Автор: Мордухай-Болтов А.Д.  

Теги: физика   математика   механика   астрономия.  

Год: 1949

Похожие

Классики естествознания. Математика, механика, физика, астрономия. Книги I-VI. Начала.

Математика, механика, физика, астрономия

Начала Эвклида. Математика, физика, астрономия

Начала Евклида. Книги I-VI

Текст
                    И-"—'—»~-'~-'—1~-'~-'—'—■—■ —i^^^j^^^j^^pj
1 I
1 1
} КЛАССИКИ J
1 ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
1 t
I 1
I 1
1 1
[ e\s .
1 ' 1
I i
1 MAT E МАТИ КА 1
} МЕХАНИКА |
l ФИЗИКА 1
| АСТРОНОМИЯ ]
I 1
1 1
1 1
1
1
! 6\9 1
1 ' 1
} I
' ■ >
L ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО \
1 ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ 1
] ЛИ ТЕ РАТуРЫ ,
1 , I
1 МОСКВА-ЛЕНИНГРАД-1949 ,
1 1
1 1
Е--!-■-■.-'-i-j-i-j^-j^uasJ^j^-'—■ —■—JVJJI


u
' НАЧАЛА ЕВКЛИДА
КНИГИ VII-X
Жеревод с греческого
и комментарии
Д.Д.Мордухай-Болтооского
при редакционном
участии
и.н.Веселооского
Ч ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
| Л И ТЕ PATyPbi
MOCK QA -Л Е НИ И ГРАД 19^9
J^l^-I—■I—I > —' -—' —■ —■ —' —' —■>—' —■ ■—' ■—■.—■ ■—'.—■■—'^-


11-5-4
i It
s
J


ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
В конце прошлого года издательство выпустило в
русском переводе с греческого снабжённые подробным
комментарием первые шесть книг «Начал* Евклида, составившие
(в нашем издании) первый том этого замечательного
произведения математической мысли. Предлагаемый теперь
вниманию читателя второй том евклидовых «Начал»
содержит VII, VIII, IX и X книги. Из них первые три посвящены
изложению вопросов арифметического и теоретико-числового
характера, а десятая книга посвящена исследованию и
классификации несоизмеримых величин.
«Началам Евклида представляют собою полное и
систематическое изложение основ геометрии, составленное в па-
чале III века до н. э. одним из веллчайшчх древнегреческих
математиков. Эту работу Евклид выполнил с таким
искусством и такой логической строгостью, что она не только
вытеснила в свое' время все сочинения подобного рода,
написанные другими математиками, но и оставалась потом
в течение более чем двух тысячелетий основным источником
геометрических знаний для всех культурных народов.
Так как Rce школьные курсы геометрии в большей или
мгпъыей степени отражают «Начала» Евклида, то их новое
русское издание имеет целью не только дагь в руки
исследователей современный и точный перевод этого
классического произведения (поскольку дореволюционные переводы


g ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
устарели и стали библиографической редкостью), но и
удовлетворить естественное стремление советских педагогов-
математиков ближе ознакомиться с «родоначальником»
современного «курса элементарной геометрии».
Новый перевод евклидовых «Начал» выполнен с
наиболее достоверного греческого текста (Гейберга)
профессором Ростовского университета Д. Д. МордухаЙ-Болюйским
лрн самом близком участии проф. И. Н. Веселовского и
снабжён ими подробным комментарием, имеющим целью
облегчить читателю понимание текста и сообщить
необходимые для этого историко-математическпе сведения *).
Расположение материала в настоящем томе, нумерация
чертежей, примечаний и условные обозначения выполнены
ло образцу первого юма, лоэтому все указания, сделанные
па этот счёт в предисловии переводчика к первому тому,
остаются в силе и здесь.
*) Комментария, принадлежащие И. Н, Вес&товскоку,
отмечены инициалами //. В.


I
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
книги


КНИГА СЕДЬМАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Единица есть <то>, через что каждое из
существующих считается единым (1, 2, 3).
2. Число же ■— множество, составленное из единиц
(4, 5, 6).
3. Часть есть число в числе, меньшее в большем, если
оно измеряет*) большее.
4. «.Части» же, —если оно его не измеряет (7, 8,
9, 10).
5. Кратное же-—большее от меньшего, если оно
измеряется меньшим.
6. Чётное число есть делящееся пополам,
7. Нечётное же — не делящееся пополам или
отличающееся на единицу от чётного числа.
8. Четно-чётное число есть чётным числом измеряемое
чётное число <раз>.
9. Четно же нечётное есть чётным числом
измеряемое нечйтнос число <раз> (11).
[10. Нечётно-чётное есть нечётным числом измеряемое
чётное число <раз>.]
11. Нечётно-нечётное число есть цечётним числом
измеряемое нечётное число <раз>.
■■") В подлиннике <г/лтз;а£тр1р>— «измеряет», но ни в коем
случае не «делитг-.
У Герона встречаются термины: nspKsiv —делить на части и
SiaLfEtn — рассекать (о геометрических фигурах).


Ю НАЧАЛА ЕВКЛИДА
12. (Jepeoe*) число есть измеряемое только единицей.
13. Первые между собой числа суть измеряемые только
единицей как общей мерой.
14. Составное число есть измеряемое некоторым
числом.
15. Составные же между собой числа суть
измеряемые некоторым числом как общей мерой.
16. Говорят, что число умножает число, когда сколько
в нём единиц, столько раз составляется умножаемое и чго-то
возникает (12).
17. Когда же два числа, перемножаемые между собой,
производят нечто, то возникающее <число> называется
плоскостным, стороны же его суть перемножаемые между
собой числа (13, 14).
18. Когда же три числа, перемножаемые между собой,
производят нечто, то возникающее есть телесное, стороны
же его — перемножаемые между собой числа.
19. Квадратное число есть равноравное **) или объем-
лемое двумя равными числами (15, 16).
20. Кубическое же — равным равноравное ***) или объем-
лемое тремя равными числами.
21. Числа будут пропорциональны, когда первое от
второго, а третье от четвёртого будут или равнокрагными,
или той же частью, или теми же «частями» (17, 18).
22. Подобные плоскостные и телесные числа суть
имеющие пропорциональные стороны (19).
23. Совершенное число есть то, которое будет равным
своим частям (20).
*) Так в подлиннике — ярштос dsi&jidc; теперь принято
говорить «простое число».
*;;:) Г? подлиннике о laavx Xgo~. Слово «tca/u;» соответствует
нашему «равное число раз <повторчсмое>» и выражает
одинаковую кратность повторения. Термин «юбъемлемое» (nspispneviv)
относится уже к геометрическому умножению: квадрат получается
как площадь, образуемая двумя равными сторонами, которыми он
и «объемлется».
***) В подлиннике о tcd/is iggs liiv.-.


КНИГА СЕДЬМАЯ
т£
■н
Предложение I
Если отложены два неравных числа и всё время при
«.последовательном отнятии^ меньшего от большего *)
остаток не измеряет предшествующего ему
'(отнимаемого'}, пока не останется единица, то первоначальные
числа будут первыми между собой. П
Пусть для двух [неравных] чисел АВ, CD
всё время при «последовательном отнятии»
меньшего из большего остаток не измеряет
предшествующего ему, пока не останется
единица; я утверждаю, что АВ, CD будут
первыми между собой, то-есть, что АВ <и> "I
CD измеряет одна только единица (черт. 1).
Действительно, если АВ, CD не будут
первыми между собой, то нх измерит какое-то
число. Пусть оно измеряет и будет Е; и
пусть CD, измеряя BI, оставит меньшее себя
I A; AI же, измеряя DH, оставит меньшее
себя НС; ИС же, измеряя /О, оставит
единицу QA.
Поскольку теперь Е измеряет CD, CD
же измеряет BI, то значит, и Е измеряет BI;
оно же измеряет и всё ВА; значит, измерит и остаток AI.
Но А! измеряет DH; значит, и Е измеряет DH; оно же
измеряет и всё DC; значит, измерит и остаток СИ. Но СИ
измеряет /G; значит, н Е измеряет /G; оно же измеряет
и всё IА; значит, оно измерит и остаток — единицу AG,
будучи числом, чего быть не может. Итак, никакое число
не будет измерять АВ и CD; значит, АВ и CD—-первые
между собой, что и требовалось доказать.
1ерт. !.
*) В подлиннике cMb'faipMvisvos от dvDorpsipsiv — термин,
соответствующий нашему «нахождению общей меры» или «алгорифму
Евклида» (у Аристотеля в том же смысле употребляется глагол
ivravacpsb). При отсутствии на русском языке подходящего
термина пришлось перевести «последовательно отнимается», чтобы
напомнить хорошо известный алгорифм последовательного
деления при нахождении общей меры. Таким образом, паше
«последовательное деление» превращается у Евклида в
^последовательное отнятие:*.


12 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 2
Для двух данных чисел, не первых между собой, найти
наибольшую общую их меру.
Пусть данные два числа, не первые между собой,
будут АВ, CD. Вот требуется для АВ, CD найти наибольшую
Т общую меру (черт. 2). Если теперь CD из-
" меряет АВ, измеряет также и себя, то
значит, CD есть общая мера CD, АВ. И ясно,
чго и наибольшая, ибо никакое <число),
большее CD, не измерит CD.
( £ q Если же CD не измеряет АВ, то дли АВ,
CD при постоянном отнятии меньшего из
большего останется некоторое число, которое
-/ измерит предыдущее. Действительно, единица
не останется; в противном случае будут АВ,
Т CD цервьгми между собой (предложение 1);
И это же не предполагается. Значит, останется
какое-то число, которое измерит предыдущее.
В *-В ^ И пусть CD, измеряя BE, оставит меньшее
Черт. 2. се&1 В А, ЕА же, измеряя DI, оставит меньшее
себя 1С, С/ же пусть будет измерять АЕ.
Поскольку теперь С/ измеряет АЕ, АЕ же измеряет DI,
то значит, С/ измерит и DI; оно же измеряет и себя самого;
значит, измерит и всё CD. Но CD измеряет BE; значит,
и CI измеряет BE; оно же измеряет и ЕА; значит,
измерит и все ВА; оно же измеряет и CD; значит. CJ
измеряет АВ, CD. Значит, С/ — общая мера АВ, CD. Вот я
утверждаю, что <она> и наибольшая. Действительно, если
С/ не будет наибольшей общей мерой АВ, CD, ro числа
АВ, CD измерит какое-то число, большее .чем С/. Пусть
оно измеряет и будет И. И поскольку И измеряет CD,
CD же измеряет BE, то значит, и И измеряет BE; оно
же измеряет и всё- ВА; значит, оно измерит и остаток АЕ.
Но АЕ измеряет DI; значит, и И измерит £)/; оио же
измеряет и всё DC; значит, измерит и остаток CJ,
большее—-меньшее: это же невозможно. Значит, числа АВ, CD
не измерит никакое число, большее С/; значит, С/ —
наибольшая общая мера АВ и CD [что и требовалось доказать]..


КИНГА СЕДЬМАЯ
13
Следствие
Из этого вот ясно, что если число измеряет два числа,
от оно измерит н их наибольшую общую меру*), что н
требовалось доказать.
Предложение 3
Для трёх данных чисел, не первых между собой, найти
наибольшую общую их меру.
Пусть данные три числа, не первые между собой,
будут А, В, С; требуется для Л, б, С найти наибольшую
общую меру (черт. 3).
Возьмём для двух Л, В общую наибольшую меру D
(предложение 2); вог D или измеряет, или не измеряет С.
Пусть сперва измеряет; оно же измеряет
и Л, В; значит, О измеряет Л, В, С;
значит, D есть для Л, В, С общая
мера. Вот я утверждаю, что <она> и
наибольшая. Действительно, если D
для А, В, С не будет наибольшей
общей мерой, то числа Л, В, С измерит
какое-то число, бблыиее D. Пусть оно
измеряет н будет Е. Поскольку теперь
Е измеряет Л, В, С, то значит, оно
измерит н Л, В; значит, оно измерит и
наибольшую общую меру А, В
(предложение 2, следствие). Наибольшая же
общая мера Л, В есть £); значит, Е
измеряет D, большее —меньшее; это
же невозможно; значит, числа Л, В, С не измерит никакое
число, большее D\ значит, D есть наибольшая общая
мера л, в, с.
Но вот пусть D ие измеряет С; я утверждаю сперва,
что С, D не будут первыми между собой. Действительно,
поскольку Л, В, С не первые между собой, то их измерит
какое-то число. Вог измеряющее Л, В, С измерит и А, В,
измерит и О—наибольшую общую меру Л, В (предложе-
Я В
111
CDC
Черт. 3.
*) Так, как Н измеряет и АВ, CD и их наибольшую общую
меру С! (Гейберг).


]4 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
ние 2, следствие); око же измеряет и С; значит, числа DT
С измерит какое-то число; значит, D, С ие будут первыми
между собой. Возьмём теперь их наибольшую общую меру Е
(предложение 2). И поскольку Е измеряет Д D же
измеряет Л, В, то значил, и Е измеряет Л, В\ оно же измеряет
и С; значит. Е измеряет А, В, С; значит, Е есть общая
мера Л, В, С. Вот я утвержцаю, что и наибольшая.
Действительно, если Е не будет для А, В. С наибольшей
общей мерой, то числа Л, В, С измерит какое-то чи:ло,
большее чем Е. Пусть оно измеряет и будет /. И поскольку
/ измеряет .4, В, С, оно измеряет и Л, В\ значит, оно
измерит и наибольшую общую меру Л, В (предложение 2,
следствие). Наибольшая же общая мера Л, В есть D;
значит, / измеряет Д оао же измеряет и С; значит, /
измеряет Д С; значит, оно измерит и наибольшую общую
меру D, С. Наибольшая же общая мера D, С есть Е;
значит, / мерит Е. большее — меньшее; это же невозможно.
Значит, числа Л, В, С не измерит никакое число,
большее чем Е; значит, Е есть наибольшая общая мера Л, В, С,
что и требовалось доказать (21, 22).
Предложение 4
Всякое число по отношению ко всякому числу —
меньшее по отношению к большему — будет или частью, или
<?ластямиъ *).
Пусть два числа будут Л, ВС, и пусть меньшее
будет ВС; я утверждаю, что ВС по отношению к Л будет
или частью, или «частями» (черт. 4).
Действительно, Л, ВС или первые между собой, или
нет. Пусть сперва Л, ВС будут первыми между собой.
Тогда при разделении ВС на <заключающиеся> в нём
% цёрт) — точный перевод невозможен; по-русски это звучало бы так:
«всякое число всякого числа меньшее—большего есть или часть или
«части», «Части» надо понимать в смысле определения 4: меньшее
число есть или — большего («часть»), или же — («части*). ,


КНИГА СЕДЬМАЯ
15
единицы каждая единица из Заключающихся) в ВС
будет какой-то частью А; так что ВС будет «частями» А.
Но вот пусть А, ВС не будут первыми
между собой; тогда ВС или измеряет А, или
не измеряет. Если теперь ВС измеряет А,
то ВС есть часть А. Если же нет, возьмём
для А, ВС наибольшую общую меру D
(предложение 2) и разделим ВС на равные D
-(части) BE, EI, 1С. И поскольку D
измеряет А, то D есть часть A; D же равно
каждому из BE, EI, 1С; значит, и каждое
из BE, EI, 1С есть часть А; так что ВС
есть «части» А.
Значит, всякое число по отношению ко
всякому числу — меньшее по отношению к
большему-—-будет или частью или «частями»,
валось доказать (23).
Я ■ Е
С 1
Черт. 4.
ito и требо-
Предложение 5
Если число есть часть числа и другое —такая же
часть другого, то и вместе взятые (первыёу будут
такой же частью вместе взятых (вторых},
как одно одного.
Пусть число А есть часть [числа] ВС
и другое D—такая же часть другого EI,
как А от ВС; я утверждаю, что вместе
взятые A, D будут такой же частью
т S вместе взятых ВС, EI, как А от ВС
В (черт. 5).
Действительно, поскольку какая А
часть от ВС, такой же частью будет и
Черт. 5. jj от £/? то значит, сколько в ВС чисел,
равных А, столько же будет в EI чисел,
равных D. Разделим ВС на равные А <часш> ВН, НС, EI
же — на равные D части EG, GI; вэт количество ВН, НС
буде: равно количеству EG, GI. И поскольку ВН равно А,
a EG равно D, то значит, и <вместе взятие) ВН, EG равны
<вместе взятым) A, D. На основании того же вот и НС, GI
ч


16
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
<равны> A, D. Значит, сколько в ВС чисел, равных А, столько
и в ВС, El будет <чисел>, равных A, D. Значит, каково ВС,
кратное <от> А, таким же кратным и вместе взятые ВС, El
будут от вместе взятых A, D. Значит, какая А часть ВС,
такой же частью и вместе взятые А, В будут от вместе
взятых ВС, El, что и требовалось доказать.
Предложение 6
Если число есть «части» числа и другое — такие же
«части» другого, то и вместе взятые (первшу будут
такими же «частями» алеете взятых
(вторыху, как одно одного-
Пусть число АВ есть «части» числа
С и другое DE такие же части другого /,
как АВ от С; я утверждаю, что и вместе
взятые АВ, DE будут такими же частями
вместе взятых С, I, как АВ от С (черт. 6).
Т^ Действительно, поскольку какие АВ
«части» от С, такими же «частями» будет
и DE or /, то значит, сколько в АВ
частей С, столько же будет и в DE
частей /. Разделим АВ на части С, <именно>
£ L АН, ИВ, a DE — на части/, <именнэ> DG,
Черт. 6. GE; тогда количество АН, ИВ будет
равно количеству DG, GE, И поскольку
какая ЛЯ часть С, такая же и DG часть /, то значит, какая
часть АИ от С, такой же частью и вместе взятые АН,
DG будут от вместе взятых С, I (предложение 5). По той
же вот причине и какая часть ИВ от С, такой же частью
и вместе взятые ИВ, GE будут от вместе взятых С, I.
Значит, какие АВ «части?) от С, такими же «частями» и
вместе взятые АВ, DE будут от вместе взятых С, I, что
и требовалось доказать.
Предложение 7
Если число есть часть числа такая же, как
отнятое отнятого, то и остаток будет такой же частью
остатка, как целое целого-


КНИГА СЕДЬМАЯ
17
*Р
Пусть' число АВ будет частью числа CD такой же, как
отнятое АЕ отнятого CI; я утверждаю, что и остаток ЕВ
будет такой же частью остатка ID, как целое АВ це-
'ого CD (черг. 7).
Действительно, какая часть АЕ от С/, пусть такой же
'частью будет и ЕВ от СИ. И поскольку какая АЕ часть
•^от С/, такая же и ЕВ
часть от СН, то значит, fl f f
Глкакая АЕ часть от С/,
**Чгакой же частью будет д ] . - . . ( _...,».„ ^ /
^Зи АВ от Я/ (предло-
Чукенне 5). Какая же Черт. 7.
участь АЕ от С/, такой
\ же частью предполагается и АВ от CD; значит, какая
^ часть АВ от HI, такой же частью оно будет и от CD;
значит, HI равно будет CD. Отнимем общее CI; значит,
остаток НС равен остатку ID. И поскольку какая часть АЕ
от С/, такой же частью [будет] и ЕВ от НС, НС же
равно ID, то значит, какая часть АЕ от 67, такой же частью
будет и ЕВ от ID, Но какая часть АЕ от CI, такой же
частью будет и АВ от CD; и значит, остаток ЕВ будет
такой же частью остатка ID, какой целое АВ целого CD,
что и требовалось доказать.
Предложение 8
Если число есть тастиъ числа такие же, как
отнятое отнятого, то а остаток будет такими же чла-
стямиъ остатка, как целое целого.
Пусть число АВ будет «частями» числа CD, такими
же, как отнятое АЕ отнятого CI; я утверждаю, что и
остаток ЕВ будет такими же «частями» остатка ID, как
целое АВ целого CD (черт. 8).
Действительно, положим t G равным АВ. Значит, какие
«части» НО от CD, такими же «частями» будет и АЕ
от б/. Разделим НО па CD-части НК, KG, а АЕ на 67-
части AL, LE; тогда количество НК, KG будет главно
количеству AL, LE. И поскольку какая НК-^щ <$В&£ч&
кая же и AL часть от CI, CD же 6o^ftie б7, тозначЗфь
2 Евклид
*&горь»1Е-


18 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
еГНК больше AL. Положим ИМ равным AL. Значит, какая
часть ИК от CD, такой же частью и ИМ будет от CI;
значит, и остаток МК будет такой же частью остатка ID,
как целое ИК целого CD (предложение 7). Опять,
поскольку какая KG часть
1 .....и f .!■ f от CD, такой же частью
будет и EL от С/, СО
j i .....I i [ f- же больше С/, то значит, и
GK больше EL, Положим
? У f У f ' A7V равным EL. Значит,
какая /ТО часть от CD,
| Черт. а. такой же частью будет и-
i£ A7V от С/; значит, и
остаток NG будет такой же частью остатка ID, как целое KG
целого CD (предложение 7). Доказано же, что и остаток МК
является такой же частью остатка ID, как целое ИК
целого CD', значит, и вместе взятые МК, NG будут такой же
частью DI, как целое СИ целого CD. Вместе же взятые МК, NG
равны ЕВ*), СИ же <равно> ВА; значит, и остаток ЕВ
будет такой же частью остатка ID, как целое АВ целого CD,
что и требовалось доказать.
Предложение 9
Если число есть часть числа и другое — такая же
часть другого, то и «.перестановкой», какая часть или «ча~
стиъ первое от третьего, такой же частью или
такими же ч.частямиъ будет и второе от четвёртого.
Пусть число А будет частью числа ВС и другое D —
такой же частью от другого EI, как А от ВС; я
утверждаю, что и «перестановкой», какая часть или «части» А.
от D, такой же частью или «частями» будет и ВС от EI
(черт. 9).
Действительно, поскольку какая часть А от ВС, такая
же часть и D от EI, то значит, сколько в ВС чисел,
равных А, столько и в EI будет равных D. Разделим ВС на
*) Действительно, НМ4-МК4-W-{-NG = AL-{-LE-\-EB и
HM = AL, KN=EL (Гейберг).


Книга седьмая
19
равные Л <части> ВН,НС, аЕ1—на равные £><части> EG,GI\
тогда количество ВН, НС равно будет количеству EG, GI,
И поскольку числа ВИ, НС равны
между собой, также и числа EG, GI
равны между собой, и количество ВН,
НС равно количеству EG, GI, то значит,
такая часть или «части» ВН от EG,
такой же частью или такими же
«частями» будет и НС от GI; так что какая
часть или «части» ВН от EG, такой
же частью или такими же «частями»
будет и вместе взятое ВС от
вместе взятого EI (предложения 5 и 6).
Но ВН равно A, EG же равно £>;
значит, какая часть или «части» А от £), такой же частью
или такими же «частями» будет и ВС от EI, что и
требовалось доказать.
С х
Черт. 9,
Предложение 10
Если число есть гчастиъ числа и другое — такие же
ъчастю другого, то и ^.перестановкой», какие ччастт
или часть первое от третьего, такими
же 1частямш> или такой же частью
будет и второе от четвёртого.
Пусть число АВ будет «частями»
числа С и другое DE такими же
«частями» другого /; я утверждаю, что и
«перестановкой», какие «части» или
часть АВ от DE, такими же «частями»
или такой же частью будет и С от I
(черт. 10).
Действительно, поскольку какие
<части» есть АВ от С, такими же
«частями» будет и DE от /, то значит,
сколько в АВ частей С, столько и в
DE будет частей /. Разделим АВ на
С-части АН, НВ, a DE на /-части DG, GE; тогда
количество АН, НВ будет равно количеству DG, GE, И
Черт.
2*


20 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
поскольку какая часть АН от С, такой же частью будет
и DG от /, и «перестановкой», какая часть или «части» АН
от DG, такой же частью или такими же частями будет и С
от / (предложение 9). По той же вот причине и какая часть
или «части» НВ от GE, такой же частью или такими
«частями» будет и С от /; так что и [какая часть или «частно
есть АН от DG, такой же частью или такими же «частями»
будет и НВ от GE; и значит, какая часть или «части»
есть АН от DG, такой же частью или такими же «частями»
будет и АВ от DE; но какая часть или «части» есть АН
от DG, такая же часть или «части» есть, как показано,
и С от /, и] какие [значит] «части» или часть есть АВ
от DE, такими же «частями» или такой же частью будет
и С от /, что и требовалось доказать.
Предложение И
Если как целое к целому, так и отнятое к
отнятому, то и остаток к остатку будет как
целое к целому.
t Пусть как целое АВ к целому CD, так и
отнятое АЕ к отнятому С/ (черт. II); я
утверждаю, что и остаток ЕВ к остатку ID будет,
как целое АВ к целому CD.
? Поскольку как АВ к CD, так и АЕ к CI,
то значит, какая часть или «части» есть АВ
от CD, такой же частью или «частями» будет
АЕ от CI (определение 21). И значит, остаток ЕВ
^ будет такой же частью или «частями» остат-
Черт. 11. ка ID, как и АВ от CD (предложения 7, 8).
Значит, будет, что как ЕВ к ID, так и АВ
к CD, что и требовалось доказать.
Предложение 12
Если несколько чисел пропорциональны, то будет,
что как один из предыдущих к одному из последующих,
так и все предыдущие ко всем последующим*).
*) Подразумевается — вместе взятые к вместе взятым.


КНИГА СЕДЬМАЯ
21
Пусть будут несколько чисел А, В, С, D
пропорциональны, <т. е.> как А к В, так и С
к О; я утверждаю,что будет как А к В,
так и А, С к В, D (черт. 12).
В самом деле, поскольку как А к В,
так и С к D, то значит, какая часть
или «части» есть А от В, такой же
частью или «частями» будет и С от О
(определение 21). И значит, вместе
взятые Л, С от вместе взягых В, D
будут такой же частью или такими же
«частями», как Л от В (предложения 5,6). Черт. 12.
Значит, будет, чго как А к В, так
и Л, С к в, D (определение 21), что и требовалось доказать.
А В
В
Предложение 13
Если четыре числа пропорциональны, то и
перестановкой они будут пропорциональны.
Пусть будут четыре числа А, В, С, D пропорциональны,
<т. е.> как А к В, так и С к £>; я утверждаю, что
и перестановкой они будут
пропорциональны— как Л к С, так и В к D (черт. 13).
W% Действительно, поскольку как А к В,
так и С к D, то значит, какая часть или
«части» есть Л от В, такой же частью или
такими же «частями» будет и С от О
(определение 21). Значит, перестановкой, какая
часть или «части* есть Л от С, такой же
частью или такими же «частями» будет и В
от D (предложение 10). Значит, будет, что
как Л к С, так и В к D (определение 21), что и
требовалось доказать.
Предложение 14
Если будет сколь угодно чисел и других, равных им
по количеству, взятых попарно и в том же самом
отношении, то и апо равенству» они будут в том же
самом отношении.
Черт. 13.


22
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть будет сколь угодно чисел А, В, С и других,
равных им по количеству, взятых попарно в том же самом
отношении D, Е, /, — как А к В, так и D к Е, как же
б к С, так и Е к I (черт. 14); я утверждаю, что и «по
равенству» будут как А к С, так и D к /.
В Е
i 1 I' ... ■■■ (
С ' I
Черт. 14.
Действительно, поскольку как А к В, так и D к Е,
то значит, и перестановкой будут как А к D, так и В
к Е (предложение 13). Опять, поскольку как В к С, так
и Е к /, то значит, и перестановкой будет как В к Et
так и С к I. Как же В к Е, так и А к Л; и значит, как
Л к Л, так и С к /; перестановкой, значит, будет как
А к С, так и Л к /, что и требовалось доказать.
Предложение 15
Если единица измеряет некоторое число, а другое
число равное (число раз> измеряет некоторое иное
число, то и перестановкой равное (число разу единица
будет измерять третье число, а второе — четвёртое.
Л В Н G С
' О Л £ И l I
' - i I 1 ' 1
Черт. 15.
Пусть единица А измеряет некоторое число ВС, а
другое число D равное <число раз> измеряет некоторое иное
число £7; я утверждаю, что и перестановкой равное <число
раз> единица А измеряет число D, а ВС — <число> EI
(черт. 15).


КНИГА СЕДЬМАЯ
23
Действительно, поскольку равное <число раз> единица А
измеряет число ВС, а £> —<число> El, то значит, сколько
в ВС есть единиц, столько и в EI будет чисел, равных D.
Разделим ВС на <содержащиеся> в ней единицы ВИ, HG,
GC, а £7 —на равные D <числа> ЕК, KL, U. Тогда
количества ВИ, HG, GC будет равно количеству ЕК, АХ,
Ц. И поскольку равны между собой единицы ВИ, HG, GC,
равны также между собой и числа ЕК, KL, LI, и количество
единиц ВИ, HG, GC равно количеству чисел ЕК, KL, U,
то значит, будет, что как единица ВИ к числу ЕК, так
и единица HG к числу KL, и единица GC к числу LL
И значит, будет, что как один из предыдущих к одному
из последующих, так и все предыдущие ко всем
последующим (предложение 12); будет, значит, что как единица
ВИ к числу ЕК, так и ВС к EI. Единица же ВИ равна
единице А, число же ЕК-—числу D. Значит, будет, что
как единица А к числу D, так и ВС к El. Значит, равное
<чпсло раз> единица А измеряет число D и ВС — <число>
EI, что и требовалось доказать (25).
Предложение 16
Если два числа, перемножаемые между собой,
производят нечто, то возникающие аз них будут равны
между собой.
Пусть будут два числа А, В я пусть А, умножая В,
производит С; В же, умножая А, „ ] ]t
производит D; я у гверждаю, что С
будет равно D (черт. 16). ^
Действительно, поскольку А, ум- С\ —
иожая В, произвело С, то, зна- « ,
чит, В измеряет С по <количеству>
единиц в А. Также и единица ^ '
Е измеряет число А по <колц- Черт. 16.
честву содержащихся> в иём
единиц; значит, равное <число раз> единица Е измеряет
число А, и В — <число> С. Значит, и перестановкой
равное <число раз> единица Е измеряет число В и А —
<число> С (предложение 15). Опять, поскольку £, умножая


2* НАЧАЛА ЕВКЛИДА
А, произвело D, то значит, А измеряет D по <коли-
честву содержащихся) в В единиц. Также и единица
Б измеряет В по <Количеству содержащихся) в нём
единиц; значит, равное <число раз) единица Е
измеряет число В, и А—<число> D. Но равное <число
раз) единица Е измерята число В, и А — <число> С;
значит, равное <число раз) А измеряет каждое из С, D.
Значит, С равно D, что и требовалось доказать (26, 27, 28),
Пргдложение 17
Если число, умножая два числа, производит
нечто, то возникающие из них будут иметь то же самое
/7"| , ■ 1 отношение, что и ум-
п ножаемые.
Пусть число А, умножая
С* ■■ ' " ' два числа В, С, производит
;■ — -^ Dt E; я утверждаю, что
будет как В к С, так и D к Е
Ь ' (черт. 17).
/'—' ' Действительно, посколь-
Черт. 17. КУ А умножая б,
произвело D, то значит, В
измеряет D по количеству) единиц в А. Также и единица /
измеряет число А по <количеству содержащихся) в нём
единиц; значит, равное <число раз) единица / измеряет
число А, и В — <число> D. Значит, будет, что как
единица / к числу А, так и В к Л (определение 21). По той
же вот причине и как единица / к числу А, так и С
к Е; и, значит, как В к D, так и С к Е. Значит,
перестановкой будет, что как В к С, так и D к Е, что и
требовалось доказать.
Предложение 18
Если два числа, умножая некоторое число,
производят нечто, то возникающие из них будут иметь то же
самое отношение, что и умножающие,


КНИГА СЕДЬМАЯ
25
Пусть два числа А,
С, производят D, Е; я
утверждаю, что будет как
А к В, так и D к Е
(черт. 18).
Действительно,
поскольку А, умножая С,
произвело D, значит, и С,
умножая А, произвело D
(предложение 16). По той
же вот причине и С, ум-
умиожая некоторое число
Черт. 18.
ножая В, произвело Е. Вот число С, умножая два числа
А, В, произвело D, Е. Значит, будет, что как А к В,
так и D к Е (предложение 17), что и требовалось
доказать.
Предложение 19
Если четыре числа пропорциональны, то возникающее
из первого и четвёртого число будет равно возникающему
из второго и третьего числу; и если
В С В Е I H возникающее из первого и четвёрто-
"г го число равно (возникающему), из
второго и третьего, то четыре
числа будут пропорциональны*
Пусть будут четыре
пропорциональных числа Д В, С, D, <т, е.>
как А к В, так и С к D, и пусть А,
умножая D, производит Е', В же,
умножая С, 'производит /; я
утверждаю, что Е будет равно / (черт. 19).
В самом деле, пусть Д умножая
С, произведёт И. Поскольку теперь
А, умножая С, произвело //,
умножая же D, произвело Е, то вот
число А, умножая два числа С, /_),
произвело И, Е. Значит, будет, что как
С к D, так и И к Е (предложение 17). Но как СкД так и
А к В; и, значит, как А к В, так а Нк Е. Опять, поскольку А,
умножая С, произвело Н, но вместе с тем и В, умножая
Черт. 19.


