/
Текст
Н. Г. ЛЕКСИН
(с участием А. М. СЛОМИНСКОГО)
Щ6?£)
^ А Аьъ
УЧЕБНИК
АТ Е М АТИ Н
ДЛЯ 4-го ГОДА ОБУЧЕНИЯ
В ГОРОДСКИХ И СЕЛЬСКИХ ШКОЛАХ
ПЕРВОЙ СТУПЕНИ
О
\ СРЕДНЁ8ОЛЖСК0Е
1 КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
Д МОСКВА 1933 САМАРА
т*
i5Ji
ЦЕНТ»’»
побр.
OrJIABJIFHHF
Стр.
1. Нумерация 3
2. Действия с богьнг.мч чт слами 6
3. К у б . 14
4. Призма ..........17
5. Кубические меры 23
6. Уни f'- t и деление десятичной г; o'*я иа целее чгсг' Ут ;|ке
на 10, 100, 1000 J .24
7. Нахождение процента от 29
8. Признаки делимости 34
9. Равложеиие на множители и общее наименьшее кратное 39
10. Понятие о просто* д-оби и г~остей,1в<х се г., >■ t . . .40
11. Сл' чч.е и вычитание ip йстых дробей 47
12. Ум» женив н деление лробей 50
13. Изменяемость суммы, разности, произведения и частного. . . .52
14. Умножен х целит» ч »гла на дробь £5
15. Делен-е целого числа на иообь -58
16. Нахождение числа по данному его проценту 61
17. Окружность я круг. ^ 62
18. Процентный транспортир 70
19. Как множить десятичную дробь иа деоятнчнуп гг ' 71
20. Как делить д?ент>>члую дробь на де ттичнуюдр ос^. 72
21. Умножению v деление простых пробей . . .л 75
22. Порядок действий 79
23.’ Обращение простых дпобей в десятичные и обратно 80
24. Выражение числа в ь, другого ч. та. . . . 82
25. Работы на местности ■ 5^
Госудярств. библиотек»
= по переднему =*
образованию
№
реи ■ ' А. PH НУССПЛГ.ПНСКИЯ Техред>нтор Г. С’'*”' ■’■■г.
i Крайлит Г—1 ..ВГИЗ Jft с-1.11. »In д. VI-У 13. Ти; ■* ' » фс~;.г- i '.i 7'v°'.
5,5п. л. Kern т. т -■ в ' п. Ji (
в.гл е .
; *9/2:' 1
г
Нумерация
1. Дайте обстоятельные письменные ответы на следующие вопросы!
Какая саман большая единица мер длины?
Какую часть километра составляет метр?
Какую часть метра составляет миллиметр?
2. Рассмотрите следующие таблицы:
1 км=1 ОСЮ м 1 тонпа=1 ООО кг
1 м =1 ООО мм 1 кг =1 ООО г
Если миллиметр принять ва простую единицу, тогда чем будет метр?
Чем будет при этом условии километр?
Если грамм принять ва простую единицу, тогда чем будет килограмм?
Чем будет при втом условий тонна?
3. Рассмотрите внимательно следующую таблицу.
Километр
Метр
Миллиметр
Тонна
Килограмм
Грамм
Третий класс
Класс мкллио.юв
Второй класс
Класс тысяч
Первой класс
Класс простых единиц
Десятичны едроби
о
х
X
CJ
Ы
X
§
X
X
н
к
в;
а
Щ
к
о
3
Какими же классными единицами пользуются при счете больших коли¬
честв, больших чисел?
Сколько вы теперь внаете классов? Сколько разрядов в каждом классе?
Навовпте разряды в каждом классе.
4. Скажите, как вы считали до 1 ООО?
Какими единицами вы тогда считали?
Как вы считали до 1 миллиона?
Какими едтицами вы считали в атом случае?
Как будете считать до 1 миллиарда?
Какими единицами будете считать при этом?
А как теперь будете считать миллиардами?
Заметить. 1. 31пллиад д:^ма считают совершенно так же, как
ППП ШППМ,
считают простыми единицами, как считают тысячами, как считают
миллионами.
2. Миллиард—такая же счетная единица, как и простая единица
как и тысяча, как и миллион.
3. При счете миллиардами пользуются теми же самыми словами,
которыми пользовались при счете простыми единицами.
6. Сделайте маленькие кольцевые счеты по приведенному 8десь рисунку
масштабе 1 : 5.
Покажите проволоки, на
которых откладыг а отся
только простые единицы,
составляющие первый
класс.
На каких проволоках
следует откладывать еди
ницы второго класса, иле
класса тысяч?
На каких проволоках
откладываются единицы
третьего класса, или же
класса миллионов?
Ш каких проволоках
следует откладывать еди¬
ницы четвертого класса!
или класса миллиардов?
С. Организуйте работу
по чтению чисел, отложенных на приготовленных вами счетах, в каждой
бригаде: один член бригады обозначает числа при помощи шариков, другщ
читают эти числа сначала про себя, а потом и вслух. Бригадир наблюдае
за правильностью хода работы, организует правильное ее усвоение, изу
чение.
Организуйте в бригадах работу по записыванию па доске и в тетрадя;
каждого отложенного на счетах числа. Как распределите эту. работу межд;
собою?
7. Ответьте письменно на следующие вопросы:
Во сколько раз миллиард больше миллиона? Больше тысячи? Во сколыо
раз он больше единицы?
Во скольке раз миллион больше тысячи? Больше единицы?
Сколько миллионов в миллиарде? Сколько тысяч в миллиарде?
Сколько тысяч в миллионе?
Какую aacTt миллиарда составляет миллион? Какую часть миллиард;
составляет тысяча?
Какую часть миллиона составляет тысяча?
8. Империалистическая, а затем и гражданская воина разрушила иаро,^
ьое хозяйстве СССР. Лишь после гоажданской воины партия п советски
власть приступили к работе по восстановлению народного хозяйства. Кои
цом восстановительного периода считают 1928 хозяйственный год.
Каковы же бьши итоге восстановительного периода за пятилетие
с%1923 кб 1328 гг. включительно?
Ответ к& этот вопрос получите, читая и записывая приведенные далее чнол4
а) Население СССР состояло в 1913 г. из 139 700 ООО чел., а в 1928 гс
из 151 300 00(7 чел.
* ф '
б) Посевная площадь в 1913 г. была равна 113 700 ООО га, а в 1928 году
равнялась 155 600 ООО га.
в) Скота было в 1913 г. 84 900 000 голов, и в 1928 г. 84 900 000 голов.
г) Продуктов земледелия было собрано в 1913 г. на 10 500 000 000 руб.,
а в 1928 г. на 11 000 000 000 руб.
д) Длина железнодорожного пути в 1913 равнялась 58 500 км, а в
1928 г. стала равной 76 900 км.
е) В 1913 г. было добыто каменного угля двадцать восемь миллионов
девятьсот тысяч тонн, а в 1928 г. было добыто тридцать пять миллионов
четыреста тысяч тонн.
ж) Чугуна в 1913 г. было выпущено четыре миллиона двести тысяч
тонн, а в 1928 г. выпущено три миллиона триста тысяч тонн. ^
з) В 1913 г. стали было выпущено четыре тысячи двести тысяч тонн,
а в 1928 г. четыре тысячи тонн.
и) Сельскохозяйственных машин в 1913 г. было выпущено на шестьде¬
сят семь миллионов рублей, а в 1928 г.,—на сто двадцать пять миллионов
рублей.
к) В 1913 г. было выпущено суперфосфата (минеральное удобрение)
пятьдесят пять тысяч тонн, а в 1928 г. сто пятьдесят тысяч тонн.
л) В 1913 г. было выработано шерстяной ткааи девяносто пять тысяч
метров, а в 1928 г.—девяносто семь тысяч метров.
м) Сахарного носку в 1913 г. было выпущено тысяча двести девяносто
тысяч тонн, а в 1928 г.—тысяча триста сорок тысяч тонн.
н) Народный доход в 1913 г. равнялся четырнадцати миллиардам пяти¬
стам миллионам рублей, а в 1928 г. он равнялся пятнадцати миллиардам ста
миллионам рублей.
Каковы итоги восстановительного периода? Что еще не было восстанов¬
лено?
9. Запишите цифрами все «гасла предыдущей задачи, отбросьте, где вто
возможно, в этих числах нули и выразите числа в тысячах, миллионах и
миллиардах (сокращенно: тыс., млн., млрд.), причем все эти числа располо¬
жите в виде приведенной здесь таблицы.
п- п.
\
Название
статьи
1913 г.
1928 г.
1
1
Население.
139700000 чел., или
139 700 тысяч, или
139,7 млн.
2
Посевная
площадь.
3
Скот и т. п.
10. Прочтите п запишите следующие дапные по Средневолжскому краю:
а) Территория края—242 ООО тыс. кв. км.
б) Посевная площадь (в 1932 г.1—9 636 тыс. га.
в) Население края—7,6 млн. чел.
г) В промышленность н транспорт края за три гада пятилетки вложе¬
но 114 000 000 руб.. иричем капиталовложение в промышленность с 12 мин.
pyR. в 1929 г. возросло до 45 ООО тыс. руб. в 1931 г. и*И66 ООО ООО руб., в
1932 г.
д) Общее-количество лиц наемого труда в 1932 г. достигло 632 тыс. чел.
вместо ЗЬ7 тыс. чел, в 1923 г.
е) Количество рабочих в совхозах возросло о 18 200 чел. в 1928 г. до
102 500 чел. в 1931 г.
ж) В !£)32 г. Харьковский л Сталинградский тракторные заводы и завод
«Красный путиловец» дадут стране сто пятьдесят тысяч тракторов.
Действия с Сбившими числами
11. Для развития народного хозяйства нужно огромное количество
топлива, металла, сельскохозяйственного сырья в т. п. Научные ивыскавил
последнего времени открывают в СССР все новые и новые запасы естествен¬
ных богатств.
До 1914 г. в Донецком бассейне запасы каменного угля исчислялись в
56 млрд. тонн, а в настоящее время благодаря новым иаысканиям их можно
уже считать ва V» больше, чем было до 1914 г. Определите вапасы каменного
угля в Донбассе в настоящее время.
12. По приведенной ншке таблице вычислите общую добычу каменного
угля в СССР в 1928 г. и в 1932 г., т. е. в конце пятилетки. Покажите, на
сколько увеличится ва пятилетку добыча каменного угля по каждому
району и по всему СССР. (В миллионах тонн).
ГОДЫ
Донбасс
KyiGacc
Урал
Подмос¬
ковный
район
Восточ¬
ная
Сибирь
Средняя
Азия
•
Кавказ
Прочие
районы
1928
1932
27,26
52,50
2,46
6,00
2,00
6,10
1,18
4,20
1,91
4.00
0,23
1,00
0,11
0,60
0,25
0,60
13. По таблице, приложенной к настоящей задаче, нужно вычислить:
а) Потребление каменного угля в начале пятилетки и в конце пятилетки,
б) Увеличение потребления каменного угля за пятилетку.
шв
□. п.
Единицы изме¬
рения
1928 г.
1932 г.
1
Промышл.-техническое потреб¬
ление
Млн. тонн.
33,03
60,5
2
Бытовое потр бление. . . .
—
2,4
4,3
3
Общее потребление . . . ,
“ 1
По ятаган «*дач 15 и 16 найдите остаток каменного угля в СССР в начале
* * маца шпмапш,
14. По приведенной далее таблице вычислите общую добычу каменного
угля И РСФСР В 1СС8 P.UB 1.0: ;• 'ТИ : :КП.
ГОДЫ
Единицы
измерен.
Централ.
промышл.
район
Л
О.
\о
&
W
Урал
К
X
«0
ТС
р»
X
ье
i
$
те
X
9
X
со т
и 1?
а
Ж
ы
f
«
те
а
£ х
Е р
« “
СТ Я
1928
Млв. тонн
1,2
2,5
2,1
0,2
0.7
2,0
0,6
0,3
1932
—
4,2
6,7
6,1
о.я
5,1
Ь
3,5
На сколько увеличится в концу пятилетки добыча в каждом районе и
во РСФСР?
24. Составьте таблицу ежегодной добычи нефти в СССР, если в 1928 г.
было добыто 11,5 млн. тонн; в 1929 г. на 1,9 м га. тонн „о.ь.т ; в 19.Ю . га
1,8 алы тонн больше предыдущего года; в 1931 г. на 1,9 млн. тонн юль-
ше, чем л предшествующем году, а в 1932 г. на 9,3 мля тонн меньше, чем
в на^зше даа годя нлгживтя®, j лд 2,7 млн. тонн меньше, чем з 1933 г., *. е.
в перлом году’ второй пятилетки.
Сколько всего нефти добыто в течение пятилетки?
16. По воему СССР в 1928 г. было добыто 6,9 млн. тонн торфа, в конце
же пятилетки было предположено увеличить добычу- торфа на 9,1 млн тонн.
Сколько будет добыто торфа в СССР в 1932 г.?
17. Потребление торфа по СССР вцдао кз приведенной далее таблицы*
Найдите потребление торфа в СССР в 1928 г. н а 1932 г. Каково увеличение
потребления торфа ао задам его в течение пятилетки?
Ш6
п. п.
Виды потребления
Единицы
намерзлия
1928 г.
1932 г.
1
Промышл.-технич.
2
потреблений . .
Бытовое потребле¬
Млн. тонн
4,40
10,34
ние . , . . .
—
—
—
Общее потребление
2,22
4,00
18- S?готовка и потребление дров в СССР определяется так:
а) В 1923 г. ваготовка равнялась 50,49 мла. куб..к, р п, а потребление
на 0,15 млн. кубометров меньше..
б) В 1932 г. сравнительно с 1928 г. ваготовка увеличится на 7,51 мля.
кубометров, а потребл яли на 6,96 млч. к\Go..>а.
Составьте таблицу ваготог-т-и и потребления дров в СССР н эти годы.
Рчмвчается ли вначитедьный рост ваготовок н потребления дров? Чем это
сб‘ -чется?
' На Украине в 1928 г. добыто 7,5 мля. тонн антрячттта, а в 1932 г.
16.5 чтн ТОГ-Л. Шсброгите JJiiJlL гу П’Пр В'.: ГОТь: i -ч» . I а граммы.
20. Добыча Ау’р5й#дя:.-н.->- м . .. в !Ул’-' г. со.и.ьти.и ., млн ram,
в 1932 г. добыча увеличена ва 5 мдк тона. Шсбрааяте в вддо диаграммы
добычу шлфтт м шт ж&а*
7
21. Добыча нефти на Сахалине по года такова: в 1928 г.—36 тысяч
тонн, в 1929 г.—126 тысяч тонн, в 1930 г. 2 47 тысяч тонн, в 1931 г.—
366 тысяч тонн и в 1932 г.—464 тысячи тонн.
ИзоСфазпте эту добычу по годам в виде диаграммы. г
22. Добыча торфа в БССР в 1928 г. и в 1932 г. соответственно равна
200 тысяч тонн и 1 700 тысяч тонн. Изобразите добычу торфа 8а ети годы
по БССР в виде диаграммы.
23. Научитесь решать примеры на сложение многозначных чисел.
,529 634 867 ,925 436 768 634 786 529 346 867 259 , 678 592 643
796 875 985 ~*~679 587 859 857 598 976 578 985 796 859 967 875
,709 028 360 , 802 600 905 706 000 584 , 600 824 309 ^508 736 902
989 СОЯ 756 908 789 009 856 308 009 680 987 560 ' 759 000 878
Решенные примеры на сложение проверьте при помощи сложения. Про¬
верьте исполненное сложение при помощи вычитания.
Придумайте сами 10 таких же примеров на сложение многозначных
чисел, передайте их для решения своему товарищу в бригаде, сами решайте
составленные им примеры.
Решив примеры товаршце^пом^няйтесь тетрадями и проверьте работы.
24. Ответьте письменно на следующие вопросы: с каких разрядов начи¬
нается сложение? Как числа подписываются одно под другим? Можно ли
складывать с левой руки? Который способ сложения практичнее и почему?
Который способ заставляет больше думать и смотреть вперед?
25. Решите приведенные далее примеры на вычитание:
928 715 486 _829 571 648 715 468 289 951 157 892 694 583 752
784 949 578 487 489 875 387 784 578 783 487 875 385 827 968
754 000 806 608 000 513 '^908 000 070 809 700 006 567 306 000
589 435 908 497 368 926 459 385 984 508 365 009 “298 569 216
Решенные примеры на вычитание проверьте при помощи вычитания.
Проверьте далее это исполненное вычитание при помощи сложения.
Придумайте сами 10 таких же примеров на вычитание многозначных
чисел, решите и проверьте их так же, как и в № 23.
Ответьте письменно на следующие воиросы: как называются числа,
данные при слежении? Как называется результат, полученный при сложе¬
нии? Чему равняется неизвестное слагаемое?
Как называются числа, данные при вычитании? Как называется резуль¬
тат, полученный при вычитании? Чему равняется неизвестное уменьшаемое?
Чему равняется неизвестное вычитаемое?
26. Решите следующие примеры:
а) Х+28 734 568 936=45 000 813 642 в) X—'76 315 485 123=38 426 649 108
А+36 437 865 693=63 381 00Q 246 X—67 153 854 231=83 264 946 801
А+41 374 G58 935=59 183 000 000 X—52 531 458 812=25 642 469 008
АЧ-18 254 647 123 =75 000 000 212 X—31 483 725 263=28 000 815 975
А+24 456 742 268=51 213 000 000 X—13 384 257 362=42 875 158 759
б) 43 516 812 729+ А=54 000 000 132 г) 92 000 806 000—Х=29 578 754 687
34 165 281 927+Х=45 231 000 000 84 000 603 000—Х=48 785 457 876
27 651 812 278+Х=54 132 000 004 75 402 000 402—Х=57 802 649 218
8
19 463 284 385+Я=83 231 400 ООО 68 201 ООО ООО—Х=49 287 364 1S5
15 364 812 583+Х=52 312 ООО 102 54 ООО ООО 101—Х=38 728 463 519
Придумайте сами по 10 примеров на каждый из Четырех приведенных
случаев. Решите и проверьте решения, как указано в № 23.
27. Решите следующие примеры на умножение:
58 000 . 296=. 65 000 000 . 27= 672 836 . 6 000= 285 . 26 000 000=
85 000 . 673= 56 000 000 . 72= 276 368 . 8 000= 852 . 62 000 000=
76 000 . 736= 83 000 000 . 46= 762 683 . 7 000= 528 . 34 000 000=
67 000 . 367= 38 000 000 . 64 = 727 638 . 9 000= 258 . 43 000 000=
94 000 . 962= 73 000 000 . 34= 385 279 . 5 000= 582 . 56 000 000=
Придумайте сами 20 таких же примеров. Решите и проверьте, как ука-
вано в «№ 23.
28. Решите следующие примеры на умножение.
885 326 . 3 008=” 870 004 . 38= 578 000 . 4 000= 520 004 . 25 003=
593 475 . 8 006= 780 006 . 83= 875 000 . 6 000= 380 006 . 52 008=
395 547 . 6 008= 640 005 . 67= 587 000 . 9 000= 830 005 . 37 009=
428 136 . 5 007= 460 008 . 76= 785 000 . 8 000= 250 008 . 73 007=
284 361 . 7 005= 590 007 . 54= 758 000 . 7 000= 460 007 . 29 006=
842 613 . 80 009= 280 006 . 285= 570 000 . 28 000= 600 005 . 80 004=
582 435 . 90 007 = 8 200 008 . 528= 750 000 . 82 000= 700 006 . 40 OOS=
396 274 . 60 004= 3 400 007 . 852= 640 000 . 36 000= 900 008 . 70 006=
963 742 . 40 008= 4 300 009 . 825= 460 000 . 63 000= 800 007 . 60 005=
639 427 . 50 006= 5 600 005 . 385= 870 000 . 48 000= 500 004 . 30 006=
Проверяйте все решенпые примеры на умножение с помощью деления.
Составьте каждый по указанному образцу столько же примеров, сколько
написапо в задаче 30. Решите и проверьте их бригадой (см. № 23).
29. Решите следующие примеры на деление:
а) 986 000 :'493 000= б)-846 0П0 000 : 423 090=
698 000 : 349 000= 648 000 000 : 324 000=
896 000 : 448 000= 468 000 000 : 234 000=
968 000 : 484 000= 864 000 000 : 432 000=
728 000 : 364 000= 486 000 000 : 243 000=
t в) 521 796 : 2 596= г) 8 361 245 : 4 169=
713 148 : 3 548= 5 613 848 : 2 794=
644 178 : 3 189= 7 536 257 : 3 783=
868 635 : 4 365*= 9 235 826 : 4 596=
527 472:4 752= 6 954 738:3 464=
Проверьте произведенное вами решение. Как это делается, если получа¬
ется остаток? Что надо сделать сначала? Потом?
Какую особенность представляют примеры на деление последнего стол¬
бика? Как решать такие примеры?
Ответьте письменно на следующие вопросы:
Как называются числа, данные при умножении? Как называется резуль¬
тат, полученный при умножении? Чему равняется неизвестное множимое?
Чему равен неизвестный множитель?
9
Как напиваются члена, данные при делении? Как называется результат,
полученный при делении?
Чему равняется неизвестное делимое? Чему равен неизвестный делитель?
ВО. Решите следующие примеры па умножение а деление!
А. 572 000=3 432 ООО
А'. 275 000=1 375 0О0
А. 725 000=6 525 000
А. 257 000=2 056 000
А. 752 000=6 768 000
456 000 . А=3 192 000
645 000 . А=5 1С0 000
81.
465 000
654 000
А=4 185 000
А=5 232 000
А : 506 002=8 043 008
X : 605 008=4 0S7 003
А : 4 009=90 005
А ! 9 004=50 009
X : 8 007=*60 005
X : 7 008=50 006
X i 4 006=90 007
564 000 . А=5 076 000
X : С 004= 70 009
193 320 000 : А=2 479
10 434 512 : А=4 696
12 89 i 832 : А=4 294
148 991 268 j А=>2 956
X : 8 005=60 003.
X : 5 008=80 р06
32. В 1931 г. в результате борьбы ва выполнение решений V пленума
ВЦСПС в профсоюзы Средвейолиюксго края было вовлечено 175 G00 чел.
новых членов, т. е. в 3 рава больше, чем s 1930 г.; а за серные 3 месяца 1932 г.
—246 тыс. чел. Сколько всего новых членов было вовлечено в профсоюзы
ьа '930/31 г. и 3 мес. 1932 г.?
31. 2 пленум крайкома ВКЩб) Средневолжского края определяет пло¬
щадь овшдоги ышьа в 1932/33 г. в 2 636 тыс. га в зяблевой вспашки в 7 000
тыс. га.
Определите общую площадь под озимым клином в зяблевой вспашкой
в 1932/33 г.
84. В приведенной далее таблице указаны силы напгах западных соседей
и как они готовятся к войне.
Численность армий и населения наших западных соседей взяты га 1923 и
1929 гг.
Г о докатайте во атой таблице общую численность армий я населения ва-
иадвых соседей СССР ь i^23 г. и в* 1929 г.
Решите следующие ььбросы:
И а сколько 4tJioi'-n западные соседи СССР увеличили численность своих
армий с 1923 по 1923 те.?
11а сколько чвдовыс советская власть уменьшила численность Красной
арм^гн за то же самое ь^емя?
Сколько солдат приходятся на 1 000 человек населения у наших соседей?
ГОСУДАРСТВА
Чисявняооть армии
Чнслвнноот*
населения
1923 г.
1929 г.
Финляндия. . ,
32
000
33 ООО
3
470
000
Эстония . . .
12
009
13,000
1
084
0и0
Латвия ....
20
000
20 000
1
845
сое
Литва ....
20
ООО
20 000
2
222
000
Польша ....
265
000
300 000
"9
000
ООО
Румыния . . .
153
0>0
1<*8 000
18
ОоО
000
вегго ....
СССР. . . .
703 ООО
ш ш
Сколько красноармейцев приходится у нас на 1 ООО чет. населения?
Для примера сделаем расчет, сколько солдат приходится на 1 ООО чел.
населения в Эстонии:
• 1) 1 084 ООО чел.=1 084 тис .чел.
2) 13 ООО : 1 0S4 = 12 чел. (округленно).
35. Во всех буржуазных государствах кроме регулярной армли сущест¬
вуют фашистские организации, которые обучаются военному делу и готовы
в любой момент выступить и против СССР и протай своах рабочих. Числен¬
ность этих организаций представлена в приведенной далее таблице.
ГОСУДАРСТВА
1923 г.
1925 г.
1929 г.
\
Финляндия. . .
120 ООО
100 000
100 000
Эстония ....
10 ООО
25 600
27 ООО
Латвия . . . .
15 ООО
25 000
40 ооо|
Польша ....
1Ь0 ООО
300 OGOj 1^300 соо|
Подсчитайте общую численность фашистских организаций. На сколько
человек увеличилась их численность с 1923 г.? Сколько дивизий могут сфор¬
мировать наши враги из членов фашистских организаций, считая в одной
дивизии для Финляндии и Польши по 14 ООО чел., для Латвии 13 ООО чел. и
для Эстонии 9 ООО чел.?
36. Военные расходы западных соседей СССР в миллионах рублей пред¬
ставлены в приведенной далее таблице.
Подсчитайте общие сушш военных расходов наших западных соседей
и найдюе, сколько рублей, военных расходов приходится на 1 душу населения
в каждом из &тлт государств.
ГОСУДАРСТВА
1923/1924 г.
а
1928/1929 г.
Весь госук.
расхож.
Чнехекябст»
к&сотння
Финляндия . .
21
29
236
3 470 000
Эстония . . ,
8
12,2
43
1 084 000
Латвия ....
11
12.3
51,5
1 845 000
Польша . . .
245
230
557
30 0U0 000
Румынии . . .
50
97
475,5
18 000 000
Числа, написанные десятичными дробями, запишите целыми числами
и подсчитайте, сколько тысяч рублей всех расходов государства приходится
на каждую тысячу рублей его военных расходов.
Определите, на сколько увеличились военные расходы наших соседей
с 1923 /24 г. по 1928/29 г.
37. Нашим западным соседям помогают крупные капиталистические
государства: Франция, Англия, Италия и др. А как именно капиталисти¬
ческие державы помогают нашим западным соседям в военных оржгтюале-
«■м, шаЩя» ш мадвмрт
1
Военные
займы до
1929 г.
Предмета, roopi меняя, полученные из
Англии. Франции, Чехо-Споваьин и
\
Л
голларах.
Италии
°
Польше
Румынии
Латвии
LJ j
й
S
8
«
я
5С
о
La
40
к
Название
До 19Z1 г.
За 1923-29 г.
О !
6
о.
tz
8
£
А
S
Шм
С,
К
со 1
<»
S
га
©
s:
CQ
<
Винтовки . .
Легкие пуле¬
450 000 шт.
.
450 000 шт.
§
g
§
§
g
меты ....
20 000 *
7 500 *
Я
8
я
g
о
8
Станковые пу-
геметн . - .
3 500 о
10 000 »
1
со
ГМ
О
ю
г-
8
fla-роны. . .
6 000 000 СиО
400 000 000
Полевые сру-
ДИЯ« * в а •
2 200
1 8CCj
Снаряды. . .
14 000 000
1 400 ООО
Самоке гы . .
А-
2 800
Подсчитайте стоимость вооружения в долларах, если винтовка стоит
30 долларов, легкий пулемет 260 долларов, станковый пулрмет 500 долларов,
полевое орудие 5 000 долларов, самолет 10 000 долларов, 1 000 штук патро¬
нов 31 доллар, снаряд 16 долларов.
Переведите ету стоимость па рубли, если известно, что доллар стоит
1 руб. 90 коп.
Сколько рублен дали Франция и Италия на военные расходы на каждую
душу населения Польше?
Сколько рублей па одну душу населения дала Румынии Франдия и Ита-
ЛЕЯ?
А сколько рублей прпхбдится на душу населения Эстошш, Латвии к
Литвы из 30 млн. долларов, данных Англией на военные приготовления
против нас названных соседей?
38. Сухопутные вооруженные силы п воздушный флот империалистиче¬
ских военных держав, а ?ан#ке гх военные расходы в миллионах долларов
представляются в следующей таблице:
Государства
Сухопутные сооруженные силы
Воздушный флот
(количество самолетов'
Воер.киад расходы
в мдш. долларов
С
м*
Г 1
Г> .
1923 г.
1
U
о
’ У
СО
(NJ
О4
Населе¬
ние
IV14 г.
1923 г. |
1928/29 г.
. С*
К s
ь „ •
* о U
g “<N
С р.—
U
со
о
1923/24 г.
1928 г.
Весь го су-
дар. расход
Фоаншш. .
?.?: со
‘ \г 000 725 0^0
39 млн.
138
•
1 350
1 350
2 50C
280
300
846
1 640
Ита ия . .
4 000,2-*»} с <
390 С ;
41 »
40
2:-0
ООО
1 20C
131
136254
1 067
Англия
237 000,329 СП)
j/35 04)
48 р
150
3* 5
550
1 200
376‘69С
50 i
3 74?
САСШ . . .
2'"
У2 0.0 439 СлО
118 »
37
420
950
1 30C
293
580 653
3 55*
Япония . .
275 0001236 000 206 000
1
63 >
250
475
800
60| 187|235
645
Итого . .
! 1 i
12
Подсчитайте общую численность армий империалистических держав.
Определите, сколько военных приходится на 1 ООО чел. населения в втих
государства?.
Подсчитайте общую численность воздушного флота перечисленных пяти
государств. Начертите диаграмму роста воздушного флота в капиталисти¬
ческих странах.
39. Заметив, сколько рублей империалистические страны (САСШ, Англия,
Франция, Италия, Япония) расходовали на военные приготовления ко го¬
дам: 1
1913 г. 1923 г. 1928 г. 1928 г. 1330 I.
2 300 млн. 3 600 млн. 3 900 млн. 4 100 клк. Б ''От млн.
Изобразите диаграммой рост военных расходов етьх держав.
40. На всех границах СССР стоят вооруженные армии буржуазных
стран общей численностью в 1 500 тысяч чел. Численность Красной армия
562 тысяче человек. Изобразите численность армий столбиками.
