Andrey Uymin
Термодинамика 1

Задача 1. Теоретическое введение
Часть A. Уравнение Бернулли

Рассмотрим стационарное движение идеального газа по гладкой узкой адиабатически
изолированной трубе с медленно изменяющейся площадью поперечного сечения.
Движение происходит в гравитационном потенциале φ(⃗r), представляющем собой потенциальную энергию единицы массы.
На входе в трубу площадь поперечного сечения равна S0 , гравитационный потенциал
равен φ0 а плотность, температура и скорость газа равны ρ0 , T0 и v0 соответственно.
Рассмотрим поперечное сечение трубы с площадью S. В данном сечении гравитационный потенциал равен φ, а скорость равна v.
Молярная масса и теплоёмкость газа при постоянном объёме равны соответственно µ
и CV , а универсальная газовая постоянная равна R.

A1 Найдите плотность ρ газа в сечении S. Ответ выразите через ρ0 , S0 , v0 , v и S.
Выделим элменеты газа, в данный момент заключённые между сечениями S0 и S.

A2 Найдите суммарную механическую мощность N сил давления, действующих на выде-

ленный объём газа в сечениях S0 и S. Ответ выразите через ρ0 , S0 , T0 , µ, R и температуру
T газа в сечении S.
Адиабатический процесс в комбинации с первым началом термодинамики часто записывают как ∆U + A = 0, где A - механическая работа системы. Однако, такая запись
является верной только в том случае, если центр масс системы можно считать неподвижным. В действительности, внутренняя энергия газа представляет собой кинетическую энергию движения молекул относительно центра масс.
Полная кинетическая энергия системы по теореме Кёнига равна Ek = mvC2 /2 + U .
Учтём данное обстоятельство следующим образом: поскольку движение газа является
стационарным, изменение энергии выделенного объёма газа можно найти как изменение энергии его малого участка, переместившегося из сечения S0 в сечение S.

A3 Выразите температуру газа T в сечении S через v, v0 , T0 , φ, φ0 , µ, R и CV .
Часть B. Уравнение Эйлера
Полученное при решении пункта A3 уравнение Бернулли представляет собой комбинацию теоремы о движении центра масс в энергетической форме, а также закона изменения энергии в системе отсчёта центра масс.
Для полного понимания происходящего рассмотрим эти процессы по отдельности.
Примечание: оператор
∇ = ⃗ex ·

∂
∂
∂
+ ⃗ey ·
+ ⃗ez ·
∂x
∂y
∂z

называется оператором Набла.
Например, для гравитационного поля верно: ⃗g = −∇φ

B1 Покажите, в любом процессе движения газа для его ускорения⃗a верно:⃗a = −∇p/ρ−∇φ.
Для этого рассмотрите бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, считая его
плотность постоянной по всему объёму.

Условие: страница 1 из 8

Andrey Uymin
Часть C. Динамический вывод уравнения Бернулли
Если рассмотреть закон изменения энергии в системе отсчёта центра масс бексконечно малого элемента газа, то в ней верно, что ∆U + A = 0, поскольку в системе отсчёта
центра масс работа сил инерции равна нулю.

C1 Получите уравнение, связывающее давление p с температурой T газа.
Ответ выразите через T0 , p0 , CV и R.

C2 Домножая выражение для ускорения скалярно на малое перемещение d⃗l, покажите,
что в дифференциальной форме энергетическая теорема о движении центра масс выглядит следующим образом: vdv = −dp/ρ − dφ.

C3 Комбинируя результаты пунктов C1 и C2 найдите температуру газа в сечении S.
Часть D. Стационарное движение с подводимой мощностью.
Рассмотрим стационарное движение газа при наличии подводимой мощности N .

D1 Пусть к участку трубы между сечениями S и S0 подводится мощность N0 .

Найдите температуру T газа в сечении S. Ответ выразите через ρ0 , S0 , v0 , v, T0 , φ, φ0 , µ,
R и CV .
Будем характеризовать подводимую мощность коэффициентом α(⃗r) = dN/dl - мощностью, получаемой единицей длины трубы.

D2 Найдите молярную теплоёмкость газа
 C в точке
⃗r.

