/
Текст
ББК 31.261.8
Л 42
УДК [621.314.222.64-621.316.935]001.24:621.3.013
Лейтес Л. В.
Л42 Электромагнитные расчеты трансформаторов и
реакторов. — М.: Энергия, . 1981, —392 с., ил.
В пер. 2 р. 50 к.
Рассмотрены методы расчета электромагнитных процессов в сило-
вых трансформаторах и реакторах. Основное внимание уделено мето-
дологии расчетов и исследований, в частности систематизации путей
создания научно обоснованных методов, необходимых для практики.
Приведены сведения по электромагнитному полю трансформаторов и
реакторов, методы расчета параметров в рабочем режиме» опытах
холостого хода и* короткого замыкания, классификация, способы изме-
рения и способы снижения добавочных потерь. Некоторые из описан-
ных методов могут быть применены к другим электрическим машинам,
аппаратам и приборам.
Для научных работников и инженеров, связанных с трансформа-
торсстроеннем.
„ 30307-078
Л051'(01)-81—119"81 ’ 23020300()0
ББК 31.2.61.8
6П2.1.081
ЛЕОНИД ВЕНИАМИНОВИЧ ЛЕЙТЕС
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ РАСЧЕТЫ ТРАНСФОРМАТОРОВ
И РЕАКТОРОВ
Редактор А. Г. К Р а й з
Редактор издательства Н. Б. Фомичева
Переплет художника Н. А. X а р а ш
Технический редактор А. С. Давыдова
Корректор Н. А. В о й т е н к о
ИБ № 1175
Сдано в набор 23.09.80 Подписано в печать 07.01.81 Т-00916
Формат 84X!08-1/8s Бумага- типографски № 2 Гарн. шрифта литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 20,58 Уч--изд. л. 23,56
Тираж 5500 экз‘. Заказ 774 Цена 2 р. 50 к.
Издательство «Энергия», 113114, Москва, М-114, Шлюзовая иаб., 10
Московская типография № 10 СоюзполиграфПрома прн Государствен-
ном комитете СССР по делам издательств, пЪлиграфии и книжной
торговли. 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Ч
© «Энергия», 198J. ‘
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВВЕДЕНИЕ
1-1. ТРАНСФОРМАТОРЫ И РЕАКТОРЫ
При передаче и распределении электроэнергии, а
также в устройствах управления, автоматики и связи
широко применяются статические электромагнитные уст-
ройства, работа которых основана на использовании
явления электромагнитной индукции. Основными эле-
ментами таких устройств являются обмотки — важней-
шая часть контуров, в которых индуктируется напряже-
ние (иногда одновитковой обмоткой служит элемент
другого устройства, например шина токопровода или
вывода, или даже сам потребитель энергии, например
отжигаемая проволока или шнур плазмы в физической
установке). Часто для локализации магнитного поля
рассматриваемые устройства выполняют с магнитными
системами (магнитопроводами).
Если рассматриваемое устройство предназначено для
использования в электрической цепи собственной индук-,
тивности его основных обмоток, то его называют индук-
тивной катушкой [1-1], а для силовой цепи — реактором
[1-2]. В литературе и стандартах встречается также ряд
других названий (в частности, катушка индуктивности,
реактивная катушка, дроссель, дроссельная катушка) и
названий для отдельных . видов устройств, например:
магнитный усилитель, индуктивный датчик, делитель то-
ка. Если устройство содержит две или более индуктивно
связанные обмотки и предназначено для преобразова-
ния одной или нескольких систем переменного тока в
одну или несколько других систем переменного тока, то
его называют трансформатором [1-3].
Ряд электромагнитных устройств, хотя и не подпада-
ет под определения терминов «трансформатор» и
«реактор» [1-2, 1-3], близок к ним по основным процес-
сам и принципиальным методам расчета. Это, например,
индукционные печи (особенно если тигель является вто-
ричной обмоткой), электромагниты циклотронов и неко-
торых других ускорителей, нейтраллеры (которые МЭК
относит к реакторам вместе с заземляющими трансфор-
маторами [1-4]), делители тока, токопроводы. Некото-
рые устройства можно отнести -как к трансформаторам,
так и к реакторам, например многие сдвоенные реакто-
ры. Иногда устройство, форм-алкно подпадающее под
определение трансформатора [1-3], оказывается по ме-
тодам расчета дальше от обычного трансформатора,
чем от других устройств,— например индукционный ре-
гулятор (заторможенная асинхронная электрическая
машина с фазным ротором), датчики перемещений и по-
ворота, преобразователи частоты.
Наиболее важную и крупную группу среди всех ста-
тических электромагнитных устройств составляют сило-
вые трансформаторы, предназначенные для преобразо-
вания электроэнергии в сетях энергосистем и потребите-
лей электроэнергии, Именно их обычно имеют в виду,
когда говорят о трансформаторах вообще [1-5 — 1-14].
Несмотря на ряд частных отличий, к ним близки по ха-
рактеру электромагнитного поля многие виды специаль-
ных трансформаторов, разнообразные реакторы и дру-
гие электромагнитные устройства. Основное изложение
в данной книге ведется применительно именно к сило-
вым трансформаторам, а реакторы рассматриваются
попутно. Сугубо специфические вопросы, характерные
лишь для отдельных групп специальных трансформато-
ров, например управление с помощью подмагничивания,
не рассматриваются.
Роль расчетов относительно больше при разработке
трансформаторов и реакторов большой мощности, где
сильнее поле рассеяния и сложнее обмотки, и устройств
для повышенной частоты или несинусоидальных токов,
когда велика роль добавочных потерь. Кроме того,
почти каждый случай переделки проекта крупного
трансформатора из-за нёудовлетворительных результа-
тов испытаний головного образца очень нежелателен
для изготовителя и потребителя. В наиболее мощ-
ных трансформаторах и реакторах чаще приходится
применять схемы и конструкции, требующие новых ме-
тодов расчета. Методы, первоначально разработанные
Для крупнейших, изделий, затем находят применение и
в менее крупных. Поэтому основное внимание в книге
обращено на относительно мощные трансформаторы и
реакторы.
В целом автор видит свою задачу в обобщении и си-
стематизации методов решения задач (т. е. в методоло-
гии) электромагнитных расчетов и способов борьбы с не-
желательными явлениями, встречавшихся при разработ-
ке силовых трансформаторов общего назначения и спе-
циальных (электропечных, преобразовательных и др.)
и разнообразных электрических реакторов.
1-2. СОДЕРЖАНИЕ И ЦЕЛИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫ^ РАСЧЕТОВ
К электромагнитным относят расчеты, связанные с
токами в проводниках и магнитным полем трансформа-
тора или реактора, кроме расчетов, в которых сущест-
венную роль играет энергия электрического поля, т. е.
внутренние емкости в трансформаторе (по традиции
последние расчеты относят к области электрической изо-
ляции) .
Результатами электромагнитных расчетов являются
токи и напряжения обмоток и их частей при различных
режимах, индуктивности, потери и электродинамические
усилия. В качестве промежуточных результатов для рас-
чета усилий, потерь, магнитострикции и для сопоставле-
ния с результатами экспериментальных исследований
необходимо определить вектор магнитной индукции или
напряженности поля. Исходными данными для электро-
магнитных расчетов обычно бывают устройство и гео-'
метрические размеры трансформатора или реактора,
свойства материалов и сведения о режиме и условиях
работы (об источниках питания, нагрузках, температу-
ре). Однако возможны самые разные случаи и задачи,
например: найти место замыкания парллельных прово-
дов по измеренным потерям; определить полное сопро-
тивление токоограничивающего реактора, включение
которого обеспечит допустимые токи короткого замыка-
ния (КЗ); выбрать размеры провода обмотки, соответ-
ствующие минимальной удельной тепловой нагрузке
при приемлемой электродинамической стойкости. До сих
пор задачи оптимизации добавочных потерь и усилий
при проектировании решаются практически только ме-
тодом перебора вариантов, т. е. электромагнитный рас-
чет почти всегда строится как поверочный,
В
Целью расчета считается прежде всего определений
параметров, подлежащих проверке при испытаниях си-
лового трансформатора или необходимых для расчета
проверяемых параметров — потерь и тока холостого хо-
да (XX), магнитного поля вне стали, индуктивности рас-
сеяния, потерь в обмотках от вихревых и циркулирующих
токов, потерь в массивных деталях конструкции. Этим
вопросам посвящены гл. 6—il3. Попутно рассмотрены
смежные вопросы, связанные со" специфическими режи-
мами различных трансформаторов и реакторов, с элект-
ромагнитными исследованиями и мерами борьбы с не-
желательными явлениями. Указанным главам предшест-
вуют четыре главы с кратким изложением наиболее об-
щих понятий и методов, в том числе о физическом подо-
бии и схемах замещения.
Особое внимание уделено выявлению главных влия-
ющих факторов, допущениям и методам, позволяющим
достаточно быстро и с необходимой точностью выпол-
нить расчет. Требуемая точность расчета зависит от его
цели и стадии разработки. От новых расчетов, еще не
вошедших в инструкции и литературу, часто нужна от-
носительно грубая быстрая оценка, показывающая пер-
спективность или же неприемлемость предлагаемой схе-
мы или конструкции, необходимость учета влияния рас-
сматриваемого фактора (второстепенного параметра)
или возможность пренебречь им, нужные места установ-
ки термопар и т. п. Допустимая погрешность такой оцен-
ки обычно в несколько раз или на порядок (порядки)
больше, чем погрешность окончательного и основного
расчетов. При этом, как правило, приходится ограничи-
ваться лишь интуитивными представлениями о вероят-
ной погрешности упрощенных оценочных расчетов, так
как для достоверного определения погрешности нужно
располагать опытными данными или заведомо более
точным методом расчета, а оценочный метод требуется
именно ввиду их отсутствия.
Многолетний опыт показывает, что серьезные непо-
ладки или серии аварий из-за дефектов электромагнит-
ного расчета были связаны не с количественной ошиб-
кой или неточностью расчета, а с тем, что явление, ока-
завшееся важным, вообще не учитывалось при проекти-
ровании. Грубейшая расчетная оценка его влияния пре-
дотвратила бы изготовление дефектных изделий. В ка-
честве примеров здесь можно привести вихревые токи
в проводах обмоток от радиальной составляющей Маг-
нитной индукции, вибрации в трехфазных броневых ре-
акторах, циркулирующие токи из-за сдвига мест пере-
кладок проводов в соседних ходах и по ряду других при-
чин. Во всех этих случаях главной задачей были выяв-
ление причины аварии и создание простейшего нагляд-
ного метода расчетной оценки. Такой метод практиче-
ски всегда приводил к разработке и внедрению мер
борьбы с данным явлением или его последствиями. При
этом меры часто бывали столь эффективны, что более
точные методы расчета не требовались. Простые методы
расчетов и оценок бывают нужны для определения до-
пустимых и недопустимых режимов работы при эксплу-
атации, особенно в аварийных условиях.
1-3. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ТРАНСФОРМАТОРА
Силовой трансформатор характеризуют прежде все-
го его номинальные данные — указанные изготовителем
значения параметров, являющиеся основой для опреде-
ления условий изготовления, испытаний и эксплуатации
[1-3]. К ним относятся номинальные частота, мощности
и напряжения ответвлений обмоток, указанные на пас-
портной табличке.
Номинальный ток ответвления обмотки определяется
по его номинальным мощности и напряжению. Номи-
нальное напряжение однофазного силового трансформа-
тора мощностью 4 кВ-А и более и трехфазного 6,3 кВХ
ХА и более относится к режиму XX [1-3], а трансформа-
тора малой мощности — к режиму номинальной нагруз-
ки [1-15]. В последнем случае предусмотрен большой до-
пуск на номинальные напряжения: ±10% [1-16]. К номи-
нальным данным относят также число фаз, схему и
группу соединения и, если необходимо, дополнительные
сведения об особых режимах и условиях работы, для
которых предназначен трансформатор, например дан-
ные о форме кривой тока.
Эксплуатационные электромагнитные характеристи-
ки силового трансформатора указывают в форме следу-
ющих параметров:
I. Напряжение КЗ пары обмоток — приведенное к
расчетной температуре действующее напряжение, кото-
рое нужно подвести к одной из обмоток, чтобы в ней
установился ток, соответствующий меньшей из номи-
нальных мощностей обмоток данной пары при замкну-
той накоротко второй обмотке пары и разомкнутых
остальных обмотках (на практике, вопреки стандарту
[1-3], часто для всех пар ошибочно указывают напряже-
ние, соответствующее номинальной мощности трансфор-
матора).
2. Потери КЗ пары обмоток — приведенные к рас-
четной температуре потери, возникающие в трансформа-
торе при указанных в п. 1 условиях.
3. Ток XX — действующий ^ток первичной обмотки
трансформатора при XX и номинальном напряжении но-
минальной частоты на ее выводах (усредненный по всем
фазам).
4. Потери XX — потери в трансформаторе при ука-
занных в п. 3 условиях.
5. Сопротивление нулевой последовательности —
полное сопротивление обмотки, имеющей соединение в
звезду с выведенной нейтралью, между этой точкой и
соединенными вместе линейными выводами, умножен-
ное на число фаз,— особо указывается (ио не нормиру-
ется) только для трехфазных стержневых трансформа-
торов мощностью 6300 кВ-А и ниже, не имеющих об-
мотки, соединенной в треугольник.
Напряжение КЗ, как правило, указывают в процен-
тах номинального напряжения, ток XX — номинального
тока. Вместо напряжения и потерь КЗ, особенно для
трансформаторов, у которых номинальные мощности об-
моток (или ответвлений обмоток) неодинаковы, удобно
указывать комплексное сопротивление КЗ ZK. Часто
удобно выражать это сопротивление в процентах бази-
сного сопротивления, соответствующего номинальной
мощности трансформатора 5НОм- При этом пересчет
производится пропорционально номинальной мощности.
Обозначая такое сопротивление с индексом «б», полу-
чаем:
г — StK™ 100- г — Рк iShom 1D6- Z —
к%б Цюм£инш ’ к%е~«Мнш 5МНШ -к%б
= z е/,₽к; <pK = arcsin Гк%°, (1-1)*
К/Об 1 к ~ '
где UK — напряжение КЗ пары обмоток, определенное
со стороны обмотки, имеющей номинальное напряжение
* Основные обозначения по ГОСТ 1494-77. Некоторые обозначе-
ния повторены в приложении. Система единиц СИ.
11
5МНш — меньшая из номинальных мощностей об-
моток пары.
Численные значения рассмотренных параметров в
масляных силовых двухобмоточных трансформаторах об-
щего назначения мощностью от 25 до 1 млн. кВ-А норми-
рованы соответственно: ток XX в пределах 3,0—0,3%;
потери XX 0,4—0,05%, напряжение КЗ 4,5—14% и по-
тери КЗ 3—0,2% соответствующих номинальных пара-
метров. Трехобмоточные трансформаторы и автотранс-
форматоры имеют примерно такие же ток и потери XX,
а также напряжения и потери КЗ пар соседних обмоток.
Сопротивление нулевой последовательности трехстерж-
невых трансформаторов, не имеющих соединенной в
треугольник обмотки, обычно составляет несколько де-
сятков или сотен процентов.
Потери и выраженный в процентах ток XX практи-
чески одинаковы при питании со стороны любой из об-
моток. Также почти не зависит от стороны питания вы-
раженное в процентах сопротивление КЗ пары обмоток.
Поэтому при определении тока и потерь XX и напряже-
ния и потерь или комплексного сопротивления КЗ маг-
нитное поле при XX не отличают от основного поля, а>
поле при опыте КЗ — от поля рассеяния. Рассмотрим
эти понятия подробнее, поскольку нечеткость в их опре-
делениях бывала причиной недоразумений и дискуссий.
Магнитное поле трансформатора, созданное совокуп-
ностью МД С всех его обмоток, может быть условно раз-
делено на две взаимосвязанные части — основное поле
и поле рассеяния [1-3]. Полем рассеяния называется
часть магнитного поля, созданная той частью МДС всех
обмоток, сумма которых на каждой фазе равна ну-
лю, причем предполагается наличие тока не менее чем
в двух обмотках. Основным полем называется часть
магнитного поля, созданная разностью совокупности
МДС всех его обмоток и МДС, создающих поле рассе-
яния. В стандарте [1-3] указано, что при оценке потерь
и напряжения КЗ силового трансформатора полем рас-
сеяния с достаточной точностью можно считать магнит-
ное поле при опыте КЗ, а при оценке потерь XX и на-
магничивающей мощности основным полем — магнит-
ное поле при XX трансформатора. Тем самым подчерк-
нуто принципиальное отличие поля при опыте КЗ от
поля рассеяния и поля при XX от основного поля, хотя
их параметры практически совпадают.
12
Сопротивление КЗ и ток и потери XX при испытани-
ях трансформатора определяют в опытах КЗ и XX (см.
§ 4-4), а расчеты этих параметров выполняют для идеа-
лизированных воображаемых опытов, в которых имеет-
ся только поле рассеяния или только основное поле.
Для поля рассеяния заранее принято, что сумма
МДС обмоток фазы равна нулю, что существенно облег-
чает расчет параметров этсцчороля. В большинстве слу-
чаев удается сразу, исходя из баланса МДС и условий
симметрии частей трансформатора, определить соотноше-
ния токов. При опыте КЗ магнитные потоки в магнито-
проводе невелики, индукция в стали далека от насыще-
ния и потому магнитная проницаемость материала маг-
нитопровода очень слабо влияет на магнитные потоки
рассеяния. Реально создать чистое поле рассеяния
можно лишь при строго одинаковых числах витков
двух обмоток — тогда при последовательном встреч-
ном включении (опыте «противонамагничивания», про-
тивовключении) сумма МДС этих обмоток строго
равна нулю. До введения стандарта [1-3] под полем рас;
сеяния часто понимали магнитное поле вне магнитной
системы, а под основным — поле только в магнитопро-
воде.
При расчете основного поля силового трансформато-
ра, как правило, пренебрегают магнитными потоками
вне магнитопровода. Тогда характеристика XX не зави-
сит от того, какая из обмоток возбуждается. При замет-
ном насыщении приходится учитывать магнитное поле
вне стали.
В случае неизменной магнитной проницаемости мож-
но применить принцип наложения и реальное поле стро-
го представить в виде суммы полей рассеяния и основ-
ного. Погрешность в реальных случаях обусловливается
только насыщением стали и для нормальных рабочих
режимов обычных силовых трансформаторов ничтожно
мала. Расчеты поля рассеяния и основного поля и пара-
метров, связанных с этими полями, составляют подав-
ляющую часть всех электромагнитных расчетов транс-
форматоров.
1-4. ОСОБЕННОСТИ РЕАКТОРОВ
. Электрические реакторы, применяемые на практике,
значительно разнообразнее, чем силовые трансформато-
ры. Например, в классификации реакторов по назначе--
13-
нию (1-2, 1-17] упоминается около 40 видов, тогда как
аналогичная классификация силовых трансформаторов
содержит менее 10 видов [1-3]. Многие из реакторов су-
щественно различаются по составу номинальных данных
и других параметров. В частности, для реакторов после-
довательного включения, как правило, основными зара-
нее заданными нормируемыми параметрами являются
номинальные ток и индуктивность или полное сопротив-
ление, для шунтирующих реакторов — номинальные
Рис. 1-1. Основные виды конструкции реакторов (показано только
однофазное исполнение, хотя для случаев в, г, е — з возможно и
трехфазное).
а, б - реакторы без стали с цилиндрической обмоткой и тороидальный; в, г —
броиевой и ярмовой реакторы, ие имеющие стержня; д — стержневой реактор
без ярм; е, ж—броиестержневой и стержневой реакторы с немагнитными за-
зорами в стержне; з, и — бронестержневой н . тороидальный насыщающиеся
реакторы.
мощность и напряжение, для дугогасящих — номиналь-
ные напряжение и ток. Для насыщающегося задержива-
ющего реактора важнейшим параметром является пото-
косцепление насыщения, для сглаживающего важны
средняя или эквивалентная индуктивность и ток насы-
щения, в сдвоенных реакторах задают коэффициент
связи.
Ввиду разнообразия требований в реакторах приме-
няется значительно больше видов магнитных систем,
чем в трансформаторах (рис. 1-1); относительно часто
используют реакторы без стали. С точки зрения опреде-
ляющих электромагнитных параметров, линейности ве-
бер-амперной характеристики и показателей степени соот-
ношений между параметрами основные виды конструкции
реакторов можно объединить в четыре группы [1-18]:
реакторы без стали (рис. 1-1,а б); с разомкнутыми маг-
14 .
нйтнЫмй системами (рис. 1-1,е-с>); с магнитными систе
мами с зазорами (рис. 1-1,е, ж) и с замкнутыми магнит-
ными системами (рис. 1-1,з, и). С той же точки зрения
в<;е обычные силовые трансформаторы относятся к од-
ной группе. По показателям степени законов подобия
и оптимальным соотношениям они близки к реакторам
с магнитными системами, имеющими зазоры.
Несмотря на разнообрази^требований и видов конст-
рукций, большинство электромагнитных расчетов реак-
торов имеет близкие аналоги среди расчетов трансфор-
маторов. Расчеты магнитного поля в реакторах без стали
и с разомкнутой магнитной системой имеют много обще-
го с расчетом поля рассеяния трансформаторов, хотя в
реакторах бывает заметно важнее роль кривизны обмо-
ток и радиального поля. Расчеты реакторов с замкну-
той магнитной системой схожи с расчетами процессов в
трансформаторах при перевозбуждении или подмагничи-
вании. Реактор, имеющий ненасыщенную магнитную
систему с зазорами в стержне, часто удобно рассматри-
вать как трансформатор, в котором первичной обмоткой
является реальная обмотка реактора, а вторичными—
воображаемые фиктивные обмотки, окружающие зазо-
ры и натруженные каждая на индуктивность, соответ-
ствующую магнитной проводимости этого зазора. Поле
вне магнитопровода реактора рассчитывается как поле
рассеяния такого воображаемого трансформатора, и по-
тому его часто называют полем рассеяния реактора.
Магнитное поле реактора не поддается четкому разде-
лению на основное и поле рассеяния [1-2] — разделение
зависит от положения фиктивной обмотки и принятых
допущений. Поэтому пользоваться понятием «поле рас-
сеяния реактора» следует очень осторожно, а еще луч-
ше — избегать его.
Иногда для использования расчетных методов, раз-
работанных для трансформаторов, бывает целесообраз-
но реактор без стали также рассматривать как транс-
форматор. Например, при внешнем КЗ для расчета то-
ка в замкнутом электромагнитном экране, окружающем
основную обмотку реактора, удобно считать экран зам-
кнутой накоротко вторичной обмоткой двухобмоточно-
го трансформатора, -имеющего относительно малую ин-
дуктивность XX и большой намагничивающий ток. Ис-
пользуя метод- из §,‘ 5-2, этот трансформатор можно
заменить трехобмоточным трансформатором без намаг-
15
ничивающего тока и применить имеющееся решение.
Особенностью реакторов, предназначенных для си-
стем переменного тока, является относительно большая
роль добавочных потерь в обмотках и потерь в элемен-
тах конструкции по сравнению с трансформаторами со-
поставимых мощности или размеров, так как реактив-
ная мощность магнитного поля в реакторе равна поми-
нальной мощности реактора, а в трансформаторе она
на порядок меньше. Поэтому в реакторах раньше, чем
в трансформаторах, были обнаружены опасные мест-
ные нагревы крайних пакетов магнитопроводов, необ-
ходимость уменьшения осевого размера провода торце-
вых катушек обмоток, некоторые виды циркулирующих
токов, недопустимые вибрации.
Книги по расчету и конструированию выпущены толь-
ко для реакторов без стали £1-19]. Для остальных видов
реакторов вопросы проектирования изложены лишь в
разрозненных статьях в журналах и сборниках [1-20—
1-28].
Из-за разнообразия видов по назначению и конструк-
ции реакторы чаще, чем трансформаторы, приходится
разрабатывать, не имея близких прототипов. Поэтому
для реакторов чаще, чем для трансформаторов, быва-
ют необходимы методы оценки технико-экономических
показателей, упрощенного расчета оптимальных основ-
ных параметров и электромагнитных нагрузок и диаграм-
мы избыточного расхода оптимизируемого параметра
при отклонениях соотношений размеров от оптимальных
(см. § 1-5) .
Для испытаний реакторов необходим источник, реак-
тивная мощность которого превышает номинальную
мощность реактора—в отличие от трансформаторов, для
которых в опытах XX и КЗ или даже в опыте взаимной
нагрузки достаточен источник мощностью порядка про-
центов или десятков процентов номинальной мощности
трансформатора. Поэтому на заводе—изготовителе мощ-
ных реакторов приходится сооружать громоздкую кон-
денсаторную батарею.
Несмотря на указанные частные отличия, больший-
ство рассматриваемых в книге методов можно приме-
нять для расчета не только трансформаторов, но и реак-
торов (и наоборот). Можно сказать, что с точки зрения :
электромагнитного расчета, конструкции и технологии 1
реактор—это однообмоточный трансформатор или транс-
16
форматор—это двухобмоточный или Многообмоточный
реактор.
1-5. ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ И ОПТИМИЗАЦИЯ
а) Общие замечания
В большинстве случаев оптимальным в энергетике
считается вариант изделия с минимальными расчетными
годовыми затратами—суммой^первоначальных вложе-
ний, умноженных на нормативный коэффициент/ амор-
тизационных отчислений и эксплуатационных расходов
(в том числе стоимости потерь энергии). Выразив сос-
тавляющие годовых затрат через размеры трансформа-
тора и электромагнитные нагрузки (плотность тока в
обмотках, индукцию в стали), можно найти параметры,
соответствующие минимуму затрат, т. е. оптимальные
размеры и нагрузки. Для того, чтобы задача аналити-
ческой оптимизации была не слишком сложна, при ее
решении приходится не учитывать ряд важных факторов,
пока не поддающихся простой денежной оценке: техно-
логичность, надежность, стойкость при КЗ, нагрузочную
способность и т. д. Как правило, считаются заранее из-
вестными и постоянными коэффициенты заполнения, от-
ношения добавочных потерь к основным, цены материа-
лов и стоимость их переработки и т. п. Такой расчет
трансформаторов подробно изложен в книгах ГТ М. Ти-
хомирова [1-10] и др. Оптимизация трансформаторов
рассматривается также во многих других публикациях,
например [1-31—1-34, 1-38]. Для оценки параметров
трансформатора, как правило, можно найти не очень
далекий прототип и пересчитать его данные по законам
подобия (см. § 3-3), используя понятие «типовая мощ-
ность» (полусумма мощностей всех частей обмоток
трансформатора) [1-3]. Для реакторов такой метод
оценки удается применить далеко не всегда, и то как
весьма приближенный [1-20, 1-21, 1-28, 1-35].
б) Реакторы
В реакторах оптимальные соотношения размеров
изменяются в значительно более широком диапазоне,
чем в трансформаторах, ввиду чрезвычайного разнооб-
разия предъявляемых требований. Соблюдать геометри-
ческое подобие при изменении мощности бывает невы-
годно или даже невозможно (см. § 3-3). Отсутствует
простое понятие «типовая мощность» [Ы7]. Реально
2—774 ___... ~ 17
гГриМенйётСя Ъшого разных видов конструкции (рис. 1-1).
Близкие прототипы часто найти не удается. Поэтому для
реакторов значительно чаще, чем для трансформаторов,
бывают нужны аналитические оптимизация и оценка
параметров (например, при проверке реализуемости и
уточнении технических требований к номинальным дан-
ным, при выборе варианта схемы установки, в которой
применяется реактор, и при определении наиболее под-
ходящего вида конструкции реактора).
Рис. 1-2. Идеализированные электромагнитные системы, имеющие
только осевое (а) или только радиальное (б) магнитное поле.
Оптимальные соотношения размеров реактора в виде круглой
цилиндрической обмотки без стали определил еще Максвелл. Пол-
века назад Хак построил диаграммы избыточного расхода материа-
лов при отклонении размеров таких реакторов от оптимальных, при-
веденные в [1-19]. В [1-20] дан метод оценки параметров реакторов
без стали для случаев, когда размеры определяются требованиями
к электродинамической стойкости или активному сопротивлению..
В [1-21] получены оптимальные соотношения и метод оценки пара-
метров тороидальных реакторов.
Ниже изложен обобщенный аналитический метод оптимизации
и оценки технико-экономических показателей основных видов реак-
торов с линейными и ограниченно линейными характеристиками
(виды по рис. 1-1,а, в—ж) [1-22]. Расчет по Хаку для цилиндриче-
ской обмотки без стали (рис. 1-1,а) оказывается частным случаем
этого метода. Используются методики расчета ряда отдельных ви-
дов реакторов со сталью [1-24—1-28].
Основой метода является расчет интегральных параметров маг-
нитного поля реактора — запасаемой энергии, индуктивности, макси-
мального потока, а также полных потерь и суммарных усилий. Для
вывода единой системы простых и наглядных формул используются
18
Таблица 1-1
Формулы электромагнитного расчета идеализированных электромагнитных систем
Параметр Вад системы и эпюры поля
по рис. 1-2, а по рис. 1-2, б
Бе зра змериые коорди- наты и соотношения ^ОС й Ь аос 0 » Рос 0 , г Z f Г 2 - аос (0/2) > г - D/2 ^ст “р— D ’ ₽р— Д ’ apD 2 - ар(Р/2) > r -D/2
Область определения поля Напряженность магнит- ного поля ^1; 0<Сг 1-J-Рос f (iffiloc - D при 0<г'<1 — рос; Hz— (ta’)oc /1 + Рос г' \ аосТ* \ 2^ос 20ос J при 1 —foe <г'< 1-Нос: нг=о - (1 + X) <z'< (1+Х)1 1-РР<г'< 1+ ₽р гД; W2=0; 1 (МР (Л»)Р г’ ц-Рр^гьр при 1<|2'|<1+М (to)p 2fcp" z п₽и 0<|z'|<l
Продолж. табл. 1-1
Параметр Вид системы и эпюры поля
по рис. 1-2, а по рис. 1-2, б
Энергия магнитного поля П7 ео ч2 71 f. ^ОС_\2 Гос~ 2 (*®) ос 4 аос V-” 37 т Но я “р 1 1 \ ~ “Г (;®)2р Т D 1"3“ + 7
Потери от вихревых то- ков в обмотке 4 ^в.ос 12р W* з Рос [Лоы2 I ^В, р=5= [2р а ос^об^р!
Суммарные усилия Р 4 FP^ D 1 1 3 Рос F°c~ D ар(1+ЗХ)
Примечание, а и —радиальный и осевой размеры провода; F и F —радиальное и осевое усилия; W—энергия магнитного
Р ОС Р
поля при максимальном токе; (^)qC, ОиОр—МДС обмоток систем, имеющих только осевое и только радиальное магнитные поля.
две расчетные модели — два осесимметричных идеализированных
электромагнитных устройства (рис. 1-2). Первое из них (рис. 1-2,а)
представляет собой цилиндрический немагнитный зазор в среде из
материала с бесконечно большой магнитной проницаемостью (р,=
= <?о), окруженный равномерной обмоткой с МДС (iw)oc. Во вто-
ром устройстве (рис. 1-2,6) внутрь обмотки с МДС (iw)v введен
ферромагнитный стержень (р,= оо), к торцам которого прилегают
полупространства с бесконечно малым электрическим сопротивле-
нием (р=0); магнитное поле здесь близко к чисто радиальному.
Электромагнитный расчет указанны^' устройств достаточно прост,
его формулы, выведенные в последивших тематических главах, све-
дены в табл. 1-1. Для броневых и ярмовых реакторов вида
рис. 1-1,в, г при относительно небольших зазорах между торцами
обмотки и ярмами непосредственно применим расчет устройства по
рис. 1-2,а; для стержневых реакторов без ярм (рис. 1-1,6) можно
использовать расчет устройства по рис. 1-2,6; в других случаях —
реакторы без стали (рис. 1-1,а), бронестержневые и стержневые
с зазорами (рис. 1-1,е, ж)—пригодны комбинации указанных си-
стем и использование методов наложения, небаланса МДС и т. п.
Отличия реальной конструкции реактора от указанных устройств
должны учитываться с помощью поправочных коэффициентов, как
правило, близких к единице.
При оптимизации реактора принимаются заранее известными и
неизменными коэффициенты заполнения обмотки (или окна магнито-
провода) проводом йОб и магнитопровода сталью £Ст, коэффициент-
ты добавочных потерь kPD^ (отношение полных потерь в обмотках
и добавочных в элементах конструкции к основным) и kPCT (отно-
шение полных потерь в магнитопроводе к основным потерями в ста-
ли), коэффициенты массы (отношение составляющих полной массы
к массе соответствующих активных материалов), коэффициент по-
токосцепления (отношение среднего потока в витках обмотки
к наибольшему потоку в стержне или ярме магнитной системы),
средние цены. При необходимости все эти коэффициенты могут быть
уточнены путем расчетов и эскизных проработок конструкции пред-
варительно выбранного варианта. Как правило, для оценки такие
уточнения не требуются, даже если эти коэффициенты определены
из расчета очень далеких прототипов.
Для общности записи все применяемые варианты технико-эко-
номического показателя (критерия) оптимизации реактора объеди-
нены в понятие целевой функции N. Она представлена в виде суммы
двух членов, пропорциональных массе провода обмотки 60б и стали
магнитопровода GCT:
С(1 б Go б “{“Сс т G с т, (1-2)
где с<5б, Сет — коэффициенты, зависящие от принятого критерия
оптимизации и выраженные через свойства, цены, коэффициенты
использования материалов, электромагнитные нагрузки и пр.
Например, при оптимизации массы активных материалов (W=
= GaKT) имеем сОб = Сст = 1, а при оптимизации годовых затрат
(Л? = Зг) ПОЛУЧаем Соб = Зп3г, об 4-3pJ2£p об/уо б! Сет = 3Язг,ст+
-J-3ppCT(Bmax, f) kpct, где Зиаг, з? — удельные годовые затраты иа
изготовление и покрытие потерь реактора; рСт(В,Пох, f)—удельные
потери в стали при индукции ВтПх и частоте f.
Задача оптимизации формулируется следующим образом: по за-
данным номинальным параметрам и условиям работы реактора при
2J.
Исходные уравнения, оптимальные соотношения размеров и однофазных реакторов
Вид кон-
Без стали (БС) Броневая (Б) Ярмовая (Я)
dor8^ b0$ Л/Г . *- /j^gg
Параметр или вид соотношения 1 Г 1 1
in - 1 2Ц-Ё-== t ::: ; i ; 5C ' -C?
“qq □ „ £=- Д>6 ;
Независимые переменные ^об . D ^об “=^-₽=^б %K . „ 6o6 — - о __ ^об Do6 ’ ~ поб
Исходные уравнения IW = Jko^V‘ X ш. m „ । a Sk. & A-1 - T ф 3° Q II =4S 4 и x П* J3 CQ Iw = SJtfe^apD3 c — V-o^ I max v CT Bmax 1 x Xfe0fi ~ P°3
Упрощения Г< 2= _2 <_ L 1 + 0,45/a dOTB = 2(c + *) Д1 = 2Да
D FDkrtA (Ma)-°-2 (t/2)0’2
fd (4/n)°>2(a04Ct)-°-2 m x(*-l afF X Л]—°,2 X . -—я 1 ь= -j°’2[“9’ X I- JV]-0-2 3 / J
°об ^nfi^°’2To6 >~0,6 <Lf2 >°’6 G об об oo
FG об 2nagF5^
°ст — max
22
Таблица i-2
формулы для оценки тёхйнкс-акономических показателей
с круглыми обмотками
струкдии
ц>В Л S т _ max ст . ~ max г — ^тдх^ст , I W max
Iw~ Ia> = Jfeog«pDa
= 1,05 “ 1.2 = 0,8 -r- 0,9
Co II a > 11 *• •° a’ CH II H .° СЛ Й Да = 2Д>; йй = D; S =S я CT ГД = 0J
/ or \ 0,25/kf* X0,25 p b-0,25 .—0,25 ,ь„)-0.25 I I I I FDo6 *ct ^max1^ Imax J \ 2 J
±)°’2Б (аВ)-0.25
««8(1+ g) F3d ««8 (1 + 0,5g) F‘d ««g (1 + g) F»D
( or \0,75 fLI*,, \0,75
-Л-) Гк
'max/ \ 2 J
23
Вид кои-
Без стали (БС)
Параметр
или вид
соотношения
Броневая (Б)
Оптималь-
ные
соотношения
«0 ~ 0,345
ро = 0,335
Литература
[1-19, 1-20, 1-23]
1 с
Дет ст
^об соб
™2L W2 }^и2 ,0.2
° max 1
См- рис. 1-3 или
[1-22, 1-24]
[1-24, 1-28]
“о =1.74п^6.
Р() =0,445
[1-24, 1-28]
-Jp (! + «+₽)
2к₽ (1 + 0) F^
Примечание. D = £>о- при отсутствии стержня и D = Л(,т при наличии стержня:
feo6 = So6/6o6ftOK (виДЫ Б и Я): L*O6 = so^bOKh0K (™ДЬ1 Бсз и Д™ однофазного
в окне). Для трехфазных реакторов в вьхражение F для видов Я и СЗ войдет дополни-
(j оо
венно меняется выражение в скобках в формулах F
и немного изменяются оптимальные
известной технологии его изготовления и выбранных материалах не-
обходимо определить размеры обмотки и магнитопровода, сечение
провода и число витков обмотки, при которых целевая функция
имеет минимум. Для ее решения нужно выразить основной размер
(например, диаметр), массу проводников обмотки и стали магнито-
провода реактора и целевую функцию в явном виде через его но-
минальные параметры, электромагнитные нагрузки, коэффициенты
заполнения и соотношения основных размеров a, f ... на основе
упрощений реальных конструкций и исходных уравнений электро-
магнитного расчета (табл. 1-2). Для дальнейшего решения удобно
представить N в виде
* = [^<,8 («,₽-)+ «Лет (“ ₽-)] СобТоб X
(1-3)
где
УстСст^ст РтахУ*
(1-4)
струкции
Бронестержневая с
зазорами (БСЗ)
Стержневая без ярм (СБЯ)
Продолжение табл. 1-2
(1 + а + В) F*d
-T“fd
^ст сет ^ст
^об соб *об
См. рис. 1-3 или [1-22, 1-25] См. рис. 1-3 или [1-22, 1-25]
“о “ 1; ₽о—к°Реиь
20₽’о + 4?о-ЗиЛ, = О
[1-25, 1-27]
[1-25, 1-27]
[1-26]
(2 + а + В) F3p
коэффициенты заполнения: *ст = 4sCT/(nD3CT); fto6 = So6^o5fto6 (виды ВС и СБЯ)
реактора СЗ); SQg—суммарное сечение проводов обмотки (вид СЗ—обмоток двух стержней
тельно множитель 3/2, а для вида БСЗ—множитель 3; для видов Я, БСЗ н СЗ сущест-
соотношения. Рад формул и вспомогательных кривых приведены в [1-26].
/•’ооб(а, Р Fa ст (а, Р ...)—безразмерные геометрические фак-
торы обмотки и магнитопровода, зависящие от независимых пере-
менных — соотношений основных размеров а, р ...; 1тах — мгновен-
ный ток, соответствующий индукции Втах и запасаемой энергии
реактора и7м=£/2тах/2, например амплитудный ток; / — действую-
щий ток, соответствующий плотности тока J; ai, az, bi, .... gz—
действительные числа — показатели степени, определяемые из исход-
ных уравнений электромагнитного расчета; £d(ci, р ...)
(в табл. 1-2) — безразмерный фактор для расчета диаметра.
Например, для броневого реактора при обозначениях, указанных
в табл. 1-2 (а=//ок/ООб; Р=Ьоб/Ооб; £>=£>ое; ko$=Iw/1ЬО^НОК),
и синусоидальном токе из выражения энергии осевого поля, имею-
щегося в табл. 1-1, следует:
£/2=1л<!(/Ш)2^- (1- = ^2о5 "J- < (1 - 4~) D*’
(1.5)
25
откуда
л . Гя 1—0,2
(н-о/^’-Ч^)0'2; fD^|-r «f2(i-₽/3)] ; (1-6)
Ооб=уобА0бЛаР-03=/;'ооЕуобАоб(Цо.12)_0’в(1</2)0'е> (1-7)
где
7?соб=лпрр3о- (1-8)
Йз выражения Н в табл. 1-1 следует приближенное выражение
потока в ярме и сечения стали
Iw Imax п ™ г, Фсттах_
Фет max— Р-оа£» / 4 и ’ йст — Втах
Н*о*1 I/nax . п nni га
=я------7— Айт Р2^- О-9)
При этом масса стали (с учетом упрощения б/Отв=2а-|-2Д)
равна:
^ст Уст ок 4" 4~ "Ь + 2Л * ^отв) *$ст — Уст (1 4“ ° +Р) DSCT—
= fOcrYcT^e^ ЬП-1’8 (i/2)’-8. (1-10)
где
FoCT = “r₽(l +“ + ₽H4d- (1-11)
Тогда целевая функция
N = Соб^об 4" Сетует = соб (FGoj4- Ост) Уоб^об^’4 (Р*о^2) ~°’8 (Т-22)’’8»
(1-12)
0...
(1-13)
где mN — см. табл. 1-2.
Приравнивая нулю производную целевой функции N по всем
независимым переменным — соотношениям основных размеров а,
Р ..., получаем систему алгебраических уравнений для определения
оптимальных значений аОпт, Ропт • •
dN ^N dFGo6 dFGcT dFGo5
да —°’ -0-—Т. е. да + rnN да —0; ^ 4-
+ mN ар
Система (М3) имеет дробные показатели степени. Несмотря на
это, благодаря удачному выбору упрощений Л. П. Кубареву удалось
найти ее решения для основных видов реакторов со сталью. Сводка
всех соотношений для однофазных реакторов дана в табл. 1-2. При-
меры расчета и особенности трехфазных реакторов рассмотрены
в статьях по отдельным видам реакторов [1-23—1-26]. Зависимость
оптимальных соотношений размеров от параметра гпк представлена
на рис. 1-3. Для определения оптимальных соотношений основных
размеров достаточно подсчитать параметр Шп по соответствующей
формуле из табл. 1-2 и найти значения аопт и ропт по кривым
рис. 1-3 или по формулам табл. 1-2 (для определения' оптимально
Рис. 1-3. Зависимость оптимальных соотношений основных размеров
и оптимальных геометрических факторов однофазных реакторов от
параметра mN.
а, 6-«опт! «• г - ₽опт и fDonT: о, е —FGoeonT и F Ост,опт; ® “ броне-
вые реакторы; Я -г— ярмовые; БСЗ —бронестержневые с зазорами; СЗ стерж-
невые с зазорами; СБЯ — реакторы со стержнями без ярм.
27
ЭЛектромагиитИых нагрузок необходимо выполнить несколько расче-
тов при разных значениях индукции и плотности тока).
Полученное решение — оптимальные (соответствующие миниму-
му целевой функции N) соотношения «опт, Ропт ... — необходимо
ввести в электромагнитный, тепловой и другие расчеты для выявле-
ния существенных технических и иных ограничений. Затем следует
выбрать значения а, р ..., обеспечивающие наименьшее значение
целевой функции при учете всех ограничений. Весьма наглядны и
удобны для такого выбора диаграммы «избыточного расхода опти-
мизируемого параметра», т. е. кривые отличия значений целевой
функции &N<yol= (N/Noai—1)-100 от ее минимального значения
Л^опт — при отклонениях значений а, р ... от оптимальных. Такие
диаграммы для основных видов реакторов даны на рис. 1-4. По-
строение диаграмм в координатах а/аОПт и Р/Ропт позволяет пре-
небречь изменением /Пд- в довольно большом диапазоне (mN =
= 0,05=5,0). Диаграммы наглядно показывают, что целевая функ-
ция в зоне оптимума достаточно полога, особенно по координате а.
Следовательно, даже значительные отклонения от оптимума не очень
сильно влияют на результаты оценки показателей реактора.
Для оценки показателей и сравнения разных видов конструкции
реакторов по приведенным выше формулам электромагнитного рас-
чета и аналитической оптимизации необходимо выбрать материалы,
электромагнитные нагрузки, коэффициенты заполнения и другие ко-
эффициенты. При этом используются либо опыт известных проект-
ных разработок реакторов н трансформаторов, либо упрощенные
электромагнитные расчеты (см. табл. 1-1) с учетом технических огра-
ничений. Затем по формулам табл. 1-2 или кривым рис. 1-3 опреде-
ляют оптимальные соотношения основных размеров и рассчитывают
диаметр обмотки или стержня, массу активных материалов обмотки
и магнитопровода, потери и другие показатели. Далее при необхо-
димости можно перейти к детальным, расчетам.
Приведенные метод и диаграммы бронестержневых реакторов
с зазорами можно в принципе использовать для броневых и броне-
стержневых силовых трансформаторов, относительно мало применяе-
мых при небольшой и средней мощности. Вместо мощности реактора
в формулы для реактора следует подставлять удвоенную типовую
мощность рассчитываемого трансформатора. Требования к размеру
тока XX и напряжения КЗ учитываются как технические ограниче-
ния. Аналогично можно применить метод стержневых реакторов
к стержневому трансформатору, если для оценки последнего не най-
дется приемлемый прототип.
В некоторых случаях расход активных материалов определяется
почти однозначно и непосредственно техническими требованиями
к изделию и почти не зависит от соотношений размеров. Тогда ана-
литическая оптимизация совершенно теряет смысл, экономические
показатели могут быть оценены без определения соотношений раз-
меров, а выбирать наилучшие варианты целесообразно лишь на
основе конструкторской и технологической проработки. Например,
для насыщающегося реактора с заданными потокосцеплением насы-
. щения ЧА и индуктивностью насыщенного реактора Ls непосредст-
венно из выражений
4A = BsSctW и £s = (1-1*1)
следует, что масса стали равна:
28
Рис. 1-4. Диаграммы избыточного расхода оптимизируемого параметра.
с —реактор без стали (диаграмма Хака); б—броневые и ярмовые реакторы; в — бронестержневые н стержневые реакторы с за-
зорами.
P-о Sep .вит /ст . g,
GCT = Зст/стуст= YcrJjF 5ct ' *
где /ст — длина магнитной силовой линии по стали, приведенная
к сечению Set соответственно расходу стали; Scp.bbt — площадь,
охваченная средним витком обмотки; /г,— эквивалентная длина си-
ловой линии при насыщенной стали для расчета индуктивности, со-
ответствующая сечению магнитного потока SCp,вит; при индукции
насыщения Ва=2,0 Тл и уСт=7,65 т/м3 имеем усг|1о/В2г=
=7,65 т/м3-4л-10-’ — / 2,02 Тлг=2,4 т/МДж; соотношение
Scp,bht/Sct»1,5-i-3 в зависимости прежде всего от класса напряже-
ния и абсолютных размеров; соотношение /ст//ь~1,1 в тороидаль-
ном реакторе, 1,5—3,0 в стержневом й несколько более 2,0 в броне-
стержневом (рис. 1-5).
Рис. 1-5. Зависимость /Ст//ь от соотношения размеров магнитопро-
вода насыщающегося реактора.
а — тороидального; .6 — стержневого; в — броиестержневого; Ri, Ri — наруж-
ный н внутренний радиусы тороидального магнитопровода; Я и D — высота
окна и диаметр стержня стержневого или броиестержневого реактора.
Если в режиме насыщения такой реактор работает короткое
время, например только при КЗ в цепи, то расход провода в нем
может определяться механическими напряжениями растяжения
обмотки радиальными силами [1-20]. Для круглой цилиндрической
обмотки средним диаметром D из простых соотношений
R 7тах D
«ср —с0С, ср Snp 2 ;
, 1 1тах® . . "В2
'ос,ср— 2 Ко 1в . Is— P-ow
(1-16)
следует, что масса провода обмотки равна:
^s^2max ^Уоб
б?об — Тоб-$пр^£) = 2 аСр 9 0 “ 17)
ГДе 1-гпах наибольший мгновенный ток; <тСр— средние механиче-
ские напряжения растяжения в обмотке, допустимые при токе 1тах',
Вос,ср — средняя осевая индукция в сечении обмотки; Snp — сечение
провода (всех параллельных проводов витка); 1в — эквивалентная
30
длина силовой линии для расчета индукции Вос.ср", при уов =
=8,9 т/м (медь) и оср=50 МПа имеем 2уоб/Оср=0,36 т/МДж;
отношение 1ъ[1в немного меньше 1,0 — согласно [1-20] оно может
быть принято равным 0,9.
Последняя формула применима также к реакторам без стали,
-предназначенным для кратковременной работы, н крупным индуктив-
ным накопителям энергии в виде круглой цилиндрической обмотки.
Ее удобно записать в виде
2Yo6
Go6 = °.9—-Гм, (Ы8)
' СР <
где — энергия магнитного поля: Wv&LPmax/2.
ГЛАВА ВТОРАЯ
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
2-1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Электромагнитные расчеты трансформаторов и реа-
кторов, как и других электротехнических устройств, ос-
нованы на использовании ряда фундаментальных поня-
тий [1-1], характеризующих электромагнитное поле и
свойства среды в каждой точке, а также интегральные
параметры поля в определенных областях пространства.
Если считать эти области достаточно независимыми,
расчет поля можно заменить расчетом электрической
или магнитной цепи. Понятия, относящиеся к цепям с
сосредоточенными параметрами, привычнее и нагляднее,
а расчет цепей значительно проще, чем расчет поля.
В табл. 2-1 приведена краткая (и не вполне строгая)
сводка наименований, обозначений и размерностей пара-
метров электромагнитного поля и цепей, а также соот-
ношений между ними. В этой таблице не помещены вре-
мя t и скалярные электрический (<р) и магнитный (QM)
потенциалы, одинаковые для поля и цепи. Опущены ред-
ко применяемые понятия.
Все электромагнитные расчеты базируются на не-
большом числе сформулированных более 100 лет назад
основных уравнений или законов электромагнитного
поля, электрических и магнитных цепей (табл. 2-2). В
ней не учтены релятивистские эффекты и токи переноса,
не играющие роли в обычных трансформаторах, не сов-
мещенных с электронно лучевыми, ионными и тому по-
добными устройствами.
Те же опытные факты, что первое уравнение Макс-
р₽лда или закон полного тока, в однородной среде выра-
31
Основные понятия электромагнитного поля и цепей
Таблица 2-1
Параметры поля или Череды (в точке) Соотношения (уравнения связи) Параметры цепи (интегральные)
Наименование Обозначение, размерность Обозначение, размерность Наименование
Плотность электрического"тока *J, А/м2 f S JdS = i i, А Электрический ток
"Напряженность магнитного поля Н, к/к H dl— iw iw, А Магнитодвижущая сила
Напряженность электрического поля Е, В/м i Edl = u и, В Напряжение; ЭДС
Магнитная индукция В, Тл s В dS =ф ф, Вб Магнитный поток
Магнитный векторный потенциал А, Вб/м $ I Ф, Вб Потокосцепление
Объемная плотность электриче- ского заряда р3, Кл/м3 J p3dV = Q. Q, Кл Электрический заряд^
Продолжение табл. 2-1
03
Параметры поля или среды (в точке) Соотношения (уравнения связи) Параметры цепи (интегральные)
Наименование Обозначение, размерность Обозначение, размерность Наименование
Плотность потока мощности (вектор Пойнтинга) Удельная объемная мощность П, Вт/м2 р, Вт/м’ HdS=P S pdV = Р V Р, Вт Мощность
Плотность энергии, удельная энергия и>уд, Дж/м’ f WyadV = W V W, Дж Энергия
Удельное электрическое сопро- тивление Магнитная проницаемость р, Ом-м [-4' — Гн/м ?l/S = г* | P-ffS/Z = = 1 /г*м t l>.aw2S/l = L* г, Ом ёч ~ = 1/гм> Гн L, Гн Ci.-. Электрическое сопротив- ление Магнитные проводимость, сопротивление Индуктивность
Диэлектрическая проницаемость sa = еоег> Ф/м eaS/l = C* С, Ф Электрическая емкость
* Соотношения для области сечением 5 и длиной I в изотропной среде при равномерном поле.
Табл и ц а 2-2
Основные уравнения и параметры электромагнитного поля и цепей
Дифференциальная форма Интегральная форма
Наименование Выражение Выражение Наименование
Первое уравнение Максвелла ' й> rot ff -— J I s Закон полного тока; закон Ам- пера (здесь Sin—полный ток)
Второе уравнение Максвелла сш rot Е — — dt dV u = -~dF Закон электромагнитной индук- ции; закон Фарадея
Третье* уравнение Максвелла div В — 0 В dS = 2ф = 0 Непрерывность магнитного пото- ка
Четвертое* уравнение Максвелла div D = p3 (&DdS=Q Электростатическая теорема Га- усса
Параметры среды (изо- тропной)** D=taE В — \s.aH Q =Cu ф=—; Ф=£» Характеристика конденсатора** Закон Ома для магнитной цепи**
E = ?J и = ri Закон Ома**
Продолжение тбал. 2-2'
Дифференциальная форма Интегральная форма
Наименование Выражение Выражение Наименование
Удельная энергия ED ВН ^уд— 2 ' 2 « Энергия
Удельная объемная ме- ханическая нагрузка F = ^idty^B l Механическая сила по направ- лению'.^
Уравнение непрерывнос- ти электрического тока dIv/+^r=0 + ‘п S = 0 Первый закон Кирхгофа *
♦ Нумерация не вполне установившаяся
*• Если в , р.^., р или С, grM, L, г зависят от поля или тока (напряжения)» то среду или элемент цени называют нелинейными;' в полях
с такими средами и цепях с такими элементами неприменимы принцип наложения и основанные на нем методы расчета, если, не принимать допол-
нительных допущений или упрощений. •
Жает закон Био—Савара:
//=(6d/7; dH=[r^dly , dH = ~sin^r, dl; (2-1)
j 4кг3 4nrz v 7
l-L
н f ju ju ir'XJidv ,rj JdV . , J ,r> ox
H = \dfi; dH = —t—dH=-r—^sin/r, J, (2-2)
J ’ 4кг3 4кг2 *— ' '
где li и Vj — длина контура с током i и объем, в кото-
ром имеются токи, создающие поле; г — радиус-вектор
из рассматриваемой точки в элемент тока idl или J dV
(рис. 2-1, а).
'^Р
s' s' ' Рис. 2-1. Источники магиит-
| ного (а) и электростатиче-
ского (б) полей. q=dQ=
a) aL б) =P3dV.
Из тех же законов и определения понятия «магнит-
ный векторный потенциал» (rot А—В, div Л=0, Лг==оо=0)
следует:
я f р-а/ dV
Л=(р—. — или А= 1 ----- (2-3)
J 4кг .) 4кг ' 7
li Vj
Аналогичные выражения имеются для напряженно-
сти и потенциала электростатического поля (Е=
- grad <р):
(2-4)
V V
з з
где У3 — объем, в котором имеются заряды с плотностью
р3; г — радиус-вектор из рассматриваемой точки в эле-
мент заряда Pat/У (рис. 2-1,6).
Для напряженности электрического поля, вызванного
изменением магнитного поля, при отсутствии зарядов
и проводящих тел по аналогии с (2-1) можно записать:
dE;
dV-,
BdV
4кг2
sin^_r,B,
dE^-^t
dt
(2-5)
36
Где VM—объем, в котором имеется магнитное поле; г —
радиус-вектор из рассматриваемой точки в элемент dV
с индукцией В.
,Из уравнений Максвелла вытекают граничные усло-
вия для поверхности раздела двух сред
Яь=Я2т; £1т = Е2т; Bin = B2n- Dln=D2n, (2-6)
где индексы и и п относятся тангенциальной и нор-
мальной (к граничной поверхйости) составляющим век-
торов.
Если имеются поверхностные ток или магнитный по-
ток с линейной плотностью 7П или Фп, а под танген-
циальным подразумевать направление, касательное
к границе раздела и нормальное по отношению к по-
верхностным току или потоку (для vEt) или вдоль пото-
ка (для Вп), то вместо (2-6) из уравнений Максвелла
имеем:
^-^=4; ен-е2=-^. в1п-в2п=-^-. (2-7)
При электромагнитных процессах в трансформато-
рах и реакторах, не связанных с очень крутыми импуль-
сами напряжения или очень высокими частотами
(при которых размеры рассматриваемой области по-
ля соизмеримы с длиной волны), токи смещения,
имеющиеся в электрической изоляции, малы. Поэтому
можно этими токами пренебречь или учитывать их как
токи в конечном числе конденсаторов, присоединенных
к отдельным узлам электрической схемы (например,
к отдельным точкам обмоток). Тогда в выражениях ле-
вой колонки табл. 2-2 исчезают члены, содержащие
электрическое смещение D и объемные заряды р3, и
остаются лишь члены и выражения, относящиеся к маг-
нитному полю и полю токов проводимости. Почти всегда
можно пренебречь также токами проводимости в элек-
трической изоляции. Ниже под электромагнитным полем
подразумевается не все поле [1-1], а совокупность толь-
ко магнитного поля трансформатора или реактора по
[1-2, 1-3] и поля токов проводимости в проводах обмо-
ток и других металлических частях. При этом система
выражений (табл. 2-2) для векторных параметров поля
в дифференциальной форме принимает вид:
rotE = -^-; div7? = 0; В =
at ’
37
±=u.H; J=—; divJ = O. (2-8)
a p
Для записи дифференциальных операций — градиен-
та, дивергенции и ротора — часто используют оператор
набла V и лапласиан А:
V<f> = grad<p; vE—divB; vX^ =
= rot£, v2^ = Д<р = div grad <?. ' (2-9)
Тогда вместо уравнений Максвелла можно записать:
V2E = —п2# = —~ (2-10)
р dt ’ v р dt х
Соответственно для потенциалов имеем:
т2л>дл=—М; v2?= — (2-н)
Уравнение такого вида представляет собой уравнение
Пуассона, а при отсутствии правой части — уравнение
Лапласа:
ДЛ = 0; Д<р = 0 или Д<рм = О. (2-12)
При решении задач широко используются теорема
Стокса и другие важнейшие соотношения векторного
анализа:
§Adl= JroUdS; (2-13)
i s
(fi tf>dS = JgradcpdV; (2-14)
s v
<|MdS=Jdh^dV; ' (2-15)
s v
[Л d$] = rot A dV, (2-16)
где V — объем, ограниченный поверхностью S. Сводки
формул векторного анализа можно найти, например,
в [2-1] ив приведенном там списке литературы.
При переменном токе, когда все процессы повторя-
ются через определенный период времени 7=1 /f, широ-
ко используют среднее и действующее (среднеквадра-
тичное за период) значения. При гармонически изме-
няющихся величинах удобен символический метод
с комплексным представлением параметров. Тогда уравг
нения принимают вид, показанный в табл. 2-3.
38
Таблица 2-3
Основные соотношения в символической форме при отсутствии
токов смещения
Наименование Выражение
в дифференциальной форме в интегральной форме
Первое уравнение Максвелла; за- кон полного тока Второе уравнение Максвелла; за- кон Фарадея Уравнение непре- рывности маг- нитного потока Магнитная харак- теристика; кри- вая индукции1 rot Ё — — jv>B div В = 0 В = = р.„р.гя §Hdl = [ JdS = S(/w) l s U = — /соф ф BdS = 1ф = 0 3 Ф = шф = £/
Закон Ома1 E — pJ f = YU; U = Zb,
Уравнение непре- рывности элект- рического тока Мощность2 div J = 0 5Уд = д+/? = р72 + п = [ Ён*] 1 N |С/Э IN И || II и - < t н ? 1^ I II 55 Lx н й ^-|N II II ° £ 1 11 i
‘Коэффициенты постоянны лишь при линейных средах и элементах.
SQ и q—реактивная мощность н ее плотность—формальные понятия. №тах—
наибольшая мгновенная энергия магнитного поля.
Примечание. Н* и I*—комплексы, сопряженные комплексам. Ни/.
При несинусоидально изменяющихся величинах часто
удается использовать методы расчета и характеристики
материалов, известные для синусоидальных величин. Для
этого реальную кривую заменяют синусодиальной с тем
же действующим (ток, напряжение) или средним (мощ-
ность, иногда напряжение) значением той же или дру-
гой (эквивалентной по определенному параметру) ча-
стоты. Для расчета переходных процессов часто исполь-
зуют понятия изображений параметров и операторный
Метод [1-1, 2-J—2-3 и др.].
39
2-2. ЭНЕРГИЯ, ИНДУКТИВНОСТЬ И МЕХАНИЧЕСКИЕ УСИЛИЯ
Интегральные параметры — индуктивность и электро-
динамические усилия согласно [1-1] и табл. 2-1, 2-2
можно выразить через магнитные потоки и индукцию:
£ = £]ФП или w^BdS^
п—l $Ф
(2-17)
где Фп — поток, сцепленный с витком «; 5ф — сечение
магнитного потока, вызванного током i; йусц— число вит-
ков, с которыми сцеплена магнитная линия, проходящая
через элемент сечения
F = J [id/.XF] или F = J [JXF]dVz,
ii . Vj Vj
(2-18)
где Ц и Vj — длина провода с током и объем тела, на
которые действует искомая сила.
При линейной характеристике среды имеем также;
т r№ udt iudt______ 2 1V7 2 f В И мт
b^~di~~dT~Tdi'^lrWM'^lr j
<249)
V v
м м
где VM — объем магнитного поля.
При нелинейной характеристике, кроме указанного,
можно рассматривать ряд других опеределений понятия
«индуктивность» — статическую, динамическую, диффе-
ренциальную [1-1], эквивалентную (при переменном то-
ке) и др. В данной книге, если особо не оговорено ина-
че, подразумевается дифференциальная инуктивность:
d’p __ 1
di i
^=~ 4- f Н dBdVM =
di i di J M
(2-20)
4Q
Где ga — дифференциальная абсолютная магнитная про-
ницаемость, соответствующая медленному изменению
поля.
Если пренебречь вихревыми токами и магнитной вяз-
костью, дифференциальные магнитная проницаемость и
индуктивность совпадают с динамическими проницае-
мостью и индуктивностью.
Рассматривая аналогию б движущимся со скоростью
v телом массой (мерой механической инерции) т, на ко-
торое действует сила F, можно считать индуктивность
мерой магнитной инерций элемента или участка элек-
трической цепи:
г dl 1VZ г i r> dV TV7
и = и F =m-dT’ =
(2-21)
Изменение меры инерции L при изменении размера
или координаты х дает возможность простого вычисле-
ния электродинамической силы Fx, действующей в на-
правлении х. По закону сохранения энергии при отсут-
ствии потерь в линейной среде имеем:
ui dt 4- Fx dx 4- (l -2-^ = 0. (2-22)
Используя соотношения
4T=£t; dW = Ldi 4-i dL; d(L-%-}=
at ’ *’12/
= Lidi + ~, (2-23)
получаем
- Li di - FdL 4- Fxdx 4- Li di 4—J dL = O, (2-24)
откуда
Г, = 4 (2-25)
Аналогичным способом определяется сила Fx в на-
правлении координаты х, действующая между двумя
элементами 1 и 2. Результат
= * (2-26)
отличается от (2-25) отсутствием коэффициента Jy2, вы-
вод более громоздкий, простой аналогии понятию взаим-
ной индуктивности в механике нет.
Через энергию магнитного поля или индуктивность
часто легко выразить силу, действующую на магнитный
экран (или магнитопровод) или на электромагнитный
экран (или обмотку). Примем, что магнитная система,
Рис. 2-2. Цилиндрический немагнит-
ный зазор внутри обмотки. Вокруг
(вне обмотки) — среда с бесконечной
магнитной проницаемостью.
выполненная из материала с бесконечной магнитной
проницаемостью, содержит лишь один цилиндрический
немагнитный зазор длиной I и площадью S, окруженный
электромагнитным экраном или тонкой равномерной
обмоткой с МДС iw и периметром (длиной витка) П
(рис. 2-2). В таком зазоре магнитное поле равномерно;
его индукция и энергия составляют
• Следовательно,
r, = -Lp.(to)-A(4). (2-27)
Направление х для силы Воздействующей на ферро-
магнетик, здесь перпендикулярно его поверхности, т. е.
совпадает с направлением длины зазора I. Тогда dx=
=dl, dS /dx=0 и
(iw?s =--^s- (2’28)
Направление x для силы F{W, действующей на элек-
тромагнитный экран или обмотку, перпендикулярно их
поверхности £бок = Ш, т. е. dlfdx—Q, и dS/dx=TL По-
этому
Л-ю=4- Н-о 4=4- (2-29)
42
Последнее выражение можно получить также из за-
кона Ампера (2-18), учтя, что индукция в пределах тол-
щины обмотки (экрана) спадает от значения В до нуля.
При равномерном распределении тока по толщине Ь
имеем: J=lwlbl, Bcv—Bf2 и
Flw = 7Дсрй/П = iw П = A 5’S6oK.
Давление или «натяжение* (F]S) в выражениях
(2-28) и (2-29) численно равно плотности энергии маг-
нитного поля, причем индукции 1 Тл соответствует дав-
ление 0,4 МПа. Это соотношение иногда дает простые и
наглядные методы оценки механических усилий или на-
пряжений. Например, в круглой обмотке диаметром D
с объемом провода УОб=$обЛВ при пренебрежении си-
лами инерции средние растягивающие (разрывающие)
механические напряжения
Рlw ®®5бак B2nDsl-2 q 1FM
p— 2mSo6—2P.027tSo6~^2[i.()4So3IlD ~ “ Vo6 ’ { 1
Для реальных устройств можно ввести поправочные
коэффициенты, учитывающие неравномерность поля,
обычно близкие к единице (см., например, [1-20]).
Иногда для круглой обмотки удобна формула
Д® ___Bcr^Diw ___
% — 2^ ~ ’
где R=D/2; J=iw/S0^; Bcv и I соответствуют моменту
времени, для которого определяются силы.
Если напряженность поля конечна по обе стороны
рассматриваемой граничной поверхности, то давление
равно разности значений плотности энергии. При этом
давление на электромагнитный экран или обмотку на-
правлено из области с большей плотностью энергии, т. е.
с более сильным магнитным полем, в сторону области
с меньшей плотностью энергий, т. е. с относительно сла-
бым полем. Давление на поверхность раздела сред с раз-
ными значениями магнитной проницаемости действует
в сторону меньшей проницаемости. Здесь сопоставление
плотностей энергии не всегда помогает, так как эта плот-
ность в среде с большей проницаемостью больше при
поле, параллельном поверхности, й, наоборот, меньше
При поле, перпендикулярном поверхности. В этих слу-
чаях и особенно при нелинейной характеристике среды
расчет механических сил относительно сложен [7-241.
43
2-3. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача поиска наилучшего варианта трансформато-
ра или реактора, в частности распределения витков по
сечению обмоток, т. е. задача синтеза оптимального
электромагнитного поля, решается аналитически лишь
в очень упрощенных случаях. В большинстве случаев
задано распределение плотности МДС по сечению обмо-
ток, т. е. рассматривается прямая задача расчета поля
при заранее известных источниках, границах и свойст-
вах сред (материалов). Однако и эта задача чрезмерно
сложна — магнитопровод и другие элементы имеют
сложную трехмерную форму, а токи изменяются во вре-
мени. Практически невозможно искать аналитическую
функцию четырех независимых аргументов (три коорди-
наты и время) или трех (если рассматривать задачу как
статическую или квазистационарную). Поэтому всегда
приходится принимать такие допущения, при которых
магнитное поле в каждой из рассматриваемых областей
зависит от двух или одной координат, а иногда вовсе не
зависит от них. Чтобы найти подходящие допущения,
необходимо представлять себе картину магнитного поля.
Согласно [2-3] часто для получения количественного
результата необходимо заранее знать качественное ре-
шение. Очень часто решение задачи ищется не путем ре-
шения уравнений Максвелла, соответствующего задан-
ным граничным условиям, так как это в большинстве
практических случаев не удается. Главное часто состоит
в таком упрощении поставленной задачи, чтобы она ста-
ла доступной для математической обработки, а получен-
ное решение при этом лишь ненамного отличалось от
точного решения. Следовательно, при математических
упрощениях должны как можно меньше затрагиваться
физические условия. Для этого требуются, во-первых,
большой опыт и, во-вторых, воображение. Точность по-
лученных таким путем результатов должна проверяться
измерениями. Как правило, невозможно определить точ-
ность приближенных расчетов путем их сопоставления
с точным математическим решением, так как обычно речь
идет не о приближенном матемтическом методе, а об
упрощении условий первоначальной, подлежащей реше-
нию физической задачи. Большая часть настоящей книги
состоит из примеров реализации такого подхода. Ниже
дан краткий перечень методов решения задач.
44
а) Методы решения
Физическое моделирование (см, гл. 3) представляет
собой изучение таких же по своей физической природе
процессов, что и исследуемые, но не в оригинале, а в по-
хожих на него специально изготовленных моделях (ма-
кетах, прототипах) или в реальном трансформаторе
(реакторе). Результаты измерений пересчитывают для
оригинала. Физическое моделирование дает возможность
учесть очень сложные формы*Траниц сред и законы
изменения возбуждающей силы, реальные свойства ма-
териалов и другие факторы, иногда даже технологиче-
ские особенности. Однако оно требует много времени и
средств на проектирование, изготовление и испытания
модели. Этот метод является основным для разработки
инженерных способов расчета явлений, связанных с пе-
ремагничиванием стали. Его применяют также для
исследования трехмерного магнитного поля и добавоч-
ных потерь.
Для всех изложенных ниже методов необходима ма-
тематическая модель оригинала — описывающие его
уравнения. Решение их с помощью цифровых, аналого-
вых и гибридных вычислительных машин, а также фи-
зических устройств, действие которых основано на прин-
ципе математической аналогии реальных явлений с дру-
гими физическими свойствами, называют математиче-
ским моделированием [2-4]. Из других полей, описы-
ваемых такими же дифференциальными уравнениями,
как электромагнитное поле, легче других создавать и из-
мерять поле токов проводимости [2-5, 2-6].
Математическое моделирование полем токов прово-
димости (см. § 2-4) применяют для исследования маг-
нитного поля рассеяния трансформаторов и поля вблизи
элементов конструкции реакторов. С помощью электро-
литической ванны или моделирования на электропрово-
дящей бумаге можно учесть сложные двухмерные фор-
мы границ сред и распределение возбуждающих сил.
Это выполняется относительно быстро на недорогом обо-
рудовании. Однако широко распространено моделирова-
ние только плоскопараллельного поля, так как модели-
рование в непрерывной среде даже осесимметричного
поля при большом отношении граничных радиусов свя-
зано с существенными техническими затруднениями.
Сеточные математические модели, основанные на за-
мене дифференциальных уравнений уравнениями в ко-
45
нечных разностях, в трансформаторостроении не приме-
няются из-за наличия в оригинале мелких деталей,,
существенно влияющих на поле и диктующих выбор ма-
лого размера ячеек сетки и, следовательно, чрезмерно»
большого числа ячеек. Лишь при ярко выраженном по-
верхностном эффекте для определения добавочных по-
терь в элементах конструкции, электромагнитных экра-
нах или листовых и шинных обмотках применяют ком-
бинацию одномерной (по периметру сечения детали)'
сетки и модели на электропроводящей бумаге. Серьез-
ных попыток применения для расчета трансформаторов
аналоговых счетных машин и других видов сеточных
моделей не было.
Численное интегрирование уравнений Максвелла при
заданных граничных условиях и возбуждающих силах
практически возможно только на цифровых ЭВМ [2-7].
Метод сеток (конечных разностей), приводящий к про-
стому алгоритму, применяют для расчета крупных элек-
тромагнитов, имеющих относительно простую форму.
В реальных задачах трансформаторостроения этот метод
требует много машинного времени или мощной цифровой
ЭВМ. Представляется эффективным разработанный
О. В. Тозони метод интегродифференцальных урав-
нений [2-7, 2-8], по которому уже при составлении алго-
ритма используется вся известная информация об иско-
мом поле и его особенностях, а неоднородность среды
заменяется введением дополнительных источников. Этот
метод был успешно применен, например, для расчета
магнитного поля в крупном реакторе [8-7].
Аналитическое решение — поиск функции, удовлетво-
ряющей уравнениям Максвелла при заданных гранич-
ных условиях и возбуждающих силах (часто — уравне-
нию Пуассона или его частной форме —уравнению Лап-
ласа), удается лишь в простейших случаях плоскопа-
раллельных и осесимметричных полей при плоских и
круговых (иногда эллиптических) цилиндрических гра-
ницах сред, имеющих различные линейные характери-
стики. Кроме элементарных функций и их комбинаций,
решение часто содержит ряды Фурье, функции Бесселя,
эллиптические функции; иногда встречаются и другие
функции [2-3, 2-4 и др.]. В учебниках, справочных кни-
гах и специальной литературе приведены решения боль-
шого числа задач (см. список литературы в [2-1—2-3]).
Особенно много решений дано в [2-6, 2-9, 2-10]. Отд ель-
title группы задач рассмотрены в (2-11—2-16]. Наибо-
лее часто встречаются решения, основанные на исполь-
зовании конформных преобразований и разделения
переменных. Подавляющее большинство решений отно-
сится к двухмерным (чаще всего плоскопараллельным)
статическим или квазистационарным полям. Почти всег-
да поддаются решению одномерные поля. Особенно важ-
ный случай — плоское электромагнитное поле синусои-
дального переменного тока«= непроводящей среде («по-
верхностный эффект»)—-рассмотрен в § 2-5. Другие
отдельные случаи использования известных аналитиче-
ских решений при электромагнитном расчете трансфор-
маторов и реакторов рассмотрены в последующих гла-
вах. На практике аналитическое решение конкретной
задачи, как правило, представляет собой поиск уже ре-
шенной задачи, похожей на рассматриваемую, и опреде-
ление коэффициентов для данного. случая. Обычно для
применения результатов аналитического решения в про-
мышленных расчетах приходится использовать цифровые
ЭВМ, или составлять таблицы либо номограммы вспомо-
гательных коэффициентов (например, коэффициент Ро-
говского) , или же оставлять только упрощенные аппрок-
симации либо первые члены полученного строгого выра-
жения. Ниже рассмотрены относительно простые анали-
тические методы.
1. И нтегр и р ов а н ие по источникам поля
(например, магнитного поля от элементов тока по зако-
ну Био—Савара) возможно только в случае однородной
среды при заранее известных источниках, т. е. в относи-
тельно простых случаях. Именно на этом методе основа-
ны решение многих практических задач и вывод боль-
шинства формул, применяемых для расчета поля рассея-
ния, потерь и усилий. Вывод очень часто занимает лишь
несколько строк (см. {2-1—2-3, 2-17]). Иногда при гро-
моздких формулах приходится составлять таблицы или
номограммы вспомогательных коэффициентов, например
таблицы и кривые магнитного поля шины прямоуголь-
ного сечения. Особенно часто этот метод применяют вме-
сте с методом зеркальных отображений и принципом
наложения (см. § 2-6).
2. Расчет поля по интегральным зако-
нам (например, по закону полного тока, закону элек-
тромагнитной индукции или теореме Гаусса) возможен
лишь в простейших случаях при заранее известной кар-
47
тине поля. Из такой картины можно определить длину
силовой линии 1~с неизменной напряженностью или пло-
щадь поверхности S с неизменной индукцией поля, и рас-
четные формулы имеют простой вид:
Н=^- или ^ = 4- (2-31)
I I at ’ eaS х '
В частности, при полной круговой симметрии —
в прямолинейном коаксиальном кабеле или в тороидаль-
ном реакторе — силовые линии или трубки магнитного
потока представляют собой концентрические окружности
и H=iwr/2nr, где г — расстояние рассматриваемой точ-
ки от оси, iwT— полный ток в круге радиусом г. Для
электростатического поля с центральной (сферической)
симметрией имеем £=Qr/4№ea, где Q?— заряд внутри
сферы, проведенной через рассматриваемую точку.
Формулы (2-31) бывают полезны и в случаях, когда
известны картина поля в пределах ограниченной обла-
сти и его интегральные условия на границе. В част-
ности, если при равномерных равновысоких концентри-
ческих обмотках трансформатора (рис. 2-3), имеющего
ненасыщенные торцевые ярма, предположить, что торце-
вые плоскости обмоток являются магнитными эквипо-
тенциалями (жирные сплошные линии на рис. 2-3), а на-
ружная и внутренняя поверхности крайних обмоток —
границами трубок потока (жирные пунктирные линии
на рис. 2-3), то магнитное поле внутри системы обмоток
будет содержать только осевую составляющую, неизмен-
ную в пределах высоты обмоток h. Тогда напряженность
поля H—(iwCVi—<рм) [h, где <рм — разность магнитных по-
тенциалов между указанными эквипотенциалями по ли-
нии, не проходящей через сече-
ния обмоток (например, вдоль
одной из пунктирных линий на
рис. 2-3), iwcn — МДС, сцеплен-
ная с рассматриваемой силовой
линией (например, между вы-
бранной пунктирной линией на
рис. 2-3 и линией, проходящей
через рассматриваемую точку па-
раллельно оси).
Рис. 2-3. К упрощенному представлению
магнитного поля в области обмоток
трансформатора.
48
Рис. 2-4. Замена сре-
ды (а) отражением
источника (б).
3. Замена расчета поля расчетом цепи
основана на разделении поля на отдельные области
с четкими границами в виде заранее заданных эквипо-
тенциалей и поверхностей трубок потока (например, све-
дение магнитного поля к магнитной цепи) или
использовании интегральных внешних
рассматриваемого устройства (на-
пример, замена трансформатора его
электрической схемой за-м,синения
с параметрами, определяемыми по
собственным и взаимным сопротив-
лениям обмоток или по сопротив-
лениям XX и КЗ, — гл. 5). В пер-
вом случае появляется возможность
относительно просто оценить слож-
ные процессы в трансформаторе
(например, учесть насыщение от-
дельных частей магнитопровода),
а во втором — не слишком сложно
рассчитывать процессы в сети
(установке), содержащей транс-
форматоры. Иногда применяют схе-
му магнитной цепи (и вытекающую
из нее электрическую схему заме- _
щения) с отдельными участками
в виде линий с распределенными параметрами.
4. Метод зеркальных отображений не явля-
ется самостоятельным. Он используется для приведения
реальной задачи к упрощенной, поддающейся решению
относительно менее сложными средствами. Этот метод
дает возможность заменить для расчета поля соседнюю
область с другими свойствами среды на область с такой
же средой, как в рассматриваемой области, но с источ-
никами поля (возбуждающими силами), отличающими-
ся от реальных [2-1—2-4, 2-9, 2-10]. Например, для
расчета магнитного поля в среде с проницаемостью jxj
от шины с током i при наличии непроводящего полупро-
странства с магнитной проницаемостью ц2 (рис. 2-4,а)
последнее
в которой находится воображаемая (фиктивная) шина,
зеркально симметричная реальной (рис. 2-4,6), несу-
щая ток
на
характеристик
можно заменить средой с проницаемостью
Р-2 + Р-1 ’
(2-32)
4—774
49
распределенный rio сбчению фиктивной шины подобно*
(пропорционально) распределению тока i по сечению
реальной шины.
Расчет для однородной среды, как правило, гораздо
проще, чем расчет для двух или нескольких областей,
связанных граничными условиями. Однако метод ото-
бражений удается использовать лишь при плоских, ци-
линдрических и изредка сферических, эллиптических и
других границах областей. Применение метода отраже-
ний для поля переменных токов при проводящей среде,
в том числе ферромагнитной, рассмотрено в [2-4].
б) Выбор метода
При выборе метода решающими являются требуемые
точность и наглядность и допустимые трудоемкость и
длительность решения задачи. Например, для предэскиз-
ной проработки с целью выбора наиболее перспектив-
ных вариантов исполнения трансформатора или реакто-
ра особенно важны простота и наглядность метода. Для
расчета одного из наиболее нагруженных (по предвари-
тельной оценке) узлов при рабочем или техническом
проектировании особо важного изделия или же при раз-
работке методики массовых расчетов особенно важна до-
стоверность результатов и может быть затрачено много
сил, иногда даже с привлечением специалистов узкого
профиля или с использованием физического моделиро-
вания.
Выбор метода влияет на число и состав стадий реше-
ния. Согласно [2-4] решение технической задачи с при-
мением методов электродинамики можно разделить на
несколько основных этапов:
1) нахождение функции, описывающей электромаг-
нитное поле в исследуемой области, с учетом постоянных
и переменных свойств среды (воздух, медь, сталь
и т. п.);
2) определение начальных и граничных условий на
поверхности исследуемой области, продиктованных фор-
мой и геометрической конфигурацией источников элек-
тромагнитного поля (размещением проводников, кату-
шек или магнитопроводов, родом тока и т. п.);
3) соответствующий выбор коэффициентов и условий
для функции, описывающей поле, так чтобы были вы-
полнены граничные и начальные условия, т. е. определе-
ние окончательного аналитического решения;
50
4) экспериментальная проверка основных положе-
ний, промежуточных операций, (правильности упрощаю-
щих допущений) и конечных результатов;
5) представление полученного решения в виде про-
стых формул, таблиц или графиков, облегчающих прак-
тическое использование результатов и оптимизацию па-
раметров.
При этом Я- Б. Туровский относит не только физиче-
ское, но и математическое моделирование и даже мыс-
ленный эксперимент к этапу экспериментальной провер-
ки. Приведенная классификация более всего подходит
к четко поставленной задаче разработки общего анали-
тического метода расчета, тогда как в более узких за-
дачах все решение может быть сведено к двум или даже
к одному этапу с ответом в виде одного числа. Во мно-
гих случаях решение следует начинать с мысленного
эксперимента, а иногда даже с физического. Более того,
часто именно из результатов испытаний вытекают новые
задачи, требующие экстренного решения.
Из расчетных приемов следует обратить особое вни-
мание на следующие:
1. Представление реальной сложной системы источ-
ников поля, например, токонесущих обмоток — источни-
ков МД С в виде мощных источников простой формы,
результаты действия которых поддаются несложному
точному расчету, и слабых источников сложной формы,
влияние которых достаточно лишь грубо оценить.
2. Разделение реального сложного поля на области
несложной формы, границы между которыми заранее
приняты известными и неизменными, причем границы
либо непроницаемы для силовых линий, либо являются
эквипотенциалями. Таким способом задача расчета поля
сводится к расчету магнитной или электрической цепи.
3. Введение воображаемых широких (полностью пе-
рекрывающих торцы обмоток) ненасыщенных торцевых
ярм, непосредственно прилегающих к торцам обмоток,
принимаемых равномерными. Это позволяет решать мно-
гие задачи, связанные с перевозбуждением.
4. Расчет поля в области вблизи источников при про-
стейших граничных условиях, а затем использование ре-
зультатов этого расчета в качестве граничных условий
для удаленных областей, не содержащих источников.
5. Введение воображаемых бесконечно широких полу-
пространств <с бесконечной магнитной проницаемостью
4* 51
или электрической проводимостью в области, где поле
относительно слабое. Это позволяет применять метод
тригонометрических рядов. Расстояние между полупро-
странствами выбирается таким, чтобы ряды быстро схо-
дились.
Требования к точности решения на практике часто
необоснованно завышают. Погрешность результата опре-
деляется только наибольшими из погрешностей, вноси-
мых на отдельных этапах [2-18]. Нерационально тратить
силы и время на снижение погрешности расчета до значе-
ний менее 50—20% (редко 10%) наибольшей из следую-
щих величин: 1) нормированного допуска для конечного
параметра; 2) изменения параметра из-за допустимого
отклонения свойств материалов, технологических режи-
мов, геометрических размеров или расположения частей;
3) погрешности определения исходных данных; 4) по-
грешности расчета других слагаемых конечного параме-
тра; 5) избыточного запаса в конечном параметре;
6) погрешности расчета, в котором будут использованы
результаты решения данной задачи. Например, будут
резко (на один-два порядка) отличаться требования
к точности расчета коэффициента трансформации регу-
лируемого электропечного и прецизионного измеритель-
ного трансформаторов. Если не учитывать возможное
осевое смещение обмоток с раздельной прессовкой, то
достаточно очень грубого расчета суммарных осевых сил
при КЗ, так как главная погрешность вызывается сме-
щением. При отсутствии достоверного метода расчета
нагрева от неравномерно распределенных потерь не нуж-
на высокая точность расчета местных потерь на участ-
ках витка в отдельном проводе дисковой катушки. Шун-
тирующие (без отбора мощности) и дугогасящие реак-
торы и трансформаторы напряжения имеют столь боль-
шой запас по механической прочности обмоток, что до-
статочно грубой оценки усилий в обмотках, и расчет
обычно не нужен. Если потери в баке, определенные
с точностью ±20%, в 10 раз больше потерь в прессую-
щих кольцах, то повышение точности расчета последних
выше 70—50% не влияет на точность определения сум-
марных потерь и, следовательно, при наличии большого
запаса в нагреве колец излишне.
Трудоемкость решения сильно зависит от квалифика-
ции специалистов. Чем выше квалификация, тем более
простым и изящным путем удается решить поставлен-
52
ную задачу. Важны также психологические аспекты.
Например, быстрее и точнее будет выполнен расчет по
методу, который разработчику кажется более нагляд-
ным. Наглядность метода решения во многом определя-
ет его практическое использование, требуемую квалифи-
кацию исполнителя и легкость проверки, возможность
переноса метода на другие аналогичные задачи. При та-
ком решении гораздо реже встречаются ошибки, особен-
но в исходных данных и в конечном результате. Простой
и понятный метод расчета часто является основой пред-
ложений по методам борьбы с нежелательными явле-
ниями.
Здесь уместно привести несколько высказываний
инженера и математика акад. А. Н. Крылова: «Вычисле-
ние должно производиться с той степенью точности, ка-
кая необходима для практики, причем всякая неверная
цифра составляет ошибку, а всякая лишняя цифра -— по-
ловину ошибки ... Многие техники полагают, что чем вы-
вод формулы сложнее, тем большего доверия она заслу-
живает, упуская часто из виду те грубые положения и
допущения, которые формулой воспроизводятся, — из ле-
беды нельзя получить пшеничной муки, как ее ни пере-
малывай ... Математика, подобно жернову, перемалы-
вает то, что под него засыпают, — и вот на эту-то засып-
ку прежде всего и должен смотреть инженер ... Настоя-
щий инженер должен верить своему глазу больше, чем
любой формуле» и слова инженера-практика П. А. Ти-
това молодому А. Н. Крылову: «Да, мичман, твои фор-
мулы верные: видишь, я размеры назначил на глаз —
сходятся» (Крылов А. Н. Мои воспоминания. — М.:
изд-во АН СССР, 1945, с. 116, 111 и 84).
2-4. МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОЛЕМ ТОКОВ ПРОВОДИМОСТИ
Различные по физической природе поля могут опи-
сываться однотипными математическими уравнениями.
Например, в [2-6] приведена таблица аналогии пара-
метров (потенциал, градиент, свойства среды, плотность
потока, интенсивность источника, проводимость поля)
в безвихревых полях шести видов: электростатическом,
тока проводимости (стационарном электрическом), маг-
нитостатическом, тепловом, поле потока жидкости, гра-
витационном. Это дает возможность вместо искомого
поля исследовать поле другой природы, которое легче
изучать в лабораторных условиях. Широкое распростра-
53
нение получили серийно изготавливаемые компактные
установки для математического моделирования различ-
ных двухмерных статических безвихревых (потенциаль-
ных) полей стационарным электрическим полем в элек-
тропроводящей бумаге — интеграторы ЭГДА (название
обусловлено тем, что установка разрабатывалась для
моделирования потоков жидкости на основе электрогид-
родинамической аналогии). Трехмерные и сложные
двухмерные безвихревые поля моделируют в электроли-
тической ванне [2-5]. Во всех этих случаях относительно
легко не только создать нужные токи или потенциалы
на границах исследуемой области, но и измерить потен-
циалы или их градиенты (напряженности поля) и найти
эквипотенциали [2-19]. Специально для моделирования
выпускается электропроводящая бумага со светлым по-
крытием, на котором хорошо видны линии от каранда-
ша, служащего зондом. Иногда для моделирования пло-
скопараллельного поля в качестве проводящей среды
используют металлическую фольгу.
Для моделирования магнитного поля скалярному
электрическому потенциалу модели можно поставить
в соответствие скалярный или векторный магнитный по-
тенциал оригинала. Эквипотенциалям модели в первом
случае соответствуют эквипотенциали магнитного поля
оригинала, а во втором — границы трубок магнитного
потока (магнитные силовые линии) оригинала. По вто-
рому методу удобнее моделировать источники поля
[2-20] — токам в оригинале соответствуют токи, вводи-
мые в модель извне. При этом магнитной проницаемости
оригинала соответствует удельное сопротивление модели,
магнитной индукции — напряженность электрического
поля, энергии магнитного поля — мощность, рассеивае-
мая в модели. Рассмотрим аналогию в относительно про-
стом случае плоскопараллельного поля. Для оригинала
и модели имеем соответственно:
дМ . д’А __ .
dxs “г дуъ ~
___Рм 1
^Х2м дугк М
И
В«=-«Г; <2-35>
В,=—Е^=-Л-; Е,=0, (2-36)
у дуц к Ох и ’
54
(2-33)
(2-34)
ГДе индекс «м» относится к Модели; /м — плотность то
ка, вводимого в модель на длине 1М; /м — размер модели
в направлении оси z, например толщина бумаги или
глубина ванны; при малом размере /м вместо параметра
pM/ZM используют удельное поверхностное электрическое
сопротивление, иногда называемое сопротивлением на
квадрат; в оригинале плотность тока J=JZ, откуда по
(2-3) A=AZ. Сравнение (2-ЗЗД;, (2-35) с (2-34), (2-36)
показывает возможность ука&нной аналогии, например:
Вх—ЕуСв и Ву=—ЕХСВ, (2-37)
где
/„СА; С. = -£-; СХ = —=С„=-У-, (2-38)
В Рм м у х / /м Х X,.., V уы ’ V ’
причем практически коэффициент моделирования Св
определяется не по (2-38), а по измерению на модели
для задачи, имеющей простое и точное теоретическое
решение, — чаще всего по измерению тока модели и на-
пряженности в равномерном поле.
Подробная таблица соответствия параметров и коэф-
фициентов моделирования приведена в [2-20]. Таким
образом, вихревое магнитное поле обмоток удается мо-
делировать безвихревым полем токов проводимости.
Для введения в модель тока, соответствующего за-
данному распределению витков по сечению обмоток ори-
гинала, нужно иметь относительно много отдельных
«точечных» токовводов. При исследовании поля вдали
от обмоток или при простых обмотках требуемое число
токовводов не слишком велико и этот способ практи-
чески применяется. Однако имеется другой способ вве-
дения распределенных токов, значительно расширяющий
возможности моделирования, — способ конденсаторного
слоя (с электропроводящей бумагой, стеклом и фоль-
гой) . Пример показан на рис. 2-5. Установка для такого
моделирования широко применяется при исследованиях
и проектировании трансформаторов и реакторов [2-20].
При повышенной частоте или резко уменьшенной
толщине диэлектрика А можно было бы моделировать
поле с учетом вихревых токов и поверхностного эффекта
в проводящих деталях. При переменном токе частотой
f в оригинале и /м в модели потенциалы, токи и индук-
ции или напряженности в выражениях (2-33) — (2-36)
будут комплексными. Плотность тока в оригинале в дан-
55
йом случае обусловлена не только заданным распреде-
лением витков и током обмотки. Она должна удовлетво-
рять уравнению
/ = (2-39)
которому в модели соответствует плотность тока сквозь
диэлектрик: .
4=^/2^(2-40)
где До и <ро — условный векторный потенциал рассматри-
ваемой детали и скалярный потенциал соответствующей
обкладки, определяющие собой токи в них (/ и /м), при-
чем токи связаны со средними потенциалами в области
Рис. 2-5. Сечение и вид сверху математической модели поля рассея-
ния в боковом окне трансформатора с равномерными двойными кон-
центрическими обмотками,
7 — стол; 2 — стекло; 3 — электропроводящая бумага; 4 — прижимной слой'
5 — электроды изображающие сечение обмоток ВН и НН, 8—8—край бума-
ги, соответствующий верхнему и боковому ярмам и поверхности стержня; 9 —.
вырезы в бумаге, соответствующие сечению прессующих колец при р,=со;
W — двойной зонд; С — конденсатор, обеспечивающий требуемое распределе-
ние тока между обкладками BHt и ВЯ2; ЗГ — генератор звуковой частоты.
56
рассматриваемой детали; еа и А — абсолютная диэлек-
трическая проницаемость и толщина слоя диэлектрика.
Сопоставление (2-33) и (2-39) с (2-34) и (2-40) дает
аналогию полей в оригинале и модели при масштабе ча-
стоты
£ ____ f____епРм
[ЛдД/щС’д;
(2-41)
Этот масштаб пока не удается практически реализо-
вать для трансформаторов иэ-33 относительно большой
толщины изоляционной пленки, обладающей приемлемым
отклонением толщины от
средней, и сильного влияния
собственных «паразитных»
емкостей при высокой часто-
те. Кроме того, при тонкой
пленке необходимо очень
равномерное прилегание об-
кладки и бумаги к пленке—
малейшее отклонение силь-
но повлияет на емкость.
Практически успешно
применяется приближенный
метод моделирования [2-21,
2-22]: сечение проводящих
деталей разбивают на отдель-
ные участки, в центре кото-
рых подсоединяют конден-
саторы, заменяющие соответ-
Рис. 2-6. Участок сечения мас-
сивной проводящей детали (а)
и соответствующий участок ма-
тематической модели на элек-
тропроводящей бумаге с цепоч-
ками гС (б).
ствующий участок рассмотренного выше тонкого конден-
саторного слоя. Соединенные вместе свободные концы
конденсаторов заменяют обкладку. Если толщина дета-
ли намного превышает «глубину проникновения» б (см.