Сколько солдат буржуазных армий приходится против каждого красно¬
армейца?
41. Мировая война принесла убытков всем государствам на 327 млрд.
руо. Население всего мира равно 1 900 млн. чел. Разделите общую сумму
военных издержек на все население мира. Подсчитайте, сколько лат должны
работать 10 млн. рабочих, чтобы покрыть эти расходы, причем известно, что
в год рабочий вырабатывает ценностей на 1 000 руб.?
42. Сколько патронов нужио^на вооружение роты, если в роте 130 стрел¬
ков и на каждого стрелка нужно считать по 120 патроиов?
43. Сколько весит цинковая коробка с патронами, если в ней помещается
300 патронов в обоймах да вес самой коробки равен 1 кг?
Справка. Боевой патрон весит 22,5 г. Обойма на 5 патронов веепт 9,5 г.
44. В одноконной патронной двуколко возят 24 цинковых коробки по
300 патронов в каждой. На сколько стрелков достанет этого количества
патронов, считая по 120 патронов на стрелка?
Сколько весит патронная двуколка с патронами, если вес самой повозки
равен 350 кг?
45. Пулеметная лента для станкового пулемета содержит 250 патронов.
ЛеиТс хранится в коробке. Сколько весит ьоробка с набитой пулеметной
лентой, если каждый патрон весит 22,5 г, порожняя лента весит 1 кг 200 г,
и коробке весит 900 г?
46. На пулеметной двуколке можно везти 1 станковый пулемет и 2 000 пат¬
ронов в набитых лентах в коробках. Сколько взорл пулеметная двуколка
с пулеметом, с 200 патронов и с двумя людьми (евдедтгё ы наводчик пулемета),
если порожняя двуколка весит 350 кг, станковый пулемет весит 60 кг и лю¬
ди в полном снаряжении по 82 кг?
47. Полковая пушка с передком весит 1 230 кг, без передка 750 кг. Пуш¬
ку с передком везет шестерка лошадей. Подсчитайте, сколько килограммов
весит нередок со снарядами п сколько килограммов груза приходится на каж¬
дую лошадь, если лошади одинаковой силы?
48. Вагон товарного поезда может выдержать груз в 16 тонн 500 кг.
Сколько шрапнелей можно погрузить в 1 вагон, если вес шрапнели равен
6 кг 500 г? На сколько орудий хватит этих снарядов, если на одно орудие
полагается 212 снарядов?
49. При стрельбе по проволочным заграждениям пушка делает в сред¬
нем в течение часа 30 выстрелов. Для того чтобы сделать проход в одной
полом ирошагмвия в 6 и необходимо iiO «аарядо». Ддя диваани «ребуетом
9
>
12 проходов. Ия них 5 проходов должны быть шириною по 12 и каждый и
7 проходов шириною в 6 м каждый. Сколько потребуется снарядов для того,
чтобы сделать эти проходы в двух полосах препятствий?
Сколько нужно батарей, если проходы нужно сделать в течение 4 часов?
60. По ротному району неприятель выпустил 2 400 снарядов в течение
40 минут. Сколько батарей трехорудийного состава стреляют по этому рай¬
ону, если пушка при продолжительной стрельбе может выпускать не более
1 снаряда в минуту?
61. Участок эемли в 20 га эапахан месяц спустя после того, как его уна¬
возили. Другой участок в 30 га упаЕОЗшги и сейчас же 8апахали. С. первого
участка сняли 336 ц верна и 85 120 кг соломы. Со второго участка сняли
624 ц верна и 138 220 кг соломы. Гектар какого участка дал больше дохода
и на сколько, если килограмм верпа стоит 5 коп., а килограмм соломы 1 коп.?
62. Один небольшой колхов имеет 208 га пахотной вемли. Это поле он
васеял рожью в начале августа, высевая на каждый гектар по 109 кг. Дру¬
гой колхов имеет 360 га пахотной вемли. Это поле он засеял полмесяца спу¬
стя. Но чтобы получить такой же урожай с гектара, какого ожидает и первый
колхоз, второй колхов должен был уже высевать по 130 кг на гектар. Сколь¬
ко понес убытку второй колхов от вапоздания в посеве^ если килограмм
семян ценится в 6 коп.?
63. В колхозе имеется 508 коров. Каждая корова дает в среднем 10 л мо¬
лока в день. 220 дней коровы стояли в хлеву, а остальное время паслись.
Прокорм одной коровы в день стоит 20 коп., устройство стойла в год стоит
10 руб. на каждую. Труд пастуха ценится в 3 руб. ка корову ва лето. Цена
молока на рынке 5 коп. литр. Высчитать чистый доход от всех коров в этом
колхозе.
64. В нашем колхозе . . коров. Удойность каждой из них равна в сред- у
нем . . литров молока в день. На 3 литра молока требуется 1 кормовая еди¬
ница пеною по. . . копеек. Как увеличится доход от коров в нашем колхозе,
если удойность одной коровы в колхозе будет поднята на % литра, а лито
молока ценится в . . . копеек? Нужные цыфры возьмите в Волхове.
Куб
65. Назовите несколько предметов кубической формы, вырежьте куб
из картофеля.
Приготовьте куб из кирпича, ив мела. Как это сделать? Слепите куб из
глины, из воска.
Сделайте куб из спичек, скрепляя концы спичек воском пли же хлебным
мякишем. Сколько всего спичек потратили вы на приготовление одного куба?
Нарисуйте на бумаге в ш куб, сделанный гз спичек.
66. Начертите на плотной бумаге указанную на рисунке 2 фигуру и
склейте из нее куб.
Заметить. Лучше всего сделать чертеж 3 на достаточно плотной
бумаге. Вырезать аккуратно выкройку, согнуть рырезанпую фигуру по
линиям, нарисованным точками, обмазать клеем заштрихованную на ри¬
сунке 3 кайму и склеить куб таким образом, чтобы кайма попала внутрь его.
67. Нарисуйте куб по образцу, указанному на рис. 4 (гтр. 16)3
Сколько граней имеет куб? Начертите в своей тетради фигуру грани
куба. Как называется эта фигура? Сколько надо иметь квадратов, чтобы мож¬
но было составить из них куб? Какими свойствами должны обладать все эти
квс. лг.гы. чюбы )> них можно 0'!до составить куб?
На*все ет* вопросы Дайте полные гшгьчеппые ответы. Для сравнения
между собою всех гр-<илй куба ыо.гло употребить один из следующих двух
способов: yi ,ц— ,. . . .
Л -а) Поставите куб на
чистый лист бумаги
одной какой-либо его
гранью, а потом обве¬
дите аккуратно каран¬
дашом, тонко отточен¬
ным, контур этой грани.
Кладя поочередно все
остальные грани куба
на этот контур, вы убе¬
дитесь, что все грани у
куба равнымежду собою,
б) Положите на любую грань куба тон¬
кий картон или листок плотной бумаги,
затем вырежьте ив 8того картона или листка
бумага кусок, равный грани куба. После
этого, накладывая вырезанный кусок на все
остальные грвни куба
вы увидите, что все грани куба
равны ыежду собою.
68. Отметьте на вашем кубе те
прямые линии, по которым схо¬
дятся грани куба.
Заметьте, что эти прямые
линии называются ребрами куба.
Сколько же ре б-р ИИсОТ кт ,?
Сравните ппи помощи газики
нли нитки длину всех реСар куба.
Укажите все точки на куб.1, в
которых сходятся его ’ ( бра.Сколь¬
ко таких точек у куба?
Заметьте, что эти точип
Называются рерипн'ями к\бд.
Сколько же всех вершин у куб ■ ?
Сколько же ребер сходится в очной
вершине куба? Если два из этих
Ребер вы расположите горизон¬
тально, то какое направление при¬
мет третье ребро?
Заметьте, что йз трех
Ребер, сходящихся в одпон в-р-
Т
I
О
I Л
и
шппс куба, вертикальное ребро называют высотою куба, а и8 двух горизон-
тальных ребер одно называют длиной куба, а другое его тащшиой.
Укажите на вашем-
' v мк.З кубе его высоту, ширину
и длину.
Паним свойством
обладают высота, аш
рьна .» длина куба г
На все вг.ю вопросы
дотайте ь*лпые ииеь-
МСБиЫх) ОаВоа’л*
E.S. Приставьте
рабочей комнате п
песколько одинаковых
(ребро-1 см) деревянных
кубиков на бригаду.
Какого размера до. i-
жно быть каждое ребро
кубика, чтобы этот
кубик можно было
назвать кубическим
сантиметром?
Просмотрите, все
кубики у вас в брйгадч
^ис- 4 одинаковы. С.ложит(
теперь из этих кубиков куб, ребро которого равно 2 см. Сколько кубико!
для этого потребуется?
Сложите из приготов-
ленных ег;л« кубических ' _ - . -
сантимегрех. куб
KOTOpOiC Lcibuu I
ко кубикен ДЛЯ этого
требуется?
Сложите из имеющихся
у вас кубиксв куб, ребро
которого равно 4 см
Сколько кубиков для <
потребуется ьам?
А сколько кубиков
нужно было бы вам
складывания куба
которого равно 5 гм, ‘6 см,
7 см, S см, 10 см и т. д.?
^ GO. Научитесь чертить
кубы так, как показано
на рисунках 5 и 6.
61. Вычислите об* ем
кх’бз,ребро кетового равно
200, 500, S5, 144, 603, 890,
906. 4 000, 6 000, 540, 705
8 000 я *. п. единиц.
«ft
Заметить. Чтобы
найти об* ом (вмегти-
моеть) куба, пужпп
ребро его взять мподсп-
телем три раза.
Рис. 7. Грани куба
*Ч1||
V 'Ил-KVixvA.* С* t.iTf»r <v ral иЧ-iiF
Fh9. 5.
62. Построите из глины (из дерева,
из воска) прямоугольный брусок, у
которого высота к ширила порознь
равны 1 см, а длина равна 7 сы.
Отдайте себе ясный отчет в том,
Скольким кубическим сантиметрам
равен об-ем этого бруска.
Разделите весь брусок на кубы плос¬
костями, отстоящими одна от другой
на расстоянии 1 см. Тогда брусок раз-
Делится па сечь кубиков, причем об‘ем каждого из этих кубиков равен 1 см
(смотри рисунок 8).
Заметить. Если два измерения прямоугол;ного бруска равны
каждое одной единице меры длины, то об*ем этого • руска равея стольким
кубическим единицам (единицам меры об‘емя>. гко.гько единиц меры
длины заключается в третьем измерения этого о pi ска.
Прямоутелышй
брусок иначе называ¬
ется прямоугольной
_J призмой.
63. Постройте ив
какого-либо материала
чрчмоугольную призму,
-я=-
CL
1
/“
1
i
/ *
!
*
КшшЛ ■■
•
“7«-
-J-
f "I”
-A
. j.|
С
.
/
s
/
Рис. 8.
высота которой равна 1 см, длина b см, а ш^суда>р£тв. Йиблиотвкв
п о народному
абрээованию
17
Отдайте себе ясный отчет в тол, скольким кубическим сантиметрам р$
няется ои ем втсй пргг- ы (см. рис. 9).
Разделите
приему на 4 равп
приемы, в каждой
которых ширина
высота поровн
равны 1 см.
Каков об'ем ка
дой призмы? Как
об1 ем всех чотыр
прием или наг
об* ем Есей данЕо
цривмы?
1. Об* ем одной части данной призмы равен 1 см*.б
Рнс. 9.
Заметить.
6 сы3.
2. Об* ем всей данной прззмы равен б см3.4=24'см3.
Отдайте себе ясный отчет в том, чему равна площадь основания втой при
мы.
Заметить. Она равпа 6 см2.4=24 см2.
64.'Определите сб‘ем прямоугольной призмы, высота которой равг
1 см, а* длина и ширина соответственно равны 7 см и 5 см.
Высота приемы равна 1 см, а длина и ширина ее соответственно ра
8 см и 6 см (9 см и 5 см, 8 см и 12 см). V. ™
Чему равна плЪшэдь основания первой призмы? Второй? * J
Заметить. (ЫЧ>1 гг ^-гоугоп'\.ц npi.inu, высота которой
1 см, содержит в себе столько же кубшю-них сантиметров, сколько ква
ратных сантиметров содержится в площади основадня втой призмы.
65. Составьте сами несколько подобных задач и проверьте приведенн
выше вывод.
Одну из задач обязат&пно проверьте при поковал впреант чин njwiv
угольной призмы ив картофеля (свеклы, репы и т. и.), а другую вадачу пр
помопщ чертежа, как показано на рис. 9.
66. Построить в рабочей комнате ив линеек прямоугольную призм
длина которой равна С см, в..- т.ч б см г ширина 3 см.
Отдайте себ< ясный отчет в том, чему равен об‘см втой ирпзмы в куСи
ских сантиметрах.
Изучите хорошенько рисунок 10 а, б, в на котором показано, как следу
вычислять о5‘ем дайной прчзиы.
Для этого отметьте деления на сантиметры на'.каждом из трех измерен
т. е. па длине, шарике и высоте призмы.
Равделите или разрежьте призму плоскостями, параллельными плоы
стям оснований, на 6 равных призм или слоев, у которых высоты одi:
ковы и порознь равны 1 см, ширина же каждой призмы равна 3 см, а дш
равна 6 см.
Заметить. 1. Параллельные прямые лучше всего проводить с
чала на передней грани, потом на видимой на чертеже боковой грс-
а также иа*верхней грани.
2. Для большей близости чертежа к рисунку па чертеже лучше в
совсем не проводить прямых линий, которых не впдпо ы которые обоз
чаются пунктиром.
Одну из упомянутых выше призм или слоев (лучше всего верхнюю} ну
18
но разрезать на одинаковые части плоскостями, параллельными передним
граням ьеей призмы. Каждая из этих часiей (брусок) будет йметь в ширину
и в высоту по 1 см. а в длину 6 см.
Рис. 10 в
Теперь легко один только брусок
плоскостями, параллельными боковым
граням данний призмы, разрезать на 6
кубических сантиметров.
Заметить. 1. Об‘ем каждой
части (бруска) равен 6 см3.
2. Об‘см каждого слоя будет ра¬
вен 6 см8.3=18 смэ.
3. Об‘ем всей призмы равен
18 см*.6= 108 см® ;
Такое вычисление об'ема дано по
рисунку 10а.
Составьте сами такие же два реше¬
ния по рисунку 106 и 10в и запишите
эти решения.
Какие получили ответы? Почему ответы получаются одинаковые?
Кыводы. 1) Прежде всего надо ребра призмы (все три ее измерения) из¬
мерить одной п топ л;е единицей длины, чагем необходимо найти площадь
основания, потом переменить единицы меры площадей на одноименные ку¬
бические единицы, наконец полученное число необходимо помножить на
число единиц протяжения (длины), содержащихся в высоте.
2) Об‘см прямоугольной призмы рае'-н пдощадп основания, помноженной
на высоту.
3) Об1 ем прямоугольной призмы ревев арспзвсдепию Есех трех ее изме¬
рений.
С?. Начертите в масштабе 1 : 100 призму высотою в 3 м, оспованием
которой служит квадрат, н.меющиь ск рину в 1 ы.
Определите поверхность к. ждей б.ч.иьой грани этой призмы. Чему рав¬
няется поверхность всех боковых <wn i?
Назовите площадь каждого основа.: яя. Ч. му ] твна площадь/двух осно¬
ваний? Чему равняется поверхность всех ш> -.я rj на й призмы?
Заметить. 1. Сумма поверхности ьсех шести граней призмы
называется полнен поверхностью призмы.
19
2. Полна л поверхность призмы составляется по боковой се поверх¬
ности и поверхности обоих оснований.
Определите об'ем начерченной вами призмы.
68. Постройте из проволоки прямоугольную призму, ширина которой
равнялась бы 0 см, длина 12 см и высота 18 см.
Вычислите поверхность каждой грани этой призмы. Найдите боковую
поверхность. Определите полную поверхность.
Найдите об'ем этой призмы.
Подсчитайте, сколько проволоки требуется на изготовление такой прямо¬
угольной призмы.
69. К задачам 67 и 68 вычертите развертки, как показано на рисунке 11.
Сделайте такие развертки из п л отпой бумаги, взяв данные, отмеченные на
рисунке, склейте из развертки призму, определите их боковые и полные по¬
верхности, а также и об‘емы.
т
Рис. 11 а, б
70. Призма с квадратным основанием имеет указанные далее в таблице
размеры. Сделать расчеты и заполнить графы «определись».
Д
№Ns
Ребро осно-1
В ысо та
в а н и я
1
2
дм . .
7
ДМ
2
3
» . .
• 1 9
»
3
4
» . .
8
»
4
5
» . .
. I 12
•
5
6
» . .
. ' 15
»
6
7
» . .
. 20
»
7
8
см • .
18
см.
8
9
» ■ .
. 24
»
9
10
* л ..
. 25
ь
10
12
» - .
.| 16
%
11
13
» . .
35
»
12
14
» . -
оО
»
13
20
мм . .
36
Мм
14
28
» . •
45
»
!■>
£6
» - .
»
О
Площадь Боковая
основа¬
ния
поверх¬
ность
Полная
поверх¬
ность
Об‘ем
Вмести-
Еес вод
4 дм2
£6 дм2 64 дм2
28 дм3
28 лт.
28 кг
71. На основании данных приведенной ниже таблицы вычислить, подоб¬
но предыдущей задаче, периметр, площадь оснований, боковую поверхность,
полную поверхность, об‘ем и т. п., заполняя оставшиеся графы.
Заметить. 1) Кубический дециметр воды- -ото 1 литр воды.
2) 1 литр воды весит 1 килограмм.
3) Говорит, что удельный вес щебенистой земли равен 2г/4, пли 2.25.
Это значит, что 1 куб. дм такой земли (пишут дм3) весит в 21/.,, пли в 2,25
раза больше, чем 1 дм3 воды, т. е. 1 дм3 такой земли весит не 1 кг, а 21/4 кг
или 1 кг. 21/4, или I. 2,25. Целая же телега такой земли, вместимостью
в 600 дм3, весит уже 2г/4 кг. 600—1 350 кг=13,5 ц.
72. Ящик кубической формы с ребром в 1 м 8 дм с внутренней стороны
требуется обить белой жестью. Каков об‘ем этого ящика? Определите коли¬
чество потребной для его обивки жести.
Начертите боковой вид ящика.
<3. Ученик изготовил в рабочей комнате проволочную модель куба,
ребро которого равно 75 см. Сколько проволоки потратил ученик на изго¬
товление этого куба?
74. Столяр должен сделать дюжину ящиков кубической формы, с крыш¬
ками. Сколько кв. метров досок потратит он на это, если ребро каждого ящи¬
ка равно 50 см?
75. Сколько пшеницы войдет в ящчк кубической формы, с ребром в 2 м,и
сколько будет весить это количество пшеницы, еслч 1 гектолитр е -сит 3 '4 ц?
76. Определите вес торфа, сложенного в куб, имеющий ребро в 3 м, если
1 м3 этого торфа веоыт в среднем З1/, ц?
77. Ученик сделал картонный кубик с ребром в 15 см и оклеил его ребра
тесьмой. Сколько картона и сколько тесьмы пошло на этот кубик?
7S.- Камень имеет форму куба, ребро которого равно Р/2 ы. Определите
об'ем этого камня.
79. Сколько воды вмещает бак, имеющий вид куба, с ребром в 8 дм?
21
80. Сколько весит свинцовый кубпк, имеющий ребро в 20 см, если удель¬
ный вес свинца равен II1/4?
81. Определите вес штабеля кирпича, если этот штабель имеет вид куба
с ребром в 4 м и если йа промежуточные пустоты нужно скинуть 1%, а удель¬
ный вес кирпича равен 2.
82. Вычислите вес кампч, отесанного в виде прямоугольной призмы,
имеющей 8 дм длины, 1/2 м ширины п 2% дм высоты, причем известно, что
1 дм3 этого камня весит 2,35 кг.
83. Творило, или яма для гашения извести, имеющее 31/> м длпны и 2 м
ширины, наполнено гашеной известью до 1,4 м высоты. Сколько гектолитров
плести вошло в зту яму?
84. Сколько весит стог сеиа, которому придана форма прямоугольной
призмы, если ширина его равна 6 м, длина—8 ы и высота—2% м, причем
1 ы* зтого сена весит 75 кг?
S5. Требуется вырыть яму для погреба длиною в 8 м, шириною в 1У2 м и
глубиною в 3 м. На скольких телегах, вместимостью по % м3, можно увезти
вырытую землю?
86. Каменотес должен обтесать и отшлифовать мраморную прпзму с
квадратным основанием. Сл( ль ко рублей нужно заплатить ему за работу,
если сторона основания приемы равна 4 дм, высота призмы равна 5 м, а за
работу он берет по 10 руб. с квадратного метра шлифованной площади?
87. Какова вместимость чемодана, если он имеет внутри 60 см длины,
40 см ширины и у2 м вышины ?
88. Сколько времени
должен работать камен¬
щик, чтобы сложить стену
длиною в 15 м, толщиною
в 60 см и высотою в 2 м,
если за день он успевает
сложить 1,2 м3 стены?
Во сколько времени
была бы окончена эта ясе
работа, если бы он выкла¬
дывал в день 1 у2 м8?
89. Дорога, имеющая
2Уч м ширины и 160 м
длины, покрыта слоем щеб¬
ня в 8 гм толщиною. Сколь¬
ко стоит этот щебень, если
1 м3 его стоит 2 руб. 50 к.?
90. Школьная комната
имгет 6% м ширины, 12 м
длины и 4 м выготы. Сколь¬
ко квадратных метров
вашшает площадь ее пола ?
91. Чему равен об'ем
воздуха, наполняющего
эту комнату?
92. Сколько куб. метров воздуха приходится в этой комнате на каждого
ученика, если в данпой группе обучается 39 чел?
93. Сколько пакетов, об'емом в 0,2 куб. дм можно запаковать в ящик,
имеющий внутри 1,2 м длины, 80 гм пптрнпы и ГО см высоты?
22
решение. 120 . 80 . 50^-4гО ООО см8.
Л 0,2 - . *—0,2 . 1 Об) • -0 .--А
и) 480 О_>0 см3 : 200 ем3=2 400 пакетов.
91. Приготовьте развертку прямой треугольной призмы, как показано
яа рисунке 12. Склейте прггчу и о предел... е поляр ю поверхность п об-ем
дтой призмы, зная ее размеры.
Заметить. 1. Чтобы найти об‘ем призмы, нужно площадь осно¬
вания этой призмы умножить па Еысоту.
2. Чтобы определить площчдь осш.шни.ч треугольной призмы, надо
основание треугольника умножить на половину его высоты.
Кубическпе меры
95. Просмотрите теперь и запомните таблицу кубических мер. Куб, реб¬
ро которого равно одному децимётру, называется кубическим дециметром.>
Куб, ребро которого равно одному сантиметру, называется кубическим
сантиметром.
Вы уже зпаете, как нужно определять об‘ем куба. Здесь надо сосчитать,
сколько в кубическом дециметре слоев высотою в 1 см, сколько в слое бру¬
сков, имеющих в сечении 1 кв. см, и сколько в бруске кубических сантимет¬
ров. Тогда и получим, что в овном кубическом дециметре имеется 10.10.10,
или 1 000 куб. см.
Таким путем получается следующая таблица кубических мер:
1 куб. м=10 . 10 . 10=103 =1 000 куб. дм.=1 02*0 дм3.
1 куб. дм=10 . 10 . 10=10э =1 000 куб. см=1 00У см3.
1 куб. см=10 . 10 . 10=103 =1 000 куб. мм=1 000 мма.
9G. Вырежьте 12 прутиков, длиною каждый в 1 м и составьте пз них куб.
метр следующим рбразом: чегыие пруТп^а положите на пол, а остальные
8 нрутиков будут поддерживать 4 ученика. Какой куб получается при этом?
Вычислите, сколько кубических сантиметров помещается в 1 куб. м.
Сосчитайте, сколько кубических миллиметров содержится в 1 куб. м.
Сколько куб. миллиметров в кубическом дециметре?
97. Какою вы считаете пробку—легкой или тяжелой? Достанет ли у вас
силы, чтобы поднять 1 м3 нробки, если 1 см8 этой пробки весит 0,2 г, или
2 дг? Вычислите вес пробкового кубического метра.
98. По скольку сантиметров могут быть длина, ширина и толщина прямо¬
угольного бруска, если его об‘ем равен 48 см3. 72 см3, 93 с'л3, 120 см3?
99. Об‘ем прямоугольного столба равен 420 куб. см. Площадь основания
«оставляет 35 см2. Найти его высоту.
100. Размеры ледника равны 2 м 8 дм, 2мб дм, 2 м 4 дм. Какую площадь
пьДа надо сколоть, чтобы набить этот ледник, если толщина льда 6 дм?
101. Аквариум ИМ' «т форму прямоугольной nj. 'V''-. В него влито 5,2 кг
оды. До какой высоты наполнен аквариум, если дно его имеет в дшйту
25 см, а в ширину 16 см?
102. Вычислить, сколько кубических метров ваключает в себе вемляной
в^л, имеющий форму треугольной призмы, если известно, что основание
леперечпого сечения вала 2 м, высота IV. м, а длила в. ча 30 м/
163. Что будет стоить вырыть колодец 18 ы глубины, 1 м ширины и 1,5 м
Длины (в сечеиеп), если рытье 1 куб. м стоит в среднем 20 коп?
Составьте смету на сруб для втого колодца ив дуба. Сруб Должен подни¬
маться над эемлею на 1 м. Дубовое бревно длиною в 6,5.м и толщиной 0,3 м
Юн? 10,5 руб. Работа по установке сруба на место ценится в 0,9 руб. ва 0,5м8.
аз
Умножение и деление дееятечпой дроби па целое число.
Умножение на 10, 100, 1000
104. Произведите умножение и деление составных именованных чисел
метрической системы в следующих случаях:
2 м 3 дм
3 м 2 дм
4 м 3 дм
3 м 4 дм
2 м' 5 дм
18 м 7 дм
2= 30
3 =
3 =
о
2 =
8 =
м
63 м 9
28 м 6
82 м 5
8 кгО
6 м 3
дм
дм
дм
дм
г
лм
12 =
15 =
25 =
30 =
2 =
3 =
9 см 6 м.м
4 т S ц
6 м 4 дм
15 м 8 дм
27 м 27 дм
51 т 2 ц
3 =
4 =
2 =
2 =
4 =
4 =
35
53
08
43
29
44
55
см
м
м
м
т
м
31
4 мм
7 дм
5 дм
8 дм
1 ц
7 дм
8 дм
3 =*
о
О
‘5 ==»
6=1
3 =
9 =
105. Произведите умножение десятичных дробей в следующих случаях
8,
4
8=
63,84
36=
13,075
27=
0,036
4S=
0,407
704=1
9,
С .
7=
42.54
28=
32,009
72=
0,0У4
56=
0,903
208=
13,
8
9=
24,45
35=
23,004
36=
0,008
43=
0,309
802=
18,
7
6=
32,43
53=
26,005
63=
0,002
34=
0,508
604 -
24,
9
5=
9,516
8=
54,007
42=
0,009
56=
0,805 .
407=
16,
5
13=
13,673
*-7
/
45,002
39=
0,г,07
63=
0,493 .
605=з
23,
3 .
16=
31,376
6=
36,003
48=
0,003
804=
5,06 .
4=з
32,
9
23=
26,736
9=
63,004
84=
0,006
703=
4,08.
26=
28,
о
«л
3,2=
38,254
12=
0,528
1S=
0,004
307=
3,04 .
62=з|
43,
1
29=
83,542
. 23=
0,634
26=
0,005
409=
6,09 .
35=
6,
18
9=
46,425
27= -
0,346
37=
0,006
904=
5,03 .
53=
7,
36
8=
64,245
73=
0,463
42=
0,008
608=
4,07.
2эзе^
9,
85
7=
59,524
37=
0,535
43=
0,396
509=
7,04
52=4
13,
58
6 =
95,254
46=
0,053
21=
0,809
905=
8,05
37 =а
19,
63
4=
8,006
. 5=
0,035
57=
0,603
408=
6,08
73=
зс.
48
21=
6,008
12=
0,068
74=
0,306
804=
9,02
46 J
Сами приду майте по 10 примеров па умножение десятичной дроби на це
лос число. Решите и проверьте их бригадным способом (см, зад. 23).
Как провер! 1ь произведенное вамп в предыдущей задаче умножение
нри помощи деления?
Исполните эту проверку. дпля произведение на множите ль. Что должно
получаться в ответе, если умножение сделано правильно?
100. Произведите деление десятичных дробей в следующих случая
13,92
28,32
25,56
61,18
88,83
56.72
24.72
72,27
24
6=
4=
9=
8=
8=
9=
63,63-
63,36
79,82
103,08
38.52
40,65
405,0J
64,72
8=
8=
4 =
6=
5=
7=
8=
6, 09
6, 58
S1, 54
2, Г-6
67, 86
888. 84
195,078 : 6=
515,445 : 7—
: 7=
: 9=
: 8=
: 8=
: 9=
700,776
49, 35
72,054
436,С56
360,276
634,563
2,5
15,3
: 9=
: 9=
: 8=
: 6=
: 9=
: 5=
12,
143,
1.
589,
18,:
4
4
53
72
>05
0,567 :
72,492 :
78,156 :
8;
12=
15=
16=
7=
4-
12=
39»
120, 03
240, 48
3,417
15=1
8=!
34=,
20,
14,
45,
0,875 :125=', 280,
123,
101,
73,
148,
44
1
2
8
64=; I
75=
1G=|
124=
277,
107,
171,02
24,72
17=
205.03 : 29=1
148, 5 :
55=
14, 4 : 30=
11=
3-2,5 :Ю2=
31.25 :
125=
3,25': 13 _
19=
3, 4 : 4=
1447, 2 :
72=
13, 2 : 11 =
14=
28,38 : 11 =
1507, 5 :
15=
27, С : 23=
111 =
49, 7 : 35=
27,94 :
11=
4, 5 : 9=
152=
192, 2 : 5=
1G, 8 :
15=
24, 2 : 11 =
34=
443,52 : 12=
13, 5 :
27=
353,66 :1251=
24=
107, 8 : 22=
12, 5 :
25=
28, 2 : 12=
Как проверить произведенное вами деление е помощью умножения?
