.
10
Введение
Другой отличительной особенностью представляемого учебника является
то, что в нем, пусть и в достаточно общем виде, описан весь технологический
цикл полета КА. Прежде всего, как и в классических учебниках, много внима-
ния уделено предварительному проектированию полета КА с использованием
результатов решения задачи двух тел. Рассмотрены некоторые вопросы, свя-
занные с выведением КА на орбиту и его конструктивными особенностями,
а также вопросы обеспечения сближения КА, причем получивших практи-
ческое применение. Достаточно подробно описан спуск КА на Землю после
завершения миссии. Кроме того, учитывая, что некоторые вопросы даже при
предварительном проектировании невозможно решить в рамках задачи двух
тел, авторы включили в учебник главу, посвященную обзору задачи трех тел
и некоторым аспектам ее состояния в настоящее время. Естественно, что при-
веденные теоретические выкладки, задачи и алгоритмы в той или иной степе-
ни могут быть известны специалистам в данной области.
Главное, что отличает приведенный материал, это оптимальное соотно-
шение теории и практических примеров, аналитических и численных мето-
дов решения задач механики и управления полетами КА, что позволяет рас-
сматривать данный учебник не только как чисто учебное пособие, но и как
краткий справочник для решения задач предварительного проектирования
полетов КА.
Основные сведения из кинематики и динамики твердого тела, описания
абсолютной и подвижных систем координат, закон всемирного тяготения
приведены в главе 1.
Глава 2 посвящена решению задачи двух тел и описанию геометрических
соотношений для траекторий, являющихся ее решением. В конце главы вве-
дены функции Лагранжа, которые позволяют решать некоторые задачи дина-
мики полета КА в линеаризованной постановке.
В главе 3 продолжено описание решений задачи двух тел с учетом
временных зависимостей для вектора состояния КА. Приведены аппрокси-
мирующие решения уравнения Кеплера, универсальные переменные, позво-
ляющие описать движение КА по любой траектории, являющейся решением
задачи двух тел.
Орбитальные элементы, а также вектор состояния КА в трехмерном
пространстве, соответствующие алгоритмы расчета вектора состояния КА
и его орбитальных элементов рассмотрены в главе 4. Здесь же описано дви-
жение КА в несимметричном гравитационном поле Земли, учитывающее ее
сжатие.
Глава 5 посвящена методам предварительного определения орбит и ал-
горитмов, позволяющих уточнить полученные данные. В ней рассмотрены
некоторые особенности измерения времени, а также построения систем коор-
динат, используемых при расчетах.
Орбитальные маневры — гомановские и биэллиптические перелеты, фа-
зирующие маневры, маневры преследования и поворота плоскости орбиты
исследованы в главе 6. Отдельно рассмотрен вопрос ограничений, наклады-
ваемых положением космодрома на реализуемые орбиты КА.
11
Введение
Расширяет представление читателя об орбитальных маневрах глава 7.
В ней приведены уравнения относительного движения КА на орбите, приво-
дятся результаты аналитического решения уравнений Клохесси — Уилтшира,
а также описаны практически реализованные методы сближения на орбите
советских и российских КА.
В главе 8, посвященной межпланетным полетам, в рамках метода кониче-
ских сечений рассмотрена методика предварительного проектирования пере-
летов к другим планетам, выведения КА на околопланетные орбиты, расчет
гравитационного маневра и другие связанные вопросы.
Динамика реактивного движения описана в главе 9. Здесь рассмотрены
уравнения реактивного движения с приложениями, а также приведена мето-
дика оптимального расчета массовых характеристик ступеней ракеты.
В главе 10 рассмотрены вопросы реализации спуска КА в атмосфере.
Глава условно разбита на две части, первая из которых описывает алгоритм
перелета к точке входа КА в атмосферу, вторая — собственно спуск КА в ат-
мосфере Земли.
И, наконец, в главе 11 представлена ограниченная задача трех тел. Поми-
мо описания основных геометрических и энергетических соотношений зада-
чи приведены некоторые ее модификации, используемые при предваритель-
ном баллистическом проектировании полетов КА. Кроме того, дано описание
фазового портрета задачи трех тел, приведен интегральный характеристиче-
ский показатель, позволяющий классифицировать получаемые численным
методом траектории КА в задачах небесной механики.
Книга предназначена для студентов, обучающихся по специальностям,
связанным с управлением движением космических аппаратов, также может
представлять интерес и при решении профессиональных задач предваритель-
ного проектирования космических полетов на основе приведенного набора
готовых методов и алгоритмов.
Глава 1
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Кинематика. — Масса, сила и закон всемирного тяготения
Ньютона. — Второй закон Ньютона, импульс и момент
силы. — Определение производных по времени для векторов
постоянной длины. — Подвижная (неинерциальная) систе-
ма координат. — Уравнения движения в неинерциальных
системах координат. — Некоторые системы координат,
связанные с Землей. — Основные соотношения. — Вопросы
и задачи
При описании движения любого тела первоначальным является выбор си-
стемы координат (СК), в которой это движение будет рассматриваться. При-
чем в зависимости от решаемой задачи СК могут быть выбраны как непод-
вижными, так и подвижными. Обычные объекты существуют в трехмерном
пространстве, т. е. их положение в этом пространстве определяется тремя
координатами. Вследствие воздействия на объекты сил их положение мо-
жет изменяться с течением времени и объекты могут приобретать скорость
и ускорение. В первой части данной главы рассмотрены кинематические со-
отношения, позволяющие описать положения, скорости и ускорения движу-
щегося тела в выбранной СК как векторные функции.
Далее рассмотрен вопрос описания кинематики движущегося тела в под-
вижной СК. В рамках ньютоновской механики движение тела может быть
описано как векторная сумма поступательного и вращательного движения
под действием некоторой равнодействующей силы. Законы Ньютона при-
менимы к объектам, движение которых описано в инерциальных СК, а при
переходе к подвижным СК соответствующие уравнения должны учитывать
неинерциальность таких систем. Во второй части главы рассмотрены вопро-
сы учета сил в разных СК.
1.1. Кинематика
При описании движения небесных тел, в том числе и КА, эти тела обычно
рассматриваются как точечные вследствие их относительной малости. Кроме
того, исследуемые объекты достаточно редко имеют высокие скорости дви-
жения, на которых проявляются эффекты специальной теории относительно-
сти. Исключением можно в данном случае считать лишь движение Меркурия,
которое в рамках настоящего учебника не рассматривается.
13
Глава 1. Основные сведения из кинематики и динамики твердого тела
Рис. 1.1. Векторы положения, ско-
рости и ускорения
Для описания движения точки в трех-
мерном пространстве используются раз-
личные СК (обычно прямоугольные) и вре-
мя. В выбранной СК задают положение
точки в определенные моменты времени,
тем самым определяется временная зави-
симость. Кроме положения, точка имеет
скорость и ускорение, которые также мо-
гут быть записаны в используемой СК как
функции времени. Поэтому далее всегда
будем считать, что СК включает и время.
В заданной СК в любой момент вре-
мени t можно определить положение не-
которой точки Р как радиус-вектор r(z),
соединяющий начало координат О и эту точку (рис. 1.1). Предполагая, что
рассматриваемая инерциальная СК задана в трехмерном пространстве, можно
разложить вектор r(f) на его составляющие в проекциях на оси СК:
r(f) = x(f)i + y(r)j + z(z)k,
где i, j, k — единичные орты осей х,у, z соответственно.
Расстояние от начала координат до точки Р определяется как евклидова
норма вектора:
Н = r = \l*2+y2+z2,
что можно записать как квадратный корень из скалярного произведения:
r = \Jr-r.
Изменение положения точки с течением времени происходит вследствие
ее движения вдоль траектории 5 со скоростью
v(z) = + j + ^^k = vx(^)i4-v (z)j + vz(z)k
V 7 dt dt J dt 7 И 7J 7
и ускорением
a(') = —Г11 + J + —Tlk = a* (01 + ay (0 J + az (')k-
dt dt dt
Если траектория представляет собой прямую линию, то движение явля-
ется прямолинейным. В противном случае траектория искривляется, и тогда
движение называется криволинейным. Вектор скорости v направлен по каса-
тельной к траектории. Если и, — единичный вектор касательной к траекто-
рии, то вектор скорости можно представить в виде
V = vu„
где v — скорость.
14
1.1. Кинематика
Расстояние, которое проходит точка за малый отрезок времени dt, может
it ds
быть определено как ds = vdt или v = —. Следует отметить, что производ-
ил
ная г по времени не равна производной от г. v(t) Ф r(f).
Пример 1.1
Зависимость положения точки от времени задана функцией
r(/) = (10? + St + 7)1 + (2? + 3)j + (0,5? + 3? +10)k (м).
Требуется вычислить скорость v и производную по времени от г при
t= Юс.
Решение
В соответствии с определением
v = — = (5+20r)i + 6/2 j + (6/ + 2?)k,
dt
тогда скорость
llvll = ^36? + (5 + 20/)2 + (6/ + 2/3)2.
Для указанного момента времени
v = 2155,37 м/с.
Запишем временную зависимость для радиуса-вектора точки:
Hr II = г = 7158 + 70/ + 225? +112? +119? + 7? + 0,25?.
Продифференцируем по времени и найдем г при заданном t:
_ dr_ = 2? + 42? + 476/3 + 336? + 450/ + 70
dt 2^0,25? + 7? +119? +112? + 225г2 + 70/ +158 ’
г = 2140,6 м/с.
Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движе-
ния, поэтому во введенной СК xyz может быть определен единичный вектор
скорости:
V у, . V V, , П 2 2
«Г=О = —, + —J + —k’ V = 7Vx+V)'+V2>
||v|| V V V v 7
используя который, а также нормальный к нему вектор и„, можно определить
ускорение точки а = atut + апип.
15
Глава 1. Основные сведения из кинематики и динамики твердого тела
При этом
at=v='s, ап=—,
Р
(1.1)
Рис. 1.2. Ортонормированная трой-
ка векторов, связанная с движущей-
ся точкой Р (тоном выделена оску-
лируюшая плоскость)
где р — радиус кривизны, т. е. расстояние
от точки Р до центра кривизны траекто-
рии в этой точке.
Положение центра кривизны С отно-
сительно точки Р (рис. 1.2) можно вычис-
лить по формуле
rcp = P<V
Два ортогональных вектора и, и uw
определяют плоскость движения точки Р,
в которой она находится в текущий момент
времени. В следующий момент времени
эта плоскость может изменить свое по-
ложение в пространстве при движении
точки Р. Такую плоскость, построенную
в конкретный момент времени, называют
оскулирующей.
Введением в точке Р через векторное произведение единичных векторов
и, и и„ единичного вектора и^,, называемого бинормальным и направленно-
го перпендикулярно оскулирующей плоскости, можно построить новую СК,
связанную с движущейся точкой Р: = и, х и„.
Предположим, что точка Р за малое время dt прошла путь ds (см. рис. 1.2,
выделена серым тоном). Используя оскулирующую плоскость, построенную
в начальный момент времени, можно записать
ds = pdcp, т. е. s = рф или ф =
Р
(1-2)
Пример 1.2
В прямоугольной СК для текущего момента времени заданы радиус-век-
тор, скорость и ускорение точки:
г = 200i + 750j + 123k (м);
v = 13i + 107j + 58k (м/с);
а = lli + 178j + 67k (м/с2).
Требуется найти координаты центра кривизны.
Решение
1. Определим скорость точки:
16
1.1. Кинематика
v = ||v|| = 7132 +1072 + 582 =122,401 м/с.
2. Зная вектор скорости, можно определить единичный тангенциальный
вектор uz:
v = 13i + 107j + 58k = 0 10620i + 0 87418j + 0,47385k.
' v 122,401 ’ j ’
3. Определим тангенциальную проекцию вектора ускорения, используя
скалярное произведение векторов а и и,:
at = аи, =(lli + 178j + 67k)(0,106201 + 0,87418j + 0,47385k) = 188,52 (м/с2).
4. Величина вектора ускорения
а = ||а|| = 7112 +1782 + 672 = 190,51 (м/с2)
7 г J » 2 2 2
в оскулирующей плоскости, согласно теореме Пифагора, получим a = at +ап,
откуда а„ = <ja2-a2 = 7190,512-188,522 = 27,46 (м/с2).
5. Определим единичный нормальный вектор скорости и„, который мо-
жет быть записан в соответствии с приведенным выше определением уско-
рения в виде
u„=—(а-а,и,) =
= —1—[(1И +178 j + 67k) -188,52(0,106201 + 0,87418j + 0,47385k)] =
= -0,3285 li + 0,48064j- 0,81306k.
6. Определим радиус кривизны траектории по записанному ранее опреде-
лению нормальной составляющей вектора ускорения ап = v2/p:
7. Поскольку положение центра кривизны С во введенной СК задается
вектором гс, то
rC=r + rCP=r + Pun =
= 2001 + 750j + 123k + 545,5 (-0,3285 И + 0,48064j - 0,81306k) =
= 20,80i +1012,19 j - 320,53k,
т. e. координаты точки С: x = 20,80 м, у - 1012,19 м, z = -320,53 м.
17
Глава 1. Основные сведения из кинематики и динамики твердого тела
1.2. Масса, сила и законы Ньютона
Масса, длина и время входят в число основных физических понятий и не мо-
гут быть строго определены через другие понятия. С одной стороны, масса
может считаться некоторой оценкой количества материи в каком-либо теле,
с другой — мерой инерционности этого тела, т. е. способностью противосто-
ять изменению движения при действии на него сил. Силу можно рассматри-
вать как меру воздействия одного физического тела на другое через прямой
контакт или на расстоянии. Ко второму случаю сил относят силы гравитации.
С точки зрения Стандартной модели физики элементарных частиц фундамен-
тальные взаимодействия (слабое, электромагнитное и сильное) осуществля-
ются посредством обмена так называемыми калибровочными бозонами. При
этом гравитационное взаимодействие Стандартной моделью не объясняется
и не описывается.
1.2.1. Закон всемирного тяготения
Закон гравитации был сформулирован И. Ньютоном как описание силы вза-
имного притяжения двух тел массами тх и т2 в виде
Fg=G^~-
(1-3)
где G = 6,6742 • 1011 м3/(кг • с2) — универсальная гравитационная постоянная;
г — расстояние между массами тх и т2 (м), считающимися точечными.
Следует отметить, что обычно притягивающие массы не являются то-
чечными, но для сферических объектов с равномерно распределенной плот-
ностью вещества эта формула оказывается справедливой. Далее, если это не
будет оговорено особо, будем считать, что вся масса притягивающих тел со-
средоточена в их центре.
Воздействие большой массы, например, Земли, на массу, имеющую зна-
чение на много порядков меньшее, например, человека, называется весом W.
Тогда, если обозначить массу большого объекта через М, а меньшего через т,
вес малого тела определяется в виде
Мт (GM
W = G—^- = m\ ——
или
W=mg(H),
где
GM
8 =
(1-4)
(1.5)
ускорение свободного падения, м/с2.
В системе СИ принято стандартное значение ускорения свободного па-
дения g0 = 9,80665 м/с2. Тогда для любой высоты полета z можно определить
ускорение свободного падения:
18
1.2. Масса, сила и законы Ньютона
(1.6)
Re
s^8otd—7-
(Л£ + г)
Из приведенной зависимости (рис. 1.3)
следует, что даже на высотах 8000 км уско-
рение свободного падения не равно нулю,
тем более это справедливо для низких
(200...500 км) орбит. Значения ускорения
свободного падения 0,1 g0 и ниже достига-
ются при высотах орбит более 60 тыс. км.
Пример 1.3
Самолет летит по параболической тра-
ектории, как показано на рис. 1.4. Как дол-
жен зависеть траекторный угол самолета у
от скорости v, чтобы пассажиры пребыва-
ли в состоянии невесомости? Пренебречь
кривизной Земли.
Рис. 1.3. Зависимость ускорения
свободного падения от высоты
Решение
На рис. 1.5 видно, что для «плоской»
Земли df = -dtp (1.7), т. е. У = ~Ф (1.8),
что следует из приведенной выше форму-
лы (1.2), тогда
py = -v.
Рис. 1.4. Траектория движения сво-
бодно брошенного тела без учета
влияния атмосферы
(1-9)
Нормальное ускорение как компоненту ускорения свободного падения,
направленную к центру кривизны траектории, можно определить по формуле
19
Глава 1. Основные сведения из кинематики и динамики твердого тела
Подставляя эту формулу в соотношение (1.1), получаем радиус кривизны
траектории:
v2
Р =------•
geos у
С учетом формулы (1.9) получаем зависимость для траекторного угла:
•,= gcosy
v
Из решения этого дифференциального уравнения следует
y(Z) = 2arctg
Второй закон Ньютона, импульс и момент силы
Воздействие силы на тело приводит к изменению его движения, которое
определяется вторым законом Ньютона. Если предположить, что изначаль-
но тело массой т находилось в состоянии
покоя либо совершало равномерное пря-
молинейное движение, обозначить равно-
действующую сил, действующих на это
тело Fz, то вследствие действия этой силы
тело приобретет ускорение а (рис. 1.6):
Fz = ета. (1.10)
В уравнении (1.10) а — абсолютное
ускорение центра масс движущегося тела.
Абсолютное ускорение измеряется в СК, не
имеющей ни поступательного, ни цент-
Рис. 1.6. Вектор абсолютного уско- ростремительного ускорения относитель-
рения частицы коллинеарен векто- но неподвижных звезд. Такая система
ру действующей на частицу силы координат называется абсолютной или
инерциальной.
Интеграл от силы F за некоторый промежуток времени называется им-
пульсом силы
(1.11)
А
Для постоянной массы
I Г л
1Е = т—at = ту2 -wvP
* dt
(1.12)
20
1.2. Масса, сила и законы Ньютона
Отсюда приращение скорости тела вследствие действия приложенного
к нему импульса силы
Av =—. (1.13)
т
Если Fe = const, то IE = F£Az и выражение (1.13) принимает вид
Fv
Av =—А/. (1-14)
т
Еще одним важным понятием является момент силы. Для точки мас-
сой т можно определить момент силы Fz относительно центра системы ко-
ординат О'.
=rxFs.
Выполнив подстановку (1.10), получим
t/v
=rxwa = rxw—. (1-15)
Полагая, что масса тела не изменяется, можно записать
dv d (dr \ d
rx/w— = —(rxwv)- —xwv =—(r x my) - (v x my).
dt dC ’ \dt ) dC 7 k 7
Поскольку yxmy = w(vxv) = 0 вследствие определения векторного произ-
ведения, уравнение (1.15) можно привести к виду
(1.16)
dt
где Но — угловой момент относительно точки О:
Но = гхту. (1.17)
Таким образом, как действие силы на частицу изменяет ее движение, так
и момент этой силы относительно неподвижной точки приводит к изменению
момента импульса относительно этой точки. Интегрируя уравнение (1.16),
получаем
h
-HOi. (1.18)
h
Здесь слева — суммарный угловой импульс. Его можно рассматривать как
аналог линейного импульса, т. е. импульса, рассчитываемого по выраже-
нию (1.12).
Пример 1.4
Частица массой т закреплена в точке О нерастяжимой невесомой нитью
длиной / (рис. 1.7). Изначально нить провисает; частица движется влево со
21
Глава 1. Основные сведения из кинематики и динамики твердого тела
скоростью v0. Рассчитать скорость частицы в момент, когда нить натянется.
Кроме того, вычислить среднее натяжение в нити за небольшой промежуток
времени AZ, необходимый для изменения направления движения частицы.
Решение
В соответствии с рис. 1.7, в начальный момент времени положение и ско-
рость частицы составляют
Рис. 1.7. Частица прикреплена
в точке О нерастяжимой неве-
сомой нитью
г, = ci + (Zj; Vj = -voi.
Угловой момент частицы относитель-
но точки О
Hj = Г] х WV] =
-wv0
= wvok. (а)
В тот момент времени, когда нить
натягивается, частица имеет положение
и скорость
r2 = -yll2-d2i + dj; v2 = vxi + vyj
(б)
и ее угловой момент принимает вид
Н2 = г2 х ту 2 =
(в)
j k
d О
О О
Изначально сила натяжения нити, действующая на частицу, равна нулю.
Когда нить будет натянута, вектор силы натяжения, действующей на частицу
массой т, пройдет через точку О, т. е. ее момент останется нулевым. Соглас-
но уравнению (1.18),
H2 = HP
Сопоставляя уравнения (а) и (в), получаем
vxd + vy J I2 -d2 = -vod. (г)
Поскольку нить нерастяжима, то частица не движется вдоль нее, т. е. ско-
рость частицы перпендикулярна радиусу-вектору:
v2 • г2 = 0.
Подставляя значения положения г2 и скорости v2 в момент натяжения
нити в уравнение (г), получаем
22
1.3. Определение производных по времени для векторов постоянной длины
/2
vy=M32-1’ (д)
V d
откуда получаем
d2 d Г!2
Vj,=--Vo^l-— (е)
Таким образом, скорость в момент натяжения нити
Г~2 2 d
V = y]Vx+Vy ИЛИ V = —VQ.
По формуле (1.12) можно рассчитать импульс силы, действующей на ча-
стицу в течение времени, за которое нить натянется:
I = w(v2 - vj = т
d2 • d i d2 • (
“7rV°1“7\”7’VoJ
. d1} .
i—-j- /wol-
I i
Проекция вектора импульса на вектор, направленный вдоль нити,
т 1 d2
Следовательно, средняя сила натяжения нити в течение малого проме-
жутка времени Дг, необходимого для изменения направления вектора скоро-
сти, составит
F = — = 1 d2 mvo
м N I2 ы
1.3. Определение производных по времени
для векторов постоянной длины
На рис. 1.8 показан вектор A(t), связанный с твердым телом В, которое дви-
жется относительно инерциальной системы координат. Абсолютная величина
вектора постоянна. Тело В показано дважды в моменты времени, разделен-
ные малым отрезком dt. В момент времени t + dt ориентация вектора немно-
го отличается от начальной. В соответствии с теоремой Эйлера существует
уникальная ось вращения, вокруг которой тело В вращается в плоскости
(см. рис. 1.8, выделена тоном) в течение некоторого малого интервала време-
ни dt с угловой скоростью <». За это время вектор А(?) перейдет в положение
23
Глава 1. Основные сведения из кинематики и динамики твердого тела
Рис. 1.8. Изменение положения твердого тела
А(/ 4- dt), повернувшись на угол dQ. Разность dA между А(7) и A(t + dt) можно
записать в виде
ы
JA = [(||A||sm(p)JG^n, (1-19)
где п — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, заданной векто-
ром А и осью вращения, указывает направление вращения; угол <р задает на-
клон оси вращения.
По определению,
</0 = ||(»||</Л (1.20)
где ®> — вектор угловой скорости, направленный вдоль мгновенной оси вра-
щения; его направление определяется правилом правой руки.
Производная по времени от ®> называется угловым ускорением и обозна-
чается символом а:
Подставляя формулу (1.20) в выражение (1.19), получаем
dA = ||А||sin ф||<о||Л • п - (||<о|| • ||A||sinф)ndt, (1-22)
что соответствует определению векторного произведения
dA = о х Adt.
Перенесем дифференциал dt влево, с учетом
©х А — ||ю||-1|А||sin<р-п, (1-23)
24
1.3. Определение производных по времени для векторов постоянной длины
можно записать
— = <охА. (1-24)
dt
Таким образом, выражение (1.24) может быть использовано для полу-
чения производной по времени для любого вектора, имеющего постоянную
длину.
Пример 1.5
Вычислить вторую производную по времени для вектора А, имеющего
постоянную длину.
Решение
Продифференцируем выражение (1.24) по времени:
d2 А (1 t/A (1 d<$ с/А
— - ........— - — (со х А) =-------х А 4- о х —
б/Г dt dt dt dt dt
Используя выражения (1.21) и (1.24), получаем
d2A
~dt2~
= «х А + шх((ох А).
(1.25)
Подвижная (неинерциальная) система координат
Пусть XYZ — неподвижная инерциальная (абсолютная) СК, a xyz — под-
вижная СК (движущаяся неравномерно и непрямолинейно), как показано на
рис. 1.9. Подвижная СК обычно связана с каким-либо телом, которое может
двигаться как свободно, вследствие ранее действовавших, но неизвестных
причин, так и вследствие приложения
к нему каких-либо внешних воздействий.
Единичные векторы осей абсолютной
СК I, J, К, единичные векторы вдоль осей
подвижной системы координат i, j, k.
Предположим, что движение подвиж-
ной системы координат является произ-
вольным, ее абсолютная угловая скорость
равна £2. Также предположим, что под-
вижная СК жестко связана с некоторым
движущимся объектом. В этом случае
объект называется телом координат, а оси
подвижной СК называются осями тела.
Пусть Q — произвольный вектор,
зависящий от времени. Его компонен-
ты вдоль осей абсолютной СК запишем
в виде
Рис. 1.9. Инерциальная (а) и под-
вижная (б) СК
25
Глава 1. Основные сведения из кинематики и динамики твердого тела
Q ~ + SyJ + QzK>
где Qx, Qy, Qz зависят от времени. Поскольку векторы I, J, К неизменны, то
JQ dQx т dQy т dQz
производная по времени — = —— 1 +------J +---К определяется доста-
точно просто. Л Л dt dt
Также вектор Q может быть записан в подвижной СК в следующем виде:
+ (Ь26)
В этой СК единичные векторы i, j, к уже зависят от времени, поэтому
dQ dQ . dQ . dQ di dj dk
— = ^4 +—-j + -^-k + O — + QV — + C>—.
dt dt dt dt x dt y dt z dt
(1-27)
Учитывая, что угловая скорость движущейся СК равна £2, и используя
выражение (1.24), запишем:
t/i „ . dj Л . dk _ ,
— = £2xi, — = £2xi, — = £2xk.
dt dt dt
Подставляя полученные зависимости в соотношение (1.27), получаем
— = + + + Q (£2xi) + £>(£2х j) + (X(£2xk) =
dt dt dt J dt l) Л ’
= ^i + ^j + ^k + (£2xgi) + (ftx2 j) + (£2x£ k) =
dt at dt x 7 7
= j++«* (a«+Qvi+Q*)-
at at at 7
Тогда
!i Q.
dt dt 0TH
где
dt dt dt dt
(1-29)
Здесь
dt
является производной по времени вектора Q в подвижной СК.
отн
Из уравнений (1.28) следует, что вычисленная производная некоторого век-
тора Q по времени в абсолютной СК совпадет с такой же производной в под-
вижной СК только в случае поступательного движения последней.
Уравнения (1.28) можно использовать рекурсивно для вычисления произ-
водных по времени высших порядков. Например, вновь дифференцируя урав-
нение (1.28) по /, получаем
26
1.4. Уравнения движения в неинерциальных системах координат
d2Q d dQ d€l Л _ dQ
di1 dt dt OTH dt dt
далее
d2Q d dQ dQ. Л Л [jQ
—= — + xQ + flx —-
dt1 dt dt OTH dt dt
+ £2xQ
(1.30)
Из соотношения (1.28) также можно найти
где
d dQ d2Q Л dQ
dt dt dt dt
0TH OTH
(1-31)
d2Q
dt2
d2Qx. d2Q . d2Q,
= ——r£j+—~k.
dt2 J dt2
dt2
OTH
Подставив соотношение (1.31) в уравнение (1.30)
d2Q d2Q „ dQ d£2 _ dQ 1
di2 dt2 + £2x — dt ОТ» от» + xQ+ftx dt +SlxQl, (1.32) OTH J
и приводя подобные, получаем
d2Q d2Q
dt2 dt2
ОПТ
+ fixQ + £lx(i2xQ) + 2flx^-
OTH
где О s dQ./dt — абсолютное угловое ускорение подвижной СК.
1.4. Уравнения движения в неинерциальных
системах координат
Пусть Р — частица, движущаяся по произвольной траектории. Абсолютное
положение частицы Р задается вектором г, а положение в подвижной СК —
вектором готн. Если г0 задает абсолютное положение начала подвижной СК,
то, как следует из данных рис. 1.10,
г = го + готн- С1-33)
В свою очередь, в подвижной СК представляется как
Готн = *‘+Л +zk, (1.34)
где x,y,z — координаты частицы Р в этой СК.
Абсолютная скорость v частицы Р, определяемая как dr/dt, из уравнения
(1.33) может быть записана в виде
27
Глава 1. Основные сведения из кинематики и динамики твердого тела
Рис. 1.10. Положение точки Р в аб-
солютной и относительной СК
v = vo+^-, (1.35)
at
где N$=droldt — абсолютная скорость
подвижной СК xyz. Из уравнения (1.28)
следует, что
^H- = vOTH+ftxrOTH, (1.36)
где v0TH — скорость Р в системе координат
xyz,
V
Тотн
drmH dx. dy • dz,
—— =—1 + —j + —k.
Л oth di dt dt
(1-37)
Подставляя соотношение (1.36) в выражение (1.35), получаем
v = vo + QxrOTH + vOTH. (1.38)
Абсолютное ускорение а частицы Р есть dv/dt, поэтому из уравнения
(1.35) следует
а = а0 + —f*-, (1.39)
dt
где ао = dv0/dt — абсолютное ускорение подвижной СК xyz.
Второе слагаемое в уравнении (1.39) можно представить в соответствии
с уравнением (1.32) в виде
= + £2 х rOTH + SI X (£2 X готн ) + 2£1 х
dt dr dt
отн
(1-40)
Поскольку v^n, /Л)!^ и аотн =(б/2готн/^2)|^, то можно
записать
J2r
?F:L = aaiH +^хготн + Йх(£2хготи)ч-2£2х v0Th- (1-41)
dr
Подставив этот результат в уравнение (1.39), найдем
а а0 + £2 х гОТТ1 + £2 х (£2 х готи ) + 2£2 х vam + аагн. (1.42)
Векторное произведение 2£2 х v0TH называется ускорением Кориолиса.
28
1.4. Уравнения движения в неинерциальных системах координат
Некоторые системы координат, связанные с Землей
На рис. 1.11 представлено несколько СК, связанных с Землей, в которых мо-
жет быть описано движение частицы Р. Земля считается сферой.
Рис. 1.11. Геоцентрическая инерциальная СК XYZ\ геоцентрическая неинер-
циальная (вращающаяся вместе с Землей) СК x'y'z'-, неинерциальная, пунк-
товая система координат xyz с центром в точке О на поверхности Земли
Абсолютная геоцентрическая (АГСК) XYZ. Начало АГСК связано с цен-
тром масс Земли С, ось X направлена в точку весеннего равноденствия, ось Z
совпадает с осью вращения Земли, ось Y дополняет АГСК до правой.
Гринвичская СК (ГСК) x'y'z'. Начало ГСК связано с центром масс Зем-
ли С, ось х' направлена в точку пересечения гринвичского меридиана с эк-
ватором, ось z' совпадает с осью вращения Земли, ось у' дополняет ГСК до
правой.
Пунктовая СК (ПСК) xyz. Начало ПСК в точке О, определяется геогра-
фической широтой ф и долготой Л этой точки (пункта). Ось z направлена
в зенит и соединяет центр масс Земли С и начало координат О, ось у направ-
лена на северный полюс, а ось х дополняет СК до правой.
Угол между осями X и х', обозначенный 0g, определяется звездным вре-
менем и зависит от угловой скорости Земли Q. Точка Р является телом (на-
пример, самолетом, космическим кораблем и т. д.), которое движется в про-
извольном направлении над поверхностью Земли.
29
Глава 1. Основные сведения из кинематики и динамики твердого тела
На рис. 1.11 готн — радиус-вектор точки Р относительно центра масс
Земли С во вращающейся системе координат x'y'z'. В приведенный момент
времени точка Р находится непосредственно над точкой О, которая лежит на
земной поверхности на долготе Л и широте <р. Точка О совпадает с началом
ПСК xyz. Положим, что х и у направлены на восток и на север вдоль мест-
ных широты и меридиана соответственно. Касательная плоскость к земной
поверхности в точке О задает местный горизонт. Ось z местной вертикали
направлена радиально вверх от центра масс Земли. Единичные векторы xyz
обозначим i, j, к. Точка О всегда лежит прямо под точкой Р, поэтому когда
точка Р движется, то движутся и оси xyz. Таким образом, векторы i, j, к из-
меняют свое направление, когда точка Р меняет положение.
Найдем абсолютную скорость и ускорение точки Р. Удобно сначала по-
лучить скорость и ускорение Р по отношению к невращающейся Земле, а за-
тем использовать уравнения (1.38) и (1.42) для расчета их неинерциальных
значений.
Вектор относительного положения можно записать в виде
r<xni = (/?£ + z)k, (1.43)
где RE — радиус Земли; z — высота точки Р над Землей. Производной по вре-
мени от готн является скорость vOTH по отношению к невращающейся Земле:
V<-«=%L = ik + (^ + Z)^' <144>
at at
б/k
Для вычисления — нужно использовать уравнение (1.24). Угловая ско-
dt
рость о в подвижной системе координат xyz по отношению к невращающейся
Земле определяется по скорости изменения широты (р и долготы Л:
(o = -<pi + Acos<pj + Asin(pk. (1-45)
Таким образом, можно записать
б/к
— = сохк = Acos(pi + (pj. (1-46)
dt
Для других единичных векторов аналогично можно записать
— = (ох j = -Asinq>j-<pk; (1-47)
dt
— = (oxi = Asin(pj-Acos<pk. (1.48)
dt
Подставляя уравнение (1.46) в уравнение (1.44), получаем
voth =xi + yj + zk, х = (Re + z)Acos(p, y = (RE + z)q>. (1.49)
30
1.4. Уравнения движения в неинерциальных системах координат
Часто удобно использовать эти результаты для выражения скоростей из-
менения широты и долготы в единицах относительной скорости на поверх-
ности Земли:
5 7 V / _ \ •
Re + z \Re + z)cos(p
Производные по времени от этих двух выражений имеют вид
.. (T?£+z)y-yz _ (Re + z)xcos<p-(zcos<p-ysin(p)x
(J?£ + z)2 (Re + cos2 ф
Ускорение точки P по отношению к невращающейся Земле можно полу-
чить, используя производную по времени от v0TH. Из уравнений (1.49) получаем
......... . di .di .dk
а—,, = ля + у, + zk + х— + у— + z— =
°™ dt Л dt dt
= ^zAcoscp + (7?£ + z)Acoscp-(/?£ + z)q>Asinq>]i +
+ [гф + (Я£ + z)(p]j + zk + (T?£ +z)Acos(p(roxi) +
+ (/?£ +z)q>(<Bx j) + z(<uxk).
Подставляя в это уравнение выражения (1.46-1.48) вместе с (1.50) и
(1.51), после упрощения имеем
x(z-ytg<p)
Re + z
®отн
Я£+г
Я£ + г
,-.2 >
к. (1.52)
• 2
Отметим, что, пренебрегая кривизной поверхности Земли, можно запи-
сать, считая величину (RE + z) бесконечно большой,
аптн I „ о = xi + yj + zk.
°тн । для плоской Земли z J
То есть для плоской Земли компоненты относительного вектора уско-
рения являются только производными от компонент вектора относительной
скорости.
Для абсолютной скорости, согласно уравнению (1.38), имеем
v = vc + SI X r0TH + VOTH. (1.53)
Единичный вектор
К = coscpj + sincpk,
т. е. угловая скорость Земли
SI = QK = Qcoscpj + Qsincpk. (1.54)
Подставляя это значение вместе с уравнениями (1.43) и (1.49) с учетом,
что vc = 0, в уравнение (1.53), получаем
31
Глава 1. Основные сведения из кинематики и динамики твердого тела
v = [х + £2 + z) cos <р] i + yj + zk.
Из уравнения (1.42) следует, что абсолютное ускорение точки Р
а = ас + Si х готп + £2 х (£2 х rOTH ) + 2£2 х v0TU + а,
4>ru *
а =
Поскольку как ac = £2 = 0, находим, подставляя в уравнения
(1.49), (1.52) и (1.54), что
.. x(z-ytg(p) . Л.
х + —--------3 4 + 2Q(zcos(p-ysin(p) 1 +
+ z
• • • 2
i;j_ + Qsjn(p|'Q^£ +z)cos(p + 2x] j +
(1-55)
(1-43),
(1.56)
Re + z
• 2 -2
z-----——Qcos(p[Q(7?£ + z)cosq> +
+z
Ниже приведены некоторые частные случаи уравнений (1.55) и (1.56).
1. Полет в плоскости ху с постоянной скоростью: z = z = х = у = 0.
v = (x + Q(7?£ + z)cos<p)i + yj;
(1-57)
а-
лтИяф . |.
-2——+ 2Оу8Шф 1 +
k??£ + z y
•2 _
X + Qsin9[Q(7?£+ z)cos9 + 2x] j-
/?£ + Z
<-2 -.2
------— + Qcos<p[Q(7?£ + z)cos<p + 2x] k.
_ Е Z
2. Полет на север (вдоль оси у) с постоянной скоростью и высотой:
z = z = x = x = y = 0.
v = С1(/?£ +z)coscpi + yj;
а = -2Qy sin epi + £12 (Re + z) sin ф cos -
(1.58)
•2
— + fi2(/?£ +z)cos29 k.
re +z
3. Полет на восток (вдоль оси х) с постоянной скоростью и высотой:
z = z = x = y- y-0.
32
1.4. Уравнения движения в неинерциальных системах координат
v = (x + Q(J?£ + z)cos(p)i;
• 2
а =
+ Qsin(p[Q(7?£+ z)cos<p + 2xj j-
Re + z j
x2 "I
------+ Qcos(p[Q(/?£ + z)cos<p + 2i] k.
T?£ + z
4. Полет прямо вверх (вдоль оси z): х = х = у = у = 0.
v = Q(7?£ + z) cos <pi + zk;
a = 2Q (z cos q>) i + Q2 (/?£ + z) sin (p cos (pj+
+(z-Q2(7?£ +z)cos2<p)k.
5. Для неподвижной в системе координат xyz точки Р:
x = x = y = y = z = z = 0.
v = О(Т?£ + z)cos (pi;
a = Q2(7?£ + z)sin<pcos(pj-Q2(J?£ + z)cos2<pk.
(1-59)
(1.60)
(1.61)
Пример 1.6
Самолет массой 70 000 кг летит на север из точки, расположенной на
30° с. ш. на высоте 10 км со скоростью 300 м/с.
Рассчитать: 1) компоненты абсолютной скорости и ускорения вдоль осей
ПСК; 2) силы, действующие на самолет.
Решение
1). Учитывая, что период вращения Земли вокруг своей оси относительно
неподвижных звезд (сидерический период) равен 23,93 ч, можно определить
угловую скорость вращения Земли:
Q =-------------=-------=--------= 7,292 • 10 5 рад/с. (a)
сидер, сутки 23,93 ч 86160 c
Согласно уравнению (1.58), абсолютная скорость самолета
v = Q (Re + z)cos (pi + yj = [(7,292 • 10"5) (6378 +10) • 103 cos 30°] i + 300j
или v - 403,4i + 300j (м/с). При этом составляющая скорости самолета вдоль
оси х, равная 403,4 м/с, полностью обусловлена вращением Земли.
Из уравнений (1.58) следует, что абсолютное ускорение
33
Глава 1. Основные сведения из кинематики и динамики твердого тела
a = -2Qysin<pi + Q2(2?F + z)sin<pcos(pj-
——— + Q2 (Л£ + z)cos2 <p
k =
= -2 (7,292 • 10“5) 300 sin 3 0°i +
+(7,292 • 10“5)2 (6378 +10) 103 sin30ocos30°j -
----+ (7,292 - IO’5 )2 (6378 +10)•IO3 cos2 30°
(6378+ 10) IO3
к
ИЛИ
a = -0,02187i + 0,01471 j — 0,03956k (м/с2). (6)
Составляющая ускорения, направленная на запад и равная 0,02187 м/с2,
является ускорением Кориолиса.
2). Поскольку ускорение в уравнении (б) является абсолютным, то можно
использовать его для расчета силы, действующей на самолет в соответствии
с законом Ньютона:
Fz = >иа = 70 000(-Ю,02187i + 0,0147lj - 0,03956k) = -153И + 1029j - 2769k (H).
На рис. 1.12 показаны компоненты этой относительно небольшой силы.
Компоненты силы, направленные вдоль оси у (вперед) и z (вниз) определяют-
ся центростремительным ускорением самолета, вызванным вращением Зем-
ли; кроме того, компонента, направленная вниз, также определяется кривиз-
ной Земли. Сила, направленная на запад, коллинеарна ускорению Кориолиса
и обусловлена совокупными эффектами вращения Земли и движения само-
лета. Эти внешние силы всегда действуют на самолет при полете по заданной
траектории.
На восток
х -----------
Рис. 1.12. Компоненты силы, действующей на самолет
34
Основные соотношения
В вертикальном направлении равнодействующая сил складывается из
подъемной силы L крыла и веса W летательного аппарата, т. е.
FLi -L-IV--2769 => L = JF-2769(H).
Вращение Земли и ее кривизна создают центростремительную силу, при-
водящую к небольшому снижению веса самолета; для приведенного случая
она равна примерно 0,4 %. Центростремительная сила приводит также и к ка-
жущемуся увеличению тяги в направлении полета на 1029 Н, т. е.
= 7 - Z) =-2769 Н,
где Т — тяга двигателей, D — сопротивление движению. Следовательно, Т =
= D + 1029 (Н). Сила 1531 Н, направленная влево по направлению движения
самолета, требуется для того, чтобы сбалансировать силу Кориолиса, которая
в противном случае отклонит самолет вправо от траектории полета.
Основные соотношения
Положение, скорость и ускорение точки в инерциальной СК как функции
времени:
r(z) = x(r)i + y(/)j + z(Ok;
.. dx(t). dy(t) . dz(t) ... ... ...
v(0 = ~J + —= vx(r)i + v (t)j + vz(/)k;
at at at
.. dvx(t). dv(t). dv,(f), ... ... ...
a(0 = i + j + k = ax (01 + a (0J + az (0k.
dt dt dt y
Определение единичного вектора в направлении скорости:
v V, . V V Г-2 2 2
и/=П = —* + —J + —k> v = jvx+vy+vz-
||v|| V V V V z
Составляющие ускорения — трансверсальная и нормальная, радиус кри-
визны траектории соответственно:
v2
az=v = 5, ап=—; (1.1)
Р
v
<й = р<7ср, ф = —. (1.2)
Р
Закон всемирного тяготения, вес, ускорение свободного падения:
F Gm^. G = 6,6742 10’n м3/(кг с2); (1.3)
г
35
Глава 1. Основные сведения из кинематики и динамики твердого тела
Импульс силы:
Мт (GM
W = G-^- = m\ —г”
г \ г
GM R2e
g=—; g=g0/„- £ ?2-
r (Re+z)
I = jFrf<.
Для постоянной массы
Момент силы относительно точки О:
=rxFE;
dv
=гхтя=гхт—;
dt
Мл = ^-,
dt
где Но — угловой момент относительно точки О,
М.
Но - г х mv;
(1-4)
(1.6)
(1.Н)
(1-12)
(1-15)
(1-16)
(1-17)
(1.18)
Производные по времени перемещающегося в пространстве вектора А
постоянной длины:
JA д
— = ®хА; (1.24)
at
^-^ = ах А + ох(шх А). (1-25)
dt~
Кинематические соотношения для относительного движения:
Q — произвольный вектор, зависящий от времени;
в инерциальной СК — Q = Qxl + + Qz&;
в подвижной СК — Q = Qxi + Qy) + Qzk; (1.26)
_ = dQ_
dt dt
+ S2xQ; (1.28)
OTH
36
Вопросы и задачи
dQ dt (1-29)
отн dt dt dt
Г = Г(? + Готн; (1-33)
Г *отн = xi + yj + zk; (1.34)
V = - v l ^ora • ° dt (1.35)
^Гогн _ dt ^OTH X ®OTH ’ (1.36)
^отн _ ^*отн dt dx. dy . dz * = —1 +—j + —k; оуд dt dt dt (1.37)
V = N0 + fl X Готн + Voth; (1.38)
а = j2 « a rOTH . a<9 + , 2 ’ dt1 (1.39)
dt2 4* 11X Готн -h ft X (ft X Готн ) 4* 2ft X V0TH, (1.41)
а = а0 + £1хг от + x X ro.nl ) 4- 2ft x vorH 4- a0TH. (1-42)
Ускорение Кориолиса:
20, х vOTH.
Вопросы и задачи
1. Дайте определение оскулирующей плоскости.
2. Вычислите, на каком расстоянии от центра Земли, согласно закону все-
мирного тяготения, ускорение свободного падения будет меньше 10~5 м/с2?
3. Может ли движущаяся система координат быть инерциальной?
4. Как связаны между собой абсолютная геоцентрическая система коор-
динат и гринвичская система координат?
5. Самолет движется на постоянной высоте h над горизонтальной поверх-
ностью со скоростью v. В некоторый момент времени он пролетает над стан-
цией слежения. Найдите законы изменения угловой скорости 0 и углового
ускорения 0 луча станции слежения, направленного на самолет, и дальность
до него.
Глава 2
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Уравнения движения в инерциальной системе отсчета, —
Потенциальная энергия и задача двух тел для сферических
тел, — Уравнения относительного движения. — Угловой
момент и формулы орбитального движения. — Секториаль-
ная скорость. Второй закон Кеплера. — Эксцентриситет
орбиты. — Уравнение орбиты. Первый закон Кеплера. —
Замечание о постоянных интегрирования. — Скорости дви-
жения по орбите. — Закон сохранения энергии. — Круговые
орбиты (е = 0). — Геостационарная орбита. — Эллипти-
ческие орбиты (0 < е < 1). — Уравнение эллиптической
орбиты в канонической форме. — Период эллиптической ор-
биты. Третий закон Кеплера. — Среднее расстояние между
телами на эллиптической орбите. — Параболические тра-
ектории (е = 1). — Каноническое уравнение параболической
траектории. —Гиперболические траектории (е >1). —Пе-
рифокальная система координат. — Функции Лагранжа. —
Аппроксимация функций Лагранжа полиномами. — Основ-
ные соотношения. — Вопросы и задачи
В первом приближении задача движения небесных тел и КА обычно рассма-
тривается как классическая задача двух тел, в которой под двумя телами под-
разумеваются собственно исследуемый объект, траекторию которого следу-
ет определить, и некоторое массивное тело, например Солнце или планета,
в окрестности которого первое тело движется. Вследствие разности масс КА
и, например, Земли задача двух тел рассматривается как относительное движе-
ние КА вокруг Земли. Это связано с тем, что общий центр масс системы двух
тел при таком движении практически совпадает с центром масс основного
притягивающего тела. Дифференциальные уравнения задачи двух тел могут
быть записаны в разных формах, но главная их особенность заключается в
том, что они полностью интегрируются. Решением этих уравнений являются
траектории, представляющие собой конические сечения (окружность, эллипс,
параболу или гиперболу), форма которых определяется эксцентриситетом.
Впоследствии движение небесных тел было описано дифференциальны-
ми уравнениями И. Кеплером (1571-1630), по астрономическим наблюдени-
ям были сформулированы законы движения небесных тел, получившие его
имя. Эти законы рассматриваются как следствие решения задачи двух тел.
Некоторые фундаментальные свойства орбит различных типов мо-
гут быть определены с помощью законов сохранения момента количества
38
2.1. Уравнения движения в инерциальной системе отсчета
движения и энергии. Эти свойства включают в себя период эллиптических
орбит, а также характеристическую энергию для параболических и гипербо-
лических траекторий.
Вследствие того что орбиты в задаче двух тел являются плоскими, для
описания движения по ним удобно использовать перифокальную систему ко-
ординат, которую также можно применять для описания орбит в трехмерном
пространстве. При проведении расчетов эффективным является использова-
ние функций Лагранжа, приведенных в конце главы.
2.1. Уравнения движения в инерциальной системе отсчета
На рис. 2.1 представлены две точечные массы т} ит2, на которые действует
только сила взаимного притяжения. Положение центров масс точек показано
в инерциальной СК XYZ. Начало инерциальной СК О может перемещаться
с постоянной скоростью относительно неподвижных звезд, при этом оси СК
не вращаются. Каждое из двух тел действует на другое, остальные силы в за-
даче не рассматриваются, и таким образом движение двух тел определяется
лишь силами взаимного притяжения: F12 — силой, действующей на т} от т2
и силой F21, действующей на тело т2 от тела т}.
Рис. 2.1. Две точечные массы в инерциальной СК (а) и диаграмма сил (б)
Векторы R] и R2 задают положение притягивающих тел, вектор RG —
положение центра масс G системы двух тел (так называемого барицентра)
и определяется выражением
_m1Ri+m2R2
kg - •
т} +т2
(2.1)
Абсолютные скорость и ускорение G в инерциальной СК XYZ вычисляют
по формулам
VG
- kg - ; >
т} + т2
(2-2)
39
Глава 2. Задача двух тел
Пусть г — вектор, определяющий положение тела т2 относительно тх,
тогда
г = R2 - R] (2.4)
Введем единичный вектор, коллинеарный вектору г, так чтобы
ur=-, (2.5)
Г
где г = ||г|| — длина вектора г.
Сила притяжения телом тх тела т2, согласно уравнению (1.3), с учетом
ее направления, задаваемого единичным вектором ur, составит:
ч Gm}m2 , ч
F2i=---H-(~ur) =------P(“r)> (2-6)
г г
где знак «минус» при векторе -ur учитывает тот факт, что вектор силы F21
направлен от тела т2 к телу тх. Символом G в уравнении (2.6) обозначена
универсальная гравитационная постоянная. Согласно второму закону Ньюто-
на, для тела т2 можно записать F21 = m2R2, где R2 — абсолютное ускорение
тела т2, тогда
Gmxm2 ъ
---^-ur=m2R2.
Г
(2-7)
По третьему закону Ньютона F12 = -F21, так что для тела тх
Уравнения (2.7) и (2.8) являются уравнениями движения двух тел
в инерциальном пространстве. Сложив эти уравнения, можно найти, что
WjR] + m2R2 = 0, и в соответствии с формулой (2.3) это означает, что ускоре-
ние центра масс G системы двух тел тх и т2 равно нулю, т. е. центр масс G
движется с постоянной скоростью vG по прямой линии и поэтому его радиус-
вектор в СК XYZ имеет вид
Rg=RGo+vg/, (2.9)
где RGq — положение центра масс G в момент времени t = 0. Таким образом,
центр масс системы двух тел может быть выбран как начало новой инер-
циальной системы отсчета.
40
2.1. Уравнения движения в инерциальной системе отсчета
Пример 2.1
Используйте полученные уравнения движения, чтобы показать, почему
космонавты на орбите испытывают состояние невесомости.
Решение
Вес можно определить как силу, действующую на тело там, где оно со-
прикасается, например, с Землей или в общем случае с какой-то опорой. По-
ложим, что космонавт массой тА пристегнут в кресле космического аппарата
(КА) массой ms, совершающего полет по орбите вокруг Земли. Расстояние
между центром Земли и КА равно г, масса Земли равна МЕ. Поскольку един-
ственная внешняя сила, действующая на КА, это сила гравитации F5 , урав-
нение движения КА можно записать в виде
~mSaS- (а)
Согласно уравнению (2.6),
GM
(б)
где ur — единичный вектор, направленный от центра Земли к КА.
Таким образом, из уравнений (а) и (б) можно определить ускорение КА:
В свою очередь уравнение движения космонавта имеет вид
^Ag+CA=™A*A>
(г)
где — сила тяжести, т. е. вес космонавта; СА — сила, действующая на
космонавта через удерживающие устройства (например, кресло, ремень без-
опасности); аА — ускорение космонавта. Согласно уравнению (2.6),
GMEmA t ч
*7=------Т^-^r- (Д)
« г
Поскольку космонавт движется вместе с КА, то их ускорения равны, по-
этому
GME
*A=*S =----2 ur> (е)
г
Подставляя уравнения (д) и (е) в уравнение (г), получаем выражение
GMEmA ( GMe
---£—^иг+СА =тА\--j-^-u
41
Глава 2. Задача двух тел
из которого следует, что СА = 0, т. е. сила в точке контакта, действующая на
космонавта, равна нулю. Таким образом, вследствие того, что нет реакции
опоры, нет и ощущения веса.
Потенциальная энергия и задача двух тел для сферических тел
Гравитационное взаимодействие двух сферических тел обладает потенциаль-
ной энергией, которая определяется выражением
Gmxm2
г
(2.Ю)
В свою очередь сила, порождаемая потенциальной энергией, определяет-
ся как антиградиент:
F = -VF,
(2.П)
где
(2.12)
что согласуется с записанным выше уравнением (2.6).
Можно показать, что гравитационный потенциал и, следовательно, гра-
витационная сила вне сферы со сферически симметричным распределением
масс М является такой же, как и у точечной массы Л/, расположенной в цен-
тре сферы. Таким образом, уравнения, описывающие движение двух тел, при-
менимы не только для точечных масс, но и для сферических тел (при усло-
вии, что они не вступают в контакт).
2.2. Уравнения относительного движения
С точки зрения описания движения КА целесообразным представляется по-
лучить его движение относительно большего притягивающего тела. Для вы-
вода уравнений относительного движения умножим уравнение (2.7) на т15
а уравнение (2.8) — на ти2, тогда
Вычитая второе из этих двух уравнений из первого, получаем
\ Gmxm2, ч
w1w2(R2-R1) =----HV”1+,”2)UH
Избавляясь от общего множителя т}т2, с учетом уравнения (2.4) имеем
42
2.2. Уравнения относительного движения
G(mx+m2)
Г =----------—^г-
г
Введем гравитационный параметр ц:
ц = G(mx + ти2) (км3/с2).
(2.13)
(2-14)
Используя уравнения (2.14) и (2.5), можно записать уравнение (2.13)
в виде
г
--Н-Г
г3
(2-15)
Это дифференциальное уравнение второго порядка, которое определяет
движение тела т2 по отношению к телу тх. Решение уравнения (2.15) име-
ет две векторные постоянные интегрирования, задающие начальное положе-
ние и скорость т2 в трехмерном пространстве. Всего уравнение (2.15) имеет
шесть скалярных постоянных интегрирования, которые следует определить
для получения частного решения, соответствующего начальным условиям
движения тела т2 относительно тела тх. Таким образом эти шесть посто-
янных интегрирования задают начальное со-
стояние, определяемое векторами положения
и скорости материальной точки.
Замена переменной т2 на тх приводит
лишь к смене знаков левой и правой частей
уравнения (2.15), что ничего не меняет. Та-
ким образом, движение тела т2 относительно
тела тх является точно таким же, как движе-
ние тела тх относительно тела т2 (см. далее
рис. 2.4, б).
Вектор относительного положения г
в уравнении (2.15), который был определен
в инерциальной системе координат (2.4), мож-
но использовать и для определения вектора
Рис. 2.2. Подвижная СК xyz
с центром в точке массы тх
положения г в СК, связанной с движущим-
ся телом тх. В указанной СК xyz (рис. 2.2) г
определяется из уравнения
г = xi + yj + zk.
Относительные скорость и ускорение в подвижной СК можно
найти путем дифференцирования коэффициентов при единичных векторах по
времени, учитывая, что сами единичные векторы в СК xyz не изменяются,
таким образом,
fOTH=xi + yj + zk, rOTH=xi + J5j + zk.
Из уравнения (1.40) следует связь между абсолютным г и относитель-
ным Готн ускорением:
43
Глава 2. Задача двух тел
г = г0П| + £2хг + £2х(£2хг) + 2£2 х гогн,
где £2, £2 — угловые скорость и ускорение подвижной СК. Таким образом,
г = готн только тогда, когда £2 =£2 = 0, т. е. относительное ускорение может
быть использовано в левой части уравнения (2.15) пока подвижная СК не вра-
щается.
В качестве примера движения двух тел (частиц) в инерциальной СК
рассмотрим два одинаковых тела массами тх и т2 (рис. 2.3). В начальный
момент времени t = 0 тело тх находится в состоянии покоя в начале СК,
в то время как тело т2, расположенное справа от /и15 имеет скорость v0, на-
правленную вверх вправо, под углом 45° к оси X. Последующее движение
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Рис. 2.3. Движение двух частиц равной массы под воздействием соб-
ственных сил притяжения в инерциальной СК
двух тел, обусловленное исключительно их взаимным гравитационным при-
тяжением, определяется относительно инерциальной СК с помощью уравне-
ний (2.7) и (2.8). Изображение на рис. 2.3 — результат численного решения
этих уравнений. Движение представляется довольно сложным, однако в лю-
бой момент времени t тела тх и пг2 лежат в плоскости ху, равноудалены (так
как массы тел равны) и находятся по разные стороны от их центра масс G,
движущегося по прямой линии.
На рис. 2.4, а представлено движение центра масс G двух тел массами
тх и т2 и тела тх относительно тела т2, когда с его центром связана под-
вижная СК. Если же начало подвижной СК связать с центром масс G обоих
44
2.2. Уравнения относительного движения
Рис. 2.4. Вид орбит частиц равной массы при описании движения в СК с разным по-
ложением начала отсчета:
а — при описании движения относительно точки т2; б — при описании движения относитель-
но центра масс
дел, то окажется, что и тело ти15 и тело т2 совершают движение относительно
точки G по одинаковым эллиптическим траекториям — кривым второго по-
рядка, являющимся решением уравнения (2.15) (рис. 2.4, б).
Вследствие того, что центр масс не имеет ускорения, его, как описыва-
лось выше, можно использовать в качестве начала инерциальной СК. Пусть
rj и г2 — векторы, задающие положения тел тх и т2 соответственно по от-
ношению к центру масс G (см. рис 2.1).
Тогда уравнение движения тела т2 по отношению к центру масс примет
вид
Gmxm2
----p-ur =ти2г2, (2.16)
г
как и ранее, г — вектор тела т2 относительно тела тх и г = r2 - ly
Поскольку в выбранной СК вектор положения центра масс равен нулю,
то из выражения (2.1) (w^j + w2r2 = 0) следует
т?
4=—~Г2>
7И1
т} +т9
т. е. г = —1--г2.
Подставляя этот результат в уравнение (2.16) с учетом, что ur =г2/г2,
получаем выражение
^i3w2
-G------3-3Г2=т2Г2^
\тх+т2} г2
которое после упрощения принимает вид
т\
, з Г2 “ Г2
{m}+m2Jr2
(2.17)
где ц соответствует формуле (2.14). Если обозначить
45
Глава 2. Задача двух тел
т\
<т1+т2>
то выражение (2.17) сводится к виду
Ц
*2=— з*2’
*2
что, по сути, идентично уравнению (2.15).
Аналогично уравнение движения тела тх относительно центра масс G
может быть получено в виде
ц"
ri=-—ri’
„ т2 1
где Ц = ------— Ц.
Поскольку уравнения движения любой частицы относительно их центра
масс имеют такой же вид, как и уравнения движения относительно любого
из тел — тх или т2, относительное движение, рассматриваемое с этих раз-
личных точек зрения, должно быть аналогично представленному на рис. 2.4.
2.3. Угловой момент и формулы орбитального движения
Пусть центр системы координат совпадает с центром тела массой тх. Тог-
да угловой момент тела т2 относительно тх в соответствии с определением
и выражением (1.17) можно представить в виде
Н-2/1 ~ г х т2*’
где г = v — скорость тела т2 относительно тела тх. Разделим это уравнение
на т2 и обозначим h = Н2/1 /т2, тогда
h = rxr, (2.18)
где h — угловой момент тела т2, приходящийся на единицу массы, т. е.
удельный угловой момент. (Далее термин «удельный», как правило, будем
опускать.) Единица углового момента в СИ километр в квадрате в секунду.
Производная по времени от h определяется как
dh . .
— = rxr + rxr,
dt
однако rxr = 0 и, кроме того, г = -(ц/г3)г в соответствии с уравнением
(2.15), откуда следует, что
46
2.3. Угловой момент и формулы орбитального движения
Следовательно,
— = 0 (или rxr = const),
dt
(2.19)
т. е. в любой момент времени радиус-вектор г и вектор скорости г лежат
в одной плоскости (рис. 2.5). Их векторное произведение перпендикулярно
этой плоскости. Полученный результат известен как первый интеграл задачи
двух тел — интеграл площадей, a h называют также векторной постоянной
площадей.
Рис. 2.5. Траектория тела т2 при движении вокруг тела тх лежит
в плоскости, нормаль к которой определяется угловым моментом h
Поскольку rxr = h, единичный вектор нормали к плоскости может быть
определен в виде
h = —. (2.20)
h
Согласно формуле (2.19), он является постоянным, откуда следует, что
траектория тела т2 вокруг тела тх лежит в плоскости. Этот вывод позво-
ляет рассматривать движение тел тх и т2 как плоское, что и иллюстрирует
рис. 2.6.
Далее представим вектор относительной скорости г как сумму компо-
нент vr = vrur и v„ = v„u„, являющихся проекциями вектора скорости на ради-
ус-вектор, соединяющий тела тх и т2 и нормаль к нему. Индексы г и и указы-
вают на радиальную и нормальную составляющие векторов. Тогда уравнение
(2.18) можно записать в виде
47
Глава 2. Задача двух тел
Рис. 2.6. Компоненты вектора скорости тела т2 при взгляде сверху
на плоскость орбиты
Таким образом, значение углового момента зависит только от значения
нормальной составляющей относительной скорости.
2.3.1. Секториальная скорость и второй закон Кеплера
На рис. 2.7 представлена схема движения тела т2 относительно тх. В течение
малого интервала времени dt вектор положения г заметает площадь dA. На
рис. 2.7 видно, что
48
2.3. Угловой момент и формулы орбитального движения
dA=^ (основание х высота) = ± vdt • г sin ср = ± г (v sin <р) dt — ± rvndt.
Поэтому, используя соотношение (2.21), запишем
dA h
dt ~ 2’
где dA/dt называется векториальной скоростью, и в соответствии с соотно-
шением (2.22) она постоянна. Этот результат, впервые полученный немецким
астрономом И. Кеплером на основании наблюдений за движением тел в Сол-
нечной системе, известен как второй закон Кеплера. Значение секториальной
скорости равно половине углового момента, их размерности совпадают.
2.3.2. Эксцентриситет орбиты
ц
Прежде чем приступить к интегрированию уравнений (2.15) г =—j-r, на-
помним правила преобразования векторного произведения: Г
Ах(ВхС) = В(А-С)-С(А-В). (2.23)
Отметим также, что
г • г = г2,
откуда
При этом
d , . - dr
—(rr) = 2r—.
dt dt
d, . dr dr _ dr
—(r-r) = r— + r = 2r—,
dt dt dt dt
т. e. можно записать
rr = rr или, учитывая, что r = v и г = ||r||,
r'v = llrll^-
(2.24)
(2.25)
Рассмотрим векторное произведение левой и правой сторон уравнения
(2.15) и углового момента h:
.. . Ц .
rxh-—^rxh.
г
(2.26)
Поскольку — (rxh) = rxh + rxh, левую часть векторного произведения
dt
(2.26) можно записать в виде
rxh = — (rxh)-rxh,
dt' ’
49
Глава 2. Задача двух тел
но в соответствии с уравнением (2.19) угловой момент является постоянным,
поэтому
rxh = —^(rxh). (2.27)
Правую часть векторного произведения (2.26) можно преобразовать сле-
дующей последовательностью подстановок:
-i-rxh =-^-[гх(гхг)] = (из (2.18));
= p-[r(r-r)-r(r-r)]= (из (2.23));
= -j|”r(rr)-rr2"| = (из (2.24) и (2.25));
г L J
rr-rr
л d (r\ rr-rr rr-rr
Поскольку — - =—X— =----------X—, то
dt\r J Г2 г2
1 , d ( r ~\
—rrxh =—- - . (2.28)
r3 dt\r)
Подставляя выражения (2.27) и (2.28) в уравнение (2.26), получаем
Отсюда после интегрирования имеем
rxh-p- = C, (2.29)
г
где вектор С — произвольная постоянная интегрирования (векторная посто-
янная Лапласа), имеющая размерность ц. Уравнение (2.29) является первым
интегралом уравнения движения (2.15).
Рассмотрим теперь скалярное произведение обеих сторон уравнения
(2.29) у вектора h:
(г х h) • h — ц—— = С • h.
Поскольку rxh перпендикулярен как г, так и h, то (rxh) h = 0. Ана-
логично, так как h=rxr перпендикулярен как г, так и г, то г • h = 0. Таким
50
2.3. Угловой момент и формулы орбитального движения
образом С • h = 0, т. е. С перпендикулярен h, который ортогонален плоскости
орбиты. Отсюда следует, что С лежит в плоскости орбиты.
Представим уравнение (2.29) в виде
где е = С/ц. Безразмерный вектор е называется эксцентриситетом. Прямая,
направление которой задается вектором е, называется линией апсид.
2.3.3. Уравнение орбиты. Первый закон Кеплера
Для того чтобы получить уравнение, описывающее орбиту геометрически, рас-
смотрим скалярное произведение обеих сторон уравнения (2.30) у вектора г:
Для упрощения правой части уравнения (2.31) можно использовать век-
торное тождество
А-(ВхС) = (АхВ)-С, (2.32)
чтобы получить
r-(rxh) = (rxr)-h = h-h = /j2. (2.33)
Подставляя выражение (2.33) в правую часть уравнения (2.31) и учиты-
вая, что г • г = г2, получаем
h2
r + r-e = —. (2.34)
Ц
Отметим, что в процессе преобразования уравнений (2.30) - (2.34), поте-
ряна переменная времени. Это произошло в уравнении (2.33), так как величи-
на h постоянна, т. е. не зависит от времени. Данное обстоятельство приводит
к необходимости получения в дальнейшем связи геометрического положения
тела на орбите со временем, что будет рассмотрено в главе 3.
Наконец, из определения скалярного произведения следует
re = recos fl,
где е — эксцентриситет (значение вектора эксцентриситета е); О — истинная
аномалия, определяемая как угол между фиксированным вектором е и пере-
менным вектором положения г (рис. 2.8).
В переменных эксцентриситета и истинной аномалии уравнение (2.34)
может быть записано в виде
a h2
r + recos$ = —
Ц
51
Глава 2. Задача двух тел
Рис. 2.8. К определению истинной
аномалии Ф как угла между векто-
рами е и г
или
ц l + ecos3
Это уравнение орбиты, которое опре-
деляет траекторию относительного движе-
ния тела т2 вокруг тела тх. Параметры ц,
h и е постоянны. Значение эксцентрисите-
та орбиты вследствие того, что он являет-
ся абсолютной величиной вектора эксцен-
триситета, всегда больше либо равно нулю.
Уравнение орбиты (2.35) описывает
конические сечения, в том числе эллипсы.
Это математическое выражение первого
закона Кеплера, а именно: «Планеты движутся вокруг Солнца по орбитам
в виде эллипса, в одном из фокусов которого располагается Солнце».
2.3.4. Замечание о постоянных интегрирования
В разд. 2.3 было указано, что интегрирование уравнения относительного дви-
жения (2.15) приводит к необходимости определения шести постоянных ин-
тегрирования для получения частного случая орбиты, соответствующей дан-
ным начальным условиям движения.
Выше были определены три компоненты углового момента h и три со-
ставляющие вектора эксцентриситета е, что, казалось бы, в сумме дает шесть
постоянных. Однако вектор h перпендикулярен вектору е, и это приводит
к дополнительному ограничению, накладываемому на найденные векторы:
h • е = О, поэтому в действительности знание h и е дает только пять независи-
мых постоянных интегрирования. Шестая постоянная связана со временем
движения по орбите, которое требуется определить дополнительно.
2.3.5. Скорости движения по орбите
Угловая скорость радиуса-вектора г определяется скоростью изменения ис-
тинной аномалии & Компонента скорости, нормальная радиусу-вектору по-
ложения, может быть определена по формуле
v„=r^. (2.36)
Подставляя формулу (2.36) в уравнение (2.21), получаем значение угло-
вого момента как функцию угловой скорости:
h = г23. (2.37)
Часто бывает удобно иметь формулы для вычисления радиальной и нор-
мальной составляющих скорости (рис. 2.9).
Из формул (2.36) и (2.37) следует, что
52
2.3. Угловой момент и формулы орбитального движения
и подставляя в это выражение г из уравнения (2.35), получаем
vn = ^(l + ecos3).
(2.38)
В свою очередь, так как vr = г, можно, продифференцировав уравнение
(2.35) по времени, получить выражение
d^ = tf_ e(-BsinS) eSin $ h
dt Ц (1 + ecosB)2 Н (1 + ecosB)2 г2
Здесь использован тот факт, что
д = й/г2, который следует из уравне-
ния (2.37). Подставляя уравнение орбиты
(2.35) еще раз и упрощая выражение, по-
лучаем
vr=Yesin^ (2.39)
п
Как следует из уравнения (2.35), тело
т2 подходит ближе всего к телу тх (т. е.
г имеет наименьшее значение) при = О
(если е = 0, то в этом случае расстояние
между телами т} и т2 постоянно). Точка
орбиты, в которой г = rmin, лежит на линии
апсид и называется перицентром. Для не-
которых специальных случаев движения
по орбитам этот термин можно заменять
на термины «перигей» (перицентр орбиты
вокруг Земли), «перигелий» (вокруг Солн-
ца), «периселений» (вокруг Луны) и т. д.
Расстояние перицентра, как следует из
рис. 2.9, получается путем подстановки
в уравнение орбиты истинной аномалии,
равной нулю:
Рис. 2.9. Определение положения
и скорости тела т2 в полярной си-
стеме координат с началом в центре
тела т} и вектором эксцентрисите-
та е, от которого отсчитывается ис-
тинная аномалия Ф (у — траектор-
ный угол)
г -h2 1
р ц 1 + е
(2.40)
При этом радиальная скорость движения, согласно выражению (2.39),
равна нулю.
Определим траекторный угол у, который вектор скорости v = г образует
с нормалью к радиусу-вектору (см. рис. 2.9). Из данных рис. 2.9 следует, что
tgY = —-
Vn
(2.41)
53
Глава 2. Задача двух тел
Подстановка уравнений (2.38) и (2.39) приводит к выражению
х esin$
tgy =--------
1 + ecosd
(2-42)
Поскольку cos(-f>) = cosf>, траектория, описываемая уравнением орби-
ты, является симметричной относительно линии апсид, как представлено на
рис. 2.10, где также показана некоторая хорда, т. е. прямая, соединяющая
Рис. 2.10. Фокальный параметр р и хор-
да между двумя точками орбиты
любые две точки на орбите. Хорда,
проведенная через фокус перпенди-
кулярно линии апсид, делится ею по-
полам на две равные части, каждая
длинойр\ это значение называется фо-
кальным параметром орбиты. Из урав-
нения (2.35) можно определить, что
2
р = —. (2.43)
Ц
Часто уравнение орбиты пред-
Р
ставляют в виде г --------
l + ecos3
Орбита тела т2 относительно
тела т} лежит в плоскости, поэтому
далее будем для простоты рассматри-
вать траекторию именно в этой пло-
скости; вектор эксцентриситета на-
правлен вправо, тело т2 перемещается
против часовой стрелки вокруг тела ти т. е. истинная аномалия изменяется
против часовой стрелки в сторону увеличения, что согласуется с обычным
правилом определения угла в полярной СК.
2.4. Закон сохранения энергии
В предыдущих разделах в соответствии со вторым законом Ньютона было
записано уравнение относительного движения тела г = -(ц/г3)г (2.15), из
h2 1
которого получено уравнение орбиты г-——-----— (2.35).
Рассмотрим произведение
т-,г
—— = г.
т2
При этом произведение слева является единичным относительным им-
пульсом, справа — относительной скоростью. Умножим полученное уравне-
ние на уравнение (2.15):
54
2.4. Закон сохранения энергии
(2.44)
Для левой части уравнения (2.44) заметим, что
1 d 1 d z ч 1 d i 2\ d Гv2"l
----(rr) =-----(vv) =-----V =— —
2 dC 7 2 dr ’ 2 dr ' dt[2 J
(2-45)
Для правой части уравнения (2.44), учитывая, что г г = г2 и
1 }dr
—- —, имеем
r2)dt
dt
rr rr r d (u.
ц— = н— = ц— = --d “
r r r dt\r
(2-46)
Подставляя выражения (2.45) и (2.46) в уравнение (2.44), получаем
или, после интегрирования
V2 ц
Т~7
(2.47)
где — — относительная кинетическая энергия единицы массы; — — по-
2 г
тенциальная энергия единицы массы тела т2 в гравитационном поле тела
массы тх\ 8 — константа. Общая механическая энергия, приходящаяся на
единицу массы е, равна сумме кинетической и потенциальной энергии.
Уравнение (2.47) выражает закон сохранения энергии, а именно то, что
удельная механическая энергия одинакова во всех точках траектории. Это
уравнение также известно как интеграл «живой силы». Поскольку 8 посто-
янна для любой точки траектории, ее можно оценить, например, в перицен-
тре орбиты (О = 0):
v2 ц
е = (2.48)
2 гп
где г vp — положение и скорость точки в перицентре, так как в перицентре
vr = 0, то vp = v„ = h/rp.
Тогда можно записать
1 h2 ц
8 = —г” —
Ч2
(2-49)
г г =
55
Глава 2. Задача двух тел
Подставляя уравнение (2.40) в уравнение (2.49), получаем формулу для
удельной энергии орбиты, выраженную через Ли е:
е = Чт5-(1“е2)- (2-50>
2 П
Из данного уравнения следует, что удельная энергия не является незави-
симым параметром конкретной орбиты, а может быть определена через дру-
гие ее параметры.
Необходимо отметить, что полная механическая энергия Е космического
аппарата массой т определяется по формуле
Е = тг.
(2.51)
2.5. Круговые орбиты (е = 0)
Круговые орбиты могут быть получены из общего уравнения г = -------
ц 1 + CCOsO
орбиты для эксцентриситета е = 0, тогда
й2
г = —, (2.52)
Ц
т. е. г = const, что означает, что тело т2 обращается вокруг тела тх по окруж-
ности. Поскольку г = 0, то v = vn и угловой момент, определяемый как h =
= rvn, для круговой орбиты составит просто h = rv. Подставляя выражение для
h в уравнение (2.52), получаем скорость движения тела по круговой орбите:
укруг ” (2.53)
Время Г, необходимое для однократного облета орбиты называется пери-
одом обращения. Скорость движения по орбите постоянна, поэтому период
круговой орбиты легко вычислить как отношение длины орбиты к скорости
движения по ней: .
Т = —
Для круговой орбиты
Т’круг =^г3/2. (2.54)
Удельная энергия тела, движущегося по круговой орбите, определяется
подстановкой е = 0 в уравнение (2.50):
Ц
Л2
56
2,5. Круговые орбиты (е = 0)
Используя уравнение (2.52), получаем
8круг-“^’ (2.55)
откуда следует, что энергия круговой орбиты отрицательна. При увеличении
радиуса орбиты ее энергия возрастает. Другими словами, чем выше орбита,
тем больше ее энергия. Немного опережая изложение, можно отметить, что,
имея отрицательную энергию, КА находится в потенциальной яме, созданной
притягивающим телом, освободиться из которой он сможет, только приоб-
ретя параболическую скорость или скорость освобождения.
Для запуска спутника с поверхности Земли на круговую орбиту требуется
увеличивать его удельную механическую энергию, чтобы она соответствова-
ла заданной орбите. Эта энергия может быть получена за счет использования
ракетных двигателей. Поскольку механическая энергия спутника массой т
равна Е = те, это означает, что чем более высокую орбиту нужно получить,
тем меньшую массу на нее способна вывести данная ракета-носитель. Масса
КА т^ ничтожна по сравнению с массой Солнца или планеты. Например,
масса Земли тЕ почти на 20 порядков больше массы любого самого большого
КА или космической станции, поэтому центр масс такой системы двух тел
лежит практически в центре масс Земли и ц в уравнении (2.14) можно пред-
ставить в виде ц = G(mE + т^) = GmE. Значение гравитационного параметра
Земли, которое будет использоваться далее, принимают равным
ц£=398 600
С2
(2.56)
Пример 2.2
Постройте графики зависимости ско-
рости v и периода Т спутника на низкой
круговой околоземной орбите в зависимо-
сти от ее высоты z.
Уравнения (2.53) и (2.54) дают зави-
симости (рис. 2.11) для скорости и перио-
да движения соответственно:
_ |Й_ I Н 1398600.
Nr ~Nre+z ~ N6378 + z’
2л з/2 2л
~ 7398 600
(6378 + z)3/2.
Рис. 2.11. Круговая орбитальная
скорость (а) и период орбиты (б)
спутника в зависимости от высоты
орбиты z
57
Глава 2. Задача двух тел
Геостационарная орбита
Расположение спутника всегда над одной и той же точкой на экваторе Зем-
ли, если учитывать ее суточное вращение вокруг собственной оси, означа-
ет, что он находится на круговой геостационарной экваториальной орбите.
В таком случае угловая скорость спутника равна угловой скорости враще-
ния Земли, а именно 2л радиан в звездные (сидерические) сутки. Звездные
(сидерические) сутки — это время, необходимое для завершения Землей од-
ного полного вращения вокруг своей оси относительно инерциального про-
странства, т. е. неподвижных звезд (подробно см. далее в главе 5). Обыч-
ные 24-часовые или синодические сутки — это время, которое требуется
для одного обращения Солнца вокруг Земли с точки зрения наблюдателя,
расположенного на самой Земле с полудня одного дня до полудня следую-
щего. Другими словами, синодические и сидерические сутки будут равны,
если Земля остановит свое вращение вокруг Солнца. Одновременно с одним
вращением вокруг своей оси Земля продвигается на 2л/365,26 рад по орби-
те вокруг Солнца. Следовательно, ее угловая скорость в инерциальной СК
равна [(2л + 2л/365,26) рад]/(24 ч), т. е.
аЕ= 72,9217 -10^ рад/с.
(2.57)
Спутники связи и метеорологические спутники глобального наблюдения
выводят на геостационарные орбиты, потому что с этой высоты обеспечива-
ется хорошая видимость большей части поверхности Земли. Причем назем-
ные станции наблюдения не нужно дополнительно ориентировать на спутник.
Пример 2.3
Вычислите высоту z геостационарной орбиты (ГСО) и скорость v выве-
денного на нее спутника.
Решение
Скорость спутника на ГСО
vrco -
ггсо
(а)
где ггсо — радиус ГСО.
При этом скорость vrco вдоль круговой траектории связана с угловой
скоростью со£ Земли следующим соотношением:
vrco _ ®еггсо-
Приравняв эти два выражения, получим для радиуса ГСО
58
2.5. Круговые орбиты (е = 0)
Подставляя это выражение в уравнение (2.56), получаем
I 398600 ч
'гео = з 7--------“л = 42164 (км).
Ш 72,9217-ю-6)
Таким образом, высота спутника над поверхностью Земли
zrco = ггсо _ = 42 164 - 6378 = 35 786 (км).
Подставляя уравнение (2.58) в формулу (а), получаем
/398600
vrco = J = 3’075 <км)-
\| 4Z104
(2.58)
Пример 2.4
Вычислите максимальную широту и площадь земной поверхности (в про-
центах), видимой с ГСО.
Решение
Для того чтобы найти максимальную широту <р видимой с ГСО точки,
воспользуемся рис. 2.12, на котором видно, что
RE
(р = arccos—
г
(2-59)
где Re = 6378 км и, согласно уравнению (2.57), г = 42 164 км.
6378
Следовательно, <p = arccos-—
42164
- 81,30° — наибольшее значение север-
ной или южной широты.
59
Глава 2. Задача двух тел
Рис. 2.13. Площадь Земли 5, види-
мая с ГСО
Площадь поверхности S Земли, кото-
рая видна с ГСО, определяется как пло-
щадь осветленной области на рис. 2.13, для
которой справедливо выражение
S = 2tJ?£(1 - cos<p).
Таким образом, площадь полушария
(в процентах), видимого с ГСО, составит
-100 % = (1 - cos81,30°) • 100 % = 84,9 %.
2лЯ§
Это означает, что с ГСО можно уви-
деть 42,4 % общей поверхности Земли.
2.6. Эллиптические орбиты (0 < е < 1)
h2 1
Если 0 < е < 1, то знаменатель уравнения орбиты (2.35) г = —--— за-
висит от истинной аномалии G, всегда положителен и никогда не равен нулю.
Таким образом, относительное положение, задаваемое вектором г, остается
ограниченным, при этом его минимальное значение гр достигается в пери-
центре орбиты и может быть определено из выражения (2.40). Максимальное
значение г достигается при О = 180° в апоцентре орбиты.
Длину радиуса-вектора апоцентра рассчитывают по формуле
Кривая, определяемая уравнением орбиты (2.35) для рассматриваемого
случая, является эллипсом.
Обозначим через 2а расстояние между перицентром и апоцентром орби-
ты (рис. 2.14), тогда
2а = гр + га-
Подставляя уравнения (2.40) и (2.61) в это выражение, получаем
2
а —Ц-, (2.61)
Ц 1-е
^2
где а — большая полуось эллипса. Определив — из выражения (2.61), по-
сле подстановки его в уравнение (2.35) можно получить альтернативный вид
уравнения орбиты:
1-е2
г = а-------
1 + ecosG
(2.62)
60
Рис. 2.14. Эллиптическая орбита. Тело т1 находится в фокусе F
(F1 — свободный (пустой) фокус)
На рис. 2.14 тело находится в фокусе F, который является центром по-
лярной СК г, &. Центр эллипса С — точка, лежащая на середине отрезка, со-
единяющего апоцентр и перицентр орбиты. Расстояние CF = a- FP = а - гр.
Из уравнения (2.62) радиус перицентра
гр = а(1-е). (2.63)
Таким образом, CF = ае, как показано на рис. 2.14.
Пусть В — точка на орбите, которая находится непосредственно над точ-
кой С, на перпендикуляре к линии апсид АР. Расстояние b от точки С до точ-
ки В называется малой полуосью эллипса. Если истинная аномалия точки В
равна р, то, согласно уравнению (2.62), длина радиуса-вектора, проведенного
из начала координат в точку В,
1-е2
гя = а-------.
1 + ecosP
Проекция гв на линию апсид равна ае, т. е.
ае = rB cos(l 80 - Р) - -rB cos Р = - а
1-е2 "
1 + ecosP,
cosp.
Решив это уравнение относительно е, получим
е = -cos р.
61
(2-65)
Глава 2. Задача двух тел
Подстановка этого результата в уравнение (2.64) дает гв = а.
Согласно теореме Пифагора,
Ь2 -гв - (ае)2 = а2 = а2е2.
То есть значение малой полуоси эллипса можно найти через величину
большой полуоси и эксцентриситет эллипса:
b = \ll-e2.
(2.66)
2.6.1. Уравнение эллиптической орбиты в канонической форме
Пусть начало прямоугольной СК ху расположено в точке С (рис. 2.15).
При переходе от полярной СК с началом в точке F к прямоугольной СК
с началом в точке С для координаты х некоторой точки на эллиптической
орбите можно записать
х = ае + г cos 3 = ае +
1-е2
а--------
l + ecos3
cos3 = a
e + cosd
1 +ecosd’
откуда следует
х _ e + cos3
a l + ecos3
(2.67)
Для координаты у той же точки из формулы (2.66) следует, что
62
2.6. Эллиптические орбиты (0 < е < 1)
• о 1~е • а и v1-e • а
у = г sin 3 = а----- sm 3 = b-------sin 3,
l + ecos3J l + ecos3
тогда
У
ь
l + ecos3
sin3.
(2.68)
Из уравнений (2.67) и (2.68) последовательно находим
+ =----------у (e + cos3)2 + (l-e2)sin2 3 =
a2 b2 (l + ecos3)2LV ' X ) J
=-----------=-Г е2 + 2ecos 3 + cos2 3 + sin2 3-е2 sin2 3
(l + ecos3) L
=----------г-Г e2 + 2ecos 3 +1 - e2 sin2 3"| =
(l + ecos3) L J
=----------уГe2 (1 - sin2 з) + 2ecos3 +11 =
(l + ecos3) ' J
=-----------г Гe2 cos2 3 + 2e cos 3 + 1J =
(l + ecos3) L J
=----------x-(l + ecos 3)2.
(l + ecos3)
Отсюда следует
(2-69)
Это хорошо известный вид уравнения эллипса с центром в начале прямо-
угольной СК. При а = Ь уравнение (2.69) описывает окружность, которая на
самом деле является эллипсом с нулевым эксцентриситетом.
Удельная энергия эллиптической орбиты является отрицательной ве-
личиной и может быть определена путем подстановки углового момента
и эксцентриситета в уравнение (2.50):
Тем не менее в соответствий с уравнением (2.61) h2 - ца(1-е2), поэтому
£ = (2.70)
2а
63
Глава 2. Задача двух тел
Это выражение показывает, что удельная энергия не зависит от эксцен-
триситета, а зависит только от значения большой полуоси эллипса.
Для эллиптической орбиты закон сохранения энергии (2.47) можно за-
писать в виде
2 г 2а
Площадь эллипса можно определить через значения его большой и малой
полуосей по формуле А = nab (которая сводится к формуле для площади кру-
га при а = Ь).
2.6.2. Период эллиптической орбиты. Третий закон Кеплера
Для определения периода Т эллиптической орбиты можно использовать вто-
рой закон Кеплера, приведенный выше: dA/dt = h/2. Тогда для малых времен
AZ справедливо ЛА = — Л/. За один полный оборот ЛА = nab, т. е. равно пло-
щади эллипса и периоду А/ = Т. Таким образом, nab = (h/2)T, или
T_2nab
h
Сопоставляя уравнения (2.61) и (2.66), получаем
Т=2-V
и формула для периода эллиптической орбиты, выраженная через параметры
Лиг, принимает вид
_ ( . х3
2п п
(2.72)
Учитывая, что в соответствии с уравнением (2.61) Л = ^ца(1-е2), пери-
од можно рассчитать по формуле
(2.73)
Это выражение, которое идентично в случае круговой орбиты радиусом а
выражению (2.54), показывает, что, как и энергия, период эллиптической ор-
биты не зависит от эксцентриситета (рис. 2.16).
Уравнение (2.73) фактически формулирует третий закон Кеплера: «ква-
драты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы боль-
ших полуосей орбит этих планет».
64
2.6. Эллиптические орбиты (0 < е < 1)
Определим эксцентриситет эллипти-
ческой орбиты. Разделив уравнение (2.40)
г 1-е
на (2.60), получим — =---. Из последне-
Га 1 + е
го соотношения выводится формула для
расчета эксцентриситета эллиптической
орбиты:
г — г
а Р
Г + Г
а 1 р
Рис. 2.16. Поскольку все пять эл-
липсов (7-5) имеют одинаковую
большую полуось, соответствую-
щие им орбиты имеют одинаковые
периоды и удельную энергию
(2-74)
На рис. 2.14 видно, что ra~rp = FF' —
расстояние между фокусами. Как отмеча-
лось ранее, га + гр = 2а. Таким образом,
уравнение (2.74) можно интерпретировать
следующим образом: эксцентриситет эл-
липса равен отношению расстояния между
фокусами этого эллипса к удвоенной длине его большой полуоси.
2.6.3. Среднее расстояние между телами на эллиптической орбите
Определим среднее расстояние между телами т2 и тх в течение одного пол-
ного их оборота по орбите. Для этого разделим диапазон изменения истинной
аномалии 2л на п равных сегментов ДФ, так что п = 2л/ДФ.
^2 1
Используем формулу орбиты г =----------- для оценки г (9) в п точках,
ц 1 + ecosG
для которых значения истинной аномалии равномерно отстоят друг от друга,
начиная с перицентра:
= 0, О2 = Дд, О3 = 2ДО, ..., Ьп = (п - 1)ДО.
Среднее значение для г из этого множества п значений определяется из
выражения
1 " да п 1 п
(2.75)
Пусть теперь п становится очень большим, так что АФ становится очень
малым. В пределе при п —> оо, уравнение (2.75) принимает вид
1
r»=—(2-76)
2л о
Подставляя в уравнение (2.76) уравнение (2.62), получаем
F=±o(i_,.2)j—.
2л • l + ecos&
65
Глава 2. Задача двух тел
В этом выражении интеграл имеет табличную форму и может быть за-
писан в виде
(2.77)
Сравнивая полученный результат с уравнением (2.66), можно сделать вы-
вод, что усредненный по истинной аномалии радиус орбиты равен длине ма-
лой полуоси b эллипса. Большая полуось эллипса, являющаяся средним значе-
нием максимального и минимального расстояний от его фокуса, не является
средним расстоянием. Из уравнения (2.62) гр = а(1 -е)ига = а(1 + е), а также
уравнения (2.77) следует, что
Ъ (2.78)
Таким образом, среднее расстояние определяется как среднее геоме-
трическое, а не среднее арифметическое максимального и минимального
расстояния от фокуса.
Пример 2.5
Искусственный спутник Земли выведен на орбиту с высотой перигея
zp = 400 км и эксцентриситетом е = 0,6. Найдите 1) скорость в перигее орби-
ты vp; 2) радиус апогея га; 3) большую полуось орбиты а; 4) усредненный по
истинной аномалии радиус орбиты г3; 5) скорость в апогее орбиты va; 6) пе-
риод орбиты Т; 7) истинную аномалию точки, в которой г = ; 8) скорость
спутника, когда г = ; 9) траекторный угол у, когда г = г&; 10) максимальный
траекторный угол утах и соответствующее ему значение истинной аномалии.
Решение
Решение поставленной задачи основано на определении в первую оче-
редь эксцентриситета орбиты и углового момента. В условиях задачи экс-
центриситет задан, поэтому для начала найдем h. Напомним, что для Земли
ц = 398 600 км3/с2, Re = 6378 км.
1. Сначала найдем радиус перигея
r_ = Re + zn = 6378 + 400 = 6778 км.
р ь р
Из уравнения орбиты (2.35) при О = 0 (в перигее) получаем
Л2 1
Гр ~ ц 1 + е
Используем эту функцию, чтобы определить угловой момент:
6778 =
h1 1
398 6001 + 0,6’
66
2.6. Эллиптические орбиты (0 < е < 1)
откуда
Л = 65 750 км2/с.
Теперь можно найти скорость в перигее, используя выражение (2.21)
и полученное значение углового момента. При этом учтем, что скорость в пе-
ригее перпендикулярна радиусу-вектору г:
V = V
р п
65 750
6778
= 9,700 км/с.
2. Радиус апогея определяется прямой подстановкой в уравнение орбиты
fl = 180°:
а
h2 1
ц 1-е
65 7502 1
3986001-0,6
= 27110 км.
3. Большую полуось определяем как среднее значение радиусов перигея
и апогея:
га + г 6778 + 27110
а =------------------
2 2
= 16940 км.
4. Усредненный по истинной аномалии радиус орбиты задается уравне-
нием (2.78):
гэ = = 76778-27110 = 13 560 км.
5. Скорость в апогее, так же как и рассчитанную ранее скорость в пери-
гее, получаем из формулы углового момента, с учетом того, что и эта ско-
рость также перпендикулярна радиусу-вектору:
V = V
va vn
h_
Га
65 750
27110
= 2,425 км/с.
6. Период орбиты находим из уравнения (2.73):
2л f 65 750
398 6OO2[7i-o,62
\3
)
= 21950 с = 6,098 ч.
7. Истинную аномалию, в которой г = г9, находим из уравнения орбиты:
_ h2 1
---------------;
ц 1 + ecosfl
13 560 =
65 7502 1
398 6001 + 0,6cosO’
cos Э-=—0,333.
67
Глава 2. Задача двух тел
Это означает, что при 3 = 109,5° спутник проходит точку г = г& в своем
движении по орбите от перигея к апогею, а при 3 = 250,5° проходит точку
г = в своем движении по орбите от апогея к перигею.
8. Скорость спутника при г = г& определим, рассчитав предварительно
радиальные и нормальные компоненты скорости. Нормальная составляющая
скорости
Vn
65 750
13 560
= 4,850 км/с.
Для вычисления радиальной составляющей скорости можно использо-
вать уравнение (2.38):
vr = —esin3 = 398 ^^0,6sinl09,5° = 3,430 км/с
r h 65 750
или
vr = —esin3 = 398 6000,6sin250,5° = -3,430 км/с.
r h 65 750
Модуль вектора скорости теперь может быть найден следующим образом:
V = ^vr2 + v2 = 7з,4302 + 4,8502 = 5,940 км/с.
Отметим, что это значение можно получить из закона сохранения энер-
гии (2.71), так как большая полуось орбиты уже рассчитана.
9. Для вычисления траекторного угла следует использовать уравнение
(2.39) при г = г§:
у = arctg— = arctg^^ = 35,26°;
1 vn 5 4,850
3 = 109,5°.
Положительная величина у означает, что вектор скорости направлен
выше местного горизонта, т. е. спутник движется против силы притяжения —
от притягивающего тела.
При 3 = 250,5° у = 35,26°, из этого следует, что вектор скорости направ-
лен ниже местного горизонта, а спутник движется к притягивающему телу.
10. Уравнение (2.42) позволяет рассчитать траекторный угол в точке че-
рез истинную аномалию этой точки и эксцентриситет орбиты:
Для того чтобы найти истинную аномалию, при которой у является мак-
симальным, необходимо взять производную по 3 от этого выражения и опре-
делить, когда оно принимает нулевое значение. Используя правила вычисле-
ния производных, получаем
68
2.6. Эллиптические орбиты (0 < е < 1)
dy _ 1 d ( esind
( esinO* ^2 \1 + ecosG
1+ ----------
I l + ecosf> J
e(e + cos3)
(1 + ecosG)2 +e2 sin23
При e < 1, знаменатель полученного выражения положителен для всех
значений G. Поэтому dy/dS = 0, только если числитель равен нулю, т. е. если
cos3 = -е. Из уравнения (2.65) следует, что такая истинная аномалия опреде-
ляет значение малой полуоси эллипса.
Поэтому максимальный положительный траекторный угол достигается
при истинной аномалии
$ = arccos(-0,6) = 126,9°.
Подставив это выражение в формулы поз. к), найдем максимальное зна-
чение траекторного угла:
Утах
0,6sinl26,9°
arctg----------------
1 + O,6cosl26,9°
= 36,87°.
После достижения этого наибольшего значения траекторный угол начи-
нает уменьшаться до нуля в апогее.
Пример 2.6
Для двух точек некоторой геоцентрической орбиты известны высоты
и истинные аномалии: zx = 1545 км, = 126°, z2 = 852 км, О2 = 58°.
Требуется определить: 1) эксцентриситет орбиты; 2) высоту перигея;
3) большую полуось; 4) период орбиты.
Решение
1. Найдем радиусы заданных точек:
Г1 = rE + Z1 = 6378 4- 1545 = 7923 (км);
r2 = ге + z2 = 6^78 4- 852 = 7230 (км).
Применяя формулу уравнения орбиты (2.35) к обеим точкам, можно по-
лучить два уравнения для двух основных параметров орбиты: углового мо-
мента h и эксцентриситета е:
Л2 1
ri ------------;
ц l + ecosd]
398 600 (l + ecosl260)’
h2 = 3,158 IO9 - 1,856 109e;
(a)
69
Глава 2. Задача двух тел
h2 1
г2 =------------->
ц l + ecos32
7230 = —^-----------------;
398 600 (l + ecos58°)
h2 = 2,882 • 109 + 1,527 • 109е. (б)
Из выражений (а) и (б), сократив Л2, получим уравнение для эксцентри-
ситета е:
3,158 • 109 - 1,856 • 109е = 2,882 • 109 + 1,527 • 109е => 3,384 • 109е = 276,2 • 109.
Следовательно, е = 0,08164 < 1, т. е. орбита эллиптическая.
2. Подставив значение эксцентриситета в выражение (а) или (б), находим
угловой момент:
Л2 = 3,158 • 109 - 1,856 • 109 • 0,08164 => Л = 54 830 (км2/с).
Теперь можно воспользоваться уравнением орбиты, чтобы вычислить ра-
диус перигея
h2 1
ц 1 +ecosO
р
548302 1
398 600 (1 + 0,08164)
= 6974 (км),
и высоту перигея
zp = rp-RE = 6974 - 6378 = 595,5 (км).
3. Большую полуось можно найти после определения радиуса апогея
с помощью уравнения орбиты аналогично вычислениям радиуса перигея:
Л2 1 54 8302 1 ОО1О z ч
г =-----------=------------------= 8213 (км),
а ц l + ecosl80° 398 600(1-0,08164) v ’
следовательно,
Га+Г 28 213 + 6974 _.Q1 . .
а = —=------------------------------= 7593 (км).
4. Поскольку значение большой полуоси известно, удобно использовать
уравнение (2.74) для определения периода орбиты:
2-2 -
Т = 4^а2 =-г=—-75932 =6585 (с) = 1,829 (ч).
7398 600
70
2Л. Параболические траектории (е = 1)
2.7. Параболические траектории (е = 1)
Если эксцентриситет е = 1, то уравнение орбиты (2.35) принимает вид
h2 1
г =----------.
Ц 1 + COS&
(2.79)
При приближении истинной аномалии Ф к значению 180° знаменатель
стремится к нулю, вследствие чего г стремится к бесконечности. В соответ-
ствии с уравнением (2.50), энергия движущегося по параболической траек-
тории тела равна нулю, поэтому для параболической траектории закон со-
хранения энергии (2.47) можно записать в виде
2
Н=о.
Откуда следует, что скорость тела в любой точке на параболической тра-
ектории
v =
(2.80)
Если тело массой т2 будет двигаться по параболической траектории, то
с течением времени его скорость относительно тела массой тх станет нуле-
вой, а расстояние от него бесконечным. Поэтому параболические траекто-
рии называются также траекториями ухода. Учитывая, что второе слагаемое
в формуле (2.47) является выражением потенциальной энергии, можно кон-
статировать, что в этом случае кинетическая энергия тела т2 сравнялась с по-
тенциальной энергией тела тх. При заданном расстоянии г от тела массы тх
скорость ухода (параболическую скорость, скорость освобождения) можно
определить из выражения (2.80):
VnaP=^~’ (2.81)
Из уравнений (2.81) и (2.53) следует, что параболическая скорость мо-
жет быть определена для круговой орбиты радиусом г через ее круговую v0
скорость:
vnap = (2.82)
Другими словами, чтобы перейти с круговой орбиты на параболическую,
требуется приложить дополнительный импульс характеристической скоро-
сти, равной примерно 41,4 % ее текущего значения.
Отметим, что данное утверждение справедливо лишь для рассматривае-
мого случая задачи двух тел. Фактически любой КА, получивший на около-
земной орбите параболическую скорость (относительно Земли), удалившись
на бесконечное расстояние от Земли, будет совершать полет под действием
71
Глава 2. Задача двух тел
сил гравитации Солнца. При этом орбита его движения будет в первом при-
ближении близка к орбите самой Земли относительно Солнца. Это означает,
что для описания движения такого КА можно использовать те же уравнения
задачи двух тел, но притягивающим телом вместо Земли будет уже Солнце.
Для параболической траектории формула (2.42), определяющая траек-
торный угол, принимает вид
tgy =
sin Э-
(1 +COS fl)
Используя тригонометрические тождества
. п „ . » »
sin fl = 2sm—cos—;
2 2
а 2» . 2 » и 2 » .
cos fl = cos —sin — = 2 cos —1,
2 2 2
Рис. 2.17. Параболическая траектория
в окрестности фокуса F
можно записать
, . 9 9
2 sin—cos—
tgr=—=
2cos2 —
2
откуда следует, что
Д
cos—
2
(2.83)
Таким образом, на параболических
траекториях угол наклона траектории
полета везде равен половине истинной
аномалии (рис. 2.17).
Каноническое уравнение параболической траектории
Фокальный параметр р орбиты определяется выражением (2.43). Подста-
вим это выражение в уравнение (2.79), а затем представим уравнение орбиты
2а
г = Q+---Э) В декаРтов°й системе координат с центром в фокусе (рис. 2.18).
Из построений рис. 2.18 следует, что
x = rcosfl =
cos fl
? 1 + cos fl ’
у = r sin fl = p
sin fl
1 +cos fl
(2.84)
. 9
SU12 f »
— =
72
2.7. Параболические траектории (е = 1)
Следовательно,
z х 2 9
I у | _ cos3 sin 3
— = 2---------+---------
\Р) 1 + COS3 (1 + COS3)
Упрощая правую часть выраже-
ния, получаем
z х 2 9
х |у| _ 2 cos 3(1 + cos 3) + sin 3
p/2 (l + cos3)2
_ 2cos3 + 2cos2 3 + (l-cos2 3) _
” (l + cos3)2 -
_ l + 2cos3 + cos2 3 _ (l + cos3)2
(l + cos3)2 (l + cos3)2
Отсюда следует, что
Это уравнение параболы в декар-
товой СК, началом которой служит
фокус.
Пример 2.7
Радиус перигея спутника, вы-
веденного на параболическую гео-
центрическую траекторию, равен
7000 км. Найдите расстояние d меж-
ду точками Р} и Р2 на орбите, если
их расстояния от центра Земли рав-
ны 8000 и 16 000 км соответственно
(рис. 2.19).
Решение
Во-первых, следует вычислить
угловой момент спутника, используя
уравнение орбиты (2.79) для перигея:
Рис. 2.18. Парабола с фокусом в начале
декартовой СК хОу
й2 1 й2
г —-----------— ---
р ц 1 + cosO 2ц’
Рис. 2.19. Параболическая геоцентриче-
ская траектория
из которого следует, что
73
Глава 2. Задача двух тел
h = = 72-398 600-7000 = 74 700 (км2/с). (а)
Для того чтобы найти длину хорды Р\Р2, следует использовать теорему
косинусов:
d2 = 80002 + 16 0002 - 2 • 8000 • 16 000 cos Д$. (б)
Истинные аномалии точек Рх и Р2 могут быть найдены с помощью урав-
нения орбиты:
74 7002 1 8000 = => cos = 0,75 => 0, 398 6001 + cosOj 1 1 74 7002 1 16000 = => cos&2 - -0,125 = 398 6001 +cos 02 2 = 41,41°; :>02 =97,18°.
Таким образом, Д$ = 97,18° - 41,41° = 55,78°, из выражения (б) получаем
d = 13 270 км. (в)
2.8. Гиперболические траектории (е >1)
Если е > 1, то формула орбиты
Л2 1
г -----------
ц 1 +ecosO
(2.86)
описывает геометрию гиперболы, приведенной на рис. 2.20.
Формально система траекторий имеет вид двух симметричных кривых.
Одна из этих кривых (I) проходит в окрестности основного притягивающего
тела, расположенного в фокусе; по ней совершает движение тело меньшей
массы. Другая кривая (II) является мнимой — математическим образом. Зна-
менатель в уравнении (2.86) имеет нуль при cos О = -1/е. Обозначим это зна-
чение истинной аномалии через
= arccos —
к е
(2.87)
так как при радиальное расстояние стремится к бесконечности. Пара-
метр также определяет истинную аномалию асимптоты гиперболы. От-
метим, что значение лежит между 90 и 180°. Из тригонометрии следует, что
sinO^
(2.88)
При < О < $„ физически реализуемая траектория является заня-
той меньшим притягивающим телом, как показано слева на рис. 2.20. При
< О < (360° - $оо) ветвь гиперболы II свободна. Фактически ветвь
74
гиперболы II не может занять притягивающее тело, поскольку в этом случае
потребовалась бы отталкивающая сила тяготения. Перицентр Р лежит на
линии апсид на физически реализуемой гиперболе I, в то время как апоцентр
расположен на линии апсид на свободной ветви. Точка посередине отрез-
ка РА — центр С гиперболы.
Асимптотами гиперболы являются прямые линии, к которым ветви ги-
перболы приближаются на бесконечности. Асимптоты пересекаются в точке С
под острым углом к линии апсид (3 = 180° - $да. Поэтому cos0 = -cos^, т. е.
P = arccos|-|. (2.89)
\е)
Угол 5 между асимптотами называется углом поворота. Это угол, на ко-
торый поворачивается вектор скорости меньшего тела при облете большего
притягивающего тела по гиперболической траектории. На рис. 2.20 видно,
что 8 = 180° - 2р, откуда
. 8 . Г180°-23Л . ,QAO а 1
sin— = sin I--—- I = sin (90-0) = cos0 = —
или
я о • (1 1
o = 2arcsinl - .
)
(2.90)
75
Глава 2. Задача двух тел
Расстояние гр от фокуса F до перицентра определяется из выраже-
ния (2.40):
(2.91)
(2.92)
г -У 1
р ji 1 + е
Аналогично эллипсу радиальная координата га для апоцентра может быть
определена подстановкой в уравнение орбиты (2.35) 3 = 180°:
й2 1
га i------
ц 1-е
Отметим, что га имеет отрицательное значение, так как для гиперболы
е > 1. Это означает, что апоцентр расположен справа от фокуса F. На рис. 2.20
видно, что расстояние между перицентром и апоцентром
2а = |га|-гг =~га~ Гр-
После подстановки уравнений (2.91) и (2.92) имеем
_ й2< 1 1
ц(1-е 1 + е J
Отсюда следует, что большая полуось гиперболы определяется выраже-
нием, которое практически идентично полученному для эллипса (2.62):
й2 1
а =----г---
(2.93)
Тогда уравнение (2.86) можно записать для гиперболы в виде
е2-1
г -а---------------------------------.
1 + ecosfl
(2-94)
Уравнение орбиты аналогично уравнению (2.63) для эллиптической ор-
биты. Кроме того, из формулы (2.94) следует, что
(2-95)
= а(е - 1),
Отрезок, проведенный перпендикулярно линии апсид из перицентра до
ветви гиперболы и имеющий длину Ь, называется малой полуосью гиперболы.
На рис. 2.20 видно, что длина b малой полуоси РМ составляет
Уе -1
, _ sinp sin^SO-d») sin О е
b - atgp - a-— = a-7------7 = a---— = a—z 4 ,
COSp 008(180-^) -cosd,» _[ -11
I e )
76
2.8. Гиперболические траектории (е >1)
откуда для гиперболы имеем
Ь = а\1е2-1. (2.96)
Это выражение аналогично уравнению (2.67) для малой полуоси эллипса.
Расстояние Д между асимптотой и параллельной линией, проходящей че-
рез фокус, называется направленным (прицельным) радиусом (см. рис. 2.20).
Из построений на рис. 2.20 следует, что
Д = (г +a)sinp = aesinp = ае------=
р е
= aesin = аеф - cos2 = ае. 1
N е1
из выражений (2.87), (2.88), (2.95), соответственно,
Д = ад/е2-1. (2.97)
Из сравнения этого результата с уравнением (2.96) следует, что направ-
ленный радиус равняется длине малой полуоси гиперболы.
Как и в случае эллипса и параболы, можно получить полярную форму
уравнения гиперболы в прямоугольной СК, начало которой находится в этом
случае посередине между двумя фокусами (рис. 2.21). На рис. 2.21 видно, что
x = -a-rp + rcos&, y = rsin3. (2.98)
Подставляя уравнения (2.94) и (2.95)
в выражение (2.98), получаем
х - -а - а(е -1) +
е2 -1 n е + cos 3
+ а---------cos 3 - -а------.
1 + ecosd l + ecos3
После подстановки уравнений (2.94)
и (2.96) также в выражение (2.98) получим
е2-1 . _ ,>/e2-lsm3
sin У = Ь
l + ecos3-------l + ecos3
Рис. 2.21. Вид гиперболы, опреде-
ляемой выражением (2.93) в декар-
товой СК
Отсюда следует, что
2 2 / \2 ( 12 1
х У . e + cos$ | че ~lsin3 _
а2 Ь2 Vl + ecos3y I 1 + ecosfl >
_ е2 + 2ecos3 + cos23-(e2 -l)(l-cos23) _ l + 2ecos3 + e2cos23
(l + ecos3)2 (l + ecos3)2
_ (l + ecos3)2 _
(l + ecos3)2
(2.99)
77
Глава 2. Задача двух тел
Это хорошо известное из курса математики уравнение гиперболы.
Удельная энергия тела единичной массы, движущегося по гиперболиче-
ской траектории, задается уравнением (2.50). Подставляя выражение (2.93)
в это уравнение, получаем
е = у-- (2.Ю0)
2а
Удельная энергия для гиперболической траектории всегда положительна
и не зависит от эксцентриситета орбиты.
Закон сохранения энергии для гиперболической траектории имеет вид
2 г 2а
Обозначим через у1Э0 скорость, которую приобретает меньшее тело, дви-
жущееся по гиперболической траектории на бесконечном удалении от боль-
шего тела. Согласно уравнению (2.101),
(2.102)
Подставив значение в закон сохранения энергии (2.101), получим
2 2
V___
2 г 2 ‘
Ранее получено значение параболической скорости (скорости ухода, вто-
рой космической скорости) vnap =^2ц/г (2.81). Поэтому для гиперболиче-
ской траектории справедливо соотношение
2 2 2
v — vnap + voo
(2.103)
Рис. 2.22. Орбиты с различными
эксцентриситетами, имеющие об-
щий фокус F и перицентр Р
Это соотношение показывает, что ква-
драт гиперболической скорости пред-
ставляет собой избыток кинетической
энергии над энергией, которая требуется,
чтобы уйти от центра притяжения на бес-
конечное расстояние. Квадрат обознача-
ется через С3 и представляет собой харак-
теристическую энергию
C3=v2. (2.104)
Параметр С3 — это мера энергии, не-
обходимой для осуществления межпланет-
ных миссий, а также и мера максимальной
78
2.8. Гиперболические траектории (е >1)
энергии, которую ракета-носитель может придать космическому аппарату
с учетом его массы.
Следует отметить, что гиперболическая скорость также может быть
получена из уравнений (2.39) и (2.88):
=7^8111^ =^Ve2-l. (2.105)
h h
Для сравнения на рис. 2.22 показан вид рассмотренных траекторий — от
окружности до гиперболы, проходящих через общий перицентр и имеющих
общий фокус.
Пример 2.8
В некоторой точке на геоцентрической траектории КА удален от центра
Земли на 14 600 км, его скорость равна 8,6 км/с, траекторный угол составля-
ет 50°. Покажите, что траектория КА гиперболическая, и определите: 1) ха-
рактеристическую энергию орбиты С3; 2) угловой момент; 3) истинную ано-
малию точки; 4) эксцентриситет орбиты; 5) радиус перигея; 6) угол поворота;
7) большую полуось; 8) направленный радиус.
Решение
Для определения типа траектории необходимо рассчитать параболиче-
скую скорость для заданного удаления:
_ [2ц _ 12-398 600 ч
Vnap“V у 14 600 7,389 (км/с)-
Поскольку параболическая скорость меньше, чем заданная скорость КА
(8,6 км/с), траектория является гиперболой.
1. Гиперболическая скорость v^ определяется из уравнения (2.103):
v2 = V2 - v2ap = 8,62 -7,3892= 19,36 (км2/с2).
Из уравнения (2.104) следует, что
С3 = 19,36 км2/с2.
2. Зная скорость и траекторный угол, можно рассчитать vr и v„:
vr = veiny = 8,6sin50° = 6,588 (км/с); (a)
v„ = vcosy = 8,6cos50° = 5,528 (км/с). (6)
Тогда из уравнения (2.21) определим угловой момент:
h = rvn = 14 600 • 5,528 = 80 710 (км2/с). (в)
3. Подставляя известные данные в уравнение орбиты для заданной точки
на траектории, получаем
79
Глава 2. Задача двух тел
14600 =
80 7102 1
398 600 1 +ecosO’
откуда следует, что
ecosO = 0,1193.
(г)
Радиальную составляющую скорости можно рассчитать для текущей
истинной аномалии по уравнению (2.39): vr = pesin(d/A). Учитывая, что ра-
нее она была определена по уравнению (а) с учетом углового момента (в),
получаем
zroo 398 600 . Л
6,588 =-------esm3
80170
или
esinO = 1,334.
(д)
После подстановки соотношения (д) в формулу (г) имеем
1 334
tgd = 21222- = ц 18 => 3 = 84,89°.
0,1193
4. Подставляя значение истинной аномалии в уравнение (г) или (е), на-
ходим эксцентриситет орбиты:
е= 1,339.
5. Радиус перигея теперь можно определить из уравнения орбиты:
й2 1 80 7102 1 znoz , х
гп =-------------=--------------------= 6986 (км).
р ц 1 + ecosO 398 600(1 + 1,339) V ’
6. Из формулы для угла поворота (2.90) следует, что
5 = 2arcsin - = 2arcsin -------
Ы 1,339J
= 96,60°.
7. Большую полуось гиперболы находим из уравнения (2.93):
h2 1 80 7102 1 z х
а =----z— =--------------z----= 20 590 (км).
це2-1 398600 (1,3392-1)
8. В соответствии с уравнениями (2.96) и (2.97) направленный радиус
Д = а4е2-\ = 20590^1,3392-1 = 18340 (км).
80
2.9. Перифокальная система координат
2.9. Перифокальная система координат
система
Перифокальная СК (рис. 2.23) представляется наиболее естественной для
описания орбиты в задаче двух тел. Ее центр располагается в фокусе ор-
биты. Оси ху задают плоскость орбиты, причем ось х совпадает с линией
апсид и направлена от фокуса через пе-
рицентр, как показано на рис. 2.23, где
р — единичный вектор вдоль оси х. Ось у
с единичным вектором q перпендикуляр-
на оси х, ее истинная аномалия равна 90°.