§ 2-5), досаточно у границы сечения детали на модели
подсоединить ряд цепочек конденсатор —• резистор
(рис. 2-6). Их емкость С и сопротивление г должны
удовлетворять соотошениям
С=Ш— yf 2_;
Рм /м »
1
Г — 2nfMC ’
(2-42)
где Ш — шаг Цепочек (ширина зоны, приходящейся на
одну цепочку) в оригинале:
Ш=ШЫСХ. (2-43)
Такую комбинированную модель можно рассматри-
вать как комбинацию математических моделей на элек-
57
тропроводящей бумаге для поля в непроводящей среде
оригинала и на дискретной сетке для массивных прово-
дящих деталей оригинала.
В модели можно изменять параметры Сиг, что по-
зволяет учесть нелинейную зависимость магнитной про-
ницаемости детали от магнитного поля у ее поверхности.
В этом случае вместо (2-42) следует пользоваться соот-
ношениями:
г = <2«)
где Нп и Еа — действующие тангенциальные составляю-
щие первых гармоник напряженности магнитного и элек-
трического полей у поверхности детали; Рп — потери на
единицу поверхности детали при поле Е„, Нл (см. § 2-5).
Подбор нужных значений Сиг производится за два-
три приближения [2-21].
Метод математического моделирования на электро-
проводящей бумаге удобен ввиду его простоты, нагляд-
ности и оперативности, особенно при необходимости рас-
смотреть несколько близких вариантов конструкции. Как
правило, решение задачи может быть получено за не-
сколько часов работы.
2-5. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПОЛЯ С УЧЕТОМ ПОВЕРХНОСТНОГО
ЭФФЕКТА
Переменное электромагнитное поле в массивном про-
водящем теле вызывает вихревые токи, противодейст-
вующие распространению поля в глубь тела. Поэтому
поле существует только в относительно тонком поверх-
ностном слое. Это явление называют поверхностным
эффектом (скин-эффектом).
Допустим, что толщина этого слоя гораздо меньше
толщины тела, радиуса кривизны его поверхности и рас-
стояний 'вдоль поверхности, на которых внешнее поле
заметно изменяется. Тогда
в рассматриваемой области
поле можно считать участ-
ком неограниченно протяжен-
ного плоскопараллельного по-
ля, проникающего в прово-
Рис. 2-7. Плоское электромагнитное
поле у проводящего полупростран-
ства.
58
дящее полупространство (рис. 2-7). Направим ось х ПО
нормали к поверхности, ось у — параллельно напряжен-
ности магнитного поля (Й=НУ), ось z — перпендикуляр-
но им. Тогда магнитная индукция имеет только состав-
ляющую по оси у, напряженность электрического поля
и плотность тока — только по оси z, вектор Пойнтинга —
по оси х. Начало координат поместим на поверхности
тела. Значениям указанных параметров в теле у поверх-
ности, как и другим параметрам поверхностного слоя,
присвоим индекс «п». Пусть напряженности поля сину-
соидально изменяются во времени, а магнитная прони-
цаемость и электрическая проводимость материала те-
ла будут неизменными. Тогда имеем:
£ = Н = Ну-, В=Ву, (2-45)
при .£=0
Ё = Ёп; Н = Йп; В = 5П; 7 = jn; Р = Рп, (2-46)
при х=оо Е=0; Я = 0; В = 0; 7=>0; Д=0. (2-47)
Введем также понятия линейных плотностей («на-
стила») тока и потока — тока и потока на единицу длины
(по осям соответственно у и z), проходящих по телу
глубже координаты х:
1Х = J j dx и Фх— J В dx. (2-48)
X X
При этом основное уравнение (2-10) принимает вид:
—/’•'На гт д2Ё —
~72-=------н или -т-» =----------Е, (2-49)
Xs р дх^ р ' '
решение которого
*/!, (2-50)
Вп Вп Ёп }п /п фц
причем
й ____ . дЁп _______ б/п ____ j ф
(1+/)р — (Ч~/)р п’
(2-51)
или
£п=jz^/n=pTFф";
(2-52)
59
Ьде
Выражения (2-49) — (2-52) с равным правом отно-
сятся к действующим и амплитудным значениям сину-
соидально изменяющихся величин Н, В, Е, J и Ф. Выра-
жения потерь при использовании действующих или
амплитудных значений параметров поля различаются
коэффициентом 2:
СО
f/72 /Л? \ 2
1* о dx—г Н* —Г — г (• - - 1 —
j ил г пп п ь *п 2 " 'п ) —
о
£2п,л__£2пт 72 адФ2п,д ^Ф2пт
^=Г" п-а== 2гп = 4гп
(2-54)
Коэффициент 6, имеющий размерность длины, очень
часто встречающийся при решении задач, получил назва-
ние «глубина проникновения» (переменного электромаг-
нитного поля в проводящую среду), а коэффициент гп,
имеющий размерность сопротивления, — «поверхностное
сопротивление».
«Глубина проникновения» — это глубина (координа-
та х) в проводящем полупространстве, на которой на-
пряженности плоскопараллельного равномерного элек-
тромагнитного поля по размеру в е раз меньше, чем
у поверхности, а по фазе отстают на 1 рад от соответ-
ствующих параметров у поверхности. На глубине 26
поле затухает в 7,5 раз, в 36 — в 20 раз. Размер 6 явля-
ется основой для оценки толщины детали, например, де-
тали толще (2—3)6 можно считать бесконечно толсты-
ми. Потери в проводящем полупространстве равны
потерям в листе толщиной 6, по сечению которого равно-
мерно распределен ток, равный реальному току в по-
лупространстве: Pti=I2ni'n- Линейная плотность тока
(или магнитного потока) в полупространстве соответст-
вует слою толщиной 6/J/2 с постоянной плотностью
тока (индукцией), численно равной плотности тока (или
индукции) у поверхности полупространства. По фазе ли-
нейная плотность тока (или потока) и плотность тока
(или индукция) у поверхности сдвинуты на л/4. Размер
6 /2 означает толщину слоя, в котором постоянные удель-
ные потери, равные удельным потерям у поверхности,
дают потери во всем полупространстве.
Для расчетов и оценок вместо (2-53) часто удобнее
формулы
s s _ f 50 1 F
° 50/1 У "У" и /п 7п5О/1
4q
(2-55)
где 650/1 и /п5о/1 — параметры по (2-53) при f—50 Гц,
ц,=1. Значения этих и некоторых других поясняемых
ниже параметров для меди, !‘Дл&мипия и стали приведе-
ны в табл. 2-4.
Таблица 2-4
Параметры некоторых проводников
Материал _ Р’ Ом'ММ2 м т’ мэ Р/Ь Ом-мм4 кг 85О/Р ММ гп 50/1’ мкОм *в 50/1" Вт (КГ’ТлЗ-ММ2)
Медь при 20°С Медь при 75°С Алюминий при 75°С Сталь конструкционная МСт2 при 20°С Сталь немагнитная или маломагнитная 0,01724 0,0210 0,0342 0,144 0,8 8,89 8,89 2,71 7,85 7,9 1,94 2,37 12,6 18,3 101 9,35 10,3 13,2 27 64 1,85 2,04 2,6 5,35 12,5 26,8 22,0 44,4 3,63 0,65
Примечания: 1. Параметры &50/I» гп 50/1 и -^в 50/1 относятся к частоте 50 Гц
и р.г=1,0.
2. Сталь марок 12Х18Н9Т (1Х18Н9Т) и 45Г17ЮЗ имеет соответственно р. ==1,1-Н»5
и 1.44-1,8, р=0,79 и 0,88 Ом-мМ^м при 75°С.
В ферромагнитных материалах, где В и Н связаны
нелинейно и имеется гистерезис, решение уравнений по-
ля сложно [2-23, 2-24]. Поэтому на практике пользуют-
ся экспериментально определенными характеристиками,
причем приходится вводить дополнительный коэффи-
циент, например, считать эквивалентную магнитную про-
ницаемость (такую проницаемость, подстановка которой
в уравнения для линейной среды дает действительные
соотношения между первыми гармониками напряжен-
ностей поля и потерями в реальной ферромагнитной сре-
де) комплексной. Эту проницаемость характеризуют
два числа — модуль и аргумент(р.эк = р.ор.г эке м), причем
вместо (2-54) имеем:
k Е2
= V'n. эк/2п д, (2-56)
61
где
^~^2с08( 4 "Т/ rn.sK —5^; 89К
<ОР'оРт ЭК
(2-57)
Параметры конструкционной стали по опытным дан-
ным [2-25], приведенные на рис. 2-8,а, б, различаются
мало при синусоидальном изменении Е или Н. Характе-
ристики при других значениях температуры и частоты
в относительно широком диапазоне, а также при суще-
Рис. 2-8. Характеристики стали марки МСт2 при частете 50 Гц и
температуре 20°С.
тывать по формулам, выведенным для линейной среды
[2-26], используя ту же эквивалентную магнитную про-
ницаемость. Поэтому по кривым рис. 2-8,6 можно оце-
нивать потери в стальных массивных деталях даже в от-
носительно сложных случаях.
При ограниченной толщине рассматриваемой линей-
ной проводящей среды вместо условий отсутствия поля
при х—со задаются условия для второй поверхности сре-
ды (пластины).
В электромагнитном экране (рис. 2-9,а) толщиной
&=Р6, за которым магнитное поле отсутствует (Я=6
62
b
при x=b), линейная плотность тока /п= j J dx по закону
о
полного тока равна напряженности магнитного поля
у поверхности (/П=ЯП). При этом
Й . sh а (Ь — х) . ch а (Ь — х)
И ; Е = р/ = ар/п—~ ; (2-58)
п sh ab г -Г п sh ab ’ ' '
Р —Г р • b — 8 ch2р —сой2^-. „ — _ь_ (2-59)
—У п Ър1 ’ °PI~ sh2p + sin2f ’ й > ( 1
где а—см. (2-53).
Зависимость расчетной (фиктивной) толщины ЬР}
для определения потерь Рп по току /п от b приведена на
Рис. 2-9. Варианты граничных условий для листа в магнитном поле.
а — электромагнитный экран, за которым поле отсутствует; б — токонесущий
лист в симметричном поле; в — электромагнитный экран, за которым нахо-
дится сверхпроводник; г — лист без тока в магнитном поле.
рис. 2-10. Как видно, эквивалентная толщина макси-
мальна и, следовательно, потери минимальны при
^1,56. С погрешностью менее 1% можно принять ЬР1=
==б при 5>2,5б и ЬР1=Ь при 5<0,86. Если же допустить
погрешность до 10%, то bPI=b при 5>б и bPI=b при
В <6 (см. пунктирную линию на рис. 2-10).
Используя (2-59), можно найти оптимальную толщину экрана,
Обеспечивающую минимум годовых затрат (см. § 1-5). На рис. 2-11
63
приведены результаты расчета зависимости оптимальной толщины
экрана 4>овт от линейной плотности тока в нем 1П—НВ и от пара-
метра ___________
Л =
г п/ р
где 3Изг и Зр — удельные годовые затраты на изготовление экрана
и потери в нем.
Рис. 2-10. Зависимость эквивалентной толщины листа (экрана) от
его действительной толщины.
Масштабы I — для экранов по рис. 2-9,а, в; II — для листов по рве, 2-9,6, г.
При /ы<0,6/11 поверхностный эффект практически не сказывает-
ся н йопт=б/п/Д1. Если сумма нормативного коэффициента и амор-
тизационных отчислений равна 0,18 в год, время работы 5000 ч год,
цена потерь 0,5 коп/(кВт-ч) =5-10“6 руб/(Вт-ч), цена экрана
1,0 руб/кг, то для алюминия при частоте 50 Гц имеем А2г —
Рис. 2-11. Зависимость отношения
оптимальной толщины электромагнит-
ного экрана к «глубине проникнове-
ния» от отношения параметра Aj
к линейной плотности тока в нем
/=/п.
=2700 0,18-1,0/(л-50-4л-10-7-5000-5-10-6) = Ы08 А2/м2 и Aj=
= 10 кА/м. Тогда по рис. 2-11 оптимальная толщина экрана равна
примерно 6,5 мм при 7П=Нп = 5 кА/м, 12 мм при 10, 18 мм при
25 и 20 мм при 50. Этим значениям соответствуют амплитуда тан-
генциальной индукции у экрана 0,008; 0,018; 0,045 и 0,090 Тл и по-
терн в экране 0,131; 0,3; 1,5 и 6 кВт/м2.
64
В середине токонесущего листа, находящегося в сим-
метричном поле по рис. 2-9,6, магнитное поле отсутст-
вует (77=0 при х—6/2). Это означает, что граничные
условия для половины толщины этого листа не отлича-
ются от экрана по рис. 2-9,а. 'Следовательно, если в урав-
нения подставить 6'=6/2 вместо Ь, Гп=1п12 вместо
/п и Р'а=Рц/2 вместо Рп, то для листа можно применить
все формулы и кривые, полученные для экрана, т. е.
формулы (2-56), (2-57). Иными» словами, токонесущий
лист по рис. 2-9,6 можно рассматривать как два экрана
по рис. 2-9,а толщиной 6/2 каждый.
Если сзади экрана находится сверхпроводник
(рис. 2-9,в), то за экраном отсутствует электрическое
поле (£=0 при х=6). При этом
R р ch а (х — Ь) - • sh а (х — Ь) „ „
Н т -- : E—pJ = En - 4 „ ; (2-60)
ар sn ab ‘ п sh a.b ’ х '
тI 1 п f i ч f с 23 cos 2В zz-. /-»1 \
Ф" = У-аИффн^ОРфН’ Ьфц~ ch 2[i + cos 2₽ ’ (2-61)
n 1 w2 . 2 , , 3 s sh 2₽ — sin 2B ,o
туф пЬ₽Ф; ЬГф -g- 8 ch 2p __ cos 2y (2-62)
или
p __ 1 w2 2 rr2 , з , 3/ 3 я s/ sh 2(5 — sin 20 ,o „Q,
P"-3-TWph: bPH- Ут6Г chj+c^T’ (2‘63)
где p=ifc>/6.
Из двух выражений потерь (2-62) и (2-63) первое
удобнее при заданном магнитном потоке, второе — при
заданной напряженности поля. Для расчета индуктив-
ности бывает нужна составляющая потока в листе, со-
впадающая по фазе с потоком в воздухе рядом с листом,
т. е. с напряженностью у поверхности. Этот поток равен:
ФД ~ Фп C0S (Фп. Д1) = ~2~ ch 2f -f- COS 2(Г ’
(2-64)
Зависимость эквивалентных толщин 6ФН, Ьрф, Ьрн и bL
от b приведена на рис. 2-10. Как видно, при заданной
напряженности магнитного поля поток максимален при
b s= ] ,28. С ничтожной погрешностью можно принять
Ьфп==Ьрф^=Ьрп^=Ьь’=ь ПРИ fc<0>68 и принять ЬФН =
=:0,71а; Ърл= 1,58; 6р„ = 0,918 и Ь. = 0,53 при 6>28
rtl *-
В области 0,7б<Ь<1,5б погрешность простой аппрокси-
мации может превышать 10% и следует пользоваться
графиком рис. 2-10.
Особенно часто необходим расчет потерь в листе без
тока по рис. 2-9,а. Для такого листа бывает задан маг-
нитный поток (пластина магнитопровода) или напря-
женность магнитного поля (слой обмотки). Ввиду сим-
метрии в середине листа отсутствует электрическое поле
(Е—0 при х=Ь/2), т. е. граничные условия для полови-
ны толщины листа не отличаются от экрана по рис. 2-9,в.
Следовательно, если в уравнения подставить Ъ'—Ь /2
вместо Ь, ф'п=фд/2 вместо Фп и Р'п=Рп12 вместо Рп, то
для листа можно применить все формулы и кривые, по-
лученные для экрана, т. е. лист по рис. 2-9,г можно
рассматривать как два экрана толщиной Ь/2 каждый.
При этом формулы (2-62), (2-63) принимают вид:
или = (2-65)
Реальное неравномерное поле у поверхности массив-
ной детали часто можно приближенно представить в ви-
де участка (например, одной или нескольких полуволн
или волн) пространственно-периодического пульсирую-
щего поля,в частности:
г* г 1 г‘г • 2ли
Hv |х=0 = Нй sin sm ,
(2-66)
где Ку и Кг — длина волны (период) в направлениях осей
у и z. При отсутствии источников в полупространстве
х^О такое поле затухает в зависимости от координаты
х согласно выражению (2-50), если вместо а= (1 +/) /6
в показатель степени экспоненты подставить
a' = j/~ аЕ (2*тс/ Я)Е,
(2-67)
где
Как правило, длины волн Ку и Kz различаются по
крайней мере вдвое. Тогда размер К близок к меньшей
из них (например, при Kz^>Ky имеем К^КУ). В металле
при реальных условиях практически почти всегда
sfeja и решение не отличается от выражения (2-50), умно-
женного на синусоиду, а в непроводящей среде имеем
az=2n/X и
Ф __1ГУ _ВУ — sin 2пУ с—^х1>..
Фо !Ё Ёо Вв I
ь t, (2-68)
Нх Вх 2пу ^-гкх/х. v 7
нв в0 *
причем .*
= Ф„=^Л; Д> = рХ (2-69)
Если при отсутствии проводящего полупространства
Рнс. 2-12. Зависимость коэффициентов влияния Кн и Кв проводя-
щего полупространства на касательную напряженность магнитного и
электрического поля у поверхности от параметра е по (2-72).
Сплошные кривые—/^=1,0: пунктирные кривые—/fy — 1.2
выражениями (2-68), то при внесении проводящего полу-
пространства в область х^О поле у его поверхности
изменится пропорционально коэффициентам Ке и К и
(рис. 2-12):
Фп £п Вх„
Фо Ё„ в0 -Е и X /уо (2-70)
9
S 1 + 6 ’ £ Р./-2" ’ (2-71)
5*
67
к - К"_ 2
Е е ]/1 + еИГ+е2
При пространственно-периодическом в двух направ-
лениях пульсирующем поле средние потери в 4 раза
меньше наибольших местных потерь (соответствующих
напряженности /7П или Еп), при пульсирующем периоди-
ческом в одном направлении — вдвое. При бегущем пло-
скопараллельном поле местные потери всюду одинаковы
и, следовательно, средние потери равны местным. В этом
случае применимы формулы, аналогичные (2-67)—
(2-72).
Приведенные соотношения позволяют приближенно
решать многие задачи, связанные с массивными прово-
дящими деталями конструкции или толстыми электро-
магнитными экранами. В случае экранов или деталей,
характерные размеры которых меньше «глубины проник-
новения», влияние их на поле выражается относительно
сложно и существенно зависит от пространственного пе-
риода. Решение более сложных задач с плоскослоисты-
ми проводящими средами рассмотрено в [2-24].
2-6. МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА НАЛОЖЕНИЯ
Принцип наложения наиболее широко используется
для замены одной сложной задачи двумя или нескольки-
ми более простыми. Метод можно применять только для
сред и цепей с линейными характеристиками. Согласно
ему поле от нескольких источников равно сумме полей
от каждого из них в отдельности. На этом принципе осно-
вано много методов расчета поля и цепей, в частности
метод эквивалентного генератора (называемый также
методом XX и КЗ), особенно широко применяемый для
расчета циркулирующих токов в параллельных ветвях
обмоток. При наложении складываются напряженности
поля, индукции, потенциалы в каждой точке, напряже-
ния, токи каждой ветви. Мощность в каждом из участ-
ков, как правило, не равна сумме мощностей в этом уча-
стке в каждом из накладываемых режимов. Во многих
практически важных случаях арифметически складыва-
ются суммарные значения мощности во всем устройстве
или во всей цепи.
68
Рассмотрим два примера методов, применяемых осо-
бенно часто.
Пример 2-1. Дана относительно длинная равномерная обмотка
высотой Л с МДС iw (рис. 2-13,а). Найти осевую составляющую
индукции на торце обмоткн ВТОрц и осевую силу Дос, сжимающую
прокладки на середине высоты.
Возьмем сначала обмотку с такими же размерами в плане и
током, как заданная, но имеющую удвоенные высоту и число витков
(рис. 2-13,6). Осевая составляющая индукции в ней вдали от торцов,
в том числе у середины высоты, блйэдф к индукции в неограниченно
Рис. 2-13. К оценке магнитного поля на торце и усилий в середине
обмотки без стали.
а — рассматриваемая обмотка; б — обмотка удвоенной высоты и эпюра осевой
индукции в ее середине; в — эпюра осевой индукции на торце.
длинной обмотке с такой же МДС на единицу длины (линейной на-
грузкой). У середины высоты есть только осевая индукция, равная
Z jc 1 \
Bmax = tioiw/h в окне обмотки и В= Втах в сечении
обмотки, где а — радиальный размер обмотки; х — расстояние те-
кущей точки от среднего витка обмоткн по направлению к ее окну,
причем |х|^0,5«. Индукция в середине обмотки высотой 2/г
(рис. 2-13,6) равна сумме осевых составляющих индукции на торцах
двух одинаковых обмоток высотой /г каждая. Следовательно, иско-
мая индукция вдвое меньше найденной выше — см. эпюру на
рис. 2-13,в, где Вт алторц'—
69
Используя известную упрощенную формулу для магнитного по-
ля в центре длинной тонкой круглой обмотки высотой h в виде
„ iw / 1 Ds \
s= [а« у ~2 у, (2-73)
где D — средний диаметр, например, эквивалентный по площади
среднего витка S, т. е. D= K4S/jr, можно несколько уточнить полу-
ченный результат
1 2iw / 1 Da \ [j-j iw / S \
втахтори.^~2 Н-о 2h ~ “8~ l?'ТГ — 2^)» (2'74'
цричем последний член в скобках дает оценку порядка погрешности.
Осевая сила в середине обмотки равна сумме осевых сил, дей-
ствующих на все элементы тока в половине обмотки:
л/2 I
р р iw iw (
Вос = I I ^рад fa dh-dl= j BpandSfcK =
О 0 s6ok/2
iw iw iw
— Фоок= (Фсеред — Фторц) — (^max Bmax тори) S, (2-75)
где Вряд — радиальная составляющая индукции, расчет которой
обычно сложен; Ssor/2 — площадь боковой поверхности верхней или
ннжней половины обмотки; 5бок/2=й//2; I — длина среднего витка
обмотки; Фбок — магнитный поток, проходящий в радиальном на-
правлении через боковую поверхность верхней или ннжней половины
обмотки; Фсеред и ФТОрц — магнитные потоки, проходящие через
средний виток на середине высоты и на торце обмотки. Из (2-73)—
(2-75) получаем:
Вос
Р-0
2
iw V / 7 D*_\
h ) 8 ha ] 2
(iw V [ 7S \
Hr) |1—o“m|S (2-76)
I h 1 I 2rar / ' '
или, используя упрощенное выражение индуктивности (см. § 9-6 и
[9-13]) в виде
L^Posa2S/(ft+O,4W), - (2-77)
Li* f D\ ( 7 Гм / D \
0+o’44 0+°’44
(2-78)
где — энергия магнитного поля в обмотке.
Формулу (2-78) можно получить также непосредственно диффе-
ренцированием (2-77), используя выражение (2-25).
Пример 2-2. Имеется обмотка, состоящая из п одинаковых дис-
ковых катушек с осевым размером а и радиальным Ь, числом вит-
ков w и током i, разделенных каналами шириной с (рис. 2-14,а),
причем Ь>а+с. Необходимо оценить погрешность в расчете магнит-
ного поля при замене этого ряда катушек на одну равномерную ка-
тушку (зону обмотки) с постоянной плотностью тока, с теми же
МДС и радиальным размером (рнс. 2-14,6), а также дать рекомен-
дацию по выбору осевого размера h этой зоны.
70
2-14. К замене
обмотки из
дискретных
катушек на равномерную.
Рис.
эпюры небаланса МДсУстсгемы в^пр^е^ОВс - жир'н^лнннТ"^^-О "7®“ а и б; г ~ эпюра плотности тока системы в, д~
линия; е —разность МДС систем с и Л т» „ л сРНаЯ линня’ при ос—тонкая линия со штриховкой и при е=0 — пунктирная
мах по соответствующим рисункам; 1а>иб 2весба^нроваш^МДС^'0 6 " /(i’ ?е “ Z>« “ п"’отио«тн ™к<'’ в свете-
Рассмотрим разность указанных систем МДС (рис. 2-14,в), эпю-
ру плотности тока (рис. 2-14,г) н эпюру небаланса МДС полного
тока между одним из торцов обмотки и радиальным лучом, прохо-
дящим через рассматриваемую точку (рис. 2-14,6). Если предполо-
жить, что система рис. 2-14,в создает только радиальное магнитное
поле, причем длина всех силовых линий одинакова, то эпюра ра-
диальной индукции повторяет эпюру небаланса МДС. С увеличением
размера е (полуразности размеров h и hB — см. рис. 2-14,а, б) пер-
вый пнк индукции или небаланса МДС на торце крайней катушки
монотонно растет, а второй пик (на границе крайней катушки и ее
канала) монотонно убывает. Следовательно, минимум наибольшей
мествой индукции будет иметь место, если все наибольшие значения
местной индукции будут равны друг другу, т. е. когда МДС любого
участка, соответствующего катушке высотой а, будут равны МДС
любого участка, соответствующего каналу высотой с. Для этого не-
обходимо е=с/2. Тогда эпюра МДС примет вид, показанный тонкой
линией на рис .2-14,6. При этом й=йо+2е, hB=na+ (п—1)с, Ja=
= iwlab, J6=niw /hb. Можно показать, что при этом будет почти
точно минимальным также среднеквадратичное значение индукции,
созданной разностью указанных систем МДС. Следовательно, близки
к минимальным добавочные потери и индуктивности рассеяния. Бо-
лее точный поиск минимума с учетом влияния размера е на высоту
всей эпюры, т. е. на область интегрирования квадрата индукции, не
имеет смысла, так как речь идет о размерах, гораздо меньших, чем
возможные производственные отклонения.
Таким образом, целесообразно выбирать расчетную высоту рав-
номерной обмотки, заменяющей реальную зону обмотки из п кату-
шек осевым размером а с каналами с между ними, несущую ток
nvw, равной h=n(a-\-c). Отличие поля этой обмотки от реального
определяется полем чередующейся системы одинаковых токов
iwc/(a-\-c), причем на краях системы расположены участки с вдвое
меньшей МДС 0,5iwc/(a-(-c). Поле такой системы относительно сла-
бое — наибольшая напряженность поля, имеющая место иа границах
катушек и каналов у середины радиального размера обмотки, не
выше iwc/2b(a+c), тогда как напряженность поля у обмотки высо-
той h с током niw равна niw/2п(а-\-с), т. е. в b/с раз больше. Поле
обмотки по рис. 2-14,6 уменьшается с удалением от нее относитель-
но медленно, примерно обратно пропорционально расстоянию. Поле
знакочередующейся системы можно рассматривать как пространст-
венно-периодическое, которое убывает по экспоненте (см. 2-68),
в данном случае пропорционально ехр [—2лх/(а+с)]. Следователь-
но, уже на расстоянии нескольких миллиметров от поверхности
обмотки это поле практически отсутствует.
Если размер h по каким-то причинам выбран отличающимся от
п(а+с), то для оценки погрешности в расчете поля целесообразно
заменить систему по рис. 2-14,в двумя системами: чередующейся
системой по рис. 2-14,е высотой и(а+с), соответствующей симмет-
ричной (заштрихованной) эпюре небаланса МДС на рис. 2-14,6, и
системой из двух токов у торцов обмоток и одного тока обратного
знака, равномерно распределенного по высоте и(а+с), —см.
рнс. 2-14,ж. Поле системы по рис. 2-14,е, как показано выше, отно-
сительно слабое и быстро затухает с удалением от обмотки. Поле по
рис. 2-14,ж не может быть сильным, так как создающая его МДС
в 2п(а+с)/(2е—с) раз меньше МДС рассматриваемой зоны обмот-
ки. На больших расстояниях от обмотки это поле можно оценить
72
как поле трех топких проводов, а вблизи его следует рассчитывать
как поле токонесущих шни. Однако завышенную оценку наибольшей
местной индукции этого поля получить легко — заведомо известно,
что эквивалентная длина силовой линии не может быть меньше ра-
диального размера обмотки. Следовательно,
л. 2<?~ С
I ° 1 2nb а + с
(2-79)
Как видно, относительно сложную задачу (рис. 2-14,а) удалось
свести к сумме значительно болеК фостой задачи (рис. 2-14,6),
весьма сложной задачи (рис. 2-14,е), которую можно совсем не ре-
шать, ибо магнитное поле в ней заведомо ничтожно, и не очень
сложной задачи с относительно слабыми МДС (рис. 2-14,яс), для
которой, как правило, достаточно ограничиться грубой оценкой.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ПОДОБИЕ И ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
3-1. ФИЗИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ
Однотипные по физической природе процессы и влия-
ния в различных устройствах (объектах, изделиях, си-
стемах) могут быть описаны одноименными количест-
венными характеристиками (физическими величинами,
параметрами). Если все характеристики одного устрой-
ства, например реактора, могут быть получены пропор-
циональным преобразованием характеристик другого
(в том числе переменных параметров для каждой точки
и интегральных), то эти устройства называют физически
подобными. При этом одно из устройств считают ориги-
налом, другое — моделью (индексы «ор» и «м»). Тогда
Пм==ГПаПор> =ЦД^ор; - --» ГПхХор; Утл — ^уУор - •
где а, Ь, ..., х, у ... — параметры устройств и их отдель-
ных точек; та, тъ, ..тх, ту ... — масштабы подобия.
Масштаб одноименных параметров одинаков для .
всех пар сходственных точек оригинала и модели и не
зависит от времени.
Параметры, каждый из которых имеет численно оди-
наковые значения для подобных явлений в оригинале и
модели, называют критериями подобия. Полностью по-
добны только строго одинаковые устройства, находя-
щиеся в совершенно одинаковых условиях. Например,
для реакторов и трансформаторов требования одновре-
менного подобия электромагнитных и электростатиче-
73
ских, тепловых или механических процессов приводят
к условиям: та— ... — тх= ... =1, т.е. к условию оди-
наковости оригинала и модели и процессов в них. Такую
модель следовало бы называть опытным образцом узла
или изделия. На практике под «подобием» всегда подра-
зумевают только приближенное подобие, когда рассма-
тривается лишь ограниченная часть происходящих про-
цессов, наиболее важная в исследуемом случае. Счита-
ется, что остальные процессы не влияют на рассматри-
ваемые и не, нарушают подобие. Например, при физиче-
ском моделировании поля расеяния и добавочных по-
терь в трансформаторах обычно не учитывают влияние
тепловых процессов и электростатического поля.
В то же время при сильно ограниченном числе рас-
сматриваемых параметров, когда почти все линейные
размеры не подобны, конструкция модели предельно
упрощена, а масштабные коэффициенты удельных на-
грузок равны единице, термины «подобие» и «моделиро-
вание» не применяют, а используют обычно термин
«образец».
При физическом моделировании, как и при расчет-
ном решении задачи, главное состоит в’ выделении наи-
более важных явлений и пренебрежении второстепенны-
ми, что позволяет решить задачу с достаточной точ-
ностью при приемлемых затратах.
Основные понятия, теоремы и дополнительные поло-
жения теории подобия, методы определения критериев
подобия из анализа исходных уравнений или анализа
размерностей рассмотрены в работах А. В. Иванова—
Смоленского, В. А. Веникова и др. [3-1—3-6].
Для практики трансформаторостроения обычно до-
статочно записать каждое из' уравнений в виде суммы
членов, в которые входят произведения величин и их
функции; каждое из уравнений разделить на один из его
членов, заведомо не равный нулю; заменить обозначения
величин на обозначения соответствующих масштабов
(учитывая, что операции дифференцирования типа rot,
div и grad включают в знаменателе линейные размеры);
приравнять единице каждый член полученного уравне-
ния и каждый член аргументов трансцендентных функ-
ций и знаменателей подынтегральных выражений. По-
лученную систему уравнений масштабов можно преоб-
разовывать обычными способами.
74
Для электромагнитных процессов в неподвижных
средах с линейными характеристиками согласно уравне-
ниям Максвелла (см. табл. 2-2) имеем:
rotZf^J-j-^-; rot£ = -^-; D==eaE-, В=р.аН,
(3-1)
или j . 1_ ро 1. rot Н • rot Н dt —1 2 * * * * \ . еаЕ rot Edt ’ D ’
V-gH , i . Е . В ’ Jp (3-2)
откуда получаем:
mimj _ mimD — 1- mimB ]• p mv-mU- _ = 1;
’ mEmt ’ mD ’ mB
™е
mjmv
(3-3)
или
т — m ти = тт, — тлпГхт, = 1пк1т ;
е р е 1Л р /’ Н J I Е р i В'р.’
(3-4)
где т1 — масштаб линейных размеров и координат х, у,
... ™ ___ ZM _ Гм
2, Г. mi = j— = —-----------’ т1-> тн> тт» mv> mR >
•op K'Qp f/op A?p 'op J ti и E E 7
m? — масштабы параметров поля и среды соот-
ветственно индексам (обозначения см. в табл. 2-1 и при-
ложении); mt — масштаб времени (обратный масштабу
частоты), т/=7^1'=— ——.
top mf rnu.
Как видно, в (3-3) или (3-4) имеем шесть уравнений
для десяти масштабов, т. е. можно произвольно выбрать
четыре масштаба. Однако это не любые сочетания масш-
табов. В частности, произвольно выбрав материалы для
модели, однозначно получаем масштабы времени и ли-
нейных размеров:
(3-5)
75
Реально доступны физические модели трансформато-
ров и реакторов из тех же материалов, что и оригинал
(замена меди алюминием или стали одной марки дру-
гой дает несущественное отличие масштабов от едини-
цы). При этом из (3-5) следует т,=1 и тр=1, т. е. мо-
дель по размерам и скорости процессов совпадает с ори-
гиналом и не может быть сделана малой. Поэтому элек-
тромагнитные процессы, связанные с электрическим по-
лем в изоляции, обычно моделируют с помощью комби-
нированных моделей. Такая модель состоит из геоме-
трически подобной оригиналу малой физической модели,
обеспечивающей подобие собственных и взаимных
индуктивностей и активных сопротивлений, и ряда при-
соединенных к модели конденсаторов, обеспечивающих
приближенное подобие важнейших емкостей при рассмо-
трении оригинала как цепи с конечным числом сосредо-
точенных параметров.
Ниже пренебрегаем электрическим полем в изоляции.
Тогда в уравнениях можно опустить члены, содержащие
электрическую индукцию и диэлектрическую проницае-
мость. При этом вместо (3-4) имеем:
mt — = (3-6)
или, если р. и р в оригинале и модели одинаковы (р=
=idem и p=idem),
тт =1; mt = rrf.\ т„=-т„~т,т,—--т,тГ!. (3-7)
р ’I I’ Н D I J I Е \ '
При этом можно произвольно выбрать лишь два
масштаба: 1) линейных размеров или времени; 2) одной
из электромагнитных нагрузок или параметров поля.
При необходимости моделировать нелинейность
свойств необходимо соблюдать дополнительное требова-
ние совпадения относительных характеристик оригинала
и модели. Реально такое требование означает сохране-
ние напряженности и индукции магнитного поля в стали
(тв=тн=1 или В—idem и 77=idem) и значительное
повышение плотности тока и тепловых нагрузок в ма-
лой модели. Мощность модели оказывается лишь в не-
сколько раз меньше оригинала (что неприемлемо для
практики ввиду отсутствия мощных высокочастотных
источников):
т. = т„ — т~1 = т~°'5; m<t = mn = mD — т\ tn mv= т
J С I I О У Г J Г I
(3-8)
76
где mv — масштаб объема; mg, и тр— масштабы
полной, реактивной и активной (потерь) мощности.
Кроме того, не во всем удается соблюсти геометри-
ческое подобие малой модели оригиналу. Заметные труд-
ности возникают с получением провода для малой мо-
дели обмотки. Несколько зависят от толщины свойства
конструкционной стали. Заметные погрешности вносит
необходимость округления малых линейных размеров,
например толщины листов до^брмализованной на дан-
ном предприятии. Невозможно моделировать толщину
листа электротехнической стали, так как магнитные
свойства такой стали существенно зависят от толщины
листа и от частоты. Поэтому при практическом исполь-
зовании физического моделирования для электромаг-
нитных исследований принимают дополнительные допу-
щения, рассмотренные ниже.
3-2. УПРОЩЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Если задаться целью исследовать на одной модели
многие различные процессы, это, как правило, приводит
к теоретически несущественным, но практически непрео-
долимым затруднениям. Поэтому обычно изучается лишь
одна из групп вопросов, необходимых для проектирова-
ния трансформатора или реактора. Сводка ряда спосо-
бов моделирования дана в табл. 3-1.
Добавочные потери в проводах обмоток моделируют
редко (способ 2). Трансформаторы и реакторы повышен-
ной частоты обычно не столь велики, чтобы была необ-
ходимость в создании уменьшенной модели. В обычных
силовых трансформаторах и реакторах, как правило,
можно пренебречь вытеснением магнитного поля из
обмоток. При этом потери от вихревых, а также от цир-
кулирующих токов в соседних проводах поддаются бо-
лее точному расчету, чем измерению. Однако даже при
масштабе размеров 0,3 чрезвычайно трудно соблюдать
подобие размеров провода обмотки, особенно в случае
выполнения оригинала из транспонированного провода.
Поэтому, как правило, при моделировании не исследуют
потери в проводах обмоток. Это позволяет применить
в обмотках модели любой провод с достаточно малыми
размерами сечения, лучше всего многожильный высоко-
частотный с изолированными жилами (литцендрат) и
произвольно выбирать число витков, число параллель-
ных проводов и номинальный ток в обмотках модели,
77
Некоторые способы физического моделирования электромагнитного поля трансформаторов
и реакторов при одинаковых материалах модели и оригинала
Таблица 3-1
Особенности способа Номер способа
> 1 2 1 3 1 4 5 ) 6
Учет вихревых то- ков в активной стали’ Есть Нет Нет Нет Нет Есть
в обмотках Есть Есть Нет2 Нет2 Нет Нет’
в элементах конст- рукции1 Есть Есть Есть Нет Нет Нет3
Учет нелинейности стали активной Есть Нет Нет Есть Есть Есть
конструкционной Есть Нет Нет Есть Нет Нет
Соблюдение мас- штаба, равного масштабу основ- ных размеров толщины пластин ак- тивной стали Есть Нет Нет Нет Нет Нет4
толщины пакетов магнитопровода Есть Есть Есть Есть Есть5 Нет6
размеров проводов обмоток Есть Есть Нет2.7 Нет2-7 Нет7 Нет
Продолишение табл. 3-1
Особенности способа Номер способа
1 2 3 4 5 6
Выбираемые масштабы mi пц, tnj mi, m,, mko6 mi, mf «/ «f- '«feCT mi, mJt щ*Толщ
Соблюдаемые со- отношения мас- штабов частоты mf—mt 1 тТ2 mT2 Выбор Выбор 1
индукции тв=тн 1 mim.j munjmko(s 1 га*ст 1
плотности тока nij 1 т1 Выбор Выбор лгЛ'иЛ1 1 Лоб Выбор
Масштаб мощности ms mi 3 9 9 т,тТть 1 J fto6 za3«f 3 ? mlmvnk„ те^7?2*Толп1
Применяемые мас- штабы линейных размеров 1/3 1/3 ''K % 1/5—1
частоты nzf 10 10 1,0
плотности тока rrij 1 1 <1
коэффициента запол- нения /едоб 1,0 1,5—2 1
1 Добавочные потери в крайних пакетах магнитопровода от поля рассеяния и „выпучивания" относятся к потерям в элементах конструкции.
я Следует применять провод с малыми размерами сечения с совершенной транспозицией.
з Способ пригоден только при слабо насыщенной стали, когда можно не учитывать магнитные потоки вне магнитопровода.
* Применяется сталь той же марки и толщины, что в оригинале.
5 Коэффициент заполнения сталью сечения магнитопровода Лст в модели резко снижен.
в Моделируется только один пакет магнитопровода, масштаб относится к его размерам в плане; толщину пакета выбирают порядка несколь -
ких миллиметров или сантиметров. _
7 Желательно всемерно повышать коэффициент заполнения обмоток A?og-
* т —масштаб толщины пакета (см- п. 6).
толщ _______________________________________________ , __________________________________
предназначенной для исследования других вопросов.
При этом, если исследуется магнитное поле вне магни-
топровода, необходимо соблюдать распределение витков
по сечению обмотки, подобное оригиналу.
При моделировании добавочных потерь в обмотках
с учетом вытеснения магнитного поля, например в обмот-
ках из листа или шин, необходимо соблюдать условия
(3-7), т. е. частота тока в модели должна быть обратно
пропорциональна квадрату масштаба линейных разме-
ров модели, а масштаб плотности тока может быть вы-
бран произвольным исходя из удобства измерений. В та-
кой модели, а особенно в модели для исследования цир-
кулирующих токов, необходимо обращать внимание на
соответствие геометрических размеров и расположения
переходов и транспозиций в модели оригиналу. Ничтож-
ные на первый взгляд отклонения здесь могут сильно
исказить результаты (такой случай встречался на прак-
тике) .
При исследовании распределения тока по параллель-
но соединенным относительно большим частям обмотки,
основной размер каждой из которых превышает несколь-
ко сантиметров, часто можно пренебречь ролью актив-
ных сопротивлений. В этом случае нет необходимости
соблюдать масштаб времени и можно испытывать ма-
лую модель при частоте 50 Гц. Например, еще в 1956 г.
на Московском электрозаводе (МЭЗ) под руководством
Г. С. Спува таким образом успешно исследовано рас-
пределение токов в параллельно соединенных группах
катушек броневого реактора.
Поле вне магнитопровода обычно исследуют, прене-
брегая искажением процессов в магнитопроводе (спо-
соб 3 в табл. 3-1). Это позволяет применять в модели
такую же электротехническую сталь, как в оригинале.
Кроме того, для облегчения работы с моделью часто ее
магнитопровод делают стыковым. В случаях, когда мож-
но пренебречь влиянием вихревых токов в деталях кон-
струкции на магнитное поле или же, наоборот, принять,
что поле полностью вытесняется из детали, нет необхо-
димости соблюдать масштаб времени в (3-7) и можно
проводить измерения при частоте 50 Гц. При существен-
ной, но конечной роли магнитного поля вихревых токов
необходимо соблюдать условия (3-7). Если вдобавок
важна нелинейность магнитной характеристики стали, Toj
необходимо выполнить почти нереальные условия повы-
80
шения плотности тока в малой модели по сравнению
с оригиналом (3-8)—например, способ 1 в табл. 3-1.
В последнем случае, как показано в [3-7], можно при-
ближенно заменить эти нереальные требования покры-
тием стальных массивных деталей конструкции модели
слоем меди- определенной толщины, определяемой соот-
ветственно характеристиками стали.
Добавочные потери в элементах конструкции до сих
пор были областью наиболщц^-пирокого использования
малых физических моделей крупных трансформаторов
(способ 3 в табл. 3-1). Наиболее распространенный
масштаб такого моделирования т/^0,3; 2=«= 10
тз=тЕ^Д),5-:-1; mB=mH^0,2; ms=mp^0,01, т. е. часто-
та источника для питания модели /м=400-^-500 Гц. При
этом реактивную мощность модели часто компенсируют
с помощью батарей конденсаторов. Для измерения поля,,
местных и полных потерь и нагревов удается использо-
вать примерно те же методы и приборы, что и для изме-
рений при обычной промышленной частоте.. Масштаб
/?7г^0,15 при /мяк2,5 кГц, применявшийся в некоторых
отечественных работах по физическому моделированию
трансформаторов, сейчас используют редко из-за труд-
ностей изготовления очень малых моделей и измерений
на них. Кроме того, чем меньше размеры модели, тем
больше роль поверхностного слоя стальных деталей,
свойства которого отличаются от свойств стали в глуби-
не детали (рассмотренное в [3-8] удаление этого слоя
электролитическим способом на практике не применя-
ется из-за трудностей технологии).
Наибольшие трудности при моделировании вызваны
нелинейной зависимостью индукции в стали от напря-
женности поля. Повышение плотности тока в модели
согласно (Зг8) привело бы к быстрому недопустимому
нагреву обмотки модели. Применяемое увеличение ко-
эффициента заполнения сечения обмотки модели медью
за счет относительно меньшей электрической изоляции
с избытком компенсируется снижением плотности тока
при замене масляного охлаждения в оригинале воздуш-
ным в модели. Использование в модели водяного охлаж-
дения связано со значительными неудобствами и прак-
тически не применяется. Поэтому остается по существу
один путь — выполнять модели со значительно снижен-
ной индукцией и вводить в результаты расчетные по-
правки [3-14], основанные на теоретических зависимо-
6-774 ' 81
стях (§ 10-5). Часто удается обойтись вообще без попра-
вок [3-9].
Даже относительно грубое, без поправок, физическое
моделирование поля и добавочных потерь в сложных
стальных деталях обычно гораздо точнее и достовернее
расчета и математического моделирования, требующих
чрезвычайных упрощений формы деталей и не учиты-
вающих местные вырезы, ребра, изгибы и тому подоб-
ные особенности оригинала.
Процессы в ненасыщенном магнитопроводе сильно
зависят от магнитных свойств электротехнической ста-
.ли. Эти свойства, особенно в холоднокатаной стали, су-
щественно зависят от толщины пластин и скорости пе-
ремагничивания. Поэтому при моделировании процессов
в стали магнитопровод практически всегда изготавлива-
ют из стали той же марки и толщины, что и оригинал,
и испытывают при той же частоте. При этом сохраня-
ются неизменными коэффициент заполнения и средняя
магнитная проницаемость для магнитных потоков, пер-
пендикулярных плоскости пластин, но не моделируются
вихревые токи, вызванные этими потоками, а также вих-
ревые токи в обмотках и других частях модели (спо-
соб 4 при /%=1 в табл. 3-1). В случае учета таких
токов, например при исследовании потерь от поля рас-
сеяния в крайнем пакете стержня магнитопровода, при-
ходится выполнять модель рассматриваемого узла с раз-
мерами, близкими к оригиналу.
Пренебрегая указанными вихревыми токами, вместо
<(3-7) при неизменной толщине пластины имеем:
mf=l; /ия = щв=1; т8=т^=шРсг=п?1,
= mp^mt, (3-9)
где РСт — потери в стали, а Ров — основные потери
в обмотках в рассматриваемом режиме.
Для модели трансформатора, где основные потери
в обмотках от намагничивающего тока ничтожно малы,
повышение плотности тока не играет роли, а в реакторах
или электромагнитах приходится резко уменьшать не-
магнитные зазоры в модели и, следовательно, занижать
магнитные потоки вне магнитопровода. Для относитель-
ного увеличения этих потоков в модели можно выпол-
нить ее магнитопровод с резко уменьшенным коэффи-
циентом заполнения, но при этом снижается средняя
82
магнитная проницаемость магнитопровода в поперечном
направлении и не моделируются магнитные потоки, пер-
пендикулярные пластинам.
При замкнутой (без зазоров) не сильно насыщенной
магнитной системе без заметной погрешности можно пре-
небречь магнитными потоками вне стали. Тогда нет нуж-
ды соблюдать подобие обмоток и деталей конструкции,
что существенно облегчает изготовление модели. Если
вдобавок совсем не учитываюдая магнитные потоки, пер?
пендикулярные пластинам стали, то можно произволь-
но выбирать размер магнитопровода в направлении, пер-
пендикулярном пластинам, и еще больше облегчить мо-
дель (способ 6 в табл. 3-1). Минимальная толщина
исследуемого пакета, как и в аппарате Эпштейна, огра-
ничена чувствительностью и потреблением измеритель-
ных приборов и погрешностями от потоков вне стали.
Важные погрешности при моделировании магнитных
систем связаны с преувеличенной ролью в малой моде-
ли технологических факторов и отклонений. В частности,
если не принять специальных мер, в модели непропор-
ционально велики зазоры в стыках шихтовки, «гребен-
ка» пластин у немагнитных зазоров, доля части пластин
у их кромок, имеющая сниженные магнитные свойства
от наклепа при резке, роль неоднородности стали и т. п.
Поэтому нужно шихтовать модель в один лист и особо
следить за тщательностью резки и отжига пластин и
сборки магнитопровода.
Подобные модели широко и успешно использовались
для иследования разных способов шихтовки с косыми и
прямыми стыками и различных схем разветвленных и
многорамных магнитных систем. В последнем случае
иногда пренебрегают ролью углов и моделируют только
соотношение длин и сечений участков магнитопровода,
т. е. по существу собирают магнитную цепь с сосредото-
ченными параметрами [3-10]. Если соотношения сечений
не дробные, то такую модель удается быстро и почти без
затрат изготовить из уже исследованных в аппарате
Эпштейна и ставших, ненужными образцов хорошей
стали.
При насыщенном магнитопроводе, если необходимо
исследовать потери в стали, применяют только условия
(3-9), т. е. ту же сталь при той же частоте, что в ори-
гинале. Радиальный размер обмоток модели выполняют
меньше, чем в оригинале, только за счет повышения
6* 83.
коэффициента заполнения и допустимого нагрева. При
заданном сечении обмоток размеры, массу и мощность
модели удается еще несколько снизить за счет непропор-
ционального уменьшения сечения стали. Однако модель,
лредназначенная для длительной работы с насыщенной
Рис. 3-1. Модель магнитной
системы с сильным насыще-
нием стали.
а — сечение параллельно пласти-
нам; б и в — сечение перпенди-
кулярно пластинам в случаях
плоскопараллельной и осесим-
метричной системы; /—магнито-
провод; 2 — обмотка; 3 — пласти-
ны стали; 4 — изоляционные
прокладки («разбавитель»).
Рис. 3-2. Зависимость сред-
ней индукции от напряжен-
ности поля для стали (кри-
вая 1) и для магнитопрово-
дов оригинала (2) и модели
по рис. 3-1 (кривая 3).
•сталью, оказывается все же весьма большой и тяжелой.
Например, в модели мощного реактора, управляемого
поперечным подмагничиванием, чтобы получить среднее
поле порядка 200 кА/м, тороидальная обмотка управ-
ления при плотности тока 3 А/мм2 и коэффициенте за-
полнения 0,4 должна иметь средний радиальный размер
0=200 кА/м: (3 А/мм2-0,4)=170 мм. Следовательно,
«4
если принять отношение диаметра стержня, к диаметру
отверстия в нем равным лишь 1,5, то радиус отверстия
для размещения этой обмотки будет 2-0,17 м-1,25—
=0,43 м, диаметр стержня около 1,5 м и наружный диа-
метр рабочей обмотки более 2 м.
Если нужно определить лишь влияние насыщения не-
которой части стали магнитопровода на магнитное поле
вне него, можно выполнить модель относительно неболь-
шой за счет сильного снижсщи^е коэффициента заполне-
ния сечения магнитопровода сталью [3-15] (способ 5
в табл. 3-1). Плоскопараллельная или осесимметричная
магнитная система набрана из пластин электротехниче-
ской стали толщиной Аст, чередующихся с немагнитны-
ми изоляционными прокладками толщиной Аиз (рис. 3-1).
Примем, что кривая индукции стали состоит лишь из
прямолинейных участков (рис. 3-2) :
77=0 при |ВСТ'|<В4СТ и я = |Вст|~-В^-т-
при 1ВСТ|^В4СТ,
(З-Ю)
т. е. что динамическая магнитная проницаемость стали
либо бесконечна, либо равна магнитной постоянной.
Тогда средняя индукция в магнитопроводе Вср свя-
зана с напряженностью магнитного поля Н соотношени-
ем Вер (Аст+Лиз) = ВстЛст + цо77Лиз, откуда
77 = 0 при |Bcp|<BiCTfe;
I 771 =----------при I Bcp I > Bs CTfe;
где Л=АСТ/(Аст+Аиз)—коэффициент заполнения.
Из (3-11) следует, что если в модели коэффициент
заполнения в несколько раз меньше, чем в оригинале, то
и средняя индукция насыщения модели будет во столько
же раз меньше:
Вям = Bsct^m BSop^M / kpp = В sopfTlh. (3-12)
Следовательно, вместо неудобного условия тв=
—тн—1 имеем подобие магнитного поля в оригинале
и в малой модели при приемлемой плотности тока
= mj=mklmi. (3-13)
При таком моделировании отличие реальной харак-
теристики стали от кусочно-линейной в модели более за-
метно, чем в оригинале. Возникают искажения поля
85
(З-И)
у поверхности магнитопровода модели из-за заметных
промежутков между соседними пластинами стали. Со-
вершенно не моделируются магнитные потоки, перпен-
дикулярные плоскости листов, и поэтому не соблюдает-
ся подобие поля вблизи концов плоскопараллельной
магнитной системы (вблизи лобовых частей обмоток).
Для некоторого снижения погрешностей можно выпол-
нить модель из стали или сплава с более резким изло-
мом магнитной характеристики; поставить у концов пло-
скопараллельного магнитопровода несколько пластин
стали подряд без изоляционных прокладок между ними
(см. рис. 3-1,6); загнуть края пластин, пронизать пла-
стины нормальными к ним стальными нитями (иглами,
проволоками, стержнями, гвоздями). При беспорядоч-
ном (одинаковом для всех направлений) расположении
, нитей появляется принципиальная возможность прибли-
женного моделирования трехмерного поля. В подобной
модели необходимо иметь достаточно насыщенную
сталь, т. е. напряженность поля должна быть порядка
десятков килоампер на метр и модель не может быть
сделана малой по абсолютным размерам. Поэтому такое
моделирование полезно для исследования крупных маг-
нитных систем.
Механические напряжения и вибрации трансформа-
торов и реакторов относительно редко изучают на мас-
штабных физических моделях ввиду больших трудно-
стей в одновременном соблюдении подобия продольных
и изгибных деформаций и перемещений и трения раз-
ных видов. Известно лишь, что в лаборатории фирмы
«Дженерал электрик» (США) успешно исследовано рас-
пространение воздушного шума от макета бака транс-
форматора при различных ограждениях в масштабе
mz=l/mf=l/7 [3-11].
Использование результатов испытаний уже изготов-
ленных трансформаторов и реакторов для новых изде-
лий применяется чрезвычайно широко. При анализе та-
ких данных и для их корректировки, кроме рассмотрен-
ных критериев подобия, часто используют так называе-
мые «законы роста».
3-3. ЗАКОНЫ РОСТА ТРАНСФОРМАТОРОВ И РЕАКТОРОВ
В сериях трансформаторов соотношения размеров и
электромагнитные нагрузки относительно мало зависят
от мощности. Это дало основание М. Видмару г1-6]
86
сформулировать простые зависимости основных показа-
телей трансформаторов от их размеров и мощности, на-
зываемые законами роста. Подобные законы можно
сформулировать для реакторов разных видов. Таким же
способом можно исследовать влияние частоты, свойств
материалов, коэффициентов заполнения, электромагнит-
ных нагрузок и других факторов, причем' не только при
строгом геометрическом подобии.
Для практики удобны законы роста, имеющие доста-
точно простую форму, как правило, в виде степенных
зависимостей. Для их вывода используют простейшие
формулы, пренебрегая второстепенными зависимостями
и опуская дополнительные слагаемые. При этом прихо-
дится порознь рассматривать разные составляющие
(слагаемые) индуктивности и добавочных потерь и не-
которые другие, однотипные параметры. При строго про-
порциональном изменении всех размеров, если прене-
бречь изменением влияния вихревых и циркулирующих
токов и конечной намагниченности отдельных деталей
на магнитное поле вне йих, то для магнитного поля вне
стали получаем:
Ф^ВВ^П3; FъBIl^k\,J3ll
= Риелк^2^7Р~
ъ^ТГ/р, p°’V-72/4;
^Macc~P0,s“”-s/2Z2; Q^BHF^vFF, (3-14)
где / — обобщенный линейный размер; &уд — отношение
ударного тока, при котором определяются механические
усилия и напряжения, к действующему, при котором
определяются все остальные параметры (индукция, по-
тери и т. д.); Pqch, Т’мелк и Рмасс — основные потери
(Вт), добавочные потери от вихревых токов в мелких
и в массивных элементах соответственно; q — удельная
тепловая нагрузка от потерь соответствующих видов.
Мелкими и массивными элементами, называемыми
в дальнейшем также магнитно-прозрачными и непро-
зрачными соответственно, считаются такие, у которых
характерный размер, перпендикулярный направлению
напряженности магнитного поля, существенно меньше и
больше «глубины проникновения».
87
Реально размер мелких проводящих элементов,
прежде всего размер провода обмоток Ь не увеличива-
ется с ростом размеров трансформаторов или реактора.
Более того, чтобы сохранить приемлемые тепловые на-
грузки и нагревы, при увеличении мощности этот раз-
мер приходится уменьшать. Не растут также длины
пролетов между опорами в обмотках, влияющие на ме-
ханические напряжения изгиба. Может заметно изме-
няться коэффициент заполнения окна или сечения обмо-
ток проводом ^об. Поэтому введем в формулы коэффи-
циент заполнения &Об, выделим размеры мелких (магнит-
но-прозрачных) элементов b и исключим из рассмотре-
ния изгибные напряжения и тепловые нагрузки от по-
терь в обмотках. Тогда вместо (3-14) имеем:
Ф=.ад F^k^k^-, w2;
Poch-p/V;
<7масс Q ~(3-15)
Для реактора без стали реактивная мощность Q
обычно является основным параметром. Тогда, учитывая
G'—'ykocl3, из (3-15) получаем [1-21, 1-27]:
/^-0V0-4.r0-4Q0’2; —
ОЭ Г Р со и уд
.2 —0,4.1,2. 0,2^,0,4 G —0,6.—0,2.—1,2^,-0,4.
J ko6Q ; ko5 J Q ;
р«П0’V°’2J0-8Q0,4; ~ — •
Q r об ’ Q P 1
(3-16)
Используя приведенные выражения, можно опреде-
лить влияние любого фактора в отдельности или их
комбинаций. Например, при замене материала провода,
если принять неизменными частоту, толщину провода,
коэффициент заполнения, основные потери, свойства
других материалов и мощность, из (3-16) следует:
Z~p°-5; Я^р-0176; /ш^р-0-25; J^p-1-2’; G^yp1-’;
б^р-1-^; Рмелк^Р’1: ^масс-= const. (3-17)
Замена меди алюминием в реакторе без стали приво-
дит к снижению расхода провода в 1,6 раза. При этом
88
резко снижаются механические напряжения и добавоч-
ные потери, но расход изоляционных и конструкционных
материалов, пропорциональный объему обмотки, возрас-
тает вдвое. Запас механической прочности остается на
пре'жнем уровне. При неизменных материалах и часто-
те вместо (3-16) имеем:
Ofes
g^U3; B^]ko6l- L/r^kJ*-,
6 j——^>OGH
Q об ’ Q o5 ’
Pмелк _ да. Диасе
-Q— ~ «06° > —Q-
(3-18)
Для увеличения мощности при неизменном коэффи-
циенте заполнения рассмотрим два предельных случая—
форсировку охлаждения при неизменных размерах
/=const; G, Р/Q и L/r—const; с—'
'Q62yH
(3-19)
или же увеличение размеров при неизменной плотности
тока
J=const; I—В—'Q0,2; а—G—
-'Росн—Q°>6; Рмелк-'G*2; Рмасс-Q0-8.
(3-20)
В частности, в случае увеличения мощности реактора
в 2 раза масса может остаться почти прежней (доба-
вятся лишь устройства форсировки охлаждения) при
удвоении всех потерь и механических напряжений или
же масса и основные потери вырастут в 1,5 раза, доба-
вочные потери — в 1,75—2 раза, механические напря-
жения растяжения и сжатия — в 1,32 раза. Если в ис-
ходном реакторе механические напряжения равны пре-
дельно допустимым и именно они определяют расход
материалов, то при 1feyH=const из (3-18) получаем:
/~Q°-33; G^Q; J^Q »'33; В = const; P^^Q0’33',
P ^Ob2- P r^.oQ-sr
* мелк 1 'масс 4
(3-21)
При удвоении мощности в этом случае масса удваи-
вается, основные потери растут в 1,26 раза, а добавоч-
ные— в 1,6—2 раза.
При заданной мощности соотношение первоначаль-
ных затрат и стоимости эксплуатации зависит от плот-
ности тока
g—J-‘-2; Л,сн~7°-8; РМелк~*2;
Рмасс'""'^0’4; О'"'/1,2.
(3-22)
В частности, можно вдвое снизить массу реактора за
счет увеличения основных потерь в 1,6 раза и механиче-
ских напряжений в 2 раза.
Интересен анализ роли коэффициента заполнения —
единственного фактора, непосредственно зависящего от
квалификации конструктора. В случае заданных мощно-
сти и плотности тока из (3-18) следует:
Iw^k™- O^k°’2k2 ; G^POCH^*-°'2;
OO 03 ’ OO Оз уд l,utl об ’
/’массой4- (3-23)
Увеличение йОб на 10% приводит к уменьшению ли-
нейных размеров на 4%, массы провода и основных по-
терь на 2% и расхода остальных материалов (кроме
охладителей и арматуры) на 12% при увеличении до-
бавочных потерь на 4—10%. Если добавочные потери
в проводах обмоток составляют 10% основных, потери
в массивных деталях несущественны, стоимость провода
50% и арматуры 20% стоимости всех материалов, то
повышение коэффициента заполнения на 10% его пер-
воначального значения приводит .к снижению полной
стоимости на 6% и потерь на 1%.
Приведенные соотношения полностью применимы
к трансформаторам без стали и к магнитному полю
рассеяния обычных трансформаторов (см. ниже). Наи-
более широко на практике используют выражение
(3-20), часто называемое законом степени 3/s, а именно:
масса и основные потери реактора без стали пропор-
циональны его мощности в степени 3/s.
Для магнитного поля в активной стали характерно,
что практически применяемая индукция и соответствую-
щие ей напряженность поля и удельные потери, а также
коэффициент заполнения стали не зависят от размеров
и мощности устройства, т. е. BCT=const и /7CT=const.
При таких условиях и неизменной частоте мощность
пропорциональна массе стали, а коэффициент заполне-
ния обмотки или плотность тока в ней должны умень-
90
шаться при пропорциональном росте размеров
P„^G„^P ^QCT;
J ~ 1/W; (3-24)
Во многих случаях удается приближенно представить
зависимости потерь в стали и напряженности поля от
индукции и частоты в виде степенных функций, но пока-
затели степени не одинаковй з^ля стали разных марок
и в разных диапазонах индукции и частоты. Поэтому
такие относительно частные формулы здесь не рассма-
триваются— для конкретной задачи подобные формулы
легко вывести, если известна подходящая аппроксима-
ция характеристик стали.
Соотношения (3-24) применимы для трансформато-
ров, работающих в режиме XX, и для некоторых насы-
щающихся реакторов. В частности, если у насыщаю-
щегося задерживающего реактора заданы средний ток
/СР и время тя перемагничивания при напряжении U
в контуре коммутации, то масса стали
. Р С/срТп
°ст YсА Дт Yct HCVBSW “ ^ст HevBs ’ '
(3-25)
где 7/Cp и Bs — средняя напряженность динамической
петли гистерезиса и индукция насыщения стали [3-12].
В формулу (3-25), как и в формулу (1-15), соответ-
ствующую мощному насыщающемуся реактору, предна-
значенному, например, для ограничения напряжения
на конденсаторе, кроме свойств стали, входит только
один параметр, задаваемый потребителем и имеющий
размерность энергии Uh или Y2//,. По аналогии с (3-20)
формулы (3-25), (1-15) и подобные им, показывающие,
что масса и потери пропорциональны параметру, имею-
щему размерность энергии, можно назвать законом пер-
вой степени.
В трансформаторе с замкнутой ненасыщенной маг-
нитной системой можно пренебречь влиянием намагничи-
вающего тока, на магнитное поле и потери вне стали и
на номинальные токи, а магнитного потока вне Стали-
на намагничивающий ток и потери в стали и на номи-
нальные напряжения [1-3]. Тогда одновременно дейст-
вуют выражения (3-14) и (3-15) для параметров, свя-
занных с полем рассеяния, и (3-24) для параметров,
определяемых»намагничиванием активной .стали. При
91
этом номинальная мощность трансформатора
иоменом*—'СоФст^Ш' 'СО^ст&ст^/ ^об^2-'
'~-'аь&ст^об^ст-^4> (3-26)
и вместо (3-20) или (3-24) при неизменных свойствах
материалов, частоте, коэффициентах заполнения и элек-
тромагнитных нагрузках получаем:
* - о/о - - G - sn 75=
Л.елк - ^S,';25; Рмаее % S^25. (3-27)
Указанные широко известные соотношения для мас-
сы и основных потерь называют законом степени 3/4.
В качестве примера рассмотрим подробнее влияние
коэффициента заполнения обмотки ЛОб- Из (3-15), (3-24)
и (3-26) при заданной мощности и получаем:
1 U—0,25 т> • д—0,75 fy ту #0,25
I k . ; GCT io. k „ G б PGCH
03 ’ СТ СТ х% ОЭ ои осн об
Qpac -^ко/о ^рас 1X1 ’ ° ^мелк ^о6
(3-28)
Поэтому увеличение коэффициента заполнения на
10% приводит к уменьшению размеров на 25% и массы
стали и прочих материалов, а также тока и потерь XX
на 7,5% при увеличении расхода провода и основных
потерь на 2,5%, напряжения КЗ на 7,5%, а добавочных
потерь на 10—18% Если стоимость провода обмоток
равна 30% полной стоимости, стоимость арматуры 20%,
стоимость потерь XX составляет половину стоимости
всех потерь, а добавочные потери в мелких и массивных
деталях составляют по 25% основных потерь, то повы-
шение коэффициента заполнения на 10% приводит к сни-
жению полной стоимости на 3% и стоимости потерь на
0,6%. Как видно, роль коэффициента заполнения
в трансформаторе заметно меньше, чем в реакторе без
стали.
В (3-27) не включено соотношение для механиче-
ских напряжений о. Если принять, что кратность удар-
ного тока обратно пропорциональна хк%, то получается,
что о—const независимо от мощности. В действительно-
сти проблема электродинамической стойкости в более
мощных трансформаторах гораздо более остра в силу
отклонений от подобия, весьма существенных для этого
92
показателя. Само напряжение КЗ при росте мощности
от 100 кВ-А до 1 ГВ-А согласно (3-27) должно было
бы возрасти на порядок, а фактически оно увеличива-
ете^ лишь в 3—5 раз. В пределах отдельных серий иног-
да оно совсем не меняется в значительном диапазоне
номинальных мощностей. Часто удается получить не-
сложные законы роста и для таких искаженных случа-
ев. Приведем два варианта соотношений при неизмен-
ном напряжении КЗ. Выделите из обобщенных линей-
ных размеров радиальные размеры системы обмоток А
-или диаметры d. Тогда вместо (3-14), (3-15) и (3-26)
получаем соответственно:
Iw^ kJ lb; у/гоб/аД; Ржи Ppkjb;
a~ko5mj; Qpac^0^o6/2&3;
P^^k’jwr/p. (3-29}
или
kJP- H^kjl; G^^-^kJP-, PWB^PpkJP-
c kJ4dk\^ Qpac ^PkJPd-, SH0M vkJJJcPP-,
P^^^J^/p. (3-30)
При условии постоянства реактивной составляющей
относительного напряжения КЗ (т. е. пропорционально-
сти мощности поля рассеяния трансформатора его но-
минальной мощности Qpac—Яном) и неизменных свойст-
вах материалов, нагрузках, частоте и коэффициентах
заполнения из (3-29) или (3-30) следует соответственно:
/'х.Д2; /ш^Д3; Go5^Poch^As; SH0M^ Qpac Рмелк^ Д’;
а^Д3; G^P^P (3-31)
и
/ S2/7 • Л X, *?^7 G rv р с^/7 . Q Р еб/7 _
HIM ’ ном ’ гогн > (jcT ~ ^ст \ом ,
° С ’ Qpac Л.елк SHOM . (3-32)
ИЛИ
d - Г Iw, Go6 Росн dP ~ Р- SHOM Qpac -V Рмелк Г;
с^Р; G„^Pn-^d2l^P (3-33)
и
Sl/6 ; d^Sl/3 ; Go6^POCH^S2/3 ; GCT~ S5/6 ;
НОМ НОМ оо оси ном ’ СТ СТ НОМ
a^S1/2-O (3-34)
ном’ ^-рас * 'мелк ‘“’ном- \ /
93
Соотношения для массы стали и обмотки, выведен-
ные в (3-34), указаны Хайндлем [3-13]. Эти соотноше-
ния ближе к реальным в крупных трансформаторах, чем
классические (3-27), из-за .транспортного ограничения
высоты. Наоборот, (3-32) при ограничении высоты ме-
нее приемлемы. Например, при увеличении мощности
•от 4'00 МВ-А до 1 ГВ-А высота окна фактически не
меняется, согласно (3-27) она должна увеличиться
в 2,51/4=1,26 раза, по (3-34) —лишь в 2,51/е=1,16, а по
(3-32) —в 2,52/7= 1,3 раза. Однако для полной стоимости
все указанные соотношения дают практически одинако-
вые результаты. Например, если стоимость провода при-
мерно равна стоимости стали, то при увеличении мощ-
ности в 10 раз их сумма по (3-27) увеличивается
в 103/4=5,6 раза, по (3-32)—в 0,5-105/7+0,5-108/7=6,2
раза, по (3-34) —в 0,5-102/3 + 0,5-105/6=5,75 раза.
Для реактора со сталью, имеющего относительно
небольшие немагнитные зазоры, необходимо выделить
из остальных размеров длину зазоров 13. Тогда при
условии BCT=const и неизменных свойствах материалов,
коэффициентах заполнения и плотности тока из закона
полного тока следует:
(3-35)
т. е. зазоры растут вдвое быстрее, чем остальные ли-
нейные размеры реактора.
Если пренебречь изменением роли магнитных пото-
ков вне зазоров и изменением массы стали из-за непро-
порционального роста зазоров, то для реактора при не-
изменной частоте имеем:
/~<2°-25; G~PCT~POCH — Q0'75; /3~<2°.8—/2,
Рмелк-^С1-25; Рмасс-Q, (3-36)
т. е. тот же закон степени 3/4, что и для трансформато-
ров [1-27].
Этот же закон относится к управляемым подмагничи-
ванием реакторам, если принять, что в них индукция
неизменна и напряженность поля в стали не зависит от
индукции.
В обоих случаях с ростом мощности доля потока,
проходящего вне стержня, растет пропорционально ли-
нейным размерам реактора. Если в реакторе мощностью
100 квар этот поток составляет 5—10% потока стержня,
то при 100 Мвар он равен десяткам процентов и им
94
нельзя пренебрегать даже для рассматриваемых грубых
оценок. Кроме того, в реакторе такой мощности нельзя
пренебрегать отличием высоты стержня по стали от вы-
соты окна. Законы роста с учетом этих факторов имеют
относительно сложный вид. Поэтому в дополнение к рас-
смотренному закону роста степени 3/4 иногда используют
другой крайний случай — законы роста броневых или
ярмовых реакторов, рассмотренные при геометрическом
подобии в [1-28], при оптимальных соотношениях раз-
меров— в § 1-5.
Законы роста являются простым и мощным инстру-
ментом для грубых оценок, который почти всегда легко
приспособить для новой, не рассмотренной ранее зада-
чи. При этом главное внимание нужно обращать на вы-
явление важнейших влияющих факторов и ограничений.
Например, при заданных минимальных размерах про-
вода в мощном ярмовом реакторе одной из основных за-
данных величин является индукция в окне, ограничен-
ная местными добавочными потерями. В изделии, пред-
назначенном для кратковременной работы, основным
фактором может, явиться электродинамическая стой-
кость, т. е. соблюдение допустимых механических на-
пряжений.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РЕАКТОРЕ
И ТРАНСФОРМАТОРЕ
4-1. ОСНОВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Начнем рассмотрение с простейшего устройства —
реактора, имеющего лишь одну обмотку. При этом для
облегчения рассуждений пренебрегаем потерями в маг-
нитной системе и всеми добавочными. Тогда напряже-
ние на зажимах реактора и и мгновенная мощность р
будут:
. /УФ г/Ш
и = гг + т/Г; Р-=ш = 1гг + 1-^-, (4-1)
где знаки соответствуют увеличению тока и потокосцеп-
ления при положительном напряжении.
Энергия магнитного поля реактора
t • >г
~ ^м.нач J {р — i2r) dt= [ i d'p (4-2)
95
изображается площадью между кривой его вебер-ам-
перной характеристики и осью ординат до ординаты,
соответствующей потокосцеплению Т в данный момент,
где индекс «нач» относится к начальному моменту про-
цесса.
Накопление энергии в ограниченном объеме связано
с появлением механических усилий, действующих на об-
мотки и магнитную систему, обеспечивающие локализа-
цию магнитного поля (см. § 2-2). Например, для бро-
Рис. 4-1. Магнитное поле и усилия в броневом или ярмовом реак-
торе.
невого реактора с широкими ненасыщенными ярмами
и цилиндрическим опорным стержнем, пренебрегая ис-
кривлением магнитных линий у торцов обмотки высо-
той h (рис. 4-1), ролью радиального размера обмотки
и некоторыми другими второстепенными факторами, по-
лучаем:
= В=^', Ф=В5ф; * •*
(»<ж)2р.а5ф _ (4-3)
р ________ Нгтах „ ______ (iw)2 р.05ф _^м, .. ..
•*лгагн,ос Р1» g ' 2ft2 ft”’
^магн.ос
°ОП,СЖ-- С ==М7 ==V ’
°ОП «Гоп Гоп
— — В iwl ——И7 А. (4-6)
* оо.р 2 umaxLVULn 2h —^м$ф ’ V* и/
96
при круглой обмотке со средним радиусом R, как пока-
зано в (2-30):
Fo6.p (W _ о W„ /л
°об,раст.ср— — 2 Роб ’
где Н и В — напряженность и индукция магнитного по-
ля, имеющие в данном случае только осевую состав-
ляющую; Гмагн, ос и F06,p — суммарная осевая и ради-
альная силы, действующие в'^дйЙном случае соответст-
венно только на ярма магнитопровода и обмотку, вос-
принимаемые на рис. 4-1 соответственно опорным стерж-
нем и самой обмоткой; h — высота окна обмотки и опор-
ного стержня; 50б и SOn'—сечение обмотки и опорного
стержня; УОб и Уоп— объем материала обмотки и опор-
ного СТерЖНЯ; Vo6==^b,So6 И Von=hSo-a, Ооб, раст, ср и
Ооп, сж — механические напряжения растяжения (сред-
нее) в круглой обмотке и сжатия в опорном стержне
Ооб, раст, ср=77об, р/ 2я5Об И Ооп, сж==77мага, ос/5Оп (при Не-
круглой обмотке радиальные силы вызывают сложные
механические нагрузки; при отсутствии опорного стерж-
ня осевые силы вызывают сжатие прокладок обмотки,
либо сжатие с изгибом боковых ярм); 5фи ZB — площадь,
охваченная средним витком обмотки, и длина витка.
Приведенные простые формулы еще раз показывают,
что механические напряжения прямо пропорциональны
энергии магнитного поля и обратно пропорциональны
объему материала, воспринимающего рассматриваемые
усилия.
При протекании тока по обмотке, имеющей электри-
ческое сопротивление, в ней выделяются потери ?г. Для
реактора с круглой обмоткой по рис. 4-1 имеем:
tr — l р — р-зу— f — —р-— R7
5об Иоб в |л0 гУОб м
(4-8)
Формулы (4-3) — (4-8) непосредственно применимы
также для ярмового реактора.
Для реактора без стали с круглой цилиндрической,
обмоткой длина силовой линии больше, чем осевой раз-
мер обмотки h. Поэтому в формулу радиальной силы
(4-7) следует ввести коэффициент 0,8—0,96. Осевая сжи-
мающая сила, вызванная радиальной магнитной индук-
цией у торцов обмотки, в этом случае действует на сами
обмотки. Эта сила немного меньше силы притяжения
торцевых ярм FmarH, ос в броневом или ярмовом реакто-
7-774 97
ре. Для ее оценки можно применить формулы (4-4) и
(4-5), введя в них (при обычных соотношениях разме-
ров) поправочный множитель порядка 0,75. Для оценки
основных потерь в обмотке такого реактора в формулу
(4-8) следует вместо h ввести. (Л+Д), где Д —средний
радиус.
В стержневом или бронестержневом реакторе с за-
зорами радиальные силы, действующие на обмотку, и
основные потери в обмотке примерно в hR2j (/3Д2СТ) раз
меньше (где 13 — суммарный зазор в стержне и Дст —
радиус стержня), чем определяемые по формулам (4-6)
и (4-7). При этом в формулу (4-4) для осевой силы вме-
сто высоты окна h также следует подставлять 13, т. е.
осевые силы оказываются во столько же раз больше.
Формула (4-5) остается в силе, но под УОп подразуме-
вается объем опор, расположенных в зазорах стержня.
Изменение тока и магнитного поля вызывает в об-
мотках, магнитной системе и элементах конструкции
реактора потери от вихревых и циркулирующих токов
и гистерезиса. Расчеты этих потерь рассмотрены в со-
ответствующих последующих главах. При периодиче-
ском токе значения энергии поля через период повто-
ряются, т. е. реактор лишь периодически накапливает
энергию в своем магнитном поле, а затем отдает ее
обратно. При синусоидальном токе накопление и воз-
врат энергии происходят дважды за период' и реактив-
ная мощность реактора будет:
Q=;(oI7M==2nfIFM. (4-9)
В случае несинусоидального тока понятие «реактив-
ная мощность» бесполезно [4-1].
Рассмотрение работы трансформатора удобно начи-
нать с режима XX — питания одной из обмоток от источ-
ника с переменным напряжением при разомкнутых дру-
гих обмотках. При XX имеется только основное магнит-
ное поле. В случае замкнутой (без немагнитных
зазоров) ненасыщенной магнитной системы магнитная ин-
дукция вне нее во много раз меньше, чем в ней, и прак-
тически весь магнитный поток, называемый основным
потоком, локализован в магнитопроводе. Изменение ос-
новного магнитного потока индуктирует одинаковое на-
пряжение во всех витках всех обмоток, расположенных
на одном и том же стержне. Если пренебречь потерями
в первичной обмотке, то напряжение на ее выводах рав-
но индуктированному в ней напряжению и трансформа*
тор преобразует йапряжение первичной обмотки в ряд
других напряжений, пропорциональных отношениям чи-
сел витков других обмоток к числу витков первичной
обмотки, т. е. пропорциональных коэффициентам транс-
формации [1-3]. Чем меньше ток и потери XX, тем мень-
ше эксплуатационные расходы на потребляемую транс-
форматором активную и реактивную мощности.
При нагрузке вторичных обмоток (например, при-
соединении к ним резисторами реактора), в них и
в первичной обмотке возникают токи, уменьшающие
магнитное поле и индуктированное напряжение в пер-
вичной обмотке. Токи, во много раз превышающие ток
XX, вызывают .заметное магнитное поле вне магнито-
провода и существенные индуктированные им напряже-
ния. Для каждой из обмоток алгебраическая сумма па-
дения напряжения в ее электрическом сопротивлении
постоянному току и напряжения, индуктированного в ней
результирующим магнитным полем, всегда равна напря-
жению на ее выводах.
При замкнутой ненасыщенной магнитной системе
суммарная МДС пренебрежимо мала по сравнению
с МДС отдельных обмоток. Тогда для соотношений то-
ков имеется простое условие — сумма МДС всех обмо-
ток в каждом окне магнитопровода равна нулю. Магнит-
ное поле при таком условии называется полем рассеяния.
В номинальном рабочем режиме крупного сило-
вого трансформатора реактивная мощность поля рассея-
ния во много раз больше намагничивающей мощности
основного магнитного поля и составляет заметную часть
номинальной мощности. Такое поле рассеяния вызывает
значительные добавочные потери, иногда приводящие
к опасным местным нагревам. Предельным случаем яв-
ляется замыкание вторичных обмоток или одной из них
накоротко. При этом в каждой из замкнутых обмоток
индуктированное результирующим магнитным полем
напряжение уравновешивается падением напряжения
в относительно малом электрическом сопротивлении об-
мотки. Напряжение, индуктированное в первичной об-
мотке, должно быть равно приложенному напряжению
за вычетом падения напряжения в ней — произведения
ее тока на электрическое сопротивление постоянному
току. Создание большого магнитного потока вне стали
магнитопровода требует появления больших токов в об-
мотках. Если первичное напряжение на обмотке или ее
7* 99
Рис. 4-2. К оценке усилий при КЗ в просты#
концентрических обмотках трансформатора.
части при КЗ не больше, чем при XX
[4-2], то магнитные потоки при КЗ не
больше, чем при XX, так как из при-
ложенного напряжения вычитается
большее падение напряжения.
При КЗ реактивная мощность поля
рассеяния, пропорциональная квад-
рату токов, во много раз превышает
номинальную мощность трансформатора. С точки зрения
усилий при КЗ трансформатор можно рассматривать
как реактор, магнитное поле которого ограничено об-
ластью канала рассеяния (обмоток и канала между ни-
ми). При допущениях и обозначениях, принятых выше
для реактора, в случае простых концентрических обмо-
ток (рис. 4-2) из (4-7) и (4-4) или (2-76), пренебрегая
активной составляющей сопротивления КЗ, получаем:
F , ГВ Т S 2?с/?Д т т U -^СТ ИХ
L,= |.x—; S„,
(4-Ю)
откуда
p-о *об ^2ст m „ f V ( *^СТ V
°об.ср=:-<уД^-Г —fT (Ж/
(4-11)
или, если выражать а в мегапаскалях, В — в теслах,
__ / Д:тт\!и (В V / ^ст V
°об.ср- 1>6 } вуд(17ному ^ЛКД ) So6
и
(ЙКМ_1КМ__Лс^2уд Вгспп U \2 SCT
h 2h~ = 2p.o k уЦц^,/ адДЛст
(4-12)
(4-13)
или (при F в меганьютонах и 3 в квадратных метрах)
Р ___ е 9„ R А ___________(Вел m'f уг / V ^2ст /д ; д\
^ос °об. срЗоб’2т: h _16 J 2п/?Д ’ I4'14'
где Ооб. ср — средние' растягивающие (в наружной об-
мотке) или сжимающие (во внутренней обмотке) меха-
нические напряжения при наибольшем ударном токе/уд
от радиальных сил, действующих на обмотку; Кос — сум-
100
марные осевЫе силы в обеих обмотках при токе /уд; по
[8-4] при обычных соотношениях размеров сила во вну-
тренней обмотке примерно равна 0,7ЕОС и в наружной
0,3FOC; Ауд — ударный коэффициент тока КЗ; согласно
[4-3] для мощных трансформаторов принимается АуД=
=1,8; U и б7Ном — напряжения при КЗ и номинальное
первичной обмотки; А — ширина канала рассеяния; А =
= 0,ЗЗП1 + с+0,ЗЗп2~^2—Ri', ^2 и с — радиальные раз-
меры двух обмоток и канала-$между ними; Ri и —
средние радиусы этих обмоток; Всч:т — амплитуда
индукции в стали при XX и номинальном напряжении;
50б — сечение проводникового материала соответствую-
щей обмотки.
При указанных условиях механические напряжения
зависят только от соотношений размеров, т. е. при стро-
гом геометрическом подобии они не зависели бы от
размеров трансформатора.
Перевозбуждение приводит к насыщению магнитной
системы и резкому росту намагничивающего тока. Со-
зданное этим током магнитное поле может вызвать до-
бавочные потери и опасные местные нагревы. При силь-
ном перевозбуждении возможны заметные осевые уси-
лия в обмотках.
Ток нейтрали обмотки, соединенной в звезду, при
отсутствии обмотки, соединенной в треугольник, вызы-
вает магнитные потоки, замыкающиеся от ярма к ярму
помимо магнитопровода. Если ток нейтрали велик, то
эти потоки могут вызывать опасные местные потери
в стяжных устройствах, стенке бака и других деталях
конструкции.
4-2. ПОТОКИ МОЩНОСТИ
Анализ путей передачи энергии внутри электромагнитных
устройств обычно проводят с помощью вектора Пойнтинга — вектора
плотности потока мощности. Такой анализ применяется при углуб-
ленном изучении принципа работы и роли элементов устройства
Рассмотрим потоки мощности сначала в реакторе, для опреде-
ленности приняв, что в данный момент напряжение и ток положи-
тельны, т. е. поток мощности направлен в магнитное поле реактора
и энергия поля увеличивается (в другие моменты времени энергия
поля выводится из реактора). Если пренебречь потерями и измене-
нием картины магнитного поля нз-за насыщения стали, то характер
картины линий вектора Пойнтинга, т. е. трубок потока мощности,
всегда одинаков, меняются лишь интенсивность и знак. Вектор Пойн-
тинга [1-1] равен векторному произведению напряженностей элек-
101
трнческого й магнитного полей
П = [£Я]; n = £/7sina, (4-15)
где а — угол между векторами Е и Н.
Поток этого вектора сквозь поверхность представляет мгновен-
ную электромагнитную мощность, передаваемую сквозь эту поверх-
ность. Определение основных составляющих напряженности магнит-
ного поля в реакторе • и трансформаторе обычно не вызывает
принципиальных затруднений, а прн определении напряженности
электрического поля в переменном магнитном поле бывают недо-
разумения (например, часто предполагают, что из осевой симметрии
магнитного поля следует осевая симметрия электрического поля, тог-
да как в действительности решающую., роль для электрического поля
играют граничные условия, т. е. расположение отводов).
В простейшем броневом реакторе с одновитковой обмоткой и
отводами из листа с осевым размером h, близким к высоте окна
(рис. 4-3), напряженность магнитного поля H^=i/h практически оди-
накова во всем пространстве внутри обмотки и между отводами и
направлена параллельно оси обмотки. Несущественные искажения
магнитного поля есть и у торцов сечения шин ‘[2-3, 4-4]. Напряжен-
ность электрического поля в промежутке между шинами, имеющем
Рис. 4-3. Картина потоков мощности в броневом реакторе с одно-
витковой обмоткой из листа.
ширину с, составляет Е—и/с. Следовательно, вектор Пойнтинга
в этой области П=£7/= ~-----и его поток P=Hch=ui. Внутри
обмотки напряженность электрического поля быстро уменьшается
с удалением от отводов (рис. 4-3). Вблизи отводов она примерно
обратно пропорциональна длине электрической силовой линии, так
что поток вектора Пойнтинга, пропорциональный этой напряженно-
сти и длине указанной силовой линии, остается почти неизменным.
Далее становятся заметными падение напряжения до данной элек-
трической силовой линии и, следовательно, уменьшение потока век-
тора Пойнтинга. Если потери не учитывать и лист обмотки считать
сверхпроводящим, то у его поверхности отсутствует касательная со-
ставляющая напряженности электрического поля и, следовательно,
отсутствует нормальная к поверхности обмотки составляющая век-
тора Пойнтинга. При этом вся энергия остается в области внутри
обмоток.
На нормальной к поверхности обмотки составляющей вектора
Пойнтинга (в приведенном примере отсутствующей) основано рас-
смотрение потоков мощности в трансформаторе и реакторе в [4-4].
Недоразумение было вызвано тем, что электрическое поле раскла-
дывалось на несколько составляющих, в числе которых была сим-
метричная (неизменная по окружности) составляющая индуктиро-
ванного электрического поля, но названия и определения этим со-
ставляющим не давались. Результат интегрирования вектора Пойн-
тинга при этом оставался правильным, поскольку каждая из осталь-
ных составляющих (электростатическое поле, стационарное элек-
трическое поле при отсутствии потерь, переменная составляющая
индуктированного поля) дает нулевой поток энергии через рассмат-
риваемую замкнутую поверхность. Например, если для определения
напряженности электрического поля напряжение между шинами раз-
делить не на расстояние между ними, а иа длину витка, то в даль-
нейшем расчете после умножения полученного вектора Пойнтинга
на длину витка и высоту обмотки (вместо расстояния между шина-
ми и их высоты) получится численно правильный результат (но дру-
гого знака!).
Из соотношений (4-15) и
№м = Ур,Л72; u^^S^dH/dt; H^i/h. (4-16)
следует:
dlFM .,(*0 d _ I дН и i „
~dF — v ~2~ ~сй~ № )= =ui=— ch = ПсЛ = P,
(4-17)
где 5ф — площадь внутри обмотки, через которую проходит магнит-
ный поток ф; V — объем поля.
Как видно, мощность, поступающая со стороны отводов, расхо-
дуется на изменение энергии магнитного поля внутри обмоткн 1КМ.
В броневом реакторе с дисковой обмоткой из двух катушек, со-
держащей w витков прямоугольного провода (рис. 4-4), поток век-
тора Пойнтинга ui из отводов попадает в межкатушечный канал.
С углублением в обмотку напряженность электрического поля и ра-
диальный поток вектора Пойнтинга в канале линейно уменьшаются
103
до нуля у внутренних витков (рис. 4-4,6). В то же время осевая на-
пряженность магнитного поля возрастает до H=iwlh, и в межвит-
ковой изоляции, где имеется радиальная напряженность электриче-
ского поля E=u/(wd), тангенциальный поток вектора Пойнтинга
достигает значения
и iw 2hno
Р= EH-Zhnyd^-^j- —^-•2hnpd = ui—^—’ (4-18)
Рис. 4-4. Путь потока мощности в броневом реакторе с обмоткой
в виде одной двойной дисковой катушки с круговыми витками,
а — общий вид; б — сечение катушки у переходов.
J04
где йпр —высота пробода; rf —толщина изоляций провода (иа две
стороны).
При 2ЛпР~Л весь поток энергии постепенно переходит из меж-
катушечного канала в межвитковую изоляцию, по которой проходит
по Спиральной линии вместе с проводами витков. Затем у внутрен-
него межкатушечного перехода он попадает во внутреннее простран-
ство обмотки, где распространяется согласно рис. 4-3. Аналогично
в двухслойной обмотке поток мощности распространяется по винто-
вой линии в канале между слоями.
Рис. 4-5. Путь потока мощности в бронестержиевом реакторе с за-
зорами в стержне н простой (однослойной) цилиндрической об-
моткой.
В стержневом реакторе (рис. 4-5) электрическое напряжение
между внутренними витками обмотки и магнитопроводом является
причиной значительной радиальной напряженности электрического
поля. Произведение ее на осевую напряженность магнитного поля
дает значительный тангенциальный вектор Пойнтинга В этом случае
линии потока мощности внутри обмотки вместо картины, показанной
на рис. 4-3, имеют вид спиралей согласно рис. 4-5. На пути от
обмотки до стержня спираль делает примерно столько же оборотов,
Сколько витке! включено между заземленной (соединенной со стерж-
нем) точкой обмотки и ее внутренним витком в данном месте. Это
можно показать, сопоставив тангенциальную и радиальную состав-
ляющие напряженности электрического поля.
Картина линий вектора Пойнтинга в зазоре между соседними
вставками стержня определяется видом шихтовки и схемой соедине-
ния пластин между собой (рис. 4-6).
В трансформаторах участки картины потоков мощности повто-
ряют соответствующие участки картины в реакторах [4-5].
Рис. 4-6. Картина потоков мощности в зазоре стержневого реактора
при разных видах шихтовки и различных схемах заземления пластин
(соединения пластин показаны жирными линиями).
а, б — плоская шихтовка; в, г — радиальная; д •— эвольвентная.
Картину линий потока мощности, отождествляемую с картиной
поля вектора Пойнтинга, определяют такие, казалось бы, второсте-
пенные факторы, как схема соединения частей обмотки, потенциалы
проводящих частей и их схема заземления, конструкция выводов,
отводов и переходов между витками и катушками обмотки. Пред- ,
ставления о распределении потоков вектора Пойнтинга в реакторах
и трансформаторах различных конструкций следует основывать на
особо тщательном рассмотрении картины магнитного и электриче-
ского полей с учетом роли отводов и положения заземленных точек
обмоток (в литературе часто встречаются ошибочные представ-
ления) .
4-3. УРАВНЕНИЯ ТРАНСФОРМАТОРА
Для системы п линейных индуктивно-связанных электрических
цепей (обмоток) имеем систему из п уравнений
dit di2 din
U^r^+L,. +^12 — +Lln -^-,
di i di2 . , di„
“« T Lm dt + Lm dt + •' • + r«‘«+ »” dt
или
n
ИР ~ 2 zpfy’
9=1 &
где zPg — oiepa-rop [2-3]:
d
ZP9 = rP9 + ^P9 ~dT ’
(4-19)
(4-20)
(4-21)
p, q — номера цепей (обмоток); p=l, 2, ..n; q=i, 2, ..., n;
Lpg = Lgp — взаимная индуктивность обмоток p и q (при p=q—
индуктивность цепи); ир — напряжение в цепи р; iq — ток в цепи
(обмотке) q\ rpp=rp; rqq=rq; при p^q в случае отсутствия
каких-либо потерь, кроме основных, rPg=0.