26 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
С, произвело /, то вот два числа А, В, умножая некоторое
число С, произвели Н, I. Значит, будет, что как А к В,
так и Н к / (предложение 18). Но вместе с тем и как А
к В, так и Н к Е; и значит, как Н к Е, так и И к I.
Значит, Н к каждому из Е, / имеет то же самое
отношение; значит, Е равно / (предложение 9 книги V).
Опять вот пусть Е будет равно /; я утверждаю, что
будет как А к В, так и С к D.
Действительно, после тех же самых построений, поскольку
Е равно будет /, то значит, будет, что как Н к Е, так
и Н к / (предложение 7 книги V). Но как Н к Е, так
и С к D (предложение 17), как же Я к /, так и А к В
(предложение 18). И значит, как А к В, так и С к D,
что и требовалось доказать (29, 30).
Предложение 20
Числа, наименьшие из имеющих то же самое
отношение с ними, равное {число разу измеряют имеющие
„ -- то самое же отношение (часлау, при-
Т Т чём большее (измеряет} большее, а
\s меньшее — меньшее.
о "^ X/ Пусть CD, EI будут числа
наименьшие из имеющих то же самое отноше-
" ние с Л, В; я утверждаю, что равное
■* ' " <число раз> CD измеряет A, a EJ
.(измеряет) В (черт. 20).
Действительно, CD не является
«частями» А. В самом деле, пусть оно,
Черт. 20. если возможно, будет <ими>; значит, и
EI будет такими же «частями» от В,
как CD от А. Значит, сколько в CD частей А, столько же
будет и в El частей В. Разделим CD на А-части СН, HD,
а Е/ на S-части EG, GI; тогда количество СН, HD
равно будет количеству EG, GI. И поскольку числа СН, HD
равны между собой, так же и числа EG, GI равны между
собой, и количество СН, HD равно количеству EG, GI, то
значит, как СН к EG, так и HD к GI. Значит, будет, что
И как Один из предыдущих к одному из последующих, так


КНИГА СЕДЬМАЯ 27
и все предыдущие ко всем последующим (предложение 12).
Будет, значит, что как СИ к EG, так и CD к El;
значит, СИ, EG с CD, EI находятся в том же самом
отношении, будучи меньше их; это же невозможно, ибо CD,
El предполагаются наименьшими из имеющих то же самое
отношение с ними. Значит, CD ие является «частями» А;
значит, <оно> — часть (предложение 4). И El от В является
такой же частью, что CD от А; значит, равное <число раз)
CD измеряет А, и El <измеряет> В, что и требовалось
доказать (31).
Предложение 21
Первые между собой числа суть наименьшие из
имеющих с ними то же самое отношение.
Пусть будут первые между собой числа А, В; я
утверждаю, что Л, В суть наименьшие из имеющих с ними то
же самое отношение (черт. 21).
Действительно, если иет, то будут какие-то меньшие
A, В числа, находящиеся в том же самом отношении с А,
B. Пусть они будут С, D.
Поскольку теперь числа, наименьшие из имеющих то
же самое отношение, равное (число раз> измеряют
имеющие то же самое отношение, именно „
большее — большее и меньшее —
меньшее (предложение 20), то-есть
предыдущее—предыдущее и последующее —
последующее, то значит, равное (число
раз) С измеряет Л, и D (измеряет) В. -*-
Вот, сколько раз С измеряет Л, пусть Черт. 21.
столько единиц будет в Е. Значит,
и D измеряет В по (количеству) единиц в Е. И
поскольку С измеряет А по (количеству) единиц в Е, значит,
и Е измеряет Л но <количеству) единиц в С
(предложение 15). IIo той же вот причине Е измеряет и В по
(количеству) единиц в D (предложение 15). Значит, Е
измеряет А, В, являющиеся между собой первыми; это же
невозможно (определение 13). Значит, не будет никаких меньших
Л, В чисел, находящихся в том же самом отношении с А,
В, что и требовалось доказать,
11


28
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 22
Числа, наименьшие из имеющих с ними то же самое
отношение, будут первыми между собой.
Пусть числа, наименьшие из имеющих с ними то же
самое отношение, будут А, В', я утверждаю, что А, В
будут первыми между собой (черт. 22).
Действительно, если они не первые между собой, то
какое-то число <их> измерит. Пусть оно измеряет и будет
С. И сколько раз С измеряет А, пусть столько единиц бу-
,? ■ i дет в D', сколько же раз С измсря-
„ ет В, пусть столько единиц будет в£\
% Поскольку С измеряет А по <ко-
^' ' "' личесгву> единиц в D, то значит, С,
В\ 1 умножая D, произвело А (определе-
с , ' иие 16). По той же вот причине и С,
Чеот Т> умножая Е, произвело В. Вот число
С, умножая два числа D, Е, произвело
А, В; значит, будет, что как D к Е, так к А к В
(предложение 17); значит, D, Е с А, В находятся в том же самом
отношении, будучи меньше их; это же невозможно. Значит,
никакое число не измерит числа А,- В. Значит, А, В суть
первые между собой, что и требовалось доказать (32).
Предложение 23
Если два числа суть первые между собой, то число,
измеряющее одно из них, будет первым с оставшимся
Пусть будут два числа, первые между
собой, А, В, и пусть какое-то число С
измеряет А; я утверждаю, что и С, В будут
первыми между собой (черт. 23).
Действительно, если С, В не будут
первыми между собой, то [какое-то] число
измерит С, В. Пусть оно измеряет и будет D.
Поскольку D измеряет С, С же измеряет А} Черт. 23.
то значит, D измеряет и А. Измеряет оно
также и В; значит, D измеряет А, В, являющиеся между
собой первыми; это же невозможно. Значит, никакое число
ие измерит чисел С, В. Значит, С, В будут первыми между
собой, что и требовалось доказать. , . „ .
1 Р
с


КНИГА СЕДЬМАЯ
29
Предложение 24
Если два числа будут первыми по отношению к ка-
KOMV-tno числу, то и возникающее из них (произведение}
будет по отношению к нему первым.
Пусть два числа А, В будут первыми по отношению
к какому-то числу С, и пусть Л, умножая б, производит
D; я утверждаю, что С, D будут пер-
выми между собой (черт. 24). 1 1
Действительно, если С, D не будут | I
первыми между собой, то [какое-то] -L ^
число измерит С, D. Пусть оно
измеряет и будет Е. И поскольку С, А— "
первые между собой, С же измеряется*) }
каким-то числом Е, то значит, Л, Е -£,
будут первыми между собой (предложи .
ние 23). Вот сколько раз Е измеряет/),
пусть столько единиц будет в /; и зна- ^еРт- 24,
чит, / измеряет D по (количеству)
единиц в Е (предложение 15). Значит, Е, умножая /,
произвело D (определение 16). Вместе с тем и А, умножая В,
произвело D\ значит, <произведение> из Е, I равно <произве-
дению> из Л, В. Если же произведение крайних будет равно
произведению средних, то четыре эти числа будут
пропорциональны**); значит, будет, что как Е к А, так и В к /. Но Л,
Е —- первые, первые же и наименьшие (предложение 21),
числа же, наименьшие из имеющих то же самое отношение,
равное <число раз> измеряют большее — большее и меньшее—
меньшее (предложение 20), т. е. предыдущее —
предыдущее и последующее — последующее; значит, Е измеряет
В. 0[Ю также измеряет и С; значит, Е измеряет В, С,
являющиеся между собой первыми; это же невозможно.
Значит, никакое число не измерит числа С, D. Значит, С,
D будут первыми между собой, что и требовалось доказать,
*) Во избежание недоразумений, действительный оборот под-
лищ-г.жа заменён страдательным.
**) Интересно отметить, что формулировка эта не совпадает
с формулировкой предложения 19, являясь с ним по существу
тождественной: в данном случае мы имеем то ruv S/piav, ияо тй-
lUufuv, тогда как в предложении 19 уиотреблеио ^yo^yot; In.


30
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 25
Если два числа суть первые между собой, то
возникающая- из одного из них (степень}*) будет первой по
отношению к оставшемуся.
Т Т Т Т Пусть два числа, первые между собой,
I I будут А, В, и пусть А, умножая самого
I 1 себя, произведёт С; я утверждаю, что В, С
бjдут первыми между собой (черт. 25).
Действительно, положим D равным А.
Поскольку Л, В—первые между собой, А же
Черт 25 равно D, то значит, и D, В будут первые"
между собой. Значит, каждое из D, А будет
по отношению к В первым; значит, и возникающее из D, А
будет по отношению к В первым. Возникающее же из D, А
число есть С. Значит, С, В будут первыми между собэй,
что и требовалось доказать.
Предложение 26
Если два числа по отношению к двум числам будут—
оба по отношению к каждому — первыми, то и
возникающие из них будут
первыми между собой. " ' ^ '
Пусть два числа Л, В 8^ ' i B\ 1
по отношению к двум чис- ^
лам С, D буду т — оба по ^^
отношению к каждому — '
первыми, и пусть А, умио- Черт, 26.
жая В, произведёт Е\ С же,
умножая D, произведёт /; я утверждаю, что Е, I будут
первыми между собой (черт. 26).
Действительно, поскольку каждое из А, В является по
отношению к С первым, то значит, и возникающее из Л,
В <произведение> будет по отношению к С первым
(предложение 24). Возникающее же из А, В <произведение>
есть Е; значит, Е, С суть первые между собой. По той
*) 6 Ixtoo ivs?3'jTuv fEvojiEvoT — первоначальная форма
выражения «6 мб too...»—наше «квадрат на..,^.


КНИГА. СЕДЬМАЯ
31
же вот причине и Е, D будут первыми между собой.
Значит, каждое из С, D по отношению к Е является первым.
Значит, и возникающее из С, D <прои.шедекие> по
отношению к Е будет первым. Возникающее же из С, D <про-
изведение> есть /. Значит, Е, I будут первыми между
собой, что и требовалось доказать.
Предложение 27
Если два числа будут первыми между собой и каждое,
умножая само себя, производит что-то, то и
возникающие из них (произведения") будут первыми между собой;
и если первоначальные (числау,
умножая эти возникающие, производят # &
что-то, то и эти последние будут Т 1
первыми между собой [и то же всегда ■*
будет происходить в дальнейшем*)].
Пусть два числа, первые между
собой, будут A, Bt и пусть А, умножая
само себя, произведёт С, умножая же
С, произведёт Dt а В, умножая само
себя, произведёт Еу умножая же Е}
произведёт /; я утверждаю, что С, Е и D, /
будут первыми между собой (черт. 27).
Действительно, поскольку А, В — первые между собой,
и А, умножая само себя, произвело С, то значит, С, В
будут первыми между собой (предложение 25). Поскольку
теперь С, В первые между собой, и В, умножая само себя,
произвело Е, то значит, С, Е будут первыми между собой.
Опять, поскольку А, В — первые между собой, и В,
умножая само себя, произвело Е, то значит, Л, Е будут
первыми между собой. Поскольку теперь два числа А, С по
отношению к двум числам В, Е будут оба по отношению
к каждому первыми, то значит, и возникающее из А, С по
*) В подлиннике сказано: ягрьтоЬ: a'/poiK—для крайних. Ввиду
того, что этот термин не встречается в самом тексте
доказательства, Гейберг считает поставленпые й квадратных скобках слова
позднейшей, хотя и сравнительно ранней (до Теона) интерполяцией.
1


32
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
отношению к <возникающему> из В, Е будет первым
(предложение 26). И <возникающее> из Д С есть D, <возни-
кающее> же из В, Е <есть> /. Значит, D, J будут первыми
между собой, что и требовалось доказать.
Предложение 28
Если два числа будут первыми между собой, то и оба
вместе взятые*) по отношению к каждому из них будут
первыми; и если оба вместе взятые
Л В С являются перейми по отношению к
какому-нибудь одному из них, то и
f g первоначальные числа будут первыми
1 ' между собой.
Черт. 28. Сложим два первые между собой
числа АВ, ВС; я утверждаю, что и оба
вместе взятые АС по отношению к каждому из АВ, ВС
будут первыми (черт. 28).
Действительно, если не будут С А, АВ первыми между
собой, то какое-то число измерит СА7 АВ. Пусть оно
измеряет и будет D. Поскольку теперь D измеряет С A, ABt
то значит, оно будет измерять и остаток ВС**). Измеряет
оно также и ВА; значит, D измеряет АВ, ВС, являющиеся
первыми между собой; это же невозможно. Значит, никакое
число не измерит числа СА, АВ; значит, СА, АВ будут
первыми между собой. По той же вог причине и АС, СВ
будут первыми между собой. Значит, СА будет первым по
отношению к каждому из АВ, ВС.
Затем пусть вот будут СА, АВ первыми между собой; я
утверждаю, что и АВ, ВС будут первыми между собой.
Действительно, если не будут АВ, ВС первыми между
собой, то какое-то число измерит АВ, ВС. Пусть оно изме-
*) В подлиннике соуа[крот£рос, что не вполне точно соответствует
нашей «сумме»; по существу здесь идёт речь об отрезке прямой,
составленном из двух изображающих числа отрезков.
**) Интересно отметить, что это положение у Евклида нигде
не доказывается; повидимому он, или его первоисточник, считал
очевидным, что, если число измеряет сумму и одно слагаемое,
то оно будет измерять и другое слагаемое; и также, что число,
измеряющее оба слагаемых, будет измерять и сумму.


КНИГА СЕДЬМАЯ
33
ряет и будет D. И поскольку D измеряет каждое из АВ,
ВС, то значит, оно измерит и целое С А*). Измеряет оно
также и АВ; значит, D измеряет С А, АВ, являющиеся
первыми между собой; это же невозможно. Значит, никакое
| число не измерит чисел АВ, ВС. Значит, АВ, ВС будут
^/первыми между собой, что и требовалось доказать.
f\J Предложение 29
■О
л?* Всякое первое число будет первым по отношению
О^Л" каждому числу, которого оно не измеряет.
ик* Пусть будет первое число А и пусть оно не измеряет
\В\ я утверждаю, что В, А будут пер- „
выми между собой (черт. 29). '
Действительно, если не будут В, &1 ... — .-ч
А первыми между собой, то какое-то и\ .
число их измерит. Пусть их измеряет С. ■ '
Поскольку С измеряет В, А же не Черт. 29.
измеряет В, то значит, С не будет
тождественным А. И поскольку С измеряет В, А, то
значит, оно [измеряет и Л, являющееся первым и с ним не
тождественное; это же невозможно. Значит, никакое число
не измерит В, А. Значит, А, В будут первыми между
собой, что и требовалось доказать.
Предложение 30
Если два числа, умножая друг друга, производят
что-то, возникающее же из них измеряется**) каким-то
первым числом, то (последнее)? измерит и одно из
первоначальных.
Пусть два числа А, В, умножая друг друга, производят
С, и пусть С измеряется каким-то первым числом О; я
утверждаю, что D измеряет одно из А, В (черт. 30).
Действительно, пусть оно не измеряет А, и D есть перг
вое; значит, A, D будут первыми между собой (предложе-
*) См. предыдущую сноску.
**) Во избежание двусмысленности, действительный оборот
подлинника заменён страдательным. ,. • ■
3 Евклид , ^ У5' ^\


34 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
ние 29). И сколько раз D измеряет С, пусть столько единиц
будет в Е. Поскольку теперь D измеряет С по <количеству>
единиц в Е, то значит, Д умножая Е, произвело С
(определение 16). Вместе с тем и Л, умножая В, произвело С;
значит, <произведепие> из D, Е рав- ^
но <произведению> из Л, В; значит,
будет, что как D к А, так и В к Е. В1 '
Но D, Л —первые, первые же и р—.— i
наименьшие, наименьшие же изме-
ряют имеющие то же самое
отношение равное <мисло раз> большее— ^' !
большее и меньшее — меньшее (пред- Черт. 30.
ложение 20), то-ее гь предыдущее —
предыдущее и последующее — последующее; значит. D
измеряет В. Подобно вот докажем, что и если оно не
измеряет В, то будет измерять Л, Значит, D измеряет одно
из А. В, что и требовалось доказать.
Предложение 31
Всякое составное число измеряется каким-то первым
г числом.
|; Пусть будет составное число А; я утверждаю, что А
{ измеряется каким-то первым числом (черт. 31).
I Действительно, поскольку А есть составное, его изме-
$ рит какое-то число. Пусть оно измеряет и будет В. И если
| В первое, то заданное уже было
1 ' бы выполнено. Если же <оно> со-
| д\ ,,. у ставное, то его измерит какое-то
| $\ i чис.то. Пусть оио измеряет и бу-
' дет С. И поскольку С измеряет
Черт. 31 5, В же измеряет А, то значит, и
С измеряет Л. И если С первое,
то заданное уже было бы выполнено. Если же оно
составное, то его будет измерять какое-то число, Вот при
производстве такого пересмотра останется какое-то первое
число, которое измерит. Действительно, если бы не
осталось, то число А будет измеряться бесконечным <рядом>


КНИГА СЕДЬМАЯ
35
чисел*), из кэторых каждое каждого будет меньше; это же
невозможно для чисел. Значит, останется какое-то первое
число, которое измерит предыдущее, которое измерит и А.
Значит, всякое составное число измеряется каким-то
первым числом, что и требовалось доказать (33, 34).
Предложение 32
Всякое число — или первое, ила измеряется каким-
то первым числом.
Пусть б\дет число А; я утверждаю, что оно —или
первое, или измеряется каким-то первым числом
(черт. 32.) ( Я |
Если теперь А первое, то заданное уже
было бы выполнено. Если же— составное, то 1Т „„
его будет измерять какое-то первое число.
Значит, всякое число — или первое, или
измеряется каким-то первым числом, что и требовалось,
доказать.
Предложение 33
Для заданных в любом количестве чисел найти
наименьшие из имеющих то же самое отношение с ними.
Пусть будут заданные в любом количестве числа А,
В, С; вот требуется найти наименьшие из имеющих то же
самое отношение с А, В, С (черт. 33).
Действительно, А, В, С будут или первыми между собой,
или же нет. Если теперь А, В, С будут первыми между
собой, то они будут наименьшими из имеющих то же
самое отношение с ними (предложение 21).
Если же иет. то возьмём для А, В, С наибольшую
общую меру D (предложение 3), и сколько раз D измеряет
каждое из А, В, С, пусть будет столько единиц в каждом
из F, /, И, И значит, каждое из £", I, И измеряет каждое
*) Для ясности действительный оборот подлинника переделан
в страдательный.
3*


36
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
отношении с Л, 5, С
с
fi
в
Е I
8 К i M
из Л, В, С по (количеству) единиц в D (предложение 15).
Значит, Е, [, И равное <число раз) измеряют А, £>', С; значит,
Е} /, И находятся с А, В, С в том же самом отношении
(определение 21). Вот я утверждаю, что <они> и наименьшие.
Действительно, если не будут Е, /, И наименьшими из
имеющих то же самое отношение с А, В, С, то будут
[какие-то] меньшие Е, /, И числа, находящиеся в том же самом
Пусть они будут G, К, L; значит,
равное <число раз) G изме-
I ряет А, и каждое из К, L <из-
£ меряет) каждое из £, С. Сколь-
ко ж:е раз G измеряет Л?
: пусть будет столько единиц
в М\ и значит, каждое из К, L
измеряет каждое из В, С по
■(количеству) единиц в М. И
поскольку G измеряет А по <ко-
личеству) единиц в М, то
значит, и М измеряет А по
■(количеству) единиц в G
(предложение 15). По той же вот
причине М измеряет и каждое
из В, С но <колпчеству)
единиц в каждом из К, Ц значит,
М измеряет Л, В, С. И
поскольку G измеряет А по
количеству) единиц в М, то
значит, G, умножая Ж, произвело А (определение 16). По той
же вот причине и Е, умножая D, произвело А. Значит,
•(произведение) из Е, D равно будет <произведению) из
G, М. Значит, будет, что как Е к G, так и М к D
(предложение 19). Но Е больше, чем G; значит, и Ai больше,
чем D (предложение 14 книги V). И оно измеряет А, В, С;
это же невозможно, ибо D предполагается для А, В, С
наибольшей общей мерой. Значит, не будет никаких
меньших, чем Е, I, H, чисел, находящихся в том же самом
отношении с Л, В, С. Значит, Е% /, И будут наименьшие из
имеющих то же самое отношение с Л, В, С} что и
требовалось доказать (35).
Черт. 33.


I
КНИГА СЕДЬМАЯ 37
Предложение 34
Для двух заданных чисел найти, какое наименьшее
число они измеряют.
Пусть два заданных числа будут Л, В; требуется вот
найти, какое наименьшее число они измеряют (черт. 34).
Действительно, А, В будут или первыми между собой
или нет. Пусть сперва А, В будут первыми между собой, и
пусть Л, умножая В, произведёт С; и значит, £, умножая А,
произвело С (предложение 16). Значит, А, В измеряют С.
Вот я утверждаю, что <оио> и наи- д g
меньшее. Действительно, если нет, ' ' ' '
то А, В измерят какое-то число, меиь- —— ■ ■ — ■■<
шее С. Пуст!) они измеряют D. , В ,
И сколько раз А измеряет D, пусть [ 1
столько единиц будет в Е; сколько ' ' '
же раз В измеряет D, пусть столь- Черт. 34.
ко единиц будет в /; значит, А,
умножая Е, произвело D, а В, умножая /, произвело D
(определение 16); значит, <пронзведенис> из Л, нравно (произведению)
из В, I. Значит, будет, что как А к В, так и / к Е
(предложение 19). Но Л, В первые, первые же и наименьшие
(предложение 21), наименьшие же измеряют имеющие то же самое
отношение равное <число раз), большее — большее и меньшее —
меньшее (предложение 20); значит, В измеряет Е, как
последующее (измеряет) последующее. И поскольку Л, умножая В,
Е, произвело С, D, то значит, будет, что как В к Et так и
С к D (предложение 17), Но В измеряет Е; значит, и С
измеряет D (определение 21), большее—меньшее; это же
невозможно. Значит, Л, В не измеряют никакого числа,
меньшего, чем С. Значит, С, будучи наименьшим, измеряется Л, В.
Вот пусть Л, В не будут первыми между собой, и возьмём
наименьшие числа /, Е из имеющих то же самое
отношение с Л, В (предложение 33); значит, (произведение) из Л,
Е равно будет (произведению) из В, I (предложение 19).
И ; усть Л, умножая Е, произведёт С; значит, и В,
умножая /, произвело С; значит, Л, В измеряют С. Вот я
утверждаю, что (оно) и наименьшее {черт. 35). Действительно,
если нет, то Л, В измерят какое-то число, меньшее С, Пусть


38
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
они измеряют D. И сколько раз А измеряет D, пусть
столько единиц будет в И', сколько же раз В измеряет D,
пусть столько единиц будет в G. Значит, Д умножая И,
произвело D, а В, умножая G, произвело D (определение 16).
Значит (произведение) из А, И равно (произведению) из
В, G; значит, будет, что как А
1 Я . | , -£- , к В, так и G к И (предложе-
/ | £ ние 19). Как же А к В, так и
р I к Е; и значит, как / к Е, так
1 и G к И. Но /, £— наименьшие,
t—, -_ ^ i наименьшие же измеряют имею-
Н ] £ | щис то же самое отношение
равное <число раз), боль-
Черт, 35. ц|ее — большее и меньшее —-
меньшее (предложение 20); значит, Е измеряет И. И
поскольку А, умножая Е, И, произвело С, D, то значит,
будет, что как Е к И, так и С к D (предложение 17). Но Е
измеряет И; значит, и С измеряет D (определение 21),
большее—-меньшее; это же невозможно, Значит, А, В не
измерят никакого числа, меньшего чем С. Значит, С, будучи
наименьшим, измеряется Л, В, что и требовалось доказать.
Предложение 35
Если два числа измеряют какое-то число, то его
измерит и наименьшее ими измеряемое (числоу.
Пусть два числа А, В измеряют какое-то число CD,
наименьшее же <ими
измеряемое) Е; я ут- | t ц . i
верждаю, что кЕ
измеряет CD (черт. 36). С\ 1 \0
Действительно, если
Е не измеряет CD, то \— — 1
пусть Е, измеряя Dl, Черт yg
оставит Ci, меньшее
себя. И поскольку А, В измеряют Е, Е же измеряет DI,
то, значит, и Л, В измерят DI. Но они измеряют и всё CD;
значит, они измерят и остаток С/, который меньше Е; это
же невозможно. Значит, Е не будет не измерять CD;
значит, измерит, что и требовалось доказать.


КНИГА СЕДЬМАЯ
Предложение 36
Для трёх заданных чисел найти, какое наименьшее
число они измеряют.
Пусть три заданных числа будут Л, В, С; требуется вот
найти, какое наименьшее число они измеряют (черт. 37, 38).
Возьмём наименьшее измеряемое двумя Л, В <число> D
(предложение 34). Вот С или измеряет D, или пет. Пусть
сперва оно измеряет. Но и Л, В из- ^, ,
меряют D; значит, и А, В, С измс- _
ряют D. Вот я утверждаю, что <оно> ' '
и наименьшее. Действительно, если С— -1 ■ "*^
нет, то А, В, С измерят [какое-то] ^, i
число, меньшее Z). Пусть они изме- ,_
ряют Е. Поскольку Л, S, С
измеряют £", то значит, и Л, 5 измеряют £, Черт. 37,
И значит, наименьшее, измеряемое Л,
В, измерит [Е] (предложение 35). Наименьшее же.
измеряемое Л, В, есть D; значит, D измерит Е, большее —
меньшее; это же невозможно. Значит, Л, В, С не измерят
никакого числа,
/7н——4 , меньшего чем D\
В\ "— i . значит, Л, S, С
наименьшее
измеряют D.
С*
"' ' Затем, пусть
£i .— ..- -f вот С не измеряет
/: , _™_ч ^, и возьмём
(черт. 38) наи-
Черт. 38. меньшее
измеряемое С, Z) число
Е (предложение 34). Поскольку Л, В измеряют D, a D
измеряет Е, то значит, и Л, £ измеряют £. Также и С
измеряет [Е; и], значит, Л, В, С измеряют Е. Вот я
утверждаю, что <оно> и наименьшее. Действительно, если нет, то
Л, В, С измерят какое-то <число>, меньшее Е. Пусть они
измеряют /. Поскольку Л, В, С измеряют /, то значит, н Л,
В измеряют /; н значит, наименьшее, измеряемое А, В,
измерит / (предложение 35). Наименьшее же, измеряемое


40 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Л, В, есть D; значит, D измеряет /. Также и С измеряет /;
значит, D, С измеряют /, так что и наименьшее измеряемое
D, С измерит /. Наименьшее же, измеряемое D, С, есть Е;
значит, Е измеряет /, большее— меньшее; это же невозможно.
Значит, А, В, С не измерят никакого числа, меньшего чем Е.
Значит, Е, будучи наименьшим, измеряется Д В, С, что и
требовалось доказать.
Предложение 37
Если число измеряется каким-то числом, то
измеряемое будет иметь часть соимённую*) измеряющему.
Пусть число А измеряется каким-
го числом В; я утверждаю, что А
£*-• ' имеет часть, соимённую с В
?\ (черт. 39).
р Действительно, сколько раз В
измеряет А, пусть столько единиц
Черт. 39. будет в С. Поскольку В измеряет А
по <количеству) единиц в С, также и
единица D измеряет число С по -(количеству) единиц в нём,
то, значит, равное <число раз) измеряют единица D число С и
В—<число> А. Значит, перестановкой, равное <число раз)
единица D измеряет число В и С—<число) А
(предложение 15); значит, какой частью единица D будет от числа В,
той же самой частью будет и С от А. Единица же D есть
часть числа В, соимённая ему; значит, и С есть часть А,
соимённая В; так что А имеет часть С, соимённую В, что
и требовалось доказать.
Предложение 38
Если число имеет какую-нибудь часть, то оно будет
измеряться числом, соимённым <зят#> части.
Пусть число А имеет какую-нибудь часть В, и пусть
соимённым части В будет [число] С; я утверждаю, что С
измеряет А (черт. 40).
*) В подлиннике ojawvd^i; — подо б поимённый,


КНИГА СЕДЬМАЯ
Действительно, поскольку В есть часть Л, соимённая С,
единица же D есть часть С, соимённая ему, то значит,
какой частью будет единица D от
числа С, той же самой частью бу- у71
дет и В от А; значит, равное <чис- 8*— -и
ло раз> единица D измеряет число », ,-,]
С я В — <число> А. Значит,
перестановкой, равное <число раз> еди- Я*—* i
ница D измеряет число В и С — Черт. 40.
<число> А (предложение 15). Значит, С измеряет А, что
и требовалось доказать.
Предложение 39
Найти число, которое, будучи наименьшим, имеет
заданные части.
Пусть заданные части будут Л, В, С; требуется вэг
найти число, которое, будучи наименьшим, имеет части А,
<-■ В, С (черт. 41).
>——! h— ■ ц. — .,'■ Пусть соимённые
„ ^ j частям Л В, С числа бу-
i ' ■ " ' ' 1 дут D, Е, /, и возьмём
g наименьшее, измеряе-
ч 1 « мое п £^ Д число И.
И
Черт. 41. Значит, И имеет
части, соимённые D, Е, I (предложение 37). Соимённые
же Z), Е, I части суть А, В, С; значит, И имеет части А,
В, С. Вот я утверждаю, что <оио их иыеет>, будучи и
наименьшим. Действительно, если иет, то будет какое-то
меньшее И число, которое имеет части Д В, С. Пусть
оно будет G. Поскольку G имеет части Д В С, то
значит, G будет измеряться числами, соимёнными частями
А, В, С (предложение 38). Частям же А, В, С соимённые
числа будут Д Е, /; значит, G измеряется D, Е, /. И оно
меньше И; это же невозможно. Значит, не будет никакого
меньшего Н числа, которое имело бы части А, В, С,
что и требовалось доказать.
—"^И"


КНИГА ВОСЬМАЯ
r^rexaiHj^j^jerejBj^jgj^r^ji^jz^^
Предложение 1
Если будет сколько-нибудь чисел в непрерывной
пропорции*, крайние же из них будут первыми между
собой, то они — наименьшие из (чисел-У, имеющих с ними
то же отношение.
Пусть будет сколько-нибудь чисел в непрерывной
пропорции А. В, С, D, крайние же из них A, D пусть будут
первыми между собой;
Л £ я утверждаю, что А,
1 ' . В. С, D — наименьшие
В I
i 1 , | из имеющих с ними то
С . i-j же отношение (черт. 1).
1 ' Действительно, если
t В | , G ( это не так, то пусть
Е, I, H, G будут числа '
черт. 1. меньшие, чем Д В, С,
D, находящиеся с ними
в том же отношении. И поскольку А, В, С. D находятся
в том же отношении с £",/,//, G, н количество
[чисел А, В, С, D] равно количеству [чисел Е, /, Н, G], то
значит, по «равенству» (предложение 14 книги VII) будет,
что как А к D, так и Е к G. Но A, D первые, первые же
и наименьшие (предложение 21 книги VII), наименьшие
же числа равно измеряют имеющие то же отношение, боль-
*) В подлиннике Щч avabyov — подряд пропорциональны.
Эта терминология употребляется в предложениях 1,2,3,4,6,7,13,
14,15,18,19,21,22,23,25.


КНИГА ВОСЬМАЯ
шее-—-большее, меньшее же—-меньшее (предложение 20
книги VII), то-есть предыдущее — предыдущее и
последующее—последующее. Значит, А измеряет Е, большее —
меньшее; это же невозможно. Значит, Е, /, И, G, будучи
меньше А, В, С, D, не будут в том же отношении с ними.
Значит, А, В, С, D-—-наименьшие из имеющих то же
отношение с ними, что и требовалось доказать (1).
Предложение 2
Найти наименьшие числа в непрерывной пропорции,
сколько бы их ни было назначено, в заданном отношении.
Пусть заданное отношение в наименьших числах будет
как А к В; должно вот найти наименьшие числа в
непрерывной пропорции,
сколько бы их ни было Д^ t ^ ,
назначено, в отношении С В £
А к В. i < I 1 I 1
Вот пусть будет , / , ( И н
назначено четыре, и ~
пусть А, умножая само *--—■- -" ■ ч
себя, произведёт С, #
умножая же В,
произведёт D, и ещё В, Черт. 2.
умножая само себя,
произведёт Е, и ещё А, умножая С, Д Е, произведёт /,
Н, G, а В, умножая Е, произведёт К (черт. 2).
И поскольку А, умножая само себя, произвело С,
умножая же В, произвело Df то значит, будет, что как А
к В, [так и] С к О (предложение 17 книги VII). Затем, по-
поскольку А, умножая В, произвело Z), а В, умножая само
себя, произвело Е, то значит, каждое из А, В, умножая В,
произвели каждое из D, Е. Значит, будет, что как А к Д
так н D к Е (предложение 18 книги VII). Но как А к В,
так и С к D; и значит, как С к Z), так и D к Е. И
поскольку А, умножая С, Z), произвело /, Я, то значит,
будет—как С к D, [так и] / к И (предложение 17 книги VII).
Как же С к О, так было н А к В; и значит, как А
к В, так и I к Н, Затем, поскольку А, умножая D, Е,


44 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
произвело Ht G, то значит, будет как D к Е, так и И к G
(предложение 17 книги VII). Но как D к Е, так и А к В.
И значит, как А к В, так и И к G. И поскольку А, В,
умножая Е, произвели G, К, то значит, будет, чго как А
к В, так и G к К (предложение 18 книги VII). Но как А
к Bt так и / к //, и Л к G. И значит, как / к И, так
и И к G, и G к /С; значит, С, Л, £ и /, И, G, /С будут
пропорциональными в отношении А к В, Вот я утверждаю,
что они и наименьшие. Действительно, поскольку Л, В суть
наименьшие из имеющих то же отношение с ними,
наименьшие же из имеющих то же отношение суть первые между
собой (предложение 22 книги VII), то значкг, Л, В будут
первыми между собой. И каждое из A, Bt умножая само
себя, произвело <соответственно> С, Е, умножая же каждое
из С, Et произвело <соответственио> /, К] значит, С, Е и /,
К будут первыми между собой (предложение 27 книги VII).
Если же будет сколько-нибудь чисел в непрерывной
пропорции, крайние же нз них будут первыми между собой,
то они—наименьшие нз имеющих с ними то же
отношение (предложение 1). Значит, С, D, Е и /, Н, G, К
будут наименьшими из имеющих то же отношение с А, В,
что и требовалось доказать (1).
Следствие
Из этого вот ясно, что если три числа в непрерывной
пропорции являются наименьшими из имеющих с инми то
же отношение, то крайние из них — квадраты, если же
четыре, то — кубы.
Предложение 3
Если будет сколько-нибудь чисел в непрерывной
пропорции — наименьших из имеющих то же отношение
с ними,—то крайние из них будут перейми между собой.
Пусть будет сколько-нибудь чисел в непрерывной
пропорции— наименьших из имеющих с ними то же
отношение, А, В, С, D; я утверждаю, что крайние нз них Л, D
будут первыми между собой (черт. 3).