Ось z перпендикулярна плоскости орбиты
и коллинеарна вектору углового момен-
та h.
Единичный вектор вдоль оси z имеет
вид
h
w = —
h
(2 106) Рис‘ Перифокальная
координат pqw
В перифокальной СК радиус-вектор г
(см. рис. 2.23, 2.24) можно записать в виде
г = хр + yq,
(2.107)
где
(2.108)
1
х = г cos О; у = rsinfl;
с h2
модуль вектора г, задается уравнением орбиты г = — .
Таким образом, уравнение (2.107) в векторной форме будет иметь вид
Л2 1 / _ * Q \
г =-----------(cosO-p + sinOq).
ц 1 +ecosO
(2.109)
Скорость на орбите определяется как производная по времени от радиу-
са-вектора г:
v = r = xp + yq- (2.110)
В соответствии с уравнениями (2.108) запишем:
х = г cos О - rdsin О;
(2.111)
у = rsin3 + r3cos3,
где г — радиальная составляющая скорости vr.
Согласно уравнению (2.39),
г = —esinO. (2.112)
h
81
Глава 2. Задача двух тел
Рис. 2.24. Положение и скорость
в перифокальной СК
Из уравнений (2.36) и (2.38) следует, что
rd = vn =— (1 + ecosd). (2.113)
h
Подставляя уравнения (2.112) и (2.113)
в уравнение (2.111) и упрощая его, получаем
х = -—sinO;
h (2.114)
у = ^(e + cosd).
Следовательно, уравнение для скорости
на орбите (2.110), можно записать в виде
v = —[~sindp + (e + cosd)ql. (2.115)
h
2.10. Функции Лагранжа
В этом разделе будет показано то, что может показаться интуитивно оче-
видным: если положение и скорость тела на орбите известны в начальный
момент времени, то положение и скорость этого тела в любое другое время
могут быть определены через эти значения. Вновь запишем уравнения (2.107)
и (2.110) в перифокальной СК:
r = xp + yq; (2.116)
v = r = х p + y q. (2.117)
Будем использовать нижний индекс «0» для обозначения значений пара-
метров в начальный момент времени при t = t0. Тогда выражения для г и v
при t - t0 примут вид
Го=хоР + ТоЧ;
vo =А)-Р + ЛЧ
(2.118)
(2.119)
Угловой момент орбиты h постоянен, поэтому его можно вычислить,
зная начальные условия. Подставляя уравнения (2.118) и (2.119) в уравнение
(2.18), получаем
82
2.10. Функции Лагранжа
где w — единичный вектор, коллинеарный вектору h (уравнение 2.106). Сле-
довательно, коэффициент при w в правой части уравнения (2.120) должен
быть значением углового момента орбиты, т. е.
Л = хоуо-уохо. (2.121)
Выразим единичный вектор q из уравнения (2.118) через заданные на-
чальные условия:
Ч = — Го~—Р (2-122)
Уо Уо
Подставляя выражение (2.122) в выражение (2.119), комбинируя члены
и используя выражение (2.121), получаем
v0=A)P + >0
/ 1
1 х0
— Г0 "Р
кУо № J
Уохо~хоУоп,Уог _ Ап.Уог
Р"1 г0 — Р"1 г0’
Уо Уо Уо Уо
откуда можно определить р:
n-Ar _2ov
₽_ЛГ° л0'
(2.123)
Подставив этот результат вновь в уравнение (2.122), получим
хо ( Уо _ Уо v
Tr° Fvo
Уо V h h
1
Ч = —г0-
Уо
^~хоУог ,xov
Уо h
После подстановки правой части уравнения (2.121), определяющего ве-
личину й, получим
Хл Хл
Ч = —Tro+Tvo-
h h
(2.124)
Уравнения (2.123) и (2.124) позволяют определить р и q через началь-
ное положение и скорость. Подставляя эти два выражения вновь в уравнения
(2.116) и (2.117), получаем следующие выражения:
Г = xf^-r0 - — + -^-Го + —
{h 0 h °J 4 h 0 h °J
Фо-ухо*. , -УУо + У^о., .
r0 + 1 v0 ’
v-xl Ar -2ov ]. J_*0r +^0v ]_^0-У^0г I -*Уо+У*о.,
L ° h °J У л ° h ° " h ° h °'
Таким образом, векторы положения и скорости могут быть записаны че-
рез их начальные значения в виде
83
Глава 2. Задача двух тел
r = fo0 + gv0; (2.125)
y = jr0 + gv0. (2.126)
Здесь
у -ХУо-ухр.
h (2.127)
-хУо + УХр
S h
их производные по времени имеют вид
>хУр~УХр.
J 1л 5
(2.128)
-лу0 + ух0
* h
Функции Лагранжа f и g называются в честь Дж.Л. Лагранжа (1736-
1813) — французского математика и физика. Из уравнений (2.125) и (2.126)
следует, что векторы положения г и скорости v являются линейными комби-
нациями исходного вектора положения и вектора скорости. В свою очередь,
функции Лагранжа и их производные по времени в этих выражениях сами
являются функциями времени и начальных условий.
Условие сохранения углового момента h орбиты накладывает определен-
ные ограничения на параметры f и g и их производные по времени f и g .
Вычислим Ь, используя уравнения (2.125) и (2.126):
h = г X V = (Ло + gv0) X (уг0 + gv0).
Раскрываем скобки в правой части:
h=(#oxA) + (Axgvo) + (gvoxAo) + (gvoxgVo)-
Выносим за скобки скалярные величины:
h = #(го х г0) + /£(го х vo) + Sf (v0 х r0) + gg(v0 x v0).
Из свойств векторного произведения следует, что
roxro = voxvo =0,
поэтому
1» = /g(r0 X v0) + gf (v0 x r0).
Поскольку
r0xv0=-(v0xr0),
TO
84
2.10. Функции Лагранжа
h = (/g-g/)(roxvo)
ИЛИ
1» = (/g-g/)ho>
где h0 = r0 х v0 — угловой момент при t = /0. Угловой момент постоянен (см.
(2.19)), поэтому h = h0, и тогда
h = (/g-g/)h-
Поскольку h не может быть равен нулю (если только тело не движется
по прямой линии в направлении центра притяжения), отсюда следует условие
сохранения углового момента:
fg-gf = l- (2.129)
Таким образом, если каким-либо способом определены три функции Ла-
гранжа из четырех (/,/,g,g), оставшаяся функция может быть найдена из
уравнения (2.129).
Будем использовать уравнения (2.127) и (2.128) для определения функ-
ций Лагранжа и их производных по времени как зависимости от истинной
аномалии. Прежде всего отметим, что из уравнений (2.108) в момент времени
t = /0 следует, что
х0 = r0 cos30; у0 = r0sin30. (2.130)
Из уравнений (2.114) получим
(2.131)
Л=т(е + С08&о)-
п
Для вычисления функции f подставим уравнения (2.108) и (2.131) в урав-
нение (2.127):
хУо-ухр
h
= -jU[rcos3] -^(e + cos30) -[rsin3] “Sin30
- [e cos 3 + (cos 3 cos 30 + sin 3 sin 30 )].
Из тригонометрического тождества
cos(3 - 30) = cos 3 cos 30 + sin 3 sin 30
(2.132)
(2.133)
85
Глава 2. Задача двух тел
обозначив разность между текущим и начальным значением истинной ано-
малии
ДО = О - f>0, после подстановки в уравнение (2.132) получим (2.134)
ЦТ* f = i-v(ecosd + cosAd). h2 (2.135)
Из уравнения (2.35) окончательно имеем о Л2 , ecosd = 1. ЦТ (2.136)
Подставляя это выражение в уравнение (2.135), приходим к равенству
/ = l-^(l-cosAd). (2.137)
Для того чтобы найти /, необходимо знать значение г, которое можно по-
лучить из уравнения орбиты (2.35) при известном значении истинной анома-
лии Ф. С другой стороны, в (2.137) для определения функции f используется
значение разности истинных аномалий ДО. Это затруднение можно обойти
следующим образом.
Из уравнения (2.134) следует, что уравнение орбиты можно представить
в виде
г = ----------------. (2.138)
ц l + ecos(d0 + Ад)
Заменим в тождестве (2.133) Фо на Ад, тогда уравнение (2.138) примет
вид
ц l + ecosd0cosAd-esind0sinAd
Для того чтобы исключить Фо в этом выражении, отметим, что из уравне-
ния (2.136) следует, что при t = t0
h2
ecosd0=--1. (2.140)
Ц'Ь
Кроме того, из уравнения (2.39) для радиальной скорости следует, что
hvr
esind0=—(2.141)
Ц
Подставляя уравнения (2.140) и (2.141) в выражение (2.139) получаем
86
2.10. Функции Лагранжа
Л2
г = —
Ц
1_________
hv,
I h I nvr
1+------1 cosAO------sinAO
(2.142)
Ц
Используя эту форму уравнения орбиты, теперь можно найти г как функ-
цию начальных условий и приращения истинной аномалии. Таким образом f
в уравнении (2.137) зависит только от ДО.
Функция Лагранжа g определяется путем подстановки уравнений (2.108)
и (2.130) во второе из уравнений (2.127):
-ХУр+УХр =
8 h
= — [(-г cos 0) ( r0 sin О0) + (г sin О) ( r0 cos О0 )] =
= -^-(sinOcos00 -cosOsin00).
(2.143)
Используя тригонометрическое тождество sin ( О - О0 ) = sin 0 cos О0 -
-cosOsin Оо вместе с уравнением (2.134), находим
g = — sin АО.
h
(2.144)
Для получения g подставим выражения (2.114) и (2.130) в уравне-
ния (2.128):
-Луо+ухо
h
“SinO [r0sinO0] +
^(e + cosO) (r0cos00)> =
= -^y(ecos00 + cosOcos O0 + sin Osin Oo).
С помощью уравнений (2.133) и (2.140) полученное выражение сводится к
g = l-i^(l-cosAO).
h
(2.145)
Значение f можно найти с помощью уравнения (2.129), откуда
О
(2.146)
87
Глава 2. Задача двух тел
Подставляя в уравнение (2.146) выражения (2.137), (2.143) и (2.145), по-
лучаем
l-^(l-cosAd) l-^-(l-cosAd) -1
1
—sin Ad
h
h
_ 1 Л2цгг0 г ] < у (1 - cos Ad)2 -^-(1-cos Ad) - + - h U r)_
’^smA9 h' h
или
> pl-cosAd |1 1 1
/ = 7 AQ -g-(l-cosAd)-------
h sinAd \_h r0 r
(2.147)
Таким образом, функции Лагранжа могут быть записаны как
истинной аномалии в следующем виде:
функции
/ = 1-^(1-cos Ad);
g = ^-sin(Ad);
п-
, pl-cosAd ц .. i 1
/ = 7 Ац -g-O-cosAd)-------
h sinAd \_h r0 г
(2.148)
g = 1 - (1 - cos Ad),
h
где
hv,
(h2 | hv
1+----1 cosAd-----—sinAd
согласно (2.142).
Отметим, что с помощью функций Лагранжа для определения положения
и скорости материальной точки как функции от начальных условий не требу-
ется знать тип орбиты (эллипс, парабола или гипербола), так как уравнения
(2.142) и (2.148) не содержат эксцентриситета. Однако по начальному поло-
жению и скорости эту информацию можно получить следующим образом.
1. По начальному положению и скорости можно определить угловой мо-
мент орбиты h = |г0 х v0|.
2. Радиальная скорость в начальный момент времени является проекцией
вектора скорости на радиус-вектор в тот же момент времени:
vr =v0-^.
го и ~
г0
88
2.10. Функции Лагранжа
3. Из уравнений (2.35) и (2.39) имеем
й2 1 ц .
гп--------------; v. еsin За.
ц l + ecos30 0 h
(2.149)
4. Из уравнений (2.149) можно найти эксцентриситет е и начальное зна-
чение истинной аномалии 30.
Пример 2.9
Спутник Земли движется в плоскости ху инерциальной СК с началом
в центре Земли. По отношению к этой СК положение и скорость спутника
в момент времени /0 определены в виде
г0 = 8182,4i - 6865,9j (км); (а)
v0 = 0,47572i + 8,8116j (км/с).
Вычислите векторы положения и скоро-
сти спутника после того, как его истинная
аномалия увеличится на 120° (рис. 2.25).
Решение
Используем г0 и v0 для расчета углового
момента спутника:
h = roxvo= 8182,4
0,47572
-6865,9 0
8,8116 0
= 75 366k (км2/с),
т. е.
h = 75 366 (км2/с). (б)
Модуль вектора положения г0 составляет
ro = \lro'ro = 10 861 (км). (в)
Начальная радиальная скорость vro
определяется как проекция скорости v0 и
единичного вектора в направлении радиуса-
вектора г0:
Рис. 2.25. Начальные и конечные
векторы положения и скорости
спутника
rn (0,47572i + 8,8116j)-(8182,4i-6865,9j)
V. = v0 .-2- = = -5,2996 (км/с). (г)
го
10681
Значение радиуса-вектора в конечный момент времени рассчитываем по
уравнению (2.142):
89
Глава 2. Задача двух тел
t. e.
h2
г = —
Ц
1_________
hv,
(h2 ] hvr
1+------1 cos АЗ-----sin АЗ
753662 ___
398600 (
753662
398600 10 681
1__________________________
, 75 366-(-5,2995) . ,„ло
-1 cos 120------------------- sin 120
398 600
r = 8378,8 km.
(д)
Теперь можно определить функции Лагранжа, используя уравнения
(2.148):
f = l-^(l-cosA3) =
= |_3« 600-8378,9 <‘>
75 3662
g = — sin АЗ = 8378,9 10 681 sin 120° = 1028,4 с; (ж)
h 75 366
ц 1 - cos АЗ aqx 1 1
h sin АЗ 1 1 1 1 е । "S о L I
398 600 1-cos 120° 398600
75 366 sin 120°
= -9,8665-IO”4;
y(l-cosl20°)--------------—
75 3662 10 681 8378,9
(з)
(и)
g = l-^-(l-cosA3) =
, 398 600 10 6811ПЛОЧ
= 1--------z--(1 -cosl20 ) = -0,12432.
75 3662
Найдем векторы положения и скорости спутника в конечной точке. Из
уравнения (2.125) имеем
Подставив начальные данные и результаты вычислений — уравнения (а),
(е) и (ж), — получим
г = 0,11802(8182,41 - 6865,9j) + 1028,4(0,475721 + 8,8116j) =
= 1454,9i + 8251,6j (км).
90
2.10. Функции Лагранжа
Аналогично, в соответствии с уравнением (2.126) имеем
v = /ro + £vo-
Подставляя в это выражение (а), (з) и (и), получаем
v = (-9,8665 • l(H)(8182,4i - 6865,9j) + (-0,12435)(0,47572i + 8,8116j) =
= -8,1323i + 5,6785j (км/с).
Аппроксимация функций Лагранжа полиномами
Для того чтобы использовать функции Лагранжа для определения положе-
ния и скорости как функции времени, необходимо получить соотношение,
связывающее истинную аномалию и время. Эта задача в полном объеме бу-
дет обсуждена в соответствующем разделе. Для моментов времени t, которые
близки к начальному моменту времени /0, можно получить полиномиальные
выражения для f и g, в которых переменная АтЗ заменена временным интер-
валом Az = / -10.
Будем рассматривать вектор положения г как функцию времени, кото-
рую разложим в окрестности t = t0 в ряд Тейлора:
(2.150)
где г(п) (Zo) — п-я производная по времени от r(t), вычисленная при t = Zo, т. е.
r(n)(Z0) = —
dtn
(2.151)
4 z 1 -‘О
Если ограничиться пятью членами разложения, то
. (dr] 1 dzr
r(/) = r(Z0)+ — Д/+- —
V dt Jl=. 2 dt
1 u 1*
24 dt4
az4,
го
'о
A 2 1 \d Г
AZ +------:
61 dt
,з
'о
AZ3 +
(2.152)
г
где Д/ = t - Zo.
Для того чтобы вычислить четыре производные, отметим, что первая
производная определяет скорость материальной точки в начальный момент
времени:
= v0-
(2.153)
91
Глава 2. Задача двух тел
Вторую производную
(2.15):
d2A
можно вычислить с учетом уравнения
г
т. е.
.dt2 ,
М_г
3 lb-
(2.154)
(2.155)
Третья производная
уравнения (2.154):
"А"
. dt3 „
определяется путем дифференцирования
го
d3r
d( г
dt\r
r3v-3rr2r>
~б
V _ ГТ
= -Ц— + 3ц—.
(2.156)
Из уравнения (2.25) имеем
ГУ
(2.157)
Следовательно, уравнение (2.156) при t = t0 можно записать в виде
"d3A
\ dt3 )t=tg
__uyo+3l.!oJ^r
- Ц 3 + -Гр.
го г0
(2.158)
И, наконец, четвертая производная
дифференцирования уравнения (2.156):
< ,4 b
d г _
—4- может быть найдена путем
<dt Л=/о
d4r d ( г гг)
-м—+зц— =-ц
dt dt\ г г4)
r3f-3r2rr
~6
+ 3ц
г4 (гг + гг) - 4г3г2г
(2.159)
Значение ускорения г можно определить через г и v путем дифференци-
рования уравнения (2.157), используя уравнение (2.154). В результате имеем
J ^Г-Г^_ V2 Ц (r-v)2
dA г ) г г2 г3
(2.160)
Подставляя уравнения (2.154, 2.157 и 2.160) в уравнение (2.159) и приво-
дя подобные, получаем выражение для вычисления четвертой производной
радиуса-вектора по времени при t = t0:
92
2.10. Функции Лагранжа
(2.161)
Таким образом, после подстановки уравнений (2.153), (2.155), (2.158)
и (2.161) в уравнение (2.152), имеем
г(/) = Л--^тД/2 +
М(го-Уо)д,з , Ц
2r0J 2 г05 24
-2-Н- + 3^—15
. 'о6 Го
(rQ'vo)2
1
Д/4 >г0 +
J (2.162)
д,_ и д,з + М(?Ь^о)д,4
6г03 4 5
'о
Сравнив выражение (2.162) с уравнением (2.125), отметим, что функции
Лагранжа могут быть определены с точностью до четвертой степени Д/ в виде
/ = 1—-2-Ц- + 3-Ч--15
2-J 2 24
g = A,--tLA,’ + ii<5c2!!)^4.
6г03 4 г’
6 ' 5
Гр г0
(Гр-Ур)2
г7
Г0
Д/4;
(2.163)
При малых значениях времени Д/ эти разложения fng можно использо-
вать для расчета положения и скорости материальной точки на орбите.
Пример 2.10
Орбита спутника Земли имеет эксцентриситет е = 0,2 и радиус перигея
7000 км. Изобразите график зависимости от времени для радиуса-вектора,
начиная с перигея орбиты, с помощью разложения функций Лагранжа f и g
и сравните полученный результат с точным решением.
Решение
Поскольку расчет предполагается вести с момента, когда спутник нахо-
дится в перигее, то для него t = /0. Для расчета используем перифокальную
систему координат, т. е.
г0 = 7000р (км). (а)
В соответствии с уравнением орбиты для перигея, согласно уравнению
(2.40), имеем
Откуда получаем, что угловой момент Л = 57 864 (км2/с).
Затем, используя определение углового момента (2.21), находим, что ско-
рость в перигее v0 = 8,2663 км/с, т. е.
93
Глава 2. Задача двух тел
v0 = 8,2663q (км/с). (б)
Вследствие того что в перигее скорость направлена по нормали к радиу-
су-вектору г0 • v0 = 0, функции Лагранжа в уравнении (2.163) можно записать
в виде
/= 1 - 5,8105(10-7)/2 + 9,0032(10-14)f4;
g = t- 1,9368(10-7)/3,
где время t измеряется в секундах. Подставляя /и g в уравнение (2.125), по-
лучаем
г = [1 - 5,8105(10-7)/2 + 9,0032(10-14)/4](7000р) +
+ [/- l,9368(10-7)Z3](8,2663q),
откуда следует, что
г = ||г|| = ^49(106) +11,389*2 -1,103(10^)? -2,5633(10"12/ + 3,9718(10-19)/8.
(в)
Для получения точного решения г как зависимости от времени, следу-
ет использовать методы, описанные в главе 3. Точное решение и решение
в виде ряда из уравнения (в) приведены
на рис. 2.26. Как видно на рисунке, при-
ближенное решение начинает значительно
расходиться с точным решением примерно
через 10 мин полета.
Если в разложение функций Лагран-
жа (2.163) включить члены пятого и более
высокого порядков, приближенное реше-
ние в приведенном примере будет практи-
чески совпадать с точным в течение более
длительного временного интервала. Тем не
менее всегда существует интервал време-
ни, после которого приближенное решение
всегда будет отличаться от точного не-
зависимо от того, сколько членов разло-
жения оно имеет. Этот промежуток времени называется радиусом сходимо-
сти. Для рассмотренного примера радиус сходимости равен 1700 с (почти
полчаса), что составляет одну пятую периода этой орбиты. Таким образом,
следует констатировать, что использовать представление функций Лагранжа
в виде разложения в ряд можно только для относительно небольших проме-
жутков времени.
Рис. 2.26. Точное (/) и приближен-
ное (2) решения для радиального
положения спутника
94
Основные соотношения
Основные соотношения
Законы Кеплера
Первый закон (закон эллипсов):
каждая планета Солнечной системы обращается по орбите в виде эллип-
са, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Второй закон (закон площадей):
каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца,
причем за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце
и планету, заметает собой равные площади.
Третий закон (гармонический закон):
квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы
больших полуосей орбит этих планет.
Дифференциальное уравнение относительного движения задачи двух тел:
f = -4r. (2.15)
г
Удельный угловой момент орбиты (векторная постоянная площадей)
h - г х г;
A = rv„.
Вектор эксцентриситета
rxh г
е =-------.
ц г
Уравнение орбиты и связанные с ним формулы:
й2 1
г =----------;
ц 1 +ecosS
г---------,
l + ecos$
где фокальный параметр
h2
r + r е =—;
Ц
re = recos&
(2.18)
(2-21)
(2.30)
(2-35)
(2.43)
(2-34)
95
Глава 2. Задача двух тел
Скорость движения по орбите и ее компоненты:
нормальная
v„=r3; й = г2д; (2.36) (2-37)
h
vn=~;
Г
vn =—(1 + ecosd); h (2.38)
радиальная
Ц • а v_ =—esinSk r h (2.39)
Траекторный угол
tgy =—; (2.41)
Vn
esind
tgY = , Q- (2-42)
1 + ecosH
Удельная энергия орбиты
(2.50)
Связь удельного углового момента орбиты, удельной энергии орбиты и
векторной постоянной Лапласа:
С2 = 2sh2 + ц2.
Круговая орбита: /м. v*pyr V г ’ (2.53)
Т =1^г312 1 круг г~ л V И (2-54)
Эллиптическая орбита и ее параметры:
Гр = а(1 - е); (2.63)
b = Jl-e2. (2.66)
Период'. т 2п 1 Т ~—j=az; (2.73)
96
Основные соотношения
т-% Ц r h " 3 , (2.72)
tVl-e2 )
где
е- Г —г а р . г 4- г 'а ' 'р (2.74)
(2.78)
Параболическая скорость
vnap = ЁЁ N г ’ (2.81)
Гиперболическая траектория и ее параметры.
угол наклона асимптот
P = arccos[ - (2.89)
\е)
угол поворота
8 = 2arcsin[ - ]; (2.90)
b = ayje2 -1; (2-96)
направленный (прицельный) радиус
Д = а>/е2-1; (2.97)
удельная энергия орбиты
e=-tL. 2а (2.100)
Соотношения для скоростей:
2 2 2 V = V 4- V * v пар коо ? (2.103)
= у7е2-1. (2.105)
h h
Функции Лагранжа:
r = A + gv0; (2.125)
v = A + ^Vo; (2.126)
97
Глава 2. Задача двух тел
/ = l-^(l-cosAd);
g = ^oSm(AO);
h
. pl-cosAO ц 1 1
f = —---------3- (1 - cos AO)-
й r0 r
(2.148)
h sin АО
g = l—^-(1-cos AO),
где
1_______________
,, hvr
1+--------1 cos AO-------sin A3
h2
iPb
Аппроксимация функций Лагранжа полиномами:
2r0J
g = A,_JLA,3 + H(M>)A,4
6r03 4 r05
И(^Ло)д,з + А _24 + з4_15
2 з»5 24 г‘ г„!
(Гр-Ур)2
(2.142)
А<4;
(2.163)
£
Вопросы и задачи
1. В чем заключается различие уравнений абсолютного и относительного
движения в задаче двух тел?
2. Как связаны угловой момент и фокальный параметр орбиты?
3. Составьте последовательность решения уравнений задачи двух тел
с определением первых интегралов движения.
4. Почему нельзя связать напрямую истинную аномалию и время движе-
ния по некруговой орбите?
5. Можно ли осуществлять прямую радиосвязь со станцией, расположен-
ной на северном полюсе, с геостационарной орбиты?
6. Что означает отрицательная удельная энергия спутника на эллиптиче-
ской и круговой орбитах в задаче двух тел?
7. Какие из функций Лагранжа и их производных являются независимыми?
8. Спутник Земли имеет скорость 7 км/с и траекторный угол 15°, когда
его радиус-вектор равен 9000 км. Вычислите истинную аномалию и эксцен-
триситет орбиты спутника.
9. Для спутника Земли удельный угловой момент составляет 60 000 км2/с,
удельная энергия составляет -20 км2/с2. Рассчитайте высоты апогея и перигея.
10. Ракета, запущенная с поверхности Земли, имеет скорость 8,85 км/с на
высоте 550 км. Угол траектории полета в это время составляет 6°. Определи-
те эксцентриситет траектории и период орбиты.
98
Глава 3
ПОЛОЖЕНИЕ ОБЪЕКТА НА ОРБИТЕ
КАК ФУНКЦИЯ ВРЕМЕНИ
Время, прошедшее с момента прохождения перицентра. —
Круговые орбиты. — Эллиптические орбиты. — Средняя
аномалия и среднее движение. — Эксцентрическая анома-
лия и уравнение Кеплера. — Итерационный метод Ньюто-
на. — Алгоритм решения уравнения Кеплера. — Аппроксима-
ция решения уравнения Кеплера рядами. — Усредненный по
времени радиус эллиптической орбиты. — Параболические
траектории. — Гиперболические траектории. — Гипербо-
лическое уравнение Кеплера. — Решение гиперболического
уравнения Кеплера методом Ньютона. — Универсальные
переменные. — Использование универсального уравнения
Кеплера. — Решение универсального уравнения Кеплера. —
Использование функций Лагранжа и универсальных перемен-
ных для вычисления вектора состояния космического аппа-
рата. — Основные соотношения. — Вопросы и задачи
В главе 2 в результате решения дифференциальных уравнений задачи двух
тел была получена связь радиуса-вектора точки на орбите с истинной анома-
лией. Это позволило определить геометрические характеристики орбит, но
в результате преобразований была потеряна зависимость между положением
точки на орбите и временем. Единственным результатом, который содержал
выражение для времени, был период движения по эллиптической орбите. За-
висимость положения точки на орбите от времени довольно просто может
быть определена только для круговых орбит. Для эллиптических, параболи-
ческих и гиперболических орбит получение такой зависимости связано с ре-
шением различных форм уравнения Кеплера. Эти трансцендентные уравне-
ния могут быть решены итеративно, с использованием процедур, подобных
методу Ньютона, который представлен и проиллюстрирован в данной главе.
Другим вариантом решения указанного уравнения является получение раз-
личных аппроксимаций в виде рядов. Эти аппроксимации позволяют полу-
чать решения, практически неотличимые от точного решения для эллиптиче-
ских орбит разного эксцентриситета.
В последней части главы различные формы уравнения Кеплера объеди-
нены в единую универсальную форму посредством введения универсальных
переменных, приведен алгоритм вычисления вектора состояния КА в некото-
рый момент времени по его начальному состоянию с использованием введен-
ных в главе 2 функций Лагранжа.
99
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
3.1. Время, прошедшее с момента прохождения
перицентра
Уравнение орбиты г = (/z2/p)/(l + ecos$) связывает положение тела т2 на
орбите относительно тела с истинной аномалией. По практическим со-
ображениям необходимо определить положение тела т2 как зависимость от
времени. Для эллиптической орбиты получена формула для определения пе-
риода Т (уравнение 2.72), но по этой формуле нельзя вычислить время, не-
обходимое для полета между двумя любыми точками, положение которых
определяется их истинными аномалиями. Цель данного раздела — получить
формулы, которые позволят сделать такой расчет.
Единственное уравнение, которое непосредственно связывает истинную
аномалию со временем, уравнение (2.37): h = г2&, которое можно записать
в виде
d$_ h
dt г2
Подставляя в него г = (/z2/p,)/(l + ecos&), находим после разделения пе-
ременных
ц2
—rdt =-----------у.
Л3 (1 +ecosO)2
Интегрируя обе части этого уравнения, получаем интеграл
2 ^тек jq
f ----------2’ (3.1)
Л3 р ’ (1 + 2COS&)2
в котором постоянная интегрирования tp представляет собой время прохожде-
ния перицентра, в котором, по определению, 0 = 0. Таким образом tp являет-
ся шестой постоянной, полностью определяющей уравнения движения точки
в задаче двух тел, которая не была определена в главе 2.
Отсчет времени можно осуществлять достаточно произвольно, удобно
его измерять от момента прохождения перицентра, поэтому обычно прини-
мают, что tp = 0. В этом случае
2 ^тек
и, г d&
= [ ----------у. (3.2)
Л3 * (l + ecos&)2
Интеграл в правой части выражения относится к табличным, его кон-
кретная форма зависит от того, соответствует ли значение эксцентриситета е
окружности, эллипсу, параболе или гиперболе; Фтек — значение истинной
аномалии, соответствующее текущему моменту времени. Далее, если это не
приводит к неопределенностям, индекс при истинной аномалии опускается.
100
3.3. Эллиптические орбиты
3.2. Круговые орбиты
Для окружности е = 0 (рис. 3.1), поэтому интеграл в уравнении (3.2) прини-
мает вид j тогда
о
Рис. 3.1. Время полета по круго-
вой орбите от перицентра прямо
пропорционально истинной ано-
малии
Наконец, подставляя в эту формулу
уравнение (2.54) для периода круговой ор-
биты Т = 2лг2 jполучаем
т сх 2ТТ
t = —или &тек =—t.
2п тек Т
Причина, по которой t прямо пропорционально истинной аномалии Ф
для круговой орбиты, заключается в том, что угловая скорость 2п/Т явля-
ется постоянной. Время оказывается пропорционально отношению угла, на
который точка сдвинулась по орбите, к полному обороту, помноженному на
период обращения. Поскольку окружность симметрична относительно лю-
бого ее диаметра, линию апсид и, следовательно, перицентр можно выбрать
произвольно.
3.3. Эллиптические орбиты
При 0 < е < 1 интеграл (3.2) в соответствии табличными данными можно за-
писать в виде
Y d& i
’ (l + ecosd)2 -
0 (1-e2)-
ел/1-е2 sin&TCK
1 + есо8дтек
2arctg J----tg-^-
,- <Vl+e 2
•2V l
Поэтому уравнение (3.2) принимает вид
»тек
2 J
ел/1-е2 sin &тек
1 + есозЭтек
101
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
или
Ме = 2arctg
1-е Эте„ ел/1-е sinJK™,
| | ivi4.
1 + е 2 J l + ecosdTCK
(3.3)
где
2 3
Ме=^(1-е2)Ч (3.4)
h
3.3.1. Средняя аномалия и среднее движение
Параметр Ме из уравнения (3.4) называется средней аномалией. Зависи-
мость (3.3) средней аномалии от истинной представлена на рис. 3.2. Отметим,
что для всех значений эксцентриситета Ме является монотонно возрастающей
функцией от истинной аномалии О.
Рис. 3.2. Зависимости средней аномалии от истинной для эллип-
тических орбит с различными эксцентриситетами
Из уравнения (2.72) — формулы для периода Т эллиптической орбиты —
2 "Уз
следует, что ц2 (1-е2)2/Л3 = 2л/Т, формулу для определения средней анома-
лии можно упростить:
2л
Me=—t. (3.5)
Угловая скорость вектора положения точки на эллиптической орбите не
является постоянной. Можно тем не менее ввести понятие среднего движения
102
3.3. Эллиптические орбиты
исходя из того, что за период Т точка по орбите проходит угловое расстояние,
равное 2л. Тогда величина 2л/Т представляет собой среднюю угловую ско-
рость, которая называется средним движением
п = 2п/Т. (3.6)
Используя среднее движение, уравнение (3.5) можно записать проще:
Ме = nt.
Таким образом, средняя аномалия — это азимутальное положение (ис-
числяемое в радианах) фиктивного тела, движущегося вокруг эллипса с по-
стоянной угловой скоростью п. Для круговой орбиты средняя аномалия Ме и
истинная аномалия 0 идентичны и равны.
3.3.2. Эксцентрическая аномалия и уравнение Кеплера
Уравнение (3.3) можно упростить, введя вспомогательный угол Е, который
называется эксцентрическая аномалия (рис. 3.3). Эксцентрическая анома-
лия в отличие от средней и истинной аномалий отсчитывается между лучом,
направленным из центра эллипса, и осью апсид.
Для того чтобы определить эксцентрическую аномалию, строят вспомо-
гательную окружность радиусом, равным большой полуоси эллипса а. Точки
перицентра и апоцентра этого эллипса принадлежат вспомогательной окруж-
ности. Обозначим точку S эллипса с истинной аномалией О. Через эту точку
проведем перпендикуляр к линии апсид, который пересечет вспомогательную
окружность в точке Q, а линию апсид — в точке V. Угол между линией апсид
103
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
и радиусом, проведенным из центра окружности (центра эллипса) к точке Q,
является эксцентрической аномалией Е. Отметим, что Е отстает от истинной
аномалии Ф при движении от перицентра Р к апоцентру А, и опережает ее при
движении от точки А к точке Р.
Определим Е как функцию Ф. Из данных рис. 3.3 следует, что OV =
= acosE, с другой стороны, OV = ае + rcosft, таким образом, acosE =
= ае + rcosO.
Из уравнения (2.62) г = all-e2 l/(l + ecos$) следует, что
„ a(l-e2)cos$
a cos Е = ае + — ------.
1 + 6COS&
Упрощая правую часть полученного выражения, получаем
cosE =
e + cosd
l + ecos$’
cos3 =
е-cosE
ecosE-1
(3.7)
Подставляя первое из уравнений (3.7) в тригонометрическое тождество
sin2 Е + cos2 Е = 1 и решая его относительно sinE, получаем
. „ л/1-е2 sind
sin Е =----------
1 + ecosG
(3-8)
Рис. 3.4. Эксцентрическая аномалия: при 0 < cosE < 1 Е принимает
значения из первого или четвертого квадрантов, при -1 < cosE < О
Е принимает значения из второго или третьего квадрантов
104
3.3. Эллиптические орбиты
По уравнениям (3.7) легко выразить Е через О, но необходимо учиты-
вать, что Е имеет два значения, лежащие между 0 и 360° и отвечающие cosE
(рис. 3.4). То же справедливо и для уравнения (3.8). Для устранения неопре-
деленности с квадрантом, в котором располагается искомое решение, исполь-
зуем следующее тригонометрическое тождество:
2Е 1-cosE
tg — =------
2 1 + cosE
(3.9)
Из уравнений (3.7) следует, что
, - 1-cosd _ 1 + cosd
1 - cos Е =------(1 - е); 1 + cos Е ---(1 + е),
l + ecos3 1 + ecosd
тогда
2 Е 1-е 1 - cos 3 1-е 2 3
tg — =-----------=-----tg —,
2 1 + е l + cos3 1 + е 2
где последнее соотношение вытекает из тождества (3.9), записанного для 3.
В результате получаем два выражения для эксцентрической аномалии:
Е /1-е 3 „ „ ( /1--ё
tgT = A/7~tg7; £ = 2arct§ • (3-Ю)
На рис. 3.5 видно, что при любом значении tg(£/2) существует только
одно значение эксцентрической аномалии Е, лежащее в промежутке между
0 и 2л. Неоднозначности решения нет.
Рис. 3.5. Любому значению tg(E/2) соответствует единственное
значение эксцентрической аномалии Е в диапазоне от 0 до 2л
105
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
Подставляя уравнения (3.8) и (3.10) в уравнение (3.3), получаем уравне-
ние Кеплера-.
Me = E-esinE. (3.11)
Это монотонно возрастающее соотношение между средней и эксцентриче-
ской аномалиями (рис. 3.6).
Для заданной истинной аномалии $ можно вычислить эксцентрическую
аномалию Е с помощью уравнений (3.10). Непосредственной подстановкой
Е в уравнение Кеплера (3.11) можно получить значение средней аномалии.
Зная аномалию и период Т, находят время полета от перицентра по форму-
ле (3.5):
(3.12)
2л
Если известно время, то по формуле (3.12) можно определить среднюю
аномалию Ме, а затем, подставляя значение Ме в уравнение Кеплера, полу-
чить следующее выражение для эксцентрической аномалии: Е - esinE = Ме.
Рис. 3.6. Зависимость средней аномалии от эксцентрической для эл-
липтических орбит с разными эксцентриситетами
Трансцендентное уравнение Кеплера нельзя решить непосредственно от-
носительно Е. Грубая оценка эксцентрической аномалии может быть полу-
чена по рис. 3.6. С высокой точностью решение можно получить, например,
итеративным методом за несколько итераций.
106
3.3. Эллиптические орбиты
3.3.3. Итерационный метод Ньютона
Метод Ньютона или один из его вариантов является одним из наиболее рас-
пространенных и эффективных способов решения уравнения Кеплера. Для
того чтобы найти корень уравнения /(х) = 0 (рис. 3.7), предположим, что на
z-й итерации метода получена оценка корня как точка с координатой на оси
абсцисс xz, которой соответствует значение /(xz). Также для xz определена
первая производная Тогда через точку (xz,/(xz)) может быть прове-
дена касательная, которая пересечет ось х
в точке xz+1. Эта точка является обновлен-
ной оценкой корня уравнения.
Точку пересечения касательной с
осью х определим из условия
rw=£z№),
*M~Xi
из которого затем получим
xM=xt-^-. (3.13)
f W
Далее процедура повторяется: xz+1 ис-
пользуется для оценки х/+2, и так далее до
тех пор, пока корень не будет определен
с желаемой точностью.
Рис. 3.7. Применение метода Нью-
тона для нахождения корня уравне-
ния /(х) = О
3.3.4. Алгоритм решения уравнения Кеплера
Для того чтобы применить метод Ньютона к решению уравнения Кеплера.
запишем функцию
= E-esinE-Me
и будем искать значение эксцентрической аномалии, для которого f(E) = 0.
Поскольку f'(E} = 1 - ecosE. уравнение (3.13) принимает вид
Ем
Ej -esinEj — Ме
1-ecosE,
(3-14)
Решение уравнения Кеплера относительно эксцентрической аномалии Е,
заданного эксцентриситета е и средней аномалии Ме может быть представле-
но в виде следующего алгоритма.
Алгоритм 3.1. Решение уравнения Кеплера
1. Выбираем начальную оценку корня Е следующим образом.
Если Ме < 71, то Е = Ме + е/2. Если Ме > 71, то Е = Ме - е/2. Углы Е и Ме
измеряются в радианах.
107
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
2. На любом шаге по полученному значению Et из предыдущего шага вы-
числяем
f(E{) = Et -еsinEi~Me и /'(£,) = l-ecos£,.
3. Определяем отношение rtt = f(E()/f'^E^.
4. Если р,| превышает требуемую точность (например, 10-8), то необхо-
димо вычислить новое приближение Е:
Ем = Ei - rth
и вернуться на шаг 2.
5. Если |rZz | меньше, чем требуемая точность, то текущее значение Ei яв-
ляется решением с заданной точностью.
Пример 3.1
Рис. 3.8. Геоцентрическая эллиптиче-
ская орбита
Геоцентрическая эллиптическая ор-
бита имеет радиусы перигея 9600 км и
апогея 21 000 км (рис. 3.8). Рассчитайте
время полета от перигея к точке с ис-
тинной аномалией 120°.
Решение
Эксцентриситет орбиты можно
определить по заданным радиусам пе-
ригея и апогея с помощью уравнения
(2.74):
га-г 21000 - 9600
е =----— =-----------= 0,37255. (а)
га + гр 21000 + 9600
По уравнению орбиты находим угловой момент:
1
9600 =
h2
398600 1 + 0,37255 cos(0)
=> h = 72472 (км2/с).
По вычисленным значениям h и е период орбиты определяем с помощью
уравнения (2.72):
_____________72 472
398 6002|ч5/1_0>372552
2л
= 18 834 (с).
(б)
Уравнения (3.10) устанавливают зависимость эксцентрической аномалии
от истинной аномалии:
108
3.3. Эллиптические орбиты
Е /1^7 О /1-0,37255 120° , г , ^о, , ч
tgу=J?— =J,, n tg^~=1>1711 =>E=1’7281 (рад)-
2 \l + e 2 у 1 + 0,37255 2
По уравнению Кеплера (3.11) находим среднюю аномалию:
Ме =1,7281-0,37255 sin(l,7281) = 1,3601 (рад).
Наконец, время можно найти из уравнения (3.12):
t = = ^^-18834 = 4077 (с) или 1,132 (ч).
2л 2л
Пример 3.2
В примере 3.1 найдите значение истинной аномалии через 3 ч после про-
хождения перигея.
Решение
Поскольку заданное время (10 800 с) больше половины периода орбиты,
равного 9417 с, истинная аномалия должна быть больше 180°.
Используем уравнение (3.12) для расчета средней аномалии при
t = 10 800 с:
М=2л- = 2л ^^ = 3,6029 (рад). (а)
е Т 18834 7 7
Затем по уравнению Кеплера Е - esin(£') = Ме (напомним, что все углы
должны быть заданы в радианах) найдем эксцентрическую аномалию. Далее
полученное трансцендентное уравнение будет решено с использованием при-
веденного выше алгоритма с погрешностью 10-6.
Поскольку Ме > л, хорошее стартовое значение для первой итерации
Ео = Ме - е/2 = 3,4166. Дальше следует выполнить следующие действия по
приведенному ниже алгоритму.
Шаг 1
Ео = 3,4166;
f(E0) = -0,085124;
f'(E0) = 1,3585;
rt0 = -0,062658.
Поскольку rt0 > 10-6, следует повторить итерацию.
Шаг 2
Е} = 3,4166 - (-0,062658) = 3,4793;
f(E}) = -0,0002134;
f'(Ex) = 1,3515;
rtx =-1,5778 -IO-4.
Поскольку rtx > 10-6, следует повторить итерацию.
109
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
Шаг 3
Е2 = 3,4793 - (-1,5778 • 1(H) = 3,47942;
ДЕ2) = -1,5366 10~9;
/'(£,) = 1,3515;
rt2 = -1,137 10~9.
Поскольку rt2 < 10-6, принимаем Е =3,47942 в качестве решения.
Получено решение даже с большей точностью, чем требуемая, при этом
всего за две итерации алгоритма. По полученному значению эксцентрической
аномалии истинную аномалию определим из уравнений (3.10):
3 /Г+ё Е 1 + 0,37255
tg— - J---tg— = ---------
2 \1-е 2 V-0,37255
3 4794
tg ’ 2 = -8,6721 => 3 = 193,2°.
Пример 3.3
Спутник находится на орбите с высотами перигея 500 км, апогея 5000 км;
линия апсид его орбиты параллельна оси Земля — Солнце (рис. 3.9). Найди-
те время, когда спутник находится в тени Земли, если: 1) апогей направлен
к Солнцу; 2) перигей направлен к Солнцу. Эффектами конусности тени и на-
личием полутеней пренебречь.
Решение
1. Если апогей направлен к Солнцу (см. рис. 3.9), то спутник находится
в земной тени между точками а и Ь на своей орбите. Это две из четырех точек,
Рис. 3.9. Спутник, проходящий
через тень Земли
в которых орбита пересекается с линиями,
параллельными оси Земля — Солнце, рас-
положенными на расстоянии, равном ра-
диусу Земли Re от ее центра. Истинную
аномалию определим из соотношения
sin 3 = Re /г , где г — радиальное положе-
ние спутника. Отсюда следует, что радиус-
вектор точки Ь
Re
sin3
(а)
Из уравнения (2.62) также получим
*(1-е2)
l + ecos3
(б)
Приравнивая выражения (а) и (б), приводя подобные члены и упрощая,
получаем уравнение
о С1
ecos3-(l-e2)—sin 3 + 1 = 0.
Re
(в)
110
3.3. Эллиптические орбиты
Из данных, приведенных в условии задачи, следует
е = ^(6378 + 5000)-(6378 + 500)
ra + rp (6378+ 5000)+ (6378+ 500) 7
о = ^=(»781500Ц(637815000) = 9128 (д)
Т = ^а2 = 2^--(9128)! = 8679,1 (с) или 2,4109 (ч). (е)
7Й 7398 600
Подставляя значения из (г) и (д) вместе с RE = 6378 км в уравнение (в)
получаем
0,24649cos 3-1,3442sin 3 = -1. (ж)
Это уравнение относится к уравнениям вида
a cos 3 + b sin3 = c
и имеет два корня:
3 - arctg—± arccos
а
с ( t
—cos arctg—
а \ а)
(з)
(и)
Для рассматриваемого случая
3 = arctg —-----± arccos
0,24649
-1 ( -1,3442
-------cos arctg-------
0,24649 t 0,24649
--79,607° ±137,03°,
т. e.
3^=57,423°;
Зс= -216,64° (+143,36°).
Для орбиты, у которой апогей направлен к Солнцу, полет от перигея до
точки b будет проходить в тени Земли. Для того чтобы найти время полета
от перигея до точки Ь, вычислим сначала эксцентрическую аномалию b по
уравнению (3.10):
= 2arc.gf,F°^.g^ = 0,80521 (рад), (л)
V 1 + 0,24649 2 J ф 7 7
Отсюда находим среднюю аномалию, используя уравнение Кеплера:
Л/е-E-esinE = 0,80521-0,24649-sin(0,80521) = 0,62749 (рад). (м)
111
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
И, наконец, уравнение (3.5) дает время в точке Ь:
tb=^-T = 0>627498679,1 = 866,77 с. (н)
ь 2л 2л ’
Общее время полета в тени от точки а до точки Ь, в течение которого
спутник проходит через перигей, вследствие симметрии орбиты
t = 2tb = 1734 (с) или 28 мин 98 с. (о)
2. Если орбита ориентирована перигеем на Солнце, то спутник нахо-
дится в тени вблизи апогея, т. е. от точки с (Ос = 143,36°) до точки d на ор-
бите. По аналогии с процедурой, приведенной выше, получаем следующие
значения:
Ес = 2,3364 рад;
Мс = 2,1587 рад; (п)
tc = 2981,8 с.
Общее время полета в тени от точки с до точки
t = Т- 2tc = 8679,1 - 2 • 2981,8 = 2716 (с) или 45,26 мин. (р)
Это время больше, чем полученное по формуле (о), так как спутник пере-
мещается вблизи апогея медленнее.
3.3.5. Аппроксимация решения уравнения Кеплера рядами
Ранее отмечалось, что аналитического решения уравнения Кеплера от-
носительно эксцентрической аномалии Е не существует. Однако существу-
ют аппроксимации такого решения, основанные на бесконечных рядах. Один
из них, использующий формулу Лагранжа, представляет собой разложение
в ряд по степеням эксцентриситета е:
E = Me + fanen, (3.15)
п=\
в котором коэффициенты ап задаются выражением
1 trunc(n/2) 1
X (-1)*——(Л-2*Г'8т[(п-24)Л/.]. (3.16)
В выражении (3.16) trunc(x) означает округление до ближайшего мень-
шего целого числа (например, trunc(0,5) = 0, trunc(Ti) = 3). Если е мал, то ряд
Лагранжа сходится. Это значит, что, учитывая достаточно большое число
членов в суммировании, можно получить Е с любой желаемой точностью.
К сожалению, если е превышает значение 0,662743419, то ряд расходится,
т. е. при учете все возрастающего числа членов разложения получается все
ухудшающийся результат для некоторых значений средней аномалии М.
112
3.3. Эллиптические орбиты
Предельное значение эксцентри-
ситета для данного ряда было обна-
ружено французским математиком
П.-С. Лапласом, в честь которого на-
звано пределом Лапласа.
На практике необходимо усечь ряд
Лагранжа до конечного числа слагае-
мых N:
у
Е = Ме + ^апеп. (3.17)
77=1
Например, принимая N = 3 и вы-
числяя а„ с помощью уравнения (3.16),
получаем
Рис. ЗЛО. Точное решение уравнения
Кеплера (7) и усеченный ряд Лагранжа
при N = 3 (2) и N = 10 (3) (е = 0,65)
,з
Е - Me + esinMe +
е2 е3
—sin2A/„ +—(3sin3A/ -sinM.).
2 8 J
(3.18)
8
При малых значениях эксцентриситета е выражение (3.18) хорошо со-
гласуется с итерационным решением уравнения Кеплера. Однако по мере
приближения к пределу Лапласа точность получаемого решения ухудша-
ется, если не учитываются дополнительные члены ряда. Рис. 3.10 иллю-
стрирует, что при е = 0,65, т. е. несколько меньшим предела Лапласа, урав-
нение (3.18) при N = 3 дает решение, которое колеблется вокруг точного
решения, но достаточно близко к нему повсюду. Число слагаемых N = 10
дает в качестве решения кривую, которая, по меньшей мере для данного
масштаба, неотличима от точного решения. При е = 0,90, который намно-
го выше предела Лапласа, на рис. 3.11
показано, что уравнение (3.18) являет-
ся плохим приближением к точному
решению, а использование 10 членов
разложения делает его еще хуже.
Другой бесконечный ряд, дающий
аппроксимацию решения уравнения
Кеплера, задается выражением
00 2
E = Me + ^-Jn(ne)smnMe, (3.19)
„=1«
где коэффициенты Jn являются функци-
ями Бесселя первого рода, названными
в честь немецкого астронома и матема-
тика Ф. Бесселя (1784-1846). Эти функ-
ции определяются как бесконечный ряд
Рис. 3.11. Точное решение уравнения
Кеплера (7) и усеченный ряд Лагранжа
при N = 3 (2) и N = 10 (3) (е = 0,90)
ИЗ
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
Рис. 3.13. Точное решение уравнения
Кеплера (7) и усеченное решение через
функции Бесселя при N = 3 (2)
иЛ^ = 10(3) (е = 0,99)
00 f х\п+2к
Jn(x) = У. (3.20)
Функции Jj... Js приведены на рис.
3.12, они имеют вид затухающих при
росте х колебаний.
Оказывается, что в отличие от ряда
Лагранжа решение уравнения (3.19)
с использованием функций Бесселя
сходится при всех значениях эксцен-
триситета, меньших единице. Реше-
ние с использованием усеченного ряда
функций Бесселя:
N 2
Е = Ме + \—Jn(ne) sin пМе (3.21)
п=\П
при N, равном 3 и 10, можно сравнить
с точным решением уравнения Кепле-
ра для очень больших эксцентрисите-
тов е = 0,99 (рис. 3.13). Можно видеть,
что при N = 3 это решение дает плохое
приближение практически для всех Ме,
кроме нескольких значений. Увеличе-
ние числа членов разложения до N= 10
улучшает приближение, а добавление
еще большего числа членов в разложе-
ние делает приближенное решение не-
отличимым от точного.
3.3.6. Усредненный по времени радиус эллиптической орбиты
Уравнения (3.7) и (2.62) можно объединить так, чтобы получить уравне-
ние эллиптической орбиты как зависимость от эксцентрической аномалии:
а(1-е2) а(1-е2)
1 + ecosG . (e-cosE
1 + е -----
I ecosE-1
Отсюда следует
г = а(1 - ecosE).
(3.22)
Ранее в уравнении (2.76) был определен усредненный по истинной ано-
малии радиус эллиптической орбиты. В качестве альтернативы усреднен-
ный по времени радиус rt эллиптической орбиты можно представить в виде
114
3.4. Параболические траектории
1 Т
— f гdt.
(3.23)
В соответствии с уравнениями (3.11) и (3.12)
Т
t = —(Е-esinE),
2л
следовательно,
Т
dt = — (1-е cos E)dE.
2л
Используем это соотношение для перехода от переменной интегрирова-
ния t к Е в уравнении (3.23), которое принимает вид
2л
2л
а -
1 'т1
— [ [a(l-ecosE)] —(1-ecosE) dE = — [ (l-ecosE)2JE =
To L2n J 2л *
2л
— J (1 - 2ecos E + e2 cos2 E)dE = — (2л - 0 + е2л),
2 л о 2 л
тогда усредненный по времени радиус эллиптической орбиты
г'
2 ,
(3-24)
Сравнение этого результата с уравнением (2.77) показывает, что rt > .
Фактически, объединение уравнений (2.77) и (3.24) дает
= а. 3-2—.
V а
(3.25)
3.4. Параболические траектории
Для параболы (е = 1) уравнение (3.2) имеет вид
2 ^тек jn
J-^-T
h3 ' (l + cos$)2
В таблицах интегралов находим, что
Q
f ________= 1 tg ^тек +11 3 ^тек
Jo (l + cos9)2 2 6 2 6 е 2
(3.26)
115
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
Поэтому уравнение (3.26) можно записать в виде
Id 119
М = -tg—^ + -tg3—
р 2 6 2 6*2
(3-27)
где
(3.28)
Здесь Мр — безразмерная величина, которую можно рассматривать как сред-
нюю параболическую аномалию.
Рис. 3.14. Зависимость средней па-
раболической аномалии от истинной
Зависимость (3.27) приведена на
рис. 3.14, она также известна как уравне-
ние Баркера.
Задаваясь истинной аномалией Отек,
можно найти время непосредственно из
уравнений (3.27) и (3.28). Если время яв-
ляется заданной переменной, то следует
решить кубическое уравнение
-tg3-^ + -tg-^-A/ =0,
6 6 2 2*2 р
которое имеет только один действитель-
ный корень, а именно
i____________________
tg-^фм, +7(ЗМр)2 +1]3 -[зЛ/р + А/(ЗМр)2 + 1] 3. (3.29)
Пример 3.4
Спутник на геоцентрической параболической траектории имеет скорость
в перигее 10 км/с. Как далеко он будет находиться от центра Земли через 6 ч
после прохождения перигея?
Решение
Используя уравнение (2.80), находим радиус перигея:
2ц 2-398 600 „„ , ч
Гр=~^ = —--------= 7972 (км)’
откуда определяем угловой момент орбиты:
h = rpvp = 7972 • 10 = 79 720 (км2/с).
Далее вычисляем среднюю параболическую аномалию, используя урав-
нение (3.28):
398 6002 (6-3600)
---------:-------- = 6,7737 (рад),
79 7203
116
3.5. Гиперболические траектории
т. е. ЗМр = 20,321 рад. Уравнение (3.29) позволяет определить истинную ано-
малию:
]__________________________j,
tg| = [20,321 +7(20,321)2 + 1]3 -[20,321 + 7(20,321)2+1] 3 =
= 3,1481 => 0 = 144,75°.
Наконец, подставив истинную аномалию в уравнение орбиты, можно
найти расстояние до спутника:
79 7202 1
г = ---------2-------- = 86 899 (км).
398 600 l + cos(144,75°) v ’
3.5. Гиперболические траектории
Для гиперболы (е > 1) таблицы интегралов дают следующее решение для
уравнения (3.2):
87 dS
о (l + ecosd)2
esinOTeK 1 л/е + 1 + Ve^ltgfo
тек /2)>|
l + ecosOTeK у/е2-i [>/e+T->/e^Ttg(0TCK/2)>
Тогда уравнение (3.1) принимает вид
Л1 ?-1
esin0TCK______1 ^е + 1+^е~11ё(^тек/2)
l + ecosOTCK 7е2-1
Рис. 3.15. Зависимости гиперболической средней аномалии от ис-
тинной для некоторых значений эксцентриситетов
117
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
з
Умножив обе части уравнения на (е2 -I)2, получим
где
__ еЧе 2-lsindTCK ,
Mh =---------------— - In
l + ecos&rejc
(3.30)
2 2
м‘=ТТ(е2"1)5'-
h
(3.31)
По аналогии с ранее введенными обозначениями Mh называется гипербо-
лической средней аномалией. Зависимость (3.30) для ряда значений эксцен-
триситета представлена на рис. 3.15. Отметим, что |&| < arccos(-l/e).
3.5.1. Гиперболическое уравнение Кеплера
Уравнение (3.30) можно упростить, введя вспомогательный угол, аналогич-
ный эксцентрической аномалии Е для эллипса. Для этого рассмотрим точку
на гиперболе, заданную полярными координатами г и $. Пусть х — рас-
стояние от этой точки до центра С гиперболы, у — расстояние от линии
Рис. 3.16. Параметры гиперболы
апсид, а b — мнимая полуось гиперболы
(рис. 3.16).
Соотношение у/Ъ определяет гипер-
болический синус безразмерной перемен-
ной F, которую будем использовать как
гиперболическую эксцентрическую анома-
лию. Тогда определим F так, чтобы
shF = Y- (3.32)
ь
Из уравнения гиперболы — —j" = 1,
а b
согласно соотношению (3.32), можно опре-
делить гиперболический косинус F:
chF = —.
а
(3.33)
Следует отметить, что shx-(ех-е х)/1 и chx-(ex + e х)/2, поэтому
справедливо тождество ch2 х - sh2 х = 1.
На рис. 3.16 видно, что у = rsinfk Подставив это выражение и уравнения:
г = а(е2 -1 jД1 + ecos 3) (2.94) и Ь = а^1 е2 -1 (2.96) в уравнение (3.32), получим
. Р 1 . Q 1 а(е2-1) . .
sh F -—г sin & = — • —----— sin 3,
6 ауе2-1 1 + ecosd
118
3.5. Гиперболические траектории
тогда
у/е2 — 1 sin Э
sh F -------------.
1 + ecosd
(334)
Отсюда можно найти F как функцию истинной аномалии:
F = arcsh
Ve2 — 1 sin Э
1 + ecosd
\ 7
(3.35)
Пользуясь тем, что arcsh(x) = 1п(х +7х2 + 1), после упрощения выраже-
ние (3.35) представляется в виде
F = ln
sin fh/e2 -1 + cos 3 + е
1 + ecosd
Подставляя в эту зависимость тригонометрические тождества
sind =
2tg(»/2) . ,l-tg;(S/2)
l + tg2(9/2)’ l + tg2(9/2)’
после алгебраических преобразований получаем
<l + e + (e-l)tg2(3/2) + 2tg(&/2)7e2-l>
ч l + e + (l-e)tg2(S/2)
Числитель и знаменатель выражения в скобках имеют общий множитель,
поэтому это выражение для гиперболической эксцентрической аномалии мо-
жет быть приведено к виду
Г -71+ е +Ve-1 tg(d/2)>
(3.36)
Подставив уравнения (3.34) и (3.36) в уравнение (3.30), получим уравне-
ние Кеплера для гиперболической орбиты:
Mh = eshF-F.
(3.37)
На рис. 3.17 приведен график уравнения (3.37) для нескольких эксцен-
триситетов.
Если подставить выражение для shF из соотношения (3.34) в тождество
ch2x - sh2x = 1, получим
ch2F = l +
( Г5--- Л
\е2 -IsinG
Ч 1 +ecosO >
119
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
Рис. 3.17. Уравнения Кеплера для гипербол с разными эксцентриси-
тетами
из которого следует, что
, „ cos3 + e „ chF-e
ch F =------; cos 3 =-----
l + ecos3 1-echF
(3.38)
Гиперболический тангенс может быть выражен через гиперболические
синус и косинус посредством формулы
thF =
shF
chF
Известно тригонометрическое тождество
2 1 + chF
(3.39)
Подставляя в эту формулу уравнения (3.34) и (3.38) и упрощая, получаем
, F le-1 sin3
th— = J-----------.
2 V е + 1 l + cos3
(3.40)
Следует отметить, что уравнение (3.39) справедливо и для обычных три-
3 sin3
тонометрических функций, т. е. tg— =--------, поэтому уравнение (3.40)
2 1 + cos 3
можно записать в виде
F е-1 3
th—= ./--tg-.
2 Уе+1 6 2
(3-41)
120
3.5. Гиперболические траектории
Это несколько более простая альтернатива уравнению (3.36) для вычис-
ления гиперболической эксцентрической аномалии по истинной, и отсюда
гораздо проще найти, что
+ & \e + \.F
tg— = J--th—.
2 Ve-1 2
3.5.2. Решение гиперболического уравнения Кеплера
методом Ньютона
Если задано время, то трансцендентное уравнение (3.37) может быть реше-
но относительно F с помощью итерационной процедуры, как это было рас-
смотрено в случае эллиптических орбит. Применяя метод Ньютона к реше-
нию гиперболического уравнения Кеплера, как и ранее, можно сформировать
функцию
/(F) = eshF-F-
и искать значение F, при котором f(F) = 0. Поскольку f'(F) = echF - 1,
уравнение (3.13) принимает вид
(3.42)
ech/-l
Все величины в этой формуле безразмерные, углы выражаются в радианах.
Алгоритм 3.2. Решение гиперболического уравнения Кеплера
Решение гиперболического уравнения Кеплера относительно гиперболи-
ческой эксцентрической аномалии F при заданных эксцентриситете е и ги-
перболической средней аномалии Mh состоит из следующих шагов.
1. Выбираем начальную оценку корня F:
а) для ручных вычислений можно принять примерное значение Fo по
рис. 3.17, чтобы обеспечить минимальное число итераций;
б) для вычислений с помощью компьютера можно принять Fo = Mh, что
в итоге может привести к большому числу итераций, которые тем не менее
быстро сходятся.
2. На каждом текущем шаге, получив оценку F, с предыдущего шага, сле-
дует вычислить
/(Fj) = eshF}-FJ —и/'(Fj) = echFJ.-1.
3. Далее определяем отношение rtt = /(F^/f'(Fj).
4. Если |rt,| превышает выбранный допуск (например, 10~8), следует вы-
числить новое значение F:
= F,- - rtt,
а затем вернуться на шаг 2.
121
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
5. Если |rrz| меньше, чем допустимое отклонение, то текущее значение F,
принимают в качестве решения в пределах желаемой точности.
Пример 3.5
Спутник на геоцентрической траектории имеет в перигее высотой 300 км
скорость 15 км/с. Найдите: 1) радиус, когда истинная аномалия равна 100°;
2) положение и скорость спутника спустя 3 ч.
Решение
1. Угловой момент орбиты рассчитываем по данным для перигея:
h = rpvp = (6378 + 300) • 15 = 100170 (км2/с).
Эксцентриситет орбиты определяем из уравнения орбиты г =
= + ecosО)]; для перигея имеем
6378 + 300 = 100 ^0—— => е = 2,7696, (а)
398 600 1 + е J
так как е > 1, траектория является гиперболой.
Истинную аномалию асимптоты гиперболы можно определить из урав-
нения (2.87):
= arccosf-----— 1 = 111,17°.
I, 2,7696)
1
Подставляя в уравнение орбиты f> = 100°, получаем
г= 1001701---------1^ = 48 49?
398 600 1 + 2,7696cos(100°) 1 ’
2. Для определения положения и скорости спутника через 3 ч после про-
хождения точки с истинной аномалией fl = 100° требуется вначале опреде-
лить, за какое время после прохождения перицентра спутник оказался в этой
точке.
Используя уравнение (3.41) для вычисления гиперболической эксцентри-
ческой аномалии, находим
th — = J2»7696 1 tg 1221 = о,81653 => F = 2,2927 (рад).
2 V2,7696 + 1 2
Гиперболическое уравнение Кеплера позволяет определить среднюю
аномалию этой точки:
Mh = esh F - F = 2,7696• sh(2,2927) - 2,2927 = 11,279 (рад).
Теперь по выражению (3.31) можно получить время, прошедшее с мо-
мента прохождения перигея и до достижения О = 100°:
122
3.5. Гиперболические траектории
Л3 1 1Z 1001703 1
—7------Г М h —--------5----------Г
ц2 3 " 398 6002 7,о, .4
(е2-1)2 (2,7696-1)2
•11,279 = 4141 (с).
Время через 3 ч после прохождения перигея:
t = 4141,4 + 3 • 3600 = 14 941 (с) или 4,15 ч.
Соответствующую среднюю аномалию находим из уравнения (3.31):
Mh = 100 1 703 76962 " '14 941 = 40’690 (Рад)- (б)
Далее для определения гиперболической эксцентрической аномалии F
с погрешностью 10-6 будем использовать алгоритм 3.2. Из данных рис. 3.17
следует, что при Mh = 40,690 и е = 2,7696 значение F находится между 3 и 4.
Выберем произвольно Fo = 3 в качестве первоначальной оценки F.
Таким образом, Fo = 3.
Шаг1
f(F0) = - 15,944494;
f'(F0) = 26,883397;
r/0 = -0,12176134, причем |r/0| > 10 6, поэтому
Fx = 3,5930982 - (-0,12176134) = 3,4713368.
Поскольку точность не достигнута, требуется повторить вычисление.
Шаг 2
/(F,) = 6,0114484;
f'(F}) = 49,370747;
rt} = -0,59309818, причем |r^| > 10-6, поэтому
F2 = 3 - (-0,59309818) = 3,5930982.
Поскольку точность не достигнута, требуется повторить вычисление.
Шаг 3
f(F2) = 0,35812370;
f'(F2) = 43,605527;
rt2 = 8,2128052 • 10-3, причем r/2|> Ю-6» поэтому
F3 = 3,4713368 - (8,2128052 • IO"3) = 3,4631240.
Поскольку точность не достигнута, требуется повторить вычисление.
Шаг 4
f(F3)= 1,4973128 10-3;
/'(^з) = 43,241398;
rt3 = 3,4626836 • 10-5, причем r/3| > 10-6, поэтому
F4 = 3,4631240 - (3,4626836 10“5) = 3,4630894.
Поскольку точность не достигнута, требуется повторить вычисление.
123
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
Шаг 5
f(F4) = 2,6470781 • 10-3;
f'(F4) = 43,239869;
rt4 = 6,1218459 • 10-10, причем r/4| > 10 6, поэтому
F5 = 3,4630894 - (6,1218459 • IO-10) = 3,4630894.
Точность достигнута, поэтому принимаем F = 3,4630894 в качестве решения.
Подставим это значение F в уравнение (3.41), чтобы найти истинную
аномалию:
tg » = JSil th = J2’7696 + 1 thP-4630894 = 1,3708 9 = 107,78°.
2 Ve-1 2 V,7696-1 I 2 )
По истинной аномалии из уравнения орбиты г = \h /цД1/(1
конечной точки получаем
Г = ----------'-------- 163180 (км).
398 600 l + 2,7696cos(107,78) v 7
1
Компоненты скорости в конечной точке находим из уравнения (2.21):
h 100170 ,ч
= —=-------= 0,61386 (км/с)
г 163180 1 7
Рис. 3.18. Положение спутника
на орбите:
1 — начальное; 2 — через 3 ч
I1 • Q
vr = —esinU =
r h
= 398 600 • 2,7696sin (107,78°) =
100170
= 10,494 (км/с).
Таким образом, скорость КА
v = yjv2r+v2 = 710,4942+0,613862 =
=10,51 (км/с).
Гиперболическая скорость на беско-
нечности для этой орбиты:
Ц • а
v00=-esin&00 =
п
= 398 600 • 2,7696sin (111,7°) =
100170
= 10,277 (км/с).
Схема задачи и полученные результа-
ты приведены на рис. 3.18.
124
3.6. Универсальные переменные
При определении положения спутника на орбите с помощью уравнения Ке-
плера в некоторых случаях удобно иметь зависимость, связывающую радиус-
вектор г с эксцентрической аномалией F. Такую зависимость можно полу-
чить путем подстановки формул (3.38) в уравнение (2.94):
а(е2-1)
l + ecos0
дг(е2—1)
chF-e
1-ecosF
откуда
г = a(echF- 1).
(3.43)
2 3
/|^-(1-е2)Ъ
2 2
= £(-0(1-е2)2^ =
h
3.6. Универсальные переменные
Уравнения для эллиптических и гиперболических траекторий во многом
схожи, как это можно видеть из табл. 3.1. Отметим, что, например, гипер-
болическая средняя аномалия может быть определена через эллиптическую
среднюю аномалию следующим образом:
2^ 2 3 2 2 2
Mh = £(е2-1)21 = £[(-1)(1 -е2)]2 t = £-(-1)2(1-е2)2/ =
п п п
= ~iMe.
В самом деле формулы, описывающие гиперболу, могут быть получены
из таких же для эллипса путем замены переменных в соответствии со следу-
ющей схемой, в которой знак «<—» означает «заменить»:
а <--a; b <— ib; Ме <--iMh; Е <— zF,
где z2 = -1, причем sin(zF) = zshF и cos(zF) = chF.
Соотношения между круговыми и гиперболическими тригонометриче-
скими функциями приводятся в справочниках.
При использовании универсальных переменных большая полуось ги-
перболы должна иметь отрицательное значение, поэтому уравнение энергии
(см. табл. 3.1, строка 5) имеет одну и ту же форму для любого типа орбиты,
включая параболу, для которой а = оо. Поэтому большая полуось любой ор-
биты (см. табл. 3.1, строка 3) имеет вид
2
« = — Т-Ц-- (3.44)
Ц 1-е
Если положение тела г и его скорость v в данной точке орбиты известны,
то по уравнению энергии (см. табл. 3.1, строка 5) удобно определить боль-
шую полуось этой орбиты:
125
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
« = у^2-- (3.45)
Г ц
Таблица 3.1
Некоторые формулы орбитального движения
для эллиптических и гиперболических орбит
Уравнение Эллипс (е < 1) Гипербола (е > 1)
Уравнение орбиты (2.35) г = (й2/|1)[1/(1 + ecos 3)] Та же
Уравнение конического сечения в пря- моугольной системе координат (2.69), (2.99) а2 b2 а2 Ь2
Большая полуось (2.61), (2.93) h2 1 а = ? ц 1-е2 h2 1 а = > ц е2-1
Малая полуось (2.66), (2.96) Ь = ау/\-е2 b = ay/e2 -1
Уравнение энергии (2.71), (2.101) 1 II 1 2 г 2а
Средняя аномалия (3.4), (3.31) Ц2 2 - Л<=^-(1-е2)2/ И МА=^-(е2-1)2/
Уравнение Кеплера (3.11), (3.37) Ме =E-esinE Mh =eshF-F
Уравнение орбиты как функция экс- центрической аномалии (3.22), (3.43) r = a(l-ecosE) г = a(echF-l)
Уравнение Кеплера также можно записать в терминах универсальных
переменных или универсальной «аномалии» % для всех типов орбит. Если
/0 — время, при котором универсальная переменная равна нулю, то значение
% в момент времени Zo + А/ определяется путем итеративного решения универ-
сального уравнения Кеплера.
= —^-%2С(а%2) + (1 - аг0)%35(а%2) + г0%. (3.46)
уЦ
Здесь r0, vrf> — радиус и радиальная скорость при t = f0; а — размер большой
полуоси; а — обратная величина а,
а = —, (3.47)
а
а < О, а = 0 и а > 0 для гиперболы, параболы и эллипса соответственно.
Размерность [%] километр в степени 1/2, так как ах2 является безразмерной
величиной.
Функции C(z) и S(z) принадлежат к классу функций Штумпфа и опреде-
ляются как бесконечные ряды:
126
3.6. Универсальные переменные
S(z) = Y(-\)k
к=0
(2*4-3)!
1 z z2 z3
6 ~ 120 + 5040 - 362 880 +
+ 39 916 800 6 227 020 800+"”
C(z) = f(-1)*
к=О
(2к + 2)1
1 z z2 z3
2 " 24 + 720 ~ 40 320 +
(3.48)
+ 3 628 800 479 001600 +
Функции C(z) и S(z) связаны с кру-
говыми и гиперболическими тригоно-
метрическими функциями следующим
образом:
(;>0); ш3
ОД-' ~ з (z<0) (z = a%2); (v-zj I = l О
(3-49)
ОД-
1 - COS y[z
ОДО);
(z<0) (z = a%2);
а
C;S
0,5 0,4
0,3
0,2
0,1 gz)
s; —
0,0 C
) i j 11 0 1 5 2 0 2 5 30
2 (Z = 0)’
(3.50)
где z < 0, z = 0 и z > 0 для гиперболы,
параболы и эллипса соответственно.
Дополнительно следует отметить, что
если C(z) и S(z) вычисляются как ряды
по уравнениям (3.48), то формы C(z)
и S(z) в зависимости от знака z выбира-
ются автоматически. Графики зависимо-
стей C(z) и S(z) приведены на рис. 3.19.
Важной характеристикой функций C(z)
Рис. 3.19. Графики функций Штумп-
фа C(z) и S(z)
127
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
и S(z) является их неотрицательность. Они неограниченно возрастают при
z —> -оо и стремятся к нулю при больших положительных значениях z. Напри-
мер, как следует из уравнения (3.50), для z > 0 C(z) = 0 при cos-Tz =1, т. е.
при z - (2л)2, (4л)2, (6л)2, ....
3.6.1. Использование универсального уравнения Кеплера
Рассмотрим примеры замены уравнений Кеплера для любого конического се-
чения его универсальным аналогом (3.46). Пусть t0 — время прохождения
точки перицентра. Положим /0 = 0. Тогда Д/ = t, vr =0, rp =г0. В этом слу-
чае уравнение (3.46) сводится к виду
г7Й = (1-а^)х35(аХ2) + гд (/о = О)- (3-51)
Рассмотрим параболическую орбиту.
В этом случае а = О, S = 5(0) = 1/6 и уравнение (3.51) становится кубиче-
ским многочленом относительно х:
Г 1 3
ЧН=-Х +^Х-
Умножив это уравнение на
Ш*)'
, получим
pi if zVe
h3 б1 h
у
7
Поскольку для параболы гр =й2/2ц, можно записать полученное урав-
нение в виде
2 1 ( Г V 1 ( Г А
ц 1 Ju 1 Ju
= 7 Vх +? ТХ •
h 6 k h J h J
(3-52)
Зададим x = ^tg(&/2)/Vp> тогда уравнение (3.52) приводится к уравне-
нию (3.27), связывающему время с истинной аномалией для параболической
орбиты.
Уравнение Кеплера для эллиптической орбиты может быть получено
путем умножения уравнения (3.51) на (^р(1-е2)/й) :
= + (* = аХ2). (3.53)
h \ h J v \ h J
Отметим, что для эллипса гр=й2Дц(1 +е)] и а = 1/а = р(1-е2)/й2.
Используя эти два выражения в уравнении (3.53) вместе с
128
3.6. Универсальные переменные
S(z) = [Va% - sin(Vax)]/ \a2X3
преобразования, получаем
(из уравнения 3.49) и проведя некоторые
Сравнив это уравнение с уравнением Кеплера для эллиптической орбиты
(3.11), отметим, что в этом случае связь между универсальной переменной %
и эксцентрической аномалией Е задается в виде % = Е>[а.
Аналогично можно показать, что для гиперболических орбит х =
Таким образом, универсальная аномалия % связана с ранее введенными
эксцентрическими аномалиями следующим образом:
для параболы;
для эллипса;
для гиперболы.
(Го = 0 в перицентре орбиты); (3.54)
В случае когда Zo определено для точки, отличной от перицентра, можно
использовать уравнение (3.46), и тогда уравнение (3.54) принимает вид
— для параболы;
— для эллипса;
— для гиперболы.
(3.55)
3.6.2. Решение универсального уравнения Кеплера
Для решения уравнения (3.46), т. е; определения значения универсальной
аномалии х Для заданного интервала А/, можно использовать метод Ньютона.
Для этого необходимо сформировать функцию
/(х) = ^-Х2ОД + (1 - ar0 )x35(z) + rox - (3.56)
и ее производную
<*х Vp л/р & d* (3 57)
+ 3(l-ar0)x2S(z) + (l-ar0)x3^^-^- + r0,
az d%
129
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
где
z = а%2, (3.58)
тогда
dz
-Т- = 2аХ- (3.59)
Производные от функций Штумпфа:
^>=±[C(z)-3S(z)];
dz 2z (3.60)
d^l = ±[l-zS(z)-2C(z)].
dz2z
Подставляя уравнения (3.58)-(3.60) в уравнение (3.57) и упрощая резуль-
тат, получаем
Ф - а*2эд]+о - аго )%2ад+(3.61)
«X
В результате в соответствии с уравнениями (3.56) и (3.61) итерация алго-
ритма Ньютона (уравнение 3.13) для универсальных переменных принимает
вид
X?C(z,.) + (1 - ar0 ) X3iS(Zi) + гоХ, - Д^
Хм = X, -77---------------------------------- (z/ = а%-). (3.62)
-М-Х,- [1 -aXrW] + (1 ~ аг0)х?С(г,) + r0
Согласно В.А. Чоботову, приемлемой оценкой для начальной величи-
ны является
Хо=|а| Д/ТЙ. (3.63)
Алгоритм 3.3. Решение универсального уравнения Кеплера
Решение универсального уравнения Кеплера относительно универсаль-
ной аномалии х при заданных Д/, r0, vro, а.
1. С помощью уравнения (3.63) получаем оценку начального значения Хо-
2. На каждом следующем шаге по полученному на предыдущем шаге
значению х, определяем
/(Х,) = •^Х?С(г,) + (1 -ar0)x-S(Zi) + г0Х( - Д/^Ц
И
/'(Xi) = ~7=^Х» [1 - aX2^(Z;)] + О - ar0)x,2C(z,.) + r0,
130
3.6. Универсальные переменные
где z,- = а%2.
3. Вычисляем rtt= /(%,)/
4. Если |rt,| превышает заданную точность (например, 10-8), необходимо
рассчитать обновленное значение %,:
Хж=Х/-^-
Возврат к шагу 2.
5. Если |rt;| меньше, чем допустимое отклонение, то полученное на шаге
значение %, принимают в качестве окончательного, удовлетворяющего требу-
емой точности.
Пример 3.6
Спутник Земли перемещается по орбите радиусом г0 = 10 000 км со ско-
ростью v0 = 10 км/с, его истинная аномалия О0 = 30°. С помощью универ-
сального уравнения Кеплера найдите изменение универсальной аномалии % за
1 ч и используйте полученное значение для определения истинной аномалии
спутника в этот момент времени.
Решение
Используя начальные условия, определим угловой момент и эксцентри-
ситет траектории. Из уравнения орбиты (2.35) имеем
h = Jpr0(l + ecosd0) = ^/398 600 • 10 000 (1 + ecos30°) =
i----------------- <а)
= 6313571+ 0,86602е.
Вместе с формулой для углового момента (2.21)
h 63 135-71 + 0,86602e .....
v„ =--------------------= 6,313 5-J1 + 0,86602е,
"° г0 10000
используя зависимость для радиальной скорости (2.39), находим
г0
398 600
63135^1 + 0,866026
esin 30° = 3,1567
е
71+ 0,86602е
= — esmSn =
h 0
Отсюда следует, что при v„o + v2 = Vq
( у _______________________2
3,1567 e-------- + (б,3135Jl + 0,86602e) =102.
71+ 0,86602e J
После упрощения данное уравнение приводится к виду 39,86е2 - 17,563е -
- 60,14 = 0. Единственный положительный корень этого квадратного уравне-
ния е = 1,4682, что дает гиперболическую орбиту.
131
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
Подставляя это значение эксцентриситета в уравнение (а), получаем
угловой момент орбиты:
h = 95 154 км2/с.
Гиперболическая эксцентрическая аномалия Fo при заданных начальных
условиях может быть найдена из уравнения (3.41):
,h& = <£21 ,g 9» = 11^21 tg 111 = 0,16670.
2 Уе + 1 2 yl,4682 + 1 2
Решая его относительно Fo, получаем
Fo = 0,23448 рад. (б)
Начальную радиальную скорость, которая используется в уравнении
(3.46), определим из уравнения (2.39):
vro =-^esin30 =^^-1,4682sin30° = 3,0752 (км/с). (в)
Вычислим большую полуось орбиты с помощью уравнения (3.44):
h2 1 951542 1 z ч
а =-------г =----------------г = -19 655 (км),
ц 1-е2 398 600 1-1,46822
Тот факт, что полуось орбиты отрицательна, подтверждает, что орбита
является гиперболой. Из уравнения (3.47) находим
а = —=---5---=-5,0878 10’5 (км-1).
а -19 655 v 7
(г)
Далее используем алгоритм 3.3 для расчета универсальной аномалии с
допустимой ошибкой не более 10-6.
Из уравнения (3.63) получим первоначальную оценку
Х0 = ^398 6001-5,0878 • 10"51 • 3600 = 115,6.
Далее используем шаги алгоритма 3.3.
Шаг 1
/(Хо) =-370 650,01;
/'(Хо) = 26 956,300;
rt^ — -13,750033;
%! = 115,6 - (-13,750033) = 129,35003;
Ио|>ю-6,
поэтому следует повторить итерацию.
132
3.6. Универсальные переменные
Шаг 2
/(Х]) = 25 729,002;
/'(Х]) = 30 776,401;
rt\ = 0,83599669;
Х2 = 129,35003 - 0,83599669 = 128,51404;
Ы>ю-6,
поэтому следует повторить итерацию.
Шаг 3
/(Х2)= 102,83891;
/'(Хг) = 30 530,672;
rt2 = 3,368800 • 10-3;
Х3 = 128,51404 - 3,368800- 10~3 = 128,51067;
|rt2|>10'6,
поэтому следует повторить итерацию.
Шаг 4
/(Хз) = 1,6614116 • 10~3;
/ЧХз) = 30 529,686;
rt3 = 5,4419545 • 10~8;
Х4 = 128,51067 - 5,4419545 • 10~3 = 128,50523;
|г/3|<10-6.
Заданная точность достигнута после четырех итераций, принимаем
% = 128,50523 км1/2 как решение. Подставляя значение % вместе со значением
большой полуоси из уравнения (г) в уравнение (3.55), получаем
F-F - х 128,50523
° 4^ 7_(“19655)
= 0,91664.
Из уравнения (б) следует, что гиперболическая эксцентрическая анома-
лия через 1 ч полета составит
F = 0,23448+ 0,91664= 1,1511.
Наконец, по уравнению (3.41) вычисляем соответствующую истинную
аномалию:
О /ё+Т u F /1,4682 + 1 1,1511
tg — = J---th — = ---------th ----
2 \e-l 2 \1>4682-1 2
= 1,1926,
откуда получаем, что через 1 ч полета истинная аномалия спутника
О =100,04°.
133
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
3.6.3. Использование функций Лагранжа
и универсальных переменных для вычисления
вектора состояния космического аппарата
Как было показано в разд. 2.11, положение космического аппарата г и его
скорость v, вместе являющиеся вектором состояния КА на траектории, в лю-
бой момент времени t могут быть найдены через начальное положение г0
и скорость v0, определенные в момент времени /0 с помощью функций Ла-
гранжа /и g и их первых производных:
г=Ао+^о; (3.64)
v = A + gvo- (3.65)
С помощью уравнений (2.148) можно получить f.f.g.g в явном виде
как зависимость истинной аномалии fl от времени на интервале А/ = t - Zo.
Функции Лагранжа можно также найти и как функции эксцентрической ано-
малии Е для эллиптических орбит, F — для гипербол или tg(9/2) — для па-
раболы. Однако если воспользоваться универсальными переменными, можно
охватить все эти случаи, имея тот же набор функций Лагранжа. Используя
универсальную аномалию % и функции Штумпфа C(z) и 5(z), функции Ла-
гранжа записывают в следующем виде:
/-1-~с(аХ2);
г0
g = St —j=X3s(ax2);
(3.66)
/ = — Гах35(ах2)-х1;
"о L J
g = l-—С(ах2)-
г
Алгоритм 3.4. Определение вектора состояния космического аппара-
та через время St
Этот алгоритм позволяет определить с помощью универсальных пере-
менных по начальному вектору состояния КА, заданному радиусом-вектором
положению г0 и вектору скорости v0 конечное состояние КА (г, v) через вре-
мя St.
1. Используем начальные условия для определения:
а) модуля векторов г0 и v0
ro=ylro-ro; v0=7v0-v0;
б) радиальной составляющей скорости vro путем проецирования v0 на на-
правление вектора г0,
134
3.6. Универсальные переменные
v = ^Уо.
г° г ’
r0
в) величины а, обратной большой полуоси (3.45):
2 v02
а--------.
Н) М-
Знак при а определяет, является ли траектория эллиптической (а > 0),
параболической (а = 0) или гиперболической (а < 0).
2. Зная r0, vro,а, А/, по алгоритму 3.3 определяем универсальную анома-
лию %.
3. Подставляя a, r0, Az и % в уравнения (3.66), получаем/, g.
4. Используем уравнение (3.64) для определения г и его модуля г.
5. Подставляя а, г0, г и % в уравнения (3.66), получаем/, g.
6. С помощью уравнения (3.65) вычисляем v.
Пример 3.7
Спутник Земли движется в плоскости ху инерциальной системы коорди-
нат с началом в центре Земли. По отношению к этой системе координат по-
ложение и скорость спутника в момент времени /0:
г0 = 7000,0i - 12 124j (км);
v0 = 2,6679i + 4,6210j (км/с).
Определите векторы положения и скорости спутника через 60 мин полета
с помощью алгоритма 3.4.
Решение
Шаг 1
г0 = ^7000,02 +(-12124)2 = 14 000 км;
v0 = <Дб6792 + 4,62102 = 5,3359 км/с;
7000,0-2,6679+ (-12124)-4,6210
’ =---------------*--------------= -2,6679 км/с;
г° 14 000
2 5,33592
14 000 398600
= 7,1429-10-5
км-1.
Траектория представляет собой эллипс, так как а положительно.
Шаг 2
Используя результаты шага 1, по алгоритму 3.3 получаем
% = 253,53 км1/2,
откуда z = ах2 = 7,1429 • 10~5 • 253,532 = 4,5911.
135
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
Шаг 3
Подставляя найденные значения % и z в уравнения (3.66), получаем
/ = l-£c(aZ2) = l-^^C(4,5911) = -0,54123,
где 0(4,5911) = 0,3357;
1 OAZQ
g = Д/--^=х35(ах2) = 3600--j=^=5(4,5911) = 184,35 с"1,
где 5(4,5911) = 0,13233.
Шаг 4
r = yr0+gv0 = (-0,54123)(7000,0i-12,124j) + 184,35(2,6679i + 4,6210j) =
= -3296,8i + 7413,9j (км).
Таким образом, длина радиуса-вектора г составляет
г = 7(-3296,8)2 + 7413,92 = 8113,9 км.
Шаг 5
f = — Гах35(а%2)-х1 =
rr0 L J
= 4 —398 600— Г (7,1429 • 105) • 253,532 • 5(4,5911) - 253,53
V 8113,9 14 000 L
= -0,00055298 (с-1);
Рис. 3.20. Начальные и конечные точ-
ки на геоцентрической траектории
136
Основные соотношения
g = l_2LC(aX2) = l-—2—С(4,5911) = -1,6593.
Шаг 6
y = fio + g^o =
= (-0,00055298)(7000, Oi -12,124 j) + (-1,6593X2,66791 + 4,6210j) =
= -8,29771 - 0,96309j (км/с).
Начальные и конечные векторы положений и скоростей, а также траекто-
рия спутника приведены на рис. 3.20.
Основные соотношения
Уравнение времени задачи двух тел:
$•- Эллиптические орбиты Средняя аномалия: Ме = 2arctg J х Эксцентрическая аномалия tl Q 7 db (3 Л) Р 0 (l + ecos&)2 ^тек e\ll — e sinS^ (3 3) 1 + е 2 ) 1 + есо80тек 2 3 е=£г(1-е2)Ч (3.4) п Me=^-t. (3.5) Е 11-е & l- = J- tg-; (3.10)
Уравнение Кеплера: 2 Vl+e 2 ( /1-е £ = 2arctg J- tg- . <\1+е 2) Me = E-esinE; (3.11) 2л
137
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
Итерация метода Ньютона для решения уравнения Кеплера:
(3-14)
l-ecos£.
Начальное приближение:
если Ме < п, то Ео = Ме + е/2; если Ме > п, то Ео = Ме-e/l.
Аппроксимации решения уравнения Кеплера:
E = Me + fa„en- (3.15)
И=1
i trunc(n/2) i
= L (~V(n ,.,,,(«-2^-sin[(n-2^e]; (3-16)
E = Me+^-Jn (ne) sin nMe i (3.19)
00 <r^”+2t Л(х) = У-^—I -1 (3.20)
Усредненные радиусы при эллиптическом движении космического аппарата:
(
rt=a 1+- ; (3.24)
\ 2 7
7^=0./3-2—. (3.25)
У а
Параболическая траектория
Параболическая средняя аномалия:
1 Э> 1 13
^p=-tg^ + -tg3^; (3.27)
(3-28)
п
Решение уравнения времени для параболической траектории:
2_ [
q tgZl£K= 3M-+V 6 2 L p \ // \2 3 l(3Afp) +1 - 3Mp+. // \2 3 l(3Mp) +1J . (3.29)
Гиперболические траектории
Гиперболическая средняя аномалия:
м e7e2-lsin3TCK + >/e^Ttg(aTCK/2)>
А l + ecosdTCK |<Vm->/r4tg(»TCK/2)>
138
Основные соотношения
2 2
Mh=^(e2-\yt.
п
Гиперболическая эксцентрическая аномалия:
„ у/е2 -1 sin &
1F =-----------;
l + ecos&
>/Г+ё + >/ё^Щ(&/2)>
>/l + e - Ve-1 tg (9/2) ,
t 9 e + 1 . F
tg— = .---th—.
2 Ve-1 2
Гиперболическое уравнения Кеплера:
Mh = eshF-F.
(3-31)
(3.34)
(3.36)
(3.41)
(3.37)
Итерация метода Ньютона для решения гиперболического уравнения
Кеплера: _ _ eshF-F-MA F^F‘~ ' <3-42>
Начальное приближение: Fo — Mh.
Уравнения в универсальных переменных
А'Тй=х2(? (а%2)+0 - а>о )x3s (аХ2 )+гох; (3.46)
1
а = —
а
(3.47)
zk
z3
1 Z Z2
(2£ + 3)! б”120 + 5040 362880
z5
S(z) = £(-1)*
Jt=o
z4
+ 39 916 800 6 227 020800 ’
00 1 _ _2 3
C(z) = У (-1)* —------= - - — + --------—
(2Л + 2)! 2 24 720 40 320
z4 z5
+ 3 628 800 479 001600+ ""
(3.48)
139
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
Связь функций C(z) и S(z) с круговыми и гиперболическими тригономе-
трическими функциями:
z -sinvz
Ш3
5(z) =
Z
(3.49)
2 (z = 0)-
.о
1-cosvz
Z
C(z) = \
(3.50)
—z
I (г=0)-
Универсальная аномалия:
— для параболы;
— для эллипса;
(/0 = 0 в перицентре орбиты); (3.54)
Fy[-a — для гиперболы.
Х = |(Е-£0)л/а
— для параболы;
— для эллипса;
— для гиперболы.
(3.55)
Итерация метода Ньютона для решения уравнения Кеплера в универсаль-
ных переменных:
(F-Fo)V^
Хм = Х/
^X,2C(z,) + (1 -ar0)%-S(z,) + rox, -
УН
-f-Xi
[1 - aX?S (z,-) J + (1 - ar0 ) x • C(z;) + r0
(г,=ах,2).
(3.62)
Начальное приближение:
Xo=|a|A/VH-
(3.63)
140
Основные соотношения
Алгоритмы
Алгоритм 3.1. Численное решение уравнения Кеплера
1. Выбираем начальную оценку корня Е следующим образом.
Если Ме < п, то Е = Ме +е/2; если Ме > л, то Е = Ме -е/2. Углы Е и Ме
измеряются в радианах.
2. На любом шаге по полученному Ej из предыдущего шага вычисляем
/(£,) = Ej-esinEj-Me; /'(£,) = 1 -ecos£,.
3. Находим отношение rtt = /(Е^/fXEj).
4. Если |г/(| превышает требуемую точность (например, 10-8), то необхо-
димо определить новое приближение Е,
Ем = Б, - rti,
и вернуться на шаг 2.
5. Если |rzj меньше, чем требуемая точность, то текущее значение Д яв-
ляется решением с заданной точностью.
Алгоритм 3.2. Решение гиперболического уравнения Кеплера
Решение находим относительно гиперболической эксцентрической ано-
малии F при заданных эксцентриситете е и гиперболической средней анома-
лии Mh.
1. Выбираем начальную оценку корня F.
Для ручных вычислений можно принять примерное значение Fo по
рис. 3.17, чтобы обеспечить минимальное число итераций.
Рис. 3.17. Уравнения Кеплера для гипербол с разными эксцентриси-
тетами
141
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
Для вычислений с помощью компьютера можно принять Fo = Mh, что
может привести к большому числу итераций, которые тем не менее быстро
сходятся.
2. На каждом текущем шаге, получив оценку F, с предыдущего шага, вы-
числяем
/'(F}) = echF}-1.
3. Далее определяем отношение rtt = f{F^/f'(Fj).
4. Если |г/( | превышает выбранный допуск (например, 10-8), следует вы-
числить новое значение F,
^+1 = F, ~ rtt>
и вернуться на шаг 2.
5. Если |ц | меньше, чем допустимое отклонение, то текущее значение F,
принимают в качестве решения в пределах требуемой точности.
Алгоритм 3.3 Решение универсального уравнения Кеплера
Решения находят относительно универсальной аномалии % при заданных
A?,r0,vr0,a.
1. С помощью уравнения (3.63) получаем оценку начального значения %0.
Х0=|а|Д^7Й- (3-63)
2. На каждом следующем шаге по полученному на предыдущем шаге
значению х(- определяем
/(%, ) = ) + (1 - ar0) X3iS(Zi) + r0%,
f'(^i) = [1 “ aX^(z,)] + (1 - ar0)x,2C(z,) + r0,
где Zj =ax-.
3. Вычисляем =/(x,)//'(Xi)-
4. Если |r/, | превышает заданную точность (например, 10-8), рассчитыва-
ем обновленное значение jq:
X,+i =х,-^,-
Возврат к шагу 2.
5. Если |г/, | меньше, чем допустимое отклонение, то полученное на шаге
значение х( принимают в качестве окончательного, удовлетворяющего требу-
емой точности.
142
Вопросы и задачи
Алгоритм 3.4 Определение промежуточного вектора состояния кос-
мического аппарата через время At
1. Используем начальные условия.
а) . Определим модули векторов состояния КА в начальный момент вре-
мени г0 и v0:
го=л/го'го; v0=7v0-v0.
б) . Найдем радиальную составляющую скорости vrQ путем проецирова-
ния v0 на направление вектора г0:
vr=^.
° г0
в) . Рассчитаем величину а, обратную большой полуоси (3.45):
2 v02
а =-----
г0 Ц
Знак при а определяет, является ли траектория эллиптической (а > 0),
параболической (а = 0) или гиперболической (а < 0).
2. Зная г0, у,о, а, А/, по алгоритму 3.3 определяем универсальную анома-
лию %.
3. Подставляя a, r0, At и % в уравнения (3.66), получаем значения fwg:
/ = 1-%1с(ах2); (3.66)
г0
g = &—7=%3s(a%2)-
VP
4. Используем уравнение (3.64) для определения г и его модуля г:
r = /r0 + gv0. (3.64)
5. Подставляя а, г0, г и % в уравнения (3.66), получаем значения /, g:
/=—[ax3s(ax2)-x"|; (3.66)
гг0 L J
g = l_Z_c(ax2).
г
6. С помощью уравнения (3.65) вычисляем v:
v = /ro+gvo- (3.65)
143
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени
Вопросы и задачи
1. Поясните, почему за точку начала отсчета времени принимается время
прохождения перицентра?
2. Как связаны между собой средняя и эксцентрическая аномалии?
3. Всегда ли метод Ньютона позволяет найти корень уравнения?
4. Дайте сравнительный анализ представлению решения уравнения Кеп-
лера в форме рядов.
5. Что такое универсальные переменные?
6. Для чего нужно знать вектор состояния космического аппарата?
7. Космический аппарат движется по околоземной орбите с высотами
апогея 600 км и перигея 200 км. Определите, за какое время высота его по-
лета изменится на 400 км?
8. Космический аппарат движется по околоземной орбите с периодом
15,743 ч и радиусом перигея 12 756 км. Для точки орбиты, которую он про-
ходит через 10 ч от момента перигея, определите радиус орбиты, скорость
космического аппарата и радиальную компоненту вектора скорости.
9. Космический аппарат движется по околоземной орбите с радиусами
апогея 14 000 км и перигея 7000 км. Найдите истинную аномалию космиче-
ского аппарата через 30 мин после того, как она составляла 60°.
Глава 4
ОПИСАНИЕ ОРБИТ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Геоцентрическая система координат: углы прямого восхож-
дения и склонения. — Небесная сфера. Эфемериды. — Век-
тор состояния и геоцентрическая экваториальная система
координат. — Орбитальные элементы и вектор состояния.
Преобразование координат. — Преобразование между гео-
центрической экваториальной и перифокальной системами
координат. — Влияние сжатия Земли. — Солнечно-синхрон-
ные орбиты. — Орбиты высокоширотных спутников свя-
зи. — Основные соотношения. — Вопросы и задачи
В предыдущих главах описание орбитального полета космического аппарата
сводилось к рассмотрению движения в плоскости орбит. В первую очередь
это обусловлено тем, что решение задачи двух тел представляется как пло-
ская траектория, параметры которой определяются первыми интегралами.
В данной главе рассмотрены некоторые варианты описания траекторий за-
дачи двух тел в трехмерном пространстве, что может быть использовано при
проектировании космических перелетов и расчете орбитальных маневров.
Основное внимание уделяется орбитам спутников Земли, что не огра-
ничивает возможности применения рассматриваемых методов для использо-
вания их при расчетах любых других траекторий задачи двух тел, включая
и межпланетные перелеты.
Для определения трехмерного движения КА введено понятие небесной
сферы, в которой углы прямого восхождения и склонения определяют место-
положение звезд, планет и других небесных объектов. Далее определяется
инерциальная геоцентрическая экваториальная система координат и уточня-
ется понятие вектора состояния КА. Шесть компонент этого вектора задают
мгновенное положение и скорость объекта относительно инерциальной си-
стемы координат, а также определяют геометрические характеристики орби-
ты. Эти характеристики могут быть представлены в виде шести классических
кеплеровых орбитальных элементов, которые однозначно определяются фор-
мой и ориентацией орбиты в пространстве и местоположением тела на ней.
Для преобразования вектора состояния в орбитальные элементы и обрат-
но можно использовать перифокальную систему координат, рассмотренную
в главе 2.
Глава завершается кратким описанием основных возмущений орбит
вследствие несферичности Земли. Результат влияния этих возмущений дает
возможность построения некоторых орбит специального вида, например сол-
нечно-синхронных и высокоширотных орбит спутников связи «Молния».
145
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
4.1. Геоцентрическая система координат:
углы прямого восхождения и склонения
Система координат, используемая для описания околоземных орбит в трех-
мерном пространстве, может быть определена путем использования в ка-
честве основных ее элементов экваториальной плоскости Земли, плоскости
эклиптики и оси вращения Земли.
Эклиптика — плоскость орбиты Земли, в которой она обращается во-
круг Солнца (рис. 4.1).
Ось вращения Земли проходит через северный и южный ее полюсы не
перпендикулярно к эклиптике. Она наклонена под углом, известным как на-
клонение эклиптики е, который для Земли составляет приблизительно 23,4°.
Экваториальная плоскость и эклиптика пересекаются по прямой (как и лю-
бые непараллельные в евклидовом смысле плоскости). Эта прямая называет-
ся линией равноденствия.
В астрономическом календаре понятие «весеннее равноденствие» соот-
ветствует первому дню весны в северном полушарии (но не совпадает с ус-
ловно принимаемой за таковую календарную дату — первое марта). В этот
день Солнце в астрономический полдень пересекает экватор с юга на север.
Позиция Солнца в указанное мгновение определяет положение точки в небе,
называемое весенним равноденствием. Для ее обозначения используется сим-
вол В день весеннего равноденствия продолжительности дня и ночи рав-
ны, откуда и происходит слово «равноденствие».
Рис. 4.1. Земная орбита обращения вокруг Солнца при взгляде
сверху на плоскость эклиптики. Показано изменение сезонов в се-
верном полушарии
146
4.1. Геоцентрическая система координат: углы прямого восхождения и склонения
Второе равноденствие происходит ровно через полгода, когда Солнце пе-
ресекает экватор с севера на юг, тем самым определяя первый день астроно-
мической осени. День весеннего равноденствия находится в настоящее время
в созвездии Рыб, которое видно в ночном небе осенью. Направление линии
весеннего равноденствия от Земли в точку весеннего равноденствия при-
ведено на рис. 4.1.
Для многих практических целей линия весеннего равноденствия может
считаться фиксированной в пространстве. Однако фактически она медленно
вращается, так как наклоненная ось вращения Земли прецессирует на запад
по нормали к эклиптике со скоростью около 1,4° в течение столетия.
Эта медленная прецессия обусловлена прежде всего неравномерным рас-
пределением массы внутри Земли, а также влиянием притяжения Солнца
и Луны. Поясним это явление несколько подробнее. Вследствие центробеж-
ной силы, вращаясь вокруг своей оси, Земля достаточно сильно сплющивает-
ся на своих полюсах. В свою очередь, это приводит к увеличению диаметра
Земли на экваторе. Этот эффект иллюстрирует рис. 4.2. Поскольку одна из
сторон экватора ближе к Солнцу, чем другая, сила притяжения Солнца не-
сколько больше, чем сила f2 на противоположной стороне, наиболее удален-
ной от Солнца. Силы fj и f2 наряду с доминирующей силой F, суммируясь,
определяют силу, удерживающую Землю на ее орбите. Силы и f2 созда-
ют вращающий момент вокруг центра Земли, направленный против часовой
стрелки. При этом Земля обладает большим кинетическим моментом, направ-
ленным вдоль оси «север — юг» из-за ее вращения вокруг этой оси с угловой
скоростью со£ = 360° в сутки. В результате действия данного момента сил
происходит поворот вектора кинетического момента в направлении момента
сил fj и f2, а ось вращения вынужденно прецессирует по направлению про-
тив часовой стрелки вокруг нормали к эклиптике (см. рис. 4.2). Луна созда-
ет дополнительный момент сил, действующих на Землю по той же причи-
не, и результатом комбинированного воздействия Солнца и Луны является
Рис. 4.2. Возмущающие гравитационные силы, действующие
на Землю
147
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
прецессия оси вращения Земли, а следовательно, и точки равноденствия У*
с периодом около 26 000 лет. При этом действие Луны также накладывает
малую нутацию на прецессию. Это приводит к тому, что наклонение е изме-
няется с максимальной амплитудой 0,0025° в течение 18,6 года.
Четыре тысячи лет назад, когда были проведены первые астрономиче-
ские наблюдения, оставшиеся в летописях, точка весеннего равноденствия У1
находилась в созвездии Овна. Греческая буква у, которую также иногда ис-
пользуют для обозначения точки весеннего равноденствия, является изобра-
жением древнего вавилонского символа, напоминающего голову барана.
Небесная сфера. Эфемериды
Человек представляет далекие объекты в ночном небе, такие как звезды,
планеты и пр., как точки на небесной сфере, окружающей Землю (рис. 4.3).
Вследствие того что ни человеческий глаз, ни измерительные инструменты
на больших расстояниях не обладают способностью к стереометрическому
восприятию объектов, эти объекты представляются лежащими на некото-
рой сферической поверхности и в общем случае отличаются лишь яркостью
и цветом, но не дальностью до них. Сама Земля вращается внутри этой сфе-
ры, а ее полюса совпадают с соответствующими полюсами небесной сферы.
Координаты точек на небесной сфере задают их широтой и долготой так же,
как на поверхности Земли. Проекция земной экваториальной плоскости, на-
правленная наружу, на небесную сферу, определяет небесный экватор. Точка
весеннего равноденствия У1, лежащая на небесном экваторе, служит началом
Рис. 4.3. Небесная сфера с линиями сетки прямого восхождения
и склонения
148
4.1. Геоцентрическая система координат: углы прямого восхождения и склонения
координаты долготы, которая в астрономической терминологии называется
прямым восхождением. Прямое восхождение (RA или а) измеряется вдоль
небесного экватора в градусах на восток от точки весеннего равноденствия.
В астрономии часто прямое восхождение измеряется в часах вместо градусов,
при этом 24 ч равны 360°. Широта на небесной сфере называется склонени-
ем. Склонение (Dec или 5) измеряется вдоль меридиана в градусах, положи-
тельные значения склонения соответствуют северу от экватора, отрицатель-
ные — югу. На рис. 4.4 представлен участок небесной сферы для некоторой
точки на поверхности Земли. Солнце находится на пересечении плоскости
экватора и эклиптики, из этого следует, что время в представленной точке со-
ответствует первому дню весны, т. е. дню весеннего равноденствия.
Рис. 4.4. Вид восточного участка неба над горизонтом для 0° долготы
на экваторе в 9 ч местного времени 20 марта 2004 г. (эпоха J2000)
Звезды так далеки от Земли, что их положения относительно друг дру-
га кажутся неподвижными на небесной сфере. Планеты, кометы, спутники
и прочие тела совершают свое движение на фоне неподвижных звезд. Коор-
динаты небесных тел как функции времени называются эфемеридами, кото-
рые рассчитывают с высокой точностью и представляют в виде табличных
данных. В табл. 4.1 приведены сокращенные эфемериды для Луны и Вене-
ры. Эфемериды зависят от местоположения точки весеннего равноденствия
в данный момент времени или эпохи, так как положения звезд относительно
точки весеннего равноденствия медленно изменяются во времени. Напри-
мер, в табл. 4.2 приведены небесные координаты звезды Регул в пяти эпохах
с 1700 г. н. э. В настоящее время положение точки весеннего равноденствия
в 2000 г. используется для определения стандартной сетки небесной сферы.
149
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
Таблица 4.1
Эфемериды Венеры, Луны и Марса на 0 ч всемирного времени
(эпоха J2000) (2019 г.)
Дата Венера Луна Марс
Прямое восхождение, ч Склонение, град Прямое восхождение, ч Склонение, град Прямое восхождение, ч Склонение, град
01.01 15,459 -15,285 14,663 -10,180 23,999 -0,332
01.02 17,753 -20,807 17,864 -20,880 1,275 8,395
01.03 20,066 -19,523 18,513 -21,567 2,474 15,348
01.04 22,547 -10,113 21,628 -16,631 3,870 21,134
01.05 0,802 3,368 23,706 -6,799 5,277 24,139
01.06 3,197 16,517 2,526 9,807 6,743 24,201
01.07 5,756 23,204 4,832 19,469 8,115 21,445
01.08 8,485 20,016 8,501 20,579 9,453 16,222
01.09 10,993 7,980 12,047 4,998 10,715 9,315
01.10 13,271 -7,068 14,409 -9.481 11,897 1,741
01.11 15,767 -20,178 17,777 -22,219 13,124 -6,272
01.12 18,443 -24,758 20,204 -21,955 14,366 -13,459
Таблица 4.2
Изменение координат звезды Регул
вследствие прецессии точки весеннего равноденствия
Эпоха прецессии Прямое восхождение Склонение
Л 700 9 ч 52,2 мин (148,05°) + 13°25’
Л 800 9 ч 57,6 мин (149,40°) + 12°56’
Л900 10 ч 3,0 мин (150,75°) + 12°27’
Л950 10 ч 5,7 мин (151,42°) + 12°13’
J2000 10 ч 8,4 мин (152,10°) + 11°58’
В 2025 г. эфемериды будут обновлены до 2050 г., в 2075 г. — до 2100 г.
и т. д. с интервалом 50 лет. Поскольку наблюдения связаны с фактической
ориентацией Земли, астрономические измерения должны быть преобразованы
в стандартную небесную систему координат. Как следует из табл. 4.2, коррек-
тировка положения объекта на сфере будет относительно мала, если текущий
момент измерений находится в пределах 25 лет от начала стандартной эпохи.
4.2. Вектор состояния и геоцентрическая экваториальная
система координат
В любой момент времени для движущегося по некоторой траектории КА
может быть определен его вектор состояния, который включает в себя ско-
рость v и положение г. Орбитальная механика связана с определением или
вычислением векторов состояния для любого наперед заданного момента
времени. Из главы 2 известно, что уравнение, определяющее при известных
предположениях вектор состояния спутника, обращающегося вокруг Земли,
150
4.2. Вектор состояния и геоцентрическая экваториальная система координат
г = -4г> (4-1)
Г
где г — вектор положения спутника относительно центра Земли. Компонен-
ты г и, в частности, его производные по времени г = v и г = а должны быть
измерены относительно неподвижной системы координат, связанной с Зем-
лей. Обычно для этого используется неподвижная правая декартова СК —
геоцентрическая экваториальная СК (рис. 4.5). Ось X этой СК направлена
в точку весеннего равноденствия. Плоскость XY совпадает с экваториальной
плоскостью Земли, а ось Z — с осью вращения Земли и указывает на север-
ный полюс. Единичные векторы I, J и К образуют правую триаду.
Рис. 4.5. Геоцентрическая экваториальная СК
Невращающуюся геоцентрическую экваториальную СК в достаточно хо-
рошем приближении можно рассматривать как инерциальную СК для двух
тел: Земли и ее спутника, как это отражено в уравнении (4.1). Эта СК в стро-
гом смысле не является инерциальной, так как центр Земли всегда движет-
ся с ускорением относительно некоторого третьего тела, например Солнца
или Луны. В постановке задачи двух тел этот факт игнорируется как несуще-
ственный до определенных значений радиусов орбит.
В геоцентрической экваториальной СК вектор состояния задают в виде
его компонент:
г = АТ + YJ + ZK;
(4.2)
v = vxI + vY J + vzK. (4.3)
Если г — длина вектора положения, то
г = rur.
(4-4)
На рис. 4.5 компоненты вектора ur, являющиеся направляющими коси-
нусами радиуса-вектора г, можно представить через прямое восхождение а
и склонение 5 следующим образом:
151
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
ur = cos5cosa • I + cos5sina • J + sin8 • K. (4.5)
Таким образом, зная вектор состояния некоторого тела, можно вычислить
его прямое восхождение и склонение. Тем не менее знание только прямого
восхождения и склонения не позволяет определить радиус-вектор г. Для это-
го необходимо также знать расстояние г, чтобы определить радиус-вектор г
из уравнения (4.4).
Пример 4.1
В некоторый момент времени известен вектор положения Международ-
ной космической станции (МКС): г = -53801 - 1723J + 3634К (км). Опреде-
лите углы ее прямого восхождения и склонения.
Решение
Длина г определяется как его евклидова норма:
г = ^(-5380)2 +(—1723)2 + 36342 = 6717>07 (км),
тогда
ur = - = -0,80091 - 0,2565J + 0,5410К. (а)
Отсюда и из уравнения (4.5) получаем, что sin8 = 0,5410, т. е.
5 = arcsin(0,5410) = 32,75°.
Угол определяется однозначно, так как, по определению, склонение ле-
жит между -90° и +90°, которые принадлежат диапазону главных значений
функции arcsin. Отсюда также следует, что cos 8 не может быть отрица-
тельным.
Из уравнений (4.5) и (а) определим
cos 8 cos a = -0,8009;
cosSsina = -0,2565.
(б)
Таким образом,
cosa = —0,8009 = -0,9523,
cos(32,75°)
откуда
a = arccos(-0,9523) = 162,24° (второй квадрант)
или 197,76° (третий квадрант).
При этом из уравнения (в) следует, что sin а является отрицательным.
Это означает, что а лежит в третьем квадранте, т. е. a = 197,76°.
152
4.2. Вектор состояния и геоцентрическая экваториальная система координат
Пример 4.2
В момент времени /0 известен вектор состояния спутника Земли:
r0 = 16001 + 5310J + 3 800К (км); (а)
v0 = -7,3501 + 0,4600J + 2,470К (км/с). (б)
Требуется определить положение и скорость спутника через 3200 с и по-
строить орбиту спутника в трехмерном пространстве.
Ранее было показано, что если в некоторый момент времени известен
вектор состояния (r0, v0), то можно определить вектор состояния в любое
другое время через начальный вектор с помощью функций Лагранжа:
Г = А+ТО (4.6)
v = A + ^vo-
Вычислить функции Лагранжа f и g и их производные по времени мож-
но, используя уравнения (3.66). Шесть компонент векторов r0, v0 полностью
определяют размер, форму и ориентацию орбиты спутника.
Решение
Будем использовать универсальную переменную и алгоритм 3.4, подроб-
но описанный в примере 3.7. Ниже приведены только результаты вычислений
на каждом шаге.
Шаг 1
а = 1,4613 • 10-4 км-1. Поскольку значение положительно, орбита являет-
ся эллипсом.
Шаг 2
X = 294,42 км1/2.
Шаг 3
/= -0,94843; g = -354,89 с"1.
Шаг 4
г = 1090,91 - 5199,4J - 4480,6К (км); г = 6949,8 км.
Шаг 5
/ = 0,00045324 с-1; g = -0,88479.