 с радиус-вектором


Ответ выразите через µ, ρ0 , S0 , v0 , α ⃗r и dT ⃗r dl = T ′ ⃗r .

Часть E. Скорость звука в газе
Рассмотрим распространение малых возмущений в газе. Примем следующую модель:
В трубе постоянного сечения S находится невозмущённый газ с плотностью ρ0 . Вдоль
трубы со скоростью v движется возмущённый газ, плотность которого ρ постоянна во
всём возмущённом объёме. При возмущении газ мгновенно приобретает скорость v.
Под скоростью звука c мы будем понимать скорость перемещения границы возмущённой и невозмущённой областей.

E1 Давление в невозмущённой области газа равно p0 , а в возмущённой - p. Найдите массовый расход µ вступающего в движение газа. Ответ выразите через p, p0 , S и v.

E2 Рассматривая движение газа в системе отсчёта, связанной с границей областей, выразите скорость v возмущённой области через ρ, ρ0 и c.

E3 Выразите скорость границы областей c через p, p0 , ρ и ρ0 .
Во что переходит выражение при p → p0 и ρ → ρ0 ?

E4 Распространение возмущений в газе происходит достаточно быстро, поэтому может

считаться адиабатическим. Выразите скорость звука c в газе через его молярную массу
µ, температуру T и показатель адиабаты γ.

Условие: страница 2 из 8

Andrey Uymin
Задача 2. Две модели атмосферы
Наиболее часто в задачах используются изотермическая и адиабатическая модели атмосферы. В данной задаче мы получим основные характеристики данных моделей.
Атмосфера состоит из идеального газа с молярной массой µ и количеством степней
свободы i. На поверхности планеты атмосферное давление равно p0 , а температура
равна T0 . Во всех пунктах задачи предполагается равновесное состояние атмосферы.
Направим ось z с началом на поверхности вертикально вверх. Ускорение свободного
падения равно g. Универсальная газовая постоянная равна R.

Часть A. Изотермическая атмосфера
Рассмотрим атмосферу, температура которой в каждой точке одинакова. Такая атмосфера называется изотермической.

A1 Найдите зависимость давления p в атмосфере от координаты z. Ответ выразите через
p0 , µ, g, R, T0 и z.

A2 Найдите массу газа в атмосфере, если площадь поверхности планеты равна S. Ответ
выразите через p0 , S и g.

A3 Чему равна теплоёмкость атмосферы? Ответ выразите через p0 , g, S, µ, R и i.
Часть B. Адиабатическая атмосфера
Адиабатической называется атмосфера, в которой слои воздуха могут перемещаться
без теплообмена друг с другом.

B1 Найдите зависимость температуры T атмосферы от координаты z. Ответ выразите через T0 , µ, g, R, i и z.

B2 Найдите зависимость давления p в атмосфере от координаты z. Ответ выразите через
p0 , T0 , µ, g, R, i и z.

B3 Найдите массу газа в атмосфере, если площадь поверхности планеты равна S. Ответ
выразите через p0 , S и g.

B4 Какое количество теплоты Q необходимо подвести к атмосфере, чтобы температура
на поверхности планеты увеличилась от значения T0 до значения T1 ? Ответ выразите
через p0 , S, g, µ, R, i, T0 и T1 .

Задача 3. Воздушная конвекция
Пространство между двумя большими горизонтально расположенными пластинами,
находящимися на расстоянии l друг от друга, заполнено воздухом. Температура нижней пластины поддерживается равной T1 , верхней — равной T2 < T1 . Считайте воздух
идеальным газом. Молярную теплоёмкость воздуха при постоянном объеме CV и его
молярную массу µ считайте известными.

A1 Определите, при какой разности температур T1 − T2 в системе возникает конвекция.
Теплообменом между соседними слоями воздуха при конвекции можно пренебречь.
В отсутствие конвекции температура меняется с высотой по линейному закону.

Условие: страница 3 из 8

Andrey Uymin
Задача 4. Марсианская атмосфера
Атмосфера Марса по большей части представляет собой разреженный углекислый газ,
который можно рассматривать находящийся в равновесии идеальный газ с молярной
массой µ. Масса Марса равна Mm и намного превышает массу атмосферы, радиус Марса равен Rm . Гравитационная постоянная равна G. Зависимость плотности атмосферы
от высоты h над поверхностью Марса задаётся уравнением:

ρ(h) = ρ0

h
1+
Rm

1−n
,

где ρ0 и n (n > 4) – постоянные.