Непосредственно использовать эту систему уравнений для расче-
та трансформаторов со сталью практически невозможно ввиду
отсутствия способов достаточно точного определения взаимных
индуктивностей пар обмоток. Все коэффициенты, входящие в урав-
нения, существенно нелинейны и зависят от всех токов. Поэтому
вместо п (п—1) /2 взаимных индуктивностей пар обмоток целесооб-
разно использовать столько же практически не изменяющихся при
насыщении стали индуктивностей рассеяния пар обмоток, для расче-
та которых разработаны относительно достоверные способы. Для
этого необходимо «привести» все обмотки к одному произвольно вы-
бранному базисному числу витков w'e. Умножим уравнение номер р
на ws/w-p и введем обозначения приведенных параметров:
’ wp . ®2б
u'p = uPw^’ ''р^'рю^' ^4 = ^^’ L'p4^
w2r,
= и Т- Д- <4-22)
Тогда из (4-19) или (4-20) следует:
f J 1 р П
UP=LPl~dT + •+r’pi'p + ^pp-dt +-- + L'pn~dt
или
п
м р=2 z р^'ч*
9=1
(4-23)
(4-24)
107
При этом полю рассеяния пары обмоток — магнитному полю при
равенстве нулю суммы МДС обмоток — соответствует поле при
встречном последовательном включении двух рассматриваемых обмо-
ток, приведенных к одному числу витков. Такой воображаемый опыт
называют опытом противо ключения или противонамагничивания
Индуктивность в этом опыте, называемая индуктивностью рассеяния
или индуктивностью КЗ пары обмоток, будет:
Акр д === L'р p~\~L' qq—Pq> (4-25)
где знак минус перед взаимной индуктивностью обусловлен именно
встречным включением обмоток.
Аналогично для синусоидальных токов вводится понятие «полное
сопротивление КЗ пары обмоток» (причем слова «полное» и «пары
обмоток» обычно опускают):
=_? рр "Ь %^'pq’ (4-26)
где Z рр = Г р j(£>L р1)' Z qq — г q -|- /<оА qq', Z pq — faL pq.
Для общего случая можно ввести соответствующий оператор:
2крд==2'рр~1~£,дд-2^рд. (4-27)
Из этих выражений следует соотношение
А рд=0,5(АЛрр—A'gg---Lvpq) ИЛИ Z* р q = 0,5 {Z р р ~}~Z qq-Z^pq),
(4-28)
которое дает возможность исключить взаимные индуктивности из
системы уравнений (4-19) или (4-20). Внешний вид уравнений может
быть оставлен прежним — согласно (4-23) или (4-24), но вместо
взаимных индуктивностей подразумеваются комбинации собственных
индуктивностей и индуктивностей рассеяния по (4-28).
Подстановка (4-28) в (4-23) или (4-24) при введении понятия
«намагничивающий ток»
и
дает систему уравнений
(4-29)
п
<7=1
di'q I d'iq
L4Q dt 2 4J dt ’
«=1
(4-30)
или
p~~ 2
(4-31)
108
и
и'р = r'f^'p + L'pp
C!k+-L\>(L, __L, dl±
d/ 2 /J 1 ” pp’ dt
9=1
J_V,
2 2j Kp* dt
f=l
(4-32)
или
1 и. n
u'p = Z 'ppi о + 2 (z ЧЧ Z pp) * 4‘ ~^S 9 гкрц i1<)• (4-33)
9=1 9=1
На первый взгляд казалось бы, что форма (4-32) более громозд-
ка и менее удобна для расчета, чем (4-30). Однако параметр
(L'gg—L'pp) при насыщении стали изменяется гораздо меньше, чем
L'gq. Например, как показано в '[5-1], если в трансформаторе с рав-
новысокими концентрическими обмотками заметно насыщаются толь-
ко стержни, то разность приведенных собственных индуктивностей
двух обмоток очень близка к их индуктивности рассеяния: L'qq—
—L/pp^dLxpg при р*^р и Ugg'-^Lfрр^^—Lnp.q при р^></, где нуме-
рация обмоток идет от стержня. Тогда из (4-32) следует относитель-
но простая система выражений:
Р—1
, , r т, di„________V^ di ч
и р г р1 р.+ L pp Zj Lkm ~ЗГ’
9=1
(4-34)
Выведем еще одну форму записи уравнений трансформатора.
Вычтем из уравнения номер р системы (4-31) первое уравнение этой
же системы и подставим вместо тока izi остальные токи и намаг-
ничивающий ток io согласно (4-29) :
1 п f п \
и р « 1 = “2“ z'ppl,, -f- -g- “2“ zxpi I »o — i'q j-----
9=1 4 9=2 '
n n n
2 Vj Zxpql'q z'lih 2 4" ~2~ Zxqpl'q —
4=® q=l 9=2
-J- / 1
= 2 (Z PP z/” — zxpi) h + ~2~ / J (zKip + гк«9 — ZKpi) i'^ =5
9=2
1 "
“ 2 (z pp z’n — zKpi) iq -|- ztpqirq, (4-35)
9=2
где
г1Р9^ z)9p = 2 (zKip~l~ zKi9 — гхр^). (4-36)
109
Таким образом, вместо системы п уравнений для напряжений
и'р из (4-30) илн (4-31) получаем систему (п—1) уравнений для
разностей приведенных напряжений обмоток
.............................................................1
. . _ . 1 de’o .
и р и 1 ~ r'pl'p r'd'i + 2 ^'рр •”
Sr
dt
<7=2
(4-37)
или
и'р — «'i
1
2 (г рр z'n
' ZKl
<3=2
zipql q>
(4-38)
В качестве недостающего уравнения может быть использовано
любое из уравнений систем (4-23), (4-30) и т. п., иапример,
уравнение для u'i. Кроме того, в данную систему входит параметр
io! поэтому к системе следует добавить уравнение (4-29) — опреде-
ление понятия i0.
Из системы (4-37) или (4-38) непосредственно следует часто
применяемая система уравнений для трансформатора, намагничиваю-
щим током которого можно пренебречь. При iB=0 ‘[для (4-37) до-
статочно условия iB=const] имеем:
и
(4-39)
или
<?=2
(4-40)
Иногда, например при расчете циркулирующих токов, бывают
удобнее уравнения, полученные при вычитании из уравнения номер
р уравнения номер (р—1):
1
dp d' p-i= g [z pp z (p-i) (p-1) z к(р- i)p] +
p—2 n
+S ?(p-?wz«+S г(р-1) pqt q>
4=1
110
(4-41)
где
2<p-i) = 2 [2к<р_1)р"^~ *кр$]‘ (4-42)
Выражения (4-36) и (4-42) являются частными случаями широ-
ко применяемого выражения
Zmpq — zmqp = ~2~ (zKtnp + гктд zKpg)• (4-43)
Поэтому рассмотрим его подроб^с. Из (4-26) следует:
Zfn р fl == ZmflР — Z др- (4-44)
Составляющие параметра zmPe определяются по формулам, ана-
логичным (4-43) и (4-44):
Lmpq — Lmqp = -TjT (LKmp-$- Lanq LKpq) = L'mn — L'mp L m^-f- L1 pq‘
. (4-45)
rmpq — rmqp — ' (гктр+ rKtnq rKpq) — r'mm— г'тр r'niq~i~ r pg- (4-46)
При учете из всех потерь только основных потерь в обмотках
получим:
r‘mpq==f‘mqp~l’m^ (4’4?)
Из соотношений
2-т р fl+zp mq—Гктр* ^mpq~{~^qmp—%ктд> Zpmq “bzflmp—Zkpa (4-48)
следует, что zmVq, zpmq и zqmp являются параметрами ветвей соот-
ветственно т, р и q общеизвестной трехлучевой схемы замещения
трехобмоточного трансформатора с ненасыщенным магнитопроводом,
имеющего обмотки т, р и q. При повторении индексов в обозначе-
нии z-mpq имеем:
Z-m р р ^^ZKrnpi Zmmp=0; Zmni?n==0. (4-49)
Как видно из сопоставления пар приведенных выражений, на-
пример (4-23) и (4-24); (4-30) и (4-31) и т. д., запись с использо-
ванием оператора z компактнее обычной раздельной записи актив-
/ d \
ных сопротивлений и индуктивности I z — г + L I. При сину-
соидальных токах этот оператор можно во всех формулах заменить
привычным комплексным сопротивлением Z—r-{-jaL.
Принципиально сомнительными многим кажутся понятия «ком-
плексное взаимное сопротивление» и «активная составляющая взаим-
ного сопротивления». Покажем их смысл для случая синусоидально-
го тока. Допустим, что в двухобмоточном трансформаторе имеется
третья замкнутая обмотка, эквивалентная реальным контурам вих-
ревых и циркулирующих токов, с электрическим сопротивлением Гц,
индуктивностью £зз и взаимными индуктивностями Lis и Li3. По
определению взаимное сопротивление двух обмоток 1 и 2 равно
отношению комплексного напряжения, индуктированного в разомкну-
той обмотке 2, ’ к току обмотки 1 при ее питании (или, наоборот,
111
напряжения на разомкнутой обмотке 1 к току питаемой обмотки 2).
Из уравнений индуктивно связанных цепей
£/] “Ь *4“ 4/S^is»
Uz A j^-^12 "Ь АГ2"Ь i21^^22 "Ь А/Ы^23>
=/jjtoL13 -/2/соЛ23 +4^3 "Ь А/Ы^зз
(4-50)
при условии Д = 0 и =0 имеем:
4 = — А г д_ jffJ '• £/2 = /2 + А/^гз»
'31 /“^зз
„ , . &2 . , /со^23/(й£13
£1г = Г1г + ;Х1г= д =>ю£1г- + -
СО ^13’^23 • l-
= j<oi12 -|- гг^ щ2£гзз (гз jtoL'ss)'
откуда
• /г I m2£i3^-a3 \ <ог£1з^аз цп
•Х12 —^12 — ^33 Г2з + Ю2£253 J ; Г*г “ Г* Г% -[-W2£%s ’
Параметр п2 и представляет собой активную составляющую
комплексного активного сопротивления. По методу эквивалентных
Синусоид в Г]2 могут быть учтены также гистерезисные и другие по-
тери. Вопрос об активном сопротивлении для переходных процессов
подлежит специальному исследованию.
В принципе можно принимать произвольные коэффициенты при-
ведения, а не только равные отношениям чисел витков по (4-22).
Например, предлагали принимать коэффициенты приведения равными
отношениям взаимных и собственных индуктивностей обмоток. Во-
просы о выборе точного значения и принципиальной сущности ко-
эффициента приведения и связанных с ним важнейших для теории
трансформаторов понятий «основное поле», «поле рассеяния» и
«индуктивность нли поток рассеяния отдельной обмотки» неодно-
кратно вызывали острые дискуссии (см. список литературы в [5-1]).
Спорные мнения по этим вопросам продолжают появляться в печа-
ти до последнего времени. Все предлагавшиеся коэффициенты при-
ведения численно мало отличаются друг от друга, и их часто путают
с коэффициентом трансформации, тем более, что почти всегда рас-
четное значение коэффициента трансформации принимается равным
отношению чисел витков обмоток. Согласно [1-3] коэффициент транс-
формации равен отношению напряжений на выводах двух обмоток
при опыте XX с оговоркой, что для двух обмоток силового транс-
форматора, расположенных иа одном стержне, он принимается рав-
ным отношению чисел их витков (обычно отношение чисел витков
известно с большей точностью, чем отношение измеренных напряже-
ний). Точное значение коэффициента приведения, рассматриваемого
как удобный масштабный коэффициент, казалось бы, не играет роли.
Однако численно ничтожная разница между отношениями чисел вит-
ков обмоток и отношениями их напряжений в опытах XX при пита-
нии с одной или другой стороны сильно влияет на вид схемы заме-
щения и практическую возможность и точность определения ее па-
112
раметров по расчетным и опытным данным трансформатора. Напрй-
мер, схема замещения, основанная на значениях коэффициентов
трансформации, измеренных в одном опыте XX, содержит только
одну ветвь намагничивающего тока, присоединенную непосредствен-
но к выводам той обмотки, которая была первичной в этом опыте.
Измеренный (с недостижимой на практике точностью) коэффициент
трансформации при синусоидальном напряжении являлся бы ком-
плексным числом и изменялся от режима к режиму в зависимости
от степени насыщения стали.
Для практики пригодно только приведение по числам витков
обмоток, которое позволяет использовать закон полного тока и по-
лучить полезное определение понятия «поле рассеяния трансформа-
тора», основанное на том, что суммарная МДС всех обмоток фазы
равна нулю. По существу именно эти положения после очередной
дискуссии закреплены в стандарте [1-3]. По смыслу этого стандарта
понятия «индуктивность рассеяния» и «поток рассеяния» нельзя
применять к одной из обмоток трансформатора. В случае сложной
схемы обмоток трансформатора вместо отношений чисел витков сле-
дует применять отношения напряжений этих же обмоток, рассчитан-
ные при условии бесконечно большой магнитной проницаемости маг-
нитопровода, т. е. по соотношениям чисел .витков каждого стержня.
Пояснения для ряда частных случаев имеются в [5-1].
4-4. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
Реактор с линейной характеристикой, имеющий одну обмотку,
для всех внешних процессов описывается двумя постоянными дей-
ствительными коэффициентами — например, индуктивностью L и
активным сопротивлением г (см. § 5-2). Для получения такого про-
стого описания необходимо пренебречь токами смещения и утечки
в изоляции, вихревыми токами в проводящих деталях и контурах,
температурными изменениями и другими второстепенными фактора-
ми. При наличии стали вместо коэффициентов нужны характеристи-
ки — зависимости указанных параметров от тока или напряжения.
Для практического использования удобны активное сопротивление,
принимаемое неизменным, и магнитная характеристика реактора —
зависимость потокосцепления от тока. Эти параметры могут быть
определены расчетом или одним опытом: напряжение приложено
к единственной имеющейся обмотке, измеряются потери, потокосцеп-
ление и ток этой же обмотки.
Для описания трансформатора или многообмоточного реактора,
рассматриваемого -как линейный пассивный 2п-полюсник, необходимо
знать 0,5n(n-|-l) независимых постоянных коэффициентов. Их можно
определить из соответствующего числа (и или более) опытов, обес-
печивающих достаточно независимые измерения. Соотношения токов
и напряжений разных обмоток не должны повторяться от опыта
к опыту. Избыточные (дополнительные) данные могут служить для
проверки результатов, оценки погрешностей и статистического уточ-
нения результатов измерений. При наличии стали коэффициенты не-
постоянны и необходимы характеристики в диапазоне, соответствую-
щем режимам, для анализа которых будут использоваться опреде-
ляемые параметры.
На переменном токе обычно предпочитают проводить измерения
со стороны источника питания и выбирать такие режимы испытаний,
в которых на других сторонах достаточно измерять меньше величин.
Это опыты XX и КЗ, в которых вторичные напряжения (при опыте
XX) и ток (при опыте КЗ) силового трансформатора так мало отли-
чаются от первичных, пересчитанных пропорционально числам витков
обмоток, что вторичное напряжение при опыте XX измеряют для
проверки числа витков, а вторичный ток при опыте КЗ не измеряют
совсем. В многообмоточных трансформаторах при опытах КЗ, как
правило, не измеряют напряжения на разомкнутых обмотках, не
участвующих в опыте. Каждый опыт дает только один параметр
трансформатора, и требуется ие меньше опытов, чем число незави-
симых коэффициентов.
Например, для двухобмотрчного трансформатора теоретически
необходимы три опыта — опыт XX и два опыта КЗ, или же два
опыта XX и один опыт КЗ. В первом случае два опыта КЗ (питает-
ся первая обмотка при замкнутой второй или наоборот) практически
Не отличаются друг от друга по соотношению токов, так как напря-
жения невелики и сталь магнитопровода не насыщена. При двух
опытах XX (питается первая или вторая обмотка) несколько легче
уловить разницу в результатах, но и в этом случае ие всегда легко
обеспечить нужное насыщение стали. Без насыщения в трансформа-
торе с замкнутой магнитной системой разница неуловима. Поэтому
при заводских испытаниях делают только одни опыт XX, причем
пренебрегают сдвигом напряжений по фазе, и один опыт КЗ, при
котором пренебрегают сдвигом токов.
Для определения характеристик с учетом насыщения стали при-
ходится измерять мгновенные токи и потокосцепления. При этом за-
труднения, связанные с измерением фазных углов и сдвигов во
времени, а также с обработкой результатов, несущественны и целе-
сообразно измерять потокосцепления всех обмоток при питании толь-
ко одной из них и отсутствии токов в остальных. Такие измерения
иепосредствеино дают собственные и взаимные магнитные характе-
ристики. Формально число опытов должно быть ие меньше п, число
независимых измерений — не меньше 0,5л(п+1). Если для трансфор-
матора с концентрическими обмотками принять допущение о нали-
чии в схеме замещения лишь двух ветвей намагничивающего тока,
присоединенных к зажимам внутренней и наружной обмоток [5-1],
то достаточно двух опытов — с питанием внутренней и наружной
обмоток. Необходимость в опытах КЗ для определения всех сопро-
тивлений КЗ остается и в этом случае.
При экспериментах в сети или в иной крупной установке часто
многие данные удается получить из одного опыта (из разных участ-
ков одной осциллограммы), если стержень и ярма насыщаются не-
одновременно. По данным о мгновенных напряжениях, потокосцеп-
леннях, токах и соответствующих производных определяются пара-
метры до насыщения стали; по аналогичным данным после насыще-
ния первого участка магнитопровода определяются параметры ветви
схемы замещения [5-1], соответствующей этому участку; после на-
сыщения второго участка — параметры его ветви и т. д. Числовые
расчеты при решении по этапам несложны, хотя формулы - общего
решения были бы громоздкими.
ГЛАВА ПЯТАЯ
СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ТРАНСФОРМАТОРОВ
5-1. НАЗНАЧЕНИЕ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ
Г
Для расчета электрических цепей (сетей, установок)
бывает удобно представить трансформатор или реактор
в виде наглядной схемы цепи с сосредоточенными пара-
метрами, не содержащей взаимных индуктивностей. При
такой замене электрические условия в остальной цепи
не должны измениться. Схемы замещения можно приме-
нять не только для расчета «внешней» цепи, но и для
анализа ряда процессов внутри трансформатора или
реактора, например расчета распределения тока по па-
раллельно соединенным частям обмоток, расчета напря-
жения КЗ сложного трансформатора или трансформа-
торного агрегата, определения добавочных потерь в ком-
бинированном режиме работы или поиска режима, в
котором максимальны полные потери или потери, в от-
дельной детали [5-1, 5-2]. По схемам замещения можно
рассчитывать как установившиеся процессы при различ-
ных частотах, так и переходные. В последнем случае
вместо комплексных сопротивлений ветвей схемы Z сле-
дует пользоваться операторными сопротивлениями z(p)
или операторами z по (4-21). Реакторы, соответствую-
щие по своим- параметрам ветвям схемы замещения,
можно применять для замены моделей трансформато-
ров при физическом моделировании_ электроустановок
и энергосистем. Иногда анализ схемы замещения и ее
связи со схемой магнитной цепи трансформатора или ре-
актора помогает лучше понять происходящие процессы,
сформулировать допущения о картине магнитного поля,
определить, какие именно параметры трансформатора
влияют на режим работы и требуемые характеристики.
С целью получения не слишком сложной схемы за-
мещения ограничивают круг рассматриваемых процес-
сов и прнебрегают параметрами и явлениями, несущест-
венными в исследуемой группе задач. Например, при
расчете нагрузочных режимов не учитывают намагничи-
вающий ток. Обычно фиксируют одну частоту, для кото-
рой предназначена схема замещения, хотя существуют
схемы, пригодные в относительно широком диапазоне
частот, в том числе с учетом потерь разных видов и
изменения картины магнитного поля при насыщении
стали [5-1]?
8» 115
Важнейшим условием для возможности создания
обычных (привычных) схем замещения является отказ
от прямого учета потенциалов цепей, присоединенных
к разным обмоткам трансформатора. Проще всего пред-
положить, что эти цепи связаны между собой только че-
рез магнитное поле в рассматриваемом трансформаторе.
Тогда без искажения явлений можно соединять между
собой начала или концы разных обмоток непосредственно
или через элементы, имеющие определенные ком-
плексные сопротивления (эти сопротивления определя-
ются из анализа соответствующих уравнений). В от-
дельных случаях (например, в обычных автотрансфор-
маторах; при параллельном соединении пар обмоток
с одинаковыми коэффициентами трансформации) ука-
занное условие излишне — нужные воображаемые со-
единения лишь повторяют реальные гальванические со-
единения. В общем случае реальные соединения разных
обмоток для построения схемы замещения следует ра-
зорвать и заменить уравнениями, отражающими условия
баланса токов и напряжений. Поэтому на схемах заме-
щения, как правило, не удается изобразить последова-
тельное соединение обмоток, соединение в треугольник
и т. п.
Для анализа переходных процессов с учетом несим-
метрии и магнитной связи обмоток разных фаз необхо-
димо рассматривать каждую обмотку фазы как от-
дельную обмотку, а ее соединение с обмотками других
фаз выразить соответствующими уравнениями. При
этом схемы замещения не облегчают расчет и лучше
пользоваться непосредственно схемами магнитной и
электрической цепей, а при расчете на цифровых ЭВМ—
уравнениями. Наиболее эффективно комплексное ис-
пользование разных методов. В частности, схрма маг-
нитной цепи дает наглядное изображение расчетной
задачи, помогает сформулировать допущения, связать па-
раметры трансформатора и электрической схемы заме-
щения с конструкцией и размерами его элементов, опре-
делить коэффициенты, входящие в систему уравнений
индуктивно связанных цепей. При этом бывает целесо-
образно использовать не сами коэффициенты, определяе-
мые по упрощенной схеме магнитной цепи относительно
грубо, а лишь соотношения между разными коэффи-
циентами. Схемы замещения являются эффективным
вспомогательным средством, иллюстрацией к. задачам.
• 116
Если задачу нельзя решить другими методами ввиду
отсутствия исходных данных, то она неразрешима и
с помощью схем замещения.
5-2. Способы построения схемы замещения
Для построения схемы замещения трансформатора
возможны два противоположных подхода:
1. Трансформатор представляют в виде «черного
ящика», о внутреннем устрбйёт'ве которого ничего не
известно, а доступны лишь несколько комплектов внеш-
них выводов. Возможно с любой точностью и в любом
количестве определить внешние характеристики, напри-
мер собственные и взаимные сопротивления или прово-
димости (переходные, операторные или комплексные,
зависящие или не зависящие от температуры, скорости
процессов, токов и напряжений и т. п.). Любая элек-
трическая схема, имеющая такие же внешние характе-
ристики, является схемой замещения. Число ветвей схе-
мы при линейных характеристиках должно быть не
меньше числа независимых параметров оригинала, на-
пример числа собственных и взаимных индуктивностей
пар обмоток — числа сочетаний по 2 из (п+'l), т. е. не
меньше п(п+1)/2. Все формы схемы, удовлетворяющие
этому условию, равноправны. Например, для двухобмо-
точного трансформатора п(п+1)/2=3 и возможны Т- и
П-образная схемы, для многообмоточного чаще всего
рисуют полный многоугольник, хотя возможны и другие
схемы [5-1]. Принципиально такой подход всегда пра-
вильный, но для реальных трансформаторов со сталь-
ным магнитопроводом без зазоров совершенно непри-
годной (если не принять серьезнейшие допущения,
например если не пренебречь влиянием насыщения ста-
ли). В публикациях о схемах замещения часто описы-
вается именно этот подход, причем считается, что все
параметры трансформатора известны с достаточной точ-
ностью. В результате часто описанные схемы невозмож-
но использовать или же их применение на практике
приводит к грубым ошибкам из-за разностей близких
величин.
2. Полностью известны внутреннее устройство транс-
форматора и все процессы в нем, описанные достаточно
просто. Магнитное поле настолько четкое, что может
быть разделено на ряд отдельных областей, изображае-
мых на схеме магнитной цепи как ветви с сосредоточен-
117
ними параметрами (в некоторых частных случаях уда-
ется получить простую схему замещения и при распреде-
ленных параметрах [5-1, 5-3]). По схеме магнитной
цепи и ее уравнениям строится электрическая схема
замещения. Если схема магнитной пепи может быть
изображена на плоскости без пересечений ветвей, то для
такого построения существует простой формальный при-
ем (см. § 5-3 и [5-1]). Число ветвей схемы равно числу
независимых элементов магнитной цепи, а электриче-
ские (активные) сопротивления обмоток включаются
в схему дополнительно. Такой подход, основанный на
серьезнейших допущениях о картине магнитного поля,
приводит к относительно простым и наглядным схемам
замещения, параметры ветвей которых легко определить
по конструктивным данным и свойствам материалов
трансформатора. Внешние характеристики определяются
по схемам замещения. Однако приемлемость допущений
можно проверить только экспериментально или же бо-
лее подробным теоретическим рассмотрением изучаемых
режимов. Такие схемы могут удовлетворительно соответ-
ствовать одним группам режимов и очень плохо — дру-
гим.
Наиболее целесообразен комбинированный путь —
выбор формы схемы замещения на основе рассмотрения
картины магнитного поля и упрощенной схемы магнит-
ной цепи, но определение параметров важнейших ветвей
схемы замещения по измеренным или рассчитанным не-
зависимо от упрощенной схемы замещения внешним
характеристикам трансформатора. В то же время па-
раметры второстепенных ветвей или соотношения пара-
метров разных ветвей схемы замещения, для определе-
ния которых нет более достоверных данных, целесооб-
разно рассчитывать на основе схемы магнитной цепи/
Например, для двухобмоточного трансформатора досто-
верно известны только два параметра —ток XX и на-
пряжение КЗ, а его полная схема замещения имеет
2(2+1)/2=3 ветви. По упрощенной схеме магнитной
цепи и соотношениям размеров можно определить недо-
стающий третий параметр (например, соотношение со-
противлений двух ветвей) гораздо точнее, чем его воз-
можно непосредственно измерить обычными приборами.
Если магнитопровод многообмоточного трансформа*
тора содержит только один замкнутый контур, сцеплен-
ный с обмотками (ндпример, все рассматриваемые об-
U8
Мотки расположены на. одном или двух стержнях), то
появляется возможность поставить в соответствие каж-
дой из п обмоток и каждой из ветвей схемы замещения,
присоединенных к общему выводу, один из участков
магнитопровода [5-1]. Тогда можно определить пара-
метры каждой ветви по конструктивным данным соот-
ветствующего участка. Для деления магнитопровода на
участки необходимо установит^ или предположить, в ка-
ких частях магнитный поток/’’пропорционален потоко-
сцеплению каждой из обмоток. Остальная часть схемы
замещения, содержащая в общем случае не менее
п(п—1)/2 ветвей, при этом не затронута. Для определе-
ния параметров ветвей этой части схемы замещения
(ветвей, не присоединенных к общему выводу) обычно
принимают, что магнитная проницаемость магнитопро-
вода бесконечно велика. Тогда все ветви, присоединен-
ные к общему выводу, можно опустить и во всех опы-
тах КЗ обеспечивается точный баланс МДС, при кото-
ром в трансформаторе имеется только поле рассеяния.
Индуктивности рассеяния реально возможно измерить
и рассчитать.
Таким образом, использовать все имеющиеся методы
и решать, казалось бы, неразрешимые задачи [5-1] по-
зволяет неодинаковый подход к двум частям схемы за-
мещения: 1) преимущественно связанным с намагничи-
вающим током и опытами XX (при которых приведен-
ные измеренные собственные и взаимные индуктивности
разных обмоток практически неразличимы); 2) связан-
ным с полем рассеяния и опытами КЗ (не требующим
недостижимой точности измерений или расчета).
В качестве расчетного приема можно рассматривать
все магнитное поле n-обмоточного трансформатора или
реактора, имеющего намагничивающий ток, как поле
рассеяния (п+1)-обмоточного трансформатора [5-1].
Например, для определения параметров схемы замеще-
ния трехобмоточного трансформатора в виде полного
четырехполюсника можно использовать формулы для
четырехобмоточного трансформатора при отсутствии на-
магничивающего тока, приведенные в [1-12].
5-3. ПОСТРОЕНИЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ПО СХЕМЕ
МАГНИТНОЙ ЦЕПИ
Для контура и узла магнитной цепи и для узла и
контура электрической цепи схемы замещения, не учи-
119
Фывающей потери, имеем вЫраЖенйя соответственно:
Xiw—£7?МФ—О и 2Ф=0; (5-1)
= O н £^ = 0. (5-2)
где суммирование производится по всем участкам, вхо-
дящим в контур, или ветвям, присоединенным к узлу.
Очевидная аналогия выражений является основой
для простых формальных правил дуального преобразо-
вания схемы магнитной цепи в электрическую схему
замещения, сформулированных Е. С. Черри в 1949 г.
для планарных схем, изображаемых на плоскости без
пересечения ветвей.
По этим правилам на каждом участке плоскости,
ограниченном контуром магнитной цепи (в том числе
участке плоскости вне схемы), необходимо поместить
узел электрической схемы замещения. К каждому узлу
присоединяются все элементы электрической цепи, за-
меняющие собой элементы магнитной цепи, входящие
в данный контур. Каждое магнитное сопротивление за-
меняется соответствующей ему индуктивностью, а источ-
ник МДС или магнитного потока — источником тока или
напряжения согласно выражениям:-
L'=w26/ i'—iw/ws-t u'==Wed(l)/dt, (5-3)
где we — базисное число витков.
Для учета потерь в обмотках в источники следует
ввести активные сопротивления г' При перемен-
ном токе в комплексных сопротивлениях ветвей Z мож-
но учесть потери любых видов, имеющиеся на данном
участке магнитной цепи. Пояснения и примеры приме-
нения этих правил имеются в [5-1]. При параллельном
соединении нескольких ветвей магнитной цепи, имеющих
обмотки, соответствующие этим обмоткам источники
оказываются соединенными последовательно, а не под-
ключенными к одному узлу, как это привычно для транс-
форматоров. Чтобы получать «привычные» схемы заме-
щения, необходимо иметь возможность охватить МДС
всех обмоток одним контуром, иначе теряют смысл по-
нятия «намагничивающий ток» и «суммарная МДС всех
обмоток», становится неясным понятие «коэффициент
трансформации». Такой контур всегда имеется, если
все обмотки сосредоточены на одном или двух стержнях.
Если этот контур можно изобразить наружным на схеме
магнитной цепи, то все источники на электрической схе-
ме замещения будут присоединены к общему узлу. Если
же этот контур, оставаясь наружным, проходит через
все узлы магнитной цепи, то схема замещения будет
иметь простейший вид «цепочки».
Подавляющее большинство крупных трансформато-
ров выполняют с концентрическим расположением об-
моток. При этом основу картины магнитного поля вне
стали составляют трубки потела, проходящие парал-
лельно оси. Для составления^схемы магнитной цепи
с сосредоточенными параметрами согласно [5-4] для
таких трансформаторов примем следующие допущения:
1) имеются четкие узлы магнитных потоков, напри-
мер воображаемые кольца Т-образного сечения на
рис. 5-1,с из материала с бесконечно большой магнит-
ной проницаемостью, перекрывающие торцы каналов и
обмоток;
2) в обмотках имеются цилиндрические поверхно-
сти, не пропускающие через себя магнитные потоки. При
равновысоких равномерных обмотках достаточно двух
таких поверхностей, показанных пунктиром на рис. 5-1,с;
при неравномерных обмотках число таких поверхностей
равно числу обмоток;
3) существуют четкие границы между соседними
участками магнитного поля, например линии из точек
на рис. 5-1,с;
4) потери отсутствуют;
5) обмотки тонкие (рис. 5-1,а);
6) МДС всех обмоток можно охватить одним внеш-
ним контуром, проходящим через все узлы планарной
магнитной цепи.
При этом одностержневому трансформатору, содер-
жащему п тонких концентрических обмоток (рис. 5-1,а),
соответствует магнитная цепь по рис. 5-1,6. На этом же
рисунке пунктиром намечена и на рис. 5-1,в показана
дуальная ей электрическая схема замещения. Ее пара-
метры связаны с параметрами магнитной цепи соотно-
шениями (5-3). В полученную схему замещения можно
ввести электрические сопротивления обмоток, в отличие
от (5-3) учитывая, что
u'=i'r'+w^d^>ldt. • (5-4)
Отказавшись от допущения по п. 5, можно в эти же
ветви ввести небольшие отрицательные индуктивности,
учитывающие роль радиального размера обмоток. Кро-
12)
ме того, можно учесть роль добавочных потерь ряда ви-
дов [5-1J, заменив все L и г на Z. Для этого достаточно
вместо допущения по п. 4 пренебречь изменением вытес-
нения поля из проводящих деталей и принять, что до-
бавочные потери пропорциональны квадрату индукции
в обмотках. Формулы сопротивлений всех ветвей схемы
по рис. 5-1,а приведены в [5-1]. Практически всегда
можно пренебречь магнитным сопротивлением участков
ярм в пределах радиального’' размера системы обмоток
одного стержня и различием в осевых размерах, считая
длину магнитных линий во всех каналах равной высоте
обмоток h, т. е. принять, что в магнитной цепи устрой-
ства по рис. 5-1,а есть только одна пара узлов. При
этом схема замещения содержит лишь две ветви намаг-
ничивающего тока, соответствующие стержню и боко-
вым ярмам одностержневого трансформатора. Тогда при
Рис. 5-1. Многообмоточный трансформатор с концентрическими
обмотками и его схема замещения.
а — сечение; б — схема магнитной цепи и построение электрической схемы
замещения (пунктир); в — схема замещения при тонких обмотках в случае
отсутствия потерь; £ — схема замещения с учетом потерь и конечной толщины
обмоток; д — схема замещения для переходных процессов с насыщением стали.
123
круглых обмотках имеем1.
3» = |W. 1-±- +
\ Ml /
> ( 1 . Р-о^.Л . ГВ« . „ - Р Р-О^р ,
= 'шМкГ+^п+^’ ^=-^б-бг4
Ю2б гв9 . __ь^^'-йЬ^Лтл/У;).
I ГР w\ (Г ’ ГвР 12рЙ® ’
7 "2 К'О Z Г“12 у12 \ I '"вр ^в(р4-1)
%п+р б (Р р + 1 р) 4 2 2 *
(5-5)
где 7?м1 и RMn— магнитные сопротивления от ярма
к ярму пространств внутри внутренней и снаружи на-
ружной обмоток; Dp — средний диаметр р-й обмотки;
Sp — сечение обмотки р, перпендикулярное ее оси; Ьр и
Vp — толщина и объем провода обмотки р; Квъггр— без-
размерный коэффициент, обычно близкий к 1, учиты-
вающий вытеснение магнитного поля из провода р-й
обмотки (см. § 11-3). Небольшие отрицательные индук-
тивности и активные сопротивления, имеющиеся в Zp,
обусловлены отличием среднеквадратичного значения
функции от ее среднего значения, и искать в них глубо-
кий физический смысл не следует.
При ненасыщенной или слабо насыщенной стали
Zo/ % ;W6lAoIArcTSCT/ZCT и Z„n = jW6lxoiiraSH/Z„, (5-6)
где руст и Цгя — относительная магнитная проницаемость
стали стержня и ярма; SCT и 5Я — сечения стали стерж-
ня и ярма; ZCT и 1Я — их длины согласно рис. 5-1,а.
Для режимов, связанных с сильным насыщением ста-
ли, обычно приемлемы следующие допущения:
_1. Кривая индукции стали кусочно-линейна, причем
магнитная проницаемость до насыщения бесконечна,
а после насыщения равна проницаемости вакуума
(см. § 6-2). Реальная кривая высококачественной элек-
тротехнической стали заметно отличается от этой про-
стейшей аппроксимации только в области перегиба —
примерно от 0,95 до 1,03В8СТ (см. рис. 6-4,а, б).
2. До насыщения стали индукция во всех точках
рассматриваемой части магнитной системы одинакова,
т. е. индукция во всех точках одновременно достигает
индукции насыщения Дчст-
124
3. Направление вектора магнитной индукции в стали
до насыщения совпадает с направлением вектора на-
пряженности магнитного поля в этой же точке при от-
сутствии стали в насыщенной части.
' 4. Вихревые токи или замкнутые контуры отсутст-
вуют.
Тогда вебер-амперная характеристика является кусоч-
но-линейной и сопротивления-Zo/ и Zm можно заменить
разомкнутыми ключами до насыщения стали и индуктив-
ностями, соответствующими отсутствию стали после на-
сыщения. Пренебрегая малыми отрицательными индуктив-
ностями в Zp, пропорциональными толщине обмоток, до-
бавочными потерями и насыщением торцевых ярм, по-
лучаем схему замещения по рис. причем
п D\ я • П2р+1 — П2р
^ois б “4 ’ ^п+р б ~4 /г ’ ^-'uns
= (5-7)
п
где SOn — площадь между наружной обмоткой одно-
стержневого трансформатора и баком, рассматриваемым
как электромагнитный экран: 50п=5бака—nD2n/4. Оче-
видно, что Lons>Lot6, и поэтому ветвью Lon часто можно
пренебречь.
Такая же схема замещения (рис. 5-1,д) может быть
построена и для двухстержпевого трансформатора.
В этом случае особую роль приобретает индуктивность
ярмового рассеяния [5-1]. «Цепочечная» схема замеще-
ния по рис. 5-1 применима также для токов нулевой
последовательности в трехстержневых трехфазных транс-
форматорах. Здесь важнейшей из ветвей намагничиваю-
щего тока является соответствующая относительно боль-
шому магнитному сопротивлению «от ярма к ярму»
ветвь со стороны наружной обмотки. Поэтому можно,
как правило, пренебречь ветвью, соответствующей маг-
нитному сопротивлению стержней. Для токов нулевой
последовательности обмотка, соединенная в треуголь-
ник, замкнута накоротко.
Полученные схемы замещения по существу являются
развитием П-образной схемы замещения двухобмоточ-
ного трансформатора [5-4—5-6]. Преимущества П-об-
разной схемы перед Т-образной для режимов, связанных
с сильным насыщением стали,- убедительно показаны
125
в [5-7] на основе результатов экспериментального ис-
следования семи мощных двухобмоточных и трехобмо-
точных трансформаторов и автотрансформаторов выс-
ших классов напряжения. По этим данным, в формуле
Lois (5-7) высоту h следует считать равной высо-
те обмотки h0o для среднего стержня трехстерж-
невого трансформатора без боковых ярм и (1,25—1,6) X
Х/гоб для остальных случаев. Потокосцепление насыще-
ния Ts при наличии отверстий в магнитопроводе для
стяжных шпилек на 8—10% ниже В83сттаб.
Изложенный подход, основанный для трансформато-
ров с концентрическими обмотками на упрощенной кар-
тине магнитного поля, дает возможность наглядно учи-
тывать и исследовать такие факторы, как роль изме-
нения диаметра от слоя к слою обмотки, влияние формы
обмотки в плане (например, прямоугольной, овальной),
добавочные потери разных видов, роль магнитных пото-
ков от ярма к ярму (потоков нулевой последователь-
ности), в том числе потоков, проходящих по стенке ба-
ка, и т. д. При чередующихся обмотках необходимы
особый анализ или даже опытная проверка приемлемо-
сти принимаемых допущений [5-8]. Однако и недоста-
точно обоснованная наглядная схема магнитной цепи
часто является лучшей основой для определения формы
упрощенной (приближенной) электрической схемы заме-
щения, чем произвольный выбор.
5-4. СХЕМЫ БЕЗ УЧЕТА НАМАГНИЧИВАЮЩЕГО ТОКА
В большинстве нормальных режимов токи в обмот-
ках трансформатора во много раз больше намагничи-
вающего тока. Поэтому для режимов, не связанных
с насыщением стали или потоками нулевой последова-
тельности, намагничивающий ток ’ можно не учитывать.
Схема замещения, для которой сумма приведенных то-
ков всех обмоток всегда равна нулю, отражает только
процессы, связанные с полем рассеяния. Ее характери-
зуют п(п—1)/2 независимых параметров — на п мень-
ше, чем при точном учете намагничивающего тока. Для
соблюдения всех этих параметров схема замещения
должна содержать не менее п(п—1) /2 ветвей. Для двух-
обмоточного трансформатора имеем лишь одно сопро-
тивление КЗ и схема замещения содержит лишь одну
ветвь (рис. 5-2,а, б). При трех обмотках имеем три со-
противления КЗ и схема замещения может иметь вид
треугольника (рис. 5-2,в) или трехлучевой звезды
(рис. 5-2,а). При числе обмоток более трех А. Бояджан
в 1924 г. предложил схемы замещения в виде полных
п-угольников, содержащих п сторон и 0,5п(п—3) диаго-
налей (например, рис. 5-2,д). В 1948 г. А. А. Горев
и М. В. Костенко предложили более удобные схемы,
Рис. 5-2. Схемы замещения трансформаторов без учета намагничи-
вающего тока.
а — е, н — точные схемы; ж — м — приближенные (упрощенные) древовидные;
число обмоток: а, б — 2; в, г — 3; д, е — 5; ж — и — 4; к — 5; л, м — 6; н —3
с расщеплением обмотки НН на п частей Обратный провод и прямоуголь-
ники, изображающие сопротивления ветвей, на рис. 5-2,6—н опущены.
содержащие меньше замкнутых контуров. Эти схемы
имеют п лучей — ветвей, включаемых последовательно
с линиями или нагрузками, и n-угольник с 0,5н(п—5)
диагоналями. При п=5 в такой схеме диагоналей нет
совсем (рис. 5-2,е).
Для расчетов желательно, чтобы схемы замещения
не содержали замкнутых контуров. В таких схемах,
называемых древовидными, добавление каждого внеш-
него вывода требует введения одного внутреннего узла
и увеличения числа ветвей на 2. В предельном случае
при п=2 есть одна ветвь. При п выводов (обмоток)
число независимых ветвей равно 2(п—2)4-1=2п—3.
Древовидная схема замещения многообмоточного
|.?7
трансформатора содержит меньше ветвей, чем число
его параметров (сопротивлений КЗ): лишь 5 вместо 6
при н=4; 7 вместо 10 при п=5; 9 вместо 15 при и=6.
Поэтому в общем случае при п>3 такая схема заме-
щения является приближенной. Если все сопротивле-
ния КЗ пар обмоток трансформатора равноправны и
все режимы работы равновероятны, то рационально
выбрать сопротивления ветвей схемы замещения та-
кими, чтобы была наименьшей сумма квадратов по-
грешностей всех сопротивлений КЗ (такой подход
в 1957 г. предложил А. М. Пинцов).
В некоторых случаях древовидные схемы замеще-
ния являются точными. Например, для четырехобмо-
точного трансформатора (рис. 5-2,ж) совсем нет по-
грешности при условии ZK13 + ZK2J=ZK14 + 4l3. Из
шести сопротивлений КЗ четырехобмоточного трансфор-
матора можно выбрать две пары тремя разными
способами, соответствующими нумерации выводов по
рис. 5-2,ж—и. Это открывает большие возможности для
поиска наиболее подходящих вариантов приближенных
схем. Для пятиобмоточного трансформатора (рис. 5-2,к)
есть уже 15 вариантов нумерации, различных с точки
зрения рассматриваемых погрешностей. Для шестиобмо-
точного (рис. 5-2,д, м) и семиобмоточного трансформа-
торов появляется по два разных варианта графа древо-
видных схем, для восьмиобмоточного — четыре варианта
и т. д. Формулы для случаев по рис. 5-2,ж—м и метод
их вывода указаны в [5-1]. При выборе варианта при-
ближенной схемы замещения следует основываться
прежде всего на данных о симметрии и относительном
положении обмоток (близкие по расположению обмотки
должны соединяться на схеме замещения через мини-
мальное число ветвей), наиболее достоверно определяе-
мых сопротивлениях пар обмоток и более важных из
предполагаемых режимов работы трансформатора.
Можно задать условие точного соблюдения ряда зна-
чений сопротивлений КЗ, число которых зависит от ва-
рианта схемы замещения. Например, схема рис. 5-2,л
содержит три точных сопротивления КЗ, а схема
рис. 5-2,м— только два. При концентрических обмотках
согласно § 5-3 имеем:
^Kmq ^крп
'кра*
(5-8
|28
где m<p<q<n, и точная схема замещения имеет вид
«цепочки» по типу рис. 5-2,м.
В трансформаторах с расщепленной обмоткой из-за
симметрии сопротивления КЗ каждой из частей расщеп-
ленной обмотки с любой одной из остальных обмоток
практически одинаковы [1-3]. При строго одинаковых
таких сопротивлениях КЗ древовидные схемы или схемы
в виде многолучевых звезд являются точными во всех
двухобмоточных и трехобмоточных трансформаторах и
автотрансформаторах независимо от чисел частей в рас-
щепленных обмотках [5-1, 5-9]. Они точны также во
всех случаях, когда схему замещения трансформатора
при параллельном соединении всех частей в каждой из
расщепленных обмоток можно представить в виде дре-
вовидной схемы [5-1, 5-2]. Расщепление обмотки на q
симметричных частей можно изобразить присоединением
дополнительной части к выводу соответствующей обмот-
ки обычной схемы замещения (не ' учитывающей рас-
щепления и построенной на основе так называемых
сквозных сопротивлений КЗ). Эта часть (для трех об-
моток см. рис. 5-2,н) содержит ветвь с сопротивлением
—Zyl^q, ко второму концу которой приключены q вет-
вей с сопротивлениями Zp/2, где Zp — сопротивление рас-
щепления, т. е. сопротивление КЗ между разными частя-
ми одной и той же расщепленной обмотки.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ СТАЛИ
6-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Магнитные свойства электротехнической стали зави-
сят не только от ее состава и технологии изготовления,
определяющей текстуру, но и от дальнейшей обработки
стали на трансформаторном заводе и механических на-
пряжений в ней. Высококачественная текстурованная
холоднокатаная сталь очень чувствительна к влиянию
особенностей конструкции и технологии. Явления в маг-
нитной системе осложняются сильной анизотропией.
В результате методы расчета параметров трансформато-
ра или реактора в номинальном режиме, обусловленных
свойствами стали, остаются эмпирическими. Эти методы
основаны на экспериментально определенных характери-
9—774 *• 129
стиках образцов стали и коэффициентах увеличения
удельных потерь и намагничивающей мощности в реаль-
ной конструкции.
Теоретический анализ и расчет свойств стали необхо-
димы для понимания наблюдаемых явлений и принципи-
альных зависимостей, составления плана опытных иссле-
дований, разработки эмпирических формул и методов,
жересчета параметров стали от режима к режиму, для
приблизительных оценок при отсутствии опытных дан-
ных. Точную количественную оценку желательно осно-
вывать на усредненных опытных данных нескольких
образцов рассматриваемого изделия, изготовленных по
стабилизировавшейся технологии соответствующего
предприятия. Здесь уместна аналогия с электрической
прочностью — по пробивному напряжению одного образ-
ца нельзя определить достоверно допустимое напряже-
ние электроизоляционной конструкции.
В зависимости от целей расчета необходимо разли-
чать гарантированные и средневзвешенные параметры
стали данной марки и характеристики отдельного образ-
ца. Как правило, подробные характеристики приводят
для таких образцов, основной электромагнитный пара-
метр которых соответствует средневзвешенному значе-
нию параметра выпускаемой, стали данной марки и
толщины. Например, в [6-1] для стали марок 1511 —
1514’ таким параметром являются потери при индукции
1,5 Тл и частоте 50 Гц. При исследованиях иногда важ-
но различие свойств -стали разных плавок, партий, ру-
лонов и даже участков одной ленты по длине и ширине.
Подробные сведения об электротехнической стали и
ферромагнетизме можно найти в [6-2—6-9] и указанной
в них литературе.
6-2. КРИВАЯ НАМАГНИЧИВАНИЯ
Ферромагнитные материалы состоят из областей са-
мопроизвольного намагничивания до насыщения (доме-
1 Здесь и далее применены обозначения марок электротехниче-
ской стали согласно ГОСТ 21427.0-75 и 21427.4-78, хотя все опыт-
ные данные получены на образцах сталей прежних марок. Ранее
марки обозначали соответственно: 1511—Э41, 1512 —Э42, 1513 —
Э43, 1514 —Э43А, 1521 —Э44, 1561 —Э45, 1562 —Э46, 1571—Э47,
1572 —Э48, 3411 —Э310, 3412 —Э320, 3413 —ЭЗЗО, 3414 —ЭЗЗОА,
3421--9310-0,2 и 9340-0,15 и менее, 3422 — 9350, 3423 — 9360-0,15
и 0,08, 3424 — 9360А-0,15 и 0,08 и 9360-0,05, 3425 —Э360АА (после
дефиса указана толщина, мм),
13Q
йов) шириной порядка сотых и десятых долей милли-
метра. Ширина границ между соседними доменами ис-
числяется долями микрона. Размеры и расположение
доменов связаны с размерами и расположением кри-
сталлов или кристаллитов.
Начальная кривая намагничивания ферромагнетика
может быть условно разделена на четыре участка
(pie. 6-1). На участках 1 и 2 в области слабых полей
до напряженности соответственно около десятых долей
Рис. 6-1. Основные участки начальной кривой намагничивания по
намагниченности [6-2].
Участки: / — обратимое смещение границ между доменами; 2 — необратимое
смещение границ (рядом участок а — б дан в сильно увеличенном виде); 3 —
намагничивание за счет вращения доменов; 4 — намагничивание до насы-
щения.
и десятков или сотен ампер на метр намагничивание
происходит в основном за счет обратимого и скачкооб-
разного необратимого смещений границ доменов. При
этом растут домены, для которых направление вектора
намагниченности близко к направлению внешнего поля
за счет уменьшения размеров других доменов. На участ-
ке 3, до десятков килоампер на метр, основную роль
играет поворот вектора намагниченности доменов почти
до совпадения с направлением внешнего поля. На участ-
ке 4, в еще более сильных полях, намагниченность стали
практически не меняется.
Относительная дифференциальная (при медленном
изменении поля) магнитная • проницаемость р,г =
= (dBjdH)/ц0 на первом участке равна сотням и тыся-
чам, на втором — тысячам, десяткам и даже сотням
тысяч, на третьем падает почти до единицы и на четвер-
том близка к единице.
Первый участок (очень слабые поля) для силовых
трансформаторов и реакторов не имеет значения. Необ-
ратимые процессы на втором участке являются причиной
магнитного гистерезиса. В этой области магнитные свой-
9* 131
Ства стали существенно зависят от ее текстуры, механи-
ческих напряжений и других факторов, связанных с кон-
струкцией и технологией изготовления магнитопровода.
Процессы на участке 3, связанные с вращением вектора
намагниченности, почти обратимые. Они определяют ток
XX трансформатора и его гармонический состав, особен-
но при небольшом перевозбуждении. В верхней части
этой области ширина петли гистерезиса обычно не игра-
ет роли. С ростом индукции уменьшается влияние тех-
нологических факторов на напряженность поля. Следует
Рис. 6-2. Несимметрич-
ная петля магнитного ги-
стерезиса по индукции.
Рис. 6-3. Предельная петля гистерези-
са по индукции н по намагниченности
(верхняя половина) [6-2 и 6-10].
Bs=p,0Js — индукция и намагниченность
насыщения; Вг=цо/Г — остаточные индук-
ция н намагниченность; Яс — коэрцитив-
ная сила.
отметить широко распространенное ошибочное мнение,
что существует явное «колено» — резкий перегиб кривой
намагничивания при определенной индукции. На самом
деле (см. ниже примеры на рис. 6-4,а, б) видимое поло-
жение перегиба определяется не столько свойствами ста:
ли, сколько выбранным масштабом графика. Объектив-
ной границей является место выхода реальной кривой
намагничивания на прямую четвертого участка. Для
определенности нужно задать числовой параметр этой
границы (например, динамическую проницаемость ц,—
=1,05 или 1,02). На участке 4, в области технического
насыщения, при напряженности магнитного поля поряд-
ка 1 МА/м полностью заканчиваются процессы враще-
ния. Этот участок важен для расчета параметров при
сильном перевозбуждении трансформаторов и реакторов
и переходных процессах при внезапных включении и КЗ.
132
Магнитный гистерезис — неоднозначную зависимость
магнитной индукции или намагниченности от напряжен-
ности магнитного поля при медленном изменении поля—
характеризуют петлями гистерезиса (рис. 6-2). Петля
гистерезиса — это замкнутая кривая индукции
или намагниченности соответствующая столь
медленному периодическому изменению поля, чтобы по-
тери от вихревых токов и другие виды потерь не сказы-
вались. В каталогах и справочниках обычно приводят
симметричные петли гистерезиса и два параметра:
1) остаточную индукцию Вг или намагниченность
—Вт/ро — соответственно индукцию или намагничен-
ность, сохраняющуюся в материале после намагничива-
ния его до технического насыщения [6-10] и уменьше-
ния напряженности магнитного поля в нем до нуля;
2) коэрцитивную силу по индукции НсВ или по намаг-
ниченности Hcj — напряженности магнитного поля, не-
обходимые для изменения индукции или намагниченно-
сти от остаточной индукции или намагниченности до
нуля. В прменяемых в трансформаторостроении магнит-
но-мягких материалах Hcj^Hcb=Hc (рис. 6-3).
Площадь петли гистерезиса 5петли равна потерям
энергии в единичном объеме материала за цикл пере-
магничивания 1^г,уДу: энергия, поступающая в равномер-
но намагничиваемый замкнутый образец сечением S,
длиной I и объемом V=Sl из намагничивающей обмот-
ки с числом витков w за цикл перемагничивания /ц со-
ставляет:
W =
г, уд V
t„ t
ц Ц
= -jrj = wS^-^ dt = ^HdB = S^w.
о о
(6-1)
Удельные (на единицу массы) гистерезисные потери
при частоте перемагничивания f
(6-2)
Область технического насыщения характеризуют на-
магниченностью технического насыщения Js или индук-
цией насыщения Bs=iioJs. Эта индукция по данным
133
[6-2] определяется процентным содержанием кремния
С
Si%4
£? =2,16 — 0.048C..J , (6-3)
где Bs выражена в теслах.
Дифференциальная магнитная проницаемость элек-
тротехнической стали в области выше 2,1 Тл близка
к магнитной постоянной. Это подтверждено измерениями
[6-11] дифференциальным методом с погрешностью око-
ло 1—2%'. При напряженности поля от некоторого гра-
ничного значения (где /7гр<100 кА/м, причем для
холоднокатаной стали при намагничивании вдоль про-
катки намного меньше) до 1300 кА/м, т. е. при индук-
ции от 2,1 до 3,6 Тл, относительная магнитная проницае-
мость стали марок М6Х, 3414 и 1512 толщиной 0,35 мм
и 3413 толщиной 0,5 мм не отличается от единицы. Ин-
дукция насыщения стали указанных марок равна соот-
ветственно 2,08; 2,07 (как вдоль, так и поперек прокат-
ки); 1,96 и 2,04 Тл. Точность измерений ±0,05 Тл. Раз-
личие характеристик образцов стали разных марок
определялось прямыми измерениями дифференциальным
методом. Измеренная индукция Bs в горячекатаной ста-
ли точно соответствует формуле (6-3), а в холодноката-
ной она на 0,03—0,07 Тл выше. Для уточнения парамет-
ра Нтр необходимы дополнительные эксперименты.
Аналитические аппроксимации кривой намагничива-
ния и петель гистерезиса рассмотрены в [6-12]. Из них
следует отметить следующие (рис. 6-4):
1. Степенная функция
Н = аВп или -= = (=-] , (6-4)
где индекс «б» относится к базисной точке кривой.
—>
Рис. 6-4. Примеры кривых намагничивания в постоянном магнитном
поле и петель гистерезиса стали.
а, б— кривая намагничивания стали марок соответственно 1514 и МЗ-Н в ли-
нейном масштабе; в — то же в логарифмическом масштабе; г, д — верхняя
половина симметричной петли гистерезиса стали марок соответственно 1514
и МЗ-Н.
Сплошными жирными линиями показаны характеристики стали толщиной
0,35 мм; горячекатаной марки Э43А (1514) (4,3—4,5% Si) по данным [6-1] и
холоднокатаной с резко выраженной ребровой текстурой марки МЗ-Н
(3,0% Si) при намагничивании вдоль прокатки по данным [6-13]. Тонкими
пунктирными линиями показаны некоторые аппроксимации (в скобках указа-
ны номера выражений); на рис. 6-4,а—в при этом п— показатель степени; на
-рис. 6-4,г пунктир — аппроксимация по (6-9) при р.—(Б00О+/1000)цо и BTO =
= 1,45 Тл; на рис. 6-4,д пунктир — аппроксимация по (6-10) при
= 1,45 Тл и Яси4,5 А/м.
134
5 10 20 SO 100 200 500 1000 2000 5000 l-llftZ-IOft 5-ИА1-105А/м
Показатель степени п для разных участков кривой
намагничивания стали, например, марки 1514 меняется
от 0,4 до 17, а для стали МЗ-Н [6-13] доходит до 45
(рис. 6-4,а—в). Для гармонического анализа токов при
заданном гармоническом составе кривой магнитного по-
тока и индукции особенно удобны параболы с целыми
нечетными степенями, например, для приближенных ис-
следований третьих гармоник — кубическая парабола:
Н=аВ3. , (6-5)
2. Кусочно-линейная функция
Н=0 при |£|<£5усл; 1
I #l = (|#l при |B|>5syCJI, J
где В8Усл — условная (для аппроксимации) индукция
насыщения, более низкая, чем индукция технического
насыщения Bs.
Условная индукция насыщения Веусл и магнитная
проницаемость щ определяются соответственно по наи-
более важному в рассматриваемом процессе участку
кривой намагничивания. Поэтому для одного и того же
трансформатора или реактора при анализе разных ре-
жимов можно (или даже нужно) использовать аппро-
ксимации с разными значениями Веусл и цг. Лишь при
работе в области технического насыщения следует одно-
значо принимать р,г=1 и Bsycil~Bs=p0J!:. Если индукция
превышает 2,1 Тл, то погрешность этой аппроксимации
меньше погрешности измерения действительной харак-
теристики стали [6-11]. Иногда можно пренебречь изме-
нением индукции после насыщения стали, т. е. принять
щ=0 и считать кривую намагничивания прямоугольной:
н— о при |В|<Дусл;1
|£|=^усл при |НрО. )
3. Эллипс
H=Hmsinat и B=Bmsin (cut—6)
или
В —pH; p = Pi — fa,
(6-7)
(6-8)
(6-9)
где щ и Ц2 — так называемые упругая и вязкая прони-
цаемости,
(6-10)
Эта форма записи удобна длй учета гистерезисных
потерь при близких к синусоидальным токам и напря-
жениям.
4. Прямоугольная петля гистерезиса
|б| = ^Усл при |Д|>7/С;
Н=НС при | В | < В5усл, если dB/dt>0;
Н= — Нс при р^ли dBfdtC^',
dB = 0, т. е. 5 = const при \Н\<^НС,
причем BSycji=^Brycji‘
Здесь возможны и несимметричные петли (например,
вверху Bsyca, внизу ВГусл). Такая аппроксимация осо-
бенно удобна для задерживающих насыщающихся реак-
торов. Возможны также комбинации указанных и иных
кривых.
6-3. УДЕЛЬНЫЕ ПОТЕРИ И НАМАГНИЧИВАЮЩАЯ МОЩНОСТЬ
а) Удельные потери
Потери в стали условно разделяют на три состав-
ляющие: на гистерезис, на вихревые токи и остаточные
[6-10]. Последние (разность между измеренными пол-
ными потерями на перемагничивание и суммой расчет-
ных потерь на гистерезис и на вихревые токи) называют
также потерями дополнительными, добавочными, на по-
следействие, магнитную вязкость и т. д. [6-2]. Посколь-
ку расчетные потери, особенно от вихревых токов, сущест-
венно зависят от принятых при расчете допущений (см.
§ 6-4 и [6-2]), то понятие «остаточные потери» малопо-
лезно. На практике, как правило, полные потери разде-
ляют на две составляющие: потери, пропорциональные
частоте, и пропорциональные квадрату частоты при
неизменных форме кривой и амплитуде индукции:
(6-11)
Эти составляющие называют потерями на гистерезис
и на вихревые токи, хотя они больше соответствующих
расчетных потерь. Для определения указанных состав-
ляющих или коэффициентов а и b по известным потерям
при нескольких значениях частоты синусоидально изме-
няющейся индукции удобны координаты (p/f), f, в кото-
рых выражение (6-11) соответствует прямой линии. От-
137
Резок, отсекаемый прямой на оси p/f, райей коэффици-
енту а; тангенс угла наклона прямой к оси f равен Ь.
Для практики удобнее форма записи, использующая
в явном виде данные о потерях в стали при базисной
частоте
(!т)Л+р“ [' - (t)/J (£)'• (642)
Широко применяют также аппроксимацию зависимо-
сти потерь от частоты синусоидально изменяющейся ин-
дукции в виде степенных функций:
(6-13)
где индекс «б» относится к базисной точке, например
к точке, приведенной в стандарте или каталоге.
Как правило, в одной задаче используют аппрокси-
мацию зависимости только от одного параметра, записы-
вая (6-13) в виде
P^Pf6(flf6)a',
Р^Рв(В1В6У
б
(6-14)
(6-15)
при неизменной индукции или частоте.
Эти аппроксимации имеют вид прямых в логарифми-
ческих координатах.
Примеры зависимости потерь от индукции даны на
рис. 6-5,а. Как видно, показатель степени п в значитель-
ной части диапазона индукции несколько ниже 2. Для
пересчета в узком диапазоне .можно пользоваться удоб-
ной квадратичной зависимостью. При индукции больше
1,7 Тл показатель степени сильно растет и достигает
для лучшей стали /г=5 при индукции 1,9 Тл.
Показатель- степени а зависимости потерь от частоты
равен 1,5 (табл. 6-1). В этой же таблице указана доля
гистерезисных потерь для аппроксимации по (6-12) и
попутно приведен коэффициент увеличения потерь при
наличии подмагничивания постоянным током. Данные
табл. 6-1 основаны на составленной В. В. Карасевым
[6-14] сводке, обобщающей литературные данные из
многих источников и собственные результаты изме-
рений.
138
Рис. 6-5. Примеры зависимости удельных потерь (а) и намагничивающей мощности (б) стали от индукции по дан-
ным [6-1 и 6-13]. У кривых указаны марка стали, толщина пластины, мм, и частота, Гц.
а—тонкие сплошные линии — примеры аппроксимаций по формуле р™рб(В/Вб)п прн п¥=2, штрихпунктярные — при п=2; б —
сплошные линии —?л; штрнхпунктирные — ^наи; пунктирные — р.
Таблица 6-1 Показатели характеристик стали к формулам (6-13), (6-14), (6-80) и др.
Марка стали Базисная частота ?6- гч Толщина, мм /Рг»сип| \ Рейн )f6 Показатель степени а при частоте f, кГц Коэффициент йпост при f=fg и 7?о=200ч-1 000 А/м при размахе индукции ДВ, Тл
Гб 1,0—1.5 4—5 12—15 0,4 0,8 2.0 3,0
3412—3414 50 0,35 0,4* 1,56 1,60 — 5—6 3—3,5 1,5—1,6 1,3
1521 400 0,2 0,1 0,55 0,75 1,32 1,25 1,42 1,30 1,48 1,36 1,52 1,43 3—5 4—6 2—3 2,7—4,3 1,2—1,4 1,2—1,4
3422—3424 400 0,15 0,1**—0,08 0,55 0,65 1,38 1,36 1,45 1,42 1,51 1,45 1,55 1,50 4,5—5,5 5-7 2,5—3,5 3,4 1,5—1,7 1,8—2,0 1,2—1,3 1,3-1,4
* При приведении потерь XX трансформаторов при частоте 50 Гц по ГОСТ 3484-77 используют коэффициент (соотношение) 0,5 для холоднока-
таной стали и 0,8 для горячекатаной, по Публикации МЭК 76-1 (1977)—соответственно 0,5 и 0,7.
** По ГОСТ 21427.4-78 толщина 0,1 мм отсутствует.
б) Удельная намагничивающая мощность
Удельная намагничивающая мощность стали дНам
является специфическим понятием, применяемым только
при синусоидальной индукции. По определению это ко-
рен*ь квадратный из разности квадратов удельных (на
единицу массы) полной мощности и потерь р в стали,
т. е. корень из суммы квадратов удельных реактивной
мощности и мощности искажения:
<fCT . '“’СТ
где Т — мощность искажения [4-1]: Т— Q\ — Р\;
U й I — действующие индуктированное напряжение и ток
намагничивающей обмотки, причем U — Ut= wBmSCTw/'l^2;
I=HKlCTlw, п — номер гармоники; <pi— угол между пер-
выми гармониками напряжения и тока; Вт—амплитуда
индукции, в данном случае Вт=Вт\.
Параметрам qn, <7нам и р соответствуют три напря-
женности. магнитного поля — полная действующая Ня,
намагничивающая Янам и активная Н№Т:
~ .__ TJJ 1 4>B/flSQTW /^СТ^СТ 1 ____
™ Ост GCT JZ'2" ® YScAt
<&Вт rj .
!„ ___ тт
Чнам лнам’
<»Вт jj
Т/2 акт’
wCT
причем
ЯА=Гя\ам+яаакг
(6-17)
(6-18)
141
В справочниках приведены значения либо удельной
намагничивающей мощности [6-13], либо полной [6-1].
Иногда дают также действующую напряженность поля
[6-1]. Примеры зависимости удельных мощностей от
индукции даны на рис. 6-5,6. В горячекатаной стали при
частоте 50 Гц намагничивающая мощность в вольт-ам-
перах на килограмм численно заметно больше потерь
в ваттах на килограмм, а в лучшей холоднокатаной она
примерно равна потерям при индукции до 1,5 Тл и в не-
сколько раз больше потерь при высоких индукциях.
В обычной стали при промышленной частоте поверх-
ностный эффект практически отсутствует. При этом на-
магничивающая напряженность Янам не должна зави-
сеть от частоты, и, следовательно, намагничивающая
мощность прямо пропорциональна частоте. Однако из
сопоставления кривых для стали МЗ-Н на рис. 6-5 вид-
но, что при частоте 60 Гц намагничивающая мощность
на 25—30% больше, чем при 50 Гц (вместо 20%). Это
означает, что напряженность Япам увеличивается на
5—10%. Тем не менее при отсутствии характеристик Яя,
либо Янам: либо q, определенных экспериментально, их
приходится рассчитывать на основе имеющихся характе-
ристик В(Н). При безгистерезисной кривой намагничи-
вания имеем:
Л* 2к
^иам-1/ if[^(S)]M», (6-19)
где
В—Вт sin cot (6-20)
Для расчета особенно удобна кусочно-линейная
аппроксимация по (6-6), при которой кривая напряжен-
ности магнитного поля имеет вид отрезков синусоид
(рис. 6-6,а, б). Обозначив p=BsyM/Bm=sinа, получаем:
Я —0 при 0<С а; ”—а <С” + а и т. д.;1
и sin cof — В „ , , , {
1_р" "та* при и т. д.; J
тт .sinart + 'р tT I
И—,,—.----Hmax ПРИ « < wt < 2тг — Я И T. Д! |
l-P j
142
Рис. 6-6. К расчету удельной намагничивающей мощности при синусоидальной индукции.
а — обозначения к аппроксимации В (И)-, б — кривые напряжения, индукции и напряженности магнитного поля; в — соотношения
между напряженностями магнитного поля [индекс max — амплитуда или наибольшее мгновенное значение, ср — среднее (по мо-
дулю) значение; 1, 3, 5 — номера гармоник].
Т а б л и ц а 6-2
Примеры расчета намагничивающей мощности
Параметр Источник данных или расчетная формула Марка и толщина стали
1514—0,35 МЗ-Н—0,35
Частота f, Гц Выбор для примера 50 50 60 50 60
Индукция Вт, Тл 1,3 1,5 1,7 1,9
1 ^maxi &/ М Bs усл/ Вт По рис. 6-4, а, [6-1, 6-13 б или 600 0,80 3500 0,85 50 0,82 550 0,93
^нам/ max По рис. 6-6, в 0,46 0,42 0,45 0,36
<7нам по расчету, В-А/кг ^Вт ч у О тах Н,пах 1=0,6 65 1,12 1,34 10,8 13
?нам по измерению, В-А/кг По рис. 6-5, б или [6-1, 6-13] 11,5 68 1,65 2,1 11 14
Погрешность расчета, % / *7нам,расч 1 \ *?нам,изм / 1СС% —8 —5 —33 —37 —2 —7
77нам _ 1
Umax 1 Р
(sin2 mt~ 2p sin tot -f- p2) d (wt) =
__'К(2P2 +1) (ft — 2a) — (ip COS a (6-22)
“ (i — ₽) Kau
Если В8усл близко к Вт, выражение (6-22) дает не-
определенность типа 0/0. Bscy^i согласно [1-21] обозна-
чение <р=0,5л—a=arccos Вяус’л/Вт, получаем для малых
углов <р:
-t/lWi (6-23)
Hmax ~~ F 15ft к 84/'
Аналогичным способом можно вычислить среднюю
(по модулю) напряженность поля Яср и амплитуды пер-
вой Him и высших гармоник напряженности Нпт'-
Вер ___2cos а — ₽ (ft — 2а) .
И max 2 (1 — ₽)
//i’m — 2а— 2р COS а
Птах 71 (1 Р)
(6-25)
Нтп 2 [sin (п + 1) а sin (п — 1) а 2р cos па |
Нтах гс (1 — р) [ п + 1 п — 1 п j
(6-26)
где п=3, 5, 7 ...
Зависимость указанных параметров от p=Bsycn/Bm,
рассчитанная А. А. Даннльчуком, показана на рис. 6-6,в.
Примеры оценки намагничивающей мощности по кривой
намагничивания стали даны в табл. 6-2. Как видно, при
большой намагничивающей мощности результаты оцен-
ки ближе к опытным данным, чем при малой мощности.
6-4. ВИХРЕВЫЕ ТОКИ В СТАЛИ
При изменении магнитного поля в стали наводятся
вихревые токи. Эти токи не только вызывают соответ-
ствующие потери, но и существенно влияют на напря-
женность магнитного поля, необходимую для перемаг-
ничивания стали за ограниченное время. Процессы при
очень быстром перемагничивании и при перемагничива-
нии с умеренной скоростью сильно различаются. Расчет
вихревых токов можно основывать на разных допуще-
ниях. Важнейшим из них является принятие той или
10-774 145
иной аппроксимации действительной магнитной харак е
ристики (кривой намагничивания). Достаточно прост
расчет в следующих двух случаях: 1) магнитная харак-
теристика стали линейна; 2) сталь имеет прямоуголь-
ную характеристику согласно выражению (6-7). Первый
случай описан в большинстве учебников, второй встре-
чается в литературе по магнитным усилителям, импульс-
ным трансформаторам и при анализе вихревых токов
или дополнительных потерь в стали с учетом ее домен-
ной структуры [6-9].
а) Линейная магнитная характеристика
Сначала для облегчения выкладок пренебрегаем по-
верхностным эффектом (вытеснением магнитного поля
из средней части листа). Тогда напряженность магнит-
ного поля независимо от вида магнитной характеристи-
ки в каждый момент времени одинакова по всей тол-
щине листа. Следовательно, при однозначной связи В—
—f(H) одинакова и индукция (рис. 6-7,а). Изменение
магнитного потока, обусловленное изменением индукции
(d<b—SdB, где S — сечение стали), является причиной
появления электрического поля и вихревых токов в ли-
сте стали. Напряженность электрического поля и плот-
ность тока в точке на расстоянии х от середины толщи-
ны листа согласно закону электромагнитной индукции
и закону Ома будут:
Е = х^-, 1 = —=—^. (6-27)
at ’ р р at ' '
Напряжение, индуктированное в обмотке с числом
витков w, составит:
u — wS (6-28)
откуда
wSf ’
(6-29)
Тогда удельные (на единицу массы) потери в точке х
(6-30)
Средние по толщине листа потери в данный момент
времени
Рис. 6-7. Картина магнитного поля и вихревых токов в листе стали
при линейной ( ) и прямоугольной (б) кривой намагничивания.
10* 147
и средние за период Т удельные потери от вихревых
токов
А = Т" J Ptdt— l2a!)2S2Yp -7^ j* - 12YpMI2S2 • (6-32)
о о
При симметричном периодическом напряжении, 1 раз
за полупериод меняющем знак, имеем:
7/2
|“1Л=
о
= ЙФ4-f wSd~dt^4kJwSBmax, (6-33)
6
где k(f, — коэффициент формы кривой напряжения, k^=
=ип111Ср, Uср — среднее (по модулю) напряжение.
Тогда
4 zg
~3 ур V ’
или при синусоидальном напряжении (<D=2itf; &ф—it/2]/2)
, (6'35)
Последние две формулы приводятся в большинстве
книг, хотя область их применения сильно ограничена
по сравнению с несложной формулой (6-32), приемле-
мой при любой форме кривой напряжения или индук-
ции. Это вызвано, видимо, историческими причинами,
прежде всего привычкой связывать все параметры про-
цессов в стали с амплитудой магнитной индукции. Кро-
ме того, размер электромагнитной нагрузки на сталь
(Up/wS) не имеет названия и краткого обозначения.
При линейной магнитной характеристике
B=^irI-I, где p,r=const, (6-36)
несложно решается также задача расчета вихревых то-
ков с учетом вытеснения магнитного поля при синусо-
идальном индуктированном напряжении (см. § 2-5 и
[2-1 2-2 и др.]). На основе этого решения в выражения
(6-35) и (6-36) можно ввести коэффициенты, учитываю-
щие уменьшение потерь и увеличение напряженности
магнитного поля ввиду вытеснения магнитного потока
148
из средней части листа вихревыми токами:
Рв = _ o>2B2mcpfe2 24ур КрВ, (6-37)
Н- ' Дпср „ Дпср = К„в или Н =- K,,R. Р-эРт нв V2 р.ор.г НВ (6-38)
где _ 3 sh (Ь)ё) — si п (Ъ/6) «" ь/ё ch (ь/й) — cos (Ь/8) ’ (6-39)
КИв _ / ch (Ь/5) + cos (Ь/8). /2~ V ch (b/8) — cos (b/8) ’ (6-40)
2= V 2р/®р-01*г; (6-41)
Втср — амплитуда средней по толщине листа индукции,
о ____
^тср ^5 •
(6-42)
Зависимости Крв и Кнв от b /6 приведены на верхнем
графике рис. 6-8. На нижнем графике дана зависимость
Ь/& от b, f и для стали с удельным сопротивлением
р=0,5-10-6 Ом-м.
Для практики вместо (6-37) при промышленной и
высокой частотах удобны формулы соответственно
„ ni-iff D Ь V 0.5-10-6 7650 „
^в=0>13(5ГВ-Р0^5-) -------р---~ (б 43)
р = 4 25 f — В —Y 0,5'10~6 7650к- (6-44)
ръ 4’zo^1000 Dmtp OJ j p Y ApB’ (O 44}
где p — в Вт/кг; b — в миллиметрах.
б) Прямоугольная магнитная характеристика
Принимаем, что кривая намагничивания стали по ин-
дукции соответствует узкой прямоугольной петле гисте-
резиса по (6-10) при Нс=0 и В8усл=ВгУсл. Тогда на дан-
ном участке (по толщине) листа стали индукция может
быть равна только ±ДчуСЛ, а именно:
В=^усл при Н>0;
B=-Bsycn при Я<0;
B = BSycn при Н—0, если'ранее было
В— BSycJI цри Н = 0, если ранее было Н •< 0.
(6-45)
149
В области, в которой есть вихревые токи одного на-
правления, выполнение условия /7=0 невозможно (кро-
ме одной точки по координате х), так как согласно за-
кону полного тока напряженность Н в соседних точках
отличается на J dx. Следовательно, изменение индукции
(в случае принятой аппроксимации возможное лишь при
/7=0) может иметь место только в области, в которой
нет вихревых токов (7=0). Однако изменение индукции
Рис. 6-8. Коэффициенты уменьшения потерь от вихревых токов и
увеличения напряженности поля из-за поверхностного эффекта при
заданной средней индукции.
Верхний график — зависимость в и Кн в от 6/6; пунктиром указаны асим-
птоты Нижний график — зависимость Ь/b и б от |irf или от f при Цг—10 000
и р=0,5 Ом-мм’/м. Тонкой линией дан пример использования графиков для
стали толщиной 6=0,35 мм при частоте /=5 кГц и относительной проницае-
мости ц,—6000.
150
6 данной точке согласно закону электромагнитной ин-
дукции вызывает различие вихревых токов в соседних
точках dE/dx—pdJldx=sdBldt. Поэтому область Я—О
может существовать лишь с одной стороны от точки,
в которой в данный момент меняется индукция. Таким
образом, в стали при принятой прямоугольной аппрокси-
мации существуют только области с индукцией +В5усл
и —BSycn, а изменение магнитного потока в листе обес-
печивается лишь перемещением* границы этих областей
(рис. 6-7,6).
Перемещаться может только граница области, бли-
жайшей к поверхности листа, так как между этой дви-
жущейся границей и поверхностью есть напряженность
электрического поля и вихревой ток (ток проводимости)
только одного знака. Обозначим толщину этой области
с вихревыми токами, т. е. расстояние границы от поверх-
ности листа в данный момент времени хв. Плотность
вихревого тока в этот момент одинакова во всей обла-
сти, а произведение плотности тока J на толщину обла-
сти с вихревым током согласно закону полного тока
равно напряженности магнитного поля у поверхности
листа, так как за этой областью в листе Н=0. Учиты-
вая, что лист симметричен и имеет две поверхности,
можно записать:
d(D=ASdxB.2S/fe,
(6-46)
где ДВ— изменение индукции; согласно аппроксимации
(6-10) в данном случае с учетом (6-45) имеем ДВ=
=2В8усл, но, как и в (6-10), возможно АВ=В5усл±ЕГуСл;
S — сечение стали; b — толщина листа: 2S/b — суммар-
ная ширина поверхностного слоя всех пластин;
(6-47)
Е иь ь
ПрИ ~2~~
(6-48)
Е=0 и 7 = 0
при и<-|—х»
151
(6-49)
Н =Н —J jc — и .
п 11Х=Ы2 — •/л-в — рДВ I 2Sw
_ 2ЕПНП 2хв/2р 2и2 / b 3
by ~ by ~ ЬурДВ 2Sw J
*нач
(6-51)
где /нач — момент времени, в который граница была
в точке с .координатой хв,Еач и после которого напряже-
ние не меняло знак, т. е. граница продолжала переме-
щаться к середине листа; знаки соответствуют £<0 при
х>0.
Когда напряжение снизится до нуля, движение гра-
ницы прекратится и вихревые токи исчезнут. Если затем
снова появится напряжение того же знака, какой был
раньше, то движение границы возобновится с прежнего
места. Если напряжение сменило знак, то прежняя гра-
ница останется неподвижной на своем месте, а у по-
верхности листа появится новая растущая область с ин-
дукцией обратного знака, т. е. в выражениях (6-49) —
(6-51) исчезнет член, содержащий хвдюч.
Если в ходе процесса граница достигнет области,
занимающей всю среднюю часть листа, с индукцией того
же знака, на который перемагничивается поверхностная
область, то при принятой прямоугольной аппроксимации
перемагничивание прекратится, индукция в стали более
Рис. 6-9. Пример процесса перемагничивания листа стали с идеаль-
ной прямоугольной магнитной характеристикой при чередовании
пауз и постоянных напряжений различных размеров и знаков.
Слева показаны зависимости напряжения и (и пропорциональных ему напря-
женности электрического поля и плотности вихревых токов у поверхности
листа Еи и Jn), толщины перемагниченного слоя (в котором прн наличии
иапряжеиия есть вихревые токи) хв, напряженности магнитного поля у по-
верхности Нп и потерь р от времени t, а также связь магнитного потока Ф
с напряженностью поля; справа — распределение индукции В, напряженностей
магнитного и электрического полей И и Е и плотности тока I по толщине j
листа b в разные моменты времени.
возрастать не будет, вихревые токи исчезнут. Если же
ближе к середине листа есть еще область с индукцией
В5усл обратного знака, то перемагничивание будет про^
должаться за ее счет, причем в выражениях (6-49) —
(6-51) следует ввести новый отсчет времени и заменить
хв,нач на начальную координату границы этой области
(расстояние наружной границы этой области от поверх-
ности листа). При этом в кривых хв(i), J(t) и pt(t) име-
ют место скачки.
На рис. 6-9 дан пример процесса перемагничивания,
в котором встречаются рассмотренные выше случаи.
Для простоты и наглядности построения на рис. 6-9 на-
пряжение принято постоянным на каждом интервале.
Перед началом процесса по всей толщине листа индук-
ция равна —Двусл (желательно, чтобы читатель само-
стоятельно рассмотрел этот пример или даже несколько
примеров при иных простых формах кривой напря-
жения).
Как видно, в отличие от первого случая (подхода),
когда индукция одновременно менялась по всей толще
листа, здесь ход процесса и потери в данный момент
зависят от предыстории рассматриваемой пластины ста-
ли (магнитопровода), а не только от напряжения в этот
момент, как было в (6-31).
Ввиду указанных скачков, т. е. резкого изменения
хода процесса при изменениях знака или размера на-
пряжения и при достижении области, .ранее намагничен-
ной в том же направлении, выражение
г
(6-52)
о
следует интегрировать только по интервалам времени,
в течение каждого из которых скачков нет.
При этом полезно представлять себе не только кри-
вые н(0> В(х), J(х) и но и кривые зависимости
магнитного потока Ф или средней индукции
Ь/2 t
= + J udt (6-53)
от напряженности магнитного поля вне листа Яп, соот-
ветствующие по координатам петле гистерезиса
(рис. 6-9).
151
Рассмотрим несколько примеров установившихся
Процессов (рис. 6-10). При двух прямоугольных импуль-
сах индуктированного напряжения разных знаков 1Ц
и —U2 за период (рис. 6-10,а), причем ввиду периодич-
ности обязательно UiXi=U2x2, из (6-49) — (6-52) при но-
вом отсчете времени в каждом из интервалов Ti и тг сле-
дует:
хв1,г“ 2ДВш5 & (6-54)
(6-55)
(6-56)
н ^=-L(b-^Vt
m,-s рДВ 2Sw J 2’
2fe2 fUlt2\sf
Pti.z рудд 2Sw / ?1-s’
ДВср
Рв(в - за) >
b4J\ ДВср
8руьугВ2 ДВ
(6-57)
где
(6-58)
индекс (6-32) обозначает номер формулы.
Используя выражение действующего напряжения че-
рез среднее и коэффициент формы согласно (6-33) с уче-
том соотношения
ДВС1) б' 7’
Втахср=^=-^, (6-59)
вместо (6-57) получаем:
к2ф{2В2тахсрЬ2 2ВтахСр з %ВтахСр
Рв =----------------дв —р* (б-32> —дв--------(6"6°)
Из сопоставления выражений потерь (6-57) и (6-60)
с полученными ранее (6-32) и (6-34) видно, что в случае
прямоугольной кривой напряжения и проникновения
магнитного потока на всю толщину листа (ДВСр=
=2Втахср=АВ) потери в 1,5 раза больше, чем при пер-
вом подходе при линейной кривой намагничивания ста-
ли. Если же ВтаХср<^В/3, то потери при втором под-
ходе оказываются меньше.
155
Рис. 6-10. Примеры установившегося периодического процесса пе-
ремагничивания листа стали с идеальной прямоугольной магнитной
характеристикой в случаях прямоугольной (а), синусоидальной (б),
треугольной (в) и параболических с показателем п>1 (г) и и<1
(д) форм кривой напряжения.
За начальные условия принято В=—по всей толщине листа. Принци-
пиальный вид петли Вср(Яп) в случаях гиб похож на петлю в случае в.
При синусоидальном индуктированном напряжений
(рис. 6-10,6) в каждом из полупериодов согласно
(6-49) — (6-51) имеем:
t
Хв= 2ДВ5ш sino)^ — aBw-2Sw ~ COS cd/); (6-61)
о
Н^~^Кв(^) sin©/(l-e<^/) =
1 / bU,n V / , sin 2toZ\
= (issr) (Slno)f - -2-j: <6-62)
P* = ЙЙр^ (lif)’ sitf ~ cos “0-
Заменяя sin©/ на 1—cos2©/ и заменяя возведенные
в степень косинусы на косинусы кратных углов, полу-
чаем:
2 / bUm V / 1 cos ы/ cos 2wi . cos3wi
feyABpco ( 2Sw J ( 2 4 2 4
(6-63)
T/2
n ___ 2 f „ л/______ 2 / bUm у /_1_sin to/ _
/в т J Pt byABpi) (2Sw I \ 2 4w
o' '
sin 2co/ sin ЗиЛ |r/2 bsL.,3m
4co i2co j |0 ' 8yAZiptoS3w3
_____Ь_^£д An 2Bmcp (6-641
8ypS2w2 ДВ 2 /7b (6-32) дя ’
где
Bmcp^Um/wSw, U^Uml^2. (6-65)
Используя (6-33) с учетом tt/2]/(2 и ш=2л/, по-
лучаем:
2^2ф/2/>'2|/1^'2 2fimCp _ co2/?2;„/j2-2B,„Cp _ з 2ВтСр
PR ру Д/i 24pYAS 2 P& (6-35) кВ
(6-66)
Как видно, и в данном случае при 2Втср=ДВ потери
в 1,5 раза больше, чем при линейной кривой намагничи-
вания— см. (6-32), (6-34), (6-35). Однако, как показы-
вают приведенные ниже примеры, коэффициент 1,5 не
является универсальным.
157
При напряжении, линейно возрастающем в течение
времени т от 0 до Umax в одном полупериоде и от 0 до
—Umax в другом (рис. 6-10,в), вводя отсчет времени t\,
получаем:
ty
V — Ь ... f 77 21_Я/ __ b^maxt2 . 7R.R71
в— 2&BSwt J z iLBSwz ’ ' >
0
it Umaxtib (bUmax"^ /с cm
Лп три>52 Хв 2ДВр \ 2Sun) : (b-b«)
„ _ 2 Г ,, 2 Cf^max^f b V
/’в— T J Ptm~ /' J [ ^буДВр 2Sw I
о 0
jf _ 1 2z rm b2 Vmaxz
20 T max^S2w22SwLB
3b2U2R ABcp 9 ABcp
20ур52ша TS'"*'“5'^b (G-32) "дв-
где
CP Sw I 1 2Sw ’
0
0
(6-69)
(6-70)
При напряжении, возрастающем в течение времени т
по параболе n-го порядка
Г Г / tf
и=итпх (-М
(6-71)
в одном полупериоде и такой же параболе другого знака
в другом полупериоде (рис. 6-10,г, д), из (6-52) и (6-51)
с учетом
“«=-(^^^”^ = (25^1)7^ (М2>
следует:
158
_______]_____2т г п Ь2________Umax"1__-
— 4 (Зп + 2) Т max ypS2w2 (п + I) SwAB '
__ 2n + 1 b^sa А^СР /о 1 ’I „ &Вер С6-731
~*4(3гг+2) rpSV ДВ__________Згг + 2/' " (6-32) дв ‘ Vv
При п—0 последняя формула совпадает с (6-57) —
выражение в скобках равно 3/г; при п=1—с (6-69) —
этот коэффициент равен ®/5; при большом показателе п
коэффициент приближается* 2. Подобным способом
можно выводить формулы для различных случаев анали-
тически заданной кривой напряжения.
. В расчете легко учесть коэрцитивную силу Нс (точ-
нее, так называемую начальную напряженность магнит-
ного поля Но, определяемую экстраполяцией зависимо-
сти Ндин от частоты f к нулевой частоте); Но по размеру
может превышать Нс даже вдвое [6-9, 6-15]. Для этого
достаточно прибавить Но к подсчитанной по приведен-
ным выше формулам напряженности у поверхности ста-
ли Ни и соответствующий член, аналогичный выражению
(6-2), к потерям:
Рг=2ЯоД5//т. (6-74)
Выше для простоты рассуждений и обозначений бы-
ло принято BsyCn=BryC!I. В действительности остаточная
индукция всегда меньше наибольшей. Поэтому вместо
ЛВ=2В5усл следует вводить в расчеты ^B=Bsycn-}-
-f-Д-усл- По этой же причине при намагничивании полем
того же знака, который был ранее на данном участке
толщины листа, возможно небольшое изменение индук-
ции &B—Bsycn—Вгусл, выше не учитывавшееся. Соот-
ветственно граница участков с мало различающейся ин-
дукцией будет перемещаться относительно быстро, и ее
роль, как правило, можно не учитывать в расчетах по-
терь и напряженности поля.
Индукция б8уСЛ для данной стали зависит от рас-
сматриваемой -задачи, прежде всего от скорости пере-
магничивания стали. Эта индукция должна соответство-
вать по кривой намагничивания напряженности магнит-
ного поля, лишь в несколько раз меньшей (но не на
порядки меньшей), чем напряженность поля вихревых
токов в рассматриваемой задаче. При относительно мед-
ленном перемагничивании вихревые токи невелики и
Ввусл соответствует петле гистерезиса с небольшой мак-
симальной напряженностью поля. При быстром перемаг-
159
ничивании вихревые токи больше и BsyciI выбирается по
большей петле. Например, для стали М5Х при промыш-
ленной’ частоте для оценок по изложенному методу сле-
дует принимать Вкусл^(1,3-^-1,4) Тл, тогда как при
частоте порядка 10е Гц или импульсах длительностью
порядка 1 мкс будет Bsycn^ (1,7-s-l,8) Тл.
в) Действительная магнитная характеристика
В реальной стали намагничивание не кончается при
В=В8Усл, особенно если в расчет введена индукция
Bsycn=l,4 Тл. При более высокой индукции намагничи-
вание продолжается, но заметно меньше магнитная про-
ницаемость, кривая намагничивания далека от верти-
Рис. 6-11. Эпюры мгновенной индукции по толщине листа е разные
моменты времени при синусоидальном индуктированном напряже-
нии с амплитудой средней индукции в листе стали 1,6 Тл.
Сплошные линии — при прямоугольной кривой намагничивания по намагни-
ченности с индукцией насыщения В,усл = 1,4 Тл; arccos (1,4 Тл/1,6 Тл)=30°;
пунктир — при принятой в [6-16] кривой намагничивания, соответствующей луч-
шей холоднокатаной стали, частоте 50 Гц и толщине листа 0,32 мм,
160
калькой линии и ход процесса ближе к рассчитанному
на основе первого подхода, а не второго. Если учесть
это обстоятельство, то в случае АВср>АВ=2В8усл при
синусоидальном напряжении вместо эпюр индукции по
рис. (6-10,6 получаем эпюры, показанные сплошными
линиями на рис. 6-11 для случая Втср=1,6 Тл и В«усл=
=1,4 Тл. На этом же рисунке пунктиром показаны эпюры
индукции из [6-16], рассчитанные для высококачествен-
ной холоднокатаной стали толщиной 0,32 мм при часто-
те 50 Гц и амплитуде индукЦи#®Втср—1,6 Тл. Как вид-
но, в течение примерно трети всего периода (от со£=О до
30°, от 150 до 210°, от 330 до 360° при отсчете углов по
синусоиде напряжения) процесс происходит как при ли-
нейной кривой намагничивания стали, т. е. с одновре-
менным изменением индукции во всем сечении листа
стали. В течение примерно четверти периода (от со/=ЗО
до 75° и от 210 до 255°) появляется и еще в течение чет-
верти периода (от со£=1О5 до 150° и от 285 до 330°)
исчезает зона плавного перехода от индукции —BsycjI=
=—1,4 Тл до 4-Вбусл. Эта зона, обусловленная конечной
магнитной проницаемостью стали, имеет ширину около
6/3^0,1 мм. Она заменяет собой бесконечно тонкую
границу, имеющую место при прямоугольной магнитной
характеристике. Процессы в этой зоне являются проме-
жуточными между рассчитанными по первому и по вто-
рому подходам. Наконец, в оставшейся 1/6 части перио-
да (от а/=75 до 105° и от 255 до 285°) имеет место пе-
ремещение указанной зоны в глубь листа в соответствии
с прямоугольностыо магнитной характеристики. Состав-
ляющие квадрата действующего напряжения за указан-
ные доли периода равны соответственно:
4 J u’df = ^2 и - sin 60° + °) = 0,03L7am;
о
75°
4 f = —sin 150э-4-sin60°) = 0,31i/2 ;
1 ) 2л i 4 1 /
30°
4рЛ = 0,16^, (6-75)
75°
т. е. 6, 62 и 32%,
11—774 * 161
В результате потери от вихревых токов оказываются
не в 1,5 раза больше, чем при расчете по линейной маг-
нитной характеристике, а лишь в 1,2—1,25 раза больше
для рассмотренной стали и в 1,35 раза больше для ста-
ли толщиной 0,5 мм [6-16]. При повышении частоты
этот коэффициент приближается к 1,5. Если при расче-
те потерь от вихревых токов при линейной магнитной
характеристике учитывать поверхностный эффект по
(6-37), то разница в результатах расчета по линейной и
прямоугольной магнитным характеристикам станет еще
больше (рис. 6-12).
Рис. 6-12. Зависимость действующей
плотности тока /д от координаты х по
толщине листа стали по данным [6-16].
/ —6<6; 2 —6^>6; n=const; 3 —6^>й; ц=#=
* const. Сталь холоднокатаная; 6=0,32 мм;
/=50Гц; Втср-1,6Тл.
Из приведенного анализа, формул и примера видно,
что значительная часть потерь, обычно относимых к до-
полнительным, является в действительности потерями от
вихревых токов.
Для напряженности поля расчет по линейной магнит-
ной характеристике оказывается внутренне противоре-
чивым, если не учитывать поверхностный эффект. Не-
сложный метод учета поверхностного эффекта имеется
только для синусоидальной индукции при линейной кри-
вой намагничивания, от которой характеристика реаль-
ной стали далека. Использование прямоугольной маг-
нитной характеристики дает возможность не слишком
сложно решать многие задачи при несииусоидальном
напряжении и при импульсном намагничивании. К не-
достаткам расчета по прямоугольной характеристике
следует отнести отсутствие простого решения для про-
цесса при внезапном отключении обмотки. При прямо-
угольной петле возможно мгновенное исчезновение на-
пряжения и тока в обмотке. В действительности сталь
не может иметь равную нулю динамическую магнитную
проницаемость, и поэтому вихревые токи в стали будут,
затухать с некоторым опозданием. Кроме изложенных
двух подходов к расчету вихревых токов в листе стали,
Возможно много других более сложных, в том числе со-
ответствующих петле гистерезиса в виде параллелограм-
ма, учитывающих доменную структуру стали и т. д. При
любой форме кривых намагничивания, петель гистерези-
са р кривых тока или напряжения возможны численные
решения, например, по методам, изложенным в [6-16].