Шаг 6
v = 7,22841 + 1,9997J - 0,46311К (км/с).
Для построения орбиты спутника уточним, что один полный оборот во-
круг Земли означает изменение эксцентрической аномалии Е на 2л рад. Соглас-
но уравнениям (3.54), соответствующее изменение универсальной аномалии
X = 4аЕ = J-E = J-------------2л = 519,77 (км1/2).
У а \ 0,00014613 1 7
153
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
Таким образом, универсальная аномалия % должна измениться за период
от 0 до 519,77 км1/2. Для вычисления функций Лагранжа при небольших при-
ращениях % используем уравнения (3.64) и (3.66):
—Ux3s(ax2)
v0,
Рис. 4.6. Орбита спутника, соответствующая
начальным условиям, приведенным в уравне-
ниях (а) и (б) примера 4.2, и векторы состоя-
ния при tQ и t0 + 3200 с
где Д/ при заданном значении х
определяется уравнением (3.45).
С помощью компьютера по точ-
кам, полученным таким спосо-
бом, построена орбита спутника
(рис. 4.6).
Пример иллюстрирует тот
факт, что шесть величин или
элементов орбиты космическо-
го аппарата, образующих век-
тор состояния (г, v), полностью
определяют орбиту. Вместе
с тем для определения орбиты
могут быть выбраны и другие
элементы.
4.3. Орбитальные элементы и вектор состояния
В предыдущих главах установлено, что для определения формы орбиты КА
в плоскости необходимо знать два ее параметра: эксцентриситет и угловой
момент. Другие параметры, такие как большая полуось, удельная энергия и
(для эллипса) период, можно вычислить. Для того чтобы определить какую-
либо точку на орбите, требуется знать третий параметр — истинную анома-
лию, которая связана с временем полета от перицентра орбиты.
Для описания ориентации орбиты в трехмерном пространстве необходи-
мы три дополнительных параметра, называемых углами Эйлера (рис. 4.7).
В первую очередь требуется определить линию пересечения плоскости
орбиты с экваториальной плоскостью АТ, которая называется линией узлов.
Точка на линии узлов, в которой орбита пересекает экваториальную пло-
скость снизу вверх, называется восходящим узлом. Вектор N, задающий
линию узлов, соединяет начало координат и восходящий узел. С другой сто-
роны линии узлов, где орбита пересекает экваториальную плоскость сверху
вниз, расположен нисходящий узел. Угол между положительным направле-
нием оси X и линией узлов является первым углом Эйлера, задающим прямое
восхождение (долготу) восходящего узла; он изменяется от 0 до 360°.
Двугранный угол между плоскостью орбиты и экваториальной плоско-
стью называется наклонением i орбиты, положительное направление его из-
менения определяется в соответствии с правилом правой руки, т. е. против
154
4.3. Орбитальные элементы и вектор состояния
часовой стрелки вокруг вектора линии узлов от плоскости экватора до пло-
скости орбиты. Наклонение орбиты также можно определить как угол между
положительным направлением оси Z и нормалью к плоскости орбиты. Два эк-
вивалентных варианта измерения i показаны на рис. 4.7. Отметим, что вектор
кинетического момента h перпендикулярен плоскости орбиты (см. главу 2).
Следовательно, наклонение орбиты i — это угол между положительным на-
правлением оси Z и вектором h. Наклонение является положительным чис-
лом, изменяющимся от 0 до 180°.
Следующий угол определяет положение перицентра орбиты. Напом-
ним, что перицентр Р лежит на пересечении вектора эксцентриситета е с ор-
битой, и поэтому третий угол Эйлера со, т. е. аргумент перицентра, является
углом между вектором линии узлов N и вектором эксцентриситета е, изме-
ренным в плоскости орбиты. Аргумент перицентра является положительным
числом, принимающим значения от 0 до 360°.
Таким образом, могут быть введены шесть элементов орбиты:
• h — удельный момент;
• i — наклонение орбиты;
• Q — прямое восхождение (долгота) восходящего узла;
• е — эксцентриситет;
• со — аргумент перицентра;
• Э — истинная аномалия.
155
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
Угловой момент h и истинную аномалию О часто заменяют большой по-
луосью а и средней аномалией М соответственно.
Ниже приведен алгоритм расчета орбитальных элементов орбиты спут-
ника в геоцентрической экваториальной системе координат для заданного
в этой же системе вектора состояния г, v. Каждый этап включает результаты,
полученные на предыдущих шагах.
Алгоритм 4.1. Получение орбитальных элементов по вектору состо-
яния космического аппарата
При использовании алгоритма для расчета орбитальных элементов орбит
КА относительно других планет или Солнца требуется определить соответ-
ствующую систему координат и использовать соответствующее значение гра-
витационного параметра ц.
1. Вычислить расстояние:
r = r-r = 4x2 + Y2+Z2.
2. Рассчитать скорость:
/ Г1 22
v = vv-v=-^vA-+vy + vz.
3. Рассчитать радиальную скорость:
vr - г • v/г = (Xvx + Yvy + Zvz г.
Отметим, что если vr > О, КА летит от перицентра, если vr < 0, то — к пе-
рицентру.
4. Вычислить угловой момент:
I J К
h=rxv= X Y Z
vx VY vz
5. Вычислить модуль углового момента:
h = Vlvh.
Получен первый элемент орбиты.
6. Рассчитать наклонение орбиты:
(
i = arccos —
I h
(4.7)
Получен второй элемент орбиты. Напомним, что значение i должно на-
ходиться между 0 и 180°. Если 90° < i < 180°, движение по орбите является
попятным (ретроградным).
7. Рассчитать вектор линии узлов:
I J К
N=Kxh= 0 0 1
(4-8)
hY hz
156
4.3. Орбитальные элементы и вектор состояния
8. Вычислить модуль вектора N:
y = >/N-N.
9. Вычислить прямое восхождение (долготу) восходящего узла:
£1 = arccos (77^/77).
Получен третий элемент орбиты. Если (Nx/N) > 0, то Q лежит либо
в первом, либо в четвертом квадранте. Если (Nx/N) < 0, то О лежит либо во
втором, либо в третьем квадранте. Для того чтобы точно определить, в каком
квадранте находится £1, следует учесть, что восходящий узел лежит справа
от вертикальной плоскости XZ (0 < £1 < 180°), если NY > 0. Восходящий узел
находится слева от плоскости XZ (180° < Q < 360°), если NY < 0. Таким обра-
зом, если Ny > 0, то 0 < £1 < 180°, в то время как при NY < 0 180° < Q < 360°.
В результате имеем
Q =
arccos(7Vx/7V), Ny>0;
' 360°-arccos (77^/77), NY <0.
10. Вычислить вектор эксцентриситета. Из уравнения (2.30)
или
1 2 М
е = — v r-rvrv
(4-9)
(4.Ю)
11. Рассчитать эксцентриситет:
Получен четвертый элемент орбиты. Подстановка в данную формулу
выражения (4.10) приводит к выражению, зависящему только от скалярных
величин, полученных ранее:
е =
—J(2p-rv2)rv2 +(p-rv2)2.
(4.И)
12. Вычислить аргумент перицентра:
со = arccos(N • e/N • е).
Получен пятый элемент орбиты. В этом случае, как и при определении
долготы восходящего узла, требуется дополнительно определить квадрант,
в котором располагается перицентр. Определяющим параметром является
компонент вектора эксцентриситета ez. Поэтому
157
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
С0 = -{
(N-e)
arccos --- ,
{N-eJ
I N-e )
360°-arccos --- , e7
{N-e)
(4-12)
13. Рассчитать истинную аномалию
a e*rl
9 = arccos --- .
I e-r)
Получен шестой элемент орбиты. Если е • г > 0, то д лежит в первом
или четвертом квадранте; если е • г < 0, то Ф лежит во втором или третьем
квадранте. Для того чтобы правильно определить квадрант д, следует учесть,
что если КА летит от перицентра (г • v > 0), то 0 < д < 180°, в то время как
если КА летит к перицентру (г • v < 0), то 180° < д < 360°. Поэтому использу-
ем результаты этапа 3, тогда
( е-г^
arccos --- , vr > 0;
( e-r^
360°-arccos ---- , vr <0.
\e-r J
Подставляя сюда формулу (4.10), получаем альтернативную форму этого
выражения:
arccos
)
(4-13)
360°-arccos
Описанный алгоритм расчета орбитальных элементов не является уни-
кальным. Другие варианты определения орбитальных элементов по вектору
состояния КА приведены в литературе.
Пример 4.3
По заданному в геоцентрической экваториальной СК вектору состояния
спутника
г = -60451 - 3490J + 2500К (км);
v = -3,4571 + 6,618J + 2,533К (км/с)
найдите орбитальные элементы его орбиты й, i, е, со и Ф с помощью алгорит-
ма 4.1.
158
4.3. Орбитальные элементы и вектор состояния
Решение
Шаг 1
Г = = ^(-6045)2 + (-3490)2 +25002 = 7414 км.
Шаг 2
v = = 7(-3,457)2 + 6,6182 + 2,5332 = 7,884 км/с.
(а)
(б)
Шаг 3
v vr _ (-3,457)(-6045) + 6,618(-3490) + 2,533-2500
г г 7414
(в)
Поскольку vr > 0, спутник летит от перигея.
Шаг 4
I J К
h=rxv= -6045 -3490 2500 =-25 380I + 6670J-52 070K (км2/с). (г)
-3,457 6,618 2,533
Шаг 5
h = Vh"h = ^(-25 380)2 + 66702+(-52 070)2 =58310 км2/с. (д)
Шаг 6
hz ( -52 070^
i = arccos — = arccos ------
h 58310 )
= 153,2°.
(e)
Поскольку i больше, чем 90°, это попятная (ретроградная) орбита.
Шаг 7
I J К
N = Kxh = 0 0 1 = -66701-25 380J. (ж)
-25 380 6670 -52 070
Шаг 8
N = >/n<N = а/(-6670)2+(-25 380)2 = 26 250.
(з)
Используя результаты (е) и (ж), вычислим долготу восходящего узла.
Шаг 9
„ Nx (—6670
Q = arccos—— = arccos ---
N ^26 250j
= 104,7° или 255,3.
159
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
Из выражения (ж) известно, что NY < 0, следовательно, Q должен лежать
в третьем квадранте, т. е.
Q = 255,3°. (и)
Шаг 10
1
398 600
7,8842
398600Л
7414 J
(-60451- 3490J + 2500K)-
(к)
-4133(-3,4571 + 6,618J + 2,533К)] = -0,091601-0,1422J + 0,02644К.
Шаг 11
е = ТГё = 7(-0,09160)2 +(-0,1422)2 +(0,02644)2 = 0,1712.
(л)
Отсюда следует, что орбита является эллипсом.
Шаг 12
N-e
со = arccos--=
Ne
= arccos
(-6670X-0,09160) + (-25 380)(-0,1422) + (0)(0,02644)
(26 250)(0,1712)
= 20,07° или 339,9°.
Угол co лежит в первой четверти, если ez > 0, что верно в данном случае,
как следует из выражения (к). Следовательно,
со = 20,07°.
(м)
Шаг 13
а I е г
О = arccos ---
\е-г
- arccos
(-0,09160)(-6045) + (-0,1422) • (-3490) + (0,02644)(2500)
0,1712-7414
= 28,45°
или 331,6°.
Из выражения (в) известно, что vr > 0, т. е. 0 < •& < 180°. Следовательно,
О = 28,45°.
Найдя орбитальные элементы, можно перейти к вычислению других па-
раметров.
160
4.4. Преобразование координат
1
Радиусы перицентра и апоцентра орбиты:
h2 1 58ЗЮ2 1 „ол , ч
г =-------------=-----------------= 7284 (км).
р ц l + ecos(0) 3986001 + 0,1712 v ’
h2 1 58 ЗЮ2 1 ,Л„ПЛ z ч
гп =---------------=----------------= 10 290 (км).
° ц l + ecos(180°) 3986001-0,1712 v ’
Отсюда следует, что большая полуось эллипса
а = ^(^+^) = 8788 км,
а период орбиты
Т = ^а2 = 2,278 ч.
Таким образом, получен работоспособный алгоритм перехода от вектора
состояния КА к орбитальным элементам. Обратный переход требует преоб-
разования координат, которое рассматривается далее.
4.4. Преобразование координат
На рис. 4.9 приведены две декартовы СК: первая — с осями xyz, вто-
рая — с осями x'y'z'. Системы координат могут иметь начала координат в раз-
ных точках и быть повернуты в пространстве относительно друг друга на
161
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
любые углы. Пусть ортонормированный базис первой системы координат за-
дан векторами i, j, k.
Поскольку они являются единичными векторами, то
i i = j j = kk, (4.14)
а поскольку они ортогональны, то
ij=ik = jk = O. (4.15)
Пусть ортонормированный базис второй СК задан векторами i', j', к', ко-
торые имеют такие же свойства, что и векторы первой СК, т. е.
i'i' = j'-j' = k'k'= 1; (4.16)
i'j' = i'k' = j'k' = O. (4.17)
Базисные векторы второй СК могут быть представлены через базисные
векторы первой СК следующим образом (см. рис. 4.9):
»' = Сц1 + £Ы + б1зк;
Г - Qi 1*+ Qu j + йгзк> (4-18)
k' = 031i +032.1+бзЗк>
Рис. 4.9. Два набора декартовых СК: xyz и x'y'z':,
бз!’ 032’ 0зз — проекции единичного вектора к' на оси СК xyz
162
4.4. Преобразование координат
где Qy — направляющие косинусы Г, j', к'. На рис. 4.9 показаны компоненты
к', которые являются проекциями этого вектора на оси СК xyz. Точно таким
же образом могут быть представлены базисные векторы первой СК через их
проекции на оси координат второй СК аналогично уравнениям (4.18):
« = 0М' + 01'2Г + 01'зк';
j = 021*' + 022Г + 023k'; (4.19)
k = 0зД + 632! + 0ззк •
В соответствии co свойствами скалярного произведения i' • i = i • i', поэто-
му из уравнений (4.18) и (4.19) следует, что Qn = Q'u. Аналогично i' • j = j • i',
что, согласно уравнениям (4.18) и (4.19), означает 212 “021-
Таким образом, направляющие косинусы в уравнениях (4.18) могут быть
представлены через направляющие косинусы в уравнениях (4.19), т. е. урав-
нения (4.19) можно записать в виде
i = 0цГ + 021 j' + 03ik';
j = 012*'+ 022Г + 032к*’ (4.20)
к = 01з1' + 02зГ + 033к'-
Подставляя уравнения (4.20) в уравнения (4.14) и используя уравнения
(4.16) и (4.17), получаем три соотношения:
ii = i=>0i2i+022i+032i =i;
jj-1^0122+0222 +0322 =l; (4.21)
кк = 1^212з+022з + 0зз=1-
Подставляя уравнения (4.20) в уравнения (4.15) и снова используя урав-
нения (4.16) и (4.17), также получаем три уравнения:
1- j = 0 => 211212 + 021022 + 031032 = 0’
i • к = 0 => 211013 + 021023+ 031033 = 0» (4-22)
j • к = 0 => 012013 + 022023 + 032033 =
Пусть Q представляет собой матрицу направляющих косинусов к'
относительно i, j, к, как это записано в уравнениях (4.19). Для этой матрицы
011 012 013 Г i i' j i' k
Q = 021 022 023 = j' i j' j j' k (4.23)
.031 032 033. k' i k' j k' k
Транспонированную матрицу Qr получаем перестановкой строк и столб-
цов матрицы Q:
163
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
QT =
би
612
613
621
622
62З
6з1
6з2
6зз_
i'i
i' j
i'k
j' i k'i
j' j k' j
j' к k'k
(4-24)
Запишем произведение матриц QrQ в виде
би 621 631
611 612 613
QrQ= 612 622 632 621 622 623
.613 623 633JL63I 632 бзз.
6п + 621 + 631 611612 + 621622 + 631632 611613 + 621623 + 631633
611612 + 621622 + 631632 6122+622+6з2 61261З + 62262З + 632633
611613+ 621623+ 631633 612613+ 622623 + 632633 6в + 623 + бзз
Отсюда с помощью формул (4.21) и (4.22) получаем
QrQ = I,
(4-25)
где 1 =
— единичная матрица.
1 о о
О 1 о
001
Аналогично, подставив уравнения (4.18) в уравнения (4.16) и (4.17) и ис-
пользуя уравнения (4.14) и (4.15), получаем, что
QQr = i
(4.26)
Поскольку матрица Q удовлетворяет уравнениям (4.25) и (4.26), она яв-
ляется ортогональной матрицей.
Возьмем произвольный вектор v. Он может быть выражен через свои
компоненты двумя способами:
1) в первой системе координат
v = vxi + vj + vzk;
2) во второй системе координат
v - v' i' + v' j' + v' k'.
x z
Эти два выражения для v эквивалентны, так как вектор не зависит от си-
стемы координат, используемой для его описания. Таким образом,
v*i' + v’y j' + VX = + vy j + vzk (4-27)
Подставив уравнения (4.20) в правую часть уравнения (4.27), получим
v?' + v'y j' + v;k' = vx (Qi Д’ + e12 j' + e13k') + vy (Q2y + Q22 j' + 023k') +
+vz(e3ii'+e32j'+e33k')-
164
4.4. Преобразование координат
Приводя подобные и сравнивая обе части данного уравнения, приходим
к следующей записи:
или в матричной форме
где
v'y =Q21vx+Q22vy+Q23vzi
vz = 03^+032^+033^
v' = Q-v,
(4.28)
(4-29)
(4.30)
a Q определяется выражением (4.23).
Уравнения (4.28) или (4.29) показывают, как преобразуются компоненты
вектора v из первой СК во вторую. Обратное преобразование от второй СК
к первой может быть определено по следующей стандартной схеме. Умно-
жим слева и справа уравнение (4.29) на Qr:
Qrv' = QrQv.
Согласно уравнению (4.25), QrQ = I, поэтому
v = Qrv'. (4.31)
Формулы (4.29) и (4.31) позволяют перейти от первой СК ко второй и об-
ратно посредством умножения вектора на матрицу направляющих косинусов
Q (прямое преобразование) либо на ее транспонированную форму Qr (обрат-
ное преобразование).
Пример 4.4
На рис. 4.10 представлены две СК.
Координаты точек О', Р и Q заданы от-
носительно первой СК xyz. Во второй
СК ось х' задана вектором О'Р. Пло-
скость х'у' определяется векторами О'Р
и O'Q. Ось z' перпендикулярна плоско-
сти х'у' и дополняет СК до правой. Тре-
буется определить: матрицу преобразо-
вания Q; v', если v = [2,4,6]r и v, если
v' = [2,4, Of.
Решение
Запишем представление векторов
О'Р и O'Q в проекциях на СК xyz:
Рис. 4.10. Определение единичных
векторов новой СК по координатам
трех неколлинеарных точек О', Р
и Q, заданных в исходной СК
165
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
О'Р = (-5 - 3)i + (5 -1) j + (4 - 2)к = -81 + 4 j + 2к;
O'Q = (-6 - 3)i + (3 -1) j + (5 - 2)k = -9i + 2 j + 3k.
Векторное произведение векторов О'Р и O'Q позволяет получить век-
тор Z', коллинеарный положительному направлению оси г':
Z' = О'Р х O'Q = 8i + 6 j + 20k.
Поскольку векторы О'Р и O'Q в общем случае неортогональны, требует-
ся определить направление оси у' посредством векторного умножения векто-
ра Z' и О'Р, в результате которого имеем
Y' = Z' х О'Р = -68i -176 j + 80k.
Нормализация векторов О'Р, Y' и Z' дает единичные базисные векторы
i', j', к' СК x'y'z':
О'Р
Г = iF—й = -0,8729i + 0,4364j + 0,2182k;
IIO'PlI J
IIZ'II
-0,3318i - 0,8588j + 0,3904k;
k' =
= 0,3578i + 0,2683j + 0,8944k.
Компоненты векторов i', j', k' являются строками матрицы ортогонально-
го преобразования Q, т. е.
‘-0,8729 0,4364 0,2182"
Q = -0,3318 -0,8588 0,3904 0,3578 0,2683 0,8944 -0,8729 0,4364 0,. 5 2182T ’21 Г 1,309 ‘ (a)
v' = Qv= -0,3318 -0,8588 0,3904 0,3578 0,2683 0,8944J -0,8729 -0,3318 0,3578’ 4 = -1,756 ; _6j |_7’155. T2] Г-3,073' (6)
v = < }rv' = 0,4364 -0,8588 0,2683 0,2182 0,3904 0,8944 4 = -2,562 [о J [ t"8 _ (в)
Преобразование систем координат вращением их осей
Рассмотрим частный случай, когда преобразование координат осуществля-
ется только вращением вокруг одной из осей координат (рис. 4.11). Если
вращение происходит вокруг оси х, то в соответствии с уравнениями (4.18)
и (4.23) можно записать
166
4.4. Преобразование координат
i' = i;
j' = (j'i)i + (j'-j)j + (j'-k)k = совф-j + cos(90-<|))k =созф- j 4- sin ф • к;
к' = (k'-j)j + (k'-k)k = со8(90 + ф)| + созфк = -втф-] + совфк
или
i
j'
к'
О
созф
-втф
зтф j
СО8фЛ_к
Переход от СК xyz к СК x'y'z', име-
ющей общую ось х, задается матрицей
коэффициентов справа. Поскольку это
преобразование есть вращение на угол ф
относительно оси х, обозначим эту мат-
рицу И](ф), где индекс «1» будет значить
ось 1, т. е. ось х. Таким образом,
И1(ф) =
О совф зтф
(4-32)
1
О
О
О i
1 О О
О -втф совф
Если вращение происходит вокруг оси у (рис. 4.12), то уравнение (4.18)
принимает вид
Г = (i' • i)i + (i' • k)k = совф • i + cos(90 + ф)к = совф • i - sin ф • к;
j' = j;
к' = (к' • i)i + (к' • к)к = cos (90 - ф)1 + cos ф • к = sin ф • i + cos ф • к
или
Г
совф 0
0 1
зтф 0
Этот переход от одной СК к другой,
имеющей общую ось у (ось 2), обозначим
как И2(ф), тогда
совф
0 -втф
М*) =
0 . (4.33)
втф
0 совф
И, наконец, если вращение происхо-
дит вокруг оси z (рис. 4.13), то из уравне-
ния (4.18) получим
167
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
i' = (i' • i)i + (i' • j) j = совф • i + cos(90 - ф) j = совф- i + sin ф j;
j' = (j'i)i + (j'-j)j = со8(90 + ф)1 + со8ф-j = -втфл + соэф- j;
k' = k
или
созф зтф
-втф соэф
О О
В этом случае вращение происходит
вокруг оси 3, т. е. оси z, поэтому
совф
кз(ф)= - 8Шф
втф О
соэф О
О 1
(434)
Преобразование между двумя декар-
товыми СК может быть разбито на после-
довательность двумерных вращений с ис-
пользованием матриц R, (ф), i = 1,2,3.
О
О
1
i
j
к
О
4.5. Преобразование между геоцентрической
экваториальной и перифокальной
системами координат
Перифокальная СК, применяемая для описания движения КА. по орбите, вве-
дена в разд. 2.10. Рис. 4.14 иллюстрирует взаимосвязь между перифокальной
и геоцентрической экваториальной СК. Пусть орбита лежит в некоторой пло-
скости ху, тогда компоненты вектора состояния спутника в перифокальной
СК определяются в соответствии с уравнениями (2.109) и (2.115) и имеют
следующий вид:
r = xp + y-q =---------(cosd-p + sindq); (4.35)
ц 1 + ecosd
v = x-p + y.q = ^[-sm&.p + (e + cos&)q].
(4.36)
В матричном представлении выражения (4.35) и (4.36) могут быть запи-
саны в виде
_ (cos ЭЛ
h2 1
-----------sin В
ix 1 + ecosd
I 0 J
(4-37)
168
4.5. Преобразование между геоцентрической экваториальной и перифокальной СК
я
h
( -sin9
e + cos&
I 0 >
(4.38)
Индекс «х» представляет собой
сокращение, обозначающее, что ука-
занный вектор приведен для перифо-
кальной СК, в отличие, например, от
геоцентрической экваториальной СК
(ГЭСК) (уравнения 4.2 и 4.3).
Переход от ГЭСК в перифокаль-
ную СК может быть осуществлен
с помощью последовательных трех
поворотов вокруг осей (рис. 4.15).
Первый поворот 1 (рис. 4.15, б)
происходит вокруг оси К на долготу
Рис. 4.14. Перифокальная (xyz) и геоцен-
трическая экваториальная (XYZ) СК
J
в
Рис. 4.15. Последовательность из трех 1-3 поворотов (а), преобразу-
ющих базис ГЭСК IJK в базис перифокальной СК pqw. Рядом при-
ведены проекции поворотов (б-г) на плоскости, перпендикулярные
осям, вокруг которых эти повороты происходят
169
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
восходящего узла £2 и задается матрицей перехода R3. При этом орты ГЭСК I
и J сменят свои положения на Г и J' соответственно. Ортогональная матрица
перехода для первого поворота имеет вид
R3(Q) =
cosQ
-sinQ
О
sin £2 О
cosQ О
О 1
(4-39)
где индекс «3» соответствует номеру оси, вокруг которой происходит поворот.
Второй поворот 2 (рис. 4.15, в) происходит вокруг линии узлов Г на
угол г, соответствующий наклонению орбиты, так, чтобы плоскость XY стала
параллельна плоскости орбиты, и задается матрицей поворота RP Другими
словами, в результате этого поворота вектор К становится коллинеарен век-
тору w, а вектор J' переходит в вектор J". Ортогональная матрица преобразо-
вания для второго поворота имеет вид
1
Ri(z)= О
О
cosz
-sinz
О
sinz
cosz
(4.40)
О
Третий (рис. 4.15, г), и последний, поворот 3 происходит в плоскости
орбиты и поворачивает орты I' и J" вокруг оси К на угол аргумента пери-
центра (о вокруг оси w так, чтобы эти орты совместились с ортами р и q со-
ответственно, и задается матрицей поворота R3. Ортогональная матрица пре-
образования третьего поворота имеет вид
COSCO
R3(co) =
-sin со
0
sin со 0
cosco 0
0 1
(4-41)
Окончательная матрица преобразования QXr из ГЭСК в перифокальную
СК имеет вид произведения трех матриц вращения, заданных уравнениями
(4.39-4.41):
QXt=R3(co)R1(z)R3(Q). (4.42)
Подставляя полученные матрицы и проводя их умножение, получаем
Qax =
( cos(co)cos(Q)-cos(z)sin(a))sin(Q) cos(z)cos(Q)sin(©) + cos(w)sin(Q) sin(f)sin(co)>
= -cos(Q)sin(co)-cos(z)cos(a))sin(Q) cos(z)cos(w)cos(Q)-sin(co)sin(Q) cos(co)sin(z) .
k sin(z)sin(Q) -cos(Q)sin(z) cos(z) ?
(4-43)
170
4.5. Преобразование между геоцентрической экваториальной и перифокальной СК
Поскольку полученная матрица ортогональна, для обратного преобразо-
вания из перифокальной СК в ГЭСК ее необходимо транспонировать, т. е.
QxX=Qxr =
^cos(co) cos(Q) - cos(z) sin(co) sin(Q) - cos(Q) sin(co) - cos(z) cos(co) sin(Q) sin(z) sin(Q)
= cos(z)cos(Q)sin(co) + cos(<o)sin(Q) cos(z)cos(co)cos(Q)-sin(®)sin(Q) -cos(Q)sin(z)
sin(z)sin(co) cos(<o)sin(z) cos(z')
(4.44)
Если компоненты вектора состояния приведены в ГЭСК
то компоненты в перифокальной СК могут быть найдены путем умножения
на матрицу QXv:
(4.45)
Обратный переход от перифокальной СК к ГЭСК осуществляется следу-
ющим образом:
Гх = QxxTx, vx = Q^vx. (4.46)
Алгоритм 4.2. Определение вектора состояния по орбитальным
элементам
Даны орбитальные элементы h, е, i, Q, со и ft. Требуется вычислить век-
торы положения г и скорости v в ГЭСК.
1. Вычислить вектор положения гх в перифокальной СК, используя урав-
нение (4.37).
2. Вычислить вектор скорости vx в перифокальной СК, используя урав-
нение (4.38).
3. Вычислить матрицу перехода от перифокальной СК к ГЭСК, ис-
пользуя уравнение (4.44).
4. Вычислить гхи в ГЭСК с помощью уравнений (4.46).
Пример 4.5
Для орбиты спутника Земли, имеющей орбитальные элементы h =
= 80 000 км2/с, е = 1,4, i = 30°, Q = 40°, со = 60° и ft = 30°, с помощью алго-
ритма 4.2 найдите вектор состояния (г, v) в ГЭСК.
171
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
Решение
Шаг 1
Определяем компоненты вектора состояния в перифокальной СК. Поло-
жение:
Л2 1 cos 3 sin3 0 80 0002 1 cos30° sin 30° 0 ’6285,0’ 3628,6 0 (км).
гх — ц 1 +ecosO " 398600 1 + I,4cos30°
Шаг 2
Компоненты вектора состояния. Скорость:
-sin О
e + cos3
О
398 600
80 000
-sin 30°
1,4 +cos 30°
0
-2,4913
11,290
0
(км/с).
Шаг 3
Определяем матрицу перехода от перифокальной СК к ГЭСК. Сначала
вычисляем
COSCO sin co 0" T1 0 0 cosQ sinQ o'
Q Xx ~ -sin co COSCO 0 0 cos i sinz -sin fl cosQ 0 =
0 0 1 0 -sinz cosz 1 0 0 1
cos 60° sin 60° O'! '1 0 0 1 cos 40° sin 40° 0
= -sin60° cos60° 0 0 cos 30' 3 sin 30° -sin 40° cos40° 0
1 0 0 1J 0 -sin30° cos30° 0 0 1
'-0,099068 0,89593 0,43301
-0,94175 -0,22496 0,25
0,32139 -0,38302 0,86603
Это матрица преобразования для перехода XYZ —> xyz. Матрица обратно-
го преобразования, т. е. xyz —> XYZ, получается транспонированием:
Шаг 4 О хА “ '-0,099068 -0,94175 0,89593 -0,22496 0,43301 0,25 0,32139 ' -0,38302 0,86603
Определяем вектор положения в ГЭСК:
'-0,099068 -0,94175 0,32139 “|Гб285,0“| Г-4040'
rA=Qrfrx = 0,89593 -0,22496 -0,38302 3628,6 = 4815 (км)
_ 0,43301 0,25 0,86603 J|_ 0 L 3629.
172
4.6. Влияние сжатия Земли
и вектор скорости в ГЭСК
-0,099068
VX=QxTVx
0,89593
0,43301
-0,94175
-0,22496
0,25
0,32139
-0,38302
0,86603
-2,4913
11,290
0
-10,39
-4,772
1,744
(км/с).
Компоненты вектора состояния (г, v) и общий вид траектории приведены
на рис. 4.16. Построение можно выполнить, например, по следующему ал-
горитму. Фиксируются все элементы орбиты кроме истинной аномалии, что
Рис. 4.16. Часть гиперболической траектории, рассмотренной в при-
мере 4.5
представляется естественным для невозмущенного случая движения спутни-
ка. Изменяя с некоторым шагом истинную аномалию, на каждом из них опре-
деляют гх по (4.37), рассчитывают его проекцию в ГЭСК с использованием
матрицы перехода Q^. Полученные точки соединяют и получают траекто-
рию движения спутника.
4.6. Влияние сжатия Земли
Земля, как и все планеты со сравнимой или более высокой скоростью вра-
щения вокруг собственной оси, имеет сжатую на полюсах форму вслед-
ствие действия центробежной силы, при этом экваториальный радиус Земли
на 21 км больше полярного. Сжатие можно определить как отношение раз-
ности экваториального и полярного радиусов Земли к ее экваториальному
радиусу:
2^экв_у^ПОЛ ।
8 = ——-------— ®----
сж Я?® 300
Вследствие сжатия форма Земли в первом приближении представляет
собой сплюснутый сфероид, а не идеальную сферу. Вследствие этого сила
тяжести на орбите тела не всегда направлена в сторону центра Земли.
В то время как гравитационное поле идеальной сферической планеты зависит
173
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
только от расстояния до ее центра, сжатие вызывает изменение этого поля
также и с широтой. В результате направление и значение вектора силы притя-
жения зависят от углового расстояния до экватора (или полюса), а само гра-
витационное поле представляется так называемыми зональными гармоника-
ми. Безразмерный параметр который количественно описывает основные
эффекты от сжатия планеты, является второй зональной гармоникой и для
каждой планеты имеет свое собственное значение (табл. 4.3).
При учете эффекта от сжатия планеты следует иметь в виду, что в этом
случае формула для расчета гравитационного ускорения содержит дополни-
тельный член в уравнении (2.15):
r = -^ur+p.
г
Первый член в правой части данного уравнения описывает гравитацион-
ное ускорение идеальной сферической планеты. Второй член р, который на
несколько порядков величины меньше -4-, описывает возмущающее ускоре-
н-
ные от сжатия планеты. Это возмущающее ускорение можно разложить на
следующие компоненты:
где ur, ил, h — радиальный, трансверсальный и нормальный единичные век-
торы связанной СК, приведенной на рис. 4.17; ur — направлен вдоль радиу-
са-вектора г спутника; h — нормален плоскости орбиты; ии — ортогонален
радиусу-вектору, лежит в мгновенной плоскости орбиты и коллинеарен век-
тору скорости.
Таблица 4.3
Сжатия и вторые зональные гармоники некоторых небесных тел
Солнечной системы
Планета Сжатие Зональная гармоника J2
Меркурий 0,000 60-10-6
Венера 0,000 4,458-10-6
Земля 0,003353 1,08263 • 10~3
Марс 0,00648 1,96045 • IO"3
Юпитер 0,06487 14,736 - IO"3
Сатурн 0,09796 16,298 • IO"3
Уран 0,02293 3,34343 • 10-з
Нептун 0,01708 3,411-Ю-3
Плутон 0,000 —
Луна 0,0012 202,7-10-6
Компоненты вектора возмущения pr, рп9 ph прямо пропорциональны J2 и
являются функциями орбитальных параметров и радиуса R планеты:
174
4.6. Влияние сжатия Земли
3 ( В
рг =—у—J2I — I ^l-3sin1 2 i - sin2 (со +
fa
Pn = —T 2 Л f — j sin2 z ‘ sin(2(co + 9));
u. 3 r ГлУ .
ph =—y—J2 — sin2ism(co4-S>).
r 2 \r)
Возмущенияpr,pn,ph вдоль осей связан-
ной СК влияют с течением времени на дви-
жение КА, что приводит к изменению всех
его орбитальных параметров, например:
h sin(co + 9)
i 2 =---------------- ph;
ц sini(l + ecosf»
rcosd (2 + ecos$)sin& rsinCco + O)
co =-------p. +--------------p„--------------ph.
eh r eh n htgi h
eh
Очевидно, что изменение во времени долготы восходящего узла зависит
только от компоненты возмущающей силы вдоль нормали, в то время как
скорость изменения аргумента перицентра зависит от всех трех компонент
вектора возмущения.
Среднюю скорость изменения долготы восходящего узла можно полу-
чить в виде интеграла
1 о
где Т — период орбиты.
После математических преобразований можно получить выражение,
определяющее среднюю скорость прецессии линии узлов и, следовательно,
плоскости орбиты:
3 y[pJ2R2
2(l-e2)2J
(4.47)
Здесь опущен индекс «ср»; R, ц — радиус и гравитационный параметр пла-
неты; а, е — большая полуось и эксцентриситет орбиты; i — наклонение ор-
биты. Отметим, что если 0 < i < 90°, то О < 0, т. е. для прямых орбит линия
узла дрейфует на запад. Поскольку долгота восходящего узла непрерывно
уменьшается, это явление называется регрессией узлов.
Если 90° < i < 180°, то О > 0. И для ретроградных орбит линия узлов
смещается на восток. Для полярных орбит (i = 90°) линия узлов находится
в неподвижном состоянии.
175
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
б
Рис. 4.18. Изменение положения восходящего узла (а) и
аргумента перицентра (б) для орбит высотой 300... 1100 км
176
4.6. Влияние сжатия Земли
Аналогично может быть определена средняя скорость изменения аргу-
мента перицентра
й = - Г—sin2/-2!. (4.48)
2/ ,Ч2 - <2 )
(1-е2) а1 _
Это выражение показывает, что если 0° < i < 63,4° или 116,6°< i < 180°, то
(Ь положительна, т. е. перицентр смещается в направлении движения спутни-
ка. Если 63,4°< г < 116,6°, перицентр смещается в сторону, противоположную
направлению движения спутника. Таким образом, значения i = 63,4° и 116,6°
являются критическими наклонениями орбиты: при этих наклонениях линия
апсид не смещается. Отметим, что коэффициенты при тригонометрических
выражениях в уравнениях (4.47) и (4.48) идентичны.
На рис. 4.18 приведены графики уравнений (4.47) и (4.48) для нескольких
низких околоземных орбит. Эффект от сжатия планеты максимален при малых
наклонениях, когда орбита находится вблизи выпуклого экватора в течение
большего времени периода обращения. Эффект сжатия уменьшается с увели-
чением большой полуоси орбиты, поскольку спутник удаляется от выпуклого
экватора. Очевидно, что Q = со = 0 при J2 = 0, т. е. при отсутствии сжатия.
Усредненные по времени значения скорости изменения наклонения орби-
ты, ее эксцентриситета и большой полуоси равны нулю.
Пример 4.6
Спутник выведен на орбиту с высотой перигея 280 км, высотой апогея
400 км и наклонением 51,43°. Найдите скорости изменения положения линии
узлов и линии апсид.
Решение
Радиусы перигея и апогея орбиты:
г = 6378 + 280 = 6658 (км);
га = 6378 + 400 = 6778 (км).
Эксцентриситет орбиты и ее большая полуось:
е = —Г-^= 0,008931;
га + гр
а = |(га + гр) = 6718 (КМ).
Из уравнения (4.47) и по данным табл. 4.3 определяем среднюю скорость
изменения положения линии узлов:
3 7398 600 0,0010826 -63782
2 / ,\2 7
(1 - 0,00893122) -67182
cos (51,43°) =
(рад/с)
= -1,6786 • 10-6 • cos (51,43°) = -1,0465 10-6
177
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
или
0 = 5,181° в день в направлении на запад.
Из уравнения (4.48) определяем
G> = -1,6786 • 1 О’6 sin2 51,43° - 2j = +7,9193 • 10’7 (рад/с)
ИЛИ
6) = 3,920° в день в направлении полета.
Влияние наклонения орбиты на изменение положения линий узлов и ап-
сид позволяет получать два очень важных типа орбит: это солнечно-синхрон-
ные орбиты и орбиты высокоширотных спутников связи.
4.6.1. Солнечно-синхронные орбиты
Это орбиты, плоскость которых составляет постоянный угол а с радиусом-
вектором, направленным из центра Солнца (рис. 4.19). В этом случае усло-
вия освещенности подспутниковой точки для периодических орбит будут
одинаковыми для одинаковых витков орбиты. Для того чтобы это произо-
шло, плоскость орбиты должна вращаться в инерциальной СК с угловой
скоростью, равной скорости движения Земли по орбите вокруг Солнца, со-
ставляющей 360° за 365,26 суток или 0,9856° в сутки. Для такой прецесси-
рующей на восток орбитальной плоскости спутник будет проходить вос-
ходящий узел орбиты в одно и то же фиксированное местное время. На
рисунке это соответствует примерно 15:00. На каждом витке орбиты спут-
ник «видит» любую заданную полосу на поверхности планеты при практи-
чески одинаковых условиях освещения день за днем. Вследствие основного
условия а = const спутник также всегда находится под одним углом к Солн-
цу. Солнечно-синхронные спутники используются для мониторинга и съем-
ки поверхности Земли.
Рис. 4.19. Солнечно-синхронная орбита
178
4.6. Влияние сжатия Земли
Пример 4.7
Спутник должен быть выведен на солнечно-синхронную круговую орби-
ту с периодом 100 мин. Определите требуемую высоту и угол наклона его
орбиты.
Решение
Воспользуемся уравнением (2.54) для определения высоты спутника с за-
данным периодом обращения:
2тг 1 2тг 2
Т = 5=(Я£+7)2 =>100-60 = -;—=—(6378 + z)2 => z = 758,63 (км).
7398 600 х
Для солнечно-синхронной орбиты восходящий узел должен перемещать-
ся с опережением со скоростью
365,26-24-3600
= 1,991 -10’7 (рад/с).
Подставляя полученное значение и высоту z в уравнение 4.47, получаем
1,991 Ю-7 =-
3 ^398 600 • 0,00108263 • 63782
2 2
(1-02)2(6378 + 758,63)2
cosz => cos г = -0,14658.
Таким образом, наклонение орбиты
i = arccos (-0,14658) = 98,43°.
Полученный результат показывает, что солнечно-синхронные орбиты
очень близки к полярным орбитам (г = 90°).
4.6.2. Орбиты высокоширотных спутников связи
Если спутник выведен на орбиту с наклонением 63,4° (прямые орбиты) или
116,6° (попятные, ретроградные орбиты), то в соответствии с уравнени-
ем (4.48) линия апсид будет оставаться неподвижной. В космической про-
грамме России это ключевой элемент для конструкции системы спутников
связи «Молния». Все эксплуатируемые Россией космодромы расположены
выше 45° северной широты, а, например, космодром Плесецк находится на
широте 62,8°. При таких условиях для выведения спутника на геостацио-
нарную орбиту требуется проведение дорогостоящего изменения положения
плоскости орбиты. Кроме того, как показано в примере 2.4, с геостационарно-
го спутника не могут просматриваться высокие северные широты, в которых
находится значительная часть России.
Телекоммуникационные спутники «Молния» запущены с космодрома
Плесецк с углом наклона орбиты 63,4° и периодом 12 ч. Из уравнения (2.73)
179
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
Рис. 4.20. Типичная орбита спутни-
ка «Молния»
следует, что величина большой полуоси
этих орбит составляет 26 500 км. Пери-
гей (обычно с высотой 500 км над уров-
нем моря) лежит в южном полушарии,
в то время как апогей находится на высоте
40 000 км над высокими северными ши-
ротами, что примерно на 6000 км дальше
от поверхности Земли, чем геостационар-
ные спутники. На рис. 4.20 приведена ти-
пичная орбита спутника «Молния», а на
рис. 4.21 — проекция на поверхность Зем-
ли одного витка его орбиты. Вся система
спутников «Молния» состоит из восьми
спутников с плоскостями орбит, поверну-
тыми на 45°. Каждый спутник находится
на широтах, лежащих выше 30° с. ш., бо-
лее 8 ч, включая время подлета и отлета от
апогея.
-150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150
Восточная долгота, град
Рис. 4.21. Трасса спутника «Молния» (один виток); подспутниковые
точки на трассе сделаны через 1 ч полета; «Молния» видна из Москвы,
когда трасса находится к северу от белой синусоиды
Пример 4.8
Определите перигей и апогей для спутника Земли, орбита которого удов-
летворяет следующим условиям:
• орбита солнечно-синхронная;
• аргумент перигея постоянный;
• период орбиты составляет 3 ч.
180
4.6. Влияние сжатия Земли
Решение
Определим по заданному в условиях задачи периоду большую полуось
орбиты:
3 3
Г =-Да2 ^>3-3600 = -;—=—а2 => а = 10 560 (км).
7Й V398 600
Для того чтобы линия апсид была неподвижной, воспользуемся следстви-
ем из уравнения (4.48), т. е. будем рассматривать два возможных наклонения
орбиты: 64,435° или 116,57°. Ранее было показано, что наклонение менее 90°
приводит к уходу на запад восходящего узла орбиты, в то время как для сол-
нечно-синхронных орбит требуется, чтобы линия узлов уходила на восток,
что обеспечивает i = 116,57°. Подставляя это значение z, рассчитанное значе-
ние большой полуоси а и Q в радианах в секунду для солнечно-синхронной
орбиты (см. пример 4.7) в выражение (4.47), получаем
, ,Л-7 3 J398600• 0,0010826•63782 ,,^„о
1,99110 7 =—--------------------=----cosl 16,57° =>е = 0,3466.
2 1
(1 -е2)2 10 5602
Теперь можно найти угловой момент орбиты через ее период, используя
уравнение (2.72):
- ( , \
2л п
^3-3600 =
2л h
398 6002 [71-0,346552 ,
=> h = 60 850 (км/с).
Наконец, чтобы получить радиусы перигея и апогея, используем уравне-
ние орбиты:
h 1 60860 1 r , ч
zn + 6378 -------=--------------------=> zn = 522,6 (км);
р ц 1+е 398 6001 + 0,34655 р v '
2
za + 6378 = -—— => za = 7842 (км).
ц 1-е
Пример 4.9
Дан вектор состояния спутника в ГЭСК в некоторый момент времени:
г = -36701 - 3870J + 4400К (км);
v = 4,71 - 7,4J + 1К (км/с).
Найдите вектор состояния спутника через 4 сут. (96 ч) исходя из предпо-
ложения, что других возмущений, кроме влияния сжатия Земли, нет.
181
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
Решение
4 сут. — достаточно большой промежуток времени, поэтому необходимо
учесть не только изменение истинной аномалии, но и изменение положений
линии узлов £1 и линии апсид со. Другие элементы орбиты по условиям за-
дачи остаются неизменными.
Сначала следует определить орбитальные элементы в заданный момент
времени с использованием алгоритма 4.1:
h = 58 930 км2/с;
i = 39,687°;
е - 0,42607 (орбита является эллипсом);
Qo = 130,32°;
ю0 = 42,373°;
О0 = 52,404°.
Используем уравнение (2.61) для определения размера большой полуоси-.
h2 1
589302 1
ц 1-е2
398 600 1-0,42612
= 10 640 (км).
Тогда в соответствии с уравнением (2.73) период орбиты
2 з
Т = ^а2 =10 928 (с).
Отсюда найдем скорость среднего движения
2л
и = у = 0,00057495 (рад/с).
Начальное значение Ео эксцентрической аномалии определяем по значе-
нию истинной аномалии Фос использованием уравнения (3.10):
Ео 1-е 1-0,42607 52,404° „ п ч
tg— = J tg—- = ---------------tg-------=> Ео - 0,60520 (рад).
6 2 \1 + е 2 \1 + 0,42607 2 0 7
Зная Ео, можно, используя уравнение Кеплера, рассчитать время t0, про-
шедшее с момента прохождения спутником перигея на первом витке:
nt0 = Eq - esin Eq => O,OOO57495to -
= 0,60520-0,42607 sin (0,60520) = 631,00 (c).
Обозначим tf время в конечной точке через 96 ч, т. е. спустя Д/ = 345 600 с,
тогда
tf = + At = 631,00 + 345 600 = 346 230 (с).
Число периодов пР с момента прохождения перигея на первом витке
орбиты:
182
4.6. Влияние сжатия Земли
tf 346 230
Т ~ 10 928
= 31,682,
т. е. конечное время приходится на 32 виток орбиты, учитывая, что время t0
относится к первому витку.
Время с момента прохождения перигея на 32 витке орбиты:
t32 = (31,682-31)Т =>/32 = 7455,7 (с).
Средняя аномалия, соответствующая этому времени на 32 витке:
М32 = Щ32 = 0,00057495 • 7455,7 = 4,2866 (рад).
По уравнению Кеплера (см. алгоритм 3.1) можно рассчитать эксцентри-
ческую аномалию для конечной точки:
Е32 -esmE32 = М32 => Е32 - 0,42607sin£32 = 4,2866 => Е32 - 3,9721 (рад).
Истинная аномалия
tgbl = 1Ш tg=>d32 =211,25°.
О — 11 1 ° /Л ’
2 V1-е 2
Полученное значение истинной аномалии в конечный момент времени
можно использовать для вычисления вектора состояния спутника в перифо-
кальной СК. Из уравнения (4.35) имеем
rx =rcos$32P + rsin&32q = -ll7l4p-7l08,8q (км)
или в матричной форме
Г-Н714А
-7108,8
0
(км).
Аналогично, из уравнения (4.36):
vx = -—sin332p + — (e + cosd32)q = 3,5093p-2,9007q (км/с)
h h
или
' 3,5093 '
vx = -2,9007 (км/с).
, 0 .
Прежде чем найти проекции (rx,vx) в ГЭСК, необходимо уточнить зна-
чения долготы восходящего узла и аргумента перигея. Скорость прецессии
восходящего узла:
183
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
л 'з J^J2R2 1 3J398 600 0,00108263-63782 гпоч
Q =------cos i = — ------------------------------?— cos (39,69°)
(l-e2)2a2j (1 - О,426О72)21О6442
= -3,8514 • IO’5 рад/с = 2,2067 10~5 (град/с).
Тогда долгота восходящего угла на 32 витке орбиты:
Q32 = Qo + ОД/ = 130,32 + (-2,2067 • IO-5) • 345 600 = 122,70°.
Скорость изменения аргумента перигея:
3 4^J2r2
2 I
(1-е2)2 а*
i-2 =4,9072-10"7
рад/с = 2,8116 • 10~5 (град/с),
т. е. аргумент перигея на 32 витке орбиты
со32 = со0 + ®Д/ = 42,373 + 2,8116 • 10’5 • 345600 = 52,090°.
Подставляя обновленные значения Ниш вместе с наклонением орбиты i
в уравнение (4.43), получаем обновленную матрицу перехода от ГЭСК к пе-
рифокальной СК:
Qxt -
cos<»32 sin<o32 0
-sin<B32 cosco32 0
0 0 1
1 0 0
0 cos/ sinZ
0 - sin/ cos/
cos032 sinO32 0
-sinO32 cosQ32 0
0 0 1
cos 52,09° sin 52,09° 0
-sin52,09° cos52,09° 0
0 0 1
1 0 0
0 cos 39,687° sin 39,687°
0 -sin 39,687° cos39,687°
cos 122,70° sin 122,70° 0
-sinl22,70° cosl22,70° 0
0 0 1
или
’-0,84285
ОЛ= 0,028276
0,53741
0,18910 0,50383
-0,91937 0,39237
0,34495 0,76955
Для обратного преобразования из
транспонировать эту матрицу:
перифокальной СК в ГЭСК следует
-0,84285
0,18910
0,50383
0,028276 0,53741
-0,91937 0,34495
0,39237 0,76955
Таким образом, согласно уравнениям (4.46), найдем конечное состояние
вектора в ГЭСК:
184
4.6. Влияние сжатия Земли
»>=QxXrx =
-0,84285
0,18910
0,50383
0,028276
-0,91937
0,39237
0,537411^-11714
0,34495
0,76955
9672
-0,84285 0,028276
vAr=Qx¥vx= 0,18910 -0,91937
0,50383 0,39237
0,53741
0,34495
0,76955
-7108,8
0
3,5093
-2,9007
О
4320
(км);
-8691
-3,040
3,330
0,6299
(км/с)
или в векторной форме
гх =96721+ 4320J- 8691К (км);
\х =-3,0401 + 3,33OJ + 0,6299К (км/с).
Два витка орбиты (первый и последний) представлены на рис. 4.22.
Рис. 4.22. Начальные и конечные векторы положения спутника
185
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
Основные соотношения
Алгоритм 4.1. Определение орбитальных элементов по вектору со-
стояния космического аппарата
1. Вычислить расстояние:
r = r-r = y/x2 + Y2+Z2.
2. Рассчитать скорость:
I Г~2 2 2*
V = V V • V = + vY +vz.
3. Рассчитать радиальную скорость:
vr = г • v/r = (Xvx + Yvy + Zvz )/r.
Отметим, что, если vr > 0, космический аппарат летит от перицентра,
если vr < 0, то — к перицентру.
4. Вычислить угловой момент:
I J К
h = rxv = X Y Z
Vy vz
5. Вычислить модуль углового момента:
/7 = Vh~h.
6. Рассчитать наклонение орбиты:
(h-Л
г = arccos — . (4.7)
V h )
Угол i должен находиться между 0 и 180°. Если 90° < i < 180°, движение
по орбите является попятным (ретроградным).
7. Рассчитать вектор:
I J К
N = Kxh= 0 0 1
hz
Этот вектор определяет положение линии узлов.
8. Вычислить модуль вектора N:
y = ^N-N.
9. Вычислить прямое восхождение (долготу) восходящего узла:
Jarccos(y%/У), Уу>0;
[360°-arccos(yx/#), Уг<0.
(4-8)
(4.9)
186
Основные соотношения
10. Вычислить вектор эксцентриситета:
1 I
e = —
pU
11. Рассчитать эксцентриситет:
2 Ц
v r-rvrv
r J
е =
12. Вычислить аргумент перицентра:
со = <
lN’el
arccos --- , e7>0;
\Ne ) z
( N-e^l
360°-arccos ---- , e7 <0.
I Ne J Z
13. Рассчитать истинную аномалию:
3 = ^
( е‘г I
arccos ----L vr >0;
I er )
Г er ।
360°-arccos --- , vr <0.
V er J
Альтернативная форма истинной аномалии:
Э =
1 y
arccos e -1 Л i ( i , vr> h2 Y
360°- arccos 1 11 1 -—i ir )_
Матрицы прямого и обратного преобразований координат:
’Си 012 013 i' i i 'j i'k
Q = 621 022 023 = j' i j i'-j j' k ;
.631 032 033 _ k' i k' j k'k
Си 021 031 i‘ •i Г • k' i'
Qr = - S12 022 032 - i1 j j' j k' j ;
613 023 033 i' k j'-k k'k
v' = Q v;
v = Qrv'.
(4.10)
(4.U)
(4.12)
(4-13)
(4.13)
(4.23)
(4-24)
(4.29)
(4.31)
187
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
Повороты вокруг осей СК
К,(ф) = ‘1 0 0 соэф 0 -втф 0 зтф совф ; (4.32)
*2(Ф) = соэф 0 0 1 -этф 0 ; (4.33)
Rs(*) = вшф 0 созф соэф этф 0 -этф созф 0 (4.34)
Перифокальная CK Матрица перехода < Л2 Гх = ц vx = — х h эт периф< 0 1 1 + ecosd Л -sin3 ' e + cosd < о > экальной ( 0 L ^cos^P sind < о > ?К к ин (4.37) (4.38) ерциальной СК
QxY=<& =
<cos(co) cos(Q) - cos(z) sin(<o) sin(Q) - cos(Q) sin(co) - cos(z) cos(co) sin(Q) sin(z) sin(Q)
= cos(z)cos(Q)sin(co) + cos(co)sin(Q) cos(z)cos(co)cos(Q)-sin(co)sin(Q) -cos(Q)sin(z) .
k sin(z)sin((o) cos(co)sin(z) cos(z) y
(4.44)
rx = QxXrx’ vx = QxxVx (4.46)
Алгоритм 4.2. Определение вектора состояния КА по орбитальным
элементам
Даны орбитальные элементы Л, е, z, £2, со и д. Требуется вычислить векто-
ры положения г и скорости v КА в ГЭСК.
1. Вычислить вектор положения гх в перифокальной СК, используя урав-
нение (4.37):
_ (cos(T|
h2 1
rx =----------sin3 .
u 1 + ecosd
I 0 J
188
Основные соотношения
2. Вычислить вектор скорости vx в перифокальной СК с помощью урав-
нения (4.38):
' -sind
Н А
vr e + cosa .
х h
I О J
3. Вычислить матрицу перехода от перифокальной СК к ГЭСК, ис-
пользуя уравнение (4.44):
Q^=<& =
^cosCco) cos(Q) - cos(z) sin(co) sin(Q) - cos(Q) sin(co) - cos(z) cos(co) sin(Q) sin(z) sin(Q)
= cos(z)cos(Q)sin(co) + cos(co)sin(Q) cos(z)cos(co)cos(Q)-sin(co)sin(Q) -cos(Q)sin(z) .
k sin(z)sin(co) cos(co)sin(z) cos(z) y
4. Вычислить векторы r% и vxb ГЭСК с помощью уравнений (4.46):
r%=QxYrxi V%=QxXVx
Влияние сжатия Земли
у^ЭКВ _у^ПОЛ ।
5= —----------— ®-----
rw ___•
Планета Сжатие Зональная гармоника J2
Меркурий 0,000 60•10^
Венера 0,000 4,458-10-6
Земля 0,003353 1,08263 • IO"3
Марс 0,00648 1,96045 • IO-3
Юпитер 0,06487 14,736 - IO-3
Сатурн 0,09796 16,298-Ю-з
Уран 0,02293 3,34343- 10-з
Нептун 0,01708 3,411 -IO3
Плутон 0,000 -
Луна 0,0012 202,7-10-6
Среднее изменение долготы восходящего узла орбиты:
3 4^J2R2
2(l-e2)2J
cosz.
(4-47)
189
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве
Среднее изменение аргумента перицентра орбиты'.
со = -
~3 yfoj2R2
2, 2
(1-е2) а2
5-2. J
—sin i-2 .
2 J
(4.48)
Вопросы и задачи
1. Что такое эфемериды и являются ли они постоянными?
2. Объясните механизм возникновения приплюснутости геоида.
3. Перечислите орбитальные элементы и объясните их связь с решением
задачи двух тел.
4. В каких случаях предпочтительнее использовать перифокальную си-
стему координат?
5. Изменяется ли долгота восходящего узла полярных орбит?
6. Придумайте варианты использования высокоэллиптических орбит.
7. Единичные векторы декартовой системы координат uvw имеют следу-
ющие компоненты в системе координат xyz:
u = 0,26726i + 0,53452j + 0,80178k;
v = -0,44376i + 0,80684j - 0,38997k;
w = -0,855361 - 0,25158j + 0,45284k.
В системе координат xyz дан вектор V = —50i + 100j + 75k. Найти компо-
ненты этого вектора в системе координат uvw.
8. В некоторый момент времени известны векторы положения г и ско-
рости v космического аппарата в геоцентрической экваториальной системе
координат:
г = -51021 - 8228J - 2105К (км);
v = -4,3481 + 3,478J - 2,846К (км/с).
Найдите г и v через 50 мин полета (в начальный момент времени косми-
ческий аппарат находится не в перицентре).
Глава 5
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ
Метод Гиббса определения орбит по трем векторам по-
ложения. — Задача Ламберта. — Использование функций
Лагранжа и универсальной аномалии для решения задачи
Ламберта. — Время и его измерение. — Основные опреде-
ления. — Юлианские даты. — Топоцентрическая система
координат. — Топоцентрическая экваториальная система
координат. — Топоцентрическая пунктовая система коор-
динат. — Определение орбит по измерению угла и наклонной
дальности. — Предварительное определение орбит только
по измеренным углам. — Метод Гаусса предварительно-
го определения орбиты. — Определение коэффициентов с}
и су — Определение начального приближения компонент
вектора состояния. — Основные соотношения. — Вопросы
и задачи
В данной главе рассмотрены некоторые классические способы определе-
ния орбиты спутника по наземным наблюдениям. Представленные методы
основаны на уравнениях движения задачи двух тел. Именно поэтому они
рассматриваются как предварительные методы определения орбиты, так как
на реальную орбиту со временем влияют возмущения от гравитационных
сил Луны и Солнца, атмосферное сопротивление, солнечный ветер, несфе-
ричность формы и неравномерность распределения массы Земли. Краткое
описание эффектов, производимых сжатием Земли, рассмотрено в главе 4.
Точное определение орбиты по некоторому набору исходных наблюдений
требует учета различных возмущений, а также погрешности самих приборов
измерения.
Более подробное описание, включая способы определения орбиты на ос-
нове дополнительных наблюдений, выходит за рамки данной книги.
Вначале в главе рассматривается метод Гиббса определения орбиты с ис-
пользованием трех геоцентрических векторов положения спутника. Затем
в задаче Ламберта орбиту определяют по двум векторам положения и време-
ни полета между точками, которые эти векторы задают. Обе процедуры опре-
деления орбит — Гиббса и Ламберта — основаны на том, что орбиты двух
тел лежат в плоскости. Задача Ламберта является более сложной, и ее реше-
ние требует использования функций Лагранжа, введенных в главе 2, а также
универсальной аномалии, введенной в главе 3.
В данной главе также приведены система счета времени и объяснение
нумерации юлианских дней. Затем представлено описание топоцентрических
191
Глава 5. Предварительное определение орбит
систем координат и соотношений между ними. Отдельно рассмотрены топо-
центрические углы прямого восхождения/склонения и углы азимута/места.
Описана общая методика определения орбиты по измерениям наклонной
дальности и углам ориентации линии визирования. Глава завершается изло-
жением метода Гаусса определения орбит по трем измерениям углов.
5.1. Метод Гиббса определения орбит
по трем векторам положения
Предположим, что при наблюдении космического объекта в три разных мо-
мента времени tbt2,t3 (г, < t2< t3) были получены геоцентрические векторы
его положения г15 г2, г3. Задача состоит в том, чтобы по этим положениям, ис-
пользуя уравнения задачи двух тел, определить скорости Vj,v2, v3 в соответ-
ствующие моменты времени t\,t2, t3. Решение на основе векторного анализа
предложил Дж. Гиббс (1839-1903), американский ученый, известный прежде
всего своим вкладом в термодинамику.
Для сохранения углового момента требуется, чтобы векторы положения
тела на орбите лежали в одной плоскости. Другими словами, вектор норма-
ли к плоскости (г2, г3) должен быть перпендикулярен единичному вектору,
коллинеарному гг Таким образом, если url =Г) /г\ и С23 - (г2 х г3 )/||г2 х г3 Ц,
то скалярное произведение этих двух единичных векторов должно равняться
нулю:
uri ’ Сгз ~ 0.
Кроме того, если векторы гь г2 и г3 лежат в одной плоскости (рис. 5.1), то
можно найти скалярные коэффициенты с{ и с3 такие, что
г2 = qrj + с3г2.
(5-1)
Любой набор из трех компланарных векторов г15 г2, г3 может быть выра-
жен в виде векторной суммы двух других (см. рис. 5.1). Зная гь г2 и г3, мож-
но получить коэффициенты и с3, как будет показано в п. 5.10 (см. (5.89)
и (5.90)).
Для того чтобы найти скорость v, соот-
ветствующую любому из трех векторов г,
запишем уравнение (2.30) в виде
Рис. 5.1. Сумма компланарных
векторов гь г2 и г3
. । г I
vxh = щ - + е ,
где h — угловой момент; е — вектор экс-
центриситета. Выделим скорости, умножив
векторно это уравнение на угловой момент,
т. е.
Г h х г 1
hx(vxh) = w----+ hxe . (5.2)
192
5.1. Метод Гиббса определения орбит по трем векторам положения
С помощью правила bac-abc (2.23), представим левую часть (5.2) в виде
hx(vxh) = v(h h)-h(h v). Поскольку (h-h) = A2 и (vxh) = 0, так как v
перпендикулярна h, следовательно,
hx(vxh) - h2v.
Отсюда следует, что уравнение (5.2) можно записать в виде
v=4(tsr+hxe'|. (5.3)
h < г )
В п. 2.10 введена перифокальная СК, в которой единичный вектор р кол-
линеарен вектору эксцентриситета е, а единичный вектор w ортогонален пло-
скости орбиты и коллинеарен вектору углового момента h. Таким образом,
запишем
е = е р, h = ftw. (5.4)
Тогда уравнение (5.3) принимает вид
wxr Z X
----+ e(wxp) . (5.5)
ц (Awxr , ) ц.
-Чг -----+ Aw х ер = —
h21 г h
Поскольку р, q и w являются ортами правой прямоугольной СК, отсюда
следует, что pxq = w, т. е.
wxp = q. (5.6)
Следовательно, уравнение (5.5) можно привести к виду
ц wxr
v = - ---+ eq
h г
(5.7)
Таким образом, можно заключить, что если по векторам положения гь г2
и г3 можно вычислить q, w, h и е, то соответствующие скорости vb v2 и v3
определяются из уравнения (5.7).
До сих пор единственным условием, которое было наложено на три век-
тора положения Г1,г2 и г3, было то, что они являются компланарными (5.1).
Однако из условий задачи известно, что эти векторы также задают положе-
ния на орбите. Рассмотрим скалярное произведение уравнения (5.1) и вектора
эксцентриситета е:
г2'е = с1гге + сзгз’е- (5-8)
Согласно уравнению орбиты (2.34), справедливо следующее соотноше-
ние между Л, е и каждым из векторов положения:
Л2 Л2 Л2
г, е =-Гр г2 е =-г2; г3е =-г3. (5.9)
МММ
193
Глава 5. Предварительное определение орбит
Подставляя соотношения (5.9) в уравнение (5.8), получаем
й2
(5.10)
—>2=q
к м
Для определения неизвестных коэффициентов q и с2 в выражении (5.10)
векторно умножим уравнение (5.1) сначала на q, а затем на г3. В результате
получим два уравнения, содержащие векторное произведение г3 хг,:
г2хг1=сз(гзхг1); «2 хгз =-а(гзхп)- (5.11)
Умножив уравнение (5.10) на вектор г3 хгь получим
Используя уравнение (5.11), преобразуем полученное уравнение к виду
Отметим, что константы С] и с2 исчезли. Изменяя порядок произведений,
приходим к выражению
^2
—(Г] X г2 + г2 X г3 + г3 X г J = гД г2 X г3) + г2 (Г3 X г J + г3 (Г] х Г2 ). (5.12)
ц
Это уравнение содержит заданные векторы положения и неизвестное
значение углового момента h. Введем следующие обозначения для векторов
в обеих частях уравнения (5.12):
N = г} (г2 х г3) + г2 ( г3 х q) + г3 (Г1 х г2 ); (5.13)
D = r, хг2 + г2 хг3 + г3 хгР (5.14)
Тогда уравнение (5.12) можно упрощенно представить в виде
ц
из которого следует
h2
N = —D, (5.15)
Ц
где y = ||N||, D = ||D||.
194
5.1. Метод Гиббса определения орбит по трем векторам положения
Из уравнения (5.15) также следует, что угловой момент h можно опреде-
лить из набора векторов положений гь г2 и г3 по формуле
(5.16)
Поскольку векторы гь г2 и г3 лежат в одной плоскости, все векторные
произведения (Г]ХГ2), (г2хг3) и (г3хГ]) коллинеарны и ортогональны плоско-
сти орбиты. Отсюда следует, что в уравнении (5.14) вектор D должен быть
ортогонален плоскости орбиты. Используем его для определения орты w пе-
рифокальной системы координат:
D
w = -. (5.17)
Таким образом с помощью векторов положений гь г2 и г3 можно опреде-
лить и w. Далее необходимо найти выражение для q, чтобы использовать в
уравнении (5.7). Из уравнений (5.4), (5.6) и (5.17) следует, что
q = wxp = -^-(Dxe). (5.18)
De
Подставляя в уравнение (5.18) уравнение (5.14) получаем
q = хг2)хе + (г2
De
xr3)xe + (r3 xrjxe].
(5-19)
Применим правило (А х В) х С = -С х (А х В) = В(А • С) - А(В • С) к пра-
вой части уравнения (5.19), тогда
(г2 х г3)х е = г3 (г2 • е) -г2 (г3 • е);
(гзхг1)хе = г1(г3-е)-г3(г1-е);
(r1xr2)xe = r2(r1e)-r1(r2-e).
После подстановки уравнения (5.9) имеем
Г2 xr3: )xe = r3 (h2 ' r2 “r2 ~r3 \ h2,
(r3 - r2 ) + r3r2-r2r3;
' h2 'I ( h*__ Л2 ,
гз xrj |xe = r. X < 1 “r3 7 n J =7' h1 г1-гз) ( \ + rir3-r3ri’
Г1 xr2> )xe = r2 1 1 “Г1 \ r2 ) II 1 1 + Г2Г1-Г1Г2.
Суммируя эти три уравнения, приводя подобные и подставляя результат
в уравнение (5.19), получаем
q = -^-S, (5.20)
De
195
Глава 5. Предварительное определение орбит
где
S = I, (г2 - г3) + г2 (г3 - гх) + г3 (Г] - г2 ). (5.21)
Подставим уравнения (5.16), (5.17) и (5.20) в уравнение (5.7), получим
Упрощение этого выражения позволяет получить зависимость для опре-
деления вектора скорости'.
(5.22)
\ND\ г )
Все точки в правой части выражения (5.22) зависят только от заданных
векторов положений г]5 г2 и г3. Скорости рассчитывают для каждой точки
отдельно, но с использованием всех векторов положения г15 г2 и г3.
Алгоритм 5.1. Метод Гиббса предварительного определения орбиты
по заданным положениям векторов г,, г2 и г3 в заданные моменты времени
1. Вычислить г у, г2, г3.
2. Определить С]2 = Г]xr2; С23=г2хг3; С31=г3хГ].
3. Убедиться, что url С23=0.
4. Найти N, D и S из уравнений (5.13), (5.14) и (5.21) соответственно.
5. Вычислить v2, используя уравнение (5.22).
6. По компонентам вектора состояния г2 и v2 определить орбитальные
элементы с помощью алгоритма 4.1.
Пример 5.1
Заданы три последовательных вектора положения космического объекта
в ГЭСК:
Г] = -294,321 + 4265,1J + 5986,7К (км);
г2 = -1365,51 + 3637,6J + 6346,8К (км);
г3 = -2940,31 + 2473,7J + 6555,8К (км).
Определите классические орбитальные элементы, используя метод Гибб-
са, с помощью алгоритма 5.1.
Решение
Шаг 1
Гу = у1(-294,32)2 + 4265,12 +5986,72 = 7356,5 (км);
r2 = ^(-1365,5)2 +3637,62 + 6346,82 = 7441,7 (км);
г3 = ^(-2940,3)2 +2473,72 +6555,82 = 7598,9 (км).
196
5.1. Метод Гиббса определения орбит по трем векторам положения
Шаг 2
I J К
С12 - -294,32 4265,1 5986,7
-1365,5 3637,6 6346,8
I J К
С 23 ~ -1365,5 3637,6 6346,8
-2940,3 2473,7 6555,8
I J К
с31 = -2940,3 2473,7 6555,8
-294,32 4265,1 5986,7
= (5,2921 - 6,3066J + 4,7531К) • 106 (км2);
= (8,14731 -9,7095J + 7,3179К) • 106 (км2);
= (-1,315II +1,5673J -1,1812К) • 106 (км2).
Шаг 3
со т С23 _ (8,14731-9,7095J + 7,3179K)
23 ||с2з|| J(8,14732 + (-9,7095)2 + 7,31792)
= 0,556671 - 0,66341J + 0,5000К.
Проверяем ортогональность векторов:
о -294,321 +4265,1J +5986,7К . « гл-'ит Л
url -С23 =---------------------------(0,556671-0,66341J + 0,5000K) =
7356,5
= 6,9200 IO-20.
Полученное значение достаточно близко к нулю и с допустимой точно-
стью можно утверждать, что векторы гь г2 и г3 лежат в одной плоскости.
Шаг 4
N = Г]С23 + г2С31 + г3С12 =
= 7356,5 [(8,14731 - 9,7095J + 7,3179К) • 106 ] +
+ 7441,7[(-1,31511 + 1,5673J-l,1812K)106] +
+ 7598,9 [(5,2921 - 6,3066J + 4,7531К) • 106 ]
ИЛИ
N = (2,28071 - 2,7181J + 2,0486К) • 109 (км3),
поэтому
N = ^[2,28072 + (-2,7181)2 + 2,04862 ]• 1018 = 4,0971 109 (км3);
197
Глава 5. Предварительное определение орбит
D - С12 + С23 + С31 -
= [(5,2921 - 6,3066J + 4,7531К) • 106 ] + [(8,14731 - 9,095J + 7,3179К) •106]+
+ [(-1,31511 + 1,5673J-l,1812K)-106]
ИЛИ
D = (2,87971 -3,4319J + 2,5866К) • 106 (км2)
так что
D = ^[2,87972 + (-3,4319)2 + 2,58662 ] • 1012 = 5,1731 • 105 (км2).
И, наконец,
s =Г1(г2 -r3) + r2(r3 -ri) + r3(rj-г2) =
= (-294,321 + 4265,1J + 5986,7К)(7441,7 - 7598,9) +
+ (-1365,51 + 3637,6J + 6346,8К)(7598,9 - 7356,5) +
+ (-2940,31 + 2473,7J + 6555,8К)(7356,5 - 7441,7)
или
S = -34 213I + 533,51J + 38798K (км2).
Рис. 5.2. Орбита космического объекта из примера 5.1
198
5.2. Задача Ламберта
Шаг 5
398600
(4,0971Ю9)(5,1731Ю3)
I
2,8797-106
-1365,5
J
-3,4319106
3637,6
К
2,5866 1О6
6346,8
7441,7
-34 2131+ 533,51J+
+38 798К
v2 = -6,21711-4,0117J + 1,5989К (км/с).
Шаг 6
По заданному вектору положения и полученному вектору скорости, ис-
пользуя алгоритм 4.1, найдем орбитальные элементы:
а = 8000 км;
е = 0,1;
i = 60°;
Q = 40°;
© = 30°;
0 = 50° (для вектора положения г2).
Орбита изображена на рис. 5.2.
5.2. Задача Ламберта
Предположим, что известны векторы положения Г] и г2 двух точек Р1 и Р2 на
траектории объекта массой т, движущегося относительно притягивающего
центра массой М (рис. 5.3). Векторы Г] и г2 определяют изменение истинной
аномалии Э, так как
cos ДО = Г' Г2
Г1-Г2
(5.23)
(5-24)
При этом, если cosAft > 0, то Д& лежит в первом или четвертом квадран-
те, тогда как если cosAO < 0, то АЭ лежит во втором или третьем квадранте
(см. рис. 3.4). Первый шаг к разрешению этой неоднозначности заключается
в вычислении компоненты Z векторного произведения г, х г2 :
(ri xr2)z = K’(ri хг2) = К-(Г] •r2sinA3w) = r1 • r2 sin АЗ(К • w),
где w—единичный вектор нормали к плоскости орбиты. Поэтому К • w = cos i,
где i — наклонение орбиты. То есть
199
Глава 5. Предварительное определение орбит
(Г1х r2 )z = ГГ r2 szn Д^СО8 *•
(5.25)
Таким образом для определения правильного квадранта ДО можно ис-
пользовать знак компоненты векторного произведения xr2)z.
Возможны два случая полета по траектории: прямое (0 < i < 90°) и по-
пятное (ретроградное) (90° < i < 180°) движение.
Для прямых траекторий (например, см. рис. 5.3) cos i > 0, так что если
(ij xr2)z > 0, то из уравнения (5.25) следует, что sinAd > 0. Это означает, что
0 < Ad < 180°, следовательно, Ad лежит в первом или втором квадранте и его
можно определить по формуле ДО = arccos (г^^ Др г2)- Если (ijXr2)z<0,
то из уравнения (5.25) следует, что sinAd < 0, т. е. 180° < Ad < 360°. В этом
случае Ad лежит в третьем или четвертом квадранте и задается формулой
АЭ = 360°-arccos(г]-^/г]-г2). Для попятных траекторий cos i < 0. Тогда,
если (г] xr2)z <0, то sinAd < 0, что возможно при положении Ad в третьем
или четвертом квадранте. Аналогично, если (rj х r2 )z > 0, Ad должен лежать
в первом или втором квадранте.
Более наглядно эти выводы можно сформулировать следующим образом:
200
5.2. Задача Ламберта
arccos^ -г^/г^), (rt xr2)z -О
360°-arccos(ij Гг/г/г), (г, xr2)z <0
прямые орбиты;
Д3 = (.........................
(5.26)
arccos (Г] • r2 /1\г2), (Г[ х r2 )z < 0
360° - arccos(Г] • г2/г/2), х r2 )z > 0
попятные орбиты.
Согласно теореме Ламберта (J.H. Lambert (1728-1777), немецкий астро-
ном, физик и математик), время полета объекта т от точки Рх до точ-
ки Р2 не зависит от эксцентриситета орбиты, а зависит только от суммы
величин векторов положения Г] + г2, большой полуоси а и длины хорды с,
соединяющей точки Рх и Р2. Как было показано ранее, период и удельная
механическая энергия эллиптической траектории также не зависят от ее экс-
центриситета (см. (2.70), (2.73) и (2.100)).
Использование функций Лагранжа и универсальной аномалии
для решения задачи Ламберта
Если известно, что Дг — время полета тела т от точки Рх до точки Р2, то за-
дача Ламберта состоит в том, чтобы найти траекторию, соединяющую точки
Р] и Р2. Траектория определяется полностью, как только становится известна,
например, скорость vb так как, согласно уравнениям (2.125) и (2.126), по-
ложение и скорость в любой точке траектории определяются векторами Г]
и Vp Тогда в соответствии с обозначениями, приведенными на рис. 5.3, для
точки Р2 можно записать вектор состояния тела с использованием функций
Лагранжа в виде
г2=Л1+^1; v2=ji1+gv1. (5.27)
Из первого уравнения можно найти скорость:
vi =~(г2 _А)- (5.28)
Подставив этот результат в уравнение (5.27), получим
v2 = Л + ^(г2 - А)=-Ц - .
g g g
Но в соответствии с уравнением (2.129) fg~fg = l, следовательно,
v2=-(gr2-ri). (5.29)
g
Поскольку с помощью алгоритма 4.1 можно найти орбитальные элемен-
ты по любым компонентам вектора состояния rb Vi или r2, v2, то для решения
задачи Ламберта требуется определить функции Лагранжа /, g, f, g.
201
Глава 5. Предварительное определение орбит
Функции Лагранжа f и g и их производные по времени как зависимости
от изменения истинной аномалии ДО даны в уравнениях (2.148):
/ = l-^-(l-cosA3); g = -^-sin(A3); (5.30)
pl-cosA3 ц АПЧ 1 1
—----------^(1-cos АЗ)------
h sin АЗ |_й2 rx r2
g = l--^-(l-cosA3).
Уравнения (3.66) связывают эти множители с изменением универсальной
аномалии %:
X2 1 з
/=1_2LC(Z); g = Az- (5.31)
/ = ^x[zS(z)-l]; g = l-^-C(z),
гЛ r2
где z = а%2. Функции /и g не зависят от эксцентриситета, изменение которо-
го, вероятно, сделало бы очевидным решение задачи Ламберта.
Опустим временно, что z = ах2, и укажем, что правые части уравнений
содержат неизвестные h, х и z, в то время как известны Ад, А/, г} и г2.
Функции Лагранжа в уравнениях (5.30) зависят от изменения истинной
аномалии Ад, но не от интервала времени Ал Тем не менее Аг появляется во
втором из уравнений (5.31). Зависимость между АО и А? можно найти, при-
равняв два выражения (5.30) и (5.31) относительно g:
^-sinA3 = A/—LX3S(z). (5.32)
й у/ц
В этом уравнении неизвестен угловой момент h, который можно найти,
приравняв выражения для f в уравнениях (5.30) и (5.31):
1-—^-(l-cosA3) = l-—C(z).
h r0
Решая это уравнение относительно h, получаем
JPir2(l-cos АЗ)
%2C(z)
(5.33)
Подставив уравнение (5.33) в уравнение (5.32) и упростив выражение,
имеем
= %3S(z) + х VQz) sin АЗ J—-
V Vl-cosA3J
(534)
Член выражения (5.34) в скобках справа является константой, определяе-
мой исключительно начальными данными. Обозначим его через At
202
5.2. Задача Ламберта
А = sin ДО.——--.
V1-cos ДО
Тогда уравнение (5.34) принимает более простой вид:
7ЙД, = X35(z) + A%y/C(z).
(5.35)
(5.36)
Правая часть этого уравнения содержит обе неизвестные переменные %
и z. Но использовать тот факт, что z = а%2, чтобы уменьшить число неиз-
вестных до одного, нельзя, так как а является обратной величиной большой
полуоси неизвестной орбиты.
Для того чтобы найти зависимость между z и %, которые не связаны ор-
битальными параметрами, приравняем выражение для f из уравнений (5.30)
и (5.31):
J11-COSAS Ц .. .„.11 Л/М
—--------- — (I — cnsAftl------= -i-!—
-----------HHl-cosAU)-------
h sinA& |_Л2 t\ r2
=—x[zS(z)-l]-
rlr2
Умножив полученное выражение на rxr2 и подставив выражение для
углового момента из уравнения (5.33), получим
V X2C(z)
= 7Йх[^(г)-1].
X2C(z)
Далее, упрощая и приводя подобные, получаем
Vi cos AS г 2C(z) _ Г1 _ r 1 = zS(z) _ t
J r, r, sin Д& L J
В левой части выражения присутствует величина, обратная А, поэтому
можно записать это выражение в следующем виде:
X2C(z) = т\ + r2 + A zS^ 1.
12 Тод
Правая часть данного выражения зависит исключительно от z. Обозна-
чим эту функцию у (z), т. е.
где
_ У(?)
ОД’
(537)
, . .гЭД-1
УЫ=,+Г2+
(538)
203
Глава 5. Предварительное определение орбит
Уравнение (5.37) устанавливает соотношение между % и z. Подстановка
его в уравнение (5.36) дает
з
= f + АГГ>-
(5.39)
Это уравнение можно решить относительно z для заданного интервала
времени А/. Решение может осуществляться итеративно с использованием
метода Ньютона, согласно которому формируются функция
з
= f 77Т V s + ~ ч/Йд'
\C(Z) J
(5.40)
и ее производная
F'(z) = -rJ-------= х
2Vy(z)C(z)5 (5.41)
x{[2C(z)SXz)-3C'(z)S(z)]y2(z)4AC(z)5/2+3C(z)S(z)y(z)']y’(z)}.
Здесь C'(z) и S'(z) — производные функций Штумпфа, которые записаны
в уравнениях (3.60). Производная y'(z) получается путем дифференцирования
y(z) в уравнении (5.38) в виде
y'(z) = -^Ц{[1 - zS(z)]C'(z) + 2[ад + zS'(z)]C(z)}.
2C(z)2
Если подставить в это выражение уравнения (3.60), оно примет вид
У(2) = ^7ОД. (5.42)
Этот результат можно использовать совместно с уравнениями (3.49) и
(3.50), чтобы выразить C(z) и S(z) через тригонометрические функции. Под-
ставляя выражение (5.42) вместе с (3.60) в производную (5.41), получаем
(5.43)
204
5.2. Задача Ламберта
Вычисление значения F'(z) при z = 0 вследствие присутствия z в знаме-
нателе должно быть сделано очень аккуратно и поэтому приведено как от-
дельный случай. При z, близких, но не равных нулю, можно удержать только
первые два члена в разложениях C(z) и S(z) уравнений (3.47) и (3.48), т. е.
C(z) = -- — + ..., S(z) = i—— + ...,
2 24 6 120
а затем вычислить сомножитель в фигурных скобках:
±Гс(г)_2ЖЪ±
2z |_ 2C(z)J 2z
f1 z
fl Н 3 ^6 ~ 120 J
1г 24 J 2 Н __z_>|
U 247
1
2z
j__£^_3fi_____Yi___1
2 24 J A6 I20JI 12J
1-зГ-
2 24 J
1 ( - 2 \
1 7z z
2zl~120 480,
7 z
240 + 960
Здесь на третьем шаге преобразований использована биномиальная тео-
рема разложения
(а + 6)" = ап + пап~хЪ ап~гЬг + ~ ~ 2) + (5 44)
/ \-1 / \
I z ] [ z |
для замены при z, близких к нулю, сомножителя I 1-— I на I 1 + — I.
Таким образом, при практически нулевом z
2z[ 2C(z)
7
240’
Вычисление других членов F'(z) не представляет трудностей.
F(z) в уравнении (5.40) и F'(z) в уравнении (5.43) используются для про-
ведения вычислений по итерационной процедуре согласно формуле Ньютона
и уравнению (3.13):
zm = zi
F^)
F'W
(5-45)
Для выбора начального приближения z отметим, что z = (l/a)%2. При-
чем, согласно уравнению (3.54), г = Ег для эллипса и z = -F2 для гипербо-
лы. Поскольку тип орбиты может быть неизвестен, наиболее простым пред-
ставляется выбрать начальное приближение z0 = 0. В качестве альтернативы
205
Глава 5. Предварительное определение орбит
можно построить график зависимости F(z) или взять ряд ее значений и вы-
брать начальное приближение z рядом с местом смены знака F(z).
Подставляя выражения (5.37) и (5.39) в уравнения (5.31), получаем функ-
ции Лагранжа как функции только z:
(5.46)
3 ____
> [2Й)К(г) = л,Ж
/й Lc(2)J о
л/Й ly(z)
rftyCfz)
[z5(z)-l];
C(z) = l-^-
r2
Полученные выражения позволяют представить решение задачи Ламбер-
та с помощью универсальной аномалии.
Алгоритм 5.2. Решение задачи Ламберта
Требуется решить задачу Ламберта для двух заданных векторов положе-
ния Г], г2 небесного тела и времени его полета А? по траектории между точка-
ми, определяемыми этими векторами.
1. Вычислить гх и г2, используя уравнение (5.24).
2. Выбрать прямую или попятную траекторию и вычислить ДО, исполь-
зуя уравнение (5.26).
3. Вычислить А по уравнению (5.35).
4. Используя итерационную процедуру, с помощью уравнений (5.40),
(5.43) и (5.45) решить уравнение (5.39) относительно z. Знак при z определяет
тип орбиты: при z < 0 — гипербола, z = 0 — парабола, z > 0 — эллипс.
5. Вычислить Xz) с помощью уравнения (5.38).
6. Вычислить функции Лагранжа f,g,f ng с помощью уравнений
(5.46).
7. Вычислить V] и v2 из уравнений (5.28) и (5.29).
8. По векторам и v, (или г2 и v2), используя алгоритм 4.1, определить
элементы орбиты.
Пример 5.2
Проводились измерения положения искусственного спутника Земли. При
первом измерении Г] = 50001 + 10 000J + 2100 К (км), через 1 ч полета г2 =
= -14 6001 + 2500J + 7000К (км).
206
5.2. Задача Ламберта
Определите орбитальные элементы и найдите высоту перигея, а также
время после прохождения спутником перигея для первого измерения.
Решение
Сначала следует выполнить шаги алгоритма 5.2, чтобы найти Vj и v2.
Шаг 1
^ = 75ОО°2+ 100002 + 21002 = 11375 (км);
r2 = 7(-14 600)2 + 25002 + 70002 = 16 383 (км).
Шаг 2
Предположим, что движение по орбите прямое, т. е.
Г] X г2 = (64,751 - 65,66J +15 8,5К) • 106;
arccos Г-Г- = 100,29°.
Г/2
Поскольку орбита прямая и z-компонента (i) xr2)z =158,5 106К являет-
ся положительной, то из уравнения (5.26) следует, что
ДО = 100,29°.
Шаг 3
Определяем
А = sin ДО./—= Sin (ЮО,29°) J 1137546383 = 12 372 (км).
Vl-cosAS 'V1-COS(100’290)
Шаг 4
Используя значение А и Д/ = 3600 с, можно вычислить функции F(z)
и F'(z), определяемые уравнениями (5.40) и (5.43) соответственно. Посколь-
ку требуется использовать итерационную процедуру, следует найти хорошее
первое приближение z. Построим зависимость F(z), чтобы определить точку
пересечения этой функцией оси абсцисс z. Как видно из рис. 5.4, F(z) = 0
вблизи z = 1,5. Поэтому за нулевое прибли-
жение z0 принимаем это значение, далее
следует итерационная процедура Ньютона
решения уравнения 5.45:
ZM = zi
F(zi).
-14 476,4
362 642
= 1,53991;
z2 = 1,53991-23,6274 =1,53985;
2 363 828
Рис. 5.4. График функции F(z)
207
Глава 5. Предварительное определение орбит
z3 = 1,53985-6,29457 10 = 1,53985.
3 363 826
Таким образом, с точностью до пяти значащих цифр z = 1,5398. Посколь-
ку z положительна, то орбита является эллипсом.
Шаг 5
, . ,zS(z)-l ,,«о« 1,5398-5(1,5398)
y(z) = r, +r, + A i =11375 + 16383 + 12372-—> v’ 7 =13 523
ТОД VC(1,5398)
(км).
Шаг б
По уравнениям (5.46) вычисляем функции Лагранжа:
/ = 1-2L = 1-12^3 =-о 18877;
Г] 11375
g = A = 12 372 / 13523 = 2278,9 (c);
V p у 398 600
g = i _ = i _ 12222 = o, 17457.
r2 16383
Коэффициент f в расчетах не используется.
Шаг 7
Определяем скорости:
V1 =-(Г2-Л|) =
g
= —-— [(-14 6001 + 2500J + 7000К) - (-0,18877)(5000I +10 000J + 2100К)];
2278,9
V] = -5,99251 +1,9254J + 3,2456К (км/с);
v2=-(^2-ri) =
g
= —-—[0,17457(-14 6001 + 2500J + 7000К) - (50001 + 10 000J + 2100К)];
2278,9
v2 = -3,3125I-4,1966J-0,38529K (км/с).
Шаг 8
По значениям ij и vb используя алгоритм 4.1, получаем элементы орбиты:
h = 80 470 км2/с;
а = 20 000 км;
208
5.2. Задача Ламберта
е = 0,4335;
Q = 44,60°;
/ = 30,19°;
со = 30,71°;
= 350,8.
Эта эллиптическая орбита приведена на рис. 5.5. Перигей орбиты
Л2 1 80 4702 1
гр = —т-------— = =11330
(км),
ц l + ecos(0) 3986001 + 0,4335
откуда высота перигея 11 330 - 6378 = 4952 (км).
Для того чтобы найти время после прохождения спутником перигея для
первого измерения, вычислим сначала эксцентрическую аномалию этой точ-
ки по формуле (3.10):
/1-е д]
E1=2arctg J----tg— = 2arctg
V1 + с 2 1
1-0,4335 350,8°
tg =
1 + 0,4335----2 J
= 2arctg (-0,05041) = -0,1007 (рад).
Затем, используя уравнение Кеплера для эллипса (3.11), получаем сред-
нюю аномалию этой точки:
= Е]-esin£] =-0,1007-0,4335sin(-0,1007) = -0,05715 (рад).
209
Глава 5. Предварительное определение орбит
Поэтому из уравнения (3.4) время прохождения перигея
h3 1 804703 1
tl=—2------7-^77 Л/ =-------у----------у-ттуС-0,05715) = -256,1 (с).
ц2 (1-е2)3/2 1 3986002 (1-0,43352)3/2
Знак «минус» означает, что первое измерение проводилось за 256,1 с до
прохождения спутником перицентра.
Пример 5.3
Метеороид обнаружен на высоте 267 000 км. Через 13,5 ч после из-
менения его истинной аномалии на 5° новая измеренная высота составила
140 000 км. Вычислите высоту перигея и время полета метеороида до перигея
после второго измерения.
Решение
Имеем следующие данные:
Pj: гх = 6378 + 267 000 = 273 378 (км);
Р2: г2 = 6378 + 140 000 = 146 378 (км);
Д/= 13,5-3600 = 48 600(c);
ДО = 5°.
Поскольку г15 г2 и ДО уже заданы, можно перейти к шагу 3 алгоритма 5.2
и вычислить
А = 2,8263 • 105 (км).
Далее, используя итерационную процедуру нахождения z, как и в преды-
дущем примере, получаем
z = -0,17344.
Знак «минус» при z является отрицательным, следовательно, траектория
движения метеороида гиперболическая. Зная z, вычисляем функции Лагранжа:
/= 0,95846;
g = 47 708 (с); (а)
g =0,92241.
Для проведения расчета по шагу 7 требуется знание начального и конеч-
ного векторов положения. В то же время, по условиям задачи, определены
только их величины. Поэтому, так как используемый алгоритм не привязан
к конкретной системе координат, введем собственную геоцентрическую си-
стему координат с осью х, коллинеарной гь и осью у, ортогональной ей и
направленной по движению метеороида (рис. 5.6). Следовательно, ось z на-
правлена по нормали к плоскости орбиты, тогда
ij = zji = 273 378i (км);
(б)
r2 = r2 cos ДШ + r2sinA3j = 145 820i + 12 758j (км).
210
5.2. Задача Ламберта
По уравнениям (а) и (б) можно рассчитать скорость метеороида в точ-
ке Рр
Vl=-(r2-Al) =
s
= [(145 8201 + 12 758j) - 0,95846 • (273 3781)] =
= -2,4356i-0,26741j (км/с).
Используем г, и Vj и алгоритм 4.1, чтобы получить некоторые кеплеровы
элементы орбиты:
Л = 73 105 км2/с;
е = 1,0506;
0] = 205,16°.
Теперь форма орбиты определена полностью, но не определена ее ориен-
тация в пространстве, так как исходных данных для этого нет. В плоскости
орбиты траектория показана на рис. 5.6.
Радиус перигея
Л2 1 гг„о „
гп =-------------= 6538,2 км,
р ц 1 + ecos(0)
т. е. высота перигея опасно мала для большого метеороида, так как
zp = 6538,2 - 6378 = 160,2 (км).
Для того чтобы найти время полета от точки Р2 до перигея, отметим, что
истинная аномалия в точке Р2
O2 = di + 5° = 210,16°.
211
Глава 5. Предварительное определение орбит
Гиперболическую эксцентрическую аномалию F2 находим из уравне-
ния (3.42):
F2 - 2arcth
( I-Г а >
е-1. 32
J---tg—
IVe+l 6 2 )
= -1,3347 (рад).
По уравнению Кеплера (3.37) определим среднюю аномалию:
= esh(F2)- F2 =—0,52265 (рад).
Наконец, по уравнению (3.31) определим время полета до перигея:
'г = ЛТ^ = “38396 (с)-
ц (е -1)
Знак «минус» означает, что до момента прохождения метеороидом пери-
гея остается 38 396 с (примерно 10,6 ч).
5.3. Время и его измерение
5.3.1. Основные определения
В некоторых случаях время рассматривают как четвертое измерение в допол-
нение к заданному положению некоторого объекта в трехмерном простран-
стве. Однако достаточно сложно задать точку начала отсчета для этого из-
мерения, поэтому под измерением времени понимают измерение промежутка
между некоторыми событиями, выраженное в продолжительности некоторо-
го известного процесса. Для измерения времени пользуются естественными
или искусственно создаваемыми периодическими процессами с достаточно
постоянным периодом повторения. Вращение небесного свода и периоди-
ческое движение по нему Солнца, являющиеся отражением вращения Зем-
ли вокруг своей оси и обращения ее вокруг Солнца, позволяют установить
соответственно две основные единицы измерения времени: сутки и год. Ис-
кусственно создаваемыми для измерения времени процессами могут быть:
колебания маятника (механические часы); резонансные колебания кварцевой
пластинки (кварцевые часы); колебательные процессы в атомах и молекулах
(атомные часы, молекулярные часы с использованием молекулярных генера-
торов колебаний)и др.
Схема расположения основных точек, которые могут быть использованы
для построения различных СК, а также связанных с ними линий на небесной
сфере, представлена на рис. 5.7.
Сутками называют промежуток времени между двумя последователь-
ными одноименными (верхними или нижними) кульминациями на данном
меридиане некоторой точки небесной сферы. В соответствии с этим систе-
мы измерения времени имеют двоякое название: по тому меридиану, на ко-
тором измеряется время, и по той точке небесной сферы, которую исполь-
зуют для измерения. В качестве такой точки небесной сферы берут точку
212
5.3. Время и его измерение
"N'
Рис. 5.7. Линии и точки на небесной сфере:
Пс — северный полюс мира; Пю — южный полюс мира; ПСПЮ — ось
мира; Z — зенит; N' — надир; N — точка Севера; W — точка Запада;
S — точка Юга; Е — точка Востока; NWSEN— линия горизонта; NS —
полуденная линия; NHCZS — меридиан; RWQER — небесный экватор;
М — светило; L'DKMCL' — суточная параллель светила; D — точка
восхода светила; К — точка его верхней кульминации; С — точка за-
хода светила; L' — точка нижней кульминации; ZMF — круг высоты
светила (вертикаль светила); ZM — зенитное расстояние светила Z;
FM— высота светила Л; SF — азимут светила Л; ПСЛ4Н — круг скло-
нения светила; НМ — склонение 8; ПСМ — полярное расстояние Р;
QH — часовой угол светила /; Y — точка весеннего равноденствия;
°рН— прямое восхождение a; YC — величина звездного времени S;
nc7V = ф (высота полюса равна широте места ф)
весеннего равноденствия центр истинного Солнца или так называемое
среднее Солнце.
Напомним, что точка весеннего равноденствия — это точка, в которой
центр Солнца пересекает небесный экватор, переходя из южного полушария
небесной сферы в северное.
Звездные (сидерические) сутки — промежуток времени между двумя
последовательными одноименными кульминациями точки весеннего равно-
денствия на одном и том же меридиане. Звездные сутки начинаются в момент
верхней кульминации точки весеннего равноденствия.
213
Глава 5. Предварительное определение орбит
Звездное время — время, отсчитываемое от момента верхней кульмина-
ции точки весеннего равноденствия до любого другого ее положения, выра-
женное в долях звездных суток.
Звездное время на данном меридиане в любой момент численно равно
часовому углу точки весеннего равноденствия fy, выраженному в часовой
мере, т. е. 0 = fy. Звездное время равно сумме часового угла t любого светила
и прямого восхождения а этого же светила, т. е. 0 = t + а.
В момент верхней кульминации светила его часовой угол составляет 0°
(360°); в момент нижней кульминации — 180°, т. е. для верхней кульминации
звездное время численно равно прямому восхождению светила, а для нижней
кульминации 0=180° + асветила.
Истинные (синодические) солнечные сутки — промежуток времени
между двумя последовательными одноименными кульминациями центра ви-
димого диска Солнца (так называемого истинного Солнца) на одном и том же
меридиане. За начало истинных солнечных суток принимается момент верх-
ней кульминации центра видимого Солнца, называемый истинным полуднем.
Истинные солнечные сутки в среднем (длительность их непостоянна) на
4 мин длиннее звездных, они короче летом и длиннее зимой, причем расхож-
дение доходит до 51 св сутки.
Истинное солнечное время — время, отсчитываемое от момента ниж-
ней кульминации истинного Солнца до любого другого его положения, вы-
раженное в долях истинных солнечных суток. Истинное солнечное время
на данном меридиане в любой момент численно равно часовому углу ис-
тинного Солнца, выраженному в часовой мере, плюс 12А, т. е.
»»© = /*© + 12л.
Среднее экваториальное Солнце — воображаемая точка небесной сфе-
ры, движущаяся равномерно по небесному экватору так, что в каждый мо-
мент Т ее прямое восхождение а равно средней долготе L истинного Солнца.
Средняя долгота истинного Солнца для любого момента Т
L = а = Lo + п(Т - То),
где Lo — средняя долгота для момента Т(); п — среднее увеличение долготы
Солнца.
Средние солнечные сутки — промежуток времени между двумя по-
следовательными одноименными кульминациями среднего экваториального
Солнца на одном и том же меридиане.
Среднее солнечное время — время, протекшее от момента нижней куль-
минации среднего экваториального Солнца до любого другого его положе-
ния, выраженное в долях средних солнечных суток.
Среднее солнечное время т на данном меридиане в любой момент чис-
ленно равно часовому углу /ср среднего экваториального Солнца, выраженно-
му в часовой мере, плюс 12Л, т. е.:
214
5.3. Время и его измерение
m = t*+Y2.h.
up
Местное звездное время, местное истинное и местное среднее сол-
нечное время меридиана — это соответственно звездное время 0, истинное
солнечное и среднее т солнечное время этого меридиана. Точки, лежа-
щие на одном географическом меридиане, в один и тот же момент имеют
одинаковое местное время.
Мировое, или всемирное время UT — местное среднее солнечное время
гринвичского меридиана.
Местное среднее солнечное время какого-либо пункта на Земле опреде-
ляют по формуле
m = UT+Ah,
где ЛА — географическая долгота пункта, выраженная в часовой мере и при-
нимаемая положительной к востоку от Гринвича.
Поясное время — местное среднее солнечное время основного географи-
ческого меридиана того часового пояса, в котором расположен данный пункт.
Часовые пояса — 24 участка вдоль меридианов, ширина которых при-
мерно равна 15°, и на которые условно разделена вся поверхность Земли. Ос-
новные меридианы часовых поясов — географические меридианы, проходя-
щие приблизительно посередине часовых поясов и отстоящие точно на 15° по
долготе один от другого.
Также существуют и другие варианты определения времени. Как пра-
вило, они связаны с особенностями законодательства государств, в которых
применяются. Чаще всего это приводит к несоответствию поясного времени
реальному положению некоторого пункта на поверхности Земли.
5.3.2. Юлианские даты
Для того чтобы узнать местоположение какого-либо пункта на поверхности
Земли в любой данный момент времени по отношению к геоцентрической
экваториальной системе координат, необходимо знать его местное звезд-
ное время. Местное звездное время пункта определяется как звездное время
Гринвича 0G, к которому добавляется восточная долгота (или вычитается за-
падная долгота) этого пункта.
Алгоритмы определения звездного времени опираются на понятие «юли-
анские даты» (JD). Юлианская дата — число дней, прошедших до данного
числа с полудня UT 1 января 4713 до н. э. Число юлианских дней изменяется
непрерывно и не учитывает такие моменты, как високосные годы или разное
число дней в месяцах. Число дней между двумя событиями определяется пу-
тем простого вычитания одной юлианской даты из другой.
Юлианский день начинается в полдень, поэтому при ночных наблюдени-
ях дата не изменяется.
Система юлианских дат отличается от юлианского календаря, введенного
римским императором Гаем Юлием Цезарем в 46 году до н. э. Григориан-
ский календарь, введенный в 1583 году, в значительной степени вытеснил
215
Глава 5. Предварительное определение орбит
юлианский календарь и в общей гражданской практике используется в боль-
шинстве стран мира.
Jo — обозначение номера юлианского дня при 0 ч UT (что составляет его
половину). Для любого другого UT юлианский день определяется как
UT
JD = J0+——.
° 24
(5-47)
Для вычисления юлианской даты Jo существует несколько алгоритмов,
приводимых в разных источниках, например,
7 у + trunc
Jo = 361 у- trunc
/я + 9
12
4
+ truncpY^j + J +1721013,5, (5.48)
где у, т, d — целые числа, являющиеся соответственно годами, месяцами
и днями, и изменяются в диапазонах
1901 <у<2099,
trunc(x) означает взятие целой части х без округления, т. е. простое отбрасы-
вание дробной части числа.
Пример 5.4
Определите номер юлианского дня на 12 мая 2004 года в 14:45:30 UT.
Решение
Для данной даты у = 2004, т = 5 и d - 12. Таким образом, уравнение
(5.48) дает следующий номер юлианского дня при 0 ч UT:
Jo = 367 • 2004 - trunc
Г iz5 + 9Y1
7 2004 +trunc
s n
+12 + 1721013,5 = 735 468-trunc
(275-5
+ trunc ----
9
+ 152 + 12 + 1721013,5 =
4
7(2004 + 1)
4
= 735 468-3508 + 152 + 12 + 1721013,5 = 2 453137,5.
Универсальное время
UT = 14 + - + -^- = 14,758 (ч).
60 3600 v ’
Таким образом, из уравнения (5.47) получаем номер юлианского дня для
желаемого всемирного времени UT:
JD = 2 453137,5 + ^^ = 2 453138,115 (дней).
216
5.3. Время и его измерение
Пример 5.5
Найдите время, прошедшее между 4 октября 1957 года UT 19:26:24 и да-
той из предыдущего примера.
Решение
Действуя, как в примере 5.4, находим, что юлианский день даты запуска
первого искусственного спутника Земли
,/£>1 = 2 436 116,3100 дней.
Юлианский день из предыдущего примера
JO2 = 2 453 138,1149 дней.
Следовательно, прошедшее время
JD = 2 453 138,1149 - 2 436 116,3100 = 17 021,805 дней (46 лег и 220 дней).
В настоящее время начало юлианской эпохи отсчитывается с полудня
1 января 2000 г. Эта эпоха обозначается J2000, номер юлианского дня ее на-
чала 2451545.0. Поскольку в юлианском году 365,25 дней, то юлианский век
насчитывает 36 525 дней. Отсюда следует, что время То в юлианских веках
между юлианским днем Jo и J2000 рассчитывается по формуле
т _ 4-2 451545
1(\ —----------
0 36525
(5-49)
Формула (5.49) фактически определяет звездное время гринвичского
меридиана при 0 ч UT в безразмерном времени. Звездное время гринвичско-
го меридиана 0Go для 0 ч UT в градусах можно рассчитать по следующей
формуле:
0G = 100,4606184 + 36 000,77004 То + 0,0003 87933£02 -
° 8 з (5-50)
-2,583 10 sTq (угл. град).
Последняя формула может дать значение вне диапазона 0 < 0Go < 360°,
тогда необходимо добавить или вычесть соответствующее целое число, крат-
ное 360°, чтобы привести 0Go в этот диапазон.
После того как 0G определено, гринвичское звездное время 0G для лю-
бого другого универсального времени может быть найдено с помощью соот-
ношения
0G =0Go +360,98564724^, (5.51)
где UT исчисляется в часах. Коэффициент второго слагаемого в правой части
соотношения — число угловых градусов, на которое Земля поворачивается
вокруг своей оси за 24 ч, т. е. за одни солнечные сутки.
217
Глава 5. Предварительное определение орбит
Рис. 5.8. Соотношения между пара-
метрами 0Gq, 0G, Л и 0
Местное звездное время 0 пункта
получают путем добавления его восточ-
ной долготы к гринвичскому звездному
времени:
0 = 0G + Л. (5.52)
Здесь снова вычисленное значение 6
может превысить 360°. В этом случае
оно должно быть приведено к требуемо-
му диапазону значений путем вычитания
соответствующего целого числа, кратно-
го 360°. Рис. 5.8 иллюстрирует взаимо-
связь между описанными параметрами
0GO’ 0С>Ли0-
Алгоритм 5.3. Определение местного звездного времени
Требуется вычислить местное звездное время, учитывая дату, местное
время и значение восточной долготы пункта.
1. Используя год, месяц и день, вычислить Jo с помощью уравнения (5.48).
2. Вычислить То по уравнению (5.49).
3. Вычислить 0G() из уравнения (5.50). Если значения 0Go лежит вне диа-
пазона 0 < 0Go < 360°, вычесть число, кратное 360°, чтобы значение 0G на-
ходилось в этом диапазоне.
4. Рассчитать 0G с помощью уравнения (5.51).
5. Вычислить местное звездное время 0 с помощью уравнения (5.52)
и скорректировать окончательное значение так, чтобы оно находилось между
0 и 360°.
Пример 5.6
Используя алгоритм 5.3, найти местное звездное время (в градусах) для
Токио (Япония) на 3 марта 2004 года, 4:30:00 UT. Восточная долгота Токио
139,80°.
Решение
Токио находится на девять часовых поясов впереди Гринвича, поэтому
местное время равно 13:30.
Шаг 1
Jo - 367 • 2004 - trunc
2004+tnmc
(275-ЗА
+ tnmcl +3 + 1721013,5 = 2453 067,5.
I 9 J
(Середина юлианской даты приходится на полночь UT.)
218
5.4. Топоцентрическиая система координат
Шаг 2
2 453 067,5-2 451545
36 525
= 0,041683778.
Шаг 3
0G = 100,4606184 + 36 000, 77004 • 0,041683778 +
и0
+ 0,000387933 0,0416837782 - 2,583 • 10"8 0,0416837783 =
= 1601,1087°.
Полученное значение слишком велико. Необходимо сократить его до до-
пустимых пределов изменения. Возьмем целую часть от деления полученного
числа на 360°:
trunc(1601,1087/360) = 4,
следовательно,
0Gq =1601,1087°-4-360° = 161,10873°. (а)
Шаг 4
Пересчитаем указанное в условиях задачи универсальное время в часы:
UT= 4 + 30/60 + 0/3600 = 4,5 (ч).
Подставим значения полученного UT и (а) в уравнение (5.51), чтобы по-
лучить гринвичское звездное время:
4 5
eG = 161,10873 + 360,98564724— = 228,79354°.
G 24
Шаг 5
Добавив восточную долготу Токио к этому значению, получим местное
звездное время: 0 = 228,79354° + 139,80° = 368,59°.
Для того чтобы привести этот результат в диапазон 0 < 0 < 360°, необхо-
димо вычесть 360°, тогда 0 = 368,59° - 360° = 8,59° (0,573 ч).
Это означает, что угол прямого восхождения любого небесного тела, ле-
жащего на меридиане Токио, равен 8,59°.
5.4. Топоцентрическая система координат
Топоцентрическая система координат имеет начало в точке расположения
наблюдателя на поверхности Земли. Пусть некоторый объект В — спутник или
небесное тело, а наблюдатель (О) находится на земной поверхности (рис. 5.9).
Вектор г задает положение тела В относительно центра притяжения С;
R представляет собой вектор положения наблюдателя по отношению к цен-
тру С; вектор р определяет положение тела В по отношению к наблюдателю;
219
Глава 5. Предварительное определение орбит
г, R и р образуют векторный треугольник. Соотношение между этими тремя
векторами имеют вид
г = R + р.
(5.53)
Как известно, форма Земли не является сферой, но может быть аппрок-
симирована слегка сплюснутым сфероидом (рис. 5.9). Расположение точки О
определяется его восточной долготой Л и широтой ф. Восточная долгота Л
считается положительной на восток от Гринвичского меридиана и до мери-
диана точки О. Угол между направлением на точку весеннего равноденствия
Рис. 5.9. Сжатая Земля
(плоскость XZ) и меридианом точки О задает местное звездное (сидериче-
ское) время 0 точно так же, как и звездное время 0G Гринвича. По известному
значению 0G местное звездное время определяют по формуле (5.52).
Широта ф представляет собой угол между экватором и ортогональным
к поверхности Земли в точке О вектором п. Поскольку Земля не является
идеальной сферой, радиус-вектор R, направленный от центра С Земли в точ-
ку О, не является коллинеарным нормали п, за исключением точек экватора
и полюсов.
Коэффициент сжатия f ранее был определен в виде
Re ’
где Re, Rp — экваториальный и полярный радиусы. Для Земли /= 0,00335.
На рис. 5.10 представлен эллипс, проведенный через меридиан точки О.
220
5.4. Топоцентрическиая система координат
Очевидно, что Re и Rp являются соответственно большой и малой полуосями
этого эллипса. В соответствии с уравнением (2.66)
Rp-Ra(l-e2).
Из двух приведенных соотношений следует, что сжатие и эксцентриситет
связаны следующим образом:
e = yl2f-f2-, f^l-JTe2.
Как показано на рис. 5.9 и 5.10, нормаль к поверхности Земли в точке О
пересекает полярную ось в точке С', лежащей ниже центра Земли С, если
точка О находится в северном полушарии. Угол ф между нормалью и плоско-
стью экватора называется геодезической широтой, в отличие от геоцентри-
ческой широты ф', которая определяется углом между плоскостью экватора
и линией, соединяющей точку О и центр Земли С. Расстояние от точки С до
точки С равно R^e2 sin2 ф, где Лф — расстояние от точки С до точки О, кото-
рое является функцией широты:
р^_ _ Re
\jl-e2 вш2ф - (2/ - /2)sin2 ф
(5.54)
221
Глава 5. Предварительное определение орбит
Таким образом, координаты наблюдателя в точке О относительно точ-
ки С' имеют вид
Хо=Яфс°8ф;
z'o = (1 - е2 )Яф sin ф = (1 - /)2 sin ф.
Если точка наблюдателя О находится на высоте Н над поверхностью эл-
липсоида, то к координатам необходимо добавить соответствующие поправки:
х'о = *с cos Ф» z'o=^s s*n Ф»
где
Лс = Лф + Я; Rs = (I-f)2R^ +Н. (5.55)
Отметим, что в то время как Rc представляет собой расстояние от точ-
ки О до точки С на земной оси, Rs является расстоянием от точки О до пере-
сечения прямой ОС с экваториальной плоскостью.
Геоцентрические экваториальные координаты точки О
X-x'qCOsG; r = x^sinO; Z-z'o,
где 0 — местное звездное время, определяемое по формуле (5.52). Следова-
тельно, вектор положения R на рис. 5.9 можно записать в виде
R = Rc соэфсозО • I + Rc созфэт 0 • J + Rs sin ф- К.
Подставляя в это выражение соотношения (5.54) и (5.55), получаем
созф(со801 + 8т0-j) +
8тф-К.
(5.56)
При использовании геоцентрической широты ф'
R = Rc cos ф' cos 0 • I + Rc cos ф' sin 0 • J + Re sin ф' • K.
Приравнивая эти два выражения для R и принимая Н = 0, получаем, что
на уровне моря геодезическая широта связана с геоцентрической широтой ф'
следующим образом:
tgф' = (l-/)2tgф.
222
5.5. Топоцентрическая экваториальная система координат
5.5. Топоцентрическая экваториальная система координат
Топоцентрическая экваториальная система координат имеет начало коорди-
нат в точке О на поверхности Земли, из которой выходят невращающиеся
оси xyz, направление которых совпадает с осями XYZ ГЭСК, как показано на
рис. 5.11.