Исполните эту проверку, умножая ча< ппе па деытель. Что должно полу¬
чаться в ответе, если деление сделано правильно?
Сами придумайте по 10 примеров на деление десятичной' дроби па целое
число, передайте эти примеры для решения товарищу, сами решайте приду¬
манные им примеры.
Для проверки работы обменяйтесь тетрадями и исправьте ошибки.
107. Пешеход проходит средним числом по 4,3 км в час. Какое расстоя¬
ние он пройдет в 3,4, 5, 6, 7... и т. д. часов?
108. Пароход против течения реки идет со скоростью 12,45 км в час.
Какое расстояние пароход проходит в 1 минуту?
103. Пешеход, сделавший 311,04 м, насчитал 324 шага. Определить в
метрах среднюю Еслпчину его шага.
110. В колхозе «Путь Ильича» сенокос благодаря пвгибу реки пред¬
ставляет собою треугольник, у которого сторона, взятая за основание, рав¬
няется 2,3846 км, а высота равняется 0.G5 км.
Сколько гектаров содеряштся в этом участке сенокоса?
111. Паровоз весит 53,28т., тендер весит 32,47 т., а каждый из груженых
вагонов весит 22,45 т. Определите вес всего поезда, если в состав его входят
32 груженых вагона.
112. На каждый километр пробега паровоза требуется в среднем 15,23 кг
угля. Каков будет расход угля па годовой пробег паровоза в 38 500 км?
113. На каждый километр пробега паровоза требуется 0,538 м5 дров.
Сколько дров израсходовано иа пробег 135 км?
114. Два поезда, зыгюдчгие со станций Л и В в одно it то же время на¬
встречу друг другу, идут со средней скоростью: первый в 26,6 км, а второй
в 28,8 км в час. Встреча их произошла через 5 час. Определите расстояиие
между станциями \ и В.
115. Умножьте па 3, на 3, по 7. па 8 и на 9 следующие числа, только не¬
пременно уГшо: О 2; 0,0; 0,9; 0 ,1Г$ 0,24: 1,2; 3,5; 4."'• 5,45: 6,Со.
яасмым ои раз, а
чт ло'2,005 взять слагаемым
116. Число 25,17 ват.
608 раз. Найти, па сколъь о из произведении больше второго?
117. Умножьте устно на 10, на 100 и на 1 ООО <• :<м;яе десятичные
Вроби; 0,2; 0,4; 0,8; 0,15; 0,45; 0,09; 3,5; 4,< -. 5 5.5 ,4: 0,008; 12,016.
Заметить. 1. Когда десятичную дробь у>г
иа 10, то деся¬
тые доли в этой дроби становятся це.гьшл едишщамн, сотые доли стано¬
вятся десятыми, тысячные ...дин становятся сотыми и т. д.
Каждый разряд передвигается иа одно ме.с»о н.пво.
2. Когда десятичную дробь умпон.-зет'- на жО ), rj сотые доля в этой
Дроби становятся целыми единицами. Значит десятые дола становятся
десятками, тысячные доли станут десятыми н т. д.
Каждый равряд передвигается ка два места елс-во.
3. Кот д~' ' ■■'■бь у ■.к'”. - на 1 ООО, то д<ч*«|тып дали ватой
дроби становятся сотнями, сотие длчп ет.шо...»т-я д-сеттлии, тг. нчпио
доли становятся целыми единицами, а десятитысячные доли становятся
десятыми долями.
Каждый разряд продвигается на три жеста влево.
Правило. Чтобы умножить десятичную дробь на 10, па 100 и на I ООО,
надо передвинуть вапятую в данной десятичной дроби на столько знаков
вправо, сколько пулей имеется в обозначении множителя.
118. Умножьте устно на 10, на 100 и на 1 000 следующие числа: 21,4;
72,8; 3,25; 7,38; 205*,3; 108,6; 0,302: 0,805; 0,9206; 0,560 3.
119. Умножьте устно па 20, на 40, н на 50 следующие десятичные дроби:
0,4; 0,5; 0,8; 0,16; 0.32; 0,09; 4,5; 0,125; 0,35; 0,806;*0,3005.
120. Звук проходит в секунду 0,333 км, а свет проходит в секунду в
900 900 раз более звука. Найти скорость света в секунду.
121. Умножьте устпо следующие десятичные дроби па 400, на 500 и па
600: 0,5; 0,8; 0,3; 1,8; 1,2; 1,5;*0,32; 0,75; 0,96; 1,28; 4,25; 3,62; 3,05; 4,02.
122. Число 4,321 увеличьте в 705 раз. Число 4,321 увеличьте на 705.
Какая разница между полученными результатами?
123. Дано чдсло 19.309. Сколько получите, если это число сначала удво¬
ите, а потом полученный ответ возьмете слагаемым 5 раз?
124. Однажды, наблюдая грозу, я заметил, что удар грома послышался
черев 14 секунд после того, как блеснула молния. Зная, что ввук в каждую
секунду проходит 0,333 kai, а свет идет мгновенно, определить, на каком
от меня расстоянии происходила наблюдаемая мною гроза.
125. Разделите устно на 4 следующие числа: 0,43; 0,8; 1,16; 5,6; 0,08;
0,72; 3,28; 4,96; 12,48; 13,12; 0,0032; 15,64; 7,72; 5,36; 0,0312; 0,764.^
12€. Разделите устно па 7 следующие числа: 0,35; 0,42; 2,8; 6*,3; 0,14;
0,49; 0,063; 0,056; 4,34; 5,32: 10,50; 12,81; 16,52; 23,94.
127. Разделите устпо ка 5 следующие десятичные дроби: 0,45; (f,85; 5,15;
3,65; 4,05; 3,75; 0,005; 0,025, 7,085; 6,095.
128. Разделите устно на 9 следующие десятичные дроби: 0,9; 0,18; 0,36;
1,8; 4,5; С,09; 0,72; 3,78; 4,86; 12,73: 15,66; 54,63; 27,72.
129. Разделите устно на 8 следующие десятичные дроби: 4,24; 6.32;
9,44; 7,52; 0,56; 0,16; 0,088; 0,096; 5,056; 3,072.
130. Произведение двух чисел равно 74,62. ОДин из сомножителей втого
произведения равен 26. Найти другой сомножитель.
131. Разделите устно на 10 следующие десятичные дчоби: 55,6; 83,7;
6,28; 8,96; 31,08; 29,06; 0,52; 0,18; 0,035: 0,053 ; 0 064; 0,048.
132. Разделите устно на 100 и па 1 000 с~- .>е десятичные дроби:
558,3; 284,7; 653,5; 462,9; 906,8; 806.4; У"\у 760,-. • 6, 600,2.
Заметить. 1. Когда дссяшчс. v ю дробь д^ллт на 10, то целые
единицы становятся десятыми долями, десятки становятся единицами,
десятые до hi становятся сотыми, сотые тысячными и -г. д.
Каждый разряд передвигается на одно место вправо. \
2. Когда десятичную дробь делят на 100, тогда сотни становятся еди¬
ницами, десятки становятся десяти:.m .долями, единицы'становятся со¬
тыми долями, десятые доли становятся тысячными п т. д
Каждый разряд передвигается на два места вправо.
3. Когда десятичную дробь д°лят на 1 000, тогда тысячи становятся
единицами, сотки становятся десятыми долями, десятки делаются соты¬
ми долями, единицы становятся тысячными долями, десятые доли стано¬
вятся десятитысячными долями и т. д,
26
Каждый разряд ггоредвиггст.'-ч па т?ш места вправо.
Правлю. Ччви;.. р.иделиы. дегигж-.нум дробь на 10, ю» 100 и па 1 ООО,
необходимо в данной десятинной дроби передвинуть запгы .о нчево на столь¬
ко знаков, сколько нулей имеется с обозначении делители.
133. На протяжении 324,12 м посажено 72 дерева на равном расстоянии
рруг от друга. Нейти расстояние между каждыми ДЕугля соседними деревья¬
ми.
134. Какое число падо взять слагаемым 13 раз, чтобы получить в резуль¬
тате зтогс счета число 3.25?
135. Найти два числа по следующим условиям: большее из этпх чисел
превышает число 0,45 в 37 раз. Разность между большим и меньшим числа¬
ми в 37 раз менее числа 38,11.
130. Корова 3 дня подряд в сентябре месяце давала молока: 9,4 л, 10,5 л.
п 8,6 л. Сколько примерно литров молока даст она по этом^г расчету за весь
сентябрь месяц?
137. Корова дала в год 3 571,2 л молока. Удойных дней было только
88. Сколько литров молока давала она средним числом в депь?
138. Лес тянется прямоугольной полосой па расстоянии 12,625 км в дли-
у, а ширина этой полосы разна 8 км. Определить, сколько^гектаров зани-
;ает этот лес.
139. Лупа обращается около земли в 29,55 для, причем это время и пазы-
аетея лунным месяцем. Сколько суток в лунном году, состоящем из 12 лун-
их месяцев? ,
110. Разность чисел 5,4 и 3,25, уменьшенную в 5 раз, отпять от суммы
сел 0,4 и 0,28, увеличенной в 4 раза. Сколько получится в результате?
141. Если человек идет со скоростью 78,5 в минуту, то как далеко он
Вдет в час?
143. Рабочий получил па фабрике за месяц всего 176,8 руб. Сколько оп
^абатырает ва час, если в месяце 25 рабочих дней, продолжительностью
о 8 часов, и кроме того он отработал 14 часов сверхурочно, причем часовая
пата за сверхурочные часы в 1,5 пава больше, чем вь нормальные часы?
143. Трудовая артель изготовила 12 пиук самоваров, весом по 6,4 кг и
ним 2 подноса. На самовары пошло 0,96 общего количества веса всего по¬
раненного материала. Определить вес каждого подноса.
144. Два землекопа взялись вырыть канаву и начали работать одновре-
нно, подвигаясь навстречу друт другу. По окончания работы оказалось,
*о един из них вырыл 0,56 всси канавы, а второй вырыл остальную часть,
впую 25 608 м. Определить длину всей вырытой землекопами канавы.
145. Месячный расход на нефть для двигателя в 40 сил, работающего
кедневпо по 8 часов, выражается суммой б 56,32 руб. Определить, какое
лвчество нефти потребляет этот двигатель на силу в час, сели тонна нефти
®нт 20 руб. (В месяце 25 рабочих диан).
143. Принимая стоимость смаьож.огс масла равной 65 руб. за бочку в
'О кг чистого веса, определить полную стоимость всех расходов на силу в
10 по смазке цшпшдоов и передаточных механизмов паровых поршневых
ПН, исходя из цифр приведенной далее таблицы.
(См. табл. ка стр. 2S егм». ху).
’47. Принимая цепу спзоч.юго масла равной 65 руб. в& бочку чистого
а в 100 кг, определить полную стоимость всех расходов по смазке нефтя-
J двигателей системы Дизеля па основании данных приведенной далее
лины.
(См. табл. ка стр 28, вторая сверху).
27
Расходы на смазку поршневых паровых мгшин при полной нагрузке
1. Мощность маша н в
100
200
300
500
800.
1 ООО
лошадиных силах
15
30
60
2. Полный часовой рас¬
450
550
800
1 ОСИ
ход масла в граммах
85
180
300
350
400
3. Расхосы на масло в
копейках на силу в час .
—
—
—
_
_
4. Расходы на обтироч¬
ные материалы ка силу в
чао . -
0,10
0,09
0,07
0,06
0,04
0,03
0,02
0,02
0,03
5. Общий расход на
смазку иа силу в час
1
1
1
Расходы по смазке двигателей Дазеля
1. Мощность даигателя в ло¬
шадиных силах .
20
40
60
100
150
200
за»
2. Полный часовой расход
масла в граммах .
8
СМ
«
280
400
600
780
1 000
1 500
2 оа
3. Расходы на масло в копей¬
ках ка силу в час . .
—
—
—■
—
*
4. Стоимость обтирочных ма¬
0,07
0,07
0,06
териалов на силу в час.
0,12
0,09
0,0851 0,08
o,os
5. Общий расход на смазку на
силу в чао . ...
1
148. Прп дс не каменного угли г. 12.5 губ. и нефти в 2,5 руб. за тонну,
стоимость расходов по вымолачиванию хлеба при помощи паровых локссиф
Сплей и нефтяных двигателей выражается приведенной далее таблица
Требуется заполнить все пустые графы в зтой таблице.
Сравнительная стоимость молотьбы хлеба при помощи локомобилей и нефтяных
двигателей
Мощность В 310-
шадниых силах
Средне
количе-
ство вы¬
молачи¬
ваемо га
Средняя стоимость
горючего в 8-ча¬
совой рабочий день
в рублях
хлеба
Парового
Нефггзц.о.-
в часо
вой да'
Локо¬
Нефтя¬
ного ДЕИ
локомо¬
го дви¬
чин день
мобиля
гателя
биля
гателя
Р
L _ру
'■1И
6
5
4С
2.2
0,53
9
7
67,2
2,8
0,70
12
10
33
3,6
0,с0
15
13
■ юз, о
4,4
1 л
17
V
ко
4,8
к-
24
20
14-i
6,0
1.5
Стоимость молоть¬
бы на центнер в
рублях
Локо-
Стоимость горю¬
чего на силу в
чао в рублях
23
149. В 1927 г. основные фонды промышленности BCIIX были равны
5t89 млрд. руб., в 1928 г. они увеличились на 8G0 млн. руб.. в 1929 г.—нк
1,15 млрд. руб., в 1930 г.—на1,6 млрд. руб., в 1931 г.—на 4,5 млрд. руб. Чему
равны основные фонды промышленности ВСИХ в 1931 г.? На сколько млрд.
рлблей они увеличились против 1927 г.? Во сколько раз они ув>- н шились?
160. Издавна на селе держался обычай в покос делить ежегодно общест-
ггппые луга для косьбы на мелкие части. От этого сенокос обыкновенно
растягивался на 24 дня п каждый косец за утро успевал скосить 1,64 ц. сена.
При собирании сена в суматохе 1jc часть его обычно растеривалась. Те¬
перь село все целиком организовано в колхоз. Луга не делятся на мельчай¬
шие полоски. Сенокос оканчивается в 10 дней. Сено не теряется.
Сколько ежегодно стало выгадывать село со своими 100 косцами от но¬
вого порядка, если рабочий день ценится в 2.5 руб, а центнер сепа стоит
0 руб.? При каких условиях выгодность работы повысится еще более?
151. Осенью 1931 г. в нашем районе был устроен трехнедельник для
вывозки дров. На один из колхозов, имеющий 295 лошадей, пришлось 5 90)
кубометров дров. Сколько тонн вывезла каждая лошадь, если кубометр
дров весит 0,G6 тонны?
152. Около деревни тянется овраг длиною в 480 ч, оба же склона его
поднимаются в высоту в среднем на 6,75 м каждый. Чтобы остановить росг
оврага, крестьяне решили облесить оба его склона, посадив по одному сажен¬
цу на 2 кв. м. При этом 1000 саженцев с доставкой и посадкой должны обойтись
в 3,4 руб. Во что обойдется деревне укрепление оврага, если еще в течение
5 лет придется подсаживать саженцев на 1,85 руб. ежегодно?
Нахождение процента от числа
J33. Колхоз «Заря» имеет всей годной для возделывания земли 9 3GS га.
этого количества засеяно рожыо, 26%—пшеницей, 18% — просом,
12%—гречей, а остальное количество засеяно горохом. Сколько гектаров
находится под каждой из этих культур?
37%
Решение.
1) 37%+26%-г
18%-г 12=93%
2) 100%—93%=7%
3) 100% состав пн ют 9 368 га
1% составляет 9 368 : 100
37% составляют 93,68 . 37=
4) 26% » 93.08 .
5) 18% » 93,68 .
6) 12% » 93,68 .
7) 7% » 93.68 .
= 93,68 га
3 466,16 га.
26=2 435,68 га.
18=1 G. 6,24 га.
12=1 124,16 га.
7 653,76 га.
Р.кись
Пшенща
Просо
Греча
Горох
Проверка Итого 9 368 га
Изобразите количество гектаров каждого хлеба при помощи диаграммы
колонками, выбрав соответствующий масштаб.
Повторить. 1) Как нужно умножить десятичную дробь на целое
число?
2) На умножение каких чпеел походит умпожение десятичной дроби
ка целое число?
3) Как найти несколько процентов дате о ч . ?
Ответы нужно датй полные и непременно в шь : ■.мшом виде.
2?
154. Решите приведенные ниже примеры ка вычисление несколькщ
процентов от данного числа.
Ч^сла'
щз о цен ты!
2
8
15
19
25
28
31
35
42
49
52
62
75
78
69
100 2~ • 400
600
800
1 00013000
I r I
5 ООО 7 000, 9000 2600
4 8С0 6 200
6 300 7!
Ч
.1
Прежде чей приступать к решению этих примеров, необходимо приг<
тошггь, как указано вдееъ, сетку и пот-'м уже решать устно.
Ответы надо писать в соответствующих клетках. В случае ватрудпек
в устном счете нужно прибегать к торговым счетам.
155. Решите следующие примеры, прибегал в са ; д, ‘т'льпых случал
к письменному пводетву действий.
3
9
14
17
21
24
29
32
40
57
65
76
83
9в
.2£ Я5: 173,
11 I 1 I I I I I 1 I
5 >7* '5. 2 75е '» ^7. 32^7 238j3563 9 365 ? 048:9 059.7 0j
! I
I I I I , I'
156. Уровень грамотности по городам Средиеволжского края довед__
до 97%, а но сельским местностям до 87%. Исключая детей дошколыш
новраста в городах Средневолжского края—825 тыс. чел., в селах—6 м
чел. Сколько еще неграмотного нг селения в напп л крае?.
157. По пятилетке СЕБ к концу 1932 г. цш*ры членов СВБ по Сою?
должны достигнуть 17 млн. чел., из них 47% падает на города, а остальные
Н:( д>. ревыо, из них б се,iio ОЧ'-'РСДЬ па колхозников -крестьян падает 44%, а
остальные па созхозпых рчбочнх. Сколько членов СВБ 6} дет к тому времени
в городах, в колхозах и совхозах отдельно?
Контрактация имеет своей целью следующее;
а) Получение сельскохозяйственного сырья для промышленности.
С) Обеспечение хлебом городов п промышленных центров.
в) Расширение посевной площади.
г) Поднятие урожайности полевых и технических культур рационали¬
зацией сельскохозяйственной техники.
д) Подготовляет почву к обобществлению индивидуальных крестьянских
хозяйств.
е) Способствует продвижению минеральных удобрений и сортовых семян»
168. а) В колхозе имени Ворошилова имеется 25 684 га всей вемли, заня¬
той водными угодьями (озера), лесом, лугами и пашнями.
Озера ванпмают 5% всей площади. Лес ванимает 15% всей площади, а
луга занимают 10% всей площади. Остальная площадь занята пашнями,
причем технические культуры (лен, конопля, подсолиух) занимают 35%
площади всей пашни, а остальная пахотная земля занята зерновыми куль-
ч у рами.
Рожь заигмтот 36% площади под зерновыми культурами, пшеница—
45%, овес—14% и горох—остальное количество
Определите, сколько гектаров занято техническими культурами и сколь-
ко зерновыми отдельно.
Определите, сколько гектаров занято каждым родом зерновых культур
по отдельности.
б) Технические культуры распределяются таким образом: льном засеяно
28.% всей площади под техническими культурами, конопля занимает 56%
втой площади, а остальная площадь засеяна подсолнухом.
Определите, сколько гектаров занято каждым родом технических куль-
тур.
в) Каждый вид культуры (технической и верновой) частично законтракто¬
ван.
Лен законтрактован па 85%, конопля на 92%, подсолнух па 75%, рожь
на 88%, пшеккцо ь« г 6 % о""С на Ь71; и го-ox на 54%.
Опрел пгте, сколько гсктагов злкенграк^оьако по каждой из культур,
как теги 1ЧССКИХ, ик и зерновых.
Заметить. Выт;:-ления производпть с точностью до 0 01 га.
Пример. Пглшя составляет <«% ей площади, и ш 17 97S га.
Как это получить, указано в задача 166.
Технические культуры занимают 35% всей площади, или они занимают
6 292,58 га.
Лен занимает 28% этой площади, гли 1 761%224 га, или ограничиваясь
сотыми долями,'имеем 1761,92 га, дизиму его 0, .024 га м.т.ее половины со¬
той доли.
Правило. Когда вычисления делается с точностью до 0,01,-тогда' в ответе
знаки тысячных и других долей отбрасываются. Если знак тысячных до¬
лей 5 и выше, то количество сотых ответе увеличивается на одну
Долю. Если знак тысячных дс тай максе 5 (как в нашем пргмере=2), то коли¬
чество сотых долей берется такое, какое было получено, без изменения.
Площадь, васеянтпя лытом, законтрактована на 85%. Значит законтрак¬
тованная и.ч-в.-. ь.ь \Ki 1 497,‘ 3 ia.
Совершенно также разрешите и остальные вопросы этой задачи.
Получив все требуемые ответы, проверьте и найдите, на сколько гектаром
иле частей гектара вы допустили ошибку, считая с указанной вам точно¬
стью до 0, 01.
159. Наведите справки в правлении Евшего колхоза, какая нлощадь
удобной для везделыге—, а риовых н техн.шест их культур земли принадле¬
жит ему, какал плп :..;/ь занята тсхничс чимл к зерновыми культурами,
какая площадь зав ! :л каждой культурой в отдельности, какая площадь
законтрактована мыд ка жду ю культурум Площадь всей возделываемой земли
возьмете в гектарах, а остальные данные вычислите в процентах, а потом уже
в процессе роботы переведите зти количества нроцеитоз на количества, вы¬
раженные в гектарах.
Полу1.: иные в правлении колхоза справки иллюстрируйте с помощью
диаграмм, начерченных в сое в к гвующем масштабе.
Подобные справки возьмите за ш-котысо лет- и представьте движение
контрактации площади иод какую-либо культуру, например под коноплю,
в фо]:: графика. А как это следует делать, показано далее на рисунке 13.
Примечай и е. Справки за тс годы, когда еще колхоз в вашем
сс . ■ организов. ч не Сил, ну кто С -ь в с .ьскоч совете.
160. Электростанция мощностью в 30 ООО киловатт, работая 1 час, дает
энергии 30 ООО киловатт-часов.
Сколько киловатт-часов энергии дает такая станция за 4 часа работы,
за 7 часов, за 15 чг ш, за сутки, за Г час 30 минут, 22/4 часа, 63/4 часа?
Сколько киловатт-часов энергии даст такая станция, если будет работать
круглые сутки с полной нагрузкой, в полмесяца, в 1 месяц, в 2 месяца, в
3 месяца, в 4л/2 месяца?
Сколько прибыли дает такая станция в m л года при полной нагрувке в
круглые сутки, если себсстот • сть 1 кчл'шатт-че- а с чектроэнергии обходится
станция 4,75 коп., а отпускная цепа потребителям в среднем составляет
6,13 коп.? 1
161. Многие электростанции работают иа торфе.
Д hi тагах электростанции огромное .ни ..еще и&ест торф, как энерге¬
тическая Саза.
Иа пространстве в- i СССР ш.\“дг;я 7 ■% мировых запасов торфа.
На основании этого решите следу юлою 1 штосы:
а) Сколько пр< центов торфа находится ь < всех капиталистических стра¬
нах?
б) Во сколько раз .ж ы торфа во вс.'.м С СР больше запасов торфа
во всем капиталистичо'ч:ох1 мире?
Вычисления произведите с точностью до 0,01.
в) Составьте диаграмму о запасах торфа в СССР и во в у ем капиталисти¬
ческом мире, взи.1 на бумаге 1 мм вместо 1%.
163. Огромное количество электрической энергии могут дать быстро
текущие реки с водопадами. Так например, река Ангара, один из притоков
Енисея (где вы ? Найдите на кариб, может дать 20 мчи лошадиных сил.
ГЬ- :з"'ь '0!!' кой : .екгрошанции с. т только 800 тысяч
лошадиных сил.
Определите, во сколько раз мощность электростанции, построечной на
Ангаре, превысит мощность Днепровской электростанции.
26 мая 1932 г. состоялось историческое постановление ЦК партии и
Совнер • ~та < со» ру.:.лч*-н ц» о. Во »ге. , • ; /,.« 15 тишичя, ггхдро-1
станции мог зостыо в 1,- 2 м к» . ::.гтт.
У
ri
И
м
Я
О.
Во сколько приблизительно раз Камьгпяпская гидростанция по своей
°Щнооти Сунет все же слабее мощности Ангарском гццростинцци, если
АКа лошадиная сила=0,786 киловатта?
1
163. Для борьбы с капиталистами—хозяевами фабрик и ваводов работав
устраивали стачки.
На одном ваводе вабастовало 1,2 тысячи рабочих. Эта вабастовка npo-,j
должалась 10 дней.
Определите, сколько человекодней ввяла вта вабастовка.
На другом ваводе вабастовало 2,7 тысячи человек, причем стачка про¬
должалась 20 дней.
Сколько человекодней веяла эта вабастовка?
1G4. В борьбе против ухудшения жизненных условий много раз и по
долгу бастовали английские горняки.
В одном угольном районе рабочие в количестве 67,4 тысяч человек басто
вали в течение 100 дней.
Сколько человекодней вэяла эта вабастовка?
165. В капиталистических странах весьма часто наступают кривигы
перепроизводства тех или иных товаров. Основная масса бедняков-труди
щихся не в состоянии покупать эти товары. Тогда капиталисты сокращают
производство и выбрасывают рабочих с их семьями на улицу, обрекая аа
голодовку.
В одном городе на 15 625 рабочих было оставлено на работе только 36%
всего количества рабочих.
Определите, сколько всего людей было обречено на голодание, если на
каждую сотню рабочих приходилось еще 250 человек членов семьи.
166. Данге письменные полные ответы на следующие вопросы:
Как умножить десятичную дробь на 10, па 100, на 1 000?
Как делить десятичную дробь на 10, на 100, на 1 000?
Как умножить десятичную дробь на любое целое число?
Как делить десятичную дробь на какое угодно целое число?
Как находить один процент от данного числа?
Как отыскать несколько процентов от данного числа?
Признаки делимости
167. Дайте полные письменные ответы на следующие вопросы
а) Из каких чисел можно при помощи сложения получить число 17? IV'?
23? Для примера обратите внимание на то, как мощпо получить число, по-
ложим, 11.
11=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
11=2+2+2+2+2+1
11=3+3+3+2
11=4+4+3
Можно ли числа 17, 19, 23 и т. п. получить, считая только равными гр,т
памп, например, парами, тройками, четверками и т. д?
б) На каких одинаковых чисел можно при помощи сложения получит*
плпртш' р числа 18, 24 28, 30 н т. п.?
Для примера оораУнте внимание на то, как можно получить, полож:-'*!
число 12.
+1+1+1+1+1+1
11=5+5+1
11=6+5
11=7+4
11=8+3 и т.
3
12 = 1 + 1 + 1
12 = 2 + 2-t 2
12 = 3 + 3 + 3
12 = 4 + 4 + 4
12 = 6 + 6
+ 1
+ 2
34
В
J
Можно лп, следовательно, числа 18, 24, 28, 30 и т. п. получпть, считая
обязательно равными группами, например: парами, тройками, четверками,
вятками, шестерками, семерками, восьмерками, девятками, десятками,
дюжинами и т. п.?
Заметить 1. Числа, которые можно полупить,считая только,
по одной едппице, и никак нельзя получить, считая равными группами
например: парами, тройками и т. д., называются простыми или перво¬
начальными числами.
2. Числа, которые можно получить, считая не только по одной еди¬
нице, но также и целыми группмами (парами, тройками и т. д.), назы¬
ваются составными числами.
Какие же числа называются первоначальными числами?
Какие числа называются составными числами?
Напишите каждый по 10 первоначальных чисел.
Напишите по 10 составных чисел.
168. Напишите ряд чисел (не пропуская ни одного), начиная с единицы
и кончая 100.
Зачеркните в этом ряду числа, которые можно составить, считая только
парами.
Заметьте, что число 2 нужно оставить незачеркиутым, а начать зачерки¬
вание с числа 4.
Какое последнее число вы вачеркнули?
Как называются вачеркнутые вами числа?
Заметьте, что такие числа навиваются чотпымп. Какие же числа назы¬
ваются четными?
Зачеркните в ряду оставшихся чисел все числа, которые можно составить,
считая тройками. Зачеркивание начните с 9, а число 3 оставьте незачерк-
нутым.
Почему зачеркивание надо начать теперь с 9, а не с 6? Когда же число
6 было зачеркнуто вами?
Остались ли, посмотрите хорошенько, незачеркнутыми сейчас
которые можно составить, считая четверками?
Почему (подумайте) таких чисел уже не осталось?
В ряду оставшихся чисел зачеркните теперь все числа, которые
получить, считая пятками. Зачеркивание нужно начать не с 5, а с
числа? Почему же с 25, а не с 10? Когда же числа 10, 15 и 20 были вами за¬
черкнуты?
А теперь зачеркните в ряду оставшихся чпеел все числа, которые можно
составить, считая группами по 7. С какого числа начнете зачеркивать? По¬
чему не с 14, а с 49? Когда же вы зачеркнули числа 14, 21, 28, 35 и 42?
Выпишите теперь в особую строчку йсе иезачеркаутые вами числа.
Припомните, как мы называли такие числа, как 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.?
Какие числа остались незачеркнутыми во втором десятке? В третьем десят¬
ке? В четвертом? В пятом? В шестом? В седьмом? В восьмом? В девятом
Десятке? А в последней десятке?
В каком -десятке первоначальных чисел наибольшее количество? В ко¬
тором из десятков содержится наименьшее количество первоначальных
чисел? А сколько всех первоначальных чисел в пределе первой сотни?
К уроку арифметики на следующий депь совершенно таким же путем
найдите первоначальные числа в пределах второй сотки. Сравните это
количество первоначальных чисел с таким же количеством в пределах первой
сотни. В которой сотне первоначальных чисел больше? На сколько больше?