Приведенные формулы [(6-51), (6-57), (6-64), (6-73)
и др.] следует использовать для грубой оценки потерь и
напряженности магнитного пол# (особенно при быстрых
процессах перемагничивания) ,’ *когда нет соответствую-
щих опытных данных.
Чем ближе петля гистерезиса к прямоугольной, тем
ближе фактический процесс к рассчитанному по второму
подходу. Однако в реальных материалах, даже имею-
щих практически прямоугольную петлю гистерезиса,
процессы сложнее рассмотренных. В частности, при бы-
стром перемагничивании существенно явление, которое
называют магнитной вязкостью [6-12].
При наличии относительно близких опытных данных
для пересчета потерь от одного режима к другому в слу-
чае одинакового изменения магнитной индукции ДВ раз-
личие между разными формулами существенно сглажи-
вается. Например, при всех формах кривых напряже-
ния, показанных на рис. 6-10, встречаются коэффициен-
ты только от 1,5 до 2,0 и отклонения от среднего коэф-
фициента 1,73 не превышают ±15%—меньше, чем раз-
брос параметров стали.
Для оценки потерь от вихревых токов в заданном
сложном режиме желательно использовать опытные дан-
ные, по возможности наиболее близкие к этому режиму
не только по амплитуде индукции, но и по скорости
перемагничивания (т. е. по частоте) и характеру кривых.
Для пересчета потерь от режима к режиму целесообраз-
но применять простейшую формулу типа (6-32), в кото-
рую входит действующее напряжение на обмотке.
6-5. ПОТЕРИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОЙ ИНДУКЦИИ
Для оценки потерь при несинусоидалыюй периодической индук-
ции, имеющей за период один минимум и один максимум, удобен
проверенный экспериментально метод [6-14]. Он основан на следую-
щих допущениях:
1. Потери в стали состоят лишь из двух слагаемых — потерь на
гистерезис и вихревые токи.
2. Потери на гистерезис за период не зависят от формы кривой
индукции и определяются лишь двумя факторами: максимальным
П* . в 163
изменением (перепадом) индукции за период ЛВ=Втпх—й
так называемой постоянной составляющей индукции Во=О,5(Втпх+
где Втах и Bmin — экстремальные значения средней по
толщине листа индукции в стали.
3. Потери на вихревые токи пропорциональны квадрату дейст-
вующего напряжения 172я, индуктированного в обмотке.
4. В течение частей периода, когда индуктированное напряжение
н обмотке отсутствует, никаких потерь в стали нет.
Предполагается, что известны потери при синусоидально изме-
няющейся индукции любой нужной частоты и амплитуды, а также
разделение потерь на гистерезисные и вихревые согласно (6-11) или
(6-12) и зависимость потерь от подмагничивания (от постоянной со-
ставляющей индукции). За базу для расчета принимаются потери
Рейн при синусоидальной индукции с таким же изменением индук-
ции за полупериод (2Вт=ЛВ) и, следовательно, с такими же ги-
стерезисными потерями (рг,син=Рг), как и в реальном процессе.
Изменение индукции определяется по среднему индуктированному
напряжению
О tB .
пип max
wS
= Т-
& max Bmin
„Bmln Bmax
— Bmin) = 2fwShB,
(6-76)
где tpmin и ^Втах ‘—моменты времени, соответствующие минимальной
и максимальной индукции, откуда
17срГ
= Ж и ~ <6-77)
Действующее напряжение, квадрату которого пропорциональны
потерн на вихревые токи, можно выразить через среднее напряже-
ние и коэффициент формы кривой напряжения k$u- Учитывая, что
согласно (6-77) средние напряжения эквивалентной синусоиды и
реальной кривой одинаковы: {7ср = Г7Ср,син и что для синусоиды
коэффициент формы Лф,син=л/2К2=1,11, на основе (6-11) по-
лучаем:
( у (kiu у_
Р = Рт+ Рв = Рг син + Рв ,СИН I Г J I Рг ,син + Рв ,СИН 11 11/
\ид, енн/ V > 11 /
— Ревя 11 +
Рг, СИ Н
Рейн .
(6-78)
где все параметры с индексом «син» относятся к реальной частоте f.
При больших значениях k$u, т. е. при сильно искаженной кри-
вой напряжения, скорость процесса синусоидального перемагничи-
вания при частоте f значительно ниже скорости реального процесса.
Это часто бывает при прерывистой кривой напряжения.
Если кривая напряжения прерывистая, т. е. участки времени т,
в течение которых индукция в стали меняется, чередуются с участ-
164
КаМй, в течение которых напряжение Отсутствует и индукция Не-
изменна, то к рассматриваемому процессу ближе синусоидально-
изменяющаяся индукция с периодом St, чем с периодом Т
(рис. 6-13). Поэтому, используя допущение 4, рекомендуется ввести
приведенную частоту
/пр=|7’/2т, (6-79)
определить по характеристикам стали или по (6—12), (6-13) соот-
ветствующие этой частоте потери рСии и соотношение рг,сив/рсин
при амплитуде индукции Вт и умножить результат, полученный по
формуле (6-78), на долю времени ~2л)Т, в течение которого есть на-
пряжение.
При этом расчете коэффициент формы кривой напряжения, опре-
деляемый только для периода Sr, оказывается заметно ближе к 1,11,
чем при расчете его для периода Т, т. е. взятый за основу для пе-
ресчета режим с синусоидальной индукцией ближе к реальному ре-
жиму перемагничивания стали.
Если напряженность или индукция магнитного поля содержит
значительную постоянную составляющую, потери заметно больше,
чем при ее отсутствии. Приняв согласно допущению 3, что эта со-
ставляющая не влииет на потери от вихревых токов, вместо (6-78)
получаем:
( [ Л-СИН^Р 1 Г/ 1 1 St;
Р = Рейн f __ 1 «пост + I 1 “Z ' I I I ~i ГП / Ц I Т ’ (й"°0)
пр ( L Ренн f Пр J LX1"11/ JJ 1
где Рснн1пр —потери при синусоидальной индукции Bm — hB/2 и при-
веденной частоте /пр=1/Ет (вместо реальной частоты f=l/P);
Апост — отношение потерь при наличии постоянного подмагничива-
ния к потерям при его отсутствии в случае синусоидальной индук-
ции с амплитудой Вт частотой /пр; ^фи s-i—коэффициент фор-
мы кривой индуктированного напряжения за период St.
Рис. 6-13. Резко несинусоидальные кривые индуктированного напря-
жения и индукции в стали (а) и приведенные кривые, используемые
Для расчета (б).
165
Для упрощенной оценки потерь при отсутствии постоянной со-
ставлящей можно использовать понятие «эквивалентная частота» fs.
Это такая частота, при которой синусоидально меняющаяся индук-
ция имеет такую же амплитуду, как максимальная реальная индук-
ция Втах, и расчетные потери от вихревых токов за период при
отсутствии вытеснения поля равны расчетным потерям за период
при реальной кривой. Тогда из условий
Вт снн !э — Втах и Гв/f = PB.CHHfg/fa (6-81)
с учетом
Втах = б^ср/(4fu>S); р — Ч- Рг>
Рв _ _ / ^фц^ср у_
/’в.син/э ^?2Д,СИИ/Э у ^ф, сшЛср ,СИН1Э J (6-82)
__/ \2___/ / f V
у^ф,сии^тсин[^fa^S J \1,11/ \ fa )
после алгебраических преобразований следует
V . f
и А=/W s ^ == AW э /’
где f — реальная частота; k$,u — коэффициент формы кривой реаль-
ного (не приведенного) напряжения; Рсин{э — потери при синусои-
дальной индукции, имеющей частоту fe и амплитуду Вт. Подста-
новка по (6-83) в аппроксимацию (6-13) и использование послед-
ней в выражении потерь (6-83) при сохранении индукции дают
формулу, из которой особенно явно видно влияние несинусоидаль-
ности на потери в стали:
/’=»Аин1 (fy>u/l.ll)2(“-1). (6-84)
Если кривая индукции имеет несколько экстремумов за период,
т. е. кривая напряжения несколько раз за период меняет знак, то
для грубой оценки потерь можно: разделить реальную кривую
индукции на несколько участков по времени (интервалов) между
соседними экстремумами; принять, что потери за период равны сум-
ме потерь на отдельных участках; считать, что потери на каждом
участке за цикл такие же, как потери за цикл при многократном
и непрерывном повторении кривой индукции, соответствующей этому
участку, но с чередованием роста и уменьшения индукции. Тогда
средние за период потери равны сумме потерь на отдельных участ-
ках, вычисленных по формуле (6-80). При этом остается относитель-
но большой произвол в определении коэффициента &пост и метод
может давать большую погрешность. Поэтому такую грубую оценку
потерь можно рекомендовать только при невозможности эксперимен-
тального исследования макета или опытного образца изделия.
Таким образом, для определения потерь как при повышенной
частоте, так и при несинусоидальной индукции желательно знать не
только долю гистерезисных потерь, но и зависимость потерь от
амплитуды индукции и от частоты для синусоидально изменяющейся
индукции. Иногда такие данные приводят в каталогах на сталь При
отсутствии этих данных для оценок потерь можно использовать
166
ориентировочные сведения, приведенные в табл. 6-1, и формулы
(6-13), а также выражение
Г—(-t' Y-1 , (б’85)
\РсИЯ Jf \РсИН /б \ / /
где Индекс «б» относится к базисной частоте, для которой в стан-
дарте нормируются параметры стали данной марки.
6-6. АНИЗОТРОПИЯ, МАГНИТОСТРИКЦИЯ, УДЕЛЬНОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ w
Анизотропия. При беспорядочном или почти беспорядочном рас-
положении кристаллитов, т. е. в нетекстурованной стали, магнитные
свойства при намагничивании во всех направлениях в плоскости лис-
та почти одинаковы, но высокие магнитные свойства осей легкого
Рис. 6-14. Зависимость индукции (о) и удельных потерь (б) при ча-
стоте 50 Гц в стали МЗ-Н толщиной 0,35 мм от угла между на-
правлениями намагничивания и прокатки по данным [6-13].
намагничивания (вдоль ребер кубического кристалла) используются
слабо. При ребровой текстуре (текстуре Госса) вдоль прокатки сталь
имеет очень хорошие магнитные свойства, в поперечном направле-
нии — заметно хуже, а в направлении большой диагонали куба (под
углом arctg V2=ы55° к направлению прокатки) — еще хуже. Каче-
ство стали зависит от отклонения кристаллитов от идеальной ориен-
тации. Обычные средние углы отклонения равны 7°, в лучшей стали,
например по '[6-13], — около 3°. Пример характеристик дан на
рис. 6-14. Как видно, при намагничивании поперек прокатки потери
в 3—4 раза, а напряженность поля для получения той же индукции
во многие десятки раз больше, чем при намагничивании вдоль про-
катки. Столь большая разница в размере магнитной проницаемости
Для поля вдоль направления прокатки и под углом к нему
' " J67
(рис. 6-14,а) существенно повлияла на конструкцию магнитопрово-
дов. Оказалось, что отверстия в пластинах стали, необходимые для
стяжных шпилек прессовки магнитопровода, в значительной части
исключают из работы полоски пластин стали, в которых расположе-
ны отверстия. Поэтому внедрение холоднокатаной текстурованной
стали потребовало исключения отверстий в активной стали. При-
шлось широко применять косые или комбинированные стыки [6-17]
и гораздо шире, чем при горячекатаной стали, использовать навитые
магнитопроводы.
Несколько десятилетий назад были получены образцы стали
с кубической текстурой, где разница между свойствами при намаг-
ничивании вдоль и поперек прокатки невелика. При намагничивании
вдоль прокатки достигнуты относительная магнитная проницаемость
до 1,2- 10s; коэрцитивная сила 5,5 А/м; индукция 1,66 Тл при напря-
женности поля 160 А/м; удельные потери 1,23 Вт/кг при индукции
1,5 Тл, частоте 60 Гц и толщине листа 0,3 мм {6-18]. В трансфор-
маторе с магнитопроводом из такой стали потери были в 1,65 раза
меньше, чем из обычной стали, а намагничивающий ток — вдвое
меньше. Однако до настоящего времени практического распростра-
нения эта сталь не получила ввиду трудностей при ее изготовлении.
Магнитострикция — изменение продольных и поперечных разме-
ров пластины стали при намагничивании — является основной при-
чиной шума трансформаторов [3-11]. Зависимость магнитострикции
от индукции неоднозначна и нестабильна.
Механические напряжения, которым подвергается сталь (особен-
но высококачественная текстурованная сталь) в процессе изготов-
ления остова и в самом магнитопроводе, существенно влияют на ее
магнитные свойства [6-2, 7-3, 7-8]. Поэтому в трансформаторострое-
иии пришлось обратить особое внимание на механические нагрузки
на сталь во время изготовления остова, внедрить отжиг нарезанных
пластин, обеспечить независимую от магпитопровода передачу уси-
лий при подъеме активной части и при КЗ и выровнять давление на
сталь при стяжке стержней и ярм. Очень важно иметь сталь прак-
тически без волнистости и коробоватости, из-за которых выпрямле-
ние пластин в готовом основе приводит к существенному увеличению
потерь (см. {7-3] и упомянутую там литературу).
Удельное сопротивление стали, Ом-м, согласно '[6-2] определяет-
ся содержанием кремния
р = (1,0 + I,2Csl%)-10-’. (6-86)
Обычно считают, что у холоднокатаной трансформаторной стали
р=0,5-10“в, у горячекатаной 0,6•10-в Ом-м. Температурный коэф-
фициент сопротивления этой стали в 4—6 раз меньше, чем меди и
алюминия, — он равен (0,92-:-0,7) •lO-^’C-1. Именно изменением со-
противления объясняют наблюдающееся небольшое снижение потерь
при повышении температуры и рост потерь при ее понижении. На-
пряженность поля, необходимая для намагничивания стали до боль-
шой индукции, с повышением температуры увеличивается.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ МАГНИТНЫХ СИСТЕМ
7-1. КЛАССИФИКАЦИЯ
Согласно [1-3, 7-1] магнитную систему трансформа-
тора— совокупность ферромагнитных деталей, предна-
значенную для локализации в ней основного магнитного
поля, или ее часть в виде "отдельной конструктивной
единицы — называют магнитопроводом *, если эта часть
на схеме магнитной цепи не связана непосредственно
(кроме соединения обмоток или общих обмоток) с дру-
гими аналогичными частями и не имеет с ними общего
крепления. При наличии общего крепления такую часть
называют «рама магнитопровода». Во всех обычных си-
ловых трансформаторах магнитная система состоит из
одного магнитопровода (поэтому в [1-3] слово «магни-
топровод» записано как краткая форма термина «маг-
нитная система»). Собранную магнитную систему со
всеми узлами и деталями, служащими для соединения
ее частей в единую конструкцию, называют остовом *.
Если части магнитопровода, на которых или вокруг
которых расположены обмотки, имеют форму призмы
или цилиндра, то их называют стержнями, а остальные
части, не несущие основных обмоток и служащие для
замыкания магнитной цепи, — ярмами. Вспомогательные
обмотки (например, компенсационная и регулировоч-
ная) могут располагаться на ярмах. Торцевое ярмо со-
единяет концы двух или большего числа разных стерж-
ней, а боковое — два конца одного и того же стержня.
Боковое ярмо имеет торцевые и боковую части, соот-
ветственно перпендикулярные и параллельную оси
стержня (оси обмотки). При расчете из ярм выделяют
углы — части магнитопровода, ограниченные объемом,
образованным пересечением боковых поверхностей или
продолжений одного из ярм и одного из стержней, а так-
же продолжений боковой и торцевой частей бокового
ярма и т. п. В многорамных магнитопроводах углы вы-
деляют раздельно в каждой раме.
Чаще всего применяют плоские магнитные системы,
в которых продольные оси всех стержней и ярм распо-
ложены в одной плоскости, но в последние годы получа-
1 Иногда неправильно применяют термин «активная часть маг-
нитопровода», а «магнитопроводом» называют «остов» по [1-3, 7-3].
169
Йт распространение и пространственные (чаще всего
симметричные) магнитные системы, в том числе навитые
неразрезные.
Магнитные системы (магнитопроводы) трансформа-
торов, имеющие стержни, бывают стержневые (без боко-
вых ярм), бронестержневые (с боковыми ярмами не
у каждого стержня или с одним боковым ярмом у каж-
Магнигпопров о и
навитой. торои8альнь1й(а) и стержневой (ж,с,х) стержнеВЬй. бронестерж- невой броневой В гтрансн форматоре, броне- сторжневой В реакторе броневой (е>р) и ярмовой(к) в реакторе
2
12 3 12 7,2 3,7 S \ ум \ i/g
— 37) 5 Ч 3“ Ч м)
3
Рис. 7-1. Примеры плоских магнитопроводов трансформаторов и
реакторов.
1 — основная обмотка; 2 —стержень: 3 —торцевое ярмо; 4 — торцевая часть
бокового ярма; 5 — боковая часть бокового ярма; 6 — вспомогательная обмот-
ка; 7 — промежуточное ярмо. Число стержней нли обмоток относится к слу-
чаям соответственно: 1 — а—в; 2 — otc—л; 3 — н—ц.
дого стержня) и броневые (с двумя или более боковыми
ярмами у каждого стержня). Ряд примеров показан на
рис. 7-1 и 7-2.
Наименования видов магнитных систем реакторов не-
сколько отличаются от принятых для трансформаторов.
Понятие «бронестержневая магнитная система реакто-
ра» соответствует совокупности понятий «бронестержне-
вая» и «броневая магнитная система трансформатора».
«Броневой магнитной системой® реактора» называется
система, в которой есть боковые ярма и нет стержней
[1-2] (см. также рис. 7-1, е, р). Шихтованной в транс-
Рис. 7-2. Примеры пространственных симметричных магннгопро-’
водов.
а — с магнитным соединением ярм в звезду; б — то же в треугольник; в —
двухрамный.
форматорах называется магнитная система, в которой
ярма и стержни собраны в переплет как цельная кон-
струкция, а в реакторах — система, в которую входят
ярма и стержни с плоской шихтовкой независимо от
способа их сборки. Навитой в трансформаторах назы-
вается магнитная система, в которой стержни и ярма
образуются путем навивки в виде цельной конструкции,
а в реакторах система будет называться навитой и при
раздельной навивке частей магнитопровода, а также при
их разрезании. В реакторах реально применяют магнит-
ные системы, почти никогда не используемые в силовых
трансформаторах, в частности стержневую без ярм
(рис. 7-1,6) и ярмовую (рис. 7-1,к).
Много различных магнитных систем встречается
в трансформаторах малой мощности, индуктивных ка-
тушках и магнйтных .усилителях. В частности, стандарт
171
[1-15] предусматривает кабельную магнитную систему
(систему из нескольких ферромагнитных колец, внутри
которых размещены обмотки) и кольцевой полый маг-
нитопровод (кольцо, в полости которого размещены об-
мотки) .
С точки зрения электромагнитного расчета важней-
шим признаком магнитной системы являются наличие,
размер и роль немагнитных зазоров в магнитной цепи,
через которые проходит основная часть магнитного по-
тока. Классификация по этому признаку разработана
в [1-18] и утверждена в [1-2]. Все магнитные системы
реакторов делятся на три группы: 1) замкнутые (торо-
идальные, стержневые, бронестержневые и др.); 2) с за-
зорами (стержневые, бронестержневые и др.), причем
небольшие зазоры, необходимые по технологическим
соображениям, не учитываются; 3) разомкнутые, в ко-
торых длина зазора превышает осевой размер обмотки
(броневые, стержневые без ярм, ярмовые и др.).
Для каждой из этих групп характерны определенные
особенности магнитных характеристик реакторов и ме-
тодов расчета [1-22]. Магнитные системы почти всех
силовых трансформаторов попадают в первую группу
(с замкнутыми магнитными системами). Исторически
сложившаяся классификация по [1-3] (стержневые,
бронестержневые, броневые магнитные системы) с дан-
ной классификацией почти не связана — зазоры принци-
пиально возможны во всех стержнях всех магнитопро-
водов по рис. 7-1 и 7-2; один из реакторов с разомкнутой
магнитной системой оказался среди стержневых
(рис. 7-1,6), а остальные (рис. 7-1 ,е, к, р) близки к бро-
невым магнитопроводам трансформаторов.
Вторым важнейшим признаком является наличие или
отсутствие жесткой и простой связи потоков в отдель-
ных частях магнитной системы с потокосцеплениями или
напряжениями обмоток при XX. Если использовать тер-
минологию «сопромата», то это деление на статически
определимые и неопределимые системы. Предполагаем,
что магнитная проницаемость ферромагнетика велика и
потоки, проходящие параллельно частям магнитной си-
стемы вне их, малы; схема соединения обмоток и их
частей такова, что напряжение и потокосцепление каж-
дой обмотки стержня и вспомогательной обмотки заданы
приложенными напряжениями и практически не зависят
от процессов в магнитопроводе (это допущение неправо-
мочно при последовательном соединении обмоток разных
стержней). При этом можно выделить четыре группы
практически применяемых магнитных систем:
1. Системы, во всех частях которых магнитный поток
задан потокосцеплениями обмоток. Это однорамные все
неразветвленные магнитные системы (рис. 7-1,а, в, ж,з)
и такие разветвленные, в которых нет контуров, целиком
проходящих по стали и не сцепленных ни с одной из
обмоток (рис. 7-1,и, н; на рисйр7-2,а; при наличии вспо-
могательных обмоток рис. 7-1,а, о). Из многорамных
магнитных систем, показанных на рис. 7-1 и 7-2, в эту
группу попали бы системы рис. 7-1,д, у, х, рис. 7-2,в,
если на одном из ярм поместить вспомогательную об-
мотку с заданным напряжением.
2. Системы, состоящие из симметричных половин,
в которых при предположении об одинаковых магнит-
ных характеристиках симметричных частей магнитные
потоки этих частей одинаковы и потоки всех частей за-
даны потокосцеплениями обмоток согласно случаю 1.
Это системы по рис. 7-1,д, е, п, ф\ в случае однофазного
трансформатора — рис. 7-1,у, однофазного без вспомога-
тельной обмотки —рис. 7-1,г, о. При относительно сла-
бых полях такие системы практически всегда заметно
несимметричны и кривые потоков искажены по сравне-
нию с кривыми потокосцеплений из-за неодинаковой
стали и разного качества отжига и сборки симметрич-
ных по чертежу частей. Однако при приближении к на-
сыщению роль этих факторов падает, характеристики
симметричных частей сближаются и потоки становятся
пропорциональными потокосцеплениям.
3. Системы, принципиальные схемы магнитных
цепей которых симметричны, но размеры (длины)
аналогичных частей несколько неодинаковы. Это
системы с внутренними и наружными рамами маг-
нитопровода (рис. 7-1,л, м) и однофазные системы
с несимметричными по длине боковыми ярмами при от-
сутствии (отключении) вспомогательных обмоток
(рис. 7-1,а, д, о, у). В таких системах, как и в предыду-
щем случае, при малых индукциях кривые потоков ис-
кажены, но при приближении к насыщению потоки
в параллельных (на схеме магнитной цепи) частях маг-
нитной системы становятся пропорциональными сече-
нию стали.
173
4. Системы, в которых некоторые части могут быть
мысленно удалены (разрезаны) без нарушения баланса
магнитных потоков, но не попадающие в группы сим-
метричных 2 или почти симметричных 3 магнитных си-
стем. При этом воображаемом удалении предполагается,
что магнитная проницаемость остающихся частей сохра-
няется неограниченно большой (как в «сопромате» при
разрезании «лишних» связей прочность и жесткость
остающихся частей считаются достаточно большими).
Это трехфазные системы с тремя стержнями, имеющими
разные оси, с магнитным соединением частей ярм, при-
мыкающих к торцам стержней или обмоток разных фаз,
в треугольник — однорамные (рис. 7-1,у; 7-2,6) и двух-
рамные (рис. 7-1,с, т, х\ 7-2,в) —или в открытый тре-
угольник при наличии двух или более боковых и проме-
жуточных ярм (рис. 7-1,о, р, у). В эту же группу попа-
дают трехфазные системы с соединением частей торце-
вых ярм в звезду, имеющие более двух боковых ярм, и
многие другие сложные магнитные системы. Для дан-
ной группы характерно, что при синусоидальных кривых
потокосцепления обмоток фаз кривые потоков сущест-
венно несинусоидальны — тем более, чем ближе индук-
ция в стали к индукции насыщения. Во всех упомяну-
тых примерах потоки частей ярм либо потоки рам со-
держат значительные гармоники с номерами, крат-
ными 3.
При использовании данной классификации важна
схема соединения обмоток. Например, в трехфазной маг-
нитной системе при отсутствии обмотки, соединенной
в треугольник или звезду с нейтралью, имеются сильные
искажения фазных потоков, как и в группе 4.
Принципиально возможна аналогичная классифика-
ция по признаку наличия прямой простой связи потоков
в отдельных частях магнитной системы с токами отдель-
ных обмоток при XX и обратной связи. Например, про-
стая связь есть в случаях рис. 7-1,а, д', при отсутствии
вспомогательной обмотки — рис. 7-1,в; при последова-
тельном соединении частей обмоток — рис. 7-l,wc, з, л;
связи нет в трехстержневых трехфазных трансформато-
рах— рис. 7-1,н, с, т и 7-2,а—в. Однако в силовых
трансформаторах и реакторах с замкнутой магнитной
системой включение обмоток в цепи с заданным неском-
пенсированным (по МДС) током почти не применяется.
Если задать плавно изменяющийся ток, достаточный для
174
насыщения стали, то в кривой напряжения появятся
импульсы напряжения, встречающиеся в сугубо специ-
фичных по назначению пик-трансформаторах и обычных
трансформаторах при ошибках в схемах испытаний и
эксплуатации (см. § 7-5). В реакторах с зазорами и
с разомкнутой магнитной системой до насыщения всегда
ток пропорционален магнитному потоку и наоборот.
Рассмотрим классификацию видов подмагничивания
управляемых реакторов [ 1 -2}: .продольное, поперечное и
кольцевое. В первом случае направление в пространстве
магнитного поля обмотки управления параллельно (точ-
нее, коллинеарно) полю рабочей обмотки, во втором —
перпендикулярно ему, а в третьем-—замыкается в коль-
цевых частях магнитопровода реактора с вращающимся
магнитным полем. При продольном подмагничивании
велики гармоники токов или потоков, особенно четные;
при поперечном нужны относительно сложная конструк-
ция магнитопровода и обмотки управления и сильное
управляющее поле, но высшие гармоники (искажения)
гораздо слабее; при кольцевом необходимо непривычное
для трансформаторостроения выполнение реактора по
типу электрических машин, причем реален только трех-
фазный реактор.
Классификации магнитных систем по видам шихтов-
ки стержней (стержни с плоской, радиальной и эволь-
вентной шихтовкой), по типу заготовок (пластинчатые,
ленточные, пластинчато-ленточные магнитопроводы), по
способу сборки (стыковые, стыко-шихтованные, шихто-
ванные, в том числе с прямыми, косыми и комбиниро-
ванными стыками, навитые магнитопроводы), по фор-
ме сечения стержней (прямоугольная, ступенчатая,
круглая), по способу стяжки ([7-2]—«прессовки»,
[7-3] — «фиксации») пакетов стали стержней и ярм рас-
смотрены в [7-2, 7-3].
7-2. РАСЧЕТ МАГНИТНЫХ ПОТОКОВ И ИНДУКЦИИ
В большинстве практических случаев, в частности,
в магнитных системах по рис. 7-1,а—в, ж—к, н, п, ф
магнитные потоки во всех стержнях и ярмах определя-
ются по напряжениям обмоток, если можно пренебречь
их электрическими сопротивлениями:
— ir) dt
• о
Ф — Си dt.
t=o 1 w J
О
(7-1)
175
Если необходимо учитывать эти сопротивления, при-
ходится решать систему уравнений из первого равенст-
ва (7-1) и соотношения
iw—Hl, (7-2)
где H—f(B); В=Ф/3‘, S — сечение стали; I — длина
магнитной силовой линии.
Ряд методов решения подобных задач изложен
в учебниках электротехники, книгах по магнитным уси-
лителям и [6-12]. Особенно удобны при этом линейная
и кусочно-линейная аппроксимации. При пренебрежимо
малом активном сопротивлении обмотки и параллельном
соединении двух или нескольких участков магнитной
цепи задача (рис. 7-1,г—д, л, м) легко решается графи-
чески. Например, в однофазном двухрамном или много-
рамном либо броневом магнитопроводе с боковыми
ярмами разных длины и сечения или бронестержне'вом
с двумя одинаковыми стержнями и двумя одинаковыми
боковыми ярмами (рис. 7-3,а) расчетная схема магнит-
ной цепи имеет вид рис. 7-3,6 или в. В обеих схемах при
постоянном сечении каждого ярма или рамы имеем:
/7,4• .-=нп1п- Btst+ад+•. .-ьад=Фг
(7-3)
Достаточно построить в одном и том же масштабе
магнитные характеристики всех параллельных ветвей
магнитной цепи, сложить их ординаты при каждом зна-
чении HI, по заданному суммарному потоку в каждый
момент времени найти HI и потоки в отдельных ветвях.
Построение без учета вихревых токов в стали и гистере-
зиса показано на рис. 7-3,а. Как видно из примера, даже
если длины силовых линий параллельных ветвей разли-
чаются в 3 раза, кривые потоков не сильно искажаются.
Если ветвь магнитной цепи состоит из нескольких
последовательно соединенных частей с разными сече-
ниями стали, то характеристика этой ветви определяется
суммированием абсцисс характеристик участков в силу
Рис. 7-3. Графический расчет магнитных потоков в неодинаковых
рамах или ярмах однофазного магнитопровода.
а —примеры магнитных систем; б и в — схемы магнитной цепи для много-
рамных и однорамных магнитопроводов; г — построение зависимостей HI и i
Фг ... Ф от времени для случая /2—2; Si«=S2; ,
17G
о
УСЛОВИЙ
ф'=ф"= ... =ф« и (Н1)'+(Н1),,+ ...
... +(///)«=///, (74)
где индексы «штрих», «два штриха», ..«п штрихов»
относятся к участкам данной ветви.
В трехфазных магнитных системах и в сложных
однофазных решение не получается столь простым. На-
пример, для ярм трехстержневого магнитопровода по
рис. 7-2,6 или 7-4,0!, если пренебречь потоками, перехо-
дящими из рамы в раму через зазор, магнитные потоки
ярм и стержней и разности магнитных потенциалов на
концах торцевых ярм связаны системой нелинейных
уравнений
Фа=Фав—Фсд; Фв=Фвс—Фав,'
Фс=Фса—Фвс! (7-5)
Н лв1лв-[-Н вс1вс-\~Н са1са~®', (7-6)
Фд+Фв-ф-Фс—0; (7-7)
Нлв—f(Фав), 7/вс—/(Фвс); Иса =f(Фса), (7-8)
которым соответствует схема по рис. 7-4,6.
Для трехрамного трехфазного магнитопровода по
рис. 7-2,в или 7-4,в, если пренебречь переходами маг-
нитных потоков из рамы в раму, можно сразу записать
уравнения (7-5), (7-7), и (7-8). Кроме того, суммируя
выражения МДС трех рам:
\нвс1вс = ^-^ | (7-9)
получаем в правой части 0, т. е. уравнение (7-6). Следо-
вательно, двухрамной системе по рис. 7-4,в также соот-
ветствует схема по рис. 7-4,6. Решение указанной систе-
мы нелинейных уравнений громоздко, особенно для
плоского двухрамного магнитопровода (рис. 7-1,с, т, х),
где длины рам неодинаковы. Поэтому для расчетов це-
лесообразно использовать цифровые ЭВМ. Однако инте-
ресные соотношения и представление о ходе процесса
можно получить на основе аналитического расчета и ка-
чественных рассуждений, основанных на грубых допу-
щениях.
178
Рис. 7-4. К расчету магнитных потоков в трехфазных «статически
Неопределимых» магнитных системах.
а — трехстержневая магнитная система с навитыми треугольными ярмами;
о схема магнитной цепи; в — двухрамная магнитная система; г — векторная
диаграмма потоков (прн линейной кривой намагничивания стали); д — маг-
нитные потоки при линейной кривой намагничивания стали; е — кусочно-ли-
нейная аппроксимация кривой намагничивания; ж и з— магнитные потоки
ярм или рам при <„c„<-Bm<BsycJ]2/'/3 и при Ввусл<Вр, соответственна
(тонкими пунктирными линиями показаны потоки прн Вт<В ея, соответст-
вующие рис. 7-4 Д).
Предположим сначала, что в строго симметричной
трехфазной системе с обмотками, не имеющими актив-
ного сопротивления, магнитная проницаемость постоян-
на. Тогда при синусоидальных напряжениях обмоток
фаз и, следовательно, синусоидальных потоках стержней
потоки трех ярм (или рам при отсутствии переходов
потоков из рамы в раму через зазор) также синусои-
дальны. При этом можно использовать символический
метод. Ниже будем говорить о рамах, хотя все рассуж-
дения в равной мере применимы к частям АВ, ВС, СА
торцевых ярм. При принятых допущениях ввиду сим-
метрии потоки рам одинаковы по амплитуде и сдвинуты
на угол 2л/3 по фазе, например:
®CA = *ABe12”'3- (7-Ю)
(7-5),
Тогда достаточно одного первого уравнения из
чтобы определить поток рамы АВ:
^а=^аВ-^са = ^ - ^/3) =ФдВ]/Зе-'’1/6
или
ф
)
Это решение показано на рис. 7-4, г, д. Как видно,
поток одной рамы в стержне в ]АЗ раз меньше потока
(7-Н)
стержня вместо 2 раз в случае магнитного соединения
рам между собой в углах магнитопровода. Отсюда выте-
кает предварительный вывод о необходимости в трех-
рамном трехфазном магнитопроводе завышать сечение
стали стержней в 2/]/"3=1,16 раза. Соответственно
в магнитной системе по рис. 7-2,6 ярма следует выпол-
нять с сечением, составляющим 58% сечения стержня
[1-7, 1-10].
Теперь предположим, что магнитная характеристика
стали кусочно-линейна (рис. 7-4,е), причем динамиче-
ская магнитная проницаемость при индукции выше
В8усп чрезвычайно мала. Гистерезис и вихревые токи не
учитываем. Если
= Р’12»
где S—-сечение стали рамы (или ярма), то точка изло-
ма характеристики Не Достигается, все потоки остаются
180
синусоидальными и соотношение (7-11) остается в силе.
Если
Вт>В8усл, причем Bsycn>Bmcos (л/3) =0,87Вт, (7-13)
то'при достижении потоком одной из рам точки излома
характеристики этот поток перестает увеличиваться,
а баланс потоков, требуемый уравнением (7-5), обеспе-
чивается увеличением потока другой рамы по сравнению
с обычной синусоидой по (7Л). Соответствующие кри-
вые показаны на рис. 7-4,ж. При
Bm = Bsycn.2/V3 (7-14)
в момент, когда мгновенная индукция по (7-11) в одной
раме снизилась до В8Усл, в соседней раме индукция уже
достигла по модулю В8усл. Например, если Фл=Фт, то
в момент V}t—nj2 в раме АВ согласно (7-11) магнитный
поток- будет:
Ф ---_Фт • f _____— В S — Ф
^АВ— 1 I 1 6 J—/з 3 — 2 “Усл
(7-15)
В раме СА в этот момент
(“< +4+ т)=Wsi"
(7-16)
Следовательно, далее В с а——Bsyc.n=const и
Фа В==Фл"|"ФсА==Фта Sin (i>t—
' BsycnS==BsyC3i (2sin<o£—1), (7-17)
до тех пор, пока к моменту «естественный» по-
ток в раме СА достигнет снова —Ввусл (рис. 7-4,ж).
Как видно, при условии (7-14) в кривых потоков, по-
казанных на рис. 7-4,ж, исчезают участки, совпадающие
с синусоидой по (7-11), изображенной пунктиром. При
этом максимальный поток в рамах равен ровно поло-
вине амплитуды потока в стержнях. Следовательно,
удельные потери на гистерезис такие же, как в однорам-
ном магнитопроводе с теми же обмотками и сечением
стержня. Однако потери на вихревые токи ввиду иска-
жения кривой индукции заметно больше, чем в однорам-
ном магнитопроводе. Согласно (7-15) и (7-17) и
181
рис. 7-4,ж кривая индукции, например, рамы АВ описы-
вается выражениями
при л/6 < <о/ < «/2;
5ЛВ== (2 since? — 1) 5яусл при те/2 < wt < 5п/6;
B^— [1 — 2 sin (<»>/—2r./3)]£?sycJ1 при 5тг/6 < со? < 7и/6;
Вав = ~ 5«усл ПРИ 7«/6 < да? < 3W2
)
(7-18)
Потери на вихревые токи пропорциональны квадра-
ту среднеквадратичной скорости изменения индукции
Т 5х/6
-Н(т)’Л=4 f B^«[y(2sin.»/-l)p(»0 =
0 it/2
2 D2 л г 1 Г л. i 1 • п Л 51/6
= —в^усл-4^—[<0? + —81П2«^ -
= 4ew(-r+4sin 1-56 (7-19)
вместо l/2Bsyc„©2 при синусоиде с амплитудой Ввусл.
Следовательно, удельные потери на вихревые токи
будут в 1,56 раза больше, чем в однорамном магнито-
проводе. Если гистерезисные потери при синусоидальной
индукции составляют половину всех потерь в стали, то
полные удельные потери будут в 1,28 раза больше, чем
в однорамном магнитопроводе с такой же амплитудой
индукции, и лишь примерно на 5% меньше потерь при
синусоидальной индукции с амплитудой, подсчитанной
по (7-11). Как видно, использование простейшего рас-
чета по (7-11) не привело бы к значительному завыше-
нию потерь. Однако такой простой расчет мог бы при-
вести к необоснованному занижению способности транс-
форматора выдерживать кратковременное перевозбужде-
ние и к существенному завышению расчетного тока XX.
Если
яусл у=< вт < 4- BSyCn, (7-20)
то в течение части периода оказываются одновременно
насыщенными две рамы и избыточный магнитный поток
распределяется между ними, образуя выпуклости кри-
182
вой (рис. 7-4,з). Прй
4 О D
3 Dsycn
(7-21)
в Любой момент насыщены либо две, либо три рамы и
выпуклости несколько сглажены.
В предельном случае при Ввусл=0 система оказы-
вается линейной, снова вступает в силу выражение
(7-11) и все потоки синусоидальны согласно рис. 7-4,5.
В реальном магнитопроводе имеются вихревые токи,
гистерезис, переходы магнитных потоков из рамы в ра-
му, нет резкого излома кривой намагничивания, в пло-
Рис. 7-5. Магнитные потоки в рамах трехфазного плоского магни-
топровода >[3-10].
ском магнитопроводе вдобавок неодинакова длина рам.
В результате кривые несколько сглажены и имеются не
учтенные выше фазные сдвиги (рис. 7-5). По опытным
данным [3-10] максимальная индукция на 1—3% пре-
вышает Фт/25, а увеличение вихревых токов менее зна-
чительно, чем полученное выше при условии (7-14).
В подобных задачах расчет необходим только для
предварительных оценок, рациональной постановки экс-
периментов и обобщения опытных данных. Ведь даже
в наиболее изученном случае-—при синусоидальных по-
токах частотой 50 Гц — в расчеты вводятся существенно
отличающиеся от единицы эмпирические коэффициенты
для учета роли углов магнитопроводов, стыков шихтов-
ки и других факторов. Размер этих коэффициентов мо-
жет значительно измениться при искажении кривой маг-
нитного потока, что кардинально влияет на конечный
результат. Например, при многолетнем применении раз-
личных шихтованных, эвольвентных и особенно навитых
разрезных и” неразрезных конструкций магнитопроводов
183
[7-4, 7-5] решающими При выборе оказывались fcohcT-
руктивные и технологические факторы, не учитываемые
электромагнитным расчетом.
В некоторых специальных трансформаторах и мощ-
ных реакторах при простой схеме магнитный поток
в ярмах заметно отличается от потокосцепления обмот-
ки, деленного на ее число витков. Например, в броне-
вом или ярмовом реакторе с круглой обмоткой, имею-
щей средний диаметр D и радиальный размер Ь, потоко-
сцепление (вывод см. в гл. 9) будет:
«(£>- 4) 4].
(7-22)
а поток
0,5(Д+6)
Ф= j -2w5(r)dr=BWJ(^-(D-
0
0,5(£>+6)
I Г по 0,5(0 4-6) — г ,
-f- L -2wBmax------------------dr^
0,5(£>—6)
' Втах
5л
Т2
где Втах — осевая индукция в окне обмотки; В (г) —
индукция на расстоянии г от оси, откуда
(7-24)
При b/D—0,33 поток почти в 1,5 раза больше, чем
W/йу, при b/D—0,2 — на 21% больше, при b/D—0,1 —
на 9%. Такая разница весьма важна для расчета сече-
ния стали ярм. Аналогичную разницу нужно учитывать
при расчете сечения стали ярм мощных сетевых авто-
трансформаторов с близким к 1 коэффициентом транс-
формации (например, 400/330 кВ), где относительно
велик поток рассеяния, и регулировочных трансформа-
торов с передвижной обмоткой, имеющих встречно-вклю-
ченные части первичной обмотки [7-6, 7-7, 7-25].
184
7-3. РАСЧЕТ ПОТЕРЬ И НАМАГНИЧИВАЮЩЕГО ТОКА
Для расчета потерь и намагничивающего тока маг-
нитопроводы (кроме навитых неразрезных) обычно
условно разбивают на участки (стержни, ярма, углы,
стыки шихтовки, зазоры). Считают, что при синусои-
дальной индукции полные потери и намагничивающая
мощность равна сумме соответствующих параметров
этих участков. Если для потерь*такое суммирование бе-
зусловно справедливо в силу Закона сохранения энер-
гии, то для намагничивающей мощности (суммы реак-
тивной мощности и мощности искажения) суммирова-
ние в общем случае принципиально неправомочно.
Например, пусть в навитом разрезном магнитопроводе
намагничивание стали и зазора требует одинаковой
мощности (Qct—Qs=Q) . Их арифметическая сумма рав-
на 2Q. Однако в действительности вся намагничиваю-
щая мощность зазора при синусоидальной индукции
является реактивной мощностью первой гармоники (по-
скольку зазор имеет линейную характеристику), а на-
магничивающая мощность стали, кроме указанной мощ-
ности первой гармоники, содержит значительную мощ-
ность искажения. Если мощность первой гармоники со-
ставляет половину намагничивающей- мощности стали
(это соответствует точке В8уСл=0,97Вт на рис. 6-6,в), то
Ост. яск=КО’ст-О’ст, = Q П -—0,5s = 0,870
и
ог = т+Ост.Г+Огст.Иск=Q V(1+о,5г+о,878 =
= 1,73Q (7-25)
вместо 2Q.
В промышленном расчете такая методическая по-
грешность (менее 16%) будет скомпенсирована эмпири-
ческими коэффициентами, но при исследованиях ее сле-
дует иметь в виду. При расчете иногда не учитывают
небольшое различие между площадями сечений стержня
и ярма и индукциями в них, хотя в расчете массы раз-
ницу сечений учитывают. Это может приводить к недо-
разумениям— по такому расчету увеличение сечения
ярма приводит к увеличению потерь и тока XX, тогда
как в действительности они снижаются.
По известной индукции с помощью таблиц или кри-
рвд для стали соответствующей марки определяют
185
удельные потери и намагничивающую мощность стали.
Для проверки предельно допустимых потерь в стали и
намагничивающего тока используются характеристики
наихудшего образца стали данной марки; для статисти-
ческих исследований следует брать характеристику, со-
ответствующую средневзвешенным свойствам используе-
мой стали; для исследований конкретного образца или
модели следует брать характеристику фактически при-
мененной стали.
Рис. 7-6. Немагнитный зазор в шихтованной магнитной системе (а),
вид кривых индукции в стали и напряженности магнитного поля
у стыка (б) и зависимость удельных намагничивающей мощности
и потерь в зазорах от индукции (е).
Сплошные линии — расчет пэ (7-31) для Za“l мм н по (7-32) для (3=10 мм;
пунктирные — данные инструкций, опубликованные в книг [1-10].
в)
Удельные потери йЛи удельную Намагничивающую
мощность умножают на массу стали соответствующего
участка (стержня, ярма, угла) и на эмпирические коэф-
фициенты увеличения потерь или намагничивающей
мощности, учитывающие влияние ряда различных кон-
структивных и технологических факторов, например
формы сечения ярма, шихтовки, прессовки, заусенцев,
резки, отверстий для стяжных шпилек и т. п. [1-10].
При использовании этих коэффициентов необходимо
иметь в виду, что они получены для относительно хоро-
ших условий производства и материалов. В частности,
согласно [1-Ю] прессовка приводит к увеличению по-
терь на 2—5% и намагничивающего тока на 4—10%,
а по данным [7-8, 7-9] возможно увеличение соответ-
ственно на 5—20 и на 20—50%. Особенно велики коэф-
фициенты для углов при шихтовке с прямым стыком.
Указанные коэффициенты для стержней и ярм сущест-
венно зависят от волнистости и коробоватости стали.
При повышении индукции выше 1,8 Тл размер коэффи-
циентов уменьшается, постепенно приближаясь к еди-
нице.
Рассмотрим метод расчетной оценки влияния зазоров
в стыках шихтованной в переплет магнитной системы,
нужный при поиске причин отклонения результатов
испытаний от ожидавшихся, при оценке влияния качест-
ва сборки на показатели трансформатора и при обоб-
щении опытных данных. Пусть на участке длиной 13
имеется лишь половина пластин стали (рис. 7-6,а). Маг-
нитодвижущей силой, необходимой для перехода маг-
нитного потока из пластины в пластину, пренебрегаем.
Используем кусочно-линейную аппроксимацию кривой
намагничивания стали согласно (6-6) со значениями
Bsycn=Bs и Цт=1. Тогда из условия баланса магнитного
потока следует:
77=0 и В3=2Вт sin at при | В31
sS^Bs, т. е. Вт sin (i)t^0,5Bs- (7-26)
. , I В31 — Bs D S । „ ( S S \
1^,1 = 1 3^- S И + =
= SBmsinwt при | B31 >Bs, t. e. Bm sinwf > 0,5Z?s, (7-27)
187
шш
B3=Bmk sin (1—0,5/г) при jBmsinci>/>0,5Bs; (7-28)
B3=Bmksin($t—Bs(l—0,5/г) при Brnsin©/>—0,5Bs;
(7-29)
где Bm — амплитуда индукции в стали вне участка сты-
ка; В3 и Н3 — индукция в стали и напряженность маг-
нитного поля на участке стыка (зазора); k — коэффи-
циент заполнения сечения магнитопровода сталью; S —
сечение стали.
Вид кривых B(t) и H(t) показан на рис. 7-6,6. Учи-
тывая, ЧТО Bmax—\i-oHmaK-\-Bs, ПОЛуЧЭеМ ИХ Наибольшие
мгновенные значения:
Bmax = Bmk + Bs([ -0,5А) и Hma=±(Bm~b,bBs)k.
Но
(7-30)
Намагничивающая мощность зазора при отсутствии
потерь равна полной мощности, т. е. произведению на-
пряжения на действующий ток. По законам электромаг-
нитной индукции и полного тока получаем удельную
(на единицу площади активного сечения стали) намаг-
ничивающую мощность зазора в стыках шихтовки:
„___Q3 _yi___ vBmSw hri3 i . ш p и , нл
Чз s“ S К 2 W 2 Hmax •
(7-31)
где 77д — действующая напряженность магнитного поля
в зазоре. Для определения HR[HmaX можно использо-
вать график H^avilHmax, имеющийся на рис. 6-6,в, при
p=sin at\в=вв—0,5Ва/Вт. Зависимость q3 от Вт, рассчи-
танная в табл. 7-1, показана на рис. 7-6,в. При расчете-
принято: f=50 Гц; А3—0,93; Bs=2,06 Тл для холоднока-
таной стали и 1,96 Тл для горячекатаной; /3=1 мм. На
рис. 7-6,в показаны также соответствующие данные про-
мышленных инструкций, опубликованные в [1-10]. Как
видно, кривые для холоднокатаной стали имеют несколь-
ко перегибов, излом и даже пересекаются между собой.
Поскольку реальные характеристики стали марок 3413
и 3414 похожи друг на друга, можно предположить, что
в тонких измерениях, послуживших основой для этих
кривых, допущены неточности. Более того, в области
1,1—1,4 Тл нижняя пунктирная кривая соответствует
188
зазору менее 0,25 и даже 0,2 мм, нереальному по техно*
логическим соображениям [7-3]. Конечно, принятый для
расчета размер зазора 1 мм не имеет бесспорного обо-
снования — можно лишь утверждать, что реальный сред-
ний зазор при удовлетворительном качестве работы на
заводе равен 1 мм.
Таблица 7-1
Расчет намагничивающей мощности зазора
стыка шихтовки
Марка стали Bs, Тл Тл т V-fFmax по (7-30), Тл KL J £ BQ «0 1см II ох н^нтах "° рис. 6-6, в <?3 по (7-31) при Z3=l мм, В-А/см*
3412, 3413 2,06 1,1 1.3 1.5 1,7 U.9 0,065 0,25 0,44 0,62 0,81 2,12 2,31 2,50 2,68 2,87 0,93 0,79 0,69 0,61 0,54 0,35 0,46 0,52 0,55 0,58 0,45 2,7 6,2 10,3 15,8
1511—1513 1,96 1,1 1,3 1,5 0,11 0,30 0,48 2,07 2,26 2,44 0,89 0,75 0,65 0,40 0,49 0,54 0,86 3,4 7,0
Подобные методические ошибки часто встречаются
на практике. Видимо, следовало бы возможно точнее из
мерить намагничивающую мощность на стык при одном-
двух значениях индукции и пересчитать ее по теорети-
ческим формулам на другие значения индукции. Этот,
казалось бы, необоснованный путь дал бы более логич-
ные и не менее точные результаты, чем приведенные
эмпирические кривые с извивами и изломом.
Расчет потерь, обусловленных зазором в стыке ших
товки, значительно сложнее. Для оценки предположим,
что удельные потери в холоднокатаной стали при индук-
ции выше 1,9 Тл пропорциональны ВтаХ в пятой степе-
ни. Поскольку потери вызваны не столько увеличением
индукции в зоне зазора 13, сколько вихревыми токами
от потоков, переходящих из пластины в пластину, завы-
сим расчетную длину зоны зазора, например, на один
порядок — до /3=10 мм. Тогда удельные потери в зазоре
Рз=0,5уСт^зР1,9 (Втах/ 1,9)®. (7'32)
Используя значения потерь при индукции 1,9Тлр1,э=
=3,4 Вт/кг для стали марок 3412—3413 и /ц,э=2,64 Вт/кг
189
для 3414, получаем потери в стыке, показанные на
рис. 7-6,в. Как и следовало ожидать, потери в стали
марки 3414 меньше, чем в стали марки 3413. Однако по
опытным данным (пунктирные кривые на рис. 7-6,в) со-
отношение обратное. Кроме того, при росте индукции от
1,7 до 1,9 Тл потери почти не увеличиваются, тогда как
расчет дает увеличение потерь в 1,5 раза. Видимо, и
в этом случае следовало возможно точнее измерить по-
тери при одном-двух значениях индукции и экстраполи-
ровать результаты по теоретическим формулам. Такой
путь позволил бы избежать нелогичных результатов.
Рис. 7-7. Выпучивание магнитного поля у зазора и условное ушире-
ние зазора.
а — реальная картина поля; б — условная картина поля; в — зависимость 8
от Z3 и h. Пунктиром показаны прямые e=Z3 н 8=0,5/3. .
В стыковых магнитных системах намагничивающую
мощность немагнитных зазоров следует рассчитывать по
усредненной индукции в зазоре В3-.
В3=^ВСТ, (7-33)
где k — коэффициент заполнения.
Если длина отдельного (единичного) зазора превы-
шает 2—3 мм, необходимо учитывать выпучивание маг-
нитного поля у зазора (рис. 7-7,а). Согласно [1-27]
выпучивание можно учесть введением условного «ушире-
ния» зазора е (рис. 7-7,6), полученного в плоскопарал-
лельном приближении методом конформных преобразо-
ваний:
(7-34)
где hB — высота вставки стержня.
190
Зависимость е от /3 и йв показана на рис 7-7,в. Для
оценки при небольших зазорах можно принимать еяк/3,
при зазорах порядка 10 мм и более e=^0,5Z3- С учетом
уширения вместо (7-33) имеем:
вз = 5СТ ‘ (7-35)
k SCT
& -/Я
где SCT и 5Э — сечения стали и зазора; П — периметр
сечения стержня; для стержня круглого сечения (напри-
мер, эвольвентного или радиально-шихтованного) диа-
метром D с отверстием диаметром 1%тв имеем П=
=л(1)+£>отв)‘, для стержня прямоугольного или ступен-
чатого сечения толщиной Ь, с шириной наибольшего па-
кета 62 имеем n=2(Z?i + 62); обычно считают периметр
с учетом половины уширения: П=2(fei + &2+2e) При на-
личии охлаждающих каналов в стали их площадь до-
бавляют к площади зазора, если толщина канала мень-
ше е, или учитывают их ширину в периметре сечения,
"если толщина канала больше е. Для зазоров, образо-
ванных тонкими прокладками, учитывают влияние «гре-
бенки» пластин стали, добавляя к длине зазора 0,2—
0,5 мм [1-10].
Намагничивающая мощность зазоров суммарной дли-
ной /яЕ при синусоидальной магнитной индукции с ампли-
тудой Взт будет:
Q3 = <«B3mH3mVJ2 = mB\mS3lJ2v.o.
(7-36)
При несинусоидальной индукции следует найти сред-
неквадратичную скорость изменения индукции и дейст-
вующую напряженность магнитного поля или индукцию
и перемножить их и объем зазоров?
Если зазор заполнен магнитным клеем (пастой), то
в (7-36), (7-37) вместо вводят магнитную проницае-
мость клея, а уширение зазора не учитывают.
191
7-4. ВЛИЯНИЕ СОЕДИНЕННОЙ В ТРЕУГОЛЬНИК ОБМОТКИ
И ЗАЗЕМЛЕННОЙ НЕЙТРАЛИ
В трехфазных трансформаторах или группах из трех однофаз-
ных возможно взаимное влияние фаз. Пренебрегаем внутренним со-
противлением и искажениями напряжений, фаз источника питания и
всеми потерями.
Рис. 7-8. Намагничивающие токи при соединении первичной обмотки
в звезду с выведенной нейтралью и в треугольник.
а — принципиальная схема соединения в звезду; б — плоский трехстержневой
магиитопровод с соединением обмоткн в звезду; в — схема магнитной цепи
при плоском трехстержневом магнитоНроводе; г — вебер-ампериые характери-
стики фаз плоского трехстержневого магнитопровода; д, е — варианты вида
кривой тока нейтрали при плоском трехстержневом магнитопроводе; ж — вид
кривых МДС обмоток при возбуждении соединенной в звезду обмотки и на-
личии соединенной в треугольник обмотки в случае симметричной магнитной
системы при условии Ф7П>ФЯ>Ф?И 1^3/2: 5 —вид кривой линейрогр тока при
соединенной в треугольник первичной обмотке,
J9?
Рассмотрим сначала обмотку, соединенную в звезду с выведен-
ной нейтралью (рис. 7-8,а). При отсутствии сопротивлений источни-
ка (в том числе сопротивления его нейтрали) жестко определены
напряжения и потокосцепления обмоток фаз. Если пренебречь маг-
нитными потоками вне стали, то потоки в фазах (например, стерж-
нях) магнитной системы строго синусоидальны, одинаковы по ампли-
туде и сдвинуты по фазе ровно на 2.4/3. Сумма потоков трех фаз
Фо=Фл+Фв+Фс в любой момент времени равна нулю. Следова-
тельно, не только в случае трех раздельных однофазных магнито-
проводов, но и одного трехстержневого (рис. 7-8,6) расчет тока
обмотки каждой фазы может выполниться независимо от других
фаз. Ведь достаточно даже очень болвйюго (но не бесконечно боль-
шого) магнитного сопротивления от ярма к ярму 7?мо, включенного
между точками а и б на схеме магнитной цепи (рис. 7-8,в), чтобы
между точками а и б на рис. 7-8,6 не было разности магнитных по-
тенциалов; следовательно, глухое соединение этих точек между со-
бой на рис. 7-8,в или запись 7?мо = О ничего не изменит. Тогда каж-
дый из токов обмоток фаз определяется по потоку и магнитному
сопротивлению соответствующей фазы магнитной системы (магнит-
ным сопротивлением- «углов» среднего стержня на рис. 7-8,6 прихо-
дится пренебрегать и считать эти «углы» узлами магнитной цепи).
При кусочно-линейной кривой намагничивания стали согласно
рис. 6-6,а и, следовательно, вебер-амперной характеристике фазы по
рис. 7-8,г кривая тока каждой фазы имеет вид, соответствующий
кривой H(t) на рис. 6-6,6, а тока нейтрали, равного сумме токов
всех фаз,— форму по рис. 7-8,5 (при 4rm>1Irs>4rmV3/2) или
рис. 7-8,е (при VmV"3/2>4rs>4r,n/V2) или еще более сглаженную
форму (при tPm/K2 >’PS).
Ток обмотки каждой фазы можно разложить в гармонический
ряд и суммировать токи фаз по гармоникам. Тогда, если длины маг-
нитных силовых линий всех фаз магнитной системы одинаковы,
в нейтрали токи всех гармоник с номерами, не кратными 3, исче-
зают, а с кратными 3 номерами арифметически суммируются.
Если обмотка соединена в треугольник, токи обмоток фаз
остаются такими же, а линейные токи равны разностям токов обмо-
,ток фаз, присоединенных к соответствующим линейным проводам.
Рассмотрим пример с двумя обмотками. Пусть в нейтрали сети,
питающей обмотку с соединением в звезду с выведенной нейтралью,
есть некоторое сопротивление Zn (показано пунктиром на рис. 7-8,а);
имеется обмотка, соединенная в треугольник; фазы магнитопровода
симметричны; индуктивность рассеяния между обмотками, соеди-
ненными в треугольник и в звезду, ничтожно мала. Поскольку со-
единение обмотки в треугольник является КЗ для токов нулевой по-
следовательности, то эти токи протекают только в соединенной
в треугольник обмотке. В обмотке, соединенной в звезду, протекают
все остальные токи (в данном случае благодаря симметрии — только
токи прямой последовательности). Ток в нейтрали, по существу за-
шунтированной соединенной в треугольник обмоткой, равен нулю.
Следовательно,, даже полное отключение нейтрали не внесет сущест-
венных изменений. В соединенной в треугольник обмотке токи пря-
мой и обратной последовательности протекать не могут, так как эта
обмотка отключена от сети. В данном простейшем случае токи всех
обмоток можно найти, даже не пользуясь методом симметричных со-
13—774 193
ставляющих, непосредственно из условий:
С>д = 1'вд = *сд; (7-38)
'/Л + *Вл + 1СА = (7-39)
причем ток ^минимален, т. е. iN = 0;
иА&. + «ВД +>СД = °’ 0ТКУДа аАХ + “ВА + ЫСА = Чг = °! С’40)
(Мдх = ‘ддИ’д + Z/AWA = f (фл); (»'ш)вх = 1’вд^д + zbawa =
= f (фв) и т- Д-> (7-41)
где индексы А и Д относятся к обмоткам, соединенным в треуголь-
ник и звезду; А, В, С и N — к фазам и нейтрали.
Кривые МДС всех обмоток, удовлетворяющие этим условиям,
показаны на рис. 7-8,ж. Форма всех кривых — подобные друг другу
отрезки синусоид. Когда в данной фазе ЧГ>ЧГ£, а в двух других
фазах Чг<Чгг, то в обмотке, соединенной в треугольник (во всех
фазах),
(1‘и,)х/юд; (7’42)
в данной фазе обмотки, соединенной в звезду,
2
= -3- (»t»)r/a»Yl (7‘43)
в других фазах обмотки, соединенной в звезду,
«А = — 4“ (»№)s/wa. (7-44)
Когда во всех фазах 4r-<Ve, все токи равны нулю (отсутст-
вуют).
При соединении первичной обмотки в треугольник линейные токи
равны разности фазных токов соседних фаз (см. примерна рис. 7-8, з).
По полученным кривым и формулам можно оценить влияние схемы
соединения обмоток на намагничивающий ток. Если действующий ток
при соединении в звезду с нейтралью (рис. 7-8, д) принять за едини-
цу, то при отключении нейтрали и введении другой обмотки, соеди-
ненной в треугольник, ток согласно рис. 7-8, ж и формулам (7-43),
(7-44) равен К(2/3)2+(1/3)2+(1/3)2 = К2/3. При первичной обмот-
ке, соединенной в треугольник, линейный ток (рис. 7-8, з) будет
2+12 = У 2. Поскольку номинальный ток в этом случае в 1^3 раз
больше, чем при соединении в звезду, то намагничивающий ток в от-
носительных единицах по размеру (У2/3) равен току в случае по
рис. 7-8,ж, хотя форма кривой тока иная. В реальных трансформа-
торах кривые тока, конечно, сильно сглажены по сравнению с по-
казанными на рис. 7-8, цель которых — проиллюстрировать принци-
пиальный вид кривых и важнейшие соотношения. Нелинейная зави-
симость (to)I=f(4r), отличающаяся от данной на рис. 7-8,г,
может быть принципиально легко введена в расчет. Значительно
194
труднее учесть роль активных сопротивлений цепей. Для оценки
распределения тока по обмоткам и разным сетям (что важно с точ-
ки зрения радиопомех и влияния на линии связи), а также при не-
обходимости учета несимметрии магнитопровода целесообразно вес-
ти расчет по гармоникам и использовать метод симметричных со-
ставляющих.
'Существенно иной характер процесса имеет место при изолиро-
ванной нейтрали звезды и отсутствии обмотки, соединенной в тре-
угольник, когда напряжения обмоток фаз не определены жестко на-
пряжениями источников. Из уравнений напряжений
U-AB — Ua—Ив', UbC=Ub—Uc~, UCAir=I^C—Ua (7-45)
найти ил, Ub, uc невозможно, так как третье выражение в (7-45)
является разностью первых двух, а не независимым уравнением.
Решающим условием является баланс токов
= 0. (7-46)
Из-за этого условия простейшая аппроксимация вебер-амперной
характеристики по рис. 7-8,г дает неопределенность. Пусть в звезду
соединены три однофазных трансформатора (или три реактора с за-
мкнутыми магнитопроводами), имеющих вебер-амперную характери-
стику, соответствующую кривой намагничивания по рис. 7-4,е. Тогда,
если в данной фазе 'i">yPe=BaycaSw, то все напряжение ложится
на обмотки других фаз, и данная обмотка как бы замкнута нако-
ротко. При этом растет напряжение на обмотках других фаз, по-
является значительный потенциал на нейтрали звезды, увеличиваются
потери в стали. Поэтому такая схема практически не применяется.
В бронестержневом или броневом трехфазном трансформаторе,
имеющем боковые ярма, картина остается принципиально такой же,
как при трех однофазных, так как через ненасыщенные боковые
ярма магнитный поток одной фазы может замыкаться почти незави-
симо от других фаз.
В трехстержневом трансформаторе (или реакторе), имеющем
относительно большое магнитное сопротивление от ярма к ярму, не-
большие токи XX не могут вызвать значительного межярмового по-
тока. Поэтому можно принять условие
Фл4-Фв+Фс = Фо=гО, (7-47)
менее жесткое, чем (7-40).
При строго симметричной магнитной системе (например, по
рис. 7-2) этого условия достаточно для отсутствия заметного потен-
циала нейтрали и, следовательно, практической синусоидальности
фазных напряжений. Однако при несимметрии магнитопровода воз-
можны значительные искажения. Кроме того, даже небольшой, по-
рядка долей процента или нескольких процентов, ио резко несину-
соидальный магнитный поток от ярма к ярму может вызвать замет-
ные добавочные потери и местные нагревы. Поэтому в случае трех-
стержневого магнитопровода соединение в звезду с изолированной
нейтралью можно применять только после тщательной опытной про-
верки.
При эффективно заземленной нейтрали, с точки зрения процес-
сов при XX трансформатора, нет необходимости в третичной обмот-
ке, соединенной в треугольник. Весь ток XX мощного автотрансфор-
матора равен 0,5 или даже 0.2% номинального. Если ток нейтра-
ли равен току XX, индуктивное сопротивление цепи нейтрали
равно 100% (т е. сопротивлению номинальной нагрузки) и экви-
13* 195
валентная (по скорости изменения тока) частота тока нейтрали
в 5 раз выше основной, то напряжение на нейтрали будет равно
1—3% номинального.
По опытным данным [7-10], полученным на масштабных моде-
лях крупных трансформаторов, содержание гармонических, кратных
трем, в фазных напряжениях составило: при замкнутых треугольни-
ках и заземленных нейтралях 1,2; при разомкнутых треугольниках
и заземленных нейтралях 4,1; при разомкнутых треугольниках и не
заземленных нейтралях 53%. Из этих данных хорошо видна прин-
ципиальная разница между случаями, когда есть путь для замыка-
ния токов нулевой последовательности и когда такого пути нет.
Сами даже небольшие числа 1,2 и 4,1% представляются несколько
завышенными-—видимо, в малой модели были завышены сопротив-
ления цепей (см. § 3-2).
При отсутствии третичной обмотки в мощном автотрансформато-
ре размыкание нейтрали даже на короткое время недопустимо
(хотя можно заземлять нейтраль через токоограничивающий реак-
тор). Распространенные опасения помех связи от токов, замыкаю-
щихся через нейтраль, представляются преувеличенными, так как
сам ток XX относительно мал, а токи нулевой последовательности
замкнутся в ближайших трансформаторах, имеющих соединенную
в треугольник обмотку и заземленную нейтраль.
7-5. ВЛИЯНИЕ «ПОЛУВИТКОВ»
В некоторых случаях концы или ответвления обмотки трансфор-
матора но конструктивным соображениям располагают на разных
сторонах магнитопровода (рис. 7-9,а). Такое выполнение условно
называют обмотками с «полувитками». В действительности число
витков обмотки не может быть дробным. Цепь тока обмотки всегда
замкнута через внешнюю часть контура. Следовательно, ток может
либо охватывать рассматриваемую часть магнитной системы транс-
форматора, образуя виток [1-3], либо нет. Поэтому число витков
Рис. 7-9. Принципиальные схемы трансформаторов, с обмотками,
имеющими «полувитки».
а — трехфазный трансформатор с трехстержневым магнитопроводом (вторая
обмотка не показана); б — д — автотрансформаторы (все «полные» витки и
третичная обмотка опущены); б—-однофазный броневой; в — однофазный бро-
иестержневой с двумя стержнями; г — трехфазный трехстержневой; д — трех-
фазный бронестержневой.
196
всегда Целое. Условное понятие «полувитков» Наглядно и позволяет
резко упростить изложение.
Обмотки с «полувитками» характерны для мощных автотранс-
форматоров. Их вводы ВН и СН располагают на крышке с разных
сторон бака, чтобы выдержать необходимые изоляционные расстоя-
ния. Несколько вариантов принципиальных схем автотрансформато-
ров показано на рис. 7-9,6—д (причем все «полные» витки и третич-
ная обмотка опущены). При этом одинаково выполненные обмотки
разных фаз трехфазного трансформатора (или разных стержней
однофазного) будут иметь неодинаковое число эффективных витков
Рис. 7-10. Индуктированное напряжение (u=wSdBldt) при сину-
соидальной напряженности магнитного поля.
Пунктиром показан случай линейной кривой намагничивания.
[7-11]. Электрический контур, образованный данной обмоткой и ее
отводами, может оказаться сцепленным не только с магнитным по-
током стержня данной фазы, но и с потоком другого стержня или
ярма. Например, в трансформаторе, изображенном на рис. 7-9,а,
левая обмотка 1 раз охватывает свой стержень, т. е. содержит один
виток, правая — два, а средняя 1 раз охватывает свой стержень и
1 раз левую часть ярма, т. е. левый стержень. Изменение располо-
жения проводов внешней цепи, если эти провода не проходят через
окна магнитопровода, не влияет на рассмотренную разницу. Ток
вторичной обмотки фазы В, имеющей целое число витков, не может
одновременно скомпенсировать МДС в магнитных контурах обоих
окон магнитопровода. Если обмотки остальных фаз разомкнуты, то
ток рассматриваемого полувитка остается нескомпенсированным и
является намагничивающим для цепи, состоящей из ярм и крайних
стержней. Этот ток может создать значительный магнитный поток
и большие напряжения в разомкнутых обмотках фаз А, С при опыте
197
КЗ или нагрузке обмоток одной средней фазы В (рис. 7-10). Если
амплитуда напряженности превышает ширину петли гистерезиса и
можно пренебречь действием вихревых токов в стали, то наиболь-
шее мгновенное значение индуктированного в обмотках напряжения
будет во столько же раз больше, чем ирй синусоидально изменяю-
щейся индукции с той же амплитудой, во сколько раз наибольшая
динамическая магнитная проницаемость стали больше статической
(см. сплошные и пунктирные линии на рис. 7-10). При реальных
соотношениях мгновенное напряжение в разомкнутых обмотках фаз,
не участвующих в опыте КЗ, может в несколько раз превзойти но-
минальное [7-11] и оказаться опасным для изоляции обмоток.
Такое принудительное намагничивание и появление высоких на-
пряжений наблюдается в автотрансформаторах с магнитными си-
стемами по рис. 7-9,6, в, д (имеющими боковые ярма) при опыте
КЗ ВН-СН или СН-НН на любом одном стержне и с магнитной
системой по рис. 7-9,г (без боковых ярм) на средней фазе. В одно-
фазном автотрансформаторе с бронестержневым магнитопроводом
по рис. 7-9,в принудительное намагничивание ярм имеет место и
при опыте КЗ с участием обмотки СН на Двух стержнях. Поэтому
если на боковых ярмах имеются обмотки (например, регулировочная
и компенсационная), то их нельзя оставлять разомкнутыми в опытах
КЗ. При трехстержневом магнитопроводе с боковыми ярмами (см.
рис. 7-9,д) в трехфазном опыте КЗ с участием обмотки СН необхо-
димо соединять между- собой нейтраль и зажимы СН, чтобы пода-
вить возникающие в общей н последовательной обмотках направлен-
ные встречно значительные напряжения нулевой последовательности.
Кроме повышенных напряжений, индуктируемых .в разомкнутых
обмотках, «полувитки» могут вызывать искажения индукции в стали
и излишние потери в нормальных рабочих режимах. Например, это
возможно в однофазном автотрансформаторе с броневым или броне-
стержпевым магнитопроводом без обмоток на боковых ярмах.
Для ликвидации указанных явлений достаточно очень малых
токов в компенсационных, третичных или иных обмотках, соединен-
ных в треугольник или присоединенных к нагрузкам, источникам
либо обмоткам других стержней :[7-11]. В технической документа-
ции трансформаторов, имеющих «полувитки», необходимо особо ого-
варивать недопустимость или нежелательность работы и испытаний
в неполнофазных режимах или при отключенной компенсационной
обмотке. Конкретное решение по каждому режиму может быть при-
нято на основе расчетной оценки по изложенному в [7-11] методу
или легко выполнимых измерений в опыте КЗ.
Рассмотренное принудительное намагничивание и появление
кратковременных высоких напряжений (рис. 7-10) напоминает нор-
мальный режим работы пик-трансформатора и опасный режим
трансформатора тока с разомкнутой вторичной обмоткой.
7-6. ПЕРЕВОЗБУЖДЕНИЕ
Повышение напряжения при номинальной частоте и понижение
частоты при напряжении порядка номинального приводят к увели-
чению магнитных потоков и индукции в магнитной системе [7-12].
Повышение индукции вызывает резкий рост напряженности магнит-
ного поля. Появляются существенные магнитные потоки вне стали,
практически отсутствующие прн номинальной индукции в случае за-
мкнутой (без немагнитных зазоров) магнитной системы. Выравни-
198
вается распределение магнитных потоков (до соответствующих оди-
наковой индукции) по участкам магнитной системы, включенным
параллельно на схеме магнитной цепи, что может вызывать замет-
ные магнитные потоки в направлении, перпендикулярном плоскости
пластин стали. Значительные магнитные потоки выходят из стерж-
ней вблизй их торцов, вызывая местные добавочные потерн. При
сильном перевозбуждении появляются заметные потери в спинках
ярмовых балок и других металлических частях остова, а также до-
бавочные потери в обмотках от осевого и радиального магнитного
поля и соответствующие местные иагревы. При продолжительном
относительно небольшом перевозбуждении важно увеличение потерь
в стали от магнитного потока, проходЭДпего вдоль пластин.
Указанные сложные вопросы научены сравнительно мало. Если
по способности обмоток выдерживать перегрузки имеются стандар-
ты, книги и большое число статей, основанные на эксперименталь-
ных и расчетных исследованиях, то по определению предельно до-
пустимой индукции литературы мало [7-13]. Нет обоснованных норм
кратковременно и длительно допустимой температуры магнитопро-
вода, нет достоверных методов расчета местных нагревов, не раз-
работаны инженерные методы расчета потерь, не всегда даже извест-
ны наиболее опасные места.
В старых конструкциях с изолированными бумагой или бумаж-
но-бакелитовыми трубками стальными стяжными шпильками, про-
ходящими через отверстия в активной стали, безусловно именно на-
грев этих шпилек был наиболее «узким местом» при перевозбужде-
нии. Расчет, основанный на кусочно-линейной аппроксимации кри
вой намагничивания стали (см. рис. 6-6,а), шестиградусном правиле
износа изоляции и других допущениях, прн номинальной индукции
1,65 Тл дал результаты, приведенные в табл. 7-2.
Как видно, при повышении напряжения от 111 до 113% допу-
стимая по расчету продолжительность перевозбуждения падает на
1,7—2,5 порядка, т. е падает практически скачком. При меньших
напряжениях основной износ изоляции происходит во время самого
Таблица 7-2
Допустимая длительность перевозбуждения трансформатора
со стяжными шпильками
Напряжение на внутренней обмотке, в процентах от номинального Допустимая длительность перевозбуждения по расче- ту при износе изоляции шпильки, в процентах нормаль- ного срока службы
3 0.1
108 3000 ч 100 ч
110 400 ч 13 ч
111 80 ч 3 ч
112 6 ч 15 мип
113 15 мин 4 мин
114 5 мин 3 мин
115 3 мин 2 мин
120 1 мин 45 с
140 16 с 12 с
200 —' я 5 с 3 с
199
перевозбуждения, и он пропорционален длительности перевозбуж-
дения. При напряжении свыше 114% (при принятых для расчета
размерах шпилек и отверстий и других параметрах) основной износ
происходит во время охлаждения шпильки после снижения напря-
жения до номинального и износ резко возрастает с увеличением
длительности перевозбуждения (рост длительности в 1,3—1,7 раза
вызывает увеличение износа в 30 раз).
В магнитопроводе без стяжных шпилек нет местного уменьше-
ния сечения стали, и поэтому сильный нагрев стальных деталей кон-
струкции остова должен начинаться при более высоком напряжении,
соответствующем амплитуде расчетной индукции в стали около
2,0—2,1 Тл. Вероятно, следующей (после стяжных шпилек) деталью,
нагрев которой ограничивает допустимое перевозбуждение, явится
Рис. 7-11. К оценке потерь в нажимных пластинах прн перевозбуж-
дении.
а — сечение стержня н ближайшей к нему возбуждающей обмоткн; б — при-
нятая аппроксимация кривой намагничивания электротехнической стали; в —
зависимость напряженности магнитного поля от времени; г — то же при
исключенных паузах; д — сравнение кривой а (сплошная линия) с синусоидой
при тех же частоте н амплитуде (пунктирная лиция)
200
Стальная нажимная пластй: а стержня. По опытным данным [7-6],
при расчетной амплитуде индукции в стали Bm — L'eji/4fSCIw =
=2,1 Тл (где Uep — среднее напряжение обмотки) в опыте XX
трансформатора ТМН-1000/35 температура нажимной плиты толщи-
ной £ мм за первую минуту возросла на 100°С. Согласно i[7-6] при
индукциях Вт около 1,85—1,9 Тл в трансформаторах с бесшпилеч-
ной конструкцией магнитопровода еще не возникает опасных пере-
гревов конструктивных элементов; такие режимы перевозбуждений
эксплуатационно допустимы. Вероятно, на ограниченное довольно
продолжительное время можно допустить индукцию до 1,95 или
даже до 2,0 Тл, но для определения Допустимой продолжительности
таких режимов необходимы тщательные экспериментальные исследо-
вания реальных мощных трансформаторов, сопровождаемые расчет-
ным анализом.
С точки зрения расчетного анализа одним из простейших эле-
ментов представляется нажимная (стяжная) пластина — длинная и
относительно тонкая полоса из конструкционной или немагнитной
(маломагнитной) стали, расположенная рядом со стержнем магнито-
провода по всей его длине (рис. 7-11,а). При неограниченно длин-
ных обмотке, стержне и рассматриваемой полосе напряженность
магнитного поля Н в стали, у поверхности полосы и во всем осталь-
ном пространстве внутри обмотки одипакова. Приняв кусочно-ли-
нейную аппроксимацию кривой намагничивания стали по рис. 7-11,6,
при синусоидальных индуктированном напряжении и магнитном
потоке с амплитудой G>m=SeiiBm можно записать:
(jBcT(=jBm(sin<oZ| и /7=0 при |Вст|^£>а> т. е. |sin at
.=Ва/Вт; (7-48)
|jBct IScT-|-pio|/71 («об-—SCI) = |Ф| =BmScT|sin co/|
и |BCT| =Bs-|-po|//|
или
5
I /Л = —(fim | sin col I — Bs) при |BCT| ..>,
L> Bs, t. e. | sin at | >(i, (7-49)
где So6 — площадь, охваченная эффективным (по потокосцеплению)
витком обмотки; SO6=nZ)2s/4; Da—-диаметр эффективного витка;
Ds^D ер-—а/З^Оср.
Вид кривых зависимости Вст и Н от времени соответствует
кривым В и Н на рис. 7-6,6. Для оценки потерь в пластине необхо-
дима кривая Н. Она имеет вид отрезков синусоид с наибольшим
значением Нтах=(Вт—Ве)8сг/(цоВсв) и паузами продолжительно-
стью 2а/<о= (2/й>) arcsin (Ве/Вт) (рис. 7-11,в). Предположим (как
сделано в § 6-5 для оценки потерь при несинусоидальной индукции),
что во время пауз все процессы останавливаются, вихревые токи
и потери отсутствуют, а после паузы процесс продолжается так, как
будто паузы не было. Это означает, что вместо кривой по рис. 7-11,в
рассматриваем вихревые токи в пластине при изменении магнитного
поля у ее поверхности согласно кривой по рис. 7-11,г — полуволны
продолжительностью у=0,5л—а (как и.в случае рис. 7-11,в), но
без пауз. Частота такой кривой, обычно называемая эквивалентной
частотой; будет!
= = (7-50>
Потери, соответствующие частоте /эи, необходимо умножить на
относительную долю реального периода, в течение которой имеются
потери:
Y t
P~Pfav.~ PfaK£ • (7-51)
Полученная кривая, показанная на рис. 741,0 в увеличенном
виде, мало отличается от синусоиды частотой fSK с амплитудой
Hnai—см. пунктир на рис. 7-11,0 для случая В,/Вт=0,866; а=л/3;
у=л/6; f8K=3f. Именно для синусоиды обычно имеются методы
расчета. Отличие кривой по рис. 7-11,г от синусоиды можно учесть
введением поправочного коэффициента для потерь на вихревые токи
при отсутствии вытеснения магнитного поля. Опуская промежуточ-
ные выкладки, приведем выражение для
т, / 2а \ /2а sin 2а\
Апопр ^1 — я J (1 sin а) й 1 = " (7-52)
При небольших значениях а коэффициент Апоир практически ие
отличается от 1,0. При а, близких к л/2, используя подстановку
а=0,5л—у и раскладывая функции в степенные ряды, получаем:
32 / ys \ / V2 \-2 / V2 \
~ +• • • Д1 — Л2'+ • • J == 1,08 ^1 — go J-
(7-53)
Для оценки потерь при синусоидально изменяющейся индукции
можно использовать известные методы (см. § 2-5 или 11-1). Напри-
мер, пусть Вт=2,1 Тл; Bs=2fi Тл; [=50 Гц; Z)B/Z)CT = 1,3; /г3=
=0,85; Sct/«SO6=0,85/1,3z=0,5, толщина пластины Ь=4 мм. Тогда
по (7-49)—(7-53) получаем Нт — 0,5-(2,1—2,0) /ро =0,05/go=
=40 кА/м; a=arcsin (2,0/2,1) =72°10'=1,26; [вк = 50 Гц-л/(л—
-2-1,26) =253 Гц; у=0,5л—1,26=0,31; Апоир= 1,08(1—0,31г/30) =
= 1,08. Для немагнитной стали рг=1, для конструкционной экстра-
поляции кривой р,эк из [2-25] имеем ргэк=45. При р = 0,8
и 0,14 мкОм-м соответственно 6= К2-0,8-10-3/2л-253-4л-10-7-1,0=
=2-10-2 м=20 мм и 1^2-0,14-10-в/2л-253-4л-10~7-45= 1,25 мм;
5/6=4/20=0,2 и 4/1,25=3,2; по рис, 6-8: Кнв = 1,0 и 2,0; АРВ =
= 1,0 и 0,84. Выражая ВтСр через Нтах согласно (6-38), из (6-37)
получаем:
рв^^ (2л[Вк5р,о|Рг//тах)2КпопРКРв/ (24р'уК2ив), (7-54)
где у —плотность материала пластины, откуда рв= (2л-253-4Х
Х10-3-4л-10-7-4-104)2-1,084,0/(2,4-0,8-10-»-7,8-103)=0,74 Вт/кг и
0,74-452-0,84-0,8/0,14-2,02= 1800 Вт/кг; скорость адиабатического
нагрева при удельной теплоемкости с=480 Дж/(кг-К) равна
0,74/480= 1,5-10-3 К/с=0,1 К/мии и 1800/480=3,7 К/с^200 К/мин.
Как видно, в немагнитной стали нагрев ничтожно мал, а в кон-
струкционной оценка правильно дала порядок скорости иагрева
202
200°С/мии при отсутствии теплоотдачи вместо 100°С/мин при нали-
чии теплоотдачи [7-6]. Такая точность здесь вполне достаточна,
ибо погрешности последующих тепловых расчетов и оценки износа
значительно больше.
7-7. ТОКИ ВКЛЮЧЕНИЯ
Для отстройки дифференциальной токовой релейной защиты не-
обходимо знать ток («броски тока») при внезапном включении
трансформатора в произвольный момсэд времени, т. е. при произ-
вольной начальной фазе напряженйяйД7-14]. Аналогичные броски
тока, связанные с насыщением стали, встречаются при включении
трансформатора на закоротку [7-15] и в некоторых других пере-
ходных режимах. При расчетах таких режимов основные трудно-
сти обычно связаны с определением исходных данных — таких, как
остаточная индукция в стали магнитопровода трансформатора перед
включением ВГТр и эквивалентное активное сопротивление цепи г,
определяющее скорость затухания переходного процесса. •
Остаточная индукция в отожженном навитом магнитопроводе
после умышленного сильного намагничивания его постоянным током
близка к остаточной индукции стали '[6-10].' В реальных условиях
остаточная индукция всегда меньше по нескольким причинам.
В шихтованном магиитопроводе Вгтр не может быть заметно выше
0,5Bs, т. е. выше 1,05 Тл, хотя в хорошей стали Вг близка к 1,5 Тл
(см. рис. 6-4Д). Даже при очень малом зазоре в стыках шихтовки
А (см. рис. 7-6,а), если индукция в стали на участке стыка В за-
метно выше Bs, то для проведения магнитного потока через этот
участок необходима МДС, намного превышающая МДС, создавае-
мую коэрцитивной силой. Например, пусть петля гистерезиса пря-
моугольная; длина стали I в 2000 раз больше длины зазоров /3;
Не=5 А/м согласно рис. 6-4,d; Bs=2,05 Тл; 6=0,95. Тогда из
условия Нг13=Нс1 и (7-27) следует:
Brip=Bc'l: — 0,5В s(Вз—Bs)Jk—0l5Bs-[-'р.о/7з/k=
=O,5Bs-j-iioHclfl3k; (7-55)
ВгтР==0,5-2,05-|-4я-10-’-5-2000/0,95= 1,025+0,013= 1,04 Тл.
В стыковом магнитопроводе остаточная индукция ничтожно
мала даже при заполнении зазора ферромагнитной пастой (клеем).
Например, при тех же условиях и относительной магнитной прони-
цаемости клея |ir= 10 имеем:
BrTp=BCT = =р.орг/7 cl /l3k‘, (7-56)
Вгтр^= 4л-10-7-10-5-2000/0,95 = 0,13 Тл; при ц, = 3 получаем
В сети перед отключением ток обычно намного меньше, чем
соответствующий насыщению стали и предельной петле гистерезиса.
Главное же — при отключении трансформатора в сети выключате-
лем имеет место колебательный процесс, после которого остаточная
индукция, в магнитопроводе может быть в несколько раз меньше,
чем индукция в нем же после его намагничивания постоянным то-
ком. Остаточная индукция может иметь другой знак (обратное на-
правление) по сравнению с индукцией перед отключением. По опыт-
ным данным [7-16] остаточная индукция в эксплуатируемых мощ-
ных трансформаторах редко превышает 0,6 Тл, причем наибольшая
203
индукция существенно зависит от типа выключателя, которым про-
изводится отключение. По измерениям на ряде малых макетов [7-17]
остаточная индукция в магнитопроводе после разряда конденсатор-
ной батареи сильно 'зависит от запасенной энергии (рис. 7-12). Эта
периодическая зависимость позволяет предположить, что остаточная
индукция в трансформаторе определяется не только типом выклю-
чателя, но и емкостью системы шин, остающейся присоединенной
к трансформатору,, после его отключения от сети. При не слишком
малой емкости в [7-17] рекомендуется принимать ВГТр=0,35ВНом,
что согласуется с {7-16].
Рис. 7-12. Зависимость остаточной индукции в макете с навитым
магнитопроводом из стали 3413 от энергии, запасенной в конденса-
торной батарее [7-17].
Впред ~ предельная остаточная индукция после глубокого насыщения по-
стоянным током; С* н 1FСй — емкость и энергия конденсатора в относитель-
ных единицах.
Активное сопротивление должно содержать не только сопротив-
ление постоянному току первичной обмотки и сети, ио и слагаемое,
обусловленное добавочными потерями, так как последние также
демпфируют переходный процесс. При насыщенном магнитопроводе
добавочные потери могут быть значительными из-за увеличенной
радиальной составляющей магнитного поля по сравнению с полем
рассеяния. Методы расчета этих потерь не разработаны. В первом
приближении приходится брать долю добавочных потерь такой же,
как в опыте КЗ. Вебер-амперная характеристика также известна
лишь приблизительно. Опытных данных о таких характеристиках
мало — выполнены измерения лишь на нескольких мощных транс-
форматорах в режиме XX [5-7], при включении [7-18] и в режиме
КЗ [7-15]. В ходе процесса изменяется объем насыщенной части
стали магнитопровода — обычно сначала насыщается часть стержня
внутри обмотки, затем высота насыщенной части стержня увеличи-
вается, далее возможно насыщение «углов» и ярм. При допущениях
(§ 5-3), приводящих к простейшей кусочно-линейной аппроксима-
ции вебер-амперной характеристики, имеем:
‘‘=0 при|ф|<Ш5Я
i = (| ф | - Ws)/Ls при |ф| >Ф5, (
где
= BsSw, Ls = p.0w2So6///: (7-58)
5об = tcD%/4; Рэ = РСр-а/3.
•По опытным данным '[5-7] немного меньше, чем по (7-58),
а при наличии в стали отверстий для стяжных шпилек — даже иа
10% ниже; индуктивность Ls обмоток крайних стержней немного
меньше, чем по (7-58), а среднего стержня больше. Разница изме-
ренных индуктивностей £Е обмоток среднего и крайних стержней
иногда достигала 30%. -
Если известны все исходные даййые, то для внезапного включе-
ния на XX имеем электрическую схему замещения по рис. 7-13,а
с характеристикой по рис. 7-13,6 либо расчетную схему по рис. 7-13,в.
Из уравнения u—ir-f-dty/'di при синусоидальном напряжении и=
=Um sin ('tof—|—<р) по рис. 7-13,г и ^>0, причем ЧГ,>ЧГЯ1, для этой
схемы следует:
t t t
Ф = Ч*г + и dt — ir dt=Jgr-\- cos <p — -j— cos (co t -f- <p) — ir dt.
bo b
(7-59)
Вид кривых ф, i и интеграла ir показан на рис. 7-13.6—ж
сплошными линиями. Волна тока i номер п начинается в момент
in = (2шг+ап—<р) /ш, (7-60)
где
a„ = arccos [ (Ф„ - Ф5)/Фт]; Ф(1 =
*п
= Ч?г-}-Ч?,„ cos ?—J irdt. (7-61)
о
Для вычисления J irdt сначала пренебрегаем падением напря-
жения в активном сопротивлении за половину данной волны. Тогда
кривые ф и i имеют вид отрезков синусоид (см. пунктирные кривые
на рис. 7-13,6, е). При этом легко найти поправку, обусловленную
падением напряжения за половину волны:
2птс—п—<р 2/Ш—г;—<р
f = i J [V„-Vs-Vmcos(<o# +
tn 2пк—2к—<р+и/2
+?)W = — *₽«) (" — ««) + sin a,г = Ч'тЯ’дцг, (7-62)
где
/Сдчг = sin a„ + (тс - «„) (Ш„ - Vs)/Vm. (7-63)
205
Рис. 7-13. к расчету тока включения трансформатора на XX или
реактора с замкнутой магнитной системой без зазоров.
cl принципиальная схема цепи, б, в — вебер-амперная характеристика и схе-
ма цепи соответственно, принятые для расчета; г - ж - кривые зависимости
напряжения, потокосцепления, тока и поправки к потокосцеплению от време-
ни соответственно; з — вспомогательные кривые для расчета.
Зависимость а„ и Лл1К от (V,,—Vs)/Vm дана на рис. 7-13, з.
По значению Vn перед началом данной волны тока можно опреде-
лить предварительные значения Лд<р и Д¥п и параметр —AVп,
соответствующий моменту. времени (2п—1)л—ф. По нему можно
снова определить AVn и принять, что такая же поправка относится
ко второй половине волны. Расчет с помощью кривой
(рис. 7-13,з) при ограниченном числе волн (периодов) выполняется
достаточно быстро. Например, пусть <р=0; Vr/lPm=0,3; Va/Vm =
= 1,2; г/ы£в=0,05; для сокращения записи Vm = l,0; Z,s = l,0. Рас-
чет приведен в табл. 7-3.
Таблица 7-3
Пример расчета тока включения
п ФпП0 (7-61) ф —ф /2 S по рис. 7-13, з ДЧГ*И ПО (7-62) ЦТ „ф _ п S —Дф* п /Гд|р по рис. 7-13, 3 по (7-62) 'птах 1,0 (7-57) и (7-59)
1 1,30 0,10 1,15 0,06 4-0,04 1,1 0,11 1,04
2 1,19 —0,01 1,0 0,05 —0,06 0,9 0,09 0,94
3 1,10 —0,10 0,85 0,04 —0,14 0,8 0,08 0,86
4 1,02 —0,18 0,73 0,036 —0,22 0,7 0,07 0,78
5 0,95 —0,25 0,65 0,033 —0,28 0,6 0,06 0,72
6 0,89 —0,31 0,57 0,028 —0,34 0,5 9,05 0,66
7 0,84 . . .
‘Предварительные значения.
При необходимости расчета тока в течение многих периодов,
а также при учете взаимного влияния фаз целесообразно использо-
вать метод и вспомогательные кривые из [7-14].
7-3. ТОКИ В МАГНИТОПРОВОДЕ
Ввиду несовершенства электрической изоляции пластин стали
магиитопровода и особенно из-за замыканий пластин заусенцами
возникают токи, замыкающиеся между пластинами, и соответствую-
щие потери. Если среднее по объему пакета удельное электрическое
сопротивление р в направлении, перпендикулярном пластинам, по-
стоянно во всем объеме пакета пластин шириной d и на несколько
порядков больше удельного сопротивления стали, то для расчета
этих потерь можно применить формулу (6-34), принимающую в дан-
ном случае вид
4
$ 3 ру/г
(7-64)
При синусоидальной индукции частотой [=50 Гц с амплитудой
Вт = 1,6 Тл, плотности стали у=7,65-103 кг/м3 и коэффициенте за-
207
полиения /г=0,95 имеем:
4 1,112-502-1,62d2 d2 ..
pt=z 3 ’ 7,65-103-0,95р-1’5 р • <7‘65)
Если поставить условие, что рассматриваемые потери, напри-
мер, в 50 раз меньше основных потерь в стали, т. е. р=
—0,05 Вт/кг, то
p=l,5d2/0,05=30d2. (7-66)
Следовательно, минимально допустимое удельное сопротивление
стали с ее изоляцией в направлении, перпендикулярном листам,
равно р=15 Ом-м при d=0,7 м; 2 Ом-м при 0,25 м и 0,2 Ом-м
при 0,08 м.