Рис. 5.11. Топоцентрическая экваториальная система координат
На рис. 5.11 видно, что вектор относительного положения р можно
определить через топоцентрические координаты, — прямое восхождение а
и склонение 8:
р = pcos8cosa-I + pcos8sina-J + psin6-K,
так как для любого времени орты систем координат совпадают, i = I, j = J,
k = К. Введя единичный вектор направления р, можно записать р в виде про-
изведения, т. е. р = р • р,
р = cos6cosa-I + cos5sina-J + sin8-K,
(5-57)
где р — наклонная дальность. Поскольку начала геоцентрической и топо-
центрической систем координат не совпадают, направляющие косинусы
векторов положения г и р будут в общем случае различаться. В частности,
топоцентрическое прямое восхождение и склонение для тела В на околозем-
ной орбите не будут такими же, как геоцентрические прямое восхожде-
ния и склонение. Это явление называется параллаксом. Но если Ikll»llRlI, то
223
Глава 5. Предварительное определение орбит
различие между геоцентрическим и топоцентрическим векторами, а следова-
тельно, прямым восхождением и склонением, является незначительным. Это
верно для далеких планет и звезд.
Пример 5.7
Звездное время Гринвича 0G = 126,7°. Геоцентрический экваториальный
вектор положения Международной космической станции (МКС) г = -53681 -
- 1784J + 3691К (км).
Найти топоцентрическое прямое восхождение и склонение на уровне
моря (Н = 0) для точки со следующими географическими координатами: ши-
рота ф = 20°, восточная долгота Л = 60°.
Решение
В соответствии с формулой (5.52) местное звездное время для заданной
точки
0 = 0G + Л = 126,7° + 60° = 186,7°.
Подставляя Re = 6378 км, f = 0,003353, 0 = 186,7° и ф = 20° в уравнение
(5.56), получаем геоцентрический вектор положения точки:
R = -59551 - 699,5J + 2168К (км).
По найденному вектору R определим из соотношения (5.53) вектор по-
ложения МКС относительно заданной точки:
р = г - R = (-53681 - 1784J + 3691К) - (-59551 - 699,5J + 2168К) =
= 586,81 - 1084J + 1523К (км).
Длина этого вектора р = 1960 км, тогда
р=- = 0,29941 - 0,5533J + 0,7773К.
Р
Сравнивая полученное выражение с уравнением (5.57), отметим, что
cos 8 cos а = 0,2994; cos 8 sin а = -0,5533; sin8 = 0,7773.
По этим данным определим топоцентрическое склонение
8 = arcsin 0,7773 = 51,01°. (а)
Для прямого восхождения справедливы соотношения
0,2994 .
cos а =-------= 0,4759.
cos 8
224
5.6. Топоцентрическая пунктовая система координат
Таким образом, а = arccos 0,4759 = 61,58° (первый квадрант) или 298,4°
(четвертый квадрант). Но так как sin а отрицателен, то а должен находиться
в четвертом квадранте, поэтому прямое восхождение
а = 298,4°.
(б)
Для сравнения в примере 4.2 были вычислены геоцентрические прямое
восхождение Oq и склонение 50:
«о = 198,4°;
80 = 33,12°,
т. е. явление параллакса проявляется в значительной степени.
5.6. Топоцентрическая пунктовая система координат
Топоцентрическая пунктовая система координат (рис. 5.12) введена
в п. 1.6. Она имеет начало координат в точке размещения наблюдателя О,
вектор положения которой в геоцентрической экваториальной системе коор-
динат равен R.
Рис. 5.12. Топоцентрическая пунктовая (xyz) система координат на по-
верхности сжатой Земли
Основная плоскость этой системы координат ху — плоскость местного
горизонта, являющейся касательной к эллипсоиду в точке О. Ось г направле-
на вверх к зениту по нормали к этой плоскости, ось х направлена на восток,
225
Глава 5. Предварительное определение орбит
ось у — на север. Поскольку ось х направлена на восток, данная система ко-
ординат может обозначаться как ENZ (восток — север — зенит) СК. В топо-
центрической системе координат SEZ (юг — восток — зенит) ось х направле-
на на юг, ось у — на восток. Система координат SEZ может быть получена из
ENZ поворотом на 90° по часовой стрелке вокруг оси, направленной в зенит.
Таким образом, матрица преобразования из ENZ в SEZ задается как R3 (-90°),
где R3 (<р) можно найти по формуле (4.33).
Вектор положения р тела В относительно топоцентрической пунктовой
системы (рис. 5.12)
р =pcosasin24i + pcosacos?l- j + psina-k,
где р — дальность; А — азимут, измеряется по часовой стрелке от положи-
тельного направления на север (0 < А < 360°); а — угол места, измеряется от
горизонта до линии визирования тела В (-90°< а < 90°).
Единичный вектор р направления линии визирования
р =cosasin24i + cosacos?l-j + sinak. (5.58)
Переход от геоцентрической экваториальной системы координат к то-
поцентрической пунктовой системе координат задается путем определения
в первую очередь проекции топоцентрических орт i, j и к на орты геоцен-
трической экваториальной системы координат. Из построений на рис. 5.12
следует, что
к = созфГ + 8тфК;
i' = cos0I + sin0-J,
где i' лежит в плоскости местного горизонта и ортогонален оси z. Следова-
тельно
к = созфсоз© • I ч-созфзш 0 • Л + зтфК. (5.59)
Единичный вектор i, направленный на восток, можно найти, взяв век-
торное произведение единичных векторов К, определяемое осью вращения
Земли и местной вертикалью к:
. Кхк -cos<|)sinO I + cos(|)cos0-J . _ _
i = ;---Y Y = - Sin 0 • I + COS 0 • J. (5.60)
||K x к || ^cos2 ф(зш2 0 + cos2 0)
Векторное произведение к и i в свою очередь дает j:
j=kxi=
i j
cos ф cos 0 cos ф sin 0
-sin0 cos©
к
8шф = -8ШфсО80-1-8тф8т0-J + созфК.
о
(5.61)
226
5.6. Топоцентрическая пунктовая система координат
Обозначим матрицу перехода от геоцентрической экваториальной систе-
ме к топоцентрической пунктовой системе координат Q^. Из п. 4.5 известно,
что строки этой матрицы содержат направляющие косинусы i, j и к. Как сле-
дует из уравнений (5.59-5.61),
-sin©
-втфсозО
cos ф cos 0
Qxr -
cos0 О
- sin ф sin 0 созф
cos ф sin 0 втф
(5.62)
Обратное преобразование из топоцентрической пунктовой системы ко-
ординат к геоцентрической экваториальной системе координат проводится
с применением транспонированной матрицы:
Qxr =
-sin0 -втфсовО созфсовО
cos0 -вшфзтО совфвтО
О соэф зтф
Отметим, что эти матрицы также представляют собой преобразование
между топоцентрической пунктовой и топоцентрической экваториальной си-
стемами координат, так как орты последней совпадают с ортами геоцентри-
ческой экваториальной системы координат.
Пример 5.8
Наблюдатель находится в точке недалеко от Сан-Франциско с коорди-
натами восточной долготы Л = 238° и северной широты ф = 38°. Местное
звездное время 0 = 215,1° (12 ч 42 мин). В это время наблюдение Юпите-
ра с помощью телескопа показывает, что планета имеет азимут А = 214,3°
и угол места а = 43°. Определите прямое восхождение и склонение Юпитера
в топоцентрической экваториальной системе координат.
Решение
Приведенная информация позволяет сформировать матрицу преобразова-
ния из топоцентрической пунктовой системы координат в топоцентрическую
экваториальную с помощью уравнения (5.62):
Qxx =
-sin215,l°
cos215,l°
О
-sin38°cos215,l° cos38°cos215,l°
-sin38°sin215,l° cos38°sin 215,1°
cos 38° sin 38°
0,575 0,5037 -0,6447
-0,8182 0,3540 -0,4531
0 0,7880 0,6157
227
Глава 5. Предварительное определение орбит
Из уравнения (5.58) получим
р =со8азтЛ-i + cosacos^-j + sinak =
= cos 43 ° sin 214,3 ° • i + cos 43° cos 214,3 ° • j + sin 43 ° • к =
= -0,412 И -0,6042j + 0,6820k.
Таким образом, единичный вектор, задающий направление линии визи-
рования Юпитера в топоцентрической пунктовой системе координат, можно
записать в виде
-0,4121
-0,6042
0,6820
Можно вычислить координаты этого вектора в топоцентрической эква-
ториальной системе координат с помощью полученной выше матрицы пре-
образования:
Г 0,575
Рл - Qx\Px ~ -0,8182
0,5037
0,3540
0,7880
-0,6447
-0,4531
0,6157
-0,4121
-0,6042
0,6820
-0,9810
-0,1857
-0,05621
0
откуда
р= -0,98101 - 0,1857J - 0.0521К.
Уравнение (5.57) связывает полученный вектор с углами, задающими
положение точки наблюдателя в топоцентрической экваториальной системе
координат:
р =cos5cosal + cos8sina-J + sin8K.
Сравнивая компоненты Z этих двух выражений, можно найти
sin 5 = -0,05621,
откуда следует, что топоцентрическое экваториальное склонение
8 = arcsin (-0,05621) = -3,222°.
Угол прямого восхождения можно определить из соотношений для ком-
понент X и Y:
sina = 0,1857 =-0,1860;
cos 8
cos a = ~0,981° = -0,9825.
cos 8
Следовательно, a = arccos(-0,9825) = 169,3° (второй квадрант) или 190,7°
(четвертый квадрант).
228
5.6. Топоцентрическая пунктовая система координат
Поскольку sin а является отрицательным, то а находится в четвертом
квадранте, т. е. угол прямого восхождения в топоцентрической экваториаль-
ной системе координат
а = 190,7°.
Юпитер находится достаточно далеко от Земли, поэтому параллакс мож-
но не учитывать, и для заданной точности расчетов нет различия между топо-
центрической экваториальной и геоцентрической экваториальной системами
координат:
г = р.
Таким образом, топоцентрическое прямое восхождение и склонение, вы-
численные выше, подходят и для геоцентрической экваториальной системы
координат.
Пример 5.9
В некоторый момент времени геоцентрический экваториальный вектор
положения МКС
г = -2032,41 + 4591,2J - 4544,8К (км).
Определите азимут и угол места МКС для точки, расположенной на уров-
не моря (Н = 0), с географическими координатами в топоцентрической эква-
ториальной системы координат — широта ф = -40°, местная долгота 0 = 110°.
Решение
С помощью уравнения (5.56) найдем вектор положения наблюдателя
в геоцентрической экваториальной системе координат:
R = -16731 + 4598J - 4078К (км).
Вектор положения МКС относительно наблюдателя согласно уравнению
(5.53)
р = г - R = -2032,41 + 4591,2J - 4544,8 К - (-16731 + 4598J - 4078К ) =
= -359,41 - 6,8J - 466,8К (км)
или в матричной форме
Рх ~
-359,4
-6,8
-466,8
(км).
Для того чтобы перейти от геоцентрической экваториальной системы ко-
ординат к топоцентрической пунктовой, необходимо вычислить матрицу пре-
образования QZx, которая определяется уравнением (5.62):
229
Глава 5. Предварительное определение орбит
<ъх = -sinO -втфсовО cos ф cos 0 COS0 -sin ф sin 0 cos ф sin 0 0 совф втф = -0,939693 -0,34202 -0,219846 0,604023 -0,262003 0,719846 0 0,766044 -0,642788
тогда ’-0,939693 -0,34202 0 ’-359,4'
Рх = QxxPx = -0,219846 -0,262003 0,604023 0,766044 0,719846 -0,642788 -6,8 -466,8 (км)
или в векторной форме
р = 340,05li - 282,684j + 389,322k (км).
Значение этого вектора р = 589,166 км, следовательно, единичный вектор
в направлении р
р = -= 0,577И - 0,4798j + 0,66608k.
Р
Сравнивая полученный результат с уравнением (5.58), получаем, что
sin а = 0,6608, т. е. угол места МКС в заданной точке
а = arcsin 0,6608 = 41,36°.
Кроме того, для азимута МКС
sin Л -
0,5771
cos а
= 0,7690;
cos Л -
-0,4798
cos а
= -0,6397.
Отсюда с учетом, что этЛ > 0, следует, что угол Л должен находиться во
втором квадранте. Таким образом, азимут Л = 129,74°.
5.7. Определение орбит по измерению угла
и наклонной дальности
Известно, что орбита любого тела, движущегося вокруг Земли, определяется
вектором состояния (r,v) в инерциальной геоцентрической экваториальной
системе координат в каждый конкретный момент времени (эпоху). Наблюде-
ние за спутниками осуществляется с земной поверхности, а не из ее центра.
Рассмотрим способ определения вектора состояния на основании результатов
измерений наземной станции слежения.
Векторный треугольник образован вектором топоцентрического положе-
ния р спутника по отношению к станции слежения, вектором положения R
станции относительно центра притяжения С и вектором геоцентрического
230
5.7. Определение орбит по измерению угла и наклонной дальности
положения спутника г (рис. 5.13). Отношения между этими тремя векторами
определяются уравнением (5.53), которое можно записать в виде
r = R + p р. (5.63)
где р — расстояние от тела В станции
слежения; р — единичный вектор, задаю-
щий направление на отслеживаемое тело.
Дифференцируя уравнение (5.63) по вре-
мени, получаем скорость v и ускорение а
движущегося тела:
v = r = R + p р+р р; (5.64)
a = r = R + p- р+ 2р-р 4-р-р. (5.65)
Все векторы в этих уравнениях долж-
ны быть записаны в едином базисе (IJK)
инерциальной геоцентрической экватори-
альной системы координат.
Поскольку R представляет собой фик-
сированной вектор положения наземной
станции, можно считать, что угловая ско-
Рис. 5.13. Движущееся по некото-
рой орбите тело В, отслеживаемое
наблюдателем из точки О
рость этой точки постоянна и составляет
£2 = со£К. Тогда из уравнений (1.24) и (1.25) следует, что
R = £2 х R;
R = £2 х (£2 х R).
(5.66)
(5.67)
Если Lx, LyhLz — направляющие косинусы топоцентрической экватори-
альной системы координат, то вектор р можно представить в виде
P — LX1 + + ^ZK- Первая и вторая производные вектора р р = Lx\ + Ly3 + (5.68) (5-69)
р — Lx\ 4- By J 4” B^IC. (5.70)
Сравнивая уравнения (5.57) и (5.68), получаем, что направляющие коси-
нусы топоцентрической экваториальной системы координат зависят от топо-
центрического прямого восхождения а и склонения 5:
^х
Ly
Lz
cos а cos 8
sinacos8
sin 8
(5.71)
231
Глава 5. Предварительное определение орбит
Дифференцируя уравнение (5.71) дважды, получаем
Lx
by
Lz
- cos 3 sin а • a - cos a sin 3 - 8
cosacos3 d-sinasin8-8
cos8-8
(5-72)
а также
Lx
LY
Lz
sin 8((2 sin a) •aS - cos a • 8) - cos 8 (cos a (a2 + 82 ) + sin a • a)
cos8(cosa d-sina(a2 +82))-sin8(2cosa d8 + sina-8)
cos8-8-sin8-82
\ /
(5-73)
Зависимости направляющих косинусов от углов прямого восхождения
и склонения (5.71-5.73) и могут быть использованы для расчетов векторов
положений, скоростей и ускорений.
В топоцентрической пунктовой системе координат вектор относительно-
го положения
Р =У + ^ + /Л
(5-74)
где в соответствии с уравнением (5.58) направляющие косинусы 1Х, 1у и lz
определяются через углы азимута А и места а:
lx sin Л cos а
ly = cos Л cos а
/ sin а
. Z-I L
(5.75)
Зная 1Х, 1у и Zz, можно определить Lx, Lyh Lz с помощью преобразования
координат:
(5.76)
где задается уравнением (5.62), тогда
Lx -sin0 -sin<|)cos0 cos ф cos 0 sin A cos a
Ly = COS0 -sin ф sin 0 cos ф sin 0 cos A cos a (5-77)
Lz _ 0 созф втф sin a
Подставляя в уравнения (5.77) уравнения (5.71), получаем соотношения,
связывающие углы топоцентрического прямого восхождения и склонения
и углы азимута и места:
232
5.7. Определение орбит по измерению угла и наклонной дальности
cosacos 8
sin а cos б
sin 8
-sin 6
cos О
О
- sin ф cos 6
-sin ф sin 6
созф
cos ф cos G
cos фетв
зтф
sin Л cos а
cosЛcosа
sin а
После умножения и приведения подобных в правой части соотношений
решим относительно sin 8, sin а и cos а полученные уравнения, тогда
sin 8 = cos ф cos Л cos а + sin ф sin а;
(cos ф sin а - cos Л cos а sin ф) sin G + cos G sin A cos a
sin а = ; (5.78)
cos 8
(cos ф sin a - cos A cos a sin ф) cos G - sin G sin A cos a
cos а - ---------------------------------------------.
cos 8
Уравнения (5.78) можно упростить, введя часовой угол й:
h = 6 - а, (5.79)
где h — угловое расстояние между объектом и местным меридианом. Если h
положителен, то объект находится к западу от меридиана; если h отрицате-
лен, то объект находится к востоку от меридиана.
Используя известные тригонометрические тождества, запишем
sin (G - а) = sin 0 cos а - cos Gsin а;
(5.80)
cos (G - а) = cos 0 cos а + sin 0 sin a.
Подставив уравнения (5.78) в правые части тождеств (5.80) и упрощая
выражение, получаем . , зтЛсоза зтй = —. (5.81) COSO
Аналогично , cos ф sin a-cos A cos a sin ф cosh = - -. (5.82) COSO
Из полученных уравнений можно найти h и разрешить квадрантную не-
однозначность путем проверки знака sinA:
, ( cos ф sin a-cos Л cos a sin ф
h = arccos --1-------------------
I cos 8
если sin/i > 0. В противном случае необходимо вычесть h из 360°, так как
углы места а и склонения 8 лежат в диапазоне -90° и +90°, поэтому cos а
и cos8 должны быть положительными. Из уравнения (5.81) следует, что знак
sin А зависит только от sin Л.
233
Глава 5. Предварительное определение орбит
Таким образом, если известны топоцентрические углы азимута А и ме-
ста а объекта, а также звездное время 0 и широта ф станции слежения, то
можно вычислить топоцентрические углы склонения 5 и прямого восхожде-
ния а по следующим формулам:
5 = arcsin (cos фсоз A cos а + sin ф sin а);
„ fcos ф sin a-cos A cos a sin ф^1 _ . ,„ЛП
2л - arccos ---------------------- , 0 < А < 180°;
, V cos5 )
Й= <1- Л хч <583)
агссо , 18()о А
V cos 8 )
a = Q-h.
Если углы азимута А и места а некоторого движущегося объекта пред-
ставляют собой функции времени, то а и 8 могут быть найдены также как
функции времени с помощью уравнений (5.83). Соответствующие угловые
скорости и ускорения а, а, 8,8 определяются путем дифференцирования а(/)
и 8(0 с последующей подстановкой в уравнения (5.68)-(5.73) и вычислением
направляющих косинусов вектора р и его производных р,р.
Продифференцируем уравнения (5.78) по времени и перенесем 8 в ле-
вую часть, тогда
8 = —-— Г-A cos ф sin A cos а + a (sin фcos а - cos ф cos A sin а)"|. (5.84)
cos8L J
Дифференцируя уравнение (5.81) и подставляя в полученное выражение
уравнение (5.82), а затем упрощая полученное выражение, находим
7- Jlcos^cosa-asin ^sina + ScosatgS
h = —.
cos ф sin a - sin ф cos A cos a
Поскольку h = 0 - a = - a, to
y4cos?lcosa-asini4sina + 8sin^cosatgS z Л x
a = --------г--------------—• (5.85)
cos ф sin a - sin ф cos A cos a
Алгоритм 5.4. Определение вектора состояния по измерениям стан-
ции слежения
По заданным наклонной дальности р, азимуту Л, углу места а и их ско-
ростям изменения р, А и а относительно расположенной на Земле станции
слежения требуется рассчитать вектор состояния (г, v) объекта в геоцентри-
ческой экваториальной системе координат.
1. Используя высоту Н9 широту ф и местное звездное время 0, вычислить
вектор геоцентрического положения R из уравнения (5.56):
234
5.7. Определение орбит по измерению угла и наклонной дальности
R =
+ Н cos<|)(cosG I + sm0-J) +
,2
+ Н вшф-К,
где f — коэффициент сжатия Земли, /= 0,003353.
2. Вычислить топоцентрический угол склонения 5 по выражению (5.83):
5 - arcsin(cos<|)cos Лсоэа + зтфзта).
3. Вычислить топоцентрическое прямое восхождение а из уравнений
(5.83):
h = \
С cos фета-cos Л cos a sin ф ] . .
2п - arccos ------------------ , 0 < А < 180
V cos8 )
^созфвта-созЛсовавтф^ 1ОПО.
arccos --1----------------- , 180 < А < 360
I cos8 )
|О
a = Q-h.
4. Вычислить направляющие косинусы (координаты) единичного вектора
р из уравнений (5.68) и (5.71):
р = cos8(cosal + sina-J) + sin8K.
5. Вычислить вектор геоцентрического положения г из уравнения (5.63):
г = R + p- р.
6. Вычислить скорость R в инерциальной системе координат по уравне-
нию (5.66):
£2 = со£К; R=£2xR.
7. Вычислить скорость изменения угла склонения 8, используя уравне-
ние (5.84):
8 = —[-A cos ф sin A cos a + a (sin фcos a - cos ф cos A sin a)].
8. Вычислить скорость изменения угла прямого восхождения а с помо-
щью уравнения (5.85):
Л cos Л cos a-a sin Л sin я+ 8 sin AcosatgS
а = со£ +--------------------------—.
cos ф sin а - sin ф cos A cos а
235
Глава 5. Предварительное определение орбит
9. Вычислить направляющие косинусы для вектора Р из уравнений (5.69)
и (5.72):
р = (-a sin а cos 8 - 5 cos а sin 5)1 + (d cos a cos 5 - 5 sin a sin 5) J + 5 cos 5 • K.
10. Вычислить вектор геоцентрической скорости v по формуле (5.64):
v = R + p- р+ р- р.
Пример 5.10
Станция слежения, расположенная на уровне моря (Н = 0) на широте
ф = 60°, имеющая местное звездное время 0 = 300°, обнаружила космический
объект со следующими характеристиками:
• наклонная дальность до объекта р = 2551 км;
• азимут А = 90°;
• угол места а = 30°;
• скорость изменения наклонной дальности р=0;
• скорость изменения азимута А = 1,973 10-3 рад/с (0,1130 град/с);
• скорость изменения угла места d = 9,864 10“4 рад/с (0,05651 град/с).
Требуется определить элементы орбиты обнаруженного космического
объекта.
Решение
Схема решения. Сначала нужно использовать алгоритм 5.4, чтобы полу-
чить вектор состояния (г, v), а затем вычислить элементы орбиты с помощью
алгоритма 4.1.
Шаг 1
Экваториальный радиус Земли Re = 6378 км, коэффициент сжатия f =
= 0,003353. Из уравнения (5.56) определим вектор положения станции слежения:
R = 15981 - 2769J + 5500К (км).
Шаг 2
5 = arcsin (cos ф cos Л cos а + sin ф sin а) =
= arcsin (cos 60° cos 90° cos 30° + sin 60° sin 30°) - 25,66°.
Шаг 3
Поскольку угол азимута лежит между 0° и 180°, из уравнений (5.83) находим
I ~ЛО Г соэфвта-совЛсовавшф )
h -- 360° - arccos -1---------------L =
(. cos5 )
_ ,no ( cos 60° sin 30°-cos 90° cos 30° sin 60'
- 360 - arccos ---------------------------
cos 25,66'
= 360°-73,90° = 286,1°.
236
5.7. Определение орбит по измерению угла и наклонной дальности
Таким образом, топоцентрическое прямое восхождение
а = 0 - h = 360° - 286,1 ° = 13,90°.
Шаг 4
р = cos8(cosal + sina-J) + sin8K =
= cos(25,66°)[cos(13,90°)l + sin(13,90°) j] + sin(25,66°)K =
= 0,87501 + 0,2165 J + 0,4330K.
Шаг 5
r = R + p • p = (15981 -2769J + 5500K) + 2551(0,87501 + 0,2165J + 0,4330K);
r = 38311 - 2216J + 6605K (km).
Шаг 6
Угловая скорость Земли со =7,292 10 5 рад/с, тогда
R = £2xR = (7,292 • 10’5K)(1598I-2769J + 5500К) = 0,20191 + 0,1166J (км/с).
Шаг 7
8 = —cos Ф sin A cos я + ci (sin фсоз а - cos ф cos A sin a) J =
=-----i---[-1,973 10’3 cos 60° sin 90° cos 30° +
cos 25,66°
+ 9,864 • 10^ (sin 60° cos 30° - cos 60°cos 90° sin 30°)];
8 = -1,2696 IO-4 (рад/с).
Шаг 8
A cos A cos a - a sin A sin a + 8 sin A cos a tg 8
a - cd£ =-----------------------------— =
cos ф sin a - sin ф cos A cos a
1,973 • 10’3 cos 90° cos 30° - 9,864 • 1 O'* sin 90° sin 30° + (-1,2696 • 10"*) cos 30° tg 25,66°
cos 60° sin 30° - sin 60° cos 90° cos 30°
= -0,002184;
a = 7,292 • 10’5 - 0,002184 = -0,00211 (рад /с).
Шаг 9
p =(-dsinacos8-8cosasin8)l + (acosacos8-8sinasin8)j + 8cos8K =
= [-0,002111sin 13,90°cos25,66° - 0,1270 cos 13,90° sin 25,66°] I +
+[-0,002111cos 13,90° cos 25,66° - 0,1270sin 13,90° sin 25,66°] J +
+[-0,1270cos25,66°]K;
£ =(0,51041-1,834J-0,1144K)-10’3 (рад/с).
237
Глава 5. Предварительное определение орбит
Шаг 10
v = R + pp+ рр=
= (0,20191 + 0,1166J) + 0 • (О,87501 + 0,2165J + 0,4330K) +
+ 25 551(0,5104-10"3I-1,834-10-3J-0,114410-3k) (км/с);
v = 1,5041 - 4,562J - 0,2920К.
Используя полученные на шагах 5 и 10 значения векторов положения
и скорости, по алгоритму 4.1 получаем следующие орбитальные элементы
объекта: а = 5170 км; i = 113,4°; Q = 109,8°; е = 0,6195; со = 309,8°; Ф = 165,3°.
Рис. 5.14. Движущийся вокруг
Солнца объект В, отслеживаемый
с Земли
Это высокоэллиптическая орбита
с большой полуосью, меньшей радиуса
Земли, поэтому объект ударится о Землю.
Это случится при истинной аномалии объ-
екта $ = 216°.
Для объектов, находящихся на орби-
те Солнца (планеты, астероиды, кометы
и межпланетные космические аппара-
ты), векторный треугольник показан на
рис. 5.14. Станция слежения расположена
на Земле, но, разумеется, Солнце, а не Зем-
ля является центром притяжения. Процеду-
ра нахождения гелиоцентрического векто-
ра состояния (г, v) аналогична приведенной
выше. Вследствие значительных расстоя-
ний можно считать, что наблюдатель нахо-
дится в центре Земли. Расчет R в данном
случае ведется по эфемеридам, представ-
ленным в Астрономическом календаре.
5.8. Предварительное определение орбит
только по измеренным углам
Для того чтобы определить орбиту, необходимо получить шесть независи-
мых величин. Ими могут быть шесть классических кеплеровых орбитальных
элементов или шесть компонент вектора состояния (г, v) в данный момент
времени. Поэтому чтобы определить орбиту только исходя из результатов
наблюдений, требуется шесть независимых измерений. В предыдущем раз-
деле было сделано предположение, что станция слежения в состоянии од-
новременно измерять шесть величин: наклонную дальность и скорость ее
изменения, азимут и скорость изменения азимута, угол места и скорость
его изменения. По этим измерениям можно определить вектор состояния
и, следовательно, орбиту. В случае когда отсутствует возможность изме-
рения наклонной дальности и ее производной по времени, например, при
238
5.9. Метод Гаусса предварительного определения орбиты
проведении наблюдений в телескоп, можно использовать измерения только
двух углов — азимута и места — и уже по этим измерениям определять
орбиту космического объекта.
Следовательно, требуется как минимум три наблюдения азимута и угла
места для предсказания орбиты. В дальнейшем будем предполагать, что угло-
вые измерения преобразуются в топоцентрическое прямое восхождение а и
склонение 8, как было описано в предыдущем разделе.
Рассмотрим классический метод предварительного определения орбит
только по измеренным углам, предложенный К.Ф. Гауссом (1777-1855), не-
мецким математиком, которого многие считают одним из величайших мате-
матиков всех времен.
Этот метод требует сбора информации об угловом положении объекта в
близкие моменты времени и позволяет провести предварительное определе-
ние орбиты на основе этих исходных наблюдений.
5.9. Метод Гаусса предварительного определения орбиты
Предположим, что имеются три наблюдения орбитального тела в моменты
времени и /3 (рис. 5.15). В каждый момент времени вектор геоцентри-
ческого положения г связан с вектором положения наблюдателя R, наклон-
ной дальностью р и топоцентрическим вектором направляющих косинусов р
в соответствии с уравнением (5.63):
ri = Ri + Р1Р];
г2 - R2 + Р2 Р2 >
г3 = R3 + р3 р3 .
(5.86)
Положения Rb R2 и R3 наблюдате-
ля О известны из местоположения стан-
ции слежения и времени наблюдений.
Векторы Р],р2 и р3 получают путем
измерения прямого восхождения а и
склонения 8 тела для каждого измерения
(р =cos8cosa l 4-cosSsina- J + sin8 К).
Уравнения (5.86) представляют собой три
векторных уравнения, т. е. девять ска-
лярных уравнений. Они содержат 12 не-
известных: три компоненты каждого из
трех векторов г15 г2 и г3 и три наклонных
дальности рь р2 и р3. Следует отметить,
что наклонные дальности измерить нельзя.
Еще три уравнения получают из того
условия, что постоянство углового мо-
мента орбиты требует, чтобы векторы г15
Рис. 5.15. Центр притяжения С, на-
блюдатель О и отслеживаемое тело В
239
Глава 5. Предварительное определение орбит
г2 и г3 лежали в одной плоскости. Это, в свою очередь, означает, что, напри-
мер, вектор г2 является линейной комбинацией векторов Г] и г3:
r2 = qrj + с3г3. (5.87)
Это уравнение можно добавить к уравнениям (5.86) и тогда, с учетом
дополнительных неизвестных сх и с3 общее число скалярных уравнений со-
ставит 12, а неизвестных — 14.
Другое следствие из уравнений движения задачи двух тел (2.15) заключа-
ется в том, что вектор состояния (г, v) орбитального тела в некоторый момент
времени может быть выражен через вектор состояния в любой другой момент
времени с помощью функций Лагранжа (2.125) и (2.126). Для рассматрива-
емого случая это означает, что векторы положения rj и г3 можно выразить
через векторы положения г2 и скорости v2 в соответствующее промежуточное
время t2 следующим образом:
ri =/ir2 + £1Ъ;
г3 = /зг2 + g3v2, (5-88)
где fi, gi — функции Лагранжа, определенные в момент времени t}; f3,
g3 — те же функции, определенные в момент времени t3. Если интервалы
времени между тремя наблюдениями достаточно малы, то уравнения (2.163)
показывают, что f и g в первом приближении зависят только от расстояния
от центра притяжения в начальный момент времени. Таким образом, для при-
нятых предположений в уравнениях (5.88) зависят только от г2.
Следовательно, уравнения (5.88) добавляют еще шесть скалярных урав-
нений к предыдущему списку из 12 уравнений. При этом неизвестных до-
бавляется только четыре: три компоненты вектора скорости v2 и г2. Таким
образом, получены 18 уравнений с 18 неизвестными. Конечная цель состоит
в определении вектора состояния (r2, v2) в момент времени t2.
5.9.1. Определение коэффициентов сх и с3
Сначала найдем ct и с3 из уравнения (5.87), умножив векторно на г3 его
левую и правую части:
Г2 Х Г3 = X r3) + С3(г3 х г3).
Поскольку г3 х г3 = 0, это выражение принимает вид
г2 X г3 = с, (г, X г3).
Умножим полученное выражение скалярно на Г] х г3, а затем найдем Ср
(г, ХГ3)-(г3 ХГ|)
ci= Il • <5-89)
11Г1ХГз||
Аналогично, сначала умножая векторно уравнение (5.87) на г1? а затем
скалярно на х г3 получаем выражение для с3:
240
5.9. Метод Гаусса предварительного определения орбиты
с>- / ,р (3-90)
11г1 хгз11
Далее используем уравнение (5.88) для устранения Г] и г3 из выражений
для с, и с3. Прежде всего
Г1 х Г3 = (/1Г2 + g} v2 ) х (ЛГ2 + S3V2 ) = f\g3 (Г2 Х v2 ) + /з£1 ( V2 х «г )•
Но г2 х v2 = h, где h является постоянным угловым моментом орбиты
(см. (2.18)), следовательно
г1хгз=(/1Яз-/з^1)ь (5.91)
и соответственно
•зх «1 = -(/Яз - /з£1 )h> (5.92)
откуда
||ri хгз||2 =(У1Яз _/з^1)2^2- (5.93)
По аналогии с предыдущим имеем
Г2 X r3 = r2 X (y3r2 + g3v2 ) = g3h, (5.94)
а также
r2xr1=r2x(/1r2+g1v2) = g1h. . (5.95)
Подставляя уравнения (5.91), (5.93) и (5.94) в уравнение (5.89), получаем
с __ gJ^fai ~fjg\)h £з (/1£з ~/зЯ1 )/»2
' (Zg3 - /з£1 )2 h2 (/123 - /зЯ1 )2 h2
или
Аналогично, подставляя уравнения (5.92), (5.93) и (5.95) в уравнение
(5.90), приходим к выражению
g,
сз=—7------5^- (5.97)
/1Яз -fig}
Коэффициенты в уравнении (5.87) теперь выражены исключительно че-
рез функции Лагранжа, причем без ввода каких-либо допущений. Тем не
менее, как отмечалось выше, для использования функций Лагранжа в удоб-
ной для расчетов форме необходимо сделать некоторые приближения. Будем
считать, что сх и с3 можно определить при предположении, что промежутки
между наблюдениями объекта невелики. Для этого введем обозначения
241
Глава 5. Предварительное определение орбит
Т1 “ ~ ’
Т3 = h ~ ?2>
(5.98)
где Т], т3 — интервалы времени между последовательными измерениями
Р1,Р2иРз
Если интервалы времени Т] и т3 достаточно малы, можно удержать толь-
ко два первых члена разложения в ряд функций Лагранжа /и g в уравнениях
(2.163), тем самым получая приближения
(5-99)
а также
1 U 1 1 Ц Q
Si ~7-Тт1 ’ (5.100)
6 г2 6 г/
Далее будем искать, с учетом введенных допущений, расстояние г2, зная
которое, можно определить все параметры орбиты.
Используя уравнения (5.99) и (5.100), вычисляем знаменатель в уравне-
ниях (5.96) и (5.97):
/1£з ~ fiS\
1 О з Т1
2г2
т 1 I1 т3
Т3-7~т3
6г2
1-1-У-г2
1 о зтз
2г2
т 1 тз
Т1“7~Т1 •
6г2 )
Проведем перемножение и приведем подобные в правой части урав-
нения:
/1^3 = (тз -т1)-7-г(хз "т1)3 +77^(^з -т1тз)-
6г2 12 г2
Учитывая, что промежутки времени между измерениями малы, послед-
нее слагаемое сократим и, введя обозначение
т = т3 - т15
(5.101)
получаем
/1Яз-/зг1дат-|4т3- (5-102)
6г23
Из уравнения (5.98) следует, что т является временным интервалом между
первым и последним наблюдениями. Подставив уравнения (5.100) и (5.102)
в уравнение (5.96), находим
Т3 Z- 3 т3
„ 6 _ т3
1 1 ц з т
т-------=-т
6г23
21 1_1М_Т3
1 £ 3 Т3
' I 6 г2
• 1-Цт2
I 6г2
(5.103)
242
5,9. Метод Гаусса предварительного определения орбиты
Используем биномиальное разложение для упрощения (линеаризации)
1 и 2
последнего сомножителя справа. Введем обозначение а = 1, & = -—-z-т ;
6
п = -1 в (5.44):
ряд (а + о) —а +па Ь-\------——а о 4------------—------а b + ...,
тогда, пренебрегая членами более высокого порядка, чем второй, запишем:
1-Ц?
6 >2
6'г
Следовательно, уравнение (5.103) можно представить в виде
тз
с1« —
Т
(5.104)
Аналогично можно показать, что
6г2
(5.105)
Таким образом, удалось получить приближенные формулы для коэффи-
циентов уравнения (5.87), используя лишь временные интервалы между на-
блюдениями и неизвестное пока расстояние до объекта г2 от центра притяже-
ния в момент времени t2.
5.9.2. Определение начального приближения компонент
вектора состояния
Следующий этап решения заключается в поиске зависимости наклонных
дальностей рь р2 и р3 от коэффициентов и с3. Для этого подставим уравне-
ния (5.86) в уравнение (5.87), тогда
R2 + р2 Р2 = С](Ri + Pi Pi) + c3(R3 + р3 р3).
Перегруппировав члены, приходим к уравнению
С1Р1 Р1 “ Р2Р2 + сзРзРз= “^1^1 + ^2 “ с3^3* (5.106)
Выделим наклонные дальности рь р2 и р3, взяв скалярное произведение
этого уравнения и соответствующих векторов. Для того чтобы выделить р15
следует взять скалярное произведение каждого члена в уравнении (5.106) на
четыре векторных произведения р2 хр3, в результате получим
с1Р1Рг(Р2хРз) " Р2Р2 • (Р2 хРз) +сзРзРз-(Р2хРз) =
= -c1Rl-(p2 хр3) +К2-(р2хРз) -C3R3-(р2хРз)•
243
Глава 5. Предварительное определение орбит
Поскольку Р2 *(Р2хРз) = Рз ’(Р2хРз) = это выражение сводится
к следующему:
С1Р1 Pi ’ (р2 хРз) =(^1К1+К2-сзкз)'(р2хРз)- (5.107)
Пусть £>0 представляет собой произведение
Л)= Рг(РгхРз)- (5.108)
Будем считать, что Z)o не равно нулю, т. е. pt, р2 и р3 не лежат в одной
плоскости. Тогда можно решить уравнение (5.107) относительно р,:
I ' 1 с у
Р1=— + ^21_“^31
£>0 ( сх сх )
(5.109)
где Dy — тройные произведения векторов
~ 1*г(Рг хРз)’ ^21 ~ ®*2’(Р2 хРз)’ D3i =кз (р2хРз)-
Аналогично, умножая скалярно уравнения (5.106) на векторные произ-
ведения р] хр3 и Р] хр2, получаем р2 и р3:
р] х р3 и Р] х р2, получаем р2 и р3:
р2 - (-C]Z)12 + D22 - C3D32 ) ,
М)
(5.110)
где
^12 - »1(Р1 хРз)> ^22 ~ 1*2’ (Р1 хРз)’ ^32 - 1*3‘(Р1 хРз)’
а также
1
Рз = д
I r 1 )
“ L^13+ ^23~РзЗ >
о \ сз с3 )
(5.111)
где
Z)13-R1"(P1XP2), ^23 _ 1*2’(Pi хРг)’ Язз-Мр^Рг)-
При выводе этих формул использовали уравнение (2.32), в соответствии
с которым р2 • (р] х р3) = -Do, р3 • (pi х р2 ) = -Do.
Подставляя уравнения (5.104) и (5.105) в уравнение (5.110), получаем
приближенное значение наклонной дальности:
Р2=^ + ГГ.
r2
(5.112)
где
Л - —-[ -DX2 — + D22 + D32 — j;
Do ( x x)
6D0L
х2
X
т _
244
5.9. Метод Гаусса предварительного определения орбиты
Выполняя аналогичные подстановки в уравнения (5.109) и (5.111), полу-
чаем выражения для расчета приближенных значений наклонных дальностей:
P1=F
М)
6fAi—+Ai— V23 + м^*з1(т2-т?)~
I тз тз J______________^З__п
6г23+ ц(т2-т3) "
(5.113)
Рз=Б"
М)
6 D13 — ~D23— +М^1з(т ~тз)—
\ Т1 Т17 Т1 П
77 Т~2 П ^33
6г2 + ц(т -т3)
(5.114)
Уравнение (5.112) определяет связь между наклонной дальностью р2
и геоцентрическим радиусом г2. Другое выражение, связывающее эти две
переменные, можно получить из уравнения (5.86):
r2 r2 = (R2 + р2р2) • (R2 + р2р2)
ИЛИ
r22 =р2 + 2Ep2+R2,
(5.115)
где
Е = R2 • р2.
Подставляя уравнение (5.112) в (5.115), получаем
Умножая и приводя подобные, приходим к уравнению восьмого порядка
х8 + ах6 + Ьх3 + с - 0,
(5.116)
где
х = г2; а = -(л2 + 2AE + R%); b = -2pS(A + Е); с = -ц2В2. (5.117)
Решив уравнение (5.116) относительно г2 и подставив результат в урав-
нения (5.112)—(5.114), определим наклонные дальности рь р2 и р3. Из уравне-
ния (5.86) найдем векторы положений гь г2 и г3. Отметим, что вычисление г2
было одной из главных целей определения вектора состояния объекта.
Для достижения всей цели, т. е. получения еще и скорости v2, запишем
уравнение (5.88) относительно г2, т. е.
245
Глава 5. Предварительное определение орбит
Подставим этот результат в уравнение (5.88), тогда
Решая последнее уравнение относительно v2, получаем выражение
v2=7—Цг— (-/зг1+/1гз), (5.118)
f\Si ~fiS\
в котором используются приближенные значения функций Лагранжа из урав-
нений (5.99) и (5.100).
Полученные значения г2 и v2 далее применяют в качестве начального
приближения для итеративной процедуры, рассмотренной ниже.
Алгоритм 5.5. Метод Гаусса предварительного определения орбиты
Считаем известными направляющие косинусы векторов рь р2 и р3, за-
дающих направление на объект, а также векторы положения наблюдателя
Rb R2 и R3 в моменты времени 12 и t3. Требуется выполнить предваритель-
ное определение параметров орбиты космического объекта.
1. Вычислить интервалы времени т2, т по уравнениям (5.98) и (5.101).
2. Вычислить векторные произведения pj = р2хРз’ Р2 =Р1хРз и Рз =
= Р1ХР2
3. Вычислить Dq =pj • pj (5.108).
4. По уравнениям (5.109}-(5.111) вычислить девять скалярных величин:
Ai =^гР1’ Аг ==«‘ГР2’ Аз = А’Рз»
А1 =^2’Р1> Аг =^2’Р2’ Аз =^2’РЗ»
А1 “АРр Аг = А’Рг5 Аз = А'Рз-
5. Вычислить А и В9 используя формулу (5.112). 2
6. Вычислить Е, используя уравнение (5.115) при А “ ^2 ’^2-
7. Вычислить а9 Ъ и с по уравнению (5.117).
8. Найти корни уравнения (5.116) и назначить наиболее подходящий из
них оценкой г2. Для решения может быть использован метод Ньютона, в этом
случае итерацию метода Ньютона представим в виде
х.8 + ах^ + Ьх? + с
x/+i = xi —4--—1—у-
8х/ + бах? + ЗЬх?
Для получения начального приближения можно построить график функ-
ции F = х8 + ах6 + Ьх3 + с при х > 0 и выбрать в качестве первоначальной
оценки значения х вблизи точки, где F меняет знак. Если имеется более од-
ного физически реализуемого корня, то каждый из них должен быть исполь-
зован. В дальнейшем полученные результаты сверяют по другим данным об
246
5.9. Метод Гаусса предварительного определения орбиты
орбите. В качестве альтернативы анализ может быть повторен с помощью
дополнительных наборов наблюдений.
9. Рассчитать рь р2 и р3, используя уравнения (5.112)—(5.114).
10. По уравнению (5.86) рассчитать г15 г2 и г3.
11. Вычислить функции Лагранжа /j, gb /3 и g3 по уравнениям (5.99) и
(5.100).
12. Определить v2 из выражения (5.118).
Возможны два варианта:
• использовать г2 и v2 из шагов 10 и 12, чтобы получить орбитальные
элементы из алгоритма 4.1;
• в качестве альтернативы перейти к алгоритму 5.6, чтобы улучшить
предварительную оценку орбиты.
Алгоритм 5.6. Итерационное улучшение оценки орбиты
По значениям г2 и v2, полученным в алгоритме 5.5, вычислить уточ-
ненные значения функций Лагранжа fug, используя универсальную пере-
менную.
1. Вычислить длину г2 (г2 = ^г2 • г2) и v2 (v2 =-y/v2 -v2).
2. Вычислить а, т. e. величину, обратную большой полуоси:
a - 2/r2 -v2/p.
3. Вычислить радиальную составляющую v2, = v2 r2/r2.
4. С помощью алгоритма 3.3 решить универсальное уравнение Кеплера
(3.46) относительно универсальных переменных Xi и Хз в моменты времени
и /3 соответственно:
ТЙ'Сз = ^Г’Хзс(аХз) + 0 ~ af2 )хз^(аХз) + ггХз-
5. Использовать полученные значения Xi и Хз для вычисления /j, gt,
и g3 из уравнений (3.66):
2
/1=1-—c(ax?), gl =Х1--L
г2
/3 =1- —с(аХз), g3=t3—1=Хз^(аХз)-
r2
6. По значениям g1; /3 и g3 вычислить с} и с3 из уравнений (5.96)
и (5.97).
7. Используя значения с1 и с3, вычислить уточненные значения рь р2 и р3
из уравнений (5.109)-(5.111).
8. Рассчитать уточненные значения г,, г2 и г3 по уравнениям (5.86).
247
Глава 5. Предварительное определение орбит
9. Найти уточненное значение v2, используя уравнение (5.118), а также
значения f ng, вычисленные на шаге 5.
10. Вернуться к шагу 1 и повторять вычисления до тех пор, пока разность
в оценке р1? р2 и р3 на шаге не достигнет заданной точности.
11. Использовать значения г2 и v2 для вычисления орбитальных элемен-
тов с помощью алгоритма 4.1.
Пример 5.11
Станция слежения расположена на ф = 40° северной широты на высоте
Н = 1 км. Три наблюдения спутника Земли дают значения для топоцентриче-
ского прямого восхождения и склонения, приведенные в табл. 5.1, где также
указано местное звездное время 0 времени наблюдения.
Найдите вектор состояния для второго наблюдения с помощью алгорит-
ма Гаусса 5.5. Принять ц = 398 600 км3/с2.
Таблица 5.1
Данные для примера 5.11
Номер наблюдения Время, с Прямое восхождение а, град Склонение 5, град Местное звездное время 0, град
1 0 43,537 -8,7833 44,506
2 118,10 54,420 -12,074 45,000
3 237,58 64,318 -15,105 45,499
Решение
Экваториальный радиус Земли RE = 6378 км, коэффициент сжатия f =
= 0,003353. Подставив ф = 40°, Н = 1 км и заданные значения местного звезд-
ного времени 0 в уравнение (5.56), получим вектор положения станции слеже-
ния в инерциальной системе координат в каждый из моментов наблюдения:
созф(со80 • I + sin 0 • J)+
Бшф-К,
(5.120)
тогда
Ri = 3489,81 + 3430,2J + 4078,5К (км);
R2 = 3460,11 + 3460,1J + 4078,5К (км);
R3 = 3429,91 + 3490,1J + 4078,5К (км).
Используя уравнение (5.57), вычисляем направляющие косинусы векто-
ров направления на объект в каждый из трех моментов наблюдения по углам
прямого восхождения и склонения:
р = cos 5 cos а • I + cos 5sin а • J + sin 5 • К;
248
5.9. Метод Гаусса предварительного определения орбиты
p]=cos(-8,7833°)cos(43,537°)l +
+cos(-8,7833°)sin(43,537°)J + sin(-8,7833o)K =
= 0,716431 + 0,68074J -0Д5270К;
р2= cos(-12,074°)cos(54,420°)l +
+cos (-12,074°) sin (54,420°) J + sin ( -2,074°) К =
= 0,568971 + 0,79531J - 0,20917K;
p3 = cos(-15,105°)cos(64,318°)l +
+cos(-15,105°)sin(64,318°)J + sin(-15,105°)K =
= 0,4184II + 0,87007J - 0,26059K.
Теперь используем алгоритм 5.5.
Шаг 1
Tj = 0- 118,10 = -118,10 (с);
т3 = 237,58 - 118,10 = 119,47 (с);
т = 119,47 - (- 118,1) = 237,58 (с).
Шаг 2
Pi = Рг х Рз = -0,0252581 + 0,060753J + 0Д6229К;
р2 =Pi хр3= -0,0445381 + 0,12281J + 0,33853К;
Рз =Р1х Рг = -0,0209501 + 0,062977J + 0Д8246К.
Шаг 3
Do =р] 'Р| = -0,0015198.
Шаг 4
£>н = R, • р, = 782,15 (км); £>12 = R] • р2 = 1646,5 (км);
£>13 = Rj p3 = 887,10 (км);
£>2i = R2 • Р] = 784,72 (км); £>22 = R2 р2 = 1651,5 (км);
£>23 = К2' Рз = 889,60 (км);
£>31 = R3 • Р] = 787,31 (км); £>32 = R3 • р2 = 1656,6 (км);
£)33 = R3 • р3 = 892,13 (км).
Шаг 5
( 118’10)1 = -6,6858 (км);
1
А =
-0,0015198
119 47
-1646,5 - ’ +1651,5 + 1656,6
237,58 237,58
В = —------------J1646,5 (119,472-237,5s2)119,47
б(-0,0015198) [ v 237,58
+1656,6^237,582-(-118,
Л(-И8,10)~
J 237,58
= 7,6667-10В 9 (км-с2).
249
Глава 5. Предварительное определение орбит
Шаг 6
Е = R2 • р2 = 3875,8 (км);
Т?2 =R2 R2 = 4,058-107 (км2).
Шаг 7
л =
-[(-6,6858)2 + 2(-6,6858)(3875,8) + 4,058•107] = -4,0528 • 107 (км2);
Ъ = -2(389 600)(7,6667• 109)(-6,6858 + 3875,8) = -2,3597• 1019 (км5);
с = -(398 600)2 (7,6667 Ю9)2 = -9,3387 Ю30 (км8).
Шаг 8
F(x) = х8 - 4,0528 • 107 х6 - 2,3597 • 1019 х3 - 9,3387 • Ю30 = 0.
Согласно рис. 5.16, функция F(x) меняет знак вблизи х = 9000 км. Данное
значение физически реализуемо, поэтому используем его в качестве исходно-
го значения в методе Ньютона при нахождении корней уравнения F(x). Для
рассматриваемого случая итерацию метода (5.119) запишем в виде
х,8-4,0528 107 xf-2,3597 1019 х3-9,3387Ю30
Х/+1 ~ Х‘ 8х7 - 2,4317 • 108 х,5 - 7,0866 • 1019 х,2
Рис. 5.16. График функции F(x)
(пример 5.11)
Итерационная процедура Ньютона
дает следующие значения на шагах:
х0 = 9000;
X, = 9000 - (-276,93) = 9276,9;
х2 =9276,9-34,526 = 9242,4;
х3 = 9242,4-0,63428 = 9241,8;
х4 =9241,8-0,00021048 = 9241,8.
Таким образом, после четырех шагов,
итерации сходятся:
г2 = 9241,8 км.
Остальные корни уравнения F(x) = 0 либо отрицательные, либо ком-
плексные и, следовательно, физически нереализуемы.
Шаг 9
1
Pl =------------х
1 -0,0015198
[б[787,31<-118’10) + 784,72^
119,47 119,47
9241,83 + 398 600 • 787,31Г237,582 - (-118,10)21 -
> L > J 119,47
X
- 782,15} = 3639,1 (км);
6 • 9241,83 +398 600 (237,582 -119,472)
250
5.9. Метод Гаусса предварительного определения орбиты
398 600-7,6667-109 1О,ИО/ ч
р2 =-6,6858 +-------------z------= 3864,8 (км);
9241.83 v '
1
Рз =---------х
3 -0,0015198
б| 887,10 119,47 -889,60 237,58 |9241,83 +398600-887,ю(237,582-119,472) 119,47
I -118,10 -118,10j _____________ v ____________ -118,10
[ 6 - 9241,83 + 398 600(237,582 -119,472)
- 892,1 з] = 4156,9 (км).
Шаг 10
= (3489,81 +3430,2J +4078,5К) +
+3639,1(0,716431 + 0.68074J - 0Д5270К) =
= 6096,91 + 5907,5J + 3522,9К (км);
г2 = (3460,11 + 3460,1J + 4078,5К) +
+3864,8(0,568971 + 0.79531J - 0,20917К) =
= 5659,11 + 6533,8J + 3270,1К (км);
г3 = (3429,91 + 3490,1J + 4078,5К) +
+4156,9(0,418411 + 0,87007J - 0,26059К) =
= 5169,11 + 7107,0J + 2995,ЗК (км).
Шаг 11
я1_1398600 2 = 9
1 2 9241,83
/3 «1 - - 398 6°° (119,47)2 = 0,99640;
3 2 9241,83
gl « -118,10--398 6°3(-118,10)3 = -117,97;
1 6 9241,83
g3 «119,47- —398 6°з (119,47)3 =119,33.
3 6 9241,83
Шаг 12
v2 =
-0,99640(6096,91 + 5907,5J + 3522,9К) + 0,99648 (5169, II + 7107,0 J + 2995, ЗК)
0,99648 • 119,33 - 0,99640 (-117,97)
= -3,90801 + 5.0573J - 2,2222К (км/с).
251
Глава 5. Предварительное определение орбит
Таким образом, вектор состояния в момент времени Z2 определен с за-
данной точностью:
г2 =5659,11+ 6533,8J +3270,1К (км);
v2 = -3,9080I + 5,0573J-2,2222K (км/с).
Пример 5.12
Используя полученный в примере 5.11 вектор состояния, проведите улуч-
шение его точности до пяти значащих цифр в соответствии с алгоритмом 5.6.
Решение
Шаг 1
r2 = ||r21| = ^5659,12 + 6533,82 + 3270,12 = 9241,8 (км);
v2 = ||v2|| = ^(-З^ОвО)2 + 5,05732 +(-2,2222)2 = 6,7666 (км/с).
Шаг 2
2
а =—
г2
у\ _ 2
ц ”9241,8
6,76662
398 600
= 1,0154-Ю-4 (км-1).
ШагЗ
у2 г2 (-3,9080)5659,1 + 5,0573-6533,8 + (-2,2222)3270,1
Vfl г2 9241,8
= 0,39611 (км/с).
Шаг 4
Запишем универсальное уравнение Кеплера для моментов времени tx и /3:
т15/398 600 = 924у8 0’39611%2с(1,0154-10~4%2) +
,V 7398 600 1 V 17
+(1-1,0154-Ю-4-9241,8)xfs(l, 0154-10^ %2) + 9241,8%,;
т3 7398600 = 9241>8 0’39611 %2С(1,0154 • Ю^х2) +
У 7398 600 V '
+ (1-1,0154-10^-9241,8)%^5(1,0154-Ю-4 х2) + 9241,8%3;
ИЛИ
631,35tj =5,7983х12с(1,0154-10-4х2) + 0,061594х?5(1,0154-10-4х12) + 9241,8х1;
63 1,35т3 =5,7983х|с(1,0154-10^ Хз) + 0,061594Хз^(1,0154-Ю^Хз2) + 9241,8Хз-
252
5.9. Метод Гаусса предварительного определения орбиты
Применяя алгоритм 3.3 итерационного метода Ньютона к каждому из
этих уравнений, получаем
Xi = -8,0882 км(,/2>;
Хз = 8,1404 км<1/2).
Шаг 5
fx = 1 С (ах? ) = 1 - (~8’0882) • С[1,0154 • 10Л~8,0882)2 ] = 0,99646;
?2 9241,8
с[1,0154-10^ (-8,0882)2] = 0,49972;
gi=^—Г%1^(а%12) =
7н
= -118,1 —-------(-8,0882)3 -41,0154 • 10^(-8,0882)21 = -117,96 (с);
^398 600 L J
5[1,О1541О^(-8,О882)2] = 0,16661;
/з = 1-—с(ахз) = 1-8,140-4 с[1,015410~4-8,14042] = 0,99642;
3 r2 V 437 9241,8 L J
C[l, 0154 • 10"4 • 8,14042 ] = 0,49972;
g3=T3—2хз4а%з) =
7н
= -118,1 —т=2---- 8,14043 S Г1,0154 • 1 О’4 (-8,0882)2 "I = 119,33 (с);
7398 600 L J
S [1,0154 • 1 О'4 (-8,0882)2 ] = 0,16661.
Процедура сходится быстрее, если функции Лагранжа приравниваются
к среднему из вычисленных на текущем и предыдущем шагах. В этом случае
^0.99648-0,99646=^^
а=117,97 + Н17,96)=_11796(с).
2
0,99642 + 0,99641= 964
2
= 119,3 + 119,3 =119>3 (с)
253
Глава 5. Предварительное определение орбит
Шаг 6
119 3
с, = 7------77----------------77--------7 = 0.50467;
(0,99647)(119,3)-(0,99641)(-117,96)
с3 = ---------и----I1?’96--------------г = 0,49890.
3 (О,99647)(119,3)-(О,99641)(-П7,96)
Шаг 7
п 1 Г 7«О1^и_ 1 7Й4 7Э °’49890 787^1 I
Pi =---------- -7©2,15 Ч--------7о4,72---------7о7,31 =
1 -0,0015198^ 0,50467 0,50467 J
= 3650,7 (км);
р2=-----------(-0,50467 1646,5+ 1651,5-0,49890 1656,6) =
2 -0,0015198v ' 7
= 3877,2 (км);
Рз =----------Г 0,50467887,10 +--------889,60-892,13
3 -0,00151981, 0,49890 0,49890
= 4186,2 (км).
Шаг 8
Г1 = (3489,81 + 3430,2J + 4078,5K) +
+ 3650,7(0,716431 + 0,68074J - 0,15270К) =
= 6105,31 + 5915,4J + 3521,1К (км);
г2 = (3460, II + 3460,1J + 4078,5К) +
+ 3877,2(0,568971 + 0,79531J - 0,20917К) =
= 5662,11 + 6543,7J + 3267,5К (км);
г3 = (3429,91 + 3490,1J + 4078,5 К) +
+ 4186,2(0,4184II + 0,87007J - 0,26059К) =
= 5181,41 + 7132,4J + 2987,6К (км).
Шаг 9
1
2 0,99647 • 119,3-0,99641(-117,96)
х [-0,99641(6105,31 + 5915,4J + 3521,1К) + 0,99647(5181,41 + 7132,4J + 2987,6К)] =
= -3,89181 + 5,1307J - 2,2472К (км/с).
Первая итерация алгоритма завершена.
254
Основные соотношения
Улучшенная оценка векторов положения г2 и скорости v2 используется
при новой итерации процедуры, начиная вновь с шага 1. Результаты первой
и последующих итераций приведены в табл. 5.2. Улучшение точности опре-
деления орбиты до пяти значащих цифр в значениях наклонной дальности
Р], р2 и Рз происходит за четыре итерации алгоритма; на последней итерации
вектор состояния принимает следующие значения:
г2 =5662,11 + 6538,0J + 3269,ОК (км);
v2 = -3,88561 + 5,1214J-2.2433K (км/с).
Таблица 5.2
Промежуточные значения расчетных параметров на каждой итерации
Итерация Xi Хз /1 £1 /з S3 Р1 Р2 Рз
1 -8,0882 8,1404 0,99647 -117,97 0,99641 119,33 3650,7 3877,2 4186,2
2 -8,0818 8,1282 0,99647 -117,96 0,99642 119,33 3643,8 3869,9 4178,3
3 -8,0871 8,1337 0,99647 -117,96 0,99642 119,33 3644,0 3870,1 4178,6
4 -8,0869 8,1336 0,99647 -117,96 0,99642 119,33 3644,0 3870,1 4178,6
Далее, используя алгоритм 4.1, можно найти орбитальные элементы на-
блюдаемого станцией слежения объекта а = 10 000 км (Л = 62 818 км2/с);
е = 0,1000; i = 30°; Q = 270°; со = 90°; 0 = 45,01°.
Основные соотношения
Алгоритм 5.1. Метод Гиббса предварительного определения орбиты
по заданным положениям векторов г„ г2 и г3 в заданные моменты времени
1. Вычислить Гу г2, г3.
2. Определить С12 = хr2; С23 = r2 хг3; С31 = r3 xrk
3. Убедиться, что ur] -С23=0.
4. Определить векторы N, D и S по уравнениям (5.13), (5.14) и (5.21) со-
ответственно.
N = г, (r2 X г3) + г2 (г3 х Г]) + г3 (г] х г2); (5.13)
D = Г] хг2 +г2 хг3 +г3 хг3; (5.14)
S = I) (r2 - r3) + r2 (r3 - /j) + г3 (г, -г2). (5.21)
5. Вычислить v2, используя уравнение (5.22):
6. По компонентам вектора состояния r2, v2 найти орбитальные элементы
с помощью алгоритма 4.1.
Алгоритм 5.2. Решение задачи Ламберта
Для двух заданных векторов положения г„ г2 небесного тела и времени
полета Д/ между этими точками определить траекторию перелета.
255
Глава 5. Предварительное определение орбит
1. Вычислить Г] и г2, используя уравнение (5.24):
Гр r2=Vr2’r2-
(5.24)
2. Выбрать прямую или попятную траекторию и вычислить ДО, исполь-
зуя уравнение (5.26):
arccos (Г] -г2/ 360°-arccos (rl ’r2? (rlXr2)z /zir2), (rjxr2)z
arccos (Г] г2/ V2), (rlXr2)Z
360°-arccos (ГГГ2/ (rlxr2)z
прямые орбиты;
попятные
орбиты.
(5.26)
3. Определить Л по уравнению (5.35):
A = sin AO.——-
V1 - cos AO
(5.35)
(5.40),
4. Используя итерационную процедуру с помощью уравнений
(5.43) и (5.45), решить уравнение (5.39) относительно z. Знак при z опреде-
ляет тип орбиты: при г < 0 — гипербола, z = 0 — парабола; z > 0 — эллипс.
Запишем
ТцА/ =
3
^2^2од)+а/од),
коди
(5.39)
откуда
ОД)-
код;
3
S(z) + A^y(z) - JiiAr,
(5.40)
од-
ЗОД)2]
код)
2z[ 2C(z)J 4 C(z)
2z
3^
8|_ ОД)
72 - A
—X0)2+-
40 8
ОД)
У(г)
z*0;
(5.43)
1
Я0)
,2-0.
з
ОДЙ2
1
z ~Z-^-
,+1 '
(5.45)
256
Основные соотношения
Функции Штумпфа:
C(z) = f (-1/
£=0
Z* _ 1 Z + z2 z3
(2А: + 2)! “2~ 24 + 720 ”40320 +
+ 3 628 800 479 001600 +
5(z) = f (-1/
4=0
Z* _ 1 Z ! z2 z3 [
(2k + 3)! “ 6 ”120 + 5040 ” 362 880 +
(3.48)
+ 39 916 800 6 227 020 800+"”
В первом приближении
c(z)=--—+..., ад=-—
2 24 6 120
5. Вычислить y(z) с помощью уравнения (5.38):
. . ,zS(z)-l
y(z) = rt+r2 + A
6. Определить функции Лагранжа f,g,f и g с помощью
(5.46):
уравнений
।----“|2
y(z)
C(z)
—C(z) = l-^;
rl ri
T-'I'^r^W+Afi'W
(5.46)
3 ____
fo[C(z)] V н
g =
Пг2 N C(Z)
Г ------12
1у(?)
C(z) = l-^.
г2 Г2
1. Найти Vj и v2 из уравнений (5.28) и (5.29):
Vi=-(«2-Ai); (5.28)
g
257
Глава 5. Предварительное определение орбит
v2=-(Sr2-rl)-
(5-29)
8. По векторам rj и V] (или г2 и v2), используя алгоритм 4.1, определить
элементы орбиты.
Алгоритм 5.3. Вычисление местного звездного времени с учетом
даты, местного времени и значения восточной долготы пункта
1. Используя год, месяц и день, вычислить Jo с помощью уравнения (5.48):
7 y + trunc
Jo = 367y-trunc
+ trunc | ———— | + <7 +1721013,5,
I 9 J
где у, m, d — целые числа, являющиеся соответственно годами, месяцами
и днями, и изменяются в диапазонах 1901 <у < 2099, 1 < т < 12 и 1 < d< 31;
tnmc(x) означает взятие целой части х без округления, т. е. простое отбрасы-
вание дробной части.
2. Вычислить То по уравнению (5.49):
т _ Jo-2 451545
—---------------
0 36 525
3. Определить 0Go из уравнения (5.50):
OGo = 100,4606184+ 36 000, 77004-То +
+ 0,0003 8793 ЗГ02-2,583(1О-8)То3 (угл. град).
Если значения 0Gq лежит вне диапазона 0 < 0Gq < 360°, вычесть число,
кратное 360°, чтобы значение OGo находилось в этом диапазоне.
4. Рассчитать 0G с помощью уравнения (5.51):
0G=0G +360,98564724—.
5. Определить местное звездное время 0 с помощью уравнения (5.52)
и скорректировать окончательное значение так, чтобы оно находилось между
0 и 360°:
0 = 0G + А,
где UT исчисляется в часах. Коэффициент второго слагаемого справа — чис-
ло угловых градусов, на которое Земля поворачивается вокруг своей оси за
24 ч, т. е. за одни солнечные сутки.
Алгоритм 5.4. Определение вектора состояния КА по данным наблю-
дений со станции слежения
По заданным наклонной дальности р, азимуту А, углу места а и их скоро-
стям изменения р, А, а относительно расположенной на Земле станции сле-
жения требуется рассчитать вектор состояния (г, v) объекта в ГЭСК.
258
Основные соотношения
1. Используя высоту Н, широту ф и местное звездное время 0, вычислить
вектор геоцентрического положения R из уравнения (5.56):
совф(со8 0 • I + sin 0 • J) +
втф-К,
где f — коэффициент сжатия Земли, f = 0,003353.
2. Вычислить топоцентрический угол склонения 8 по выражению из си-
стемы уравнений (5.83):
8 = arcsin (cos ф cos A cos а + sin ф sin а).
3. Определить топоцентрическое прямое восхождение а по второму вы-
ражению из системы уравнений (5.83):
_ ( cos ф sin a-cos Л cos a sin ф ] _ . ,_ло
2тс-arccos --1------------------- , 0 < А < 180°;
V cos8 )
^совфвта-совЛсозавтф^ 1ОАО .
arccos ---------------------- , 180° < А < 360°;
I cos8 J
а = 0 - h.
4. Вычислить направляющие косинусы (координаты) единичного вектора р
из уравнений (5.68) и (5.71):
р =cos8(cosal + sina-J) + sin8K.
5. Определить вектор геоцентрического положения г из уравнения (5.63):
г = R + p- р.
6. Найти скорость КА R в инерциальной системе координат по уравне-
нию (5.66):
£2 = <n£K, R= £2xR.
7. Вычислить скорость изменения угла склонения 8, используя уравне-
ние (5.84):
8 = —[-A cos ф sin A cos а + a (sin ф cos а - cos ф cos A sin a)].
8. Вычислить скорость изменения угла прямого восхождения a с помо-
щью уравнения (5.85):
259
Глава 5. Предварительное определение орбит
Л cos Л cos п — п sin Л sin п + <5 cos п tg 8
а = а>Е +---------:------------------—.
cos ф sin а - sin ф cos A cos а
9. Найти направляющие косинусы для вектора Р из уравнений (5.69)
и (5.72):
р - (-dsinacos8-8cosasin8)I + (dcosacos8-8sinasin8)J + 8cos8 K.
10. Определить геоцентрической вектор скорости v по формуле (5.64):
v = R + p- р+ р- р.
Алгоритм 5.5. Метод Гаусса предварительного определения орбиты
Считаем известными направляющие косинусы векторов р(, р2,р3 (р=
= cosScosa. • I + cosSsina • J + sinS-К), задающих направление на объект,
а также векторы положения наблюдателя Rb R2 и R3 в моменты времени tx, t2
и /3. Требуется выполнить предварительное определение параметров орбиты
космического объекта.
1. Вычислить интервалы времени тьт2,т по уравнениям (5.98) и (5.101):
Т1 = 6 ~ (2’ т3 = h ~ (2’
Т = Т3 - Тр
2. Вычислить векторные произведения р, = р2хр3, р2 = р]Хр3 и р3 =
= Р1Хр2.
3. Вычислить:
Z>o=PrPi (5.108)
или Do =рг(р2хр3).
4. По уравнениям (5.109)-(5.111) вычислить девять скалярных величин:
^11 =^ГР1> ^12 =^1Р2’ Лз = ^21 =^2’Р1» ^22 =^2’Рг> ^23 “ Рз1 =®зРр В32 =КзР2’ Аз = Р1 +—£>21- —Z)31 , Ь>о V С1 С1 у где Dy — тройные произведения векторов Ai = Rr(P2 хРз)’ ^21 = ^2’(РгхРз)’ ^31 Рг =тг(-с1^)12 +^22 “^з^зг); Ri р3; ^2 Рз; R3 Рз; = R3-(p2xp3);
260
Основные соотношения
^12 - R1’(P1 хРз)’ ^22 ~ ^2'(Р1 хРз)> ^32 - ^3‘(Р1 хРз)’
1 [ С 1
РЗ=7Г~ “Дз + ^*23~Аз >
Д) \ с3 с3 )
^13-R1(P1xP2X ^23 _ ^2*(Р1 хр2)> Язз-Кз (Р1хР2).
5. Вычислить А и В по уравнению (5.112):
A = -L[-D12Ii + D22+D32-I;
Dq v т ту
В = 777 ЯпЙ-''2)— + £>32('г2-'С12)—
оь>о L т т
6. Вычислить Е, используя уравнение (5.115) при /?2 = В2^2:
Е = R2 • р2.
7. Вычислить а, b и с по уравнению (5.117):
a = -(A2+2AE + R%); Ь = -2рВ(А + Е)-, с = -ц2В2.
8. Найти корни уравнения (5.116):
х8 + ах6 + Ьх3 + с = О
и назначить наиболее подходящий из них оценкой г2. Для решения может
быть использован метод Ньютона, в этом случае итерацию метода Ньютона
представим в виде
_ х8 + axf + bx$ + с
7‘+1 — Xi ~ О 7 7 5 2 ’
8х/ + бах- + 36х;
(5.119)
Для получения начального приближения можно построить график функ-
ции F = х8 + ах6 + Ьх3 + с при х > 0 и выбрать в качестве первоначальной
оценки значения х вблизи точки, где F меняет знак. Если имеется более од-
ного физически реализуемого корня, то каждый из них должен быть исполь-
зован. В дальнейшем полученные результаты сверяют по другим данным об
орбите. В качестве альтернативы анализ может быть повторен с помощью
дополнительных наборов наблюдений.
9. Рассчитать рь р2 и р3, используя уравнения (5.112)-(5.114):
1
Р1=Б~
6^31~ + /)21— К3 +Ц^31(т2-т12) —
I Т3 Ч)_____________________b__D
6г23 + ц(т2-т^) 11
261
Глава 5. Предварительное определение орбит
р2 = л+5^,
г2
1
p3=F
М)
~D23~ V23 +Ц^1з(т2-Хз)—
\ Т1_______Т1 )_____________Т1
6г23 +ц(т2-т3)
10. По уравнению (5.86) найти гь г2 и г3:
ri = R, + pi Р|;
r2 = R2 + p2p2;
Гз = кз + РзРз-
11. Вычислить функции Лагранжа gt, f3 и g3 по уравнениям (5.99) и
(5.100):
71 ~1 - з Ti ’ 7з ~1 о з тз >
2 г/ 2 г2
1 ц з 1 Ц з
ёз^з-у—тз-
6 г2 6 г2
12. Определить v2 по уравнению (5.118):
v2 = “7-Ц—(-/3Г1 + /1Г3 )•
13. Использовать г2 и v2 из пунктов 10 и 12, чтобы получить орбитальные
элементы из алгоритма 4.1.
В качестве альтернативы перейти к алгоритму 5.6, чтобы улучшить пред-
варительную оценку орбиты.
Алгоритм 5.6. Итерационное улучшение оценки орбиты, заданной ме-
тодом Гаусса (алгоритмом 5.5)
По значениям г2 и v2, полученным в алгоритме 5.5, вычислить уточ-
ненные значения функций Лагранжа f и g, используя универсальную пере-
менную. , _ ------. , _ --------
1. Вычислить длину r2 V2 “ У Г2 Г2 ) И V2 (V2 ~ У v2 ’ v2 )•
2. Вычислить а, т. е. величину, обратную большой полуоси:
a = 2/r2-v2/p.
3. Вычислить радиальную составляющую v2:
Vr2 =V2-r2/r2.
4. С помощью алгоритма 3.3 решить универсальное уравнение Кеплера
(3.46) относительно универсальных переменных %1 и %3 в моменты времени t\
и t3 соответственно:
262
Основные соотношения
4^х\ = Х?с(а%?)+(1 - аг2 )%i S (ах?)+r2Xi;
л/Й'Сз = Хз с(аХз) + 0 - аГ2 ) Хз5 (аХз) + г2Хз •
5. Использовать полученные значения %] и Хз для вычисления /„ g],/3
и g3 из уравнений (3.66):
/1 =1"—С(ах?), ^=т,—1=х?^(аХ?);
г2 л/М
/3 =1-^-С(ахз), g3=x3—Гхз5(аХз);
г2 VM-
00 2 3
S(z) = У (-1)* —----=i —— + —-------------+
й (2£ + 3)! 6 120 5040 362 880
z4_________z5
+ 39 916 800 6 227 020 800 +‘”
0° к 1 2 3
C(z) = У (-1/ —-----=1 - — + -------z— +
Гй (2А7 + 2)! 2 24 720 40320
V 5 7 (3.48)
+ 3 628 800 ~ 479001600 + " ’
6. По известным вычисленным значениям fx, g}, и g3 определить Cj
и с3 из уравнений (5.96) и (5.97):
с - g3
1 /ig3-/3gi’
f\Sz ~ fig\
7. Используя значения С] и с3, найти уточненные значения р15 р2 и р3 из
уравнений (5.109)-(5.111):
P1=-L -d,1+1d21_^d31
Z)o q q
где Dy — тройные произведения векторов
^11 = ^1(Р2 хРз)’ ^21 = ^2'(р2 хРз)> ^31 =Кз (р2хРз)>
263
Глава 5. Предварительное определение орбит
р2 = ——(-С]Д2 + Аг -сзАг);
А
Аг = A (Pi хРз)> Аг= Кг' (р] хРз), Аг = Кз' (р| х Рз);
1 f с 1
Рз= тг ~Аз + Аз- Аз ;
А \ с3 с3 )
Аз = К]-(pi х р2), Аз = К2 (р1хр2), Аз = К3'(р]хр2).
8. Рассчитать уточненные значения гь г2 и г3 по уравнениям (5.86):
Г] = Ri + pi р,;
r2 = R2 + p2p2;
гз = К3 + рзРз
9. Определить уточненное значение v2, используя уравнение (5.118),
а также значения fug, вычисленные на шаге 5:
v2 = 7—Ц—(-/3Г1 + /Л )• (5.118)
10. Вернуться к шагу 1 и повторять вычисления, пока разность в оценке
р15 р2 и р3 на шаге не достигнет заданной точности.
11. Использовать значения г2 и v2 для вычисления орбитальных элемен-
тов с помощью алгоритма 4.1.
Вопросы и задачи
1. Метод Гиббса позволяет определить вектор состояния космического
аппарата по трем его положениям, не связанным со временем. Поясните, как
определить скорость космического аппарата?
2. Сформулируйте задачу Ламберта и приведите возможные алгоритмы
ее решения.
3. Как определить звездное время в точке?
4. Найдите текущее местное звездное время для своего места нахождения.
5. Что такое часовой угол?
6. В некоторый момент времени высота околоземного космического ап-
парата составляет 600 км. Через 15 мин высота составляет 300 км, а истинная
аномалия увеличилась на 60°. Найдите высоту перигея.
7. В некоторый момент времени известен вектор положения околоземно-
го космического аппарата в ГЭСК: =-36001+ 3600J +5100К (км). Через
30 мин его положение:
r2 = -55001-6240J-520K (км). Вычислите Vj и v2.
264
Вопросы и задачи
8. Вычислите орбитальные элементы и высоту перигея для предыдущей
задачи.
9. Станция слежения, расположенная на уровне моря на широте 29°, про-
извела наблюдения космического аппарата в некоторые моменты времени
(таблица).
Время, мин Местное сидерическое время, град Топоцентрическое прямое восхождение, град Т опоцентрическое склонение, град
0,0 0 0 51,5110
1,0 0,250684 65,9279 27,9911
2,0 0,501369 79,8500 14,6609
Используйте метод Гаусса без итеративного улучшения, чтобы оценить
вектор состояния космического аппарата в среднее время наблюдения.
Глава 6
ОРБИТАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ
Импульсные маневры. — Перелет Гомана. — Перелет Гома-
на для соосных некруговых орбит. — Биэллиптические пере-
леты. — Фазирующие маневры. — Негомановские перелеты
между орбитами с общими линиями апсид. — Поворот ли-
нии апсид. — Маневры преследования. — Маневры поворота
плоскости орбиты. — Ограничения, накладываемые распо-
ложением космодрома при выведении космического аппара-
та на орбиту. — Трассы космического аппарата. — Основ-
ные соотношения. — Вопросы и задачи
Маневры осуществляются для изменения орбиты КА либо его положения на
орбите. Космический аппарат за счет маневра также может быть переведен,
например, с околоземной орбиты ожидания на межпланетную траекторию.
К маневрам относят и достаточно малые изменения движения, в частности
на заключительных этапах сближения одного КА с другим. При изменении
орбиты обычно необходимо использовать ракетные двигатели КА. В данной
главе рассмотрены исключительно импульсные маневры, при которых ис-
пользуются двигатели большой тяги, создающие требуемое изменение век-
тора состояния за относительно малое время, в течение которого вектор по-
ложения КА можно считать неизменным.
В начале главы приведено описание классического энергоэффективного
перелета Гомана и его обобщение на биэллиптический перелет. Затем рас-
смотрен маневр фазирования КА на орбите — одна из разновидностей пере-
лета Гомана. При этом маневре изменяется угловое положение КА на орбите,
т. е. его фаза.
После этого следует описание негомановских маневров как с изменени-
ем, так и без изменения положения линии апсид. Анализируются маневры
преследования, которые включают в себя решение задачи Ламберта. Эти ма-
невры не являются оптимальными с точки зрения затрат рабочего тела и мо-
гут оказаться неэффективными для околоземных орбит, однако необходимы
при осуществлении межпланетных перелетов.
В последней части главы рассмотрены маневры с изменением положения
плоскости орбиты, а также приведены расчеты потребных характеристиче-
ских скоростей на их осуществление, которые оказываются значительными
по сравнению с компланарными маневрами.
266
6.1. Импульсные маневры
6.1. Импульсные маневры
Орбитальные маневры позволяют переводить космический аппарат с од-
ной орбиты на другую. Изменение орбиты может быть как небольшим,
например, при сближении одного космического аппарата с другим, так
и значительным — при выведении космического аппарата на орбиту пере-
лета к другой планете. В данной главе рассмотрены импульсные маневры,
в которых за счет кратковременного включения бортовых ракетных двига-
телей значение и направление вектора скорости КА изменяются мгновен-
но. Во время импульсного маневра положение КА считается неизменным,
изменяется только его скорость. Импульсный маневр рассматривается как
идеализация, с помощью которой можно избежать необходимости решать
дифференциальные уравнения (2.6), с включением в него реактивных сил.
Таким образом, идеализация может считаться удовлетворительной для тех
случаев, когда положение КА изменяется лишь незначительно в течение
времени маневра. Такое предположение справедливо для КА, оснащенных
двигателями большой тяги.
Каждый импульсный маневр приводит к изменению скорости КА на ве-
личину Av, которая представляет собой изменение значения или направления
вектора скорости или то и другое вместе. Значение Ду приращения скорости
связано с изменением Ддп массы топлива, необходимой для маневра, соот-
ношением, которое следует из формулы Циолковского &v = I g$\n———:
И т-^т
Av
(6.1)
т
т — масса КА до маневра; g0 — ускорение свободного падения на уровне
моря; Isp — удельный импульс ракетного топлива.
Удельный импульс определяют по следующей формуле:
_ Тяга
sp Расход топлива
Удельный импульс тяги является показателем эффективности ракетной
системы; в системе СИ измеряется в метрах в секунду. В системе СГС удель-
ный импульс тяги измеряется в [кгс • с/кг]. В некоторых случаях размерность
[кгс • с/кг] сокращают до [с], но это не вполне корректно. Значения удельного
импульса тяги для некоторых видов топлива приведены ниже.
Топливо ................................Isp, с
Холодный газ............................ 50
Однокомпонентный гидразин............... 230
Твердое топливо......................... 290
Азотная кислота (монометилгидразин) .... 310
Жидкий кислород (жидкий водород) .......455
267
Глава 6. Орбитальные маневры
Рис. 6.1. Массовая доля топлива Aw/zw, расходуемого на маневр КА
с характеристической скоростью Av, для типичных удельных импульсов
На рис. 6.1 представлен график зависимости (6.1) для некоторых удель-
ных импульсов топлива. Следует отметить, что для маневров, осуществляе-
мых с характеристическими скоростями Av не менее 1 км/с, требуемая масса
топлива превышает 25 % массы КА до маневра. Запас топлива всегда ограни-
чен, поэтому каждый маневр во время полета должен быть тщательно спла-
нирован для минимизации массы топлива с учетом полезной нагрузки.
6.2. Перелет Гомана
Перелет Гомана является наиболее энергоэффективным двухимпульсным
маневром для перехода космического аппарата между двумя компланарны-
ми круговыми орбитами, имеющими общий фокус. Орбита перелета Го-
мана — эллиптическая орбита, касательная к круговым орбитам, между
Рис. 6.2. Орбита перелета Гомана:
1,2 — внутренняя и внешняя круговые
орбиты
которыми осуществляется перелет кос-
мического аппарата. Перицентр орби-
ты перелета лежит на орбите меньшего
радиуса, а апоцентр — на орбите боль-
шего (рис. 6.2). Очевидно, что во время
маневра КА проходит только половину
эллипса; при этом полет может произой-
ти в любом направлении: от внутренней
окружности к внешней или наоборот.
При определении стратегии изме-
нения орбиты следует учитывать, что
удельная энергия КА на орбите зависит
только от ее большой полуоси а. Отме-
тим, что для эллипса (см. (2.70)) удель-
Ц
ная энергия отрицательна: е = .
268
6.2. Перелет Гомана
Таким образом, чем больше большая полуось а орбиты, тем больше энер-
гия КА на орбите. Для представленного на рис. 6.2 варианта перелета энер-
гия возрастает при переходе от внутренней к внешней круговой орбите. Если
маневр выполняется с началом в точке А на внутренней орбите, то прираще-
ние скорости Дул в направлении полета необходимо для выведения КА на
эллиптическую орбиту с более высокой энергией. После этого КА движется
от точки А к точке В; второе приращение скорости Дув в точке В выводит КА
на еще более высокоэнергетическую внешнюю круговую орбиту. Без Дув КА
останется на эллиптической орбите перелета Гомана и вернется в точку А.
Суммарная характеристическая скорость маневра перелета Дуе = Дул + Дув.
Такая же общая характеристическая скорость требуется, если перелет КА
начинается в точке В на внешней круговой орбите. Поскольку переход к кру-
говой орбите меньшего радиуса требует понижения энергии КА, то направле-
ние вектора Ду должно быть обратным. В этом случае импульс скорости ма-
неврирующего КА ориентирован против направления полета для торможения
движения. Поскольку вектор Ду не зависит от направления его приложения,
будем учитывать лишь его значение.
Пример 6.1
Космический аппарат находится на околоземной орбите с высотой пе-
ригея 480 км и апогее 800 км (рис. 6.3, орбита 7). Найдите: 1) значение ско-
рости, которую требуется приложить в перигее Л, чтобы перевести КА на
орбиту с высотой апогея 16 000 км (орбита 2); 2) значение скорости, которую
Рис. 6.3. Орбита перелета Гомана между двумя околоземными орбитами:
7 — исходная орбита; 2 — орбита перелета; 3 — круговая орбита радиусом 22 378 км
269
Глава 6. Орбитальные маневры
необходимо приложить в апогее полученной траектории В для перехода на
круговую орбиту высотой 16 000 км (орбита 3).
Решение
1. Определим первичные орбитальные параметры исходной орбиты 1.
Радиусы перигея и апогея:
га ~ + za ~ 6378 + 480 = 6858 (км);
rc = Т?£+zc = 6378 + 800 = 7178 (км).
Следовательно, эксцентриситет орбиты 1
е, = -£—-^ = 0,022799.
гС+гА
Используя уравнение орбиты и зная параметры перигея орбиты 7, вычис-
лим угловой момент этой орбиты:
гА - —---------=> Л] = 52 876 (км2/с).
ц I + ^COSO
По угловому моменту можно вычислить скорость КА в точке А на орбите 1:
VA = — = 7,7102 км/с.
1 гА
Аналогично, для орбиты перелета 2:
rB =Re+zb =6378 + 16000 = 22378 (км),
е, = Гв =0,53085;
гв+га
гА - —----------=> = 64690 (км2/с).
ц l + e2cos0
Таким образом, скорость в точке А на орбите 2
= —= ^ГГ = 9’4327 (км/с).
2 гА 6858 v ’
Требуемое приращение скорости в точке А
va =v+ ~va, =1,7225 (км/с).
2. Используем формулу для вычисления углового момента, чтобы найти
скорость в точке В на орбите 2:
vB =^-= ^690 = 2,8908 (км/с).
®2 гв 22378 V 7
270
6.2. Перелет Гомана
Орбита 3 является круговой, поэтому ее орбитальная скорость постоянна
и определяется из уравнения (2.53):
/398600 Л ч
vB = --------=4,2204 (км/с).
Вз у 22378 V 7
Таким образом, потребная характеристическая скорость маневра в точ-
ке В дяя перехода космического аппарата с орбиты 2 на орбиту 3:
vb =vb3 ~vb2 =4,2204-2,8908 = 1,3297 (км/с).
При этом суммарная характеристическая скорость перелета Гомана:
Ду,_2_3 =|Дул|+|Дгг| = 1,7225+ 1,3297 = 3,0522 (км/с).
Перелет Гомана для соосных некруговых орбит
Поскольку реальная орбита не является абсолютно круговой, необходимо
обобщить понятие перелета Гомана, который осуществляется путем прило-
жения двух импульсов характеристической скорости, на перелет между эл-
липтическими орбитами, являющимися соосными, т. е. имеющими одну и ту
же линию апсид (рис. 6.4).
Рис. 6.4. Орбиты перелетов Гомана между соосными эллиптическими
орбитами (гА./гА =3, гв/гА / = 8, гв, / гА = 4)
271
Глава 6. Орбитальные маневры
Эллипс перелета должен касаться как начального, так и целевого эллип-
сов 7 и 2. Как видно на рис. 6.4, существуют две такие орбиты перелета:
3 и 3'. Для того чтобы выяснить, реализация какой из них требует самых низ-
ких затрат энергии, необходимо вычислить суммарную характеристическую
скорость маневра для этих орбит перелета. Данная задача требует определе-
ния скоростей в точках А, А', В и В' для каждой пары орбит, имеющих общие
точки. Согласно уравнению (2.74), для эллипса
где гр, га — радиусы перицентра и апоцентра соответственно. Из уравнения
орбиты для перицентра получим
г 1 1 +
Гр Ц 1 + е Ц t ! Га~Гр Ц 2га
Га+Гр
Угловой момент можно вычислить через радиусы перицентра и апоцентра:
A = (6.2)
и Г + Г
1ар
С помощью уравнения (6.2) определим угловые моменты каждой из че-
тырех орбит, приведенных на рис. 6.4:
, ГГ~ I I гвгк'
h} = 72ц А А ; /12 = 72ц
\гА+гА' \ГВ+ГВ,
/ъ = J2u. —4_2_- ft - 72ц J—A B .
\rA+rB \rA'+rB'
Отсюда получим скорости космического аппарата в характерных точках
маневров:
vAt =—; = -*•;
1 ГА 3 ГА
hi hi
vb2=—> vb3=~>
rB rB
h\ hi
v4'=—; v4=—;
rA' 3 rA'
hi hi
vB'2=—> vb;. = •
rB' rB.
Используя эти значения, вычисляем требуемые характеристические ско-
рости этих маневров:
272
6.2. Перелет Гомана
^va = |va - v41; Av« = - vb3 |;
=K -v4'|; Av5, =|vb. -vb, |.
Определим суммарные импульсы характеристической скорости для реа-
лизации траекторий перелета:
ДуЕз = Л7а + AVB- Д% = ДР> + ДИЙ„
После сведения всех формул имеем
Если ДуЕз /ДуЕз > 1, то орбита 3 является энергетически более выгодной;
если ДуЕз,/ДуЕз < 1, то орбита 3' является более выгодной, чем орбита 3.
На рис. 6.5 показаны три контурные диаграммы ДгЕз, /ДуЕз для трех раз-
личных видов внутренней эллиптической орбиты 1, приведенной на рис. 6.4.
Рис. 6.5, а (для гл/гя,=1/3) соответствует рис. 6.4, когда точка А являет-
ся перицентром исходной эллиптической орбиты. Рис. 6.5, б (Га'/га=1)
соответствует круговой исходной орбите. Наконец, рис. 6.5, в (г.а1га’ = 6) со-
ответствует начальной орбите 1 той же формы, что и на рис. 6.4, но точка А
является апоцентром этой орбиты.
При гА. > гА (см. рис. 6.5, а), если точка Л является перицентром орбиты 1,
то орбита перелета 3 является наиболее выгодной. При гА < гА. (рис. 6.5, в),
если точка А' является перицентром орбиты 1, то наиболее выгодной является
орбита перелета 3'.
Эти результаты позволяют сделать вывод, что наиболее эффективны
перелеты с началом в перицентре, принадлежащем внутренней орбите 7,
где кинетическая энергия КА — наибольшая, причем независимо от формы
внешней целевой орбиты. Если исходная орбита является круговой, то, как
показано на рис. 6.5, б, орбита перелета 3' является наиболее выгодной при
rff>rB. Другими словами, при перелете с внутренней круговой орбиты эл-
липс перелета должен заканчиваться в апоцентре внешней эллиптической ор-
биты, где скорость является самой медленной.
Если перелет Гомана происходит в обратном направлении, т. е. к внут-
ренней орбите, где КА имеет меньшую энергию, то приведенный анализ
также применим, поскольку общие затраты характеристической скорости
останутся теми же. Таким образом, при перелете от внешней круговой или
273
Глава 6. Орбитальные маневры
в
Рис. 6.5. Контурные графики
для различных от-
ношений размеров эллипсов
на рис. 6.4 (rB >rx, гв>гА}-.
а — гл/гл'=№ б — гА/гА.=1;
в — гл/гА.=6
эллиптической орбиты к внутренней эллиптической самый энергоэффектив-
ный эллипс перелета заканчивается в перицентре внутренней целевой орби-
ты. Если внутренняя орбита круговая, то эллипс перелета должен начинаться
в апоцентре внешней эллиптической орбиты.
Пример 6.2
Космический аппарат, возвращающийся с Луны, приближается к Земле
по гиперболической траектории. В ближайшей к Земле точке А он находится
на высоте 5000 км, его скорость равна 10 км/с. В точке А включаются тормоз-
ные двигатели, чтобы перевести КА на круговую орбиту 3 высотой 500 км, на
которой должна произойти его встреча с космической станцией. Найдите ме-
стоположение космической станции в момент торможения КА при условии,
что сближение будет происходить в точке В (рис. 6.6).
274
6.2. Перелет Гомана
Рис. 6.6. Относительное положение КА и космической станции
в начале эллиптической орбиты перелета (точка С соответствует
положению станции, когда КА находится в точке А):
1 — исходная орбита; 2 — эллиптическая орбита перелета; 3 — круговая
орбита перелета высотой 500 км
Решение
Время полета от точки А до точки В составляет половину периода Т2 эл-
липтической орбиты перелета 2. В то время как космический аппарат переме-
щается от точки А к точке В, космическая станция совершает полет по своей
орбите от точки С к точке В с угловой дальностью фсв. Оба космических
аппарата встречаются в точке В.
Для того чтобы вычислить период Т2, необходимо сначала получить па-
раметры орбиты: эксцентриситет и угловой момент. Определим апогей и пе-
ригей орбиты 2, являющейся орбитой перелета:
гА = 5000 + 6378 = 11 378 (км);
гв = 500 + 6378 = 6878 (км).
Откуда эксцентриситет орбиты перелета
11378-6878
11378 + 6878
= 0,24649.
275
Глава 6. Орбитальные маневры
Используя уравнение орбиты для точки перигея, определяем угловой мо-
мент орбиты перелета:
г % 1 6S7S 1
в ц1 + е2 398 6001 + 0,24649
=> ^2 = 58458 (км2/с).
Теперь можно использовать уравнение (2.72), чтобы найти период эллип-
тической орбиты перелета:
2л ( ^2 Y
' 7
2л Г 58 458 '
398 6002 Ц1 “°,246492 ?
= 8679,1 (с).
Период круговой орбиты 3, согласно уравнению (2.54):
3 3
Г3 =^г2 ZZ—-68782 =5676,8 (с).
7Й ^398 600
Согласно условиям задачи, время полета от точки С до точки В по орби-
те 3 должно быть равно времени полета от точки А до точки В по орбите 2, т. е.
Д/Сй = 1т2 = ^8679,1 = 4339,5 (с).
Поскольку орбита 3 является окружностью, угловая скорость космиче-
ского аппарата на ней постоянна, следовательно, можно записать
Фев 360
^св Т’з
4339 5
’360° = 275,2°.
5676,8
Задача решена, однако следует отметить, что суммарная характеристи-
ческая скорость рассматриваемого в задаче маневра составляет 6,415 км/с.
В соответствии с рис. 6.1 для такого маневра потребуется огромное количе-
ство топлива и осуществлять стыковку возвращаемого с Луны космического
аппарата со станцией на околоземной орбите нецелесообразно.
6.3. Би эллиптические перелеты
Рассмотренный в разд. 6.2 перелет Гомана с круговой орбиты 1 на круго-
вую орбиту 4 обозначен на рис. 6.7 пунктирным эллипсом, лежащим внутри
внешней окружности и вне внутренней и касающимся их обеих.
Схема биэллиптического перелета (БП) (см. рис. 6.7) содержит два со-
осных полуэллипса 2 и 3, которые выходят за границы внешней целевой ор-
биты. Каждый из двух эллипсов касается одной из круговых орбит, причем
оба касаются друг друга в точке В, которая является апоцентром их обоих.
Суть рассматриваемого перелета состоит в том, что поскольку точка В рас-
положена достаточно далеко от фокуса, то потребный импульс характери-
стической скорости для перехода с одного полуэллипса на другой Дгв будет
276
6.3. Биэллиптические перелеты
Рис. 6.7. Биэллиптический перелет с внутренней орбиты 1 на внешнюю
орбиту 4
мал. Фактически если радиус гв стремится к бесконечности, то AvB стремится
к нулю. Для практического использования биэллиптической схемы перелета
между орбитами необходимо, чтобы выполнялось условие
ДуХбэ<Ду2г. (6.3)
Расчет потребных импульсов характеристических скоростей для осу-
ществления перелетов Гомана и БП приводит к следующим результатам:
Г 1 V2(l-a) "I ГГ
Avr = ~Г~~ГТ,==Т-1 \ ’ (6-4)
л/а 7а(1 + а) Лгл
Д„БЭ=[ @а + ₽)_1±Л_ 12 117
V «Р Л V₽(1+₽) Ж
где
а = Ъ; р = -^-.
ГА ГА
На рис. 6.8. представлены результаты сравнения разности в потребных
характеристических скоростей на перелет Гомана Дуг и БП ДгБЭ как функции
аир. Показаны области, в которых эта разность является положительной,
277
Глава 6. Орбитальные маневры
Рис. 6.8. Границы областей параметров орбит, для которых БП вы-
годнее перелета Гомана по суммарному импульсу характеристиче-
ской скорости ДгБЭ биэллиптического перелета
отрицательной и нулевой. На рис. 6.8 видно, что перелет Гомана эффективнее
БП для отношения радиусов гс внешней целевой круговой орбиты и внутрен-
ней, равного примерно 12. Если это отношение превышает 15, то БП эффек-
тивнее. Для а = 11,94...15,58 большие значения радиуса апоцентра гв соответ-
ствуют БП, меньшие значения — перелету Гомана.
Небольшие выигрыши в энергоэффективности могут быть, однако ком-
пенсированы более длительным полетом по биэллиптической траектории по
сравнению со временем полета по полуэллипсу Гомана.
Пример 6.3
Найдите суммарную характеристическую скорость БП с геоцентрической
круговой орбиты радиусом 7000 км на геоцентрическую круговую орбиту ра-
диусом 105 000 км. Принять радиус апогея первого эллипса перелета равным
210 000 км. Сравните полученное значение характеристической скорости
и общее время полета с такими же значениями для обычного эллипса пере-
лета Гомана (рис. 6.9).
Решение
Поскольку гА = 7000 км, гв = 210 000 км, rc = rD = 105 000 км, имеем
гв/гА = 30 и гс/гА = 15. Поэтому в соответствии с рис. 6.8 БП будет более
энергоэффективным по сравнению с перелетом Гомана.
Для определения характеристической скорости перелета необходимо
определить характеристики каждой из пяти орбит.
Орбита 1 — исходная круговая орбита:
Гц /398 600 „ , ч
У4, = J— =\ ~=7,546 (км/с).
' }ГА N 7000
278
6.3. Биэллиптические перелеты
Рис. 6.9. Биэллиптический перелет
Орбита 2 — промежуточный полуэллипс перелета.
Из уравнения (6.2) определяем угловой момент орбиты:
^2=72H
= 72 -398600 / 7000 210 °00 = 73 487 (км2/с),
v V 7000 + 210000 1 ’
скорости в точках маневров:
= ^ = 73487 =1
Л гА 7000 V ’’
v = ^.= 73487 =0 34994 (км/с)
Вг гв 210000 1 ’
Орбита 3 — второй промежуточный полуэллипс перелета.
Определяем угловой момент орбиты:
= 72-398600J105000'210000 = 236230 (км2/с),
V V105 000 + 210 000
скорости в точках маневров:
236 230 , , ч
Vo = — =-------= 1,1249 (км/с):
В) гв 210000 1 h
279
Глава 6. Орбитальные маневры
vc = — = 236 230 = 2,2498 (км/с).
с’ гг 105000 1 7
Орбита 4 — целевая орбита, как и орбита 7, представляет собой окруж-
ность, т. е. для нее
V =V = 398600 =1,9484 (км/с).
с* 4 \ 105 000 v 7
Для биэллиптического маневра суммарная характеристическая скорость
А%э = A^+Avs+Avc =
= |Ч-v4|+|v^-vB2| + |vC4-vCj| =
= |10,498 - 7,546| +11,1249 - 0,34994| +11,9484 - 2,2498| =
= 2,9521 + 0,77496 + 0,30142 = 4,0285 (км/с).
Вычислим размеры больших осей орбит перелета 2 и 3:
а2 = 1(7000 + 210 000) = 108 500 (км);
а3 = 1(105 000 + 210 000) = 157 500 (км).
Используем эти значения и формулу (2.73) для расчета периода орбиты.
Время полета по двум полуэллипсам БП
з зА
2 , 2л _2
. •»
ц VP \
1 2л х х
?БЭ - 2 ~Г=а2 +~f=a3
= 488870 (с) = 5,66 (сут).
Для эллипса перелета Гомана — орбита 5:
h5 = 72 398 600 / 7000 105 000 = 72 330 (км2/с),
5 у V 7000 + 105 000 v 7
скорости в точках маневров:
/ь 72330
Vj, = — =-----
* гА 7000
= 10,333 (км/с);
%
As _ 72 330
rD ~ 105 000
= 0,68886 (км/с).
Суммарный потребный импульс характеристической скорости:
Д%=^-уа| + |уа-Рд| =
= (10,333-7,546)+ (1,9484-0,68886) = 2,7868 + 1,2595 = 4,0463 (км/с).
280
6.4. Фазирующие маневры
Это всего на 0,44 % больше, чем для БП.
Рассчитаем время перелета по эллипсу Гомана. Поскольку большая полу-
ось полуэллипса Гомана
а5 = |(7000 + 105 000) = 56 000 (км),
то время полета от точки А до точки D составляет
2л 3/2
zr -т "7=^5
= 65 942 (с) = 0,763 (сут).
Таким образом, время биэллиптического маневра более чем в 7 раз пре-
вышает время полета по эллипсу Гомана,
6.4. Фазирующие маневры
Схема фазирующего маневра, являющегося двухимпульсным перелетом, на-
чинающимся и заканчивающимся на одной и той же орбите, приведена на
рис. 6.10. Эллипс перелета, рассчитываемый как полный эллипс Гомана (в от-
личие от обычного перелета с угловой дальностью 180°), используется для
возвращения космического аппарата на основную орбиту в некоторое опре-
деленное время так, что при этом его угловое положение на орбите (фаза по-
лета) изменяется. Например, если требу-
ется провести стыковку двух космических
аппаратов, находящихся в разных местах
на одной и той же орбите, то один из них
может выполнить фазирующий маневр,
чтобы встретиться с другим. Коммуника-
ционные и метеорологические спутники
на геостационарной орбите используют
фазирующие маневры для перемещения
в новые точки стояния на этой орбите.
В таком случае встреча планируется с пу-
стой точкой в пространстве, а не с физи-
ческой целью.
На рис. 6.10 приведены два варианта
фазирующей орбиты. Фазирующая ор-
бита 1 может быть использована, чтобы
вернуть КА в точку Р менее чем за один
период основной орбиты. Это необходи-
Рис. 6.10. Основная (0) и две фази-
рующие орбиты, быстрая (7) и мед-
ленная (2) (Го — период основной
орбиты)
мо, когда цель располагается перед преследующим транспортным средством.
Следует отметить, что для перехода на эту орбиту требуется подать тормоз-
ной импульс скорости, т. е. необходимо замедлить космический аппарат,
чтобы ускорить его движение по отношению к целевой орбите. Если пресле-
дователь опережает цель, то используется фазирующая орбита 2 с большим
281
Глава 6. Орбитальные маневры
периодом обращения. Импульс характеристической скорости подается в на-
правлении движения КА, чтобы замедлить его.
После того как требуемый период Т фазирующей орбиты определен, сле-
дует использовать уравнение (2.73) для вычисления большой полуоси фази-
рующего эллипса:
I2" )
(6-5)
По рассчитанной полуоси а вычисляем радиус точки А: гА - 1а - гр, от-
куда можно установить, является ли точка Р перицентром или апоцентром
фазирующей орбиты. Затем можно использовать уравнение (2.74) для вычис-
ления эксцентриситета этой орбиты. Из уравнения орбиты (2.35), записанно-
го для любой из точек Р или А, можно получить значение углового момента
орбиты, после чего фазирующая орбита будет определена полностью.
Пример 6.4
Космические аппараты в точках А и В находятся на одной и той же орби-
те 7. В некоторый момент времени KA-преследователь в точке А выполняет
фазирующий маневр так, чтобы встретить целевой космический аппарат В
в точке А после одного оборота по фазирующей орбите 2. Какой суммарный
импульс скорости требуется для выполнения этого маневра?
Решение
В соответствии с рис. 6.11
гА = 6800 км, гс = 13 600 км.
Орбита 1
Эксцентриситет орбиты 1
е} = ^—^. = 0,33333.
ГС+ГА
Подставляя данные в уравнение орбиты для точки А, находим
гА = -------J-----=> 6800 = —----------------
А ц l + e,cos(0) 3986001 + 0,3333
=> hx = 60116 (км2/с).
Период орбиты определяем по уравнению (2.72):
3986002^1-0,333332 ,
( V
2л 60116
= 10 252 (с).
Поскольку точка А — перигей, то в нем нет радиальной компоненты
скорости. Скорость направлена по нормали к линии апсид и определяется из
формулы для расчета углового момента:
282
6.4. Фазирующие маневры
Фазирующая орбита должна иметь период Т2, равный времени, которое
потребуется целевому КА (В) на полет до точки А по орбите 1. Можно опре-
делить время полета, вычислив время полета \tAB от точки А к точке В и вы-
чтя его из периода Тх орбиты 1. В точке В истинная аномалия КА 0в = 90°,
поэтому в соответствии с уравнением (3.10):
1-е.
---Ltg—=
1 + е, 2
х Ев
*2 =
1-0 3333 90°
’ tg—= 0,70711,
1 + 0,3333 2
откуда Ев = 1,2310 (рад).
Из уравнения Кеплера (3.11) получаем:
Т 10 252
NtAB = -*-(Ев-exsinEB) = —-— (1,231-0,33333 sin 1,231) = 1495,7 (с).
2 л 2л
Таким образом, время полета целевого космического аппарата от точки В
до точки А:
\tBA = 1\- \tAB = 10 252 -1495,7 = 8756,3 (с).
283
Глава 6. Орбитальные маневры
Орбита 2
Период орбиты 2 должен быть равен &tBA. В этом случае КА-пресле-
дователь прибудет в точку А одновременно с целевым, т. е.
Т2 = 8756,3 с.
Это означает, что в соответствии с формулой для определения периода
орбиты (2.73) можно вычислить большую полуось орбиты 2:
Т2 = ^а2/2 => 8756,2 = --а2/2 => а2 =9182,1 (км).
7398600
Поскольку 2а2 =Га+1Ъ> получаем
rD = 2а2 -гА =2-9182,1-6800 = 11564 (км).
Таким образом, точка А на самом деле является перигеем орбиты 2, экс-
центриситет которой
е2 = Г° Га =0,25943.
rD+rA
Подставляя полученные данные для точки А в уравнение орбиты, опреде-
ляем угловой момент орбиты 2:
гА = i-----------=> 6800 = —------------------ => h2 = 58 426 (км2/с).
А ц l + e2cos(0) 398 6001 + 0,25943 2 v 7
Теперь можно вычислить скорость KA-преследователя в перигее орбиты 2:
58 426
vA - — --------= 8,5921 (км/с).
Аг гА 6800 v ’
Рассчитаем импульсы скоростей. В начале фазирующего маневра
kvA = Av^ -Av4 =8,5921-8,8406 = -0,24851 (км/с).
В конце фазирующего маневра
Аул = Av4 - Av4 = 8,8406 - 8,5921 = 0,24851 (км/с).
Таким образом, суммарный потребный импульс скорости
Avz =|-0,24851| +0,24851 = 0,4970 (км/с).
Пример 6.5
Требуется изменить долготу геостационарного КА на 12° к западу за
три оборота фазирующей орбиты. Вычислите требуемый импульс скорости
маневра.
284
6.4. Фазирующие маневры
Решение
Схема маневра представлена на рис. 6.12. Из уравнений (2.57)-(2.59) сле-
дует, что угловая скорость Земли, радиус ГСО и скорость КА на ней равны
соответственно
со£ = согсо = 7,2922-10“5 рад/с; ггсо = 42 164 км; vrco = 3,0747 км/с.
Рис. 6.12. Перепозиционирование КА на ГСО
Пусть АЛ — требуемое изменение долготы в радианах. Тогда период Т2
фазирующей орбиты может быть получен из следующей формулы:
со£ (ЗТ2) = 3 • 2ти- ДА,
где учтено, что после трех циклов фазирующей орбиты исходное положе-
ние КА будет располагаться на АЛ радиан восточнее точки Р. Другими сло-
вами, КА окажется на АЛ радиан западнее своего первоначального положе-
ния на ГСО, что и требуется по условиям задачи. Из последнего соотношения
получаем:
1 ДЛ + бл
3 со£
12°— + 6л
180°
3 7,2922-10’5
= 87121
(с)-
1
285
Глава 6. Орбитальные маневры
Отметим, что период ГСО
2тг
Тгсо = = 86164,09 (с).
®гсо
Спутник по медленной фазирующей орбите дрейфует на запад со скоростью
Л = = 8,0133 • 10-7 рад/с = 3,9669 град/сут.
ЗТ2
Зная период фазирующей орбиты, можно использовать уравнение (6.5)
для вычисления ее большой полуоси:
2
2
87121J398600 V
------------- = 42476 (км).
2л
а= —2—
\ 2л ;
Теперь можно определить радиальную координату точки С:
2а2 = + гс ==> гс = 2 • 42 476 — 42164 = 42 787 (км).
Далее следует найти эксцентриситет фазирующей орбиты 2:
= 42787-42164
2 гс + гА 42787 + 42164
и ее угловой момент из уравнения орбиты для точки Р (или С):
гР = ---------=> 42164 = ——---------------- => h, = 130120 (км2/с).
р ц l + e2cos(0) 398 6001 + 0,0073395
В точке Р скорость на орбите 2
130120
= uuizu 0859 (км/с)
Р* 42164 v '
поэтому импульс скорости для перехода на фазирующую орбиту
Av = Vp2 -vrco =3,0859-3,0747 = 0,01126 (км/с).
В конце фазирующего маневра
Av = vrco-V/> =3,0747-3,0859 = -0,01126 (км/с).
Следовательно, суммарный потребный импульс скорости
Avs =0,01126 + |-0,0112б| = 0,02252 (км/с).
Следует отметить, что была преднамеренно допущена неточность в рас-
четах, связанная с тем, что фактически точка В не лежит на линии апсид фа-
зирующей орбиты, а значит, скорость в конце фазирующего маневра имеет
286
6.5. Негомановские перелеты между орбитами с общими линиями апсид
не только нормальную, но и радиальную составляющие. Однако вследствие
малых значений разности большой полуоси фазирующей и целевой орбит,
эксцентриситета фазирующей орбиты и углового расстояния ДА этим можно
пренебречь, но именно в данной задаче.
6.5. Негомановские перелеты между орбитами
с общими линиями апсид
На рис. 6.13 приведена траектория перелета КА между двумя соосными эл-
липтическими орбитами. Линия апсид траектории перелета совпадает с лини-
ей апсид соосных орбит, но не обязательно является касательной к начальной
или целевой орбите. Задача состоит в том, чтобы определить, существует ли
траектория, соединяющая точки Л и В, и, если существует, найти суммарный
потребный импульс скорости указанного маневра.
Рис. 6.13. Негомановская орбита перелета 3 между двумя соосными
эллиптическими орбитами
Будем считать, что координаты точек А и В известны, т. е. гА, гв и их ис-
тинные аномалии и Ьв заданы. Линии апсид исходной, целевой и орбиты
перелета совпадают. Это приводит к тому, что истинные аномалии точек А
и В на исходной, целевой и орбите перелета равны. Используя уравнение ор-
биты для точек АнВ, лежащих на орбите 3, запишем:
Г % 1
ГА~ 1 , п ’
ц 1 + е3со8$л
Га 1
ц l + e3cosdB
287
Глава 6. Орбитальные маневры
Решая эти два уравнения совместно относительно е3 и h3, получаем
гв-гА
е3 =---------------->
rA cos Эл -rBcos3B
, I------ I COS Эя -COS&H
h3 = J------------------V
yrAcos&A -rBcos3B
(6.6)
Эти параметры определяют орбиту перелета, а скорость на ней можно
найти для любой истинной аномалии. Для перелета Гомана, когда ЬА = О
и Ов = л, запишем уравнения (6.6) в виде
ез =
rR - ГЛ , ГТ— I Г,Г„
——/i3=J2p А е .
гв+га Уга+гв
(6-7)
Когда определяют импульс скорости в точке, расположенной вне линии
апсид, необходимо учесть изменение направления, а также значение век-
тора скорости. На рис. 6.14 показана точка, в которой приложен импульс
скорости, при этом вектор скорости изменяется с Vj на орбите 1 на v2 на
орбите 2. Разность длин двух векторов указывает на изменение модуля ско-
рости, а разность углов траектории полета — на изменение ее направления.
Отметим, что Av, которую следует приложить в точке, является изменением
Рис. 6.14. Векторная диаграмма
изменения скорости и угла накло-
на траектории полета КА в точке
пересечения двух орбит
вектора скорости, а не изменением его зна-
чения (скорости) — нормой вектора разно-
сти скоростей и v2:
4v = ||v2-Vi||. (6.8)
Только если V] и v2 коллинеарны, как
в перелетах Гомана, то Av = || v21| -1 Vj ||.
Из рис. 6.14 и теоремы косинусов сле-
дует, что
Av = 7V? + v2 “ v2 cos Ay, (6.9)
где Vj = llvJI, v2 = ||v21| и Ay = y2 - yP
Направление вектора Av соответствует
ориентации вектора тяги двигателя в мо-
мент приложения импульса. Положение
вектора Av относительно местного гори-
зонта определяется путем замены vr и vn
в уравнении (2.41) на Avr и Av„, поэтому
гвФ=—г~, (6.Ю)
где ф — угол между местным горизонтом
и вектором Av.