35
числа,
можно
какого
Кок называются все зачеркнутые вами числа? Почему они навиваются
составными ?
Какие числа вы зачеркивали в первый раз? Во второй? В третий? В
четвертый?
Заметить. 1. Нужно узнать, делятся ли первые чпсла на 2,
вторые па 3, третьи на 5 п четвертые па 7? Как же это узнать? Смотрите:
15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3. 5.
Как называется число 15 по отношению к числу 3 и 5? Делится ли произ¬
ведение на каждый из его сомножителей?
2. Числа, которые делятся на 2, называются кратными двух. Числа,
делящиеся на 3, называются кратными трех, и т. п.
Какие же числа называются кратными пяти? Кратными 7? и т. д.
Имеются ли среди ответов в таблице умножения первоначальные числа?
Почему их там нет? Какие же только числа служат ответами в таблице
умножения?
169. Рассмотрите хорошенько сумму следующих двух слагаемых:
15 + 18 =‘33.
Кратпым каких чисел оказывается число 15? Почему оно считается крат¬
ным трех и пяти?
Кратным какпх чисел оказывается число 18? Почему опо считается
кратным двух, трех, шести и девяти?
Укажите такое число, на которое делятся и 15 и 18. На какое же одно
п то же число делятся оба слагаемые данной суммы?
Делится ли на то же самое число и сумма этих слагаемых, т. е. 33?
Заметить. Если каждое слагаемое делится па какое-либо число,
то и сумма делится па то же самое число.
Укажите такое число, на которое делится 15, но не делится число 18.
Разделится ли на это число сумма? Почему же в данном примере число 33
не делится на 5?
Заметить. Если одно из слагаемых данной суммы делится на
какое-либо число, а другое слагаемое не делится па это число, то и
сумма па пего не разделится.
Проверьте этот вывод по числу 18. На какое число, кроме числа 3, делится
18? Делится ли на эти числа число 15?
Разделится ли на эти числа (2,6 и 9) и сумма 33? Почему она не делится
на эти числа?
Придумайте сами по 10 таких же примеров на сложение двух или трех
двухзначных чисел. Проверьте только что сделанные выводы.
170. Назовите числа, которые Вы зачеркивали сначала в аадаче, в пре¬
деле первого десятка. В пределе второго, третьего и т, д.
Как мы назвали эти числа в конце задачи? Какие же числа называются
кратными 2?
Какими цифрами оканчиваются числа, делящиеся на 2?
Вывод. Па 2 делятся такие числа, которые оканчиваются нулем плп
четной цифрой.
Придумайте по 10 трехзпачных чисел, делящихся на 2.
Придумайте по 10 четырехзначных чисел, не делящихся на 2. Заметьте,
что полученный сейчас вывод называется признаком делимости на 2.
Повторите признак делимости на 2. Как же вы будете отличать чысл),
делящееся на 2, от чпсла, не делящегося на 2?
Каков следовательно признак у одних чисел? Каков у других?
06‘нскнте, разделится ли число 736 па 2.
Ото число составлено так: 730+G. Каждое слагаемое этой суммы делится
на 2. Значит и все число делится на 2.
Число 567 пе разделится на 2. Ото число можно паписать так: 560+7.
Первое слагаемое этой суммы делится па 2, а второе слагаемое пе делится
ца 2. Значит и сумма ис разделится па 2.
Проделайте совершенно такую же работу с каждым из придуманных
вами чисел.
Повторите признак делимости на 2.
171. Напишите несколько чисел, делящихся на 5. Какими цифрами
оканчиваются числа, делящиеся на 5?
Вывод. На о делятся только такие чпела, которые оканчиваются нулем
или пятеркой. ^
Каким признаком отличаются числа, делящиеся на 5, от чисел, не деля¬
щихся на 5?
Придумайте 10 трехзначных чисел, делящихся на 5.
Придумайте 10 трехзначиых чисел, не делящихся на 5.
Почему число 945 разделится на 5? Покажите это, как делали в задаче
№ 170.
Почему число 728 не делится на 5? Покажите вто, как делали в задаче
№ 170.
Повторите признак делимости на 5.
172. Данте полные письменные ответы на следующие вопросы:
Какие числа делятся на 10? Почему числа, имеющие на конце пуль,
делятся на 10? А как узнать частное при делении на 10?
Какие чигла делятся на 100? Почему числа, имеющие на конце два нуля,
делятся на 100? А как узнать частное при делении данною числа на 100?
Заметить. 1. Чтобы получить частное при делении данного
числа на 10, нужно прочитать лишь число десятков этого числа.
2. Чтобы получить частное при делении дапного числа на 100, нужно
прочитать лишь число сотен этого числа.
Назовите признак делимости на 10. Признак делимости на 100.
173. Назовите в пределе первой сотни числа, которые делятся на 25.
Запишите эти числа.
Назовите в пределе второй сотни числа, которые также делятся ка 25.
Запишите эти числа.
Выпишите числа, кратные 25, из третьей сотни. Из четвертой. Из пятой.
II т. д.
Какие же числа делятся на 25?
Гьевод. На 25 делятся только такие числа, которые оканчиваются двумя
нулями или двухзначными числами—25, 50 и 75.
Напишите 10 многозначных чисел, делящихся на 25.
Почему число 3 725 делится на 25?
Число 3 725=3 700+25. Каждое слагаемое этой суммы делится на 25.
Значит и вся сумма разделится на 25.
Почему число 2 537 пе делится на 25?
Число 2 537=2 500+37. Одно из слагаемых этой суммы, именно пер¬
вое делится на 25, а другое, именно 37, не делится на 25. Следовательно
и все число не разделится на 25.
Таким же образом покажите, почему числа 11 968, 13 843 не делятся на 25.
Повторите признак делимости на 25.
Заметить. Сотня делится па 25. Значит всякое число, состоящее
из сотен, иеиремеино разделится на 25.
37
174. Назовите и запишите по порядку разрядные единицы первого класса)
Которая из этих единиц делится на 4? Которые не делятся?
Вывод. 1. Сотни делится на 4.
2) Всякоо число, состоящее из сотен, делится на 4.
3) Число, имеющее на конце два пуля, делится на 4.
Назовите и запишите однозначные числа, делящиеся на 4.
Назовите и вапишите двухзпачныц числа, делящиеся на 4.
а) Назовите и вапишите 10 трехзначпых чисел, делящихся на 4.
б) Назовите и, запишите 10 трехзначных чисел, не делящихся на 4.
Почему число 736 делится на 4?
Число 736= 700 +36. Каждое слагаемое зтой суммы делится на 4. Значит)
и вся сумь1а, т. е. данное число также разделится на 4.
Таким же образом покажите, почему все придуманные вами числа делятся!
на 4 (задание а).
• Почему число 574 не делится на 4?
Числа 574=500+74. Первое слагаемое этой суммы делится на 4, а второе]
не делится на 4. Значит и вся сумма, т. е. данное число 574 не разделится на 4Н_
Таким же путем покажите, почему все придуманные вами числа не делятся)
на 4 (задание б).
Какие же числа делятся на 4?
Вывод. На 4 делятся такие многовначные (трехзначные, четырехзнач¬
ные и т. д.) числа, которые оканчиваются или двумя нулями (состоят из]
сотен), или же двухзначным числом, делящимся па 4.
Напишите 10 многозначных чисел, делящихся на 4.
Напишите 10 многозначных чисел не делящихся на 4.
175. Придумайте н вапишите 10 двухзначных чисел, делящихся на 3. ]
Посмотрите теперь, какова сумма цифр каждого из написанных вами чисел.
Делится ли эта сумма цифр на 3?
Придумайте и напишите трех8начное число, у которого сумма цифр!
будет делиться на 3. Разделите это число на 3. Что находите?
Какие же числа делятся на 3?
Вывод. На 3 делятся только такие числа, у которых сумма цифр делится^
иа 3.
Придумайте 10 многозначных чисел, которые делятся на 3; которые не|
делятся на 3.
Скажите, делятся ли на 3 следующие числа: 5 472, 1 827, 8 217, 1 872. J
Повторите признак делимости на 3.
176. Назовите и запишите 10 двухзначных чисел, делящихся на 9.
Посмотрите, какова сумма 'цифр каждого из написанных вами чисел.
Делится ли эта сумма цирф на 9?
Придумайте ■ вапишите трехвначное число, у которого сумма цифр бу¬
дет делиться на 9. Разделите это число на 9. Что находите?
Какие же числа делятся на 9?
Вывод. На 9 делятся только такие числа, у которых сумма цифр делится]
иа 9. js
Придумайте 10 многозначных чисел, которые делятся на 9. Проверьте!
вывод. Придумайте 10 многозначных чисел, которые не делятся на 9, По-Г
чему эти числа не делятся на 9? Проверьте сделанный вами вывод.
Скажите, делятся ли на 9 следующие числа: 4 427 253; 3 522 244.
Повторите признак делимости на 9.
177. Просматривая приведенные далее числа, выписывайте из ыих|
сначала числа, кратные 2, йотом кратные 3, ватем кратные Ь»
; t ЦШ Щ ^
3 562; 4 875; 238; 1 056; 4 725; 5 168; 405; 800; 432; 1 020; 1 836; 4 124;
27 102; 37 098; 13 995; 1 110; 98 172; 4 419; 71 145; 1 272; G4 832; 7 142;
I 425.
178. Ив ряда приведенных далее чисел выпишите сначала числа, кратные
л а потом кратные 25 и наконец кратные 9.
’ 1 76S; 7 150; 5 166; 3 572; 8 375; 6 381; 4 396; S 925; 4 563; 7 284; 5 175;
3 213; 2 176; 4 167; 6 750; 7 652; 3 575; 5 346; 7 392; 3 725; 3 762.
179. Придумайте 5 чисел, делящихся на 2; 5 чисел, делящихся на 5;
5 чисел, делящихся на 4; 5 чисел, делящихся па 25; 5 чисел, делящихся на
3; п 5 чисел, делящихся на 9. •
Придуманные числа, передайте на проверку своему товарищу.
Разложение па множители и общее сапмсиыпее кратное
180. Напишите числа: 4 6, 9, 10, 15, 14, 21, 35.
Разложите каждое из этих чисел на множители по таблице умножения.
Запишите это разложение.
Пример. 35=5.7. Сделайте то же самое с другими числами.
Как называются числа 5 и 7? 3 п 7? 2 и 7? 3 и 5? 2 н 5? 3 и 3? 2 и 3? 2 и 2?
Заметить. Данные числа мы разлагали на первоначальные
множители. Напишите теперь числа: 12, 18, 20, 30, 27, 45, 42, 28, 63.
Разложите каждое из этих чисел на множители по таблица умножения.
Пример. 12=4.3. Сделайте то же самое с другими числами.
Какие два множителя входят в состав каждого из данных чисел?
Заметить. В состав каждого из данных чисел входит два мно¬
жителя, ив которых один первоначальный, а другой составной.
Продолжайте теперь работу таким образом:
12=4 . 3=2 .2.3
18=2 . 9=2 . 3 . 3 и т. д.
На произведение каких чисел теперь разложено каждое дапное число?
Каждое данное число представлено в виде произведения первоначальных
множителей. Каждое данное число разложено на первоначальные множителя.
Вывод. Разложить данное число на первоначальные множители—значит
написать зто число в виде произведения первоначальных множителей.
Пример. 72= 8 . 9=2 .4.3. 3=2 . 2 . 2 . 3 . 3.
По этому образцу разложите все остальные числа ив таблицы умножения,
как-то: 16, 24, 32, 36, 40, 45, 64, 56, 54, 81, 48.
181. Что же значит: разложить данное число на первоначальные множители?
Заметить. 1) 96=2.48=2.2.24=2.2.2.12=2.2.2.2.6= 2.2.2.2.2.3.
144=2.72=2.2.36=2.2.2.18= 2.2.2.2.9= 2.2.2.2.3.3.
По этому образцу разложите на первоначальные множители следующие
числа: 98, 108. 84. 88, 105, 78, 104, 162, 216, П2, 1-г0, 60, '"'О 80, 180.
210, 160, 120, 200, 360, 320, 840, 900, 720, 350, 270, 480, 560, 256, 280, 450
392
2 324
2 420
2
196
2 162
2 210
2
98
2 81
3 105
3
49
7 27
3 35
5
7
7 9
3 7
7
1
3
3 1
1
39
По этому образцу разложите на первоначальные множители следующие
чпсла: 288, 972, 432, 575, 616, 675,1 134, 816, 648, 1 800, 2 400. " 1
Повторите теперь, что значит разложить число на первоначальные мно
жители.
182. Какие числа называются кратными 3? Кратными 4?
Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45,
48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72
Кратные 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24. 28; 32 , 36 , 40, 44, 48, 52, 56, 60,
64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92.
Общие кратные 3 и 4: 12, 24, 36, 48, 60, 72.
Общ«е наименьшее кратн о'е 3 и 4 есть 12. Это само
меньшее из всех чисел, которое одновременно делится и на 3 и на 4.
Какие числа называются общими кратными? Какое число называется
общим наименьшим кратным?
Указанным сейчас путем найдите обшее наименьшее краткое каждой
пары следующих чпеел: 3 и 8; 4 и 6; 6 и 8; 6 и 9; 12 и 16; 18 и 24; 15 и
12; 15 и 18; 15 и 'J; 14 и 21; 15 и 20; 18 и 30.
Скоро ли этим путем можно отыскивать общие наименьшие кратные двух
или нескольких чисел?
Заметить. 1. Укавапным сейчас путем мы нашли, что общее
наименьшее кратное 3 и 4 равно 12.
2. РазложиЕ число 12 на первоначальные множители, мы видим;
что 12 равняется 2 . 2 . 3. $ ]
3. Первые два множителя входят в состав одного данного числа, а
третий множитель—это множитель другого данного числа
4. Чтобы ннити общее наименьшее кратное двух чисел, нужно каж¬
дое из этих чисел разложить па первоначальные мксжптрлп, взять мно¬
жители одного из данных чпеел и добавить к ним недостающие (отличные)
множители из другого данного числа. I
Произведение собранных таким образом множителей и 6} дет общее ыа«
имешлдее краткое двух чисел. ,
L Найдем таким путем общее наименьшее кратное двух таких чисел:
3*; 48.
л) . 36 = 2 . 2 . 3 . 3. *
б) . 48 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3.
Общее наименьшее кратное равно 48.3=144.
Или общее наименьшее кратное равно 36 . 2 . 2=36 . 4=144.
5. Общее наименьшее кратное можно искать по любому из данных1
чисел
Найдите Тслшмже путем общее наименьшее кратное каждый пары еле
дующих чисел: 96 и 120; 84 и 144: 120 и 16г 150 к 180; 144 а 321; 160 и 216;
240 и 360; 223 и 475;' 256 и 192; 140 л ЮЗ.
Какое же число называется общим наименьшим кратным двух чисел?
а
!
Понятие о простой дроби е иростех’т'х се преобразованиях
1S3. Дайте полные письменные ответы на следующие вопросы': ,
Сколько в единице восьмых долей? Двенадцатых долей? Дзадыатьгхг'
Тридцать вторых? Сорок восьмых? Шеетидеь ягыхЗт Семьдесят вторых?
Сколько таких же долей (восьмых, двенадцатых, два-цатых и г. д. по
порядку) в пяти единицах? В двенадцати едиоп:»*? В п«-..адцати? В
двадцати четырех? Ь тридцати? В тридцати п сети? В Сорока?
40
I
Какую долю метра ссе'гаглягт 1 дециметр? Какую долю метра составляет
\ сантиметр? Какую долю гектара составляет ар?
Как записывается величина каждой из этих долей?
Как записать дробь, выражающую длину 7 д< циметров от метра?
Заметить. Написанные вамп числа называются обыкпоасппьши
7 9 23 2 '
или простыми дробями. Числа уу, у, и т. п. простые дроби.
7 5 3 13 11 29 17 71
184. Прочитайте следующие простые дроби: , у^, -g, 24, yg, yg, ygg,
19 47 _4
36’ 64’ 15’ \
Запишите следующие простые дроби: пять восьмых, девять десятых,
одиннадцать двенадцатых, семь девятых, тринадцать пятнадцатых, девять
двадцатых, две трети.
Вывод. 1. Простая дробь записывается двумя числами (одно над другим),
разделенными горизонтальной или наклонной чертой.
2. Верхнее число простой дроби называется числителем дробя, а ппжпее
чнс. о называется знаменателем.
3. Знаменатель дроби показывает, па сколько равных частей разделена
едпвппа.
Знзмепатрль показывает, ив каких долей составлена данная дробь.
4. Числитель Дроби ' показывает, сколько равных частей взято для
составления данной дроби, или из скольких равных частей состоит дан-
пая дрсГ-ь.
Запишите ь прочитайте дробл, у которых числитель 7, а знаменатель 18,
числитель тринадцать, а знаменатель сорок восемь, числитель 11, а знаме¬
натель. 36, числитель 17, а знаменатель 40.
185. В самовар п-ющается 18 стаканов воды. Какую часть самовара
составляют 5 стаканов?
Нслй считать, что k каждом стакане—2 чашки, то какую часть самовара
составляют 7 чашек, 11 чашек, 17 чашек?
1 SC:. Из ГО кг чугуна сделано, 29 одинаковых отливок. Чему равен вес
каждой такой отливки?
JS7. Пюоразнте в виде дробей частные от деления 5 на 6. 8, 9, 12, 16,
18, 24, 28. 36, 48, 15, 20. 25,, 30, 35, 40. 4\
Частные от деления 6 на 12, 16, 18, 20, 24, 28. 27. 30, 36, 32. 40, 4S.
Частные от деления 6 на 8, 9, 10, 12, 14. 15, 16, 1S, 20, 24, 28, 30, 96.
40, 48.
Частные от деления 20 на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12. 14, 15, 16, 18, 20, 24,
Частные от деления 30 ыа 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18,20,24. 30, 36,
40, 48.
Частные от деления 15 яа 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ljO, 12, 15, 16, 18, 20, 24,
30, 36, 40, 48,
быводы. 1. При делении меньшего чгюлп на большее получаются простые
„ - f 9 6
дрс.пп, которые меньше единицы: -5, ~ п т д.
О 10
2. При делении одного числа на дтуюе, ему равное, получаются простые
- 1 'О- _-0 6
Ркоои, на которых каждая рачка единице: jQ 3Q, уу и т. п.
3. При делении большего числа на меньшее получается гргстая дробь,
TQ *С Iе*
которая болте единицы: у и т. п.
4. Дроби, которые меныш единицы, называются нрдгильпымп дроб, мн.
41
У правильной дроби числитель меньше энамспателя
5. Дроби, которые равны единице, или которые больше единицы, назьп
ваются пеправидьпыми дробями.
У неправильной дроби числитель или равен знаменателю или асе числи-)
тель больше знаменателя.
188. Из данного здесь ряда дробей выпишите сначала дроби меныщ
единицы, потом равные единице и затем больше единицы;
u/8, “/u. 7в» “/.. */„ 18/в. 40/га. 80/в. 17/t. 7», U/ia. 21/а«. '/а. “/•. V)
1Б/*, в/в, 18/7. *7в, а/а. 8/гб, в/в, 1в/в.
Как называются дроби, написанные вамп в первой строке.-1 Во второй
строке? В третьей?
Придумайте и запишите сами 10 правильных дробей, 10 дробей, каждая г®
которых равна единице, и 10таких дробей,каждая из которых больше единица
Как написать единицу в виде дроби с знаменателем 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,1
10, И, 12, 13, 14, 15 и 16?
Выразите числа 8, 9, 12, 15, 16, 18,-20, 24, 30 и 36 в виде дробей с
знаменателями 3, 5, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 32, 36 и 40.
189. Измеряя длину болта, нашли, что выбранная единица меры, имен¬
но сантиметр, укладывается по длине болта 8 раз с остатком, в котором чет¬
вертая доля сантиметра содержится три раза.
Выразите длину этого болта смешанным числом и неправильной дробью
160. Чтобы определить вес ящика гвоздей, на чашку весов для равно¬
весия пришлось положить гири в 10 кг, 5 кг, 2 кг, 100 г и 50 г. Как выра¬
зится вес ящика гвоздей в килограммах?
Обратите найденное смешанное число в неправильную дробь.
191 Представьте в виде неправильных дробей следующие смешанны)
числа: 23/4; 5%; 62/s; 88/в; 9»/„; 5в/в^1«/1в; 213/м; 12“/и; И7/™
Пример работы: 1 равна-^-
О 6 . 8 48
8 едишщ=-т—=«= v-
О О
„ 5 48 , S 53
8 Г" Т+Т=Т
Правило. Чтобы обратить смешанное число в неправильную дробь, нуж
но знаменателя дроби умпожпть па целое число, затем к полученному пр
изведехшю нужно прибавить числителя данной дроби, которая имелась в
смешанпом числе, и под суммой подписать того же знаменателя. ,
Придумайте сами по 10 смешанных чисел и обратите их в ненравильш
дроби.
Придумайте по 10 целых чисел и обратите их в неправильные дроби
следующими знаменателями: 2, 5, 9, 12, 3, 18, 4, 24, ->, об, 6, 16
192. Исключите целке числа
Л 18/ 20/ в/ 12/ 28/
а/ / 3. /Б. /а» /4. ./7.
/ 22/ 70/ 24,
/6» /2) /5» /4» /16*
зо /
28/ 2Б/(.
40
/го-
иэ следующих неправильных дробей: |
30/ 18 / 27 I 48/ 64/ 72/ 80/ 45 Г-
i. 16. /в. /8. /8. /е. /о. /15. ■»’
б) 1Б/а, ”/4.
20 /
/ 7.
45/ 19 / 23 / 42 1 24 /
/8. /4. ,3. /В. /10.
721
19.
93
Л.
25/
У в.
за/о, 87бв1/^
40 / вв / те У 07 /
/10. /13. /20* / В4* ...»
Придумайте сами 10 упражнений группы а и 10 упра?кнении группы
б, а потом решите эти упражнения. ^ д
Правило. Чтобы исключить целое число из неправильной дроби,
числитель разделить иа знамепатель. Частпое Судет означать целое Огсяо,
а остаток, если он есть, станет числителем дроби при данном в неправильно!
дроби знаменателе,
42
193. Определите, которая из двух данных дробей больше другой, и об*я-
сните, почему вы так думаете.
а) б/9И7/8,1«/18и«/13;И/17и«/1,874зИ “/«"/ни’/ш"/^ м/1в, 7*
И, 7/20» 6/*4 И Т/24т 13/зО И 11/зо! *7зб И 13/зв-
б) 7/в И Vl3» и/з4 И-11/25. 13/l6 и 13/20i 19124 11 1В/в0т 8/l6 И 8/31» 3/г4 И 5/зв>
14/вБ И 14/зз! 1S/le И 4Б/19. 12/l7 и 12/аз> 20 111 И Sf)/s9-
в) */ц и 1г/is» 14/i7 и 1Б/1в; 6/ia И 7/в; 3/4 и г/в; 7/13 и 17/84; 14/16 и 17/21;
*/м и 7/ie; 1а/25 и 11/i7; 21/за и м/«; и/« и 13/18
Пример: а) 7/в больше Б/э, потому что в первой дроби количество долей
больше чем во второй, а величина долей одинаковая.
б) 7/в больше 7/13, потому что в первой дроби доли крупнее, чем во вто¬
рой, а количество долей одинаковое.
в) 9/11 больше 11 /13, потому что вторая дробь меньше 1 на ®/13, а первая
дробь меньше 1 на а/11, т . е. вторая дробь ближе к 1, так как 2/13 меньше 2/п.
Заметить. 1. Из двух дробен с равными знаменателями больше
та дробь, у которой числитель больше, потому что эта дробь имеет боль¬
шее количество одинаковых долей.
2. Из двух дробей с равными числителями больше та дробь, у которой
знаменатель меньше, потому что эта дробь состоит из более крупиых
долей.
194. Расположите приведенные далее дроби в возрастающем порядке,
т. е. распределите их так, чтобы каждая последующая дробь была меньше
предыдущей.
«) 7/ . 13/ . 9/ . 11/ . 2 1 -15/ .4/ - 8/ .3/ .10/ .26 I .6/ .
а) 111. /11. /11» /11. /11. /11» jilt /11» /11» /11, /ц, /л,
£7п; “/и; 37п; l8/n; V»; e/»; S4/n
6) e/isi 7гб» */7» 9/i*j */11» 9/о» s/га» */з» а/5. 9/ie. 7зб> 7а» 9/i7. 3/28» 9/гв»
»/ .9/ .9/ .9/ .9/
/34, Д19» /20, /40» /23
195. Напишите самые большие правильные дроби о внаменателями:
120,28, 72,81, 5,14,36, 45,54 , 63,18,32,90, 56,24,33,21,48,15,27.
Напишите самые меньшие дроби о теми же знаменателями.
Расположите самые большие правильные дроби в восходящем порядке.
Расположите самые меньшие правильные дроби в нисходящем порядке.
196. Можно ли, зная знаменатель какой-либо дроби, написать самую
большую из всех правильных дробей и самую малую из всех неправиль¬
ных дробей, имеющих данный знаменатель? Как же это сделать?
Можно ли написать наибольшую из всех неправильных дробей с данным
знаменателем?
197. Увеличить в 2 раза, в 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
*8, 19, 20, 21 и в 22 раза следующие дроби: 3/4; 2/3; 2/6; 3/6; 4/6; 6/,;
*/_- 7 I • Б I .11 / .11.13 1 .15/ .11/ .17/ .4/ .9/ .13/ .19/ т» 21 /
>8» /9» lit 112» /9, /16» /16» /24» /18» /25» /35» /зв» /82 И /40-
Пример. Дробь 3/8 надо увеличить в 9 раз.
Дробь станет больше, если у нее числитель станет больше, а знамена¬
тель останется прежний. Дробь надо увеличить в 9 раз. Значит числитель
ее нужно увеличить в 9 раз, получится 27. Искомая дробь 27/8. Дробь 27Д,
^правильная дробь. Исключаем целое число. Получается ответ о3/8.
Точно также проработайте и все остальные примеры.
198. Уменьшить в 2 рава, в 3 раза, в 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,
*5, 16, 17, 18, 19, 20, 21 и в 22 раза следующие дроби: Ve! 7з! 7б! Va!
/•; 7.; */•; 7.; 7«; 7/ai 1/в; 3/8; 77; s/8; 7.; 7i8;11 /«; 7/1а; 7» и “/и.
43
Пример. Дробь */s надо уменьшить в 13 раз.
Дробь станет меньше, сели у нее знаменатель станет больше, а числит:.;],
останется прежний, потому что тогда доли будут мельче, а число их то
самое.
Значит для уменьшения дроби в 13 раз нужно ее знаменатель помнот
на 13, не изменяя числитель. Искомая дробь будет равняться */вз.
Вывод. 1. При изменении числителя и знаменателя дробь изменяется.
2. С увеличенном числителя дробь увеличивается.
3. Г увеличением знаменателя дробь уменьшается.
159. Определите, ео сколько раз одна из дробей больше или меньше другой:
“/к и s/i6; *'и и *А->; и/» и 18/м и т/з2 и г1/,2; »/2( и 16,/м; % и 1С/17; */« и ,2/ls.
Б/в и 6/ы; »/и « 7/s«; и/15 и и/в; 9/г„ и •/«; •/„ и Чл V12 и \72; •/„ и 8/38: ■/, и 8/и.
2С0. Уменьшить в 2.раза следующие дроби: 2/s, 2/3, 2/7, 2/э, 4/9, */ц, 8/,3.
10 12 / т. 14/
/197 ' 251 И /33-
12 21 / 27 /
171 291 /32-
Уменьшить в 4 роза следующие дроби: 4/5, 8/
28/ 32 / 36 / и 40 /
/ 29? / 37-» /41 11 /61*
11?
S5 / 40 / 46 /
, Гб? /49? /46
И
“/*!■
16 /
/16?
12/
/19?
6/
/ 25?
18 /
/35»
12/
/13?
16 /
/17?
20/
/21?
М/«-
/ 2о)
15 /
/16»
20/
/ 23»
25/
/27?
80/
/ 31»
18 /
/19?
24 /
/ 35»
30 /
/31»
36/
/37-
42 ' 48 / 64 /
,47* / 4*)’ /55
И
СО/
. 61*
13/ 19/ 17/
/18? /30? /36? /•‘.S’
5 I
1,1 It" ' ^
201. Увсличигь в 2 раза следующие дроби: 3/4, в/8, 7/12, 8/i6i 3/2oi %»
11 ’ ^ / ** / ТТ ^ /лл ^
, 18? /26* /28 11 /30*
Увеличить в 3 раза следующие дроби: 6/6, т/9, n/i2i 14/isi 17/iei в/211 7/м-
13 I 19 / И 17 ' '
/271 /30 и /36-
Увеличить в 4 раза следующие дроби: 3/5, e/12, 10/i6, ie/soi 17/241 9/iei т/з*<
11 ' 3 / и 9 /
/361 /40 И '14- и 14'
Увеличить в 5 раз следующие Дроби: 7/10, 8/1Б, */201 3/251 11/3oi /351 9/40.
13/ 17 / 4 /
/451 /30 11 /55-
Увеличить в 6 раз следующие дроби: n/i2, 7/24,
23 / 25 29 / н 5 /
/481 541 160 и /66-
Вывод. 1. С уменьшением числителя в несколько раз дробь уменьшаете!
во столько же раз.
2. С уменьшением знаменателя в песколько раз дробь увеличивается во
столько же паз.
202. Дать почине письменные ответы па следующие вопросы:
а) Сколькими и какими способами можно увеличить дробь в несколь:
раз?
б) Сколькими п какими способами можно уменьшить дробь в несколько
*v /
раз:'
Каждую из приведенных далее дробей надо увеличить в 2, 3, 4, 5, и 6 р8"
дв\ия способами: 6)г4, 7;78, 11/72, 18'9в. ,7/ios- 7/1201 u,i32i 19/i44i 25/xse и 6/
Каждую из прьзел. :.шых далее дробей нужно уменьшить в 2, 3, 4, б 11
8 рьз двумя способами: 24/7, 48/в, 72,13, 96/ц, 1о8/7, 1го/17, 132/19, 144/ш 156/<> '
168 ,
25*
44
203. Которая из двух данных дробей больше другой и почему?
