Текст
Н. А. СЕМЕНОВ
ТЕХНИЧЕСКАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Допущено Министерством связи СССР
в качестве учебного пособия для электро-
электротехнических институтов связи
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СВЯЗЬ*
МОСКВА 197S
6Ф1
сзо
УДК 538.3@75.8)
Семенов Н. А.
СЗО Техническая электродинамика. Учебное
пособие для вузов. М., «Связь», 1973.
480 с. с ил.
На основе уравнений Максвелла рассмотрены волны
в диэлектриках н проводниках, энергетические соотноше-
соотношения, стационарные поля, явления на границе сред, излу-
излучение н дифракция электромагнитных волн. Дана теория
исправляемых волн, лнний, волноводов, замедляющих ,
систем и объемных резонаторов. Рассмотрены волновод-
иые узлы и элементы, согласующие устройства, пере-
переходы, частотные фильтры и другие устройства.
Книга предназначена для студентов вузов связи, ра-
радиотехнических вузов н факультетов.
0342—49
045@1)—73
-25-73
6Ф1
Рецензенты: |Г. 3. Айзенберг, В. И. Вольман,
Г. А. Ерохи'Н, О. И. Фальковский, И. Г. (Кляцкин.
© Издательство «Связь», 1973 г.
Николай Александрович Семенов
ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Отв. редактор А. А. Семенов
Редактор Я. К. Логинова
Художник С. Н. Голубев
Техн. редактор Е. Р. Ротермель, Л. А. Горшкова
Корректор Г. Г. Лев
Сдано в набор 29/ХП 1972 г. Подписано в печ. 13/IV 1973 г.
Форм. бум. 60Х90/ц 30,0 печ. л. 30,0 усл.-п. л.
Г-05285 31,22 уч. изд. л. Тираж 27 000 экз. Зак. изд. 13053
Бумага кннж.-журнальная Цеиа 1 руб. 33 коп.
Издательство «Связь», Москва-центр, Чистопрудный
бульвар, 2.
Типография издательства «Связь» Государственного
комитета Совета Министров СССР по делай издательств,
полиграфии и книжной торговли.
Москва-центр, ул. Кирова, 40. Зак. тип. 2
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие j>
Список основных обозначений • • »
Введение 10
I. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Глава 1.
Электромагнитное поле
1.1. Векторы электромагнитного поля 15
1.2. Макроскопическая электродинамика 20
1.3. Свойства электромагнитного поля 21
1.4. Материальные уравнения 23
Глава 2.
Уравнения Максвелла
2.1. Аксиомы электродинамики 28
2.2. Поток электрического смещения. Обобщенная теорема Гаусса . . 29
$.3. Циркуляция магнитного подя. Обобщенный закон Ампера .... 31
5.4. Электромагнитная индукция. Закон Фарадея 34
$J5. Соленоидальность поля магнитной индукции 35
5.6. Сторонние силы 36
2.7. Основные уравнения электромагнитного поля 37
2.8. Граничные условия 39
Глава 3.
"Основные (свойства монохроматического лоля
$.1. Векторные величины в комплексной, форме ...... . . 45
3.2. Комплексные проницаемости 46
3.3. Система уравнений монохроматического поля 49
3.4. Однородные волновые уравнения для векторов Е и Н 50
3.5. Плоские волны в неограниченных средах 52
3.6. Волны в диэлектрике 56
3.7. Волны в проводнике 57
3.8. Виды поляризации волн 60
Глава 4.
Энергия электромагнитного поля. Теорема единственности
4.1. Закон сохранения электромагнитной энергии 64
4.Й. Мощности потерь и сторонних сил 66
.^.3. Теорема Пойнтинга. Скорость волны 67
зМ. Баланс энергии монохроматического поля 69
|€:5. Энергетические характеристики плоской однородной волны . . . 74
|t6. Теорема единственности 75
?лава 5.
"Стационарные лоля
5.1. Система уравнений стационарного поля 79
5J2. Электростатическое поле - [ 79
&3. Задачи электростатики '.'.'. 84
5.4. Поле постоянных токов '...'. 89
&5. Постоянное электромагнитное поле \ 90
3
Глава 6.
Водны у границы раздела сред
6Л. Отражение н преломление плоских воли иа плоской границе раздела
R2. Формулы Френеля
6Д. Отражение и преломление воли на границе идеальных диэлектриков
6.4. Граничное условие Леонтовича
6.5. Скин-эффект у плоской границы проводника .......
6.6. Скии-эффект в круглом цилиндрическом проводе
6.7. Метод ориентированных графов. Прохождение волиы через пластину
6.8. Электромагнитный экран
Глава 7.
Излучение и дифракции электромагнитных волн
7.1. Электродинамические потенциалы
7.2. Элементарный электрический излучатель
7.3. Принцип перестановочной двойственности
7.4. Элементарный магнитный излучатель
7.5. Принцип эквнвалентиостн источников
7.6. Дифракция электромагнитных волн
7.7. Лемма Лоренца. Теоремы взаимности
И. ВОЛНОВОДЫ И РЕЗОНАТОРЫ
Глава 8.
Направляемые электромагнитные волиы
8.1. Основные определения
8.2. Волновые уравнения для направляемых волн
8.3. Связь между продольными и поперечными составляющими поля .
8.4. Классификация направляемых волн
8.5. Парциальные волиы в волноводах . .
8.6. Скорости волны. Дисперсия. Мощность
8.7. Закон парциальных мощностей
8.8. Коэффициент затухания
8.9. Нормированные волны. Линия с нагрузкой. Шумовая температура линии
Глава 9.
Полые металлические волноводы
9.1. Параметры волн в полых волноводах
9.2. Волноводы прямоугольного сечения .
9.3. Волноводы с нерегулярностями. Предельная мощность .
йЛ. Волноводы П- и Н-образного сечения
9.5. Волноводы кругового сечения
9.6. Эллиптические волноводы
9.7. Применение полых металлических волноводов .
9.8. Возбуждение волноводов
9.9. Запредельные волноводы . .
Глава 10.
Линии с ТЕМ-волнамич
10.1. Теория идеальной линии '.
10.2. Линив с потеримн
10.3. Коаксиальные линии
10.4. Симметричные линии
10.5. Линии над землей ' .
10.6. Полосковые линии
Глава 11.
Объемные резонаторы
11.1. Основные свойства н параметры
JL2. Квазнстацноиарьше резонаторы
4
98
100
103
105
107
109
113
117
123
126
132
134
136
139
150
153
155
156
158
162
167
172
174
178
187
189
202
205
206
215
216
220
224
229
232
236
244
249
251
255
259
11.3. Резонаторы со стоячей волной 262
11.4. Волноводиые резонаторы 266
11.5. Кольцевые резонаторы 270
11.6. Открытые резонаторы 271
11.7. Собственная добротность разонаторов . 274
11.8. Возбуждение резонаторов - 278
11.9. Внешние характеристики резонаторов . , 281
Глава 12.
Волноводы поверхностной волны и замедлиющие системы
12.1. Основные свойства и характеристики 289
12j2. Круглый диэлектрический волновод 292
12.3. Линия поверхностной волны 303
12.4. Волна Зоммерфельда .... 309
12.5. Плоская импедансная поверхность 310
12.6. Гофрированный стержень 314
12.7. Диафрагмированный волновод 315
12.8. Спиральный волновод 318
12.9. Возбуждение волноводов поверхностной волны 321
111. ВОЛНОВОДНЫЕ УЗЛЫ И ЭЛЕМЕНТЫ
Глава 13.
Элементы волиоводного тракта
13.1. Основные понятия 324
13.2. Метод возмущений 325
13.3. Элементы коаксиальной линии 328
13.4. Сочленения и изгибы волноводов 330
|3.5. Реактивные элементы 334
13.6. Неотражающие устройства 340
13.7. Фильтры типов волн . 345
13.8. Отверстия связи , 347
Глава 14.
Волновые матрицы. Двухплечие узлы
14.1. Матричный анализ волновбдных узлов 352
14.2. Операции с матрицами 355
14.3. Свойства волноводных узлов и матриц рассеяния 357
14.4. Согласование линий и узлов . ¦ 361
14.5. Широкополосные ступенчатые переходы 369
14.6. Плавные переходы 376
14.7. Переходы между волноводами и линиями разных типов .... 380
14.8. Частотные фильтры 385
Глава 15.
Многоплечие узлы
15.1. Трехплечие соединения. Симметрирующие устройства 402
15.2. Четырехплечие соединения. Направленные ответвители .... 408
15:3. Направленные фильтры 429
|5.4. Управление свч сигналами 433
Щлава 16.
Полноводные устройства с ферритами
ШЛ. Свойства свч ферритов 439
16.2. Распространение воли в гнротропной среде 446
16.3. Узлы с ферритом ! . ! '. 456
№.4. Устройства, использующие эффект Фарадея 460
16.5. Узлы с поперечио-иамагнйчеиным ферритом ' \ 463
|6-6. Устройства со смещением поля ' 470
16<7. F-циркуляторы . 'т \ 473
Список литературы !!" 477
ЗПредметиый указатель •••.'.'.'.'. 478
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга написана в соответствии с действующей программой
курса «Техническая электродинамика» для институтов связи
(спец. 0702, 0703, 0708). Тот же программный материал изу-
изучается студентами по специальности «Радиотехника» @701).
Книга может быть полезной также специалистам, занятым в
области технических приложений электродинамики.
Исходными при изучении электродинамики являются урав-
уравнения Макшелла, которые завершают раздел электромагне-
электромагнетизма в курсе физики. Предполагается знакомство читателя
с 'векторным анализом, цилиндрическими функциями, теорией"
линейных электрических цепей.
Первая часть книги «Теория электромагнитного поля»
шочти целикам состоит из материала, ставшего классическим
в образовании инженеров и физиков. После введения основ-
основных понятий макроскопической теории поля рассмотрены вол-
волны в диэлектриках и проводниках, энергетические соотноше-
соотношения, стационарные поля, явления на границе раздела сред, из-
излучение и дифракция электромагнитных волн. Определенный
акцент сделан на те вопросы, которые наиболее существенны
для современных технических приложений. Дано понятие о
методе ориентированных графов.
Вторая часть «Волноводы и резонаторы» посвящена теории
направляемых волн, полых металлических волноводов, линий
с ТЕМ волнами, 'Волноводов поверхностной волны и замедляю-
замедляющих систем, объемных резонаторов, включая открытые резона-
резонаторы оптического диапазона. Развивается инженерный подход
к расчету этих устройств. В какой-то мере этот (материал
является необходимым практикумом по применению изложен-
изложенных в перйой части методов.
Содержание третьей части «Волноводные узлы и элемен-
элементы» определяется, прежде всего, современным состоянием
техники свч. Рассмотрены методы согласования линий и
узлов, широкополосные 'Ступенчатые.и плавные переходы, ча-
частотные фильтры, направленные ответвители и мосты, невзаим-
ные и управляющие устройства, фазовращатели, поляризато-
поляризаторы и другие элементы. Используется обобщенное описание
свойств волноводяых узлов волновыми матрицами рассеяния.
При расчете отдельных элементов применен метод возмуще-
возмущений.
Для усвоения курса необходима активная работа читате-
читателя. Следует делать как можно больше рисунков, поясняющих
графически оановные формулировки и математические соотно-
соотношения. Нужно также.решать много задач, уделяя им не мень-
меньше времени, чем изучению теории. Началом этой работы
является разбор и решение задач, приведенных в каждой гла-
главе. Эти рекомендации особенно важны для студентов заочно-
заочного обучения.
В заключение приношу искреннюю и глубокую благодар-
благодарность всем, кто мне помог в работе над рукописью, чьи советы
и замечания способствовали ее улучшению: Г. 3. Айзенбергу,
И. Г. Кляцкину, И. С. Ковалеву, В. |Г. Волкову, В. И. ;Воль-
ману, Г. А. Ерохину, О. И. Фальковскому, Г. А. Черенкову,
товарищам по кафедре и исследовательской лаборатории
ТЭА ВЗЭИС. Особую признательность выражаю А. А. Семе-
Семенову за большой труд по редактированию рукописи.
Пожелания и замечания по книге просьба направлять в
издательство «Связь» (Москва-центр, Чистопрудный бульвар,
д. 2).
Автор
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
А; ;/
А
В
В
С
с
D
Е
е
F
G,g
Н
/, i
i
J
Jh
k-
ko-
//)
L
ui
M
n
P
P
Рэ
Рэ
PQ
S
Shm
T
Тш
T, t
V, и
u, u3
v
— нормированная комплексная функция ослабления, дБ
— векторный ((электродинамический) потенциал, Т-м
— магнитная индукция, Т
— реактивная электрическая проводимость, См
— электрическая емкость, Ф
299,79 Мм/с — скорость овета
— электрическое смещение, Кл/м2
— напряженность электрического поля, В/м
— координатный орт
— сила, Н
— частота, Гц
— активная электрическая проводимость, См
— напряженность магнитного поля, А/м
— сила электрического тока, А
= У —Л — мнимая единица
— плотность электрического тока, А/м2
— плотность поверхностного электрического тока, А/м
— плотность магнитного тока, В/м2
— коэффициент распространения волны в среде, 1/м
{il/м]; к ? =8,686ка [дБ/м] — коэффициенты затухания
волны в среде
коэффициент фазы волны в среде, 1/м или рад/м
коэффициент фазы волны в идеальном диэлектрике, Л/м
коэффициент фазы волны в вакууме (волновое число)
электрическая восприимнивость, Ф/м
магнитная восприимчивость
коэффициенты бегущей и стоячей волны
коэффициент шероховатости поверхности металлических
стенок
волноводный коэффициент
электродвижущая сила, В
собственная индуктивность, Г
длина, м
взаимная индуктивность, Г
намагниченность, А/м
нормаль к поверхности
мощность, Вт
объемная плотность мощности, Вт/м3
поляризованностъ, Кл/м2
¦ электрический дипольный момент, Кл-м
магнитный момент электрического тока, А-м2
электрический заряд, Кл; добротность резонатора
активное электрическое сопротивление, Ом
площадь, мг
элемент матрицы рассеяния
коэффициент прохождения
температура шумов, К
период колебания, время, с
электрическое напряжение, В; нормированная амплитуда
волны
групповая скорость, энергетическая скорость, м/с
фазовая скорость, м/с
vEA — скорость распространения электромагнитной волны в
безграничном диэлектрике с проницаемостями е и ц
V — объем, м3
Vp. VM — электрическая и магнитная поляризуемость отверстия, м3
W — энергия, Дж
w —объемная плотность энергии, Дж/м3
Ха — реактивяое электрическое сопротивление, Ом
Y=G + \B —-.комплексная электрическая проводимость, См
Z=R-\-\X—комплексное электрическое сопротивление, Ом
ZB — волновое сопротивление, Ом
Zbo= 376,73«120я Ом — волновое сопротивление вакуума
Zc —характеристическое .'(иолновое) сопротивление линии, Ом
а [1/м]; а0 =8Д586а['дБ/.м]—коэффициенты затухания волны в направ-
направляющей системе
R —коэффициент фазы 'волны ib направляющей системе, |1/,м
Y=a+ij3—коэффициент распространения волны в направляющей
системе, 1/м
Ym = 35,2 МГц/(иА/|М) — гиромагнитное отношение
Г=|Г|е' — коэффициент отражения
А — толщина скин-слоя, м
tg 6 — тангенс угла потерь
е — относительная диэлектрическая проницаемость
ъа — абсолютная диэлектрическая проницаемость, Ф/м
ео= 8,8542 пФ/м=|1/(Збя) нф/м — электрическая постоянная
С — поперечный волновой коэффициент поверхностной вол-
волны, Л/м
т) — поперечный коэффициент в волноводе по оси у, 1/м
А — длина волны в волноводе, направляющей системе, м
X — длина волны в среде, м
ц —относительная магнитная проницаемость
Ца — абсолютная магнитная проницаемость, Г/м
М.о = 1,|2б66=0,4я мкГ/м — магнитная постоянная
v — относительная расстройка
\—поперечный коэффициент в волноводе по оси х, 1/м;
нормированная частота
П —вектор Пойнтинга, плотность потока электромагнитной
энергии, Вт/м2
П—частотная полоса пропускания (согласования), Гц
р — объемная плотность электрического заряда, Кл/м3
а — удельная электрическая проводимость, См/м
Ста — поверхностная плотность электрического заряда, Кл/м2
т — линейная плотность электрического заряда, Кл/м
Ф — магнитный поток, Вб
ф — электрический потенциал, В
X — поперечный коэффициент стоячей волны в волноводе. 1/м
ВВЕДЕНИЕ
Содержание курса. В современной радиотехнике и связи ши-
широкое применение находят электромагнитные волновые процессы
и разнообразные устройства, в которых эти процессы играют суще-
. ственную роль: (передающие линии и волноводы, излучатели и
приемные антенны, объемные резонаторы и фильтры, невзаимные
устройства с ферритами, элементы быстродействующих вычисли-
вычислительных машин ,и коммутационных устройств, работающих в санти-
сантиметровом или оптическом диапазоне. Их работа основана на зако-
закономерностях теории электромагнитного толя.
Курс технической электродинамики \включает изучение теории
электромагнитных процессов .и техники электродинамических
устройств. Он охватывает широкую область электромагнитных явле-
явлений: от распространения волн в космических или околоземных про-
пространствах до процессов в (миниатюрных устройствах -сантиметрово-
-сантиметрового и миллиметрового диапазонов. В настоящее время немыслим ква-
квалифицированный специалист по радиотехнике и связи, не обладаю-
обладающий определенным запасом сведений по технической электродина-
электродинамике. Без этих сведений невозможно даже общее рассмотрение
многих современных технических устройств и проблем развития
техники.
Создание электростатики и магнитостатики.
Некоторые сведения об электрических и магнитных силах были
известны еще древним грекам. Наблюдалось два удивительных
явления: кусочки папируса прилипали к натертому куску янтаря;
железные предметы притягивались к камням, найденным близ го-
города Магнезия. Уже до нашей эры китайскими путешественниками
было найдено /полезное применение свойству магнита указывать
направление на север.
Объяюнения обнаруженных явлений вплоть до XVIII в. были да-
далеки от 'истины: считалась, что магнитные и электрические силы
вызываются истечениями особой невесомой магнитной или электри-
электрической материи. В течение веков даже не подозревали о взаимной
связи между электрическими и магнитными явлениями.
Основные закономерности электричества и магнетизма были
найдены в конце XVIII и в начале XIX веков. Эпоха возрождения
10
принесла признание экспериментальному методу «познания природы
и количественному описанию ее закономерностей. По аналогии с
законом всемирного тяготения Ньютона Ш. О. Кулон установил в
1785—1788 гг. первые количественные законы взаимодействия
электрических зарядов и магнитных полюсов, что позволило соз-
создать электростатику и магнитостатику на основе уже разработан-
разработанной для небесной механики теории потенциала.
Доминирующей точкой зрения стало представление о дистан-
дистанционном силовом действии: электрические (или магнитные) заряды
взаимодействуют мгновенно и на расстоянии. Предполагалась, что
если явления 'Происходят 'в вакууме, то среда (пространство между
зарядами) не играет никакой роли в передаче силовых воздействий;
даже если пространство заполнено жидкостью либо твердым телом,
влияние среды второстепенно.
Уст а но в л ени е связи между магнитными «элект-
«электрическими явлениями. В 1820 г. Г. Эр1стед обнаружил влия-
влияние электрического тока на магнитную стрелку. А. М. Ампер изу-
изучил это явление и обосновал новую точку зрения, согласно которой
магнитным действием обладают только движущиеся электрические
заряды; им же были установлены количественные 'связи магнитного
поля с электрическим током. Так были заложены основы новой на-
науки, рассматривающей взаимодействие электричества и магнетиз-
магнетизма. Ампер назвал ее электродинамикой.
Широкий круг экспериментальных исследований провел в пер-
. вой половине XIX в. М. Фарадей. Им было установлено, что любое
изменение магнитного потока через виток провода, независимо от
причины этого изменения, вызывает в витке электродвижущую си-
силу. Открытие Фарадеем этого закона электромагнитной индукции
завершило существенный этан в изучении взаимных превращений
электричества и магнетизма и явилось важнейшим шагом к позна-
познанию электромагнитных волновых (процессов. ¦
Фарадей ввел основные понятия электромагнитного поля, опи-
опираясь на концепцию электрических и магнитных силовых линий,
пронизывающих все пространство. Он показал, 'что сила электри-
электрических и магнитных взаимодействий зависит от свойств среды. Им
введено понятие диэлектрической (проницаемости, открыты явления
парамагнетизма и диамагнетизма. При отсутствии вещества, по
воззрениям Фарадея, взаимодействия передаются через эфир —
угоругую, всепроникающую, невесомую субстанцию. Эта точка зре-
зрения привела Фарадея к мысли о конечном времени передачи элект-
электромагнитных взаимодействий и колебательном, волновом характере
распространения электрических и магнитных процессов, аналогич-
аналогичных волнам на воде или звуковым колебаниям воздуха.
Создание теории электромагнитного поля. В
одной из первых своих работ «О фарадеевых силовых линиях»
Д. К. Максвеллу удалось выразить картину силовых линий в более
строгой математической форме. IB 1864 г. Максвелл впервые опуб-
опубликовал полную систему уравнений электромагнитного поля, кото-
11
рые объединили в лаконичной форме известные ранее соотношения.
Максвелл .впервые обнаружил внутреннее противоречие в установ-
установленных до него законах электромагнетизма —не выполнялся закон
сохранения заряда. Введя в уравнение, полученное Ампером, Допол-
Дополнительное слагаемое, Максвелл устранил это противоречие. Обоб-
Обобщенное таким образом уравнение устанавливало, что причиной воз-
возникновения магнитного поля может служить не только ток проводи-
проводимости, но и изменение электрического поля, вызывающее так назы-
называемый ток смещения. Эта небольшая, на первый взгляд, поправка,
полученная чисто теоретическим путем, позволила описать новый
класс явлений — электромагнитные волны, представляющие собой
переменное электромагнитное поле, распространяющееся со ско-
скоростью света. Заключив отсюда, что свет — тоже электромагаит-
ный процесс, Максвелл построил электромагнитную теорию света.
Современники Максвелла принимали его теорию очень неохотно;
здесь сыграли роль и ее новизна, и сложное истолкование самим
автором своих идей с помощью упругих натяжений в механической
модели эфира, и отсутствие в то время экспериментального под-
подтверждения теоретических выводов.
Теперь мы можем оценить значение сделанного Максвеллом
открытия, которое считается одним из самых выдающихся событий
в физике XIX в.
Экспериментальное подтверждение теории.
Знаменитые опыты Г. Герца, проведенные в 1886—1888 гг. с несом-
несомненностью подтвердили существование электромапнитных волн и их
аналогию со световыми лучами. Несколько его работ, завершивших-
завершившихся сочинением «Об основных уравнениях электродинамики покоя-
покоящихся сред», представили всю совокупность электромагнитных
явлений как следствие уравнений Максвелла.
Изумительные по тонкости опыты (русского физика П. Н. Лебеде-
Лебедева A900 г.) позволили обнаружить и измерить световое давление,
существование и величина которого также были предсказаны Мак-
Максвеллом. Таким образом, Лебедев впервые установил наличие у
электромагнитного поля инертной массы.
Изобретение радио. Наш соотечественник А. С. Попов
блестяще завершил все перечисленные теоретические открытия и
физические эксперименты, сделав решающий шаг, отделяющий фи-
физику от ее технических приложений. Он практически осуществил
систему радиосвязи для нужд морского флота. Весной 1895 г. он
провел серию опытов в полевых условиях и добился дальности
передачи 30—40 сажен F0—80 м). В этих экспериментах имелись
все известные нам элементы линии радиосвязи: передатчик, ан-
антенны, приемник. Первая публичная демонстрация Поповым*,
изобретенной им системы во время доклада в Русском физико-
химическом обществе 7 мая 1895 г. считается днем изобретения
радио.
Электродинамика XX века. В конце XIX в. были обна-
обнаружены первые элементарные частицы — электроны, существование
12
которых в какой-то мере противоречило теории (непрерывного по-
поля. Электронную теорию вещества, обобщающую теорию Максвел-
Максвелла, создал голландский физик Г. А. Лоренц.
I К концу XIX в. волновая теория электрических, магнитных и
Оптических явлений, основанная на уравнениях Максвелла, стала
общепризнанной. Из всего предыдущего опыта изучения волновых
движений следовало, что волны всегда распространяются в некой
среде; вполне естественно было /предположить, что для распростра-
распространения света тоже необходима некоторая с!реда; как уже отмеча-
отмечалось, она была названа эфиром. Свойства электромагнитных воли
требовали, чтобы эфир заполнял ©се пространство, имел пренебре-
пренебрежимо малую плотность и практически не взаимодействовал с ве-
веществом. Однако эта гипотеза ставила электромагнитные явления
В особое положение. Было известно, что законы механики одинако-
одинаковы (инвариантны) в различных системах координат, движущихся
-равномерно одна относительно другой ^(галлилеевы системы отсче-
отсчета). Признание существования эфира подразумевает неинвариант-
неинвариантность законов электромагнетизма для галлилеевых систем коорди-
координат, так как имеется преимущественная система координат, в ко-
которой эфир покоится, и только в ней скорость света равна с (cm
"«300 Мм/с = 3,00-108 м/с).
В 1905 г. А. Эйнштейн опубликовал статью «К электродинамике
движущихся тел», положившую начало 'специальной теории относи-
относительности. Обобщая опытные данные, Эйнштейн выдвинул два по-
постулата, гласящие, что скорость света постоянна в любой галлилее-
вой системе отсчета A) и не зависит от движения источника B).
Эти постулаты сделали бессмысленным вопрос об определении дви-
движения относительно эфира и тем самым отвергли гипотезу о суще-
существовании эфира как некоторой единой среды, 'несущей электро-
электромагнитные волны.
Теория Эйнштейна совершила переворот в фундаментальных
представлениях физики и во многом определила современные
взгляды на материю. Важнейшим выводом этой теории является
также взаимосвязь массы m и энергии W, определяемая известным
соотношением W=mc2.
Изучение микроскопического строения материи привело к соз-
созданию квантовой физики, а впоследствии и квантовой радиотехви-
вв, в основе которых лежит представление о дискретности излуче-
излучения электромагнитной энергии.
Техника радиосвязи началась с искровых передатчиков
Дециметровых волн; в этом диапазоне проводил свои передачи
А. С. Попов. Первые передатчики незатухающих колебаний рабо-
работали в диапазоне сверхдлинных волн. Постепенно осваивались все
ролее короткие волны, что расширяло возможности передачи ин-
информации. К началу Великой Отечественной войны более широкое
применение нашли дециметровые волны. Появление радиолокации,
* затем радиорелейной связи дало толчок к развитию техники сан-
сантиметровых и миллиметровых волн. Сейчас радиоволны преодоле-
13
вают космические расстояния порядка сотни миллионов километ-
километров на линии Венера — Земля.
Последние десятилетия характеризуются непрерывным расшире-
расширением технических приложений и развитием теории электромагне-
электромагнетизма. На очереди — освоение новых радиотехнических диапазонов:
миллиметрового, субмиллиметрового, инфракрасного, оптического.
Они имеют исключительно большие потенциальные возможности
передачи информации.
Выдающийся вклад в развитие современной электродинамики
внесли многие советские ученые, среди которых, в первую очередь,
следует назвать Б. А. Введенского, М. А. Леонтовича, Л. И. Ман-
Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Пистолькорса, М. В'. Шулейки-
на, В. А. Фока.
еория электромагнитного поля
1
Глава 1.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
1.1. Векторы электромагнитного поля
ЗАРЯДЫ И ТОКИ
ПОЛЯ
ИСТОЧНИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
Электрический заряд — одно из свойств элементарных ча-
частиц вещества. Различают два вида зарядов: положительные и от-
отрицательные. Электрические заряды обусловливают электрические
и 'магнитные явления; например, силовые взаимодействия между
заряженными телами и частицами.
Если одна из заряженных частиц меняет свое положение, сила
ее воздействия на другие частицы меняется лишь спустя некоторый
промежуток времени, пропорциональный расстоянию между части-
частицами: воздействие одного заряженного тела передается на другое
с конечной скоростью. Для объяснения такого рода-явлений вводит-
вводится новый физический объект — электромагнитное поле. Любая за-
заряженная частица связана с собственным электромагнитным ие-
лем, которое, в свою очередь, оказывает силовое воздействие на
другие заряженные частицы. Таким образом, взаимодействие меж-
между заряженными частицами осуществляется через электромагнит-
электромагнитное ноле.
Электромагнитное поле определяется как особый вид
материи, характеризующийся способностью распространяться в
вакууме со скоростью, близкой к 300 Мм/с, и оказывающий сило-
силовое воздействие на заряженные частицы.
Электромагнитное толе представляет собой единство двух своих
составляющих — электрического и магнитного полей. Считают, что'
•поле определено, если в каждой точке ^пространства известны вели-
величины и направления четырех векторов: Е — напряженности элект-
электрического поля; D — электрического смещения (или иначе —
электрической индукции); В — магнитной индукции; Н — напря-
напряженности магнитного поля.
Графически структура векторного поля изображается либо с по-
помощью векторов в ряде точек пространства, либо с помощью ли-
линий поля, которые в каждой точке касателыны векторам поля.
Плотность этих линий пропорциональна величине вектора в данной
точке.
15
Изменение любого из шекторов по какому-либо 'направлению
изображается эпюрой поля; эпюры строятся для модуля вектора
или для любой его координатной составляющей.
И з Meip еи[и е а а р я до в. Величина электрического заряда из-
измеряется <в кулонах и обозначается символом Q. В простейшем
(идеализированном) случае электрический заряд считают точечным.
Если же он распределен в пространстве, то его называют объемным
н характеризуют в каждой точке объемной плотностью:
р = шп ^3, ?*., (l.i)
W av^o Д V м3 К '
равной пределу отношения объемного заряда к объему, в котором
он'распределен, гари ДК-^0. Из ф-лы A.1) следует соотношение для
определения полного заряда, заключенного в некотором объеме:
Q = jpdV, Кл.
A.2)
Плотиость электрического тока. Упорядоченное дви-
движение зарядов создает электрический ток. Если объемный заряд
движется со скоростью v, то в каждой точке поля можно опреде-
определить вектор плотности электрического тока
J = pv, A.3а)
равный по величине пределу отношения заряда AQ, проходящего
за время А^ через площадку AS, перпендикулярную направлению
движения заряда, к произведению (А5А^) при А5-Я) и At->-0:
ДО
—^"/. A.36)
J = lim
д s- о A S
д < — о
где е„ — орт, направление которого совпадает с направлением дви-
движения зарядов.
Определим размерность вектора J. Из ф-лы A.3а) [/]= (Кл/м3) X
Х(м/с) =Кл/(м2с). (Введя единицу скорости изменения зарядов —
ампер: А = Кл/с, найдем, что вектор плотности электрического тока
имеет размерность A/im2.
Электрический ток/, протекающий сквозь некоторую по-
поверхность ^например, сечение проводника), определяется в резуль-
результате интегрирования выражений A.3):
A.4)
/ = j JndS=f J-ndS = Jj-rfS, A,
s s s .
где n — нормаль в данной точке поверхности 5.
В дальнейшем для упрощения будем пользоваться последмейГ
формой ваписи подынтегрального выражения как самой короткой.
Вектор dS направлен по п и равен по величине элементу dS.
Покажем справедливость приведенных выше оцределений, рас-
смотрез воображаемый цилиндр объема AK=AS-A1, находящийся
в потоке зарядов, которые движутся со скоростью v. Образующая
16
|цилиндра Al||v, а нормаль к его основанию AS параллельна нап-
направлению скорости, т. е. AS||v. Заряд, заключенный внутри цилинд-
1ра, проходит через его основание за время \t = Al/v. Тогда
ДО Д1 ДО
J = pv=—-— = —— ег., что соответствует данному ранее
к д vat ^S^t
определению J. Так как электрический ток через площадку AS
равен величине заряда, проходящего в единицу времени через
сечение AS: AI = AQ/At, J = AI/AS, что эквивалентно интегралу A.4).
Д/ Д<Э
Из полученных равенств следует также —— ег= v, откуда
^s^l
А/А1 = AQv.
A.5)
ВЕКТОРЫ ПОЛЯ D И Н — ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКОВ
Вектор электрического смещения D характеризует
связь электрического заряда с собственным электрическим толем.
Вокруг электрического заряда существует электрическое поле, ли-
линии которого из него исходят. Считаем, что поток вектора электри-
электрического смещения Ч^ через окружающую заряд поверхность равен
величине этого заряда: 4rD=Q. Электрическое поле точечного за-
заряда обладает центральной симметрией и направлено по радиусу—
вектору. Если окружить заряд сферической поверхностью радиуса
г, то Чг?>=4лг2?>. Отсюда следует количественное определение век-
вектора электрического смещения:
Q „ Кл
D =
A.6)
где ег — орт, направленный вдоль радиуса-вектора.
Вектор напряженности магнитного поля Н ха-
характеризует связь электрического тока с 'собственным магнитным
полем. Вокруг провода с током создается магнитное поле, замкну-
замкнутые линии которого окружают этот -провод. Считаем, что цирку-
' ' 117
JL_.
ляция Ц вектора Н по замкнутому контуру, окружающему про-/
водник, равна величине тока: Ц = 1. Магнитное поле бесконечного!
прямолинейного провода с током обладает осевой симметрией и'
Ц=2пгН по окружности радиуса г. Отсюда следует количествен-
количественное определение вектора напряженности магнитного поля:
где е^ — орт в цилиндрической правой системе координат1), у кото-
которой ось zсовладаете направлением тока (рис. 1.1).
СИЛОВЫЕ ВЕКТОРЫ ПОЛЯ ЕЙ В
Сила действия электромагнитного поля на заряд.
Электромагнитное поле обнаруживается мо его силовому воздей-
воздействию на заряженные частицы. Эта сила (называемая лоренцевой)
является суперпозицией сил, создаваемых электрической и маг-
магнитной составляющими поля:
F = F3+Fm = Q(E + v X В); F3 = Q.E; FM = Q(vXB). A.8>
Здесь F3 — сила воздействия на заряд электрического поля;
FM — сила действия на него магнитного поля; v — вектор скоро-
скорости движения заряда. В соответствии с ф-лами A.8) определим
векторы Е и В, характеризующие силовое действие электромагнит-
электромагнитного поля на заряженные тела и частицы.
Вектор напряженности электрического поля
равен пределу отношения силы воздействия поля на неподвижный
тачечный заряд к величине этого заряда при Q—М):
Q.^0 Q Q^0 Q
Из этого соотношения определяется размерность вектора Е.-
Н/Кл = Дж/|(м-А-с) =-Bt/(A-im) =<В/м. Если заряд Q положитель-
положительный, направления векторов Е и F3 совпадают. Заметим, что сила
F3, с которой электрическое поле действует на заряд, не зависит от
скорости заряда.
Вектор магнитной индукции можно определить из' со-
соотношения FM=Q(vXB). Очевидно, магнитное поле действует
только на движущиеся заряды — токи, если направление их движе-
движения не совпадает с вектором В. Сила воздействия направлена пер-
перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы v и В; она мак-
') В правой системе координат вращению шляпки правого винта или ручки
буравчика от оси х кратчайшим образом к оси у вокруг оси г соответствует по-
поступательное движение винта вдоль оси z (см. рис. 1.1). Правилом правого вин-
винта связаны также положительное направление обхода контура и положительное
направление нормали к площадке, ограниченной этим контурам, а также орты
е и ег в цилиндрической системе координат.
16
еимальна по величине, если v_LB. Размерность вектора В находим
следующим образом: Н-с/(Кл-м) =В-с/м2=Бб/м2 = Т.
* Экспериментально величину вектора магнитной индукции опре-
определяют по силе взаимодействия магнитного поля с электрическим
током в проводнике1). При этом легко исключить действие на про-
проводник электрического поля, сделав проводник электрически ней-
нейтральным: движущиеся заряды компенсируются неподвижными за-
зарядами другого знака. Воспользовавшись ф-лой A.5), из выраже-
выражения для FM A.8) найдем силу, действующую на отрезок проводни-
проводника с током в магнитном поле:
M = /(AlxB).
A.10a)
Если ток протекает по плоскому замкнутому контуру (прово-
(проволочной рамке), то силы, воздействующие на противоположные сто-
стороны рамки, направлены так-
также противоположно (рис. 1.2)
и образуют момент пары сил
Нм.
A.106)
Здесь рм — магнитный мо-
момент электрического тока —
вектор, равный произведению
силы тока на число витков N
и площадь рамки 5 и направ-
направленный по нормали п к ее пло-
плоскости (в правой системе ко-
координат) :
Рис. 1.2
Am2.
A-Й)
Для определения вектора магнитной индукции выбирают такое
направление п рамки с током, чтобы вращающий ее момент пары
сил был максимален. Тогда направление вектора В совпадает с на-
направлением векторного произведения МсХрм, а величина магнит-
магнитной индукции равна пределу отношения момента сил к величине
магнитного момента рамки с током при рм-^0.
Вывод соотношения A.106) из A.10а) здесь опущен. Его спра-
справедливость покажем лишь для случая прямоугольной рамки 5 =
= ab При совпадении вектора В с плоскостью рамки, как показано
на рис. 1.2, Mc = FMa = /M>(nXB)a = MrS(nxB)=pMXB. Легко до-
доказать, что справедливость этой формулы сохраняется при поворо-
повороте рамки относительно вектора В, так как плечо момента сил про-
пропорционально синусу угла между п и В.
') Достаточная точность экспериментального определения векторов Е и В
обеспечивается только в том случае, если заряды и токи, служащие для изме-
измерения силы воздействия поля, настолько малы, что практически не искажают
измеряемое поле.
19
1.2. Макроскопическая электродинамика :
Предметом изучения данного курса является макроскопическая
(классическая) теория электромагнитного поля в неподвижных
средах. Технические приложения этой теории охватывают те
классы устройств, в которых важную роль играют волновые про-
процессы, либо существенна пространственная структура поля.
, Макроскопическая электродинамика оперирует с макроскопиче-
макроскопическими значениями электромагнитных величин (зарядов, токов, век-
векторов поля), представляющих собой их усредненные по времени и
пространству значения. Усреднение производится для интервалов
времени, значительно больших периодов обращения «ли колебания
элементарных заряженных частиц в атомах и молекулах,' а также
для участков поля, объемы которых во много раз превышают
объемы атомов и молекул.
Электрические и магнитные свойства среды характеризуются
тремя макроскопическими параметрами: абсолютной диэлектричес-
диэлектрической проницаемостью еа, абсолютной магнитной проницаемостью
\ia и удельной электрической проводимостью о. Зависимости этих
параметров от структуры вещества, температуры, частоты, давле-
давления, воздействия полей рассматриваются квантовой электродина-
электродинамикой. Некоторые свойства вещества достаточно хорошо объяс-
объясняются моделями, построенными в рамках классической электрон-
электронной теории. Макроскопическая электродинамика пользуется ука-
указанными параметрами как заданными.
С точки зрения макроскопической электродинамики среда пред-
представляется оплошной, а величины, характеризующие электромаг-
электромагнитное поле, непрерывно распределенными в пространстве. Поэтому,
хотя в математические выражения входят бесконечно малые значе-
значения объема dV, площади dS, длины dl и времени dt, следует всегда
учитывать, что усреднение остается в силе. Другими словами, пред-
предполагается, что указанные значения все же значительно больше ве-
величин, характеризующих элементарные частицы вещества.
Непрерывность распределения поля в пространстве требует
также, чтобы количество энергии, участвующее в процессе, намного
превосходило энергию кванта W=hf, где f — частота колебаний,
/г = 6,625-10-34 Дж-с — постоянная Планка.
При рассмотрении переменных в пространстве и времени полей,
в частности гармонических электромагнитных волн, нужно иметь в
виду, что величина поля, т. е. модуль любого из его векторов, суще-
существенно меняется на протяжении длины волны Я и за период коле-
колебаний Т. Поэтому указанные выше интервалы усреднения должны
быть значительно меньше, чем Я и Г. Следовательно, методы макро-
макроскопической электродинамики применимы лишь до тех пор, пока
длина волны колебаний X = c/f на несколько порядков больше атом-
атомных и молекулярных расстояний. Это условие перестает выполнить-
выполниться для волн ультрафиолетового диапазона. С повышением частоты
растет также энергия кванта, и в полях с относительно небольшой
20
плотностью энергии обнаруживается дискретность структуры
электромагнитных волн: в этом случае их можно представить как
поток частиц — фотонов. Например, на частоте / = 300 ТГц =
= 3-1014 Гц (Я=1 мкм) мощность 1 пВт—цЮ~12 Вт соответствует
прохождению пяти квантов за одну микросекунду.
Методы решения задач ib теории электромагнетизма зависят от
размеров рассматриваемой системы в масштабе длины волны Я.
Электромагнитные воздействия распространяются в пространстве
в виде волн с конечной скоростью, равной для вакуума с. Период
гармонических колебаний Т = Х/с. Пусть характерный размер рас-
рассматриваемой системы L. Тогда время передачи электромагнитных
колебаний от одного до другого конца системы U = L\c.
Если L сравнимо с Я или больше ее, то время /о распростране-
распространения электромагнитной волны составляет заметную часть периода
Т или больше его. При этом колебания в различных точках системы
не синфазны, очевиден волновой характер электромагнитных про-
процессов с конечной скоростью распространения воздействий. В та-
таких случаях нужно применять строгие методы электродинамики.
Бели линейные размеры системы намного меньше длины волны
), ее называют квазистационарной. При этом /о<С7* и в пре-
пределах системы конечность времени распространения несуществен-
несущественна. В данном случае предположение о мгновенном переносе воз-
воздействия (/о = О) не приведет к заметной ошибке. Тем более несу-
несущественно время распространения и скорость переноса при рас-
рассмотрении стационарных, неизменных во времени полей. Боль-
Большинство задач для стационарных и квазистационариых систем ре-
решается относительно простыми методами теории электрических и
магнитных цепей (законы Ома, Кирхгофа), являющихся следствием
более общих законов электродинамики при условии, что to = O.
Элементы цепи характеризуются сосредоточенными параметрами —
сопротивлением, индуктивностью, емкостью. Заметим, что эти пара-
параметры рассчитываются по заданной геометрии элемента методами
теории стационарных электрических и магнитных полей.
1.3. Свойства электромагнитного поля
Электромагнитное поле представляет собой особый вид материи.
Четыре вектора Е, В, D и Н дают количественную характеристику
этого вида материи. Первые два из них можно непосредственно из-
измерить по силовому воздействию поля на неподвижные и движу-
движущиеся заряды. Например, поле в электроннолучевой трубке осцил-
осциллографа изменяет траекторию летящих электронов; величина
этого поля определяется по отклонению. светящейся точки на
экране.
Определение электромагнитного поля ^полностью отвечает наи-
наиболее общему научному определению материи, которое дано
21
В. И. Лениным1): «Материя есть философская категория для обоз-
обозначения объективной реальности, которая дана человеку в ощу-
ощущениях его, которая копируется, фотографируется, отображается
нашими ощущениями, существуя независимо от них».
Важнейшими характеристиками физических форм материи и
ее движения являются масса и энергия. Положению диалектичес-
диалектического материализма о несотворимости и неуничтожимости материи
и ее движения соответствуют универсальные законы сохранения
массы и энергии.
Физика имеет дело с двумя видами движущейся материи — ве-
веществом и полем, (Каждый из «их обладает как энергией, так и
массой. Например, энергия электромагнитного излучения Солнца
ощущается нами непосредственно и может измеряться тепловыми
приборами (в диапазоне тепловых волн) или радиотехническими
измерителями мощности. В настоящее время транспортировка энер-
энергии на земле осуществляется в основном электромагнитными поля-
полями, распространяющимися вдоль линий электропередач.
Инертная масса электромагнитного толя впервые была обнару-
обнаружена в опытах П. Н. Лебедева по измерению светового давления.
Эти опыты явились первым несомненным доказательством сущест-
существования у электромагнитного поля инертной массы m=W/c2. Высо-
Высокая скорость распространения электромагнитных волн означает,
что весьма значительным энергиям соответствуют ничтожные мас-
массы. Так, радиостанция мощностью 1000 кВт в течение одного часа
излучает элекромагнитное июле массой 0,04 мг.
Гравитационная масса поля была определена во время полного
солнечного затмения по искривлению луча от звезды, проходящего
вблизи Солнца. При наличии полей тяготения скорость электро-
электромагнитной волны не является строго, постоянной, равной с. Однако
в гравитационном поле Земли изменение скорости волны невелико.
Например, три падении волны со стокилометровой высоты ее ско-
скорость увеличивается на Av = gAt=gh[c?&3-10~3 м/с, что составляет
всего 10~и часть от величины с. В космосе встречаются более силь-
сильные гравитационные поля. Так, луч, приходящий на Землю от
Солнца, замедлен на Ао = 2-10~6с==600 м/с; следовательно, и этот
эффект весьма незначителен. Заметим, что инертная и гравитацион-
гравитационная массы поля, как и соответствующие массы вещества, равны
между собой.
Различие между полем и веществом состоит в том, что частицы
вещества (по классическим представлениям) не могут наклады-
накладываться друг на друга, они взаимно непроницаемы. В противополож-
противоположность этому в одном объеме могут существовать, накладываясь,
различные поля. **
Вещество и поле могут занимать один и тот же объем, оли
взаимно проницаемы, при этом наблюдается -их влияние друг ка
') В. И. Л е н и н «Материализм и эмпириокритицизм». Соч. изд. 5, т. 18. Гос.
изд. «Политическая литература», 1961 г.
22
друга. Магнитная и диэлектрическая проницаемости характеризуют-
влияние вещества на магнитное и электрическое поле в макроско-
макроскопических масштабах.
Частицы вещества имеют массу покоя т0. Частицы электромаг-
электромагнитного (поля (фотоны) массы покоя не имеют, они существуют
только в движении со скоростью с. Вещество никогда не может до-
достигнуть этой скорости, так как его масса m=imo/]/l—v2/c2 при
v — c обратилась бы в бесконечность. Отметим в заключение, что
различия между веществом и полем до некоторой степени условны.
Частицам вещества присущи волновые свойства, а фотоны света
можно рассматривать, как частицы.
Деление электромагнитного поля на электрическую и магнит
ную составляющие относительно. Известно, что электрические поля
связаны с электрическими зарядами, а магнитные поля образуются
при движении последних. Вокруг неподвижного относительно наб-
наблюдателя электрического заряда можно обнаружить только элект-
электрическое поле; в то же время движущийся наблюдатель измерит'
иное значение электрического поля и обнаружит магнитное поле.
Переход от одной галлилеевой системы отсчета к другой даже при
малых относительных скоростях (t»<Cc) меняет соотношение между
величинами электрического и магнитного полей для одного и того-
же распределения зарядов и токов.
В противоположность этому электрическая и магнитная компо-
компоненты электромагнитной волны находятся в строго определенном
.количественном соотношении, одинаковом для любых галлилеевых
систем отсчета. В этом случае на первый план выступает неразрыв-
неразрывное единство обеих составляющих в переменном электромагнитном'
поле.
1.4. Материальные уравнения
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА СРЕД
Электромагнитные взаимодействия между зарядами, токами и по-
полями зависят от свойств среды. Макроскопические параметры среды
в каждой точке поля входят в материальные уравнения, связываю-
связывающие попарно векторы электромагнитного поля:
D = eaE, A.12)
B = fiaH, A.13)
J = orE. A.14).
Макроскопические параметры еа, Ца, о различных сред и их за-
зависимости от внешних факторов исследуются в ряде разделов тео-
теоретической физики и определяются экспериментально. Здесь дает-
дается лишь сводка основных электромагнитных свойств сред. v
Параметры большинства известных сред в обычных условиях
скалярны и постоянны. При этом соответствующие пары векторов.
23
коллинеарны, а их величины связаны линейной зависимостью. Та-
Такие среды называются изотропными и линейными. При возрастании
напряженности поля линейная зависимость нарушается, среда ста-
становится нелинейной, а ее параметры — зависимыми от интенсив-
интенсивности поля.
В анизотропных средах соотношения между парами векторов
зависят от их ориентации. В общем случае эти векторы непарал-
непараллельны. Для описания таких сред применяют несимметричные тен-
тензоры ||ео||, 11ца11, 11а||.
Ка'к правило, 'нелинейность или анизотропия проявляется лишь
в одном из материальных соотношений. Соответственно различают
нелинейные диэлектрики, анизотропные магнетики и т. п.
Среда называется однородной, если ее параметры одинаковы во
всех точках, и неоднородной, если параметры меняются от точки к
точке
ПРОВОДИМОСТЬ И ЗАКОН ОМА
Плотность тока J зависит от напряженности электрического псля
Е в каждой точке проводящей среды. Множитель а в ур-нии A.14)
называется удельной электрической проводимостью среды. При
(T=const ур-ние A.14) выражает закон Ома в дифференциальной
форме. Поэтому говорят, что линейные изотропные проводники под-
подчиняются закону Ома.
Наличие у проводников сопротивления объясняется столкновением электро-
электронов с атомами кристаллической решетки. Удельная электрическая проводимость
металлов имеет весьма высокое численное значение (обычно порядка 107 См/м)
и практически не меняется с частотой (за исключением оптического диапазона,
где свойства металлов резко изменяются). Во всех проводниках отмечается
ьппьная зависимость проводимости от температуры.
Известный из теории цепей закон Ома для постоянного тока в
интегральной форме является следствием ур-ния A.14). Проинтег-
Проинтегрируем это уравнение по объему отрезка цилиндрического провод-
проводника V = Sl, считая векторы J и Е параллельными 1 и неизменны-
неизменными по сечению S данного отрезка. Тогда (JS)l = o(El)'S. Введя ток
I = JS и напряжение U=El между концами отрезка, найдем: // =
= oUS. Обозначив ¦сопротивление отрезка проводника через R =
= ll(aS), получим" известное равенство U=I>R.
Приведем несколько примеров сред, не подчиняющихся закону
Ома. Явно выраженная нелинейная зависимость между / и Е наб-
наблюдается в полупроводниках. Конвекционный ток в вакууме теле-
телевизионной или осциллографическои трубки не испытывает никакого
сопротивления, поэтому он течет при ? = 0. Отклонения от закона
Ома наблюдаются также в очень сильных электрических полях, при
газовом 'разряде и в ряде других случаев.
') В дальнейшем, если не сделано специальных оговорок, среды считаются
линейными, изотропными и однородными.
24
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
Абсолютная диэлектрическая проницаемо.сть еа
связывает векторы электрического поля Е и D в соотношении
A.12). В большинстве сред наблюдается линейная зависимость
между электрическим смещением и напряженностью электрическо-
электрического поля.
Абсолютную диэлектрическую проницаемость вакуума обозна-
обозначают ео и называют электрической постоянной. Ее численное значе-
значение ео = 8,85416 пФ/мж 1/C6 я) нФ/м.
Относительная диэлектрическая проницае-
проницаемость, называемая также диэлектрической проницаемостью, —
безразмерная величина, приводимая в справочных таблицах, пред-
представляет собой отношение абсолютной диэлектрической проницае-
проницаемости к электрической постоянной:
е=еа/е0. A-15)
Под воздействием электрического, поля диэлектрики поляри-
поляризуются: в них ориентируются элементарные электрические диполи.
Электрический диполь — совокупность двух точечных
разноименных электрических зарядов Q и —Q, равных по величине
и разнесенных на весьма малое расстояние I (плечо диполя) по
сравнению с расстоянием от диполя до точки наблюдения. Момент
электрического диполя p3=Ql — вектор, определяемый произведе-
произведением заряда на плечо диполя; 1 считается направленным от. отри-
отрицательного заряда к положительному.
П о л я'р и з о в анн о с т ь д и э л е к три к а — векторная величи-
величина, ранная пределу отношения электрического момента (суммарно-
(суммарного момента электрических диполей) некоторого его объема « этому
объему при V-*~0: РГ)= lim —. Поляризованность вещества ха-
v-»o V
растеризует его электрическое состояние; обычно она линейно зави-
зависит от Е: РЭ = &ЭЕ. Коэффициент пропорциональности k3 [Ф/м] назы-
называется диэлектрической восприимчивостью.
Электрическое смещение в веществе складывается из электриче-
электрического смещения в вакууме Do = eoE и поляризов.анности вещества:
Механизм поляризации различных веществ рассматривается в курсе общей
физики, поэтому- ограничимся здесь лишь краткой характеристикой основных
видов диэлектрических материалов.
Неполярные диэлектрики имеют молекулы или атомы, у которых
. Центры положительных и отрицательных зарядов совпадают. Под влиянием
внешнего электрического поля возникает электронная поляризация (смещение
апектронных орбит) и индуцируется дипольный момент. В этом случае k3 и е„
не зависят от величины Е приложенного поля, температуры Т и частоты элект-
электромагнитных колебаний f, воздействующих на диэлектрик. Только в оптической
или ультрафиолетовой части спектра возникает электронный резонанс, нару-
нарушающий постоянство диэлектрической проницаемости.
Полярные диэлектрики типа NaCl или Н2О имеют молекулы,
обладающие постоянными дипольными моментами, направленными хаотически
Эб
вследствие теплового движения. Под действием поля происходит ориентацион-
ная поляризация вещества, т. е. некоторое упорядочение ориентации молекул.
Как и в первом случае, кэ и еа практически не зависят от величины Е, однако
коэффициент k3 обратно пропорционален абсолютной температуре Т, поскольку
именно тепловое движение нарушает ориентацию дипольных моментов. Молеку-
Молекулы обладают довольно значительной инерционностью и уже на частотах поряд-
порядка 10 ГГц (% = 3 см) не успевают поворачиваться в такт с изменениями поля.
Поэтому, начиная с этих частот, диэлектрическая проницаемость полярных
диэлектриков уменьшается.
Сегнетоэлектрики (сегнетова соль, титанат бария) — монокристаллы,
состоящие из ряда областей — доменов, обладающих самопроизвольной поляри-
поляризацией. Даже слабое внешнее поле приводит к лавинообразному ориентированию
дипольных моментов всех доменов, поэтому диэлектрическая проницаемость е
¦сегнетоэлектриков весьма велика (достигает 104-М05). Дальнейшее увеличение
поля лишь незначительно увеличивает поляризованность вещества (в этой обла-
области Аэ->-0, е->-1), поэтому зависимость D от Е у сегнетоэлектриков нелинейна и
связана с предыдущим состоянием вещества. Все описанные явления имеют место
в определенном интервале температур: между нижней и верхней точками Кюри,
характеризующими каждое вещество. Вне этого интервала сегнетоэлектрик ведет
себя как иеполярный диэлектрик.
МАГНИТНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
Абсолютная магнитная проницаемость ^а входит в
ур-ние A.13) для 1мапнитных векторов В и Н, которое линейно для
большинства сред.
Абсолютную магнитную проницаемость вакуума называют маг-
магнитной постоянной: (io=O,4 я мкГ/м= 1,256637 мкГ/м.
Относительная магнитная проницаемость или
магнитная проницаемость представляет собой нормированное по
Но значение \ia'
A.17)
Под (влиянием магнитного поля щ веществе в результате упоря-
упорядоченной ориентации молекулярных токов создается магнитный мо-
момент рм [см. ф-лу A.11)]. Предел отношения магнитного момента
некоторого объема вещества к этому объему при V-*-0 называется
намагниченностью (интенсивностью намагничивания) вещества:
М = lim-^- . Намагниченность вещества характеризует его магнит-
ное состояние; в линейном приближении она пропорциональна Н:
М = &МН, где kM — магнитная восприимчивость вещества (безраз-
(безразмерная величина).
Магнитная индукция определяется следующим образом:
A.18)
Как известно, по магнитным свойствам материалы делятся на три группы:
диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики.
В диамагнетиках внешнее магнитное поле индуцирует внутриатомные
кольцевые токи, ослабляющие результирующее поле, поэтому 1Ц<1.
В парамагнетиках атомы имеют собственные магнитные моменты,
создаваемые орбитальным движением электронов. Внешнее магнитное поле
26
ориентирует эти моменты так, что результирующее поле увеличивается. Поэгому
ц>1, несмотря на то, что здесь одновременно наблюдаются и диамагнитные
явления.
Отличие '|Х от единицы в немагнитных материалах (диамагнетиках и пара-
парамагнетиках) крайне невелико (порядка 10~5) и в большинстве случаев не при-
принимается в расчет.
Ферромагнетики (железо, кобальт, никель) состоят из магнитных
доменов, каждый из которых имеет спонтанную (самопроизвольную) ориентацию
атомных магнитных моментов в каком-то одном направлении. Во внешнем маг-
магнитном поле магнитные моменты доменов переориентируются в нужном направ-
направлении, что обусловливает большие значения В и [г. Зависимость между В и Н
нелинейна и неоднозначна и изображается семейством кривых гистерезиса, силь-
сильно различающихся для разных материалов. Ферромагнитные свойства теряются
выше температуры Кюри (для чистого железа 770°С). Намагниченность ферро-
ферромагнитных материалов, связанная с ориентацией довольно инерционных атом-
атомных магнитных моментов доменов, заметно падает с увеличением частоты. В за-
зависимости от вида материала частотная лраиица проявлений ферромагнетизма
лежит в области от десятков килогерц до сотен гигагерц.
ЗАДАЧИ
1.1. Электрон с зарядом Q = —1,6-Ю-19 Кл и массой m = 9,ltl • 108 г, летящий
вдоль оси 2 со скоростью v=i10Mm/c, попадает в зону, где одновременно су-
существуют электрическое и магнитное поля: Ё = Ехех-у Ех=\1 МВ/м и В=?уеу;
Ву = 40 мТ. Определить направление и величину силы, воздействующей на элек-
электрон, я его ускорение.
Ответ: Fx=—0,96-102 Н=—0,96,пН; ах =—1,06-iliO18 м/с2.
1.2. Определить силу взаимодействия «а единицу длины двух бесконечных
параллельных проводов с токами /i = 2A и /2=5 А, протекающими в одном на-
направлении. Провода находятся в воздухе, расстояние между ними d=ilO см.
Ответ: /¦'//=20 мкН/м; провода притягиваются.
'1.3. Рамка с током /=0,2 А, площадью 5=10 см2, состоящая из N=60 вит-
витков, находится в воздухе в однородном магнитном поле напряженностью
//о=ЗОО кА/м. Угол между нормалью п рамки и векторам Но составляет 50°._
Определить момент пары сил, воздействующей на рамку.
Ответ: Мс=2,8б мН-м.
Глава 2.
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
2.1. Аксиомы электродинамики
Основные законы электричества и магнетизма, кроме закона Фара-
Фарадея, были получены при наблюдении стационарных полей. С логи-
логической точки зрения, априори не следует, что они остаются неизмен-
неизменными для полей, зависящих от времени. Поэтому так велика заслуга
Максвелла, который обобщил полученные до него эксперименталь-
экспериментальные закономерности на случай произвольного электромагнитного
•поля в произвольной среде, введя всего лишь одно дополнительное
слагаемое в закон, открытый Ампером.
Система уравнений электромагнитного поля была постулирова-
постулирована Максвеллом, т. е. введена в теорию аксиоматически. В любой
физической теории аксиомами считаются те фундаментальные со-
соотношения, из которых путем лишь математических преобразова-
преобразований выводятся остальные свойства изучаемых объектов. Необходи-
Необходимо согласие с опытом как самих физических аксиом, так и всех их
следствий.
Макроскопическая теория электромагнетизма основывается на
уравнениях Максвелла. Необъятное количество экспериментальных
фактов, полученных после введения этих уравнений, не оставляют
сомнений в их правильности, так как выводы электромагнитной
теории находятся в неизменном соответствии с результатами опы-
опытов и практической деятельности.
Следуя традиции, данный курс начинается с аксиоматического
введения четырех основных соотношений электромагнетизма: об-
обобщенной теоремы Гаусса, обобщенного закона Ампера, закона
Фарадея и свойства соленоидальности поля магнитной индукции1).
В совокупности они образуют систему уравнений Максвелла. Фор-
Форма введения каждого соотношения, начиная со словесной форму-
формулировки, подчеркивает их особое место в теории: они не вытекают
из каких-либо других уравнений, а являются обобщением опытных
данных, полученных при изучении электромагнитных явлений.
Исходными в нашем рассмотрении являются уравнения Макс-
Максвелла в интегральной форме, как непосредственно основанные на'
опыте. Дифференциальные уравнения поля, справедливые почти
в любой его точке, выводятся затем аналитически.
'I.
2.2. Поток электрического смещения. Обобщенная
теорема Гаусса
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА
с
Поток электрического смещения x?d= у DdS через лто-
s
бую замкнутую поверхность равен электрическому заряду, заклю-
заключенному внутри этой поверхности:
D
B.1)
Это соотношение известно из электростатики как теорема Гаус-
Гаусса и обобщено Максвеллом на случай полей, произвольно завися-
зависящих от времени. Оно устанавливает, что электрические заряды слу-
служат истоками и стоками электрического поля, линии электрическо-
электрического смещения выходят из областей, содержащих положительные за-
заряды и входят в области, где находятся отрицательные заряды
(рис. 2.1). В соответствии с равенством B.1) поток электрического
смещения через поверхность S,
изображенную на рис. 2.2, равен
Рис. 2.1
Рис. 2.2
') Последнее уравнение не является независимым.
•28
нулю (число входящих линий вектора D равно числу выходящих),
а через поверхность, изображенную на рис. 2.3, — Q.
Поле с центральной сим-
симметрией. Выражение для вектора D
в явной форме легко определить из ф-лы
B.1), если распределение заряда обла-
обладает центральной симметрией. Пусть, на-
например, заряд Q точечный либо распре-
распределен равномерно по поверхности сферы
или по объему шара радиуса а. Окружим
мысленно заряд сферой радиуса г>а.
Из симметрии системы следует,
что во всех точках этой сферы
векторы D одинаковы по величине и Рис. 2.3
29
направлены вдоль радиуса. В соответствии с ф-лой B.1) при
D-n = D-er=const имеем Q= [ pdV=& D• dS = 4nr2D¦ er, что соот-
P s
вепствует ф-ле A.6), которой был введен вектор D.
Закон Кулона. Найдем силу, действующую на точечный
заряд Q2 со стороны точечного заряда Qu в среде с абсолютной ди-
диэлектрической проницаемостью еа = еео при расстоянии г между
зарядами (рис. 2.4). Формула A.6) опре-
определяет поле вектора электрического сме-
смещения D в точке 2, созданное зарядом
Qb DiB) =efQ}/DKr2). Сила воздейст-
воздействия электрического поля на заряд Q2 сог-
согласно ф-лам A.8) и A.12) выражается
как
4яеи г-
B.2>
Рис. 2.4
Это соотношение и представляет со-
собой закон Кулона. Оно является следст-
следствием теоремы Гаусса. Закон Кулона устанавливает, что сила взаи-
взаимодействия точечных зарядов обратно пропорциональна квадрату
расстояния между ними, имеет центральный характер (направлена
по прямой, проходящей через центры обоих зарядов) и линейна
зависит от величины зарядов (поэтому возможна суперпозиция
эффектов, обусловленных различными зарядами). Отмеченные три.
свойства получили всестороннее экспериментальное подтвержде-
подтверждение, что и определяет справедливость теоремы Гаусса B.1).
Поле легко найти непосредственно из соотношения B.1) и в
других случаях симметрии зарядов (относительно прямой или
плоскости). Читателю представляется возможность решить само-
самостоятельно подобные задачи BЛ—2.3), помещенные в конце
главы.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА
В большинстве случаев необходимо определить векторы поля в-
каждой точке пространства, чего не позволяет сделать интеграль-
интегральное соотношение B.1). Связь между объемной плотностью элект-
электрического заряда и вектором электрического смещения устанавли-
устанавливается обобщенной теоремой Гаусса в дифференциальной форме.
Будем сжимать поверхность 5 вокруг избранной точки так,,
чтобы заключенный внутри нее объем V стремился к нулю. Разде-
Разделим обе части равенства B.1) «а V и найдем предел:
=lim
lim-
Объемная производная от потока вектора D в левой части это-
этого выражения называется в векторном анализе дивергенцией (или
30
расходимостью) вектора и обозначается символом div. Таким
-образом,
divD = p. B.3)
В каждой точке поля дивергенция вектора D равна объемной
плотности электрического заряда.
Графически дивергенция представляется числом линий поля,
начинающихся в данной области единичного объема; при
div D<0 линии в этой области «кончаются.
2.3. Циркуляция магнитного поля. Обобщенный
закон Ампера
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА
Циркуляция вектора напряженности магнитного
поля Н по любому замкнутому контуру (магнитодвижущая сила)
равна сумме истинного электрического тока и тока смещения, про-
протекающих сквозь поверхность, ограниченную этим контуром:
Sa-d\ = dWv/dt + I, где /= f i-dS = dQ[dt — истинный электричес-
электрический ток, обусловленный движением зарядов в проводниках (ток
проводимости) либо переносом заряженных частиц или тел неэлек-
тричеокими силами, а также их движением по инерции (конвек-
ционныи ток);—!L = ID-dS—скорость изменения потока элек-
dt dt J
о
трического смещения, названная Максвеллом током смещения.
Циркуляцией вектора А называется криволинейный интеграл по замкнутому
контуру фА-dl (рис. 2.5). Наглядное представление о вихревом движении мож-
с
но получить, наблюдая водоворот, например, в потоке бурной горной речки.
Циркуляция вектора старости по
контуру водоворота в этом случае I?
отлична от нуля.
/У,
Рис. 2.6
Запишем теперь сформулированный вначале обобщенный закон
Ампера следующим образом:
31
= — I D-dS+ J.dS.
dt ) J
s s
B.4)
Магнитное поле бесконечного прямолинейно-
прямолинейного проводника радиуса а с постоянным током / (рис. 2.6).
В данном случае очевидна симметрия магнитного поля относитель-
относительно оси провода, что позволяет определить поле с помощью ф-лы
B.4). Окружим провод кольцевым контуром радиуса г.
Поле вне провода (г>а). Циркуляция вектора напряжен-
напряженности магнитного поля Яф -2яг = /, так как при постоянном токе
dWD/dt = 0. Поэтому Н = еф//Bяг), что совпадает с известным уже
выражением для Н {см. ф-лу A.7)].
Поле внутри провода (г^а). Постоянный ток распреде-
распределяется по сечению проводника равномерно, и контур охватывает
только часть всего тока, а именно 1г2/а2. Поэтому
а2 2кг
ею(г<а).
B.5)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА
Для установления связи между токами и магнитным полем в каж-
каждой точке поля предположим, что контур [см. ф-лу B.4)] стяги-
стягивается в точку. Тогда площадь S, ограниченная контуром, стремит-
стремится к нулю. Бели циркуляция вектора Н по контуру указанной пло-
площади не равна нулю, поле носит вихревой характер, т. е. rot H от-
отличен от нуля.
Ротор (вихрь) вектора А — это вектор, равный по величине отношению
циркуляции (вектора А по контуру С к бесконечно малой площади S, ограничен-
ограниченной этим контуром, пр,и таком направлении ее нормали п, когда циркуляция
имеет максимальное положительное значение, и направленный по этой нормали:
§
Adi
rot A = max lim
где максимум берется по направлению нормали п.
В общем случае нормаль к заданной площадке не совпадает по .направле-
.направлению с rot А и циркуляция по малому контуру выражается как
&>\-d I = (rot An) 5=rot AS.
В правой части ф-лы B.4) можно считать J и D постоянными
в пределах малой площади, поэтому rotH-S = J-S +— •» .
Так как площадка S может ориентироваться в любом направ-
направлении, то
B.6)
dt
Ротор вектора напряженности магнитного поля в любой его
точке равен сумме плотности истинного электрического тока и ско-
скорости изменения вектора электрического смещения в этой точке1).
Частную производную от D по времени называют также плот-
плотностью тока смещения: JCM = dD/dt.
Итак, магнитное поле создается при любом движении электри-
электрических зарядов (электрическом токе) и изменении во времени век-
вектора электрического смещения.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДА
Электрические заряды не возникают и не исчезают. Если из замк-
замкнутой поверхности возникает ток, то количество заряда Q внутри
нее должно уменьшаться: /=—dQ/dt. Принимая направление плот-
плотности тока из данной области за положительное, что соответствует
направлению нормали, запишем закон сохранения заряда:
B.7)
Дифференциальную форму этого соотношения получим, приме-
применив к его левой части теорему Остроградского — Гаусса [5J:
Поток поля А через замкнутую поверхность S равен интегралу от диверген-
дивергенции А по объему V, ограниченному этой поверхностью:
B8)
Заметим, что с помощью B.8) возможен непосредственный переход от
ф-лы B.1) к B.3). Выше для этой целл использовался другой способ, чтобы на-
напомнить определение дивергенции.
На основании равенств B.7) и B.8) приходим к соотношению:
Г divJdV = Г 9dV.
v v
Учитывая произвольность выбора объема V, получаем дифферен-
дифференциальное выражение закона сохранения заряда, называемое урав-
уравнением непрерывности тока и заряда:
div J = — 2? . B.9)
Это уравнение, равно как и B.7), описывает фундаментальное
свойство электрических зарядов — принцип их локального (мест-
(местного) сохранения: заряд не может переместиться из одной точки
в другую, не создав между ними тока. Истоками линий плотности
| ') Функции, входящие в уравнения поля, зависят от четырех аргументов:
| трех пространственных координат и времени. Поэтому в правой части ур-иня
*'¦ B.6) фигурирует частная производная по времени, а в левой — частные про-
производные по координатам, объединенные символом rot.
32
2—2
33
тока являются точки поля, ,в которых плотность заряда меняется
во времени.
Закон сохранения заряда не включен в число основных уравне-
уравнений электродинамики, поскольку он является следствием обобщен-
обобщенного закона Ампера. Для доказательства равенства B.9) найдем
дивергенцию от обеих частей ф-лы B.6): div(dD/dt) +div J =
= div rot H = 0, так как дивергенция ротора всегда равна нулю
[5]. Поменяем в первом слагаемом порядок временного и простран-
пространственного дифференцирования и воспользуемся ф-лой ('2.3):
,. 3D д ,. ~ до
div— = —divD = —— , что и приводит к уравнению непрерыв-
dt dt dt
ности div J = —др/dt.
В случае постоянных токов плотность зарядов во времени не
изменяется др/д/ = 0. В этом случае закон Ампера и уравнение
непрерывности записываются в виде
rotH = J; divJ=O, (при -^- = Oj ,
B.10)
т. е. линии постоянного тока непрерывны. Обобщая закон Ампера
на случай переменных полей, Максвелл обнаружил, что выраже-
выражения B.10) противоречат уравнению непрерывности для переменных
полей B.9). Он дополнил правую часть B.6) слагаемым dD/dt, чем
устранил это противоречие. Введенная Максвеллом поправка име
ла решающее значение для построения теории электромагнитных
волн.
2.4. Электромагнитная индукция. Закон Фарадея
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА
Циркуляция вектора напряженности электричес-
электрического поля Е (электродвижущая сила) по любому замкнутому
контуру равна скорости изменения магнитного потока, пронизы-
пронизывающего этот контур, с обратным знаком в правой системе коор-
координат:
Э = — или
dt
С S
где Э= ф Edl, [В]—электродвижущая сила; Ф = \ B-rfS, {Вб] =
с s
=[В-с] — магнитный .поток или * поток вектора магнитной ин-
индукции.
Следует отметить существенную разницу в использовании
одного и того же термина контур. В формулировке Фарадея в со-
соответствии с теорией цепей контур — это замкнутая цепь, состав-
составленная из последовательно включенных проводников. Максвелл
34
обобщил закон Фарадея, придав этому термину более широкий
смысл. Он назвал контуром замкнутую линию, произвольно распо-
расположенную в пространстве. Обобщенный закон Фарадея справедлив
для любого контура, проведенного, например, частично в воздухе,
частично в другом диэлектрике и частично в металле. Из B.11)
вытекает, что возникновение электродвижущей силы — существен-
существенно динамический процесс, требующий изменения магнитного по-
потока.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА
Применим к левой части выражения B.11) теорему Стокса [5].
Циркуляция поля по контуру С равна потоку ротора вектора через любую
поверхность S, ограниченную этим контуром:
S)Kd\= frot AdS.
с s
B.12)
Переход от ф-лы B.4) к B.6), по существу, был повторением вывода этой
теоремы, известной из векторного анализа. В данном случае избран более ко-
dotkhh путь.
Итак,
| rotE.dS = — — Г В-dS.
,) dt j
•s s
Меняем справа порядок дифференцирования и интегрирования.
Учитывая произвольность выбора площадки S, получаем
dt
B.13)
Ротор вектора напряженности электрического поля в любой
его точке равен по величине и противоположен по знаку скорости
изменения вектора магнитной индукции в этой точке.
Таким образом, электрическое поле создается как электрически-
электрическими зарядами, так и любым изменением во времени вектора маг-
магнитной индукции. Электрическое поле, созданное только вторым
способом (при отсутствии электрических зарядов), соленоидально
{div E = 0), его векторные линии замкнуты либо уходят в беско-
бесконечность.
2.5. Соленоидальность поля магнитной индукции
Дивергенция ротора любого вектора тождественно равна нулю, в
частности, div rot E=0, поэтому дивергенция правой части выра-
выражения B.13) также равна нулю: div — = — div B = 0. Следова-
dt dt
тельно, в любой точке поля дивергенция вектора В постоянна, а
Г 35
если считать, что поле когда-то в прошлом отсутствовало, то
divB = 0. B.14)
Отсюда следует, что магнитное поле соленоидально.
Взяв интеграл от этого равенства по объему V и применив
теорему Остроградского — Гаусса B.8): Г div В dV= (j)B-rfS, no-
V S
лучим соответствующую интегральную формулу:
•dS = 0. B.15)
s
Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую
поверхность равен нулю. Линии вектора В замкнуты, либо уходят
в бесконечность.
Из сравнения ур-ния B.15) и B.1) вытекает, что магнитные
заряды в природе отсутствуют. Это утверждение соответствует
всем известным данным о магнетизме.
Соотношения B.14) и BЛ5) в системе уравнений электромаг-
электромагнетизма не являются независимыми; они получены как следствие
закона Фарадея B.13).
2.6. Сторонние силы
Для создания заданного электростатического поля нужно зарядить
изолированные металлические электроды, расположенные опреде-
определенным образом. Для переноса зарядов на эти электроды придется
затратить какую-то энергию неэлектрического характера. В идеаль-
идеальных условиях полученный таким образом заряд сохраняется очень
долго. Следовательно, для создания электростатического поля до-
достаточна однократная затрата энергии.
Ток проводимости, создающий магнитное поле, протекает толь-
только в том случае, если в цепь включен источник, вырабатывающий
определенную эдс. Таким источником может быть аккумулятор,
электромагнитный генератор, контакт между двумя металлами.
Магнитное поле сопутствует и конвекционному току, который про-
протекает в вакууме от накаленного катода либо радиоактивного
источника. Переменное электромагнитное поле создается вокруг
проводников с переменным током, колеблющихся, либо неравно-
неравномерно движущихся зарядов.
Во всех случаях электромагнитное поле создается источником
за счет энергии, получаемой извне. Поэтому эдс либо ток источни-
источника называются сторонними. Их величины определяются мощностью
внешних ресурсов энергии: механической, химической, тепловой,
ядерной либо электромагнитной энергией другого поля, и не яв-
являются функциями рассматриваемого поля.
Источник электромагнитного поля принято называть сторонней
силой. Вид и пространственное нахождение сторонней силы неод-
36
нозначны и зависят от поставленной задачи. Рассмотрим в качест-
качестве примера антенно-фидерный тракт телевизионного передатчика.
Поле в коаксиальном кабеле, соединяющем передатчик с антенной,
определяется сторонним током /Ст либо сторонним напряжением
иСт, величины которых зависят от мощности передатчика и сопро-
сопротивления фидера на его выходе. Волна, дошедшая по кабелю до
антенны, создает на входном промежутке последней электрическое
поле, которое будем считать сторонним ?Ст при определении токов
в проводниках антенны. По известной плотности токов в каждой
точке антенны JCt можно рассчитать электромагнитное поле ее
излучения. Дадим теперь следующее определение.
Сторонняя сила — электромагнитная величина (JCt, /ст, Ест,
Нет, 5СТ и т. д.), заданная как функция координат и времени в ка-
качестве исходной при расчете данного электромагнитного поля. Сто-
Сторонняя сила является источником данного поля и существует за
счет внешних (для данного поля) энергетических ресурсов.
Между сторонней силой и созданным ею полем имеется очевид-
очевидное соответствие по частоте колебаний и функциональной зависи-
зависимости от времени. Сторонние силы вводятся в основные уравнения
электромагнитного поля в виде дополнительных слагаемых. Выбе-
Выберем пока в качестве источника плотность сторонних токов Jct. Сто-
Сторонние токи подчиняются уравнению непрерывности B.9): divJCT=
=—дрст/dt, поэтому наряду с ними необходимо ввести плотность
сторонних зарядов рст. Сторонние силы вводятся в те уравнения,
где фигурируют аналогичные величины, .в данном случае электри-
электрические токи и заряды.
2.7. Основные уравнения электромагнитного поля
Сведем вместе основные законы макроскопической электродинами-
электродинамики в неподвижных средах, которые были сформулированы ранее.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме:
rot Н = —
,- ав
rot E =
dt
B.16)
divD =
div В = О
Уравнения Максвелла в интегральной форме:
H'dl==lf f D-
р
---И»-
dS
•
B.17)
37
D dS= f pdV + \ pCTdV
V V
ф В dS = 0
Первое уравнение системы B.17) представляет собой обобщен-
обобщенный закон Ампера, второе — обобщенный закон Фарадея, третье —
обобщенную теорему Гаусса и, наконец, четвертое отображает со-
леноидальность поля магнитной индукции.
Материальные уравнения (для изотропных сред):
D = eflE; В=^аН; J=aE. B.18)
Уравнение силы Лореица:
B.19)
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме составляют
основу всей электродинамики. С первого взгляда поражает их ла-
лаконичная запись, предложенная Герцем.
Кратко сущность первых двух уравнений электродинамики мож-
можно выразить следующим образом. При любом изменении во време-
времени электрического поля возникает вихревое магнитное поле [пер-
[первое ур-ние B.16)], любое изменение магнитного поля создает, в
свою очередь, вихревое электрическое поле [второе ур-ние B.16)].
Таким образом, переменные электрические и магнитные поля не
существуют независимо друг от друга, они непрерывно переходят
одно в другое и, как будет показано ниже, образуют электромаг-
электромагнитную волну.
Уравнения с дивергенциями векторов показывают, что непре-
непрерывность линий электрического поля нарушается в местах скопле-
скопления электрических зарядов [третье ур-ние B.16)], а линии магнит-
магнитного поля непрерывны, г. е. магнитных зарядов не существует
[четвертое ур-ние B.16)].
Если перейти к рассмотрению только постоянных полей и по-
положить в ур-ниях B.16) d/dt=O, можно обнаружить, что в этом
случае электрическое поле возникает только благодаря электриче-
электрическим зарядам (третье ур-ние B.16)] и не имеет вихревого характе-
характера (rot = 0). Магнитное поле создается вокруг электрических токов
[первое ур-ние BЛ6)]. И в этом случае, очевидно, не утрачивается
связь между электрическими и магнитными полями, хотя теперь
она не обоюдна.
Соотношения B.18) связывают попарно пять векторов, фигури-
фигурирующих в предыдущих уравнениях. Очевидно, при их помощи мож-
можно исключить из предыдущих уравнений любые три вектора, что
упростит в последующем математические преобразования.
Формула B.19) определяет силовое действие электромагнитно-
электромагнитного поля на заряды и токи, которое может рассматриваться как су-
суперпозиция сил электрического и магнитного полей.
38
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме справедливы
в любой обыкновенной точке пространства, в окрестности которой
физические свойства среды непрерывны; это обеспечивает конеч-
конечность входящих в уравнения пространственных производных.
Интегральные ур-ния B.17) остаются справедливыми даже в
том случае, если входящие в них поверхности и ^контуры пересека-
пересекают границы, где физические свойства среды резко изменяются,
хотя формально использованный ранее 'математический аппарат к
таким случаям неприменим. Это противоречие легко устранить,
если представить, что на границе любого материального тела фи-
физические свойства изменяются в очень тонком слое А1 хотя и очень
быстро, но непрерывно.
2.8. Граничные условия
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
На границе между материальными телами параметры среды е, ц,
о скачкообразно изменяются. Согласно ф-лам B.18) при этом не-
неизбежно испытывают скачки некоторые векторы поля. Для реше-
решения задач электродинамики, помимо уравнений Максвелла, необ-
необходимо знать граничные условия — соотношения между векторами
поля в двух очень близких точках, находящихся по обе стороны
-границы раздела двух сред. Граничные условия являются следст-
следствием уравнений Максвелла B.17) для этого особого случая.
Пусть достаточно гладкая поверхность 5 разделяет две среды
/и ?, в каждой из которых параметры либо постоянны, либо ме-
меняются медленно от точки к точке. Тогда в малой окрестности лю-
любой точки на поверхности 5 можно считать границу плоской, а
параметры сред — неизменными.
Таким образом, из рассмотрения исключаются точки, лежащие
вблизи изломов и резких изгибов границы или в области быстрого
изменения параметров хотя бы одной из сред. Масштабом при
оценке малости расстояния служат размеры тела, длина волны
(для переменных полей), а также требуемая детализация структу-
структуры поля в пространстве (разрешающая способность метода).
Считаем, что сторонние токи и заряды на границе отсутствуют.
НОРМАЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПОЛЯ
Определим соотношения между нормальными составляющими по-
полей. Для этого построим на плоской границе раздела небольшой
цилиндр, охватывающий обе среды (рис. 2.7). Считаем высоту ци-
цилиндра исчезающе шалой Ah—>-O. Основания цилиндра A5i и Д5г
лежат в разных средах. Цилиндр настолько мал, что внутри него
величины и направления полей в каждой из сред можно считать
неизменными. На поверхности S в бесконечно тонком слое может,
в общем случае, находиться поверхностный электрический заряд
с поверхностной плотностью aa=dQ/dS.
39
Применим к поверхности цилиндра третье ур-ние B.17) — тео-
теорему Гаусса. При ДА-»-0 пренебрегаем слева вкладом интеграла
от D по поверхности боковых стенок, а оправа — несущественным
вкладом объемного заряда с конечной плотностью р; зато следует
учесть поверхностный электрический заряд с плотностью аэ в пре-
пределах площадки AS. В этом случае
j Dr(— n)dS+ J
AS, AS,
= f o3dS,
AS
где n — нормаль, направленная из первой среды во вторую.
После интегрирования и сокращения на A5=A5!=AS2 полу-
получаем
(D,—
B.20)
Нормальная составляющая вектора электрической индукции при
переходе через граничную поверхность претерпевает скачок, чис-
численно равный поверхностной
плотности электрического заряда.
Заметим, что поверхностный
заряд может образоваться на по-
поверхности проводников в электро-
электростатическом поле. В переменном
электромагнитном поле такие за-
заряды возможны лишь на поверх-
Рис- 2-7 ностях идеальных проводников.
Поэтому при переменных полях в реальных средах нормальная со-
составляющая вектора электрической индукции на границе не из-
изменяется.
Используя четвертое ур-ние B.17) для магнитной индукции,
аналогично предыдущему получаем
(В2—В1)-п = 0.
B.21)
Нормальная составляющая вектора магнитной индукции при
переходе через границу не изменяется.
Выпишем с учетом ф-л B.18) соотношения для нормальных со-
составляющих всех векторов поля в изотропных средах при (Хй=О:
Din = ?>!„; Вгп=В1п; е2 Е2п = гх Eln; ^Hzn = HHu- B.22)
КАСАТЕЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПОЛЯ
Для тангенциальных составляющих поля нужные соотношения
определятся, если рассмотреть небольшой контур С, плоскость ко-
которого перпендикулярна поверхности 5 (рис. 2.8). Пусть ДА-*О;
нормаль п проведена к границе 5; нормаль п0 — к площадке AS
(от читателя) с учетом направления обхода контура; т=п0Хп —
единичный касательный вектор.
40
Рис. 2.8
Предположим далее, что по по-
поверхности S в бесконечно тонком
слое протекает ток. Вектор плотно-
плотности поверхностного электрического
тока определяется как сила тока в
полосе единичной ширины или
) = tidlldl, где е7— орт, направле-
направление которого совпадает с направ-
направлением тока, d\ — пересекаемый током отрезок линии, перпенди-
перпендикулярный е/.
Применим теперь к контуру первое ур-ние B.17) с очевидной
при Д/г-Я) и Д5-Я) заменой I i-n^dS на [ j-norf/, так как J по вели-
Js it
чине конечно и следует учитывать лишь поверхностный ток:
f Hl-(—x)dl+ Г H2-xdl =-~ Г D-nodS+ Г j-nod/.
м м as дг
Вкладом боковых сторон (Д/г-Я)) в контурный интеграл здесь
пренебрегаем. Первый интеграл в правой части этого выражения
также стремится к нулю, поскольку Д5 = Д/-Д/г-Я). Тогда, очевид-
очевидно, (Н2—H1)-T=j-n0. Заменим т векторным произведением норма-
нормалей: (Н2—H1)-(noXn)=j-no и выполним в левой части полученно-
полученного равенства (в скалярно-векторном произведении) круговую пе-
перестановку множителей (см. [5]): [пХ(Н2—H1)]n0=j-nn.
Так как направление вектора По выбрано произвольно, необхо-
необходимо, чтобы
j = п X (Н2—Нх). B.23)
Плотность поверхностного тока j отлична от нуля только на гра-
граничной поверхности идеального проводника. Во всех остальных
случаях j = 0 и пХ(Н2—Н4)=0. Векторное произведение равно
нулю, если равна нулю составляющая вектора (Н2—Н4), перпен-
перпендикулярная к нормали п, т. е. касательная составляющая
Нэт - Hi, = 0. B.24)
Касательная составляющая вектора напряженности магнитного
поля непрерывна на границе любых реальных сред.
Если теперь применить к контуру рис. 2.8 закон Фарадея [вто-
[второе ур-таие B.17)], то после аналогичных преобразований получим
пх(Е2—?^=0, что эквивалентно равенству:
Е2т—Е1т = 0. B.25)
Касательная составляющая вектора напряженности электриче-
электрического поля непрерывна на границе любых сред.
Из ф-л B.18), B.24) и B.25) следует также, что ,в изотропных
средах при j=0
И МЛ II II
B.26)
т
J2X
D
1т
М-г
41
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПЕРЕМЕННЫХ ПОЛЕЙ
У ПОВЕРХНОСТИ ИДЕАЛЬНОГО ПРОВОДНИКА
В электростатике при любой проводимости материала электричес-
электрические поля в нем отсутствуют. Переменные поля проникают в мате-
материал с конечной проводимостью. Однако, если проводник считать
идеальным, то заряды внутри него столь подвижны, что мгновенно
реагируют на сколь угодно быстрые изменения поля, создавая на
его поверхности поверхностную плотность заряда B.20) аэ=—Et-n,
которая обеспечивает нулевое электрическое поле внутри проводни-
проводника. Аналогично при изменении во времени магнитного поля по-
поверхностные заряды перемещаются и создают поверхностный ток
B.23) }=—пХН1Т , благодаря чему магнитное поле внутри провод-
проводника отсутствует.
Указанная идеализация часто используется при рассмотрении
полей вблизи проводящих поверхностей, так как проводимость
реальных металлов действительно весьма велика и предположение,
что она бесконечна, ведет лишь к незначительной погрешности при
определении поля в диэлектрике.
Итак, в идеально-проводящей среде электромагнитное поле от-
отсутствует: E2=\D2 = H2 — В2=0. Из найденных раиее граничных усло-
условий B.20), B.21), B.23) и B.25) получаем для изотропной сре-
среды 1:
• (-п) = еа1 Ех • (-п) =
Е1т = 0
/. Диэлектрик
Тангенциальная составляющая напряженности электрического
поля и нормальная составляющая напряженности магнитного поля
у поверхности идеального про-
проводника отсутствуют. Нормаль-
Нормальная составляющая электричв'
ского поля определяется рас-
распределением поверхностного
заряда (рис. 2.9). Плотность
электрического тока на по-
поверхности проводника равна
по величине и перпендикуляр-
перпендикулярна по направлению касатель-
касательной составляющей напряжен-
Рис- 2-9 ности магнитного поля у по-
поверхности.
Для определения характера изменения магнитного поля выпи-
выпишем первое уравнение Максвелла B.16) с учетом ф-л B.18) и со-
соотношений B.27):
rot
»-(?+<*)•¦¦
B.28а)
Запишем ротор с помощью оператора Гамильтона (набла):
( Н1т = ут X HlT+ n X ^1.. B.286)
дп
Дифференциальный оператор Гамильтона V (набла) — символический век-
вектор, заменяющий символы градиента, дивергенции и ротора (см. [5]):
V ^ = grad^; v-A = divA; yxA = rotA. B.29)
В декартовой системе координат оператор Гамильтона выражается как
д д д
V = e*—+е«,—+ ег—-. B.30)
дх ду дг
Если плоскость S совпадает, например, с плоскостью хОу, оператор набла
д д
можно представить в виде суммы тангенциальной vT = е*
мальной Vn = ег — составляющих:
дг
V = VT + Vn = VT
+ ?у ~Z~ и Н0Р"
B.31)
Первое слагаемое выражения B.286) тредставляет собой вектор,
направленный нормально к поверхности, и может быть приравне-
приравнено 'к травой части ф-лы B.28а). Второе слагаемое — тангенциаль-
тангенциальный к поверхности вектор, равный нулю, так как правая часть
ф-лы B.28а) не имеет касательной составляющей. Следовательно,
^¦ = 0. B-32)
т. е. структура поля в среде / такова, что тангенциальная состав-
составляющая магнитного поля достигает у плоской границы идеального
проводника экстремального значения (в направлении нормали к
границе).
Более общим методом можно получить соотношения для касательной со-
составляющей магнитного поля у криволинейной границы идеального проводника.
¦ В произвольных ортогональных координатах равенство B.32) справедливо для
компонент поля, направленных вдоль образующих криволинейной границы: в
цилиндрических координатах1) для Hz у границы, совпадающей с цилиндричес-
цилиндрической координатной поверхностью r= const; в сферических координатах 2) для И,
у границы идущей по конической координатной поверхности ¦O=const.
В остальных случаях экстремально по нормали к границе произведение тан-
тангенциальной составляющей на соответствующий коэффициент Ламэ3).
1) Цилиндрические координаты точки Р: длина радиуса-вектора г — расстоя-
расстояние от точки Р до оси 0г\ полярный угол <р угол между прямой ОР' и полярной
осью Ох (Р'—проекция точки Р на плоскость хОу); аппликата г —расстояние
от точки Р до основной плоскости хОу [5].
2) Сферические координаты точки Р: длина радиуса-вектора г — расстояние
от точки Р до начала координат 0\ долгота ф угол .между плоскостью хОг и
меридианальной плоскостью, проходящей через точку Р и ось 0z\ полярное рас-
расстояние О—угол /между осью Ог и прямой ОР [5].
3) Коэффициент Ламэ — масштабный множитель, связывающий измене-
изменение одной из координат с изменением длины соответствующей координатной
линии. Коэффициенты Ламэ для декартовых координат: ax = av=az=l; для
цилиндрических: ar = az=l; а^=г; для сферических: ar=l; ct—=rs'mQ;
«# =' И-
43
В цилиндрических и сферических координатах у границы, совпадающей с
координатной поверхностью r=const: ^впадающей с
| = 0. B.33)
координатах У гРа»иЦы, идущей по конической поверхности
— (вш&Яф) = 0. B.34)
Глава 3.
ОСНОВНЫЕ
ПОЛЯ
СВОЙСТВА МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО
3.1. Векторные величины в комплексной форме
ЗАДАЧИ
плотносТьЮ%ядаТРКлЧ/мКОе
Ответ: О = егт/Bя/-).
!2""
беСК0НеЧН0Й заРяжеН„ой нити с линейной
плотностью заря-
по^опТ11^7з7»™Т внутри шара радиуса а-
Огаег: D=er Qr/Dna3) (r^a).
2.4. В однородном постоянном магнитном поле с магнитной индукцией
?-5й"Тг вращается виток провода радиуса а=0,2 м с угловой скоростью
50 об/с. Сопротивление витка 5 Ом. Ось вращения перпендикулярна Актору
Г*3™1™06 значение тока в витке и выразить зависимость тока
рсМсНИ.
Ответ: Imax = 39,5 мкА; i=Imax sin©*; ш = 314 рад/с.
В курсе технической электродинамики 'изучаются преимущественно
переменные поля, изменяющиеся во времени по гармоническому
(синусоидальному) закону с определенной, хотя и произвольной
частотой /. Круг задач этим условием не ограничивается, так как
зависимость создаваемых техническими устройствами полей от
времени обычно близка к гармонической и, кроме того, известно,
что почти любую функцию времени можно с помощью ряда или
интеграла Фурье представить в виде спектра частот: гармоническо-
гармонического ряда или интеграла от ее частотных составляющих. Поэтому до-
достаточно рассмотреть переменное поле одной частоты, называемое
также монохроматическим.
Математический анализ монохроматических полей в линейных
средах значительно упрощается при использовании символического
метода (комплексной формы записи), который широко применяет-
применяется в теории переменных токов. Рассмотрим особенности этого ме-
метода применительно к векторным величинам.
Мгновенное значение гармонически изменяющегося вектора
можно записать в виде:
А = /2 [ех А1Л cos (со t +ifx) + е2 Лзд cos (со t + \!р2) + е3Л3д cos (со t -f- ifs)],
C.1)
где ei,2, з — взаимноперпендикулярные (координатные орты,
Аь 2,зд — действующие (эффективные) значения координатных со-
составляющих, if>i, 2, з — фазы этих составляющих, со = 2л/ — круговая
частота гармонических колебаний.
Если фазы координатных компонент одинаковы г|) = г|I = г|J=1|>з.
то 1вектор А можно представить через действующее значение век-
вектора Ад:
А = -/2" (ех А1я + е2 Л2д + е3 Л3д) cos (со t + if) =
= у2 Ад cos (© t -j- if). C.2)
Комплексными действующими величинами назовем векторы
А = (еИхде1*1 + еИ^1* + е3Л3де!г|") или А=Ад е1*. C.3)
Мгновенные значения вектора C.1) или C.2) определяются как
вещественные части от произведения комплексных действующих
величин на 1^2 и е ю '*
45
A =/2 Re [Aeie(] = }/2Ке[Аде! Vй'] = /2 AAcos(at + ^). C.4)
Последнее равенство основано на формуле Эйлера е 1(и'+*) =
= cos(o)/ + ifi)+i sin (ш/ + "ф).
Символический метод применим для анализа любых гармони-
гармонических колебаний, подчиняющихся линейным уравнениям, в част-
частности уравнениям Максвелла для линейных сред. Пусть для моно-
монохроматического поля справедливо уравнение, в котором времен-
временные зависимости векторов записаны в виде cos (о/+ if)). Тогда это
же уравнение верно и для поля с зависимостями вида sin(o)^ + \|)) =
=еоэ(со/ + г|)—л/2), отстающего от первого по фазе на я/2. Умножим
второе уравнение на i и сложим с первым. По формуле Эйлера это
эквивалентно переходу к уравнению ib комплексной записи.
В уравнениях для комплексных величин зависимость от време-
ни е писать не принято1), хотя всегда подразумевается, что речь
идет о гармонических колебаниях определенной частоты со = 2л/.
Напомним, что дифференцирование комплексной величины по вре-
времени эквивалентно в символическом методе ее умножению iw,
так как — е =кое .
от
Обратим внимание на одну особенность. Величины, с которыми
приходится иметь дело в теории поля, представляют собой векто-
векторы в трехмерном пространстве (обозначаются полужирным шриф-
шрифтом). Одновременно переменные величины представляются векто-
векторами, вращающимися с круговой частотой со на комплексной пло-
плоскости (обозначаются точкой наверху). Направление вектора в
трехмерном пространстве — это реальная характеристика ориента-
ориентации поля. Направление же вектора на комплексной плоскости —
это всего лишь условное обозначение определенной фазы данной
гармонически изменяющейся величины по сравнению с выбранным
началом отсчета.
3.2. Комплексные проницаемости
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ
Электрическое поле вызывает два вида потерь в среде.
Потери, обусловленные проводимостью мате-
материала, характерны для металлов и других хороших проводников,
а также для диэлектриков на низких частотах и в стационарных
полях. Плотность тока проводимости J = aE согласно закону Ома
A.14), BЛ8) пропорциональна удельной электрической проводи-
') Иногда временная зависимость задается в виде е~1<0, что эквивалентно
замене знака перед i на противоположный во всех соотношениях. Вместо
действующих можно использовать также амплитудные значения поля Ат =
= J^2 Ад и комплексные амплитуды Am J^2A
46
мвсти о, которая у большинства материалов почти не зависит от
ча\тоты вплоть до инфракрасной области спектра.
оляризационные (диэлектрические) потери
объясняются трением при смещении заряженных частиц вещества
в переменном электрическом поле. В результате наблюдается яв-
явление линейного диэлектрического гистерезиса, отставание по фазе
вектрров .поляризованное™ диэлектрика Рэ и электрического смеще-
смещения D от вектора напряженности электричеокого поля Ё. График
зависимости D от Е представляет при этом вытянутый эллипс,
причем диэлектрические потери за период колебаний пропорцио-
пропорциональны его площади. Отставанию по фазе D от Ё соответствует ком-
комплексная диэлектрическая проницаемость с отрицательной мнимой
частью в материальном ур-нии A.12), B.18):
C.5)
D = еадЁ=еде0Е,
?д= ба—i еед= г'аA — itgfi); ед=е'A—itgfi),
где tg6 = e^n/eQ — тангенс угла диэлектрических потерь.
C.6)
^
В широкой полосе частот (за исключением полос поглощения)
компоненты г'а и г"ал в диэлектриках меняются незначительно, их
отношение tgS практически постоянно. Для качественных диэлект-
диэлектриков в радиодиапазоне (до /«100 ГГц) tgS= 10~2-Hl0~4.
КОМПЛЕКСНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
С учетом соотношений A.4) и C.5) запишем в символической
форме первое уравнение Максвелла B.16) для линейных сред при
/ст = 0:
rot Н = i со D -f j = i соеодЁ + ст Ё = i и> ( га — i еад) Ё + аЁ.
Объединим слагаемые в правой части этого равенства:
rotH = i w( г'а— i e"aR— i — )Ё = i coea Ё, C.7)
7а = е'а — i га = г'а — i (' e' tg б + —) = ?ад— i — C.8a)
) ад
ш / ш
— комплексная абсолютная диэлектрическая проницаемость.
Часто используют относительную комплексную диэлектрическую
проницаемость:
7=e' —i[e'tgo+-?-| • C.86)
L ше0 J
Соотношения C.8) формально объединяют дараметры среды,
определяющие плотности тока смещения JCM = iiu>eosE и проводимо-
проводимости J=<(tE. Оно введено для упрощенной записи первого уравнения
Максвелла C.7). Непосредственно заменять истинную диэлектри-
диэлектрическую проницаемость среды величиной еа в других уравнениях,
47
например в C.5), нельзя. В то же время из ф-л C.8) вытекает, что
мнимая составляющая диэлектрической проницаемости в^д; и
слагаемое а/со эквивалентны, они в равной степени приводят к по-
потерям. Более того, эти два вида потерь (е^ =%д + аДо) при фик-
фиксированной частоте с макроскопической точки зрения нераз^ичи
мы. Поэтому на основании ф-л C.8 ) можно формально ввести
эквивалентную проводимость диэлектрика, соответствующую поля-
поляризационным потерям:
и при расчете мощности потерь учитывать ее наряду с истинной
проводимостью о.
Итак, вещественная часть комплексной абсолютной диэлектри-
диэлектрической проницаемости равна абсолютной диэлектрической прони-
проницаемости материала г'а =еа ; отрицательная мнимая часть
е"а равна сумме двух слагаемых: е1л = е'а tgf6, соответствующего
поляризационным потерям, и а/со, соответствующего потерям на
электрическую проводимость.
ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ
Проводник характеризуется наличием тока проводимости J = cxE,
синфазного с напряженностью электрического поля. Для диэлект-
диэлектрика характерен ток смещения с плотностью JCM = ico(ea —ie^ ) Ё,
опережающий по фазе Ё почти на 90°. Так как г"ал <<е'а , то |еод| =
= |/( EgJ-f- ( еодJдаеа И1 Jcm |=(oea|E|. Отношение модулей плотностей
токов смещения и проводимости определяется параметрами среды
и пропорционально частоте: |/см|/|^| = соео/<х. Назовем средней ту
частоту, при которой |/см| = |^|, т. е. cocpeu = a и среда в равной
степени обладает свойствами проводника и диэлектрика; очевид-
очевидно, /сР = а/Bяеео^. В таблице 3.1 приведены ориентировочные дан-
данные для ряда технических материалов и естественных сред.
Будем считать среду проводником, если |/см|/|/| =сое0/(Х=
—///ср<0у1; тогда фаза ео близка к —90°. Так как параметры ме-
металлов неизменны только до частот порядка 10 ТГц=1013 Гц (Я =
= 30 мкм), определенная для них частота /Ср свидетельствует лишь
о том, что вплоть до оптических частот металлы являются провод-
проводниками. К проводникам относятся также естественные среды на ,
низких частотах (/<0,1 /ср).
Диэлектрик характеризуется неравенством |/См|/|/| = соеа/а =
=/У/ср>10. На всех частотах, начиная с промышленной 50 Гц, тех-
технические диэлектрики не обнаруживают свойств проводника. Ди-
Диэлектриками являются также естественные среды на высоких
частотах G>10/ср).
48
Полистирол
Гетинакс
Лед, промерзшая
Сухая почва
Пресная вода рек
Влажная земля
Морская вода
Металлы
•
Среда
почва, сухой песок
и озер
е
2,4
6
4
4
80
20
80
<1
Таб
о, См/м
ю-14'
ю-9
10~5
ю-4
2-Ю-3
ю-2
4
> 106
лица 3.1
'ср
10"
3
5
5
5
>
-4
10^
105
105
10'
109
10"
На частотах, выше 1 кГц, у всех качественных диэлектриков
е"ад ^> а/со, т. е. поляризационные потери намного превосходят по
величине потери, обусловленные проводимостью материала. В
этом случае соотношения C.8) для комплекснои^диэлектрической
проницаемости переходят в ф-лы C.6): бо = еОд; е = ед.
МАГНИТНЫЕ ПОТЕРИ
В магнитных материалах при перемагничивании также возникают
потери на трение, в результате которых вектор В отстает по фазе
от вектора Н (магнитный гистерезис). Эти потери учитывают, вво-
вводя тангенс угла магнитных потерь tg6M и комплексную магнитную
проницаемость:
В =рГаН; ? = ^-i^ = nI(l-itg6M); |Г= ц' —i|i"= ц'0 —itg6M),
C.10)
мнимая часть которой выражает эти магнитные потери.
3.3. Система уравнений монохроматического поля
Запишем уравнения Максвелла B.16) для монохроматического
поля с использованием символического метода:
(З.П)
49
rotH = i
rot Ё = — i со В
divb = p+pCT
divB = 0
Как следствие первого и третьего ур-ний C.111) или из ф-лы
B.9) получим уравнения непрерывности для токов проводимости,
сторонних токов и соответствующих зарядов:
divj= — i top, div JCT = — i (opCT. C.12)
Дальнейшие преобразования справедливы для однородной
среды, параметры которой постоянны; поэтому их «можно вынести
за знак пространственного дифференцирования. Упростим первое
ур-ние C.11) в соответствии с ф-лой C.7), во втором и четвертом
ур-ниях C.11) заменим В по ф-ле C.10):
rot Н = i сое0 Ё 4- JCT
rotE=-io>^H C13)
'eadivE = pCT
divH = 0
Третье равенство C.13) получено с помощью ф-л C.5), C.8а)
и C.12): div Ь—р = еод div Ё—(i/м) div Л=(еод—кг/со) div Ё =
= еа div E. Заметим, что в соответствии с изложенным в 2.5 четвер-
четвертые ур-ния (ЗЛ1) и (ЗЛЗ) не являются независимыми; в CHCTeMv
основных уравнений их можно не включать.
Для областей, в которых сторонние токи отсутствуют [JCT = 0
и согласно C.12) рСт = 0], система уравнений Максвелла содержит
всего два независимых уравнения:
rotri = ia>?E. j C14)
rot Ё = — i co(ia H 1
Уравнения с дивергенциями являются следствием этих уравне-
уравнений; действительно, взяв дивергенцию от обеих частей равенств
C.14), с учетом тождества div rot A = 0получим
divE = 0, divH=0. C.15)
Из сопоставления этих выражений с третьим равенством C.11)
вытекает, что р=0, т. е. в однородной линейной среде при отсутст-
отсутствии сторонних токов пространственные заряды не образуются. •
3.4. Однородные волновые уравнения для векторов
Ей Н
Рассмотрим свойства поля в той части пространства, где отсутст-
отсутствуют источники. Тогда справедливы ур-ния C.14), содержащие две .
неизвестные векторные функции Ё и Н. Исключим одну из них,
сведя систему к одному уравнению для Е или Н. С этой целью най-
найдем ротор от обеих частей ур-ний C.14):
rot rot H = i ыеа rot Ё, rot rot Ё = — i соц.а rot H C.16)
50
и используем тождество из векторного анализа [5]:
rot rot А = у х (у X А) = v(V>A) — V2A = graddivA —у"А C.17)
с учетом того, что по ф-лам C.15) дивергенции векторов равны
нулю: rot rot H = —V2H; rot rot Ё = — V2E.
Оператор V2, называемый также лапласианом, представляет собой
двойном векторный дифференциал, который для векторных функций вводится
соотношением C.17).
Двукратное дифференцирование скалярной величины приводит к лапласиа-
лапласиану, являющемуся скалярной функцией координат:
divgradiC = V (V ^) = Vs ^- C18)
В декартовой, цилиндрической и сферической системах координат лапла-
лапласиан от скаляра записывается как
дх*
дуг
дг
дг
Лапласиан от вектора — вектор; его составляющими в декартовой системе
координат являются лапласианы от соответствующих компонент дифферен-
дифференцируемого вектора:
2A M + !M + M C.20)
В криволинейных координатах вектор V2A нельзя получить непосредствен-
непосредственным применением лапласиана к криволинейным компонентам вектора А.
Этот вектор вычисляется в общем случае при помощи соотношения C.17):
V2A=grad div A—rot rot A.
Операция вида C.20) применима только к прямоугольным компонентам, не
меняющим своего направления от точки к точке (например, составляющая
Az в цилиндрических координатах).
За знак лапласиана допустимо выносить лишь те координатные орты, кото-
которые имеют одинаковое направление во всех точках пространства.
В правой части ф-л C.16) вместо rot Ё и rot H подставим соот-
соответствующие выражения из C.14). Тогда
— у2 Н = i со7а (— i ща Н); — у2 Е = — i со(Га (i ага Ё).
Введем комплексную величину
Z=iu>\/'7apa Г 1/м1
C.21)
и назовем ее коэффициентом распространения в среде. Это упро-
упрощает запись уравнений:
V2H — "ksH = 0, v2E— /?Ё = 0. C-22)
Полученные дифференциальные уравнения второго порядка на-
называются однородными волновыми уравнениями (уравнениями
Гельмгольца).
Однородные волновые уравнения C.22) для обоих векто-
векторов идентичны. Поэтому должны быть одинаковыми решения этих
51
уравнений для векторов Е и Н, описывающие волны в безгранич-
безграничном пространстве. Поскольку при выводе ур-ний C.22) использо-
использовались соотношения C.15), решения волновых уравнений должны
удовлетворять также условиям отсутствия дивергенции Е и п во
всей рассматриваемой области.
Так как векторы Ей Н связаны уравнениями Максвелла C.14),
совершенно излишне решать волновые уравнения как для Е, так и
для Н, достаточно решить лишь одно из них. Как будет показано
ниже, решением волновых уравнений являются функции координат
и времени, которые описывают электромагнитные волны, распрост-
распространяющиеся в свободном пространстве, волноводах, объемных
резонаторах и других устройствах.
3.5. Плоские волны в неограниченных средах
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Важнейшие свойства электромагнитных волн рассмотрим на про-
простейшем примере плоской однородной волны, распространяющейся
вдоль оси г в однородной изотропной среде.
Введем ряд определений. Фазовым фронтом волны называют
поверхность, проходящую через точки с одинаковыми фазами. По
форме этой поверхности определяют, например, сферическую или
цилиндрическую волну. У плоской волны эквифазная поверхность
представляет собой плоскость B=const). Волна называется одно-
однородной, если ее амплитуда постоянна во всех точках фазового
фронта, и неоднородной, если ее амплитуда зависит от координат
точек фазового фронта.
Анализ однородной плоской волны естественно проводить в де-
декартовой системе координат. Ее поле по определению не зависит
от поперечных координат х и у, следовательно, д/дх=0, д/ду =
=0 и лапласиан V2 в волновых ур-ниях C.22) согласно C.19) и
C.20) превращается во вторую производную д2/дг2.
РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Решим при этих условиях ур-ние C.22) для вектора Е=ЁеЕ, пред-
предполагая направление еЕ во всех точках неизменным. Из волнового
уравнения получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
второго порядка:
. ^-к>Ё=0; C-23)
его общим решением является суперпозиция двух частных реше-
решений:
Е = Et е-Гг + ?7 е+Гг, C.24)
где Ё$ = Etе'*+ и Eq~ = ?<Ге1'* — произвольные комплексные
коэффициенты, определяемые граничными условиями.
52
Напомним, что коэффициент распространения к согласно ф-ле
C.21) — комплексная величина; учтем также выражения C.8) и
C.10). В результате получим
к = ка + i кр = i со V*a ? = i ю V( ea—i *Q (& ~~ ' Ю. C.25>
где Ka=Re/c — коэффициент затухания волны в среде; кр =1тк —
коэффициент фазы волны в среде.
Составляющие коэффициента распространения определяются в общем
случае из ф-лы C.25). Для этого нужно возвести в квадрат обе части равен-
равенства и решить получившуюся систему уравнений; в результате имеем:
C.26>
ГДе R =-• Re (СИ) = % К — е'а V-'a > 7 = ~
ПРЯМАЯ И ОБРАТНЫЕ ВОЛНЫ
B"a V-a ¦
Запишем уравнение C.24) с учетом соотношения C.25):
•J ~Kr.z ~lKa z • + Кг. г +'XKaz
E=Ete а е р + ?7 е а е э .
Согласно ф-ле C.4) мгновенные значения напряженности
поля:
¦IT Kaz ''
v e e
C.27>
+У2
Аргументами этих выражений
служат функции времени и про-
пространства вида (a>t—/cpz) и
(citf + Kp z), указывающие на вол-
волновой характер поля, на его дви-
движение, Скорость движения фазо-
фазового фронта волны называется
фазовой. Ее находят из уравне-
уравнения движения любой точки на
этом фронте, фаза которой неиз-
неизменна, например, для первого
слагаемого C.27) (&t—кр 2+^+) =
= const. Дифференцирование это-
этого выражения по t дает
со—K$(dzldt)=0, откуда фазовая
скорость
йг
v =
dt
е, =
Z
C.28)
Рис. 3.1
53
Выражение C.28) определяет скорость фазового фронта вол-
волны, распространяющейся вдоль оси z в положительном направле-
направлении, в сторону растущих значений координаты z (рис. 3.1а). Назо-
Назовем ее прямой волной. Амплитуда прямой волны по мере ее дви-
движения экспоненциально уменьшается пропорционально е ~Ка*, что
объясняется поглощением энергии в среде за счет электрических
и магнитных потерь.
При ко2=1 напряженность поля в ел;2,72 раз меньше, чем при
г = 0. Введем также коэффициент затухания к°а , выраженный в де-
децибелах на метр (дБ/м): K^ = 201geKa =8,686 ка. Тогда можно во
всех формулах ввести замену e~K°z = 10~°'° **. При к<х2=1 дБ
каz = 0,l 15 и напряженность поля уменьшается в 1,12 раз.
Для фронта с фазой (a>t+Kp z+ty~) =const во втором слагае-
слагаемом выражения C.27) справедливо уравнение: со+кр (dz/dt) = O,
которому соответствует отрицательная фазовая скорость v =
= — (со/ко )ег. Этот фронт принадлежит обратной волне, бегущей в
сторону отрицательных значений z (справа налево на рис. 3.16).
Амплитуда обратной волны также уменьшается по мере ее движе-
движения пропорционально e"aZ, т. е. с уменьшением г.
Заметим, что скорости и коэффициенты затухания прямой и об-
обратной волны одинаковы. Поэтому будем в дальнейшем рассмат-
рассматривать только прямую волну, считая, что условия опыта не допус-
допускают возникновения обратной волны, т. е. что ?jf =0. Это соответ-
соответствует предположению, что источник волн на рнс. 3.1 находится на
отрицательной полуоси z, слева от рассматриваемой области.
ДЛИНА ВОЛНЫ И ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР
Согласно ф-ле C.24) запишем действующее значение поля пря-
прямой волны, опустив индекс « + »:
Ё = ?0 e~Kz еЕ = ?ое~ *«* е '*Р * ев =?„• 10 " е~1^геЕ .C.29)
Длиной волны Я называется расстояние между двумя фазовы-
фазовыми фронтами волны, различающимися по фазе на 2я (например,
расстояние между ближайшими максимумами напряженности
поля, измеренное вдоль направления распространения волны).
Если принять z2—z\ = K, то кр (z2—Zi) =Kfs Я='2я, откуда
X = -2JL = _??L = JL . C.30)
*Э со/» f
Назовем перпендикуляр к фронту волны лучом. Его направле-
направление обозначим ортом ел = е2; оно совпадает с направлением фазовой •
скорости v. Введем волновой вектор
к = кел = (ка + i ка) е„, C.31)
совпадающий с направлением луча и равный по величине коэффи-
коэффициенту распространения волны в данной среде.
54
НАПРАВЛЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ВЕКТОРОВ Е И Н
Найдем направление вектора Е, используя условия д/дх = Ог
д/ду = О и соотношение C.15): div Е=дЁх/дх + дЕ\у/ду + дЁ21дг = 0г
т. е. dEz/dz=0 или ?z = const:
Из ф-лы C.29) следует?z= Е-e2 = ?oze~K2 , что совместимо с
?z = const лишь в случае ?oz = 0. Продольная составляющая элект-
электрического поля равна нулю. Вектор Е перпендикулярен направле-
направлению распространения волны к.
Магнитную составляющую поля Н найдем с помощью второго
уравнения Максвелла C.14). Так как вектор Е {ф-ла C.29)] имеет
только поперечную составляющую и зависит лишь от координаты
2, его ротор перпендикулярен как еЕ, так и ег = ел, rot Ё = _(елх
=—кЁаеткг (елХеЕ)=—к?(елХеЕ). Следовательно,
Н = —l— rot Ё = —^ ?(ел х еЕ) = — е„ = -± е~Ле„ =
— i ози„ i чяк, 2В 2В
_ '-о
^г -Х%
"н
const
где ен = елХеЕ — орт, указывающий направление вектора
видно, что HJ_E и H-Lk (см. рис. 3.2).
Электро магнитная
волна, у которой векторы
Е и Н взаимно перпенди-
перпендикулярны и перпендику-
перпендикулярны направлению рас-
распространения к, называ-
называется поперечной или
ТЕМ.-волной1). Обе про-
продольные составляющие
поля у ТЕМ-волны равны
нулю: ?г=0; #2=0. Рас-
Рассматриваемая волна.при-
C.32>
Н. Оче-
РК.&2
надлежит к этому классу.
Так как ел = еЕХен, направление распространения определяется-
правилом правого винта, вращающегося по кратчайшему пути от
Е« Н.
Отношение комплексных величин напряженностеи электрическо-
электрического и магнитного полей в ТЕМ-волне называется волновым сопро-
сопротивлением среды ZB. Согласно ф-лам C.32) и C.21),
Н
Ha
J. (з.зз>
') В соответствии с английским термином transverse electromagnetic.
Из C.32) и C.33) следуют векторные соотношения:
Ё = | ZB | (Н х ел) е'*в; Н = -^ (Ё X ел) (Г[\
|ZB|
C.34)
Вследствие подобия ф-л C.32) и C.29) мгновенные значения
магнитного поля Н меняются в функции г и / по закону, аналогич-
аналогичному C.27) для Е. Магнитный вектор в бегущей электромагнитной
волне пропорционален по величине электрическому и отстает от
него по фазе на угол г|1_в (при г=const), что соответствует Az=
фв/кр (при /= const) на рис. 3.2.
3.6. Волны в диэлектрике
Диэлектрик в соответствии с ф-лами C.6) и C.8) характеризует-
характеризуется комплексной диэлектрической проницаемостью en = ea(l—itgS).
Предположим, что магнитные потери в диэлектрике отсутствуют
Ца = |-1а- Тангенс угла диэлектрических потерь для используемых на
практике диэлектриков tg6<?C<l.
Определим составляющие коэффициента распространения
C.25), используя малость tgS по сравнению с единицей:
C.35)
где k — волновое число—коэффициент фазы в идеальном диэлек-
диэлектрике с теми же значениями еа и ца-
Из ф-лы C.35) следует, что фазовый коэффициент реального
диэлектрика с малыми потерями (tgS<gl) равен волновому числу
и от величины потерь не зависит:
«в = А=й1/'8лп. C-36)
Коэффициент затухания пропорционален tgS:
К = \Ь tg б = -j
C.37)
Своего рода эталоном служит волна в вакууме, где потери от-
отсутствуют. Волновое число вакуума ko = oiV еоцо.
Фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме (скорость
света) согласно C.28) определяется выражением:
с =
= 299,79 «300 —
с
C.38)
Используя эту величину, а также относительные значения е и
ц, можно вычислить фазовую скорость волны в любом другом ди-
диэлектрике:
C.39)
Таким образом, фазовая скорость волны в диэлектрике опреде-
определяется только значениями его проницаемостей ей ц.
Длину волны в вакууме и диэлектрике определим по ф-ле
C.30):
^^ C.40>
/
Волновое сопротивление диэлектрика в соответствии с ф-лой
C.33)
z = А =
ea(l-itg6)
V-a
C.41 >
Так как tgS^Cl, сдвиг фаз между векторами Ей Н в диэлект-
диэлектрике 1рв = б/2 невелик; например, при tg6=10~3, ¦фв=1,7/. В идеаль-
идеальном диэлектрике эти векторы синфазны.
Модуль волнового сопротивления не зависит от потерь в ди-
диэлектрике. Волновое сопротивление вакуума
C.42).
Zb0 = Л/ Ъ. = 376,73 х, 120л, Ом.
Модуль волнового сопротивления диэлектрической среды обыч-
обычно определяют с помощью относительных проницаемостей:
^ 5:. C.43).
|ZB|=
1 в|
га
ее0
3.7. Волны в проводнике
Среда считается проводником, если a^>(oea- Вследствие этого
ea = ea—ia/a»«—ia/co. Предположим, что магнитные потери в про-
проводнике отсутствуют, т. е. ца = Ца. Найдем коэффициент распрост-
распространения волны:
Введем величину
Д =
Ш[1аСГ
C.44)
и назовем ее толщиной скин-слоя1) (ее именуют также глубиной
проникновения, толщиной поверхностного слоя). Эта величина
имеет размерность длины и в обычных проводниках на высоких
частотах не превышает долей миллиметра.
4) skin (англ.) — кожа, кожура, оболочка.
57
С учетом ф-лы C.44) определим коэффициент распространения
волны и его составляющие, а также фазовую скорость:
К =
1+ i
h =
= соД.
C.45)
Коэффициенты фазы и затухания в проводнике одинаковы и
равны обратной величине толщины скин-слоя. Следовательно, в
соответствии с ф-лой C.29) напряженность электрического поля
изменяется по закону:
—г/А — iz/Д
е е
Ё = ?ое а е р е? = ?ое е - е? C.46)
Выясним, как изменяется волна на расстоянии z = A, равном
толщине скин-слоя: ?|2=д =?ое^'е-г'. Фаза ее меняется на 1 рад, а
амплитуда уменьшается в е раз, что соответствует затуханию
8,686 дБ (рис. 3.3). Мощность волны пропорциональна |?|2, поэ-
Напряженность поля
Мощность
д 2д
О /
Рис. 3.3
2х
KflZ
тому только небольшая часть исходной (при z = 0) мощности, рав-
равная е~2=0,135, преодолевает рубеж z = A.
Длина волны Я = 2л;/кр = 2л;А; на этом расстоянии от начала
отсчета амплитуда поля убывает в е2л =535 раз, а его мощность —
в 287 000 раз (затухание равно 54,6 дБ). При столь сильном погло-
поглощении нельзя уже говорить о волновом гармоническом процессе.
Колебания вырождаются в апериодически затухающие. В этом
случае такие понятия, как длина волны и фазовая скорость теряют
свой первоначальный физический смысл.
Проводник характеризуется толщиной скин-слоя Д, отсчитывае-
отсчитываемой от его поверхности. Почти вся электромагнитная энергия
(86,5%), проникающая в проводник, сосредотачивается или те-
теряется в этом слое. Однако не следует забывать о постепенном,
экспоненциальном уменьшении амплитуды поля и считать плос-
плоскость z — Ь. какой-то особой непреодолимой преградой. Все более
слабые поля имеются и на расстояниях 2Д, ЗА,... и т. д. Тем не ме-
менее при z=10A, когда затухание равно 86,86 дБ, чтобы их обнару-
58
жить нужен очень чувствительный прибор, даже если исходная
мощность велика.
Выведем формулу для определения толщины скин-слоя в ме-
металле C.44), выразив проводимость о—в мегасименсах на метр;
Д = / 2/Bя/№ост) =/1 /(я/ц4я10-7сг[МСм/м]10в).
Объединяя числовые коэффициенты и выразив результат >в мил-
миллиметрах получаем
А = -Щг , мм. C.47)
В частности, для меди (сг=58 МСм/м) и алюминия (сг=
= 35 МСм/м):
.66
85
Ai=yf> мм'
C.48)
если в ф-лы C.47), C.48) подставить/ в МГц, то получим А в мкм.
Волновое сопротивление проводящей среды найдем по ф-ле
C.33)
eu
)/ (?>ЦаО
1 + i
стД
Следовательно,
-1
= ^=^=1/^;IZbI=4?-. Фе=45<.C.49>
Комплексное волновое сопротивление проводящей среды имеет
индуктивный характер; его реактивная и активная составляющие
равны между собой.
Напряженность магнитного поля определится теперь из ф-л
C.46) и C.34) следующим образом:
Н = JEL. е~г/4 e~iuM; U45O) V, ен =ел х е? . C.50)
Она меняется в функции z как и напряженность электрического
поля, но с фазовым сдвигом на 45°. Величина \ZB\ в металлах со-
составляет доли ома, поэтому при одинаковых магнитных компонен-
компонентах электрическая компонента поля в металлах на несколько по-
порядков меньше, чем в вакууме. В качестве примера рассмотрим
параметры меди для колебаний частоты /=il00 МГц. Согласно
ф-ле C.48) ДСи = 6,6 мкм. По ф-ле C.49) |ZB|Cu = 3,7 мОм. Эта
величина в 105 раз меньше, чем волновое сопротивление вакуума.
Из-за малых значений толщины скин-слоя металлы нельзя
использовать как среду для передачи электромагнитных волн.
Однако металлические стенки широко применяют как отражатели
электромагнитных волн, ограничивающие поле в волноводах, резо-
резонаторах и других устройствах.
59
3.8. Виды поляризации волн
В 3.5—3.7 были рассмотрены волны, направления векторов Е и Н
которых неизменны в пространстве. Такие волны называются ли-
линейно (плоско) поляризованными. Плоскостью поляризации назы-
называется плоскость, параллельная волновому вектору к и вектору
напряженности электрического поля Е.
Линейно поляризованные волны не являются единственным ре-
решением ур-ния C.23), справедливого для всех плоских однород-
однородных волн. Рассмотрим суперпозицию двух волн вида C.29) с
взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации xOz и
yOz при сдвиге фаз между ними на угол i>:
Ё = (еЛ + еУ4е-'ф)е-~г- C.51)
где Ех и Еу имеют одинаковую (например, нулевую) начальную
фазу и в общем случае не равны по величине. Поскольку каждое
из слагаемых является решением волнового ур-ния C.23), их сум-
сумма C.51) также удовлетворяет этому уравнению.
Мгновенное значение электрического поля, согласно ф-ле
C.1),
Е = -/2 е~Клг[&хЕхС0*(®*— Kfiz)+eyEycos<,(ot—rcpz—o|))] . C.52)
Конец вектора Е при фиксированном z и переменном t описы-
описывает эллипс, большая ось которого наклонена под некоторым
углом к оси Ох (рис. 3.4). Такая волна называется эллиптически
X ^*\
у =0
Е
X
0
у/=180'
Рис. 3.4
Е JU-
f 0
. ——
' = 135'
=215 У-135°) у,=270°(-90°) у/ =3!5°(-45°)
поляризованной. При яр = О и я|э= 180° (эти случаи соответствуют
синфазности или противофазности составляющих) эллиптическая
поляризация вырождается в линейную; ориентация плоскости по-
поляризации зависит от соотношения между величинами Ех и Еу. В
случае ф=±90° оси эллипса совпадают с осями координат.
Если одновременно я|э =±90° и Ех = Еу = Ео, поляризация волны
становится круговой; конец вектора Е описывает окружность, так
60
как cos (а-+-90°) = ±sin а,
Е = yr2Eft e a [ex
—гср г] + еу sin (сог — к^г)\ =
причем орт еЕ составляет с осью Ох угол
C.53)
Направление вращения вектора Е при эллиптической и круго-
круговой поляризациях условимся определять в фиксированной точке
пространства: наблюдатель должен смотреть в направлении расп-
распространения волны. Вращению вектора по часовой стрелке (поло-
(положительному направлению вращения в правой системе координат)
соответствует правая поляризация. При этом 0<af<n в ф-лах
C.51), C.52), а в ф-ле C.53) выбирается знак ( + ). Согласно
ф-ле C.51), вектор с правой круговой поляризацией ЕПр = ?о(ех—
—iey)e-KZ.
При правой поляризации углы между осью х и векторами Е
и Н составляют: <pE=co?—Гср z, <pH=co?—крг+я/2.
Вращению вектора против часовой стрелки (отрицательному
направлению вращения в правой системе координат) соответст-
соответствует левая поляризация. При этом 0>я|з>—я, а в ф-ле C.53) вы-
выбирается знак ^—). В случае круговой левой поляризации Елев=
Представим расположение векторов поля волны с круговой или
эллиптической поляризацией при ? = const (рис. 3.5). Их концы
Правая
поляризация
х
Рис. 3.5
располагаются по винтовой линии на поверхности кругового или
эллиптического цилиндра. Вектор Н при любой поляризации плос-
плоской однородной волны везде и в любой момент времени перпенди-
перпендикулярен вектору Е (гаричем еяхен = ел) и пропорционален ему по
величине. Все перечисленные выше свойства в равной мере прису-
присущи как вектору Н, так и вектору Е, В отличие от линейной поляри-
поляризации, поле бегущей волны с круговой или эллиптической поляри-
поляризацией в любой момент времени ни в одной точке пространства не
равно нулю.
Согласно ф-ле C.51) поле с любым типом поляризации мож-
можно представить суммой двух волн, поляризованных линейно в двух
ортогональных плоскостях.
Докажем обратное свойство: эллиптически или линейно поля-
поляризованную волну можно представить суперпозицией двух волн с
круговой поляризацией и противоположными направлениями вра-
вращения. Совместим ось х с большой осью эллипса поляризации, а
ось у — с малой, тогда Е= (ехЁхЧ1еуЁу)е- кг. Верхний знак соот-
соответствует правой эллиптической поляризации, а нижний знак —
левой. Будем считать, что Ех и Еу имеют нулевые начальные фазы,
\Ех\>\Еу\. Обозначим Ei = 0,5(Ex + Ey) и Ё2 = 0,5(Ёх—Ёу). Тогда
E E E a Ey = Ei—Е2. Следовательно,
1еуЁу)е~кг =
+ Ё2 (е. + i е.)
(е,
е,) е- к * . C.54)
Заметим, что большую амплитуду ?\ имеет та волна с круговой
поляризацией, у которой направление вращения совпадает с на-
Ответ: и = 200 Мм/с; Л,=2 м; Kft =0,628 1/км=5,42 дБ/км; Яд=3,98 мА/м.
3.2. Выразить ы|ха и ыеа через к и 2В. (Запомните полученные соотноше-
соотношения, так как онн используются при выводе многих последующих формул).
Ответ: iDHa=K.ZB, b)Ea = K/ZB.
3.3. Если определить толщину скин-слоя диэлектрика так же, как и метал-
металла (по уменьшению мапряженности поля в е раз), то какова будет эта величи-
величина для волны в задаче 3.1.
Ответ: 1,59 км.
3.4. Напряженность магнитного поля в меди при z=0 Яо=1 А/м; частота
колебаний f=300 МГц. Найти значение Zi, при котором поле уменьшается на
20 дБ. Какова напряженность электрического поля в случаях г = 0 и z = Zi?
Ответ: zi = 8,8 мкм; ?о = 6,38 е i4S° мВ/м; ?J = 0,638 e~i87> мВ/м-
3.5. Для волнк с Ё=(е«60+е„ 100 e~i45°), е-!*°г В/м, распространяющейся
в вакууме, определить положение и величину векторов Е и Н в цилиндрической
системе координат при / = 0 и г = гаА/8 (га=0, 1, ..., 8). Изобразить графически
эту волну в пространстве. Какова поляризация этой волны?
Ответ: ф = 50°; 0°; 270°; 247°; 230°; 180°; 90°; 67°; 50°; |?|=92,6; 42,4;
70,7; 109; 92,6; 42,4; 70,7; 109; 92,6 В/м, волна имеет правую эллиптическую
поляризацию.
Рис. 3.6
правлением исходной эллиптически поляризованной волны. В ча-
частном случае линейной поляризации (Еу=0 и Ei=E2 = 0,5 Ё;
рис. 3.6) обе волны с круговой поляризацией имеют одинаковую
величину.
ЗАДАЧИ
3.1. Определить фазовую скорость, длину волны, коэффициент затухания
и величину вектора магнитной составляющей поля плоской однородной волны,
распространяющейся в полиэтилене (е=2,25, tg6=4-10~4, |x=l), если Еп =
= 1 мВ/м и f=100 МГц.
62
Глава 4.
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
4.1. Закон сохранения электромагнитной энергии
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ МЕРА ДВИЖЕНИЯ
Энергия представляет собой количественную меру движения ма-
материи. Закон сохранения энергии — один из фундаментальных за-
законов природы: явления электромагнетизма подчиняются ему без
всяких исключений. В равной степени электромагнитное поле подчи-
подчиняется закону сохранения массы, связанной с энергией универсаль-
универсальным соотношением W=mc2, и закону сохранения импульса. Поэто-
Поэтому, рассматривая в дальнейшем энергетические характеристики
движущегося электромагнитного поля, будем иметь в виду, что
аналогичные соотношения справедливы для массы поля, являю-
являющейся важнейшим свойством материи, и импульса поля.
Известно, что закон сохранения энергии в механике исполь-
используется для решения многих задач о движении и состоянии тел.