288
6.5. Негомановские перелеты между орбитами с общими линиями апсид
Приложение импульса скорости может привести к изменению удельной
механической энергии е орбиты. Напомним (2.47), что эта энергия имеет вид
VV Ц / 2 \
Е - 2 (v -v v)’
Если расход топлива Ат пренебрежимо мал по сравнению с началь-
ной массой КА mb то Де = е2 - 8г Для варианта приложения импульса Av
(см. рис. 6.14)
и
_ (V] + Av)-(v1+Av) ц _ vj2 + 2V] • Av + Av2 p
£7 —---------------------—--------------------9
2 rB 2 rB
следовательно,
Av2
Ae = Vi • Av +-.
1 2
На рис. 6.14 видно, что Vj • Av = VjAvcos Ay, поэтому
Av2 ( 1 Av^
Ae = VjAvcosAy 4---= VjAv cos Ay 4---.
2 2 V1 )
Полагая, что Am « ти имеем соотношение Ave Vj (см. рис. 6.1), откуда
Де ® V] Avcos Ay. (6.11)
Из этого выражения следует, что для заданного Av изменение удельной
энергии тем больше, чем быстрее скорость КА, если изменение траекторно-
го угла у не равно 90°. И, кроме того, чем больше изменение Ае, соответ-
ствующее данному изменению скорости Av, тем более эффективен маневр.
Другими словами, для одних и тех же значений Av наиболее эффективны-
ми являются маневры в перицентре орбиты, где КА имеет максимальную
скорость.
Пример 6.6
Спутник, обращающийся по геоцентрической орбите 1 (рис. 6.15), вы-
полняет маневр в точке А так, чтобы выйти на орбиту 2 для последующего
приземления в точке D. Вычислите импульс скорости Av в точке А и его на-
правление по отношению к местному горизонту.
Решение
Согласно данным рис. 6.15,
гв = 20 000 км, гс = 10 000 км, rD = 6378 км.
289
Глава 6. Орбитальные маневры
Рис. 6.15. Негомановский перелет с общей линией апсид
Орбита 1
Рассчитаем эксцентриситет:
е=гд~гс =0,33333.
гв + гс
Угловой момент орбиты можно определить из ее уравнения, учитывая,
что точка С — перигей:
. -£_______1
1
=> 10 000 = —---------------=> й. = 72 902 (км2/с).
v р 1 + ejcos(0) 398 6001 + 0,33333
Зная угловой момент и эксцентриситет, можно с помощью уравнения ор-
биты найти радиальную координату точки А:
729022 1 ,ОПЛЛ „
гА =------------------------= 18744 (км).
А 398 600 l + 0,33333cosl50° v ’
Уравнения (2.21) и (2.38) позволяют определить нормальную и радиаль-
ную компоненты скорости в точке А на орбите 7:
v„ = — = 3,8893 км/с;
4 гА
(а)
vr = —e,sinl50° = 0,91127 км/с.
290
6.5. Негомановские перелеты между орбитами с общими линиями апсид
По этим данным можно найти значение вектора скорости в точке А\
+vr<, =3’9946 км/с
и траекторный угол
vr о 01 197
Y] = arctg-^- = arctg ’ = 13,187°.
V„ J, 0027 J
Орбита 2
Радиальные координаты и истинные аномалии точек А и D на орбите 2
известны. Применяя уравнение орбиты для точки А, получаем:
18744 = —А----------1------/г? = 7,4715-109 - 6,4705-109е2. (б)
398 6001 + е2 cos 150° 2 7
Аналогично, в точке D, являющейся перигеем орбиты 2:
6,378 = —^------— =>/г| = 2,5423-109+2,5423-109е2. (в)
398600 1 + е2 2 2
Приравнивая выражения для в (б) и (в) и решая эти уравнения отно-
сительно е2, получаем
е2 = 0,54692.
После чего можно использовать уравнение (б) или (в) для вычисления
h2 = 62 711 км2/с.
Далее определим радиальную и нормальную компоненты вектора скоро-
сти на орбите 2 в точке At
v = — = 3,3456 км/с;
* гА
vr =—e2sinl50° = 1,7381 км/с.
Йг 2
(г)
Следовательно, скорость и траекторный угол в точке А на орбите 2 со-
ставят соответственно
va =Jvn +vr =3,7702 км/с;
Л2 у пА2 ГА2 ’
у 1 *7001
у2 = arctg= arctg ’ = 27,453°.
v„ 3,3456
Изменение траекторного угла в результате импульсного маневра
Ду = у2 - У] = 27,453° - 13,187° = 14,266°.
291
Глава 6. Орбитальные маневры
Используя уравнение (6.9), получаем
Д +v2A2-2vAvA2cosAy =
.--------------------------------------------- (д)
= V3,99462 + 3,77022 -2-3,9946-3,7702-cos 14,266° =0,9896 (км/с).
Как и в ранее рассмотренных примерах, Дул является значением векто-
ра изменения скорости Дул в точке Л, а не изменением его модуля, которое
в данном случае составляет vA^ -vA^ = 3,9946-3,7702 = 0,2244 км/с.
Для того чтобы определить угловое положение вектора Дул относительно
местного горизонта, воспользуемся уравнением (6.10):
tg* = = % = ‘-7381-0-9113 = -1,5207,
Дк V,, -V. 3,3456-3,8893
ПА ПА2 ПА\ ’ ’
откуда
ф = 123,3°.
Рис. 6.16. Ориентация вектора Дул к местному горизонту
Этот угол показан на рис. 6.16. Перед запуском двигателей КА должен
быть повернут таким образом, чтобы вектор тяги был коллинеарен векто-
ру Ду4 и направлен противоположно ему.
6.6. Поворот линии апсид
На рис. 6.17 приведены две пересекающиеся орбиты, которые имеют одина-
ковое направление обращения по ним, но их линии апсид не совпадают. Оче-
видно, что перелет Гомана между ними невозможен. Существует возможность
292
6.6. Поворот линии апсид
Рис. 6.17. Две пересекающиеся орбиты, у которых линии апсид не совпадают
перехода с одной орбиты на другую с помощью одноимпульсного маневра
в точках, где они пересекаются, т. е. в данном случае в точках I и J. Как
видно на рисунке, угол поворота т| линии апсид — это разность между ис-
тинными аномалиями точки пересечения, измеренными от перицентра каж-
дой орбиты:
т] = О1-О2. (6.12)
Рассмотрим два случая поворота линии апсид.
В первом случае заданы параметры е и h обеих орбит, а также угол по-
ворота линии апсид т|. Задача заключается в том, чтобы найти истинные ано-
малии точек I и J на обеих орбитах. Радиальное положение точки I можно
определить по одному из уравнений
Й,2 1 й,2 1
Г/ =— -------— ИЛИ Гт =—----------— .
1 ц l + ejCosf^ 2 ц l + e2cos32
Поскольку ц, приравняв эти два выражения и перегруппировав
члены, получим
cos - e2tf cos Э2 = tf - .
Подставляя Ф2 = ^ - т| и используя тригонометрическое соотношение
cos ($1 - т|) = cos cos т| + sin sinт|, получаем уравнение относительно :
293
Глава 6. Орбитальные маневры
acos&j 4-б8т&! =с,
где
(6.13)
9 0 9 о 0
a = eyh2-e2hy cost]; b = -e2hx sinr|; c-h} -Т^.
Уравнение (6.13) имеет два корня, соответствующие двум точкам I и J
пересечения орбит:
п , ( с 1
=<р± arccosI —cos<p ,
\а J
(6-14)
где
<p = arctg—.
а
Найдя можно вычислить Э2 из уравнения (6.12). Для импульсного ма-
невра также можно определить Av. Пример вычисления Av приведен ниже.
Пример 6.7
Спутник находится на околоземной орбите с радиусами перигея 8000 км
и апогея 16 000 км (рис 6.18, орбита 7). Определите потребную скорость ма-
невра и истинную аномалию 0] точки маневра, необходимые для перехода
на орбиту с радиусом перигея 7000 км и апогея 21 000 км (орбита 2). Линия
апсид в результате маневра поворачивается на 25° против часовой стрелки.
Определите угол ориентации ф вектора импульса Av к местному горизонту.
294
6.6. Поворот линии апсид
Решение
Найдем эксцентриситеты двух орбит:
16000 - 8000
1 rAt+rPi 16000 + 8000
га2~гр2 21000-7000
2 г^грг 21000 + 7000
Из уравнения орбиты определим угловые моменты орбит:
Л2 1 h2 1
гР = —----------=> 8000 =----3------------=> Л, = 65 205 (км2/с);
Р' ц 1 + gjCosO 3986001 + 0,33333 1 7
гР = --------=> 7000 = —---------— => й, = 64 694 (км2/с).
ц l + e2cos0 3986001 + 0,5 1 7
Используя полученные параметры орбит с учетом, что т| = 25°, вычисля-
ем коэффициенты согласно уравнению (6.13):
а = erf - е2й2 cos п = 0,3333 • 64 6942 - 0,5 • 65 2052 cos 25° =
= -5,3159 • 108 (км4/с2);
b = -erf sinт| = -0,5• 65 2052sin25° = -8,9843• 108 (км4/с2);
с = й2 - Й2 = 65 2052 - 64 6942 = 6,6433 • 107 (kmVc2).
Далее из уравнений (6.14) определяем вспомогательный угол <р и истин-
ную аномалию точки маневра:
+ -8,9843-108 _О1О0
” = “g-5,3159-10’ = 39,39’
6-6433 1°7, €0359,39»
-5,3159 Ю8
Таким образом, истинная аномалия точки I
= 59,39° ± arccos
= 59,39° ±93,65°.
Э] = 153,04°.
Для точки J = 325,74°.
Имея значение истинной аномалии, можно вычислить радиальную коор-
динату точки маневра:
г = ^~----------------= 15175 (км).
ц 1 +в] cos 153,04° v 7
Компоненты вектора скорости и траекторный угол спутника на орбите 1
в точке Г.
1
295
Глава 6. Орбитальные маневры
= /^ = 65205 = 68 /
г 15175 '
vr =-^е, sinl53,04° = 398.6-09-0,33333sinl53,04° = 0,92393 (км/с);
ri hx 1 65 205 '
vr
Yj - arctg— -12,135°.
v«.
Скорость спутника на орбите 1 в точке маневра:
vi =yjvrt +v«1 -4,3950 км/с.
Для орбиты 2 в точке маневра находим:
h, 64 694 .
v„ - — ----------- 4,2631 (км/с);
”2 г 15175 1
vr = ^-е2 sin(153,04°-25°) = 398 600 • 0,5sinl28,04° = 2,4264 (км/с);
Гг й, 2 v ’ > 64 694 v '
у 2 = arctg — = 29,647°;
_________
Ъ = 7Vr2+V"2 = 4’9053 (km/c)-
По уравнению (6.9) находим
Av = v/ + v2 - 2v, v2 cos (y2 - Y]) =
- 74,39502 + 4,90532 - 2-4,3950-4,9053 cos (29,647°-12,135°) = 1,503 (км/с).
Угол вектора импульса скорости Av с местным горизонтом ф определяет-
ся по уравнению (6.10):
Av vr ~
ф = arctg—- = arctg—2-L
Av„ v„2 -v„_
( 2,4264-0,92393
= arctg --------------
I. 4,2631-4,2968
= 91,28°.
Во втором случае поворота линии апсид требуется провести импульс-
ный маневр при заданной истинной аномалии на орбите 1 с заданными
величинами радиальной и трансверсальной компонент импульса скорости.
Задача состоит в определении угла поворота т| и эксцентриситета е2 новой
орбиты.
Импульсный маневр создает изменение радиальной и нормальной ком-
понент вектора скорости в точке I орбиты Г Из формулы углового момента
h = rvn можно получить соответствующее значение углового момента орбиты 2:
296
6.6. Поворот линии апсид
л2 =r(vn+Av„) = Ai+rAvn.
(6.15)
Далее для расчета радиальной скорости на орбите 2 в точке I применим
формулу vr =(p/A)esind:
vr2 =4-,+Avr; 32=di-n=>
Подставляя уравнение (6.15) в это выражение и решая его относитель-
но получаем
1 (Ai+MvJfpejSm&i+AjAvJ
sin $2 =—3-------——;-------------- (6.16)
е2
Из уравнения орбиты, для точки I справедливы соотношения:
1
г =----------— (орбита 7);
ц l + ejcosfy
h2 1
г --------------(орбита 2).
ц l + e2cos92
Приравнивая эти два выражения для г, подставляя уравнение (6.15) и ре-
шая его относительно cos&2, получаем
спча _ 1 ^i + rAv„)2e1Cos91+(2/i1+rAvn)rAvn
е2
Затем, подставляя уравнения (6.16) и (6.17) в тригонометрическое тожде-
ство tg32 = sm32/cos^2’ находим
й] (Л] + rAv„j(pe]sin 9] + A]Avr)e1cos9]
tgS2 =—---------------------------------------
t1 I h} + rAv„ ) e} cos 9j + (2hx + rAv„ J rAv„
Последнее уравнение может быть упрощено заменой це} sin dj на h}vr
и h} на rvn, тогда
tg»2 =
_________
(vn, +Av„)2eicosd1 +(2vni + Av„)Av„ (н/г)
(6.18)
Уравнения (6.18) показывают, на какой угол Т] = 9, - 92 поворачивается
линия апсид, что полностью определяется компонентами вектора Av при за-
данной истинной аномалии 9р После решения уравнения (6.18), подставляя Э2
в уравнение (6.16) или (6.17), можно вычислить эксцентриситет е2 орбиты 2.
297
Глава 6. Орбитальные маневры
Таким образом, с учетом найденного значения й2 из уравнения (6.15) орби-
та 2 полностью определена.
Если импульсный маневр происходит в перицентре орбиты 19 где =
= vr= 0 и при этом Дул = 0, то из уравнения (6.18) следует, что
tg т| =--L Дрг (для радиального импульса в перицентре).
Если дополнительный импульс прикладывается вдоль радиальной компо-
ненты вектора скорости в перицентре, то т] < 0. Это означает, что линия апсид
результирующей орбиты вращается по часовой стрелке по отношению к ис-
ходной. И наоборот, прикладывая импульс против радиальной компоненты
вектора скорости в перицентре, можно повернуть линию апсид орбиты про-
тив часовой стрелки.
Пример 6.8
Спутник, обращающийся вокруг Земли изначально по орбите 1 (рис. 6.19)
получает импульс скорости в перигее. Определите угол поворота т| его линии
апсид.
Решение
На рис. 6.19 =17 000 км, гр^ = 7000 км.
Эксцентриситет орбиты Г.
е, — = 0,41667.
Г4+Ъ
298
6.6. Поворот линии апсид
Как обычно, используем уравнение орбиты, чтобы найти ее угловой момент:
h2l 1
ц 1 + ^cosO
=> 7000 =
11, 1
398 6001 + 0,41667
h} - 62 871 (км2/с).
Из формулы углового момента для точки которая является перигеем
орбиты 1 (О] = 0), следует:
= ^1_= 62871 = 816 (км/с)
гР 7000
(б)
К =0.
Из данных рис. 6.19 можно определить компоненты вектора импульса:
Avn = Avcos 60° = 1 км/с;
Avr = Av sin 60° = 1,7321км/с.
Для вычисления используем уравнение (6.18) вместе с (а), (б) и (в):
Л = (у +Ау„)(уГ|+Дуг) у; =
+ Av„ )2 е, cos + (2vni + Av„ )Av„ (н/^ )
(8,9816 + 1)(0 + 1,7321)__________8^L_ = o4O5O.
(8,9816 +1)2 • 0,41667 • cosO + (2 • 8,9816 +1) -1 (398600/7000)
Получили = 22,047°, поэтому из уравнения (6.12) следует
т] = -22,05°,
т. е. поворот линии апсид происходит по часовой стрелке, как и показано на
рис. 6.19.
Из уравнения (6.17) можно найти эксцентриситет орбиты 2:
(Л, +r/,Av„)2e1cosai + (2^ + r/?Av„)r/?Av„
е2 =---------------j---------------------=
Л1 COS&2
(62 871 + 7000 • I)2 • 0,41667 • cos 0 + (2 • 62 871 + 7000 • 1) • 7000 1 Л Л
62 8712-cos22,047°
Из уравнения (6.15) находим угловой момент орбиты 2:
h2 = r(yn+Av„) = hx + rPi Av„ = 62 871 + 7000 • 1 = 69 871 (км2/с).
Используя уравнение орбиты, определяем радиусы перигея и апогея
орбиты 2:
299
Глава 6. Орбитальные маневры
h\ 1 69 8712 1
Гр2 ; = - =6771,1 (км); р1 + е2 3986001 + 0,808830 v ’ h22 1 698712 1
ГЛ: = = =64 069 (км), ц 1-е2 3986001-0,808830 v ’
6.7. Маневры преследования
Перелеты Гомана, так же как и маневры фазирования, проводятся поэтапно
и могут занимать достаточно длительное время, хотя и являются энергетиче-
ски эффективными. Их проведение требует выполнения ряда предваритель-
ных условий, например, орбиты должны быть соосными. Рассматриваемые
в этом разделе траектории преследования или перехвата получают в резуль-
тате решения задачи перелета КА из точки А в точку В за заданное время.
Зачастую для перехватывающих траекторий вблизи планеты требуются
слишком большие импульсы скорости, лежащие за пределами возможностей
сегодняшней технологии, поэтому следует достаточно взвешенно подходить
к их расчету и реализации.
Пример 6.9
Космические аппараты в точках В и С находятся на геоцентрической эл-
липтической орбите (рис. 6.20, орбита 7). Истинные аномалии точек В и С:
$в = 45°, 7>с = 150°. В показанный момент времени КА в точке В выполняет
маневр с переходом на траекторию 2 и выходом в точку С, в которой он
должен встретиться с КА в точке С точно через 1 ч. Найдите орбитальные
параметры е и h траектории перехвата и суммарный импульс скорости, не-
обходимый для выполнения маневра преследования.
Решение
Сначала следует определить параметры орбиты 1. Эксцентриситет вы-
числяем по заданным на рис. 6.20 радиусам перигея и апогея орбиты:
е\ =
18900-8100
18 900 + 8100
= 0,4000.
Из уравнения орбиты для перигея получим
hi 1 h2i 1
ц 1 + ejCosO 398 6001 + 0,4
= 67 232 км2/с.
Используя уравнение (2.72), найдем период этой орбиты:
2п { К Y
Т\ =
М [Vi-ej2}
2л ( 67 232 V
398 6002 ^1_о,4\
= 15 610 (с).
300
6.7. Маневры преследования
Рис. 6.20. Траектория перехвата 2 для КА в точке В, чтобы настичь
КА в точке С в течение 1 ч при его перемещении по траектории 1
Поскольку перелет происходит в плоскости, то имеет смысл воспользо-
ваться перифокальной СК. В этой СК, согласно уравнению (2.109), вектор
положения КА в точке В
*в =
1
Ц l + gjCOSdg
(cos &sp + sin 3Bq) =
67 2322 1
398 600 1 + 0,4cos 45°
[(cos 45°)p + (sin 45°)q]
или
yb = 6250,6p + 6250,6q (km).
(a)
Кроме того, в соответствии с уравнением (2.115) скорость КА в точке В
на орбите 1
ув, =^[-sin&Bp + (e + cos9B)q] = 398 6°° [(-sin45°)p + (0,4 + cos45°)q],
/7 О /
т. е.
=-4,1922p + 6,5637q (км/с).
(б)
301
Глава 6. Орбитальные маневры
Теперь нужно определить положение точки С, в которой КА С будет
через 1 ч (А?), когда состоится его встреча с КА В. Для этого сначала вычис-
лим время с момента прохода перигея КА С. Поскольку истинная аномалия
точки С известна, эксцентрическую аномалию найдем из уравнения (3.10):
tg^ = JrFtgF = \Oztg^T’ = 2,4432^Ес= 2,3646
2 у 1 + в] 2 \ 1 + 0,4 2
Подставляя это значение в уравнение Кеплера (3.11), получаем время
с момента прохождения перигея:
tc = -(Ес-е}sin£c) = ^-^(2,3646-0,4sin2,3646) = 5178 (с).
2лv 2л
Через 1 ч (Д/ = 3600 с) КА будет находиться в точке перехвата С':
^с' ~^с + = 5178 + 3600 = 8778 (с).
Соответствующая средняя аномалия этой точки
t 8778
Ме = 2л— = 2л——= 3,5331 (рад).
ес Тх 15 610 7
Уравнение Кеплера для полученной средней аномалии имеет вид
Ес - ех sin Ес = 3,5331.
Для него, согласно алгоритму 4.1, имеется решение Ec =3,4223 рад.
Подставляя этот результат в уравнение (3.10), получаем истинную ано-
малию точки С:
tg^ = ^Htg^T^ = ”10,811, 0ТКуДа дс'=190>57°.
Далее вычислим векторы положения и скорости КА в точке С на орби-
те 7 в перифокальной СК:
г ---------1------r(cosl90,57°)p + (sinl90,57°)ql =
с 3986001 + 0,4cos190,57oLV 7 v 7 J
= -18 372p-3428,lq(KM);
vc; =^^^[(-sinl90,57°)p + (0,4 + cosl90,57°)q] = l,0875p-3,4566q(KM/c).
(в)
Дугу траектории, соединяющей точки В и С, можно определить, решив
задачу Ламберта. Подставляя гв и гс, вместе с Az = 3600 с, по алгоритму 5.2
получаем
302
6.7. Маневры преследования
vfi2 = -8,1349p + 4,0506q (км/с); (г)
Vq = -3,4745p-4,7943q (км/с). (д)
Из (б) и (г) находим
AvB - \Вг - =-3,9426p-2,5132q (км/с),
а из (в) и (д)
Avc = vc. - vc- =4,5620p + l,3376q (км/с).
Как и следовало ожидать, суммарный импульс скорости для рассматри-
ваемого маневра чрезвычайно велик:
Ду = ||vB|| + ||vc.|| = 4,6755 + 4,7540 = 9,430 (км/с).
Из решения задачи Ламберта известно, что орбита 2 является эллипсом.
Для определения ее элементов используем вектор состояния vb2 ) и, при-
менив алгоритм 4.1, получим: h2 = 76 167 км2/с; е2 = 0,8500; а2 = 52 449 км;
3^ = 319,52°.
Детали траектории перехвата и маневра показаны на рис. 6.21. Менее эф-
фектным, хотя и более реалистичным способом для встречи с КА С будет
использование маневра фазирования. Однако этот маневр займет достаточно
много времени.
Рис. 6.21 Эллиптическая орбита, часть которой служит траекторией
перехвата
303
Глава 6. Орбитальные маневры
6.8. Маневры поворота плоскости орбиты
Орбиты, имеющие общий фокус F, обычно не лежат в общей плоскости. На
рис. 6.22 показаны две такие орбиты и линия их пересечения BD. Точки А
и Р — апоцентр и перицентр соответственно. Поскольку общий фокус ле-
жит в каждой орбитальной плоскости, он находится на линии пересечения
любых двух орбит. Тогда для поворота плоскости, в которой КА обращает-
ся, например по орбите 1, в плоскость орбиты 2 с помощью одного маневра,
необходимо приложить импульс скорости на линии пересечения плоскостей
Рис. 6.22. Две некомпланарные орбиты относительно фокуса F (а), вид
вдоль линии пересечения двух орбитальных плоскостей (б)
этих орбит. Существуют две точки, в которых можно приложить соответству-
ющий импульс, — точки В и D на рис. 6.22, а. На рис. 6.22, б показана про-
екция двух плоскостей на плоскость, ортогональную линии BD. Двугранный
угол 5 — угол, на который осуществляется поворот между двумя плоскостя-
ми. Изменение положения плоскости орбиты 1 требует осуществить простое
вращение вектора vn вокруг линии пересечения на двугранный угол 5. Ради-
альная составляющая вектора скорости направлена вдоль линии пересечения
плоскостей орбит и в маневре не задействована. Если в процессе маневра ве-
личины векторов v„ и vr остаются неизменными, то происходит простое вра-
щение плоскости орбиты. Таким образом, за исключением новой ориентации
в пространстве, орбита остается без изменений. Если величины векторов vw
и vr изменяются в процессе маневра, то поворачиваемая орбита приобретает
новые размер и форму.
Для того чтобы найти характеристические скорости маневра, позволяю-
щего осуществить поворот плоскости орбиты, примем V! — скорость КА на
ней перед маневром, a v2 — скорость КА после импульсного маневра. Тогда
можно записать
304
6.8. Маневры поворота плоскости орбиты
v, - p_u_ + р_ и_ ;
1 q Г П] Л| 7
V2 = Vr Ur + V„ IL ,
Z <2 r rt2 ”2 7
где ur — радиальный единичный вектор, направленный вдоль линии пере-
сечения двух орбитальных плоскостей, который не изменяется во время
маневра.
Нормальный единичный вектор и„ ортогонален вектору ur и лежит в пло-
скости орбиты. В процессе маневра он поворачивается на угол 5 от его началь-
ной ориентации, заданной вектором иЛ1, до конечной, заданной вектором и„2.
Изменение вектора скорости выражается в виде
Av = v? - Vi = (vr -vr + v„ u„ -v„u„ .
Z 1 \ '2 q / ' ”2 ”1
Значение Av находим как и ранее:
Av2 = Av • A v =
= [(*4 -vn)ur + v„2u„2 -v„u„J-[(vr2 -vri)ur +v„2u„2
Раскроем скобки, учитывая, что нормы ur • ur - иП[ • иП) - u„2 • u„2 -1 и еди-
ничные векторы ортогональны, т. е. ur • иП| = ur • u„2 = 0. Получим
Др2 =(vr -vr)2 + v^ + р2 -2p„p„ (u„ u„ ).
\ r2 r\ J п1 Ъ ”1 n2 \ n\ n2 J
Произведение u„2) = cos5, поэтому общая формула для вычисле-
ния Др при маневре изменения положения плоскости орбиты принимает вид
Av = v(vr2-Vr,) 4,+v2Wos8' <619)
Из определения траекторного угла (см. рис. 2.11) следует
рГ] =p1siny1; p„]=p1cosy1;
рГ2 =p2siny2; p„2=p2cosy2.
Подставляя эти соотношения в уравнение (6.19), раскрывая скобки, при-
водя подобные и используя тригонометрические тождества
sin2 у! + cos2 У! = sin2 у 2 + cos2 у 2 = 1;
cos(y2 -y1) = cosy2cosy1 +siny2sinyj,
приходим к другой записи уравнения (6.19), а именно
Др = р2 + р2 - 2pjP2 [cos Ду - cos у 2 cos У! (1 - cos 5)], (6.20)
305
Глава 6. Орбитальные маневры
где Ду = у2 "Yi- В качестве проверки полученного результата предположим,
что положение плоскости не меняется, т. е. 5 = 0, тогда cos5 = 1 и уравнение
(6.20) сводится к уравнению
Av = -^уI 2 + v2 - 2vjV2 cos Ду,
которое является известной теоремой косинусов, используемой для вычис-
ления Ду при плоских маневрах. Таким образом, уравнение (6.19) включает
в себя уравнение (6.9) как частный случай.
Из уравнения (6.19) следует, что минимум Ду достигается, когда
радиальная скорость при выполнении маневра изменения положения плоско-
сти остается неизменной. Из того же уравнения следует, что такой маневр
должен выполняться в точке, где vn является наименьшей, т. е. в апоцентре.
На рис. 6.23 приведен маневр изменения плоскости в апоцентре. В этом
случае уГ) =уГ2 = 0, поэтому уИ1 = У] и у„2 =у2, что приводит уравнение (6.19)
к виду
Ду = 5/v2 + v2 -2^ cos5. (6.21)
Это уравнение справедливо как для поворота плоскости орбиты в апоцентре,
так и в перицентре.
Рис. 6.23. Изменение плоскости орбиты в апоцентре
При реализации маневра поворота орбиты возможны три варианта.
Первый вариант заключается в одновременном повороте плоскости
и изменении вектора скорости (рис. 6.24, а). Используя тригонометрическое
равенство
2 5
cos5 = l-2sin —,
2
можно записать уравнение (6.21) таким образом, чтобы учесть помимо по-
ворота плоскости орбиты также и изменение значения вектора скорости КА
в апоцентре или перицентре:
I 5
Avj = J(v2 - V] )2 + 4v, v2 sin2 (6.22)
306
6.8. Маневры поворота плоскости орбиты
Рис. 6.24. Возможные варианты поворота плоскости орбиты в апо-
центре или перицентре:
а — изменение модуля скорости сопровождается поворотом плоскости;
б — осуществляется поворот плоскости с последующим изменением модуля
скорости; в — изменение модуля вектора скорости с последующим пово-
ротом плоскости орбиты
Если модуль скорости не изменяется, т. е. v2 = v15 из уравнения (6.22)
получим
а , • 5
Avs = 2vsin—.
5 2
(6.23)
Нижний индекс «8» означает, что это характеристическая скорость чи-
стого поворота вектора скорости на угол 8.
Второй вариант поворота плоскости орбиты приведен на рис. 6.24, б.
В этом случае требуется сначала повернуть вектор скорости, а затем изме-
нить его значение. Тогда характеристическая скорость маневра
Дуц =2vj sin -+|v2-vi|.
Третий вариант поворота плоскости орбиты заключается в том, что-
бы сначала изменить значение скорости, а затем повернуть вектор скорости
(рис. 6.24, в). В этом случае характеристическая скорость маневра
Avni=|v2-vi| + 2v2sm-.
Из анализа представленных вариантов проведения маневра поворота пло-
скости следует, что
А /д2 Л I I • 5[ 1 - 5]
Avn = JAvl +4VJV2 -vi|sm—I 1-sin— I > Аур
Avm = JAV| + 4v2|v2 1-sinj > AvP
Таким образом, поворот плоскости орбиты, сопровождаемый также
и изменением значения вектора скорости, является наиболее эффективным
307
Глава 6. Орбитальные маневры
Рис. 6.25. Значения Др, необходи-
мые для поворота вектора скорости
на угол 5
из трех возможных способов проведения
маневра.
Значения импульса скорости для по-
ворота плоскости орбиты (6.23) приве-
дены на рис. 6.25, который показывает,
насколько энергетически затратны значи-
тельные изменения плоскости орбиты. На-
пример, поворот плоскости орбиты на 24°
требует затрат скорости Ду, равных затра-
там на выведение КА на параболическую
траекторию — 41,4 %. Для поворота пло-
скости орбиты на 60° требуется Ду, равная
скорости самого КА, которая на около-
земной орбите составляет около 7,5 км/с.
Такая скорость практически равна требу-
емой для выведения КА на околоземную
орбиту. Например, многоразовые корабли
«Буран» были способны изменить орбитальную плоскость своей орбиты не
более чем на 3°, исчерпав при этом весь запас топлива. Следует отметить,
что корректировки плоскости орбиты необходимо проводить во время ак-
тивного участка выведения КА, когда абсолютная скорость движения еще
относительно мала.
6.8.1. Ограничения, накладываемые расположением космодрома
при выведении космического аппарата на орбиту
Вследствие существующих ограничений, налагаемых расположением космо-
дромов, зачастую невозможно провести корректировку положения плоскости
орбиты КА во время его выведения на орбиту. В первую очередь это относит-
ся к геостационарным спутникам. Они должны располагаться на околоземной
орбите в экваториальной плоскости, но непосредственно вывести спутник на
такую орбиту можно только с космодрома, расположенного на экваторе. Это
обусловлено тем, что плоскость орбиты содержит центр Земли как фокус ор-
биты, а также точку, из которой спутник выводится на орбиту, как показано
на рис. 6.26. Таким образом, если точка запуска КА находится не на эква-
торе, то плоскость орбиты всегда будет не совпадать с плоскостью эк-
ватора. В главе 4 отмечалось, что угол между экваториальной плоскостью
и плоскостью орбиты КА называется наклонением орбиты i.
Запуск спутника на восток в полной мере позволяет дополнительно ис-
пользовать скорость вращения Земли, которая составляет около 0,5 км/с
на экваторе и уменьшается в направлении полюсов. На рис. 6.26 приведен
пример запуска КА на низкую околоземную орбиту из точки 28,6° с. ш. Как
видно на рисунке, наклонение орбиты составляет 28,6°. Через четверть пути
вокруг Земли спутник пересечет экватор. На полпути вокруг Земли он достиг-
нет 28,6° ю. ш., затем проследует на север, пересекая экватор в точке, равной
трем четвертям пути, и вернется через один полный оборот в точку 28,6° с. ш.
308
6,8. Маневры поворота плоскости орбиты
Рис. 6.26. Орбита спутника, запущенного на восток из точки
28,6° с. ш.
Рис. 6.27. Орбиты КА при запуске:
1 — на северо-восток (0 < А < 90°) из точки 28,6° с. ш.; 2 — на юго-восток
(90° < Л <270°)
309
Глава 6. Орбитальные маневры
Азимут запуска — направление полета при старте КА, измеренное по
часовой стрелке к северу от местного меридиана. Таким образом, азимут
А = 90° задает направление на восток. Если направление запуска не строго
восточное, то орбита будет иметь наклонение больше, чем широта точки за-
пуска, как показано на рис. 6.27 для ф = 28,6° с. ш. Запуск на северо-восток
(0 < А < 90°) или юго-восток (90° < А < 180°) позволяет использовать скорость
земного вращения только частично. В обоих случаях наклонение получаемой
орбиты i больше, чем широта космодрома, но меньше 90°. Поскольку эти ор-
биты имеют положительную составляющую вектора скорости относительно
вращающейся Земли, они называются прямыми орбитами. Запуск на запад
позволяет получить ретроградные орбиты с наклонениями между 90° и 180°.
Рис. 6.28. Измененные наклонения орбиты i при разных азимутах
запуска А с некоторых широт ф:
1-8 — ф равно 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 градусов
Л, град
Рис. 6.29. Изменение наклонения орбиты i для точки пуска с широ-
той ф = 51°49' при разных азимутах пуска А
310
6.8. Маневры поворота плоскости орбиты
Для того чтобы получить соотношение между наклонением орбиты i,
широтой ф и азимутом пуска А со стартовой платформы, следует воспользо-
ваться элементами сферической геометрии. Для указанных углов без учета
вращения Земли справедливо равенство
cos i = cos фsin А. (6.24)
Можно проверить, например, что i = ф, когда А = 90°, как и отмечалось
ранее. График этой зависимости представлен на рис. 6.28. На рис. 6.29 по-
казано, какой будет ориентация орбит для некоторого диапазона азимутов за-
пуска при широте точки запуска ф = 51°49'.
Пример 6.10
Определите необходимый азимут пуска для солнечно-синхронного спут-
ника из примера 4.7, если он запускается из пункта Ванденбург на побережье
Калифорнии (США) 34,5° с. ш.
Решение
В примере 4.7 было определено требуемое наклонение солнечно-син-
хронной орбиты: i = 98,43°. Используем уравнение (6.24) для расчета азимута
запуска:
. cosi cos98,43°
sm А =-----=-----------
совф cos34,5°
= -0,1779.
Исходя из полученного результата, азимут пуска может быть А = 190,2°
при запуске спутника на юг или А = 349,8° при запуске его на север.
На рис. 6.30 показано, каким будет положение орбиты в зависимости от
выбора азимута пуска. В любом случае орбита является ретроградной, но при
Рис. 630. Влияние азимута точки запуска А КА на положение орбиты:
а — 349,8°; 6— 190,2°
311
Глава 6. Орбитальные маневры
этом азимут определяет, будет ли восходящий узел находиться в том же по-
лушарии, что и стартовая площадка, или на противоположной стороне Земли.
Дополнительно вопрос выбора азимута пуска может встать из-за на-
земных условий в ближайшей окрестности космодрома. Так, в некоторых
случаях запуск бывает невозможен из-за угрозы безопасности, так как траек-
тория выведения КА проходит через населенную местность. При подобного
рода ограничениях КА запускают в противоположном направлении, как это
в действительности и реализовано для космодрома в Ванденбурге. Например,
для Космического центра имени Джона Фицджеральда Кеннеди (Флорида,
США) (ф = 28,6° с. ш.) расчет дает почти то же значение А. Однако в этом
случае соображения безопасности на побережье Флориды вынуждают огра-
ничивать азимуты запуска на восток углами между 35° и 120°, т. е. полярные
и солнечно-синхронные спутники не могут быть выведены на свои орбиты
с восточного испытательного полигона США.
6.8.2. Трассы космических аппаратов
Проекция орбиты спутника на поверхность Земли называется его трассой.
Поскольку спутник достигает максимальной и минимальной широты на каж-
дой орбите, проходя над экватором дважды за период, на проекции Мерка-
тора наземный след спутника на низкой околоземной орбите напоминает си-
нусоиду. Если бы Земля не поворачивалась вокруг собственной оси, на ее
поверхность проецировалась бы одна синусоида как след траектории спутни-
ка, снова и снова по мере облета спутником Земли. Однако Земля вращает-
ся в восточном направлении со скоростью 15,047ч, поэтому трасса спутника
перемещается на запад с той же скоростью. На рис. 6.31 приведены витки
орбиты первого искусственного спутника Земли (ИСЗ) за сутки. Расстояние
между двумя последовательными пересечениями экватора можно измерить:
Рис. 6.31. Трасса первого ИСЗ
312
6.8. Маневры поворота плоскости орбиты
оно равно 24°. Учитывая угловую скорость вращения Земли вокруг собствен-
ной оси, можно вычислить, что период спутника
24°
Т =-----— = 1,6 ч = 96 мин.
15,047ч
Это типичный период низкой околоземной орбиты.
Пример 6.11
Найти скорость Av маневра, необходимую для перевода спутника с низ-
кой круговой орбиты ожидания (НОО) высотой 300 км и наклонением 28°
на геостационарную экваториальную орбиту. Переход на круговую орбиту
и изменение наклонения проводить на максимальной дальности (в апогее эл-
липтической орбиты). Сравнить потребный импульс скорости с вариантом
изменения параметров у низкой околоземной орбиты. Замечание. В данной
задаче рассматриваются изначально неоптимальные варианты перелетов, аль-
тернативы которым будут представлены в примере 6.12.
Решение
На рис. 6.32 показана низкая околоземная орбита ожидания (7) с накло-
нением 28°, в той же плоскости находится эллипс перелета Гомана (2) и про-
екция (3) ГСО. Из данных рисунка следует, что
Рис. 632. Перелет с НОО (7) на ГСО (2) по орбите с наклонением 28° (3)
(7 = 28°)
Орбита 1
На этой круговой орбите скорость в точке В
VA
398 600
6678
= 7,7258 (км/с).
313
Глава 6. Орбитальные маневры
Орбита 2
Эксцентриситет орбиты перелета Гомана
= 0,72655.
гс + гв
Используем уравнение орбиты для точки В, чтобы найти угловой момент
орбиты перелета Гомана (3):
Й2 1 Л2 1
гв = —-----------=> 6678 =------------------------=> h2 = 67 792 (км2/с).
ц l + e2cos(0) 3986001 + 0,72655 2 4 7
Скорости в перигее и апогее орбиты 3 вычисляем по найденному углово-
му моменту орбиты:
Л2
vB - — = 10,152 км/с;
2 гв
h7
vc =— = 1,6078 км/с.
2 гс
Определим значение первого импульса скорости:
AvB=4-^=10,152-7,7258 = 2,4258 (км/с). (а)
Орбита 3
На этой орбите, которая является круговой, скорость в точке С
vc = — = 3,0747 км/с,
3 гс
тогда второй импульс скорости
Avc =vCj ~vc2 =3,0747 —1,6078 = 1,4668 (км/с). (б)
Вычислим потребный импульс скорости для перелета Гомана:
Avr = AvB+Avc =2,4258 + 1,4668 = 3,8926 (км/с).
В результате перелета спутник оказывается на круговой орбите правиль-
ного радиуса, но неправильного наклонения. Вектор скорости в точке С дол-
жен быть повернут в плоскость экватора, как показано на рис. 6.33. В соот-
ветствии с уравнением (6.30) импульс скорости, необходимый для поворота
вектора скорости на 28°, равен
Avic =2vC3siny = 2-3,0747 • sin-^- = 1,4877 (км/с).
314
6.8. Маневры поворота плоскости орбиты
Рис. 633. Маневр поворота плоскости орбиты после перелета Гомана
Таким образом, суммарный потребный импульс скорости всех маневров
Avx = Avr + = 5,3803 км/с.
Предположим, что поворот плоскости орбиты проводится для НОО, а не
для ГСО. Для того чтобы повернуть вектор скорости vB] на 28°, требуется
импульс скорости
д; 2Я°
Ауд. = 2уд sin—= 2-7,7258-sin-= 3,7381 (км/с).
2 2
Тогда вместе с расчетами Avg (а) и Avc (б), получим суммарный импульс
скорости маневра перелета на ГСО:
Avs. = AvB + AvB + Avc = 3,7381 + 2,4258 +1,4668 = 7,6307 (км/с).
Суммарный потребный импульс скорости увеличился на 42 % по сравне-
нию с вариантом поворота плоскости орбиты в апогее гомановского эллипса,
где КА имеет наименьшую скорость.
Пример 6.12
Предположим, что в примере 6.11 поворот плоскости орбиты проводится
в два этапа. Первый поворот плоскости орбиты проводится на Ai в перигее В
эллипса перелета Гомана, а второй поворот на 28° -Ai — происходит в апо-
гее С. Найдите значение Ai, которое минимизирует суммарный потребный
импульс скорости.
Решение
Из примера 6.11 известно, что если Ai = 0, то Avz =5,3803 км/с, в то
время как для Ai = 28° Avz = 7,6307 км/с. Таким образом, в задаче требуется
315
Глава 6. Орбитальные маневры
определить, существует ли значение Az между 0 и 28°, при котором суммар-
ный импульс скорости Avz был бы меньше любого из рассчитанных.
В этом случае изменение положения плоскости орбиты происходит в обе-
их точках В и С. Напомним, что наиболее эффективная стратегия заключа-
ется в совместном повороте плоскости орбиты и изменении скорости КА на
ней. Поэтому, согласно уравнению (6.21),
Ave = +v^ -2vB vg2 cosAz =
= 77,72582 +10,1522 - 2 • 7,7258 • 10,152 • cos Az = ^/162,74 -156,86 cos Az;
Avc = ф>с2 + vc3 ~2vc2vc} cos(28°-Az) =
= 71,60782 + 3,07472 - 2 • 1,6078 • 3,0747 •cos(28°- Az) =
= 712,039-9,8871cos(28°-Az).
Таким образом, суммарный потребный импульс скорости
Д ~ Д + Д vc =
= 7162,74-156,86cosAz + 712> 039-9,8871cos(28°-Д/).
Для того чтобы определить, существует ли Д/, минимизирующий Дуе,
возьмем производную уравнения (а) по Д/ и приравняем ее нулю:
JAv£ = 78,43sinAz________________4,9435sin(28°- Az) = Q
dM 7162,74-156,86cos Az 712,039 - 9,8871cos(28°-Az)
Это трансцендентное уравнение, которое может быть решено итератив-
но. Решением, которое можно проверить самостоятельно, является
Д/ = 2,1751°. (б)
Таким образом, изменение наклонения на Д/ = 2,1751° должно происхо-
дить на НОО, в то время как остальное изменение положения плоскости (по-
ворот на 25,825°) необходимо проводить на ГСО. Подставляя (б) в (а), полу-
чаем окончательное значение суммарного потребного импульса скорости:
Дуе=4,2207 км/с.
Полученное значение на 21 % меньше, чем наименьшее Ду2 из вычислен-
ных в примере 6.11.
Следует отметить, что на самом деле оптимизация разбиения по Д/
в рассматриваемом двухимпульсном перелете приведет к выигрышу по
Ду лишь 0,57 % (около 24 м/с), если сравнивать полученный результат
316
6.8. Маневры поворота плоскости орбиты
с двухимпульсным перелетом, в котором весь поворот плоскости проводит-
ся в апогее за один импульс с одновременным увеличением высоты перигея
и уменьшением наклонения.
Пример 6.13
Космический аппарат обращается по околоземной орбите с высотами пе-
ригея 500 км и апогея 10 000 км. Орбита пересекает экваториальную пло-
скость в точке с истинной аномалией 120° (рис. 6.34). Наклонение орбиты
равно 15°. Определите минимальную скорость маневра поворота плоскости
орбиты в экваториальную плоскость.
16 378 км
6878 км
Рис. 634. Орбита пересекает экваториальную плоскость по линии ВС.
Наклонение орбиты 15°
Решение
Параметры исходной орбиты:
e = ^ZlP.
гА+гр
(6378+10 000)-(6378 +500) _0 4Qg5
(6378+10 000)+ (6378+ 500)" ’
l2 I
Гр=-----------=>6878 =
ц 1 + ecosO
h2 1
3986001 + 0,4085
* = 62141 км2/с.
317
Глава 6. Орбитальные маневры
Рассчитаем радиальные координаты точек В и С и компоненты вектора
скорости в них:
h2 1 621412 1 , ч
гв =-----------=------------------------= 12174 (км);
в ц l + ecosde 398 600 1 + 0,4085-cos 120° 4 7
h 62141 , /ч
‘-^ = Ы^=5’"43 <км/с);
vr = — esin = 398 600 0,4085 sinl 20° = 2,2692 (км/с).
Гв h в 62141
Кроме того,
Л2 1 621412 1 ол.л Г Z X
гв =-----------=--------------------------- 8044,6 (км);
в ц l + ecosOc 398 6001 + 0,4085 cos300° v ’
h 62141 _ ., . . .
v =— = =-------= 7,7246 (км/с);
”c rc 8044,6 4 7
vr = Hesin3r = 3986000,4085-sin300° = -2,2692 (км/с).
rc h c 62141 17
Согласно условиям задачи, требуется просто повернуть плоскость орби-
ты вокруг линии узлов ВС. Импульсный маневр должен происходить либо
в точке В, либо в точке С. Для расчета потребного импульса скорости ма-
невра можно использовать уравнение (6.19). Поскольку радиальные и нор-
мальные компоненты вектора скорости во время маневра не изменяются, это
уравнение будет иметь вид
Av = v„>/2(l-cos8),
где 8 = 15°. Для обеспечения минимума Ду маневр должен быть проведен
в точке, где компонента скорости v„ является наименьшей, т. е. в точке В,
наиболее удаленной от центра притяжения F. Таким образом,
Ду = 5,1043-72(1-cos 15°) = 1,3325 (км/с).
Пример 6.14
Орбита 1 имеет угловой момент h и эксцентриситет е. Направление дви-
жения по орбите 2 показано на рис. 6.35. Вычислите Ду, необходимую для
поворота орбиты на 90° вокруг нормали, проведенной к линии апсид через
притягивающий фокус, т. е. в точках с истинной аномалией Ф = ±90°, без из-
менения h и е. Необходимое направление движения по орбите 2 приведено
на рис. 6.35.
318
6.8. Маневры поворота плоскости орбиты
Решение
Вследствие симметрии требуемый маневр
может происходить в любой точке: В или С.
Он заключается в простом повороте эллипти-
ческой орбиты, при этом компоненты вектора
скорости vr и vn остаются неизменными. Со-
гласно указанным направлениям движения по
орбитам, истинные аномалии точки В на двух
орбитах:
ЭВ1 = -90°; 3^ = +90°.
Радиальная координата точки В
h2 1 h2
rR =----------7---Г =---•
ц l + ecos(±90°) ц
Компоненты вектора скорости в точке В
h ц
v„ = v„ = — =—;
rB h
Рис. 6.35. Две одинаковые эл-
липтические орбиты (/, 2), пере-
секающиеся под углом 90°
по линии ВС
v_ =—esinds =-—е; v =— esind» =— е.
Гв' h в' h Ъ h Вг h
Подставляя значения компонент вектора скорости в уравнение (6.19),
получаем
-2v„ v„ cos 90° =
пвх пв2
( \Л2 ГУ1 f \2 / \r X I 2 2
\hj) ^Aj ^Aj ^aJ^AJ V A2 A2
Откуда окончательно находим, что
Дув=И^71 + 2е2.
Если бы движение по эллиптической орбите 2 было противоположным
показанному на рис. 6.35, то радиальные компоненты скорости в точках В
и С были бы направлены одинаково на обеих орбитах и скорость маневра
была бы меньше, а именно:
л
А
319
Глава 6. Орбитальные маневры
Основные соотношения
Формула Циолковского: Av = 1 g0 In———.
т- Дт
Av
m
(6.1)
где tn — масса KA до маневра; g0 — ускорение.
320
Основные соотношения
Рис. 6.7
Характеристические скорости маневров Гомана и биэллиптического ма-
невра как функция соотношения радиусов орбит:
Avr =
1 V2(l-a)
(6-4)
ГА ГА
a
321
Глава 6. Орбитальные маневры
Рис. 6.8
Фазирующие маневры
(6-5)
где Т — период фазирующей орбиты. Радиус точки А: гА = 2а - гР. Точка
Р — точка, в которой начинается и заканчивается фазирующая орбита.
Негомановские перелеты между соосными орбитами
322
Основные соотношения
Для известного положения точек начала перелета и его окончания, основ-
ные параметры орбиты перелета вычисляют по следующим формулам:
ГВ ~ГА
е3 =---------~’
гА cos 3А - rB cos 3в
--------------а--------а--- <6*6)
COSO^ - cos
rA COS 9^ - Гд cos Эд
^3=у1^АгВ
Азимут пуска
Для заданного наклонения орбиты I, широты ф и азимута пуска А со стар-
товой платформы справедливо соотношение
cosz = cosфsin А. (6.24)
Вопросы и задачи
1. Сформулируйте основные варианты минимизации энергетических за-
трат на перелет с одной эллиптической орбиты на другую.
2. Целесообразно ли при экспедициях исследования дальнего космоса
предварительно формировать орбиту ожидания для выбора места посадки?
3. Предполагается вывести космический аппарат на геостационарную ор-
биту. Предложите варианты возможной схемы выведения и рассмотрите их с
точки зрения потребного импульса скорости и времени на выведение.
4. Как должна изменяться радиальная скорость в случае поворота пло-
скости орбиты с минимальными энергетическими затратами?
5. Космический аппарат находится на круговой околоземной орбите вы-
сотой 200 км. При t = 0 он запускает снаряд в направлении, противоположном
своему движению. Через 30 мин после пуска снаряд сталкивается с Землей.
Какой была характеристическая скорость Ду, приданная снаряду? Пренебречь
влиянием атмосферы.
6. При одном маневре Ду околоземная орбита космического аппарата
должна быть изменена с круговой радиусом 15 000 км на компланарную эл-
липтическую с высотой перигея 500 км и радиусом апогея 22 000 км. Вычис-
лите величину требуемого маневра Ду и изменение угла траектории полета у.
Какова минимальная суммарная Ду, если изменение орбиты происходит по
эллипсу Гомана?
7. Космический аппарат находится на круговой орбите высотой 300 км.
Требуется увеличить высоту орбиты до 600 км и изменить ее наклонение на
20°. Найдите необходимую суммарную Ду при следующих условиях:
а) изменение наклонения проводится после перелета на орбиту высотой
600 км (три импульса);
б) изменение наклонения и выход на орбиту перелета высотой 600 км
проводятся одновременно (два импульса);
в) изменение наклонения происходит при заходе на требуемую орбиту
(два импульса).
323
Глава 7
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СБЛИЖЕНИЕ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ НА ОРБИТЕ
Относительное движение по орбите. — Линеаризация урав-
нений относительного движения по орбите. — Уравнения
Клохесси — Уилтшира. — Двухимпульсный маневр сближе-
ния. — Относительное движение близких КА по круговым
орбитам. — Методы наведения, используемые при сближе-
нии. — Модель движения КА в задаче сближения. — Основ-
ные системы координат в задаче сближения КА. — Общая
постановка задач управления. — Законы управления сбли-
жением по методу параллельного наведения. — Уравнения
относительного движения в визирной системе коорди-
нат. — Общий вид законов управления и методика их син-
теза. — Пример реализации метода параллельного сближе-
ния. — Метод свободных траекторий. — Численное решение
краевых задач методом стрельбы. — Некоторые результа-
ты численного решения задач сближения. — Основные со-
отношения. — Вопросы и задачи
В предыдущих главах рассмотрено движение центра масс объектов отно-
сительно инерциальной невращающейся СК, связанной с центром притяже-
ния, например Землей. В таких системах второй закон Ньютона имеет вид:
Fz = тиаиск.
При маневре сближения два КА находятся каждый на своей траектории
и при этом выполняют измерения взаимного расстояния и других параме-
тров движения. Это приводит к необходимости использования для описания
взаимного движения неинерциальных систем отсчета, связанных с данны-
ми КА. Для того чтобы рассчитывать импульсные маневры, основываясь
на наблюдениях, сделанных с движущегося КА, требуется преобразование
относительных измерений скоростей и ускорений в инерциальную систему
координат.
При проведении анализа относительного движения двух КА, когда все
измерения параметров такого движения проводятся в подвижной СК, связан-
ной с одним из них, а также при описании взаимного движения КА при их
сближении, общие уравнения относительного движения могут быть представ-
лены в линеаризованной форме уравнений Клохесси — Уилтшира и проинте-
грированы.
В заключительной части главы подробно рассмотрены теоретические ос-
новы управления сближением КА и последующей стыковкой активного КА
324
7.1. Относительное движение космического аппарата по орбите
и орбитальной станции с применением двух основных методов: параллельно-
го сближения и свободных траекторий. В практической космонавтике именно
эти методы используются наиболее часто.
7.1. Относительное движение космического аппарата
по орбите
При выполнении маневра сближения, как правило, используют целе-
вое транспортное средство, которое является пассивным и не маневрирует,
и транспортное средство, которое является активным и выполняет маневры,
требуемые для сближения. Очевидным примером является КА с экспедицией
(активный КА), доставляющий экипаж к МКС (пассивный КА). Положение
мишени определяется ее вектором г0 в ГЭСК. Движущаяся СК связана с пас-
сивным КА, как показано на рис. 7.1. При этом ось х этой СК направлена
вдоль вектора г0, ось у перпендикулярна г0 и лежит в плоскости местного го-
ризонта пассивного КА. Оси х и у, следовательно, лежат в плоскости орбиты
пассивного КА, а ось z направлена по нормали к этой плоскости.
Угловая скорость вращения СК xyz, связанной с пассивным КА, равна
угловой скорости вектора г0 и может быть определена из соотношения
h = ГО X v0 = (r0v0n )k = (r02Q)k = r02Q,
Рис. 7.1. Инерциальная и подвижная СК, связанная с пассивным КА Л,
с которого наблюдается активный КА В
325
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
откуда
Для того чтобы найти угловое ускорение £2, необходимо взять производ-
ную в уравнении (7.1):
1 2
п =— (1*0хv0 + ГОXv0)—3 >b(r0x v0)- (7.2)
'b 'b
Учтем, что
ibxvo = voxvo =°- (73)
В соответствии с уравнением (2.15) ускорение v0 пассивного КА
Ц
vo = -—г0>
г0
тогда
roxvo=rox -4г0
I го )
—т(гохго) = °-
Г0
(7.4)
Подставляя уравнения (7.1), (7.3) и (7.4) в уравнение (7.2), находим угло-
вое ускорение:
2
£2 — £2.
'о
И, наконец, используя уравнение (2.25): r0 = v0-i*o/ го» можно записать,
что
£1 =-2^V°2 Г°^П.
го
(7-5)
Уравнения (7.1) и (7.5) позволяют определить угловые скорость и ускоре-
ния в связанной с КА СК. Кроме того, они могут быть использованы в фор-
мулах (1.38) и (1.42) для вычисления относительных скоростей и ускорений.
Пример 7.1
Космический аппарат А находится на эллиптической околоземной орби-
те, имеющей следующие параметры:
a) hA = 52 059 км2/с; е = 0,025724; i = 60°; Q = 40°; со = 30°; В = 40°.
Космический аппарат В также находится на эллиптической околоземной
орбите с параметрами:
б) hB = 52 362 км2/с; е = 0,0072696; z = 50°; Q = 40°; со = 120°; 3 = 40°.
Вычислите скорость vOTHra и ускорение aOTH„, КА В относительно КА А,
измеренные вдоль осей xyz связанной с КА СК (см. рис. 7.1). Схема движения
КА представлена на рис. 7.2.
326
7.1. Относительное движение космического аппарата по орбите
Решение
Зная орбитальные элементы (см. ус-
ловие задачи, (а) и (б)), можно, используя
алгоритм 4.2, найти положения и скорости
КА относительно ГЭСК.
Опуская эти расчеты, находим для
КАЛ:
гА = -266,741 + 3865,4J + 5425,7К (км);
(а)
vA =-6,48421 -3,6201J + 2,4159К (км/с)
(б)
и для КА В:
г5 =-5890,01-2979,4J +1792,ОК (км);
(в)
vs = 0,935941 - 5,2409J - 5,5016К (км/с).
(г)
Рис. 7.2. Космические аппараты А и
В на разных эллиптических орбитах
В соответствии с уравнением (2.15) ускорения КА определяются по сле-
дующим формулам:
аА = = 0,000358761 -0,0051989J -0,0072975К (км/сi 2); (д)
1Ы1
ae=-p-^j = 0,00733771+ 0,0037117J-0,0022325К (км/с2). (е)
hi
Единичный вектор i оси х СК, связанной с КА А, согласно определению
этой подвижной СК, имеет вид
i = = -о, 0400081 + 0,57977J + 0,81380К.
ГА
Поскольку ось z направлена коллинеарно и
i j
-266,74 3865,4
-6,4842 -3,6201
к
5425,7
2,4159
= 28980i-34 537j + 26030k (км/с2),
получаем единичный орт оси z:
к = JbL = 0,556671 -0,66341J + 0,5000К.
hA
(ж)
(з)
327
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
Наконец, j = k х i, поэтому единичный орт оси у можно записать в виде
j = -0,829771 - 0,47302J + 0,29620К. (и)
Угловая скорость £1 СК xyz, связанной с КА А, определяем из уравне-
ния (7.1):
п_гохуо_ 28980i-34537j + 26030k_
г2 6667,12 ' (К)
= 0,000651961 -0,00077698J + 0,00058559К (рад/с).
Угловое ускорение £2 определяется уравнением (7.5):
. _ 2(v0-r0)
г0
£2 =
-2(844,41)
6667,12
(0,000651961 -0,00077698J + 0,00058559К) =
= -2,4763-10’8I + 2,9512-10“8J-2,2242-10’8K (рад/с2). (л)
В соответствии с уравнением (1.38) для относительных скоростей спра-
ведливо соотношение
VS = + £2 X Готн + v^, (м)
где rOTH, v0TH — положение и скорость КА В, измеренные в подвижной СК xyz,
связанной с КА А.
Из (а) и (б) имеем
готн = гв~ га = ~-5623,31 -6844,8J-3633,7К (км). (н)
Подставляя (н) вместе с (а), (г) и (к) в (м), получаем
0,935941 - 5,2409J - 5,5016К = (-6,48421 - 3,6201J + 2,4159К ) +
+ 0,00065196 -0,00077698 0,00058559 + у^.
-5623,3 -6844,8 -3633,7
Решая полученное уравнение относительно v0TH, определяем, что
vOTH=0,588651 -0,69692J+ 0,91414К (км/с). (о)
Для вычисления относительного ускорения может быть использована
формула (1.42):
ав = ал+£2хготн + £2х(£2хгота) + 2£2хуага + аота. (п)
Подставляя (д), (е), (к), (л), (н) и (о) в (п), получаем уравнение для опре-
деления относительного ускорения:
328
7.1. Относительное движение космического аппарата по орбите
0,00733771 + 0,0037117J - 0,0022325К =
= 0,000358761 - 0,0051989J - 0,0072975К +
К
I
+-2,4770-Ю-8 2,9520-Ю-8 -2,2248-10-8 +
-5623,3 -6844,8 -3633,7
+(0,000651961 - 0,00077698J + 0,00058559К) х
К
х 0,00065196 -0,00077698 0,00058559 +
-5623,3 -6844,8 -3633,7
J К
+2 0,00065196 -0,00077698 0,00058559 +3^.
0,58865 -0,69692 0,91414
Из полученного уравнения можно найти
3^=0,000439841-0,00038019J +0,000017988К (км/с2). (р)
Из (ж), (з) и (и) следует, что ортогональная матрица перехода от
инерциальной СК XYZ к подвижной СК xyz, связанной с КА, имеет вид
-0,040008
QXx= -0,82977
0,55667
0,57977 0,81380
-0,47302 0,29620
-0,66341 0,5000
Для расчета компонент векторов rOTH, vOTH, з0ТН вдоль осей СК xyz необхо-
димо умножить на Q^. их значения в СК XYZ — (н), (о) и (р) соответственно:
-0,040008 0,57977 0,813801 -5623,3" "-6700,5"
-0,82977 -0,47302 0,29620 -6844,8 = 6827,4 (км);
0,55667 -0,66341 0,5000 J -3633,7_ -406,22
'-0,040008 0,57977 0,81380 Г 0,58865" 0,31632
V = -0,82977 -0,47302 0,29620 -0,69692 = 0,11199 (км/с);
0,55667 -0,66341 0,5000 [ 0,91414 _ _ 1,2471 -
’-0,040008 0,57977 0,81380 " 0,00043984 1 Г-0,00022338"
аО™х>, = -0,82977 -0,47302 0,29620 -0,00038019 = -0,00017980
0,55667 -0,66341 0,5000 0,000017988J |_ 0,00050607 _
(км/с2).
329
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
7. 1.1. Визуализация траектории относительного движения
космического аппарата
Движение одного КА по отношению к другому может быть трудно визу-
ализировать. На рис. 7.3 представлен пример такой визуализации, где орби-
та 1 имеет круговую форму, а орбита 2 представляет собой эллипс с эксцен-
триситетом 0,125. Обе орбиты имеют одну и ту же длину большой полуоси,
Рис. 7.3. Космический аппарат В, движущийся по эллиптической орбите 2, отсле-
живается с КА Л, движущегося по круговой орбите 1. Схема орбит КА в инерци-
альной СК, период орбит 1,97797 ч (а) и годограф положений КА на эллиптической
орбите 2, наблюдаемых с КА, обращающегося по круговой орбите 1 (б)
т. е. один и тот же период обращения. Вращающаяся СК связана с КА на
круговой орбите 1 (наблюдателем). В начальную эпоху I КА В на эллипти-
ческой орбите 2 располагается непосредственно под наблюдателем. Это по-
казывает стрелка, ориентированная вдоль оси х в отрицательном направлении
(рис. 7.3, б). Римскими числами (I—VIII) обозначены восемь последующих
эпох (I, II, III,...), равномерно распределенных по круговой орбите, для ко-
торых определено положение КА В на эллиптической орбите относительно
круговой орбиты КА А. Система координат, связанная с КА А, постоянно
вращается. Ее ось х всегда направлена вдоль радиуса-вектора, соединяющего
центр Земли и КА. Наблюдатель, находящийся на КА А, не может ощутить
это вращение, поэтому наблюдения, проведенные с этого КА, представляют
собой траекторию движения КА В как движение по фасолевидной кривой по
330
7.2. Линеаризация уравнений относительного движения КА по орбите
часовой стрелке (см. рис. 7.3, б). Эта траектория строится как геометрическое
место концов векторов относительного положения КА В относительно КА А,
т. е. является годографом этого вектора. В рассмотренном случае расстояние
между двумя КА никогда не становится настолько большим, чтобы Земля
перекрыла обзор наблюдателю, что в общем случае не так.
7.2. Линеаризация уравнений относительного движения
космического аппарата по орбите
На рис. 7.4 приведены два КА на околоземной орбите. Вектор положения
пассивного КА А в инерциальной СК г0, вектор положения активного КА В
в той же СК г. Вектор положения активного КА по отношению к пассивному
равен 8г, т. е.
г = г0 + 8г.
Символ «8» обозначает, что значение
вектора мало по сравнению со значениями
векторов г0 и г, т. е.
— «1. (7.7)
го
Это верно, если два КА находятся в
непосредственной близости друг к другу,
как это происходит при маневре сближе-
ния. Выведем уравнение движения актив-
ного КА по отношению к пассивному.
Уравнение движения активного КА В
является стандартным дифференциальным
уравнением задачи двух тел:
Рис. 7.4. Положение КА
г
(7-8)
где г = 1Н.
Подставляя уравнение (7.6) в уравнение (7.8), получаем уравнение дви-
жения пассивного КА по отношению к активному:
8г = -г0-цГ° + 8г. (7.9)
г
Упростим уравнение, учитывая, что 8г мало. Отметим, что
г2 =г-г = (г0 + 8г)-(г0 + 8г) = г0 -г0 + 2г0 • 8г + 8г • 8г.
Поскольку г0-г0 = г02 и 8г-8г=8г2, можно вынести г02 за скобки, тогда
331
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
2 2
' = ГО
2г0 -8г ( 8r Y
-А—+ — •
г0 J
Вследствие установленного упрощения (7.7) можно пренебречь послед-
ним слагаемым в скобках, поэтому
2г0 -Зг
г0
Далее будем пренебрегать всеми степенями 5г/г0 больше единицы в
—3 ( 2 А-^/2
уравнениях. Поскольку г =\г ) , то из уравнения (7.10) получим
з
2гп-3г^ 2
2-г2
~ГО
(7-10)
о
'о
Используя биномиальное равенство (5.52) и пренебрегая членами более
высокого порядка, получаем
Г, . 2г0-8г^~2
-3 _ -3
-го
(7.Н)
г0
3Y2rn-5r^
2
о
г0
-3 _ -з
~ГО
Таким образом, уравнение (7.11) принимает вид
з
1—Гг0-5г
го )
ИЛИ
1 1 3 й
— = —--г0-5г.
г г0 г0
Подставив уравнение (7.12) в уравнение движения (7.9), получим
(7.12)
[13
Зг = -г0-ц -у—Tr0-br (г0+8г) =
= -г0-М
= -г0-ц -т + ~
Lr0 г0
<г0 г0 ;
^Ц^-4(г0-8г)(г0 + 8г) =
г0 г0 J
— "4(го ’ 5г)го + °(бг)
г0 г0
или
Зг = -г0-Ц-^-4 Зг—у(го 8г)г0 .
го г0
г0
(7.13)
332
7.3. Уравнения Клохесси — Уилтшира
Уравнение движения пассивного КА запишем как и ранее:
*0
-Л-
Подставляя его в уравнение (7.13), получаем уравнение относительного
движения:
5г = ~4 5г-4(»Ь-8г)г0
ro L го
(7-14)
Это линеаризованная версия уравнения (7.8), описывающего движение
активного КА по отношению к пассивному. Оно является линейным, так как
8г стоит только в числителе и только в первой степени.
7.3. Уравнения Клохесси — Уилтшира
Свяжем подвижную СК xyz с пассивным КА А, как показано на рис. 7.5.
Этот рисунок имеет сходство с рис. 7.1, но в рассматриваемом случае вве-
дено ограничение на 8г в соответ-
ствии с уравнением (7.7). Начало
координат указанной СК находится
в точке Л. Ось х направлена от Зем-
ли вдоль вектора г0, поэтому ее орт
имеет вид
i = —. (7.15)
го
Ось у направлена в плоскости
местного горизонта по трансверса-
ли, а ось z — по нормали к плоско-
сти орбиты КА А таким образом,
что k - i х j. Угловая скорость вра-
щения связанной СК относительно
инерциальной СК равна £2, ее угло-
вое ускорение £2.
В соответствии с формулой для
Рис. 7.5. Подвижная СК
Клохесси — Уилтшира
вычисления относительного уско-
рения (1.42) имеем
r = r0 + ft x8r+ £2x(£2x8r) + 2£2x8vOTH + 8aOTH, (7.16)
где для движущейся СК относительные положение, скорость и ускорение
определяются в виде
8г = 8xi + 8yj + 8zk;
= 8xi + 8yj + 5zk; (7.17)
5aOTH = 8n + 8vj + 8zk.
333
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
Для простоты предположим, что орбита пассивного транспортного сред-
ства А имеет круговую форму. Данное упрощение вполне приемлемо вслед-
ствие, например, того, что МКС движется по почти круговой околоземной
орбите. В этом случае можно считать, что £2=0. Подставляя полученные
выражения вместе с уравнением (7.6) в уравнение (7.16), получаем
5г = £2 х (£2 х 5г) + 2£2 х 8v0TH + За^.
Применив правило перестановки для векторного произведения в правой
части уравнения, имеем
5г = £2(£2 • 5г) - £225r +2£2 х 5vOTH + 8аотн. (7.18)
Поскольку орбита КА А имеет круговую форму, можно записать, что
угловая скорость подвижной СК
£2 = ик, (7.19)
где п — среднее движение КА А, являющееся постоянным. Таким образом,
£2-5r = nk (5xi + 5yj + 5zk) = «5z, (7.20)
а также
£2 х 5vOTH = nk х (5xi + 5yj + 5zk) = -n5yi + w5xj. (7.21)
Подставляя уравнения (7.19-7.21), а также уравнения (7.17) в (7.18),
получаем
5r = nk (n5z) - п2 (5xi + 5yj + 5zk) + 2(-n5yi + n5xj) + 5xi + 5yj + 5zk.
Приводя подобные, приходим к зависимости
5г = (-и25х - 2«5у + 5x)i + (-«25у + 2п5х + 5у) j + 5zk. (7.22)
Это выражение позволяет вычислить компоненты относительного
ускорения активного КА через величины, измеренные в подвижной системе
координат, связанной с пассивным аппаратом.
Поскольку орбита А имеет круговую форму, среднее движение по ней
определяется в виде
ro ro vo у го
следовательно,
4 = и2. (7.23)
го
Используя уравнения (7.15) и (7.17), можно записать
г0 • 5г = (roi) • (5xi + 5yj + 5zk) = r05x. (7.24)
334
7.3. Уравнения Клохесси — Уилтшира
Подставляя (7.17), (7.23) и (7.24) в уравнение (7.14), получаем
5г - -п2
3
Sxi + 5yj + 8zk —у (r05x)r0i
ro
= 2«28xi - n23yj - n26zk.
(7.25)
Объединяя уравнение (7.22) — кинематические отношения и уравнение
(7.25) — уравнения движения, получаем
(-и2бх - 2и8у + 5х) i + (-и25у + 2и8х + 8у) j + 5zk = 2«28xi - n25yj - «25zk.
После приведения подобных и переноса всех слагаемых налево прихо-
дим к выражению
(Зх - Зи26х - 2п8у )i + (8у + 2и5х) j + (5z + w25z)k = О,
из которого следуют уравнения Клохесси — Уилтшира'.
8х - Зп28х - 2п8у - 0;
5j) + 2«5x = 0; (7.26)
8z + n28z = 0.
Отметим, что эти уравнения записаны в подвижной СК, которую также
называют системой координат Клохесси — Уилтшира.
7.3.1. Решение уравнений Клохесси — Уилтшира
Уравнения (7.26) представляют собой набор дифференциальных уравне-
ний второго порядка с постоянными коэффициентами. Начальные условия
для их решения выбирают при t = 0:
5х = 5х0; 5y = 5y0; 3z = 3z0;
5х = 5х0; 3y = 3j>0; 5z = 5z0.
Из второго уравнения (7.26) следует
—(5у + 2п8х) = 0,
dt
откуда можно записать, что 3j> + 2п8х = const.
Постоянную интегрирования можно найти, вычислив левую часть урав-
нения при t = 0. Таким образом, 8у + 2п8х = 8у0 + 2п5х0, т. е.
8у = 8у0 + 2«(5х0 - 5х). (7.28)
Подставим этот результат в первое уравнение (7.26)
8х - Зп28х - 2и^5у0 + 2и(8х0 - 5x)J = 0,
которое после перегруппировки примет вид
5х + и26х = 2п8у0 + 4и26х0 . (7.29)
335
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
Решение дифференциального уравнения (7.29) можно записать в следу-
ющем виде:
8х = A sin nt + B cos nt + -у (2n8y0 + 4n28x0 )
п
или
2
8х - A sin nt + В cos nt +—8у0 + 48х0. (7.30)
п
Первые два слагаемых в уравнении (7.30) описывают общее решение
дифференциального уравнения, а последние два — частное. Дифференцируя
уравнение (7.30) по времени, получаем
8х = nAcosnt-nBsmnt. (731)
Подставив в уравнение (7.30) значения начальных условий движения при
t = 0, находим неизвестный коэффициент В:
2 2
8х0 = В +—8у0 + 48х0 => В = -38х0 —8у0.
п п
Из уравнения (7.31) при t = 0 находим неизвестный коэффициент Л:
8х0 = nA => А =
п
Подставляя значения А иВ обратно в уравнение (7.30), получаем
8x = ^-sin«f + | -38х08у0 |cosn/ +—8у0 +48х0,
п п ) п
которое после приведения подобных преобразуется к виду
8х = (4-3cos«r)8x0 + S^n 8х0 +—(l-cosnf)8y0. (7.32)
п п
Следовательно,
8x = 3nsinnz8x0 + cosn/8x0 + 2sin«r8y0. (7.33)
Для компоненты вектора ускорения 8у после подстановки уравне-
ния (7.32) в уравнение (7.28) получим выражение
8у = 8у0 + 2и 8х0 -(4-3cosnZ)8x0 -^-^8х0 (l-cosn/)8y0 ,
п п
которое после упрощения можно записать в виде
8у = 6«(cos nt - 1)8х0 -2sinw/8x0 + (4cos«/-3)8y0. (7.34)
Проинтегрировав выражение (7.34) по времени, найдем
I 1 )2 (4 1
8у = 6и — sinn/-z бх0 +—cosn/8x0 + —sinn/-3/ 8у0 + С.
J п \п J
(7-35)
336
7.3. Уравнения Клохесси — Уилтшира
Значение 8у при t = 0 позволяет определить постоянную интегрирова-
ния С:
2 2
8у0 = — 8х0 + С => С = 8у0 —8х0.
п п
После подстановки найденного значения С в уравнение (7.35) имеем
2 (4 А
8у = 6(sinnZ-nf)8x0 + 8у0 +—cos(nf-l)8x0 +1 — sinn/-3z l8y0. (7.36)
И, наконец, для компоненты вектора относительного положения 8z полу-
чим решение уравнения (7.26) в виде
8z = Deos n? + £ sin п/, (7.37)
тогда уравнение для z-компоненты относительной скорости примет вид
8z = -nD sin и/+ n£ cos п/. (7.38)
Для того чтобы определить постоянные интегрирования, можно восполь-
зоваться значениями 8z и 8z при t = 0:
8z0 = D, 8z0 - nE.
Подставив значения D и £ в уравнения (7.36) и (7.38), получим
8z = cos n/8z0 +—sin nt8z0; (7.39)
n
8z = -n sin n/8z0 + cos n/8z0. (7.40)
Таким образом, решение уравнений Клохесси — Уилтшира завершено.
7.3.2. Матричная форма записи уравнений Клохесси — Уилтшира
Далее обозначим компоненты относительной скорости по осям х, у и z в под-
вижной системе координат через 8w, 8v и 8w соответственно, т. е.
8w = 8х; 8v - 8у; 8w - 8z.
Начальные условия для компонент относительной скорости примут вид
8м0 = 8х0; 8v0 = 8у0; 8w0 = 8z0.
Используя эти обозначения, запишем уравнения (7.32)-(7.34), (7.36),
(7.39) и (7.40) в виде
8x = (4-3cosnz)8x0 + s*nnZ 8м0 + —(l-cosn/)8v0;
n n
2 (4
8y = 6(sinnZ-nH8x0 + 8y0 +—cos(nf-l)8w0 + — sinnZ-З/ 8v0;
и In J
337
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
= nt8zQ 4-—sin hZ8w0; (7.41)
n
8u = 3n sin и/8х0 + cos nt8u0 + 2 sin «z8v0;
8v = 6h(coshZ-1)8x0 -2sinHZ8w0 +(4coswf-3)8v0;
8w = —n sin и/8z0 + cos n/8w0.
Введем матричные обозначения
и скорости:
5х(0
5г(0= 5у(0 ,
&(0
векторов относительного положения
5v(/) =
5м(0
5v(0
<yw(t)
и их начальных значений при t = 0:
’5х0' ’5w0'
5г0 = 5у0 , 5v0 = 8v0
_5z0_ _8и>0_
Отметим, что в уравнениях опущен индекс «отн», введенный в уравне-
ниях (7.17), поскольку все рассматриваемые величины указаны в подвижной
системе координат Клохесси — Уилтшира.
Окончательно запишем уравнения (7.41) следующим образом:
Зг(/) = ФДОЗго + ФДОЗу,,;
5v(0 = Фрг(/)8г0 + Фто(О5уо,
(7-42)
где матрицы Клохесси — Уилтшира принимают вид
4-3cosn^ 0 0
Ф/т(0- 6(sin/rt-n/) 1 0
0 0 cos nt
ФД') =
1 .
—sin л/
п
2,
—(cosnr-1)
п
2
—(l-cosn/) 0
п
—(4 sin л?-3л/) 0
п
(7-43)
0
0 — sin л/
3«sin«Z 0 0
Ф„г(/)= 6«(cos«Z-l) 0
О
-л sin л/
0 О
338
7.4. Двухимпульсные маневры сближения космических аппаратов
cos nt 2 sin О
Фуу(О= _2 sin и/ 4cos«Z-3
О
cos nt
О
7.4. Двухимпульсные маневры сближения
космических аппаратов
Рис. 7.6 иллюстрирует задачу сближения двух космических аппаратов
на орбите. В момент времени t = О-, т. е. момент, предшествующий началу
маневра, t = 0, положение 8г0 и скорость 8v0 активного КА В относитель-
но пассивного КА А известны. При t = О
происходит импульсное изменение скоро-
сти активного КА и она становится равной
8vq при t = 0+. Компоненты 8vq приве-
дены на рис. 7.6. Требуется определить
такие значения 8wq, SvJ и 8wq в начале
траектории сближения, чтобы активный
КА В сблизился с пассивным КА А, совер-
шающим обращение по орбите за заданное
время tf.
Решение сформулированной задачи
сводится к следующему. Импульс скоро-
сти Av, который требуется для перевода
КА В на траекторию сближения
8и0+
Av0=8vq-8v0 = 8vq
8и>о
8“о
8vo
8и£
• (7-44)
Рис. 7.6. Сближение активного В
и пассивного А КА на орбите
В назначенный момент времени у активный КА В сближается с пассив-
ным КА А, являющимся центром СК, связанной с ним. Это означает, что
8rf = 8г(/у) = 0. Подставив эти данные и уъ уравнение (7.42), получим
0 = Ф„ (tf )8г0 + Ф„ (tf )8vJ, (7.45)
откуда для Svg находим
8vq=- Ф^Д’Ф".^/) 5го>
(7.46)
где Ф^у) 1 —матрица, обратная матрице Ф^^у). Определив из уравне-
ния (7.46) скорость SvJ в начале траектории сближения и подставив ее
339
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
в уравнение (7.42), получим скорость 8vy, с которой активный КА В подой-
дет к пассивному КА А в конечный момент времени
5v7=('/ )5го+«М/Н=('/)5го+<Мг/)(-фп- (уГ1 ф~ Ыч)-
Упрощая это выражение, получаем
5v7 =(фи.(^)-Ф1Т(г/)Фл,(^)-,Ф^(г/))5г0. (7.47)
Очевидно, поскольку подлетная орбита КА В не совпадает с орбитой
КА А при t = tp необходимо приложить дополнительный (второй) импульс
характеристической скорости, чтобы КА В приобрел нулевую скорость от-
носительно Л (8vy=o):
Avy = 8vy - 8vy = 0 - 8vy = -8vy. (7.48)
Отметим, что в уравнениях (7.44) и (7.48) используется разность между
относительными скоростями для вычисления Av, которая является разностью
абсолютных скоростей. Показать справедливость такого подхода можно, ис-
пользуя уравнение (1.38):
v’ = Vo+ ft’xr^ + v^;
(7-49)
v+=v£+ xr^ + v^.
Поскольку КА А является пассивным, импульсное воздействие на КА R
не оказывает влияния на его движение, т. е. для КА A vj = v0 и £1+ =fl~.
Кроме того, по определению импульсного маневра, нет изменений и в поло-
жении КА, т. е. г^н = г^. Поэтому из уравнения (7.49) следует
v+ -< = v™ - v™ или Av = Av^.
Пример 7.2
Космическая станция и КА имеют орбиты, параметры которых приведе-
ны ниже.
Параметры орбит космических объектов
Параметры Космическая станция КА
Перигей х апогей (высота) 300 км, круговая 318,50x515,51 км
Период 1,508 ч 1,548 ч
Истинная аномалия & 60° 349,65°
Наклонение i 40° 40,130°
Долгота восходящего узла Q 20° 19,819°
Аргумент перигея со 0 (произвольный) 70,662°
340
7.4. Двухимпульсные маневры сближения космических аппаратов
Вычислите суммарный импульс потребной скорости Ду двух маневров,
необходимых для сближения объектов в течение 8 ч.
Решение
Используем приведенные параметры орбит для получения векторов со-
стояния объектов в ГЭСК по алгоритму 4.1.
Космическая станция:
г0 =1622,391+ 5305,10J +3717,44К (км);
v0 =-7,299771+ 0,492357J +2,48318К (км/с).
Космический аппарат:
г = 1612,751 + 5310,19J+ 3750,ЗЗК (км);
v = -7,353211 + 0,463 856J + 2,46920К (км/с).
Единичные векторы положения космической станции относительно
ГЭСК в начальный момент времени, по определению, составят
i = -5»- = о, 2429451 + 0,794415J + 0,556670К;
Им
j = А = -0,9447991 + 0,063725J + 0,321394К;
1Ы1
k = i х j = 0,2198461 - 0,604023J + 0,766044К.
Таким образом, матрица преобразования из ГЭСК в СК, связанную с кос-
мической станцией, в начальный момент времени принимает вид
0,242945 0,794415 0,556670
Q^ = -0,944799 0,063725 0,321394
0,219846 -0,604023 0,766044
Вектор положения КА по отношению к космической станции в ГЭСК
5г = г-г0 =-9,639801 + 5,08240J + 32,8821K (км).
Скорость КА относительно космической станции определим по формуле
(1.38):
5v = v - v0 - £2КС х 5г,
где Пкс = rik.
Среднее движение космической станции
и = - = = °’00115697 (рад/с). (а)
г0 6678
341
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
Подставив соответствующие данные, получим
5v = -7,353211 + 0,463856J + 2,46920К -(-7,299771 + 0,492357J + 2,48318К)-
J
К
-(0,00115697) 0,219846 -0,604023 0,766044
-9,63980 5,08240 32,8821
откуда
5v = -0,0248541-0,01159370J-0,00853577К (км/с).
В СК, связанной с космической станцией, вектор относительного поло-
жения Зг0 в начале маневра сближения
’ 0,242945 0,794415 0,556670" "-9,63980" "20"
5ro=Q*5r= -0,944799 0,063725 0,321394 5,08240 = 20
0,219846 -0,604023 0,766044 _ 32,8821 20
(км), (б)
Аналогично, относительная скорость 5v0 перед началом движения по
траектории встречи
5v0 =QxvSv =
0,242945
-0,944799
0,219846
0,794415
0,063725
-0,604023
0,556670
0,321394
0,766044
-0,024854
-0,0115937
-0,00853578
-0,020
-0,020
-0,005
(км/с).
Матрицы Клохесси — Уилтшира для времени перелета t = у = 8 ч =
- 28 800 с и и = 0,00115697 рад/с рассчитывают по формулам (7.43):
о
о
о
1
о
ФД0 =
4-3cos«Z
6(sin nt - nt) 1
О
cos nt
4,98383
-194,257
О
О
О
-0,327942
0
о
ФД') =
—sin «г
п
2,
—(coshz-1)
п
2.,
—(1-coshZ)
n
—(4sinnZ-3nZ)
n
1 .
— Sinn/
и
816,525
-2295,54
О
2295,54
-83133,9
О
о
о
816,525
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Ф„(0 =
Зп sin nt
6h(coshZ-1)
О
О
О
-nsinnZ
0,00327897
-0,00921837
О
О
О
-0,00109299
342
7.4. Двухимпульсные маневры сближения космических аппаратов
cos nt 2 sin nt О
Фуг(0- -2 sin и/ 4cosn/-3
О
cos nt
-0,327942 1,88940 О
-1,88940 -4,31177 О
О 0 -0,327942
О
О
Из уравнений (7.46) и (б) находим компоненты вектора относительной ско-
рости 5vg сразу после приложения импульса характеристической скорости:
Ч
8v0+
8wq
816,525
-2295,54
О
2295,54
-83133,9
О
0
0
816,525
X
4,98383
-194,257
О
О
О
-0,327942
Г20"
20
20
(в)
0
1
0
816,525
-2295,54
О
2295,54
-83133,9
0
0
О
816,525
1-1
99,6765
-3865,14
-6,55884
0,00936084
-0,0467514
0,00803263
(км/с).
Уравнение (7.42) при t = tf примет вид 8vy = Фуг(Гу)5г0 + <J>w(^)5vq.
Подставив в него результаты (б) и (в), получим
5ы7 5v7 Зиу = 0,00327897 0 -0,00921837 0 0 0 0 0 -0,00109299 20 20 _20_ +
'-0,327942 1,88940 0 0,00936084
+ -1,88940 -4,31177 0 -0,0467514 =
0 0 -0,327942 0,00803263
(г)
-0,0258223
-0,000472444
-0,0222449
(км/с).
Таким образом, в соответствии с полученными данными в начале манев-
ра сближения
Av0 =5vJ-5v0 =
-0,0258223
-0,000472444
-0,0222449
-0,020
0,020
-0,005
0,0293608
-0,0667514
0,0130326
(км/с),
343
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
при завершении маневра
0
0
0
Av f = 3vt -5v f
-0,025822300^ ^0,025822300"
-0,000472444
-0,022244900
0,000472444
0,022244900
Суммарный потребный импульс скорости для маневра
(км/с).
Avz = ||Ду01| + ||Ду/|| = 0,0740787 + 0,03559465 = 0,109673 (км/с) = 109,7 (м/с).
Из уравнения (7.42) при 0 < t < у можно записать в матричной форме
временные зависимости для компонент вектора относительного положения:
5x(z) 4-3cos«Z 0 0 "20"
= 6(sin nt - nt) 1 0 20 +
&(0_ 0 0 cos nt 20
0
1 .
—SinwZ
п
—(coshZ-1)
п
—(1-cosnz)
п
—(4sinnZ-3«Z)
п
0
1 .
—sin nt
п
0,00936084
-0,0467514
0,00803263
о
0
Подставляя в эти уравнение значения п из (а), можно вычислить соответ-
ствующие значения изменения относительного положения активного КА как
функцию времени (рис. 7.7).
Рис. 7.7. Траектория активного КА во время маневра сближения
344
7.4. Двухимпульсные маневры сближения космических аппаратов
Пример 7.3
Активный и пассивный КА находятся на одной и той же круговой орбите
высотой 300 км. Активный КА располагается в 2 км позади пассивного КА,
когда начинается двухимпульсный маневр сближения для встречи КА через
1,49 ч. Найти Avs маневра.
Решение
Для круговой орбиты:
398600 „ z , ч
-----------= 7,726 (км/с).
6378 + 300 V 7
Среднее движение по орбите:
V= = 0,0011569 (рад/с).
г 6678 ф '
(а)
(б)
Для такого среднего движения и времени перелета по траектории сбли-
жения t = 1,49 ч = 5364 с матрицы Клохесси — Уилтшира (7.43) запишем
в виде
' 1,0090 0 0
ф = rr -37,699 1 0 ;
0 0 0,99700
’-66,946 5,1928 0
ф = rv -5,1928 -16360 0 0 0 -66,946 5
-2,6881 10^ 0 0
ф = vr -2,0851-Ю-5 0 0 5
0 0 8,9603 10 -5
(в)
0,99700 -0,15490 0
0,15490 0,98798 0
0 0 0,99700
Ф
W
Начальное и конечное положения активного КА в СК Клохесси — Уилт-
шира определены следующим образом:
0
0
5г0 - -2
(км);
8гу =
(г)
0
0
0
345
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
Поэтому, решая первое уравнение Клохесси — Уилтшира 8iy = Ф^бгд +
4-Ф^Зуо относительно 5vq, получаем
8vX — —Ф ^Ф 8гл =
uv0 vrv^rrUI0
-0,014937
4,7412-Ю-6
0
-4,7412-Ю-6
-6,1124 Ю-5
0
0
0
-0,014937
х
1,0090 0 0 0
х -37,699
1 0 -2
О 0,997OoJ|_ О
-9,4824-Ю-6
-1,2225-Ю-4
О
(км/с).
(д)
0
Из второго уравнения Клохесси — Уилтшира 8vy = Фугбг0 + <J>w3vq
можно определить компоненты вектора относительной скорости непосред-
ственно перед приложением второго импульса характеристической скорости:
3v у =
-2,6881-Ю-4
-2,0851-Ю-5
0
0
8,9603-Ю-5
-2 +
0,99700
+ 0,15490
-0,15490
0,98798
0
0
0
0,99700
-9,4824 10-6
-1,2225-Ю-4
О
9,48257-10-6
-1,22249-1 О'4
О
(км/с).
(е)
Поскольку активный КА находится на той же круговой орбите, что и пас-
сивный КА, его относительная скорость изначально равна нулю, 5vq = 0. Та-
ким образом, вектор первого импульса характеристической скорости
” 9,48257-IO-6 ’ 'o' ’9,48257-IO"6 '
Av0 = 8vq -5v0 = -1,22249-10^ — 0 = -1,22249-10^ (км/с),
0 0 0
т. е.
||Av0|| = 0,1226 м/с.
(ж)
0
0
0
0
0
0
346
7.5. Относительное движение близких космических аппаратов по круговым орбитам
В конце маневра сближения 8vy = 0, поэтому
Дуу = 8vу - 8vу =
9,48257 10-6
-1,22249 10^
0
-9,48257 10’6
1,22249-Ю'4
0
(км/с).
Следовательно,
||Avz|| =0,1226 м/с.
Суммарный потребный импульс скорости маневра
Avz = ||Av0||+||Avz| = 0,2452 (м/с). (з)
Отметим, что в этом случае движение происходит исключительно в пло-
скости орбиты. Движение по нормали к плоскости в направлении оси z от-
сутствует. Траектория сближения в СК Клохесси — Уилтшира схематически
изображена на рис. 7.8.
7.5. Относительное движение близких
космических аппаратов по круговым орбитам
На рис. 7.9 представлены два КА на компланарных круговых орбитах.
Требуется вычислить скорость 8v активного КА В по отношению к пассивно-
му КА Л, когда они находятся в непосредственной близости. «Вблизи», как
и ранее, означает, что
8г Л
— «:1.
го
347
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
Земля
Рис. 7.9. Два КА на круговых ор-
битах, находящиеся в непосред-
ственной близости
Для того чтобы решить эту задачу, не-
обходимо использовать уравнение для от-
носительной скорости
nb = vA + £1 х 8r + 8v, (7.50)
где £2 = nk — угловая скорость СК Клохес-
си — Уилтшира, связанной с КА А;
Среднее движение пассивного КА
п = ^-. (7.51)
го
Скорость движения по круговой орбите
Из уравнения (7.50) для относительной
скорости 8v следует
8v = vB-vA -(ик)хбг. (7.53)
Поскольку орбиты КА круговые, то для
первого слагаемого в правой части урав-
нения (7.53), т. е. скорости КА В, можно
записать
vB = ^«n =ffikxar)=yfekxr^:j- <7-54)
Как видно на рис. 7.9, г = г0 + 8г, поэтому запишем это выражение в сле-
дующем виде:
з
vB =yfokxr 2(r0 + 8r).
(7-55)
Для вектора положения активного КА справедливо соотношение
(7.56)
Используя биномиальное разложение, уравнение (5.44) и сохраняя в нем
линейные члены, связанные с 8г, получаем
, Зг0-8г
2
348
7.5. Относительное движение близких космических аппаратов по круговым орбитам
Подставляя этот результат в уравнение (7.56), имеем
3 3
„ 2 _ 2 ЗГО-6Г
Г ~Г°
г2
rQ
Теперь подставим полученное выражение в уравнение (7.55) и оконча-
тельно запишем
з
2
2 3r0-8r
2 2
г1
ro
Если не ограничиваться линейным приближением по 8г, то вектор отно-
сительной скорости КА В можно записать в виде
!Ь
3 ib 5г >Ь ч
_го Ко
vB =кх<
(7.57)
-5г-
2 г0
Используя уравнения (7.51) и (7.52), а также соотношения 5r = Sxi + 5yj и
r0/r0 - i, полученное выражение можно привести к виду
_. ( 1 _ Y
vB = ~п°У1 +1 vA - — пох I j.
Последнее выражение позволяет вычислить абсолютную скорость актив-
ного КА, разложенную по компонентам в СК Клохесси — Уилтшира. Под-
ставляя уравнение (7.57) в (7.53) и учитывая, что вектор скорости пассивного
КА направлен вдоль оси у, т. е. vA = vAj, запишем
-wSjd + f 1 -vJ“wkx(8xi + 8j<j) =
8v =
j-vJ-n5xj + H5yi.
Отсюда вектор относительной скорости ак-
тивного КА
3
8v = -—nSxj.
(7.58)
Рис. 7.10. Близкие круговые орбиты. СК
Клохесси — Уилтшира связана с КА, обра-
щающимся по средней орбите, совпадающей
с осью Оу (стрелками показаны направления
относительных скоростей КА, движущихся
по соседним орбитам)
349
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
Это вектор скорости активного КА, измеренной в подвижной СК для
близко расположенных КА. Отметим, что приведенные выражения справед-
ливы для круговых орбит.
В СК Клохесси — Уилтшира соседние компланарные круговые орбиты
представлены прямыми, параллельными оси Оу, которая, в свою очередь,
определяет орбиту пассивного КА. На рис. 7.10 на примере этой орбиты
видно, как изменяется относительная скорость активного КА в соответствии
с уравнением (7.58).
7.6. Методы наведения, используемые
при сближении космических аппаратов
Для встречи с целью управляемый КА кроме ракетной двигательной установ-
ки маневрирования должен нести на борту комплекс специальных устройств,
составляющих вместе с исполнительными органами систему управления
сближением. Основная функция этой системы заключается в таком измене-
нии управляющих воздействий (сил и моментов, прикладываемых к КА), при
котором обеспечивается требуемая конечная точность сближения по относи-
тельным положению и скорости.
Начальные условия для этапа автономного наведения определяются от-
клонениями по положению и скорости между сближающимися КА, которые
получаются в результате предшествующих этапов управления сближением.
В большинстве приложений эти отклонения обусловлены ошибками команд-
ного или программного управления при выведении одного из сближаемых
КА в зону встречи с другим КА.
Выведение КА в зону встречи может проводиться с поверхности плане-
ты либо с некоторой промежуточной орбиты и должно заканчиваться непо-
средственно в расчетной точке встречи или в некоторой вынесенной точке.
Конечные условия для этапа автономного наведения задаются различными
в зависимости от программы полета. В большинстве случаев требуется, что-
бы при достижении некоторой малой дальности до цели значение скорости
сближения заключалось в определенных пределах, обеспечивающих без-
опасные (ограничение сверху) и надежные (ограничение снизу) причалива-
ние и стыковку. Подход к цели при стыковке может проводиться с любо-
го направления, если осуществляется взаимная ориентация сближаемых КА
стыковочными узлами навстречу друг другу, либо с вполне определенного
направления, если ориентация цели является независимой. В некоторых слу-
чаях после достижения заданного расстояния до цели требуется выполнить ее
облет либо организовать групповой полет КА, заключающийся в сохранении
между ними определенной дистанции.
Простым в реализации, а также более оперативным и точным является авто-
номное управление сближением на основе измерений параметров относительно-
го движения, получаемых с помощью дальномерных и угломерных радиотехни-
ческих, оптических либо квантово-механических средств локации и визирования
цели. Это единственный из видов управления, который позволяет осуществлять
350
7.6. Методы наведения, используемые при сближении космических аппаратов
сближение вплоть до причаливания и стыковки, однако его применение огра-
ничено условиями прямой видимости, даже если не учитывать конечную даль-
ность действия системы измерений параметров относительного движения.
Эффективность системы управления сближением и ее конструктив-
ная сложность в целом, как и всякой системы управления полетом, зависят
главным образом от выбора метода наведения. Под методом наведения по-
нимается совокупность принципов организации кинематики движения цен-
тра масс управляемого КА, обеспечивающих выполнение условий встречи.
В этом отношении все методы наведения, которые могут быть предложены
для сближения КА, можно подразделить на две основные группы', методы, по-
строенные без учета законов орбитального движения, и методы, основанные
на использовании этих законов.
Методы первой группы, называемые методами пропорционального на-
ведения или методами сближения по линии визирования, берут свое начало
от методов наведения управляемых снарядов. При использовании методов
наведения этой группы управление движением центра масс проводится по
данным измерений расстояния между КА (относительной дальности), скоро-
сти изменения этого расстояния (скорости сближения или удаления) и угло-
вой скорости вращения линии визирования, совпадающей с точностью до па-
раллаксов и ошибок сопровождения с линией, соединяющей центры масс КА.
Посредством регулирования составляющей относительной скорости,
нормальной к линии визирования, ограничивается угловая скорость враще-
ния этой линии. При уменьшающейся дальности это приводит к последова-
тельному уменьшению прогнозируемого пролета мимо цели и в результате
к установлению пересекающегося с целью направления относительной ско-
рости. В свою очередь, уменьшение дальности достигается с помощью регу-
лирования составляющей относительной скорости вдоль линии визирования,
обеспечивающего также и торможение КА при подходе к цели.
При реализации подобных методов наведения как для управления дви-
жением центра масс, так и для управления ориентацией в качестве опорной
можно использовать СК, связанную с линией визирования. Из методов сбли-
жения по линии визирования наиболее простым и удобным в реализации яв-
ляется метод параллельного наведения (сближения), которому соответствует
условие стабилизации значения угловой скорости линии визирования около
нуля. Работоспособность этого метода как при автоматическом, так и при
ручном управлении сближением первоначально была доказана на практике
во время экспериментов по стыковке спутников «Космос» и космических ко-
раблей «Союз», а также при доставке экипажей на орбитальные станции «Са-
лют», «Мир» и МКС.
Помимо простоты, достоинством метода параллельного наведения явля-
ется возможность достижения встречи КА при неизвестных характеристиках
орбитального движения. Кроме того, благодаря ограничениям, налагаемым
на траекторию сближения, этот метод гораздо менее чувствителен к ошибкам
измерений и другим возмущениям, чем методы наведения второй группы,
учитывающие сравнительно малое по значению разностное гравитационное
351
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
ускорение. Однако эти преимущества обусловлены большим расходом то-
плива, поскольку характер относительного движения (движение по прямой
линии) значительно отличается от характера свободного движения под дей-
ствием гравитационных сил.
По расходам топлива более экономичны методы наведения второй
группы, которые учитывают естественное движение КА в поле тяготения. Ис-
пользование этих методов предполагает знание орбитального движения цели
или управляемого КА и их взаимного расположения относительно небесно-
го тела, в поле тяготения которого выполняется операция сближения. Кроме
того, на борту управляемого КА необходимо строить СК, позволяющую про-
гнозировать относительное движение и определять приводящие к сближению
управляющие воздействия. Обычно в качестве такого базиса используется
орбитальная система координат, хотя при измерениях и реализации управля-
ющих воздействий можно использовать также инерциальную или связанную
с линией визирования СК.
Определение управляющих воздействий, обеспечивающих сближение
с учетом законов орбитального движения, требует решения краевой двух-
точечной задачи, вытекающей из требования выполнения условий встречи
при заданных начальных условиях относительного движения. Решение крае-
вой задачи определения управляющих воздействий значительно упрощается,
если используется предположение об импульсном характере действия тяги
при коррекции движения центра масс управляемого КА. В результате крае-
вая задача определения управляющих воздействий сводится к краевой задаче
определения корректирующих импульсов скорости, прикладываемых в дис-
кретных точках и разделенных участками свободного полета.
С учетом импульсной аппроксимации методы наведения, основанные
на использовании законов орбитального движения, сводятся к методам им-
пульсных коррекций. Из этих методов наиболее простым, разработанным
и известным является метод свободных траекторий, в котором каждый из
корректирующих импульсов определяется из условия попадания в цель через
некоторое время свободного полета. При отсутствии возмущений сближение
по методу свободных траекторий сводится к двухимпульсному маневру, так
как для выравнивания скорости КА со скоростью цели при их встрече необ-
ходим второй (тормозной) импульс. Для обеспечения безопасности и надеж-
ности причаливания конечное торможение может быть растянуто по времени
и осуществляться, например, по методу параллельного наведения.
Для выбора метода наведения, осуществляемого в ходе полета, необхо-
димо учитывать, что использование методов второй группы не имеет смыс-
ла, когда разностное гравитационное ускорение, учет которого и приводит
к уменьшению потребных расходов топлива, сравнимо с возмущениями,
в первую очередь с влиянием ошибок измерений и исполнения. Поэтому
в процессе сближения следует переходить, например, от метода свободных
траекторий к методу параллельного наведения при достижении таких условий,
при которых влияние ошибок на точность прогноза относительного движения
становится сравнимым с влиянием разностного гравитационного ускорения.
352
7.7. Модель движения космического аппарата в задаче сближения
7.7. Модель движения космического аппарата
в задаче сближения
Движение каждого из сближаемых КА имеет три степени свободы и описыва-
ется системой обыкновенных дифференциальных уравнений шестого поряд-
ка. Для управляемого КА эта система уравнений должна замыкаться функция-
ми и уравнениями, моделирующими работу системы управления сближением
и изображающими изменение управляющих воздействий. Разомкнутая же
система, как и система уравнений движения пассивного КА, соответствует
свободному полету, и ее общее решение зависит от шести произвольных по-
стоянных интегрирования, которые полностью определяют траекторию или
орбиту полета.
Напомним, что на некотором удалении от притягивающего тела создава-
емое им гравитационное поле, или поле тяготения, будет близко к централь-
ному, или ньютоновскому, полю тяготения, потенциал которого
(7-59)
г
где ц — гравитационная постоянная небесного тела, равная произведению
универсальной постоянной тяготения и массы тела; г — расстояние от центра
притяжения до КА.
Таким образом, в качестве основной модели движения КА можно при-
нять модель движения материальной точки в центральном поле тяготения,
т. е. можно ограничиться рамками задачи двух тел.
Пусть движение КА рассматривается в некоторой абсолютной СК XYZ.
Предположим, что поле сил, в котором происходит полет, близко к цен-
тральному полю тяготения с потенциалом (7.59). Тогда основное ускорение,
действующее на отдельный КА, будет выражаться в виде
dUr Н
аг = —- = —^-гг,
r 5r R3
(7.60)
где г — радиус-вектор КА относительно центра притяжения.
Обозначим через v вектор скорости КА и через ав — векторную сумму
всех возмущающих ускорений. В результате уравнения свободного орбиталь-
ного движения КА можно записать в виде
dr dv
— = v; —
dt dt
~4г+ав’
(7.61)
где t — текущее время; величина ав мала по сравнению с величиной аг.
При рассмотрении относительного движения КА обычно используются
СК с началом в неманеврирующем аппарате-цели, движение которого при из-
вестных возмущениях вполне определено. Однако из-за навигационных оши-
бок орбита цели известна всегда неточно. Вследствие этого начало относи-
тельной СК удобно связывать с точкой, достаточно близкой в любой момент
времени к цели и движущейся по заданной номинальной орбите. Причем
353
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
введение такого начала отсчета позволяет унифицировать запись уравнений
относительного движения и естественно переходить к СК с началом, совпа-
дающим с центром масс либо аппарата-цели, либо управляемого КА. Будем
называть начало относительной СК опорной точкой, а ее движение относи-
тельно центрального небесного тела — опорным движением.
Обозначим через г планетоцентрический радиус-вектор опорной точки,
а через гц и га—соответственно радиусы-векторы цели и управляемого КА. Тог-
да, если считать опорное движение кеплеровым, общие уравнения относитель-
ного движения можно записать, исходя из уравнения (7.61), в следующем виде:
_L_ * — а
ъ2 3 Ц В.Ц’
и/ Гц
б/2Га М
^2 — ав.а + а’ (7.62)
где ав ц, ав а — возмущения, отклоняющие реальное движение космических
цели и аппарата от кеплерова; а — управляющее ускорение, создаваемое дви-
гательной установкой маневрирования управляемого КА.
Введем в рассмотрение радиусы-векторы цели и управляемого КА отно-
сительно опорной точки:
г — г — г г — г — г
ж ц.отн ж ц ж ’ ж а.отн ж а ж •
Тогда уравнения (7.62) можно представить в виде уравнений движения
относительно подвижной опорной точки:
г = г — г: г — г — г
ж ц.отн ж ц ж ’ ж а.отн ж а ж •
>2
*2* + 4ru-<™ -н(<3 -г~3)г = ав ц; (7.63)
dt ru v ’
d jT" + 4Га.огн " " <3)г = ав.а +
at п х 7
г( = у]г2 + 2г-г(. + г2, индекс <«» относится либо к цели, либо к активному КА.
Определим вектор относительной дальности:
Г = Г — Г = Г — Г
ж отн ж а ж ц ж а.отн ж ц.отн
и выразим уравнения (7.63) в виде уравнений относительного движения сбли-
жаемых КА
где v0TH — вектор относительной скорости.
354
7.7. Модель движения космического аппарата в задаче сближения
Вектор-функция
8 “ МЛ1 (У + 1ц отн ) — (г"*"га.отн) (7.65)
представляет собой разностное гравитационное ускорение в центральном
поле тяготения, называемое также приливным ускорением.
В выражении (7.65) член ц(гц3-га~3)г характеризует главным образом
разность значений, а член ц(г”3гцотн ”га”3,а.отн) — разность направлений
гравитационного ускорения, действующего на два КА.
Если расстояние между КА невелико по сравнению с их расстояниями до
центра притяжения, то возмущения, характеризующие отклонения силового
поля от центрального поля тяготения, будут почти одинаковыми. Кроме того,
поскольку их значения малы по сравнению со значением аг (7.60), разность
малых и почти равных возмущений можно не учитывать по сравнению с раз-
ностным гравитационным ускорением.
Дальнейшее упрощение описания относительного движения можно полу-
чить, предположив, что га отн и гц отн много меньше г. Для этого представим
разностное гравитационное ускорение (7.65) в виде
g = -рг’3 [ха (г + гаотн ) - Хц (г + Гц оун )],
где
(7.66)
(7-67)
и используем разложение функции в ряд по степеням г, отн/г:
2 / \ 2
1 аГ’Г/ОТН 3 ОТН 15 r*r/OTH | Г7
х,=1-з— ------~ +•••• (7-68)
г 2 г 2 \ г )
Сохраняя в разложении (7.68) и, следовательно, в выражении для раз-
ностного гравитационного ускорения члены соответствующего порядка ма-
лости отношений г, 0Т1Д, можно получить уравнения относительного движе-
ния необходимой точности. В частности, в линейном приближении
gi = -Р"
I Г Г i
г —3 о™ г
‘отн 2 1
в квадратичном приближении
g2=-p Чг^-Зр^рЙг-З
\ г )
гц.отн
Гц.отн
г
15
+ —
2
3
2
355
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
Следует особо отметить, что в отличие от более точных выражений в ли-
неаризованные уравнения движения радиусы-векторы сближаемых КА гаота
и гцотн входят не отдельно, а только в виде разности г^, представляющей
собой вектор относительной дальности и определяемой непосредственно из
измерений. Таким образом, в линейном приближении все опорные орбиты
равнозначны.
Если в качестве опорной орбиты принята орбита цели, то гцотн = О
и гаотн = готн. Если же начало СК, в которой рассматривается относительное
движение, помещено в центр масс управляемого КА, то гц отн = -готн, га отн = 0.
В последнем случае удобно пользоваться вектором дальности от управляе-
мого КА до цели, т. е. определять готн как гц отн - га отн. Тогда для этих двух
крайних случаев выбора опорной орбиты приближенные и точные уравнения
относительного движения будут иметь один и тот же вид, за исключением
знака перед управляющим ускорением.
При решении задачи сближения используются, как правило, опорные
СК, которые вращаются в инерциальном пространстве с некоторой угловой
скоростью о. В этом случае переход от абсолютных производных вектора
дальности к относительным (локальным) осуществляется по известным фор-
мулам:
^1 = г„+вх^ (7.69)
—= гОТ11 + 2® X г(УГП + юхйхготн + ® X готи
ИЛИ
^ = гин + (1хгога; (7.70)
at
- г +2fir + (£22 + £1)г
, ? ‘от ^““огн ™' *отн •
at
Здесь точками обозначены производные векторов по времени t во враща-
ющейся СК; £2 — квадратная матрица третьего порядка, элементы которой
определяются через проекции вектора угловой скорости о на оси опорной
СК, т. е.
0
£2= <о3
-со3 со2
0 -а>!
©1 0 ,
Отметим, что матрица £2 является кососимметрической, т. е. удовлетво-
ряет условию £2Г = -£2.
356
7.8. Основные системы координат в задаче сближения космических аппаратов
7.8. Основные системы координат
в задаче сближения космических аппаратов
Рис. 7.11. Орбитальная СК:
1, m, п — орты соответствующих осей
При автономном решении задач навигации и наведения применяется абсо-
лютная СК, направление осей которой определяется ориентацией инерци-
альной СК, строящейся на борту с помощью гиростабилизированной инер-
циальной платформы и (или) звездных датчиков, и может быть совершенно
произвольным.
Для описания опорного кеплерова движения, происходящего в одной
плоскости, удобно применять абсолютную СК XqYqZq, базовая плоскость X0Y0
которой совпадает с плоскостью опор-
ной орбиты, а ось Zo, нормальная к пло-
скости орбиты, направлена по вектору
орбитальной угловой скорости о0. Поло-
жение базовой оси Хо, от которой отсчи-
тывается центральный полярный угол 0,
задающий положение опорной точки на ее
орбите, может быть произвольным.
При рассмотрении относительного
(так же как и возмущенного) движения ос-
новной является подвижная орбитальная
СК xyz (рис. 7.11).
Начало этой СК совмещено с опорной
точкой, движущейся по кеплеровой орби-
те. Ось у ориентируется непрерывно по
радиусу-вектору г опорной точки, ось z,
нормальная к плоскости орбиты, направ-
лена по вектору орбитальной угловой ско-
рости <о0, а ось х, ориентируемая по трансверсали противоположно направле-
нию движения, дополняет оси у и z до прямоугольного правого базиса.
Матрица направляющих косинусов осей х, у и z относительно осей абсо-
лютного базиса X0Y0Z0 приведена в табл. 7.1.
Орбитальная СК может быть построе-
на на борту активного или пассивного КА
с помощью датчиков местной вертикали
и гироскопических приборов, определя-
ющих направление вектора орбитальной
угловой скорости. При наличии атмосфе-
ры направление касательной к орбите мо-
жет быть установлено с помощью ионных
датчиков, что для околокруговых орбит
дает направление еще одной оси орби-
тальной СК. Очевидно, что для построе-
ния орбитального базиса, как и всякого прямоугольного базиса, достаточно
определить направление только двух из трех каких-либо его осей.
Таблица 7.1
Матрица направляющих
косинусов осей х, у, z
СК х<> Го ^0
X sin 0 -cos 0 0
У cos 0 sin 0 0
Z 0 0 1
357
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
В некоторых случаях наряду с орбитальной используется транспортиру-
ющая относительная СК x'y'z' с началом в опорной точке, имеющая посто-
янное направление осей в инерциальном пространстве (рис. 7.12). Приборно
транспортирующая СК реализуется инерциальной платформой, выставленной
так, что базовая плоскость х'у' совпадает с плоскостью опорной орбиты. Ис-
пользование этой системы удобно для привязки измерений параметров отно-
сительного движения в целях уточнения элементов опорной орбиты, а также
для отработки расчетных управляющих воздействий.
Наконец, при исследовании и реализации методов сближения по линии
визирования используется относительная СК х^Хз, связанная с линией, со-
единяющей центры масс Ц и А сближаемых КА. Такая система координат
называется визирной, или лучевой (рис. 7.13). Базовая ось хх направлена все
время по вектору относительной дальности (линии визирования) готн, а две
другие взаимно ортогональные оси х2 и х3 могут вращаться вокруг оси Xj
с произвольной скоростью и занимать в каждый момент времени произволь-
ное положение.
Рис. 7.13. Визирная СК
Положение визирной СК удобно задавать относительно орбитальной СК
с помощью следующих трех последовательных поворотов (рис. 7.14).
Первый поворот совершается в положительном направлении вокруг оси z
на угол а, второй поворот — вокруг нового направления оси у в отрицатель-
ном направлении на угол р и третий поворот — вокруг окончательного на-
правления оси х (теперь оси х^ в положительном направлении на угол у.
Первые два угла представляют собой, таким образом, угловые сферические
координаты (широту и долготу) вектора относительной дальности в орби-
тальной системе отсчета. Матрица направляющих косинусов осей визирной
системы координат относительно осей орбитальной системы определяется
через углы а, Р и у табл. 7.2.
358
7.8. Основные системы координат в задаче сближения космических аппаратов
Матрица направляющих косинусов визирной СК относительно транспор-
тирующей СК имеет аналогичный вид матрице, приведенной в табл. 7.2, если
заменить в ней угол а на угол а + 9.