КИИГЛ ВОСЬМАЯ
43
Действительно, возьмём два числа наименьших в
отношении Л, В, С, D, <а именно), Е, 1 (предложение 33
книги VII), затем три И, G, К и так далее одним более
(предложение 2), пока взятое количество не сделается
равным количеству Л, В, С, D. Пусть они взяты и будут 1,
М, N, X.
И поскольку Е, / — наименьшие из имеющих то же
отношение с ними, то они будут первыми между собой
(предложение 22 книги VII). И поскольку каждое из Е, /,
умножая само себя,
произвело Н, /С, умножая i - 1 1 ■ "■■■ .|
же каждое из //, К, с
произвело Л, Xt то зна- '
чит, Я, К и L, X | £ ,
будут первыми между Е I н G
собой (предложение 27 ' '
книги VII). И
поскольку Л, В, С, Я —
наименьшие из
имеющих с ними то же
отношение, также и L,
М, N, X —
наименьшие находящиеся в том Черт. 3.
самом отношении с Л,
В, С, £>, и количество Л, £, С, D одинаково с
количеством £, М, jV, X, то значит, каждое из Л, В, С, D
<соответственно> равно L, M, N, X; значит, Л будет
равно L, D же <равно> X. И L, X суть первые между собой.
Значит, и Л, D будут первыми между собой, что и
требовалось доказать (1).
Предложение 4
Для любого количества отношений, заданных в
наименьших числах, найти наименьшие непрерывно
пропорциональные числа в заданных отношениях.
Пусть заданные отношения в наименьших числах
будут -Д к В н С к D, и ещё Е к /; вот требуется иайти
наименьшие непрерывно пропорциональные числа в
отношениях А к В и С к D, и ещё Е к I (черт. 4).
L
К
и
1 N I
/


4° НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, возьмём наименьшее измеряемое В и С
число Н (предложение 34 книги VII). И сколько раз В
измеряет Н, столько же раз и А пусть измеряет G, сколько
же раз С измеряет //, столько раз н D пусть измеряет К-
Но Е или измеряет К, н.чи ire измеряет. Пусть сначала оно
измеряет. И сколько раз Е измеряет К, пусть столько раз и
/ измеряет L. И поскольку одинаково А измеряет G и В <из-
меряет> И, то значит, будет, что как А к В. так и G к
//(определение 21 и предложение 13 книги VII). На основании
того же вот, и как С к D, так и Нк К, и ещё как Е к I,
„ так н К к L; значит, G,
j , h 1 H, К, L будут непрерывно
с j7 пропорциональны в отно-
Р шениях А к В и С к D
' i г "^ и ещё Е к I. Вот я утвер-
^ // ждаю, что <они> и иаи-
„ , меньшие. Действительно,
i ,—i ] . .,.| если не будут G, Н, К,
// / L наименьшими
непрерывно пропорциональными
t И I ■ ч в отношениях А к б,нС
к D, и Е к I, то пусть
Черт. 4. такими будут N, X, М,
О. И носкольку будет
как А к В, так и N к Хл и А, В — наименьшие,
наименьшие же одинаковое число раз измеряют имеющие то же
самое отношение, большее —- большее и меньшее —
меньшее, то-есть предыдущее—-предыдущее и последующее —
последующее (предложение 20 книги VII), то значит, В
измеряет X. На основании вот того же и С измеряет X;
значит, В, С измеряют X; и значит, наименьшее
измеряемое В, С измерит X (предложение 35 книги VII). Но Н
наименьшее, измеряемое В, С; значит, Н измеряет X,
большее — меньшее; это же невозможно. Значит, не будет
каких-нибудь, меньших чем G, Н, К, L, чисел, непрерывно
<пропорциональных> в отношениях А к В и С к О, и ещё
Е к I.
Но вот пусть Е не измеряет К (черт. 5). И возьмём
наименьшее измеряемое Е, К число М (предложение 34


КНИГА ВОСЬМАЯ
кннгн VII). И сколько раз К измеряет М, пусть столько
раз н каждое нз (?, И измеряет <соответственно> N, X,
сколько же раз Е измеряет М, пусть столько раз н /
измеряет О. Поскольку одинаковое число раз G измеряет N
и И <измерпет> X, то значит, будет как G к Н, так н N
к X (предложение \Ъ кннгп VII). Как же G к И, так и А
к В; и значит, как А к £, так и N к X. На основании
того же вот, и как С к D, так и X к М. Затем, поскольку
одинаковое число раз Е измеряет М и / -(измеряет) О, то
значит, будет, что как Е к /, так и М к О
(предложение 13 книги VII); значит, N, X, М, О будут непрерывно
пропорциональны в отношениях А к В и С к D, и ещё Е
М—i " /Vi 1 _ Р\ 1
В\ 1 Л 1 Р\ ■ 1
С\ 1 *' 1 $\ Г-*
Вх ! 0| , Т\ 1
/ИГ .—н-—I .—£—Л н—ч
Черт. 5.
к /. Вот я утверждаю, что <они> и наименьшие в
отношениях А <к> В, С <к> D, Е <к> /. Действительно, если
не так, то существуют некоторые, меньшие чем N, X, М,
О числа, непрерывно пропорциональные в отношениях А
<к> В, С <к> D, Е <к> /. Пусть это будут Р, R, S, Т.
И поскольку будет, что как Р к /?, так и А к В, и А, В
суть наименьшие, наименьшие же одинаковое число раз
измеряют имеющие то же отношение с ними, предыдущее —
предыдущее и последующее — последующее
(предложение 20 книги VII), то значит, В измеряет R. На том же
вот основании и С измеряет /?; значит, В, С измеряют R.
И значит, наименьшее измеряемое В, С <число> измерит /?
(предложение 35 книги VII). Наименьшее же, измеряемое В,
С, есть И; значит, И измеряет /?, И будет, что как И
к /?, так и К. к S; и значит, К измеряет S. Также и Е


НАЧАЛА ЕВКЛИДА
измеряет^? (предложение 20 книги VII); значит, Е, К
измеряют- Л. И значит, наименьшее, измеряемое £", К,
измерит 5 (предложение 35 книги VII). Наименьшее же,
измеряемое Е, /С, есть /И; значит, М измеряет S, большее —
меньшее; это же невозможно. Значит, не существует
никаких меньших N, X, М, О чисел, непрерывно
пропорциональных в отношениях А к В и С к Д и ещё Е к I;
значит, jV, X, М, О будут наименьшими непрерывно
пропорциональными в отношениях А <к> В, С <к> D, Е <к> /,
что и требовалось доказать (I). ' _ _ .■
Предложение 5
Плоскостные числа имеют друг к другу отношение,
составленное из отношений сторон.
Пусть будут плоскостные числа Л, В, и цусть сторо-
нами^Д убудут'.числа^ С, £>,^г<сторонами> же В— <чнсла>
Е, /; я утверждаю, что
, .^ . ^ t f - ! | J -| А имеет к В отноше-
g e i HHet составленное из
> ■ i ..— ,,. | )-„ ,-4 ц—-\ сторон (черт. 6).
j h | G _t Действительно, для
данных отношений, ко-
I1 i )' - i торые имеют С к £ и
D к /, возьмём наи-
Черт- 6- ' меньшие непрерывно
пропорциональные в
отношениях С <к> Е, D) <к> / числа И, G, К так, чтобы
было как С к Е, так и! Я к G, как же D к I, так и G
к К (предложение 4). И пусть D, умножая Е,
произведёт L.
И поскольку D, умножая С, произвело А, умножая
же Е произвело L, то значит, будет, что как С к Е, так
и А к L (предложение 17 книги VII). Как же С к Е, так
и И к G; и, значит, как И к G, так н Д к 1. Затем,
поскольку £, умножая Л, произвело L (предложение 16
книги VII) и вместе с тем, умножая /, произвело В, то
значит, будет, что как D к /, так и L к В
(предложение 17 книги VII). Но как D к /, так и G к К\ и зна-


КНИГА ВОСЬМАЯ 49
чит, как G к К, так и L к В. Доказано же, что и как И
к G, так и А к L; значит, «по равенству» будет
(предложение 14 книги VII), что как И к К, [так и] А к В. Но
И к К имеет отношение, составленное из <отношений>
сторон; и значит, А имеет к В отношение, составленное
из <отиошений> [сторон, что и требовалось доказать (2).
Предложение 6
Если будет сколько-нибудь чисел в непрерывной
пропорции, первое же не измеряет второго, то и никакое
другое не измерит никакого.
Пусть будет сколько-нибудь чисел в непрерывной
пропорции A, i?, С, D, Е, пусть же А ие измеряет В; я
утверждаю, что и никакое другое ие 1_-„_4
измерит никакого (черт. 7).
Теперь, что А, В, С, Dt E после- £' '
довательио друг друга ие измеряют, q, —^
очевидно; ибо А не измеряет В. Вот Д| ,
я утверждаю, что и никакое другое не
измерит никакого. Действительно, если £"' 1
возможно, пусть А измеряет С. И
сколько будет <чнсел> А, В, С, столько !l '
возьмём наименьших, имеющих то же //!———i
отношение с А. В, С, чисел /, Я, G ^ ^
(предложение 33 книги VII). И по- церт 7
скольку /, //, G находятся в том же
отношении с Л, Bt С, и количество A, Bt
С равно количеству /, И, G, то значит, «по равенству»
(предложение 14 книги VII) будет, что как Л к С, так
и / к G. И поскольку будет, что как А к В, так и /
к //, А же ие измеряет В, то значит, и / не измеряет И
(определение 21 книги VII); значит, / не будет единицей,
ибо единица измеряет всякое число. И будут /, G первыми
между собой (предложение 3), [значит, / не измеряет G],
И как / к G, так и Л к С; значит, и А яе измеряет С
(определение 21 книги VII). Подобно вот докажем, что и
никакое другое не измерит никакого, что и требовалось
доказать (3).
4 Евклид


50
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 7
Если будет сколько-нибудь чисел в [непрерывной]
пропорции, первое лее измеряет последнее, то оно
измерит и второе.
Л У" I Пусть будет сколько-нибудь чисел
^ ; в непрерывной пропорции Л, В, С, D,
пусть же Л измеряет D; я утверж-
^ ' даю, что А измеряет и В (черт. 8).
В) \ Действительно, если А не изме-
Черт. 8. ряет В, то и никакое другое не
измерит никакого (предложение 6); А же
измеряет D. Значит, и ' А измеряет В, что и требовалось
доказать.
Предложение 8
Если между двумя числами в непрерывной
пропорции*) попадают числа, то сколько чисел в непрерывной
0\ 1 #|
-21 1 N\
В\ 1 /I
Черт. 9.
пропорции попало между ними, столько же в
непрерывной пропорции попадёт и между <числамиу, имеющими
[с ними\ то же отношение (4).
Пусть между двумя числами А, В в непрерывной
пропорции попадут числа С, D, и сделаем, чтобы как А к В,
так и Е к /; я утверждаю, что сколько чисел в
непрерывной пропорции попало между Л, В, столько же в
непрерывной пропорции попадёт и между £, / (черт. 9).
Действительно, сколько будет по количеству <чисел> А,
8, С, D, столько же возьмём наименьших, имеющих то
же отношение с Л, С, D, В чисел Я, G, К, L (предло-
*} В подлиннике другой термин для непрерывной
пропорции— ката то o'jvt^j; avalo-(cv. Та же терминология в предложениях
9, 10, 25 (в последнем также н e5f(? avalo-yov).
Н\
ii


КНИГА ВОСЬМАЯ 51
жение 33 книги VII); значит, крайние из них И, L будут
первыми между собой (предложение 3). И поскольку Л,
С, D, В находятся с Я, G, К, L в том же отношении, и
количество Л, С, D, В равно количеству И, G, К, L> то
значит, «по равенству» (предложение 14 книги VIJ) будет,
что как Л к В> так и Н к L. Как же А к В, так и Е
к /; и значит, как Н к L, так и Е к /. Но Н,
Л—первые, первые же <суть> и наименьшие (предложение 21
книги VII), наименьшие же числа одинаковое число раз
измеряют имеющие то же отношение, большее — большее
и меньшее — меньшее (предложение 20 книги VII), то-есть
предыдущее — предыдущее и последующее — последующее.
Значит, одинаковое число раз Н измеряет Е и L
-(измеряет^ /. Вот сколько раз И измеряет Е, пусть столько
же раз и каждое из G, К будет измерять М, N; значит,
Н, G, К, L одинаковое число раз измеряют £", /И, N, /.
Значит, И, G, К, L находятся с Е, М, N, I в том же
отношении (определение 21 книги VII). Но Н, G, К, L
находятся с А, С, D, В ъ том же отношении; значит, и А,
С, D, В будут в том же отношении с £", М, Л/, /. Но Л,
C, £>, В находятся в непрерывной пропорции; значит, и Е,
М, N, I будут в непрерывной пропорции. Значит, сколько
чисел в непрерывной пропорции попало между Л, В, столько
же чисел в непрерывной пропорции попало и между £", /,
что и требовалось доказать.
Предложение 9
Если будут два числа, первых между собой, и между
ними в непрерывной пропорции попадают числа, то сколько
между ними в непрерывной пропорции попадает чисел,
столько же попадёт в непрерывной пропорции между
каждым из них и единицей.
Пусть будут два числа, первых между собой, Л, В, и
пусть между ними в непрерывной пропорции попадают С,
D, и отложим Е— единицу; я утверждаю, что сколько
между Л, В в непрерывной пропорции попадает чисел,
столько же попадёт в непрерывной пропорции между
каждым из Л, Л и единицей (черт. 10).
л.*


■" НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, возьмём два наименьших, находящихся
в отношении Л, С, D, В, числа /, Н, затем три G, К, L,
и так далее всё время одним больше, пока количество их
не сделается равным количеству Л, С, D, В
(предложение 2). Пусть они взяты и будут М, N, X, О- Очевидно
вот, что /, умножая само себя, произвело G, умножая же
G, произвело М; и Н, умножая себя, произвело L,
умножая же Л, произвело О (предложение 2, следствие). И
поскольку М, N, X, О суть наименьшие из имеющих то же
отношение с /, Я, то и Л, С, D, В будут наименьшими
из имеющих то же отношение с /, И (предложение 3); и
количество М, N, X, О равно количеству Л, С, D, В, то
Ci , л, , t
^ , JJ, , - £| 1
В\ 1 М\ 1
£1—| № 1
/I 1 XI 1 с
И\ 1 0\ 1
Черт. 10.
значит, каждое из М, N, X, О будет Соответственно) равно
каждому из Л, С, £>, В; значит, М равно Л, О же <равно> В.
И поскольку /, умножая само себя, произвело G, то
значит, / измеряет G по <числу> единиц в / (определение 16
книги VII). Также и единица Е измеряет / по <числу>
единиц в нём; значит, одинаковое число раз измеряют
единица Е число / и /—<чиело> G. Значит, будет, что как
единица Е к числу /, так и / к G. Затем, поскольку /,
умножая G, произвело М, то значит, G измеряет М по
<числу> едшшц в / (определение 16 книги VII). Также и
единица Е измеряет число / по <числу> единиц в нём;
значит, одинаковое число раз измеряют единица Е число /,
и G — <число> М. Значит, будет, что как единица Е
к числу /, так и G к М. Доказано же, что и как
единица Е к числу /, так и / к G; и значит, как единица Е
к числу /, так и / к G, и G к М. Но М равно Л; зна-


КНИГА ВОСЬМАЯ 53
чит, будет, что как единица Е к числу /, так и / к О
и О к Л. На том же вот основании, и как единица В
к числу Н, так и Н к L и L к В. Значит, сколько между
Л, В в непрерывной пропорции попало чисел, столько же
чисел попало в непрерывной пропорции между каждым из
А, В я единицей В, что и требовалось доказать.
Предложение 10
Если между каждым из двух чисел и единицей в
непрерывной пропорции попадают числа, то сколько чисел
в непрерывной пропорции попадёт между каждым из них
и единицей, столько „
попадёт в непрерывной \ «•— t
пропорции и между 8
ними самими. „ _ _ ,,
г, О U t 1 Н
В самом деле, пусть и h—\ i 1 i—< i ■ i
между двумя числами G К
А, В к единицей С в ' '
непрерывной пропорции }• »■■ —"Н
попадают числа D, Е, Ч 11
н /, Н\ я утверждаю,
что сколько чисел в непрерывной пропорции попадёт между
каждым из Л, В и единицей С, столько попадёт в
непрерывной пропорции и между Л, В (черт. 11).
Действительно, пусть D, умножая /, произведёт О,
каждое же из D, /, умножая О, произведёт
Соответственно) К, L.
И поскольку будет, что как единица С к числу D,
так и D к Е, то значит, равное число раз единица С
измеряет число D, и D <измеряет> Е (определение 21
книги VII). Единица же С измеряет число D по <числу>
единиц в D; и значит, число D измеряет Е по <числу>
единиц в D\ значит, D, умножая само себя, произвело Е.
Затем, поскольку будет, что как [единица] С к числу D,
так и £ к Л, то значит, равное число раз единица С
измеряет число D, и В <кзмеряст> А. Единица же С
измеряет число D по <чпслу> единиц в D; и значит, Е
измеряет Л по <числу> единиц в D; значит, D, умножая Е,
произвело Л. На том же вот основании и /, умножая само


54
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
себя, произвело Н, умножая же И, произвело В, И
поскольку D, умножая само себя, произвело £", умножая
же /, произвело G, то значит, будет (предложение 17
книги VII), чго как D к /, так и Е к G, На том же вот
основании, и как D к /, так и G к И (предложение 18
книги VII). И значит, как Е к G, так и G к N. Затем,
поскольку D, умножая каждое из Е, G, произвело <соот-
ветствеино^ Л, К, то значит, будет, что как Е к G, так
и А к К (предложение 17 книги VII). Но как Е к G, так:
и D к /; и значит, как D к I, так и Л к К. Затем,
поскольку каждое из D, /, умножая G, произвело <соответ-
ственно> К, L, то значит, будет, что как D к /, так и К
к L (предложение 18 книги VII). Но как D к /, так и Л
к К', и значит, как Л к АГ, так и АГ к L. Далее, поскольку
/, умножая каждое нз G, И, произвело соответственно L,
В, то значит, будет, что как G к И, так и L к В
(предложение 17 книги VII). Как же G к И, так и D к /; и
значит, как D к /, так и Z к 5. Доказано же, что и
как D к /, так и Л к АГ, и К к Z,; и значит, как Л к АГ,
так и К к Z,, и I к 5. Значит, Л, АГ, /,, 5 будут
последовательно в непрерывной пропорции. Значит, сколько между
каждым из Л, В и единицей С в непрерывной пропорции
попадает чисел, столько же попадёт в непрерывной <про-
порции> и между Л, В, что и требовалось доказать.
Предложение 11
Для двух квадратных чисел существует одно среднее
пропорциональное число, и квадрат к квадрату имеет двой-
„ аое отношение стороны к стороне (5).
Пусть будут квадратные числа Л, В,
Вх ' ' и пусть у Л сторона будет С, у В же—-
,G\—i D; я утверждаю, что для Л, В существует
„ одно среднее пропорциональное число и
что А к В имеет двойное отношение С
<Г| ' к D (черт. 12).
Черт. 12. Действительно, пусть С, умножая D,
произведёт Е. И поскольку Л — квадрат, стороной же его
является С, то значит, С, умножая само себя, произвело Л.


КНИГА ВОСЬМАЯ 55
На том же вот основании и D, умножая само себя,
произвело В. Поскольку теперь С, умножая каждое из С, D,
произвело Соответственно) каждое из Л, Е, то значит,
будет, что как С к D, так и Л к Е (предложение 17 книги
VII). На том же лот основании и как С к £>, так и Е к В.
И значит, как Л к Е, так и Е к В.- Значит, для А, В
существует одно среднее пропорциональное число.
Вот я утверждаю, и что Л к б имеет двойное
отношение С к D* Действительно, поскольку есть три
пропорциональных числа Л, Е, В, то значит, Л имеет к В двойное
отношение Л к £", Как же Л к Е, так и С к D. Значит,
А имеет к В двойное отношение стороны С к D, что и
требовалось доказать.
Предложение 12
Для двух кубических чисел существуют два средних
пропорциональных числа, и куб к кубу имеет тройное
отношение стороны к стороне.
Пусть будут кубические числа Л, В, и пусть у Л
сторона будет С, у б же — D; я утверждаю, что для Л, В
существуют два сред-
них пропорциональных и ■ 1
числа н что А нмеег В_
к В тройное отношение с S E /
С к D (черт. 13}. (—' ' ' J ' ' 1
Действительно, пусть t & , , Н ■.
С, умножая самого ^
себя, произведёт Е, ум- : '
ножая же £>, произ- Черт. 13.
ведёт U D же,
умножая само себя, произведёт Я, каждое же из С, D,
умножая /, произведёт <соответс гвенно> G, К.
И поскольку Л является кубом, сторона же его-— С. и
С, умножая само себя, произвело Е> то значит, С, умножая
само себя, произвело Е, умножая же £", произвело Л. На
том же вот основании и £>, умножая само себя, произвело Я,
умножая же Я, произвело В. И поскольку С, умножая
каждое нз С, £>, произвело Соответственно) Е, /, то


56 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
значит, будет, что как С к D, так и Е к /
(предложение 17 книги VII). На том же вот основании и как С к D,
так и / к И (предложение 18 книги VII). Затем, поскольку С,
умножая каждое из Е, I, произвело Соответственно)
Л, G, то значит, будет, что как Е к /, так и Л к G
(предложение 17 книги VII). Как же Е к /, так и С к D:
и значит, как С к D, так н Л к G. Затем, поскольку
каждое из С, D, умножая /, прэизвело Соответственно)
G, К, то значит, будет, что как С к D, так и G к А
(предложение 18 книги VII). Затем, поскольку £>, умножая
каждое из /, Н, произвело Соответственно) К, В, то
значит, будет, что как I к И, так и К к В
(предложение 17 книги VII). Как же / к Н, так и С к D; и значит,
как С к Д так иЛ к G, и G к АГ, и /С к б. Значит,
для А, В существуют два средних пропорциональных О, К-
Вот я утверждаю и что А имеет к В тройное
отношение С к D. Действительно, поскольку есть четыре
пропорциональных числа Л, G, К, В, то значит, Л имеет к В
тройное отношение А к G. Как же Л к G, так и С к D;
и [значит] i4 к В имеет тройное отношение С к D, что
и требовалось доказать.
Предложение 13
Если будет сколько-нибудь чисел в непрерывной про*
порции и каждое, умножая само себя, производит что-
то, то и возникающие из них будут пропорциональными,
и если первоначальные, умножая возникшие,
производят что-то, то и эти будут пропорциональными [и то
же всегда будет происходить в дальнейшем^
Пусть будет сколько-нибудь чисел в непрерывной
пропорции Л, В, С, <т. е.) как Л к б, так и б к С,
и пусть А, В, С, умножая самих себя, произведут D, Е, I,
умножая же D, Е, /, произведут Я, G, К\ я утверждаю,
что D, Е, I и Н, G, К будут в непрерывной пропорции
(черт. 14).
Действительно, пусть А, умножая В, произведет Z,,
каждое же из Л, В, умножая L, произведёт
Соответственно) М, N. И далее, пусть б, умножая С, произве-


КНИГА ВОСЬМАЯ
57
дёт X, каждое же из В, С, умножая X, произвед&т
Соответственно) О, Р.
Подобно вот тому, как выше, докажем, что Dt L, В
и Я, М, М, G будут в непрерывной пропорции в
отношении Л к В, и что ещё В, Х% I и G, О, Я, К будут в
непрерывной пропорции в отношении В к С И будет, что
д\ 1 /п 1
8\ 1 1> 1
В\ н № 1
£\ 1 V 1
!\ 1 0\ 1
//, 1 р\ 1
С\ 1
Черт. 14*
как А к В, так и В к С; и значит, £>, L, В будут с В,
X, I в том же самом отношении, и ещё Я, Мл /У, G с
G, О, Р, К- И количество D, L, В равно количеству £,
X, Л, < количество же> Я, М, N, G—<коллчеству >
О, О, Р, К; значит, «по равенству» будет, что как D к В,
так и В к /, как же Як G, так и G к К (предложение 14
книги VII), что и требовалось доказать.
Предложение 14
Вели квадрат измеряет квадрат, то и сторона
измерит сторону, а если сторона измеряет сторону, то
и квадрат измерит квадрат (6).
Пусть будут квадратные числа Л, В, стороны же их
пусть будут С, Д и пусть А измеряет В; я утверждаю,
что и С измеряет D (черт. 15).
Действительно, пусть С, умножая Д произведёт В;
значит, А, £", В будут в непрерывной прэпорции в
отношении С к D (предложение 11). И поскольку А, £", В


58 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
находятся в непрерывной пропорции, и А измеряет В, то
значит, и А измеряет Е (предложение 7). И будет как А
к Е, так и С к D; значит, С из-
1 ' меряет D (определение 21 кии-
8\ i ги VII).
п{ | Затем вот пусть С
измеряет D; я утверждаю, что и А
измеряет В.
£"' ' Действительно, произведя те
церт_ [5. же самые построения, подобно
докажем, что А, Е, В будут в
непрерывной пропорции в отношении С к D. И поскольку
будет, что как С к D, так и А к Е, С же измеряет D, то
значит, и А измеряет Е (определение 21 книги VII). И А,
Е, В в непрерывной пропорции; значит, и А измеряет В,
Итак, если квадрат измеряет квадрат, то и сторона
измерит сторону; и если сторона измеряет сторону, то и
квадрат измерит квадрат, что и требовалось доказать.
Предложение 15
Если кубическое число измеряет кубическое число,
то и сторона измерит сторону; и если сторона
измеряет сторону, то и куб измерит куб.
. Я . h
С В
ьн i—г
е
Черт. 16.
Пусть кубическое число А измеряет кубическое В, н
пусть у А сторона С, у В же — D; я утверждаю, что С
измеряет D (черт, 16).
Действительно, пусть С, умножая само себя, произведёт
Е, D же, умножая само себя, произведёт Н, и еще С,


КНИГА ВОСЬМАЯ 59
умножая £>, [произведёт] I, каждое же из С, D, умножая /,
произведёт <соответственно> G, К. Очевидно, вот, что Е,
I, И и A, G, К, В будут в непрерывной пропорции в
отношении С к D (предложение 12). И поскольку Л, G, К, В
находятся в непрерывной пропорции, и Л измеряет В, то
оно, значит, измеряет и G (предложение 7). И будет, что
как А к G, так и С к D; значит, и С измеряет D.
Но вот пусть С измеряет D; я утверждаю, что и А
будет измерять В.
Действительно, произведя те же самые построения,
подобно вот докажем, что A, G, К, В будут в непрерывной
пропорции в отношении С к D. И поскольку С измеряет D,
и будет, что как С к D, так и А к G, то значит, и А
измеряет G, так что и А измеряет В, что и требовалось
доказать.
Предложение 16
Если квадратное число не измеряет квадратного чисщ^
то и сторона не измерит стороны; и если сторона не
измеряет стороны, то и квадрат не
измерит квадрата. /7i___,
Пусть будут квадратные числа Л, В, „
стороны же их пусть будут С, D, и пусть
А не измеряет В; я утверждаю, что и С ^ '
не измеряет D (черт. 17). В*——*
Действительно, если С измеряет D, то „ ._
и Л измерит В (предложение 14). Но Л не
измеряет В; значит, и С не измерит D.
[Вот] затем пусть С не измеряет D; я утверждаю, что
и Л не измерит В.
Действительно, если Л измеряет В, то и С измерит D
(предложение 14). Но С не измеряет D; значит, и Л не
измерит В, что и требовалось доказать.
Предложение 17
Если кубическое число не измеряет кубического числа,
то и сторона не измерит стороны; и если сторона не
измеряет стороны, то и куб не измерит куба.


60
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть кубическое число А не измеряет кубического
числа В, и у А сторона пусть будет С, у В же D; я
утверждаю, что С не измерит D (черт. 18).
Действительно, если С измеряет D, то и А измерит В
(предложение 3 5). Но А не измеряет В; значит, и С не
измеряет D.
В\ 1
Черт. 18.
Но вот пусть С не измеряет D; я утверждаю, что и А
не измерит В.
Действительно, если А измеряет В, то и С измерит D
(предложение 17). Но С не измеряет D; значит, и А ие
измерит В, что и требовалось доказать.
Предложение 18
Для двух подобных плоскостных чисел существует
одно среднее пропорциональное число; и плоскостное
(число*} *) к плоскостному имеет двойное отношение
сходственной стороны к сходственной стороне (7).
Пусть два подобных плоскостных чиста будут Л, 5, и
у А пусть сторонами будут числа С, D, у В же — Е, I.
И поскольку подобными плоскостными <числами> являются
имеющие пропорциональными стороны (определение 22
книги VII), то значит, будет, что как СкД так и Е к I,
Я утверждаю теперь, что для Л, В существует одно
среднее пропорциональное число и что А к В имеет двойное
отношение С к Е, или D к /, то-есть сходственной
стороны к сходственной [стороне] (черт. 19).
И поскольку будет, что как С к D, так и Е к /, то
значит, «перестановкой» (предложение 3 3 книги VII) будет,
*) В подлиннике стоит просто Ыг.-Лоч — плоское.


КНИГА ВОСЬМАЯ
V 61
что как С к Е, так \\ D к /. И поскольку А является
плоскостным, стороны же его С, D, то значит, D, умножая С,
произвело А. На том же вот основании и Е, умножая /,
произвело В. Вот пусть D, умножая Е, произведёт И.
И поскольку £>, умножая С, произвело А, умножая же Е,
произвело И, то значит, будет, что как С к Е, так и А
к Н, Но как С к Е, [так и] D к /; и значит, как £> к /,
так и -4 к Я, Затем, поскольку Е, умножая £>, произвело Я,
умножая же /, произвело В, то значит, будет, чго как D
Д\ 1
В\
Л—1 л 1 Hv
Черт. 19.
к /, так и И к В (предложение 17 книги VII). Доказано
же, что как D к /, так и А к Н; и значит, как А к Н,
так и Н к 5. Значит, А, Н, В будут в непрерывной
пропорции. Значит, для Л, В существует одно среднее
пропорциональное число.
Вот я утверждаю, чго и А к В имеет двойное
отношение сходственной стороны к сходственной стороне, то-есть С
к Е или D к I. Действительно, поскольку А, //, В
находятся в непрерывной пропорции, то А имеет к В двойное
отношение <Л> к Н. И будет как А к Н, так и С к Е,
н D к /. И значит, А имеет к В двойное отношение С
к Е или D к /, что и требовалось доказать.
Предложение 19
Между двумя подобными телесными числами
попадают два средних пропорциональных числа; и телесное
■(ч-ислоу к подобному телесному имеет тройное
отношение сходственной стороны к сходственной стороне.
Пусть два подобных телесных <числа> будут А, В, и
у А стороны пусть будут С, D, Е, у В же /, Н, G.
И поскольку подобными телесными <числами> являются
имеющие сходственные стороны пропорциональными
(опреем
Л*—


62 '
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
деление 22 книги VII), то значит, будет, что как С к D,
так и / к И, как же D к Е, так и И к G. Я утверждаю,
что между Д В попадают два средних пропорциональных
числа, и что Л к В имеет тройное отношение С к / и D
к И, и ещё Е к G (черт. 20).
Действительно, пусть С, умножая D, произведёт К, а /,
умножая Н, произведёт L. И поскольку С, D с /, И будут
в том же самом отношении и <произвсдс1Ше> из С, D
будет /С, из /, Н же £*), то [значит] К, L будут подобными
Д\ 1
д\ 1
£*+ ' /I—i /i'i 1
Б)—л Н\ 1 L 1 1
£\ 1 G\ 1 М\ 1
д>1 1
Xi 1
Черт. 20.
плоскостными числами (определение 22 книги VII); значит,
для Л", L существует одно среднее пропорциональное число
(предложение 18). Пусть оно будет М. Значит, М будет
<пронзведение> из D, /, как доказано в предшествующем
предложении. И поскольку D, умножая С, произвело К,
умножая же /, произвело М, то значит, будет, что как С
к I, так и К к М (предложение 17 книги VII). Но как К
к М, <так и> М к L. Значит, К, Mt L будут в
непрерывной пропорции в отношении С к /. И поскольку будет,
что как С к D, так и / к И, то значит, «перестановкой»
(предложение 13 книги VII) будет, что как С к /, так и
О к И. На том же вот основании и как D к И, так и Е
к G. Значит, К, М, L будут в непрерывной пропорции
*) В подлиннике сокращённая формулировка <1-ат&у ГтД> —
«из С, D>, подразумевается «произведение». В геометрических
книгах употребляется термин <шо "<5v Г,^», подразумевается
Tt£pt£jfQ>£vcv — заключающееся, содержащееся между С, D.


КНИГА ВОСЬМАЯ Ьд
в отношении С к /, и D к И, и ещё Е к G. Вот пусть
каждое из Е, G, умножая М, произведёт -(соответственно)
N, X. И поскольку А есть телесное <.число>, стороны же
его суть С, D, Е, то значит, Е, умножая <произведение>
из С, D, произвело А. -(Произведение) же из С, D есть К',
значит, Е, умножая К, произвело А. На том же вот
основании и G, умножая L, произвело В. И поскольку Е,
умножая К-, произвело А, и вместе с тем, умножая М,
произвело N, то значит, будет, что как К к М, так и А к N
(предложение 17 книги VII). Как же К к М, так и С к /
и D к И, и ещё £" к G; и значит, как С к I, я D к И,
и Е к G, так и Л к N.
Затем, поскольку каждое нз Е, О, умножая М,
произвело Соответственно) N, X, то значит, будет, что как Е
к G, так я N к X (предложение 18 книги VII). Но как Е
к G, так и С к /, н D к Н; я значит, как С к I, я D
к И, и Е к G, так и А к N, и N к X. Затем, поскольку G,
умножая М., произвело X я вместе с тем, умножая L,
произвело В, то значит, будет, что как М к Z, так и Л' к В
(предложение 17 книги VII). Но как М к L, так и С к /,
и D к W, и Е к G. И, значит, как С к /, я D к И, я Е
к G, так и ие только Jk Д но и Л к N, и ;V к X.
Значит, Л, /V, X, В будут в непрерывной пропорции в
упомянутых отношениях сторон.
Я утверждаю, что и А к В имеет тройное отношение
сходственной стороны к сходственной стороне, то-есть числа
С к I или D к И я ещё Е к G. Действительно, поскольку
имеются четыре числа в непрерывной пропорции A, N, X, В,
то значит, А к В имеет тройное отношение А к N. Но
как А к Л', так доказано, что и С к /, и D к И, я ещё Е
к G. И значит, А к В имеет тройное отношение
сходственной стороны к сходственной стороне, то-есть числа С
к /, и D к И, и ещё Е к G, что и требовалось доказать.
Предложение 20
Если между двумя числами попадает одно среднее
пропорциональное число, то <зяш) числа будут подобными
плоскостными.


b* НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть между двумя числами А, В попадает одно
среднее пропорциональное число С; я утверждаю, что А, В
будут подобными плоскостными числами (черт. 21).
[Действительно], возьмём наименьшие из имеющих то
же отношение с Л, С числа D, Е (предложение 33
книги VII); значит, равное число раз D измеряет А и Е <из-
меряет> С (предложение 20 книги VII).
Тогда сколько раз D измеряет А, пусть столько
единиц будет в /; значит, /, умножая D, произвело А
(определение 16 книги VII). Таким образом, А будет
плоскостным <числом>, стороны же его Д I. Затем, поскольку Д Е
■ , 1 , Д ,£,
-^ ,—"—^ ■
Черт. 21.
являются наименьшими из имеющих то же отношение с С, В,
то значит, равное число раз D измеряет С и Е <измеряег> В
(предложение 20 книги VII). Тогда сколько раз Е
измеряет В, пусть столько единиц будет в Н. Значит, Е
измеряет В по <числу> единиц в И; значит /У, умножая Е,
произвело В (определение 16 книги VII). Значит, В есть
плоскостное <число>, стороны же его суть Е, И. Значит,
Л, В будут плоскостными числами. Вот я утверждаю, что
<оии будут> и подобными. Действительно, поскольку /,
умножая £>, произвело А, умножая же Я, произвело С,
то значит, будет, что как D к Е, так и Л к С, то-есть как
С к В. Затем,поскольку Е, умножая каждое из /, И,
произвело С, В, то значит, будет, что как / к И, так и С к В
(предложение 17 книги VII). Как же С к В, так и D к Е\
и значит, как D к Е, так и / к И. И «перестановкой»,
как D к /( так и Е к И (предложение 13 книги VII).
Значит, А, В будут подобными плоскостными числами, ибо
стороны их пропорциональны (определение 22 книги VII),
что и требовалось доказать.