Сопротивление изоляции всего магнитопровода — электрическое
сопротивление между его крайними листами — при квадратном се-
чении стержней и ярм (dXd) равно rK!t=pdlld=pl, где I — сум-
марная длина всех стержней и ярм. При круглом сечении диаметром
d сопротивление равно:
+d/2
„ _ Г я Р п fi7,
из“ J /.2/(d72F=^ 2 /’
—d/2
т. е. в л/2=1,57 раза больше, чем при квадратном сечении (под
интегралом х понимается координата по толщине пакета пластин,
если считать от середины сечения).
При указанных выше условиях (2% потерь, ширина пластин 0,7;
0,25 и 0,08 м) и суммарной длине частей магиитопровода соответ-
ственно 30; 6 и 1 м сопротивление изоляции гиз должно быть не
менее 0,75; 0,5 и 0,3 Ом. В крупных трансформаторах нормируют
сопротивление именно такого порядка, в небольших — в несколько
раз большее, поскольку при неизменной изоляции пластин естествен-
но получающееся сопротивление обратно пропорционально линейным
размерам — см. (7-67). Лишь в самых малых трансформаторах при-
меняют сталь без изоляции пластин.
7-8. ШУМ И ВИБРАЦИИ
Основным источником шума и вибраций в трансформаторах и
реакторах с замкнутыми (без зазоров) магнитопроводами является
продольная магнитострикция активной стали (§ 6-6). Поскольку
изменение длины пластины не зависит от знака магнитной индукции,
то частота первой гармоники изменения размеров магиитопровода
при отсутствии постоянного подмагничивания равна удвоенной часто-
те сети (100 Гц при частоте сети 50 Гц). Ввиду нелинейной зависи-
мости длины от индукции, существенно отличающейся от квадратной
параболы, даже при синусоидальном магнитном потоке изменение
размеров содержит значительные высшие гармоники. Звуковое дав-
ление при неизменной амплитуде пропорционально частоте звука,
т. е. роль высших гармоник относительно подчеркнута. Сильно по-
вышается относительная роль высших гармоник при определении
уровня шума в децибелах по условной стандартизованной шкале А,
примерно соответствующей зависимости чувствительности человече-
ского уха от частоты.
208
Вопросы измерений й нормирования Шума трансформаторов
рассмотрены в [1-30, 3-11, 7-19, 7-20].
Ввиду сильной роли высших гармоник, наличия дополнительных
источников шума, сложной формы остова и бака, а также плохо
поддающихся расчету путей передачи шума через металлоконструк-
ции и масло теоретических методов оценки шума трансформаторов
и реакторов нет и вряд ли такие методы появятся. Обобщение
опытных данных для отечественных масляных трансформаторов
с магнитопроводами из стали марок 3414 или М6Х [7-20] дает сле-
дующие эмпирические формулы:
LA=X+101gST; (7-68)
LA = 54+151gG+801g (В/1,62), (7-69)
где La — средний уровень шума на измерительном расстоянии 0,3 м,
дБ по шкале A; ST — типовая мощность трансформатора, МВ-А;
К=57 при классах напряжения 6—10 кВ; 59 — прн 35 кВ; 61 —
110—150 кВ; 63 — 220 кВ; 64 — 330 кВ и 65 при 500—750 кВ; G —
масса магнитопровода, т; В — номинальная индукция, Тл. При стали
марки 3413 уровень шума примерно на 3 дБ (по шкале А) выше.
Уровень шума трансформатора с пространственным стыковым маг-
питопроводом примерно на 3 дБ (по шкале А) выше, чем с плоским
шихтованным, а с дутьем иа 3 дБ (по шкале А) выше, чем без
него. Кроме указанных, в [7-20] приведены данные о влиянии ряда
других факторов. Обзор методов расчета шума трансформаторов и
борьбы с ним имеется в [3-11, 7-21, 7-22].
В реакторах, имеющих магнитные системы с зазорами, а также
броневые и ярмовые, возникают значительные магнитные силы, дей-
ствующие на части магнитопровода у зазоров или поверхности окна
[см. формулу (2-28)]. При ненасыщенной стали и синусоидальном
токе сила содержит постоянную составляющую, практически ни на
что не влияющую, и одну гармонику с частотой, равной удвоенной
частоте сети. Колебания с частотой 100 Гц человеческое ухо воспри-
нимает сравнительно плохо, так что проблема шума для таких реак-
торов не более остра, чем для трансформаторов. Механические же
колебания остова и других частей реактора представляют опасность,
особенно если собственная частота колебаний недалека от частоты
возбуждающей силы и возможно резонансное увеличение амплиту-
ды колебаний по сравнению со статическими смещениями (деформа-
циями) частей под действием такой же силы. Вибрации особенно
опасны в мощных шунтирующих реакторах, где порядок собствен-
ных частот колебаний часто близок к 100 Гц. Иногда приходится
идти иа то, чтобы первая резонансная частота была ниже 100 Гц,
а вторая выше, например 50 и 270 Гц в реакторе 750 кВ [7-23].
При несинусоидальном магнитном потоке или при насыщении
стали в силе возникают высшие гармоники [7-24] и опасность сов-
падения частоты одной из них с одной из собственных частот воз-
растает. При наличии постоянного подмагничивания магнитные силы
содержат составляющую с частотой, равной частоте сети.
В связи с механическими разрушениями обмоток, баков и дета-
лей конструкции из-за вибраций следует отметить, что число циклов
10 млн., считавшееся в «сопромате» достаточно большим для опре-
деления предела усталости, в реакторе достигается за 107/(2-50Х
X 3600-24) = ! сут. При увеличении числа циклов прочность многих
материалов продолжает снижаться примерно по прямой линии в ло-
14—774 209
гарифмическом масштабе. В случае совпадения собственных частот
колебаний отдельных деталей с удвоенной частотой сети возможны
поломки даже при ничтожно малых силах (например, были-случаи
поломки стяжных шпилек трансформаторов).
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
РАСЧЕТ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ВНЕ СТАЛИ
8-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Расчет магнитного поля вне магнитопровода являет-
ся основой для определения индуктивности, добавочных
потерь и электродинамических усилий. Для расчета уси-
лий, действующих на отдельные элементы обмоток, и
местных добавочных потерь необходимо знать парамет-
ры магнитного поля в соответствующих местах. Подроб-
ная картина поля используется при точных расчетах сум-
марных усилий и полных потерь и при реализации спо-
собов их снижения. Поэтому детальный расчет поля с по-
мощью цифровой ЭВМ. занимает центральное место
в подробном электромагнитном расчете трансформато-
ров и реакторов [8-1, 8-2]. Его отдельным аспектам по-
священо множество работ — см., например, список лите-
ратуры, упоминаемой в [8-3]. Часто расчет и исследо-
вание поля занимают значительное место в публикациях
по электродинамической стойкости трансформаторов
при КЗ и по добавочным потерям — например, см. об-
зор [8-4] и доклады Е. Стенквиста, А. Пишона,
Д. Кулда, Е. Пирктля, М. Ойяма, С. Апетрея, Л. Торсе-
ка, Э. А. Манькина и другие доклады СИГРЭ [8-5],
доклады симпозиума в г. Лодзи (1979 г.) [8-21].
Большой список литературы дан в [8-6]. Там же
приведены разработанные авторами методы расчета по-
ля для относительно сложных расчетных моделей, вплоть
до многостержневого трансформатора с прямоугольным
баком. Они были реализованы в виде программ для ЭВМ.
В публикациях последних лет основное внимание об-
ращается на наиболее точные методы определения поля
расчетом на ЭВМ либо моделированием. Однако наи-
большая достижимая точность необходима не всегда,
часто нужна быстрая оценка порядка величин. Упрощен-
ное представление картины магнитного поля бывает
достаточным при выводе формул для расчета таких
интегральных параметров, как индуктивность, полные
потери, суммарные усилия. Кроме того, погрешности,
210
обусловленные разными допущениями, могут иметь раз-
ные знаки, и не всегда точнее более сложный метод, учи-
тывающий больше факторов. Упрощенные способы рас-
чета часто позволяют учесть факторы (например,
сложную форму в плане бака реактора без стали — см.
§ 8-7), не поддающиеся учету в имеющихся сложных
методах расчета. Ниже обращено внимание на система-
тизацию влияющих факторов и упрощенные методы,
приемлемые для расчета вручило.
При выборе допущений (§ 8-2) необходимо иметь
в виду цели, для которых выполняется расчет поля. Для
определения индуктивности и суммарных потерь и уси-
лий местные особенности и неоднородности поля обычно
несущественны, а для расчета местных потерь и нагре-
вов они часто важны.
8-2. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ
Рассмотрим типичные допущения.
1. Отсутствуют вихревые токи в проводах обмоток,
отводах, электростатических экранах и других неболь-
ших проводящих частях, а также в магнитопроводе.
При обычных размерах проводов и промышленной ча-
стоте влияние этих токов на поле ничтожно мало. При
высокой частоте вытеснение магнитного поля из прово-
дящих частей может быть заметным. Для грубой пре-
увеличенной оценки влияния вихревых токов на поле
вне этих частей можно принять, что электрическая про-
водимость бесконечно велика и, следовательно, магнит-
ное поле не проникает в рассматриваемые тела — так
же, как было бы при их магнитной проницаемости, рав-
ной нулю. Для оценки потока в обмотках с прямоуголь-
ными проводами, расположенными ровными рядами,
можно использовать кривую Кнв (см. рис. 6-8) и приме-
нить метод, изложенный в § 11-3. Например, для расче-
та магнитного потока или индуктивности при обмотке
из листа или многослойной с малыми осевыми проме-
жутками между проводами в трансформаторе с равно-
высокими концентрическими обмотками или реакторе
с широкими торцевыми ярмами достаточно разделить на
Кнв площадь проводов (колен) в сечении, перпендику-
лярном оси обмотки. При обмотке из фольги можно при-
нять, что радиальная составляющая магнитной индук-
ции в сечении обмотки отсутствует, а на осевую вихре-
вые токи не вЛияют (§ 11-5).
14» 211
2. Ток равномерно распределен по параллельным
проводам обмотки, т. е. предполагается идеальная
транспозиция. Можно ввести в расчет неодинаковые то-
ки в проводах или группах проводов (катушках, груп-
пах катушек, например половинах обмотки ВН при
расщепленной обмотке НН) или отдельно оценить маг-
нитное поле циркулирующих токов и наложить его на
поле основных равномерно распределенных токов (на-
пример, при параллельном соединении соседних прово-
дов или катушек).
3. Сечение обмотки имеет вид ряда участков (зон)
простой формы, почти всегда прямоугольников, в пре-
делах каждого из которых ток (МДС) распределен рав-
номерно, т. е. плотность тока постоянна. Это означает,
что токи равномерно «размазаны» по сечению проводов,
катушек, слоев вместе с их изоляцией и охлаждающи-
ми каналами, а не только по сечению жил проводов.
Число зон определяется возможностями применяемой
вычислительной техники и неравномерностью обмотки.
При использовании мощной ЭВМ можно принять, что
каждая катушка является зоной и вопрос о критериях
неравномерности обмотки для ее деления на зоны исче-
зает. Сейчас эти критерии довольно громоздки. Для рас-
чета вручную или математического моделирования (см.
§ 2-4) рекомендуется построить эпюру плотности или
линейной плотности тока (МДС па единицу площади
сечения или высоты обмотки) с учетом различий катушек
и каналов, а по ней на глаз выбрать высоты минимального
числа зон так, чтобы в каждой зоне площадь и координа-
та центра тяжести упрощенной и точной эпюр совпадали,
а разность эпюр не содержала бы подряд участков одно-
го знака, имеющих значительную площадь. Погреш-
ность от упрощения обмотки—это магнитное поле раз-
ности реальной и упрощенной систем токов, характери-
зуемой разностью указанных эпюр. Чем чаще чередуются
токи разных знаков, тем слабее поле такой системы
и тем быстрее оно убывает с удалением от обмотки (см.
§ 8-4).
4. Все части имеют относительно простую форму, их
поверхность сглажена. Почти всегда стержень магнито-
провода, имеющий ступенчатое сечение, заменяется кру-
говым цилиндром (кроме случая определения магнит-
ной проводимости между стержнем и боковым ярмом
[7-7]). Диаметр цилиндра часто берется равным диа-
212
метру описанной окружности стержня, хотя правильнее,
видимо, брать диаметр, эквивалентный стержню по пло-
щади поперечного сечения. Иногда эквивалентный диа-
метр принимают равным ширине пластин наибольшего
пакета стержня. Поверхность торцевого ярма, обращен-
ную к обмотке, считают бесконечной плоскостью (вме-
сте с магнитными шунтами или полками ярмовых ба-
лок) или наличие ярм не учитывают совсем. Видимо,
для области в окне магнитопроьода точнее считать ярма
бесконечными; на поле вне окна при отсутствии магнит-
ных шунтов ярма почти не влияют.
5. Ферромагнитные части или их крупные участки
имеют одинаковую магнитную проницаемость во всех
точках, т. е. задача может решаться как линейная. Маг-
нитная проницаемость может быть разной в разных ре-
жимах. Если не учитывается магнитное поле вихревых
токов, то можно принимать разную магнитную прони-
цаемость для различных моментов времени в течение пе-
риода или переходного процесса. При прямоугольной
кривой намагничивания стали [по формуле (6 6) в слу-
чае рг=1], одинаковой индукции во всех точках участ-
ка до насыщения и совпадении направления напряжен-
ности поля после насышения с направлением индукции
в этой же точке до насыщения можно применить прин-
цип наложения даже для такой существенно нелинейной
системы. В этом случае поле представляется как сумма:
1) поля при ненасыщенной стали, созданного токами,
соответствующими индукции Bs в насыщающемся участ-
ке; 2) поля при отсутствии стали на этом участке, со-
зданного разностью реальных и указанных токов. Та-
ким образом, необходимо решить две линейные задачи
вместо одной нелинейной. В случае существенного вы-
теснения поля вихревыми токами магнитная проницае-
мость должна считаться постоянной в течение периода,
при этом можно применить метод эквивалентных сину-
соид. При несинусоидальных токах и переходных про-
цессах одновременный учет нелинейности и вихревых
токов очень труден. Из возможных путей расчета наибо-
лее перспективным здесь представляется метод вторич-
ных источников (фиктивных токов на границах участков
с разной магнитной проницаемостью или в областях ее
плавного изменения) в сочетании с интегральными урав-
нениями и элементами метода сеток [2-7, 2-8, 8-7].
6. В обмотках отсутствуют осевая и радиальная со-
213
стйвляющие тока. При необходимости магнитное поле
от этих составляющих, имеющихся, например, в пере-
ходах между витками или катушками по рис. 4-4,а,
можно оценить такими же способами, какими рассчиты-
вается поле отводов. В винтовой обмотке осевая состав-
ляющая тока равномерно распределена по всей окруж-
ности (длине витка) и по радиальному размеру обмот-
ки, т. е.. как бы по трубе, имеющей размеры обмотки.
До сих пор такой расчет для обмоток других видов не
требовался. Более того, в подавляющем большинстве
трансформаторов общего назначения (кроме крупней-
ших повышающих) часто пренебрегают даже магнит-
ным полем отводов, обычно легко рассчитываемым. По-
ле отводов можно определить, используя методы, раз-
работанные для прямолинейных неограниченно длинных
токопроводов, для поля рассеяния трансформаторов или
для ограниченных по длине отрезков прямолинейных
проводов или шин, соответствующих токоведущим ча-
стям электрических аппаратов [2-17].
7. При расчете -поля в данном осевом (в случае круг-
лых обмоток) или в перпендикулярном проводам (в слу-
чае прямоугольных или овальных обмоток) сечении
трансформатора (или реактора) считается, что все дру-
гие сечения точно такие же, т. е. поле двухмерное (осе-
симметричное или плоскопараллельное). Для трехмер-
ных задач в качестве универсальных методов можно
использовать объемную электролитическую ванну [2-5]
и метод вторичных источников [2-8]. Метод сеток в трех-
мерной задаче чрезвычайно громоздок для расчета. При
отсутствии ферромагнитных и проводящих тел (кроме
обмоток с известными токами) принципиально легко
рассчитать поле при любой форме обмоток и отводов
интегрированием по источникам поля. В практически
очень важном случае винтовых обмоток с большим ша-
гом («сходом винта») расчет проводят несколько раз
соответственно различным осевым сечениям реальных
обмоток, каждый раз считая, что обмотка имеет вид
прямого кругового цилиндра или прямолинейной шины.
Для приближенного учета роли обмоток нескольких
стержней можно провести расчет поля в данной точке
от токов обмоток каждого стержня в отдельности (при
отсутствии остальных) и просуммировать результаты.
Указанные допущения принимаются в подавляющем
большинстве практических расчетов. Выбор одного из
214
двух дальнейших допущений определяется йсгюльзуё-
мыми для определения поля техническими средствами.
При расчете по аналитическим формулам приходится
принимать очень простые формы обмоток и поверхно-
стей оружающих обмотки тел и простые свойства этих
тел.
8. Круглые обмотки прямоугольного сечения распо-
ложены в непроводящей области пространства («окне»)
(ра=ро И у=0), ограниченна плоскими (перпендику-
лярными оси) и цилиндрическими (соосными обмотке)
поверхностями, за которыми расположена среда с не-
ограниченно большой магнитной проницаемостью
Рис. 8-1. Варианты условий для аналитического расчета магнитно-
го поля.
а — замкнутое окно; б-—окно броневого реактора; в —стержень и боковая
стенка; г — стержень и торцевые ярма; д — стержень.
(рис. 8-1,а). Решение Рабинсом этой задачи в цилин-
дрических координатах, изложенное в [8-8], содержит
функции Бесселя и интегралы от них. Распределение то-
ка по высоте окна представляется рядом Фурье. Сум-
марная МДС в окне должна быть равна нулю. В работе
Торсека и Пирктля, кратко изложенной в [8-9], даны
формулы для случая, когда только за двумя противо-
положными поверхностями окна магнитная проницае-
мость бесконечна, а за другими двумя конечна. Прини-
мая относительно большими размеры окна, можно по-
лучить решения для ряда других случаев (рис. 8-1,6—д).
При этом для практически важного случая броневых
реакторов по рис. 8-1,6 приходится оставлять тонкий
стержень с равномерной фиктивной обмоткой. Ряды
обычно сходятся не быстро (например, в [8-2] упоми-
нается число членов до 170), и расчет практически воз-
можен только при помощи ЭВМ. Другие предложенные
решения (например, А. Г. Бунина и Л. Н. Конторовича
[8-10]) для Одного стержня с конечной магнитной про-
215
Иицаемостыо (рис. 8-1,5), отличающиеся учетом гранич-
ных условий, видом функций и очередностью их расчета,
также требуют применения цифровой ЭВМ. Особо сле-
дует отметить работу Л. А. Мастрюкова [8-11], где
дано решение для круглой обмотки в цилиндрической
полости (рис. 8-1,6) в проводящей среде, т. е. для реак-
тора без стали с электромагнитными экранами. Реше-
ние дано для двух вариантов:
а) торцевые экраны (плоскости) сверхпроводящие,
а боковой (цилиндрический) экран имеет конечную
электрическую проводимость;
б) наоборот, проводимость торцевых экранов конеч-
на, а цилиндрического бесконечна.
При использовании вспомогательных кривых из
[8-11] в случае равномерной обмотки, находящейся
в середине окна по высоте, возможен расчет интеграль-
ных параметров поля вручную. Решение для поля здесь
также имеет вид рядов из произведений тригонометри-
ческих функций на функции Бесселя. Аналогичные ре-
шения Л. А. Мастрюков получил для случая магнитного
экрана, т. е. для осесимметричного броневого реактора.
При математическом моделировании осесимметрич-
ного поля, например в электролитической ванне или на
сеточной модели, можно было бы учесть части любой
формы (в частности, прессующие кольца). Однако та-
кое моделирование практически не освоено. Поэтому
для широко примеряемого моделирования магнитного
поля полем токов проводимости в электропроводящей
бумаге приходится не учитывать роль кривизны обмо-
ток и других частей.
9. Радиус обмоток и поверхностей стержня, бака и
других частей, учитываемых при расчете, неограниченно
велик, а все осевые и радиальные размеры в осевом се-
чении сохраняются соответствующими реальным разме-
рам. Это означает, что вместо поля круглых обмоток
определяется магнитное поле бесконечных прямолиней-
ных шин с сечением, тождественным сечению обмоток,
окруженных параллельными им проводящими и ферро-
магнитными частями, сечение которых тождественно
осевому сечению реальных частей (с учетом всех или
некоторых из допущений 1—7). При этом можно учесть
прессующие кольца, ярмовые балки, бак сложной фор-
мы (соответствующей железнодорожному габариту),
массивную обмотку из медного или алюминиевого листа
216
(см. § 2-4). Техника моделирования на электропроводя-
щей бумаге по второму методу (§ 2-4) особенно проста,
если имеется среда только трех видов: рп=ро, у—0 (бу-
мага); ра=°° (вырезы в бумаге или ее граница); -у=0
(фольга, наклеенная на бумагу). Зона обмотки с равно-
мерно распределенным током изображается фольгой за
конденсаторным слоем или группой равномерно распре-
деленных точечных токовводов. Для расчета интеграль-
ных параметров длина пйй^копараллельного поля
считается равной средней длине витка обмоток, участ-
вующих в рассматриваемом режиме, или фактической
длине рассматриваемой части в направлении вдоль
окружности.
Большинство расчетов магнитного поля для опреде-
ления местных добавочных потерь и электродинамиче-
ских усилий в обмотках мощных трансформаторов вы-
полнялось с помощью малых и средних цифровых ЭВМ
для плоскопараллельного поля. Для этих расчетов при-
ходится принимать по существу совокупность допуще-
ний 8 и 9, а именно допущение 8 при бесконечно боль-
шом радиусе кривизны или допущение 9 с оговоркой
о простой форме сечения обмоток и других частей, со-
ответствующей рис. 8-1. Методы расчета плоскопарал-
лельного двухмерного поля рассмотрены в § 8-3. Неко-
торые из этих методов приемлемы не только для под-
робного расчета с помощью ЭВМ, по и для упрощенной
расчетной оценки, анализа опытных данных, приближен-
ной проверки и корректировки результатов математиче-
ского моделирования, поиска путей снижения местных
потерь и электродинамических усилий и других целей,
требующих наглядного расчета и быстрого ответа без
обращения к ЭВМ. Элементы таких методов рассмотре-
ны в § 8-4 и 8-5.
Для реакторов без стали и экранов, а иногда и для
трансформаторов можно пренебречь влиянием намагни-
чивания ферромагнитных частей и вихревых токов в про-
водящих частях.
10. В немагнитном непроводящем пространстве (р,=
—1; у=0) находятся обмотки заданной формы с извест-
ными токами. Магнитное поле всегда можно найти по
закону Био — Савара интегрированием по источникам
(по объему обмоток). Поле прямолинейной шины и поле
тонкой обмотри рассмотрены в § 8-5 и 8-6. Эти случаи
217
часто используются как элементы упомянутых методов
и самостоятельно.
При выводе формул для определения интегральных
параметров и для грубых оценок бывают необходимы
еще более простые соотношения. Для этих целей в до-
полнение ко всем перечисленным допущениям принима-
ют следующее допущение.
11. Направление и длина всех силовых линий рас-
сматриваемого магнитного поля или его участка зара-
нее известны (например, все линии прямые и одинако-
вые по длине). Этим важнейшим простейшим методам
посвящен § 8-7.
8-3. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВУХМЕРНОЕ ПОЛЕ
Для плоскопараллельного двухмерного поля извест-
но довольно много решений при различных граничных
условиях, полученных разными методами. В практике
трансформаторостроения реально применяют почти все
решения задач, показанных на рис. 8-1. Для всех них
можно составить формулы с учетом конечных магнит-
ной проницаемости и электрической проводимости окру-
жающей среды. При бесконечно большой проницаемо-
сти или проводимости стенок прямоугольного тун-
неля решение имеет вид двойного ряда Фурье, при двух
параллельных плоскостях в решение обычно входят три-
гонометрические функции и экспоненты, при одной пло-
скости-логарифмы и арктангенсы. Ряд методов изло-
жен в [8-6].
Е. Г. Марквардт [2-13] исследовал поле в системе
по рис. 8-1,а с учетом вихревых токов в боковой сторо-
не окна (стенке бака) при несколько усложненном (пе-
риодическом) распределении тока по длине обмоток
(вдоль «туннеля»). Впоследствии это решение было раз-
вито А. А. Березовским и др. [2-24, 13-1]. В последних
случаях электромагнитное поле не является строго пло-
скопараллельным— неизменны вдоль координаты по
длине лишь сечение устройства и свойства среды, но ре-
шение очень похоже на решение для плоскопараллель-
ного поля. Пространственный период по длине обычно
больше, чем по высоте шин, и меньше влияет на поле.
Поэтому эти решения не выделены в отдельную группу,
а отнесены к плоскопараллельному полю. Простейший
случай из этой группы задач рассмотрен в § 8-4.
?1б .
Для расчета магнитного поля реакторов с зазорами
применяют метод конформных преобразований [1-27,
8-22].
Большинство промышленных расчетов поля в тече-
ние, ряда последних лет выполняется на основе формул
для прямолинейной шины прямоугольного сечения
(§ 8-5) с учетом отражений от стержня (рис. 8-1,<Э).Для
такого расчета известно несколько методов приближен-
ного учета влияния кривизцд обмоток. А. П. Горбань
[8-12] предложил заменить ' круглую обмотку квадрат-
ной со стороной, равной диаметру реальной обмотки.
Для реактора без стали в результаты расчета радиаль-
ной составляющей индукции дополнительно вводится
поправочный коэффициент kx—л/4. Формулы относи-
тельно громоздки, и метод не получил распространения
на практике.
Рис. 8-2. Поправочный коэффициент для учета влияния кривизны
обмоток на радиальную индукцию поля рассеяния вблизи торцов
обмоток.
а — при б — при r>.Ri.
На основе экспериментальных исследований
И. С. Наяшков и В. В. Карасев [8-13] предложили вве-
сти поправочные коэффициенты в результаты расчета
радиальной индукции плоскопараллельного прля вбли-
зи торцов пары равномерных равновысоких обмоток
Вр=ДЛг(0,98+0,4й/Л), (8-1)
где Вр и Вх — радиальная индукция с учетом и без уче-
та кривизны; Кг — поправочный коэффициент, завися-
щий от (г—Ri)/a при и от r/Ri в области г<
<Ri (рис. 8-2); г — расстояние текущей точки от оси;
Ri — средний радиус внутренней обмотки; а — расстоя-
219
йие между серединами сечений обмоток; h — осевой раз-
мер обмоток.
Все упомянутые методы расчета плоскопараллельно-
го и осесимметричного поля имеют погрешность поряд-
ка 10—30%- Иногда при больших числах зон обмоток
и расчетных точек расчет осесимметричного поля, осно-
ванный на разложении системы МДС в ряд Фурье,
требует меньше машинного времени, чем расчет плоскопа-
раллельного поля, в котором применяется суммирова-
ние поля ряда шин. Однако даже для наиболее освоен-
ного метода — поля шины — используются , далеко не все
возможности ускорения счета. Например, формула для
тонкой шины вчетверо проще, чем для шины конечной
толщины. Согласно [13-1] для точек вне сечения поле
шины конечной толщины приближенно равно полю тон-
кой шины, расположенной на Ах ближе к точке, в кото-
рой определяется поле, чем середина реальной шины,
где
х— расстояние от рассматриваемой точки до середины
толщины шины; h — половина высоты шины; Ь — толщи-
на шины. Однако и без поправки ошибка невелика. Воз-
можна замена неравномерной обмотки на одну равно-
мерную и ряд сосредоточенных токов [13-1], поле кото-
рых рассчитывается значительно проще, и т. д.
Выбор метода определяется не его принципиальными
преимуществами, а степенью отработанности имеющих-
ся программ и другими соображениями. При столь боль-
шом числе различных допущений необязательно более
сложный метод является более точным.
8-4. ПОЛЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКОГО ТОКА
Пусть на границе полупространства х>0, не содер-
жащего никаких тел и токов, задано пространственно-
периодическое поле (рис. 8-3,а):
Нх—//msin(2ny/Z), (8-3)
где К — период по оси у.
Из основных уравнений для этого полупространства
rot/7 J = 0 и divB==p„divН = 0, (8-4)
220
Рис. 8-3. К расчету магнитного поля методом тригонометрических
рядов.
а —условия на границе (х=0) области без токов (х^О); б — зависимость
поля от координат в области без токов; в — пример эпюр поля за наружной
поверхностью чередующихся обмоток или средней (по высоте) части дисковой
обмотки [1-21]; г — замена реального непериодического поля периодическим;
д — тонкий слой пространствен но-периодического тока; е — правило знаков
составляющих напряженности поля пространственно-периодического тока; ж —
токовый слой у ферромагнитного полупространства.
причем
Нг = 0;
^=0
dz
dHv л
-~=0,
dz '
(8-5)
следуют уравнения:
и дНх । дНу
дх ду дх "г" dy
= 0
или
а2/Д д*нх
дх2 ”* ду2
(8-6)
решением которых при условии (8-3) является произве-
дение синусоиды (косинусоиды для Ну) на экспоненту
(рис. 8-3,6):
Нх = Нт sin (2itz//Z) exp (— 2ях/2); |
} ‘)
Ну — — H^cos (2ity/Л) exp (— 2тс/А). )
Правильность решения легко проверить подстановкой
(8-7) в (8-6) или (8-4). Простое выражение (8-7) удоб-
но для оценок ослабления знакочередующегося магнит-
ного поля с удалением от источника: в случае про-
странственного периода А первая гармоника поля умень-
шается в е2,1/8«к2,2 раза при удалении на расстояние
х=7./8; в е1>57=4,8^к5 раз при А/4; в 23 раза при
А/2; в 530 раз при удалении на А. Для высших гармоник
аргумент в выражениях (8-7) умножается на номер гар-
моники. Поэтому на таких же расстояниях вторая гар-
моника уменьшается соответственно в 5; 23; 530 и Зх
ХЮ5 раз, третья — в 10; ПО; 1,2-104 раз и т. д. Следо-
вательно, с удалением роль высших пространственных
гармоник быстро падает; становятся одинаковыми мак-
симальные (при данной координате х, на данной обра-
зующей) значения Нх и Ну. Пример изменения эпюр
поля с удалением показан на рис. 8-3,в.
Определение пространственного периода А не вы-
зывает затруднений при исследовании методом рядов
местных многократно повторяющихся одинаковых неод-
нородностей поля, например, поля чередующихся обмо-
ток, или роли каналов между катушками в дисковой
обмотке, или поля выпучивания ряда одинаковых зазо-
ров стержневого реактора — период А рйвен шагу по-
вторения элементов в реальном устройстве. Сложнее
выбор размера А при анализе поля обмоток целиком—
222
ведь реальное устройство сильно отличается от идеали-
зированного эскиза (см. рис. 8-1,г). При отсутствии
магнитных экранов на полках ярмовых балок конструк-
ция ближе к рис. 8-1,в или д, где вместо ряда Фурье
в решение должен входить интеграл Фурье. Однако,
если период выбрать достаточно большим, чтобы начало
и конец пространственного периода попали в области,
где поле практически отсутствует (рис. 8-3,г), то размер
периода почти не влияет на результат расчета поля на
небольшом удалении.
Необходимое число учитываемых членов ряда сильно
зависит от периода. Особенно удобно при расчетах
вручную выбирать период равным удвоенной высоте об-
моток [2-13, 13-2], так как при этом ряд быстро схо-
дится. Если обмотки равновысокие, ряд не содержит
четных гармоник, т. е. первая высшая гармоника имеет
номер 3, вторая — 5. При небольшой разновысокости
двух обмоток трансформатора появляются относительно
небольшие четные гармоники. Данный метод расчета
поля успешно использовался при разработке способа
снижения добавочных потерь в стенке бака путем отно-
сительного укорочения внутренней обмотки (см. § 13-2).
Формулы (8-7) можно использовать и в более сложных
случаях.
Рассмотрим плоский тонкий слой направленного по
оси z тока, линейная плотность которого синусоидально
изменяется по координате у с периодом Л, а именно
Jл=7пт cos (2лу/К), расположенный в плоскости х=0
(рис. 8-3,д). В силу симметрии вблизи этого слоя с раз-
ных его сторон составляющая напряженности по оси у
одинакова по размеру. По закону полного тока для
узкого контура, охватывающего лист, разность напря-
женностей магнитного поля справа и слева от листа
равна линейной плотности тока
Ну !х=+» - Ну |х=_0 = 7л, откуда Hv 'х=+’= JJ2. ~ (8-8)
Следовательно, чтобы получить решение, достаточно
в (8-7) заменить Нт на 0,57Лт и сменить некоторые зна-
ки. Знаки можно определить, не повторяя решение урав-
нений, а, например, по правилу правого винта соответ-
ственно ближайшему току (рис. 8-3,е). Если рассмотрен-
ный слой с током расположен на расстоянии b от
ферромагнитного пространства (рис. 8-3,ж), то с учетом
отражения получаем;
?23
о . о при х < 6;
«„=-/„cCS?ye-2«Asb?^
(8-9)
„ о . При X > Ь.
Н,=1тст?Зе^''Л^
)
Если ток или поле на границе рассматриваемого по-
лупространства синусоидально изменяются не только по
координате у, но и по координате г с периодами соответ-
ственно Ху и X,, например:
Я,. |х=0 = Нт sin (2-KylXg) sin (2тс?/12), (8-10)
то согласно [2-13] вместо (8-7) имеем:
Hx—Hmsin(2nylXy)sin(2nz/Xz)exp(—2лх/Х)и т. д. (8-11)
где
(8-’2)
Для проводящей среды, где плоское переменное во
времени поле согласно формулам поверхностного эффек-
та (§ 2-5) изменяется с углублением в среду пропор-
ционально ехр(—]Л/соца/р^), согласно [2-13] можно
получить:
Нх — Нт sin sin е~1х и т. д_, (8-13)
Лу Ля
где
а= ]/(/<U|xa/p) + (27t/Ip. (8-14)
При использовании метода тригонометрических ря-
дов можно учесть влияние проводящей среды на поле
у ее поверхности [2-13, 2-24] умножением напряженно-
стей, имевших место при отсутствии среды, соответст-
венно: нормальной к поверхности среды напряженности
магнитного поля Йх и касательных электрического поля
Ёу и Ёг на коэффициент Ке', касательных составляющих
напряженности магнитного поля Йу и Йг на Кн, где
Я£ = Яя/р = 2/(1--|-р); ₽^а2я/1*Л ’ (8-15)
Зависимость модулей Ке и Кн от модуля р дана на
рис. 2-12. '
Можно учесть также «двойное» влияние, например,
одновременно поверхностей стержня и стенки бака, но
формулы получаются несколько более громоздкими
[2-13], а вносимое уточнение незначительно [13-2].
Все приведенные в данном параграфе формулы при-
менимы к любому члену ряда. Члены ряда можно сум-
мировать при определении натяженностей и суммар-
ных добавочных потерь (но не местных потерь, пропор-
циональных квадрату напряженности поля).
8-5. ПОЛЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ШИНЫ И ПАРЫ ШИН
Расчет магнитного поля бесконечно длинной прямо-
линейной шины прямоугольного сечения с равномерно
распределенным током и пары шин широко использу-
ется при расчете трансформаторов. Известно много форм
записи формул поля шины, полученных интегрировани-
ем поля элементарного тока и последующими тождест-
венными преобразованиями. Приведем две из них (при
обозначениях по рис. 8-4,а):
Рис. 8-4. К расчету магнитного поля прямолинейной шины.
а — сечение шины конечной толщины; б — области неприменимости формул
«тонкой» шины (заштрихованы) для Нх и в — сечение «тонкой» шины;
а — координаты точек на осн и на краю сечеиия шины,
15—774
225
или
rr 1 iw Г h ег h et , x I 1
“x 2n 2/1 [ Д 2 a(Ss’ Т~Та^1' ^Я"
+ ^-₽(®«. Ъ)--^-₽(е». "Чз)];
Hy ~7 IS- ~2h [т ~2~$(ег’ ’la) ГТ^1’ ’ll)+
+ ^aK’ ’iJ-^-a^ai Чз)].
(8-17)
где
x — A x+ Д
1 —--—-* & 2ZZLZ “— *
1 h ’ £“ h ’
(8-18)
a (e, tj) = In ; p (e, >]) = arctg_
v |Лег+ (,)_ 1)2 1 ' 17 & e
— arctg ЯЯ. (8-19)
В значительной части пространства (кроме заштри-
хованных на рис. 8-4,6 областей вблизи торцов сечения
для Нх и Ну и области внутри сечения для Ну) поле
тонкой шины практически не отличается от поля шины
конечной толщины. Для тонкой шины (Д<СЛ; Д<Сх)—
см. рис. 8-4,в:
у I 1 112) » pi 1 JW / \
Нх~ — шГ а(е» ч);
х 2л 2л р3 2п 2h х
. . . . (8-20)
rr __ 1 tw I IW D , , v
Ну 2л 2h ^31 2л 2h ^E’
где E=x/h, t]=^y/h; выражения a(e, в) и 6(e, n) — no
(8-19).
Для точек на оси и на краю сечения шины
(рис. 8-4,а) формулы для Нх можно представить в виде
аГ-2й %(S’ (8-21)
226
Рис. 8-5. Коэффициенты для расчета магнитного поля прямолинейной шины.
а—коэффициент а; б—В; в — ад.
г Де
zs \ 1 + h + О2 1 ч+1 х »
—'tlarctg^A.; (8-22)
6=Д/h для точек на оси (х=0) и 6=2Д/й для точек
на краю (х=Д); 4}—yl-h.
Одним из первых применений цифровых ЭВМ
в трансформаторостроении было вычисление подробных
таблиц функций а и ад, резко облегчивших в то время
расчеты поля [8-14]. При отсутствии таблиц можно
пользоваться графиками зависимости а
Их удобно строить как линии a=const
в координатах е и тр Из (8-19) следует:
р2к е2 + (т; -р I)2 2е
6 — ~в ,Л И tg В = —г-:-----5-----г. ИЛИ
£2 I 1\8 Ь 1 Ц- 7)2 - 1
и ₽ от е и тр
или p=const
2<?“ V
-о------1 и
г2к—1 7
(8-24)
/ „2а , | \2
+ ^=1+^y. (8-23)
Последние выражения представляют собой окружно-
сти с центрами в точках соответственно:
е = 0, T] = ctga и e = ctgp, т] = 0
с радиусами
r=l/sha и r=l/sinp. (8-25)
Примеры графиков показаны на рис. 8-5. По тем же
таблицам или графикам % можно рассчитывать поле
в любой точке сечения шины конечной толщины, пред-
ставляя реальное сечение как сумму сечений двух шин,
на общей границе которых лежит рассматриваемая точ-
ка (рис. 8-6).
Для расчета усилий и добавочных потерь особенно
важны наибольшие значения индукции поля рассеяния,
в частности Вх и Ву на уровне торцов шин и Ву на
уровне середины высоты. При равномерных равновысо-
ких двух концентрических обмотках (паре параллель-
ных шин, ширина которых значительно меньше высо-
ты,— рис. 8-7,а) могут быть получены простые прибли-
женные формулы для оценки напряженности или индук-
ции магнитного поля в характерных точках сечения. Для
228
точки / в середине торца шины шириной 2А по рис. 8-7,п
из (8-19) —(8-22) разложение функций в степенные ряды
с учетом соотношений т<й; Д<т; y=Jt дает:
, 8 „ , ^(т/й)2 + 4 1
arctg 0 — In —- ,
& 2 t/h J
М1п£ц±±+4
ZTC I о ’ О
(8-26)
где Во — осевая индукция в канале рассеяния при тор-
цевых ярмах, придвинутых вплотную к торцам обмоток;
Bo—poiw l%h. (8-27)
Аналогично для точек 2 и 3 в углах сечения шины
(рис. 8-7,а) имеем:
ВЛ2 ^ВХ1±^~-ф-1п2. (8-28)
Л2, 8 2л 2Д 2л г 2п ' '
Для одной шины
где е — основание натуральных логарифмов.
Осевая (продольная) составляющая индукции Ву
в зависимости от координаты х почти линейно изменя-
ется в пределах ширины (толщины, радиального разме-
ра) шины и относительно медленно меняется с удале-
нием от шин (рис. 8-7,6). При x<h и r<h разложение
арктангенсов и логарифмов в степенные ряды дает
[8-15, 8-16]:
в области между шинами Ву=Верв;
в области за шинами BV = B„ (1 — рв),
где
или
рв~2рр—1, (8-32)
229
(8-30)
Рис. 8-6. К расчету поля внутри
мощью коэффициента <хд.
(а) и вне (б) сечения шины с по
Рис. 8-7. Пара шин (а) и осевая составляющая напряженности поля
на середине их высоты (б) и на уровне торца (е), варианты рас-
положения ферромагнитных полупространств (а — ж),
230
где т — расстояние между серединами сечений шин (об-
моток); 2/г—высота шин (обмоток); рр—коэффициент
Роговского для системы обмоток шириной т; рр = 1—•
—т/ (л-2/i).
Выражение (8-31) можно получить непосредственно
из приведенной в следующем параграфе формулы
(8-40) для расчета поля тонкой обмотки через телесные -
углы — телесный угол, под которым видна щель между
шинами, равен П=4лф/2л^2т/7г‘, откуда следует 1—рв=
= 2П/4л^=(2/л) (т/2/г) соответственно (8-31).
Аналогичным способом в [8-16] выведены формулы
для оценки индукции Ву в углах и серединах торцов
сечений шин. Сводка результатов дана на рис. 8-7,в.
Влияние ферромагнитных тел приводит к увеличе-
нию индукции в канале рассеяния и уменьшению ин-
дукции за обмотками. При бесконечной магнитной про-
ницаемости полупространства, параллельного шинам
(обмоткам) и расположенного на расстоянии d от цен-
тра канала рассеяния (рис. 8-7,г), из выражения осевой
составляющей индукции поля «отраженной» пары шин
через телесный угол или из разложения функций в сте-
пенные ряды следует:
р в — + 1 г "2ft
Если 2й<Сй, то р'в^1 и осевая индукция у середины
высоты обмоток почти не отличается от индукции пары
неограниченно высоких обмоток (с таким же током на
единицу высоты). Добавление второго полупространства
(рис. 8-7,д) не может заметно повлиять на осевую индук-
цию, так как при равномерных обмотках согласно за-
кону полного тока эта индукция не больше, чем при
неограниченно высоких обмотках. Учет первого полупро-
странства дает заметную поправку, а второго — нет, так
как оно в данном случае эквивалентно бесконечному
ряду знакочередующихся токов, а такие токи создают
слабое магнитное поле.
При полупространстве, поверхность которого перпен-
дикулярна оси обмоток (при торцевом ярме по
рис. 8-7,е), учет отражения пары шин в середине канала
рассеяния дает [8-16]:
Г, , 2 2 I Го >
Р в Рл “
I —________
я 2h 3
(8-33)
(8-34)
2
(8-35)
где е — расстояние от торца обмоток до торцевого ярма.
Даже при малом размере е учет этой поправки лишь
в 1,5 раза уменьшает осевую индукцию вне канала и
поправку для поля в канале. Если же ввести второе по-
лупространство (второе торцевое ярмо) по рис. 8-7,ж,
то
р"' 2 т 1 Г е 1 1-|- 2e/h
VB ~~ Рв "г п 2/г1+ Че/h [ 1 ~ 2/г 1 + е/Л 1 + е//г
, 2 т 5е
1 T~?h~2h ‘
Если е<С/г, осевая индукция будет такой же, как при
неограниченно высоких обмотках.
При электромагнитном экране (р^О или р.^0) вме-
сто рассмотренного магнитного (р«%=со), располо-
женного согласно рис. 8-7,г, е, можно использовать фор-
мулы (8-33) и (8-34), учитывая, что поправка к рв ме-
няет знак. Для осевого экрана (рис. 8-7,г при р=0)
имеем:
Рв ~ Рв (р в Рв) ~ 1 „ 2/г [2 l+(2d//i)2]’ (8‘36)
для торцевого (рис. 8-7,е при р. = 0):
Рв ~2Рв~ р в~~ 1 ^Г‘2Л'_3'( 3"2hJ- (8-37)
Аналогичным способом можно выводить приближен-
ные формулы для других подобных случаев.
На большом расстоянии от шины (г^>/г) ее поле
не отличается от поля тонкого провода, расположенного
в центре сечения шины:
«,=£+'=V*+lf- (8-38)
S-6. ПОЛЕ ОБМОТКИ БЕЗ СТАЛИ
При одинаковой магнитной проницаемости всех точек
пространства магнитное поле заданной системы токов
всегда может быть вычислено интегрированием поля
всех элементарных токов по закону Био —Савара не-
посредственно или через векторный потенциал (2-1) —
(2-3). Такой расчет приемлем только при использовании
цифровой ЭВМ. В некоторых случаях удается аналити-
ческое интегрирование.
232
Для тонкой цилиндрической обмотки (соленоида)
с произвольной формой плоского витка (рис. 8-8,а) при
равномерном распределении МДС iw по высоте (осево-
му размеру й) известно очень простое выражение осевой
составляющей напряженности или индукции магнитного
поля через телесный угол, под которым обмотка (боко-
вая поверхность соленоида) видна (с учетом знака то-
ка) из данной точки. Рассмотрим малую площадку dS
боковой поверхности соленоидай^Расположим декартовы
Рис. 8-8. К расчету осевой составляющей поля цилиндрического со-
леноида через телесные углы.
а —эскиз соленоида; б— магнитное поле тока элементарной площадки; изо-
бражения телесных углов для точек, расположенных; е, г — внутри соленоида;
д — в плоскости торцевого витка; е— вне соленоида в пределах его высоты;
ж — вие пределов высоты соленоида.
координаты так, чтобы эта площадка попала на плос-
кость xz в начале координат, а ее ток был направлен
по оси х. При этом размер dl направлен по осп х, раз-
мер dh — по оси z, ось обмотки параллельна оси z. Точ-
ка А, в которой ищем осевую составляющую напряжен-
ности магнитного поля dHz, имеет координаты х, у, z.
Расстояние ее от начала координат будет г=
— У x2-\-y2-\-z2, от оси х: ]/"y2-\-z2. По закону Био —
233
Савара с учетом показанных на рис. 8-8,6 геометриче-
ских построений получаем:
dHz = dH sirup,; dH —dh dl Д- sin<p2; dS = dhdl;
z 11 4m П Г2 Tz
sin<Pi ==р==; sin<p2:
V У + г2
dS . dhdl у
dll — —^ sin ®, —- —5—-
,2
(8-39)
(8-40)
откуда
,и 1 iw dhdl _ у Иг/2 + г2 iw dQ
z 4r.hr2 J/ za r h 4m •
где Q— телесный угол, под которым площадка dS вид-
на из точки А.
При токе, направленном в обратную сторону (на-
встречу оси х), или при расположении рассматриваемой
точки А в левом полупространстве на рис. 8-8,6 (у<0)
в формуле (8-39) был бы получен обратный знак. Поле
всей обмотки представляет собой сумму полей от всех
элементарных площадок, т. е. пропорционально сумме
телесных углов, под которыми из данной точки видны
все участки боковой поверхности обмотки (с учетом
знака):
гт iw £2
z h 4m
Для точек, расположенных внутри соленоида с вит-
ками, имеющими форму выпуклых кривых, все элемен-
тарные токи создают поле с осевой составляющей на-
пряженности одного знака и весь телесный угол £2 есть
угол Qi при вершине обратного конуса, под которым
видна вся обмотка. На рис. 8-8,в показано плоское се-
чение этого угла. Такой угол равен полному телесному
углу (4л) за вычетом двух телесных углов Нг и Q3 при
вершинах конусов, опирающихся на крайние (торцевые)
витки обмотки (рис. 8-8,г). Для точек, находящихся
в торцевой плоскости соленоида внутри его крайнего
витка, весь угол равен половине полного угла (2л) за
вычетом телесного угла при вершине конуса, основанием
которого служит крайний виток другого торца обмотки
(рис. 8-8,6). Для точек, находящихся вне соленоида,
весь угол, под которым видна обмотка, равен сумме или
234
разности телесных углов при вершинах конусов, опи-
рающихся на торцевые витки: сумме, если точка нахо-
дится между плоскостями крайних витков (рис. 8-8,е),
и разности, если она находится за одной из них
(рйс. 8-8,ж).
При относительно высоких обмотках для точек, не
близких к торцевым виткам, указанные формулы удоб-
ны для оценки поля, поскольку телесный угол П2 или
П3 примерно равен площади; ^кваченной витком, умно-
женной на косинус угла между осью обмотки и лучом
из данной точки в центр тяжести этой площади, делен-
ной на квадрат расстояния от точки до центра витка.
Например, для длинной обмотки высотой h с площадью
витка S для точек, менее удаленных от оси, чем от тор-
цов, получаем:
Тр - W (' +12 т)] "Р" l*KW2
внутри соленоида;
+ ПРИ |г|<Л/2
вне соленоида;
гт iw 2S h Г / h \2 , -2 । । \ <
ПРИ |2|>й/2,
(8-41)
где z — координата вдоль оси от середины соленоида,
причем во всех случаях расстояние точки от ближай-
шего торца соленоида больше ширины (среднего диамет-
ра) витка.
Вывод подобных формул и оценка поля по ним тре-
буют обычно меньше времени, чем обращение к ЭВМ.
Для точек, расположенных на оси круглого соленои-
да и круглой обмотки прямоугольного сечения, имеются
точные выражения осевой напряженности поля. Для со-
леноида радиусом г, высотой h с МДС iw имеем:
+0.5/1
(* 2rcr2iw dK iw / z + 0,5h
J 4пр3/г h \ 2p,
—0,5/1
z —0,5ft\
2p, J >
(8-42)
где
Pi = /(? + <W Л P? = V{z - 0,5A)2^ra;
235
dt и £— высота элементарного витка и его координата
по высоте соленоида; z—координата рассматриваемой
точки вдоль оси соленоида от его середины; р, pt и рг—
расстояния от рассматриваемой точки соответственно до
элементарного витка и нижнего и верхнего торцевых
витков соленоида.
При конечной ширине обмотки интегрирование вы-
ражения (8-42) дает [1-19]:
w 1 Г/ . Л . гв + ра_ / г8 + рЛ
h 2(га —г,) Ц Г 2 J1 %-J-p, (Z 2jlnr,+p3J’
(8-43)
где
Р1 =]/(? +(W +Л; р2= [Z(z +0.5/1)2 4-r%;
Рз = ]/(?—0,5/г)2-[-г2,; Р4 = /(г-0,5/г)2+ г2а
— расстояния от рассматриваемой точки соответственно
до нижних ближнего и дальнего и верхних ближнего
и дальнего углов сечения обмотки; г2 и п — наружный
и внутренний радиусы обмотки.
Рис. 8-9. Выражение поля в любой точке как суммы полей в углах,
сечения воображаемых обмоток.
а — точка пределах сечения обмотки; б — точка вне сечения обмотки, но
в пределах ее высоты; в — точка за пределами выодти обмотки.
236
Для оценки магнитного поля обмотки в других точ-
ках Г. В. Буткевич и П. П. Чусов в 1930 г. предложили
принять, что в пределах высоты обмотки (|s| <С0,5/г)
осевая составляющая напряженности не зависит от ко-
ординаты по радиусу от оси до внутреннего слоя обмот-
ки и линейно спадает до нуля к наружному слою, а ра-
диальная составляющая в пределах сечения обмотки не
зависит от координаты по радиусу и равна /7p=0,55/7zX
X (г/0,5Л)2, где Hz определяет^ по формуле (8-42).
Номограммы для расчета поля круглого соленоида
построены в [8-17]. Формулы для обмотки с квадрат-
ным витком приведены в [8-12]. Ряд графиков для рас-
чета поля в углах сечения и в середине торца круглой
обмотки прямоугольного сечения, а также для полр вне
обмотки приведен в [1-19]. Там же даны кривые сред-
неквадратичной индукции в сечении обмотки, необхо-
димые для расчета потерь от вихревых токов. Кривые
и формулы для расчета поля в любой точке при такой
обмотке приведены в [8-18]. По существу эти кривые
дают поле в углах сечения обмотки прямоугольного се-
чения, а поле в любой точке представляется суммой по-
лей четырех обмоток (с такой же плотностью тока, как
в реальной обмотке), для каждой из которых эта точка
является углом сечения (рис. 8-9).
При современном уровне вычислительной техники
обычно удобнее вычислять поле каждый раз по точным
громоздким формулам или численным интегрировани-
ем, чем загромождать память машины упомянутыми но-
мограммами.
8-7. РАСЧЕТ ПОЛЯ С ФИКСИРОВАННОЙ ДЛИНОЙ
СИЛОВЫХ ЛИНИЙ
При известной длине параллельных силовых линий I,
в частности при трубках магнитного потока постоянного
сечения, сцепленных со всеми витками или с известной
частью витков обмотки, магнитное поле определяется
непосредственно по закону полного тока
(8-44)
Реальное магнитное поле близко к указанному при
равномерных обмотках в следующих случаях:
1. Тороидальный реактор или тороидальный транс-
форматор с обмотками, распределенными равномерно
по всей окружности (рис. 8-10,«). Решение (8-44), как
237
и в случае коаксиального кабеля, является строгим при
/=2лг.
2. Немагнитные зазоры в ненасыщенном магнито-
проводе В средней (по ширине) части зазора краевой
эффект практически не сказывается на поле.
3. Броневой или ярмовой реактор с ненасыщенным
магнитопроводом при небольших расстояниях от торцов
обмотки до ярм (рис. 8-10,6). Выражение (8-44) при
4=/1ок дает среднюю по высоте окна /гок напряженность
Рис. 8-10. Эпюры поля, рассчитываемые по
а — тороидальный трансформатор; б — броневой
поле рассеяния пары концентрических обмоток.
закону полного тока.
илн ярмовой реактор; в —
поля. В действительности в середине высоты поле не-
сколько сильнее — верхнюю оценку дает (8-44) при 1=
=h, где h — высота обмотки, а около ярм — слабее. За-
ведомо заниженную оценку дает расчет поля обмотки
без стали. Для середины круглой обмотки радиусом г
и высотой h по приближенному выражению телесных
углов через размеры на основе (8-40) и рис. 8-8,в имеем:
Я>Д6/с -2-JV (8-45)
е/ст h I 4эт (/i/2)a / k h? J ' ’
При 2г</г выражение (8-45) можно представить
в форме (8-44), приняв в нем длину силовой линии
l^h ^l-2-g-j^/i + 2-^r</i + r. (8-46)
4. Относительно тонкие и близкие концентрические
обмотки трансформатора при нагрузке или опыте КЗ—
только для поля в области между обмотками и в сече-j
нии обмоток не вблизи их торцов (рис. 8-10,в). Маг-
нитное поле в этой области практически не отличается
от поля пары шин, рассмотренного в § 8-5 (см. рис. 8-7).
В этом случае также можно использовать более на-
глядное выражение (8-44), приняв в нем длину силовой
линии
l~h j (1 —
Sa Л- £2,\ , . , 2-2а
/ 2
h -I—- а,
1 7U
(8-47)
где а — расстояние между серединами сечений обмоток.
Ввиду наглядности и простоты расчета выражение
(8-44) очень часто применяют для оценок порядка раз-
мера радиальной составляющей поля рассеяния, обуслов-
ленной небалансом МДС обмоток. Небалансом МДС кон-
центрических обмоток называют МДС контура, охваты-
вающего часть высоты системы обмоток трансформатора,
Рис. 8-11. Оценка поля по небалансу МДС.
а — пара обмоток с разрывом в одной из них н контур для подсчета неба-
ланса МДС; б — эпюра небаланса при неравномерных обмотках с высотами
по а; в — е—примеры концентрических ®бмоток и эпюр небаланса МДС; ж-—
чередующиеся обмотки и эпюра МДС.
начиная с одного из торцов (рис. 8-11,а). Эпюрой
небаланса (рис. 8-11,6) называют график зависимости
МДС от осевой координаты радиальной стороны конту-
ра, проходящей сквозь обмотки. Эпюры небаланса лег-
ко строить, особенно при равномерных разновысоких или
сдвинутых обмотках (рис. 8-11,6—е). Если длина всех
силовых линий одинакова, эти эпюры являются также
графиками радиальных напряженности и индукции маг-
нитного поля. В случае чередующихся обмоток
(рис. 8-11,ж) подобная эпюра относится к основной со-
ставляющей поля рассеяния. За длину силовой линии
принимают радиальный размер системы обмоток, делен-
ный на коэффициент Роговского или ширину (половину
ширины) окна или половину среднего диаметра обмоток
или треть осевого размера обмоток и т. д. с различными
239
Поправками [8-4]. Погрешность такого расчета может
быть очень большой, в нем не учитывается радиальная
индукция у торцов равномерных равновысоких симме-
тричных обмоток. Однако когда необходимо определить
только потери или усилия, вызванные искажением поля
из-за осевого сдвига одной из обмоток, отключения
части витков, неодинаковой усадки прокладок в обмот-
ках и т. п., такая оценка бывает полезной.
Рис. 8-12. К учету изменения
бок потока радиального поля
сечения тру-
На подобном расчете поля основан метод оптимиза-
ции и оценки параметров некоторых видов реакторов
в § 1-5. При этом учитывается изменение сечения труб-
ки магнитного потока в осесимметричной системе в за-
висимости от координаты по радиусу. При внутреннем
и наружном радиусах системы и Т?2 (рис. 8-12) из за-
конов полного тока и непрерывности потока
Ъ
(Нdr- iw и рЯг = const (8-48)
следует:
в*
iw = С dr = (Hr) In ~;
I г ' ' Ri
Ri
= % (C.49)
r r]r\(R2/Rl) I r R 7
где
k - J- * 1 _ 2P _
Rep 1 + p "
1 —P
r n2 . , a2n I-1
= 1 + -V+-+STCT+- = <8-50>
l^=Rt- Rt; Яср
I Rt—R,
P— 2/?cp ~Ri + Rl‘
2
При R2IR1— 2 имеем Ан=0,97; при 3—0,91; при
4—0,87; при 5—0,83. Как видно, коэффициент kR мало
отличается от 1 и выражение (8-49) лишь немного слож-
нее, чем (8-44).
Особенно необходимы простые и наглядные методы
оценок при разработке уникадьцых изделий. Например,
требуется решить, необходимо 'ли защищать овальный
Рис. 8-13. Реактор с овальным неэкранированным баком (а) и рас-
четная задача для оценки поля у бака (б).
бак (рис. 8-13,а) сглаживающего реактора высокого на-
пряжения электромагнитным экраном. Для определения
потерь в стенке бака следует оценить осевую состав-
ляющую индукции у стенки. В таком устройстве практи-
чески весь переменный магнитный поток должен замк-
нуться внутри бака. Поток, проходящий по самой сталь-
ной стенке, можно приближенно учесть отодвиганием
стенки бака на расстояние р,<б/2 или, точнее (с учетом
комплексности магнитной проницаемости стали из-за ее
нелинейности), на расстояние 0,42ргб [2-11], где рг —
относительная эквивалентная магнитная проницаемость
материала стенки, б — «глубина проникновения». Прини-
маем, что все силовые линии как внутри обмотки, так и
в области между обмоткой и баком параллельны оси и
16—774 241
Длина их равна I (рис. 8-13,6). С учетом выражения
(8-46) имеем:
й</</г + 2-^-г. (8-51)
Пренебрегая ролью радиального размера обмотки, из
законов полного тока и непрерывности потока получаем:
И ро^об"5об=ро^бС$б—So6),
откуда
JJ __ Iw Sq — SO5 . тт _Iw SO6 __ rn p
«06———^ ’ H6——-57-, As —^6-5-, (8-52)
где Яоб и Яб — средняя напряженность магнитного поля
внутри обмотки и в области между обмоткой и баком;
/ — переменная составляющая тока при использовании
эквивалентной частоты (§ 13-4) или рассматриваемая
гармоника тока (при этом нужно просуммировать поте-
ри от всех гармоник), действующее значение; S06 и Sr —
площади внутри обмотки (по ее среднему витку) и бака,
т. е. 5б—50б — площадь между обмоткой и баком; —
потери на единицу площади стенки бака; 6 —«глубина
проникновения» поля в стенку при эквивалентной часто-
те или частоте рассматриваемой гармоники тока.
Аналогичное предположение помогает решить вопрос
о необходимости специальных мер для защиты бака
в однофазном регулируемом автотрансформаторе для
связи сетей близких напряжений. Пусть на одном стерж-
не расположены обмотки НН (вспомогательная, исполь-
зуемая для питания компенсационной обмотки), общая
и последовательная, а на другом — компенсационная и
регулировочная последовательная реверсируемая. Маг-
нитные потоки в стержнях практически одинаковы, так
как имеются параллельно соединенные компенсационная
обмотка и обмотка НН. При заданном токе нагрузки
достаточно точно определены потоки рассеяния. Суммар-
ный поток, выходящий из каналов рассеяния обмоток
двух стержней, должен замкнуться внутри бака. Как и
в предыдущем случае, примем, что этот поток равномер-
но распределен по всей площади между баком (с ука-
занным выше «расширением» бака для учета магнитного
потока, проходящего по его стенке) и обмотками, потоки
(напряжения) которых заданы. Делением потока на эту
242
площадь определяем индукцию, а по ней — осевую на-
пряженность магнитного поля у стенки бака и потери
в стенке. Если такая оценка показывает, что порядок
величины потерь оказался на грани между заведомо без-
опасным и недопустимым, необходимо выполнять более
точные расчеты, например, по методам [8-6] с привлече-
нием ЭВМ.
8-8. ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Из многочисленных известных и применяемых в фи-
зических исследованиях и технике методов измерения
параметров магнитного поля в практике исследования
трансформаторов и реакторов реально применяется
только один — измерение ЭДС в измерительных витках
и катушках. Такие датчики нечувствительны к измене-
нию температуры, вибрациям и просты в работе, что осо-
бенно важно в цеховых условиях.
При синусоидальном сигнале достаточно измерить
действующее или амплитудное значение ЭДС, чтобы
определить магнитный поток, индукцию и, если измере-
ния производятся вне стали, напряженность магнитного
поля:
it, _ р ___ Ф • f-f __ &
т шсоКГ ’ “ 4,44Sfw ' "
(8-53)
где w — число измерительных витков; S — охваченная
ими площадь.
При несинусоидальном сигнале в ЭДС относительно
подчеркнуты высшие гармоники. Для перехода к потоку,
индукции и напряженности интегрируют ЭДС, например,
с помощью цепочки RC. Однако для определения, на-
пример, потерь от вихревых токов в небольших деталях
(где не слишком сильно сказывается поверхностный
эффект) необходима именно действующая ЭДС и инте-
грировать- сигнал не следует, хотя по традиции расчет-
ные формулы обычно выражаются через индукцию. При
сильном поверхностном эффекте для определения потерь
приходится проводить гармонический анализ сигнала,
что легче сделать без интегрирования ЭДС.
Часто нет необходимости знать детально мелкую
структуру поля (поле в отдельных точках небольших
областей), так как результаты расчета усредняются или
* - 243
интегрируются. Это позволяет увеличить размеры датчика
(измерительной катушки), повысить его чувствитель-
ность и облегчить измерения. Поэтому при выборе раз-
меров измерительных катушек часто не требуется осо-
бенно стремиться уменьшать их и достаточно ориенти-
роваться на размеры канала, в который датчик должен
поместиться.
Для определения радиальной индукции, усредненной
по окружности катушечной обмотки, можно использо-
вать измерение напряжения по катушкам — разность
напряжений одинаковых (по радиальному строению) со-
седних катушек дает радиальный магнитный поток меж-
ду ними. При измерениях радиальной индукции в кана-
ле рассеяния концентрических обмоток необходимо
обращать особое внимание на правильность установки
датчика - его наклон, например, на 3° приводит к по-
явлению сигнала, эквивалентного 5% осевой индукции,
т. е. при Вос=0,2 Тл — погрешности на 0,01 Тл. Поэтому
при обработке результатов измерений в подобных местах
необходима особая осторожность. Можно рекомендовать
двукратные измерения с поворотом устройства крепления
датчика (например, рейки) на 180°, но если наклонены
направляющие, то это не поможет. В резко изменяю-
щихся в пространстве полях могут быть существенными
погрешности координат положения датчика.
Во всех случаях, когда возможная погрешность из-
мерений превышает допустимую, например, возможную
погрешность расчета, измерения теряют смысл. При
этом, как показывает опыт, результаты измерений будут
забракованы или измерения могут повторяться до тех
пор, пока их результаты не совпадут с ожидаемыми дан-
ными, хотя в действительности такое совпадение ничего
не доказывает.
Для измерений эпюр индукции следует рекомендо-
вать устройства, например, по [8-19 и 8-20], в которых
осциллографом записывается на медленно движущуюся
бумагу сигнал от равномерно перемещающегося в транс-
форматоре датчика. При этом по осциллограмме измеря-
ется амплитуда ЭДС датчика. Если сигнал синусоида-
лен, Целесообразно ввести между датчиком и осцилло-
графом механический прерыватель на половину перио-
да, синхронизированный с питанием испытываемого
трансформатора или реактора, например головку век-
торметра типа Ц-50, При этом отношение меньшего из
244
сигналов, записанных по разные стороны от оси
(рис. 8-14), к большему равно синусу сдвига фазы изме-
ряемого сигнала по отношению к фазе сигнала на-
стройки.
Упомянутый векторметр позволяет измерять не толь-
ко амплитуду и фазу, но и всю нечетную кривую потока
во времени с помощью магнитоэлектрического измери-
тельного прибора. Пусть прибор включен в течение по-
Л
Рис. 8-14. Синусоидальный сигнал,
записанный через полупериодный
механический прерыватель при на
стройке (с) и при наличии сдвига
фазы (б).
лупериода, начиная с момента /0, а сопротивление изме-
рительной цепи (вольтметра) чисто активное. Тогда по-
казания
/о+Г/2 4.+Г/2
a. — k С и dt = k С ^-Л = А|Ф. ,г,9 — Ф,|,
1 | at 1 г<>+*/* чг
to to
для нечетной функции имеем Ф#о+г/2 —— откУДа
а = -2£Ф,о, (8-54)
где k — постоянная прибора.
Поворачивая головку прибора, т. е. меняя фазу t0,
можно измерить зависимость Ф(^).
Дополнительные трудности для сопоставления резуль-
татов измерения и расчета, особенно для радиальной
индукции поля рассеяния, часто вызваны отсутствием до-
стоверных сведений о положении внутренней (иногда и
наружной) обмотки трансформатора и ее частей в осе-
вом направлении. Поэтому для методических исследо-
ваний желательно использовать специальную модель,
отличающуюся от реального трансформатора прежде
всего отсутствием электроизоляционных барьеров.
245
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ /. ,
РАСЧЕТ ИНДУКТИВНОСТЕЙ
9-1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Для реакторов с линейными и ограниченно линейны-
ми характеристиками индуктивность является основным
параметром, определяющим способность реактора вьн
полнять свое назначение. В силовых трансформаторах
индуктивность рассеяния влияет на падение напряже-
ния, т. е. на качество электроэнергии, распределение
нагрузок при параллельной работе и токи при КЗ. По-
этому в обоих случаях к точности расчета индуктивности
предъявляют относительно высокие требования.
Согласно [1-1] индуктивностью (собственной индук-
тивностью) элемента электрической цепи называется
отношение потокосцепления, обусловленного его током,
к этому току. При линейной характеристике индуктив-
ность равна также удвоенной энергии магнитного поля,
деленной на квадрат тока (см. § 2-2). Следовательно,
для расчета индуктивности необходимо вычислить пото-
косцепление или энергию магнитного поля. Эти параме-
тры можно рассчитывать по любому из трех методов,
различающихся областью интегрирования (табл. 9-1).
Формулы (9-1) — (9-7) из табл. 9-1 являются лишь при-
мерами некоторых из многочисленных возможных форм
записи. В частности, при неравномерном распределении
тока по сечению витка или обмотки вместо (9-4) следует
писать:
T = J ф^,
50б
(9-8)
где I — ток какой-либо трубки; Ф — сцепленный с ней
магнитный поток (см. [2-11]).
При точном решении все методы дадут тождественно
одинаковые результаты, но в реальных задачах прихо-
дится принимать те или иные упрощения и каждый ме-
тод имеет свои достоинства и недостатки.
Расчет через потокосцепления [выражения (9-2) —
(9-4)] всегда нагляден. Именно на этом подходе осно-
ван вывод формул в большинстве учебников по транс-
форматорам. Например, при тонкой равномерной обмот-
ке, доходящей до ярм ненасыщенного броневого магни-
топровода (рис. 9-1,а), все магнитные силовые линии
246
Т а блица 9-(
Принципиальные методы расчета индуктивности
Область интегриро- вания или суммиро- е вания Потокосцепление W—LI (9-1) Энергия магнитного поля ”7M=tl'2/2 <9’5>
Сечение магнит- ного потока 5ф ’Г = J wcnB dS, (9-2) 5ф где wcu — число 'вж$ов, с которыми сцеплена магнитная силовая линия, проходящая через эле- мент dS в точке с ин- дукцией В —
Витки, попереч- ное сечение или объем проводов обмотки (ш, Зоб или Г0о) W >₽=2 ф«- <9-3) ч=1 где — поток, сцеп- ленный с витком номер <Г, С 1 «7м= J ^rfVo6, (9-6) Vo6 где А — магнитный век- тор-потенциал; J—плот- ность тока в элементе </Гоб
Ч* — 1 Фсц о £W(n> J ° ВД.Т 5об (9-4) где фсц — поток, сцеп- ленный с топким витком, проходящим через эле- мент *^вит " ' пло- щадь сечения витка с равномерно распределен- ным током
Весь объем маг- нитного поля VM; если в ста- ли Иа = со, т° VM — объем поля вне стали — р в1 , = ] 2р.а dV« - = J H2dVK, (9-7) VM где В и Н — индукция и напряженность поля в элементе = абсолютная маг- нитная проницаемость; вне стали = р,0
247
вне стали параллельны оси обмотки и со всеми виткамй
сцеплен одинаковый магнитный поток. Непосредственно
по закону полного тока напряженность поля H—iwIl,
индукция поток ф=5фВ и потокосцепление
4f—<2>ф, откуда индуктивность
ш S...
L = -^ = lxows-^, (9-9)
где Зф = 5ф — сечение магнитного потока, т. е. площадь,
охваченная витком обмотки; I — длина магнитной сило-
вой линии, т. е. высота окна.
Рис. 9-1. К расчету индуктив-
ностей реактора (а) и рассея-
ния двухобмоточного транс-
форматора (б) при тонких
обмотках, доходящих до нена-
сыщенных торцевых ярм
При двух тонких обмотках, участвующих в опыте КЗ
трансформатора (рис. 9-1,6), если принять условие г2=
=0, т. е. вторичная обмотка не имеет активного сопро-
тивления, магнитный поток обмотки 2 не может изменять-
ся и, следовательно, весь поток, созданный рассматри-
ваемыми токами, сцеплен с обмоткой 1. Поэтому и
в данном случае пригодна формула (9-9), если под
подразумевать площадь канала рассеяния между обмот-
ками, a w=wj.
Формулы типа (9-9), похожие на обычные формулы
для емкости плоского конденсатора или электрической
проводимости и отличающиеся от формулы магнитной
проводимости только множителем чу2, весьма наглядны
и легко запоминаются. Поэтому независимо от метода
вывода конечные формулы для расчета вручную жела-
тельно представлять в виде (9-9), учитывая результаты
уточнений введением поправочных коэффициентов или
откорректированных методов расчета площади и дли-
ны I.
248
В общем случае для вывода соответствующего выра-
жения индуктивности через потокосцепление необходимо
установить картину силовых линий магнитного поля, по-
ложение линий раздела потока и координаты точек (вит-
ков), вокруг которых замыкаются силовые линци. В за-
висимости от схемы соединения, расположения и направ-
ления намотки обмоток значения чуСц, Фо и Фсц в отдель-
ных частях области интегрирования могут быть отрица-
тельными, что часто являетеял«сточником ошибок. По-
этому расчет через потокосцепление можно рекомендо-
вать только для простейших случаев.
Расчет индуктивности через вектор-потенциал по
формуле (9-6) значительно менее нагляден, хотя в слу-
чае плоскопараллельного или осесимметричного поля это
выражение переходит в формулу (9-4); часто можно
представить выражение (9-6) как обобщенный вид выра-
жений (9-4) или (9-3) и в более сложных случаях. Для
непосредственного расчета индуктивности рассеяния
трансформаторов выражение (9-6) неудобно, тем более,
что произведение AJ в части объема обмоток может
быть отрицательным. Однако выражение энергии поля
через вектор-потенциал можно использовать при выводе
формул для расчета индуктивностей. В частности, на
нем основан относительно широко применяемый метод
расчета индуктивности рассеяния трансформаторов в ци-
линдрических координатах на цифровых ЭВМ.
Особо следует отметить метод средних геометриче-
ских расстояний (с. г.р.) [2-11], весьма эффективный
при сложной форме сечения обмоток. По методу с. г. р.
индуктивность контура из двух параллельных длинных
проводников конечного сечения S] и S2 с постоянной
плотностью тока выражается через логарифм отношения
квадрата с. г. р. между площадями их сечений £12 к про-
изведению с. г. р. площади каждого из сечений от самой
себя g2:
(9-10)
2" gig2 ’
где I — длина контура (длина каждого из двух провод-
ников) ; w — число витков (если каждый проводник вы-
полнен из w проводов, включенных последовательно).
Понятие с. г. р., особенно с. г. р. фигуры от самой
себя, непривычно и малонаглядно. Расчет с. г. р. часто
требует многократно повторяющихся вычислений по про-
?4 р
стым формулам. Поэтому метод, как правило, больше
подходит для расчета на цифровой ЭВМ, хотя при
обмотках несложной формы сечения нетруден и расчет
вручную. При относительно далеких проводниках с. г. р.
между их сечениями практически равно расстоянию меж-
ду осями (центрами тяжести сечений). Если, кроме того,
формы сечения проводов просты (например, круг,
эллипс, прямоугольник) и есть несложные выражения их
с. г. р. от самих себя, метод с. г. р. чрезвычайно удобен.
Подробнее метод с. г. р. рассмотрен в § 9-2.
Расчет индуктивности или сопротивления рассеяния
через плотность энергии магнитного поля по выражению
(9-7) во многих случаях весьма прост и нагляден. Для
его применения нет необходимости знать картину маг-
нитного поля, направление силовых линий, положение
линий раздела потоков и точек с нулевым полем; подын-
тегральное выражение (9-7) ни в одной точке поля не
может быть отрицательным. Этот- удобный метод рас-
смотрен в § 9-3.
К расчету по плотности энергии поля принципиально
близок метод мощностей, полезный для трансформато-
ров и трансформаторных агрегатов со сложными схема-
ми соединения частей обмоток. Этот метод рассмотрен
в § 9-4 на примере трансформатора с соединением
«зигзаг».
Иногда эффективна комбинация нескольких методов
(например, [9-12]).
Обзор литературы о расчете индуктивности рассея-
ния трансформаторов дан в [9-1]. __
9-2. МЕТОД СРЕДНИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАССТОЯНИЙ
Если в трансформаторе пренебречь кривизной обмо-
ток, то для расчета индуктивности рассеяния можно
использовать математическое понятие «среднее геоме-
трическое расстояние» (с. г. р.) и свести вычисление
индуктивности к определению с. г. р. Этот же метод при-
годен для расчета индуктивности контура параллельных
отводов.
Рассмотрим участок длиной I неограниченно длинной
двухпроводной линии (рис. 9-2,а). При равномерном
распределении тока по сечению каждой из шин и маг-
нитной проницаемости ц0 индукция в точке на расстоя-
нии р от трубки тока (элемента, линии тока) сечением
250
dSr, будет:
(S-И)
ZnOpP
Чтобы избежать бесконечностей в промежуточных
выкладках, предположим, что пространство ограничено
расстоянием R от рассматриваемых шин, причем 7?->оо.
Рис. 9-2. К определению понятий «средние геометрические расстоя-
ния» между двумя площадями (а) и площади от самой себя (б).
Магнитный поток указанной трубки тока dSp, сцеплен-
ный на участке I с трубкой тока сечением dSq, находя-
щимся на расстоянии г, составляет:
р . dSp y.oil(lnR — \nr)dSp
' J w w <Ip=---------------'
r
(9-12)
Магнитный поток всей шины сечением Sp, сцеплен-
ный с трубкой тока dSq:
%«,= ((taR“ 1,1'<1 (9-13)
Ч \ /
Потокосцепление магнитного поля шины Sp с шиной
Sq согласно (9-4) или (9-8)
ф = — f Ф dS —
м S4 J sPdSq ч~
S
ч
Z7T I
(9-14)
spsq /
Последнее выражение в скобках по определению
является логарифмом с. г. р. gpq площадей Sp и Sq. Ана-
251
Логичное определение имеет с. г. р. площади Sp от са-
мой себя (рис. 9-2,6):
1п£рч
•SpSg
--- 02
° i
(9-15)
J J In г dSpdSq; lngpp =
sp\
In г dS'pdS"p.
"SpSP
Индуктивность рассматриваемого участка из двух
последовательно-встречно включенных шин р и q будет:
L = Lpp- Lpq + Lqq -Lqp=. 4- [Фрр - Wpq + - 4^1.
(9-16)
При суммировании выражений типа (9-14) с учетом
знаков согласно (9-16) с соответствующей подменой
индексов все члены, содержащие In R, исчезают. Тогда,
используя подстановки (9-15), получаем выражение
индуктивности через с. г. р.:
1 = (~ ln Spp + ln gpq ~ ln gqq + ln gqp) =
=!^1п-^_. (9-17)
В более общем случае согласно [2-11] по принципу
с. г. р. собственная индуктивность плоского контура из
шин постоянного сечения при равномерном распределе-
нии тока по сечению равна взаимной индуктивности со-
ответствующих эквидистантных нитей (нитей, имеющих
такую же форму и размеры, как средняя линия шины
рассматриваемого контура, и расположенных в парал-
лельных плоскостях так, что соответствующие точки
обеих нитей лежат на общем перпендикуляре к плоско-
стям), отстоящих одна от другой на расстоянии, равном
с. г. р. площади поперечного сечения шины от самой
себя'. Аналогично взаимная индуктивность двух эквиди-
стантных контуров с конечными размерами поперечных
сечений приближенно равна взаимной индуктивности
двух эквидистантных нитей, отстоящих на расстоянии,
равном с. г. р. площадей ближайших друг к другу по-
перечных сечений контуров. Ошибка расчета по методу
с. г. р. тем меньше, чем меньше линейные размеры по-
перечного сечения по сравнению с размерами самого
контура.
252
Формулы для расчета с. г. р. ряда фигур приведены
в [2-11]. Некоторые наиболее простые из них сведены
в табл. 9-2.
Таблица 9-2
Средние геометрические расстояния некоторых фигур
Вид с. г- р. Вид фигуры ^Пе^метр Площадь
С. г. р. от самих себя Прямая длиной Ь Круг радиусом г Эллипс с полу- осями а, b Квадрат со сторо- ной b Прямоугольник со сторонами а, Ь g=te-3/2_ =0,22313 Ь g=r См. [2-11] g=0,5824 6 См. [2-11] g=re~ 1/4~ —0,7788 г g=Q,Z(a+b)e~xli g =0,44705 b g=k(a-\-b). где ДЩ),2236*
С. г. р. меж- ду фигурами Любая фигура, лежащая цели- ком внутри ок- ружности ради- усом г, и эта окружность g=r —
Любая фигура, лежащая цели- ком вне круга или кольца, и этот круг или кольцо С. г. р. От этой фигуры до центра круга или кольца
* Более точно при а/b или Ь/а~0; 0,05; 0,10; 0,25; 0,5 и 1,0, соответственно k~
=0,22313; 0,22346; 0,22360; 0,22369; 0,22360 и 0,22353.
Обмотки (или участки, зоны обмоток) трансформа-
торов, как правило, имеют прямоугольное сечение.
Используя теорему о четырех прямоугольниках [2-11],
с. г. р. площадей двух прямоугольников можно выразить
через несколько с. г. р. площадей прямоугольников от
самих себя. В частности, для с. г. р. площадей двух пря-
моугольников равной высоты (рис. 9-3,а) справедливо
253
Следующее выражение С. г. р.:
Ing'i3 = 2s^ (^nj2U3^n^HJ2U3"^^2^n^—
— S2j j21П(J2 — SS2U3ln S2U3)’
(9-J8)
где S — площади прямоугольников; (J — знак объедине-
ния прямоугольников в один; U2’ ^1U3~
с. г. р. площадей прямоугольников соответственно 1 (J
U 2 (J 3, 2, 1 U 2, 2 U 3 от самих себя. Приняв коэффи-
Рис. 9-3. К расчету индуктивности рассеяния по методу с. г. р.: рав-
новысокие шины (а) и варианты произвольно расположенных
(б — г) параллельных шин (обмоток прямоугольного сечения).
циент k в табл. 9-2 постоянным, для двух равновысоких
обмоток (рис. 9-3,о) из (9-18) и (9-17) при числе витков
w можно получить индуктивность рассеяния в виде [9-2]
£К13 = Г * (е 1п 4+-£ In 4+— Ь 41 +
KI3 2п I 2 у у б 1 а рб 1 с ₽У /
1Лп
4-In /Л-, ' (9-19)
- 1 (h + 2а) (h + 2с) J 4 '
где a—h + d+a+c; fi=h + d—а—с; y=h+d+a—с\ 8—h-{-
-\-d—а+с; e=(az+cz+d2) /2ас; П=аруб; 2а, 2с — тол-
щина обмоток 1 и 3; d — расстояние между серединами
сечений обмоток; h — высота обмоток; I — средняя длина
витка обмоток (полусумма средних длин витков двух
обмоток) [5-1, 9-3].
При смещенных и неравновысоких прямоугольниках
по той же теореме о четырех прямоугольниках удается
свести расчет к вычислению с. г. р. пар уже рассмотрен-
ных равновысоких прямоугольников.
В частности, при расположении по рис. 9-3,6 вместо
реальных прямоугольников 1 и 6 высотой huh, можно
254
рассматривать пары равновысоких прямоугольников 1 (J
□ 2и5, / (J 2 и 4 (J 5, 2(J 3 и 5(J^;
при рис. 9-3,в —пары с высотами h} + /г2+hs, h2, h3, й4;
при рис. 9-3,г — hi+h.2, h2+h3, h\, h2. Формулы для всех
трех возможных случаев приведены в [2-11, 5-1 и др]
Здесь рекомендуется именно вариант записи формул, по-
лученный А. М Пинцовым, поскольку в нем меньше
разностей близких величин, че,м £ предложенных ранее,
например в [1-7], и достаточна $ёныпая точность вычис-
лений. При использовании цифровых ЭВМ вычислитель-
Рис. 9-4. Две обмотки и их
отражения от поверхности
стали.
ные трудности несущественны и можно применять лю-
бые виды записи формул.
Влияние стального магнитопровода на индуктивность
рассеяния можно учесть по методу зеркальных изобра-
жений [2-1—2-4, 2-11]. Для этого заменяем поверхность
стержня (роль которого больше, чем ярм) плоскостью.
Тогда при большой магнитной проницаемости его влия-
ние такое же, как и влияние па реальные обмотки р и q
их зеркальных изображений р' и q' с такими же токами
(рис. 9-4). При этом, учитывая, что gpq, ~gqp, и все токи
одинаковы по размеру, вместо (9-17) получаем
pq ^рр + Lqq 2Lpq Lpp, Lqq, Lp/q Lq,p------------
= -L in
gap?gapq'
&P&q&pp’&qq'
(9-20)
При концентрических обмотках расстояние g , мало
отличается от gpp,gqq, и, следовательно, магнитопро-
вод слабо влияет на индуктивность рассеяния. Если же
обмотки, например чередующиеся, ближе к стали, чем
ДРуг к другу, то магнитопровод может вызывать суще-
А5
ственное увеличение индуктивности. При одной стальной
поверхности в предельном случае, когда тонкие обмотки
находятся у поверхности ненасыщенной стали, имеем:
8^=8& 8РР> = 8Р и 8^=8* т- е- индуктивность с
учетом стали вдвое больше, чем при отсутствии стали.
Этот же результат легко получить и без использования
метода с. г. р. — введение ненасыщенной стали вблизи
тонких обмоток приводит к удвоению напряженности
магнитного поля в одной половине пространства и исчез-
новению в другой (занятой сталью), т. е. к удвоению
энергии поля и индуктивности.
Реальную обмотку с неодинаковой плотностью тока
во всем сечении для расчета следует представить как
несколько обмоток прямоугольного сечения с постоянной
плотностью тока в каждой из них, рассчитать все парные
индуктивности рассеяния и определить результирующую
индуктивность при данной схеме соединения по методам
теории многообмоточных трансформаторов [1-7, 1-12,
5-1 и др.]. Например, если одна обмотка I состоит из
одной части номер 1, а другая II — из п—1 последова-
тельно соединенных частей с номерами 2, 3, ..., п, то со-
гласно [5-1] сопротивление КЗ пары обмоток П-I, при-
веденное к стороне обмотки II, т. е. к числу витков шп,
будет:
ZK п-1 i ^Z>2 + + - + ^«Zi J -
““ II —
wi [^2 (^3^213 “I- ^4^214 "T“ ' •' "T“ ^П^21и) ~H
Ш J[
+ ®3 (^2^312 + ®4^314 + • •• + + •••
...+W„(a/2Z„12 + tW3Z„1B+...+tW„_1Z„1 („_,))], (9-21)
где
£«„ = 4(2„+Z,p-Z1p); (9-22)
Zij, Zjp, Zjp — сопротивления КЗ пар обмоток соответст-
венно ij, ip, jp, приведенные к числу витков мщ; ЭДп==
=.&у2+^з-|- ••• -}-w„ — число витков всей обмотки II.
Если все части обмоток расположены в двух концен-
трах, рекомендуется при расчете всех индуктивностей
рассеяния пар частей использовать одну и ту же сред-
нюю длину витка.
256
Как видно, метод с. г. р. принципиально прост. Судя
по некоторым опытным данным, его точность не ниже,
нем методов, основанных на коэффициенте Роговского,
особенно при резко смещенных в осевом направлении
обмотках. Недостатком метода являются неучет роли
кривизны обмоток и не вполне точный учет роли толщи-
ны обмоток [5-1].
9-3. МЕТОД ПЛОТНОСТИ ЭНЕРГИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Расчет интегрированием пл'озейости энергии или сум-
мированием энергии по участкам поля бывает очень на-
гляден и удобен как для вывода формул, так и для
численного интегрирования. Энергия поля или реактив-
на^ мощность всех частей сложного трансформатора
или реактора всегда складывается арифметически неза-
висимо от схемы включения и направления намотки
обмоток и от соотношений чисел витков. Если расчет ве-
дется с разложением реального магнитного поля на орто-
гональные составляющие напряженности или индукции
поля, например осевую и радиальную, то арифметически
суммируются также составляющие энергии поля, обу-
словленные разными ортогональными составляющими
поля [9-4]. Аналогично арифметически складываются
составляющие энергии, обусловленные разными прост-
ранственными гармониками поля при представлении его
в форме тригонометрического ряда. Для расчета энергии
необходимо знать значения индукции или напряженно-
сти в каждой точке магнитного поля. Их можно опреде-
лять и интегрировать или числовым расчетом с помощью
цифровой ЭВМ, или же аналитически, приняв такие до-
пущения, которые делают реальную задачу достаточно
простой. Чаще всего удобно сводить поле к равномерно-
му с помощью коэффициента Роговского. Этот прибли-
женный метод дает хорошие результаты, если им рацио-
нально пользоваться.
Покажем сначала применение метода на примере
относительно простого случая — броневого реактора
с равномерной овальной обмоткой, доходящей до нена-
сыщенных торцовых ярм (рис. 9-5,о). Снаружи обмотки
поле отсутствует; во всей области внутри окна обмотки
поле равномерное с напряженностью Но; в пределах ши-
рины обмотки напряженность поля линейно меняется от
Но до нуля:
Н=Н„(1~ -f-j; Н=1^, . (9-23)
17—774 ?57
Рис. 9-5. к расчету индуктивности по плотности энергии магнитного поля.
а — броневой реактор с овальной обмоткой; б — секторный участок обмотки; в — трансформатор с простыми концентрическими
обмотками; а —обмотка с равномерно распределенными каналами; д—трансформатор с концентрическими цилиндрической и ко-
нической обмотками; е — трансформатор с удаленными от обмоток торцевыми ярмами; яс, з—средняя по расположению обмотка
трансформатора при одинаковом (яс) и встречном (з) направленны поля рассеяния внутри и снаружи нее.
Где х—растоянйё 6т внутреннего витка до текущей
точки; а —ширина обмотки; / — длина магнитной сило-
вой линии, в данном случае равная высоте окна, 1=
В окне плотность энергии постоянна, т. е. энергия
(9-24)
где SBT — площадь, охваченная внутренним витком
обмотки.
Объем, занятый собственно обмоткой, для интегри-
рования разобьем на кольцевые секторы, в пределах
-каждого из которых радиус витка неизменен (рис.9-5,а).
Один из секторов, имеющий центральный угол а и ра-
диус внутреннего витка R, показан на рис. 9-5,6. Учиты-
вая, что длина витка, имеющего координату х, равна
в этом секторе a (R 4-х), получаем энергию магнитного
поля в указанном кольцевом секторе
№м.к.с= J-y-fl2» (1 - 4г)! a(/? + x)/dx.=
О
где 5к, са/з — часть площади кольцевого сектора, охва-
ченная витком, находящимся на расстоянии о/З от вну-
треннего витка.
Суммарный центральный угол всех участков обмотки
равен 2л. Следовательно, суммируя энергию поля в окне
и во всех кольцевых секторах, получаем индуктивность
L = -^-SIFm = i*X^L(1+^). (9-26)
где Sa/3—площадь витка, находящегося на расстоянии
а/3 от внутреннего витка;
. л с ИЛИ ka —g-1 р j ; (9-27)
^a/з — средний (по площади) радиус этого витка. При
Raisla=2 имеем /га=0,04, при 3—0,02, при 4—0,01.
17* 259
Аналогичным способом выводится формула йндук
тивности рассеяния трансформатора с простыми концен-
трическими обмотками, доходящими до широких ненасы-
щенных торцевых ярм (рис. 9-5,в). В этом случае в фор-
муле (9-26) имеем: Sa/3 — площадь канала между вит-
ками, один из которых отстоит на расстоянии щ/3 по
направлению к оси от наружного витка внутренней
обмотки, а другой — на а2/3 по направлению от оси от
внутреннего витка наружной обмотки; иначе говоря, пло-
щадь редуцированного канала рассеяния, состоящего из
канала между обмотками и 1/3 радиальных размеров
di и я2 обмоток;
ь ____2п(а22 —а\)
lzc>a/3
(9-28)
При а2=Я! имеем Аа=0, т. е. поправка отсутствует.
В трансформаторах почти всегда поправка ka меньше
погрешности, соответствующей возможным производст-
венным отклонениям размеров, и ее, как правило, не
учитывают.
Для обмотки с неизменной плотностью тока, имею-
щей п равномерно распределенных каналов (рис. 9-5,г),
соответствующее каналу номер k слагаемое в выраже-
нии энергии поля пропорционально квадрату напряжен-
ности поля в этом канале и его объему или площади.
Напряженность пропорциональна номеру канала k, пло-
щади отдельных каналов можно принять одинаковыми:
Si=Sj= ... =Sn—SKln. Тогда, суммируя приведенные
к главному каналу площади, имеем:
( k \г SK vr г _ SK
п \п+\) ~п(п+ I)2 /; 3
k=] Л=1
2(д+1) )» <9’29)
где 5К — суммарная площадь каналов обмотки. Следова-
тельно, если включить каналы в площадь обмотки, в вы-
ражении (9-26) в скобках нужно вычесть поправку:
^кан 6(« + Ki)Sa/3» (9'3°)
где Sa/3 — площадь канала между указанными витками
при включении каналов в площадь обмотки.
Если суммарная площадь каналов меньше трети пло-
щади Sa/3, то уже при двух каналах поправка меньше
2% и ею обычно можно пренебречь.
260
hpn небольшой мощности и высоком напряжений
иногда выполняют одну из обмоток конической
(рис. 9-5,д). Используя выражение энергии поля, доста-
точно ввести поправку, учитывающую отличие объема
усеченного прямого кругового конуса Удон от объема ци-
линдра УцИЛ С радиусом, равным среднему радиусу ко-
нуса R. При разности радиусов обмотки у ее торцов
(рис. 9-5) с и высоте обмоток h имеем в первом прибли-
жении ,-»>
4)’+
+(«+!)(«—г)]<9‘31)
где Sa/3 — площадь канала на уровне середины высоты
обмоток.
Если расстояние от торцов обмоток до торцевых
ярм соизмеримо с шириной (радиальным размером)
системы обмоток т (рис. 9-5,е), допущение о равенстве
длины силовых линий высоте окна неправомочно.
В этом случае для определения эффективной длины си-
ловой линии используют коэффициент Роговского рр и
высоту обмоток h, связанные формулой /=й/.рр. Коэф-
фициент, выведенный Роговским и впоследствии уточ-
ненный Е. Г. Марквардтом и др. [1-7, 2-13 и др.], наи-
более сильно отличается от единицы при отсутствии
торцевых ярм. Если т<С/г, что обычно имеет место в кон-
центрических обмотках, приемлема приближенная фор-
мула
Рр^1—vfnh. (9-32)
В результате с учетом всех перечисленных поправок,
пренебрегая членами второго порядка малости, из (9-26)
получаем:
^рас = РХ -F (1 - + ka - + /Ц). (9-33)
При наличии регулировочной или подразделенной
обмотки эпюра поля в средней по расположению об-
мотке (в среднем концентре) имеет вид трапеции
(рис. 9-5,ж, з). В этом случае использование витка, рас-
положенного на 1/з радиального размера от поверхно-
сти этой обмотки, не имеет смысла. Интегрирование
плотности энергии поля по объему средней по положению
261
круглой обмотки, выраженное в форме соответствующей
составляющей индуктивности, дает:
г г 5 схг + af 4- р2 , . , .