Формулы для кинетической и потенциальной энергии дают воз-
возможность описать характерные особенности перехода механичес-
механической системы из одного состояния в другое, не вникая в детальное
описание этого процесса. Можно утверждать, что соотношения,
определяющие сохранение энергии электромагнитного поля, столь
же полезны для анализа электромагнитных процессов, как и со-
соответствующие формулы в механике.
ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ
Макроскопическая теория поля основана (кроме уравнений Мак-
Максвелла) на следующих двух предположениях, устанавливающих
связь между векторами поля и его энергетическими характеристи-
характеристиками:
1. Электромагнитная энергия распределена в пространстве с
объемной плотностью:
w = w3+wM=~(E-D+H-B), Д? D.1)
2 м3
где ffi>3=E-D/2 — объемная плотность энергии электрического по-
поля, ш„=Н-В/2 — объемная плотность энергии магнитного поля.
2. Плотность потока электромагнитной энергии равна вектор-
векторному произведению напряженностей электрического и магнитного
полей:
П = Е X Н, Вт/м2, D.2)
64
где П — вектор Пойнтинга, указывающий направление движения
энергии и равный по величине плотности ее потока.
Плотность потока энергии равнозначна плотности мощности,
т. е. мощности электромагнитной волны, проходящей через единич-
единичную площадку, перпендикулярную направлению ее распростране-
распространения. Размерность вектора Пойнтинга (В/м) • (А/м) =Вт/м2.
Объемная плотность энергии w характеризует состояние элект-
электромагнитного поля в данной точке пространства, а вектор Пойн-
Пойнтинга П — волновое движение поля через эту точку. Заметим, что
соотношение D.1) для шэ и wu в частном случае стационарных по-
полей было установлено в курсе физики.
БАЛАНС ЭНЕРГИИ
Рассмотрим баланс энергии для некоторого объема V, ограничен-
ограниченного поверхностью S. Электромагнитная энергия, содержащаяся в
этом объеме, определяется объемным интегралом W= J (wa+
+ wM) dV=—\ (E-D+H-B)dV и может изменяться во времени,
v
вследствие:
—• перехода внутри объема V электромагнитной формы движе-
движения материи в другие формы: тепловую, механическую, химичес-
химическую. Для электромагнитного поля это равнозначно потерям. Ско-
Скорость отдачи энергии электромагнитным толем называется мощ-
мощностью его потерь РП;
— приобретения электромагнитным полем внутри объема V
энергии от сторонних источников. При этом скорость увеличения
энергии поля равна мощности сторонних сил ЯСт,"
— пересечения электромагнитными волнами, переносящими оп-
определенную энергию, граничной поверхности 5. В этом случае
электромагнитная форма движения материи сохраняется. Поток
электромагнитных волн из некоторого объема будем называть
излучением. Мощность излучения определяется соотношением:
.dS. D.3)
D.4)
По закону сохранения энергии введенные здесь величины
должны быть связаны соотношением:
2-,>„-!>.-ft.
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЭНЕРГИИ
Применительно к полю закон сохранения энергии должен быть
выражен как принцип локального (местного) сохранения энергии:
изменение энергии внутри любого объема (при />п=^'ст = 0) сопро-
3—2 65
вождается притоком или оттоком энергии через границу этого
объема. Энергия сохраняется локально в каждой области или
точке поля*).
Основные положения о локализации и движении энергии в по-
полях любой физической природы были разработаны Н. А. Умовым
е 1874 г. Им был впервые введен вектор плотности потока энергии.
Соотношение D.2) для плотности потока электромагнитной энер-
энергии получено Дж. Пойнтингом в 1884 г.
Для рассмотрения баланса энергии в каждой точке поля введем
понятия объемных плотностей мощности потерь и сторонних сил,
определяемых как отношение соответствующих мощностей к
объему при У->-0:
v-o V
— , pcr = lim — , —
К—О V
D.5)
Тогда из ф-лы D.4) получаем закон сохранения электромаг-
электромагнитной энергии в интегральной форме:
J- f wdV
V V
ф П dS + J- f wdV + ^pndV = jpCTdV. D.6)
S V V V
Применив к первому слагаемому теорему Остроградского —
сох-
сохПрименив к первому слагаемому теорему Остроградског
Гаусса B.8), получим J div П dV. По принципу локального
ранения энергии равенство подынтегральных выражений в D.6)
должно 'Сохраняться в любой точке толя. Отсюда следует диффе-
дифференциальная форма закона сохранения электромагнитной энергии:
div П + ^ + р„ = рсг.
at
4.2. Мощности потерь и сторонних сил
D.7)
Электромагнитное поле отдает либо приобретает энергию при взаи-
взаимодействии электрической составляющей поля с движущимися за-
зарядами. Совершаемая полем работа, т. е. потеря энергии Wn —
= F-1. Мощность uoT^bPn=dWnldt = ?•d\jdt = 1F-\. Неподвижные
заряды ще могут вызвать потерь, так как v = 0. He совершает ра-
работы и магнитная компонента поля, поскольку сила FM = Q(vX
XB)J_v, поэтому всегда FM-v=0.
Рассмотрим движущийся заряд, выделив настолько малый ци-
цилиндр объема К=5/, чтобы считать скорость движения заряда v
и его объемную плотность р неизменными; образующая цилиндра
') Можно показать, что объемная плотность импульса (количества дви-
движения) электромагнитного поля равна П/с2 н установить справедливость зако-
закона сохранения импульса для системы, состоящей из поля и взаимодействующих
г йнм заряженных частиц.
v (рис. 4.1). Величина заряда внутри этого цилиндра Q = pV.
Тогда мощность потерь электромагнитного поля Pn = F-v = QE-v =
=_pVE-v. Объемная плотность мощности потерь
рп = PJV = pv-E = J E, D.8)
так как J = pv. Поле отдает энергию (Яп>0) в том случае, если
угол между векторами J и Е меньше 90°. Будем считать это усло-
условием применимости ф-лы D.8).
Ток проводимости в среде возникает под действием электричес-
электрического поля и пропорционален ему: J = oE. v>
/ г я
г) — a F2 — —— \г (A Q1
Тогда
Полученное соотношение представляет
собой закон Джоуля-Ленца в дифференци-
дифференциальной форме и определяет тепловые (джо-
улевы) потери в проводящей среде, подчи-
подчиняющейся закону Ома. Проинтегрировав
ф-лу D.9) по объему цилиндра V, нетрудно
прийти к известным интегральным формулировкам этого закона
Вектор плотности конвекционных токов может быть направлен
произвольно по отношению к Е и при этом соответственно электро-
электромагнитное поле будет либо терять, либо приобретать энергию.
Договоримся считать ток сторонним и обозначать JCT плотность
стороннего тока, если угол между JCt и Е больше 90°. В этом слу-
случае возникают «отрицательные потери», т. е. электромагнитное
поле приобретает энергию. В соответствии с ф-лой D.8) объем-
объемная плотность мощности сторонних сил
/>ct=-Jct-E. D.10)
Передача энергии электромагнитному полю от сторонних
источников наиболее эффективна в том случае, если векторы JCt
и Е направлены в противоположные стороны.
4.3. Теорема Пойнтинга. Скорость волны
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПОЙНТИНГА ДЛЯ
МГНОВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПОЛЯ
Поскольку электромагнитная форма движения материи подчиняет-
подчиняется закону сохранения энергии, соотношения баланса электромаг-
электромагнитной энергии D.6) и D.7) должны вытекать непосредственно
из системы уравнений Максяглча B.16). Теорема Пойнтинга уста-
устанавливает это соответствие при сделанных выше предположениях
D.1) и D.2).
3* 67
Умножим почленно второе ур-ние B.16) скалярно на Н:
H-rotE=—Н—, а первое ур-ние B.16) на Е: ЕгоШ = Е 4г +
dt ot
+ E^(J+JCT). Теперь вычтем почленно из первого уравнения вто-
второе:
или
HrotE-ErotH + H — + Е-
at
dt
EJ=-EJC
D.П)
Первые два члена этого уравнения преобразуем с помощью
известного тождества [5]:
div(A X В) = у(А X В) + у(АхВ) =
= В.(ухА)— A-(vXB)=B-rotA—A-rot В. D.12)
Здесь стрелкой (\) отмечены функции, на которые действует
оператор Гамильтона V.
Для линейных изотропных сред в соответствии с B.18) D=
= еаЕ и В = AОН (ео и AО постоянны в каждой точке), поэтому после-
последующие два члена ур-ния DЛ1) можно представить выражением:
dt
dt
dt
dt
dt
™.Ъ+ И- д-*\ =
dt dt j
Согласно [14] это равенство справедливо также для анизотроп-
анизотропных сред.
Запишем ур-ние D.11) в виде:
Г НL- —I- г —We-J = — Е JCT.
При подстановке в это уравнение введенных ранее соотноше-
соотношений D.1), D.2), D.8) и D.10) получается закон сохранения энер-
энергии в дифференциальной форме D.7),
что и доказывает теорему Пойнтинга.
Скорость электромагнитной
волны рассматривается как скорость
переноса энергии и массы поля, которые
являются количественными мерами мате-
материи и ее движения. Определим скорость
волны, основываясь на ее энергетических
характеристиках. В окрестности некото-
некоторой точки плотность потока энергии волны равна П, объемная плот-
плотность энергии волны w и искомая скорость волны иэ. Рассмотрим
элементарный цилиндр, баковая поверхность которого параллель-
параллельна ел и П (,рис. 4.2). За время А* энергия o> = II-ASA* заполняет
объем AK=ASA1, где А1 = иэД1 В то же время W=wAV=
= w\S-u3\t. Приравнивая оба -выражения для W, получим: П = шиэ
68
Рис. 4.2
ш
D.13)
Энергетическая скорость электромагнитной волны определяется
отношением вектора Пойнтинга к объемной плотности энергии
движущейся волны.
4.4. Баланс энергии монохроматического поля
СРЕДНИЕ ЗА ПЕРИОД ЗНАЧЕНИЯ
При гармонических колебаниях мгновенные значения плотности
энергии и мощности меняются периодически в каждой точке про-
пространства. Физическую сущность процесса позволяют установить
средние за период значения энергетических характеристик электро-
электромагнитного поля, которые будем обозначать символами с чертой
сверху. Продолжим с этой точки зрения изучение монохроматиче-
монохроматического поля, начатое в гл. 3. Будем рассматривать поле в фиксиро-
фиксированной точке пространства. Пусть напряженность поля Ё=Еде'*в>
а Н = Нде"|'н =Нде (*?~~* отстает от нее по фазе на угол г|з =
= 1фя—^н. Тогда в соответствии с ф-лой C.4) мгновенные значения
компонент поля Е= |/ 2EKcos(at+tyE) и Н= K2Hncos(o/+
+я|)е—г|)). Не теряя общности, положим начальную фазу г|)в=0.
При этом мгновенное значение вектора Пойнтинга определится
как
П = ЕхН = 2(Е
cosBoe<—i|))] =
—if) = (ЕдXНд)[соэ\|з -
х
. D.14)
Согласно предпоследнему^ выражению D.14), вектор П имеет
постоянную составляющую П = (ЕдхНд}созг|з и переменную состав-
составляющую двойной частоты 2at с амплитудой ЕдхНд. Поэтому если
ty?=0, то какую-то часть периода 2At/T=ty/n вектор Пойнтинга
отрицателен, т. е. поток энергии меняет направление движения
на обратное (рис. 4.3).
Другая трактовка основывается на последнем_ соотношении
D.14). Первое слагаемое вектора Пойнтинга Па = ПA +cos2a>0 —
активная компонента — не меняет своего направления, она пуль-
пульсирует около среднего значения П с двойной частотой, меняясь от
0 до 2П (рис. 4.4). Неравномерность во времени активного пото-
потока энергии объясняется колебательным характером поля. Второе
слагаемое np=(EnxHjJsinit> sin2co/=nPm sin2a>t — реактивная
компонента — соответствует колеблющемуся потоку энергли, пе-
периодически (четыре раза за период Т) изменяющему направление
своего движения; в среднем эта компонента не создает перемеще-
перемещения энергии в пространстве.
69
Pec 4.3
Рис. 4.4
Если векторы Е и Н синфазны (\|з = 0), то П=ЕДХНД, ПР-0 и
:nQ=(ETIxHn)(l + cos2uH.
Введем комплексный вектор Пойнтинга как произведение ком-
комплексного действующего значения Е на комплексно-сопряженное
действующее значение Н:
П = ЕхН=Еде ХНде =ЕдхН,е' =
= (ЕдХНд) (cos ijj + i sin i]5) = П"+i Прт. D.15)
Среднее за период значение плотности потока энергии равно
вещественной части комплексного вектора Пойнтинга [см. ф-лу
D.14)]: .
г
П = — |"пл = (ЕдхНд)со5^ = КеП. D.16)
о
Мнимая часть комплексного вектора Пойнтинга равна ампли-
амплитуде реактивной компоненты плотности потока энергии:
ImTi = Im(ExH) = (Ед><НдMШ> = Прт. D.17)
Модуль комплексного вектора Пойнтинга равен амплитуде ос-
осциллирующей составляющей плотности потока энергии ] П| = ЕДХ Нд
(рис. 4.3).
Определим теперь мгновенное значение объемной плотности
электрической энергии D.1):
D.18)
Средняя^ объемная плотность электрической энергии
') Здесь и далее под словом среднее имеется в виду «среднее за период
значение»; оно обозначается чертой сверху.
70
D.19)
Это соотношение в общем случае вытекает из того, что согласно C.3)
1Д ej ¦« + е2
А- А =
*• + е3 АЗЛ ej *•)•
+ е3 АЗД е~ j *') =
= ^д-Г^д+^д = И!2- D-2°)
Обозначение «квадрат модуля» соответствует сумме квадратов действую-
действующих значений координатных компонент вектора А.
Аналогично определяется средняя объемная плотность маг-
магнитной энергии D.1):
ШМ = ^Н-Н = -^|Я|2. D.21)
Средняя объемная плотность мощности джоулевых потерь в
проводящей среде D.9):
р=аЁ-Ё = а| Е\\
D.22)
Средняя объемная плотность мощности потерь в диэлектрике
определяется из D.22) с заменой а по ф-ле C.9):
|2. D-23>
Средняя объемная плотность мощности сторонних сил С4Л0)
рст = Re^CT= Re (— Ё- JCT) , D.24)
где рст = —E-JCT = PcT + iQct — комплексная объемная плотность
мощности сторонних сил. Реактивная составляющая qCi появляет-
появляется в том случае, если разность фаз между Е и JCT отлична от
О и я.
ТЕОРЕМА ПОЙНТИНГА ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Вывод уравнений сохранения энергии для монохроматического пс-
ля проводится на базе основных ур-ний C.13) аналогично предыду-
предыдущему. Второе ур-ние C.13) умножается скалярно на Н (магнит-
(магнитные потери не учитываются). Вектор Е умножается почленно на
уравнение, комплексно-сопряженное с первым ур-нием C.13), в ко-
котором еа заменяется по ф-ле C.8); при этом i меняется на —i. За-
Затем из первой строчки вычитается вторая:
H-rotE = —H* i
Й rot Н = — E-i(i)»aE+ Ё- (fi)sa tg б + о)Е + Е- JCT
HrotE- ErotH+i
2_ _ р ,*
71
или с учетом тождества D.5) div (ExH) + i(o((ia|# |2 + ea|?|2) +
+ (coeatgS+w)|?|2=—E-JCT. Применив ф-лы D.15), D.19), D.21) —
D.24) и обозначив рп=ря+Рщ>, 'получим
divlf+ i2<o (a/M—п»,) 7 425)
Это комплексное уравнение разделим на вещественную и мни-
мнимую части, имея в виду, что П = КеП + ПтП = П + Щрт. Веществен-
Вещественная часть представляет собой дифференциальную форму теоремы
Пойнтинга для средних мощностей монохроматического поля:
n=>CT. D-26)
Для произвольного объема V, ограниченного поверхностью S,
справедлива интегральная форма этого уравнения:
ф П-d S + J p^V = j pCT dV,
= j pC
V
т. е.
+ К =
D.27)
Мощность, получаемая монохроматическим полем в некотором
объеме от сторонних сил, равна в среднем сумме мощности излу-
излучения из этого объема и мощности потерь. Сравнив ф-лы D.26) и
D.27) с D.6) и D.7), обнаружим отсутствие слагаемого, соответ-
соответствующего изменению запаса энергии в рассматриваемом объеме.
Это объясняется тем, что в гармонически изменяющемся поле
средняя объемная плотность энергии в каждой точке неизменна,
так как в каждой точке напряженности поля периодически прини-
принимают одни и те же значения.
Уравнение баланса электромагнитной энергии для мнимых
частей D.25) в дифференциальной форме записывается как
div П pm + 2и (шм -^4-э) = </„, D-28)
а в интегральной форме как
i ПртdS + 2co J' lwu-w3)dV = j q^dV; Qs + 2@(WM-W3)=<?„.
S V V
D.29)
Реактивный поток энергии через границу области Qs =
= jUpmdS (в среднем он равен нулю) появляется в том случае, если
s
внутри этой области средние за период запасы магнитной WM и
электрической W3 энергии не равны между собой, либо сторонние
силы имеют реактивную составл_яющую мощности QCt. В зависи-
зависимости от знака разности (WM—Wa) реактивный поток носит маг-
магнитный («индуктивный») или электрический («емкостный») харак-
характер.
Показательно сравнение ур-ний D.27) и^D.29) с аналогичным
сеетношением -для комплексной мощности S в .цепи .переменного
72
тока S = P + iQ = I2J^ + i2<a(-—LI2 CU2)t где выражение в скоб-
скобках соответствует разности магнитной энергии индуктивности и
электрической энергии конденсатора.
В качестве примера рассмотрим применение теоремы Пойнтин-
Пойнтинга D.27) к различным областям линии радиосвязи (рис. 4.5).
\Пг
\пг
Прием-
Приемник
Рис. 4.5
Область / включает радиопередающую антенну. Здесь тешговые
потери значительно меньше, чем мощность сторонних сил (Ри<
<ЯСт); запас электрической и магнитной энергии в поле вокруг
антенны в среднем постоянен. Избыток энергии выходит за грани-
границы области в виде электромагнитного излучения, .поэтому Рх (Si) =
= У II-dS>0. Область 2 в промежуточной части пространства не
¦Si
содержит сторонних сил (Яст = 0); тепловые потери в атмосфере
приводят к тому, что входящий в эту область «отрицательный»
поток электромагнитной энергии Ps (S'2), несколько больше, чем
«положительный» выходящий поток PZ(S), поэтому поток
Pz(S2)<0 и равен tno величине РП в К2. Область 3 включает при-
приемную антенну, которая отбирает часть мощности от проходящей
волны и передает ее приемнику. Поэтому здесь, кроме тепловых
потерь в среде и материале антенны, имеются потери за счет пре-
преобразования части энергии свободно распространяющейся волны
в энергию волны, передаваемой по фидеру от антенны к приемни-
г
ку. Поток У II-dS<0 и равен по модулю сумме этих потерь.
СКОРОСТЬ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
Скорость волны в линейной среде, как и скорость света, :не зависит
от интенсивности полей; следовательно, она одинакова во всех
точках и неизменна в течение периода колебаний. Поэтому из ф-лы
г г
D.13) следует, что
f ГШ=иэ f
5 о
wdt или
73
п
w
D.30)
Энергетическая скорость гармонической волны равна отноше-
отношению среднего вектора Пойнтинга к средней объемной плотности
энергии волны.
4.5. Энергетические характеристики
плоской однородной волны
Свойства плоской однородной электромагнитной волны рассматри-
рассматривались в параграфах 3.5—3.7. Дополним полученные результаты.
Рассчитаем комплексный вектор Пойнтинга D.15) по известным
значениям составляющих поля [ф-лы C.29) и C.32)]:
П=Е х Н=
¦к г — \к
а е р
-e~2K*z
—к г \к
е а е р
D.31),
Мнимая часть вектора Пойнтинга появляется при ненулевом
фазовом угле \|зв, т. е. обусловлена потерями в среде. Вектор П
направлен вдоль оси 0z, т. е. параллелен фазовой скорости волны.
Среднее значение вектора Пойнтинга
П = Re П = -!
I
е~2каг cos
D.32)
и cos\|3B~l; для проводника ^в =
Для диэлектрика -фв*
и cos \|зв = 0,707.
Оценим мощность волны ?=20 мкВ/'м, проходящей по _нармали через пло-
площадку S = ,10 м2. Волна распространяется в воздухе. Тогда P = TIS= B0- 10~6JХ
XI0/377 =10,6-10-|2 Вт=10,6 пВт, так как ZBo = 377 Ом.
В диэлектрике средние объемные плотности электрической и
магнитной энергии [см. ф-лы D.19), D.21)]:
= -М?оРе-2к«2, D.33)
2 — 2К
C
D.34)
так как |ZB|2=Ho/8o. Объемные плотности магнитной и электриче-
электрической энергии волны .в диэлектрике равны; поэтому в волне отсут-
отсутствуют реактивные потоки энергии. В процессе распространения
волны энергия непрерывно переходит из электрической в магнит-
магнитную и обратно. Равенство энергий позволяет говорить о равновесии
электрического и магнитного полей в распространяющейся волне.
74
Скорость распространения волны по ф-ле D.30)
п
V I ZB
b=—y—*z = -±J=. D.35)
W W3-{- WM Ba [ Ео | 2 8а Г (ia ] 8аЦа
В диэлектрике с малыми потерями энергетическая скорость
волны совпадает по величине и направлению с ее фазовой ско-
скоростью vw C.39).
В проводящей среде выражение D.33) для w3 остается справед-
справедливым; |ZB| определено ф-лой C.49) и
= о
2ш
—2к г
е ^
D.36)
Отношение средних объемных плотностей магнитной и электри-
^ с/2ш о
ческой энергии в проводнике ^-= =—>1,так как a>cuea.
0Уэ Ва/2 @8а
Плотность магнитной энергии в данном случае значительно преоб-
преобладает над электрической. Это вызывает появление реактивной со-
составляющей вектора Пойнтинга, равной по величине активной
(я|)в = 45°). Следовательно, дважды за период и четверть всего
времени поток энергии движется в обратном фазовой скорости на-
направлении (рис. 4.3).
4.6. Теорема единственности
Методы решения задач электродинамики, основанные на рассмот-
рассмотренных выше уравнениях, могут быть различными. Однако реше-
решение, полученное каким-либо способом, единственно, т. е. электро-
электромагнитное поле определяется од-
однозначно по заданному распреде- ~
лению источников.
Содержанием теоремы един-
единственности является формули-
формулировка минимального числа до-
дополнительных условий, при кото-
которых задачи электродинамики ре-
решаются единственным образом, и
доказательство единственности
решения при этих условиях. Ог-
Ограничимся рассмотрением перио-
периодических решений — монохрома-
монохроматических полей.
Внутренняя задача.
Пусть область пространства (рис.
4.6), в которой ищется решение, ограничена изнутри поверх-
поверхностью 5а, а извне — поверхностью Sb (Sa может отсутствовать,
возможно также несколько внутренних границ S'A , S"A ,...).
75
Рис. 4.6
Тогда справедлива следующая теорема: монохроматическое
электромагнитное поле в определенной ограниченной области V
определяется однозначно, если:
— в каждой точке области среда обладает либо электрически-
электрическими, либо магнитными потерями (е">0, либо |л">0); величина
этих потерь может быть весьма мала;
— заданы источники в этой области;
— заданы значения тангенциальной составляющей электриче-
электрического или магнитного вектора на границе этой области (краевое
условие). Заметим, что физически краевое условие определяется
теми источниками поля, которые расположены вне рассматривае-
рассматриваемой области.
Докажем эту теорему способом от противного. Предположим,
что заданному распределению сторонних источников и касательных
составляющих на поверхности S=Sa + Sb отвечают два решения
Ёь Hi и Ёг, Нг. Уточним, что на границе требуется совпадение либо
Eit и Ёгг . либо Н« и Н2т, либо на части поверхности должны
совпадать Ёт , а на остальной части Ht .
Исследуем разностное поле Ё=Ё2—Ё\; Н = Н2—Н4. К этому
полю энергия от источников не поступает, так как сторонние силы
для полей Ei, Hi и Ег, Н2 одинаковы и для разностного поля Е, Н
исчезают (Яст = 0). Невозможно также и поступление энергии че-
через границы объема [см. ф-лы D.3), D.16), D.27)]: P~z =f ШБ =
s
= Re у (ExH)dS = 0, так как по условию в любой точке границы
s
S либо Ее = Ё1т —Ё2т =0 либо Ht = Hit —H2t = 0. Следовательно,
теорема Пойнтинга D.27) для разностного поля примет вид Рп—0
(мощность потерь в поле равна нулю). Так как среда в каждой
точке объема V имеет потери, например, электрические, разностное
электрическое поле в любой точке внутри поверхности S должно
быть равно нулю. Из уравнений Максвелла C.14) получаем, что
разностное магнитное поле также равно нулю. Если в среде
имеются только магнитные потери, то вначале доказывается, что
Н^=0, а затем, что Ее=0.
Итак, в замкнутом объеме V, заполненном средой с потерями,
периодическое поле не может существовать, если отсутствуют сто-
сторонние источники этого поля и электромагнитная энергия через
границы S этого объема не подводится; Ё=Е2—Е4=0 и Н = Н2—
—Hi = 0, что и доказывает сформулированную ранее теорему.
Физически очевидно, что при отсутствии потерь в среде возмож-
возможно существование свободных незатухающих колебаний с полем Е,
Н, не связанных с источниками и удовлетворяющих условию
Et =0 на Идеально проводящей границе. В этом случае решение
внутренней задачи становится неоднозначным.
76
Внешняя задача. Пусть рассматриваемое пространство
неограниченно, т. е. внешней границы SB на рис. 4.6 не существует.
Это эквивалентно тому, что SB представляет собой сферу беско-
бесконечно большого радиуса R-*-oo. Тогда справедлива следующая
теорема: монохроматическое электромагнитное поле определяется
в безграничной области однозначно, если:
— в каждой точке пространства среда обладает либо электри-
электрическими, либо магнитными потерями;
— заданы источники в этой области;
— заданы значения тангенциальной составляющей электриче-
электрического или магнитного вектора на внутренней границе области;
— все источники находятся на конечном расстоянии от начала
координат;
— поля убывают на бесконечности быстрее, чем 1/R.
Последнее условие запишем следующим образом:
I^K |Я1>2|<^ при Я-*-со, D.37)
где б — некоторое положительное число, а Ео, Но — положитель-
положительные постоянные.
Заметим, что первые три условия совпадают с соответствующи-
соответствующими условиями для внутренней задачи. По доказанному ранее для
разностного поля Е, Н равны нулю: мощность сторонних сил
Яст = 0 (по второму условию) и мощность волны, поступающей в
рассматриваемую область через внутренние границы Sa.: Pza =0
(по третьему условию). Рассмотрим мощность волны, проходящей
через сферу SB бесконечно большого радиуса R-yoo> охватываю-
охватывающую по четвертому условию все сторонние источники поля. Из
ф-лы D.37) вытекает следующая оценка для разностного поля:
|g -Таким образом.
р
= ф Re (Е X Н) dS < ^ 4я # = 1б1^° -О и.ри Я+оо. Итак,
Я2 =Pza+Pzb =0 и снова то ф-ле D.27) Яп = 0, что приводит к
нулевому разностному полю Е=0, Н=0. Следовательно, получение
двух различных решений невозможно.
Физический смысл пятого условия заключается в том, что до-
допускается лишь решение в виде расходящихся от источников сфе-
сферических волн. Такие волны удовлетворяют принципу причинности
явлений: причина опережает следствие. Поля вначале появляются
у источников, а затем, с запозданием, в удаленных точках; волны
распространяются от источников. Плотность мощности волн со сфе-
рическим фронтом при отсутствии поглощения в среде по закону
сохранения энергии уменьшается обратно пропорционально площа-
площади сферы S = 4ro/?2, т. е. П~1//?2; следовательно, напряженности
полей \Е\ ~ 1//?; |#| ~ 1//?. В поглощающей среще |?| и |Я| рас-
расходящихся волн убывает 'быстрее, чем 1/i?, т. е. по закону D.37).
77
Формально уравнения электродинамики допускают также решение
в виде сферических волн, сходящихся к источнику. Такие волны фи-
физически нереальны, так как нарушают принцип причинности. Поле
сходящихся (опережающих) волн в среде с поглощением изменяет-
изменяется медленнее, чем 1/R. Пятое условие исключает из рассмотрения
опережающие волны, а также любые .плоские .волны, проходящие
в произвольных направлениях сквозь .рассматриваемое пространст-
пространство, так как они экспоненциально убывают в направлении своего
распространения и экспоненциально возрастают в обратном на-
направлении, что противоречит указанному условию.
Принцип причинности можно ввести в уравнения электродина-
электродинамики иным способом, не прибегая к предположению о затухании
волны. Заменим D.37) условиями излучения: электромагнитное
поле на бесконечности должно иметь вид сферических волн, расхо-
расходящихся от источников и зависящих от R по закону:
-к
D.38)
Так как при отсутствии потерь rc=ircp=i&. Следовательно, мгновен-
мгновенные значения поля пропорциональны Re(l/J?)e1(arf~" R) =
= (l//?)oos(u)if—hR). Это условие также исключает из рассмотре-
рассмотрения плоские и сходящиеся волны, которым 'соответствует положи-
положительный знак в экспоненте перед к — ik.
Найденное любым способом решение корректно поставленной
электродинамической задачи (условие должно содержать все вы-
вышеперечисленные пункты) отвечает действительному распределе-
распределению поля, и никакого другого решения быть не может.
ЗАДАЧИ
4Л. Напряженность поля волны, распространяющейся в полиэтилене (е=
¦=2,25), ?=50 мВ/м. Определить вектор Пойнтинга. Ответ: П=9,95 мкВт/м2.
4.2. Среднее значение вектора Пойнтинга в меди (о=58 МСм/м; ц=1;
е=1) равно 1 мкВт/м2; частота 50 МГц. Определить комплексные действующие
величины электрической и магнитной составляющих поля и отношение средних
объемных плотностей магнитной и электрической энергии. Ответ: #=23,2 мА/м;
Е=42,9 A +i) =60,6 е145° мкВ/м;~й>м/шв=2,3-1010.
4.3. Объемная плотность энергии волны, создаваемой в воздухе изотроп-
изотропным излучателем1) иа расстоянии г= 100 м от него, равна и;=10 пДж/м3.
Определить мощность излучателя. Ответ: Я2=377 Вт.
4.4. Вывести формулу для определения напряженности электрического поля
изотропного излучателя в воздухе в зависимости от мощности его излучения
/*2 и расстояния до точки наблюдения г. Ответ: Е— у 30 Р2 г.
') Изотропным излучателем называется .источник однородной сферической
электромагнитной волны, плотность потока энергии которой по всем направле-
направлениям (при г—const) одинакова.
78
Глава 5.
СТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ
5.1. Система уравнений стационарного поля
Стационарными называются поля, неизменные во времени. Они
подчиняются общим законам электромагнетизма, но в частном
случае, когда все величины постоянны во времени. Упростим сис-
систему ур-ний B.16), B.18), считая d/dt=O. Стороннюю силу пред-
представим в данном случае, как постоянную напряженность электри-
электрического поля Ест, которая наряду с собственным полем Е создает
в среде электрический ток в соответствии с законом Ома:
rotE = 0 rotH = J |
divD = p divB = 0 • E.D
= eaE
Сравнив ур-ния E.1) с полной системой уравнений Максвелла,
заметим, что обоюдная связь между электрическим и магнитным
полями утрачена. Магнитное поле не влияет на электрическое.
Однако электрическое поле создает в проводящей среде токи, не-
неразрывно связанные с магнитным полем.
Полная система ур-ний E.1) описывает стационарные постоян-
постоянные магнитные поля. Если же токи отсутствуют G = 0), то эта си-
система распадается на две совершенно независимые группы урав-
уравнений: левый столбец соответствует уравнениям электростатики
для электрических полей, а правый — уравнениям магнитостати-
магнитостатики для магнитных полей.
5.2. Электростатическое поле
СКАЛЯРНЫЙ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
Электростатическое поле связано с системой неподвижных элект-
электрических зарядов. Оно является частным случаем стационарного
поля при /=0 и может, следовательно, существовать только в сре-
среде, проводимость которой равна нулю. При этом условии полутаем
из E.1) следующую систему уравнений:
rotE = 0, divD = p, D = eaE. E.2)
Из первого равенства E.2) вытекает, что электростатическое
поле безвихревое, ротор вектора Е во всех точках пространства ра-
равен нулю. Тождество rot grad ф=0, известное из векторного ана-
79
т
лиза [5], показывает, что всякое безвихревое поле является потен-
потенциальным, т. е. может быть представлено в виде градиента некото-
некоторой скалярной функции ф. Поэтому выразим напряженность элект-
электростатического поля Е через градиент скалярного электростатичес-
электростатического потенциала ф, взятый с обратным знаком, т. е.
Е = — grad ф. E.3)
Знак минус означает, что вектор Е направлен от точки с более
высоким потенциалом к точке с более низким потенциалом.
Градиентом скалярной функции ф называется вектор, направленный в сто-
сторону быстрейшего увеличения ф и равный по величине производной по указан-
указанному направлению. Производная по любому направлению 1 = е/ равна проекции
градиента ф на это направление:
дФ
—J— = egrad«6. E.4)
dl
Интегрируя ф от точки 1 до точки 2 (рис. 5.1), получаем с по-
помощью ф-л E.3), E.4):
2 2 2
А B)—*A) = \сЩ> = f gradA-dl = — f E-dl. E.5)"
Разность потенциалов между двумя точками равна линейному
интегралу от вектора Е, взятому с обратным знаком, между этими
точками; из ф-лы E.5) следует, что раз-
It 2 / ность потенциалов не зависит от пути инте-
\ Л—\ / грирования. Независимость линейного инте-
интеграла от пути интегрирования можно пока-
показать также, взяв интеграл по замкнуто-
замкнутому контуру 1—>-Z,i—>-2—>-L2—*-l. Циркуляция
с
у E-cfl = O, так как rot E = 0 [см. теорему
с
Стокса B.12), а также закон Фарадея
B.11) при d/dt==O]. Следовательно, интег-
интегралы по L4 и Li равны между собой.
Рис. 5.1 Формулы E.3) и E.5) позволяют пе-
перейти от описания электростатического пр-
ля с помощью вектора Е к описанию поля при помощи функции ф
и обратно. Следовательно, оба описания поля равноправны. Одна-
Однако оперировать со скалярной функцией проще, чем с векторной.
Потенциал ф определен здесь неоднозначно, с точностью до
произвольной постоянной С, так как grad @ +С) = grad ф +
+grad C=grad ф. Обычно эту неопределенность устраняют тем,
что считают электростатический потенциал Земли равным нулю, а
в случае уединенных зарядов нулевое значение потенциала припи-
приписывают бесконечно удаленной точке.
Определим с помощью ф-лы E.5) работу внешних сил по пере-
перемещению заряда Q в электрическом поле из точки /, находящейся
в области нулевого потенциала [фA)=0], в произвольную точку 2.
80
Эта работа совершается против сил электрического поля F=QE,
чему соответствует отрицательный знак в выражении dW=—?d\:
W = —
E.6)
Отсюда следует, что потенциал ф какой-либо точки численно
равен потенциальной энергии единичного положительного заряда,
помещенного в эту точку.
Скалярные поля изображаются поверхностями уровня, для по-
потенциала эта поверхность называется эквипотенциальной и соот-
соответствует геометрическому месту точек, где ф = const.
Градиент скалярной функции по определению всегда перпенди-
перпендикулярен поверхности уровня, поэтому в электростатическом поле
линии вектора Е = —grad ф перпендикулярны эквипотенциальным
поверхностям.
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА
Напряженность поля точечного заряда Q определяется из ф-лы
A.6): E=D/ea = erQ/Dnfio''2). Найдем теперь потенциал произволь-
произвольной точки поля М(г) по ф-ле E.5) 'интегрированием от бесконеч-
бесконечности до г, считая ф(оо) = 0:
—J
= - E(r)-dr =
4ле
J г2 4леа г
E.7)
Линии поля Е расходятся от заряда по радиусам. Эквипотен-
Эквипотенциальными поверхностями является семейство концентрических
сфер.
УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
Электростатическое поле создается распределением электрических
зарядов р. Для нахождения непосредственной связи между р и
электростатическим потенциалом используем второе уравнение
электростатики E.2) с заменой D на Е, а затем на ф по E.3); для
однородной линейной среды постоянную еа можно вынести за
знак пространственного дифференцирования. Тогда div D=
= div{ea(—grad ф)] = —ea div grad ф = р. Двойная векторная про-
производная от ф равна лапласиану C.18), следовательно,
V2<? = — p/ee. E.8)
Полученное уравнение Пуассона является основным соотношением
теории электростатического потенциала и устанавливает, что лап-
лапласиан от ф [в декартовой системе координат — сумма вторых про-
производных от ф C.19)] в каждой точке поля пропорционален
объемной плотности электрического заряда.
81
В области, свободной от зарядов, потенциал поля подчиняется
уравнению Лапласа, являющемуся частным случаем ур-ния E.8):
у2ф = 0 при р = 0. E.9)
Уравнения Пауссона и Лапласа определяют лишь дифферен-
дифференциальные свойства потенциала в каждой точке поля. Решение
уравнения Пуассона должно описывать
поле в целом, с учетом всех образующих
его зарядов. К линейной среде применим
принцип суперпозиции. Поэтому получим
нужное решение с помощью ф-лы E.7),
заменив точечный заряд Q в точке .V
на элементарный объемный заряд pdV и
просуммировав затем потенциалы от
всех зарядов в объеме V (рнс. 5.2). По-
Потенциал в произвольной точке М
ф(Л4)=Г?М*1, E.10)
Рис. 5.2 ..
где г — расстояние между точками М и
Л', а V — включает все области, имеющие электрические заряды.
Если величина р конечна, интеграл сходится при г->-0, следова-
следовательно, решение уравнения Пауссона E.10) справедливо для всех
точек пространства, вне н внутри объема V. Это решение получено
для однородного диэлектрика и может быть проверено прямой под-
подстановкой ф-лы E.10) в E.8).
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Для решения задач электростатики необходимо знать условия на
границе раздела диэлектрик — проводник. Внутри проводника
электрическое поле отсутствует, так как в противном случае в нем
протекал бы ток J = aE. Следовательно, в электростатике на грани-
границе любого проводника справедливы граничные условия B.27), ко-
которые в общем случае были получены лишь для идеальных провод-
проводников. В диэлектрике на границе с проводником
?1=0нЕ-п = -^-, E.Па)
где п — нормаль, направленная из диэлектрика в проводник.
Согласно E.3) Е=^гайф=—т(дф/дт)—п(дф/дп), откуда
получаем граничные условия для потенциала у поверхности S про-
проводника:
*&- = 0 или ф L = const; &- = -^ .
E.116)
Поверхность проводника эквипотенциальна; поверхностная
плотность заряда пропорциональна нормальной производной от
потенциала у его поверхности.
82
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ
Отношение заряда уединенного проводника к его потенциалу на-
называют электрической емкостью проводника: C = Q/<jb. Емкость
данного проводника изменяется, если вблизи имеются другие про-
проводящие тела, и зависит от зарядов или потенциалов этих провод-
проводников. Взаимное влияние проводящих тел, вызывающее перерас-
перераспределение зарядов на них и изменение их потенциала, называется
электростатической индукцией.
Система из двух проводников, защищенная от внешнего влия-
влияния, называется конденсатором. Так как все линии электрического
поля, выходящие из одного проводника, заканчиваются на другом,
их заряды равны между собой. Емкость конденсатора определяет-
определяется, как модуль отношения заряда одного из проводников к напря-
напряжению между проводниками конденсатора:
С =
I Т
E.12)
\Фх-Ф*\
Конденсатор служит одним из элементов электрической цепи.
Емкость его рассчитывают с помощью соотношений электростати-
электростатики. К определению электростатической емкости между проводни-
проводниками сводится также расчет одного из важных параметров линии
передачи — ее характеристического сопротивления. Поэтому об-
область использования методов решения задач электростатики не
ограничивается только стационарными полями.
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Объемная плотность энергии электрического поля определяет-
определяется соотношением D.1): wa=E-D/2; полная энергия электростати-
электростатического поля, созданного некоторой системой зарядов, выражается
интегралом по безграничному пространству:
где Voo — все пространство.
Эту же энергию можно определить, наблюдая постепенное соз-
создание электростатического поля при внесении в него из бесконеч-
бесконечности электрических зарядов. Величина затраченной при этом энер-
энергии соответствует полной работе, которую нужно совершить, что-
чтобы расставить все заряды на отведенные им места, преодолевая
противодействие поля. Работа по внесению в точку М элементар-
элементарного заряда dQ(M)=\p(M)dVM, согласно ф-ле E.6), dW0=p(M)x
У.йУмф(М), где ф(М) — потенциал, созданный в точке М всеми
остальными зарядами и определяемый по ф-ле E.10). Если
проинтегрировать dWs по объему V, занимаемому зарядами, то
взаимодействие каждой пары зарядов учтется дважды: заряд
83
X = -НР(М) ф№ ЙУм= 4~ Г P(WVM f
dQ(N) сопротивляется внесению заряда dQ(M), а заряд dQ(M) —
внесению заряда dQ(N). Так как один из зарядов вносится в поле
в тот момент, когда второго заряда еще нет, полная энергия систе-
системы определяется половиной соответствующего интеграла:
f P(N)dVN E.14)
Итак, энергию поля можно вычислить по распределению в нем
электрических зарядов. Интеграл в этом случае охватывает лишь
области, где заряды не равны нулю. Соотношения E.13) и E.14)
для энергии электростатического поля эквивалентны, что можно
доказать с помощью ф-л E.2) и E.3). Из E.14) легко определить
энергию электрического поля уединенного проводника №э= —
и конденсатооа №э =—
5.3. Задачи электростатики
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ I
Электростатическое поле можно определить по заданному распре-
распределению зарядов (прямая задача электростатики) с помощью ф-лы
E.10) или в простейших случаях по теореме Гаусса B.1). Однако
лишь в небольшом числе задач (системы с симметрией, точечные
заряды) известно заранее распределение зарядов в-пространстве
или по поверхности. Поэтому область применения прямых задач
электростатики ограничена.
Практический интерес представляют граничные задачи электро-
электростатики — определение поля в диэлектрике, ограниченном систе-
системой проводников. При этом для каждого из проводников задается
либо его потенциал фи = const (граничное условие Дирихле), либо
полный заряд Qh- Во всех случаях (если система несимметрична)
распределение зарядов по поверхности проводников неизвестно и
должно быть найдено в процессе решения задачи.
Единого способа решения таких задач не существует. В ряде
простейших случаев применим метод изображений. Для более слож-
сложных систем используют аналитические методы: разделение перемен-
переменных, конформные преобразования, разложение по ортогональным
функциям. Наиболее универсальны методы, использующие матема-
математические и физические модели, однако они требуют громоздких
установок либо быстродействующих ЭВМ с большим объемом па-
памяти1).
*) Рассмотрение многочисленных методов решения граничных задач элект-
электростатики выходит за рамки данного курса. Желающие смогут воспользоваться
обширной литературой по этим вопросам, например, |[12], [32], [33].
84
ОДНОЗНАЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
В теории электростатических полей доказываются следующие по-
положения. Решение поставленной выше граничной задачи сущест-
существует. Oiho однозначно (единственно), т. е. физически достоверно
(если заданы заряды на всех проводниках, то чтобы определить
произвольное слагаемое в решении для потенциала, необходимо за-
задать потенциал какой-либо точки поля). Решение устойчиво: при
незначительном изменении граничных,условий оно заметно меняет-
меняется лишь в окрестности границы, где произошли эти изменения. До-
Доказательство этих положений составляет содержание теоремы
единственности для электростатики.
МЕТОД ИЗОБРАЖЕНИЙ
Суть метода изображений заключается в том, что заряженные про-
проводящие граничные поверхности заменяются эквивалентными им
зарядами-изображениями, находящимися вне объема рассматри-
рассматриваемого диэлектрика. Величи-
Величина и положение зарядов под-
подбираются таким образом, что-
чтобы обеспечить эквипотенциаль-
ность этих поверхностей и вы-
выполнение граничных условий.
Так, поле в диэлектрике до и
после замены сохраняется не-
неизменным, а граничная задача
сводится к определению поля
заданных зарядов.
Простейшим примером ис-
использования метода изображе-
изображений может служить определе-
определение поля точечного заряда,
расположенного над проводя-
проводящей плоскостью S. В этом слу-
случае заряд-изображение имеет
ту же величину, что и исход-
исходный, но обратный знак и
расположен в зеркально-
симметричной точке (рис. 5.3). Рис 5.3
Потенциал суммарного поля
от заряда Q и его изображения •
ности S равен нулю. Суммируя с
трические поля A.6) этих зарядов, получаем, что в произвольной
точке М на поверхности S вектор Е имеет только нормальную со-
составляющую Еп = Qcosft/ Dnear2) = Qh/Dnear3). Поверхностная плот-
плотность заряда в этой точке аэ =—гаЕп = —Qft/Dяг3).
85
Q на граничной поверх-
учетом направлений элек-
ПОЛЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ ЗАРЯЖЕННОЙ НИТИ
Пусть линейная плотность заряда нити равна т, Кд/м. Исполь-
Используем в решении симметрию поля относительно оси нити. Окружим
нить цилиндром радиуса г и применим к поверхности этого ци-
цилиндра теорему Гаусса B.1). Поток электрического смещения че-
через единицу длины D2nr=%, откуда «аторяжениость электрического
поля
E.15)
2леи г
Разность потенциалов между точками гигвв этом поле
ф(г) —
2леа
('-* =-1_1п-^. E.16)
2лр
Эквипотенциальные поверхности поля нити — круговые цилиндры.
При принятой идеализации (нить бесконечной длины) суммар-
суммарный заряд виги нравен бесконечно большой величине. Разность по-
потенциалов между г и бесконечно удаленной точкой (г0-»-оо) также
бесконечна. Поэтому в таких задачах задают потенциал какой-
либо точки на конечном расстоянии от оси.
ЕМКОСТЬ КОАКСИАЛЬНОЙ ЛИНИИ
Рассмотрим бесконечную по длине систему коаксиальных провод-
проводников, заряженных равными по величине разноименными зарядами
с линейной плотностью т и —т (рис. 5.4). Очевидно, что заряды
сосредоточиваются на обращенных друг к другу поверхностях про-
проводов. Поле между проводами идентич-
идентично полю заряженной нити в силу одина-
одинаковой симметрии обеих систем. Поэтому
разность потенциалов между проводни-
проводниками линии определяется ф-лой E.16)
при г=а и го=Ь: ф(а)—ф(Ь) =
= (т/2лзеаIп(Ь/а).
Емкость, приходящаяся на единицу
длины коаксиальной линии, определяет-
определяется теперь в соответствии с ф-лой E.12):
| т | 2яеа
\ф(а)-ф(Ь)\
Рис. 5.4
In (Ь/а)
E.17)
Например, при а= 2 мм, & = 5 мм, е = 2, Ci=il21 пФ/м.
Легко показать, что и в проводниках и в наружном простран-
пространстве электростатическое поле линии отсутствует. Действительно,
86
суммарный заряд, заключенный внутри коаксиальной цилиндриче-
цилиндрической поверхности с радиусом г<Са или г~>Ъ, равен нулю; по тео-
теореме Гаусса отсюда следует, что D = E = 0.
ПОЛЕ ДВУХ ЗАРЯЖЕННЫХ НИТЕЙ
Пусть нити, расположенные на расстоянии 2 Ъ друг от друга (рис.
5.5), несут разноименные линейные заряды с плотностью т и —т.
Результирующее поле симметрично и является суперпозицией по-
Рис. 5.5
лей каждой из нитей [ф-ла E.16)]. Примем, что потенциал точки
Р в плоскости симметрии: ф+(го)+ф-(го) = О. Тогда
ф(М) =
•1п^- + ф+(г0) +
-^ . E.18)
2яеа" г, ' ти vu/ ¦ 2яеа r2 ' TU ' "' 2леа
Эквипотенциальные поверхности [ф(М) = const] описываются
уравнением г2//ч = const. Известно, что окружность является геомет-
геометрическим местом точек, отношение расстояний которых от двух
данных точек постоянно. Поэтому в пространстве указанному урав-
уравнению отвечают круговые цилиндрические поверхности. Положе-
Положение центра С—d) произвольного эквипотенциального цилиндра ра-
радиуса а, находящегося слева от плоскости симметрии, определяет-
определяется равенством отношений расстояний до заряженных нитей для
диаметрально расположенных точек Di и D2:
r2 (d -{- а) -{- 6 (d — а) -{- Ь
(d+a) — b —(
откуда
E.19)
Оси эквипотенциальных поверхностей не совпадают с положением
нитей.
87
ПОЛЕ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ
Пусть два параллельных цилиндра радиуса а, расстояние между
осями которых равно 2d, имеют потенциалы соответственно $i и
—(j&i. Определим поле этой системы и емкость, приходящуюся на
единицу длины.
Очевидно, что заданная система имеет в пространстве вне ци-
цилиндров такое же поле, как две заряженные нити с равными раз-
разноименными зарядами, так как поверхности цилиндров могут быть
совмещены с эквипотенциальными поверхностями поля нитей. Ли-
Линейные плотности зарядов находятся подстановкой ф-л E.19) в
E.18):
2л8д01 2Л8О ф-i
~ In [d/a + V(d/a)* — l] Arch (d/a) '
отсюда емкость, приходящаяся на единицу длины системы;
т
U
In [d/a + У (d/a)* — l] Arch (d/a)
E.20)
Если 2d>l0a, то пользуются приближенной формулой. Пре-
Пренебрегая под квадратным корнем единицей по сравнению с (d/aJ,
получаем с погрешностью менее 1 %:
E)
lnBd/a)
Напряженность поля определим для произвольной точки
М(а, ф) на поверхности левого провода: Е = —gradtp
= — ег =
ег
дг
Выразим о и гг в цилиндрической системе координат с центром в
точке Oi и после дифференцирования подставим г = а и Ь =
= Yd2—а2:
дг тг дг ,2 дг
— In [r3 + (d —b?—2r (d—b) cos qp]} =
2т — 2 (d — ft) cos <p
¦-¦2/-(cг-|-6)C0Sф] —
2/• — 2 (d + ft) cos ф
/•* + (d + 6J — 2/- (d + b)cos9
a — (d + b) cos ф
6J — 2r (d — b) cosф (d+b) (d — а cos ф)
— a2
a—(d—b) cos ф _ —2ft .
(d — ft) (d—a cos ф) a(d —a cos ф) a (d — a cos ф)
Теперь найдем напряженность электрического поля и соответ-
соответствующую ей плотность электрического заряда [ф-ла E.М)] с уче-
учетом того, что ег=—п:
88
er,
2я а 8„ d — a cos ф
= т у&=ф ш 5 22)
3 2л а d — а cos ф
Заряд и поле второго проводника симметричны найденным.
Поверхностный заряд распределен по окружности проводящего ци-
цилиндра неравномерно. Вследствие эффекта близости (электроста-
(электростатической индукции) плотность заряда и напряженность поля каж-
каждого из проводов больше со стороны, обращенной к другому про-
проводу.
5.4. Поле постоянных токов
Поле постоянных токов определяется величиной и направлением
вектора J в каждой точке пространства. Обычно структуру токов
приходится рассчитывать для среды, обладающей сравнительно
небольшой проводимостью а, в которую помещены электроды про-
произвольной формы из металла или другого материала с высокой
проводимостью ам»а. К такой задаче сводится, например, расчет
заземлений антенн, электрических сетей и аппаратуры.
Поле постоянных токов неизменно, если потенциалы электро-
электродов поддержнваюся постоянными за счет стороннего источника
энергии; в этом случае не меняется и распределение зарядов. Фи-
Физически очевидно, что такая задача близка к электростатической.
Если среда, в которой создано электрическое поле, обладает неко-
некоторой проводимостью, то токи протекают вдоль линий напряжен-
напряженности электрического поля J = aE. Их величину и направление не-
нетрудно определить.
Докажем, что в области, не содержащей свободных зарядов и
сторонних токов, в случае а^~>о, существует аналогия между по-
полем постоянных токов и электростатическим — электростатическая
аналогия, которая позволяет применять для решения обеих задач
одинаковые методы. Из ф-лы E.1) при Ест = 0 и уравнения непре-
непрерывности B.10) при dp/dt=O получаем уравнения поля токов (ле-
(левый столбец). Выпишем в правый столбец уравнения электроста-
электростатики E.2) при р = 0:
rotE = 0; rot E =0 1
divJ = 0; divD = 0 I . E.23)
J = aE; D = eaEj
Эти системы уравнений аналогичны при парном соответствии
величин J^ Dho^6o. Как электрическое поле, так и поле токов
потенциально.
Граничные условия для вектора D в отсутствие поверхностных
зарядов ф-лы B.22), B.26)] D2n=Din; D2JDix = eaz/eat в силу
установленного соответствия справедливы для вектора J с заменой
ео на о:
К = Jun'y A Um = •/<*„ С 1, т. е. Jx = 9. E.24)
89
Нормальные составляющие плотностей тока в проводящей сре-
среде и электроде равны между собой; тангенциальная составляющая
JT на границе электрода практически отсутствует. Полученные
граничные условия аналогичны граничным условиям электростати-
электростатики [ф-лы E.11а)] для вектора D: Dn = —аэ (нормаль п направлена
из диэлектрика в проводник) и Dx =0 с заменой —аэ на /Мл. Сле-
Следовательно, полный заряд проводника в электростатической зада-
задаче Q= \ DdS = I ajdS заменяется для поля токов на полный ток,
5 S
= —/ = — fJ -cfS = —Г JndS.
s s
вытекающий из электрода /в
&
Полная проводимость среды между двумя электродами G =
= |/|/j<j&i—фг\. Эта формула аналогична формуле для электриче-
электрической емкости С E.12). Следовательно, ряд соответствий между
полем постоянных токов и электростатическим можно продолжить.
Для систем с одинаковой геометрией установлены следующие пра-
правила замен:
D-<— ? —>¦ /~\ *<— Т Z ¦<— /"¦ /С О С \
_~^J] 8O<_G; Ql^'ebiT) 1>_^U. (O.ZO)
Пользуясь полученными соотношениями, легко определить про-
проводимость утечки Gi на единицу длины коаксиальной и двухпро-
двухпроводной линий, заменив в ф-лах E.17) и E.20) га на о. Электро-
Электростатическая аналогия позволяет также экспериментально опреде-
определять сложные электростатические поля с помощью их моделирова-
моделирования в ванне со слабопроводящей жидкостью. .
5.5. Постоянное электромагнитное поле
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
В соответствии с полной системой ур-ний E.1) 'Стационарное поле
-содержит электрическую и магнитную составляющие. Первая из
них отвечает левому столбцу ур-ний в E.1), полностью совпадаю-
совпадающих с уравнениями электростатики E.2). Отсюда можно заклю-
заключить, что постоянное электрическое поле потенциально.
Выясним, соблюдаются ли в данном случае граничные условия
E.11) на границе раздела диэлектрика и проводника. Обычно
электрические токи создаются в проводниках, поперечные размеры
которых малы по сравнению с их длиной, вследствие этого плот-
плотность постоянного тока одинакова по всему сечению. Поле описы-
описывается системой ур-ний E.1) и возникает за счет поля Ест, которое
существует в ограниченной области, принадлежащей источнику
(рис. 5.6):
/ECT.dl= /E-dl+ f
Я,),
¦где ^i = Li/(aiSi) ,и Яг=Ег1(а?$?) — сопротивления участков цепи.
Ток J = aE протекает вдоль оси проводника, поэтому напряженность
•90
электрического поля внутри проводника постоянна по сечению и
имеет только касательную к его поверхности составляющую.
Если внутри проводника ?„2 = 0, то согласно ф-ле B.20) у его по-
поверхности Е-п =—аэ/еа, что соответствует ф-ле E.11а).
Pic 5.6
В диэлектрике у границы проводника преобладает, наоборот,
нормальная составляющая Еп. Пусть, например, в сечении mm'
цепи напряжение между проводами 0=6 В, ток /=1 А, диаметр
провода 2 а=\ мм, расстояние между осями проводов 2 d=10 мм;
провода медные а=58 МСм/м. Используем ф-лу E.20) для опреде-
определения %=neoU/\nBd/a) и пренебрежем неравномерностью распре-
распределения заряда по периметру проводника вследствие эффекта бли-
близости. Тогда ?и = а/ео=т/(ео2па) = ?//[2а1пB<//а)] = 2-1О3 В/м. Каса-
Касательная составляющая электрического поля Ех =//аяа2 ж 2,3 X
Х10~2В/м. Отношение нормальной и тангенциальной составляющих
Еп/Ех ~105. Это позволяет пренебречь в диэлектрике Ех по срав-
сравнению с Еп и считать ?т=0. Таким образом, условия E.11а), а
следовательно, и E.116) справедливы. Поэтому постоянное элект-
электрическое поле идентично электростатическому при одинаковом
распределении зарядов или потенциалов в системе проводников.
Поле в диэлектрике при протекании в проводниках стационарных
токов практически неотличимо от электростатического поля при
том же распределении потенциалов в системе1).
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ
Магнитное поле определяется правым столбцом системы E.1):
rotH = J; divB = 0; В = цаН. E.26)
Оно соленоидально (div B=0), и его линии непрерывны. Для
ряда симметричных систем (например, прямой ток) магнитное по-
*) Поле проводников с большим падением напряжения на единицу длины
(с высоким погонным сопротивлением, смотанных в катушку, многократно изо-
изогнутых) может существенно отличаться от электростатического, так как усло-
условие одинакового распределения потенциалов не выполняется.
91
ле вычисляется при помощи закона Ампера B.4): ф H-dl =
= fj-dS = /. Общий же метод решения требует введения вектор-
векторного потенциала магнитного поля А (с размерностью Т-м):
В = fiaH = rot A. E.27)
Условие соленоидальности поля вектора В выполняется, так
как всегда div rot A=0.
Дальнейшие преобразования справедливы для линейной одно-
однородной и изотропной среды. Тогда ца акалярио и постоянно 1). Под-
стазим ф-лу E.27) в первое из равенств E.26): rot rot A=fj,aJ и
используем тождество C.17); тогда V2A—grad div A =—fj,aJ.
Для определения любого векторного поля необходимо знать
как его ротор, так и дивергенцию. Если rot А известен [по E.27)],
то дивергенцию можно задать произвольно. В данном случае удоб-
удобно принять div A = 0. Этот выбор называют кулоновой калибров-
калибровкой. Теперь уравнение для векторного потенциала запишется в
знакомой уже форме уравнения Пауссона:
V2A = — jiaj. E.28)
В отличие от ф-лы E.8) здесь оператор Лапласа применен к
вектору А, поэтому ур-ние E.28) Я1вляется уравнением Пуассона в
векторной форме.
Разложив ур-ние E.28) по декартовым составляющим х, у, г,
найдем три скалярных уравнения Пуассона VMX>V, z=—ца^х, у, z.
Их решения запишем в форме E.10), заменив р/еа на \iJx,y,z. Объ-
Объединив затем координатные составляющие вектора А, получим ре-
решение ур-ния E.28):
E.29)
где г — расстояние от точки М до N; V охватывает все области,
где плотность токов отлична от нуля.
Если ток протекает по проводнику, диаметр которого мал по срав-
сравнению с расстоянием г в ф-ле E.29), ток можно считать линей-
линейным, протекающим по тонкой нити. Тогда в результате интегриро-
интегрирования i(N) dS dl по поперечному сечению провода получаем
Id\N, и формула для векторного потенциала принимает вид:
— , E.30)
где d\N — элемент контура с током.
По известному векторному потенциалу магнитное поле Н или
В определяется с помощью ф-лы E.27). Если выполнить это пре-
преобразование в общем виде, подставив ф-лу E.30) в E 27), то после
взятия ротора от подынтегрального выражения находим:
-(e,xdU, E.31)
где орт ег направлен из точки М в точку /V на контуре с током.
Формула E.31) выражает в общем виде закон Био-Савара.
В зависимости от характера задачи для вычисления магнитного
поля, созданного постоянными токами, выбирают одно из выше-
вышеприведенных соотношений.
ИНДУКТИВНОСТЬ И ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ
Рассмотрим два контура С4 и С2 с токами h и /г, каждый из кон-
контуров создает в окружающем пространстве магнитное поле. Отно-
Отношение собственного магнитного потока, пронизывающего контур,
к току в этом контуре называется собственной индуктивностью
контура:
ф« l Cr л «г г Фа2
= — = — \ »i • а э, Ьг = —— .
'I '1 J '2
E.32)
Отношение магнитного потока Фа, пронизывающего контур С4,
к вызвавшему его току в контуре С2, называется взаимной индук-
индуктивностью М12 между цепями 1 и 2:
a-dS, M2i = -2. E.33)
s,
Можно доказать, что взаимные индуктивности равны между
собой. Сосредоточенные параметры L и М определяют связь
электрических цепей с созданным ими в окружающем пространстве
магнитным полем и рассчитываются методами теории стационар-
стационарных полей..
ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Магнитное поле системы токов J, распределенных в конечном
объеме V, занимает все пространство. Плотность его энергии wM
в каждой точке определена ф-лой D.1). Поэтому полная энергия
магнитного поля
E.34)
*) В этом случае вектор А можно ввести также соотношением H = rot A.
9Й
где Vx — все пространство.
.;*¦ Энергию магнитного поля можно выразить также в виде интег-
интеграла, содержащего плотность токов, взятого по объему V, где эти
93
токи существуют; для объемных и линейных токов:
fAJrfV и Wu = — fA-dl.
E.35)
Формулы E.35) получаются в результате ряда преобразований
из E.34). Из E.35) с помощью ф-л E.30), E.32), E.33) найдем
соотношение для полной энергии магнитного поля двух контуров,
выраженной через их сосредоточенные параметры:
Wu = -i- U\ + ~ LJ\ + MvJih. E.36)
Полная энергия складывается из энергии собственных магнит-
магнитных полей первого и второго контуров и энергии взаимодействия
этих контуров. Формула E.36) часто используется для расчета па-
параметров L и М.
МАГНИТОСТАТИКА
В той области, где плотность электрических токов равна нулю,
магнитное поле описывается ур-ниями E.26) при /=0, называемы-
называемыми в этом случае уравнениями магнитостатики. Эти уравнения
идентичны уравнениям электростатического поля E.2) для обла-
областей, где р = 0. Если, кроме того, рассматриваемая область также и
не охватывает токов, магнитное поле внутри такой области потен-
потенциально, поскольку циркуляция вектора Н по любому замкнутому
контуру тогда равна нулю. В этом случае удобно ввести скалярный
магнитостатический потенциал фм, соотношением, аналогичным
E.3): Н = —grad фм.Этот потенциал подчиняется уравнению Лап-
Лапласа V2<?M=0.
Аналогия магнитостатики с электростатикой становится почти
полной после введения фиктивных магнитных зарядов, эквивалент-
эквивалентных кольцевым электрическим токам и постоянным магнитам
(известно, что реальных магнитных зарядов в природе не сущест-
существует). Тогда можно записать: div D = pM и доказать справедливость
уравнения Пуассона для скалярного магнитостатического потен-
потенциала Ч2фи=—pM/fxa. Все эти допущения позволяют применить к
расчету магнитных полей хорошо разработанные методы электро-
электростатики. Например, магнитное поле прямолинейного постоянного
магнита или электромагнита во внешнем пространстве рассчиты-
рассчитывается как поле двух разноименных магнитных зарядов, помещен-
помещенных на его концах.
Магнитные заряды, эквивалентные замкнутым токам, вводятся
следующим образом. Если размеры витка с током малы по срав-
сравнению с расстоянием до точки наблюдения, он называется магнит-
магнитным диполем. Его магнитный момент рм определяется ф-лой
A.11). По аналогии с электрическим диполем представим магнит-
магнитный диполь, как систему разноименных магнитных зарядов. При-
Приравняв оба выражения для магнитного момента, получаем рм=
94
= QMl/Ha = fNSni). Аналогия электростатических и матн'итостати-
ческих задач позволяет решать задачи магнитостатики, заменяя
следующим образом величины в известных результатах для элект-
электростатического поля:
Е^Н; D->B; га -+ Fa; Q-*(?';
р->рм; ф^ф*; рэ-^|1ари.
Таким способом, например,, легко решается задача 5.11 о поле маг-
магнитного диполя на основе результатов задачи 5.1 для электричес-
электрического диполя.
ЗАДАЧИ
5.1. Найти поле Е и ф электрического диполя с моментом po = Ql, распо-
расположенного в начале сферической системы координат, причем рэ]|ег.
Решение. Применим метод суперпозиции, представив поле электростатичес-
электростатического потенциала диполя как сумму полей E.7) точечных зарядов Q и —Q:
ф(г, 0)=[l/DjTEa)](Q//'i—Q/гг), где п и г2 — расстояния от каждого из заря-
зарядов до точки наблюдения М (г, ¦&). По определению диполя гЗ>/, поэтому век-
векторы г, ri и г2 можно считать параллельными; тогда их величины связаны
соотношениями rt=r—i(l/Q) cos ft; гг=г+ (//2)cos fl1. Отсюда l//"i— 1//"г =
= /aosfl7[r2—(//2J cos2 e]«/cos Ф/r2. Окончательно, потенциал электрияеокого
диполя в точке М (г, ¦&) равен ф (г, d) = Q / cos д/DлЕаг2) =рэ ег/Dлеаг2).
Очевидно, что потенциал диполя уменьшается с расстоянием гораздо бы-
быстрее, чем потенциал одиночного заряда, а его величина зависит также от по-
полярного угла в. Для определения вектора Е используем формулу для градиента
в сферических координатах [5]:
I дф I дф
дф
grad ф = —- еГ + • . Q
Подставляя сюда выражение для ф, получаем
Е =¦
59
5.2. Определить емкость и электрическую энергию поля уединенного шара
радиуса а= 1 см, находящегося в вакууме. Потенциал шара ^> = 2000 В.
Ответ: С»1,1 пФ; №а = 2,2 мкДж.
5.3. Определить емкость и электрическую энергию поля плоского конден-
конденсатора с площадью пластин 5=100 см2 и расстоянием между ними d=\ мм,
заполненного диэлектриком с е = 3 и заряженного до напряжения [/ = 500 В.
Искажением поля на краях конденсатора пренебречь.
Ответ: C=eaS/d=265 пФ; Гэ = 33,1 мкДж.
5.4. Построить график зависимости плотности энергии от расстояния в поле
заряженного шара и коаксиальной линии.
5.5. Определить силу притяжения между зарядом Q=—10 мкКл и беско-
бесконечной проводящей плоскостью, находящейся на расстоянии 1 м от заряда.
Ответ: F=0,225 Н.
5.6. Найти проводимость утечки на единицу длины коаксиального кабеля
(рис. 5.4) при а—2 мм; 6 = 5 мм; а='\ пСм/м.
Ответ: Gi = 6,85 пСм/м.
5.7. Рассчитать сопротивление заземления, выполненного в виде полусферы
радиуса а=\\ м, центр которой находится на уровне поверхности Земли с про-
проводимостью G=10 мСм/м.
Ответ: Лз=15,9 Ом.
') Данное равенство можно доказать способом, аналогичным примененно-
примененному в п. 7.5.
95
5.8. Рассчитать сопротивление заземления Ra, его потенциал фо н макси-
максимальное напряжение шага ?/ш — разность потенциалов между двумя точками
на поверхности земли, отстоящими друг от друга на 0,8 м в направлении
gr.ad ф. Заземление выполнено
в виде проводящей сферы ра-
радиуса а=1 м, закопанной в
землю на глубину А=2 м
(рис. 5.7). Ток через заземле-
заземление равен 1=1 А. Проводи-
Проводимость почвы о"п=0,1 мСм/м
(сухая почва).
Решение. Так как воз-
воздух (практически не проводит
электричества, на границе с
.ним /n|s=0. Электростатиче-
Электростатический аналог должен удовлет-
удовлетворять условию Dn|s=0, т. е.
поле касательно поверхности
5. (Применим к решению этой
электростатической задачи ме-
метод изображений. Из сообра-
соображений симметрии очевидно,
что искомое поле создается
системой равных, одноименных
и симметричных относительно
5 зарядов; предположим, что
заряды могут быть точечными
и расположены на расстоянии
#=Л+6 от 5. Тогда ф(М) =
={Q/Dme.)Kl/»-i+il/r2). Поле,
рассчитанное .по этой формуле
(рис. 6.7), имеет вблизи заря-
зарядов эювипотенциальиые поверх-
поверхности каплевидной формы, при
«е очень сильно отличающиеся от сферы. Считая приближенно эквипо-
эквипотенциальную поверхность фо сферической, совместим ее с 'заданной сферой в диа-
диаметрально противоположных точках d и Сг. Тогда для точки d: ^6o=[Q/4nea]X
Xtl/(a+6)+l/BA+6-a)], а для точки С2: 0.=Ю/'Dяе«)] Ц/(а— б) +
+ 1/BА+б+а)]. Приравнивая эти потенциалы, получаем смещение заряда-изоб-
заряда-изображения из центра сферы:
б = [(а2 -6§) а] / [B/i + боJ - а2] = 8,964 м,
где бо — смещение в нулевом приближении: 6»=«3/D/i2—а2) =9,067 м.
Введем радиус эквивалентного сферического заземления в безграничном
среде формулой <?o = Q/DjiSa а3); очевидно, as=ll/(a+d) + 1/B/1+6—а)]-' =
= 0,79 м. Найдем теперь сопротивление заземления \К» = фл/1, используя
соотношения электростатической аналогии E.25): R3=4>t/Q= Dя»п а3)~1 =
= 10,1 Ом. Потенциал заземления фо = /Л3—10,1 В.
Определим теперь распределение потенциала пв певерхности земли при
П = гг= YH2 + x2: ф=2фоаэ/г1. Касательная составляющая напряженности
электрического поля: Ех =—Aф1с1х = 2фааэХ1г\; ere прензводиая dEx ldx =
= 2фо ая(Н2—х2)/г\ равна нулю при х=#=2,06 м. Поместив эту точку в сере- •¦
дину шага, определим напряжение шага между течками Ха = 1,66 м и хв =
= 2,46 м: иш=фл—фв = 1,15 В.
5.9. Определить индуктивность Li единицы длины кваксиального кабеля
(рис. 5.4) при постоянном токе. Проводники изгвтевлеиы из материала с ц« „;
пространство между ними заполнено диэлектрикам с параметрами еа и \х,а-
96
Рис. 5.7
Указание. Рекомендуется вычислить запас магнитной энергий в проводника*
и диэлектрике и использовать ф-лу E.36).
Ответ:
/ j
5.10. Определить индуктивность катушки, состоящей из N витков и намотан-
намотанной на тороидальный сердечник из магнитного материала с (ii2>l. Размеры
тора: а — внутренний радиус; Ь — внешний радиус; h — высота.
Ответ: L — 1п —.
2л а
5.11. Найти магнитное поле А и Н магнитного диполя (кольцевого ввтк»
с током), обладающего магнитным моментом рм A11) и помещенного в начало
сферической системы координат (p«\\ez).
Ответ:
А =
4л
Рм
4лг<
4—2
J
Глава 6.
ВОЛНЫ У ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА СРЕД
6.1. Отражение и преломление плоских волн на
плоской границе раздела
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Явления на границе раздела двух разнородных сред: отражение,
преломление и поглощение электромагнитных волн — играют боль-
большую роль в электродинамике. В данной главе рассматривается
простейший класс задач такого рода: падение плоской волны- на
плоскую границу раздела, которую можно считать бесконечно про-
протяженной {практически с размерами, намного превышающими
I). Полученные результаты справедливы также для криволиней-
криволинейных границ и неплоских волн, если их радиус кривизны значитель-
значительно больше длины волны. Эти условия относятся к приближениям
геометрической оптики (см. 7.6) и позволяют рассматривать
электромагнитные волны в виде лучей.
Характеристики явлений отражения и преломления можно раз-
разбить на два класса:
— угловые — законы для углов отражения и преломления, вы-
вытекающие из особенностей волнового
процесса и одинаковые для волн любой
физической природы;
— динамические — законы для на-
пряженностей отраженной и преломлен-
преломленной волн, изменения фазы и поляриза-
поляризации, зависящие от конкретных гранич-
граничных условий.
ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ МНОЖИТЕЛЯ
БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ
Вначале покажем, что волна, распростра-
распространяющаяся в произвольном направлении
вдоль оси 01, (рис. 6.1), имеет в точке
М(х, у, z) множитель бегущей волны вида
«-«•'Р1ш' F.1)
где n=>cefl=^'(cosaex + co&pev+cosYeZ/) — волновой вектор, опреде-
определяемый по ф-ле C.31); r=xtx + yey + zez — радиус-вектор точки М-
а, р, у — углы между ортом ел и положительным направлением
98
осей координат. Следовательно,
К-Г = К (X COS а. -{- у COS р1 -(- Z COS у) = /с?, F.2)
так как расстояние от точки Р до начала координат ?=Jtcosa+
+ у cos р +2 cos у.
УГЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Рассмотрим явления, возникающие при падении плоской однород-
однородной волны на плоскую границу раздела B=0) двух произвольных
сред (рис.^6.2). Среды характеризуются коэффициентами распро-
распространения /ci, 2 и волновыми сопротивлениями ZBi, 2 (см. параграф
3.5). Очевидно, что волновые векторы падающей, отраженной и
преломленной волн равны соответственно K+=iTiejf; к~=к^е7;
кп='К2ел . Задай угол падения ф падающей волны. Определим угол
отражения ф' и угол преломле-
преломления ¦& отраженного и преломлен-
преломленного лучей.
Назовем плоскостью распро-
распространения волны плоскость, про-
проходящую через луч и нормаль к
граничной поверхности. Для па-
падающей волны она именуется
плоскостью падения и на рис. 6.2
совмещена с xOz.
Векторы Е и Н всех трех волн
должны удовлетворять гранич-
граничным условиям во всех точках
•плоскости л:=0 и в любой момент
времени. Поэтому независимо от Рис- 6-2
характера граничных условий
должны совпадать фазовые множители этих волн:
ia)+/-K+T|z=0 = ico-^-K--r|,_n = io)n/—к"-г|
г=0
!=0
F.3)
При фиксированном г отсюда сразу вытекает равенство частот
всех волн со+ = со~=соп. Проекция к+, а следовательно, и проекции
к~ и кп на ось у равны нулю. А это означает, что все волновые
векторы лежат в плоскости падения. Поэтому их проекции на
ось 2 должны быть равны между собой:
Ki sin ф = Ki sin фг= Kz sin ft, F.4)
что позволяет сформулировать следующие законы:
— закон отражения: угол отражения равен углу падения
ф'=ф;
— закон преломления Снеллиуса: отношение синусов углов пре-
преломления и падения равно отношению комплексных коэффициен-
4* 99
тов распространения в первой и второй средах:
sin ф к2 К2а + > K2f>
Из этого равенства следует, что в общем случае угол преломле-
преломления О может быть ком1пл0коным. Бели ограничиться рассмотрением
диэлектриков с несущественными потерями, то ка С кр и закон
Снеллиуса запишется в виде
sin ft к.д ?, i> , п,
= -ii = — = -Sf? = -J- ? F.6)
$1Пф К2р *2 "ЕЦ1 Л2
где rtj=|/ei щ; л2= ]/е2 цг — коэффициенты преломления сред.
Для диэлектриков синусы углов наклона лучей относительно
нормали пропорциональны фазовым скоростям волн в соответст-
соответствующих средах и обратно пропорциональны их коэффициентам
зреломления.
6.2. Формулы Френеля
КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ
Рассмотрим динамические характеристики при падении линейно
яоляризованной волны на границу раздела двух сред.
Интенсивности отраженной и преломленной волн определим че-
через коэффициенты отражения и преломления. Назовем коэффици-
коэффициентом отражения Г отношение комплексных значений напряжен-
ностей электрического поля отраженной Е~ и падающей Е+ волн
на границе раздела (* = 0) и коэффициентом прохождения во вто-
вторую среду из первой Г такое же отношение для преломленной
Е" и падающей воли:
Г = ЁГ1Ё+ (при х = 0); Т=ЁП!Ё+ (при х = 0). F.7)
Значения этих коэффициентов зависят от поляризации падаю-
падающей волны относительно плоскости падения. Поэтому рассмотрим
два случая, когда плоскость поляризации перпендикулярна и п.а-
раллельна плоскости падения волны.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ
В этом случае вектор Е перпендикулярен плоскости падения и па-
параллелен границе раздела, т. е. плоскость поляризации волны пер-
перпендикулярна плоскости падения. Запишем соотношения для век-
векторов налряженностей полей следующим образом (рис. 6.3):
падающая волна:
Н+ = А е
F.8)
И»
отраженная волна:
И" = ? е-"'¦'' (е-
е- х е,)
F.9)
преломленная волна:
F.Ю)
Eln
Рис. 6.3
Н" — — р~к"г /еп У е 1
?В2
где е+, е~, е? — орты каждого из
лучей.
Приравняем на граничной поверхности в соответствии с ф-лами
B.24) и B.25) тангенциальные составляющие векторов Е и Н. В
первой среде нужно просуммировать падающую и отраженную
волны: Ei\ —Ё++Ё-, НХ\ =//+coscp—//~cos<p. Из выражений
F.8) — F.10) и рис. 6.3 видно, что для выполнения равенства Ех\ =
= Е%2 необходимо, чтобы А + В = С, а для равенства #Ti = Нхг-
(/l/ZBi)coscp—(B/ZBl)cosф= (C/ZB2)cos 0. Из ф-л F.7) следует, что
Г = В/Ан Г = С/Л, тогда
1 + Г±=Т± и A— r±)Za cos ф = 7\ZBl cos О.
Решая эту систему уравнений, получаем формулы Френеля для
перпендикулярно поляризованных волн:
г ZB2 cos ф — ZB1 cos ft sin (ft —ф)
1 -l = - , , __—
Г, =
B2 cos ф + ZBl cos
2ZB2 COS ф
ZB2 cos ф -f ZB1 cos
sin E} -f ф)
2sin W cos Ф
sin (!) -f ф)
F.П)
За положительное направление векторов Е принят орт еу, сов-
совпадающий с положительным направлением оси у. Следовательно,
если коэффициент Г± оказывается отрицательным, вектор Е при
отражении поворачивается на 180° в пространстве, что равнознач-
равнозначно изменению фазы волны на 180°.
Выражения в F.11) справа, отделенные стрелкой (->), спра-
ведливы для немагнитных сред, когда щ = цг и ZBi/ZE2= V ег/ei. В
этом случае по закону Снеллиуса
у Bt /e2 cos <р — cos ft _ sin ft cos ф — cos 9 sin ф _
sin^
ii- И Г± =
82 у 8! /e2 COS ф 4" COS t)
аналогично упрощается выражение для Т±
sin ft cos ф 4- cos ft sin
101
ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ
В этом случае вектор Е лежит в плоскости падения, а вектор К
перпендикулярен ей и параллелен границе раздела, т. е. плоскость
поляризации волны параллельна плоскости ее падения. По анало-
аналогии с ф-лами F.8) — F.10) выписываем составляющие поля
(рис. 6.4):
Ё+=
X е,); н+ = - ^-
Ё~ = -Ве~к г (е- х е,);
H- = #e-K~r<
еп х еу); нп = - ?-
F.12)
Приравнивая выражения для ка-
касательных составляющих на гра-
границе раздела сред, получаем:
A cos ф + В cos ф = С cos ft;
AlZBl— B/ZBl= C/Zb2
или, переходя к коэффициентам
отражения и прохождения, име-
имеем:
A+Гц)со5"ф = Гц cosft;
A—rll)ZB2 = rllZBl.
Из этой системы уравнений
получаем формулы Френеля для
параллельно поляризозанных волн:
Р = zB2 cos u — zB1 cos ф _^_ tg (a — ф)
р
„
ZB2cos&+ZBlcosf tg (&
2ZB2 cos ф 2sin & cos ф
ZB2 cos ft + ZB1 cos ф sin {ft + f) cos (ft — ф)
F.13)
За положительное направление векторов Е выбрано то, которое
имеет положительную составляющую Ez. Части выражений F.13),
отделенные стрелкой -*~, соответствуют случаю |Л1 = |Л2.
В общем случае поле падающей волны раскладывают на две
составляющие, поляризованные перпендикулярно и параллельно
плоскости падения, и затем отдельно находят те же составляющие
отраженной и преломленной волн. Соотношения между этими со-
составляющими, определяющие характер поляризации, в этом случае
различны у падающей, отраженной и преломленной волн.
102
Из выражений F.11) и F.13) легко получить формулы для вол-
волны, падающей на границу 'раздела аред нормально, положив f =
=¦0=0:
~ ^В1 . т 2ZB2
Га —
F.14)
6.3. Отражение и преломление волн на границе
идеальных диэлектриков
ПОЛНОЕ ПРОХОЖДЕНИЕ
Считаем, что потери в средах малы (кв <^кр ) или вообще отсут-
отсутствуют, тогда справедливо равенство F.6) для определения угла
преломления.
Покажем, что для волн с параллельной поляризацией сущест-
существует угол падения, именуемый углом Брюстера фвр» при котором
отраженная волна отсутствует, т. е. волна полностью переходит во
вторую среду. Рассмотрим немагнитные диэлектрики (pxi == |лг),
исключив тривиальный случай равенства параметров сред (е1 = ег).
Действительно, согласно ф-лам F.13) Гц =0 при О+ф=90о, так
как тогда tg(^+<p)-voo. По закону Онеллиуса отсюда находим:
Угол Брюстера можно найти для любого соотношения между
г4 и Е2- Из ф-л F.11) вытекает, что для перпендикулярной поляри-
поляризации (при Ц1 = |лг) угол полного прохождения между разнородны-
разнородными диэлектриками не существует, \Г± \ всегда больше нуля. Угол
Брюстера называют также углом полной поляризации. Если вол-
волна с произвольной поляризацией направлена на диэлектрическую
пластину под углом фвр. отраженный луч имеет только перпенди-
перпендикулярную поляризацию, так как параллельно поляризованная ком-
компонента полностью проходит через пластину.
Диэлектрические пластины и шайбы, служащие для гермети-
герметизации и крепления в различных устройствах, часто ставят под
углом Брюстера. Тогда они полностью прозрачны для проходящих
волн.
ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ
Рассмотрим случай, когда волна проходит из среды оптически бо-
более плотной в менее плотную («i>ra2) при малых потерях в обеих
средах.
Из ф-лы F.6) находим условие
п2
F.16)
когда угол О веществен. В этом случае вещественны также коэффи-
коэффициенты отражения и прохождения в формулах Френеля.
103
Однако неравенство F.16) нарушается при превышении <р не-
некоторого значения <рКр, называемого критическим углом:
-i- sin Фкр = 1, т. е. фк = arc sin -^- =arc sin 1/ -Ь. . F.17>
Если угол падения больше критического, то sini&='(ni/n2)sin(f> =
= sin(p/sin<pKP>l и угол О не может быть вещественным. Поэтому
найдем решение по закону Снеллиуса F.6) в виде комплексного
угла й=ф'-И8:
sin ¦& — sin {¦&' + i 6) = (rti/raa) sin ф > 1 или
sin ¦&' ch 6 ¦+- i cos ft' sh 6 = (rti/ra2) sin ф.
Отсюда следует, что cos O/sh8=0. Решение 8=0 приводит к не-
неравенству sinu'>l, что невозможно. Следовательно, О' = я/2 и
угол # = л/2-Н8; тогда
п2
sin фкР
F.18)
cos G =-cos (—+ id) = cos—ch8—isin —sh8 = —i
V 2 / 2 2
= — i sh9.
Определим коэффициенты отражения F.11) и F.13):
Г, =
_ ZB2 cos ф + i ZBl sh 6
г. =-•
iZB2sh&
F
ZB2 cos ф — i ZB1 sh 6 ' " ZB1 cos ф — i ZB2 sh 6
Легко видеть, что модули числителей и знаменателей в обоих
случаях равны и \Г± \ = \Г ц | = 1, значит амплитуды отражен-
отраженной и падающей волн равны. Отраженная волна уносит всю энер-
энергию, принесенную падающей волной.
Парадоксальным кажется факт, что подстановка тех же выра-
выражений в формулы для коэффициента прохождения не приводит к
7\=0 и Г у =0, т. е. при полном отражении волны в среду /
одновременно создается поле в среде 2. Чтобы это объяснить,
обратимся к пространственной структуре Е и Н прошедшей волны
в соответствии с ф-лами F.10) и F.12), где к-r определяется соот-
соотношением F.2). Для данного случая (а=Ъ; р = 90°; у = 90°—Ъ),
считая /C2 = i&2, находим
-кП.г -ik^xcosli+zsirfb) — 'М-' * sh 6+z ch 6) — *2 sh 9-* -ifc,ch9i
e=e =e =e e
F.20)
Второй сомножитель этой формулы соответствует волне во вто-
второй среде, распространяющейся параллельно границе вдоль оси
z с фазовым коэффициентом ?2che>&2, т. е. с меньшей фазовой
скоростью u = u2/ch8, чем у обычной волны во второй среде. Из пер-
первого сомножителя следует, что ее амплитуда экспоненциаль-
экспоненциально уменьшается по мере удаления от границы (вдоль оси х). Бы-
Быстрота уменьшения амплитуды определяется коэффициентом
k2 she при аргументе х. Итак, во второй среде образовалась волна
104
¦с плоским фазовым фронтом, перпендикулярным оси z, и меняю-
меняющейся вдоль этого фронта амплитудой — плоская неоднородная
волна. Неоднородная волна с экспоненциально убывающей ампли-
амплитудой при удалении от граничной поверхности (как бы прилипаю-
прилипающая к этой поверхности) называется поверхностной. Таким обра-
образом, вещественная часть угла ft, равная я/2, действительно, пока-
показывает направление распространения волны, в то время как вели-
величина мнимой части в определяет быстроту убывания ее амплиту-
амплитуды вдоль оси х с коэффициентом ? = ?2sh6.
Экспоненциальное убывание амплитуды волны не связаго с
потерями во второй среде (они здесь не учитываются), а опреде-
определяется тем, что в среднем энергия из первой среды во вторую не
переходит. Следовательно, волна проникает во вторую среду, про-
проходит в ней какой-то путь и полностью возвращается обратно в
первую среду. Более детальные исследования (см., например, [4J)
показывают, что волна в среде 2 движется по эллиптическим тра-
траекториям, проходя определенное расстояние вдоль оси z (рис. 6.5).
Таким образом, поверхностная волна в среде 2 не существует
изолированно от поля в среде 1, представляющего собой сумму
падающей и отраженной волн. Возникновение поверхностной вол-
волны можно рассматривать как проявление «инерционности» волны
при полном отражении. Она не может сразу изменить направле-
направление своего движения. При значениях ф>фкр и не очень близких к
фкр граничное расстояние волны в ореде 2 хо= 1/?= l/(fesh 8),
определяемое по убыванию поля в е раз, сравнимо с длиной волны.
Поэтому поверхностную волну нельзя непосредственно наблюдать
в оптическом диапазоне и легко экспериментально обнаружить
да радиочастотах.
6.4. Граничное условие Леонтовича
Назовем отношение тангенциальных составляющих EXj и Ят на
граничной поверхности 5 поверхностным импедансом:
7 т
Н
F.21)
105
За исключением идеализированного случая бесконечной прово-
проводимости одной из сред составляющие Е% и Нх непрерывны при
переходе через границу, следовательно, выражение F.21) в равной
степени относится к поля'м по обе стороны границы.
Теперь перейдем к вы-
выводу граничного условия.
Предположим, что опти-
оптическая плотность среды 2
намного больше, чем у
среды У: Kp2>Kpi и вкаж-
/
?
и,'
п
'и;
4эк1
дой
т. е-
сог-
согугол
рис
среде к
| /с21 3> |ki|. Тогда,
ласно ф-лам F.5)
преломления весьма мал:
¦0-»-0. При любом угле
падения волна во второй
среде распространяется
практически по нормали п к границе раздела (рис. 6.6). Следова-
Следовательно, в этой среде векторы напряженностей поля параллельны
границе, а соотношение между ними записывается в виде C.34):
E2=ZB2(H2Xn).
Это соотношение справедливо для любой точки во второй сре-
среде, в том числе и для границы раздела. Так как нормальные со-
составляющие поля во второй среде практически отсутствуют, а тан-
тангенциальные непрерывны при переходе через границу, можно за-
заменить Ег на Ё2т = Е1т, а Н2 на H2r=Hi-.
В этом случае из ф-лы F.21) вытекает, что ZS=ZB2. Теперь за-
запишем окончательно соотношения для касательных составляющих
поля в первой среде при выполнении условия |/Сг| ^> |ki|:
Eh = Zs (Hi, X n) ; Zs = Zn2. F.2*2)
Поверхностный импеданс на границе раздела с оптически очень
плотной средой равен ее волновому сопротивлению. Соотношение
F.22) было выведено М. А. Леонтовичем при исследовании распро-
распространения радиоволн. Оно называется приближенным граничным
условием Леонтовича1). Использование этого условия значитель-
значительно облегчает анализ волн в тех случаях, когда оптические плотно-
плотности сред, в которых они распространяются, существенно различны
(например, воздух и металл). При этом не требуется определять
электромагнитное поле в оптически плотной среде. Решение зада-
задачи для двухслойной системы сводится к задаче для одной среды с
заданным импедансом Zs на ее границе.
В отличие от граничных условий, полученных в 2.7, условие
Леонтовича является приближенным, так как если ц>?=0, угол пре-
преломления все же отличен от нуля и во второй среде имеются,
') Его называют также граничным условием Щукина — Р ы т о в а —
Леонтовича.
106
кроме касательных, нормальные составляющие поля. В большин-
большинстве практических задач погрешность при использовании ф-лы
F.22) вполне допустима. Условие Леонтовича примерно с той же
погрешностью применимо для криволинейных фронтов волны и
криволинейных границ (сферических, цилиндрических), если их ра-
радиусы кривизны намного превышают длину волны во второй среде.
Оно справедливо также и для неоднородных сред, если изменение
параметров на длине Ь невелико.
6.5. Скин-эффект у плоской границы проводника
НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ
Хорошие проводники характеризуются весьма малыми значениями
модуля волнового сопротивления (порядка долей ома). Если вол-
волна падает из диэлектрика на проводник, то ф-лы F.11) и F.13)
можно значительно упростить с учетом того, что |ZB2|/|ZBi| =
= Wioeai/a2<Cl и cosd«l. Тогда для перпендикулярной поля-
поляризации
2Z., Г± =_2?52.coscp
F.23)
и для параллельной
2ZB
Т =J±*L. F.24)
" ' ZB1cos<p ' ZB1
В обоих случаях коэффициент отражения почти не отличается от
—1, следовательно, амплитуда отраженной волны по величине рав-
равна амплитуде падающей, но вектор EJr повернут относительно
Ё& на 180° (рис. 6.6).
Результирующая тангенциальная составляющая Е- на поверх-
поверхности проводника мала по сравнению с Е+ ; их отношение равно
коэффициенту прохождения.
Результирующая касательная составляющая магнитного поля
Нт в два раза больше, чем у падающей волны, так как направле-
и Hit совпадают.
ния Ни
ТОЛЩИНА СКИН-СЛОЯ
Итак, напряженности поля на границе с проводником определены.
Известно также, что волна в проводнике распространяется по нор-
нормали к его поверхности и является плоской и однородной. Этот
случай был уже рассмотрен в 3.7 для неограниченного пространст-
пространства. Используем результаты этого параграфа, считая плоскость
2=0 границей между диэлектриком и проводником. Согласно ф-лам
<3.45) и C.46), «Г= (l+i)/A, а составляющие Ег и Н2 в проводнике
с удалением от его поверхности весьма быстро убывают по экспо-
экспоненциальному закону е~2/л е~'2/л . Мерой быстроты этого убы-
107
вания является толщина скин-слоя Л [ф-ла C.44)]; на этой глуби-
глубине поле убывает в е раз по сравнению с его величиной на поверх-
поверхности. Волна, преодолевающая рубеж 2=Д, несет всего лишь
13,5% первоначальной энергии.
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИМПЕДАНС
В соответствии с ф-лой F.22) волновое сопротивление проводника
ZB2 C.49) является одновременно его поверхностным импедансом
Zs, так как |/c2|/|/ci|= У Ц202/(оеа1>1. Следовательно,
аД
1
У 1 ш(ла2 д '
~ S ~ аД ~~ 2 ~~
F.25)
Эту формулу легко запомнить, если заметить, что активная состав-
составляющая поверхностного импеданса равна сопротивлению для по-
постоянного тока ленты из того же металла шириной и длиной в
1 м и толщиной, равной скин-слою Д.
Поверхность проводника обладает также индуктивной состав-
составляющей импеданса, равной по величине активной.
ПОГЛОЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Определим мощность волны, входящей в проводник. Составляю-
Составляющие поля на границе раздела сред равны Ех и Н-с , следовательно,
комплексная мощность волны, проходящей через 1 м2 граничной
поверхности, с учетом ф-л F.22) и F.25), выразится как
П =
X Нх=
п.
F.26)
Векторное произведение взаимно перпендикулярных векторов
Ет и Ht равно произведению их величин и направлено по норма-
нормали к поверхности. Итак, вектор плотности потока энергии, направ-
направленный в проводник, состоит из равных по величине вещественной
и мнимой частей. Активная компонента П соответствует мощности,
которая превращается в тепло внутри проводника:
n = Ren = tfs|tfT|2n. F-27>
Эта формула напоминает закон Джоуля—Ленца в теории цепей,
только здесь ток заменен напряженностью магнитного поля.
Реактивная компонента вектора Пойнтивга Прт = Х:ь.|#т |2n
соответствует колеблющемуся потоку энергии, который поперемен-
попеременно входит в проводящую среду через ее граничную поверхность и
выходит из нее, периодически меняя направление своего движения.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ ПОВЕРХНОСТНЫЙ ТОК
Проникающее в проводник поле вызывает в нем ток с плотностью
J = aE, направление которого параллельно поверхности проводни-
проводника. Как и напряженности поля, плотность тока быстро убывает по
108
\
мере удаления от поверхности. Интерес представляет плотность
суммарного тока, протекающего под данной точкой проводящей
поверхности. Назовем его плотностью эквивалентного поверхност-
поверхностного тока j3kb. условно сконцентрированного на поверхности и рав-
равного интегралу от реального распределения J по глубине (рис
6.7). С учетом ф-лы C.46)
1экв = \ J dz = a f Ё dz = aET f
6o о
e~(' + i)z/A dz =
= CTE /
Ц
1 -Ы
„-(!
где Ёт =Ё0 ¦— напряженность поля на поверхности проводника.
Перейдем в полученной формуле от ?т к Hz по F.22) и под-
подставим в нее значение Zs из F.25). В ре-
результате получим
1экв =
(Нх X П ) = (Нт X П) .
F.28>
Плотность эквивалентного поверхно-
поверхностного тока равна по величине касатель-
касательной составляющей Нт и перпендикуляр-
перпендикулярна ей по направлению (рис. 6.6).
Вспомним, что точно так же опреде-
определяется поверхностный ток идеального Рис 67
проводника (ф-ла B.27)]. Следовательно,
суммарный ток в металле определяется только значением Нх У
его поверхности. В зависимости от проводимости металла о этот
ток распределяется на меньшую (Д->-0 при а->-°°) или большую
глубину.
6.6. Скин-эффект в круглом цилиндрическом
проводе
СЛАБЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ
Многие типы линий передач электромагнитной энергии состоят из
двух или нескольких цилиндрических проводов. Рассмотрим, к ка-
каким последствиям приводит скин-эффект в одиночном прямолиней-
прямолинейном проводнике (рис. 6.8).
Постоянный ток, как известно, распределяется по сечению про-
проводника равномерно и поэтому сопротивление на единицу длины
провода вычисляется по формуле
L
JS eES
ana2
а <0,5 Д,
F.29)
109
где 5 — площадь поперечного сечения
проводника.
Пока Д [ф-ла C.44)] больше, чем
радиус провода а, поле хорошо прони-
проникает в проводник, заполняя его почти
равномерно по сечению. Это значит,
что в определенном диапазоне частот,
начиная с самых низких, распределе-
распределение плотности тока почти не отлича-
отличается от распределения при постоян-
постоянном токе и можно использовать ф-лу
F.29). Расчеты показывают, что ука-
указанная формула применима до тех пор, пока Д^2а. Это область
слабого скин-эффекта.
сильный скин-эффект
Если радиус проводника велик по сравнению с толщиной' скид-
слоя: а>Л, можно применить к криволинейной поверхности про-
проводника условие Леонтовича и полученные выводы теории скин-
эффекта для плоской границы.
Исходя из ф-лы F.25), активную составляющую сопротивления
провода на единицу длины рассчитываем, как сопротивление его
скин-слоя толщиной Л постоянному току:
где 5С — поперечное сечение скин-слоя проводника.
Реактивное сопротивление при сильном скин-эффекте равно
по величине активному. Следовательно, полное сопротивление про-
проводника комплексно и определяется выражением
= -L±^=|? <L(i.f 0
о 2я а А 2Д
а>6А. F.30)
По мере увеличения частоты толщина скин-слоя уменьшается
и сопротивление провода растет. Формулы F.29) и F.30) не охва-
охватывают всех возможных частот. Заполнить этот пробел можно
лишь строгим решением задачи.
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрим распространение электромагнитной ТЕМ-волны
вдоль одиночного цилиндрического проводника (рис. 6.8). Поле
волны обладает осевой симметрией и имеет в диэлектрике состав-
составляющие Ет и Hv , вектор П направлен вдоль оси провода и опреде-
определяет энергию, переносимую волной.
Преломляясь на границе с проводником, затухающая волна
распространяется в нем по нормали к поверхности; ее составляю-
составляющие в проводнике Ez, Hv также симметричны относительно оси;
110
\
вектор П направлен радиально и соответствует тепловым потерям
волны. Плотность тока\в проводе, как и электрическое поле, имеет
только продольную составляющую Jz = aEz. Составляющая электри-
электрического поля Ez должна удовлетворять в любой точке однородному
волновому ур-нию C.22): V2 Е2—к2?2 = 0, где для проводника, со-
согласно ф-ле C.45) к=A-И)/Д.
Решим волновое уравнение в цилиндрической системе коордч-
нат. Для этого представим лапласиан V2 по ф-ле C.19). Поле
симметрично, поэтому д/д<р=0. Так как |кцр|^>|кд|, т. е. Д<СА,Д н
скорость изменения поля ло радиусу внутри провода значительно
больше, чем вдоль линии, и можно считать dJdz=O. Тогда
г dr X dr I dr2 ' г dr
Внося это значение в волновое уравнение и разделив его поч-
почленно на (—i кJ, получим
*Ъ +_i^ ^5 + E. = OL
[d(—i/cr)]2 (— \кг) d(—\Kr)
Это — дифференциальное уравнение Бесселя нулевого порядка
с комплексным аргументом (—i кг). Из двух возможных решений
данного уравнения функция Вебера Yo отпадает: при г=0 она при-
принимает бесконечные значения, а бесконечные значения поля на оси
проводника физически нереальны. Следовательно, электрическое
поле записывается через функцию Бесселя Ez(r)=AJ0(—1кг), где
,4 = const. Напряженность поля на поверхности проводника (г = а)
обозначим через Ео. Тогда постоянная A — Eo/Jo(—\ка).
Введем безразмерный параметр х=а У 2/А и выразим через не-
него аргумент функции Бесселя:
.— .l+i а У 21 — i 1—i -i 45°
— 1 ка = — 1 а = — = х = х е .
А А /2
Функция Бесселя комплексного аргумента также комп-
комплексна: Jn(xe~i45°) =Ьп(х)е~'^п^х). Численные значения Ьп и рк
приведены в таблицах (см. например, [37]). Так как —i/cr=
= (г/а)хе~145° , модули Jz(r) и Ez(r) представляются формулой
\jo(Xe-U5°r[a±
j2
h
(г)
(а)
(А
(а)
Jo (— i кг)
Jo (— Гк а)
. F.31)
На рис. 6.9 представлены графики распределения плотности
тока по сечению проводника, вычисленные по ф-ле F.31) при раз-
различных отношениях а/А. Они отражают особенности скин-эффекта
в круглом проводнике. Волны распространяются к оси проводника
по радиусам навстречу друг другу. Поэтому напряженнность поля
и плотность тока уменьшаются с увеличением расстояния от гра-
границы проводника медленнее, чем при плоской граничной поверхно-
111
ети. Полный ток / в проводнике определим интегрированием
h(r) по его поперечному сечению. Вследствие осевой симметрии
интеграл по углу q> дает 2я. Поэтому
/ = 2я \JZ (r) rdr =
2яа?„
Jo (— i ка)
/0 (— i кг) rdr.
Неопределенный интеграл вида Г J0(z)zdz = zJy(z) является таб-
табличным A1, ф-ла E.52)]^ Следовательно, ток I = i2naoEeX
ШЙ.|-(?^| X/if—\каI[к1о(—in а)]. Напряжение на еди-
f)()] р
ницу длины провода равно Ео. Поэтому комп-
комплексное сопротивление одного метра провода
Zi = E0/I. Удобно отнести Zx к сопротивлению
того же проводника постоянному току ^?oi
к,
р i 2 J
Рис. 6.10
[ф-ла F.29)]; заменим также аргументы через х:
а/л
/«о
Ji (х е
.—i'
2 ftt (x)
F.32)
Теперь несложно определить вещественную и мнимую часги
¦сопротивления провода е/диничной длины Zi=i/? X
F.33)
Сопротивления i?i и Xi рассчитываютс помощью таблиц числен-
«ых значений модуля нормированного комплексного сопротивления
(х/2) (bofbi) и фазового угла (р0—Pi) при различных х (см. {37,
табл. 64]). Можно непосредственно использовать графики рис.
6.10, рассчитанные по ф-ле F.33). С ростом частоты обе компонен-
компоненты /?i и A^i увеличиваются, причем фазовый угол растет от 0
до 45°
С помощью асимптотических формул для малых аргументов
функций Бесселя получим «3 ф-лы F.32) приближенные соотно-
соотношения:
-f-
v4 v2
1 + — + i —
192 8
ИЛИ
Ri = Ям [1 + 0,0208 (д/Д)*1; Xt = Rol ¦ 0,25 (a/AJ. F.34)
Точные ф-лы F.33) дают возможность вычислить погреш-
погрешность приближенных соотношений. Так, использование ф-лы
F.29) в пределах а^.0,5 Л приводит к ошибке до 0,3% по модулю
и до 3,5° по фазе. Формула F.34) при а^1,5 А дает погрешность
менее 0,5% для tfi и менее 5% для Xi. Формула F.30) при а = 6А
дает ошибку на 7% для Rt и 1% для Хц эта ошибка уменьшается
с ростом а/А.
6.7. Метод ориентированных графов. Прохождение
волны через пластину
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Анализ и расчет цепей свч и электродинамических устройств зна-
значительно упрощается при использовании метода ориентированных
графов — нового топологического1) способа определения их харак-
характеристик C1]. Его достоинствами являются наглядность графичес-
графического изображения и быстрота получения конечного результата.
Анализ сложного устройства методом графов не требует решения
граничной электродинамической задачи (если она решена для эле-
элементов этого устройства) и составления системы алгебраических
уравнений, а также позволяет избежать громоздких математичес-
математических преобразований. Рассмотрим этот метод подробнее.
Линейный ориентированный граф изображает линейную зависи-
зависимость между несколькими переменными. Он имеет вид цепи, со-
состоящей из узлов, соединенных ветвями. Узлы характеризуются
узловыми сигналами, например, комплексной напряженностью
поля волны в соответствующей точке системы. Ветви характери-
характеризуются направлением и коэффициентом передачи Т (передачей).
Узел — источник, >из которого ветви только исходят, называется
независимым. Стоком считают тот узел, к которому ветви только
подходят. Если к узлу подходит хотя бы одна ветвь, он считается
зависимым. Совокупность ветвей, проходящих через каждый узел
не более одного раза, называется путем, Tj — передача /-го пути,
. равная произведению передач всех пройденных ветвей. Замкнутый
путь .называется контуром первого порядка; Lj]) — передача /-го
') В топологии изучаются наиболее общие свойства геометрических фигур,
такие, например, как замкнутость. Любые деформации линий и поверхностей
не меняют топологических свойств фигур.
1113
контура первого порядка. Контур п-го порядка — совокупность п
контуров первого порядка, у которых нет общих узлов; его переда-
передача LW определяется произведением передач входящих в него кон-
контуров первого порядка.
Назовем коэффициентом передачи Shm отношение комплексных
напряженностей поля волны, пришедшей в &-й узел, и волны от
источника, находящегося в пг-тл узле. Если m = k, то Shh представ-
представляет собой комплексный коэффициент отражения. Эти коэффи-
коэффициенты определяются с помощью ориентированных графов по
«правилу некасающегося контура»:
Zil'lV Zi Li вк"Г Zi L« нк ~ Zj L< нк т • ¦ JJ
Sbm = -J -± ,., 1-^—=* _ , F.35)
i i i
где Tj — передача /-го пути из узла m в узел k; Lin) — передача
г'-го контура га-го порядка. В знаменателе этой формулы суммиро-
суммирование выполняется по всем ,контурам, в числителе — только по
контурам, не касающимся /-го пути.
ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛНОЙ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ
ПЛАСТИНЫ
Рассмотрим методом графов практически важный случай нормаль-
нормального падения плоской однородной волны на плоско-параллельную
пластину. Три произвольные однородные среды, характеризующие-
характеризующиеся коэффициентами распространения кп = кап +i /cpn- (п=\, 2, 3)
и волновыми сопротивлениями ZBn (индекс «в» в дальнейшем опу-
4 -..- В
Среда 1
Среда!
Среда 3
Рис. 6.11
скается) разделены плоскостями А и В (рис. 6.11) так, что среда
2 образует слой толщиной d. Требуется определить две характери-
характеристики: коэффициент отражения от пластины r=Su = ETIEt
114
Среда .
А ' Среда 2.
В, 4
коэффициент прозрачности пластины T=S3i=E3/Et (Et опреде-
определяются при 2=0, а Е3 — при z=d). Волны испытывают много-
многократные отражения от границ раздела 1 и 2, поэтому отраженная
?Г и прошедшая Е3 волны образуются в результате интерферен-
интерференции бесконечного ряда волн.
Составим вначале граф, соответствующий прохождению через
границы А прямой и обратной волн (рис. 6.12). Считаем, что па-
падающая из среды / волна Ef попадает в узел сц; далее она частич-
частично отражается с коэффициентом Ai= (Z2—Zi)/(Z2 + Zi), что показа-
показано ветвью aibh а частично проходит во вторую среду с коэффи-
коэффициентом r2i = 2Z2/(Z2 + Zi), чему соот-
соответствует ветвь аф2. Оба коэффициен-
коэффициента определяются формулами Френеля
F.14). Для волны ?Г> падающей на
ту же границу из второй среды — из
узла а2, коэффициенты отражения и
прохождения находятся из преды-
предыдущих заменой индексов сред
1^=2: r22=(Zl—Z2)/(Zl+Z2) для вет-
ветви аф2 и Tl2 = 2ZJ(Zl+Z2) для ветви
a2b\. Двойные индексы следует читать рИс. 6.12
так: «21» — «в среду 2 из среды 1т>.
В узлах Ь\ и Ь2 объединяются две волны: отраженная в той же
среде и пришедшая из другой среды.
Обратимся снова к рис. 6.11. Прохождение волной пластины
толщиной d в среде 2 описывается множителем е"*^ , который и
является передачей соответствующих ветвей: исходящей из Ь2 и
входящей в а2. Граф для границы В аналогичен рассмотренному;
нужно лишь учесть, что волна, падающая из среды 3 через -узел
а3, отсутствует. Теперь несложно изобразить граф, соответствую-
Среда 1 А
Среда2
В
Рнс. 6.13
щий поставленной задаче (рис. 6ЛЗ). Здесь по аналогии с преды-
предыдущим случаем Г^ =(Z3—Z2)I(Z3+Z2) и r32 = 2Z3/('Z3+Z2).
Коэффициенты Г и Г определяются по графу рис. 6.13 и ф-ле
F.35). Этот граф имеет только один контур а2Ь2а'2ь'2 а% соответ-
1:15
ствующий волне, многократно^ отраженной от границ А и S; его
передача L\l) =Г22е~к* аГ'22е-к> * . Для волны, прошедшей из сре-
среды / в среду 3, возможен только один путь аф2а '2 Ь3 с передачей
Ti = T2l e~K'dT32, касающийся контура L [1). Коэффициент прозрач-
прозрачности пластины находим по ф-ле F.36)
Т Т е~~*' а 1Z Z
Т = 5Я1 = —а-а—^- = _ -____^j> ^^^^ F_36)
+ Z,)
( Z\
Для отраженной волны на рис. 6.13 есть два пути: aibi и
a\b2a'2 ь'2аФп из них только первый не касается контура L[l) .
Передачи этих путей: 7\ = Аг, T2=T2ie -Ъ dr'22e~^dTl2. Следова-
Следовательно, коэффициент отражения от пластины:
Г = Оц —
- Г№ Г
22
Г22
Z2 (Z3 — Z,)
Zx
F.37)
Этим же методом нетрудно найти соотношения для Г \\ Т при
наклонном падении во.лны на пластину.
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНА
Предположим, что все среды на рис. 6.11 диэлектрики с малыми
потерями, так что затуханием волны в пластине 2 можно пренеб-
речь^ Тогда везде сопротивления ZB вещественны, а коэффициен-
коэффициенты K2.=\k2 мнимы. В формулах F.36) и F.37) следует заменить
гиперболические функции тригонометрическими:
Z2 (Z3 + Z,) cos k2d -f i ( Z\ + Z^.,) sin k.-4
Z, (Z3 — Z,) cos fe2d -f i ( Z\ — г,г3) sin k^d
Z2 (Z3 + ZJ cos fe2d + i ( Z^ + Z^, I sin fe,d
F.38)
F.39)
Найдем условия полного прохождения волны: Г=0.
При одинаковых параметрах сред / и 3 (Zi=,Z3) в числителе
ф-лы F.39) исчезает первое слагаемое, а выражение в скобках
второго 'слагаемого !(>Zf^ZiZ3) не может быть равным нулю. Сле-
Следовательно, равенство Г = 0 выполнимо лишь при условии
sinM = 0, что требует k2d=mn (m = l, 2, 3...) или d=mX2/2. Тол-
Толщина пластины должна быть кратна полуволне во второй среде;
полуволновая пластина в этом случае абсолютно прозрачна.
При различных параметрах сред 1 п 3 (Ъ^фЪъ) первое ела
гаемое в числителе ф-лы F.32) может быть равно нулю лишь пр?»
Мб
условии cos^2d=0 или k2d=Bm— 1)л/2; одновременно положить
нулю sink2d нельзя, поэтому необходимо, чтобы Z|—ZiZ3 = 0.
Итак, условия полного прохождения:
d = Bm — 1)Я,2/4 и Z2 = /ZiZ3. F.40>
Пластина должна быть четвертьволновой (или ее толщина
должна быть равна нечетному числу четвертей длин волн в ней)
и иметь волновое сопротивление, равное среднему геометрическо-
геометрическому от волновых сопротивлений разделяемых сред. Свойство абсо-
абсолютной прозрачности четвертьволнового слоя F.40) используется
для «просветления опти-
оптики», т. е. создания неот-
неотражающих линз и призм
для волн от оптического
диапазона до дециметро-
дециметрового.
На рис. 6.14 представ-
представлены графики для коэф-
коэффициента отражения по
мощности |Г|2, вычислен-
вычисленного по ф-ле F.39) при
следующих параметрах
идеальных диэлектриков:
ei = l; кривая /—е2=2;
1Г12
0J
0,6
0,5
Of
03
0,2\
01
\
N
\ Ч
7\ /
/1
Т
\
N
/
\
\\
XJ2
Рис. 6.14
е3 = 81; кривая 2 — е2=4;
е3=81; кривая 3 — е2=9; е3 = 81; кривая 4 — е2 = 4; е3=1. Эти гра-
графики 'подтверждают полученные выше условия. Из рисунка видно,
что полная прозрачность (кривые 3 и 4) достигается лишь в срав-
сравнительно узкой частотной полосе. Частотные характеристики, по-
подобные кривой 4, позволяют измерять длину волны, если известны
е2 и d, либо диэлектрическую проницаемость е2 пластины при из-
известной частоте и толщине d. По этому же принципу можно по-
построить фильтр, пропускающий определенную полосу частот.
6.8. Электромагнитный экран
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
Электромагнитный экран представляет собой пластину из метал-
металла или другого поглощающего материала и используется для за-
защиты от высокочастотных полей. Обычно форма экрана довольно
сложная и определяется видом защищаемой аппаратуры или ли-
линии связи; однако криволинейные поверхности экрана можно поч-
почти всегда рассматривать как плоские, если выполняются условия,
изложенные в 6.4.
Экран препятствует проникновению к данному устройству по-
посторонних высокочастотных полей, в то же время он подавляет
излучение от устройства во внешнее пространство. Заземленная
117
металлическая пластина является одновременно электростатичес-
электростатическим экраном. Обычно металлический экран (среда 2 на рис. 6.11)
разделяет два диэлектрика (среды / и 3), потери в которых несу-
несущественны. Поэтому волновые сопротивления Zt и Z3 веществен-
вещественны. Параметры экрана: "/с2= A+i)/A; Z2=(\+i)R2; R2=A/(oA);
~/?2/Zi<gl; 7?2/Z3<Cl. Для хорошо проводящего металла выполняет-
выполняется условие oZi и aZ3> 1010 1/м, считаем, что толщина экрана
d>[0~3 мкм, так как более тонкие слои практически неосущест-
неосуществимы^ тогда выполняются также условия R2/Zi и R2/Z3<gib<
¦<|sh/C2d|, где b = d/A.
Коэффициент отражения экрана во всех случаях близок к
— 1. Чтобы определить, на сколько Г отличается от —1, найдем
величину АГ=Г—(—1). С учетом малости #2/Zi и RzlZ3 из ф-лы
<6.37) получим:
л / — I -+-1 — — —— = — cth кф,. (Ь.41)
(Z2iZ1 + Zo/Z3) ch K2d + sh к, d Zx
Коэффициент прозрачности экрана найдем из ф-лы F.36):
0 7/7 О II _1 \\ D /7
Т = l?vfi = ^(i_+_i)_K_2/?i F.42)
sh K2d sh 6 cos 6 -f- i ch 6 sin 6
так как K2d= (I +i)d/A= A +i)S; b = d/A.
Для практических расчетов удобнее использовать коэффициент
прозрачности экрана по мощности, который определяется отноше-
отношением средних значений векторов Пойнтинга волны, прошедшей
экран, и падающей на него:
П
Z1Zs(sh»e + sin* б)'
F.43)
так как модуль знаменателя в ф-ле F.42) sh26cos26 +
<ch2 6 sin2 б = sh2 S A —sin2 6) + sin2 б A + sh2 6) = sh2 б + sin2 6.
В расчетах важную роль играет поверхностный импеданс
экрана Zs=Ej Hi=Rs + iXs. Как и для проводника неограничен-
неограниченной толщины, активная составляющая поверхностного импеданса
позволяет находить электромагнитные потери волны на границе
с экраном по соотношению F.27), так как при любом угле паде-
падения волна в экране распространяется почти по нормали. Поверх-
Поверхностный импеданс границы А диэлектрика с металлом (рис. 6.11)
с учетом ф-лы F.41)
Я,
Нх
,j , j.
sh 26 — i sin 26
_ p
ch26-cos26
Рассмотрим два частных случая.
sh 26 + sin 26 + i (sh 26 — sin 26)
ch26-cos26
lie
ТОНКИЙ ЭКРАН (d<0,5 A; 5<0,5)
Заменим в ф-лах F.43) и F.44) синусы первыми членами их
рядов, а косинусы — двумя первыми слагаемыми. Тогда
А
~d
_ I rp 12
F.45>
Поверхностный импеданс тонкого экрана чисто активен. В
указанном приближении Zs и \Т\ не зависят от частоты. Понятие
«тонкий экран» отражает его малую толщину по сравнению с
толщиной скин-слоя. На частоте 1 кГц «тонким» будет медный
экран толщиной d<\ мм, а для 1 ГГц — с?<1 мкм. Очень тонкие
металлические слои, прозрачные для света, могут служить эффек-
эффективным экраном для электромагнитных излучений радиочастот.
Например, металлическую пленку наносят на стекло, которым за-
закрывают кабины дежурного персонала на мощных радиоцентрах.
Экранирующее действие тонких металических пленок определяет-
определяется не поглощением, а значительным отражением на границе ди-
диэлектрика с металлом.
ТОЛСТЫЙ ЭКРАН (d>2A;.6>2)
В ф-лах F.43) и F.44) можно теперь пренебречь тригонометри-
тригонометрическими функциями по сравнению с гиперболическими и, кроме
этого, положить shx^chx^O.Se*. Тогда
,2
К,; 4l~ =
— 2<//Д
е
F.46)-
Исчезновение тригонометрических функций в ф-лах F.38} оз-
означает, что интерференционные эффекты между границами прек-
прекратились. Поглощение в пластине толщиной rf>2A настолько
велико, что можно пренебречь волной, отраженной от границы
В. Поэтому поверхностный импеданс пластины равен волновому
сопротивлению проводника и не зависит от его толщины.
Коэффициент прозрачности экрана по мощности [ф-ла F.46)]
равен произведению величины затухания в материале пластины
е-2<//д и коэффициентов прохождения через границы Л и В, оп-
определяемых соотношением F.14):
!'!
= \1 32 \ — — ~
В
РАСЧЕТ ПРОЗРАЧНОСТИ И ПОВЕРХНОСТНОГО ИМПЕДАНСА
ПЛОСКОГО ЭКРАНА
Проведем численный анализ полученных соотношений на приме-
примере медных экранов толщиной c?i = 0,5 мкм; d2 = 2 мкм и d3 = 20 мкм,.
находящихся в воздухе, при падении на них волны с частотой
1:1 &
/=1 ГГц. Так как в дашюм_случае Zi=Z3 = Z0, коэффициент проз-
прозрачности по мощности Ш/П ^ = 17" |2. Эту величину удобно выра-
выражать в децибелах: Т[дв] = 10 \g \T\2. Толщина скин-слоя по ф-ле
C.48) Д = 2,085 мкм, поэтому экран толщиной dt является тонким,
а экран толщиной d3 — толстым. Примененные формулы и ре-
результаты расчетов сведены в табл. 6.1.
Таблица 6.1
d мкм
0,5
2,0
20
0
0
9
6
,24
,96
,6
Формула для
1/@ d)
F,44)
(i-H)tf2
34
9,
8,
Zs
мОм
,4
244-i5
26fi8
,18
,26
Формула для
|7V
4/Btff dJ
F-43)
F-46)
3
2
7
,4
,0
,0
•10~8
io-9
• ю-17
T, дБ
—74,
—87,
— 161,
7
0
5
Из полученных данных вытекает, что даже очень тонкий
экран толщиной в четверть скин-слоя имеет весьма низкий коэф-
коэффициент прозрачности. Нужно почти в 40 раз увеличить толщи-
толщину экрана, чтобы его защитное действие (выраженное в децибе-
децибелах) увеличивалось в два раза.
Изменение характера поверхностного импеданса весьма пока-
показательно и свидетельствует о том, что его реактивная часть обус-
обусловлена потоком энергии, углубляющимся в металл в среднем на
Д и возвращающимся затем обратно. Поэтому при очень тонкой
пластине (<0,5А) поверхностный импеданс чисто активен; при
dm\ Xszz0,5 Rs, а при d = 2A уже устанавливается соотношение
XS = RS, характерное для бесконечно толстой пластины. Металл
на глубине свыше 2Д практически не участвует в создание об-
обратного потока энергии.
Высокое защитное действие даже очень тонких экранов сви-
свидетельствует о том, что недостаточная экранировка чаще всего
обусловлена наличием отверстий, щелей или других дефектов в
экране, а не малой его толщиной.
РАСЧЕТ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОВОДОВ КОАКСИАЛЬНОЙ
ЛИНИИ И ЕЕ ЭКРАНИРОВКИ
Полученные соотношения позволяют рассчитать некоторые пара-
параметры коаксиальной линии (рис. 5.4) на произвольной частоте.
Пусть требуется найти сопротивление единицы длины медных
проводников коаксиальной линии с а = \ мм, Ь = 4 мм, d=b\—Ъ =
= 0,2 мм на частоте f=1100 кГц. Толщина скин-слоя по ф-ле C.48)
Д = 0,2085 мм. Как известно, магнитная составляющая поля в
линии #ф касательна к поверхности обоих проводников и оди-
одинакова по всему их периметру. Поэтому, во-первых, соблюдаются
условия анализа скин-эффекта в цилиндрическом проводе, про-
проведенного в 6.6, и могут быть использованы полученные там ре-
¦20
зультаты. Во-вторых, при радиусе кривизны внешнего проводника
b^E-i-lO)d к нему применимы результаты анализа плоского ме-
металлического экрана.
Сопротивление внутреннего проводника при а/Д = 4,8 опреде-
определяется только строгими соотношениями F.33). Используем по-
построенные по этим формулам кривые рис. 6.10: R[a> =2,65R@f =
= 14,6 мОм/м; Х[а> = 2,Щ?=12,6 мОм/м, где R<0? = l/@jta2) =
= 5.5 мОм/м—сопротивле.ние проводника постоянному току.
Сопротивление внешнего проводника определяем по форму-
формулам для металлической пластины, так как <b/d=20. Искомое сопро-
сопротивление равно сопротивлению плоской полосы шириной 2яЬ, рав-
равной периметру внешнего проводника:
2лЬ
F.47>
В данном случае 6 = <i/A = 0,96, поэтому Zs определяется ф-лой
F.44). Результаты расчета Z<*> = 3,68 + i 2,06 мОм/м.
Экранирующее действие внешнего проводника коаксиальной
линии оценим, исходя из следующих соображений. Пусть мощ-
мощность передаваемой волны Ро=Л Вт, ток в линии / = 0,115 А. Тог-
Тогда магнитное поле у внутренней поверхности внешнего проводни-
проводника #ф =1/BяЬ) =4,6 А/м. Теперь представим себе, что такое поле
создано плоской волной, падающей из воздуха на поверхность,
плоской металлической пластины толщиной d. Так как магнитное
поле у границы с проводником удваивается, поле падающей вол-
волны #+ =0,5#ф =2,3 А/м. Вектор Пойнтинга падающей волны
YIi~=Z0\Hf |2 = 2 кВт/м2. Коэффициент прозрачности медного-
экрана относительной толщиной 6 = ^/Д = 0,96, граничащего с воз-
воздухом, определен ранее (см. табл. 6.1). |Г|2 = 2,0-10~9. _Следоза-
тельно, вектор Пойнтинга снаружи экрана Ш=П1 |Г|2=
= 4 мкВт/м2. Мощность излучения с каждого метра длины кабеля
Pxi =Из2лЬ = 0,1 мкВт/м. Относительный уровень излучения еди-
единицы длины линии Pzi /Ро составляет — 70 дБ. Если в общей
конструкции объединены две одинаковые линии, то определяется
переходное затухание между ними, равное мощности волны, про-
проникшей во вторую линию из первой, по отношению к мощности
волны в первой линии. Так как на пути волны находятся два
экрана, переходное затухание ориентировочно равно (в децибе-
децибелах) удвоенному значению полученной величины, т. е. — 140 дБ
на единицу длины. Для линии длиной 100 км=105 м полученное-
переходное затухание увеличивается на 10 lg 105 = 50 дБ и со-
составляет — 140 + 50 = —90 дБ. С повышением частоты уменьшает-
уменьшается А и переходное затухание между линиями со сплошным экра-
экраном возрастает.
ЗАДАЧИ
6.1. Плоская волна падает из воздуха на плоскопараллельную пластину
гйз полиэтилена (е = 2,25). Найти угол наклона пластины к лучу, при котором
параллельнополяризованная волна проходит пластину без отражения. Показать,
что полное прохождение имеет место на обеих плоскостях пластины. Найти
коэффициент отражения перпендикулярнополяризованной волны от каждой из
плоскостей пластины при этом же угле.
Ответ: фБр=56°20'; Гх =—0,385.
6.2. Определить фазовую скорость поверхностной волны и ее граничное
¦расстояние в воздухе. Волна образуется на границе полиэтилена (е=2,25) и
воздуха при ф = 70°; частота 300 МГц.
Ответ. и = 2,12-108 м/с; хо=16 см.
6.3. Из воздуха на медную пластину нормально падает волна с частотой
f=100 МГц. Напряженность поля Hi=l А/м. Определить поле на границе
пластины и мощность, поглощаемую пластиной (отнесенную к 1 м2 ее пло-
площади) .
Решение. Напряженность магнитного поля Ят = 2Я( = 2 А/м. Волновое
сопротивление пластины для этого случая найдено в 3.7: ZB2=3,7 e =2,6+
i2,6 мОм. Следовательно, по ф-ле F.23) Г=2 2в2/2в1 = 2-0,0037 еи5° /377=
Напряженность электрического поля ?_ =EtT —7,4-
В/м, где ?i = 2Bi #i = 377 В/м — поле падающей волны. Можно
использовать условие Леонтовича: Ех =НХ Zs = 2-3,7- Ю-3 е1 45° = 7,4- Ю-'е |45*
В/м. Мощность, поглощаемая пластиной (отнесенная к единице площади):
n = tfs|#T |2 = 2,6-10-3-4=10,4-10-3 Вт/м2=10,4 мВт/м2.
6.4. Вывести формулы для Г и Т F.23) и F.24), основываясь на граничных
условиях Леонтовича.
6.5. Определить отношение тока, распространяющегося в металле вне скин-
слоя Д, вне слоя 2А и ЗА к суммарному току /экв.
<Ответ: 0,368 е~'; 0,135 e~~2i; 0,0498 е~31 .
6.6. Доказать, что для немагнитных проводника и диэлектрика (Цд = Цвр)
справедливо следующее положение: энергия, рассеиваемая в проводнике за один
период Т, равна среднему (за период) запасу магнитной энергии, содержащейся
в тонком слое диэлектрика толщиной Я.вр = 2Л|Д у поверхности проводника, т. е.
ТР = 2л\гюк (кпр — длина волны в проводнике).
6.7. Вычислить комплексное сопротивление Zi=Ri + \Xi алюминиевого
@=36 МСм/м) провода диаметром 1 мм на частотах 100 Гц; 1; 10; 100 кГц;
1; 10 МГц. Построить график зависимости Ri и Xi от частоты (в логарифми-
леском масштабе по частоте).
Ответ: 7?i = 36,4; 36,4; 36,5; 44,0; 116,5; 340 мОм/м; Xi = 0,038; 0,286; 3,14;
28,3; 106,0; 340 мОм/м.
= 1,9610-5е|45°
• 10->е|45<
Глава 7.
ИЗЛУЧЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
7.1. Электродинамические потенциалы
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
Выше было установлено (параграфы 3.5 и 3.6), что переменное-
электромагнитное поле имеет волновой характер и распростра-
распространяется в свободном пространстве с постоянной скоростью, рав-
равной с. Из уравнения баланса энергии для переменного электромаг-
электромагнитного поля следует, что электромагнитная энергия переносится
волнами из объема, где действуют переменные сторонние токи, в
окружающее этот объем пространство, где этих токов нет. Процесс
волновой передачи переменного электромагнитного поля из обла-
области, где существуют сторонние источники, называется излучением.
На практике приходится решать две противоположные зада-
задачи, связанные с излучением электромагнитных волн: проектиро-
проектировать излучающие устройства — антенны, которые должны излу-
излучать в нужных направлениях практически всю подводимую к ним
энергию, и создавать неизлучающие направляющие устройства
для передачи электромагнитных волн. Очевидно, что решение
обеих задач требует знания закономерностей процесса излуче-
излучения. Теоретически задача сводится к определению во всем прост-
пространстве электромагнитного поля, созданного некоторым распреде-
распределением сторонних токов JCT. В качестве исходной примем систе-
систему уравнений Максвелла для однородной изотропной средьг
C.13).
ВЕКТОРНЫЙ И СКАЛЯРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛЫ
При рассмотрении статических и стационарных полей введение
потенциалов позволило свести уравнения Максвелла к уравнению
Пуассона, наиболее простому по форме. Воспользуемся этим
способом для упрощения системы уравнений монохроматическо-
монохроматического поля в однородной среде при наличии сторонних токов C.13).
Поскольку div Н = 0, выразим Н, как и в E.27), через вектор-
чый электродинамической потенциал А:
Н =A/70 rot А.
G.1)
1:2:а
Подставим это выражение во второе уравнение системы C.13):
rotE =— i со rot А или rot (Ё-|-i ю А) = 0.
Выражение в круглых скобках, ротор которого равен нулю, мож-
можно по аналогии с E.3) представить в виде градиента некоторой
скалярной функции, которую назовем скалярным электродинами-
электродинамическим потенциалом ф:
Ё + i ш А = — grad ф или Е -— — grad ф'— i ю А. G.2)
Первое уравнение Максвелла C.13) записывается через элек-
электродинамические потенциалы в виде: rot rot A = icoeaiXa(—grad ф—
—i©A)+[xaJCT или с учетом тождества C.17) и обозначения C.21)
в виде: V2 А—к? А—grad (div A + i<uea\ia<p) =—Ца^ст-
Так как div А можно задать произвольно, воспользуемся для
электродинамического потенциала А лоренцовой калибровкой:
^ = 0, G.3)
I ?]
которая при со = 0 переходит в кулонбву калибровку.
В результате получаем неоднородное волновое уравнение для
векторного электродинамического потенциала:
V2 А-к» А = -?}„. G-4)
Из третьего ур-ния C.13) получаем аналогичное уравнение для
скалярного электродинамического потенциала:
Щ-рСт17а, G.5)
которое является следствием ур-ния G.4) с учетом калибровки
G.3).
РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Предположим вначале, что источник поля (JCT, рст) занимает весь-
весьма малую область Д1/-*-0 около начала координат. Во всем осталь-
остальном пространстве поле удовлетворяет однородным волновым урав-
уравнениям, т. е. G.4), G.5) с нулевой правой частью. В этом случае
очевидна сферическая симметрия решения скалярного ур-ния G.5)
относительно источника; поэтому считаем решение не зависящим
от углов фи О в сферических координатах: дф/д<р=0; дф/(Эф=О.
1 (J2 1гф\
Тогда оператор Лапласа C.19) упрощается: \/ ф — — ^ ¦
а однородное ур-ние G.5) принимает вид: К —к?(гф)=0.
Это уравнение (с другими переменными) совпадает по виду с урав-
уравнением C.23) для плоской однородной волны. Аналогично решению
C.24) оно допускает два решения для поля в произвольной точке
М: гф(М)=Ве~к г +Се+кг.Из проведенного в 3.5 анализа сле-
следует, что лервое слагаемое описывает сферическую волну, расщро-
124
страняющуюся от источника в сторону возрастающих значений
г. Второе слагаемое соответствует волне, сходящейся к источнику;
существование такой волны физически нереально, противоречит
принципу причинности явлений и не удовлетворяет теореме един-
единственности, в частности, условиям излучения D.38); поэтому счи-
считаем С=0.