КНИГА ВОСЬМАЯ °°
'■ ' Предложение 21
Если между двумя числами попадают два средних
пропорциональных числа, то <эяш> числа будут
подобными телесными.
Пусть между двумя числами А, В попадают два
средних пропорциональных числа С, D; я утверждаю, что А, В
будут подобными телесными (черт. 22).
Действительно, возьмём наименьшие из имеющих то же
отношение с Л, С, О три числа Е, I, H (предложение 2);
ft , 1
1\ ___ . 1
с, : __
л 1
е\ 1
л 1
т 1
(I—I л 1 L\ 1 Ml 1 N" XV-Л
Черт. 22.
\
значит, крайние из них Е,. Н будут первыми между собой
(предложение 3). И поскольку между Е, И попало одно
среднее пропорциональное число /, то значит, Е, И будут
подобными плоскостными числами (предложение 20). Пусть
теперь у. Е стороны будут О, К, у И же L, М. Значит,
из предыдущего ясно, что Е, /, H будут в непрерывной
пропорции в отношении G к £ и Л" к Л1 И поскольку Е,
/, Н—наименьшие из имеющих то же отношение с А, С, D,
я количество Е, I, H равно количеству А, С, D, то
значит, «по равенству» будет, что как £ к Я, так и А к D,
(предложение 14 книги VII). Но Е, Н— первые, первые
же и наименьшие, наименьшие же измеряют имеющие то
же отношение с ними равное число раз, большее —
большее, меньшее же — меньшее, то-есть предыдущее —
предыдущее, н последующее — последующее (предложение 20
б Евклид


66
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
книги VII); значит, одинаковое число раз Е измеряет А и
И <нзмеряет> D. Тогда, сколько раз Е измеряет А, пусть
столько единиц будет в N. Значит, N, умножая Е,
произвело А (определение 16 книги VII), Но Е есть <произве-
деиие> из G, К\ значит, N, умножая <произведсние> из G,
К, произвело А. Значит, А будет телесным <чис;юм>,
стороны же его будут G, К, N. Затем, поскольку Е, I, И
будут наименьшими из имеющих то же отношение с С, D, В,
то значит, одинаковое число раз Е измеряет С а И <из-
меряет> В (предложение 20 книги VII). Тогда сколько
раз Е измеряет С, пусть столько единиц будет в X.
Значит, И измеряет В по <числу> единиц в X; значит,
X, умножая Н, произвело В. Но И есть <произведение>
из Z, М; значит, X, умножая <пропзведение> из L, М,
произвело В. Значит, В будет телесным <числом>, стороны
же его будут /., М, X; значит, А, В будут телесными.
[Вот] я утверждаю, что <они будут> и подобными.
Действительно, поскольку N, X, умножая Е, произвели А, С,
то значит, будет, что как Лг к X, <так и> А к С, то-есть
Е к / (предложение 18 книги VII). Но как Е к /, <так>
G к L и К к М; и значит, как G к L, так и К к М и N
к X. И G, К, N суть стороны Л, а А", I, М—стороны В.
Значит, А, В будут подобными телесными числами
(определение 22 книги VH), что и требовалось доказать.
Предложение 22 ; .
Если три числа будут в непрерывной пропорции,
первое же из них квадрат, то и третье будет квадратом.
Пусть будут три числа в непрерывной
ч пропорции А, В, С, первое же А пусть
8* ■" "1 будет квадратом; я утверждаю, что и
^! | третье С есть квадрат (черг. 23).
Действительно, поскольку для А, С
Черт. 23. существует одно среднее
пропорциональное число В, то значит, Л, С—подобные
плоскостные <числа> (предложение 20), Но А квадрат,
значит, и С квадрат, что и требовалось доказать.


КНИГА ВОСЬМАЯ
Предложение 23
Если четыре числа будут в непрерывной пропорции,
Первое же из них куб, то и четвёртое будет кубом.
Пусть будут четыре числа в
непрерывной пропорции А, В, С, Р, и ' '
пусть А будет кубом; я утверждаю, В\ ——>
что и D есть куб (черт. 24). ^ ,
Действительно, поскольку для А, ________
D существуют два средних пропор- ' ____ >
циональных числа В, С, ю значит, Черт 24.
A, D будут подобными телесными
числами (предложение 21). Но А куб; значит, и D куб, что
и требовалось доказать.
Предложение 24
Если два числа между собой имеют отношение, как
квадратное число к квадратному числу, первое же есть
квадрат, то и второе будет
д\ __, квадратом.
£ь- - Пусть два числа А, В
между собой будут иметь
отношение, как квадратное число
-?1 ' С к квадратному числу D, А
и 0_ же пусть будет квадратом; я
ЧбрТ. 2.0, ,-,
1 утверждаю, что и В квадрат
(черт. 25).
Действительно, поскольку С, D квадраты, то значит,
С, D будут подобными плоскостными <числамн>. Значит,
между С, D попадает одно среднее пропорциональное число
(предложение 18). И будет как Ск D, так и А к В; и
значит, между А, В попадает одно среднее
пропорциональное число (предложение 8). И Л есть квадрат; значит, и В
есть квадрат (предложение 22), что и требовалось доказать.
Предложение 25
Если два числа между собой имеют отношение, как
кубическое число к кубическому числу, первое же есть
куб, то и второе будет кубом.
б*


ЬУ НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть два числа А, В между собой будут иметь
отношение, как кубическое число С к кубическому числу Д
А же пусть будет кубом; [вот] я утверждаю, что и В есть
куб (черт. 26).
Действительно, поскольку С, £>— кубы, то С, D будут
подобными телесными <числами>; значит, между С, D по-
_| падают два средних иропор-
' циональных числа (предло-
8] ' "~1 ' ■ жение 19). Сколько же
q\ 1 "' ' между С, D в непрерывной
и I, . i пропорции попадает чисел,
столько же <попадёт) и
£\ | ■» между имеющими с ними то
_/, 1 же отношение
(предложение 8); так что и между А,
Черт. 26, в попадут два средних
пропорциональных числа. Пусть
поиадут Е, I. Поскольку теперь четыре числа А, Е, I, В
будут в непрерывной пропорции, и А есть куб, то значит,
и В куб (предложение 23), что и требовалось доказать.
Предложение 26
Подобные плоскостные числа между собой имеют
отношение, как квадратное число к квадратному числу.
Пусть будут подобные
плоскостные числа А, В; я утвер- ^' '
ждаю, что А к В имеет отно- gi -*—»
шеиие, как квадратное число к ^ ,
квадратному числу (черт. 27).
Действительно, по;кольку А, ^ '
В—подобные плоскостные <чис- Е\ •
ла>, то значит, между А, В по- у, ,
падает одно среднее
пропорциональное число (предложение 18). Черт. 27.
Пусть оно попадёт и будет С,
и возьмём наименьшие из имеющих то же отношение с
А, С, В числа Д Е, I (предложение 2); значит, крайние
из иих Д I будут квадраты (предложение 2, следствие).


КНИГА ВОСЬМАЯ
69
И поскольку будет, что как D к /, так и А к В, и D,
I суть квадраты, то значит, А имеет к В отношение, как
квадратное число к квадратному числу, что и требовалось
доказать.
Предложение 27
Подобные телесные числа между собой имеют
отношение, как кубическое число к кубическому числу.
Пусть будут подобные телесные числа Л, В; я
утверждаю, что А к В имеет отношение, как кубическое число
к кубическому числу (черт. 28).
В ■ ■ ■ *— ' -
Черт. 28.
Действительно, поскольку А, В—подобные телесные
<числа>, то значит, между А, В попадают два средних
пропорциональных числа (предложение 19). Пусть попадут
С, D, и возьмём наименьшие из имеющих то же
отношение с А, С, D, В числа в равном с ин«н количестве Е,
/, И, G (ггредложение 2); значит, крайние из Е, G будут
кубы (предложение 2. следствие). И будет, что как Е к G,
так и А к В; и значит, А имеет к В отношение, как
кубическое число к кубическому числу, что и требовалось
доказать (8).


КНИГА ДЕВЯТАЯ
Предложение 1
Если два подобных плоскостных числа, умножая
друг друга, произвздят что-то, то возникающее будет
квадратом (1).
Пусть будут два подобных плоскостных числа Л, В, и
пусть Л, умножая В, произведёт С; я утверждаю, что С
есть квадрат (черт. 1).
Действительно, пусть Л, умножая само себя, произведёт
D. Значит, D есть квадрат. Поскольку теперь А, умножая
|?| ии| само себя, произвело D, умножая
же В, произвело С, то значит,
g, н - будет, что как А к В, так и D к С
С' " -■" ■■ I (предложение 17 книги VII). И по-
,?, скольку А, В суть подобные
плоскостные числа, то значит, между
Черт. 1. д g попадает одно среднее
пропорциональное число (предложение
18 книги VIII). Если же между двумя числами по
непрерывной пропорции *) попадают числа, то сколько попадает
между ними, столько же <будет> и между <чнслами>,
имеющими то же отношение (предложение 8 книги VIII);
так что и между D, С попадает одно среднее
пропорциональное число. И D есть квадрат; значит, и С квадрат
(предложение 22 книги VHI), что и требовалось доказать.
*) Тот же самый термин ката то cuvsysi avaJ.ofov, который
встречался з предложении 8 и следующих предложениях книги VIII.


КНИГА ДЕВЯТАЯ
71
Предложение 2
Если два числа, умножая друг друга, производят
квадрат, то она суть подобные плоскостные числа.
Пусть будут два числа Л, В, и пусть Л, умножая В,
произведёт квадрат С; я утверждаю, что А, В суть
подобные плоскостные числа (черт. 2).
Действительно, пусть Л, умножая само себя, произведёт,
D', значит, D есть квадрат. И поскольку Л, умножая само
себя, произвело D, умножая же В,
произвело С, то значит, будет,
чго как Л к В, так и D к С £\ 1
(предложение 17 книги VII). И по- л,
скольку D есть квадрат, а также
н С <квадрат>. то значит, D, С J?] '
суть подобные плоскостные <чис- Черт. 2. *
ла>. Значит, между Д С
попадает одно среднее пропорциональное (предложение 18
книги VI11). И как D к С, так и А к В; и значит, между Л,
В попадает одно среднее пропорциональное (предложение 8
книги VI11). Если же между двумя числами попадает одно
среднее пропорциональное, то [эти] числа суть подобные
плоскостные (предложение 20 книги VIII); значит, Л, В суть
подобные плоскостные, что и требовалось доказать.
Предложение 3
Если кубическое число, умножая само себя,
производит что-то, то возникающее будет кубом.
Пусть кубическое число Л,
' -: умножая само себя, произведёт .В;
Б\ »■"«■ Л я утверждаю, что В есть куб
£_ •'•• (черт. 3).
Г ■ '• Действительно, возьмём <от>
J' • '■ А сторону С, и пусть С, умножая
Черт. 3. само себя, произведёт D. Тогда,
очевидно, будет, чго С,
умножая Д произвело А. И поскольку С, умножая само себя,
произвело D, то значит, С измеряет D по <числу>


72 НАЧЛЛА ЕВКЛИДА
своих еднннц (определение 16 книги VII). Но также и
единица измеряет С по <числу> его единиц; значит,
будет (определение 21 книги VII), чго как единица к С,
так н С к D. Затем, поскольку С, умнэжая D,
произвело Л, то значит, D измеряет Л пэ <числу> единиц в С. Также
н единица измеряет С по <числу> его единиц; значит,
будет, что как единица к С, так и D к А. Но как единица
к С, так и С к D; и значит, как единица к С, так и С
к D, и D к А. Значит, между единицей и числом А попали
по непрерывной (хата то a'jvs^s;) два средних
пропорциональных числа С. D. Затем, поскольку Л, умножая само
себя, произвело В, то значит, А измеряет В по <числу>
своих единиц; также и единица измеряет А пэ <числу> его
единиц; значит, будет, что как единица к А, так и Л к В.
Между единицей же и Л пэпали два средних
пропорциональных числа; значит, и между Л, В попадут два средних
пропорциональных числа (предложение 8 книги VIII). Если
же между двумя числами*} попадают два средних
пропорциональных, первое же есть куб, то и второе будет кубом
(предложение 23 книги VIII). И Л есть куб; значит, и В
есть куб, что и требовалось доказать.
Предложение 4
Если кубическое число, умножая кубическое число,
производит что-то, то возникающее будет кубом.
дх \ Пусть кубическое число Л, умно-
жая кубическое число В, произведёт
С; я утверждаю, что С есть куб
£i_ 1 (Черт. 4).
j}) 1 , Действительно, пусть Л, умножая
само себя, произведёт D; значит, D
Черт. 4. будет кубом (предложение 3). И
поскольку Л, умножая само себя,
произвело £>, умножая же В, произвело С, то значит, будет,
что как Л к В, так и D к С (предложение 17 книги VII).
И поскольку Л, В — кубы, то А, В будут подобными те-
*) Интересно, что единица такии оЗразом празтётся числэм.


КНИГА ДЕВЯТАЯ
73
лесными <числами>. Значит, между Л, В попадают два
средних пропорциональных числа (предложение 19 книги V11I);
так что и между D, С попадут два средних
пропорциональных числа (предложение 8 книги VIII). И D есть куб,
значит, и С куб (предложение 23 книги V11I), что и
требовалось доказать (2).
Предложение 5
Если кубическое число, умножая некоторое число,
производит куб, то и умноженное число будет кубом.
Пусть кубическое число Л, умножая некоторое число В,
произведёт куб С; я утверждаю, что В есть куб (черт. 5).
Действительно, пусть Л.
умножая само себя, произведёт D;
значит, D будет кубом (предло- В\ ~(
женне 3). И поскольку Л, умно- су— • - ■■■ ■ "—-I
жая само себя, произвело D, умно- _ _,
жая же В, произвело С, то значит,
будет, что как А к В, гак и D Черт. 5.
к С (предложение 17 книги VII).
И поскольку D, С кубы, о:ш подобные телесные. Значит,
между D, С попадают два средних пропорциональных числа
(предложение 19 книги VIII). И будет, что как D к С, так
и Л к В; и значит, между Л, В попадают два средних
пропорциональных числа (предложение 8 книги V11I). И Л
есть куб; значит, и В будет кубом (предложение 23
книги VIII), что и требовалось доказать.
Предложение 6
Если число, умножая само себя, производит куб, то
и само будет кубом.
Пусть число Л, умножая само себя, произведёт куб В;
я утверждаю, что и Л есть куб (черт. 6).
Действительно, Пусть Л, умножая В, произведёт С.
Поскольку теперь Л, умножая себя, произвело В, умножая же
В, произвело С, то значит, С есть куб. И поскольку Л,
умножая само себя, произвело В, то значит, 4 измеряет В


74
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
по <числу> своих единиц. Также и единица измеряет Л по
<числу> его единиц. Значит, будет, что как единица к Л,
так и Л к В. И поскольку Л, умножая В, произвело С, то
значит, В измеряет С по <числу> единиц в Л. Также и
единица измеряет Л по <числу>
^' ч его единиц. Значит, будет, ч го как
#, 1 единица к А, так и В к С. Но
с, : | как единица к А, так а А к В;
и значит, как А к В, так и В
Черт. 6. к С. И поскольку В, С —кубы,
они подобные телесные. Значит,
для В, С существуют два средних пропорциональных числа
(предложение 19 книги VIII). И будет, что как В к С, так
и А к В. И значит, для А, В существуют два средних
пропорциональных числа (предложение 8 книги VIU). И В
есть куб, значит, и А будет кубом, что и требовалось
доказать.
Предложение 7
Если составное число, умножая некоторое число,
производит что-то, то возникающее будет телесным.
Пусть составное число А, умножая некоторое число Bt
произведёт С; я утверждаю, что С
есть телесное (черт. 7). /?| 'J
Действительно, поскольку А 8\ 1 '• \
составное, то оно будет измеряться пх .
некоторым числом. Пусть оно бу- i т- ' ■
дет измеряться <числом> D, и ^' н Е{ /;Y ' -
сколько раз D измеряет Л, пусть
столько единиц будет в Е. По- Черт. 7.
скольку теперь D измеряет А по •
<числу> единиц в Е, то значит, Е, умножая D, произвело
А (определение 16 книги VII). И поскольку Л, умножая В,
произвело С, А же есть <произведенне> из D, Е*), то
значит, <произведение> из D, Е, умножая В, произвело С;
значит, С будет телесным, стороны же его будут Dt Е,
В, что и требовалось доказать.
*) В подлиннике просто 6 h twv Л, Е —<то, что> из Д £,


КНИГА ДЕВЯТАЯ
75
Предложение 8
Если будет сколько угодно последовательно*)
пропорциональных чисел от единицы, то третье от
единицы**) и [все] через одно**'*) будут квадратами,
четвёртое же и [все] через два Кбудуту кубами, седьмое же и
[все] через пять одновременно квадратами и кубами (3).
Пусть будет сколько угодно последовательно
пропорциональных чисел от единицы А, В, С, D, Et I; я
утверждаю, что третье от единицы В и
все через одно будут квадратами,
четвёртое же С и все через два S\ - ■ i
<будут> кубами, седьмое же / и с\ 1 ■ '
чсе через пять — одновременно „ .___^^_.
:вадратами и кубами (черт. 8).
Действительно, поскольку бу- fl '
дет, что как единица к Л, так и /i 1
А к В, то значит, равное
количество раз измеряют единица— число Черт. 8.
А и Л — <число> В (определение
21 книги VII). Единица же измеряет число Л по -(количеству)
единиц в нём; и значит, А измеряет Впо ^количеству) единиц
в Л, Значит, Л. умножая само себя, произвело В', значит, В
есть квадрат. И поскольку В, С, D последовательно
пропорциональны, В же есть квадрат, то значит, и D будет
квадратом (предложение 22 книги VIII). На том же вот
основании и / будет квадратом. Тогда подобным же образом
докажем, что и все через одно будут квадратами. Вот я
утверждаю, что и четвёртое от единицы—С будет кубом,
и все через два. Действительно, поскольку будет, что как
единица к Л, так и В к С, то значит, равное количество
раз единица измеряет число Л н В—<число> С.
Единица же измеряет число Л по ^количеству) единиц в Л; и
значит, В измеряет С по <количеству> единиц в А;
значит, А, умножая В, произвело С. Поскольку теперь А,
*) В подлиннике употреблён термин Щ$.
**) Мы бы сказали «второе от единицы»; греки же, ведя
счет от какого-нибудь объекта, всегда включают в счёт и его.
***) В подлиннике ol in twhht>r.s4 — оставляющие одно между.


76 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
умножая само себя, гтрэизвело 5, умножая же В, произвело
С, то значит, С будет кубом. И поскольку С, D, Е, I
последовательно пропорциональны, С же есть куб, то значит, и /
будет кубом (предложение 23 книги VIII). Доказано же, что
<оно> и квадрат; значит, седьмое от единицы будем кубом
н квадратом. Подобным же вот образом докажем, что и
все через пять будут кубами и квадратами, что и
требовалось доказать.
ГТрздложение 9
Если будет сколько угодно последовательных чисел
в непрерывной пропорции*) от единицы, (число} же за
единицей квадрат, то и все оегшльные будут квадратами.
И если (число/у за единицей куб,
Д{' " ' то и все остальные будут кубами.
g\ 1 Пусть будет сколько угодно по-
„ ~~ следовагельньгх1 пропорциональных
чисел от единицы А, В, С, D, Е, I,
Я{ ' <чнсло> же за единицей А пусть
£\ 1 будет квадратом; я утверждаю, что
,. _; н все остальные будут квадратами
(черт. 9).
Черт. 9. Теперь, то, что третье от
единицы, <именно> В, н все через одно
будут квадратами, доказано (предложение 8); я утверждаю
[вот], что и остальные все суть квадраты. Действительно,
поскольку А, В, С последовательно пропорциональны, и А
есть квадрат, то [значит] н С будет квадратом
(предложение 22 книги VIII). Затем, поскольку [и] В. С, D
последовательно пропорциональны, и В есть квадрат, то [значит]
и D будет квадратом. Подобным же вот образом докажем,
что и все остальные будут квадратами.
Но вот пусть А будет кубом; я утверждаю, что и
остальные все будут кубами.
Теперь, то, что четвёртое от единицы С и в:е через
два будуг кубами, доказано (предложение 8); я утверждаю
*) В подлиннике — оба термина: oTtoscaoGv f*ijs хата то j'-myii;


КНИГА ДЕВЯТАЯ
77
[вот], чти н остальные все суть кубы. Действительно,
поскольку будет, что как единица к Л, так и А к В, то
значит, одинаковое число раз единица измеряет А и А —
<число> В. Единица же измеряет А по <чнслу> единиц
в нём; значит, и А измеряет В по <числу> своих единиц;
значит, А, умножая само себя, произвело В. И А есть куб.
Если же кубическое число, умножая само себя, производит
что-то, то возникающее будет кубом (предложение 3);
значит, и В будет к,, бом. И поскольку четыре числа А, В,
С, D последовать; ъ:;о пропорциональны, и А есть куб, то
значит, и D будет кубом (предложение 23 книги V1I1). На
том же вот основании и Е будет кубом, и подобным
образом все остальные будут кубами, что и требовалось
доказать (4).
Предложение 10
Если будет сколько угодно {последовательно}
пропорциональных чисел от единицы, ■(числоу же за единицей
не квадрат, то и никакое другое не будет квадратом,
кроме третьего от единицы и всех
через одно. И если (числоу за еди- Ях ~~'
нити не куб, то и никакое другое В\ 1
не будет кубом, кроме четвёртого g ,
от единицы и всех через два.
Пусть будет сколько угодно
последовательно пропорциональных чи- Е\— -— - " '
сел от единицы Л, В, С, D, Е, I, ц i
<число> же за единицей Л пусть не
будет квадратом; я утверждаю, что еРт- ®-
и никакое другое не будет квадратом,
кроме третьего от единицы [н <исех> через одно] (черт. 10).
Действительно, если возможно, пусть С будет квадратом.
Также и В квадрат (предложение 8); значит, В, С имеют
между собой отношение, как квадратное число к
квадратному числу. И как В к С, так и Л к В; значит, Л, В имеют
между собой отношение, как квадратное число к
квадратному числу; так что Л, В будут подобными плоскостными
<числами> (предложение 26 книги VIII). И В—квадрат;
значит, и Л будет квадратом; этого же не предполагалось.


78
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Значит, С не будет квадратом. Подобным же вот образом:
докажем, что и никакое другое не будет квадратом, кроме
третьего от единицы и всех через одно.
Но вот пусть А не будет кубом. Я утверждаю, что и
никакое другое не будет кубом, кроме четвёртого от
единицы и <всех> через два.
В самом деле, если возможно, пусть D будет кубом.
Также и С куб, ибо оно четвёртое от единицы
(предложение 8). И как С к D, так и В к С; и значит, В имеет
к С отношение, как куб к кубу. И С есть куб; значит, и
В будет кубом (предложение 25 книги V1I1). И поскольку
как единица к Л, так и А к В, единица же измеряет А
по <числу> его единиц, то значит, и А измеряет В по
<числу> своих единиц; значит, Л, умножая само себя,
произвело куб В. Если же число, умножая само себя,
производит куб, то н само будет кубом (предложение 6). Значит,
и А будет кубом; этого же не предполагается. Значит, D
не будет кубом. Подобным же вот образом докажем, что
и никакое другое не будет кубом, кроме четвёртого от
единицы и <всех> через два, что и требовалось доказать.
Предложение 11
Если от единицы сколько угодно чисел будут
последовательно пропорциональны, то меньшее измеряет боль- •
„j шее по (количеству единицу в каком-
либо аз находящихся среди пропорцио-
8[ ' нальных чисел.
С\ 1 Пусть будет ог единицы А сколько
угодят. ( но последова^льно пропорциональных
чисел В, С, D, Е; я утверждаю, что из В,
^ ' С, D, Е наименьшее В измеряет Е по
Черт jj <количеству единиц> в каком-либо из С,
D (черт. 11).
Действительно, поскольку будет, ч го как единица А
к В, так и D к Е, то значит, равное число раз единица А
измеряет число В и D—<чпсло> Е; значит, и
перестановкой, равное число раз единица А измеряет D и В <изме-
ряет> Е (предложение 15 кннги VII). Единица же А изме-


КНИГА ДЕВЯТАЯ
ft
ряет D по <числу> единиц в нём; значит, и В измеряет Е по
<чнслу> единиц в D; значит, меньшее В измеряет большее
£" по <количеству единиц) в каком-либо нз находящихся
среди пропорциональных чисел.
Следствие
И ясно, что какое место от единицы имеет измеряющее,
то же самое <место> имеет и то, по <числу единиц) в
котором оно измеряет, <еслн считать) от измеряемого <назад>
к предшествующему, что н требовалось доказать.
Предложение 12
Если будет от единицы сколько угодно
последовательно пропорциональных чисел, то какими первыми
числами измеряется последнее <числоу, теми же самыми
измерится и то, которое при единице.
Я^* £\—i
В\ 1 Л ч
Л 1 Н\ 1
В\ » 6*—<
Черт. 12.
Пусть будет от единицы сколько угодно
пропорциональных чисел Л, В, С, D; я утверждаю, что какими
первыми числами измеряется D, теми же самыми нзмерится и
Л (черт. 12).
Действительно, пусть D измеряется каким-нибудь
первым числом Е; я утверждаю, что Е измеряет А.
Действительно, пусть не <нзмеряет>; и Е первое; всякое же
первое число будет первым со всяким, которого оно не
нз> еряет (предложение 29 книги VII); значит, Е, А будут
первыми между собой. И поскольку Е измеряет D, то пусть
оно измеряет его по <числу единиц) в /; значит, Е,
умножая /, произвело D. Затем, поскольку А измеряет D по


oU НАЧАЛА ЕВКЛИДА
<числу> единиц в С (предложение 11, следствие), то
значит, Л, умножая С, произвело D. Но также и Е, умножая
/, произвело D; значит, <произведение> из Л, С равно
<пронзведению> из Е, J. Значит, будет, что как А к Е,
так и / к С (предложение 19 книги VII). Но Л, Е первые,
первые же и наименьшие (предложение 21 книги VII),
наименьшие же равное число раз измеряют имеющие с ними
то же самое отношение (предложение 20 книги VII),
предыдущее — предыдущее и последующее —последующее;
значит, Е измеряет С. Пусть оно будет измерять его по
<числу единиц в> И; значит, £", умножая /7, произвело С.
Но также на основании предыдущего и Л, умножая В>
произвело С (предложение 11, следствие). Значит, <произве-
денне> из Л, В равно <ироизведению> из Е, И. Значит,
будет, что как Л к Е, так и Н к В (предложение 19
книги VII). Но Л, Е первые, первые жен наименьшие
(предложение 21 книги VII), наименьшие же числа равное число-раз
измеряют имеющие с ними то же самое отношение (предложение
20 книги VII), предыдущее — предыдущее и последующее —
последующее; значит. Е измеряет В. Пусть оно измеряет его
по <числу единиц в> G; значит, Е, умножая О, произвело
В. Но также и Л, умножая само себя, произвело В
(предложение 8); значит, <лроизвсдспие> из Е, О равно <квад-
рату> на Л*). Значит, будет, что как Е к Л, так и А к О
(предложение 19 книги VII). Но Л, Е первые, первые же
и наименьшие (предложение 21 книги VII), наименьшие же
одинаковое число раз измеряют имеющие то же самое
отношение, предыдущее — предыдущее и последующее —
последующее (предложение 20 книги VII); значит, Е измеряет
Л, как предыдущее —предыдущее. Но оно также и не
измеряет; это же невозможно. Значит, Е, А не будут
первыми между собой. Значит, <они> составные. Составные же
измеряются каким-нибудь [первым] числом (определение 15
книги VII). И поскольку Е предполагается первым, первое же
не измеряется никаким другим числом, кроме как самим собой
(определение 12 книги VII), то значит, Е измеряет Л, Е;
*) тй ото zoo Л—терминология, обычная в геометрических
книгах, но встречающаяся первый раз в арифметической.