A1 Запишите выражение, определяющее зависимость температуры марсианской атмосферы T (h) от высоты h.

Для исследования Марса аппарат малого объёма и массой mt должен приземлиться на
его поверхность. В начальный момент времени аппарат находится на некоторой высоте, много меньшей Rm , а его скорость равна нулю. Известно, что аппарат приземлился
на поверхность через время tl .
В процессе спуска можно считать, что аппарат не вращается, а плотность атмосферы и ускорение свободного падения такие же, как на поверхности. Сила сопротивления, действующая со стороны атмосферы на аппарат, движущийся со скоростью v,
пропорционально плотности атмосферы и v 2 с постоянным коэффициентом коэффициентом k.

A2 Найдите мгновенную скорость v(tl ) аппарата непосредственно перед посадкой.
Задача 5. Температура на поверхности самолёта
Самолёт движется со скоростью v в воздухе с показателем адиабаты γ и молярной массой µ. Вдали от самолёта температура воздуха равна T0 . Универсальная газовая постоянная равна R.

A1 Определите максимальную температуру Tmax на поверхности самолёта.
Задача 6. Истечение газа из сопла
Ракета движется за счёт реактивной тяги, возникающей при выбросе газа, нагретого
до высокой температуры. В камере сгорания (на входе в сопло) постоянно образуется
горячий газ высокого давления p1 и температуры T1 . Пройдя по соплу, газ через узкое отверстие вылетает в атмосферу с давлением p2 . Молярная масса газа µ. Процесс
истечения газа считайте равновесным и адиабатическим с показателем адиабаты γ.

A1 Найдите температуру газа T2 на выходе из сопла.
A2 Найдите скорость истечения газа v на выходе.

Условие: страница 4 из 8

Andrey Uymin
Задача 7. Тепловая пушка
Диаметр входного отверстия воздухопровода тепловой
пушки (см. рисунок) D1 = 20 см, выходного – D2 = 22 см.
При стационарной работе вентилятора и нагревателя скорость воздуха v = 1.5 м/с на входе и выходе оказалась одинаковой при разных давлениях p1 = 1.00 · 105 Па и p2 =
1.05 · 105 Па. Температура воздуха на входе в пушку равна t1 = 7 ◦ C.

A1 Найдите температуру t2 воздуха на выходе и мощность N , потребляемую тепловой
пушкой.

Задача 8. Реактивная трубка
В середине длинной трубки, открытой с обоих концов, перпендикулярно к её оси закреплён нагреватель в виде тонкой вольфрамовой сеточки. Система находится в воздухе при температуре t = 20 ◦ C, её общая масса M = 17 г. В начальный момент трубке
сообщается скорость v0 = 1 см/с вдоль её оси, к нагревателю начинает подводиться
мощность q = 20 Вт, и трубка начинает разгоняться.
Сопротивлением воздуха пренебрегите. Давление внутри трубки считайте одинаковым, силу тяжести и теплообмен через стенку трубки не учитывайте. Считайте, что
изменение кинетической энергии потока воздуха при пересечении сеточки мало по
сравнению с изменением его внутренней энергии. Считайте воздух двухатомным газом с молярной массой µ = 29 г/моль.

A1 Какой скорости достигнет трубка на пути разгона S = 20 м?
Задача 9. Подъём тёплого воздуха
На горизонтальном участке поля Вася очистил от чистого белого снега площадку с размерами 1 м × 1 м. Под лучами весеннего солнца чёрная земля прогревается и нагревает расположенный над ней воздух. Тепловая мощность, получаемая воздухом от площадки, равна W = 0.3 кВт — поскольку солнце зимой находится довольно низко над
горизонтом. В безветренную и сухую погоду при температуре воздуха T0 = 273 К и
давлении возле поверхности земли p = 105 Па столб тёплого воздуха, поднимающийся над площадкой, имеет на высоте h = 10 м температуру T1 = 275 К и поперечное
сечение, равное S = 2 м2 . Температура окружающего воздуха не зависит от высоты и
равна T0 . Молярная масса воздуха µ = 29 г/моль. Считайте воздух идеальным двухатомным газом.