И Ъ}' * ,13 U "/и 11 “ 's, 7/ei и V13, 2/з и */», 6/в и 10/it,'7/8 и
. и 20 «о. 6/,. и 18/„„. 12'.. Н 30/..
28 /
/36!
/7 . _
20 ' 6 / ,, 18 / 12 I
• 12 441 /11 u / 331 17
Пример. Дроби 3/7 и 9/sl равны между собою. /
Во второй дроби число долей больше в три раза, вато доли мельче в три
раза. Значит обе дроби одинаковы.
Вывод. 1. Если числитель и знаменатель дроби множится па одно и то
асе число, то велпчппа дробп не изменяется.
2. Если числитель и знаменатель дроби делятся па одно и то же число, то
величина дроби .не изменяется.
20 !. Пс изменяя величины дроби 4/7> напишите ее так, чтобы ее знамена-
тел. равнялся 35, 56, 63, 14, 70, 42, 77, 84, S1 и 98. '
Не изменяя величины дроби 8/15, напишите ее так, чтобы числитель ее
равнялся 40, 16, 48, 24, 56, 32, 64, 72, 80 и 88.
Не изменяя величины дроби 180/8Й4, напишите ее так, чтобы числитель
у нее равнялся 5, 90, 10, 45, 15, 30, 60.
Не изменяя величины дроби 240/ЗС0, напишите ее так, чтобы знаменатель
ее равнялся 180, 3, 90, 15 и 45.
205. Увеличьте числители и знаменатели следующих дробей в несколько
раз: 2/3, 3/4, 4/6, 6/в, 7/8, 4/.9, б/8, и/12, 7/12 и 4/1в. Изменится ли от этого вели¬
чина дроби?
206. Сократить следующие дроби: 4/6, 12/ао, Б/15) 14/35, 18/л3, 48/Э0, 34/85.
36/450, 14/вЗ, 25/70, 15/25, “/tO, 12/l44, “/..Б, 16/И«, «/в», 18/з24, 22/зЗ, “/«,
61 /
/170*
207. Дайте полные письмеппыс ответы на следующие вопросы:
Что сделается с величиной дроби, если числитель и знаменатель одновре¬
менно увеличить в несколько раз?
Почему при этом величина дроби не изменяется?
Каким становится количество долей? А величина каждой долп?
Что надо сделать, чтобы сократить дробь?
Почему при сокращении дроби величина дроби не изменяется?
Каким становится количество долей? А величина каждой долц? Измепито
дроби 2/3 и 3/5 таким образом, чтобы у каждой из них знаменатель был 15.
Как это сделать?
Надо сделать так: 2/3=4/с=в/э=8/12=10/15.
8 / 6 ' 9/
. „ '5— !1°— /15-
Проделайте то же самое с приведенными далее парами дробей:
*/» и 3/4. 3U и 2/5, 2/3 п 8/в, 3/8 и 4/3, 3/5 и 8/й, 7,/„ и 5/6,4/э и 8/6, 7/1а II 4/3, 7/ч и
/12. 8/15 и 11/12. увеличивая числителя и знаменателя до тех пор, нона не
получите одинаковые знаменатели у каждой пары дробей.
Выполнив указанную работу, определите, которая из дробей в каждой
паре больше и которая меньше, а также на сколько больше и на сколько
Меньше.
208. Даны три дроби: 2 3, 3 . и Б/в. Напишите их так, чтобы у них у есрх
1 одинаковый знаменатель 60, 84, 12, 72, 24, 96, 36, 48. 10S и 120.
Которая пз этих дробей больше? Которая меньше? На сколько больше
Пли меньше?
К каким знаменателем эти дроби оказываются наиболее удобными для
СЧСТц?
3 а м с т и т ь. При счете с дробями пужно уметь отыскивать общий
виадщиатсль для нескольких дробей, ни только с-ьмый меньший.
45
был i
209. Переписать дроби ■/„ 7/4,18/8 и м /18 таким обравои, чтобы все ов®
имели общий знаменатель, но только папяепьпшЗ из всех общих знамена*,
телей.
210. Дать полные письменные ответы на следующие вопросы:
а) Что сделается о дробью, если числитель ее умножить на 2, а внамена-
тель умножить на 4?
б) Что сделается с дробью, если числитель ее разделить на 3-, а знамена
тель разделить на 6?
в) Что сделается с дробью, если числитель ее равделить на 3, а внамсна.
тель помножить на 2?
г) Что сделается с дробью, если числитель ее помножить на 5, а знамена¬
тель разделить на 3? ’
д) Числитель дрбби помножили на 6, а дробь увеличилась только в 3 ра.
ва. Что сделали с знаменателем атой дроби? /
е) Числитель дроби помножили на 2, а дробь однако уменьшилась в 4 ра¬
за. Что же сделали с знаменателем этой дроби?
ж) Числитель дроби-помножили на 6. Что надо теперь сделать о знамена¬
телем атой дроби, чтобы первоначальная дробь уменьшилась в 5 рае?
211. Что будет больше: уменьшенная в 3 раза дробь 12/Х1 или же увег
ченная в 5 раз дробь 8/ББ? На сколько одна дробь будет больше другой? А
во сколько раз?
Что будет больше: увеличенная в 4 раза дробь 6/х1 или же уменьшена
в 3 раза дробь 18/t?
212. Установите зависимость между изменениями членов дроби и из:
нениями самой дроби при следующих условиях:
1
Числитель
А
К
«3
а
о
SE
(в
К
СО
Дробь
Числитель
Знаменатель
Дробь
Числитель
Знаменатель
Дробь
Числитель
Знаменатель
Дробь
Числитель
Знаменатель
А
О
О
о,
. 2
. 12
?
3
4
?
.
5
. 10
5
?
: 10
8
4
.16
8
?
.
5
6
7»
?
:
4
. 8
4
V
: 8
.
6
.
3
7
: 5
. 10
?
4
8
>
?
;
3
. 6
3
?
: 6
4
2
?
: 7
. 21
?
.
3
6
?
?
;
6
. 12
6
?
: 12
9
3
?
. 5
' . 2
V
4
8
?
?
;
8
. 16
8
: 16
10
5
?'
: 4
. 3
?
3
6
7>
?
5
: Ю
5
?
. 10
:
8
2
4
•?
. 3
: 4
?
:
2
3
V
?
4
: е
4
?
. 8
;
6
3
: 6
. 2
V
:
3
2
?
?
3
: 6
3
?
. 6
:
4
;
2
■?
. 4
: 2
?
:
8
4
?
?
6
; 12
6
V
. 12
9
j
3
>
. 6
: 3
7
■
Ь
-
3
?
?
-
8
: 16
8
?
:
10
:
5
213. Пользуясь признаками делимости, сократить следующие дробД
175 144 1700 54 345 162 275 360 350 2^0 54 256_
225’ 360’ 5100’ 120’ 360’ 486* 550* 48о’ 900’ 9<о’ 99’ Ю24
214. Найдите общее наименьшее кратное чпсел каждой из следугогоп1
групп: 180 и 420, 810 и 672, 9 9С0 п 7 200, 75,175 и 350, 42, 49, и 70, 5i>‘-
360 и 792, 3, 5 и 7, 8, 16 и 64, 150, 180 и 200, 13, 26, 39 и78, 2,8, 3, и 5,3, '•*
6, и 12.
215. Каков будет общий наименьший знаменатель для дробЯ
7/l5,a/5* V»?
46
Заметить. Число, пспавывающев, во сколько рав общий внамена-
тель больше первоначального знаменателя, называется дополнительным
множителем.
Каковы будут дополнительные множители для каждой ив втих дробей?
Каков будет общий наименьший знаменатель для дробей 7/ш 3/22, Б/в
и 19/се? Чему равны дополнительные множители для каждой из этих дро¬
бей? Каков будет результат приведения?
216. Привести к общему знаменателю Дроби каждой ив следующих групп:
*/7? */в и */«'? */в» Х/е и 1 /21 6/8? 3/11 и 7Itti 81гii и “/si 2/з ? б/е? S/e и 7/121 2/э и
в/7; ’/«, 3/4, 6/8 и »/,; Vs, 1 ’з и x/4i 5/в, 7/в, а/з и 19/24; и Б/9; 7/8 и Б/6;
*/7» Vsi 11 */в? n/l8) 6/ia> 13/а4 11 17/зб5 */l5 и 8/25> 11 1C? 3/8 и V24? Vl.2? 4, 9» 11 /l5 И
хз/84? V»,3/. и17/а»; 7/«, 3/в и и/12; я/з и «/i.; 3U, 5/в и а/г-
217. Расположите в возрастающем порядке дроби в каждой ив следую-
ющих групп: б/*7, 3/б, ®/14,7/10 и 2‘/35; 5/ie? 17/48? 3/8> и124 и 5/в?13/27? б/в? 3/е и
8/lS? 9/26? 3/7? 15/si И S/l4-
218. Дайте полные письменные ответы на следующие вопросы:
Можно ли принимать ва общий знаменатель для нескольких дорбей про¬
изведение всех их знаменателей? Когда приходится так делать? А когда
этот прием невыгоден?
219. Укажите, какой из трех поездов самый скорый и какой самый мед¬
ленный, если в одно и то же время один поезд прошел11/18 км, другой 7/Х1км,
а третий 8/i* км.
Сложение и вычитание простых дробей
220. Сколько стоит выкопать колодец, глубиною в 10 м, если первый
метр стоит 4у2 рубля, а каждый следующий метр на 1*/4 рубля дороже пре¬
дыдущего?
321. К какому числу надо прибавить 737/8, чтобы получить в сумме
95 Б/6?
222. Сколько нужно прибавить к числу 15а/3, чтобы получить число
256/8?
223. Из дровяного склада сначала было отпущено дров одному учрежде¬
нию 1другому учреждению 7/з©> третьему 4/15 н четвертому и/48 всего
запаса. Какая часть запаса осталась после этого на складе?
224. Что сделается с суммой, если одно из ее слагаемых увеличим на
Ц/is? другое—на ®/21, третье—на 31/зв, а четвертое—слагаемое уменьшим
ва 13/7.
223. Рабочий Выполнил в первый день 2/7 вс«1 работы, во второй день
*/в? а в третий на 1 /21 больше, чем во второй. Какую часть работы осталось
сделать рабочему на четвертый день?
226. Один тракторист брался вспахать участок в 10 часов, другой в 12 ча¬
сов, а третий в 15 часов. Колхоз пригласил их всех троих. Во сколько ча¬
сов они вспахали весь участок, работая вместе?
Как разделить между ними плату за работу в сумме 75 рублей?
План решения задачи:
1) Какую часть участка мог вспахать в час первый тракторист?
б) Какую часть участка мог вспахать в час второй тракторист?
в} Какую часть участка мог вспахать в час третий тракторист?
г) Какую часть участка они вспахали бы в час все трое вместе?
И) Во сколько часов они вспахали весь участок?
47
е) Сколько частей участка вспахал каждый из лих?
ж) Во сколько рублен ценилась вспашка каждой такой части?
в) Сколько получил за свою работу первый тракторист?
и) Сколько рублей получйл второй?
к) Сколько получил третий?
Решение задачи:
1 : Ю=1 /10 I/io+1/ii-i'1/is==e/eo+6/eo-l'4/eo=
1 :12=1/1а
1 :15=1/i5
.16 / II
' /60— /4
1 = =1/*—4.
6+5+4=15
75 : 15=5
6 . 5=30
5 . 5=25
5 . 4=20
При решении этой задачи величина всего участка принимается за 1.
227. Решить приведенные далее упражнения на сложение и вычитание
дробей.
1/2+1/«=
7.+7з =
Зи/13+48/16=
00
L
11
1/з-1/з=
71/*—41'«=
1/t+Vl3=
V4+V.»
9“/u+7u/ie=
7u~*/e=
2/ 1/
/а /4
8 V в—-32/2, =
V.+1/.0=
1,/5 + 1/8=
8°/Ю+513/20=
1E/28-3/7 =
1/з-1/4=
64/l5-5U/24-
1/в + 1/з4=
Vl + V.*
1311/20+37/25=
18/ 4/
/20 /5—
2/ 1/
/3 f 2—
З1,^—217/в0=
1./4+3|,32==
ги+зи=
FIiB+V1!^
13/ 4/ —
/15 /5 —
7г Vs=
2Vb-17/4o=
1/e+6/4i=
1/e+7/io=
6e/io+3”/„=
17/ 5*
/18 /6 —
a/4-VS =
9*-/*—«“/»=-
1/8 + 7/'40=
Vio+Via —
5>/,b+4Vb=
18/ 3/ —
/20 /4—
6/в-2/б=
188/2i—017/Я6=
1/в+В/зе=
7ao+*/u =
l11/12 + 313/l5=
18/ 2/
/25 ■ /5—
В/б-2/7 =
16б;9—814/13=
l/l0 + 3/50 =
7б+7в =
3s/j+56/e=
2/ 11/ —
/3 /18—
5/ 1/ _
,9 ,2”
71/и-4“/к,=
1 nil' _
,15 t- ,eo—
7з+7б =
84/94-7u/i2=
4/b-U/i6=
7' 2/ _*
,8 /3—
6Б/1в- З13/46=
Vie + IS/;8=
7,+ 7.»
106/8+87/10=
76-713=
16/ .7/
/16 /»
47/12-l14/l6-
1 / Д 37 '
' 20 ,100 —
4/8+з;5=
123/4+49/i4=
3/e V24”
11 / 3 / _
/12 ,'Б —
3\'10-2“'25=
2 3+5.24=
\'з+7в=
31,/«+2*/и*
11/ 2/ —
/20 /5 —
14/ 3/ _
'15 /4—
7s/i6—231/36=
SU+‘h(r=
3'4 + H 16”
413/г4+317/зв=
7/ 1/ —
/30 /5”
17/ 2/ —
,18 /5—
57,'20 ^ 26”
i 9+7*7 =
%+7б =
IVa+e»/*;^
7 / 23 '
/8 ,40—
19/ 4' —
,20 /8—
4*/м-2“/50=
6, _1_U'
/2+ 30 —
S 5 + 7/9 =
25Ае+37/я4=
11/ 3/ —
/60 ,15 —
М/25-4/в=
S4/s—37/м=
8 _L7/
4+ /86
4 7 + 3/в=
79.25 + 2,l/35-
5/ 6,'
/6 /48 —
Vi 9/в4=
З3/6--3/и=
8 18
. 10 Г 50—
7з + 7» =
8'3/ai + l3 n=
16' !• —
16 .4—
7/в-3/ 6 =
Зи/12 713/зо”
4 _l 11 '
16+ 4 ,
*« + * 7 =
05 ls+37/24=
ы1*-*и=
8/l5-V4=
517/гв—3u/oj=s
171;.8+ъ,зв=:4/9+8/и—
49 20+74/lb-
29 7. —
45 115
11/ 3/
,18 ,5 —
12е7 '25—94 ’б
S' 13 _L1'_L7 I IB' 7 I 21/ . _L37' 18/ —
. 10 + 5T 2T ,33 Г ,20 .33+ № + ,50+ 14”
1^7/ _
19
_°,3 /
J\lll 07 -
0 ,36 “ lb"
li 13 5/ 7; 8 r.67' —
11+ 33+ '4 ’8 /18 /16+ 165
l5/i13+45 u+47/13 o" 14 3s/42—
^13 -7 + 17 16+33/s-213/27-17, 1b+23,5 —
I17 61+2‘J37 73+^13/85+l1/2+l13,b5-;7 6) 2C37, 73 =
v 5 7
-v 21— /18
-0Ш I 07 _
*■* /30 + -' .18 —
4<!2.6—X= i77
A'+175' 6=3t1
/18
79 y 14'
i:0— -*■ 1 ■
22» „+.'P5-* «+»,*=
1823-15^6+5U/12—43,4=
(15’/,—b*/*)—(J“/se—^^/18 )=
48
■ 15
1/5 IV— /05 1
i 9-)- -Л. 'IS
6>и=1.*в=Х
Придумайте сами по 5 примеров на первые 6 столбиков и решайте их сов¬
местно с своими товарищами.
228. Пешеход в каждые 5 часов проходит 17 км, а локомотив в течение
g часов может пройти 310 км. На сколько километров локомотив проходит
в течение часа более, нежели пешеход?
229. На некотором расстоянии один от другого по одному ц тому же
пути и в одну и ту же сторону движутся два железнодорожных поезда. По¬
езд, идущий впереди, в каждые 3 часа проходит по 80 км. а поезд, движущий¬
ся позади первого, в каждые 4 часа делает по 121 км. На сколько километров
расстояние между поездами уменьшается по истечении каждого часа?
230. Если к обоим членам дроби 29/35 прибавить по 11, то на сколько
полученная дробь будет больше дайной?
231. Если к обоим членам дроби SB/25 прибавить по 100, то на сколько
эта дробь уменьшится? ^
232. Что сделается с суммой двух чисел, когда одно из них будет увели¬
чено на 31/16, а другое уменьшено на 2 7/20
233. Что сделается с суммой трех чисел, если первое будет увеличепо
на 371 is, второе на 3Б'6, а третье уменьшено на 8 3/10?
234. Что сделается с разностью двух чисел, если уменьшаемое увеличить
на 152/3, а вычитаемое на 105/в?
235. Что сделается с разностью, если из уменьшаемого вычтем 137/1В,
а ив вычитаемого вычтем 304/1В?
236. Что сделается с разностью, если уменьшаемое увеличить на 48 Via:
а вычитаемое увеличить на 6319/30?
237. Сумма двух чисел равна 619/1в. Во что обратится эта сумма, если
одно из ее слагаемых будет увеличено на 15 17/20, а другое уменьшено на
21й/те?"
238. Уменьшаемое увеличено на 7 8/го- Что сделано с вычитаемым, если
разность увеличилась только на 3 38 /76?
239. Покажите, что разность двух смешанных чисел 6 */3 и 3 4/5, умно¬
женная на 4, дает число, равное сумме тех же чисел.
240. Найти такое число, которое на столько же меньше 5®/12, на сколько
3 ®/я меньше 6 1/3.
241. Поле имеет вид четырехугольника, одна сторона которого равияет-
ся 213/г4 км, вторая на 119/зв км длиннее первой, третья па 117/20 км. длин-
we второй и четвертая на 17/15 км. длиннее третьей. Вычислите длину
всей границы этого поля.
242. Намолоченная колхозом рожь находится в трех закромах: в первом
имеется 43/3 т, во втором на 11?/20 т менее, чем в первом, а в третьем па 33/6 т
®енее, нежели в первом и во втором закромах вместе. Сколько всего ржи
имеется в трех закромах колхозного зернохранилища?
243. Две бригады трактористов получили задание по вспашке: первая
1/а/8га,а вторая на 3Б/1е га более первой. По истечении рабочего дня оказа¬
лось, что первая бригада вспахала 141Б/1в га, а вторая 165/е га. Ответьте
1!а следующие вопросы:
а) Сколько гектаров еще осталось пахать каждой бригаде?
г ^б) На сколько гектаров одной из бригад осталось пахать более, чем дру-
в) Сколько гектаров было задано вспахать обеим бригадам?
г) Сколько гектаров вспахано обеими бригадами?
Д) Сколько гектаров осталось пахать обеим бригадам?
49
Умножение и деление дробей I
211. Что значит умножить дробь на целое число? 06‘ясните себе это Д(1?
стане на примере: 8/8 кг . 7.
3/8 кг+3/8 кг-Р>/8 кг+8/8 кг+в/8 кг+3/8 кг+я/8 кг.=а1/8 кг.=25/8 «г.
Составьте аадачу, при решении которой потребовалось бы /1а км помтзд.
жить па 9; 5/48 л помножить на 72; 173/4 помножить на 5; Зп/15 помножит;
нр 12; 75,8 помножить на 0; 95/1в помножить на 10 и 45/lg помножить па 2*,
215. Кусок сукна содержит 75, ы. Метр этого сукна ценится по 44/6 pyfi
Сколько стоит кусок сукна?
21G- За 5 if ситцу ваплачсно 133/4 руб. Сколько следует заплатить а.-
Им такого же ситцу?
247. 2 рабочих за 6 дней работы пол} чили 431/6 руб. Сколько денег ц.
работал каждый рабочий в один день?
Решение. 1. Сколько получили 2 рабочих ва один день?
431/6 руб. : 6=8«/6 : 6=8е/6 руб.
2. Сд:о [ь;;о получил один рабочий за один день?
36/Б руб. : 2=18/, руб.=33./8 руб.
,248. Число 15®/в надо уменьшить в 13 раз, а полученное частное увели
чить в 7 раз. __ I
249. С, прямоугольного поля длиною в 4г/2 км и шириною в 3955/i i
колхозники собрали 3 48S4/6 ц гапешщы.
Определите средний урожай с гектара.
Выводы. 1. Умножение дроби на целое число выполняется совершен®
так же, как уыноя:ение простого именованного числа да отвлеченное.
Нршкры. а) 30 см. 4=144 см=1 ы 44 см.
=23‘4/65. у
2. Умножение смешанного числа па целое выполняется совершенно та
же, как и умножение составного мменоваппого числа па отвлеченное.
Примеры. а) 3 м 4 дм . 2=0 м 8 дм.
б) 5 м 7 дм . 4=22 м 8 дм. [
-в) 63/18 . 5=4015/1в (40+1В/1в=4016/18)
г) 93/4 . 7=681/4. (9 . 7+3/4 . 7=63+21/4=63+51/4=681',)
Д) 93/4 . 7= 89/4 . 7=а78/4=681/4
3. Дслеппе дроби га целое число выполняется совсртмшо так же, i4
выполняется деление простого именованного числа па отвлеченное.
Примеры: 15 кг : 3=5 кг
а) 18/,s : 6=8/85
13 м : 10=13 дм
б) 3/в : 4=8/20
4. Делеппс смешг.пного числа па целое выполняется совершенно так я*
как и деление составного именованного чпсла на отвлеченное.
Примеры: 20 га 15 а : 5=4 га За
а) 128/ie : 4=32/16
124 м 5 дм : 3=41 м 5 дм
б)- 15®/s : 6=23/s [153/6 : 6=(12+33/5) : 6=(12+18/ь) : 6=251
или lbzjB : 6=78/s : 6=* /в=»/4
250. Решите приведенные далее примеры па умножение и деление ДР®
бей на целое число.
60
75
. 6=
I 1V
6=
7з
. 6=
I 17з
. 4=
1 1Б/
/и
; 3=*
7.
. 9=
1 24/8
10=
%i
. 28=
27»
. 15=
12/
/84
: 4=
7«
. 4=
141 '2
13=
' 3./ю
. 25=
47.
. 180=
1в/
/я
: 8=
7/о
. 11=
163/4 .
18=
1й/21
. 49=
-37*
. 140=
и/
121
: 7=
х'/бз
. 45=
41“/, •
12=
‘/зо
. 72=
47125
. 125=
18/
/19
: 9=
,3/гт
9=
НО/, .
150=
17/
/во
51 =
24/9
. 21 =
“721
: 5=
11/и
. 7=
I1/.-
4=
1Б/
/34
. 85=
574
. 30=
“/я
: 12=
7,-
140=
141/2 .
29=
18/
/66
. 18=
!•/»
. 16=
*8/
/81
14=
'/15
40=
3‘/l5 •
10=
В/
111
.432=
4“/гв
. 13=
39/
/81
15=
7l8
75=
84/в •
24=
7i6
. 40=
53/гя
. 11=
26
185
13=
7»
5=
153/4
:3=
2х/з
3=
41/,
: 3=
8Х/В
; 5=
8/
/4
2=
189/ю
: 9=
4V2 :
5=
7х/,
: 5=
97б
: 8=
7/
/8
3=
2012/i7
: 4=
62/в :
7=
9*/б
: 8=
8х/,
: 3=
5/9
4=
163V25
: 8=
S4/, :
9=
■67.
: 5=
73/#
13=
7ll :
7=
3581/22
:7=
38/б :
4=
117*
: 7=
24/б
: 7=
7/
/12 •
6=
З618/35
: 6=
57з •
5=
1бх/4
: 13=
Зх/б
2=
13/ ■
/15 •
4=
2436/41
: 12=
43/8 :
10=
53/б
: 14=
62/з
4=
u/i6 :
3=
12l5/i9
:3=
21/* :
6=
77*
: 5=
8х/4
11 =
7ы :
4=
820/г1
: 4=
62/8 :
6=
зз/5
: 6=
41/
** /б •
5=
17во :
2=
25«/„
: 5=
Зх/8 :
15=
274
: 3=
57з :
8 =
На каждый из приведенных случаев придумайте и запишите по 5 приме¬
ров, передайте их товарищу для решения, сами решайте полученные от него
примеры.
После этого проверьте работу друг дрзтга.
Как проверяется умножение? Проверьте исполненное Нами в предыдущей
выдаче умножение с помощью деления. /
251. Сумму дробей 3/4, а/7 и в/8 у м н о ж ь т в на 14.
252. Сумму дробей 8/в, 7/,2 и 12/sS увеличьте в 15 рае.
253. Решите следующие примеры на сложение, вычитание и умножение
простых дробей:
(3/4+в'в) . 2= (V-3/4) . 4=
(23'8+1в/7).7—(2*/2-6/8).4=
(ls;4+B/i2+u/i8) • 16+(18'i2—1/г) - 8=
• 18+ (Зх/а—Х7/го) • 15=
(2Па-18 8) . 6+(Зг/2—6/е) . 4=
(б1/4+Зг'^ - 8—(57г—2г/б) . 15=
(2a/s-l-55/i*) • 9—(1в,в'—3/4). 6=
(4s W-374) - 15+(78/25—37/30) . 60=
(25®/„—21/8) . 14+(V,+V*> • 12=-
(б1/*—2б/8) . 6+(8п/18—17/ю) • 75=
(1V2+22's+33/4) .8= I
C/s+3*/6+8/a) • 16=
(191/2-62/з+83 4) . 9=
(91/4J_l6/i2+31,/2) . 10=
{1*1г-*19+#/щ) • 24=
254. Произведение двух чисел равно 71/2. Одно из этих чисел 5. Найди*
те другое число.
255. Произведение двух чисел равно 262/3. Одно из этих чисел равно 16.
Найдите другое число.
256. Множимое равно 12. Найдите множитель, если произведение равно
о93/7.
257. Множитель равен 6. Найдите множимое, если произведение равно
257/„.
25S. Найдите делимое, если частное равно 83/4, а делитель равен 1/3 от 15.
259. Найдите делимое, если делитель равен 2/3 от 9, а частное равно
сумме дробей 3/4+Б/в-
260. Дайте полные ответы на следующие вопросы: результат какого
действия называется суммой, разностью, произведением, частным? Чему
равняется неизвестное слагаемое?
А'+49/1е=73/12; е»/,+ Х=9»/4; Х+27/9=43/4; 7»/„+ Х=113/9
Чему равняется неизвестное уменьшаемое?
83/8=75/12А—34/15=65/8; X—27/18=34/15; Х-53/15=97/12; X-4”/i6=
51S/lS-
Чему равняется неизвестное вычитаемое?
123/6-Х=49/1е; И‘/в-Х=&*/1Б; 7в/1Х—Х=24/33; 6*/1в—Х=2’/18;
43/1о Х=Бп11Ь.
Чему равняется неизвестный сомножитель (множимое или множитель—
все равно)?
Х.12=153/,; 8 . Х==261/3; X . 5=131/8; 6 . Х^^/ц; S . X-l53/7;
5 ■Х=91/е.
Чему равняется неизвестное делимое?
X : 4=83/s; X : 6=9а/3; X : 7=4*/4; X : 8=12Б/в; X : 9=83/е.
Чему равняется неизвестный делптель?
83/4 : Х=2; 53/s : Х=4; 83/е : Х=5; 12“/» : *=5; 17*/. : Х=2.
261. Решите следующие примеры на сложение и вычитание:
5/8-1/е+3/4= l1/,+ 2*/r-i1/.= 23/8+1b/i2= З1/.—21/г=
1/4+1/2-3/е= З5 /6+4s /9 I7 /18= 22/3—13/4= 84/в 55/в=
25/i2+l7/»— в1/^—5*/e*= 2V5+3V3= 23,10+ 73/4
ITвменяемость суммы, разности, пропзведепия и частного
262. Как изменится сумма, если одно из ее слагаемых увеличится на
несколько единиц?
Покажите это на примере с целыми числами. Сделайте то же самое на
примере с дробными числами.
Как изменится сумма, если одно из ее слагаемых уменьшится на несколь¬
ко единиц?
Покажите это на примере с дробными числами. Сделайте то же самое
на примере с целыми числами.
Как изменится сумма, если одно из слагаемых мы уменьшим па несколько
единиц, а другое увеличим на столько же единиц?
Покажите это на примере с целыми числами. Покажите то же самое на
примере с дробными числами.
52
Как изменится сумма, если одно из слагаемых мы увеличим на S * , а
другое уменьшим на 52/3?
“Как изменится сумма, если одно из ее слагаемых мы увеличим на 25/в,
а другое уменьшим на 64/13?
203. Как изменится разность, если уменьшаемое увеличится на несколь¬
ко единиц?
Покажите это на примере с целыми числами. Сделайте то же самое на
примере с дробными числами.
Как изменится разность, если уменьшаемое уменьшится на несколько
единиц?
Покажите это на примере с целыми числами. Сделайте то же самое на
примере с дробными числами.
Заметить. С увеличением уменьшаемого на несколько единиц
разпость увеличивается на столько же единиц, и с уменьшением умень¬
шаемого на несколько единиц разпость уменьшается на столько же
единиц.
Как измени гея разность, если уменьшаемое останется без перемены, а
вычитаемое увеличится на несколько единиц?
Покажите это на примере с целыми числами. Сделайте то же самое на
примере с дробными числами. о
Как изменится разность, если уменьшаемое останется без перемены, а
вычитаемое уменьшится на несколько единиц?
Проверьте это на примере с целыми числами, а потом с дробными числами.
У а м е т и т ь. С увеличением вычитаемого на несколько единиц
разность уменьшается на столько же единиц, а с уменьшением вычитае¬
мого на несколько единиц разпость увеличивается на столько же единиц.