Итак, ф(М) = (B/r)e~K r . Очевидно, что коэффициент В пропор-
пропорционален интенсивности источника. С понижением частоты коэффи-
коэффициент распространения /с-Ч), и естественно предположить, что в
пределе при ф(М) = В/г данное выражение совпадает с выраже-
выражением E.10) для поля электростатического заряда, которое являет-
является решением уравнения Пуассона E.8). Тогда В=рстАУ/Dяеа).
Возвращаясь к произвольной частоте и считая объем V, где
расположены сторонние силы, также произвольным, получаем
ф(М) =
__ \ РсТе"
у 4леаг
-dV.
Векторное ур-ние G.4) можно представить тремя скалярными
проекциями в декартовой системе координат, каждая из которых
подобна G.5). Применив полученное решение для каждой из про-
проекций (с заменами рст/еа-^н^ст х, „, 2 и ф-*-Ах, у, 2), а затем, объеди-
объединив их, получим решение для векторного электродинамического
потенциала:
\(М)
= -?<- f
4л i
dV
4я i
-dV,
G.6)
где V — объем, занимаемый сторонними токами, г — текущеее рас-
расстояние от каждого элемента объема источника до точки М.
Это решение называется интегралом Кирхгофа для запазды-
запаздывающих потенциалов. Оно удовлетворяет условиям теоремы един-
единственности для внешней задачи электродинамики (см. 4.6). Мно-
Множитель е~" г =е к<хГе 1К$Г соответствует конечной скорости расп-
распространения волны от источника у = (о/кр , благодаря чему его
воздействие доходит до точки М с запаздыванием на время tj-
= л/у = кр г/со (рис. 7.1). Векторный потенциал А (М) в момент вре-
времени t является функцией токов в точке И,
существовавших в . более ранний момент
Отметим, что за исключением множите-
множителя запаздывания е~к гсоо-тюше«ие G.6) не
отличается от решения E.29) для вектор-
векторного потенциала стационарного магнитно-
магнитного поля. Справедливость допущений, сде-
сделанных при выводе ф-лы G.6), подтверж-
подтверждается непосредственной подстановкой по-
полученного решения в исходное ур-ние G.4).
125
I
Из ф-лы G.6) следует, что векторный электродинамический
потенциал А параллелен создавшему его стороннему току, его
амплитуда убывает с расстоянием по закону 1/г; на большом рас-
расстоянии от излучателя (по сравнению с его размерами) волна
имеет сферический фронт.
Напряженность магнитного поля определяем по известному
значению А из соотношения G.1). Затем, учитывая отсутствие
сторонних токов в точке М, с помощью первого ур-ния C.13) нахо-
находим напряженность электрического поля:
Е (/И) = 74г- rot Н = i rot rot A. G.7)
Полученные соотношения определяют в общем виде электро-
электромагнитное поле заданного распределения сторонних токов в без-
безграничном пространстве.
7.2. Элементарный электрический излучатель
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА А
Элементарный электрический излучатель представляет собой отре-
отрезок линейного проводника с неизменным по длине переменным
током /ст. длина I и поперечные размеры которого намного меньше
длины волны. На концах такого отрезка проводника согласно
уравнениям непрерывности C.12) образуются пе-
переменные электрические заряды QCT = /cT/(ico), по-
поэтому данная система рассматривается также, как
электрический диполь с периодически меняющимся
моментом ра=Яст1=1ст1/(ш); она называется ос-
осциллятором. Первой макроскопической моделью
такого осциллятора был вибратор Герца (рис. 7.2),
в котором заряды накапливаются на шарах или
дисках с большой электрической емкостью.
В теории антенн элементарным электрическим
излучателем считается достаточно малый по длине
(по сравнению с Я) участок провода. Каково бы
ни было распределение амплитуды и фазы тока по
всему проводу, в пределах отрезка /<СА, их можно принять неиз-
неизменными. Таким образом, сложные антенны системы можно пред-
представить составленными из элементарных излучателей.
Определим электромагнитное поле, создаваемое элементарным
излучателем, помещенным в среду с малыми потерями (ка -С/ср)
в начало сферической системы координат так, что l||ez (рис. 7.3).
Будем считать, что в интеграле Кирхгофа G.6) V — объем эле-
элементарного излучателя, а точка наблюдения М удалена от него
на расстояние г^>1; очевидно, что г в пределах V меняется не
больше, чем на /. Так как ка '<Ск<х А,<С1, множитель е *а в ин-
интеграле практически неизменен. Изменение фазы /ср /= BлД) X
126
Щ Выноси]
¦а
Рис. 7.2
также несущественно.
Выносим постоянные множители
и интегрируем:
А(л*) = *4—
4л г
4л г
¦М-
О S
4л г
М-а
4л г
ег-
<7-8> 1>„с.7.3
Следовательно, векторный потенциал А поля излучения элемен-
элементарного электрического излучателя в любой точке параллелен его
оси. Величина этого потенциала не зависит от направления и из-
изменяется с расстоянием от излучателя по закону 1/г.
ОПРЕДЕЛВНИЕ НАПРЯЖЕННОСТЕИ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Напряженность магнитного поля находим по ф-ле G.1). Ротор ст
A=Azez определяем в цилиндрической системе координат (р, <р, z).
Так как <ЭД/<9ф = 0, он имеет лишь одну составляющую:
^Расстояние r=yV + za, поэтому дг/др = pl\ V+ г2 = p/r = sin д.
Тогда Н = - -Sfa- ,w
и окончательно
[Иг
G.9)
Электрическое поле определим по ф-ле G.7) в сферической
системе координат с учетом того, что магнитное поле имеет един
ственную составляющую #ф:
1
rotH = — —(sin$Hv)er —
г sin ft до г or
127
4я
г [кг (кг)*}
Напряженность электрического поля
Ё(г, ft) =
4л
(кг)* ^ (кг)'
(кг)* (кг?
где ZB =У fia/ea = K/(i ш
среды [см. ф-лу C.33)].
~кг, G.10)
волновое сопротивление
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Соотношения G.9) и G.10) полностью описывают электромагнит-
электромагнитное поле элементарного электрического излучателя, обладающее
следующими свойствами:
— поле обладает осевой симметрией относительно оси 0z, что
является следствием симметрии излучателя; ни одна из составляю-
составляющих не зависит от координаты <р;
— в любой точке Е_1_Н, так как в сферической системе коорди-
координат электрическое лоле имеет составляющие Ег и Е^, а магнитное
поле — только Яф ;
— величины всех составляющих пропорциональны моменту
тока /ст/.
Зависимость составляющих электромагнитного^ поля ot_j> ас-
стояния г определяется слагаемыми 1/(кг), 1/(кгJ и 1/(кгK в
ф-лах G.9) и G.10). Относительный вес отдельных слагаемых ме-
меняется в функции (кг), что приводит к качественным различиям
поля на разных расстояниях от излучателя. Различают три зоны
в поле излучателя: ближнюю {\кг[<0,1), промежуточную @,)<
<|«х|<10) и дальнюю (|кг|> 10).
В последующих формулах везде, кроме показателя экспонен-
экспоненты, заменим /слп/ср = ik, что не сказывается на точности получен-
полученных соотношений для поля в слабопоглощающей среде (ка -СКр).
ПОЛЕ В БЛИЖНЕЙ ЗОНЕ
При &г<0,1 в ф-лах G.9) и G.10) основную роль играют слагае-
слагаемые высших степеней:
Е (г, #) =
G.11а)
Г*г. G.116)
Из сравнения выражения для электрического поля G.11а) с фор-
формулой для Е электростатического поля электрического диполя (см.
задачу 5.1) вытекает, что при замене рэ на Рэ=ЛыЧ(ш) они отли-
отличаются лишь на множитель бегущей волны е1 (ftrf-fcr) в выражении
для переменного поля. Запаздывание по фазе практически неза-
незаметно в (пределах -ближней зоны (менее 0,1 (рад). Формула iG.11a)
описывает квазистатическое электрическое поле, меняющееся
синхронно с изменением зарядов на концах вибратора, ио по
структуре идентичное статическому полю.
Магнитное поле G.116) также отличается от магнитного ноля
отрезка проводника с постоянным током, определяемым законом
Био и Савара, лишь множителем е1 (">'-* г>. Формула G.116) опи-
описывает квазистационарное, индукционное магнитное поле.
Фазы электрического и магнитного полей в ф-лах G.11), как
и фазы зарядов и тока излучателя, сдвинуты друг относительно
друга на 90°. Соответствующая составляющая вектора Пойнтин-
га чисто реактивна. Поток энергии, соответствующий основным
компонентам ближнего поля, периодически меняет направление и
в среднем за период равен нулю.
Плотность энергии электрического поля в ближней зоне зна-
значительно больше, чем у магнитного. Их отношение минимально в
экваториальной плоскости @ = 90°), но и тогда
Щ1и>м = еа I Е Р/(цв I И I2) = гаЧ1Ыа Фг)г\ = M(kr)* > 100.
128
В ближней зоне преобладает квазистатическое электрическое поле.
ПОЛЕ В ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ЗОНЕ
В промежуточной зоне плотности энергии электрического и маг-
магнитного полей становятся примерно одинаковыми и значительно
меньшими по величине, чем в ближней зоне. Равное значение с
ранее рассмотренными приобретают здесь составляющие поля
Е~\\г, ?~1/г2 и Н~\/г, меняющиеся с расстоянием медленнее,
чем квазистатические и квазистационарные поля, характерные для
ближней зоны. Структура электромагнитного поля здесь очень
сложна, так как в общих ф-лах G.9) и G.10) нельзя пренебречь
ни одним слагаемым. У всех составляющих поля наблюдается
значительное запаздывание по фазе по сравнению с полем в ближ-
ближней зоне.
ПОЛЕ В ДАЛЬНЕЙ ЗОНЕ
В дальней зоне (kr>\0) преобладают составляющие поля, меняю-
меняющиеся обратно пропорционально г в первой степени. Пренебрегая
в ф-лах G.9) и G.10) остальными слагаемыми, получаем:
6—2 '129
Е (г, #)
H (г, #)
i kfCT I
Anr
nfe_/crj
4л г
Z, sin ¦fl-e
sinfte
G.12)
Здесь Kr=Kar + ikr. Зависимость фазы поля от расстояния опре-
определяется только множителем e~iftr. Эквифазной поверхностью яв-
является сфера, т. е. излучается сферическая волна. Ее фазовая ско-
скорость направлена вдоль радиуса-вектора: v= (со/й)ег= (с/|/ецУег=
= vefi e2.
Ранее были установлены общие для всех зон свойства поля
излучателя: его осевая симметрия, ортогональность электрического
и магнитного векторов, пропорциональность всех составляющих
моменту тока hit- Кроме того, электромагнитное поле в дальней
зоне (при ка<С/Ср) обладает следующими особенностями:
1. В каждой точке поля связь между векторами Е и Н сфери-
сферической волны G.12) такая же, как у плоской однородной волны
[ф-лы C.29), C.32)], а именно:
— волна поперечна (ТЕМ), она имеет лишь две взаимно пер-
перпендикулярных составляющих Е^ и Я перпендикулярных нап-
направлению распространения ег;
— соотношение между величинами и фазами Е и Н везде оди-
одинаково и определяется волновым сопротивлением среды ZB=
= ?Ф/ Яф; ZB вещественно, и поэтому Е$ и Яф синфазны;
— комплексный вектор Пойнтинга П= ЁхН= (\E\2/ZB)er имеет
только активную составляющую и нап-
направлен вдоль радиус-вектора;
— объемные плотности электрической
и магнитной энергии [ф-лы D.33), D.34)]
равны между собой: шэ = шм;
— энергетическая и фазовая скоро-
скорости волны совпадают по величине и на-
направлению: иэ = уСд.
Все это свидетельствует о том, что
соотношения G.12) описывают поле, из-
излучения: волну, переносящую электро-
электромагнитную энергию от излучателя во
внешнее, пространство. Поэтому назовем
Е и Н в этих соотношениях волновыми компонентами поля. Даль-
Дальнюю зону, где эти компоненты преобладают, называют волновой
зоной или зоной излучения.
2. Напряженности поля волновых компонент сферической вол-
волны убывают с увеличением расстояния по закону 1/г. Следователь-
Следовательно, средняя плотность потока энергии (рис. 7.4):
sin2
ег,
G.13)
130
где По= (k/ст/J2в/DяJ, убывает в непоглощающей среде обратно
пропорционально г2. Это легко объяснить тем, что с увеличением
расстояния растет площадь сферы 4яг2, по которой распределяется
энергия излучателя. Благодаря относительно медленному умень-
уменьшению волнового поля возможен радиоприем на весьма значитель-
значительных расстояниях от излучателя. По мере приближения к излуча-
излучателю величины волновых компонент поля возрастают.
Несмотря на это, в промежуточной и особенно в ближней зоне
они маскируются значительно более сильными реактивными поля-
полями. Уместно отметить, что поскольку ф-лы G.12) описывают вол-
волновые компоненты поля, существующие во всех зонах, поток энер-
энергии излучения пронизывает все эти зоны; однако только в дальней
зоне он становится преобладающим.
3. Излучаемая энергия распределяется в пространстве неравно-
неравномерно, напряженность поля зависит от угла ¦& между осью излуча-
излучателя л заданным направлением.
Зависимость напряженности поля излучателя в дальней зоне
от направления (угловых сферических координат Ф и qp) при по-
постоянном расстоянии от излучателя (г = const) называется его
диаграммой направленности:
г-~ I 1\ \ Е (& ч ф) //(&, ф) /-7 1 Л\
# {и, ф) = —* — = —* — • ('.*4)
Емах "мак
Из ф-лы G.12) следует, что диаграмма направленности элемен-
элементарного электрического излучателя
f (#, ф) = .f (#) = sin # G.15)
не зависит от долготы <р. Максимум излучения лежит в эквато-
экваториальной плоскости вибратора @ = 90°); вдоль его оси излучения
нет. Диаграмма направ-
направленности, построенная в
сферических координа-
координатах, представляет собой
тор (рис. 7.5).
Так как напряженно-
напряженности полей в разных точ-
точках сферического фронта
волны неодинаковы, из-
излучаемая волна неодно-
неоднородна. Однако, поскольку
амплитудные, фазовые и
пространственные соотношения между векторами в каждой точке
поля сферической неоднородной и плоской однородной волн оди-
одинаковы, поля этих волн неотличимы в пределах любого обгсма с
малыми линейными размерами /<^г (лежащего не очень близко к
оси z). Поэтому на большом расстоянии от источника сферичес-
сферическую волну можно рассматривать как плоскую.
5* 131
Рис. 7.5
МОЩНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
ИЗЛУЧАТЕЛЯ
Зная среднюю величину вектора Пойнтинга G.13), рассчитаем
мощность Pz , излучаемую электрическим вибратором, проинтегри-
проинтегрировав П по сфере произвольного радиуса г^$>Х (считаем ка =0).
Так как элементарная площадка на поверхности сферы dS =
= г2 sin Оd О dф, мощность излучения
я 2я
= j j (Шг*)sin2ftr2sin®dftdy.
Sr 0 0
Подынтегральное выражение не зависит от азимутального угла
Ф, и интегрирование по «ему дает 2я. Интегрирование по поляр-
полярному углу О приводит к следующему результату:
f sin3fld0= J A— co ^i
0
1
Отсюда находим мощность излучения элементарного электри-
электрического вибратора
^/J/ НЧУ^ GЛ6)
Коэффициент пропорциональности между квадратом эффектив-
эффективной величины тока и мощностью излучения называется в теории
аитенн сопротивлением излучения /?2. Очевидно, справедливо ра-
равенство Pz =RS /„. Величина /?z при излучении в свободное про-
пространство с ZBo=il2On, как следует из ф-лы G.16):
"/ G-17)
Сопротивление излучения определяет мощность, излучаемую
вибратором в свободное пространство. Чем больше /?s, тем боль-
больше величина излучаемой мощности при том же значении тока. Для
элементарного вибратора (пока /<;>.) сопротивление излучения
пропорционально квадрату отношения длины вибратора к дллне
волны, т. е. быстро возрастает с увеличением частоты.
7.3. Принцип перестановочной двойственности
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В СИММЕТРИЧНОЙ ЗАПИСИ
Решение некоторых задач электродинамики можно существенно
упростить, если ввести в систему уравнений Максвелла сторонние
магнитные токи J"T и заряды р"т . Согласно всем известным
экспериментальным результатам, магнитные заряды реально не
существуют и с физической точки зрения являются фиктивными
132
величинами. Однако их существование в теории оправдано по сле-
следующим причинам: замкнутые электрические токи, переменные и
постоянные, а также постоянные магниты можно заменить экви-
эквивалентными им линейными магнитными токами и сосредоточенны-
сосредоточенными магнитными зарядами; в систему уравнений Максвелла вво-
вводятся 'Слагаемые, недостающие до ее полной симметрии относи-.,
тельно электрических и магнитных величин. Например, в первом
уравнении системы C.11) ротор напряженности магнитного поля
равен сумме плотностей электрических токов смещения, проводи-
проводимости и стороннего. Уместно поэтому ротор напряженности элект-
электрического поля во втором ур-нии C.11) приравнять (с обратным
знаком) аналогичной сумме плотностей «магнитного тока смеще-
смещения» icoB, магнитного тока проводимости и стороннего магнитного
тока [в ур-ниях C.11) имеется только первое из этих слагаемых].
При введении объемной плотности магнитных зарядов в четвертое
ур-ние C.11) оно становится симметричным с третьим.
С указанными дополнениями уравнения Максвелла являются
попарно симметричными; запишем их «в
C.13):
rot Н = i ауеа Ё + JCT
rot Ё = — i i
форме, аналогичной
7adivE =
G.18)
Математическая законченность уравнений Максвелла в сим-
симметричной форме столь привлекательна, что до сих пор не остав-
оставлены попытки обнаружить в природе существование магнитных
зарядов.
Магнитные токи и заряды в этих соотношениях, как и электри-
электрические, связаны уравнениями непрерывности, аналогичными ф-ле
C.12), которые являются прямым следствием ф-л G.18).
ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ К ЗАМЕНАМ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН
Покажем, что в каждом из ур-ний G.18) можно заменить все
электрические величины магнитными, а магнитные —• электрически-
электрическими при соблюдении определенных правил знаков, не изменив при
этом системы уравнений Максвелла; уравнения лишь поменяются
местами в парах. Заменим всюду вектор Е на Н. Будем следить
за тем, чтобы при заменах направление потока электромагнитной
энергии, определяемое вектором Пойнтинга П = ЕхН, оставалось
неизменным. Как видно из рис. 7.6, для этого следует заменить
Н на —Е.
133
Таким образом, второе ур-ние G.18) перейдет в первое, если
заменить также jxa на га и J"t на —JCT . Аналогично из первого
ур-ния G.18) получается второе при замене еа на ца и JCT на J"T •
Подобные правила для зарядов следуют из третьего и четвертого
ур-ний G.18). Сведем вместе полученные правила замен:
G.19)
Принцип перестановочной двойственности уравнений Максвел-
Максвелла заключается в их инвариантности к заменам G.19). Отсюда
следует, что электромагнитные поля, созданные некоторым распре-
распределением сторонних электрических токов Jn u таким же простран-
пространственным распределением сторонних магнитных токов JTt., анало-
аналогичны. Зная решение одной из задач, можно найти решение дру-
другой простой заменой по G.19).
6) и Взаимная замена ixa и еа в ф-ле
C.33) для волнового сопротивления
среды ZB приводит к тому, что оно.
меняется на обратную величину 1/ZB.
Принцип перестановочной двой-
двойственности, сформулированный впер-
впервые А. А. Пистолькорсом, приме-
применяется, как правило, при рассмот-
рассмотрении полей в безграничном прост-
пространстве. Замены G.19) сохраняют справедливость условий на бес-
бесконечности [ф-ла D.37) или D.38)]. Сложнее обстоит дело с огра-
ограниченными областями, так как принцип двойственности применим
лишь в тех случаях, когда перестановкам G.19) отвечают также
измененные граничные условия. Однако, если еще можно считать,
что диэлектрику соответствует магнетик, аналога электрического
проводника в виде «магнитного проводника» не существует.
Одним из следствий принципа двойственности является отме-
отмеченная в 5.5 аналогия задач электростатики и магнитостатики.
7.4. Элементарный магнитный излучатель
Рассмотрим поле, создаваемое элементом магнитного тока /Ст
длиной /. Как и в 7.2, длина и поперечные размеры элемента тока
считаются весьма малыми по сравнению с длиной волны.
Данная задача отличается от задачи об элементарном электри-
электрическом излучателе только тем, что вместо электрического тока
здесь действует магнитный. Геометрия излучателей осталась неиз-
неизменной, граничные поверхности в пространстве отсутствуют. Сле-
Следовательно, решения этих двух задач связаны принципом двойст-
двойственности, и соотношения для элементарного магнитного вибратора
можно получить из формул для электрического вибратора простой-
заменой величин согласно G.19).
134
Г,!Г. 7.0
Выпишем вначале выражения для составляющих электромаг-
электромагнитного 'поля в общем случае на произвольном (расстоянии от
магнитного вибратора. Из ф-л G.9) и G.10) с помощью принципа
двойственности получаем
ill-! '
2 \J
L
Ё (г, #) = - *7" / У- +-Ч
4 1 ()
к г (кг)* (кгK\
sin
e"~r e
G.20)
4л 1'к г ' (кгJ]
Свойства поля магнитного вибратора в ближней зоне во многом
аналогичны свойствам ближнего поля электрического вибратора.
Однако в этом случае выражение для магнитного, а не электриче-
электрического поля содержит слагаемые порядка 1/(кгK, поэтому вблизи
вибратора магнитное поле преобладает над электрическим
(wM^>wa). По структуре ближнее магнитное поле аналогично маг-
нитостатическому полю постоянного магнита или витка с током
(см. задачу 5.11); обе эти системы являются магнитными диполя-
диполями. Линии электрического поля образуют систему окружностей с
центрами на оси 2; электростатические системы с подобным полем
не существуют.
Запишем выражения для электромагнитного поля в дальней
зоне, заменив к на \k и сохранив только те слагаемые, которые
пропорциональны l/kr:
Е(г, #) = -
H(r, #) = i —
4л г
sin#e
G.21)
Сравним G.21) с формулами для поля излучения в
вол-новой зоне элементарного электрического излучателя
G.12). Фазы и амплитуды составляющих поля в зависимости от
расстояния г в обоих случаях изменяются одинаково. Одинаковы
также зависимости напряженности полей Е и Н от направления —
диаграммы направленности f(b, qp)=sin ¦& (рис. 7.5). Теперь осью
диаграммы является направление магнитного тока (точно так же,
как ранее — направление электрического тока), вдоль оси маг-
магнитного вибратора излучение отсутствует, а в перпендикулярной
к ней плоскости оно максимально. Таким образом, оба элементар-
элементарных вибратора (электрический и магнитный) создают поля, оди-
одинаково распределенные в пространстве.
Единственным отличием поля магнитного вибратора в дальней
зоне от поля электрического является другая ориентация его век-
векторов относительно оси вибратора. У электрического вибратора
135
п
вектор электрического поля лежит в одной плоскости с его электри-
электрическим током, а 'вектор магнитного поля перпендикулярен этому
току (для направлений вблизи экваториальной плоскости ft—S0\
можно сказать, что вектор Е параллелен
оси электрического вибратора Oz). В по-
поле магнитного вибратора Е и Н меняют-
меняются местами (рис. 7.7): в одной плоскости
с магнитным током лежит магнитная со-
составляющая поля излучения, а вектор
электрического поля перпендикулярен
направлению магнитного тока.
Мощность излучения элементарного
магнитного вибратора можно определить
непосредственно из ф-лы G.16), приме-
применив к ней принцип двойственности G.19):
Рис. 7.7
G.22а)
Коэффициент перед квадратом магнитного тока называют про-
проводимостью излучения; при ZB=iZBo.
\\ G.22б)
I
ZB0
180 \ К
7.5. Принцип эквивалентности источников
СООТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СТОРОННИХ СИЛ
Выше уже встречалось несколько видов сторонних сил в виде
электрических и магнитных токов и зарядов, напряженности элект-
электрического поля, электродвижущей силы. Всякий раз сторонняя
сила входила лишь в одно мз уравнений электромагнитного поля1)
наряду с аналогичной векторной или скалярной величиной, принад-
принадлежащей этому полю, с тем же знаком и теми же сомножителями
(Jct наряду с J, Ест рядом с Е). В некоторых случаях удобно из-
изменить первоначальный вид сторонней силы, что позволяет свести
действие новых источников к уже изученным.
Назовем эквивалентными те источники , которые создают в
окружающем пространстве одинаковые электромагнитные поля.
Эквивалентность источников можно установить при помощи любо-
любого уравнения Максвелла или другого соотношения электродина-
электродинамики, в которое входят обе рассматриваемые физические величи-
величины. Во всем объеме, где действуют сторонние силы, они должны
1) Исключением является случай, когда вместе с JCT, необходимо ввести
также рст, поскольку указанные величины связаны законом сохранения заряда.
Однако и в этом случае для определения электромагнитного поля достаточна
волнового ур-ния G.4), в которое входит только Jct.
136
быть связаны соотношением эквивалентности, вытекающим непос-
непосредственно из данного уравнения. Например, уравнение rotH =
= ici)eaE+J+JCT эквивалентно уравнению rot H = ia>eaE+J + i(op,oE(:T,
если во всех точках поля JCt заменяется на io)eaEOT, в частности,
там, где источников нет, JCt = Ect = 0.
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МАГНИТНОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ КАТУШКЕ
С ТОКОМ
Рассмотрим переход от фиктивного магнитного излучателя к его
физически осуществимым моделям, создающим такое же поле:
рамочной и ферритовой антеннам. Пусть катушка (рамка) состоит
из .'V витков с током /ст- Все размеры катушки и полная длина
провода намного меньше длины волны, что обеспечивает синфаз-
ность токов во всех ее витках. В ферритовой антенне внутрь катуш-
катушки вставляется стержень из магнитодиэлектрика (феррита) с
магнитной проницаемостью [ха, заполняющий все ее поперечное
сечение. Если длина стержня значительно
больше его поперечных размеров, можно не
SR учитывать размагничивающего действия фик-
фиктивных магнитных зарядов, создающихся на
концах стержня (рис. 7.8). Форма контура ка-
катушки может быть произвольной. Площадь
Рис. 7.8
Рис. 7.9
каждого витка SB и высоту катушки I выбирают в соответствии с
размерами элементарного магнитного излучателя.
Примем равномерное распределение плотности магнитного то-
тока по сечению излучателя: /cMTez-^JcT SB (рис. 7.9). В соответствии
со вторым ур-нием G.18) можно ввести замену J"T -иа>р0Нгт,
где Нет занимает тот же объем SB/ (рис. 7.96). Первое ур-ние G.18)
или C.11) в интегральной форме — закон Ампера ф Н<У/ =
с
= icoea fEdS+f JdS позволяет заменить Нст на JCt- Если контур
s s
С охватывает все витки катушки (рис 7.9в), то, очевидно, соот-
соотношение ЯСт/-*-Л^/ст.
137
Объединяя .все замены, получаем |ряд эквивалентных источ-
источников:
/смт / -> Усмт SJ -+ i €D|xe HCTSJ -* i mfia NICTSB = i k0ZB0li N /„ SB. G.23)
Эквивалентность рамочной и ферритовой антенн элементарно-
элементарному магнитному излучателю доказана. Напряженность электриче-
электрического поля рамки в вакууме или воздухе (k = k0) при г^>А опреде-
определим, подставив ф-лу G.23) в G.2J):
Е (г, ф) =
4я г
¦ sinfte
— кг
G.24)
Отметим, что направление д = 0 (отсутствие излучения) совпа-
совпадает с нормалью к плоскости рамки или осью ферритового стерж-
стержня. Излучение максимально в плоскости рамки (Ф = 90°). Величи-
Величина Н, как всегда, равна E/ZB0. Сравним полученную формулу с
выражением для электрического поля элементарного электрическо-
электрического вибратора G.12). Напряженности этих полей при равных токах
/Ст совпадают, если положить длину электрического вибратора
/3KB = tifeoiVSB= 2n\NS° . G.25)
Полученную величину можно назвать эквивалентной длиной
рамочной или ферритовой антенны. Катушка с электрическим то-
током /ст создает такое же по величине поле излучения, как к пря-
прямолинейный отрезок провода длиной /экв с той же величиной тока.
Эквивалентная длина пропорциональна частоте /, а также ц, Лг
и SB ферритовой или рамочной антенны.
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПОЛЕЙ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ТОКОВ .
Пусть источники поля заданы в виде векторов ЕСт и Нст на неко-
некоторой (поверхности S; (вне этой поверхности сторонние силы равны
нулю и, таким образом, поля Ест и Нст испытывают скачок при
переходе с поверхности S в окружающее про-
пространство. Требуется заменить сторонние по-
поля поверхностыми токами и зарядами, так как
областью существования с;оронних сил в дан-
данном случае является поверхность
Связь между составляющими: поля и элек-
электрическими поверхностными током и зарядом
установлена граничными условиями B.27)
для поля у поверхности идеального проводни-
проводника; при этом скачок величины поля был обус-
обусловлен идеальной проводимостью одной из
сред.
Проведем слева от поверхности S на исче-
зающе малом расстоянии поверхность S', эк-
эквивалентную поверхности идеальной среды,
по которой циркулируют поверхностные
токи (рис. 7.10). Направление нормали здесь изменено на обрат-
обратное по сравнению с принятым на рис. 2.9 в соответствии с переме-
переменой в нумерации сред. Определим по ф-лам B.27) электрические
токи и заряды, эквивалентные Н Тст и Еп ст;
G.28)
Н„
•П.
Jct = П
Для замены остальных составляющих Ех ст и Нп ст необходи-
необходимо ввести магнитные токи и заряды. Нужные соотношения полу-
получаются непосредственно применением принципа двойственности
G.19) к ф-лам G.28):
Зет = - п X Ёст; <& = (ia HCT• п. G.29)
Полученные равенства составляют содержание принципа эквива-
эквивалентности.
Сторонние силы в виде напряженностей электрических и маг-
магнитных полей, заданные на некоторой поверхности S, можно заме-
заменить по ф-лам G.28) и G.29) эквивалентными источниками — сто-
сторонними электрическими и магнитными токами и зарядами на этой
поверхности.
7.6. Дифракция электромагнитных волн
ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
Дифракцией называют явление огибания волнами препятствий.
В результате дифракции электромагнитных волн поле наблюдает-
наблюдается в области геометрической тени, куда при прямолинейном расп-
распространении волн оно не могло бы проникнуть.
Теория дифракции впервые появилась в оптике как основа
волновой теории света. Задачи дифракции, выдвигаемые практикой
и решаемые современной теорией, весьма разнообразны и сложны.
К ним например, относятся: распространение радиоволн вокруг
земного шара и по ли-
ОЪласть
полутеми
нии передачи, имеющей
нерегулярности; излуче-
излучение антенн; прохожде-
прохождение волны через отвер-
отверстия в экранах; падение
волны на проводящие и
диэлектрические тела раз-
различной формы.
в современной литера-
литературе задачей дифракции
считают определение пол-
полного поля, созданного при
взаимодействии исходной
Освещенная
оЬпасть
Рассеянное пале
(падающей) волны с пре- Рис. 7.11
пятствием (рис. 7.11). Та
139
часть препятствия, на которую попадает падающая волна при пря-
прямолинейном распространении (считаем среду вне препятствия од-
однородной), называется освещенной. Область тени определяется как
часть пространства, в которую не попадают прямолинейные лучи
падающей волны. Напряженности поля не испытывают скачка ме-
между освещенной и теневой частями препятствия и пространства, а
убывают постепенно в некоторой переходной области, именуемой
зоной полутени. Условно различают рассеянное поле, полученное
в основном три отражении волн от освещенной части препятствия,
и дифракционное, занимающее преимущественно области тени и
полутени.
Задачи дифракции являются разновидностью граничных задач
электродинамики. В них отыскивается такая суперпозици-я поля
падающей волны и вторичного поля, полученного при ее взаимо-
взаимодействии с препятствием, которая удовлетворяет волновому урав-
уравнению, граничным условиям на поверхности препятствия и усло-
условиям теоремы единственности. При полной определенности исход-
исходных уравнений в общем виде их точное аналитическое решение
возможно лишь в небольшом числе идеализированных случаев для
препятствий простой формы. В большинстве практически важных
случаев пользуются разнообразными приближенными методами с
привлечением весьма сложного математического аппарата, числен-
численными методами, а также сочетают теоретические исследования с
экспериментальными. Такого рода задачи выходят далеко за рамки
учебника. Поэтому особый интерес представляют относительно
простые приближенные методы, которые в определенных условиях
дают достаточно точные результаты. В первую очередь, к ним
относятся методы геометрической и физической оптики [21], [27].
МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
Локальный характер явлений. Метод геометрической или
лучевой оптики основан на представлении о локальном характере
процесса распространения электромагнитных волн: волна являет-
является совокупностью лучей, не взаимодействующих между собой, эти
лучи отражаются и преломляются в каждой точке поверхности
тела, как от плоскости, касательной к поверхности в этой точке;
законы, полученные в предыдущей главе, описывающие падение
плоской волны с бесконечным фронтом на плоскую бесконечную
границу раздела, применимы к каждому лучу.
Кажущаяся независимость лучей в плоских неограниченных
волнах объясняется тем, что во всех точках фазового фронта поле
идентично, так что взаимодействия взаимно погашаются. При опре-
определенных условиях локальные законы отражения и преломления
могут применяться к неплоским и ограниченным телам и волнам.
Решение в этом случае будет приближенным, но с достаточно
высокой точностью.
Условия применимости метода геометрической
оптики можно сформулировать следующим образом:
140
— радиус кривизны и размеры тела должны быть велики по
сравнению с Я;
— радиус кривизны фронта падающей волны должен быть ве-
велик по сравнению с X, т. е. действительный или кажущийся источ-
источник должен находиться на расстоянии не менее нескольких Я. от
поверхности тела;
— относительное изменение параметров среды и амплитуд
поля на расстоянии к должно быть намного меньше единицы; по
этой причине геометрическая оптика не дает достоверных резуль-
результатов для поля вблизи фокальных точек и на границе пучка лучей,
где величина поля меняется очень резко;
— 1может рассматриваться только поле, рассеянное щрешятст-
вием, очевидно, что в зонах тени и полутени геометрическая оптика
неприменима.
Методы геометрической оптики вошли в радиотехнику в связи
с задачами об отражении сантиметровых и дециметровых волн от
объектов радиолокационного обнаружения. Освоение диапазонов
миллиметровых, инфракрасных и видимых волн значительно рас-
расширило сферу ее применения.
Уравнения геометрической оптики выводятся из
уравнений Максвелла, если ввести некоторые приближения, не
приводящие к заметной ошибке при сформулированлых выше усло-
условиях. Они определяют следующие свойства волны в каждой точке
пространства, подобные свойствам плоской однородной волны в
неограниченной среде (см. 3.5 и 4.5):
1. Изменение фазы волны в среде без потерь описывается мно-
множителем е1*'* 'у" г) , где ^(х, у, z) — скалярная функция коорди-
координат, называемая эйконалом; для плоской волны <$(х, у, z)=K-r-t-\|xi
[см. ф-лу F.2)]. Уравнение ty (х, у, z) = const соотгетствует фазово-
фазовому фронту волны, в общем криволинейному.
2. Волновой вектор в каждой точке поля
к = k ел = nk0 ел = grad ty G.30)
определяет направление движения волны, перпендикулярное фазо-
фазовому фронту; здесь п= \^ e\i — коэффициент преломления.
3. Фазовая и групповая скорости волны совпадают по величи-
величине и направлены вдоль ел.
4. Векторы Е, Н и ел взаимно перпендикулярны, их направления
определяются соотношением ен = елХеЕ. Отношение величин этих
векторов равно волновому сопротивлению среды: E/H=ZB.
Из свойств градиента следует, что интеграл по любому пути
от G.30): k0 ^ ne.-,-dl = k0 f ncos<pd/= ^ grad^-dl=yjp(B)— ty(A),
'i i 'i
где ф угол между ел и d\, равен разности значений эйконала в ко-
конечных точках этого пути (рис. 7.12). Если путь интегрирования
идет по лучу (например, АВ2), то esl-d\ = dl и ka Г ndl=-§(B)—\j5(A).
141
\
Оптической длиной пути вдоль кривой / называют интеграл
ndl. Очевидно, что
G31)
J
1л
так как здесь по сравнению с предыдущим интегралом по пути /
исключен cos ф, по модулю не превышающий единицу. Полученное
неравенство выражает принцип Ферма:
оптическая длина пути вдоль луча мень-
меньше, чем вдоль любой другой линии, сое-
соединяющей данные две точки. По ф-ле
G.31), пользуясь вариационными мето-
методами, можно строить траектории лучей.
В однородной среде п=const и условию
ndl — min соответствует прямая л;и-
В,
I
Рис. 7.12
ния — кратчайшее расстояние между
двумя точками. Лучи в однородной сре-
среде прямолинейны.
Изменение интенсивности поля вдоль лучей определим из энер-
энергетических соображений, учитывая, что Il = EH=E2/ZB = H2ZB. Для
этого рассмотрим лучевую трубку — некоторый объем, боковая по-
поверхность которого образована лучам" (рис. 7.13). Эта трубка вы-
Рис. 7.13
резает в двух эквифазных поверхностях площадки SA и SB. Будем
считать их настолько малыми, что величина вектора Пойнтинга в
пределах каждой из них неизменна.
Лучевая оптика основана на принципе независимого распрост-
распространения лучей: считается, что между разными лучевыми трубками
обмен энергией не происходит. Поэтому, если не учитывать потери
в среде, поток энергии в данной лучевой трубке неизменен
142
5А = Пв5в. Предположим, что площади имеют двоякую кривиз-
кривизну, характеризуемую главными радиусами кривизны RW и i?<2); эти
радиусы определяются в двух взаимноперпендикулярных плоско-
плоскостях, проходящих через центральный луч, так, чтобы модуль разно-
разности \RW—J?<2)| оказался максимальным. В однородной среде лучи
прямолинейны, поэтому R1-^1 =R{^ +d и R^)=Ra^ +^> гДе ^ —
расстояние между эквифазными поверхностями А и В. Далее, так
как углы между лучами постоянны, поперечное сечение трубки про-
пропорционально произведению радиусов кривизны S = С RM R<-2\ где
С = const для данной трубки. Следовательно,
п.
4
*!?>
G.32)
'А А А В ^В ^В
Для сферической эквифазной поверхности RM = Ri2\ Пв/Па =
= R2A/R2B или Eb/Ea=Ra/Rb — напряженность поля меняется об-
обратно пропорционально расстоянию; этим свойством обладает, на-
например, поле в дальней зоне элементарных излучателей.
Рассеяние плоской волны шаром. Исследуем в каче-
качестве примера отражение плоской волны идеально-отражающим
шаром радиуса а^$>К (рис. 7.14). Пусть плотность потока падаю-
падающей волны По = E\l ZB. Рассмотрим кольцевую область на поверх-
поверхности шара, заключенную
между полярными углами О
и ft+dft. На эту область па-
падают лучи, соответствующие
лучевой трубке кольцевого
сечения радиуса p = asin'fr
и толщиной dp = a cos ¦& d$,
площадь сечения этой труб-
трубки dSо=2я pdp
Xcosftdft = na2sin :
Отраженный пучок лу-
лучей ограничен конусами с
углами при вершине 2Ф и
2(ft+d'O'). Площадь, осве-
освещенная этим пучком на кон-
концентрической шару сфере
радиуса г^>а, равна dSr=
Ид.
Рис. 7.14
Из соотношения G.32) получаем
—
По
dS
a2
Е\ dS0 a2 n n a
= = —- = ИЛИ С,= Со .
Е2 dS № Чг
Е20
Чг
Напряженность рассеянной волны обратно пропорциональна
расстоянию г и не зависит от направления. Шар рассеивает пада-
падающую на него плоскую волну равномерно по всем направлениям
143
(в областях тени и полутени полученные результаты несправедли-
несправедливы). Поле рассеяния от отражателей иной формы распределяется
в пространстве неравномерно.
МЕТОД ФИЗИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод физической или вол-
волновой оптики позволяет в первом приближении определить поле в
зоне тени. Он основан на использовании принципа Гюйгенса—Фре-
Гюйгенса—Френеля: каждая точка на поверхности, возбуждаемой распростра-
распространяющейся волной, может рассматриваться как источник вторич-
вторичной сферической волны; поле вне этой поверхности является ре-
результатом интерференции вторичных волн: Указанному принципу
соответствует как прямолинейное распространение волн в одно-
однородной среде, так и искривление лучей в неоднородной среде и
при наличии препятствий. На рис 7.15 вторичные синфазные источ-
источники расположены на сферах
Si и 53. Фронты 52, 54, Se оп-
определяются как огибающие
волн, исходящих из вторичных
источников. Вплоть до 53 лучи
прямолинейны, так как фрон-
фронты 5Ь S2, S3 являются концен-
концентрическими сферами. Однако
ограничение фронта 5s препят-
препятствием Пр приводит к искаже-
искажению формы фронтов 54 и 5б.
Можно считать, что вторичные
источники, находящиеся вбли-
вблизи края препятствия, создают
волны, направления распрост-
распространения которых отличаются
от первоначального, т. е. наб-
наблюдается дифракция волн.
Известный опособ построения на 5ВТ зон (называемых зонами
Френеля), разность путей от границ которых до точки наблюдения
кратна Я./2, позволяет получить количественные результаты, отно-
относящиеся как к свободному распространению, так и дифракции
волн. Этот способ очень нагляден, но в ряде случаев приводит к
значительным погрешностям, так как фазы волн, идущих от каж-
каждой зоны, считаются одинаковыми, их амплитудами задаются до-
довольно произвольно и считают, что излучение вторичных источни-
источников подчиняется законам геометрической оптики.
Г. Кирхгоф вывел соотношения принципа Гюйгенса—Френеля
из волновых уравнений и получил выражение для искомого поля
в виде интеграла по поверхности 5ВТ от скалярной функции источ-
источника, в котором точно учитываются амплитудные и фазовые со-
соотношения для вторичных волн. Большинство современных элект-
144
Рис. 7.15
родинамических задач не сводится к скалярному виду. Поэтому
чаще используются векторные эквиваленты интеграла Кирхгофа
для вторичных источников. Из них наиболее удобна форма, в ко-
которой источниками являются электрические и магнитные токи.
Поле электрических и магнитных токов. Предпо-
Предположим, что поверхность 5 разделяет пространство на две области,
в каждой из которых имеются свои источники поля (рис. 7.16а).
Рис. 7.16
Поверхность SR — сфера очень большого радиуса R-+oo. Область
/ в частном случае может быть замкнутой (рис. 7.166). Требуется
определить поле в произвольной точке М области 2.
Поле, создаваемое в точке М источниками «2» — объемными
электрическими и магнитными сторонними токами JCt и J"t , —
определяется следующим образом: находятся векторный электро-
электродинамический потенциал электрических сторонних токов А G.6)
и двойственный ему [по ф-ле G.19) с заменой JCT на J?T ] вектоп-
ный электродинамический потенциал магнитных токов Ам.
А(М)
~ 4я J
v2
-dV;
"J—
-dV.
G.33)
Решение задачи об определении поля в точке М от источников
/ по методу волновой оптики разбивают на два этапа. Первый
этап — внутренняя задача — сводится к определению поля на по-
поверхности 5. Строгое решение этой задачи без нахождения поля
в области 2 невозможно. Поэтому ее решают приближенным ме-
методом, например, в теории зеркальных антенн методом геометри-
геометрической оптики. Второй этап — внешняя задача — состоит в опре-
определении поля в области 2 по найденным ранее полям на границе
S, которые считаются вторичными источниками. Необходимые
соотношения получаются из G.33) с переходом от объемных то-
145
ков к поверхностным и использованием принципа эквивалентно-
эквивалентности G.28), G.29):
А(М)
_^Г jCTe-Kr <, Jf» Г (n X НСт) е- к г
—in ) : а* -4я ,1 :
dS
G.34)
^^^
s s
В интегралы G.34) не включается бесконечно удаленная по-
поверхность SR, так как ее вклад равен нулю, если имеются только
выходящие из рассматриваемого объема волны, удовлетворяющие
условиям излучения D.38), векторы которых связаны соотноше-
соотношением:
E = ZB(Hxef).
Искомое поле в точке М в общем случае является суперпози-
суперпозицией полей электрических и магнитных сторонних токов внутри
области Кг [ф-лы G.33)] и сторонних полей на ее границе 5
[ф-лы G.34)]; последние созданы источниками, (находящимися вне
области V%
Электрический и магнитный векторы поля определяются те-
теперь как сумма полей, соответствующих результирующим элект-
электрическому и магнитному потенциалам. Для определения напря-
женностей полей используются ф-лы G.1), G.7) и двойственные
им [с заменой А->-Ам и других величин по ф-ле G.19)]:
Е = „„ го i rot A —^-rot AM
ко га \ia еа
Н = ^-rot А А rot rot AM
0) еа
G.35)
Приближения физической оптики. Результаты, по-
получаемые методом физической оптики, неточны, так как в ф-лах
G.34) используются приближенные значения поля или токов на
поверхности 5. Пусть эта поверхность представляет собой метал-
металлический экран SM с отверстием So либо, как показано на рис. 7.11,
металлическое препятствие SM в свободном пространстве 50E =
=S0+SM). Обычно вводятся следующие допущения:
— предполагается, что поле на So равно полю падающей вол-
волны в отсутствие каких-либо экранов или препятствий (приближе-
(приближение Кирхгофа);
— токи на освещенной части поверхности SM определяются по
ф-лам G.28), G.29) в соответствии с полем только падающей вол-
волны, а в ее теневой области считаются равными нулю. В основе
метода лежит гипотеза о независимости токов, возбуждаемых в
разных точках поверхности SM.
Так как на теневой части поверхности токи считаются равны-
равными нулю, ее форма никак не влияет на дифракционное поле, вьг-
146
численное методом физической оптики. Поэтому хорошие резуль-
результаты получаются только в тех случаях, когда токи в теневой части
действительно малы, например, для отверстий в тонких экранах,
для плоских препятствий с острыми краями. Во всех случаях влия-
влияние токов, затекающих в действительности на теневую сторону
препятствия или за -края отверстия в экране, на дифракционное
поле уменьшается по мере увеличения размеров препятствия по
сравнению с Я.
Поле, рассеянное поверхностью 5 от источников «1» (точка М
помещается в область 1 ща рис. 7.16а), определяется методами
физической ,и геометрической оптики, то существу, мри тех же
предположениях и приводит к тем же результатам. Только при
выполнении условий применимости метода геометрической оптики
соотношения G.28), G.29), справедливые строго лишь для беско-
бесконечной плоской поверхности, дают практически точные резуль-
результаты.
Во многих случаях метод физической оптики дает вполне удов-
удовлетворительные результаты для дифракционного поля отверстия
в переднем полупространстве, под небольшими углами к нормали
п (рис. 7.166). Для углов ft, близких к 90°, и тем более ||90°
полученные этим методом результаты недостоверны.
ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТА ВОЛНОВОГО ФРОНТА
Элемент Гюйгенса. При использовании метода физической
оптики вторичными источниками являются сторонние электричес-
электрические и магнитные поля Ест, Нст, созданные падающей волной на
прозрачной части поверхности 5. Они связаны между собой теми
же соотношениями, что и в плоской волне:
*
. НСт;
Ест X Н,, = Пс
G.36)
?СТ/ЯСТ = ZbS; Ес
Если волновое сопротивление вторичных источников на поверх-
поверхности S ZBS = const, то созданное вторичными источниками поле
удобно рассматривать как сумму волн от весьма малых площадок
на поверхности S, которые будем называть элементами волнового
фронта (элементами Гюйгенса). Пусть это будет прямоугольник
со сторонами а<СА, и ?<СЛ, параллельными векторам Ест и Нст;
стороннее поле в пределах площадки S3=ab можно считать неиз-
неизменным (рис. 7Л7). В соответствии с ф-лами G.28), G.29) дан-
данный источник эквивалентен системе взаимно перпендикулярных
электрических и магнитных сторонних токов jCt, j"T • Суммируя
эти токи в пределах площадки, получаем излучатель, состоящий
из элементарных электрического и магнитного токов (рис. 7.18)
с моментами:
= ифа = ЯСт5э = ECTSjZBs
w = п
G.37)
147
Следовательно, поле элемента волнового фронта можно опре-
определить как суперпозицию полей электрического и магнитного
элементарных излучателей, рассмотренных ранее. Считаем далее
п
Рис. 7.17
Рис. 7.18
волновые сопротивления среды и источника равными (ZBS = ZB) и
вещественными, тогда П = П.
Поле в дальней зоне. Определим вначале суммарное
поле электрического и магнитного, сторонних токов в плоскости
Е, компланарной векторам: Е и п (рис. 7.19). Ток /ст протекает в
этой плоскости, а ток /ст — в перпендикулярной ей. Запишем на-
напряженности полей обоих элементарных излучателей в волновой
зоне, отсчитывая угол ft от «армали п. 'В соответствии с ф-лами
z G.12) электрическое поле элемен-
? тарного электрического излучателя
E3-~^ZBcosfte-~r е„-
4л г w
= Е„ cos ft e^
где с учетом ф-л G.37)
F — ' ^ст° у —~г _
С° ~ 4лг Лв е
_ \kECTS3 -~т
~ 4л г
Для магнитного излучателя пло-
плоскость Е является экваториальной,
поэтому его излучение одинаково
Плоскость Е
во всех направлениях и не зависит от угла ft. Согласно ф-лам G.21)
и G.37) в обозначениях рис. 7.19 получаем электрическое поле,
созданное магнитными токами:
4л г
« •
Максимальные значения Ем и Еэ (при ft = 0) равны между со-
собой; их направления при |ft|<90° совпадают, а при 90°<|ft|<180°
противоположны. Результирующее поле в плоскости Е: Е=ЕЭ +
+ EM = ?0(l+cosft)eo.
Теперь рассмотрим поле излучения в плоскости Н, коллинеар-
ной векторам Нст и п. Электрический излучатель перпендикулярен
этой плоскости, поэтому его поле одинаково во всех направлениях
Еа=ЕоеЕ. Магнитный излучатель лежит в указанной плоскости и
создает направленное излучение с максимумом в направлении п:
EM=E0cos ФеЕ. Направления этих векторов в верхней полупло-
полуплоскости также совпадают. Суммарное поле в плоскости Н: Е =
Зависимость величины излучения от угла р в обеих плоскостях
одинакова и описывается функцией A+cosfl-). Можно показать,,
что такая же зависимость получается в любом сечении, проходя-
проходящем через п, если угол & отсчитывать от этой нормали.
Максимальное электрическое поле при Ф=0:
i kECTS3 e-u
2лг
G.38>
Фронт волны элемента Гюйгенса — сферический, так как во
всех формулах фаза определяется одним и тем же множителем
i e-1 kr.
Магнитное поле в дальней зоне излучения перпендикулярно
вектору электрического поля Е и орту ег; оно находится как Н =
= (erxE)/ZB, т. е. пропорционально и синфазно Е. Поскольку эти
свойства присущи полям электрического и магнитного излучате-
излучателя, очевидно, они справедливы и для их суперпозиции.
Диаграмма направленности элемента волно-
волнового фронта. Из полученных соотношений следует, что зави-
зависимость напряженности поля от направления выражается
функцией:
?-@, Ф) = ?(?' ф) =^-(l+cosfl). G.39)
Она описывает поверхность, образованную вращением кардиои-
кардиоиды вокруг оси z (рис. 7.20). Максимум излучения совпадает с на-
направлением вектора Пойнтинга Пет источника. Излучение элемен-
элемента Гюйгенса однонаправленно, т. е. имеется одно направление мак-
максимума (в то время как у электрического и магнитного излучате-
14Э1
лей была плоскость максимального излу-
излучения). Напряженность поля излучения
плавно уменьшается с увеличением мо-
модуля угла.
Мощность излучения определяется
интегрированием вектора Пойнтинга по-
поля излучения
П
*
н
-(l+cos*Jer G.40)
У
по сфере большого радиуса ()
Расчет показывает, что 7/8 всей энер-
энергии излучается элементом Гюйгенса в пе-
переднее полупространство |Ф|^90°. По-
Поэтому указанная ранее недостоверность в определении поля в на-
направлениях |^|^90о оказывается не очень существенной в энерге-
энергетическом отношении.
7.7. Лемма Лоренца. Теоремы взаимности
Лемма Лоренца устанавливает связь между электромагнитным
полем Ei, Hi, созданным системой электрических и магнитных
сторонних токов Jct I, Jcti и полем Ег, Нг, созданным токами
Jct2, Jc™2 , в линейной изотропной «раде. Лемма Лоренца выяв-
выявляет важщые общие соотношения, которые лежат ib основе теорем
взаимности ,и, кроме того, позволяет решать задачи о возбужде-
возбуждении поля токами сложной конфигурации по известным полям
элементарного источника.
Запишем симметричные уравнения Максвелла для двух по-
полей, источники которых в общем случае не совпадают в простран-
пространстве:
otHi = i coe^Ei + JCTi
rotEx=—io)^aHi—JCTi
rot H2 = i со ea E2 + Jct2
rot Ёг=—i мц,оН2—JCt2
G.41)
Образуем линейную комбинацию этих уравнений [B)-Н2—
— C) • EJ—[D)-Hi—A) • Ёг], где B) • Н2 означает, что второе соот-
соотношение G.41) умножено скалярно почленно на вектор Н2 и т. д.
Для преобразования левых частей уравнений применим тождество
D.12): div (Ах В) = В rot А—A rot В. В результате получаем лемму
Лоренца в дифференциальной форме:
div (Ёх х Н2) —div(E2xH1) = JCTi-E2—Jcl2 Ei—j?, H2 +- J?T2Hi. G.42)
150
Взяв интеграл по произвольному объему V и применив к левой •
части этого равенства теорему Остроградского—Гаусса [ф-ла >
B.8)], получим лемму Лоренца в интегральной форме:
? (Ёх X Н2- Ё2 х Hi) dS = Г (JCTl • Ё2- JCT2 • Ёх- jcMTl • Н2 + Jcr2 • Hi) dV.
s Jv G.43)«
Распространим интегрирование в ф-ле G.43) на бесконечно
расширяющийся сферический объем К». Если условия теоремы
единственности удовлетворены, то интеграл по поверхности 5 в
пределе исчезает. При этом
I (JCTi-E2—JcTl-H2)dK= (JCT2-Ei — Jct2-H
V V
*0O * CO
В соответствии с теоремой единственности источники полей
«1» и «2» заключены в конечных объемах Vi и Vz- Поэтому
объемные интегралы по всему пространству V<*> естественно сво-
сводятся к интегралам по соответствующим объемам:
Г (Jt,Tl • Ё2- JcMTl • Н2) dV = Г (JCT2 • Ёх- JCMT2 ¦ Нх) dV. G.44)
Теорема взаимности. Если
среда линейна и изотропна, передача
электромагнитных волн между двумя
произвольными точками взаимна, т. е.
одинакова при противоположных на-
направлениях распространения волн, ког-
когда передатчик и приемник меняются
местами.
Покажем справедливость этого по-
положения на примере двух элементар-
элементарных электрических излучателей, про-
произвольно расположенных в точках А и В (рис. 7.21). Для нагляд-
наглядности будем считать, что проводится два опыта:
1. Излучатель А возбужден током I \ .В точке В измеряется
напряжение й\В) =Ё{В) -ев, возникающее между концами про-
проводника, который является в данном случае приемной антенной.
2. Излучатель В возбужден током /г ' . Измеряется напряже-
напряжение l)iA) =Ё2'4) еА, возникающее на приемной антенне А.
В этих двух опытах передатчик и приемник меняются ме-
местами, а расположение и длина антенн А и В остаются неизмен-
неизменными. Лемма Лоренца G.44) в данном случае перепишется в виде
( i^.E^dV^ f *U-Z\B)dV,
vA vB
где Va и Vb — объемы, занимаемые излучателями А и В. Так
как все размеры этих объемов малы по сравнению с расстоянием
г между ними, поле Е, созданное противоположным излучателем
151
-в указанных пределах, неизменно, поэтому
с(Л) f if Л) ii/ р(В)
JCTi rfK =
cx2
G 45)
Интегралы в ф-ле G.45) аналогичны выражению G.8) и равны
моментам тока /<т 1 излучателей, тогда E^'-Zct' U= Ё1В) -/стгЫ
Заменим скалярные произведения Е-1 напряжениями между
концами антенн и запишем 'полученное соотношение в виде:
G.46)
)
ст1
/(В)
'ст2
Отношение напряжения на приемной антенне к току на передаю-
передающей одинаково при любом направлении передачи. В частности, при
г [А) ИВ) Л (В) /,(А)
'ст1 =/сТ2 принимаемые напряжения равны: L/i = 1/2 .
Теоремой взаимности формулируется один из фундаментальных
законов электродинамики. Все формы леммы Лоренца G.42),
G.43) и G.44) также представляют собой формулировки теоремы
взаимности. Из ф-л G.44) и G.46) следуют аналогичные форму-
формулы для магнитных излучателей и для пары: электрический излу-
излучатель— магнитный излучатель.
ЗАДАЧИ
7.1. Определить мощность излучения электрического вибратора длиной
/=10 см при токе /=10 А на частоте if = 200 МГц. Найти максимальную нап-
напряженность его полей ? и Я на расстоянии /¦=10 км. Построить в полярной
системе координат его диаграммы направленности /Г(Ф) и F(<p) при д=90°.
Построить в декартовой системе координат зависимость средней плотности по-
потока энергии П от угла О.
Ответ: Ps =350 Вт; ?max=12,6 мВ/м; Ята1 = 33,3 мкА/м.
7.2. Определить мощность излучения круглой рамки радиуса а=10 см с
током /=|,1 А, числом витков N=10, «а частоте /=2 МГц. Найти также экви-
эквивалентную длину антенны и напряженность поля ? в максимуме на расстоянии
от нее г=1 км. Построить в полярной системе координат диаграмму направлен-
направленности излучателя f(O), показав на рисунке расположение рамки.
Ответ: Pjj"=6,12 мкВт; /экв = 1,32 см; ?=16,6 мкВ/м.
7.3. Непосредственным интегрированием вектора Пойнтиига G.40) опреде-
определите, какие части мощности излучаются элементом Гюйгенса в равновеликих
телесных углах, соответствующих; 0^|О|60° 60°|д|90° 90°
s?|tii^l20°; 12ОО<|0|<|18О°.
Ответ: 57.8%,; 29,7%; 10,9%; 1,6%.
Волноводы и резонаторы.
2.
Глава 8.
НАПРАВЛЯЕМЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
8.1. Основные определения
Электромагнитная волна в устройствах и системах связи должна
распространяться по определенному пути, не взаимодействуя без.
надобности с другими волнами, и достигать пункта назначения с
наименьшими потерями. Функцию ведения волны по заданному пу-
пути выполняют направляющие системы; их называют также линия-
линиями передачи и волноводами. На рис. 8.1 показаны поперечные се-
сечения наиболее типичных направляющих систем, применяемых з-
различных частотных интервалах, Электромагнитную волну, рас-
распространяющуюся вдоль такой системы, называют направляемой.
Поле этой волны сосредоточено в поперечном сечении ограничен-
ограниченных размеров; следовательно, направляемая волна неоднородны;
на некотором расстоянии от оси системы ее поле очень мало, либо-
равно нулю. Направляемая волна не должна излучать в окружаю-
окружающее пространство, поэтому поток энергии в поперечном направле-
направлении в среднем за период отсутствует, Направляющая система на-
называется регулярной, если она прямолинейна и ее поперечное сече-
сечение неизменно по длине.
По выполняемым функциям направляющие системы разбивают
на две группы: фидеры и линии дальней связи. Фидеры служат для
передачи электромагнитной энергии между блоками аппаратуры,
' находящимися на сравнительно небольшом расстоянии: внутри уси-
усилителя или счетной машины, между антенной и передатчиком или
приемником. Линии дальней связи применяются для передачи
электромагнитных сигналов на значительные расстояния (между
населенными пунктами, городами, странами). Аналогичные функ-
функции выполняют линии радиосвязи, но в этом случае электромагнит-
электромагнитная волна распространяется в свободном пространстве и попереч-
поперечные размеры ее поля строго не ограничены.
Направляющие системы должны удовлетворять ряду техничес-
технических требований. Основными из них являются следующие:
— малый коэффициент затухания, обеспечивающий высокий
кпд фидера, либо достаточный уровень сигнала для качественного
приема на конце участка линии связи;
15а
— обеспечение заданной передаваемой мощности, что сущест-
1 венно для мощных фидеров. При этом не должен возникать элект-
электрический пробой и температурный перегрев системы;
— экономическая целесообразность, определяемая умеренными
.поперечными размерами, малым весом, доступными материалами,
. простотой конструкции и технологии производства и т. п.
Не существует универсальных нап-
направляющих систем, удовлетворяющих
поставленным требованиям во всех
диапазонах частот. Наоборот, освое-
освоение каждого нового участка частотно-
частотного спектра неизменно сопровождает-
сопровождается созданием новых типов направля-
направляющих систем. Основное противоречие
заключается в том, что коэффициент
затухания направляющих систем боль-
большей частью растет с частотой. Созда-
Создание новых систем позволяет продви-
продвинуться по шкале частот, не поднимаясь
слишком высоко по шкале коэффици-
коэффициентов затухания.
Физические принципы действия на-
направляющих систем различны. От пос-
постоянного тока до сотен мегагерц ис-
используются двухпроводные и коакси-
коаксиальные линии. Структура поля в ука-
указанных системах такова, что линии
электрического поля начинаются на
одном проводнике, а заканчиваются
на другом.
кожу*
Рис 8.1
Рис. 8.2
В полых металлических волноводах, работающих в высокочас-
высокочастотном диапазоне (от гигагерц до терагерц), плоская однородная
электромагнитная волна распространяется внутри трубы зигзага-
зигзагами, многократно отражаясь от ее металлических стенок.
Волноводы поверхностной волны (диапазон частот от десятков
мегагерц до тысяч терагерц) используют эффекты полного отраже-
154
ния и возникновения поверхностной волны при наклонном падении1
луча на границу двух диэлектриков (см. 6.3). Как и в полых ме-
металлических волноводах, волна распространяется в них, многократ-
многократно отражаясь от границы раздела.
В настоящее время интенсивно осваиваются субмиллиметровый
и оптический (инфракрасные, видимые и ультрафиолетовые лучи)
диапазоны. Создаются волноводы, использующие оптические прин-
принципы. Конфокальные линзовые и зеркальные системы (рис. 8.2) пе-
передают волну со структурой, близкой к однородной плоской волне
ТЕМ. Неизбежное при свободном распространении расширение се-
сечения луча компенсируется периодически расположенными соби-
собирающими линзами или зеркалами. Кожух служит лишь для меха-
механической и метеорологической защиты. Для этих же диапазонов
изготавливаются волноводы поверхностной волны, выполненные из
сверхпрозрачного стекла.
8.2. Волновые уравнения для направляемых волн
Пусть, например, направляемая волна распространяется в сторону
возрастающих значений по оси z. Тогда векторы Е и Н в любой
точке поля представляют следующие функции от координаты г и
времени t:
где Y = a + iptl/M] — коэффициент распространения волны в направ-
направляющей системе, а{1/м] и ас[дБ/м] = 8,686а — коэффициент зату-
затухания; р[1/м] — коэффициент фазы волны в направляющей си-
системе.
Множитель бегущей волны (8.1) или его временная СОСТаВЛЯГО-
щая е в формулах для волновых полей обычно не выписывает-
выписывается, а лишь подразумевается.
Предположим, что сторонние силы (источник волн) находятся
вне рассматриваемой части системы, например, в бесконечно уда-
удаленной точке z,,CT->—оо. Тогда электромагнитное поле волны будет
описываться однородными волновыми ур-ниями C.22), где к — ко-
коэффициент распространения в среде, заполняющей направляющую-
систему.
Для регулярной направляющей системы естественно выбрать
такие ортогональные координаты, чтобы ее ось была направлена
параллельно г; тогда остальные координаты окажутся в плоскости
поперечного сечения. Лапласиан, как оператор, можно представить
в виде суммы лапласиана по поперечным координатам V^ и вто-
второй производной по координате z:
V2 А = vi А + ? А = V2j_A + у2 А. (8.2)
15S
Фазобый коэффициент 5, j
долнододе
Зависимость всех векторов от z задана соотношением (8.1). По-
Л2
.этому производная —е"уг =у2е~уг. Введем обозначение
X2 = Y2 ~Л (8-3)
тде х — поперечный волновой коэффициент (волновое число стоя-
стоячей волны).
Если потери в системе малы, то к = \к и Y=iP- Тогда справедли-
справедливо приближенное соотношение:
Х2 = &2—р2. (8.4)
"Назовем соотношения (8.3) и (8.4) уравнениями коэффициентов.
Ф-ле (8.4) соответствует треугольник коэффициентов (рис. 8.3) для
систем с малыми потерями.
С учетом ф-л (,8-2) и (8.3) трехмерное волновое ур-ние C.22)
преобразуется в двумерное для поперечной плоскости направляю-
направляющей системы:
аЁ = 0; vlH + x2H=0. (8.5)
Этим простым приемом задача о вол-
волнах в трехмерном пространстве сводится
к двумерной «мембранной» задаче (пер-
(первые задачи такого рода касались меха-
механических колебаний упругих мембран).
Решения ур-ния (8.5), удовлетворяющие
граничным условиям для конкретных на-
направляющих систем, находятся в после-
последующих главах.
Отметим, что волна в любой направ-
направляющей системе плоская, так как фаза
(8.1) не зависит от поперечных коорди-
координат.
Поперечное сечение направляющей системы может состоять из
нескольких различных сред с разными^параметрами и различными
коэффициентами распространения К\, кг, к3,.... Волна, распростра-
распространяясь вдоль системы, имеет во всех средах одинаковые коэффици-
коэффициенты распространения. Следовательно, по ур-нию (8.3), каждой
среде соответствует свой поперечный волновой коэффициент
8.3. Связь между продольными и поперечными
составляющими поля
До сих пор предполагалось, что ур-ния (8.5) решаются в векторной
форме, т. е. в общем случае отыскиваются шесть координатных со-
составляющих электрического и магнитного полей. Однако оказыва-
оказывается, что достаточно решить эти уравнения только для продольных
составляющих Ez и Нг. Поперечные составляющие Ех и #х в на-
156
Рис. 8.3
правляющих системах являются однозначными функциями про-
продольных. Докажем это положение.
Векторы поля и оператор Гамильтона [ф-лы B.29) —B.31I
представим в виде суммы продольной и поперечных составляющих
с учетом зависимости (8.1):
Ё=
дг
(8.6)
где V , — оператор Гамильтона по поперечным координатам.
Найдем проекции уравнений Максвелла C.14) на поперечную
плоскость:
(rotH)x = i(o'eaE±; (rotЁ)± ^ —1й>^Нх. (8.7)
Представим ротор с учетом (8.6) в виде
(rotH)x = (у X Н)х =[(Vj_ —Yez) X (Hx + #zez)Ix =
= [Vj. X H± + vx Нг X e2—Y(e2 x \ij—y Hz(ezXez)]L =
= V± Hz X e2 — у (ег x H±) = grad± Hz x ег + у (Н± X e2),
где индекс _L при grad означает, что дифференцирование произво-
производится только в поперечной плоскости. Аналогичное соотношение
получается для (rotE)±. Теперь ур-ния (8.7) запишутся в виде:
grad± Нг X ег + y <Н± X е2) = i ша Ё
~ . (8.8)
grad± ?г X ег -f y <Е± X е2) = — i o)jxaH±
Второе ур-ние (8.8) умножим почленно векторно на ег. Легко
видеть, что при двойном умножении поперечного вектора на орт
ez он поворачивается в поперечной плоскости на я. Следовательно,
—gradj_?z—Y^x=—i(un*i(H_i_ Xez). Найдем отсюда произведение
(H±Xez>) и подставим его в первое из ур-ний (8.8); тогда
—icojia(grad±//zXej/)—ygra&LEz—у2Ё±=ы2еа^а^± ¦ И окончатель-
окончательно, учитывая ф-лы C.21) и (8.3), получаем выражение для попе-
поперечной электрической составляющей поля:
U = -i"gradx^-
(grad± Я2 X е2).
(8.9)
Аналогично, исключая из ур-ний (8.8) вектор Ёх, получаем
для магнитной составляющей:
Н, = — -Ч
i^s (grad± Ez X
(8.Ю)
Поперечные составляющие поля пропорциональны градиентам
Е2 и Нг, определяемым в поперечной плоскости. Если известно рас-
распределение продольных составляющих поля по поперечному сече-
157
нию, не представляет труда вычислить или даже найти графически
их grad. и отыскать затем Е± и Н±. По аналогии с электроста-
электростатикой можно утверждать, что Ег и Нг являются потенциальными
функциями для Е ± и Н^.
8.4. Классификация направляемых волн
ПРИНЦИПЫ КЛАССИФИКАЦИИ
Особенности структуры электромагнитного поля направляемых
волн позволяют выделить их классы и типы. При классификации
волн предполагается, что проводники, входящие в направляющую
систему, обладают бесконечной проводимостью. Дополнительные
составляющие поля, которые возникают в реальных устройствах,
изготовленных из хорошо проводящих металлов, пренебрежимо
малы.
Отметим, прежде всего, одно универсальное свойство направля-
направляемых волн: поле любой волны обязательно имеет поперечные элек-
электрическую Е± и магнитную Н± составляющие, лежащие в плоско-
плоскости, перпендикулярной оси г. Это необходимое условие для суще-
существования продольной компоненты вектора Пойнтинга Пх, обус-
обусловливающей передачу энергии вдоль продольной оси направляю-
направляющей системы.
Класс волны определяется наличием либо отсутствием
продольных составляющих поля Ez и Hz, параллельных направле-
направлению ее распространения. При классификации используется два
принципа: либо указывается", какой вектор имеет продольную
составляющую: Е, //; либо какой вектор является поперечным
(transversal), т. е. целиком лежит в поперечной плоскости ТМ,
ТЕМ.
Тип волны, называемый также модой (mode), определяется
сложностью структуры поля волны данного класса (числом макси-
максимумов и минимумов поля в поперечном сечении) для конкретного
направляющего устройства, Он обозначается двумя числовыми
индексами, например, EOi, Яи. Смысл этих обозначений подробно
объясняется в гл. 9. Рассмотрим классы направляемых волн.
КЛАСС ТЕМ (ПОПЕРЕЧНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ)
Поле поперечной электромагнитной волны имеет только попереч-
поперечные электрическую и магнитную составляющие (?2=0; HZ=Q).
Иногда их называют лехеровыми или L-волнами. Так как продоль-
продольные составляющие Ez и Hz у этих волн отсутствуют, то согласно
ф-лам (8.9) и (8.10) поперечные составляющие Е± и Hj могут от-
отличаться от нуля только в том случае, если %z = 0. Тогда из ф-лы
(8.3) следует, что у = к, т. е. коэффициент распространения волны
ТЕМ всегда равен коэффициенту распространения волны в среде,
158
которой заполнена данная направляющая система. Это исключает
возможность существования волны ТЕМ в системе, состоящей из
двух или нескольких разнородных диэлектрических слоев, так как
"V не может одновременно равняться разным к,-. Трехмерные
волновые ур-ния (8.5) при %2=0 вырождаются в двумерные вектор-
векторные уравнения Лапласа:
V2xE=0; vlH=0. (8.П)
Достаточно решить лишь одно из этих уравнений в поперечной
плоскости данной направляющей системы, так как для волн ТЕМ
существует однозначное соответствие между электрической и маг-
магнитной поперечными составляющими. Действительно, из ур-ний (8.8)
при EZ = HZ = O получаем:
F _ У I
Н
-(Ё
где
i(oea
icoea
(8.12)
(8.13)
волновое сопротивление среды.
Полученные соотношения идентичны ф-лам C.33) и C.34) для
плоской однородной волны ТЕМ в свободном пространстве. Итак,
электрический и магнитный векторы в любой точке поля волны
ТЕМ взаимно перпендикулярны и пропорциональны по величине.
Коэффициент пропорциональности ZB зависит лишь от параметров
среды и одинаков для волн ТЕМ в направляющей системе и не-
неограниченном пространстве.-
Докажем следующее важное свойство: структура электрической
составляющей поля волны ТЕМ в поперечной плоскости направ-
направляющей системы с идеальными проводниками идентична электро-
электростатическому полю в этой системе. В однородной среде, где отсут-
отсутствуют заряды (р = 0), электростатическое поле [ф-ла E.2)] подчи-
подчиняется уравнениям: rot E=0; div E = 0. Согласно C.17), отсюда
следует, что rot rot E=—V2E = 0, т. e.V2E = 0. Таким образом, при
р = 0 уравнению Лапласа в электростатическом поле подчиняется
не только потенциал ф [ф-ла E.9)], но и вектор Е. Если стацио-
стационарное поле создано в системе, геометрия которой не меняется по
оси г, то д/дг = 0 и трехмерный оператор Лапласа превращается в
двумерный. При этом справедливо равенство Уг,Е=0, что совпа-
совпадает с (8.11). Граничные условия для вектора Е на границе с иде-
идеальным проводником B.27) одинаковы в случае стационарных и
переменных полей. Одинаковые уравнения и граничные условия
приводят к одинаковым решениям для обоих случаев, что и требо-
требовалось доказать.
169
Следствие I. Структура паля волны ТЕМ в поперечном се-
сечении не зависит от частоты. Действительно, поле Е х волны ТЕМ
идентично электростатическому при любой частоте, а 'поле Н , од-
однозначно связано с Ё± соотношением (8.12).
Следствие 2. Волна ТЕМ может распространяться лишь в та-
таких направляющих системах, где возможно существование элект-
электростатического поля. Так как речь идет о полях, ограниченных в
плоскости Sx, перпендикулярной оси z, то электростатическое поле
может быть создано лишь в системе из двух или нескольких изоли-
изолированных проводников. В поперечном сечении границы диэлектри-
диэлектрика с проводниками образуют многосвязную область (границы обла-
области нельзя начертить, не отрывая карандаша от бумаги).
Итак, структура поля Е± волны ТЕМ определяется решением
электростатической задачи. Поэтому можно непосредственно ис-
использовать найденные в параграфе 5.3 электрические поля коакси-
коаксиальной линии [ф-ла- E.15) при a^r^.b=r0] и двухпроводной ли-
линии (двух заряженных цилиндров) (ф-ла E.22)]. В электростати-
электростатическом поле линиям вектора Е перпендикулярны эквипотенциаль-
эквипотенциальные поверхности, а в поле волны ТЕМ справедливо соотношение
Н.1Е,.
Следовательно, в поперечной плоскости линии магнитного
поля Н^ волны ТЕМ совпадают с эквипотенциальными поверхно-
поверхностями электростатического поля $=const, описанными соотноше-
соотношениями E.16) и E.18).
Для определения магнитного поля Н . в линиях с волной ТЕМ
можно также использовать их идентичность стационарному магнит-
магнитному полю в диэлектрике, если у последнего Нп = 0 на границе с
проводником. В частности,
из ф-лы A.7) при
Н
в коаксиальной линии находится
КЛАССЫ Е И Н
В направляющих системах могут также распространяться электро-
электромагнитные волны, поле которых имеет одну продольную состав-
составляющую Ег или Н2. Эти волны существуют в односвязных и много-
многосвязных волноводах с металлическими стенками и однородным
Диэлектрическим заполнением, а также в структурах, состоящих
из нескольких концентрических диэлектрических слоев; в послед-
последнем случае структура поля волны должна обладать осевой сим-
симметрией.
?-волны, или «электрические», имеют только электрическую
продольную составляющую (?z^0) и поперечные компоненты Е ±
и Н , . Так как #2 = 0, магнитное поле этих волн поперечно, и их
называют также поперечно магнитными (ТМ) волнами.
160
Продольная компонента Ег определяется ур-нием (8.5) в за-
заданных границах:
V14 + X24 = O. (8.14)
Из соотношения (8.9) при #г = 0 находим затем поперечную со-
составляющую электрического поля:
EJ = - _L
г,
Ёг « - ^- grad± Ёг.
(8.15а)
Для магнитной составляющей из соотношений (8.10) и (8.15а)
получаем:
\ p =
где
-P-Z -
шеа
(8.156)
(8.15в)
поперечных составляющих поля
— волновое сопротивление заполняющей
— волновое сопротивление для
?-волны; ZB=] n
волновод среды.
Из ф-л (8.15) следует, что, во-первых, поперечная составляю-
составляющая электрического поля Е L пропорциональна градиенту продоль-
продольной составляющей поля Ez, взятому в поперечном сечении; во-вто-
во-вторых, поля Ех и Нх синфазны, взаимно перпендикулярны и про-
пропорциональны друг другу по величине в любой точке сечения вол-
волновода.
Я-волны, или «магнитные», обладают только магнитной про-
продольной составляющей (Нгф0) и обеими поперечными Ех и НХ-
Их называют также поперечно электрическими (ТЕ) волнами, так
как ?z = 0. Волновое уравнение для продольной компоненты
у!яг + Х2Яг = 0 (8.16)
решается при заданных условиях на границах поперечного сечения
волновода. Поперечные составляющие находятся по ф-лам (8.10)
и (8.9):
H L = ?- grad
-
(gradx Hz X ej =
= ^ZB
(8.17)
Y Y " P B P
где Z? — волновое сопротивление для поперечных составляющих
поля Я-волны. Здесь также сохраняется синфазность, пропорцио-
6—2 161
иальность и взаимная перпендикулярность векторов Ё± и Нх.
Причем, в свою очередь, составляющая Н± пропорциональна
КЛАССЫ ЕН И НЕ
Волны, поле которых имеет одновременно обе продольных состав-
составляющих Ez и Hz, называются гибридными и обозначаются ЕН или
НЕ в зависимости от величины отношения E-JHZ. Эти волны воз-
возникают в волноводах, состоящих из нескольких сред с различаю-
различающимися параметрами, например, в диэлектрическом стержне, окру-
окруженном воздухом. Условия на границе двух диэлектриков не могут
выполняться, если поле волны содержит одну продольную состав-
составляющую (исключение составляют волны, обладающие круговой
симметрией поля).
Волновые ур-ния (8.5) в случае гибридных волн решаются од-
одновременно для обеих продольных составляющих Ez и Нг с наложе-
наложением соответствующих граничных условий. Поперечные составляю-
составляющие поля Е± и Нх определяются общими соотношениями (8.9) и
(8Л0).
8.5. Парциальные волны в волноводах
КОНЦЕПЦИЯ БРИЛЛЮЭНА
Поле в любом волноводе (кроме волн ТЕМ) можно рассматривать,
как результат сложения плоских однородных волн, называемых
парциальными, многократно отраженных от его граничных поверх-
поверхностей, т. е. допустима лучевая трактовка явлений в волноводах.
Это свойство называют концепцией Бриллюэна по имени француз-
французского физика, доказавшего его для Е- и Я-волн в полых металли-
металлических волноводах. Рассмотрим концепцию парциальных волн на
двух-примерах.
ПОЛЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД ПРЯМОУГОЛЬНОГО
СЕЧЕНИЯ
Чтобы установить, возможно ли распространение электромагнитной
волны внутри металлической трубы (рис. 8.4), необходимо пока-
показать, что суперпозиция парциальных волн удовлетворяет граничным
условиям на внутренних стенках волновода S. Пусть парциальные
волны поляризованы параллельно оси у, т. е. Е||е„, тогда сразу
удовлетворяется граничное условие ?x|s=0 на двух стенках, ле-
лежащих в плоскостях у=0 и у=Ь параллельных плоскости xoz. Что-
Чтобы показать возможность выполнения этого же условия при х=0
и х=а, рассмотрим вспомогательную задачу.
162
V
Пусть перпендикулярно по-
поляризованная волна падает
под некоторым углом <р на
идеально проводящую поверх-
поверхность, лежащую в плоскости
yoz. На рис. 8.5 показано рас-
распределение поля для некоторо-
некоторого момента времени: вектор
магнитного поля расположен
в плоскости чертежа, а вектор
электрического поля — пер-
перпендикулярно этой плоскости.
Штрих-пунктирные линии по-
показывают фронты волны, соот-
соответствующие положительному
максимуму ( + Ет), а пунктир- .
ные — отрицательному (—Ет); точечный пунктир соответствует
линиям нулевого поля (?=0).
Под тем же углом ф волна отражается от проводящей поверх-
поверхности, причем так, что удовлетворяются граничные условия напро-
1
II
Рис. 8.5
воднике: результирующая тангенциальная составляющая Ех на
отражающей поверхности равна нулю. Если через какую-то точку
на этой поверхности проходит фронт максимума (+Ет) падающей
волны, то у отраженной волны должен проходить фронт минимума.
Из рисунка видно, что условие Et = E+ + E~=0 соблюдается на
всей граничной поверхности. Вследствие этого появляется ряд
плоскостей, параллельных отражающей поверхности, где выполня-
выполняется это же условие: по оси Ох образуется стоячая волна с рядом
параллельных узловых поверхностей.
Дадим математическое описание поля Е, образованного суперпо-
суперпозицией падающей и отраженной волн. Если принять, что потери в-
диэлектрике отсутствуют, то для падающей волны по ф-ле F.2) по-
получим показатель экспоненты: K+-r=ik(ysin{p~\-zcos(()), а для от-
отраженной волны: K~-r=i?(«/sir^—2соэф).При идеально отражаю-
6* 163
щей поверхности (Zb2 = 0) согласно ф-лам F.7) —F.11) находим
Гх = — 1; В — —А. Тогда результирующее поле
Ё = Ё+ + Ё" = А
-к+.г
1 g
—к
_ e
_i*
)j еш е^ = j 2 л sin (k cos Ф• х) е
\k(z sincp—x соэф)
i (mt—k sincp-z)
е„ (8.18)
представляет собой неоднородную плоскую волну, распространяю-
распространяющуюся вдоль оси Oz. Удобно описать ее структуру с помощью фа-
фазового коэффициента р и поперечного волнового коэффициента %:
Ё = i 2 Л sin/^e1 <co'~pz) еу; р = ?эшф; х = ^соБф; (8.19)
справедливость уравнения коэффициентов (8.4) в данном случае
очевидна. Электрическое поле Ё образует стоячую волну вдоль по-
поперечной оси х и бегущую — вдоль оси г.
В ряде равноотстоящих плоскостей электрическое поле равно
нулю: Еу — Е'у +Е^=0 при sinx* = 0. Положение этих плоскостей
определяется условием: %х = тп (т = 0, 1, 2,...), откуда х = 0; х~
= О1 = я/х;- х = ат = тл/х = та1 и т. д. Поэтому рассмотренная
структура поля может быть создана между двумя параллельными
проводящими плоскостями, расстояние между которыми
m л т л тХ ,й пп\
а — max = = = ¦ . (b.ZU)
1 k cos Ф 2cos ф
где \ — длина плоской однородной волны в среде.
Ограничим поле на рис. 8.5 сверху, поместив в одну из узловых
плоскостей вторую металличе-
металлическую пластину. Теперь плоская
волна распространяется меж-
между двумя плоскостями, много-
многократно отражаясь от каждой
из них (рис. 8.6). Суперпози-
Суперпозиция полей падающей и отра-
отраженной волн равна нулю у ме-
металлических стенок, а между
ними один или несколько раз
достигает максимума, равного
двойной амплитуде падающей
волны. Число полуволн стоя-
Рис. 8.6
у
чей волны, укладывающихся по оси х между проводящими стен-
стенками, равно т.
Ограничив пространство металлическими поверхностями еще
в двух плоскостях г/ = 0 и у = Ь, перпендикулярных вектору Е, при-
приходим к полю в прямоугольном волноводе (рис. 8.4), удовлетворяю-
удовлетворяющему граничному условию Ех |s = 0 на всех его стенках. Если раз-
размер волновода а задан, то угол ф падения парциальной волны не
произволен, а определяется соотношением (8.20); он зависит также
от числа т, определяющего сложность структуры поля волны, рас-
164
пространяющейся в волноводе. Магнитное поле определяется ана-
аналогично электрическому. Из рис. 8.5 видно, что оно имеет состав-
составляющие Нх и Н2. В плоскостях, где Еу — 0 суммарное поле Я2 мак-
максимально и равно удвоенному значению Н2 парциальной волны.
Как следует из ф-лы (8.19), волна распространяется вдоль оси
z с фазовым коэффициентом р. Эквифазными являются поверхно-
поверхности z=const (поперечные сечения волновода). В волноводе рас-
распространяется плоская неоднородная волна (Е непостоянно в экви-
фазной плоскости).
Длина волны Л в волноводе определяется ф-лой C.30), в кото-
которой к„ заменяется на р:
Л = — =
2я
A sin ц>
(8.21)
Можно найти Л и по расстоянию между двумя максимумами
поля вдоль оси волновода. Из треугольника A CD на рис. 8.6 следует;
sin(p = A/A, что совпадает с ф-лой (8.21). Длина волны в полом
металлическом волноводе Л больше, чем в неограниченном прост-
пространстве л при той же частоте 'колебаний.
Выведем условие распространения волны в волноводе. При по-
постоянных ант угол падения парциальной волны зависит от ).:
cos(p = mh/B а). Если Х<^.2а/т, угол ф близок к 90°, парциальные
волны падают на стенки волновода полого (рис. 8.7). По мере рос-
-.'< 2'а/т
A<Ja/m
Л.=2а/т
Рис. 8.7
та л угол ф уменьшается и, наконец, при 1 = 2 а/т становится рав-
равным нулю; распространение волны прекращается. Таким образом,
размер волновода ограничивает диапазон длин волн, которые спо-
способны в нем распространяться, неравенством: /.<2а/ш.
Назовем верхнюю границу диапазона, в котором волна задан-
заданного типа распространяется по волноводу, критической длиной вол-
волны /.кр (в данном случае }.KV = 2a/m). В волноводе могут распро-
распространяться только те колебания, у которых длина волны в свобод-
свободном пространстве меньше критической: л<лкр.
Соответственно определяются критическая частота /Kp = f ецДкр
и условие распространения />/Кр. Практически всегда необходимо
определенное превышение частоты f над критической частотой /ь-р
заданного типа волны.
Н-ОБРАЗНЫЙ МЕТАЛЛОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД
Рассмотрим волновод (рис. 8.8) в виде диэлектрической пластины
прямоугольного сечения с проницаемостью е( и волновым числом
ki = kaV si. граничащей с воздухом (е2=1; k2 = k0) в плоскостях
165
х—±а, параллельных yoz и с металлическими пластинами в плос-
плоскостях у='О и у = Ь. Пусть парциальные волны в диэлектрике по-
поляризованы параллельно оси у: Е||еу. В отличие от металлического
волновода (рис. 8.4) парциальные волны полностью отражаются от
границы двух диэлектриков в плоскостях х=±а только в том
случае, если ei>62 и <р>фкр, где согласно ф-ле F.17) фкр =
= arcsin y"e2/ei = arcsinGj2/?i,)- По ф-ле F.19) коэффициент отра-
отражения от границы двух диэлектриков Г± =l-e'*; его модуль ра-
равен единице, а фазовый угол определяется соотношением tg(\j)/2) =
= sh 8/( Y~?i cos ф), откуда следует, что 0<ф<л. Поэтому узло-
узловые плоскости, где электрическое
поле равно нулю (парциальные
волны складываются в противо-
фазе), теперь не совпадают с гра-
границей. Внутри диэлектрической
пластины вдоль оси х возникает
стоячая волна с нецелым числом
полуволн (с отсеченными конца-
концами синусоид, изображающих из-
изменение поля Е); границы пла-
Воздух
Воздух
Рис. 8.8
Рис. 8.9
стины х=±а проходят в тех областях, где ЕУФО.
Как было установлено в 6.3, при ф>фКр плоская волна прохо-
проходит через границу диэлектриков, образуя в воздухе поверхностную
волну. Поле этой волны при удалении от границы убывает тем
быстрее, чем больше коэффициент в экспоненциальном множителе
F.20), который назовем поперечным коэффициентом поверхност-
поверхностной волны:
? = ?2she. (8.22)
Наглядное представление о поперечной протяженности поля по-
поверхностной волны, пропорционального е~'{х~~а) (для х^а), дает
граничное расстояние х0, измеренное от х = а до той плоскости, где
напряженность поля в е раз меньше, чем у поверхности пластины.
Очевидно, что ?,Хо= 1 и хо= 1/?.
Поверхностная волна образуется парциальными волнами, кото-
которые распространяются в воздухе по эллиптическим траекториям,
возвращаясь обратно в диэлектрик (рис. 8.9). Формально это яв-
явление описывается комплексным углом преломления волны в воз-
воздухе ¦в = л/2-И8. Экспоненциально спадающие поля с обеих сторон
166
пластины являются непосредственным продолжением поля стоячей
волны в диэлектрике. Все вместе они образуют единую волну, рас-
распространяющуюся вдоль оси z с фазовым коэффициентом р. Из
ф-л F.18), F.20) и (8.19) следует, что
Р = k2 ch в = h sin ф; k2 < Р < fci. (8.23)
Частотный диапазон волноводов с поверхностной волной ограни-
ограничен снизу граничной частотой frp, соответствующей критическому
углу падения парциальной волны ф = фкр = агс sin (k^lki), тогда
|3 = &2, 8 = 0 и поперечный коэффициент поверхностной волны ? = 0.
Поле волны в воздухе не убывает с расстоянием от пластины: оно
становится неограниченным по оси х; такую волну уже нельзя счи-
считать направляемой.
В случае />/гр угол падения парциальной волны ср>фкр, попе-
поперечный коэффициент ?>0, и на границе с диэлектриком формиру-
формируется поверхностная волна. Для практического использования вол-
волновода необходимо определенное превышение / над /гр, чтобы гра-
граничное расстояние xo=l/Z, стало соизмеримым с толщиной 2 а (на-
(например, х0^ 10 а).
При дальнейшем росте частоты, как и в металлическом волно-
волноводе, ф->90°; тогда $-*-ki, a ? неограниченно растет, что приводит к
все большей концентрации поля поверхностной волны, т. е. умень-
уменьшению ее протяженности в поперечном направлении (хо-»-О).
Таким образом, поверхностную волну можно считать специфи-
специфической формой парциальной, распространяющейся под комплекс-
комплексным углом к оси волновода. Это позволяет обобщить концепцию
Бриллюэна на волноводы с поверхностной волной.
8.6. Скорости волны. Дисперсия. Мощность
ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ
Фазовая скорость волны была определена ранее как скорость дви-
движения фазового фронта. Фазовую скорость волны в направляющей
системе найдем по ф-лам C.28) и C.30), в которых кр заменяет-
заменяется на р:
p ftsinq) sinip
(8.24)
где k и и — волновое число и скорость распространения парци-
парциальной волны во внутренней среде волновода («1» на рис. 8.4 и
8.8). Здесь учтены соотношения (8.19), (8.21) и (8.23). Фазовая
скорость v>vE]X. При воздушном заполнении металлического вол-
волновода ve[K =c, тогда v>c. Согласно теории относительности мате-
материя не может перемещаться со скоростью, превышающей скорость
света с. Уже поэтому фазовая скорость не может являться скоро-
скоростью движения электромагнитной волны, представляющей собой
167
одну из форм материи. Что это действительно так, видно из рис.
8.10. На нем изображены гребни (максимумы) двух встречных пар-
парциальных волн в моменты времени t и t+A't. Если фронт каждой
волны продвигается на v At, то точка их пересечения — макси-
максимум поля волны в волноводе — проходит значительно большее
расстояние v — v /sin tp. Из рисунка видно, что максимум образует-
образуется все новыми участками фронта парциальных волн.
Рис. 8.10
Простое подобие фазовой скорости можно найти, наблюдая
морской прибой (рис. 8.11). Гребни волн движутся к берегу на-
наклонно со скоростью v\. Если
наблюдать движение прибоя
вдоль берега, т. е. точки касания
берега гребнем волны, можно за-
заметить, что скорость этого дви-
движения y = Oi/sin(p больше скоро-
скорости волны, а при движении волн
перпендикулярно берегу, когда
гребень достигает всей береговой
линии одновременно, фазовая
скорость бесконечно велика.
Фазовая скорость является
скоростью движения интерферен-
интерференционной картины, образованной
суммой парциальных волн в вол-
волноводе. С движением материи (и энергии как меры этого движе-
движения) она не связана.
В любом волноводе угол падения парциальных волн ср растет с
частотой, приближаясь в пределе к 90°, поэтому соответственно фа- .
зовая скорость уменьшается, стремясь асимптотически ко^.В ме-
металлическом волноводе на критической частоте ср = О, следователь-
следовательно, у-»-оо. В диэлектрическом волноводе на граничной частоте
р = &2, и фазовая скорость равна скорости однородной волны в воз-
воздухе: v = ьец2 (рис. 8.12).
168
Рис. 8.12
МОЩНОСТЬ НАПРАВЛЯЕМОЙ ВОЛНЫ
Мощность волны, передаваемой направляющей системой, опреде-
определяется интегрированием среднего значения вектора Пойнтинга по
поперечному сечению системы S х, что соответствует ф-лам D.3) и
D.27):
(8.25)
Р = J П dS = ) TlJS = j (Ёх X Нх) dS =
HX\4S.
Здесь учтена синфазность составляющих Ё± и Нх . Два послед-
последних равенства справедливы для Е- и Я-волн согласно ф-лам (8.15)
и (8.17). Для ТЕМ волн в этих же равенствах следует согласно
(8.12) заменить Z^H на ZB.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ
Скорость движения поля обычно отождествляют с энергетической
скоростью волны иэ, так как движение материи определяется ее
энергетическими характеристиками. Эта скорость относится к вол-
волне в целом и одинакова во всех точках поперечного сечения Sx. В
каждой точке соблюдается равенство D.30). П = иэш. Интегрируя
его по Sx, получаем Г IWS = u3 \ wdS. Обозначим W= f wdS, Tor-
да с учетом ф-лы (8.25) получаем
w
(8.26)
Энергетическая скорость волны в направляющей системе равна
отношению ее мощности Р к среднему запасу энергии W на едини-
единицу длины системы.
Представление поля в виде парциальных волн позволяет полу-
-чить выражения для иэ, не прибегая к интегрированию. Энергети-
Энергетическая скорость плоской однородной волны в диэлектрике D.35)'
совпадает с фазовой C.39). В металлических волноводах парци-
парциальные волны распространяются по зигзагообразному пути. Ско-
Скорость поступательного движения энергии в металлическом волново-
волноводе равна, очевидно, проекции скорости ve(l парциальной волны на
ось волновода (рис. 8.10): "э = Уе)Х sin ф. Энергетическая скорость
волны в металлическом волноводе меньше, чем скорость однород-
однородной волны в заполняющей его среде.
169
ДИСПЕРСИЯ ВОЛН
Зависимость фазовой скорости волны и ее затухания от частоты
называют дисперсией. Среда или направляющая система, в кото-
которой наблюдается дисперсия, называется дисперсной.
Если фазовая скорость волны понижается с ростом частоты; то
дисперсия называется нормальной; повышение фазовой скорости
с частотой соответствует аномальной дисперсии.
В плоской однородной волне, распространяющейся в идеальном
диэлектрике, по ф-ле C.39) of(l = const, т. е. дисперсия отсутству-
отсутствует1). В проводнике, согласно ф-ле C.45) опр = соА=]/2 и/((хасг)
наблюдается аномальная дисперсия. Из рис. 8.12 видно, что в ме-
металлическом и диэлектрическом волноводах наблюдается нормаль-
нормальная дисперсия направляемых волн.
ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
Сигналы, несущие информацию, передаются только модулирован-
модулированными колебаниями: импульсными или непрерывными. Любой мо-
модулированный сигнал представляет собой спектр частот с опреде-
определенными амплитудными и фазовыми соотношениями между отдель-
отдельными частотными составляющими. В дисперсной системе отдель-
отдельные частотные составляющие распространяются с разными скоро-
скоростями и испытывают различное затухание. Это нарушает ампли-
амплитудно-фазовые соотношения в спектре сигнала, и на приемном кон-
конце его форма может сильно отличаться от исходной.
Скорость передачи узкополосного сигнала, например, максиму-
максимума огибающей при амплитудной модуляции, называют групповой2).
При узкой полосе частот сигнал передается практически без иска-
искажения формы, если дисперсия на этих частотах не очень велика.
Групповую скорость на частоте со0 определим, рассмотрев про-
простейший модулированный сигнал — биение двух монохроматичес-
монохроматических колебаний с равными амплитудами Ei = Ez=E0 и близкими час-
частотами cdi = 0o—Асо; oJ=o)o+iAa) "(рис. 8.13). Различием коэффици-
коэффициентов затухания в частотном интервале 2 Асо можно пренебречь.
Пусть в начале волновода (или другой дисперсной системы)
при z=0 a t=0 фазы колебаний совпадают. Найдем суммарный
сигнал в произвольной точке:
= Ео е*
е* (ш''-р
-(8.27)
где Pi и рг — фазовые коэффициенты на частотах coi и
*) Практически недисперсны также реальные диэлектрики, если tg6<Cl.
2) Скорость названа групповой, так как характеризует, в частности, расп-
распространение узкополосного сигнала в виде группы или пакета волн: высокоча-
высокочастотного импульса, длительность которого велика по сравнению с периодом
высокочастотных колебаний Т.
170
Функцию р(to) представим в виде ряда Тейлора около точки
(СО — (О0J (
2!
Значения р и ее производных взяты при соо-
Частотная полоса 2 Аи должна быть достаточно узкой, чтобы
можно было пренебречь всеми членами ряда Тейлора, начиная с
г
i
и—1
с
2
—
(О,
долн
Рис. 8.13
Рис. 8.14
третьего. Подставляя первые два члена этого ряда в ф-лу (8.27),
получаем
Р =
I /-Д
l
i (дш-<-
da
Дсо-z
(8.28)
Таким образом, фазовая скорость результирующего колебания
о = со0/Ро соответствует скорости монохроматической волны на сред-
средней частоте. Огибающая сигнала (рис. 8.14) движется с групповой
скоростью:
u=\f- Г- (8.29)
Выразим групповую скорость через фазовую, заменив р=<о/о:
(8.30)
и =
d I со \ 1 ^_d_E_
dcoVo/ о & d со
odco
Отсюда следует, что u = v, если дисперсия отсутствует (du/dco = 0);
ы<о при нормальной дисперсии (dv/de><iQ); u>v при аномаль-
аномальной дисперсии (dv/dtx>>0).
УСЛОВИЕ НЕИСКАЖЕННОЙ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ
Сложный сигнал, имеющий широкий спектр частот, можно разбить
на узкие частотные полосы. Каждый узкополосный сигнал, сходный
с биениями, распространяется с групповой скоростью, свойственной
171
данной частоте. Если групповая скорость постоянна в пределах
всего спектра сигнала: a = const или dp/dco = const, то сумма этих
узкополосных сигналов даст на приемном конце неискаженный
сложный сигнал. Постоянству групповой скорости соответствует
линейная зависимость р = а+&со от частоты. Неискаженная переда-
передача сигнала требует, чтобы система передачи имела неизменную
групповую скорость в пределах полосы частот этого сигнала.
ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ И СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПОЛЯ
Почти всегда групповая скорость оказывается равной энергетичес-
энергетической скорости волны. Это совпадение не случайно. В самом деле,
амплитудномодулированные колебания соответствуют изменяющей-
изменяющейся во времени мощности на выходе передатчика. Плотность энер-
энергии пропорциональна квадрату амплитуды волны. Огибающая мо-
модулированного сигнала, изображенная, например, на рис. 8.14, де-
делит энергию волны на порции. Групповая скорость представляет
собой скорость распространения огибающей, поэтому в случае па-
пакета волн она совпадает по смыслу с энергетической скоростью
волны.
Исключением являются некоторые среды и системы с сильной
аномальной дисперсией. Для них может даже оказаться, что и>с.
Однако в этом случае нарушаются исходные предпосылки при вы-
выводе ф-лы (8.29), и групповая скорость теряет свой физический
смысл.
8.7. Закон парциальных мощностей '
Рассмотрим однородную направляющую систему, состоящую в об-
общем случае из нескольких диэлектрических слоев с разными па-
параметрами (например, диэлектрическая пластина в воздухе). Тре-
Требуется установить связь распреде-
распределения между слоями передаваемой
по системе мощности с фазовой и
энергетической скоростями волны.
Применим к такому многослой-
многослойному волноводу (рис. 8.15) концеп-
концепцию Бриллюэна. Положим, что по-
поперечное распространение энергии
в первом и последнем слоях огра-
ограничены идеально отражающей по-
поверхностью (металлической 'либо
диэлектрической). Таким образом,,
ье исключено, что в некоторых средах (возможно и в промежуточ-
промежуточных) распространяются поверхностные волны и соответствующие
углы фт являются комплексными (см. 6.3 и 8.5).
Фазовая скорость v волны ib волноводе, скорости vEftm однород-
однородных волн в средах и углы наклона парциальных волн связаны со-
172
1 \
Рис. 8.15
V
/
\
э
отношением, [см. ф-лы F.4), F.6) и (8.24)]:
t> = J!5!ii_= _^_ = ^TL = ¦ ¦ ¦ (8.31)
ЗШф1 Sin(pz 81Пфт
Для парциальной плоской волны в т-п среде, распространяю-
распространяющейся наклонно, существует известное соотношение D.30) между
усредненными значениями векто;ра Пойнтинта Пт, плотностью элек-
электромагнитной энергии wm и энергетической скоростью, совпа-
совпадающей в данном случае с фазовой скоростью волны tE|lim : Пт=
V 701
— v г\ьт шт-
Мощность, переносимая в каждом из слоев вдоль оси г, опре-
определяется интегрированием по поперечному сечению продольной
компоненты вектора Пойнтинга:
..2
Pm =
= f vE
С*
где Wm= {wmdS — запас электромагнитной энергии в данном слое
si
на единицу длины.
Полная мощность волны и запас энергии на единицу длины
волновода определяются суммированием по всем слоям:
(8.32)
m=l
m=\
m=1 °ецт
Энергетическая скорость волны в волноводе в целом определяется
соотношением (8.26): ua = P/W. Подставив в него ф-лы (8.32), по-
получим соотношение для произведения фазовой скорости на энерге-
энергетическую скорость волны в волноводе:
п п
i Pm 2.Рт
т=1 т=1
UJJ =
(8.33)
т—\
SP И Р
t-umV-am rm
т=!
Назовем парциальной ту часть полной мощности, которая рас-
распространяется в m-м слое: рт = Рт/Р- Тогда соотношение (8.33)
запишется в виде
v*] ' . (8.34)
«s v = Г ? гат[1ат рЛ ' = Г ?
Lm=! J I m=l
Равенства (8.33) и (8.34) называются законом парциальных
мощностей [30].
173
Если волна распространяется в одной среде, то, положив в
ф-ле (8.34) pi=l, придем к равенству, известному в теории полых
металлических волноводов:
u3v = i%v (8.35)
Произведение фазовой v и энергетической иэ скоростей в полом
металлическом волноводе равно v\^ — квадрату скорости распрост-
распространения однородной волны в среде, заполняющей волновод (если
волновод заполнен воздухом, то vEfl ~с). В справедливости соот-
соотношения (8.35) легко убедиться, сопоставив формулы: v=v^ /sincp
ец.
Для двухслойного волновода из ф-лы (8.33) получаем
UJ) =
ед2>
(8.36)
где v3=Pi/P2.
Произведение uav в двухслойном волноводе меняется от v2 2
(при v3—>-0) до t>2 j (при 1}э—>-°°) в зависимости от распределения
мощностей между слоями. Это показано и на графиках рис. 8.12.
Согласно ф-ле (8.34) при любом числе слоев обратная величи-
величина произведения скоростей l/(uav) равна сумме обратных величин
квадратов скоростей в средах 1/^дт, коэффициенты при кото-
которых равны парциальным мощностям рт- Итак, скорости усредня-
усредняются по слоям.
Групповую, а, следовательно, и энергетическую скорости можно
теперь определить не только по ф-лам (8.29) и (8.30), но и по
ф-лам (8.34)—(8.36). Для этого нужно знать фазову юокорость
волны и величину мощности в каждом из слоев волновода.
8.8. Коэффициент затухания
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД
В любой направляющей системе, изготовленной из неидеальных
материалов, возникают тепловые потери. При распространении
волны в диэлектрической среде возникают диэлектрические поте-
потерн. Поле создает электрические токи в ограничивающих его про-
проводниках, которые обусловливают потери на проводимость. Таким
образом, затухание волн в регулярной направляющей системе вы-
вызывается потерями в диэлектриках и проводниках.
Затухание можно рассчитать двумя методами: методом ком-
комплексных параметров и энергетическим. Метод комплексных па-
параметров позволяет учесть потери в диэлектрике и металле при ре-
решении граничной задачи. При введении комплексных параметров
сред получается система комплексных уравнений, решением кото-
которых является коэффициент распространения волны Y = « + ip> вклю-
включающий коэффициенты фазы и затухания.
174
Энергетический метод основан на предположении, что потери
малы (а<§СE) и не меняют сколь-либо заметно структуру поля.
Используя, как исходное, решение для идеального волновода,
можно определить потери энергии на единицу длины при неиде-
неидеальных материалах, а следовательно, и коэффициент затухания.
Применим к рассматриваемой задаче энергетический метод, как
более наглядный и простой. Сохраним обозначение к = ка + i/Cp
для коэффициента распространения однородной волны в неограни-
неограниченной диэлектрической среде. Так как направляющие системы
изготавливаются из высококачественных диэлектриков, будем счи-
считать, что к=&@,5 tg6 + i) в соответствии с ф-лой C.35). Множи-
Множитель бегущей затухающей волны для всех компонент поля в вол-
волноводе в соответствии с ф-лой (8.1) запишется в виде e~vz = e~az X
Среднее значение мощности волны в волноводе, пропорциональ-
пропорциональной квадрату 'напряженности поля, меняется в зависимости от z
по закону
волновода
—2ок
= Рое . Скорость изменения мощности по длине
dz
Рассмотрим баланс мощностей для
объема, заключенного между сечениями z
и z+dz (рис. 8.16). Пусть Р1 = Р1д+Р1пр —
мощность тепловых потерь в диэлектрике и
проводнике, отнесенная к единице длины
волновода. Очевидно следующее соотноше-
соотношение: dP = —P\dz. Отсюда с учетом ф-лы
(8.37) следует: P{ = —dP/dz=2aP. Эти со-
соотношения позволяют получить общие фор-
формулы для расчета коэффициента затухания
энергетическим методом:
Р.д
(8.37)
P.tiz
Рис. 8.16
a = ?l =
2Р
*пр>
а„ =
2Р
апр =
(8.38)
Итак, для нахождения а необходимо определить в любом сече-
сечении Р, Р\л и Pinp- Эти величины рассчитываются при следующих
допущениях, не приводящих к существенным ошибкам:
1. Структура поля в направляющей системе не отличается от
поля при идеальных проводниках. Неидеальность проводника вы-
вызывает появление тангенциальной составляющей электрического
поля, на несколько порядков меньшей, чем остальные составляю-
составляющие. Эта составляющая заметна лишь в непосредственной близо-
близости от проводника и учитывается при расчете потерь в нем. В ос-
остальном ее влияние на структуру поля невелико.
2. Поле у металлических поверхностей удовлетворяет гранич-
граничному условию Леонтовича. Радиус кривизны R проводящей по-
175
верхности не должен быть меньшим 5А (на частотах свыше 10 Мгц
это соответствует /?>0,1 мм), что при решении большинства
электродинамических проблем выполняется. При расчете потерь в
линиях с волной ТЕМ, работающих на низких частотах, будут
рассмотрены случаи, когда второе допущение несправедливо.
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ
В соответствии с ф-лой D.23) плотность мощности диэлектричес-
диэлектрических потерь Рд = И8а tg6|?|2. У ?-волн имеется, кроме поперечной,
E Т Е
ких пор Рд а g|| р р
продольная составляющая электрического поля Ez. Так как Ег и
Е взаимно перпендикулярны, согласно ф-ле D.20), справедливо
равенство: |?|2= \EZ\2+ |?J2. Интегрируя ря поперечному
сечению волновода, найдем величину диэлектрических потерь на
единицу длины
Р1д = j padS = соеа tg б J (| Ег |2 + | Ех f )dS
(8.39)
Если система состоит из нескольких сред с разными еа и tg6,
интеграл (8.39) заменяется суммой интегралов, взятых по частич-
частичным областям с соответствующими коэффициентами. Составляю-
Составляющая <хд коэффициента затухания в однослойном волноводе с уче-
учетом ф-лы (8.25) и равенства (aEa = k/Z
Ei*
2P
(8.40)
Отсюда для ?-волн с учетом равенств
= ZBp/k получаем:
Р tg 6 j" A Ег |i + | Е± |«) dS
.(8.41)
Для Я-волн, не имеющих Ez, ф-ла (8.40) упрощается с учетом
соотношений i (E± X H j e. = | EL \ 'ZB ; ZB = ZB kj$: u=vefl sin ф:
№ tg !\ k tg fi _ (otg6
2P
2sin
(8.42)
176
У волн ТЕМ отсутствует Ег и, кроме того, р = ?. Тогда
otem = 'Lt&lL =!
что совпадает с выражением для ка C.37) в случае плоской од-
однородной волны в диэлектрике.
Выражение (8.42) можно получить, опираясь на концепцию
Бриллюэна. В самом деле, парциальная волна ТЕМ с затуханием
атем [ф.ла (8.43)] распространяется в волноводе по зигзагооб-
зигзагообразному пути, который в 1/sin cp раз длиннее соответствующего уча-
участка волновода. Естественно, что при этом во столько же раз воз-
возрастает затухание волны. Таким образом, сравнение ф-л (8.42) и
(8.43) служит еще одним доказательством правильности концеп-
концепции парциальных волн. ?-волны распространяются в волноводах
точно таким же образом, поэтому ф-ла (8.42) справедлива и для
них. Можно показать, что ф-лы (8.41) и (8.42) для ?-волн тождест-
тождественны.
Таким образом, составляющая коэффициента затухания, обус-
обусловленная диэлектрическими потерями, для всех волн определяет-
определяется соотношением (8.42) и зависит лишь от со, и и tg б.
ПОТЕРИ В ПРОВОДНИКАХ, ОГРАНИЧИВАЮЩИХ ПОЛЕ
ВОЛНЫ
Потери в проводнике, отнесенные к единице площади, зависят от
тангенциальной к его поверхности составляющей магнитного поля
[ф-ла F.27)]: Нщ> = RS\HX I2!!. Для определения потерь на единицу
длины нужно взять интеграл от Ппр по контуру волновода, ограни-
ограниченному металлическими поверхностями:
(8.44)
Для волн, имеющих продольную составляющую магнитного по-
поля Hz, возможна замена \НХ|2= |#г|2+ \Нхх |2- С учетом ф-лы
(8.25) получаем выражение для той части коэффициента затуха-
затухания, которая определяется потерями в проводниках:
«пр =
2Р
H±)ds
(8.45)
Мощность потерь в проводниках пропорциональна длине их пе-
периметра, а передаваемая мощность — площади поперечного сече-
сечения направляющей системы. Следовательно, коэффициент затуха-
затухания апр волны определенного типа обратно пропорционален попе-
поперечным размерам направляющей системы.
177
8.9. Нормированные волны. Линия с нагрузкой.
Шумовая температура линии.
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
Важнейшие с практической точки зрения свойства направляющих
систем связаны с их основной функцией — передачей электромаг-
электромагнитных волн. Это свойство, по существу, одинаково у систем лю-
любой конструкции при любом типе используемой волны.
По направляющей системе, в зависимости от частоты, могут
распространяться волны либо одного, либо нескольких типов
(мод). В первом случае ее называют одномодовой, во втором —
многомодовой. Одномодовый режим характерен для двухпровод-
двухпроводных линий с волной ТЕМ в широком диапазоне частот.
В дальнейшем под линией будем понимать произвольную одно-
модовую направляющую систему, в которой рассматриваются толь-
только общие свойства бегущих направляющих волн. Это понятие мо-
можно расширить, если считать, что линия соответствует свойствам
многомодовой направляющей системы для одного из типов волн.
Однако тогда следует отдельно учитывать преобразования типов
волн (перехода энергии одного типа волны в другой), которые
возможны в нагрузке или на других нарушениях регулярности ли-
линии. Введем следующие определения.
Нормированная волна ¦— бегущая по направляющей
системе волна, несущая единичную суммарную мощность Рн =
= 1 Вт.
Нормированные действующие значения компо-
компонент поля обозначаются через Ен и Ян и определяются так, чтобы
в соответствии с ф-лой (8.25) мощность волны составляла 1 Вт:
= l Вт.
(8.46)
Характеристическое сопротивление Zc линии с
волной ТЕМ равно отношению напряжения бегущей волны 0л к ее
току /л. Нормированные действующие 'напряжения Ua •и ток /н ли-
линии подчиняются этому же соотношению: Zc=Ujl/iJ1=Ua /H. Почти
всегда Zc (Можно считать вещественной величиной. Так как, с дру-
*
гой стороны, UHIH = PH= 1 Вт, то
| Г | =
(8-47)
Нормированная амплитуда бегущей волны U—
безразмерный скалярный комплексный коэффициент, равный по
модулю отношению величин поля, напряжения и тока данной бе-
бегущей волны к соответствующим нормированным значениям:
Ё = U Ен; Н = пН"; 11л = п U"; /л = Шн. (8.48)
178
Сопоставляя ф-лы (8.25), (8.46) — (8.48), находим, что мощ-
мощность произвольной волны
р = | U |2 Р", т. е. | U
P" = 1 Вт.
(8.49)
Мощность бегущей волны (в ваттах) равна квадрату модуля ее
нормированной амплитуды.
Из ф-л (8.47) и (8.49) можно непосредственно определить на-
напряжение и ток в линии: | ?/л| = y"PZc; \]л=,0 V^Zc;|/n| =
VJc\ L/Vc
Нормированная линия — гипотетическая линия с еди-
единичным характеристическим сопротивлением Zc=l Ом. В такой
линии согласно (8.47) | ?/Цл | = 1 В; |/?л | = 1 А и, следовательно,
по ф-лам (8.48) ?/нл[В] = /Нл[А]=?). Нормированная амплитуда
волны численно равна напряжению и току бегущей волны в норми-
нормированной линии.
Описание бегущих волн их нормированными амплитудами ши-
широко используется, так как носит универсальный характер. Приме-
Применение 0 эквивалентно введению в рассмотрение нормированной ли-
линии. Особенно полезным предположение о Zc=l Ом оказывается
для направляющих систем с волнами Е, Н, ЕН и НЕ, где такие по-
понятия как напряжение, ток и характеристическое сопротивление
пинии не могут быть определены однозначно. Однако и при анали-
анализе линий с волной ТЕМ часто используется нормировка к единич-
единичному характеристическому сопротивлению. По вышеприведенным
формулам легко перейти от "безразмерной амплитуды И к физиче-
физическим величинам, характеризующим волну в конкретной направля-
направляющей системе.
ЛИНИЯ С НАГРУЗКОЙ
Если на конце регулярной линии (одномодовой направляющей
системы) включена нагрузка, то, кроме падающей волны с норми-
нормированной амплитудой U+, может возникнуть отраженная волна
(рис. 8.17). Ее амплитуду 0~ у входа нагрузки (при z = 0) опреде-
определяет комплексный ко-
I
чффициент
нагрузки:
отражения
= \гп
|е'\
0+@)
(8.50)
При движении вдоль
линии амплитуда и фа-
фаза падающей волны
Рис. 8.17
179
меняются по закону U+(iz) = U+@)e уг, а отражением — по за-
закону: U-(z) = U-@)eyz .
Коэффициентом отражения в произвольном" сечении линии на-
называется отношение комплексных амплитуд двух встречных бегу-
бегущих волн в этом сечении:
Ц~(г)
0+(z)
= Г@)е2уг
(8.51)
(8.52)
| Г (г) | = | Г @) | е2аг = | Г @) | Ю°-1а°г
В линии без потерь (-у = iр) модуль |Г| одинаков в любом се-
сечении; в линии с потерями он уменьшается по направлению к ге-
генератору. Фаза коэффициента отражения Эн + 2 рг увеличивается
при движении точки наблюдения от генератора к нагрузке.
Суперпозиция двух встречных волн создает в линии стоячую
волну. Нормированные амплитуды напряжения и тока стоячей вол-
волны в любом сечении линии с единичным характеристическим со-
сопротивлением обозначим через и и i. Они равны сумме нормиро-
нормированных амплитуд падающей и отраженной воли (с учетом обрат-
обратного направления тока отраженной волны):
и (г) = U+ (г) + 1Г (г) = U+ @) e"V2 + IT @) eV2)
i (г) =?= U+ (г) — (Г (г) = О+ @) e"V2 — U~ @) eV2 ]
Ненормированные значения напряжения и тока в любом сече-
сечении линии определяются с помощью формулы вида (8.48): U(z) =
= u(z)U*; i(z)=i(z)I".
Отношение нормированных амплитуд напряжения и тока стоя-
стоячей волны равно нормированному комплексному сопротивлению:
г» = Г(г) + i x(z) = iff = 0+ <г> + °~<2> = 1±?И. . (8.53)
Параметры нигрузки и режим стоячей волны в линии можно
полностью характеризовать любым из двух параметров: комп-
комплексным коэффициентом отражения [ф-ла (8.51)] или комплексным
нормированным сопротивлением [ф-ла (8.53)].
Между ними существует однозначная связь. Из ф-лы (8.53) лег-
легко получить соотношение для обратного перехода:
г (г) - 1 + i х (г)
г(г)
(8.54)
Для линий с волной ТЕМ можно перейти также к ненормиро-
ненормированным сопротивлениям:
Иг)
i (г)
R=7ZC; X = xZc. (8.55)
180
Установим связь между нормированным сопротивлением в про-
произвольном сечении z(z) и нормированным сопротивлением нагруз-
нагрузки гн = г@) при г=0:
Гне2*г Gн+1)+(^_1)^ 7@) -thy z
г (г) = 'т'"с = У'н тчт^в — ч*
1— Ге!'г (z~ + l) — (z~—l)e2">
При отсутствии потерь в линии \ = ip и
=
1 — г @) th v г
. (8.56)
(8 57)
1 - i * @) tg р г
Во многих случаях используют аналогичные соотношения для
комплексных «армированных проводимостей y=l/z—g + ib:
(8.58)
1 + У (г)
— у @) th v г
где y=Y/Yc; g=G/Yc; b = B/Ye; Yc=\/Zc — характеристическая про-
проводимость линии.
Координату г обычно выбирают так, чтобы она возрастала при
движении точки наблюдения от генератора к нагрузке. Отметим,
что сопротивление z, проводимость у, напряжение u(z) и ток i(z)
меняются от точки к точке как по фазе, так и по модулю. Поэтому
в большинстве случаев удобнее характеризовать режим в линии
коэффициентом отражения f(z) и амплитудами бегущих волн О+
и 0~, модули которых в линиях без потерь неизменны.
Режим работы линии характеризуют также коэффициентом
стоячей волны ксв или коэффициентом бегущей волны к^а, которые
определяются через максимальные (в пучности) и минимальные
(в узле) значения напряжения в линии:
I " \rnin
\и+\ — \и~\
\-\r\
\и+
U'
(8.59)
\u\max \U+\+\U~\ ' + 1^1
Модуль коэффициента отражения однозначно связан с этими
коэффициентами:
\Г\ =
— 1
1 —«бв
«ев + 1 1 + «бв
КРУГОВАЯ ДИАГРАММА ПОЛНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
(8.60>
Для расчета параметров линии вместо ф-л (8.53) — (8.60) удобнее
использовать круговую диаграмму, построенную в плоскости
комплексного коэффициента отражения Г (рис. 8.18). Модуль ко-
коэффициента отражения равен расстоянию от центра диаграммы
181
козфрцциснтВ отражения
(от центра, диаграммы)
О 0,1 0,1 0,2 O,it 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Рис. 8.18
(ЦД) до данной точки (за единицу принят радиус внешней окруж-
окружности); вещественная ось направлена вниз; снаружи диаграммы
имеется кольцевая шкала (в градусах) для фазового угла коэф-
коэффициента отражения. Область внутри круга заполнена двумя се-
семействами ортогональных окружностей. Окружности с центрами
на главном (вертикальном) диаметре соответствуют определен-
определенным значениям вещественной (активной) части (r=const) комп-
комплексного нормированного сопротивления, а части окружностей с
центрами вне диаграммы — значениям его мнимой (реактивной) со-
составляющей х = const. Интервалы изменения этих величин: 0^
^г<оо; —оо<х< + оо охватывают все возможные значения
комплексного сопротивления. Каждому значению комплексного ко-
коэффициента отражения соответствует определенная точка на диаг-
диаграмме; пользуясь шкалами г и х, несложно определить комплекс-
комплексное нормированное сопротивление z=r+ix для этой же точки.
Центру диаграммы соответствуют значения Г=0; z=r=l; x—0, a
1812
главному диаметру — чисто вещественные сопротивления (*=0).
Слева от этого диаметра находится область отрицательных реак-
реактивных сопротивлений (х<0); справа — положительных (х>0).
Внешней окружности соответствуют значения |Г| = 1 и чисто реак-
реактивные сопротивления (г = 0); ее пересечение с вещественной осью
внизу является особой точкой: Г=\ при г-*~оо, либо jr-voo.
Движению наблюдателя вдоль линии от нагрузки к генератору
соответствует вращение соответствующей точки на диаграмме по
часовой стрелке. На внешней стороне круга имеются шкалы рас-
расстояний, отнесенных к длине волны A/К)г причем /=0,5 X соответ-
соответствует полному обороту C60°) на диаграмме. Если линия не имеет
потерь, то |r|=const и точка вращается по окружности с центром
в ЦД. Если коэффициент затухания не равен нулю, то \Г\ изме-
изменяется согласно ф-ле (8.51).
Для определения коэффициентов бегущей и стоячей волн при
любой нагрузке линии нужно провести через соответствующую
точку окружность с центром в ЦД и отметить точки ее пересече-
пересечения с главным диаметром. По шкале активных сопротивлений г в
его верхней половине отсчитывается КбВ (от 0 до 1), а в нижней по-
половине ксв (от 1 до оо).
Эта же диаграмма может служить для нахождения комплекс-
комплексных нормированных проводимостей y=g+ib, если семейства орто-
ортогональных окружностей считать шкалами для g и Ь (вместо г их),
а вещественную ось для Г направить вверх (что поворачивает на
180° шкалу-его фазовых углов). Таким образом, переход от ком-
комплексного сопротивления к комплексной проводимости для одного
и. того же сечения линии соответствует на диаграмме переходу к
точке, симметричной первоначальной относительно центра диаг-
диаграммы.
ВОЛНОВЫЕ РЕЖИМЫ ЛИНИИ
Режим чисто стоячей волны возникает в линии при ра-
равенстве по модулю амплитуд отраженной и падающей волн:
|?/~| = |?/+|. Для этого необходима полностью отражающая на-
нагрузка, модуль коэффициента отражения которой равен единице:
|Ai|=l- Так как такая нагрузка не поглощает энергии, равны
между собой также мощности обеих волн. Минимальное напряже-
напряжение |ы|mfn = | С/+1 —1?/-|=0; максимальное |ы|тОа:= | U+\ + | U~\ =
= 2 \U+\; Кбв = 0; ксв-э-°о.
Режим бегущей волны устанавливается при полном
отсутствии отраженной волны: ?/- = 0, тогда в линии отсутствуют
УЗЛЫ И ПуЧНОСТИ напряжения: |м|тгп = |«|тах= |^'+|; Кбв = Ксв=1-
Для этого необходима идеально согласованная нагрузка линии,
полностью поглощающая падающую волну, с нулевым коэффи-
коэффициентом отражения Гн=0; данному случаю соответствует норми-
нормированное сопротивление zu=rH=\ (или проводимость г/н=бн=1),
183
?
т. е. равенство сопротивления нагрузки характеристическому сопро-
сопротивлению линии.
Аналогично идеально согласованным генератором считается
источник с внутренним нормированным сопротивлением zT = rr=\.
В этом случае отраженные от нагрузки волны полностью погло-
поглощаются генератором и вторичных отражений нет.
Коэффициент полезного действия линии опреде-
определим, как отношение мощности Ри, поглощаемой нагрузкой, к мощ-
мощности бегущей волны РГ, приходящей от генератора ко входу ли-
линии. От нагрузки отражается часть мощности, пропорциональная
|Л,|2. Если генератор согласован (гг=1), то для линии длиной /-.
i н /1 i г юч _—2(Xl /1 in |2\ 1 Г\—0,lot0/
\Г
I ' н
(8.6 Г,
2al
При Гн=0 «ид линии максимален: Т1л=е 2al =
Согласованием линии с н а г р у з ко й называется ми-
минимизация коэффициента отражения |ГН| с тем, чтобы в заданной
полосе частот он нигде не превышал допустимого значения |Люп|.
Степень согласования может быть задана также минимально до-
допустимым «бв или максимальным /ссв-
Согласование линий в системах передачи информации необхо-
необходимо, прежде всего, для неискаженной передачи сигналов. Если
линия длиной / не согласована, то в результате отражения от на-
нагрузки и генератора появляется вторичный сигнал с относитель-
относительной амплитудой" | и?юр |/| U+\ = |ГН| • l/VIe"' , дъажды прошед-
прошедший линию и запаздывающий от основного сигнала на время т =
= 2//м, где и — групповая скорость в линии. Сигнал, несущий ин-
информацию, занимает некоторую полосу частот П. Искажение ин-
информации будет несущественным либо при вторичном сигнале на
несколько порядков меньшем первичного, либо при времени запаз-
запаздывания т, значительно меньшем периода модуляции Г=1/Л, т. е.
длине линии /<См/BЯ); последнее условие практически выполни-
выполнимо только при передаче относительно узкополосных сигналов
G7<1 Мгц при / до 10 м или Я< 100 кГц при / до 100 м).
В некоторых случаях оптимальный энергетический режим системы генера-
генератор — линия — нагрузка соответствует несогласованным нагрузке и генерато-
генератору. Например, на мощных радиостанциях существенно получение максимального
кпд передатчика. Однако кпд согласованного с линией передатчика (zr=l)
составляет всего 50%. Для увеличения кпд_передатчика нужно уменьшить его
выходное сопротивление, так, при гг = 0,25гвх (гВх — входное сопротивление
нагруженной линии) кпд передатчика равно 80%. В этих условиях согласован-
согласованная нагрузка не обязательно будет оптимальной.
Другим примером служат короткие линии КХ/4 с большим коэффициентом
затухания а>0,1 р. При неизменной мощности генератора мощность в нагрузке
максимальна при значительном иногда рассогласовании на ее концах. Указанные
параметры более характерны для линии электропередач, чем для вч линий.
ШУМОВАЯ ТЕМПЕРАТУРА ЛИНИИ
Одним из важнейших факторов, препятствующих передаче сигна-
сигналов, являются тепловые шумы, создаваемые в любом резисторе и в
184
линиях с потерями. Рассмотрим эквивалентную схему (рис. 8.19)
участка согласованной с двух сторон линии длиной dz с сопротив-
сопротивлением Ri на единицу длины, связанным с коэффициентом затуха-
затухания линии соотношением вида (8.38) a = Pi/BP) = PRJBPZC) =
= Pvl/BZc). По теореме Найквиста на сопротивлении Rtdz возника-
возникает эдс теплового (флуктуационного) шума со среднеквадратичным
действующим значением (<ШшJ=4?б 7V7Pvi^z, где &Б = 1,380Х
Х10-23 Дж/К — постоянная Больцмана, То — абсолютная темпера-
температура среды, в которую помещена линия, П — ширина полосы про-
пропускания измерителя шумов. Эта эдс вызывает шумовой ток dlm =
= dUmlBZc + Rldz)=dUni/BZe). Волны шумов распространяются в
обе стороны от источника, их мощность в каждом направлении
Просуммируем флуктуационные шумы, созданные линией дли-
длиной /, с учетом затухания участков от каждого элементарного
источника шумов до нагрузки:
6
=& Т0П(\ —е-20"). В нагрузку (при согласованном генераторе) по-
попадает мощность Рш = Р^1 A — |^н I2) — ЬъТ0ПО Лл 11 н I )»
где Т1л — кпд линии [ф-ла (8.61)].
Мощность шумов часто выражают через эквивалентную шумо-
шумовую температуру Тт соот-
ношением
(8.62)
Следовательно, экви-
эквивалентная шумовая тем-
пература линии передачи
\1н'1с
(8.63)
Например, согласованная линия с физической температурой
Г0 = 300К и кпд т1л = 0,95 имеет температуру шумов ГШ=15К.
Применяемые в настоящее время в радиоастрономии, космичес-
космической и спутниковой связи малошумящие усилители имеют шумовую-
температуру до 10Ч-20К. Для того чтобы параметры приемной
системы не" ухудшались, значение Тш линий передачи должно
быть того же порядка или меньше. Как следует из ф-лы (8.63), по-
получение высокого кпд линии является единственным эффективным
способом снижения ее шумовой температуры, так как охлаждение
фидерного* тракта обычно трудновыполнимо.
185
¦sfc
ЗАДАЧИ
8.1. Найти фазовую скорость волны в полом металлическом волноводе,
заполненном воздухом, если ее энергетическая скорость «а=180 Мм/с.
Ответ: v=500 Мм/с.
8.2. Диэлектрический волновод представляет собой диэлектрический стер-
стержень с е = 2,3, окруженный воздухом; поле в стержне переносит 10% всей
мощности волны, а поле в воздухе — 90%. Фазовая скорость волны в волново-
волноводе а = 290 Мм/с. Определить энергетическую скорость волны.
Ответ: иэ = 274 Мм/с.
8.3. Линия без потерь длиной / = 2,5 м с волной ТЕМ имеет характеристи-
характеристическое сопротивление Zc=100 Ом, она заполнена диэлектриком с е=1,96 и
нагружена на сопротивление ZH= 140-И 180 Ом. Пользуясь юруговой диаграм-
диаграммой, определить следующие параметры линии при частоте / = 60 МГц; коэффи-
коэффициенты бегущей и стоячей волны; комплексные коэффициенты отражения у на-
нагрузки и у входа линии; входные сопротивление и проводимость линии.
Ответ: кбв = 0,24; кСв = 4,2; Л, = 0,61 е'41° ; Г„х = 0,61 e~il02'5° ; ZB* = 38-
—i 73 Ом; Квх = 5,7-Н 11 мСм.
8.4. Линия с теми же значениями Zc, e, 2Г„ и «а той же частоте, что и в
задаче 8.3, имеет коэффициент затухания а°=0,1 дБ/м и длину /=25 м. Опре-
Определить сопротивление, коэффициент отражения, квв и кСв на ее входе, а также
кпд и шумовую температуру линии, если температура окружающей среды 7"о =
= 300 К.
Ответ: ZBX
7ш=82 К.
Ом; ГВ!С = 0,342 е
141°
= 0,49; Ксв=2,04; т]л=35,4%;
Глава 9.