Таблица 7.2
Матрица направляющих косинусов визирной СК
СК X У z
cos a cos Р sin a cos P sinP
*2 -sinacosy - cosasinPsiny cosacosy - sinasinpsiny cosPsiny
х3 sinasiny - cosasinpcosy -cosasiny - sinasinpcosy cosPcosy
Приборно визирная СК может быть построена с помощью визирую-
щих цель устройств, в частности следящей антенны радиолокатора. Если
одна из осей управляемого ЕСА. все время ориентируется в направлении
на цель, то оси визирной СК можно отождествить с осями, связанными
с корпусом КА.
359
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
7.9. Общая постановка задач управления
При использовании абсолютной СК предполагается, что известны элементы
первоначальной орбиты управляемого КА и орбиты цели. Требуется среди
допустимых управлений выбрать такое, которое, начиная действовать с мо-
мента времени t0, обеспечивает в конечный момент времени tK выполнение
условий встречи:
га<А) = гц(О; V8(/K) = Vu(/K). (7.71)
При использовании относительной СК считаются известными элементы
опорной орбиты, уравнения относительного движения и начальные усло-
вия готн(Г0) = r0 отн, vOTH(/0) = v0 отн. Соответственно условия встречи можно
записать в виде
г<лн(4) = °; vara(ZK) = 0. (7.72)
В случае конечной тяги под выбором управления понимается нахожде-
ние составляющих управляющего ускорения а в зависимости от начальных
условий как функций времени (задача определения программы управления)
или в виде функций текущих значений параметров движения (задача опре-
деления законов управления или задача синтеза). В случае импульсной тяги
параметрами управления, определяемыми в зависимости от начальных или
текущих значений параметров движения, будут моменты приложения кор-
ректирующих импульсов Av( и их составляющих в используемой СК.
Моменты начала 10 и окончания 1К процесса управления могут быть как
фиксированными (задача управления с закрепленным временем), так и изме-
няться в некоторых пределах (задача управления с незакрепленным време-
нем). При этом разность Т = tK- t0 принято называть расчетным временем
сближения.
7.10. Законы управления сближением космических
аппаратов по методу параллельного наведения
7.10.1. Уравнения относительного движения космических аппаратов
в визирной системе координат
Отличительная особенность методов сближения по линии визирования, не
учитывающих законов орбитального движения, состоит в ограничении угло-
вой скорости вращения этой линии, приводящем к встрече с целью. Следует
иметь в виду, что при использовании метода параллельного наведения из-за
ошибок управления невозможно точно выполнить равенство нулю угловой
скорости линии визирования.
Определяющим требованием, предъявляемым обычно к законам управле-
ния сближением по методу параллельного наведения, является их простота.
Это требование ограничивает возможность применения методов оптимально-
го синтеза, и при разработке таких законов управления используется в основ-
ном эвристический подход.
360
7.10. Законы управления сближением КА по методу параллельного наведения
Уравнения относительного движения в визирной СК можно получить из
общих векторных уравнений. При этом целесообразно для сокращения запи-
си в качестве опорной выбрать орбиту цели (г = гц) и, кроме того, не учиты-
вать возмущений, отклоняющих абсолютные движения сближаемых КА от
кеплерова (ав ц = ав а = 0).
В визирной СК Х]Х2х3 проекции векторов г и готн будем определять с по-
мощью их направляющих косинусов, т. е.
г — г 0
жотн 'отн v
где m],m2,m3 выражаются через углы а, 0, у (см. табл. 7.2, второй столбец).
Таким образом,
2
Г3 ( г Гз
г’гогн = ггтнтЪ *0=-f = 1 +
га3 Г г2 )
На основании уравнения (7.66) при гц отн = 0 получаем следующее выра-
жение для составляющих разностного гравитационного ускорения:
g = -
Х0(г/И1+Готн)-ГШ|>
-(1-х0)гш2
(l-x0)rw3 ,
Вектор угловой скорости вращения со визирной СК относительно инер-
циального пространства задается проекциями на оси Х],х2,х3 в виде
Отметим, что проекции со2 и ®з представляют собой составляющие угло-
вой скорости вращения вектора относительной дальности (линии визирова-
ния), тогда как проекция СО] задает скорость вращения поперечных осей х2
и х3 вокруг луча визирования Х] и может иметь совершенно произвольные
значение и знак. Согласно определению углов, обеспечивающих переход от
орбитальной к визирной СК, эти проекции (см. рис. 7.14) выражаются следу-
ющими кинематическими соотношениями:
СО] = y + (a + 0)sinP;
со2 = (a + 0)cospsiny-pcosy;
со3 =(a + 0)cospcosy-psiny.
(7.73)
361
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
В соответствии с уравнениями (7.69) или (7.70) в визирной СК имеем
^отн _
dt
г
'отн
готн®2 >
^отн ^отн ®2 )
Г^бз + 2^(03 +
~ 2^0)2 + ,
(7-74)
Следовательно, точные уравнения относительного движения в этой СК
принимают вид
Гогн - ''отн (®з + ®2) + М- «о''"3'*™ - ц(1 - X0)г“2W] = Я];
''отн’Оз + 2готн®3 + готн®1ю2 ~НО “ хо)г 2т2 = а2> (7-75)
-rOTH©2 +2rOTH®2 +W‘>1®3 -ц(1 - хо)г’2™з = аз>
где а2, а3 — проекции вектора управляющего ускорения а на оси х15х2?^3’
тх = sin a cos Р;
т2 = cos а cos у - sin а sin р sin у;
тп3 =-cosasiny-sinasinPcosy.
Если использовать только линейные члены разложения (7.68) для грави-
тационного ускорения, то можно записать
'отн — 'отн (°Ъ + ) "I з" 'отн (1 ~ “ а\ >
Г
^“з + 2^отн“з + ^отн®1®2 -34rOTH™lw2 = «2; (7.76)
г
~г<т^2 + 2Гатн®2 + ^ОТн®1®3-34ro™wlw3 = а3-
Г
Для того чтобы замкнуть систему уравнений движения, динамические
соотношения (7.75) или (7.76) необходимо дополнить кинематическими со-
отношениями, определяющими связь между производными от углов а, 0, у
или направляющих косинусов тьт3, т3 и составляющими угловой скорости
СО,, С02, С03.
Выражения для производных от углов следуют непосредственно из урав-
нений (7.73):
a -—-—(<B3Cosy + a>2sinY)_6;
COS0
0 = a>3siny-a>2cosY; (7.77)
sin0z . ч
у = (0i---^(®з cosy + ®2 sin у).
COS0
362
7.10. Законы управления сближением КА по методу параллельного наведения
Для нахождения кинематических соотношений через направляющие ко-
синусы воспользуемся известной формулой дифференцирования переменно-
го единичного вектора:
e = vxe, (7.78)
где v — вектор угловой скорости вращения вектора е в рассматриваемой СК.
Направляющие косинусы тьтг, т3, входящие в уравнения движения
(7.75) и (7.76), представляют собой составляющие орта ш оси у орбитальной
СК xyz. Вектор угловой скорости этой СК относительно инерциального про-
странства направлен по оси z, т. е. по нормали п к плоскости опорной орбиты,
и имеет значение 0. Следовательно, чтобы получить вектор v, необходимо из
вектора вращения орбитальной СК 0п вычесть вектор вращения визирной
СК о и спроектировать разность на оси визирной СК. Поскольку направля-
ющие косинусы нормали п к плоскости опорной орбиты равны nltn2,n3, то
0W]
v - 0п2
0«3
-со2
-со3>
Таким образом, применяя формулу (7.78) к любому единичному векто-
ру е, не изменяющему свое положение в орбитальной СК, имеем
ё{ = со3е2 - со2е3 + б(е3«2 ” е2пз)’
ё2 = - ($3е} + - е3п});
(7.79)
ё3 = ($2е} +0(^2^ ”^1^2)-
Отсюда можно получить требуемые кинематические соотношения для
направляющих косинусов, подставляя в соотношения (7.79) вместо вели-
чин ez составляющие ортов 1, т, и осей x,y,z орбитальной СК. С учетом того,
что каждый из элементов ортогональной матрицы направляющих косинусов
равен своему алгебраическому дополнению, окончательные выражения для
производных от направляющих косинусов осей орбитальной СК относитель-
но осей визирной СК можно привести к следующему виду:.
/| = СО3/2 СО2/3 б^| j
/2 = со^з - соз/j + бт2;
/3 — G)2/j ®W3’
тх = ш3т2 - ш2т3 - ;
т2 = со^з - ы3тх - 0/2; (7.80)
т3 = - ^\гп2 - 0/3;
=(О3«2 -(O2W3’
п2 =(й\П3 -соз^;
п3 =аз2п\ -coiw2-
363
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
Отметим, что в отличие от кинематических соотношений (7.77), вы-
рождающихся при Р -> ±90°, уравнения (7.80) не имеют особенностей. Кро-
ме того, они не содержат тригонометрических функций, вычисление которых
требует сравнительно большого числа арифметических операций. Поэтому при
численных расчетах предпочтительнее использовать систему уравнений (7.80),
несмотря на ее более высокий порядок, причем для нахождения требуемых
значений достаточно интегрировать первые шесть уравнений этой системы.
Угловая скорость <0] вращения СК xyz вокруг оси х, входящая в динами-
ческие и кинематические уравнения, совершенно произвольна, и ее можно
задавать из различных соображений. В частности, она может быть такой, что-
бы ось х была направлена все время по вектору угловой скорости вращения
вектора дальности. В этом случае со2 s 0, и плоскость х}х2 будет содержать
вектор относительной скорости и представлять, по определению, плоскость
наведения. Другой важный для практики случай дает выбор C0j s 0, что для
декартова управления вектором тяги соответствует стабилизации управляе-
мого КА по крену.
7.10.2. Общий вид законов управления и методика их синтеза
Независимо от метода наведения синтез законов управления сближением
КА может быть основан на использовании понятия «потребная скорость».
Потребная относительная скорость уГотн, соответствующая текущему вза-
имному положению Гот,, сближаемых аппаратов, определяется как мгновен-
ная относительная скорость, которая необходима для сближения с целью за
некоторое время Т при заданных кинематических ограничениях. Разность
между потребной скоростью vroTH, вычисляемой в зависимости от и Т,
и действительной скоростью v0TH, получаемой из измерений, образует сигнал
рассогласования Av (мгновенное потребное приращение скорости), который
служит для формирования управляющих сигналов.
При реализации метода параллельного наведения систему управления
движением центра масс разбивают обычно на два канала: продольный (ка-
нал дальности), обеспечивающий регулирование скорости сближения вдоль
вектора дальности, и боковой (канал угловой скорости линии визирования),
обеспечивающий поддержание на достаточно низком уровне составляющих
относительной скорости по нормали к вектору дальности. В соответствии
с этим вектор относительной скорости v0TH раскладывается на продольную
составляющую Vj (здесь и далее нижний индекс «отн» у проекций относи-
тельной скорости опущен), измеряемую непосредственно как скорость изме-
нения дальности, и боковые составляющие v2 и v3, которые определяются как
произведения составляющих угловой скорости линии визирования со3 и а>2
и дальности готн, взятые с соответствующими знаками, т. е., согласно (7.74):
^1=^0™; v2 = (°3rOTH; ^=-0)2^.
Посредством регулирования продольной скорости Vj обеспечивает-
ся сближение, т. е. уменьшение расстояния между аппаратами (< 0)
364
7.10. Законы управления сближением КА по методу параллельного наведения
и уменьшение скорости готн при подходе к цели. Отсюда потребную скорость
сближения можно задавать в виде убывающей функции дальности. При этом
продольный канал будет выполнять две задачи: торможение КА > 0), если
скорость сближения велика, и разгон КА (ах < 0), если вместо сближения про-
исходит удаление или скорость сближения недостаточна. Другими словами,
если продольная составляющая скорости Vj отличается от потребной скоро-
сти сближения, в продольном канале должны вырабатываться сигналы, уста-
навливающие действие продольной тяги на разгон или торможение.
Очевидно, что из-за постоянно действующих возмущений (таких, как
ошибки измерений и исполнения, влияние бокового движения и воздействие
разностного гравитационного ускорения) фактическая скорость сближения
будет всегда отклоняться от расчетной. При использовании непрерывного
управления, реализуемого с помощью двигателей регулируемой тяги, откло-
нения от потребной скорости компенсируются пропорциональным изменени-
ем продольной составляющей тяги. При установлении потребной скорости
сближения с помощью дискретного управления, реализуемого двигателями
многократного запуска, необходимо предусматривать некоторые пороги для
включения и выключения тяги на разгон и торможение, т. е. вводить зону
нечувствительности и гистерезис для того, чтобы исключить необходимость
в частом переключении двигательной установки. Пороговые значения, с кото-
рыми проводится сравнение измеряемой продольной скорости при формиро-
вании управляющих сигналов, могут быть, как и потребная скорость сбли-
жения, убывающими функциями дальности.
При рассмотрении управления по боковому каналу для наглядности мож-
но пользоваться понятием «прогнозируемый пролет», который определяется
как минимальное расстояние, на котором прошел бы управляемый КА мимо
цели при отсутствии управления. Предполагая, что начиная с данного момен-
та КА движется относительно цели прямолинейно и равномерно, прогнозиру-
емый пролет можно оценить приближенно:
и ___________^отн^г___
'min отн Г~~ 2 ’
\ ^ОТН + (Лотн®г )
где <ог - + ©2 • Отметим, что мерой угловой скорости линии визирова-
ния со,, и, следовательно, пролета может служить также вторая производная от
дальности, вычисленная без учета разностного гравитационного ускорения:
= ^.
Г
'отн
Уменьшение пролета достигается за счет уменьшения боковой скорости
(рис. 7.15). Если не учитывать возмущений прямолинейного движения, то чем
меньше боковая скорость, тем более точно выдерживается требуемое направ-
ление движения к цели и тем меньше топлива необходимо для его установ-
ления. Поэтому для бокового канала потребную скорость можно принимать
365
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
Рис. 7.15. Схема определения прогнозируемого пролета
равной нулю независимо от расстояния до цели. Следовательно, и потребная
угловая скорость линии визирования также будет равна нулю.
Таким образом, при непрерывном управлении значение боковой состав-
ляющей управляющего ускорения следует задавать пропорциональным зна-
чению боковой скорости противоположным направлением. При дискретном
управлении командные сигналы для коррекции боковой скорости можно фор-
мировать непосредственно по сигналам измерений угловой скорости линии
визирования. При этом для уменьшения числа запусков двигательной уста-
новки имеет смысл установить некоторые пороги включения по угловой ско-
рости линии визирования, которые могут зависеть от дальности.
7.10.3. Пример реализации метода параллельного сближения
космических аппаратов
Алгоритм 7.1. Метод параллельного сближения в абсолютной систе-
мой координат
Даны векторы состояния активного КА и цели (Гоь voi)» (ro2> v02)> время
между коррекциями движения Дг, ограничение по скорости сближения на ко-
нечном этапе сближения для последующего перехода КА в режим стыков-
ки £v, минимальное расстояние между КА на этапе сближения Дг, начальная
скорость сближения v0TH 0.
В каждый момент времени, кратный Д/, выполняется коррекция движе-
ния КА, если расстояние между сближающимися КА больше Дг.
1. Предполагается, что КА движутся по кеплеровым орбитам, тогда диф-
ференциальные уравнения их движения имеют вид
2. Определяется относительное расстояние между КА в текущий момент
времени готн //, ) = г1(. -г2
366
7.10. Законы управления сближением КА по методу параллельного наведения
3. Определяется единичный вектор линии визирования в абсолютной СК:
U ______*0™,/ (jj)
ra™’'
4. Строится визирная СК и определяется положение ее осей в абсолют-
ной СК через соответствующие орты.
Орт uXi совпадает с единичным вектором линии визирования, т. е.
U = U
Xj । r oth,z
В качестве основной плоскости для построения визирной СК выбрана
плоскость, содержащая линию визирования и радиус-вектор KA-цели. Поэто-
му орт иХ2 можно построить как векторное произведение радиуса-вектора
KA-цели ri z и уже полученного орта uXi помножив векторно полученный
вектор на орт uXi и нормализовав результат. Отметим, что операции век-
торного произведения необходимы для получения ортогональных векторов,
таким образом,
uX2 = Normalize((гц хиХ). )хцХ|.
где Normalize(a)- А .
л/а-а
Последний орт визирной СК определяется как векторное произведение
полученных ранее, т. е.
llr =Ur ХП .
х3,1 *1,1 x2,i
5. Рассчитывается проекция вектора скорости активного КА на линию
визирования и выполняется расчет коррекции. Для этого определяется мо-
дуль вектора скорости сближения:
Vo™, = Projection((v, ,. - v2>i ),uXi.),
где Projection(a,b) = (ba/bb)b, а затем характеристические скорости им-
пульса коррекции по осям визирной СК:
8.
11г°тн,|И
ЛГ01-Г02||
+ £v %
v •:
OTHZ’
8V2 = Projection^,-v2 ,),uX2 );
SVj = Projection((vM -v2 /),иХз );
Sr =8V| -8„2 -6V_.
367
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
6. Проводится импульсная коррекция движения, реализуемая как измене-
ние вектора скорости КА:
V2,;->V2,;-8v
7. Если достигнуто одно из условий, при котором задача сближения счи-
тается выполненной, расчет коррекций прекращается.
В качестве иллюстрации рассмотрим сближение КА с МКС. Будем рас-
сматривать движение объектов в абсолютной СК, не прибегая к решению
уравнений (7.75-7.80).
В некоторый момент времени 22 августа 2018 года расчетный вектор со-
стояния МКС составлял
Г01 =
-242,4419
5778,1388
-3553,9042
км; v01 =
-5,25369
-3,07425
-4,61657
км/с.
Предположим, что в это же время активный КА имел вектор состояния
Г02
'0,6' '0,0f
= г01 + 0,6 км; v02 = v01 + 0,01 км/с,
0,6 0,01
т. е. относительное расстояние между объектами ^отп0 = 1,03923 км, относи-
тельная скорость VjynjQ = 0,01732 км/с.
В результате работы алгоритма 7.1 определены следующие характери-
стики сближения:
• период между коррекциями 60 с;
• общее время сближения 4100 с;
• потребный импульс скорости Avz = 23,275 м/с;
• конечное относительное расстояние между объектами (по их центрам
масс) готн кон = 0,006 км;
• число импульсов коррекции 62;
• конечная скорость сближения 5 см/с.
Вследствие выбранных начальных условий движения активного КА до
момента первого импульса он успевает уйти от цели более чем на 2 км за
счет того, что начальная относительная скорость составляет v0TH 0 = 17,32 м/с.
Характеристики процесса сближения представлены на рис. 7.16.
В случае налагаемых дополнительных ограничений, например, на время
сближения или частоту проведения коррекций, потребный импульс характе-
ристической скорости может достаточно существенно возрасти. На рис. 7.17
приведены характеристики сближения для аналогичного предыдущему слу-
чаю процесса сближения при периоде между импульсами 120 с:
• период между коррекциями 120 с;
• общее время сближения 840 с;
368
7.10. Законы управления сближением КА по методу параллельного наведения
t, тыс. с
а
t, тыс. с
б
в г
Рис. 7.16. Характеристики процесса сближения при периоде между коррекциями
60 с:
а — зависимость относительного расстояния от времени; б — зависимость относительной
скорости от времени; в — фазовый портрет относительных величин; г — импульсы харак-
теристической скорости в моменты коррекции движения
• потребный импульс скорости AvL = 47,404 м/с;
• конечное относительное расстояние между объектами (по их центрам
масс) ''отн.кон = 0,006 км;
• число импульсов коррекции 7;
• конечная скорость сближения 6 см/с.
Первоначальный уход от целевого КА составил 3,1 км.
Первый вариант реализации сближения следует отнести к чисто теорети-
ческим вследствие того, что начиная с 23 импульса его значение становится
меньше скорости, требуемой для окончания процесса сближения и начала при-
чаливания. Кроме того, столь малые значения импульсов достаточно сложно
контролировать. В предельном случае можно рассматривать как один из воз-
можных вариантов реализации сближения использование электроракетных
369
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
в г
Рис. 7.17. Характеристики процесса сближения при периоде между коррекциями
120 с:
а — зависимость относительного расстояния от времени; б — зависимость относительной
скорости от времени; в — фазовый портрет относительных величин; г — импульсы скоро-
сти в моменты коррекции движения
двигателей. Однако и тогда возникнет необходимость первоначального гаше-
ния скорости порядка 30 м/с, что при описанной процедуре возможно только
за счет использования импульсной тяги.
На рис. 7.18 представлены зависимости потребного импульса скорости
от периода между коррекциями и общего времени сближения для указанных
выше начальных условий, разных периодов между коррекциями и началь-
ными скоростями сближения. Для данной задачи минимальные суммарные
характеристические скорости маневра сближения достигаются при проме-
жутке между коррекциями меньше 50 с и начальными скоростями сближения
порядка 1 м/с, что приводит к продолжительности маневра порядка 3000 с
или 0,83 ч. Следует отметить, что приведенные значения представляют со-
бой скорее теоретическую границу, которую можно достичь при применении
данного метода.
370
7.11. Метод свободных траекторий
Рис. 7.18. Зависимости суммарного потребного импульса скорости от промежутка
между коррекциями А/ и начальной скорости сближения (а) и от общего времени
сближения и промежутка между коррекциями (б)
7.11. Метод свободных траекторий
Метод свободных траекторий основан на решении краевой задачи. Вслед-
ствие достаточно простого представления исследуемого движения задачей
двух тел для ее решения может быть использован метод стрельбы.
7.11.1. Численное решение краевых задач методом стрельбы
При решении краевой задачи методом стрельбы граничные условия, т. е. не-
которое конечное состояние, рассматриваются как многомерная функция на-
чальных условий в некоторой точке, и таким образом краевая задача при-
водится к нахождению начальных условий, которые дают соответствующее
решение. Достоинство метода стрельбы заключается в том, что он имеет вы-
сокую скорость сходимости. Недостатком метода является то, что он не так
надежен, как методы конечных элементов или коллокации и может не давать
решений некоторых задач, например, в случае так называемых жестких си-
стем, характеризующихся быстрым ростом производных переменных.
Пусть система дифференциальных уравнений представлена в виде
x'(0 = F(/,x(/));
G(x(/1),x(/2),...,x(/„)) = 0,
Г, </2 <...</„.
Метод стрельбы должен определить начальные условия х(/0) = с такие,
что G = 0. Поскольку при решении задачи изменяются начальные условия,
371
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
можно считать, что х = хс — функция от них, а процесс решения задачи мож-
но рассматривать как нахождение с такой, что
Хс(0=р(лхс(')); хс('о)=с;
G(xc(6)>xc('2)>--,XCG„)) = O-
Дальнейшее решение основывается на линеаризации уравнений и ис-
пользовании метода Ньютона, который включает вычисление якобиана.
Приведенные выше уравнения можно представить в линеаризованном
виде:
*'с (О = JОХ (0+Fo (0; (/0) = с;
G (xc('i)>xc('2)>- • • = Во + B]Xc(/i) + B2xc(Z2) +... + В„хс(/„),
где J(7) - матрица; Fo(7) — вектор, который, возможно, зависит от t; Во — по-
стоянный вектор; Вь В2,..., В„ — постоянные матрицы.
„ 5хс0)
Пусть у = —-—, тогда, дифференцируя как уравнения задачи, так и гранич-
дс
ные условия по с, получаем
у'(0=J(Oy(O; yOo)=I;
у = В1У01) + B2y(r2) +... + В y(Z ) = 0.
Sc
Поскольку G является линейной функцией с, ее можно представить
в виде
G(c) =G(c0)+ (с-с0),
V ОС J
поэтому значение с, при котором выполняется равенство G(c) = 0, определя-
ется как
c = c°+(j“) G(co)
для любого конкретного набора начальных условий с0.
Для нелинейных задач J(7) определяется как якобиан нелинейной систе-
мы ОДУ в начальный момент времени, а В„ в свою очередь, должны быть
якобианами, определенными для каждого z-ro граничного условия. Тогда вы-
5G „ Л _
числение для линеаризованной системы дает якобиан нелинейной систе-
ме
мы для конкретного начального условия, что позволяет записать итерацию
метода Ньютона:
(0G Y’ z .
Си+1 С»+ я G(®n)’
372
7.11. Метод свободных траекторий
7.11.2. Некоторые результаты
численного решения задач сближения
космических аппаратов
На рис. 7.19 представлены зависимости суммарных характеристических ско-
ростей от времени перелета (для круговых орбит однозначно соответствует
угловой дальности; период орбиты МКС ~ 5500 с). Графики соответствуют
отклонению по высоте орбиты активного КА от орбиты МКС на 10, 100, 200,
300 км. Плоскости орбит практически компланарны.
Рис. 7.19. Зависимость суммарных потребных импульсов скоростей ма-
невра сближения от времени перелета при использовании метода сво-
бодных траекторий для КА, находящихся на круговых орбитах разных
высот с МКС
На первом витке перелеты возможны фактически при любой угловой
дальности. Далее появляются запретные зоны, возникающие вследствие уче-
та физических размеров Земли и ее атмосферы. Потребные суммарные им-
пульсы скорости рассчитаны при условии выполнения граничных условий,
т. е. при нулевом промахе.
Для пояснения существующих ограничений, обусловленных физически-
ми параметрами Земли, приведен рис. 7.20.
Для рассмотренного в п. 7.10.3 примера сближения активного КА
с МКС получено решение методом свободных траекторий при тех же на-
чальных условиях. Результаты применения обоих методов представлены
в табл. 7.3.
373
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
в
Рис. 7.20. Примеры орбит перелета (I) для сближения КА по мето-
ду свободных траекторий:
а — рассчитанная орбита перелета проходит через тело Земли; б — рас-
считанная орбита перелета проходит через атмосферу Земли; в — орбита
перелета, для которой выполняются отраничения, налагаемые физически-
ми параметрами Земли; П — целевая орбита; 1 — точка схода КА с на-
чальной орбиты; 2 — точка сближения активного КА с целью
Таблица 7.3
Значения характеристик сближения КА для различных методов сближения
Характеристика Метод параллельного сближения Метод свободных траекторий
Общее время сближения 840с 280 с
Потребный импульс скорости Avz 47,40 м/с 24,69 м/с
Конечное относительное расстояние между объектами (их центрами масс) гт кон 0,006 км 0,0002 км
Относительная скорость в конечный момент 6,0 см/с 0,0 см/с
Число импульсов коррекции 7 2
374
7.11. Метод свободных траекторий
Ьг, км
Рис. 7.21. Пример орбиты перелета с разницей
высот 10 км и длительностью 15 000 с:
а — изменение относительной дальности; б — го-
дографы векторов относительной дальности и ско-
рости; в — график изменения компонент вектора
угловой скорости линии визирования
Как отмечалось выше, метод парал-
лельного сближения позволяет увести ак-
тивный КА от цели вследствие того, что
вектор относительной скорости актив-
ного КА составляет определенный угол
с вектором скорости цели (см. рис. 7.15).
При использовании метода свободных
траекторий этот угол, как правило, мини-
мален. Также для метода параллельного
сближения были преднамеренно наложе-
ны ограничения на конечное относитель-
ное расстояние, что не приводит к суще-
ственному росту потребного импульса
скорости.
Другими словами, при практической
реализации методов без учета начальной
относительной скорости коэффициент
расхода топлива, выраженный через по-
требное приращение скорости на единицу
начальной дальности, составляет для опе-
раций сближения около Земли примерно
0 2000 6000 10000 14000
2 м/с на 1 км для метода свободных тра-
екторий и примерно 5 м/с на 1 км для метода параллельного наведения. Та-
ким образом, если разность в весе приборного оборудования, реализующего
методы наведения, равна весу топлива, обеспечивающего приращение скоро-
сти 15...30 м/с, можно утверждать, что при начальных дальностях, меньших
5... 10 км, выгоднее использовать системы управления, реализующие метод
параллельного наведения, а при более значительных дальностях — системы,
реализующие метод свободных траекторий.
Основные соотношения
Уравнение движения пассивного КА по отношению к активному:
5г = -г0-ц^Ц^-. (7.9)
г
Линеаризованные уравнения, описывающие движение активного КА по
отношению к пассивному:
375
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
Уравнения Клохесси — Уилтшира'.
8х - Зп28х - 2п8у = 0;
8у + 2п8х = 0; (7.26)
8z + n28z = 0.
Решение уравнений Клохесси — Уилтшира:
8х = (4-3 cos nt) 8х0 + S РИ*8х0 +—(l-cosn/)8j>0; (7.32)
п п
8у - 6(sinnt-nt)8x0 + 8у0 +—cos(«/-l)8x0 + —sin«/-3z 8у0; (7.36)
п \п J
8z = cosnt8z0 +—sin«/8z0. (7.39)
п
Матричная форма уравнений Клохесси — Уилтшира:
8r(t) = Ф„.(О8го + On,(05v0;
8у(/) = Фуг(/)8го + Ф1Т(/)8уо,
где матрицы Клохесси — Уилтшира представлены в виде
Ф.(о=
4-3cos>rt
6(sinn/-«0
0
0 0
1 0
0 cos nt
1 .
— Sinn/
п
—(cos nt-1)
п
2
—(1-cosn/) 0
п
—(4sin«?-3«Z) О
п
0 —sin nt
п
(7.43)
о
3«sin«Z О О
ФУГ(О= 6»(cos«/-l)
О О
О
О -п sin nt
376
Основные соотношения
cos nt 2 sin nt 0
Фур(0= -2 Sin nt
4cosn/-3
0
0
cos nt
Общие уравнения относительного движения'.
</2г И л
—5- + Л-Г = 0;
dt1 г3
гц । г =а •
dt2 г3 ц вц’
—у- + -Ц-га = а +а,
dt2 г3 а ва
(7-62)
где ав ц, ав а — возмущения, отклоняющие реальное движение КА от кеплеро-
ва; а — управляющее ускорение, создаваемое двигательной установкой ма-
неврирования управляемого КА.
Уравнения относительного движения сближаемых КА:
dv
= vo™; —TS’ = g + aB.a“aB.u+a> (7-64)
at
где vOTH — вектор относительной скорости.
Разностное гравитационное ускорение в центральном поле тяготения:
g = ргц'3 (г + гц -ап1 ) - ц<3 (г + raam ); (7.65)
g = [ха(г + гаотн ) - хц (г + гц отн )], (7.66)
где
2
3
х,
(7.67)
в линейном приближении
gi=“P-
г
1отн
Г-Гетти
Г2
377
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов на орбите
в квадратичном приближении
= -цг NrOTH
г • г
дц.отн
г
*ц.отн
3
2
Точные уравнения относительного движения в визирной системе ко-
ординат'.
Ъгн " готн (®з + ) + Ц x0r"VOTH - ц(1 - х 0)г“2тх = at;
готн®з +2w°3 + готн(О1®2 -ц(1- Xo)r 2ш2 = a2; (7.75)
-^“2 + 2rOTH®2 + W°i®3 “ HO “ *o)r 2/яз = аз>
где а2, а3 — проекции вектора управляющего ускорения а на оси хх,х2,х3;
т} = sin a cos 0;
т2 = cos а cos у - sin а sin 0 sin у;
т3 =-cosasiny-sinasinPcosy.
Если использовать только линейные члены разложения для гравитацион-
ного ускорения, то можно записать
^отн ~ ^отн (®3 + ®2 ) "I з” ^отн 0 ~ 3^1 ) ~ ’
Г
готн®3 + Чтн®3 + готн®1®2 -34гОТн«1'«2 = а2, (7.76)
Г
. ц.
-ra™®2 +2готн®2 +готн®1®3 "3“Г^т^ = «3.
Г
а = —-—((£>•> cos у + <о2 siny)-0;
COS0
P = (03siny-®2COSYJ (7.77)
sinpz . ч
У = СО,---— ((Di cos у + со2 sin у).
COS0
378
Основные соотношения
Алгоритм 7.1. Метод параллельного сближения в абсолютной СК
Даны векторы состояния активного КА и цели (r01, v01), (r02, v02), время
между коррекциями движения Д/, ограничение по скорости сближения на ко-
нечном этапе сближения для последующего перехода КА в режим стыков-
ки ev, минимальное расстояние между КА на этапе сближения Дг, начальная
скорость сближения v0TH 0.
В каждый момент времени, кратный Д/, выполняется коррекция движе-
ния КА, если расстояние между сближающимися КА больше Дг.
1. Предполагается, что КА движутся по кеплеровым орбитам, тогда диф-
ференциальные уравнения их движения имеют вид
.. .. г,(7) .... г,(/)
«i(0=-H„ ,3; г2(г)=-н„ ,,3-
2. Определяется относительное расстояние между КА в текущий момент
времени Г,: готн>/(Г,) = ги -г2>/.
3. Определяется единичный вектор линии визирования в абсолютной СК:
________Готн,/(С)______
^отн,/ (^' ) ’ Готн,/ (С’)
4. Строится визирная СК и определяется положение ее осей в абсолют-
ной СК через соответствующие орты.
Орт совпадает с единичным вектором линии визирования, т. е.
и =и
“jq, отн.
В качестве основной плоскости для построения визирной СК выбрана
плоскость, содержащая линию визирования и радиус-вектор KA-цели. По-
этому орт иХ2 можно построить как векторное произведение радиуса-векто-
ра KA-цели г1;- и уже полученного орта и, , умножив векторно полученный
вектор на орт иХ]. и нормализовав результат. Отметим, что операции век-
торного произведения необходимы для получения ортогональных векторов.
Таким образом,
ur = Normalize (Yr,, xu, Ixn V
где Normalize (a) =-,---.
Vaa
Последний орт визирной СК определяется как векторное произведение
полученных ранее, т. е.
ur =ur xur .
x3,i xl,i x2,i
379
Вопросы и задачи
5. Рассчитывается проекция вектора скорости активного КА на линию
визирования и выполняется расчет коррекции. Для этого определяется мо-
дуль вектора скорости сближения:
v<nHi = Projection((vu-v2>,),uXi ),
где Projection(a,b) = (b a/b b)b, а затем характеристические скорости им-
пульса коррекции по осям визирной СК:
V
т отн i ’
6V2 - Projection^!- V2! ),uX2 );
5Vj - Projection((vM - v2>/ ),иХз);
8V =6V( -6,,2
6. Проводится импульсная коррекция движения, реализуемая как измене-
ние вектора скорости КА:
V2., ^•V2,, -8v
7. Если достигнуто одно из условий, при котором задача сближения счи-
тается выполненной, расчет коррекций прекращается.
Вопросы и задачи
1. Опишите основные системы координат, применяемые при решении за-
дач сближения.
2. Когда годограф положений космического аппарата на одной орбите,
наблюдаемых с другой орбиты, не является замкнутым?
3. В каких случаях возможна линеаризация уравнений относительного
движения?
4. Дайте классификацию методов сближения, используемых в реальных
условиях.
5. Нарисуйте схему сближения КА по методу параллельного наведения.
6. В чем состоит метод свободных траекторий?
7. Как строится визирная система координат?
8. За какое время может быть реализован маневр сближения КА с МКС
при начальном расстоянии между объектами в 300 км по методу свободных
траекторий? , .
о о а(1-е2) „
9. Запишите выражение г - у—-— как линейную функцию е для его
малых значений.
Глава 8
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
Романовские межпланетные перелеты. — Возможности для
встречи с планетой. — Сфера действия. — Метод гравита-
ционных сфер нулевой протяженности. — Отлет с плане-
ты. — Анализ чувствительности. —Встреча с планетой. —
Пролет у планеты и гравитационный маневр. — Эфемериды
планет. — Негомановские межпланетные траектории. —
Проектирование межпланетных перелетов с использовани-
ем метода изолиний. — Основные соотношения. — Вопросы
и задачи
В данной главе рассмотрены основные аспекты планирования полетов к пла-
нетам Солнечной системы.
Как отмечалось ранее, перелеты Гомана являются наиболее энергоэф-
фективными. Ограничением их применения является то, что орбиты планет
при расчете перелетов Гомана должны лежать в одной и той же плоскости,
а сами планеты располагаться таким образом, чтобы можно было реализовать
соответствующую эллиптическую траекторию перелета. Приведен вариант
расчета соответствующих временных соотношений для планирования и ре-
ализации перелетов такого типа. Описано использование метода конических
сечений при условном разделении траектории полета на три этапа: гипербо-
лическую траекторию отлета от исходной планеты, эллиптическую гелиоцен-
трическую орбиту перелета в окрестность планеты назначения и гиперболи-
ческую траекторию прибытия к планете назначения. Разделение траектории
полета, основанное на использовании метода конических сечений, обуслов-
лено тем, что внутри так называемых сфер действия планет в первом прибли-
жении движение КА может быть описано как решение задачи двух тел, где
под притягивающим телом понимается сама планета. Радиус сферы действия
планеты исчезающе мал в масштабах Солнечной системы. Для реализации
метода требуется согласовать векторы состояния КА на границах сфер дей-
ствия планет, рассчитать требуемые векторы состояния для выведения КА на
траекторию перелета и траекторию в окрестности планеты назначения. По
этим данным можно сформулировать требования к векторам импульсов ско-
рости в моменты отлета и прибытия.
В рамках линеаризации уравнений движения рассмотрено влияние откло-
нений начального вектора состояния КА на реализуемую траекторию его поле-
та, которое определяется чувствительностью. Отклонения могут быть вызваны
разными причинами, в первую очередь неточностью выведения КА на круго-
вую орбиту ожидания, а также неточностью работы двигательной установки.
381
Глава 8. Межпланетные полеты
Требование по согласованию скоростей КА и планеты назначения в сфе-
ре действия этой планеты, а также требуемое положение перицентра гипер-
болической траектории прибытия позволяют рассчитать необходимый вектор
импульса скорости в момент входа в сферу действия планеты с последующим
переходом на околопланетную орбиту либо пролетом мимо нее. В послед-
нем случае пролетная траектория относительно планеты является гипербо-
лической, а КА при облете планеты фактически совершает гравитационный
маневр. Далее обсуждаются гравитационные маневры, в том числе различия
маневров с пролетом перед планетой или за ней. Приведены примеры при-
менения гравитационных маневров.
В заключение главы проведен анализ ситуации, когда орбиты планет не
являются компланарными, а гелиоцентрический эллипс перелета не являет-
ся гомановским. Этот перелет аналогичен маневру встречи, рассмотренно-
му в главе 6, и требует решения задачи Ламберта в соответствии с алгорит-
мом 5.2, рассмотренным в главе 5.
8.1. Романовские межпланетные перелеты
Орбиты большинства планет Солнечной системы лежат очень близко к ор-
битальной плоскости Земли (см. приложение 1), которую называют плоско-
стью эклиптики или иногда просто эклиптикой. Ближайшая к Солнцу планета
Меркурий более всего отличается наклонением своей орбиты к эклиптике,
составляющим 7°. Наклонение орбит других планет к эклиптике не превы-
шает 3,5°. Большинство орбит планет имеют небольшие эксцентриситеты, за
исключением Меркурия (см. приложение 1). Далее для простоты будем счи-
тать, что все орбиты планет круговые и компланарные. Позже, в конце главы,
ослабим это предположение.
Как было показано выше, самым энергоэффективным способом перелета
КА с одной орбиты на другую в рамках указанных ограничений, учитывая,
что эти орбиты являются решением задачи двух тел, является использование
эллипса перелета Гомана (см. п. 6.2). На рис. 8.1 приведен эллипс перелета
Гомана от внутренней планеты 1 к внешней планете 2.
Точка отлета D находится в перицентре (перигелии) эллипса перелета,
а точка прибытия — в апоцентре (афелии) этого эллипса. Круговая орби-
тальная скорость планеты 1 относительно Солнца в соответствии с форму-
лой (2.53)
(8.1)
Угловой момент h эллипса перелета относительно Солнца может быть
найден из уравнения (6.2), так что скорость КА на эллипсе перелета при от-
лете из точки D составит
VD = — = (8.2)
Ъ v +я2)
382
8.1. Романовские межпланетные перелеты
Рис. 8.1. Романовский перелет от внутренней планеты 1 к внешней
планете 2
Эта скорость больше, чем скорость планеты, поэтому требуемый импульс
скорости Ду, который необходимо придать КА в точке D,
(83)
Кроме того, в точке прилета А также необходимо придать КА импульс
скорости Ду вследствие того, что удельная механическая энергия орбиты 2
больше, чем удельная механическая энергия орбиты перелета (см. главу 6).
Значение импульса определяется следующим образом:
I 2*i '
= V2~VA
(8.4)
Это приращение скорости, как и в точке D, является положительным, по-
скольку планета 2 движется быстрее, чем КА в точке А.
Для перелета с внешней планеты на внутреннюю, как показано на рис. 8.2,
импульсы скорости Ду, вычисленные с помощью уравнений (8.3) и (8.4), бу-
дут отрицательными. Это происходит потому, что точка отправления и точка
прибытия теперь находятся в афелии и перигелии эллипса перелета. Скорость
КА следует снизить, чтобы траектория перешла в низкоэнергетическую эл-
липтическую (с низкой энергией в точке отправления D) и затем вновь сни-
зить в точке А для перехода КА на круговую орбиту планеты 2 с еще мень-
шей энергией.
383
Глава 8, Межпланетные полеты
Рис. 8.2. Романовский перелет от внешней планеты 1 к внутренней
планете 2
8.2. Возможности для встречи космического аппарата
с планетой
Обычно цель межпланетного полета заключается в том, чтобы КА не только
пересек орбиту планеты, но и встретился с этой планетой в требуемый мо-
мент времени. Для того чтобы встреча с планетой произошла в конце эллип-
са перелета Гомана, расположение планеты 2 на ее орбите на время вылета
КА с планеты 1 должно быть таким, чтобы планета 2 прибыла к линии ап-
сид эллипса перелета одновременно с КА. Отметим, что фазирующий маневр
(см. разд. 6.7) явно неприменим, особенно для пилотируемых миссий, вслед-
ствие больших периодов гелиоцентрических орбит.
Рассмотрим планету 1 и планету 2, обращающиеся по круговым орбитам
вокруг Солнца, как показано на рис. 8.3. Поскольку орбиты планет являются
круговыми, можно выбрать общую горизонтальную линию апсид, от которой
будет проводиться отсчет истинной аномалии & Истинные аномалии планет
7 и 2 определяются следующими выражениями:
W'tf (8.5)
&2 = ^20 + ^2^’ (8.6)
где &1о, 32о — истинные аномалии планет в момент t = 0; иь п2 — средние
движения планет.
384
8.2. Возможности для встречи космического аппарата с планетой
Рис. 8.3. Круговые орбиты движения планет вокруг Солнца:
а — планета 2 находится за орбитой планеты /; б — планета 2 находится вну-
три орбиты планеты 1
Фазовый угол между векторами положений двух планет имеет вид
Ф = &2-Э]. (8.7)
Считается, что ф является угловым положением планеты 2 по отношению
к планете 1. Подставляя выражения (8.5) и (8.6) в формулу (8.7), получаем
Ф = Фо + («2-«1)^ (8-8)
где (р0 — фазовый угол в начальный момент времени; (л2 _ wi) — орбитальная
угловая скорость планеты 2 относительно планеты 1. Если орбита планеты 2
за орбитой планеты 1 (рис. 8.3, а), то пх > п2. Таким образом, относительная
угловая скорость (п2 - п}) имеет отрицательное значение; это означает, что
планета 2 движется по часовой стрелке относительно планеты 1. Если же ор-
бита планеты 2 находится внутри орбиты планеты 7, то (и2 - а^) положитель-
на и относительное движение планеты 2 происходит против часовой стрелки.
Фазовый угол изменяется линейно как функция времени согласно урав-
нению (8.8), поэтому если принять, что фазовый угол равен (р0 при t = 0, то
он станет снова равен ф0, когда вектор положения планеты 2 повернется на
2л радиан относительно планеты 7. Время, необходимое для возврата фазово-
го угла к его начальному значению, называется синодическим периодом, ко-
торый будем обозначать Тсин. Для случая на рис. 8.3, а, когда относительное
движение происходит по часовой стрелке, Тсин является временем, необходи-
мым для изменения ср от (р0 до ф0 - 2л. Из уравнения (8.8) следует
Фо - 2л = <р0 + (и2 - «ОТсин,
поэтому
385
Глава 8. Межпланетные полеты
Для случая на рис. 8.3, б п2> пь Тст — время, необходимое для того,
чтобы <р изменился от <р0 до <р0 + 2л. В этом случае уравнение (8.8) приводит
к выражению
_ _ 2л
^син ( ч ’ ^2 >
Оба случая могут быть представлены общей формулой
^син= (8.9)
|«i-n2|
Из уравнения (3.6) следует, что п} =2л/7] и п2 = 2п!Т2. Таким образом,
синодический период может быть вычислен через орбитальные периоды двух
планет:
ТТ
Тсин = , 1 2 ,. (8.10)
Н1 “у2|
Отметим, что Тсин является орбитальным периодом планеты 2 по отноше-
нию к планете 1.
Пример 8.1
Рассчитайте синодический период Марса относительно Земли.
Решение
Из приложения 1 находим орбитальные периоды Земли и Марса:
ТЕ = 365,26 сут (1 год);
Тм = 1 год 321,73 сут = 687,99 сут.
Следовательно,
Т
хсин
ТЕТМ 365,26-687,99
|Г£-7^1 “365,26-687,99
= 777,9 (сут).
Расчет проводится в земных сутках (1 сут = 24 ч). Таким образом, для по-
вторения некоторого положения Марса относительно Земли должно пройти
2,13 года.
На рис. 8.4 изображен условный перелет с планеты 1 на планету 2. После
перелета по дуге гелиоцентрического эллипса Гомана КА сближается с пла-
нетой 2. Позже, вследствие симметрии задачи, КА возвращается на планету 1
по второй дуге эллипса Гомана. Большая полуось гелиоцентрического эллип-
са перелета является суммой радиусов орбит двух планет: R} + R2. Время ?12,
которое требуется для перелета, составляет половину периода эллипса. Сле-
довательно, согласно уравнению (2.73),
з
_ л (Rx +Т?2 V
?12 “ ~Т \ э
yPs V 2 J
(8.И)
386
8.2. Возможности для встречи космического аппарата с планетой
Планета 1:
прибытие
Планета 2:
прибытие
б
Рис. 8.4. Полет КА от планеты 1 к планете 2 и обратно:
а — отправление и встреча с планетой 2; б — возвращение и встреча с планетой /
За это время КА должен перелететь из точки на орбите 1 в точку на ор-
бите 2, причем угловое расстояние перелета равно п рад. Планета 2 переме-
щается по своей круговой орбите и в конце перелета КА будет находиться
непосредственно напротив точки на орбите планеты 7, которую та занимала
в момент отлета КА. Поскольку угловая скорость планеты 2 равна п2. то угло-
вое расстояние, пройденное во время перелета КА, составит w2ri2- Следова-
тельно, как можно видеть на рис. 8.4, а, начальный фазовый угол ф0 между
двумя планетами
Фо = л-и2^12. (8.12)
Когда КА прибывает к планете 2, его фазовый угол равен фу-; этот угол
можно определить из уравнений (8.8) и (8.12):
ф/ = фо + («2 - «1Х12 = (л - и2'12 ) + («2 - «1V12 J
(8-13)
ф/=Л-И1^12.
Для случая на рис. 8.4, а планета 2 в момент прилета КА находится по-
зади планеты 1, отставая от нее на угол фу. При этом в начале обратного
пути (см. рис. 8.4, б) планета 2 должна быть на угол Фо впереди планеты 1.
Очевидно противоречие, которое приводит к необходимости паузы при реа-
лизации обратного перелета.
Поскольку КА совершает перелеты по одинаковым эллипсам Гомана,
время полета с планеты 1 на планету 2 и обратно одинаково и равно /12. Сле-
довательно, расстояние, пройденное планетой 1 во время обратного перелета,
совпадает с расстоянием прямого перелета, что означает
Фо = -Фу. (8.14)
387
Глава 8. Межпланетные полеты
В любом случае фазовый угол в начале обратного перелета должен быть
противоположным по знаку фазовому углу при прямом перелете с планеты 1.
Время, необходимое для того, чтобы фазовый угол достиг надлежащего зна-
чения, называется временем ожидания 10Ж. Отсчет времени ожидания начина-
ется в момент достижения КА планеты 2. Из уравнения (8.8) следует
Ф = (р/+(«2-«1)^,
и ф становится равен -фу спустя время ожидания t, т. е.
-Ф/=Ф/+(«2-«1Кж»
откуда
2ф/
(8.15)
где фу можно определить из выражения (8.13). Выражение (8.15) может дать
отрицательное значение времени, которое означает, что желаемое фазовое
соотношение прошло. Поэтому можно добавить слагаемое в числителе крат-
ное 2л, чтобы получить положительное значение для времени /ож. В частно-
сти, если N= 0, 1, 2,..., то
-2фг -2nN
/ож=-----}------, (8.16)
«2"«1
-2of + 2nN
'ож =------, «1 < «2, (8.17)
«2-«1
где N выбирают так, чтобы /ож было положительным, причем наименьшим из
полученных таким образом.
Пример 8.2
Рассчитайте минимальное время ожидания для начала обратного пути
с Марса на Землю по гомановскому эллипсу.
Решение
Из приложения 1 выпишем следующие параметры:
Re = 149,6 • 106 км;
RM= 227,9-106 км;
ps = 132,71 • 109 км3/с2.
Согласно уравнению (8.11), время полета с Земли на Марс
з
_ л (Rx +R2 V
*12 -“7= I
vPs \ 2 )
л
7132,71-ю9
149,6 106 + 227,9 106У/2
2
= 2,2362 -107 (с)
или z12 = 258,82 сут.
388
8.3. Сфера действия
Из уравнения (3.6) и с учетом орбитальных периодов Земли и Марса
(см. пример 8.1) определяем средние движения Земли и Марса:
2л
пЕ = = °’017202 (рад/сут);
3oj,Zo
пм = ——— = 0,0091327 (рад/сут).
м 687,99 У у ’
Фазовый угол между Землей и Марсом в момент прилета к нему КА вы-
числяем по уравнению (8.13):
Фу =n-nEtn =п-0,017202-258,82 = —1,3107 (рад).
Поскольку пЕ>пм, используем уравнение (8.16), чтобы найти время
ожидания:
-2фу-2лА -2(-1,3107)-2лУ „о ос z ч
=----------=--------------------= 778,65N — 324,85 (сут).
ож п2-пх 0,0091327-0,017202 v 7 ’
При N = 0 получим отрицательное значение, которое не имеет физиче-
ского смысла. Приняв N= 1, имеем
10Ж ~ 453,8 сут.
Это минимальное время ожидания. Очевидно, что можно принять N = 2,
3, ..., чтобы получить большее время ожидания.
Для того чтобы КА мог отправиться на Марс по гомановскому эллипсу
минимальной энергии, фазовый угол между Землей и Марсом должен удов-
летворять выражению (8.12). Используя результаты примера 8.2, находим
этот угол:
Фо = п- nMti2 = л -0,0091327 -258,82 = 0,7778 (рад) = 44,57°.
Возможность перелета на Марс возникает раз в каждый синодический
период, который, как было показано, составляет 2,13 года (см. пример 8.1).
В примере 8.2 рассчитано, что время полета на Марс составляет 258,8 сут,
после чего следует время ожидания 453,8 сут, спустя которое оказывается
возможным обратный перелет, занимающий 258,8 сут. Таким образом, общее
время для осуществления пилотируемой миссии на Марс
= 258,8 + 453,8 + 253,8 = 971,4 (сут) = 2,66 лет.
8.3. Сфера действия
Солнце является доминирующим небесным телом в Солнечной системе. Оно
более чем в 1000 раз массивней, чем самая большая планета Юпитер, и имеет
массу более 300 000 масс Земли. Притяжение Солнца удерживает планеты
389
Глава 8. Межпланетные полеты
Рис. 8.5. Уменьшение гравитацион-
ной силы с удалением от поверхно-
сти планеты
в соответствии с законом всемирного тя-
готения Ньютона. Однако вблизи данной
планеты влияние ее собственной гравита-
ции превосходит силу Солнца. Например,
на поверхности Земли ее собственная сила
притяжения в 1600 раз больше, чем сила
притяжения Солнца. Обратно-квадрати-
ческий характер закона притяжения при-
водит к тому, что сила тяжести Fg быстро
уменьшается с увеличением расстояния г
от центра притяжения. Если обозначить
как силу притяжения Fgo на поверхности
планеты радиусом г0, то на рис. 8.5 можно
видеть, как быстро эта сила уменьшается
с расстоянием. Например, на удалении,
равном 10 радиусам тела, сила притяже-
ния составляет 1 % от значения на поверх-
ности тела. Вследствие огромной массы Солнца сила его притяжения на не-
котором расстоянии от планеты всегда становится больше силы притяжения
этой планеты.
Для того чтобы оценить радиус гравитационной сферы действия пла-
неты, т. е. области, внутри которой в первом приближении движение КА
можно рассматривать в рамках задачи двух тел, рассмотрим систему трех
тел. Пусть в нее включены планета р массой тр, Солнце S массой ms и КА v
массой mv (рис. 8.6). Векторы положения планеты и космического аппарата по
отношению к инерциальной системе координат с центром в Солнце обозна-
чим R и соответственно. Вектор положения КА относительно планеты г.
(Здесь и далее будем использовать прописные буквы для представления по-
ложения, скорости и ускорения, измеренных относительно Солнца, и строч-
ные буквы, когда они измерены относительно планеты.) Силу притяжения
Рис. 8.6. Относительное положение и векторы силы притяжения систе-
мы трех тел
390
8.3. Сфера действия
планеты, действующую на KA, обозначим FJJ, силу притяжения Солнца FJ.
Аналогично, силы, действующие на планету, F/ и Fvp и, в свою очередь,
силы, действующие на Солнце, FJ и Fvs. В соответствии с законом всемир-
ного тяготения Ньютона (2.6), эти силы представим в виде
Gmvm
*р~—Тз- г’
_ Gmvms
~ 7з Kv>
(8.18)
Отметим, что
„ Gm„m<,
F^ =----£-*R.
5 R3
(8.19)
Из данных рис. 8.6 и теоремы косинусов следует, что значение векто-
ра К
+ r2 -2/?rcos0 - R
2-|1/2
1-2—cosG + l — |
R \R)
(8.20)
Для КА ти„, находящегося в сфере действия планеты, r/R<zA. Поэтому
членом rjR в уравнении (8.20) можно пренебречь, и далее будем считать, что
RV = R.
(8-21)
Уравнение движения космического аппарата в СК с центром в Солн-
це имеет вид
mvRv=Fvs+Vvp.
Решая его относительно Rv и подставляя силы притяжения, заданные
уравнениями (8.18), получаем
Ry = —
mv
GmvmS Ч
3
1 ( Gmvm
mv
,з
G/Ис „ Gm
—/Rv---------/г. (8.22)
Запишем последнее уравнение в виде
Ry=
(8.23)
где
a — Gms p _
Gmp
r3
г.
(8-24)
391
Глава 8. Межпланетные полеты
Здесь As — основное ускорение КА, создаваемое силой притяжения Солнца;
Рр — возмущающее ускорение, создаваемое силой притяжения планеты. Тог-
да значения этих ускорений
a =9ais_. р ~_Gmp
r2 ’ *Р r2
(8.25)
В формулах (8.25) использовано приближение, заданное равенством
(8.21).
Отношение возмущающего ускорения к основному можно определить в
виде
Gmp
Р 2~
р = г
4 Gms
R2
Z \2
(8.26)
Уравнение движения планеты в СК с центром в Солнце имеет вид
m,R = F'+F£.
Решая его относительно R, отметим, что F/* = -Fp, и, используя уравне-
ния (8.18), получаем
й _ 1 ( Gmvmp
з
тр\ г
1 ( Gmsmn ) Gm Gm„
—-------V^R =^r---------(8.27)
тД R3 ) r3 R3
Вычитая уравнение (8.27) из (8.22) и приводя подобные, находим
Rv-R
Gm
—Дг
г
тр)
Gms
$
R -f—Yr
v Ы
Тогда из уравнения (8.19) следует, что уравнение движения КА относи-
тельно планеты
(8.28)
Используя равенство (8.21) и соотношение mv<zzmp, можно записать
уравнение (8.28) в приближенном виде
г = аР+Р5, (8.29)
где
а
р
Gmp
г; Ps=-
Gms
R3
г.
(8.30)
392
8.3. Сфера действия
Здесь ар — основное ускорение КА, вызванное силой притяжения плане-
ты; ps — возмущение, вызванное силой притяжения Солнца. Значения этих
векторов
Gm Gm<.
(8.31)
Отношение возмущающего ускорения к основному ускорению
Gms
Ps r3 =ms(r
ар GmP тр \R
(8.32)
Если рассматривается движение КА относительно планеты, отношение
Ps/ap является мерой отклонения орбиты этого КА от кеплеровой орбиты,
по которой обращается планета (для нее psjap = 0). Аналогично, Рр/As яв-
ляется мерой действия планеты на орбиту КА по сравнению с Солнцем. Та-
ким образом, если
Ps < ^Р_
аР As’
(8.33)
то возмущения орбиты КА, движущегося вокруг планеты, от притяжения
Солнца меньше, чем возмущения орбиты КА, движущегося вокруг Солнца,
от притяжения планеты, если рассматривать движение такого КА отдельно
как происходящее либо относительно Солнца, либо относительно планеты.
Если основное ускорение вследствие действия сил притяжения КА полу-
чает от планеты, будем считать, что он находится в сфере действия этой
планеты. Подставляя уравнения (8.26) и (8.32) в (8.33), получаем
ms(r Y < тр ГR
mp\R) ms[r
откуда следует
VmsJ
Пусть гдст — радиус сферы действия планеты. В сфере действия планеты,
определяемой из равенства
гдст
R
2
<mS;
(8.34)
движение КА описывается уравнениями его движения относительно плане-
ты (8.28). Вне сферы действия планеты движение КА описывается уравнени-
ями относительно Солнца (8.22).
393
Глава 8. Межпланетные полеты
Отметим, что радиус сферы действия, определяемый уравнением (8.34),
не является точной величиной вследствие изменения R. Это просто адекватная
оценка расстояния, за которым притяжение Солнца доминирует над притяже-
нием планеты.
Построение траекторий космического полета с использованием «склеи-
вания» траекторий может быть выгоднее, если вместо сфер действия рассма-
тривать сферы влияния, радиус которых задается выражением
1т„
гм=1,15/?3р.
\mS
Пример 8.3
Вычислите радиус сферы действия Земли.
Решение
В приложении 1 находим требуемые для вычисления параметры:
тЕ = 5,974 • 1024 кг;
ms= 1,989-1О30 кг;
Re = 149,6 • 106 км.
Подставляя эти данные в уравнение (8.34), получаем
2 2
гдст = re (—У = 149,6-ю6 ( 5, 974'10з0 У = 925 • 106 (км).
дст 1^1,989-Ю30 J
Поскольку радиус Земли составляет 6378 км, гдст = 145 радиусов Земли.
Соотношение между радиусами Солнца, сферы действия Земли и орбиты
Земли представлено на рис. 8.7.
rs=109r£ rM=145r£
о ...— — I <)
23 460 rs
Рис. 8.7. Соотношение между радиусами Солнца, сферы действия
Земли и орбиты Земли
8.4. Метод гравитационных сфер нулевой протяженности
Метод гравитационных сфер нулевой протяженности основан на том, что
орбиты КА в задаче двух тел всегда являются коническими сечениями (кеп-
леровыми орбитами) с фокусом, расположенном в центре притягивающе-
го тела. При расчете межпланетных траекторий будем предполагать, что,
когда КА выходит за пределы сферы действия планеты, он движется по
невозмущенной кеплеровой орбите вокруг Солнца. Поскольку межпланет-
ные расстояния для гелиоцентрических орбит огромны, можно пренебречь
394
8.4. Метод гравитационных сфер нулевой протяженности
размером сфер действия планет и считать их просто совпадающими с цен-
трами этих планет.
Внутри сферы действия планеты КА движется по невозмущенной кепле-
ровой орбите относительно планеты. Хотя сфера действия планеты в масшта-
бе Солнечной системы мала, с точки зрения размеров планеты она очень ве-
лика, и ее граница может считаться лежащей на бесконечности относительно
центра этой планеты.
Схематично построение орбит перелета методом конических сече-
ний можно представить следующим образом. Пусть требуется осуществить
перелет с планеты 1 на планету 2. При использовании метода конических
сечений сначала следует определить гелиоцентрическую траекторию пере-
лета — такую, как эллипс Гомана, рассмотренный в разд. 8.2. Известно, что
эта траектория будет пересекать требуемые положения двух планет на их
орбитах. Она выводит КА из сферы действия планеты 1 к сфере действия
планеты 2. В областях сфер действия гелиоцентрические скорости орбиты
перелета вычисляют относительно планет для определения скоростей «на
бесконечности» (на границе сферы действия планеты), которые затем ис-
пользуют для определения траектории ухода от планеты 1 и траектории
прибытия на планету 2. Таким образом, необходимо рассмотреть совместно
три конических сечения: одно с центром в Солнце, а два других с центрами
в соответствующих планетах.
Укажем на ограничения на использование метода гравитационных сфер
нулевой протяженности. Этот метод эффективен при предварительном про-
ектировании межпланетных перелетов, но, к сожалению, не позволяет сде-
лать то же самое с требуемой (не оценочной) точностью для полетов к Луне
и обратно. Орбита Луны находится в сфере действия Земли, значительно пре-
вышающей радиус 384 400 км. При использовании метода гравитационных
сфер применительно к лунным траекториям игнорируется влияние Солнца
и рассматривается движение КА под влиянием Земли и Луны. При этом ра-
диус сферы действия Луны гсд определяют с помощью уравнения (8.34), где
Земля играет роль Солнца, т. е.
о mL
гс.а ~
\™е)
с.д
2
5
или гсд = 384400
73,48 10
5974 Ю21
2
5
= 66200 км.
Таким образом, радиус сферы действия Луны составляет более чем
1/6 расстояния до Земли. Вряд ли можно считать, что по сравнению с радиу-
сом Земли это исчезающе малая величина. Еще одно осложнение состоит
в том, что Земля и Луна сравнимы по массе и их общий центр масс лежит на
расстоянии почти в 3/4 радиуса Земли от ее геометрического центра. Кроме
того, движение Луны не может быть точно описано как вращение вокруг цен-
тра Земли. Осложнения, подобные этим, делают анализ лунных траекторий
выходящим за рамки данного учебника.
395
Глава 8. Межпланетные полеты
8.5. Отлет космического аппарата с планеты
Для того чтобы покинуть планету, КА должен двигаться относительно нее
по гиперболической траектории, выходя на границу сферы действия планеты
с относительной скоростью (гиперболическим избытком скорости) v„ > 0. По
параболической траектории, согласно уравнению (2.80), КА выйдет на грани-
цу сферы действия (г = оо) с относительной скоростью, равной нулю. В этом
случае КА останется на той же орбите, что и планета, и будет двигаться по
такой же гелиоцентрической траектории.
На рис. 8.8 показан КА, отлетающий по траектории Гомана от планеты 1
к целевой планете 2, которая находится дальше от Солнца (как на рис. 8.1).
На границе сферы действия вектор гелиоцентрической скорости vD КА па-
раллелен асимптоте гиперболы отлета, а также гелиоцентрическому вектору
Рис. 8.8. Отлет КА от внутренней планеты к внешней
скорости Vp vD и V] должны быть параллельны и направлены таким образом,
чтобы для гомановского эллипса перелета AvD в уравнении (8.3) была поло-
жительна. Таким образом, AvD является гиперболическим избытком скорости
гиперболы отлета, т. е.
396
8.5. Отлет космического аппарата с планеты
2R2
+ Т?2
(8.35)
Обычно КА переходит на межпланетную траекторию с круговой орбиты
ожидания, поэтому радиус этой орбиты равен радиусу перицентра гр гипербо-
лы отлета. Согласно уравнению (2.40), радиус перицентра
h2 1
Гр Mi 1 + е’
(8.36)
где h — угловой момент гиперболы отлета (относительно планеты); щ —
гравитационный параметр планеты; е — эксцентриситет гиперболы. Первый
и третий параметры орбиты неизвестны, поэтому их необходимо найти.
Гиперболическая скорость определяется уравнением (2.105), откуда угло-
вой момент траектории
(837)
Подставляя это выражение для углового момента в уравнение (8.36) и ре-
шая его относительно эксцентриситета, получаем
г v2
е = 1 + ^1 (8.38)
Mi
Используем уравнение (8.37), чтобы получить выражение для углового
момента, которое зависит от известных величин, тогда
h = rP .№>+— (8.39)
Поскольку гиперболическая скорость определяется траекторией переле-
та (8.35), выбранный радиус перицентра гр позволяет вычислить параметры е
и h гиперболы отлета.
По угловому моменту гиперболической траектории можно рассчитать
скорость в перицентре орбиты отлета
(8.40)
Учитывая уравнение (8.40) и зная скорость на круговой орбите ожидания
из уравнения (2.53)
vc
(8.41)
397
Глава 8. Межпланетные полеты
можно рассчитать импульс скорости Дг, необходимый для перевода КА на
гиперболическую траекторию отлета:
Av = vp
(8-42)
Место расположения точки перицентра, в которой должен выполняться
маневр перехода на гиперболическую траекторию отлета, определяется из
уравнений (2.89) и (8.38). Ориентация линии апсид гиперболы относительно
вектора гелиоцентрической скорости планеты задается углом
R ( 1 1
р = arccos - = arccos
\е)
J___
Г V2
(8.43)
Hi J
Следует отметить, что единственное требование относительно ориен-
тации плоскости гиперболы отлета заключается в том, что она должна со-
держать центр масс планеты, а также вектор относительной скорости v^.
Поэтому, как показано на рис. 8.9, гипербола может вращаться вокруг линии
А-А, проходящей через центр масс планеты параллельно вектору (или век-
тору v15 который коллинеарен вектору для гомановского эллипса перелета).
Все возможные гиперболы отлета образуют поверхность вращения.
Перицентры этих гипербол очерчивают окружность, которая для указан-
ного радиуса перицентра гр представляет собой геометрическое место всех
возможных точек выхода на траекторию отлета к планете назначения. Эта
Рис. 8.9. Пучок возможных траекторий отлета для заданных
^00 И Гр
398
8.5. Отлет космического аппарата с планеты
окружность является основанием конуса с вершиной в центре планеты. По
данным рис. 3.23 можно найти, что ее радиус равен rpsin0, где Р определя-
ется согласно уравнению (8.43).
Для наиболее эффективного с точки зрения энергетики выведения КА
на отлетную орбиту плоскость орбиты ожидания или траектория прямого
восхождения должна содержать линию А-А и космодром в момент запуска.
В этом случае нет необходимости дополнительно корректировать положение
плоскости орбиты в пространстве. Возможные наклонения прямых орбит
лежат в диапазоне от zmin, где zmm — широта космодрома, до imax, которое
не может превышать 90°. Вопросы обеспечения безопасности старта раке-
ты-носителя могут внести дополнительные ограничения по азимуту пуска
на этот диапазон. Например, орбиты, на которые могут быть выведены КА
со стартовой площадки Космического центра имени Джона Фицджеральда
Кеннеди в штате Флорида (широта 28,5°), ограничены наклонениями между
28,5° и 52,5°.
Для случая на рис. 8.10 точка запуска КА ограничена по возможному
положению перицентра орбиты отлета, лежащему между точками а и Ь. На
рисунке показано, что при вращении планеты существуют две точки 1 и Г, из
которых возможен запуск КА с орбиты ожидания. Эти точки тем ближе друг
к другу, чем меньше наклонение орбиты ожидания.
Как только КА будет выведен на орбиту ожидания, переход на траекто-
рию отлета происходит по одной из двух схем выведения. Схема выведения
на орбиту перелета к внешней планете описана выше. Если же требуется от-
править КА с внешней планеты на внутреннюю (см. рис. 8.2 и 8.11), то его
Рис. 8.10. Орбиты ожидания и траектории отлета для места запуска
КА на заданной широте
399
Глава 8. Межпланетные полеты
Рис. 8.11. Отлет КА по траектории от внешней планеты к внутренней
гелиоцентрическая скорость vD при выходе на границу сферы действия
должна быть меньше, чем орбитальная скорость планеты. Это означает,
что КА должен выйти на границу сферы действия за планетой так, чтобы
вектор его относительной скорости vXi был направлен противоположно век-
тору V, (см. рис. 8.11). Траектории рис. 8.9 и 8.10 при таком отлете КА не
изменяются.
Пример 8.4
Космический аппарат выведен на круговую орбиту ожидания высотой
300 км для последующего старта к Марсу. Вычислите: 1) требуемый импульс
скорости Av маневра выведения; 2) местоположение перигея гиперболиче-
ской орбиты отлета; 3) количество топлива (в % от массы КА), необходимое
для обеспечения рассчитанной скорости маневра. Удельный импульс топлива
принять равным 300 с.
Решение
В приложении 1 находим гравитационные параметры для Солнца и Земли:
400
8.5. Отлет космического аппарата с планеты
[Ls= 1,327-1011 км3/с2;
цЕ = 398 600 км3/с2,
а также радиусы орбит Земли и Марса:
Re= 149,6 -106 км;
RM = 227,9-106 км.
1) Согласно уравнению (8.35), гиперболический избыток скорости
V = | 2RM =
_ /1,327-1011 ( I 2-227,9-106
\ 149,6 106 149,6 -106 + 227,9 • 106
Откуда Уда = 2,943 км/с.
Скорость КА на круговой орбите ожидания высотой 300 км определяется
уравнением (8.41):
vc
Не
гЕ + 300
398600
6678
= 7,726 (км/с).
С помощью уравнения (8.42) вычислим импульс скорости Av маневра
перехода на гиперболическую траекторию отлета:
Av = vp-vc=v<
Av =3,590 км/с.
2) Положение перигея гиперболы отлета относительно вектора орбиталь-
ной скорости Земли находим по уравнению (8.43):
Р = arccos
= arccos
< Не
7
1
j 6678-2,9432
+ 398600
р = 29,16°.
Перигей может располагаться как на солнечной, так и на темной стороне
Земли (рис. 8.12). Если орбита ожидания будет прямой, т. е. КА перемещается
по ней с запада на восток, то точка старта будет находиться на темной стороне.
3) Определим потребную массу топлива для совершения маневра пере-
хода на отлетную орбиту. Из уравнения (6.1) находим
Ду
— = l-e ^g0.
т
401
Глава 8. Межпланетные полеты
Рис. 8.12. Траектории отлета на Марс, начинающиеся на темной (а)
и на солнечной (б) сторонах Земли
Подставляя в это соотношение Av = 3,590 км/с, Isp = 300 с и g0 =
= 9,81 • 10-3 км/с2, получаем
— = 0,705.
т
Откуда следует, что для выполнения только этого маневра потребуется,
чтобы более 70 % массы КА составляло топливо.
8.6. Анализ чувствительности орбиты к изменению
параметров движения космического аппарата
Параметры маневров, необходимых для выведения КА на межпланетную
траекторию, рассчитывают для полета в сфере действия планеты. Поскольку
сфера действия — это всего лишь точка в масштабе Солнечной системы, воз-
никает вопрос, к каким последствиям могут привести малые ошибки в поло-
жении и скорости в точке выведения КА на траекторию? Предположим, что
перелет происходит от внутренней планеты к внешней, и проанализируем эф-
фект от ошибок, связанных с небольшими изменениями импульса скорости vp
и радиуса точки старта гр в момент выхода на орбиту перелета при подлете
КА к целевой планете по эллипсу Гомана. Планета обращается вокруг Солн-
ца по траектории радиусом R2 (см. рис. 8.1 и 8.8). Радиус R2 представляет
собой радиус афелия, поэтому этот радиус можно вычислить в соответствии
с уравнением (2.60):
Подставляя параметры орбиты перелета h = RxvD и е = (Т?2 - )/(Я2 +7^),
получаем
402
8.6. Анализ чувствительности орбиты к изменению параметров движения КА
*12(Ур)2
2ц5 — 7?! (v^)2
(8.44)
Это уравнение справедливо и для перелета от внешней планеты к вну-
тренней. Рассмотрим влияние небольшого изменения скорости 6vD на изме-
нение конечного радиуса эллипса перелета R2, которое обозначим ЗТ?2- Для
этого рассмотрим производную уравнения (8.44) по скорости на границе
сферы действия планеты отлета и запишем линеаризованное уравнение для
отклонений:
~ n dR2 2 4 Л ц с
8Л2 - —— 8vd - р- — -prVpSvp.
Разделив это уравнение на (8.44), получим
87?2 _ 2 8vd
^2 । ^i(vo)2 VD
2ц5
(8.45)
Скорость отлета vD КА является суммой скорости планеты V] и гипербо-
лического избытка скорости
Ур = v! + voo-
Поскольку возможные ошибки на границе сферы действия планеты об-
условлены скоростью КА, а не планеты, то следует решить уравнение (8.40)
относительно для последующего анализа действия неточности скорости и
положения КА в перицентре гиперболы отлетной орбиты на реализующийся
эллипс перелета Гомана, тогда
следовательно,
vD=vi+vp~—- (8.46)
V гр
Изменение vD из-за ошибок положения 8гр и скорости 5vp в точке пере-
хода КА на отлетную орбиту в линейном приближении имеет вид
<8-47)
Из уравнения (8.46) получаем
Hi dvp _vp
fop уУр' V
403
Глава 8. Межпланетные полеты
следовательно,
5vD=-^ly5r +^-8v
V Г Кг.
vao'р <Ю
Используя уравнение (8.40), запишем полученное выражение в виде
v I
= Р1 5ГР ! " ГР 5VP
VD vDvvrp rp VD vp
(8.48)
Подставляя выражение (8.48) в уравнение (8.45), получаем выражение
для изменения R2 из-за ошибок скорости и положения КА в перицентре ги-
перболической орбиты отлета:
8R2 2
^2 । ^l(vp)2
2^5
2pt
Hi 5гр rP 5vp
VDVoofp Гр VD Vp
(8.49)
В качестве численного примера рассмотрим перелет с Земли на Марс
с орбиты ожидания высотой 300 км. Имеем
р$ = 1,327-1011 км3/с2;
Рр] = Це = 398 600 км3/с2;
RX=RE = 149,6-106 км;
R2 =Rm = 227,9 -106 км;
rp = 6678 км.
Из уравнений (8.1) и (8.2) следует
/ц7 1,327-10”
vi = ve =. Нг = J------г = 29,78 км/с;
Vi У149,61О6
vD - J2p.s /--r =
V ^R^R'+RJ
227,9 106
= ^2-1,327-10”J------ ----------------- =32,73 (км/с),
Р49,61О6(149,61О6 + 227,9-Ю6)
следовательно,
Vqo = vD - vE = 2,943 км/с.
404
8.7. Встреча космического аппарата с планетой
Из уравнения (8.40) найдем
vp= L+^= /2,9432+^^=11,32 (км/с).
У Гр V 6678
Подставляя эти значения в уравнение (8.49), получаем выражение для
расчета действия погрешностей выведения:
= 3,127—^ + 6,708—
R2 ГР VP
Это выражение показывает, что ошибка в значении скорости в точке вы-
ведения всего лишь 0,01 %, т. е. 1,1 м/с в абсолютных величинах, изменя-
ет целевой радиус R2 на 0,067 %, или на 153 000 км. Аналогично, ошибка
0,01 %, или 0,67 км, в радиусе точки старта приводит к конечной ошибке,
превышающей 70 000 км. Таким образом, небольшие ошибки, которые мо-
гут возникнуть на начальном этапе перелета, должны быть скорректированы
в последующем во время полета по гелиоцентрической траектории.
8.7. Встреча космического аппарата с планетой
Космический аппарат прибывает в сферу действия планеты назначения с ги-
перболическим избытком скорости относительно этой планеты. В случае
на рис. 8.1, когда перелет происходит от внутренней планеты 1 к внешней
планете 2 (например, от Земли к Марсу), гелиоцентрическая скорость КА чА
по абсолютной величине меньше, чем у планеты назначения v2. Поэтому КА
входит в сферу действия перед планетой, как показано на рис. 8.13. Для пере-
лета Гомана векторы vA и v2 параллельны, поэтому гиперболический избыток
скорости равен разности этих скоростей:
Voo = v2 - (8.50)
Если перелет соответствует схеме, приведенной на рис. 8.2, т. е. проис-
ходит от внешней планеты к внутренней (например, от Земли к Венере), то
значение vA больше, чем значение v2, и КА должен войти в сферу действия за
планетой (рис. 8.14), и в этом случае
voo = ^-v2. (8.51)
То, что происходит после пересечения сферы действия, зависит от харак-
тера осуществляемой миссии. Если целью является столкновение с планетой
или вход в ее атмосферу, то подлетная гипербола должна быть такой, чтобы
радиус ее перицентра гр равнялся радиусу планеты либо был даже меньше
него. Если цель состоит в том, чтобы выйти на орбиту вокруг планеты, то гр
должен быть выбран так, чтобы импульс скорости маневра выхода на около-
планетную траекторию был выдан на требуемой высоте над планетой. Тре-
буется произвести дополнительные расчеты этой высоты для минимизации
405
Глава 8. Межпланетные полеты
Рис. 8.13. Траектория КА при входе в сферу действия по эллипсу Гома-
на при полете к внешней планете от внутренней (Р — перицентр под-
летной гиперболы)
расхода топлива на выполнение данного маневра. Если же не требуется ни
соударение с планетой, ни переход на околопланетную орбиту, КА будет про-
должать полет мимо планеты по пролетной траектории, выходящей из сферы
действия планеты с той же относительной скоростью vw, с которой он в эту
сферу вошел. Такой пролет можно рассматривать как гравитационный ма-
невр, и он будет описан ниже. В результате гравитационного маневра вектор
скорости КА повернется на угол 5, который определяется из уравнения (2.90):
8 = 2arcsin| (8.52)
)
Для известных гиперболической скорости и радиуса перицентра гр
эксцентриситет гиперболы подлета находят из уравнения (8.38):
г у2
е = 1 + -£—
Н2
где Р2 — гравитационный параметр планеты 2.
(8.53)
406
8.7. Встреча космического аппарата с планетой
Рис. 8.14. Траектория КА при входе в сферу действия по эллипсу Го-
мана при полете к внутренней планете от внешней (Р — перицентр
подлетной гиперболы)
Следовательно, угол поворота
8 = 2arcsin
1
„ ,2
(8.54)
V Н2 J
Из уравнений (2.93) и (2.97) можно получить следующее выражение для
радиуса прицеливания:
Нг л/е2-1
(8.55)
Найдем угловой момент гиперболы подлета относительно планеты, ис-
пользуя уравнение (8.39):
h = rP Jv”+~
(8.56)
р
407
Глава 8. Межпланетные полеты
Подставляя уравнения (8.53) и (8.56) в (8.55), получаем радиус прицелива-
ния как функцию радиуса перицентра и гиперболического избытка скорости:
Д = гр
Г V2
' рга>
(8.57)
Так же как это было отмечено ранее при анализе траекторий отлета, ги-
пербола подлета не лежит в единственной плоскости. Гиперболы, приведен-
ные на рис. 8.11 и 8.12, могут поворачиваться по линии А-А, коллинеарной
вектору и проходящей через центр масс планеты прибытия, образуя по-
верхность вращения (рис. 8.15). Гиперболы подлета на рис. 8.15 заканчива-
ются на окружности перицентров.
Рис. 8.15. Пучок гипербол подлета к целевой планете
На рис. 8.16 изображена плоскость, проходящая через тело вращения,
образованное гиперболами подлета, имеющими одинаковые скорости vm, но
разные радиусы прицеливания Д. Предположим, что задачей КА на конечной
стадии перелета является выход на эллиптическую орбиту с эксцентрисите-
том е вокруг планеты. Это потребует затрат скорости Ду в перицентре ги-
перболы Р (см. рис. 8.13, 8.14), который также будет и перицентром целевой
эллиптической орбиты. Скорость на гиперболической траектории в ее пери-
центре определяется уравнением (8.40):
408
8.7. Встреча космического аппарата с планетой
vPr =<№ + — (8.58)
V гр
Скорость в перицентре целевой орбиты можно также определить из фор-
мулы углового момента для перицентра: h = rpvp. Тогда из выражения (2.40)
следует, что для скорости в перицентре эллиптической целевой орбиты vp^
урц можно записать
pzs. (8.59)
'Ц ЛI у
V р
Следовательно, требуемый импульс скорости
Av = v - v = k + -^- - + (8,60)
* Г * Ц Д1 у Д1 у
V р V р
Для заданного значения v^ Av, безусловно, зависит от выбора радиу-
са перицентра гр и эксцентриситета е целевой орбиты. Условие, что точка
маневра является перицентром целевой орбиты, означает, что Av является
Рис. 8.16. Семейство гипербол подлета, имеющих одинаковые скоро-
сти у,,, но разные радиусы прицеливания А
максимальным для круговой целевой орбиты и уменьшается с увеличением
эксцентриситета до Av = 0, что справедливо при отсутствии перехода на око-
лопланетную орбиту или реализации пролетной траектории (гравитационно-
го маневра).
Оптимальный радиус перехода космического аппарата
на целевую орбиту
Для того чтобы определить оптимальный радиус перехода на целевую орби-
ту, запишем уравнение (8.60) в безразмерном виде:
Av
(8.61)
409
Глава 8. Межпланетные полеты
где
г у2
р 00
Р2 ’
Av
Найдем первые и вторые производные — по
d Av
(8.62)
(8.63)
(8.64)
Приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравне-
ние относительно
1~~е
^ = 2-^. (8.65)
1 + е
Подставляя это значение £ в уравнение (8.64), получаем
d2 Av
d^2 vx
V2 (1 + e)3
64 (1-e)3/2
(8.66)
Это выражение должно быть положительным для эллиптических орбит
(О < е < 1), т. е. если £ определяется уравнением (8.65), Av является мини-
мальным. Поэтому из уравнения (8.62) следует, что оптимальный с точки
зрения расхода топлива радиус перицентра для перехода на околопланет-
ную орбиту
2ц2 1-е
Р v3 1+е’
(8.67)
Из уравнений (2.40) и (2.60) получим
1-е = гр
1 + е~га
(8.68)
где га — радиус апоцентра.
Таким образом, из уравнения (8.67) следует
_ 2ц2
а v2
(8.69)
и радиус апоцентра этого эллипса не зависит от эксцентриситета и равен
радиусу оптимальной круговой орбиты.
410
8.7. Встреча космического аппарата с планетой
Подставляя уравнение (8.65) в уравнение (8.61), получаем минимальное
значение Av:
/1 —
Av = v^—. (8.70)
Наконец, подставив оптимальное значение гр в уравнение (8.57), опре-
делим выражение для требуемого радиуса прицеливания для минимизации
потребного импульса скорости Av маневра перехода на околопланетную це-
левую орбиту:
2
'<• I___
ру1-е
(8-71)
Отсюда следует, что оптимальная скорость Av (и высота перицентра)
уменьшаются для высокоэллиптических целевых орбит (е —► 1). Тем не
менее следует отметить, что использование оптимального значения Av не
всегда возможно вследствие ограничений, накладываемых реализацией
проекта.
Пример 8.5
После перелета с Земли по гомановскому эллипсу требуется перевести
КА на околомарсианскую эллиптическую орбиту с периодом обращения 7 ч.
Вычислите минимальный импульс скорости маневра Av, а также радиусы пе-
риария, прицеливания и угол между периарием и вектором гелиоцентриче-
ской скорости Марса.
Решение
В приложении находим следующие данные:
Hs = 1,327 • 10п км3/с2;
цм = 42 830 км3/с2;
Re = 149,6 • 106 км;
RM= 227,9-106 км;
гм = 3396 км.
Гиперболический избыток скорости на границе сферы действия Марса
определяется с помощью уравнения (8.4):
fl,327-10n Г I 2149,6106
227,9 Ю6 \149,6-106 + 227,9 106
v^ = 2,648 км/с.
411
Глава 8. Межпланетные полеты
Далее следует уточнить некоторые параметры целевой орбиты. Для того
чтобы выразить большую полуось а орбиты назначения через ее период Т
можно использовать уравнение (2.73):
2
л, ГлМ
I 2л J
Подставив Т = 7 • 3600 с, находим большую полуось целевой орбиты:
2
Г 25200^42830^
а= ----------- =8832 (км).
\ 2 л J
Согласно уравнению (2.63), большая полуось
а =
1-е
Подставим в это выражение значение оптимального радиуса периария,
найденное из уравнения (8.67), тогда
a = ^L J-,
vi 1 + е
откуда определим эксцентриситет целевой орбиты:
с=2^м
avl
2-42830
8832-2,6482
-1 = 0,3833.
Рис. 8.17. Оптимальный выход
на околомарсианскую эллиптиче-
скую орбиту с семичасовым пе-
риодом (гм = 3396 км)
Далее, используя уравнение (8.70), на-
ходим
А М”0’3833
Av=v°° VF = 2,648v—2— =
=1,470 (км/с).
Из уравнений (8.66) и (8.71) определим
радиус периария
г 2^ 1-е 2-428301-0,3833
”р~ v2 1 + е~ 2,6482 1 + 0,3833
= 5447 (км)
и радиус прицеливания
= 5447 /--------
V 1-0,3833
= 9809 (км).
412
8.8. Пролет у планеты и гравитационный маневр
Наконец, используя уравнение (8.43), находим угол между линией апсид
и асимптотой гиперболы подлета:
0 = arccos
_1__Л
г V2
Нм >
= arccos
1
, 5447-2,6482
42830
58,09°.
Марс, гипербола подлета и конечная орбита представлены на рис. 8.17.
Подлет к Марсу возможен и с темной стороны планеты вместо показанного
на рисунке подлета с солнечной стороны. В таком случае гипербола подлета
и конечная эллиптическая орбита будут зеркальным отображением приведен-
ного на рис. 8.17 случая.
8.8. Пролет у планеты и гравитационный маневр
Рассмотрим КА, который входит в сферу действия планеты и далее, проходя
перицентр, продолжает движение по гиперболической траектории до выхо-
да из сферы действия. На рис. 8.18 приведена траектория пролета планеты
с указанием асимптот и линии апсид гиперболы. Перицентр пролетной ор-
биты находится перед планетой относительно ее движения вокруг Солнца.
Аналогично, на рис. 8.19 представлен пролет за планетой.
На входе в сферу действия планеты гелиоцентрическая скорость Vj КА
равна сумме гелиоцентрической скорости планеты v и гиперболического из-
бытка скорости КА относительно планеты:
v^v + Voo,. (8.72)
Аналогично, на выходе из сферы действия
v2 = v + v002. (8.73)
Изменение гелиоцентрической скорости КА за время движения в сфере
действия планеты
Av = v2 - V1 = (v + )-(v + Vo0i),
т. e. будет разностью гиперболических избытков скоростей на границах сфе-
ры действия планеты:
Av = v002 -V», = Av00. (8.74)
Гиперболические избытки скоростей и направлены вдоль асим-
птоты гиперболы и наклонены под одним и тем же углом 0 к линии апсид
(см. рис. 2.23), причем вектор уда) направлен к центру гиперболы С, а век-
тор Уда2 — от центра. Они имеют одинаковые значения v^,, но вектор
повернут относительно вектора на угол 8. Следовательно, Av^, а значит
и Av, — вектор, который направлен вдоль линии апсид и всегда от перицентра,
413
Глава 8. Межпланетные полеты
На Солнце и$
Рис. 8.18. Траектория пролета КА перед планетой
как показано на рис. 8.18 и 8.19. На этих рисунках можно видеть, что пролет
перед планетой уменьшает гелиоцентрическую скорость КА, тогда как про-
лет за планетой увеличивает ее. В результате пролета у планеты изменяется
гелиоцентрическая скорость, поэтому рассмотрим гравитационный маневр,
известный также как пертурбационный.
Проведем анализ гравитационного маневра. Для этого введем иг— еди-
ничный вектор гелиоцентрической скорости v планеты и и5 — единичный
вектор, направленный от планеты к Солнцу. При входе в сферу действия пла-
неты гелиоцентрическая скорость КА Vj составит
Vi=(Vi)rUr+(Vl)$Us,
(8.75)
где скалярные компоненты вектора V] определяются в виде
(Vi )r = vj cos а,; )5 = sin а!;
(8.76)
dj — угол между векторами Vj и v. Все углы измеряются против часовой
стрелки.
414
8.8. Пролет у планеты и гравитационный маневр
Рис. 8.19. Гравитационный маневр у планеты
(8.77)
На рис. 2.11 (см. главу 2) угол Ц] равен углу траектории полета у КА по
гелиоцентрической траектории, когда он входит в сферу действия планеты
(в первом приближении на расстоянии R от Солнца). Кроме того,
(vi)r=v„,; (vi)s=-vri.
Значения vnj и можно определить из уравнений (2.38) и (2.39):
v =— (1 + е,cos&); v =—asind,,
” \ V ’ 17 1 1 1
в которых Л1( &] — эксцентриситет, угловой момент и истинная аномалия
гелиоцентрической подлетной траектории соответственно.
Скорость планеты относительно Солнца
(8.78)
v = vur, (8.79)
где v = ^ns/R. При входе в сферу действия планеты гиперболический избы-
ток скорости КА определяется из уравнения (8.72):
Vao, =V1-V.
С учетом этого находим
Voo, = (Voo, )к«г + (v®, )$«$> (8.80)
415
Глава 8. Межпланетные полеты
где скалярные компоненты вектора
(%)к = v1cosa1-v; (v^ ^sina,, (8.81)
а значение вектора ую составляет
*оо = 7V=o, • V«>1 = >/(Vl)2 + v2_2vlVCOSal- (8.82)
В точке входа в сферу действия планеты значение известно, так что,
если радиус перицентра гиперболической орбиты гр задан или известен,
можно вычислить угловой момент и эксцентриситет гиперболы пролета КА
у планеты, используя уравнения (8.38) и (8.39):
h = r +—; е = 1 + ^^-, (8.83)
V гр н
где ц — гравитационный параметр планеты.
Угол между вектором v00i и гелиоцентрической скоростью планеты v
(см. рис. 8.18 и 8.19) составляет фр Его значение можно найти, используя
компоненты из уравнения (8.81):
4 (*oo.)s t VjSina,
<Pi - arctg 1 = arctg—!----L
(*oo,)r vicoscq-
На выходе KA из сферы действия угол между векторами и v состав-
ляет <р2, причем
ф2 = Ф1 + 8. (8.85)
Для траектории пролета перед планетой (см. рис. 8.18) угол поворота 8
является положительным и направлен против часовой стрелки. Тогда, как
в случае пролета за планетой (см. рис. 8.19), угол 8 отрицателен и направлен
по часовой стрелке. Поскольку модуль вектора скорости у^2 равен v^, мож-
но выразить через ее компоненты:
Voo2 = v00cos92ur +v00sin92u5. (8.86)
Следовательно, гелиоцентрическая скорость КА при выходе из сферы
действия планеты составит
V2=V + Voo2 =(*2)г“к+(*2)$«$> (8-87)
а компоненты v2 вычисляют по формулам
(*2)к =v + v00cos<p2; (y2)s =vo0sintp2. (8.88)
Отсюда можно определить радиальную и нормальную составляющие ге-
лиоцентрической скорости:
416
8.8. Пролет у планеты и гравитационный маневр
v„2=(v2)k; vr2=-(v2)s. (8.89)
На завершающем этапе следует рассчитать три параметра новой гелио-
центрической орбиты КА после гравитационного маневра — е2, Л2 и 02 —
с помощью трех уравнений:
• из уравнения (2.21)
Й2=^„2; (8.90)
• из уравнения (2.35)
R = ~.-----^—7-; (8-91)
l + e2cos32
• из уравнения (2.39)
\ =^-e2sin»2. (8.92)
Л2
Следует отметить, что гравитационный маневр рассматривается как им-
пульсный, т. е. изменение гелиоцентрического радиуса-вектора положения
КА не учитывается. Этот вектор считается фиксированным во время пребы-
вания КА в сфере действия планеты.
Пример 8.6
Космический аппарат стартует с околоземной орбиты со скоростью, пер-
пендикулярной линии Солнце — Земля, и выходит к Венере для совершения
гравитационного маневра. Встреча происходит при истинной аномалии тра-
ектории подлета -30°. Высота перигесперия должна составлять 300 км. Для
подлета с темной стороны планеты (а) покажите, что орбита после маневра
соответствует представленной на рис. 8.20. Для подлета с солнечной стороны
планеты (б) покажите, что орбита после маневра соответствует представлен-
ной на рис. 8.21.
Решение
В приложении находим следующие данные:
ц5= 1,327-10" км3/с2;
= 324 900 км3/с2;
Re= 149,6 -106 км;
Rv= 108,2-106 км;
Гу = 6052 км.
Эллипс перелета Земля — Венера (орбита 1). Запишем уравнение орбиты
(2.35) для афелия орбиты 1, расположенного у Земли, в виде
R 1
Е Rs 1-е,’
417
Глава 8. Межпланетные полеты
Рис. 8.20. Орбиты КА до и после гравитационного маневра у Венеры
при подлете КА с темной стороны
откуда находим
tf = (а)
При подлете к Венере по орбите 7 КА имеет истинную аномалию по-
этому
7? 1
l + ^COSGj
Подставляя в это выражение (а) и О] = -30° и решая полученное уравне-
ние относительно е]( вычисляем эксцентриситет орбиты перелета:
е = RE-Ry = 149,6Ю6-108,2-106 = о 1702
1 Т?£+7^0080! 149,6106 + 108,2 106cos(-30°) ’
Подставим этот результат в уравнение (а), тогда
\ =Л/1,327-1011 -149,6-10б(1-0,1702) = 4,059 109 (км2/с).
Теперь можно использовать уравнения (8.78) для вычисления радиальной
и нормальной составляющих гелиоцентрической скорости КА на входе в сфе-
ру действия Венеры:
418
8.8. Пролет у планеты и гравитационный маневр
Рис. 8.21. Орбиты КА до и после гравитационного маневра у Венеры
при подлете КА с солнечной стороны
"1
\ 4,059-Ю9 ..
—- =--------т-= 37,51 (км/с);
Rv 108,2-Ю6
vr = —е. sine, = -1-’-3?-7.101 0 1702sin(-30°) = -2,782 (км/с).
1 4,059-Ю9
Траекторный угол полета, рассчитанный из уравнения (2.41),
у —2 782
У] = arctg — = arctg —-= -4,241 °.
37,51
Отрицательное значение согласуется с тем, что КА летит в направлении
перигелия по эллиптической траектории (орбита 7).
Скорость КА на входе в сферу действия Венеры:
Vi = 7^+^ = а/(-2,782)2+37,512 = 37,62 (км/с). (б)
Гиперболическая траектория и гравитационный маневр в сфере дей-
ствия Венеры. Из уравнений (8.75) и (8.77) следует, что скорость КА на гра-
нице сферы действия Венеры можно представить в проекциях на оси СК, свя-
занной с планетой, в виде
419
Глава 8. Межпланетные полеты
vi =(vi)kuk +(vi)sus =37,51uk +2,782us (км/с).
В этой СК скорость Венеры на круговой орбите вокруг Солнца со-
ставляет
v = 10 ur = 35,02ur (км/с), (в)
уЯу у108,2106
следовательно,
= V]-v = (37,51ur +2,782u5)-35,02uf =2,490uf +2,782us (км/с), (г)
Отсюда следует, что
Voo = 7voo, • Voo, =3,733 (км/с).
Радиус перигесперия подлетной гиперболы в соответствии с приведен-
ными условиями:
rp = rv + 300 = 6352 (км).
Уравнения (8.38) и (8.39) можно использовать для вычисления углового
момента и эксцентриситета планетоцентрической гиперболы:
h = 6352Jv2 + = 6352J3,7332 + 2'324 900 = 68 480 (км2/с);
V 6352 V 6352 v 7
„_1 , , 6352-3,7332
324 900
= 1,272.
Mr
Угол поворота и истинная аномалия асимптоты гиперболы:
8 = 2arcsin| - | = 2arcsin| —-— | = 103,6°;
Ы U,272j
= 141,8°.
а ( Ч I 1
Jk. = arccos — = arccos---------
I e) < 1,272
С помощью уравнений (2.40), (2.93) и (2.97) определим радиус прицели-
вания, необходимый для получения заданной высоты перигесперия:
(д)
/е + 1 11,272 + 1
А = г .---= 6352. -------= 18 340 (км).
рУе-1 272-1 V 7
Наконец, из уравнения (г) получим угол между векторами гиперболиче-
ского избытка скорости v00[ и скорости Венеры v:
9 7R9
<р, =arctg-=L—-= 48,17°.
2,490
(е)
420
8.8. Пролет у планеты и гравитационный маневр
Рис. 8.22. Варианты подлета КА — с солнечной стороны и с темной
стороны — на входе в сферу действия Венеры
Как показано на рис. 8.22, существует два варианта совершения манев-
ра. При подлете с темной стороны (за планетой) траектория поворачивается
против часовой стрелки, тогда как при подлете с солнечной стороны (перед
планетой) траектория поворачивается по часовой стрелке.
Подлет КА с темной стороны
В соответствии с уравнением (8.85) угол между векторами и v на вы-
ходе из сферы действия
<р2 = ф1 + 5 = 48,17° + юз,6° = 151>8о
Следовательно, согласно уравнению (8.86), вектор скорости на выходе из
сферы действия Венеры
= 3,733(cosl51,8°uF +151,8°us) = -3,289ur +l,766us (км/с).
Используя эти данные и уравнение (в), вычислим гелиоцентрическую
скорость КА на выходе из сферы действия Венеры:
v2 =v + v002 =31,73uK +l,766us (км/с).
Из уравнения (8.89) следует
v„2 = 31,73 км/с; = -1,766 км/с. (ж)
421
Глава 8. Межпланетные полеты
Таким образом, значение вектора скорости КА на выходе из сферы дей-
ствия Венеры составит
v2 = = V^1’766)2 + 31.732 = 31,78 (км/с).
Это значение на 5,83 км/с меньше, чем скорость КА на входе в сферу
действия Венеры.
Определим параметры новой гелиоцентрической траектории после ма-
невра у Венеры (орбита 2) при подлете с темной стороны. Для гелиоцен-
трической траектории полета после маневра (см. рис. 8.20, поз. 2) угловой
момент можно найти из уравнения (8.90):
/^=7?^ =(108,2-106)-31,73 = 3,434-Ю9 (км2/с). (з)
Из уравнения (8.91) следует, что
еео.9, = _*L_1 = _6->,-0,1790,
Мк 1,327-Ю11 -108,2-Ю6
из уравнения (8.92) получим
esin&2 =
Vrjh. -1,766-3,434-Ю9
ps - 1,327-Ю11
= -0,04569,
поэтому
х n esinB, -0,04569 .
tgO, =------- ’---------= 0,2553,
ecos32 -0,1790
откуда
О2 = 14,32° или О2 = 194,32°.
(и)
(к)
(л)
(м)
Угол должен лежать в третьем квадранте, поскольку, согласно урав-
нениям (и) и (к), его синус и косинус отрицательны, следовательно,
О2 = 194,32°.
(н)
По этому значению О2 можно, используя уравнение (и) или (к), вычис-
лить эксцентриситет гелиоцентрического эллипса,
е2 = 0,1847.
(о)
Перигелий орбиты отлета смещен относительно точки входа в сферу
действия Венеры на 194,32° по часовой стрелке, а афелий — на 14,32°, со-
ответственно, как показано на рис. 8.20. Радиус перигелия определяется из
уравнения (2.40):
h2 1
Ms 1 + е2
(3,434-Ю9)2 1
1,327-Ю11 1 + 0,1847
= 7,498-107 (км).
Он расположен внутри орбиты Венеры.
422
8.8. Пролет у планеты и гравитационный маневр
Подлет КА с солнечной стороны
В этом случае угол между векторами ve и v на выходе из сферы действия
составит
(р2 = (pi - 8 = 48,17° - 103,6° = -55,44°,
следовательно,
va>2 = 3,733[cos(-55,44°)Ujz+sin(-55,44°)us] = 2,118ur-3,074u5 (км/с).
Гелиоцентрическая скорость KA на выходе из сферы действия Венеры:
v2 = v + v002 =37,14ur-3,074us (км/с),
тогда
v„2 = 37,14 км/с; vr2 =3,074 км/с.
Значение вектора скорости КА на выходе из сферы действия Венеры:
v2 = ^3,0742 +v2 = 7з,0502 + 37,142 = 37,27 (км/с).
Рис. 8.23. Гиперболические траектории полета для подлета с темной
стороны (7) и подлета с солнечной стороны (2)
423
Глава 8. Межпланетные полеты
Полученное значение скорости всего на 0,348 км/с меньше, чем скорость
на входе в сферу действия Венеры. Относительно небольшое изменение ско-
рости связано с тем, что линия апсид этой гиперболы почти перпендикулярна
орбите Венеры, как показано на рис. 8.23.
Параметры гелиоцентрической эллиптической траектории КА после
маневра у Венеры (орбита 2) с подлетом с солнечной стороны. Для того
чтобы определить гелиоцентрическую траекторию после маневра КА, обо-
значенную как орбита 2 на рис. 8.21, необходимо повторить шаги (з)-(о),
приведенные выше:
h2=Rvvn2 = (108,2-Ю6)-37,14 = 4,019-109 (км2/с);
п й,2 , (4,019-Ю9)2 , Л1Л>1Г
е cos 02 = — ---1 =--------г;--------т -1 = 0,1246;
1,327-Ю11 108,2106
. Q 3,074-4,019-Ю9 nn(nnQ
esinO, = —— =-------------тт--= 0,09309;
(п)
(р)
1,327-Ю11
tg 3 = eslD°2 = °’09309 = 0,7469;
2 ecos02 0,1246
Д2 = 36,08° или Д2 = 216,08°.
В результате угол Ь2 должен лежать в первом квадранте, так как его си-
нус и косинус являются положительными, следовательно,
О2 = 36,08°. (с)
Используя полученное значение f>2, можно с помощью уравнения (п) или
(р) вычислить эксцентриситет гелиоцентрической орбиты после маневра:
е2 = 0,1556.
Перигелий орбиты отлета смещен на 36,76° по часовой стрелке от точки
входа в сферу действия (см. рис. 8.21). Радиус перигелия
Л2 1 (4,019 109)2 1 1П„1П8. ч
ц51 + е2 1,327-10” 1 + 0,1556 4 2
Он находится внутри орбиты Венеры. Афелий лежит между орбитами
Земли и Венеры.
Гравитационные маневры используются для сообщения дополнительного
импульса скорости КА без использования бортовой двигательной установки.
Последовательность нескольких гравитационных маневров у разных пла-
нет может привести к существенному увеличению характеристической ско-
рости КА, что позволит достичь таких областей Солнечной системы, кото-
рые недоступны с использованием только двигательных установок. Техника
424
8.8. Пролету планеты и гравитационный маневр
гравитационных маневров также может помочь сократить время полета. Од-
нако межпланетные миссии с использованием гравитационных маневров воз-
можны только при благоприятном относительном положении планет.
Из реализованных проектов исследования дальнего космоса, в которых
использовался гравитационный маневр, отметим следующие. Исторически
первым КА, совершившим гравитационный маневр в 1959 году, был аппа-
рат «Луна-3», применивший гравитационный маневр у Луны для обеспечения
возвращения КА к Земле по траектории, лежащей в северном полушарии. Та-
кая траектории требовалась для обеспечения передачи данных. Без осущест-
вления гравитационного маневра КА вернулся бы к Земле по траектории, ле-
жащей в южном полушарии и, следовательно, не смог бы передать данные на
Землю.
Космический аппарат массой 260 кг «Пионер-11», запущенный в апреле
1973 года, использовал в декабре 1974 года гравитационный маневр у Юпи-
тера, чтобы получить дополнительный импульс скорости, необходимый для
последующего перелета и встречи с Сатурном 1 сентября 1979 года.
После запуска в сентябре 1977 года «Вояджер-1» также использовал гра-
витационный маневр у Юпитера в марте 1979 года, чтобы добраться до Са-
турна к ноябрю 1980 года. В августе 1977 года «Вояджер-2» был запущен
к внешним планетам и за их пределы. Он использовал гравитационные ма-
невры у Юпитера в июле 1979 года, у Сатурна в августе 1981 года, у Урана
в январе 1986 года и у Нептуна в августе 1989 года, после чего ушел к грани-
цам Солнечной системы под углом 30° к эклиптике.
Космический аппарат «Галилей» 18 октября 1989 года был запущен
в целях исследования Юпитера и его спутников. Программа проводилась до
сентября 2003 года. Он использовал несколько гравитационных маневров —
один у Венеры в феврале 1990 года и два у Земли в декабре 1990 года и в де-
кабре 1992 года, до того как прибыл к Юпитеру в декабре 1995 года.
Международная миссия «Кассини» по изучению Сатурна также широко
использовала гравитационные маневры. Космический аппарат «Кассини»
был запущен 15 октября 1997 года с мыса Канаверал (США) и прибыл на
1-й маневр /
у Венеры '
26.04.1998
Маневр
у Земли
18.08.1999
2-й маневр Орбита Марса
у Венеры ~
24.06.1999
Точка старта у Земли j
15.10.1997
Прибытие ,
к Сатурну
1.07.2004
I Маневр у Юпитера
/ 30.12.2000
Рис. 8.24. Семилетняя миссия КА «Кассини» на Сатурн
i
V
425
Глава 8. Межпланетные полеты
Сатурн почти семь лет спустя 1 июля 2004 года. Миссия включала в себя че-
тыре гравитационных маневра (рис. 8.24). Спустя примерно восемь месяцев
после запуска 26 апреля 1998 года «Кассини» пролетел у Венеры на высоте
перигесперия 284 км и получил приращение скорости около 7 км/с. Это при-
вело к тому, что КА перешел на высокоэллиптическую орбиту, по которой
вернулся к Венере 24 июня 1999 года для второго маневра, на этот раз на
высоте 600 км. Результатом маневра стала траектория, по которой КА «Кас-
сини» прошел у Земли 18 августа 1999 года на высоте 1171 км. Получив
приращение скорости 5,5 км/с, КА отправился к Юпитеру для следующего
маневра. Он произошел 30 декабря 2000 года на расстоянии 9,7 млн км от
Юпитера, что увеличило его скорость еще примерно на 2 км/с и позволило
скорректировать траекторию для сближения с Сатурном через три с поло-
виной года.
8.9. Эфемериды планет
Вектор состояния (R, v) планеты определяется относительно гелиоцентриче-
ской эклиптической СК, приведенной на рис. 8.25. Она похожа на геоцентри-
ческую экваториальную СК (см. рис. 4.5), однако отличие состоит в том, что
426
8.9. Эфемериды планет
центром притяжения вместо Земли является Солнце, а экваториальную пло-
скость заменяет плоскость эклиптики. Точка весеннего равноденствия, так же
как и в ГСК, определяет положение инерциальной оси X.
Для того чтобы спланировать реализуемые межпланетные полеты, не-
обходимо определять вектор состояния планеты в любой момент времени.
В табл. 8.1 приведены орбитальные элементы планет и их вековые изменения
в эпохе J2000 (1 января 2000 года, 12 ч UT). Приведенные данные доста-
точно точно аппроксимируют орбитальные элементы для периода времени
1800-2050 годов. По элементам орбиты можно вычислить вектор состояния,
используя алгоритм 4.2.
Таблица 8.1
Орбитальные элементы планет и их вековые изменения (J2000)
Планета a, в.е. а, а.е./век е ё , 1/век >, ° i, 7век п, ° Q , 7век ш, ° а>, 7век L, 0 L9 ''/век
Меркурий 0,38709893 0,00000066 0,20563069 0,00002527 7,00487 -23,51 48,33167 -446,30 77,45645 573,57 252,25084 538 101 628,29
Венера 0,72333199 0,00000092 0,00677323 -0,00004938 3,39471 -2,86 76,68069 -996,89 131,53298 -108,80 181,97973 210664136,06
Земля 1,00000011 -0,00000005 0,01671022 -0,00003804 0,00005 -46,94 -11,26064 -18228,25 102,94719 1198,28 100,46435 129597 740,63
Марс 1,52366231 -0,00007221 0,09341233 0,00011902 1,85061 -25,47 49,57854 -1020,19 336,04084 1560,78 355,45332 68905 103,78
Юпитер 5,20336301 0,00060737 0,04839266 -0,00012880 1,30530 -4,15 100,55615 1217,17 14,75385 839,93 34,40438 10925078,35
Сатурн 9,53707032 -0,00301530 0,05415060 -0,00036762 2,48446 6,11 113,71504 -1591,05 92,43194 -1948,89 49,94432 4401052,95
Уран 19,19126393 0,00152025 0,04716771 -0,00019150 0,76986 -2,09 74,22988 -1681,4 170,96424 1312,56 313,23218 1542547,79
Нептун 30,06896348 -0,00125196 0,00858587 0,00002514 1,76917 -3,64 131,72169 -151,25 44,97135 -844,43 304,88003 786449,21
Плутон 39,48168677 -0,00076912 0,24880766 0,00006465 17,14175 11,07 110,30347 -37,33 224,06676 -132,25 238,92881 522 747,90
В табл. 8.1 приведены следующие параметры:
• 1 астрономическая единица (1 а.е.) — 1,49597871 • 108 км — среднее
расстояние между Землей и Солнцем;
• 1 угл. с (Г') — 1/3600 град;
• а — большая полуось орбиты;
• е — эксцентриситет орбиты;
• i — наклонение орбиты к плоскости эклиптики;
427
Глава 8. Межпланетные полеты
• О. — угол прямого восхождения (для весеннего равноденствия в эпохе
J2000);
• — долгота перигелия, <n = со + Q, где (О — аргумент перигелия;
• L — среднее значение долготы, L = со + М, где М— средняя аномалия;
• а, ё, i и т. д. — изменения данных орбитальных элементов в юлиан-
ский век.
Один юлианский век составляет 36 525 сут.
Алгоритм 8.1. Определение вектора состояния планеты
Требуется вычислить вектор состояния планеты на определенную дату
и время. Все углы, полученные в результате расчета (кроме наклонения i),
должны лежать в диапазоне 0...3600. Угол наклонения i должен лежать в диа-
пазоне O...18O0. Гравитационный параметр Солнца ц = 1,327-1011 км3/с2.
1. С помощью уравнений (5.47) и (5.48) следует рассчитать юлианскую
дату JD.
2. Вычислить число юлианских веков То между J2000 и требуемой датой:
т JD-2 451545
0 ” 36 525
3. Считая, что Q — любой из шести орбитальных элементов планеты,
приведенных в табл. 8.1, определим его значение на юлианскую дату JD по
формуле
Q = Qo+QTo, (8.94)
где Qo — табличное значение для эпохи J2000; Q — табличное значение ве-
кового изменения этого параметра. Все угловые значения должны быть скор-
ректированы так, чтобы находились в диапазоне 0...3600.
4. Используя значение большой полуоси а и эксцентриситета е, вычис-
лить угловой момент орбиты h на юлианскую дату JD по уравнению (2.61):
й = -у/ра(1-е2).
5. Вычислить аргумент перигелия со и среднюю аномалию М на юлиан-
скую дату JD по данным шага 3:
со = 6-Г2;
М = Ь-й.
6. Подставить значение эксцентриситета е и средней аномалии М на юли-
анскую дату JD в уравнение Кеплера (3.11) и вычислить эксцентрическую
аномалию Е.
7. Вычислить истинную аномалию Э, используя уравнение (3.10).
8. По полученным значениям h, е, Q, i, со и Я с помощью алгоритма 4.2
рассчитать векторы гелиоцентрического положения R и скорости v в гелио-
центрической эклиптической системе координат.
428
8.9. Эфемериды планет
Пример 8.7
Найдите расстояние между Землей и Марсом в 12 ч UT 27 августа
2003 года. Используйте алгоритм 8.1.
Решение
Шаг 1
В соответствии с уравнением (5.56) юлианская дата на полночь Jo (0 ч UT)
для указанного времени
8 + 9
12
4
I 7 2003 + trunc
Jo = 367 • 2003 - trunc
I 275-8 1
+trunc + 27 + 1721013,5 = 735101-3507 + 244 + 27 + 1721013,5 =
I 9 )
= 2452 878,5.
Времени UT= 12 соответствует юлианская дата
JD = 2 452 878,5 + 12/24 = 2 452 879,0.
Шаг 2
Число юлианских веков между J2000 и этой датой составляет
JD-2 451545
36 525
2 452879-2 451545
36 525
= 0,036523 века.
Шаг 3
По табл. 8.1 и уравнению (8.93) определяем элементы орбиты Земли и
Марса в 12 ч UT 27 августа 2003 года:
Планета а, км е i, ° Q, ° СО, ° L, 0
Земля 1,4960-108 0,016709 0,00042622 348,55 102,96 335,27
Марс 2,2794-108 0,093417 1,8504 49,568 336,06 334,51
Шаг 4
hE = 4,4451 • 109 (км2/с);
hM = 5,4760• 109 (км2/с).
Шаг 5
со£ =(ш-О)£ =102,96-348,55 = -245,59° (114,1°);
сом = (&-О)м = 336,06-49,568 = 286,49°;
МЕ =(Ь.-(Л)Е =335,27-102,96 = 232,31°;
Мм = (L-&)м = 334,51-336,06 = -1,55° (358,45°).