Как изменится разность, если уменьшаемое увеличится на несколько
единиц и вычитаемое также увеличится на несколько единиц?
Покажите ото на примере с целыми числами. Сделайте то же самое на
примере с дробными числами.
Как изменится разность, если уменьшаемое уменьшится на несколько
единиц и вычитаемое в то же самое время уменьшится на столько же еди¬
ниц?
Покажите это на примере с целыми числами. Сделайте то же самое на
примере с дробными числами.
■ Когда же разность не изменяется?
Как изменится разность, если уменьшаемое мы увеличим на 75/12, а
вычитаемое увеличим на 4и/18?
Если уменьшаемое увеличим на 9’/16, а вычцуаемое увеличим на 157/20?
Если уменьшаемое \меньшим на 64/9, а вычитаемое уменьшим на 84/15?
Если уменьшаемое уменьшим на 413/18, а вычитаемое уменьшим на 2U/1S?
Как изменится разность, если уменьшаемое увеличим на 95/в, а вы¬
читаемое уменьшим на 87 9?
Как изменится ревность, если уменьшаемое уменьшим на G7/12, а вычи¬
таемое увеличим на А5 18?
204. Как изменится произведение, если один из его сомножителей уве¬
личится в несколько раз?
Покажите зто на примере с целыми числами. Сделайте то же самое на
примере с дробными числами.
Как изменится произведение, если одни из его сомножителей уменьшится
в несколько раз?
63
Проверьте это на примерах с це-лыми и дробными числами.
Как изменится, произведение, если один иа его сомножителей мы увели¬
чим в несколько раз, а другой сомножитель уменьшим во столько же раз?
Покажите это па примере с целыми числами. Сделайте то же самое на
примере с дробными числами.
Когда же произведение не изменится?
Как изменится произведение, если один из его сомножителей мы увели¬
чим в 3 раза, а другой увеличим в 2 раза?
Если один иа сомногкителей уменьшим в 4 раза, а другой сомножитель
также уменьшим в 3 раза?
Если один из сомножителей увеличить в 6 раз, а другой уменьшить в 2 раза?
Если один из сомножителей уменьшить в 12 раз, а другой увеличить
в 4 раза?
Как изменится произведение, если одип из сомножителей увеличим
в 6*/6 раза, а другой увеличим в 4 раза?
Если один из сомножителей уменьшим в 53/в раза, а другой уменьшим
в 3 рава?
Как изменится произведение, если один из его сомножителей увеличим
в 83/4 раза, а другой уменьшим в 5 раз?
Если один из сомножителей уменьшим в 14*/е раза, а другой увеличим
в 3 рава?
205. Как изменится частное, если делимое увеличится в несколько раз?
Покажите вто на примере с целыми и дробными числами. Как изменится
частное, если делимое уменьшится в несколько раз?
Поверьте вто на примере с целыми и дробными числами?
ваметить. С увеличением делимого в несколько раз частное
увеличивается во столько же раз, а с уменьшением делимого в несколько
рав частное уменьшается во столько же раз.
Как изменится частное, если делитель увеличится в несколько раз?
Покажите это на соответствующем примере.
Как изменится частное, если делитель уменьшится в несколько раз?
Проверьте вто наблюдение на примере с целыми и дробными числами.
Замети т*-ь. С увеличением делителя в несколько раз частное
уменьшается во столько же раз, а с уменьшением делителя в несколько
раз частное увеличивается во столько же раз.
Как изменится частное, соли делимое увеличим в несколько раз и дели¬
тель увеличим во столько же раз?
Покагките ото на соответствующих примерах.
Как изменится частное, если делимое уменьшится в несколько раз и
делитель уменьшится во столько же раз?
Проверьте вто наблюдение на примере с целыми и дробными числами.
Когда же частное остается без изменения?
Как изменится частное, если делимое увеличим в 5 раз и делитель уве¬
личим в 3 раза?
Если делимое уменьшим в 4 раза и делитель уменьшим в 2 раза?
Если делимее увеличим в 6 раз, а делитель увеличим в 3 раза?
Если делимое уменьшим в 12 раз, а делитель уменьшим в 6 раз?
Если делимое увеличим в '7}4 Раз, а делитель уменьшим в 3 раза?
Как изменится частное, если делимое уменьшим в 01/4 раза, а делитель
увеличим в 2 рава?
Как изменится частное, если делимое увеличим в 53/8 раза, а делитель
увеличим в 2 раза?
54
1{ак изменится частное, если делимое уменьшим в 88/5 раза, а делитель
Меишим в 3 раза?
^ >266. а) Из двух станций железной дороги, расстояние между которыми
gOO км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Первый
проходит в каждый час 48 км, а второй 32 км. Через сколько часов после
(выхода они встретятся?
б) Из двух станций железной дороги, расстояние между которыми 648 км,
ВЫШЛИ одновременно навстречу друг другу два поезда. Первый движется
равномерно со скоростью 30 км в час, а второй со скоростью 42 км в час.
Через сколько часов после выхода поезда встретятся?
Решение: 1) Сколько километров проходят в час оба поезда вместе?
643
(30+42) км. 2) Через сколько часов победа встретятся? ^ ^ ^ часов.
v 648
Значит часов.
Заметить. 1. Ответ на вопрос этой вадачи, показывающий спо¬
соб решения эадачи, называется формулой.
2. Формулой решения арифметической вадачи называется такая со¬
кращенная запись этого решения, которая пбказывает, какие Действия
и в каком порядке нужно совершить над данными числами, чтобы получить
искомое число.
267. Два автомобиля отправляются одновременно друг другу навстречу:
Iодин из города А, а другой из города В, расстояние мезИду которыми равпо
406 км. Первый делает 102/3 км в час и находится в пути ежедневно по 1054
часов, а второй делает каждый час по Ю2/5 км и ежедневно находится в пути
по 83/4 часа. Черев сколько дней автомобили встретятся в на каком расстоя¬
нии от А?
406
у 10»/, . 101/2+10а/5 . 88/« дней
“ 406
А^клщ±^и.^ 10>/з 1Щ №
Умножение целого числа на дробь
268. Один кубический дециметр меди весит 3 нг. Определить вес 3 куб.
Им меди.
Задача решается умножением. Очевидно, что ответ будет 8 кг. 3=24 кг.
Возьмем теперь такую задачу:
Один кубический дециметр меди весит 8 кг. Определить вес куска медн
чб'емом в 3/4 куб. дм.
бмысл задачи нисколько не изменился; вадача следовательно осталась
прежнен. А одинаковые задачи решаются и одинаковыми действиями. Зна-
Чит и в этой задаче мы опять имеем дело с умножением.
8 . 3/4
Одпако по* смыслу задачи ясно, что вопрос решается нахождением */4
0т 8 кг, т. е. нахождением части от данного целого числа, а эту работу мы
Уже умеем выполнять.
Вывод. Таким образом умножение целого числа на дробь равносильно
°пРеДеленто части по данному целому числу. А для этого нужно целое умно¬
жить на числитель дроби, выражающей данную часть, а полученное прозз-
Дение равделить на внаменатедь дроби.
П так: 8 . 3/t=^p=6 кг
14 . *у7=!^=ю
К 7' _У_7 I -р.1/,
• 112— 12— ° -
Г. 4/ —^-4 20' —02/
J • 19 9 9 — z , в*
Заметить. Если данное целое число сокращается с знамена,
телом, то прежде всего надо произвести возможное сокращение, а потоп
уже умножение. (
269. Решить следующие примеры на умножение целого числа на дробь;
« • %4=
3
• 2*/в
3 - 2/7=
25 ,
■ I11 / 45 ==
С • s/e=
25
• 4’/15=
5- в/*5=
3
• 28/э=
22 . »/u=
14
■ ю3/7
7 - 5/21—
12
• 53/8=
16 . »/.„=
81
• 37.=
22 . 7Ц=
6
II
00
*4
21 . 3/l4=
6
• 75/24=
14 • 1г/35=
о
ли
• 13/4=
6
• 7з= 15 •
• 7/зо =
4 . 11/,=
13 . 45/26=
63 .
14/Э=
17
• •/.= 72 ,
17 /
/во—
15 . 21/3=
И . 53/22=
18 .
127.=
14
• 3/i4= 51,
15 / _
/ 34—
18 . 4£/в=
26 . 17.5=
24 .
35/ie=
25 ,
II
О
ЕО
13/ —
/ вв—
140 . 11/28=
48 . 15/вс=
30 .
1113/2 4=
49 ,
. «,/7 25 .
11 / —
110 0—
125 . 41/25=
35 . 2и/м
42 .
05 , —
у /18 —
Сами составьте по 2 примера на каждый из этих 9 столбиков, передайте
эти примеры для решения своему товарищу по бригаде, сами решите состГ
вленные им примеры, а потом, обменявшись тетрадями, проверьте работу
друг друга.
270. Колхоз должен был засеять по плану в яровом клине 2 875 га
пшеницей и овсом. Пшеницей предположено было засеять 67%, а овсон
остальную площадь. Количество сортовых семян оказалось иным, чем было
рассчитано. Поэтому пришлось пшеницей засеять 73%, а овсом остальную
площадь. На сколько гектаров увеличился посев пшеницы и на сколько
гектаров уменьшился посев овса в сравнении с предположенным?
100% — 2 875 га 100% — 73% = 27%
1% — 2 875 : 100=28,75 га 100% — 67% = 33%
73% — 28,75 . 73=2 098,75 га
27% — 28,75 . 27—776,25 га
67% — 28,75 . 67—1 926,25 га
33% — 2S,75 . 33—948,75 га •
2 093,75 948.75
~1 926,25 776^25 * '
172,5 га 172,5 га
Об‘ясните, почему вышло так, что пшеницей засеяно больше на 172,f*
га, а овсом меньше на 172.5 га?
271. Найти 5,5% от 200, 300, 400, 1 700. 2 500, 3 800. 4 900. 5 600|
Найти 21,4% от 500, 600, 700, 800, 900, 1 200, 1 800, 2 400, 3 700, 4 600,
56
I
Найти 43,8% от 200, 400, 600, 800, 1 ООО, 1 300, 1 700 2 800, 3 900,
5 400, 6 700.
Найти 34,6% от 100, 300, 500, 700, 900, 1 100, 7 200, 2 800, 8 500, 5 600,
4 300.
Найти 75,3% от 500, 900, 1 700, 2 600, 3 700, 4 800, 5 900, 6 300, 7 400
8 100, 9 500?
Пример. 100%—5 900
1 59 г
75,3%=59 . 75,3=4 442,7
272. В библиотеке всего имеется 3 500 книг. Число книг по технике
равно 18,4% числа всех книг. Число книг по беллетристике составляет
25% числа книг г:о технике. Остальные книги распределены между научными
отделами: физика—20%, естествознание—25% н обществоведение—55%.
Сколько книг приходится на каждый из этих научных отделов?
273. Книга вместе с переплетом стоит 3 р. 25 к. Цена переплета составляет
24% этой суммы. Определите цену книги без переплета.
274. В школе к концу учебного года было 600 человек учащихся. По
окончании всех зачетов число окончивших курс составило 12,5% всех зтча-
щихся. Сколько учащихся окончило курс школы? а
275. В классе обучается 25 учеников. Однажды число отсутствовавших
на уроке составляло 16% всего числа учеников. Сколько учеников тогда
было в классе?
276. В школе обучается 400 учеников. Число учеников первого года
обучения составляет 18,5% этого общего количества, число учеников второго
года обучения 26,5%. Остальные учащиеся распределены между третьим и
четвертым годами так, что на 3 год пришлось на 20 чел. больше, чем на 4
год обучения.
Сколько учащихся находится на каждом году обучения?
277. Из сахарной свекловицы добывается до 8,7% сахарного реску (по
весу). Сколько сахарного песку можно добыть из 200 бураков свекловицы,
если средний вес каждого бурака равен 1 кг?
278. Коровье молоко дает 25% сливок (по весу), а из сливок получается
20% сливочного масла (по весу). Сколько сливочного масла получится в
течение июня месяца от 40 колхозных коров, дающих в день по 1 ведру,
гее молоко которых перерабатывается на сливочное масло?
Ведро воды весит 12 кг., а молоко тяжелее воды в 1,02 раза.
Сливочное масло ценится на рынке по 12 р. 50 к. за килограмм. Как
велика вся выручка за сливочное масло?
279. Который теперь час, если остающаяся часть текущих суток равна
12.5% протекшей части.
Решение. Протекшая часть суток составляет 100%
Оставшаяся » » » 12,5%
Обе части суток составляют 112,5%
112,5% 24 часа
1% 24:112,5=240:1 125
100% 24 000 : 1 125=192 : 9=64 : 3=21’ /, ч.
Следовательно, сейчас идет 22-й час; часы показывают 21 час 20 мпн.,
Пли же 9 час. 20 мин.
280. Напишите п подведите итог счета столяра за ремонт стола в кан¬
целярии:
1,75 м клеенки по 3 р. 25 к.
6,3 м тесьмы по 45 коп.
57
Гвоздей с медными шляпками иа 15 к.
Работа 1 р. 50 к.
281. Вычислить площадь степ комнаты, имеющей в д типу 15 м, в ширину
9 м п в высоту 3,2 м. В комнате три окна, каждое из которых имеет 2 м вы¬
соты и 1,28 м ширипы и дверь высотою в 2 м и шириною 1,4 м.
282. Длина прямоугольного поля равна 624 м, а шнрнпа составляет 0,975
длины. Найти площадь этого поля.
283. Из всей площади огорода, достаточной, чтобы обеспечить овощами
одного человека на год, должно быть занято картофелем 0,3 всей площади,
капустой—0,16 всей площади, огурцами и луком по 0,12 всей площади,
а остальные 54 м 2 бобовыми растениями. Определите, чему равна площадь,
ванятая каждой культурой?
284. Ученик прочитал 0,4 всей книги и рассчитал, что ему осталось
прочесть на 40 страниц больше, чем он прочел.
Сколько страниц в этой книге?
285. В кооперативном складе было 360 м материи. В один магазин было
отпущепо 42,5% этого количества, в другой 37,5% этого количества, в тре¬
тий 0,75 остатка и в четвертый все остальное за 99 руб.
Сколько получено складом с каждого кооператива?
286. Решить следующие примеры на отыскание целОго процента от дан¬
ного числа.
Пример. Найти 35% от 763.
1%=0,01
35%=0,35%.
Найти 35% от числа 763 значит наытп 0,35 от 763.
Чтобы найти 0,35 от 763, нужно 763 помнодшть на 0.35.
Таким же образом проработайте все приведенные выше примеры
35% 7,63 . 35=267,05
Деление целого числа па дробь
2S7. В 3 секунды звук проходит расстояние в 999 м.
Как велика скорость ввука?
58
Найти 3% от 216, 713, 869, 924, 385, 678, 493, 576„ 2 164, 3 486
» 7% » 162, 317, 689, 492, 538. 786, 349, 76$, 6 124 4 863
» 14% » 261, 173, 968, 294, 835, 967, 943, 6?5, 4 126, 8 634
» 18% » 126, 731, 698, 942, 583, 768, 439, 576, 2 614, 3 468
» 29% » 426, 574, 348, 264, 683, 729, 872, 935, 3 497, 5 685
* 32% » 246, 754, 438, 624, 863, 279, 782. ,395, 9 734, 8 556
» 45% » 642, 457, 834, 426, 368, 972, 287, 593 , 4 937 , 6 855
» 56% » 462, 547, 384, 246, 638, 792, 827, 953, 9 347, 8 565
» 63 % » 384, 456, 573, 642, 839, 941, 526, 687 , 5 268,' 4 379
» 75 % » 843, 564, 735, 426, 398, 419, 265, 876, 2 658, 3 749
, 3815
^ 2289
267,05
Проверка. 100% 763
1% 7,63
Чтобы решить задачу, надо 999 разделить па 3.
Возьмем другую задачу. В течение а/8 секунды звук поохоцит простран¬
но в 222 м. Какова средняя скорость звука в 1 секунду?
Для решения втой задачи, очевидно, тоже нужно 222 разделить на 2/3.
Чтобы понять это деление, -надо думать таким образом:
Дано расстояние, которое звук проходит ва часть секунды, именно за
,ве трети секунды. Требуется определить расстояние, которое проходит
зрук 8а целую секунду. Значит решение задачи сводится к нахождению
чд'сла ио данной его части.
Звук в 2/з секунды проходит 222 м.
Ясно, что в х/3 секунды он пройдет расстояние в 2 раза меньше, чем за
»/. секунды.
1) Значит 222 : 2 = 111 м.
За целую же секунду звук пройдет расстояние в 3 раза больше, чем за
1 ft секунды, потому что одна секунда = 8/з сек.
2) Следовательно 111 . 3 = 333 м.
Вывод. На основании решения приведенной сейчас вадачи вамечаем,
«о нахождение числа цо данному значению пссколькпх его частой состоит
пз следующих двух моментов:
1. Сначала нужно найти, чему равняется одна доля или часть искомого
тлела. Для этого нужно разделить данное число на числитель дроби, вы-
ажающей часть искомого числа.
2. Потом нужно определить, чему равняется все искомое число. Для
ятого найденную величину одной доли нужно умножить на число таких
олеп, указываемое знаменателем дроби.
Таким обрзом получается следующее правило:
Чтобы по числу, составляющему часть пекоторой величины, найти всю
у величину, надо число (222 м) разделить на числитель дроби, выражаю-
ей часть (2/3), \и полученное число умножить (111 м) на знаменатель этой
-е дроби.
288. Решите следующие упражнения:
Найти чпело, 3/8 которого составляют 15, 27, 36, 45, 57, 69, 72, 87,
96 и 120;
ь
* 7»
»
>
14, 35, 63,. 84, 105, 175, 280, 420,
560 и 910;
* 7б
»
»
20, 48, 68, 92, 144, 192, 256,
324, 428 и 656;
* 7м
»
»
24, 56, 96, 120, 152, 216, 288,
336, 432 и 552;
* 7ie
»
»
36, 54, 72, 108, 135, 189, 315,
289. При
378, 486 и 648.
обточке вала
па токарном станке были сняты 3 слоя стружек,
Ле чего диаметр вала сделался равным 15 см, что составляет 8/7 от его
Рвоначальиой толщины. Определить толщину вала до обточки и среднюю
апшну снятых стружек.
—Ю. Течение реки равно 3 км в час и составляет ®/23 от скорости парохо-
в стоячей воде. Определите, с какой скоростью будет итти пароход по
oql110 п против течения реки?
‘■'Ч- Вес порожних вагонов товарного поевда, составляющий */в от об-
веса всего поезда, равен 480 т.
прсделить вес всего поезда.
59
292. Чугунная отливка весит 48 кг. Сколько весит такая же медная
отливка, если вес чугуна составляет 4/5 веса меги'
293. Найти число, 3/14 которого равны от 27.
294. Если я каждый день буду выполнять по 2/16 всей намеченной работу
то во сколько дней я могу выполнить всю работу?
295. Решите следующие примеры:
в/» :
2=
2/6
3=
8
76=
18
7з=
77г: 74=
13/в :
4=
3Vs
4=
12
аи=
27
74='
674: 7в=
9/п :
3=
7в
5=
20
4/6=
72
%=
874: 7s=
З^з :
5=
67з
2=
35
6/7=
85
7»=
98/«: 13/i5=,
*■1
' /2 •
о
«>
7п
О
42
6/н-
60
6
/11
575:17it='
П.:
4=
У.
4 =
28
7l2=
42
Vio= *
775 ■i2hs-=:
t з
■ . 1 ■
•1
Г
24
8/»=
48
8/п=
8V6:
1'*7а :
О __
Г S
^ : ъ
3=
45
7ю=
' 54
*,13 =
6", 5: 7T=
1С6/7 :
6=
к*1ь
3=
55
11
/12—
70
14 / —
/15—
r;2 . 9
° !5 • '11 —-
103;4
5—
72
12/ _
/25—
06
. 16
»21 —
/2/ . 7; „
4 / 3 • 18
73-r = 12
7
7з—
о
.» =
Vr= 16
s/5x = 18
8
3/5=
10
3/ —
'4 —
5 8а-= 45
4,,x = 20
15
4/ — '
/в—
477
2=
7/п*= и
sj!,a-= 35
6
ь
■
f о
15=
7»*= 40
°/7 x — 36
10
s=
22\s
г.
7и*= 72
‘lf)x— 63
12
7 5=
47c
3=
“/„*=144
8/ua: = 120
18
6
' 7 —
875
4=
18/ie*= 90
7u*= 72
20
3/'fc==
40
7в=
7?*= Si
u(lsa: = 121
9
2 ■
. 0
5
/16=
z,5.r= 4sJ
is i~lX=s 39
14
5/
.9 —
3V2
5=
7xi*= w l
Сами придумайте по 5 примеров иа деление целого числа на дробь.
шите эти примеры вместе с товарищем по бригаде.
Как проверить первые четыре столбика, сделанные вами?
296. На протяжении 180 км паровоз израсходовал 22/6 т. угля. Пр1
пробеге скольких километров паровоз тратит 1 т. угля?
297. Длина моего шага равна 3/4 м. Сколько шагов я должен сделать
чтобы пройти расстояние в 6 км?
298. Котел с поверхностью нагрева в 1055/8 м2 дает в час 1 690 кг пара
Определите среднюю паропроизводительность 1 м2 поверхности нагреб
за час.
299. Дайте полный письменный ответ на следующий вопрос: сколькн»
действиями находится число по данной его части?
Заметьте, что совершенно так же поступают и при делении целого чпЛ
на дробь.
Правило. Чтобы разделить целое число на дробь, нужно умножить ^
чьтсло на знаменатель данной дроби и полученное произведение раздел*
иа числитель дроби.
£('0. 3 '17 числа 5 100 составляют 6/8 неизвестного числа. Найти это
известное число.
60
301. Если к задуманному числу прибавить 2,/3 его величины, то полу¬
чим 7^0- Найти это задуманное число.
302. Если к задуманному числу придадим 5,7 того же числа, то получим
430. Найти это задуманное число.
303. Выполните деление в следующих случаях:
12:0.3 =
18:0,3 =
26:1,3=
7 560:1,12=
164:3,28=
183,7:32=
18:0,6=
24:0,15=
60:1,5=
58:2,32=
114:4,56=
444:8,96=
21:0.7=
36:0,18=
85:1,7=
6S.4:25=
252:3,36=
1 434:19,12=
35:0,5=
45:0,15=
92:2,3=
162:6,75=
63:2,72=
156:6,24=
48:0,4=
56:0,14=
96:3,2=
117:3,25=
161:6,44=
209:8,36=
56:0,8=
65:0,13=
65:1,3=
117:9,75=
396:7,92=
474:9,48=
96:0,3=
75:0,25=
120:0,4=
70:1,25=
328:13,12=
537:7,16=
64:0,8=
81:0,27=
114:3,6=
132:2,75=
241:17,64=
219:8,76=
45:0,9=
96:0,24=
210:1,5=
37S:5,25=
1 252:25,04=
316:6,32=
54:0,6=
68:0,17=
324:1,8=
411:5,48=
467:18,68=
424:8,48=
Выполнив эту работу, сделайте проверку. Каким действием можно вы¬
полнить эту проверку? Как проверить деление умножением?
V епде каким действием проверяется эта работа?
Как проверить деление делением же?
На каждый из приведенных 6 случаев деления сами придумайте по 5
примеров.
304. Основание дипамомашпиы весит 168 кг. Это число составляет 0,28
всего веса динамо. Определите вес динамо.
305‘. Часть поля, составляющая 0,32 всей его площади и равная 24 га,
засеяна рожью. Определите площадь всего поля.
( Нахождение числа по данному его проценту
306. Найти число, если 7% его равны: 35, 84, 91, 147 , 210 , 315 , 434,
595, 658. 546.
если 8%
»
»
240, 560, 480, 72, 960, 640, 328,
272, 66, 664 и 980.
»
15%
»
»
120, 165, 210, 420, 375, 690, 825,
930, 765 и 480.
»
18%
»
»
144, 90, 324, 270, 450, 738, 378,
864, 846 и 468.
»
24%
»
»
96, 168, 192, 360, 600, 2 664, 3 624,
5 472, 4 284 и 8,424.
»
28%
»
»
420, 896, 1 064, 1 260, 1 316,
1 512, 1 848, 2 100, 2 352 и 2 688.
»
35%
»
»
280, 420, 560, 840, 700, 9S0, 770,
875, 2 240; 3 080.
»
39%
195. 312, 468, 741, 1 053,1 365 1 872,
2 028, 2 457, 2 9 925.
»
42%
»
252, 378, 630, 1 008, 1 844, 2 016,
2 496, 28, 32, 3 216,. и 3 648.
«
57%
»
285 , 513, 855, 1 026, 1 539 , 2 163,
2 565, 3 078, 3 819, и 4 332.
61
Решение показательного примера
HaiiTii число, если 26% его равны 1 248.
26% 1 248 *
1% 1' 248 : 26 = 48 1
100% 48 . 100 = 4 800
Другое решение
26%== 0,26
0,26 X = 1 248
X = 1 248 : 0,26 = 124 800 : 26 = 4 800.
307. На одном из заводов Металлургического треста выработано
27 315 кг гвоздей, что составляет 15% всего количества гвоздей, выраба¬
тываемых заводом. Определить это количество.
308. На ваводе 35% всех рабочих—женщины, а остальные мужчин^
которых на заводе на 270 человек больше, чем женщин. Определить общее
число рабочих.
309. Когда из всей годовой выработки цемента завод отпустил 8%, то
подсчитали, что оставшееся количество больше отпущенного на 2 016 та.
Чему равно все годовое производство цемента?
Решение. 1) 100% — 8% = 92%
2) 92% — 8% « 84%
3) 84% —2 016 т
1% —2 016 : 84 = 24 т.
100% — 24400 = 2 400 т.
310. После того как кладовщик на заводе отпустил в мастерскую от ку¬
ска проволоки 33% всего количества, то на складе осталось проволоки на
17 кг больше, чем отрезали. Определить вес всего куска проволоки.
311. Весной 1932 г. в нашем крае впервые проведен был сверхранний
сев по грязи (частично с аэропланов) иа площади в 435,2 тысячи га с пере¬
выполнением памеченпого плана на 28%. Сколько тысяч гектаров было на
мечено веееять первоначально п на сколько гектаров перевыполнено зада¬
ние?
312. План силосования Кормов по краю на 1932 г. определен в 2 млн т а
сенокошения—в 2,5 млн. га, что покрывает годовую потребность во всех
кормах на 25%. Какое колнчестъо всех кормов нужно для Средневолжского
края в текущем году (1 га дает в среднем 5 ц сена)?
313. Капиталовложение в народное хозяйство края с учетом разверт]
Бающегося строительства в 1932 г. достигает за первую пятилетку 1 млрл
340 млн руб., что составляет 174,4% суммы,установленной правительств^**
для Средневолжского крап по первой пятилетке. Какие суммы капитало¬
вложений были определены правительством для СВК по первой пятилетие
и на скольКо рублей возросли они против первоначально намеченного ила г:
Окружность и круг
314. Нарисуйте при помощи циркуля на цветной бумаге кружок. Выре;
те и наклейте его. Точка 0, находящаяся в середине круга, называется
центром окружности.
Соедините прямой линией любую точку окружности с центром. Така*
прямая называется радиусом окружности,
\t>2 —
Г
Нарисуйте окружность и проведите в пей несколько радиусов. Измерь¬
те длину их.
Каким свойством обладают все радиусы одной и той же окружности?
Все радиусы одной и той же окружности раком между собой.
315. Нарисуйте окружность, радпус которой равен 2% см.
Отметьте на ней 2
точки Д и Е, соедините
их прямой линией ДЕ.
Такая прямая назы¬
вается хордой.
Проведите хорду так,
чтобы она прошла через
центр окру не пости.
Такая хорда назы¬
вается диаметром.
Из скольких радиу¬
сов состоит диаметр?
Каким свойством обла¬
дают все диаметры одной
и той же окружности?
Какая из хорд, про¬
веденных внутри одной
и той же окружности,
самая большая?
Что делает диаметр с
окрркностыо и крутом?
Покажите наглядно,
что диаметр делит окру¬
жность и круг на две равные части.
316. Начертите окружность и проверьте в ней диаметр. На сколь¬
ко частей разделилась
окружность? Л круг?
Какзто проверить? Как
разделить окружность
на 4 равные части?
Часть окружности
между точками А и С
называется дугою. Это
дуга АС. Прочтите ос¬
тальные дуги.
Сколько всех дугиме-
ется иа чертеже? Како¬
вы они между собою?
Прочитайте все хо¬
рды. Сравните их меж¬
ду собою, сделав изме¬
рение или же сняв ве¬
личину одной из них
циркулем и наклады¬
вая эту величину на
остальные хорды. Что
находите?
Рас. 15.
Как же можно назвать эту фигуру АСВД, имеющую вершины на окруж¬
ности? Четырехугольник.
Узнайте при помощи наугольника какие углы у этой фигуры. Что находите?
Как называется фигура, имеющая 4 равные стороны и прямые углы?
Это вписанный в данный круг квадрат.
Как же начертить квадрат, вписанный в окружность?
317. Начертите окружность и разделите ее на 6 равных частей.
Заметить. Чтобы разде¬
лить окружность на 6 равных
частей, нужно взять радиус этой
окружности , затем от какой-либо
точки на ней откладывать этот
радиус: он уложится ровно 6раз.
Сколько дуг имеете на окружно¬
сти? Каковы они между собою? Соеди-
J\. ните концы этих дуг хордзми.
Сколько получили хорд? Сравните
их между собою. Как вы это можете
сделать? Что находите? Каковы же
хорды между собою?
Как называется вписанпый в
круг многоугольник с шестью
равными сторонами? Определите при
помощи транспортира размер каждого
г
Рис. 16.
угла шестиугольника. Что находите?
Какой же шестиугольник вписан в круг?
Как вписать в круг правильный шестиугольник?
На сколько и каких треугольников разделится данный правильный ше¬
стиугольник диаметрами АД, BE
и СГ, проведенными пунктирными
линиями? Проверьте этот вывод.
Вырежьте один такой треуголь¬
ник и внимательно рассмотрите
его стороны. Сравните их между
собою.