ПОЛЫЕ МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ ВОЛНОВОДЫ
9.1. Параметры волн в полых волноводах
Полые волноводы представляют собой металлические трубы, слу-
служащие для передачи электромагнитной энергии. Английский физик
Дж. Рэлей еще в 1897 г. теоретически рассмотрел задачу о рас-
распространении электромагнитных волн в полых волноводах. Однако
лишь спустя 40 лет, когда начал осваиваться сантиметровый диапа-
диапазон радиоволн, эти волноводы нашли техническое применение.
Основная особенность полого волновода состоит в том, что
частотный диапазон распространяющихся в нем волн ограничен
снизу критической частотой /кр; ей соответствует критическая дли-
длина волны AKp = feii //Кр — верхняя граница диапазона, выраженного
в длинах волн. Например, для простейшей волны в прямоугольном
волноводе (рис. 8.4) А.кр = 2а. Поэтому размеры поперечного сече-
сечения волновода должны превышать половину длины волны. В связи
с этим металлические волноводы в современной технике редко ис-
используются, если А,>10 см.
Конструкция волновода предельно проста. В нем обеспечивает-
обеспечивается полная экранировка поля. В сантиметровом диапазоне преиму-
преимущества металлических волноводов перед другими системами пере-
передачи неоспоримы.
В полых металлических волноводах (рис. 8.1) распространяются
только Е- и Я-волны. Поперечное сечение такого волновода одно-
связно, что исключает появление ТЕМ волн. При определении
структуры полей и фазовых соотношений в волноводах будем рас-
рассматривать регулярный волновод бесконечной длины без потерь.
Источники поля предполагаются удаленными в область г-*—°о.
Выведем соотношения, одинаково справедливые для всех волн в
любом металлическом волноводе. Их можно найти, не прибегая к
рассмотрению конкретной структуры поля. Волновые ур-ния (8.14)
и (8.16) решаются в границах, определяемых поперечным сечением
волновода. Решение этих уравнений существует только при некото-
некоторых постоянных собственных значениях поперечного волнового ко-
коэффициента х- Каждому значению х = const соответствует опреде-
определенный тип волны в данном волноводе.
Выше уже был введен фазовый коэффициент волны р =
= Yk2—х2 [ф-ла (8.4)]. Волна распространяется лишь в том случае,
если коэффициент фазы р вещественен и не равен нулю. Для этого
необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным,
187
т. е. соблюдалось неравенство &>х- Известно, что k = 2n/X =
= 2л//иЕ(г . Следовательно, условие распространения волны прини-
принимает вид: f~>%v /Bя)=/кр. Существование критической частоты
/кР показывает, что полый волновод является своеобразным фильт-
фильтром верхних частот. Для него справедливы следующие соотноше-
соотношения:
7 .-> /кр> /кр о_ X! X —
2л
2л 2л
~, 'КР = 1 =
(9.1)
т. е. поперечный коэффициент % равен волновому числу для крити-
критической частоты.
Фазовый коэффициент запишем теперь через критическую час-
частоту:
=kV\-(/Kp//J =
(9.2)
он всегда меньше волнового числа k. Для удобства квадратный
корень в ф-ле (9.2) обозначен специальным сокращенным симво-
символом, так как это выражение встречается почти во всех формулах,
относящихся к полым волноводам:
У К - УТ- (/.„//)* = Kl—(сокр/соJ = y\-
(9.3)
Длина волны Л в волноводе однозначно определяется его фа-
фазовым коэффициентом; по аналогии с C.30):
Л =— -2л ' __ х
Р k Yk Y
Р
Yk Yk
(9.4)
В полом волноводе длина волны Л всегда больше длины вол-
волны К в неограниченном пространстве при той же частоте.
Из сравнения ф-лы (9.2) и (9.4) с (8.19) вытекает, что угол па-
падения парциальной волны на стенку волновода определяется со-
соотношениями (см. рис. 8-3):
/кР
/
(9.5)
Как уже отмечалось, при '/ = /кр угол падения парциальной
волны равен нулю, ф = 0, и волна вдоль волновода не распростра-
распространяется (рис. 8.7).
Фазовая скорость волны на основании соотношений (8.24) и
{9.2) выражается как
V = =
Р
Yk
она всегда больше, чем скорость распространения v
волны в среде, заполняющей волновод.
188
г\х
(9.6)
однородной
Групповую скорость определим по ф-ле (8.30), найдя предва-
предварительно производную от фазовой скорости (9.6):
dv _ d Г
dco d ш L
1
J
"ец*
- (Фкр/МJ]3/2
Тогда
и =
= V:
eil
(9.7)
(YkK
что совпадает с найденным в 8.6 выражением для энергетической
скорости волны в волноводе ua=v ец sin ф = уЁ|Х]/~/(. Частотные ха-
характеристики для v и и приведены на рис. 8,12. Они являются
функцией только отношения рабочей частоты / к критической час-
частоте /кр данной волны.
9.2. Волноводы прямоугольного сечения
ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ Е-ВОЛН
Анализ волновода прямоугольного сечения (рис. 9.1) проводится
в декартовой системе координат, так как при этом границы волно-
волновода легко совмещаются с координатными поверхностями. Реше-
Решение граничной задачи для ?-волн
должно удовлетворять волновому
уравнению для составляющей Ez и
граничным условиям на стенках
волновода (считаем их идеально
проводящими). Уравнение (8.14)
записывается в декартовой системе
координат как
ду*
(9.8)
Рис. 9.1
Продольная составляющая поля Ez является касательной к по-
поверхности стенок волновода. На границе с идеальным проводником
касательная составляющая электрического поля согласно ф-ле
B.27) равна нулю, следовательно,
Ег \с = 0 (при х = 0 и а; у = 0 и Ь), (9.9)
где С — контур волновода в поперечном сечении.
Искомая функция в ур-нии (9.8) зависит от двух аргументов х
и у. Уравнение этого типа решается методом разделения перемен-
переменных: искомая функция представляется в виде произведения двух
189
функций, каждая из которых зависит от одного аргумента. Запи-
Запишем
Ёг(х, y) = X(x)Y(y), (9.10)
подставим ф-лу (9.10) в исходное ур-ние (9.8), обозначив произ-
производные функций одной переменной штрихами: X"(x)Y(y) +X(x) X
XY"(y) +%2X(x)Y(y) =0; разделим полученное равенство почлен-
почленно на Х(х)Y(у):
?t?L + О0. + х« = о. (9.11)
Уравнение (9.11) состоит из трех слагаемых: первое из них за-
зависит только от переменной х, второе — только от переменной у,
а третье — не зависит от этих переменных. Это уравнение должно
удовлетворяться в любой точке поперечного сечения волновода.
В частности, можно двигаться параллельно оси х, сохраняя у =
— const. Второе и третье слагаемые при этом постоянны. Но и пер-
первое слагаемое не может меняться, не нарушая ур-ние (9.11). Сле-
Следовательно, данное уравнение удовлетворяется лишь в том случае,
если все его слагаемые постоянны (в функции от хм у). Обозна-
Обозначим
= — |2 = const;
= _ т,2 = const.
(9.12)
Х(х) " ' Y(y)
Тогда ур-ние (9.11) превращается в уравнение для поперечных
коэффициентов:
?» + г,* = XV (9.13)
где | — поперечный коэффициент по оси Ох, г) — поперечный ко-
коэффициент по оси Оу.
Дифференциальные ур-ния (9.12) являются линейными урав-
уравнениями второго порядка X"(х) +12Х(х) = 0 и У"(у) +r\2Y(y) = Г
решения которых хорошо известны [5]:
ны [5]:
x; Y(у) = Csin г\ у + Dcost] у. (9.14)
ны удовлетворять граничным усло-
услоФункции Х(х) и Y(y) должны удовлетворять граничным усло-
условиям (9.9), т. е. Х(х) = 0 при х=0 и x = a; Y(y) = O при г/=0 и у=Ъ.
Следовательно, В = 0 и D = 0, если положить в (9.14) д:=0 и y=V.
Требуется также, чтобы при х=а и у = Ь равнялись нулю синусы со-
соответствующих аргументов, т. е. вдоль каждой стороны волновода
укладывалось целое число полуволн синусоиды. Следовательно,
аргументы синусов: ?а = тя и г\Ь = пл, где тип — целые поло-
положительные числа. Ни одно из них нельзя принять равным нулю,
так как тогда Ez тождественно обращается в нуль. Итак, для по-
поперечных коэффициентов по осям Ох и Оу должны выполняться
соотношения:
t _ т л _ п л
а Ь
(9.15)
шо
,*
Обозначив АС = Е0 и введя по (8.1) зависимость поля волны от
z и t (при а = 0), представим окончательно решение для продоль-
продольной, составляющей поля в виде
Ёг = X (х) Y (у) = ?0 sin Iхsinт] у [ е1 ^'^l
(9.16)
ТИПЫ Е-ВОЛН
Найденное решение существует только при определенных значениях
поперечных коэффициентов |т и цп. В свою очередь, согласно
ур-нию (9.13), они определяют поперечный волновой коэффициент
волновода Хти = const. Эта величина зависит от выбора чисел т
и п. Соотношение (9.1) позволяет найти критическую частоту и
критическую длину волны:
jmn _ .
'кр
2л
кр
(9.17)
Каждой комбинации тип соответствует своя структура поля
Ez(x, у) [ф-ла (9.16)], т. е. определенный тип волны, который име-
именуется Етп. Первый индекс т определяет число полуволн в струк-
структуре Ег, укладывающихся вдоль оси Ох, а второй п — число полу-
полуволн вдоль оси Оу. Чем больше значения тип, тем выше /Кр, т. е.
требуется большая частота колебаний для существования волны
соответствующего типа. В волноводе заданных размеров на дан-
данной частоте может распространяться конечное число типов волн
(а может быть и ни одного).
Поперечные составляющие поля волны Етп.
Запишем поперечный градиент от Ez в прямоугольной системе ко-
координат:
grad± Ег = ед
Из ф-л (8.15) при Y = i
ft
-Е
дх * ду
и (9.16) получаем:
ft ¦ ft
= — i -Е- grad Ёг = — i -Е- Ёо (ех | cos ? х sin ч у +
У.2 X2
+ е^ т] sin | х cost] у);
— ех r\ sin | х cos ч у),
(9.18)
так как
z = —ev
v v
В поперечной плоскости электрическое и магнитное поля имеют
по две компоненты каждое, параллельные осям Ох и Оу. Рисунок
линий поля образует в этой плоскости повторяющийся орнамент.
191
' Эпюра ?2
MctxE-,
Поле волны Е\\. Простей-
Простейшая волна рассматриваемого клас-
класса с минимальными индексами
т—\ и п=\ обозначается как ?ц.
Она имеет минимальную критиче-
z скую частоту из всех ?-волн- Эпю-
Эпюра распределения амплитуды Ег
для этой волны в поперечной плос-
плоскости представляет собой куполо-
куполообразную поверхность (рис. 9.2);
любое ее вертикальное сечение —
синусоида.
Эта эпюра представлена в том
сечении, где составляющая Et
максимальна. Линии поля Ej_ на-
начерчены в сечении, отстоящем на
Л/4 от первого, так как множи-
множитель (—i) в ф-лах (9.18) свиде-
свидетельствует об отставании попереч-
поперечных составляющих поля от продоль-
продольных на 90° или четверть волны. Вектор Ej. пропорционален гради-
градиенту Ez в поперечной плоскости, т. е. крутизне ската куполообраз-
куполообразной поверхности — эпюры Ez. Эта крутизна максимальна у стенок
волновода и gradj_?^ направлен перпендикулярно им. В центре
волновода крутизна ската и составляющая Ej_ равны нулю; Е х
изображена с помощью линий поля. В том же сечении Нх пред-
представлена семейством линий, перпендикулярных линиям Ej_. Их на-
направление обеспечивает положительную величину составляющей
вектора Пойнтинга пг.
Поле в промежуточных сечениях является суперпозицией полей
при z = 0 и г = —Л/4. Магнитное поле всюду подобно изображенно-
изображенному. Электрическое поле имеет продольную и поперечные составля-
составляющие. На рис. 9.2 показано, что линии электрического поля посте-
постепенно меняют свое направление от продольного к поперечному.
У
Рис. 9.2
Рис. 9.3
На рис. 9.3 представлены поперечные и продольные разрезы по-
поля той же волны. Рисунок каждой последующей четверти волны
является зеркальным изображением предыдущей. Здесь линии
электрического поля сплошные, а магнитного — пунктирные. Черны-
192
ми кружками изображены линии, направленные к читателю, белы-
белыми — от него.
Рисунок поля любой волны Етп образуется повторением рисун-
рисунка поля волны Еп, с изменением в шахматном порядке направле-
и
Рис. 9.4
ния его линий. Это видно, например, из сопоставления рис. 9.3 для
волны Ец и рис. 9.4 для волны ?32-
Я-ВОЛНЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ
Решение для Я2. Волновое ур-ние (8.16) для Нг имеет вид
—- Л ? + %2Н, = 0. (9.19)
Оно решается методом разделения переменных. Общее решение
соответствует (9.10) и (9.14):
Нг(х, у) = X(x)Y(y) = (Asinlx + Bcos%x)(Csmr]y + Dcosr\y).
(9.20)
На границе с идеальным проводником касательная составляю-
составляющая магнитного поля, согласно ф-ле B.32), достигает экстремума:
дЩ =0
дп \с
или X'(x)=A%coslx—Bgsin?je=O при х=0 и а;
У (у) = Cr\cosr\y — ?>r| sin r| i/= 0 при у = 0 и Ь. (9.21)
При этом Л = 0, С=0 и необходимо выполнение условий для \т
и г|п, идентичных (9.15).
Следовательно, для Е- и Н-волн выражения для поперечного ко-
коэффициента хтп, критической частоты и критической длины волны
(9.17) одинаковы. Продольная составляющая поля Я-волны изме-
изменяется в поперечном сечении по закону
Нг (х, у) = #0 cos | х cos r| у. (9.22)
Поперечные составляющие поля волны Нтп
определяются по ф-лам (8.17):
7-2 193
Н
1
Нг = — i — //„ (—ех | sin ? л; cos т) у—ev tj cos | x sin
\^
(9.23)
Типы #-волн. В данном случае допустимо, чтобы т или /г
были равны нулю. Тогда поле не меняется по одной из координат.
Однако, если положить одновременно т = 0 и п = 0, то HZ = HO =
= const в поперечном сечении, что в соответствии с ф-лой (9.23)
приводит к нулевым поперечным составляющим, т. е свидетельст-
свидетельствует об отсутствии электромагнитной волны. Следовательно, про-
простейшие волны этого класса с минимальными индексами: Ню, Hot
и Ян.
Основная волна. Волну, обладающую в волноводе данной
формы минимальной критической частотой, называют основной.
. Наименьшие индексы у волн Hi0 и На. По ф-ле (9.17) fl°= veu/2a;
f°^p~vej2b. Если a>b, то /Jfp</?p</ip и критическая частота
волны Яш меньше, чем критические частоты волн #Оь #ц, Ец и
всех остальных волн с еще более сложной структурой. Поэтому
волна #ю в прямоугольном волноводе с а~>Ъ является основной,
а все остальные типы волн именуют волнами высших порядков.
Согласно ф-лам (9.22) и (9.23) поле волны #10 (ш=\, гс = 0)
имеет только три составляющих:
нг
где ? = X =
: tf „ cos ? х ej (urf-pz); #, = i (Р/Б) W. «n ? * e
? =-i(feZB/?)#osin?xeiM-p;
i (at—pz).
(9.24)
Структура волны Я10 показана на рис. 9.5 в трех проекциях. На
рис. 9.6 дано объемное изображение электрического поля ?„ этой
Рис. 9.5
¦ —^ n^4 о ^o ^Z~~ —'¦
194
волны в виде функциональной поверхности для фиксированного мо-
момента времени.
Я-в о л н ы высших порядков. Структура поля волн
Яго, Я3о,..., Ят0 получается повторением картины волны #ю по
оси х m раз, если менять каждый раз направление линий напряжен-
напряженности поля. Структуры поля
если Яоь #02... образуются
простым поворотом преды-
предыдущих изображений на 90е,
т. е. переменой осей х и у.
Ркс. 9.6
Для образования остальных типов волн класса Я исходной яв*
ляется волна Яц (рис. 9.7). Повторяя эту структуру по горизонта-
горизонтали и вертикали с переменой в шахматном порядке направлений
линий поля, можно получить поле любой #-волны.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОЛЯ Е- И Я-ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ
Структуру поля любой волны нетрудно представить графически по
известному распределению продольных составляющих, основыва-
основываясь на общих ф-лах (8.15) или (8.17) и не обращаясь к полному
аналитическому описанию поля. Необходимо лишь учитывать сле-
следующие свойства полей в волноводе (при отсутствии потерь):
1. Составляющие Ех и Нх отстают по фазе от продольных Ег
или #г на 90°. Перейдя к мгновенным значениям поля, получим
следующие законы изменения его составляющих в функции
от t и z:
для Ег или #z:Re [е'м~рг)] = cos (со t — р г);
ie1(ffl'-fW] = Refe1 (ffl/-p2-90°)] =
—рг —90°) = sin(co/ —рг). _ (9.25)
Если максимум продольной составляющей при /=0 находится
при z = 0, то максимум поперечных составляющих в этот же момент
соответствует значениям pz = —я/2, т. е. z = —Л/4. Таким образом,
по длине волновода чередуются (с интервалом Л/4) области попе-
~" 195
для Е± и HL:Re
речной и продольной ориентации поля. В промежуточных сечениях
электрический (для ?-волн) или магнитный (для Я-,волн) век-
вектор натравлен наклонно к оси волновода. Поле в произвольной
точке (Я2 = 0 для ?-волн, a Ez = 0 для Я-волн):
Таблица 9.1
Н(х, у, г, П = егНгт(х, у)
,(*. У)
«»(о, / — р
+
±п
Н
' У)
(9.26)
пропорционален и коллинеарен
2. Для ?-волн вектор
^fz, для Я-волк Н±
3. Поперечная составляющая поля Н± синфазна с поперечной
составляющей поля Ех и пропорциональна ей. Эти составляю-
составляющие, кроме того, перпендикулярны друг другу. Взаимное располо-
расположение Е±и Н± должно обеспечить 'совпадение направления век-
вектора Пойнтинга и направления распространения волны.
КРИТИЧЕСКАЯ ЧАСТОТА
Как следует из ф-лы (9.17), критическая частота волны любого
типа зависит от размеров волновода и сложности структуры вол-
волны, т. е. численных значений индексов m и п. При заполнении
волновода каким-либо диэлектриком с
ец>1 критические частоты всех типов
волн понижаются пропорционально
v ер. = с/ V ец.
На рис. 9.8 графически показаны
критические размеры волновода для
простейших типов волн. В табл. 9.1
приведены значения /кр и А,кр для од-
одного из стандартных размеров волно-
волновода.
Если размеры волновода на данной
частоте пригодны для распростране-
распространения какой-либо волны высшего поряд-
порядка, то выполняются условия распрост-
распространения для всех волн более низкого
порядка, включая основную. Например, на частоте 19 ГГц в дан-
данном волноводе распространяются волны типа Н\о, Яго, Яоь Яц и
Ец. Критические частоты Е- и Я-волн с одинаковыми индексами
совпадают.
Если два или более типа волн в волноводе имеют одинаковую
частоту, то они называются вырожденными. Все параметры вы-
вырожденных волн, приведенные в параграфе 9.1, совпадают. В дан-
данном случае вырожденными являются волны Ни и Ец, Hzi и ?21
196
Рис. 9.8
Критическая частота и критическая длина волны 18 типов .волн
в прямоугольном волноводе с размерами аХ*=23X10 мм
Типы волн
/кР, ГГц
ЯкР, мм
6,52
46,0
13,0
23,0
я01
15,0
20,0
16,4
18,3
нм
19,5
15,3
я21
19,8
15,2
24,6
12,2
26,1
11,5
я02
30,0
10,0
?«1
30,2
9,95
ci*
30,8
9,76
Е-
С23
32,7
9,17
и т. д. Если размеры волновода сделать кратными, например, а =
= 2Ь, то ^появляются новые группы вырожденных волн: Яго и Яоь
Ню и Яог, Ни, Ец, Ягг и ?22-
ТОКИ В СТЕНКАХ ВОЛНОВОДА
Тангенциальная составляющая магнитного поля достигает макси-
максимума у стенок волновода. Это следует из граничных условий B.32)
для идеального проводника. Известно, что наличие Нт у проводя-
проводящей стенки вызывает в идеальном проводнике поверхностный ток
[ф-ла B.27)] j = HT Xn. Такой же эквивалентный поверхностный
ток j3KB [ф-ла F.28)] в реальном проводнике проникает на неболь-
небольшую глубину от его поверхности (нормаль п направлена из ди-
диэлектрика в металл).
Линии магнитного поля у стенки волновода имеют довольно
сложный рисунок. Линии тока j всюду перпендикулярны линиям
Нт и образуют картину, являющуюся своеобразным отображением
картины линий Нт . Рассмотрим, например, поле волны Нщ. На
рис. 9.5 изображена структура этого поля. Соответствующая ему
структура токов представлена на рис. 9.9. Процесс распростране-
Рис. 9.9
ния волны состоит в том, что эта картина движется с фазовой ско-
скоростью вдоль оси волновода. На отдельных участках направления
токов противоположны направлению распространения волны; это
явление обычно для любой электромагнитной волны, распростра-
распространяющейся вдоль проводников.
167
Распределение тока по стенкам волновода важно знать при его
конструировании. Большая плотность поперечных токов через реб-
ребро волновода при волне Я10 требует хорошей проводимости этих
участков. У ?-волн магнитное поле не имеет продольной состав-
составляющей Нг, следовательно, у токов нет поперечной компоненты;
токи текут только в продольном направлении.
При исследовании и контроле режима волны в волноводе при-
приходится прорезать в нем узкие щели. Эти щели не вызывают за-
заметных потерь на излучение только в том случае, если они распо-
расположены вдоль линий тока и не пересекаются токами в течение все-
всего периода колебаний. Не-
н.и Изп излучающие при распрост-
изл / / г ранении волны Я« щели
(НИ) показаны на рис. 9.10.
Рис. 9.11
Часто возникает обратная задача — создание излучающей ще-
щели {Изл на рис. 9.10), которая является элементом щелевой волно-
водной антенны или используется для ввода энергии в волновод.
Излучающая щель хотя бы часть периода пересекается линиями
тока.
Тепловые потери в стенках волновода в большой степени опре-
определяются качеством обработки его внутренней полости. Толщина
скин-слоя Д в сантиметровом диапазоне меньше одного микрона,
поэтому неровности такой же величины заставляют ток течь по из-
извилистой кривой (рис. 9.11). Если в среднем крутизна получивших-
получившихся склонов составляет 45°, то путь тока и потери в волноводе уве-
увеличиваются примерно в У 2 раз. Кроме тщательной шлифовки по-
поверхности волновода, обязательна защита, ее от коррозии, для чего
поверхность серебрят (на стенках образуется плотный тонкий слой
серебра) и покрывают защитными лаками.
Активная составляющая поверхностного сопротивления стенок
волновода увеличивается за счет их шероховатости в кш раз по
сравнению с определяемой ф-лой F.25), т.е.
=0,5 Кш
Величина кш зависит от качества обработки проводящих поверх-
поверхностей и растет с частотой. В диапазоне сантиметровых волн
Кш=1,1-И,5.
198
КОЭФФИЦИЕНТ ЗАТУХАНИЯ ВОЛН В ВОЛНОВОДЕ
Составляющая коэффициента затухания ад, обусловленная ди-
диэлектрическими потерями, рассчитывается по простой ф-ле (8.42)
пригодной для Е и Я-волн в металлических волноводах. Чаще все-
всего волноводы заполняются воздухом, причем принимаются меры
для его очистки от пыли и влаги. В этом случае диэлектрические
потери значительно меньше потерь в металле и могут не прини-
приниматься во внимание.
Составляющая коэффициента затухания, обусловленная поте-
потерями в металлических стенках волновода, рассчитывается по
ф-ле (8.45) '). Для упрощения записи перейдем к нормированным
волнам [см. ф-лы (8.46), (8.48)]:
И"
И"
¦)dl-
(9.27)
Найдем коэффициент затухания основной волны Hi0, структура
поля которой была рассмотрена выше [ф-ла (9.24)]. Прежде всего,
нужно перейти к нормированным значениям полей, для чего по
ф-ле (8.25) определим мощность волны при произвольном ко-
коэффициенте Яо:
Р = f ^ Р1 ]
s
. (9.28)
оо
Отсюда находим нормированное значение коэффициента Яо в
соотношениях (9.24):
0.5
где мощность Рн=\ Вт введена в ф-лу (9.29) для сохранения раз-
размерности. В интеграле (9.27) фигурируют лишь составляющие маг-
магнитного поля, касательные к стенкам волновода. Вдоль горизон-
горизонтальных стенок, т. е. при г/ = 0 и Ъ, согласно ф-лам (9.24), сущест-
существуют составляющие Hz и Нх, а вдоль вертикальных (х=0 и а) —
только Яг. Величины полей у противоположных стенок равны меж-
между собой. Учитывая согласно ф-лам (8.4) и (9.5), что 1 + р2/х2=
= (Х2+Р2)/Х2 = ^2/Х2= (///ирJ. а для внутренней среды ц= 1 и
kZ k ф Н2):
Х /Х (///ир). д нутренней среды
o, .находим коэффициент затухания волны типа Ню
1
~ab
x\
') Заметим, что ф-лы (8.42), (8.45), (9.27) и последующие неприменимы для
расчета коэффициента затухания вырожденных воли, так как не учитывают
связей, возникающих между ними в реальных волноводах.
2) Формулы для коэффициентов затухания волн Нтп (т и л^1) и Етп
выводятся в задачах 9.3 и 9.4.
199
2\dy\ =
kZ^ab |Д
(9.30)
Первый сомножитель в полученном выражении зависит от час-
частотного диапазона: /г~/, Д~/~0-5. В большинстве случаев b~f~\
так как размеры стандартных волноводов выбираются обратно
пропорциональными частоте, поэтому feA/Ь ~/-'>5. Второй сомножи-
сомножитель одинаков для волноводов любого диапазона при соблюдении
пропорций между сторонами о и b и соотношений между частота-
частотами / и /кр. В частности, для волны типа Ны в одномодовом волно-
волноводе этот сомножитель меняется в пределах от 1,0 до 0,7, т. е. име-
имеет порядок единицы. Таким образом, зависимость затухания от час-
частоты определяется первым сомножителем. Коэффициент затухания
стандартных прямоугольных волноводов аПр пропорционален f1-5.
Таблица 9.2
Длины стандартных медных волноводов с затуханием 3 дБ
При Кш
f, ГГц
/, м
= 1,4
0,5
2000
з зависимости
1
700
2
250
от частоты
5
60
10
20
20
7
50
2
100
0,6
200
0,2
Из этой таблицы видно, что в низкочастотной части сантимет-
сантиметрового диапазона (Зч-б ГГц) такой волновод может иметь длину
порядка 100 м. В диапазоне 10-=-20 ГГц длина волновода практи-
практически ограничена десятками метров, а в миллиметровом диапазоне
G>30 ГГц) затухание волновода становится слишком большим
даже для коротких фидеров, соединяющих отдельные блоки аппа-
аппаратуры.
125 15 20 ~ 25 J0 40 f, ГГц
Если теперь обратиться к конкретному типу волновода с. фик-
фиксированными размерами, то получим частотную характеристику
затухания, показанную на рис. 9.12, с пологим минимумом при
/= B-^-3)/Кр- Увеличение затухания вблизи критической частоты
пропорционально \\У К- Оно связано с уменьшением групповой
скорости волны по мере приближения к fKV. Рост затухания при
высоких частотах пропорционален Rs~kA~ \ f. Для оценки вели-*
чины коэффициента затухания прямоугольного волновода с волной
типа Я40 вычислим длину / волновода, имеющего затухание 3 дБ
(табл. 9.2). Его кпд при полном согласовании [ф-ла (8.61)] ц =
= Рн/Рг—50%, а шумовая температура Тш=\50К. при 70 = 300К.
Результаты расчета сведены в табл. 9.2.
200
ВЫБОР РАЗМЕРОВ ОДНОМОДОВОГО ВОЛНОВОДА
Найдем размеры прямоугольного волновода, обеспечивающего пе-
передачу волны типа Ню с приемлемыми параметрами в диапазоне
частот от /н до /в и отсечку всех волн высших порядков. Для тако-
такого волновода должно выполняться условие: !п~>!1°р =veil№a- Од-
Однако выполнения этого условия еще недостаточно. Из рис. 8.12 и
9.12 видно, что в диапазоне от fKp ДО 1,25 /кр дисперсия и коэффи-
коэффициент затухания волны в волноводе велики. Сигнал сильно иска-
искажается (см. 8.6) и ослабляется. Поэтому выберем /н^1,25 /'к°.
Появления волн высших порядков следует опасаться на верх-
верхних частотах диапазона. В зависимости от соотношения между а
и Ь ближайшими критическими частотами обладают волны типа
Я2о или Я0) (см. табл. 9.1). Следовательно, нужно, чтобы fn<Cf fp
и /¦></%• В соответствии с ф-лой (9.17) f2K0p =oед/а = 2^°р, j% =
= vEU/B b) = (a/b)f™p. Тогда из первого неравенства вытекает, что
^ . Чтобы второе неравенство не дало меньшего значения fa,
нужно выбрать b^Za/2. Коэффициент затухания волны HiQ растет
с уменьшением размера Ь, поэтому желательно выбрать 6 = а/2 или
близким к этой величине.
Итак, одномодовый режим с умеренной дисперсией и приемле-
приемлемыми коэффициентами затухания осуществим на волне типа Я40 в
диапазоне частот
h<f<h; /„ -
/в = 2/>° ф < а/2).
'кр
(9.31)
В соответствии с условиями (9.31) /п//н=1,6 и относительная по-
полоса одномодового режима Я//0 = 46%; где Я=/„—fH и /о =
201
= 0,5Gв+/н)- На основе этих принципов разработан стандартный
ряд волноводов, перекрывающий частотный интервал их практи-
практических применений.
9.3. Волноводы с нерегулярностями. Предельная
мощность
ВСТРЕЧНЫЙ И ПОПУТНЫЙ ПОТОКИ
Нерегулярностью в направляющей системе называют всякое из;
менение формы или размеров ее поперечного сечения и парамет-
параметров заполняющего ее диэлектрика, наличие металлических или
диэлектрических тел и т. п. Некоторые нерегулярности носят слу-
случайный характер (деформации стенок волновода, несовершенство
их обработки), другие являются необходимыми для функциониро-
функционирования волноводных трактов (изгибы волновода, сочленения волно-
водных секций, переходы на другое сечение, элементы связи
и т. д.).
Нерегулярности нарушают структуру поля волновода; вследст-
вследствие этого возможно появление волн, отраженных от нерегулярно-
стей; преобразование волн, т. е. передача части мощности распро-
распространяющейся волны волне другого типа; увеличение напряженно-
напряженности поля в отдельных областях по сравнению с напряженностью
регулярного волновода.
Рассматривая передачу сообщений по направляющим системам,
полезным сигналом считают ту основную группу волн с определен-
определенным спектром частот, на которую случайные нерегулярности прак-
практически ее воздействовали (за исключением .некоторого изменения их
амплитуды и фазы). Отражения и преобразования волн на нере-
гулярностях создают дополнительные потоки волн, которые отста-
отстают от полезного сигнала (или опережают его) и являются поме-
помехой для приема сообщения. Помехи, созданные большим числом
произвольно расположенных нерегулярностей, носят случайный ха-
характер и изучаются статистическими методами. Различают сле-
следующие мешающие потоки волн.
Встречный поток — сумма волн, отраженных от нерегу-
нерегулярностей. Эти волны приводят к рассогласованию на входе вол-
волновода.
Попутный поток, обусловленный отражения-
м и. Отраженная от нерегулярности волна частично вновь отра-
отражается (рис. 9.13). Эта двукратно отраженная волна отстает от
основной на время t3 = 2l/u (и — групповая скорость); ее уровень
относительно основной волны равен АА, где А, А — коэффициен-
коэффициенты отражения от нерегулярностей. Сумма волн, отраженных
два, четыре и более раз от всех нерегулярностей в волноводе, со-
создает множество запаздывающих паразитных сигналов и называет-
называется попутным потоком за счет отражений.
202
Попутный поток, обусловленный преобразова-
преобразованием типов волн. Эта составляющая попутного потока по-
появляется только в многомодовых волноводах. На нерегулярности
Hi (рис. 9.14) передаваемая волна (например, Hi0) частично пре-
преобразуется в другую (пусть Еи), на нерегулярности Я2 происходит
частично обратное преобразование волны Ец в Hw. Таким образом,
t
7
у
Встречная
Ыпна *
2
]Оснидная Волна
Г "
Попутный поток
•Jk.
) Волна Hv
Вол на В.,
Рис. 9.13
Рис. 9.14
часть сигнала на участке / передается с иной групповой скоростью
и приходит к концу волновода с относительной задержкой t3 =
= /A/ы2—l/ui); если u2>ui, помеха опережает основной сигнал.
Относительная величина паразитного сигнала равна kikz,
где ku k2 — коэффициенты преобразования типов волн на нерегу-
лярностях. Сумма волн такого рода образует попутный поток за
счет преобразования типов волн.
При определении интенсивностей попутных потоков принимают-
принимаются во внимание также фазовые соотношения между отдельными
слагаемыми, определяемые фазовыми скоростями волн и фазами
коэффициентов A, &i-
ПРЕДЕЛЬНАЯ И ДОПУСТИМАЯ МОЩНОСТИ
Электрический пробой. В тех случаях, когда волновод
используется в передающих устройствах, он должен быть рассчи-
рассчитан на определенную мощность. Ограничивающими факторами мо-
могут являться чрезмерный нагрев волновода и электрический про-
пробой. При приемлемых на практике значениях коэффициента затуха-
затухания температура стенок полого волновода, определяемая средней
мощностью сигнала, обычно не превосходит допустимых величин,
так как обеспечивается интенсивное охлаждение его стенок. Огра-
Ограничение мощности из-за возможности пробоя существенно при пе-
передаче импульсных сигналов высокого уровня.
Назовем предельной РПред мощность сигнала в максимуме, при
которой в волноводе еще не возникает электрический пробой, при
условии, что волновод согласован с нагрузкой (режим бегущей
волны) и в нем отсутствуют нерегулярности. Рпред рассчитывается
по напряженности пробоя Aipoc в той области волновода, где на-
напряженность электрического поля максимальна.
Допустимая мощность РЯ0П определяется с учетом согла-
согласования волновода и возможности увеличения напряженности по-
203
ля на нерегулярностях. Отраженная от нагрузки волна уносит
часть мощности, поэтому полезная мощность волновода равна раз-
разности мощностей падающей и отраженной волн (см. 8.9):
Р = Я+__р- = | [/+ ,г _ | [Г",2 = (| ц+\ + 11Г\)(\ U+\ -| 1Г\) =
= \и
«' ¦„ =
' 12
^ \тах '
[max Кбв.
(9.32)
где |ы|тож, |i|ma.v — нормированные значения напряжения и тока
в пучностях.
Из этого выражения следует, что полезная мощность при за-
заданном |w|max пропорциональна кбв. Поэтому допустимая мощ-
мощность
"доп =
в/кн> (9.0о)
где кв — коэффициент, который учитывает действие нерегуляр-
ностей, создающих местное увеличение поля, а также некоторую
начальную ионизацию газа, понижающую напряженность пробоя.
В расчетах принимают кн = 2—3,5; Кбв = 0,7. Общий коэффициент
запаса (kJk^b) считают равным 3-^5. Допустимая мощность в
3—5 раз меньше предельной из-за увеличения напряженности поля
в ряде областей волновода за счет неполного согласования с
нагрузкой и существования нерегулярностей. При амплитудной мо-
модуляции значение РДОп, как и Япред. должно соответствовать пико-
пиковой мощности (в максимуме огибающей).
Расчет предельной мощности. Пробой возникает в
той области, где напряженность поля максимальна. Для волн,
имеющих продольную компоненту электрического поля, следует
учесть, что Ег и Е ± сдвинуты по фазе на 90°, и поэтому Етау =
= Max{?z; E±) не превосходит максимального значения одной из
указанных компонент. Предельная мощность Лтред соответствует
Етах=?проб. Связь между мощностью и напряженностью поля
устанавливается выражением (8.25) и формулами для структуры
поля нужной волны.
Напряженность поля пробоя зависит от температуры, давления
и состава газа, заполняющего волновод, а также от частоты коле-
колебаний. Если волновод заполнен воздухом при нормальных давле-
давлении и тем'пературе, то?проб~3 МВ/м=30 кВ/см. Минимум ?щюб в
сантиметровом диапазоне соответствует для большинства газов
абсолютному давлению порядка 0,001-^0,01 ат; такие давления ис-
используются в газоразрядных антенных переключателях.
Для повышения мощности передачи можно работать с высоким .
вакуумом или, наоборот, высоким давлением. В технике, как пра-
правило, повышают давление внутри волновода. К этому методу осо-
особенно часто прибегают в аппаратуре, работающей на больших
высотах, где атмосферное давление незначительно. Для давлений
выше 0,1 атмосферного ?Проб в любом газе примерно пропорций-
нально давлению.
204
Поле пробоя в воздухе можно увеличить добавлением газов,
содержащих галоиды (арктон, фреон, элегаз — 5Fe). Нужно, од-
однако, иметь в виду, что при разложении эти газы дают вредные
продукты, вызывающие коррозию.
Предельная мощность основной волны прямо-
прямоугольного волновода. У волны типа HiQ имеется только
одна составляющая электрического поля (ф-ла (9.24)]: Ёу=
= —{(kZB/^Hosin^x, которая достигает максимума при х=а/2;
\х — п\2. Переходя от эффективных значений поля к максимальным
И ПОЛОЖИВ ?тах = ?проб, ПОЛуЧЭеМ | Но | пред= ( | -Епроб | /Y 2)?/&ZE.
Очевидно, предельная мощность равна отношению | //о [ „ред к Н0Р'
мированному коэффициенту |Я^|2[ф-ла (9.29)]:
/^преду Р0ЬДи_^ УКр (934)
KI
у
9.4. Волноводы П- и Н-образного сечения
Частотный диапазон работы прямоугольного волновода в одномо-
довом режиме составляет согласно соотношению (9.31) [в//н=1Д
Этот диапазон увеличится, если уменьшить fKp основной волны, не
меняя заметно критической частоты ближайшей высшей волны. Та-
Такую возможность реализуют П- и Н-образные волноводы (рис.
9.15).
Рис. 9.15
Основная волна этих волноводов является аналогом волны ти-
типа Ню прямоугольного волновода. В данном случае поперечные
электрические и магнитные поля концентрируются преимуществен-
преимущественно в узком зазоре шириной d. Продольная компонента. Нг относи-
относительно невелика. Поле в зазоре близко по структуре к ТЕМ волне,
у которой fKp = 0. Поэтому П- и Н-образные волноводы име-
имеют более низкую критическую частоту f™p, чем прямоугольный
волновод с теми же габаритами. В то же время уменьшение высо-
высоты центральной части волновода несколько повышает критическую
частоту волны типа Hw, у которой максимумы поперечного поля по-
попадают в высокие части волновода. Поэтому диапазон одномодово-
го режима работы П-образпого волновода можно увеличить более
205
чем в два раза по сравнению с диапазоном прямоугольного. Дан-
Данные для П-образных волноводов приведены в табл. 9.3.
Таблица 9.3
Критические частоты и относительная полоса одномодового режима
двух типов П-образных волноводов (рис. 9.15а)
Ыа
0,45
0,45
aja
0,155
0,17
bjb
0,417
0,171
10/ ,10
'кр' 'кр ;
0,705
0,486
20/ 20
'кр' 'кр
1,025
1,070
П/h
80%
111 %
i
Примечание. Здесь_/„рП —критическая чястота прямоугольного волново-
волновода размерами аХЬ; Л=/в-/н; fB=/^p; /„=1.25 Д°.
Н-образный волновод (рис. 9.156) представляет собой два сло-
сложенных по высоте П-образных волновода. Поэтому критические
частоты волн типа Hi0 и #2о в нем определяются той же таблицей.
Итак, П и Я-волноводы имеют меньшие габариты и существен-
существенно большую рабочую полосу частот по сравнению с прямоуголь-
прямоугольными. Однако повышенная концентрация электрического поля в
узком зазоре и увеличение поверхности стенок весьма значительно
уменьшают мощность и увеличивают коэффициент затухания вол-
волны, что ограничивает область применения этих волноводов.
9.5. Волноводы кругового сечения
СТРУКТУРА ПОЛЯ И ТИПЫ ВОЛЫ
Рассмотрим металлический волновод, стенки которого представля-
представляют круговой цилиндр (риг. 9.16).
Е-волны. Волновое ур-ние (8.14) для продольной составляю-
составляющей Ez записывается в цилиндрической системе координат следую-
следующим образом:
дг
dtp2
(9.35)
Оно решается методом разделения пере-
переменных совместно с граничным условием:
Ez\r=a = 0, где а — радиус волновода. Вве-
Введем замену: Ez(r, <p) = R(r) -Ф(ф), где
R(r) зависит трлько от радиуса, а Ф(<р) —
от полярного угла. Тогда после почленного
умножения на г2/ЯФ получим
л*^ +
R (r)
R' (г) Ф" (Ф)
R (г)
ф (ер)
(9.36)
Независимость аргументов г и ф требует, чтобы третье слагае-
слагаемое было постоянным; положим его равным (—п2). Тогда ур-ние
(9.36) ^распадается на два. Первое, в котором независимой пере-
переменной является полярный угол ф,
Ф"(ф) + л2Ф(Ф) = 0 (9.37)
имеет решения:
Ф(ф) = Л cos/г ф + В sin/г ф. (9.38)
Оба решения, по существу одинаковы и отличаются лишь поло-
положением максимума поля: при ф = 0 для cos mp или при ф = я/Bп)
"для sinпф. При л = 0 сохраняется только первое решение Ф(ф) =
= A=const, т. е. поле не зависит от полярного угла ф. Поэтому
будем рассматривать далее только первое решение, положив В = 0.
Однозначность поля в каждой точке требует, чтобы при поворо-
повороте по углу ф на 2 я получалось одно и то же значение функции
Ф(ф), т. е. Ф(ф + 2я)=Ф(ф) или соэ/г(ф + 2я) =cos/i<p. Это воз-
возможно только при целом п, включая и нулевое значение, т. е. п~
О, 1, 2,.... Число п определяет периодичность поля по полярному уг-
углу ф: число периодов функции cos n ф, описывающей поле, при по-
повороте на 2 я.
Второе уравнение, независимой переменной которого является
радиус-вектор:
dr* ~ г dr ^ Г г* )
включает ту же константу п. Это уравнение приводится к уравне-
уравнению Бесселя относительно переменной (%г):
_**_ + _!_ -«_ + [! - -*-lR =0, (9.39)
общим решением которого является суперпозиция цилиндрических
функций.п-го порядка:
R(lr)-^CJn(xr) + DYn(%r). (9.40)
Функция Вебера У„ (ее называют также функцией Неймана и
обозначают Nn) принимает при хг = 0 бесконечное значение. Так
как при г = 0 электромагнитное поле в волноводе должно быть ко-
конечным, необходимо положить D = 0. Функция Бесселя n-го поряд-
порядка /„ везде конечна и не превышает по модулю единицы (рис.
9.15а). Таким образом,
(9.41)
Объединяем частные решения для поля в поперечном сечении
(9.42)
Масштабный коэффициент х в аргументе (%г) должен быть вы-
выбран так, чтобы на границе г = а удовлетворялось граничное усло-
207
Jn(x)
Рис. 9.17
вие Ez=0. Для этого функция
Бесселя должна принимать ну-
нулевые значения Jn(xa)=0 при
г —а. Следовательно, для вол-
волны Епт необходимо, чтобы
1птй — \пт, ГДе Хпт — ГП-Yl 'К0-
рень функции Бесселя л-го по-
порядка (рис. 9.17).
Константа х„т, согласно
ур-нию (9.35), является попе-
поперечным коэффициентом данной
волны и определяет по (9.1)
критические частоты и длины
волн:
2л а
f
КР
¦ 2л а пт' \рп
1Е =
V/гл
(9.43)
Н-волны. Для продольной составляющей Я2 волновое уравнение,
аналогичное (9.35), решается методом разделения переменных, со-
совместно с граничным условием B.32): dHz/dr\r=a — Q- Получаем та-
такое же общее решение:
Нг = H0Jn(xr)cosn(f.
(9.44)
Экстремальное значение Нг на границе требует, чтобы,
при г=а равнялась нулю производная функции Бесселя:
Jп (Ха)=0- Следовательно, для волны Нпт необходимо, чтобы
%nmCL = v 'пт где v'nm—т-й корень функции J'n(x) или m-й экстремум
функции Jn(x) (см. рис. 9.17). Следовательно, критические вели-
величины для //-волн:
fnm = _V V' .
'кр 2л а лт>
пт =
пт
упт
(9.45)
Типы волн. Индексами в обозначении типа волны являются:
п — периодичность поля (9.42) или (9.44) по полярному углу ср,
т — периодичность поля по радиусу г, т. е. число полных и непол-
неполных полуволн, укладывающихся от оси до стенки волновода.
Выпишем в порядке возрастания величин первые 15 значений
Vnm и v'nm и соответствующие значения /Кр« Для волн Епт и Нпгп в
круглом волноводе (таблица 9.4). На рис. 9.18 критические раз-
размеры волновода для простейших типов волн представлены графи-
графически.
Из таблицы видно, что основной волной, обладающей мини-
минимальной критической частотой, является волна типа Ни, хотя ее
индексы не наименьшие. В круглом волноводе имеются вырожден-
вырожденные волны Я01 и Е^; Нй2 и ?12. Совпадение их критических частот
208
Таблица 9.4
Корни функций Бесселя vnm и ее производной vnm;
критические частоты волн в круглом волноводе при Он с
//-ВОЛНЫ
п—т
1—1
2-1
0-1
3—1
4—1
1-2
5—1
2—2
0—2
V
пт
1,8412
3,0542
3,8317
4,2012
5,3176
5,3314
6,4156
6,7061
7,0156
/кР°
ГГц-см
8,7849
14,5728
18,2824
20,045
25,372
25,438
30,611
31,997
33,474
?-ролНы
п—т
0-1
1—1
2—1
0—2
3—1
1-2
vnm
2,4048
3,8317
5,1356
5,5201
6,3802
7,0156
!кр"
ГГц-см
11,4743
18,2824
24,504
26,338
30,442
33,474
определяется рекуррентными соот-
соотношениями для функций Бесселя:
откуда /к"<""=
(9.46)
Радиус волновода а выбирается
таким, чтобы обеспечить прохожде-
прохождение нужной волны с допустимым
затуханием и дисперсией (/н~
»l,25fKp). При этом следует иметь
в виду, что все волны, помещенные
в таблице выше данной, также мо-
могут распространяться в таком вол-
волноводе.
Поперечные составляю-
составляющие поля определяются по
общим ф-лам (8.15) и (8.17).
Напомним, что в цилиндрической
системе координат поперечный
градиент:
grad г|; = ег ^
Рис. 9.18
е —
(9.47)
209
Следовательно, для Е-волн, используя (9.42), получаем:1)
К = - 'ТГ
) —еф
ф I;
J
~-
(9.48)
Для Н-волн, учитывая ф-лу (9.44), находим:
ft - Г
Нх=-г-?-Я„ ел J'n(%r)cosntf — e ~ Jn(xr)sinn<p\;
XL Xr J
) cos л ф —
sin
(9.49)
где поперечный волновой коэффициент x = Xnm =
Полученные формулы позволяют строить эпюры поля и опреде-
определять структуру тока в стенках волновода кругового сечения для
любой волны. Простейшими волнами с круговой симметрией поля
(л = 0) являются волны типа EOi и Я04; их поля имеют всего по
три координатных составляющих.
Волна EOi (рис. 9.19) является низшим типом среди ?-волн.
Она содержит компоненты Ег, Ег и Яч. Продольная составляющая
Ez достигает наибольших значений на оси волновода. Осевая сим-
Рис. 9.19
о о о'о о о •
Рис. 9.20
метрия поля этой волны позволяет поворачивать волновод вокруг*
оси oz без изменения структуры поля, что используется во враща-
вращающихся соединениях волноводов.
') Производная функции Бесселя рассчитывается по рекуррентному соотно-
соотношению (9.46) или по формуле: з'п (x)=Jn-,(x) — (n/x) Jn(x).
210
Волна Я01 (рис. 9.20) имеет несколько более сложную струк-
структуру поля. В соответствии с ф-лами (9.44), (9.49) и (9.46) ее ком-
компоненты определяются соотношениями:
xoi r) e
1 (to(-B
(9.50)
?ф = — i (&Zb/Xoi) ЯоJi i
где xoi = v о, /а = 3,8317/а.
У стенок волновода при г = а существует лишь одна составляю-
составляющая поля Hz, поэтому в стенках существуют лишь кольцевые токи
7ф • Отсутствие продольных токов делает волну Hoi мало чувстви-
чувствительной к поперечным щелям. Возможен, например, небольшой за-
зазор между двумя секциями волновода.
Основная волна Яц (рис. 9.21), как и все волны с /г^1,
имеет пять не равных нулю компонент поля. Сходство структуры
,¦ =»- ^ • / -^ ~
f
О 0|О
o'ojoj
| j
o'ojojoiolo
jojoio
iO Oi О ч
\ M ^ —
O\Ov
\ 0IO1O1O
ojo|oo о
o|oo о
УО/OVO
Волна
Рис. 9.21
Рис. 9.22
поля основных волн —Ян в круглом и Ню в прямоугольном волно-
волноводах определяет их аналогию как волн, имеющих наинизшую кри-
критическую частоту: для их реализации требуются наименьшие разме-
размеры волновода.
Волна Ен (рис. 9.22) имеет ту же критическую частоту, что и
Нои что существенно при организации волнаводной связи.
ПАРАМЕТРЫ ВОЛН
Параметры р, Л, v и и зависят только от критической частоты и
определены в параграфе 9.1. Получена также универсальная ф-ла
(8.42) для составляющей коэффициента затухания ад. Найдем те-
211
перь расчетные формулы для мощностей и доминирующей состав-
составляющей коэффициента затухания сспр.
Мощность волны Нпт. Согласно выражениям (8.25) и
(9.49) имеем
2л а
о о
^ Jl{Xr)s\tf nyb dydr.
Интегрирование соэ2/гф и s\n2n<f по ф от 0 до 2 я дает множи-
множитель л. Перейдем к новой переменной х = хг, которая достигает на
границе волновода значения Xa = v'nm- В этом случае
V
пт
при /г=0
при пфО
Для любых цилиндрических функций Zn(x), являющихся реше-
решениями уравнения Бесселя (9.39), известен неопределенный интег-
интеграл:
(9.51)
Так как J'n(v'nm) = 0 и %"m=v'nm/a , получаем мощность волны
типа Нпт:
р _
(о
В частности, для волны типа Яц после подстановки численных
значений, имеем:
P = Alt67kt*j±H*. (9.53)
Предельная мощность волны типа Ни. Из рис.
9.21 видно, что максимум электрического поля этой волны нахо-
находится на оси волновода. Действительно, при г = 0 составляющие
?ф (при ф = 0) и ЕТ (при"ф = л/2) физически тождественны. В этой
точке J [ (xr)=Ji(%r)/(xr) = 0,5. Поэтому из ф-л (9.49) находим:
= \[2\ЕГ
г=0
ф=я/2 -г -/,!
Подставляя отсюда Яо в ф-лу (9.53) и заменяя Е„
получаем для волны Яц:
на
'проб'
(9.54)
Коэффициент затухания золн Нпт. Для определе-
определения апр вычислим Pinp по ф-ле (8.44) с учетом (9.44) и (9.49) (на
стенках воляовода г = а и Xa = v'nm)'-
Р1пр = Rs $ (I Нг ? + | Яф j«) dl = Rs Щ f Г рп (у a) cos2 п ф +
сх о L
= n(\ + bon)aRsHlJl(v'nm)(l+^^
t а \
Подставим полученное выражение и ф-лу (9.52) в (8.45): -
апр = Р1пр/BР) = Rs (v'*m + п> р ay [a*ZBk f) (v;2m - л2)].
Выражение, стоящее в круглых скобках в числителе, преобразуется
следующим образом:
= vnm У2 <
2 - У-2)п2(? =
- n*) a2
ni nm (
Определим теперь коэффициент затухания. Заменим Rs=
=0,5Kmk0ZBO[iupA, xlk = hvli и будем считать |я=1 внутри волно-
волновода. Тогда
Коэффициент затухания волны Нц. Для этой волны
второе слагаемое в квадратных скобках ф-лы (9.55) равно 0,4184.
Сильное увеличение затухания при /-*-fnp определяется делителем
УК
УК в ф-ле (9.55), а рост его с увеличением частоты — множите-
множителем kA~ Vf. Кроме того, выражение в квадратных скобках
12 при
100
50
20
10
ос", ЗВ/нм
212
р
уменьшается от 1,42
f = fKp до 0,42 при f-»-oo.
Под действием всех этих
факторов кривая аПр име-
имеет пологий минимум, ко-
который простирается от
2fKP до 7,fKp (рис. 9.23).
Коэффициент за-
затухания волны Яоь
У волн типа НОт в круг-
круглом волноводе апр моно-
монотонно уменьшается с рос-
ростом частоты, достигая при
/^4f,<p весьма малых зна-
значений (рис. 9.23). Фор-
Формально это объясняется
исчезновением при /г = 0
второго слагаемого в
квадратных скобках ф-лы (9.55); цоэтому на высоких
частотах аПр меняется как kA/f2~f-1-5. Такое уменьшение затуха-
213
\
-
——«=
==
i
tot
_ -¦
и —
I
Ю
12 Vi f, ГГц
Рис. 9.23
213
ния обусловлено особенностью структуры поля волны Ясн и вообще
волн НОт. На высоких частотах по концепции Бриллюэна парци-
парциальные волны падают на граничную поверхность очень полого,
так что продольные составляющие поля становятся весьма малы-
малыми по сравнению с поперечными. У всех волн кроме НОт компо-
компонента #ф у стенки волновода начинает преобладать над Н-. Ком-
Компонента Яф вызывает продольные токи в стенках и ее вклад опре-
определяется вторым слагаемым в квадратных скобках ф-лы (9.55).
У волн HQm составляющая Яф вообще отсутствует, а Нг с ростом
частоты уменьшается; следовательно, плотность токов в стенка.х
волновода также уменьшается. Этот эффект оказывается значи-
значительно сильнее, чем увеличение поверхностного сопротивления
Rs~k&. В результате частотная кривая апр имеет падающий
характер.
В заключение заметим следующее. Малое затухание волны
Яш возможно только при f^ D-4-6) f "••; в таком волноводе су-
существует очень большое число волн высших порядков. Кроме того,
расчет по ф-ле (9.55) справедлив лишь в том случае, если волны
Я01 и Ен не вырождены, т. е. соответствующим изменением конст-
конструкции волновода критические частоты этих двух волн разнесены.
Коэффициент затухания волн Епт определяется ф-ла-
м.и (8.45), (9.42) и (9.48). После преобразований, аналогичных
предыдущим, получаем
«пр =
(9.56)
aZB У К 2а
Кривые для волн EOi и Ен приведены на рис. 9.23.
ПОЛЯРИЗАЦИОННОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ ВОЛН
В волноводах кругового сечения при л^1, как следует из ф-лы
(9.38), возможны две волны, отличающиеся между собой лишь
ориентацией линий поля относительно поперечной оси на угол
ф/2«. Обозначим волну, соответствующую
cos n<p в (9.38) индексом с, а волну, соответ-
соответствующую sin п ф, — индексом s.
Вектор Е в поле волны Ни совпадает с од-
одним из диаметральных сечений, которое назо-
назовем плоскостью поляризации волны. Ранее
рассмотренная волна Нсп поляризована в пло-
плоскости yOz, а волна Hsu —в перпендикулярной
ей плоскости хОг (рис. 9.24).
Поворот плоскости поляризации не сказывается на параметрах
волны. Критические частоты волны типа Я спм и Hsnm, а также
Рис. 9.24
пм т, а аже
волн Е^и Е snm в круглом волноводе совпадают; равны их ско-
скорости распространения и коэффициенты затухания. Это явление
214
называют поляризационным вырождением. Следствием поляриза-
поляризационного вырождения является довольно интенсивный обмен энер-
энергией между вырожденными волнами на нерегулярностях волно-
волновода.
Пусть на входе волновода возбуждена волна Нсп . На сходных
по характеру нерегулярностях часть мощности этой волны пере-
передается волне Я*, , причем сохраняется определенный фазовый
сдвиг между этими волнами. Так как скорости волн совпадают,,
возбужденные на нерегулярностях волны Hsn складываются по
всей длине волновода в фазе, что и определяет довольно значи-
значительную амплитуду паразитной волны. Суммарная волна на выхо-
выходе волновода оказывается эллиптически поляризованной с боль-
большой осью эллипса, повернутой на некоторый угол относительно-
первоначальной плоскости поляризации. При вырождении плос-
плоскость поляризации волны неустойчива.
Измерив радиальные составляющие Егтах и Ermin, параллель-
параллельные большой и малой осям эллипса поляризации на выходе вол-
волновода, можно найти коэффициент кроссполяризации Гкп =
= 201g (Ermin/Ermax) [дБ]. Величина 7Кп пропорциональна длине
волновода, числу неоднородностей и их величине.
9 6. Эллиптические волноводы
Волновод эллиптического сечения (рис. 9.25) с полуосями а и Ь
характеризуют эксцентриситетом е=]/" 1 — (Ь/аJ (Ь<а). Картины
линий поля волн в эллиптическом и круглом волноводах аналогич-
аналогичны, их наименования совпадают, однако в эллиптическом волново-
волноводе поляризационное вырождение отсутствует, так как критические
частоты волн с разной поляризацией, например Н\х и Я '*,, не
нс №
совпадают. При малой эллиптичности fKpu/fKpn =b/a.
При большой эллиптичности возможно создание в волноводе-
одномодового режима с волной Нсп . В этом случае волна в эллип-
эллиптическом волноводе так же устойчива, как в прямоугольном вол-
волноводе. Критическая частота для основной волны Н\х рассчиты-
рассчитывается с погрешностью не более 1 % по приближенной формуле-
(fup, ГГц; о, см):
/кра = 8,7849 A + 0,0236е*). (9.57)
Коэффициент затухания этой волны в
первом приближении можно определить по
соотношению, сконструированному из ф-лы
(9.30) для прямоугольного волновода раз-
размерами 2аХ2Ь (т. е. для прямоугольного
сечения, описанного вокруг эллипса) и
ф-лы (9.55) для волны Нц в круглом вол-
волноводе: Рис. 9.25
215
W[f) T]
Математический анализ эллиптических волноводов значитель-
значительно сложнее, чем круглых или прямоугольных; поэтому точные
формулы для параметров волн в эллиптическом волноводе полу-
получаются весьма громоздкими, пригодными для расчетов только на
ЭВМ.
Оптимальное соотношение размеров эллиптического волновода
b/ада0,5-f-0,6 выбирается из тех же соображений, что и для пря-
прямоугольного: получение максимальной полосы одномодового ре-
режима и достаточно малого затухания. При bja = 0,5 ближайшая
волна высшего типа Я?, имеет критическую частоту, в 1,82 раза
большую, чем Нсп . При критериях, принятых на стр. 201, относи-
относительная полоса частот одномодовой работы Я//о = 37%. Расчеты
показывают, что при равных периметрах затухание эллиптическо-
эллиптического волновода примерно на 10-=-30°/о меньше, чем прямоугольного.
9.7. Применение полых металлических волноводов
ОДНОМОДОВЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ВОЛНОВОДЫ
В настоящее время наиболее широкое распространение получили
прямоугольные волноводы с основной волной #ю. Одномодовые
волноводы преимущественно используются в сантиметровом диа-
диапазоне; здесь их габариты относительно невелики, а элементы вол-
новодного тракта хорошо отработаны. В дециметровом диапазоне
их применение оправдано при передаче значительных мощностей
или для получения высокого кпд протяженного фидера; хотя
габариты дециметрового волновода относительно велики, их вес
и стоимость могут быть вполне приемлемыми при использовании
тонкостенных алюминиевых труб. В миллиметровом диапазоне па-
параметры одномодового волновода (коэффициент затухания, пере-
передаваемая мощность), как правило, уже не соответствуют предъяв-
предъявляемым требованиям.
МНОГОМОДОВЫБ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ВОЛНОВОДЫ
За счет большего поперечного сечения многомодовый волновод
имеет меньший коэффициент затухания, больший кпд, меньшую
температуру шумов, большую допустимую мощность, чем одномо-
довый. Однако в многомодовом волноводе действуют оба меха-
механизма образования попутного потока (см. парагр. 9.3). Для того *
чтобы искажения формы сигнала не превышали допустимых, не-
необходимо существенно уменьшить попутный поток, а это требует
тщательной обработки поверхности волновода, весьма точного
соединения волноводных секций. Некоторые элементы тракта
(например, повороты) приходится специально конструировать
216
та'К, чтобы на них не возникали волны нежелательных типов. При-
Приходится вводить новые элементы: фильтры типов -волн и поглоти-
поглотители нежелательных типов волн, имеющие малую шумовую темпе-
температуру. Учитывая также повышенные габариты многомодовых
волноводов, легко заключить, что их стоимость значительно боль-
больше, чем одномодовых. Многомодовые волноводы применяются
преимущественно в приемных трактах систем космической и спут-
спутниковой связи, радиолокаторах дальнего обнаружения, в протя-
протяженных фидерах радиорелейных станций и в устройствах милли-
миллиметрового диапазона.
КРУГЛЫЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ВОЛНОВОДЫ С ВОЛНАМИ
ТИПА Ни И Hf,
Известно, что изготовленные по обычной технологии волноводные
секции круглого волновода всегда имеют небольшую эллиптич-
эллиптичность, практически достаточную для снятия поляризационного вы-
вырождения. Необходимо только, чтобы в волноводе возбуждались
волны типа Н\{ и Н\х в точном соответствии с ориентацией
осей эллипса, а направления большой и малой осей совпадали
во всех волноводных секциях; этого можно достичь, проводя со-
соответствующие измерения до сборки волновода. При длине вол-
волновода ~ 50 м таким путем можно уменьшить коэффициент кросс-
поляризации до 7кпда — C0^-40) дБ, что приемлемо в большин-
большинстве практических случаев.
Круглый волновод с волной Ян используется в каче-
качестве, антенного фидера радиорелейных и радиолокационных стан-
станций. На радиорелейных станциях часто размещается несколько
комплектов аппаратуры, работающих в разных частотных диапазо-
диапазонах, например, 4, 6, 9 и 11 ГГц. Наиболее экономично использова-
использование общего волновода и антенны для передачи сигналов всех
этих диапазонов. Очевидно, на всех частотах, кроме низшей, вол-
волновод в этом- случае работает в многомодовом режиме. Для луч-
лучшего разделения отдельных групп сигналов, кроме разноса по ча-
частоте, применяется поляризационное деление: передача по волно-
волноводу и в свободном пространстве двух воли с взаимно перпенди-
перпендикулярной поляризацией. Поэтому необходимо снять поляризацион-
поляризационное вырождение волн Н\х и Hsn ; коэффициент кроссполяризации
волновода должен быть низким.
Другой проблемой, возникающей при практическом использова-
использовании волны Я,it является подавление волны EOi. Хотя волна Ян
в круглом волноводе является основной, близкость критических
частот волн Яц и ?оь fxp'^Kp11 = 1,3, практически не позволяет
работать в одномодовом режиме. В ряде случаев размеры волно-
волновода выбирают так, чтобы не допустить возникнрвения волн выс-
высших типов, начиная с Я2ь а волну ?"oi подавляют специальными
фильтрами. Диапазон «двухмодовой» работы волновода ограничен
217
снизу /H=l,25f^p» и сверху /в = /"р" =l,66f ^ таким образом,
его относительная ширина составляет Л//о = 28%.
Для избирательного подавления той или иной волны в волно-
волновод встраивают фильтры типов волн, использующие особенности
структуры электромагнитного поля подавляемой и пропускаемой
волны. В данном случае из рис. 9.19 и 9.21 видно, что волна типа
?oi имеет продольную составляющую электрического поля с мак-
максимумом на оси волновода, а у волны типа #ц такой составляю-
составляющей нет. Поэтому поглощающим фильтром может служить соос-
ный с волноводом тонкий стержень из материала с малой прово-
проводимостью (а«100 См/м), т. е. высокими электрическими потеря-
потерями. Два таких фильтра на концах волновода создают в нем одно-
кодовый режим, подавляя волну ?"oi-
Гибкие эллиптические волноводы с волной #fr
В тех же случаях целесообразно применение гибких одномодовых
волноводов с отношением полуосей 6/а = 0,5-^0,6, изготавливаемых
из тонкостенного алюминия или меди и покрытых защитной ди-
диэлектрической оболочкой (рис. 9.26). Стенки волновода для уве-
ШоВ
Рис. 9.26
личення гибкости могут быть гофрированными. Такой волновод
выпускается со строительными длинами в несколько сотен метров
и наматывается на кабельные барабаны. Фидер из гибкого волно-
волновода не имеет стыков, что обеспечивает его герметизацию и умень-
уменьшает отражения. Монтаж волновода на антенной опоре также
значительно облегчается.
КРУГЛЫЕ ВОЛНОВОДЫ С ВОЛНАМИ ТИПА Н01 И Е01
Дальняя волновод н а я связь. Как следует из ф-лы (9.55),
волна #oi имеет весьма низкое затухание на частотах, в несколько
раз превышающих критическую. Рабочая частота выбирается
обычно в миллиметровом диапазоне, вне полос интенсивного пог-
поглощения волн в парах воды и кислороде воздуха, (/ = 35—40 ГГц)
(Я«8 мм). Расчетное затухание порядка 1 дБ/км-достигается при
радиусе волновода о«30 мм, когда f«6/Kp. При таких парамет-
параметрах волновода можно организовать широкополосную линию даль-
218
ней связи, обеспечивающую передачу весьма большого объема
информации. Потери в волноводах компенсируются усилительны-
усилительными устройствами, устанавливаемыми с интервалом Юч-25 км.
Основными особенностями волновода дальней связи с волной ти-
типа #оь затрудняющими его использование, являются вырождение
между волнами и существенная многомодовость, способствующие
образованию попутного потока. В волноводе указанных размеров
распространяется свыше 100 волн других типов.
Вырождение между волнами типа #oi и Ец сводит на нет пре-
преимущества волны #оь так как сильная связь между волнами не
позволяет рассматривать их по отдельности. Гибридная волна,
являющаяся суперпозицией волн #oi и Eilt имеет затухание того
же порядка, что и волна Ец. Вырождение волн #ui и Ец снимается
путем изменения фазовой скорости и увеличения затухания волны
Ец в волноводах специальных конструкций.
Волновод с диэлектрическим слоем, нанесенным
изнутри на металлическую стенку. Диэлектрический слой суще-
существенно замедляет волну, имеющую сильное электрическое поле
в той части сечения, куда помещен диэлектрик. У волны типа #oi
при rma напряженность электрического поля очень мала (рис.
9.20); у волны же Ец, наоборот, значение Ет максимально у сте-
стенок волновода (рис. 9.22). Поэтому диэлектрический слой замед-
замедляет практически только волну Ец, а также увеличивает ее зату-
затухание из-за потерь в диэлектрике.
Волноводы со спиральными или кольцевыми
стенками (рис. 9.27) используют различие в структуре магнит-
магнитного поля и токов в стенках у рассматриваемых волн. Волны тина
#от имеют только одну составляющую поверхностного тока j^
беспрепятственно протекающую по кольцам или спирали волново-
волновода; для них такой волновод
эквивалентен цельнометалли-
цельнометаллическому волноводу с несколь-
несколько уменьшенной проводимо-
проводимостью. Все остальные волны, в
том числе Е\\, имеют продоль-
продольную составляющую тока, для
них зазор между кольцами
или витками спирали является
излучающей щелью. Так как
этот зазор и пространство во-
вокруг спирали заполнены поглощающим материалом, коэффициент-
затухания указанных волн увеличивается до сотен тысяч дБ/км.
Плохая проводимость стенок волновода для рассматриваемых
волн изменяет также их фазовую скорость.
Уменьшение попутного потока. Итак, оба типа вол-
волноводов снимают вырождение волн типа #oi и Ец и обладают
фильтрующим действием по отношению к нежелательным волнам.
Повышение затухания паразитных волн уменьшает уровень попут-
219.
броня
'ЗК/ПИ
'Пшощпшщий
материал
Шрам или
кольца из
меди
Рис. 9.27
иого потока, обусловленного преобразованием типов волн. Одновре-
Одновременно несколько увеличивается затухание волны HOi. При осуще-
осуществлении дальней передачи можно применять также комбиниро-
комбинированный тракт: чередование обычных металлических волноводов с
фильтрующими.
Для уменьшения преобразования волн на нерегулярностях
устанавливают чрезвычайно жесткие допуски на все конструктив-
конструктивные характеристики волновода: качество обработки поверхности,
эллиптичность сечения, смещение осей. Особенно интенсивно па-
паразитные волны образуются на изгибах волновода и поворотах
трассы. Поэтому его ось должна иметь весьма большой радиус
кривизны (порядка нескольких километров). Все повороты с боль-
большей кривизной выполняются из фильтрующих волноводов, либо
имеют специальные конструкции, рассчитанные на минимум пре-
преобразования волны типа #oi в другие.
Волна ?oi применяется во вращающихся соединениях (см. па-
параграф 14.7). Эта же волна в круглом волноводе с видоизменен-
видоизмененными стенками (см. параграф 12.7) используется в ускорителях
.элементарных частиц, усилителях и генераторах свч.
9.8. Возбуждение волноводов
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Возбуждением волновода называется создание в нем высокочас-
высокочастотного электромагнитного поля. Для этого необходимо каким-
либо способом ввести в него электромагнитную энергию: непосред-
непосредственно от генератора, из кабеля или другого волновода. Устрой-
Устройство, служащее для этой цели, назы-
называют элементом связи или возбуди-
возбудителем.
Связь волновода с источником осу-
осуществляется различными способами
(рис. 9.28). Если свч генератор имеет
коаксиальный выход, то коаксиальный
кабель заканчивается в волноводе
штыревой антенной (а) или петлей
(б); некоторые типы клистронов так-
также имеют выход в виде штыря, погру-
погружаемого в волновод. Связь волновода
с генератором и связь между волно-
новодами может осуществляться с
и отверстий (г), прорезанных в их
Рис. 9.28
щелей (в)
помощью
стенках.
С теоретической точки зрения во всех случаях речь идет о си-
системе сторонних электрических и магнитных токов, заданных внут-
внутри волновода или на его границах. Нужно расположить их так,
220
чтобы с наибольшей (или заданной) эффективностью возбудить
определенный тип волны в волноводе и не создать волн нежела-
нежелательного типа.
Нормированная амплитуда возбужденной волны нужного типа
0 [ф-ла (8.48)] выражается через распределение электрических
и магнитных сторонних токов следующим образом:
п = _L- Г D. Ё^в - #т • Нпнв) dV;
(9.59)
где У — объем, в котором действуют источники; ?„в и Н^в —
напряженности поля пробной волны. Пробной называется норми-
нормированная волна того же типа, что и искомая, распространяющаяся
навстречу ей. Если в волноводе есть отражения, она представляет-
представляется суммой падающей и отраженной волн.
Соотношение (9.59) является следствием леммы Лоренца в
форме G.43). Его вывод можно найти в 05]. Указанное соотноше-
соотношение позволяет определить наиболее целесообразное расположение
возбудителей, создающих волну с наибольшей амплитудой. Для
этого нужно, чтобы подынтегральное выражение было макси-
максимально.
Пусть, например, волновод возбуждается элементарным элект-
электрическим излучателем, расположенным в весьма малом объеме
V около точки М. Поле пробной волны можно считать неизменным
в пределах V и тогда
U = -^ Е«в (М) • j JCTdl/ = -^_ eSb (M) (/„!), (9.60)
v
тде /СТ1 — момент тока излучателя.
Из полученного выражения вытекает, что максимум U дости-
достигается в том случае, если 1||Е?в , а точка М выбрана в том месте
волновода, где величина ?"в максимальна. Идентичность структу-
структуры пробной и возбуждаемой волн позволяют отнести эти правила
непосредственно к нужной волне; из (9.59) следуют аналогичные
соотношения для магнитных излучателей. Итак, амплитуда воз-
возбужденной волны максимальна, при заданных величинах сторон-
сторонних токов, если:
— сторонний электрический ток протекает вдоль электрическо-
электрического поля возбуждаемой, волны; т. е. ось штыря располагается па-
параллельно Е;
— сторонний магнитный ток — вдоль магнитного поля, т. е.
ось петли или осевая линия щели параллельны вектору Н;
— возбудитель располагается в максимуме соответствующей
компоненты поля.
Методику расчета возбудителей по ф-ле (9.59) рассмотрим на
¦следующем примере.
221
Тонкий
стоянии
стенки
Короткозамыкатель
ВОЗБУЖДЕНИЕ ОСНОВНОЙ ВОЛНЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ВОЛНОВОДА ШТЫРЕМ
штырь длиной / расположен параллельно оси у на рас-
zu от закороченного конца волновода и х0 от его боковой
(рис. 9.29). Распределение тока по длине штыря задано
функцией /ст (у).
Определение поля проб-
пробной в о л н ы. Пробная волна ти-
типа Ню распространяется по волно-
волноводу в направлении убывающих
значений z и при z = 0 отражается
короткозамыкателем. Электрическое
поле суммы падающей и отражен-
отраженной волн, согласно (9.24), опреде-
определяется выражением:
рн — i ^s ттн L:
Рис. 9.29 -. „ , я.
При коэффициенте отражения Г— — 1 выполняются граничные
условия Еу = 0 на поверхности z = 0, тогда
EnB = 2yBtf»sin?xsinpze,. (9.61)
Определение нормированной амплитуды. Под-
Подставляем заданное значение тока и поля пробной волны в ф-лу
(9.59). Ток отличен от нуля только при х = х0 и z = zOt а поле (9.61)
не зависит от координаты у. Поэтому Е?в может быть вынесена
за знак интеграла:
2РН
"» --
2РН
г0)
Интеграл от плотности тока по объему штыря Г JCTrfl/ =
V
I
=ty \ Ici(y)dy = evicvl равен моменту тока, где /ср — усредненный
о
по длине ток штыря. Следовательно,
()=-^увHi(/ер0sin Iх,sinYг„.
Подставляем сюда выражение для нормированного значения^
коэффициента #jj (9.29) и получаем соотношение для нормиро-*
ванной амплитуды волны типа Ню:
fT
kZB
f
2 \0,5
O)
Sln
Sin p 20
(9.62)
222
Теперь, используя соотношения (8.48) и (9.24), можно опреде-
определить все составляющие поля. Мощность возбужденной волны,
согласно (8.49), выражается как
Р = | U |2 Рн = Д- 4 (VJ sin21 x0 sin2 p z0
(9.63)
Л1аксимум Р достигается при xu = aj2 и zo = A/4. Тогда ^а-0 = п/2,
Zo = л/2
Р =-b.jLt
max УК ab
I I
Максимальное поле волны типа #ю при неизменном моменте
тока штыря /Ср/ соответствует положению штыря посредине вол-
волновода, в максимуме поля Еу (при лго = а/2). Штырь должен нахо-
находиться на расстоянии четверти длины волны от короткозамыкате-
ля (zo = A/4). Тогда волна, распространяющаяся от штыря к ко-
роткозамыкателю, отражаясь от него, складывается в фазе с вол-
волной, излученной штырем по направлению к нагрузке. Это удваи-
удваивает амплитуду результирующей волны. Синфазность волн обес-
обеспечивается благодаря тому, что обратная волна проходит расстоя-
расстояние, равное полуволне и, кроме того, меняется по фазе на угол
л при отражении.
Зная мощность Р, легко определить активную составляющую
входного сопротивления штыря при возбуждении основной волны:
Явх = -V- = -% -т(г11 'Гsi1x°sin2р г°- <9-64)
b 1/ /
Возбуждение волны вблизи критической частоты затруднено,
так как при этом резко возрастает 7?Вх и для поддержания в шты-
штыре тока конечной величины нужна очень большая эдс. Следует
отметить, что полученные формулы несправедливы в непосредст-
непосредственной близости к fKp, так как в этой области необходимо учиты-
учитывать затухание.
ВОЛНЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Заданное распределение токов возбуждает, кроме желаемой вол-
волны, бесчисленное количество волн высших типов. Например, вер-
вертикальный штырь посредине волновода (рис. 9.29) возбуждает,
кроме основной волны, также волны типов Н30, Ньо и т. д., у кото-
которых электрическое поле при xo = aj2 максимально. Если волны выс-
высших порядков в_данном волноводе не распространяются, то для
них /</кр и У К — мнимая величина. Тогда выражения, ана-
аналогичные (9.63), для мощности возбуждения волн высших поряд-
порядков будут давать мнимые значения. Мнимые мощности, как изве-
известно, соответствуют реактивным полям, в которых энергия цир-
циркулирует по замкнутым траекториям. Мнимым значениям Рт со-
соответствуют мнимые компоненты входного сопротивления Хт. Та-
223
ким образом, входное сопротивление штыря в одномодовом вол
новоде
7
т=\
(9.65)
где R\ — соответствует мощности, основной волны, а Хт — реак-
реактивным полям около возбудителя (индекс т=1 присвоен основ-
основной волне, а /л = 2, 3, ... — волнам высших порядков).
Мнимую составляющую Xi может создать основная волна,
например, в случае г0ф\/4, если входное сопротивление участк".
короткозамкнутого волновода реактивное.
В заключение отметим, что элемент связи, обеспечивающий
эффективную передачу мощности в волновод, например, из коак-
коаксиального кабеля, согласно теореме взаимности, будет столь же
эффективно принимать мощность от волны того же типа в волно-
волноводе и передавать ее в кабель. Расчет параметров передающих и
приемных элементов связи одинаков.
9.9. Запредельные волноводы
КОЭФФИЦИЕНТ ОСЛАБЛЕНИЯ
Волновод, работающий на частотах, ниже критической основной
волны, называют запредельным (закритическим). Рассмотрим
случай, когда идеальный волновод возбужден в сечении z = 0 на
частоте /</кР (рис. 9.30)l Сог-
Согласно ф-ле (8.3), уг=к2+%2.
Положим K = \k, так как поте-
ри в диэлектрике отсутствуют,
и используем соотношение
(9.5) %/k=fKp/f. В результате
получим, что коэффициент рас-
пространения <у
Рис. 9.30
4lP=*l/iWFl. Вы-
Выражение под корнем положи-
положительно, поэтому правая часть
равенства — вещественная ве-
величина. Следовательно, на частотах ниже критической коэффи-
коэффициент фазы идеального волновода р = 0, а коэффициент затухания
(9.66)
Экспоненциальный множитель (8.1) для поля справа от возбу-
возбудителя (рис. 9.30) описывает теперь не бегущую волну, а перемен-
переменное синфазное поле с быстро убывающей амплитудой. Любая его
компонента зависит от расстояния и времени по закону:
224
_—уг i(o( — <xz \(at д
е е = е е . Аналогично для тюля слева от возбудители*
Итак, в запредельных волноводах волновые процессы невоз-
невозможны. Имеется только затухающее, чисто реактивное поле,
экспоненциально убывающее при удалении от возбудителя.
Аналогично изменяется амплитуда поля поверхностной волны
при удалении от граничной поверхности. В обоих случаях экспо-
экспоненциальное уменьшение напряженности поля наблюдается по
мере его проникновения в среду, где распространение волны не-
невозможно: либо из-за малых (для данной Я) поперечных размеров
волновода, либо из-за невозможности выполнения закона Снел-
лиуса для угла преломления (вещественного, разумеется). В
обоих случаях уменьшение напряженности поля не связано с теп-
тепловыми потерями и сопровождается полным отражением волны.
Если v = a вещественно, то, согласно ф-ле (8.15а), для' ?-волн
Ez и E_l синфазны, а Н± имеет фазовый сдвиг на 90°. Аналогично
для Я-волн (ф-лы (8.17)] синфазны Hz и Hj_, а Ej. сдвинута от
них по фазе на я/2. Следовательно, фазы электрического и маг-
магнитного полей в запредельном волноводе различаются на 90°. Поэ-
Поэтому комплексный вектор Пойнтинга имеет только мнимую сос-
составляющую, т. е. в волноводе циркулируют лишь реактивные по-
потоки энергии.
Согласно ф-ле (9.66), коэффициент затухания, который в дан-
данном случае правильнее назвать коэффициентом ослабления ампли-
амплитуды, увеличивается при уменьшении частоты /. Если /^OjH/кр,
а практически (с погрешностью менее 1%) не зависит от частоты:
= X; a° = 8,686x = 1,820-
"ец
(9.67)
Формулы для расчета коэффициента ослабления запредельных
волноводов (при /</кР), полученные без учета потерь в волново-
волноводе, несправедливы вблизи критической частоты. Действительно,
при /=/i;P, согласно (9.66), а = 0, что физически нереально. Коэф-
Коэффициент затухания в полосе пропускания волновода (при />/кр)
рассчитывался ранее при условии, что потери не изменяют замет-
заметно структуры поля, его значения при /-*/кР стремились к бесконеч-
бесконечности. Этот противоположный предыдущему результат также фи-
физически нереален.
Сопоставляя свойства волновода на частотах выше и ниже
критической, можно утверждать, что вблизи /кр, например, при
@,99^-1,01) /кр существует переходная область частот, в которой
характер поля постепенно меняется от реактивного к бегущей вол-
волне. В этой области потери в волноводе существенно влияют на
распределение поля и на обе компоненты коэффициента распрост-
распространения Y = a + i p. Расчет параметров полей в этой узкой переход-
переходной области требует более строгих методов, чем применялись до
сих пор.
S—2 225
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАПРЕДЕЛЬНЫХ ВОЛНОВОДОВ
При /</Кр волноводы используются в качестве предельных атте-
аттенюаторов. Аттенюатор — устройство, ослабляющее на определен-
определенную величину мощность волны в линии передачи. Аттенюатч, ы
применяют для устранения нежелательных связей между отдель-
отдельными узлами и в измерительной технике. В последнем случае ча-
чаще используются переменные аттенюаторы, в которых ослабление
•можно изменять.
В предельных аттенюаторах чаще всего используется основная
волнз типа Ни круглого волновода (рис. 9.31). Отрезок длиной
Пеггли сЬш
Вход
Рис. 9.31
/ между петлями связи с коаксиальным кабелем является запре-
запредельным волноводом, его затухание представляет собой линейную
функцию длины и равно (а/). Одна из петель выполнена подвиж-
подвижной, что позволяет регулировать затухание аттенюатора.
Предельные аттенюаторы являются реактивными, так как мощ-
мощность, не прошедшая к нагрузке, отражается обратно к генератору.
Эти аттенюаторы относят к классу абсолютных, так как их затуха-
затухание может быть рассчитано по геометрическим размерам и они
не требуют градуировки. При соблюдении условия f>0,15 fKp за-
затухание такого аттенюатора практически не зависит от частоты.
Устройства типа запредельного волновода используются и в тех
случаях, когда в волноводе необходимо проделать отверстие (нап-
(например, для откачки воздуха или механического управления), не
излучающее электромагнитной энергии. При этом к отверстию
припаивается трубка малого диаметра такой длины, чтобы обеспе-
обеспечить нужное затухание.
ЗАДАЧИ
9.1. Начертить распределение полей в поперечных и продольных сечениях
для волн типа Яоз и Нгг.
9.2. Начертить картины токов в стенках волновода для волн типа #ц и
?н и указать положение излучающих и неизлучающих щелей.
9.3. Вывести формулу для коэффициента'затухания волны Нтп (т и
в прямоугольном волноводе.
Ответ:
оспР =
*ш fefap А
аьУк
(а + Ь)
'кр
/2 \ ab (т2 Ь + п* а)
/2 т2 ь% + па а2
¦]•
9.4. Вывести формулу для коэффициента затухания волны Етп в прямоу-
прямоугольном волноводе.
Ответ:
кш k цПрД т2 б2 + п2 а3
226
т2 Ь2 + п2 а2
9 5. Определить коэффициент затухания (при кш = 1,4) и предельную мощ-
мощность медного волновода размерами 58X25 мм на частоте /=3,9 ГГц прш
воздушном заполнении и нормальных атмосферных условиях.
Ответ: а° = 38,8 дБ/км; РпРед = 6,5 МВт.
9.6. Для того же волновода (см. задачу 9.5) вычислить тепловые потери иа
1 м длины при передаче средней мощности, равной 0,1 РпРед.
Ответ: Р1=580 Вт/м.
9.7. По данным задачи 9.5 найти Рпред при абсолютном давлении воздуха
в волноводе /7асс = 4 ат.
Ответ: РпРед = 104 МВт.
9.8. Выбрать размеры медного прямоугольного волновода для передач!
сигнала в полосе от 3,2 до 4,0 ГГц в одномодовом режиме. Для согласован-
согласованного волновода длиной /=100 м найти разницу времени группового пробега
(времени прохождения сигнала со скоростью и) для крайних частот рабочей по-
полосы, коэффициент затухания и шумовую температуру на средней частоте
(кш = 1,2; Г0=300 К).
Ответ: аХб = 72Х34 мм, Дт=5 не; а° = 20,4 дБ/км; Гш = 1!2 К.
9.9. Выбрать размеры прямоугольного волновода так, чтобы коэффициент
затухания волны типа Н10 на средней частоте вышеуказанного диапазона стал
примерно в четыре раза меньше, чем в предыдущем случае (см. задачу 9.8).
Определить коэффициент затухания и шумовую температуру этого волновода.
Какие типы волн могут в нем распространяться на этой частоте?
Ответ: аХ&=180Х90 мм; а°=5,2 дБ/км; Гш=33,9 К; Я40; Я3ь Я21; Е„; Е„
и все волны с меньшими индексами.
9.10. Вывести ф-лу (9.56) для аПр волн типа ?«т в круглом волноводе.
9.11. Рассчитать круглый волновод для передачи сигналов на волне типа
Нп в диапазоне / = 3,24-4,0 ГГц, коэффициент шероховатости стенок кш=*
= 1,15. Определить на крайних частотах диапазона фазовую и групповую ско-
скорости, коэффициент затухания и предельную мощность.
Примечание. В раСэчем диапазоне допускается возможность распрост-
распространения волны Eoi.
Ответ: v = 4814-384 Мм/с; « = 1874-234 Мм/с; а°= 18 44-12,9 дБ/км; РдРед =
= 13,74-17,1 МВт.
9.12. Рассчитать круглый медный волновод с волной типа Hot для дальне§
передачи сигналов на частоте 40 ГГц при кш = 1,2. Теоретический коэффициент
затухания должен быть около 2,0 дБ/км. Рассчитайте также коэффициенты
затухания волн Яог, Яц, ?Oi и ?ц на частоте 40 ГГц.
Ответ: а = 2,5 см; а°=1,97 дБ/км для волны Нщ. Для остальных волн а°=
= 6,86; 24,6; 58,0; 58,6 дБ/км.
9.13. Основная волна в закороченном волноводе размерами 35X15 мы
возбуждается на частоте \=7 ГГц штырем высотой /=15 мм с равномерным
распределением тока по длине, штырь находится в оптимальном положение
(х = а/2; 2о = Л/4). Определить RBX штыря.
Ответ: /?вх = 408 Ом.
9.14. Закороченный волновод размерами 58X25 мм возбуждается на часто-
частоте / = 3,25 ГГц штырем высотой / с «треугольным» распределением тока: /=»
= /о(/—"у/1), расположенном в оптимальном положении. Входное сопротивлеине
штыря Двх должно |быть согласовано с характеристическим сопротивлением коак-
коаксиального кабеля Zc=75 Ом (RBX = ZC). Выбрать высоту штыря в волноводе
и определить /о для получения волны типа Н10 мощностью 1 Вт.
Ответ: /=19,8 мм; /0 = 0,115 А.
9.15. Волна типа Я10 в закороченном волноводе 25x12 мм возбуждается
на частоте f=il0 ГГц петлей площадью S=10 мм2 с током /Ci = l А. Петлм
находится в точке М (хо = а/2; г0) на нижней широкой стенке волновода. Вы-
8* 227
брать ориентацию петли и ее ратстояние Zo до кароткозамыкателя, соответ-
соответствующие максимуму мощности возбуждения, определить Ртах и RBX-
Решение. Петля представляет собой элементарный магнитный излуча-
излучатель с моментом магнитного тока [ф-ла G.23)] /"т/= i ko Zb0ICtSb = i 0,79 Вм.
Согласно (9.24), при хо=а/2 не равна нулю только магнитная составляющая
Нх. При коротком замыкании (Г =—1) в плоскости z=0 суммарное поле
пробной волиы //^BI = i 2(P/|)ff2sin gxcos p z достигает максимума при zo = O,
Л/2 и т. д. Выберем г»=А/2= 1,875 см. Нормаль к рамке должна совпадать
с направлением магнитного поля, т. е. с ортом ех. В данном случае действует
лишь магнитный сторонний ток; учитывая малость размеров рамки, получаем
вз ф-лы (9.59) нормированную амплитуду возбуждаемой волны 0=— Н"Х
н
о
так как sin
°=1 и cos P Zo=1-
Теперь определим мощность возбуждаемой волны, учитывая соотношение
(9.29) дли WJ: P=\U\*P«=2 V~K( /"t 02/(Z" об) =8,8 Вт и входное сопротив-
сопротивление /?»х=8,8 Ом.
9.16. Определить коэффициент затухания медного круглого волновода диа-
диаметром 4 см на волне Нп при частотах //fKP = 0,l; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9; 0,95; 0,99;
0,999; 1,001; 1,01; 1,05; 1,1; 1,5 и 1,9. Коэффициент шероховатости стенок кш =
= 1,2. Построить частотную характеристику коэффициента затухания.
Ответ: а°=794; 760; 691; 570; 346; 249; 112; 36; 0,0754; 0 0299; 0,0108-
8,0075; 0,0054; 0,0027; дБ/м.
9.17. Рассчитать предельный аттенюатор иа волне типа Нц в круглом вол-
волноводе, работающей в диапазоне частот от 1 до 1000 МГц с затуханием от
30 до 200 дБ. Аттенюатор заполнен воздухом.
Решение. Примем /»p=il0 /moi=llO ГГц; следовательно, по табл. 9.4 радиус
¦оводе, работающий в диапазоне частот от 1 до 1000 МГц с затуханием от
а"=11,820-Ю-7-10-109=1820 дБ/м=И8,2 дБ/см.
Отсюда
!„(„ = 30/18,2= 1,65 см; lmax = 200/18,2 = 11 см.
Глава 10.
ЛИНИИ С ТЕМ-ВОЛНАМИ
10.1. Теория идеальной линии
ВИДЫ ЛИНИЙ
Натравляющие системы, в 'котсхрык могут распространяться ТЕМ-
вол'.ны обыч'но называют линиями. Согласно изложенному в 8.4,
они должны состоять из двух или 'нескольких проводников, прост-
пространство 'между которыми заполнено однородным диэлектриком.
Волна ТЕМ 1в них является основной и единственной практически
используемой. Размеры линий выбирают обычно такими, чтобы в
них не возникали волны высших порядков типа Е и Н. Широко
известны коаксиальная, юиммегррчиые щнухгараводная и четырех-
проводнаи, а также неласковая линии, по которым рашространя-
ютая волны от весьма низ'ких частот до ювч диапазона и даже пос-
постоянный ток.
НАПРЯЖЕНИЕ И ТОК В ЛИНИИ
¦Рассмотрим поле ТЕМ-волны произвольной двухпроводной ли-
линии (,рис. ЮЛ). По определению оно содержит только поперечные
составляющие Ё=ЁХ, Н = НХ и подчиняется в поперечной плос-
плоскости уравнениям Лапла-
Лапласа (8.11), откуда следует,
что в этой плоскости элек-
электрическое и магнитное но-
ноля потенциальны. Поэто-
Поэтому можно ввести инте-
интегральные величины: на-
напряжение между прово
дами, определив его по
аналогии с E.5), и ток в
проводе, в соответствии с
обобщенным законом Ам-
Ампера [ур-ние B.4)]:
Рис. 10.1
j фН-й1 (ЮЛ)
i с
Оба пути интегрирования L\i и С лежат в поперечной шнгако-
сти Sx . Вел1ИЧ1ина 0л не зависит от пути интегрирования, так 1как
229
поле Е± в пределах Sj. (потенциально. Контурный интеграл также
не меняется ЩШ любых 'изменениях контура С, шока он охватывает
толыко второй щровод, так как Dz=0. Считаем токи в проводах
равными ло величине и противоположными по знаку: /л = ^л2 = —Лш,
что является необходимым условием для локализации поля в се-
сечении ограниченных размеров. Тогда равна нулю циркуляция век-
вектора Н ло любому контуру, охватывающему оба проводника; «се
линий электрического пол-я, начинающиеся на одном проводнике,
кончаются на другом, та;к как равны по величине и противополож-
противоположны по знаку создающие ток суммарные поверхностные заряды на
проводниках.
ТЕЛЕГРАФНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК
МАКСВЕЛЛА
СЛЕДСТВИЕ УРАВНЕНИИ
Уравнения для напряжения и тока в линии найдем как следствие
уравнений Максвелла C.14) для ее электромагнитного поля (при
/ст = 0): rot Е = —io) В; rotH = io)D.
Поле волны ТЕМ имеет только поперечные составляющие, по-
поэтому определим проекцию ротора иа Sj_: (rot A±)x= (VXA х)х=
= (V _lXAj_)j_ + (ezxd\j_/dz)j_ = ezXdA±/dz; оператор Гамильтона
представлен здесь в виде V = V_l +ezd/dz. Следовательно, уравне-
уравнения Макювелла для поля волны ТЕМ (принимают вид:
ег Х^Д = —icoB; е2 X-^ = itoD. A0.2)
г dz dz
Продифференцируем обе части равенств (ЮЛ) и подставим в
них ф-лы (Ю.2), предварительно заменив d\ = \dl= (ezXn)d/, где
п — нормаль к юр'ивой Ll2 или С, лежащая в плоскости S х. Тогда
2 2 2
Ж* = _ Г дЕ dl = _ .- / зе
dz J dzK г )[ dz
1 1 1
= Ф -i^X e, nd/ = —iwCDD-nd/
A0.3)
Интеграл от магнитной индукции В по кривой L\i представляет
магнитный поток Ф\ в пространстве между двумя проводниками,
отнесенный к единице длины линии. iB соответствии с ф-лой F.32)
этот магнитный поток можно записать через собственную индук-
индуктивность единицы длины линии Ь1 = Ф^1Я. Тогда из первого равен-
равенства A0.3) получаем dUn/dz=—i(x,^i = —i(oLJn- Заметим, что
Li соответствует внешней индуктивности, определенной для случая
стационарных токов в линии, так как магнитный поток 'внутри про-
проводников в идеальной линии отсутствует.
320
Интеграл от электрического смещения D по контуру С пред-
представляет собой поток электрического смещения, отнесенный к еди-
единице длины линии, который по теореме Гаусса [уравнение B.1)]
равен линейной плотности заряда т. Формулы электростатики
E.12), E.17) связывают т с напряжением 0л через емкость еди-
единицы длины линии Ci = x/Oa. Второе равенство (Ю.З) приводит к
уравнению dljdz = —-шт =—iw CiUy Следовательно, уравнения
Максвелла для линии с волной ТЕМ сводятся к известным из тео-
теории цепей телеграфным уравнениям:
йиЛ ¦ г ¦ dl'n
dz 1л» ^2 ш \ и л. \ , )
Отсюда следует, что методы теории цепей дают правильные ре-
результаты для линии без потерь и с пренебрежимо малыми поте-
потерями.
ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ВОЛНЫ В ЛИНИИ
От ур-ний A0.4) легко перейти к одномерному волновому урав-
уравнению:
= — i со U -jz = — со2
dz
Обозначив Yo=—w2LiCb получим волновое уравнение:
d2Ua/dz2—Yo^=O, совершенно аналогичное ур-нию C.22) для на-
пряженностей полей. Отсюда найдем решение для прямой волны
в линии: Uл — ил0еГу'г .
Коэффициент распространения волны yo одинаков, записывает-
записывается ли уравнение для векторов Е, Н, напряжения 0л или тока /л.
В 8.4 было установлено, что коэффициент распространения в ли-
линии с волной ТЕМ равен коэффициенту распространения в диэлек-
диэлектрической среде. Поэтому при отсутствии потерь
~ =icoye^ = i?. A0.5)
= К = i Кр = i СО V
Отсюда определяется фазовая скорость .волаы ТЕМ ? |илеа.!
ной линии:
1 1 1
= v
равная скорости ра'спространения плоской единородной волны в
безграничном диэлектрике с теми же параметрами; здесь ZB =
=l/A(J-a/eo — волновое сопротивление среды. Так как фазовая ско-
скорость не зависит от частоты, линия для волны ТЕМ недисперсна и
групповая скорость равна фазовой: u = v. Из фл A0.5) и A0.6)
вытекает соотношение для распределенных параметров линии:
231
СВЯЗЬ МЕЖДУ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПОВЕРХНОСТНЫХ
ЗАРЯДОВ И ТОКОВ
Электрическое поле у поверхности проводника Еп = аэ/ва нормаль-
нормально. Магнитное поле волны ТЕМ в линии, .согласно ф-ле (8.126),
перпендикулярно электрическому и связано с ним 'соотношением:
E=ZBH.
Вектор Н касателен ik поверхности 'идеального проводника и в
соответствии с ф-лой 'B.27) (равен по величине плотности поверх-
поверхностного электрического тока: Нх =/. Так как Нт ^находится в плос-
плоскости S± ;и Нт _!_j, вектор плотности поверхностного тока направ-
направлен вдоль линии, а его величина
in
T-e-j =
A0.7)
Интегрируя ф-лу A0.7) по замкнутому контуру С щ плоокости
Sx, проходящему по 'поверхности проводника, получаем
A0.8)
е
Отношение (напряжения к току (бегущей волны в линии равно
ее характеристическому ^сопротивлению. Из ф-л A0.8) и A0.6)
/j
1
Civ.
A0.9)
Формула A0.9) удобна для расчета характеристического сопро-
сопротивления линии по электростатической емкости между проводни-
проводниками на единицу ее длины.
В дальнейшем будем четко различать наименования двух ха-
характеристик бегущей волны: волновое сопротивление ZB (отноше-
(отношение поперечных составляющих полей Ех и Н±) и характеристиче-
характеристическое сопротивление Zc (отношение напряжения к току). Часто в
литературе эти равные величины .называют одинаково волновым
сопротивлением.
10.2. Линии с потерями
СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ
Потери в диэлектрике и проводниках линии учитываются в квази-
квазистационарной теории введением в телеграфные ур-ния A0.4) ком-
комплексных сопротивлений и проводимостей:
и yi=
232
вместо реактивных iw L\ и iw C\. Тогда по аналогии >с ф-лами AU.4),
A0,5), A0.6), A0.9):
dz
dz
л;2 ТТ —
Y =
x', Zc
A0.10)
•Чтобы выделить вещественную и мнимую части из 'комплекс-
'комплексных выражений для у и Zc, воспользуемся формулой бинома Нью-
Ньютона с 'учетам относительной малости активных составляющих со-
сопротивления и проводимости: .R\^.<aL\, Gi-Сш С\ в любой линии
с приемлемыми для практики параметрами. Тогда коэффициент
р аапростр а н ен ия
coc
2coLt
2e>Cx
X
8
A0.11)
откуда определяем коэффициенты затухания и фазы:
, kRx Rx kGx 1 п ,
(«пР-«д)а
2k
где Yo=i^ и Zc0 определены для линии без потерь соотношениями
A0.5) и A0.9).
Фазовая скорость волны
ft\ Г*
A0.12)
а характеристичеако>е .сопротивление линии
тг
[ 2 \co i-! со Cj/J \
Очевидно, что в линиях с малыми потерями
от иЕ|11и Zc от Zc0 весыма незначительно.
«nP — «Д
"
отличие v
ПОТЕРИ В ДИЭЛЕКТРИКЕ
Величина емкости С\ рассчитывается для каждой конкретной ли-
линии методами электростатики. Активная составляющая G{ появ-
появляется за (счет проводимости и диэлек-причеоких потерь в среде.
Обе эти причины учтены в выражениях C.8) для комплексной ди-
233
электрической проницаемости: ео = еа—i(eatg б + а/ш). Поэтому
комплексную проводимость У, можно получить, если в выражении
для проводимости идеальной среды заменить ео = еа на ео, Следо-
Следовательно,
icoC! ~ ia>C, ~~~ ^ ' ^с[~ g wi7 '
Отсюда активная составляющая проводимости определяется как
G1 = (cotg+ б— )CV A0.14)
\ ео /
Второе слагаемое, справедливое .и для постоянных токов, мож-
можно получить непосредственно по ф-ле E.25), выражающей электро-
электростатическую аналогию поля токов.
Из выражения A0.14) с помощью ф-лы A0.11) находим состав-
составляющую коэффициента затухания, определяемую потерями в ди-
диэлектрике:
1,0, 1 , Л .. . la \ A0.15)
2 со d 2
Полученное равенство 'Справедливо для любого типа линий.
Как указывалось в 3.2, для любых технических диэлектриков, на-
начиная с частоты ./=50 Гц, можно пренебречь вторым слагаемым в
круглых скобках по сравнению с первым. Тогда это равенство пол-
полностью .совпадает с полученным ранее соотношением (8.43), где
проводимость диэлектрика не учитывалась. Величина ад растет
пропорционально частоте, так как k = a \^Еа\1а-
ПОТЕРИ В ПРОВОДНИКАХ
Активное сопротивление, приходящееся на единицу длины линии,
складывается из сопротивления обоих ее проводников: R\ = R[l) +
+ R\2). В каждом из них оно определяется как активная часть от-
отношения Ег на поверхности проводника, т. е. падения напряжения
на единицу его длины, к току в
проводнике. Зависимость R{ от
частоты для характерного случая
круглого проводника (см. рис.
6.10) рассмотрена в 6.6: Rt прак-
практически постоянно, пока радиус
провода меньше толщины скин-
слоя (а<А) и /?i~l/A~>// при
а>2А.
При проникновении поля в не-
неидеальный проводник в послед-
последнем возникает дополнительное
реактивное сопротивление, соот-
соответствующее его внутренней ин-
<0,5А
<0,5А
Рис. 10.2
234
дуктивности. На низких частотах магнитный поток внутри провод-
проводника сравнительно велик и добавление L|BH к рассчитанному выше
значению внешней индуктивности L\ может внести существенную
поправку.
Согласно ф-лам iA0.11), составляющая коэффициента затуха-
затухания апр, обусловленная несовершенной проводимостью меняется
с частотой так же, как и R\.
Зависимость коэффициента затухания и его составляющих от
частоты показана на рис. 10.2 (ориентировочные значения частот
даны для коаксиальной линии).
ДИСПЕРСИЯ В ЛИНИИ С ПОТЕРЯМИ
Фазовая скорость волны в линии с потерями [ф-ла A0.12)] зависит
от частоты, так как аПр, ад и k меняются с частотой. Это не про-
противоречит высказанному в 8.4 утверждению, что волны ТЕМ не
диспергируют, так как ib линии с потерями появляется составляю-
составляющая Ez и, строго говоря, волну уже нельзя считать поперечной. По-
Поскольку Ег<к.Е х> дисперсия волны невелика.
Рассмотрим ф-лу A0.12), учитывая зависимости от частоты:
fc~f; «д~7; апр постоянно на низких частотах, а на более высоких
anp~ VT- Следовательно, на низких частотах апр^>ад и второе сла-
слагаемое в знаменателе этой формулы a^pl2k2^f-2-i-f~l. Фазовая
скорость и<иЕ и растет с частотой. Потери в проводниках линии
вызывают аномальную дисперсию волны. Определим фазовую ско-
скорость ib линии с коэффициентом затухания a»anp=0,l 1/ikm; a°=
= 0,87 дБ/мм и (воздушным диэлектриком (уец=с) «а частоте f =
= 100 кГц. Итак, апр=Ю-4 1/,м; &=2,Ы0-3 1/м. Тогда » =
= сA — 1,Ы0-3), т. е. различие скоростей составляет всего 0,11%.
Коэффициент затухания в диэлектрике ад растет с частотой
быстрее, чем апр. Поэтому на некоторой частоте [нп (в диапазоне
мегагерц или гигагерц при заполнении линии диэлектриком) дос-
достигается равенство апр = ад, т. е. ^I/GI=Z^0 =L|/Cb Это соотноше-
соотношение называют условием неискаженной передачи, так как в данном
случае, «гласно ф-ле A0.12), v = ve[l\ dv/d(a=0 и, 'Следовательно,
групповая скорость u = veI=\const. Линия недисперсна.
В щрошлом, когда 'сообщения по линиям связи передавались на
дальние расстояния на звуковых частотам, особое значение прида-
придавали выполнению условия R\jG\ = L\IC\, для чего приходилось ис-
искусственно увеличивать индуктивность L\ линии. Однако при этом
увеличивался коэффициент р и снижалась юкорость распростране-
распространения волны. Современные 'магнитодиэлектрики позволяют решать
эту задачу более успешно, хотя практическая необходимость в этом
почти отпала.
На высоких частотах ад>аПр, наблюдается нормальная диспер-
дисперсия и знаменатель ф-лы A0.12) с ростом частоты стремится к
(l+tg25/8). Из-за (большой 1величины k изменение скорости v с
235
ростам частоты настолько ««велико, что практически линия недис-
недисперсна, фазовая и групповая скорости равны: v = u=veil. Характе-
Характеристическое сопротивление Zc высокочастотных лилий {ф-ла A0.13)]
также (практически равно Zc0, определейному в отсутствие потерь.
Дисперсию юолны и (комплексный характер характеристическо-
характеристического сопротивления линии обычно учитывают только «а низких ча-
частотах. Цри f^lO кГц погрешность ори использовании ф-л A0.6)
и A0.9) «место A0.12) и A0.13) не превышает долей процентов.
10.3. Коаксиальные линии
СТРУКТУРА ТЕМ-ВОЛНЫ В ЛИНИИ
Поле коаксиальной линии (рис. 10.3) экранировано от внешней
среды наружным проводником. Достоииством такой линии то .срав-
.сравнению с полым волноводом является возможность передачи по 'ней
сигналов низких частот при небольших
поперечных размерах.
Внутренний проводник необходим
для существования в линии волны
ТЕМ. Однако он же ограничивает воз-
возможности этой линии. Плотность то-
тока внутреннего проводника, обратно
пропорциональная его периметру, зна-
значительно больше, чем в наружном, по-
поэтому он является основным источни-
источником потерь. Пробой также возникает
около внутреннего проводника, так
рис. ю.з как напряженность поля здесь макси-
максимальна. Устройства для крепления
внутреннего проводника увеличивают затухание линии и создают
а ней отражения.
ТЕМ
Рис. 10.4
Поле основной волны ТЕМ в диэлектрике коаксиальной линии
определяется решением, (справедливым ib (равной степени для ста-
стационарного и 'переменного полей (.рис. 10.4а). В соответствии с
ф-лами A.7), E.15), A0.8), A0.9) и (8.12) имеем:
236
Ц _ /л . F — lnZB _
Jim 7k > '-г -—-
2я г 2яг Zc
A0.16)
Ток в проводниках имеет только продольную составляющую
jz = H<f\s, поэтому узкая продольная щель ibo «внешнем проводнике
линии практически не излучает.
УСЛОВИЕ ОДНОМОДОВОЙ ПЕРЕДАЧИ
Основной в коаксиальной линии является ТЕМнволиа. Если ра-
радиус b ободочки коаксиальной линии сравним с А,, то в линии мо-
могут распространяться также «1волноводные» волны, т. е. волны
круглого волновода, неаколько деформированные внутренним про-
проводником. Этот проводник увеличивает критические частоты волн
по сравнению с полым воли оводом того же радиуса.
Низшей по частоте волной о круглом волноводе является вол-
на типа Яц, у которой ЯКр=3,41а. Аналогичная волда ъ коакси-
коаксиальной линии , ((рис. 10.46) также имеет лаинизнгую частоту из
всех волн высшего порядка, но ее поле 'сложнее и описывается
суперпозицией функций Бесселя Jn{yf) и Вебера Уп(хО- Критиче-
Критическая длина волны типа Яи в коаксиальной линии с приемлемой
точностью вычисляется по приближенной формуле:
кр
A0.17)
которую можно Обосновать (следующим образом. Структура поля,
как функция полярного угла <р, имеет один период иамешения и
почти .неизменна по г. При (критических '.условиях окружности со
средним радиусом 0,5 (а+Ь) должна .соот1ветство.аать одна стоя-
стоячая -волна, поэтому периметр эгой окружности равен А,кр.
Условие одномодовой передачи !<.Щ1 устанавливает 'верхнюю
частотную пра:нищу использования коаксиальной линии, так как
при одновременном распространении волн типа ТЕМ и Нп сигна-
сигналы искажаются.
Среди волн типа Е минимальной частотой обладает волна E^v
(рис. 10.4е) с ?.Кр«'2(Ь—а); в этом .случае поле неизменно по по-
полярному (углу и стоячая полуволна образуется между проводни-
проводниками на отрезке (радиуса (Ь—а). Для обычных соотношений (раз-
(размеров линий 'критическая частота волны типа ?oi примерно в два-
три раза превышает критическую частоту толны Яц.
ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ КОАКСИАЛЬНОЙ ЛИНИИ
Фазовая скорость вол н ы. Коаксиальные линии использу-
используются обычно на частотах, свыше 60-нЮО кГц, когда 'влиянием «по-
«потерь .на фазовый коэффициент и 'характерист.ичеакое сопротивле-
сопротивление вполне можно пренебречь. Поэтому фазовая скорость волны
зависит только от проницаемости диэлектрика, заполняющего шро-
237
странотво между проводниками; 'согласно ф-лам A0.6) и A0.12)
Характеристическое сопротивление легче всего
определить через статическую емкость единицы длины линии, вы-
вычисленную в 5.3. Согласно ф-ле E.17), Ci = 2nea/\n(b/a). Следова-
Следовательно, из ф-лы A0.9) имеем:
е
A0.18)
Коэффициент затухания. Составляющая ад опреде-
определяется ф-лой A0.15). Потери в 'металле зависят о,т (соотношения
между радиусом проводников и толщиной скин-слоя. На частоте
1 МГц для диаметра внутреннего проводника 2а^0,8 мм и тол-
толщины наружного проводника d = bi—Ь>0,14 мм уже соблюдаются
условия (применимости приближенных формул для сильного скин-
эффекта (а>6Д; d>2A). Тогда при расчете активного сопротивле-
сопротивления 'единицы длины 'внутреннего и внешнего проводников предпо-
предполагается, что их эквивалентный проводящий слой имеет толщину
А [Ом. ф-лы F.26), |F.30), F.46), F.47)]:
= Ща) + R[b) = г1- (
1 1 2я \
A0.19)
Объединяя ф-лы A0.19) и A0.11), получаем выражение для аПр,
справедливое на высоких частотах:
<*пр =
1
4я Zc \ оаЛа a
A0.20)
Исследование ф-лы A0.20) «а минимум с 'учетом A0.18) по-
показывает, что гари заданном Ь затухание минимально при некото-
рам оптимальном соотношении размеров b/а. Для проводов из од-
одного материала (&/а)Ор<=3,6. Если проводимость внешнего провод-
проводника меньше, 'Чем .внутреннего, .оптимум сдвигается в сторону
больших значений (b/а). Например, при сплошной медной жиле
и алюминиевой оболочке (bla)opt=3,8; для оплетки из медной про-
проволоки (bja)opt = 5,6.
При расчете коэффициента затухания линии на .низких частотах,
когда скин-эффект выражен слабо, сопротивление внутреннего про-
провода Ria рассчитывается по строгим формулам или графикам, по-
полученным в 6.6.
Сопротивление внешнего проводника (мри малой его толщине d
по сравнению с радиусом Ь) рассчитывается по ф-ле F.47), при-
причем в зависимости от отношения d к Л для Zs=Rs+iXs исполь-
используется ф-ла F.44) или F.45). <В частности, три d<0,$A ' #k,=
= \/Bnabdb), что совпадает с сопротивлением внешнего проводни-
проводника постоянному току.
238
КОНСТРУКЦИЯ КОАКСИАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
Конструкции коаксиальных кабелей чрезвычайно многообразны и
зависят от их назначения и диапазона рабочих частот. Поэтому
удобнее рассмотреть варианты конструкции каждого элемента в
отдельности.
Внутренний проводник выполняют из медного прово-
провода. В высококачественных кабелях поверхность проводов серебрят.
В гибких конструкциях применяется стренка — провод из 7, 19,
37, 49, 361 скрученных между 'собой проволочек (рис. 10.5а); в ра-
"'' у Корд ель 5) В) г)
Рис. 10.5
счетах используется эквивалентный ралиус аэ сплошного внутрен-
внутреннего проводника с той же площадью сечения, что и вое провода
сгрекки [13].
Внешний проводник в магистральных линиях связи изготов-
изготовляют из медной ленты с продольным зигзагообразным швом «мол-
«молния» (полужесткая 'конструкция). В гибких радиочастотных кабе-
лях чаще всего используются оплетки из медных, луженых и по-
посеребренных проволок, сопротивление оплетки принимают в кОпл =
= 1,5+0,176 [мм] раз больше, чем у сплошного медного экрана то-
того же радиуса [13]. Применяют также спиральный повив из плос-
плоских медных ленточных проводников.
Изоляция гибких радиочастотных 'кабелей выполняется из
сплошного полиэтилена, резины или вплотную навитых лент фто-
ропласта-4. Для уменьшения ад применяют полувоздушную изоля-
изоляцию: трубку и спирально навитый кордель (цилиндрический гибкий
стержень) из полиэтилена (рис. 10.5а), оплетку из нитей и лент
фторопласта-4, полиэтилено-
Дизлектрцческая , .
шайВа(б) Тша пР°доя-
вую трубку с выступами
(рис. 10.56), пористый поли-
полиэтилен и колпачки из поли-
полистирола (рис. 10.5е). В этих
конструкциях эквивалентное
значение еэ меньше, чем е
диэлектрика, и зависит от
конфигурации изоляции.
Еще меньшее содержа-
содержание диэлектрика у кабелей
Воздух
Рис. 10.6
239
с шайбовой изоляцией из фторопласта или полиэтилена (рис. 10.6),
так как расстояние между шайбами намного больше их толщины.
Мощные радиочастотные фидеры часто изготавливают из массив-
массивных медных труб. Их собирают из отдельных секций. Крепление
внутреннего проводника осуществляется диаметрально расположен-
расположенными фторопластовыми стержнями (рис. 10.5г), которые вносят
в линию лишь незначительную нерегулярность.
На ip уж мая оболочка кабеля изготавливается из поли-
полиэтилена, 11юди.хлор.вин,илового пластиката, резины; к ним добав-
добавляют "красители (пигментируют), чтобы предохранить от разру-
разрушающего влияния ювета. Применяют также оплетку из хлопчато-
хлопчатобумажной пряжи и из стекловолокна с покрытием кремниеоргани-
ческим лаком.
РАСЧЕТ КАБЕЛЕЙ С КОМБИНИРОВАННОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ
Шайбояая изоляция (рис. 10.6). К данному случаю .приме-
.применимы соотношения, полученные для плоскопараллельной диэлек-
диэлектрической пластины. Коэффициент отражения раосчитывается то
ф-ле F.39). iB данном случае Zx=Zz\ Zi/Z2 = V~e. Считаем толщи-
толщину шайбы малой: Й2^<С1, тогда
Величина Г очень 1мала (порядка d/к) и растет пропорциональ-
«о частоте. Так 'как допустимо лишь определенное отражение от
каждой шайбы, кабель удовлетворяет этим требованиям лишь до
некоторой частоты. Пусть, например, |-Г|Доп^0,1 %, d = 3 мм и
8=2,1. Тогда из ф-лы A0.21) следует, что Amm~10 м, т. е. fmax =
=30 МГц.
Для ониженяя коэффициента отражения на более высоких ча-
частотах инайбы "устанавливают прутами, чтобы достичь взаимной
кампвнеавди отражения от отделыных шайб. Так, группа из двух
шайб практически вде отражает при /л; а/4, поскольку две отражен-
отраженные волны складываются в итротивофазе. Однако мри уосоде от рас-
расчетной частоты 1фк/4, отраженные волны не противофа:эны и ком-
компенсируются «е полностью. Поэтому описанный способ применим
лишь *в опраннченном частотном интервале.
Для расчета скорости распространения и диэлектрических потерь в кабеле
с шайбовой изоляцией удобно ввести величины еэ и tgO3, характеризующие экви-
эквивалентный сплошной диэлектрик. Найдем изменение фазы волны на длине периода
расстановки шайб /. Сдвиг фазы в шайбе определяется фазой коэффициента про-
прохождения Т [ф-ла F.38)] при Zi=Z3, Zi/Z2=Ve. н M
2Z2Z,
240
Сдвиг же фазы в воздухе на расстоянии G—d) равен ko(l—d). Суммарный
сдвиг фазы приравняем сдвигу фазы эквивалентного_диэлектрика: k0V еэ/=
= (e + l)k0d/2+k0(l—d) = kol+(e—1ND/2. Отсюда V еэ=1 + (е— l)d/2l. Так
как d/l<^l, то
d «-«> + •*. A0.22)
Эквивалентная диэлектрическая проницаемость равна усредненной по длине
проницаемости шайбовой изоляции. Если в этом выражении перейти к комплек-
комплексным лроницаемостям е=еA—i tg6) и пренебречь потерями в воздухе, то из
равенства мнимых частей получим уравнение для эк-
эквивалентного тангенса угла потерь:
еэ tg бэ = — е tg 6.
A0.23)
Многослойная изоляция (ipmc. Ш.7).
Диэлектрическая проницаемость еэ оцредеяяеНся ра-
венатвом .емкостей эививалеятного однослойного кон-
конденсатора и многослойного коаксиального конденса-
конденсатора [который можно представить как последова-
последовательное соединение слоев согласно ф-ле E.17)]:
1
Ф(а)-ф(Ь)
х
In F/д)
2 л еэ 80
е0
Рас 10.7
а е2
1 Ь \
-—Ш— ,
е3 а2 /
откуда
1
—
еэ
1п = ¦
!п
Перейдем к комплексным проницаемостям em->-em = em(l—tgSm).
малости tgfi по сравнению с единицей справедливо соотношение
i t 6) 1 i tS Т й
A0.24)
Ввиду
1/A—
g р р /(
—i tg 6m) = 1 +i tgSm. Тогда равенство мнимых частей приводит к формуле
для расчета эквивалентного тангенса угла потерь:
— In—•tgds = —In—•tg61 + —In—-
e» a e, a e^ at
— In— tg63. A0.25)
e3 o2
Вычисленные по ф-лам A0.22)—A0.25) значения еэ и tg бэ позволяют опре-
определить скорость волны, характеристическое сопротивление н диэлектрические
потери в кабелях с комбинированной изоляцией.
МОЩНОСТЬ ВОЛНЫ В КАБЕЛЕ
Предельная мощность m коакюиальном кабеле определяет-
определяется возможностью пробоя. Уязвимым местом >являетоя граница с
внутренним гароводникои, где напряженность поля Е достигает
м а'ксимума.
Для вычисления предельной мощности используем методику,
изложенную в 9.3. Соотношение iA0.16) определяет максимальную
241
напряженность поля (при г —а): \Етах\ = ]^2\InZB\/Bna). Следо-
Следовательно, предельная мощность при Етах=?прОб:
пред
= |/л
F
^1пА.
ZB a
A0.26)
Найдем, гари каком отношении (b/а) эта мощность максималь-
максимальна, если b = const. Исследуя ф-лу A0.26) на максимум в зависи-
зависимости от а, получаем 1п(Ь/а)=0,5, или Ь/а = ]/~е= 1,65.
Еще один оптимум в соотношении размеров кабеля определяет-
определяется на максимум (напряжения, которое соответствует пробою в ка-
кабеле:
= >%Рпред = JYa]n V
При b = const оптимальное соотношение Ь/а = е = 2,72.
В кабелях с воздушной и лолувоздушной изоляцией пробой воз-
возникает в воздухе (?Проб~3 МВ/м). Наиболее опасна в этом смыс-
смысле граница с диэлектрической шайбой, где напряженность поля вы-
выше. Так как напряжение иЛ в любом сечении кабеля одинаково,
то распределение Ег в шайбе такое же, как в воздухе. При не-
неплотной посадке шайбы на внутренний проводник в образовавшем-
образовавшемся воздушном зазоре по граничным условиям B.22) напряженность
поля в е раз больше, чем гори г = а в .воздухе. Даже при отсутствии
зазора почти такое же поле будет в точке на границе трех сред:
диэлектрика, металла и воздуха (точка пробоя на рис. 10.6).
При использовании кабелей со 'сплошной изоляцией в отсут-
отсутствие таких зазоров значение ?Проб выбирают для соответствующе-
соответствующего диэлектрика.
Номинальная мощность кабеля определяется .в режи-
режиме бегущей волны по допустимой температуре нагрева изоляции.
Для определения РНОм рассчитывают тепловые потери, исходя из
следующих соображений. Тепловые потери возникают в провод-
проводниках и изоляции кабеля. Тепловой поток, благодаря теплопровод-
теплопроводности коаксиального диэлектрического промежутка, внешнего про-
проводника и оболочки кабеля, достигает его поверхности .и затем
рассеивается в окружающем пространстве конвекционными пото-
потоками воздуха и теплоизлучением. Температура изоляции мамои-
мальна на границе с внутренним проводником.
Очевидно, что мощность РНОм обратно пропорциональна коэф-
коэффициенту затухания, причем основную роль играет его составляю-
составляющая, обусловленная потерями ibo внутреннем проводнике.
Допустимая мощность определяется как меньшая из
двух значений: ;по пробою и напреву. Первая, согласно ф-яе (9.33),
выражается как Pj^ = РпредКбв/кн, где кн~2 — коэффициент, учи-
учитывающий действие нерегулярностей.
При неполном согласовании в кабеле возникают стоячие волны
и его напрев по длине ¦становится неравномерным с 'максимумом
в пучности тока. Поэтому номинальную мощность следует прирав-
242
нять квадрату нормированного тока в тучности imax. Тогда, сог-
согласно ф-ле (9,32), имеем
= КоЛ«.. (Ю.28)
На частотах свыше 100-нЗОО МГц распределение температур по
кабелю выравнивается благодаря теплопроводности проводников,
так как при этом расстояние между пучностями тока относительно
мало. Кроме того, в данном диапазоне заметную роль играют по-
потери в диэлектрике, которые максимальны в пучности напряжения.
Поэтому на высоких частотах можно приравнять номинальную
мощность суммарной мощности падающей и отраженной волн (см.
8.49):
\
Тогда с учетом ф-лы (8.60) допустимая 'мощность, поступающая в
нагрузку,
1+|Г|»
¦* ипм
2кбв
(Ю.29)
При передаче импульсных 'Сигналов средняя мощность нагрева
невелика по сравнению с пиковой мощностью и допустимая мощ-
мощность, как правило, определяется пробоем.
ВЫБОР ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Полученные (выше соотношения оптимальности для (b/а) опреде-
определяют однозначно (Соответствующие величины Zc по ф-ле A0.18);
при |я='1 получаем:
(b/a)opt Zcopt, Ом
минимум затухания 3,6-н5,6 G7—103)/У^е
максимум напряжения пробоя 2,72 60/ Уъ
максимум предельной мощности . 1,65 30/ Ye
Заметим, что все эти оптимумы некритичны и отклонение Zc иа
±B0% от указанных здесь значений приводит к 'увеличению а все-
всего на 2°/о, уменьшению ?Лц>об 1На '5% или Рпред иа 10%.
Кабели с Zc = 75. Ом обычно оптимальны по затуханию, напри-
например, кабель с медной трубкой и шайбовой изоляцией A^еэ=1,03;
Zcopt = 75 Ом); кабель с медной оплеткой и сплошной изоляцией
из полиэтилена или фторопласта (]/"е=1,54-т-1,45; ZCoj»t=67—
—71 Ом). Кабели с шайбовой и полувоздушной изоляцией опти-
оптимальны по напряжению при Zc»50 Ом.
Часто при выборе коаксиальных линий на большие мощности
(например, для телевизионных передатчиков) определяющими все
же являются требования к коэффициенту затухания. Поэтому по-
243
давляющая часть отечественной аппаратуры и коаксиальных ка-
кабелей выпускается с (номинальным характер истичеаюим (волно-
(волновым) (сопротивлением 75 Ом, Второй стандартной величиной яв-
является Zc=60 Ом —• 'компромисс между всеми оптимумамм. Кабе-
Кабели с меньшими значениями характеристического сопротивления се-
серийно не выпускаются, что не 'исключает возможности .использо-
.использования коаксиальных линий, оптимальных по мощности, в тех слу-
случаях, когда это целесообразно.
ПРИМЕНЕНИЕ КОАКСИАЛЬНЫХ КАБЕЛЕЙ
Диапазон использования коаксиальных линий начинается с нуле-
нулевых частот. Верхний предел опривичен возрастающими с частотой
тепловыми потерями и отражениями от диэлектрических шайб;
должно выполняться также условие одномодового режима.
Гибкие кабели небольшой длины применяют в приемной и из-
измерительной аппаратуре для соединения отдельных блоков и инут-
риблочных 'соединений до частот порядка 10 ГГц. Антенные фи-
фидеры жесткой и полужесткой конструкции 1на значительные мощ-
мощности длиной до нескольких сотен метров используются в диапа-
диапазоне до сотен мегагерц.
На магистральных линиях связи для передачи телевидения и
многоканальной телефонии в диапазоне '60 кГц—10 МГц приме-
применяют коаксиальные кабели полужесткой конструкции с коэффи-
коэффициентом затухания 8н-17 дБ/kim 1на частоте ЮтМГц. Часто конст-
конструктивно объединяют несколько коаксиальных линий. Эти кабели
экранируют дополнительно стальными либо биметаллическими лен-
лентами или свинцовой оболочкой, так как для 'низкочастотных сиг-
сигналов их внешний проводник еще слишком прозрачен.
10.4. Симметричные линии
ПАРАМЕТРЫ ДВУХПРОВОДНЫХ ЛИНИЙ
Электрическое и магнитное толя вол«ы ТЕМ в двух-
двухпроводной симметричной линии (рис. '10.8) имеют такую же струк-
структуру, как и стационарное '(см. параграф 5.3). Как следует из E.18),
на достаточно «большом раюстоя'нии r^>2d от линии потенциал
W)\\\ = \ln(l-t2d/r)\=2d/r (при <р=0); тогда на-
напряженности поля ?яЯ~ 1/г2. Поэто-
Поэтому, хотя линия открытая' (неэкраниро-
ванная), ее поле почти полностью
сконцентрировано внутри окружности
радиусом \0d. Диапазон использова-*
ния такой линии начинается с нулевых
частот. На высоких частотах, когда
длина волны становится соизмеримой
с расстоянием между проводами
Рис. Ю.8 2d>0,lA, линия начинает заметно из-
244
лучать, так как внешние электромагнитные поля, созданные проти-
противоположно направленными токами и проводах, полностью не ком-
компенсируются. Это ограничивает диапазон использования линийг
сверху.
Фазовая скорость волны в линии (без учета поправки
на потери) равна ее скорости v в окружающем диэлектрике.
Характеристическое сопротивление линии опре-
определяется ф-лами A0.9) 1И'E.20):
~±Mn—. A0.30)
я а
Последнее выражение приближенное; его погрешность для d>5a
не превышает 1 %¦
Коэффициент затухания практически целиком опре-
определяется потерями в проводниках и вычисляется по ф-ле A0.11).
При расчете сопротивления единицы длины линии нужно учесть,,
что напряженности Е и Н электромагнитного поля не одинаковы
в разных точках на границе проводника: они максимальны в про-
промежутке 1между проводниками и минимальны в диаметрально про-
противоположных точках. Описанное распределение поля волны ТЕМ
в пространстве не зависит от частоты. На достаточно высоких ча-
частотах (а>А) эквивалентная поверхностная плотность тока в про-
проводниках /2 = ЯФ также распределена неравномерно по периметру.
Вследствие этого сопротивление каждого из проводников линии
больше сопротивления уединенного проводника на той же частоте.
Это явление, называемое эффектом близости, сказывается тем силь-
сильнее, чем меньше отношение dja.
Проведем количественный анализ эффекта близости. Распреде-
Распределение поверхностных зарядов в проводах описывается соотноше-
соотношением E.22); ф-лы A0.7) и A0.8) позволяют перейти к плотности
эквивалентного поверхностного тока
\г1У d2—a2/[2Ka(d—a cos ф)].
Мощность потерь в одном проводе, приходящаяся на единицу
длины,
Pin*, =
\г |2 ad ф = -
2 (л аJ
(d2 — a2) ad ц>
(d — a cos фJ
Сопротивление двухпроводной линии ^?1Дв = 2PIII0T/1 /л 12. Най-
Найдем сперва отношение активного сопротивления Я]лв единицы дли-
длины двухпроводной линии к удвоенному сопротивлению Ri=Rs/Bna)
уединенного провода с равномерным по периметру распределением
тока. Полученный выше интеграл берется в соответствии с [11,
ф-лы B.554.3) и B.553.3)]:
245
X
Чщ = J_ С (d*-a*)ad<p _ 1 д2. Г 1
2R, па} (d-acos(pJ я '\ *-as
О L
Г "ф LA-J х
J a — a cos ш / я l/" ^ — а2
оо / J г
X
— a cos ф
а2
Объединяя полученные результаты, получаем формулу для ра-
расчета составляющей .коэффициента затухания:
пр
r A0.31)
2ZC Zc Vd* — cfl V '
Формула A0.31) является строгой для случая сильного скин-
эффекта и применима при а>А. На более низких частотах из-за
взаимодействия внутри проводника волн, пришедших из разных
точек его периметра, распределение плотности тока по сечению
становится более равномерным, и #1дв приближается к 2Ri. Сопро-
Сопротивление Ri одиночного провода во всех случаях вычисляется для
соответствующей частоты.
Предельная мощность двухпроводной линии опреде-
определяется возможностью пробоя у поверхности проводника в точке
Ф = 0, где напряженность электрического поля максимальна. Сог-
Согласно ф-лам E.20) и E.22), имеем
U" Га~Т° A0.32)
F =
V 2 a Arch (did)
d — a
Следует 'учесть, что двухпроводные линии находятся на откры-
открытом воздухе и подвержены инешиим воздействиям. Пробой может
возникнуть по случайным причинам. Тогда факел, образовавший-
образовавшийся вследствие ионизации, продолжает гореть, если напряженность
поля выше критической. Критическая напряженность поля доста-
достаточна для поддержания уже возникшего газового разряда. Она
равна ориентировочно ?Кр=0,6-^-1 МВ/м=6-=-10 кВ/юм, т. е. в три-
четыре раза меньше, чем ?Проб, и снижается при повышении тем-
температуры и влажности воздуха.
Методика расчета допустимой мощности остается прежней. По-
Положив Emax = EKV, определяем из ф-лы A0.32) Un и затем Рпред =
= |[/л|2/-^с Допустимая мощность рассчитывается по ф-ле (9.33).