Шаг 6
Ее - 0,016709sin Ее = 232,31 ° (п /180°) => Ее = 231,56°;
Ем - 0,093417 sin = 358,45°(л /180°) =358,30°.
429
Глава 8. Межпланетные полеты
Шаг 7
=2arctgfp^tg^L-129,19°^S£ =230,81°;
Е Ду 1 + 0,016709 2 J Е
( /1-0 093417 358 30°
3^=2 arctg J .u>u^lz.tg ’ =-1,8669° =>dM= 358,13°.
м 1 + 0,093417 2 ) м >
Шаг 8
По алгоритму 4.2 определим компоненты векторов состояния Земли и
Марса:
R£ =(135,591-66,803J-0,00028691K)106 (км);
уе =12,6801+ 26,61J-0,00021273K (км/с);
Rv = (185,95/-89,916J-6,4566K)106 (км);
у м = 11,4741 + 23,884J + 0,21826К (км/с).
Рис. 8.26. Положения Земли и Марса на 27 августа 2003 года. Угловые
расстояния, задающие гелиоцентрическую широту, измерены в пло-
скости эклиптики против часовой стрелки от точки весеннего равно-
денствия J2000
430
8.10. Негомановские межпланетные траектории
Расстояние d между двумя планетами:
j=||rm-r£||=
- >/(185,95 -135,59)2 + [-89,916- (-66,803)]2 + (-6,4566 -0,00028691)2 • 106
или
5,579 х 107 км.
Положения Земли и Марса показаны на рис. 8.26. Видно, что в ука-
занный день, 27 августа 2003 года, наблюдалось редкое событие — вели-
кое противостояние, когда Марс и Земля расположены на одной стороне
от Солнца, причем Марс находится вблизи перигелия своей орбиты. В этот
день две планеты были наиболее близки друг к другу за довольно значитель-
ный отрезок времени.
8.10. Негомановские межпланетные траектории
Для реализации процедуры расчета межпланетных траекторий в трехмер-
ном пространстве методом конических сечений будем использовать вектор-
ные обозначения и процедуры, описанные в разд. 4.4 и 4.6 (алгоритмы 4.1
и 4.2), вместе с решением задачи Ламберта, представленным в разд. 5.3 (ал-
горитм 5.2). Предполагается, что проектируемая траектория позволит осуще-
ствить перелет КА с планеты 1 к планете 2 за заданное время /12. Как и ранее,
полет КА разбивается на три этапа: отлет, перелет и прибытие.
Рассмотрим схему предполагаемого перелета. Система координат, ко-
торую будем использовать для описания движения КА, гелиоцентрическая
эклиптическая (рис. 8.27). Первым шагом алгоритма является расчет вектора
состояния планеты 1 при отлете (время t) и вектора состояния планеты 2 при
прибытии (время t + Z]2). Этот шаг реализуется алгоритмом 8.1.
Следующим шагом является определение траектории перелета КА от
планеты 1 к планете 2.
В соответствии с методом конических сечений вектор гелиоцентриче-
ского положения КА в момент времени t равен вектору гелиоцентрического
положения планеты 1 (Rj), в момент времени t + /12 вектор такой же, как у
планеты 2 (R2). Зная Rb R2 и время перелета /]2, можно, используя алгоритм
5.2 (решение задачи Ламберта), рассчитать для КА скорости отлета и прибы-
тия nd и Vj относительно Солнца. Далее, используя набор векторов состояния
(R], vD) или (R2, ул), можно с помощью алгоритма 4.1 рассчитать для траек-
тории перелета шесть ее орбитальных элементов.
Вектор гиперболического избытка скорости КА при выходе из сферы
действия планеты 1 и его модуль составят
vooD=Vp-Vp Vo0d =||vZ)-v1||. (8.95)
Скорость KA на входе в сферу действия планеты 2:
уоол=Ъ-¥2; vXa =||v^-v2||. (8.96)
431
Глава 8. Межпланетные полеты
Рис. 8.27. Гелиоцентрические орбитальные элементы трехмерной траек-
тории перелета от планеты 1 к планете 2
Алгоритм 8.2. Расчет траектории перелета задачи Ламберта
С учетом дат отлета и прилета, а следовательно, времени полета, опреде-
лить траекторию перелета от планеты 1 к планете 2.
1. С помощью алгоритма 8.1 определяют вектор состояния (Rb v}) плане-
ты 1 в точке отлета и вектор состояния (R2, v2) планеты 2 в точке прибытия.
2. По векторам гелиоцентрического положения планет Rj и R2 и времени
полета по алгоритму 5.2 определяют скорости КА vD при отлете из сферы
действия планеты 1 и \А при прибытии к сфере действия планеты 2.
3. Вычисляют гиперболические избытки скоростей в точках отлета и при-
бытия по уравнениям (8.95) и (8.96):
Vood=vd-vi; vXd =||vd-v1||;
Voo, =vj4-v2; % =||v^-v2||.
Пример 8.8
Космический аппарат покидает сферу действия Земли 7 ноября 1996 года
(О ч UT) по прямой орбите перелета к Марсу и прибывает к сфере действия
Марса 12 сентября 1997 года (0 ч UT). Используйте алгоритм 8.2 для опре-
деления траектории движения КА и вычислите его гиперболические избытки
скоростей при отлете и прибытии.
432
8.10. Негомановские межпланетные траектории
Решение
Шаг 1
По алгоритму 8.1 определяем векторы состояния для Земли и Марса:
R£ =1,0500-1081 + 1,0466-108 J +988, ЗЗК, RE =1,482-Ю8 км;
v£ =-21,5161 + 20,987J + 0,00013228K, vE =30,06 км/с;
RM = -2,0833-107I-2,1840-108J-4,0629-106K, Rm = 2,194-108 км;
ум = 25,0471-0,22029J-0,62062K, vM =25,05 км/с.
Шаг 2
Вектор положения Rq KA при выходе из сферы действия Земли считаем
равным вектору положения самой Земли, т. е.
Rj =R£ = l,0500-108I + l,0466-108J + 988,33K (км).
По прибытии к сфере действия Марса вектор положения КА также счита-
ем равным вектору положения Марса:
R2=Rw = -2,O833-1O7I-2,184O-1O8J-4,O629 1O6K (км).
Согласно уравнениям (5.47) и (5.48), юлианские даты точек старта
и прибытия:
JDd = 2 450 394,5;
JDa = 2 450 703,5.
Таким образом, время полета:
= 2 450 703,5 - 2 450 394,5 = 309 сут.
Используя полученные значения Rb R2 и /12 и алгоритм 5.2, находим
у D = -24,4271 + 21,781J + 0,94803К I (км/с), vD = 32,741 км/с;
уА = 22,1581-0,19668J-0,45785K (км/с), vA = 22,164 км/с.
По вектору состояния (Rb vD), применяя алгоритм 4.1, определяем эле-
менты траектории перелета:
h = 4,8456 -106 км2/с;
е = 0,20579;
Q = 44,895°;
z = 1,6621°;
со = 19,969°;
= 340,04°;
а = 1,8474-108 км.
433
Глава 8. Межпланетные полеты
Шаг 3
Вектор гиперболического избытка скорости КА при отлете с Земли на
границе сферы действия:
Vo0d =vd-ne =-2,9131 + 0,7958J+0,9480К (км/с),
тогда
% = I VooD I = з, 1651 км/с. (а)
При прибытии к сфере действия Марса на ее границе гиперболический
избыток скорости КА:
= vA-vM =-2,88041+ 0,023976J +0,16277К (км/с),
ее значение
Ч =1^1 = 2,8851 км/с. (б)
Для примера 8.8 на рис. 8.28 проведены орбиты Земли, Марса и траек-
тория КА в проекции на плоскость эклиптики, где штриховыми линиями
обозначены части орбиты, которые находятся ниже плоскости эклиптики.
X — гелиоцентрическая долгота, измеряемая против часовой стрелки от
орбиты Земли,
1=102,9°
Марс в момент
старта, 1=119,3
Нисходящий узел
орбиты Марса,
1=229,6°
Перигелий орбиты КА,
1=64,85°
Восходящий узел орбиты Марса,
1=49,58°
Земля в момент старта,
восходящий узел орбиты КА,
1=44,91°
I 11
Перигелий
Нисходящий узел
орбиты КА,
1=224,9°
Солнце
Марс в момент
прибытия, 1=264,6*
Перигелий орбиты Марса,
1=336,0°
Земля в момент прибытия,
1=349,3°
Рис. 8.28. Положения траектории перелета КА, орбит Земли и Марса в про-
екции на плоскость эклиптики
точки весеннего равноденствия J2000. Также показаны положения Марса
на момент старта перелета и Земли на момент его окончания. Орбита пе-
релета соответствует орбите КА Mars Global Surveyor, который стартовал
с Земли 7 ноября 1996 года и прибыл на Марс через 309 дней, 12 сентября
1997 года.
434
8.10. Негомановские межпланетные траектории
Пример 8.9
Используя полученные в примере 8.8 данные, вычислите потребный им-
пульс скорости Ду, необходимый для запуска КА на рассчитанную траекто-
рию с круговой орбиты ожидания высотой 180 км. Изобразите траекторию
отлета.
Решение
Для Земли гЕ = 6378 км, р,£ = 398 600 км3/с2.
Радиус перигея гиперболы отлета равен сумме радиуса Земли и высоты
орбиты ожидания:
гр = 6378 + 180 = 6558 км.
Подставляя это значение и уравнение (а) из примера 8.8 в уравнение
(8.40), получаем скорость КА в перигее гиперболы отлета:
Llz^,2 2-398600 ,, Л„ z ,ч
'3,16512 ч-------= 11,47 (км/с).
6558 v 7
Рис. 8.29. Гипербола отлета для примера 8.9
435
Глава 8, Межпланетные полеты
Скорость КА на круговой орбите ожидания:
у = £7= /398 600
0 Гр N 6558
= 7,796 (км/с).
Следовательно, потребный импульс скорости Av в точке отлета:
v = vp - v0 = 3,674 км/с.
Эксцентриситет гиперболы отлета определяется из уравнения (8.38):
г v2
1 р коо
Мд
t ! 6558-3,16512
+ 398600
= 1,165.
е = 1 +
На рис. 8.29 показана гипербола отлета при запуске КА с орбиты ожида-
ния с наклонением 28°.
Пример 8.10
Используя полученные в примере 8.8 данные, вычислите потребный им-
пульс скорости Av, необходимый для выведения КА на околомарсианскую
эллиптическую орбиту с высотой периария 300 км и периодом обращения
48 ч. Нарисуйте эскиз гиперболы подлета.
Решение
В приложении находим для Марса гм = 3380 км, |1М = 42 830 км3/с2. Ра-
диус периария подлетной гиперболы равен сумме радиуса Марса и высоты
периария целевой эллиптической орбиты:
гр = 3380 + 300 = 3680 (км).
В соответствии с уравнением (8.40) и уравнением (б) из примера 8.8 ско-
рость КА в периарии на подлетной гиперболе:
7v"-+^=^'88512 +iJ^2=5'621
Для того чтобы найти скорость vp^ в периарии целевого эллипса, ис-
пользуем заданный период целевой орбиты (48 ч) и определим большую по-
луось эллипса из уравнения (2.73):
з з
п f48-3600-742830^
°элл= ----- = --------Г-*------ -31880 (км).
\ 2п J \ 2л J
Эксцентриситет целевой орбиты может быть определен из выраже-
ния (2.63):
436
8.10. Негомановские межпланетные траектории
Тогда согласно уравнению (8.59),
=J^r(1+0’8846)=4’683
v Гр V ЭОои
Следовательно, потребный импульс скорости
i^v-v -v =0,9382 км/с.
Ргип Рэлл
Эксцентриситет подлетной гиперболы определим из уравнения (8.38):
е^^Л80-2-8851^.^.
И„ 42830
Если предположить, что целевая эллиптическая орбита является поляр-
ной, то гипербола подлета будет иметь вид, соответствующий рис. 8.30. Сле-
дует отметить, что экваториальная плоскость Марса наклонена на 25° к пло-
скости его орбиты вокруг Солнца. Кроме того, точка весеннего равноденствия
Марса составляет угол 85° с точкой весеннего равноденствия Земли.
437
Глава 8. Межпланетные полеты
8.11. Проектирование межпланетных перелетов
с использованием метода изолиний
Было бы неправильным утверждать, что межпланетный перелет всегда строго
привязан к одной определенной дате. Практика использования технических
средств показывает, что даже при максимально тщательном планировании
и проведении технологических подготовительных операций могут возник-
нуть непредвиденные сбои, вызывающие отсрочку запуска на некоторое вре-
мя. Поэтому необходимо иметь четкий план действий в случае возникнове-
ния непредвиденных ситуаций. Такого рода план может быть осуществлен
с использованием метода изолиний.
Данный метод основан на многократном решении краевых задач (или
задачи Ламберта) для определения гиперболических избытков скоростей
Даты отлета
Рис. 8.31. Суммарный гиперболический избыток скорости при перелетах
Земля — Марс в 2023-2030 годах
438
8.11. Проектирование межпланетных перелетов с использованием метода изолиний
в точке отлета и в точке прилета в зависимости от предполагаемой продол-
жительности такого перелета.
Примеры определения параметров траекторий перелета были приведены
выше, поэтому ограничимся рассмотрением общих результатов, которые дает
метод изолиний для перспективного планирования перелета с Земли на Марс
и обратно.
На рис. 8.31 представлены результаты расчета суммарного гиперболиче-
ского избытка скорости для перелета Земля — Марс в 2023-2030 годах.
Даты окон старта и прибытия для суммарного избытка скорости около
5600 м/с приведены в табл. 8.2.
Таблица 8.2
Даты окон старта и прибытия для перелетов Земля — Марс. 2023-2030 годы
Номер перелета Окно старта Окно прибытия
Начало Окончание Начало Окончание
1 2024.05.3 2024.05.8 2024.11.19 2024.12.4
2 2026.07.12 2026.07.27 2027.02.27 2027.04.3
3 2028.08.23 2028.09.7 2029.06.1 2029.07.16
4 2030.09.26 2030.10.6 2031.07.28 2031.09.1
Вследствие взаимного углового движения планет минимальный суммар-
ный импульс скорости имеет ярко выраженные минимумы, приходящиеся на
даты старта, наиболее благоприятные для начала перелета. Соответствующие
продолжительности перелета лежат в диапазоне 170...320 сут, что позволяет
таким образом подобрать время прибытия к планете назначения, чтобы иметь
возможность осуществления радиосвязи с КА при наиболее благоприятных
условиях видимости.
Вследствие того что как Марс, так и Земля движутся по эллиптическим
орбитам с ненулевыми эксцентриситетами, преодолеваемое КА расстояние,
соответствующее разным датам старта, может быть различным. Это приводит
к тому, что, например, для одного и того же значения суммарного гиперболи-
ческого избытка скорости даты старта в мае 2024 года находятся в недельном
диапазоне, или окне старта, а в августе 2028 года — в двухнедельном. Ана-
логично изменяется и диапазон возможных дат прибытия (окон прибытия).
На рис. 8.32 и 8.33 представлены зависимости гиперболических избытков
скоростей перелетов Земля — Марс и Марс — Земля для дат 2028 года и раз-
личных длительностей перелетов, как суммарных, так и отдельно для каждой
планеты.
Основные выводы, которые можно сделать из представленных на этих
рисунках диаграмм, сводятся к следующему.
1. Существует несколько областей локального минимума энергетических
затрат на перелет, разделенных энергетическими хребтами.
2. Как правило, увеличение продолжительности перелета ведет к увели-
чению потребных импульсов скорости на осуществление перелета.
3. Если есть возможность погасить избыточную скорость КА в атмо-
сфере планеты без угрозы для экспедиции, то затраты скорости могут
439
Даты прибытия Даты приб1
Даты отлета
б
Рис. 8.32 (начало). Перелет Земля — Марс 2028 года:
а — суммарный гиперболический избыток скорости; б — гиперболический
избыток скорости у Марса
8.11. Проектирование межпланетных перелетов с использованием метода изолиний
15.09.27 09.01.28 04.05.28 27.08.28 21.12.28
Даты отлета
в
Рис. 8.32 (окончание). Перелет Земля — Марс 2028 года:
в — гиперболический избыток скорости у Земли
быть существенно снижены, при этом также существенно может быть рас-
ширено как окно старта, так и окно прибытия к планете назначения. Про-
блемы спуска в атмосфере на гиперболических скоростях обсуждаются
далее в главе 10.
4. Если не планируется спуск на планету либо выведение КА на около-
планетную орбиту, то можно использовать данные диаграммы для плани-
рования дат старта с последующим проведением гравитационного манев-
ра, выбрав при этом минимальные потребные запасы скорости на перелет
к планете и рассчитав наиболее выгодное время для осуществления такого
маневра.
441
Даты прибытия Даты приб]
Даты отлета
а
23.07.30
29.03.30
03.12.29
09.08.29
16.04.29
21.12.28
27.08.28
— линии уровней v^,m/c -— линии длительности перелета, сут
^^8000- 7М0< У><У
^<^QOOOJ
-—^8000- ^7000
--SOOO^gflO 40000-^^- —11° ——"^5^ ^20«г fio ЦО
12.11.27 09.01.28 07.03.28 04.05.28 30.06.28 27.08.28
Даты отлета
б
Рис. 8.33 (начало). Перелет Марс — Земля 2028 года:
а — суммарный гиперболический избыток скорости; б — гиперболический
избыток скорости у Марса
Основные соотношения
в
Рис. 8.33 (окончание). Перелет Марс — Земля 2028 года:
в — гиперболический избыток скорости у Земли
Основные соотношения
Синодический период двух планет
Т
1 СИН I™, ~
Время ожидания достижения требуемого фазового угла
-2<ру - 2тгУ
«2~«1
—2(р у + 2nN
«2"«1
(эж
^ож
Граница сферы тяготения
тяг
'2’
(8.10)
(8.16)
(8-17)
443
Глава 8. Межпланетные полеты
Граница сферы действия
Граница сферы влияния планеты
Гиперболический избыток скорости при отлете
(8.35)
Радиус перицентра гиперболы отлета
Гр Mi 1 + е’
(8.36)
где h — угловой момент гиперболы отлета (относительно планеты); е — экс-
центриситет гиперболы; р, — гравитационный параметр планеты;
г v2
е = 1 + -Р^; (8.38)
Mi
444
Основные соотношения
(8.39)
(8.40)
(8.42)
Ориентация линии апсид гиперболы относительно вектора гелиоцентри-
ческой скорости планеты задается углом
р = arccos
(8.43)
Гипербола подлета
Рис. 8.15
445
Глава 8. Межпланетные полеты
Для известных гиперболического избытка скорости и радиуса пери-
центра гр эксцентриситет гиперболы подлета находится из уравнения
г v2
е = 1 + ^1> (853)
Рг
где ц2 — гравитационный параметр планеты 2.
Угол поворота
5 = 2arcsin
_1____
г V2
(8.54)
Радиус прицеливания
л hl 1
Д =------;
Рг yje2 -1
(8.55)
Скорость на гиперболической траектории в ее перицентре
J2
*£+—•
ГР
Потребный импульс скорости Дг перехода на целевую орбиту
. П2ц, 1р2(1 + е)
Av = v -v = v„ + -^~ ----L.
/'г А/ r \ г
V р V р
(8.58)
(8.60)
Оптимальные с точки зрения расхода топлива радиусы перицентра и апо-
центра для перехода на околопланетную орбиту
2ц2 1-е
Р v2 1 + е’
(8.67)
(8.69)
Минимальная потребная характеристическая скорость маневра перехода
на оптимальную целевую орбиту
= (8’70)
Требуемый радиус прицеливания для минимизации потребного импульса
скорости маневра перехода на околопланетную целевую орбиту
A = 2^4T^iT = rpJr-- <8-71)
1 + е У 1-е
k Рг
_ ^Рг
2
446
Основные соотношения
Алгоритм 8.1. Определение вектора состояния планеты
Требуется вычислить вектор состояния планеты на определенную дату
и время. Все углы, полученные в результате расчета (кроме наклонения z),
должны лежать в диапазоне 0.. .360°. Угол наклонения i должен лежать в диа-
пазоне 0.. .180°. Гравитационный параметр Солнца ц = 1,327 • 1011 км3/с2.
1. С помощью уравнений (5.47)
UT
JD = J0+ —
° 24
и (5.48)
Jo = 367y-trunc
_ (m+9
7 y + trunc ---
L I 12
4
f Q E \
+ trunc + <7 + 1721013,5
I 9 J
следует рассчитать юлианскую дату JD.
2. Вычислить число юлианских веков То между J2000 и требуемой датой:
JD-2 451545
36 525
(8.93)
3. Считая, что Q — любой из шести орбитальных элементов планеты,
приведенных в табл. 8.1, определим его значение на юлианскую дату JD по
формуле
Q = Qo+QTo, (8.94)
где Qo — табличное значение для эпохи J2000; Q — табличное значение ве-
кового изменения этого параметра. Все угловые значения должны быть скор-
ректированы так, чтобы находились в диапазоне 0...3600.
4. Используя значения большой полуоси а и эксцентриситета е, вычис-
лить угловой момент орбиты h на юлианскую дату JD по уравнению (2.61):
h = yjiia(\-e2).
5. Вычислить аргумент перигелия (о и среднюю аномалию М на юлиан-
скую дату JD по данным шага 3:
o> = co-Q;
M = L-5).
6. Подставить значение эксцентриситета е и средней аномалии М на юли-
анскую дату JD в уравнение Кеплера (3.11):
Ме = Е- esmE,
затем вычислить эксцентрическую аномалию Е.
447
Глава 8. Межпланетные полеты
7. Найти истинную аномалию 9, используя уравнение (3.10):
Е = 2arctg
1-е д
l + etg2
8. По полученным значениям й, е, Q, /, со и 9 с помощью алгоритма 4.2
рассчитать векторы гелиоцентрического положения R и скорости v в гелио-
центрической эклиптической системе координат.
Алгоритм 8.2. Расчет траектории перелета задачи Ламберта
С учетом дат отлета и прилета, а следовательно, времени полета, опреде-
лить траекторию перелета от планеты 1 к планете 2.
1. С помощью алгоритма 8.1 определяют вектор состояния (R1? Vj) плане-
ты 1 в точке отлета и вектор состояния (R2, v2) планеты 2 в точке прибытия.
2. По векторам гелиоцентрического положения планет R} и R2 и времени
полета по алгоритму 5.2 определяют скорости КА vD при отлете из сферы
действия планеты 1 и vA при прибытии к сфере действия планеты 2.
3. Вычисляют гиперболические избытки скоростей в точках отлета и при-
бытия по уравнениям (8.95) и (8.96):
VooD=vp-vi; =||vp-v,||; (8.95)
V, =v^-v2; =||vj4-v2||. (8.96)
Вопросы и задачи
1. Как часто возможно осуществление перелетов Земля — Марс и Зем-
ля — Венера с минимальными энергетическими затратами?
2. Чему равен радиус сферы влияния Луны?
3. Что такое радиус прицеливания?
4. Как рассчитывается оптимальный радиус перехода на целевую орбиту?
5. Как можно увеличить приращение скорости космического аппарата за
счет использования гравитационного маневра у планеты?
6. 1 декабря 2005 года космический аппарат стартовал с круговой орбиты
ожидания высотой 180 км к Венере, к которой прибыл через 121 день 1 апре-
ля 2006 года, выйдя на околовенерианскую орбиту с высотой перигесперия
300 км и апогесперия 9000 км. Рассчитайте суммарные затраты характеристи-
ческой скорости на этот проект.
7. Рассчитайте массу топлива, которую нужно израсходовать для осу-
ществления перелета космического аппарата массой 2000 кг с околоземной
круговой орбиты ожидания высотой 180 км по эллипсу Гомана к Сатурну,
а также время перелета и сравните с теми же параметрами для проекта «Кас-
сини». Удельный импульс топлива считать равным 300 с.
Глава 9
ДИНАМИКА РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
Уравнение движения при выведении на орбиту. — Уравне-
ние реактивного движения. — Скорость и высота подъема
ракеты. — Ограниченная постановка задачи определения
параметров ракеты при движении в свободном простран-
стве. — Варианты компоновки ракет. — Движение много-
ступенчатых ракет. — Определение оптимального количе-
ства ступеней ракеты. — Использование неопределенных
множителей Лагранжа. — Основные соотношения. — Во-
просы и задачи
В предыдущих главах достаточно часто рассчитывали потребные импуль-
сы скоростей Av для выполнения различных маневров КА. Как правило, для
получения требуемых скоростей используются двигатели, создающие реак-
тивную тягу. Согласно закону сохранения импульса, если от тела в одном
направлении отбрасывается некоторая масса, само тело должно получить
добавочную скорость в противоположном направлении. Наиболее распро-
страненной иллюстрацией этого закона можно считать полет воздушного
шарика, из которого выходит воздух. Другой пример — прыгающий в воду
с находящейся на поверхности озера небольшой неподвижной лодки человек,
толкающий эту лодку, в результате чего она начинает двигаться. Наконец,
вследствие этого же закона космонавт, у которого оторвется связывающий
его с космической станцией фал, не сможет вернуться назад, даже если будет
совершать кувырки и размахивать руками, поскольку в космосе таким об-
разом невозможно создать реакцию среды на эти действия, т. е. оттолкнуться
от нее, как это делает, например, пловец в бассейне. Единственный вариант
вернуться на борт корабля в этом случае — точно метать в противоположном
направлению на станцию инструменты или другие предметы оборудования,
если они имеются в наличии. Лучшим вариантом, конечно, было бы стравли-
вание сжатого газа из резервуара, прикрепленного к спине космонавта, что-
бы создавать соответствующую реактивную силу. Отметим, что описанный
умозрительный вариант относится к случаю, когда космонавт предоставлен
сам себе, так как в действительности существует множество вариантов воз-
вращения космонавта на борт через полвитка, виток или несколько витков.
Ракетные двигатели используют химическую энергию твердого или
жидкого топлива для устойчивого и быстрого производства большого ко-
личества горячего газа высокого давления, который затем расширяется
и ускоряется через сопло. Большая масса сгоревшего топлива, выходящая из
сопла со сверхзвуковой скоростью, создает большой импульс. В результате
449
Глава 9. Динамика реактивного движения
отброшенная масса горячего газа заставляет транспортное средство приоб-
ретать импульс в противоположном направлении. Так создается сила, кото-
рая называется тягой.
Анализ конструкций и типов ракетных двигателей не входит в задачи
данного учебника, читатель может ознакомиться с ними в других источниках.
В данной главе содержится краткое описание основ динамики ракет:
уравнения движения ракеты-носителя в гравитационном поле, вывод уравне-
ния тяги, в котором введено понятие «удельный импульс». Уравнение тяги и
уравнения движения объединяют для получения уравнения динамики ракеты,
которое связывает Ду и расход топлива с удельным импульсом. На приме-
ре ракеты-зонда рассмотрено важное, но относительно простое применение
выведенных уравнений. В завершение главы рассмотрена динамика полета
многоступенчатых ракет-носителей.
9.1. Уравнение движения при выведении
космического аппарата на орбиту
На рис. 9.1 приведены траектория запуска космической ракеты-носителя и
силы, действующие на нее во время подъема. Для простоты будем рассматри-
вать вариант, когда ракета имеет двигатели, создающие тягу Т, направлен-
ную вдоль продольной оси ракеты коллинеарно вектору скорости v.
Аэродинамическая сила сопротивления D направлена противоположно
скорости ракеты (см. рис. 9.1) и определяется выражением
D = qSmCx,
Местный
горизонт
Центр кривизны
траектории ракеты
К центру Земли
Рис. 9.1. Траектория запуска ракеты-носителя (у — угол наклона
траектории полета)
450
9.1. Уравнение движения при выведении космического аппарата на орбиту
1 2
где 9 = -РатмГ
— динамическое давление; причем ратм — плотность атмос-
феры; v — скорость ракеты; Sm — площадь миделевого сечения ракеты; Сх —
коэффициент силы лобового сопротивления. Значение Сх зависит от скоро-
сти и внешней геометрии ракеты. Сила притяжения, действующая на ракету,
равна wg, где т — ее масса, a g — местное ускорение свободного падения,
направленное к центру Земли. Как обсуждалось в разд. 1.2, в любой точке,
используя скорость v, можно определить единичный вектор, касательный
к траектории, и,. Единичный вектор нормали ил перпендикулярен вектору v
и направлен к центру кривизны С. Расстояние точки С от траектории р явля-
ется радиусом кривизны.
На рис. 9.1 ракета и ее траектория полета изображены относительно Зем-
ли. Для упрощения рассуждений не будем учитывать вращение Земли и запи-
шем уравнения движения относительно невращающейся Земли. Небольшие
добавочные ускорения, требуемые для учета вращения Земли, можно допол-
нительно ввести в уравнения движения позже. Воспользуемся вторым зако-
ном Ньютона Fz = wa и представим ускорение ракеты в виде двух составля-
ющих: компонент вдоль векторов и, и и„.
Из разд. 1.2 известно, что тангенциальная составляющая ускорения
dv
(9.2)
а нормальное ускорение а„ =v2/p- Как следует из уравнения (1.9), при поле-
те над плоской поверхностью v/p = -dy/dt. В этом случае нормальное уско-
рение можно выразить через угол траектории полета, т. е.
dy
а„ = -V—.
" dt
Для учета кривизны Земли можно использовать полярные координаты
с началом в центре Земли, чтобы показать, что к этому выражению необхо-
димо добавить дополнительное слагаемое:
dy v2
а„ = -г — н-------cos у,
” dt RE + h '
(9-3)
где Re — радиус Земли; h — текущая высота полета ракеты.
Таким образом, в соответствии со вторым законом Ньютона проекция
сил в направлении вектора и,
T-D- mgsiny = mat, (9.4)
а в направлении и„
mg cosy = та„.
(9.5)
После подстановки уравнений (9.2) и (9.3) в выражения (9.5) они могут
быть записаны в виде
451
Глава 9. Динамика реактивного движения
dv Т D
— =--------gsmy,
dt т т
dy
v~di"" g”
v2
RE + h
cosy.
(9.6)
(9.7)
К выражениям (9.6) и (9.7) следует добавить уравнения, связывающие из-
менение расстояния х от точки старта и высоту h, тогда
_=_i_VCOST; _=vsinT. (9.8)
Отметим, что зависимость изменения ускорения свободного падения g
и высоты записана в уравнении (1.8). Уравнения (9.6)-(9.8) представляют
собой математическую модель движения ракеты с касательной тягой под дей-
ствием сил притяжения и аэродинамического сопротивления и могут быть ре-
шены только численными методами. При этом необходимо учитывать измене-
ния тяги, массы ракеты, плотности атмосферы, коэффициента сопротивления
и ускорения силы тяжести. Отдельно следует уточнить, что масса ракеты по-
стоянно уменьшается, поскольку для получения тяги используется топливо.
Диаграмма сил на рис. 9.1 не включает в себя подъемную силу, которая, если
бы ракета была самолетом, должна быть направлена ортогонально вектору
скорости. Подъемная сила в уравнениях не учитывается вследствие ее мало-
сти. Обычно ракеты имеют сильно вытянутую цилиндрическую форму. Для
уменьшения массы их конструируют, в отличие от самолетов, относительно
слабыми на изгиб, сдвиг и кручение, так как считается, что виды нагрузок,
вызываемых подъемными поверхностями ракет, практически отсутствуют.
Поперечные нагрузки, возникающие при выведении ракеты на орбиту, ми-
нимизируются за счет нулевого угла атаки, т. е. за счет удерживания оси
ракеты коллинеарной вектору скорости. Маневры разворотов проводятся на
ранней стадии полета, вскоре после старта ракеты, когда ее скорость все еще
низкая. При высоких скоростях, которые достигаются уже в течение 1 мин
после запуска, минимальный угол атаки может привести к разрушительным
поперечным нагрузкам. Следует отметить, конструкция крыла многоразовых
КА учитывает воздействие подобных нагрузок, поэтому они могут совершать
полет в атмосфере по типу самолетного. Однако и в этом случае, при запуске
многоразового КА, его крылья должны иметь малый угол атаки на протя-
жении всего полета в плотных слоях атмосферы при выведении на орбиту.
Ракеты-носители со спутниками взлетают вертикально и в конце тра-
ектории выведения при выходе на орбиту должны быть ориентированы па-
раллельно земной поверхности. Во время начальной фазы выведения ракета
увеличивает скорость на почти вертикальной траектории, которая проходит
через плотные нижние слои атмосферы. В то время, когда ракета переходит
в более разреженную верхнюю атмосферу, ее траектория искривляется, при-
чем вертикальная составляющая скорости становится горизонтальной и раке-
та достигает орбитальной скорости перигея в момент отсечки (выключения)
452
9.2. Уравнение реактивного движения
двигателей. Постепенный переход от вертикального к горизонтальному по-
лету (см. рис. 9.1) обусловлен силой тяжести и называется гравитационным
поворотом траектории.
В момент старта ракета расположена вертикально, а ее траекторный
угол у составляет 90°. После старта набирающая скорость ракета за счет не-
больших управляющих двигателей, отклонения сопел главных двигателей
или аэродинамических рулей выполняет небольшой программный разворот,
при этом устанавливается начальный угол траектории полета у0 не многим
меньше 90°. Далее на протяжении выведения у будет продолжать уменьшать-
ся в соответствии с уравнением (9.7). (Например, если у = 85°, v = ПО м/с,
h = 2 км, dyldt = -0,44%.) Поскольку скорость v ракеты увеличивается, коэф-
фициент cos у в уравнении (9.7), отражающий скорость изменения угла тра-
ектории полета, становится меньше, стремясь к нулю, когда скорость ракеты
приближается к орбитальной, т. е. v^ = y/g^E + ^). В идеальном случае при
отсечке двигателей ракета летит строго горизонтально и у = 0.
Траектория гравитационного поворота является лишь одним из примеров
практической траектории выведения на орбиту КА. Запускаемые для изуче-
ния параметров атмосферы ракеты-зонды имеют строго вертикальные траек-
тории вплоть до исчерпания топлива. Еще один используемый класс ракет —
управляемые ракеты — должны иметь возможность выполнять маневры на
высокой скорости в атмосфере и поэтому требуют особо прочной конструк-
ции, позволяющей им выдерживать сопутствующие боковые нагрузки. Эти
ракеты, так же как и многоразовые КА, имеют крылья, создающие подъем-
ную силу, которая описывается соответствующими уравнениями динамики.
9.2. Уравнение реактивного движения
Для того чтобы определить необходимые характеристики ракеты, требуется
рассчитать необходимую тягу Т по уравнению (9.6). Это можно сделать про-
стым анализом импульсов в системе ракета — топливо. На рис. 9.2, а при-
ведена система, состоящая из ракеты и топлива. С внешней стороны ракета
окружена атмосферой, создающей статическое давление ра. Со стороны сопла
двигателя ракеты давление равно ре, которое будем считать равномерным на
всей площади Ае сопла. Значение ре зависит от конструкции сопла, термоди-
намических параметров в камере двигателя и в первую очередь от давления
в камере сгорания. Для простоты будем считать, что никакие другие силы на
систему не действуют. В некоторый момент времени t масса системы раке-
та — топливо равна тп, абсолютная скорость системы в продольном направле-
нии равна v. Компоненты топлива и окислителя поступают в камеру сгорания
ракеты и в течение небольшого промежутка времени А/ малая масса Дтп про-
дуктов сгорания выбрасывается из сопла назад, влево. В результате скорость
ракеты увеличивается на некоторую величину Av, направленную вправо.
Пусть абсолютная скорость продуктов сгорания Атп имеет значение ve. Со-
гласно второму закону Ньютона, разность полного импульса системы после
453
Глава 9. Динамика реактивного движения
воздействия на нее и до этого воздействия равна приложенному внешнему
импульсу, т. е. в соответствии с рис. 9.2 в проекции на продольную ось х
[(/и - Aw)(v + Av)i + Am(-vei)] - wvi = (ре -ра)АеМ. (9.9)
t + м
Рис. 9.2. Система ракета — топливо в момент времени t (а) и через
мгновение после выброса Ат продуктов сгорания (б)
Пусть те — положительная величина, скорость истечения горячих газов
на срезе сопла. Масса т ракеты уменьшается со скоростью dm/dt и в соот-
ветствии с законом сохранения массы требуется, чтобы это уменьшение рав-
нялось массовому расходу через сопло, поэтому
Предполагая, что те постоянна, массу ракеты как функцию времени, на-
чиная с t = 0, можно записать в виде
= (9.11)
где т0 — начальная масса ракеты. Поскольку Aw — масса, которая истекает
за интервал времени Az, это означает, что
Aw = weAZ. (9.12)
Подставив это выражение в уравнение (9.9), получим
[(m- weAz)(v + Av)i + weAz(-vei)J - wvi = (pe -pa)AeM.
Приводя подобные, имеем
wAvi - meAt (v + Av) i - meAZvei = (pe - pa ) AeArt.
Разделим обе части этого уравнения на Az, затем перейдем к пределу при
Az —» 0 и скалярным величинам, так как уравнения записаны в проекции на
одну ось, тогда
(9.13)
at
где са — скорость продуктов сгорания относительно ракеты,
454
9.2. Уравнение реактивного движения
са = V + ve.
(9-14)
Переупорядочивая члены, запишем уравнение (9.13) в виде
теса + (ре-ра)Ае=т^- (9.15)
at
Левая часть этого уравнения — сила тяги, вызывающая ускорение dv/dt
системы (см. рис. 9.2)
Т = теса+(Ре-Ра)Ае’ (9-16)
где теса — тяга, обусловленная отбрасываемой массой продуктов горения;
(Ре~Ра)Ае — тяга, обусловленная разностью атмосферного давления и дав-
ления на срезе сопла.
Запишем уравнение (9.16) в следующем виде:
Т = тпе
(А? Ра}^е
La "Г
(9.17)
Выражение в скобках в уравнении (9.17) описывает эффективную ско-
рость истечения
(9-18)
Окончательно с использованием эффективной скорости истечения тяга
может быть записана в виде
Т - тес.
(9.19)
Удельный импульс тяги (удельная тяга) Isp определяется как отношение
тяги на уровне моря к весовому расходу топлива, т. е.
I =^-
SP теёъ
где g0 — стандартное ускорение свободного падения, равное 9,80665 м/сI 2.
Единица удельного импульса тяги [кгс-с/кг], обычно сокращаемая до секунды.
Из уравнений (9.19) и (9.20) следует, что
c = Ispg0. (9.21)
Отсюда очевидно, что эффективную скорость истечения можно опреде-
лить непосредственно из удельного импульса тяги. Удельный импульс тяги
является важным параметром производительности для данного ракетного
двигателя и вида топлива. Однако большой удельный импульс может харак-
теризовать большую тягу только в случае большого массового расхода то-
плива, что справедливо для химических ракетных двигателей. Для таких дви-
гателей удельные импульсы тяги обычно находятся в диапазоне 200...300 с
455
Глава 9. Динамика реактивного движения
для твердого топлива и 250...450 с для жидкого. Получившие в последнее
время существенное развитие электроракетные, в частности, ионные двигате-
ли имеют очень высокий удельный импульс (более 104 с), но при этом очень
низкий массовый расход рабочего тела. Также следует отметить, что манев-
ры, проводимые с такими двигателями, не относятся к классу импульсных
и их следует рассчитывать другим способом.
9.3. Скорость и высота подъема ракеты
Из уравнений (9.10) и (9.20) следует, что
r = (9.22)
at
или
dm _ Т
dt ^spSo
Если тяга и удельный импульс постоянны, то за время А/ работы двига-
теля или отжога масса израсходованного топлива
Т
Ат =-------At,
^spSo
откуда можно определить время работы двигателя
А, ^spSo / \ ^spSo /П
1---J- , (9.23)
т V 7 т I М
где w0, mj— массы ракеты в начале и в конце отжога. Отношение начальной
массы ракеты к конечной называют числом Циолковского, т. е.
(9.24)
(9.25)
7П0
п = —-
mf
Очевидно, что число Циолковского всегда больше единицы. Используя
первоначальное отношение масс, уравнение (9.23) можно записать в виде
« T/m^gQ
Дробь T/m^gQ представляет собой отношение тяги к весу ракеты. Это
отношение для ракеты-носителя при выведении на орбиту обычно находится
в диапазоне 1,3...2. Подставляя уравнение (9.22) в уравнение (9.6), получаем
dv r dml dt D
-^- = -IsPgo—-------gsmy.
dt r m m
456
9.3. Скорость и высота подъема ракеты
Интегрирование данного уравнения по времени от /0 до у с учетом, что
у- Zo = Д/, приводит к записи
Ду = Лр^о1п—-bvD-bvG, (9.26)
где потери на атмосферное сопротивление Avo и потери на преодоление силы
тяжести AvG определяются как интегралы по времени движения:
7 D 7 .
Avo = —dt, AvG = g sin yd/.
t m t
'0 '0
(9.27)
Поскольку сопротивление D, ускорение силы тяжести g, а также угол
траектории полета у являются неизвестными функциями времени, эти инте-
гралы не могут быть вычислены. Отметим, что уравнения (9.6)-(9.8) вме-
сте с уравнением (9.3) можно решить численно для получения зависимостей
v(Z) и у(/), но тогда Av будет вытекать из этих результатов. Уравнение (9.26)
можно использовать для того, чтобы получить приблизительные оценки зна-
чений Avd и Avg. Очевидно, что если сопротивлением можно пренебречь, то
AvD = 0. Это хорошее приближение для последнего этапа выведения, для ко-
торого также можно положить AvG = 0, так как у = 0, когда спутник выходит
на орбиту.
В качестве примера поясним, что, например, ракеты-зонды запускают
вертикально до максимальной высоты, затем они возвращаются на Зем-
лю на парашюте. Целью их запуска является проведение измерений пара-
метров верхних слоев атмосферы. Таким образом, для этих ракет у = 90°,
Avg ~ go (?/ _/о)> так как g лежит в пределах 90 % g0 для высот до 300 км.
Пример 9.1
Ракета-зонд, имеющая начальную массу т0 и конечную массу пу после
того, как все топливо израсходовано, запущена вертикально, т. е. ее траектор-
ный угол у = 90°. Массовый расход топлива те = const. Пренебрегая сопро-
тивлением атмосферы и изменением силы притяжения с высотой, вычислите
максимальную высоту подъема h ракеты. При какой скорости истечения то-
плива ракета достигнет наибольшей высоты?
Решение
Поскольку массовый расход топлива постоянен, то масса ракеты как
функция времени вплоть до отсечки двигателей
т = mQ - met.
При отсечке двигателей т = поэтому время отжога
^отж
™е
(а)
(б)
457
Глава 9. Динамика реактивного движения
Потери на атмосферное сопротивление считаются равными нулю, а по-
тери на преодоление силы притяжения в соответствии с уравнением (9.27)
составят
^отж
j gsin(9O°)dt = gotmx.
о
Напомним, что Ispg0 = с. Используя формулу (а) и уравнение (9.26), полу-
чаем, что до момента отсечки двигателей скорость ракеты как функция вре-
мени имеет вид
v = cln—-got. (в)
m^-mj
Поскольку dh/dt = v, высота как функция времени в свою очередь может
быть получена путем интегрирования уравнения (в):
h = jvdt = j c In
о (A
7ИП 1 , с , ...
-----got\dt = — (то - те()111
т0 ~ те( ) те
ГПп -1 1 2
—— + те‘
m0 J 2
(Г)
Высоту на момент отсечки двигателя Лотж определим путем подстановки
формулы (б) в это выражение:
1 [ m0-mf
с . mf
= — mfin^- + m0-inf —
\L mo J 2
Аналогично, скорость на момент отсечки двигателя получим путем под-
становки выражения (б) в (в):
h - C
"отж
go-
(д)
у<иж =cln—(w0 ~mf).
nif me
(е)
После отсечки двигателя ракета продолжает подниматься вверх с посто-
янным замедлением вследствие действия силы притяжения, т. е.
v ~ ^отж — <?0 (^ — ^отж )’
1 2
“ ^отж + ^отж(^ “ ^отж) “ “^отж) •
Подставляя выражение (б), (д) и (е) в эти формулы при t > получаем
v = cln—
mf
, = —
Лотж
me
m0 In + mQ-mf
™o
, mn 1 2
4-C/ln—-~-got •
mf 2
(ж)
458
9.4. Ограниченная постановка задачи определения параметров ракеты...
Максимальная высота йтах достигается, когда v = 0, т. е.
, тп „ с , /Ил
g(/max ~ 0=> /тах — In .
g0 mf
Подставив rmax в формулу (ж), получим
. СШл .. , . 1 С • 2
Атах =—2-(1 + 1п«-и) + - In П,
™е 2 g0
где п — массовое отношение, n > 1. Если и>(1 + 1пи), то отсюда следует,
что (1 + 1пи-и) является отрицательным числом. Следовательно, Лтах может
быть увеличена за счет увеличения массового расхода те. Другими словами,
наибольшая высота достигается при те —> оо, когда весь запас топлива рас-
ходуется сразу, как при выстреле из пушки, т. е. при максимально возможной
скорости истечения.
9.4. Ограниченная постановка задачи определения
параметров ракеты при движении
в свободном пространстве
Под движением в свободном пространстве будем понимать движение без силы
притяжения и сопротивления атмосферы. В этом случае уравнение (9.26) сво-
дится к формуле Циолковского:
Av = 4p^oln— (9.28)
Совершенно очевидно, что вследствие принятых упрощений форму-
ла (9.28) является недостаточным приближением описания движения ракет
с большой тягой, но позволяет объяснить некоторые важные особенности
этого движения. Приведенное уравнение можно решить для некоторого от-
ношения начальной и конечной массы, тогда
Ду
= (9 29)
mf
Пусть количество топлива, израсходованного для того, чтобы получить
приращение скорости Av, равно ?и0 - пу. Если обозначить Д/и = т0 - пу, то
уравнение (9.29) можно записать в виде
Ду
= (9.30)
Это выражение используется для вычисления количества топлива, необ-
ходимого для получения заданной характеристической скорости Av.
459
Глава 9. Динамика реактивного движения
Общая масса ракеты-носителя складывается из сухой массы тЕ, мас-
сы топлива тр и массы полезной нагрузки (ПН) wnH:
т0 = тЕ + тр + (9.31)
Под сухой массой будем подразумевать массу конструкции самой раке-
ты, а также ее двигателей, топливных баков, системы управления и т. д., по-
этому условно тЕ можно называть массой конструкции, хотя она включает
в себя намного больше, чем просто конструкция ракеты. Разделив уравнение
(9.31) на т0, получим
пЕ + пр + Япн = 1. (9.32)
где пЕ = тЕ/т0, пр = тр/т0, тгпн = — массовые доли конструкции,
топлива и ПН соответственно.
Определим коэффициент ПН
Х = "*пн = "*пн (9.33)
Wo-7MnH
и коэффициент конструкции
/Иг тГ ,____
£ =----£— =------£—. (9.34)
т0-типн
Массовое отношение п уже было введено в уравнении (9.24). Предпо-
лагая, что все топливо использовано, массовое отношение можно записать
в виде
w£ + w+wnH
п =----------
т£ + типн
(9.35)
причем X, £ и п связаны между собой, так как из уравнения (9.34) следует, что
Е
=----тп,
Е 1 —£ Р
тогда как уравнение (9.33) дает
тпн =ЦтЕ + т„) = Х| ~^—т + т | =
Р kl-£ J 1-£
(9.36)
(9.37)
(9.38)
Подстановка уравнений (9.36) и (9.37) в уравнение (9.35) приводит к за-
висимости
1 +
п - —
£ +
Таким образом, имея любые два из параметров X, £ или п, можно полу-
чить третий из уравнения (9.38). Подставляя это соотношение в уравнение
460
9.4. Ограниченная постановка задачи определения параметров ракеты...
(928) и задавая Ду равным скорости на момент отсечки двигателя уотж, когда
топливо израсходовано полностью, получаем:
1 + Х
^отж — ^spSo bi w — 1SpgQ 1п . (9.39)
£ т Л
На рис. 9.3 приведены зависимости, иллюстрирующие это уравнение, для
некоторого диапазона коэффициентов конструкции. Видно, что для любой
сухой массы максимально возможное приращение Ду достигается при нуле-
вой ПН. Однако обычно основной задачей при использовании ракет является
максимизация массы ПН при минимизации сухой массы. Разумеется, масса
Рис. 9.3. Зависимости безразмерной скорости истечения от коэф-
фициента ПН при различных коэффициентах конструкции £
несущей конструкции, ракетных двигателей, насосов, трубопроводов и т. д.
не может быть сколь угодно малой. Современные технологии позволяют по-
лучить значение нижнего предела е порядка 0,1. Для этого значения коэффи-
циента конструкции и X = 0,05 из уравнения (9.39) следует, что
vo™ = 1,94/Jpgo = °>0194р (км/с)-
Удельный импульс тяги типичного химического двигателя составляет
около 300 с, что обеспечивает приращение скорости после отсечки двигателя
Ду = 5,7 км/с. При этом известно, что круговая орбитальная скорость на по-
верхности Земли составляет 7,905 км/с, т. е. такая ракета не может обеспечить
выведение на околоземную орбиту никакой полезной нагрузки. Анализ пока-
зывает, что минимальный удельный импульс тяги, требуемый для выведения
одноступенчатой ракеты на орбиту, составит 416 с. Только самые современ-
ные двигатели, работающие на жидком водороде, имеют такие показатели.
461
Глава 9. Динамика реактивного движения
Из практики использования ракет и экономических соображений следует, что
гораздо выгоднее применять многоступенчатые ракетные конструкции.
9.4.1. Варианты компоновки ракет
На рис. 9.4 приведена двухступенчатая ракета, у которой ступени расположе-
ны одна над другой. Такая компоновка получила название последовательной.
Каждая ступень имеет свои собственные двигатели и топливные баки. Черные
сплошные линии на рисунке между ступенями показывают место их разделе-
ния во время полета. Первой отделяется первая ступень, затем вторая и т. д.
Полезной нагрузкой для каждой JV-й ступени является вся (N + 1)-ступень.
Выводимые на орбиту спутники обычно несут свои собственные двигатель-
ные системы, т. е. полезной нагрузкой любой ступени является все, что рас-
положено над ней. Поэтому, как показано на рис. 9.4, начальной массой wOi
первой ступени является масса всей ракеты. После того как все топливо пер-
вой ступени будет выработано, ее конечная масса будет складываться из
Рис. 9.4. Компоновка двухсту-
пенчатой ракеты с последова-
тельной компоновкой ступеней
л
Рис. 9.5. Параллельная
компоновка ступеней
462
9.4. Ограниченная постановка задачи определения параметров ракеты...
сухой массы первой ступени тЕ^9 полной массы второй ступени т^ и полез-
ной нагрузки. После отделения первой ступени процесс полета продолжается
со второй ступени, причем w02 — ее начальная масса.
Ракета-носитель «Титан II» для американской программы «Джемини»
имела двухступенчатую компоновку, аналогичную компоновке ракеты-но-
сителя «Сатурн 1В», используемой для запуска спутников на околоземные
орбиты в начале программы «Аполлон», а также для отправки экипажей на
станцию «Скайлэб» и запуска КА «Аполлон» для стыковки с советским кос-
мическим кораблем «Союз» в 1975 году.
На рис. 9.5 приведена параллельная компоновка ступеней. При такой ком-
поновке два или более ускорителя на твердом или жидком топливе крепятся
к основной ракете, несущей ПН. Если при последовательной компоновке дви-
гатели следующей ступени не могут быть запущены, пока не отделилась пре-
дыдущая, при параллельной компоновке одновременно происходит запуск
двигателей основной ступени и разгонных ускорителей. Ускорители отделя-
ются от ракеты после того, как выработают топливо на ранней стадии вы-
ведения. Ракета-носитель «Энергия» является наиболее очевидным примером
параллельной компоновки. Ее разгонные ускорители, установленные сбоку
основной конструкции, отбрасывались после выработки топлива. Обычно ис-
пользуется сочетание параллельной и последовательной компоновки, когда
ускорители связаны с первой ступенью и имеют так называемую пакетную
компоновку. Примерами таких конструкций являются российская ракета-но-
ситель «Союз», американские «Титан III», «Титан IV» и «Дельта», европей-
ские «Ариан-4» и «Ариан-5», японский КА «Н-2» и китайский КА «Великий
поход».
Оригинальную конструкцию имела ракета-носитель «Атлас», которая
использовалась во многих вариантах запуска, в частности и для запуска на
орбиту астронавтов по американской программе «Меркурий». Ракета-носи-
тель имела три основных жидкотопливных двигателя. Все они запускались
одновременно при старте, но через несколько минут два наружных разгонных
ускорителя отбрасывались, и продолжал работать только центральный двига-
тель ракеты, который и доводил ее до заданной орбиты. Поскольку двигатели
ускорителей использовали те же топливные баки, что и основной двигатель,
ракета-носитель «Атлас» считается полутораступенчатой ракетой.
9.4.2. Движение многоступенчатых ракет
Далее для простоты будем рассматривать последовательную компоновку ра-
кет-носителей, хотя ракеты-носители с параллельной компоновкой можно
рассматривать аналогичным образом. Ограниченная постановка задачи ана-
лиза движения ракеты включает в себя простое, но нереалистическое пред-
положение, что все ступени ракет одинаковы. В этом случае каждая ступень
имеет одинаковые удельный импульс Isp, коэффициент конструкции е и ко-
эффициент полезной нагрузки X. Из уравнения (9.38) следует, что массовое
отношение п тоже одинаково. Для ограниченной постановки определим
463
Глава 9. Динамика реактивного движения
окончательную скорость ракеты при заданных массе ПН и ее доли в мас-
се ракеты:
л -ОТпн
лпн_ >
т0
где т0 — общая масса последовательных ступеней ракеты.
Для одноступенчатой ракеты коэффициент ПН
_ отпн _ тспн
т0 ~ ОТПН 1 “ япн
поэтому из уравнения (9.38) можно определить массовое отношение
1
(9.40)
(9-41)
(9-42)
п =--------
ЯпнО-Ю + е
Согласно уравнению (9.39), достигнутая скорость на момент отсечки
двигателя
(9.43)
Пусть ти0 — полная масса двухступенчатой ракеты, представленной
на рис. 9.4, т. е.
(9.44)
"»о=тО1.
Полезная нагрузка первой ступени — это полная масса Wq2 второй сту-
пени. Таким образом, для первой ступени коэффициент ПН составит
X ОТ°2 - т°г
1 тО1~то2 т0-т0г'
Для второй ступени коэффициент ПН
(9.45)
Х2 = "*пн . (9.46)
wo2 -™пн
Вследствие подобия этих двух ступеней X] = 7^, т. е.
”4 _ »»пн
wo-wo2 wo2-wnH
Решая это уравнение относительно полной массы второй ступени, полу-
чаем
wo2
464
9.4. Ограниченная постановка задачи определения параметров ракеты...
Но т0 = /Ипн/Япн, поэтому полная масса второй ступени может быть за-
писана в виде
wo2
(9-47)
Подставляя это выражение в уравнение (9.45) (или 9.46), получаем об-
щий коэффициент ПН двухступенчатой ракеты:
(9.48)
Выражение (9.48) вместе с уравнением (9.38) в соответствии с предпо-
ложением, что коэффициенты конструкции ступеней равны, т. е. £] = е2 = £,
приводит к тому, что общее массовое отношение для двухступенчатой раке-
ты принимаем
(9.49)
Предполагая, что двигатели второй ступени включаются сразу же после
отделения первой, получаем, что конечная скорость двухступенчатой ракеты
представляет собой сумму скоростей отдельных ступеней:
V = V 4- V
ИОТЖ ИОТЖ! ИОТЖ2
или
^огж2<туп ^spSo ^2-ступ *" ^spSo hl ^2-ступ ^spS® ^2-ступ •
Тогда с учетом уравнения (9.49) получаем
Уотж2<туп
(9.50)
Пустую массу каждой ступени можно рассчитать через массу ПН, ис-
пользуя общий коэффициент конструкции е:
тЕ{ тЕ2
---1— = в; --2 = £.
тог-то2 wo2~wnH
Подставляя в эти выражения уравнения (9.40) и (9.44) вместе с (9.47),
находим
(1 -7лпн )е
w£, = --------— ™пн;
лпн
(9-51)
465
Глава 9. Динамика реактивного движения
Аналогично можно найти массу топлива для каждой ступени:
=w0,+w02), тР1 =т^-(тЕ2+тту (9.52)
Подставляя уравнения (9.40) и (9.44) вместе с (9.47) и (9.51) в (9.52),
окончательно получаем
_ (1 л/ЛПН )(1_ е) _ (1 “ 7ЛПн)(1_ е)
трх - ОТПН’ тр2 - тпн-
ЯПН УЛПН
(9.53)
Пример 9.2
Пусть Wjuj =10 000 кг, Лии = 0,05, е = 0,15, Isp = 300 с, g0 = 0,00981 км/с2.
Вычислите скорость ПН готж при отсечке двигателя, массу пустой ракеты
и массу топлива для одноступенчатой и для двухступенчатой ракеты.
Решение
Одноступенчатая ракета
Из уравнения (9.43) определяем конечную скорость:
vottk - hnga I*1-------= 350-0,00981 In---------------= 5,657 (км/с).
лпн (!-€) + € 0,05(1+ 0,15)+ 0,15 V ’
Из уравнения (9.40) лпн = находим полную массу ракеты:
т0
ш 12^00 = 200 000 кг,
0 0,05
откуда определяем сухую массу, используя уравнение (9.34):
тЕ = £(/и0-7ипн) = 0,15(200 000-10 000) = 28 500 (кг).
Масса топлива
тр =то~тЕ _/ипн =200000-28 500-10000 = 161500 (кг).
Двухступенчатая ракета
Для этого случая скорость при отсечке двигателя второй ступени ракеты
определяется уравнением (9.50):
V™, = In
ОтЖг-ступ spatj
1
лпн (1— е) + е
= 350 0,00981 In
________1________
76^5(1-0,15)+ 0,15
= 7,407 (км/с).
466
9.4. Ограниченная постановка задачи определения параметров ракеты...
Пустую массу каждой ступени можно найти с помощью уравнений (9.51):
(1-70^05)0,15
= -Ь-------------—wnH = --------—-------10 000 = 23 292 (кг);
лПн и>и-*
(1~5/^пн)е (1 — л/0,05)0,15
™е2 = Н-7»*пн = 1 10000 = 5208 (кг).
улпн ^0,05
Для определения массы топлива используем уравнения (9.53):
(l-J^)(l-e) (l-J0,05)(l-0,15)
w =L ..У..ПНЛ-----' l У> A--------------10000 = 131990 (кг);
7tnH 0,05
(l-J0?05)(l-0,15)
= \—у пил-------' _ \v Л—^ 10000 = 29513 (кг).
” >/0^5 1 '
Общая сухая масса ракеты тЕ = тпЕ^ + тЕ^, общая масса топлива
тр =тР} +тР2 такие же, как и для одноступенчатой ракеты. Масса второй
ступени, включая массу ПН, составляет 22,4 % полной массы ракеты.
Трехступенчатые ракеты. Как следует из рассмотренного примера, хотя
общая масса ракеты не изменилась, для ракеты двухступенчатой компоновки
конечная скорость увеличилась на 31 %. Это обусловлено тем, что вторая сту-
пень легче и поэтому может быть разогнана до более высокой скорости. При
этом все равно одна, даже самая легкая ступень, не достигнет скорости, не-
обходимой для выведения на околоземную орбиту. Определим коэффициент
увеличения скорости, связанный с добавлением третьей ступени (рис. 9.6).
Коэффициенты ПН трех ступеней
ТПп г
_ и2 . 1 _ из . Л _ "*пн
— , Л/2 — , A/j — '
wO1-Wo2 ^0з-шпн
Поскольку ступени считаются одинаковыми с точки зрения массовых
соотношений и двигательных установок, эти коэффициенты ПН одинаковы.
Положим Xj = kj, учитывая, что =т0, находим
™о2 -тото=О.
Аналогично, из равенства = Х3 получаем
"1о2ото3-"1пн"1о=0.
Из этих двух уравнений следует, что
т = тпн т = тпн
W02 —2/3 ’ W03 _1/3 • (У-54)
кпн лпн
467
Глава 9. Динамика реактивного движения
™Ез
Подставляя эти результаты в любое из
приведенных выше выражений для Х15
или Хз, можно определить общий коэффи-
циент ПН для трехступенчатой ракеты:
'"Оз
mf2
™Е2
Прг
^З-ступ
я1/3
лпн
1-7Г1/3 '
1 лпн
Учитывая этот результат и связь меж-
ду коэффициентами, устанавливаемую
уравнением (9.38), находим общий коэф-
фициент отношения масс трехступенчатой
ракеты:
7
^02
"з-ступ из ч • (9-55)
ЛЙ3н(1-Е) + £
§
Поскольку скорость ПН при отсечке
двигателя третьей ступени +
+ VOT*2 + vo™3> получаем
Рис. 9.6. Трехступенчатая ракета
последовательной компоновки
VODK3<Tyn ^^spSa ^З-ступ
С 1 Y (9.56)
~^spSo^ m 7
l^H(l-e) + £j
Вследствие того что коэффициент
конструкции для каждой ступени одина-
ков, можно записать
тЕ2 тЕ,
---- — = е; ------= е.
"Ч-"Ч "Ч-^пн
Подставляя в эти выражения уравнения (9.40) и (9.54), можно определить
выражения для сухой массы каждой ступени:
_(1~лпн)е . _(1~лпн)е . -О"71™)8 /957ч
тЕ~ wnH> тЕ1- 2/3 ,ЯПН’ тЕ,- 1/3 "'пн
ЛПН ЛПН ЛПН
и массы топлива каждой ступени:
трх = W0, -("»£, + "Ч ); тр2 = т02 ~(тЕ2 + "Ч ); тРз = т03 ~(тЕз + ^Пн)-
Подставляя в эти выражения уравнения (9.40), (9.54) и (9.57), получаем
окончательные формулы для расчета массы топлива каждой ступени:
”4
468
9.4. Ограниченная постановка задачи определения параметров ракеты...
тр>
лпн
wnH; тР2
л2/3
“пн
л*/3
япн
wriH-
(9.58)
Пример 9.3
По данным примера 9.2 вычислите скорость ПН готж при отсечке двигате-
ля, пустую массу ракеты и массу топлива трехступенчатой ракеты.
Решение
Выражение (9.56) позволяет определить скорость ПН при отсечке двига-
теля третьей ступени:
( 1 у ( 1 у
уотж =Лсё’о1п ~775----------- = 350- 0,00981 In ------------------- =
spS0 l<n,/3H(l-e) + eJ ^0,051/3(l-0,15) + 0,15j
= 7,928 (км/с).
Подставляя тепн = 10 000 кг, лпн = 0,05, е = 0,15 в уравнения (9.57)
и (9.58), получаем
тЕ* = 18 948 км; тЕ2 = 6980 км; = 2572 км;
тр = 107 370 кг; тр2 = 39 556 кг; тр} = 14 573 кг.
Как и в примере 9.2, суммарная сухая масса и суммарная масса топлива
трехступенчатой ракеты такие же, как и для одно- и двухступенчатой ракеты.
При этом увеличение скорости трехступенчатой ракеты относительно двух-
ступенчатой составляет всего 7 %, что намного меньше, чем при переходе от
одноступенчатой ракеты к двухступенчатой.
Сопоставляя полученные выше формулы для одно-, двух- и трехступен-
чатых ракет (9.43), (9.50) и (9.56), можно записать общее выражение для ко-
нечной скорости полезной нагрузки в момент отсечки двигателя N-й ступени
идеализированной ракеты:
(9'59)
Предположим, что число N станет достаточно большим. Разложением
в ряд Тейлора можно показать, что при больших N
япн № 1 + ^пн-
(9.60)
Подставляя это выражение в уравнение (9.59), находим
r 1
1 + \7(1-е)1п’1пн
k N
469
Глава 9. Динамика реактивного движения
Поскольку слагаемое в знаменателе -^(1-£)1плпн мало, можно исполь-
зовать замену 1/(1 + х) = 1 - х + х2 - х3 +..., чтобы записать
---i---!------
1 + ±(1-Е)1п«пн
т. е.
v0Tx,v<n.n «/^Ь^1-1(1-е)1плпн].
Наконец, так как 1п(1-х) = -х-х2/2-х3/3-х4/4-..., можно предста-
вить приведенное выше выражение в виде
Таким образом, если число N ступеней ракеты стремится к бесконечно-
сти, то скорость конечной ступени при отсечке двигателя
(9.61)
лпн
Таким образом, независимо от того, сколько схожих по параметрам сту-
пеней будет использовано в ракете при данном удельном импульсе тяги,
Рис. 9.7. Зависимости скорости конечной ступени от их числа
в ракете согласно уравнению (9.59)
470
9.5. Определение оптимального числа ступеней ракеты
доле ПН и коэффициенте конструкции, ракета не сможет превысить эту ско-
рость. Например, используя исходные данные двух предыдущих примеров
Isp = 350 с, Пущ = 0,05, е = 0,15, можно определить, что - 8,743 км/с,
что лишь на 10 % больше, чем Приближение v0T)K к этому предель-
ному значению приведено на рис. 9.7.
Проведенный упрощенный анализ не учитывает все сложности, вызыва-
емые внесением в конструкцию ракеты дополнительных ступеней. В совре-
менной практике число ступеней ракет-носителей редко бывает больше трех,
однако для повышения эффективности и точности выведения КА могут при-
меняться дополнительные разгонные блоки. Наиболее удачными из них мож-
но признать семейство российских разгонных блоков «Фрегат», способных
включаться до полного использования топлива несколько раз в течение 2 сут,
осуществляя выведение КА на целевые орбиты.
9.5. Определение оптимального числа ступеней ракеты
Рассмотрим каждую ступень ракеты-носителя отдельно, т. е. определим
удельный импульс Isp. и коэффициент конструкции £, каждой ступени, а за-
тем найдем минимальную массу /V-ступенчатой ракеты-носителя, которая бу-
дет способна вывести ПН /ипн на заданную орбиту со скоростью vor)K. Для
расчета оптимальной массы используем метод множителей Лагранжа.
9.5.1. Использование неопределенных множителей Лагранжа
для поиска экстремумов функций
Рассмотрим двумерную функцию f на плоскости ху. Тогда z = f(x,y) являет-
ся поверхностью, которая может лежать как выше, так и ниже плоскости ху
либо пересекать ее. Если функция f(x,y) в данной точке имеет локальный
максимум или локальный минимум, т. е. экстремум, то такая точка называет-
ся особой либо неподвижной, также и сама функция называется неподвижной
в данной точке.
Для того чтобы функция имела неподвижную точку, в этой точке должно
выполняться равенство
+ = (9’62)
дх ду
где dx.dy — независимые и необязательно равные нулю. Отсюда следует, что
для существования экстремума необходимо, чтобы выполнялось условие
Поскольку — и — определяют фазовые скорости, в соответствии с
дх ду
выражением (9.63) эти скорости равны нулю, отсюда и следует понятие не-
подвижности.
471
Глава 9. Динамика реактивного движения
Пусть g(x, у) = 0 — кривая, лежащая в плоскости ху. Найдем точки на кри-
вой g(x,y) = 0, которые являются неподвижными для f Вместо поиска экстре-
мумов f на всей плоскости ху ограничимся рассмотрением кривой g(x,y) = О,
что накладывает соответствующее ограничение. Поскольку g(x,y) = 0, отсю-
да следует, что дифференциал функции dg = 0 или
^-dx + ^-dy = Q. (9.64)
dx Оу
Если уравнения (9.62) и (9.64) справедливы для некоторой точки, то в ней
dy _ df/dx _ dg/dx
dx df/dy dg/dy’
т. e. можно записать
df/dx df/dy
dg/dx dg/dy
Отсюда следует, что для введенного параметра т| справедливы соотношения
Sg df dg
—+ n—= 0; —4-n—= 0.
dx dx dy dy
Добавляя начальное ограничение g(x,y) = 0, получаем условия, необхо-
димые для того, чтобы функция
Л(х,у,ц) = /(x,y) + ng(x,y) (9.65)
имела экстремум, а именно
— =—+q—= 0;
dx dx dx
^=<+,д=0;
dx dy dy
(9.66)
dh o
~ = g=0-
Коэффициент ц называется неопределенным множителем Лагранжа.
Описываемая процедура может быть обобщена на функции любого числа
переменных.
Обычным способом можно определить, является ли экстремум макси-
мумом или минимумом, путем проверки знака второго дифференциала cPh
функции h из уравнения (9.65):
,2, d2h , 2 „ d2h J J d2h J 2
d h = —7dx +2———dxdy——jdy2. (9.67)
dx dxdy dy
472
9.5. Определение оптимального числа ступеней ракеты
Если d2h < 0 в точке экстремума для всех dx и dy, удовлетворяющих на-
ложенному ограничению и уравнению (9.64), то экстремум является локаль-
ным максимумом. Аналогично, если d2h > 0, то экстремум является локаль-
ным минимумом.
Пример 9.4
Найдите экстремумы функции г = -х2 -у2 (1) и экстремумы этой же
функции при ограничениях у = 2х + 3 (2).
Решение
1. Для того чтобы найти экстремумы, следует использовать уравне-
ния (9.63). Поскольку dz/dx = -2x и dz/dy = -2у, то неподвижные точки
функции, определяемые из условия Sz/Sx = dz/dy = 0, следующие: х = у = 0.
При этом z = 0. В любой другой точке значение z отрицательно (см. рис. 9.8),
т. е. точка экстремума является максимумом.
2. Наложенное в условиях задания ограничение может быть записано
в виде g = у - 2х - 3. Очевидно, что в найденной выше точке g 0. Умножим
ограничение (которое при его выполнении дает значение g = 0) на неопреде-
ленный множитель Лагранжа т] и добавим результат к функции ~(х2 + у2),
тогда
h = -(x2 +у2) + т|(у-2х-3).
Это функция трех переменных х, у и т]. Для того чтобы она имела особую
точку, частные производные по всем трем ее переменным должны быть рав-
ны нулю. Первая частная производная
dh „ „
— = -2х-2т|,
ох
откуда получим, что
X = -1]. (а)
Следующая частная производная
dh „
— = -2у + Т].
Для того чтобы она равнялась нулю, необходимо выполнение условия
(б)
И, наконец, последняя частная производная
dh
= у-2х-3.
473
Глава 9. Динамика реактивного движения
Принимая значение этой производной равным нулю, снова получаем на-
ложенное выше ограничение:
у - 2х - 3 = 0. (в)
Подставляя соотношения (а) и (б) в (в) находим, что т| = 1,2, и из (а) и (б)
следует, что
х = -1,2; у = 0,6. (г)
Это координаты точки на линии у = 2х + 3, которая для функции z =
= -х2 - у2 является неподвижной. Используя (г), находим, что z = -1,8 в этой
точке.
Рис. 9.8. Расположение точки на прямой линии у = 2х + 3, при которой
поверхность z = - х2 - у2 находится ближе всего к плоскости ху
Вычисленный экстремум является максимумом (с учетом, что неболь-
шие отрицательные числа превышают большие отрицательные), в котором
поверхность z = -х2 - у2 ближе всего подходит к прямой у = 2х + 3 в направ-
лении оси z (рис. 9.8). Отметим, что в данном случае уравнение (9.67) дает
d2h =-2dx2-2dy\ т. е. отрицательное значение, что подтверждает вывод
о том, что точка экстремума является максимумом.
9.5.2. Оптимизация числа ступеней ракеты-носителя
Вернемся теперь к задаче определения оптимального числа ступеней. Обо-
значим массу z-й ступени Масса ступени будет определяться сумма сухой
массы ступени и массы топлива этой ступени:
mi =тЕ, +тр,- (9.68)
474
9.5. Определение оптимального числа ступеней ракеты
Сухая масса z-й ступени может быть определена через массу ступени,
и ее коэффициент конструкции £,:
тЕ, = £i (mEi + тР,) = £imi • (9.69)
Общую массу ракеты без учета ПН обозначим Л/, она является суммой
масс всех ступеней:
N
М = (9.70)
/=1
Тогда, учитывая, что полная масса равна т0, запишем
т0 = М+ отпн. (9.71)
Цель дальнейших действий — минимизировать т0.
Для простоты сначала рассмотрим двухступенчатую ракету, а затем обоб-
щим результаты на N ступеней. Для двухступенчатой ракеты т0 = + т2 + »»пн’
поэтому можно записать
_ ^i+w2 + wnH т2+тт
/ппн w2+wnH wnH
Массовое отношение первой ступени
/иП1 т, + т7 + тпн
пх =-------21----= —1-----2----2=-. (9.73)
тЕ\ + т2 + ОТПН £1W1 + т2 + wnH
Здесь было использовано уравнение (9.69).
Массовое отношение второй ступени
„2 =----^02---= .W.2 t.WnH. (9.74)
Е2/и2+етПн £2"22+"2пн
Из уравнений (9.73) и (9.74) можно определить массу ступени через ее
массовое отношение: -1 т2= >”пн; 1 - П,Е-> 2 (9.75) Пу -1 / X т1 = . (т2+тпн)- 1-И1Е1
Теперь проведем тождественные преобразования, т. е.
1
тх +т2 + wnH _ 1-Е] ml+m2 + mTai е1т1+т2 + тПН
т2 + ^ПН 1 “ е1 W2 + 7ИПН + (е1ЛИ1 - £]№])1
+ wnH
475
Глава 9. Динамика реактивного движения
Здесь правые части остались без изменений. Выполняя умножение, по-
лучаем
1
тх + т2 + wnH _ (1_ ei )(wi + т2 + шпн ) £i^i + w2 + wnH _
w2 + wnH гхтх + m2 + - Ej +m2+ wnH )1
Ej/nj +m2 + mnH
л_е \ тх + т2+тт 7 EjW] + т2 + wnH
l+/»2+WnH р W!+ffl2+WnH С1
гхт ! 4- т2 4- тппн +т2+ wnH
И, наконец, с помощью уравнения (9.73) приходим к выражению
mi + m2+mnii (l-£i)»! 76)
т2 + wnH 1 “ е1л1
Аналогично,
w2+wnH - С1"8;)»! (9 77)
Шпн 1-е2я2
Поэтому уравнение (9.72) можно записать, используя массовые отноше-
ния ступеней вместо их масс, в виде
= (9 78)
1 — £|/7| 1 62^2
Взяв от этого выражения натуральный логарифм, получим
т0 , (1-£i)«i , (1-е2)и2
In—— = 1п------ + 1п------
WnH 1-61«1 1-62«2
Раскрывая логарифмы справа, имеем
In —= |^ln(l — £j ) + In Л] -1п(1-£1п1)] + [1п(1-е2) + 1пи2 - 1п(1 - £2П2 )]. (9.79)
WnH
Отметим, что для фиксированной массы ПН тт ln(w0/znnH) является
монотонно возрастающей функцией w0, т. е.
-iLLikJ-x).
mnti) т0
Следовательно, ln(zn0/wnH) имеет экстремум, когда т0 также экстре-
мальна.
476
9.5. Определение оптимального числа ступеней ракеты
Из уравнений (9.21) и (9.39) получим скорость при отсечке двигателей
второй ступени двухступенчатой ракеты
vo™ = + vonK2 = q In n} + c2 In n2. (9.80)
Это означает, что при заданном значении накладывается следующее
ограничение:
-ci to«1 -с2 = °- (9-81)
Вводя неопределенный множитель Лагранжа т] и объединяя уравнения
(9.79) и (9.81), получаем
h = [In (1 - Е]) + In И] - In (1 - EjH] )] 4- [in (1 -E2) + ln«2_to(l - Е2«2 )] +
( 1 1 \ (9.82)
+TlO'arac-c1ton1-c2lnn2).
Теперь следует найти такие значения и п2, для которых h неподвижна
и при этом будет доставляться экстремум ln(m0/mnH) (и, следовательно, ш0)
для заданной скорости v^. Если dh/dnx =dh/dn2 -dh/dx\ = Q, h неподвижна,
поэтому можно записать следующую систему уравнений:
-т|—= 0;
«I
«2
dh 1 е,
— = — +-----1—
дп} nt 1-Ejq
dh 1 s2
---—---1-------
дп2 п2 1 - e2w2
5Й 1 1 л
— = -q to Л]-с2 In и2 = 0.
Из этих трех уравнений можно вывести зависимости
С]Т|-1 с2гу — 1
«1 = _LJ---; «2 - ---'>
qEiH c2e2ti
votx =ci toq+с2 lnw2.
(9.83)
Подставляя и п2 в выражение для v^, получаем
( qn-0
qln —=-!—
I cieiTl )
+ c2ln
= V
котж*
(9.84)
< с2е2т| ;
Это уравнение можно решить итерационно относительно т), после чего
т] следует подставить в уравнения (9.83) для получения массовых отноше-
ний ступеней пх и п2. Далее эти массовые отношения используются в уравне-
нии (9.75) вместе с предполагаемыми коэффициентами конструкции, скоро-
стями истечения и массой ПН для получения значений полной массы каждой
ступени.
Теперь можно обобщить процедуру оптимизации на TV-ступенчатую раке-
ту, для которой уравнение (9.82) можно записать в виде
477
Глава 9. Динамика реактивного движения
N < N \
й = Х[1п(1-е/) + 1п«1-1п(1-ел)]-П . (9.85)
Z=1 \ Z—1 )
Отметим, что при расчетах были известны требуемая скорость v^, масса
ПН гаПн> а также для каждой ступени ракеты коэффициент конструкции £,
и скорость истечения газов с, (удельный импульс).
Первым шагом является определение множителя Лагранжа т] из уравне-
ния (9.84), которое для TV-ступенчатой ракеты имеет вид
V 1 ~ 1 —
и
Раскрывая логарифм, запишем
tf N N
2л - 0 -111 п2л - 2л 1п<л=v0™-
/=1 Z=1 Z=1
(9.86)
После решения этого уравнения итерационно относительно т| можно ис-
пользовать полученный результат для расчета оптимального массового соот-
ношения для каждой ступени (см. уравнение 9.83), а именно
/ = 1,2,...,#, (9.87)
С,.Е,Т1
причем каждый из и, должен быть больше единицы из элементарных сооб-
ражений физической реализуемости.
Далее из уравнения (9.75) определяют массы каждой ступени, начиная
с последней, N-й, и далее вниз, вплоть до первой по следующим формулам:
-----\mN +™пн);
V~nN-\^N-\
П ____1
™N-2 = -----(Wtf-1 + mN + WnH ) i (9-88)
l-«W-2£y-2
И. -1 I ч
m\ =—!----(т1+ш2 + ... + тпн).
1-И181
Найдя полную массу каждой ступени, можно определить сухую массу
этой ступени:
"Ц = £,ти, (9.89)
478
9.5. Определение оптимального числа ступеней ракеты
и массу топлива для этой же ступени:
тР, = "Ц-тЕ..
Для функции h из уравнения (9.85) можно показать, что
б2Л Л • • 1 .г/. А
onflrij
Отсюда следует, что второй дифференциал функции h
N N а2ъ N а2ъ
d2h = yyJ2Ldndn
где, как следует из уравнения (9.85),
d2h _ с,ц(е,и, -1)2 + 2еЛ ~1
(e,«,-l)\2
(9.90)
(9-91)
(9.92)
Для того чтобы функция h имела минимум для массовых соотношений и,,
полученных из уравнения (9.87), должно выполняться неравенство cPh > 0.
Уравнения (9.91) и (9.92) показывают, что это будет иметь место, если числи-
тель в (9.92) будет положительным, т. е.
с/г^Е,^ -1)2 + 2е,и, -1 > 0, i = l,..., N.
(9.93)
Пример 9.5
Найдите оптимальную массу трехступенчатой ракеты-носителя, которая
требуется, чтобы вывести на околоземную орбиту 5000 кг ПН со скоростью
10 км/с. Для каждой ступени ракеты известны ее параметры.
Ступень 1: ISP} = 400 с (сх = 3,924 км/с), Е] = 0,10;
Ступень 2: ISP2 = 350 с (с2 = 3,434 км/с), е2 = 0,15;
Ступень 3: 1^ = 300 с (с3 = 2,943 км/с), е3 = 0,20.
Решение
Подставляя эти данные в уравнение (9.86), получаем
3,9241п(3,924т|-1) + 3,4341п(3,434ц-1) + 2,9431п(2,943ц-1)-
- 10,301пт| + 7,5089 = 10.
Как можно проверить путем подстановки, итерационное решение это-
го уравнения дает значение множителя Лагранжа ц = 0,4668. Подставив ц
в уравнения (9.87), вычислим оптимальные отношения масс:
= 4,541; п2 = 2,507; п3 = 1,361.
479
Глава 9. Динамика реактивного движения
Для расчета масс ступеней необходимо использовать уравнения (9.88), из
которых получаем
тх = 165 700 кг; т2 = 18 070 кг; т3 = 2477 кг.
С помощью уравнений (9.89) и (9.90) определим сухие массы и массы
топлива каждой ступени:
тЕ^ = 16 570 кг; тЕ2 = 2710 кг; тЕ} = 495,4 кг;
mpi = 149 100 кг; тр^ = 15 360 кг; трг = 1982 кг.
Коэффициенты ПН для каждой ступени:
Ад = + W*3+ WnH =0,1542;
W1
Х2 == о,4139;
Ш2
Х3=.^пн =2,018.
т3
Общая масса ракеты
m0 = тх + т2 + т3 + = 191 200 (кг)
и общая доля ПН
лпн = = о,О262.
пн w0 191200
Наконец, чтобы убедиться, что полученное решение является локальным
минимумом, следует проверить выполнение условий (9.93), в результате по-
лучим
-I)2 + 2£1Х1 -1 = 0,4541;
T]c2(e2«2 -1)2 + 2е2А,2 -1 = 0,3761;
т]с3(е3и3 -1)2 + 2е3Х3 -1 = 0,2721.
Для каждой ступени расчет дал положительное число, т. е. действительно
найден локальный минимум функции в уравнении (9.85).
Основные соотношения
Основные соотношения
Уравнения движения ракеты в поле гравитационных сил
Т D
dv
dt т
----gsiny;
dy
V^ = V-
т
у2
RE + h
(9.6)
cosy;
(9-7)
dx Rp dh .
— = —-—vcosy; — = vsiny.
dt Re +h dt
(9-8)
Уравнение тяги
Т = тес.
Удельный импульс тяги (удельная тяга)
I
sp ^еёо’
(9-19)
(9.20)
где g0 — ускорение свободного падения на уровне моря. Единица удельного
импульса тяги секунда.
Эффективная скорость истечения
с = во-
время работы двигателя
л. ^spSf) / х ^spSo .
Т v 7 Т < »i0 J
(9.21)
(9.23)
где m0, — масса ракеты в начале и конце отжига соответственно.
Процедура оптимизации массовых характеристик N-ступенчатой
ракеты
Функционал
N ( N '
h=Z [ta 0 - е>)+111 ni ~1110 w)] - 'п - Z ci111 ni
(=1 < i=i 7
(9.85)
Известны: требуемая скорость vonK, масса ПН «пн» а также для каждой
ступени ракеты коэффициент конструкции Е( и скорость истечения газов с,
(удельный импульс).
1. Определяем множитель Лагранжа Г] из уравнения
N
/=1
с,П-1
VOT3K'
481
Глава 9. Динамика реактивного движения
Раскрывая логарифм, записываем
N N N
= v<mK- (9.86)
/=1 i=\ i=\
2. После решения этого уравнения итерационно относительно т| можно
использовать полученный результат для расчета оптимального массового со-
отношения для каждой ступени:
i = (9.87)
c,e,Ti
причем каждое значение из ni должно быть больше единицы из элементарных
соображений физической реализуемости.
3. Определяем массы каждой ступени, начиная с последней, TV-й, и далее
вниз, вплоть до первой по следующим формулам:
mN-\ = —\mN+тпн);
mN-2 =; 1- " (ww-i + mN + wnH); (9.88)
1 “ nN-2&N-2
(w1+w2+... + wnH).
Wl = —i-----
1-И1Б1
4. После определения полной массы каждой ступени можно определить
сухую массу этой ступени
да£( = £,от, (9.89)
и массу топлива для этой же ступени
(9.90)
= т,-тЕ,.
5. Проверка оптимальности полученного решения. Для функции Л из
уравнения (9.85) можно показать, что
/^ = 0, =
ОПрП]
Отсюда следует, что второй дифференциал функции h
N N д2. N я2.
(W1)
482
Вопросы и задачи
где, как следует из уравнения (9.85),
d2h _ c,n(£A -I)2 +2e,»f -1
дпГ (еЛ-1)\2
(9.92)
Для того чтобы функция h имела минимум для массовых соотношений и;,
полученных из уравнения (9.87), должно выполняться неравенство cPh > 0.
Уравнения (9.91) и (9.92) показывают, что это будет иметь место, если числи-
тель в (9.92) будет положительным, т. е.
с,т](е,и(-1)2+2£;и,-1 >0, i = (9.93)
Вопросы и задачи
1. Какие дополнительные силы следует учитывать при расчете выведения
космического аппарата при учете движения Земли?
2. При каком удельном импульсе топлива возможно выведение космиче-
ского аппарата на околоземную орбиту?
3. В чем заключается особенность использования полутораступенчатой
конструкции ракеты-носителя?
4. Найдите экстремум функции z = х2 + у2 + 2ху при ограничениях
х2-2х + у2=0.
5. Двухступенчатая ракета имеет следующие характеристики.
Первая ступень: два ускорителя, каждый массой 525 т, из них 450 т со-
ставляет топливо, Isp = 290 с.
Вторая ступень: два ускорителя сухой массой 30 т, массой топлива 600 т,
Ар = 450 с.
Рассчитайте, какую максимальную полезную нагрузку сможет вывести
данная ракета на орбиту 300 км при запуске с космодрома Восточный, если
потери на преодоление силы тяжести и сопротивление атмосферы составят
3 км/с?
Глава 10
СПУСК КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В АТМОСФЕРЕ
Основные положения. — Полет на внеатмосферном участ-
ке. — Атмосфера Земли. — Полные уравнения движения
спускаемого аппарата в инерциальной системе коорди-
нат. — Расчетные уравнения продольного движения спуска-
емого аппарата в атмосфере. — Режим установившегося
спуска. — Участок аэродинамического торможения. — Рас-
чет продольной перегрузки. — Примеры численного модели-
рования. — Основные соотношения. — Вопросы и задачи
В данной главе рассмотрены основные задачи, решаемые при реализации
спуска КА в атмосфере Земли.
Спуск в атмосфере является заключительным этапом космической экс-
педиции, причем как пилотируемой, так и автоматической, подразумевающей
возвращение на Землю. Наиболее ответственным является спуск в атмосфере
пилотируемых КА. Можно разбить этап спуска КА на два участка. На пер-
вом участке осуществляется выбор траектории перелета с исходной орбиты
КА до верхней границы атмосферы, чтобы обеспечить требуемый угол входа
в атмосферу. От значения угла зависят как продолжительность спуска, так
и максимальная перегрузка во время спуска собственно в атмосфере Земли на
втором участке. Перегрузка является критическим параметром при возвраще-
нии пилотируемых экспедиций. В случае предполагаемой посадки на Землю
КА, возвращающегося от планет Солнечной системы или Луны, спуск может
осуществляться с формированием промежуточной околоземной орбиты по-
сле первого прохождения КА через атмосферу Земли и торможения в ней.
После формирования такой орбиты проводится окончательное гашение ско-
рости КА в атмосфере Земли и спуск в плотных слоях атмосферы.
Спуск в плотных слоях атмосферы определяется аэродинамическими па-
раметрами спускаемого аппарата (СА). В зависимости от конструкционных
особенностей СА различают баллистический, скользящий и планирующий
спуски. Предполагается, что параметрами СА управлять невозможно.
10.1. Основные положения
Спуск в атмосфере Земли осуществляется при возвращении на Землю как
пилотируемых, так и автоматических КА. При этом основной задачей осу-
ществления спуска является гашение за счет торможения в атмосфере Земли
излишней кинетической энергии КА, препятствующей его мягкой посадке.
В процессе этого гашения происходит выделение значительного количества
484
10.1. Основные положения
теплоты, а сам СА и находящийся в нем экипаж (или оборудование) испы-
тывают существенные перегрузки вследствие замедления скорости его дви-
жения. Выделяемая тепловая энергия рассеивается в окружающей среде, но
некоторая ее часть поглощается конструкцией СА, что обусловливает необ-
ходимость разработки соответствующих конструкций, обеспечивающих нор-
мальный тепловой режим внутри него.
В зависимости от скорости входа в атмосферу можно выделить три вида
спуска: спуск с орбиты ИСЗ (круговая скорость, близкая к первой космиче-
ской скорости), спуск с орбиты возвращения от Луны (со скоростью, пример-
но равной второй космической или параболической) и спуск при возвраще-
нии от планет Солнечной системы (с гиперболической скоростью).
В общем случае следует различать две составные части проблемы спу-
ска КА:
подход к границе плотных слоев атмосферы;
движение в плотных слоях атмосферы, включая посадку.
В результате решения первой задачи должны быть прежде всего полу-
чены необходимые начальные условия входа КА в атмосферу, которые обе-
спечиваются точностью прогноза и коррекции траектории спуска.
К начальным условиям входа относятся: скорость входа vBX, угол на-
клона вектора скорости к местному горизонту на границе условной атмо-
сферы 0ВХ, координаты точки входа и азимут вектора скорости на границе
условной атмосферы. В качестве границы плотных слоев атмосферы при-
нимается такое значение высоты над поверхностью планеты, при котором
аэродинамические силы становятся соизмеримыми с силой притяжения.
Для упрощения исследований обычно принимают, что во всех случаях так
называемая условная граница атмосферы постоянна и определяется некото-
рой высотой над поверхностью йатм. Так, для Земли Латм ~ 100 км. При этом
допущении погрешности решения в реальном полете оказываются весьма
незначительными.
Существенным параметром, определяющим характер спуска, является
угол входа в атмосферу 0ВХ, который совпадает с введенным ранее траектор-
ным углом у, т. е. углом между местным горизонтом и вектором скорости
в данной точке. При больших скоростях и малых углах входа в атмосферу
может произойти так называемое рикошетирование, когда СА вместо того,
чтобы за счет сопротивления атмосферы потерять часть своей кинетической
энергии, наоборот приобретает дополнительный импульс скорости и как бы
«отскакивает» от атмосферы.
Другим нежелательным вариантом можно считать вход СА в атмосфе-
ру с большим углом. В этом случае сила сопротивления атмосферы вызовет
существенные перегрузки и очень высокое тепловыделение, особенно недо-
пустимые при реализации пилотируемых миссий и осуществлении межпла-
нетных перелетов.
При осуществлении возвращения на Землю после посещения планет Сол-
нечной системы обязательным требованием является надежная посадка СА
в заданном, специально выбранном районе земной поверхности. При анализе
485
Глава 10. Спуск космического аппарата в атмосфере
таких задач спуска используется понятие «ширина коридора входа» либо «ко-
ридор входа».
Коридор входа обычно характеризуется разностью предельных углов
входа
А9вх = 9вх max “ 9вх min- С10-1)
Этот диапазон определяется допустимыми перегрузками, тепловым ре-
жимом для обеспечения безопасного спуска КА и точностью посадки.
На рис. 10.1 представлена схема определения коридора входа в атмо-
сферу. Под шириной коридора входа для межпланетных КА понимается диа-
пазон высот условного перицентра zp (или углов входа 0ВХ на высоте Латм),
в котором возможен безопасный спуск КА. Высота условного перицентра
представляет собой то минимальное расстояние от планеты, которое имела
бы траектория возвращения, если бы атмосфера не влияла на движение КА.
Рис. 10.1. Схема определения коридора входа в атмосферу:
1,2 — траектории движения КА с учетом и без учета сопротивления атмосфе-
ры; 3 — линии местного горизонта
Между высотой условного перицентра zp и углом входа на границе ус-
ловной атмосферы 0ВХ для каждой скорости входа существует однозначное
соответствие:
=0(^-1)-^, (10.2)
где e = 71-t,x(2-t„)coS20,„,
ц
Границы коридора входа определяются максимальным и минимальным
значениями высоты условного перицентра, а его ширина — разностью этих
486
10.1. Основные положения
высот. Отметим, что даже теоретические коридоры входа различаются для
разных типов КА. Реальные коридоры входа существенно меньше теоретиче-
ских и зависят от различных параметров движения КА и атмосферы.
Рис. 10.2. Зависимость zp(0BX) для некоторых значений скоростей
входа в атмосферу Земли
На рис. 10.2 приведены зависимости zp(0BX) для диапазона начальных
скоростей vBX = 8...22 км/с при входе КА в атмосферу Земли, на рис. 10.3 —
зависимость времени полета КА от точки входа в атмосферу до условного
перицентра на высоте 4 км от скорости в перицентре без учета сопротивления
атмосферы. _________________________
Верхняя граница характеризуется
максимальной высотой условного пе-
рицентра траектории возвращения, при
входе по которой обеспечивается выпол-
нение поставленных условий по захвату
КА атмосферой. Так, например, при вхо-
де КА со скоростями, большими первой
космической, используется схема спуска,
при которой после непродолжительного
пролета в атмосфере Земли КА выходит
за ее пределы. В этом случае обычно сле-
дует ограничить высоту подъема КА по-
сле вылета его из атмосферы (или время
полета после вылета), дальность полета
и т. д. Обычно считается, что КА «за-
хвачен» атмосферой, если после первого
прохождения плотных слоев атмосфе-
ры он удаляется от Земли не более чем
на 300...400 км. При входе в атмосферу
Земли по гиперболическим траекториям
vp9 км/с
Рис. 10.3. Зависимость времени по-
лета КА от точки входа в атмосферу
до условного перицентра на высоте
4 км от скорости в перицентре (без
учета сопротивления атмосферы)
487
Глава 10. Спуск космического аппарата в атмосфере
(vBX > 11,2 км/с), например, при полетах и возвращении КА от Марса или Ве-
неры, в некоторых случаях целесообразно использовать схему спуска, ког-
да при движении в атмосфере корабль гасит скорость до значения, большего
первой космической скорости, но меньшего параболической скорости, затем
выходит на вытянутую эллиптическую орбиту и уже с нее осуществляет по-
садку. В этом случае высота, достигаемая КА после вылета и определяющая
границу захвата, может исчисляться десятками тысяч километров.
Нижняя граница коридора входа КА, как правило, определяется допусти-
мым перегрузочным режимом или минимальной высотой орбиты.
10.2. Полет на внеатмосферном участке
В качестве первого упрощения будем рассматривать полет КА на внеатмо-
сферном участке по кеплеровым траекториям, и прежде всего эллиптическим
и круговым орбитам.
На рис. 10.4 представлена схема перелета КА с исходной околоземной
орбиты до точки входа в атмосферу Земли. Начальная орбита условно счи-
тается круговой. В соответствии со схемой углы, являющиеся истинными
Y
Рис. 10.4. Схема полета КА на внеатмосферном участке:
I — исходная орбита; II — граница атмосферы; III — орбита перелета; 1, Г —
точки возможного выхода на орбиту перелета; 2 — точка входа в атмосферу
488
10.2. Полет на внеатмосферном участке
аномалиями точки схода с исходной орбиты и входа в атмосферу f>2 Для
орбиты перелета, отсчитываются по часовой стрелке, т. е. имеют отрицатель-
ные значения. Также является отрицательным и траекторный угол, равный
углу входа в атмосферу 0ВХ в точке 2.
Алгоритм 10.1. Расчет орбиты перелета до точки входа в атмосферу
1. Траекторный угол (см. рис. 10.4) в точке 2 для орбиты перелета (угол
входа в атмосферу)
евх = arctg
' esinf>2
kecosd2 +1
(10.3)
7
где е — эксцентриситет орбиты перелета.
Вследствие малости этого угла, а также с учетом, что для эллиптических
орбит е < 1, для упрощения последующих вычислений будем считать, что
_ esin32
вх ecos$2+l
(Ю.4)
Отсюда для принятого значения эксцентриситета орбиты перелета мож-
но найти истинную аномалию точки входа в атмосферу для заданного угла
входа:
Э2 = —zlog
-0вхе + + 02х (е2 - 1)ё*
ч (Овх+О*2
32eR, i2=-1. (10.5)
Дополнительное условие указывает, что значение истинной аномалии
должно быть вещественным. Уравнение (10.5) может не иметь вещественных
решений либо иметь два решения, из которых далее следует выбрать такое,
при котором рассчитываемая орбита перелета будет иметь точку пересечения
с исходной орбитой, что определяется радиусом ее апогея. Выполнение этого
условия следует проверить после расчета углового момента орбиты перелета
(рис. 10.5).
„ „ _ h
2. Используя уравнение орбиты г = —------г, можно определить
p(ecos&2 +1)
значение углового момента орбиты перелета:
h = ^pr(ecos&2 +1). (10.6)
3. Поскольку возможны два значения истинной аномалии, из уравнения
(10.6) также следует два возможных значения величины углового момента
орбиты перелета. Из этих значений необходимо выбрать такое, чтобы для
него выполнялось условие
Л2
—;>г>-
ц(1-е)
489
Глава 10. Спуск космического аппарата в атмосфере
Рис. 10.5. Зависимость истинной аномалии точки входа КА
в атмосферу от эксцентриситета орбиты перелета и угла входа
в атмосферу (в нижней части графика вещественные решения
отсутствуют)
Если исходная орбита не является круговой, то условие (10.7) следует
сформулировать в виде
h2
г =--------> г .
а ц(1-е) °'
(10.8)
где г — радиус апогея исходной орбиты.
4. Подставляя полученные значения в уравнение орбиты, можно полу-
чить истинную аномалию точки схода с исходной орбиты:
dj = 2лС] ± arcsec
ещ
(Ю.9)
q е Z.
Выражение (10.9) учитывает, что при наличии решения уравнений (10.5)
и (10.6) имеется две точки пересечения орбиты перелета с исходной орбитой
(см. рис. 10.4, поз. 7 и 7'). Отметим, что уравнение (10.9) справедливо и для
эллиптических исходных орбит.
490
10.2. Полет на внеатмосферном участке
5. Угловая дальность перелета определяется как разность истинных ано-
малий точек 1 (7') и 2 с учетом их знаков:
и = Ь2-Ьх. (10.10)
6. Для полученных параметров орбиты перелета рассчитаем потребный
импульс скорости. Предполагая, что исходная орбита круговая, получаем
LL
Avr = —esin3j;
h
iv’=^"fc(eM>s31+
= ^Av2+Av2.
(10.11)
Для эллиптической исходной орбиты
Л М • а М • а
Av =—e.sintk esin&j
r hx 1 11 h 1
(10.11 a)
Avz = ^Av2+Av2.
7. Время полета от точки схода с исходной орбиты до точки входа в ат-
мосферу определяется как разность времен полета до точек от перицентра
орбиты
'пер = '(*>2)-'Ш (Ю.12)
где время полета от перицентра до точки определяется по формуле
h3 esin 2 arctg
,(3)=-L—s------
2 dil
------Itg— -2 arctg
-е2Г
2 9
----1 tg —
+ 1 2)
(10.13)
8. Скорость входа в атмосферу
Ц • а
Цнг =— esin$2;
ВЛ Г 7 Z 7
п
vBxW=^(ecos02+i);
VBX ~ \/VBX Г "* VBX Я •
(10.14)
491
Глава 10. Спуск космического аппарата в атмосфере
0,04 0,06 0,08 0,10
е
д
Рис. 10.6. Характеристики траекторий
перелета с 400-километровой орбиты
ИСЗ к границе атмосферы:
а — зависимость суммарного потребного
импульса скорости от эксцентриситета тра-
ектории перелета и угла входа в атмосферу;
б — зависимость времени перелета от экс-
центриситета траектории перелета и угло-
вой дальности перелета; в — зависимость
суммарного потребного импульса скорости
от угловой дальности перелета и угла вхо-
да в атмосферу; г — зависимость скорости
входа в атмосферу от эксцентриситета тра-
ектории перелета и угла входа в атмосферу;
д — зависимость угловой дальности пере-
лета от эксцентриситета траектории пере-
лета и угла входа в атмосферу
492
10.2. Полет на внеатмосферном участке
Ниже приведены некоторые дополнительные комментарии к алгорит-
му 10.1.
1. Алгоритм позволяет обеспечить требуемый угол входа в атмосферу
спускаемого КА.
2. Априори задаваемое значение эксцентриситета орбиты перелета мо-
жет быть выбрано из приведенных ниже графиков и фактически влияет на
угловую дальность перелета и его продолжительность. В совокупности это
приводит также к различным значениям потребного импульса скорости
маневра.
3. Предполагается, что перелет происходит в плоскости исходной орбиты.
4. Несмотря на то что все формулы для вычисления необходимых зна-
чений параметров приведены в аналитической форме, при вычислениях
на компьютере предпочтительно выражение (10.5) реализовать в виде ре-
шения нелинейного уравнения с выбором вещественных корней (при их
наличии).
5. Алгоритм может учитывать требования к угловому положению точки
входа в атмосферу за счет поворота линии апсид орбиты перелета на необхо-
димый угол (Ор.
В качестве иллюстрации результатов работы алгоритма приведены гра-
фики (рис. 10.6), характеризующие возможные траектории перехода с 400-ки-
лометровой орбиты ИСЗ в точку входа в атмосферу, расположенную на
100-километровой высоте для разных параметров этих траекторий.
Пример 10.1
Рассчитайте параметры орбиты перелета для последующего спуска КА
в атмосферу Земли, если исходная круговая орбита имеет высоту 400 км,
требуемый угол входа в атмосферу 0ВХ = -3,95° на высоте йатм = 120 км.
Решение
1. Переведем угол входа в атмосферу в радианы: 0ВХ = -0,069 рад.
2. В соответствии с приведенным выше алгоритмом необходимо задать
эксцентриситет орбиты перелета. Анализ графиков на рис. 10.6 показывает,
что минимальные потребные импульсы скорости достигаются при минималь-
ных значениях эксцентриситетов орбиты перелета. Примем е = 0,069, это ми-
нимальное значение эксцентриситета, при котором существуют действитель-
ные решения (см. рис. 10.5).
3. По формуле (10.5) определяем значения истинной аномалии, соответ-
ствующей известным параметрам орбиты перелета:
$2 =-1,709 рад;
02 =-1,571 рад.
4. Вычисляем значения углового момента орбиты по формуле (10.6):
hx = 50 651,3 км2/с;
h2 = 50 893,1 км2/с
493
Глава 10. Спуск космического аппарата в атмосфере
и по формуле (10.7) радиусы апогеев для полученных орбит:
rj =6913,447 км;
г2 = 6979,592 км.
Очевидно, что в данном случае как первое, так и второе значения угло-
вого момента соответствуют возможной орбите перелета, так как радиус ис-
ходной орбиты Tj = 6378 + 400 = 6778 км. Далее определим параметры для
двух возможных орбит перелета.
5. По формулам (10.9) и (10.10) рассчитаем угловое положение точки
схода с исходной орбиты и угловую величину перелета:
а!’2
= ±arcsec
ePl
Л2 "Pi,
= ±2,3896 рад;
= э'2-э| =0,681 рад; к2 = 9J-9? = 2,1849 рад;
Э«
= ± arcsec
ePi
Л2 "Pi
= ±2,2127 рад;
и\ ~ ^2 “ ~ 0,504 рад;
м2=»2_^= 2,3619 рад.
6. Соответствующие вычисленным истинным аномалиям возможные
точки схода с орбиты расположены симметрично относительно линии апсид,
поэтому потребные импульсы скорости также будут симметричны для этих
точек. По формулам (10.11) найдем
Av* = —esin 3] = ±0,3709 км/с;
К
Av*=J—-—(ecos31+l) = 0,1957 км/с;
Vi \
Ду*. =0,4194 км/с;
Ду2 = —еsin=±0,4329 км/с;
*2
Ду2 = /———(ecos3j +1) = 0,1601 км/с;
Vi *2
Ду^ =0,4615 км/с.
494
10.3. Атмосфера Земли
7. По формулам (10.12) и (10.13) рассчитаем время полета от точки схода
с орбиты до точки входа в атмосферу:
^пер,1 = 593,7 с; ^пер,1 = 3182,0 с;
^ер,2 = 440,9 с; 4р,2 = 3066,5 с.
8. Скорости входа в атмосферу не зависят от точки начала перелета
и определяются только конечной точкой и геометрией полученных орбит по
формулам (10.14):
vbx 1 = 7,888199 км/с; vBX 2 = 7,850732 км/с.
DA ,17 7 ХЭЛ 7
10.3 . Атмосфера Земли
Для правильного расчета движения СА в атмосфере Земли прежде всего не-
обходимо знать распределение ее плотности по высоте р(Л), которое в общем
случае может иметь некоторые отклонения от стандартных значений средне-
го состояния. При расчетах обычно используется экспоненциальная модель
изменения плотности по высоте
р(Л) = рое ₽Л,
(10.15)
где р0 — среднее значение плотности атмосферы у поверхности Земли; 0 —
значение градиента плотности; h — высота над поверхностью.
Рис. 10.7. Аппроксимирующее (7) и истинное (2) значения плотно-
сти атмосферы Земли как функция высоты над уровнем моря
495
Глава 10. Спуск космического аппарата в атмосфере
Используя стандартную модель атмосферы, по значениям плотности на
разных высотах после оптимизации параметров, например по интегральному
критерию, можно получить следующую экспоненциальную зависимость для
плотности атмосферы:
р£.(Л) = 1,3971^-0’00013483А\
(10.16)
На рис. 10.7 представлены графики истинного и рассчитанного по фор-
муле (10.16) значения плотности атмосферы Земли для разных высот.
10.4 . Полные уравнения движения спускаемого аппарата
в инерциальной системе координат
Вид дифференциальных уравнений движения СА зависит от выбранной си-
стемы координат и от состава учитываемых сил, действующих на него. Мож-
но записать два наиболее распространенных варианта уравнений движения
центра масс СА в проекциях на оси координат.
В первом случае (для описания спуска в атмосфере Земли) используется
ГЭСК XYZ, во втором — связанная со спускаемым КА скоростная система
координат.
Предполагается, что на С А действуют следующие силы:
сила тяжести G;
аэродинамическая сила Rfl;
тяга тормозной двигательной установки (ТДУ) Т (или равнодействующая
активных сил);
суммарная сила притяжения Солнца, Луны и планет FcyMM.
Таким образом, равнодействующая сил может быть записана в виде
F = G + Ra + FcyMM + Т. (10.17)
Обычно при расчетах траекторий спуска суммарная сила притяжения
удаленных небесных тел FcyMM не учитывается вследствие ее малости.
С учетом уравнения (10.17) представим соответствующие составляющие
в виде проекций на оси инерциальной системы координат.
1. Составляющие силы тяжести запишем с учетом нецентральное™ поля
притяжения: Ql = —+ 1 . 2 + &Х ’ т г г —=-4-+^; о°18) т г г - = - — - + g7 т г г
где г — значение радиуса-вектора положения спускаемого КА; член g1, учи-
тывающий нецентральность поля притяжения,
496
10.4. Полные уравнения движения СА в инерциальной системе координат
5Z^ — г2
g1 = Ei--s; £j = 0,2635 • 1026 м5/с2.
г
2. Составляющие аэродинамической силы:
^ Х_ _ ру2 cos у + sin у) _ g^° руу^,;
— = pv2 (д2 cosy + Z>2 sin у) - pwy;
m2 2
— = ^g-y^° р v2 (а3 cos у + Z>3 sin у) - Нх£о р
т 2 2
(10.19)
Здесь слагаемые представляют собой составляющие ускорений, создава-
емых подъемными силами и силами лобового сопротивления. Коэффициенты
аь..., Ь3 являются направляющими косинусами осей, относительно которых от-
С S
считывается угол крена у; К — аэродинамическое качество СА; ах = * —
G
баллистический параметр; G — вес СА; Sm — площадь миделя СА; Сх —
коэффициент силы лобового сопротивления СА; Су = КСХ — коэффициент
аэродинамической подъемной силы СА.
3. Составляющие ускорений, порождаемых силой тяги ТДУ:
Т;=^-, т*=^. (Ю.20)
т т т
Дифференциальные уравнения движения в проекциях на оси инерциаль-
ной системы координат можно записать согласно в соответствии с уравнени-
ями (10.17)-(10.20) в виде
ц X 5Z2 -г2 X nxg0 Kcxg0 2 / , . \
х = —у— + ei--ё--------+ <°pv («1COSY +Ьsmу) + Tx;
г г г г 2 2
Y = --у- + Ej 5Z Г - - ^^-pwY + К°*8° pv2 (a2 cosy + b2 siny) + TY;
r r r r 2 2
~ ц Z 5Z2-r2Z a,g0 K<5xga 2/ , • \ гт.»
z^-^— + £i —pwz + —pv (a3 cos у + sin у ) + Tz;
t
vx=X = jx</t; (10.21)
0
t
vY=Y = fWl;
0
t
vz = Z = j Zdt.
о
497
Глава 10. Спуск космического аппарата в атмосфере
10.5. Расчетные уравнения
продольного движения спускаемого аппарата
в атмосфере
За начало участка снижения СА в плотных слоях атмосферы принимают
либо некоторую заданную высоту полета, либо одну из характеристик дви-
жения, измеряемых на борту СА: кажущиеся ускорение, скорость и др. Уча-
сток снижения заканчивается раскрытием парашюта (на высоте 6...9 км). Для
обеспечения мягкого контакта с поверхностью Земли непосредственно перед
приземлением могут включаться тормозные пороховые двигатели (двигатели
мягкой посадки).
Снижение в плотных слоях атмосферы может быть управляемым и не-
управляемым (баллистическим).
В случае управляемого снижения СА придают специальную геометриче-
скую форму с определенными аэродинамическими характеристиками. В об-
щем случае система управления разворотом СА по углам крена (в некоторых
случаях дополнительно тангажа) обеспечивает управляемый спуск в задан-
ную точку.
При баллистическом спуске управление процессом снижения КА не про-
водится.
Участок снижения характеризуется интенсивным возрастанием аэроди-
намической силы, перегрузки и теплового нагрева.
Определение основных характеристик движения СА на участке спуска
обычно проводится численными методами, так как уравнения, описывающие
движение СА в плотных слоях атмосферы, являются нелинейными и не име-
ют аналитического решения. Однако для качественного анализа характери-
стик движения СА могут быть использованы некоторые приближенные при-
емы. В этом случае уравнения движения С А удобно записывать в скоростной
системе координат в проекциях на направление вектора скорости и нормаль
к нему при следующих допущениях:
• поле Земли является центральным;
• рассматривается плоское движение;
• вращение Земли не учитывается;
• из всех поверхностных сил, воздействующих на СА, учитываются толь-
ко сила лобового сопротивления и подъемная сила;
• весовые и аэродинамические характеристики СА принимаются посто-
янными;
• массовая плотность атмосферы определяется для ее изотермической
модели в функции высоты h по формулам (10.15), (10.16):
р = Рое₽А;
р0 = 1,3971 кг/м3; Р = -0,00013483 м~1. (10.22)
498
10.5. Расчетные уравнения продольного движения СА в атмосфере
В этом случае расчетные уравнения движения СА в атмосфере с учетом
введенных упрощений в скоростной системе координат имеют вид
wv = gtfn
Re Y
( Re
.h + R,
h + R,
wv0ip = ёот
/^-vsin^);
L = v——-—cos( 0—);
h + RE 1
сУр(Л) _ /СоЛу2р(Л)
X 2g0 ’ y 2g0
sin(eip)-|oxv(02p(A);
- с°8(0тр)-|*оУр(л)-
wv2cos(GTp)
h + RE
(10.23)
В уравнениях (10.23) использованы следующие обозначения:
Re — радиус планеты (Земли);
К — аэродинамическое качество СА;
L — дальность спуска;
пх, пу — продольные составляющие вектора перегрузки;
0-гр — угол наклона скорости к местному горизонту, траекторный угол.
Из системы уравнений (10.23) следует, что влиять на траекторию сниже-
ния СА в атмосфере принципиально возможно путем изменения аэродина-
мического качества К СА и, в меньшей степени, баллистического параметра.
В этом случае к основной системе уравнений необходимо добавить уравне-
ния управления и совместно решить полученную систему. Под уравнением
управления понимается аналитическая запись некоторого закона изменения
баллистического параметра или качества КА на траектории спуска. Однако
при баллистическом спуске изменить баллистический параметр исключи-
тельно сложно, достигаемый эффект незначителен, поэтому баллистический
параметр обычно принимают постоянным.
В зависимости от аэродинамического качества различают несколько
режимов спуска и соответственно несколько типов СА. Спуск без участия
подъемных сил, когда аэродинамическое качество К = 0, называется балли-
стическим, а КА, на которых реализуется такой спуск, аппаратами балли-
стического спуска.
Спуск при участии подъемной силы, когда К Ф 0, называется планирую-
щим. Среди режимов планирующего спуска дополнительно выделяют режим
скользящего спуска: 0 < К < 0,4.
Понятие скользящего спуска возникло в связи с появлением особого
класса КА, отличающихся большими значениями коэффициентов подъем-
ной силы (Су > 0,3...0,5) и лобового сопротивления (Сх > 1) и сравнитель-
но малым аэродинамическим качеством. Аппараты этого класса, радикально
499
Глава 10. Спуск космического аппарата в атмосфере
отличающиеся от принятых конструкций, принято называть аппаратами
скользящего спуска.