Каковы же стороны этих тре¬
угольников? А чем была в круге
сторона АО или ВО? Значит чему
равна сторона шестиугольника,
вписанного в круг?
Как же начертить правильный]
шестиугольник с помощью круга?
318. Начертите окружность и
разделите ее на три равных части.
Заметить. Чтобы раз¬
делить окружность на три
равные части, нужно радиус
окружности отложить по noii
шесть раз; на окружности
получится шесть частей, шесть|
точек. Соединим эти точки
через одну.
Ээ
Рис. 17.
Получатся три хорды и три равные дуги
(Л
Сравните хорды етой окружности между собою. Какими способами это
вы можете сделать?
Что находите? Как называется вписанная в крут фигура о трех сторонах?
Определите углы этого вписанного треугольника с помощью транспор¬
тира. Что видите?
Какой же треугольник вписан в круг? Как начертить правильный тре¬
угольник, польвуясь окружностью?
319. Начертите на земле при помощи веревки и заостренного кола
окружность радиусом в 5 м.
Как это сделать?
Пояснение. Надо в центре предполагаемой окружности вбить крепко
небольшой кол, к нему привязать веревку, равную по длине радиусу, к дру¬
гому концу веревки привязать другой заостренный кол и начертить им ок¬
ружность, обводя этот кол вокруг первого кола так, чтобы веревка все время
была натянутой.
Проведите еще несколько окружностей меньшего радиуса, именно: 4 м,
3 м, 2 м.
320. Около одной точки О нарисуйте две окружности с общим центром.
Такие окружности называются концентрическими.
Если диаметр большей окружности равен 12 см, а диаметр меньшей ок¬
ружности 8 см, то какую ширину имеет круглее кольцо, находящееся между
окружностями?
Такое кольцо называется Концентрическим.
Где можно видеть такие кольца?
На мишени, на клубмах, на краях блюдца, тарелки, на кругах воды,
на колесах, на полях шляпы.
321. Какое еще положение по отношению друг к другу могут занимать
две окружности?
Подвиньте один ив кругов в сторону, чтобы он покинул общий центр.
Такие круги называются эксцентрическими.
Приготовьте два круга разных радиусов из разной бумаги—меньший круг
из тонкой прозрачной бумаги, а больший из толстой непрозрачной.
Располагайте эти круги следующим образом:
а) Чтобы образовались концентрические круги.
б) Чтобы меньший свободно лежал внутри большего, не имея с ним обще¬
го центра.
в) Чтобы окружности кругов касались одна другой изнутри.
г) Чтобы окружности кругов пересекались.
д) Чтобы окружности кругов касались друг друга снаружи.
е) Чтобы круги лежали совершенно свободно одни за пределами другого.
Начертите теперь два круга в этих шести положениях.
Где можно видеть круги в положении б?
— Это эксцентрическая шайба в паровых машинах.
Где можно видеть круги в положении в?
— На некоторых шарнирах.
Где можно видеть круги в положении д?
■ На машине для выкручивания белья, на часовых колесах, на теле¬
графе .Морзе?
Где можно видеть круги в положении е?
Фабричные шкивы, соединенные приводными ремнями.
й Ьаким образом приводные ремнп соединяют колеса? Какое преимущество
,еет второе (б) соединение перед первым (а)? См. рис. 18-а l-8-б.
с
Кок увиать, во сколько рае окружность длиннее своего диаметра?
Пример. 15 см 1 мм: 4 см 8 ьш=151 : 48 = 3 14
—144
70
"48
220
'192
28
Рис. 18 в. gj,
— При втором соединении ремень касается колеса на большем простран»
стве, благодаря чему поверхность трения становится больше.
322. Часто определяют длину окруяшости на-глаз, причем и ошибаются.
Окружность нельзя измерить складным метром.
Как же определить длину окружности?
а) Шину колеса нужно обтянуть веревкой, а затем эту веревку измерить1.
б) Окружность колеса можно развернуть в прямую линию. Для этого
катят колесо по песку. Чтобы отметить точку па колесе, откуда было пачато
измерение, в одном месте мы обматываем колесо веревкой. Отпечаток верей¬
ки на песке и указывает на следе колеса начало и конец выпрямления окруж¬
ности.
С колесом рассмотренная работа проделывается очень легко. То же самое
можно проделать с ведром, решетом, кадкой, бочонком и т. п
323. Давайте одновременно узнавать длину окружности и длину днамете :Г8х полоской бумаги и сделали проколы булавкой. При измерении развер-
ра одного и того же круга. Что видно?
Надо заметить. Длина окружности растет вместе с ростом
диаметра.
Возьмите каждый по круглому предмету (цилиндрическому): стакан,
чашка, банка, шпулька, тарелка, монета, коробка, горшок и т. п.
Измерьте миллиметровой линейкой диаметры кругов, находящихся
основании этих круглых предметов, с точностью до 0,5 мм. Число запищит^
Отрежьте длинную бумажную ленточку шириною около 0,5 см п обвел
те ею основание взятого вами круглого предмета так, чтобы концы ее нахо¬
дили одни на другой. Затем одним уколом булавки прокалываем оба конца.
После этого на полоске бумаги получаются две метки.
Выпрямив полоску, измерьте расстояние между двумя метками с точно¬
стью до 0,5 мм. Число запишите.
Какие два числа каждый из вас внает теперь для своей окруяшости?
Длина окружности—15 см 1 мм.
Длина диаметра—4 см 8 мм.
Оба числа выражены в сантиметрах и миллиметрах
Которое ив этих чисел больше? Которое меньше?
гутой полоски полjчили длину между проколами: 12, 54 см; 12,57 см; 12,
Й см.
Сколько осталось при делении 151 ми на 48 мц, после того нак мы сделали
.^числение с точностью до 0,01?
Еслп остаток меньше половины делителя, то он отбрасывается (28 больше
Ijt от 48), а если больше, то последняя цифра частного увеличивается на
1. Тогда получится 3,15.
Во сколько же рае окружность длиннее своего диаметра?
У всех ли у вас ответы получились совершенно одинаковые?
Заметьте, что если измерения у всех произведены тщательно и аккуратно,
частные получаются близкие друг к другу, и если будут разниться, то на
несколько сотых долей.
Маленькая разница между частными дает нам право предположить, что
астное от деления окружности на диаметр есть одно и то же постоянное
.число для каких угодно окружностей, больших и малых.
Чтобы узнать это число точнее, нужно поступить таким образом:
Один из ваших ответов больше истинного, а другие меньше истипного.
Если вы сложите и те и другие, то недостатки одних ответов покроются
гзбытками других.
Если полученную таким обравом сумму равделите на число слагаемых,
ю получите среднее число, которое и будет самый близким к истинному
Числу, показывающему, во сколько раз окружность длиннее диаметра.
Число, которое получается таким способом, называется средним арпфме-
Гическим числом.
Оно считается равным 3,14 или З1/,.
* 324. Для определения длины окружности цилиндр обернули в трех ме-
Подсчитайте среднюю величину окружности и вычислите ее диаметр.
325. Во сколько же раз окружность длиннее своего диаметра? Как уо-
Е»ть длину, окружности по ее диаметру?
Сколько радиусов в диаметре?
Во сколько раз окружность длиннее своего радиуса?
Как узнать длину окружности по ее диаметру или радиусу?
Заметить. 1. Длина окружпости равна произведению диаметра
втой окружпости на число 3,14 пли З1 /7.
2. Длина окружности равна произведению радиуса этой окружности
ва число 6,28 или 62/7.
Колесо имеет диаметр длиною в 85 см. Определить длину обода
колеса.
г Чему равна длила окружности, если диаметр ее равен 34 см, 46 см,
см, 75 см, 88 см и 93 см?
328. Чему равна длина окружности, если радиус ее равен 4 см, 8 см,
См 15 см, 24 см?
66
:
67
329. Какая окружность должна обернуться большее количество раз а,
одном и том же протяжении—окружность с большим диаметром или
усом или же окружность с меньшим диаметром или радиусом?
Сделайте это наблюдение несколько раз.
330. Какая окружность сделает большее количество оборотов в единиц-
времени с большим диаметром или радиусом или же с меньшим диаметра
или радиусом?
Сделайте это наблюдение несколько рае.
331. Два колеса с диаметром в 15 см и 3 см соединены бесконечным рец.
нем. Сколько оборотов делает меньшее колесо в одну минуту, если большее
колесо делает 75 оборотов?
Решение. Искомое число (X) должно быть больше 75 во столько щ
раз, во сколько раз 15 больше 3, т. е. X больше 75 оборотов в 5 раз, нщ
X — 75. 5 = 375 оборотов.
332. Большее зубчатое колесо имеет 100 вубдов, а сцепленное с щц
меньшее содержит только 15 вубдов. Сколько оборотов сделает ^меньше*
колесо в то время, когда большее делает 60 оборотов?
Решение. X будет больше 60 во столько же раз, во сколько 100 боль¬
ше 15, или X больше 60 в 1М/16 раза, или X больше 60 в 610/15 раза, или X боль¬
ше 60 в 62/3 раза.
Чтобы найти теперь X, нужно 60 . 6*/8, или 60 . 20/8 = 20 . 20 = 40!
оборотов.
333. Начертите на чистой белой бумаге круг, радиус которого равняете!
6 см.
Проведите диаметр круга. Закрасьте одну половину круга в красны;
цвет, а другую в синий, или оставьте эту половину белой.
Разрежьте теперь этот круг на 16 равных секторов.
Сколько секторов получили вы красных? А сколько синих (или белых)'
8 красных секторов надо приклеить вдоль по прямой линии. Внизу ой
образуют несколько зубцов.
Остальные 8 секторов нужно вставить остриями внутрь образовавших^
вубцов (рис. 19).
Рис. 19.
На какую фигуру походит
составленная фигура? Чем
именно фигура АЙСД похожа
на параллелограм?
А чем она отличается от
параллелограма?
Может ли когда-нибудь основание этого параллелограма стать прямой
ч11Й1!ей? Почему же не может?
Основанием каждого сектора (треугольника), как бы он мал ни был,
вСегда будет дуга, хотя бы самая маленькая.
Какая часть окружности служит основапием этого нового параллелогра-
ца?
Прочитайте высоту этого параллелограма.
Чем служила линия EF в данном круге?
Как определить площадь параллелограма?
Правило. Чтобы определить площадь параллелограма, нужно его осно-
вание помножить на высоту.
Какой равной по площади фигурой заменен круг?
Такие фигуры называются равновеликими. Площади фигур одинаковы,
но фигуры эти не закрывают друг друга при наложении, фигуры не равны
между собою.
Следовательно, вместо того, чтобы определять площадь круга, можно
определить площадь равновеликого кругу параллелограма.
Правило. Чтобы определить площадь круга, нужно половину окружности
вовдюжитъ на радиус.
334. Круг, разделенный на 16 равных секторов (рис. 19), можно пе распо¬
лагать таким образом, как это сделано выше, и можно эту фигуру не красить
в два разных цвета.
Рисунок можно расположить так:
Л
Рис.^0.
Вырезав 16 секторов и уложив пх все в один ряд, как показано на рисун¬
ке 20, вы получите фигуру АВДЕ.
Высота этой фигуры—АС.
Разрежьте теперь этот ряд треугольников по линии БС. При этом отсе-
кутся верхушки у всех треугольников. Эти верхушки, размещенные в обрат¬
ном порядке, как раз и заполнят собою промежутки между нижними частями
Разрезанных треугольников. •
Чему же равновелика площадь треугольника ABC.
Чему равно основание этого треугольника? Чему равна высота его?
Как вычисляется площадь треугольника?
Площадь треугольника равна основанию, умноженному на половину
ьЫсоты.
Как определяется площадь круга?
Площадь круга равна длине окружности, умноженной на половину радиуса.
II г При решении нижепомещениых задач отношение окружности к диаметру
^ернте 3,14 или 31 L, смотря потому, с какпм числом легче производить вы¬
числения.
Пример 1. Диаметр равен 14 см. Как велика окружность? 14 см. легче
^нонит, на З1/,, чем на 3,14.
69
Пример 2. Окружность равна 628 см. Как велик диаметр этой окружности
628 легче разделить на 3,14, чем иа Зг/7.
335. Чему равна длина окружности, если диаметр круга равен
56 мм, 12 м, 8 дм, 5 см?
336. Чему равен диаметр круга, если окружность его равна 22 см, 88 с*
33 см, 440 см и 660 см?.
337. Чему равна длина окружности, если радиус равен 1 и, З1/* м, 6„
2*/а см, 4 дм, I1/* м, 8х /а см?
338. Чему равен радиус круга, если окружность его равна 66 см, 1570 с*
628 см, 440 см?
339. Как велика площадь круга, радиус которого равен: 1 м, 3 дм, 15 ел,
18 см, 24 см, 35 см, 12 см, 28 см и 16 см?
340. Как велика площадь круга, диаметр которого равен 4 м 20 см, 1 *,
32 см, 3 м 28 см, 3 дм 15 см, 44 см, 38 см?
341. Телеграфный столб имеет в обхвате 66 см. Каков его диаметр?
342. Чан, стянутый деревянными обручами, хотят еще для прочное^
стянуть наверху, где чаи имеет 2 м в диаметре, жедешшм обручем. Каков,
будет длина этого обруча?
343. Лопатки водяного колеса, радиус которого равен 1*/« м, отсто|
друг от круга на расстоянии 50 см. Сколько лопаток имеет такое колесе
344. В мастерской делается круглый стол иа 5 человек. Каков должа
быть диаметр этого стола, если для каждого человека нужно отвести меси
длиною в 6,6 дм?
345. Радиус колеса равен 7 дм. Какое рассстояние прокатится это кол»
со, сделав 500 оборотов?
Процентный транспортир
346. Начертите четыре полуокружности с общим центром!
Раю. 21.
70
Разделите внутреппюю окружность пополам. Какая часть окруяшости
получилась после этого?
Разделите теперь каждую четверть окружности на 5 равных частей, от¬
кладывая эти частя несколько рае, сранивая их постоянно менсду собою,
сверяя.
На сколько частей разделится теперь вся полуокружность? Каждую
точку деления соедините о центром, как покавано на рисунке 21.
Далее каждую десятую часть окружности раэделите опять (ва-глав)
на пять равных частей и проверьте несколько раз, сравнивая части между
собою хотя бы при помощи миллиметровой линейки.
На сколько равных частей разделилась вся полуокружность?
Соедините каждую из этих точек с центром, как показано нарисупке.
На сколько таких же равных частей рааделится вся окружность? Как
называется сотая часть числа величины окружности?
Вы построили процентный транспортир.
347. Изобразите при помощи круговой диаграммы следующий цифровой
материал весеннего сева в колхозе «Путь Ильича»:
Пшеница . . . 64% всей посевной площади
Овес 15% » » »
Просо .... 13% » » »
Греча 8% » » »
После этого определите площадь каждого сектора, полагая, чтб радиус
круга равен 20 см.
Как множить десятичпую дробь па десятичную дробь
\
348. Диаметр окружности равен 5,1 см. Найти длину окружности и пло¬
щадь круга?
1) Как найти длину окружности, зная ее диаметр?
Для этого нужно 5,1 помножить на 3,14.
Прочтпте множимое. Во сколько раз нужно его увеличить, чтобы полу¬
чить целое число?
Сделайте целым числом и множитель. Во сколько раз вы pro увеличили?
Как изменится произведение, если мы множимое увеличим в 10 раз?
Как изменится произведение, если мы множитель увеличим в 100 раз?
А как изменится произведение, если одновременно множимое увеличено
в 10 раз, а множитель увеличен в 100 раз?
Проп.звецепяе увеличится в 1 000 раз.
Пример. 5,1 51
Х3,14 314
204 204
51 51
+ 153 +153
16,014 —- 16,014
Прочтите полученное произведение. Во сколько раз оно больше истин¬
ного произведения? Как получить теперь настоящее, истинное произведение?
Как разделить число 16 014 на 1 000? Прочитайте теперь истинное произве¬
дшие.
Сколько знаков вы отделили запятой с правой сторопы? А сколько знаков
бы.дг) справа от запятой во множимом? Во множителе? В обоих числах?
Правило. Чтобы помножить дссапгшуги дробь иа десятичную, нужно
71
не обращая внимания на вапятые, перемножать дроби как целые числа
а потом с правой стороны отделить занятою столько знаков, сколько их
было во множимом и множителе вместе.
Какова же длина окружности?
Длина окружности равна 5,1 . 3,14 = 16,014 см.
2) Площадь круга равна половине окружности, умноженной на радиус,
т.е. равна 8,007 . 2,55 = 20,41785 см2.
2,55
I
X
8,007
+•-
1785
2040
20,41785 см2.
Можно ли в таком виде оставлять ревультат, выраженный в очень мел¬
ких долях?
Здесь нужно взять результат приближенный, с точностью до 0,1 кв. см:
20,4 см2. "
дроби на
349. Решите следующие
примеры
на умножение десятичной ,
десятичную дробь:
3,4 . 4,7
4,32 . 2,4
3,6 . 2,18
4 , 08 . 3,06
0,48 . 0,3
5,8 . 7,4
3,24 . 4,6
6,3 . 8,12
2 , 09 . 4,03
0,69 . 0,8
8,5 . 3,9
2,43 . 6,4
4,5 . 7,13
9 ,02 . 8,04
0,96 . 0,7
9,3 . 6,2
5,67 . 9,2
5,4 . 2,47
7 , 06 . 5,0Э
0,84 . 0,6
7,6 . 5,6
6,75 . 2,9
8,6 . 6,74
6 , 07 . 9,05
0,29 . 0,3
6,7 . 6,5
7,56 . 7,4
4,7 . 9,62
8 , 05 . 6,07
0,92 . 0,4
4,8 . 2,8
5,04 . 4,7
7,4 . 6,29
5 , 08 . 7,06
0,47 . 0,5
8,4 . 3,6
4,95 . 5,7
5,8 . 2,96
7 , 04 . 4,07
0,74 . 0,6
7,3 . 6,4
9,54 . 7,6
8,5 . 2,69
9 , 03 . 8,06
0,83 . 0,7
9,6 . 6,9
5,49 . С,4
7,9 . 3,27
3 , 09 . 6,08
0,38 . 0,9
Решив эти примеры, проверьте их умножением.
Как проверить работу при помощи деления? '
На каждый из этих столбиков придумать по 5 примеров, передать их дли
решения товарищу по бригаде.
Сами решите придуманные товарищем примеры. Разменявшись тетрадями,
проверьте работу друт друга.
Как делить десятичную дробь на десятичную дробь
Во сколько рае
1|
увеличить!
увеличить
350. Площадь одного круга 22,9 см2, другого—20,4 см:
площадь одного круга больше площади другого?
Назовите в этом примере делимое. Во сколько раз нужно
делимое, чтобы оно стало целым числом?
Прочтите в этом примере делитель. Во сколько раз нужно
делитель, чтобы он стал целым числом?
Как изменится частное, если делимое и делитель одновременно увели1
ны в 10 раз?
От одновременного увеличения делимого п делителя в одинаковое число
раз частное не изменяется.
72
22,9 |
20,4 -
_ 250
204
460
“ 408
20,4
1,12
или
229 I 204
204
250
204
1,12
460
408
52
52
Правило. Чтобы разделить десятичную дробь па десятичную дробь,
когда у них десятичных знаков после запятой поровну или же когда они вы¬
ражены в одинаковых долях единицы, нужно, не обращая внимания на за¬
пятые, делить, как целые числа, с указанной степенью точности.
351. Решите следующие примеры на деление десятичных дробей.
0,8 :
0,2
2,64 :
: 0,66
29,6 :
: 7,4
16,06 :
: 2,12
25,44 :
4,24
0,75
: 0,25
2,72 :
0,68
43,2 :
7,2
15,05 :
2,15
34,23 :
4,89
0,875:0,125
4,88
: 0,61
65,1
: 9,3
15,33
: 2,19
33,88 :
4,84
2,4 :
0,3
4,72 :
0,59
55,2 :
6,9
13,38 .
2,23
37,76 :
Г -Ч.)
4,/2
3,75
: 0,25
5,53 :
0,79
44,1 :
4,9
22,56 :
2,82
37,52 :
4,69
4,5 :
0,3
4,92 :
0,82
27,6 :
:9,2
20,02 :
: 2,86
22,011:
:0,667
7,5 :
1,5
4,96 :
0,62
56,8 :
: 7,1
22,72 :
: 2,84
30,682:
:0,667
8,4 :
2,8
5,52 :
: 0,92
49,8
= 8,3
33,44
: 4,18
38,019
:0,667
4,8:
1,6
6,24 :
: 0,78
54,4
: 6,8
29,12
: 4,16
52,026
:0,667
9,2 :
2,3
4,64 :
: 0,58
38,4
: 4,8
38,34
: 4,26
54,524
:0,634
352.' Посевная площадь УССР в 1927/2.8 г. и в 1932/33 г. представлена
двумя кругами, диаметры которых равны 5,1 см (для 1927/28 г.) и 5,4 см
(для 1932/33 г.). Посевная площадь 1927/28 г. составляла 25,5 млн га.
Определите площадь для 1932/33 г.
353. Кооператив покупает у совхоза один вагон (16,5 т) овса по 58,75 руб.
за тонну. Стоимость провоза равна 0,43 коп. за килограмм. На расходы по
содержанию кооператива на товар накладывается 0,05 его стоимости с про¬
возом. На непредвиденные расходы отчисляется 0,015 от той же суммы.
Вычислите себестоимость килограмма овса с точностью до 0,1 коп.
354. Вес рельсовых скреплений составляет в среднем 7,5% веса рельсов.
Сколько потребуется скреплонпй для одноколейного участка пути длиной
62,58 км, если погонный метр рельса весит 32,25 кг?
355. Из водоема, вмещающего 708,6 м3 воды, желают выкачать воду
посредством трех насосов: с помощью первого насоса на каждые 0,35 часа
выливается 42,14 м3, помощью второго в 1,5 часа выливается 150,75 м3 и на¬
конец с помощью третьего вся вода из водоема могла бы вылиться в 11,336 ча¬
са. Во сколько времени все три насоса, если они будут работать одповремеи-
цо, выльют всю воду из бассейна?
35Q. Погонный метр железной полосы весит 22,7 кг, а вся полоса весит
192,95 кг. Определить длину этой полосы.
Решение. 192,95 : 22,7 или 192,95 : 22,70
19295 I
181G0 “
11350
" 11350
0
2270_
8,5 м
Правило. 1. Ч'г ->бы разделить одну десятинную дробь на другую, когг^
у них после запятой справа количество опаков различное, нужно прел;д*
всего эти дроби выразить в одинаковых долях единицы, т. е. сделать кол*,
честно знаков после вапятой одинаковым, потом, не обращая внимания щ
валятые, делить как целые числа.
2. Полученное частное будет истинным, потому что при уничтожен;ц
вапятых, когда после них имеется одинаковое количество знаков в делимо*
и делителе, частное не изменилось от одновременного увеличения делимого
и делителя в одинаковое количество рае.
357. Решите следующие примеры на деление десятичных дробей
10,54 : 6,2 16,74 : 6,2
13,14
: 7,3
27,01
: 7,3
22,75
: 9,1
32,76
: 9,1
21,06
: 7,8
35, 1
: 7,8
16,52
: 5,9
21,83
: 5,9
29,14 :
: 6,2
12,75 :
: 7,5
85,14 :
8,6
11,016 :
: 0,36
43,07 :
: 7,3
25,92 :
: 9,6
74,88 :
3,6
20,703 :
0,67
42,77 :
: 9,1
29,75 :
: 8,5
79,04 :
2,6
3,333 :
: 0,66
44,46 :
: 7,8
22,36 :
: 8,6
13,86 :
4,5
11,948 :
: 0,58
33,63 :
: 5,9
44,16 :
: 9,6
17,64 :
3,5
14,736 :
: 0,48
35,34 :
: 6,2
40,42 :
: 8,6
77,33 :
3,7
17,214 ;
: 0,57
48,91 :
: 7,3
64,32 :
: 9,6
14,64 :
4,8
33,396 :
: 0,66
61,88 :
: 9,1
67,08 :
: 8,6
237,16 :
7,7
3,894 :
: 0,59
60,84
: 7,8
74,88
: 9,6
43,344 :
0,86
4,446 :
: 0,78
38,94 :
: 5,9
67 15
: 8,5
11,799 :
0,57
3.27Q :
: 0,91
Произведенное в этой задаче деление проверьте сначала умножением-.
Второй раз проверку сделайте при помощи деления. Сами составьте 10
примеров на такой же случай деления десятичных дробей.
358. В газовой горелке небольших размеров в каждые 0,75 часа сгорает
3,6 куб. дм газа. За 125,4 куб. дм газа следует заплатить 36,366 коп. Какую
сумму придется заплатить за газ, горевший в 5 горелках в течение 30 ве¬
черов по 6,4 часа каждый вечер?
Решение. 1. Сколько кубических дециметров гава сгорает в горел¬
ке в 1 час?
3,6 : 0,75, или 3,60 : 0,75, или 360 : 75=4,8 дм.
2. Сколько стоит 1 куб. дм газа?
36,366 : 125,4, или 36,366 : 125,400, или •
363 ССО : 125 400=0,29 коп. ва дм.8
3. Сколько газа сгорает в час в 5 горелках?
4,8 . 5 = 24 дм8.
4. Сколько газа сгорает в 5 горелках в вечер?
24 . 6,4 = 153, 6 дм3.
5. Сколько газа сгорает в 5 горелках в течеппе 30 вечеров?
153,6 . 3G = 4 608 дм3.
6. Сколько стоит этот газ?
4 608 . 0,29=13,36 руб.
359. Решите сл^тгющпо примеры па делрпие десятпчпых дробей:
30,464 : 54,4 30 082 : 6,67 54,524 : 6,34 3,770 : 0.742 225,6 : 2,#
20,922 : 63,4 46,784 : 5,44 52,026 : 6,67 3,388 : 0,484 150,5 : 2- 1э
74
22,011 : 66,7 48,818 : 6,34 3,752 : 4,69 3,423 : 0,489 169,6 : 2,12
35,904 : 54,4 38,019 : 6,67 2,541 : 4,24 3,834 : 0,426 334,4 : 4,18
35,504 : 63,4 53,312 : 5,44 2,272 : 2,84 2,912 : 0,416 342,3 : 4,89
Проверьте выполненное деление умножением.
Проверьте выполненное деление делением.
360. Выполните деление в следующих случаях без остатка и с остатком:
15 : 4 19 : 6 18,7 : 2,3 28,6 : 1,57 34,23 : 8,3
37 : 8 35 :11 81,7 : 3,2 82,6 : 7,15 43,32 : 3,8
73 : 16 51 : 8 78,1 : 4,6 52,8 ; 5,17 42,33 : 6,7
44 : 3 64 : 3 17,8 : 6,9- 26,8 : 7,51 33,24 : 7,6
361. После 12,4 часа работы токарь подсчитал, что ему осталось еще вы¬
полнить работы на 0,2 больше, чем он сделал. Сколько он получит ва всю
вту работу при оплате 0,65 руб. в час?
362. Получив зарплату и уплатив из нее 0,02 в профсоюз, рабочий о^ д 1л
в кооператив долг, составлявший 0,28 полученной варплаты, после чего у
него осталось на руках 117,6 рубля. Какова была полученная рабочим
варплата?
363. Черев 4,5 часа после отправления товарного поезда, идущего со
средней скоростью 20,4 км в час, выходит с той же станции пассажирский
поевд, делающий в среднем по 25,8 км в час. На каком расстоянии от началь¬
ной станции находится рав‘езд, на котором пасбажнрский поезд догонит
товарный?
Умножение и деление простых дробей
364. Одна тонна нефти дает такое же количество тепловой анергии,
как и 1% тонны каменного угля. Сколько угля потребуется для замены
5 т нефти?
Ясно, что вта вадача решается умножением:
iv».5= 4-5“¥=18/*=71/»т-
Ивменим теперь одно из числовых данпых задачи.
Одна тонна нефти дает такое же количество тепловой энергии, как 1% т
каменного угля. Сколько угля потребуется для замены 3/4 т нефти?
Смысл вадачи нисколько не изменился. Следовательно и эта задача ре¬
шается также умножением:
1% • 8/v
Но, с другой стороны, по смыслу задачи ясно, что кжомый ответ полу¬
чится, если мы найдем 3/4 от 1/2 т, для чего надо умножить I/, или 3/2 на 3,
а затем найденный результат разделить на 4, что и даст:
11/2.8/4=72-8/4=~-=в/8=11/8 т
Таким образом мы видим, что умножить дробь на дробь значит найти
вту вторую дробь от первой или от множимого.
Пример. 1. Умножить Б/7 на ®/4.
Для этого надо найти 3/4 от 6/7. Сначала найдем г/4 от 6/7.
5 Г» I
Одна четверть от Б/7 будет равна —^=—
Теперь найдем 3 четверти. Для этого нужпо —‘3 = - , потому что
четверти втрое больше одной четверти.
Значит, умножая Б/7 на 3/4, получаем:
75
1-1
7 4
Пример 2. Умножить
5 .3
4 . 7=
3
15
:28
2
4 На 3
3-2 11
Г
^3^2^! 2
Из рассмотренных сейчас примеров можно вывести и правило умножения
Дроби на дробь.
1. Чтобы умножить дробь на дробь, надо перемножить их числителей
и полученный результат разделить на произведение их знаменателей.
2. При умножении смешанных чисел их надо обращать в неправильные
дроби, которые затем и перемножаются по общему правилу.
3 10 3. 10 3.2 6
Примеры. -= . -= =
5
15
5.7
3 . 7
4.5
, 1_
1 3 '
4^
5 '
“4.1
^ =
1 .7
" 4
7. 15
4
7 . 5
2
3 9 =■
3.4 —
9 29
5 ' 9
35 3
= 4-8 4
_ 29 4
~ 5 5
4
9^29
5.9
3. Когда один из сомножителей оказывается целым числом, то его можно
дроби с знаменателем 1.
2 _*9_12 3_. 1
3 ~ 1 . 3 = 1
представить
Примеры.