ПРИМЕНЕНИЕ ДВУХПРОВОДНЫХ СИММЕТРИЧНЫХ ЛИНИИ
Двухпроводные линии из неизолированных проводов, подвеши-
подвешиваемых к столбовым опорам, применяются на воздушных линиях
связи и проводного вещания. Их характеристическое сопротивле-
246
ние Zc = 500-f-600 Ом, частоты передаваемых сигналов обычно не
превышают 120 кГц, хотя это не является предельной частотой для
такой конструкции.- Аналогичные линии используютоя в качестве
антешых фидеров на передающих и приемных радиоцентрах до
частот 304-50 МГц; в этом слу-
случае применяются палочные
изоляторы, выдерживающие
без пробоя значительные на-
напряжения.
Гибкую линию выполняют
из двух изолированных про-
проводников, соединенных мости-
мостиком из пластмассы (рис. 10.9а),
обычно ее характеристическое Рис. ю.9
сопротивление Zc~200 Ом.
Очень высокая гибкость достигается при скручивании двух провод-
проводников с отдельной изоляцией (рис. 10.96). Скручивание уменьшает
излучение линии и протяженность внешнего поля, поэтому такая
линия может применяться до частот порядка сотен мегагерц. Скру-
Скрученные линии широко используются также в кабелях связи на ча-
частотах до 10 кГц. При расчете параметров линий с изоляцией нуж-
нужно учитывать, что поле распространяющейся волны частично про-
проходит в воздухе и частично в диэлектрике. Поэтому эквивалентное
значение еэ меньше, чем е.
МНОГОПРОВОДНЫЕ ЛИНИИ
Типы волн. В линиях, состоящих из трех и более проводников,
возможно существование нескольких типов ТЕМ-волн, соответст-
соответствующих различным фазам возбуждения каждого из проводов. Это
у, способствует неустойчи-
неустойчивости передаваемой вол-
волны, так как на нерегуляр-
ностях и особенно на по-
поворотах линии каждая
волна частично преобра-
преобразуется в волны других ти-
типов. Поле на выходе ли-
линии представляет тогда
сумму нескольких типов
волн и не идентично по-
полю на ее входе. Искаже-
Рис. 10.10 ние поля линии нарушает
ее согласование, что огра-
ограничивает применение многопроводных линий на свч.
Экранированная двухпроводная линия (рис.
10.10) позволяет устранить излучение, свойственное открытой сим-
247
метричной линии. В ней могут распространяться ТЕМ-волны двух
типов.
Синфазная волна (СФ) (соответствует одинаковым фазам про-
проводников 1 и 2 и противоположной ей фазе экрана (Э), который
служит обратным ;проводом. Для этой волны линия аналогична ко-
коаксиальному кабелю с разделенные юнугренним проводником1).
Антифазная волна (АФ) соответствует противоположным фазам
проводников 1 и 2 (они Образуют линию) и нейтральному экрану.
По сравнению с открытой двухпроводной линией при тех же and
емкость Ct у экранированной линии с антифазной волной несколько
больше, а характеристическое сопротивление соответственно мень-
меньше. Оно рассчитывается по приближенной формуле (яри D>\0a):
a = —- Arch — . A0.33)
Обычно в экранированной линии используют антифазную вол-
волну. Двухпроводную экранированную линию применяют в тех 'Слу-
'Случаях, когда нагрузка симметрична (например, вход симметричного
вибратора — антенны, состоящей из двух одинаковых проводов).
Ч е т ы р е х п р о в о д н а я ляияя (рис. 10.11) представляет со-
а)С<Р
5)AV
Рис. 10.11
•бой две параллельные двухпроводные линии 1—2 и 3—4, располо-
расположенные одна под другой. В .ней распространяются два типа ТЕМ-
волн. Синфазная 1волна имеет поле, симметричное относительно
вертикальной плоскости, что 'соответствует одинаковым потенциа-
потенциалам и токам левых и правых проводов (примерно такую же струк-
структуру имеет поле двухпроводной линии, состоящей из двух прово-
проводов прямоугольного сечения размерами 2aX2d2). Напряженности
') Синфазную волну называют также однотактной и четной, антифазную —
противофазной, двухтактной и нечетной.
248
поля СФ волны, как и у двухпроводной линии, убывают с расстоя-
расстоянием от линии по закону 1/г21(при r^>d{).
Поле антифазной волны о(бладает центральной симметрией от-
относительно продольной оси линии,. (Поле этой волны сконцентриро-
сконцентрировано вокруг линии сильнее, чем у СФ волны, так как Е и Н при
удалении от оси линии убывают по закону 1/г3. Соответственно
меньше излучение такой линии на высоких частотах и прием волн
из окружающего пространства.
Четырехтроводную линию легко превратить в одномодовую, 'сое-
'соединив попарно ее провода в ряде точек вдоль линии. Возможны
два варианта таких линий: симметричная с волной СФ (соединены
провода 1 и 3, 2 и 4) и перекрещенная с волной АФ ('соединены
накрест лежащие провода 1 и 4, 2 и 3). В обоих 'Случаях из-за уве-
увеличения емкости С] характеристическое сопротивление линии при-
примерно в два раза меньше, чем у двухпроводной с такими же про-
проводами. Для синфазной и антифазной волн оно рассчитывается по
приближенным формулам .(при d>6a):
2я
ad,
7а =
с
A0.34)
Сравнение этого выражения с ф-лой A0.30) для Zc0 двухпроводной
линии позволяет установить, что Z^0>Zc0/2>Z|0 .
Коэффициент затухания четырехпроводной линии определяется,
прежде всего, сопротивлением линии на единицу длины. При
d>6a, когда (аффект близости практически не оказывается, оно в
два раза меньше, чем у двухпроводной линии, так как соединены
параллельно по два провода. Однако и Zc четырехпроводной ли-
линии примерно в два раза меньше, чем двухпроводной, поэтому ве-
величина коэффициента затухания остается лочти прежней. У сим-
симметричной линии она на 20—30% меньше, чем у перекрещенной.
Предельная мощность четырехпроводной линии примерно в два
.раза больше, чем двухпроводной.
Симметричные четырехпроводные линии часто используются в
качестве антенного фидера мощных передатчиков кв, ев и дв диа-
диапазонов; здесь ценятся ее меньший коэффициент затухания и удоб-
удобство соединения с передатчиком и антенной. Перекрещенные фи-
фидеры получили наибольшее распространение «а приемных радио-
радиоцентрах, где наиболее важна их лучшая помехозащищенность,
обусловленная сильной концентрацией поля вокруг линии.
10.5. Линии над землей
МЕТОД ИЗОБРАЖЕНИЙ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Линии (связи и антенные фидеры обычно 'расположены параллель-
параллельно поверхности земли. На низких частотах ^<0,1/ср (см. табл. 3.1)
почву можно 'считать проводником. Если, ираме того, /<а-108, мо-
24Э
Рис. 10.12
дуль коэффициента отражения от почвы |Г(>0,9 я можно рас-
рассматривать поверхность земли как идеально проводящую. Эти со-
соображения применимы также к линиям, параллельным металли-
металлическим поверхностям для любой частоты. Поля линий, параллель-
параллельных харо'Шо проводящим поверхностям, определяют с помощью
метода изображений.
Метод изображений был рассмотрен в 5.3 для электростатиче-
электростатических задач. В электродинамике он применим только при анализе
поля над плоской идеально проводящей поверхностью 5 (гранич-
(граничное условие Ет |в=0вэтом случае сохраняется). Источником пере-
переменного поля является система токов, которую можно рассматри-
рассматривать как сумму элементарных электри-
электрических излучателей (см. параграф 7.2).
Покажем, что идеально проводящую
плоскость, над которой находится лю-
любая система токов (рис. 10.12), можно
заменить системой токов-изображений,
антисимметричной токам-оригиналам
(токи равны по величине, расположе-
расположены симметрично относительно S, но
направлены противоположно). Сум-
Суммарное поле этих двух систем токов
будет удовлетворять граничному усло-
условию на 5. Для этого достаточно рассмотреть электрическое поле в
произвольной точке М на поверхности S, создаваемое элементар-
элементарными отрезками с токами Л и /,'. Расстояние от них до точки М
одинаково, следовательно, одинаковы величина и запаздывание по
фазе векторов Е] и Е[; эти векторы синфазны и антисимметричны
(т. е. симметричны векторы Ei и — Е,). Очевидно, что суммарный
вектор E=Ei + E[ всегда нормален к поверхности S.
ОДНОПРОВОДНАЯ ЛИНИЯ
Одиночный провод над землей совместно со своим изображением
эквивалентен двухпроводной линии (рис. 10.13). Несмотря на ряд
недостатков, он до сих пор применяется «а второстепенных линиях
связи для .передачи сигналов и электропитания аппаратуры. При
расчете параметров волны, распространяющейся вдоль одиночного
провода, нужно иметь в виду, что генератор я нагрузка включены
между линией и землей (плоскостью симметрии), поэтому при том
же токе напряжение в однопроводной линии будет в два раза
меньше, чем в двухпроводной. Емкость «провод—земля» такой
линии в два раза больше, чем емкость «провод—провод», поэтому
характеристическое сопротивление провода над землей также рав-
равно половине Zc двухпроводной линии [ф-ла A0.30)].
Коэффициент затухания [по ф-ле A0.31)] не изменяется, так
как отсутствие второго проводника уменьшает в два раза потери.
При реальной земле с конечной проводимостью необходимо учиты-
250
vf)
"Ч
Рис. 10.13
вать потери в заземлениях на концах линии; сопротивление зазем-
заземления Лз зависит от его конструкции и проводимости почвы в дан-
но% месте.
Току-изображению соответствуют реальные обратные токи, рас-
распределенные в поверхностном 'слое земли с убывающей плотностью
по мере удаления от оси провода. Эквива-
Эквивалентная плотность поверхностных токов оп-
определяется ф-лой A0.7), где стэ находится
из решения аналогичной статической за-
задачи. Основная часть тока проходит в поло-
полосе шириной порядка 2d под проводом. Если
трасса провода криволинейна, то токи в
земле повторяют все изгибы трассы, даже
если она образует замкнутую петлю (без
электрического контакта в точке пересече-
пересечения). Поэтому для успешной работы линии
важно выбирать почву с хорошей проводи-
проводимостью вдоль всей трассы и избегать, на-
например, скальных участков, обладающих
очень низкой проводимостью. Как правило, сопротивление земли,
как обратного провода, значительно меньше R3 и в расчетах не'
учитывается.
На высоких частотах земля 'уже не эквивалентна идеальному
или хорошему проводнику. Кроме того, конечная проводимость
провода существенно меняет структуру электромагнитного поля
волны, которая из ТЕМ превращается в поверхностную.
ДВУХПРОВОДНАЯ ЛИНИЯ
Двухпроводная линия щад землей эквивалентна перекрещенной че-
тырехпроводной с антифазной волной (рис. 10.116). При d2>10di
влияние земли .на параметры волны © линии незначительны. Одна-
Однако здесь необходимо учитывать возможность появления синфазной
волны (провода 1 н 2 синфазны, а земля образует обратный про-
провод) с полем, (идентичным полю однопроводной линии. Совместное
распространение аитифазной и синфазной волн нарушает режим
питания напрузки, так как 'сумма напряжений этих волн на про-
проводах линии ще симметрична.
10.6. Полосковые линии
СИММЕТРИЧНАЯ И НЕСИММЕТРИЧНАЯ ЛИНИИ
Полосковые (или ленточные) линии получили широкое распростра-
распространение в связи с (внедрением в технику ювч технология печатных
схем [17]. Они используются преимущественно в сантиметровом и
дециметровом диапазонах. Их изготавливают на основе диэлек-
диэлектрических пластин, покрытых -металлической фольгой толщиной
251
10-М00 мкм. Используются высокочастотные диэлектрики: фторо-
фторопласт, полистирол, полиолефины, стеклоткань, пропитанная фторо-
фторопластом или кремниеорганичеакой смолой.
Рис. 10.14
Несимметричная линия (;рис. 10.14а) 'конструктивно наиболее
проста, однако имеет существенный недостаток: часть .волны (рас-
(распространяется в воздухе и вызывает нежелательные связи с дру-
другими элементами схемы. Симметричная Ливия (рис. 10.146) «ди-
«диэлектрический сэндвич» — практически полностью экранирована.
При ширине внешних пластин а^а>-НD-н5),6 толе .на их краях
практически отсутствует; в этом случае полоаковая линия эквива-
эквивалентна коаксиальной с 'очень узкими щелями во внешнем провод-
лике.
Коэффициент затухания линии со оплошным диэлектриком оп-
определяется в основном потерями в диэлектрике. Этот источник
потерь почти полностью устраняется в воздушной линии (рис.
10.14е), у которого проводящие ленты расположены по обе сторо-
стороны тонкого диэлектрического листа и соединены между собой;
опоры этого листа удалены в область, где поле практически отсут-
отсутствует. Широкие пластины iy «сех линий заземляются и 'соединя-
'соединяются между собой.
ТИПЫ ВОЛН
Основной в полоско-вой линии является волна типа ТЕМ. Диэлек-
Диэлектрический слой имеет конечные размеры, поэтому у его границы в
воздухе образуется поверхностная .волна. Однако поле этой волны
столь мало по сравнению с полем в диэлектрике, что отличие
структуры волны в линии от поперечной, особенно у симметрич-
симметричных 'конструкций, может не учитываться.
Возникновение волн высшего порядка исключается, если экви-
эквивалентная ширина ленты w+Aw и расстояние между внешними
пластинами 2b + t меньше половины длины волны в диэлектрике ли-
линии: w+Aw<X/2 и 2b + ?<A,/i2. Выполнение этих условий на мак-
максимальной частоте обеспечивает одномодовость линии в рабочем
диапазоне.
Эквивалентная ширина ленты больше геометрической w за
счет краевого эффекта. Величина эквивалентного расширения рас-
рассчитывается по формуле
?52
0,96 + l,l/. A0.35)
Приближенная формула для Aw дает погрешность не более 2%
при t/b<0,4.
ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Характеристическое сопротивление симметричной
линии определяется емкостью С] единицы ее длины. Последняя оп-
определяется по формуле для плоского конденсатора из трех пластин
с учетом дополнительной емкости, вызванной краевым эффектом.
Эквивалентная площадь ленты единичной длины равна w+Aw\
расстояние между ней и пластинами Ь\ два конденсатора включе-
включены параллельно. Поэтому Ci = 2ea(w+Aw)/b, откуда по ф-ле A0.9)
Z = —
с 2
A0.36)
Эта формула справедлива при w + t^0,6b. При w + t=0,4b по-
полученный рез!ультат следует увеличить -на 4%.
Характеристическое сопротивление несимметричной линии со
сплошным диэлектриком примерно в два раза больше, чем най-
найденное по ф-ле A0.36), так как оно определяется емкостью между
лентой и одной пластиной: Z™ =Znb/i(w+Aw). Поле несимметрич-
несимметричной линии шире, чем у 'симметричной: Aw>2b и определяется при-
приближенным соотношением Aw='2b + (t/n) (l+ln(l +>2bft]. Точность
2-^-5% дают формулы для симметричных и несимметричных ли-
линий с воздушным заполнением, полученные И. С. Ковалевым [18].
z = 200F—0 / при \. 2 = 20°F — О / при \ .
с Ye{w + b) \w<2b)' c yF(w-\-b—t)[w>2b)'
300b
ZHC = •
./ при \
I \w > 2bj
если
0,1 b.
A0.37)
Уе(ш+Ь) \w>2b]'
Коэффициент затухания а = ад+апр. Составляющая
ад определяется универсальной ф-лой (8.43). Анализ потерь в про-
проводниках представляет сложную задачу из-за неравномерного
раетределения поля вдоль их поверхности. 'В первом приближении
будем считать, что плотность тока по периметру ленты 2(w + t)
одинакова, а сопротивление пластин такое же, как ленты. Тогда
суммарное сопротивление, приходящееся на единицу длины линии,
и коэффициент затухания в 'соответствии с ф-лами A0.11) опре-
определяется как
Hl = 2W+W ' "Р = 2Z7 = 2Ze(w + t) ¦ (Ш-38)
При обычных соотношениях размеров линии потери в пласти-
пластинах 'несколько 'меньше, а в ленте больше, чем при вделанных до-
допущениях.
253
Предельная мощность симметричной полоскавой ли-
линии, определяемая пробоем, в 1,54-2 раза (меньше, чем у прямо-
прямоугольного волновода с теми же поперечными размерами. Ори пе-
передаче непрерывных сигналов допустимая мощность ограничивает-
ограничивается напревай диэлектрика. Симметричная линия может пропустить
мощность, в 1,6 раза большую, чем несимметричная или коакси-
коаксиальная линии.
ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛОСКОВЫХ ЛИНИЙ
Полосковые линии используются преимущественно в диапазоне
З-f-lO ГГц для передачи (небольших (мощностей. Их преимущество
по 'сравнению с полыми 'волноводами состоит в простоте изготов-
изготовления, (компактности >и 'малой стоимости. Короткие отрезки линий
можно построить и для. более высоких частот, если приемлем ко-
коэффициент затухания порядка нескольких децибел на метр.
Особенно шелики преимущества полосковых линий, изготавли-
изготавливаемых методом печатных схем, три построении малогабаритных
функциональных узлов ((например, частотных фильтров) на свч.
С этой целью такие линии успешно (применяются, начиная с сотен
мегагерц.
В миниатюрных интегральных схемах сеч используются как
более технологичные несимметричные микрополосковые линии.
Ширина ленты обычно составляет w = 0,54-0,5 мм. Чтобы умень-
уменьшить проникновение поля в воздух применяют диэлектрик с вы-
высоким значением е = 5ч-10.
ЗАДАЧИ
10.1 Вычислить электрические характеристики коаксиального кабеля (Zrf
и; а° = а°+а^; ЯпРед) на частотах 200 МГц и 20 ГГц. Конструктивные харак-
характеристики: внутренний проводник — стренка из 7 проводов диаметром 0,267 им
каждый (максимальный диаметр стренки 0,8 мм); внешний проводник из медио*
оплетки 6 = 2,3 мм; сплошная изоляция из полиэтилена е = 2,25; tg6 = 210~4.
Определить также /кр волн Нц и ?<н.
Ответ: ZO=75 Ом; v = 200 Мм/с; Япред= 17,4 кВт; а°=-ап°р + «° = 0,124+
+ 0,0036 = 0,128 дБ/м при / = 200 МГц; а°=а°р + а° = 1,24+0,36= 1,60 дБ/м
при / = 20 ГГц; /кР"=24 ГГц; /^' =51 ГГц.
10.2. Определить электрические параметры (Zc, v, а„р, Япред) двухпровод-
двухпроводной линии иа частоте 10 МГц. Линия находится в воздухе и выполнена из мед-
медных проводов 2а=4 мм, расстояние между которыми 2d = 40 мм.
Ответ: Zc = 360 Ом; и = с; а„р=1,58 дБ/км; Рпред=141 кВт при ?„р = 1 МВ/м.
10.3. Определить Zc и а°р четырехпроводиых медных линий (симметрич-
(симметричной и перекрещенной) в воздухе при 2а = 4 мм; 2dt = 2d2 = 40 мм и частоте
10 Мгц (см. рис. 10.11).
Ответ: Z==201 Ом; Z*=159 Ом; а°?=1,41 дБ/км; а°?=1,79 дБ/км.
254
Глава 11.
ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
11.1. Основные свойства и параметры
ЭВОЛЮЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
Резонатор может долгое время (поддерживать периодические ко-
колебания, вызванные внешним импульсом. Резонатор обладает ча-
частотной избирательностью то отношению к внешнему гармоничес-
гармоническому воздействию: амплитуда его колебаний максимальна на ре-
резонансной частоте и уменьшается по мере удаления от нее. Коле-
Колебания в электромагнитных резонаторах представляют собой вза-
взаимное превращение электрического и магнитного полей. Резона-
Резонаторы широко используются в радиотехнических устройствах, яв-
являясь неотъемлемой частью многих усилителей, большинства гене-
генераторов, приемников, частотных фильтров и измерителей частоты.
Простейшим электромагнитным резонатором является (колеба-
(колебательный LC-контур. Легко установить, что запас электрической
энергии создается в конденсаторе, а запас магнитной —в катушке
индуктивности. Переход энергии от электрического тюля к магнит-
магнитному сопровождается пространственным (перемещением энергии из
конденсатора в индуктивность. Размеры контура должны быть
малы по сравнению с длиной волны. Уже в метровом диапазоне
волн контур перестает работать удовлетворительно: сказываются
межвигковые емкости катушек, индуктивности вводов и пластин
конденсатора. Увеличение частоты требует уменьшения размеров
катушки и конденсатора, что влечет за 'Собой снижение допусти-
допустимой колебательной мощности.
В диапазоне дециметровых и более коротких волн (частично и
б метровом диапазоне) применяют резонаторы, в которых элек-
электромагнитные колебания возникают внутри ограниченного объема;
поэтому их называют объемными.
Постепенное превращение контура в объемный резонатор по-
показано на рис. 11.1. Пусть контур (рис. 11.1а) рассчитан на весьма
высокую частоту и имеет всего один виток. Включение параллель-
параллельно ему еще нескольких витков (рис. 11.16) увеличивает частоту
колебаний этой системы и уменьшает вредное излучение в прост-
пространство. Объединение всех витков в сплошную поверхность враще-
вращения (рис. 11.1 в) приводит к полностью экранированному торо-
тороидальному резонатору с еще более высокой частотой колебаний;
этот резонатор относится к классу квазистационарных. Кваэиста-
255
ционарные резонаторы имеют четко выраженные области сущест-
существования электрического и магнитного полей, которые эквивалент-
эквивалентны емкости и индуктивности; можно считать, что такой резойатор
представляет собой полностью экранированный колебательный кон-
контур. Размеры квазистационарного резонатора малы по сравнению
с длиной волны Ло его собственных колебаний.
Рис. 11.1
Раздвинув пластины конденсатора, превратим границу резона-
резонатора в выпуклую поверхность, например, сферическую (рис. 11.1 г).
Собственная частота гари этом еще более увеличится и длина вол-
волны Ко станет сравнимой с размерами резонатора. Теперь весь
объем резонатора почти в равной степени заполнен электрическим
и магнитным полями, поэтому we удаетоя выделить отдельные об-
области со свойствами емкости и индуктивности. Поле в объемном
резонаторе такого типа можно представить в гаиде суммы парци-
парциальных волн, последовательно отражающихся от его стенок. Ре-
Резонанс возникает в том случае, если циркулирующая внутри резо-
резонатора волна приходит ib определенную точку всегда в одной и
той же фазе. Такое синфазное сложение полей значительно увели-
увеличивает амплитуду колебаний.
Существенные изменения произошли при освоении оптического
диапазона, ib котором длины волн Ко намного меньше размеров ре-
резонатора. При этом пришлось отказаться от замкнутых объемов с
.металлическими стенками. Открытые объемные резонаторы, гене-
генерирующие оптические волны, сохранили лишь часть отражающей
стенки. В простейшем случае они представляют 1собой систему из
двух противостоящих зеркал, изготовленных из многослойного ди-
диэлектрика, которые отражают друг к другу электромагнитную
волну.
СОБСТВЕННЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Собственные колебания, как известно из теории колеба-
колебательных контуров, возникают в резонаторе при внешнем импульс-
импульсном воздействии, когда ib него поступает порция энергии. После
процесса установления они становятся кв а энгармоническими зату-
затухающими и зависят от .временя ло закону:
256
e L =е'шс е-"«, A1.1)
где wc — собственная круговая частота колебаний, tc = 2Qo/<»c —
постоянная^времени резонатора, Qo —собственная добротность ре-
резонатора, wc = «с + i/тс = соо['1 + i/ BQo) ] — комплексная собственная
частота колебаний.
У объемного резонатора существует целый ряд табственных
колебаний, каждому из которых соответствует определенная струк-
структура поля и определенные :значения wc и Qo. Поэтому внешний
электромагнитный импульс создает в резонаторе сложное коле-
колебание, состоящее из ряда частотных составляющих вида A1.1).
Вынужденные колебания обусловлены внешними пе-
периодическими воздействиями, при этом энергия в систему посту-
поступает каждый период. Если частота этих колебаний совпадает
с одной .из резонансных частот шо колебательной системы, возни-
возникает резонанс, (сопровождающийся резким увеличением амплитуды
колебаний. Запасы электрической ,и магнитной энергии в резона-
резонаторе при резонансе в среднем за период одинаковы, так что энер-
энергия целиком переходит из одного состояния ib другое. Линия связи
от внешнего источиика доставляет в колебательную систему толь-
только сравнительно небольшое количество энергии, необходимое для
восполнения тепловых потерь.
ПАРАМЕТРЫ РЕЗОНАТОРА В РЕЖИМЕ ВЫНУЖДЕННЫХ
КОЛЕБАНИЙ
Резонансная частота /0 или wo=2n/o лишь незначительно
отличается от собственной частоты шо= |wc| =wcKl + (l/2Q0J«
л;wcp + l/(8Qo)]. Например, при Q0=120 это различие 'составляет
менее 10-3%. Величина /0 определяется геометрическими размера-
размерами резонатора и структурой электромагнитного поля рассматри-
рассматриваемого колебания. Исследование определенного типа колебаний
независимо от других возможно лишь в сравнительно узкой полосе
вблизи /о, если другие типы колебаний имеют резонансные часто-
частоты, достаточно 'далекие от /0 или не связаны с возбуждающим уст-
устройством.
Добротность Qo можно определить через энергетические
параметры. В теории контуров Qo=g>oL/R, где L — индуктивность
катушки, R— сопротивление потерь. Умножим числитель и знаме-
знаменатель этой формулы на /2:
ш0 L LI2 2я W
Qo = T = l°>=7vrA?
W= WM + Wa= — Ы2-\ CU2 = LI2 — энергия, накопленная в резо-
резонаторе при резонансе. Она равна удвоенной магнитной энергии в
индуктивности в силу того, что ^ = ^3- Po=RI2 — средняя за пе-
период Т мощность потерь в резонаторе.
9-2 257
Следователыно, собственная добротность резонатора выражает-
выражается как
П -м W -
(П.2)
т. е. равна умноженному на 2л. отношению энергии, накопленной в
резонаторе при [резонансе, ik потерям анергии в резонаторе за один
период. Формула A1.2) для Qo'более универсальна, чем исходное
соотношение. В нее входят энергетические величины, которые легко
определяются для любой системы.
(Входное 'com ро т'и в л е н;и е лри резонансе Ro (или
проводимость G0=l/RQ) измеряется в линии у входа в резонатор
перед устройствам связи (рис. 11.2). Это сечение линии назовем
плоскостью отсчета. В установив-
установившемся режиме от генератора пот-
потребляется мощность, равная
потерь в резонаторе.
Элемент связи
мощности
Поэтому
Ро = Ко
A1.3)
ние. 11.2
Таким образом, сопротивле-
сопротивление #о является мерой потерь в
резонаторе. Его величина зависит
от конструкции устройства связи и места его включения в данный
резонатор.
Резонансная характеристика — зависимость от ча-
частоты комплексного .входного сопротивления резонатора Z(f) или
входной (Проводимости Y(f). В зависимости от места включения m
конструкции элемента связи, а также от выбора положения 'плос-
'плоскости отсчета в линии связи 'можно (считать либо |/вхG) | =eonst,
тогда резонатор эквивалентен лараллельному контуру, либо
\Um(f) | =iconst, что эквивалентно последовательному колебатель-
колебательному контуру. Соответственно гори параллельном резонансе
Z (/) = Ro/A (|о) (/« = const), A1.4а)
при последовательном резонансе
Y(f) = G0/A(Z0) (UBX = const). (Ы.46)
Частотная зависимость входного сопротивления «ли проводимо-
проводимости выражается нормированной комплексной функцией ослабления
Л(|0) = 1+и„. (П.5)
Ее модуль 'И аргумент определяют соответственно амплитудно-
частотную (часто ее выражают в децибелах) и фазо-частотную ха-
характеристики резонатора (рис. 11.3):
Ч> Но) = arg Л (|0) = arctg
= 2Olg j Л (Е
Щ).
A1.6)
258
Аргументом всех этих характеристик является нормированная
частота:
р - О
So — Vo
2Д/
/о
A1.7a)
существует
;), справед-
bS -30°-^
J -
OL
В отличие от LC-контуров, для резонаторов не
сколь-либо простой аналитической зависимости для Л
ливой в широкой полосе частот.
Поэтому ф-лы A1.5) — (П.7) при-
применимы лишь при небольших ча-
частотных расстройках А/=/—/о по
сравнению с /о. Частотные свой-
свойства резонаторов, построенных
на базе направляющих систем,
определяются соотношением меж-
между их размерами и длиной волны.
Поэтому величина \ зависит,
прежде всего, от длин волн Л
в направляющей системе при раз-
разных частотах и связанных с ними
однозначно фазовых коэффициен-
коэффициентов р = 2я//и = 2я/Л. Для дисперсионных систем вместо A1.7а) еле»
дует использовать выражение:
m
-so"
0
""
4
4
vim/ i
^,—^
J
7
Рис. 11.3
Po
A1.76)
Полоса пропускания резонатора. /7 определяется обыч-
обычно из условия, что внутри полосы й^/(|о) ^3 дБ. На нижней и верх-
верхней границах поло'.ы при /=/„ и /„ И(?о) | = К2=1,41, т. е. go= ±1
А ф(|о) = ±45°. Тогда, согласно A1.7а), /7 = fB—fB«/o/Q0-
Добротность определяет остроту резонансной кривой по шкале
абсолютных частот. Чем больше Qo, тем уже полоса П м острее
кривая, изображающая частотную характеристику |Л(/)|.
11.2. Квазистационарные резонаторы
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
В тороидальных и других квазистационарных резонаторах (рис.
11.1 в) имеются области, выполняющие функции конденсатора и
индуктивности. Поэтому их резонансная частота определяется
формулой Томсона:
ш„=1/]/Ш (П.8)
Непременным условием ее справедливости является малость
размеров системы по сравнению с i (это и определяет квааистацио-
naipHO'CTb). Частоту /=10 ГГц (Х=3ом) можно поэтому считать
верх1ним пределом для квазистационарных резонаторов, так как
.конструкции с размерами резонатора менее 1 ем практически не-
нецелесообразны.
Кдеазистащионарные резонаторы являются частью электронных
дриборов овч. Емкость резонатора одновременно служит промежут-
промежутком, который пронизывается электронным потоком и где пучок
электронов взаимодействует с электрическим полем резонатора.
Известно, что эффективное управление в электронном приборе про-
пролетного типа обеспечивается лишь в том случае, если ярем я про-
пролета электронов ил в зазоре d меньше периода колебаний:
ta=d/vOn<T, где уэл—скорость электронного потока.
Так как обычно уэл<^с, то d^K. Поэтому малый зазор между
пластинами в (Кваз'истационарном резонаторе, образующий емкость,
обусловлен назначением резонатора, а не является данью тради-
традициям низкочастотной радиотехники. Определим резонансные часто-
частоты двух резонаторов.
ТОРОИДАЛЬНЫЙ РЕЗОНАТОР
Колебательной системой клистрона — электронного прибора свч с
прямолинейным потоком электронов — служит тороидальный ре-
резонатор. Пластины конденсатора, образованного центральной ча-
частью резонатора, являются сетками клистрона, пронизываемыми
электронным потоком.
Для анализа выберем тороидальный резонатор с прямоугольной
формой образующей тороида (рис. 11.4а). Электрическое поле в
Поггоп
Рис. 11.4
основном сконцентрировано между сетками, но за счет краевого
эффекта проникает также в тороидальный объем. Линии магнит-
магнитного поля образуют концентрические окружности, заполняющие
тороидальный объем, идентичный отрезку коаксиальной линии.
Величина Н рассчитывается по закону полного тока; лишь незна-
незначительная часть полного магнитного потока находится в зазоре
между сетками. В первом приближении емкость между торцевыми
стенками зазора определяется по формуле плоского конденсатора:
2ld
glQl
Считаем ток / вдоль внутренней цилиндрической стенки резо-
резонатора постоянным по высоте h. Тогда по ф-лам A.7) и E.32)
определяем индуктивность
260
ff
/ J J 2л г
а о
2л
A1.9)
Довольно значительная дополнительная емкость образуется боковой поверх-
поверхностью цилиндра. Для ее расчета развернем боковую поверхность внутреннего
цилиндра ;i допустим, что линии электрического поля образуют в сечении ок-
окружности (рис. 11.46). Плотность заряда на расстоянии г: аэ = ео?(>,) = ео?/с/О,5яг.
Полный заряд на поверхности внутреннего цилиндра
Q6
г
= 2ла \ 0Э dr =
J
d
2ла
2е0 Uc
In
Следовательно, емкость боковой поверхности
ее необходимо добавить к основной емкости С.
МАГНЕТРОННЫЙ РЕЗОНАТОР
= -у— « 4ева In
В кольцевом пространстве многокамерного магнетрона между ка-
катодом и анодным блоком вращается электронный поток, который
проходит мимо щелей ряда резонаторов, расположенных по окруж-
окружности (рис. 11.5). Резонансная система состоит из четного числа JV
резонаторов. Резонаторы сантиметрового диапазона имеют ци-
цилиндрическую форму. В каждом резонаторе электрическое поле со-
сосредоточено в узком плоскопараллельном промежутке шириной d
ЧатоВ
• ' АноВнып $лок
Рис. 11.5
Рис. 11.6
(рис. 11.6); дополнительные краевые поля образуются в торцевой
части анодного блока (связь с электронами) и в цилиндрической
полости. Магнитное поле параллельно оси цилиндра и аналогично
полю соленоида с полным током /. Выйдя из концов цилиндриче-
цилиндрической полости, магнитный поток переходит в соседние резонаторы,
где поля находятся в противофазе. Частота '.колебаний в системе
приближенно определяется по ф-ле A1.8) как резонансная часто-
частота одного резонатора. Емкость резонатора равна емкости плоского
261
конденсатора, образуемого стенками щели Сщ = е0Ш/A с добавле-
добавлением торцевой емкости анодного блока и емкости цилиндрического
резонатора Cr + Cn^2eo(h/n)\n(Dld), которые вычисляются ана-
аналогично Со тороидального резонатора.
При определении индуктивности учитывается, что магнитный
поток в каждом резонаторе направлен в одну сторону и замыкает-
замыкается через соседние резонаторы. Поэтому линия магнитного поля
длиной порядка 2h + D связана с током 21, что приводит к соот-
соотношению: H = 2IIBh + D). Магнитный поток Фц вычисляется в
предположении, что поле Н однородно. Тогда
d) li 2xt D^ u их D^
1 ~~ Bh + D) 4 2 Bh + D)
Магнитное поле в щели равномерно уменьшается до нуля на
ее внешнем крае; соответствующая индуктивность
. _ Фщ _ \ip2ld __ \iold
щ 1 2 Bh + D) ~~ 2/i + D
Строгий электродинамический расчет квазистационарных резо-
резонаторов вносит незначительную поправку к результатам, получен-
полученным по формуле Томсона A1.8).
11.3. Резонаторы со стоячей волной
СЛОЖЕНИЕ ВСТРЕЧНЫХ ВОЛН
Электромагнитное поле в большинстве резонаторов имеет харак-
характер стоячей волны, которая создается в отрезке направляющей
системы, ограниченном на концах отражающими поверхностями.
Рассмотрим отрезок произвольной нап-
направляющей системы без потерь, оканчи-
оканчивающийся плоскостями из идеального
проводника.
Поместим отражающую пластину в
_1 плоскости 2 = 0. Волна, падающая на по-
поверхность этой пластины справа, имеет
поперечные компоненты (рис. 11.7):
Рис. 11.7
где р — коэффициент фазы бегущей волны.
Отраженная волна с той же амплитудой и волновым сопротив-
сопротивлением Ei = — Ёо е! (а'~&г) и Hi = Но е! (ш'"рг) построена так, что в
плоскости 2=0 суммарное электрическое поле Е=Е++Е- всегда
равно нулю; это соответствует коэффициенту отражения Г = — 1 от
этой плоскости.
Стоячая волна имеет поперечные компоненты:
^ _ ?-_!_ е+ = ё е'ю'(е'рг е~'рг) = i 2Ё0 sin р г е'ш'; (НЛО)
Н± = HI + Hi = Но е1ю' (е'рг + е~'Рг) = 2Н„ cos p z еш.
262
Таким образом, электрическое поле синфазно (фазовый множи-
множитель не зависит от z) и опережает по фазе на 90° магнитное поле
(множитель i). Распределение полей в пространстве таково, что
узлы электрического поля совпадают с пучностями магнитного, и
наоборот.
Ограничить стоячую волну второй проводящей пластиной при
z = l можно только в том случае, если
sin
/ = 0 или р =
= 0, 1, 2, 3
A1.11)
Поскольку р = 2л/Л, находим, что условие резонанса A1.11)
выполняется при / = д(Л/2), т. е. при длине отрезка, кратном полу-
полуволне. При соблюдении условия A1.11) отрезок длиной / резони-
резонирует: дважды отраженная волна оказывается в фазе с первона-
первоначальной и при отсутствии потерь (идеальный случай) даже сла-
слабый внешний источник приводит к бесконечно большим амплиту-
амплитудам колебаний в резонаторе. Особый случай представляет q = 0,
чему соответствует р = 0, т. е. критический режим в направляющей
системе (/=/кр).
ПОЛУВОЛНОВОЙ РЕЗОНАТОР С КОЛЕБАНИЕМ ТЕМ
Определим резонансные частоты или длины волн для линии с
ТЕМ-волной, фазовая скорость которой v = veVL не зависит от ча-
частоты. Заменив в A1.11) р на 2jif/yp|i, получим
/(«> =\qvejBl) или Л<«> = 2l/q, q = 1, 2, 3 . . . A1.12)
Основное колебание резонатора (рис. 11.8) соответствует струк-
структуре поля с низшей резонансной частотой. В данном случае на ча-
частоте /{,'' (<7=1) вдоль отрезка укладывается половина длины вол-
волны. Линия резонирует на всех гармониках основной частоты:
W = С- гДе 9 = 2, 3, 4...
1=1/2
. г„
о о°
о о о
Замыкающий
/поршень
Рис. 11.8
263
Можно построить резонатор, открытый с обеих сторон. Коэф-
Коэффициент отражения от его разомкнутых концов Г= + 1. Условия
резонанса A1.12) при этом сохраняются, а поле [ф-ла A1.10)]
сдвигается на Л/4.
Резонатор, изображенный на рис. 11.8, перестраивают при по-
помощи подвижного поршня. Элементом связи служит коаксиальное
ответвление на расстоянии z0 от замкнутого конца. На этом же
рисунке с помощью ф-лы A1.10) построен график распределения
электрической и магнитной энергии по длине резонатора. Энергия
электрического поля преобразуется в энергию магнитного поля
при пространственном перемещении волны на расстояние, равное
четверти длины волны.
ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ КОАКСИАЛЬНЫЙ РЕЗОНАТОР
Резонанс отрезка линии возможен также в том случае, если она
замкнута в плоскости z = 0 и разомкнута на другом конце. Соглас-
Согласно ф-ле A1.10), нужно только выполнить условие НАA)=0 или
cos p/ = 0, что соответствует $ = qnll при любом полуцелом значении
<7 = О,5; 1,5; 2,5, ... При этом условии справедливы соотношения
A1.12) для резонансных частот и длин волн.
Такая линия резонирует в том случае, если ее длина равна
нечетному числу четвертей длин волн. При низшей резонансной
частоте на отрезке укладывается четверть длины волны; затем
следуют резонансы на всех нечетных гармониках основной часто-
частоты: Д''5)=3/<°-5>; /J2'S)=5/<°'6>, ... На рис. 11.9 показан четвертьвол-
четвертьволновый резонатор, применяемый для измерений частоты на свч.
Пружинящие
контакты
ЯЯКЯЯЯЯ!
Illllllllltlll
Bп-1)М
I
Участок
запредельного
Микроме/причет
динт Вход
Рис. 11.9
Его перестраивают, выдвигая внутренний стержень справа при по-
помощи микрометрического винта. Пружинящие контакты на левом
конце резонатора обеспечивают замыкание тока, имеющего здесь
пучность. Связь резонатора с трактом осуществляется с помощью
коаксиальной линии, заканчивающейся петлей связи. Петля по-
помещается так, чтобы ее плоскость пронизывалась максимальным
числом линий магнитного поля.
264
*
ОТРАЖЕНИЕ ОТ ЗАПРЕДЕЛЬНОГО ВОЛНОВОДА
Открытый конец линии излучает, что ухудшает резонансные свойства отрезка
и приводит к возникновению связей с другими устройствами. Чтобы устранить
этот недостаток, на конце линии включают участок запредельного волновода.
В волноводе возникает волна ?оь поперечная структура поля которой имеет
сходство с волной ТЕМ в коаксиальной линии. Оценим величину ослабления
волны в таком волноводе. При диаметре 2а = 2 см критическая частота (табл.
9.4) ff»1 =11,5/а=11,5 ГГц; коэффициент ослабления {ф-ла (9.67)] а =
=2л/кр/с=240 1/м; а° = 21 дБ/см. Ослабление в волноводе длиной 3 см пре-
превышает 60 дБ. Такой запредельный волновод является почти идеальным отра-
отражателем. Вследствие краевого эффекта поле проникает на некоторое расстоя-
расстояние вглубь запредельного волновода; поэтому плоскость отражения считают
сдвинутой на Д/«2/а° от конца среднего проводника коаксиальной линии.
РЕЗОНАТОР С ЕМКОСТНОЙ НАГРУЗКОЙ
На рис. 11.10 показан анодно-сеточный резонатор маячкового увч
триода. Коаксиальный резонатор замкнут справа настроечным
поршнем; слева он соединен с анодно-сеточным промежутком лам-
Триод Сетка Анод
/ /
Катод
Рис. 11.10
пы. Эквивалентная схема резонатора представляет собой коротко-
замкнутый отрезок линии, нагруженный на емкость (часто это
межэлектродная емкость лампы с добавлением емкости вводов).
Следовательно, слева к клеммам 11' присоединена емкостная ре-
реактивная проводимость Вс = аС, а справа — реактивная проводи-
проводимость короткозамкнутого отрезка коаксиальной линии
Вл =—ycctgp/ =—ycctg((u//ueA), где Yc=\/Zc —характеристиче-
—характеристическая проводимость коаксиальной линии.
Резонанс в системе ю = ю0 наступает при нулевой суммарной
реактивной проводимости на клеммах 11':
Вс + В„ = 0 или ш0С = YCctg(<Bol/vEll), A1.13)
что отображается пересечением кривых Вс и —Вл на рис. 11.11.
Полученное трансцендентное уравнение решается численно ме-
методом последовательных приближений (итераций). Низшая часто-
частота соответствует аргументу (о»о//и ), находящемуся в пределах от
нуля до я/2, т. е. длине отрезка линии К.Х/4. На положительном
265
в ~
Pl'(. 11.11
участке каждой последующей ветви
—Вл —^ctg p/ находятся новые решения
ур-ния A1.13) — высшие резонансные
частоты.
Резонаторы с волной типа ТЕМ строят
преимущественно на коаксиальных и по-
лосковых линиях. Они используются от
метровых до сантиметровых волн в схе-
схемах генераторов, усилителей, частотных
фильтров, в измерительной технике.
11.4. Волноводныс резонаторы
КОРОТКОЗАМКНУТЫЙ ОТРЕЗОК ВОЛНОВОДА
Отрезок полого волновода с замкнутыми концами также является
резонатором со стоячей волной. В этом случае зависимость коэф-
коэффициента фазы р от частоты более сложга, чем для волны типа
ТЕМ и определяется ур-нием (8.4): &2 = х2+р2 пли Bя^уцеJ =
= Bл/кр/у J+р2. Соотношение A1.11) позволяет найти резонанс-
резонансную частоту _
/ Г<7=0. 1. 2. • ¦ •. AU4)
которая зависит не только от длины отрезка /, но и от поперечных
размеров волновода, определяющих его критическую частоту.
Равенство нулю фазового коэффициента р = 0 (при <7 = 0) соот-
соответствует критическому режиму в волноводе, когда парциальные
волны распространяются перпендикулярно его оси и образуют
стоячую волну в поперечном сечении. При этом структура поля
неизменна по всей длине волновода и условие Е L =0 на его тор-
торцах должно быть распространено на все промежуточные значения
z. Следовательно, в этом случае может и должна существовать
лишь составляющая Е2, иначе электрическое поле вообще исчезнет.
Итак, случай q = 0 возможен только для ?-волн. Резонансная ча-
частота [о равна тогда критической частоте соответствующей волны
в волноводе и не зависит от длины резонатора.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ РЕЗОНАТОР
Отрезок полого металлического волновода прямоугольного сече-
сечения образует прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b
и / по осям. Подстановка в (П.14) ф-лы (9.17) приводит к соотно-
соотношению
<"л5>
которое показывает, что резонатор заданных размеров имеет бес-
бесконечное число резонансных частот, соответствующих всевозмож-
266
ным сочетаниям чисел т, п, ц. Каждое из этих чисел, принадлежит
определенной структуре поля с т, п и q полуволнами, укладываю-
укладывающимися вдоль осей параллелепипеда.
Волнам Етп и Нтп в волноводе соответствуют различные рас-
распределения полей в резонаторе, которые именуются колебаниями
(или модами) типа Emnq и Нтпя-
Рассмотрим распределение полей в прямоугольном резонаторе,
обращая особое внимание на простейшие колебания с наименьши-
наименьшими индексами, имеющие минимальные резонансные частоты.
Колебания типа Етпд. Как и при выводе ф-л A1.10), сло-
сложив волну типа Етп [ф-лы (9.16), (9.18)] с фазовым множителем
е и такую же встречную, у которой всюду заменен знак пе-
перед р, получим
Ёг = 2?0 sin l х sin т) у cos p г
Ё± = 2?„ — (—е* \ cos ? х sin ц у—ew ti sin g x cos т] t/) sin p г
Hx = i 2?0 ^- (— еу ? cos g x sin r\ у + е^ т) sin ? х cos х\ у) cos p г
A1.16)
Отметим, что все составляющие электрического поля изменя-
изменяются синфазно и сдвинуты по фазе на л/2 от составляющих маг-
магнитного поля. Это значит, что и в данном случае колебания сопро-
сопровождаются периодическим переходом всего запаса энергии в элек-
электрическое или магнитное поле. В отличие от коаксиальных линий
здесь получается сложная трехмерная структура стоячих волн, об-
образованных суммой парциальных волн. Можно показать (см. рис.
8.3), что косинусы углов между направлением парциальной волны
с осями координат равны соответственно Цк, x\/k и $/k. Парциаль-
Парциальные волны движутся по замкнутым линейно ломаным траекториям
длиной (m + n-\-q)k0 и после ряда отражений оказываются в фазе
с первоначальной волной.
Рассмотрим простейшую структуру поля, характеризующуюся
минимальными значениями индексов. Простейшей ?-волной в вол-
волноводе является ?п (т=[; /г=1). Для резонатора в данном слу-
случае допустимо значение третьего индекса q = 0, в результате чего
Р = 0 и ?х=0- Заметим, что эта структура поля, обозначаемая сим-
символом ?]ю, идентична структуре волны типа ?ц в прямоугольном
волноводе на критической частоте. Составляющие поля Ег и Н ±
не зависят от z (cosp2=l), а резонансная частота — от длины
резонатора ¦/.
Колебания типа Hmnq. Аналогично предыдущему найдем
суперпозицию волны Итп [ф-лы (9.22), (9.23)] и волны противопо-
противоположного направления. В результате получаем стоячую волну, удов-
удовлетворяющую граничным условиям на концах резонатора:
267
Нг=i 2Я0 cos I x cos т) у sin p 2
Hx = i2//0 -?-(— ex I sin I x cost) 1/ — e, r| cos * x sin r| у) cos p z
Ёх = 2Яо ^
A
—ехт|cos?хSinn»)sinpz
A1.17)
Рис. 11.12
Минимально возможное значение <7=1, так как <7=0, р = 0 обра-
обращает в нуль все составляющие поля A1.17). В то же время Я-вол-
У ны в волноводе могут иметь один нз индек-
индексов, равный нулю, так что низшими частотами
будут обладать структуры #IOi с составляю-
составляющими Еу, Нх и Нг (рис. 11.12) и Нои (Ех, Ну
и Нг). Структура полей этих двух типов оди-
одинакова; они отличаются лишь ориентацией:
электрическое поле параллельно той оси, кото-
которой соответствует нулевой индекс. Заметим,
что в обоих случаях \m+n+q=2, т. е. замкну-
замкнутая траектория парциальной волны, лежащая
в плоскости вектора Н, имеет длину 2А.<>.
Всевозможные резонансные частоты резо-
резонатора образуют бесконечный дискретный
спектр. Можно показать, что по мере роста
частоты этот спектр сгущается и резонансные
кривые отдельных типов колебаний все в боль-
большей степени перекрываются. Плотность спекг-
ра — число резонансов, отнесенное к единичной полосе ча-
частот AiV0/Af=4nV/f2/yfM, возрастает пропорционально квадрату ча-
частоты. Поэтому на частотах, где объем резонатора У»?.3, резона-
резонатор становится непригодным в качестве частотно-избирательной
системы.
В этот спектр входят также вырожденные колебания — колеба-
колебания с разной структурой поля, но одинаковыми резонансными ча-
частотами, например, Emnq и Hmnq с одинаковыми индексами в пря-
прямоугольных резонаторах. Даже при небольшом искажении формы
внутренней полости резонатора между вырожденными коле-
колебаниями возникает связь, искажающая их резонансные характе-
характеристики.
Назовем одномодовым такой режим резонатора, при котором в
определенной полосе частот (соответствующей спектру поступаю-
поступающего сигнала, либо условиям возбуждения генератора) могут су-
существовать колебания только одного типа. Чаще всего одномодо-
вый режим получают, используя основное колебание в резонаторе,
т. е. колебание с низшей резонансной частотой. В одномодовом ре-
режиме полностью реализуются частотно-избирательные свойства
резонатора.
268 -^
Из ф-лы A1.15) легко определить, какое колебание будет ос-
основным в прямоугольном резонаторе: у основного колебания ну-
нулевой индекс соответствует наименьшей стороне резонатора, т. е.
вектор Е параллелен этой стороне. Например, в резонаторе с Ь<а
и b<jl основным является колебание типа Н\о\. При неравных раз-
размерах ребер резонатора колебания типов Ец0, #юь #он имеют
различные резонансные частоты. При равенстве двух или трех его
сторон наблюдается двух- или трехкратное вырождение.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАТОР
Явления в резонаторе, образованном из отрезка круглого волново-
волновода (рис. 11.13), не отличаются от рассмотренных выше. Для опре-
определения резонансной частоты воспользуемся ф-лой A1.14), вспом-
вспомнив, что в круглом волноводе
критическая частота определяет-
определяется через значения корней функ-
функции Бесселя vnm для ?-волн или
ее производной v'nm для Я-волн
[ф-лы (9.43), (9.45)]:
,(? или Н)
/о
Рис. 1Г.13
A1.18)
Колебания типа Enmq. Сложение двух встречных волн
[ф>лы (9.42), (9.48)] с разными знаками перед р позволяет полу-
получить составляющие поля:
Ёг = 2E0Jn (x r) cos n ф cos p г
Ёх = 2?о 4 [ - ег 7. J'n (У. г) cos п ф + еф — Jn (/ r) sin n cpj sin p г
Нх = i 2?0 ^ Г— е х J'n (/ г) cos п ср - ег Л- Jn (x r) sin n cpl cos p
A1.19)
Эти выражения показывают, что нулевое значение q здесь воз-
возможно, оно приводит к тому, что исчезают поперечные составляю-
составляющие электрического поля, т. е. ?± = 0. Следовательно, низшее коле-
колебание этого типа ?о« не имеет вариаций поля да азимуту и оси г
(рис. 11.13). его поле содержит только две компоненты Ez и Нч.
Резонансная частота равна критической частоте волны Е01 и не
зависит.от ¦/: ff- = /?••= A1,47/а [см]) ГГц.
пев
Колебания типа Hnmq. Колебания этого типа возникают
при интерференции встречных волн вида (9.44), (9.49):
Нг = i 2H0Jn (/ г) cos n qp sin р z
Нх = i 2Я0 i Г ег / J'n (у г) cos п ф — еф-^- У„ (х г) sin n ф 1 cos р 2
Ёх = 2Я0 ^" Г— еф у Уп (//) cos n ф — ег -^- У„ (у r) sin n ф1 sin р 2
A1.20)
При р = 0 исчезают все компоненты поля. Поэтому q=\, 2, 3...
Из Я-волн в круглом волноводе в свое время отмечалась волна
типа Ян, как имеющая низшую критическую частоту, и волна типа
Я01 с малым затуха-
затуханием. Этим волнам со-
соответствуют колебания
с подобными свойства-
свойствами. Колебание Яш
(рис. 11.14) имеет бо-
более низкую резонанс-
резонансную частоту, чем EOio,
если длина резонатора
больше его диаметра
Колебание типа ЯОц
(рис. 11.15) позволяет
получить высокую доб-
добротность резонатора.
В цилиндрических
резонаторах в силу
(9.46) вырождены ко-
колебания типов HQmq и
Eimg, в частности типов
#оц и ?т. Кроме того, существует поляризационное вырождение
всех колебаний, не обладающих круговой симметрией (п^1), так
как возможен поворот структуры поля вокруг оси резонатора. На-
Настройка резонатора осуществляется изменением его длины или по-
поперечных размеров при помощи подвижного короткозамыкающего.
поршня, деформацией его стенок, или введением внутрь него ме-
металлических либо диэлектрических стержней.
11.5. Кольцевые резонаторы
Резонанс можно получить в направляющей системе, свернутой в
кольцо (рис. 11.16), если длина кольца по средней линии кратна
длине волны в этой системе на данной частоте
о о о о о
о о о о о о с
! v о о- о о о ,• |
Рис. 11.15
Фазовый коэффициент в два раза больше (при тех же д), чем
в резонаторах стоячей волны, так как волна, пройдя расстояние /Ср
один раз, должна оказаться в фазе с первоначальной волной.
По аналогии с ф-лами A1.14) и A1.12) найдем резонансные
частоты для кольца из полого волновода и линии с волной ТЕМ:
С = ]/"( W
"И /о" = ^ед/'ср-
A1.22)
От
генератора.
Направленный
отВетбитель
тракт
Рис. 11.16
- q А или р = </2я//ср, q = 1, 2, 3, . . .
(П.21)
270
На рис. 11.16 показан способ возбуждения кольцевого резона-
резонатора с помощью так называемого направленного ответвителя. Пос-
Последний передает определенную часть мощности волны, распростра-
распространяющейся в основном тракте,
волне одного направления в кольцебой
кольцевом резонаторе, так что резонатор
в нем тоже создается бегущая
волна.
Можно так согласовать
тракт, чтобы вся мощность
волны. распространяющейся
по основному тракту, воспол-
восполняла потери в кольцевом резо-
резонаторе РГ = Р0. Энергия, запа-
запасенная в резонаторе,-определя-
резонаторе,-определяется соотношением W = qPKT,
где Т — период колебаний.
Тогда по ф-ле A1.2) находим
добротность резонатора Qo=
= 2nqPKTI(PoT)=2nqPKIPo и мощность волны в кольце
PK = PrQo/Bnq), которая в QolBnq) раз больше чем мощность ге-
генератора. Благодаря этому кольцевой резонатор можно использо-
использовать для испытания волноводных элементов на больших мощно-
мощностях, многократно превышающих мощность свч генератора. Испы-
Испытуемый элемент вставляют в разрыв кольца.
11.6. Открытые резонаторы
На миллиметровых и субмиллиметровых волнах, а тем более в
оптическом диапазоне, объемные резонаторы оказываются непри-
непригодными: на низших типах колебаний их размеры слишком малы,
а на высших они теряют частотно-избирательные свойства из-за
чрезмерной густоты спектра их собственных колебаний. В указан-
указанных диапазонах применяются открытые резонаторы, в которых по-
поле не замкнуто металлической оболочкой; они отличаются высо-
высокой добротностью, значительными колебательными мощностями и
малой (по сравнению с объемными резонаторами) плотностью
спектра собственных колебаний.
Открытый резонатор представляет собой систему из двух (иног-
(иногда более) зеркал (рис. 11.17), отражающих друг к другу пучок
лучей. Отражатели располагают в свободном пространстве, либо
271
между ними устанавливают открытый волновод (например, ди-
диэлектрический). Зеркала резонатора обычно выполняют из нес-
нескольких чередующихся четвертьволновых слоев диэлектриков с
большими и малыми значениями е, их коэффициент отражения
Ци/рратионные \Г\ >0,99. Из ф-лы F.39)
Фокусы
Рис. 11.17
потери следует, что диэлектриче-
диэлектрическая пластинка толщиной
в четверть длины волны
отражает значительно
сильнее, чем граница
двух диэлектриков, так
как складываются в фазе
две отраженные волны.
Указанный принцип положен в основу создания многослойных от-
отражателей. Металлы для этой цели применяют редко, так как ко-
коэффициент отражения от их поверхности в оптическом диапазоне
недостаточен.
Все размеры резонатора значительно больше длины волны, по-
поэтому довольно точное представление о его работе можно полу-
получить с помощью геометрической оптики. Отражающийся от зеркал
пучок лучей создает стоячую волну на любой из частот \(q), опре-
определяемых ф-лой A1.12), тогда длина резонатора кратна длине
резонансной полуволны. Обычно длина резонатора составляет не-
несколько десятков сантиметров, а Х&1 мкм, поэтому численное
значение q очень велико: используются колебания высших (по
продольной оси) типов. Разность двух соседних резонансных ча-
частот
р = /07+1) /№ = ;
A1.23)
значительно меньше каждой из этих частот. Например, при 1=1 м
и vе„=с получаем /7=150 МГц. Длине волны %=1 мкм соответ-
соответствует f = 3-1014 Гц=300 ТГц. Следовательно, q=f/F=2-We. Ак-
Активная среда газового лазера (оптического квантового генератора)
возбуждает колебания в более широкой полосе, чем F, например,
1000 МГц. Поэтому лазер излучает сразу в нескольких частотных
полосах.
Плотность спектра собственных колебаний AiVo/A-/=l/.F=2//u
что в 2я5Д2 раз меньше, чем в закрытом объемном резонаторе
объемом V=Sl.
Форма и размеры пучка лучей определяются размерами зерка-
зеркала; пусть это будет круг диаметром 2а. Так как 2а>Л, между зер-
зеркалами распространяются волны с продольными составляющими
ноля, на несколько порядков меньшими поперечных. Их обычно
называют ТЕМ-волнами. Однородная волна типа ТЕМ с одинако-
одинаковой амплитудой по всему сечению пучка будет иметь большие по-
потери на отражение, поскольку существует дифракционное расши-
расширение пучка и часть его энергии оказывается за краем отражаю-
27J
щего зеркала. Малые потери имеют только такие ТЕМ волны, у
которых амплитуда спадает к краю пучка.
Дифракционное расширение пучка в значительной степени
лменьшается при использовании вогнутых зеркал. Система из кон-
конфокальных сферических зеркал с радиусом кривизны R — 1 имеет
оба фокуса в центре резонатора (фокусное расстояние равно Я/2).
По законам геометрической оптики параллельный пучок лучей со-
собирается каждым из зеркал в фокусе. Однако дифракция волн при
отражении от зеркала конечных размеров вносит поправку: сече-
сечение пучка в фокальной плоскости минимально, но конечно.
Рассмотрим в цилиндрических координатах (<р, г, z) те типы
колебаний в открытом резонаторе, которые имеют малые потери.
Обычно в резонатор включают устройство, фиксирующее плос-
плоскость поляризации, поэтому ограничим рассмотрение плоскоиоля-
ризованными полями. Постоянство отношения Е/Н и практическое
отсутствие продольных компонент поля позволяют называть эти
колебания ТЕМптд. Здесь п — число вариаций поля по углу ср;
т — число вариаций по радиусу г; q — число полуволн по оси z.
Колебания, (различающиеся по т и п, называются в открытых
резонаторах угловыми модами, а различающиеся по q — аксиаль-
аксиальными модами. На рис. 11.18 показаны поперечные распределения
электрического поля для четырех простейших угловых мод.
Рис. 11.18
С увеличением индексов пат повышается напряженность по-
поля на краю зеркала и возрастают дифракционные потери. Эти по-
потери зависят также от относительного размера зеркала, выражен-
выраженного числом Френеля N = a2l(lk). На рис. 11.19 сплошными кривы-
кривыми показана зависимость дифракционных потерь мощности от N
за один цикл движения волны (отражение от двух зеркал) для
разных типов волн в конфокальном резонаторе.
Основная волна ТЕМ00 дает колебания ТЕМоо9 с частотами
f{oq)=qF. Для волн с более сложной поперечной структурой экви-
эквивалентная длина конфокального резонатора несколько уменьша-
уменьшается, так как основная часть энергии распространяется параллель-
273
но оси z по более короткой траектории ближе к краям зеркал. По-
Поэтому резонансные частоты для колебаний TEMnmg определяются
соотношением:
т)\ F;F = v
.24)
1,4
В результате резонансные частоты колебаний TEMiOg и TEMoi,
оказываются в середине промежутка между частотами ТЕМооч,
а частоты колебаний ТЕМоо?
совпадают с ТЕМ20д. Следо-
Следовательно, в открытом резо-
Плоские наторе наблюдается вырож-
вырождение колебаний.
Режим работы открыто-
открытого резонатора считают одно-
модовым, если в нем воз-
возбуждены только колебания
ТЕМОод, т. е. при определен-
определенной структуре поля в попе-
поперечной плоскости, соответ-
соответствующей основной угловой
моде, допускаются колеба-
колебания на нескольких резо-
резонансных частотах A1.24) с
разными значениями q, раз-
разные аксиальные моды. В мно-
гомодовом режиме в откры-
открытом резонаторе наблюдается
несколько различных угло-
угловых мод TEMnmg с отлича-
отличающимися п или т. Нужно иметь в виду это различие в определе-
определениях одномодового режима открытых и закрытых резонаторов.
Резонатор с плоскими зеркалами, называемый также интерфе-
интерферометром Фабри-Перо, концентрирует пучок волн в меньшей сте-
степени, чем конфокальный. При круглой апертуре в нем создаются
такие же волны, но с большей напряженностью на краях зеркал.
Поэтому дифракционные потери в этом случае больше (пунктир-
(пунктирные линии на рис. 11.19). Резонансные частоты всех колебаний при
плоских зеркалах практически совпадают и рассчитываются по
ф-ле A1.12). Приведенные здесь соотношения основаны на стро-
строгом решении весьма сложной задачи [7], которое не может быть
рассмотрено в пределах данного курса.
11.7. Собственная добротность резонаторов
ДОБРОТНОСТИ ПРОВОДЯЩЕЙ ОБОЛОЧКИ И ДИЭЛЕКТРИКА
Добротность резонатора определяется ф-лой A1.2), и ее расчет
сводится к нахождению запаса энергии в резонаторе и мощности
потерь Ро. Эта добротность называется собственной, поскольку
274
Рис. 11.19
'«е принимаются во внимание потери во внешних цепях. Собствен-
Собственные потери складываются из потерь в проводящих стенках резо-
резонатора Рщ, и в диэлектрическом заполнении Рд: Ро = Рпр + Рд. В со-
соответствии с этим, ф-ла A1.2) дает расчетное соотношение для
собственной добротности Qo резонатора:
1 р р р it
Собственная добротность резонатора определяется через доб-
добротности проводящей оболочки Qnp и добротность диэлектрика Qn.
Найдем эти величины.
Запас энергии в резонаторе складывается из равных в среднем
запасов электрической и магнитной энергии:
= 2W3 = ^a J | H \4V = ea j | E \4V.
Мощность потерь в проводящей оболочке. Со-
Согласно ф-ле F.27) и по аналогии с (8.44) определяем
кш
,А; А =
где^ = ^д =-о-'
Добротность проводящей оболочки теперь выразится в виде
• A1.26)
S S
Чаще всего оболочка резонатора и его заполнение немагнитные
, и |я = цПр=1. Для вычисления Qnp нужно знать распределение
магнитного поля данного вида колебаний в резонаторе. Ориенти-
Ориентировочное значение Qnp легко определить, считая, что энергия маг-
магнитного поля в среднем распределена одинаково по всему объему,
т. е. \Н\2=\НТ |2 = const. Тогда (при равенстве ц в средах) по-
получается очень простое соотношение:
Несмотря на простоту, ф-ла A1.27) в ряде случаев дает точные
оезультаты и редко приводит к ошибке, превышающей 10%.
Наибольшую добротность имеют выпуклые резонаторы простой
формы, близкие к шару или кубу, с максимальным отношением
V/S. При использовании определенного вида колебаний и сохра-
сохранении одномодового режима линейные размеры резонатора про-
пропорциональны Х± тогда У/5~Я3/Л2~Л~ 1//. Следовательно,
Qnp~Vf/f=ll Vf — с повышением частоты добротность падает.
275
Мощность потерь в диэлектрике, согласно ф-ле
(8.39), Рд=(оеа\ё.б\)Е\ЧУ.
v
Следовательно, добротность диэлектрика
\E\*dV
tgfi
A1.28)
равна обратной величине тангенса угла потерь. При воздушном
заполнении Q^^>Qnp и практически оказывается, что Q0=QnP.
РАСЧЕТ ДОБРОТНОСТИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ЗАТУХАНИЯ
ВОЛНОВОДА
Добротность Qnp резонаторов со стоячей волной и кольцевых удоб-
удобнее рассчитывать, беря за основу коэффициент затухания
a = /3i/2/36er [ф-ла (8.38)] направляющей системы, из которой обра-
образован резонатор (Рвег — мощность бегущей волны).
В резонаторах со стоячей волной существуют две встречные
волны, потери которых в диэлектрике и боковых стенках Рв такие
же, как у волновода с тем же потоком энергии. Кроме того, сле-
следует учитывать потери Рк при отражении волны на замкнутых кон-
концах резонатора.
Пусть известно распределение вектора Пойнтинга Я2= (Ex H)z =
= |#x|2Zf'H по сечению волновода или линии. Тогда мощность бе-
бегущей волны Рбсг= Г IlzdS. В соответствии с ф-лой (8.26) энерге-
*х
тическая скорость волны «3=/Ner/№i, где W\. — запас энергии на
единицу длины линии.
Определим запас энергии в резонаторе как сумму энергии пря-
прямой и обратной волн, протяженностью / каждая: W=W]-2l =
= (Рбег1иэJ1. Мощность потерь в волноводе на удвоенной длине21:
2
Тангенциальная составляющая магнитного поля при отражении
от проводящей стенки удваивается, т. е. Ях равна арифметической
сумме Н L обеих волн. Поэтому потери на концах волновода опре-
определяются как
Рк = 2RS
| Нх |2 dS = 8RS J | H± |2 dS =
ZE,
Теперь остается лишь подставить найденные значения в фор-
формулу для добротности резонатора:
Q.=
я„
(Op
4/ a
k
A1.29)
Эта формула пригодна для расчета резонаторов со стоячей вол-
волной по продольной оси (<7^1). Для резонаторов с волной типа
ТЕМ следует заменить Zf>H на ZB. В кольцевых резонаторах нет
концевых отражателей, поэтому второе слагаемое в знаменателе
следует положить равным нулю:
Л (П-30)
<2„ = Л=-
. ° 2а VK
Для ^-колебаний, не имеющих вариации поля по длине резо-
резонатора (<7 = 0), физические соображения, положенные в основу вы-
вывода ф-лы A1.29), непригодны. В формулу необходимо ввести по-
поправку: поскольку величина поля вдоль оси z неизменна, запас
энергии W и потери Рв увеличиваются вдвое, по сравнению с пре-
предыдущим случаем. Учтем также ф-лу (8.15e): ZB =ZB$/k=ZB^
Тогда для колебаний типа Етп0 получим
Rs/(ZBl)]
(при q = 0).
A1.31)
Использование ф-л A1.29) —A1.31) позволяет избежать инте-
интегрирования полей при расчете Qo-
РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ
КОЛЕБАНИЙ В ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРАХ
Прям®угольный резонатор. Для колебаний типа Етп0 из
решения задачи 9.4 и ф-лы A1.31) следует, что
спр
A1.32)
Аналогичную формулу можно получить для колебаний HmQq с
заменой в ф-ле A1.32) n—yq; b-+l; l-^*b.
Цилиндрический резонатор. Для колебаний Enmq и
Епто ф-лы (9.56), A1.29) и A1.31) приводят к соотношениям:
= 0.
276
A1.33)
277
Для колебания Hnmq (q^l) по ф-ле (8.17) получаем /
= р/&= У К. Тогда из соотношений (9.55) и A1.29) вытекает:
, /3 + 2q* л2 а3
I -1
A1.34)
Собственные добротности объемных резонаторов весьма высо-
высоки — порядка отношения линейного размера резонатора к толщи-
толщине скин-слоя, т. е. Q0«103 у коаксиальных резонаторов метрового
диапазона и Qo~lO4 — у волноводных резонаторов в сантиметро-
сантиметровом диапазоне. Для реализации такой добротности необходимы:
тщательное выполнение всех элементов резонатора, шлифовка его
внутренних поверхностей и защита их от коррозии.
ДОБРОТНОСТЬ ОТКРЫТЫХ РЕЗОНАТОРОВ
Потери в открытом резонаторе вызываются затуханием волны в за-
заполняющей его среде и потерями на его концах за счет дифракции
и неидеального отражения.
Обозначим относительные потери мощности три отражении от
двух зеркал /0к=/3к/Л>ег=Рдифр+ A — |Л|2) + A — \Г2\2), где
Рдифр = Рцафр/Рбег — относительные дифракционные потери мощно-
мощности на краях зеркал (см. рис. 11.19), |Г|2 — коэффициент отраже-
отражения от одного зеркала по мощности. Тогда из ф-лы A1.29) с уче-
учетом A1.23) и A1.24), считая щ—v^ и принимая во внимание, что
2q^>n+m, получаем
где а — коэффициент затухания волны в среде, заполняющей ре-
резонатор.
Так как численные значения q весьма велики, собственные доб-
добротности открытых резонаторов оптического диапазона высоки,
порядка 106ч-H7.
11.8. Возбуждение резонаторов
Методы возбуждения объемных резонаторов и* волноводов (см. па-
параграф 9.8) в принципе не отличаются. В «их применяются те же
элементы связи: штырь, петля, щель или отверстие. Их действие
можно представить соответствующим распределением сторонних
токов внутри резонатора. Распределение электрического и магии i-
ного полей в резонаторе получено выше для резонансной часто-
частоты /о, когда запасы электрической и магнитной энергии в нем н
среднем равны. На других частотах это равенство не выполняется
Поэтому необходимо ввести отдельные нормированные амплитуды
для электрического и магнитного полей в резонаторе.
278
Тогда по аналогии с ф-лой (8.48) электромагнитное поле рас-
рассматриваемого типа колебания в резонаторе запишется в виде
Ё = ?/Ён; Н = /Нн, A1.36)
где О и / — нормированные амплитуды поля (безразмерные коэф-
коэффициенты),
Ён и Нн — нормированные напряженности полей в резонаторе.
Назовем нормированным электрическое или магнитное поле в
резонаторе с запасом энергии WH=l Дж:
Jiri
= Wl = 1 Дж
¦J
Ян Г dV = Wl = 1 Дж
A1.37)
Следовательно, при резонансе полный_запас энергии в резона-
резонаторе с нормированным полем WH=Wl + W^=2 Дж.
Из уравнений Максвелла можно получить (см. [15]) следующие
выражения для расчета нормированных амплитуд:
1
17 =
2W"
-j U f JCT• ЁнdV - coc f JcMT• HH dV) j
/' =
ш
, A1.38).
V V
где fflc = <oc{l + i/BQo)] — комплексная собственная частота [ф-ла
A1.1)] для искомого типа колебания в резонаторе.
Определим величины 0 и / на резонансной частоте <а = <йо. Учи-
Учитывая выражение для комплексной собственной частоты сос, по-
получаем
= /0 — —¦
A1.39)
На резонансной частоте нормированные амплитуды равны меж-
между собой, что определяет равенство запасов электрической и маг-
магнитной энергии в резонаторе.
Объемные интегралы в ф-лах A1.38) и A1.39) аналогичны ин-
интегралу (9.59), описывающему возбуждение волновода. Следова-
Следовательно, в данном случае справедливы все указанные выше реко-
рекомендации об оптимальном расположении элементов связи, кото-
которое позволяет получить нужную амплитуду поля в резонаторе при
минимальных размерах этих элементов.
В многомодовом режиме размеры резонатора допускают суще-
существование колебаний нескольких типов. Устройства связи должны
27»
при этом обеспечивать избирательную по структуре поля связь
линии с резонатором, не допуская возникновения колебаний неже-
нежелательных типов. Источники располагают таким образом, чтобы
для таких колебаний интеграл в ф-ле A1.39) был равен нулю;
тогда ?/о=/о = О. Наиболее просто применить этот способ для сня-
снятия поляризационного вырождения, например, колебания Нш в
цилиндрическом резонаторе. Устройства связи фиксируют поле в
определенном положении.
Если имеются вырожденные колебания разных типов, из кото-
которых используется лишь одно, необходимы дополнительные меры
для подавления ненужных типов полей. С этой целью вводят до-
дополнительную связь резонаторов с поглотителями, расположенны-
расположенными внутри или вне резонатора. Такая связь должна быть макси-
максимальна для подавляемого колебания и минимальна для нужного.
Например, в цилиндрическом резонаторе с колебанием типа Ноп
необходимо подавить колебание типа Ет. Для этого в цилиндри-
цилиндрической части резонатора прорезают кольцевые щели либо остав-
оставляют кольцевой зазор между стенками резонатора и настраиваю-
настраивающим поршнем (рис. 11.15). Щели эквивалентны кольцевым (ази-
(азимутальным) магнитным сторонним токам /?т в ф-ле A1.39). Сог-
Согласно A1.20), Яф =0 у поля #оп и, следовательно, связь этого ко-
колебания с щелью отсутствует. Напротив, по ф-лам A1.19) Ну ^0
у поля Ещ, что приводит к сильному излучению энергии данной
волны через кольцевую щель. Благодаря избирательной связи ко-
колебаний различных типов с линией и поглотителями одномодовый
режим в резонаторе можно создать для колебания высшего (не-
(неосновного) типа.
Имеется возможность использовать несколько вырожденных
колебаний в одном резонаторе для создания резонансной системы,
эквивалентной связанным контурам. С этой целью вводят внут-
внутреннюю связь между полями различных колебаний с помощью эле-
элементов связи, изолированных от внешних линий. Элемент связи
располагают так, чтобы для двух связываемых между собой
колебаний Uo=Io?=O. Одно из колебаний возбуждает ток в
штыре или петле, который, в свою очередь, возбуждает второе
колебание.
Рассмотрим теперь изменение нормированных амплитуд Uи I
в полосе частот вблизи резонанса. Если Qo велико иДш = ш—©о^соо,
можно пренебречь различием между о и шс в круглых скобках
ф-лы A1.38). В этом приближении U и / изменяются в функции
частоты одинаково. Отношение резонансных значений коэффи-
коэффициентов A1.39) к их величинам на произвольной частоте со =
"а.
и
I 2Д<в
:A~1+iQ0 = 1 + i i0 = Л (go).
A1.40)
280
-что подтверждает введенные ранее соотношения A1.5) и A1.7а)
для нормированной функции ослабления Л(?о) и нормированной
частоты |0- Следовательно, говорить об эквивалентности частотных
характеристик контура и объемного резонатора можно только при
одномодовом режиме резонатора с высокой добротностью и для
частот, мало отличающихся от резонансной: д/=/—/о<С/о-
В определенных условиях резонатор эквивалентен контуру с
последовательным или параллельным резонансом. Так, случай
электрического возбуждения резонатора сторонними электрически-
электрическими токами /ст. постоянными по величине в диапазоне частот, соот-
соответствует генератору тока (/вх = const) на входе контура с парал-
параллельным резонансом (с резонансом токов). Входное сопротивление
в полосе частот определяется тогда ф-лой A1.4а).
Магнитное возбуждение резонатора осуществляется неизмен-
неизменными по величине сторонними магнитными токами /м и приводит
к эквивалентной схеме контура с последовательным резонансом
(резонансом напряжений) и генератором напряжения (?/BX = const)
на его входе. В этом случае справедлива ф-ла A1.46) для входной
проводимости.
11.9. Внешние характеристики резонаторов
ВНЕШНЯЯ И НАГРУЖЕННАЯ ДОБРОТНОСТИ
Рассмотрим резонатор, связанный через элемент связи с внешней
волноводной или коаксиальной линией, заканчивающейся согласо-
согласованной нагрузкой гвн=1 (рис. 11.20а). Кроме потерь в резонаторе,
в этом случае появляются потери Рвн во внешней нагрузке. По со-
соотношению вида A1.2) определим внешнюю добротность:
Q*H = aoW/PBH. A1.41)
Здесь предполагается, что источник мощности объединен с ре-
резонатором (генератор свч), если же в схеме имеется внешний ис-
источник, то считается, что при определении РШ1 и QBH он выключа-'
чается и колебания сущест-
существуют за счет энергии, нако- ч
пленной в резонаторе. Вели-
Величину Qbh можно считать ча-
частичной добротностью, кото-
которая определяется мощно-
мощностью, излучаемой из резона-
резонатора через отверстие связи.
Заменив резонатор экви-
эквивалентной схемой (рис.
11.206), находим, что отно-
отношение собственной доброт-
добротности Qo к внешней Qbh' равно нормированному входному сопро-
сопротивлению резонатора при резонансе, отнесенному к сечению /:
281
6)
Рис. 11.20
{u |2 _ ^ -
~r~ — — — r0.
A1.42)
Полная мощность потерь нагруженного резонатора Р„—Ро + Р
•определяет его нагруженную добротность QB: ""
- Qo
г.. A1.43)
КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ РЕЗОНАТОРА,
ОБЪЕДИНЕННОГО С ИСТОЧНИКОМ КОЛЕБАНИЙ
В электронных и квантовых генераторах свч создается внутрен-
внутренний механизм пополнения энергии в резонаторе. Поэтому можно
«читать №=const. Коэффициент полезного действия такого резо-
резонатора равен отношению мощности Рвн, поглощаемой нагрузкой
к полной мощности потерь Рн: '
QH г 1
AМ4)
___ Рв» _ QH _ г
Если наряду с Г=const задана мощность в нагрузке Рвн, то
¦<yBH = const. Тогда единственный способ увеличения -ци — повысить
собственную добротность резонатора Qo за счет уменьшения по-
потерь Ро. Поэтому стремятся использовать резонатор с высоким Qo,
несмотря на то, что нагруженная добротность QH часто получается
небольшой. Например, при Q0=2000 и QBH = 200 получаем Он=182
¦И Т)и = 91%.
КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕДАЧИ МОЩНОСТИ В РЕЗОНАТОР
ОТ ВНЕШНЕГО ИСТОЧНИКА
В схеме, изображенной на рис. 11.206, вместо сопротивления
гВц включен генератор постоянной мощности РИ, согласованный с
трактом. Рассмотрим энергетические соотношения на произволь-
произвольной частоте вблизи /0 при параллельном резонансе1). Коэффициент
передачи мощности
р„
где Г — комплексный коэффициент отражения от входа резонато-
резонатора; соотношение (8.53) связывает его с г" на входе резонатора.
В свою очередь, согласно ф-лам A1.4а), A1.5), ~z = 70/(\ + i|0), где
lo = QBA///o) —нормированная частота ненагруженного резонато-
резонатора. Следовательно,
') При последователььюм резонансе получаются аналогичные соотношения,
пыраженные через y = g + \b.
282
Г = г~~' -Го/С + i jo) — 1 _ г„ - 1 — i g0
7
и коэффициент передачи на частоте /:
ЧперО) = 1 ,- .,. . ° = -
4г„
Г = -^, (П.45>
где коэффициент передачи на резонансной частоте щ и нормиро-
нормированная частота нагруженного резонатора ?н:
Г]0 =
2Д_/ _ 2А/
A1.46)
Частотная характеристика передачи мощности в резонатор
определяется его нагруженной добротностью QH.
Рассмотрим условия согласования резонатора с линией в этой
схеме. При оптимальной связи го=1, Г = 0, т]о=1. Линия согласо-
согласована с резонатором и на резонансной частоте отражений в ней нет.
Это можно интерпретировать как полную компенсацию волны, от-
отраженной от входа резонатора, волной, вышедшей из резонатора
через отверстие связи. На частотах, отличающихся от /0. у опти-
оптимально связанного резонатора |г|<1 и на входе создается мини-
минимум напряжения; часть мощности отражается обратно к генера-
генератору.
Резонатор недосвязан, если отверстие связи слишком мало,
тогда /<1 и в сечении / устанавливается минимум напряжения
стоячей волны. В пределе отверстие связи полностью закрыто про-
проводящей стенкой и го = О. Резонатор пересвязан, если величина свя-
связи больше оптимальной, тогда го>1 и в сечении / возникает мак-
симум_ напряжения. В любом случае неоптимальной связи.
тю = 4го/A+7оJ<1.
ПРОХОДНОЙ РЕЗОНАТОР
Схема резонатора с двумя элементами связи (рис. 11.21а) приме-
применяется во многих частотных фильтрах, входных устройствах при-
приемников свч и резонансных волномерах. Аналогично включаются
Линия I
2' Un г
Н i—I—
Нсв/пражающая
нагрузка
Идеальный трансформатор
Рис. 11.21
283.
резонансные антенные газовые разрядники, которые служат для
перекрытия тракта антенна—приемник на время передачи мощно-
мощного радиолокационного импульса. Полагаем, что тракт идеально
согласован, т. е. имеет неотражающую нагрузку и согласованный
генератор.
Прежде всего, определим нормированные сопротивления резо-
резонатора при резонансе со стороны линии 1 (вход) и линии 2 (вы-
(выход). Считаем в каждом случае, что к резонатору подключена толь-
только одна из линий, как показано на рис. 11.20а. По аналогии с
ф-лой A1.42)
Г\ р — П D ~
A1.47)
"* '" '0 ^ .
¦ "овых
где QBx и_фвых — внешние добротности по входу и выходу.
Если гофгоВых, в эквивалентную схему (рис. 11.216) включа-
включается идеальный трансформатор с коэффициентом трансформации
л = V~ro вых//"о, который уравнивает эти сопротивления, соответст-
соответствующие потерям в одном и том же резонаторе. Приведем сопро-
сопротивление нагрузки на выходе к сечению 2' и выразим отношение
добротностей через приведенную нормированную величину на-
нагрузки:
= -^- = п2г0. A1.48)
Нагруженная добротность проходного резо-
резонатора учитывает мощность, поглощаемую согласованными на-
нагрузками на входе РВх и выходе РВых тракта при выключенном ге-
генераторе (за счет энергии, запасенной в резонаторе):
Он 4>oW a»/) W ш„ W о)п № On On» Om.,.
^•п и u U и .U "СВХ >СВЫХ
Он Овх Ових
A1.49)
Коэффициент передачи проходного резонатора опре-
определим как произведение коэффициентов передачи через сечения /
и 2: ti=t]!t]2.
Соотношение для коэффициента передачи ц\ через сечение /
получим по аналогии с выводом ф-лы A1.45). В данном случае
эквивалентное сопротивление справа от сечения 1 представляет
параллельное соединение z=ro/(l+i|o) и гъьа =\/п2; это сопротив-
ление_ Za=ro/j,l+n2r0+jlo). _Коэффициент отражения от входа
Л = (z8— 1)/(z3+1) = (г~о—n?F0— I— iEo)/(ro+«2ro+l+i|o). Следова-
Следовательно, коэффициент передачи через сечение /
- 1 1 Г. I2 =
A + Га + ПгГл) + ё„ 1 +
где коэффициент передачи на резонансной частоте и нормированная
частота нагруженного резонатора определяются как
4^A +пЧ0) , ? So Q 2A/
(l + Га + nV0)
V)
1 + Га + ПгГ0
Нагруженная добротность QH определяется по ф-лам A1.49) и
учитывает потери резонатора через оба элемента связи. Как и ра-
ранее, частотная характеристика передачи мощности в резонатор оп-
определяется его нагруженной добротностью.
Коэффициент передачи т]2 через сечение 2 определяется по ана-
аналогии с A1.44) и не зависит от частоты; с учетом ф-лы A1.48)
имеем
Ослабление проходного резонатора A(f) опреде-
определяют как отношение амплитуд волн, проходящих в нагрузку:
Of — при замене резонатора отрезком идеального волновода и
Щ — с включенным резонатором; предполагается, что тракт иде-
идеально согласован, т. е. заканчивается неотражающей нагрузкой.
A(f) = Ot (O/UT (/)• A1.53)
Ослабление по мощности равно обратной величине коэффициен-
коэффициента передачи:
= -А" = —,!—" = I А>12A + %)¦ (П.54)
Ослабление на резонансной частоте
1 14-;
= 1 ОвхОвых
2QH
A1.55)
284
Величина |Л0| тем меньше, чем выше QH при фиксированных
значениях QBX и фВых- Это достигается только за счет больших
значений собственной добротности резонатора Q0-
Ослабление проходного резонатора отличается от введенной в
11.1 нормированной функции ослабления, определяемой по вход-
входному сопротивлению (проводимости), лишь появлением множителя
|Ло|, соответствующего ослаблению на резонансной частоте.
В широкополосных фильтрах требуются низкие значения на-
нагруженных добротностей. Пусть, например, QH=20, a Qo='500 и
и=1, тогда 70=0,5(Qo/Qh—1) = 12, О.вх = 0_вых = 41,6 и ослабление
на резонансной частоте |Ло| = 1,О4. При Qo-*-o° |Ло| = 1.
Резонансная характеристика измерителя частоты должна быть
очень острой, для чего необходимо сохранить высокие значения QH-
Тогда г0 и nVo должны быть намного меньшими единицы_и ослаб-
ослабление будет большим. Например, если Qo =10 000, и = 1; го = О,1, то
285
Выход
<2н=8300 и |Л0|=6. На выход проходит всего 1/36 часть мощности1
генератора.
Здесь, как и в любой схеме, наилучшие энергетические соотно-
соотношения получаются при высокой собственной добротности резона-
резонатора.
ВОЗБУЖДЕНИЕ НАГРУЖЕННОГО РЕЗОНАТОРА
Расчет возбуждения резонаторов в 11.8 не учитывает потерь во
внешних цепях. Если рассчитывается элемент связи для нагружен-
ного резонатора, необходимо во всех
формулах заменить собственную доброт-
добротность Qo "a нагруженную QH и соответ-
соответственно Еп на ?н, в том числе, и в соот-
ношении^для комплексной собственно!"!-
частоты сое- При такой замене частотные
характеристики по ф-лам A1.38) —
A1.40) приводятся в соответствие с
ф-лами A1.45) —A1.55).
РЕЗОНАТОР УВЧ
Проходной коаксиальн ый
резонатор (рис. 11.22) является ти-
типичным резонансным элементом для мет-
Рис. п.22 ровых волн. Рассмотрим его в качестве
примера. Определим напряжение на вхо-
входе незагруженного резонатора, в котором стоячая волна обра-
образуется суперпозицией двух бегущих. Согласно A1.10)
где Zcp— характеристическое сопротивление резонатора.
Найдем мощность потерь через накопленную энергию W=
= /3бег2//ыэ и добротность резонатора Q0[cm ф-лы A1.29) и A1.12)];
Ро = со„ W/Qo = 2* /<") P6er2l/ (QovJ = 2я qP6er/Q0,
где q — число полуволн по длине резонатора.
Входное сопротивление ненагруженного резонатора
о _|?/вх12 . 2 7
A1.56)
зависит от места включения линии (z0) и может регулироваться в
весьма широких пределах. Его нормированное значение 70=Ro/Zc>
где Zc — характеристическое сопротивление линии. В схеме рис.
11.22 входная и выходная линии одинаковы; коэффициент транс-
286
формации п=\. Нагруженная добротность и ослабление опреде-
определяются местом включения линии в резонатор, так как они зависит
от 70 [ф-лы A1.49) и A1.55)].
ЗАДАЧИ
11.1. Определить три низшие резонансные частоты коаксиальной резонанс-
резонансной системы триодного генератора (рис. 11.10), заполненной воздухом при
С = 5 пФ, 2а=10 мм, 26 = 25 мм, / = 200 мм.
Найти отношения /р2'//^1' и ffilf^- Почему высшие резонансные ча-
частоты не являются гармониками первой, как это было в четвертьволновом ре-
резонаторе?
Ответ. /<,!) = 0.27 ГГц; ^2) = 0,89 ГГц; /<,3) = 1,58 ГГц.
11.2. Найти размеры полого прямоугольного резонатора с резонансной ча-
частотой /о = 6 ГГц для структуры поля ?цс. Все колебания других типов должны
иметь собственные частоты не менее 9 ГГц (допускается вырождение этих
колебаний). Определить частоты пяти простейших колебаний (включая ?цо) и
начертить структуру их полей.
Ответ: а=,6 = 3,54 см; /=1,89 см; СГ=/о" = 9 ГГц; ^"=9,95 ГГц.
11.3. Определить, при каком отношении 1/а резонансные частоты колебаний
типов #ш н ?(мо в цилиндрическом резонаторе равны. Каково отношение резо-
резонансных частот этих колебаний при значениях 1/а, вдвое меньших и вдвое боль-
больших найденного.
Ответ: Частоты равны при //а = 2,02; f"/f^ =1,51 при / = а; /^//jf =0,83 при
1 = 4 а.
11.4. Вычислить резонансную частоту и собственную добротность (по точ-
точной и приближенной формулам) . прямоугольного медного резонатора при
<z = / = 20 мм, 6='1О мм для колебания типа Hi0U Шероховатость стенок учи-
учитывается множителем /сш=1,2.
Ответ: /о=Ю,6 ГГц; Q0 = 6300; по ф-ле A1.27) Q0 = 6500.
11.5. Вычислить /о и Qo цилиндрического медного резонатора при а= 15 мм,
1 = 20 мм, /сш = 1,2 для колебаний типа ?ою, Яш и Яоп-
Ответ: /0 = 7,65; 8,90; 14,3 ГГц; Qo= 12100; 10300; 20200.
11.6. Вычислить /о и ориентировочное значение Qo тороидального резона-
резонатора (рис. 11.4) прн а = 8 мм, /4 = 20 мм, d = 2 mm, /i=10 мм, /сш=1,2.
Указание. При расчете добротности по ф-ле A1.27) следует учесть, что
центральная часть резонатора радиуса а изготовлена из сетки. Ее поверхност-
поверхностное сопротивление нужно принять в 5 раз большим, чем у сплошного материа-
¦ ла, что эквивалентно такому же увеличению площади этой части резонатора.
Ответ: /о— 3,2 ГГц; Qo^2700.
11.7. Вычислить /о н ориентировочное значение Qo магнетронного резона-
резонатора (рис. 11.6) при d = 2 мм, / = 5 мм, D=10 мм, й = 20 мм, /сш=1,2.
Ответ: /о ж 4 ГГц; Q0«3100.
11.8. Кольцевой резонатор выполнен из прямоугольного алюминиевого
волновода с внутренними размерами 72X34 мм. Длина кольца по средней линии
./ср = 200 мм. Определить частоту и добротность трех низших колебаний резо-
резонатора (<7=1, 2, 3), соответствующих волне типа Ню в волноводе при
к = 1 2
Ответ:'fo = 2,56; 3,65; 4,96 ГГц; Qo= 10400; 31000; 66700.
11.9. Открытый резонатор газового лазера представляет собой систему из
двух конфокальных сферических зеркал радиусом а = 2 мм; длина резонатора
/ = 50 см. Коэффициент отражения (по мощности) первого зеркала |/\|2 = 0,99;
второго — |Г2|2 = 0,96. Активная среда возбуждает колебания в полосе частот
/=500 A±10~в)ТГц. Коэффициент затухания волны в среде а°=A дБ/м. Резо-
Резонатор работает в одномодовом режиме. Определить номера возбуждаемых ко-
колебаний и их собственные частоты, добротность и полосу пропускания резона-
резонатора. Начертить на одном графике резонансные кривые всех возбуждаемых
колебаний.
287
Ответ: q=\ 666665+A: (k=Q, 1, 2, 3); /„„=499999, 5+0,3 k ГГц; Q0 = 374X
X107; Я= 13,4 МГц.
11.10. Нагруженная добротность цилиндрического объемного резонатора с
колебанием типа Нш на резонансной частоте fo = 3 ГГц составляет QH=102.
Радиус резонатора а=3,5 см. Резонатор возбуждается круглой петлей площадью
S = 0,2cm2 на его торцевой стенке; ток в петле /Вх=1 А. Определить оптималь-
оптимальное положение петли, напряженности полей в резонаторе на резонансной ча-
частоте и входное сопротивление петли.
- Решение. Длина резонатора, отвечающая резонансной частоте, опреде-
определяется из ф-лы A1.18) при v'ii = 1,841 и <?=П ''=9.1 см. Для определения нор-
нормированных значений поля в резонаторе необходимо найти запасенную в нем
энергию через коэффициенты Но в ф-ле A1.20). Интегрирование по ф-лам
A1.37) сравнительно сложно. Проще использовать в данном случае соотноше-
соотношение между запасом энергии в резонаторе при резонансе и мощностью бегущей
волиы в волноводе (см. параграф 11.7); W=(Pcer/uJl=21P6er k/($c). Мощность
волны Нц в круглом волноводе определяется ф-лой (9.53). Следовательно,
W = 4\?7{k2fcJla4ZB/ZB0) Н20= 150- К)-'2 Н20 , Дж. Учитывая, что №"=й Дж,
определим нормированное значение коэффициента: Яр= У 2/A50-10~12) =
= 115 кА/м. Оптимальное положение петли — в центре торцевой стенки резона-
резонатора (г = 0; 2 = 0), где магнитное поле максимально. В соответствии с
ф-лой A1.20)
Н" = i (Р/У.) Яо = i 75,5 кА/м (при <р = 0).
Дипольный момент элементарного магнитного излучателя находим по
ф-ле G.23): (/"т l) = '\ k0 ZB0 /ст SB = i 2,37 В-м. Нормированные амплитуды при
резонансе определяются ф-лой A1.39): Оо = /о = QH ( /"т О Н" / BW" Щ) =
= i4,75-10~4. Следовательно, ненормированное значение коэффициента Но =
= /0 //q = i 54,6 А/м. Поле в любой точке резонатора теперь определяется по
ф-лам A1.20).
Энергия, запасенная в резонаторе при резонансе, W=\Uo\2WB +
+ | /о j2W-'"=21 ?/12WH=0,451 мкДж. Мощность потерь в резонаторе и выходной
нагрузке P=woW/QB=85 Вт. Входное сопротивление петли ./?вх=Я//|х =85 Ом.
11.11. Полуволновый коаксиальный резонатор изготовлен из линии с ха-
характеристическим сопротивлением Zcp = 25 Ом и коэффициентом затухания
« = 0.001 1/м. Он включен в разрыв коаксиальной линии с Zc=75 Ом, zo = 5 см.
Резонансная частота /0 = 300 МГц. Определить собственную и нагруженную
добротности, а также коэффициент ослабления резонатора на частотах /0" и
/i=310 МГц.
Ответ: Q0 = 3140; QH = 24,6; \Aa\ — 1,008; |.4,| = 1,9.
11.12. Найти положение г0 для резонатора в задаче 11.11, чтобы сделать
QH=100.
Ответ: 20 = 2,4 см.
11.43. Вывести формулу, для входного сопротивления коаксиального резо-
резонатора, разомкнутого на обоих концах.
Ответ: Ro= B/nq)Zcp Qo cos2 C z0.
Глава 12.
ВОЛНОВОДЫ ПОВЕРХНОСТНОЙ ВОЛНЫ
И ЗАМЕДЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ
12.1. Основные свойства к характеристики
ЗАМЕДЛЕННАЯ ВОЛНА
Класс волноводов, рассматриваемый в этой главе, имеет ряд осо-
особенностей. Волновод состоит, по крайней мере, из двух разнород-
разнородных слоев, так что парциальная волна попеременно переходит из
одного слоя в другой. Величина фазового коэффициента волны р
находится в промежутке между волновыми числами /si=«ok eaifiai
и &2=G) У"еа2(д.а2 сред, образующих волновод (8.23): &i>iP>&2- Бла-
Благодаря этому фазовая скорость v волны в волноводе меньше, чем
скорость v e|l2 во второй, оптически менее плотной среде (см.
рис. 8.12). Такая волна называется замедленной.
Напряженность поля волны в среде 2 убывает при удалении от
граничной поверхности; основная часть энергии в этой среде рас-
распространяется вблизи и параллельно границе, поэтому волна на-
называется поверхностной (ом. параграф 8.5). Замедление волны и
ее поверхностный характер неразрывно связаны, поэтому опреде-
определения «замедленная волна» и «поверхностная волна» следует счи-
считать физическими синонимами.
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИМПЕДАНС
В тех случаях, когда речь пойдет о ©олнах класса Е или Н, будем
приравнивать тангенциальные составляющие Ех и Их на границе
двух сред 5, пользуясь для упрощения следующими приемами:
1) обеспечим равенство продольных,составляющих поля Ez или Нг
на S и 2) установим по обе стороны границы S равенство для по-
поверхностного импеданса:
или Z4 =
A2.1)
Условимся, что в ф-лах A2.1) направление вектора Ёх или Нх
выбрало так, что нормальная к S составляющая вектора Пойнтинга
направлена из среды 2 с поверхностной волной в среду /. Общие
соотношения (8.15), (8.17) позволяют обнаружить, что для волны
без потерь (\ = ip) поверхностный импеданс чисто реактивен, при-
причем он положителен для волн класса Е и отрицателен для #-волн.
10-2 289
Появление активной составляющей Zs означает, что поверхностная
волна затухает. Это свойство присуще и другим волнам. В самом
деле, для идеальных линий и металлических волноводов ?,=0 и
Zs=0; потери в проводниках учитывались введением комплексного
импеданса Zs— (I -И)/(<хЛ) на их поверхности.
УРАВНЕНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Волна, распространяющаяся в многослойном волноводе, представ-
представляет собой единый ёолновой процесс, зависящий от координаты z
и времени по закону (8.1). Если не учатывать потери в средах, то
общий множитель для всех компонент поля волны запишется
в виде е|<<а'~~рг). Для любой из идеальных сред двухслойного вол-
волновода должны выполняться уравнения коэффициентов (8.4):
*? = Ра + х?; Щ = Ра + К% где xi и Х2 — поперечные волновые
коэффициенты в первой и второй средах. Неравенство ki>$>kz
позволяет заключить, что %\ >0, а %%<0, следовательно, хг — мни-
мнимая величина. Целесообразно заменить мнимый коэффициент хг
на вещественный ? так, чтобы 52=—xf • Тогда волновые ур-,ния (8.5)
для внешней среды 2 примут вид:
у^Ё-?»Е = 0; viH-?aH = 0, A2.2)
где ? — поперечный коэффициент поверхностной волны, характе-
характеризующий быстроту убывания поля при удалении от границы
(см. также ф-лу (8.22)].
Введем следующие обозначения для поперечных коэффициентов
и отношений тромицаемостей сред:
X аш Х« 6 s * Хг; е = еа1/еа2; ц == fWH*- A2-3)
Тогда ki=k2Y~e\i, и уравнения коэффициентов запишутся как
p« + xt, *f = P2-?2. A2.4)
Разность этих равенств умножим на квадрат основного разме-
размера а волновода (например, на рис. 8.8 1а— толщина диэлектри-
диэлектрической пластины); в результате получим уравнение для безразмер-
безразмерных величии: (%a)z+ (?аJ= (^аJ(ец—1). '
Введем нормированные поперечные коэффициенты х, ? и норми-
нормированную частоту F:
A2.5)
Выражение в скобках постоянно при данной конструкции волно-
волновода.
290
С помощью эгих обозначений запишем уравнение нормирован-
нормированных поперечных коэффициентов
Хя + ?1 = /7Я. A2.6)
Для отыскания двух неизвестных х и Е необходимо второе соот-
соотношение. Запишем его пока в общем виде как Dn(x, E) = 0 и назо-
назовем дисперсионным уравнением. Оно определяется для каждого
конкретного типа волновода из равенства касательных составляю-
составляющих поля волны на границе сред, разделяющей поверхностную
и внутреннюю части волны.
ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ
Предположим, что дисперсионное уравнение уже известно и из его
совместного с A2.6) решения определены поперечные коэффициен-
коэффициенты хи?- Тогда из ф-л A2.4) можно найти фазовый коэффициент 0:
(Р af =
A2.7)
и фазовую скорость [ф-ла (8.24)]:
V = = :
1 +
при ^2/х2^0,01 удобнее использовать соотношение
» = «'..rtl1 — 0.5 (ei* — I) C«/Z"l.
Итак, по известным значениям поперечных коэффициентов мож-
можно найти фазовую скорость волны. Из соотношения A2.8) следует,
что v<vEtl2> T- 6- поверхностная волна всегда замедлена, причем
замедление растет с увеличением ?. Большие замедления можно
получить только при сильна выраженной поверхностной волне, поле
которой быстро убывает в поперечном направлении.
Из A2.8) и A2.6) вытекает, что фазовая скорость зависит от
частоты — волна диспергирует. Ее групповая скорость [ф-ла (8.29)]
u = d(d/d$ = veil2dk2/dfi=veii2(dk2/d%)/(dfi/dx) зависит от отношения
двух производных:
A /"v* -4- f*
= —л/ *_Л1к.
dx у ец— 1
**<Ч1-1)
~'dX Г ец-1 -
A2.9)
— крутизна квадратичной дисперсионной кривой в коорди-
координатах (?2—х2). определяемая дисперсионным уравнением. Напи-
Ю* 291
шем окончательное выражение для групповой скорости:
rt ft 14-n v^ 11
и = —- j—ц—— = —*— ; A2. Ш)
при и<10~2 используется формула: u={v^ 2/v)[\— (e\i—l)t>].
Итак, получены общие выражения для коэффициента, фазы и
скоростей волны в волноводе. Исходными для их расчета являются
коэффициенты % и ?,. Для их определения необходимо сформулиро-
сформулировать дисперсионные уравнения для конкретных конструкций вол-
волновода.
12.2. Круглый диэлектрический волновод
РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
Диэлектрический стержень / радиуса а, окруженный диэлектриком
с меньшим коэффициентом преломления п2= у егц.2 или воздухом 2,
Является самым простым по форме волноводом поверхностной вол-
волны (рис. 12.1). Структура поля и параметры
волн в волноводе определяются дисперсион-
дисперсионным уравнением, для получения которого не-
необходимо решить граничную задачу, найти
уравнения полей в каждой из сред, удовлетво-
удовлетворяющие волновым уравнениям, и затем свя-
связать их между собой условиями на границе
между средами. Потери в средах на этом эта-
этапе решения не учитываются.
Распределение продольных
компонент поля. Волновое ур-ние (8.5)
для любого круглого волновода, как было по-
показано в 9.5, распадается на гармоническое
ур-ние (9.37) и уравнение Бесселя (9.39). Ре-
Решение для поля внутри стержня записывается в виде, аналогичном
ф-лам (9.42), (9.44):
Ег(г, ф) = E%[Ja(/r)/Jn(хa)]cosnф
Нг(г, ф) = H0[Jn(У r)/Jn(y.a)] sin n ф
где Ёо и #о — продольные компоненты при г —а. Замена cos Пф на
sinmp непринципиальна, она соответствует повороту поля по ази-
азимуту на угол 90°/п. Оба выражения разделены на постоянную ве-
величину Jn(%a) для удобства последующих преобразований. Попе-
Поперечный коэффициент х связан с параметрами среды соотноше-
соотношением A2.4).
В наружной среде 2 должны удовлетворяться волновые ур-ния
A2.2), которые в цилиндрической системе координат распадаются
на гармоническое ур-ние (9.37) и модифицированное уравнение
Бесселя:
= 0. A2.12)
Рис. 12.1
A2.11)
(SO2
292
Это уравнение получается из уравнения Беоселя (9.39) заменой
по A2.3) ix2 на ? и отличается от него лишь знаком при одном из
слагаемых. Общее решение модифициро-
модифицированного уравнения — сумма двух моди-
модифицированных цилиндрических функций
1п{&) и Kn(t,r); их графики приведены
на рис. 12.2.
Быстро растущая функция 1п(у) со-
соответствует полю, неограниченно возра-
возрастающему при удалении от оси волново-
волновода. Такое поле не может принадлежать
направляемой волне вне стержня, у ко-
которой вся (или почти вся) энергия долж-
должна проходить через поперечное сечение
конечных размеров. Рис. 12.2
Функция Макдональда Кп(у) при
больших аргументах уменьшается быстрее, чем по экспоненте:
' Kn(y)= Vi&~y при ()
Поэтому описываемое ею поле на определенном расстоянии от
оси волновода практически равно нулю. Это решение соответствует
направляемой волне. По аналогии с ф-лами A2.11) запишем:
г>а,
A2.14)
Ёг (г, ф) = Ёо [Кп (Б гIКп {I a)] cos n ф
Нг (г, ф) = Н0[Кп (Б г)/К„ (Б a)] sin п ф
где t, удовлетворяет ур-нию A2.4).
Выражения A2.12) и A2.14) для продольных составляющих
поля удовлетворяют волновому уравнению, а A2.14) также усло-
условиям на бесконечности.
Граничные условия. Следующий этап в решении зада-
задачи — установление связей между полями по обе стороны границы
г=а в соответствии с граничными условиями B.24), B.25). Равен-
Равенство продольных компонент Ez и Я2. касательных к границе, уже
было учтено при записи соотношений A2.12) и A2.14).
Поперечные компоненты поля определяются через продольные
соотношениями (8.9) и (8.10), которые в цилиндрической системе
координат записываются в виде:
Е (г ф) = — — L д-^г + i -^ М* N П
( dEz
X2"'
дНг )
~дГ)
Нг\
дЕ,
1.
Чу дн2
A2.15)
где х. ?а и М"» имеют в каждой среде свои значения.
293
1
Взаимосвязь между составляющими поля в волноводе и пара-
параметрами среды исключает необходимость наложения граиичных
условий на все компоненты. Достаточно приравнять тангенциальные
составляющие (в цилиндрической системе координат Ег, Нг, Др
и Hv). Соотношение для нормальных компонент (Ег, Нт) выпол-
выполняется тогда автоматически.
Существование в волноводе волн класса Е или Я не всегда воз-
возможно, так как граничные условия для Е9 и Ну этих волн в общем
случае не удовлетворяются. Действительно, у Ё-волны Яг=0. Оче-
Очевидно, что производные dEz/dq> при г=а одинаковы в обеих средах.
Тогда равенство ?ф по обеим сторонам границы требует, чтобы
Xi = 3C|> а это для разных сред невозможно. Только при га=0 произ-
производные по углу ф равны нулю и граничное условие оказывается
выполнимым.
Волны классов Е и Я в диэлектрическом волноводе существуют
только при условии аксиальной симметрии поля (га = 0). Все несим-
несимметричные волны (п~^\) —гибридные (классы ЕН и НЕ), т.е. со-
содержат обе продольные составляющие Ez и Я*.
Решая задачу для общего случая, подставляем в ф-лы A2.15)
равенства A2.11) и A2.14), считая у = ''Р и используя обозначения
A2.3), A2.5). Для упрощения выкладок образуем новые вспомога-
вспомогательные функции:
A2.16)
Приравнивая Ё^и Яф^при
шения:
Ёф = i а Щ- ?„ +
= а, получаем следующие соотно-
соотноsin /г ф =
= ia| — п-^Ёа
Яф = — i а\ шеа1 Eofn(/_) + -^ Яо cos n ф =
L A J
A2.17а)
A2.176)
Вывод дисперсионного уравнения. Систему двух
алгебраических ур-ний A2.17) можно переписать, сгруппировав*
коэффициенты перед каждым неизвестным Ео и Яо.
В результате получим однородные уравнения, система которых
имеет нетривиальные (ненулевые) решения только в том случае,
если определитель из коэффициентов перед Ёо и Яо равен нулю:
294
i
= 0, A2.18)
где Z2= ]/'\ia2l&az — волновое сопротивление внешней среды. Дис-
Дисперсионное уравнение A2.18) устанавливает связь между попе-
поперечными коэффициентами, необходимую для существования волны
; в данном волноводе. Для его упрощения установим следующее ра-
равенство коэффициентов, воспользовавшись ф-лой A2.7):
kl U2 S2 / x2 + & Vx2 S2 / х* С*'
Раскрывая определитель A2.18), получаем дисперсионное урав-
уравнение для диэлектрического стержневого волновода в наиболее
удобной форме:
Dn(x, ?) =
ТИПЫ Г-ОЛН В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ
A2.19)
/-Отношение продольных составляющих Ez и Hz (мак-
• симальных при данном z) для каждой из волн диэлектрического
волновода является определенной функцией частоты. Оно характе-
характеризует структурные особенности поля данной волны и равно отно-
отношению коэффициентов в любой строчке определителя A2.18):
Ё, (г, 0)
—Фа (Г)
A2.20)
Д (И с п е р с я о <н н ы е :к р и в ы е. Уравнение A2.19) трансцен-
дентно; поэтому зависимости между t, и %—дисперсионные кривые
определяются численным методом. Вид этих кривых зависит от
значений е и ц, а также от (периодичности п структуры поля по
азимуту. Кривая для каждого п распадается на бесконечный ряд
ветвей, каждой -из которых соответствует даределданая волна.
На рис. 12.3 показано несколько дисперсионных кривых, вычислен-
вычисленных по уравнению A2.19) при е = 2,5. На них указаны типы волн.
Первый индекс п в наименовании волны, как и в круглых ме-
металлических волноводах, соответствует периодичности поля по ф
296
и определяет порядок функ-
функций Бесселя и Макдональ-
да. Второй индекс т равен
номеру корня функции Бес-
Бесселя Jn(x) в точке, где на-
начинается соответствующая
ветвь характеристической
кривой; ориентировочно т
соответствует числу полу-
полуволн поля стоячей волны в
диэлектрическом стержне,
укладывающихся вдоль ра-
радиуса а.
Волны с осевой
симметрией поля. Вто-
Второе слагаемое в ур-нии A2.19) при га=0 равно нулю; в этом слу-
случае уравнение удовлетворяется при равенстве нулю любого из вы-
выражений в квадратных скобках.
?-волны соответствуют условию:
е/я(х) — Фя(?) = 0; A2.21)
тогда, согласно A2.20), Е0/Но~*-оо и, следовательно, Я?5=0. Я-вол-
Я-волны определяются уравнением:
и/Лх) — <рп(?) = °; A2.22)
в этом случае ?о/Яо=О, ?2=0.
Несимметричные волны (ra^l)—гибридные. Ни одно
из выражений в скобках A2.19) в этом случае не равно нулю, по-
поэтому ?о/Яо в A2.20) конечно, т. е. существуют обе продольные
составляющие поля Ez и Я2; отношение их величин несколько ме-
меняется с частотой.
Дисперсионное уравнение при каждом п имеет два решения,
которым соответствуют два класса гибридных волн. Для одной
из них при ?<0,2, согласно ф-ле A2.20), Eo/Ho^Z2Y\i./e. Для ди-
диэлектрического волновода из полиэтилена или полистирола, нахо-
находящегося /в воздухе (\л— 1, е=2-н2,5)?0/Я0« 0,7Z2, т. е. меньше, чем
в однородной волне в воздухе. Относительное преобладание Нг над
Ez приводит к обозначению НЕпт для волн этого класса. Волны
другого класса имеют обозначение ЕНПт, так как у них относитель-
относительная величина Ег больше: Eo/HQfvZ2.
Определение поперечных коэффициентов на каждой частоте тре-
требует совместного решения дисперсионного уравнения A2.19) й
уравнения поперечных коэффициентов A2.6). Последнее представ-
представляет собой на плоскости х. ? окружность радиуса F. На заданной
частоте значения х и ? данной волны представляются -графически
как координаты точки пересечения соответствующей ветви
(рис. 12.3) с этой окружностью.
296
Основная волна.тип а ЕНю. Первая ветвь кривой для
л=1 на рис. 12.3 начинается при %=0, т. е. в нулевом корне функ-
функции Бесселя первого порядка; поэтому т = 0 и соответствующая
волна именуется ЕНю. Структура поля этой волны показана на
рис. 12.4. Магнитные линии в горизонтальной плоскости имеют та-
Рис. 12.4
кую же структуру, как электрические в вертикальной. Внутри ди-
диэлектрического стержня структура поля напоминает волну типа
.Ни в кругло;м металлическом волноводе, поэтому в литературе ее
называют также НЕц.
Так как параметры волны в круглом стержне одинаковы при
вращении поля вокруг продольной оси, волна ЕНю поляризационно
вырождена, плоскость ее поляризации неустойчива. Это вырожде-
вырождение снимается, если перейти от круглого к эллиптическому или пря-
прямоугольному сечению (рис. 12.5а, б) или использовать так назы-
а) S) . В)
i ¦ \ ¦ /
Рис. 12.5
ваемый зеркальный диэлектрический волновод. В последнем поло-
половина стержня наклеена на металлическую пластину, которая слу-
служит одновременно конструкцией крепления (рис. 12.5в). Недостат-
Недостатком зеркального волновода является повышенное затухание волны
из-за дополнительных потерь в пластине.
ПАРАМЕТРЫ ВОЛНЫ ЕНю
Граничный (радиус поля в круглом диэлектрическом волно-
волноводе (аналогичный граничному расстоянию при плоской границе)
определим равенством
Го = 1/С = а/? A2.23)
297
Напряженность поля во внешней среде убывает при удалении
от границы стержня пропорционально значениям функции Макдо-
нальда Kn(t,r). Вблизи стержня при малых аргументах эта функция
уменьшается относительно медленно:
= -L, При
У
A2.24)
На больших расстояниях от него в соответствии с A2.13) она
уменьшается быстрее, чем по экспоненциальному закону.
Границей зон (Медленного и быстрого спадания поля можно счи-
считать окружность радиуса г0, на которой по ф-ле A2.23) аргумент
функции Макдональда ? го=1. Интегрированием вектора Пойн-
тинга по поперечному сечению волновода можно установить, что
внутри граничного радиуса проходит значительная часть всего по-
потока энергии (80-^90%).
Граничная частота в волноводах поверхностной волны
определяется при ?=0 (см. параграф 8.5), когда поверхностная
волна переходит в ненаправляемую плоскую однородную волну.
Для основной волны при ?=0, также х=0 и, следовательно, /vp = 0;
теоретическая частотная граница волны ЕН10 равна нулю.
Нижняя частота рабочего диапазона FH устанавливается
по следующим соображениям. Граничный радиус поля г0 не должен
быть_очень велик. Разумной границей здесь является го^ЮООа,
т. е. ^^Ю. Другим критерием служит замедление волны. Требо-
Требование, чтобы фазовая скорость v [ф-ла A2.8)] была меньше oE[i2
хотя бы на 0,1%, приводит (при в = 2ч-2,5) к условию: ?^=0,04 х-
Для диэлектрического волновода определяющим является второе
условие, которое при e=2-f-2,5 выполняется для Fh^%b^0,9. Абсо-
Абсолютное значение нижней частоты fH =
]/е
1).
Для стержня радиуса а= 1 см, находящегося в воздухе, |/н=3,8 ГГц;
Ян=8 ом; ?н = 0,036; граничный радиус поля /Ън=28 см.
Верхняя частота FB=2,4 рабочего диапазона основной вол-
волны устанавливается из условия одномодовости. Как видно из
рис. 12.3, ближайшие волны Hoi и ?oi обладают круговой симмет-
симметрией поля и имеют граничную частоту /"гр = 2,405 (первый корень
функции Jo(x)).
Распределение мощностей. Поток энергии, передавае-
передаваемый по волноводу, распределяется между диэлектрическим стерж-
стержнем и окружающей средой. Интегрируя вектор Пойнтинга по. попе-
поперечному сечению каждой из этих областей, получаем
«.= -?¦• A2-25)
С ростом частоты концентрация поля в стержне увеличивается,
поэтому отношение мощностей иэ меняется от нуля на граничной
частоте до бесконечности на очень высоких частотах. Общая мощ-
мощность волны в волноводе P=Pi+P2= (l+v»)Pi-
(l+v»)Pirn
Энергетическая скорость в о л н ы в соответствии с за-
законом парциальных мощностей (8.36) определяется величиной ш-
С учетом обозначений A2.3) она выражается как
Цд = j^ 1 + Q, _ A2>26)
В системах с нормальной дисперсией энергетическая иэ и груп-
групповая и скорости равны между собой. Из сравнения ф-л A2.10) и
A2.26) следует, что равны между собой также крутизна квадра-
квадратичной дисперсионной кривой и A2.9) и отношение мощностей
v, A2.25).
Расчеты, проведенные для диэлектрического и других волново-
волноводов, состоящих из нескольких разнородных материалов, подтвер-
подтвердили равенство и = иэ. Это упрощает расчет параметров диэлектри-
диэлектрических волноводов.
Коэффициент затухания. В волноводе существуют толь-
только диэлектрические потери. Если волновод состоит из двух слоев
диэлектрика с одинаковыми углами потерь, к нему применима фор-
формула вида (8.42):
«д= ^р. A2-27)
Этот случай характерен для стеклянных двухслойных волокон, при-
применяемых в оптическом диапазоне.
Существенный выигрыш по затуханию можно получить, если
диэлектрический стержень расположен в воздухе, так как диэлек-
диэлектрические потери в воздухе на несколько порядков меньше, чем
в диэлектрике.
Потери пропорциональны части мощности Pt волны, передавае-
передаваемой внутри стержня. Поэтому коэффициент затухания в первом
приближении определяется соотношением (8.42), умноженным на
отношение мощностей PJP:
k2
L
A2.28)
Из полученной формулы следует, что для снижения коэффици-
коэффициента затухания поля мощность распространяющейся внутри стерж-
¦ ня волны должна быть уменьшена. Это соответствует малым кон-
концентрациям поверхностной волны и низким частотам. Если принять
•Юэ<0,2, то с учетом определенного ранее значения FH найдем опти-
оптимальный диапазон работы диэлектрического волновода в воздухе:
Fopt = °>9 -г-1,2 или при е = 2 -f- 2,5 (ty2a)oP< = 3 -М.
Допустимая мощность диэлектрического волновода до-
довольно велика, так как волна распространяется широким волновым
пучком, диаметр которого имеет порядок 2г0. Напряженность поля
максимальна на границе стержня с воздухом и ее величина опре-
определяет предельную мощность по электрической прочности. Для оп-
299
ш.
ал
0,1,
о
Рис. 12.6
тимального диапазона
Рпред«10а2 [см], МВт. A2.29)
Номинальная мощность определяется допустимым нагревом
диэлектрика и, следовательно, обратно пропорциональна коэффи-
коэффициенту затухания. В том же диапазоне
^„ом = A0/tg б) а1 '5 [см], МВт. A2.30)
В качестве примера отметим, что (допустимая мощность для
диэлектрического стержня радиусом а=\ см на частоте / = 4 ГГц.
при tg6=10~3 составляет несколько мегаватт.
Частотные характеристики основных параметров вол-
волны типа ЕНЮ в диэлектрическом волноводе, находящемся в воздухе
(уе)х2 = с), приведены на рис. 12.6. При малых нормированных час-
частотах F<0,8, концентрирующее дей-
действие стержня невелико. Поэтому
напряженность поля почти не убы-
убывает с расстоянием г, и структура
волны весьма близка к плоской од-
однородной волне типа ТЕМ. Соответ-
Соответственно ее скорости v и и практи-
практически не отличаются от с, а иэ~0.
Этот режим правильнее считать
свободным распространением вол-
волны. При изгибе стержня волна не
следует за ним, а продолжает дви-
движение в первоначальном направ-
направлении.
В оптимальном диапазоне 5-ь20% энергии в среднем за период
распространяется внутри стержня (другими .словами, парциальная
волна, например, 10% времени распространяется внутри стержня
и 90% времени вне его). Поле достаточно сильно сконцентрировано
вокруг стержня, так что граничный радиус года C0-=-5)а; поэтому
не очень крутые изгибы стержня не приводят к потере направляемой
волны. В то же время кривые для v и и свидетельствуют о том, что
дисперсия волны мала, а кривая ад/кв1 показывает, что ее коэф-
коэффициент затухания в 20-=-5 раз меньше, чем у ТЕМ-волны, распрост-
распространяющейся в таком же диэлектрике (см. ф-лу (8.43)].
При дальнейшем повышении частоты доля потока энергии внут-
внутри стержня резко возрастает. В соответствии с этим уменьшаются
скорости и увеличивается коэффициент затухания. На высоких ча-
частотах при F>5 иэ>102 и поверхностная волна в воздухе уже не
играет никакой роли в переносе энергии. При этом $f&ki, «д~ко1
а фазовая и групповая скорости изменяются таким же образам, как
и в полом металлическом волноводе на частотах, значительно боль-
больших критической. Фазовая скорость v>vefil, а групповая u<v .
и обе стремятся к vlfll при повышении частоты. Несмотря на раз-
ЗО0
Vim 1С
—
Лиз
WKmpiA
олновод
1
eat
=¦?,*
^=
/
4/
\
ulc
д
4
A
'/
•«4
\
/
//
%¦
/
i
/
у
—
F
личие условий на границах, наблюдается сходство в частотных ха-
характеристиках v, и и ссд в диэлектрическом (при F>3) и металли-
металлическом (при |/>1,5'/кР) волноводах, так как в обоих случаях кар-
картины движения парциальных волн, распространяющихся практиче-
практически только в одной среде, одинаковы.
Рассмотренные частотные зависимости характерны для боль-
большинства волноводов поверхностной волны, так как физические
процессы в них аналогичны.
Приближенные формулы для волны типа EHi0.
Расчет параметров диэлектрического волновода включает вычис-
вычисление сложных функций вида A2.16) и требует совместного реше-
решения ур-ний A2.8) и A2.19) методом итераций. Здесь трудно обой-
обойтись без вычислительных машин. Однако в оптимальном диапазоне
и на более низких частотах допустимо использовать асимптоти-
асимптотические выражения для цилиндрических функций малого аргумен-
аргумента, что приводит к приближенному дисперсионному уравнению
(при |л=1):
f
Оно решается совместно с ур-нием A2.6). По найденным зна-
значениям х и ? определяется фазовая юкорость A2.8) и фазовый ко-
коэффициент A2.7).
Отношение мощностей иэ и равная ей величина и
о = оэ = (е + 1) B/х4 + 1/96) Г2- A2.32)
Групповая и равная ей энергетическая скорость находятся по
ф-ле A2.10) или A2.26). Коэффициент затухания
ад = е кг tg б! ? [ 2/х4 + (е - 1 )/2J? + е/96]. A2.33)
ПРИМЕНЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ
Свч ди an a зон. Впервые диэлектрический волновод был приме-
применен как направляющая часть диэлектрической антен«ы. Он рабо-
работал в о(дномодовом режиме при небольшом замедлении волны типа
EHi0; т. е. в диапазоне, близком к оптимальному.
В настоящее время одномодовые диэлектрические волноводы
круглого, эллиптического и квадратного сечения используются в тех-
технике миллиметровых и субмиллиметровых() волн в качестве фи-
фидеров не очень большой протяженности, направляющих систем
резонаторов и других элементов тракта. Вокруг диэлектрических
волноводов необходимо обеспечивать свободную зону радиусом
B4-3) г0 для беспрепятственного прохождения поверхностной вол-
волны. Это является недостатком рассмотренного волновода и опреде-
определяет особые требования к конструкциям его крепления. Коэффи-
') К субмиллиметровым относят волны длиной от 0,1 до 1 мм.
301
циент затухания рассчитывается по ф-ле A2.33); ссож0,1 дБ/м при
Хо= 1 мм; tg 6= Ю-4 я гз=О,ОЗ.
Волоконная оптика использует диэлектрические волново-
волноводы в оптическом диапазоне. Такой волновод представляет собой
двухслойное (плакированное) стеклянное волокно с rai>ra2
(рис. 12.7). Поверхностная волна образуется на границе г = а и
практически не достигает наружной грани-
границы г=Ь. Волокна укладывают в гибкие
жгуты либо спекают в жесткие конструк-
конструкции, их торцы полируют. Один конец систе-
системы направляют на объект, тогда его изоб-
изображение видно на другом конце, причем
каждое волокно передает один какой-то
элемент общей картины. Устройства воло-
волоконной оптики используются в электронно-
оптических системах для соединения каска-
каскадов усилителей изображения, для преобра-
|2 7 зования изображений (увеличения, дефор-
деформации, развертки) и их кодирования (при
этом расположение волокон на концах системы неидентично).
В технике и медицине светопроводящие жгуты применяют для ос-
освещения и осмотра недоступных иными способами объектов, наб-
наблюдения за удаленными измерительными приборами, в фотогра-
фотографии, высокоскоростной киносъемке и т. п. Для волноводов, исполь-
используемых в волоконной оптике, характерен многомодовый режим ра-
работы, что в данном случае вполне допустимо, так как изображе-
изображение меняется медленно по сравнэнию с временем распространения.
Практически весь поток энергии распространяется п сердечнике /
со скоростью и л* ы л* с/га 1.
Рассмотрим типичный пример: а —25 мкм; fe = 30 мкм; «i= ]^ei =
= 1,6; п%= 1^62=1,54; Яо=0,6 мкм. Относительная диэлектрическая
проницаемость e = ei/e2= (rai/«2J= 1,08; нормированная частота
[ф-ла A2.5)] F— 114, что соответствует распространению Afo~O,5F2=
=6500 типов, волн. Для большинства волн рабочая частота /Э>/Гр,
следовательно, ?=?a«F и граничное расстояние поверхностной
волны Хо=Го—a = alZ> в среде 2 очень мало, в данном примере
.хъ~0,25 мкм. Из ф-лы A2.13) следует, что на расстоянии от гра-
границы b—а =5мкм = 20*о напряженность поля уменьшается в
Кгоё^я^-Ю9 раз!
Дальняя волновод«ая связь. Для передачи большого
объема информации с полосой частот порядка гигагерц, т. е. с по- -
мощью наносекундных импульсов, необходим одномодовый режим
(/г<2,4) диэлектрического волновода. Его можно получить одно-
одновременным уменьшением радиуса сердечника волновода а и раз-
разницы коэффициентов преломления обеих сред. Например, при
Хо= 1 мкм, а = 2,5 Яо=2,5 мкм; rai=J,54 и s=(ni/n2)z=l,0\ нормнро-
302
I
ванная частота по ф-ле A2.5) Fw2, что обеспечивает существова-
существование только Одной волны.
Внешний диаметр коаксиального слоя ЧЪ = 30-=-100 мкм вы1н-
рают в основном из соображений механической прочности: поле
волны на границе г=Ь ничтожно мало. Для электромагнитной экра-
экранировки на внешние стенки волновода наносят третий слой из по-
поглощающего стекла толщиной 10—20 мкм с коэффициентом пре-
преломления газ=п2 (чтобы не было отражения на их границе). Попе-
Поперечные размеры волновода составляют, таким образом, доли мил-
миллиметра. Целесообразно объединять в общем «абеле с защитной
оболочкой несколько таких волноводов. По каждому из них пере-
передается свой поток информации в одном из направлений.
Коэффициент затухания волноводов оптического диапазона рас-
рассчитывается по ф-ле A2.27). Его величина определяется прозрач-
прозрачностью и однородностью стекла. Специальные стекла, изготовлен-
изготовленные для этой цели, позволяют получить коэффициент затухания
волновода порядка 10 дБ/км. Для компенсации затухания волны
в линии дальней связи необходима установка промежуточных уси-
усилителей с интервалом порядка 5—10 км. В качестве усилителей мо-
могут использоваться отрезки такого же волновода с добавкой в стек-
стекло, например, ионов неодима; облучение внешним источником света
превращает такой волновод в оптический квантовый усилитель*
амплитуда сигнала в котором растет по мере распространения вол-
волны. Другая возможная схема усилителя состоит из приемника —
фотоэлектронного умножителя, усилителя наносекундных импуль-
импульсов и передатчика — полупроводникового лазера.
Волноводы оптического диапазона находятся сейчас в стадии
разработки. Ожедается, что они будут обладать высокими техни-
технико-экономическими показателями. Потенциальные возможности пе-
передачи инф'Орм'ащии по этим волноводам таковы, что могут пол-
полностью удовлетворить современные требования связи, включая пе-
передачу изображений и обмен .цифровой информацией между вы-
вычислительными центрами.
12.3. Линия поверхностной волны (ЛИВ)
ТИПЫ ВОЛН
Линия поверхностной волны (рис 12.8) представляет собой про-
проводник 3, покрытый слоем диэлектрика /, граничащего с возду-
воздухом 2. В ней существуют в несколько измененном виде все волны
диэлектрического волновода, в частности волна типа ?#ю. Исполь-
Использовать такую линию с волной типа ЕНц> на сантиметровых или мил-
миллиметровых волнах нецелесообразно, так как ее коэффициент за-
затухания вследствие дополнительных потерь в проводнике значи-
значительно выше, чем диэлектрического волновода.
Однако внутренний проводник создает условия существования
в линии новой волны класса Е, которой нет в диэлектрическом вол-
308
наводе. Ее рабочий диапазон значительно ниже, чем у волны EHW.
Волна Еоо является основной в линии поверхностной волны.
Здесь га = 0, так как поле волны обладает круговой симметрией,
т=0, так как нормированный поперечный коэффициент х=Ха при-
принимает весьма малые значения от 0 до 0,1.
Следующая волна этого класса —Е0\ (п = 0,
т=1). Ее нормированная граничная частота
Frp = 2,405 соответствует первому корню функ-
функции Бесселя /о(хг); ^-гр соизмерима с диамет-
диаметром волновода 2а.
Оптимальный диапазон волны ЕОо состав-
составляет FOnx = 0,004^0,3, что при ei^2 соответ-
соответствует (к/2а)от= 104-800. Это позволяет при
диаметрах волновода 2а = 0,3-М см работать в
метровом и дециметровом диапазонах
(/ = 304-3000 МГц).
Рис. 12.8
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ВОЛНЫ ТИПА Еоо
Определим поле для идеальных сред Cy=ip) при условии, что
^. и, следовательно, согласно ур-нию A2.6) х=Ха<0,1 и
?=?а<0,1. Во внешней среде (г^а), согласно ф-.лам A2.14) и
A2.15), при га = 0 поле имеет три компоненты:
A2.34)
где А=Ё0/К0^а) = Ё0/\п
1,123
Здесь учтено рекуррентное соотношение К'0(у) = —Ki(y). На
больших расстояниях от волновода при ^>10 все компоненты
поля убывают быстрее, чем по экспоненциальному закону, согласно
ф-ле A2.13).
Вблизи волновода ?г<0,1 и справедливы приближения A2.24).
Прн этом
r ^ф
Ла,
= 1 —1п
/"о t>r ^ а-
A2.35)
Здесь продольная составляющая Ех при уменьшении расстояния
г увеличивается медленнее, чем поперечные.