(9-34)
где w — базисное число витков или число витков реаль-
ной обмотки, к которому отнесена индуктивность; S —
площадь, занятая (в плане) данной обмоткой, S=
=л(/?22—/?21); а и р — осевые напряженности или ин-
дукции магнитного поля у внутренней и наружной по-
Рис. 9-6. Тороидальные реакторы и трансформатор.
а — реактор с тонкой прямоугольной обмоткой; б — реактор с тонкой круглой
обмотквй; в — реактор с тонкой несимметричной овальной обмоткой; г — двух-
обмоточный трансформатор с многослойными обмотками.
верхностей данной обмотки, отнесенные к базисной
напряженности или индукции; при разных направлениях
поля у этих поверхностей аир имеют разные знаки;
в случае последовательного соединения частей обмотки
1 и 2 на рис. 9-5,ж или 1 и 3 на рис. 9-5,з имеем соот-
ветственно а=&У1/(twi+w2) или а=&У1/(&Р1-|-йРз) и р=1
или р=—Юз/ (Wi^-Ws);
ka ~ а2 + + f2 4/? ’ (9-35)
а и R — радиальный размер и средний радиус данной
обмотки.
Если синусоидально изменяющиеся во времени поля
у внутренней и наружной поверхностей обмотки сдвину-
ты по фазе на угол <р (например, при схеме зигзаг) и
расчет ведется символическим методом, то слагаемое
ар следует заменить на apcostp. Более общий метод
262
расчета индуктивности рассеяния при соединении обмо-
ток в зигзаг приведен в § 9-4.
Рассмотрим случай с переменной длиной магнитной
силовой линии. В тороидальных реакторе или трансфор-
маторе с обмотками, равномерно распределенными по
окружности, трубки магнитного потока имеют вид кон-
центрических круговых колец и их длина Z=2np суще-
ственно зависит от расстояния текущей точки от оси р.
В случае прямоугольной форм** витков тонкой обмотки
(рис. 9-6,а) имеем:
ft
1 = ^=4 (9-36)
ft
где h — высота витка, т. е. осевой размер тороида; R\ и
Т?2 — внутренний и наружный радиусы тороида.
В случае круглой формы витка (рис. 9-6,6) имеем:
R+r
— (/? —р)»-2тер</р =
R—r
= (R - (9-37)
где r — радиус витка; R — средний радиус тороида.
При сложной форме витка тороидальной обмотки
площадь, охваченную витком, можно разбить на ряд
участков прямоугольной, треугольной и секторной фор-
мы. Точные формулы для всех этих случаев даны
в [1-21]. Однако эти формулы громоздки, недостаточно
наглядны и требуют вычислений с высокой точностью
из-за необходимости расчета разностей близких величин.
Еще сильнее эти недостатки выражены в формулах для
участков, занятых витками обмотки (при учете конечной
толщины обмотки). Подробный анализ и примеры пока-
зывают, что для реакторов с реальными соотношениями
размеров обмотки, особенно при овальной форме витков
обмотки, очень мала погрешность простейшей формулы
(9-38)
если эффективную длину магнитной силовой- линии при-
нять равной [1-21]:
l9 = 2kVR^ъ 2^ср (1 - , (9-39)
263
где $э = $а/з — площадь, охваченная «эффективным»
витком, находящимся ра расстоянии п/3 от внутреннего
витка обмотки; а — толщина обмотки; при многослойной
обмотке размер а меняется по периметру витка, но это
не мешает применять выражение (9-38) — лишь не-
сколько усложняется расчет площади; R\ и R2— расстоя-
ния от оси тороида до ближайшей и дальней частей ука-
занного витка; 7?Ср — средний радиус тороида, 7?Ср=
/2; а — относительный радиальный размер то-
роида, a=(R2—Ri)/Rcp.
Овальная несимметричная форма витка обмотки
с двумя радиусами закругления (рис. 9-6,в), в которой
радиус ]/О2 является не только эквивалентным рас-
четным, но и конструктивным размером, очень близка
к формам, оптимальным по расходу материалов и поте-
рям и по Изгибающим механическим напряжениям в за-
кругленных частях витка [1-21].
Если форма витка катушек ближе к прямоугольни-
ку, то вместо малонаглядного выражения (9-36) можно
использовать (9-38), если за длину магнитной силовой
линии принять
j___(R2 Ri) ______Очг1? (1 __ 0,2_____\
э~’ 12 180 у
(9-40)
Аналогично при круглом витке, учитывая, что Rcp—B
и Rii2=RzFr (т. е. a—2r/R), вместо выражения (9-37),
требующего при а<^С1 очень точных вычислений, полу-
чаем наглядное выражение (9-38), если принять:
/э=----^=- - (1 - Х-1 (9-41)
э /?___V R2__г2 р \ >6 256 / ' '
Формулы подобного типа, как правило, приемлемы
также для индуктивности рассеяния тороидальных
трансформаторов. В этом случае 5о/з— площадь между
витками, отстоящими на ’/з толщины каждой обмотки от
межобмоточного канала (показаны пунктиром на
рис. 9-6,г).
Иногда бывает необходимо учитывать изменение се-
чения трубки магнитного потока. Например, для ради-
ального магнитного поля в круглом цилиндрическом за-
зоре (рис. 1-2,6 и 8-12) высотой h между ненасыщенны-
ми частями магнитопровода при МДС iw из условия
непрерывности потока следует:
р
Br.2itrh=Bcv-2nRcf/i или Вг=.Всв-^- (9-42)
264
Тогда по закону полного тока получаем:
^2 1 /?
С dr = iw или BcpRcp — In iw
J 14 '
Ri '
и по выражению индуктивности через энергию поля:
Rs
т 2ГМ _ 2 С
L- A - i* J
Rs
2п/?ср/г J"
~ 2 —— I 1 -
(9-43)
у о , j г ?я/г
— 2nrnar=v-w ,-7» ,,, ;
1 (Rt-Ry ]2
12 к Яср J.
(9-44)
где г — текущая координата по радиусу; R\ и R2 — внут-
ренний и наружный радиусы зазора; h — осевой размер
зазора; 7?cp=0,5(J?i-H?z)—средний радиус зазора; Вг и
ВСр — радиальная индукция на расстояниях г и Вер от
оси; l=R?—Ri — ширина зазора.
Для оценки энергии знакопеременного пространствен-
но-периодического поля в полупространстве, не содержа-
щем источников, ферромагнитных и проводящих тел
(х>0 на рис. 8-3,а), достаточно проинтегрировать квад-
рат выражения напряженности (8-7) по рассматривае-
мому объему. При периодичности поля X по оси у и
амплитуде Нт единственной гармоники напряженности
на границе (плоскости 2=0) для участка площадью S
имеем энергию:
СО
wk=J J (Н*Х+dx ds=
S о
со
= J J -V- Я « (sin2 -^F+cos2 1
so J
~~~ Н\n~s,'
2 m 4n ’
(9-45)
равную энергии в слое толщиной 7./4n«^0,08Z с постоян-
ной плотностью энергии, равной плотности у поверхно-'
сти полупространства. Если эпюра напряженности у по-
верхности несинусоидальна, то, взяв наибольшие значе-
ния напряженности и периода, получим заведомо завы-
шенную оценку. Подобными способами удается выводить
простые формулы во многих случаях.
265
9-4. МЕТОД МОЩНОСТЕЙ
При расчете индуктивности рассеяния или напряже-
ния КЗ сложных трансформаторов и трансформаторных
агрегатов, содержащих несколько основных, регулиро-
вочных и других частей обмоток, часто расположенных
на нескольких остовах, систематически встречаются за-
труднения, а иногда даже ошибки, связанные со знаками
слагаемых, приведением к одному числу витков и к од-
ной мощности и т. п. Примером такого устройства мо-
жет служить агрегат для питания мощной электро-
печи, содержащий, кроме главного трансформатора,
автотрансформатор грубого регулирования, вольтодоба-
вочный трансформатор тонкого регулирования и токо-
ограничивающий реактор, причем каждый из этих эле-
ментов имеет свои номинальные данные; трансформатор
тонкого регулирования может быть включен как соглас-
но, так и встречно.
Особенно сложна задача в случае соединения обмот-
ки трансформатора в зигзаг. При этом на одном стерж-
не находятся части обмотки, включенные в разные фазы
сети, и магнитная индукция в разных точках поля рас-
сеяния имеет разные фазные углы. Следовательно, фор-
мулы токов, МДС, напряженности и индукции магнит-
ного поля содержат комплексные числа и выражения
параметров трансформатора (добавочных потерь, мощ-
ности поля рассеяния, индуктивности рассеяния) через
размеры обмоток и индукцию, или токи получаются гро-
моздкими. Для вывода формул обычным способом сле-
довало бы разложить комплексные токи и МДС обмоток
на ортогональные (во времени) составляющие, опреде-
лить поле рассеяния и найти его энергию от каждой из
систем этих составляющих, просуммировать результаты
и затем найти индуктивность рассеяния. Однако такой
вывод громоздок. Кроме того, конечное выражение ин-
дуктивности рассеяния через размеры обмоток зависит
не только от принципиальной схемы соединения, но и от
относительного расположения обмоток, и для каждого
случая нужно выводить свои формулы. Например, вид
эпюры поля получается существенно разным при очеред-
ности расположения концентрических частей обмоток 1,
2, 3 и 2, 1, 3, где 2 и 3 — части обмотки, соединенной
в зигзаг. Картина поля рассеяния особенно сложна
в случае чередующихся частей обмоток, например 1 и 2
266
или 1 и 3, имеющих одинаковые диаметры. Проще раз-
делить расчет на три этапа:
1) рассчитать токи в частях обмоток при заданных
принципиальной схеме соединения и токе одной из сто-
рон. Этот расчет, как правило, не вызывает существен-
ных затруднений;
2) несколько раз рассчитать сопротивление КЗ при
работе пар частей обмоток, когда токи не имеют фаз-
ных сдвигов и можно использ^ать обычные известные
методы;
3) определить необходимые параметры для заданно-
го режима работы, используя метод мощностей, изло-
женный ниже.
Метод в равной мере относится как к индуктивно-
стям, так и к активным составляющим полных сопро-
тивлений. Поэтому далее будем рассматривать ком-
плексные сопротивления.
Метод мощностей основан на теореме Ланжевена, по
которой суммы активных и реактивных мощностей всех
источников энергии равны соответственно суммам актив-
ных и реактивных мощностей всех приемников цепи.
При этом в отличие от потерь, которые в пассивной цепи
всегда положительны, реактивная мощность, потребляе-
мая индуктивной катушкой (реактором) и конденса-
тором, имеет разные знаки. Можно показать, что реак-
тивная мощность, входящая в сеть (цепь, устройство),
равна разности средних значений магнитной и электри-
ческой энергий, запасенных в указанной сети, умно-
женной на удвоенную угловую частоту [9-5]. Следова-
тельно, знак «минус» может появляться только при на-
личии конденсаторов (к цепям с управляемыми венти-
лями указанные правила могут быть неприменимы).
Таким образом, для определения сопротивления КЗ
трансформатора или агрегата необходимо просуммиро-
вать реактивные мощности и потери всех его элементов
в опыте КЗ и разделить результат на квадрат соответ-
ствующего тока (для получения сопротивления КЗ
в омах) или на соответствующую номинальную мощ-
ность (для получения относительных реактивного сопро-
тивления и потерь). При отделенном от основного рас-
чета переводе конечного значения мощности в опыте КЗ
в относительные величины или выражении его в виде
сопротивления неизбежна четкая запись базы (номи-
нальных тока, напряжения, мощности), к которой эти
267
параметры приведены. При этом исчезают недоразуме-
ния, связанные с приведением.
Для элементов и частей, индуктивно не связанных
с соседними, и для двухобмоточных трансформаторов
обычно затруднений не возникает — полная мощность
при токе I будет:
S = Р 4- iQ = PZ = Г (г 4- /х) = Г (г 4- /<»£) (9-46)
или
s=sHOM(-у^-4-/. (9'47)
Для трансформаторов, обмотки которых содержат
ряд частей, или для многообмоточных удобно использо-
вать одну из формул, выведенных Гариным и Палуевым
алгебраическими тождественными преобразованиями
уравнений трансформатора при отсутствии намагничи-
вающего тока. Полный вывод одной из них приведен
в [1-12]. При известных сопротивлениях КЗ всех пар
частей обмоток имеем [9-5]:
п п
s=r+w—4-V TWA=
«₽* *
р=1
п п
=—SW/.+VJ
г=1 <?=1
или
п п
s=P+!Q=% 3 =
р=2 q=2
п п
=2 2
р=2 q=2
(9-48)
где п — число частей обмоток; р и q — номера частей;
1Р — комплексный ток в части р (действующее значе-
ние, приведенное к базисному числу витков); I*q — со-
пряженное значение тока в части q; I' и I" — ортого-
нальные составляющие токов: I*—I'—jl";
Zypq — 0,5 (ZKlp -1- ZK1(l — ZKp?).
(9-49)
Таким образом, задача сводится к определению орто-
гональных составляющих токов и их подстановке в одно
268
из выражений (9-48). Эти выражения и вытекающие
из них формулы можно применять не только для
расчета мощности, потребляемой всем трансформатором,
но и для потерь в отдельной детали или ее участке
[5-1]. В этом случае вместо ZKPg следует подставлять
составляющую, обусловленную соответствующими поте-
рями в парном режиме. Например, при расчете потерь
в элементе следует поставлять <гк,аРд—Рард1Р, где Рэрд—
потери в данном элементе опыте КЗ обмоток р и q
при приведенных токах I'p——I'q=I й Г'Р=—1"д=0.
Рис. 9-7. Примеры принципиальных схем двухобмоточных трансфор-
маторов и трансформаторного агрегата с соединением обмоток
в зигзаг.
а — нерегулируемый трансформатор; б — регулировочный трансформатор для
электрепечыого трансформаторного агрегата; в — автотрансформатор (с обмот-
ками 1—3) и дополнительный трансформатор (с обмотками 4, 5); /„ // — пер-
вичная н вторичная стороны соответственно. Стрелками показаны направления
токов, принятые за положительные.
Покажем применение метода на трех примерах схем,
иногда встречающихся в специальных трансформаторах
[9-6].
Пример 9-1. Рассмотрим двухобмоточный трансформатор, обмот-
ка I которого содержит только одну часть номер 1, а обмотка II—
соединенные в зигзаг части 2 и S. Для определенности примем, что
обе обмотки соединены в звезду, (рис. 9-7,а). Ниже используются
параметры обмотки фазы. Обозначим числа витков ш, стержни й
фазы обмоток— а, Ь, с и А, В-, С. Предположим, что фазы транс:
форматора, источника питания и нагрузки симметричны, сталь, маг-
нитопровода не насыщена, токи и напряжения синусоидальны. Пре-
269
небрегаем магнитной связью обмоток; соседних стержней. При ука-
занной схеме соединения справедливо:
^1А~ 11Д и т. Д.; ^2а~' ^гс'г Afe= 7,а и т. Д-; (9-50)-
(/|д==(/|д и т. Д.; U^a= Uza zci *г- Л- (9-51)
В силу симметрии трех фаз
Ад = и т. д.; (9-52)
^М = ^1ве/2”/3 = ^1Се“/2"/3- (9-53)
Ввиду баланса МДС обмоток каждого, стержня
714®! + Ла®2 + / за®з = 0- (9-54)
Из (9-54) с учетом .(9-50) й (9-52) следует;
Ад = Ад = ~ 77 (72а®2 + i3awJ = («Ь — W3<~'2*/3) 1га =
-----(ю2 + 0,5и>, 4- / • 0,5 Кз ш,) /га = — е/ф/2а, $-55)
где ДОцэк—эквивалентное число витков обмотки //:
юПэк = V(®s + 0,5® ,)2 + (0,5 КГ®,)2 = А ®2®, + №%;
(9-56))
0,5ГЗ®3
? = arctg ®2-|10,5®з • <9'57)'
Для выражения комплексных токов и их ортогональных состав-
ляющих, приведенных к числу витков ®i, за начало отсчета фазных
углов примем вектор фазы тока А иа стороне /, Тогда для. фазы А
имеем:
= f’iA = fi> '"1Д = 0; (9-58)
Ла — Ам =
®,
юПэк
е-/’;
2а —
W!
cos <р;
Г
Л. = - Ли — I, ~~ е"'Я W,; -
I lae1
(9-59)
/”.а== —A —Л (9-60);
®Пэк Vd 1
Подставляя составляющие токов в (9-46), для системы обмоток
стержня а имеем полную мощность
ЛагА^га _2к1>А/ «а ~ jy2»jfАаЛ»а~~Ак22^ 'zJ' за (9-61)
и сопротивление КЗ обмоток I и II
S „ К’г W3 I \
£К I п = 2 ®Пэк cos ? + -и 8 шнэк c°s V ” 7
79
' я .
-д- — I —sin <f sin I -g-<р 11.
я
cos <р cos
- ®гПэк
(9-6§j
Используя (9-56), (9-57) и основные формулы тригонометрии,
получаем окончательно:
Z^ J л = “»2^Kia Ч- “la^Kis “гз4гз> (9-63)
где а12 = w2 (w2 + 0,5w,)/wfГэк; oIS = w3 (w3 + 0,5щ2)/ь^Ьк;
«гз = И'гИ'з/Мьк! ®11зк= “4 + + ьу2”’ “*2 + “13 = 1-
В частном случае и>2=и>з, рассмотренном ранее в литературе,
из (9-63) вытекает известная формула [1-7]:
I II ~ 2 (4112 “Ь 4<1з) g ^кгз- (9-64)
Пример 9-2. Рассмотрим регулировочный трансформатор с соеди-
ненной в треугольник первичной обмоткой и соединенной в зигзаг-
звезду вторичной, состоящей из трех частей — основной обмотки и
обмоток грубого и тонкого регулирования (части соответственно 2,
3 и 4 на рис. 9-7,6). Для этого случая части 3 и 4 можно объеди-
нить в одну ЗЦ4. Сопротивления КЗ ее и одной из остальных частей
обмоток (индекс / принимает значения 1 или 2) можно определить
по Zn34, ^кзз и ZKij по известной формуле:
— ' ч
^к(3 и 4)7 = “412/ + «Р4<з.;> (9-65)
где
а=ш3/(Щз+Щ4); Р = ьу4/(ьуз+Щ4) ==1—а- (9-66)
Сопротивления ZK^3 4)/ можно рассчитывать так же по картине
поля, как для обычной подразделенной обмотки.
Соединение первичной обмотки в треугольник вместо звезды н
отличие очередности соединения частей от рис. 9-7,а не влияют на
окончательную формулу для ZKI ц. Поэтому в данном случае мож-
но использовать выражение (9-63), заменив в нем Ws на (и>з+и>4),
ZK13 на _£k1(3j4) и 4из на A<2(3(J4) •
Пример 9-3. Рассмотрим трансформаторный агрегат по рис. 9-7,в,
содержащий основной трансформатор с автотрансформаторным со-
единением в зигзаг основных обмоток и дополнительный трансфор-
матор, включенный последовательно в цепь вторичной стороны и пи-
таемый от регулировочной обмотки основного трансформатора. Для
этой схемы остаются в силе выражения (9-52) и (9-54). За поло-
жительное число витков регулировочной обмотки 3 примем число
витков в случае, когда регулирование приводит к увеличению на-
пряжения на стороне //. При этом вместо (9-50) имеем:
4д = 4д и т- Д-1 4la=~4а и т. Д.; 7за =
= —4a = ~4la^n и т- (9’67)
Лв + 4 la + 4a 0 и т- Л- (9-68)
271
Дальнейшие выкладки, аналогичные приведенным в примере 9-1,
но более громоздкие, дают выражение сопротивления КЗ, отнесен-
ного к стороне I {9-6]:
S
г и Pl 2^К1 2 “Ь Р13А1 а г23^К23 + (9-69)
где
₽.г = (9-70)
“'гб“'Пэк \
Pi а = и>21и>аи>5 /, _ ws '\о (9-71)
к +2су1 /'
Раз — “'г“'»“'1 эк / эк W, (9-72)
“^Пэк “'ll эк 2е,1эк W1 эк / ’
W 2 к W 2 г Б I 315 (9-73)
Раб — “’Wn эк >
w-Т эк = = к"О'2, -]- WiW2 + w22; (9-74)
“'ll эк == ьу2 + ьу2ш6/е>4; (9-75)
и>б — базисное число витков, для которого рассчитаны сопротивле-
ния КЗ пар частей обмоток.
9-5. ЗАВИСИМОСТЬ ИНДУКТИВНОСТИ ОТ ЧАСТОТЫ
Возможное отличие индуктивности трансформатора или реакто-
ра при быстрых процессах от ее значения при промышленной часто-
те необходимо бывает оценить, например, при анализе неожиданных
опытных данных, поиске ошибки в проекте, проектировании высоко-
частотного трансформатора или реактора, при расчете индуктивно-
сти сглаживающего реактора (в котором потери от высших гармо-
ник тока не играют большой роли, а индуктивность важна). Пара-
метры, связанные с намагничиванием стали магнитопровода, рас-
смотрены в гл. 6. Здесь обратим внимание на индуктивность при
повышенной частоте, обусловленную магнитным полем вне магнит-
ной системы, и влияние на иее циркулирующих и вихревых токов.
Иногда при высоком напряжении емкость играет существенную
роль. Например, пусть имеется реактор, в котором объем магнитно-
го поли вне стали при индукции 0,5 Тл равен 10 м3, а для электри-
ческой изоляции с напряженностью электрического поля 2 кВ/мм=
=2 МВ/м при частоте 50 Гц и относительной диэлектрической про-
ницаемости ег=3 объем равен 2 м3. Электромагнитная мощность
такого реактора составляет:
0,5s
См — ^м'2я/ — 2-4л-10-’• Ю-2л-50 дг300 Мвар;
272
МощнбстЬ электрического поля в его изоляций
л £g£oer ,
Оэл— 2 —
22-10®'2-3
2-Збл-108 ' 2-2л-50 30 квар;
их отношение — около 1-104.
При напряжении 700 кВ индуктивное сопротивление примерно
равно 1,5 кОм, а емкостное 15 МОм. Индуктивное сопротивление
прямо пропорционально частоте, а емкостное обратно пропорцио-
нально. Следовательно, уже при частоте 5 кГц будет иметь место
резонанс токов, а при частоте, например, 3 кГц измеренная индук-
тивность в 1,5 раза отличается от : йустивности при промышлен-
ной частоте. Роль емкости не связана непосредственно с длиной
провода обмотки — в приведенном примере длина провода обмотки
составляет лишь несколько километров, а длина волны 5 кГц в ди-
электрике — десятки километров.
Рис. 9-8. К оценке влияния циркулирующих токов на индуктивность
рассеяния двухобмоточного трансформатора.
а —расщепленная вторичная обмотка; б — чередующиеся обмотки из парал-
лельно соединенных дисковых катушек.
В нормальном рабочем режиме силового трансформатора или
реактора влияние вихревых и циркулирующих токов на индуктив-
ность почти всегда ничтожно мало. Для того, чтобы этп токи замет-
но влияли на магнитное поле, они должны быть соизмеримы с МДС
всей рабочей обмотки. Эти токи замыкаются по сечению, составляю-
щему часть сечения обмотки. Следовательно," плотность этих токов
будет не ниже плотности основного тока и добавочные потери не
меньше основных. Очевидно, таких условий при проектировании
избегают (кроме исключительных случаев). Однако начнем рассмот-
рение именно с подобных случаев.
Пусть на каждом из двух стержней бронестержневого магнито-
провода установлены одинаковые половины 1 и 2 первичной обмот-
ки, соединенные параллельно, и части 3 и 4 расщепленной вторичной
обмотки (рис. 9-8,а). Основной ток (определение понятия — см.
в § 10-2) в половинах первичной обмотки равен половине первично-
го тока: /OcKi=-focB2=/i/2. Если допустить, что циркулирующие
токи будут отсутствовать при нагрузке одной части вторичной
18—774 273
ОбМоткй, то ла стержнях йоявйтся Нескомйенейрованная МДС, вызы-
вающая большие магнитные потоки в боковых ярмах, а при насы-
щении их — потоки от ярма к ярму. Соответственно сопротивление
рассеяния между первичной обмоткой и одной из частей вторичной
обмотки было бы очень велико. Фактически в такой схеме возникает
циркулирующий ток, равный основному. Например, при нагрузке
части 3 и ненасыщенном магнитопроводе из закона полного тока
для контура, включающего стержень этой части обмотки и боковое
ярмо, следует, что весь первичный ток идет только в одной половине
первичной обмотки: Ji=h. Рассматривая этот ток как сумму основ-
ного и циркулирующего токов, получаем /ц=/2/2; /1=/Осн1+/ц =
==^1> ^2==^осн2—= 0. Сопротивление рассеяния вместо упомяну-
того очень большого, обусловленного боковыми ярмами и ярмовым
рассеянием при наличии в обмотке 2 нескомпенсированного основно-
го тока /осна, равно сопротивлению рассеяния пары близких частей
1 и 3. Столь сильное явление учитывают при проектировании, при-
чем термин «циркулирующие токи» в подобных случаях на практике
не применяют, а считают в указанном режиме /Осв1=/г, /освя=0,
вопреки формальному определению в стандарте [1-3].
Еще сильнее подобное явление выражено при чередующихся
обмотках, каждая из которых содержит п параллельно соединенных
дисковых катушек (рис. 9-8,6). При этом основной ток каждой ка-
тушки равен 1/п части тока обмотки, а реально почти весь ток кон-
центрируется в катушках, прилегающих к главному каналу рассея-
ния (номер п в обмотке / и № 1 в обмотке I/ на рис. 9-8,6). Соот-
ветственно при одинаковых размерах всех каналов в тонких катушках
согласно (9-30) индуктивность рассеяния, если не учитывать раз-
2 ( 1 \
личие в коэффициенте Роговского, будет в 1 +"з"(н— 1) 11 —
2 1
=s-g-n-[- -g-раз меньше, чем при равномерном распределении тока
по всем катушкам. Однако потери в прилегающих к главному ка-
налу двух катушках примерно в п2 раз больше основных по-
терь в них и в п раз больше всех основных потерь. Попятно, что
схему со столь большими потерями ие применяют.
Сильно влияют на индуктивность токи экрана бака или токи
в стальной стенке бака масляного реактора без стали, рассмотрен-
ного в § 8-7 (см. рис. 8-13). В этом случае индуктивность реактора
с экраном согласно (8-52) при указанных там допущениях и обозна-
чениях составляет:
2Й7М 2
^ЭКр — J-2 — j'2
-^№об5Об/ + (S6 - So6) I ~
^об
I
Г f । I *%б \ 2 — *%б] . /. SOf5 \
|Д 5б / Ч S6 ) S°5 J °Ч s6 /’
(9-76)
где LO6 = lU>w2SOfi/l — индуктивность обмотки при отсутствии экра-
на и бака; 50в и Sc — площади внутри среднего витка обмотки и
внутри экрана (бака) в плане.
274
В общем случае для оценки влияния циркулирующего тока, про-
текающего в одном замкнутом контуре 2, на индуктивность обмот-
ки реактора, рассматриваемой как контур 1, можно использовать
уравнения индуктивно-связанных контуров:
(Ji — 1
, - ’ I (9-77)
О = /ду -|- /2_Z2, |
откуда при гг = 0 и г, <= 0 следует:
/2 = - iiZjH/Zt = - W:! (9-78)
Мг
7-вх = <о/1=^'1 —~L2 ^2св)> (9-79)
где Llt L2 и М-— собственные и взаимная индуктивности контуров 1
и 2; LST — «входная» индуктивность; kCE — коэффициент связи кон-
туров 1 К 2, kc в = м/Уьуьг.
Например, для рассмотренного в § 8-7 реактора с экраном, если
принять, что обмотка и экран (бак) находятся между двумя протя-
женными ненасыщенными торцевыми ярмами и их осевой размер
равен высоте окна I, с учетом w2— 1 имеем:
г _ 2 ^об ,, So6 ,
Л = : М=. р0®1——; 7.2 =
.<1.0 < ^Об
Р'О I > 1 СВ ----- 1 9
что совпадает с выражением (9-76).
Для оценки преувеличенного влияния вихревых токов можно
принять, что электрическая проводимость рассматриваемых частей
бесконечно велика, т. е. магнитное поле в них не проникает. Напри-
мер, пусть в трансформаторе с двумя концентрическими обмотками
с одной стороны от обмоток (у стержня или со стороны бака) уста-
новлен плоский электромагнитный экран. Если он бесконечен, а ра-
диус кривизны велик, можно заменить его отражением обмоток от
поверхности экрана. Применяя подход, изложенный в § 8-5 при вы-
воде формулы (8-36), и используя обозначения по рис. 8-7, получаем
завышенную оценку влияния экрана на осевую индукцию в канале
p^j_2JljL (9-80)
. 2 1
вместо рв чы I — при отсутствии стали или экранов и р'в 1
при наличии стали.
Изменение потокосцепления и, следовательно, индуктивности бу-
дет примерно таким же, как изменение индукции, т. е. не больше
(0,6—1,3)т/2/г, где т — разность средних радиусов двух обмоток,
2/г — их высота.
Значительно заметнее может быть снижение индуктивности из-за
уменьшения сечения для потока рассеяния, т. е. вытеснения осевой
индукции из тела проводов. Если толщина провода больше утроен-
ной «глубины п оникновения» 5= К2р/«р«, согласно формуле
18’ 27Ц
(2-64) и кривой 6t/6 на рис. 2-10 магнитный поток в теле провода,
совпадающий по фазе с индукцией у поверхности провода, равен
потоку в слое толщиной 6/2 с каждой стороны провода при индук-
ции, равной индукции вне провода у его поверхности. При толщине
провода меньше «глубины проникновения» вытеснение ничтожно
мало. Если толщина провода b находится в области от б до Зб,
толщину провода в расчете магнитной проводимости следует заме-
нять на 261 (см. рис. 2-10), причем здесь 26ь меняется от 0,966
до 1,326. В наиболее распространенных катушечных и винтовых
обмотках провода чередуются со значительными каналами (рис. 9-9),
в которых вытеснения поля нет (см. § 11-3) и [11-10]). Тогда маг-
Рис. 9-9. Участок сечения обмотки
(к оценке влияния вытеснения поля
вихревыми токами из проводов ка-
тушечной или винтовой обмотки).
нитное сопротивление участка, включающего один провод с полови-
нами прилегающих к нему каналов, пропорционально величине
а/(с+26ь)+е/(Ь+с) вместо обычной (аЧ в)/(64-с), где а и b —
высота и толщина (осевой и радиальный размеры) провода; с и
е — толщина изоляции или каналы между соседними проводами со-
ответственно в осевом и радиальном направлениях. Следовательно,
в обычном выражении приведенной площади канала рассеяния
трансформатора с концентрическими обмотками или площади «эффек-
тивного» витка реактора площадь, занятую каждой обмоткой, необ-
ходимо умножить на коэффициент
t д Ц-е [ а , е
*ВЫТ = 6 с [c + 26i + &'+Vj =
2&, а
= * 1 * * * * *~.а , о V <9-81)
1 + в [ 8 ь + ь )
Например, пусть 6=2,5 мм; с=0,5 мм; а=10 мм и е=8 мм.
При высокой частоте, если 6=0,25 мм, имеем 6/6=0,1; 26ь/6 = 1,0,
cjb—OP и коэффициент влияния частоты на индуктивность будет:
1—0,1
™ “ 1 “ ! + 0,2 + 0,8 (0,1 -ф. 0,2)S3°’38’
276
Начиная с работ Фильда (1905 г.), обычно принимают прямыми
магнитные силовые линии сквозь провод и каналы, а роль каналов
между катушками учитывают введением фиктивного удельного элек-
трического сопротивления р(а-{-е)/а. При этом «глубина проникнове-
ния» возрастает пропорционально К1+е/а. В данном примере по
' ,,_____ 1—0,135
Фильду имеем 6'/Ь=0,1 • V 1+0,8=0,135 и йВыт = 1— '"f Jg о 2 =
=0,33 вместо 0,38, т. е. влияние вихревых токов преувеличено на
15%- Кроме того, иногда считают тонкой изоляцию между слоями.
Тогда расчетная формула заме^нр^.. проще — при Ь/6>3 имеем
йвыт = 6/Ь, но погрешность может излучиться слишком большой-—
в приведенном примере. &Выт=0,135 -вместо 0,38, т. е. втрое. Для
многослойной обмотки, где е<Ь<а, изложенный подход неприме-
ним, а предположение Фильда ближе к реальной картине поля.
Однако в этом случае различие между результатами расчета по
двум способам ничтожно мало.
Полный вывод соответствующей формулы для средней -по рас-
положению обмотки с учетом конечного числа слоев дан в [Ы2].
Там же имеются вспомогательные кривые для расчета.
9-6. СПОСОБЫ РАСЧЕТА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЫХ СЛУЧАЕВ
В последние годы получают распространение различ-
ные методы расчета индуктивности и сопротивления КЗ
с помощью цифровых ЭВМ. Наиболее перспективной
среди них представляется методика, описанная в [9-7].
По реализованной программе можно рассчитывать рас-
пределение тока и напряжений при любом соединении
нескольких десятков (до 120) круглых цилиндрических
частей обмоток, произвольно расположенных на несколь-
ких стержнях с конечной магнитной проницаемостью.
Приняв диаметр стержня и его магнитную проницае-
мость малыми, можно по такой программе рассчитывать
и реакторы без стали. Вводя у боковой поверхности за-
зоров стержня фиктивные тонкие обмотки, нагруженные
на индуктивности, соответствующие равномерному полю
в зазоре, можно использовать программу для повыше-
ния качества проектирования реакторов с зазорами.
В [8-11, 9-8—9-10] изложены методы расчета реак-
торов без стали, имеющих электромагнитные экраны, и
броневых реакторов, основанные на непосредственном
решении основных уравнений поля. В конечные выра-
жения входят функции Бесселя. Для некоторых случаев
даны кривые вспомогательных коэффициентов. Для ре-
акторов в виде круглой цилиндрической обмотки без
стали ряд методов и номограммы имеются в [2-11]. Ин-
дуктивность такого реактора можно представить в виде,
называемом «формулой Нагаока, аналогичном наиболее
277
наглядной формуле (9-9):
, 2 Tt/J2/4 „
(9-82)
где D — средний диаметр обмотки; h — ее высота; Kl —
коэффициент, зависящий от h/D и a/D — см. рис. 9-10
(номограмма построена инж. Н. А. Блаватской на осно-
ве табл. 6-2, 6-5 и 6-6 из [2-11]); а — радиальный раз-
мер, или
L ( 1000 ) “ ^L, (9-83)
где L — в генри; D и h — в метрах.
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
О
0,1 g) 0,2
0,2 0,4 , 0,6 0,8 1,0 0
O-J
Рис. 9-10. Коэффициент для расчета индуктивности круглой цилин-
дрической обмотки без стали.
а — при произвольных значениях a]D и й/D; б — при я/О<0,3 и й/О>1.
Известен ряд вариантов формулы Нагаока, рекомен-
дуемых для соленоидов, дисковых катушек и катушек
конечной толщины [9-11]:
А^ро®2л£)2/4(/г+О,44£)); (9-84)
А^Иои12лП2/4(1,О8/г-}-О,4П); _ . , (9-85 J
i^offi>W/4(O,4£»+l,O8a); (9-86)
L^|.i0®2nZ)2/4 (1,1 l/i+0,37Z)+1,23a). (9-87)
Наиболее распространена формула (9-84). Ее можно
трактовать как соответствующую последовательному
включению двух участков магнитной цепи сечением
5об=Д-О2/4 и длиной h внутри обмотки и 0,44£)=2х
X0.22Z) вне обмотки. Такая трактовка позволяет пред-
ложить простые формулы для реакторов с электромаг-
нитными экранами, броневых"'" и^ярмовых [9-13].
При наличии электромагнитного экрана или бака
(см. рис. 8-13), охватывающего площадь 5б, в указан-
ную схему магнитной цепи следует последовательно
включить третий участок сечением 5б—Зоб и длиной h.
Тогда индуктивность реактора с экраном
(9-88)
где ТОб — индуктивность обмотки без экрана или бака;
. ^эк Л + 0»44Z)
эк~~ ~~ Л + 0,440 + /г5об/(5б-5об) =
I_______________$об I " *
-Г h + 0,440 S6-Sos]
(9-89)
Непосредственно из выражения (8-52), не учитываю-
щего добавку 0,447), следует более простая формула,
дающая несколько сниженное значение расчетной индук-
тивности
Язк=1—5об/£б. (9-90)
Для броневых и ярмовых реакторов с близкими к об-
моткам торцевыми ярмами почти всегда достаточна фор-
мула вида (9-9)
£ = цХ$о/3/А
где — высота окна; So/3 — площадь витка, от-
стоящего на треть толщины обмотки а от внутреннего
витка.
Ее можно трактовать как соответствующую последо-
вательному включению участков магнитной цепи сече-
нием Sa/з и длиной h внутри обмотки и А вне обмотки.
Заменив в формуле (9-84) площадь л7)2/4 на Sa/s и при-
няв, что при заметном суммарном расстоянии А от тор-
цов обмотки до торцевых ярм ветви, соответствующие
участкам вне обмотки, двух рассмотренных магнитных
279
Цепей — по (9-9) и (9-84) — не изменились и включены
параллельно, получим поправочный коэффициент к (9-9)
или (9-26):
^Д Р I д+ 0,440 ] или ^д I
<*><>
Результаты расчета индуктивности по (9-26) с уче-
том поправки по (9-91) практически не отличаются от
точного расчета по методу [9-10]. Эту же поправку мож-
но использовать для расчета индуктивности рассеяния
трансформатора по (9-33) при близких к торцам кон-
центрических обмоток торцевых ярмах, например, во
Рис. 9-11. Стержневой без ярм реактор (а) и коэффициент для рас-
чета его индуктивности k2 в зависимости от fi=a/D (б).
втором выражении (9-91) заменить 0,44£) на т/л и 1 на
/г-фт/л, где т — ширина системы обмоток. Ряд частных
случаев и других второстепенных поправок рассмотрен
в § 9-3.
Указанная замена площадью 5о/з заметно по-
вышает точность формулы (9-84). Поэтому для упро-
щенных оценок индуктивности реактора без стали и
экранов можно рекомендовать формулу
L = №*Sa/3/(h -ф- 0.44D). (9-92)
Ее погрешность при h>0,5D не превышает 1% при
а=0; 7% при а=0,15£); 16% при а=0,3£).
Для стержневого без ярм реактора (рис. 9-11,а) со-
гласно [1-26] следует рекомендовать формулу с эмпи-
280
рическими коэффициентами, предложенную в 1939 г.
Кюхлером на основе (9-84):-
(9-93)
где (l Н-0,1 -^-+0,6^^y,fes =
= ^сЦ-^ОбХ (CM. рИС 9-1 или &2 =& 1 — 0,6 X
\ и и /
Х-^-+0,15(-^-) ; D — диаметр стержня; а—радиальный
размер обмотки вместе с каналом стержень-обмотка;
/гОб и het — высота обмотки и стержня, причем /i06^^CT.
Рис. 9-12. К расчету индуктивности реактора с зазорами в стержне.
а — эскиз реактора; б—«выпучивание» магнитного поля у зазора и его учет.
Для реактора, имеющего зазоры, равномерно распре-
деленные по стержню в пределах высоты обмотки
(рис. 9-12,а), формула (9-9) принимает вид [1-27]:
I г S3 Л . ^а/з 5СТ 0,75Псте \
1 ------5----------£). (9-94)
где L — индуктивность обмотки одного стержня (при
параллельном, соединении обмоток двух стержней индук-
тивность вдвое меньше, при последовательном вдвое
больше); w — число витков обмотки стержня; S3 — пло-
щадь зазора с учетом «выпучивания» магнитного поля
у краев зазора (рис. 9-12,6) условным расширением за-
зора на ширину е; 53^$стЧ-Псте; зависимость е от 13 и
hB показана на рис. 7-7,в; SCT — площадь поперечного
сечения стержня (включая каналы); Пст — периметр се-
чения стержня, например, Пст^4Бст; DCT — диаметр или
ширина стержня; 2/3 — суммарная длина зазоров стерж-
ня; 13 — единичный зазор; hB — высота вставки стержня.
Иногда во второе слагаемое в (9-94) вводят коэф-
фициент Роговского и опускают поправку — 0,75ПСте,
учитывающую, что в канале между обмоткой и стерж-
нем проходит одновременно и поток выпучивания.
При расчете индуктивности реакторов со сталью, как
и при обычном расчете индуктивности рассеяния транс-
форматоров, магнитную проницаемость стали магнито-
провода обычно считают бесконечно большой. Реальная
потребность в учете конечной проницаемости стали
имеется при проектировании стержневых сглаживающих
реакторов, работающих при относительно высокой ин-
дукции, созданной постоянным током. Приняв, что по
стали стержня проходит только магнитный поток зазо-
ров, а по углам и ярмам — весь поток, вместо (9-94)
записываем:
L=a,[^I^=_+R, ,+R, Г, (9-95)
L ст г как * J
гле р — ___I----lSL____
Д А“-Ст~ FoSs ~ ^rcTSCTk ’
Г) ____ ^об
«м.кан— jj,0 (So/3 — SCT —0,75Псте) ’
р __ ______у гл_____.
''м, я. угл Ч £> ’
роРгя, угл °я, углк
индексы «ст», «кан», «я», «угл» относятся соответствен-
но к стержню, каналу между стержнем и обмоткой, ярму
(по длине — доле ярма, приходящейся на один стер-
жень), паре углов. Если магнитная проницаемость и се-
чение стали всех участков магнитопровода одинаковы,
а второй член в (9-94) мал, вместо (9-95) при /Ст<;
Сцгст^з получаем:
(9’96)
где La, — индуктивность при цст=°°, например, подсчи-
танная по формуле (9-94); /Ст — длина пути магнитного
потока по стали; щст— относительная магнитная про-
ницаемость стали; k — коэффициент заполнения сечения
стержня. Иногда важно отличие от Si[i=Sa/3,
Роль второго члена в (9-96) может быть заметной,
так как длина пути по стали в реакторах небольшой
мощности бывает в десятки или сотни раз больше сум-
марной длины зазоров.
В некоторых случаях снижение относительной про-
ницаемости стали от нескольких тысяч до нескольких
десятков почти не влияет на индуктивность. Например,
для чередующихся обмоток влияние стали можно учесть
отражением обмоток от ее поц^рхпости. При этом ток
отраженных фиктивных обмоток равен реальным МДС,
Рис. 9-13. К определению взаимной индуктив-
ности и индуктивности рассеяния пары чере-
дующихся обмоток без стали.
умноженным на (цг—1)/(pr+1), и, следовательно, даже
в случае тонких обмоток, вплотную прилегающих к ста-
ли, переход от цг=оо до щ=20 приведет к снижению
индуктивности рассеяния лишь на
(1+1)- + (1-]-1) = 0,05, т. е на 5’/..
При техническом насыщении стали, когда ее отно-
сительная динамическая проницаемость приближается
к 1, следует просто считать отсутствующими насыщен-
ные участки. Например, если насыщены стержни, реак-
тор следует рассчитывать как ярмовой В трансформа-
торах с концентрическими обмотками даже такое насы-
щение не может сильно повлиять на индуктивность рас-
сеяния, хотя собственные и взаимные индуктивности
обмоток изменятся очень сильно. В чередующихся об-
мотках изменение может быть весьма существенным.
Для определения индуктивности рассеяния пары че-
редующихся обмоток без стали при отсутствии канала
между ними (рис. 9-13) целесообразно использовать
имеющиеся довольно точные таблицы или кривые вспо-
могательного коэффициента kL (см. рис. 9-10). Предпо-
ложим сначала, что эти две обмотки имеют одинаковую
283
Плотность витков: Wilhi=W2lh2. Мысленно включим об-
мотки последовательно согласно. Тогда индуктивность
Ls=Li+L2+2M, откуда 0,5 (£Е__£,_£2). Исполь-
зуя формулу (9-82), получаем:
(И1, + ЬУ2)2 , W2, , W2
й, -|-й2 ~ 77 k'
Л4_ 1
/И — 2 Р*о 4
=4~ 7^7 А+ЛА — Л А •“ ЛА).
(9-97)
где kv klt k2 — значения коэффициента kL при высотах
соответственно (/^-ф-Лг), ft,, h2.
Индуктивность рассеяния, приведенная, например,
к числу витков се<1, соответствует встречному включению
обмоток с такими же размерами, имеющих число витков
Wi каждая:
Lpac— ^-1 Т2
теО2 ( kr । fes
"Г”
^Е ( , ^2 \ г (। । ) / j \
77 ~ ~hj L1 V "• 77/ V К~~)
В случае h1 = h2 имеем:
f kV \ f kr. \
M = L\x~4 и ^0=21. (2-
(9-98)
(9-99)
Для специальных трансформаторов и двухобмоточ-
ных реакторов иногда задают коэффициент связи:
л
кс^7Т^ц- (9-10°)
При тесной индуктивной связи обмоток и особенно
при наличии магиитопровода (например, в двухобмоточ-
ном стержневом реакторе с зазорами) расчет по выра-
жению (9-100) труден или практически невозможен.
В таких случаях целесообразно выразить коэффициент
связи через индуктивность рассеяния Lpac. Введем обо-
значения:
J Ч~ _ ^2 р ^-рас ^2--2Л4
Lcp= 2 : ~ 2£ср ’ Р = 2£^= £,+й2 =
= 1-4, (9-101)
^ср
284
уде Li, L2 й M — собственные и взаимная индуктиВНО-
(сти, приведенные к одному числу витков w; Лрас — ин-
дуктивность рассеяния.
Тогда .Li=.Lcp(l—<х) > Дг^^КерО+сс); 7И=Аср(1 Р) и
А.=Их=Й=г-'-₽+0-6“’ <W02>
Роль коэффициента а очень мала — например, при
L2=2£i имеем а=0,33 и 0,§,а2^=0,05. Следовательно,
Лс11^1—iP, т. е. отличие коэффициента связи от 1 равно
половине отношения индуктивности рассеяния к средней
индуктивности обмоток. Таким образом, вместо расчета
трех индуктивностей, входящих в выражение (9-100),
достаточно оценить две — среднюю индуктивность пары
обмоток и индуктивность рассеяния.
Для двух тонких концентрических равновысоких об-
моток без стали, используя простейшие выражения с ко-
эффициентом Роговского и (9-92), из (9-102) получаем:
Ав - 1 ~ [1 - sS- + sP (Ч~РУ + 6У]
- 1 - 2 А = 1 - 4 (1 +0,9 4). (9’103)
где 6=А/27?; р=Л/(/г+0,97?); А — приведенная ширина
канала рассеяния, А=я12+(я1+а2) /3; В— средний ра-
диус пары обмоток, Д—(7?1+^г)/2; ah а2, В\, В2— ра-
диальные размеры и средние радиусы обмоток 1, 2;
ai2— ширина канала между обмотками; h — высота об-
моток.
9-7. ПОРЯДОК РАСЧЁТА СОПРОТИВЛЕНИЯ КЗ ПРИ СЛОЖНЫХ
СХЕМАХ
Для сложных или непривычных случаев новых прин-
ципиальных схем трансформаторов или трансформатор-
ных агрегатов, в которых параллельно соединены толь-
ко симметричные части обмоток или части, находящие-
ся в разных окнах магнитной системы (другие схемы
практически применяются относительно редко; для них
см. гл. 12), рекомендуется следующий порядок расчета
напряжения КЗ [9-4]:
1. Уточнить постановку задачи (условия воображае-
мого опыта КЗ) и приемлемость обычных допущений,
в частности: один или несколько комплектов внешних
выводов замкнуты накоротко, а другой комплект питает-
285
Ся от источника с симметричной системой синусойдалы»
ных напряжений (при одной фазе— пара выводов, одно
напряжение); остальные комплекты внешних зажимов
разомкнуты; нет замкнутых проводящих контуров (кро-
ме рассматриваемых обмоток), сцепленных с магнито-
проводом; фазы трансформатора симметричны; нет
параллельно включенных реакторов, конденсаторов и ре-
зисторов с мощностью, соизмеримой, например, с номи-
нальной мощностью трансформатора; магнитные прони-
цаемости всех частей постоянны и, следовательно, сопро-
Рис. 9-14. К расчету напряжения КЗ при параллельном соединении
неодинаковых частей обмотки.
а —схема соединения частей обмоток; б— расположение частей обмоток; 1 —
стержень; 2 — боковое ярмо; ^^осн и BHQCll — основные части обмоток НН
и ВН, расположенные на стержне; РО и КО — регулировочная и компенса-
ционная обмотки.
тивление КЗ (входное сопротивление в рассматриваемом
опыте) не зависит от тока в обмотках; все магнитопро-
воды (кроме магнитопроводов последовательно вклю-
ченных -реакторов) замкнуты, и их магнитная проницае-
мость бесконечно велика, т. е. суммарная МДС обмоток
в каждом окне магнитной системы равна нулю (кроме
указанных реакторов); магнитная проводимость от ярма
к ярму бесконечно велика (кроме случаев, когда необ-
ходим учет ярмового рассеяния); при этом равна нулю
суммарная МДС обмоток каждого стержня, т. е. каж-
дый стержень рассматривается как отдельный трансфор-
матор.
2. Установить ток одной из обмоток (например, но-
минальный), при котором производится расчет, и соот«
ветствующую ему мощность.
3. Нарисовать принципиальную схему соединения
обмоток агрегата, рассчитать все токи при опыте КЗ и
указать их на схеме. Для этого используются условия
286
баланса токов в каждом узле схемы (S/=0), баланса
МДС во всех окнах или на всех стержнях магнитопро-
вода каждого трансформатора (2/д>=0) и симметрии
токов в одинаковых параллельно включенных частях
обмоток.
Например, в однофазном трансформаторе с регулиро-
вочной обмоткой на боковом ярме (рис. 9-14) имеем: из
баланса токов в узле на стороне НН /нН---/2из ба-
ланса МДС в окне между стёрайнем и боковым ярмом,
не несущим обмоток, /ite)i4-/2^2=0; из баланса МДС
в окне между стержнем и ярмом с регулировочной и
компенсационной обмотками /3^34-/4^49—0; из последо-
вательного соединения основной части обмотки ВН и
регулировочной обмотки /1=/4=/Бн. Тогда
(9-104)
где q — номер ступени (положительный или отрицатель-
ный соответственно согласному или встречному включе-
нию РО с ВНосн); огц W2 и ш3 — числа витков обмоток
соответственно ВН0Сн, ННОсн и КО; w4— число витков
- Т-1ГЛ w-i
одной ступени РО; а =— —*-------относительная величи-
на wi
на (размер) ступени регулирования.
4. Подсчитать МДС каждой обмотки и расставить
знаки МДС на принципиальной схеме расположения об-
моток на каждом магнитопроводе. Желательно прове-
рить баланс МДС на каждом стержне.
5. Подсчитать потери и реактивную мощность маг-
нитного поля рассеяния в каждом из элементов — систе-
ме обмоток каждого из стержней, реакторе, токопроводе.
Потери рассмотрены в гл. 10—13. Расчет реактивной
мощности в каждом из элементов с известной абсолют-
ной индуктивностью L (токопровода, реактора) удобнее
всего выполнять по формуле Q=oLP. При известной
процентной реактивности,- например в двухобмоточном
трансформаторе, имеем Q=Stom(-Vo,/100) (///ТЮм)2, где
Shom и /ном — номинальные мощность и ток элемента,
/ — ток в нем в режиме по п. 2.
Если в схему входит трансформатор, содержащий
несколько обмоток или частей обмоток, причем извест-
ны (например, достаточно точно рассчитаны) сопротив-
Ж
ления КЗ пар всех частей, то для расчета потерь и ре-
активной мощности, потребляемых этим трансформато-
ром, можно использовать формулы (9-48).
Для относительно распространенного случая — не-
скольких концентрических обмоток на стержне — вме-
сто системы реальных обмоток часто можно рассматри-
вать систему равномерных обмоток высотой ZM с такими
же радиальными размерами и МДС, заключенную меж-
ду двумя неограниченными полупространствами с ц=оо.
Тогда все силовые линии параллельны оси и имеют оди-
наковую длину ZM. Напряженность магнитного поля вы-
ражается через МДС между силовой линией, проходя-
щей через данную точку, и осью — Iwcli. Задача стано-
вится одномерной, так как поле зависит только от одной
координаты — радиуса текущей точки г. Для расчета
рекомендуется следующий порядок:
а) нарисовать принципиальную схему расположения
и соединения частей обмоток стержня, указать токи и
МДС и их знаки, проверить баланс МДС. Представить
себе или нарисовать эпюру МДС. Выбрать базисные
МДС Iwe и радиус Re- Базисную МДС удобно выби-
рать равной значению Iwm в главном (наибольшем)
канале рассеяния или МДС наиболее мощной из обмо-
ток. Базисный радиус удобно брать равным среднему
арифметическому радиусу главного канала рассеяния;
б) нарисовать в масштабе эпюру продольного поли-
графии зависимости Iwcu/Iwe от текущего радиуса г.
На эпюре указать расстояния точек излома эпюры от
оси, радиальных размеров (ширины) aq и средних ра-
диусов участков Rq, где q — номер участка. Для участ-
ков с треугольной эпюрой за средний радиус желатель-
но принимать 7?Ср±а/12 согласно формуле (9-28). Эта
же эпюра будет полезна для расчета радиальных усилий
и добавочных потерь в обмотках от продольного поля;
в) определить значение коэффициента Роговского
или непосредственно длину 1К—/i/pp^/i+т/л. При этом
под шириной т (радиальным размером) системы обмо-
ток следует подразумевать некоторый эквивалентный
размер — ширину основания трапеции, горизонтальный
участок которой в 2—3 раза меньше основания. Следо-
вательно, размер т равен ширине реальной системы об-
моток только при типичных соотношениях размеров
двух обмоток. При согласном или встречном токе в ре-
гулировочной обмотке по сравнению с расположенной
288
рядом с ней одной из основных обмоток (эпюры на
рис. 9-15) за т следует принимать размер, соответствен-
но лишь немного больший или немного меньший ради-
ального размера системы из двух основных обмоток.
Погрешность в размере т на 10% вносит в результат
погрешность лишь на 0,5—1%, и, следовательно, т мож-
но определять сугубо приближенно. Если эпюра МДС
переходит через нуль или высоты обмоток заметно раз
личны, можно для разных частей объема поля (групп
обмоток) ввести разные значейпй^длины силовой линии,
выбрав одну из длин в качестве базисной ie',
о
Рис. 9-15. Варианты эпюры поля (к оценке ширины системы обмо-
ток).
а — без перехода через нуль; б — с переходом через нуль.
г) свести данные в таблицу, содержащую столбцы
(или строки): номер участка q; ширина участка а?;
средний радиус участка Rq; значения Iw^jlwe на кон-
цах участка и рд (с учетом знака); коэффициент при-
ведения (a2g+agpg+p2g)/3; множитель leflq', приведен-
ная ширина участка Ag=a<z(a2<?+ag₽g+₽2g)/3; произве-
дение kqRqlellq.
Подсчитать S Ag Rq l5/lq и для проверки и SAg;
подсчитать А=(2Ад7?д1б//д)/Дб и сравнить А с SAg
(большое расхождение свидетельствует об арифметиче-
ской ошибке). При одинаковых знаках ag и рд и значе-
ниях a(//pg от 0,33 до 3 вместо расчета трети неполного
квадрата их суммы можно подсчитывать квадрат зна-
чения /®Сц//®б в середине участка, т. е. (ag+Ps) 2/4, так
как при этих условиях среднеквадратичное значение
очень близко к среднему арифметическому, которое мож-
но снимать с эпюры линейкой. При разных знаках и
ag/pg или p7/ctg от —0,2 до —0,8 можно подсчитывать
19—774 289
квадрат половины большего из них, т. е. (рд/2)2 или
(<хд/2)3;
д) подсчитать реактивную мощность поля рассеяния
по формуле
Q=2nfpfl(7ffij6)22n/?«A//6, (9-105)
где f — частота.
При выражении размеров в метрах, МДС в амперах,
частоты в герцах удобна формула
с=2«°4 (и)' тг-
Для некруглых обмоток вместо 2лДбА следует вво-
дить соответствующие площади;
е) в случае необходимости ввести поправки, учиты-
вающие неравномерность распределения МДС по высо-
те обмоток, например, по методу [1-7, 1-12].
Подобный расчет нужно выполнить для всех различ-
ных стержней.
6. Арифметически сложить значения реактивной мощ-
ности всех элементов трансформатора (агрегата) и
потерь в них. Для определения относительных состав-
ляющих напряжения КЗ результаты нужно разделить на
номинальную мощность, установленную в п. 2; для выра-
жения в процентах относительные составляющие напря-
жения КЗ необходимо умножить на 100, для выражения
напряжения КЗ в абсолютных единицах (вольтах) —
умножить на соответствующие (фазные или линейные)
номинальные напряжения. Сопротивления в омах можно
получить, разделив напряжения КЗ на номинальный ток.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ДОБАВОЧНЫХ ПОТЕРЬ
10-1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОТЕРЬ
Потери являются важнейшим технико-экономическим
показателем трансформатора или реактора. Например,
при цене-трансформатора 2 руб/(кВ-А), КПД 99% и
цене электроэнергии 1 коп/(кВт-ч) стоимость потерь
достигнет стоимости трансформатора за время t—
=2 руб/(кВ-А)/[0,01 кВт/(кВ-А)-0,01 руб/(кВт-ч)] =
=20000 ч, т. е. около 2 лет непрерывной работы в но-
минальном режиме. Потери обусловливают размеры
290
охлаждающего устройства. Местные потери, особенно
в обмотках и других частях, соприкасающихся с элек-
трической изоляцией, определяют срок службы и на-
грузочную способность трансформатора. Роль потерь
относительно невелика лишь в очень редких случаях, на-
пример, в устройствах, предназначенных для кратковре-
менной работы под нагрузкой, или в нерегулируемых
реакторах фильтров высших гармоник (где повышенные
потери могут быть полезны^д^г снижения остроты на-
стройки) . Особенно актуальна проблема потерь от вих-
ревых токов в крупных трансформаторах и реакторах и
в устройствах повышенной частоты, как показано в § 3-3
[формулы (3-14)]: при пропорциональном изменении
всех размеров и неизменной плотности тока в обмотках
удельная тепловая нагрузка от вихревых токов пропор-
циональна пятой степени линейных размеров и квадрату
частоты, если вытеснение магнитного поля мало, или
квадрату линейных размеров и квадратному корню из
частоты, если имеется сильный поверхностный эффект.
Поэтому в период 1955—1970 гг., за который предельная
мощность отечественных трансформаторов выросла поч-
ти на порядок, вопрос добавочных потерь был основным
в трансформаторостроении. Актуальна эта проблема и
теперь [8-21].
Из полных потерь выделяют основные потери в об-
мотках и других токоведущих частях трансформатора
или реактора, определяемые током данной обмотки или
токоведущей части и ее электрическим сопротивлением,
измеренным при постоянном токе [1-3]. Затруднения
в определении основных потерь встречаются очень ред-
ко. Токи обычно можно определить по закону полного
тока (в опыте КЗ — из условия 'LIw—0) и в случае па-
раллельного соединения одинаковых частей обмотки из
соображений симметрии. При параллельном соединении
неодинаковых частей обмотки токи в них можно найти,
например, при помощи рассмотренных в гл. 5 схем за-
мещения. В этих случаях токи обычно не обратно про-
порциональны электрическим сопротивлениям частей.
Поэтому использование для расчета основных потерь
в такой обмотке ее электрического сопротивления может
привести к значительной погрешности.
Рассмотрим в качестве примера основные потери
в обмотке НН однофазного трансформатора с регулиро-
вочной обмоткой на боковом ярме (рис. 9-14). Парал-
19* 291
лельно основной части обмотки НН внутри бака при-
соединена компенсационная обмотка (КО). Пренебрегая
основными потерями в общих отводах и выводах, из вы-
ражений (9-104) имеем:
(Ю-1)
где Росн,ни — основные потери во всей обмотке НН; г2
и гз — сопротивления обмоток ННОСн и КО при постоян-
ном токе; q — номер ступени; a=w2W4/(w\w2); Wi; w2;
w3 и W4 — см. рис. 9-14 и § 9-7.
Если же использовать сопротивление со стороны вы-
водов НН /ни—г2гз/(г2+гз), то потери /2ннГнн существен-
но отличаются от действительных потерь РОсн,нн- В част-
ности, если г3=10г2, то Гнн=0,91 г2 и 72ннГнв=0,9112ннг2
независимо от положения переключающего устройства.
В действительности при положениях qa, равных —16;
—10; 0; +10 и +16%, рассматриваемые основные поте-
ри, рассчитанные по формуле (10-1), равны соответст-
венно: (1,78; 1,36; 1,00; 0,91 и 0,93) 12инГ2, т. е. погреш-
ность расчета основных потерь по измеренному сопро-
тивлению со стороны НН в данном примере доходит
почти до'-—50%. Подобные недоразумения обычно исче-
зают, если под обмотками подразумевать обмотки
стержня.
Для расчета и оценки основных потерь обычно ис-
пользуют формулу
п п
У />,= У Pi — Gi - /2ср—(10-2)
ОСН J J I I f J I у 4 vp у 2, ' '
i=l
где i — номер токоведущего участка; п — число участков;
Gj, —полная масса токоведущих частей; /ср— средняя
действующая плотность тока в них.
В трансформаторах при проектировании и испыта-
ниях раздельно определяют потери XX и потери КЗ. При
XX силового трансформатора токи обычно во много раз
меньше номинальных и основные потери в токоведущих
частях пренебрежимо малы. Следовательно, потери XX
практически равны потерям, возникающим в магнитной
системе. При номинальных напряжении и частоте эти
потери называются «магнитные потери трансформатора»
292
[1-3]. В реакторе со сталью магнитные потери опреде-
ляются только расчетом (гл. 7). При опыте КЗ силового
трансформатора обычно напряжение в несколько раз
меньше номинального. Следовательно, магнитные поте-
ри малы и ими, как правило, пренебрегают.
Разность потерь КЗ трансформатора и его основных
потерь в токоведущих частях при тех же токах называют
добавочными потерями в опыте КЗ или просто добавоч-
ными потерями. СоответстйеЙЙо добавочными потерями
реактора без стали называют разность потерь реактора
и основных потерь в его токоведущих частях. В реакторе
со сталью для определения добавочных потерь из изме-
ренных полных потерь реактора необходимо вычесть,
кроме того, расчетные магнитные потери в его активной
стали от магнитного потока, проходящего вдоль пластин
магнитной системы.
По месту появления различают добавочные потери
в токоведущих частях (обмотках, отводах) и в элемен-
тах конструкции (баке или кожухе, прессующих коль-
цах, ярмовых балках, нажимных и стяжных пластинах,
бандажах, электромагнитных и электростатических экра-
нах). Кроме того, к добавочным потерям относят потери
в крайних пакетах магиитопровода от вихревых токов,
наведенных полем рассеяния трансформатора и полем
выпучивания у зазоров реактора. Потери в металлокон-
струкциях, окружающих реактор или сухой трансформа-
тор, не поставляемых заводом-изготовителем, не вклю-
чаются в потери реактора или трансформатора [1-2].
По методам расчета добавочные потери в токоведу-
щих частях разделяют на потери от вихревых токов, за-
мыкающихся в отдельных проводах обмоток и шинах от-
водов (см. гл. 11), и от циркулирующих токов, замыкаю-
щихся в параллельно соединенных ветвях обмоток
(гл. 12). Элементы конструкций разделяют на массив-
ные, характерные размеры которых больше «глубины
проникновения» электромагнитного поля (см. гл. 13), и
«магнитно-прозрачные», где вихревые токи практически
не влияют на магнитное поле. В этих случаях часто уда-
ется применить методы расчета, разработанные для по-
терь от вихревых токов в проводах обмоток (см. гл. 11).
Наибольшие трудности встречаются при расчете потерь
в промежуточных по размерам деталях, где расчет без
учета вытеснения поля дает чрезмерно завышенные по-
тери, а при предположении о полном вытеснении —
293
Заниженные. Для таких задач приходится создавать
специальные методы решения, не попадающие в пере-
численные крупные группы (например, см. работы
Э. А. Манькина, Д. Н. Морозова и А. В. Алферовой по
расчету потерь в нажимных пластинах и в крайних па-
кетах стержня магнитопровода, указанные в [10-1]).
Прежде чем перейти к перечисленным группам задач,
рассмотрим ряд общих вопросов, а именно возможность
арифметического суммирования потерь от основных, цир-
кулирующих и вихревых токов (§ 10-2); зависимость
потерь во вторичном контуре от удельного электрическо-
го сопротивления его материала (§ 10-3); краткий обзор
методов снижения добавочных потерь (§ 10-4); зависи-
мость потерь от тока, частоты и температуры (§ 10-5) и
методы измерения потерь (§ 10-6).
10-2. ПОТЕРИ ОТ ОСНОВНЫХ, ЦИРКУЛИРУЮЩИХ
И ВИХРЕВЫХ токов
Согласно определению понятия «основные потери»
[1-3] следует считать, что основной ток обмотки распре-
деляется. по параллельно соединенным ветвям пропор-
ционально их электрическим проводимостям:
4=4f; ('О-3)
О X
причем
п . п п
2/«=4=3 А; л=3г- (1М
=1 1=1 1=1
где I — номер ветви; п— число параллельных ветвей;
lot и Ii — основной и полный токи ветви номер /; —
ток обмотки; gi и gr —электрические проводимости вет-
ви номер I и всей обмотки при постоянном токе, gi—1/ri.
Соответственно циркулирующий ток ветви равен раз-
ности ее полного и основного токов:
(ю-5)
причем
п п п
(io-в)
1=1 1=1 1=1
294
Тогда потери в обмотке (без учета потерь от вихре-
вых токов в отдельных проводах), представляющие со-
бой арифметическую сумму потерь в ее ветвях, равны
арифметической сумме потерь в этой обмотке от основ-
ных’и циркулирующих токов в отдельности:
п п п п
г,г,=21 3
1=1 1=1 1=1 1=1
п п
+2 /V/+S •24AzcosZ(4z»4z)'r=2p°*+
1=1 1=1 Z=1
п п
+S P« + S •2/,®-/ucosZ(/M,/B,)i=Pe-|-
1=1 1=1
+Ра+^тЛ = ₽»+₽««+°- (10-Ч
11=1
Это соотношение в ряде случаев дает удобный путь
для расчета добавочных потерь, обусловленных нерав-
номерным распределением тока по параллельным вет-
вям, называемых потерями от циркулирующих токов.
Однако в каждой отдельной ветви потери не равны сум-
ме потерь от основного и циркулирующего токов в этой
ветви в отдельности, причем отличие может быть
большим:
Pi — I\rt — ^%zri P^i “Ь 2^oJnt cos Z- (4>z4u)
^0.4^- (Ю-8)
Например, если есть две ветви с одинаковыми элек-
трическими -сопротивлениями и циркулирующий ток,
совпадающий по фазе с основным, составляет 40% ос-
новного тока, то ток в одной ветви равен 140% ее основ-
ного тока, а в другой 60%. При этом потери в первой
ветви равны 1,42=1,96 ее основных потерь, а во вто-
рой— 0,62=0,36, средние потери 0,5 (1,96+0,36) = 1,16
или 1+0,42=1,16. Как видно, по потерям одна ветвь пе-
регружена почти вдвое, хотя суммарные потери больше
основных лишь на 16%. Очевидно, возможен опасный
нагрев столь сильно нагруженной ветви.
Теперь рассмотрим потери при неравномерном рас-
пределении тока по сечению S отдельного провода. Для
этого представим плотность тока J в каждой точке сече-
295
ния как сумму двух составляющих: 1) от основного и
циркулирующего токов, Л>+ц=(/0Н-/ц/) /S, постоянной
по сечению провода; 2) от вихревых токов /п, замыкаю-
щихся в пределах провода, причем
—0. (10-9)
s
Тогда средние удельные потери в проводе будут:
S S
Л)+Ц рвСО8^(4+1Л)сг5 = /7о+ц+М.в + 0’ (Ю-10)
S
т. е. они равны арифметической сумме потерь от полного
тока, протекающего в проводе (ро+ц), и средних потерь
от вихревых токов Рср.в, где р и у — удельное электри-
ческое сопротивление и плотность материала провода.
Это позволяет отдельно рассчитывать потери от вихре-
вых токов (см. гл. 11).
Удельные потери в каждом отдельном участке сече-
ния провода могут значительно отличаться от средних.
Однако это важно лишь при очень больших размерах
сечения, например, при выполнении обмотки из широ-
ких полос фольги или листа.
10-3. ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ КОНТУРА НА ПОТЕРИ В НЕМ
Потери от вихревых токов не монотонно зависят от
удельного сопротивления материала деталей р. Потери
отсутствуют в диэлектрике (р=оо) и в идеальном сверх-
проводнике первого рода (р—0) и возникают только
при конечном сопротивлении. При некоторых сопротив-
лении и размерах потери должны быть максимальны.
Согласно кривым для бесконечного листа (см. рис. 2-10)
потери максимальны при толщине листа порядка (1,5—
3)-кратной «глубины проникновения поля», причем мак-
симум в показанных там координатах кажется не очень
резким. Однако в действительности зависимость потерь,
например, от удельного сопротивления материала имеет
резко выраженный максимум. Кроме того, объяснение
немонотонной зависимости соотношением фаз падающей
и отраженной волн не очень наглядно. Поэтому рассмот-
рим более простую задачу методами теории цепей с ср-
296
Средоточенными параметрами. Пусть имеется Замкнутый
вторичный контур, индуктивно связанный с первичным,
несущим заданный переменный ток (рис. 10-1,а), или
внесенный в равномерное заданное переменное магнитное
поле, направленное согласно рис. 10-1,6. Длина и высота
проводника много больше ширины контура h^c,
а последняя больше толщины проводника с~>а. Кроме
того, предполагаем, что по сучению проводника ток рас-
пределяется равномерно независимо от его толщины.
Рис. 10-1. Влияние электрического сопротивления вторичного конту-
ра на потери в нем.
а — принципиальная схема цепи; б — контур в равномерном магнитном поле;
в — зависимость потерь от параметров контура при о=314 I/с; пунктиром
показаны участки кривых (с<а), не существующие для меди при 50°С (р=
=2 мкОм-м).
Эти непринципиальные допущения позволяют резко
упростить выражения. Непосредственно из уравнения,
относящегося к рис. 10-1,а или б, т. е.
(Дг+гг) или О=/’<вр1оЙ/с+/2(Д2_Ь/'2)> (Ю-11)
следует выражение потерь на единицу площади боковой
поверхности шины:
р /Л *м\2 Р/«
Р ~ 2lh ~ 2lh ~~\ h x2J l + (r2/x2)2
(10-12)
ЙЛЙ
'.= Psr; ^==<SJi7“Jr- (10‘|4)
Например, для меди при частоте 50 Гц имеем х2=г2
при ас—\ см2 или а—1 см и с=1 см. При других раз-
мерах, материале и частоте, если выражать размеры
в сантиметрах, частоту в герцах и удельное сопротивле-
ние в Ом-мм2/м, удобна формула
r2 1 50 р
Х2 ас f 0,02 •
(10-15)
Зависимость потерь от параметров контура, рассчи-
танная по (10-12), (10-13), показана на рис. 10-1,в. При
неизменной ширине контура потери максимальны, если
г2/*2=1, т. е. при ас=62— см. штрихпунктирную линию
на рис. 10-1,6. Если г2/х2-<0,4, т. е. ас>2,562, то потери
примерно пропорциональны (p/а), а именно р^Н2р/а.
Если r2/x2Z>2, т. е. при ас<0,562, потери, наоборот,
обратно пропорциональны (р/а), а именно р»
« О,25с2<й2ц2ой/р.
Следовательно, при крупных деталях (ас>-62) для
снижения потерь необходим материал с большой элек-
трической проводимостью, а при мелких — с меньшей,
с повышенным сопротивлением. Толщину детали в пер-
вом случае целесообразно увеличивать вплоть до 1,576
(см. рис. 2-10), а во втором — уменьшать насколько воз-
можно. Формула (10-15) особенно удобна для оценок
соотношения- активных и индуктивных сопротивлений.
Для массивных деталей, когда прямым и обратным
проводами (рис. 10-1) являются две поверхности одного
тела, т. е. при отсутствии отверстия, имеем с—а и вы-
ражение (10-14), разрешенное относительно толщины а
при г2=х2, дает:
а =]/2р/<»|л(, = S. (10-16)
При наличии отверстия, например по рис. 10-1,6 при
условии с?>62/с, деталь может по характеристикам не
отличаться от «массивной», даже когда ее толщина за-
метно меньше «глубины проникновения» 6.
298 ' • _
10-4. МЕТОДЫ СНИЖЕНИЯ ДОБАВОЧНЫХ ПОТЕРЬ
Известно много разнообразных методов снижения
добавочных потерь в обмотках и элементах конструкции
трансформаторов и реакторов. Эти методы различаются
по области влияния, в которой удается снизить потери,—
во всем трансформаторе или реакторе или в его отдель-
ных частях; по влиянию на расход материалов и основ-
ные потери, электрическую цзодяцию, электродинамиче-
ские усилия и другие параметры, не связанные непосред-
ственно с добавочными потерями; по требованиям
к точности и достоверности расчета и к допустимым
производственным отклонениям; по необходимости при-
менения новых материалов, элементов конструкции и
технологических процессов. Большое число возможных
методов требует их систематизации. Согласно дополнен-
ной классификации из [10-2] все методы можно разде-
лить на четыре основные группы (табл. 10-1).
Для реактора без стали возможны в первую очередь
исполнения с обмотками в' виде кругового цилиндра и
тороидальной. В первом исполнении велики добавочные
потери, в мощных масляных реакторах до внедрения
транспонированного провода они иногда значительно
превышали основные. Во втором — ничтожны добавоч-
ные потери, но расход активных материалов и основные
потери в 1,5—2 раза больше, чем в «идеальной» (без
добавочных потерь) оптимальной круглой обмотке с та-
кой же плотностью тока [1-21]. В реакторе с круглой
обмоткой увеличение высоты при уменьшении диаметра
и радиального размера обмотки по сравнению с «идеаль-
ной» приводит к снижению добавочных потерь, но также
вызывает рост расхода провода и основных потерь.
Подобным образом можно сопоставить реакторы со
стержневым и броневым магнитопроводами. Только при
малой переменной составляющей тока, вызывающей до-
бавочные потери, возможно применение стержневых
реакторов без ярм. Ввиду подобных противоречий общие
универсальные рекомендации по выбору принципиально-
го вида конструкции вряд ли возможны. Реальный
оптимум приходится искать путем детальных расчетов и
подпобной проработки конструкции ряда вариантов.
В качестве примера показательно сопоставление кон-
струкций шунтирующих реакторов. По расчетам 1955—
1958 гг. броневые реакторы были выгоднее стержневых.
Обнаруженные в эксплуатации опасные вибрации заста-
299
Методы снижения добавочных потерь
Таблица 10-1
Группа методов Метод Примеры
Выбор принципиаль- ного вида конструкции и основных размеров для общего уменьше- ния нежелательного магнитного поля Выбор вида транс- форматора или ре- актора и его магнит- ной системы Выбор вида и схе- мы обмоток Выбор основных размеров Тороидальный реак- тор; броневой реак- тор; бронестержневой трансформатор Двойные концентри- ческие обмотки; РО, расположенная кон- центрически с осталь- ными обмотками; авто- компенсация МДС; двухслойная обмотка НН Увеличение осевого размера обмоток
Управление магнит- ным полем для сниже- ния или канализации части поля без изме- нения основных разме- ров, экранирование Распределение МДС по сечению об- моток Канализация маг- нитного потока маг- нитными экранами (шунтами) Защита отдёльных областей или частей электромагнитными экранами Равномерные равно- высокие обмотки; вве- дение определенного небаланса МДС Шунты у стенки ба- ка, вдоль разъема ба- ка, на полке ярмовой балки, под прессую- щим кольцом; ферро- магнитные емкостные кольца; шунты у тор- цов обмоток Экран из алюминие- вого листа у стенки бака реактора
Выбор формы и раз- меров элементов, обе- спечивающий сниже- ние потерь в ннх Изменение формы элементов Уменьшение раз- меров элементов Скосы у краев встав- ки стержня реактора; кронштейны вместо по- лок ярмовых балок; транспозиции проводов Дробление провода; разделение прессую- щих колец и стяжных пластин на узкие; раз- резы полок ярмовых балок; электростати- ческие экраны из уз- ких лент
300
Продолжение табл. 10-1
Группа методов Метод Примеры
t Выбор формы и раз- Увеличение разме- Обмотки из листа;
меров элементов, обеспечивающий сни- жение потерь в них ров элементов однослойная обмотка с намоткой провода на ребро
Выбор материала Применен'йе-’fFcnpo- Прессующие кольца
элементов конструк- ции, при котором по- водящих материалов и полки ярмовых балок из пластиков
тери отсутствуют или снижены Выполнение дета- лей* конструкции из электротехнич еской стали Применение мате- риалов с понижен- ными магнитной про- ницаемостью и элек- трической проводи- Навитые нли эволь- вентные прессующие кольца Участки бака, короб вводов, стяжные шпильки, нажимные пластины, „прорезь* крышки бака илн флан-
мостью Применение мате- риала с повышенной электрической про- водимостью ца вводов из немагнит- ной йпи маломагнитной стали; емкостное коль- цо из нихромовой лен- ты Алюминиевые бак, ярмовые балки
вили вернуться к стержневым реакторам. Затем, после
изобретения в 1963 г. способа резкого снижения доба-
вочных потерь в стержневых реакторах (§ 13-2), стерж-
невые реакторы стали выгоднее броневых. Примерно
в 1966 г. после изобретения компактной конструкции
броневых реакторов с радиальными торцевыми шунтами
при расположении вывода по оси обмотки и разработке
способа борьбы с вибрациями вновь более экономичны-
ми оказались броневые реакторы. Однако современные
расчеты показывают, что в случае освоения конструкции
реакторов со вставками стержней, находящимися под
потенциалом ближайших к ним катушек обмотки, стерж-
невые реакторы снова станут выгоднее броневых при
предельных значениях мощности и напряжения. Эконо-
мичнее броневых также трехфазные стержневые реакто-
301
ры на относительно невысокие напряжения (до классов
ПО—150 кВ), имеющие пространственный магнитопро-
вод с навитыми ярмами.
Трансформаторы с чередующимися обмотками, где.
малы добавочные потери от осевой составляющей индук-
ции, за рубежом успешно конкурируют с трансформато-
рами, имеющими концентрические обмотки.
Разработка и внедрение локальных способов борьбы
с добавочными потерями позволили при мощности двух-
обмоточных трансформаторов вплоть до 630 МВ-А вер-
нуться от двойных концентрических обмоток, обеспечи-
вающих меньшие добавочные потери, к простым концен-
трическим, при которых меньше полные потери. Как
видно, решение (или отсутствие решения) локальных
задач может существенно влиять на выбор принципи-
ального вида конструкции.
В некоторых силовых трансформаторах общего на-
значения внедрен метод автокомпенсации МДС регули-
ровочной части обмотки [10-3], ранее применявшийся
только в последовательных регулировочных трансформа-
торах. По этому методу регулировочная часть (части)
обмотки ВН имеет такой же диаметр, как и основная
часть этой обмотки. Против каждой регулировочной
части ВН находится часть обмотки НН, имеющая такое
же число витков, как остальная (основная) часть НН.
Указанные части НН соединяются параллельно. При
отключении регулировочных катушек ВН в близкой
к ним части НН ток уменьшается (при реверсе он может
изменить знак) и сильное радиальное поле не возникает.
Поэтому невелики осевые усилия и добавочные потери,
вызванные радиальной составляющей индукции. Дости-
гаемый путем автокомпенсации отказ от вынесения ре-
гулировочной части обмотки ВН в отдельный концентр
позволяет повысить коэффициент заполнения окна маг-
нитопровода и, следовательно, улучшить экономические
показатели трансформатора ценой некоторого усложне-
ния конструкции.
Постепенно получает распространение метод управ-
ления магнитным полем введением определенного не-
большого небаланса МДС [10-2, 10-4, 13-2]. Этот путь
не требует вложения дополнительных материалов или
заметного усложнения технологии. Например, небольшое
уменьшение высоты внутренней обмотки трансформато-
ра по сравнению с наружной или уменьшение длины
крайних зазоров в стержне реактора приводит к значи-
тельному снижению напряженности поля у стенки бака
и у ярмовых балок, прессующих колец и торцевых частей
обмотки (в трансформаторе — наружной обмотки) за
счет' некоторого увеличения напряженности поля
у стержня.
10-5. ЗАВИСИМОСТЬ ПОТЕРЬ ОТ ТОКА, ТЕМПЕРАТУРЫ И ЧАСТОТЫ
Для пересчета (приведения) результатов испытаний к номи-
нальным условиям и для определения' потерь при условиях, отли-
чающихся от номинальных, необходимо знать зависимость потерь от
тока, температуры и частоты. При известной зависимости потерь от
тока в широком диапазоне появляется возможность проводить испы-
тания прн малых токах (порядка процентов номинального), когда
гораздо легче обеспечить питание и приемлемую точность измерений.
При известной теоретической зависимости потерь от частоты можно
разложить потери КЗ трансформатора или потери реактора без ста-
ли на потери отдельных видов по данным измерения суммарных
потерь при нескольких значениях частоты.
При неизменных температуре и частоте потери всех видов про-
порциональны квадрату тока. Эта зависимость является абсолютно
строгой (по определению) для основных потерь, а также для всех
видов потерь при отсутствии ферромагнитных частей. В остальных
случаях изменение магнитной проницаемости стали в принципе
влияет на общую картину магнитного поля и, следовательно, на
потерн не только в стальных, но и в неферромагнитных деталях.
Однако можно исключить из рассмотрения специфические случаи,
связанные с насыщением стали (некоторые аварийные режимы; лишь
в насыщающихся реакторах — рабочий режим), и потери в магнит-
ной системе, рассмотренные в гл. 7. При опыте КЗ трансформатора
потери в магнитной системе ничтожны. В подавляющем большинстве
реакторов со сталью эти потерн в несколько раз меньше основных
и добавочных потерь, поэтому отличие от 2,0 показателя степени
их зависимости от тока не слишком сильно влияет на результат.
Например, если этот показатель равен 2,5, а потери в активной
стали при номинальном токе равны 20% полных потерь, то погреш-
ность пересчета по квадрату тока составит лишь 2,5% полных по-
терь при токах 0,75 и 1,25 номинального. Прн меньших токах реаль-
ный показатель степени для потерь в активной стали близок к 2,0.
Если пренебречь влиянием изменения магнитной проницаемости
стальных частей на картину поля вне них, потери во всех неферро-
магнитных частях также пропорциональны квадрату тока, н остает-
ся рассмотреть потери в стальных деталях конструкции.
Согласно исследованиям Л. Р. Неймана и В. В. Карасева [2-23,
10-5] показатели степени зависимости потерь на единицу поверхно-
сти массивной конструкционной стали от напряженности магнитного
поля у поверхности и от линейной плотности потока при промыш-
ленной частоте равны соответственно: в «слабых» полях (Я=30-е-
200 А/м) 2,2—2,45 и 1,75—1,82, в «сильных» полях (0,6—9 кА/м)
1,56—1,63 и 2,6—2,8. В небольших деталях току пропорционален
поток, при очень больших размерах равномерного поля току пропор-
циональна напряженность. Анализ для пространственно-периодиче-
ского поля (например, стенки бака) с учетом влияния стальной де-
303
тали на поле по формулам (2-70)—(2-72) показал [10-5], что при
пространственном периоде 2, 3 и 4 м показатель степени зависимо-
сти потерь от тока в области «слабых» полей равен соответственно
1,95; 2,0 н 2,1, «сильных» — 2,05; 1,95 и 1,9. Столь малым отличием
от квадратичной зависимости можно пренебречь в подавляющем
большинстве практических случаев.
Температура заметно влияет на электрическое сопротивление
меди, алюминия и конструкционной стали — температурный коэф-
фициент а для них при 20“С равен 0,004; 0,004 и 0,0042 соответст-
венно. Следовательно, при переходе от обычной температуры при
измерениях 20°С к расчетной 75°С сопротивление растет на 22 -23%,
т. е. очень заметно. Для пересчета сопротивления от одной темпе-
ратуры к другой (от Т| к т2) удобны формулы вида
Г2 = /'10 или Р2=Р10, (10-17)
где 0 — безразмерный температурный коэффициент, для трех ука-
занных материалов [10-5, 10-6]:
о 235 + ri 245+ т2 п 215-|-т2
°Си— 235 + tj ’ °А1— 245 ; °Fe~ 215 + г, ’
(10-18)
где т выражаются в градусах Цельсия.
Основные потери прямо пропорциональны указанному коэффи-
циенту; потерн от вихревых и циркулирующих токов, если можно
пренебречь вытеснением поля или индуктивностью вторичного конту-
ра, обратно пропорциональны:
(/2r)2=(/2/jiO; (10-19)
Рв2—-Pbi/0; ^3ц2==^3щ/'О- (10-20)
Применяемый метод приведения потерь КЗ трансформаторов
[10-6] основан на предположении, что все добавочные потери
являются потерями от вихревых токов в «мелких» деталях. Для
мощных и специальных трансформаторов и реакторов такой пересчет
может приводить к заметному занижению потерь. Если индуктив-
ное сопротивление вторичного контура намного больше активного, то
ток в нем не зависит от температуры. Следовательно, потери прямо,
а не обратно пропорциональны коэффициенту 6. Это относится к по-
терям в электромагнитном экране бака и в «широких» [см. формулу
(10-13)] контурах циркулирующих токов. Если, например, такие по-
тери составляют 20% полных потерь при 75°С, то в случае измере-
ния при 20°С полные потери, приведенные к 75°С обычным методом,
будут занижены на 6,5%. Напомним, что согласно рассмотренному
в § 10-1 примеру по рис. 9-14 при крайнем нижнем положении пере-
ключающего устройства в случае формально безупречного соблюде-
ния стандартов [1-3, 10-6] к добавочным будет отнесена разность
фактических и «основных» потерь, т. е. 1,78/0,91—1=0,96 измерен-
ных основных потерь в обмотке НН.
Потери от вихревых токов в «массивных» частях согласно фор-
мулам (2-53) и (2-54) прямо пропорциональны квадратному корню
из удельного сопротивления илн коэффициента 0 при неизменной
напряженности магнитного поля и обратно пропорциональны при
неизменном магнитном потоке в детали. Следовательно, погрешность
в 1,33—4 раза меньше, чем в предыдущем случае. Приведенные
в [10-5] результаты анализа для стальной стенки бака показали,
что при пространственном периоде поля 2—4 м в области «сильных»
304
полей соотношение потерь Pis/Pio— (0,93-5-1,06), в основном 0,96—
1,04, тогда как формулы (10-19) и (10-20) дают 1,22 и 0,82. Очевид-
но, правильнее такие потери не приводить по. температуре, чем пе-
ресчитывать по (10-20).
Соответственно нецелесообразно приводить к расчетной темпе-
ратуре по (10-20) потери в магнитной системе реакторов, которые
от температуры практически не зависят (как и потери XX транс-
форматоров). Расчетные потери в электромагнитных экранах и поте-
ри от циркулирующих токов в параллельно соединенных крупных
частях обмоток следует приводить к расчетной температуре по фор-
муле (10-19), как и основные, р^с^ные потери от вихревых то-
ков— по (1-20), а остальные потери — ле пересчитывать совсем.
Расчетная формула для потерь, приведенных к температуре 75°С,
примет, например, следующий вид:
„ ( /иом\2 I I I ^экр.р +^ц, р
) +(е -1) [х/2номги+--------------------Рв. р] >
(10-21)
где
0=310/(235+тв); 0—1 = (75—TH)/235+TH)i (10-22)
тв — средняя температура обмоток при измерении потерь, °C; Ри —
измеренные потери; /ном и /и — номинальный и измеренный токи со
стороны питания; 2/2НомГи — измеренные основные потери, соответ-
ствующие току 7НоМ; Рэкр.р и Рц,р — расчетные потери в электро-
магнитных экранах и от циркулирующих токов в «широких» конту-
рах, соответствующие току /ном и температуре 75°С; Рв,р — расчет-
ные потери от вихревых токов в «мелких» проводах и деталях и от
циркулирующих токов в «узких» контурах, соответствующие току
/ном и температуре 75°С.
От частоты основные потери принципиально не зависят. Потерн
в магнитной системе, существенно зависящие от частоты, рассмот-
рены в гл. 7. Из-за этих потерь в реакторах со сталью эксперимен-
тальное разделение потерь на виды по зависимости полных потерь
от частоты практически невозможно. При неизменных токе и темпе-
ратуре потери от вихревых токов в «мелких» проводах обмоток и
других деталях пропорциональны квадрату частоты. Лишь при час-
тоте несколько сотен герц и выше и относительно высоком проводе
показатель степени для потерь от радиальной индукции может
уменьшиться до 1,8 и ниже. Потери в массивных частях пропорцио-
нальны квадратному корню из частоты, если неизменна действующая
напряженность магнитного поля, и частоте в степени 3/г, если не-
изменен поток. Согласно расчетному анализу, приведенному в [10-5],
потери в стальной стенке бака пропорциональны частоте в степени
1,02—1,18 в области «слабых» и «средних» полей. В «сильных» полях
показатель снижается до 0,8—0,9 при амплитуде напряженности
5 кА/м и до 0,65—0,75 при 10 кА/м. Однако это изменение несу-
щественно, ибо при повышенной частоте «сильные» поля практиче-
ски недостижимы. Таким образом можно принять, что потери в сталь-
ных и других крупных проводящих частях пропорциональны частоте
в степени 1,0 или 1,1. Расчетные потери от циркулирующих токов
при х>г (см. § 10-3) следует отнести к основным потерям, при
х<^г— не отделять от потерь от вихревых токов в проводах
обмоток.
9Л__77Л
16-6. ИЗМЕРЕНИЕ ПОТЕРЬ
Разработка методов расчета и способов снижения пб:
терь, проверка качества проекта и изготовления транс-
форматоров и реакторов требуют достоверного измере-
ния потерь в физических моделях, опытных и головных
образцах и серийных изделиях. При приемо-сдаточных
испытаниях реальны лишь измерения основных и пол-
ных потерь в ограниченном числе опытов, при исследо-
ваниях желательны тщательные измерения зависимости
Рис. 10-2. Некоторые схемы питания при испытаниях мощных транс-
форматоров и реакторов.
а, б — с параллельным и последовательным включением конденсаторной
батареи соответственно; в, г — то же с промежуточным трансформатором; 1 —
генератор; 2 — конденсаторная батарея; 3 — испытываемый объект; 4 — про-
межуточный трансформатор.
полных потерь от частоты и температуры в различных
режимах, потерь в отдельных частях и местных удель-
ных потерь. Кроме того, при испытаниях головного
образца необходимы наладка, проверка и освоение схе-
мы измерения для приемо-сдаточных испытаний после-
дующих экземпляров.
Основные вопросы измерений рассмотрены в [1-30,
10-7]. Ниже дан краткий обзор методов, необходимых
для проектанта при составлении программы испытаний.
Предельно возможные режимы испытаний крупных
трансформаторов или реакторов определяются прежде
всего имеющимися источниками питания. Для обеспече-
ния номинального тока реактора необходим источник,
мощность которого не меньше номинальной мощности
реактора, для трансформатора в опыте КЗ — мощности
поля рассеяния, равной 0,1—0,2 его номинальной мощ-
ности. В обоих случаях для крупных изделий это десятки
или даже сотни мегавольт-ампер. Значительная часть
требуемой реактивной мощности может быть получена
от конденсаторной батареи, включенной параллельно
генератору и объекту испытаний (рис. 10-2,а) или по-
следовательно с ними (рис. 10-2,6). В обоих случаях для
306
согласования параметров объекта испытаний и генера-
тора можно применять промежуточный трансформатор
(рис. 10-2,в, г). Схема с параллельным включением
удобнее при напряжениях порядка единиц и десятков
килбвольт, с последовательным — при более высоких
напряжениях [10-8]. Мощность приводного двигателя
генератора должна быть заметно больше суммы потерь
всех элементов схемы. При необходимости перегрузки
требуемые активная и реактйЬйЙя мощности пропорцио-
нальны квадрату тока.
Рис. 10-3. К оценке погрешности при
измерении потерь, обусловленной па-
разитной емкостью делителя напря-
жения.
Трудности электрического измерения потребляемой
крупным трансформатором или реактором активной
мощности связаны прежде всего с малым коэффициен-
том мощности (costp). Если потери составляют 1% пол-
ной мощности (что достижимо в крупных реакторах и
крупнейших трансформаторах), то угол потерь равен
лишь 0,01-60-180/п=35'. Возможности поверки измери-
тельных трансформаторов тока и напряжения в лучших
метрологических лабораториях ограничиваются значе-
ниями порядка 1—2', а гарантированная предельная по-
грешность таких трансформаторов еще на порядок
больше. Следовательно, необходимо вносить поправки
на погрешности измерительных трансформаторов на ос-
нове достоверных результатов их поверки, и даже при
этом остается возможная погрешность порядка 10%.