в виде
2 9
9.о — . «о —
1
=6
-6 ■ 12= г
12 5 . 12 5.3 15
.1
=-2 = 72
1— 8.1 —2 . Г
4. Если возможно произвести сокращение числителя одной из перемно¬
жаемых дробей с знаменателем другой, то не следует сразу выполнять умно¬
жение числителей и знамепатслей, а сначала нужно только записать дроб¬
ное выражение, равное искомому произведению, ватем сократить его и
только после этого нужно выполнить требуемые действия.
27 16 27. 16 3.1 3
Примеры.
32'63
24 J5
35
32 .63
24 . 15
14
9
16 ~ 35 . 16 — 7.2'
14
5. От умножения на правильную дробь число уменьшается, а от умноже¬
ния на неправильную дробь число увеличивается.
18 5
Примеры. 25 ■ '
К5
16
36
18 . 5
1 25 . 9 "
15 . 36
2 . 1
2
~5
. 27 = j 7
20 20
25 16 . 25 4 .5
Подумайте, почему это так получается?
3(5Г>. Решите следующие примеры на умпожение дробен:
б /
/ 7
74-78= 2 */9.
• 4/5= 7/гг • 8/is
7*о-в/.= 2s/g
21/ ^ 4
зо/ —
'19
4= 7б
74= 74-7в-79= Чъ
6/ie= 17г
149"
374=
75'*
7 Ь
•3‘./3= 6/7 ■ 7з= 7.-
/в • 4/i6= 4*/, . 31/7=
• 17',= 8/б • 7/9= 3/7 •
Х/4
4/о
5 /
/9
7в ■
7»= в/7
■ 7, - 3/ю=
■ 3/4= 4/6-
7/в • 7м=
*/:
11
14 I 25 /
/15 - /27—
174=
4/б. “/.=■
V. - 7ю ■ 7«= 4/т - 14/1б=
&/25
77и
87з»= 2«/в - 17/и=
-37,= 7в-7/12= 8/4
7
II
/17
81
/5= 57,. 37*=
e/t • 8/в=
8/в • 7i.=
8/в • 8/в= 75
7B-7iB.7ie= 7
1в
15
/1. • 7:
10"
7:
91
7.7“
2*/а
1%
37.
13/5
(I4/
(27ю-
6/8= 716 - 27зв - 7в
^Б/7— 8/в • '/8— /16 - '/38
2%. 17б= (У2+7г—1/в) • 1%“ 27, . 37, . 17,
17,. 17*= (зу2-27«). 47,= 127, • 37,. 27,= (47,
. 27, . 17, . 273= (87,—за/5) . 11а/3= 67,.2%
14+зз/20) - н/2= 27,. 1714.47,. 17,=
;-17i8) . 27,= 47,. 27,. 77,=(3711—7,). 87,-87,.
(117,-97,). 47,=
37,). 8»/,=
• 14/9 -Е:22/5=
з8/, •2*/1,=
(157з-47,) . 37,= 4% . 21/, . 1*/1«= (31/,Ч-51/8—7В/,) . 3‘/,=
Исполненное вами умножение в первых пяти столбиках проверяйте
умножением.
366. Со станций А и Б, отстоящих друг от друга на расстоянии 3803/,
км, одновременно выходят навстречу два поев да. Средняя скорость первого
4014 км, а второго—42®/, км в час. Каково будет между ними расстояние
через 22/3 часа?
367. За 7, минуты поезд прошел 1 км. Какова скорость этого поезда в
минуту?
Задача решается при помощи деления:
1:А = 1^ = 1.=1± км
4 3 3 3
Изменим теперь условие задачи таким образом:
За 7, минуты поезд прошел % км- Какова его скорость в минуту?
Смысл разбираемой вадачи очевидно не изменился, а потому и опособ
ее решения будет совершенно тот же: деление расстояния на время:
1/ .3/
/ 2 * /4*
С другой стороны, вдесь приходится находить целое по его частям, т. е.
приходится находить путь, проходимый поевдом ва целую минуту, по прой¬
денному ва 7, мин., но если за 3/4 мин. поезд проходит VJ км, то ва 1 минуту
„ 1 4 1.22
пройдет т . т= 1—3= 3 км.
А так как оба способа решения задач одинаково правильны, то и ответы
до л ясны быть равны:
-1 .J3 1-4 1.2 2
2 * 4 —2.3— I .3~~ 3 КМ‘
Правило. Чтобы разделить дробь на Дробь, надо числитель первой дроби
помножить на знаменатель второй и взять вто произведение числителем
ответа, а знаменатель первой дроби нужно помножить на числитель вто¬
рой и сделать это произведение знаменателем ответа.
Примеры. 7 13 7 . 20 7 . 4 28 2
= 7Г.1з = I - 13 = ТЗ ~ 213'
30 . 28 2 . 4 2 3 2.5
1 :28=7 .15 ,__8
5
30
•20
15
М- ,L
- 9 — <9
1 . I-"' 3 - 5 ~3 . 3“
Только что выведенное правило является общим, т. е. это правило верно
и пригодно для того случая, когда делимое или делитель будут числом це¬
лым, так как всякое целое число можно всегда представить в виде дроби
о знаменателем 1.
Примеры. 3 3 6 3.1 1.1 1
8 " 6 = 8_ ' ~1 = 8~.~6 = 872 = 16
2.3
' I . о ’
1
77
868. Возьмите дроби: ®/3, ®/4, ®/в, т/8. Перепишите эти дроби таи, чтобы
числитель каждой дроби стоял на месте знаменателя, а знаменатель на
месте числителя.
Заметьте, что дроби: ®/8, */8, */., ®/, называются обратными дробями:
®/ ®/ */ W
/3J /4» /в* и /в-
Так как Бсякое целое число можно представить в виде дроби с знамена¬
телем 1, то и для всякого целого числа тоже можно найти обратную дробь.
Например: 8=®/!; обратная дробь 1/в;
12=1а/1; обратная дробь 1/1J.
Заметьте, что произведение двух обратных дробей всегда равно единице.
Примеры.
2 3 2.3 1.1 .3 4 3.4 1 1
3 х 2
J 1_
1 :8 “
“ 375 “"Г
е. 1 1.1
1 . 8 1 . 1~1:
1 — 1; 4
3
1
12
1 • 12=
“4.3
12 . 1 1
1
Г
•1:
Г=1
"1 . 12 1 . Г
Зная, какие дроби называются обратными, правило деления дроби иа
дробь можно высказать в такой форме:
Чтобы разделить какое угодпо число (целое или дробное) на цробь, до¬
статочно умножить это число на дробь, обратную делителю.
Примеры.
3 _ 5^4 5_ 4 5
4 8.3 8 Х 3 ~ 6
2 6.3 6 3 9 2
3 ~ 7 .2 "7х 2 ~ 7 1=17°
4 9.3 9 3 ' 27 7
5_
8
6_
7
9_
5
15.
16
.
6 '
3 =
6
~79
3
4 “
z=”6
5 . 4
7 9.7
6 ~ 6 — 2 :
15 4 15 . 4 5 . 1
16 ’ 3 = 16 .3*4 . I
5 1_ 5J1 5
2 = 6 . 1 ~ 12
20 ‘20
3 • 7 21
1
«4-
Смешанные числа при делении обращаются в неправильные дроби.
Примеры.
1 . 7 И .15 __+1 _8 88 _ 13
' ‘ 8 5 ' 15^75 ~ *75
.1 123 . 41 123 4 123 . 4 3 . 1 3 1
4“ 8
25
15^
ICb
5"“ *Г
8 ' 4 8 " 4 8 41 8. 4l~“2 . 1
369. Решите следующие примеры на деление дробей.
7з
4/ —
/е—
%
5/6=
9/
/ю
“/. 5=
1в/ .
/21
82/ =э
/91=*
б/8
“/l.=
21в
75=
12/
/35
Vl5 =
87/
/29
51/ —
/145 —
7в
75=
7»
75=
И/
/18
16/ _
/21 —
16/
190
67/
/80 —
8/4
7з=
7.
3/
/5—
15/
/23
25/
/ зз—
18/
/19
64/
'во—
7.
47а=
7т
7в=
27/
/ 35
54/
/55—
20/
/21
16''
, 14
7s
7з=
7т
7в=
32/
/ 89
64/ -
/77 —
1в/«5
47'С5 =
3/
7s
75=
24'
Ы/7 5=
715
3^5 —
. 6
/ 7
/25
*и
74 =
21
1 9
5
/12 —
6/
'63
U/25S=*
7i3
7i3=
7 7
3 '
. ft—
7/ia
34/
/15 —
15/
/ 22
45/
/*)б —
4/и
16/
3i —
г/
1 о
3'
/8 —
7s
8/
/25 —
32/
/45
1в/ _
/ 35 —
“Л.
32/
/33
3V. =
*=7.
174
• 275+ 33/8=г
К)2/, .
х=24
з®/4-
-17i. : 17'4=
7/
/10 •
*=4V.
i’/в
: ?7.+47.=
67* :
*=7в
87з
. 4—1®/7 : 41/. ~
121/. •
г=73/4
87,
: 41/4х33/4 : 17,
'4/б :
*=“/»
27.
: 37з+4г/. : 07.
97» •
*=z7»i
107.
• 47.-57. • 2«/в
207. .
*=137,
(87з-
77.) : (17.+7з)=
г : И
75=1720
(15724-
—97гв) : (47x8-17:
1276 :
*=г7м
77»+37з : 7и=
Проверяйте решенные примеры умножением и делением.
370-а. Переднее колесо экипажа имеет в окружности 21/3 м, а заднее 3% м.
Сколько раз обернется каждое на этих колес на протяжении пути в 24/6 км?
Во сколько раз переднее колесо вертится быстрее заднего?
370-6. Переднее колесо экипажа имеет в диаметре 711 /10 см, а заднее в 1%
раза больше. Зная, что окружность больше диаметра в З1 /? раза, определите,
сколько раз обернется то и другое колесо на протяжении пути в 5% км.
Порядок действий
371. Выполните указанные действия о дробями в приведенных далее
примерах:
В этом примере порядок действий должен быть таков: 1) деление ®/4
на 6/6; 2) умножение 2% на ®/5; 3) деление 1 на 11/8; 4) затем идет сложение
первых двух результатов; 5) наконец вычитание из полученной сейчас сум¬
мы третьего результата (частного от деления 1 на I1/,). Найдите ответ.
Правило. При решении примеров на все действия сперва выполняются
все ргаоисепня и делепия, уже после этого—слояичшя и вычитания. Если
нужно произвести действия в ином порядке, то вводят скобки, которые
нарушают этот так называемый нормальный порядок действий.
2 : 3/Б+3/6 : 2+1% : 6+6 : 1%.
Найдите ответ, пользуясь указанным сейчас правилом порядка действий.
23/4 : m-2U)+i3U+■•/.) : З1/,.
В этом примере порядок действий указан скобками н должен быть именно
таков:
Вычитание 2/б из 1%, деление 23/4 на полученную При этом разность;
сложение 3/4 и Б/6, а затем деление этой суммы на 3*/. и накопец сложение
Лер во го частного со вторым частным. Найти ответ.
Если бы в этом примере не было поставлено скобок, то порндок действий
был бы совершенно иной, а именно такой:
Деление 23/4 на 1%, вычитание 2/5 из полученного сейчас частного, при¬
бавление 3/4 к только что полученной разности, деление 6/6 на 31/в и при¬
бавление полученного частного к последней сумме.
Найти ответ, применяя этот порядок действий.
Сравните этот ответ с предыдущим ответом.
Какая разница?
372. Решите примеры (а/15+17/1й> • 80/иi3(l : 21 /4) . ®/.;) . =
(3! ■ Б, \ ■ 9/ 13/ . 15 1 .02 / \ -
1 1 ■ 161 т ilOT '4-1 в - ~ 191 ~
79
(4
(
»3+ фд:
■*i) -4-
,1 27\ Г ч - •
1
/ ,23 I \
( 152“ 1 4 ) =
(
L\ - Z-- 4; 4° + *
1 > / 1 27ч Г „3 /1 К 3-1
' 32 ) : ( 1П—55) ~ 115: 4 “ (102; *2) ' 14J
17 „ 5 ДЗч 4 / > „ 7 \ ДО.
[( 12 ^й) • 7 + ( 18 12 ) ' 17J —
2 1 \ / 3 7 \
3+ 7 2 " '° ) • (4О+Г2 - >57:360) =
(2^:10+10:4-2^) - fib {[( 4+ lj): ( 4~Ч)] :[( 4+2*)
[( 4+i+12) : ( TS+fi+S ) ] ' ( 4Г5_ 3! Ь { [( 31+ 1 7) : ( 3 3“ 1
: [( 133~31з) : (,33+31з) ]} : { ( 52+1 ё) [5 2~( 18 : з)]}=
(^4-Й):[(4-т?):Ц= ■
ы
Обращение простой дроби в десятичную и обратно
373. В науке, в технике и во всех областях прикладных знаний пользу
ются главным образом десятичными дробями, как более простыми и удобны
ми. С введением метрической системы мер десятичные дроби и в практическ<
жизни играют первенствующую роль, потому что при всех метрических и
мерениях результат выражается только в десятичных подразделениях осно
ной единицы (метра, килограмма, литра), т. е. в десятичных дробях.
В повседневной жизни приходится иметь дело лишь с очень ограничь
ным количеством простых дробей, как-то: половина, треть, четверть, bocj
мушка.
Во всех же остальных случаях гораздо выгоднее обращать простые дро(
в десятичные и производить действия, т. е. иметь дело с десятичными дробям—
Пусть нам дано 15 равделить на 2. Производя действие, мы получая!
1у2 или целое число 7 и дробь у2. Но ведь мы внаем уже, что черту дроби!
можно рассматривать, как знак деления 1 на 2, как знак незаконченноrflj
деления. 1
Попробуем деление закончить, выражая частное в десятичных дробях^
Птпгпп»»
Что делают, обращая простую дробь в десятичную? Прочитайте Полу¬
нине вами ответы и запишите, какая десятичная дробь и какой простой
.оби равняется.
Копчилось ли во всех этих случаях деление?
I Заметить. Такие десятичные дробя называются точными, inn
конечными десятичными дробями.
314. Возьмите теперь такие дроби, как: 1'3, 2/3, */6, 3/6, х/9, 2 Э) 1 1г,
•' 4/в. 7/12, Б/ю 11/х» V11, а/п. 1/»> 8/U. 3/7> Vis. 7/is и lxl24, и обратите
е десятичные.
Пример:
51 12
50 0,4166...
20
—12
80
*72
7 15
70 0,466...
60
100
90
80
*72
'8‘
100
" 90
10
Примеры. 1) I I 2
10 0,5
~10_
<Г
2)
3 | 4
30 0,75
28
~20
20
0
Данная обыкновенная дробь У> обратилась в десятичную 0,5; а 3/, -®
0,75. Таким же образом вы сумеете найти, в какие десятичные дроби обр®'
щаются следующие обыкновенные.
1 > - ■
it - 1 .
Hi 15:
1/8;
*/lei 11 /ж25 И 6?/i26
8С
■ з / . з з
/Б) / 49 /
lb, 5/ie; 4/6; 11 he, 7/s; 3/а5; 8/las; м/1в; »/,
269
6/l2J;
Проделайте то же самое и с остальными примерами. Накапчивается лп
[елише в каждом из решенных вами примеров?
Смотрите: в полученных десятичных дробях повторяются одни и те же
щфры- в одном и том же порядке.
Такие дроби называются бесконечными десятичными дробями.
В отих случаях, когда обращение обыкновенной дроби в десятичную
'.ает бесконечную, приходится выражать значение данной дтюби с указанной
< гепенью точности, с указанным приближением. Результат обыкновенно
[округляют в сотых долях, точность берут до' сотых долей.
Смущаться этим не следует. Всякие измерения, производимые даже
чри помощи самых точных, инструментов всегда дают результаты по точные,
приближенные.
Значит, когда при обращении обыкновенной дроби в десятичную деление
не заканчивается, то следует брать приближенное значение с указанной
'очпостыо.
Гак например дробь г/3 при обращении в десятичную дробь даст 0,066..,
: дробь 1 /3 дает 0,333...
Возьмем ответы с точностью до 0,1. Тогда первую дробь придется на¬
висать 0,7 и вторую 0,3. Обратить внимание на первый отбрасываемый
•итак: больше он или меньше 5.
Коли возьмем ответы с точностью до 0,01, то первую дробь придется
■‘^писать 0,67 и вторую 0,33.
Заметить. Когда первый отбрасываемый знак больше о, то
последний оставшийся знак берется на единицу больше.
376. Гораздо резке приходится обращать десятичную дробь в шыкио-
*'"Иную. Делается же это весьма просто; выписывают данную десятичную
^'°бь, опуская в ней запятую, в виде числителя, а знаменателем пишут 1
1 столькими нулями, сколько в данной десятичной дроби имеется цифр
lf'п '!:шят°п- Потом, если возможно, полученную дробь сокращают.
Примеры; 0,4=410=4*; 0,36=“/ieo=B'/»; 2 j25=2гБ/100—2х/4.
81,
376. Обратите следующие десятичные дроби в обыкновенные:
0,5
0.15
0,375
2,4
4.25
2,475
9.7
21.75
2,(58
0,3
0,12
0,565
•3,1
6,18
5,525
7,9
53,57
3,82
0,8
0,28
0,725
4,6
5,24
4,675
8,3
64,52
4,32
0,9
0.35
0,625
8,7
4,45
5,225
3,8
25,48
5Д4
0;2
0,5(3
0.175
7,5
3,68
6,325
4,6
13,84
1,44
Как
проверить
правильность
выполненной вамп работы? Заметьте, ч
если в условие задачи входят одновременно и простые н десятичные дроС
то для производства вычислений все. дроби приводятся к одинаковому вид
обыкновенно к десятичным дробям.
Однако бывают иногда и такие случаи, когда выгоднее простые дроб
377. Если нужно разделить 7,5 на 2/3, то удобнее писать:
15/г : г/з=15/г ■ 3/а=45/4= iI1 /5411чем делить 7,5 на 0,666...
Окончательный результат действия обыкновенно выражается десяти
ной дробью.
41/3-2,2= 1,125 fl®/4= 2»/4+1,5= 0,24+1/,=
ЗУ. . 0,25= 3/4—0,125= 2.75—1'/,= 0,35+г/5=
1\/8 : 0,75= 1«/»+8/. : 0,25= 14/6+0,2= 0,4-»/,=
0,725+® 5=
l4/i5+n,»=' 3,75+2'.= 0/32-1 8= С,75-®/8=
Выражение одного числа в процентах другого числа
378. Яровой клин в колхозных полях равен 8,652 га. Во время проп
лочной кампании очищено от сорняков 7 538 га, а остальное количеств
гектаров в яровом клине осталось непрополотым. Как велик прополот!
клин в процентах ко всему яровому клпну?
Посмотрите, как этот вопрос разрешается.
Если бы был прополот весь яровой клин, то мы имели бы следующее:
8 652 га = 100%.
Если бы из всего ярового клина был прополот только 1 га, то мы име.1
бы следующее:
Л гя — 100 ! О/
' /8052 О-
А так как прополото всего 7 538 га. то мы имеем:
Правило 1. Чтобы выразить одно число в долях другого числа, иуя-Я
первое число делить на второе с указанной степенью точности.
2. Чтобы выразить одно число (7 538 га) в процентах другого чисЯ*
(8 652 га), нужно первое число помножить на 100 и полученное нроизведс
ние разделить на второе число.
379. Даны пары чисел. Каждое первое число выразить в процента'
второго числа.
18
к
15
168
и
437
246
и
559
2 968
и
8 372
1 563
п
7 285
2
и
S
9
и
12
196
и
739
462
и
955
3 512
п
9 329
2 349
п
6 584
4
и
7
24
и
38
213
II
397
326
II
754
4 364
к
9 875
.3 492
и
8 516
0
п
Г)
41
и
55
123
II
568
265
II
574
4 146
п
7 328
4 529
и
5 168
5
и
8
34
и
79
321
II
865
385
II
791
3 265
к
5 287
3 921
и
4 658
3
и
5
А как выравить каждое второе число в процентах первого?
82
3S0. В 50 кг сплава заключается 15 кг цинка, 33 кг меди и 2 кг олова.
1рсб>етсп определить процентное содержание всех этих частей сплава.
381. 2 краевой с‘еэд профсоюзов Средиеволжского края отмечает значи¬
тельный рост нового жилстроительства по краю: в 1929 г.—119,8 тыс. кв. м,
Р 1930 г.—191,2 тыс. кв. м. в 1931 г.—234 тыс. кв. ч н запроектировано
на 1932 г.—288 тыс. *кв. м. Выразить эти числа в процентах, приняв жил¬
строительство 1929 г. за 109%.
382. Для поднятия груза при помощи домкрата надо затратить 130 кг,
а па практике оказывается, что для этого в действительности надо при ложить
тсилие в 150 кг. Определить козфнциент полезного действия домкрата.
" Разность 150—130=20 кг показывает, что 20 кг затрачиваемой работы
идут на преодоление вредных сопротивлений в самом домкрате, не производя
фактической работы, требуемой от домкрата, т. е. не производя поднятия
груза.
Дробь 130/130—13/15, показывающая, какая часть затраченной работы,
идет на производство действительно полезной работы, называется коэфи-
циентом полезного действия домкрата. Он обычно выражается в процентах.
3S3. Если по теоретическому подсчету работа паровой машины равна
40,5 лошадиной силы, а в действительности опа оказывается равной 34,7
лошадиной силы, то каков будет козфнциент полезного действия этой ма¬
шины?
381. Если для нагревания кастрюли с водой при помощи примуса нужно
затратить но расчету 15 г керосину, а на практике оказывается, что на это
идет 35 г, то каков козфнциент полезного действия примуса?
385. По теоретическому подсчету количество угля, необходимого для
кипячения самовара, составляет 208 г, между тем на практике для этого
требуется 445 г. Определить коэфнциент полезного действия самовара.
386. Паровая лебедка, служащая для под4ема тяжестей, должна потреб¬
лять по подсчету 124/s лош. силы. В действительности же она требует 171/.,
,шш. силы. Определить коэфициент полезного действия лебедки.
38i. При испытании станков в мастерской нашли, что большой токарный
1 танок употребляет 8ь/4 лош. силы.
Малый токарный станок употребляет 3.7 лош. силы.
Строгальный станок употребляет 54/5 лош. силы.
Фрезерный станок употребляет 42/3 лош. силы.
Мотор, приводивший все эти станки в движение, давал 25,3 лошадиной
силы, причем весь излишек тратился на передачу силы (трансмиссия), как
например 1Л1а трение валов в подшипниках, жесткость ремней, скольжение
их по шкивам и пр. Определить коэфициент полезного действия механических
остановок этой мастерской.
38S. Бригада из 6 человек по уходу за коровами в колхозе «Маяк», рабо-
Тап на сдельщине, вырабатывает в день 8 р. 40 к., тогда как раньше подеп-
Н|> все эти 0 человек получали по 90 коп. в день.
На сколько процентов больше получает в целом эта бригада но сравнению
с тем, что получали члены ее все вместе до перехода на сдельщину?
389. В колхозе «Сеятель» бригада из 5 человек по уходу за животными
Сработала в месяц 230 руб. и кроме того получила премиальных за хороший
'ХпД 50 руб.
Пакоп процент составили зти премиальные к месячному заработку бри-
1чМы?
Сколько получил каждый пз ч юпов этой бригады, если соотношения
За£)11сндюстп от квалификации были следующие:
63
Никптин 1,5
Говоров 1.25
Калугин 1,25
Гаврилов 1,0
Васильев . 0,75
390. На 1/января 1932 г. в рядах краевой парторганизации насчитывало^
рабочих о производства членов партии—16 600 чел. и кандидатов—20 in,
чел.; колхозников членов партии—800 чел. и кандидатов—2 200 чел. Ц,
1 апреля число членов партии и кандидатов из рабочих с производства д0.
стигло 40 тыс. чел., из колхозников—34 тыс. чел. Выразите в процента)
рост парторганизации края по отдельным сектора^! за указанный период.
391. 2 краевой с‘езд профсоюзов отмечает, что первый вариант пятилет
ки края уже в 1931 г. выполнен на 82%, а в 1932 г. по уровню валовой при.
дукции будет перевыполнен на 21%, что составит 685 млн. руб. Определи^
первоначальную наметку плана на 4932 г. и выполнение плана в 1931 г. j
миллионах рублей,
392. Государственные хлебозаготовки по совхозам в 1931 г. выражали*!
в 17,28 млн. В связи с ростом совхозов план хлебозаготовок в 1932 г. сс
ответственно увеличен и по отдельным системам выражается в следующш
числах: по Зернотресту—17,6 млн. ц, Союзсахару—3,2 млн. ц, Семеновод,
тресту—1,6 млн.ц, Промсовхозтресту—0,8 млн.ц, Животноводтресту—0%
млн. ц и прочие об1 единения—0,48 млн ц. На сколько процентов увеличи¬
лись хлебозаготовки в 1932 г. против 1931 г. по системе совхозов?
393. В связи с ростом социалистического сельского хозяйства и развер
ты-вания колхозной торговли план государственных хлебозаготовок на 1952 г.
по колхозам и единоличному сектору уменьшен на 42,24 млн. ц, причем эн
уменьшение составляет 19% против 1931 г. Сколько зерна заготовлено Гыл»
по колхозам и единоличным хозяйствам в 1931 г?
394. По Средней Волге план хлебозаготовок по колхозам и единоличии
хозяйствам на 1932 г. выражается числом 11,52 млп. ц против 16,96 млн.
в 1931' г. На сколько процентов уменьшен план хлебозаготовок в 1932 г. г
Средневолжскому краю?
395. План скотозаготовок в совхозах па 1932 г. распределен по систем^
следующим образом: Свиновод—48 тьтс т живого веса. Скотовод—30 тыс.'
Овцевод—33 тыс. т, Союзсахар—8 тыс. т, Маслооб*единение—10 тыс. т*
прочие совхозы—9 тыс. т. В 1931 г. было сдано совхозами—90 тыс. т живо:
веса. На сколько процентов увеличен план скотозаготовок по совхозам '
1932 г?
Работы на местности
390. Лес, луга и пашня занимают участок земли в виде параллелогра>
АБВГ (См. рис. 22), у которого между длинными сторонами расслоят'
равно 1 км (высота). Границей между лугом и лесом служит линия СД.
границей между лугом и павшей служит лпния ЕЖ. параллельная В Г.
Линия АД=2 км, ДЖ=0,6 км и ЖГ=0,4 км.
Сколько гектаров занимает лес АБД, луг ДБЕЖ и пашня ЖЕВГ?
Снимите план такого участка.
397. Поле имеет вид шестиугольника АБВГДЕ (См. рис. 23) и рал1'1
на 4 треугольника, которые имеют следующие размеры: АВ—320 м, AI
400 м, АД=300 м.ВК=100 м, ВЛ=120 м, ДМ=160 м и ЕН=180 м.
Сколько гектаров занимает это поле?
Какой процент всего ноля составляет плеща ль кажд го трсую ■
84
г
398. Снимите план такого участка при помощи эккера, начертите этот
план, определите его площадь и сравните площадь каждого треугольника
со всей площадью участка, выражая это сравнение отношением в процентах.
Для измерения площади огорода ЛБВГД проведена линия ЛГ и пер¬
пендикулярно к ней липни БК, 13.1 и ДМ.
•л
&
Г
ch.
В.:г 4.
£5
ГТрп измерении лилий оказалось: ЛК=40 м,КЛ—20 м, ЛГ-=80 м, СК=
50 м, ВЛ=90 м и ДМ=100 м. Сколько гектаров занимает этот огород:'
Так, как показано на рис. 24, снимите план небольшого полевого участка
при помощи эккера.
399. Колхоз хочет засеять треугольный участок земли двумя культура¬
ми: рожью и озимой пшеницей. Основание треугольника 1,5 км. Всю пло¬
щадь треугольника нужно разделить на две части, чтобы одна была больше
другой в 1,5 раза, й большую часть засеять рожью.
Деление надо сделать прямой линией, проходящей через вершину тре¬
угольника. Какую точку основания надо соединить с вершиной, т. с. на
каком расстоянии находится эта точка от концов основания?
Сколько гектаров будет занято рожью и пшеницей, если высота треуголь¬
ника равна 1.2 км?
100. Снимите план местности, имеющей неправильную фигуру, отме¬
ченную на прилагаемом рис. 25.
3“
1: юооо
Рис. 25.
Определите площадь всего зтого участка.
Указание. Нужно вычислить площадь следующих трех фигур:
1) квадрата ЛВВЗ;
2) паралделограма ВГЖЗ с основанием ВЗ и высотою ЗК:
3) параллелограма ГДКЖ с основанием ГЖ и высотою ЕК.
После этого можно определить площадь всей сложной фигуры.
401. Снимите план местности, имеющей форму многоугольника, при
помощи только одной мерной цепи (См. рис. 26).
Как начертить план этого участка? Как определить его площадь?
402. Измерьте высоту дерева по отбрасываемой им тени. Дерево отбра¬
сывает тень длиною в 12,8 м. В то же самое время кол, длиною в 1,5 м, отбра¬
сывает тень в 3,2 м. (См. рис. 27).
Почему дерево отбрасывает большую тень, чем отбрасывает кол? Дерево
выше кола во столько же раз. во сколько тень, отбрасываемая деревом боль¬
ше тени, отбрасываемой колом.
ьь *
403. Освещенная солнцем стена отбрасывает тень, длина которой 20,5 м.
Отвесный кол, высота которого равна 1,0 м, в то же самое время отбрасывает
тень длиною 2,1 м. Определите высоту стены.
cfo
404. Нанесена на план местность(глазомерной с‘емкой), по которой про¬
легает шоссе, пересекающееся в точках а и в. С‘емка начата из точки а.
Условные знаки
ШИ село
3 колхозноест роение
□ BPRI"
РОЩВ
ПР.ОСЕЛСЖ
ЫЧЕЙ И МОСТ
Рис. 29.
По nj лу примеру сделайте с‘емку в своей местности, избрав сначала
небольшой участок и научившись ориентироваться в нем. Затем принимай¬
тесь ориентироваться наглаз в более сложны* участках.
Затем нужно учиться глазомерной с‘емке?
Л
4
88
I