КНИГА ДЕВЯТАЯ
81
так что Е измеряет А. Измеряет оно также и D; зиачит, Е
измеряет A, D*). Подобным же вот образом докажем, что
какими первыми числами измеряется D, теми же самыми
будет измеряться и А, что и требовалось доказать.
Предложение 13
Если будет от единицы сколько угодно последовательно
пропорциональных насел, то же (число, что'} за едини-
цей, будет первое, то наибольшее (числоу не будет
измеряться никаким [дру' ^
гам], кроме находящих- ' ' ' '
ся среди пропорциональ- В* ' /•———'
них чисел. с\ 1 н\ i
Пусть будет ог едини-
цы сколько угодно
последовательно пропорции- Черт, 13,
нальных чисел А, В, С,
D, то же <число, что> за единицей — А пусть будет
первым; я утверждаю, что наибольшее из иих D не будет
измеряться иикаким другим, кроме А, В, С (черт. 13).
Действительно, если возможно, пусть оно будет
измеряться Е, и пусть Е не будет тождественным никакому из
А, В, С. Тогда ясно, что Е первым не будет.
Действительно, если Е первое и измеряет D, то оно измерит и А,
являющееся первым, не будучи с ним тождественно; это
же невозможно (предложение 12). Значит, Е не будет
первым. Значит, оно составное. Всякое же составное число
измеряется каким-нибудь первым числом (предложение 32
книгн VII); значит, Е измеряется каким-нибудь первым
числом. Вот я утверждаю, что оно не измерится никаким
иным первым <числом>, кроме Л. Действительно, если Е
будет измеряться другим <числом>, Е же измеряет D,
то значит, то <число> измерит н D; так что оно измерит
и А, являющееся первым, ие будучи с ним тождественно
- „ *) ЭтУ ФРазУ' как не входящую в формулировку теоремы,
1 еибсрг считает лишней и, может быть, иеподлннной, не вставляя
её, однако, в квадратные скобки.
*3 Евклид


*■«* НАЧАЛА ЕВКЛИДА
(предложение 12); это же невозможно. Значит, А измеряет Е.
И поскольку Е измеряет D, пусть оно измеряет его по
<числу единиц в> /. Я утверждаю, что / не будет
тождественно нн одному из А, В, С. Действительно, если /
тождественно одному из А, В, С и измеряет D по <числу
единиц в> Е, то значит, и одно из А, В, С измеряет D по
<числу единиц в> Е. Ко одно из А, В, С измеряет D по <числу
единиц в> каком-нибудь из А, В, С (предложение 11); и
значит, Е будет тождественно с одним из А, В, С; этого
же не предполагается. Значит, / не будет тождественно
с одним из А, В, С. Подобным же вот образом докажем,
что / измеряется А, показавши опять, что / не будет
первым. Действительно, если <так> и оно измеряет D, то
измерит и А. являющееся первым (предложение 12), не
будучи ему тождественно; это же невозможно; значит, / не
будет первым; значит, оно составное. Всякое же составное
число измеряется каким-нибудь первым числом
(предложение 32 книги VII); значит, / измеряется каким-нибудь
первым числом. Вот я утверждаю, что оно не будет измеряться
никаким другим первым <чнслом>, кроме А. Действительно,
если какое-нибудь другое первое <число> измеряет /, а /
измеряет D, то значит, то <чнсло> измерит D; так что оно
измерит и А, являющееся первым, ие будучи с ним
тождественно (предложение 12); это же невозможно. Значит, А
измеряет /. И поскольку Е измеряет D по <числу единиц
в> /, то значит, Е, умножая /, произвело D. Но также и
А, умножая С, произвело D (предложение 11); значит,
<произведение> из А, С равно <произведению> из Е, I.
Значит, будет пропорция — как А к Е, так и / к С
(предложение 19 книги VII). Но А измеряет Е; значит, и /
измеряет С. Пусть оно его измеряет по <числу единиц в> И.
Тогда подобным же образом докажем, что И не будет
тождественно ни с одним из А, В и что оно измеряется А.
И поскольку / измеряет С по <числу единиц в> И, то
значит, /, умножая И, произвело С. Но также н А,
умножая В, произвело С (предложение 11); значит,
Произведение) из А, В равно <произведенцю> из /, И. Значит,
<будет> пропорция — как А к /, <так и> Н к В
(предложение 19 книги VII). Но А измеряет /; значит, и И изме-


КНИГА ДЕВЯТАЯ °6
ряет В. Пусть оно измеряет его по <числу единиц в> G,
Тогда подобным же образом докажем, что G не будет
тождественным с А. И поскольку И измеряет В по <числу
единиц в> G, то значит, И, умножая G, произвело В. Но
также и Л, умножая само себя, произвело В
(предложение 8); значит, <произведсние> G, И*) равно квадрату на
А. Значит, будет как G к А, <так и)^н //(предложение 19
книги VII). Но А измеряет //; значит, н G измеряет А,
являющееся первым, не будучи с ннм тождественно, что
нелепо. Значит, наибольшее D не будет измеряться никаким
другим числом, кроме А, В, С, что и требовалось доказать
(5, 6, 7, 8).
Предложение 14
Если число будет наименьшим измеряемым •(данными'}
первыми числами, то оно не измерится никаким иным
первым числом, кроме первоначально измерявших <#го> (9).
Пусть число А будет
наименьшим измеряемым ^' i В\ 1
первыми числами В, С, D\ £y~—t С*—*
я утверждаю, что А не ,|
намерится никаким иным
первым числом, кроме В, Черт. 14.
С, D (черт. 14).
Действительно, если возможно, пусть оно измеряется
первым <чнслом> Е, и пусть Е не будет тождественно ни
с одним из В, С, D. И поскольку Е измеряет А, пусть
оно измеряет его по <числу единиц в> /; значит, Е,
умножая /> произвело А. И А измеряется первыми числами В,
С, D. Если же два числа, умножая друг друга,
производят что-то, возникающее же из них измеряется некоторым
первым числом, то <последнсе> измерит и одно из
первоначальных (предложение 30 книги VII); значит, В, С, D
измерят одно из Л, /. Теперь Е оии не измерят, ибо Е
есть первое н ни одному из В, С, D не тождественное.
*) Опять геометрический термин: о иго 9t H; в арифметических
книгах до сих пор для обозначения произведения употреблялся
термин 6 Ь. -.т 9, И — что из О, //{подразумевается: «получается»).
6*


84
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Значит, они измерят /, являющееся меньшим А; это же
невозможно, ибо А предполагается наименьшим измеряемым
В, С, D. Значит, А не будет измеряться <другим> первым
числом, кроме В, С, D, что и требовалось доказать.
Предложение 15
Если три последовательно пропорциональных числа
будут наименьшими из имеющих то же отношение
с ними, то два какие-нибудь сложенные будут первыми
с оставшимся.
Пусть три последовательно пропорциональных числа,
наименьшие из имеющих то же отношение с ними, будут
„l , , А, В, С; я утверждаю, что из
А, В, С два какие-нибудь ело-
°х ' ffi г " i; женные будут первыми с остав-
С\ 1 шимся, т. е. А <и> В с С,
Черт, ig а В <и> С с Л и, наконец, А
<и> С с В (черт. 15).
Действительно, возьмём наименьшие из имеющих то же
отношение с А, В, С два числа DE, El (предложение 2
книги V111). Ясно тогда, что DE, умножая само себя,
произвело А, умножая же El, произвело В, и ещё El,
умножая само себя, произвело С. И поскольку DE, EI —
наименьшие, они будут первыми между собой (предложение 22
книги VII). Если же два числа будут первыми между собой,
то и вместе взятые они будут первыми с каждым <из
первоначальных) (предложение 28 книги VII); значит, и DI
будет первым с каждым из DE, El. Но и DE является
первым с El; значит, DI, DE будут первыми с El. Если же
два числа будут первыми с некоторым числом, то н
возникающее из них будет первым с оставшимся (предложение 24
книги VII); так что <произведенне> из /Z), DE будет
первым с EI; так что и <произведение> из ID, DE будет
первым с <квадратом> на El. [Действительно, если два
числа будут первыми между собой, то и возникающее из
одного из них будет первым с оставшимся] (предложение 25
книги VII). Но <произведение> из ID, DE представляет
<квадрат> на DE вместе с <произведением> из DE, El (пред-


КНИГА ДЕВЯТАЯ 85
ложение 3 книги И); значит, <квадрат) на DE вместе
с <произведением> из DE, EI будет первым с <квадратом>
на EI. И <квадрат> на DE будет А, -(произведение) же
из DE, EI есть В, <квадрат> же на El есть С; значит,
А, В сложенные будут первыми с С. Подобным же вот
образом докажем, что и В, С -(сложенные) будут первыми
с А. Вот я утверждаю, что и А, С <сложенньге> будут
первыми с В. Действительно, поскольку DI будет первым
с каждым из DE, El, то н <квадрат> на DI будет первым
с <произведением> из DE, El (предложение 25 книги Vll).
Но <квадрату> иа DI равны <квадраты> на DE, El вместе
с дважды <взятым произведением) из DE, El
(предложение 4 книги И); и значит, квадраты на DE, El вместе
с дважды <взятым произведением) DE, El*) [будут]
первыми с ^произведением) DE, El. По отнятии**) <квадраты>
на DE, El вместе с один раз <взятым произведением) DE,
EI будут первыми с Произведением) DE, EL Ещё по
отнятии <квадраты> на DE, EI будут, значит, первыми с
-(произведением) DE, El. И -(квадрат) на DE есть А,
-(произведение) же DE, El <есть) В, <квадрат> же на El <есть)
С. Значит, А, С сложенные будут первыми с В, что и
требовалось доказать.
Предложение 16
Если два числа будут первыми между собой, то не
будет, что как первое ко второму, так а второе к
какому-нибудь иному.
Пусть два числа Л, В будут первыми Я* •
между собой; я утверждаю, что не будет »} ,
как А к В, так и В к какому-нибудь иному _^_
(черт. 16). *' ' 4
Действительно, если возможно, то Черт. 16.
пусть будет, что как А к В, так и В
к С. Но А, В первые, первые же и наименьшие
(предложение 21 книги VII), наименьшие же числа равное число
*) ото iwv DE, EI вместо обычного Н.
**) В тексте SisUvrt, хотя ыи о какой производной
пропорции нет в речи; просто отбрасывается делящееся на самого себя
произведение DE-EI.


86 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
раз измеряют имеющие то же самое отношение
(предложение 20 книги VII), предыдущее — предыдущее и
последующее— последующее. Значит, А измеряет В, как
предыдущее— предыдущее. Измеряет оно также и само себя;
значит, А измеряет А, В, являющиеся первыми между
собой, это же нелепо. Значит, ие будет, что как А к В,
так и В к С, что и требовалось доказать.
Предложение 17
Если будет сколько угодно последовательно
пропорциональных чисел, крайние же из них будут первыми
между собой, то не будет, что как первое ко второму,
так и последнее к какому-нибудь иному.
Пусть будет сколько угодно последовательно
пропорциональных чисел А, В, С, Z), крайние же из них A, D
ffi 1
С\ ■
В\ 1
Е\ 1
Черт. 17.
пусть будут первыми между собой; я утверждаю, что не
будет как А к В, так и D к какому-нибудь иному (черт. 17).
Действительно, если возможно, пусть будет, что как А
к jS, так и D к Е; перестановкой, значит, получится
(предложение 13 книги VII), что как А к Z), так и ВкЕ.
Но A, D первые, первые же н наименьшие (предложение 21
книги VII), наименьшие же числа измеряют имеющие то
же отношение равное число раз (предложение 20 книги VII)
предыдущее — предыдущее и последующее — последующее.
Значит, А измеряет В. И будет, что как А к В, так и В
к С. Значит, и В измеряет С (определение 21 книги VII):
так что и А измеряет С. И поскольку будет, что как В
к С, <так и> С к D, В же измеряет С, значит, и С из-


КНИГА ДЕВЯТАЯ
87
меряет D (определение 21 книги VII). Но А измеряло С;
значит, А измеряет и D. Измеряет оно также и само себя.
Значит, А измеряет A, D, являющиеся первыми между
собой; это же невозможно. Значит, не будет, что как А к В,
так и D к какому-нибудь иному, что и требовалось
доказать.
Предложение 18
Для двух данных чисел исследовать, можно ли
подыскать к ним третье пропорциональное.
Пусть будут данные два числа А, В, и пусть должно
будет исследовать, можно ли подыскать к ним третье
пропорциональное (черт. 18).
Вот А, В будут или первыми между собой, или нег.
И если онн первые между собой, то доказано, что
невозможно подыскать к ним третье
[пропорциональное (предложение 16). ^^"",
Но вот пусть не будут А, В 8\ \
первыми между собой и пусть В, ^, ,
умнэжая само себя, произведёт С. п
Тогда А или измеряет С, или ие ""*
измеряет. Пусть сначала оно его Черт. 18.
измеряет по <числу единиц в> D;
значит, А, умножая D, произвело С. Но также и В,
умножая само себя, произвело С; значит, <произведение> из А,
D равно <квалрату> на В. Значит, будет, что как А к В,
так и В к D (предложение 19 книги VII); значит, к А, В
подыскано третье пропорциональное число D.
Но вот пусть А не измеряет С; я утверждаю, что к А, В
невозможно подыскать третье пропорциональное число,
В самом деле, если возможно, то пусть будет подыскано D,
Значит, <произведение> из Л, D равно <квадрату> на В
(предложение 19 книги VII). <Квадрат> же на В есть С;
значит, (произведение) из A, D равно С. Так что Л,
умножая D, произвело С; значит, А измеряет С по <чнслу
-диниц в> D. Но оно также предполагается и не
измеряющим; это же нелепо. Значит, невозможно к А, В
подыскать третье пропорциональное число, если А не
измеряет С, что и требовалось доказать.


*s
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 19
Для трёх данных чисел исследовать, когда возможно
подыскать к ним четвёртое пропорциональное.
Пусть будут данные трн числа А, В, С, и пусть должно
будет исследовать, когда возможно подыскать к ним
четвёртое пропорциональное (черт. 19).
Теперь они нлн не будут последовательно
пропорциональными и их крайние будут первыми между собой, или
будут последовательно пропорциональными н их крайние не
будут первыми между собой, илн ни они не будут
последовательно пропорциональными, ни их крайние не будут
первыми между собой, илн н они будут последовательно
пропорциональными и их крайние будут
первыми между собой.
0\ 1 если теперь А, В, С будут последо-
ji | вательно пропорциональными и их край-
- ние А, С будут первыми между собой,
то доказано, что невозможно к ним
^' 'ч подыскать четвёртое пропорциональное
Черт. 19. число (предложение 17). Тогда пусть
не будут А, В, С последовательно
пропорциональными при крайних, опять являющихся
первыми между собой, Я утверждаю, что и так невозможно
подыскать к ним четвёртое пропорциональное, В самом деле,
если возможно, пусть будет подыскано D, так чтобы было
как А к В, так и С к D, и пусть будет сделано, что как В
к С, <так и> D к Е, И поскольку будет, что как А к В,
<так н> С к D, как же В к С, <так и> D к Е. то значит, «по
равенству» (предложение 14 книги VII), как А к С. <так и> С
к Е. Но А, С — первые, первые же и наименьшие
(предложение 21 книги Vll), наименьшие же измеряют имеющие то
же самое отношение, предыдущее — предыдущее и
последующее—последующее (предложение 20 книги Vll).
Значит, А измеряет С, как предыдущее <измеряет>
предыдущее. Измеряет оно также и само себя, значит, А измеряет
А, С, являющиеся первыми между собой; это же
невозможно. Значит, к А, 5, С невозможно подыскать четвёртое
пропорциональное.


КНИГА ДЕВЯТАЯ о»
Но вот пусть опять будут А, В, С последовательно
пропорциональными, Л, С же пусть не будут первыми между
собой. Я утверждаю, что возможно подыскать к ним
четвёртое пропорциональное. Действительно, пусть В,
умножая С, произведёт D; значит, А или измеряет £>, или ие
измеряет. Пусть сперва оно его измеряет по <числу
единиц в> Е\ значит, А, умножая Е, произвело D. Но вместе
с тем и В, умножая С, произвело D; значит,
произведение) из Л, Е равно <произведению> из В, С. Значит,
[будет] пропорция — как А к В, <так и)Ск£' (предложение 19
книги VII); значит, к А, В, С подыскано четвёртое
пропорциональное Е.
Но вот пусть А не будет измерять D; я утверждаю,
что невозможно к А, В, С подыскать четвёртое
пропорциональное. В самом деле, если возможно, пусть будет
подыскано Е; значит, <произведение> из А, Е равно
■(произведению) из В, С (предложение 19 книги Vll). Но
<пронзведение> из В, С есть D; и значит, <произведение>
из А, Е равно будет D. Значит, А, умножая Е, произвело
D\ значит, А измеряет D по <числу единиц в> Е, так что
А измеряет D. Но оно и не измеряет, что нелепо. Значит,
невозможно подыскать к А, £, С четвёртое
пропорциональное, когда А не измеряет D.
Но вот пусть не будут ни Л, В, С последовательно
пропорциональными, ни крайние первыми между собой.
И пусть В, умножая С, произведёт D. Подобным же вот
образом докажется, что если А измеряет D, то возможно
подыскать к ннм <четв'ертое> пропорциональное, если же
не измеряет, то невозможно, что и требовалось доказать.
Предложение 20
Первых чисел существует больше всякого
предложенного количества первых чисел.
Пусть предложенные первые числа будут А, В, С; я
утверждаю, что первых чисел существует больше, чем Л
В, С (черт. 20).
Действительно, возьмём наименьшее <число>,
измеряемое Л, В, С (предложение 36 книги VH), и пусть оно


90 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
будет DE, и приложим ft DE единицу DI. Вот El или
будет первым, или нет. Пусть сперва оно будет первым;
значит, найдено первых чисел А. В, С, Е! больше, чем
А, В, С.
Но вот пусть El не будет первым; значит, оно
измеряется некоторым первым числом (предложение 31 книги VII).
Пусть оно будет измеряться первым <числом> И; я
утверждаю, что И не будет тождественным ни с одним из Л,
i ■ \В i \н
Черт. 20.
В, С. В самом деле, если возможно, пусть будет. Но Л,
В, С измеряют DE; значит, и И измерит DE. Оно же
измеряет и El', и остающуюся единицу DI измерит И,
будучи числом; это же нелепо. Значит, Н не будет
тождественным ни с одним из A, В, С. И оно предполагается
первым; значит, найдено первых чисел больше
предложенного количества Л, В, С, <а именно), А, £, С, И, что и
требовалось доказать (10, II, 12, 13, 14).
Предложение 21
Если складывается с/соль/со угодно чётных чисел, то
целое будет чётным (15).
Пусть складывается сколько угодно чётных чисел /Ш,
ВС, CD, DE; я утверждаю, что целое АЕ будет чётным
(черт. 21).
Д В С В 5
I 1 £—£ 1
Черт. 21. ' '
^•Цйвртэительно, поскольку каждое из АВ, ВС, CD, DE
я^дяедзд четным, то оно имеет половинную часть (опреде-


КНИГА ДЕВЯТАЯ
ление 6 книги VII); так что и целое имеет половинную
часть. Чётным же числом является делящееся пополам
(определение 6 книги VII); значит, АЕ будет чётным, что и
требовалось доказать.
Предложение 22
Если складывается сколько угодно нечётных чисел,
количество же их будет чётным, то целое будет чётным.
Пусть складывается сколько
угодно нечётных чисел в чётком Я В ^ У . ,
количестве АВ, ВС, CD, DE; я
утверждаю, что целое АЕ будет Черт. 22.
чётным (черт. 22).
Действительно, поскольку каждое из АВ, ВС, CD, DE
является нечётным, то после отнятия от каждого единицы
каждый из остатков будет чётным (определение 7 книги VII);
так что и составленное из них будет чётным
(предложение 21). Также и количество единиц будет чётным. Значит,
и целое АЕ будет чётным, чго и требовалось доказать (16).
Предложение 23
Если складывается сколько угодно нечётных чисел,
количество же их будет нечётным, то и целое будет
нечётным.
" 1—£ Щ
Черт. 23.
Пусть складывается сколько угодно нечётных чисел,
количество которых будет нечётным, <а именно>, АВ, ВС,
CD; я утверждаю, что и целое AD будет нечётный (черт. 23).
Отнимем от CD единицу DE; значит, остаток СЕ бу-
де. чётным (определение 7 книги VII). Также и С А чётное
(предложение 22); значит, и целое АЕ будет чётным. И есть
единица DE. Значит, AD будет нечётным (определение 7
книги VII), что и требовалось доказать.


92 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 24
Если от чётного числи отнимается чётное, то
остаток будет чётным.
Пусть от чётного АВ отнимается чётное ВС; я
утверждаю, что остаток СА будет чётным (черт. 24).
/г С В
» н 1
Черт. 24.
Действительно, поскольку АВ есть чётное, то оно имеет
половинную часть. На том же вот основании и ВС имеет
половинную часть (определение 6 книги VII); значит, и
остаток [СА имеет половинную часть; значит] чётным
будет АС, что и требовалось доказать.
Предложение 25
Если от чётного числа отнимается нечётное, то
остаток будет нечётным.
Пусть от чётного АВ отнимается нечётное ВС; я
утверждаю, что остаток СА будет нечётным (черт. 25).
Лу С ]/ f
Черт. 25.
Действительно, отнимем от ВС единицу CD; значит,
DB будет чётным (определение 7 книги VII). Также и АВ
чётное; значит, и остаток AD будет чётным
(предложение 24). И есть единица CD; значит, СА будет нечётным
(определение 7 книги VII), что и требовалось доказать.
Предложение 26
Если от нечётного числа отнимается нечётное, то
остаток будет чётным.
Пусть от нечётного АВ отнимается нечётное ВС; я
утверждаю, что остаток СА будет чётным (черт, 26).


КНИГА ДЕВЯТАЯ 93
Действительно, поскольку АВ является нечётным, то
отнимем единицу BD; значит, остаток AD будет чётным.
А С U8
Черт. 26.
Тогда на том же основании и CD будет чётным
(определение 7 книги VII); так что и остаток СА будет чётным
(предложение 24), что и требовалось доказать.
Предложение 27
Если от нечётного числа отнимается чётное, то
остаток будет нечётным.
Пусть от нечётного АВ отнимается чётное ВС; я
утверждаю, что остаток СА будет
нечётным (черт. 27). ЯД С В •
[Действительно], отнимем
единицу AD; значит, DB будет чётным Черт. 27.
(определение 7 книги VII). Также и
ВС чётное; значит, и остаток CD будет чётным
(предложение 24). Значит, СА будет нечётным (определение 7
книги VII), что и требовалось доказать.
Предложение 28
Если нечётное число, умножая чётное, производит
что-то, то возникающее будет чётным.
Пусть нечётное число А, умножая чётное В,
произведёт С; я утверждаю, что С будет чётным (черт. 28).
«, А Действительно, поскольку А, умножая В,
произвело С, то значит, С складывается из
■ i стольких <чисел>, равных В, сколько будет
^ tB А единиц (определение 16 книги VII).
lJepT. 28. и В чётное; значит, С складывается из
чётных. Если же складывается сколько угодно
чётных чисел, то целое будет чётным (предложение 21).
Значит, С будет чётным, что и требовалось доказать.


У4 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 29
Если нечётное число, умножая нечётное число,
производит что-то, то возникающее будет нечётным.
Пусть нечётное число А, умножая не-
' чётное В, произведёт С; я утверждаю,
£i 1 что q будет нечётным (черт. 29).
^i | Действительно, поскольку А,
умножая В, произвело С, то значит, С склады-
Черт, 29. вается из стольких <чисел>, равных В,
сколько будет в А единиц (определение
16 книги VII). И каждое из А, В нечётно; значит, С
складывается из нечётных чисел, количество которых нечётно,
Так что С будет нечётным {предложение 23), что и
требовалось доказать.
Предложение 30
Если нечётное число измеряет чётное число, то оно
будет измерять и его половину.
Пусть нечётное число А измеряет чётное В; я
утверждаю, что оно будет измерять и его половину
(черт. 30). / в L
Действительно, поскольку А измеряет В, то
пусть оно измеряет его по <числу единиц в>
С; я утверждаю, что С не будет нечётным.
В самом деле, если возможно, пусть будет. И
поскольку А измеряет В по <числу единиц в> С,
то значит, А, умножая С, произвело В. Значит,
В складывается из нечётных чисел, количество ц „Q
которых нечётно. Значит, В будет нечётным
(предложение 23); это же нелепо, ибо оно предполагается
чётным. Значит, С не будет нечётным; значит, чётным
будет С. Так что А измеряет В чётное число раз. Тогда
на основании этого*) оно измерит и его половину, что и
требовалось доказать.
*) Так как половина будет измеряться в соответствии с
числом, равным половине того, которым'измеряется целое (Гейберг),


КНИГА ДЕВЯТАЯ
95
Предложение 31
Если нечётное число по отношению к некоторому
числу будет первым, то оно будет первым и по
отношению к его удвоенному.
Пусть нечётное число А по отношению к некоторому
числу В будет первым, пусть же удвоенное В будет С;
я утверждаю, что А [и] по
отношению к С будет первым (черт. 31). '
Действительно, если не будут [А, В*~—-—i
С] первые, то их измерит некото- с\ - ~\
рое число. Пусть оно измеряет и
будет D. И А нечётное; значит, и
D — нечётное. И поскольку D, будучи Черт. 31
нечётным, измеряет С, и С является
чётным, то значит, [D] измерит н половину С. Половина
же С есть В; значит, D измеряет В. Измеряет оно также
и А. Значит, D измеряет А, В, являющиеся первыми
между собой; это же невозможно. Значит, ие будет А по
отношению к С не первым. Значит, Л, С будут первыми
между собой, что и требовалось доказать.
Предложение 32
Из чисел, получаемых удвоением от двойки, каждое
будет только четно-чётным.
Пусть от двойки А будет получено удвоением сколько
угодно чисел В, С, D; я утверждаю, что В, С, D будут
только чётно-чётными (черт. 32).
Теперь, что каждое [из В, С, D] будет чётно-чётным,
Ду—i очевидно, ибо оно получено удвоением
от двойки (определение 8 книги VII).
Я утверждаю, что и только. Действи-
С>-
тельно, отложим единицу.
Г\ i Поскольку теперь от единицы
будет сколь угодно последовательно
Черт. 32. пропорциональных чисел, и то, <что>
за единицей, <т. е.> А, первое,
то наибольшее из А, В, С, D, <именно> D, не нзмерится
никаким другим, кроме Л, В, С (предложение 13). И каждое


96
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
из Л, В, С есть чётное; значит, D будет только чётно-чётным
(определение 8 книги VII). Подобным же вот образом
докажем, что [и] каждое из В, С будет только чётно-чётным,
что и требовалось доказать.
Предложение 33
Если число имеет нечётную половину, то оно будет
только четно-нечётным.
Пусть число А имеет нечётную половину; я утверждаю,
что А будет только чётно-нечётным (черт. 33).
Теперь, что оно будет чётно-нечётным, очевидно; ибо
> его половина, будучи нечётным, измеряет его
i Я у чётное число раз (определение 9 книги VII).
Вот я утверждаю, что и только. Действительно,
Черт. 33. если А будет и чёгно-чётным, то оно измерится
чётным по <числу единиц в> чётном числе
(определение 8 книги VII), так что и половина его
измерится чётным числом, будучи нечётной; это же нелепо.
Значит, А будет только чётно-нечётным, что и требовалось
доказать.
Предложение 34
Если число не будет из получаемых удвоением от
двойки и не имеет нечётную половину, то оно будет и
чётно-чётным и чётно-нечётным,
Пусть число А не будет нз получаемых удвоением от
двойки и пусть оно не имеет нечётную половину; я
утверждаю, что А будет и чётно-чётным и чёт-
ио-нечётным (черт. 34).
Теперь, что А будет чётно-чётным,
очевидно, ибо оно не имеет нечётной половины Д
(определение 8 книги VII). Вог я утверждаю,
что оно будет и чётно-нечётным.
Действительно, если А разделим пополам и половину его Рт*
пополам, и будем делать это всё время, то
дойдём до некоторого нечётного числа, которое будет
измерять А по (числу единиц в> чётном числе. Действи-


КНИГА ДЕВЯТАЯ
97
тельно, если нет, то дойдём до двойки, и |будет А из
получаемых удвоением от двойки; этого же не
предполагается. Доказано же, что оно и чётно-чётное. Значит, Л
будет и чётно-чётным и ^чётио-нечётным, что и требовалось
доказать.
Предложение 35
Если будет сколько угодно последовательно
пропорциональных чисел и от второго и последнего будут
отняты (числау, равные первому, то будет, что как
остаток второго к
первому, так и остаток по- „ \, "!
следнего ко всем ему \—i
предшествующим (вме-
сте>. В /, К G I
Пусть будет сколько
угодно последовательно Черт, 35.
пропорциональных чисел Л,
ВС, D, EI, начиная от наименьшего Л, и пусть от ВС и
EI будут отняты равные Л каждое из ВН, /G; я
утверждаю, что будет как ИС к Л, так и EG к Л, ВС, D
<вместе> (черт. 35).
Действительно, отложим IK, равное ВС, и IL1 равное
D. И поскольку IK равно ВС, и в них /G равно ВН, то
значит, остаток GK равен остатку 'ИС. И поскольку будет,
что как EI к D, так и D к ВС, и ВС к А
{предложение 13 книги VII), D же равно IL, ВС же—IK, A
же—/G, то значит, будет, что как EI к IL, так и Ц к
IKalK к IG. «Выделяя» {предложения 11 и 1 3 книги VII),
как EL к Ц, так и LK к IK и KG к IG. Значит, и как
один из предыдущих к одному из последующих, так и все
<вместе) предыдущие ко всем <вместе> последующим
(предложение 12 книги VII); значит, будет, что как KG
к IG, так и EL, LK, KG к LI, IK, GI. Но KG равно СИ,
IG же A, a Ut IK, GI <равны> D, ВС, Л; значит, будет,
что как СИ к Л, так и EG к D, ВС, А. Значит, будет,
что как остаток второго к первому, так и остаток
последнего ко всем ему предшествующим, что и требова-
слось доказать.
7 Евклид


98 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 36
Если от единицы откладывается сколько угодно
последовательно ^пропорциональныху чисел в двойном
отношении, до тех пор, пока вся <,иху совокупность
сложенная не сделается первым <числомУ и вся совокупность,
умноженная на последнее ■(числоу, произведёт что-то,
то возникающее ^числоу будет совершенным.
н В С 3 . ■,'
, Е | ,
В N К ■ ' ■ ' л -;' ' '
I 1 i
L
[ i Z1--4
Черт. 36,
Пусть от единицы будут отложены сколько угодно
чисел в двойном отношении до тех пор, пока вся их
совокупность сложенная ие сделалась первым <числом, а именно),
А, В, С, D, и пусть Ег равно будет <этой> совокупности,
н £, умноженное на D, произведёт !Н. Я утверждаю, что
JH будет совершенным <числом> (черт. 36).
Действительно, каково будет количество А, В, С, £>,
столько же возьмём or £ в двойном отношении <чисел>
Е, GK, L, М. Значит, «по равенству» (предложение 14
книги VII) будет, что как А к D, так и Е к М. Значит,
<произведение> из Е, D равно будет <произведению) из
А, М (предложение 19 книги VII). И <произведение) из
Е, D есть Ш; и значит, ^произведение) из А, М будет Ш.
Значит, А, умножая М, произвело W; значит, М измеряет
Ш по <числу> единиц в А ИЛ есть двойка; значит, Ш
будет вдвое больше М. Также и М, L, GK, Е будут
последовательно вдвое больше друг друга; значит, £, Gf(, L, Мл IH
последовательно пропорциональны в двойном отношении.
Тогда отнимем от второго GK и от последнего JH <соответет-


КНИГА ДЕВЯТАЯ
99
веино> каждое из GN, IX, равных первому Е; значит, будет,
что как остаток второго числа к первому, так и остаток
последнего ко всем ему предшествующим (предложение 35).
Значит, будет, что как NK к Е, так и ХН к М, L, KG, E
(вместе). И NK равно Е; значит, н ХИ равно М, L, GK, Е
(вместе). Также и IX равно Е, Е же <равно> А, В, С, D
и единице. Значит, всё IH равно Е, GK, L, М н А, В,
C, D и единице; и оно измеряется имн. Я утверждаю, что
и Ш ие измерится никаким иным <числом>, кроме А, В, С,
D, E, GK, ^ М и единицы. В самом деле, если возможно,
пусть какое-то О измеряет IH и пусть О ие будет
тождественно ии с одним из А, В, С, D, E, GK, L, М. И сколько
раз О измеряет IHt пусть столько единиц будет в Р;
значит, Р, умножая О, произвело Ш. Но вместе с тем и Е,
умножая D, произвело IH', значит, будет {предложение 19
книги VII), что как Е к Pt <так и> О к D. И поскольку
от единицы будут последовательно пропорциональные <числа>
А, В, С, D, то значит, D не измерится никаким иным
числом, кроме А, В, С {предложение 13). И предполагается,
что G не тождественно ни с одним нз А, В, С; значит, О не
измерит D. Но как G к D, <так н> Е к Р; значит, н Е
не измеряет Р {определение 21 книги VII), И Е-—первое;
всякое же первое число [будет] первым по отношению ко
всякому, кого оно не измеряет {предложение 29 книги VII).
Зиачнт, Е, Р будут первыми между собой. Первые же и
наименьшие (предложение 21 книги VII), наименьшие же
равное число раз измеряют имеющие с ними то же
отношение (предложение 20 книги VII), предыдущее — предыдущее
н последующее — последующее; и как Е к Р, <так и>
О к D; значит, равное число раз Е измеряет О а Р <изме-
ряет> D. Но D не измеряется никаким иным, кроме А, В, С,
значит, Р будет тождественно одному из А, В, С. Пусть
оно тождественно В. И каково будет количество В, С, D,
(начиная) от Е> возьмём столько же <чнсел>—Е, GK, L.
И Е, GK, L с В, С, D будут в том же самом отношении;
значит, «по равенству» будет {предложение 14 книги VII),
что как В к D, (так н> Е к L. Значит, <произведение> из
Bt L равно <произведению> из D, Е {предложение 19
книги VII); но <произведение) из D, Е равно (произведению)
7*


100 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
из Р, О; и значит, -(произведение) из Р, О равно
-(произведению) из В, L. Значит, будет, что как Р к В, <так и)
L к О (предложение 19 книги VII). И Р тождественно с В;
значит, и L будет тождественно с О; это же невозможно;
ибо О предполагается ие тождественным ни одному из
отложенных <чнсел>. Значит, Ш не измерится никаким
числом, кроме Л, В, С, D, Я, GK, L, М и единицы.
И доказано, что Ш равно А, £, С, D, E, GK, L, М и
единице. Совершенным же числэм будет то, которое равно
своим частям (определение 23 к.шги VII); значит, Ш будет
совершенным, что и требовалось доказать (17, 18, 19).
-^
L,


КНИГА ДЕСЯТАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ (1)
1. Соизмеримыми (2) величинами называются измеряемые
одной и той же мерой, несоизмеримыми же — для которых
никакая общая мера не может быть образована.
2. Прямые являются соизмеримыми в степени, есл и
квадраты на них измеряются одной и той же площадью,
несоизмеримыми же, если для квадратов на них не может
бить образована никакая площадь как общая мера.
3. При этих предположениях доказывается, что для
заданной прямой существует бесконечное количество прямых
как соизмеримых, так и несоизмеримых, (причём)
некоторые (соизмеримы или несоизмеримы) только линейно,
другие же и в степени. Назовём теперь заданную прямую
рациональной, а соизмеримые с ней, как и линейно и в
степени, так и только в степени, будем называть
рациональными, несоизмеримые же с ней —
иррациональными (3).
4. И назовём квадрат па заданной прямой
рациональным, и <все площади), с ним соизмерлмые,
рациональными, несоизмеримые же с ним —
иррациональными, и <линии>, их квадрирующие *), — иррациональными,
<причём> если <эти площади) являются квадратами, то —
самые стороны, если же какими-нибудь иными
прямолинейными фигурами, то—<линии, на которых) строятся равные
им квадраты (4).
*) aiSuvajtevai wka — мы сказали бы просто — квадратные Корни
из этих^гоющалей.


102 ■* ■ * ^ НАЧАЛА ЕВКЛИДА ■ - -
Предложение 1
Для двух заданных неравных величин, если от
большей отнимается больше половины и от остатка больше
половины, и это делается постоянно, то останется
некоторая величина, которая будет меньше заданной
меньшей величины.
Пусть будут две неравные величины АВ, С, из которых
большая АВ; я утверждаю, что если от АВ отнимается
больше половины и от остатка больше половины, и это
делается постоянно, то останется некоторая величина,
которая будет меньше величины С (черт. 1).
Черт. 1.
Действительно, С, взятая Достаточное число раз>
кратной, станет когда-нибудь больше АВ (определение 4
книги V). Будем брать её кратной, и пусть DB будет кратной С
и большей АВ, и разделим DE на равные С <части> D/,
1Н, НЕ, и отнимем от АВ ббльшую половины <часть> BG,
от AG же — большую половины участь> GK, и будем делать
это постоянно, пока деления в АВ не сделаются равными
по количеству делениям в DE.
Пусть теперь деления АК, KG, GB будут равными по
количеству <делениям> DI, IH, НЕ; и поскольку DE
больше АВ, и от DE отнимается меньшая половины <часть>
ЕН, от АВ же большая половины <часть> BG, то значит,
остаток HD будет больше остатка GA. И поскольку HD
больше GA, и отнимаются от HD половина HI, от GA же
большая половины <часть> GK, то значит, остаток D! будет
больше остатка АК. Но DI равно С; и значит, С больше АК.
Значит, АК меньше С.
Итак, от величины АВ остаётся величина АК,
являющаяся меньшей заданной меньшей величины С, что и
требовалось доказать.
Подобным же образом докажется и если бы отнимаемые
были половинами (5,6,7,8), , ....-,


КНИГА ДЕСЯТАЯ
108
Предложение 2
Если для двух [г ада иных] неравных величин при
постоянном попеременном*) вычитании меньшей из большей
остающееся никогда не будет измерять своего
предшествующего, то величины будут несоизмеримыми.
Пусть для двух, являющихся неравными, величин АВ,
CD, <из которых> метшая АВ, при постоянном
попеременном вычитании меньшей из большей остаток никогда не
измерит своего предшествлкщего; я утверждаю, что
величины АВ, CD будут несоизмеримыми (черт. 2).
,7, .-_- „__+, _ ~р
Черт. 2.
Действительно, если они соизмеримы, то некоторая
величина их измерит. Пусть, если возможно, она измеряет
и будет Е; и пусть АВ, измеряя ID, оставит
меньшую себя <часть> Cf, CI же, измеряя ВН, оставит меньшую
себя <часть> АН, и пусть это происходит постоянно, пока
не останется некоторая величина, которая будет меньше Е.
Пусть это случится и плеть останется АН, меньшая Е.
Поскольку теперь Е измеряет АВ, но АВ измеряет D1. то
значит, и Е измерит ID. Она же измеряет и всю CD;
значит, она измерит и остаток Cf. Но С/ измеряет ВН;
значит, и Е измеряет ВН. Она же измеряет и всю АВ;
значит, измерит и остаток АН, большая — меньшую; это
же невозможно. Значит, никакая величина не измерит
величин АВ, CD; значит, величины АВ, CD будут
несоизмеримыми (определение 1).
Итак, если для двух неравных величин и т. д. (9).
**) В тексте (ЫКгртаоэцЬсэ — тот же самый термин, что и в
предложении 1 книги VII. Так как avri значит «против, напротив», то
операцию avb'jyitezc^ следует мыслить как попеременное
вычитание второй величины из первой, затем остатка первой из второй,
остатка второй из остатка первой, причем мыслятся двачряда
величин, в заглавии которых стоят обе заданные первоначально
величины, а под каждой из иих соответственно полученные
вычитанием их остатки.