Необходимы малокосинусные ваттметры, допускающие
значительные перегрузки, например, с номинальным
коэффициентом мощности 0,1 и допустимыми двукратной
перегрузкой по напряжению и четырехкратной по току,
или специальные измерительные мосты [10-7—10-9].
Даже если такой ваттметр класса 0,5 используется
идеально, его показания составят лишь 0,01-2-4/0,1==
=0,8 шкалы, а возможная погрешность—0,5%-0,1/0,01 =
=5%. При применении резистивных делителей напря-
жения следует' обращать особое внимание на емкость
go* 307
между средней частью делителя и заземленными частя-
ми и на его экранирование. Например, согласно рис. 10-3
при если частота f=50 Гц и /?2=Ю0 кОм, до-
полнительная угловая погрешность, равная 1', вносится
при емкости С—п/(60- 180-2л-50-1 • 105) = 1 • 10-11 Ф=
— 10 пФ, что соответствует емкости нескольких метров
провода. Эта погрешность в свое время была замечена
экспериментально, когда случайное изменение провеса
соединительного провода при испытаниях шунтирующе-
го реактора сильно повлияло на показания.
Измерения при малых токах позволяют исключить
измерительные трансформаторы и делители. Для опре-
деления добавочных потерь отпадает необходимость
в быстром измерении сопротивления обмоток постоянно-
му току после отключения. Однако возрастает роль
потребления приборов, качества закороток и других со-
единений и т. п. В частности, может быть трудно убедить
исполнителя, что на ток порядка единиц или десятков
ампер необходимо ставить большую шину. Например,
грубую ошибку может- внести проходной трансформатор
тока, если у него не замкнуть накоротко вторичную об-
мотку. Необходимо следить за местами заземлений.
В целом измерения при малых токах значительно проще
и надежнее, чем при номинальных, и следует шире
внедрять их для приемо-сдаточных испытаний мощных
трансформаторов и особенно реакторов.
В любом случае измерения потерь при малом коэф-
фициенте мощности требуют тщательности и внимания.
Особенно важна неизменность схемы при измерениях
для сопоставления вариантов конструкции и разных
экземпляров изделий.
Оценка потерь может быть основана на измерении
скорости нагрева масла (желательно при отключенных
охладителях) после включения остывшего трансформа-
тора или реактора. Для этого следует оценить теплоем-
кость бака со всем содержимым и умножить результат
на наибольшую измеренную скорость повышения сред-
ней температуры. Если при этом можно включить мас-
ляные насосы, обеспечивающие перемешивание масла
в баке и равномерный нагрев всех частей, точность мо-
жет быть относительно высокой.
Наиболее высокую точность может обеспечить метод,
основанный на измерении потерь в другом опыте — при
питании обмотки постоянным током. В этом опыте дол-
308
жен быть обеспечен такой же установившийся тепловой
режим, как при переменном токе [10-8]. Метод трудо-
емкий — после одного установившегося теплового режи-
ма при переменном токе необходимо отключить пере-
менный ток и подать в одну из обмоток такой постоян-
ный ток, чтобы установились такие же показания всех
термометров и расходомеров системы охлаждения, какие
были при первом опыте. Если условия охлаждающей
среды и окружающего воздух®' де изменились, то тепло-
отдача осталась прежней. Следовательно, мощность по-
стоянного тока (произведение тока на напряжение)
равна измеряемым потерям. Метод можно применять
при любых формах кривых тока и напряжения, при на-
грузке трансформатора и т. д. При опыте необходимо
следить за тем, чтобы не сжечь питаемую постоянным
током обмотку, в которой выделяются все потери транс-
форматора. Для крупнейших реакторов, имеющих коэф-
фициент мощности порядка 0,2%, это единственный до-
стоверный метод измерения потерь.
Задача измерения потерь в отдельных частях по су-
ществу не решена. Попытки обеспечить измерение векто-
ра Пойнтинга (векторного произведения [ЕХН]) были
успешными только на простых моделях. Теплоизоляция
деталей в трансформаторе нереальна. Изъятие одной
детали может изменить магнитное поле у остальных. Тем
не менее обычно считают, что разность потерь, измерен-
ных с баком и без бака, равна потерям в баке. В ряде
случаев это подтверждено интегрированием измеренных
во многих точках местных потерь в стенке бака на физи-
ческих моделях [13-4].
Наиболее точный способ измерения местных потерь—
определение скорости изменения температуры при вклю-
чении или отключении трансформатора или реактора
[2-4, 10-10, 10-11]. Если измерения выполняются быстро,
картина температурного поля не успевает измениться.
Следовательно, не меняется картина тепловых потоков
и скачок наклона кривой зависимости температуры от
времени А(с/О/dt} равен удельным потерям, деленным
на удельную теплоемкость:
4(э-)=44а <1023>
где 0 — температура; t — время; Ар — скачок удельных
(на единицу м^ссы) потерь; с—-удельная теплоемкость.
309
Ввиду инерционности приборов, прежде всего термо-
пары, вместо резкого излома кривая измеренной темпе-
ратуры имеет плавный изгиб (рис. 10-4). Поэтому левую
часть выражения (10-23) следует определять по наиболь-
шему углу наклона кривой после включения или отклю-
чения объекта соответственно
1 Шя р 1 Шл
Р = -7- 0g “2+ tg>ai) или Р = V ,7- (tg + 1g «.)»
(10-24)
где /nfi и mt — масштабы по осям температуры и времени
Рис. 10-4. Вид кривой напряжения термопары (измеренной темпе-
ратуры) прн включении и отключении объекта.
Если брать наклон через определенное время после
изменения режима, можно найти удельные потери,
усредненные по области заданных размеров [10-10].
В результате экспериментального сопоставления разных
вариантов выполнения термопар рекомендуется раздель-
но рядом приварирать разрядом конденсатора к иссле-
дуемой детали две тонкие проволочки (диаметром 0,1—
0,2 мм) из материалов, образующих термопару. Через
несколько миллиметров можно припаять к этим прово-
лочкам более толстые и механически прочные изолиро-
ванные проволоки из тех же материалов и закрепить их.
Для записи кривой температуры рекомендуется осцил-
лограф, например Н-700 [10-10].
Для измерения плотности тока у поверхности детали
применяют метод «иголочек» — присоединяют измери-
тельные провода с помощью патефонных иголок или
припайкой к поверхности детали на расстоянии I
(рис. 10-5); изолированные отдельные провода распола-
гают возможно ближе к поверхности; далее, тщательно
скрутив, их ведут до вольтметра с большим сопротивле-
нием. Измеренное напряжение U, деленное на длину /,
310
Дает напряженность электрического Поля на поверхно-
сти проводящей детали Е—и/1. Следовательно, по зако-
ну Ома составляющая плотности тока J, направленная
по линии, соединяющей точки присоединения проводов
к деТали, и соответствующие ей удельные потери р будут:
, Е и J2P / и х2 1
р Р/ ’ р-~ у — ( I ) гр ’
где U — измеренное действующ^ напряжение. Если тол-
щина и другие размеры детали заметно больше «глуби-
ны проникновения», то согласно формулам § 2-5 по Е
Рис. 10-5. Измерение напряженности
электрического поля иа поверхности де-
тали.
-5ai
можно определить потери на единицу поверхности.
В последнем случае вместо напряженности электриче-
ского поля целесообразно измерять напряженность маг-
нитного поля Н, параллельную поверхности тела.
Исследования бывают наиболее эффективными при
использовании одновременно. нескольких методов изме-
рений, когда появляется возможность сопоставлять и
подтверждать результаты перекрестной проверкой.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ПОТЕРИ В ОБМОТКАХ ОТ ВИХРЕВЫХ ТОКОВ
11-1. ПОТЕРИ В ОТДЕЛЬНЫХ ПРОВОДЕ И ПЛАСТИНЕ
Основой для большинства расчетных методов явля-
ются выражения потерь в длийной пластине или круго-
вом цилиндре. Вывод формул наиболее прост при отсут-
ствии вытеснения магнитного поля и равномерном поле
(рис. 11-1). В силу симметрии напряженность электри-
ческого поля Е на оси (х=0 или г=0) отсутствует
(Е=0). В рассматриваемом элементе (заштрихованном
на рисунке) «по закону электромагнитной индукции
311
имеем для случаев по рис. 11-1,а—в соответственно:
для рис. 11-1, а, б
Е=—-аг(Вх1)=х1й’
для рис. 11-1, в
E = v~ 4-(Вы2) =
2лг at ' 7 2
(11-1)
dB
dt
Плотность тока по закону Ома равна J=E/p\ удель-
ные (на единицу массы) потери в текущей точке рх>г=
=/2р/Т=£2/ру и средние по объему тела мгновенные
потери будут соответственно:
Рис. 11-1. Потери от вихревых токов в проводящих пластине и ци-
линдре, находящихся в переменном равномерном магнитном поле,
прн отсутствии вытеснения поля.
а —пластина; б, в —цилиндр в магнитном поле, перпендикулярном и парал-
лельном его оси соответственно.
для рис. 11-1, а
+6/2 +6/2
„ 1 С ,,, (лв\2 1 р 2, idB V б2
Pt—тгт I PJu dx— I -,r —г 1 xdx— -Гт-] th—•
11 bhl J ,x \dtJ PYfc J \dt J ,2PY
, —6/2 —6/2
(И-2)
для рис. 11-1,6
+<//2 ___________
4 (dB V 1 f ,n / MW (dB\s d2
Pt *d,2 [dt ) py J л21/ \^J X dx— [dt] i6pY;
—d/2 *
(11-3)
для рис. 11-1, в
d/2
4 (dB\2 I r / г V „ , (dBy d2 ... ..
А=-37?|-зг) — i (-к-J 2wdr=- -75— (11-4)
tc nd2 \ dt J PY J I 2 j \dt I 2py ' >
0
Для определения средних за период Т потерь необ-
ходимо вместо (dB/dt)2 подставить усредненное за пе-
риод значение этого параметра, т. е. подставить квадрат
действующего значения скорости изменения индукции:
(dBy 1 С fdBy ,, ... с.
[dt J —' Т J ( dt] dt- (“ б)
о
При синусоидальной индукции Z? = £>msino>£ имеем:
г
f cos ю/)г d/== “г 1-6)
о
Следовательно, средние за период удельные потери
в прямоугольном проводе (рис. 11-1,а) составят:
<йг62/?2
P-^T = k^m (11-7)
и в круглом по рис. 11-1, б и в соответственно
<a2d2B2m 3 , <2 02 u>2d2B2m 3 , пт /л i о\
~32py и /’ = -б4^ = -8-М2^(11-8)
где
Лв=й>2/24рт. (И-9)
Значения коэффициента ks для некоторых материа-
лов при частоте 50 Гц приведены в табл. 2-4.
313
Если несинусоидальная периодическая индукция
практически равномерного магнитного поля, посторонне-
го для данного провода или пластины, пропорциональна
некоторому току, то удобно использовать для расчета
потерь действующее напряжение UL на произвольной
«пробной» индуктивности L, включенной в цепь этого
тока. Пусть произвольному базисному току If, соответ-
ствует индукция Вб. Тогда из соотношений
т т
В = Вб±- и =
If, L T I Т И dt I
о 6
вместо (11-2) получаем выражение средних за период
потерь в прямоугольном проводе
(VL у Ь2Вгб
VT7 T2^TV’
(H-И)
Для круглого провода в (11-11) следует заменить
толщину провода Ъ его диаметром d и коэффициент 12
на 16 при поле по рис. 11-1,6 и на 32 — по 11-1,в.
Достоинством формулы (11-11) является наличие фи-
зического смысла всех входящих в нее величин. Можно
записать формулы и иначе, введя понятие эквивалентной
частоты (£>эк — такой частоты синусоидального тока
с амплитудой Im=Imax, при которой среднеквадратичная
(действующая) скорость изменения этого тока равна
среднеквадратичной за период скорости изменения тока,
создающего магнитное поле в заданном режиме, где
Imax — максимальный ток в этом режиме. Из указанного
условия следует:
т 2 т 2
•р £ & (Jinax S ill <М)] р" j dt И Юэк '
О О
/Г
I шах
(И-12)
Используя частоту соак вместо со и индукцию Втах,
соответствующую току 1тах, вместо Вт, можно приме-
нять формулы (11-7)— (11-9) и подобные им, выведен-
314
ные для синусоидального тока, который создает Магнит*
ное поле, постороннее для данного провода или пла-
стины.
Например, пусть кривая тока имеет форму повторяю-
щейся дважды за период T=l/f равнобедренной трапе-
ции высотой I с продолжительностью т каждого подъе-
ма или спада тока (рис. 11-2); провод прямоугольный
медный толщиной Ь=2 мм; частота f=50 Гц; т=1 мс;
7=1 кА; току Z6=l кА соответствует индукция В$=
=0,2 Тл. Тогда по (11-11) имеем:
4 ьг
P~~Tt 12ру
(11-13)
где ^Несш1=:2/тл2/' — коэффициент несинусоидальности,
или по (11-12) и (11-7) при 1то,х=1 получаем:
(О —•------- -----
ЭК----- р
. 8
4т — =—
Гт
И
ГЛ2 Л2 / 7 \ 2 / Г \2
Р=-^Г =kaectalk^[B6^ , (11-14)
ГДе «несин—) ^74-2r.f ) ~~ '
Как видно, последние формулы в (11-13) и (11-14)
одинаковы. По ним для приведенных конкретных
данных с учетом 7гв=22 Вт/(кг-Тл2-мм2)=22Х
ХЮ6 Вт/(кг-Тла*м2) вычисляем:
315
= 7qfe50- = 4>°; —4,0-22-105 (2-10“3)s X
X[(0,2- 1)г = 141ВТ/КГ.
Подобным способом можно выводить формулы при
многих вариантах заданной аналитически формы эпюры
индукции по ширине пластины [11-1], а не только при
равномерном поле. Такая задача может встретиться, на-
пример, при расчете потерь в электростатическом экра-
не. В общем случае ход решения следующий (запись
ведем для случая синусоидальных величин): задана
зависимость в пределах
Из уравнения следует j = С -ф- j
х . b
СВ о
X I j7=dx=C+f2 (х); из условия \Jdx = 0 определи-
о о
ь
ется С —-----f2 (x) dx, затем рассчитываются удель-
о
ные потери в любой точке рх —Г -Т-—f3(x), максималь-
ные ртах, если они нужны, и средние потери р =
ь
— J pxdx. Иногда ответ удобно выражать через сред-
fl
ь
нюю по ширине Ь индукцию Вт^= J Bmdx. Например,
о
при простой параболе любой степени п будет Вт —
= Bmax(xlb)n, где 0</г<оо (рис. 11-3, а), и получим:
ь
о
х
г / v\_ w С В max ( & ,_ Втах w _
r2W- р ал^(л+1)Г- Р ьп -
о
rJ/?2cp ter
““КГ р ьп 1
_____1 f ^mcp <o Xn + 1 _ Дпср* tA
b J FT" T л_ ~ кг(п + 2) T:
_£?mcp W p"+1 b I Bmcp<ob Г/x \n+l 1 1
KF P I bn ~« + 2j~ КГ p II b / ~npl'
_<o2b2B*mcp Г/ x \«+* 1 у
2py 1Л~Г/ n + \P,nax~Px=b~
M+ IV
2py + 2/ ’
Рис. 11-3. К расчету потерь в длинной пластине при параболической
и трапецеидальной формах эпюры индукции по ширине.
« — параболические эпюры; б — зависимость поправочного коэффициента от
показателя степени параболы; в — трапецеидальная эпюра.
b b
P^'~V [(n + 2)2(-fp2-
о И.Е. о
-2(n + 2) (4-y+,,+ lpdx = g^3 = WsBC’ '(1Н5)
где й„=12(п+1)2/(2п+3)(п+2)2.
(11-16)
Зависимость kn от показателя степени параболы п
показана на рис. 11-3,6.
При эпюре индукции, представленной в виде тригоно-
метрического ряда:
В„=в,
. 2л/х
B,sm —
Z=l, 2...
S
9=1,2...
317
р
Согласно [П-1] средние потери будут:
V» 6BOBZ р звг9 4- V
L1 гс2/2 "Г Zj Wq2 2я2/2
г=1,2... §=1.2... 1—1.2...
(11-17)
В обмотках трансформаторов чаще всего встречается
эпюра трапецеидальной формы (рис. 11-3,в). В этом
случае в формулах (11-2), (11-3) или (11-7), (11-8) для
прямоугольного и круглого проводов соответственно
по рис. 11-1,а, б следует использовать индукцию в сере-
дине ширины провода (Вт=Всер) и ввести дополни-
тельно коэффициенты
для рис. 11-1, а
k — 1 -4-— (
Лтрап — Л 1 gfj I g
h
трап
для рис. 11-1,6
= 1 I
72 {Всер) •
(11-18)
Если одновременно имеются осевая и радиальная
составляющие индукции, то потери от них суммируются
арифметически. Для доказательства этого достаточно
принять, что в пределах провода осевая индукция не за-
висит от координаты вдоль оси, а радиальная — от коор-
динаты по радиусу, и применить принцип наложения.
При толщине пластины (размере, перпендикулярном
рассматриваемой составляющей индукции поля), превы-
шающей «глубину проникновения», следует применять
для каждой гармоники тока и индукции формулы из
§ 2-5 и вспомогательные кривые по рис. 2-10. При
эти формулы вырождаются в (11-7). Некоторые особен-
ности расчета при несинусоидальном токе рассмотрены
также в § 11-6.
.Почти все реальные задачи удается рассчитывать на
базе изложенных выше и в § 2-5 простых формул. Если
поле по длине провода или пластины меняется, для опре-
деления средних потерь достаточно ввести среднеквад-
ратичную по длине индукцию. При ограниченной длине
пластины / можно учесть, что потери в концевых участ-
ках длиной примерно по Ь/2 в 1,5—3 раза меньше по-
терь в средней части [11-2, 11-3], т. е. ввести поправоч-
ный коэффициент:
^конц^ j~ [/-2.4+2-0,5-4]==1-А. (Ц-19)
Если форма пластины близка к квадрату, можно для
оценки заменить ее равновеликим круглым диском.
318
11-2. ПОТЕРИ ПРИ СЛАБОМ ПОВЕРХНОСТНОМ ЭФФЕКТЕ
Обычная обмотка содержит много витков из ряда па-
раллельных проводов (рис. 11-4,а). Для расчета потерь
в отдельном проводе, в частности наибольших местных
потерь (а также для расчета средних потерь в обесточен-
ной обмотке, расположенной между двумя работающи-
ми), непосредственно применимы формулы § 11-1. Для
определения средних или суммарных добавочных потерь
необходимо просуммировать' гготери во всех проводах
Большое число проводов позволяет заменить суммиро-
вание интегрированием по всему объему обмотки. Поте-
ри в проводе пропорциональны квадрату индукции.
Поэтому следует интегрировать именно квадрат индук-
ции или искать ее среднеквадратичное значение в пре-
Рис. II-4. К расчету потерь в обмотке от вихревых токов.
а — сечение обмотки из прямоугольного провода, б, в — треугольная и трапе-
цеидальная эпюры осевой индукции; г — близкая к параболе ра участке Zi<
эпюра радиальной индукции.
319
делах объема каждой зоны обмотки, выполненной из
провода одних и тех же размеров с одинаковыми кана-
лами. При прямоугольном проводе необходимы раздель-
но осевая и радиальная составляющие индукции (пер-
вая из них при расчете потерь умножается на радиаль-
ный размер провода, а вторая — на осевой размер,
обычно в несколько раз превышающий радиальный).
Если пренебречь разницей в длине разных витков
одной обмотки, интегрирование по объему заменяется
интегрированием по сечению обмотки, а если считать,
что магнитная индукция зависит только от одной коор-
динаты, то интегрированием по одному размеру.
Для нескольких типичных форм эпюры индукции
имеем:
треугольник (рис. 11-4,6):
В2 кн = —— f (Втах r^-r-X dr = 4- B2tnax. (11 -20)
Ср-KB 1 I I flux I muxa \ /
ri
г. e. достаточно ввести в формулы из § 11-1 коэффи-
циент 1/3;
трапеция (рис. 11-4,в):
В2= — [ Г В — (Bt - Вг) dr =
ср-кв г2 — Г1 I I 1 ' 1 2/ гг — Г, J 3
(11-21)
или
я2ср.кн = 4- - в*у=в\+лг; о
очевидно, при AB<0,5Bcp можно считать ДВ«0;
парабола степени п (рис. 11-4,г):
В2 в2 1 f (г~г'У'г dz ^inax Z| j _23)
^ср-кв — ° g2_Z1J az — 2«+r 1 '
Для учета роли ряда второстепенных факторов (из-
менение длины витка, конусность обмотки и т. п.) мож-
но использовать методы и коэффициенты из § 9-3 —
формулы (9-26), (9-31) и т. п. Ряд формул для торо-
идальной обмотки выведен в [1-21]. Если индукция;
с двух сторон обмотки сдвинута по фазе, в (11-21) член
BiB2 следует домножить на cos Z.BiB2.
320
Если по толщине обмотка состоит лишь из одного-
двух слоев проводов (л=СЗ), существен учет трапеце-
идальной формы ЭПЮрЫ В КаЖДОМ ПрОВОДе £трап по
(11-18). Для треугольной эпюры поля (рис. 11-4,6) сум-
мирование потерь здесь дает поправочные коэффициен-
ты для прямоугольного и круглого провода:
^лтрап. пр\ 1 ® ^лтрап кр 6пг ’ (11-24)
При п=1 эти коэффициенты равны 0,8 и 0,83, при
п—2 — 0,95 и 0,96; при п=3 — 0,98.
Выражение добавочных потерь от вихревых токов
в долях основных для прямоугольного провода вытекает
из (П-7) и соотношения рОсн=/2р/у:
Рв _ togbgB2,„
Роев 24p2Jg
Если вместо J в (11-25) подставить 1щ>/аЬ, где 7пр —
ток провода, а — второй размер сечения провода, то
в числителе появляется Ь4. На этом основаны часто
встречающиеся в литературе утверждения, что добавоч-
ные потери пропорциональны четвертой степени ширины
провода. При заданных общих размерах обмотки увели-
чение размера b ведет к уменьшению числа параллель-
ных проводов и, если не учитывать изменение коэффи-
циента заполнения, добавочные потери пропорциональ-
ны только квадрату размера провода [11-4].
Для оценки качества конструкции иногда бывает
полезно следующее формальное соотношение. При неиз-
менном числе параллельных проводов снижение вложе-
ния ' проводникового материала путем уменьшения тол-
щины провода приводит к росту основных и уменьшению
добавочных потерь. Сумма этих потерь
Ki
= Poc/j pBG = -у -|- КгЬ3 минимальна при
= — +ЗК26а = 0, т. е. при и
К2Ь3 _ 1
г=хк7/ь' 3 ’
Следовательно, если добавочные потери от рассмат-
риваемой составляющей индукции больше ’/з основных
потерь, то уменьшение расхода проводникового материа-
ла за счет уменьшения соответствующего размера про-
21—774 321
dPs
~db~~
Рдсн
вода приведет к снижению потерь. В случае, когда ре-
шающим является нагрев отдельного слоя или крайней
катушки обмотки, указанное соотношение 1 :3 примени-
мо именно к этой части. При треугольной эпюре поля
средние добавочные потери втрое меньше максимальных
(при параболе степени п они в 2п+1 раз меньше). Сле-
довательно, уже при добавочных потерях во всей обмот-
ке порядка 10—15% основных не исключена возмож-
ность уменьшения температуры наиболее нагретой точки
благодаря снижению расхода активных материалов
(если это допустимо по условиям стойкости при КЗ).
При увеличении числа параллельных проводов в обмот-
ке с целью снижения потерь следует учитывать умень-
шение коэффициента заполнения и в случае несовершен-
ной транспозиции — рост потерь от циркулирующих то-
ков (см. примеры в [11-4, 11-5]).
Для обмоток, в которых магнитное поле определяет-
ся только их током, можно индукцию выразить через
плотность тока и последняя сократится. Такая формула
удобна для потерь от осевой индукции в крайних по
положению обмотках трансформаторов и в обмотках
реакторов. При синусоидальном токе, прямоугольном
проводе и треугольной эпюре осевой индукции из
(11-25) и соотношений
= Д'ср.кв = ^= Iw^ambnJ (11-26)
следует:
Рв __<osbs (ц0 Кг П2
Доён —' 24pVW ' 9"
где
(11-27)
(11-28)
Р — относительная ширина провода; б — «глубина про-
никновения»; значения б для меди и алюминия при ча-
стоте 50 Гц даны в табл. 2-4; рф—относительная ши-
рина провода с поправкой по методу Фильда (см.
§ 11-3) на отличие всей длины магнитной силовой линии
от суммарного осевого размера проводов обмотки; а, Ь,
е, h, т, п (рис. 11-4,а); т и п — число проводов рас- ,
сматриваемой обмотки в осевом и радиальном направле-
322
ииях (рис. 11-4,а); рв — коэффициент для расчета осе-
вой индукции (см. § 8-5).
Известны выражения относительных добавочных по-
терь через геометрические данные и свойства материала
обмотки для средних по положению и для чередующихся
обмоток, но они на практике не применяются. Можно
было бы составить подобные формулы для потерь от ра-
диальной индукции, однако они громоздки. Поэтому
практические расчеты обычно'^федут через индукцию
[11-6, 11-7]. Номограммы для реакторов без стали при-
ведены в [1-19].
Особенности расчета потерь в обмотках стержневых
реакторов с зазорами, обусловленные выпучиванием по-
ля у зазоров, рассмотрены в [11-8]. Там же даны вспо-
могательные кривые, с помощью которых можно опре-
делить наибольшие местные и средние потери.
11-3. ВЛИЯНИЕ ВЫТЕСНЕНИЯ ПОЛЯ НА ПОТЕРИ
В трансформаторах и реакторах повышенной частоты или пре-
образовательных размеры сечения провода могут оказаться заметно
больше «глубины проникновения» б для основной или высших гар-
моник. При этом вытеснение магнитного поля приводит к снижению
потерь по сравнению с рассчитанными по формулам § 11-1 и 11-2.
В этих случаях для расчета потерь широко применяют метод Филь-
да (1905 г.), разработанный для крупных проводов в пазу электри-
ческой машины '[1-12, 11-4, 11-9]. Фильд предположил, что все маг-
нитные силовые линии прямолинейны и их длина одинакова
(рис. 11-5,а). Тогда по закону полного тока напряженность магнит-
ного поля Нс в канале с у поверхности провода не зависит от вих-
ревых токов внутри провода. Это допущение равноценно замене
каждого провода высотой а, занимающего часть паза, на провод
высотой занимающий всю ширину паза, но с эквивалентным
удельным сопротивлением р'=р (1 +е/а) и соответствующей коррек-
цией «глубины проникновения». При указанных условиях можно
применять обычное решение для бесконечного листа. Например, если
пренебречь разницей напряженности слева и справа от провода (ffci
и ffc2 заменить их полусуммой — рис. 11-5,6), в ответе остается
один член типа (2-63). Формулу для расчета потерь в обмотках по
методу Фильда удобно представить в виде
_ 6 —з1п₽ф
РФ - ЛЧ; *Ф = 7^ сИ₽ф4-со8₽ф :
(11-29)
где рв — потери от вихревых токов, рассчитанные по методам §11-2
без учета вытеснения поля; кф — коэффициент Фильда; зависимость
его от Р и а/е и от ₽ф приведена на рис. 11-7.
21* 323
ЭлсктроМйгЙИ'Нюе Йоле в кажг й части обмотки трансформато-
ра или реактора в пределах шага (а+е) (см. рис. 9-9 и 11-4) мож-
но рассматривать как поле в пазу машины (рис. 11-5,а). Это вполне
обосновано для осевого поля в многослойных обмотках, где проме-
жуток е относительно мал по сравнению с размерами провода а, Ь.
Для расчета потерь от осевой составляющей поля в винтовых,
непрерывных и дисковых обмотках и от радиальной составляющей
Рис. 11-5. Магнитное поле в пазу электрической ма-
шины при допущениях Фильда.
а — участок сечения паза и магнитные силовые линии; б — эпю-
ра поля в сечении проводов: Пунктиром показана эпюра при
отсутствии вытеснения поля.
324
Рис. 11-6. Картина магнитного по-
ля в проводе и каналах.
G —реальная картина; б — упрощенное
поле, принятое для расчета; в — эпюры
поля с учетом влияния вихревых токов.
указанное допущение неправомер-
но, так как вытеснение магнитного
поля из провода приводит к увели-
чению тангенциальной напряжен-
ности у его поверхности [11-10]..
Для вывода формул рассма**1
триваем обмотки из сплошных
проводников прямоугольного се-
чения, расположенных ровными
рядами (см. рис. 9-9), помещен-
ных в равномерное магнитное поле
Но, направленное вдоль оси у. Не
учитываем влияние кривизны и
особенности граничных условий
для проводов, находящихся у кра-
ев сечения обмотки. Возникающие
в проводах вихревые токи вытес-
няют магнитный поток (рис.
11-6,а). На краях проводов имеет
место искривление силовых ли-
ний, которое не учитываем.
В винтовых, непрерывных и
дисковых обмотках применительно
к осевой составляющей поля рас-
сеяния размеры проводов и ра-
диальных каналов в направлении
поля а и е обычно значительно
больше поперечных размеров b и
с. Поэтому принимаем, что поле
в каждом из каналов сие равномерно и ие зависит от координат
х и у, а внутри провода поле не зависит от координаты у. Иначе
говоря, допускаем, что на границах провода (</=е/2 и у=а+е/2)
поток, прошедший через канал е, свободно перераспределяется меж-
ду каналом с и проводом (рис. 11-6,6). Вид эпюр напряженности
магнитного поля при заметном вытеснении показан на рис. 11-6,в.
Считаем, что поле синусоидально изменяется во времени, и исполь-
зуем комплексную форму записи. Суммарный магнитный поток
в пределах ширины (б-f-c) не зависит от координаты у. Поэтому
можно записать:
Во#46+с) — ВоЙсС+роЙ'ьсрЬ, (11-30)
где Яьср — средняя по ширине Ь напряженность поля внутри про-
вода.
Ее значение связано с напряженностью магнитного поля у боко-
вой поверхности провода Нс соотношением (2-61):
НьсР f chp —созР
Йс р |/ ch f 4- cos ? е ’ 'f —
= T-arctg^. (П-31)
325
Падение магнитного потенциала вдоль осн у определяется за-
данным полем На:
а+е
[ Ну(1у=Нее + Нса='Нс(а + е). (11-32)
6
Решая совместно. (11-30) — (11-32) и выражая потери в проводе
при наличии вытеснения поля РБЫТ через потери ps при отсутствии
вытеснения, т. е. при напряженности Но, и квадрат этой напряжен-
ности №о, получаем:
Рвыт 7 Рв^выТ! ^выт — I I2 pi ch f 4* cos Р ’ (11-33)
В винтовых, непрерывных или дисковых обмотках, имеющих
радиальные каналы, для расчета потерь от осевой составляющей
поля рассеяния следует использовать непосредственно коэффициент
kBMT согласно (11-33). Зависимость &ЕЫт от {3=6/6, Ъ]с и а/е при-
ведена на рис. 11-7, при этом b — толщина провода без изоляции;
а — осевой размер (высота) провода без изоляции; с — толщина
изоляции провода на обе стороны; е — осевой размер канала вместе
с толщиной изоляции провода и катушки; если в обмотке чередуют-
ся промежутки разной высоты, например каналы и шайбы, то е —
полусумма этих высот. Потери от вихревых токов, рассчитанные без
учета вытеснения поля, следует умножить на полученный коэф-
фициент.
Как видно из рис. 11-7, коэффициент &выт меньше, чем &ф, При
типичных соотношениях о./е=(1^-2) для 2<р<4 расчет по методу
Фильда приводит к завышению потерь в 1,3—3 раза. В многослой-
ных обмотках обычно а/е>5 и значения йЕЫт и практически
совпадают (рис. 11-7,в), причем Р=ь: Рф-
Для расчета потерь от радиальной составляющей поля рассея-
ния рассмотрим участок непрерывной, дисковой или винтовой обмот-
ки трансформатора, находящейся в радиальном магнитном поле
(рис. 11-8,а, б). В таких обмотках толщина провода а и изоляции е
намного меньше высоты провода Ь. При этом можно принять допу-
щение Фильда о прямолинейности магнитных силовых линий в пре-
делах ширины обмотки d. Тогда по аналогии с задачей Фильда
каждая дисковая катушка (в винтовой обмотке — виток) с размера-
ми сечения bXd (рис. 11-8,6) может быть заменена сплошной ши-
ной с таким же сечением, но с эквивалентным удельным сопротив-
лением р'=р(1 +е/а) (рис. 11-8,в). Отношение толщины этой шины
b к «глубине проникновения» 6 равно РФ = Р Va/(a-\- е) анало-,
гично (11-29). В результате получена система шнн, разделенных1
каналами шириной с, причем c<d и b<d. Согласно принятым
326
Рис. 11-7. Зависимость коэффициента &выт—Рвыт/Рв от
тельного размера провода р = 6/б при трех значениях а/е.
Пунктиром даиа зависимость коэффициента Фильда от р.
относи-
327
ранее допущениям в пределах каждого шага (Ь+с) внешнее поле
равномерно — пунктирная линия на рис. И-8,г. Как обычно, прини-
маем магнитную проницаемость стержня и стенки, бака бесконечной
большой. Тогда их влияние может быть учтено с помощью неограни-
ченного ряда отражений обмотки от поверхностей стержня и стенки
бака. Такая система шин аналогична системе, рассмотренной выше
на рис. 11-6, причем размерам d и Z на рис. 11-8,а и в соответст-
вуют размеры а и о.+е на рис. 11-6. Аналогия особенно наглядна,
Рис. 11-8. Равномерные обмотки трансформатора, находящиеся в ра-
диальном магнитном поле.
а — эскиз расположения обмоток; б — участок сечения одной из обмоток; в —
эквивалентная система шин; г — эпюра радиального поля в рассматриваемой
обмотке; сплошная линия — поле с учетом влияния вихревых токов; штрих-
пунктирная — поле без учета вытеснения; пунктирная — поле без учета влия-
ния вихревых токов, принятое для расчета.
если рис. 11-8 повернуть на 90°. Размеры b и с на этих рисунках
идентичны. Следовательно, можно использовать полученное ранее
решение, заменив .в формулах а/е на d/(Z—d) и р на рф- Расстоя-
ние Z между стержнем и баком является некоторой эффективной
длиной магнитных силовых линий радиального поля. Обычно эта
длина в несколько раз больше радиального размера обмотки d. По-
этому можно принять d<^l, что соответствует о.<Се в формулах
(11-31)—(11-34). Тогда последняя формула принимает более про-
стой вид:
5 = (4 + 1)/(4-5 + 1)- <и-35)
Это условие соответствует допущению о неизменности радиаль-
ного потока, пронизывающего обмотку. Так как при вихревые
токи уменьшают поле внутри провода, то для сохранения полного
потока должно увеличиться поле в промежутке между соседними
проводами: Нс>Не=^Нв. Увеличение поля тем заметнее, чем больше
6/6 и b/с. Зависимость 6ВЬ1Т от Рф и b/с, рассчитанная по указан-
ным формулам при замене в иих 0 на |>ф приведена на рис. 11-9,
причем b — высота провода без изоляции; а—толщина провода без
изоляции; е — толщина изоляции провода на обе стороны; с — осе-
вой размер канала вместе с толщиной, изоляции провода и кдтушки.
Потери, подсчитанные обычным методом без учета вытеснения поля,
следует умножить на коэффициент /гвит. Нижняя кривая (АВЫт при
b/c=j=O) соответствует кривой зависимости k® от рф. Видно, что
при типичных для рассматриваемых обмоток значениях b/с около
1—2 расчет по методу Фильда приводит к занижению добавочных
потерь от радиальной составляющей поля примерно вдвое, если
ф =3, и в 5 раз, если рф = 6.
............................"
Рис. 11-9. Зависимость коэффициента £Выт = Рвыт 1рв (применяемо-
го для расчета потерь от радиальной составляющей поля) от отно-
сительного размера провода 0Ф = 0 К а/(а ф- е).
Принятое допущение d/1—Q приводит к некоторому завышению
расчетных потерь. Например, если РФ=3, b/с=(1-ь-2) и d/l=0,2,
т. е. d/(l—d)—0,25, то это завышение равно 10—15%. При относи-
тельно широкой обмотке (d//>0,3), что может иметь место в реак-
торах и броневых трансформаторах, следует пользоваться формула-
ми (11-31)—(11-34) или кривыми на рис. 41-7, подставляя в них
рф вместо р.
Оценка погрешности расчета потерь от радиальной составляю-
щей индукции без учета вытеснения поля показала, что при частоте
50 Гц и высоте медных проводов до 16 мм эта погрешность не пре-
вышает 7%. Поэтому, как правило, при промышленной частоте вы-
теснение поля можно не учитывать.
Для крайних катушек обмоток, потери в которых относительно
велики и потому представляют особый интерес, приведенные рас-
суждения и метод расчета не вполне применимы. Здесь для магнит-
ного потока имеется «обходный путь» рядом с обмоткой, и поэтому
для крайней катушки допущение о неизменности радиального потока
(с с \
2^^~2/ неправомерно и расчетные
3?9
потери могут превысить действительные более чем на 10—15%. Для
более точного аналитического' решения в этом случае необходимо
рассматривать поле как двухмерное, что приводит к резкому услож-
нению задачи.
Если число проводов в радиальном направлении мало (п=1, 2),
следует рекомендовать метод Фильда с учетом различия напряжен-
ности с разных сторон провода. Расчетные формулы и вспомога-
тельные кривые приведены в [1-12 и 11-4]. Расчет потерь в проводе
из прямоугольной трубки дан'в [11-11].
11-4. ПОТЕРИ ПРИ СИЛЬНОМ ПОВЕРХНОСТНОМ ЭФФЕКТЕ
Рассмотрим случай, когда частота тока, для которого рассчи-
тываются потери, столь велика, что «глубина проникновения» S
в несколько раз меньше ширины провода Ь, т. е. |3 = 6/б3>1. Тогда
в средней части сечения провода тока нет, а в поверхностном слое
провода линейная плотность тока равна тангенциальной напряжен-
Рис. 11-10. Многослойная обмотка (а) и эпюры осевой индукции
(б) и плотности тока в ней (е) при высокой частоте
330
ности магнитного поля. При этом основные потери в несколько раз
меньше добавочных, поэтому деление токов на основные и вихревые
не помогает расчету. На рис. 11-10 показаны эпюры осевой индук-
ции и плотности тока в проводах многослойной обмотки, имеющей
тонкую межвитковую изоляцию, к торцам которой прилегают нена-
сыщенные ярма, в опыте КЗ трансформатора. При указанных усло-
виях поле рассеяния имеет только осевую составляющую. По зако-
ну полного тока напряженность магнитного поля в каналах q—1
и q, прилегающих к слою q, равна соответственно
/w g-l _ Iw__q_ •
ч 1 h п ’ Ч h п ’ '
где п — число слоев. Токи внутренней и наружной поверхностей
проводов слоя q равны и Hqh. Потери в слое q можно
выразить через эти токи:
Iw--------- -г.
п 1 п<
^-(2^-2.+1),
где /Е — длина витка.
Полные потери в обмотке равны сумме потерь всех слоев:
р/в 2 / 1 \
= (Н-36)
При «>3 такой же результат вытекает из формул (11-29) или
(11-33). В частности, при а'^е, nZ>2 и 6>36 Авыт = ^ф ^6/рз и
выражение полных потерь принимает вид:
(11-37)
Из (11-36) видно, что потери не зависят от толщины провода
и прямо пропорциональны числу слоев п. Следовательно, самой
выгодной является однослойная обмотка (например, намотанная на
ребро), а размер b следует выбрать наименьшим допустимым по
конструктивным и технологическим соображениям. При этом, как
видно из кривой bPj на рйс. 2-10, потери минимальны при 6~1,56.
В непрерывной, дисковой или винтовой обмотках, имеющих ка-
налы между соседними проводами в осевом направлении, и в обмот-
ках из круглого провода рассмотренный эффект немного слабее бла-
годаря распределению тока по большей части периметра сечения
провода.' Однако и в этих случаях при b >1,56 выгоднее однослой-
ная обмотка с минимальными зазорами в осевом направлении.
Можно рекомендовать также двойные или многократно концентри-
ческие и чередующиеся обмотки.
331
11-5. ОЦЕНКА ПОТЕРЬ В ОБМОТКАХ ИЗ ФОЛЬГИ
При обадатке, выполненной из широкой полосы фольги или лен-
ты, поперечный магнитный поток почти полностью оттесняется вих-
ревыми токами даже при частоте 50 Гц. Для расчета распределения
тока, можно мысленно разбить обмотку на ряд участков, соединен-
ных параллельно, и использовать методы расчета на ЭВМ, например
[9-7]. Ниж.е описан метод упрощенной оценки потерь [11-12] вдвух-
обмоточном трансформаторе с равновысокими концентрическими
обмотками (рис. 11-11,я). Магнитная проницаемость магнитопровода
и стенки бака бесконечна. Каждая обмотка состоит из тонких по-
лос, соединенных последовательно и равномерно распределенных по
сеченню каждой обмотки. Ширина полос равна высоте обмоток. Вих-
ревые токи, вызванные поперечным полем рассеяния, концентрируют-
ся в торцевых частях (тонких слоях) обмоток, создавая эффект
перераспределения части тока нагрузки к торцам обмоток. Слоистая
структура таких обмоток почти не оказывает влияния на распреде-
ление токов, так как линии вихревых токов не перерезаются слоями
Изоляции между витками, вихревые токи могут замыкаться по ши-
рине фольги. Наличие изоляции между витками учитываем введе-
нием эквивалентного удельного сопротивления p'=p/ko6, где koe —
коэффициент заполнения сечения обмотки фольгой. Тогда эквива-
лентная «глубина проникновения» поперечного магнитного поля
в обмотки бэк у их торцов будет бэк= И2р/ыр0^об. Кривизна обмо-
ток не учитывается, и электромагнитное поле в области, занятой
обмотками, считается плоскопараллельным. Предполагаем сначала,
что поперечная составляющая поля рассеяния Нх отсутствует во
всей области I (рис. 11-11,а), т. е. во всем сечении обмоток и кана-
лов. Следовательно, продольная составляющая Hv неизменна по вы-
соте обмоток. Строго говоря, такое положение может иметь место,
если удельная проводимость материала обмоток бесконечно велика
(р=0) и каналы между обмотками отсутствуют. При указанных
допущениях эпюра напряженности продольного поля Ну имеет вид
трапеции, повторяющей по форме эпюру МДС обмоток (рис. 11-11,6).
Полученное осевое магнитное поле в области / является граничным
условием для области If.
Влияние ферромагнитных поверхностей на поле в области II
можно учесть отражениями обмоток с токами от них. Отражение от
поверхностей 3 и 4 дает бесконечный ряд знакочередующихся источ-
ников поля с периодом 2т, где т — ширина окна по рис. 11-11,а
(такое поле соответствует также полю многократно-концентрических
обмоток из фольги с соответствующим—см. ниже—уменьшением
периода).
Для последующих расчетов эпюру продольного поля Hv пред-
ставим в форме тригонометрического ряда
г г кт ,, . *пх
ну^£>нпзт~’ (И-38)
где п=1, 2, 3, ..., оо — иомер пространственной гармоники поля.
Для упрощения выкладок ограничимся рассмотрением случая,
когда ферромагнитные поверхности (3, 4) вплотную прилегают
к обмоткам, а радиальные размеры обмоток одинаковы: ai—a^=a.
Тогда п==1, 3, 5, ..оо и
ТТ 4 т та
п„ = Но------sin -—,
п таг г.па т
где Но — напряженность поля в канале,
33?
(11-39)
Рис. 11-11. К расчету потерь в обмотках из фольги.
« — расчетная схема трансформатора: 1, 2 — обмотки; 3 —средняя плоскость окна-
магиитопровода или стенка бака; 4 — стержень; 5 — торцевые ярма; 6 — слои вихре-
вых токов у торцов обмоток; б — эпюра продольной напряженности поля; сплошной
линией показана расчетная эпюра, пунктирной — реальная эпюра у торцов обмоток.
1/=0- в — зависимости Н-пах!Но, Нсв/Яо. ^Ср-кв^° от соотношения раз-
меров а/т; г — обмотка, состоящая из нескольких (2m) последовательно соединен-
ных частей; д, е — представление системы токов в обмотке по рис. 11-11,г в виде
суммы токов в обмотке без каналов (д) к в чередующейся обмотке (е).
Примем также, что торцевые ярма удалены (с=<х>). Решение
Основных уравнений поля методом разделения переменных в полу-
пространстве, примыкающем к обмоткам (у>0), приводит к извест-
ным выражениям (§ 8-4):
Их = - 2 cos Н^у!-' sin , (11-40)
где в выражения и Ну входят одни и те же амплитуды гармо-
ник поля Н„. На границе (</=0) между полупространством у>0
(область II на рис. 11-11,а) н областью I, занятой обмотками, про-
дольное поле непрерывно(/V' =/У*1), а вихревые токи у торцов
обмоток (на границе областей I и II) вызовут поперечное поле Нх
в области //. При у=0 линейная плотность вихревых токов 1В рав-
на напряженности поперечного поля у торца обмоток:
(Н-41)
Влияние отражения от торцевых ярм можно учесть введением
в формулы Нх из (11-40) и (11-41) дополнительного множителя
/гс — th (—тгс/т). (11-42)
Напряженность поперечного поля максимальна вблизи углов се-
чения обмоток, удаленных от канала рассеяния (х=0, х=т):
И х max ~ ^втах = ^Нп. (11-43)
Вдоль торцов напряженность монотонно снижается к углам,
прилежащим к каналу рассеяния (х=а и х=т—а), до минималь-
ного значения
т т „ чъпа
Hxmin = Гвт1п = ^п COS—. (11-44)
Расчет тока в торцевом слое обмотки и суммарных добавочных
потерь связан с определением средней Нср и среднеквадратичной
//ер-кв напряженностей поля в пределах ширины обмотки. Средняя
напряженность будет:
а
= ZB,cp = — J Hl*dx = Но У] —
о
Среднеквадратичную напряженность можно рассчитать по точ-
кам с помощью формул приближенного интегрирования. На
рис. 11-11,в показаны зависимости Нтах1Нп, Нтлп/Нъ, Нс^/Нй
и Нср-кв/Яр от соотношения размеров а/т. Значения Нтах и
Н-тгп, вычисленные по формулам (11-43) и (11-44), нельзя считать
вполне достоверными, так как реальная эпюра продольной напря-
женности поля на границе отличается от трапецеидальной (см. пунк-
тирную кривую на рис. 11-11,6). Однако средние и среднеквадратич-
ные значения Нх рассчитываются с удовлетворительной точностью,
так как здесь вклад высших пространственных гармоник невелик,
а на основные гармоники искажение эпюры продольного поля на
границе практически не влияет. Из данных рис. 11-11,в следует, что
334
2
(11-45)
отношение //Cj>-кв/Яср не превышает обычного для синусоиды зна-
чения п/2 К 2 =1,11.
Продольную напряженность поля Но в канале между обмотка-
ми находим из закона полного тока: /ги = //иЛ4-2//СрО, где Iw —
МДС обмотки; h — осевой размер обмотки, откуда
/га / а //ср I
рй; ?н = 1/ р + 2-у (11-46)
Отношение НСр/Нв берется по кривым на рис. 11-11,в согласно
соотношению размеров а/т. При //ср^Д)=0,5=1,5 и а/й = 0,01=0,1
имеем коэффициент р№ 0,996=0,77, т. е. несколько меньший, чем
обычный коэффициент Роговского.
Для оценки добавочных потерь в торцевом слое применимы фор-
мулы поверхностного эффекта в проводящем полупространстве с за-
данной напряженностью поля на границе (§ 2-5). Тогда средние
добавочные потери на единицу поверхности торца обмотки составят:
//SCDKBP V ///ср.кв\г Р
п-ср= Мэк \hj на )
Наибольшие местные потери
Ритах = /щср (НmaxiНср-кв)2•
При указанных допущениях согласно данным
имеем:
(11-47)
(11-48)
рис. 11-11,в
//тах///Ср-кв —(1,09-5-1,22), т. е. Рптах^ ЬбРп, ср1
Добавочные потери в обмотке со средней длиной витка I, отне-
сенные к основным потерям в ней,
/доб_ 2/а Pn,cp д2 2 ///ср-кв V
/V (/га)2 2 5^/Г ?Н \ Но ) ' (1 М9>
Например, при частоте 50 Гц, коэффициенте заполнения koB=^
=0,5, радиальных размерах обмоток и канала ai = ai2=a2=20 мм
и высоте обмоток /г=500 мм имеем: а/т=0,33; по рис. 11-11,6 по-
лучаем //ср///о=0,89; по формуле (11-46) рн.=0,92; по рис. 11-11,6
будет 7/ср-кв///о=0,91 н по формуле (11-49) Ряоч/12г= 1,14 мм/6эк.
При температуре примерно 350 К (75°С) для алюминия р=
=3,6-10-8 Ом-м н 6ЭК= 19,1 мм, откуда /’дов/Ят=0,06=6%. При
температуре 20 К для алюминия чистотой 99,995% имеем р=
=4-10-11 Ом-м и 6ак=0,6 мм, откуда РЛоъ/Рг—1,9= 190%. Оче-
видно, в обычном трансформаторе выявить эти потери по измере-
нию суммарных потерь КЗ трудно, а в криотрансформаторе необхо-
димы специальные меры для снижения потерь, например, выполнение
обмоток с непрямоугольной формой сечения или установка магнит-
ных шунтов.
При существенно неодинаковых радиальных размерах обмоток
(й1т^а2) и значительных расстояниях от обмоток до боковых по-
верхностей стали (до поверхностей 3 и 4 на рис. 11-11,а) следует
вместо формулы (11-39) использовать общую формулу разложения
периодической кривой в тригонометрический ряд. Соответственно
335
реальным размерам Изменяются аргументы в выражениях (11-43)
и (11-44) и пределы интегрирования в (11-45), а также в расчете
среднеквадратичной напряженности радиального поля у торца
обмотки. Расчет становится громоздким, и следует использовать
цифровую ЭВМ.
Во многих практических случаях две оценки — завышенная
и заниженная — позволяют избегать громоздких расчетов. Для за-
вышенной оценки по приведенному методу (когда ширина окна рав-
на радиальному размеру системы обмоток) можно завысить ради-
альный размер прн определении /Др-кв/До по рис. 11-11,в, взяв
т=аг+й12+<Т2 и 0=0], где Для заведомо заниженной оцен-
ки МОЖНО ВМеСТО /Др-кв/До ИСПОЛЬЗОВаТЬ коэффициент Hmin/йо из
рис. 11-11,в, приняв т равным реальному расстоянию от стержня до
стенки бака или середины окна.
При относительно тонких- обмотках, когда а/т<0,1-Д),2, ста-
новится весьма существенной концентрация поля у углов сечения
обмотки. Для оценки роли этого фактора можно применить простей-
шее математическое моделирование потенциального магнитного поля
полем токов проводимости в электропроводящей бумаге. При этом
продольные магнитные потоки в области середины обмотки изобра-
жаются электрическими токами, вводимыми в проводящую бумагу,
поверхности ненасыщенных ферромагнитных тел — электродами, на-
клеенными'на бумагу, а полосы фольги обмоток — прорезями в бу-
маге модели. Такая модель позволяет учесть разновысокость обмо-
ток или их осевой сдвиг, влияние прессующих колец и формы бака
и т. п. Если* радиальный размер обмотки соизмерим с «глубиной
проникновения» (а<б), следует применять математическое модели-
рование на переменном токе, несколько более сложное (§ 2-4). Его
можно использовать также при выполнении обмоток из шии или
листов.
При выполнении обмотки из двух одинаковых симметрично .рас-
положенных половин в узком канале (йк=0), т. е. когда ширина
ленты равна половине осевого размера обмотки, потери остаются
такими же, как при обмотке из одной ленты по высоте. В данном
случае разрез фольги в плоскости симметрии обмотки не наклады-
вает никаких дополнительных ограничений на распределение тока
ни при параллельном, при при последовательном соединении половин
обмотки.
При параллельном соединении нескольких частей обмотки, если
считать каналы между частями обмотки бесконечно узкими, разрезы
также не вносят коренных изменений в распределение тока по вы-
соте обмотки. Поэтому такие разрезы мало влияют на потери. Токи
в средних частях обмотки меньше, чем в крайних. При последова-
тельном соединении нескольких частей обмотки (рис. 11-11,г) токи
всех частей должны быть одинаковыми: (/w)5=/w/2m, где q —
номер части, если считать от середины; т — число частей в половине
обмоткн. Необходимый «избыток» МДС тока части обмотки, бли-
жайшей к середине (q=l), концентрируется у первого (если счи-
тать от середины) разреза. Этот «избыток» компенсируется концен-
трацией тока у ближайшего к середине обмотки торца следующей
части (<?=2). В свою очередь у дальнего торца следующей части
концентрируется ток, соответствующий «избытку» ее тока н тока
предыдущей части и т. д. вплоть до торца всей обмотки. Если, за-
высив потери, считать зависимость дополнительных токов от номера
разреза линейной: Iq=Imqlm, то получим квадратичную зависи-
336
мость потерь Pq—Pm(q/т)г. У каждого разреза имеются два торца
частей обмотки. Учитывая эго и наличие в обмотке двух половин,
а также то, чго Рдо.б=2Рт, где РДО6 — потери по выражению
(11-49)/находим сумму добавочных потерь у всех разрезов и тор-
цов от радиального поля
т— 1 л г т—1
[ 2 (т—1)т{2т—1) ] 2 , 1
— Лгоб L 6шЕ + J =/ДОб’ 3 т +2„? J‘
(11-50)
Как и следовало ожидать, эта формула похожа на выведенную
в § 11-4 формулу (11-36). Из (11-50) следует, что при одном до-
полнительном разрезе в каждой половине обмотки (т = 2) рассмат-
риваемые потери увеличиваются в 1,5 раза, при двух (т=3) —
в 2,11 раза, при трех (т=4)—в 2,75 раза. Фактически потери
растут с увеличением числа разрезов медленнее вследствие выхода
магнитного потока из канала рассеяния через разрезы' и обмотки
около них.
Через каналы конечной ширины (/in¥=0) может выходить в ра-
диальном направлении заметный магнитный поток, и рассмотренные
потери должны быть несколько меньше вычисленных по формуле
(11-50). Однако радиальное магнитное поле, появляющееся в кана-
лах, вызывает концентрацию тока и добавочные потери в торцах
катушек у каналов. Для оценки этих потерь используем метод, рас-
смотренный в § 2-6. Аналогично рис. 2-14 представим систему токов,
равномерно распределенных по сечению частей обмотки между
каналами (рис. 11-11,г), как сумму двух систем: тока Iw,
равномерно распределенного по всей высоте h (рис. 11-11,6), и си-
стемы чередующихся токов по рис. 11-11,е. Поле первой системы
рассмотрено ранее. Радиальная напряженность поля второй системы
примерно будет H-g=IwhK/2ah, что соответствует широкой шине
(а^>йк). Такое поле у торцов катушек вызывает потери на единицу
поверхности //2рр/й0обок аналогично (11-47) и потери у каналов во
всей обмотке:
Л:об, кан 1 IwhK \2 р ko^ct [h (2/л 1) hK]
Тч “ I"ЙГ) 2(2га~1)~Da (iwy^D
hs
При тройных и многократно-концентрических обмотках, в кото-
рых в радиальном направлении чередуются части обмоток ВН и НН,
в приведенную формулу (11-49) следует вместо а подставлять по-
ловину радиального размера промежуточного концентра, а в каче-
стве размера т использовать расстояние между серединами проме-
жуточных концентров.
При выполнении одной обмотки из фольги, а другой из обычно-
го провода неприемлемо допущение об отсутствии радиальной со-
ставляющей поля в пределах сечения обмоток, так как через обмот-
ку из обычного провода магнитный поток может почти свободно
выходить из канала рассеяния в радиальном направлении. Известно,
что при равновысоких обмотках из обычного провода осевая индук-
ция на уровне торцов обмоток при удаленных ярмах почти вдвое
меньше, чем на уровне середины обмоток, при заметном влиянии
ярм она примерно в 1,5 раза меньше. Поэтому потери в рассматри-
ваемом случае заметно меньше, чем при обеих обмотках из фольги,
и в расчет потерь следует ввести коэффициент 0,5 илп даже
меньший.
Ряд других методов расчета добавочных потерь в обмотках из
фольги изложен в докладах С. Апанасиевича, М. Краковского и
А. Кравчика в Лодзи [8-21] и в указанной там литературе.
11-6. ПОТЕРИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОМ ТОКЕ
При несинусоидальной индукции магнитного поля в области
обмоток простейшим является расчет без учета вытеснения поля.
Для такого расчета следует использовать формулы (11-2) — (11-4),
подставляя в иих вместо dB/dt действующую (среднеквадратичную
за период) скорость изменения индукции (dB/dl)H и используя ко-
эффициенты, указанные в § 11-2. Если вид картины магнитного поля
не меняется в течение периода, например, в реакторе нли двухобмо-
точном трансформаторе при отсутствии насыщения стали, можно
применить формулу (11-11) или (11-12). Можно также рассчитать
добавочные потери Рейн при произвольном синусоидальном токе
/сив, например токе при испытаниях, н умножить результат на квад-
рат отношения напряжения реактора или падения напряжения па
индуктивности рассеяния трансформатора в требуемом режиме U
к соответствующему напряжению (падению напряжения) прн ука-
занном синусоидальном токе 17СИп:
( U V „ ( U V
Р — Рейн I у I или Р— Рейн • ] 1 ) • (11-52)
\^СИН/ \17 СИН J
Можно также использовать разложение кривой индукции (или
тока, если индукция пропорциональна току) в гармонический ряд.
При
В (t) = би sin (mot -f- <р„) илп i(0= 2 1,1 sln
n=l,2, ...
имеем вместо (11-7), (11-8) выражения соответственно:
Р = kBb* (пВ„)*; р=~ М2 (пВг.)’-, р = 4- М2 (пВ,у
п п п
(11-53)
и вместо (11-52):
р Р 1 <1
/-=75—р---------- У («Л,)2- (П-54)
/zcmi 1 сии 1 сип
п=1, 2, ...
Расчет без учета вытеснения поля дает завышенное значение
потерь (см. рис. 11-7, 11-9). При необходимости более точно опре-
делить потери следует вести расчет по гармоникам индукции, исполь-
зуя формулы и кривые § 11-3, и суммировать результаты.
Расчет становится заметно проще, если пренебречь различием
общего вида картины магнитного поля разных гармоник индукции.
Тогда средняя напряженность магнитного поля в области располо-
жения' рассматриваемого элемента пропорциональна току. Это позво-
ляет взять за базу потери РС1Ш или рсвн, рассчитанные без учета
вытеснения поля при произвольно выбранном токе /Сии основной
частоты (n—1), а затем пересчитать потерн к требуемому режиму
с заданной кривой тока. Из (11-33) следует:
„ р / / V
У nS[il (Н-55)
Рейн 'спи \'снл /
н=1, 2...
где — коэффициент, определяемый по (11-33) или рис. 11-7,
11-9, при заметном поверхностном эффекте существенно зависящий
от номера гармоники.
Согласно пунктирной кривой ЬРН па рис. 2-10 можно принять:
Ърн—
при 6 < 1,828;
Ьри = ^ 1,825 при Ь> 1,828.
(11-56)
Границе между областями применения двух указанных соотно-
шений соответствует некоторая частота или номер гармоники пГр,
определяемый условиями
Г Ы1Пгр|Ло у R[,p
з _ ( 6, V
«ГР = /36 j (11-57)
где индекс 1 относится к первой гармонике; лгр в общем случае ие
целое число.
Из выражений (2-63), (11-7), (11-33), (11-56) и (11-57) сле-
дует:
^ВЬ]Т /I - 1
при п < /ггр;
68’,_ /пгр\3/2
*выг й= Fs2„ = F2sn (—j п₽и п > ип>-
(11-58)
где F2zn — квадрат модуля коэффициента по (11-34) для гармоники
номер п; для определения F22n можно использовать кривые АпЫт
по рис. 11-7, 11-9:
rig "*х_, h * П Ь
1 211 Л''- ^ВЫТ П . g — «ВЬТГ Л
п \3/2
(11-59)
Коэффициент F22n значительно слабее зависит от номера гар-
моники, чем Авытп- Для потерь от осевой индукции в многослойных
обмотках можно принять в других случаях взять
=KConst=F2 соответственно одной из гармоник, вносящих большой
вклад в суммарные потери. Тогда вместо (11-55) имеем:
(11-60)
где гг'гр — целая часть числа пгр, определяемого по (11-57). В част-
ном случае, когда для всех учитываемых гармоник тока n<nrp,
т. е. вытеснение магнитного поля отсутствует, выражение (11-60)
вырождается в (11-54) или (11-52). Если же вытеснение имеется
даже для первой гармоники (пгР<1 или b>l,86i), то из (11-60)
следует:
Р _Р
РсПЯ Pcn.ll
(11-61)
Гармонические составляющие реальных кривых напряжения на
индуктивности обычно начинают быстро уменьшаться, начиная
с некоторого номера; тем более быстро уменьшаются члены
Vп(1 г./7спп)2. Это позволяет заранее ограничить число рассматри-
ваемых членов ряда. Например, при трапеции (см. рис. 11-2) это
номер Т/4т, где т — продолжительность подъема или спада тока;
при отрезках синусоиды (см. рис. 6-6,6) имеем 2л/(2л—4а)=Г/2т,
где т — продолжительность одной полуволны. Соответственно по ре-
зультату разложения тока пли напряжения на гармонические со-
ставляющие видны определяющие члены ряда, для которых следует
брать коэффициент Гг2 в (11-60).
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
ПОТЕРИ ОТ ЦИРКУЛИРУЮЩИХ токов
12-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Обмотки мощных трансформаторов и реакторов, как
правило, состоят из параллельно соединенных ветвей:
частей обмоток; групп катушек; катушек; транспониро-
ванных, подразделенных и простых проводов. Существен-
но неравномерное распределение тока по этим ветвям
может привести не только к заметному увеличению по-
терь и снижению КПД, но и к выходу трансформатора
или реактора из строя.
Казалось бы, для равномерного распределения тока
достаточно сделать параллельные ветви симметричными.
Однако выполнение их полностью симметричными часто
оказывается невозможным. Даже при симметричных
ветвях на принципиальной схеме в реальных обмотках
имеют место конструктивные и производственные откло-
нения. С увеличением мощности трансформаторов и
реакторов магнитное поле в области расположения об-
моток становится сильнее, растут число параллельных
ветвей и их сечение. При этом необходимо учитывать
факторы, которыми при меньшей мощности можно было
бы обоснованно пренебречь.
Имеется большое число публикаций с предложения-
ми новых более полных, точных и общих методов расче-
та токораспределения и добавочных потерь и новых схем
и конструкций транспозиций или других способов улуч-
шения распределения тока по ветвям. Тем не менее на
практике встречаются неожиданности, иногда выявляю-
щиеся лишь при испытаниях готовых изделий или в экс-
плуатации. Поэтому при расчете, конструировании и
испытаниях трансформаторов и реакторов необходимо
обращать особое внимание Ий«распределение тока.
Для расчета распределения тока полезно введенное
Ю. Н. Шафиром [12-1] понятие ранга ветви. К ветвям
первого (низшего) ранга относятся элементарные про-
вода. Группа параллельно соединенных элементарных
проводов, расположенных вместе на всей своей длине,
является ветвью второго ранга. Это, например, подраз-
деленный или транспонированный провод, непрерывная
обмотка, дисковая катушка или ход винтовой обмотки
из нескольких простых проводов. Несколько соседних
параллельно соединенных ветвей второго ранга, напри-
мер ход винтовой обмотки из двух или более транспо-
нированных проводов, непрерывная обмотка из ряда под-
разделенных проводов или группа параллельных диско-
вых катушек из подразделенного провода, образуют
ветвь третьего ранга и т. д. Как правило, чем ниже ранг
ветвей, тем более совершенной удается сделать их транс-
позицию между собой в пределах одной ветви более вы-
сокого ранга. Это во многих случаях позволяет разде-
лить расчет распределения тока по всем ветвям на ряд
более простых расчетов, начиная с ветвей высшего ран-
га. При расчете токов в ветвях данного ранга практи-
чески всегда принимается равномерным распределение
тока по ветвям более низкого ранга, т е в пределах
сечения каждой из отдельных ветвей данного ранга.
Иногда считается равномерным также распределение
тока по ветвям данного ранга в пределах каждой из
других ветвей более высокого ранга. Например, в вен-
тильной обмотке, состоящей из четырех частей, занима-
ющих каждая примерно по четверти высоты обмотки и
выполненных в виде винтовых обмоток, распределение
тока по параллельным проводам рассматриваемой одной
части рассчитывается при равномерном распределении
тока по сечению каждой из трех остальных частей. Та-
ким способом удается резко (в данном примере — почти
23—774 * 341
вчетверо) уменьшить число одновременно определяемых
неизвестных, и, несмотря на необходимость выполнять
расчет несколько раз, суммарная продолжительность
всего расчета резко сокращается.
В стандарте [1-3] потерями трансформатора от цир-
кулирующих токов названы потери от токов, наведен-
ных полем рассеяния и замыкающихся в параллельно
соединенных ветвях обмоток трансформаторов. По бо-
лее строгому определению, приемлемому и для реакто-
ров, потерями в обмотке от циркулирующих токов
следует называть сумму по всем ветвям обмотки про-
изведений квадратов токов ветвей, умноженных на элек-
трические сопротивления соответствующих ветвей по-
стоянному току, за вычетом квадрата суммарного тока
обмотки, умноженного на электрическое сопротивление
этой обмотки постоянному току (см. § 10-2):
<7=1 ?=1 \=1 ' \=1 '
(12-1)
где q—-номер ветви; п — число ветвей в обмотке. Иначе
говоря, это потери, вызванные отличием реального рас-
пределения тока по параллельным ветвям обмотки от
распределения тока обратно пропорционально электри-
ческим сопротивлениям ветвей постоянному току.
Способ определения потерь от циркулирующих токов
по выражению (12-1) после определения полных (ре-
зультирующих) токов ветвей называют методом резуль-
тирующих токов. Для расчета результирующих токов
каждая ветвь рассматривается как отдельная обмотка и
применяется непосредственно система уравнений много-
обмоточного трансформатора или его схема замещения.
При этом зазоры в стержне реактора заменяются фик-
тивными одновитковыми тонкими обмотками, нагружен-
ными на индуктивности, равные магнитным проводимо-
стям зазоров. Непосредственно на решении уравнений
основаны метод и программа расчета на цифровой
ЭВМ, разработанные и внедренные А. Г. Буниным и др.
[9-7]. Программа позволяет рассчитывать токи почти во
всех случаях, когда индуктивные сопротивления конту-
ров из пар соседних ветвей рассматриваемого ранга
больше активных, и в ряде случаев при соизмеримых
342
сопротивлениях. Принципиально возможно применение
метода также при малых индуктивностях упомянутых
контуров, но при этом погрешность расчета разностей
взаимных индуктивностей или индуктивностей рассеяния
соседних ветвей с другими ветвями и обмотками должна
быть заметно ниже указанных малых значений. Без
ЭВМ расчет по системе уравнений громоздок, и следует
рекомендовать упрощенные схемы замещения (§ 12-2).
Другой путь, называемый»- методом циркулирующих
токов, основан на использовании принципа наложения.
По нему (§ 12-3) необходимо определить ЭДС, наведен-
ные магнитным полем основных токов, в контурах, обра-
зованных параллельными ветвями; найти собственные и
взаимные сопротивления этих контуров; вычислить цир-
кулирующие токи и рассчитать потери от них. Как вид-
но, метод нагляден, но в общем случае из-за взаимного
влияния контуров циркулирующих токов друг на друга
не проще метода результирующих токов. Однако в ряде
важных случаев этот метод очень прост. Если ЭДС всех
контуров равны нулю, нет необходимости вычислять со-
противления, так как циркулирующие токи отсутствуют.
Поэтому метод удобен для поиска совершенных транс-
позиций. При этом по индукции магнитного поля в обла-
сти перестановки проводов видно, в какую сторону и на
какое расстояние следует сместить перестановку для
ликвидации ЭДС, рассчитанной в предыдущем варианте
расположения. Легко оценить с завышением циркули-
рующие токи, вызванные остающейся небольшой ЭДС,
если пренебречь индуктивными сопротивлениями конту-
ров и оставить только активные сопротивления ветвей.
Обычные размеры ветвей низшего ранга (рядом рас-
положенных элементарных проводов) невелики, и при
промышленной частоте согласно формуле (10-14) индук-
тивные сопротивления контуров меньше активных и не-
учет их не вносит заметной ошибки. При этом расчет
циркулирующих токов оказывается столь простым, что
для ряда конструкций обмоток выведены формулы по-
терь от осевой составляющей магнитного поля (§ 12-4).
Поэтому для ветвей низшего ранга применяется почти
исключительно метод циркулирующих токов. Наконец,
этот метод прост, если имеются всего две ветви, т. е.
один контур. При этом циркулирующий ток определя-
ется делением единственной ЭДС на комплексное сопро-
тивление контура. Таким способом можно быстро оце-
23* 343
Нить порядок циркулирующего тока во многих относгР
тельно сложных случаях.
Итак, для очень крупных удаленных друг от друга
ветвей, например параллельно соединенных половин
обмотки ВН при расщепленной на две части обмотке
НН; обмотки НН основного стержня и компенсацион-
ной обмотки бокового ярма в схеме по рис. 9-14; частей
обмотки НН в системе автобалансируемых обмоток
трансформатора по работе [10-3], кратко рассмотренной
в § 10-4, следует рекомендовать только метод результи-
рующих токов. В таких ветвях при приведении потерь
к расчетной температуре неправильно относить потери
от циркулирующих токов к обычным добавочным поте-
рям. Лучше всего не выделять потери от циркулирующих
токов из основных потерь, оговорив эту особенность
в технических условиях и программе испытаний.
Для мелких, тесно переплетенных ветвей, где индук-
тивные сопротивления контуров циркулирующих токов
меньше активных, практически всегда удобнее метод
циркулирующих токов. При частоте 60 Гц согласно фор-
муле (10-15) в эту группу заведомо попадают все слу-
чаи, когда суммарная (включая канал между ветвями)
толщина рассматриваемой пары ветвей меньше 2 см при
медном проводе и 3 см при алюминиевом.
Выбор метода расчета в промежуточных случаях,
при соизмеримых индуктивных и активных сопротивле-
ниях контуров, т. е. при сантиметровых размерах сече-
ния ветвей, определяется наличием программ, возмож-
ностями имеющейся ЭВМ и целями расчета. При мощ-
ной машине более удобен метод результирующих токов,
а при оценке вручную и особенно при анализе непред-
виденных опытных данных, поиске причин неравномер-
ности и разработке мер улучшения токораспределения—
метод циркулирующих токов. Например, при параллель1
ном соединении ряда дисковых катушек обычно удобнее
метод результирующих токов (см. [9-7] и пример
в § 12-2). Однако для расчета токов в регулировочных
дисковых катушках, особенно при «вмотанных» катуш-
ках, метод циркулирующих токов является более подхо-
дящим [12-2], а для анализа влияния неодинакового
расположения витков из-за разного выполнения «разго-
на» [12-3] —единственным приемлемым. Для многоходо-
вых многорядных винтовых обмоток мощных трансфор-
маторов успешно применяют оба метода [12-7, 12-11,
344
12-12]. При экспериментальном исследовании важным
преимуществом метода циркулирующих токов является
возможность сравнения промежуточных расчетных дан-
ных с измеренными (см. § 12-5).
12-2. ОЦЕНКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКА ПО СХЕМАМ ЗАМЕЩЕНИЯ
Схемы замещения полезны для наглядности расчета вручную
распределения тока по ветвям, насматриваемым как отдельные
обмотки. Кроме того, при числе ветаей более двух или трех, когда
расчет по полной схеме замещения или системе уравнений чрезмер-
но громоздок, схемы замещения могут помочь составить упрощенный
метод расчета.
Рис. 12-1. Трансформатор с расщепленной на две части обмоткой
НН при выполненной из двух половин регулировочной обмотке
(РО).
а — принципиальная схема с параллельным соединением половин РО (нере-
комендуемая); б — схема замещения при параллельном соединении половин
РО; в — д — варианты расположения концентрических обмоток; е — рекомен-
дуемая схема с последовательным соединением частей РО.
При расщепленной одной обмотке (например, НН) иногда пы-
таются соединить параллельно симметричные ветви регулировочной
части другой обмотки, расположенные вблизи частей НН. В дей-
ствительности при работе только одной части расщепленной обмотки
эти ветви находятся в существенно несимметричном магнитном поле.
Пусть нагружена только одна из двух частей обмотки НН; переклю-
чатель находится в положении, соответствующем отключенной регу-
лировочной части обмотки ВН; основная часть обмотки ВН состоит
из двух параллельно соединенных ветвей, расположенных напротив
частей НН (в верхней и нижней половинах окна трехфазного транс-
форматора или на двух стержнях однофазного трансформатора),
рис. 12-1,с. Для облегчения расчетов предположим, что соединение
половин регулировочной части обмотки (РО) на промежуточных
ответвлениях отсутствует; ток XX пренебрежимо мал, и непосредст-
венной магнитной связи обмоток двух половин трансформатора нет
345
(например, имеются боковые ярма или две половины выполнены
с разными магнитопроводами). Тогда пятиобмоточный трансформа-
тор по рис. 12-1,с можно рассматривать как параллельно соединен-
ные по сторонам ВН и РО независимые трехобмоточный и двух-
обмоточный трансформаторы с соответствующими схемами замеще-
ния (рис. 12-1,6), ГДе Zbh1==Kbh2=z0,5(Zk,bh1—ро1“|“^к,вн1—вв!
Zk.poI—вв1) ; _Zpol==Zpo2==JZi<,BBl-pol—2вп1‘г Лвв^Лнвь Согласно
этой схеме замещения приведенный ток регулировочных обмоток
будет:
^ВН1
Д>01 = I роз = I ви о/ ' (12-2)
_к, вд1-ро1
Соотношение сопротивлений ветвей схемы замещения и, следо-
вательно, соотношение токов определяется расположением обмоток.
Для концентрических обмоток числовые примеры для всех трех воз-
можных вариантов очередности расположения обмоток даны
в табл. 12-1. При этом принято: ток НН1 соответствует половине
номинальной мощности трансформатора (ДНн1=//вн=0,5); актив-
ные сопротивления отсутствуют; число витков регулировочной обмот-
ки составляет 10% числа витков обмотки ВН, ее номинальный ток
/пом.ро равен 105% номинального тока обмотки ВН на основном
ответвлении.
Таблица 12-1
Циркулирующий ток в регулировочной части обмотки
(примеры)
Параметр Вариант расположения обмоток
рис. 12-1, s; нн—ро—да рис. 12-1, г; РО-НН-ВН рис. 12-1, 3; НН-ВН-РО
Сопротивления КЗ пар об- моток, отнесенные к мощности трансформа- тора, 0/о вн-нн ВН—РО НН-РО 10 6 4 10 15 5 10 6 17
Сопротивление ветви ВН1 в схеме за- мещения, о/о 6 10 —0,5
/'роД'вн по формуле (12-2) 0,5 0,33 —0,042
1ро/HOMpOl 4,75 3,17 0,4
Как видно из табл. 12-1, при двух вариантах расположения
обмоток (по рис. 12-1,в и г) циркулирующий в РО ток в несколько
раз превышает номинальный ток ветви, т. е. схема по рис. 12-1,а
недопустима. При третьем варианте (рис. 12-1,д) ток половин РО
в среднем меньше номинального (40%), но необходим более деталь-
346
нв1й расчет с учетом параллельного соединения промежуточных
ответвлений РО, активных сопротивлений ветвей схемы замещения,
суммирования циркулирующего тока РО с основным током, возмож-
ных отклонений размеров и положения обмоток. Эти вопросы не
возникают, если вместо параллельного соединения половин РО при-
мейить последовательное (рис. 12-1,е).
При обмотке, в том числе расщепленной, выполненной из ряда
параллельно соединенных катушек, часто удается составить неслож-
ную схему замещения даже при большом числе катушек. Для этого
по упрощенной картине магнитного поля строится схема магнитной
цепи, необходимая для определеви^дринципиального вида (графа)
электрической схемы замещения путем дуального преобразования
по методу § 5-3. Параметры ветвей схемы замещения определяются
не по чрезмерно упрощенной схеме магнитной цепи, а по сопротив-
лениям КЗ простейших парных режимов, для которых приемлем,
например, метод Роговского. Затем схема замещения используется
для расчета тока в катушках в сложных требуемых режимах.
Вывод схемы замещения и формул для расчета параметров всех
ее элементов, а также простые выражения для оценки токов в ка-
тушках сложного преобразовательного трансформатора при практи-
чески всех режимах его работы приведены в [5-1]. Расчет для
трансформатора, опытные данные которого приведены в [12-4], по-
казал, что этот метод дает близкие к измеренным значения токов.
Конечные формулы принимают особенно простой вид при двух кон-
центрических обмотках, одна из которых состоит из параллельно
соединенных катушек с одинаковыми диаметром и радиальным раз-
мером. Такие обмотки применяют, в частности, в электропечных
трансформаторах. При этом торцевые катушки перегружены:
, , 1 Г, d I 2 , d \1 , 1 / ,
Л — 1п — !£ п р +2/г П — п +nh J] п ( 1 +2/г )’
(12-3)
где d = (щ-Ьа^-Нг) /л—с; (12-4)
/у. — ток всей обмотки; alt а-2, а1г—радиальные размеры обмоток и
канала между ними; с — канал между соседними катушками; h —
высота одной из параллельно соединенных катушек вместе с поло-
винами прилегающих к ней каналов.
Указанная формула соответствует предположению, что на тор-
цевую катушку приходится часть hi длины средней магнитной сило-
вой линии, где hi — расстояние от воображаемого торцевого ярма
(соответствующего по положению высоте окна, вычисляемой по фор-
муле Роговского) до середины канала между торцевой и следующей
катушками (рис. 12-2,с). Соответственно ток q-fi катушки Iq при
неодинаковых каналах пропорционален расстоянию h,, между сере-
динами прилегающих к ней каналов [1-21]:
Iq=Ihq[l, (12-5)
где I — ток всей обмотки; I — длина магнитной силовой линии,
используемая при расчете индуктивности по формуле (9-9), причем
п .
2 hq~l-
4=1
347
При таком упрощенном подходе для оценки распределения тока
по катушкам подобных обмоток нет необходимости рисовать схему
замещения — достаточно пренебречь активными сопротивлениями и
вообразить магнитные эквипотенциали в серединах каналов. Такой
простой подход показывает путь выравнивания распределения тока
по катушкам. Например, чтобы ток торцевых катушек не превышал
существенно ток остальных катушек, достаточно сделать данную
Рис. 12-2. Трансформатор с параллельным соединением всех катушек
одной из обмоток.
а —' обмотки равновысокие; б — высота обмотки из параллельно соединенных
катушек увеличена.
обмотку более высокой, чем обмотка из последовательно соединен-
ных катушек, доведя ее высоту примерно до йОб/рр (рис. 12-2,6).
Ввиду отсутствия строгого обоснования и критериев допустимости
таких упрощенных методов оценки токов для окончательного ва-
рианта конструкции необходимы экспериментальная проверка или
расчет по методу [9-7] на ЭВМ.
Другие примеры использования схем замещения для оценки
распределения тока даны в {12-5, 12-6].
12-3. МЕТОД ЦИРКУЛИРУЮЩИХ ТОКОВ
Расчет циркулирующих токов состоит из трех
этапов:
1. Определение ЭДС (напряжений в разомкнутых
контурах) при отсутствии циркулирующих токов, т. е.
при равномерном распределении тока; эта ЭДС соответ-
ствует «напряжению холостого хода» по методу XX
и КЗ. При расчете ЭДС ветвь рассматриваемого контура
заменяют тонкой нитью — так называемой электрической
осью ветви [12-1], расположенной вблизи центра тяже-
348
сти сечения реальной ветви с небольшим сдвигом в сто-
рону более сильного магнитного поля. При одинаковом
наклоне эпюры поля у сечений обеих ветвей, образую-
щих контур, этот сдвиг не влияет на ЭДС в контуре
[12-Т] и обычно не учитывается. Часто с целью получе-
ния удобных для расчета контуров вводят дополнитель-
ную воображаемую ветвь с бесконечно большим сопро-
тивлением и называют ЭДС в.контуре из воображаемой
и данной реальной ветви ЭДС Манной ветви. Воображае-
мую ветвь можно располагать в любом месте, так как
добавление одинаковых величин к ЭДС всех ветвей не
может повлиять на циркулирующие токи.
Можно рассчитывать ЭДС через взаимньщиндуктив-
ности обмоток и тонкого витка. Такой подход особенно
удобен для бетонных реакторов [1-19], для которых
нормализованные шаги проводов по высоте и ширине,
обусловленные оснасткой, позволили составить альбом
таблиц взаимной индуктивности обмотки и ее витка.
Расчет успешно применялся для создания разнообраз-
ных схем намотки реакторов, обеспечивающих практи-
чески равномерное распределение тока, без обычного
ограничения схем равенством чисел витков параллельно
соединяемых ветвей.
В трансформаторах чаще вычисляют ЭДС через маг-
нитные индукции и потоки. Расчет магнитного поля вы-
полняется теми же методами, что и для определения
усилий и потерь от вихревых токов в обмотках, лишь
иногда — с большей точностью. В частности, при винто-
вых обмотках в крупнейших трансформаторах необходи-
мо учитывать сход винта и технологические отклонения
размеров и рассчитывать магнитное поле на нескольких
образующих по окружности при номинальных размерах
обмоток и возможных отклонениях [12-7]. В расчете
магнитных потоков контуров из ветвей мощных винтовых
обмоток иногда необходимо учитывать магнитные потоки
между ветвями отводов, в области межслоевых перехо-
дов и у перестановок (транспозиций) проводов [12-7].
Различают ЭДС от осевой и радиальной составляющих
магнитной индукции. Только радиальным (поперечным)
магнитным полем создается ЭДС в контуре из ходов
винтовой обмотки, или соседних соединенных параллель-
но одинаковых дисковых катушек катушечной обмотки,
или проводов простой либо многослойной цилиндриче-
ской обмотки. Только осевое (продольное) поле вызы-
349
вает ЭДС в контуре из параллельных проводов дисковой
катушки или одного хода винтовой обмотки. Во многих
случаях, в том числе при неодинаковых размерах парал-
лельно соединяемых ветвей имеется ЭДС от обеих со-
ставляющих поля. Например, в параллельно включен-
ных дисковых катушках появляется ЭДС от продольного
поля, одинакового в области расположения рассматри-
ваемых катушек [12-3] —см. далее рис. 12-4 и формулу
(12-19).
2. Определение собственных и взаимных сопротивле-
ний контуров циркулирующих токов при отсутствии ка-
ких-либо источников; собственные сопротивления конту-
ров ZK соответствуют «входным сопротивлениям» или
«сопротивлениям КЗ» по методу XX и КЗ. Вместо вза-
имных сопротивлений контуров обычно вычисляют сопро-
тивления КЗ всех пар ветвей обычными методами и
соответственно записывают систему уравнений для опре-
деления токов. При этом часто достаточно оценить по-
рядок значений индуктивных сопротивлений КЗ пар
ветвей и рассчитать лишь активные сопротивления вет-
вей, практически всегда принимаемые равными их элек-
трическим сопротивлениям постоянному току. Хотя
в принципе возможны значительные вихревые токи, на-
веденные магнитным полем циркулирующих токов, на
практике такие случаи еще не встречались.
<3. Определение циркулирующих токов решением си-
стемы уравнений. Например, при одной группе из п па-
раллельных ветвей (при двух узлах) система содержит
п—1 уравнение вида
^-^>=2 (12-6)
Г=2
где Uq — ЭДС в контуре из произвольно выбранной ба-
зисной и q-Й ветвей; L'i— ЭДС в контуре из той же ба-
зисной и 1-й ветвей; q, р=2, 3, ..., п — номера ветвей;
1цр — циркулирующий ток ветви р\ Zigp=0,5(ZKig-|-
+ZK1P—ZKqP); Zkiq, Zkip, Zvqp — сопротивления КЗ соот-
ветствующих пар ветвей.
При двух ветвях (п=2) имеем:
/ц=(Йг—[7i)/Zki2. (12-7)
При трех ветвях (п=3) система двух уравнений ре-
шается относительно несложно, при п>3 в общем слу-
чае расчет громоздок,
35Q
Если схема замещения для циркулирующих токов
может быть представлена в виде п-лучевой звезды,
в частности если взаимные индуктивности всех пар вет-
вей рдинаковы, можно с успехом применить метод узло-
вых потенциалов. При двух узлах имеем:
(12-8)
где — сопротивление ветви q в звездообразной схеме
замещения, _Zg=0,5(ZKQP4-ZK(2m—ZI!om), причем выбор
номеров р и т не влияет на Zq. Особенно прост расчет,
если можно пренебречь индуктивными составляющими
сопротивлений и считать одинаковыми активные сопро-
тивления всех ветвей rq=r. Тогда
^=4 £4- <1М>
<2=1
На этом выражении основан вывод множества из-
вестных формул для расчета потерь от несовершенства
транспозиций (см. § 12-4).
При расчетах или выводе формул удобно брать за
базу воображаемый тонкий провод, занимающий во всех
витках положение первого провода в первом витке или
же положение точки перехода через нуль эпюры осевой
индукции. Среднюю ЭДС в обмотке с одинаковым сум-
марным сечением всех витков можно подсчитывать не-
зависимо от схемы транспозиции.
Рассмотрим несколько примеров. Две соединенные
параллельно одинаковые двойные дисковые катушки
расположены рядом (рис. 12-3,а) или «вмотаны» («вло-
жены») друг в друга (рис. 12-3,6). Они находятся в маг-
нитном поле синусоидальных основных токов с дейст-
вующей радиальной индукцией от Bi=0,015 Тл до В2=
=0,025 Тл (рис. 12-3,в). Провод марки ПБ 2,83X12,5
с изоляцией 0,45 мм сечением S=35 мм2; витков в каж-
дой одинарной катушке щ=15; радиальный размер а=
=50 мм; каналы с=6 мм (включая изоляцию провода);
частота 50 Гц; температура 75°С; плотность основного
тока /Осн=3 А/мм2; средний диаметр £>=1 м; коэффи-
циент заполнения сечения катушки медью k06=Sw/аЬ =
=0,84.
351
Для расчета ЭДС, вызывающей циркулирующий ток,
необходимо определить потокосцепление контура этого
тока с магнитным полем, созданным основными токами.
В случае рис. 12-3,а магнитный поток всех трех каналов
между одинарными катушками сцеплен с контуром со-
гласно, причем поток в среднем сцеплен с двумя катуш-
ками, т. е. с числом витков 2w. В случае рис. 12-3,6 по-
q 0 q 0 q
Рис. 12-3. Две параллельно соединенные двойные дисковые катуш-
ки, находящиеся в радиальном магнитном поле.
а — катушки расположены рядом; б — катушки вмотанные; в — эпюра ра-
диальной индукции магнитного поля основных токов; г, д — эпюры МДС цир-
кулирующего тока катушек по рис. 12-3,а н б соответственно.
(12-10)
ток в среднем канале не сцеплен с контуром, а потоки
крайних каналов дают потокосцепления разных знаков.
Заменив провода их электрическими осями, получаем
соответственно:
для рис. 12-3, а
Еа = cottDw (b + с) • 4ВС|);
для рис. 12-3,6
Е6 — ючг Dw (b -|- с) ДВ,
где ВСр — средняя индукция в каналах, Bcp=0,5(Bi-|-
-j-B2); AB — разность средних индукций в крайних ка-
налах, (2b+2c)/(4b+3c).
Активное сопротивление контура в обоих случаях
будет r=4nD®p/S. Индуктивное сопротивление, соответ-
ствующее эпюрам МДС по рис. 12-4,г, д, при простей-
шей аппроксимации коэффициента Роговского
= 1—т/ла, где т — ширина эпюры МДС, выражается
формулами:
Ха. б = \ бРр. а, б’ С12’1 О
Aa^4(c+24*+24)=’4(4fc + 4c);
= 2(c + 2-|-) = -^-6-|-2c; (12-12)
ppa=1-sr(4fe + 3c); Pp^l-SF^+c). (12-13)
Полное сопротивление контура г— )Av2-p r\ циркули-
рующий ток I^=E/z, его аргумент <p4=arctg (r/x). Для
расчета плотности тока 7ц=/ц/5 и удельных потерь рц
не требуются диаметр D, число витков w и сечение про-
вода S. Из (12-10) — (12-13) следует:
Е Е vmDw (Ь + с) ВсрКвя
ц «S — Sx К1 + (г/х)2 ~ ScoM,0w2nDAppKr
^ЕсрКв (1JH7&).
Ро^сб^СгЛрр
V __л. v ____В2 — В1 2Ь+2с
^Ва Лвб~- вср 46 +Зе ;
д-УШм
г 4р
X Рр
(12-14)
(12-15)
(12-16)
(12-17)
Потери от циркулирующих ТОКОВ в долях основных
потерь составляют Дц=(/ц//осн)2, но в одной из кату-
шек потери могут быть намного больше. Если индукция
Bi, В2 совпадает по фазе с основным током, то
tgZ-(jOcH, /ц)=г/х и относительные потери в более на-
груженной катушке будут:
(ИГА+г- АУ+W- -Г АГ (12’18)
\JOQH / \ Аг JOCH J \Аг Л- JOCH /
Результаты расчета для данного примера приведены
в табл. 12-2.
Очевидно, вариант цо рис. 12-3,а, в котором потери
в одной катушке в 2,5 раза больше основных, неприго-
ден для реализации, вариант по рис. 12-3,6, где макси-
мальные потери вдвое меньше, приемлем при наличии
некоторого запаса по нагреву.
353
Таблица 12-2
Пример расчета потерь от циркулирующих токов
Параметр Расчетная формула Вариант схемы по рис.
12-3, а 12-3, б
Д, мм (12-12) 103 29
Рр (12-13) 0,57 0,8
г/х (12-17) 0,35 0,88
Кг (12-16; 1,06 1,33
«в (12-15) 4,0 0,27
Уц, А/мм2 УСц (12-14) 1,8 0,32
(Уц/Ёс,,)2 0,36 0,01
(Упгах/Уосн) (12-18) 2,5 1,25
В случае неодинаково выполненных параллельно со-
единяемых катушек необходимо учитывать ЭДС от осе-
вой составляющей индукции [12-3]. Если в области рас-
положения рассматриваемых двух катушек (рис. 12-4,а)
Рис. 12-4. Две соединенные парал-
лельно неодинаково выполненные
одинарные дисковые катушки (я)
в магнитном поле с треугольной
эпюрой осевой индукции (б).
эпюра осевой индукции поля основных токов одинакова
и имеет вид треугольника шириной а, то в контуре из
этих катушек наводится ЭДС:
Ё— (ш V ^тах Xql + Хдг (х —х \r.Dql + Dqi —
J а 2 Х<Р' * 2
«=1
(W W \
9=1 ?=1
где xqi и xq2 — координаты витков номер q в первой и
второй катушках; Dq\, Dq%— диаметры этих витков; £)—
354
Ьредний диаметр катушек; Втах— наибольшая осевая
действующая индукция.
Расчет сопротивления контура и циркулирующих то-
ков с числовым примером имеется в [12-3].
Г
12-4. ПОТЕРИ ОТ НЕСОВЕРШЕНСТВА ТРАНСПОЗИЦИИ
В ВИНТОВЫХ И КАТУШЕЧНЫХ ОБМОТКАХ
В винтовых, непрерывных, дисковых и подобных им
обмотках из обычного провода,^Ёли параллельные про-
вода размещены в виде стопки (пучка, хода) в радиаль-
ном направлении, циркулирующие токи вызывает только
осевая составляющая поля рассеяния. При концентриче-
ских обмотках эпюра этой составляющей имеет вид
треугольника или трапеции по ширине сечения обмотки
и может быть принята неизменной по ее высоте. Тогда
средняя магнитная индукция в контуре из электрической
оси данного провода и базисной ветви, занимающей, на-
пример, положение первого провода в первом витке и не
транспонируемой, выражается через номера мест, заня-
тых проводом на каждом участке между транспозиция-
ми (перестановками) проводов. Номера мест при данной
схеме транспозиций связаны с номером провода. По ин-
дукции, номерам мест и длинам участков между транс-
позициями находится ЭДС каждой ветви.
Небольшие размеры сечения проводов позволяют
пренебречь индуктивной составляющей сопротивлений
контуров циркулирующих токов и различием длин па-
раллельных проводов. При этом следует использовать
метод узловых потенциалов в простейшей форме (12-9).
Необходимую для расчета токов среднюю ЭДС мож-
но вычислять не только суммированием ЭДС всех ветвей
в реальной схеме, но и суммированием ЭДС при отсут-
ствии транспозиции, так как сумма по всем участкам
и всем проводам от схемы транспозиции не зависит.
В частности, в винтовой обмотке, находящейся в создан-
ном ее же током осевом магнитном поле (рис. 12-5,а),
при отсутствии транспозиции ЭДС q-ro провода Uq,
определяемая потоком Фд между q-'л и базисным (пер-
вым) проводами, составляет:
U^^^^Dwb^q- 1)2* B^^K^q- I), (12-20)
где Втах—-наибольшая осевая действующая индукция,
Bmax^^oJocnbrikoe; b — толщина провода; йИз— толщина
провода с изоляцией, равная расстоянию между элек-
355
трическими осями соседних проходов; ^об — коэффициент
заполнения обмотки в осевом направлении; Ки — коэф-
фициент, равный:
тг ___ '•>V‘0^Dwbll3bko^Jo(.a
Ли~ 2п 2
Тогда средняя ЭДС
Рис. 12-5. Сечение витка винтовой обмотки, находящейся в создан-
ном ее же током осевом магнитном поле, (а) и схема обмотки при
ошибке в расположении общей транспозиции (б).