Аппараты с большим значением аэродинамического качества (К > 1) на-
зываются аппаратами планирующего спуска.
10.6. Режим установившегося спуска
Предположим, что аэродинамическое качество СА К = 0. В этом случае, со-
гласно уравнению (10.23), изменение скорости определяется двумя состав-
ляющими: £ $ 2
• силой лобового сопротивления Ха = х т---, которая тормозит СА,
уменьшая его скорость; 2
• составляющей силы притяжения wgsinO^, которая разгоняет С А, уве-
личивая его скорость.
Приблизительное равенство двух сил достигается на условной границе
атмосферы, которая для Земли принимается Латм ~ 100 км. И если КА продол-
жает полет через атмосферу, то его скорость снижается, так же как и высота
б
Рис. 10.8. Режим установившегося спуска:
а — зависимость скорости установившегося спуска от баллистического параметра при высотах
10 км (7), 5 км (2), 1 км (3), 100 м (4); б — зависимость скорости установившегося спуска от
высоты для различных баллистических параметров; в — зависимость скорости установивше-
гося спуска от высоты и баллистического параметра
500
10.7. Участок аэродинамического торможения
полета. По мере снижения КА в плотных слоях атмосферы его скорость,
а следовательно, полная энергия уменьшаются при увеличении по модулю
траекторного угла и дальности полета L. Определим, достаточно ли эффек-
тивно аэродинамическое торможение для полного гашения энергии. Рассмо-
трим случай, когда 0 достигает значения -90° (вертикальный спуск), а сила
сопротивления в каждый момент времени равняется силе притяжения. Это
так называемый режим установившегося спуска:
г1 _ ‘^mPVycr I 2mg
~ ~ mS vycT — 4 ~ • (10.24)
V <~'х‘->тР
Путем аэродинамического торможения принципиально можно снизить
скорость СА до значений порядка 100...200 м/с, которую затем следует по-
гасить окончательно до нуля. Из представленных на рис. 10.8 зависимостей
следует, что для обеспечения на высоте 5... 10 км установившейся скорости
100...200 м/с требуется баллистический параметр СА егх > 0,0005 м2/Н.
В результате энергетически целесообразный путь спуска КА с орбиты
ИСЗ представляется в виде трех последовательных участков:
1) за счет кратковременного включения ТДУ КА направляется к плотным
слоям атмосферы на внеатмосферном участке полета;
2) снижение проводится за счет аэродинамического торможения в плот-
ных слоях атмосферы;
3) остаточная скорость КА гасится на участке мягкой посадки за счет
применения парашютной системы либо пороховых двигателей.
10.7. Участок аэродинамического торможения
10.7.1. Расчет продольной перегрузки
Представим первое из уравнений (10.23) в виде
v = gsinOTp-5pv2, (10.25)
С S
где S = х т — баллистический коэффициент.
2т
Если вход в атмосферу происходит при небольших углах (1...40), то наи-
большее торможение осуществляется на высотах 30...40 км (например, см.
рис. 10.9 и 10.10). Поэтому gsinO^, « 5pv2, то есть можно считать, что
v = -Spv2. (10.26)
В соответствии с определением, перегрузка
пх =-!> = -—pv2. (10.27)
S S
501
Глава 10. Спуск космического аппарата в атмосфере
Введем нормированную плотность атмосферы р = р/р0 и запишем
dv dp
v= ,
dp dt
где точка означает дифференцирование по времени.
Из формулы (10.22) следует, что
^ = Ppvsin0ip.
(10.28)
(10.29)
Поэтому, подставляя соотношение (10.29) в уравнение (10.28) и интегри-
руя полученную дифференциальную зависимость скорости от нормирован-
ной плотности от момента входа в атмосферу (р = 0, v = vBX) до некоторого
момента, соответствующего скорости vK, получаем
v = VBxexP
psine^
(10.30)
Результат (10.30) подставим в уравнение (10.27), тогда перегрузка составит
и,
S 2 S _
—pv = — popvBXexp
g g
Sp y
psinO^
(10.31)
Значение плотности, при которой достигается максимальная перегрузка,
находим из уравнения dnx/dp = 0:
п _ РРо „1П п
9~~2S Утр’
Из уравнения (10.30) следует
v = ^.
л/е
(10.32)
(10.33)
Максимальная перегрузка определяется из уравнения (10.31):
Рувх s*n ®тр
2ge
(10.34)
И, наконец, высота, на которой достигается максимальная перегрузка,
Inpp-lnp
(10.35)
10.7.2. Примеры численного моделирования
При выполнении приведенных выше ограничений целесообразно рассчи-
тывать спуск в атмосфере, пользуясь уравнениями движения, записанными
в скоростной системе координат (10.23). Ниже приведены примеры числен-
ного интегрирования задачи спуска в атмосфере Земли для планирующих СА
Л =
Р
502
10.7. Участок аэродинамического торможения
с аэродинамическим качеством К = 0,002, характерным для возвращения пило-
тируемых экспедиций с околоземной орбиты. Для удобства проведения сравни-
тельного анализа возможных параметров спуска приведены графики изменения
высоты полета СА и испытываемых им перегрузок при одинаковых скоростях,
но разных углах входа в атмосферу (рис. 10.9) и при разных скоростях входа
в атмосферу для одного и того же угла (рис. 10.10). Высота атмосферы Земли
принята равной 100 км.
Рис. 10.9. Примеры изменения вы-
соты и перегрузки СА при спуске
с орбиты ИСЗ при разных углах вхо-
да в атмосферу (параметры спуска:
ах = 0,0004 м2/Н, К = 0,002, скорость
входа 7900 м/с):
а — зависимость высоты полета от вре-
мени спуска; б — зависимость перегруз-
ки от времени спуска:
1-4 — 0вх равно -4, -2,85, -1,4
и -0,57 град соответственно
Рис. 10.10. Изменения высоты (а),
перегрузки (б) и скорости (в) СА
при спуске с орбиты ИСЗ при раз-
ных скоростях входа в атмосферу
(ах = 0,0004 м2/Н, К = 0,002,
0вх = -0,57°):
1-4 — 7500, 7700, 7800, 7900 м/с соот-
ветственно
503
Глава 10. Спуск космического аппарата в атмосфере
Рис. 10.11. Изменения высоты h, скорости v и перегрузки п при входе в атмосферу
на параболической скорости при двух значениях баллистического коэффициента:
а — ах = 0,0004 м2/Н; б — ох = 0,0008 м2/Н (К = 0,0, 0вх = -4,03935°, vBX = 10 100 м/с)
Анализ данных рис. 10.9 показывает, что увеличение угла входа в атмо-
сферу приводит к существенному снижению времени посадки, но возрас-
танию суммарной перегрузки, действующей на СА. При уменьшении угла
входа по абсолютной величине до 1,5° и менее максимальная суммарная пе-
регрузка практически не изменяется и составляет порядка 7,5 g. Время полета
до момента раскрытия парашюта в этом случае равно 500...700 с, что позво-
ляет в определенных пределах изменять дальность полета до точки посадки.
Значительное уменьшение скорости входа в атмосферу при одних и тех
же углах входа может привести к росту максимальной суммарной перегрузки
(рис. 10.10). Можно считать приемлемыми скорости входа в атмосферу для
504
10.7. Участок аэродинамического торможения
спуска с околоземной орбиты в пределах 7700...7900 м/с. Для этого диапазо-
на скоростей характерны максимальные суммарные перегрузки около 7,5g.
Время полета КА до момента раскрытия парашюта в этом случае также со-
ставляет 500...700 с.
На рис. 10.11 приведены результаты моделирования спуска в атмосфере
Земли для СА, имеющих разные баллистические коэффициенты и одинако-
вые параболические скорости входа и углы входа в атмосферу. При этом
для СА с меньшим баллистическим коэффициентом захват атмосферой
осуществляется практически сразу, а для СА с большим коэффициентом
h, тыс. км п, ед.
Г, тыс. с о 50 100 150 200
t,c
а
Рис. 10.12 (начало). Изменения высоты h, скорости v и перегрузки п
СА при входе в атмосферу на гиперболической скорости при двух
углах входа в атмосферу (ох = 0,0004 м2/Н, К = 0,00, 0ВХ = 14 400 м/с):
а — 0ВХ = -6,1307°, дополнительно в увеличенном масштабе времени показан
профиль перегрузок 1 и 2
505
Глава 10. Спуск космического аппарата в атмосфере
О 200 400 600 800
г, с
б
Рис. 10.12 (окончание).
б — 0вх = -6,3025°
для этого требуется повторный вход
в атмосферу, что приводит к увеличению
продолжительности спуска более чем
в 2 раза. И в первом, и во втором случаях
торможение в атмосфере имеет два пика
перегрузки, значения которых практиче-
ски совпадают, однако, как это было пока-
зано выше, конечные скорости на высоте
5 км отличаются на 114 м/с.
На рис. 10.12 приведены результаты
моделирования спуска в атмосфере Зем-
ли для СА, имеющих разные углы входа
в атмосферу и одинаковые параметры при
гиперболической скорости. При минималь-
ных отличиях в угле входа траектории спу-
ска оказываются существенно разными.
При меньшем угле входа наблюдается вы-
ход за пределы атмосферы с последующим
вторичным входом в нее. Процесс спуска
занимает примерно 30 000 с, или 8,33 ч.
Максимальные перегрузки не превышают
8g при первом торможении и 7g при вто-
ром. При большем угле входа сразу проис-
ходит захват СА атмосферой, сокращается
время спуска до значений, сопоставимых
со спуском с круговых орбит, но суще-
ственно возрастают перегрузки, достигая
почти 11g в момент первого торможения
и почти 9g при втором. Следует отметить,
что при втором торможении резко возрас-
тают тепловые нагрузки на СА.
Основные соотношения
Для скорости входа высота условного перицентра zp и угол входа на гра-
нице условной атмосферы 0ВХ связаны следующим соотношением:
1) -^ПЛ ’
(Ю.2)
где е — yjl ЛрХ (2 kBX )cos 0ВХ,
к
*вх
^вх^вх
ц
506
Основные соотношения
Алгоритм 10.1. Расчет орбиты перелета до точки входа в атмосферу
1. Траекторный угол в точке 2 для орбиты перелета (угол входа в атмо-
сферу)
0BX= arctg
esin32
ecos32 +1
(10.3)
где е — эксцентриситет орбиты перелета.
Рис. 10.4
Вследствие малости этого угла для упрощения последующих вычислений
будем считать, что для эллиптических орбит е < 1:
esinO2
ecosB2 +1
(10-4)
Отсюда для принятого значения эксцентриситета орбиты перелета можно
найти истинную аномалию точки входа в атмосферу для заданного угла входа:
О2 = -/log
Je4 + 02x(e2 -l)e2
(®вх + 0 е
,2
, »2eR, z2=-l. (10.5)
507
Глава 10. Спуск космического аппарата в атмосфере
Дополнительное условие указывает, что значение истинной аномалии
должно быть вещественным. Уравнение (10.5) может не иметь веществен-
ных решений либо иметь два решения, из которых далее следует выбрать
такое, при котором рассчитываемая орбита перелета будет иметь точку пе-
ресечения с исходной орбитой, что определяется радиусом ее апогея. Вы-
полнение этого условия необходимо проверить после расчета углового мо-
мента орбиты перелета.
Рис. 10.5
2. Используя уравнение орбиты г = —---, можно определить
значение углового момента орбиты перелета:
h = ^pr(ecosd2 + 1)- (10.6)
3. Поскольку возможны два значения истинной аномалии, из уравне-
ния (10.6) также следует два возможных значения величины углового момен-
та орбиты перелета. Из этих значений необходимо выбрать такое, чтобы для
него выполнялось условие
508
Основные соотношения
h2
r„ =------> Л •
ц(1-е)
(Ю.7)
Если исходная орбита не является круговой, то условие (10.7) следует
сформулировать в виде
h2
г =-------> г .
а М(1-е) в1’
(10.8)
где — радиус апогея исходной орбиты.
4. Подставляя полученные значения в уравнение орбиты, можно полу-
чить истинную аномалию точки схода с исходной орбиты:
3] - 2ncj ± arcsec
q eZ.
(Ю.9)
Выражение (10.9) учитывает, что при наличии решения уравнений (10.5)
и (10.6) имеется две точки пересечения орбиты перелета с исходной орбитой
(см. рис. 10.4, поз. 1 и 7')- Отметим, что уравнение (10.9) справедливо и для
эллиптических исходных орбит.
5. Угловая дальность перелета определяется как разность истинных ано-
малий точек 7 (7') и 2 с учетом их знаков:
и = $2 ~ $1-
(10.10)
6. Для полученных параметров орбиты перелета рассчитаем потребный
импульс характеристической скорости. Предполагая, что исходная орбита
круговая, получаем
п
Av_ esinG,;
r h 1
(10.11)
Avz =^Av2+Av2.
Для эллиптической исходной орбиты
Av =—ejsinfk esind,;
r A, 1 11 h 1
Av”=^(eiCOsG1'+1)-л(е
Avz = y]&v2+Av2.
(10.11 a)
509
Глава 10. Спуск космического аппарата в атмосфере
7. Время полета С А от точки схода с исходной орбиты до точки входа
в атмосферу определяется как разность времен полета до точек от перицентра
орбиты
'перМ^-'Ш (10.12)
где время полета от перицентра до точки определяется по формуле
Л3 esin 2 arctg
,(»)—L—L---
3--1чл
+ 1 2)J
77 77572
-ltg^
(10.13)
8. Скорость входа в атмосферу
Н а
vBxr=^esind2;
VBX п = -^(ecos&2 +1);
_ П 2
Увх “ у)^вх г + Увх п •
Аппроксимация плотности атмосферы Земли
р£(Л) = 1,3971е(-0’00013483А\
(10.14)
(10.16)
Расчетные уравнения плоского движения спускаемого аппарата в ат-
мосфере
mv = gow
ЛЕ
h + RE
Re
h + RE j
™ Ap = gom
h = -vsin(0.I1
Rc
L = v—-—cos( 0_ );
h + RE V
_ Qxv2p(A) /7стху2р(Л)
X 2g0 ’ y 2g0
sin(0Tp)-|oxv(/)2p(A);
cos^) -|^Qxv2p(A)-
mv2cos(0Tp)
h + RE
(10.23)
где Re — радиус планеты (Земли); К — аэродинамическое качество СА;
L — дальность спуска; пх, пу — продольные составляющие вектора перегрузки;
©тр — угол наклона скорости к местному горизонту, траекторный угол.
510
Вопросы и задачи
Режим установившегося спуска
^тРУуст
тё => Ууст =
(10.24)
Вопросы и задачи
1. Сформулируйте ограничения на параметры входа космического аппа-
рата в атмосферу Земли при спуске.
2. Оцените время, необходимое для спуска в атмосфере экипажу Между-
народной космической станции, возвращающемуся на Землю.
3. Рассчитайте параметры орбиты перелета для последующего спуска
в атмосферу Земли, если исходная круговая орбита имеет высоту 200 км,
требуемый угол входа в атмосферу 0ВХ = -2° на высоте Латм = 90 км.
4. Рассчитайте скорость входа в атмосферу Земли космического аппара-
та, возвращающегося по эллипсу Гомана с Марса. Орбиты Земли и Марса
считать круговыми.
Глава 11
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Уравнения движения круговой ограниченной задачи трех
тел. — Точки либрации. — Об устойчивости точек либра-
ции. — Интеграл Якоби. — Структура областей движения
КА в системе Земля — Луна. — Модификации ограниченной
задачи трех тел. — Уравнения эллиптической ограничен-
ной задачи трех тел. — Уравнения бикруговой ограниченной
задачи четырех тел. — Фазовый портрет круговой огра-
ниченной задачи трех тел в окрестности меньшего при-
тягивающего тела. — Динамические режимы задачи трех
тел. — Пример построения карты динамических режи-
мов. — Основные соотношения. — Вопросы и задачи
В данной главе рассмотрена ограниченная задача трех тел. Под тремя тела-
ми подразумеваются два основных массивных притягивающих тела и третье,
массу которого можно считать бесконечно малой, но достаточной для того,
чтобы на нее действовали силы притяжения двух основных тел. В такой по-
становке должен нарушаться закон сохранения энергии. Однако при этом,
как это доказано для случая взаимного движения основных тел по круговым
орбитам, может быть использован интеграл Якоби, являющийся аналогом за-
кона сохранения энергии.
Круговая ограниченная задача трех тел в общей постановке не имеет прак-
тически применимого аналитического решения, но в ней могут быть опреде-
лены некоторые частные решения. К таким решениям относятся точки ли-
брации, являющиеся стационарными точками дифференциальных уравнений
этой задачи. Всего этих точек пять, причем три из них лежат на одной прямой
и называются коллинеарными, а две другие располагаются в вершинах рав-
ностороннего треугольника с основанием в притягивающих телах и поэтому
называются треугольными. Коллинеарные точки либрации неустойчивы, но
характер этой неустойчивости таков, что позволяет использовать их окрест-
ности для построения орбит, на которых КА при минимальных затратах то-
плива могут находиться достаточно продолжительное время. Это обуслов-
лено тем, что точки либрации являются пересечением потоков устойчивого
и неустойчивого многообразий, проходящих через так называемое горлышко,
которое открывается при определенном значении интеграла Якоби. Интеграл
Якоби как аналог интеграла энергии в свою очередь определяет области воз-
можных (разрешенных) для третьего тела движений. Так, если для малых его
значений существуют две изолированные области в окрестностях притяги-
вающих тел, то при увеличении интеграла Якоби эти области соединяются
512
11.1. Уравнения движения круговой ограниченной задачи трех тел
в точке образуя горлышко и допуская попеременное движение третьего
тела в окрестностях основных притягивающих тел. При дальнейшем увеличе-
нии интеграла Якоби становятся возможными траектории выхода во внешние
по отношению к орбите меньшего из притягивающих тел области. И, наконец,
еще большее увеличение интеграла Якоби говорит о том, что третьим телом
достигнута параболическая скорость и оно может покинуть пределы рассма-
триваемой системы. Таким образом, в задаче трех тел оказывается возмож-
ным достижение меньшего притягивающего тела из окрестностей большего
без придания КА второй космической скорости, что невозможно в рамках за-
дачи двух тел, поскольку в ней такой вариант рассматривается как удаление
на бесконечность, для чего требуется как минимум параболическая скорость.
В последней части главы рассмотрен вопрос классификации траекторий
меньшего тела в задаче трех тел. С начала изучения этой задачи известно, что
при некоторых начальных условиях она демонстрирует хаотический харак-
тер решений, т. е. в нашем понимании малые отклонения начальных условий
обусловливают существенно разные траектории. Численный анализ задачи,
проводимый с помощью компьютера, позволяет получить множество возмож-
ных траекторий движения за относительно небольшое время. При этом встает
вопрос классификации полученных траекторий по некоторому вычисляемо-
му параметру. Предложенный интегральный характеристический показатель
позволяет провести требуемую классификацию орбит и выделить начальные
условия движения, обусловливающие хаотические и регулярные траектории
задачи трех тел. В последующем полученные карты могут быть использова-
ны для предварительного проектирования траекторий движения КА, облада-
ющих минимальной по сравнению с решением задачи двух тел энергетикой,
т. е. потребными импульсами скорости на их реализацию.
11.1. Уравнения движения круговой ограниченной задачи
трех тел
Пусть два тела массами тх и т2 (далее тела тх и ти2), называемые основными
притягивающими или просто притягивающими телами, движутся относитель-
но друг друга под воздействием только их взаимного гравитационного притя-
жения по круговым орбитам относительно их барицентра. Расстояние между
этими телами г12. Введем неинерциальную подвижную систему отсчета xyz.
начало координат которой лежит в барицентре G с осью х, направленной к
телу т2 (рис. 11.1). Ось у лежит в плоскости орбиты, ось z перпендикулярна
плоскости движения тел. В такой системе координат тела и т2 кажутся
находящимися в состоянии покоя.
Угловая скорость введенной подвижной СК в инерциальной СК может
быть определена в виде
J2 = Ok, (11.1)
2л
где £2 = —, Т — период орбиты;
513
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
Рис. 11.1. Основные притягивающие тела тх и т2 обращаются
по круговой орбите относительно друг друга (т — тело исчеза-
юще малой массы)
Т = 2п-^,
т. е.
Q = J4- (n-2)
V12
Отметим, что если М— полная масса системы
М = тх + ти2» (11-3)
то
ц = СМ (11.4)
Тела тх и т2 лежат в плоскости орбиты, поэтому во введенной СК их
координаты у и z равны нулю. Рассчитать положение тел на оси х можно, ис-
пользуя определение центра масс. В этом случае
т}х} + т^х2 = 0.
Поскольку тело т2 находится на расстоянии г12 от тела т} в положитель-
ном направлении х, то
х2 = Х1 + г12.
Из этих уравнений получаем координаты тел:
Х1=-П2Г12, х2 = -П1Г12> (115)
где безразмерные массовые отношения t|i и т]2 заданы формулами
514
11.1. Уравнения движения круговой ограниченной задачи трех тел
тщ Ш')
—1—; п2=—— •
тпх + т2 т2
(11.6)
Предположим, что в систему двух тел добавлено третье исчезающе малой
массы т по сравнению с массами тх и т2. Например, такой может считаться
масса КА по сравнению с массой планеты или ее спутника. Задача описания
движения этого тела называется ограниченной задачей трех тел, так как
при ее рассмотрении предполагается, что масса т настолько мала, что не
влияет на движение двух других тел, а сама движется под воздействием
их гравитационных полей. Если же масса третьего тела может оказывать
влияние на движение двух других, то в таком случае сделанные предполо-
жения окажутся неверными и следует рассматривать общий вариант задачи
трех тел, т. е. неограниченную задачу. В отличие от задачи двух тел, зада-
ча трех тел не имеет аналитического решения.
В подвижной СК вектор положения тела т относительно тела т} опреде-
ляется в виде
ii ^(x-x^i + yj + zk = (x + r|2r12)i + yj + zk.
(И-7)
Относительно тела т2 положение тела т определяется следующим об-
разом:
г2 =(х--гцГ12)1 + Л + гк. (11.8)
Наконец, вектор положения третьего тела относительно центра масс
r = xi + yj + zk. (И-9)
Абсолютную скорость третьего тела можно найти, взяв производную по
времени уравнения (11.9). Однако следует учесть, что в абсолютной СК под-
вижная СК xyz вращается с угловой скоростью £2, поэтому производные по
времени от единичных векторов i и j не равны нулю. Для учета скорости
вращения СК используем уравнение (1.38), тогда
r = vG + £2xr + v0TO, (11.10)
где vG — абсолютная скорость центра масс (начала подвижной СК); v0TH —
скорость третьего тела, измеренная в подвижной СК xyz, а именно
Vo™ =xi + yj + zk. (11.11)
Абсолютное ускорение тела т определяется по формуле (1.42):
г = aG+£2 х г + £2 х (£2 х г) + 2£2 х v0TH + аотн. (11.12)
Скорость vG центра масс постоянна, т. е. aG = 0. Кроме того, £2=0, так
как угловая скорость круговой орбиты постоянна. Тогда уравнение (11.12)
сводится к виду
515
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
r = £2 x (£2 x r) + 2£2 x Voth + a0TII,
где
(11.13)
готн =xi + yj + zk.
(И-14)
Подставляя уравнения (11.1), (П.9), (11.11) и (11.14) в уравнение (11.13),
получаем
г = (£2к) х [(Qk) х (xi + yj + zk)] + 2(Qk) x (xi + yj + zk) + (xi + yj + zk) =
= |^-Q2 (xi + yj)J + (2Qrj - 2Qyi) + Jft + yj + zk.
Далее сгруппируем члены по компонентам вектора ускорения, тогда
г = (х - 2Qy - £22x)i + (у + 2Ш - О.2у ) j + zk.
(11.15)
В соответствии co вторым законом Ньютона
mr = F] +F2,
(11.16)
где Fb F2 — гравитационные силы, действующие на третье тело. Согласно
закону всемирного тяготения,
*1 -—“л-----------“ГГ1’
_ Gm2m _ ц2т
*2 ~----— Ur2----Гr2>
r2 r2
(Н-17)
где
Ц] = Gm}, |12 ~ Gm2.
(11.18)
Подставляя уравнения (11.17) в уравнение (11.16) и деля на т, получаем
выражение
u _ Hl r H2 r
г _ 3*1 ГГ2-
rl r2
(И-19)
Взяв из уравнения (11.15) правую часть и подставив правые части урав-
нений (11.7) и (11.8) в (11.19), найдем
(x-2Qy-£22x)i + (y + 2f2x-Q2y)j-i-zk =
= ~^[(x + VuM + Л + zk] - [(x - п/i 2 )• + Л + zk].
Г] r2
Приравняв коэффициенты при i, j и к, придем к трем скалярным уравне-
ниям движения ограниченной задачи трех тел:
516
11.2. Точки либрации
х - 2Пу - О.2х = -^-(х + x\2ri2 ) - ^-(х - Т|]Г12 );
Г1 г2
у + 2Ох-О.2у = -Ц-у-Щ-у; (11.20)
Г1 г2
Hi Н2
z = —
П r2
Следует отметить, что уравнения (11.20) содержат величины, имеющие
соответствующие физические размерности и получены для случая движения
двух основных притягивающих тел по круговой орбите относительно их об-
щего барицентра с постоянной угловой скоростью £1. В такой постановке за-
дача трех тел называется круговой ограниченной задачей. Далее приведены
уравнения движения ограниченной задачи трех тел в безразмерных величи-
нах и для случая обращения основных тел по эллиптической орбите.
11.2. Точки либрации
Хотя система уравнений (11.20) и не имеет аналитического решения, ее мож-
но использовать для определения положения точек относительного равнове-
сия (особых точек динамической системы). Применительно к рассматривае-
мой задаче их можно определить как такие точки, в которых, имея нулевые
начальную скорость и ускорение, третье тело, будет находиться в состоянии
покоя относительно притягивающих тел тпА и тп2. Именно поэтому данные
точки называются точками относительного равновесия. Другое название этих
точек — точки либрации связано с именем Лагранжа, который занимался из-
учением задачи трех тел (точки Лагранжа) и характером предполагаемого
движения в их малой окрестности. В соответствии с правилами анализа дина-
мических систем, точки равновесия (особые точки) определяются из условий
х = у = z = 0, х = у = z = 0.
Подставляя эти условия в уравнения (11.20), получаем
-о2*=+П2П2) - - w);
П г2
-О2у = -Цу-Цу, (11.21)
И Гг
0 = -^-z--^z.
И г2
Из последнего уравнения (11.21) следует
fe + ^2?|z = 0. (11.22)
In r2 )
517
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
Поскольку оба слагаемых в скобках положительные числа, то z = 0, по-
этому точки равновесия лежат в плоскости орбиты.
В свою очередь, из уравнений (11.6) следует, что
П1 = 1-П2- (11-23)
Используя формулу (11.23) и выражение для угловой скорости (11.2),
а также полагая, что у ф 0, из (11.21) можно получить
(Н-24)
где
П1=И1/ц; Пг^Мг/м- (11.25)
Уравнения (11.24) можно рассматривать как два линейных уравнения от-
носительно 1//]3 и 1/г23. Из анализа этих уравнений следует, что
1/п3=1/г2=1/п2
ИЛИ
г1=г2 = г12- (11.26)
Используем этот результат, уравнение (11.23), а также то, что z = 0, тогда
из уравнений (11.7) и (11.8), соответственно, следует
П22=(х + п2П2)2+/; (11-27)
Г22 = (х + Т]2'12-г12)2+/- (11.28)
Приравняв правые части этих уравнений и решив вновь полученное урав-
нение, находим
х = у-П2>12- (П-29)
Подставив этот результат в уравнение (11.27) или (11.28) и решив его от-
носительно у, получим
у = ±у^12. (11.30)
Таким образом, вычислены координаты двух точек равновесия: точек
либрации Л4 и Z5, называемых также треугольными точками Лагранжа. По-
ясним этот факт.
518
11.2. Точки либрации
Из формулы (11.26) следует, что в этих точках третье тело занимает та-
кое положение, что расстояния от него до двух притягивающих тел равны
расстоянию между этими телами. Во введенной подвижной СК эти точки
имеют координаты
(11.31)
= У = ±-^'12> z = o-
Рис. 11.2. Расположение пяти точек либрации системы Земля —
Луна. Эти точки вращаются вокруг Земли с тем же периодом, что
и Луна
Отсюда следует, что два притягивающих тела и точки либрации £4 и L5
лежат в вершинах равносторонних треугольников, как показано на рис. 11.2.
Оставшиеся точки равновесия можно найти, приняв у = 0, z = 0. Для этих
значений уравнения (11.7) и (11.8) имеют вид
^(х + ПгПг)*;
Г2 = (X - ЩГ12 )i = (х + П2П2 - г12 )>>
следовательно,
Г1=|х + П2П2|; г2 =|х + П2г12 -Пг|-
519
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
Подставив полученные значения вместе с уравнениями (11.2), (11.23)
и (11.25) в первое из уравнений системы (11.21), имеем
1 П2 ,з (х + ПгП2)+;----—-----И* + П2П2 " г\2) г = °- (11-32)
|х + П2Л2| |* + П2П2 “г12| Г12
Дальнейшее упрощение получается путем перехода к безразмерной вели-
и X
чине <; =—•
г12
В этом случае после подстановки уравнение (11.32) принимает вид /(£) =
= 0, где
П: „з^+Пз-П-^О. (11.33)
|^ + П2| |^ + П2-1|
Следует отметить, что функция /(£) имеет пятый порядок, при этом три
ее действительных корня определяют положение оставшихся трех точек рав-
новесия. Для того чтобы их найти, необходимо задать отношение масс т|2,
а затем вычислить корни для этого конкретного значения. Например, пусть
два притягивающих тела тх ит2 — Земля и Луна соответственно. Имеем
тх = 5,974 -1024 кг;
т2 = 7,348 • 1022 кг; (11.34)
г12 = 3,844-105 км.
Рис. 11.3. График уравнения /(£)
для системы Земля — Луна
0]2 = 0,01215)
Используя эти данные, находим
ц2=—^—= 0,01215.
тх + т2
Подставляем значение ц2 в уравнение
(11.33) и строим функцию как пока-
зано на рис. 11.3. Точки, в которых ветви
кривой пересекают ось £, позволяют опре-
делить координаты трех точек либрации
для системы Земля — Луна. Все эти точки
лежат на оси х:
Lx:x = 0,8369г12 = 3,217 • 105 км;
Ь2:х = 1,156г12 = 4,444-105 км;
(11.35)
: х = -1,005г12 = -3,863 • 105 км.
Точки Lx—L2, расположенные на одной оси, получили дополнительное
название коллинеарные точки либрации.
520
11.3. Интеграл Якоби
На рис. 11.3 представлены пять точек либрации системы Земля — Луна.
Для удобства все их положения показаны относительно центра Земли, а не
центра масс. Как следует из уравнения (11.5), центр масс системы Земля —
Луна находится на расстоянии 4670 км от центра Земли, что составляет
73 % ее радиуса. Точки либрации имеют фиксированное положение отно-
сительно Земли и Луны, поэтому обращаются вокруг Земли по круговым
орбитам с тем же периодом, что и Луна. Отметим, что с точки зрения реше-
ния задачи двух тел этот период должен быть различным для коллинеарных
точек либрации.
Об устойчивости точек либрации
По определению, если точка равновесия устойчива, то тело малой массы, рас-
положенное в этой точке, будет возвращаться в нее, если по каким-либо при-
чинам это тело отклонится от данной точки равновесия на малое расстояние.
Возмущение, приводящее к выходу тела малой массы из точки равновесия,
как правило, порождает в этом случае небольшие колебания относительно
точки равновесия.
Проведение полного анализа уравнений движения круговой ограничен-
ной задачи трех тел выходит за рамки данного учебника, поэтому ограничим-
ся некоторыми общими замечаниями, касающимися поведения малого тела
в окрестностях точек либрации.
Линейный анализ показывает, что коллинеарные точки либрации Ly—L3
являются неустойчивыми, однако характер этой неустойчивости позволяет за
счет коррекции возникающих возмущений построить периодические и квази-
периодические орбиты в окрестности этих точек и обеспечить функциониро-
вание КА на них в течение достаточно продолжительного времени и с малым
расходом топлива. Для изучения космического пространства наиболее пер-
спективными являются точки либрации L{ и Ь2. Начиная с 1978 года (запуск
проекта ISEE-3) было осуществлено уже несколько многолетних проектов,
использующих свойства орбит в окрестностях этих точек. Отметим, напри-
мер, проекты SOHO и АСЕ, функционирующие с конца 1990-х годов.
Треугольные точки либрации L4 и L5 в линейном приближении оказы-
ваются устойчивыми, и, например, в окрестности этих точек системы Солн-
це— Юпитер действительно наблюдаются скопления малых космических
тел. Однако треугольные точки либрации системы Земля — Луна вследствие
гравитационных возмущений от Солнца являются неустойчивыми. В этом
случае правильным будет использование в качестве расчетных уравнения би-
круговой задачи четырех тел, которая учитывает данные возмущения.
11.3. Интеграл Якоби
Ограниченная круговая задача трех тел в отличие от более общего ее эллип-
тического случая имеет интеграл энергии, называемый интегралом Якоби.
Для того чтобы найти этот интеграл, умножим первое из уравнений (11.20)
на х, второе — на у и третье — на z, тогда запишем
521
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
хх - 2С1ху - Q2xx = -^-(хх + т]2г12х) - ~ П1П2*);
П г2
yy + 2Qxy-Q.2yy = -^yy-^j-yy;
И г2
Mi . М2 •
zz = -^zz-^zz.
И r2
Просуммировав левую и правую части этих уравнений, получим
хх + уу + zz-Q.2 (хх + уу) =
+ (хх + yy + zz) + rn
In r2 ) I r2 r\
X
или после перегруппировки слагаемых
хх + уу + zz - Q2 (хх + уу) =
= —^-4-(хХ + уу + ZZ + Т|2Г]2х) - ^у(хХ + УУ + zz - Т11П2*)-
И г2
(11.36)
Сумма первых трех слагаемых слева может быть представлена в виде
хх + й> + й = ~(х2 + у2+г2) = |^-, (11.37)
2. at 2 at
где v — скорость третьего тела в ПСК. Аналогично, имеем
™+уу = ~А*2+у2\ (И-38)
2 at
Из уравнения (11.7) можно записать г2 =(х + т]2г12)2 +у2 +z2, поэтому
2rj^- = 2(x + r]2r]2)x + 2yy + 2zz или ^- = —(r\2r]2x + xx + yy + zz}, откуда
at at rx
cnsjyyex, что
4- = --7^- = —т(^ + ^ + ^ + т12г12^)- (И-39)
at Д] r} at г.
Далее аналогичным образом из уравнения (11.8) получим
= -4-(xx + ^ + zz-'Hir]2i)- (11.40)
at t*2
522
11.3. Интеграл Якоби
Подставив уравнения (11.37) - (11.40) в (11.36), запишем
1 dv2
2 dt
1 ( 2 2\ 1 d \
Л?* +У ^ = И1^“ + И2^“
2 dt dt rx dt r2
Проведя перегруппировку членов, приходим к выражению
d 1 2
— —у
dt 2
_lQ2(x2+/)_.HL_h2
2 П r2_
= 0,
которое означает, что выражение в скобках является постоянным, т. е.
lv2_lQ2(x2+/)_a_h2=C
2 2 г\ г2
(П-41)
Полученное выражение называется интегралом Якоби, В нем v2/l —
кинетическая энергия, приходящаяся на единицу массы в подвижной СК,
-pj/f] и -ц2/г2 — энергии гравитационного потенциала двух притягиваю-
щих тел, “О2(х2 +у2) можно рассматривать как потенциальную энергию
центростремительной силы, приходящуюся на единицу массы.
Постоянная С названа интегралом Якоби в честь немецкого математика
К. Якоби (1804-1851), который получил его в 1836 году. Следует отметить,
что интеграл Якоби может быть интерпретирован как полная энергия третье-
го тела в подвижной СК.
Решив уравнение (11.41) относительно v2, получим
V
2
Ч + В?|
< И Г2 J
= Q2(x2 + /) + 2
+ 2С.
(Н.42)
Если движение третьего тела ограничено основной плоскостью, то мож-
но записать
r\ = 7(X + Tl2r12)2+/; r2 = + У1- (11.43)
Для заданного значения интеграла Якоби v2 является функцией только
положения в подвижной СК. Поскольку v2 не может быть отрицательным:
Q2(x2+/) + 2 Н + В.
I Г\ Г2 )
(11.44)
траектории меньшего тела не могут проходить через области, где это нера-
венство нарушается. Определить границы таких областей можно, принимая
v2 = 0, т. е.
+ 2 Н + И2
Г2 )
+ 2С = 0.
(11.45)
523
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
Границы областей, определяемые уравнением (11.45), называются кри-
выми нулевых скоростей, и их можно рассчитать для заданного значения ин-
теграла Якоби. Эти границы не могут пересекаться меньшим телом (КА) при
его движении внутри разрешенной области. С энергетической точки зрения
при подходе к границе разрешенной области КА имеет нулевой запас кине-
тической энергии, его скорость должна стать нулевой. Поскольку первые два
слагаемых в левой части уравнения (11.45) положительны, это означает, что
кривые нулевой скорости соответствуют отрицательным значениям интегра-
ла Якоби. Большие отрицательные значения С показывают, что либо меньшее
тело находится далеко от барицентра системы (х2 + у2 велико), либо это тело
находится вблизи одного из притягивающих тел (г} или г2 мало).
Структура областей движения космического аппарата
в системе Земля — Луна
Рассмотрим систему Земля — Луна. Из уравнений (11.2)-(11.4), (11.18)
и (11.34) имеем
Pi = ц£ = 398 600 км3/с2;
ц2 = \хм = 4903,02 км3/с2; (11.46)
П = БД
V Г12
/398600 + 4903 _б
/--------=— =2,66538-10 рад/с.
V 384 4003
Подставляя эти значения в уравнение (11.45), можно построить кривые
нулевой скорости для различных значений интеграла Якоби.
На рис. 11.4 представлено изменение границ областей допустимых дви-
жений КА в системе Земля — Луна при изменении значения интеграла Якоби.
При С = -1,8 км2/с2 области допустимых движений КА представляют собой
круги, окружающие Землю и Луну, как показано на рис. 11.4, а. Запущенный
с Земли КА при таком значении С не может достичь Луны и тем более выйти
из системы Земля — Луна. Подставляя координаты точек либрации L}, L2 иL3
в уравнение (11.45), можно получить значения интегралов Якоби Сь С2 и С3,
которые определяют достижение этих точек КА с нулевой скоростью входа
в них. Определяемые этими значениями С области также представлены на
рис. 11.4. Например, при значении интеграла Якоби, близком к С2 = -1,6735,
открывается так называемое горлышко, или коридор, у точки через кото-
рый КА может совершить перелет из окрестности Земли в окрестность Луны.
Увеличение С расширяет этот коридор, и при С > С2 становится возможным
переход КА в области, лежащие за орбитой Луны. Относительно наимень-
шую достижимость с точки зрения значения интеграла Якоби имеют точки
либрации Ь4 и L5.
Отметим, что для заданного значения интеграла Якоби относительная
скорость в любой точке внутри допустимой области может быть найдена
с использованием уравнения (11.42).
524
11.3. Интеграл Якоби
х, тыс. км х, тыс. км
Рис. 11.4. Запрещенные области (закрашены) в системе Земля —
Луна для различных значений интеграла Якоби
525
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
Пример 11.1
Космический аппарат в точке S, расположенной на оси, соединяющей
Землю и Луну и находящейся на высоте 200 км над поверхностью Земли,
имеет скорость vt0 (рис. 11.5). Определите скорость для случаев, когда
движение КА возможно в областях, представ-
Рис. 11.5. Полет КА на высо-
те 200 км над поверхностью
Земли
ленных на рис. 11.4.
Решение
Координаты центров притягивающих масс
от2
(-ц, 0) и (1 - |i, 0), где ц =-i—, а от, и
ОТ] + от2
от2 — массы большего и меньшего притягива-
ющего тела. Обозначим координаты притяги-
вающих тел на оси Ох через х} и х2, расстояние
между основными телами — ri2. Для системы
Земля — Луна приняты следующие значения
параметров:
От] = 5,974-1024 кг;
от2 = 7,348-1022 кг;
Г]2 = 3,844-105 км.
При пересчете безразмерных единиц в размерные получим
*1
7,348-1022
5,974 1024+ 7,348-1022
3,844 105 =-4670,6 (км);
Х2 = Г]2+Х].
Координаты точки S имеют значения
х = 6578 - 4670,6 - 1907,3 (км); у = 0.
Учитывая, что
Ц] = <7от], ц2 = Gm2,
где G — постоянная всемирного тяготения, запишем интеграл Якоби в раз-
мерном виде
v2
= О2(х2 + /) + 2
< г\ г2 )
+ 2С.
Здесь Aj = л/(х + Х])2+ у2; г2 = -J(x + x2)2+у2. Тогда можно определить
значения скоростей, соответствующих требуемым значениям интеграла
Якоби:
526
11.3. Интеграл Якоби
Со : vt0 = 10,845 км/с;
Сх : vi0 = 10,857 км/с;
С2 : Удо = 10,858 км/с;
С3: v60 = 10,866 км/с;
С4: = 10,868 км/с;
С5: v60 = 10,868 км/с.
Значения скоростей отличаются от второй космической, рассчитанной
для высоты заданной орбиты
_ [2^ _ /2-398 600 z
Vnap У г У 6578 П’01
Следует отметить, что фактически разность скоростей, задающих боль-
шее и меньшее значения интеграла Якоби, составляет 23 м/с.
На рис. 11.6 приведен пример траектории условного КА в ограниченной
задаче трех тел с массовым отношением ц = т2](тх + т2) = 0,1. Такое массо-
вое отношение нехарактерно для основных планет Солнечной системы, одна-
ко данный пример демонстрирует, какой вид имеет траектория движения КА
при прохождении через открывающееся в окрестности коллинеарной точки
Рис. 11.6. Пример траектории КА, проходящей через «горлышко» в окрестности кол-
линеарной точки либрации (стрелкой указано направление движения КА)
либрации Lx «горлышко». На рис. 11.6, а приведена траектория КА в под-
вижной СК с началом в барицентре системы двух притягивающих тел, на
рис. 11.6, б — в неподвижной СК, связанной с большим притягивающим те-
лом. Единицы измерения приведены к безразмерным величинам.
Отметим, что в неподвижной СК участки траектории КА двух видов: для
первого случая — при движении в окрестности большего тела — это решение
527
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
задачи двух тел, а именно две эллиптические орбиты разного эксцентрисите-
та, для второго — при движении КА в окрестности меньшего притягиваю-
щего тела — это так называемые эпициклические движения. Подобные дви-
жения совершают планеты Солнечной системы при наблюдении их с Земли.
Координаты КА в неподвижной СК могут быть определены по следую-
щим формулам:
X = >/(х + ц)2 + у2 cos[/ + arctg(y/(x + ц))];
Y = y/(x + ii)2+y2 sin [/ + arctg (у/(х + ц))].
(П-47)
Введенные безразмерные величины дают период обращения притягиваю-
щих тел 2л, вследствие чего угол поворота подвижной СК равен безразмер-
ному времени.
11.4. Модификации ограниченной задачи трех тел
11.4.1. Уравнения эллиптической ограниченной задачи трех тел
Рассмотренный выше случай круговой ограниченной задачи трех тел в пер-
вом приближении справедлив для большинства планет Солнечной системы
вследствие малости эксцентриситетов их орбит. Также этот вариант ограни-
ченной задачи трех тел удобен для построения аналитических приближений,
использующих интеграл Якоби. Однако в некоторых случаях необходимо
учитывать эксцентриситет орбит притягивающих тел и использовать уравне-
ния движения эллиптической ограниченной задачи трех тел. Эти уравнения
не имеют не только аналитического решения, но и аналога интеграла энер-
гии, поэтому могут быть решены только численными методами.
Для описания движения в эллиптической ограниченной задаче трех тел
используется неравномерно вращающаяся (пульсирующая) барицентрическая
СК Gxyz (рис. 11.7). Расстояние между основными притягивающими телами
и сумма их масс принимаются равными единице. Относительное движение
Рис. 11.7. Система координат эллиптической ограниченной задачи трех тел
528
11.4. Модификации ограниченной задачи трех тел
притягивающих тел — меньшего массой ц и большего массой (1 - ц) — про-
исходит по коническим сечениям, при этом истинная аномалия меньшего
тела обозначается Ф. В этом случае уравнения движения в безразмерной си-
стеме координат можно записать в виде
д2х 2 dy _ 1 SO
S$2 d§ l + ecos&Sx’
(11.48)
d§2 d& l + ecos3 dy
d2z _ i an
S32 l + ecos3 dz ’
где силовая функция
_ 1 — Ц, Ц, 1 / 2 2\ 1 2 л
Q = ——+ — + — (х +у )—ez cos3;
г0 Г] 2 2
r02 =(x + p)2+y2 + z2;
г2 - (x-1 + ц)2 + у2 + z2.
Переход от истинной аномалии к времени осуществляется с помощью
d§ (1 + ecosd)2
равенства —— =------ттч--, е и р — соответственно эксцентриситет и фо-
- dt Р
кальныи параметр конического сечения меньшего притягивающего тела. Си-
стемы единиц выбраны таким образом, что при расстоянии A/qA^ = 1 и сумме
масс притягивающих тел равной единице постоянная тяготения также равна
единице. Подстановкой е = 0 могут быть получены уравнения круговой огра-
ниченной задачи трех тел. В этом случае предполагается, что основные при-
тягивающие тела движутся относительно барицентра по круговым орбитам
радиусами ц (большее) и (1 - ц) (меньшее).
11.4.2. Уравнения бикруговой ограниченной задачи четырех тел
Вследствие того что отношение масс Земли и Луны сравнительно невелико и со-
ставляет всего около 81, часто движение Земли и Луны относительно Солнца
рассматривается как движение двойной планеты. Однако при проектировании
космических полетов в окрестности как Земли, так и Луны для повышения точ-
ности расчетов и анализа некоторых классов траекторий могут быть использо-
ваны уравнения так называемый бикруговой ограниченной задачи четырех тел.
В этой постановке предполагается, что Луна, Земля и Солнце обращаются по
круговым траекториям относительно их общего барицентра (рис. 11.8). Наи-
более актуальным следует считать случай, когда в качестве основных тел вы-
браны Земля и Луна, а влияние Солнца описывается как возмущающее.
Для безразмерных величин можно записать уравнения движения исходя
из следующих соображений. Положим массу Луны равной ц, массу Земли —
529
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
1 - ц., массу Солнца — ms. Пусть координаты (X, Y, Z) определяют положение
КА в Лунно-Земной барицентрической СК. Примем расстояние между Зем-
лей и Луной за единицу, а расстояние от барицентра системы координат до
Солнца равным as. Координаты Солнца, Земли и Луны можно записать в виде
ХЕ = pcos/; Хм = (p-l)cos/; Xs =asco&nst;
Ye = psin/; YM = (p-l)sinf; Ys=assinnst; (11.49)
Zg = 0’ ZM = 0’ = 0’
где ns — среднее движение Солнца, причем аЕп% = 1.
Введенная СК не является инерциальной, поэтому перейдем к записи
уравнений в СК, связанной с барицентром системы Солнце — Земля — Луна:
Xt = X-----— as cos nst;
l + ms
Yj=Y-----as sin nst; (11.50)
l + ws
Z,=Z.
Тогда уравнения движения KA в новой (инерциальной) СК
X = X: —%-cosnet;
1 2 ’
так как
Рис. 11.8. Система координат бикру-
говой задачи четырех тел (ось Z пер-
пендикулярна плоскости рисунка)
Y = Y -^-sinnst;
'a2 S
s
Z = Zi,
(11.51)
msasn} =
1 + OTc a2
Входящие в правые части уравне-
ний (11.51) ускорения можно предста-
вить в виде
(Х-Хд)(1-р) (Х-Хм)» (x-xs)ms
3 3 3 ’
rPE rPM rPS
у . (У-УЕ)(1-н) (Г-Ум)ц
3 3 3 ’
rPE rPM rPS
7 -г Z(1~|X) Z^ ZmS
з 3 3’
rPE rPM rPS
где rPE, rPM, rPS—расстояния от KA до Земли, Луны и Солнца соответственно.
530
11.5. Фазовый портрет круговой ограниченной задачи трех тел...
Введем вращающуюся СК, связанную с барицентром системы Земля —
Луна таким образом, что в ней выполняются следующие условия:
x = Xcos/ + ysinZ;
у = -Xsin/ + ycosZ; (11.53)
z = Z.
Тогда из уравнений (11.51) с учетом (11.52) и (11.53) уравнения движе-
ния бикруговой задачи принимают вид
х - 2у - х = -1 3^(х - ц) —у— (х - ц +1) - (х - as cos 0) - cos 0;
rPE rPM rPS aS
y+2x-y = —г- y--^-(y + a5sinO)-^-sin0; (11.54)
rPE rPM rPS aS
а.. 1-Ц-___7
z - 3 z 3 z 3z,
rPE rPM rPS
где
0 = (1 - ns)f,
rPE=(x-p)2 +У2 +z2; ГрМ = (x-p+l)2 + / + z2;
rpS =(x-xs)2 + (y-ys)2 +z2.
Положение Солнца во введенной СК определяется зависимостями
(1 + т )^3
x5=ascos0; ys=-assin0; as =------. (11.55)
ns
Для численных расчетов могут быть использованы следующие значения
постоянных:
ц = 0,012150298; ms= 328 900,12; ns = 0,07480132816.
При переходе к размерным величинам за единицу времени принимает-
ся период орбиты Луны, а за единицу скорости — модуль вектора скорости
Луны относительно Земли.
11.5. Фазовый портрет круговой ограниченной задачи
трех тел в окрестности меньшего притягивающего тела
Рассмотрим фазовый портрет динамической системы как рисунок, содержа-
щий особые точки этой системы, векторное поле скоростей и набор фазовых
траекторий, являющихся решением дифференциальных уравнений системы
на плоскости. Из уравнений (11.20) в окрестности коллинеарной точки ли-
брации (хе, 0,0,0), являющейся решением этих уравнений, можно получить
531
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
общий линеаризованный вид уравнений плоского движения круговой ограни-
ченной задачи трех тел в форме Лагранжа:
х = vx,
У = Уу,
vr = 2vv + ах;
vy=-2vx-by
(11.56)
Уравнения (11.56) задают вектор состояния меньшего тела в плоскости ху.
Для уравнений (11.56) можно записать интеграл энергии в виде
^=|(vx2+vJ-ax2+6/), (11.57)
где
а = 2Ц + 1>0; 6 = Ц-1>0; Ц = ц|хе-1 + ц| 3+ (1-ц)|хе+ ц| 3.
Следует отметить, что поверхность нулевой энергии интеграла Е{ соот-
ветствует поверхности энергии, проходящей через точку либрации. Далее
рассмотрим случай Ех = е > 0, когда существует «горлышко» в окрестности
точки либрации (рис. 11.9).
На рисунке представлены сечения поверхности Хилла 1, направления
действующих на тело, находящееся в состоянии покоя, гравитационных
Рис. 11.9. Схема фазового портрета системы Земля —
Луна — КА в окрестности меньшего притягивающего тела
532
11.5. Фазовый портрет круговой ограниченной задачи трех тел...
определяющие устойчивые и неустойчивые многообразия коллинеарных то-
чек либрации, линейные приближения ляпуновских орбит. Тоном выделе-
на запретная область, образующая «горлышко» для ляпуновской орбиты 2
в окрестности точки Z2.
Из уравнений (11.56) можно определить собственные числа линеа-
ризованной системы. Они могут быть представлены в виде ±Х и ±zv, где X
иг — положительные постоянные. Например, для точки Lx системы Зем-
ля— Луна эти числа (-0,430275, 0,430275 и -1,05783 z, 1,05783 z). Отметим,
что такой вид собственных чисел говорит о том, что особая точка, она же
коллинеарная точка либрации, имеет тип «седло — центр», т. е. существу-
ют два многообразия этой точки — устойчивое и неустойчивое, задаваемые
собственными векторами, соответствующими гиперболическим собственным
числам ±Х, и периодические решения, соответствующие собственным чис-
лам ±zv. Собственные векторы, соответствующие собственным числам систе-
мы уравнений (11.56), имеют вид
щ = (1,-о,Х,-Хо);
й2 =(1,о,-Х,-Хо);
- , • • / (11-58)
= (1,-zt,zv,vt);
w2 = (1,zt,-zv,vt),
где о, т — постоянные, причем а > 0 и т < 0.
Упрощенная схема движения потоков орбит в окрестности коллинеарных
точек либрации приведена на рис. 11.10. Под термином «поток орбит» под-
разумевается некоторое число орбит, явля-
ющихся частными решениями задачи трех
тел со взятыми близкими начальными усло-
виями и обладающими сходными характе-
ристиками.
На рис. 11.10 видно, что в зависимости
от уровня энергии, характеризующего кон-
кретную орбиту, можно выделить четыре
типа орбит КА, посещающих ближайшие
окрестности коллинеарных точек либрации:
1) орбиты, расположенные внутри об-
ласти притяжения большего тела;
2) орбиты, расположенные внутри обла-
сти притяжения меньшего тела;
3) орбиты, принадлежащие устойчиво-
му и неустойчивому многообразиям точки
либрации (асимптотические);
4) пролетные орбиты.
Орбиты 1-го и 2-го типов не пересека-
ют область энергетического «горлышка».
В свою очередь пересечение потоков орбит
Рис. 11.10. Схема потоков орбит
в окрестности точки либрации
в плоскости ху:
1 — орбиты во внутренней обла-
сти большего притягивающего тела;
2 — орбиты во внутренней области
меньшего притягивающего тела; 3 —
орбиты из устойчивого многообразия
точки либрации; 4 — пролетные ор-
биты; 5 — ляпуновская орбита
533
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
Запретная для движения область
Рис. 11.11. Схема потоков орбит устойчивых Ws+ ,WS и неустой-
чивых Wu+ ,WV~ многообразий в окрестностях коллинеарных точек
либрации у меньшего притягивающего тела Р2- Через Р2 проведено
сечение Пуанкаре
а.е.
0,002
0,000
-0,002
-0,004
-0,006
0,986 0,988 0,990 0,992 0,994 0,996 0,998 1,000
а.е.
Рис. 11.12. Потоки орбит устойчивого и неустойчивого многообразий в окрест-
ности коллинеарной точки либрации L} системы Солнце — Земля
534
11.6. Динамические режимы задачи трех тел
устойчивого и неустойчивого многообразия собственных векторов коллине-
арных точек либрации образует ляпуновскую орбиту. Схема потоков приве-
дена на рис. 11.11.
Использование орбит из описанных потоков приводит к принципиальной
возможности выведения КА по орбитам из устойчивого многообразия точки
либрации на заданную ляпуновскую орбиту. Этот способ получил широкое
применение и используется для выведения КА на ляпуновские орбиты точек
либрации и Ь2 по так называемой одноимпульсной схеме. В соответствии
с ней КА получает единственный разгонный импульс на околоземной орбите,
а дальше, двигаясь по траектории из устойчивого многообразия Ws+, плавно
выходит на ляпуновскую орбиту в окрестности коллинеарной точки либра-
ции. Естественно, что в процессе перелета требуется проведение коррекций
движения. Однако при таком способе выведения в соответствии с расчетами
в рамках теории возмущений, данная схема не позволяет получить орбиту,
размеры которой менее 600 000 км по большой полуоси. В качестве примера
приведен вариант рассчитанных потоков орбит в окрестности коллинеарной
точки либрации системы Солнце — Земля. Траектория перелета в окрест-
ность точки либрации, наиболее подходящая для выведения КА, на рис. 11.12
выделена жирной линией.
11.6. Динамические режимы задачи трех тел
Как следует из сказанного выше, при определенных параметрах задача трех
тел может иметь решения, соответствующие решениям задачи двух тел, но
этими решениями она не исчерпывается. Более того, задача трех тел зачастую
проявляет хаотическое поведение, выражающееся в том, что минимальное от-
клонение начальных условий движения КА приводит к значительным разли-
чиям в реализуемых траекториях движения, а значит, возникает задача опи-
сания возможных динамических режимов этой задачи. Естественно, что такая
задача (как и многие другие) вообще не возникала, если бы существовала
техническая возможность реализовать любые характеристические скорости.
Но поскольку такой возможности нет, приходится искать наиболее энерге-
тически выгодные траектории движения КА, однако для этого оказывается
недостаточно методов задачи двух тел. Кроме того, возможны различные си-
туации неопределенности параметров движения КА при подлете к планете
назначения. Таким образом, сильная хаотичность задачи при определенных
параметрах совместно с некоторой всегда существующей неопределенностью
реализуемых траекторий движения приводят к необходимости «картирова-
ния» возможных конечных движений.
Для реализуемых миссий исследования космического пространства од-
ной из существенных задач является определение параметров движения КА
на заключительном этапе. К задачам данного этапа можно отнести:
1) реализацию подлетных траекторий;
2) реализацию траекторий выведения КА на околопланетную периодиче-
скую траекторию;
535
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
3) реализацию траекторий торможения в атмосфере (при наличии) плане-
ты и посадки на нее;
4) реализацию траекторий ожидания в некоторой окрестности планеты;
5) реализацию траекторий группового движения комплекса КА для на-
блюдения за планетой и (или) передачи данных о наблюдениях на Землю.
При этом траектории пункта 4 не должны быть околопланетными. Они мо-
гут быть, например, ляпуновскими орбитами или другими орбитами в окрест-
ности точек либрации планеты; то же самое замечание относится и к пункту 5.
Почти все приведенные задачи можно решить в рамках задачи двух тел,
как это было показано ранее, однако задача трех тел дает дополнительные
возможности для оптимального решения поставленных выше задач с учетом
ее специфики.
Предпосылкой к построению карты динамических режимов задачи трех
тел можно считать утверждение, что одним из условий существования пери-
одической орбиты задачи трех тел является пересечение траекторией движе-
ния главной оси координат под прямым углом.
Практически это означает, что для получения некоторой периодической
орбиты в задаче трех тел возможно найти такие скорости КА, выбранные
в качестве начальных условий, которые приведут к образованию периоди-
ческой или хотя бы квазипериодической орбиты. Однако не все траектории,
пересекающие главную ось координат перпендикулярно, являются хотя бы
квазипериодическими, что обусловливает задачу классификации траекторий
из возможного их множества.
В задаче трех тел выделено и классифицировано множество частных реше-
ний, имеющих те или иные характеристики. Как правило, подобные классифи-
кации строятся на чисто визуальном сходстве и отражают изменение тополо-
гии орбиты при изменениях начальных условий, приводящих к ее появлению.
При анализе многих миллионов начальных условий такая классификация
не может быть применена хотя бы вследствие того, что на анализ каждой
получаемой траектории требуется некоторое время. Кроме того, результаты
анализа должны быть занесены в таблицу, что тоже требует затрат времени.
Для автоматизации классификации орбит был предложен интегральный
характеристический показатель, основанный на интеграле фазовой скорости
вдоль траектории движения.
Движущееся тело в ограниченной задаче трех тел имеет некоторую энер-
гию, определяемую для случая круговой задачи интегралом Якоби. В общем
случае, если задача не является круговой, такого интеграла не существует.
Однако можно ввести функцию Якоби
(11.59)
- (ecos(3) +1) (х2 + у2 + z2 + z2 ),
536
11.6. Динамические режимы задачи трех тел
где x9y9z —производные координат пассивно гравитирующей материальной
точки КА по истинной аномалии (или фазовые скорости).
В случае ограниченной круговой задачи трех тел данная функция явля-
ется интегралом Якоби, а фазовые скорости — безразмерными скоростями
движущейся материальной точки.
Можно ввести интеграл, отражающий принцип наименьшего действия,
физический смысл которого заключается в том, что вдоль каждой траектории
вычисляется накопленное значение разности энергии движущейся и непод-
вижной материальных точек, находящихся в данных координатах простран-
ства. Математически для каждой точки траектории вычисляется разность
между интегралами функции Г для движущейся и неподвижной точек. Этот
интеграл всегда неотрицателен. Наименьшее (нулевое) значение получаемого
интеграла будет достигаться в точках либрации, поскольку скорость движе-
ния в этих точках равна нулю.
Таким образом, для каждой z-й орбиты, являющейся численным решени-
ем системы уравнений ограниченной задачи трех тел при заданных началь-
ных условиях, из семейства рассчитанных, обозначаемого нижним индек-
сом /0, вычисляется интеграл по времени:
По=/(г(4(о5уго(^4(о,х;0(о^о(о.^о(о)-г(4(о,^(о,4(о,о,о,о))л.
го
(11.60)
Полученное значение характеризует траекторию третьего тела и называ-
ется интегральным характеристическим показателем (ИХП).
Пример построения карты динамических режимов
Приведем пример, иллюстрирующий возможности введенного ИХП для
кластеризации траекторий перелета из окрестности Земли в окрестность
коллинеарной точки либрации Lx системы Солнце — Земля с последую-
щим выведением КА на ляпуновскую орбиту. Для построения траекторий
использована двухимпульсная схема с пролетными орбитами, максимально
близкими к асимптотическим у точки либрации. Первый импульс характе-
ристической скорости подается в окрестности Земли, второй — при форми-
ровании ляпуновской орбиты. На рис. 11.13. представлены девять различных
вариантов {1-9) траекторий, использующих подобную схему выведения КА,
которые по рассчитанному для них ИХП были кластеризованы в соответству-
ющие группы. Отметим, что даже небольшие изменения формы траектории
приводят к существенному изменению ее ИХП. Пример таких траекторий
приведен на рис. 11.14 (номера вариантов траекторий соответствуют приве-
денным на рис. 11.13).
Схема построения карты динамических режимов задачи трех тел заклю-
чается в следующей последовательности действий.
1. Выбирают начальные условия движения КА, отвечающие указанным
выше критериям получения периодической орбиты.
537
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
Рис. 11.13. Пример кластеризованных по ИХП траекторий перелета
с выведением КА на ляпуновскую орбиту в окрестности коллинеарной
точки либрации L{ :
1-9 — кластеры
2. Проводят интегрирование системы уравнений движения КА для полу-
чения траекторий, соответствующих заданным начальным условиям.
3. Для каждой из полученных траекторий определяют ИХП.
4. Строят карту динамических режимов, например, в координатах «по-
ложение — скорость — ИХП». Это следует из того, что однозначно траекто-
рию движения КА можно охарактеризовать тремя параметрами: скалярными
начальными условиями положения (7?х) и скорости (уу 0) и ИХП. Соответ-
ственно, карту строят в координатах (Rx, vy), а каждую точку заданной пло-
скости окрашивают в цвет, соответствующий значению ИХП.
Пример карты динамических режимов для системы Солнце — Марс при-
веден на рис. 11.15. Общий анализ представленной карты показывает, что су-
ществуют достаточно значительные области начальных условий, для которых
получаемые траектории движения можно считать топологически одинаковы-
ми; изменение характера траекторий в соседних областях имеет эволюцион-
ный характер. Такие режимы относят к регулярным режимам динамических
538
0,003
0,002
0,001
0,000
-0,001
0,990 0,992 0,994 0,996 0,998 1,000
^start = 38059,4 КМ, fend = 114,64 сут
АК0=1254,52 м/с, А^ = 97,31 м/с, AKZ = 1351,83 м/с
^start = 8669,31 км, Zend = 366,536 сут
АГ0 = 3076,62 м/с, А^ = 127,71 м/с, AKZ = 3204,33 м/с
= 99889,9 км, f^ = 368,415 сут
АГ0 = 703,645 м/с, AKj = 2,076 м/с, AKZ = 705,721 м/с
Гл = 0,00200349
0,002
0,000
-0,002
-0,004
-0,006
0,990 0,995 1,000 1,005
= 99641,2 км, fend = 337,522 сут
АИ0 = 704,331 м/с, АИ1 = 36,524 м/с, AKZ = 740,855 м/с
Гл = 0,0020707
АИ0 = 1260,51 м/с, AKi = 130,87 м/с, AKZ= 1391,38 м/с
Гл = 0,00112119
0,004
0,002
0,000
-0,002
-0,004
-0,006
0,990 0,995 1,000 1,005
Retiut = 18371,4 км, = 313,325 сут
АИ0 =1988,71 м/с, AKj = 143,921 м/с, AKZ = 1988,71 м/с -0,002
Гл = 0,00144782
0,004
0,002
0,000
-0,002
-0,004
0,004
0,002
0,000
-0,004
0,990 0,994 0,998 1,002
= 37701,7 км, fend = 381,161 сут
АИ0 =1255,68 м/с, А^ =125,684 м/с, AKZ = 1381,36 м/с
Гл = 0,00227977
0,990 0,994 0,998 1,002
^start = 39588,3 км, fend = 310,74 сут
АК0 = 1223,25 м/с, А^ = 104,701 м/с, AKZ = 1327,95 м/с
Гл = 0,00165759
0,006
0,004
0,002
0,000
-0,002
-0,004
-0,006
0,990 0,995 1,000 1,005 1,010
= 19911^2 км, = 370,427 сут
АИ0= 1750,6 м/с, А^ = 98.661 м/с, AKZ = 1849,26 м/с
Гл= 0,00273521
Рис. 11.14. Траектории перелета в окрестности к коллинеарной точки либрации Lx
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
Рис. 11.15. Карта динамических режимов задачи трех тел для системы
Солнце — Марс:
1-8 — области и границы областей, соответствующих распределению траекто-
рий по ИХП при Г;о <0,0042
систем. Кроме того, существует ряд областей, в которых минимальное из-
менение начальных условий приводит к тому, что реализуются траектории,
имеющие значительно отличающиеся ИХП. Такие области характеризуются
как области хаотической динамики.
Некоторые примеры реализуемых траекторий для системы Солнце —
Марс — КА из различных областей карты динамических режимов приведены
на рис. 11.16 и 11.17.
На рис. 11.15 видно, что представленная карта динамических режимов
задачи трех тел для системы Солнце — Марс отражает всю сложность ди-
намики движения в задаче трех тел для исследованных начальных условий.
Области начальных условий 1-8 соответствуют характерным траекториям за-
дачи трех тел:
• 1 — ляпуновские орбиты коллинеарной точки либрации Lx — ограни-
чивающая исследуемую область значений Г\о снизу линия. Часть указанной
линии слева от точки либрации Lx относится к начальным условиям движе-
ния по восходящему полувитку, справа от Lx — к нисходящему;
• 2 — ляпуновские орбиты коллинеарной точки либрации L2 — две обла-
сти начальных условий (пример орбит, соответствующих указанным началь-
ным условиям приведен на рис. 11.16, траектории 5 и б);
• 3 — область квазипериодических орбит со средним эксцентриситетом
и значительным смещением оси апсид (см. рис. 11.16, траектории 1-3);
• 4 — области квазипериодических орбит с прямым и ретроградным об-
ращением различного эксцентриситета (см. рис. 11.16, траектория 4). Для
упрощения области, прилежащие к притягивающему центру (вверху, закра-
шены сплошным цветом), не обозначены;
540
11.6. Динамические режимы задачи трех тел
0,002
0,001
0,000
-0,001
-0,002
0,010
0,005
0,000
-0,005
-0,010
-0,015
-0,020
0,998 0,999 1,0001,0011,002 1,000 1,004 1.008
1,000 1,005 1,010 0,996 1,000 1,004
0,9960,998 1,01,0021,004
0,004
0,002
0,000
-0,002
-0,004
0,996 0,998 1,0 1,002 1,004
Рис. 11.16. Схема карты динамических режимов для системы Солнце — Марс при
По <0,00095
541
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
* 5 — три «острова», границы которых имеют сложную структуру. Факти-
чески эта граница, наряду с траекторией 6, отражает явления динамического
хаоса, в том числе удвоение периода, перемежаемость, сильную зависимость
от начальных условий (некоторые особенности структуры границы демон-
стрирует рис. 11.17);
• 6 — область орбит F-класса в англоязычной литературе DRO (Distant
Retrograde Orbits) (см. рис. 11.16, траектории 7 и 8). Фактически область на-
чальных условий для выведения на указанные орбиты простирается далее
влево;
• 7 — одна из областей сложной хаотической динамики — перешеек
между двумя «островами» (схема структуры указанной области приведена
на рис. 11.17);
• 8 — белым, за исключением областей внутри «островов», имеющих
большие значения Fj0, обозначены начальные условия, соответствующие со-
ударению третьего тела с планетой (Марсом).
Для качественной прорисовки деталей карты динамических режимов рас-
смотрим достаточно узкий диапазон значений По, позволяющий четко вы-
явить структуру границ некоторых характерных областей начальных условий
движения КА. Представленная на рис. 11.16 карта динамических режимов
состоит из двух областей. Области начальных условий, соответствующие
хаотической динамике, построены для случая 0,00045 < По< 0,0005, а со-
ответствующие регулярной динамике — для случая 0,0009 < По < 0,00095.
Приведенные на рис. 11.16 примеры траекторий движения КА для началь-
ных условий 1-4 отражают характер изменения траекторий 1-4 от высоко-
эллиптических (в первом приближении), совершающих периодические дви-
жения в пределах сферы Хилла с касанием данной сферы, до почти круговых.
Траектории 5 и <5 соответствуют начальным условиям выведения КА на воз-
мущенные ляпуновские орбиты точки Ь2. Траектории 7 и 8 являются воз-
мущенными траекториями орбит F-класса, причем траектория 7 отстает от
движения планеты, а траектория 8 опережает его. Траектория 9, начинаясь
в окрестности коллинеарной точки либрации Z,b попадает далее в ближай-
шую к Марсу область, совершает несколько колебаний и далее покидает ее,
уходя во внутренние области пространства. Траектория 10 — возмущенная
траектория периода, кратного четырем, проходящая через окрестности двух
коллинеарных точек либрации планеты.
На рис. 11.17 представлены схема границ двух нижних «островов», полу-
ченная для случая г;0 < 0,0005, и примеры типичных орбит, для получения
которых начальными условиями послужили указанные границы. Также на
рисунке нанесены линии уровней функции Якоби, соответствующие непод-
вижной точке. Прослеживается характер изменений формы для орбит 1,2, 7,
8, являющихся двухпериодическими. Орбита 3 представляет собой одну из
возможных орбит гетероклинического перелета из окрестности точки либра-
ции £, в окрестность точки либрации Ь2. Орбиты 4 и 5 демонстрируют выход
во внутреннюю (орбита 4) и во внешнюю (орбита 5) области сферы Хилла
через окрестности коллинеарных точек либрации.
542
11.6. Динамические режимы задачи трех тел
0,002
0,001
0,000
-0,001
-0,002
0,995 0,997 0,999 1,001
0,996 0,998 1,000
0,996 1,000 1,004 0,996 0,998 1,000
0,998 1,000 1,002 1,004
Рис. 11.17. Схема структуры границ «островов» при rj0 < 0,0005 и траектории дви-
жения КА 1-8, соответствующие начальным условиям 1-8, выбранным на границах
«островов»
Не все из приведенных орбит являются периодическими вследствие огра-
ничений численного характера исследования, однако дают хорошее прибли-
жение для получения периодических орбит представленного типа.
543
Глава 11, Ограниченная задача трех тел
Основные соотношения
Уравнения движения круговой ограниченной задачи трех тел
х - 2Qy - Q2x = (х + T]2fi2 ) “ “ П1^12 ) 5
Г] г2
у + 2Ох-П2у = -^у-Ц-у; (11.20)
П г2
г z z,
г\ г2
Ц] = Gmx, ц2 = Gm2. (11.18)
Координаты точек либрации:
треугольных
L4,L5:x = ^-T]2rn, y = ±^r]2, z = Q, (11.31)
коллинеарных
= +’Ъ)+ |е 112 +Лг -1)-= 0- (11-33)
Р + Л2| К+Л2-Ч
Интеграл Якоби
-U2-ifi2(;t2+/)--- —= С- (11-41)
2 2 гу
544
Основные соотношения
Кривые нулевых скоростей (сечения поверхности Хилла)
Й- + Н2. +2С = 0.
71 г2)
(11.45)
Уравнения эллиптической ограниченной задачи трех тел
д2х dy _ 1 да
д& ~~
д2у
d§ l + ecos3Sx’
у .dx 1 да
—=т + 2— =----------;
d& 1 + ecosd ду
1 да
S32
d2z _
S32 l + ecos3 dz ’
(11.48)
где силовая функция определена в виде
л 1-Ц Ц 1/ 2 2\ 1 2 П
Q = —— + — + —(% +у )—ez cos3;
r0 ?i 2 2
г02=(х + ц)2+у2+г2;
г2 = (х-1 + ц)2 +у2 +z2.
Переход от истинной аномалии к времени осуществляется с помощью
d& (l + ecos3)2 ,
равенства — =-------57=--, е и р — соответственно эксцентриситет и фо-
„ dt Р
кальныи параметр конического сечения меньшего притягивающего тела. Си-
стемы единиц выбраны таким образом, что при расстоянии М^МХ = 1 и сумме
масс притягивающих тел равной единице постоянная тяготения также рав-
на единице. Подстановкой е = 0 могут быть получены уравнения круговой
545
Глава 11. Ограниченная задача трех тел
ограниченной задачи трех тел. В этом случае предполагается, что основные
притягивающие тела движутся относительно барицентра по круговым орби-
там радиусами ц (большее) и (1 - ц) (меньшее).
Уравнения бикруговой ограниченной задачи четырех тел
.. 1-Ц/ \ ц / т<; , „х тс Л
х-2у-х = ^-(х-ц)—5— (х-ц + 1)—^-(x-ascos0) ^-cos0;
rPE rPM rPS as
y + 2x-y = -——5—y--p(y + tfsSm0)--^-sm0; (11.54)
rPE rPM rPS aS
z-——z——z—rz,
rPE rPM rPS
где
0 = (l-«s)/;
гре =(x-p)2 + y2 + z2; rpM=(x-p. + l)2+y2 + z2;
rpS=(x-xs)2+(y-ys)2+z2.
Положение Солнца во введенной СК определяется зависимостями
1/3
xs=nscos0; y5=-assin0; as = ^ + ^ . (11.55)
ns
Для численных расчетов могут быть использованы следующие значения
постоянных:
ц = 0,012150298; ms = 328 900,12; ns = 0,07480132816.
546
Вопросы и задачи
Функция Якоби
(11.59)
-(ecos(&) + 1)(х2 + у2 + z2 + z1 j,
где x,j>,z —производные координат пассивно гравитирующей материальной
точки КА по истинной аномалии (или фазовые скорости).
Для каждой /-й орбиты, являющейся численным решением системы урав-
нений ограниченной задачи трех тел при заданных начальных условиях, из
семейства рассчитанных, обозначаемого нижним индексом Го, вычисляют ин-
теграл по времени — интегральный характеристический показатель
По=1(г(4(0,у;о(о,4(О>4(о>Ло(О,^о(о)-г(4(О,^о(О,4(О,о,о,о))л.
'о
(11.60)
Вопросы и задачи
1. Объясните, зачем использовать решение круговой ограниченной зада-
чи трех тел для проектирования выведения космического аппарата в точку
стояния на геостационарной орбите?
2. Приведите известные примеры использования точек либрации в осу-
ществленных проектах освоения космического пространства.
3. Движение тела малой массы в системе Земля — Луна характеризуется
интегралом Якоби, равным -1,562. Охарактеризуйте возможные области дви-
жения этого тела в указанной системе.
4. Как изменяется положение коллинеарных точек либрации в бикруго-
вой задаче четырех тел?
5. Используя данные рис. 11.15, оцените скорость движения по орбите 4
захваченного гравитацией Марса тела малой массы.
Литература
Основная (рекомендуемая)
Аппазов Р.Ф., Сытин О.Г. Методы проектирования траекторий носителей
и спутников Земли. М.: Наука, 1987.
Раушенбах Б.В., Овчинников М.Ю. Лекции по динамике космического полета:
учеб, пособие. М.: МФТИ, 1997, 188 с.
Власов С.А., Мамон П.А. Теория полета космических аппаратов: учеб, пособие.
СПб.: ВКА им. А.Ф. Можайского, 2007.
Механика космического полета / М.С. Константинов, Е.Ф. Каменков, Б.П. Пере-
лыгин и др.: учебник / под ред. В.П. Мишина. М.: Машиностроение, 1989.
Микрин Е.А. Бортовые комплексы управления космических аппаратов: учеб, по-
собие. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. 254 с.
Микрин Е.А., Михайлов М.В. Навигация космических аппаратов по измерениям
от глобальных спутниковых навигационных систем: учеб, пособие. М.: Издательство
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017. 344 с.
Микрин Е.А., Михайлов М.В. Ориентация, выведение, сближение и спуск косми-
ческих аппаратов по измерениям от глобальных спутниковых навигационных систем:
учеб, пособие. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017. 360 с.
Иванов Н.М., Лысенко Л.Н. Баллистика и навигация космических аппаратов:
учебник. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016.
Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.:
Наука, 1990.
Соловьев В.А., Лысенко Л.Н., Любинский В.Е. Управление космическими поле-
тами: учеб, пособие. В 2 ч. / под ред. Л.Н. Лысенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана, ч. I, 2009; ч. И, 2010.
Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли.
2-е изд. М.: Либроком, 2011.
Дополнительная
Баллистика / С.В. Беневольский, В.В. Бурлов, Л.Н. Лысенко и др.; под ред.
Л.Н. Лысенко. Пенза: ПАИИ, 2005.
Бетанов В.В., Янчик А.Г. Навигационно-баллистическое обеспечение испытаний
и применения космических аппаратов / под ред. Б.И. Глазова. М.: В А РВСН, 1993.
Бетанов В.В., Яшин В.Г. Математическое обеспечение маневров космических
аппаратов. М.: ВА им. Ф.Э. Дзержинского, 1996.
Брагазин А.Ф. Управление сближением космических аппаратов (навигация, на-
ведение, коррекция движения). Королёв: РКК «Энергия», 2018. 472 с.
Дмитриевский А.А., Лысенко Л.Н. Прикладные задачи теории оптимального
управления движением беспилотных летательных аппаратов. М.: Машиностроение,
1978.
Иванов Н.М., Лысенко Л.Н., Дмитриевский А.А. Баллистика и навигация косми-
ческих аппаратов. М.: Машиностроение, 1986.
Иванов Н.М., Поляков В. С. Наведение автоматических межпланетных станций.
М.: Машиностроение, 1987.
Конструирование автоматических космических аппаратов / Д.И. Козлов, Г.П. Ан-
шаков, В.Ф. Агарков и др.; под ред. Д.И. Козлова. М.: Машиностроение, 1996.
548
Литература
Кульба В.В., Микрин Е.А., Павлов Б.В., Платонов В.Н. Теоретические основы
проектирования информационно-управляющих систем космических аппаратов / под
ред. Е.А. Микрина. М.: Наука, 2006. 579 с.
Лебедев А.А., Нестеренко О.П. Космические системы наблюдения. Синтез и мо-
делирование. М.: Машиностроение, 1991.
Левантовский В.И. Механика космического полета в элементарном изложении.
М.: Наука, 1980.
Лысенко Л.Н., Панкратов И.А. Основы спутниковой навигации. М.: Воениздат,
1988.
Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет. М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2007.
Лысенко Л.Н., Бетанов В.В., Звягин Ф.В. Теоретические основы баллистико-на-
вигационного обеспечения космических полетов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баума-
на. 2014.
Микрин Е.А. Бортовые комплексы управления космическими аппаратами и про-
ектирование их программного обеспечения: учеб, пособие. М.: Издательство МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2003. 336 с.
Можаев Г.В. Синтез орбитальных структур спутниковых систем: теоретико-
групповой подход. М.: Машиностроение, 1989.
Навигационное обеспечение полета орбитального комплекса «Салют-6» —
«Союз» — «Прогресс» / И.К. Бажинов, В.П. Гаврилов, В.Д. Ястребов и др. М.: Наука,
1985.
Основы теории полета космических аппаратов / В.С. Авдуевский и др.; под ред.
Г.С. Нариманова и М.К. Тихонравова. М.: Машиностроение, 1972.
Разоренов Г.Н. Введение в теорию оценивания состояния динамических систем
по результатам измерений. М.: МО СССР, 1981.
Рой А. Движение по орбитам. М.: Мир, 1981.
Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел. Пер. с англ. / под ред.
Г.Н. Дубошина. М.: Наука, 1982.
Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов. М.: БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2011.
Справочное пособие по экспериментальной баллистике ракетно-космических
средств / В.В. Бетанов, А.Г. Янчик, И.А. Шевченко и др. М.: Изд-во В А РВСН, 2001.
Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / под ред.
Г.Н. Дубошина. М.: Наука, 1976.
Титов Г.С., Иванов В.А., Горьков В.Л. Межорбитальные и локальные маневры
космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1982.
Экспериментальная баллистика ракетно-космических средств / под ред. Л.Н. Лы-
сенко, В.В. Бетанова, И.В. Лысенко. М.: Изд-во ВА РВСН, 2000.
Ярошевский В.А. Вход в атмосферу космических летательных аппаратов. М.:
Наука, 1988.
Dynamical Systems: the Three-body Problem and Space Mission Design
(Interdisciplinary Applied Mathematics) / Wang Sang Koon et. al. Springer, 2011.
Lynch S. Dynamical Systems with Applications using Mathematica. Boston:
Birkhauser, 2007.
Приложения
Приложение 1
Некоторые характеристики объектов
Параметр Солнце Меркурий Венера Земля Марс
Масса, кг 1,988435-1030 3,3022 -10м 4,8690-10м 5,9721986-1024 6,4191-1023
Гравитационная (по- стоянная), м3/с2 1,32714-10м 2,20398 • 1013 3,24971 10’4 3,98601-1014 4,28429-1013
Ускорение силы при- тяжения на поверх- ности, м/с2 273,95 3,70 8,87 9,80 3,71
Средняя плотность, кг/м3 1408 5,43 • 103 5,24-103 5515 3,94-103
Средний радиус, м 6,955-10* 2,4397-106 6,0519 Ю6 6,3675-106 3,386-106
Максимальный диа- метр, м 1,391-109 4,8794-106 1,2104-10’ 1,27349-10’ 6,772-106
Экваториальный ра- диус, м 6,955-10* 2,4397-106 6,0519-106 6,378140-106 3,397-106
Полярный радиус, м 6,955-10* 2,4397-106 6,0519 -10« 6,3568-106 3,375 • 106
Сжатие 9-10-6 0-10-5 0-10-5 0,0033 0,006
Период осевого вра- щения, с 2,164-106 5,06703 • 106 -2,0996-10’ 86 164,100 88 642,6632
Наклонение плоско- сти экватора к пло- скости орбиты, град 7,25 0,01 177,36 23,45 25,19
Эксцентриситет орбиты — 0,20563069 0,00677323 0,016710220 0,093412330
Наклонение орбиты к плоскости эклипти- ки, град — 7,00487 3,39471 0,00005 1,85061
Большая полуось, м — 5,7909176-Ю10 1,0820893-Ю11 1,49597887-1011 2,27936637-10"
Радиус апоцентра, м — 6,9817079-1010 1,0894185-10" 1,52097701-10" 2,49228730-10"
Долгота восходящего узла, град — 48,33167 76,68069 -11,26064 49,57854
Радиус перицентра, м — 4,6001272-Ю10 1,0747600-10" 1,47098074-1011 2,06644545-10“
Аргумент перицен- тра, град — 29,1248 54,85229 114,20783 286,46230
Долгота перицентра, град — 77,45645 131,53298 102,94719 336,04084
Сидерический пери- од обращения, с 7,6 -1015 7,600544-106 1,9414149 -10’ 3,1558149-10’ 5,9355036-10’
Сидерический пери- од обращения, тропи- ческий год 2,4-10* 0,2408467 0,61519726 1,0000174 1,8808476
Средняя круговая ор- битальная скорость, град/сут — 4,0923 1,6021 0,98560 0,52400
Средняя линейная орбитальная ско- рость, м/с 0 47 872,3 35 020,8 29 784,8 24 129,6
Скорость освобожде- ния (вторая космиче- ская скорость), м/с 6,1754-10s 4,25 • 103 1,036-104 1,118-104 5,02-Ю3
550
Приложение 1
Солнечной системы и их орбит
Юпитер Сатурн Уран Нептун Луна Фобос Деймос
1,8988-1027 5,6850-1026 8,6625-1025 1,0278-1026 7,3459-1022 1,072-1016 1,5-1015
1,26731-1017 3,79433 • 1016 5,7816-1015 6,85982-1015 4,90286-1012 715 809 98 001,2
23,12 8,96 8,69 11,00 1,6240 0,0058 0,0025
1,33-ю3 7,0-102 1,30-ю3 1,76-103 3344 1872 1471
6,9173 107 5,7316-107 2,5266-107 2,4553-107 1,7375-106 1,11 • 104 6,2-103
1,3835-108 1,1463-10’ 5,0532-107 4,9105-107 3,4750-106 2,22-104 1,2-104
7,1492-107 6,0268 • 107 2,5559-107 2,4764-107 1,73814-106 — —
6,6854-107 5,4364 • 107 2,4973-107 2,4341 • 107 1,73597 106 — —
0,0649 0,0980 0,0229 0,0171 — — —
35 730 3,780-104 -5,6-104 6,64-104 2,3606-106 2,76-104 1,090-105
3,13 26,73 97,77 28,32 1,5424 0,046 0,897
0,048392660 0,0541506 0,047167710 0,00858587 0,0554 0,0151 0,0002
1,30530 2,48446 0,76986 1,76917 5,16 1,075 1,793
7,78412027-10" 1,42672541 • 1012 2,870972220-1012 4,498252910-Ю’2 3,844-10’ 9,380-Ю6 2,3460 107
8,1608146-10" 1,5039834-1012 3,00638940-1012 4,5368743-1012 4,057 10’ 9,52-106 2,3465-107
100,55615 113,71504 74,22988 131,72169 125,08 164,931 339,6
7,4074260-10" 1,3494674-1012 2,73555503-1012 4,4596315-Ю12 3,631-10’ 9,24-106 2,3455-107
-85,80230 -21,2831 96,73436 -86,75034 318,15 150,247 290,496
14,75385 92,43194 170,96424 44,97135 — — —
3,7435566-10’ 9,2929236-10’ 2,6513700-10’ 5,2004186-1 О’- 2,3606-106 2,76-104 1,090-105
11,862615 29,447498 84,016846 164,79132 0,074804 0,000873 0,003455
0,083100 0,033500 0,011700 0,0060000 — — —
13 057,3 9644,68 6798,97 5431,7 1018,3 2137,16 1351,37
5,954-104 3,549-104 2,129-Ю4 2,371 • 104 2375,6 11,36 5,6
551
Приложения
Приложение 2
Зависимости для определения элементов движения задачи двух тел
Большая полуось орбиты
5 ,,, Ь2 ГА+Ь2 гр+Ъ2лх р
а= I . (1); а = —(2); а = ^~------(3); а = -^~-(4); а = --Г(5Х
Vl-e2 Р 2га 2гр 1-е2
гА fp u.fl-eVo_ + гА /1ЛЧ
« = -^-(6); а = -^-(7); а = -^- -- (8); а = -^- -— (9); а = —^— (10);
1 + е 1-е УдХЛ + е; vp\l-ej 2гл-р
2
а ^-^(11); а= £=-----------г (12); а = /L-г(13);
2гр~Р va\2^/p~va) vp(2ylii/p-vp)
o=^±i(14); а = -^(15); а = ^^Ж5]К(16);
2 2P~rAVA 4VP
(17). О = _Щ^(18); а = Л- (19);
4ул 2g-rpV; vAVp
a = R 1ZA+ZP rArP rA~rP rAvlA rPvP H
E 2 p 2e ц(1-e2j ц(1-е2) 2^/r-v2
Если для некоторой точки орбиты КА известны параметры (ro,vo)’ т0
а =
го
2-к'
к = ^-(21).
Малая полуось орбиты
b^a^l 1-е2 (22); b = yfe(23); b = ^(20-^) (24); b = 7?>(2а-Гр) (25);
ь = 2>/Йд Z vA (26). ь = 2^а1 Vp (27). b = р (28). ь = (29).
H + avA р + avp \1-е2 Nl + e
b - rP (30); 6 = ^^ (31); (32); b = rAl-^-(33);
\l-e vAy/l + e Vp-Jl-e \2rA-p
h — r । h — । (.Р^У A — । (.PlO CXf\\-
Ь — Грл L-u (34), b— / i—ч (35), b— / .—v (36),
\^p-P \уа[2^-Уау1р^) yvP[2ii-vPylpii)
552
Приложение 2
b = (40); b = rpVp г (41); b = ----------^~r— (42).
Если для некоторой точки орбиты КА известны параметры (/q,Vo,Yo), то
I 7*
2> = r0v0cosy0 -—0—2 (43).
Эксцентриситет орбиты
е = Jl-(b/a)2 (44); е = ^~Р/а (4$); е = ~~ 1 (46Х е =1"~ (47);
у а а
е = -^~^у(48); е = £±_Е(49); е = 71-(^)2 (50); е = 4-^(51);
ц + avA avP + ji rA + b
l2 _ 2
e = —2—7 (52); e = \-p/rA (53); e = p/rP -1 (54); e = l-vAy[p/ii (55);
О Ч" 7*p
_ 2 2
e = vPJ^/p-l(56); ^(57); e = l--^(58); e = -^-l(59);
rA + rp И Ц
c 2p. + rPv2A -vAylr?v2A -8цгл + ~2P~rAvP (61).
2ц
= (62)
vp + v,.
Если для некоторой точки орбиты КА известны параметры (ro,vO’Yo)’ то
е = -^/1 - к(2 - k) cos2 у0, к = r0VQ /ц (63).
Фокальный параметр
l2
р = -(64); р = а(1-е2)(65); р = ^-(2а-гА) (66); р = ^(2а-/>)(67);
а а а
2
р= 4Ц (68); р= (69); p = Z>>^?(70); р = ^-Ц-(71);
( и 1 ( и ) b +гА
553
Приложения
2Ь2г
P = -j-^m, р = гА(\-е)(13); р = Гр(1+е)(74); ^ = ц
b + Гр
(l + e')
Р = Н —
I vp )
(76); р = -^4^(77); р = £122(78);
rA+rP H
Р = у-(4М-vpylrAvp + ^A + rAvp) (79); р = ^£- (80);
Z|X ц
Р = ^(4М-VA<jr2v2-fyrP + rPv2)(81); р = 4ц (82);
2Ц (v^+vp)
р = - r(l + ecosO) = й2/ц (83).
а
(75);
Если для некоторой точки орбиты КА известны параметры (ro,vo>Yo)> то
1 2
P = -('bvoCOSYo) (84)-
Радиус-вектор апоцентра орбиты
гА = а + у/а2-Ь2 (85); гА = а(1 + е) (86); rA=a(l + Jl-p/a) (87); гЛ=2а-гР (88);
гА = ~^2 С89* га = (9°); га = (91); гА =------------ (92);
H + avA ц + avp Nl-e
rA = b21rP (93); rA = (94); rA = rP ((95); гА = (96);
1-е Ц-е) vA
a ~
7
-(97); ^=-^£-(98); rA =
Га = №-------(100);
2>/p77-Vp
1+2ф,_^(101); ^=^^(102); Га= 2ц .
4 vA 2 2H__1 Vp{vA+Vp)
rPv2P
r^^ = ZpVp(104)
Гр vA
Если для некоторой точки орбиты КА известны параметры (^o>vo»Yo)» т0
гА =^^(l + ^-k(2-k)cos2y0),
2-кх 7
к = ^-(105).
VA
554
Приложение 2
Радиус-вектор перицентра орбиты
rP-a-\la* I 2-b2 (106); rP = a(l-e) (107); rP =------£------- (108); rP = 2a + rA (109);
^-(110); />= 2а2/ (111); rP = bj^ (112);
mJ av \ 1 + avD /ц N1 + e
Р
гр =
>2 -j_
(113); />= — (114); гр=-^—(115); гР = гл — (116);
rA 1 + е . 1 + е
rP =^^(118); />=-^-(119); rP= (120);
v^(l + e) vP 2rA-p 2y]n/p-vA
I 2 2
Гр=Ж(121); Гр= /4^. (122); Гр=ф
2P + rAvA
(124); rP =^- = ^-(125).
rA vP
vp
___
vP-гЛ/2(123);
Если для некоторой точки орбиты КА известны параметры (r0,v0,Y0), то
гр = тМ1"^-k(2-k)cos2y0], к = /-0Vq/ц(126).
jU /V
Скорость полета КА в апоцентре орбиты
555
Приложения
Если для некоторой точки орбиты КА известны параметры (/o>vO’Yo)’ т0
^l-£(2-£)cos2 у0
£cosy0
к = ^-(148).
Ц
VA
556
Приложение 2
Если для некоторой точки орбиты КА известны параметры (r0,v0,Y0), то
ц=«1(169).
V Arcosy0 ) ц
Наклонение орбиты
i = arcsin (170); i-arctg— - (171); г -arccos (172);
sinw cosw tgw
i = arctg (173); z = arcsin cos^ (174); i = arccos(cosBsin^)(175);
sin AL cos AL
. sin 5sin Л . tgB . cos В sin AL .
i = arcsin--------(176); i = arctg-=-------(177); i = arccos-----(178);
sin AL sin и sin A sinw
x COS^tgW
i = arctg—. & (179).
sin AL
Азимут KA, отсчитываемый от направления на север
А = arctg Ctg* (180); А = arccos (181); А = arcsin —° — (182);
cosw tgw sin и
А = arccos (sin i cos AL) (183); A = arctg (184); A = arcsin C0S* (185);
sin В cos В
. . sinz sin AL z, Л sinzcosw . tgzsinAL
A = arcsin--------(186); A = arccos-------(187); A = arccos —----(188);
sinB cosB tgw
A = arcsin—(189).
cos В tgw
Центральный угол между направлением на восходящий узел орбиты
и проекцией текущей точки полета КА
tgB
AL = arctg(cositgw) (190); AL = arccos——(191); AL - arcsin(sinAsinw) (192);
cos В
AL = arccos (193); AL = arctg (sin В tg A) (194); AL = arcsin (195);
sinz tgz
, r . sin В sin Л ЛЛХЧ 4r x sinB
AL = arcsin-------(196); AL = arctg-------(197);
sinz tgz cosw
. r sin Acosu .. no. . r cos Лsinw . nn.
AL = arccos-------(198); AL = arccos---------(199).
cosz sinB
557
Приложения
Аргумент широты
u = arctg—(200); z/ = arccos(cosBcosAZ)(201); и = arcsin ^-^-(202);
cosz sin Л
z/ = arccos(ctgzctg?4)(203); и = arctg -^-^-(204); и = arcsin (205);
cos Л sinz
cos В cos Л tgB tgAZ
u = arccos---------(206); u = arctg---------(207); m = arcsin—-----(208);
sinz sinz cos AZ. sinz'tg^
. sin В cos AZ ,_nn.
и = arcsin---------(209).
cos Л
Географическая широта KA
В = arcsin(sinzsinz/)(210); B = arctg(cos4tgzz)(211); В = arccos C0SM (212);
COS AZ
В = arctg (tg z sin AZ) (213); В = arcsin (214); В = arccos C0S* (215);
tg Л sin A
В = arcsin-------------(216); В = arctg (tg z sin A sin u) (217);
sin A
В = arctg (sin z cos AZ tg zz) (218); В = arcsin cos s^p u (219).
cos AZ
Параметры движения KA как функции времени
Радиус-вектор
г =---------------------(220); г = ----— -----------(221);
1 + ecosO |r(l + ecosd) (гЛ+rP) + (r?(+rP)cosd
r = a(l-ecosB)(222); r= 2цД (223); г = а(1 ±^/1 + (1 -e2)sec2у)(224);
avl +ц
r = ^1~g2)tgY(225); r =----. ^1~g2)-------.(226);
е8*п$ ц±^/ц2е2-pzz(l-e2)v2
r = (227); r = (228); r = a - (a - rP) cosE (229);
1 + ecosd 1 + ecosd
r = JkllzfL (230); r =---------(231).
l + ecos3 |i(l + ecosO)
558
Приложение 2
Истинная аномалия
^^-(233);
l-ecos£
9 = 2arctg
1 + е Е z—п
-----tg— (232); 9 = arccos-
1-е--2)
n . sinEvl-e2 „ а, _ . z„_.
О = arcsin--------(234); 9 = arccos—(cos Е - е) (235);
l-ecos£ г
_ . а\1-е2 sin£ _ a(l-e2)-r z_„„.
9 = arcsin--------(236); 9 = arccos—-----— (237);
г er
9 = arcsin a(1~g2)tgY (238); 9 = arctg a(1~g2)tgY (239);
er a(\-e)-r
_ . vr a(l-e2) ... n (av2 + u)(l-e2)-2u. .. ...
9 = arcsin—. / —--- (240); 9 = arccos -—-----—- (241);
e у p 2pe
_ vX a3(l-e2)3 , z„,„. л 2r.rP-r(r.-rP) .. ...
9 = arccos——./— -----—1(242); 9 = arccos—————— (243);
e V M г(Га~гр)
9 - arccos - (cos2 у -1 ± cos y-Jcos2 y-(l-e2) ) (244);
9 = arccos———(245); 9 = arccos——-(246); 9 = arccos r V COSY——(247);
re ре pe
9 = arcsin ^tgY (248); 9 = arcsin tgY (249); 9 = arcsin-^- (250);
re pe vAer
9 = arcsin(251); 9 = arctg (252).
pe p-r
Эксцентрическая аномалия
„ . \l-e2 sin 9 zz.„. „ e + cos9 zz..„
E = arcsin---------(253); E = arccos-------(254);
l + ecos9 l + ecos9
£ = 2arctg
Ц-ех 9
1 + e 82>
(255); E = arccos
pe2 ± -y/p2e2 ~ pa(l ~ e2 )v2
pe±7p2e2-M«(l-e2)v2
(256);
1 I 2 - 1 —
E = arccos- —- (257); E = arccos^—- (258);
e^av2 + pj ae
E = arccos- 1 -(259); E = arcsin r.S—(260);
e< ) ayl-e2
E = arcsin| — sin9 | (261); E = arccos| -± Jl-(l-e2)sec2y |(262);
\e J \e )
E = arccos-^—— (263).
a-rp
559
Приложения
Скорость полета КА
v=JMp--!-')(264); v = И1 gC°S^ (265); v= l2°^. 'M_^(266);
V \a(l + ecos£) a^pa(l-e2)
v= |м0 + е2)±2>/ц(це2-а(1-е2)у^) U(l + 2ecosS + e2)
у a(l-e2) ’ V у r(l + ecos£)
v = Jp(l + 2ecos9 + e2) (269). р = 7М1-^2) (270)
у a(l-e ) rcosy
Радиальная скорость KA
vr =r = —(271);
at
v =vsiny(272); vr=e I Ц sinЭ(273); vr = gSln£ (274);
Mall-e2) val-ecos£
1ц^2<7г — г — a fl —e j /4li<3v2 — (<rv2 + u)2(l —e2)
vr=4 н--------5—^—- (275); \ = J——{ w i } I216*
V ar у 4pa
vr = J . -^-X^a(l-e2) (277); vr = Jv2 - (278);
^ца(1-е2) a N r
= 7^(l-e2)tgY (279). v, = (280). = n^sind (281).
r l + ecos3 p
vr = -----(282); vr = J—esind (283); vr =----(284).
гул ур p
Трансверсальная скорость KA
v =vcosy(285); v =2^(286); v„ = E(l + ecos3)(287);
г УГ
|i(l + ecos£)
a(l-ecos£)
cosy (288).
560
Приложение 2
Угловая скорость КА
Х = &~(289); Х = ^°2 (291);
at Ца (l-ecos£) г
X = (Оуг + ц)гу^(1-?) (292). х = Jp(l + ecos&) (2И);
4р a N г
X = , Ц , ,(1 + ecosO)2 (294);
V«3(l-e2)
х= ^(l~g2) (295); к = №(296); Х = ^(297).
а2 (1 ± ^(l-e2)sec2y ) r Г
(298).
Параметры возмущенного движения КА
Разность между драконическим и оскулирующим периодами обращения
. 2л£3 К 5.2.
ДГ «---т=М 3 —sin i
PVP'V 2
Изменение элементов орбиты относительно абсолютного пространства
за один виток вследствие сжатия Земли
ди 2а COS/(299).
ц р1
. П£3 5cos2z-l .,АП.
Дсов * --------(300),
ц р1
где £3 = 2,634 1010км5/с2.
Изменение элементов орбиты вследствие начальных возмущений
Аг - (2 - cos <р)Аг0 (301); Ап = -(3<р - 2 sin <р)Дг0 (302);
д^ЭД-^ДМЗОЗ); Д„.^А^Д9о(ЗО4).
561
Приложения
Изменение элементов орбиты вследствие торможения в атмосфере
2
5ТВ ® -12-у=5рг5/2 (305); 5ZB «12л25рг2 (306); 5zB « -4я£рг2 (307);
Vn
8v„B «2л5Р5/^(308); 8vrB «-25p^(309); S = ££l(310).
Zm
Ускорение торможения на высоте z
T^-CxFm РИ (311).
2т R + z
Время снижения КА с высоты Z] на высоту z
. F(z,)-F(z)
At = t-t}= —(312).
S
F(z) = -Uf------------(313).
2>/Й о P(z)V/? + z
Оглавление
Предисловие .......................................................... 5
Список основных сокращений ........................................... 7
Основные обозначения.................................................. 7
Введение ............................................................ 10
Глава 1. Основные сведения из кинематики и динамики твердого тела .... 13
1.1. Кинематика...................................................... 13
1.2. Масса, сила и законы Ньютона.................................... 18
1.2.1. Закон всемирного тяготения................................. 18
1.2.2. Второй закон Ньютона, импульс и момент силы................ 20
1.3. Определение производных по времени для векторов постоянной длины ... 23
1.4. Уравнения движения в неинерциальных системах координат ......... 27
Основные соотношения................................................. 35
Вопросы и задачи .................................................... 37
Глава 2. Задача двух тел............................................. 38
2.1. Уравнения движения в инерциальной системе отсчета............... 39
2.2. Уравнения относительного движения............................... 42
2.3. Угловой момент и формулы орбитального движения ................. 46
2.3.1. Секгориальная скорость. Второй закон Кеплера............... 48
2.3.2. Эксцентриситет орбиты...................................... 49
2.3.3. Уравнение орбиты. Первый закон Кеплера..................... 51
2.3.4. Замечание о постоянных интегрирования...................... 52
2.3.5. Скорости движения по орбите................................ 52
2.4. Закон сохранения энергии........................................ 54
2.5. Круговые орбиты (в = 0)......................................... 56
2.6. Эллиптические орбиты (0 < е < 1)................................ 60
2.6.1. Уравнение эллиптической орбиты в канонической форме........ 62
2.6.2. Период эллиптической орбиты. Третий закон Кеплера.......... 64
2.6.3. Среднее расстояние между телами на эллиптической орбите.... 65
2.7. Параболические траектории (е = 1)............................... 71
2.8. Гиперболические траектории (е >1)............................... 74
2.9. Перифокальная система координат................................. 81
2.10. Функции Лагранжа............................................... 82
Основные соотношения................................................. 95
Вопросы и задачи..................................................... 98
Глава 3. Положение объекта на орбите как функция времени............. 99
3.1. Время, прошедшее с момента прохождения перицентра............100
3.2. Круговые орбиты..............................................101
3.3. Эллиптические орбиты.........................................101
3.3.1. Средняя аномалия и среднее движение....................... 102
3.3.2. Эксцентрическая аномалия и уравнение Кеплера.............. 103
563
Оглавление
3.3.3. Итерационный метод Ньютона................................. 107
3.3.4. Алгоритм решения уравнения Кеплера......................... 107
3.3.5. Аппроксимация решения уравнения Кеплера рядами............. 112
3.3.6. Усредненный по времени радиус эллиптической орбиты......... 114
3.4. Параболические траектории....................................... 115
3.5. Гиперболические траектории...................................... 117
3.5.1. Гиперболическое уравнение Кеплера.......................... 118
3.5.2. Решение гиперболического уравнения Кеплера методом Ньютона .... 121
3.6. Универсальные переменные........................................ 125
3.6.1. Использование универсального уравнения Кеплера............. 128
3.6.2. Решение универсального уравнения Кеплера................... 129
3.6.3. Использование функций Лагранжа и универсальных переменных
для вычисления вектора состояния космического аппарата............ 134
Основные соотношения................................................. 137
Вопросы и задачи..................................................... 143
Глава 4. Описание орбит космических аппаратов в трехмерном пространстве .. 145
4.1. Геоцентрическая система координат: утлы прямого восхождения и склонения ... 146
4.2. Вектор состояния и геоцентрическая экваториальная система координат... 150
4.3. Орбитальные элементы и вектор состояния......................... 154
4.4. Преобразование координат........................................ 161
4.5. Преобразование между геоцентрической экваториальной и перифокальной
системами координат.................................................. 168
4.6. Влияние сжатия Земли............................................ 173
4.6.1. Солнечно-синхронные орбиты................................. 178
4.6.2. Орбиты высокоширотных спутников связи...................... 179
Основные соотношения................................................. 186
Вопросы и задачи..................................................... 190
Глава 5. Предварительное определение орбит........................... 191
5.1. Метод Гиббса определения орбит по трем векторам положения....... 192
5.2. Задача Ламберта................................................. 199
5.3. Время и его измерение........................................... 212
5.3.1. Основные определения....................................... 212
5.3.2. Юлианские даты............................................. 215
5.4. Топоцентрическая система координат.............................. 219
5.5. Топоцентрическая экваториальная система координат............... 223
5.6. Топоцентрическая пунктовая система координат.................... 225
5.7. Определение орбит по измерению угла и наклонной дальности....... 230
5.8. Предварительное определение орбит только по измеренным углам... 238
5.9. Метод Гаусса предварительного определения орбиты................ 239
5.9.1. Определение коэффициентов сх и с3.......................... 240
5.9.2. Определение начального приближения компонент вектора состояния... 243
Основные соотношения................................................. 255
Вопросы и задачи..................................................... 264
564
Оглавление
Глава 6. Орбитальные маневры........................................ 266
6.1. Импульсные маневры............................................. 267
6.2. Перелет Гомана................................................. 268
6.3. Биэллиптические перелеты....................................... 276
6.4. Фазирующие маневры............................................. 281
6.5. Негомановские перелеты между орбитами с общими линиями апсид.. 287
6.6. Поворот линии апсид............................................ 292
6.7. Маневры преследования.......................................... 300
6.8. Маневры поворота плоскости орбиты.............................. 304
6.8.1. Ограничения, накладываемые расположением космодрома
при выведении космического аппарата на орбиту.................... 308
6.8.2. Трассы космических аппаратов.............................. 312
Основные соотношения................................................ 320
Вопросы и задачи.................................................... 323
Глава 7. Относительное движение и сближение космических аппаратов
на орбите........................................................... 324
7.1. Относительное движение космического аппарата по орбите......... 325
7.2. Линеаризация уравнений относительного движения космического аппарата
по орбите........................................................... 331
7.3. Уравнения Клохесси — Уилтшира.................................. 333
7.3.1. Решение уравнений Клохесси — Уилтшира..................... 335
7.3.2. Матричная форма записи уравнений Клохесси — Уилтшира...... 337
7.4. Двухимпульсные маневры сближения космических аппаратов......... 339
7.5. Относительное движение близких космических аппаратов по круговым
орбитам............................................................. 347
7.6. Методы наведения, используемые при сближении космических аппаратов . 350
7.7. Модель движения космических аппаратов в задаче сближения....... 353
7.8. Основные системы координат в задаче сближения космических аппаратов . 357
7.9. Общая постановка задач управления.............................. 360
7.10. Законы управления сближением космических аппаратов по методу
параллельного наведения............................................. 360
7.10.1. Уравнения относительного движения космических аппаратов
в визирной системе координат..................................... 360
7.10.2. Общий вид законов управления и методика их синтеза....... 364
7.10.3. Пример реализации метода параллельного сближения космических
аппаратов........................................................ 366
7.11. Метод свободных траекторий.................................... 371
7.11.1. Численное решение краевых задач методом стрельбы......... 371
7.11.2. Некоторые результаты численного решения задач сближения
космических аппаратов............................................ 373
Основные соотношения................................................ 375
Вопросы и задачи.................................................... 380
565
Оглавление
Глава 8. Межпланетные полеты........................................ 381
8.1. Романовские межпланетные перелеты.............................. 382
8.2. Возможности для встречи космического аппарата с планетой....... 384
8.3. Сфера действия................................................. 389
8.4. Метод гравитационных сфер нулевой протяженности................ 394
8.5. Отлет космического аппарата с планеты.......................... 396
8.6. Анализ чувствительности орбиты к изменению параметров движения
космического аппарата............................................... 402
8.7. Встреча космического аппарата с планетой....................... 405
8.8. Пролет у планеты и гравитационный маневр....................... 413
8.9. Эфемериды планет............................................... 426
8.10. Негомановские межпланетные траектории......................... 431
8.11. Проектирование межпланетных перелетов с использованием метода
изолиний............................................................ 438
Основные соотношения................................................ 443
Вопросы и задачи.................................................... 448
Глава 9. Динамика реактивного движения.............................. 449
9.1. Уравнение движения при выведении космического аппарата на орбиту .... 450
9.2. Уравнение реактивного движения................................. 453
9.3. Скорость и высота подъема ракеты............................... 456
9.4. Ограниченная постановка задачи определения параметров ракеты
при движении в свободном пространстве............................... 459
9.4.1. Варианты компоновки ракет................................. 462
9.4.2. Движение многоступенчатых ракет........................... 463
9.5. Определение оптимального числа ступеней ракеты................. 471
9.5.1. Использование неопределенных множителей Лагранжа для поиска
экстремумов функций.............................................. 471
9.5.2. Оптимизация числа ступеней ракеты-носителя................ 474
Основные соотношения................................................ 481
Вопросы и задачи.................................................... 483
Глава 10. Спуск космического аппарата в атмосфере................... 484
10.1. Основные положения............................................ 484
10.2. Полет на внеатмосферном участке............................... 488
10.3. Атмосфера Земли............................................... 495
10.4. Полные уравнения движения спускаемого аппарата в инерциальной
системе координат................................................... 496
10.5. Расчетные уравнения продольного движения спускаемого аппарата
в атмосфере......................................................... 498
10.6. Режим установившегося спуска.................................. 500
566
Оглавление
10.7. Участок аэродинамического торможения......................... 501
10.7.1. Расчет продольной перегрузки............................ 501
10.7.2. Примеры численного моделирования........................ 502
Основные соотношения............................................... 506
Вопросы и задачи................................................... 511
Глава 11. Ограниченная задача трех тел............................. 512
11.1. Уравнения движения круговой ограниченной задачи трех тел..... 513
11.2. Точки либрации............................................... 517
11.3. Интеграл Якоби............................................... 521
11.4. Модификации ограниченной задачи трех тел..................... 528
11.4.1. Уравнения эллиптической ограниченной задачи трех тел.... 528
11.4.2. Уравнения бикруговой ограниченной задачи четырех тел.... 529
11.5. Фазовый портрет круговой ограниченной задачи трех тел в окрестности
меньшего притягивающего тела....................................... 531
11.6. Динамические режимы задачи трех тел.......................... 535
Основные соотношения............................................... 544
Вопросы и задачи................................................... 547
Литература......................................................... 548
Приложения......................................................... 550
Приложение 1. Параметры некоторых объектов Солнечной системы....... 550
Приложение 2. Зависимости для определения элементов движения задачи
двух тел........................................................... 552
Учебное издание
Микрин Евгений Анатольевич
Звягин Феликс Валерьевич
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ ПОЛЕТА
И УПРАВЛЕНИЕ КОСМИЧЕСКИМИ АППАРАТАМИ
Редактор Л.Т. Мартыненко
Художник Я.М. Асинкритова
Корректор Ю.Н. Морозова
Компьютерная графика Т.В. Кутузовой
Компьютерная верстка И.Д. Звягинцевой
Оригинал-макет подготовлен
в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.
В оформлении использованы шрифты
Студии Артемия Лебедева.
Подписано в печать 30.01.2020. Формат 70 * 100/16.
Усл. печ. л. 46,15. Тираж 200 экз. Изд. № 696-2019.
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
press@bmstu.ru
www.baumanpress.ru
Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
baumanprint@gmail. com
Представлены основные сведения о технологическом цикле космических полетов, даны
примеры практических задач, решаемых в процессе предварительного проектирования
и управления полетом космических аппаратов и их группировок.
Микрин Евгений Анатольевич — генеральный конструктор пило-
тируемых программ России, генеральный конструктор ПАО «РКП
«Энергия» им. С.П. Королёва», заведующий кафедрой «Системы авто-
матического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана, доктор технических
наук, профессор, академик РАН, лауреат премий Правительства РФ
в области науки и техники и образования, а также премий имени
Б.Н. Петрова, К.Э. Циолковского и Ф.А. Цандера РАН.
Звягин Феликс Валерьевич — кандидат технических наук, доцент
кафедры «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана.
www.baumanpress.ru
ISBN 978-5-7038-5276-7