104
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 3
Для двух данных соизмеримых величин найти их
наибольшую общую меру.
Пусть данные две соизмеримые величины будут АВ, CD,
из которых меньшая АВ; вот требуется для АВ, CD найти
наибольшую общую меру (черт. 3),
Величина АВ или измеряет CD, или нет. Если теперь
она измеряет, измеряет также и самоё себя, то значит, АВ
Черт. 3.
будет общей мерой АВ, CD; и ясно, что и
наибольшей. Ибо <величина>, большая величины АВ, не будет
измерять АВ.
Тогда пусть АВ не измеряет CD. И при постоянном
попеременном вычитании меньшего из большего, остаток когда-
нибудь измерит предшествующий ему, вследствие того,
что АВ, CD не являются несоизмеримыми (предложение 2);
и пусть АВ, измеряя ED, оставит меньшую себя ЕС; ЕС
же, измеряя /В, пусть оставит меньшую себя AI; А! же
пусть будет измерять СЕ.
Поскольку теперь AI измеряет СЕ, но СЕ измеряет 1В,
то значит, и AI измерит /В. Она же измеряет и самоё
себя; значит, AI измерит и всю АВ. Но АВ измеряет DE;
значит, и AI измерит ED. Она же измеряет и СЕ;
значит, измеряет и всю CD; значит, AI будет общей мерой
АВ, CD, Вот я утверждаю, что и наибольшей.
Действительно, если нет, то будет некоторая величина, большая AI,
которая измерит АВ, CD. Пусть это будет И, Поскольку
теперь И измеряет АВ, но АВ измеряет ED, то значит,
и Н измерит ED. Она же измеряет и всю CD; значит,
Н измерит и остаток СЕ, Но СЕ измеряет IB; значит,
и И измерит IB. Она же измеряет и всю АВ, н
измерит остаток AI, большая — меньшую; это же невозможно.
Значит, никакая величина, большая Af} не измерит


КНИГА ДЕСЯТАЯ 105
АВ, CD; значит, А/ будет для АВ, СО наибольшей
общей мерой.
Итак, для двух данных соизмеримых величин АВ, CD
найдена наибольшая общая мера, что и требовалось
доказать.
Следствие
Вот из этого ясно, что если величина измеряет две
величины, то она измерит и их наибольшую общую меру.
Предложение 4
Для трёх данных соизмеримых величин найти их
наибольшую общую меру.
Пусть данные три соизмеримые величины будуг А, В, С;
вот требуется для А, В, С найти наибольшую общую меру
(черт, 4).
Возьмём для двух <величин> Л, В наибольшую общую
меру, и пусть она будет D (предложение 3); тогда D или
измеряет С, или не [измеряет]. Пусть
сперва измеряет. Поскольку теперь D ^'" l
измеряет С, измеряет также и А, В, то g\«» н ,
значит, D измеряет А, В, С; значит, D ^ (
для А, В, С будет общей мерой. И S Е I
ясно, что и наибольшей, ибо <величи- *~~~* ""* ■""""
на>, большая величины D, не измеряет Черт. 4.
А, В.
Тогда пусть D не измеряет С. Я утверждаю
сперва, что С, D будут соизмеримыми. Действительно,
поскольку А, В, С соизмеримы, то их измерит некоторая
величина, которая, конечно, измерит н А. В, так что она
измерит и общую наибольшую меру А, В. <т. е.> D
(предложение 3, следствие). Она же измеряет и С, так что
упомянутая величина измерит С, D; значит, С, D будут
соизмеримыми. Возьмём теперь их наибольшую общую меру
(предложение 3), и пусть она будет Е. Поскольку теперь Е
измеряет D, но D измеряет А, В, то значит, Е измерит
и А, В, Оиа же измеряет и С. Значит, Е измеряет А, В, С,
значит, Е для А, В, С будет общей мерой. Вот я утвер-


106
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
ждаю, что и наибольшей. Действительно, если возможно,
пусть будет некоторая большая Е величина / и пусть она
измеряет А, В, С. И поскольку / измеряет А, В, С, то
значит, она измерит и А, В, измерит и наибольшую общую
меру А, В (предложение 3, следствие). Наибольшая же
общая мера А, В есть D; значит, / измеряет D. Она же
измеряет и С; значит, / измеряет С, D; значит, / измерит
и наибольшую общую меру С, D (там же). Она же есть Е;
значит, / измерит Е, большая—-меньшую; это же
невозможно. Значит, никакая [величина], большая величины Е,
не измеряет А, В, С; значит, Е будет наибольшей общей
мерой А, В, С, если D не измеряет С, если же измеряет,
то сама D.
Итак, для трёх данных соизмеримых величин найдена
наибольшая общая мера [что и требовалось доказать].
Следствие
Из этого вот ясно, что если величина измеряет три
величины, то она будет измерять и их наибольшую
общую меру.
Подобным же вот образом возьмётся наибольшая общая
мера и для большего количества <величии>, и результаты
продвинутся далее, что и требовалось доказать.
Предложение 5
" - Соизмеримые величины имеют между собой
отношение, ках число к числу {Щ.
, ■ ■ ' ■ /; # £
Черт. 5.
Пусть соизмеримые величины будут А, В; я утверждаю,
что А имеет к В отношение, как число к числу (черт. 5).


КНИГА ДЕСЯТАЯ 107
Действительно, поскольку А, В соизмеримы, то их
измерит некоторая величина. Пусть она измеряет и будет
С. И сколько раз С измеряет А, пусть столько единиц
будет в D, сколько же раз С измеряет В, пусть столько
единиц будет в Е.
Поскольку теперь С измеряет А по <количеству>
единиц в D, также и единица измеряет D по <количеству>
единиц в иём, то значит, равное число раз единица измеряет
число D, н величина С <измеряег> А; значит, будет, что
как С к А, так и единица к D (определение 21 книги VII);
значит, «обращая» (предложение 7 книги V, следствие), как
А к С, так и D к единице. Затем, поскольку С
измеряет В по <количеству> единиц в Е, так же и единица
измеряет Е по <количеству> единиц в нём, то значит,
равное число раз единица измеряет £Г, н С <измеряет>
В\ значит, будет (определение 21 книги VII), что как С
к В, так и единица к Е. Доказано же, что и как А
к С, <так ц> D к единице; «по равенству»
(предложение 22 книги V), значит, будет, что как А к В, так
и число D к Е.
Игак, соизмеримые величины А, В имеют между собой
отношение, как число D к числу Е, что и требовалось
доказать.
Предложение 6
Если две величины, имеют между собой отношение,
как число к числу, то эти величины будут
соизмеримыми.
Пусть две величины А, В имеют между собой
отношение, как число D к числу Е; я утверждаю, что величины
А, В будут соизмеримыми (черт. 6).
Действительно, сколько будет в D единиц, на столько
же равных <частей> разделим At и пусть С будет равна
одной из них; сколько же будет в Е единиц, из стольких
равных С величин составим /.
Поскольку теперь, сколько будет в D единиц, столько
же и в А будет величин, равных С, то значит, какой
частью D является единица, той же самой частью А
является С; значит, будет, что как С к А, так и единица


108
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
к D (определение 21 книги VII). Единица же измеряет
число D; значит, и С измеряет А. И поскольку будет, что
как С к А, так и единица к [числу] D, то значит,
«обращая» (предложение 7 книги V, следствие), как А к С, так
и число D к единице. Затем, если сколько будет в Е
единиц, столько будет ив/ равных С <величин>, то значит,
будет, что как С к /, так и единица к [числу] Е (опре-
Д ВС
h—, 1 (—| у—4 1 1 ь—I
' ХВ /, i
Черт. 6.
деление 21 книги VII). Доказано же, что и как Л к С,
так и D к единице; «по равенству» (предложение 22
книги V), значит, будет, что как Л к /, так и D к Е.
Но как £> к Е, так будет и А к 5; и значит, А как к 5,
так и к /. Значит, А к каждому из В, I имеет то же
самое отношение; значит, В равно / (предложение 9 книги V).
Также С измеряет /; значит, оно измеряет и В. Но вместе
с тем и А; значит, С измеряет А, В. Значит, А
соизмеримо с Б.
Итак, если две величине имеют между собой и т. д. (И).
Следствие
Из этого вот ясно, что если будут два числа, как
например, D, Е, и прямая, как например А, то возможно
сделать так, чтобы как число D к числу Е, так и прямая
к прямой. Если же для А, / взять среднюю
пропорциональную, как например. В, то будет, что как А к /, так и
<квадрат> на А к <квадрату> иа В, то-есть как первая
к третьей, так и подобная и подобно построенная на
первой <фигура> к <такой же> иа второй (предложение 20
книги VI, следствие 2). Но как А к I, так будет и число D
к числу Е; значит, получилось, что и как число D к
числу Е, так и <квадрат> иа прямой А к <квадрату> на
прямой В, что и требовалось доказать,


КНИГА ДЕСЯТАЯ
109
Предложение 7
Несоизмеримые величины не имеют между собой
отношения, как число к числу.
Пусть будут несоизмеримые величины А, В; я
утверждаю, что А к В не имеет отношения, как
число к числу (черт. 7). i ,—(
Действительно, если А имеет к В отношение, ^ 8 х
как число к числу, то А будет соизмерима с В
(предложение 6). Она же не <сонзмерима>; значит, Черт, 7.
А не имеет к В отношения, как число к числу.
Итак, несоизмеримые величины не имеют между собой
отношения н т. д.
Предложение 8
Вели две величины не имеют между собой
отношения, как число к числу, то эти величины будут
несоизмеримыми.
i ) Пусть две величины А, В не имеют между
В собой отношения, как число к числу; я
утверждаю, что величины А, В будут несоизмеримы-
Черт. 8. мн (черт. 8),
Действительно, если они будут
соизмеримыми, то А будет иметь к В отношение, как число к числу
(предложение 5). Она же не имеет. Значит, величины А, В
будут несоизмеримыми.
Итак, если две величины не имеют между собой и т. д.
Предложение 9
Квадраты на линейно соизмеримых прямых имеют
между собой отношение, как квадратное число к
квадратному числу; и квадраты, имеющие между собой
отношение, как квадратное число к квадратному числу,
будут иметь и стороны линейно соизмеримые.
Квадраты же на линейно несоизмеримых прямых не будут
иметь между собой отношения, как квадратное число
к квадратному числу; и квадраты, не имеющие между


НО НАЧАЛА ЕВКЛИДА
собой отношения, как квадратное число к квадратному
числу, не будут иметь и линейно соизмеримых
сторон (12),
Пусть А, В будут линейно соизмеримыми; я утверждаю,
что квадрат на А к квадрату на В имеет отношение, как
квадратное число к квадратному числу (черт. 9).
Действительно, поскольку А линейно соизмеримо с В,
то значит, А имеет к В отношение, как число к числу
(предложение 5). Пусть оио имеет <отношение>, как С К О.
Поскольку теперь будет, что как А к В, так и С к Л,
но отношение квадрата на А к квадрату на В будет двойным
отношением А к В; ибо подобные
! £ | " i фигуры находятся в двойном отиэше-
С нин соответственных сторон (предло-
д жение 20 книги VI, следствие); двой-
1 ' ' ным же отношением [числа] С
Черт. 9. к [числу] D будет отношение
квадрата на С к квадрату иа D; ибо
для двух квадратных чисел существует одно среднее про-
порциэиальное число, я квадратное <число> к квадратному
[числу] имеет двойное отношение стороны к стороне
(предложение 11 книги VIII); значит, будет, что как квадрат
иа А к квадрату иа В, так и квадратное [число] на С
к квадратному [числу] иа [числе] D.
Но вот пусть будет, что как квадрат на Л к <;квад-
рату> иа В, так и квадрат на С к [квадрату] на D; я
утверждаю, что А будет линейно соизмеримо с В.
Действительно, поскольку будет, что как квадрат на А
к [квадрату] на В, так и квадрат на С к*[квадрагу] на D,
ио отношение квадрата на А к [квадрату] на В будет
двойным отношением А к В, отношение же квадратного [числа]
иа [числе] С к квадратному [числу] на [числе] D будет
двойным отношением [числа] С к [числу] D, то значит-,
будет, что и как А к В) так и [число] С к [числу] D,
Значит, А имеет к В отношение, как число С к числу D; зна=-
чит, А будет линейно соизмеримо с В (предложение 6).
Но вот пусть А будет линейно несоизмеримо с В; я
утверждаю, что квадрат на А к [квадрату] на В не имеет
отношения, как квадратное число к квадратному числу.


КНИГА ДЕСЯТАЯ
111
Действительно, если квадрат на А к [квадрату] на В
имеет отношение, как квадратное число к квадратному числу,
то А будет соизмеримым с В. Но оно не будет; значит,
квадрат иа А к [квадрату] иа В не имеет отношения, как
квадратное число к квадратному числу.
Затем вот пусть квадрат иа А к [квадрату] на В не
имеет отношения, как квадратное число к квадратному
числу; я утверждаю, что А будет линейно несоизмеримо с В.
Действительно, если А соизмеримо с В, то квадрат иа А
к квадрату на В будет иметь отношение, как квадратное
число к квадратному числу. Ок же ие имеет; значит, А
не будет линейно соизмеримо с В.
Итак, квадраты иа линейно соизмеримых и т. д. (13).
Следствие
И из доказанного будет ясно, что линейно соизмеримые
всегда <соизмеримы> и в степени, <соизмеримые> же в
степени ие всегда <соизмеримы> и линейно, [поскольку
квадраты на линейно соизмеримых прямых имеют отношение,
как квадратное число к квадратнэму числу, имеющие же
отношение, как число к числу, являются соизмеримыми.
Так что линейно соизмеримые прямые соизмеримы не только
линейно, но и в степени.
Далее, поскольку какие квадраты имеют между собой
отношение, как квадратное число к квадратному числу, <те>,
как доказано, соизмеримы линейно и будут соизмеримыми
в степени по той причине, что квадраты имеют отношение, как
число к числу, то значит, какие квадраты ие имеют
отношения, как квадратное число к квадратному числу, но просто как
число к числу, то эти квадраты будут соизмеримы в
степени, но никак не линейно; так что линейно соизмеримые
будут всегда <соизмеримы> и в степени, < соизмеримые)
же в степени не всегда <соизмеримы> и линейно, если
только они не имеют отношения, как квадратное число
к квадратному числу.
Тогда я утверждаю, что [и] несоизмеримые линейно не
всегда будут <несоизмеримыми> и в степени, поскольку
соизмеримые в степени могут и ие иметь отношения, как


112
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
квадратное число к квадратному числу, и вследствие этого
соизмеримое в степени будут несоизмеримыми линейно. Так
что несоизмеримые линейно не всегда -(несоизмеримы) и
в степени, но являющиеся несоизмеримыми линейно могут
в степени быть и несоизмеримыми и соизмеримыми.
Несоизмеримые же в степени всегда несоизмеримы и
линейно; действительно, если они линейно соизмеримы, то
будут соизмеримы и в степени. Предполагаются же они
несоизмеримыми; это же нелепо. Значит, несоизмеримые
в степени всегда -(несоизмеримы) и линейно]*).
Лемма (14)
Доказано в арифметических <кингах>, что подобные
плоскостные числа имеют между собой отношение, как
квадратное число к квадратному числу (предложение 26 книги VIII),
и что, если два числа имеют между собой отношение, как
квадратное число к квадратному числу, то они будут
подобными плоскостными числами**). И из этого ясно, что
неподобные плоскостные числа, то-есть не имеющие
пропорциональных сторон, не имеют между собой отношения,
как квадратное число к квадратному числу. Действительно,
если они будут иметь, то будут подобными плоскостными;
это же ие предполагается. Значит, неподобные плоскостные
числа не имеют между собой отношения, как квадратное
число к квадратному числу.
Предложение 10
К предложенной прямой приискать две
несоизмеримые прямые, одну —только линейно, другую же — и
в степени.
*) Почти весь текст следствия за исключением лишь
начальных строк Гейберг считает неподлинным, основываясь и на
разнице в языке с несомненно евклидовыми произведениями, а также
и на том, что во второй половине следствия (со слов «тогда я
утверждаю?) доказывается больше того, что было предложено
в начале.
**) По существу эта теорема у Евклида нигде не доказана, но
она представляет положение, обратное предложению 26 книги VIII,


КНИГА ДЕСЯТАЯ ПЗ
Пусть предложенная прямая будет .4; вот требуется к А
приискать две несоизмеримые прямые, одну — только
линейно, другую же — и в степени {черт. 10).
Возьмём два числа В, С, не имеющих между собой
отношения, как квадратное число к квадратному числу,
'ю-еегь неподобные плоскостные (см. лемму), и сделаем,
чтобы как В к С, так и квадрат на А к квадрату D, ибо
мы выучились <этому> (предложение 6, следствие); значит,
<квадрат> на А соизмерим с <квад-
ратом> на D (предложение 6). ^————-
И поскольку В к С не имеет рх я
отношения, как квадратное число
к квадратному числу, то значит, ''
и <квадраг> па А к <квадрату> i'1 -™~™—~ 1
па D не имеет отношения, как ^
квадратное число к квадратному Чеот 10
числу; значит, А будет линейно
несоизмеримо с D (предложение 9).
Возьмём для Л, D среднюю пропорциональную Е: значит,
будет, что как А к D, так и квадрат на А к <квадрату>
па Е (определение 9 книги V). Но А линейно несоизмеримо
с D; значит, и квадрат па А несоизмерим с квадратом на £*);
значит, А будет несоизмеримо с Е в степени.
Итак, к предложенной прямой А приисканы две
несоизмеримые прямые D, Е, причём D —только линейно, Е же —
в степени и, конечно, линейно [что и требовалось доказать].
Предложение 11
Если четыре величины будут пропорциональны,
первая же соизмерима со второй, то а третья будет
соизмерима с четвёртой; и если первая несоизмерима со
второй, то и третья будет несоизмерима с
четвёртой (15).
*) По существу это вытекает из следующего предложения
{11-го), почему есть серьёзные основания полагать, что это
предложение вместе с вводящей его леммой не принадлежит к числу
подлинно евклидовских.
О Евклид


114 нлчалл ьвклидл
Пусть четыре величины А, В. С, D будут
пропорциональны; как .4 к В, так и С к D; пусть же А будет
соизмеримо!! с В; а утверждаю, что и С будет соизмеримой
с D (черт. 11).
ДейС[ВптельгЮ, поскольку А соизмерима с В, значит,
А имеет к В отношение, как число к числу
(предложение 5). И будет как А к В, так и С к D; и значит,
С имеет к D отношение, как число к числу; значит, С
б)дет соизмерима с D (предложение 6).
р .—.—.—i m —,
Черт. П.
Но вот пусть А будет несоизмерима с В; я
утверждаю, что и С будет несоизмеримой с С, Действительно,
поскольку А несоизмерима с В, то значит, А не имеет
к В отношения, как число к числу (предложение 7). И
будет как Л к В, так и С к D; значит, и С не имеет к D
отношения, как число к числу; значит, С будет
несоизмерима с D (предложение S).
Итак, если четыре величины и т. д.
Предложение 12
Соизмеримые с одной и той же величиной будут
соизмеримы и между собой.
/91 ■ ■' 6\ i 8\ I
I (£ h—tf
Черт. 12.
Пусть каждая из А, В будет соизмеримой с С. Я
утверждаю, что и Л будет соизмерима с В (черт. 12).


КНИГА ДЕСЯТАЯ lld
Действительно, поскольку А соизмерима с С, то
значит, Л имеет к С отношение, как число к числу
(предложение 5). Пусть она имеет <отношсние> как D к Е.
Затем, поскольку С соизмерима с В, \о значит, С имеет
к В отношение, как число к числу (предложение о). Пусть
она имеет <отношение>, как / к Н. И для всяких заданных
отношений, т. е. тех, какие имеют D к Е и / к Я, возьмём
последовательно числа в заданных отношениях, <а именно),
О, К, L (предложение 4 книги VIII); так, что будет как
D к Е, так и G к К, как же I к И, так и К к L.
Поскольку теперь будет, что как А к С, так и D к Е,
по как D к Е, так и G к К, то значит, будет, что и как
А к С. так и G к К (предложение 11 книги V). Затем,
поскольку будет как С к В, так и / к //, но как / к И,
[так и] К к L, то значит, как С к В, так и К a L.
Было же и как А к С, так и G к К; значит, «по
равенству» (предложение 22 книги V) будет, что как А к В, так
и G к £. Значит, А имеет к В отношение, как число G к
числу L; значит, А будет соизмерима с В (предложение 6).
Итак, соизмеримые с од.юй и той же величиной будут
соизмеримы и между собой, что и требовалось доказать.
Предложение 13
Если будут две соизмеримые величины, одна же из
них несоизмерима с некоторой величиной, то и
оставшаяся будет с ней несоизмерима.
Пусть будут две соизмеримые величи- Я •— <
ны Л, В, одна же из них А п\сть будет и\ , i
несоизмерима с некоторой другой С; я
утверждаю, что и оставшаяся В будет с С с' '
несоизмерима (черт. 13). „ ,3
Действительно, если В соизмерима с С,
но и Л соизмерима с В, то значит, А будет соизмерима
с С (предложение 12). Но она и несоизмерима; это же
невозможно. Значит, не будет В с С соизмерима; значит,
несоизмерима.
Итак, если будут две соизмеримые величины и т. д.
(15).
8*


НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Лемма
Для двух данных неравных прямых найти, чем больше
в квадратах*) будет большая <посравнению с>меньшей (16).
Пусть две данные неравные прямые будут АВ, С, из
которых большая пуаь будет АВ; вот требуется найти,
чем больше в квадратах буде г
АВ <по сравнению с> С
(черт. 14).
Опишем на АВ полукрут
ADB, и в iiero вставим (опре-
I, ,4 деление 7 книги IV) равную С
<прямую> AD (предложение
1 книги IV), и соединим DB.
Ясно вот, что угол ADB будет прямым (предложение 31
книги III) и что в квадратах АВ будет на DB больше AD,
то-есть С (предложение 47 книги 1).
Подобным же образом и для двух данных прямых
квадрирующая **) их находится таким образом.
Пусть данные две прямые будут AD> DB и пусть должно
найти их квадрирующую. Отложим <их> так, чтобы они
заключали прямой угол, который между AD, DB, и
соединим АВ; тогда ясно, что квадрирующая AD, DB
будет АВ (предложение 47 книги 1), что и требовалось
доказать.
Предложение 14
Если будут четыре пропорциональные прямые, в
квадратах же первая будет больше второй на (квадрату
на [линейно] с ней соизмеримой, то и третья будет в
квадратах больше четвёртой на квадрат на [линейно] с ней
соизмеримой. И если в квадратах первая будет больше
второй на (квадрату на [линейно] с ней несоизмеримой,
то и третья будет в квадратах больше четвёртой на
(квадрату на [линейно] с ней несоизмеримой.
*) В подлиннике tlvl ^еЕС&у Sova-at — чем больше квадрирует,
•г. е. для а'уъ находится разность Уа2 — № .
**) В тексте S^yajxivij —- дающая квадрат, равный сумме
квадратов на заданных прямых, т. е. Ya% -f- *а~-


КНИГА ДЕСЯТАЯ
117
/
Пусть будут четыре пропорциональные прямые А, В,
С, D, как А к В, так и С к D, и пусть в квадратах А
будет больше В на <квадрат> на Е, С же в квадратах
будет больше D на <квадрат> на /; я утверждаю, что
если А будет соизмерима с Е, то и С будет соизмерима
с /, если же несоизмерима будет А с Е, то несоизмерима
будет и С с / (черт. 15).
Действительно, поскольку как Л к Б, так ii С к D,
го значит, будет, что и как <квадрат> на А к <квадрату>
на В, так и <квацрат> на С к <квад-
рагу> на D (предложение 22 книги VI).
Но <квадрату> па А равны <квадраты>
па Е, В, <квадрату> же па С равны
<квадраты> на D, I. Значит, будет, чго
как <квадраты> на Е, В к <квадрату>
па В, так и <квадраты> на D, I к
<квадрату) па D; значит, «выделяя» (предло- д # ~£ ~jj
жение 17 книги V), будет как <квад- q .-
рат> на Е к <квадрату> на В, так и
<квадрат> на / к <квадрату> на D;
значит, будет (предложение 22 книги VI), что и как Е
к В, так и / к D; значит, «обращая» (предложение 7
книги V, следствие), будет, как В к Е, так и D к /.
Но также и как А к В, так и С к D; значит, <ш*)
равенству» (предложение 22 книги V) будет как А к Е,
так и С к /. Если теперь 4 соизмерима с Е, -го и С
будет соизмерима с /; если же А несоизмерима с Е, то
[I С несоизмерима будет с / (предложение 11).
Итак, если и т. д.
Предложение 15
Есл-i две соизмеримые величины составляются
(вместе'}, w> и целое будет с каждой из них соизмеримо;
и*если, целое соизмеримо с одной из них, то и
первоначальные величины, будут соизмеримы (17).
Составим две соизмеримые величины АВ, ВС; я
утверждаю, что и целое АС будет с каждой из АВ, ВС
соизмеримо (черт. 16).


118 НАЧАЛА ЬВКЛИДЛ
Действительно, поскольку АВ, ВС соизмеримы, то их
измерит некоторая величина. Пусть она <их> измеряет и
будет D. Поскольку теперь D измеряет АВ, ВС, то она
измерит и всю AC. Она же измеряет и АВ, ВС. Зна-
г чит, D измеряет АВ, ВС, АС;
i -и 1 значит, АС будет соизмерима
с каждой из АВ, ВС
(определение 1).
Но вот пусть АС будет
соизмерима с АВ; я утверждаю вот,
что и АВ, ВС будут соизмеримы.
Действительно, поскольку АС, АВ соизмеримы, то их
измерит некоторая величина. Пусть она <их> измеряет
и будет D. Поскольку теперь D измеряет СА, АВ, то
она измерит и остаток ВС. Она же измеряет и АВ; значит,
D измерит АВ, ВС; значит. АВл ВС соизмеримы.
Итак, если две соизмеримые величины и т. д.
Предложение 16
Если две несоизмеримые величины составляются
•(вместе'}, то и целое будет с каждой из нпх несоизмеримо;
и если целое несоизмеримо с одной из них, то
и первоначальные величины будут
несоизмеримы.
Составим дне несоизмеримые гселичнны АВ,
ВС; я утверждаю, что и цейое АС будет с
каждой из АВ, ВС несоизмеримо (черт. 17).
Действительно, если не будут несоизмеримы
СА, АВ, то [их] измерит некоторая величина.
Пусть она измеряет, если возможно, и будет D. С
Поскольку теперь D измеряет СА, АВ, то зна- Черт. 17.
чит, она измерит и остаток ВС. Она же
измеряет и АВ; значит, D измеряет АВ, ВС. Значит, АВ,
ВС соизмеримы; они же предположены и
несоизмеримыми; это же невозможно. Значит, никакая велнчюа не
измерит СА, АВ; значит, СА, АВ несоизмеримы. Подобным
же вот образом докажем, что и АС, СВ будут
несоизмеримы. Значит, АС будет несоизмерима с каждой из АВ, ВС.


КНИГА ДЕСЯТАЯ 1 19
Но вот пусть АС будет несоизмерима с одной из АВ,
ВС. Пусть вот сперва с АВ; н утверждаю, что и АВ, ВС
несоизмеримы. Действительно, если они будут соизмеримы,
Tj их измерит некоторая величина. Пусть она измеряет
и будет D. Поскольку теперь D измеряет АВ, ВС, то
значит, она измерит и всю АС. Она же измеряет и АВ;
значит, D измеряет СА, АВ. Значит, СА, АВ
соизмеримы; они же предположены и несоизмеримыми; это же
невозможно. Значит, никакая величина не измерит АВ, ВС;
значит, АВ, ВС несоизмеримы.
Итак, если две несоизмеримые величчпы и т. д.
Л о м м а
Если к некоторой прямой прилагается *)
параллелограмм**) с недостатком в виде квадоата, то приложенный
■(параллелограмм) равен <прямоугольни-
ку> на отрезках прямой, возникших из В
приложения.
Пусть к прямой АВ будет приложен __^_
параллелограмм AD с недостатком в /? С 8
виде квадрата DB; я утверждаю, что „ „
AD равен «(прямоугольнику > на АС,
СВ (черт. 18).
И это само по себе ясно; ибо поскольку DB квадрат,
то DC равно будет СВ. и AD есть <прямоугольник>
между AC, CD, то-есть -(прямоугольник) между АС, СВ.
Итак, если к некоторой прямой и т. д.
Предложение 17
Если будут две неравные прямые, /с большей же
приложен с недостатком в виде квадрата {параллелограмму,
равный четвёртой части {квадрат«> на меньшей, и если
*) глэз?>,тОт„ zioifcl-h — знаменитое «приложение» площадей
(«Начала-, 1, 44; II, 5, 6; VI, 27, 28, 29).
**) Здесь (впервые у Евклида) «параллелограмм»
употребляется в смысле прямоугольника; у Архимеда подобное
понимание термина «параллелограмм» является обычным.


120 НАЧАЛА Г.ВКЛИДА
<ow) разделяет её на соизмеримые линейно (частиу, то
в квадратах большая будет больше меньшей на
-^квадрату на соизмеримой с собой [линейно] (прямойу. И если
в квадратах большая будет больше меньшей на
^квадрату на соизмеримой с собой [линейно] (прямойу, к
большей же приложен с недостатком в виде квадрата
(параллелограмму, равный четверти (квадратау на меньшей,
то он разделяет её на соизмеримые линейно (отрезкиу.
Пусть будут две неравные прямые Д ВС, из которых
большая ВС; к ВС же пусть будет приложен с недостат-
ком в виде квадрата <нараллело-
1— 1 1 грамм>, равный четвертой част г!
■(квадрата) на меньшей Д тэ-есть
| | -(квадрату) на половине Д н пусть
I—I— 1 j-— это бутет -(прямоугольник) между
31 Е U L BD, DC; пусть же BD будет ли-
Черт. 19. нейнэ соизмерима с DC; я утверждаю,
Что в квадратах ВС будет больше А
на <квадрат> на соизмеримой с собой <прямой> (черт. 19).
Действительно, разделим ВС пополам в точке £ и
отложим El, равную DE. Значит, остаток DC будет равен BL
И поскольку прямая ВС рассечена на равные в Е, на
неравные же в D <части>, то значит, (предложение 5
книги П) заключающийся между BD, DC прямоугольник
вместе с квадратом на ED будет равен квадрату на ЕС;
<равны также будут) и учетверённые; значит, четырежды
■(прямоугольник) между BD, DC вместе с учетверённым
■(квадратом) на DE равен четырежды квадрату на ЕС. Но
учетверённому <прямоугольнику) между BD> DC равен
квадрат на Д учетверённому же <квадрату) на DE ранен
квадрат на D/, ибо DI есть удвоенная DE, Учетверённому
же <квадрату> на ЕС равен квадрат на ВС; ибо опять ВС
будет удвоенной СЕ. Значит, квадраты на A. DI <вместе)
равны квадрату иа ВС; так что <квадрат> на ВС будет
■(квадратом) на DI больше <квадрат а) па .4; значит, и
квадратах ВС больше А на DI. Должно показать, что ВС
будет и соизмерима с DI, Действительно, поскольку BD
соизмерима с DC линейно, то значит, и ВС будет
соизмерима с CD линейно (предложение 15). Но CD соизмерима


КНИГЛ ДЕСЯТАЯ >*l
линейю с CD, BI. ибо CD равна BI, И значит, ВС
соизмерима с BI, CD линейна (предложение 12); так чго ВС
будет соизмерима линейно и с остатком ID; значю, п
квадратах ВС больше Л на <квадраг> на соизмеримой с собой
•(прямой).
Н) пот пусть ВС в квадратах будет больше Л на
<квадрат> на соизмеримой с собой <ирямой>, пусть же к
ВС будет приложен с недостатком в виде квадрата <па-
раллслограмм)-, равный четверти <квадрата> па Л, и nycri,
уто будет <прямоуголы[ИК> между BD, DC. Должно
доказать, что BD сош-мерима с DC линейно.
Действительно, приготовив го же самое, подобным же
образом докажем, что в квадратах ВС больше Л на <квад-
рат> на ID. В квадратах же ВС больше Л на <квадрат>
на соизмеримой с собой <прямой>. Значит, ВС будет
линейно соизмерима с ID; так чго ВС будет линейно
соизмерима и с остатком-—вместе взятыми BI, DC
(предложение 15). Но вместе взятие BI, DC соизмеримы с DC
[линейно]. Так что и ВС будет соизмерима с CD линейно
(предложение 12); значит, и «выделяя>■, BD будет
соизмерима с DC линейно.
Итак, если будут две неравные прямые и т. д. (18).
Предложение 18
Если будут две неравные прямые, к большей же
приложен с недостатком в виде квадрата {параллелограмм у,
равный четвёртой части {квадратау на меньшей, и
если он разделяет ее на несоизмеримые [линейно] {частиу,
то в квадратах большая будет больше меньшей на
{квадрату на несоизмеримой с собой {прямой'у. И если
в квадратах большая будет больше меньшей на {квадрату
на несоизмеримой с собой {прямойу, к большей же
приложен с недостатком в виде квадрата {параллелограмму,
равный четверти {квадращау на меньшей, то он
разделяет её на несоизмеримые [линейно] {отрезкиУ.
Пусть будут две неравные прямые Л, ВС, из которых
большая ВС; к ВС же пусть будет приложен с
недостатком в" виде квадрата <параллелограмм>, равный четвёртой


1-" НАЧАЛА ЕВКЛИДА
[части] <кват,рата> на меньшей А, и пусть это будет
<прямоугольник) между BD, DC', пусть же BD будет
линейно несоизмерима с DC; я утверждаю, чго в квадратах
ВС будет больше А на <квадрат> на несоизмеримой с собой
<прямой> (черт. 20).
Действительно, приготовит* то же самое, что и выше,
подобным же образом докажем, что в квадратах ВС больше
А на <квадрат> на ID. Дэлжно показать [теперь], что ВС
будет линейно несоизмерима с D1. Действи-
"^ Т тельно, поскольку BD несоизмерима с DC ли-
р нейт, то значит, и ВС будет несоизмерима с CD
1 линейно (предложение 16). Но DC соизмерима
с вместе взятыми BJ, DC (предложение 6); и
-; значит, ВС несоизмерима с вместе взятыми В1.
. .$ DC (предложение 13). Так чго ВС будет
несоизмерима линейно и с остатком ID (предложе-
■-С ние 16). И в квадратах ВС больше А па <квад-
Чеот 20 Р31'* на ^' значит' R кваДратах ВС больше А
'на <квадрат> на несоизмеримой с собой <пря-
мой>.
Затем пусть ВС в квадратах будет больше А на <квад-
рат> на несоизмеримой с собой <прямой>; пусть же к ВС
будет приложен с недостатком в виде квадрата
«(параллелограмм), равный четверти <квадрата> на Л, и пусть это
будет <прямоуголышк> между BD, DC. Должно показать,
что BD несоизмерима с DC линейно.
Действительно, приготовив то же самое, подобным же
образом докажем, что R квадратах ВС больше А на <квад-
рат> на ID. Но в квадратах ВС больше А на <квадрат>
на несоизмеримой с собой <прямой>. Значит, ВС будет
линейно несоизмерима с ID; так что ВС будет
несоизмерима и с остатком — вместе взятыми BJ, DC
{предложение 16). Но вместе взятые В/, DC соизмеримы с DC
линейно (предложение 6); значит, н ВС будет несоизмерима
с DC линейно (предложение 13); так что, и
«выделяя», BD будет несоизмерима с DC линейно
(предложение 16).
Итак, если будут две неравные прямые и т. д. (19,
20; 21, 22).