Далее остается для каждой ветви вычесть среднюю
ЭДС из ЭДС ветви, возвести результат в квадрат, раз-
делить его на электрическое сопротивление ветви и про-
суммировать полученные потери по всем ветвям.
Потери от циркулирующих токов часто удобно отно-
сить к основным потерям росн или к средним потерям от
вихревых токов рЕ в проводах этой же обмотки. При
треугольной эпюре индукции имеем:
К ГМ2
UcJ ИОа-р/еен J Р \ Ь ) 1
(12-23)
356 '
или
£^-9 (М>(<7> «)^о-2-. (12-24)
где Р = Y VK» ; рв=4“ ₽4"2 (1 ~ i)
f(q, п) —функция, вид которбй^ависит от схемы транс-
позиции; например, в винтовой обмотке без транспози-
ций согласно (12-20) и (12-22)
и и п2 — 1
f (9, = 7- ~ (12-25)
Например, необходимо оценить потерн при ошибоч-
ном расположении общей транспозиции винтовой обмот-
ки не в середине ее длины (рис. 12-5,6). Для подобных
расчетов удобна табличная форма записи (табл. 12-3).
На участке Wi (до транспозиции) согласно (12-20)
имеем U\q=Kvq(q—\)w\/w (см. столбец 2). После
транспозиции с/-й провод занимает место п—</4-1 и
ЭДС на участке W2 (после транспозиции) равна Uzq=
=Ки(п—g-f-1) (п—q)wz/w (столбец 3); ЭДС q-й ветви
Uq—Uiq+Uzq (столбец 4). Среднюю ЭДС ветви Ucp
целесообразно подсчитать дважды (для проверки): сум-
мированием данных столбца 4 и независимо по формуле
(12-22). Далее, вычитая Ucv из Uq, в каждой строке по-
лучаем kU—Kuf^q, п) (столбец 5). Расчет удобно вести
в относительных единицах, указывая в таблице напря-
жения, деленные на коэффициент Ки. Расчет при п—6;
Wi—0,4 ш; щ2=0,6щ дан в табл. 12-3. Затем остается воз-
вести f(q, п) в квадрат (столбец 6), просуммировать
результаты, найти среднее значение ^(q, п) и подсчи-
тать средние потери от циркулирующих токов. Напри-
мер, при &п3=4,3 мм, ft—3,8 мм и £об=0,6 имеем
р = = 0,287; Дц,ср = 0,2874- (4,3/3,8)2 -10,4 =
=0,09—9%. Попутно можно найти наибольшие местные
потери (в первом проводе): Дщ =9%-40,0/10,4=35%.
Средние потери от вихревых токов в этой обмотке со-
ставляют рв/росп= 4~,0j2874-62=0,027=2,7%, т. е. зна-
чительно меньше потерь от циркулирующих токов.
Для основных схем обмоток при указанных допуще-
ниях выведены выражения средних потерь от циркули-
Таблица 12-3
Пример расчета потерь при ошибке в выполнении
транспозиции
и1<1 к и к fl<i. п) №, «)
1 2 3 4 5 6
1 0 18,0 18,0 6-, 33 40,0
2 0,8 12,0 12,8 1,13 1,3
3 2,4 7,2 9,6 —2,07 4,3
4 4,8 3,6 8,4 —3,27 10,7
5 8,0 1,2 9,2 —2,47 6,1
6 12,0 0,0 12,0 0,33 0,1
Среднее значение — — 70 -6=11,67 0 62,5 6 -10’4
рующих токов. Сводки формул имеются в [11-4, 11-5,
12-8, 12-9]. Особенно удобна предложенная А. П. Даче-
вым [12-8] общая формула для ряда схем транспозиций
винтовых обмоток
где пгр — число групп проводов в групповых транспози-
циях (при транспозициях де Бюда и Дачева это число
совпадает с числом участков между транспозициями),
в частности Пгр=1 при одной общей транспозиции в се-
редине обмотки (рис. 12-6,6), нгр=2 при транспозиции
Палуева (рис. 12-6,в), пГр=4 при транспозиции де Бюда
(рис. 12-6,а, д), «гр=8 при транспозиции Дачева с во-
семью участками (рис. 12-6,е); при отсутствии транспо-
зиции (рис. 12-6,а) условно принимается пГ1,='/2.
Эта же формула пригодна для непрерывной обмотки
с общими транспозициями на переходах между катуш-
ками (пгр=1). В таких обмотках практически всегда
можно выполнить совершенную транспозицию [12-9].
Формулы для ряда видов обмоток без транспозиций
имеются в [Н-4]. Здесь они не приведены, так как для
оценки потерь при отсутствии транспозиций всю группу
соседних параллельных проводов можно заменить од-
ним проводом суммарного сечения и применить формулы
потерь от вихревых токов.
Рис. 12-6.
Примеры схем транспозиции проводов в одноходовой винтовой обмотке
с —без транспозиции; б —общая транспозиция-
нения транспозиции де БюдаГГ-^ТнсиоХ^ Даие^рГХм"^^
Все транспозиции, показанные на рис. 12-6,6—е, со-
вершенны по отношению к равномерному осевбму маг-
нитному полю. Поэтому выражение (12-26) пригодно и
в случаях, когда обмотка, имеющая транспозицию, рас-
положена между другими обмотками и находится в их
магнитном поле.
В мощных трансформаторах рекомендуется немного,
на 0,5—2% числа витков -обмотки, увеличивать длину
участков, прилегающих к торцам обмотки (т. е. сдвигать
транспозиции к середине обмотки), примерно обратно
пропорционально средней на участках осевой состав-
ляющей индукции.
В транспозициях Налуева и де Бюда, как правило,
выполняют одну общую и две групповые транспозиции
проводов (рис. 12-6,в, г), а не одну групповую и две
общие (рис. 12-6,6), так как в первом случае меньше
вероятность замыкания параллельных проводов и ниже
трудоемкость. Однако согласно [12-10] второй вариант
(рис. 12-6,6) предпочтительней как менее чувствитель-
ный к снижению осевой индукции у торцов обмотки.
Любую транспозицию можно повторять в- обмотке
неограниченное число раз. Как правило, дважды повто-
ряют равномерно распределенную транспозицию Хобар-
та, применяемую в двухходовых и многоходовых винто-
вых обмотках, - чтобы уменьшить циркулирующие'токи,
вызванные неравномерностью магнитного поля по высо-
те. На практике для удобства контроля правильности
выполнения равномерно распределенных транспозиций,
как правило, выполняют п перестановок вместо п—1 и
уменьшают вдвое длину первого и последнего участков
(рис. 12-6,ж). При этом положение каждого провода
в конце обмотки совпадает с его положением в начале.
С аналогичной целью можно было бы повторить пере-
становку проводов, применяемую в" середине обмотки,
в схемах по рис. 12-6,6—е, но в этих случаях были бы
неоправданно велики потеря места и увеличение трудо-
емкости.
При наиболее распространенных транспозициях Па-
луева (рис. 12-6,в) и де Бюда (рис. 12-6,г) желательно,
чтобы число проводов (во избежание ошибок) было со-
ответственно четным и кратным 4. Схемы и расчет по-
терь при произвольном числе проводов есть в [12-10].
Если число проводов кратно 3, можно рекомендовать
предложенные А. П. Дачевым схемы с двумя сосредото-
ченными транспозициями проводов [12-9].
12-5. ОСОБЕННОСТИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
ТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Для измерения токов в параллельных ветвях обмоток
можно рекомендовать серийно выпускаемые токоизмери-
тельные клещи, например типа Ц-91, или разработанные
М. А. Рогацкиным клещи, содержащие жесткий магнит-
ный потенциалометр (разрезанный на две части жесткий
пояс Роговского) [12-13]. Ерл^ клещами не удается
охватить нужную ветвь, можно применить гибкий пояс
Роговского. Желательно измерение проводить дважды,
переворачивая клещи или пояс или хотя бы снимая и
заново устанавливая их, ввиду возможного неполного
закрытия клещей или неаккуратной установки пояса,
а также влияния внешнего магнитного поля. Для иссле-
дования токов при небольшом числе ветвей удобны
амперметры или шупты с милливольтметром, обеспечи-
вающие значительно более высокую точность измерения.
При малом числе витков в параллельных ветвях при
измерении возможно перераспределение тока из-за
влияния сопротивления, вносимого прибором. При раз-
работке и установке временных отводов и закоротокдля
измерений следует обращать особое внимание на воз-
можную зависимость распределения тока от их поло-
жения.
Обычно измерения токораспределения необходимы,
в первую очередь, для выявления роли факторов, не
учтенных проектантом, отклонений реального устройства
от идеализированного, в частности отличий чертежей от
принципиальной схемы и фактических размеров от рас-
четных. Поэтому измерение токов в ветвях целесообраз-
но проводить при квалификационных, типовых и перио-
дических испытаниях. Исследование на аналогичной кон-
струкции или даже масштабной физической модели не
может полностью заменить натурные испытания. Изве-
стны случаи, когда опасные циркулирующие токи появи-
лись лишь в первом или даже последующих экземпля-
рах трансформаторов [12-3]. При заметных циркули-
рующих токах, обусловленных случайными отклонения-
ми размеров, например, в тороидальном реакторе [1-21],
измерения этих токов входят в приемо-сдаточные испы-
тания и являются одним из основных способов проверки
качества изготовления изделия.
При выявлении неожиданно неравномерного распре-
деления токов целесообразно; 1) освободить исследуе-
24—774 361
мне контуры от основного тока, если это возможно (на-
пример, в регулировочной части обмотки); уменьшить
число исследуемых контуров, желательно до одного,
если разрыв этих контуров не изменяет принципиальную
картину; 2) измерить напряжение (ЭДС) в исследуемых
контурах при их разрыве (если в них нет основного
тока); в случае исследования токов в одинаковых по се-
чению параллельных проводах основной части обмотки
можно включить их последовательно и измерить напря-
жение на каждом из них в опыте КЗ при замкнутой
накоротко всей обмотке; 3) измерить полное сопротивле-
ние исследуемых контуров. На каждой стадии результа-
ты измерений должны сравниваться с данными предва-
рительных расчетов для выявления расхождений и уточ-
нения дальнейшего плана исследований (например, воз-
можны: обмер геометрических размеров частей обмотки,
измерение индукции поля рассеяния, определение фаз
токов или напряжений). Для возможности методичного
исследования желательно разрезать соединения парал-
лельных ветвей. Попытки устранить циркулирующие то-
ки без выяснения их причин обычно бывают безуспеш-
ными.
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
ПОТЕРИ В МАССИВНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИИ
13-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
«Массивными» при электромагнитных расчетах назы-
вают детали, толщина которых больше «глубины про-
никновения» переменного магнитного поля (см. § 2-5).
Эта глубина при частоте 50 Гц равна примерно 1 см для
меди, 1,3 см для алюминия и 0,7—1,5 мм для конструк-
ционной стали. Следовательно, практически все сталь-
ные детали конструкции мощных трансформаторов (бак,
ярмовые балки, прессующие кольца, стяжные шпильки)
являются массивными. Радиус кривизны поверхности
этих деталей почти всюду (кроме небольших областей
у кромок и углов) значительно больше глубины проник-
новения. Поэтому поверхность деталей при расчете по-
терь в них можно считать плоской и использовать про-
стейшие выражения из § 2-5
Р =k г Н2 = -У п'д-; д = “Фп д=К2 г Нп л, (13-1)
1 п п1Х п, д 9^ ’ п,д г п ii, л.7 \ /
§62
(13-2)
ФР-фР'/'ЭК
от напря-
плотности
СВОДИТСЯ
детали —
ГДе
Р . S
Гп g > s
гп—поверхностное сопротивление; Рп — удельные поте-
ри на единицу поверхности; Яп,д и Еп,ц— действующие
тангенциальные напряженности магнитного и электри-
ческого полей у поверхности, детали; ФП1Д — действую-
щая линейная плотность мйгййтного потока в детали;
kv —коэффициент, равный 1,0 для неферромагнитных
материалов и 1,1—1,2 для конструкционной стали (см.
рис. 2-8,6); Цгэк — эквивалентная (см. § 2-5) относитель-
ная магнитная проницаемость; для неферромагнитных
материалов р,гак=1,0, для стали цгэк зависит
женности поля у поверхности или от линейной
магнитного потока (см. рис. 2-8,6).
Таким образом, задача расчета потерь
к определению магнитного поля у поверхности
тангенциальной напряженности или линейной плотности
потока, вычислению удельных потерь по формулам
(13-1) или с помощью кривых рис. 2-8,а и интегриро-
ванию этих потерь по всей поверхности детали. Обзор и
систематизация методов расчета поля на цифровой ЭВМ
с учетом влияния на него крупных проводящих деталей
имеются в [8-6]. Ряд методов указан в [8-21]. Ниже
рассмотрены простейшие методы, приемлемые для расче-
та вручную. Расчет на ЭВМ требует ряда серьезных до-
пущений, особенно в отношении формы деталей. Поэто-
му определение поля с помощью математической модели
,на электропроводящей бумаге (позволяющей учесть
сложную форму сечения детали, например, прессующего
кольца или ярмовой балки) и последующая простейшая
оценка потерь вручную могут дать не менее точные ре-
зультаты, чем расчет на мощной цифровой ЭВМ. Часто
удовлетворительную точность обеспечивает простейшее
математическое моделирование поля в электролитиче-
ской ванне или на электропроводящей бумаге при бес-
конечно большой электрической проводимости или маг-
нитной проницаемости материала детали или даже рас-
чет магнитного поля при отсутствии детали (Но или Ео)
с последующим упрощенным учетом ее влияния на поле
с помощью коэффициентов Кн или Кн (см. рис. 2-12):
На=НоЕн иди Eti=EoEe- (13-3)
24* 363
Легко учесть влияние Детйли, имеющей широкую
плоскую поверхность. При бесконечной магнитной про-
ницаемости или электрической проводимости деталь
можно заменить отражением токов, создающих магнит-
ное поле, от ее поверхности, причем отраженные токи
в первом случае направлены согласно реальным токам,
а во втором — встречно. Соответственно у поверхности
детали отсутствуют тангенциальная напряженность маг-
нитного поля или нормальная магнитная индукция и
тангенциальная напряженность электрического поля.
При этом если вблизи нет других деталей, отражающих
поле, то имеющиеся составляющие напряженностей и
индукции вдвое больше, чем были в этом же месте при
отсутствии детали. Например, введение медного или
алюминиевого электромагнитного экрана при частоте
50 Гц приводит к удвоению касательной напряженности
магнитного поля (Кн=2) из-за магнитного поля вихре-
вых токов, а введение магнитного экрана из полос ли-
стовой электротехнической стали — к удвоению нор-
мальной индукции, магнитного потока и касательной
напряженности электрического поля (КЕ=2) из-за намаг-
ниченности стали экрана.
При конечных магнитной проницаемости и электри-
ческой проводимости необходимо решить, к какому из
крайних случаев ближе реальная деталь. Строгое реше-
ние имеется для пространственно-периодического (гар-
монического) поля (см. § 2-5). Критерием здесь может
являться коэффициент
s=z/2"/27t5|xr%0,25A/8pr, (13-4)
где X — пространственный период поля; если поле перио-
дично в двух направлениях с длинами волн hy и Zz, то
/.~/.!y/.z(Z2y-|-Z2z)^0’5, т. е. размер X близок к меньшей из
длин волн. Согласно данным рис. 2-12, если е>1, т. е.
0,25Х>6рг, имеем Кп>1, т. е. деталь по ее влиянию на
поле ближе к электромагнитному экрану; если е<1,
т. е. 0,25Х<6цг, имеем Ке>1, т. е. деталь ближе к маг-
нитному экрану. При частоте 50 Гц и относительной маг-
нитной проницаемости конструкционной стали 150—
1500 этому критерию соответствует период поля 1,5—
5 м. Следовательно, стенка бака крупного трансформа-
тора близка по ее влиянию на магнитное поле к элек-
тромагнитному экрану, а остальные детали — к магнит-
ному. Соответственно расчет потерь в баке обычно целе-
364
сообразно основывать на тангенциальной напряженности
магнитного поля и кривой Кн по рис. 2-12 (см. § 13-2),
а в других стальных частях — на попадающих в них
магнитных потоках (см. § 13-3). При упрощенном моде-
лировании эти части следует представлять как магнит-
ные экраны, имеющие бесконечно большую магнитную
проницаемость.
Часто применяется следующий расчетный прием. На
первой стадии рассчитывается- среднеквадратичное зна-
чение напряженности поля у поверхности детали или ли-
нейной плотности потока в ней. По этому значению
определяется средняя магнитная проницаемость материа-
ла детали, необходимая для уточнения влияния детали
на магнитное поле, а затем и средние удельные потери.
Полные потери в детали равны произведению средних
удельных потерь на площадь поверхности, по которой
вычислялось среднеквадратичное значение. Для среды
с постоянной магнитной проницаемостью этот прием не
вносит ни облегчений, ни дополнительной погрешности,
а для стали резко упрощает расчет, но является прибли-
женным. Например, если в области, занимающей 10%
поверхности детали, имеется поле НП1!1=Ъ кА/м, а на
остальной поверхности—1,5 кА/м, то среднеквадратич-
ная напряженность равна (0,1 - 5а-Ь 0,9 -1,52) °’Б=
—2,13 кА/м. Указанным трем значениям действующей
напряженности соответствуют амплитуды эквивалентной
первой гармоники 7,1; 2,1 и 3,0 кА/м и (по кривой
гп, эк рис. 2-8,6) значения rn>SK ^=100; 170 и 140 мкОм.
Расчет интегрированием потерь дает средние потери
0,1 • 52 • 100+0,9 • 1,52 • 170=590 Вт/м2, а по среднеквадра-
тичной напряженности 2,132-140=630 Вт/м2, т. е. на 7%
больше. Погрешность может быть более заметной лишь
в практически не важной области вблизи максимума
магнитной проницаемости, при //л,д порядка 300 А/м и
средних потерях порядка 20 Вт/м2. Опыт показывает,
что указанный прием не только заметно облегчает рас-
чет, но и приводит к взаимной компенсации различных
погрешностей и снижению роли некоторых допущений.
Ввиду разнообразия форм деталей и видов картины
магнитного поля разработано много частных методов
расчета потерь. Ниже в качестве характерных примеров
рассмотрены потери в стенке бака (§ 13-2) и прессую-
щем кольце (§ 13-3). По их типу можно строить методы
расчета потерь и для других случаев.
365
13-2. ПОТЕРИ В СТЕНКЕ БАКА
Расчет потерь в стенке бака согласно [2-24 и 13-1] состоит из
четырех этапов: 1) по конструкции трансформатора и токам обмоток
определяют поле в воздухе для трансформатора со снятым баком
Но; 2) по Но и коэффициенту Ни находят касательную составляю-
щую напряженности магнитного поля на внутренней поверхности
бака На; 3) по Нп и активному поверхностному сопротивлению ма-
териала бака гв находят потери на единицу поверхности Р„;
4) общие потери определяют суммированием удельных потерь Ра
по поверхности бака.
Такой подход дает возможность экспериментально проверять
промёжуточные величины и вводить различные упрощения на разных
этапах. Например, на первом этапе вместо расчета поля во многих
точках бака при равномерных равновысоких обмотках можно про-
стейшим способом рассчитать лишь наибольшую касательную на-
пряженность — осевую напряженность на уровне середины обмотки
и принять, что по высоте бака такая напряженность имеет место
в пределах высоты обмотки, а далее поле отсутствует {13-1].
В [2-13 и 13-2] эпюра поля вдоль координаты по высоте представ-
лена в форме суммы тригонометрического ряда. Согласно [13-3,
13-4] результаты детальнейшего расчета представляются в виде
одного числа — среднеквадратичной касательной напряженности маг-
нитного поля по всей учитываемой поверхности бака. Это позволяет
заменять и уточнять метод расчета поля независимо от других эта-
пов расчета.
Для определения коэффициента влияния бака на магнитное
поле стенку считают плоской, поле — пространственно-периодиче-
ским. Период по высоте в '[13-1] принят равным примерно учетве-
ренной высоте обмоток, в {13-2, 13-3]—удвоенной; период по пе-
риметру в [13-1, 13-3] равен действительному периметру П в одно-
фазном трансформаторе и 0,75/7 в трехфазном; в [13-2] периодич-
ность по периметру бака для простоты не учитывалась. Во всех слу-
чаях используют эквивалентную магнитную проницаемость стали;
коэффициент влияния вычисляют по выражениям (2-71) и (2-72)
или аналогичным им с учетом [13-1] или без учета [2-13, 13-2, 13-3]
отличия коэффициента от единицы. Зависимость Кн от е приве-
дена на рис. 2-12. В качестве первого приближения для определения
магнитной проницаемости стали, входящей в выражение в (2-72),
рекомендуется /(и = 1,7 '[13-1] и 1,2 [13-3]. Обычно второго при-
ближения оказывается достаточно.
Произведение напряженности поля при отсутствии бака на ко-
эффициент влияния бака Ни согласно (13-3) дает напряженность
у стенки бака. По ней с помощью формулы (2-56) или кривой, на-
пример по рис. 2-8, определяют удельные потери. Наибольшей на-
пряженности соответствуют максимальные потери, среднеквадратич-
ной — средние. Поэтому суммирование потерь по поверхности бака
заменяют умножением средних потерь на эффективную площадь
стенки — ту же площадь, для которой определялась среднеквадра-
тичная напряженность {13-3]. При расчете вручную прн этом исполь-
зуют эффективный периметр бака {13-1, 13-2, 13-4], выражаемый
через реальные размеры бака. Например, при овальном баке ши-
риной Ds и межосевом расстоянии I этот периметр в однофазном
и трехфазном трансформаторах соответственно будет:
366
5
ПЭ1 = nD& 4- -у /; Пэя = JtZJg + 2/. (13-5)
При ряде дополнительных допущений на основе изложенного
подхода получена несложная формула потерь в баке [2 13, 13-5],
но практического распространения она не получила из-за ограничен-
ной области применения.
В [13-6] аналогичный подход успешно применен для расчета
потерь в стальной оболочке трехфазного токопровода. В этом слу-
чае пространственный период меньше '4*Л1. Поэтому вместо Н и Кн
использованы магнитный поток Ф и коэффициент Ке-
В [13-2] выражение поля в виде суммы ряда пространственных
гармоник применено для разработки метода снижения потерь в стен-
ке бака путем введения небаланса МДС по высоте обмоток. Для
Рис. 13-1. К снижению потерь в стенке бака реактора за счет не-
баланса МДС.
а — сечение реактора; б —его расчетная схема; в —эпюра линейной плотно-
сти тока (МДС) фиктивной обмотки, изображающей зазоры, при ее высоте,
равной высоте реальной обмотки; г — то же прн укороченной фиктивной
обмотке; д — то же с введением разрыва в середине фиктивной обмотки;
е — зависимость укорочения Д/Л, соответствующего отсутствию первой про-
странственной гармоники поля у стенки бака, от соотношения размеров fc/ft;
Ъ — расстояние от обмотки до стержня; h — высота обмоткн; 1 — реальная
обмотка; 2 — зазоры н фиктивная обмотка; 3— стержень; 4 — стенка бака;
5 — ярмовая балка; 6 — расчётная плоскость с ц-=оо.
вывода формул принят ряд допущений, сильно упростивших задачу:
поле в пространстве между баком и стержнем считается плоскопа-
раллельным; не учитываются ярмовые балки и прессующие кольца;,
реальная обмотка заменяется равномерной тонкой; высоты бака и
окна магнитопровода приняты равными удвоенной высоте обмотки;
торцевые ярма — широкие, магнитная проницаемость магнитопрово-
да считается бесконечной, а стенки бака — постоянной; немагнитные
зазоры, равномерно распределенные по участку стержня, заменяют-
ся тонкой фиктивной обмоткой. Прн этом вместо реактора
(рис. 13-1,а) получена расчетная схема по рис. 13-1,6. При равно-
высоких реальной и фиктивной обмотках (эпюра по рис. 13-1,в)
амплитуды гармоник их линейной плотности тока /л одинаковы по
размеру, но реальная обмотка ближе К баку, чем фиктивная. По-
367
этому ее магнитное поле сильнее и у стенки бака имеется первая
пространственная гармоника поля, создающая подавляющую часть
(80% и более) всех потерь в стенке.
Достаточно немного увеличить первую гармонику линейной плот-
ности МДС фиктивной обмотки, чтобы ее поле у стенки бака ском-
пенсировало первую гармонику поля реальной обмотки. Для этого
достаточно сделать фиктивную обмотку ниже реальной (рис. 13-1,г),
т. е. уменьшить зазоры в стержне вблизи торцов обмотки, но при
этом возникает заметная вторая пространственная гармоника поля,
ограничивающая снижение потерь. Можно ликвидировать эту гармо-
нику, введя разрыв фиктивной обмотки у ее середины (рис. 13-1Д).
Возникающая четвертая гармоника поля быстро затухает с удале-
нием от обмоток и поэтому практически отсутствует около бака,
если бак не слишком близок к обмоткам. Размер «укорочения» фик-
тивной обмотки, соответствующий полной компенсации первой гар-
моники поля, показан на рис. 13-1,е. Оптимальное «укорочение» не-
сколько меньше указанного: выгодно оставить небольшую часть
первой гармоники поля, но получить меньше потерь от второй н чет-
вертой гармоник. По измерениям в реакторе 30 Мвар переход от
равномерного распределения зазоров в пределах высоты обмоток
к распределению по рис. 13-1,г привел к снижению добавочных
потерь реактора с 73 до 32 кВт, потерь в баке—с 48 до 17 кВт,
заметному уменьшению температуры бака, прессующих колец и
ярмовых балок [13-2]. Метод успешно внедрен во всех мощных
стержневых реакторах.
Реализация данного метода в трансформаторах затруднена
из-за роста радиальной индукции во внутренней обмотке, усилий при
КЗ и добавочных потерь в ней, а также потерь в крайних пакетах
и нажимных пластинах стержня (в реакторах, имеющих радиальную
шихтовку стержня, эта проблема отсутствует).
Подробное исследование зависимости добавочных потерь в раз-
личных элементах трансформатора от разновысокости его обмоток
приведено в [10-4]; там же даны практические рекомендации.
йф
^- = В или ф = фл==0 +
13-3. ПОТЕРИ В ПРЕССУЮЩЕМ КОЛЬЦЕ
При относительно небольших размерах сечения стальной детали
расчет потерь в пей целесообразно основывать на касательной на-
пряженности электрического поля £п. Однако расчет и измерение
этой напряженности заметно сложнее, чем измерение нормальной
к поверхности магнитной индукции В. Именно нормальная индукция
относительно слабо зависит от изменения свойств и нелинейности
характеристик материала детали, вихревые токи влияют на нее зна-
чительно меньше, чем на касательные напряженности. Если направ-
ление замыкания магнитных потоков в детали известно, например
вдоль оси х, то из непрерывности магнитного потока следует:
X
Bdx. (13-6)
о
Для определения линейной плотности потока в начальной точке
(Фх-=о) следует использовать закон полного тока и условие отсут-
36§
бтёйя суммарного тока в детали
я
J H„dx — О,
о
(13-7)
где Н — периметр сечения детали.
Если магнитная проницаемость была бы постоянна, при сину-
соидальных величинах и одинаковой фазе магнитной индукции у всей
поверхности детали напряженность Ва пропорциональна линейной
плотности потока Ф. Тогда из
п п
о = J ф^х = ПфЛ=го + J
о
(13-6) ц (.13-7) получаем:
J В dx I dx,
.о J
откуда
Фх=о =
(13-8)
О
Это значение используется в качестве первого приближения. По
полученной согласно (13-6) эпюре Ф(х) с помощью выражения
(13-1) или кривых типа приведенных на рис. 2-8 строится эпюра
напряженности Н (х) и определяется ее среднее значение по пери-
метру П. Если это среднее значение заметно отличается от нуля,
в Фх=о вводится соответствующая поправка. Для определения пол-
ных потерь в детали практически всегда достаточно первого прибли-
жения, для наибольших местных потерь — второго. Числовой при-
мер расчета имеется в [2-25].
Методика расчета потерь в прессующих кольцах с учетом пере-
хода магнитного потока к ярмам вдоль кольца изложена в '[13-7].
13-4. ПОТЕРИ В СТАЛЬНЫХ ДЕТАЛЯХ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОМ
ТОКЕ
В случае несинусоидального тока при постоянной магнитной
проницаемости можно применить принцип наложения и рассчиты-
вать потери от каждой гармоники тока в отдельности. Для стали
принцип наложения неприменим и параметры электромагнитного'
поля являются функциями амплитуд и начальных фаз всех гармо-
ник. Для инженерного решения задачи расчета поля и потерь в мас-
сивном ферромагнетике несинусоидальное магнитное поле на поверх-
ности детали заменяют гармонически изменяющимся во времени
магнитным полем определенной частоты, действующая напряжен-
ность которого Дп равна действующей напряженности несину-
соидального поля
Частоту этого поля выбирают так, чтобы без нарушения условия-
Н„ = Н-^ соблюдалось одно из трех равенств: а) равенство поверхност--
ных потерь, вызванных синусоидальным и несинусоидальным полями:
Рп = Pj.; б) равенство действующих напряженностей электрического,
поля на поверхности Еп = Дг; в) равенство действующих значений
линейной плотности потока двух полей фп = фх-
369
Эти частоты названы соответственно эквивалентными частотами
несинусоидальной напряженности магнитного поля по потерям
(йакр), по напряженности электрического поля (шЭкв) и по линей-
ной плотности потока (юЭКф) [2-26]. Их удобно выразить через
основную частоту w, и соответствующие коэффициенты
“экр = “экЕ = “Ле! “экф = “Лф- (13-9)
Формулы для расчета коэффициентов кшР, kmE и кшф по гармони-
ческому составу несинусоидальных И (f), или Е (f), или ' ф (Z) выво-
дятся для линейной среды (р. = const). В такой среде для v-й гармо-
ники имеем:
’ K<OiVp.ap v
р„ = 1/'ь>лр.арИг,/|/' 2
Действующие напряженности и поток выражаются через их гар-
моники:
2 £1=|/Л 2 Фг=|/ 2 ф2,.
. (13-и)
Введем коэффициенты kvE, kvE, равные отношению действу-
ющего значения v-й гармоники к действующему значению соответ-
. ствующей несинусоидальной величины:
= = \ф=Ф»/Фе- (13-12)
Тогда при На = Н^ из условия РП=Р£ с учетом (13-12) и
РЕ= 2 pv= 2 и (13-13)
v=If2... v=l,2...
следует:
v=T 2
v=I,2...
Условие £п = £е с учетом (13-10) — (13-12) и
£Е=1/ 2 (У“1^аР^)21 £П =
у »=1,2...
дает:
ЛоЕ~ 2
»=1, 2...
(13-14)
(13-15)
(13-16)
и т. д. Сводка формул приведена в табл. 13-1. Там же даны выра-
жения для оценки гармоник E(t) при заданных H(t) или Ф(0. гаР‘
моннк H(t) при заданных E(t) нли Ф(/), Ф(0 при заданных H(t)
нли £(/).
Экспериментальная проверка при резко несинусоидальном токе
подтвердила возможность применения указанных формул для кон-
струкционной стали при эквивалентной магнитной проницаемости,
соответствующей синусоидальному магнитному полю основной час-
тоты с такой же действующей напряженностью [2-26]. Таким обра-
зом, отпадает необходимость экспериментального определения ха-
рактеристик стали при каждом встречающемся на практике вариан-
те формы кривой напряженности магнитного или электрического
поля у поверхности или линейной плотности магнитного потока —
достаточно иметь характеристики на основной частоте и предполо-
жить, что эквивалентная магнитная проницаемость стали не зависит
от частоты и определяется только действующей напряженностью
магнитного поля. Указанное предположение для основных марок кон-
струкционной стали обосновано опытными данными (см. библиогра-
фию в [10-5 и 2-26]). При сомнениях в этом предположении можно
снять электромагнитные характеристики применяемой стали при си-
нусоидальной напряженности магнитного. поля эквивалентной часто-
ты соэк и использовать соответствующую магнитную проницаемость:
1 /^Е \2 л ^е
-к *='«w' : arg-sK=т—2arccos » (1347)
где Ее, ETj, —параметры, измеренные при частоте соэ,(. Такой опыт
значительно проще, чем измерения при несннусоидальном токе.
Если известны действующая напряженность магнитного поля
и ее спектр kvH, то для определения потерь достаточно подсчитать
коэффициент kwP по (13-14), найти потери Рг прн основной частоте
Wo соответствующие полю Н^, и вычислить искомые потери по фор-
муле
Pj;= РI j/ kap. (13-18)
Соответственно действующие напряженность электрического
поля илн линейная плотность магнитного потока будут:
^е = ]fkwE; Фе (13-19)
где Е, и Ch—действующие значения, соответствующие напряжен-
ности Н\ при основной частоте <ot.
Если известны и kvE или фЕ и ^ф, необходимо сначала под-
считать:
£i=£e/J/%E 11415 Ф1=Фв?%ф- (13-20)
затем найти потери Pt при частоте ы, и подсчитать по (13-18),
причем выражения kmE, kmP берутся из соответствующего столб-
ца табл. 13-1.
Часто можно предположить, что кривая H(t) пли Ф(0 пример-
но повторяет по форме кривую трка § обмотках i{t) иди что кривая
372
E(i) Повторяет напряжение или индуктивное падение напряжения
на обмотке u(t). Тогда необходимо рассчитать соответствующую на-
пряженность поля или плотность потока по действующему току или
напряжению. При дальнейшем расчете потерь в качестве относи-
тельных гармоник напряженности магнитного поля или потока
используются относительные гармоники тока, а гармоник напряжен-
ности электрического поля — гармоники напряжения.
В некоторых случаях можно уточнить влияние детали на поле
у ее поверхности, рассчитывая это влияние для одной из эквивалент-
ных частот, наиболее ярко выраж^йжх в кривой тока, потока или
напряжения. При заметно разном влиянии детали (например, стенки
бака) на различные гармоники расчет поля следует проводить по
гармоникам тока пли напряжения (принимая для всех гармоник
одну и ту же магнитную проницаемость стали, соответствующую
действующей напряженности магнитного поля). Как показали опыт-
ные исследования О. И. Снсуненко, такой подход обеспечивает
относительно высокую точность расчета.
В § 13-4 линеаризация характеристики при выводе формул
позволила резко упростить сложную задачу, заменив несинусои-
дальные токи и напряжения при расчете и испытаниях синусоидаль-
ными эквивалентной частоты. Для этого применены простые фор-
мулы поверхностного эффекта, вытекающие из уравнений Максвелла
для плоской электромагнитной волны в неограниченной проводящей
среде. В других случаях (например, см. § 6-5, 10-5, 11-6) использова-
ны также формулы для тонкой проводящей пластины. Широкие воз-
можности для создания наглядных методов приближенного расчета
дают простейшие кусочно-линейные аппроксимации кривой намаг-
ничивания стали, характеризуемые двумя числами (§ 5-3, 6-3,
7-2—7-7) или даже одним числом (§ 6-4,6). Эффективны идеализа-
ция картины магнитного поля (§ 1-5, 5-3, 8-7, 9-3, 9-6, 11-3, 11-4)
и использование принципа наложения (§ 2-6, 11-5). Сложную зада-
чу важно разделить на ряд простых, решаемых поочередно (§ 11-5,
12-3, 13-2).
Недостаток большинства изложенных методов расчета — отсут-
ствие достоверной оценки погрешности, требующей более точного
расчета либо экспериментальных исследований. Одиако упрощенные
методы особенно нужны для понимания процессов, контроля более
сложных расчетов, а также при отсутствии приемлемых точных
способов.
Изучение приведенных приближенных методов должно помочь
читателям в решении нестандартных практических задач, для кото-
рых точные способы расчета еще не разработаны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К гл. 1
1-1. ГОСТ 19880-74. Электротехника. Основные понятия. Тер-
мины и определения.
1-2. ГОСТ 18624-73. Реакторы электрические. Термины и опре-
деления.
1-3. ГОСТ 16110-70 (СТ СЭВ 1103-78). Трансформаторы сило-
вые. Термины и определения.
1-4. Реакторы. Рекомендация МЭК. Публикация 289. Изд. 1-е,
1968. Комитет по участию СССР в международных энергетических
объединениях.-—М.: 4974.—29 с.
1-5. Видмар М. Трансформатор в эксплуатации. —- М.: ГОНТИ,
1929,—408 с.; 1931.—292 с.
1-6. Видмар М. Трансформаторы. — М.: ГОНТИ, 1931.—592 с.
4-7. Петров Г. Н. Трансформаторы. Т. 1. Основы теории. — М. —
Л.: Госэнергоиздат, 1934.—446 с.
1-8. Булгаков Н. И. Расчет трансформаторов. — М.: Госэнерго-
издат, 1950.—302 с.
1-9. Петров Г. Н. Электрические машины. Ч. 1. Введение. Транс-
форматоры. 3-е нзд. —М.: Энергия, 1974.—240 с.
1-10. Тихомиров П. М. Расчет трансформаторов. 4-е изд. — М.:
Энергия, 1976.—544 с.
1-11. Сапожников А. В. Конструирование трансформаторов.-—
2-е изд. — М.: Госэнергоиздат, 1959.—360 с.
1-12. Васютинский С. Б. Вопросы теории и расчета трансформа-
торов. — Л.: Энергия, 1970.—432 с.
4-13. Алексенко Г. В. Параллельная работа трансформаторов н
автотрансформаторов. 2-е нзд. — М.: Энергия, 1967.—607 с.
11-14. Булгаков Н. И. Группы соединения трансформаторов.
3-е изд. — М.: Энергия, 1977.—80 с.
1-15. ГОСТ 20938-75. Трансформаторы малой мощности. Тер-
мины и определения.
1-16. ГОСТ 19294-73. Трансформаторы малой мощности обще-
го назначения. Общие технические условия.
1-47. Лейтес Л. В. О стандарте на терминологию реакторов. —
Электротехника, 1974, № 4, с. 39—42.
1-48. Лейтес Л. В. Классификация конструкций реакторов,—
В кн.: Вопросы трапсформаторостроения/ Под ред. Э. А. Манькн-
на. — М.: Энергия, 1969, Тр. ВЭИ, вып. 79, с. 168—475.
1-19. Стериин В. Г., Карпенский А. К. Сухие токоограннчиваю-
щие реакторы. — М. — Л.: Энергия, 1965.—256 с.
1-20. Лейтес Л. В. Особенности проектирования мощных реак-
торов для кратковременной работы. — Электричество, 1963, 10,
с. 67—69.
1-21. Лейтес Л. В. Тороидальные реакторы. — М.: изд. ВНИИЭМ,
1966. — 84 с.
1-22. Карасев В. В., Кубарев Л. П., Лейтес Л. В. Обобщенный
аналитический метод оптимизации и оценки параметров реакторов.—
Электротехника, 1977, № 4, с. 1—8.
- 1-23. Кубарев Л. П. Оптимизация и оценка параметров катушек
индуктивности (реакторов) без стали.—Электротехническая промыш-
ленность. Аппараты высокого напряжения, трансформаторы, силовые
конденсаторы, 1971, вып. 6, с. 7—9.
1-24. Кубарев Л. П. Оптимизация и оценка параметров броне-
вых и ярмовых реакторов. — Электротехническая промышленность.
Аппараты высокого напряжения, трансформаторы, силовые конден-
саторы, 1976, вып. 10 (66), с. 1—4.®^
1-25. Кубарев Л. П. Оптимизация и оценка параметров реакто-
ров с зазорами в стержне магнитопровода. — Электротехническая
промышленность. Аппараты высокого напряжения, трансформаторы,
силовые конденсаторы, 1973, вып. 3 (23), с. 9—-12.
1-26. Алферова А. В., Кубарев Л. П., Лейтес Л. В. Расчет
стержневых реакторов без ярм. — Электротехническая промышлен-
ность. Аппараты высокого напряжения, трансформаторы, силовые
конденсаторы, 1974, вып. И (43), с. 16—18.
1-27. Манькин Э. А. Расчет реакторов со стальным магнито-
проводом н зазорами. — Электричество, 1959, № 7, с/ 35—41.
1-28. Коган Р. А., Лейтес Л. В. Броневые шунтирующие реак-
торы.— Вестннк электропромышленности, 1962, We 1, с. 38—41.
1-29. Либкинд М. С. Высшие гармоники, генерируемые транс-
форматорами. — М.: Изд-во АН СССР, 1962. — 104 с.
1-30. Испытание мощных трансформаторов и реакторов/
Г. В. Алексенко, А. К. Ашрятов, Е. В. Веремей, Е. С. Фрид.
2-е изд. — М.: Энергия, 1978. — 520 с
1-31. Бородулин Ю. Б., Зверев Ю. В. Сравнение методов опти-
мального проектирования силовых трансформаторов. — Электротех-
ника, 1974, We 4, с. 12—16.
1-32. Автоматизация проектирования силовых трансформаторов,
ее возможности и проблемы/ Е В. Пуйло, В. М. Суханов, В. В. Го-
лолобов, В. П. Чайковский. — Электромашиностроение и электро-
оборудование. 1978, вып. 26, с. 79—86.
1-33. Бальян Р. X. Трансформаторы для радиоэлектроники.—
М.: Советское радио, 1971. — 720 с.
1-34. Белопольский И. И., Каретникова Е. И., Пикалова Л. Г.
Расчет трансформаторов и дросселей малой мощности. 2-е изд. —
М.: Энергия, 1973. — 399 с.
1-35. Крайз А. Г., Лейтес Л. В. Об индуктивных устройствах
для статических компенсаторов реактивной мощности. — Электриче-
ство, 1979, We 10, с. 56—59.
1-36. Либкинд М. С., Черновец А. К. Управляемый реактор
с вращающимся магнитным полем. — М.: Энергия, 1971. — 80 с.
1-37. Дорожко Л. И., Либкинд М. С. Реакторы с поперечным
подмагничиванием. — М.: Энергия, 19'77.— 176 с.
1-38. Поволоцкий Л. Я. Экономическая эффективность новой
техники в трансформаторостроении. — М.: Энергия, 1980. — 120 с.
К гл. 2
2-1. Поливанов К. М. Теоретические основы электротехники.
Ч. 3. Теория электромагнитного поля. — М.: Энергия, 1969. — 352 с.
2-2. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы элек-
тротехники. В §-х томах. 2-е изд. — Л.: Энергия, 1975. — 522 и 407 с.
375
2-3. Шимони К. Теоретическая эйекТротехййкй.— М.: Мир,
1964, —774 с.
2-4. Туровский Я. Техническая электродинамика. — М.: Энергия,
1974. —488 с.
2-5. Демирчян К. С. Моделирование электромагнитного поля. —
М.: Энергия, 1974. — 288 с.
2-6. Бинс К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрических и
магнитных полей. — М.: Энергия, 1970. — 376 с.
2-7. Тозони О. В. Расчет электромагнитных полей на вычисли-
тельных машинах. — Киев: Техшка, 1967. — 252 с.
2-8. Тозоии О. В. Метод вторичных источников в электротехни-
ке. — М.: Энергия, 1975. — 296 с.
2-9. Хэг Б. Электромагнитные расчеты. — М.: ОНТИ, 1934. —
305 с.
2-10. Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей.—
М.: Изд-во иностр, лит., 1961. — 712 с.
2-11. Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей
Справочная книга. 2-е изд. — Л.: Энергия, 1970. — 416 с.
2-12. Говорков В. А. Электрические н магнитные поля. 3-е изд.-—
М.: Энергия, 1968. — 488 с.
2-13. Марквардт Е. Г. Электромагнитные расчеты трансформа-
торов.— М.: ОНТИ, 1938.— 136 с.
2-14. Каден Г. Электромагнитные экраны в высокочастотной:
технике и технике электросвязи. — М.: Госэнергонздат, 1967. — 328 с..
2-15. Ламмеранер И., Штафль М. Вихревые токи^-М.: Энер-
гия, 19'67. — 208 с.
2-16. Расчет электромагнитных полей в электрических машинах/’
И. Б. Альтшулер, П. Я. Карташевский, А. Л. Лиршид, М. Б. Файн
штейн. — М.: Энергия, 1968. — 88 с.
2-17. Холявский Г. Б. Расчет электродинамических усилий в элек--
трических аппаратах. — М.: Госэнергонздат» 1962.— 184 с.
2-18. Сквайре Д. Практическая физика. — Мд Мир, 1971. — 246 с.'
2-19. Сухоруков В. В. Математическое моделирование электро-’-
магнитных полей в проводящих средах. — М.: Энергия, 1975.— 152 с.'.
2-20. Лурье С. И. Математическое моделирование магнитных.
полей рассеяния трансформаторов и реакторов на электропроводя- -
щей бумаге. — Электричество, 1965, № 10, с. 80—86.
2-21. Карасев В. В., Лурье С. И. Определение потерь в элемен-
тах конструкции' трансформаторов с использованием математиче-
ского моделирования.'—Электричество, 1971, № 5, с. 34—39.
-‘ •'2;'22, Карасев В. В., Лурье С. И. Математическое моделирова-
ние электромагнитного поля реакторов повышенной частоты.- —-
Электротехника, 1974, № 4, с. 32—36.
2-23. Нейман Л. Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных:
телах. — М.—Л.: Госэнергонздат, 1949.— 190 с.
2-24. Кравченко А. Н., Нижник Л. П. Электродинамические:
расчеты в электротехнике. — Киев: Техшка, 1977. — 184 с.
2-25. Карасев В. В., Лейтес Л. В. Электромагнитные характе-
ристики конструкционной стали на переменном токе и их применение’
в трансформаторостроении. — Электричество, 1967, № 8, с. 32—37.
2-26. Зиновкии В. В., Сисунеико О. И. Характеристики конструк-
ционной стали при несинусоидальном токе. — Электричество, 1971,.
№ 8, с. 66—70.
К гл. 3
3-1. Иваиов-Смоленский А. В. Электромагнитные поля и про-
цессы в электрических машинах и их физическое моделирование. —'
М.: Энергия, 1969. — 304 с.
3-2. Веников В. А. Применение теории подобия и физического
моделирования в электротехнике. — М.—Л.: Госэнергоиздат, 1949.—•
168 с.
3-3. Веников В. А. Теория подобия и моделирования примени-
тельно к задачам электроэнергетики.—М.: Высшая школа, 1966.—
487 с.
3-4. Пеккер И. И. Физическое ^моделирование электромагнитных
механизмов. — М.: Энергия, 1969. — 65 с.
3-5. Хантли Г. Анализ размерностей. — М.: Мир, 1970. — 175 с.
3-6. Клайн С. Дж. Подобие и приближенные методы. — М.: Мир,
1968. —302 с.
3-7. Нижник Л. П., Кравченко А. Н., Калайда Г. И. Моделиро-
ние электромагнитного поля на поверхности массивных ферромаг-
нитных деталей. — Электротехника, 1971, № 7, с. 50—53.
3-8. Нейман Л. Р., Петровский В. Н. Исследование поверхност-
ного эффекта в ферромагнитных телах при частотах звукового диа-
пазона. — Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, .1966, № 4,
с. 33—48.
3-9. Борю Н. В. Моделирование потерь от рассеяния мощных
силовых трансформаторов. — Электричество, 19'60, Хе 9, с. 38—41.
3-10. Крайз А. Г., Лейтес Л. В., Спув Г. С. Исследование мно-
горамных магнитопроиодов мощных трансформаторов. — Вестник
электропромышленности, 1961, № 3, с. 5—9.
3-11. Лейтес Л. В. Шум трансформаторов. — В кн.: Трансформа-
торы. Вып. 5/ Под ред. А. Г. Крайза. — М.: Госэнергоиздат, 1960,
с. 92—148.
3-12. Карасев В. В., Кубарев Л. П. Методы оптимизации при
проектировании задерживающих насыщающихся реакторов. — Элек-
тротехническая промышленность. Преобразовательная техника, 1972,
вып. 7 (31), с. 23—26.
3-13. Heindl Н. Ofen- und Gleichrichtertransformatoren. — ETZ-A,
.1977, Bd 98, № 3, S. 228—231.
3-14. Калайда Г. И. Исследование электромагнитного поля в мас-
сивных ферромагнитных деталях силовых трансформаторов. — Элек-
тротехника, 1974, № 4, с. 25—29.
3-15. А. С. № 221173. Физическая модель электромагнита/
Л. В. Лейтес, С. И. Лурье. — Опубл, в БИ, 19'68, We 2'1.
К гл. 4
4-1. Мельников Н. А. Реактивная мощность в электрических се-
тях.— М.: Энергия, 1975. — 128 с.
4-2. Лейтес Л. В. Электрические напряжения в обмотках транс-
форматоров при коротком замыкании. — Электротехническая про-
мышленность. Аппараты высокого напряжения, трансформаторы, си-
ловые конденсаторы, 1974, вып. 9 (41), с. 3—6.
4-3. ГОСТ 20243-74. Трансформаторы силовые. Методы испы-
таний на стойкость при коротком замыкании.
4-4. Брон О. Б. Электромагнитное поле как вид материи. —
М.—Л.: Госэнергоиздат, 1962. — 260 с.
4-5. Лейтес Л. В. Вектор Пойнтинга в реакторе и трансформа-
торе. •— Электричество, 1978, № 7, с. 45—50.
-ОК 774 377
К гл. 5
5-1. Лейтес Л. В., Пинцов А. М. Параметры и схемы замещения
многообмоточных трансформаторов. — М.: Энергия, 1974.— 192 с.
5-2. Лейтес Л. В. Эквивалентные схемы многообмоточных транс-
форматоров и их применение. — М.: Информстандартэлектро, 1968.—
37 с.
5-3. Лейтес Л. В. Эквивалентная схема двухобмоточного транс-
форматора; опыты холостого хода и короткого замыкания. — В кн.:
Вопросы трансформаторостроения/ Под ред. Э. А. Манькина. — М.:
Энергия, 1969, Тр. ВЭИ, вып. 79; с. 277—295.
5-4. Лейтес Л. В. Учет намагничивающего тока в схеме заме-
щения трансформатора. — Электричество, 1971, № 11, с. 63—69.
5-5. Зихерман М. X. О двух способах представления магнитного
поля индуктивно-связанных катушек. — Электричество, 1974, № 2,
с. 86—87.
5-6. Пинцов А. М. Уравнения н схемы замещения трансформа-
торов с учетом тока намагничивания. — Электричество, 1976, № 4,
с. 29—34.
5-7. Зихермаи М. X. Характеристики намагничивания мощных
трансформаторов. — Электричество, 1972, № 3, с. 79—82.
5-8. Пенчев П. Р. Върху разсейването в трансформаторите. —
София: Техника, 1969. — 244 с.
5-9. Васютинский С. Б. Критерии преобразования схем замеще-
ния многообмоточных трансформаторов в более простые схемы. —
Электричество, 1978, We 5, с. 26—28.
К гл. 6 Ь „
6-1. Справочник по магнитным и электрическим свойствам горя-
чекатаной электротехнической стали/ В. В. Дружинин, А. 3. Векс-
лер, Л. К. Куренных. — М.: Изд-во стандартов, 1971.— 127 с.
6-2. Дружинин В. В. Магнитные свойства электротехнической
стали. — 2-е изд. — М.: Энергия, 1974. — 240 с.
6-3. Акулов Н. С. Ферромагнетизм. — М.—Л.: ОНТИ, 1939.—
187 с.
6-4. Вонсовский С. В., Шур Я. С. Ферромагнетизм. — М.—Л.:
Гостехиздат, 1948. — 816 С.
6-5. Бозорт Р. М. Ферромагнетизм — М.: Изд-во иностр, лит.,
1956, —784 с.
6-6. Вонсовский С. В. Магнетизм. — М.: Наука, 1971.— 1032 с.
6-7. Кифер И. И. Испытания ферромагнитных материалов. —
М.: Энергия, 1969. — 360 с.
6-8. Кифер И. И. Характеристики ферромагнитных сердечни-
ков.— М.: Энергия, 1967.— 168 с.
6-9. Розенблат М. А. Магнитные элементы автоматики и вычис-
лительной техники. 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — 768 с.
6-10. ГОСТ 19693-74. Материалы магнитные. Термины и опреде-
ления.
6-11. Зихерман М. X., Кузьмин Н. П., Лейтес Л. В. Магнитная
характеристика электротехнической стали при сильном насыщении.—
Электротехническая промышленность. Аппараты высокого напряже-
ния, трансформаторы, силовые конденсаторы, 1972, вып. 7 (16),
с. 3—5.
6-12. Бессонов Л. А. Электрические цепи со сталью. — М.: Гос-
энергоизд ат, 1948. — 344 с.
378
6-13. ORIENT-COR. HI-B. Grain-oriented electrical steel. Nippon
Steel Corporation. Каталог-справочник. Япония, 1972.—26 с.
6-14. Карасев В. В. К расчету потерь в стали трансформаторов
и реакторов преобразовательных устройств. — Электротехника, 1973,
№ 3, с. 45—48.
6-15. Карасев В. В., Кубарев Л. П. Расчет потерь и тока пере-
магничивания в задерживающих насыщающихся реакторах. — Элек-
тротехническая промышленность. Преобразовательная техника, 1972,
вып. 6 (30), с. 18—21.
6-16. Болдырев Е. А., Зихерман JV^X., Камнева Н. П. Перемен-
ное электромагнитное поле в проводящем листе с переменной маг-
нитной проницаемостью. — Электричество, 1974, Хе 3, с. 61—67.
6-17. Шугайло А. И. Совершенствование конструкций магнито-
проводов силовых трансформаторов. — Электротехника, 1976, № 4,
с. 53—56.
6-18. Бернштейн И. Я., Лейтес Л. В. Трансформаторостроение
за рубежом. — В кн.: Трансформаторы. Вып. 6/ Под ред. А. Г. Край-
за. — М.: Госэнергоиздат, 1961, с. 9—100.
6-19. Бородай П. И., Карасев В. В., Шушеров Ю. А. Исследо-
вание процессов перемагничивания насыщающихся реакторов с .маг-
нитопроводом из сплава 50 НП. — Электротехника, 1979, №' 12,
с. 9—12.
К гл. 7 ;
7-1. ГОСТ 18311-72. Электрооборудование. Основные понятия.
Термины и определения.
7-2. Бурман П. Г., Крайз А. Г. Производство магннтопроводов
трансформаторов. — М.! Госэнергоиздат, 1959.— 152 с.
7-3. Магнитопроводы силовых трансформаторов (технология и
оборудование)/ А. И. Майорец, Г. И. Пшеничный, Я. 3. Чечелюк
и др. — М.: Энергия, 1973. — 272 с.
7-4. Дорожко Л. И., Лейтес Л. В. Симметричные трехфазные
трансформаторы. — Электротехническая промышленность, 1962, №6,
с. 3—6.
7-5. Шилов В. В. Витые магнитопроводы для трехфазных транс-
форматоров. — Электротехническая промышленность. Аппараты вы-
сокого напряжения, трансформаторы, силовые конденсаторы, 1974,
вып. 11 (43), с. 19—20.
7-6. Григоров И. Б. Потоки в магннтопроводах мощных сило-
вых трансформаторов и автотрансформаторов с учетом потока рас-
сеяния. — Электротехника, 1975, № 4, с. 20—25.
7-7. Бернштейн И. Я., Лейтес Л. В. К расчету трансформато-
ров с передвижной короткозамкнутой обмоткой. — Электричество,
1959, № 3, с. 72—77.
7-8. Эйнгорн И. Я., Шугайло А. И. Влияние волнистости и коро-
боватости листов трансформаторной стали на ее электромагнитные
характеристики. — М.: Информстандартэлектро, 1967. — 25 с.
7-9. Эйнгорн И. Я. Влияние опрессовки магнитопровода на элек-
тромагнитные характеристики силовых трансформаторов. — Электро-
техника, 1967, № 4, с. 48—52.
7-10. Френкель В. Ю., Левенштейн М. В. О целесообразности
создания мощных высоковольтных автотрансформаторов без третич-
ной обмотки. — Электрические станции, 1975, № 7, е. 36—38.
7-11. Лейтес. Л. В., Рабинович С. И. Перенапряжения в транс-
форматорах с обмотками, имеющими «полувиткн». — Электротехнн-
9.5* 379
ческая промышленность. Аппараты высокого напряжения, транс-
форматоры, силовые конденсаторы, 1974, вып. 6 (38), с. 7—9.
7-12. Григоров И. Б., Бондар В. В. Перевозбуждение и защита
от него силовых трансформаторов. — Электротехническая промыш-
ленность. Аппараты высокого напряжения, трансформаторы, силовые
конденсаторы, 1971, вып. 6, с. 11—13.
7-13. Калиниченко И. С., Циер Г. И. О рабочей индукции
в блочных трансформаторах. — Электротехника, 1970, № 3, с. 33—35.
7-14. Засыпкин А. С. Определение параметров силового транс-
форматора с насыщенным магнитопроводом.—Электричество, 1975,
№ 12, с. 24—28.
7-15. Конов Ю. С. Насыщение магнитопроводов трансформато-
ров и автотрансформаторов при коротком замыкании. — Электротех-
ническая промышленность. Аппараты высокого напряжения, транс-
форматоры, силовые конденсаторы, 1976, № 11 (67), с. 4—8.
7-16. Зихерман М. X., Камнева Н. П. Об остаточной индукции
в трансформаторах 330—750 кВ. — Электричество, 1972, № 5,
с. 86—88.
7-17. Засыпкин А. С. Остаточная индукция в ненагруженных
силовых трансформаторах после отключения от сети. — Изв. вузов.
Электромеханика, 1977, № 2, с. 168—172.
7-18. Засыпкин А. С. Индуктивности обмоток насыщенных авто-
трансформаторов 500—750 кВ. — Изв. вузов. Электромеханика, 1976,
№ 11, с. 1223—1230.
7-19. ГОСТ 12.2.024-76. Трансформаторы силовые масляные.
Нормы допустимого шума и метод шумовых испытаний.
7-20. Боднар В. В., Эйнгорн И. Я., Сергейчук И. М. Работы
ВИТ по исследованию шума силовых трансформаторов. — Электро-
техническая промышленность. Аппараты высокого напряжения, транс-
форматоры, силовые конденсаторы, 1975, вып. 12 (56), с. 20—23.
7-21. Лазароиу Д. Ф., Бикир Н. Шум электрических машин и
трансформаторов: Пер. с рум. — М.: Энергия, 1973. — 271 с.
7-22. Поскробко А. А., Фомин М. Н., Чувилин В. Г. Шум пре-
образовательных агрегатов и методы борьбы с ним. — М.: Энергия,
1971,— 112 с.
7-23. Вылеток О. Н., Лурье С. И. Расчет вибраций шунтирую-
щих реакторов. — Электротехника, 1972, № 1, с. 49—52.
7-24. Бики М. А., Цуканов А. М. Расчет электромагнитных сил,
действующих на насыщенные элементы магнитной цепи.— Электро-
техника, 1975, № 4, с. 36—39.
7-25. Григоров И. Б. Перевозбуждение бокового ярма нагружен-
ного однофазного сетевого автотрансформатора с РПН. — Электро-
техническая промышленность. Аппараты высокого напряжения,
трансформаторы, силовые конденсаторы, 1977, вып. 6 (74), с. 1—3.
К гл. 8
8-1. Нордио А. В., Циер Г. И. Состояние и перспективы ис-
пользования вычислительной техники при проектировании и иссле-
дованиях трансформаторов. — Электротехническая промышленность.
Аппараты высокого напряжения, трансформаторы, силовые конден-
саторы, 1975, вып. 7 (51), с. 35—38.
8-2. Савельев М. П., Панибратсц А. Н. Система программ для
расчета электродинамической стойкости трансформаторов на ЦВМ
«Минск-22 (32)».— Электротехническая промышленность, Аппараты
высокого напряжения, трансформаторы, силовые конденсаторы, 1975,
вып. 7 (51), с. 8—11,
680
8-3. Береза В. Л., Иванков В. Ф. Методика и алгоритм про-
граммы ускоренного расчета магнитного поля трансформатора. —
Электротехника, 1976, № 4, с. 9—11.
8-4. Лейтес Л. В. Расчет механической прочности трансформа-
торов — В кн.: Трансформаторы. Вып. 1/ Под ред. А. Г. Крайза. —
М.: Госэнергоиздат, 1958, с. 97—132.
8-5. Трансформаторы. Переводы докладов международной кон-
ференции по большим электрическим системам (CIGRE) 1958, 1962,
1964 и 1966, 1968, 1970, 1972, 1974 гг./ Под ред. С. И. Рабинови-
ча.— М.: Госэнергоиздат, 1960, Энергия, 1964, 1968, 1970, 1972, 1975,
1978. «S’
8-6. Нижиик Л. П., Иванков В. Ф., Романенко Р. В. Численно-
аналитические методы расчета электромагнитного поля трансфор-
матора (Препринт ИМ-76-21). — Киев: Ин-т мат. АН УССР, 1976.
56 с.
8-7. Бики М. А. Расчет магнитного поля трансформаторов и ре-
акторов методом интегральных уравнений. — Электротехника, 1974,
№ 4, с. 6—12.
8-8. Christoffel М., Custer A. Methode zur Bcrechnung von Kurz-
schlusskraften in Transformatorwicklungen. — Brown Boveri Mittei-
lungen, 1960, Bd 47, № 5—6, S. 321—328.
8-9. Итоги науки и техники. Трансформаторы — электрические
и магнитные поля обмоток/ Н. И. Булгаков. АН СССР, Институт
научной информации. — М.: Производственно-издательский комби-
нат ВИНИТИ, 1964. — 68 с.
8-10. Бунин А. Г., Конторович Л. Н. Расчет импульсных пере-
напряжений в обмотках трансформаторов с учетом влияния магнито-
провода. — Электричество, 1975, № 7, с. 50—54.
8-11. Мастрюков Л. А. Электромагнитное экранирование мощ-
ных реакторов без стали. — Электричество, 1968, № 1, с. 39—46.
8-12. Горбань А. Л. Электромагнитный расчет обмоток транс-
форматоров и реакторов. — Киев: Техшка, 1968. — 64 с.
8-13. Наяшков И. С., Карасев В. В. Расчет полей рассеяния
трансформаторов. — Вестник электропромышленности, 1963, № 4,
с. 8—13.
8-14. Карасев В. В. Таблицы функций a—f(e, т]) и “д=/(6, т]).
В 2-х томах. — М.: ВЭИ, 1962. — 94 и 93 с.
8-15. Карасев В. В., Лейтес Л. В. Упрощенный расчет магнит-
ного поля рассеяния трансформаторов. — Электротехническая про-
мышленность, 1963, № 10, с. 9.
8-16. Лурье С. И. Метод приближенного расчета осевой состав-
ляющей магнитного поля рассеяния трансформаторов. — Электротех-
ническая промышленность. Аппараты высокого напряжения, транс-
форматоры, силовые конденсаторы, 1974, вып. 11 (43), с. 9—13.
8-17. Schwarz Е. Nomogramme zur Ermittlung der magnetischen
Feldstarke in diinnen zylindrischen Spulen. — Deutsche Elektrotech-
nik, 1954, Bd 8, № 3, S. 83—87.
8-18. Алиевский Б. Л., Орлов В. Л., Шерстюк А. Г. Графоана-
литический метод расчета магнитного поля круглой катушки с пря-
моугольным поперечным сечением. — Электротехника, 1974, № 4,
с. 29—32.
8-19. Карасев В. В. Прибор для осциллографирования полей
рассеяния — Вестник электропромышленности, 1963, № 3, с. 57—58.
8-20. Агеносов А. В., Рогацкин М. А. Устройство для записи
напряженности магнитного поля рассеяния. — Электротехническая
промышленность. Аппараты высокого напряжения, трансформаторы,
38
силовые конденсаторы, 1978, вып. 2 (82), с. 9—10.
8-21. International symposium on electrodynamics — forces and
losses in transformers. Lodz 18—20 October 1979. — 400 с. Рефера-
ты — см. Электротехническая промышленность. Аппараты высокого
напряжения, трансформаторы, силовые конденсаторы, 1980, вып.
7(111) и 8(112).
8-22. Гельперин Б. Б. О расчете магнитного поля рассеяния
катушки со стальным сердечником и воздушным зазором. — Вест-
ник электропромышленности, 1961, № 3, с. 21—25.
К гл. 9
9-1. Амромин А. Л. Определение индуктивных сопротивлений
рассеяния трансформаторов. — Электротехническая промышленность.
Аппараты высокого напряжения, трансформаторы, силовые конден-
саторы, 1972, вып. 10 (19)—11 (20), с. 27—33.
9-2. Пиицов А. М. К расчету индуктивностей параллельных шин
прямоугольного сечения и рассеяния обмоток трансформатора. —
Электричество, 1972, № 8, с. 70—73.
9-3. Амромин А. Л., Кубарев Л. П., Павлов В. В. Средняя дли-
на витка при расчете индуктивности рассеяния трансформатора. —
Электротехника, 1975, № 4, с. 32—33.
9-4. Лейтес Л. В. Расчет индуктивности рассеяния трансформа-
торов. — В кн.: Вопросы трансформаторостроения/ Под ред.
Э. А. Манькина. — М.: Энергия, 1969, Тр. ВЭИ, вып. 79, с. 220—235.
9-5. Garin A. N., Paluev К. К. Transformer circuit impedance cal-
culations.— Transactions AIEE (Electrical Engineering), 1936, vol. 55,
№ 6, p. 717—730.
9-6. Камская О. E., Лейтес Л. В., Лисовская Р. Г. Сопротивле-
ние короткого замыкания трансформатора с соединением обмотки
в зигзаг. — Электротехника, 1975, № 4, с. 25—28.
9-7. Бунин А. Г., Виногреев М. Ю., Конторович Л. Н. Расчет
распределения токов и напряжений в обмотках трансформаторов. —
Электротехника, 1977, № 4, с. 8—И.
9-8. Цейтлин Л. А. Влияние электромагнитного экрана на пара-
метры экранируемой катушки. — Изв. АН СССР. Энергетика и тран-
спорт, 1972, № 6, с. 87—95.
9-9. Цейтлин Л. А. Индуктивность цилиндрической катушки
с цилиндрическим магнитным экраном. — Изв. АН СССР. Энергетика
и транспорт, 1977, № 4, с. 179—183.
9-10. Бики М. А., Юрченко Е. А. Расчет индуктивности броне-
вых реакторов. — Электротехника, 1978, № 4, с. 25—28.
9-11. Гинкин Г. Г. Справочник по радиотехнике. 4-е изд.—
М.—Л.: Госэнергоиздат, 1948. — 823 с.
9-12. Бабис Р. С., Лейтес Л. В. Расчет сопротивления короткого
замыкания пары ходов многоходовой винтовой обмотки трансфор-
матора. Электротехническая промышленность. Аппараты высокого
напряжения, трансформаторы, силовые конденсаторы, 1972, вып. 1
(10), с. 21—25.
9-13. Лейтес Л. В. Упрощенный расчет индуктивности броне-
вых и ярмовых реакторов и реакторов с электромагнитными экра-
нами.— Электротехника, 1979, № 7, с. 36—38.
К гл. 10
10-1. Лурье С. И., Гутников Ю. А. Расчет магнитного поля и
добавочных потерь в плоскошихтовапных вставках реакторов. —
В кн.: Вопросы трансформаторостроения/ Под ред. Э. А. Маньки-
на. — М.: Энергий, 1969. Труды МЭЙ, вып. 79, с. 175—192.
16-2. Снижение добавочных потерь в мощных трансформаторах^
В. Ш. Аншин, Л. М. Беспалая, В. В. Карасев и др. — Электротех-
ника, 1967, Ks 4, с. 10—13.
10-3. Кантор В. В., Ткачев В. Я. Система автобалансируемых
обмоток трансформаторов. — Электротехника, 1977, № 4, с. 17—19.
г 10-4. Береза В. Л. Зависимость добавочных потерь в трансфор-
маторах от распределения н. с. обмоток. — Электротехническая про-
мышленность. Аппараты высокого напряжения, трансформаторы,
силовые конденсаторы, 1972, вып. 4 (13), с. 3—6.
10-5. Карасев В. В. Зависимость потерь в баке трансформаторов
от тока, частоты и температуры. Е^кн.: Вопросы трансформаторо-
строения/ Под ред. Э. А. Манькйнй” — М.: Энергия, 1969, Тр. ВЭИ,
вып. 79, с. 128—149.
10-6. ГОСТ 3484-77. Трансформаторы силовые. Методы испы-
таний.
10-7. Алексенко Г. В., Ашрятов А. К-, Фрид Е. С. Испытания
высоковольтных и мощных трансформаторов и автотрансформато-
ров. Ч. 1 — М.—Л.: Госэнергонздат, 1962. — 672 с.
10-8. Лизунов С. Д., Смирнов Ю. Ф., Языков В. И. Испытание
мощных шунтирующих реакторов высших классов напряжения. —
Электротехника, 1973, № 3, с. 39—43.
10-9. Карасев В. В. Измерение мощности потерь при повышен-
ной частоте и низком значении cos <р. — Электротехника, 1966, № 11,
с. 13—16.
10-10. Хенкин А. Л. Особенности измерения удельных потерь
термометрическим методом в ферромагнитных пластинах. — Элек-
тричество, 1967, № 9, с. 45—49.
10-11. Мамедшахов М. Э. Особенности термометрического мето-
да измерения удельных потерь при нарушении его основополагаю-
щих условий. — Электричество, 1979, № 9, с. 55—58.
К гл. 11
11-1. Лейтес Л. В. Потери от вихревых токов в электростатиче-
ских экранах. — Электротехника, 1968, № 7, с. 33—35.
11-2. Лурье С. И. Расчет вихревых токов в тонкой пластинке
для определения добавочных потерь в трансформаторах и реакто-
рах. — Электричество, 1968, № 6, с. 80—82.
11-3. Цейтлин Л. А. Потери на вихревые токи в тонких пласти-
нах. — Электричество, 1969, № 3, с. 73—77.
11-4. Лейтес Л. В. Добавочные потери.— В кн.: Трансформа-
торы. Вып. 5/ Под ред. А. Г. Крайза. — М.: Госэнергонздат, 1960,
с. 148—168.
11-5. Лейтес Л. В. О добавочных потерях в обмотках трансфор-
маторов. — Вестник электропромышленности, 1960, № 10, с. 23—27.
11-6. Манькин Э. А., Морозов Д. Н., Алферова А. В. Добавоч-
ные потерн на вихревые токи в обмотках трансформаторов. — Элек-
тротехника, 1965, № 10, с. 1.6—19.
11-7. Боднар В. В. Расчет потерь от вихревых токов в обмотках
трансформаторов с обмотками ВН, соединенными по схеме «двойная
концентрическая». — В кн.: Электромашиностроение и электрообору-
дование.— Харьков: Изд-во Харьковского Гос. университета, 1966,
вып. 2, с. 118—130.
11-8. Лурье С. И. О добавочных потерях от вихревых токов
в обмотках стержневых реакторов с немагнитными зазорами. —
В кн.: Вопросы трансформаторостроения/ Под ред. Э. А. Маньки-
на. — М.: Энергия, 1969, Тр. ВЭИ, вып. 79, с. 206—220.
383
11-9. Манькин Э. А. Г1отери на вихревые токи в обмотках транс-
форматоров при несинусоидальном токе. — Электричество, 1955, №12,
с. 48—52.
11-10. Карасев В. В., Лейтес Л. В. Влияние вытеснения поля на
'потери от вихревых токов в проводах обмоток трансформаторов.—
В кн.: Вопросы трансформаторостроения/ Под ред. Э. А. Маньки-
на. — М.: Энергия, 1969, Тр. ВЭИ, вып. 79, с. 113—128.
11-11. Алферова А. В., Карасев В. В. Расчет потерь в обмотках
трансформаторов и реакторов с водяным охлаждением. — Электро-
техническая промышленность. Аппараты высокого напряжения,
трансформаторы, силовые конденсаторы, 1973, вып. 9 (29), с. 4—7.
11-12. Лейтес Л. В., Мастрюков Л. А., Трухин Е. Л. Оценка до-
бавочных потерь в обмотках трансформаторов, выполненных из
фольги. — Электротехника, 1975, № 4, с. 50—52.
К гл. 12
12-1. Шафир Ю. Н. Циркулирующие токи в многоходовой мно-
горядной винтовой обмотке трансформатора. — Электротехника, 1974,
№ 4, с. 51—54.
12-2. Лейтес Л. В. Токи в параллельных ветвях обмоток транс-
форматоров и реакторов.—Электричество, 1966, № 2, с. 36—42.
12-3. Циркулирующие токи от осевой составляющей поля рас-
сеяния в параллельных ветвях обмоток трансформаторов/ Т. О. Бог-
данова, А. Г. Крайз, Л. В. Лейтес, В. И. Языков. — Электричество,
1969, № 5, с. 74—79.
12-4. Рогацкии М. А,, Амромин А. Л. Расчет тока в обмотках и
напряжения короткого замыкания мощных преобразовательных
трансформаторов. — Электротехника, 1971, № 11, с. 20—23.
12-5. Никонов Л. В., Рабинович С. И. Применение теории трех-
обмоточного трансформатора для определения распределения тока
нагрузки между отдельными параллельными цепями обмотки транс-
форматора при неправильном выполнении транспозиций. — Электри-
чество, 1934, № 19, с. 45—51.
12-6. Зенова В. П., Лейтес Л. В. Циркулирующие токи при
ошибке в выполнении отвода регулировочной отпайки трансформа-
тора. — Электротехническая промышленность. Аппараты высокого
напряжения, трансформаторы, силовые конденсаторы, 1971, вып. 5,
с. 35—39.
12-7. Шафир Ю. Н. Определение координат транспозиций н
циркулирующих токов в винтовых обмотках мощных трансформато-
ров.— Электротехника, 1976, № 4, с. 11—14.
12-8. Дачев А. П. Способ перестановки одноходовых однослой-
ных обмоток сверхмощных трансформаторов. — Электротехника,
1968, № 7, с. 23—27.
12-9. Лейтес Л. В. Токи в параллельных ветвях обмоток транс-
форматоров и реакторов. — Электричество, 1973, Кб 4, с. 73—77.
12-10. Дачев А. П. Потери от циркулирующих токов в обмотках
трансформаторов с транспозицией де Бюда при произвольном числе
параллельных ветвей. — Электричество, 1975, № 5, с. 78—82.
12-11. Бабис Р. С. Циркулирующие токи в многоходовых вин-
товых обмотках трансформаторов. — Электричество, 1972, № 2,
с. 56—63.
12-12. Павлов В. В. Расчет токораспределения и напряжения
короткого замыкания в обмотках трансформатора. — Электротехни-
ческая промышленность. Аппараты высокого напряжения, трансфор-
маторы, силовые конденсаторы, 1978, вып. 5 (85), с. 1—4.
384
12-13. Рогацкин М. А. Новые устройства для измерения токов
в параллельных ветвях трансформаторов и реакторов. — Электро-
техническая промышленность. Аппараты высокого напряжения,
трансформаторы, силовые конденсаторы, 1979, вып. 9 (101), с. 4—6.
К гл. 13
13-1. Березовский А. А., Кравченко А. Н., Нижник Л. П. Рас-
чет добавочных потерь в баке трансформаторов. — Электричество,
19'66, № 9, с. 1—7.
13-2. Лейтес Л. В., Мастрюк<Й>^$И. А. Снижение добавочных
потерь в баке мощных стержневых реакторов. — Электричество,
1966, № 9, с. 8—13.
13-3. Кошель С. А., Сисуненко О. И., Юрченко Е. А. Расчет
на ЭЦВМ потерь в баках трансформаторов. — Электротехническая
промышленность. Аппараты высокого напряжения, трансформаторы,
силовые конденсаторы, 1972, вып. 1 (10), с. 17—21.
13-4. Сисуненко О. И. Расчет потерь в баках трансформато-
ров. — Электротехническая промышленность. Аппараты высокого на-
пряжения, трансформаторы, силовые конденсаторы, 1971, вып. 7,
с. 13—17.
13-5. Борю Н. В., Калайда Г. И., Береза В. Л. К расчету по-
терь в баках крупных силовых трансформаторов. — Электротехни-
ка, 1966, № 8, с. 60—62.
13-6. Карасев В. В., Лейтес Л. В., Филиппов А. Е. Расчет
электромагнитного поля и потерь в стальной оболочке трехфазного
токопровода.—Электротехника, 1978, № 4, с. 16—20.
13-7. Кохан П. Г. Расчет потерь на вихревые токи в ферромаг-
нитных прессующих кольцах силовых трансформаторов. — Электро-
техническая промышленность. Аппараты высокого напряжения,
трансформаторы, силовые конденсаторы, 1971, вып. 5, с. 10.
Дополнительная литература
Каганович Е. А., Райхлин И. М. Испытание трансформаторов
мощностью до 6300 кВ-А и напряжением до 35 кВ. 3-е изд. М.:
Энергия, 1980. — 312 с.
Киш Л. Нагрев и охлаждение трансформаторов./ Пер. с вен-
герского М. А. Вики. Под ред. Г. Е. Тарле. —М.: Энергия, 1980.—
208 с. ।
Матханов П. Н., Гоголицын Л. 3. Расчет импульсных транс-
форматоров. Л.: Энергия, Ленингр. отд-ние, 1980. — 109 с.
Трансформаторы тока/ В. В. Афанасьев, Н. М. Адоньев,
Л. В. Жалалис и др. — Л.: Энергия, Ленингр. отд-ние, 1980.—344 с.
Баев Е. Ф., Фоменко Л. А., Цымбалюк В. С. Индуктивные эле-
менты с ферромагнитными сердечниками. — М.: Советское радио,
1976 —320 с.
Титко А. И., Счастливый Г. Г. Математическое и физическое
моделирование электромагнитных полей в электрических машинах
переменного тока. — Киев: Наукова думка, 1976. — 200 с.
Шопен Л. В. Бесконтактные электрические аппараты автомати-
ки.— М.: Энергия, 1976. — 568 с.
Дымков А. М., Кибель В. М., Тишенин Ю. В. Трансформаторы
напряжения. Изд. 2-е. — М.: Энергия, 1975. — 200 с.
Фишлер Я. ^1., Урманов Р. Н. Преобразовательные трансформа-
торы.— М.: Энергия, 1974. — 224 с,
385
Данцис Я. Б. Методы электротехнических расчетов руднотерми-
ческих печей. — Л.: Энергия, Ленингр. отд-ние, 1973.— 184 с.
Русин Ю. С. Трансформаторы звуковой и ультразвуковой часто-
ты.—Л.: Энергия, Ленингр. отд-ние, 1973.— 152 с.
Сливинская А. Г. Электромагниты и постоянные магниты. — М.:
Энергия, 1972. — 248 с.
Вдовин С. С. Проектирование импульсных трансформаторов.—
Л.: Энергия, Ленингр. отд-ние, 1971. — 147 с.
Кварценаполиенные взрывобезопасные шахтные трансформато-
ры и подстанции/ И. И. Зайцев, А. И. Кубрак, А. И. Плетнев,
В. В. Шилов. — М.: Энергия, 1970. — 176 с.
Основы теории электрических аппаратов/ Б. К. Буль и др. Под
ред. Г. В. Буткевича. — М.: Высшая школа, 1970. — 600 с.
Вертинов А И., Кофман Д. Б. Тороидальные трансформаторы
статических преобразователей. — М. Энергия, 1970 —96 с.
Норденберг Г. М. Трансформаторы для радиоэлектронной аппа
ратуры. — Л.: Энергия, Ленингр. отд-ние, 1970. — 240 с.
Бамдас А. М., Савииовский Ю. А. Дроссели переменного тока
радиоэлектронной аппаратуры (катушки со сталью). — М.: Совет-
ское радио, 1969. — 248 с.
Ермолии Н. П. Расчет трансформаторов малой мощности.
Изд. 2-е,— Л.' Энергия, Ленингр. отд-ние, 1969.— 192 с.
Окуиь С. С., Сергеенков Б. Н., Киселев В. М. Трансформатор
ные и трансформаторно-тиристорные регуляторы — стабилизаторы
напряжения. — М. Энергия, 1969.— 184 с.
Гордон А. В., Сливинская А. Г. Электромагниты переменного
тока. — М.: Энергия, 1968. — 200 с.
Бамдас А. М., Шапиро С. В., Давыдова Л. Н. Ферромагнитные
делители частоты.-—М.: Энергия, 1967. — 112 с.
Дроздов А. Д., Электрические цепи с ферромагнитными сердеч-
никами в релейной защите. — М.—Л.: Энергия, 1965. — 240 с.
Бамдас А. М., Шапиро С. В. Трансформаторы, регулируемые
подмагничиванием. — М—Л.: Энергия, 1965.— 160 с.
Морозов Д. Н. Добавочные потери в элементах конструкции
трансформатора от полей рассеяния. — В кн. Трансформаторы.
Вып. 8. Под ред. А. Г. Крайза. — М.—Л.: Госэнергонздат, 1962.—
104 с.
Тир Л. П. Трансформаторы для установок индукционного на-
грева повышенной частоты. — М.—Л.: Госэнергонздат, 1961.—
239 с.
Либкинд М. С. Управляемый реактор для линий передачи пере
менного тока. — М.: Изд-во АН СССР, 1961. — 140 с.
Бальян Р. X. Трансформаторы малой мощности. — М.: Суд-
промгиз, 1961. — 367 с.
Бамдас А, М., Кулинич В. А., Шапиро С. В. Статические пре-
образователи частоты и числа фаз.—-М.—Л.: Госэнергонздат,
1961. —208 с.
Тихомиров П. М. Расчет трансформаторов для дуговых элек-
трических печей. — М.—Л.: Госэнергонздат, 1959.— 208 с.
Долгинов А. И. Резонанс в электрических цепях и системах
М.—Л.: Госэнергонздат, 1957.— 328 с.
Цыкин Г. С. Трансформаторы низкой частоты. Изд. 2-е, — М.:
Связьиздат, 1955. — 431 с.
Вольдек А. И. Схемы замещения индуктивно связанных цепей
и их параметры.— Таллин: Эстон, госуд. изд-во, 1952. — 36 с.
оос-
приложение 1
указатель основных таблиц и расчетных графиков
Формулы электромагнитного расчета идеализированных элек-
тромагнитных систем (табл. 1-1) .................19-—20
Формулы для оптимизации и оценки технико-экономических
параметров реакторов (табл. 1-2)......................22—25
Оптимальные соотношения размеров реакторов (рис. 1-3) . 27
Диаграммы избыточного расхода материалов реакторов
(рис. 1-4)................................................ 29
Основные понятия и законы электромагнитного поля и цепей
раигл Zu .......... ------uo,
39
Параметры некоторых проводников (табл. 2-4) ... 61
Характеристики стали МСт2. (рис. 2-8)..............62
Эквивалентная толщина листа (экрана), &эн (рис. 2-10) . . 64
Оптимальная толщина электромагнитного экрана, 60пт
(рис. 2-11) ....................................64
Коэффициенты влияния проводящего полупространства на
поле у его поверхности, Ки, Кв (рис. 2-12) .... 67
Способы физического моделирования (табл. 3-1) . . . 78—79
Характеристики электротехнической стали (рис. 6-4, 6-5 и
ши», и-ч ............ -ми,
140
Параметры кусочно-синусоидальной кривой (рис. 6-6,в) . 143
Коэффициенты влияния вихревых токов на магнитное поле
и потери в стальном листе (рис* 6-8).............150
Кривые анизотропии стали марки МЗ-Н (рис. 6-14) . . 167
Кривые намагничивания и потерь в зазорах шихтовки
(рис. 7-6)...................................186
Выпучивание магнитного поля у зазора реактора —• уширение
зазора 8 (рис. 7-7,в)........................190
Допустимая длительность перевозбуждения при наличии
стяжных шпилек (табл. 7-2) ...... 199
Коэффициент влияния кривизны на радиальную индукцию
поля рассеяния, Кт (рис. 8-2)................219
Коэффициенты а, Р и «д магнитного поля шины (рис. 8-5) 227
Формулы средних геометрических расстояний некоторых фи-
гур (табл. 9-2) 253
Коэффициент К,. для расчета индуктивности круглой обмот-
ки без стали (рис. 9-10) 278
Коэффициент для расчета индуктивности стержневого без
ярм реактора (рис. 9-11,6)....................... 280
Коэффициент влияния электрического сопротивления (разме-
ров) контура на потери в нем, р/Н2 (рис. 10-1,в) . . . 297
Коэффициент влияния вытеснения поля на потери в обмотке,
Квыт (рис. 11-7 и 11-9) ................. 327, 329
Коэффициенты для расчета потерь в обмотке из фольги
(рис. 11-11,в) ...................................... 333
Относительное «укорочение» внутренней обмотки для умень-
шения внешнего (у бака) магнитного поля, Д/Л (рис. 13-1,е) 367
Формулы эквивалентирования частоты (табл. 13-1) . . . 371
387
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — магнитный векторный потенциал, Вб/м
а — ширина обмотки, провода, м
В — магнитная индукция, Тл
b — толщина провода, пластины, м
С — электрическая емкость, Ф
D — диаметр (без индекса — средний), м
Е — напряженность электрического поля, В/м
F — сила механическая, Н
f — частота, Гц
G — масса, кг
g— проводимость электрическая, См=Ом-1
g— среднее геометрическое расстояние, м
gn — проводимость магнитная, Гн
Н—напряженность магнитного поля, А/м
h — высота, м
I — плотность тока, А/м2
J — намагниченность, А/м
/=К=1
L — индуктивность, Гн
т — число однотипных или одинаковых частей
jri— число обмоток или их частей; чисто параллельных ветвей
Р — потери (активная мощность), Вт
Рп — потери па единицу поверхности, Вт/м2
р — удельные потери на единицу объема или массы, Вт/м3 или
Вт/кг
Q — реактивная мощность, вар
q— удельная объемная механическая нагрузка, Н/м3
q— удельная (на единицу поверхности) тепловая нагрузка,
Вт/м2
/?м — магнитное сопротивление, 1/Гп=А/Вб
5, X — полная мощность; комплексная мощность, В-А
X — площадь сечения, поверхности, м2
V — объем, м3
1ГМ — энергия магнитного поля, Дж
W — чисто витков
Y — комплексная проводимость, См
Z — комплексное сопротивление, Z=r-\-jx, Ом
Zgp n ==Zgnp =0,5 (Zjtgp-TZitgn-Zkp n)
z — полное сопротивление, z=^г2 + х2, Ом
d
г — оператор по [2-3], г = г + L
388
Y — плотность материала, кг/ма ,
6 — «глубина проникновения», 8 = К2р/о>ца, м
е — диэлектрическая проницаемость (ео — абсолютная, Ф/М,
бг — относительная)
ер—электрическая постоянная, ео=1/с2Цо^1/(36л-109), Ф/м
л — длина волны, пространственный период, м
ц— магнитная проницаемость (цо— абсолютная, Гн/м, цг—
относительная)
Цо — магнитная постоянная, цо=4л-1О-’ Гн/м
П — вектор Пойнтинга, Вт/м2
р — удельное электрическое сопротивление, Ом-м
рр> рв, Рн — коэффициент Роговского и аналогичные ему коэф-
фициенты
о — механические напряжения, а
Ф — магнитный поток, Вб
<р — потенциал электрический, В
<р — фазный угол
— потокосцепление, Вб
й — телесный угол, ср
ш — частота угловая, ы=2л/, рад/с
Индексы
1, 2.....g, i, j, k, I, tn, n, p, q, s—номера обмоток, сторон,
ветвей, частей, витков
тип — касательная и нормальная составляющие
s — насыщение
S — сумма
О — намагничивание (например, 10 — намагничивающий ток)
а — активная составляющая
б — базисная величина (значение), бак, боковая сторона
в — вихревые токи, вставка, виток
д — действующее значение величины
з—зазор, заряд
к — короткое замыкание (КЗ), параметр КЗ; кольцевой сектор;
канал
м — магнитный параметр; параметр модели
н, ном — номинальная величина (параметр)
о — ветвь схемы замещения, связанная с общим зажимом;
основной параметр
об — параметр провода обмотки или всей обмотки
ок — окно
ос — осевая составляющая
п — параметр поверхностного слоя или поля у поверхности; пол-
ный
пр — приведенный параметр; провод; прямоугольный
р — радиальный; расчетный; расщепление
рас — рассеяние;
ср — средняя величина (параметр)
ст — параметр стали магнитопровода, стержня
УД — удельный параметр
ц — циркулирующий; цикл
э — эффективный параметр
я — ярмо
389
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................................. 3
Глава первая. Введение....................................... 6
1-1. Трансформаторы и реакторы........................... 6
1-2. Содержание и цели электромагнитных расчетов . . 8
1-3. Основные параметры трансформатора ..... Ю
1-4. Особенности реакторов...............................13
1-5. Технико-экономические оценки и оптимизация . . 17
Глава вторая. Методы расчета электромагнитного поля 31
2-1. Основные уравнения..................................31
2-2. Энергия, индуктивность и механические усилия . 40
2-3. Классификация методов решения задач .... 44
2-4. Метод моделирования полем токов проводимости . . 53
2-5. Методы расчета поля с учетом поверхностного эф-
фекта . . ...................................58
2-6. Метод применения принципа наложения ... 68
Глава третья. Подобие и физическое моделирование . 73
3-1. Физическое подобие и моделирование электромагнит-
ных процессов..................................... 73
3-2. Упрощенное моделирование . ........................77
3-3. Законы роста трансформаторов и реакторов ... 86
Глава четвертая. Электромагнитные процессы в реак-
торе и трансформаторе..................................95
4-1. Основные процессы...................................95
4-2. Потоки мощности..............................101
4-3. Уравнения трансформатора.....................106
4-4. Методы измерения параметров..................113
Глава пятая. Схемы замещения трансформаторов . . . 115
5-1. Назначение схем замещения....................115
5-2. Способы построения схемы замещения...........117
5-3. Построение схемы замещения по схеме магнитной цепи 119
5-4. Схемы без учета намагничивающего тока . . . . 126
Глава шестая. Свойства электротехнической стали . 129
6-1. Общие замечания..............................129
6-2. Кривая намагничивания........................130
6-3. Удельные потери и намагничивающая мощность . . 137
6-4. Вихревые токи в стали........................145
6-5. Потери при несинусоидальной индукции '. . . 163
6-6. Анизотропия, магнитострикция, удельное сопротивле-
ние ......................’.......................167
Глава седьмая. Расчет параметров магнитных систем 169
7-1. Классификация ...................................169
7-2. Расчет магнитных потоков и индукции .... 175
7-3. Расчет потерь и намагничивающего тока . . . . 185
7-4. Влияние соединенной в треугольник обмотки и зазем-
ленной нейтрали....................................192
7-5. Влияние «полувитков» ... ... 196
7-6. Перевозбуждение..................................198
7-7. Токи включения...................................203
7-8. Токи в магнитопроводе ...........................207
7-9. Шум и вибрации . . 208
Глава восьмая. Расчет магнитного поля вне стали . . 210
8-1. Общие замечания..................................210
8-2. Основные допущения...............................211
8-3. Плоскопараллельное двухмерное поле...............219
8-4. Поле пространственно-периодического тока . . . 220
8-5. Поле прямолинейной шины и пары шин .... 225
8-6. Поле обмотки без стали...........................232
8-7. Расчет поля с фиксированной длиной силовых линий 237
8-8. Измерение параметров магнитного, поля .... 243
Глава девятая. Расчет индуктивностей ..... 246
9-1. Общие сведения...................................246
9-2. Метод средних геометрических расстояний . . 250
9-3. Метод плотности энергии магнитного поля . . . 257
9-4. Метод мощностей..................................266
9-5. Зависимость индуктивности от частоты .... 272
9-6. Способы расчета для некоторых простых случаев . 277
9-7. Порядок расчета сопротивления КЗ при сложных
схемах........................................... 285
Глава десятая. Общие вопросы добавочных потерь, . 290
10-1. Классификация потерь . .............Л 290
10-2. Потери от основных, циркулирующих н вихревых токов 294
10-3. Влияние параметров контура на потери в нем . . 296
10-4. Методы снижения добавочных потерь................299
10-5. Зависимость потерь от тока, температуры и частоты 303
10-6. Измерение потерь.................................306
Глава одиннадцатая. Потери в обмотках от вихревых
токов.................................................311
11-1. Потери в отдельных проводе и пластине . . . . 311
11-2. Потери при слабом поверхностном эффекте . 319
11-3. Влияние вытеснения поля на потери ... 323
11-4. Потери при сильном поверхностном эффекте 330
11-5. Оценка потерь в обмотках из фольги .... 332
11-6. Потери при несинусоидальном токе.................338
Глава двенадцатая. Потери от циркулирующих токов 340
12-1. Общие замечания................................. 340
12-2. Оценка распределения тока по схемам замещения . 345
12-3. Метод циркулирующих токов........................348
12-4. Потери от несовершенства транспозиции в винтовых
И катуцгечных обмотках...........................
12-5. Особенности экспериментального исследования токо-
распределения . .................................361
Глава тринадцатая. Потери в массивных элементах
конструкции........................................362
13-1. Общие замечания ...............................362
13-2. Потери в стенке бака.......................... 366
13-3. Потери в прессующем кольце.....................368
13-4. Потери в стальных деталях при несинусоидальном
токе.............................................369
Список литературы.......................................374
Приложения............................................ 387
1. Указатель основных формул и расчетных графиков . 387
2- Основные обозначения.................................388