304
Для поля в диэлектрическом слое / строгое решение волновых
уравнений приводит к сложной цилиндрической функции-суперпо-
функции-суперпозиции функций Бесселя и Вебера. Однако для тонкой линии, при
а-сЯ, можно найти это поле элементарным путем, .используя сле-
следующее квазистационарное приближение. На границе с идеальным
проводником \r = b) Ez = 0, аЯф~ 1/г, согласно B.33). По этому же
закону меняется Яф снаружи диэлектрика [ф-лы A2.35)]. Обратная
пропорциональность Яф величине г характерна также для волны
ТЕМ в коаксиальном кабеле. Очевидно, в данном случае на малых
расстояниях порядка а от оси волновода наличие продольной со-
составляющей Ег практически не сказывается на распределении по-
поперечного поля и оно идентично полю ТЕМ-волны в осесимметрич-
ной системе. Учитывая, что Яф (касательные составляющие) долж-
должны быть одинаковы по обе сторо-^
ны границы г=а, считаем, что^а
ф-ла A2.35) для Яф справедлива «
также при Ь^г^а. По ф-лам
A2.15) найдем теперь остальные
составляющие в диэлектрике
Рис. 12.9
coeeo v б?2 г
@880
. ОС2 я , а
= l In —
coee0 b
A2.36)
305
Составляющая Ez намного меньше Ет и уменьшается с ростом
г довольно медленно (по логарифмическому закону). Поперечные
компоненты не отличаются от поля в коаксиальном кабеле. Струк-
Структура поля волны типа ?<ю показана на рис. 12.9.
Дисперсионное уравнение для основной волны
получается из равенства тангенциальных составляющих поля при
г = а. Так как выражения для Н^(г) в ф-лах A2.35) и A2.36)
совпадают, достаточно обеспечить равенство Ег(а) или, что
равнозначно, приравнять поверхностные импедансы ZJ полей в
обеих средах. Формула A2.36) подтверждает, что для ?-волн без
потерь поверхностный импеданс чисто реактивен и положителен,
т. е. носит индуктивный характер. Переходя к нормированным ко-
коэффициентам A2.5), получаем
— Х21п-^- = 121пЦЭ. A2.37)
е Ъ с, _ _
Совместное решение этого уравнения с A2.6) определяет %, ?.
При х^0,5 погрешность сделанных приближений не превышает 5%.
ПАРАМЕТРЫ ВОЛНЫ ТИПА Еоо
Граничная частота Frp определяется при ?=0. Тогда правая
часть характеристического уравнения равна нулю, следовательно,
Х=0 и .Frp = 0. Теоретически волна ?<ю существует с самых низких
частот.
Нижняя частота определяется по максимальному допусти-
допустимому граничному радиусу го=\О3а, т. е. ?н=10-3. Из ур-ния A2.37)
находим
у —
A2.38)
Например, при е = 2,25 и а/6 = 2,5 Хн=4,15- 10и Fs= У x
= 4,3• 10~3. При этом фазовая скорость [ф-ла A2.8)] и=0,97с. Не-
Несмотря на значительную поперечную протяженность, волна заметно
замедлена. Нижняя частота волны типа ?<ю в 200 раз меньше, чем
у волны ?#io (FHm0,9). Если внешний диаметр волновода 2а= 1 см,
то /н=с/7н/Bла УТ^Т) л;40 МГп.
Верхняя частота в дачном случае определяется, прежде
всего, опаснсстью возникновения второй основной волны типа ЕНМ.
С ее присутствием можно не считаться вплоть до F=0,8. Следова-
Следовательно, Fb=0,8. Для волновода указанных размеров /в=6800МГц.
Оптимальный частотный диапазон может быть установлен после
рючета затухания.
Итак, волну типа Ею в ЛПВ можно использовать в диапазоне
примерно с 200-кратным перекрытием по частоте; в этом отношении
она имеет значительное преимущество перед волной EHi0 в ди-
диэлектрическом волноводе и волной в полых металлических волно-
волноводах.
306
Фа»зовая и групп о пая скорости. Фазовая скорость
волны определяется ф-лой A2.8). Для расчета групповой скорости
найдем вспомогательную функцию v [ф-ла A2.9)] по дисперсион-
дисперсионному ур-нию A2.37) в несколько преобразованном виде:
в b 2 " ?а
Дифференциалы левой и правой частей по х2 и
1 , а ,—, 1 Г ¦ 1.1232 Л ,-
1 , а ,—
— In — d
8 b
откуда
In (a/b)
Г 1,123 1
: In -4=^-0,5
L ? J
A2.39)
Эта функция по закону «парциальных мощностей одновременно
определяет 'Отношение tK=iPi/P2- Теперь групповая скорость рассчи-
рассчитывается шо ф-ле A2.10).
Мощность волны. Определим среднюю .мощность, переда-
передаваемую по диэлектрЛ'часкО'Му слою, подставив выражения A2.36)
в (8.25):
а 2я а
= f f
60
In-f . A2.40)
о
ft 6 б
Мощность в воздухе определяется теперь как P2 = P\/v, а полная
|МОЩНОСТЬ ВОЛНЫ P = Pi + P2 = Pi(\+v)/v.
К о э ф ф и ц и е и т з а т у х а н и я определяется при обычном
предположении, что потери не меняют существенно структуру поля.
Диэлектрические потери учитываем только для среды /, так как
в воздухе они очень малы. Кроме того, учтем неравенство
|?г| •С|?г|, позволяющее пренебречь величиной Ег. Тогда величина
диэлектрических потерь, приходящихся на единицу длляы волно-
волновода [ф-ла (8.39)]:
а2п
¦•ln-2-
ь о
и составляющая коэффициента затухания
_ рл _ Рд о _ о р
"~ 2Р ~ ~2Р7 1+о 1+о Т
ка единицу длины, согласно
2Рг 1+о
Потери в проводнике 3
(8.44), составляют
A2.41)
2л
307
где /?s=0,5u)/Cm|i,anpA; А— толщина скин-слоя проводника.
Составляющая коэффициента затухания
a _Р"Р - " е*о*"Е"Рд A242)
пр 2Р l + u 4ЬР1п(а/Ь)
Коэффициент затухания линии а = ад + апр, прежде всего, опре-
определяется величиной v = PilPz.
Если считать максимально допустимым значением и = 0,2, чему
соответствует F«0,3, то оптимальный диапазон линии поверхност-
поверхностной волны Foiit = 0,0044-0,3.
Линия имеет удовлетворительные характеристики в очень ши-
широкой частотной полосе порядка 40—3000 МГц. Частотные харак-
характеристики основных параметров приведены на рис. 12.10. Номи-
Номинальная мощность линии с полиэтиленовым покрытием составляет
несколько десятков киловатт при ат\ ом, а предельная мощность
по пробою в воздухе примерно в 100 раз больше.
0,05 0,1 0,15 0.Z 425 0,3
Рис. 12.10
ПРИМЕНЕНИЕ ЛПВ
Рис. 12.11
Линию поверхностной волны можно использовать для передачи
сигналов в метровом диапазоне (например, телевизионных про-
программ в 6—12 каналах) ,на значительные расстояния. При этом
линию подвешивают к столбам проводной связи на нейлоновых
шнурах (рис. 12.11) на расстоянии 0,8—1,0 м от столба и траверсы,
что обеспечивает просвет, .необходимый для распространения по-
поверхностной волны. Можно полезно использовать наличие откры-
открытой поверхностной волны, передавая информацию на транспорт-
транспортные средства (автомобили, поезда), движущиеся вдоль линии, или
принимая телевизионные передачи на индивидуальные приемники,
находящиеся вблизи трассы. Во всем оптимальном диапазоне
^опт = 0,004ч-0,3 линии поверхностной волны могут также исполь-
использоваться в качестве антенных фидеров.
308
12.4. Волна Зоммерфельда
Поверхностная волна типа ?Оо образуется также на неидеальном проводнике
без диэлектрического покрытия за счет его конечной проводимости. Эта волна
была изучена Г. Герцом; достаточно полное исследование провел в 1899 г.
Зоммерфельд. Реальный проводник также является замедляющей системой, так
как часть проникающей в него волны возвращается на поверхность с заметным
запозданием, пройдя с очень малой скоростью расстояние порядка А. Принци-
Принципиальный недостаток проводника как замедлителя — значительные тепловые
потери волны на этом пути.
Известно, что поверхность проводника при сильном скин-эффекте обладает
комплексным импедансом F.25) с положительной мнимой . частью Z.s =
=iRs(l+i), где #s = l/crA = №i!-iaA/2 (считаем /сш=1). Очевидно, на такой по-
поверхности может возникнуть только затухающая волна класса Е.
Приравняем импедансы проводника при (ia=|to и поверхностной волны с
осесимметричным полем A2.35), перейдя к нормированному значению ?,=&'¦
- 1,123
?2 In -Z=—
A2.43)
Это дисперсионное уравнение для волны Зоммерфельда. Из-за того что
поверхностный импеданс провода, кроме индуктивной составляющей имеет
еще и активную, правая часть уравнения — комплексная, поэтому комплексным
будет решение для нормированного поперечного коэффициента:
Заметим, что
In ?= in \
In
*c = In j?[— i
Заменим теперь ур-ние A2.43) уравнениями для модулей и фаз комплекс-
комплексных величин (имея в виду, что г|). l(l123/|?|)]
2 ,п A )тШ) ] • («-44,
Первое уравнение легко решается методом итераций. Второе дает фазовый
угол близкий к 234-25°.
Для определения коэффициента распространения у = а-Н C подставим в
ф-лу (8.3) коэффициенты, относящиеся к воздуху. Диэлектрические потери в
нем не учитываем, поэтому к=—ii&u- По ф-ле A2.3) заменим Хг на —?2-
Тогда л>2= (kn~^^ РазДеляя эт0 соотношение на вещественную и мнимую
части н считая P2S>a2, получаем коэффициенты фазы и затухания:
A2.45)
Фазовая скорость, как обычно, v — cko/fi.
Для определения коэффициента распространения в данном случае исполь-
использован метод комплексных параметров. Суть этого метода состоит в том, что
комплексные параметры сред, обусловленные потерями в них, учитываются уже
при выводе характеристического уравнения. Его решением является комплексный
поперечный коэффициент. Затем по ф-лам i( 12.45) определяются обе компоненты
коэффициента распространения, В данном случае решение энергетическим мето-
методом 'невозможно, так как само существование поверхностной (Волны обусловлено
неидеальной проводимостью металла; предположение ст->-оо приведет совсем к
иной структуре поля.
IB качестве примера определим фазовую скорость, граничный радиус и коэф-
коэффициент затухания волны Еоо, распространяющейся щдоль медного провода
ЗД9
<7=58МСм/м радиуса а=1мм при частоте /=1ГГц. В данном случае правая
часть первой ф-лы A2.44) k^aA/ 1^2=65,1 ¦ Ш~8. Приняв первоначально
In (l,123/|g|) = 10, получим в третьем приближении [g| =2,80-10~4. Затем опре-
определим г|>с =0,420=24°; ?йе = 2,56-10~4; ?тт = 1,14-10. Отсюда граничный радиус
голя /¦o=a/^Re=i3,9 м. По ф-лам A2.45) найдем
= *„)/
1+-
'¦ —I2
2(ak0)*
= ft, [1+6,0-Ю-].
Следовательно, фазовая скорость _у = сA—6,0- 10-s) лишь на 0,006% мень-
меньше с. Коэффициент затухания a=?im?Ke/a2P=.I,4- 10~3 I/м; а°«12Л дБ/км не
очень велик. Малое замедление и значительный граничный радиус поля приведут
к тому, что на изгибах и неоднородиостях провода в точках его крепления волна
будет сильно излучаться. Уменьшение радуса провода «ли его проводимости
уменьшают и граничный радиус, но одновременно увеличивается затухание.
Самостоятельного значения для передачи сигналов воли а Зоммерфельда не имеет.
Однако уменьшение напряженности поля при удалении от оси проводника имеет
значение для антенн типа «горизонтальный провод над землей:». С повышением
частоты за счет1 этого эффекта поле все больше собирается вокруг проводника
и дополнительное затухание за счет утечки волны в землю уменьшается. В ре-
результате частотная характеристика коэффициента затухания провода над землей
имеет своеобразный вид.- на иизкях частотах коэффициент затухания растет
с частотой, в основном за счет потерь о почве; затем, когда граничный радиус
поверхностной волны г0 становится соизмеримым с высотой подвеса провода h,
начинают уменьшаться потери в земле, так как поле у ее поверхности ослаб-
ослабляется; общее затухание падает. Далее коэффициент затухания снова растет
уже в результате возрастания потерь в самом проводнике.
12.5. Плоская импедансная поверхность
ПОВЕРХНОСТНЫЕ Е-ВОЛНЫ
Рассмотрим поверхностные волны в воздухе, распространяющиеся
вдоль оси z над импедансной поверхностью, лежащей в плоскости
yOz. Ограничимся простейшим случаем, когда поле волны неизмен-
неизменно вдоль оси у, т. е. производная d/dy от всех его составляющих
равна нулю.
Продольная составляющая Ег в воздухе должна удовлетворять
волновому ур-нию A2.2), которое в декартовой системе координат
при d/dy = 0 принимает вид d2Ez/dxz—?2?г=0, т. е. становится обык-
обыкновенным дифференциальным уравнением с решениями е х и е"** •
Первое решение соответствует полю, величина которого неограни-
неограниченно растет с увеличением расстояния х от плоскости S. Такое поле
не может принадлежать направляемой волне. Второе решение, на-
наоборот, описывает поверхностную волну, поле которой практически
равно нулю при ?х^>1.
Запишем решение для Ег:
Ёг = Ёое~:х. A2.46)
310
Найдем поперечные составляющие поля волны по ф-лам (8.15) v
заменив х2 на —?2 и у на ip:
= i ± Ёе (-?) е~; * ех =-i -?-
A2.47)
Итак, ?-волна имеет всего три компоненты: Ez, Ёх и Ну, одинаковым
образом убывающие по оси х. Поверхностный импеданс поверх-
поверхностной ?-волны
Z| = -^= i—^ = i-^? A2.48)
реактивный и положительный, т. е. носит индуктивный характер.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ Я-ВОЛНЫ
При тех же предположениях, аналогично предыдущему найдем,
что продольная составляющая Hz должна быть выражена в форме
Нг = Н<)е~!:х. A2.49)
Поперечные составляющие поля, согласно ф-лам (8.17), имеют вид:
f/z = —iAtfoe—'e,
* . A2.50)
) = ' —г2- Н9еГ'х еу
р i
Следовательно, поле волны содержит составляющие Hz, Нх и Еу.
Поверхностный импеданс определяется по ф-лам A2.1) как от-
отношение (—Еу) к Ни что соответствует направлению вектора Пойн-
тинга из второй среды (воздуха) в первую (замедлитель):
—1 —— = — 1—-—. AДЫ)
7Н ~
Для существования поверхностной Я-волны поверхностный им-
импеданс должен быть емкостным, т. е. реактивным и отрицательным.
ГОФРИРОВАННАЯ МЕТАЛЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Плоские либо 'Слабоискривлшиые замедляющие структуры значи-
значительной ширины используются преимущественно в качестве направ-
направляющей структуры в антеннах поверхностных волн. Простейшей
из них является плоский диэлектрический волновод—плоско-парал-
волновод—плоско-параллельная пластина из диэлектрика (ец>1), граничащая при х=±а
311
с воздухом (рис. 12.12). Чаще применяют структуру в виде диэлек-
диэлектрического слоя над поверхностью проводника; ее легко предста-
представить себе, заменив на рис. 12.12 проводником среды, лежащие под
плоскостью yOz (анализу этих двух структур посвящены задачи
12.4—12.6).
Наибольшее практическое значение имеет гофрированная струк-
структура (рис. 12.13). На поверхности металла создаются гофры; их
Рис. 12.12
Рис. 12.13
замедляющее действие объясняется тем, что ;ниже поверхности S
волна движется только в поперечном направлении (вдоль оси х),
отражаясь от дна канавки гофра, и имеет нулевую поступательную
скорость вдоль оси z. Степень замедления всей волны, очевидно,
пропорциональна той доли ее энергии, которая попадает в гофры.
Рассмотрим свойства этой волны при следующих предположе-
предположениях. Пусть ширина b ~^>iK и для простейшей структуры поля можно
в первом приближении считать d/dy-+O. Период гофров d<CX (это
неравенство ниже 'будет уточнено). Предположим далее идеальную
проводимость металла.
Граница S(x=0) между гофрами и свободным пространством
обладает анизотропной проводимостью, токи могут течь только
вдоль оси z, параллельной вертикальным перегородкам. Так как
d<g.h, для составляющей Еу поверхность S эквивалентна идеаль-
идеальному проводнику; для Ez эта же поверхность имеет поверхностный
импеданс, определяемый полем в канавках. Следовательно,
?,|s = 0; Ez\s^0. A2.52)
Сопоставляя ф-лы A2.50) и A2.52), находим, что (Существование
Я-волны над гофрированной поверхностью невозможно.
Каждая канавка гофра представляет собой короткозамкнутую
на конце ленточную линию. Так как по условию поле по оси у неиз-
неизменно, а расстояние между перегородками d—б<Я/2, в такой линии
может существовать только волна типа ТЕМ с компонентами Ег
и Ну, неизменными по сечению линии. Как и ;в плоской однородной
волне, отношение EZ/HV=ZBO- Входное сопротивление короткозамк-
нутого отрезка линии длиной а [по ф-ле (8.57)]: ZBX=iZBotg koa.
Это сопротивление определяет напряжение между краями ка-
канавки UK=Ez(d—6)=ZsxHy(d—б). Сопротивление проводящего
312
зубца толщиной б равно нулю. Среднюю напряженность электри-
электрического поля в плоскости S определим, отнеся напряжение к пе-
периоду гофров d,
d \ а ) у a j
Следовательно, усредненный поверхностный импеданс гофров
ZES = ^- = i
A2.53)
О 0,5
Рис. 12.14
При а<К/4, т. е. k0a<n/2, этот импеданс индуктивен и возмож-
возможно существование поверхностной ?-волны.
Из равенства импедансов A2.49) и A2.53) на поверхности най-
найдем дисперсионное уравнение для ?-волн:
. A2.54)
Так как ko=a>lc определяется частотой,
уравнение содержит только один неизвест-
неизвестный коэффициент ?. Поверхностная волна
существует лишь при ?>0, поэтому реше-
решения этого уравнения возможны лишь в дис-
дискретных частотных интервалах, когда
tgkod>0, т. е. 0<к0а<0,5к; л<?оа<1,5л и
т. д. На рис. 12.14 показана дисперсионная
характеристика основной волны типа Ею,
начинающаяся в начале координат. Первый
индекс — число полных стоячих полуволн
внутри гофра по оси х, т = 0, второй индекс — число вариаций
оси у, п=6. Волны высших порядков практического значения
имеют.
ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАМЕДЛЯЮЩЕЙ СТРУКТУРЫ
Дисперсионное уравнение получено в предположении, что тан-
тангенциальные составляющие полей с обеих сторон поверхности S
распределены вдоль оси z одинаково. Однако фаза поля поверх-
поверхностной волны меняется непрерывно, а фаза поля в ряде последова-
последовательно расположенных канавок гофры — скачками, так как в пре-
пределах каждой канавки она неизменна. Разность фаз между сосед-
соседними канавками Aij)=pd=2nrf/A. Пока ^<СЛ скачки фазы малы и
практически не играют роли. Однако с ростом частоты длина волны
в системе A=v/f уменьшается, что ведет к увеличению погрешности
ур-ния A2.54), не учитывающего дискретности гофрированной
структуры.
Более строгий анализ {8] выявил необходимость следующих
уточнений. Во-первых, при определении входного сопротивления
313
по
не
канавок в A2.53) в дисперсионном уравнении A2.54) и последую-
последующих соотношениях следует вместо геометрической глубины а гоф-
гофров подставлять эквивалентную глубину, равную в первом прибли-
приближении аэжа—0,14d. Уменьшение расчетной глубины является ре-
результатом проникновения поля поверхностной волны в верхнюю
часть «анавок гофры.
Во-вторых, минимальная фазовая скорость волны, замедленной
гофрированной поверхностью, ограничена дискретностью ее струк-
структуры, так как разность фаз в соседних канавках .не может превы-
превышать А\\)тах = Л. ПОЭТОМУ Amin = 2 d И
vmin = AmiJ = 2df. A2.55)
Фазовую скорость волны вдоль гофрированной поверхности оп-
определим, подставив ур-ние A2.54) в A2.8):
A2 56)
У+ (№) /l+(Ia/d)tgft,a.
тз частности, при 8<^.d v/c = coskoag (рис. 12.14).
Соотношение A2.55) совместно с A2.56) определяет верхнюю
частоту /в рабочего диапазона. На этой частоте направляющее дей-
действие гофров прекращается, волна срывается, т. е. излучается в
пространство непосредственно от возбудителя, не образуя поверх-
поверхностной волны.
При малых аргументах (koa<g.l) характеристическое ур-ние
A2.54) упрощается: ?=A—8/d)k^a3. Тогда фазовая скорость
V = C[l— 0,5A— 6/^J(^00J].
Нижняя частота /н устанавливается из следующих 'Соображений
-(см. параграф 12.2). Граничное расстояние Хо=1/?=а/? не должно
превышать 1000а, т.е. (^а)н^10~3, а фазовая скорость должна
отличаться от с не менее, чем на 0,1 %.
Первому критерию соответствуют k\aa^{\—6/d)^lO-*, второму —
несколько большее значение [&оЯэA—&/d)]2^z2-10~3.
Определяя частоту по второму критерию, получаем
/н = 2,14 -10в/[A — б/d) аэ].
12.6. Гофрированный стержень
Стержень с периодически расположенными дисками (рис. 12.15)
.образует замедляющую структуру, вдоль которой могут распрост-
распространяться волны типов Ею и EHio, близкие по структуре к волнам
в линии поверхностной вол-
волны. Как и в плоских гоф-
гофрах, поверхность цилиндра
S(r=a) обладает анизотроп-
анизотропной проводимостью. Для
Я-волны с составляющими
Hz, Ещ и кольцевыми ли-
Ркс. 12.15 ниями тока гофрированный
314
цилиндр обладает высокой проводимостью и эквивалентен метал-
металлическому проводу, на котором волны класса Н не существуют.
Для ?-волн с касательными к S составляющими Ег и #ф су-
существен поверхностный импеданс, определяемый структурой элек-
электромагнитного поля в кольцевых канавках.
Как и в случае плооких гофров, при d=A/2 происходит срыв
волны, поэтому минимальная фазовая скорость определяется соот-
соотношением A2.55) и частотный диапазон любой волны ограничен
частотой /в, которая определяется совместным решением ур-ний
A2.8) и A2.55).
Поле волны типа ?оо в воздухе (г~^а) идентично полю в линии
поверхностной волны [ф-лы A2.34), A2.35)]. В каждой канавке
(г^.а) поле этой волны представляет собой цилиндрическую
ТЕМ-волну с составляющими Ez и Яф, движущуюся по радиусу и
отражающуюся от стержня при г=Ъ (проводимость металла пола-
полагаем бесконечной). Поле в канавке описывается ф-лами A2.36) при
условии неизменности по оси 2, что обеспечивается при р = 0; сле-
следовательно, ?г = 0 и, согласно A2.4), % = ki^=ko, так как в канавках
находится воздух (е=1). Толщина дисков б учитывается, как и
в ф-ле A2.53), умножением Zf A2.35) на A—б/d).
Дисперсионное уравнение для волны Еоо гофрированного стерж-
стержня получается при koa^.0,5 из ф-лы A2.37) как равенство поверх-
поверхностных импедансов с вышеуказанными заменами величин:
af\n1-^. A2.57)
Ь ¦ "" ' " ?о
Итак, вдоль гофрированного провода с идеальной .проводимостью
распространяется замедленная поверхностная волна типа Ею, ко-
которая при Ь-*-а превращается в волну ТЕМ.
Волна ЕНМ имеет большее практическое значение, так как гоф-
гофрированный стержень с этой волной используется в антеннах осе-
осевого излучения. В отличие от диэлектрического волновода, анизо-
анизотропно-проводящие гофры подавляют продольную магнитную со-
составляющую Hz этой волны, так что Hz<g.Ez/ZB0 [19].
В остальном свойства волны EHi0 для гофрированного стержня,
диэлектрического волновода и линии поверхностной волны совпа-
совпадают. В частности, ее рабочий диапазон находится выше, чем у
волны Еоо, а поле близко к линейно поляризованному (рис. 12.4).
Строгое решение задач о волнах в периодических структурах
можно найти в [8], [9].
12.7. Диафрагмированный волновод
В круглом волноводе с периодической структурой в виде попереч-
поперечных диафрагм (рис. 12.16) поверхностная волна образуется в сече-
сечении центральных отверстий. Такая система используется в элек-
электронных приборах свч с бегущей волной и линейных ускорителях,
где медленная волна взаимодействует с пучком электронов.
315
В диафрагмированном волноводе, как и в гладком, могут су-
существовать так называемые быстрые волны с фазовой скоростью
v>c. В частности, при радиусе а>0,6К в нем будет распростра-
распространяться быстрая волна типа #oi с кольцевыми токами, поле которой
почти не проникает в канавки
между дисками. Необходимым
условием существования мед-
медленных волн (и<с) является
проникновение поля в эти ка-
канавки и создание в них стоя-
стоячих волн.
Вследствие анизотропной
Рис. 12.16 проводимости граничной по-
поверхности г = а медленные вол-
волны не могут иметь составляющую ?ф на этой поверхности. Этому
условию удовлетворяют только волны класса Е с осевой симмет-
симметрией поля. Простейшей из них Ею соответствует глубина канавок,
меньшая четверти длины волны, т. е. Ь—а<К/4.
Поле медленной волны в цилиндре О^г^а должно удовлетво-
удовлетворять модифицированному уравнению Бесселя A2.12). Рассматри-
Рассматриваемая область включает ось волновода г = 0, поэтому функция
Ко(у), принимающая на оси бесконечные значения, не может опи-
описывать искомое поле. Используем второе решение h(y), конечное
при конечных значениях аргумента.
По аналогии с A2.14) запишем выражение для продольного
поля в виде:
Ёг (г) = Ёй1й% г)//0 (I a), r < а. A2.58)
По ф-ле A2.15) находим, что поле имеет также составляющие
Ег и /Уф ; в частности,
Ь . . _ ; Ш80 дЁг . @ 80 ? 70('Г)
Ь2 дг ", /0 (Га)
Из рис. 12.2 видно, что функция 10(у) имеет минимум при г = 0.
Следовательно, напряженность поля поверхностной волны умень-
уменьшается по направлению к центру волновода.
Найдем импеданс поверхностной волны на цилиндрической по-
верхности'г=а:
= 1
—/L
A2.59)
знак минус перед Яф соответствует направлению вектора Пойн-
тинга внутрь канавок, в сторону растущих г. Здесь по аналогии
с A2.16) введена новая вспомогательная функция
а /0 (С а)
(С а)
A2.60)
При малых аргументах функции / и -ф представляются первы-
первыми членами рядов:
При t,a=l погрешность последнего соотношения составляет око-
около 1%.
Поле между диафрагмами в довольно грубом приближении счи-
считаем близким по структуре к плоской ТЕМ-вол^е между плоскими
проводниками. Это приближение тем точнее, чем меньше глубина
канавок (b—а) по сравнению с а. При Ь = \,Ъа оно приводит к
ошибке порядка 20%. Толщина диафрагм обычно очень мала
6<d, поэтому формулу вида A2.53) можно сокращенно записать
как 1% = iZBOtgfeo(b—а). Из этого равенства и ф-лы A2.59) нахо-
находим дисперсионное уравнение:
1
К tg k0 (b — а)
A2.61)
316
Поверхностная волна существует при ?>0, следовательно, ле-
левая часть уравнения должна быть меньше 0,5. Например, при
b/a = l,5 необходимо, чтобы k0a>\,8. Это условие определяет гра-
граничную частоту /Гр поверхностной волны.
Верхняя граница существования замедленной волны ?<ю опре-
определяется соотношением A2.55) для минимальной фазовой скоро-
скорости, зависящей от периода структуры d, и общим уравнением для и,
как функции Z, A2.8). С ростом частоты и коэффициента ?, кроме
скорости, уменьшается также напряженность поля на оси волно-
волновода. Действительно, по ф-ле A2.58) ?z@) =E0/I0(tfl), так как
/0@) = 1. Поэтому предел
замедления может опре-
определяться также слишком
слабым полем ?г@), не-
недостаточным для эффек-
эффективного взаимодействия с
электронным потоком.
На рис. 12.17 показана
структура электрического рь-с. 12.17
поля в диафрагмирован-
диафрагмированном волноводе. В линейных ускорителях замедление невелико, фа-
фазовая скорость и «с. В лампах бегущей волны, наоборот, необхо-
необходимо, чтобы и»0,1 с. Для получения больших замедлений нужно
обеспечить значительную глубину канавки: Ь/а>1. Расчет волно-
волновода в таком режиме требует более точного описания поля в канав-
канавках, чем это сделано при получении ф-лы A2.61).
317
12.8. Спиральный волновод
Спиральная линия задержки (спиральный волновод) является прос-
простейшим по конструкции устройством, замедляющим электромаг-
электромагнитную волну. Волновод образован металлическим проводом или
лентой, намотанной по винтовой линии (рис. 12.18). Он широко
используется в лампах бегущей волны и антенных устройствах.
V-
Рис. 12.18
Элементарная теория спирального волновода основана на том,
что электромагнитные волны распространяются вдоль металличес-
металлического провода со скоростью, весьма близкой к с (см. параграф 12.4).
Можно считать, что это свойство сохраняется и у провода, сверну-
свернутого в спираль. Волну, распространяющуюся вдоль провода, можно
считать парциальной.
Угол намотки спирали ¦& определяется из очевидного соотно-
соотношения: tg ¦&=d/2na, где d — шаг спирали, а — радиус намотки. Дли-
Длина одного витка L= У BnaJ+d2=d/sinft. Если с — скорость вол-
волны вдоль провода, то ее фазовая скорость вдоль оси спирали
v = csin& = с—,
A2.62)
Согласно этой формуле, замедление в спирали определяется
только ее геометрией и не зависит от частоты.
Как ни удивительно, это простое объяснение почти целиком
подтверждается строгим анализом. Более точная теория исходит
из предположения, что спираль заменена тонкостенным цилиндром,
у которого проводимость в направлении винтовой линии с углом
наклона Q (весьма велика, а <в направлении, перпендикулярном
указанному, равна нулю. Этих условий достаточно, чтобы получить
решение в виде замедленных волн, причем даже простейшая волна
с круговой симметрией из-за наклона линий проводимости на угол
¦& имеет одновременно электрическую и магнитную продольные со-
составляющие поля. Однако данная теория не учитывает истинной
дискретной структуры спирали, и требуются дополнительные вы-
318
кладки для получения зависимостей, соответствующих экспери-
эксперименту.
Ограничимся лишь качественным описанием явлений в спираль-
спиральном волноводе в соответствии со строгой теорией (9].
Пренебрежем толщиной проводов, образующих спираль, и заме-
заменим ее анизотропно проводящей цилиндрической поверхностью
г —а, по которой протекают поверхностные токи и распределены
поверхностные заряды. При этом, согласно ф-лам B.20), B.21),
B.23), B.25), составляющие Нг, Яф и Ег претерпевают скачок при
переходе через г=а, а составляющие Ег, Яф и Нт непрерывны. Отсю-
Отсюда с помощью A2.15) заключаем, что производная dHJdr должна
быть также непрерывна.
Предположим, что волна, движущаяся вдоль оси спирали, за-
медлена. Тогда по обе стороны от поверхности с токами (снаружи
и внутри спирали) образуются поверхностные волны. Естественно,
что снаружи продольные составляющие полей описываются с по-
помощью функции Кп (&), а внутри — функцией /„ (?г). Формула A2.8)
по-прежнему связывает поперечный коэффициент ? с фазовой ско-
скоростью V.
Запишем выражения для полей спирального волновода, удовлет-
удовлетворяющие поставленным условиям:
r>a.
,. r<a; A2.63)
, = Я, [/„(С/¦)//« (С a) sin n ф
?, = ?; [К, (С г)/К« (С аI cos л ф 1
Яг = Я0[К„(Сг)//(;(|а)]5тпфГ
При га = О множители соэ«ф и sin/гф в ф-лах A2.63) нужно за-
заменить единицей. Поперечные составляющие определяются по
ф-лам A2.15).
0,5
0.1
L
0,2
11,1
т—
V
/^
/^
j
^*~ " '
n=L/L
О 0,2 О
Гис. 12.19
0,5
Не решая далее граничной задачи, рассмотрим результирую-
результирующую характеристику фазовой скорости (рис. 12.19). При 1-Д->0,
v-+c, $-*-k; тогда ?а очень мало [ф-ла A2.4)] и, как показывает
анализ, ?о/#о->-О. Преобладает магнитная составляющая Нг, кото-
319
рая лишь незначительно меняется по сечению волновода (рис.
12.20а): на очень низких частотах поле спирали представляет со-
собой пате соленоида, известное из теории стационарных полей. При
этом волна движется вдоль опирали, .не испытывая влияния дис-
дискретности ее структуры, так как шаг спирали d намного меньше )..
а) па о
н
6) n=t
Рис. 12.20
При увеличении частоты фазовая скорость быстро уменьшается
и начинает сказываться спиральная намотка проводника. Из-за
замедления A=Xv/c уменьшается быстрее, чем Я, так что парциаль-
парциальная волна, распространяющаяся со скоростью с, быстро переходит
от движения вдоль оси к движению по спирали. Примерло при
L/X=0,2 фазовая скорость почти достигает значения v = csinft
{ф-ла A2.62)]. В какой-то .мере устанавливается и структура поля
(.рис. 12.206), та,к как достигает своего установившегося значения
поперечный коэффициент A2.4):
?2 = 02 _ ?2 = ?2/sin2 fl _ ?2 = ?2 ctg2 fl# A 2.64)
Волну в спиральном волноводе назовем ЕНп, где п — периодич-
периодичность поля по окружности, определяемая отношением длины витка
к длине волны n=L/X. На рис. 12.20е показано распределение тока
в спирали при п=\. В отличие от всех ранее рассмотренных систем
п — произвольное число, не обязательно целое. Это не противоре-
противоречит физическому смыслу, так как волна, сдедав оборот по спирали,
не возвращается в исходную точку. Быстрота спадания поля при
удалении по радиусу от .спирали увеличивается с ростом коэффи-
коэффициента ? и индекса п. Функции Кп и /п можно рассчитывать и для
нецелого п, однако ошибка не будет велика, если округлять п до
ближайшего целого числа.
При n=L/l= 0,4-^0,6 спираль практически недисперсна; соответ-
соответствующий диапазон частот можно считать оптимальным для ее
использовадия в электронных приборах.
Для спиральных антенн осевого излучения необходимо, чтобы
п = Ь/Хж\, как в диэлектрическом волноводе и гофрированном
320
стержне. Именно в этой области наблюдается разрыв в характери-
характеристике (рис. 12.19); при п«0,8 фазовая скорость уменьшается скач-
скачком, переходя на другую ветвь характеристики. Это связано с про-
пространственным резонансом, возникающим в спирали при совпаде-
совпадении фаз парциальных волн на соседних витках спирали. При ре-
резонансе парциальная волна, бегущая вдоль провода спирали, за-
замедляется; ее скорость гп=хс (х«0,8 при L/X=l); поэтому осевая
фазовая скорость в области резонанса v = xcsinft.
Второй пространственный резонанс при пж2 выражен еще в
большей степени и может привести .к срыву волны в спирали; об-
область n = L/X^>[,5 практически не используется.
12.9. Возбуждение волноводов поверхностной волны
В полых волноводах нераспространяющиеся волны образуют вокруг
возбудителя реактивное, поле, действие которого на входную цепь
может быть скомпенсировано дополнительными реактивными эле-
элементами. В открытых волноводах поверхностной волны .нераспрост-
.нераспространяющиеся волны уходят в пространство: создается паразитное-
излучение и снижается кпд возбудителя. Поэтому точечные возбу-
возбудители (штырь, петля, отверстие) использовать нельзя. Идеальный-
возбудитель поверхностной волны представляет собой волновой
фронт бесконечной протяженности, перпендикулярный оси волно-
волновода. Распределение амплитуд и направление векторов элементов
Гюйгенса по плоскости этого фронта должно полностью соответ-
соответствовать распределению данной поверхностной волны по попереч-
поперечному сечению. В этом случае интеграл (9.69) достигает максимума*
и кпд возбудителя равен единице. Любой реальный возбудитель
имеет конечные размеры и в лучшем случае воспроизводит только
часть поверхностной волны. Однако, если его поперечные размеры
соответствуют граничному радиусу г0 или граничному расстоянию
х0, его кпд близок к 90%, только небольшая часть поверхностной
волны проходит вне указанных габаритов.
Возбудители строят по следующей схеме. Выбирают направляю-
направляющую систему со структурой поля в поперечном сечении, близкой
к возбуждаемой волне, например, коаксиальную линию с волной
ТЕМ для возбуждения волны типа ?<ю в линии поверхностной вол-
волны (рис. 12.21) или гофрированном стержне; круглый волновод с
{'сагсиалькая
гимая
T-J
Рнс. 12.21
11—2
321
волной типа Нп для возбуждения водны ЕНХ0 в диэлектрическом
волноводе '(рис. 12.22) «ли гофрированном стержне; прямоуголь-
прямоугольный волновод ,с волной Я10 для возбуждения волны Еоо тофриро-
ваниой поверхности |(рИс. 12.23). Между направляющей 1систем1ой
¦и [волноводом .поверхностной волны делают рупорный переход,
внутрь которого (помещают замедляющую структуру. Здесь посте-
постепенно формируется поверхностная волна, поэтому на выходной
Аруглый
центрический
Рис. 12.23
апертуре рупора S, размеры которой должны соответствовать или
превышать г0 или х0, распределение поля близко к распределению
поля возбуждаемой волны. Различие оиределяется конечными раз-
размерами апертуры и наличием проводящей поверхности рупора. Ру-
Рупор можно рассматривать как нерегулярный экранированный вол-
волновод поверхностной волны. Амплитуда волны, отраженной от
горловины рупора, определяется углом его раскрыва, который по-
поэтому не должен превышать 60°.
В спиральном волноводе обычно возбуждается парциальная
волна, бегущая вдоль проводника. Для этого коаксиальный кабель
пропуакают через отверстие экрана (рис. ,12.18). Его внешний про-
проводник соединяют с экраном, а внутренний—с началом'опирали.
ЗАДАЧИ
12.1. Диэлектрический' волновод представляет собой круглый диэлектриче-
диэлектрический стержень диаметром 2а=2мм из полиэтилена (8 = 2,25; tg6=i(j~3), окру-
окруженный воздухом. Определить параметры волновода: нормированную частоту,
нормированные поперечные коэффициенты, отношение мощностей в диэлектрике
и воздухе, граничный радиус поля, фазовую и групповую скорости, коэффициент
затухания на частоте 40 ГГц.
Ответ: F = 0,937; x = <'.936;~t = 0,0423; « = 0,0152; го = 23,6 мм; u° = 0,098 дБ/м.
322
12.2. Линия поверхностной водны выполнена -из медного провода, диаметром
26=4 мм, покрытого слоем светостабилизированного полиэтилена ,(е=2,4;
tg6=10~3) диаметром 2а=:10 мм ,и подвешена к столбовым опорам линии связи.
Определить параметры_ линии (ом. задачу 12Л) на частоте 200МГц.
Ответ: /г=2,48-10-2; х=2,39-10-2; ?=6,52- Ю-3; 13=8,09-10; го = 76,7см; а° =
= а°пр + а° =3,97+,1,42=5,39дБ/км.
12.3. Определить нижнюю и верхнюю частоты волны типа ?оо для гофриро-
гофрированной структуры (рис. 12.13) с а=5мм; й = Ъ мм; 6=1 мм. На этих частотах
найти фазовую скорость волны и граничное расстояние.
Ответ: /н = 620МГц; и = 0,999с; хо=1,72м; /„ = 13,3 ГГц; i< = 0,442c; хо=1,77мм.
12.4. Решить граничную задачу для волн типа Ет 0 в плоско'М диэлектриче-
диэлектрическом волноводе (рис. ,12.12), представляющем собой диэлектрическую пластину
(ец>1) толщиной 2а, неограниченную в плоскости уОг. Волна Ет 0 имеет поле,
неизменное по оси у, т—число полных стоячих полуволн продольной состав-
составляющей поля на отрезке от х=—а до х=а. Порядок решения задачи: записать
выражения для компонент поля в средах 1, 2, 3 (поля симметричны или антисим-
антисимметричны относительно плоскости уОг); наложить граничные условия; получить
дисперсионное уравнение, дать его графическое представление; определить гра-
граничные частоты, построить эпюры поля по оси х для основной волны ?Оо <(т=0).
Ответ: дисперсионное уравнение волн ?о т: ?= — X^SX .(для четных
6
т=0, 2, 4, ... и Ёг =
С*1 нечетных т=\, 3, 5, ... и
Ez=?0 cosx*); граничные частоты Frp=0,5 яга; интервал изменений аргумента
0,5 гая^ха<0.5('и+1)я.
12.5. Решить граничную задачу для волны типа Нт о (в частности, для вол-
волны ЯОо) в системе, описанной в предыдущей задаче.
Ответ: дисперсионное уравнение воли типа Но т:?= —Х^-ВХ (лля четных
т=0, 2, 4, ... и Hz=Hosin%x); t,=—
(Для нечетных m = l, 3, 5, ... и
%)
Il2.6. Какие волны из найденных в задачах 2 и 3, существуют в системе:
диэлектрический стой толщиной а(ец>1), нанесенный на поверхность идеаль-
идеального проводника (плоскость yOz a->-oo). Найти дисперсионные уравнения для
волн типа ?0 m и Яо m в этой системе-
Ответ: Существуют волны ?о m при четных и и Я|я при нечетных т. Их дис-
дисперсионные уравнения идентичны полученным в задачах 12.4 и ,12.5.
12.7. Рассчитать фазовую скорость волны типа ?оо гофрированного стержня
(рис. 12.15) при 6 = 5 мм, а=,10 мм, й=Ъ мм, 6=1 мм на частоте f==l ГГц.
Ответ: v = 0,9 с.
12.8. Определить фазовую скорость и отношение напряженностей поля Ег
на оси волновода и при г=а для диафрагмированного волновода (рис. 12.16) с
а=Л0м-м; 6= 14 мм на частоте f=110 ГГц. Дать рекомендации по выбору периода
структуры d.
Ответ: и=0,89с; ?г@)/?г(а) = 0,7б; й<13мм.
12.9. Определить шаг спирали спирального волновода с фазовой скоростью
t> = 20 Мм/с, если диаметр спирали 2а=1,2 см и частота 4 ГГц.
Ответ: d=0,252 см.
¦И*
323
Полноводные узлы и элементы
3
Глава 13.
ЭЛЕМЕНТЫ ВОЛНОВОДНОГО ТРАКТА
13.1. Основные понятия
Устройство, предназначенное для выполнения той или иной функ-
функции (например, возбуждения, передачи, разделения, преобразова-
преобразования структуры поля электромагнитных волн, модуляция, детекти-
детектирования, фильтрации электромагнитного сигнала), называют вол-
новодным узлом *)-. Волноводные узлы, как правило, представляют
собой отдельный конструктивный блок с одним, двумя или более
плечами. В теории электрических цепей такое устройство называют
•многополюсником.
Каждый ввод в узел или вывод из него называют плечом. Такой
ввод выполняется в виде линии передачи любого типа. Аналогом
плеча в теории цепей служат два полюса.
Комплекс волноводных узлов и участков волноводов, соединяю-
соединяющий, например, антенну с генератором и приемником, образует
волноводный тракт.
Любая составная часть волноводного узла со специфическими
свойствами называется волноводным элементом. Это, например,
элементы связи, возбуждающие поле: штыри, петли, щели. Каждый
:вол.новодный элемент создает в направляющей системе нерегуляр-
нерегулярность (см. параграф 9.3).
Рассмотрим взаимодействие волны с нерегулярностью. Пусть
что волноводу распространяется волна определенного типа, кото-
которую считаем падающей. Она создает в нерегулярности токи про-
проводимости или смещения, пространственное распределение которых
зависит от структуры волны и формы нерегулярности. Эти токи
рассматриваются затем как сторонние, возбуждающие в волноводе
множество распространяющихся типов волн и реактивное поле
вблизи нерегулярности, а именно:
') Аналогично определяются узлы, элементы и тракт иа коаксиальных, по-
лосковых и других линиях, которые также рассматриваются в гл. 13—16.
324
— отраженную от нерегулярности волну того же типа, что и
падающая; ее величину характеризуем коэффициентом отражения
от рассматриваемого элемента;
— прошедшую волну, амплитуда и фаза которой изменены не-
нерегулярностью по сравнению с амплитудой и фазой падающей; ве-
величину прошедшей волны характеризуем коэффициентом прохож-
прохождения; в ряде случаев эту волну удобно рассматривать как сумму
волн: исходной, не взаимодействовавшей с нерегулярностью, и вто-
вторичной, созданной токами в нерегулярности;
— волны других типов, возникающие в многомодовых волново-
волноводах в результате частичного преобразования падающей волны; они
распространяются по волноводу в обе стороны от нерегулярности;
их величины характеризуются коэффициентами преобразования;
— ближнее реактивное электромагнитное поле около нерегуляр-
нерегулярности создается за счет нераспространяющихся волн высших по-
порядков, для которых данный волновод является запредельным; для
них характерно экспоненциальное уменьшение электромагнитного
поля при удалении от нерегулярности, причем коэффициент ослаб-
ослабления а, согласно ф-лам (9.66), (9.67), пропорционален fKp соответ-
соответствующей волны.
Большое число нерегулярностей можно рассматривать незави-
независимо друг от друга только в том случае, если расстояние между
ними больше, чем протяженность реактивных полей. В противном
случае, между нерегулярностями возникают взаимные связи через
поля высших порядков.
Одно.модовую направляющую систему часто представляют в ви-
виде нормированной линии (см. параграф 8.9). Тогда нерегулярность
с небольшой протяженностью по длине линии заменяется эквива-
эквивалентной схемой в виде соединения реактивных и активных сопро-
сопротивлений или проводимостей. Активные сопротивления соответст-
соответствуют тепловым потерям, потерям на преобразование в волны дру-
других типов и передаче энергии в другие линии. Реактивные сопро-
сопротивления представляют электрические и магнитные ближние поля
нерегулярности. Критерием эквивалентности является равенство
коэффициентов отражения и прохождения волн в эквивалентной
схеме и реальном тракте. Обычно эквивалентность сохпаняется
лишь в определенном частотном диапазоне.
13.2. Метод возмущений
Некоторые элементы представляют собой помещенные в волновод
или линию удлиненные пластинки и стержни из диэлектрика или
магнитодиэлектрика с малым относительным поперечным сечением.
Они не создают заметных отражений, а лишь незначительно изме-
изменяют (возмущают) поле в волноводе. Приближенный метод опре-
определения коэффициента распространения волны в волноводе с та-
таким элементом называют методом возмущений.
325
Назовем не возмущенным однородный волновод сечением S, за-
заполненный воздухом (ео, \ы). Обозначим поля и коэффициент рас-
распространения в этом волноводе через Ео, Но и \'о. В каждой точке
волновода справедливы уравнения Максвелла C.14). Представим
оператор Гамильтона в виде суммы [ф-ла (8.6)]: V = VX — ezy0. Тог-
Тогда, например, rot Но= (VxH0) = (VXXHO) —Yo(ezXHo) = rotx Ho—
—Y"(ezXHo). Следовательно, для поля в невозмущенном волноводе:
rot± Но — уо (ez X Но) = i ю е0 Ёо,
rotj, Ёо — уо (ez X Ёо) =— i ю \i0 Ho.
A3.1)
A3.2)
Теперь внесем в волновод элемент: пластину или стержень из
вещества с параметрами еа и [ха и поперечным сечением AS, по-
постоянным по всей ее длине. Поле в таком возмущенном волноводе
будет отличаться от первоначального. Обозначим его компоненты
Ё, Н, а новый коэффициент распространения у. По аналогии с
ф-лами A3.1) и A3.2) запишем:
rotxH —
rot±E —
jioe0E вне AS
|ia»eaE внутри AS
— i a» \i0 H вне A S
— i a» \ia H внутри A S
A3.3)
A3.4)
Умножим уравнение, комплексно-сопряженное A3.1), на Ё, а
ур-ние A3.3) — на Ео. Из полученной суммы вычтем другую сумму,
составленную из -произведения Н на уравнение, комплексно-сопря-
комплексно-сопряженное A3.2), и произведения Но на ур-ние A3.4). Полученное
уравнение проинтегрируем по объему волновода V длиной L, со-
содержащего элемент. Пусть этот объем состоит из областей
AV=LAS и V—АУ с различными параметрами заполняющей сре-
среды. Тогда
j(E-rotxH0 —
V—A V
A3.5)
д v
326
I
К первому интегралу применим известное тождество D.12), с уче-
учетом того, что для операций в поперечной плоскости d/dz = O:
divx(AxB) = Vx (AxB) =B-rotxA—A-rotxB. Затем заменим объ-
объемный интеграл от дивергенции «а интепрал ото отаверхшости Sv,
охватывающей объем V:
+ divx (Eo xH)] d V =
= J[(EXH0)+(E0XH)]rfS,
5
где векторы неизменны по оси z, так как дивергенция определялась
только в поперечной плоскости. Считаем стенки волновода идеально
проводящими, тогда интеграл по боковым поверхностям равен
нулю; интегралы по двум поперечным сечениям волновода при
d/dz = 0 равны по величине :и противоположны по знаку. Следова-
Следовательно, в целом первый интеграл в выражении A3.5) равен нулю.
Во втором интеграле A3.5) изменим порядок сомножителей
в векторно-скалярном произведении. В правой части этого выра-
выражения вааимно уничтожаются одинаковые интегралы по объему
V—AV. В результате приходим к соотношению:
(Y-Yo)/[ez-(EoXH)
v
ez-(EXHo)]rfl/ =
д v
— е„)Е„-Ё+(ца
A3.6)
Устремив L->-0, сведем интегрирование по объемам V и ДУ
к интегралам по поперечным сечениям S и AS. До сих пор условие
малости возмущения не использовалось. Теперь будем считать,
что сечение внесенного элемента AS<CS и вне этого сечения прак-
практически Е=Ё0 и Н = Н0. Тогда внесение элемента не меняет заметно
мощности Р, переносимой волноводом, и первый интеграл в A3.6)
по S равен 2Р. В этом случае получаем
A3.7)
J
AS
Изменение коэффициента распространения в волноводе связано
с изменением электрической и магнитной проницаемостей в сече-
сечении AS простым соотношением. Поле в невозмущенном волноводе
Ео, Но известно. Поле же внутри элемента определяется при помо-
помощи граничных условий с учетом того, что вне элемента оно остает-
остается неизменным.
Методом возмущений нельзя пользоваться на частотах, близких
к критической, или при большом поглощении в пластине, если тол-
толщина скин-слоя не превышает ее толщины. В обоих этих случаях
внесение элемента значительно изменяет поле в волноводе.
327
13.3. Элементы коаксиальной линии
СОЕДИНЕНИЯ
По коаксиальной линии в обычном режиме распространяется толь-
только волна ТЕМ. При соединении двух линий непрерывность тока и
напряжения обеспечивается равенством их характеристических со-
сопротивлений. Если длина волны Х>50Ь (Ь —радиус внешнего про-
проводника) или геометрические размеры соединяемых линий практи-
практически одинаковы, коэффициент отражения от соединения рассчи-
рассчитывается по ф-ле (8.54), где z=Zc2/Zci.
В лабораторной практике отрезки гибких коаксиальных линий
с равными значениями Zc соединяются стандартными винтовыми
коаксиальными разъемами, обеспечивающими хороший электриче-
электрический контакт и вносящими
незначительную нерегуляр-
нерегулярность. Эти же требования
должны выполняться при
спайке двух идентичных от-
отрезков кабеля.
В жестких конструкциях
приходится соединять два
коаксиальных отрезка с раз-
разными размерами проводников (рис. 13.1). Ступеньки на проводни-
проводниках приводят к местному сужению, где создается дополнительное
электрическое иоле. Это поле реактивно, так как не связано с пе-
переносом энергии. На эквивалентной схеме оно представлено шун-
шунтирующей емкостью, величина которой рассчитывается по эмпири-
эмпирическим формулам [23].
В переходах, где волновые сопротивления обеих линий равны
между собой, т. е. bi/ai = b2/a2, важно устранить отражение от сту-
пеныки. Сдвиг перехода внутреннего проводника в сторону линии
с большим диаметром на Д«0,2Ь2 (рис. 13.2а) уменьшает реактив-
cz
Рис 13.1
Рве. 13.2
«ое электрическое поле; участок А с размерами Ъ2 и
ным характеристическим сопротивлением Zc= ^
те л й
и повышен-
повышенрр рм c |Li/Ci эквивален-
эквивалентен включению дополнительной индуктивности, так как здесь обра-
образуется местное реактивное .магнитное поле. При равенстве энергий
электрического и магнитного полей в месте перехода возникает ре-
328
зонанс (компенсация дополнительных реактивностей). Нагружен-
Нагруженная добротность такого резонатора мала, поэтому хорошее согла-
согласование достигается в широкой полосе частот.
Конический переход с постоянным тю длине отношением Ь/а
{рис. 13.26) позволяет достичь еще лучшего согласования, так как
местные реактивные поля в этом случае значительно слабее. От-
Отсутствие острых углов у внутреннего проводника заметно увеличи-
увеличивает электрическую прочность по сравнению с рассмотренной ранее
конструкцией.
НЕОТРАЖАЮЩИЕ ШАЙБЫ
Типичной для коаксиальных линий нерегулярностью является ди-
диэлектрическая шайба, о которой уже упоминалось в -параграфе
10.3. Обычная шайба (рис. 10.6) представляет собой небольшой
участок с уменьшенным в У е раз характеристическим сопротивле-
сопротивлением. Из ф-лы A0.18) вытекает, что увеличение отношения ра-
радиусов в плоскости шайбы уравнивает эти сопротивления, если
\g (Ьт/аш)= Kelg (b/a). Можно изменить размеры внешнего либо
внутреннего проводника, либо обоих вместе (рис. 13.3а). Однако
чрезмерное уменьшение аш
уменьшает механическую
прочность проводника. Что-
Чтобы увеличить аш, снижают
эквивалентную диэлектриче-
диэлектрическую проницаемость шайбы
с помощью выточек (рис.
Рис. 13.3
13.36). Ступица cm повыша-
повышает электрическую прочность
шайбы, препятствуя появле-
появлению поверхностного разряда, так как граница диэлектрика с воз-
воздухом проходит по области с меньшим электрическим полем.
ИЗЛОМ
Поворот линии также сопровождается увеличением концентрации
электрического поля на острых углах. При изломе на 90° эквива-
эквивалентная шунтирующая емкость вносит заметное рассогласование
в тракт, начиная с частот порядка 300 МГц. Согласование можио
улучшить уменьшением реактивного электрического тюля за счет
ореза угла внутреннего проводника (рис. 13.4а) или уменьшения
а)
Рис. 13.4
329
его диаметра, что увеличивает 2~с (рис. 13.46). Замена этого излома
двумя по 45° приводит к тому же результату. Если расстояние меж-
между ними составляет Я/4, отраженные от двух сечений волны оказы-
оказываются в противофазе, так как путь одной из них на К/2 больше,,
чем другой. В определенной полосе частот эти волны почти пол-
полностью компенсируются.
13.4. Сочленения и изгибы волноводов
СОЕДИНЕНИЕ ВОЛНОВОДОВ РАЗНЫХ РАЗМЕРОВ
Коэффициент отражения от такого стыка (рис. 13.5) удобно рас-
рассчитывать, как в коаксиальных линиях, по характеристическим со-
сопротивлениям соединяемых волноводов в соответствии с (8.54).
/~2 71 Однако понятие характеристического со-
сопротивления применимо к полому волно-
волноводу лишь условно, так как напряжение
и ток в нем, по существу, неопределимы.
Считаем, что напряжение волны типа
#ю равно разности потенциалов между
Рис |з,5 двумя точками, лежащими посредине-
верхней и нижней стенок волновода
U=bEymaX = bEy\x=a/2, где Ёу определяется ф-лой (9.24). Введем:
теперь характеристическое сопротивление как отношение квадра-
квадрата напряжения к передаваемой мощности Р [ф-ла (9.28)]:
7 _ 1^12 _
0 Р
гН
I ~г~ — ? —ZB.
а УК а ° к
Другие формулы для определения характеристического сопро-
сопротивления отличаются от A3.8) постоянным коэффициентом, близ-
близким к единице. Для расчета коэффициента отражения имеет зна-
значение лишь отношение характеристических сопротивлений, которое
в соответствии с более точным анализом записывается в виде [35]:
Zc2 _ Ъг _flj_ Л2 f 4 sin [л Bх0 + Q2)/Bfl])] cos [я а2
ZC1 bi а2 Лх 1 я (^/аг — Oa/Qi)
При небольших уступах «а узкой стенке сомножитель в фигур-
фигурной скобке близок к единице, и выражение A3.9) сводится к A3.8).
На уступах в плоскости сочленения возникают токи и заряды,,
создающие местные реактивные поля, что приводит к дополнитель-
дополнительным отражениям. Эти поля эквивалентны шунтирующим реактив-
реактивным проводимостям, как показано на рис. 13.1. Расчетные графики
для указанных проводимостей можно найти в справочниках [35].
Если на стыке прямоугольных волноводов одновременно увеличи-
увеличиваются (или уменьшаются) оба размера а и Ь, то условие резо-
резонанса реактивных проводимостей, приводящего к их взаимной ком-
компенсации, совпадает с условием равенства характеристических со-
330
противлении то A3.8), A3.9). Как общее правило следует принять,
что изменение размеров волновода на стыке не должно превышать
104-20 % и что симметричные сочленения предпочтительнее асим-
асимметричных.
СОЧЛЕНЕНИЯ ВОЛНОВОДОВ С ОДИНАКОВЫМИ
НОМИНАЛЬНЫМИ РАЗМЕРАМИ
Длинные тракты из жестких волноводов для удобства производ-
производства и монтажа изготавливаются из отдельных волноводных сек-
секций, которые соединяются при помощи фланцев. Конструкция сты-
стыка должна иметь хороший электрический контакт по (внутреннему
периметру волноводов для 'пропускания поверхностных токов, ве-
величина которых достигает 100 А/см. Сочленение, должно быть ме-
механически прочным и, как правило, герметичным.
Контактное соединение достигается с помощью плос-
плоских фланцев, изготовленных с высокой точностью. Для улучшения
качества контакта применяют мягкие прокладки: медно-асбесто-
вую, медную, алюминиевую, иногда прокладку покрывают слоем
индия, образующим хорошее несварное соединение. Используется
также бронзовая рассеченная прокладка с упругими зубцами, раз-
разведенными, как у пилы (рис. 13.6). Для герметизации применяют
Резинодая
./с . v прокладка
бронзовая
прокладка
Рис. 13.6
прокладку из специальной резины. Контактное соединение обес-
обеспечивает хорошее 'Согласование волноводов: коэффициент отраже-
отражения Г«0,1% во всей частотной полосе. Для этого необходимо вы-
выдерживать внутренние размеры волноводов с точностью 0,2%, бо-
боковое смещение соединяемых секций не должно превышать 1%,
взаимный поворот — 2°. На любом уступе в месте соединения воз-
возникают реактивные поля, которые ухудшают согласование. Чтобы
обеспечить точное совпадение волноводов, во фланцах предусмат-
предусматривают дополнительные отверстия М и шпильки Ш. Контактные
соединения относительно дороги, а их качество существенно ухуд-
ухудшается после нескольких повторных сборок, поэтому их применяют
в неразборных волноводных трактах.
Дроссельное соединение (рис. 13.7) основано на ис-
использовании особенностей структуры поверхностных токов волны
331
типа Ню (рис. 9.9). На узких стенках токи поперечны и здесь щель
между секциями, параллельная токам, не препятствует прохож-
прохождению волны. На широких стенках токи имеют продольную состав-
составляющую, «о вместо непосредственного электрического контакта
дроссельное соединение создает в плоскости Е (параллельной век-
вектору Е в волноводе) отрезок короткозамкнутой ленточной линии
Г-образной формы длиной 1тХ/2, входное сопротивление которого
близко к нулю. Первый его
участок длиной л/4 образо-
образован фланцами двух соеди-
соединяемых волноводов с зазо-
зазором Ль а второй представ-
J__4 (Uf_«Ll IffflL lgTTM4 ляет кольцевУю канавку в
) JD П Tilvll * I *Ш111 правом фланце (иногда эту
канавку заменяют двумя
прямыми канавками, парал-
параллельными широким стенкам
Рис 13.7 волновода, чем достигается
постоянство длины верти-
вертикального отрезка Г-образной линии по ее сечению). Электрический
контакт между секциями (Ж) перенесен на расстояние к/4 от
конца линии, в узел тока, поэтому качество контакта не играет
существенной роли; допустим даже небольшой зазор в этом се-
сечении.
Нагрузкой для волноводной секции с характеристическим сопро-
сопротивлением Zc [ф-ла A3.8)] является последовательное соединение
второго такого же волновода и входных сопротивлений ZBX двух
ленточных линий (аналогичных несимметричной полосковой, но
с равной шириной обоих проводников); характеристическое сопро-
сопротивление такой линии Z™ = ZB(Ai/a). Очевидно требование иметь
минимальное значение ZBX = iZ™ tgkl в полосе частот, что дости-
достигается выбором возможно меньшего зазора А( и, следователь-
следовательно, Z™.
Лучший результат получается при использовании линии, состав-
составленной из двух четвертьволновых отрезков с разными характери-
характеристическими сопротивлениями. Если Д2= B-=-3).Ai, то Z™ =
= B-f-3)Z™, что увеличивает в 2—3 раза на тех же частотах вход-
входное сопротивление четвертьволнового короткозамкнутого отрезка в
сечении контакта Ж. Это сопротивление является нагрузкой для
первого четвертьволнового отрезка, входное сопротивление которо-
которого в плоскости стенок волновода уменьшается. Конкретные расчеты
несложно провести с помощью круговой диаграммы сопротивлений
(рис. 8.18). Хорошо выполненное дроссельное соединение обеспе-
обеспечивает коэффициент отражения Г^1% в полосе частот поряд-
порядка 20%;
Дроссельное соединение допускает меньшую по сравнению с
контактным точность изготовления волноводов, не столь чувстви-
332
тельно к взаимным смещениям волноводных секций (хотя при зна-
значительных смещениях сложные резонансы в ленточных линиях при-
приводят к резкому увеличению отражения от стыка) и поэтому оно
более дешево. Многократная разборка и сборка почти не увели-
увеличивает коэффициента отражения от соединения.
Аналогично описанным конструируются контактные и дроссель-
дроссельные соединения для круглых волноводов и коаксиальных линий,
ВОЛНОВОДНЫЕ ИЗГИБЫ И СКРУТКИ
При выполнении фидерных систем приходится изгибать волновод
под различными углами. Резкий изгиб, например на 90°, приводит
к недопустимо большим отражениям. Простейшим способом умень-
уменьшения отражений является создание вместо одной двух плоскостей
отражений с интервалом Л/4 между ними. Этим достигается взаим-
взаимная компенсация отражений в некоторой полосе частот, которая
тем шире, чем меньше коэффициент отражения от каждого сечения.
Для Я-изгиба траектория движения волны заметно смещается от
геометрической оси волновода к внутреннему углу, что приводит
к несколько большим оптимальным геометрическим расстояниям
между плоскостями отражений. На рис. 13.8а, б показан скосвнеш-
Н-изгиб
Е - изгиб
I -0,25А
Н-изгиВ
Рис. 13.8
него угла для Н и ?-изгибов. Несколько лучшие результаты дает
двойной^излом (рис. 13.8в), у которого величина отражений от каж-
каждой из плоскостей меньше, чем в первом случае.
Плавные изгибы с 'радиусом кривизны R>A несколько более
громоздки, но обеспечивают хорошее согласование (рис. 13.8г).
Отражения получаются в сечениях А и В, где меняется кривизна
волновода. Можно показать, что коэффициенты отражений в этих
сечениях противоположны по знаку; это связано с тем, что в пер-
первом сечении кривизна волновода увеличивается скачком от 0 до>
1/R, а во втором уменьшается на ту же величину. Поэтому наилуч-
наилучшее согласование получается при длине волновода между этими-
сечениями / = т(Л/2), где т=\, 2, 3 ..., что обеспечивает разность
хода отраженных волн, «ратную Л, и их противофазное сложение.
К изгибам применимы методы широкополосного согласования, которые будут
изучаться в следующей главе. Коэффициент отражения от излома на угол в
333
/"=к62, где /с=0,13-М),23. Поэтому, например, разбивка поворота на три излома,
у которых коэффициенты отражения меняются по биномиальному закону
(9i=26,3°; 9г=37,4°; 9з=26,3°), позволяет получить хорошее согласование в
10-процентной полосе частот. Аналогичный метод применим к плавному повороту:
скачки в изменении кривизны от 0 до \/R и обратно, разбиваются на несколько
скачков меньшей величины, выбранных по оптимальному закону.
Для изменения плоскости
поляризации применяют
скрутку волновода по оси
(рис. 13.9). Если при выпол-
выполнении скрутки волновод не
деформируется, удовлетво-
удовлетворительные результаты полу-
получаются при длине скрутки,
большей 2 Л. Как и при изги-
изгибе, желательна длина скрут-
)С j3g ки, кратная полуволне.
13.5. Реактивные элементы
ВО Л НО ВОДНЫЕ ДИАФРАГМЫ
Диафрагмой называется тонкая металлическая пластинка в по-
поперечной плоскости волновода, перекрывающая часть его сечения.
Диафрагмы являются реактивными элементами, так как почти не
вносят дополнительных активных потерь, но создают значительное
местное поле за счет возбуждения нераепространяющихся волн.
Поэтому они служат в качестзе отражающих элементов для согла-
согласования волноводов и волноводных устройств, в фильтрах свч и т. п.
, Рассмотрим параметры основных типов диафрагм в прямоуголь-
прямоугольном волноводе при одномодовом режиме.
Емкостная диафрагма (рис. 13.10) имеет кромки, па-
параллельные широкой стенке волновода. Дифракция набегающей
d
«a
Рис.
a
Симметричная
13.10
т
Несимметричная
,5
волны на диафрагме приводит к появлению реактивного поля, в ко-
котором преобладает электрическая составляющая. Это объясняется
тем, что в сечении диафрагмы высота волновода меньше, чем в его
регулярной части, и напряженность электрического поля соответ-
соответственно выше. Здесь нарушается баланс между электрической и
334
магнитной энергиями, существующий в бегущей волне; часть элек-
электромагнитного поля водны преобразуется в реактивное электриче-
электрическое поле диафрагмы. Поэтому ша эквивалентной схеме диафрагма
представлена емкостной (положительной) реактивной проводи-
проводимостью. Ее нормированное значение, полученное аналитически:
(J3.10)
Т W I / Я S Я Ч,. \
Ь„ = In cosec cosec—— ,
д Л ^ 26 ь }
где г/о — расстояние оси диафрагмы от нижней стенки. Для сим-
симметричной диафрагмы уо=Ь/2 и cosec (луо1Ь) = 1.
Между диафрагмой и широкими стенками волновода необходим
хороший электрический контакт, так как продольные токи с этих
стенок переходят на диафрагму. При плохом контакте вносятся
дополнительные потери. Емкостные диафрагмы применяются срав-
сравнительно редко, так как они уменьшают допустимую мощность, пе-
передаваемую по волноводу, создавая условия для возникновения
пробоя в сечении диафрагмы.
Индуктивная диафрагма (рис. 13.11) имеет щель, па-
параллельную узким стенкам волновода. Падающее на диафрагму
электромагнитное поле создает в ней значительные токи, парал-
1
а
!
\вд
I
• Симметричная
Рис. 13.11
Несимметричная
лельные ее кромкам. Вследствие этого в реактивном поле преоб-
преобладает магнитная составляющая, что эквивалентно включению в
сечение диафрагмы шунтирующей индуктивности. Качество кон-
контакта с боковыми стенками несущественно и уменьшение мощности
пробоя незначительно. Поэтому такие диафрагмы получили боль-
большее распространение; часто используются несимметричные диа-
диафрагмы в виде пластины с одной стороны волновода. Нормирован-
Нормированная проводимость эквивалентного диафрагме индуктивного шунта:
A3.11)
Л
=- — ctg;
ns
~2а~
(l +sec2^-ctg2^,
\ 2а а I
где Хо — расстояние оси диафрагмы от узкой стенки волновода. Для
симметричной диафрагмы хо = а/2 и выражение в скобках A3.11)
равно единице.
Формулы A3.10) и A3.11) получены теоретически для тонких
диафрагм (rf<A) при некоторых упрощающих предположениях
(обзор литературы см. в [36]). С увеличением толщины диафрагмы
возрастает -и ее .реактивность. В первом приближении толщину d
диафрагмы учитывают заменой в расчетных формулах s на
336
(s—d). В [35] приведена серия графиков, позволяющих рассчитать
реактивность диафрагм при различной их толщине.
Резонансное окно (рис. 13.12) образуется при 'наложении
емкостной и индуктивной диафрагм, оно эквивалентно параллель-
1
1
a
'7
Вакуумппотное окно
Рис. 13.12
ному контуру. На определенной частоте наступает резонанс, т. е.
равенство электрической и магнитной реактивных энергий; волна
беспрепятственно проходит через окно. Резонансные окна с при-
припаянной диэлектрической пластиной образуют перегородку, необ-
необходимую для отделения вакуумной части в приборах свч. Вакуум-
яоплотный спай образуется, например, между ков аром и стеклом
ЗС-9, имеющим малые потери на свч [20].
Размеры окна для резонанса на данной частоте /0 приближенно
определяются из условия согласования основной волны; при этом
считается, что одновременно достигается равновесие в реактивных
лолях высших волн. Будем считать, что окно заполнено диэлектри-
диэлектриком е. Из ф-лы A3.8), приравняв характеристические сопротивле-
сопротивления волновода и диафрагмы, получим
Отсюда необходимо, чтобы ая|/~ё>Ао/2; резонансная частота
диафрагмы определяется выражением:
/__?__ c
to — , — ~T~
A3.-12)
Нагруженная добротность диафрагмы пропорциональна ее нор*
«ированным проводимостям bc=—bL, т. е. отношению реактивной
проводимости к активной характеристической проводимости волно-
водного тракта. С уменьшением отверстия диафрагмы добротность
возрастает, не превышая обычно значений порядка QH=10, так как
энергия реактивного электромагнитного поля диафрагмы относи-
относительно невелика.
РЕАКТИВНЫЕ ШТЫРИ И СТЕРЖНИ
Одиночный (Металлический штырь, погруженный в
волновод и соединенный с его стенкой (рис. 13.13), создает значи-
значительное реактивное поле за счет токов проводимости, наведенных
336
в нем набегающей волной. Активной мощности он почти не погло-
поглощает.
В какой-то мере он эквивалентен линии с волной ТЕМ, замкну-
замкнутой с одной стороны и разомкнутой с другой. У основания штыря
ток и окружающее его магнитное поле максимальны. Электрическое
реактивное поле имеет наибольшие значения у конца штыря. Экви-
Эквивалентная схема штыря представляет собой последовательное вклю-
Рис. 13.13
чение емкости и индуктивности. При длине штыря /0«A,/4 насту-
наступает резонанс и его реактивная проводимость (если не учитывать
потери) становится бесконечной. Толстые штыри с d/a>0,l имеют
резонансную длину 10 на 104-30% короче, чем Х/4.
Штыри с 1<10 имеют емкостную проводимость, так как в их
реактивном поле преобладает электрическая энергия. Штыри с
/>/о возбуждают преимущественно магнитное поле и эквивалентны
шунтирующей индуктивности.
Эквивалентная реактивная проводимость штыря максимальна,
когда он находится на оси волновода (хо=О) в максимуме попереч-
поперечного поля, и при перемещении его в поперечной плоскости изме-
изменяется по закону sin2 (nxo/a), т. е. соответствует изменению мощно-
мощности волны, возбужденной излучающим штырем в волноводе [ф-ла
(9.63)]. Другими словами, она пропорциональна квадрату напря-
напряженности электрического поля основной волны в том месте, где
находится штырь.
В предельном случае стержень соединяет обе широкие стенки
(l = b) и его индуктивная проводимость
\ A3.13)
cos
nd ¦ а
Формулы и графики для расчета реактивных штырей приведе-
приведены в [23], [36].
СТЕРЖНЕВЫЕ ДИАФРАГМЫ
В вол наводных резонаторах и фильтрах широко применяются ин-
индуктивные диафрагмы, состоящие из нескольких равноотстоящих
металлических стержней в поперечной плоскости волновода
(рис. 13.14). Реактивная проводимость диафрагмы увеличивается
с ростом числа стержней и их диаметра. Эта проводимость не рав-
337
на сумме Ьш, вычисленных для одиночного штыря {ф-ла A3.13)],
так как сильное взаимодействие между созданными ими полями
не позволяет рассматривать стержни диафрагмы независимо. Тео-
Теоретические формулы <и графики для расчета эквивалентной прово-
проводимости стержневых диафрагм имеются в [25] и [35]. В качестве
0,01 ^ 0,02 0,03 0,04 005
Рис. 13Л4
Рис. 13.15
примера один из таких графиков для нормированной проводимости
трехстержневой диафрагмы приведен на рис. 13.14.
Во избежание непосредственного взаимодействия между двумя близлежа-
близлежащими диафрагмами необходимо, чтобы реактивное поле диафрагмы быстро умень-
уменьшалось по длине волновода. ,В соответствии с ф-лой (9.67) коэффициент ослаб-
ослабления этого поля пропорционален /кр соответствующей нераспространяющейся
волны. Важно поэтому, чтобы диафрагма не возбуждала типов волн с малыми
индексами я относительно низкой критической частотой.
Покажем, что ближайшей возбуждаемой волной для диафрагмы с р равно-
равноотстоящими стержнями является #Bp+i)o. Действительно, основная волна типа
Ню, набегающая на диафрагму, создает в ее стержнях электрические токи, раз-
разномерные по оси у, величина которых пропорциональна Еу ~ sin (nxo/a) на оси
стержня (рис. 13Л5). -Эти токи являются сторонними для волн высшего порядка.
Легко усмотреть из симметрии системы, что волиы типов Нтп (если п^1) и Етп
не могут возбуждаться, так как у них электрическое поле знакопеременно ло
оси у. Из сравнения эпюр поля ряда волн типа Нт о видно, что одиночный стер-
стержень на оси волновода возбудит все волны с нечетными т (первая из них типа
#зо). ВоАы с четными индексами имеют антисимметричное поле Е и не возбуж-
возбуждаются при любом числе стержней. При двух стержнях первой возбуждается
эолна типа #5о, при трех— волна типа #7о и т. д.
К0Р0ТК03АМЫКАЮЩИЕ ПОРШНИ
В том случае, если длину короткозамкнутого отрезка линии или
волновода нужно регулировать, на их конце устанавливают пор-
поршень. О.н должен отражать всю падающую на него волну. Поршни
338
применяются для настройки объемных и коаксиальных резонато-
резонаторов, согласования возбудителей и т. п.
Основные требования к поршню; минимальные потери в контак-
контактах, не изменяющиеся при его перемещении; отсутствие искрения
в контактах; стабильность работы во времени и при изменении тем-
температуры; постоянство положения плоскости отражения волны
(плоскости короткого замыкания) относительно поршня.
Простейший контактный поршень в виде поперечной металли-
металлической пластины, соответствующей по форме и размерам попереч-
поперечному сечению волновода, не удовлетворяет поставленным требо-
требованиям даже при изготовлении с весьма жесткими допусками.
Лучше работает поршень с упругими контактными лепестками
(рис. 13.16а). Точка контакта перенесена на расстояние Л/4 от
плоскости короткого замыкания (К) в узел тока стоячей волны.
а) ®
Волна
I Контакт
У///////////
6)
у//////////
/
У////
7
1
К
///
:
i_
//////л
Zcz
Волна
Контакт Z) zc/
м
си
Рис. 13.16
Недостатки этого поршня: непостоянство сопротивления контакта
при перемещении поршня, постепенное изнашивание контактных
лепестков, искрение при большой мощности.
Чаще применяют дроссельные поршни (рис. 13.166), в которых
контакт перенесен на расстояние (Я/4) за плоскость К- Небольшая
часть падающей волны проникает в узкие зазоры между поршнем
и наружной стенкой (рассматриваемые как ленточные линии) и
отражается от конца лабиринта длиной Я/2, что обеспечивает ее
синфазность с волной, отраженной от самого поршня. Электричес-
Электрический контакт находится в узле тока, и его качество поэтому не очень
существенно.
На рис. 13.1 бе показан бесконтактный поршень в коаксиальной
линии, действие которого основано на принципе трансформации
сопротивлений. Характеристическое сопротивление линии за сече-
сечением М—Zc2. Входное сопротивление четвертьволнового участка в
сечении К согласно ф-ле (8.57): 2ВХ=2^1/2С2. Предположим, что
ZC=ZC2 = 75 Ом, а диаметр внутреннего проводника 10 мм. Зазор
339
между стенкой и поршнем образуется тонкой пленкой окисла на
поршне, например оксидной пленкой на алюминии толщиной около
10-м'км. Тогда, с учетом обоих коаксиальных зазоров, характеристи-
характеристическое сопротивление на участке KM Zcl=l Ом, сопротивление в се-
сечении КК ZBx = 0,013Om и коэффициент отражения на расчетной
частоте Гл;0,99965. Пленка окисла выдерживает .напряжение по-
порядка 1—2<юВ, поэтому использование такого поршня в контурах
триодных генераторов и усилителей свч дает возможность подавать
разные постоянные потенциалы на электроды лампы.
Трансформирующий поршень (рис. 13.16г) имеет три участка
с разными характеристическими сопротивлениями. Легко рассчитать
входное сопротивление такого поршня: ZBX = Z2clZyZ^2Zci. Очевидно,
малыми должны быть Zci и Zc3, a Z& и Zck, наоборот, желательно
сделать большими.
Хорошо выполненные поршни обеспечивают коэффициент отра-
отражения более 99% и даже 99,9%. Недостаток всех описанных порш-
поршней— зависимость модуля и фазы коэффициента отражения от ча-
частоты. Обычно полоса частот, где дроссельные поршни работают
удовлетворительно, не превышает 10-^20%.
13.6. Неотражающие устройства
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ФАЗОВРАЩАТЕЛЬ
Имеются устройства, которые преобразуют определенным образом
параметры проходящей волны, обладая в то же время малым ко-
коэффициентом отражения; последнее весьма существенно, так как
обеспечивает сохранение ре-
режима бегущей волны в ли-
линии или волноводе. Во мно-
многих из них используется пла-
пластина с малой площадью
поперечного сечения AS по
сравнению с сечением вол-
волновода S (рис. 13.17), что
снижает коэффициент отра-
отражения |Г|. Дополнительно
отражения уменьшают, за-
заостряя концы пластины (рис.
13.18а), выполняя их в ви-
виде ласточкиного хвоста (рис.
13.186), либо снабжая их четвертьволновыми ступеньками (рис.
13.18s). С этой же целью поддерживающие диэлектрические стер-
стержни (ДС) располагают на расстоянии Л/4 друг от друга. Благо-
Благодаря малым отражениям работу этих устройств, можно проанали-
проанализировать с помощью метода возмущений (параграф 13.2).
К числу неотражающих устройств относится диэлектрический
фазовращатель. Функцией фазовращателя является создание регу-
3-10
Рис. 13.17
лируемой разности фаз волны между его входом и выходом.
Рассмотрим фазовращатель, состоящий из продольной диэлек-
диэлектрической пластины с малыми потерями (фторопласт, кварц), рас-
расположенной параллельно линиям электрического поля в волноводе
(рис. 13.17) и уменьшающей фазовую скорость волны. Используем
основную формулу метода возмущений A3.7), считая потери в-
а) , 6)
Рис. 13.18
пластине и стенках волновода несущественными; тогда y = 'P и>
Yo = iPo (Р и Ро — фазовые коэффициенты в возмущенном и невоз-
мущешшм волноводах). Если \ia = iio, то под интегралом в A3.7)
остается лишь первое слагаемое. Единственная при волне типа #ш.
электрическая составляющая поля параллельна границе «пласти-
«пластина — воздух» и поэтому не меняется при переходе через границу.
Полагая, что эта составляющая не меняется также при внесении
пластины, определим ее из ф-л (9.24), (9.29). для нормированной'
по мощности волны Р н = \ Вт:
2 k ZK
sin!*.
рн _ рн _ ; КАв г>н ¦ e _
C^ — CO* — » I я 0 sln S ¦* —
Подстановка этого соотношения в ф-лу A3.7) и интегрирование
с учетом d<Ca приводит к формуле для разности фазовых коэффи-
коэффициентов:
— р„ = (о(еа — е0)—?-—-sin2g
Ро °Ь
, ,, k A S . о / я
= (е — 1) —= sin2 — х„
V ' VK S \ a
A3.14)
где AS = hd; S = ab. Как и следовало ожидать, пластина вызывает
наибольшее замедление волны находясь посередине волновода. Фа-
Фазовый сдвиг в описанном фазовращателе зависит, прежде всего, от
положения пластинки х0, но меняется также с частотой, так как
в A3.14) входит множитель k/ VK=2ibf/{c V1 — (W/J]. На длине L
фаза изменяется на угол Аг|?= (р—|3о)/-
ПОГЛОЩАЮЩИЙ АТТЕНЮАТОР
Аттенюатор служит для уменьшения мощности волны в опреде-
определенном отношении. В поглощающем аттенюаторе избыток мощно-
мощности поглощается и превращается в тепло. Это свойство отличает
его от запредельного аттенюатора (параграф 9.9), в котором не-
непрошедшая часть волны отражается.
341
Для создания поглощения в тракте применяется пластина из
поглощающего материала с комплексной диэлектрической прони-
проницаемостью е = еA—itg5) и ц=1. Тогда y = a + ifi и Yo = iPo (неиз-
(неизменные потери в стенках волновода не учитываем). По ф-ле A3.7)
находим:
a -f- i($— Ро) = -^- (е—1 — i etg)e0
AS
Мнимая часть этого выражения вычислена в A3.14). Опреде-
Определим теперь коэффициент затухания:
VK S \ а °/'
Ослабление волны в аттенюаторе A — al. В переменном атте-
аттенюаторе ослабление должно регулироваться. В аттенюаторе с бо-
боковым движением пластинки, как показано на рис. 13.17, изменяет-
изменяется х0. В ножевом аттенюаторе пластину вводят внутрь волновода
через продольную щель на оси широкой стенки, здесь меняется
высота вводимой пластины, т. е. AS в ф-ле A3.15). Недостатком
обеих конструкций является изменение фазового сдвига при регу-
регулировке величины затухания.
ОКОНЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ
Для полного поглощения распространяющейся по волноводу волны
служат оконечные нагрузки. Нагрузкой может (служить аттенюа-
аттенюатор, закороченный с одного конца (рис. 13.19а). Суммарное зату-
затухание волны на пути до замкну-
замкнутого конца и обратно равно 2 а/;
его величина может быть выбра-
выбрана любой. Важно также макси-
максимально уменьшить отражение от
входа в нагрузку.
На рис. 13.196 показана пре-
прецизионная нагрузка с использо-
использованием металлизированных стек-
стеклянных пластин, которая, дает
коэффициент отражения менее
0,1% в 12-процентной полосе час-
частот (при />2Л). Пластины вво-
вводятся постепенно от стенок к оси
волновода; кроме того, преду-
предусмотрен четвертьволновый сдвиг
между их концами.
Поперечная пластина (рис.
13.19в) с тонкой металлической
пленкой и точным значением по-
поверхностного сопротивления Rs,
;Рис. 13.19 равным волновому сопротивле-
.342
, Металлшир. стен-. Л/4
I лянная пластина
ли.
нию основной волны Z^=?±/H± , позволяет получить коэффи-
коэффициент отражения порядка 5%.
Для поглощения мощности высокого уровня используются ат-
аттенюаторы и нагрузки из металлокерамики, в состав которых вхо-
входит тонкий порошок железа. Хороший теплооотвод обеспечивается
аттенюаторами в виде волноводных секций с высоким поверхност-
поверхностным сопротивлением стенок. Для улучшения охлаждения наружные
стенки волновода делаются ребристыми, окрашиваются в черный
цвет. Используется также принудительное охлаждение струей воз-
воздуха или циркулирующей водой.
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Четвертьволновая пластина. Продольная диэлектричес-
диэлектрическая пластина с малыми потерями в круглом волноводе с волной
типа Ни (рис. 13.20) создает фазовый сдвиг Дг|: для волны, поля-
поляризованной параллельно (?ц ед) плоскости пластины по сравнению1
с волной, поляризованной перпендикулярной ей (Ё хе±)-
Его величину можно рассчитать, пользуясь методом возмуще-
возмущений. Если Ёj_ ех опережает ?ц ел на четверть длины волны, то
Дф = 90°, и пластина называется
четвертьволновой. Рассмотрим дей-
действие такой пластины на волну с
произвольной поляризацией, кото-
которую (на входе поляризатора) пред-
представим в виде суммы
'Евх = ?||е„-?,е±. A3.16)
На его выходе, помимо одинако-
одинакового для обеих волн фазового сдви-
сдвига, который здесь не выписывается,
следует учесть опережающую на 90°
фазу волны ex : e190°=i. Тогда
Ёвых = ?иеп—ifixej.. A3.J7)
Рассмотрим важнейшие частные
случаи:
1. На входе четвертьволновой пластины волна линейно поля-
поляризована по оси х; пластина повернута к этой оси на угол <р. Сле-
Следовательно, EBx = ?';cex = ?'x(cos(pe|[—siri(pex). Согласно ф-ле A3.17)
на выходе поляризатора ЁВых = ?х(со5фец—isincpex)-
Пусть ф = 45°, тогда на выходе Ёвых= (Ёх/}^2) (е^—i е±) полу-
получается волна с правой круговой поляризацией (см. параграф 3.8)..
Если ф=—45°, то ЁВых= (ЁХ/УГ2) (е fl +ie±) представляет собой
волну с левой круговой, поляризацией. При других значениях ц>
343,
Рис. 13.20
на выходе получается волна с эллиптической поляризацией, вырож-,
дающейся в линейную при ф = 0° и 90°.
2. На входе пластины волна с правой круговой поляризацией
Ёвх = ?'о(е л —i еЛ), тогда по ф-ле A3.17) волна на выходе ЕБЫХ =
= ?о(ец+ех) оказывается линейно поляризованной под углом 45°
к плоскости пластины (по оси у при ф = 45° на рис. 13.20). Волна
с левой круговой поляризацией Евх=Ё0(е^ + iex) на выходе ока-
оказывается поляризованной под углом (—45°) к плоскости пластины
(по оси х): Ёвых = ?'0(е||—ех)- Таким образом, четвертьволновая
пластина служит преобразователем вида поляризации волны в вол-
волноводе.
Полуволновая пластина имеет в два раза большую
длину чем четвертьволновая, так что в результате волна е± опере-
опережает волну еt| на Л/2 (Лгр= 180°). Вместо ф-лы A3.17) для волны
на выходе запишем:
ЕвыХ = ^!|ец + ?1ех. A3.18)
Легко установить важнейшие свойства та1кой пластины:
1 Волна, которая на входе поляризатора поляризована по кру-
кругу, меняет на его выходе направление вращения на обратное и,
кроме постоянного фазового сдвига, получает дополнительный
сдвиг на 2ф, зависящий от положения пластины.
2 Волна с линейной поляризацией Ё=Ёхех поворачивается на
выходе пластины на угол 2ср, где ер — угол поворота плоскости пла-
пластины относительно оси х.
Прецизионный фазовращатель состоит из трех поля-
поляризующих пластин (рис. 13.21 о), помещенных в круглый волновод.
Ц)
Поляризация
Волны на дыходе
Поляризация
•Полны на входе
Рис. 13.21
344
Фаза волны ,на его выходе точно соответствует углу поворота ф
(от оси х) центральной полуволновой пластины. Неподвижные
четвертьволновые пластины повернуты на угол <pi =—45° к оси ху
вдоль которой поляризованы входящая и выходящая волны. Рас-
Рассмотрим работу этого фазовращателя, не учитывая постоянного фа-
фазового сдвига, определяемого его полной длиной. На его вход по-
подается волна Ei = foe*. Волна на выходе четвертьволновой пласти-
пластины [см. следствие ф-лы A3.17)]: Ё2= (E0lY2) (e^ +ie^) имеет ле-
левую круговую поляризацию. Здесь орты е^ и е^ соответственно
параллельны и перпендикулярны плоскостям четвертьволновых
пластин А а С. Запишем эту же волну в координатах, связанных
с подвижной полуволновой пластиной В, т. е. через орты е^ и е^
повернутые относительно первоначальных на угол 45°+ер (рис.
13.216). Поворот к новым координатам совершается против на-
направления вращения волны, поэтому в новых координатах фаза
волны с круговой поляризацией больше, чем в старых, на вели-
величину, равную углу поворота: Ё2= (E0/V2) (e^ +i e^)eiD5°+<P>. Полу-
Полуволновая пластина в соответствии с ф-лами A3.16) и A3.18) пре-
преобразует волну с левой круговой поляризацией в волну с правой
поляризацией, .меняя знак перед слагаемым, содержащим е^, на
обратный: Ё3= (Ёо/У2) (е^—ie^)e1D5+ф). Далее следует перейти
к координатам, связанным с пластиной С, повернутой относительно
пластины В на угол 45°+ ер против направления вращения волны
(оно сменилось на обратное). Этот переход снова приводит >к та-
такому же приращению фазы Ёз= (Ёо/YH) (е^—ie^)e12 5+ф). Волна
проходит четвертьволновую пластину Сив соответствии с ф-лами
A3.16), A3.17) преобразуется к виду: Ё4= (?0/l/) (e-jf+
_l_e >|)ei9o°e i2<p_ i?10e;cei2<p. Она становится линейно поляризованной
вдоль первоначальной оси х и приобретает регулируемый фазовый
сдвиг, равный двойному углу поворота пластины В. Такой фазо-
фазовращатель является эталонным, не требующим градуировки.
13.7. Фильтры типов волн
Для разделения либо избирательного подавления волн использу-
используются структурные отличия электромагнитных полей волн разных
типов. Фильтрующие волноводы (см. параграф 9.7) являются при-
примером протяженных фильтров такого рода. На рис. 11.15 показан
цилиндрический резонатор с кольцевой щелью, подавляющий неже-
нежелательные типы колебаний.
Здесь изучаются устройства, которые фильтруют волны в за-
зависимости от структуры поля в поперечном сечении волновода.
Проводящие пластинки или решетки отражают волны, электричес-
электрическое поле которых имеет составляющую, касательную к проводам,,
как при этом в последних возникают токи. Волна почти бес-
345.
препятственно проходит решетку, проводники которой всюду нор-
нормальны электрическому полю. Поэтому радиальный фильтр в круг-
.лом волноводе (рис. 13.22а) отражает волны типов Hib EOi и Ец,
но пропускает волну типа #<м, электрическое поле которой имеет
единственную составляющую ?ф.
Кольцевой фильтр (рис. 13.226) отражает волны типов Нп и #<н.
.Для волны типа #ц кольцо с периметром A,1-Ы,2) X является ре-
резонансной системой, полностью отражающей волну. Для этой вол-
.ны оно эквивалентно двум полукольцам длиной таh/2 каждое,
2
Рис. 13.22
т. е. полуволновым резонаторам, разомкнутым на концах. С увели-
увеличением толщины кольца возрастает ширина частотной полосы филь-
фильтра для волны Ни и отношение периметра к резонансной длине
волны, однако растет и отражение пропускаемых фильтром волн.
Кольцо пропускает волну типа ?оь у которой Еф=0; малый коэф-
коэффициент отражения этой волны определяется, прежде всего, малой
площадью кольца в поперечном сечении волновода. Кольцо кре-
крепится на тонкой пленке либо пластине из пенопласта, которые не
вызывают дополнительно-
дополнительного отражения.
Тонкая металлическая
пластина в диаметраль-
диаметральной плоскости волновода
(рис. 13.22в) является по-
поляризационным фильтром
для волн типа Я41. Ма-
Малый коэффициент отраже-
отражения для волны с Ej_, пер-
перпендикулярным ее плос-
плоскости, обеспечивается ма-
малостью d. Для волны с па-
параллельным Ец пластина
создает два запредельных
полукруглых волновода;
Рис. 13.23 при достаточной длине
346
пластины / эта волна полностью отражается и на выходе Ец =0.
На рис. 13.23 показан разделительный поляризационный фильтр,
используемый в радиорелейных трактах [25]. На вход / этого филь-
фильтра поступают волны типа Нц с вертикальной Ев и горизонтальной
Ег поляризациями. Волна Ев проходит в плечо 3 мимо металличе-
металлической пластины П. В начале плеча 2 помещены несколько парал-
параллельных треугольных пластин Т, создающих запредельные волно-
волноводы для волны Еъ; одновременно их нижние грани образуют путь
для продольных токов этой волны, направленной в плечо 3. Волна
Ет отражается от пластины П и полностью проходит в плечо 2, тре-
треугольные пластины Т для нее не являются препятствием, так как их
плоскость нормальна Ег. Для лучшего согласования плеч здесь
предусмотрены индуктивный стержень С и индуктивная диафрагма
Д. С их помощью добиваются отсутствия отражений в каждом из
плечей для волны соответствующей поляризации.
13.8. Отверстия связи
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ И МАГНИТНАЯ ПОЛЯРИЗУЕМОСТИ
ОТВЕРСТИЙ
Связь между двумя волноводами или волноводом и резонатором
может осуществляться с помощью отверстия, прорезанного в об-
общей стенке между ними. Через отверстие проникают одновременно
как электрическое, так и .магнитное поля, поэтому отверстие яв-
является сложным возбудителем, эквивалентным суперпозиции элек-
электрических и магнитных сторонних токов.
У металлической стенки 5 волновода или резонатора существует
только нормальная составляющая электрического поля Еп и тан-
тангенциальные составляющие магнитного поля; .назовем их Ят1 и Нт2
для двух взаимно перпендикулярных направлений. Если размеры
отверстия малы (меньше, чем >,/2л), то утечка волны через нега
относительно невелика.
Тогда структура ноля в п) у
волноводе А меняется
лишь в непосредственной
близости от отверстия
(рис. 13.24). Искажение
поля малым отверстием
можно рассчитать метода-
методами статических и стацио-
стационарных нолей.
Проникновение маг-
магнитного поля через отвер-
отверстие (рис. 13.24а) сопро-
сопровождается сгущением ли-
линий поверхностного тока
у краев отверстия и час- __ .
347
6)
Рис. 13.24
тичным его перетеканием на другую сторону проводящей стенки.
Появление магнитного поля в волноводе В эквивалентно переносу
из Л в В определенной части первичного поля, содержащегося
внутри объема Ум (рис. 13.246). Это поле по принципу эквивалент-
эквивалентности источников [см., например, ф-лу G.23)] можно заменить сто-
сторонним магнитным током. Уменьшение поля в первичном волново-
волноводе учитывается внесением в него стороннего тока обратного знака.
Электрическое поле наводит на краях отверстия заряды, кото-
которые создают дополнительное поле в обоих волноводах (рис. 13.24в).
Оно представляется сторонним электрическим током, эквивалент-
эквивалентным первичному электрическому полю, содержащемуся в объеме
<]/Р (рис. 13.24г):
а)
S)
(/„ 1)п = i со еа ЕАп Vp,
(/„ /)Г.2 = i со щ Нм 1>2
A3.19)
М,
г)
К 5,
<Рис. 13.25
— для круга (рис. 13.25а)
для сильно вытянутого эллипса при
Коэффициенты Vp и
VM называют электричес-
электрической и магнитной поляри-
поляризуемостью отверстия. Они
имеют смысл объемов по-
поля, перенесенных через
отверстие, и зависят от
его размеров и формы.
Методами стационарного
поля получены следующие
значения VM и VP для
наиболее употребитель-
употребительных форм отверстий, по-
показанных на рис. 13.25:
24[ln-D//s)-l] ' м2
для щели при /»s (рис. 13.25в)
(ряс. 13.256)
A3.20a)
A3.206)
24[lnD//s) —1J '
для креста (рис. 13.25г)
V>-flf' A3-2°В)
V =
' u 1 9
Тб"
Из этих формул следует, что для вытянутых отверстий наиболь-
наибольшую роль играет магнитная поляризуемость Vui, соответствующая
магнитному полю, параллельному большой оси. В крестообразном
отверстии достигается высокая связь по обеим составляющим маг-
маг348
нитного поля при малой электрической связи. В круглом отверстии
электрическая и магнитная связи имеют сравнимые величины.
Если стенка между волноводами не очень тонка, отверстие связи
рассматривается как короткий отрезок запредельного волновода
длиной б (рис. 13.26). Затухание волны в этом волноводе приводит
. к уменьшению величин поляризуемостеи отверстий, вычисленных по
ф-лам A3.19) в соответствии с (9.67):
-аб
Vu(b)=Vu{0)e
.- о в
а =
A3.21)
где б — толщина стенки; /кр вычисляется для низшей волны, воз-
возбуждаемой в запредельном волноводе данной составляющей поля.
Например, в круглом отверстии составляющая Нт возбуждает вол-
волну типа Ни круглого волновода, а составляющая Еп —волну
типа ?oi.
АМПЛИТУДЫ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ
Сторонние токи, вызванные отверстием, создают вторичные волны
в волноводах.. Амплитуды этих волн определяются суперпозицией
всех магнитных и электрических источников. Для волноводов с па-
параллельными осями, согласно ф-лам (9.59) и A3.19), имеем:
iff
—
2PH
-М»
UI
Of
2PH
Vp
Vp EnA
An
"I
2PH
H"A2
efl Vp
nBn]. A3.22)
При выводе A3.22) использовались нормированные значения
компонент падающей волны Of (с индексами Л) и так называемой
пробной волны (с индексами В) — волны того же типа, что и иско-
349
мая, но распространяющейся в обратном направлении (ом. пара-
параграф 9.8). Направления, принятые за положительные для каждой
из пробных волн, показаны на рис. 13.26.
Каждое слагаемое в ф-лах A3.22) соответствует одному из ви-
видов связи; оно пропорционально поляризуемости отверстия для дан-
данной компоненты поля и произведению величин этих компонент у
возбуждающей и возбуждаемой волн в обоих волноводах. Следо-
Следовательно, связь между ними возможна лишь в том случае, если обе
волны имеют около отверстия одинаково направленные состав-
составляющие.
Для вторичной волны каждого направления отдельные слагае-
слагаемые могут оказаться синфазными или -противофазными; разные ви-
виды связи действуют согласно либо взаимно компенсируются. Это
дает возможность направленно ответвить волну из одного волно-
волновода в другой и избежать отраженной волны в первичном тракте.
ЗАДАЧИ
13Л. Дроссельное соединение волноводов размерами 23x10 мм предназна-
предназначено для работы в диапазоне 9-г-Н-ГТц я имеет Ai=l мм; А2=.3мм. Определить
коэффициенты отражения от соединения да краях частотного диапазона.
Ответ: Если достигнуто полное согласование «а частоте 10 ГГц, то коэффициенты
отражения |Г|=0,7% при / = 9 ГГц и |Г|=0,8% ери f=\\\ ГГц.
18.2. Рассчитать фазовращатель.(рис. 13.17) со сдвигом фаз фта*—фт,п = 120°
для прямоугольного волновода размером B5ХЛ2) мм «а частоте /=10 ГГц. Пла-
Пластина из фторопласта (8=2,1) имеет поперечные размеры A0x2) мм. Опреде-
Определить длину пластины и составить график для пересчета сдвига фаз в функции
от частоты в диапазоне /=8-н12 ГГц.
Ответ: /=11 см; ф8/фю = 0,97; i|)i2/i|>io=Ul.
.13.3. Каково должно быть значение tg б материала пластины предыдущей
задачи, чтобы на расчетной частоте обеспечить максимальное затухание 4дБ-
Ответ: tg 6 = 0,114.
13.4. Определить длину поляризатора — четвертьволновой пластины из фто-
фторопласта (е=2,1) толщиной ^ = 2мм а высотой, равной диаметру круглого вол-
волновода 2G = 24 мм с волной типа Нц. Рабочая частота 12 ГГц.
Решение. Между волнами, поляризованными параллельно и перпендикулярно
пластине, необходим фазовый сдвиг &i!p=Afil = n/2. Для расчета относительных
изменений коэффициента фазы используем ф-лу A3.7) метода возмущений. Поле
в пластине считаем неизменным по ее толщине и соответствующим полю в диа-
диаметральном сечении волновода. Для волны, поляризованной параллельно пласти-
пластине, по условию B.25) напряженности электрического поля в пластине и воздухе
одинаковы; согласно ф-ле i(9.49).
Для перпендикулярно поляризованной волны по граничному условию B.22) ве-
величина вектора Е в пластине в е раз меньше, чем в воздухе: eEj_=E0J_ =
. Мощность Р в волноводе определяется ф-лой |(9.ЙЗ). После преобразований
соотношение A3.7) для обеих волн приводится к влду:
350
• где А = со Цо (е — 1) d/D1,67 a v,',3 /К) = 84 1/м;
11
fdx; /2= f [j[(x)]2dx; v,', = 1,8412.
Интегралы от функций Бесселя не являются табличными. Поэтому .восполь-
.воспользуемся разложением функции Бесселя в степенной ряд: Ji(x)=x/2—*3/'li6+
+*5/384—...
В пределах до * = vn трехчленный ряд дает погрешность менее il%. Преоб-
Преобразуем подынтегральные выражения, сохранив слагаемые, содержащие х в сте-
степени не выше четвертой. После почленного интегрирования получим
/l=JLri_il+^p= 0,358;
4 L 12 192_|о
2
[ + qv"= 0,275.
4 [ i ^ 960 Jo
— р\)=30 1/м; Рх— Ро =11 1/м. ДР= Рц — р*
ДР5
19 1/м и длина
Следовательно, ц х
•четвертьволновой пластины /=Дф/ДР=8,75 см.
13.5. Найти выражение для волны на выходе четвертьволновой и полувол-
¦новой пластин, если на входе волна поляризована линейно по оси х: E=Eotx и
<р=30° (рис. il3.20); какова поляризация волны в обоих случаях?
Ответ: ЁВых=?'о(О,866е ||—i 0,5 е±) — эллиптическая; ЁВых = ?о@,866е ц -4-0,5 е^) —
линейная.
13.6. На вход полуволновой пластины подана волна с левой круговой поля-
поляризацией EBx=?'o(ea:-i-i е„). Пластина повернута на угол q> к оси х. Доказать,
что на выходе пластины волна обладает правой круговой поляризацией, а сдвиг
фаз имеет составляющую, равную 2<р:
13.7. На вход прецизионного вращателя плоскости поляризации, представ-
представляющего гобой полуволновую пластину с регулируемым углом поворота ср
(рис. 13.20), подана линейно поляризованная волна Еъх = Еоех. Доказать, что
на выходе ее можно записать в виде EBbix = ?o(cos 2cpe:l:+sin 2<fty) =?ое2ф , где
орт e2(j, повернут на угол 2ср к орту е*.
AS
Глава 14.
ВОЛНОВЫЕ МАТРИЦЫ. ДВУХПЛЕЧИЕ УЗЛЫ
14.1. Матричный анализ волноводных узлов
КЛАССИЧЕСКИЕ И ВОЛНОВЫЕ МАТРИЦЫ
Функциональные особенности волноводного узла, определяющие
его взаимодействия с другими элементами и узлами тракта, опи-
описываются с помощью нескольких коэффициентов, объединяемых в
матрицу. Узлы могут иметь различное устройство, но одинаковые
или похожие матрицы. Например, матрицы всех резонаторов иден-
идентичны, хотя их форма, принцип действия, используемый тип коле-
колебаний могут существенно различаться. Точно так же в теории це-
цепей могут быть одинаковыми матрицы двух многополюсников с
совершенно различными схемами. Обобщенное представление
свойств волноводных узлов с помощью матриц широко применяет-
применяется в технике, так как оно позволяет довольно просто в компактной
форме описывать сложные волноводные тракты, состоящие из
большого числа узлов.
Матрица каждого узла определена, если в нем известна струк-
структура электромагнитного поля. Большая роль в определении мат-
матрицы принадлежит и эксперименту. При этом следует учитывать
некоторые общие свойства волноводных узлов и соответствующих
им матриц.
В классической теории цепей используются матрицы сопротив-
сопротивлений [Z], проводимостей [У], передачи [Л] и некоторые другие, свя-
связывающие напряжения и токи на входе и выходе линейного четы-
четырехполюсника. В линиях, длина которых сравнима или больше Я,
напряжение и ток (для волноводов эти понятия вводятся лишь
условно) меняются от точки к точке (см. параграф 8.9), поЗтому
модуль и фаза элементов этих матриц зависят от положения
плоскости отсчета (сечения, в котором измеряются параметры
волн) в каждом плече волноводного узла. Кроме того, в большин-
большинстве случаев значения элементов классических матриц зависят не
только от устройства данного узла, но и от характера присоеди-
присоединенных к ним нагрузок.
Полное поле в одномодовой линии передачи представлялось
выше как сумма падающей и отраженной волн с нормированными
амплитудами 0+ и 0~. Удобно и физически наглядно применить
эти предоставления и при описании евч цепей, связав свойства узла
с амплитудными и фазовыми соотношениями волн бегущих в его
352
плечах. Волновые матрицы объединяют коэффициенты связи меж-
? ду величинами падающих и отраженных волн в плечах данного
линейного узла.
ВОЛНОВАЯ МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Рассмотрим многоплечий волноводный узел; для конкретности ог-
ограничимся четырехплечим узлом (рис. 14.1). В каждом его плече
выберем плоскость отсчета, в которой измеряются амплитуды н фа-
фазы бегущих волн. Обозначим все входящие (падающие) в узел
волны через 0%, а выходящие (отраженные) — через ?/Г. В общем
случае величина UTзависит от амплитуд и фаз волн, входящих во
все плечи узла. Поэтому соотношения между волнами в плечах
узла запишутся в следующем виде:
ОТ = 5Ц Ut + 512 Ut + 513 Ot + 5u Ut,
Щ = Su Ut + 522 Ot + 5M Ut + 5M Ot,
UT = 531 Ut + 532 Ot + 5S3 Ot + 534 Ot,
OT = 541 Ot + 542 Ot + 543 Ot + 544 Ut,
A4.1)
где 5ftm — комплексные коэффициенты, характеризующие волно-
волноводный узел. Их физический смысл очевиден для случая, если ис-
источник включен только в гп-е плечо (f/m^O), а все остальные пле-
плечи нагружены на согласованные сопротивления и поэтому входя-
входящие в узел волны в них отсутствуют (?//"=0 при }Фт). Тогда
Smm=0m /От — коэффициент отражения волны в тп-ч плече;
ранее он обозначался Гт\ Shm=O~k /и^(кфт) —коэффициент пе-
передачи волны из m-го плеча в k-e плечо.
Добавим, что обычно можно считать [Um\ = const, так как боль-
большинство генераторов евч имеют постоянную мощность выходящей
волны, независимо от режима в цепи. Систему ур-ний A4.1) удоб-
удобнее записать в матричной форме:
UT
Ov
OT
от
о с с с
оц О12 О13 ^14
О о О С
*^о *.392 * '^п *^2А
Q ^ С1 С1
31 32 *^33 *^34
^ Q О ^
_°41 °42 >->43 °44_
ит
Ot
ut
ot
л
A4.2)
Первый индекс в обозначении эле-
элемента матрицы 5ftm соответствует но-
номеру строки, второй — номеру столб-
столбца. В сокращенной записи рис. 14.1
12—2
о; к
363
0-=[S]0+ A4.3)
где E] — матрица рассеяния, которая связывает нормированные
амплитуды всех выходящих из узла волн с амплитудами входящих
в него волн. Набор ее коэффициентов описывает распределение
энергии, поступающей в узел из каждого плеча.
Величины элементов матрицы рассеяния полностью определя-
определяются устройством узла и не зависят от того, какие нагрузки и ис-
источники включены в его плечи. В этом несомненное преимущество
описания волноводных узлов 5-матрицей по сравнению с другими.
Поэтому матрица рассеяния является основным инструментом ана-
анализа волноводных узлов. Анализ сложных трактов, узлы которых
описаны 5-матрицами, целесообразно проводить методом ориенти-
ориентированных графов (см. параграф 6.7 и [31]).
ВОЛНОВАЯ МАТРИЦА ПЕРЕДАЧИ
Волновая матрица передачи [Т] связывает амплитуды падающей и
отраженной волн в одном плече узла (на входе) с амплитудами
волн во втором плече узла (на выходе). Для двухплечего узла:
UT I •¦ 11 - а | | -z | A4.4)
Эту матрицу можно обобщить на более сложные узлы с равным
числом входных и выходных плеч. Ее применяют при анализе по-
последовательного включения нескольких узлов, так как амплитуды
волн на выходе первого узла 02 соответствуют амплитудам волн
на входе второго узла и т. п.
Если источник включен в плечо / @t?z0), а в плече 2 имеет-
имеется согласованная нагрузка (Uf = 0), то Ot=T22U7\ 0Г = Т\^иТ\
Следовательно, ?/г7^1+= 1/^22 — коэффициент передачи волны из
первого плеча во второе, a U~HUt=T\2/T22 — коэффициент отра-
отражения в первом плече. Величину T\2=U~lUT называют «функцией
фильтрации», так как в фильтрах без потерь этот элемент соответ-
соответствует отношению амплитуд волн, отраженной от фильтра и .про-
.пропущенной им. Аналогично определяется 1/Гц как коэффициент пе-
передачи из второго плеча в согласованное первое плечо. Коэффи-
Коэффициент 7*21 прямого смысла не имеет, так как отношение Ut IU tза-
tзависит, прежде всего, от мощностей внешних источников, включен-
включенных в эти плечи. Значения элементов матрицы передачи зависят
не только от устройства данного узла, но и от режима в его плечах.
МАТРИЦА СОПРОТИВЛЕНИЙ И ПРОВОДИМОСТЕЙ
Как и другие классические матрицы, эти матрицы используются на
промежуточных этапах анализа. Отдельные элементы тракта при-
принято представлять на эквивалентных схемах в виде сосредоточен-
364
ных сопротивлений или проводимостей, шунтирующих, либо вклю-
включенных последовательно в линию передачи (в предыдущей главе
рассматривались таким образчvi диафрагмы и штыри). Соотноше-
Соотношения для плеч с единичным характеристическим сопротивлением за-
записываются через нормированные значения, как:
или сокращенно
A4.6)
где и и i — нормированные значения напряжения и тока в плоско-
плоскости отсчета (см. ф-лу (8.52)].
14.2. Операции с матрицами
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Напомним некоторые сведения из теории матриц [3].
Матрицей называют таблицу из тп элементов (чисел, коэффициентов),
имеющую т строк и п столбцов. В случае т=п матрица называется квадрат-
квадратной порядка п. Матрица рассеяния [SJ-кзадратная.
Вектор или матрица-столбец имеет п= 1. Например, U+ — вектор
комплексных амплитуд падающих волн.
Произведением квадратных матриц одного и того же по-
порядка п называется матрица того же порядка [С]=[Л]-[В], элементы которой
определяются соотношениями
СЦг
A4.7)
m=l
Умножение матриц не коммутативно, т. е. не обладает переместительным
свойством. В общем случае [Л]-[В]^=[В]-[Л].
Произведение матрицы на вектор является также вектором.
Например, для соотношений A4Л) — A4.3)
A4.8)
m=l
Сумма матриц [С]=[А]+[В]=[А + В] образуется суммированием соот-
соответствующих элементов Снт—аьт + Ьът.
Единичной матрицей порядка п называется квадратная матрица
|l]=[6*m], у которой диагональные члены равны единице, а остальные нулю.
Поэтому И]-[|1]=[1]-[Л]=[Л]. Здесь Ьнт — символ Крояекера:
6ftft=l и 6кп = 0(кфт).
Транспонированная м'атрица [А]Т получается из
A4.9)
исходной [А]
путем замены строк столбца(ми; для каждого элемента матрицы а?„ =ать. Диа-
Диагональные элементы гаря этом не меняются.
Детерминант (определитель) квадратной матрицы deM вычисляется
по обычным правилам теории определителей [5].
Минор элемента а*т равен детерминанту матрицы (п—1)-го порядка, об-
образованной вычеркиванием k-h строки я т-го столбца.
12* 355
Алгебраическим дополнеиием Ант (адъюнктой) элемента акт
называется его минор, взятый со знаком (—l)ft+m.
Присоединенной матрицей adj [А] для матрицы {А] называется
матрица, полученная заменой элементов этой матрицы uhm на соответствующие
алгебраические дополнения Акт с последующим транспонированием: л?т =Amk.
Обратная матрица И] матрицы [А] обладает свойством И][Л]-' =
Tadi IA]
=[Л]-'[Л] = [1]. Она вычисляется по правилу: И]-' = , т. е. каждый ее
det [A]
элемент равен соответствующему элементу присоединенной матрицы, деленному
на детерминант исходной.
Симметричной называют квадратную матрицу, у которой элементы,
симметричные относительно главной диагонали равны: акт=атк. Транспониро-
Транспонирование не меняет симметричную матрицу И]Т = И].
Комплексно-сопряженная матрица [В] = И]* имеет все элементы,
комплексно-сопряженные с элементами исходной bkm=akm.
Унитарной называется матрица", для которой И]Т-[Л]* = [I]. Следова-
Следовательно, сумма произведений элементов
m=l
п
m=\
akm ajm = 6k! = 0 при k Ф j
m=l
A4.10)
Для симметричной унитарной матрицы можно записать: И][Л]* = [1].
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ
Форму л.ы перехода от волновой матрицы передачи к
волновой матрице рассеяния или наоборот для двухплечего узла
получаются в результате сопоставления матрицы A4.4) с матрицей второго по-
порядка вида A4.2) '):
A4.11)
Найдем также формулу перехода от матрицы сопротивлений к матрице
рассеяния. Согласно ф-лам (8.52) и A4.3), нормированные напряжения .и ток:
п = U+ + I)" = U+ + [S] U+ = [1 + S] U+;
i = U+ — О" = U+ — [S] U+ = [1 — S] U+. A4.12)
Подставим выражения A4.12) в A4.6) л перегруппируем слагаемые
[l + S] = W[l-SJ; [S][r+1] = [F-1].
Умножив оправа обе части уравнения на обратную матрицу [z+.l]-1, получим
[S] = [7—ljfi+ir1 = [Г+ 1 - 2] [7+ 1Г1 =[1]-2[7+1р1 . A4.13)
Аналогичные преобразования позволяют найти формулы для матрицы про-
аодимостей и для обратных переходов:
A4.14)
Коэффициент перед матрицей относится ко всем ее элементам.
356
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ШУНТИРУЮЩЕГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Определим S-матрицу схемы, изображенной на рис. 14.2 без учета длины соеди-
соединительных лилий. чУравнение для напряжений и матрица сопротивлений этого
соединения имеет влд
м= _ _
^1 —^ш *1 "^ ^Ш *2» -~ ' ^!
= ?ш ;'i -г гш12;
В соответсгвп]! с A4.13) находим
A4.15)
[г + 1] = _
Г гш + 1 гш I
L—7Ш 7ш+и
Рис. 14.2
Далее определяем детерминант det [г+1]= (гш+AJ—гш =2гш + 1; присоединен-
присоединенную матрицу
и обратную матрицу
2гш+1 L—гш
Матрица рассеяния выражается как
1
2гш+1 L 2г;
- 1 2 гш I
27Ш -1 J'
A4.16)
Si] S2O '
—1
2гш+1
2 2,,
2гш+1
Итак, матрица рассеяния любого шунтирующего линию сопротивления обла-
обладает следующими свойствами:
Sn — S22. S12 = S21 и \ Sn — SX2 I — 1.
A4.17)
Верно .и обратное: если выполняются условия A4.17), то эквивалентную схему
устройства можно представить в виде шунта.
14.3. Свойства волноводных узлов и матриц рассеяния
ВЗАИМНЫЙ УЗЕЛ — СИММЕТРИЧНАЯ МАТРИЦА
Переведем теорему взаимности G.46) на язык нормированных
волн. Пусть сторонний ток в точке А соответствует амплитуде вол-
волны, падающей из m-ro плеча, а ток в точке В — амплитуде волны
из fe-го плеча. Аналогично наведенные напряжения заменим ампли-
амплитудами выходящих волн. Тогда f/Г /Oti = lXl /Ot-
357
Считая, что в каждом опыте все источники, кроме одного, вы-
выключены, а плечи нагружены на согласованные сопротивления,
получаем для любой пары плеч
Skm = Smk. A4.18)
Итак, если волноводный узел взаимен (содержит только линей-
линейные изотропные элементы), то его матрица рассеяния симметрична.
ПАССИВНЫЙ УЗЕЛ БЕЗ ПОТЕРЬ — УНИТАРНАЯ МАТРИЦА
Узел, в котором отсутствуют источники (сторонние силы), на-
называется пассивным. Если, кроме того, потерь в узле нет, то по
закону сохранения энергии суммарная мощность отраженных волн
п п.
равна суммарной мощности падающих: V \U~kf=S\ \Oti\2, или в
fc=0 m=0
Волна на k-м выходе Uk —Sk\ Ut -+•
O
векторной форме [li-]T[U-]*=[U+]T[U+]*. Подставим сюда соотно-
соотношение A4.3): [п+р[п+]*_{[5]U+}T{[S]lJ+}* = 0 и вынесем за скоб-
скобки общий сомножитель [U+]r[U+]*{i[l]—[5]т[5]*}=0. Так как U+
произвольный вектор, необходимо приравнять нулю выражение во
второй скобке. Следовательно,
[5]т[5]* = [1], A4.19)
т. е. матрица рассеяния унитарна и ее элементы подчиняются со-
соотношениям A4.10).
Если узел изотропен и унитарен, то [S]T=[S] и, следовательно,
[S][5]* = [l]. A4.20)
Унитарность матрицы является новой формулировкой закона
сохранения энергии для пассивного узла без потерь.
СМЕЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОТСЧЕТА
Предположим, что известна матрица рассеяния [5] для волновод-
ного узла при каком-то определенном положении плоскостей от-
отсчета в каждом плече. Как изменятся элементы этой матрицы при
смещении плоскости отсчета в k-м плече на расстояние йь. в поло-
положительном направлении оси z*, т. е. по направлению к узлу? Если
•уь—коэффициент распространения в этом плече, то новое значе-
значение комплексной амплитуды падающей волны (отметим его штри-
штрихом) определяется как (рис. 14.3) (и?)'=й?е Vfe fe. Аналогично
для выходящей волны ((ЛГ)'=^Ге fe.
Если переместить плоскость отсчета в первом плече на d\, во
втором на d2 и т. д., то узел будет характеризоваться новой мат-
матрицей рассеяния [S'], которая свяжет новые амплитуды:
368
д
~ + . ¦ ¦ +SknO? . С учетом прежней
записи A4.1) получим для каждого элемен-
элемента новой матрицы
= Sftft e
2 v*
A4.21)
Если потери в волноводных плечах ма-
малы, их можно не учитывать (y = гЭ) - Тогда
изменение положения плоскостей отсчета соответствует изменению
только фазы элементов матрицы:
взаимного двухпле-
Рис. 14.3
Sfcfe = 5fcfee ¦"'*"*. A4.22)
Изменение фазы элемента матрицы рассеяния объясняется уко-
укорочением (при dh>0) пути волны между плоскостями отсчета. Так
как выбор положения этих плоскостей произволен и может быть
изменен, преобразование A4.22) используется для упрощения мат-
матрицы. С его помощью, например, можно сделать некоторые (иног-
(иногда все) элементы матрицы вещественными.
МАТРИЦА ДВУХПЛЕЧЕВОГО УЗЛА
Рассмотрим свойства матрицы [5]= Г1 ,12
[О21 с
чего узла без потерь и источников.
Поскольку узел взаимен, матрица симметрична, т. е. 52i=5i2.
Если в узле нет потерь, то матрица унитарна, следовательно,
выполняется равенство A4.20):
Sul fsti S;21 = [ 01
* Sl2\ [О lj
По правилу умножения матриц A4.7) и согласно ф-лам A4.10)
имеем:
5ц5;1 + 5125;2 = 1; A4.23а)
5u5;2 + 512S;2 = 0; A4.236)
5125;1 + 5225;2 = 0; A4.23в)
5125;2 + 5225*2=1. A4.23г)
Сравнение ф-л A4.23а) и A4.23г) позволяет установить, что
модули диагональных элементов одинаковы, т. е. модули коэффи-
коэффициентов отражения в плечах всегда равны между собой:
Sn S'u = 522S'22 или | Su | = | Sa |. A4.24)
Фазы их, вообще говоря, могут отличаться. Однако при смеще-
смещении плоскостей отсчета в плечах независимо меняются фазы 5ц
359
и S22. Таким способом можно приравнять их фазы, и, в частности,
сделать Su и S22 вещественными. Итак, при определенном выборе
плоскостей отсчета в плечах коэффициенты отражения равны:
Sii = 52a. A4.25)
Далее, из ф-лы A4.23а) или непосредственно из уравнений уни-
унитарности A4.10) следует соотношение для коэффициентов отраже-
отражения и передачи двухплечего узла, выражающее закон сохранения
энергии:
|Sii|2 + |Su|2= 1. A4.26)
Подставив равенство A4.25) в A4.236), получим
Sj2
Oio
1 S12 | e1 ¦»
_ I on I
I Sx
IS
ИЛИ
A4.27)
При 5п=5г2 фаза этих элементов матрицы отличается от фазы
недиагональных элементов Si2=S2i на 90°. На комплексной плос-
плоскости элементы Su (коэффициент отражения) и S12 (коэффициент
передачи) соответствуют катетам прямоугольного треугольника с
гипотенузой единичной длины (рис. 14.4).
Назовем канонической матрицу взаимного двухплечего узла с
таким выбором плоскостей отсчета, что Sn = .S22 и они веществен-
вещественны. Тогда по ф-лам A4.26) и A4.27) S,2= ±i/l—S2n .
A4.28)
Рис. 14.4
361
Все элементы этой матрицы определяются
одним вещественным коэффициентом Su = .Ti.
Следовательно, характеристики пассивного уз-
узла без потерь полностью известны, если най-
найден коэффициент отражения Г в одном ' из
плеч.
Ослабление узла Л в соответствии с
определением A1.53) — отношение комплекс-
комплексных нормированных амплитуд волны, прихо-
приходящей к узлу от генератора, и волны, прохо-
проходящей в нагрузку (предполагается, что гене-
генератор и нагрузка идеально согласованы):
Л = ^
от
1
A4.29)
и+=о
Ослабление по мощности
1
1
Ослабление в децибелах
?/=201g|yl| = 101g|4|2 = — l01g|Si2|2, дБ. A4.30)
При малых коэффициентах отражения (|Л| = \Su\ <Cl) удоб-
удобна формула
©/=^^- 1п A — IA12) = 4,343 ITY, дБ. A4.31)
2,303 v ' " ' ' v
14.4. Согласование линий и узлов
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Идеально согласованный узел. Считаем, что плечо k
узла идеально согласовано, если /\sShh=0, т. е. отсутствует от-
отражение от узла в данном плече. Если идеально согласованы все
плечи, то считаем, что узел в целом идеально согласован. Эти оп-
определения аналогичны понятию об идеально согласованной линии,
введенном в 8.9, и относятся к согласованию на минимум отраже-
отражения. Другой критерий согласования — на максимум выходной ак-
активной мощности за редкими исключениями сводится к первому.
Задача согласования линий и узлов формулируется следующим
образом. Пусть имеется линия и нагрузка (которая может быть
одним из плеч узла либо источником мощности). Сопротивление
нагрузки ZH в общем случае комплексно, меняется с частотой и
не равно характеристическому сопротивлению линии, поэтому
FH(f)^O (рис. 14.5а). Характеристическое сопротивление линии Zc
а)
Линия гн&) ""¦¦
6)
Нагрузка
Zc Rn
Переход
(трансфор-
(трансформатор актид
пых сопротиВл)
Узел
компенса-
компенсации
т
I
Нагруз-
Нагрузка
Согласующее устройство
Рис. 14.5
практически активно, возможные изменения его с частотой отне-
отнесем условно к нагрузке; нормированные сопротивления zH =
= ZH/ZC, поэтому 2С=1. Необходимо рассчитать согласующее уст-
361
ройство, включаемое между линией и нагрузкой, таким образом,
чтобы в рабочей полосе частот IJ=fB—fH модуль коэффициента
отражения на входе согласующего устройства не превышал допус-
допустимого значения: |Г|^|Г|ДОП. Здесь /н и /„ — нижняя и верхняя
частоты полосы согласования.
Предположим, что потери в согласующем устройстве пренебре-
пренебрежимо малы. Для удобства рассмотрения разобьем его на две час-
части: узел компенсации, 'преобразующий комплексную на-грузку ZH(f)
в активную RK, практически независящую от частоты; и переход,
трансформирующий сопротивление RK в Rn, равное характеристи-
характеристическому сопротивлению линии (рис. 14.56). Существуют принци-
принципиальные физические ограничения возможности идеальной реали-
реализации каждого из этих преобразований в полосе частот.
Если rn(,f) — коэффициент отражения от перехода, а Гк(/) —
от узла компенсации (оба коэффициента приведены к одному се-
сечению), то отражение от согласующего устройства F(f)=rn(f) +
+FK(f), если оба слагаемых малы. Так как фазы указанных коэф-
коэффициентов меняются независимо, заданная норма на коэффициент
отражения распределяется обычно между двумя узлами: |Г|Д0П =
= | * к I доп + | / п I доп-
Узел компенсации представляет собой соединение реак-
тивностей, которые на высоких радиочастотах реализуются с по-
помощью отрезков линий, реактивных элементов типа штырей, диа-
диафрагм и т. п. Однако схема с идеальной широкополосной компен-
компенсацией невозможна. Например, если нагрузка представляет собой
параллельное соединение R и С (активное на нулевой частоте),
простейшая схема узла компенсации — параллельно включенная
индуктивность L — создает параллельный резонансный контур,
имеющий чисто активное сопротивление на одной частоте в сере-
середине рабочей полосы. Дополнительные реактивные элементы соз-
создают сложную резонансную систему с более широкой полосой
частот, но худшим согласованием в пределах этой полосы. Теоре-
Теоретически доказано [34], что при любой схеме узла компенсации не
может быть нарушено неравенство:
A4.32)
где FK = const зависит от характера нагрузки. Например, FK=
= l/BRC) для RC шунта и FK=R/BL) для последовательной це-
цепочки, R, L; для резонатора FK = nf/Q.
Из ф-лы A4.32) вытекает, что коэффициент отражения Гк не
может быть равен нулю в какой-либо конечной полосе частот, так
как тогда интеграл обращается в бесконечность. В оптимальном
случае \ГК\ = |irK|mjn=const в рабочей полосе частот, и \ГК\ = 1 вне
этой полосы (рис. 14.6). Тогда
П In (l/|rKU) = FK; \ГК\ = |fKU = e-V". A4.33)
362
В узкой полосе частот коэффициент отражения можно сделать
меньшим, чем в широкой. Широкополосные согласующие цепи не-
неизбежно обладают свойствами частотного фильтра. Не следует
стремиться к тому, чтобы на одной или нескольких частотах Гк=0.
Это существенно увеличивает Гк на
других частотах в рабочей полосе.
Практически нецелесообразны
сложные схемы узлов компенсации,
содержащие более пяти элементов.
Кроме того, неизбежны определенные
изменения |ГК| в рабочей полосе час-
частот. Считая, что в этой полосе |ГК|^ гкп
^ |Л(|доп и не отклоняется существен-
существенно от указанного значения, можно оп-
определить |Л(|Доп по ф-ле A4.33), заме- Рис. 14.6
нив ее правую часть на @,3^-0,7) FK.
Схемы узлов компенсации многообразны и выбираются в соответ-
соответствии с характером нагрузки, полосой частот и конкретными осо-
особенностями работы.
Переход (трансформатор сопротивлений) представляет со-
собой участок неоднородной линии передачи, характеристическое со-
сопротивление которой меняется по длине от Rn до i/?K плавно, либо
скачками. Принцип работы всех согласующих переходов один и
тот же. От несогласованной нагрузки возникает отраженная волна.
Элементы согласующего устройства создают дополнительные от-
отраженные волны, которые компенсируют первоначальную.
Переход конечной длины трансформирует сопротивления лишь
приближенно (даже если сопротивления на его концах неизмен-
неизменны). Задачей расчета является отыскание оптимальных переходов
наименьшей длины, обеспечивающих коэффициент отражения
\Гц\ ^ |^п|доп в заданной полосе частот при известном перепаде
сопротивлений RK/Rn- Если длина перехода ограничена, то для
! Ai| доп существует некоторый минимальный предел.
На сравнительно низких частотах (/<1 ГГц) согласование осу-
осуществляется также электрическими цепями с сосредоточенными
параметрами: мостовыми, Т и П-образными четырехполюсниками,
трансформаторами с индуктивной связью (см. теорию линейных
электрических цепей). Заметим, что для них также существуют
физические ограничения, препятствующие идеальному преобразо-
преобразованию сопротивлений в полосе частот.
УЗКОПОЛОСНОЕ СОГЛАСОВАНИЕ
В узкополосном согласующем устройстве, как правило, сочетают-
сочетаются компенсация реактивности нагрузки и трансформация сопро-
сопротивлений. Если согласовать линию с нагрузкой на одной лишь ча-
частоте, то обычно в полосе частот не менее 1—2% коэффициент от-
отражения от согласующего устройства будет незначителен. Такое
согласование достигается наиболее простыми средствами и в ряде
363
в в
случаев удовлетворяет прак-
практическим потребностям. Рас-
Рассмотрим несколько простей-
' ших способов согласования
комплексных сопротивлений.
Согласование ре-
реактивным шлейфом.
Шлейф — короткозамкну-
тый или разомкнутый на кон-
конце отрезок линии, под-
подключаемый параллельно ос-
основной линии с заданной на-
нагрузкой (рис. 14.7), в том сечении В, где ее нормированная проводи-
проводимость уь=\ + \Ъь имеет единичную активную составляющую. Вход-
Входная проводимость реактивного шлейфа, нормированная по Yc:
yE=lbE = —ibB компенсирует реактивную проводимость в линии.
Поэтому суммарная проводимость в сечении D Уо=Ув+Уе=1, что
Рис. 14.7
Рис. 14.8
364
соответствует идеальному согласованию на расчетной частоте (рас-
(расстояние между сечениями В, D и Е ничтожно мало). Этот способ
разработан В. В. Татариновым в 1929 г. Расчет согласования по
методу Татаринова рассмотрим на следующем примере.
Пример. Линия с 2с = 200Ом нагружена на сопротивление ZH = 30-H30 Ом,
»а частоте /о = 2ОМГц (Х0=15м). Рассчитать согласующий короткозамкпутый
шлейф с /?ш=300Ом длиной не более Х/4. Определить коэффициент отражения
от устройства л а частоте f=A,Ol /о = 20.2 МГц.