КНИ1Л ДЕСЯТАЯ
Лемма (23)
Поскольку доказано (предложение 9, следствие), что
соизмеримые линейно всегда [будут соизмеримы] и в
степени, <соизмсричые> же в степени ие всегда будут
соизмеримыми и линейно, по могут быть линейло и
соизмеримыми и несоизмеримыми, то ясно, что если с отложенной
рациональной <прямой> какая-нибудь прямая будет
соизмерима линейно, то она называется рациональной и
соизмеримой с ней не только линейно, но и в степени, поскольку
соизмеримые линейло будут всегда <сонзмеримы> и в
степени. Если же с отложенной рациональной какая-нибудь
<прямая> будет соизмерима в степени, то, если она
Соизмерима) и линейно, она и в таком случае называется рациональной
и соизмеримой с ней линейно и в степени. Если же какая-
нибудь <прпмая>, будучи опять соизмеримой в степени с
отложенной рациональной, будет с ней несоизмерима
линейно, то она и в таком случае иазывается рациональной
соизмеримой только в степени.
Предложение 19
Прямоугольник, заключённый между рациональными
линейно соизмеримыми в каком-нибудь из вышеуказанных
смыслов прямыми, будет рациональным-
Пусть прямоугольник АС заключается | ' р
между рациональными линейно соизмеримыми —. с
прямыми АВ, ВС; я утверждаю, что АС
будет рациональным (черт. 21).
Действительно, построим на АВ квадрат д —=—\
AD; значит, АО будет рациональным
(определение 4). И поскольку АВ соизмерима'с ВС Черг' 2{-
линейно, АВ же равна BD, то значит, BD
будет соизмерима с ВС линейно. И будет, что как BD
к ВС, так и DA к АС (предложение 1 книги VI).
Значит, DA будет соизмерим с АС. Но DA рационален;
значит, будет рациональным и АС.
Итак, прямоугольник, заключённый между
рациональными линейно соизмеримыми и т. д.


i-*4 Ц\ЧАЛЛ ЕВКЛИДА
Предложение 20
Если рациональная •(площадь'} прикладывается к
рациональной (прямой}, то производит ширину,
рациональную и линейно соизмеримую с той, к которой
прикладывается.
Пусть рациональная < площадь > АС будет приложена
к рациональной опять в одном из вышеуказанных смыслов
„ прямой АВ, образуя ширину ВС; я утверждаю,
что ВС будет рациональна и с ВА линейно
соизмерима (черт. 22).
8 Я Действительно, построим на АВ квадрат AD;
значит, AD будет рациональным (определение 4).
Также и АС рационален; значит, DA будет
соизмерим с АС. И будет, что как DA к АС, так
и DB к ВС (предложение 1 книги VI). Значит, и
G DB будет соизмерима с ВС (предложение 11); DB
Черт. 22. же равна ВА; значит, и АВ будет соизмерима
с ВС. Но АВ рациональна; значит, и ВС будет
рациональной и соизмеримой с АВ линейно.
Итак, если рациональная <площадь> прикладывается к
рациональной <прямой> и т. д.
Предложение 21
Прямоугольник, заключённый' между рациональными
соизмеримыми только в степени прямыми, будет
иррациональным и его квадрирующая будет up-
рациональной; пусть же она называется
медиа лью*).
Пусть прямоугольник АС заключён между g ~ д
рациональными соизмеримыми только в
степени прямыми АВ, ВС; я утверждаю, что
АС иррационален и квадрирующая его
иррациональна; пусть же она называется медиалыо
(черт. 23).
Черт. 23.
*) В полликнике jiiaii — средняя. Латинский термин,
употреблённый Герхардом Кремойским — первым переводчиком Евклида,
будет medlalls.


КНИГА ДЕСЯТАЯ 1^0
Действительно, построим на АВ квадрат AD; зьачит,
AD будет рациональным (определение 4). И поскольку АВ
несоизмерима с ВС линейно, ибо они предполагаются
соизмеримыми только в степени, АВ же равна BD, то значит,
и DB будет несоизмерима с ВС линейно. И будет,
что как DB к ВС, так и AD к АС (предложение 1
книги VI); значит, DA несоизмерим с АС (предложение 11).
Но DA рационален; значит, АС будет иррационален
(определение 4), так что и квадрирующая АС [то-есть квадри-
рующая равный ему квадрат] будет иррациональна; пусть
же она называется медиалыо; это и требовалось
доказать (24).
Леи м а
Если будут две прямые, то как первая ко второй, так
и <квалраг> на первой к <прямоугольнику> между обеими
прямыми.
Пусть будут две прямые IE, EH. Я утверждаю, что
как IE к ЕМ, так и <к'аадрат> на IE к (прямоугольнику),
между IE, ЕЯ (черь 24). f
Действительно, построим на IE i 1 ■
квадрат Dl и дополним НО.
Поскольку теперь будет, что как IE
к ЕЯ, так и ID к ОН, и ID есть у
<квадрат> на IE, DH же <црямо- ^ерт 24.
угольник) между DE, ЕЯ, то-есть
между IE, EH, то значит, будет,
что как IE к ЕЙ, так и <квадраг> на IE к
(прямоугольнику) между IE, EH, Подобным же вот образом
и как (прямоугольник) между НЕ, EI к <квадрату> на EI,
то-ссть как НО к ID, так и НЕ к EI, что и требовалось
доказать.
Предложение 22
Квадрат на медиа ли. приложенный к рациональной
<.прямойу, производит ширину, рациональную и
несоизмеримую линейно с той, /с которой он прилагается.
Пусть медиа ль будет А. рациональная же <прямая> СВ,
и пусть равная <квадрату> на А прямоугольная площадь BD


120 ц\ЧЛЛА )■ 1КЛИДЛ
будет приложена к ВС, производя ширину CD; я
утверждаю, что C.D буде г рациональной и несоизмеримой линейно
с СВ (черт. 25).
Действительно, поскольку А—медиа.чь, го она квадри-
рует площадь, заключённую между рациональными,
соизмеримыми только в степени <прямыми> (предложение 21).
Пусть она будет квадрировать HI. Также она квадрирует
и BD; значит, BD равен HI. Он же и равноуголен с ним;
у равных же и равноугольных параллелограммов стороны
при равных углах обратно пропэрцио-
■ 1 нальны (предложение 14 книги VI);
■ 1 значит, будет пропорция —- как ВС
к ЕН, так и £7 к CD. Значит,
будет и как <квадрат) иа ВС к
д <квадрату> на ЕН, так и <квадрат>
t'> jj f J на El к <квадрату> на CD
(предложение 20 книги VI). <Квадрат> же
Черт. 25. ua £Q соизмерим с <квадратом> на
ЕН, ибо каждая нз этих <прямых>
рациональна; значит, н <квадраг> иа EI будет соизмерим
с <квадратом> на CD (предложение 11). < Квадрат) же
на EI рационален; значит, рационален и <квадрат> па CD
(определение 4); значит, будет рациональна и CD. И
поскольку EI несоизмерима с ЕН линейно (ибо они
соизмеримы только в степени), как же EI к ЕН, так и
.(квадрат) на EI к <примоугольнику> между IE, ЕН (см. лемму),
то значит, <квадрат> на El будет несоизмерим с <прямо-
угольником> между IE, EH (предложение 11). Но с
<квадратом) на EI соизмерим <квадрат) на CD, ибо они
рациональны в степени; <с прямоугольником) же между
IE, EH соизмерим < прямоугольник) между DC, С В,
ибо они равны <квадрату) на А; значит, и <квадрат) па
CD будет несоизмерим с <прямоугольником> между
DC, СВ (предложение 13). Как же <квадрат) иа CD к
-(прямоугольнику> между DC, СВ, так будет и DC к
С В (см. лемму); значит, DC будет линейно
несоизмерима с СВ (предложение 11). Значит, CD будет
рациональна и несоизмерима линейно с СВ, что и требовалось
доказать.


КНИГА ДКСйТАЯ
127
Предложение 23
Соизмеримая, с медиалью есть медиаль.
Пусть будет медиаль А и пусть с А будет
соизмерима 'В; я утверждаю, чго и В будет медиалью (черт. 26).
Действительно, отложим рациональную <прямую> CD
и приложим к CD равную <квадрату> на А
прямоугольную площадь СЕ, производящую ширину ED; значит, ED
будет рациональной и несоизмеримой с CD линейно
(предложение 22). К CD также приложим равную <квадрату>
на В прямоугольную площадь 67, производящую ширину DI.
Поскольку теперь А соизмерима с В, то
и <квадрат> на А будет соизмерим с <квад- # , , 8 ±,
ратом> на В. Но квадрату на А равен ЕС. /;
<квадрачу> же па В равен 67; значит, ЕС I ~|
соизмерим с CI. И будет, что как ЕС к CJ,
так и ED к £>/ (предложение 1 кшип VI);
значит, ED соизмерима с D1 линейно
(предложение 11). Но ED рациональна и £ ;; /
несоизмерима с DC линейно; значит, и D1
будет рациональна (определение 3) и
несоизмерима с DC линейно
(предложение 13); значит, CD, DJ будут рациональные,
соизмеримые только в степени. Квадрпрующая же <ирямоуголышк>
между рациональными, соизмеримыми только в степени, есть
медиаль (предложение 21). Значит, квадрпрующая
-(прямоугольник) на CD, DI будет медиалью; и <прямо\<гольник>
между CD, DI квадрируется В; значит, В есть медиаль.
С л е д с г в и е
Из этого тогда ясно, чго <площадь>, соизмеримая с
медиальной площадью, есть медиальная [ибо их квадрнруют
прямые, которые будут соизмеримыми в степеш и одна из
которых медиаль; так что и остающаяся будет медиалью] *).
*) В тексте [3ivav-ai -^ар Gum EUEbm, i'l e!oi &jyi;asi coaiiSTpoi,
(ov -i\ ё-ioa iiE07)p wot; xai ^ \о\.щ агтг) rbtiv]. Слова эти, как не
совсем ясные, Гейберг оставил без перевода, считая их
неподлинными.


128 начала ьвклидл
[Лемма] (25)
Совершенно так же, как из сказанного относительно
рациональных (предложение 18, следствие), следует и
относительно медиалей, <а именно, чго прямая), лшейно
соизмеримая с медпалыо, называется медиалью и соизмеримой
с ней не только линейно, но и в степени, поскольку вообще
соизмеримые линейно всегда <соизмеримы> и в степени.
Когда же какая-нибудь <прямая> будет соизмерима с
медиалью в степени, то, если она и линейно <с ней
соизмерима), то в таком случае <обе прямые) называются
медиалями и соизмеримыми линейно и в степени, если же только
в степени, то назывлюгся медиалями, соизмеримыми только
в степени.
Предложение 24
Прямоугольник, заключённый между медиальными
линейно соизмеримыми в каком-нибудь из указанных емыс-
• лов прямыми, будет медиальным.
Пусть прямоугольник АС заключается между
медиальными линейно соизмеримыми прямыми
АВ, ВС; я утверждаю, что АС будет медиаль-
Я 3 пым (черт. 27).
Действительно, построим на АВ квадрат AD;
значит, AD будет медиальным. И поскольку АВ
У соизмерима с ВС линейно, АВ же раина BD,
Черт. 27. то значит, и DB соизмерима с ВС линейно;
гак что a DA будет соизмерим с АС
(предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X). Но DA медиа-
лен; значит, и АС медпалеп (предложение 23, следствие);
чго и требовалось доказать.
Предложение 25
Прямоугольник, заключённый между медиальными
сои? нвримыма только в степени прямыми, будет или
рациональным или медиальным.
Пусть прямоугольник АС заключается между
медиальными, соизмеримыми только в степени прямыми АВ, ВС;


КНИГА ДЕСЯТАЯ 129
я утверждаю, чш АС будет или рациональным или
медиальным (мер г. 28).
Действительно, построим на АВ, ВС квадраты AD, BE;
значит, каждый из AD, BE будет медиальным. И отложим
рациональную <прямую> IH и приложим к 1Н равный AD
прямоугольный параллелограмм НО, производящий ширину IG;
к GM же приложим равный АС прямоугольный
параллелограмм -.ИЛ", производящий ширину ОД*; и ещё подобным же
образом к Д*ЛГ приложим равный BE ^параллелограмм) NL,
производящий ширину ДХ; значит, IG, GK. Д*/. будут но
Черт. 28.
прямой. Поскольку теперь каждый из AD, BE будет
медиальным, и AD равен HGy BE же <равеа> Л/Л, то значит,
и каждый из HG, NL медналец. И прилежат они к
рациональной /Н; значит, каждая из IG, ДХ будет рациональной
и несоизмеримой с IH линейно (предложение 22). И
поскольку AD соизмерим с BE, то значит, и НО соизмерим
с АЛ. И будет, что как НО к NL. так и IG к KL
(предложение 1 книги VI); значит, JG будет соизмерима
с ДХ линей ю (предложение 11). Значит, IG, KL будут
рациональными линей,ю соизмеримыми; знание,
•(прямоугольник) между /О, ДХ рационален (предложение 19). И
поскольку DB раина ВА, ХВ же <равна> ВС, то значит,
будет, что как DB к ВС, так и АВ к ВХ, Никак DB к
ВС, так ц DA к АС (предложение 1 книги VI); как же
АВ к ВХ, так и АС к СХ\ значит, будет, что как DA к АС,
гак и АС к СХ. Но AD pane ( HG, АС же МК, СХ же NL\
.значит, будет, чш как HG к МК, так и МКк ЛХ; значит,
будет, что и как IG к ОД", так и ОД" к ДХ (предложение 1
9 Евклид


130 НАЧАЛА Г.ВКЛИДА
книги VI); значит, <прямоугольник> между/G, ДХ равен <квад-
рату> на Gf( (предложение 17 книги VI). <Прямоуголышк>
же между JG, f(L рационален; значит, будет рациональным
и квадрат па ОД*; значит, GA' рациональна. И если она
соизмерима с Ш линейно, то G,V будет рациональным
(предложение 19); если же она несоизмерима с IH линейно,
то A"G, GM будут рациональными соизмеримыми только
в степени; значит, GN будет медиальным (предложение 21).
Итак, GN будет или рациональным или медиальным. Но GM
равен АС; значит, АС будет пли рациональным или
медиальным.
И гак. прямоугольник, заключённый между медиальными
соизмеримыми только а степени и т. д.
Предложение 26
Медиальная медиальную (площадь} не превышает на
рациональную (черт. 29).
Действительно, если возможно, п_\<сть медиальная <пло
щат.ь> АВ превышает медиальную АС па рациональную DB;
„ и отложим рациональную <прямую> El и к El
приложим равный АВ прямоугольный
параллелограмм /G, производящий ширину EG, и
отнимем IH, равный АС; значит, остаток' BD
будет равен остатку KG. Но DB рационален;
значит, будет рациональным и f(G.
Поскольку теперь каждый из АВ, АС метиален, и
АВ равен IG, АС же <равсн> IH, то
значит, и каждый из /G, J И будет медиальным.
И прилежат они к рациональной Е}\ значит,
каждая из GE, ЕЙ будет рациональной
Чей г 29 несоизмеримой с El линейно
(предложение 22). И поскольку рационален \DB и
равен At?, то значит, будет рационален и } At?*). И
прилежит к рациональной El; значит, и HG будет рациональной
*) Слова, поставленные в фигурных скобках, Гейберг считает
шлишшши и, возможно, позднейшей вставкой, хотя и не выделяет
ах особо и тексте.


КНИГА ДЕСЯТАЯ
131
и соизмеримой с El линейно (предложение 20). Но и ЕН
рациональна и несоизмерима с El линейно; значит, ЕН будет
несоизмерима с HG линейно (предложение 13). И будет,
что как ЕН к НО. так и <квадрат> на ЕН к <прямоуголь-
пиКу> между ЕН, НО (иредложение 21, лемма); значит,
несоизмерим будет <квадраг> на ЕН с <прямоугольнико_м>
между ЕН, НО (предложение И). Но с <квадратом) на ЕН
соизмеримы квадраты на ЕН, HG, ибо оба рациональны;
с <прнмоугольником> же между ЕН. HG соизмерим дважды
<взятый прямоугольник между) ЕН, HG (предложение 6),
ибо он вдвое его больше; значит, <квадраты> на ЕН, HG
будут несоизмеримыми с дважды .(взятым прямоугольником)
между ЕН. HG (предложение 13); значит, и вместе
взятые <квадраты> на ЕН, HG и дважды <прямоугольник>
между ЕНЛ HG — это же есть <квадрат> на EG
(предложение 4 книги II) — будут несоизмеримы с <квадратами>
иа ЕН, НО (предложение 16). <Квадраты> же иа ЕН, HG
рациональны; значит, <квадрат> на EG иррационален
(определение 4). Значит, EG будет иррациональна. Но она и
рациональна; это же невозможно.
Итак, медиальная медиальную <площадь> не превышает
на рациональную, что и требовалось доказать.
Предложение 27
Найти соизмеримые толь/со в степени медиа ли,
заключающие рациональную (площадь), (26).
Отложим две рациональные, соизмеримые только и
степени <прямые> Л, В, и возьмем для Л, В
среднюю пропорциональную С (предложение
13 книги VI), п сделаем, чтобы как А к В,
так и С к D (предложение 12 книги VI) Т т
(черт. 30). I J 1 1
И поскольку А, В рациональные соизыс- л В С J}
римые только в степени <прямые>, то значит,
<прямоугольник) между А, В, то-есть <квад- рт' ■
рат> иа С, будет медиальным (предложение 21).
Значит. С есть медиаль (предложение 21). И поскольку
будет, чго как .4 к В, [так и] С к D, <црямые> же А, В
9*


b^s НАЧАЛА КВКЛИД.\
соизмеримы только в степени, то значит, и С, D будут
соизмеримыми только в степени (предложение 11). И С есть
медиаль; значит, и D медиаль (предложение 23). Значит,
С, D будут медиали, соизмеримые только в степени. Я
утверждаю, что они и заключают рациональную <площадь>.
Действительно, поскольку как А к Д так и С к D, то
значит, перестановкой (предложение 16 книги V) будет,
что как А к С, <так и> В к D. Но как А к С, <так п>
С к В; и значит, как С к б, так и В к D (предложение 11
книги V); значит, <примоугольник> между С, D равен
будет <квадрату> на В (предложение 17 книги VI). <Квад-
рат> же на В рационален; значит, [будет] рациональным и
«(прямоугольник> между С, D.
Итак найдены соизмеримые только в степени медиали,
заключающие рациональною <площадь>, что и требовалось
доказать.
Предложение 28
Найти соизмеримые только в степени медиали,
заключающие медиальную (нлощадьу.
Отложим [три] рациональные, соизмеримые только в
степени <пр5гмые> А, В, С, и возьмём для А, В среднюю
пропорциональную D (пред-
/?'—: 1 и , ложение 13 книги VI), н сде-
£\ : | лаем, чтобы как В к С, так
Л— -4 и D к Е (предложение 12
книги VI) (черт, 31).
4ерт. 31. Поскольку Л, В
рациональные, соизмеримые только
в степени <(прямые\ то значит, «(прямоугольник), между Л, В,
то-есть <квадрат> на D (предложение 21), будс!
медиальным. Значит, D медиа ль (предложение 21). И поскольку
В1 С соизмеримы только в степени, и как В к С, так
и D к Е, то значит, и D, Е соизмеримы только в степени
(предложение И). Но D медиаль; значит, и Е медиаль
(предложение 23); значит, D, Е будут медиалями,
соизмеримыми только в степени. Вот я утверждаю, что они и
заключают медиальную <площадь>. Действительно,
поскольку как В к С, <так и> D к Е, то значит, нереста-


КИНГА ДГСИГЛЯ 133
новкой (пред южсние 16 книги V), как В к D, <так и> С к Е.
Как же В к D, <так и> D к А; и значит, как D к А,
<гак и) С к Я; значит, <ирямоугольн(гк> между А, С равен
^прямоугольнику) между D, Е (предложение 16 книги VI).
-(Прямоугольник) же межау А, С чедиален; значит, медиа-
лен и <прямоугольник) между D, Е.
Итак, найдены соизмеримые только в степени меднали,
заключающие медиальную <площадг>), что и требовалось
доказать.
Лемма (27)
Найти два квадратных числа так, чтобы и <число),
составленное из них, было квадратным (черт. 32).
Отложим два числа АВ, ВС, пусть же они будут пли
чётными, или нечётными. И поскольку, когда от чётного
отнимается четное и когда от нечётного— нечётное, д
остаток будет чётным (предложения 24, 26
книги IX), то значит, остаток АС будет чётным. Раз- „
делим АС пополам в D. Пусть же и АВ, ВС
будут или подобными плоскостными <числами), '
или квадратами, которые, конечно, и сами подобные
плоскостные; значит, <произведсние) нз АВ, ВС В
вместе с квадратом на CD равно будет квадрату Черт. 32.
на BD (предложение 6 книги II). И Произведение)
из АВ, ВС есть квадрат, поскольку уже доказано, чго
когда два подобных плоскостных <числа>, умножая друг
друга, производят что-то, го возникающее будет квадратом
(предложение 1 книги IX). Значит, найдены два
квадратных числа <именнэ, произведение) нз АВ, ВС и <квад-
рат) на CD, которые сложенные производят квадрат
на А.
И ясно, что опять найдены два квадрата, <именно) на
BD и на CD, так, что разность их—Прямоугольник)
между АВ, ВС— будет квадратом, если АВ, ВС будут
подобные плоскостные <числа). Если же они не будут
подобными плоскостными, то найдены два квадрата—иа BD
и на DC, разность которых—- <прямоуголышк) между АВ,
ВС — не будет квадратом, что и требовалось доказать,


134
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Л емма
Найти два квадратных числа так, чтобы <число>,
составленное из них, не было квадратным (черг. 33).
Пусть <произведение> из АВ, ВС будет, как мы
сказали, квадратный, н пусть СА четное, и разделим СА
пополам <в> D. Ясно вот, что <нроизведенис> из ЛВ, ВС,
<являющесся> квадратом, вместе с квадратом на CD равно
„ будет квадрату на ЯО(см. прет, лемму). Отнимем
единицу DE\ значит, <произветенне> из АВ, ВС
'7 вместе с <квадраточ> на СЕ будет меньше
квадрата на BD. Теперь я утверждаю, что <произве-
'!\',-] дение) иа АВ, ВС, <являющееся> квадратом (нред-
£- ложечие 1 книги IX), вместе с <квадратом> ма
ч. _ . СЕ не будет квадратом.
Действительно, если оно будет квадратом, го
оно ил и равно <квадрату> на BE или меньше
<1<вадрата> на BE, по никоим же образом не
больше, для того, чтобы единица не делилась. Пусть,
.# если возможно, сперва <произведение> из АВ, ВС
Черт. 33. имеете с " <квадратом) на СЕ будет равно
^квадрату) на BE, и пусть удвоенная единица будет ИА.
Поскольку теперь вся АС будет вдвое бэльтие всей CD,
<причём> в них АИ вдвое больше DE, то значит, и
остаток НС будет вдвое больше остатка ЕС; значит, ИС
разделена в Е пополам. Значит, <произведенис> из ИВ, ВС
вместе с <квадратом> па СЕ равно <квадрату> на BE
(предложение 6 к;шги II). Но и <произведение> из АВ, ВС
вместе с <квадратом> на СЕ предполагается равным <квад-
рату> на BE; значит, <произведение> из ИВ. ВС вместе
с <квадратом> на СЕ равно <произведению> из АВ, ВС
с <квадратом> на СЕ. И после отнятия общего <квадрата>
на СЕ оказывается АВ равным ИВ; это же нелепо.
Значит. <произведение> из АВ, ВС вместе с <квадратом>
на СЕ не равно <квадрату> на BE. Вот я утверждаю, чго
оно и не меньше <квадрата> на BE. Действительно, если
возможно, пусть оно будет равно <квадрагу> на В/, и
пусть GA будет удвоенной DI. И опять окажется, что GC
вдвое больше CI; так что и CG разделилось пополам в /,


КНИГА ДЕСЯТАЯ
135
и вследствие этого -(произведение) из GB, ВС вместе
с <квадратом) на 1С слетается равьым <квадрату) на В}
(предложение 6 книги 11). Предполагается же, что н
«(произведение) из ЛВ, ВС имеете с «(квадратом) на СЕ равно
-(квадрату) на В/. Так что и .(произведение) из GB, ВС
вместе с <квадратом) на С/ равно будет -(произведению)
из ЛВ, ВС вместе с <Е<вадра"гом> иа СЕ, это же иэлегю.
Значит, <прог13веде[ше> из ЛВ, ВС вместе с
-(квадратом) на СЕ не будет равно «(площади), меньшей -(квадрата)
на BE. Доказано же, чго оно не <равно> и [самому]
«(квадрату) на BE. Значит, ((произведение) из ЛВ, ВС вместе
с «(квадратом) на СЕ не будет квадратом [хотя возможно
и многими способами выявить вышеуказанные числа, но
ограничимся вышесказанным, ч i оби не растягивать ещё
болыие сочинение, которое и так уже велико]; это и
требовалось доказать.
Предложение 29
Найти две рациональные, соизмеримые только в
степени (прямые"} так, чтобл в квадратах большая била
больше меньшей на (квадрату на соизмеримой с ней
самой линейно (28).
Отложим некоторую рациональную «(прямую > ЛВ и два
квадратных числа CD, DE так, чтобы их разноси, СЕ не
была квадратом, и опишем на ЛВ
полукруг Л/В, и сделаем, чтобы как
DC к СЕ, так и квадрат на ВЛ
к квадрату на Л/ (предложение 6,
следствие), и соединим IB (черт. 34). А
Поскольку [теперь] будет, чт к-
как <квадрэ[) иа ВЛ к <квадра!у) ■''
на Л1', так и DC к СЕ, то значит. Черт. 34.
■(квадрат) на ВЛ к <квадрату) на
Л! имеет отношение как число DC к числу СЕ\ значит,
<квадрат) на ВЛ будет соизмеримым с «(квадратом) на Л!
(предложение 6). -(Квадрат) же на ЛВ рационален (определение 4);
значит, ц Л1 рациональна. И поскольку DC не имеет к СЕ
отношения, как квадратное число к квадратному числу, то
значит, н <квадрат> на ВЛ к <квадрату> на Л! не имеет отно-
(2±


136 НАЧАЛА ЕВКЛВДД
шения, как квадратное число к квадратному числу; значит,
А В будет линейно несоизмерима с А1 (предложение 9);
значит, ВА, А/ будут рациональными, соизмеримыми только
в степени. И поскольку [будет], что как DC к СЕ, так и
<квадрат> на ВА к <квадрату> на А/, го значит,
«переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), как CD
к DE, так и <квадрат> на АВ к <квадрату> на BI. Но
CD к DE имеет отношение как квадратное число к
квадратному числу; и значат, <квадраг> на АВ к <квадрату>
на В! имеет оттоиснче. как квадратное число к
квадратному числу; значит, АВ будет соизмерима с BI линейно
(предложение 9). И <квадра-|> hi АВ равен квадратам
на AI, }В <вместе> (предложение 31 книги Ш;
предложение 47 книги 1); значит, в квадратах АВ буд:т больше Л/
на В!—-соизмеримую с собой <прямую>.
Итак, найдены две рациональные, соизмеримые только
в степени <прямые> ВА,А1, так, что в квадратах большая AS
будет больше меньшей А} на <квадрат> на BJ,
соизмеримой с ней самой линейно.
Предложение 30
Найти две рациональные, соизмеримые только в
степени (прямые*} ток, чтобы в квадратах большая была
больше меньшей на квадрат на
, /^ ^\ несоизмеримой с ней самой ли-
//***+>^ \ нейно.
(I ^**"4**'^- \ Отложим рациональную АВ и
#*• —^8 два квадратных числа СЕ, ED,
С f п так, чтобы составленное из них
1 ' * ' CD не было бы квадратом, и опи-
Черт. 35. шем на АВ полукруг AIB, и
сделаем, чтобы как DC к СЕ, так
и <квадрат> на ВА к <квадоату> на А} (предложение 6,
следствие), и соединим 1В (черт. 35).
Подобна же вот предыдущему докажем, что ВА, А!
будут рациональными, соизмеримыми только в степени
<прямымн>. И поскольку как DC к СЕ, так н <квадрат>
на ВА к <квадрату> на 4Л т0 Значит, «переворачивая»


КНИГЛ ДГСЯГЛЯ ll"
(предложение 19 книги V, следствие), как CD к DE, \зк
и <квалрат> на АВ к <квадрату) на В! (предложение 31
книги III; предложение 47 книги I). Но CD к DE не
имеет отношения, как квадратное число к квадратному
числу; значит, и <квадра|) на АВ к <квадрату> на В! но
имеет отношения, как квадратное число к квадратному
числу; значит, АВ будет несоизмеримо с В! линейно
(предложение 9). И в квадратах АВ болыпе А] на <квадрат)
на IB, с ной самой несоизмеримой (предложение 31 книги 111;
предложение 47 книги I).
Итак, АВ, А\ суть рациональные, соизмеримые только
в степени < прямые), и в квадратах АВ больше А] нл
•(квадрат) на IB, несоизмеримой с ней самой линейно,
что и требовалось доказать.
Предложение 31
Найти две медиали, соизмеримые только е степени,
заключающее рациональную <площадь~у так, чтобы в
квадратах большая была больше меньшей на ■(квадрату на
соизмеримой с ней самой линейно (29} (черт. 36}.
Отложим две рациональные, соизмеримые юлько в
степени «(прямые) А. В так, чтобы А, будучи большей, была
в квадратах более меньшей В на <квадрат>
иа соизмеримой с ней самой линейно (предло- у
жение 29). И пусть .(прямоугольник у>
между А, В будет равен <квадраг|) на С.
•(Прямоугольник) же между А, В меднилен; [ \_ >
значит, и <квадра*|> на С меаиален (предло- Я Ь Ь' &
жение 21); значит, и С медшль. Пусть же Черт 36
•(квадрату) на В будет равен
«(прямоугольник) между С, D; <квздрат) же. на В рационален;
рационален, значит, и <прямоугольннк) между С, D. И
поскольку будет, что как А к В, так и «(прямоугольник)
между Л, В к <квадрату> hi В (предложение 21, лемма),
но Огрямоугольнику) между А, В равен <квадрат) на С,
<квадрату> же на В равен .(прямоугольник) между С, D,
то значнт, как А к В, так и <квадрат) И) С к
«(прямоугольнику) междч С, Р, Как же <квадрат) hj С к <пря-


138 НЛЧЛЛЛ ЕВКЛИДА
моугольннку> между С, D, гак и С к D (предтожение 21,
лемма}; и значит, как Л к В, гак и С к D. Но А
соизмерима с В только в степени; значит, и С соизмерима с D
только в степени (предложение 11}. И С есть медиаль;
значит, и D медиаль (предложение 23). И поскольку
как А к Bt <так н> С к D, в квадратах же А больше В
на <квадрат> на соизмеримой с ней самой, то значит, и С
в квадратах больше D на <кпадраг> на соизмеримой с ней
самой.
И гак, найдены две меднали С, D, соизмеримые только
в степени, заключающие рациональную <плогггддь>, и в
квадратах С больше D на <квадрат> на соизмеримой с ней
самой линейгго.
Подобным мсс во г образом докажстся и <что в
квадратах С больше Dy на <квадрат> на несоизмеримой, когда
в квадратах Л больше В на <квадрат> на несоизмеримой
с ней самой (предложение 30}.
Предложение 32
Найти две медиали, соизмеримые только в степени,
заключающие медиальную площадь так, чтобы в
квадратах большая была больше меньшей на (квадрату с ней
самой соизмеримой (30} (черт. 37).
Отложим три рациональные <прямые> А, В, С,
соизмеримые только в степени, так, чтобы в квадратах А бы-
„ ла больше С на <квад-
//I 1 раг> с ней самой соиз-
gfi i j меримой (прсдложение29),
^i 1 н пусть .(прямоугольнику>
церт 37. между А, В будет равен
<квадрат> на D. Значит,
<квадрат> на D медиа.тен; значит, и D будет ыедиалью
(предложение 21}. Пусть же .(прямоугольнику) между В, Сбудет
равен <прямоугольник> между D, Е. И поскольку будет, что
как <прямоугольннк> между А, В к «(прямоугольнику) между
Б, С, так н А к С (предложение 21, лемма}, но
-(прямоугольнику) между А, В равен <квадрат> на Z),
-(прямоугольнику) же между В, С равен <прямоугольник> между Z), Я,


КНИГА ДЕСЯТАЯ 139
то значит, будет, что как А к С, так и <квадрат) на D
к <[[ря\юугодьнику> между D, Е. Как же <квадрат> па D
к «(прямоугольнику) между Z), Е, так и D к Е;
(предложение 21, лемма); и значит, как Л к С, так и D к Е.
Но А соизмерима с С [только] в степени. Значит, и D
соизмерима с Е только в степени (предложение 11}.
Но D — медиаль; значит, и Е медиаль (предложение 23). И
поскольку будет, что как Ак С,<так и> D к Е, в квадратах
же А больше С на <квадрат) с ней самой соизмеримой,
то значит, и D будет в квадратах больнее Е на <квадрат>
с ией самой соизмеримой (предложение 24}. Вот я
утверждаю, что «(прямоугольник) между D, Е будет медиальным.
Действительно, поскольку <нрямоугольнит<> между В, С
равен <прямоугольнику> между D, Е, «(прямоугольник) же
между Ву С медиален [ибо В, С суть рациональнее,
соизмеримые только в степени] (предложение 21}, то и
«(прямоугольник) между D, Е медиален.
Итак, найдены две медиали Z), Е, соизмеримые только
в степени, заключающие медиальную < площадь), гак, чго
в квадратах большая больше меньшей на <квадрат) с ней
самой соизмеримой.
Подобным же вот образом докажется опять, < что в
квадратах D больше Еу на <квадрат) несоизмеримой, когда
А в квадратах больше С на < квадрат) с ней самой
несоизмеримой (предложение 30}.
Лемма (31}
Пусть будет прямоугольный треугольник ABC, имеющий
<уго.т) А прямой, и проведём перпендикуляр AD; я
утверждаю, что <прямоугольник) между Сб, BD будет
равен < квадрату ) на ВАЛ < прямоугольник ) же между
BCt CD равен < квадрату) на САл и < прямоугольник )
между BDt DC равен < квадрату) на AD, и ещё <
прямоугольник) между ВС, AD равен [будет] <
прямоугольнику) между &4, АС (черт. 38).
И сперва, чго <прямоугольник ) между СВ, BD равен
[будет] <квадрату) на ВА.