A1 Оцените, с какой скоростью поднимается поток воздуха на высоте h, если процесс уже
установился.

A2 Оцените, на какую высоту поднялся бы тёплый воздух, если бы отсутствовал теплообмен между тёплым воздухом и окружающим его холодным воздухом.

Условие: страница 5 из 8

Andrey Uymin
Задача 10. Газовая батарея
На вход гладкой прямолинейной трубы постоянного сечения S, ось которой горизонтальна, поступает идеальный многоатомный газ, движущийся со скоростью v1 . Давление газа на входе в трубу равно P1 , плотность – ρ1 . Давление газа на выходе из трубы
равно P2 = P1 + ∆P .
Считайте, что в любом перпендикулярном сечении трубы плотность и давление газа
не изменяются со временем. Считайте, что во входном сечении плотность и давление
газа во всех точках одинаковы. То же относится и к выходному сечению. Определите:

A1 плотность ρ2 и скорость v2 газа на выходе из трубы;
A2 отношение температур газа T2 /T1 на выходе и на входе в трубу соответственно;
A3 тепловую мощность N , выделяемую трубой в окружающую среду.
Задача 11. Ударная волна
При ударной волне область повышенного давления распространяется в газе со скоростью, превышающей скорость звука. Рассмотрим ударную волну, в которой плотность
воздуха возрастает в два раза.

A1 Во сколько раз скорость распространения ударной волны превышает скорость звука?

Условие: страница 6 из 8

Andrey Uymin
Задача 13. Обтекание крыла самолёта
На рисунке приведено поперечное сечение крыла самолёта, изображённое вместе с
линиями тока воздуха в системе отсчёта, связанной с крылом.
Считайте, что:
• поток воздуха полностью двумерный (т.е. векторы скорости воздуха лежат в
плоскости рисунка);
• линий тока не зависит от скорости самолёта;
• ветра нет;
• динамическое давление гораздо меньше атмосферного давления p0 = 105 Па.
Разрешается использование линейки для измерений на рисунке.

A1 Чему равна скорость воздуха vP в точке P (см.рис.) относительно Земли, если скорость
самолёта равна v0 = 100 м/с?

В случае высокой относительной влажности при превышении самолётом критического значения скорости vcrit за крылом возникает поток капель воды. Капли образуются
в определённой точке Q.

A2 Отметьте точку Q на рисунке. Ответ обоснуйте.
A3 Оцените критическую скорость vcrit при относительной влажность невозмущённого
воздуха φ = 90%. Удельная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении и постоянном объёме равны cp = 1.00·103 Дж/(кг·К) и cV = 7.17·102 Дж/(кг·К) соответственно,
давление насыщенного водяного пара: psa = 2.31 кПа при температуре невозмущённого воздуха Ta = 293 К, и psb = 2.46 кПа при температуре Tb = 294 К.

Условие: страница 7 из 8

Andrey Uymin
Задача 14. Течение через элемент и прослойку
Идеальный газ молярной массы µ течёт слева направо через длинную прямую горизонтальную теплоизолированную трубу с гладкими стенками. Площадь её поперечного сечения равна S, внутренняя энергия одного моля газа с абсолютной температурой T равна 5RT /2, где R — универсальная газовая постоянная. Как показано на рисунке 1, в середине трубы размещён нагревательный элемент, имеющий постоянную
мощность W . Считайте сопротивление элемента воздушному потоку пренебрежимо
малым, а сам поток на концах трубы стационарным и однородным. На левом конце
трубы температура газа равна T0 , давление P0 , а скоростью потока v0 .

A1 Найдите температуру T1 газа на правом конце трубы, если его давление там равно P1 .
A2 Определите силу F , действующую на перегородку.
Пусть теперь в середине трубы находится пористая прослойка, как показано на рисунке 2, и поток в трубе стационарный и однородный. Температура, давление и скорость
течения газа слева от прослойки равны T0 , P0 и v0 соответственно, а давление справа
от прослойки равно P2 .

A3 Найдите скорость v2 течения газа справа от прослойки, если газ проходит через неё
без теплообмена.

Условие: страница 8 из 8