Для решения воспользуемся круговой диаграммой сопротивления .и прово-
димостей, изображенной на рис. 14.8. Нормированное сопротивление нагрузки
zH = ZH/Zc = 0,16 + i 0A5 (точка Я). Перейдем к нормированным проводимостям,
для чего отыщем центрально-симметричную точку А: г/н = 3,5—i 3,3. Движение
плоскости отсчета вдоль линии без потерь |/"|=const, как известно, соответствует
перемещению точки на диаграмме по кругу. Так как шлейф имеет /г<Хо/4 и
замкнут на конце, его входная проводимость .индуктивна. Проводимость липни
iB сечении В должна иметь емкостный характер, поэтому минуя на диаграмме
точку В', остановимся в точке В: i/B = l+i2,2. ,По кольцевой шкале определим
/,До = 0,5+_0,191—0,274=0,417; /i=0,417-ll5=6,26 м. Нормированную проводимость
шлейфа 6е=—Ьв=—2,2 отнесем к его характеристической проводимости:
bEm = bEYclYcm=bEZcmlZc = — 2,2-300/200=— 3,3. Отметив на диаграмме точки С
( = Е)иК(Ук-+ос), найдем /2Ао=О,295—0,250=0,046; /2=0,046-15=0,675 м. При-
Присоединив шлейф в сечении В, получим г/и=1, т. е. придем в центр диаграммы.
При росте частоты на 1 % на столько же увеличивается электрическая длина
отрезков линий: /i/Xi = 0,423 и /гА1 = 0,0212. Выполнив на круговой диаграмме
аналогичные построения (точки Si и Di), получим на входе устройства
«/Di = l,15+i 0,il'5, что соответствует кСв = 1,2 и |Г|=0,1. Итак, согласование с
|/"[=?50,1 достигается всего в 2-процентной полосе частот.
Полоса частот увеличивается с уменьшением электрической
длины отрезков 1\ и 12. Поэтому их стремятся сделать как можно
более короткими.
На двухпроводных антенных фидерах легко осуществить кон-
конструкцию шлейфа, перемещающегося вдоль линии. Для коакси-
коаксиальных линий и волноводов такой способ согласования трудно реа-
реализовать. По этому принципу выполняются лишь нерегулируемые
согласующие устройства (например, диафрагмы на рис. 14.18).
Согласование тремя неподвижными реактив-
реактивно с т я м и. Для коаксиальных линий используются неподвижные
короткозамкнутые шлейфы, в волвоводной технике — емкостные
штыри или диафрагмы. Покажем, что тремя реактивностями про-
произвольной величины, но одного знака, расположенными в фикси-
фиксированных точках линии с интервалом Л/4, можно согласовать ли-
линию при произвольных значениях нагрузки.
Пусть согласование осуществляется емкостными штырями (рис. ,14.9а). При-
Приведем проводимость нагрузки к сечению А, где находится первый штырь. Нор-
Нормированная проводимость ул в этом случае будет представлена произвольной
точкой А или А' на диаграмме рис. 14.96. Разделим плоскость диаграммы на
две _чгсги криволинейной границей, состоящей из полуокружности г/гр = 1—i*
@^i6<°o) и центрально симметричной к ней полуокружности в верхней части
диаграммы. Пусть точка А находится слева от этой границы. Тогда емкостным
штырем А с положительной реактивной проводимостью можно увеличить мни-
мнимую часть проводимости, т. е. перейти от точки А к точке А,, лежащей на гра-
365
нице. Переход в сечение В эквивалентен повороту на 180° в плоскости диаграм-
диаграммы. Точка В также находится на границе, я проводимость ув = \—i Ь. Вводя
емкостной штырь, легко свести проводимость к значению ijbi=U и перейти тем
А
! Л/4 j Л/4
самым в центр диаграммы. Таким об-
образом, согласование достигнуто шты-
штырями А и В, а штырь С должен быть
выведен из волновода.
В другом случае проводимость в
сечении А соответствует точке А' спра-
справа от границы; тогда штырь А не
вводится. Точка В' для сечения В
находится слева от границы и согла-
Рис. 14.9
сование производится штырями В я С аналогично предыдущему. Итак, согла-
согласование всегда возможно. Если фаза проводимости нагрузки меняется в огра-
ограниченных пределах (точка А всегда слева от границы), для согласования дос-
достаточно двух штырей. Если ограничена возможная величина |Г„|, то проводи-
проводимость Ьш настраивающих штырей также ограничена; например, при [Ги|^0,5
достаточно, чтобы 6ш<1,5.
Четвертьволновый трансформатор (рис. 14.10а)
представляет собой отрезок линии передачи длиной 7 = Ло/4 с иным
366
характеристическим сопротивлением ZT, чем у основного трактате
(индекс с для характеристических сопротивлений здесь и далее
опускаем). Он включается в линию последовательно и предназна-
предназначен для согласования только активных сопротивлений. Поэтому,
если нагрузка ZH является комплексной, между ней и трансфор-
трансформатором включают дополнительный отрезок линии такой длины
/i<Ao/4, чтобы его входное сопротивление было чисто активным
— RA- По круговой диаграмме легко установить величины /, и Ra.
In
In
Рис. 14.10
Перейдем к определению
характеристического сопротив-
Т-1 ления трансформатора ZT. Нор-
Нормированное по ZT сопротивле-
ние в сечении A: rAT = RA/ZT.
Нормированное входное сопро-
сопротивление четвертьволнового от-
отрезка линии без потерь равно
обратной величине нормированного сопротивления ее нагрузки [это
легко установить из круговой диаграммы или ф-лы (8.57) при
tg pz-voo]; поэтому в сечении В rBT=iRB/ZT=l/rAl: = ZT/RA. Для со-
согласования тракта необходимо, чтобы RB = ZQ. Отсюда следует, что
Zo/ZT = ZT/^A или
ZT = VZ0Ra. A4.34)
Характеристическое сопротивление трансформатора должно
быть равно среднему геометрическому от сопротивлений на его
концах.
Идентичный этому результат был получен ранее [ф-ла F.40)],
как условие полного прохождения плоской волны через четверть-
четвертьволновый слой диэлектрика. Существует полная аналогия между
задачами о распространении волн по линиям с переменным харак-
характеристическим сопротивлением и прохождением волн (в лучевом
приближении) через плоские слои с изменяющимся волновым со-
сопротивлением. Поэтому последующие результаты могут быть при-
применены в обоих случаях.
П р л м е р. Согласовать нагрузку ZH=20+i30 Ом с линией Z»=75 Ом. Опре-
Определяем по круговой диаграмме г„=0,267+i 0,4; /i/Ao=0,186; Га=$а/2о=4,3;
/?а = Э22 Ом; /4=]/Va = 2,07; Zt=2,07-76=156 Ом. Общая длина согласующего
устройства /i + /=0,436Ao. Полоса пропускания при |Г|<0Д составляет 6%.
367
Модифицированный трансформатор (рис. 14.106)
преобразует комплексное сопротивление нагрузки, в активное со-
сопротивление, равное Zo. Он представляет собой отрезок линии дли-
длиной /<Ло/4 с характеристическим сопротивлением ZT и поэтому
широкополоснее, чем ранее описанный (при чисто активной наг-
нагрузке 1\ = 0, ;=Л0/4 и оба варианта совпадают). Параметры транс-
трансформатора определяются по круговой диаграмме методом после-
последовательных приближений.
П р и м е р. Чтобы сопоставить результаты, заимствуем исходные данные из
предыдущего примера: ZH=20+i30 Ом; 20=75 Ом. Проводим расчет методом
мтераций по следующей схеме
k 2<*
1 75 Ом
2 17,4 Ом
3 17,0 Ом
0,267 -fiO,40
il,76
4,3
4,4
4,4
Примечание. В качестве нулевого приближения выбрано г$ =1; /•<*> опре-
определяется по круговой диаграмме как ближайшая (по направлению к генератору)
точка с чисто активным сопротивлением, равноудаленная от центра с ?' '
Определяем теперь /=0,064 Ло, что я семь раз меньше, чем ,в предыдущем
случае. При этом относительная полоса согласования Я//0=125% тти ITI^Oil
что в четыре раза превосходит результат, полученный с четвертьволновым транс-
трансформатором. Таким образом, преимущества модифицированного трансформатора
перед четвертьволновым при нагрузке со значительной реактивностью очевидны.
Трансформатор с пульсирующим (по длине)
сопротивлением. В четвертьволновом трансформаторе харак-
характеристическое сопротивление ZT трансформирующей секции явля-
является промежуточным по величине между согласуемыми сопротив-
сопротивлениями ДА и Zo. Характеристическое сопротивление изменяется
по длине линии (от RA к ZA и Zo) монотонно; один скачок сопро-
сопротивления (от <RA к Zo) заменяется двумя меньшими и, кроме того,
отражения от них складываются на расчетной частоте в противо-
фазе.
В трансформаторе рис. 14.10а, согласующем активные сопро-
сопротивления Zo и Z\, исходная величина скачков сопротивления не
уменьшена. Согласование осуществляется путем интерференции
волн, отраженных от трех плоскостей. Согласующие секции имеют
те же характеристические сопротивления, что и согласуемые ли-
линии; поэтому при согласовании, например, коаксиальных кабелей
с сопротивлениями Z0=50 Ом и Zi = 75 Ом используются отрезки
этих же кабелей, а не изготавливается специальная секция с ZT =
=61,3 Ом, необходимая по ф-ле A4.34) для четвертьволнового
трансформатора.
Анализ показывает [22], что длина каждой секции трансформа-
трансформатора с пульсирующим сопротивлением должна быть /,/Л: = /2/Л2=
= (l/2n)arcctgl/~ (Zi/Z0) + l + (Z0/Zi), что всегда меньше 1/12
(li = k, если фазовые скорости и Л в этих отрезках равны). Таким
368
образом, общая длина трансформатора не превышает одной шес-
шестой длины волны в линии. Например, при Zi/Z2=2 /i + /2=0,157A;
полоса частот, в которой осуществляется согласование (при
Кбв^0,9; Г^0,05), составляет в этом случае Я//0=13%. У чет-
четвертьволнового трансформатора в этих же условиях полоса час-
стот в 1,5 раза шире: Я//0 = 20%.
14.5. Широкополосные ступенчатые переходы
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
Постановка задачи. Рассмотрим переход для согласования
активных сопротивлений, состоящий из п четвертьволновых сек-
секций, характеристическое сопротивление которых Zm меняется по
длине перехода (рис. 14.11). Широкополосность согласования обу-
nl/2
Рис. 14.11
словлена в этом случае двумя причинами: уменьшением с рос-
ростом п коэффициента отражения Гт от каждой ступеньки (скачка
характеристического сопротивления) и распределением величин Гт
по длине перехода, обеспечивающим их взаимную компенсацию в
заданной полосе частот.
Пусть задана рабочая полоса перехода от нижней частоты /н,
до верхней /в, допустимый коэффициент отражения от перехода в
этой полосе |/"|доп (индекс «п» опускаем), номинальное сопротив-
сопротивление на его входе /?n=Z0 и сопротивление нагрузки RK = Zn+i на
его конце.
Фазовые соотношения в дисперсных системах удобнее
выражать непосредственно через коэффициенты фазы р = 2я|/Уи =
= 2n/A—2nf У K/vEVL (последнее равенство справедливо для поло-
полого волновода). Поэтому определим рн=2л^в/иш pa=2nfB/vB, сред-
средний коэффициент фазы ро, относительную расстройку v и относи-
относительную рабочую полосу vu:
_ Рн+Р~В
у„= Рв~Р"
A4.35)
2' а ' 11 а
Ро Ро
При отсутствии дисперсии,соотношения A4.35) переходят в более
привычные: /о= (/н+/в)/2; v=2(/—fo)/fo; vn= (f,—fn)/fo = n/f0.
369
Длину секции ¦/ выбираем равной четверти длины волны Ло=
= 2я/Ро, т. е. /=Ло/4я=|Bр0) ')• На произвольной частоте фазовый
сдвиг, соответствующий длине одной секции,
^ = Р/ = Т—=ТA + Т). 04.36)
Приближенный метод анализа основан на предпо-
предположении о малости отражений от каждой ступеньки перехода.
Считается, что отраженная волна проходит через другие ступени
без вторичных отражений; это позволяет легко суммировать отра-
отражение от всех ступеней. Несмотря на явную неточность такого до-
допущения, приближенный метод дает верные результаты в весьма
широких пределах. Критерием его справедливости является выпол-
выполнение неравенства M.ax(RK/Rn; Rn/RK)^B/vп)п/2 {по другой оцен-
оценке правая часть этого неравенства имеет вид: <B/vn)n]. По этому
условию при vn=0,5 и и = 4 вполне допустим перепад сопротивле-
сопротивлений RK/Rn=l&. Переходы с высоким RK/Rn при сравнительно не-
небольшом п рассчитываются точными методами [22], [35], требую-
требующими весьма громоздких вычислений.
Коэффициент отражения от от-й _ступе_ньки опре-
определяется по приближенной формуле lnz = 2(z—l)/(z+l), спра-
справедливой для \z\, близких к единице [5]. Тогда по ф-ле (8.54)
Bm+x/Zm) — 1 1
~ П ZU ~ 2
m+1
2
~~ "
2Г_
A4.37)
Использование для Гт приближенной логарифмической фор-
формулы повышает точность данного метода, так как происходит ча-
частичная компенсация погрешностей.
Логарифмический перепад сопротивлений оп-
определим через отношение сопротивлений на концах перехода:
¦7 " -7
1 . •?„ ' I 1 «1 . Ь„
= -Lin
2
Rn
A4.38)
m=0 m=0
он равен сумме коэффициентов отражения от всех его ступенек
при синфазном сложении.
Коэффициент отражения от перехода на произ-
произвольной частоте Г(\) определяется как сумма коэффициентов от-
отражения от отдельных ступенек. Перед сложением отнесем фазы
всех коэффициентов отражения к сечению z = 0 в середине пере-
перехода. Расстояние т-и ступеньки от этого сечения zm= (т—га/2)/.
Поэтому при переносе плоскости отсчета к z=0 по ф-ле A4.22)
получаем Гт=Гте~'2Эг'"=Гте1(п"т)'|'> где -ф определяется ф-лой
A4.36).
') При практической реализации ступенчатых переходов длину секций не-
несколько изменяют по сравнению с i=Ao/4, чтобы скомпенсировать эквивалентную
реактивность, возникающую на их концах при скачкообразном .изменении поле-
речных размеров линии или волновода.
370
Считаем распределение коэффициентов отражения симметрич-
симметричным относительно середины перехода ГО=ГП; Г1 = Гп-\;.. .Гт =
= Г„_т. Тогда коэффициент отражения от перехода
п П
i (n — 2т) ¦
т=0
т=о
т L e -f- e
т=0
Чп/2, т
2Гтсо$(п-2т)у+Гт6
п/2 т,
A4.39)
т=0
где бп/2, т — символ Кронекера [ф-лы A4.9)].
Последнее слагаемое в этом выражении учитывается только
для переходов с четным числом секций, когда в его середине ока-
оказывается /л = п/2 ступенька, не имеющая пары.
При р = 2р0 длина секций перехода становится равной полови-
половине длины волны, на очень низких частотах /-»-0 и р->0, /<СЛ.
В обоих случаях коэффициенты отражения от всех ступенек скла-
складываются в фазе. Действительно, при этом v=±2; ор = я или 0;
=(-l)n? Гт={-\)пМ.
т=О /п=0 т=о
Переход не улучшает согласование на соответствующих частотах,
а также при р=4р0, бРо и т. д.
Теперь воспользуемся разложением cos nip в ряд по степеням
cosi|); [см. 11, ф-ла A.331.3)]:
cos п ф = 2"- cos" г|р — — 2п'3 cos"
-\ С„_32 cos ip
2 cos
A4.40)
Тогда коэффициент отражения от перехода Г(у) [ф-ла A4.39)]
можно представить полиномом га-й степени относительно:
cos
tf = cos(— + — v) = — sinf—v^ = — y(\),
A4.41)
где z/(v) — новая переменная, зависящая от частоты.
Этот полином содержит члены только той же четности, что и
число секций перехода п. Такое суммирование обозначим значком
С):
л я
Г(V) = Y' G, yk = \У Gksin*(— v) . A4.42)
ft=0 fc=0
Коэффициенты полинома Gh определяются по ф-лам A4.39) и
A4.40) через Гт. Число указанных коэффициентов совпадает с
371
= ±sin — v
vn
числом независимо выбираемых Гт при их симметричном распре-
распределении. Можно показать, что это обеспечивает свободу в выборе
соотношений между всеми Gh; их абсолютные величины должны
быть таковы, чтобы удовлетворялось условие |/"(v) | ^ |/"| Яоп при
|v|^vn. Рассмотрим два типа переходов с оптимальными частот-
частотными характеристиками.
ПЕРЕХОД С МАКСИМАЛЬНО ПЛОСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
Частотная характеристика коэффициента отра-
отражения. Положим в ф-ле A4.42) йпф0, а все остальные коэффи-
коэффициенты Gh = 0(k<n); тогда f(v) =>Gnyn = Gn sinn|— vj. При v = 2
коэффициент отражения ГB) = (—\)пМ. Так как в этом случае
у=\, то ГB) = Gn. Следовательно, Gn= (—\)пМ. Тогда
Г (V) = М (— у)п = М\— sin /JL v]l" . A4.43)
На краях рабочей полосы частот v=±vn и у=±уп =
Необходимое число секций перехода п определим
из неравенства \Мупп\ ^ |^|доп- Величину упп можно считать ко-
коэффициентом уменьшения отражения от нагрузки.
¦ Выражение A4.43) описывает максимально плоскую амплитуд-
но-частотную характеристику коэффициента отражения от перехо-
перехода: на средней частоте ifo=PoX
Xv/Bn) при у=0 не только
Г(\), но и (п—1) его произ-
производных по частоте равны нулю.
На рис. 14.12 показано семей:
ство таких характеристик при
разном числе секций п (в ка-
качестве примера, линия
\Г/М\л<т проведена на уровне
0,1). Здесь же для сравнения
приведена характеристика чет-
четвертьволнового трансформато-
трансформатора (п=\). Во всех случаях по
мере удаления от /0 согласова-
согласование между переходом и линией
ухудшается. С ростом п ширина частотной полосы перехода увели-
увеличивается. Рассмотренный тип перехода вносит незначительные фа-
фазовые искажения.
Переход с максимально плоской характеристикой применяется
в тех случаях, когда в середине рабочей полосы частот требуется
особенно хорошее согласование или малые фазовые искажения
передаваемого сигнала.
372
О 0,5
Рис. 14.12
Выбор значений Гт. Равенство нулю всех членов поли-
полинома A4.42), кроме старшего, требует, чтобы коэффициенты отра-
отражения от ступенек перехода были пропорциональны биномиаль-
биномиальным коэффициентам С™ (поэтому переход называют также бино-
биномиальным):
Л« = Л>С™ = Га , " —; Гп = Го, так как Сп = С°п= 1.
т\ (л — т)\
A4.44)
Известно, что коэффициенты бинома Ньютона можно опреде-
определить из треугольника Паскаля [5]:
п Коэффициенты бинома С™
О >!
,1 2 1
13 3 1
I 4 6 4 il
б 10 10 б 1
Сумма биномиальных коэффициентов V С™ — 2п. Сопоставим
ф-лу A4.44) с A4.38) Ш~° •
л
- — г \Ч гт — г о", г М 114. лк\
т — * 0 j ^п — * о ^ » * о — • \ l^.^UJ
m=0 m=o
Отсюда определяется коэффициент Го, а затем по ф-ле A4.44)
— все остальные коэффициенты Гт. С помощью ф-лы A4.37) по-
последовательно вычисляются характеристические сопротивления
всех секций: Z, через Zo и Го, затем Z2 через Zx и Гу т. д.
ПЕРЕХОД С ЧЕБЫШЕВСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
Частотная характеристика. Длину перехода можно со-
сократить по сравнению с биномиальным, если синтезировать в пре-
пределах рабочей полосы частот равнопульсирующую характеристи-
характеристику F(v) (рис. 14.13), которая описывается полиномом (функцией)
Чебышева:
ГмТп(х), A4.46)
где |/"м|^|^|доп — максимальный по модулю коэффициент от-
отражения в рабочей полосе частот; Тп(х) — функция Чебышева пер-
первого рода и-го порядка [3]:
cos(n arccosx) при|х|<1,
1 ch (« Archx) при \х\ ^ 1.
Эта функция в интервале —l^x^l не превышает значений
±1; вне этого интервала она неограниченно растет по модулю,
373
Тп(х) J
причем тем быстрее, чем больше п (рис. 14.14). Для каждого зна-
значения п существует представление Тп(х) в виде полинома га-й сте-
степени, справедливое при любом значении х:
Г„(х)=1; Т1(х) = х; Га(х) = 2хг-1;
Тя (х) = 4*3 — Зх; Г4 {х) = 8х4 — 8х2 + 1;
Ть{х)= 16л* — 20 г»+ 5; Гв(х) = 32х6 — 48х4 + 18х2 — 1. A4.48)
О 0,5 1
Рис. 14.13
г х
Рис. 14.14
В рабочей полосе частот |7\i(X)|^l, если на ее краях х=±\.
Сопоставляя ф-лы A4.42) и A4.46) —A4.48), заключаем, что для
этого следует положить
( (±y A4.49)
х = У/Уп, </ = sin(-^v); yn = sl
При v = 2 у=\ и аргумент х=1/уп достигает своего максималь-
максимального значения. Тогда ГB) =ГмТпA/ип ) = (—\)ПМ.
Отсюда максимальный коэффициент отражения в рабочей по-
полосе перехода:
Г - М(-1)и _ Af(-l)" n > Arch 1 М/Гяоп | 450
м Г„A/ия) ch[nArch(l/(/ff)] ' ^ Arch(l/j/n)
Условие |Гм|^|Г|Доп позволило определить также число сек-
секций п, обеспечивающее заданное согласование.
Чебышевская характеристика Г {у) в рабочей полосе частот
в среднем ближе к допустимому пределу |Г|Доп, чем максимально
плоская. Более полное использование допуска на согласование
приводит к меньшему числу секций п и меньшей длине перехода.
Фазовые искажения, вносимые чебышевским переходом, растут
с увеличением пульсаций. При пульсации |Гм|^0,1 дБ фазовые
374 ,
искажения чебышевского перехода соответствуют либо даже мень-
меньше, чем у перехода с максимально плоской характеристикой.
Заметим, что при расчете переходов с равнопульсирующей ха-
характеристикой часто целесообразно разрешать на краях рабочей
полосы большие значения j/'(v) |, чем величина пульсаций |Г|ДОп,
что при той же длине перехода позволяет несколько расширить
полосу частот.
Выбор значений Гт. Сопоставляя ф-лы A4.39) и A4.48),
с учетом A4.40), A4.46), A4.50) можно один за другим опреде-
определить коэффициенты отражения от ступеней. По анадргии с A4.44)
и A4.45) запишем результат в виде
Гт=Г0[С]„т; Л> = —т^ , A4.51)
где коэффициенты [С]™ определяются из модифицированного тре-
треугольника Паскаля:
Модифицированные биномиальные коэффициенты [С]"
0
1
1
2
3
4
5
1
1
1
1
Коэффициенты qm зависят от относительной полосы частот и
определяются соотношениями
1 2 2
=1-Уя = cos2
п vn \ , 2 (п — 2) 2 . л — 3 л
,
-l—k)l(n —
fc=l
I — А)! (л— l)!(n — m — А)!
-y). A4.52)
Характеристические сопротивления секций перехода определя-
определяются соотношением A4.37). Все qm уменьшаются с увеличением
рабочей полосы частот, причем 1><7i><72>... Поэтому распределе-
распределение Гт по длине перехода более равномерно, чем в предыдущем
случае; следовательно, более эффективно используются крайние
ступеньки. Сопоставим полосы пропускания переходов с чебышев-
ской и максимально плоской характеристиками при десятикратном
улучшении согласования (табл. 14.1).
375
Особенно резко полоса пропускания увеличивается в том слу-
случае, если четвертьволновый трансформатор (« = 1) заменяется
двухсекционным переходом. При п = 2-М0 и данном \ГЯ0П/М\ ра-
рабочая полоса чебышевского перехода примерно в 1,4-=-1,5 раза ши-
шире, чем биномиального.
Наилучшим ступенчатым переходом является чебышевский,
который обеспечивает заданный коэффициент отражения при ми-
минимальном числе секций.
Таблица 14.
Относительная полоса пропускания
^л-10096 =(Л//в) 100% при |Г|доп=0,1 \М\
Число секций
Относитель-
Относительная полоса
пропускания
перехода
с максимально-
плоской харак-
характеристикой
счебышевской
х арактернстнко и
12,7
12,7
2
40,8
56,1
3
61,3
90,0
4
76,0
112,6
5
87,0
128,0
6
95,4
139
10
117
162
00
200
200
14.6. Плавные переходы
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Полубесконечная полоса согласования. Ступенча-
Ступенчатый переход рассчитывается на полосу частот от /н до fB со сред-
средней частотой fo. На частотах «2/о, 4/0, 6f0, когда длина каждой
секции кратна полуволне, переход не улучшает согласование. В то
же время при fm3f«,
5/о,---, когда длина секции
равна C/4)Л; E/4)А до-
достигается такое же согла-
согласование, как на основной
частоте }0- Частотная ха-
характеристика перехода
представляет собой перио-
периодическую функцию с че-
чередующимися полосами
согласования и отражения
(рис. 14.15).
Преобразование ступенчатого перехода в плавный можно пред-
представить как увеличение числа секций при укорочении длины каж-
каждой из них. В пределе Z->0; Ло-»-О; ро и /о-»-°о. Поэтому полоса
согласования плавного перехода не имеет верхней границы. В диа-
диапазоне частот от /н и до /->оо его коэффициент отражения не пре-
376
0 t
Рнс. 14.15
3fn f
вышает определенной величины. Это не является преимуществом
плавного перехода, так как любое техническое устройство исполь-
используется в ограниченной полосе частот. Полубесконечная полоса со-
согласования плавного перехода требует его удлинения по сравне-
сравнению со ступенчатым. Однако разница в длине плавного и ступен-
ступенчатого переходов при Я//о> 1 не очень велика, а изготовление
плавного перехода во многих случаях проще, чем ступенчатого.
Поэтому на практике используются те и другие переходы.
Функция местных отражений Г(г). Характеристи-
Характеристическое сопротивление меняется в каждом сечении плавного пере-
перехода, поэтому отраженная волна создается непрерывно по длине
перехода. Вместо коэффициента отражения от ступеньки [ф-ла
A4.37)] вводится непрерывная функция Г (г), как предел отно-
отношения Гт/Аг при длине секции Az-Ю:
г ,. 1 1 , Zr (г 4- Д г)
Г(г) = Нт -^- = hm - —In ск*^—'- =
Д2-0 Дг Д2-.0 2 Дг Zc{z)
= — ton — llnZc{z + Az) — lnZe(z)] = — -|-In Ze(z). A4.53)
2 дг-о Дг 2 dz
Отсюда по известному значению Г(г) легко найти закон изме-
изменения характеристического сопротивления линии по длине z:
In Zc (z) — In Zc @) = 2 Jr B) dz.
A4.54)
о
Коэффициент отражения от перехода длиной
L(—L/2sc:z<=:.L/2) определим, заменив сумму в ф-ле A4.39) инте-
интегралом, а (п—2т)i|7 = 2pz:
L/2 L/2
Гф)= f r(z)e~i2f5zdz = 2 f Г(z)cos2f>zdz, A4.55)
-L/2 0
где р = 2л/д> = 2яА — коэффициент фазы1).
Коэффициент отражения от перехода Г($) является преобра-
преобразованием Фурье от функции местных отражений Г(г).
Анализ показывает, что плавный переход конечной длины не
может иметь функцию Г(р), монотонно уменьшающуюся с часто-
частотой. Поэтому среди плавных переходов не существует аналога
ступенчатому переходу с максимально плоской частотной харак-
характеристикой коэффициента отражения.
При р->0 (т. е. /->0), согласно ф-лам A4.54) и A4.55), коэф-
коэффициент отражения от перехода
f 1
Г Щр=0*= r{z)dz = — [\n Zc (L/2) — In Zc (— L/2)] =
-L/2
" Ж
2 Rn
= -L\nJ<*-=M,
A4.56)
') Второе интегральное выражение в ,A4.65) справедливо лишь при сим-
симметричной кривой Г(г) = Г(—г).
377
где /?n = Ze(—L/2) и /?fe = Zc(L/2) — заданные сопротивления в на-
начале и конце перехода. На нулевой частоте согласование не улуч-
улучшается.
ПЕРЕХОД С ЧЕБЫШЕВСКОИ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
Из всех плавных переходов чебышевский имеет наименьшую дли-
длину при одинаковом перепаде сопротивлений и требованиях к сог-
согласованию [16]. Частотная характеристика коэффициента отраже-
отражения этого перехода получается из ф-л A4.46) и A4.47) при и->оо
и nl=\L:
Г(в) = r^cosC^B2 — L
A4.57)
где |Гм|^|^|доп — максимальный коэффициент отражения в ра-
рабочей полосе частот; pH=2jt/HA>; /н — нижняя частота полосы сог-
согласования.
В полосе согласования /н^/<°о Г(р) имеет одинаковые по
величине осцилляции, амплитуда которых равна \Гм\ (рис. 14.16а).
При /</н коэффициент отражения увеличивается с уменьшением
частоты. Так как по ф-ле A4.56) при р = 0 Г(р)=М, из A4.57)
следует, что
A4.58)
г —
м ~
м
L =— Arch
м
ch (ри L) EН 1 доп
Здесь L — длина перехода, обеспечивающая заданное согла-
согласование | ГМ | = | Г | доп.
Чебышевский плавный переход, реализующий характеристику
вида A4.57), имеет на концах две ступеньки, где характеристиче-
характеристическое сопротивление меняется скачком на небольшую величину
(при практическом выполнении эти ступеньки могут быть скруг-
.лены). Сосредоточенные коэффициенты отражения от этих сту-
ступенек в два раза меньше Гм и равны между собой: Гст = 0,5Гм-
Этим отражениям по ф-лам A4.37) соответствуют следующие из-
изменения характеристического сопротивления:
AZn = 2rctRn = rMRn; AZK = TMRK. A4.59)
Совместное действие отражений на концах и по длине перехода
вызывает равноамплитудные осцилляции в полосе согласования,
описываемые A4.57).
От значения (Ra + AZa) до (RK—AZK) характеристическое со-
сопротивление перехода изменяется плавно. Функция местных отра-
отражений (рис. 14.166) записывается через модифицированную ци-
цилиндрическую функцию 1\, как
Г (г) =
A4.60)
где ?=2z/L — нормированная продольная координата (?=±1 на
концах перехода).
а)
-Г B)
Функцию изменения характери-
характеристического сопротивления вдоль пе- !>°
^рехода определим, подставив ф-лу
A4.60) в A4.54) (см. рис. 14.1бв):
In Z(z)== In Z@) +
Рис. 14.17
Функция Ф нечетная и представляет интеграл, который не бе-
берется в общем виде:
<. ,_ .
A4.62)
Семейство графиков для этой функции, рассчитанных на
г-ЭЦВМ, приведено на рис. 14.17. Параметром является отношение
r = ch(peL) {ф-ла A4.58)], выраженное в децибелах.
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
IB некоторых устройствах применяют плавные переходы с измене-
изменением характеристического сопротивления по экспоненциальному
|закону
.378
379
Если известны сопротивления на концах перехода: Rn и RK=
R2bL b {l/2L)\Z/Z)M/L П
р рд n K
Rae2bL, то b = {l/2L)\n{ZK/Za)=M/L. По ф-ле (Н.53) функция
й Г ()b t LI2L/2
{){)
местных отражений Г (z)=b = const в пределах —I^
Коэффициент отражения от перехода, согласно ф-ле A4.55),
Г (р) = 26 Г cos2bzdz= Msin$L (i4.64)
представляет собой известную из теории спектров осциллирующую
кривую (sinx/x), максимумы которой монотонно уменьшаются с
ростом частоты. Это бесполезное, по существу, улучшение согла-
согласования на высоких частотах приводит к тому, что"*длина экспо-
экспоненциального перехода с тем же согласованием значительно боль-
больше, чем чебышевского (см. задачу 14.1). Экспоненциальный пере-
переход весьма далек от оптимального. Иногда все же простота изго-
изготовления оправдывает его использование; так, у коаксиального
перехода с коническими поверхностями проводников Zc(z) меня-
меняется почти по экспоненциальному закону.
14.7. Переходы между волноводами и линиями разных
типов
СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ
При построении тракта часто необходимо передать волну в волно-
волновод или линию другого типа; при этом неизбежно преобразование
типа волны. Любой переход должен быть согласован в рабочей
полосе частот и иметь возможно меньшие потери. Переходы с от-
относительно узкой полосой согласования создаются при помощи
одиночных элементов связи. Их можно рассматривать как воз-
возбудители той или иной волны в волноводе и рассчитывать по фор-
формулам, приведенным в параграфе 9.8.
Переходы от коаксиальной линии к прямо-
прямоугольному волноводу. На рис. 14.18 показано несколько
используемых на практике конструкций таких переходов. Во всех
случаях внешний проводник линии присоединяется к волноводу
о)
У/.
Кпансиальная
^ \ tpuu/на
Дисхррагма
Диафрагма
Рис. 14.18
380
по периметру отверстия, а внутренний заканчивается штыревым
вибратором. Наиболее употребителен зондовый переход (ряс.
14.18а). Утолщение на конце штыря в виде пестика увеличивает
широкополосность перехода и его электрическую прочность. Пе-
Переход с поперечным стержнем (рис. 14.186) обеспечивает более
точную и жесткую установку внутреннего проводника, а также
почти равномерное распределение тока в его вертикальной части;
токи в горизонтальной части, перпендикулярные вектору Е волны
типа Hi0 в волноводе, не играют роли в возбуждении волны. Зна-
Значительную мощность можно передать с помощью зонда типа
«дверная ручка» (рис. 14.18s). Во всех случаях для установления
в волноводе режима бегущей волны служит реактивная диафраг-
диафрагма. С ее помощью можно получить коэффициент отражения
Г<5% в полосе частот порядка 10—15%.
Переходы от коаксиальной к полосковой ли-
линии. Переход от коаксиальной к симметричной полосковой линии
с тем же характеристическим сопротивлением выполняется весьма
просто: соединяются центральные проводники обеих линий, а на-
наружный проводник коаксиальной линии соединяется с внешними
проводниками полосковой. Такой переход обеспечивает ксв=1,03—
1,05. Если сопротивления Zc линий не равны, сопротивления транс-
трансформируют любым известным способом; трансформирующий пе-
переход удобнее выполнять на полосковой линии.
Переход от коаксиальной линии к несимметричной полосковой
выполняют подорямым углом (на рис. 14.19 дай разрез по оси коак-
коаксиальной линии); в этом случае оболочку коаксиальной линии сое-
Коакс.
линия
Кристаллический
детектор
Несимметр
полосковая
линия
Коаксиальный
шлейф
Поршень
\
Шксиальная
фишка
Рис. 14.19
Рис. 14.20
диняют с широкой пластиной, а внутренний проводник — с лен-
лентой. Такой переход имеет ксв=1,04—1,07 [17].
Детекторная секция объединяет волноводно-коаксиаль-
ный переход и коаксиальную нагрузку. Поглотителем мощности
свч в данном случае является детектор, обладающий нелинейным
сопротивлением. Эта мощность преобразуется им в колебания бо-
более низкой частоты, которые поступают на вход приемника или
измерителя. В конструкции рис. 14.20 настройка (на отсутствие
381
отраженной волны) осуществляется поршнем в конце волновода;
с изменением расстояния г0 меняется одновременно активная и
реактивная составляющие входного сопротивления штыря [ф-лы
(9.64), (9.65)]; реактивная составляющая компенсируется затем ин-
индуктивным коаксиальным шлейфом, совмещенным с держателем
детектора. В коаксиальный кабель подается сигнал, преобразован-
преобразованный детектором. Блокировочный проходной конденсатор (шайба
со слюдяной прокладкой) предотвращает просачивание в него свч
энергии.
ПЛАВНЫЕ И СТУПЕНЧАТЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Переходы с постепенным изменением размеров и формы попереч-
поперечного сечения волновода обеспечивают широкополосное согласова-
согласование соединяемых волноводов. Выбор оптимальных параметров та-
такого перехода сводится к такому же подбору коэффициентов от-
отражения от ступенек Гт или функции местных отражений P(z),
как это указывалось в предыдущих параграфах. Отличие состоит
лишь в том, что эти величины определяются в результате решения
особой для каждого случая электродинамической задачи (если
речь не идет о соединении двух линий с ТЕМ-волной). Дело в том,
что понятие характеристического сопротивления, как уже отмеча-
отмечалось, даже к регулярным волноводам применимо со значительной
долей условности и с точностью до постоянного коэффициента.
Величина Zc неприменима для сопоставления волноводов с раз-
разной формой поперечного сечения.
Переходы от прямоугольного волновода к по-
лосковой и коаксиальной линиям (рис. 14.21).
В обоих случаях выполняют плавный широкополосный переход от
прямоугольного волновода в
виде участка П-образного вол-
волновода, образующегося при
введении- в волновод гребня.
Рис. 14.21
Рис. 14.22
Структура поля в П-образном волноводе, как известно, довольно
близка к полю ТЕМ-волны. К этому гребню присоединяют ленту
несимметричной полосковой линии, соосной с волноводом, либо
центральный проводник коаксиальной линии, перпендикулярной
38В
волноводу; конструкция обеспечивает почти полное отсутствие из-
излучения из открытого конца волновода. Второй проводник соеди-
соединяют с широкой стенкой волновода.
Переходы от прямоугольного волновода к
круглому, с волной типа Ни. На рис. 14.22 показан
плавный переход. Сходство структуры преобразуемых волн поз-
позволяет хорошо согласовать эти волноводы при сравнительно не-
ГТТП
Рис. 14.23
большой длине перехода /=B-=-3)Л. Широко используется также
более компактный ступенчатый переход с промежуточной секцией
длиной Л/4, сечение которой соответствует середине плавного пе-
перехода; он обеспечивает удовлетворительное согласование
(кСв<1,1), в 10-процентной полосе частот. Существенно улучшить
частотные характеристики можно, применив ступенчатый переход
из двух или трех секций.
Переходы от прямоугольного волновода к
круглому с волной типа Нт. Плавный переход на рис.
14.23 осуществляется преобразованием прямоугольного сечения
волновода в трапецию и сектор с последующим увеличением угла
сектора до 2л. Здесь использована аналогия в поперечной струк-
структуре поля в секторе круглого волновода с волной типа Я]0 в пря-
прямоугольном волноводе. В другом переходе волна #01 в прямоуголь-
прямоугольном волноводе вначале преобразуется в волну #2о в прямоуголь-
прямоугольном волноводе увеличенных размеров, последний переходит в
Рис 14.24
383
крестообразный, а затем в круглый. На рис. 14.24 показан ряд по-
последовательных сечений такого перехода. Потери в плавных пере-
переходах в полосе частот составляют 0,24-0,6 дБ, дсСв =1,1 -т-1,2.
Возбуждение волноводов поверхностной волны, рассмотренное
в параграфе 12.9, также осуществляется при помощи плавных пе-
переходов.
ВРАЩАЮЩИЕСЯ СЕКЦИИ
Для питания антенн с круговым вращением или других подобных
устройств необходима волноводная конструкция, обеспечивающая
стабильность передачи при вращении одной части волновода отно-
относительно другой (рис. 14.25). Очевидно, для этой цели пригодны
Ълнобод
Ноансиальная
линия
Дроссепь
Поглотитель ¦
Кольце Вой
/ шильтз
Поглотитель
Рис. 14.25
коаксиальная линия с волной ТЕМ (для частот до 5 ГГц) и круг-
круглый волновод с волнами типов ?Oi и #оь Во всех этих случаях
волны симметричны относительно оси вращения. Необходимой ча-
частью секции является бесконтактное дроссельное сочленение с ма-
малым зазором в узле тока (параграф 13.4). Проникающая через
зазор часть волны затухает в кольце из поглощающего материала.-
Переход (рис. 14.25а) использует коаксиальную линию с двумя
зондами, введенными в прямоугольные волноводы. Если оси пря-
прямоугольных волноводов перпендикулярны, удобен переход, изоб-
изображенный на рис. 14.256. В обоих случаях внутренний проводник
не имеет разрыва.
384
\до
В волноводной секции (рис. 13.25в) используется волна типа
?оь В месте соединения прямоугольного и круглого волноводов
вертикальная составляющая электрического поля волны типа Ню
переходит в осевую и радиальную составляющие волны ?01, а маг-
магнитное поле Я, и Я, в азимутальное поле #ф . Важно эффективное
подавление несимметричной волны #ц, имеющей более низкую
критическую частоту, иначе мощность на выходе будет изменяться
при вращении в соответствии с изменением плоскости ее поляри-
поляризации. Для этой цели применяют кольцевой фильтр (рис. 13.226).
Волна #oi круглого волновода в таких переходах не использует-
используется, так как для ее распространения нужен волновод большего диа-
диаметра, В КОТОрОМ МОГут ВОЗНИКНУТЬ ВОЛНЫ ТИПОВ #ц, Е0] И Е\\.
14.8. Частотные фильтры
ПОСТАНОВКА ВОПРОСА
Электрический фильтр представляет собой линейный двух-
плечий узел, обладающий резко выраженной частотной избира-
избирательностью. В полосе пропускания (прозрачности) ослабление
фильтра ;[ф-ла A4.29)] не должно превышать АП при практически
линейной фазо-частотной характеристике коэффициента передачи
512. В полосе заграждения (непрозрачности) его ослабление не мо-
может быть менее А3.
По взаимному расположению
полос пропускания и заграждения
фильтры, как известно, делятся
на четыре вида: фильтры нижних
и верхних частот, полосовые и ре-
жекторные. Наибольшее распро-
распространение в. технике свч получи-
получили полосовые фильтры. Частотная
характеристика такого фильтра
показана на рис. 14.26: полоса ~ ?j ~1 ° 7 *=з ^ •
пропускания Д=/в—/н; полосы р'ис. 14.26
заграждения занимают диапазон
частот от 0 до f3H и от /зв до оо. Для того чтобы промежуточные
области, где An <Л<Л3, были узкими, необходимы крутые скаты
амплитудно-частотной характеристики фильтра за границами по-
полосы пропускания.
Фильтр свч (рис. 14.27) представляет собой цепь из вклю-
включенных в тракт последовательно двухплечих (проходных) объем-
объемных резонаторов, так как обычно один резонатор не может обес-
обеспечить выполнения "поставленных требований. Такие фильтры на-
называют многозвенными или лестничными по аналогии с соответ-
соответствующими низкочастотными схемами. Обычно вход и выход
фильтра одинаковы по конструктивным размерам и характеристи-
характеристическим сопротивлениям. Собственные потери в резонаторах отно-
13—2 385
сительно малы, поэтому сигнал, пришедший в полосе загражде-
заграждения, почти полностью отражается обратно к источнику, а ослабле-
ослабление фильтра в полосе пропускания незначительно (обычно поряд-
порядка десятых долей децибела). Каждый резонатор можно предста-
представить в виде одной ¦ либо двух сосредоточенных реактивностей,
Вход
z = 7 1
1 h
I
I
i 11
Резонатор -\
*' 1—
\hz
L—t
-4 Резонатор
4 ^
i i
\ \
i i
Ы
Резонатор
i i
i 1-
1 i
i i
i i
i |
Резонатор
a,
Выход
Рис. 14.27
включенных в основной тракт. Поэтому явления в фильтре можно
рассматривать следующим образом.
Волна, попадающая в фильтр, многократно отражается от реак-
тивностей. В полосе пропускания соотношение между коэффи-
коэффициентами отражения и прохождения таково, что на выходе фильт-
фильтра все прошедшие волны складываются в фазе. В полосе заграж-
заграждения, наоборот, складываются в фазе отраженные волны и прак-
практически вся энергия отражается.
Основные параметры резонаторов одинаковы во всех частот-
частотных диапазонах, что позволяет при построении фильтров свч ис-
использовать хорошо разработанную общую теорию электрических
фильтров, разбивая решение задачи на два этапа: расчет низко-
низкочастотного аналога и определение параметров объемных резона-
резонаторов и соединительных линий, эквивалентных низкочастотной
схеме.
Основные обозначения1): средняя частота @ = У /в/н «
~0,5(fB+fH); полоса пропускания Я = [в—fa", добротность Qo =
Нормированную частоту | определим так, чтобы | = 0 при j = f0
н |='±1 при f=/B и |f=/H. По аналогии с A1.7) запишем
J Jo\==ilZ^U2(/-A,> ДМ?. A4.65)
,fof)fn П П
Полученное приближенное равенство справедливо при А/ =
Нормированные частоты на краях полосы заграждения
I ПI (/ П) « 2(/ ПIП
П) « 2 (/„ -
') Для резонаторов, построеиных на основе дисперсных систем, следует вы-
выразить нижеследующие величины через коэффициенты фазы по аналогии с
ф-лами (М.76) и |A4.35).
386
могут отличаться по модулю. Труднее получить высокое ослабле-
ослабление при малых |?|. Поэтому в дальнейшем считаем ?3в = —-5™ и
равным минимальному из полученных выше значений |3в и ||зн|.
Так как модуль ослабления узла |Л|^1, удобно вместо А, Ап и
А3 ввести следующие величины, характеризующие превышение ос-
ослабления над единицей:
-1; а| = |Л,|«-1. A4.66)
СИНТЕЗ НИЗКОЧАСТОТНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА
Аналогом цепочки свч резонаторов служит многозвенный полосо-
полосовой фильтр (рис. 14.28), состоящий из параллельных и последо-
последовательных резонансных контуров, настроенных на одинаковую ча-
частоту §0. Его частотная характеристика зависит от числа звеньев п
и добротности каждого из резона-
резонаторов Qm.
Наиболее распространены два
типа амплитудно-частотных ха-
характеристик фильтра, аналогич-
аналогичных характеристикам ступенча- рИс. 14.28
тых переходов: характеристика
Баттерворса, максимально плоская в полосе пропускания, обеспе-
обеспечивающая удовлетворительную линейность фазо-частотной харак-
характеристики фильтра, и характеристика Чебышева, имеющая в поло-.
се пропускания пульсирующий характер.
Характеристика Баттерворса .описывается полиномом, в кото-
котором сохранено только слагаемое высшей степени:
а = а„1я. A4.67)
Характеристика Чебышева (рис. 14.26) описывается полино-
полиномом Чебышева:
a = anTn(Q.
A4.68)
Чебышевский фильтр имеет минимально возможное число
звеньев; при больших величинах пульсации отклонение его фазо-
частотной характеристики от линейной значительнее, чем в филь-
фильтре Баттерворса.
На границе полосы заграждения должно выполняться равен-
равенство а = а3. Следовательно, а3 = ап1" для фильтра Баттерворса или
с учетом A4.47) а3 = ап Tn{i#) =andi(n Arch?3) Для фильтра Че-
Чебышева.
Отсюда легко получить соотношения для выбора числа резона-
резонаторов в фильтрах:
для фильтра Баттерворса
_
13*
A4.69а)
387
для фильтра Чебышева
п =
Arch (а3/ап)
Arch l3 ¦
Полученное значение п округляют до большего целого числа.
Для чебышевского фильтра п должно быть нечетным, так как его
реализация на свч при четном числе звеньев затруднительна. За-
Запас, который получается при округлении числа п, проектировщик
волен употребить на уменьшение ап, увеличение а3, либо расши-
расширение полосы П.
Задача определения добротностей Qm в схеме рис. 14.28 реша-
решается в курсе линейных электрических цепей. Приведем без вывода
(см. f2]) формулы для нагруженных добротностей:
для фильтра Баттерворса
A4.696)
у' а
для фильтра Чебышева
Здесь Sm = sin
п
A4.70a)
A4.706)
2n
m = L 2 n'
Ы«
Можно заметить, что распределение, добротностей симметрич-
симметрично, т. е. Qi = Qn; Q2=Qn-i. Хотя схема низкочастотного аналога
изображена с помощью символов L и С, определять параметры
этих элементов не требуется, так как они' не имеют смысла для
объемного резонатора.
На резонансной частоте /0 нормированное входное сопротивле-
сопротивление г0 каждого резонатора должно быть равно характеристическо-
характеристическому сопротивлению соединительных линий 2=1. При этом отраже-
отражение от резонатора полностью отсутствует: \Г\ = |5ц| =0.
Итак, для каждого резонатора известны три основных парамет-
параметра: ifo, Qm и го= 1, т. е. схема рис. 14.28 полностью определена.
ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ С ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫМИ СВЯЗЯМИ
Соотношения эквивалентности. Объемные резонаторы,
используемые в фильтрах, имеют обычно электрическую связь с
трактом и эквивалентны параллельному колебательному контуру.
Поэтому реализация на свч нечетных (шунтирующих) звеньев,
фильтра-аналога не встречает затруднений.
Однако и четное звено (последовательный колебательный кон-
контур) можно заменить параллельным контуром, включенным через
четвертьволновые отрезки линий с нормированным волновым со-
сопротивлением 2Т= 1 (рис. 14.296).
388
§
Докажем следующее положение: смещение плоскости отсчета
в любом плече волноводного узла на четверть длины волны пре-
преобразует нормированные проводимости в нормированные сопро-
сопротивления и наоборот. Пусть в сечении k комплексный коэффициент
отражения в линии Fk. Согласно ф-лам (8.53) и (8.58) в этом се-
сечении определяются zft= A+/\)/A-—/\); ук= (\—Гк)/(\+Гн).
Предположим, далее, что сечение m расположено с любой стороны
а)
Ф Ф
I 1
5)
0). Ло/4
Г-1
гт - /
Рис 14.29
от сечения k на расстоянии в четверть длины волны: /=.±Л0/4. Сог-
Согласно ф-ле A4.22), при р„/= ± Bя/Л0) (Л0/4) = ±я/2, Гт = ГкеЩ1 =
= —Гк. Нормированные сопротивления и проводимости во втором
сечении (т= 1,2)
1-Гь
У т. =
A4.71)
zk •"" \-Гк
Отсюда следует эквивалентность схем рис. 14.29а, б. В самом
деле, по схеме рис. 14.29а нормированное сопротивление после-
последовательного контура (в сечении 1), согласно ф-лам A1.46) и
A1.5), zi(/) = l/.vi(/) = l+js, так как Fo = 7=\. В схеме рис. 14.296
сопротивление нагрузки г=1 можно считать присоединенным не-
непосредственно к параллельному контуру, так как гт=1. Согласно
A1.4а) zK(f) = 1/A -fig). Входное сопротивление линии на расстоя-
расстоянии Ло/4 от сечения k, согласно ф-лам A4.71), Zi(f) = l/zK(f) = 1 + i;,
что совпадает с выражением для z\($) в схеме рис. 14.29а. Оче-
Очевидно, результат будет тот же, если определять в обеих схемах со-
сопротивление в сечении 2, поместив нагрузки г=\ в сечении /. Та-
Таким образом, эквивалентность обеих схем установлена. «Парал-
«Параллельный» резонатор с четвертьволновыми отрезками линий на вхо-
входе и выходе эквивалентен последовательному колебательному кон-
контуру.
Следовательно," фильтр свч (рис. 14.27) эквивалентен много-
многозвенному фильтру, изображенному на рис. 14.28, если /i2 = /23 =
= /з4= ••• =Л0/4. Пунктирные плоскости отсчета соответствуют се-
сечению непосредственно на входе резонатора, где он эквивалентен
параллельному контуру. Заметим, что эквивалентность схем рис
14.29а, б, а также схем рис. 14.27 и 14.28 установлена только для
389
Xo
т
Л, о
4
ic
I
'z2 j
I
let ^
I*
M
Рис. 14.30
частоты f0. На любой другой частоте длина вставки отличается
от четверти длины волны и трансформация сопротивлений не со-
соответствует ф-лам A4.71). В полосе 10ч-15% искажения частот-
частотной характеристики по этой причине
невелики и их можно не учитывать.
Коаксиальные и полоско-
вые фильтры с шунтирую-
шунтирующими резонаторами. Коакси-
Коаксиальный фильтр с четвертьволновы-
четвертьволновыми связями и короткозамкнутыми
концами показан на рис. 14.30. Здесь
использованы проходные коаксиаль-
коаксиальные резонаторы, рассмотренные в
11.9. Длина каждого резонатора
должна быть кратна полуволне
/ = <7(Ло/2). Его связь с основным трактом регулируется смещени-
смещением резонатора в поперечном (к тракту) направлении.
Нагруженная добротность резонатора в таком фильтре опре-
определяется из ф-л A1.49) и A1.56):
QH Q, nq Ze
Так как Qo3>Qm первое слагаемое в правой части этого выра-
выражения не очень существенно. Поэтому QH зависит в основном от
места включения резонатора z0, отношения характеристических
сопротивлений (Zc/Zcp) и числа полуволн ц. На рис. 14.30 z2<.Z] =
= z3, следовательно, QH2>Qhi=>Qh3.
Следует иметь в виду, что при указанном включении коаксиаль-
коаксиальных резонаторов на тех частотах fA, для которых любое из плеч
шунта кратно полуволне, т. е. zo=<7i(Aa/2) либо (/—z0) =^2(Ла/2),
возникают «антирезонансы» — весьма большая проводимость в
точке их присоединения. На этих частотах резонатор эквивален-
эквивалентен последовательному контуру. Ослабление фильтра на часто-
частотах /а очень велико. Совместив частоты антирезонанса с /Зн и /зв,
можно получить большие значения А3 и высокую крутизну частот-
частотной характеристики ослабления в области перехода от полосы про-
прозрачности к полосе заграждения. Однако, если fA близко к гра-
границам полосы пропускания, частотные характеристики резонаторов
резко меняются по сравнению с характеристикой одиночного ко-
колебательного контура и нарушается эквивалентность схем рис.
14.30 и 14.28. Расчет такого фильтра требует более сложных ме-
методов.
В качестве резонаторов с равным успехом используются пол>г
волновые отрезки, разомкнутые на концах [тогда .в ф-ле A4.72)
sin2 pz0 заменяется на cos2 pz], или четвертьволновые, разомкнутые
на одном и замкнутые на другом концах (см. параграф 11.3).
. Теория и конструкция фильтра в полосковом исполнении со-
совершенно аналогичны рассмотренным. Наиболее технологичен в
этом случае фильтр с разомкнутыми на концах резонаторами.
390
ФИЛЬТРЫ С ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫМИ СВЯЗЯМИ И СООСНЫМИ
РЕЗОНАТОРАМИ
Волноводные фильтры. Фильтры с цепочкой резонаторов,
соосных с основным трактом (расположенных друг за другом), вы-
выполняются на прямоугольном волноводе и полосковой линии. Пря-
Прямоугольному волноводу с основной волной типа #10 соответствует
проходной волноводный резонатор с основным колебанием Я10Ь
либо колебанием HWq (см. параграф 11.4). Собственная доброт-
добротность резонатора Qo очень велика; нагруженные добротности ре-
резонаторов широкополосных фильтров QH должны быть сравнитель-
сравнительно малы. Это обеспечивается высокой связью между резонатором
и трактом.
Если резонатор со слабой связью образуется из волновода по-
поперечными проводящими стенками с небольшими отверстиями свя-
связи, то резонатор с.сильной связью создается при ограничении уча-
участка волновода двумя реактивными диафрагмами со сравнительно
небольшой нормированной проводимостью. Наилучшие результа-
результаты дают стержневые диафрагмы (см. параграф 13.5), у которых
реактивное поле имеет малую протяженность, что исключает па-
паразитные связи между диафрагмами.
Расчет величины связи резонатора с d ,
трактом через диафрагму требует особого к т j —
рассмотрения, так как в гл. 11 такой случай I H I Плечо 2
не изучался. Проводимость или шунтирую-
шунтирующее сопротивление диафрагмы определя-
определялись для случая, когда она помещена в со- Плечо 1
гласованный на конце волноводный тракт.
В резонаторе положение существенно иное:
волны многократно отражаются от его кон-
концов и суммарное отражение падающей на
резонатор волны определяется полем его
стоячей волны, суммой бегущих в обоих на-
направлениях волн. Начнем с рассмотрения
одиночной диафрагмы в волноводном тракте.
Матрица рассеяния индуктивной диафрагмы.
Реактивное сопротивление диафрагмы гя = \хя = \/ (—Ьд). Согласно
A4.16), ее матрица в плоскости D (рис. 14.31):
A4.73)
¦х?
i
i
¦ Z
Рис. 14.31
Коэффициенты отражения Sn=S22 в этом сечении комплексны,
что неудобно для дальнейших выкладок. Сместив плоскости отсче-
отсчета в первом и втором плечах на одинаковое расстояние d, легко
получить чисто вещественные коэффициенты отражения; в этих
сечениях эквивалентная нагрузка чисто активна. На рис. 14.31
показаны направления положительного смещения на расстояние d;
391
плоскости отсчета оказываются позади плоскости диафрагмы D.
Согласно ф-ле A4.22), новая матрица
ei2Pd Г _
1 + i 2 х
имеет вещественные коэффициенты отражения в том случае, если
коэффициент перед ней вещественен. Фазу знаменателя arctg2x,,
приравняем фазе числителя 2fid и получим необходимый сдвиг
B^). A4.74)
Смещение тем меньше, чем меньше шунтирующее сопротивле-
сопротивление хл диафрагмы. После сокращения равных фазовых множите-
множителей матрица рассеяния диафрагмы в плоскостях / и 2 приобретает
вид:
1 —
A4.75)
Модуль знаменателя Мд остался неизменным. При л:д<с1 коэффи-
коэффициенты отражения в плоскостях отсчета близки к —1, т. е. эти
плоскости эквивалентны короткому замыканию.
Резонатор с одной диафрагмой (рис. 14.32). Преж-
Прежде всего, уточним длину этого резонатора. Резонансу соответствует
расстояние между плоскостями короткого замыкания, кратное по-
полуволне. В данном случае указанное условие должно учитывать
смещение плоскости отсчета:
/э = / + d = </Л0/2 =
= qvivj2UV~K.
A4.76)
Энергетический режим резонатора определяется из рассмотре-
рассмотрения одного цикла движения волны. Пусть на диафрагму со сторо-
Вход \
Выход
\В,
Рас 14.32
Рис. 14.33
ны резонатора падает волна мощностью РПая- Мощность уходящей
В ВОЛНОВОД ВОЛНЫ Рви = Лтад[S
женной в резонатор,
392
2. Мощность бегущей волны, отра-
5ц|2. Мощность потерь в резона-
торе Ро с помощью ф-лы A1.29) можно выразить через мощность
бегущей, а затем через мощность падающей волны:
р = _M0JL =
Qo
2/эРбег
Рбег _
Qo
\ К
2л
После отражения волны от задней стенки резонатора цикл пов-
повторяется. Нормированное входное сопротивление такого резона-
резонатора, согласно ф-ле A1.42) с учетом A4.75), выражается соотно-
соотношением:
°
= Qo =
nq
A4.77)
Ро Qbh
Проходной волноводный резонатор (рис. 14.33),
образованный двумя шунтирующими диафрагмами с сопротивле-
сопротивлениями Хщ и хЯ2, имеет эквивалентную длину /3 = /i + cfi+cf2, где cfiJ
определяются по ф-ле A4.74). Нормированные сопротивления ре-
резонатора со стороны входа и выхода rOi и г02 рассчитываются по
ф-ле A4.77). Нагруженная добротность в соответствии с ф-лой
A1.49)
Qh
Qo
яд
A4.78)
Если Qo»Qh и диафрагмы одинаковы, то Яв = щ
Нагруженная добротность резонатора зависит от величины шунти-
шунтирующего сопротивления диафрагм и числа полуволн на длине ре-
резонатора; обычно выбирают q=\.
Собственная добротность резонатора, ограниченного диафраг-
диафрагмами, значительно меньше, чем добротность аналогичного резона-
резонатора со сплошными замыкающими стенками. Поэтому часто при-
приходится учитывать Qo в ф-ле A4.78). Существенные потери возни-
возникают в стержнях диафрагм, так как плотность тока в них велика.
При неизменном сопротивлении хя потери в диафрагме возрастают
с увеличением числа стержней, так как их диаметр приходится
уменьшать. Обычно число стержней в диафрагме не превышает
трех.
Итак, с помощью ф-лы A4.78) по заданной внешней доброт-
добротности определяется проводимость диафрагм волноводного резона-
резонатора, а затем по графикам вида рис. 13.14 — их конструктивные
размеры.
Волноводный фильтр с четвертьволновыми
связями (рис. 14.34) представляет собой отрезок волновода, в
котором с помощью индуктивных диафрагм выделены полуволно-
полуволновые резонаторы. Диафрагмы на концах каждого резонатора выб-
выбраны одинаковыми. Между резонаторами оставлены четвертьвол-
четвертьволновые промежутки. За счет смещения плоскостей отсчета все вы-
393
Ml
Диафрагма„/" Л/4-пиния Дитррагма„2"
Ркс. 14.34
шеуказанные расстояния несколько сокращены. Такой фильтр со-
соответствует схеме, изображенной на рис. 14.28 и эквивалентен ко-
коаксиальному фильтру рис. 14.30. Основное преимущество фильтра
с четвертьволновыми связями заключается в том, что резонаторы
легко испытать и настроить отдельно друг от друга, предусмотрев
разъемы в середине Л/4 отрезков.
ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ С НЕПОСРЕДСТВЕННЫМИ СВЯЗЯМИ
Существует метод, позволяющий устранить четвертьволновые
вставки между резонаторами, не меняя свойств фильтра, что при-
приводит к уменьшению общей длины фильтра и упрощает его кон-
конструкцию. Рассмотрим свойства участка тракта между двумя со-
соседними резонаторами.
Четвертьволновый отрезок с двумя диафраг-
диафрагмами на концах, разделяющий, например, первый и второй
резонаторы (рис. 14.35а), представляет собой последовательное
Л
i
Л/2 U-
¦
it'
4
Л/2
d
Рис. 14.35
соединение трех двухплечих волноводных узлов: индуктивной диа-
диафрагмы Х\ между сечениями А а В; линии_длиной Л/4 между се-
сечениями В и С; индуктивной диафрагмы х2 между сечениями С
394
122,/М,
-L rL(p\l
M,
-i
L2zjMz
7
61 a2
Рис. 14.36
и D. Покажем, что это соединение эквивалентно одной индуктив-
индуктивной диафрагме с сопротивлением хэ между сечениями А и D (рис.
14.35в), т. е. четвертьволновую линию можно исключить.
Последовательное соединение узлов рассматривается методом
ориентированных графов (см. параграф 6.7). Граф S-матрицы
двухплечего узла (рис. 14.36а) совершенно аналогичен графу для
двух сред (рис. 6.12) с заменой обозначений Г и Г на Shm. Пост-
Построим теперь на основании ф-лы A4.75) графы двух диафрагм, сое-
соединив их ветвями с передачей e"ipA/4 =e~~i3t/2=—i, соответствующих
четвертьволновому отрезку линии без потерь.
Определим по соотношению F.35), одинаково пригодному для
ненормированных и нормированных, значений элементов матрицы,
коэффициент передачи S2i из плеча / в плечо 2. Для прям_ой вол-
волны существует всего один путь а\Ь2аф^ с передачей Pl = iBxi/Mi) X
X(—i)(i2x2/Mz); он касается единственного контура Ъч.афъафг
с передачей L<'>= (—i) (—1/М2) (—i) (—1/Mi). Поэтому недиаго-
недиагональный элемент матрицы соединения в целом имеет вид:
= i 4^t хг ^ A4.79)
_ Коэффициент отражения в плече / определяется путем ахЪх с
W' передачей Р, = —1/М,, не касающемся контура L[l\ и путем
% а\Ь2а3Ьгаф\ с передачей /э2= (i2xi/MiJ(—iJ(—1/М2).
3* Следовательно,
;)-
м\м2
1 + -
A4.80)
Поскольку коэффициент передачи Sn вещественен и выражен
через Mi и М2 симметрично, то справедливо равенство A4.25) и
S22—Sn- Кроме того, легко показать, что |5ц—5i2| = l; следова-
следовательно, удовлетворяются ф-лы A4.17) и полученный узел можно
395
представить сопротивлением, шунтирующим тракт. Сопоставим
ф-лы A4.79) и A4.75), определив 5ц = —1/Мэ и S2i=i2x3/M3, где
i хэ— сопротивление эквивалентной диафрагмы. Тогда
X. =
A4.81)
причем удовлетворяется равенство МЭ = У 1+4x1.
Это доказывает эквивалентность схем рис. 14.35а, в при выбо-
выборе хэ по ф-ле A4.81). Если шунтирующее сопротивление диафрагм
мало: Xi,2<SCl, М\ШМ2&1, то хятх\Х2.
Эквивалентная диафрагма имеет меньшее сопротивление, т. е.
большую проводимость, чем исходные. Это облегчает ее конструк-
конструктивное выполнение: можно увеличить число стержней или их тол-
толщину. Расстояние d3 рассчитывается для хэ по ф-ле A4.74).
Волноводный фильтр с непосредственными
связями (рис. 14.37) получается из фильтра рис. 14.34 после ис-
исключения четвертьволновых отрезков. Он имеет меньшую длину
Л/2
и минимальное число диафрагм. Собственные добротности резо-
резонаторов в таком фильтре выше, чем в первоначальной схеме, так
как меньше потери в диафрагмах, разделяющих резонаторы. Кро-
Кроме того, устранена причина, искажающая частотные характери-
характеристики фильтра в полосе пропускания. Теперь можно считать, что
введен и затем исключен отрезок, равный четверти длины волны
ни любой частоте. Поэтому схемы рис. 14.37 и рис. 14.28 эквива-
эквивалентны без сделанных ранее оговорок.
Для настройки частоты волноводного резонатора и проводи-
проводимости диафрагм предусматриваются настроечные емкостные вин-
винты в плоскостях диафрагм и в центре резонатора.
Эквивалентная схема волноводного фильтра с непосредственны-
непосредственными связями чрезвычайно проста: это линия, шунтированная индук-
индуктивными сопротивлениями, расположенными с интервалом в Л/2.
Полосковый фильтр. Такими же свойствами обладает^
цепь из полуволновых отрезков линий, разделенных последова-
последовательно включенными конденсаторами. Подобная схема легко реа-
реализуется на полосковой линии; последовательной емкостной реак-
реактивностью служит зазор шириной >б в ленточном проводнике линии.
Малые зазоры (.б<0,25 мм) практически неосуществимы. Поэтому.
3-96
если требуются сравнительно большие емкости, прямой зазор за-
заменяют зигзагообразным, на концах лент делают соответствующие
друг другу выступы и впадины.
Характеристики фильтров с шунтирующими индуктивностями и
последовательными емкостями совпадают в том случае, если нор-
нормированная проводимость каждой диафрагмы равна_ нормирован-
нормированному сопротивлению соответствующего зазора: ЬЛ=х3 (либо л;д=
— Ь3)- С учетом такой замены полосковый фильтр рассчитывают
по полученным выше ф-лам A4.72), A4.81).
Для определения емкостной проводимости зазора в симметрич-
симметричной полосковой линии имеется приближенная формула [22], спра-
справедливая при тонкой ленте достаточно -большой ширины (t-+0,
ш/Ь>0,6 на рис. 10.14) Ь3= (рЬ/яIп cth(jf6/2&). Следует учесть,
что в окрестностях зазора из-за разрыва ленты распределенная
емкость самой полосковой линии уменьшается, что приводит к не-
необходимости увеличить длину резонатора с каждой стороны на
величину d' = n>62lDb). Длина каждого резонатора определяется
между средними линиями; кроме указанного удлинения, учитыва-
учитывается более существенное укорочение по ф-ле A4.74) с заменой
хд на Ъ3.
РЕЖЕКТОРНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Режекторные или полосно-заграждающие фильтры имеют харак-
характеристику ослабления (рис. 14.38), противоположную характери-
характеристике полосно-пропускающих. Это позволяет описывать их частот-
частотные характеристики теми же соотношениями вида A4.67) и A4.68),
заменив нормированную час-
частоту | на обратную %№\ по-
иному связанную с истинны-
истинными частотами. Тогда вместо
A4.65) запишем
- / Д(р)
t(p) l —
ъ — т —'
_Я(Р>
/2-/о
2Д/
A4.82)
36
t.
где
i
Шкала инвертированных Рис 143g
частот ?*р) показана на рис.
14.38. Последовательное соединение элементов LC без потерь имеет
нормированное сопротивление z = \x = \\, а параллельный иде-
идеальный контур — такую же проводимость z/ = ifr = i?, т. е. z=\/y =
=—i/|. Инверсии частот -соответствует замена s схеме рис. 14.28
397
параллельных цепочек последовательными и наоборот (рис. 14.39а).
При одинаковых нормированных частотах ?п= 1, ?3 и соответствую-
соответствующих ослаблениях А п, А3 число резонаторов и их добротности в
обеих схемах одинаковы.
С помощью четвертьволновых отрезков схема рис. 14.39а прев-
превращается в схему рис. 14.396, состоящую только из шунтирующих
последовательных контуров, либо в схему рис. 14.39в из парал-
параллельных контуров, включаемых в линию последовательно.
S)
А/4 Л/4 Л/4 Л/4
\0s
a)
Рис. 14.39
Примером реализации схемы рис. 14.396 служит фильтр на
симметричной полосковой линии (рис. 14.40). Последовательному
контуру эквивалентен разомкнутый на конце отрезок линии дли-
длиной >,/4. В данном случае этот отрезок разбит на два участка: ши-
широкий имеет малое характеристическое сопротивление и эквива-
эквивалентен емкости; узкий с большим характеристическим сопротивле-
сопротивлением эквивалентен индуктивности. При отношении этих сопротив-
сопротивлений 4: 1 геометрическая длина шлейфа сокращается вдвое. Та-
Такая система является промежуточной между квазистационарным
контуром и резонансной линией.
На рис. 14.41 показана ячейка волноводного режекторного
фильтра, реализующего схему рис. 14.39в. Короткозамкнутый чет-
Рис. 14.41
вертьволновый отрезок волновода или линии эквивалентен во
входном сечении параллельному контуру. В данном случае такой
резонатор присоединяется в виде ответвления к широкой стенке
волновода, что и соответствует последовательному включению в
тракт параллельного контура. Как и ранее, проводимость стерж-
стержневой диафрагмы на входе резонатора определяет его нагружен-
нагруженную добротность и, следовательно, полосу пропускания режектор-
режекторного фильтра.
ФИЛЬТРЫ ГАРМОНИК
Пусть спектр сигнала ограничен частотами /Нс и ifBC.
Для подавления второй и последующей гармоник сигнала (в
полосах 2/,,c-7-2ifBc, 3/,I0H-3fBC и т. д.) служат фильтры гармоник.
Существуют три вида таких фильтров.
Поглощающие фильтры применяют обычно в волновод-
ном тракте. Одна из возможных конструкций содержит ряд попе-
поперечных щелей на широких стенках волновода, к которым снаружи
присоединены отрезки волноводов уменьшенного сечения, запол-
заполненные поглощающим материалом. Частота f№ боковых волново-
волноводов удовлетворяет неравенству fBc<f$<2fnc, благодаря чему на
прохождение сигнала ответвления не влияют, а все гармоники в
них поглощаются.
Режекторные фильтры гармоник могут быть
широкополосными, либо состоять из группы последовательно
включенных узкополосных фильтров, настроенных на различ-
различные гармоники сигнала (с гребенчатой частотной характери-
характеристикой).
Фильтры нижних частот имеют частотную характери-
характеристику, соответствующую правой половине кривой для полосового
фильтра (рис. 14.26), с полосой пропускания от 0 до ifB и запира-
запирания от f3B до оо. f0 заменяется на f = 0 и соответственно нормиро-
°) д)
L, Lz Ls
mm С г
\
?¦1
м
zf
if
If
—
if
—у
Pkc. 14.42
ванная частота определяется не ф-лой A4.65), а соотношением
E(H) = f/fB- Фильтр пропускает сигнал (так как fBC^fB) и отражает
к источнику все его гармоники B/Нс^/зв). Широко распростране-
распространены конструкции таких фильтров из чередующихся отрезков с вы-
399
сокими Z[L) и низкими Z(^c' характеристическими сопротивления-
сопротивлениями (рис. 14.42а). При l[L) и /<ftc> <сЯ/4 они эквивалентны последо-
последовательной индуктивности Lft = ZJ,iV*i)/^ и шунтирующей емкости
Cft = /^,C>/(Z^C) f) на схеме рис. 14.426 низкочастотного аналога
(у — фазовая скорость волны на соответствующем участке). Точно
так же конструируются фильтры нижних частот на волноводах
(рифленый волноводный фильтр с переменной высотой волновода)
и полосковых линиях (с переменной шириной внутренней ленты).
Паразитные полосы пропускания таких фильтров наблюдаются
при 1ьъ}./2[22].
ЗАДАЧИ
14.1. Определить длину согласующих переходов, построенных на коаксиаль-
коаксиальных или полосковых линиях с воздушным заполнением, для согласования на-
Еузки i?K = 90 Ом, с фидером, характеристическое сопротивление которого
=1/?н='5О Ом. Полоса рабочих частот от 400 до 1400 МГц. Допустимый коэф-
коэффициент отражения от перехода \Г\доп=з%.
Рассмотреть следующие четыре типа переходов и сопоставить полученные
результаты:
— ступенчатый с максимально плоской характеристикой;
— ступенчатый с чебышевской характеристикой;
— плавный с чебышевской характеристикой;
— плавный экспоненциальный.
Решение: -Прежде всего определим пара-метры, общие для всех перехо-
переходов. Средняя частота fo = 900 МГц; длина волны Л0 = 33,3 ом; полоса часто!
/7=il000 МГц; относительная полоса частот \п =JT/fo=il,ll и соответствующее
аначение (/я=0,766; логарифмический перепад сопротивлений M = Q,5ln(RK/RH) =
=0,3, следовательно, М/|Г|Д0П = 10; фазовый коэффициент на нижней частоте
РЙ//837 1/
/ /
Число секций ступенчатого биномиального перехода определяется по ф-ле
A4.43); я=9; длина перехода L=i(n/4)Xo = 75 см.
Число секций ступенчатого чебышевского перехода находим по ф-ле A4.501:
я=4; его длина ?=33,3 см.
Для плавного чебышевского перехода определим по ф-ле A4.58)
ch (pBZ.) = 10, откуда EHZ. = 3,0 и длина перехода 1 = 35,8 см.
В ф-ле A4.64) для экспоненциального перехода положим sinfiL=l; тогда
его длина 1=УИ/(ря|Г|д„п) = 119,5 см.
Если длину ступенчатого чебышевского перехода принять за 100%, то длина
плавного чебышевского перехода составят 107%, биномиального — 227% и экспо-
.ненциального — 360%.
14.2. Рассчитать полосовой фильтр с чебышевской характеристикой и непо-
средсгвемным.и связями на прямоугольном волноводе размерами аХй=40Х20мм.
Средняя частота fo = 6OOO МГц. Ослабление :;^у ^0,043 дБ (Ля^ 1,005) в полосе
пропускания Я=,2А/:я=30 МГц. Ослабление в полосе заграждения не менее
©^=15 дБ (Л»= 5,63); 2Af:i = 90 МГц.
Решение. Определяем <2о = /:о/Я = 2ОО; ?3 = 2Л/:з/Я =
ая =ЛЯ — 1 =0,01;
а23=А23 —1=30.6.
Волновод имеет ?.кр = 8см; f>iP = 3,75 МГц, (КЛгJ = ,1-^C,75/6J = О,й1; аДо =
=4/5=0,8. Число резонаторов в фильтре [ф-ла A4.696)]: n = Arch (а^с^,)!Arch \3 =
=8,72/1,76 = 4,95. Выбираем п = 5.
Результаты расчета добротиостей резонаторов и проводимостей диафрагм
сведем в следующую таблицу:
400
Параметр
sin(m—1)я /п
Яш
| Qm
Ь,п~ —I/* m
Ьэп1= 1/* ЭШ
Расчетная
формула
A4.70)
A4.70)
A4.706)
A4.78)
A4.81)
Результаты расчета при
m=I и 5
0,309
0,636
97,2
—8,63
т=2 и 4
0,809
0,588
1,180
137
-10,25
-90,6
т=3
1,000
0,951
1,110
180
— 11,8
—123
Чебышевокий фильтр с нечетным числом элемеятов симметричен, поэтому
bi = bb = —8,63; 6Э2=6э5=—90,6; 6эз=&э4 = —123. Конструктивные данные диа-
диафрагм выбираются по соответствующим формулам и графикам. В частности, для
первой диафрагмы по р,ис. 13.14 находим: стержневая диафрагма из трех стерж-
стержней с d = 0,047а =1,88 мм. Амплитудно-частотная характеристика фильтра стро-
строится по ф-ле ('14.68): |Л|2=1+а2=1+а27 fi (|)
Глава 15.
МНОГОПЛЕЧИЕ УЗЛЫ
15.1. Трехплечие соединения. Симметрирующие
устройства
ГГ Л ЛЛ
\л г л\ •
\_л л г]
Нагрузкой любого плеча является параллельное соединение двух
других линий, т. е. сопротивление ZJ2. Поэтому, согласно (8.54),
Г = —1/3. Из условий унитарности |Г|2+|Л|2+|Л|2=1; ГЛ* +
+ ЛГ*+ЛЛ* = 0, откуда Л=2/3. Следовательно, матрица рассея-
ПОСТАНОВКА ВОПРОСА
Взаимные трех- и четырехплечие узлы без потерь (волноводные,
коаксиальные, полосковые), служат для ответвления энергии, ре-
регулировки мощности проходящей волны, сложения и разделения
сигналов, измерений и коммутации в волноводных трактах. Ха-
Характеристики всех этих устройств описываются матрицей рассея-
рассеяния, конкретная форма которой определяется геометрией узла и
протекающими в нем электромагнитными процессами. Однако во
всех случаях она симметрична (так как узел взаимен) и унитарна
(узел без потерь). Знание 5-матрицы позволяет анализировать ра-
работу узла в сложном волноводном тракте.
В прямоугольном волноводе с волной типа Я10 различают две
взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через его ось:
плоскость //, параллельную вектору Нх, и плоскость Е, параллель-
параллельную вектору Е_[_. Волноводные разветвления в каждой из этих
плоскостей обозначают соответствующими буквами. Точку пересе-
пересечения осей соединяемых волноводов будем называть центром сое-
соединения Ц. Плоскости отсчета в каждом из плеч выбираем на рас-
расстоянии »Л/2 от Ц, поэтому длина пути между плоскостями от-
отсчета в любых двух плечах оказывается равной Л, что соответст-
соответствует разности фаз 2я.
РАЗВЕТВЛЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ Н
У-тройник на прямоугольном волноводе (рис. 15.1а) обладает
пространственной центральной симметрией, вследствие чего все
его плечи равноправны по электрическим свойствам. Его эквива-
эквивалентом является параллельное соединение трех линий с ТЕМ-вол-
ной (рис. 15.16); для этих линий углы между плечами на свой-
свойства соединения почти не влияют. Стрелками на рисунках обозна-
обозначено направление вектора Е, принятое за положительное. Из сим-
симметрии устройства очевидно равенство всех коэффициентов отра-.
жения Г=5и = 522=53з и всех коэффициентов передачи Jl=S2i =
= 53i=... Следовательно, матрица рассеяния имеет вид1):
*) Здесь ,и далее элементы матрицы обозначены русскими буквами (вместо
Shm), чтобы подчеркнуть равенство между собой отдельных ее элементов.
402
Согласующая
диафрагма 2)
I'
Pi-c. 15.1
? ьия волноводного У-соединения в плоскости Н и параллельного
-* соединения линий с ТЕМ-волной
A5.1)
Так как |Г|2=1/9, а |Л|2=4/9, то отсюда следует, что мощность
волны, поступающей, например, в первое плечо, делится следую-
следующим образом: 1/9 ее часть отражается, а по 4/9 проходит во вто-
второе и третье плечи.
//-тройник с согласованным плечом 1 (рис. 15.1в)
симметричен относительно этого плеча. Чтобы волна из плеча /
.обратно не отражалась (Su = 0), предусмотрена согласующая диа-
диафрагма шириной около Л/4 в плоскрсти симметрии соединения;
403
отражение от ее края компенсирует отражение от стенки, нахо-
находящейся против этого плеча, так как фазы отраженных волн про-
противоположны. Из симметрии устройства следует, что волна из
плеча / делится поровну между плечами 2 и 3 (рис. 15.1г), т. е.
|52i|2= |53]|2=1/2. Фазы волн на входе и выходе узла совпадают,
поэтому соответствующие элементы матрицы должны быть веще-
вещественными и положительными S2i = S3t=l/V 2. Далее, очевидно
равенство коэффициентов отражения от плеч 2 и 3: 522=53з = ^.
Теперь для //-тройника можно записать:
Входящие волны
о
1/1/2
w
г
л
2
1/12
Л
Г
[5] =
Используем условия унитарности. Первый столбец им удовлет-
удовлетворяет: A/уТJ+A/У~2J=1. Согласно ф-лам_ A4.10)_запишем
следующие равенства 1/2+|Г|2+1[Л]2= 1; Г/К2 + Л/ 1/2 = 0. От-
Отсюда Л = —Г =1/2 и искомая матрица определяется как
О \2 \2
\2 —1 1
V2
1 —1
UI
A5.2)
\0t \ut \ut
Для ясности входящие и выходящие волны в соответствии с
ф-лой A4.1) показаны стрелами. С помощью матрицы A5.2) рас-
рассмотрим несколько частных случаев:
1. Волна поступает в плечо /: LY=1. Тогда 07 = 0$ = 1 /V 2 ,
волны в плечах 2 и 3 синфазны, мощность исходной волны делит-
делится между ними пополам.
2. В плечи 2 и 3 подаются синфазные волны U'i =0% =1,. Тог-
Тогда, как видно, U7=0~3=0\ 0y= \^2, т. е. вся их мощность объе-
объединяется в плече /.
3. Волна входит в плечо 2: 0t = \\ Pt=\Of\==\. Тогда имеет-
имеется отраженная волна UT =—1/2; и прошедшие 0\ =1/1/2; Оз =
= 1/2. Распределение мощностей /T = l/2; РТ = РТ = V4.
4. Поместим теперь короткозамыкатель в плоскость отсчета
плеча / (Г] = — 1) и подадим волну в плечо 2. Эту задачу удобнее
решить методом суперпозиции, сложив первичную волну и i =1 со
вторичной отраженной волной в плече /:
404
От От От
[1/1/2] —1/2 1/2
¦О —1/2 —1/2
Результат
0
-1
0
Волна выходит только из плеча 2.
5. Если сместить короткозамыкатель в плече / на расстояние d
¦ к центру узла, то фаза коэффициента отражения в плоскости от-
отсчета плеча / увеличится на 2pd=2if> и Г,=— ei2"\ Тогда суммы
первичной и вторичной волн в плечах 2 и 3- UJ =—0 5(е'2* +1) =
= -ei*cos1|,; ?/3=-0,5(el2*-l)=_ie*sini|>.
Волны, отраженные в плечо 2 и прошедшие в плечо 3, сдвинуты
по фазе на 90°; соотношения их амплитуд можно сделать любы-
любыми. В частности, при d=A/4; -ф = 90°, ?/Г = 0, UT = \. Тройник слу-
служит регулятором проходящей мощности.
СОЕДИНЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ Е
У-т р о й н и к. Как и в предыдущем случае, возможно построение
У-тройников с одинаковыми свойствами всех плеч и тройников с
полным согласованием одного из плеч.
Совсем не обязательно такой тройник должен иметь плечи,
развернутые звездообразно под углом 120°, которые неудобны для
компоновки схемы. На рис. 15.2а показан модифицированный
Согласующий
клин
5) й:
t
-*-
^zc
и;
Рис. 15.2
У-тройник, у которого электрическая симметрия плеч восстанов-
восстановлена при помощи согласующего клина. У-тройнику эквивалентна
схема с последовательным соединением трех линий с ТЕМ-волной
405
(рис. 15.26). В данном случае нагрузкой каждого плеча является
2ZC и поэтому все коэффициенты отражения Г= + 1/3. Модули ос-
остальных элементов матрицы, очевидно, также соответствуют A5.1),
а знаки перед ними легко определяются из рис. 15.2а, б, на которых
стрелками показаны направления Е, принятые за положительные.
При подаче волны в плечо 1 волна в плече 2 противофазна исход-
исходной, а в плече 3 — синфазна с ней. На пути 2—3 фаза не меняет-
меняется. Итак, матрица симметричного волноводного ?-тройника и по-
последовательного соединения трех ТЕМ-линий:
1—2 2
—2 1 2 . A5.3)
2 2 1
?-тройник с согласованным плечом 1 Eц = 0) по-
получается при таком же, как показано на рис. 15.2а, расположении
волноводов, но другом согласующем устройстве. Из симметрии
устройства очевидно, что модули элементов его матрицы должны
соответствовать A5.2). Их знаки совпадают со знаками матрицы
A5.3). Тогда матрица принимает вид:
-V2
О
-Y*
. V2
V2
1
1
A5.4)
Легко проверить, что все полученные матрицы симметричны
и унитарны.
СИММЕТРИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Симметрирующее устройство представляет собой узел, делящий
волну, поступающую в плечо 1, на равные по амплитуде и проти-
противофазные волны в плечах 2 и 3. Следовательно, ?-тройник явля-
является симметрирующим устройством, а A5.4) — матрица симмет-
симметрирующего устройства. Симметрирующие устройства широко ис-
используются для перехода от коаксиальной линии (несимметричной)
к двухпроводной (симметричной), двум коаксиальным линиям'или
к симметричной вибраторной антенне.
Симметрирующее устройство с четвертьвол-
четвертьволновым ш л е йф ом (рис. 15.3) соединяет коаксиальную линию
с характеристическим сопротивлением Z, и две коаксиальные ли-
линии с характеристическими сопротивлениями Zz=Z3 или экраниро-
экранированную двухпроводную с характеристическим сопротивлением
ZAb=Z2+Z3=2Z2. Экран не является обязательной принадлежно-
принадлежностью этого устройства.
Наружный проводник коаксиальной линии присоединен в точ-
точке Ц к линии 2, а внутренний — к линии 3, что обеспечивает про-
тивофазность волн в этих плечах. Для того чтобы в точке присое-
406
динения не было отражения, необходимо равенство волновых со-
сопротивлений Zl = Zдв=Z2+Zз. Проводники А и В, замкнутые меж-
между собой регулируемой перемычкой на расстоянии Х/4, образуют
шлейф, входное сопротивление которого в точке Ц на расчетной
частоте весьма велико и не нарушает согласования. Точка О сим-
симметрична относительно обоих проводов и может быть заземлена,
что гарантирует равенство их потенциалов относительно земли.
• А А 'А
4
Экран
Рис. 15.3
С помощью матрицы A5.4) легко показать, что согласована не
только коаксиальная линия 1, но и двухпроводная 2—3, так как
при подаче в плечи 2 и 3 противофазных волн (]f =—0t = \ выхо-
выходящая волна имеется только в плече 1.
Щелевое симметрирующее устройство (рис. 15.4)
основано на том же принципе, что и предыдущее, но более ком-
компактно. Оно состоит из трех коаксиальных проводников: внутрен-
внутреннего, являющегося продолжением внутреннего провода коаксиаль-
в)
I d
Рис. 15.4
ного входа 1 (А); промежуточного, разрезанного на две части
продольными щелями длиной Я/4 (В); наружного, представляюще-
представляющего собой общий экран (С). Проводник 2 присоединен к левой вет-
ветви В, которая в этой же точке .присоединена перемычкой к A, a
проводник 3 — к правой ветви В. Волна из провода / переходит
в правую полукоаксиальную линию между А и В (левая коротко-
407
замкнутая половина имеет в сечении F бесконечное входное сопро-
сопротивление) и затем разделяется в противофазе между плечами 2
и 3. Полукоаксиальные линии между В и С замкнуты в сечении F
и имеют бесконечное сопротивление в сечении 2—3.
Симметрирующее устройство может служить одновременно чет-
четвертьволновым трансформатором сопротивлений, так что Zx и
Z2 = Z3 выбираются произвольно. Для этого, согласно ф-ле A4.34),
необходимо, чтобы Zi=\^Zi(Z2+Z3). Заметим, что Z4 — характе-
характеристическое сопротивление полукоаксиальной линии, поэтому оно
з два раза больше, чем у полной коаксиальной линии с теми же
размерами проводников [ф-ла A0.18)], так как ее распределенная
емкость в два раза меньше. Щелевые симметрирующие устройства
используются в фидерных трактах передающих телевизионных и
укв станций.
15.2. Четырехплечие соединения. Направленные
ответвители
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим произвольный четырехплечий узел (рис. 15.5). Пусть
/—2 его основной тракт, а 3—4 вторичный.
Согласованный узел, ответвляющий заданную часть мощности
волны, проходящей по основному тракту, называется направлен-
о)
S)
Рис. 15.5
ным ответвителем, если в зависимости от направления передачи
по основному тракту (из 1-го во 2-й или наоборот) волна проходит
лишь в одно из плеч вторичного тракта {3 или 4). Идея устрой-
устройства направленного ответвителя впервые была высказана в 1940 г.
советскими учеными А. А. Пистолькорсом и М. С. Нейманом.
108
В зависимости от величины связи вторичного тракта с основ-
основным различают:
— направленные ответвители со слабой связью, ответвляющие
незначительную долю мощности; такие ответвители широко при-
применяются в измерительной технике;
— мосты, ответвляющие точно половину мощности, т. е. деля-
делящие поступающий сигнал пополам;
— направленные ответвители с полной связью, передающие всю
мощность в одно из плеч вторичного тракта.
Рассмотрим матрицу рассеяния четырехплечего взаимного уз-
узла без потерь, симметричного относительно плоскостей А и В (рис.
15.5а). Предполагается полная конструктивная симметрия, вклю-
включающая устройства связи между волноводами. Очевидно, что мат-
матрица такого устройства симметрична относительно четырех плеч
узла, она не меняется при изменении нумерации плеч, симметрич-
симметричной относительно А и В. Поэтому она состоит лишь из четырех
неодинаковых элементов:
Г Б Д Л
Б Г Л Д
Д Л Г Б
Л Д Б Г
A5.5)
Теорема. Если симметричный четырехплечий узел согласо-
согласован, т. е. отсутствуют отраженные волны (Г=5ьь = 0), то он пред-
представляет собой направленный ответвитель [2].
Используя свойства унитарности матрицы [S], напишем четыре
элемента произведения [5][5]* при Г = 0: |Б|2+ |ДР+ \Л\2= 1;
ДЛ* + ЛД* = ДЛ* + (ДЛ*)* = 2Re( ДЛ*) = 0; БЛ* + Л Б* =
= 2Яе(БЛ*) = 0; БД* + ДБ* = 2Яе(БД*) = 0; Яе(ДЛ*) может
равняться нулю в двух случаях: либо элементы Д и Л взаимно пер-
перпендикулярны на комплексной плоскости, либо один из них равен
нулю. Аналогичными свойствами обладают пары Б и Л, Б и Д.
Поскольку три элемента Б, Д и Л не могут быть взаимно перпен-
перпендикулярны на комплексной плоскости, хотя бы один из них должен
быть равен нулю. Однако равенство нулю любого из этих элемен-
элементов означает, что узел представляет собой направленный ответви-
ответвитель. Теорема доказана.
Итак, кроме Г = 0, еще один (в принципе любой) элемент ра-
равен нулю. Если считать, что /—2 основной тракт, то БфО. Пред-
Предположим, что Л=0 и сигнал из первого плеча ответвляется в
третье (ДФ0). Тогда |?|2+|Д|2=1; Arg ?-Arg Д= ±я/2.
Этому соответствуют следующие соотношения для идеального на-
направленного ответвителя: Г = Л = 0; ?=.±icosi|); Д= ±smty. В ча-
частности, для моста \|) = 45° cos \p = sin if) = 1 / У 2.
Каноническая матрица идеального направленного ответвителя
симметричной конструкции содержит два разнородных ненулевых
409
элемента, отличающиеся по фазе на 90е
лей равна 1:
0 + i cos if)
+ i cosif) 0
+ sin if)
сумма квадратов их моду-
A5.6)
0
+ sin if)
+ i cos if)
+ i cos if) 0
предположении, что ин-
+ sin if
0
0
~ГБДЛ
Б Г Л Д
ДЛ Г Б | = | + sirup 0
\_ЛДБг\ |_ 0 + sirup
Аналогичный результат получается в „г_„ , ..„ „..
дикация волны, бегущей в направлении /—2, осуществляется в
плече 4. Тогда Д = Г = 0; ?=±i cosif); </7=±sinif), этими свойства-
свойствами обладает противонаправленный ответвитель.
Основные параметры направленного ответви-
теля — переходное ослабление С и направленность D. Обычно
они измеряются в децибелах.
Переходное ослабление равно отношению мощностей: поступа-
поступающей в ответвитель и ответвленной; с учетом матрицы A5.5)
С = 101g-
Г~У 20 lg |Д| =—20 lg sin i|j, дБ A5.7)
и.
\Д\ =0,707; переходное
Например, для моста ЯОТВ = 0,5ЯП
ослабление С = 3 дБ.
Реальный ответвитель не может быть полностью согласован в
полосе частот. Он имеет малый, но не равный нулю коэффициент
отражения ГфО. Выходящие волны в плечах узла взаимозависи-
взаимозависимы [см., например, ф-лы A3.22)] и можно при весьма общих пред-
предположениях доказать, что в A5.6) Г = Л [2].
Наряду с отражением, часть мощности ответвляется в нежела-
нежелательном направлении, что несколько нарушает функции устрой-
устройства.
Направленность равна отношению ответвляемых мощностей: в
заданное плечо и в противоположное ему плечо вторичного тракта
(рис. 15.5), т. е.
D= 10 lg
' отв. пр
р
отв.обр
= 201g
= 201g
ДБ.
A5.8)
Между входным согласованием и направленностью существует
простая связь, так как Г=Л; идеальные направленность и согла-'
сование достигаются только одновременно, на одних и тех часто-
частотах. Элементы Г и Л обычно весьма малы, поэтому соотношения
A5.6) между Б и Д выполняются приближенно и в неидеальных
ответвителях.
ДВОЙНОЙ ТРОЙНИКОВЫЙ МОС?
Соединение в одном месте сразу четырех волноводных плеч явля-
является специфичной конструкцией, которая может служить только
мостом.
4,10
Е-плечо
Двойной тройник (рис. 15.6а) конструктивно объединяет
Е и Я-тройники; плоскость симметрии (ПС) проходит через оси Е
и //-плеч (/ и 4). Боковые плечи 2 и 3 расположены симметрично.
Волна из плеча /, как и в ?-тройнике, поступает в плечи 2 и 3
в противофазе (рис. 15.26), т. е. электрическое поле в прямом вол-
волноводе 2—3 антисимметрично относительно ПС. Оно не может
возбудить волны в плече 4, у ко-
которой поле Е должно быть сим-
симметрично относительно ПС. Сле-
Следовательно, плечи 1 и 4 взаимно
развязаны: 5i4=S4i = 0.
Согласуем плечи / и 4. Для
этого в плечо / поместим диаф-
диафрагму, компенсирующую отраже-
отражение от места стыка; в результате
получим Sn = 0. Для согласования
плеча 4 служит штырь, также со-
создающий компенсирующую волну
нужной амплитуды и фазы, что-
Рис. 15.6
бы S44=0. Оба согласующих элемента действуют независимо, так
как штырь перпендикулярен полю волны, распространяющейся из
плеча /; а волна из плеча 4 не попадает в плечо 1, где установлена
диафрагма. Из геометрии соединения и по аналогии с ф-лами
A5.2) и A5.4) очевидно, что S31 = —52i = ? и 5'24=534=Д. Учтем
симметрию матрицы, определяемую взаимностью узла:
- О —Б Б О'
—Б Г Л Д
Б Л Г Д
_ о д д о.
Из унитарности матрицы следует, что 2|?|2=1 и 2|Д|2=1, т.е.
411
1
V2
- о
— 1
1
0
—1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
п
Далее, для второй строки |?|2+|Г|2+|,/7|2+|Д|2=1 или пос-
после подстановки известных значений Б и Д \Г\2+\Л\2=0, т. е.
Г = Л = 0. Достаточно согласовать плечи 1 и 4 двойного тройника,
чтобы обеспечить согласование плеч 2 и 3 (Т = 0) и их взаимную
развязку (,/7 = 0). В окончательном виде для согласованного двой-
двойного тройника
A5.9)
Заметим, что ненулевые элементы в A5.9) слева и сверху от
неосновной диагонали соответствуют элементам ?-тройника, а
снизу и справа — элементам Я-трой-
ника (с заменой номеров плеч / на 4).
Отличие матрицы A5.9) от канониче-
канонической A5.6) объясняется тем, что пле-
_ __ чи / и 4 расположены несимметрично.
I z3 —^-— —-i-— zx Однако это меняет только фазы неко-
1——J F ,.i 7^ L_—I торых элементов матрицы.
На рис. 15.66 показана модифика-
модификация двойного тройника с плечами 2
и 3, сложенными вилкой в плоскости
Я. Узел с теми же характеристиками,
показанный на рис. 15.6в, выполнен из
трех коаксиальных линий и прямо-
прямоугольного волновода; из его геометрии
очевидно, что вол«а из 4 делится между гплечами 2 и 3- синфаз-
но, а из плеча / — противофазно; плечи / и 4 взаимно развязаны.
Двойной тройник в качестве схемы сравне-
сравнения. На рис. 15.7 показано устройство для измерения полных со-
сопротивлений двух нагрузок. Генератор включен в плечо 4. Соглас-
Согласно A5.9) волны попадают в плечи 2 и 3: (]7='Щ= A/ У2) (]f
Вторичные волны, отраженные от эталонной и измеряемой нагру-
нагрузок l)fBT=r3U^; 0звт=Гх0з~ , распределяются между плечами /
и 4: Ош = (Ц У 2) {-Ut,, + UL ) = A/2) (Гх-Г3) Of; Ош =
= A/1/2) (O&r+O&r) = A/2) (Гх+Гэ) Ut. Итак, сигнал ,в детекторе,
находящемся в плече /, пропорционален разности (Гх—Гэ), т. е.
отраженные от нагрузок сигналы сравниваются по амплитуде и
фазе. При ZX = Z3 равны также Гх и Г3; волна в плечо / не посту-
поступает.
Таким же образом можно сравнивать по фазе и амплитуде сиг-
сигналы Ut и U'f, выработанные в других узлах тракта. В этом слу-
случае в плечо 4 устанавливается поглощающая нагрузка. Заметим,
что в тех же целях может быть использован мост любой другой
конструкции.
¦412
*»ис. 15.7
JA/4
ОТВЕТВИТЕЛИ С ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫМИ СЕКЦИЯМИ
Коаксиальный кольцевой мост. Кольцевые мосты (гиб-
(гибридное кольцо) строятся на волноводах и коаксиальных линиях;
они состоят из четырех тройниковых разветвлений, соединенных
секциями волновода или линии
длиной, кратной Л/4. Мосты
используют трансформирующие
свойства четвертьволновых линий
и поэтому чувствительны к изме-
изменению частоты.
Кольцевой мост длиной 1,5Л,
выполненный на секциях коакси-
коаксиальных линий, показан на рис.
15.8. Он имеет одну плоскость
симметрии А, как и двойной трой-
тройник. Прохождению волной каж-
каждой четвертьволновой секции со-
соответствует уменьшение ее фазы
на 90°. С учетом этого по анало-
аналогии с A5.9) запишем следующую
матрицу для кольцевого моста при плоскостях отсчета в точках
ветвления:
" 0
j
1
0
Рис. 15.8
— 1
0
о
1
1
0
0
1
A5.10)
Докажем справедливость матрицы A5.10). При параллельном
соединении линий удобнее оперировать с их характеристическими
проводимостями: Yc — для всех плеч, Уск — для кольца. Пусть вол-
волна входит в плечо /. Плечи 4 и / предполагаются развязанными.
Режим в узле не изменится, если замкнуть накоротко плечо 4, что
приведет к нулевой проводимости в точках 2 и 3 на входе секций
2—4 и 3—4. Отрезки /—2 и /—3 нагружены на концах проводи-
проводимостями Yc. Входная проводимость четвертьволновой секции /—3
со стороны плеча / Yf) = Y\K /Yc. Так же преобразует проводимо-
проводимости секция длиной ЗЯ/4: Y\2) = Y\K jYc. Плечо / считается согласо-
согласованным при условии, что суммарная проводимость в точке ветвле-
ветвления равна характеристической проводимости плеча: Y\ = Yf^Jr
+ Y\V=2Y$/yc=Yc. Отсюда YCK=YJV2~. Напряжения в точках 2
и 3 находятся в противофазе, так как длина пути 1—2 на К/2 боль-
больше, чем пути /—3. В этом случае очевидно, что в середине полу-
полуволновой секции 2—3 (в сечении 4) находится узел напряжения
независимо от того, замкнута она или нет. В любом случае волна
в плечо 4 не попадает, U~=0 и S4i=5h = 0, т. е. первоначальное
Ф13
предположение оказалось верным. Аналогично доказывается спра-
справедливость остальных элементов матрицы A5.10).
Волноводный кольцевой мост (рис. 15.9а) реали-
реализуется на тройниках в плоскости Е, которые при соответствующей
настройке эквивалентны последовательному соединению двухпро-
двухпроводных линий {ф-ла A5.3)]. В этом случае соотношение, аналогич-
аналогичное полученному для коаксиального кольцевого моста, справедли-
справедливо для характеристического сопротивления кольца ZCK = Zc/j/2.
Тогда, согласно ф-ле A3.8), при равных а и Л в кольце и плечах,
высота волновода кольца bK=bl\r2.
Матрица A5.10) справедлива только для расчетной частоты /0-
На других частотах фазовые соотношения на отрезках кольца, осо-
JL
2
4 ,.
А/й
в это плечо попадает незначительная мощность. При выходе из
строя одного из передатчиков мощность оставшегося передатчика
делится пополам между антенной и нагрузкой, в результате чего
мощность в антенне падает в четыре раза по сравнению с перво-
Рис. 15.9
бенно в секции длиной ЗЛ/4, нару-
нарушаются. Согласование, развязка
плеч, деление мощности ухудшают-
ухудшаются при удалении f от f0. Полоса ча-
частот, в которой параметры кольце-
кольцевого моста удовлетворительны, не
превышает ±10% от расчетной.
В симметричных двухпроводных линиях изменение фазы на
180° достигается простым перекрещиванием проводников (скруткой
на 180°). Кольцевой мост на симметричных линиях (рис. 15.96)
имеет укороченную до Я/4 перекрещенную секцию 1—2; благодаря
этому он удовлетворительно работает в двухкратном диапазоне
частот.
Кольцевой мост используется для сложения равных мощностей
двух передатчиков при условии, что их выходные напряжения рав-
равны и синфазны (рис. 15.9в). Если передатчики включены в пле-
плечи 1 и 4 Ut=U+4^Uo, то Щ= — i(—Щ + ?#)//2 = 0; ОГ ='
= —i(Ut + Ot)lV~2 =—i Uo ]/2. Антенна (А) включается в пле-
плечо 3. Мост обеспечивает также взаимную развязку передатчиков.
Плечо 2 заканчивается согласованной нагрузкой Н\. при неболь-
небольшом нарушении синфазности либо равенства амплитуд Ot и Of
414
А/4
rmrr
Ус
A
1
Рис. 15.10
Уса
Уса
У"
Li
& d
начальной. Для этого случая в схемах
передатчиков предусматривается воз-
возможность подключения работающего
передатчика непосредственно к антен-
антенне (в обход моста).
Квадратный мост и нап-
направленный ответвитель. Свой-
Свойства узла, показанного на рис. 15.10 в
коаксиальном исполнении, определя-
определяются выбором характеристических про-
водимостей его четвертьволновых сек-
секций. В общем случае эта схема с двумя
шлейфами является согласованным направленным ответвителем.
Если характеристические проводимости противолежащих отрез-
отрезков одинаковы, узел симметричен относительно плоскостей А и В
и его матрица соответствует A5.6). На длине Я/4 волна отстает по
фазе на 90°: е~190 =—i. Поэтому значения элементов матрицы
A5.6) должны быть Б = —i cos if; Д=—sin if:
A5.11)
Найдем связь элементов матрицы с характеристическими про-
водимостями Ус, Yca, Ycb- Пусть волна поступает в плечо 1. Пред-
Предположим в соответствии с A5.11), что плечи 1 и 4 развязаны.
Замкнем накоротко плечо 4, что не должно изменить работы узла.
Тогда входные проводимости секций 1—4 и 3—4 станут равными
нулю и можно исключить их пока из рассмотрения.
Проводимость Ус плеча 3 преобразуется четвертьволновой сек-
секцией 3—2 в проводимость Y'2 = YC2B /Ус в точке 2. Мощность волны,
распространяющейся из плеча 1 по секции /—2, согласно A5.11),
делится в отношении |#|2/|/>|2=sin2if/cos2i|) = tg2if. Эта величина
.равна отношению входных проводимостей секции 2—3 с плечом 3
и плеча 2, т. е. | Д|2/|Б|2= у;/УС = У/В/ГС2. Отсюда ycB = yctgif.
Нагрузкой секции /—2 является суммарная проводимость в
точке 2: Y2=YC+ Y'2=YC+ Усtg2i|)=ycsec2i|> = yc/cos2i|). Проводи-
Проводимость входа этой секции Y\ = Y2cAIY2=Y^A cos2ty/Yc. Для согласова-
согласования плеча 1 необходимо У1 = Ус, т. е. YcA = Ус/cos i|).
Проверим правильность первоначального предположения о
взаимной развязке плеч 4 и 1. Для этого необходимо доказать, что
ток короткого замыкания i* в точке 4 равен нулю. Представим его
415
0
— i cos if
— sin if
0
— i cos if
0
0
— sinib
— sin
0
0
— ico
if
sib
0
— sinif
— i cos if
0
как сумму таков, создаваемых в 1—4 и 3—4: г4=г4и +г<3>. Напря-
Напряжения в точках / и 3 с одинаковыми проводимостями Ус пропор-
пропорциональны нормированным амплитудам волн, бегущих по этим
плечам: u3/u\ = U3 IU\ =—sin -ф. В любой линии ток в пучности
равен напряжению в пучности, умноженному на характеристиче-
характеристическую проводимость, т. е. i[3)/i\l) =u3 YcA/(ui YcB) = —1. Следователь-
Следовательно, r<3> = —i4'> и ток короткого замыкания г'4 = 0. Поэтому в данной
точке находится узел напряжения и f/i" = 0 при любом сопротив-
сопротивлении нагрузки в плече 4.
Итак, схема рис. 15.10 является идеальным направленным от-
ветвителем на частоте, соответствующей четвертьволновой длине
всех отрезков. Для узла с параллельно включенными шлейфами
i! разветвлениями в плоскости Н должны выполняться соотноше-
соотношения:
. A5.12)
Это соединение служит мостом, если \Д\=\/ \2\ о|> = 45°. Тог-
Тогда проводимости его плеч Yca=YcV\ YC3=Yc. При последователь-
последовательном включении двухпроводных линий или ?-тройниках в точках
ветвления соотношения вида A5.12) относятся к характеристиче-
характеристическим сопротивлениям: ZcA = Zc/'cos<i|>; ZcB=Zctgty. Полоса частот
квадратного ответвителя относи- ?
тельно мала: ±5% при Г = «/7^0,1
[28].
Мост для питания двух
антенн со сдвигом по
фазе на 90° (рис. 15.11). Рав-
ноамплитудное возбуждение двух
Рис. 15.11
Рас 15.12
антенн с фазовым сдвигом 90° обеспечивает круговую поляризацию
их излучения или вращение диаграммы направленности. Волна от
передатчика поступает в плечо /. Тогда волны, распространяющие-
распространяющиеся к антеннам, U7=—i/\/~2; ОТ =—1/ V~2. Если антенны не сог-
416
?ласованы с фидером и имеют равные коэффициенты отражения
Г2=Г3=Га, то вторичные волны 0t = —i Га/ V~2 и Ot =—Га/}/2
распределяются следующим образом: UT— (—Г а/У 2) (—\/у2) +
+ (—i Га/ У~2) (—i/ 1/2) = 0; UV= (—ГА/ /2) (—i/ l/2) + (—i X
XГА/У2) (—1/1/2) =iГА. В генератор отраженная волна (эхо}
не попадает, она полностью поглощается в нагрузке. Такое устрой-
устройство служит также эхопоглотителем.
Если включить в этот же мост вместо нагрузки второй передат-
передатчик Of, то волны, поступающие к антеннам, определятся как
0^= — (\U\ +Ut)/ У2 и ОТ = — {0t + \0t)l 1/2. Сигнал от пе-
передатчика / придет в антенну 2 с опережением на 90° по сравне-
сравнению с антенной 3. Сигнал от передатчика 4, наоборот, оказывается
опережающим в антенне 3. Антенны в таком устройстве должны
быть хорошо согласованы с фидером, так как отраженные волны
возвращаются к передатчикам.
Щелевой коаксиальный мост также построен п©
принципу соединения тройников четвертьволновыми отрезками ли-
линий. Такое построение позволяет получить компактную конструк-
конструкцию даже на метровых волнах, что выгодно отличает щелевой
мост от квадратного и кольцевого. Щелевой коаксиальный мост
(рис. 15.12) можно рассматривать как развитие щелевого симмет-
симметрирующего устройства (рис. 15.4). Плечи 1, 2 и 3 остаются неиз-
неизменными, что дает основание заимствовать первый столбец н пер-
первую строку из матрицы симметрирующего устройства A5.2). Вол-
Волны из плеча 4 попадают в плечи 2 и 3 в фазе, пройдя четверть-
четвертьволновые секции (что соответствует уменьшению фазы на 90°).
Следорателыю, матрица согласованного щелевого моста имеет вид
0—1 1 0
—1 0 0 —i
1 0 0 — i
0 —i —i 0
A5.13)
Отметим сходство в пространственной структуре щелевого ко-
коаксиального моста и двойного тройника (рис. 15.6). В частности,
оба узла имеют одну плоскость симметрии, проходящую через пле-
плечи/и 4. Матрица A5.13) отличается от A5.9) только фазовыми
соотношениями в плече 4.
Для согласования плеч моста нужно выбрать соответствующие
характеристические сопротивления его секций. Плечо / через два
четвертьволновых отрезка нагружено на последовательное соедн-
ние Z2 + Zz=2Z2. Следовательно, характеристические сопротивле-
сопротивления коаксиальной Z5 и полукоаксиальной Z6 линий следует выбрать
так, чтобы создать двухступенчатый переход (биномиальный или
чебышевский) между Z1 и 2Z2. Для плеча 4 нагрузки Z2 и 2S вклю-
включены параллельно. Следовательно, четвертьволновый трансформа-
трансформатор между ними должен иметь характеристическое сопротивление
14-2 417
Zt— VZ4-0,5Z2. Для получения широкополосного согласования в
плечо 4, как и в плечо /, можно включить дополнительно одну или
несколько четвертьволновых секций, изменив соответственно вели-
величины Z5, Z6, Z7.
Сложение мощностей двух передатчиков с
поглощением эхо-сигнала. Все мосты имеют одинаковые
свойства, и приведенные выше примеры их применения в равной
степени относятся к мосту любой конструкции. В частности, щеле-
щелевой коаксиальный мост позволяет получить сдвиг фаз на 90° при
питании двух антенн от одного или двух передатчиков. Возможно
сложение равных мощностей двух сфазированных передатчиков.
Рассмотрим интересный вариант этого устройства с поглоще-
поглощением эхо-сигнала. К плечам / и 4 подключаются два передатчика:
Ut=Uo\ Ot =—i Uo. Нужный сдвиг по фазе обеспечивается в схе-
схеме возбудителя, общего для обоих передатчиков. В плечо 2 вклю-
включена антенна, в плечо 3 — согласованная балластная нагрузка.
Тогда согласно A5.13): Uf =[— Uo—i(—i C/o)]/"K2 =—Uo V
()l
Пусть Га — коэффициент отражения от антенны (с учетом
затухания фидера), а Гп — коэффициент отражения от каждого из
передатчиков. Сигнал, отраженный от антенны, Of=rAUJ ==
=—Г\11о\^2. По ф-ле A5.12) ко входам передатчиков придут сиг-
сигналы ОТ = — OtlV~2 = rAU0; ОГ = — lUtlV2 = irA09. Вторично
отраженные от передатчиков сигналы Uw =ГпО~Г = ГА.Гпи0;
Wto, =ГаиГ = [ГАГаи0 снова распределятся согласно ф-ле A5.13):
ОТ* = (- OtBr - i Utsr) I /2" = 0;
0Тп = @fm - i 0tm) /V2=rA Га Uo У 2.
Итак, эхо-сигнал попадает только в балластную нагрузку. При
отсутствии моста-эхопоглотителя дважды отраженный сигнал по-
поступит в антенну и иаказит передаваемую информацию.
НАПРАВЛЕННЫЕ ОТВЕТВИТЕЛИ С ОТВЕРСТИЯМИ СВЯЗИ
Направленное ответвление часто осуществляется при помощи одно-
одного, двух или ряда отверстий в общей стенке двух волноводов. Ха-
Характеристики такого устройства зависят от свойств каждого от-
отверстия (см. параграф 13.8), а также от их взаимного располо-
расположения и величины. Элементы матрицы A5.6) для одного отвер-
отверстия связи определяются ф-лами A3.22) с учетом обозначений:
r^UTlOt; Д. =\UTlOt; Л, = UT/Ot.
Направленный ответвитель с двумя отвер-
отверстиями. Рассмотрим два идентичных прямоугольных волновода
с волной типа #ю, связанных между собой двумя круглыми отвер-
отверстиями диаметром d0 в узкой стенке (рис. 15.13); толщина стенки
416
"мала. Согласно ф-лам (9.24) и (9.29), у этой стенки имеется толь-
только одна составляющая поля с нормированным значением Щ =
= Я»=[2Р^2/(иЦараЬ)]0'5. Положив //?=//», найдем из A3.22), что
при связи через одно отверстие три элемента матрицы равны меж-
между собой, т. е. волна ответвляется ненаправленно:
6). A5.14)
Для направленного ответвления необходимо второе отверстие
такого же размера на расстоянии / = Ло/4 от первого. Падающая
волна возбуждает это отверстие с от-
отставанием по фазе на if> = (л/2) A + v/2), м/ммиим/мшуммгавв
где v = 2Ap/po — относительная рас-
расстройка [ф-лы A4.35) и A4.36)]. На
расчетной частоте /0 разность фаз ф
составляет 90°.
Вторичные волны в направлении 3
складываются в фазе, так как волна
из отверстия /, пройдя дополнительное
расстояние /, также отстает по фазе
на угол 1|з. Длина пути волн, распро- Рис. 15.13
страняющихся из плеча 1 в 3 через
любое из отверстий, одинакова. Поэтому величина Д и переходное
ослабление С [ф-ла A5.7)] постоянны в диапазоне частот:
Д = Дх +Д2 = i я
С№] =
20 lg |Д|. A5.15)
В направлениях 1 а 4 вторичная волна из отверстия 2 прохо-
проходит больший путь (на величину /). Суммарное отставание по фазе
этой волны от волны, проходящей через отверстие /, составляет
2if) = jt(l +v/2). С учетом ф-лы A4.41)
Г = Л = 2Г, cos 1|з = — 2Г, sin(nv/4) = — 2Г, t/(v). A5.16)
Полная компенсация вторичных волн в плечах 1 к 4, Г=Л = 0, воз-
возможна лишь три f=fo, когда 2\|з = л) v=0, y=0.
Направленный ответвитель со многими отвер-
отверстиями (рис. 15.14). Рассмотрим ответвитель с («+1) отвер-
отверстиями связи, размеры которых различны и характеризуются ко-
коэффициентами связи Гт=Дт=Лт (ф-ла A5.14)].
Существует очевидная аналогия между свойствами направлен-
направленного ответвителя с несколькими элементами связи, расположенны-
Рис. 15.14
14»
410
ии с интервалом / = Л0/4, и ступенчатого перехода, длина каждой
ступеньки которого / = Л0/4. В обоих случаях коэффициент отраже-
отражения Г (а также элемент Л для направленного ответвителя) опре-
определяются суммой волн, отраженных от всех нерегулярностей.
Поэтому соотношения для F(f) многоступенчатого перехода
справедливы для элементов F(f)=JI(f) матрицы многодырочного
направленного ответвителя, если коэффициенты связи Гт = Дт =
=Лт. т-го отверстия выбраны равными коэффициентам отраже-
отражения от т-п ступени перехода (причем они не должны быть вели-
велики). Как и в переходе, значения Гт неодинаковы и уменьшаются
к концам ответвителя.
Волны, прошедшие в плечо 3, всегда складываются в фазе. По-
Поэтому соответствующий элемент Д матрицы направленного ответ-
ответвителя аналогичен логарифмическому перепаду сопротивлений пе-
перехода Af [ф-ла A4.38)]:
A5.17)
т=0
где |Д| = Ю~е/2°; С измеряется в децибелах.
Направленные ответвители, как и переходы, строятся с мак-
максимально плоской и чебышевской частотными характеристиками.
Поэтому в соответствии с ф-лами A4.43), A4.46) — A4.50) их ко-
коэффициенты отражения и направленности в диапазоне частот оп-
определяются соотношениями:
= Д (—у)" или
A5.18)
)() Д
' п О'Уп)
При других законах распределения Гт по длине ответвителя
для расчета Г(\)=Л(\) используется общая ф-ла A4.39). Для
увеличения связи, т. е. величины коэффициента Д, необходимо уве-
увеличить число или размеры отверстий. Чтобы уменьшить нежела-
нежелательные взаимные связи между отверстиями, их иногда распола-
располагают в шахматном порядке, по обе стороны от осевой линии общей
волноводной стенки. Ответвитель со многими отверстиями при
С=3 дБ является мостом с широкой полосой согласования.
Многодырочный направленный ответвитель с полной связью
используется в качестве преобразователя типов волн. Отверстия
делают в общей стенке двух ,разных по форме (или расположе-
расположению) волноводов. Необходимо выполнение двух условий: сход-
сходство магнитных либо электрических полей волн в обоих волново-
волноводах вдоль ряда отверстий и равенство фазовых скоростей этих
волн. Примером служит преобразователь волны типа #ш в прямо;
угольном волноводе в волну типа Нох в круглом. Прямоугольный
волновод соединен с круглым узкой стенкой; у отверстий связи
ноля обеих волн имеют одинаковые составляющие Hz. Равенство
фазовых скоростей обеспечивается выбором таких размеров попе-
поперечного сечения прямоугольного и круглого волноводов, чтобы /кр
нужных типов волн были одинаковы.
400
7
Ус
Ус
YCBI
Уса
Уса
Уса
Ус82
Уса
1
Ус
Усв1
Ус
Рис. 15.15
Направленный ответвнтель иногда выполняют с узкой щелью
связи постоянной ширины. Тогда он эквивалентен плавному экспо-
экспоненциальному переходу и имеет неоптимальные частотные харак-
характеристики, значительно уступающие ответвителю той же длины с
рядом оптимально выбранных отверстий.
Многошлейфный направленный ответвитель.
Квадратный ответвитель (рис. 15.10) аналогичен ответвителю с
двумя отверстиями (рис. 15.13). Для увеличения рабочей полосы
частот две линии можно соединить несколькими шлейфами. Хотя
конструкция со шлейфами сложнее, чем с отверстиями, она позво-
позволяет снизить переходное ослабление
при небольшом числе шлейфов.
Расчет многошлейфного узла в
общем случае довольно сложен. При
малом коэффициенте связи каждо-
каждого шлейфа Дт<с1 можно использо-
использовать аналогию двухшлейфного и
двухдырочного ответвителей, поло-
положив в ф-лах A5.12) Дт=0,5Д=
= 0,5sinxp; YCAm=Yc и YcBm= Yctgip«*2УсДт. Дальнейший расчет
ведется, как и в случае ответвителя со многими отверстиями.
Трехшлейфный ответвитель с параллельным соединением шлей-
шлейфов к линии (рис. 15.15) можно представить как два последова-
тельносоединенных двухшлейфных с элементами матрицы ?i =
= —icosip и Д\ = —sinrf. Легко видеть, что для узла в целом
Д=2Б\Д\ = '\ъ\ъ.Ъ§. Его параметры_рассчитываются поф-ле A5.12).
В частности, для моста Д=1/У2\ rp=22°30'; УсА = 1,08Ус; YcBl =
= 0,413Ус: УсВ2=2УсВ 1=0,826Ус. Полоса частот такого моста при-
примерно в 3 раза больше, чем квадратного.
Пример. Рассчитаем пятидырочный направленный ответвитель с чебышев-
чебышевской характеристикой при величине переходного ослабления С=20 дБ и пере-
перекрытии по частоте /в//н«1рв/Рв=2.
Ответвитель эквивалентен четырехступенчатому чебышевскому переходу:
п=4. Согласно ф-ле A5.17), М= \Д\ =\Ю~1=0,1- Максимальная нормированная
расстройка vn =,(рв—рн) /Ро = B— 1) /1,5=0,67. По ф-ле A4.41) находим:
yn=s\n (л\п /4) =0,5; ,в соответствии с A4.52) ^i =0,75; ?2=0,688. Коэффициен-
Коэффициенты определяются из модифицированного треугольника Паскаля: [С]4 = 1^м=''
iq' = [C]3 = 4?1=3; [С]\ =,6(?2=4,12. Из ф-лы A4.51) имеем Г0=Г4=Л1/2[С]пт=
= 0,00825. Остальные коэффициенты связи Л=А = 0,О248; Гг=0,0340. Согласно
A4.50), максимальный коэффициент отражения эквивалентного перехода
ГМ = М/ТП A/(/п) =0,1Г4B) =0,1/97=1,03-10~3. Следовательно, направленность от-
ответвителя [ф-ла ,A15.8)] в заданной полосе частот не хуже, чем D = 20\g (М/Гм) =
= 20 lg 97=39,7 дБ.
ОТВЕТВИТЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СВЯЗЬЮ
Система связанных волноводов. Если на участке дли-
длиной I удалить общую стенку между двумя металлическими прямо-
прямоугольными волноводами (рис. 15.16) либо сблизить два диэлектри-
4i21
ческих волновода (рис. 15.17а), то на этом участке образуется си-
система связанных волноводов, в которой могут существовать вол-
волны двух типов. При подаче в плечи 1 и 4 волн равных амплитуд,
синфазных в сечении В, в общем волноводе образуется синфазная
волна. Если фазы волн в плечах 1 и 4 противоположны в сечении
В, то на участке взаимодействия создается антифазная волна.
"агласующип
элемент
\
¦---пу
Фазовые скорости синфазной vc и антифазной иа волн в дис-
дисперсных системах различны. Обозначим соответствующие фазовые
коэффициенты через
Рс = a/vc = ро+Д р; р„ = и/у. = р0 — Д р, A5.19)
где Ро = 0,5(рс+ра); Ар = 0,5(рс—ра).
Величину Др назовем линейным коэффициентом связи. Она ра-
растет при сближении волноводов, изображенных на рис. 15.17, или
с ростом ширины щели между волноводами, показанными на рис.
15.16. В пределе, если щели нет или волноводы расположены очень
далеко друг от друга, электромагнитная связь между ними отсут-
отсутствует и обе волны распространяются на участке ВС со скоростью,
равной фазовой скорости волны в уединенном волноводе. Тогда
ус = Уа и Др=О.
Пусть возбуждено только плечо 1 связанных волноводов, по-
показанных на рис. 15.16—15.17; U~\=>Uo\ U+4 = Q. Представим это
возбуждение суперпозицией синфазной и антифазной волн:
Of =UC + Ua; f>4=t/c—f/a. Тогда в сечении В B=0): ?/с@) =
= f/a@)=0,5t/0.
420
На произвольном расстоянии z от начала участка связи с уче-
учетом ф-л A5.19) получаем
A5.20)
04-з(z) = tfe@) е~' PcZ-f/.(°) е~" " '
= —il/osin(Apz)e-"ipo?
В системе связанных волноводов за счет разности скоростей
синфазной и антифазной волн возникают пространственные бие-
биения. Из рис. 15.176 видно, как изменяются амплитуды волн. Волна
постепенно переходит из одного волновода в другой, а затем об-
обратно. Длина Lo, на которой этот цикл завершается, называется
периодом пространственных биений. Из ф-л A5.20) очевидно, что
) = я; с учетом A5.19) находим
A5.21)
Таким образом, участок связанных волноводов является нап-
направленным ответвителем. Он имеет две плоскости симметрии и
описывается канонической матрицей вида A5.5), если приняты
меры по устранению отражений на концах участка связи. В соот-
соответствии с ф-лами A5.20), имеем
•0 Б Д 0
IS] = e"
0
cosrp
Б 0 0 Д
Д 0 0 Б
_0 Д Б 0
cos гр — i sin гр
0
A5.22)
0 0 — i sin гр
— i sin гр 0 0 cos гр
0 — i sin гр cos гр 0
где \р=Др /=(Рс—Ра)'/2 = nl/1-o.
Так как Лр и Lo зависят от частоты, переходное ослабление от-
ветвителя, определяемое элементом |Д|, меняется в диапазоле
частот. В зависимости от длины участка / схема служит ответви-
ответвителем со слабой, связью (ip<0,2; |Д|л;гр), мостом (/=<Lo/4;
= |Д| =0,707) или ответвителем с полной связью
^ = л/4; |Б| = \Д\ =0,7
(/=-1о/2; t = Jt/2; Б = 0; |Д| )
Этот класс ответвителей реализуется на волноводах, обладаю-
обладающих существенной дисперсией (иначе нельзя получить неравные
скорости vc и уа). В трактах с металлическим прямоугольным вол-
волноводом широко используется щелевой ответвитель. Ожидается
многообразное применение ответвителей с распределенной связью
в диэлектрических волноводных трактах от миллиметрового диа-
диапазона до оптического.
423
Щелевой волноводный ответвитель использует
распределенную связь между двумя прямоугольными волноводами
с волной типа #ю (рис. 15.16) через широкую щель в общей узкой
стенке. Для его нормальной работы необходимо, чтобы на участке
взаимодействия ВС (рис. 15.18) возбуждались и распространялись
две волны: синфазная #i0 и антифазная #20. В то же время волна
Яш в любом из плеч возбуждает ряд волн высших порядков #з0,
#эо и т. д. Поэтому ширину указанного участка волновода выби-
выбирают такой, чтобы волна #3о в рабочем диапазоне частот не рас-
распространялась: ао<1,5Я.
Узел согласован идеально в том случае, если в сечениях В и С
отсутствует отражение синфазных и антифазных волн, возбужден-
возбужденных, например, в плечах 1 и 4. Антифазная волна #20 по своей
структуре соответствует сумме волн 00 и —00 в плечах 1 и 4 (рис.
15.186); отражение в сечении В воз-
возможно из-за уступов на конце об-
общей стенки и при сужении волново-
волновода (если ао<2а). Структура волны
типа #ю на общем участке заметно
отличается от структуры волн #ю в
плечах 1 и 4 (рис. 15.18а), поэтому
в сечениях В и С возбуждается до-
довольно интенсивное реактивное по-
поле. Для согласования ответвителя в
плоскости щели помещают дополни-
дополнительные отражатели синфазной вол-
волны: полусферу в середине участка,
два штыря на расстояниях Л0/4 от
краев щели и т. п. Эти элементы не влияют на антифазную вол-
волку #2о, поле которой в плоскости щели равно нулю. Хорошее согла-
согласование ответвителя можно получить в полосе частот порядка 10%.
Фазовая скорость волны #2о больше, чем волны #ю, так как
№° =2а0, а If =а0. Соответственно фазовые коэффициенты
Рис. 15.18
рс = k Y1 - (Ь/2 а0J;
- {Уай)\
A5.23
что и определяет элементы Б и Д в матрице A5.22) рассматри-
рассматриваемого соединения. При 2гр=(рс—ра)>/=90° узел является волно-
водным щелевым мостом. Этот тип волноводного моста по ком-
компактности, простоте конструкции и удобству включения в волно-
волноводный тракт превосходит другие типы волноводных мостов.
ПРОТИВОНАПРАВЛЕННЫЕ ОТВЕТВИТЕЛИ
Связанные линии с волной ТЕМ образуют трех- или
четырехпроводную систему, в которой также возможно существо-
существование синфазной и антифазной волн с различной структурой- поля
424
в поперечной плоскости (рис. 15.19). Фазовая скорость в ТЕМ-ли-
ниях определяется параметрами диэлектрической среды и не за-
зависит от конфигурации проводников. Поэтому vc = va, Aa = 0 и яв-
явления, описанные в 15.5, не возникают.
Сширазная Волна
Ашгищцкшов
Шна
X
Рис. 15.19
Однако и в этом случае появляется ответвленная волна, кото-
которая является результатом совместного действия электрического и
магнитного полей волны в основной линии на вторичный тракт.
Пусть на рис. -15.19 возбуждена только левая полосковая линия,
Рис. 15.20
что соответствует суперпозиции синфазной и антифазной волн в
системе. Поле синфазной волны осуществляет магнитное взаимо-
взаимодействие двух линий, часть магнитного поля охватывает оба цент-
центральных проводника и индуцирует во вторичной линии ток обрат-
обратного направления. Через поле антифазной волны происходит элек-
электрическое взаимодействие. Часть электрического поля соединяет
центральные проводники и создает на второй линии напряжение
того же знака, что и на первой. В результате во второй линии соз-
создается волна, бегущая в обратном направлении. Поэтому такой
ответвитель называется противонаправленным. Примечательно,
что он обладает идеальной направленностью на любой частоте.
Емкости внутренних проводников относительно экранов при
синфазной и антифазной структурах поля различны; они рассчи-
рассчитываются методами электростатики. Соответственно характеристи-
характеристические сопротивления Z\ синфазной и Z* антифазной волн отли-
отличаются по-величине. Соотношения для их расчета при разных кон-
конфигурациях внутренних проводников в полосковых линиях приве-
приведены в [22].
425
На рис. 15.20 показан участок связанных линий длиной / (верх-
(верхняя экранирующая пластина снята). Во всех плечах включены
одинаковые сопротивления нагрузки Zq. Подачу волны Ot = Uo в
плечо 1 представим в виде суммы равных по амплитуде синфаз-
синфазной и антифазной волн: ?/с' =<Ot=O,5Uo. Тогда в плече 1 ?/1*"=
ut + ut
t + t
Коэффициенты отражения от конца линии для синфазной и ан-
антифазной волн, согласно (8.54), определяются соотношениями:
A5.24)
Волна, отраженная в плечо 1,
-i2fU = 0,5U0 (Гс + Га) е~! 2 р' .
При Гс + Га = 0 отраженная волна отсутствует @\=0) и это пле-
плечо согласовано. Из ф-л A5.24) получаем условие согласования:
Z,= ]/^Z», A5.25)
которое в равной степени можно отнести к любому из плеч.
Рассмотрим режим в каждой линии отдельно для синфазной и
антифазной волн. Так как Zo^Zt и Zo^Zl, линии I и II не согла-
согласованы с нагрузками на концах и в них наблюдается многократ-
многократное отражение волн, как в резонаторе. При выполнении условия
A5.25) в результате суперпозиции синфазной и антифазной выхо-
выходящих волн волны в плечах 1 a 3 отсутствуют: ?/Г = ^Г = 0. Сле-
Следовательно, в матрице A5.6) Г=Д=0, и ее можно записать в виде
'ОБОЛ'
БОЛО
0 Л 0 Б
Л 0 Б 0
A5.26)
В определениях переходного ослабления и направленности
A5.7), A5.8) следует для данного случая заменить Д на Л. •
Нормированные амплитуды волн, выходящих из плеч 2 и 4, вы-
выражаются как
A5.27)
От = UVc + От. =
2 cos p 7 +
r)—
isinpz(l/ zy
z\
z%
+ }
lz%
t zyrt
-Vi
;)
V
z\
У
:)
2cosp/+ isi
Максимальная по амплитуде ответвленная волна UT получает-
получается в том случае, когда р/=90°, т. е. /=А,/4. Назовем отношение
426
<J4max
теля:
к i/f коэффициентом связи противонаправленного ответви-
ответвите 7а
±-^Г ¦ A5-28)
и:
4 max
Vzilzl-Vzllzi
Коэффициент связи возрастает при увеличении разницы между
Zc и Zc, в частности, при сближении проводников связанных ли-
линий. Из ф-л A5.27) и A5.28) вытекают следующие выражения для
элементов матрицы A5.26):
Of
У 1 —/Са
— /t2cos p / + i sir
VT=
A5.29)
Из полученных соотношений видно, что противонаправленные
ответвители можно рассчитывать на бесконечную направленность
(Д=0) и идеальное согласование
(Г = 0) в бесконечной полосе ча-
частот. Переходное ослабление С.=
=—20 lg | с/71 {дБ] в диапазоне
частот меняется. При /С^0,7 мо-
модуль знаменателя в A5.29) изме-
изменяется в функции р/ незначитель-
незначительно, поэтому наибольшее постоян-
постоянство \Л\ в полосе частот дости-
достигается вблизи pi=90°, когда
sinp/«l. Средней частоте рабо-
рабочего диапазона /о должно соот-
соответствовать равенство i=Xo/4.
При этом в полосе @,7-7-1,3)/о Рис- 15-21
неравномерность переходного ос-
ослабления не превышает 1 дБ. С ростом коэффициента связи К
равномерность частотной характеристики переходного ослабления
улучшается.
Двухпроводный мост (рис. 15.21) является примером
конструкции противонаправленного ответвителя на связанных ли-
линиях. Для моста необходимо переходное ослабление С=3 дБ, т. е.
К=0,707. Согласно ф-лам A5.25) и A5.28), при Z0=75 Ом это
соответствует Zc=180 Ом, Z\=Z\ Ом. Для получения высокого
коэффициента связи требуется большая разница между Z% и Zca >
т. е. большая емкость между внутренними проводниками. Поэтому
их сближают и обращают друг к другу широкими плоскостями.
Длина моста 1=Kq/4. Двухпроводный мост используется на теле-
телевизионных станциях для сложения и деления мощностей передат-
427
чиков и рассчитывается на высокие уровни мощности. Выполняя
все функции квадратного и щелевого коаксиального моста, он вы-
выгодно отличается от них простотой конструкции и широкополос-
ностью.
Коаксиальный ответвитель (рис. 15.22) представляет
собой отрезок экранированной линии с двумя внутренними провод-
проводниками. Коэффициент связи такого ответвителя
На рис. 15.22а показано его использование для измерения сог-
согласования и мощности в коаксиальных трактах; ответвленная мощ-
мощность свч поглощается детектором. В этой схеме длина ответви-
ответвителя мала (/<CV4). Поэтому ответвляется незначительная доля
волны, которая, согласно ф-ле A5.29), пропорциональна частоте:
Л&{р1К/УТ^К2
рК/УТК.
Коаксиальные ответвители применяются также в телевизион-
телевизионных распределительных сетях. При этом их нагрузкой являются
Рис 15.22
коаксиальные кабели, идущие к телевизионным приемникам. Дли-
Длина I увеличивается вплоть до К/А, чем достигается относительная
равномерность частотной характеристики ответвителя.
На двухпроводных линиях ответвителем является
участок параллельной линии той же конструкции. Такие ответви-
ответвители служат для измерений прямой и отраженной волн в двухпро-
двухпроводных фидерах передающих радиостанций. Характеристические
сопротивления Zcc и Z* рассчитываются по ф-лам A0.34).
На двухпроводных воздушных линиях связи ответвление сиг-
сигнала в соседние пары проводов является вредным, создающим пе-
переходную помеху между цепями. Коэффициент связи К между це-
цепями мал, так как расстояние между ними сравнительно велико,,
однако длины линий велики. Для нейтрализации этой связи цепи
скрещивают, т. е. меняют местами провода в каждой двухпровод-
двухпроводной линии через определенные промежутки, равные, например,
Ятгп/16. Тогда ответвленные на соседних участках сигналы оказы-
оказываются в противофазе и переходная помеха устраняется.
Ответвитель Бете (рис. 15.23) используется в волновод-
ных трактах. Круглое отверстие находится посредине широких
стенок прямоугольных волноводов в максимуме поперечных со-
составляющих полей Е и Н. Поэтому через отверстие осуществляет-
428
ся одновременно электрическая и магнитная связь. Если волна по-
поступает в плечо 1, то в соответствии с ф-лой A3.22) фазы вторич-
вторичных волн, создаваемых за счет электрической и магнитной связи
через отверстие, совпадают в направлении плеча 4 и противополож-
противоположны для плеча 3. Поэтому при равен-
равенстве амплитуд этих волн узел ста-
становится идеальным направленным
ответвителем.
По ф-ле A3.20) магнитная поля-
поляризуемость круглого отверстия
VM=d3/6 преобладает над электри-
электрической Vp=d3l 12. Амплитуды вто-
вторичных волн зависят от интенсивно-
стей полей в волноводе у отверстия. ^ис- '^-2^
На оси волновода (х=а/2) #г=0.
Поперечные составляющие полей одинаковы для обоих волноводов
и, согласно (9.24),
A5.30)
Оси волноводов ответвителя расположены под углом в, что
уменьшает магнитную связь между волноводами пропорционально
cos 0, так как направления векторов Hj. в этом случае не совпа-
совпадают. Подставив ф-лы A5.30) в A3.22), получим следующие со-
соотношения для элементов матрицы вида A5.5) ответвителя Бете
(без учета толщины стенок):
1 --1- Л =
баб [2 (УК?
Г
ЪаЬ |_2 (УК)*
A5.31)
Волна из плеча / ответвляется преимущественно в плечо 4. Ус-
Условием идеальной направленности (Г=Д=0) является равенство
«e=w--ir.=kwr A5-32)
которое удовлетворяется только на одной частоте. Если ^<l,4/np,
это условие неосуществимо. При /=1,4/Кр 0 = 0, а при больших
частотах идеальную направленность можно получить, увеличивая
угол 0. Обычные конструкции ответвителя Бете имеют направлен-
направленность не ниже 20 дБ в 20-процентной полосе частот и переходное
ослабление 20 дБ или более (так как отверстие не может быть
большим).
15.3. Направленные фильтры
РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЙ СВЧ ФИЛЬТР
Устройство, ответвляющее в определенном направлении сигнал в
заданной полосе частот, называется направленным фильтром. Оно
объединяет функции направленного ответвителя и фильтра и ис-
42»
пользуется в многоканальных системах (например, в радиорелей-
радиорелейных линиях) для разделения общего сигнала по отдельным частот-
частотным стволам.
Конструкция направленного фильтра с противонаправленными
ответвителями на полосковых линиях показана на рис. 15.24 (изоб-
Рве 15.24
ражены только центральные проводники). Пусть в основной тракт
подаются сигналы в трех частотных стволах со средними часто-
частотами /i, /2 и /3. Этот тракт через направленные ответвители (обоз-
х __ наченные перекрещивающимися стрелками)
связан с кольцевыми резонаторами, настроен-
настроенными на соответствующие частоты. Каждый
из резонаторов через второй направленный от-
ветвитель передает сигнал в свою ветвь, в ко-
которую включен приемник на нужную частот-
частотную полосу. При отсутствии идеальной нап-
направленности какая-то часть сигнала ответвля-
ответвляется в обратном направлении и поглощается
согласованной нагрузкой Н. Вне полосы про-
пропускания данного кольцевого резонатора энер-
энергия передается по основному тракту. Таким
образом, во всем частотном диапазоне источ-
источник сигналов работает на согласованную на-
нагрузку. Фильтр с оптимальной характеристи-
характеристикой состоит из нескольких последовательно
включенных кольцевых резонаторов (рис.
15.25).
'Частотная характеристика фильтра на кольцевых резонаторах,
как и ранее рассмотренных, определяется нагруженными доброт-
ностями QB резонаторов. Соотношение A1.49) связывает QH с внеш-
внешними добротностями QBx и QBbix, которые рассчитываются по
ф-ле A4.77):
Q..(b,.bux, =^-Щ?-' (У*- 1 для ТЕМ=волн) A5.33)
Внешняя добротность QBH пропорциональна числу длин волн q,
укладывающихся на длине кольца /Ср=^Ло; Sn и S\i — элементы
матрицы рассеяния устройства связи, в данном случае направлен-
430
С
Г
*z
и
и
)
Рис. 15.25
'ного ответвителя. В проходном волноводном фильтре (параграф
14.8) эту роль играла диафрагма. Значение q выбирается обычно
равным 1 или 2 по следующим соображениям. Собственная часто-
частота резонатора согласно A1.22) /<»> — qvEJl- Соседние резонансные
частоты /??±1) не должны попадать в полосу частот общего сигна-
4 ла (/,, /2, !з—)- Это легче обеспечить при малых q, так как
#+1)/<) A)/
Направленные фильтры выпускаются также в волноводном ис-
исполнении. В этих фильтрах принцип ответвления и конструкция
резонаторов должны быть иными, так как непосредственное вопло-
воплощение схем рис. 15.24—15.25 на волноводах слишком громоздка
РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ФИЛЬТР УВЧ
На телевизионных станциях направленные фильтры служат для
подачи в антенну мощности от передатчиков изображения (f\) и
звука (/2) или от двух передатчиков УКВ ЧМ радиовещания, ра-
работающих в разных каналах (/, и /2). Мостовые схемы для сложе-
сложения в одной антенне сигналов с разными частотами непригодны.
В этом случае они передают половину мощности передатчиков в
поглощающую нагрузку.
Направленный фильтр строится на базе трехшлейфного нап-
направленного ответвителя с полной связью (рис. 15.15), у которого
все плечи и секции имеют одинаковые характеристические прово-
проводимости Ус. Легко показать, что такой ответвитель 'согласован,
представив его в виде последовательного соединения двух несим-
несимметричных квадратных
мостов 1456 и 5623, в
которых характеристи-
характеристическая проводимость
секций 5—6 и плеч 5
и 6 равна Ус/2, а все
остальные проводимо-
проводимости равны Ус- Заметим,
что равенство Ус всех
секций ответвителя
удобно для конструк-
конструктивного выполнения
фильтра, но не приво-
приводит к оптимальной час-
частотной характеристике.
В узловые точки 5
и 6 рассматриваемого д антенне к дамаедшацу
фильтра включены па- - силршптшШ
раллельно коаксиаль- рис 1526
ные резонаторы (рис.
15.26). Целесообразно
431
использовать резонатор, разомкнутый на концах. Такой резонатор
имеет более высокую добротность, чем короткозамкнутый, так как
в нем отсутствуют потери в замыкающем поршне. Отрезки запре-
запредельных волноводов устраняют излучение из концов резонаторов.
Длина каждого резонатора равна пЯг, а нагруженная доброт-
добротность должна обеспечивать неискаженное воспроизведение спектра
передатчика /2; для этого передатчика направленный фильтр яв-
является ответвителем с полной 'связью и мощность целиком пере-
передается нз плеча 2 в плечо 4. Расстояние от точек присоединения 5
или 6 до одного из концов резонатора выбирается равной 1\ =
= Bт—1)W4, что создает для частоты ft антирезонанс (весьма
большую шунтирующую проводимость резонаторов в точках-5 и б).
Тогда участки моста /—5 и 4—6 имеют на входах / и 4 весьма
большое сопротивление. Сигнал частоты f\ по кратчайшему пути
направляется из плеча / в плечо 4 к антенне. Таким образом, здесь
используются частоты резонанса (Rbx^>Z0) и антирезонанса
(/?»х<^<?о) коаксиального резонатора для разделения двух близких
частотных полос передатчика. Кратчайший путь 1—4 выбирается
для сигнала изображения, так как ответвитель не может быть хо-
хорошо сбалансирован во всей полосе видеосигнала.
В полосе частот каждого передатчика входные сопротивления
резонаторов конечны и не обеспечивают полной фильтрации сиг-
сигнала. Поэтому небольшая часть мощности из плеча 2 в полосе ча-
частот j/y±iA/2 отражается от точек 5 и 6 и попадает в плечо 3 — к
балластному сопротивлению. Какая-то часть волны из плеча 1 в
спектре fi\±t&f) проходит через точки А и В и попадает также в
плечо 3, т. е. отражений к передатчикам нет. Следовательно, пе-
передатчики взаимно развязаны и нагружены на согласованное со-
сопротивление во всей полосе частот.
Свойства фильтра на частотах в окрестности /, и /2 описывают-,
ся двумя различными по форме матрицами:
i
Vl+б?
i
Ki + б!
и
0
6i
i
¦ о
0
1
-6,
и
0
б!
0
0
-ft,
1
ft»
—1
и
0
1
-ftl
и
0
1
б!
и
0
-ft,
1
0
0
A5.34)
где
В узловые точки ответвителя включены разомкнутые на конце
шлейфы Ш, которые служат для компенсации индуктивных прово-
димостей, возникающих в месте тройниковых соединений коакси-
коаксиальных линий.
15.4. Управление свч сигналами
ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ УПРАВЛЯЮЩИХ УСТРОЙСТВ
К устройствам управления в свч тракте относятся: выключатели,
переключатели, коммутаторы, модуляторы, управляемые аттеню-
аттенюаторы и фазовращатели, ограничители и стабилизаторы мощности.
Их использование весьма многообразно, например, коммутация
антенн, передатчиков и приемников, управление антенным лучом,
переключения в вычислительных машинах свч диапазона.
По характеру управления управляющие устройства делят на
двухпозиционные и многопозиционные, со ступенчатым и плавным
изменением. Основными их параметрами являются: ослабление
узла А [ф-ла A4.29)] (для двухпозиционных устройств различают
ослабление в режиме пропускания Ап и запирания А3), время пе-
переключения или регулирования (быстродействие), полоса частот,
мощность свч сигнала, согласование с трактом, управляющий фак-
фактор, энергия или мощность управления. Во многих случаях важны
малые габариты и масса, низкая шумовая температура. Наиболее
употребительны механические, газовые, ферритовые и полупровод-
полупроводниковые управляющие
устройства. о)
4ЭВ
МЕХАНИЧЕСКИЕ
ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛИ
Механические переключа-
переключатели имеют наибольшее
время переключения (бо-
(более 1 мс), зависящее от
инерционности их под-
подвижных частей. Примене-
Применение этих переключателей
наиболее целесообразно в
тех случаях, когда тре-
требуется эпизодическое пе-
переключение. В них ис-
используется электромеха-
электромеханический и ручной привод.
Рассмотрим несколько ти-
типичных примеров.
Коаксиальный пе-
переключатель на зна-
значительные мощности (рис.
15.27а) соединяет внут-
внутренний проводник плеча /
с одним из трех осталь-
остальных с помощью трущих-
Подйимные
контакты
Неподвижные
контакты
Рис. 15.27
433
ся контактов на плоских пружинах из фосфористой бронзы. Авто-
Автоматические замыкатели разомкнутых плеч препятствуют просачи-
просачиванию в них волн. Для увеличения электрической прочности уст-
устройства переключающим элементам придают округленную форму.
Интересна конструкция гнезда (рис. 15.276), обеспечивающая кон-
контакт у наружной поверхности внутреннего проводника соединяе-
соединяемых коаксиальных линий.
Волноводные переключатели. На рис. 15.28а пока-
показан переключатель с уголковым изгибом в плоскости Е; дроссели
создают эквивалентное короткое замыкание в зазоре, улучшая сог-
6) rL J
S)
1 0=
Кольцо
\
Согласующий элемент
Рис. 15.28
ласование тракта и предотвращая утечку мощности в закрытые
каналы. Малоинерционными переключающими элементами в дру-
другой конструкции (рис. 15.286) служат резонансные кольца в пле-
плечах ?-тройника, которые поворачиваются вокруг горизонтальной
оси. В вертикальном положении плоскость кольца параллельна,
линиям электрического поля, и кольцо является идеальным отра-
отражателем (см. параграф 13.7); в горизонтальном — она перпенди-
перпендикулярна Е и волна проходит почти беспрепятственно.
ГАЗОВЫЕ РАЗРЯДНИКИ
Газовые разрядники служат для перекрытия тракта антенна—при-
антенна—приемник на время передачи мощного радиолокационного импульса.
Разрядник представляет собой вакуумную камеру или колбу, за-
заполненную одним из тяжелых инертных газов при давлении
~2-=-20 мм рт. ст., что обеспечивает высокую плотность электро-
электронов в разряде. Конструкция разрядника должна предусматривать
прохождение через него в погашенном состоянии широкополосного
сигнала к приемнику и легкость возникновения электрического про-
пробоя при поступлении в него свч импульса с высокой напряженно-
напряженностью электрического поля. Разряд, возникающий под действием
импульса, является затем эффективным отражателем этого же
импульса.
434
Усеченный
конус .
Резонансные
дитррагмы
Рис. 15.29
Окно
резонатора
На рис. 15.29 показан разрядник, представляющий собой по-
полосовой фильтр из четырех сосредоточенных резонаторов с чет-
четвертьволновыми связями. Его внешние резонаторы — вакуумплот-
ные окна (см. параграф 13.5), внутренние — сочетание емкостных
конусов с фигурными индуктивными диафрагмами. Электрический
разряд создается между кону-
конусами и быстро продвигается к
тому окну, к которому подво-
подводится сигнал большой мощно-
мощности. Затухание разрядника в
этом режиме составляет А3 —
= 804-100 дБ. Деионизация ка-
камеры после разряда занимает
около 1 мкс, что препятствует
приему отраженных импульсов
с близких расстояний.
Разряд возникает с запаз-
запаздыванием примерно на 5 не,
поэтому часть мощного им-
импульса проходит через разряд-
разрядник в приемник. Ускорению
разряда способствует неболь-
небольшой уровень начальной ионизации, который поддерживается ра-
радиоактивным источником. В некоторых случаях на вспомогатель-
вспомогательный электрод подается опережающий на 0,2-М мкс, импульс, соз-
создающий тлеющий разряд. Газовые разрядники непригодны для
защиты высокочувствительных приемников вследствие просачива-
просачивания через них части импульса, больших вносимых потерь Лп«
«0,5 дБ и высокой шумовой температуры Гш~30К-
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ Й ФЕРРИТОВЫЕ УПРАВЛЯЮЩИЕ
УСТРОЙСТВА
Полупроводниковые устройства успешно применяются
в диапазоне от метровых до субмиллиметровых волн. Их достоин-
достоинствами являются: высокое быстродействие (от 0,1 не), малые га-
габариты и масса, незначительные мощности управления (от 1 пВт
до 1 Вт), значительный срок службы (до 200 тыс. часов). Приборы
изготавливаются на импульсную мощность до l-f-Ю кВт и среднюю
до Юч-100 Вт; в ближайшее время ожидается увеличение этих
величин на порядок.
Для управления используется свойство полупроводниковых
структур менять свое комплексное сопротивление при действии
внешнего напряжения или тока. Например, р-п-диоды (рис. 15.30а)
имеют переменную емкость С, которая создается в области р-п-пе-
рехода (ее толщина ~0,1-М мкм) и регулируется внешним на-
напряжением ~1-=-10 В. Последовательное сопротивление г соответ-
соответствует областям р и п. В p-i-n-диодах (рис. 15.306) регулируется.
436
в широких пределах сопротивление R центральной высокоомной
/-области. Оно велико в обесточенном диоде и уменьшается при
управляющем токе порядка 10-И00 мА.
Эквивалентная схема диода (рис. 15.30в) учитывает емкость
патрона или держателя Сп и индуктивность вводов LB- Для опти-
оптимизации работы диода необходимо, чтобы эквивалентное сопро-
сопротивление было активным. У р-я-диодов возможны два рабочих
О) I
Рис. 15.30
положения, соответствующих последовательному и параллельному
резонансам. При отрицательном напряжении (к р-области прило-
приложен «минус») емкость мала: C=Ci; в этом случае получают после-
последовательный резонанс на заданной частоте; тогда сопротивление
цепи LBCi равно г. При положительном напряжении C=C2^>Ci
выполняется условие параллельного резонанса и эквивалентное
сопротивление контура LBCn равно Ra. В современных германие-
германиевых р-п-диодах отношение Rjr достигает нескольких сотен на сан-
сантиметровых и более длинных волнах. В устройствах с /ы'-п-диода-
ми обычно непосредственно изменяют их внутреннее сопротивле-
сопротивление R (с компенсацией реактивностей), что дает возможность
строить не только переключатели, но и аттенюаторы (или модуля-
модуляторы) с плавным изменением ослабления. В кремниевых /ьг-п-дио-
дах достигнуты отношения их внутренних сопротивлений
Анализ отрезка линии с активным шунтом {см. ф-лы A4.16) и
A4.29)] позволяет получить соотношение для ослабления в режи-
режимах затухания А3 и пропускания Ап: (А3—\I{Аи—\)—RilRi. Та-
Таким образом, отношение /?i//?2 играет определяющую роль в рабо-
работе схемы. Часто ее называют качеством коммутационного диода.
Оси диодов располагают параллельно вектору Е распростра-
распространяющейся волны (рис. 15.31а). Кремниевые /?-?-/г-диоды часто вы-
выполняются без патрона, что уменьшает паразитные реактивности.
Тогда их впаивают непосредственно в различные конструкции
(низкие волноводы, щели, полосковые и коаксиальные линии).
При l<2-f-3 см в миллиметровом и субмиллиметровом диапа-
диапазонах используются распределенные р-?-/г-структуры, занимающие
всю высоту волновода или линии. Ширина структуры может быть
малой или близкой к ширине волновода а. На рис. 15.316 из вол-
волновода выведены низкоомные приконтактные области структуры.
По существу, эта конструкция не отличается от переменного пог-
436
лощающего аттенюатора (рис. 13.17), только в данном случае пог-
поглощение в материале управляется внешним током. Хорошее сог-
согласование /ы-п-пластины с волноводом в обесточенном состоянии
достигается при 7=Л/2 либо с помощью дополнительных перехо-
переходов на ее концах, выполненных из диэлектрика с тем же значе-
значением е.
Рис. 15.31
В монолитных микросхемах свч используется общий полупро-
полупроводниковый монокристалл, в состав которого входят /7-?-п-области
с соответственно ориентированными осями.
Полупроводниковые элементы дают возможность создавать раз-
разнообразные схемы с плавным и ступенчатым изменением затуха-
затухания, коммутируемыми фазовращателями и переключателями из
а)
п
./Л
Нагр.
Рис. 15.32
любое число каналов. Включение последовательно нескольких дио-
диодов с интервалом Л/4 (рис. 15.32а) позволяет увеличить суммар-
суммарное затухание А3 и одновременно уменьшить затухание Ап. В ко-
коаксиальных и полосковых линиях для этой же цели используют
смешанное параллельно-последовательное включение диодов
(рис. 15.326).
4,37
Целесообразно использовать мостовые схемы. Антенный пере-
переключатель (рис. 15.32а) содержит два последовательно включен-
включенных моста, например щелевых, с шунтирующими диодами в плос-
плоскости соединения (их можно заменить газовыми разрядниками).
Два моста образуют направленный ответвитель с полной связью,
поэтому при R = Ri^>Zc сигнал из антенны проходит в приемник.
При R = R2<CZC волны от передатчиков отражаются от диодов и,
пройдя вторично первый мост, складываются в антенне. Этим ре-
режимам соответствуют матрицы [S]2 и [S], A5.34), так как узлы на
рис. 15.32s и 15.26 аналогичны. Небольшая часть волны, прошед-
прошедшая мимо диодов, целиком попадает в поглощающую нагрузку.
Диоды типа p-i-n могут служить также ограничителями свч
мощности, так как воздействие волн большой интенсивности вы-
вызывает увеличение их проводимости. Схема рис. 15.32в является
ограничителем мощности, если плечо / представляет собой вход,
3— выход, а в плечи 2 и 4 включены поглощающие нагрузки. Сиг-
Сигнал низкого уровня проходит из первого плеча в третье беспрепят-
беспрепятственно. С возрастанием мощности уменьшается сопротивление R
шунтирующих диодов, что увеличивает отражение волн в плечо 4
и усиливает поглощение в самом диоде. В любом режиме согла-
согласование схемы не нарушается, так как в плечо / отражения нет.
Ферритовые устройства управляются внешним маг-
магнитным полем, создаваемым электромагнитами. Они обладают
'быстродействием порядка 0,1-М 00 мкс (в отдельных конструкциях
достигнуто 0,01 мкс). Однако минимальные временные интервалы
достигаются лишь за счет значительной мощности (порядка сотен
ватт) управляющих сигналов. Устройства с ферритами рассмат-
рассматриваются в следующей главе.
ЗАДАЧИ
16.1. Доказать с помощью 5-матрицы невозможность построения трехпле-
чего взаимного соединения без лотерь, у которого все плечи согласованы, т. е.
Sll=<S22=-S33=0.
15.2. В согласованный ?-тройннк поданы волны 0^=—0^~=\. Определить
выходящие волны.
Ответ: t/f=— 1/1; 0^=0^ = 0.
15.3. Короткозамыкатель в согласованном ?-тройн,ике находится в плече /
яа расстоянии d от плоскости отсчета тпо 'Направлению к центру узла. Определить
волны 0^~ и ?/~ при подаче воллы в плечо 2: й^ = 1.
Ответ: UJ~=—ie1 *sini|); t/J"=e ' *cos ijj; i|)=pd.
15.4. Противонаправленный отвегвитель построен на двухпроводной лимит
(диаметр проводов 2а=4 мм; расстояние между ними 2«Л=40мм) и представ-
представляет собой участок параллельной линии той же конструкции длиной /=2,5 м, от-
отстоящей от основной линии на расстояние 2^2=40 мм (см. задачу 10.3 и рис. 10.11).
В плечо 1 ответвителя поступает волнаС/^"=1. Определить модули нормирован-
нормированных амплитуд воля, выходящих из всех плеч, на частотах /=30, 40, 50 н 60 МГц.
Ответ: Uy-Uf=0; |?/;f! =0,993; 0,995; 0,998; 1,0; |lfl =0,117; 0,101;
-0,0586; 0.
438
Глава 16.
ВОЛНОВОДНЫЕ УСТРОЙСТВА С ФЕРРИТАМИ
16.1. Свойства свч ферритов
АНИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ. ТЕНЗОРЫ ПРОНИЦАЕМОСТИ
Теорема взаимности (параграф 7.7) справедлива для изотропных
линейных сред. Если устройство содержит анизотропные элементы
(см. параграф 1.4), его свойства различны для волн противополож-
противоположных направлений, т. е. оно невзаимно. Невзаимные узлы, выпол-
выполняющие специфические функции, используют преимущественно ани-
анизотропные магнетики—ферриты и широко применяются в трактах
свч.
В линейном анизотропном магнетике каждая координатная со-
составляющая вектора В представляет собой линейную функцию трех
компонент Н:
= Н-а хх Нх + Н-а ху Ну + И* хг Нг
A6.1)
^У = На ух Нх + V-ayy Ну + Щ уг Нг
&г = Н-8 гх Нх + Н-а гу Ну + Ца гг Нг
Коэффициенты этого линейного преобразования — элементы
абсолютной магнитной проницаемости — удобно записать в мат-
матричной форме; они являются компонентами тензора абсолютной
магнитной проницаемости ||цо||. Материальное уравнение в этом
случае принимает вид
В= ||цв||Н = 110|||1||Н. A6.2)
Тензоры абсолютной и относительной магнитных проницаемос-
тей в развернутом виде записываются как
V'axx V'axy Y'axz
V'ayx V-ayy
P-azx
На* На</ Наг
Ну* V-УУ V'yz
V-zx V-zy Н-гг
A6.3)
Аналогично с помощью тензора диэлектрической проницаемо-
проницаемости описывается электрическая анизотропия среды: D=||ea||E =
= 8ol|e||E. Вещества с анизотропной проводимостью пока еще не на-
нашли применения в технической электродинамике.
Анизотропия. Возникновение анизотропии в твердых телах
связано с их кристаллическим строением, т. е. упорядоченным рас-
расположением составляющих их частиц. Большинство твердых тел —
439-
поликристаллы — обладают мелкокристаллической структурой, со-
состоящей из большого числа сросшихся мелких, хаотически распо-
расположенных кристаллов. Монокристаллы являются правильными
многогранниками с упорядоченным строением кристаллической
решетки во всем объеме. Монокристаллы могут обладать естест-
естественной электрической или магнитной анизотропией. Примером про-
проявления электрической анизотропии является двойное лучепрелом-
лучепреломление пластинки исландского шпата. В твердых телах, жидкостях
и газах при воздействии сильных магнитных и электрических полей
возникает искусственная анизотропия. Такова электрическая ани-
анизотропия электронного газа в верхних слоях атмосферы, вызванная
магнитным полем земли, электрическая анизотропия нитробензола
в постоянном электрическом поле (эффект Керра) и, наконец, маг-
магнитная анизотропия феррита в постоянном магнитном поле. Искус-
Искусственная анизотропия вызывается также деформацией кристалла
при его одностороннем сжатии или растяжении, т. е. под действием
механических сил.
Характер распространения электромагнитных волн в анизотроп-
анизотропных диэлектриках и магнетиках во многом сходен, что определяет-
определяется симметрией уравнений Максвелла относительно электрических
и магнитных векторов. 'В уравнения макроскопической электроди-
электродинамики компоненты тензора ||а|| или ||е|| входят как заданные ве-
величины, поэтому вопрос об естественном или искусственном проис-
происхождении анизотропии здесь несущественен. Дальнейшее изложе-
изложение, ограниченное анизотропными магнетиками—ферритами, дает
основу для рассмотрения волн также и в анизотропных диэлектри-
диэлектриках.
Ферриты составляют группу ферромагнитных веществ, обла-
обладающих очень малой проводимостью и называемых поэтому маг-
нитодиэлектриками. Электромагнитные волны распространяются в '
ферритовой среде с незначительным поглощением, их взаимодейст-
взаимодействие со средой приводит к ряду своеобразных явлений. В состав
ферритов входят окислы железа и других металлов. На свч в ос-
ihobhom применяется три типа ферритов, отличающихся химичес-
химическим составом и структурой кристаллов:
— простые ферриты с кубической кристаллической структурой
типа шпинели (феррокскубы), содержащие, кроме окислов железа,
окислы таких металлов, как марганец, кадмий, магний, кобальт,
ликель, алюминий, хром (в той или иной комбинации);
¦— ферриты с гексогональной кристаллической структурой типа
магнетоплюмбита (ферроксдюры), содержащие окись бария (или
кальция, стронция, свинца) совместно с теми или иными из выше-
вышеперечисленных окислов;
— ферриты со структурой граната, содержащие окислы железа
совместно с окислами иттрия или редкоземельных металлов; эти
ферриты имеют малую намагниченность насыщения и самые низ-
низкие магнитные потери.
440
В зависимости от метода изготовления ферритовый элемент в
целом приобретает пшшкристалличеокую либо моноюристалличес-
кую структуру. Для изготовления поликристаллического феррита
окислы соответствующих металлов тщательно измельчают, переме-
перемешивают с пластификаторами, прессуют полуфабрикаты нужной
формы и затем обжигают в высокотемпературных печах. Получив-
Получившиеся изделия по механическим свойствам подобны керамике.
Поликристалл представляет собой совокупность небольших облас-
областей (доменов) размерами порядка 1 мкм. Каждый домен облада-
обладает довольно значительным магнитным моментом. Однако в отсут-
отсутствие внешнего магнитного поля магнитные моменты отдельных
доменов ориентированы хаотически и в целом материал размаг-
размагничен.
Монокристаллические ферриты выращивают из расплавов нуж-
нужных окислов. Они обладают естественной анизотропией, которая
увеличивается во внешнем магнитном поле, это облегчает их на-
намагничение.
Тепловое движение дезориентирует магнитные моменты, поэто-
поэтому с ростом температуры намагниченность доменов уменьшается..
При температуре Кюри tc ориентация магнитных моментов в до-
домене полностью нарушается, ферромагнитные свойства материала
исчезают. Для большинства применяемых на свч ферритов tQ =
= 100ч-600°С.
Диэлектрическая проницаемость ферритов e = 5-f-20. Электриче-
Электрическая проводимость ст=1-М0-8 См/м зависит от условий их изготов-
' ления и имеющихся примесей (она на много порядков ниже, чем у
железа- а=107 См/м). Тангенс угла диэлектрических потерь tg6 =
= 10-4-Ю-4.
ФЕРРИТ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Намагничение феррита. Сильное внешнее магнитное поле
Н ориентирует магнитные моменты доменов, которые выстраивают-
выстраиваются параллельно вектору Н. Феррит приобретает значительную на-
намагниченность М [ф-ла A.18)]. Намагниченность насыщения MIiac
соответствует одинаковой ориентации всех доменов; зто макси-
максимальная намагниченность данного материала. В зависимости от
состава и условий изготовления феррита, т. е. его марки, Мяас =
= 304-500 кА/м. В широких пределах меняется и начальная маг-
магнитная проницаемость ферритов (в слабых полях) циач= Ю-г-3000.
В технике свч используются ферритовые элементы, намагничен-
намагниченные постоянным магнитным полем Но (обычно до насыщения). В
этом состоянии феррит анизотропен по отношению к высокочастот-
высокочастотному электромагнитному полю.
Ферромагнетизм обусловлен квантовой природой веще-
вещества. Основной для рассмотрения явлений в ферритах служит тео-
теория непроводящего ферромагнитного кристалла, созданная в 30-х
годах Л. Д. Ландау и Е. М. Лившицем. Основную роль в ферро-
441
магнитных свойствах вещества играет спиновый магнитный момент
рм электрона, возникающий при его вращении вокруг собственной
оси. Хотя такое объяснение сводит квантовые эффекты к механиче-
механической модели, оно довольно точно описывает как качественную, так
и количественную сторону явлений.
Электрон в постоянном магнитном поле Но.
¦Пусть постоянный вектор Но направлен вдоль оси z. Электрон об-
обладает массой те и зарядом —\е\.
Его вращение создает механический
момент количества движения Ц и
магнитной спиновый момент (рис.
16.1). Эти моменты направлены про-
противоположно и связаны равенством
pM = (-|e|/m,)Ls. A6.4)
Рис. 16.1
Но- Конец вектора
стью, равной моменту силы^Ьэ/Л =
линейная скорость конца вектора рм
Взаимодействие магнитного мо-
момента с постоянным магнитным по-
полем Но создает момент механиче-
механической силы Мс = н-о(рмХНо) [ф-ла
A.106)], который стремится повер-
повернуть ось электрона в направлении
вектора Но. Однако ось вращающе-
вращающегося электрона не совмещается с
этим вектором, а подобно гироскопу
или волчку начинает прецессировать
(описывать круги) вокруг вектора
движется по окружности с линейной скоро-
. Тогда, согласно ф-ле A6.4),
dt tnl
где Ym = -L-uo-^i- = — 4я- 1(Г7 -1,759- 10й = 3,518- 104Гц/(А/м) =
2 Я trie 2 Я
= 35,18 кГц-м/А— гиромагнитное отношение.
Очевидно, радиус круга, описываемого концом вектора рю ра-
равен pMsin0= |рмХНо|/Яо. Поэтому угловая скорость прецессии'
„ 1 I <*Рм
(Оо = | —;
рм sin 9 I at
Частота прецессии называется частотой ферромагнитного резо-
резонанса:
и = УиН0. A6.5)
В постоянном магнитном поле электронный спин La, не совпа-
совпадающий по направлению с полем Но, начинает прецессировать во-
вокруг Но с частотой, пропорциональной напряженности магнитного
поля. Из-за потерь в веществе прецессия совершается по сверты-
442
вающейся спирали. Времени порядка сотой доли микросекунды до-
достаточно для того, чтобы все магнитные моменты сориентировались,
вдоль поля.
Вектор намагниченности феррита М является гео-
геометрической суммой магнитных моментов спинов электронов в еди-
единице объема. Очевидно, что вектор М прецессирует вокруг Но с
той же частотой /0. Усредняя р„ по объему, получаем уравнение
движения для вектора намагниченности, являющегося макроскопи-
макроскопической характеристикой поля в феррите:
^ МхН0). A6.6)
Установившееся значение вектора намагниченности обозначим
через Мо. Как и Но, этот вектор направлен вдоль оси z. В большин-
большинстве случаев вектор Мо равен по величине намагниченности насы-
насыщения феррита, так как Но выбирается достаточно большим. По
аналогии с A6.5) для сокращения записи формул вводят частоту
намагниченности
/m = Ym^o- A6.7)
Прямого физического смысла эта величина не имеет, она лишь
характеризует намагниченность вещества.
НАМАГНИЧЕННЫЙ ФЕРРИТ В ПЕРЕМЕННОМ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
Вынужденная прецессия. Пусть ферритовая среда на-
намагничена до насыщения постоянным полем Ho = #oez в направле-
направлении оси z. В ней распространяется электромагнитная волна с маг-
магнитной составляющей H = Hxex + Hyev+Hzez, величина которой ма-
мала по сравнению с полем намагничения: |#|<^;#о. Очевидно, со-
составляющая Hz, параллельная Но, но значительно меньшая по ве-
величине, не может изменить намагниченность феррита, так как все
спиновые моменты уже ориентированы. Для этой составляющей
феррит подобен вакууму, и можно записать, что составляющая
вектора магнитной индукции Bz = \ioHz, т. е. в A6.3) цхх=1.
¦ Перпендикулярные Но составляющие Нх и Ну, несмотря на их
относительную малость, выводят вектор намагниченности М из рав-
равновесного положения Мо. Этот вектор приобретает переменную со-
составляющую М, перпендикулярную постоянной Мо. Теперь вектор
М, модуль которого не изменяется, располагается под некоторым
углом 0 к оси z. Это, согласно уравнению движения A6.6), приво-
приводит к вращательному движению М вокруг направления постоянно-
постоянного магнитного поля.
Будем считать положительным направлением вращения ( + ) в
намагниченном феррите направление прецессии вектора М, связан-
связанное с направлением постоянного магнитного поля Но правилом пра-
правого винта.
443.
Появление компоненты вектора М, вращающейся в положи-
положительном направлении, можно рассматривать как своеобразное про-
проявление инерционности, свойственное намагниченному ферриту.
Под действием поля Н в феррите возникает вынужденная пре-
прецессия вектора намагниченности. Его переменная составляющая М
меняется с той же частотой, что и Н. Однако линейной поляриза-
поляризации Н — Нхех соответствует круговая или эллиптическая поляриза-
поляризация вектора М с положительным вращением: М = Мхех—Ш„е„.
Переменная составляющая вектора магнитной индукции В =
= M<o(HjbM/), пропорциональная сумме НйМ, кроме составляющей
Вх=цо\1ххНх=цо\1Нх, имеет также отстающую от нее по фазе на
90° составляющую Bv=\io\iyxHx=—\цокНх. Здесь учтены потери и
введены сокращенные обозначения элементов матрицы комплексной
магнитной проницаемости ц и к. Аналогично при напряженности
магнитного поля Н = Нуеу возникают составляющие Ву=цоцууНу=
= \у,а\у,Ну и Вх = \у,фхуНу=[\юу.Ну, также соответствующие положи-
положительному вращению вектора В.
Тензор комплексной магнитной проницаемос-
проницаемости определяется описанными свойствами феррита; в соответствии
с ф-лами A6.3):
0
Ц
1 К
о
о о
A6.8)
= к — U"
Рассмотренный ранее процесс свободной прецессии с частотой
/о свидетельствует о резонансных свойствах намагниченной ферри-
товой среды. Поэтому элементы ц и к имеют явно выраженную за-
зависимость от частоты и в определенном частотном интервале зна-
значительную мнимую часть, соответствующую магнитным потерям.
Соотношения для компонент ||ц|| получаются из уравнения дви-
движения A6.6), в правую часть которого введено дополнительное
слагаемое, учитывающее потери при прецессии электронов • [24].
Частотные характеристики \i и к построены на рис. 16.2 в функции
отношения fo/f — YMHo/f = Ho/HPe3. Обычно их рассматривают не как
зависимости от рабочей частоты f, которая для данного устройства
задана и постоянна, а как функции величины намагничивающего
поля Но, изменение которого позволяет нужным образом менять
параметры феррита. Поэтому здесь чаще будет упоминаться не ре-
резонансная частота f=/0, а резонансное значение постоянного маг-
магнитного поля Но = Нрез={/ум, соответствующее ферромагнитному
резонансу на заданной частоте f.
Вдали от резонанса потери в феррите несущественны и мнимые
части элементов тензора магнитной проницаемости \i" и к" малы.
444
Их вещественные части описываются следующими приближенными
соотношениями:
/о/м
/о2-/2
= //м
/о2-/2
A6.9)
При f<f0, т. е. #о>#Рез,V>1, х'>0. При f>f0, когда Яо<
#рз. вещественные составляющие [i'<\ и х'<0.
На частоте ферромагнитного резонанса воздействующее на
феррит поле Н попадает в такт с собственным вращением вектора
М. С каждым периодом угол 8 увеличивается и конец вектора М
движется по развертывающейся спирали (рис. 16.3). С ростом ам-
амплитуды М растут тепловые потери в феррите, которые в конце
концов ограничивают ее ве-
величину. Частоте f=/0 (Яо =
= Ярез) соответствуют сле-
следующие значения:
Рис. 16.2
fu
2/0
К
' = 0:
= к"=<Эф-^. A6.10)
/о
При резонансе поляризация вектора В близка к круговой с
отставанием по фазе от колебаний вектора Н на 90° [см. ф-лы
A6.8) и A6.10)]. Частотные характеристики составляющих тен-
тензора вблизи резонанса, как видно из рис. 16.2, меняются аналогич-
аналогично характеристикам R и X резонансного контура.
Добротность феррита Q$ определяется шириной резо-
резонансной кривой для \ь" или к" на уровне, равном половине макси-
максимального: <2ф = Ярез/BЛЯ)=/0/BД/), где 2ЛЯ=2(Я0—Ярез) — ши-
ширина резонансной кривой на уровне 0,5 \i"max или 0,5к'^ах.
Резонансная кривая ферритового элемента является суммой
кривых элементарных резонаторов — электронов, каждый из кото-
которых является системой с весьма высокой добротностью. Однако
44 5
магнитное поле внутри ферритового элемента неоднородно. Круп-
Крупномасштабная неоднородность поля связана с формой элемента, а
более существенные мелкомасштабные неоднородности — с зернис-
зернистостью его структуры. Так как частота прецессии {ф-ла A6.5)] каж-
каждого электрона определяется напряженностью магнитного поля не-
непосредственно в его окрестности, а ее величина меняется от точки
к точке, резонанс отдельных электронов возникает при разных
внешних полях Но, что значительно расширяет результирующую
резонансную кривую. Добротность поликристаллических ферритов
— порядка десяти. У монокристаллов со структурой граната доб-
добротность может достигать десятка тысяч. Повышению добротно-
добротности способствует также тщательная обработка поверхности фер-
ферритового элемента.
Кроме резонансного поглощения, на частоте f0, определяемой
внешним магнитным полем, имеется несколько областей поглоще-
поглощения в диапазоне от 10 до 3000 МГц, связанных с колебанием гра-
границ доменов и собственными внутренними полями На в феррите
(естественный ферромагнитный резонанс). Это затрудняет исполь-
использование ферритов на частотах ниже 3000 МГц.
Ферриты начали применяться в сантиметровом диапазоне волн.
Для получения резонанса в диапазоне миллиметровых волн нужны
сильные магнитные поля порядка 10 МА/м, которые невозможно
создать внешними магнитами, имеющие приемлемые размеры. Од-
Однако получены кристаллы с очень сильными эффективными внут-
внутренними магнитными полями На (естественной анизотропией), ко-
которые работают при отсутствии внешних полей или в слабых по-
полях. Найдены удовлетворительные технические решения (напри-
(например, работа 1в зарезоиансной области //о>//рез) и для использо-
использования ферритов в дециметровом диапазоне. Современные ферри-
товые устройства занимают диапазон от 20 МГц до 150 ГГц.
16.2. Распространение волн в гиротропной среде
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО
МАГНЕТИКА
Среда, у которой магнитная или электрическая проницаемость
описывается несимметричным тензором вида A6.8), называется
гиротропнойd). Это свойство намагниченного феррита и предстоит
здесь обнаружить.
Решим уравнения Максвелла C.14) при тензорной магнитной
проницаемости среды \\\ia\\ для однородной плоской волны. Выпи-
Выпишем координатные составляющие этих уравнений, считая H0=#0ez:
') g'ro (итал.)—оборот; гиротропная среда вращает плоскость поляриза-
поляризации водны.
446
дНх
дг
dtiv
дНг ¦ ~ h
— -5T' = ltt*«Ei>'
дЁг
ду
д_Еу
дх
дЕу
дг
дЁг
дх
дЁг
—ia>\io(\iHx-\-ixHy)
.(i6.il)
Распространение волны в произвольном направлении можно
представить как суперпозицию двух частных случаев: распростра-
распространение вдоль вектора Но и перпендикулярно ему. В практических
устройствах используется либо один, либо другой способ намагни-
намагничения. Рассмотрим каждый из них в отдельности.
ПРОДОЛЬНО-НАМАГНИЧЕННЫЙ ФЕРРИТ
Решение уравнений Максвелла. Пусть волна рас-
распространяется вдоль оси z параллельно вектору Но. Считая волну
однородной в поперечной плоскости^ хОу, положим д/дх = д1ду=6,
что приводит к условиям: Ez = Hz = 0. Продольные компоненты вол-
волны, как и при распространении в изотропной среде (параграф 3.5),
отсутствуют. Для волны, бегущей в сторону возрастающих значе-
нии z, все составляющие меняются по закону е , поэтому
djdz=—y- Теперь система ур-ний A6.11) упростилась:
— yHx = i олеа Ёу; — у Ёх = — :
Легко исключить отсюда Ех и Еу:
" у> Е-у =
F — ¦
' Y
Нх,
после чего система запишется в виде
(у2
i kfxHx
=0
A6.12)
A6.13)
где &о= \
Нетривиальное решение соответствует нулевому определителю
йем^^2+?о.1[хJ— (&о"ехJ=О или (\2 + Щ eiT+&fex) (у*+
+ &оБ|А—&оеи)=О. Следовательно, возможно два решения для у,
соответствующие равенству нулю выражений в первой и второй
скобках. Коэффициент распространения волны, движущейся по оси
z в положительном направлении,
). A6.14)
Итак, в продольно-намагниченном феррите существуют две вол-
волны с разными коэффициентами распространения и, следовательно,
447
« —ie»)e"
Y+ = i &o У e jTL ;
V
¦;v+ = -Z- =
, A6.16)
где fx+ =
— эквивалентная магнитная проницаемость (рис.
16.4). Взаимно перпендикуляр-
перпендикулярные векторы Е и Н вращаются в
положительном направлении, сов-
совпадающем с направлением пре-
прецессии в феррите.
Вдали от резонанса с учетом
ф-л A6.9) имеем
ц' =ц'+х'=1+ I* (/о + /) =
+ /о-/2
A6.17)
h-f
Рис. 16.4
vei, где и si— скорость волны в р р
е (таким же, как у феррита) и ц=1. При Я0>Ярез; f<f0;
+
Если постоянное магнитное по-
поле меньше резонансного значе-,
НИЯ: #0<#рез, ТО f>fQ; Ц+<1 И
фазовая скорость больше, чем
диэлектрике с параметрами:
П Я ff и
-448
разными фазовыми скоростями и затуханиями. Найдем структуру
поля каждой из волн. Для этого ф-лу A6.14) подставим в A6.12)
и A6.13). После преобразования коэффициентов получаем
A6.15)
Из этих выражений вытекает, что в обоих случаях волны имеют
круговую поляризацию, так как составляющие Нх и Ну равны по
величине и сдвинуты по фазе на 90° (см. параграф 3.8); векторы
Е и Н взаимно перпендикулярны. Верхний знак соответствует ком-
компоненте Ну, отстающей от Нх, т. е. волне с положительным направ-
направлением вращения векторов Е и Н относительно направления Но.
Нижний знак означает, что Ну опережает Нх, т. е. направление вра-
вращения векторов отрицательное.
Волна с положительным вращением векторов ( + )
при движении в сторону +z имеет правую поляризацию. Из ф-л
A6.12) — A6.15) с верхним знаком следует, что
На частоте ферромагнитного резонанса
гласно A6.10), получаем
o = Hpea = flyM), с5-
— i2Q4-^-. A6.18)
Магнитная проницаемость [л+ имеет большую мнимую часть (см.
рис. 16.4), т. е. волна с положительным вращением векторов испы-
испытывает значительное резонансное поглощение. Это явление в про-
продольно намагниченном феррите называется продольным ферромаг-
ферромагнитным резонансом.
Легко доказать, заменив во всех формулах \ на —y> чт0 Для
волны, распространяющейся в сторону отрицательных значений г,
теми же свойствами обладает волна с левой поляризацией, у кото-
которой направление вращения также положительно относительно век-
вектора Но.
Волна с отрицательным вращением векторов
(—) представляет собой левополяризоваиную волну, движущуюся
в сторону +z либо правополяризованную при движении в направ-
направлении —z. Решая уравнения аналогично предыдущему, 'получаем
= Но (Сд. + 1 ty) е г ; Ь = Яо ZB (— еу -\-1 ej e . (шЛУ)
Параметры волны y~. ZT. v~ определяются обычными соотноше-
соотношениями при эквивалентной магнитной проницаемости р.- = ц—л
(рис. 16.4). Вдали от резонанса по ф-лам A6.9) имеем
е /Г с\ Г
A6.20)
fl-P
Fo + f
поэтому v~<v = 1 как при Я0<Ярез, так и при Я0>Ярез-
На резонансной частоте ц-=^—x — \i'—i (\i"—к") = 1 + fitlB/o),
т. е. \i"_ =0. Волна с отрицательным вращением векторов не испы-
испытывает резонансного поглощения. Вещественная часть \л'_ на всех
частотах, включая область резонанса, определяется ф-лой A6.20)
и меняется незначительно.
Следовательно, явление продольного ферромагнитного резонан-
резонанса наблюдается только при совпадении направлений вращения
векторов волны и прецессии электронных спинов в феррите.
Вращение плоскости поляризации в прощально
намагниченном феррите рассмотрим при значении Но, далеком от
ЯРез> без учета потерь в среде. В этом случае y = i$; p+=&oV ец+="
= k0 V"e(ji'+x'); $~~k<)Y&W_ = hV?>{\i.'—к')-
Пусть линейно поляризованная волна имеет при 2=0 вектор Н,
направленный вдоль оси х. Разложим ее на две равные по ампли-
амплитуде волны с правой и левой поляризациями [ф-лы C.54)]. Эти
волны имеют разные фазовые скорости и фазовые коэффициенты:
р+=ро_# и р-=ро+#. Здесь ро=О,5(р++р-) — средний фазовый
15-2 ¦»
коэффициент; R — 0,5(f>-—р+) — постоянная Фарадея, равная по-
полуразности фазовых коэффициентов волн с противоположным на-
направлением вращения. Тогда при произвольном z
= H0(excosRz
Rz)e
A6.21)
Итак, по мере распространения волны вдоль оси z вектор Н по-
поворачивается в плоскости хОу, что является следствием различия
фазовых скоростей волн с положительным и отрицательным на-
направлением вращения. Угол между плоскостью вектора Н и осью х,
согласно A6.21), пропорционален расстоянию, пройденному вол-
волной: Q = Rz. Легко показать; что при изменении направления дви-
движения волны на обратное (в сторону —z) направление поворота
вектора Н относительно Но не меняется.
Постоянная Фарадея, угол поворота плоскости поляризации на
единицу длины пути,'определяется как
I ,/¦—
(км-_—
2 ~ 2
A6.22)
Если постоянное магнитное поле Яо меньше резонансного Ярез,
то \1^>ц\ и R>\\ тогда плоскость поляризации поворачивается
в положительном направлении — направлении прецессии (рис.
16.5). При слабом намагничении, Яо<СЯрез, f3>/o по A6.9) ц'«1;
|к|<С1, тогда постоянная Фарадея
v'\'/2 /, , х'у/2] я>Т . ,
A6.23)
пропорциональна намаг-
намагниченности Мо феррита и
не зависит от частоты.
Явление вращения пло-
плоскости поляризации вол№-
в анизотропных диэлек-.
триках и магнетиках на-
называется эффектом Фара-
Фарадея. Существенно, что на-
намагниченный феррит ста-
становится невзаимной средой: из положения А вектор при движении
волны в прямом направлении поворачивается в положение В, а
при обратном — не возвращается в А, а, продолжая вращаться
в ту же сторону, приходит в положение С (рис. 16.5).
ПОПЕРЕЧНО-НАМАГНИЧЕННЫЙ ФЕРРИТ
Выберем другое направление распространения волны, перпендику-
перпендикулярное постоянному магнитному полю. Пусть по-прежнему Но=
= Яое2, а однородная плоская волна распространяется вдоль оси. *
(рис. 16.6). Поэтому в системе ур-ний A6.11) положим д/ди -
Но
Необыкновенная
волна
Обыкновенно*
долна
Рис. 16.6
= д/дг = 0 и д\дх-=—у> ЧТО приводит к следующим соотношениям:
/:* = 0; ц Нх + i к Ни = 0
\U); у4 = -!«(х„(-1кЯ;с+?Я,) • A6.24)
Таким образом, система распадается на две группы независимых
уравнений, каждая из которых описывает отдельную волну. Одна
из них (*) содержит только две составляющих поля — Нг и Еу,
другая три — Нх, Ну и Ег.
Обыкновенная волна определяется двумя равенствами
со звездочкой, откуда
Y°6 =
е0 Цо V е \iz = i k0 V в цг
с „об
^Z CO 8a
A6.25)
Поле обыкновенной волны имеет магнитную составляющую,
параллельную Но. По своим свойствам эта волна не отличается от
плоской однородной волны, распространяющейся в диэлектрике с
параметрами е и ц = цгж 1. Последнее объясняется тем, что для вы-
высокочастотной составляющей Я2 намагниченный до насыщения
феррит эквивалентен вакууму.
15* 451
Необыкновенная волн^а описывается оставшимися тремя
ур-ниями A6.24). Уравнение \iHx=—VkHv устанавливает связь
между двумя компонентами магнитного поля, откуда следует, что
Н = еХ + % Ну = hJ— i -L е,
A6.26)
т. е. магнитное поле поляризовано эллиптически в плоскости хОу;
перпендикулярной Но; в этом проявляются гиротропные свойства
феррита.
«Совместное решение ур-ний A6.24), не отмеченных звездочка-
ш: и связывающих компоненты Нх, Ну и Ёг позволяет определить
параметры необыкновенной волны:
V-H <7 1 / ^Х
ZB = ZB01/ -?
Ц-
A6.27)
где ц± — эквивалентная магнитная проницаемость феррита для
необыкновенной волны.
Найдем вещественную часть магнитной проницаемости, под-
подставив в ф-лы A6.27) ц' и у! из A6.9), определенные без учета
потерь в материале:
(/о + fu) fu
A6.28)
Поле необыкновенной волны, плоской, однородной, но не попе-
поперечной, имеет электрическую составляющую, параллельную векто-
вектору Но и перпендикулярные ему магнитные составляющие. На рис.
16.7 приведены характеристики Цх="цх—Щ~. полученные по
ф-лам A6.27); для сравнения показана характеристика ц+.
Рис. 16.7
452
0,2
f = 10 Г Гц
fM =* ГГц
Нре3=280%
Нрез1=2М#
Z
0,6
/
/
J 1\
*\wl To
у:
\
i
ч
и
X
fa Но
В дорезонансной области при Яо<О,8Ярез ц'>0, х'<0. Тогда,
согласн-о ф-ле A6.26), вектор Н описывает эллипс в положитель-
положительном направлении относительно Но. Эллиптически поляризованное
поле можно представить в виде суммы двух волн с круговой поля-
поляризацией и противоположными направлениями вращения векторов
{см. ф-лу C.54)]. Волна с большей амплитудой имеет в данном слу-
случае положительное направление вращения относительно Но и силь-
сильно взаимодействует с намагниченным ферритом. При Но<О,6Ярез
0<ц.^<1 и фазовая скорость необыкновенной волны больше, чем
обыкновенной.
В зарезонансной области при Я0>ЯРез и'/ц'>0 и вектор Н
описывает эллипс в отрицательном направлении; fxx>l, поэтому
vH<Cvu\ ; фазовая скорость необыкновенной волны здесь меньше,
чем обыкновенной.
Волна, у которой плоскость поляризации не совпадает с векто-
вектором Но и не перпендикулярна ему, при входе в поперечно намагни-
намагниченный феррит распадается на обыкновенную и необыкновенную.
Так как их фазовые скорости различны, волна в общем случае при-
приобретает эллиптическую поляризацию также в плоскости, перпен-
перпендикулярной направлению ее распространения. В оптике аналогич-
аналогичное явление называют двойным преломлением, так как различие
фазовых скоростей эквивалентно различию коэффициентов прелом-
преломления среды для указанных волн.
Поперечный ферромагнитный резонанс — явле-
явление резонансного поглощения необыкновенной волны при опреде-
определенном значении поперечного постоянного магнитного поля Ярез_1_.
Величина поглощения необыкновенной волны определяется мнимой
составляющей fxx. На рис. 16.7 показан резонансный пик ц"± при
•<^резХ ^С**рез-
ЧасТОТу поперечного резонанса /OJL (положение максимума ц"
при заданном Яо) найдем из условия: \\i'± |->-oo, соответствующего
резонансу в "гипотетической среде без потерь. Для этого должен
быть равен нулю знаменатель ф-лы A6.28):
/ох = Vfo(f,+fu) = Ym VThWT+ЖУ, A6.29)
очевидно, что /ох >fo. Отсюда определим постоянное поле, необ-
необходимое для возникновения поперечного резонанса при заданной
частоте /:
Я,
реэХ
= у га +Ы -—-
A6.30)
оно меньше, чем поле Ярез, соответствующее продольному магнит-
магнитному резонансу.
453
Подстановка в A6.27) общих соотношений для ц и к позволяет
определить величину максимума ц"± при поперечном резонансе:
/м 1
fO± 1 + ("рез
A6.31)
Сравнение этого выражения с ф-лой A6.18) для \i+ показывает,
что поглощение при поперечном резонансе несколько меньше, чем
при продольном.
Физические причины резонансного поглощения при продольном
и поперечном резонансах одинаковы: составляющая волны с поло-
положительным вращением векторов Е и Н вызывает значительную по
амплитуде прецессию спинов в намагниченном феррите. Более
сложный характер взаимодействия переменного поля с ферритовой
средой при поперечном относительно Но распространении волны
увеличивает резонансную частоту по сравнению с частотой сво-
свободной прецессии электронных спинов (при #0 = const).
ВЫТЕСНЕНИЕ ПОЛЯ ПРОДОЛЬНО ИЛИ ПОПЕРЕЧНО
НАМАГНИЧЕННЫМ ФЕРРИТОМ
В определенной точке характеристики на рис. 16.7 (i + = n'L =0. Из
ф-л A6.17) и A6.28) находим для нее: f=/o+/M, чему соответствует
равенство: #о=#рез—^fo. Рассмотрим области значений Но, где
ц^<0 или }х'х <0; эти области удовлетворяют условиям: Нрез—
—М0<Н0<Нрез или Ярез—УИ0<#0<#ре3-1- • Потерями в феррите
пока пренебрежем (ц^=0; м-1 = 0;, е" = 0). Коэффициенты распро-
распространения соответствующих волн у+ [ф-ла A6.16)] и у"[ф-ла A6.27)]
в данном случае чисто вещественны (например, у+=
= \k0 Уе(—|ц!|_|)=?о y^e|fi^. |, т. е. тождественны коэффициентам
затухания а+ и ан. Коэффициенты фазы равны нулю: р+=0; рн=0.
Таким образом, при постоянном магнитном поле На, находящемся
в определенном интервале величин, волна с положительным вра-
вращением векторов в продольно намагниченном феррите и необыкно-
необыкновенная волна в поперечно намагниченном не могут распространять-
распространяться. Их амплитуды уменьшаются по экспоненте не из-за тепловых
потерь в среде (они здесь не учитываются), а вследствие эффекта
отражения, вытеснения поля средой. Волновое сопротивление фер-
феррита в этом случае становится мнимой величиной, векторы Ё и Н
оказываются сдвинутыми по фазе на 90° и феррит превращается в
реактивную среду. Легко обнаружить сходство такого поля с полем
в запредельном металлическом волноводе (при/</Кр)-
Если учесть мнимые составляющие \i" или \i"x , величины кото-
которых могут быть соизмеримы с вещественными, то описанные явле-
явления несколько усложняются. В результате тепловых потерь волна
частично поглощается ферритом, что связано с некоторым необра-
4.54
тимым ее движением в прямом направлении; фазовый коэффициент
? при этом становится отличным от нуля, хотя и остается мень-
меньшим а.
ФЕРРИТОВЫИ ЭЛЕМЕНТ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
На практике избегают сплошного заполнения отрезка волновода
или коаксиальной линии ферритом, так как это привело бы к зна-
значительному отражению от границы феррит—воздух, возникновению
нежелательных резонансных явлений и появлению в заполненном
участке волн высших порядков. Поэтому в волновод (или линию)
помещают ферритовый элемент в виде стержня, пластины, диска
или шара, размеры которого намного меньше внутренних размеров
волновода. Для уменьшения отражений концы пластин и стержней
заостряют.
Итак, в отличие от рассмотренных выше случаев безграничной
ферритовой среды, в реальных устройствах постоянное и высоко-
высокочастотное поля действуют в пространстве, заполненном двумя
средами: воздухом и ферритом. Решение соответствующей задачи
в общем виде весьма громоздко. Однако при малых по сравнению
с К размерах элемента применимы квазистатические приближения.
Напряженность магнитного поля Н внутри ферритового элемен-
элемента не равна напряженности Н<е> вне его вследствие разрыва нор-
нормальной составляющей вектора Н на границе раздела. Можно
считать, что намагничение феррита внешним полем приводит к по-
появлению на его концах магнитных зарядов, поле которых противо-
противоположно приложенному. Поэтому составляющая внутреннего поля
ло любой оси
H = Hie) — NM,
A6.32
где N — размагничивающий фактор для элемента заданной формы
вдоль соответствующей оси: NM — внутреннее поле, созданное на-
наведенными магнитными зарядами.
Размагничивающие факторы подчиняются условию Nx + Ny +
+ NZ=\. Для шара Nx = Ny = Nz=\/3. Для вытянутого вдоль оси z
эллипсоида, эллиптического или кругового цилиндра: Nx = b/(a + b);
Ny = a/(a+b); Л/2 = 0, где а и b — полуоси эллипса в поперечном се-
сечении по осям х и у. В этом случае заряды на концах стержня
удалены настолько, что не влияют на продольную составляющую
Нг. Для тонкого диска с осью z, наоборот, Nx = Ny = 0; N2=\.
Все соотношения, полученные ранее, относятся к напряженно-
стям высокочастотного Н и постоянного Но магнитных полей внут-
внутри феррита. Известны же обычно переменное H<e) и постоянное
Н ое> внешние магнитные поля, существующие в волноводе вне фер-
ферритового элемента. Поэтому во всех уравнениях, начиная с A6.6),
нужно заменить Н на Н<е> по ф-лам вида A6.32), в результате чего
вместо A6.8) получается выражение для внешнего тензора магнит-
455
нбй проницаемости, связывающего В<е> и We\ компоненты которого
зависят не только от параметров феррита, но и от формы элемен-
элемента. Дальнейшие преобразования приводят к расчетным соотноше-
соотношениям, относящимся к внешним магнитным полям.
Например, резонансное значение внешнего постоянного магнит-
магнитного поля, направленного вдоль оси z и соответствующего про-
продольному ферромагнитному резонансу:
Для длинного круглого стержня Nx = Ny=0,5; Nz = 0. Тогда
( 1
(е)
т„
Внешнее магнитное поле, необходимое для продольного резо-
резонанса, меньше значения Нрез, определяемого по ф-ле A6.5).
16.3. Узлы с ферритом
НЕВЗАИМНЫЕ УСТРОЙСТВА
При введении в волноводный узел намагниченного ферритового
элемента во многих случаях узел становится невзаимным, т. е. не
отвечающим теореме взаимности; тогда он описывается несиммет-
несимметричной матрицей рассеяния. Обычно такие узлы линейны. На
практике используется несколько функциональных типов невзаим-
невзаимных узлов.
Гиратор — невзаимный узел, вращающий плоскость поля-
поляризации волны типа Ян в круглом волноводе. Гиратор может вхо-
входить в состав других невзаимных устройств. Принцип его дейст-
действия основан на эффекте Фарадея.
Вентиль (изолятор) — двухплечий узел с весьма малым
затуханием в прямом направлении передачи (например, 1-*-2). и
большим затуханием в обратном направлении. Матрица невзаимна
и неунитарна. При идеальном согласовании вентиля
A6.34)
Вентили поглощают отраженную волну в тракте, устраняя тем
самым одну из существенных причин искажений передаваемого
сигнала и улучшая согласование. Часто используется различие
коэффициентов затухания прямой апр и обратной аОбр волн на
участке волновода длиной /, заполненном ферритом. Если
'a
~anp'
ф
<а0бр, |52i|=e~anp'ж1 и |S12|=e~a°6p <1. Эффективность
вентиля определяется вентильным отношением, т. е. отношением
ослаблений обратной и прямой волн, выраженным в децибелах:
в =
20
I
20 lg | Sn
anp
A6.35)
456
Условное графическое обозначение вентиля показано на рис.
16.8а.
Невзаимный фазовращатель (рис. 16.86) создает для
волны, распространяющейся в одном направлении, фазовый сдвиг
на Дг|5, больший, чем для волны
противоположного направления,
за счет различия фазовых коэф-
коэффициентов прямой рПр и обрат-
обратной Робр волн на участке /. Фазо-
Фазовый сдвиг в обратном направле-
направлении г|5обр= Робр^, а в прямом
i|5np= fW- Такой узел описывает-
описывается невзаимной матрицей A6.34) при
S21 = e"""np = е~'(Фобр + Л"'); Sa = е~' *обр , A6.36)
Z
Рис. 16.8
г°
= 1
0
0
0
1
1
0
0
где Дг|5=(рПр—Робр) / — невзаимный фазовый сдвиг.
Если потери не учитываются, то |S2i| = |Si2| = 1 и матрица
унитарна.
Циркулятор — трех- или четыре хплечий узел, пропускающий
волну между соседними плечами в определенном порядке, нап-
например 1-*-2-+в-*-1, что указывается стрелкой на его символичес-
символическом изображении. В противоположном направлении энергия не
проходит. Матрица идеального трехплечего циркулятора
A6.37)
унитарна, хотя и невзаимна. Изменение направления постоянного
магнитного поля в циркуляторе на обратное приводит к обратной
циркуляции волны: 1-+3->-2-*-1. На рис. 16.9 приведены некоторые
функциональные схемы, использующие циркуляторы:
— вентиль, рассчитанный на большие мощности (рис. 16.9а);
обратная волна поглощается в специальной нагрузке;
— дуплексер (рис. 16.96) — разделитель трактов передатчик—
антенна и антенна—приемник в радиолокационной или радиоре-
радиорелейной станции;
— разделительный фильтр (рис. 16.9е). Сложный сигнал, на-
например, из антенны, содержащий ряд частотных полос, разделяет-
разделяется по соответствующим приемникам. В плечи циркулятора включе-
включены полосовые фильтры на соответствующие частоты, отражающие
сигналы вне своей полосы. Такое же устройство объединяет на
общую антенну сигналы от нескольких передатчиков, работающих
в разных частотных каналах. Разделительные фильтры служат для
уплотнения радиорелейных линий группой высокочастотных ство-
стволов, в каждом из которых передается широкополосный сигнал:
телевидение, многоканальная телефония и т. п.;
457
Антенна
Ограни
чипкт,
-
Прием-
нин
Приемник
Рис. 16.9
— согласованный полосовый фильтр, выделяющий частоту
fi (рис. 1б.9г); колебания остальных частот поглощаются в на-
нагрузке;
— согласованный режекторный фильтр (рис. 16.9д); погло-
поглощается полоса частот вблизи /ч;
— схема предварительного усиления принятого сигнала в
квантовом или параметрическом усилителе, работающем на от-
отражение (рис. 16.9е);
— реверсивные управляемые циркуляторы (рис. \6.9ж) служат
быстродействующими переключателями; ' например, подсоединяют
приемник или передатчик к той или иной группе антенн или вхо-
входят в переключающие матрицы вычислительных машин свч (цир-
(циркуляция происходит в направлении, отмеченном точкой, если по-
постоянный ток входит в тот конец управляющей обмотки, где так-
также стоит точка).
Во всех рассмотренных схемах применяются трех- и четырех-
плечие циркуляторы. Рис. 16.9е показывает, что число плеч в узле
можно произвольно увеличить, соединив последовательно нес-
несколько 'циркуляторов.
458 ;
УПРАВЛЯЮЩИЕ ФЕРРИТОВЫЕ УСТРОЙСТВА
Другой важный класс образуют управляющие устройства с фер-
ферритом (см. параграф 15.4), изменяющие амплитуду, фазу и поло-
положение плоскости поляризации свч сигнала. Применяются как
взаимные, так и невзаимные управляющие узлы (свойство невза-
невзаимности при таком применении несущественно). Рассмотрим
основные устройства этого класса.
Гираторы с регулируемым полем намагничивания Яо служат
для корректировки плоскостей поляризации волн типов Яг, и
#f, (см. параграф 9.5) перед входом в разделительный поляри-
поляризационный фильтр (рис. 13.23).
Фазовращатели (взаимный и невзаимный). В данном слу-
случае используется возможность плавно или ступенчато менять
г|5щ> при помощи поля намагничения {см. ф-лу A6.36)]. Возможно,
ЧТО фпр = ^обр.
Амплитудные модуляторы, переключатели, вы-
выключатели строятся на основе циркуляторов и вентилей с из-
изменяемым магнитным полем Но.
Ферритовые фильтры — частотноизбирательные узлы с
плавным управляемым изменением резонансной частоты fo. Осно-
Основаны на явлении ферромагнитного резонанса.
Ограничители мощности свч можно рассматривать
как самоуправляемый регулятор амплитуды сигнала. В ограничи-
ограничителе используются нелинейные свойства феррита1), которые про-
проявляются в том случае, когда амплитуда переменного магнитного
поля Я становится сравнимой с Яо. Ферритовые ограничители ис-
используются для защиты входа приемника от мощных импульсов
в радиолокационных системах (рис. 16.96). Они обладают рядом
преимуществ по сравнению с газоразрядными ограничителями
(см. параграф 15.4), главным из которых является практически
мгновенное ограничение мощного импульса. Ферритовые ограни-
ограничители используются также в измерительных приборах и других
устройствах.
Способы управления. Во всех случаях управление осу-
осуществляется изменением магнитного поля Яо, намагничивающего
феррит. Скорость управления зависит от типа магнитной системы,
создающей это магнитное поле. Различают:
— устройства с поперечным магнитным полем (Но перпендику-
перпендикулярно оси волновода или линии), создаваемым внешними маг-
магнитами; их быстродействие — порядка 1—ilO мс;
— устройства с продольным магнитным полем (Но параллель-
параллельно оси волновода) и внешними магнитами; они обеспечивают бы-
быстродействие 10—100 мкс;
') Нелинейные феррятовые устройства применяются также для детектиро-
детектирования, умножения и преобразования частоты, параметрического усиления и ге-
генерации колебаний.
459
— устройства с внутренней магнитной памятью, в которых при-
применяются ферритовые элементы с прямоугольной петлей гистере-
гистерезиса; их время переключения или управления 0,01 — 1 мкс.
16.4. Устройства, использующие эффект Фарадея
ГИРАТОР
Эффект вращения плоскости поляризации реализуется на волне
типа Ни в круглом волноводе, поперечная структура которой близ-
близка к плоской волне. Тонкий ферритовый стержень помещают на
оси волновода (рис. 16.10). Соленоид сна-
снаружи волновода обеспечивает продольное
намагничение стержня, неизменное либо
регулируемое.
Так как феррит занимает лишь неболь-
небольшую часть поперечного сечения волновода,
постоянная Фарадея в этом случае соответ-
соответственно меньше, чем в сплошном феррите
[ф-лы A6.22), A6.23)]. При слабом намаг-
намагничении
Рис. 16.10
RB = 1,05 р. 3*-(—х')=6,6 -?*-
A6.38)
где po=Wf — фазовый коэффициент в пустом волноводе. Как и в
безграничной среде, постоянная Фарадея пропорциональна намаг-
намагниченности феррита и, кроме того, отношению площадей попереч-
поперечных сечений ферритового стержня Sq, и волновода S.
При утолщении стержня возникают явления, не учитываемые
приведенным соотношением. Довольно значительная величина е
феррита делает его подобным диэлектрическому волноводу. Поле
концентрируется внутри стержня, приближаясь по структуре к
поверхностной волне EHi0, постоянная Фарадея RB увеличивается,
стремясь в пределе к постоянной Фарадея R в оплошном ферри-
феррите. С увеличением диаметра стержня понижаются критические ча-
частоты всех волн. Опасность появления волн -высшего порядка и
ухудшение согласования заставляют ограничиваться применением
стержней небольших диаметров.
Величина и знак постоянной Фарадея RB зависят от направле-
направления и напряженности внешнего постоянного магнитного поля ЯЦ.
Поэтому отрезок волновода, показанный на рис. 16.10, может слу-
служить электрически управляемым гиратором. Изменяя направление
и силу тока соленоида, соответственно меняем плоскость поляри-
поляризации волны #и на выходе гиратора.
ЦИРКУЛЯТОР, ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬ И ВЕНТИЛЬ
Циркулятор, использующий эффект Фарадея в круглом вол-
волноводе, показан на рис. 16.11. Здесь Я —переход от прямоугольно-
прямоугольного волновода (волна типа Hi0) к круглому (волна типа Ни); Ф —
460
фильтр, отражающий волну Ян, поляризованную параллельно
плоскости металлической пластины; Р — разветвление; Г — гира-
гор с неизменным полем Яо , обеспечивающим поворот плоскости
поляризации на 45°.
Вектор Е волны, входящей в плечо 1, поляризован в направле-
направлении А; поэтому волна беспрепятственно проходит через фильтр
Фи При повороте в боковое плечо Р вектор Е оказался бы парал-
параллельным широкой стенке волновода 3, однако для такой поляриза-
поляризации прямоугольный волновод является запредельным, поэтому
Рис. 16.11
волна проходит разветвление Pi, не ответвляясь. Гиратор Г пово-
поворачивает плоскость поляризации в положение В и волна через
элементы Р2, Фг, Я2 проходит в плечо 2. Аналогично из плеча 2
волна с поляризацией В проходит до гиратора Г, где направление
электрического вектора меняется на С, параллельное узкой стен-
стенке волновода в плече 3. От фильтра Ф\ эта волна отражается и
полностью проходит в плечо 3. Точно так же осуществляется пере-
переход волны из плеча 3 в плечо 4 и из 4 в 1. Следовательно, устрой-
устройство реализует матрицу A6.37).
Переключатель. Описанное выше устройство, но без пле-
плеча 3 может служить электрически управляемым переключателем.
Если направление тока в соленоиде гиратора изменить на обрат-
обратное, не меняя его величины, то волна в нем будет поворачиваться
на 45° по часовой стрелке. При этом волна из плеча / попадает
в плечо 4. Быстродействие переключателя ограничивается коэффи-
коэффициентом самоиндукции обмотки и токами Фуко, возникающими в
стенках волновода при перемагничении. Величина этих токов огра-
ограничивается двумя способами. Либо металлические стенки волново-
волновода заменяются диэлектрическими, покрытыми изнутри слоем се-
461
ребра толщиной в несколько микрометров, либо в волноводе про-
прорезается продольная щель (разрывающая путь вихревых токов),
которая может быть заклеена очень тонкой металлической плен-
пленкой (порядка 0,01 мкм). Применение любого из этих способов
позволяет достичь быстродействия Юч-100 мкс.
Вентиль конструируется на основе схемы циркулятора рис.
16.11, если из него изъять секции Р2 и Фг и поместить в плечо
3 поглощающую нагрузку. Тогда прямая волна полностью прохо-
проходит из плеча / в плечо 2, а обратная — из плеча 2 в плечо 3, где
она поглощается.
Более компактное устройство с меньшей мощностью поглоще-
поглощения можно получить, изъяв из циркулятора, изображенного на
рис. 16.11, секции Pi, Я2 и Фг- Фильтр Ф4 выполняют в виде пла-
пластины из поглощающего материала. Прямая волна A-+2), поля-
поляризованная перпендикулярно этой пластине, проходит почти без
потерь. Электрический вектор обратной волны B-*-1) после про-
прохождения ею гиратора находится в положении С, параллельно
пластине, поэтому волна поглощается.
Вентиль другого типа основан на резонансном поглощении вол-
волны с круговой поляризацией (рис. 16.12). Линейно поляризован-
Рис. 16.12
г
А/4-пластина
Л/4 -пластина
ная волна переходит из плеча / в круглый волновод, где она пре-
преобразуется четвертьволновой пластиной (см. параграф 13.6) в
волну с левой (отрицательной) круговой поляризацией, не испы-
испытывающей поглощения в ферритовом стержне. Вторая четверть-
четвертьволновая пластина восстанавливает линейную поляризацию вол-
волны. Обратная волна оказывается поляризованной по кругу поло-
положительно (относительно вектора Но_) и поглощается ферритовым
стержнем, в котором на заданной частоте при Но —Нрез возни-
возникает продольный ферромагнитный резонанс.
Узлы, основанные на эффекте Фарадея, используют в диапазо-
диапазонах сантиметровых и миллиметровых волн. Если волноводный
тракт прямоугольный, применение таких узлов неудобно, так как
требует переходов на круглый волновод. Этим объясняется огра-
ограниченное применение таких узлов. Разработаны ферритовые узлы
с продольным намагничением, построенные на прямоугольном вол-
волноводе, однако их -параметры еще значительно уступают другим'
Известным устройствам.
462
16.5. Узлы с поперечно-намагниченным ферритом
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ВОЛНОВОД С ФЕРРИТОВОЙ ПЛАСТИНОЙ
Явления в поперечно намагниченном феррите позволяют осущест-
осуществить ряд устройств на прямоугольных, Н- и П-образных волново-
волноводах, полосковых и коаксиальных линиях. Такие устройства удоб-
удобны тем, что не требуют переходов к волноводу другого типа. Их
магнитная цепь, содержащая внешний магнит и ферритовый эле-
элемент, имеет относительно небольшие воздушные зазоры (рис.
16.13а); от магнита требуется не очень большая магнитодвижущая
а)
Управляющий прогод
¦Феррит
Диэлектр.
втулка.
Рис. 16.13
сила. Поэтому в неуправляющих устройствах с поперечным маг-
магнитным полем применяют постоянные магниты.
Быстродействие управляющих устройств с внешними электро-
электромагнитами A —10 мс) ограничено высокой самоиндукцией управля-
управляющей обмотки. Теперь широко внедряются узлы с внутренней маг-
магнитной цепью и управлением импульсами тока (рис. 16.136).
Коэффициент распространения волны. Рассмот-
Рассмотрим явления, возникающие в прямоугольном волноводе с попе-
поперечно намагниченным ферритовым элементом, на основе изучен-
изученных в 16.2 свойств необыкновенной волны. Если постоянное маг-
магнитное поле направлено по оси z (рис. 16.14а), а прямая волна
В)
Езлча ОЫг.нс?.
Рис. 16.14
463
распространяется вдоль оси х в положительном направлении, то
нужно переименовать все координаты в соотношениях (9.24) для
поля волны типа #«-'
H°x = H0cosly; Hoy=i^-Hosmty; Ё°г = - i ^ //0 sin 11/, A6.39)
где верхний индекс «О» соответствует волноводу без феррита.
Исследуем структуру магнитного поля в. горизонтальной плос-
плоскости (рис. 16.146). Составляющие Нх и Ну взаимно перпендику-
перпендикулярны, сдвинуты по фазе на 90° и имеют различное распределение
по оси у. При у=0 и у = а поле поляризовано линейно вдоль оси
волновода, при у = 0,5 а оно также поляризовано линейно, iho пер-
рпендикулярно оси, а в 'промежуточных положениях — эллиптически.
В сечениях вблизи у = 0,25 а и у = 0,75 а магнитное поле поляризова-
поляризовано .по «ругу, причем в левой половине волновода поляризация поло-
положительная (относительно Но), а в правой — отрицательная. Точ-
Точное положение круговой поляризации определяется равенством
|//° | = |#°| и меняется с изменением частоты. Волну с линейной
или эллиптической поляризацией можно разложить на две: с кру-
круговой поляризацией и противоположным вращением векторов
[ом. ф-лу C.54)]. Поэтому только в двух положениях магнитное
поле 'имеет чисто круговую поляризацию одного 'направления.
Существенно взаимодействие с ферритом только волны с поло-
положительным направлением вращения. Поэтому максимально фер-
феррит воздействует на волну в волноводе в сечении А. Наоборот, в
сечении В взаимодействие почти отсутствует, так как здесь нет по-
положительно вращающейся компоненты.
Определим фазовую скорость прямой волны при слабом на-
намагничении феррита. В дорезонансной области (#о<О,7 Ярег j_)
для необыкновенной волны и для волны, поляризованной по кругу
с положительным вращением, магнитные проницаемости 0<|л^<1,
0<ц1<1. Следовательно, эквивалентная магнитная проницаемость
феррита в сечении А 0<|д,ф <1 и фазовая скорость волны в вол-
волноводе Unp>uEi (uei — фазовая скорость волны в волноводе с ди-
диэлектрической пластиной, имеющей те же размеры и то же значе-
значение е, что и ферритовая). При увеличении напряженности постоян-
яого поля Но в определенных пределах уменьшается Цф (см. рис.
16.7) и увеличивается ищ,. Если пластина сдвигается из положения
А, амплитуда волны Н с положительной круговой поляризацией
уменьшается и скорость vnp приближается к ve\.
Для обратной волны (рис. 16.14в) поле с положительной
круговой поляризацией находится в сечении В, а в сечении А, где
помещена пластина, поляризация отрицательна. В этом случае
взаимодействие феррита с магнитным полем согласно рис. 16.4
для \л'_ приводит к Цф >1, т. е. фазовая скорость vo6p<veu
Различие фазовых скоростей обусловливает невзаимный фазо-
фазовый сдвиг. При наличии пластины в сечении А ипр>иОбр и Ар =
464
= рпР—рОбр<0. Если поместить ферритовуго пластину в сечение В,
то Лр>0. Замедление волны за счет диэлектрической проницаемо-
проницаемости ферритовой пластины (е'>1) одинаково для волн обоих на-
направлений. Однако с увеличением е' электромагнитное поле боль-
больше концентрируется у феррита, что нарушает его распределение
в волноводе, при этом увеличивается взаимодействие волны с фер-
ферритам, а следовательно, и невзаимный фазовый сдвиг, но ухуд-
ухудшается согласование.
Найдем в первом приближении коэффициент распространения.
для волновода с тонкой пластиной (рис. 16.14). Воспользуемся
для этого методом возмущений, предполагая, что поле в волново-
волноводе не искажено, поле внутри пластины однородно, а его состав-
составляющие Нх и Ег, тангенциальные к границе, и нормальная к ней
составляющая Ву равны соответствующим компонентам в неза-
незаполненном волноводе. Из ф-л A3.7), A6.2), A6.8), A6.39) после
ряда преобразований получим выражения для коэффициентов
распространения прямой \Пр и обратной \обр волн:
Yo6P
l
pg
- 1) -S- cosa I y, + ~ -f-sin 2% y0
A6.40)
где Yo = iPo— коэффициент распространения в волноводе без фер-
феррита; S = ab —площадь сечения волновода; AS=dh — площадь
сечения ферритовой пластины с относительными проницаемостя-
ми е и ||ц||; ? = я/а; \i± определяется ф-лой A6.27).
Разность между коэффициентами распространения в прямом и
обратном направлениях определяется только последним^ слагае-
слагаемым в фигурных скобках, т. е. \щ>—\обР =—i2?(AS/S) (x/u)sin2|vo.
НЕВЗАИМНЫЕ ФАЗОВРАЩАТЕЛИ
В слабых магнитных полях потери в феррите невелики, и можно
считать х=х' и |а = |а'. При длине пластины / разность фаз для
прямой и обратной волн составляет
_2Е/-М^ sin2gr/0. A6.41)
Невзаимный фазовый сдвиг зависит от положения пластины в
волноводе по закону sin Bлув/а): он максимален по модулю при
уо^О,25а и уо~О,75а. Л\|э = О при уо=О; 0,5 и 1,0. Это подтверж-
подтверждает изложенное выше. Если //0<С#Резх, то l^'^l- Следователь-
Следовательно, при фиксированном положении пластины разность фаз А-ф
пропорциональна |х'|. Из рис. 16.2 видно, что в начальной части
характеристики, пока феррит не насыщен, ©еличина |х'| пропор-
пропорциональна #0. Это же вытекает из ф-л A6.7), A6.9), так как в не-t
465
насыщенном феррите M0 = kMH0. Итак, если
не насыщен
ISnt^T « концентрирует электромагнитное поле подобно
диэлектрическому волноводу, что искажает распределение поля в
поперечном сечении и меняет оптимальное положение пластины
наб7юТлСя1ВтУЮЩее МЗКСИМУМУ АР- Если <*« @,15-0,20H, оптимум
наблюдается при касании пластиной боковой стенки волновода
Дальнейшее утолщение пластины нецелесообразно так как это
уменьшает фазовый сдвиг. • это
Лучшими параметрами обладает фазовращатель с двумя пла-
пластинами, расположенными симметрично относительно оси волново-
волновода (в сечениях Л и В на рис. 16.14) и намагниченными в противо-
противоположных направлениях. В этом случае сохраняется симметрия
^^ПГГ УЛУЧШа6Т ™— Фазовращателя с
ВЗАИМНЫЙ ФАЗОВРАЩАТЕЛЬ
Для того чтобы получить взаимный фазовращатель с регулируе-'
мым фазовым сдвигом ^пр = -фобр, нужно поместить ферритовую
пластину в центральное сечение волновода (г/0 = 0,5а), где магнит-
магнитное поле поляризовано линейно и может быть представлено супер-
суперпозицией равных то величине волн с противополож'ными направле-
направлениями вращения. Тогда эквивалентная магнитная проницаемость
феррита одинакова для прямой и обратной волн ДгЬ = О Взаим-
Взаимный фазовращатель работает при слабых магнитных полях Яо
Регулируемая часть сдвига определяется по ф-ле A6.40) с учетом
A6.9). 1|>—фо~ (Ц —l)/n'~fofM~#2o •
Для ненасыщенного феррита .наблюдается .квадратичная зави-
зависимость взаимного сдвига фаз от напряженности постояиного маг-
магнитного поля. У боковых стенок волновода пластину не распола-
располагают, так как любая пластина конечной толщины окажется в об-
области, где магнитное поле поляризовано эллиптически что при-
приводит к невзаим'ному фазовому сдвигу. - '
ФАЗОВЫЙ ЦИРКУЛЯТОР '
Фазовый щиркулятор (рис. 16.15) представляет собой последова-
последовательное соединение щелевого или многодырочного моста (см
ib.z), невзаимных фазовращателей и второго такого же моста
Принцип его работы основам на «евзаимлых фазовых сдви-
сдвигах в волноводах 2'1' и 3'4'. Согласно рис. 16.14, при постоянном
поле По, направленном от читателя, отставание по фазе в верхнем
канале больше для обратной волны, а в нижнем — для прямой
Пусть невзаимный фазовый сдвиг участков с ферритом Ф ДгЬ = 90°
466
Диэлектрическая пластина Д в нижнем канале создает, кроме то-
того, дополнительный взаимный фазовый сдвиг на 90° для прямой и
обратной волн.
Мост I
90' Д
Невэаимные
Мост Е
Рис. 16.15
Рассмотрим волну 0 \, вошедшую в первое плечо. Мост 1 опи-
описывается матрицей A5.22) при $ = 45°: ?=1/"[/~2; M^—i/yj. Сле-
Следовательно, волны на его выходах: UT =С/Г =0; UT'=EUt; и#=*
— Ди 1 . Волна в верхнем волноводе проходит без изменений, а в
нижнем испытывает дополнительный сдвиг на 180°. На входах
второго моста 0f> =U'r =EUf; Uf- =—Uy—QUt . Исполь-
Используя снова матрицу A5.22), получаем UT= (Б2—Д2HТ =0t; VI =
= (БД—ДБH^ =0. Поэтому единственный ненулевой элемент
в первом столбце матрицы циркулятора S2i = (/f/t/if =1. Если
аналогичным образом проследить за волнами из остальных плеч,
придем к матрице:
0
0
0
— 1
— 1
0
о
о
о
о
-1
о
A6.42)
Данный узел представляет собой циркулятор, передающий вол-
волны в последовательности 7->-2->-#-ь?->-;. Фазовые циркуляторы
имеют большие габариты, поэтому их целесообразно ишользовать
только в трактах, рассчитанных на большую мощность (средняя
мощность до 100 кВт, импульсная — до 30 МВт).
ВЕНТИЛИ С ПОПЕРЕЧНЫМ ФЕРРОМАГНИТНЫМ РЕЗОНАНСОМ
Во л но водные вентили. Пусть постоянное магнитное поле в
ферритовой пластинена рис. 16.14 соответствует Поперечному фер-
ферромагнитному резонансу Я0 = ЯРеЗХ. Коэффициенты затухания
прямой апр и обратной аОбР волн определяются вещественной
частью выражений A6.40); затуханием незаполненного волно-
волновода можно пренебречь. Разность коэффициентов затухания
467
SSrar * —=
В практических конструкциях толщину d пластины стапаются
увеличить чтобы сделать большим др. Толстая магнитодиэл'еТри
ческая пластина концентрирует электромагнитное поле подобно
диэлектрическому волноводу, что искажает распределение поля I
™n'peT4H°M °еЧеНИИ И Меняет ^имальное положение пластины
соответствующее максимуму др. Если rf« @,15-0,20)а оптимум
ГйГ ПРИ КаСЗНИИ ПЛЗСТИН0Й боко*ой ст™ волновода
ГаГфаГьГсдви?аСТИНЬ[ ™ес°^зно, так как это
стин^мГГ "аРаметРами обладает фазовращатель с двумя пла-
пластинами, расположенными симметрично относительно оси волново-
полож,Г6НИЯХ И В Н3 РИС 16Л4) и намагниченными в противо-
поля в «олНГ^ВЛеНИЯХ- В ЭТ°М СЛуЧае С0ХРаняется симметрия
ГВВНОВ^'0 УЛУЧШЗеТ ™ фазовращателя с
ВЗАИМНЫЙ ФАЗОВРАЩАТЕЛЬ
мым Т^п^°бЫ П0лучить взаимный фазовращатель с регулируе-
регулируемым фазовым сдвигом фпР = г|>обр, нужно поместить ферритовую
пластину в центральное сечение волновода (г/0 = 0 5а) где магнит
ное поле поляризовано ли>ней«о и может бь/ть,представлено Sp-
позициеи равных по величине ,волн € противоположными направле-
направлениями вращения. Тогда эквивалентная магнитная проницаемость
феррита одинакова для прямой и обратной волн Д=0 Взаим-
Взаимный фазовращатель работает при слабых магнитных полях Яо
й^П" Г^ЗД^Г0"по ф"ле A640) с v4eT0M
Для ненасыщенного феррита наблюдается квадратичная зави-
зависимость взаимного сдвига фаз от напряженности постояиного маг-
магнитного поля. У боковых стенок волновода пластину не распола-
располагают, так как любая пластина конечной толщины окажется в об-
1а™; где магнитное поле поляризовано эллиптически, что при-
приводит ж невзаимному фазовому сдвигу. - '
ФАЗОВЫЙ ЦИРКУЛЯТОР
Фазовый щириулятор (рис. 16.15) (представляет собой последова-"
тельное соединение щелевого или многодырочного моста (см
ib.Z), невзаимных фазовращателей и второго такого же моста
Принцип его работы основам на «евзаимных фазовых сдви-
сдвигах в волноводах 2' V и 3'4'. Согласно рис. 16.14, при постоянном
поле Яо, направленном от читателя, отставание по фазе в верхнем
канале больше для обратной волны, а в нижнем — для прямой
Пусть невзаимный фазовый сдвиг участков с ферритом Ф Atb = 90°'
466
Диэлектрическая пластина Д в нижнем канале создает, кроме то-
того, дополнительный взаимный фазовый сдвиг на 90° для прямой и
обратной волн.
Мост/ 90 Л Mocmff
90 Д
Недэаимные
Рис. 16.15
Рассмотрим волну (j\, вошедшую в первое плечо. Мост / опи-
описывается матрицей A5.22) при ^ = 45°: Б=\/У% Д = —г(\/г'2. Сле-
Следовательно, волны на его выходах: UT =t/r=O; О* =BUt; ?/?==
= Д1>i . Волна в верхнем волноводе проходит без изменений, а в
нижнем испытывает дополнительный сдвиг на 180°. На входах
второго моста Of' =tiv = Bl)t; Of- =—lfy—JJ[Ot . Исполь-
Используя снова матрицу A5.22), получаем ?/Г=(?2—Дг)ОТ = 0f', 0^~ =
= (БД—ДБ)й? =0. Поэтому единственный ненулевой элемент
в первом столбце (матрицы циркулятора Su^UYjlit =1. Если
аналогичным образом проследить за волнами из остальных плеч,
придем к матрице:
ГО 0 -1 0
10 0 0
0 0 0—1
0—1 0.0
Данный узел представляет собой циркулятор, передающий вол-
волны в последовательности 1^2-^4-^3-^1. Фазовые циркуляторы
имеют большие габариты, поэтому их целесообразно использовать
только в трактах, рассчитанных на большую мощность (средняя
мощность до 100 кВт, импульсная — до 30 МВт).
ВЕНТИЛИ С ПОПЕРЕЧНЫМ ФЕРРОМАГНИТНЫМ РЕЗОНАНСОМ
Во л но водные вентили. Пусть постоянное магнитное поле в
ферритовой пластине-на рис. 16.14 соответствует Поперечному фер-
ферромагнитному резонансу Н0 = Нрея±. Коэффициенты затухания
прямой апр и обратной аОбР волн определяются вещественной
частью выражений A6.40); затуханием незаполненного волно-
волновода можно пренебречь. Разность коэффициентов затухания
467
A6.42)
02 0,3 0,4 US
= апр—аОбр, как и Лгр (ф-ла A6.41)], максимальна при г/о «0,25а
и у — 0,75 а, т. е. если ферритовая пластина ^находится .в положении
А или В (рис. 16.14) соответствующем .круговой поляризации волн
в волноводе. Различие коэффициентов за-
затухания волн с противоположными на-
направлениями вращения позволяет по-
построить вентиль на поперечно намагни-
намагниченном феррите.
Зависимость потерь и вентильного от-
отношения В [ф-ла A6.35)] от положения
пластины представлена на рис. 16.16.
Максимум вентильного отношения нахо-
находится вблизи минимума потерь прямой
волны. Эти потери минимальны в сече-
сечении В (рис. 16.14), где прямая волна
имеет магнитное поле с отрицательной
круговой поляризацией. Потери в диэлек-
диэлектрике увеличивают в одинаковой степени затухание обеих волн и
ухудшают вентильное отношение.
Потери прямой и обратной волн примерно одинаково зависят
от величины постоянного магнитного поля. Максимум потерь сог
ответствует значению Ярез х — поперечному ферромагнитному ре-
резонансу. Определив для этого случая коэффициенты затухания аПр
и аОбр, найдем максимальное вентильное отношение в отсутствие
диэлектрических потерь: Втаос= 16 Q ?.
Лучшие результаты дает применение двухслойной пластины из
феррита и диэлектрика (рис. 16.17) при высоте феррита порядка
Рис. 16.16
Диэлектрик Феррит
Рис. 16.17
Дизлектрич
стержень
0,6 высоты волновода. Диэлектрик концентрирует поле около фер-
феррита и позволяет получить в широкой полосе частот вентильное
отношение, близкое к максимальному при большом коэффициенте
затухания обратной волны. Здесь сказывается большая широкопо-
лосность диэлектрического волновода по сравнению с металли-
металлическим. Для улучшения согласования тракта концы пластин за-
заостряют. Вентиль с размерами, указанными на рис. 16.17, имеет
в диапазоне частот 3,4-^3,9 ГГц следующие характеристики:
/Ссв<1,03; апр/ = 0,2 дБ; аОбР/=20 дБ; B=il00.
468
Практически вся мощность обратной волны рассеивается к
феррите, поэтому вентили такого типа рассчитаны на мощность
обратной волны порядка единиц ватт. Они используются, напри-
например, в измерительной технике и радиорелейных линиях.
Для увеличения мощности рассеяния ферритовые пластины
приклеивают к широким стенкам волновода, располагая их гори-
горизонтально, в плоскости Н. Этим уменьшается также опасность-
пробоя. Такие вентили с относительно громоздкой магнитной си-
системой рекомендуется устанавливать в трактах с большим уров-
уровнем мощности: средней — до 100 кВт, импульсной до 10 МВт.
Коаксиальные вентили (рис. 16.18) содержат двух-
двухслойные феррито-диэлектрические пластины. В поперечной ТЕМ-
волне невзаимные явления невозможны. Диэлектрическая пласти-
пластина превращает ее в поверхностную,
магнитное поле которой имеет про-
продольную составляющую и поэтому
эллиптически поляризовано в плос-
плоскости, перпендикулярной Но. Для
прямой и обратной волн направле-
направления вращения векторов противопо-
противоположны. Подбором толщины диэлек-
диэлектрика при заданных ей/ удается
получить круговую поляризацию в
феррите и тем самым снизить по-
потери прямой волны, а также полу-
получить наибольшее вентильное отно-
отношение или фазовый сдвиг. В конструкции рис. 16.186 вместо фер-
ритовой пластины использованы два цилиндрических ферритовых
стержня. Частотные характеристики устройства можно существен-
существенно выровнить, если создать неоднородное по длине пластины пос-
постоянное магнитное поле Но. Тогда каждой частоте рабочего диа-
диапазона будет соответствовать максимум поглощения в определен-
определенной части пластины.
Рис. 16.18
ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ И ОГРАНИЧИТЕЛИ МОЩНОСТИ
Ферритовые фильтры содержат чаще всего монокристал-
монокристаллы иттриевого граната, изготовленного в виде шара или диска, и
используют явление ферромагнитного резонанса. При хорошо от-
отполированной поверхности собственная добротность таких элемен-
элементов достигает 104, что позволяет получить относительно узкую
полосу пропускания фильтра, порядка 10—40 МГц в сантиметро-
сантиметровом диапазоне. Рассмотрим ферритовый фильтр, в котором фер-
ферритовая сфера осуществляет связь между ортогонально располо-
расположенными симметричными полосковыми резонаторами (на рис.
16.19 верхняя пластина удалена). Применены полуволновые ре-
резонаторы, разомкнутые на концах; для связи с линией служат
емкостные зазоры. Ферритовый шар находится в максимуме маг-
4б9>
битного поля обоих резонаторов. При отсутствии поля намагни-
намагничения Но связь между резонаторами отсутствует, так как их оси
взаимно перпендикулярны. В намагниченном феррите за счет пре-
прецессии поле входного резонатора создает эллиптически поляризо-
поляризованное магнитное поле, которое, в свою очередь, возбуждает ко-
колебания во втором резонаторе; таким образом, связь между^резо-
наторами осуществляется за счет недиагонального элемента х тен-
Шар из иттриеНого
граната
8:од
Рис. 16.19
хсЗ
зора магнитной проницаемости
[ф-ла A6.8)]. При резонансе
модуль этого элемента дости-
достигает наибольшей величины, и
связь между резонаторами
максимальна (см. рис. 16.2).
Величина связи и амплитуда
колебаний во втором резонато-
резонаторе изменяются с частотой так
же, как |х| (если не учитывать
избирательности полосковых
резонаторов). Изменением ве-
величины поля Но можно менять
резонансную частоту фильтра в весьма широком (двухкратном и
более) диапазоне частот.
Ограничители мощности свч представляют наиболее
важный и специфичный класс устройств, использующих нелиней-
нелинейные свойства ферритов. Их действие основано на дополнительном
резонансном поглощении в ферритах, которое возникает лишь при
значительном уровне мощности волны. При достижении перемен-
переменным полем некоторого порогового уровня //пор дальнейшее его
увеличение не приводит к росту переменной составляющей намаг-
намагниченности, что эквивалентно резкому уменьшению компонент
тензора магнитной проницаемости. Рассмотренная ранее конст-
конструкция (рис. 16Л9) может служить также ограничителем мощно-
мощности. После того, как мощность сигнала на входе достигнет порого-
порогового значения, мощность на выходе узла не увеличивается, так как
уменьшение величины |х| приводит к ослаблению связи между
линиями. При этом часть мощности поглощается в феррите, а
часть отражается вследствие нарушения согласования резонатора
с трактом.
16.6. Устройства со смещением поля
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
Рассмотрим плоскопараллельную двухпроводную ленточную ли-
линию 'с поперечно намагниченным ферритовым бруском (рис.
16.20а). Пусть величина Но удовлетворяет условию вытеснения
поля из феррита, рассмотренному в 16.2: Ярез— Мо<//о<Ярез±-
Тогда волна ТЕМ ленточной линии с составляющими Ег и Нч пре-
470
образуется в Я-волну, имеющую продольную составляющую поля
Нх. На границе феррит — воздух, как и на границе диэлектрик —
воздух в диэлектрическом волноводе, возникают поверхност-
поверхностные волны. Поскольку феррит при \i x <0 является реактивной
средой, вытесняющей высокочастотное поле, амплитуда поля ос-
основной поверхностной
а)
Рис. 16.20
Я-волны ферритовой пла-
пластины уменьшается по
экспоненте как в возду-
воздухе, так и в феррите. Обра-
Образуется двусторонняя по-
поверхностная волна.
Следствием анизотро-
анизотропии является различие
структур полей прямой и
обратной волн (рис.
16.206). Максимум поля
прямой волны (распространяющейся от читателя) находится на
левой грани пластины, а максимум поля обратной — на правой.
Фазовая скорость этих двусторонних поверхностных волн меньше,,
чем у обыкновенной волны в сплошном феррите. Аналогов такой
волны в случае изотропной диэлектрической пластины не суще-
существует.
ВОЛНОВОДНЫЙ ВЕНТИЛЬ СО СМЕЩЕНИЕМ ПОЛЯ
Поместим теперь поперечно «амапииченный ферритовый брусок
асимметрично в прямоугольный волновод (рис. 16.21). Из сравне-
сравнения с рис. 16.206 видно, что поле обратной волны очень мало у вер-
вертикальных стенок волново-
волновода; поэтому оно сохраняет
без изменений структуру,,
рассмотренную в предыду-
предыдущем случае. Следовательно,
обратная волна типа Я!о
прямоугольного волновода
преобразуется в двусторон-
двустороннюю поверхностную Я-вол-
Я-волну.
Для прямой волны типа
Н]0 в волноводе феррит с
ц,'х<10 почти непроницаем,
поэтому в основном она про-
Н,
Рис. 16.21
должает распространяться с почти неизменной структурой между
поверхностью ферритового бруска и правой вертикальной стенкой.
Лишь небольшая часть энергии переходит в поверхностную волну,
распространяющуюся вдоль левой грани феррита; ее структура
сильно искажена расположенной рядом стенкой волновода. При
47 L
•определенных положении и толщине бруска суммарная напряжен-
напряженность поля обеих составляющих прямой волны равна нулю в се-
сечении А.
На поверхность феррита в сечеиии А наносится поглощающая
пленка. Обратная волна, у которой в этом сечении ?z=max, почти
полностью поглощается, в то время как (потери прямой волны неве-
невелики (?г«0). Экспериментально получено значение вентильного
отношения 100 три хорошем согласовании волновода и высокой
стабильности параметров. Мощность рассеяния в тонкой пленке
невелика, она обычно не превышает 10-=-15 Вт. Магнитная система
такого вентиля легче, чем у резонансного, так как напряженность
поля #0 выбирается лишь немного большей, чем (Ярез—-Мо), и
существенно меньшей резоншаного значения Нрез± , чтобы свести
¦к минимуму резонансные потери в феррите. На рис. 16.21 показаны
.ориентировочные относительные размеры устройства.
КОАКСИАЛЬНЫЕ И ПОЛОСКОВЫЕ ФАЗОВРАЩАТЕЛИ
Эффект смещения поля позволяет 'строить невзаимные управляемые
фазовращатели как с внешними магнитами, так и магнитной па-
памятью. В ленточной линии с диэлектрической пластиной образует-
образуется поверхностная волна с эллиптически поляризованным магаит-
.ным полем в горизонтальной плоскости; поперечное распределение
.напряженности ее электрического поля показано пунктиром на
Обратная
Рис. 16.22
рис. 16.22а. Поместим с обеих сторон от диэлектрика ферритовые
пластины, намагниченные в противоположных направлениях.
В такой системе действуют согласно два невзаимных явления.
Во-первых, ферритовая пластина перераспределяет поле в попе-
поперечном направлении в соответствии с рис. 16.20а. Благодаря этому
большая часть мощности обратной волны распространяется в
диэлектрике, а прямой — в воздухе и иПр>иОбр. Во-вторых, эллип-
эллиптически поляризованное поле взаимодействует с поперечно на-
намагниченным ферритом, меняя его эквивалентную магнитную про-
проницаемость. Для прямой волны (направленной от читателя) с
¦обеих сторон диэлектрической пластины направление вращения
магнитного поля положительно относительно Яо. Благодаря этому
(см. параграф 16.2) также уПр>уОбр. Итак, рассмотренные эффек-
472
Рис. 16.23
ты усиливают друг друга и в системе наблюдается невзаимный
фазовый сдвиг А-ф. Если направление и величина поля Яо регули-
регулируются, то соответственно изменяется сдвиг фазы на участке ли-
линии с ферритом.
На рис. 16.226,6 показаны коаксиальная и полосковая линии
с ферритовыми и диэлектрическими пластинами, реализующие
рассмотренный принцип получения невзаимного фазового сдвига.
Рисунок 16.22а можно считать разверткой полей этих линий.
ФАЗОВРАЩАТЕЛИ С ВНУТРЕННЕЙ МАГНИТНОЙ ПАМЯТЬЮ
Управляющие устройства с внутренней магнитной памятью со-
содержат замкнутую внутри волновода или линии магнитную систе-
систему, набранную из ферритовых сердечников с прямоугольной петлей
гистерезиса (рис. 16.136). Импульсы тока в управляющем проводе-
намагничивают феррит в
том или ином направлении, ц)
после чего он сохраняет ос-
остаточную намагниченность,
обеспечивающую нужные
параметры узла. Благодаря
весьма малому коэффициен-
коэффициенту самоиндукции управляю-
управляющей цепи, такое устройство
имеет быстродействие 0,01 — 1 мкс; для управления требуется энер-
энергия порядка 0,1—10 мДж.
На рис. 16.136 и 16.23 показаны фазовращатели с импульсным
управлением, построенные на прямоугольном волноводе, коаксиаль-
коаксиальной и полосковой линиях. Очевидна их аналогия с рассмотренны-
рассмотренными перед этим системами (рис. 16.14 и 16.22), если учесть, что го-
горизонтальные части замкнутых магнитных систем в создании уп-
управляемого фазового сдвига не участвуют.
16.7. Y-циркуляторы
Трехплечее симметричное соединение полосковых линий или по-
полых волноводов в плоскости Я является основой для построения
наиболее удобных и компактных циркуляторов в диапазоне от
миллиметровых до метровых волн. Эти циркуляторы получили,
наибольшее распространение.
Взаимное тройниковое соединение не может быть полностью
согласованным. Матрица A5.1) аксиально-симметричного У-сое-
динения ТЕМ линий и волноводов (в Я-плоскости) свидетельст-
свидетельствует о значительном отражении в каждом из плеч. Введение в
центр соединения ферритового диска, намагниченного вдоль оси,
создает асимметрию в распределении энергии между плечами. Из;
общей теории невзаимных трехплечих узлов следует, что идеально
согласованный узел Sn = S22 = S33=0 является одновременно
47а
/
Рис. 16.24
корпус
Магниты
Феррит
Дижнтрич
кольца
идеальным циркулятором с матрицей вида A6.37). Поэтому прак-
практически достаточно настроить трехплечий узел на отсутствие отра-
отражений в каждом из плеч, чтобы получить У-циркулятор.
На рис. 16.24 показана конструкция волноводного У-циркулято-
ра. Постоянное магнитное поле создается стержневыми магнита-
магнитами, вложенными в немагнитный корпус. Магнитопровод замыкает-
замыкается крышками из магнитной ста-
стали. Регулируемая пробка в цент-
центре крышки позволяет менять Но
и настраивать циркулятор на ра-
рабочую частоту. Существенны для
работы циркулятора диэлектри-
диэлектрические кольца, надеваемые на
диск. Они играют роль четверть-
четвертьволновых трансформаторов и по-
позволяют согласовать плечи цир-
циркулятора. Циркуляторы санти-
сантиметрового и миллиметрового диа-
диапазонов работают в слабых полях намагничения порядка #о~
«10 кА/м, что в 104-1000 раз меньше Ярез. Этим объясняется про-
простота и малая масса магнитной системы.
Современные волноводные У-циркуляторы имеют в частотной
полосе 204-75% следующие параметры: развязку между плечами
204-30 дБ, потери в направлении передачи 0,3-4-0,5 дБ, /сСв =
='1,14-1,2. Мощности передачи достигают 100 кВт в импульсе и
1 кВт в среднем. Масса циркуляторов вместе с магнитной систе-
системой редко превышает 3004-500 г, а их габариты — 104-20 см1).
/Принцип работы У-циркуляторов основан на эффекте смеще-
смещения поля. Центральная часть узла (рис. 16.24) образует кольце-
кольцевой резонатор, в котором существует два типа колебаний с кру-
круговой поляризацией, имеющих противоположные направления ера-
щення поля. В соответствии с рис. 16.206 волна, вращающаяся по
часовой стрелке, является двусторонней поверхностной волной с
фазовой скоростью уп<с (анализ [24] показывает, что такая вол-
волна существует в слабых нолях также при [i'x>0). Волна, вра-
вращающаяся против часовой стрелки, как и прямая на рис. 1.6.21,
подобна обычной волне типа #ю в волноводе и ее фазовая ско-
скорость vB>c. Следовательно, vn<vB, а рп>Рв.
Сумма этих волн образует в резонаторе стоячее поле. Для ра-
работы циркулятора необходимо, чтобы при подаче 'волны в плечо 1
узел напряженности Е находился напротив плеча 3, а пучность —
напротив плеча 2. Покажем возможность такого распределения
на следующем примере. Пусть / — путь по кольцу между сосед-
соседними плечами, рв/ = я/3; рп / = 2рв / = 2я/3. Тогда поверхностная
') Существуют конструкции четырехплечих Х-образных циркуляторов с угла-
углами между осям,и плеч 90°, однако «х параметры значительно уступают парамет:
рам К-циркуляторов.
474
волна, распространяющаяся из плеча 1 в плечо 2 по пути
/ (рп' = 2я/3), и волноводная, распространяющаяся по пути
1-+3-+2 длиной 2/ (рв2/ = 2я/3), приходят в плечо 2 в фазе. Фазо-
Фазовый сдвиг первой волны на пути 1-*-2->3: рп2/=4я/3, а второй вол-
волны на пути /->3: $J = n/3; разность фаз в плече 3 равна я. При ра-
равенстве амплитуд обеих волн образуется требуемое распределение
суммарного поля. Максимум этого поля смещен из центра узла
к плечам / и 2.
У-циркуляторы на полосковых линиях предназначены для ра-
работы в дециметровом и сантиметровом диапазонах; их параметры
близки к 1волновод«ым. Ферритовые диски, диаметр которых ра-
равен или больше ширины ленточного проводника, помещаются по
обе стороны от него (рис. 16.25). Снаружи на них надеваются
диэлектрические кольца, необходимые для широкополосного согла-
согласования. Принцип работы таких циркуляторов сходен с выше-
вышеописанным. Однако в этом случае электромагнитное поле цент-
центральной области целиком находится в феррите. Волна ТЕМ, па-
падающая в плечо 1 циркулятора, создает в ферритовых дисках
два типа колебаний с круговой поляризацией и противоположными
направлениями вращения магнитного поля. Одно из этих колеба-
колебаний так же распределяется в феррите, как и прямая волна на
рис. 16.206 (с максимумом у левой кромки). Суммарное поле рас-
рассматриваемого циркулятора, как и волноводного, смещено таким
образом, что максимум находится между входным 1 и выходным 2
плечами, а нуль — в развязанном плече 3.
На частотах ниже 14-2 ГГц, когда Ярез х относительно мало„
феррит в слабых полях Н0<^Нрез х имеет значительные потери и
нестабильные параметры. В этом случае (полооковые У-циркулято-
У-циркуляторы рассчитывают на поля намагничивания Но= B4-3) Нрея± , что,
однако, не приводит к заметному увеличению размеров магнитной
системы. При #о>#Рез-1_ направление смещения поля и циркуля-
циркуляции волны меняется на обратное (по сравнению с вышеописан-
вышеописанным) .
В реверсивных У-циркуляторах постоянное поле намагничения
создается катушкой с током, направление которого определяется
Рис. 16.26
Рис. 16.26
475.
«схемой управления. Одна из конструкций управляемого цирку-
.лятора с внутренней магнитной памятью показана на рис. 16.26
(верхняя пластина снята).
Управляющий провод охватывает центральные части ферри-
товых элементов, расположенных сверху и снизу центральной лен-
ленты полосковой линии. Феррит вне этого объема, где магнитное
поле #о направлено противоположно, невзаимных эффектов не
создает.
ЗАДАЧИ
16.1. Вычислить постоянную Фарадея для феррита с е=10 и намагничен-
намагниченностью насыщения Мо = 8ОкА/м при частоте f= 10 ГГц. Напряженности поля на-
намагничивания Яо''=5ОкА/м, Я^2) = 100 кА/м.
Решение. Определим частоты ферромагнитного резонанса iA6.5) для за-
заданных полей f(ol) =36,2-50= 17N0 МГц; ffl =3б>,100=3520 МГц и частоту намаг-
намагниченности ,A6.7) fM=35,2-80=2800iMrn. По ф-лам ,<A6Л7) и A6.20) эквивалент-
эквивалентные проницаемости при Я^1):ц1=11+2^/A0+1,76) = 1,238; р.+ = 1— 2,8/|A0—1,76)-
= 0,660. Аналогично при Я^2):р/_ = 1,207; р.^ =0,568. По ф-ле A6.22) находим
искомую величину (Ло = 3см):
Я<" = A80VT0/3 [см]) (/1^238 — /ЬТббО) = 59°/см; ЯB) = 66°/см.
Изменение напряженности Яо в два раза привело к увеличению R всего на М%.
16.2. Определить резонансную «апряженность поля Яр0з и коэффициент за-
затухания для правополяризоваиной волны в том же феррите, если Q,t>=ilO и
/=10ГГц.
Решение. Из ф-лы A6.5) следует, что резонансу соответствует Ярез=
= 10000/35,2=284 кА/м. По ф-ле A6.18) находим р.+ = р.^.— i p.^.= 1,14—i 5,6. Коэф-
Коэффициент затухания рассчитываем по ф-ле 1C.26), считая еа =0:
а = (м/с) /iTi^Y И>12 + И>12 — И'! =1000— ; а°=86,86 дБ/см.
16.3. Определить фазовые скорости обыкновенной я необыкновенной воли в
поперечно намагниченном феррите при f= 10 ГГц; е=:10; iMo=8OkA/m; Ни—
= 100кА/м; р.г=0,95.
Решение. В задаче 16.1 определены частоты ]ж и f0. Скорость обыкиовен-
яой волны 1'о6 = с/]^бЦг = 300/)^ 10-0,95=97 Мм/с. Для необыкновенной волны по
ф-ле A6.26) находим:
[Х±= 1 — C,52 + 2,8J,8/A02 — 3,52г — 3,52-2,8) = 0,772;
тогда фазовая скорость va = c/y ер, _|_=|108Мм/с.
16.4. Для того же феррита определить напряженность поля намагничения и
коэффициент затухания при поперечном резонансе, если Qiti = 10; /=101Тц.
Решение. В задаче 16.2 определено Ярез=284кА/м. По ф-ле A1630) на-
находим: Ярез х=247 кА/м. Мнимая составляющая магнитной проницаемости
[ф-ла A6.31)] р.] =20-0,28/1,75=3,18. Коэффициент затухания по ф-ле C.26)
iV-'a ~0):
835 72,5.
2 м см
Полученный коэффициент затухания меньше, чем в задаче 16.2 при продоль-
продольном резонансе.
4716
-Список литературы
Айзенберг Г. ,3. Антенны ультракоротких волн. М., Связьиздат, [1957.
Альтман Д ж. Л. Устройства ОВЧ. М., «Мир», ,1968.
Анго А. Математика для электро- я радиоинженеров. Изд. 2., М., «Наука»,
1967.
Брсховских Л. М. Волны в слоистых средах. М. Изд. АН СССР, 1957.
Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А. Справочник по математике.
Изд. 11. М„ «Наука», 1967.
Б рун о в Б. Я. и др. Теория электромагнитного поля. М.-Л., ГЭИ, 1962.
В аи и штейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М., «Со-
«Советское радио», 1966.
iB айн штейн Л. А. Теория дифракции и метод факторизации. М., «Совет-
«Советское радио», М., 1966.
Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М., «Советское радио», 1957.
Вольман В. И., Пименов Ю. В. Техническая электродинамика. М.,
«Связь», 1971.
радштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. М., Ф.изматгиз, 1963 (ссылки даются на номер формулы).
Джек сои Д'Ж. Д. Классическая электродинамика. М., «Мир», 1965.
Ефимов И. Е. Радиочастотные линии передачи. М., «Советское радио»,
1964.
3 о м м е р ф е л ь д А. Электродинамика. М., ИЛ, 1968.
К а це н е л е.нб а у iM |Б. 3. Высокочастотная электродинамика. М., «Наука»,
1966.
Кл от фен штейн Р. — «Ргос. 1RE», 1056, 44, N° 1, р. 31.
Ковалев И. С. Теория я расчет полосковых волноводов. Минск, «Наука и
техника», 1967.
Ковалев И. С. Основы теории и расчета устройств СВЧ. Минск, «Наука
и техника», 1972.
19. К юн Р. Микроволновые антенны. Л., «Судостроение», 1967.
20. Лебедев И. В. Техника и приборы СВЧ, т. 1. М., «Высшая школа», 1970.
21. Марков Г. Т., Ч аплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.-Л.,
«Энергия», 1967.
22. Мат те и Д. Л., Янг Л., Джойс Е. М. Т. Фильтры СВЧ, согласующие це-
цепи и цепи связи, тт. 1, 2. М., «Связь», 1971, 1972. .
23. Me инке X., Гундлах Ф. Радиотехнический справочник, т. 1. М-Л., ГЭИ,
1961.
24. М и к а э л я н А. Л. Теория и применение ферритов на сверхвысоких частотах
М.-Л., ГЭИ, 1963.
25. Модель А. М. Фильтры СВЧ в радиорелейных системах. М., «Связь», 1967.
26. Никольский В В. Теория электромагнитного поля. М., «Высшая школа»
1961.
27. Потех ин А. И. Некоторые задачи дифракции электромагнитных волн. М.,
«Советское радио», 1948.
28. Сазонов Д. М., Гридин А. Н. Техника СВЧ. М., Изд. МЭИ, 1970.
29. Семенов А. А. Теория электромагнитных волн. М., Изд. МГУ, 1968.
30. Семенов Н. А. «Радиотехника и электроника», 1963, т. VIII, вып 8,
стр. 1476; 11965, т. X, вып. 8, стр. ilS33.
31. Силаев М. А., Брянцев С. Ф. Приложение матриц и графов к анализу
ОВЧ устройств. М., «Советское радио», 1970.
32. Стрэттон Д ж. А. Теория электромагнетизма. М.-Л., Гостехиздат, 1948.
33. Т а м м И. Е. Основы теории электричества. Изд. 8, М., «Наука», 1966.
34. Фа но Р. М. Теоретические ограничения полосы согласования произвольных
импедансов. М., ,«Советское радио», 1965.
35. Фельдштейн А. Л., Явич Л. 'Р., Смирнов iB. П. Справочник по эле-
элементам волноводной техники. М., «Советское радио», 1967.
36. Харвей А. Ф. Техника сверхвысоких частот. М., «Советское радио», 1965.
37. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М., «Наука», 1964.
477
Предметный указатель
Амплитуда нормированная 178, 278
Аналогия электростатическая 89
Анизотропия 24, 439
Антенна рамочная, ферритовая 137
Аттенюатор 226, 341
Вектор Пойнтинга 65, 70
Величина поля 20, 45
Вентиль 456, 462, 467, 469 471
Ветвь 113, 306
Возбуждение волноводов 220
— резонаторов 278
Волна электромагнитная 11, 12, 38,
52, 55
антифазная 248, 422, 424
вырожденная 196, 208, 214,
217, 219, 297
высшего порядка 194, 201,
209, 223
замедленная 289
направляемая 153
— — необыкновенная 452, 454
— — неоднородная 52, 105, 131,
153, 165
— — однородная 52
основная 194, 205, 208, 297,304
— — парциальная 162, 167, 267
— — плоская 52, 156, 165
¦ поверхностная 105, 289, 471
пробная 221
синфазная 248, 422, 424
сферическая 52, 126, 130
Волновод 153, 154
— диэлектрический 165, 292, 301,311
— запредельный 224, 349
— оптический 155, 302
— поверхностной волны 154, 289
— полый металлический 164, 187
Волновое уравнение 50, 124, 155
— число 56
Волновой вектор 54
Восприимчивость магнитная 26
— диэлектрическая 25
Гиратор 456, 460
Гистерезис 27, 47, 49
Градиент 80, 95, 191, 209
Диаграмма круговая 181
— направленности 131, 135, 149
Диафрагма 334, 391
Дивергенция 30, 55
Диполь 25, 94, 126
Дисперсия 170, 201, 235, 300
Дифракция 139
Длина волны 54, 165, 188
Добротность резонатора 257, 274,281
— феррита 445
Домен 26, 27, 441
Емкость, электрическая 83, 86, 88
478
231, 232
Закон Ампера 11 ?1
— Бчо—Савара 93
— Джоуля—Ленца 67
— Кулона 30
— Ома 24
— отражения 99
— парциальных мощностей 172
— Снеллиуса 99
— сохранения заряда 33
— — энергии 64, 68, 71
— Фарадея 11, 34
Заряд электрический 15, 17, 29, 40
точечный 16, 30, 81, 85
Излучатель 123, 126, 134, 147
Излучение 65, 123
Импеданс поверхностный 105, 108,
118, 119, 289, 311
Индуктивность 93, 230
Индукция магнитная 18
— электромагнитная 34
Интеграл Кирхгофа 125, 144
Колебания вырожденные 268, 270,
274
Компонента прямоугольная 51
Концепция Бриллюэна 162, 167
Координаты сферические 43
— цилиндрические 43
Коэффициент бегущей волны 181, 183
— затухания 53, 155, 174, 233
— кроссполяризации 215, 217
— Ламэ 43
— ослабления 224
— отражения 100, 114, 370
— передачи 113, 114, 282
— полезного действия 184, 282
— поперечный 156, 164, 166, 187,
190, 290
— преломления 100
— прозрачности 115, 118
— прохождения 100
— распространения 51, 53, 155, .233
— связи 422, 427
— стоячей волны 181, 183
— фазы 53, 155, 233
Лапласиан 51, 155
Лемма Лоренца 150
Линия двухпроводная 88, 154, 244,
247
— коаксиальная 86, 154, 236
— ленточная 154, 251, 332
— микрополосковая 254
— нормированная 179
— поверхностной волны 303
— полосковая 251
— поля 15
— симметричная 244
— четырехпроводная 248
Луч 54
Магнитостатика 94
Масса электромагнитного поля 22
Матрица волновая 352, 354, 357
Метод возмущений 325, 341, 465
— волновой оптики 144
— геометрической оптики 98, 140
— изображений 85, 249
— лучевой оптики 98, 140
— ориентированных графов 113, 395
— разделения переменных 189, 206
— символический 45
— физической оптики 144
Множитель бегущей волны 155
Мода 158. 267, 273
Момент пары сил 19, 442
— тока 128
— электрического диполя 25, 95,
126
— — тока магнитный 19, 97, 442
%1?т 409, 410, 413, 415, 417, 421,
424, 427 1-^"
Мощность допустимая 203, 242,299
— излучения 65, 132, 136
— направляемой волны 169
— номинальная 242, 300, 308
— потерь 66, 71, 108, 176, 177
— предельная 203, 241, 308
— сторонних сил 67, 71
Набла 43, 51, 157
Нагрузка 179, 183, 342
Намагниченность 26, 441, 443
Напряжение 96, 229-
Направленность 410
Напряженность магнитного поля 17
—• электрического поля 18
критическая, пробоя 204, 246
Нерегулярность 202, 324
Нить заряженная 86
Область многосвязная 160
Однозначность решения электроста-
электростатических задач 85
Окно резонансное 336, 435
Оператор Гамильтона 43, 51, 157
Ослабление 285, 360, 410
Отверстие связи 220, 278, 347, 418
Ответвитель направленный 271, 408,
413, 415, 417, 418, 421
— — с распределенной связью 421
— противонаправленный 410, 424
Отношение гиромагнитное 442
Отражение волны полное 103, 166,
225, 454
Параметры среды макроскопические
20, 23
Перепад сопротивлений логарифмиче-
логарифмический 370
Переход 362, 363 369, 376, 380
Петля 220, 278
Пластина диэлектрическая полувол-
полуволновая 116, 344, 345, 351
четвертьволновая 117, 343, 345,
350, 351
Плечо 324
Плоскость падения 99
— поляризации 60
— распространения 99
— отсчета 258, 353, 358, 402
Плотность объемная мощности 65,
67, 71
—¦ — электрического, магнитного за-
заряда 16, 40, 132
электромагнитной энергии 64,
70, 83, 93
— поверхностного электрического^
магнитного тока 41, 109, 139
— электрического, магнитного тока
16, 33, 132
Поле постоянных токов 89
— электромагнитное 11, 15
— — нормированное (в резонаторе)
279
постоянное 90
— электростатическое 79
Полином Чебышева 373
Полоса частот пропускания, рабочая,
согласования 259, 362, 369, 386
Поляризованность диэлектрика 25
Поляризуемость отверстия 348
Поршень короткозамыкающий 338
Постоянная Больцмана 185
— магнитная 26
— Фарадея 450, 460
— электрическая 26
Потенциал векторный магнитного
поля 92
— электродинамический 123, 124
— магнитных токов 145
— скалярный магнитостатический 94
— электростатический 79
Потери диэлектрические 47, 71, 176
— магнитные 49
— на проводимость 46, 66, 71, 108,
177
Поток встречный, попутный 202
Преобразователь волн 202, 325, 380,
420
— поляризации 343
Прецессия 442, 443, 449
Принцип Гюйгенса—Френеля 144
— перестановочной двойственности
132
— Ферма 142
— эквивалентности источников 136
Проводимость излучения 136
— комплексная 181, 183
— входная 258, 389
— характеристическая 181
— электрическая удельная 24
479
Проницаемость диэлектрическая 25,
47
— магнитная 26, 49
Прохождение волны полное 103
Радиус граничный 297
Расстояние граничное 105, 166, 297
314
Расстройка относительная 369
Режим одномодовый волновода ли-
линии 178, 201, 216, 218, 237, 252
— резонатора 268, 274
Ротор 32, 127, 157, 230
Сигнал 170, 202
— условие неискаженной передачи
171, 235
Сила 18, 38
Система координат правая 18
Скин-слой 57, 107
Скорость групповая 170, 172, 189,
235, 291
— света 13, 15, 56
— фазовая 53. 56, 58, 167, 172, 188,
231, 233, 235, 291
— энергетическая 68, 73, 169, 172,189
Смещение электрическое 17
Согласование 183, 184, 361
Соединение 328, 330, 331
Сопротивление заземления 89, 96
— волновое 55, 57, 159, 161, 232
— входное 258, 281, 284, 286, 389,393
— излучения 132
— проводника цилиндрического 109,
120
— характеристическое 83, 178, 232,
233, 243
— экрана цилиндрического 120, 239
Тангенс угла потерь 47, 49, 56
Температура Кюри 26, 27, 441
— шумовая 184
Теорема взаимности 152
— Гаусса 29
— единственности 75, 85
— Найквиста 185
— Остроградского—Гаусса 33
— Пойнтинга 67, 71
— Стокса 35
Тождества векторного анализа 34, 43,
5I, 68, 79, i80
Ток электрический 16, 31, 41, 197,
229
Толщина скин-слоя 57, 58, 107
Треугольник Паскаля 373, 375
Тройник 402, 410
Трубка лучевая 142
Угол Брюстера 103
— критический 104
Узел 113, 324, 402, 408
Уравнение Бесселя 111, 207, 292
—• волновое 51, 124, 155
— Гельмгольца 51
— дисперсионное 291, 294, 306, 313
315, 317
— коэффициентов 156, 190, 291
— Лапласа 81, 159
— Максвелла 11, 28, 37, 49, 50, 133
446
— материальное 23, 38
— непрерывности 33
— Пуассона 81, 92,11126
Условие граничное 39, 82, 84, 89
Леонтсганча 105
— излучения 78
Фазовращатель 340, 344, 457, 459,
465, 466, 472, 473
Феррит 137, 439, 446
Фидер 153, 216, 217, 244, 249, 301,308
Фильтр поляризационный 346, 347
— типов волн 217, 219, 345, 385
— частотный 385, 459, 469
— направленный 429
Формула Томсона 259
— Френеля 100
Фррнт волны 52, 126, 130
Функция Бесселя 111, 207, 209, 237
— Вебера 111, 207, 237
— Макдональда 293, 298, 304
—• местных отражений 377
— Неймана 207
— ослабления 258, 285
— цилиндрическая 111, 207, 237,
293, 378
— Чебышева 373
Циркулятор 457, 460, 466, 473
Циркуляция вектора 31
Частота граничная 167, 298
— критическая 165, 187, 188, 191,
196, 209, 215
— намагниченности 443
— нормированная 259, 285, 371, 386.
— резонансная 267, 263, 266, 269,
271, 274
— ферромагнитного резонанса 442,
453
— собственная 257
Шайба коаксиальная 239, 240, 242,
329
Штырь 220, 278, 336
Щель 220, 278
Эйконал 141
Экран электромагнитный 117
Электродинамика макроскопическая
20
Элемент Гюйгенса 147
Энергия 64,. 65, 67, 69, 74, 83, 93, 257,
27:9
Эпюра поля 16
Эффект близости 89, 245