140 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, поскольку в прям ^угольном
треугольнике из прямого угла к основанию проведён
перпендикуляр AD, то значит, ABO, ADC будут треугольники,
подобные п всему ABC и между соб)й (предложение 8
книги VI}.
И поскольку треугольник ABC подобен тре\тольнику
АВО, то значит, будет, что как СВ к В А. так и ВА к ВО
(предложение 4 книги VI); значит, < прямоугольник) между
СВ, ВО будет равен < квадрату) на
АВ (предложение 17 книги VI).
Вследствие того же вот и <
прямоугольник) между ВС, СО будет
равен <квадрату) па АС.
И поскольку, когда в
прямоугольном треугольнике из прямого угла
Черт. 38 проведён перпендикуляр, проведённая
< прямая) будет средней
пропорциональной между отрезками основания (предложение 8,
следствие книги VI), то значит, будет, что как ВО к ОА, так
и АО к- ОС; значит, < прямоугольник > между ВО, DC
будет равен < квадрату) на ОА (предложение 17 книги VI},
Я утверждаю, что и < прямоугольник ) между ВС, АО
будет равен < прямоугольнику) между ВА, АС.
Действительно, поскольку, как мы сказали, ABC будет
подобен АВО, то значит, будет (предложение 4 книги VI).
что как ВС к С А, так и В А к АО [если же четыре
прямые пропорциональны, то <прямоугольник> между крайними
равен < прямоугольнику > между средними]. Значит, <
прямоугольник > между ВС, АО равен < прямоугольнику)
между ВА, АС (предложение 16 кдиги VI), что и
требовалось доказать.
Предложение 33
Найти две несоизмеримые а степени прямые,
образующие составленную из квадратов на них < площадь >
рациональную, < прямоугольник ) же между ними
медиальный.
Отложим две рациональные <прямые> АВ, ВС, cohi-
меримые только в степени, так, чтобы; в квчдратах большая


КНИГА ДЕСЯТАЯ
141
АВ была больше меньшей ВС на < квадрат > с ней самой
несоизмеримой (предложение 30}, и рассечём ВС пополам
в D, и приложим к АВ равный <кцадрату> на каждой из
BD, DC параллелограмм с недостатком в виде квадрата
(предложение 28 книги VI}, н пусть это будет <
прямоугольник) между АЕ, ЕВ, н опишем на АВ полукруг AIB,
и проведём El под прямыми < углами) к АВ, и соединим
Л/, IB (черт. 39}.
И поскольку будут [две] неравные прямые А В- ВС, и
в квадратах АВ более ВС на < квадрат) с ней самой
несоизмеримой, и к АВ приложен равный четверти <квадрата>
Е S J 0
Черг. 39,
на ВС, то-ссть <; квадрату > на её половине, параллелограмм
с недостатком в виде квадрата, и он образует < [фямо-
уголышк > между АЕ, ЕВ, то значит, АЕ будет
несоизмеримой с ЕВ (предложение 18). И как АЕ к ЕВ, так: и
< прямоугольник) между ВА, АЕ к <прямоугольнику) между
АВ, BE, -(прямоугольник > же между ВА, АЕ равен <
квадрату) на Л/, < прямоугольник) же между АВ, BE < квадрату >
на BI; значит, < квадрат > иа AI будет несоизмерим с <
квадратом > на IB; значит, Л/, IB будут несоизмеримы в
степени (предложение 11}. И поскольку АВ рациональна, то
значит, будет рациональным и < квадрат > на АВ; так что
и составленная из < квадратов > на Л/, IB < площадь >
будет рациональна (предложение 47 кннгн I). И затем,
поскольку < прямоугольник > между АЕ, ЕВ равен <
квадрату > на £7, предполагается же <прямоугольник> между
АЕ, ЕВ равным и .(квадрату > на BD, то значит, IE равна
будет BD; значит, ВС вдвое больше IE; так что и <пря-
иоутольник) между АВ, ВС будет соизмерим с
.(прямоугольником) между АВ, EI (предложение 6}. .(Прямоугольник)
же между АВ, ВС медиалеи (предложение 21}; значит, и


НЛЧЛЛЛ ЕВКЛИДА
<прямоугольник > между ЛВ, EI медиален (предложение
23, следствие). ^Прямоугольник > же между ЛВ, EI равен
< прямоугольнику > между .4/, IB (лемма); значит, медиален
и < прямоугольник > между Л1, IB. Доказано же, что
составленная т квадратов на них < площадь будет) и
рациональной.
Итак, найдены две несоизмеримые в степени прямые Л1,
IB, образующие составленную из квадратов на них <пло-
щадь) рациональную, <прямоугольник> же между ними
медиальный, чго и требовалось доказать (32).
Предложение 34
Найти две прямые, несоизмеримые в степени,
образующие составленную из квадратов на них < площадь >
медиальную, < прямоугольник > же между ними
рациональный (33).
Отложим две медиали ЛВ, ВС, соизмеримые только
в степени, заключающие между собой рациональный < пря-
лТе в с
Чсрг. 40.
моугольник), так, чтобы в квадратах ЛВ была больше
ВС на < квадрат > с ней самой несоизмеримой
(предложение 31), и опишем на ЛВ полукруг ЛОВ, и рассечем ВС
пополам в Е, и приложим к ЛВ равный <; квадрату) на BE
параллелограмм с недостатком в виде квадрата
(предложение 28 книги VI), именно < параллелограмм) между AI, IB;
значит, .4/ [будет] несоизмерима с IB линейно
(предложение 18). И проведём из / под прямыми <\гламн> к ЛВ
< прямую > /£>, и соединим AD. DB (черт. 40).
Поскольку ,4/ несоизмерима с IB, то значю, и <
прямоугольник) между ВЛ, Л/будет несоизмерим с <
прямоугольником > между АВ, В/ (предложение 11). < Прямоугольник ) же
между ВА, А/ равен < квадрату > иа/Ш, < прямоугольник > же


КНИГА ДЬСЯТАЯ
143
между ЛИ, BI—-< квадрату) на DB (предложение 32,
лемма); значит, и <квадрат > на AD будет несоизмерим
с < квадратом > на DB. И поскольку квадрат на АВ медиа-
лен, то значит, медиальна и составленная из < квадратов)
на AD, DB ^площадь) (предложение 31 книги III;
предложение 47 книги I). И поскольку ВС вдвое больше DI, то
и < прямоугольник) между АВ, ВС вдвое больше <
прямоугольника ) между АВ, ID. < Прямоугольник ) же между
АВ, ВС рационален; значит, рационален и < прямоугольник )
между АВ, ID (предложение 6). < Прямоугольник ) же между
АВ, ID равен <прямоугольнику ) между AD, DB
(предложение 32, лемма); так что н < прямоугольник ) между AD,
DB будет рационален.
Итак, найдена две прямые AD, DB, несоизмеримые
в степени, образующие составленную из квадратов на них
< площадь ) медиальную, < прямоугольник ) же между ними
рациональный, что и требовалось доказать.
Предложение 35
Найти две прямые, несоизмеримые в степени,
образующие составленную из квадратов на них < площадь )
медиальную и <; прямоугольник) между ними медиальный
и ещё несоизмеримый с составленной из квадратов на них
(площадью'} (34).
Отложим две медиали АВ, ВС, соизмеримые только
в степени, заключающие медиальную < площадь ), так, чтобы
в кзадратах АВ была больше ВС на < квадрат) с ней
самой несоизмеримой (предложение 32), и опишем на АВ
полукруг ADB, и сделаем всё остальное подобно тому как-
выше (черт. 41).


144 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
И поскольку AI несоизмерима с IB линейно, и АО будет
несоизмерима с DB в степени (предложение 11). И поскольку
< квадрат) на АВ медиален, то значит, медиальной будет
и составленная из < квадратов > на AD, DB < площадь >
(предложение 23, следствие). И поскольку < прямоугольник >
между Л/, IB равен квадрату на каждой из BE, О/,
то значит, BE будет равна DI; значит, ВС вдвое больше ID,
так что и < прямоугольник > между АВ, ВС будет вдвое
больше <прямоугольника) между АВ, ID. <
Прямоугольник > же между АВ, ВС медиален; значит, медиалеи и
< прямоугольник ) между АВ, ID. Ион равен <
прямоугольнику > между AD, DB (предложение 32, лемма); значит, и
< прямоугольник ) между AD, DB медиален. И поскольку АВ
несоизмерима с ВС линейно, СВ же соизмерима с BE, то
значит, и АВ несоизмерима с BE линейно (предложение 13);
так что и < квадрат > па /Шбудсг несоизмерим с <
прямоугольником ) между АВ, BE (предложение 21, лемма;
предложение 11). Но < квадрату > на АВ равны < квадраты ) на AD, DB
(предложение 47 книги I), < прямоугольнику > же между
АВ, BE равен < прямоугольник) между АВ, ID, то-есть
<; прямоугольник) между AD, DB; значит, составленная из
< квадратов ) на ЛО, DB < площадь ) будет несоизмерима
с < прямоугольником > между AD, DB.
Итак, найдены две прямые AD, DB, несоизмеримые
в степени, образующие составленную из квадратов на них
<; площадь ) медиальную, и < прямоугольник ) между ними
медиальный, и ещё несоизмеримый с составленной из
квадратов на них площадью, что и требовалось доказать.
Предложение 36
Если составляются две рациональные, соизмеримые
только в степени прямые, то целая будет
иррациональной', пусть она называется биномаалыо*) (35).
Пусть составляются две рациональные, соизмеримые
только в степени < прямые ) АВ, ВС; я утверждаю, что
целая АС будет иррациональной (черт. 42).
*) ex 5io dwcjidTtav —из двух имён; и латинском переложении
ex duobus nominlbus; правильнее было бы название «биноминаль».


КНИГА ДЕСЯТАЯ ' 145
Действительно, поскольку АВ несоизмерима с ВС
линейно (ибо они соизмеримы только в степени), как же АВ
к ВС, так и < прямоугольник > между АВ, ВС к <
квадрату > на ВС (предложение 21, лемма), то значит,
прямоугольник между АВ, ВС будет несоизмерим с < квадратом >
на ВС (предложение 11). Но с < прямоугольником > между
АВ, несоизмерим дважды взятый <прямоугольник> между
А ВС
, -—i i
Черт. 42.
АВ, ВС (предложение 6), с < квадратом > же на ВС
соизмеримы <квадраты> на АВ, ВС <вместе); ибо АВ, ВС
суть рациональные <прямые), соизмеримые только в
степени (предложение 15); значит, дважды взятый <
прямоугольник > между АВ, ВС несоизмерим с < квадратами > на АВ,
ВС (предложение 13). И, «присоединяя», дважды взятый
< прямоугольник > между АВ, ВС вместе с < квадратами >
на АВ. ВС, то-есть квадрат на АС (предложение 4 книги II),
несоизмерим будет с составленным из < квадратов> на АВ, ВС
(предложение 16). Составленное же из < квадратов > на
АВ, ВС рационально; значит, < квадрат > иа АС [будет]
иррациональным (определение 4); так что н АС будет
иррациональной; пусть она называется биномиалью, чго и
требовалось доказать.
Предложение 37
Если составляющей две соизмеримые толь/со в
степени медиали, заключающие рациональную < площадь >,
то целая будет иррациональной) пусть она называется
первой бимедиалью *).
Пусть составляются две соизмеримые только в степени
медиали АВ, ВС, заключающие рациональную < площадь >
(предложение 27); я утверждаю, что целая АС будет
иррациональной (черт. 43).
*) !х Sjo [uacov itp<iT7) — кз двух медиалей первая.
10 Евклид


. 146
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, поскольку ЛВ несоизмерима с ВС
линейно, то значит, и < квадраты > на ЛВ, ВС будут
несоизмеримы с дважды взятым < прямоугольником > между ЛВ,
ВС; и, «присоединяя» <; квадраты > на ЛВ, ВС вместе с дважды
взятым < прямоугольником > между АВ, ВС (а это будет
й ВС
I j 1
Черт. 43.
< квадрат > на АС) (предложение 4 книги И), несоизмеримы
с < прямоугольником > между ЛВ, ВС (предложение 16).
< Прямоугольник > же между АВ, ВС рационален, ибо
АВ, ВС предполагаются заключающими рациональную
< площадь >; значит, иррационален < квадрат у на АС; значит,
иррациональна АС (определение 4); пусть она называется
первой бимедиалью; что н требовалось доказать.
Предложение 38 ■'/> j
Если составляются две соизмеримые только в
степени медиали, заключающие медиальную площадь, то
целая будет иррациональной;
Я\ 1 \С пусть она называется второй
В /7 Н бимедиалью*).
I Пусть составляются две
соизмеримые только в cienenH
I.„ I медиали ЛВ, ВС, заключающие
£ I медиальную < площадь > (пред-
Чепт 44 ложе ни е 28); я утверждаю, что
АС будет иррациональной
■ ■ (черт. 44).
Действительно, отложим рациональную < прямую > DE
и приложим к DE равный < квадрату > на АС <параллело-
грамм > DI, производящий ширину DH (предложение 44
~н) Н Sue [isowv Звитгра — ш двух медиалей вторая.


КИИГА ДЕСЯТАЯ
147
книги 1). И поскольку < квадрат > на АС равен < квадратам >
на АВ, ВС и дважды взятому < прямоугольнику > между
АВ, ВС < вместе > (предложение 4 книги II), то вот
приложим к DE равный < квадратам > на АВ, ВС <
параллелограмм > EG; значит, остаток GI будет равен дважды
взятому < прямоугольнику > между АВ, ВС. И поскольку каждая
из АВ, ВС медиаль, то значит, будут медиальными и <
квадраты > на АВ, ВС. Медиальным же по предположению
будет н дважды взятый < прямоугольник > между АВ, ВС.
И < квадратам > на АВ, ВС равен EG, дважды же взятому
< прямоугольнику > между АВ, ВС равен GI; значит,
каждый из EG, GI будет медиальным. И прилагаются они
к рациональной DE; значит, каждая из DG, GH будет
рациональной н несоизмеримой с DE линейно
(предложение 22). Поскольку теперь АВ несоизмерима с ВС линейно,
и будет, что как АВ к ВС, так и < квадрат > на АВ к <
прямоугольнику > между АВ, ЕС (предложение 21, лемма),
то значит, <квадрат> на АВ несоизмерим с <
прямоугольником > между АВ, ВС (предложение 11). Но с <
квадратом > на АВ соизмерима составленная из квадратов на
АВ, ВС < площадь > (предложение 15), с <
прямоугольником > же между АВ, ВС соизмерим дважды взятый <
прямоугольник > между АВ, ВС (предложение 6). Значит,
составленная нз < квадратов > на АВ, ВС < площадь > будет
несоизмерима с дважды взятым < прямоугольником > между
АВ, ВС (предложение 13). Но < квадратам > на АВ, ВС
равен EG, дважды же взятому -(прямоугольнику > между
АВ, ВС равен G/. Значит, EG будет несоизмерим с G/;
так что и DG будет несоизмерима с GH линейно
(предложение 11; предложение 1 книги VI). Значит, DG, GH
будут рациональными соизмеримыми только в степени. Так
чго DH иррациональна (предложение 36). Но DE
рациональна; прямоугольник же, заключённый между
иррациональной и рациональной, будет иррациональным
(предложение 20); значит, иррациональной будет площадь Dft и
кнадрирующая [её] будет иррациональной (определение 4).
Но D/ квадрируется < прямой > АС; значит, АС будет
иррациональна, nycib она называется второй бймедиалью,
что и требовалось доказать.
10*


148
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 39
Если составляются две прямые, несоизмеримые в
степени, делающие составленное из квадратов на них
рациональным, прямоугольник же между ними медиальным, то целая
прямая будет иррациональна; пусть она называется большей.
Пусть составляются две прямые АВ, ВС, несоизмеримые
в степени, вьшолняя предложенное (предложение 33); я
утверждаю, что АС будет иррациональной (черт, 45).
Я в С .
|„ , i 1
Черт, 45.
Действительно, поскольку < прямоугольник > между АВ,
ВС медиален, то [значит] и дважды взятый <
прямоугольник > между АВ, ВС будет медиальным (предложения 6,
23, следствие). Составленное же из < квадратов > на АВ, ВС
рационально; значит, дважды взятый < прямоугольник >
между А В, ВС несоизмерим с составленным из < квадратов > hj
АВ, ВС (определение 4); так что и < квадраты > на АВ, ВС
вместе с дважды взятым < прямоугольником > между АВ, ВС—
это же будет < квадрат > на АС (предложение 4 книги
II) —будут несоизмеримы с составленным из < квадратов >
на АВ, ВС (предложение 16) [составленное же из <квадратов>
на АВ, ВС рационально]; значит, < квадрат> на АС
иррационален. Так что и АС будет иррациональной (определение 4);
пусть она называется большей; что и требовалось доказать.
Предложение 40
Если составляются две прямые, несоизмеримые в
степени, делающие сумму квадратов на них медиальной,
прямоугольник же между ними рациональным, то целая
прямая будет иррациональной; пусть он» называется
рационально и медиально кеадрирующей*).
') pTJTOV t.<l\ (IJOCV SjV3|i£VT).


КНИГА ДЕСЯТАЯ
149
Пусть составляются две прямые АВ, ВС,
несоизмеримые в степени, выполняя предложенное (предложение 34);
я утверждаю, что АС будет иррациональной (черт. 46).
Действительно, поскольку составленное из<квад-
ратов> на АВ, ВС медиально, дважды же взятый
<пря\юугольник> между АВ, ВС рационален, то
значит, составленное из <квадратов> на АВ, ВС
будет несоизмеримо с дважды взятым <прямоутоль- -В
ником> между АВ, ВС; так чго н <квадрат> на
АС несоизмерим с дважды взятым <прямоуголь- -Ч"
ником> между АВ, ВС (предложение 16). Дважды Черт. 46.
же взятый <пря\шугольник> между АВ, ВС
рационален; значит, <квадрат> на АС иррационален. Значит, АС
будет иррациональна (определение 4); пусть она называется
рационально и медиально квадрирующей; что и требовалось
доказать.
Предложение 41
Если, составляются две прямые, несоизмеримые в
степени, делающие сумму квадратов на них медиальной и
{прямоугольнику между ними медиальным и, кроме того,
^____^ „ несоизмеримым с суммой квадратов на
них, то целая прямая будет иррацио-
И / нальной; пусть она называется бимедиально
квадрирующей.
Пусть составляются две прямые АВ.
ВС, несоизмеримые в степени, выполняя
Я f предложенное (предложение 35); я утвер-
Д в С ждаю, что дс будет иррациональной
1 ' rt (черт. 47).
Черт. 47. Отложим рациональную DE и
приложим к DE <пзраллелограмм> DI, равный
<квадратам> па ЛВ, ВС, и <параллелограмм> НО, равный
удвоенному <прямоуголь!шку> между АВ, ВС] значит, весь DQ
будет panel квадрату на АС (предложение 4 книги 11). И
поскольку составленное из <квадратов> на АВ, ВС медиально и
равно О/, то значит, и DI будет медшльныи, И о i
прилагается к рациональной DE; значит, DH будет рациональной
и несоизмеримой с DE линейно (предложение 22). На том же


150 НАЧАЛА КВКЛИДА
вот основании и НК будет рациональной и несоизмеримой
линейно с HI, то-есть с ОЕ. И поскольку несоизмеримы <вме-
сте взятые квадраты> на АВ, ВС с дважды взятым <прямо-
угольником> между АВ, ВС, то О! будет несоизмерим
с НО; так что и ОН несоизмерима с НК (предложение 11;
предложение 1 книги VI). И они рациональны; значит, ОН, НК
будут рациональными, соизмеримыми только в степени;
.значит, ОК будет иррациональной, так называемой биномиалью
(предложение 36). Но ОЕ рациональна; значит, OG будет
иррациональным, и его квадрирующая будет иррациональной
(определение 4). Квадрируется же OG <прямой> АС;
значит, АС будет иррациональной; пусть она называется би-
медиально квадрирующей; что и требовалось доказать.
Лемма
А что упомянутые иррациональности едшктвенным
образом разделяются па прямые, из которых <как).
производящих складываются предложенные виды, докажем,
предпослав такую леммочку:
Отложим прямую АВ и рассечём всю её на неравные
<части> в каждой из <точек> С, О, предположим АС
большей, чем ОВ; я утверждаю, что <квадраты> на АС, СВ
бочьше <квадратов> на АО, DB (черт. 48).
i 1—i—i i
Л [! £ С В
Черт. 48.
Действительно, рассечём АВ пополам в Е. И поскольку
АС больше ОВ. то отнимем общую <часть> ОС; значит,
остаток АО будет больше остатка СВ. Но АЕ равно ЕВ;
з тчит, ОЕ меньше ЕС; значит, точки С, О ие одинаково
удалены от делящей пополам. И поскольку
Прямоугольник между АС, СВ вместе с <квадратом> иа ЕС
равен <квадрату> иа ЕВ, но вместе с тем и <прямоугольник>
между АО, ОВ с <квадратом> на ОЕ равен <квадрату>
на ЕВ (предложение 5 книги И), то значит, <прямоуголь-
ник> между АС, СВ вместе с <квадратом> на ЕС равен
<прямоугольнику> между AD, DB вместе с <квадратом>


КНИГА ДЕСЯТАЯ 151
на DE; из них <квадрат> на DE меньше <квадрата> на ЕС;
и значит, остающийся <прямоугольник) между АС, СВ
будет меньше <прямоугольника) между AD, DB. Так что
и дважды <нрнмоуголышк) между АС, СВ будет меньше
дважды .(прямоугольника) между AD, DB. И значит,
остаток, составленный из <квадратов> на АС, СВ, будет
больше составленного из <квадратов> на AD, DB, что и
требовалось доказать (36, 37).
Предложение 42
Бчномиаль разделяется на рационала *) только е
одной точке (38).
Пусть будет биночиаль АВ, разделённая на рацчонали
в С; значит, АС, СВ будут рациональные .(прямые),
соизмеримые только в степени (предложение 36).
Я утверждаю, что АВъ иной точке не разделяется
на две рациональные, соизмеримые только в степени
<прямые>(черт. 49). _D
Действительно, если возможно, то пусть она
будет разделена ц в D гак, что и AD, DB будут />
рациональными, соизмеримыми только в степени
<нрямыми>. Ясно вот, что АС не будет
тождественной с DB. Действительно, если возможно, пусть ]_„
будет. Тогда н АО будет тождественной с СВ; и „ .„
будет, что как АС к СВ, так н ВО к DA, н ерт"
будет АВ ив/) рассечённой тем же самым
сечением, что в С; этого же не предполагается. Значит, АС не
будет тождественной с DB. Тогда вследствие этого и
точки С, D не одинаково удалены от делящей пополам (лемма).
Значит, чем <вместе взятые квадраты) на ЛС, СВ
разнятся от <вместе взятых квадратов) на AD, DB, тем
и дважды ^прямоугольник) между AD, DB разнится от
дважды <прямоугольника) между АС, СВ, вследствие того,
что н <квадраты) на АС, СВ вместе с дважды <прямо
*) -.a uvd^.a-i — буквально «имена*. Поскольку «имеющий имя»
по греческой терминологии тождественно с «рациональными, то
здесь и в дальнейшем мы будем переводить этот термин словом
«рациональ».


152 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
угольником) между АС, СВ, и <квадраты> на AD, DB
вместе с дважды Прямоугольником) между AD, DB равны
будут <квадрату) на АВ (предложение 4 книги II). Но
<квадраты) на АС, СВ разнятся от <квадратов> на AD,
DB на рациональную <величину>, ибо и те и другие
рациональны; значит, и дважды «(прямоугольник) между AD,
DB на рациональную <величину> разнится от дважды <пря-
моугольника) между АС, СВ, будучи <оба> медиальными
(предложение 21); это же нелепо, ибо медиаль не
превосходит медиалн на рациональную <величнну)
(предложение 26).
Итак, биномиаль в одной и другой точке не
разделяется; значит, только в одной, что и требовалось доказать.
Предложение 43
Первая бимедиаль разделяется только в одной точке.
Пусть будет первая бимедиаль АВ, разделённая в С
так, что АС, СВ будут медиалями, соизмеримыми только
в степени, заключающими рациональ-
д q £ "q ную <площадь>; я утверждаю, что
АВ в иной точке <так> ие разде-
)6рТ. Ои, / rni
ляечся (черт. 50).
Действительно, пусть, если возможно, она будет
разделяться и в D так, что и AD, DB будут медиалями,
соизмеримыми только в степени, заключающими
рациональную <площадь). Поскольку теперь, чем дважды
Прямоугольник) между AD, DB разнится от дважды
<прямоугольника) между АС, СВ, тем и <вместе взятые
квадраты) на АС, СВ разнятся ог <вместе взятых квадратов)
на AD, DB; но дважды Прямоугольник) между AD, DB
разнится рациональным от дважлы Прямоугольника) между
АС, СВ, ибо оба рациональны; значит, и <квадраты> на
АС, СВ рациональным разнятся от <квадрагов> на AD, DB,
будучи <сами) медиальными; у то же нелепо
(предложение 26).
Итак, первая бимедиаль не делится в одной и другой
точке на рацнонали; значит, только в одной, что н
требовалось доказать.


КНИГА ДЕСЯТАЯ
153
Предложение 44
Вторая бимедиаль разделяется только 8 одной точке.
Пусть будет вторая бимедиаль АВ, разделённая в С
так, что АС, СВ будут медиалями, соизмеримыми только
в степени, заключающими
Л
U С
G
Черт. 51.
медиальную <площздь>
(предложение 38); ясно вог,
что С не будет делящей
пополам, потому что <отрезки>
ие будут линейно
соизмеримыми. Я утверждаю, что АВ
r иной точке <так> не
разделяется (черт. 51).
Действительно, пусть, если возможно, она будет
разделяться и в D так, что АС не будет тождественной
с DB, но <пусть будет) АС по предположению большей;
ясно вот, что и <вместе взятые квадраты) на AD, DB,
как мы доказали выше (предложение 41, лемма), меньше
<вместе взятых квадратов) на АС, СВ; и AD, DB будут
соизмеримыми только в степени медиалями, заключающими
медиальную <площадь). И отложим рациональную Ef, и
приложим к Ы равный <квадрагу) на АВ прямоугольный
параллелограмм ЕК, отнимем же ЕЙ, равный <квадратам)
на АС, СВ; значит, остаток GK будет равен дважды
«(прямоугольнику) между АС, СВ (предложение 4 книги II).
Затем, отнимем El, равный <квадратам> па AD, DB,
которые по доказанному меньше <квадратов) на АС, СВг
значит, и остаток МК равен дважды <црямоугольнику)
между AD, DB. И поскольку <квадрати> на АС, СВ ме-
диальиы, то значит, медиален [и] ЕЙ. И он прилагается
к рациональной Ef; значит, EG будет рациональной и
несоизмеримой с Ef линейно (предложение 22). Вследствие
того же вот и GN будет рациональной и несоизмеримой
с Ef линейно (предложение 22). И поскольку АС, СВ
медиа: и, соизмеримые только в степени, то значит, и АС
будет несоизмерима с СВ линейно. Как же АС к СВ, так
и <квадрат) на АС к Прямоугольнику) между АС, СВ
(предложение 21, лемма); значит, <квадрат) на АС несо-


154
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
измерим будет с <прямоугольником) между АС, СВ
(предложение 11), Но с <квадрагом) на АС соизмеримы
-(вместе взятые квадраты) на АС, СВ; ибо АС, СВ соизмеримы
в степени. С -(прямоугольником) же между АС, СВ
соизмерим дважды <прямоугольник) между АС, СВ
(предложение 6). И значит. -(квадраты) иа АС, СВ будут
несоизмеримы с дважды <прямоугольником) между АС, СВ
(предложение 13). Но <квадратам) на АС, СВ равен будет
ЕЙ, дважды же -(прямоугольнику) между АС, СВ равен
GK; значит, ЕЙ будет несоизмеримым с GK; так что и EG
будет линейно несоизмерима с GN (предложение 1 книги VI,
предложение 11 книги X) . И они рациональны; значит, EG,
GN будут рациочальные -(прямые), соизмеримые только
н степени. Если же составляются две рациональные,
соизмеримые только в степени «(прямые), то целая будет
иррациональной так называемой биномиалью (предложение 36);
значит, £7V будет биномиалью, разделённой в G. Тем же
вот самым образом докажется, что и ЕМ, MN <являются)
рациональными, соизмеримыми только в степени; и EN
будет биномиалью, разделённой в одной и другой точках —
G и М, и не будет EG тождественной с МЫ, потому что
<квадраты) на АС. СВ будут больше <квадратов) на AD,
DB. Но <квадраты) на AD, DB больше дважды
Прямоугольника) между AD, DB; значит, тем более и <квад-
раты) иа АС, СВ, то-есть ЕЙ, будут больше дважды
.{прямоугольника) между AD, DB, то-есть МК\ так что
и EG будет больше MN (предложение 1 книги VI).
Значит, EG не будет тождественной с MN, что и
требовалось доказать,
Предложение 45
чБбльшая^ (иррациональная") разделяется только
в одной а той же точке.
Пусть будет «большая» иррациональная ABt
разделённая в С так, что АС, СВ будут несоизмеримыми в
степени, делающими составленное из квадратов на АС, СВ
рациональным, <лрямоугольник> же между АС, СВ
медиальным (предложение 39); я утверждаю, что АВ в иной
точке <так) не разделяется (черт. 52).


КНИГА ДЕСЯТАЯ
155
Действительно, пусть, если возможно, она будет
разделяться и в D так, что AD, DB будут несоизмеримыми в
степени, делающими составлешюе из <квадратов> на AD, DB
рациональным, <прямоугольник> же между ними
медиальным. И поскольку чем разнятся <вместе взятые ^
квадраты) на АС, СВ от <квадратов> на AD, DB,
тем разнится и дважды -(прямоугольник) между AD,
DB от дважды -(прямоугольника) между АС, СВ . д
(предложение 41, лемма), но <вместе взятые
квадраты) на АС, СВ рациональным превосходят <вместе ■ с
взятые квадраты) на AD, DB, ибо оба рациональны;
значит, и дважды <прямоугольиик) между AD, DB
рациональным превосходит дважды <прямоугольник) Уд
между АС, СВ, будучи <оба) медиальными; это
же невозможно (предложение 26), Значит, «боль- Черт. 52.
шая» не разделяется в одной и другой точке;
значит, она разделяется только в одной и той же, что и
требэвалэсь доказать.
Предложение 46
Рационально и медиально квадрцрующая разделяется
толькэ в одной точке.
Пусть будет рационально и медиально квадрирующая
АВ, разделённая в С так, что АС, СВ будут
несоизмеримыми в степени, делающими составленное из <квадратов)
„ на АС, СВ медиальным, дважды же <прямоугольник)
между АС, СВ рациональным (предложение 40);
я утверждаю, что АВ в иной точке <так) не раз-
Л деляется (черт, 53).
Действительно, пусть, если возможно, она будет
■О разделяться и в О так, что AD, DB будут
несоизмеримыми в степени, делающими составленное
из <квадратов) на AD, DB медиальным, дважды
g же <прямоугольник) между AD, DB рациональ-
Черт 53 ным' Поскольку теперь чем разнится дважды
«(прямоугольник) между АС, СВ от дважды
-(прямоугольника) между AD, DB, тем разнятся и <вместе взятые
квадраты) на AD, DB от <квадратов> на АС, СВ, дважды


156
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
же <прямоугольник) между АС, СВ рациональным
превосходит дважды -(прямоугольник) между AD, DB, значит, и
<квадраты> uaAD, DB рациональным превосходят <квадраты>
на АС, СВ, будучи медиальными; это же невозможна
(предложение 26). Значит, рационально и медиально квад-
рирующая не разделяется в одной и другой точке.
Значит, она разделяется в одной точке, что и требовалось
доказать.
Предложение 47
Вимедиально квадрирующая разделяется только в
одной точке.
Пусть будет [бимедиально квадрирующая] АВ,
разделённая в С, так Ч1о АС, СВ будут несоизмеримыми в степени,
делающими составленное из <квадратов>
па АС, СВ медиальным и <прямо-
угольник) между АС, СВ
медиальным и ещё несоизмеримым с
составленным из <квадратов> на них
(предложение 41). Я утверждаю, что
АВ не разделяется в иной точке,
выполняя предложенное (черт. 54).
Действительно, пусть, если
возможно, она будет разделяться и в £>,
'так что, конечно, опять АС не будет
тождественной с DB, ио <пусть
будет) АС по предположению
большей; и отложим рациональную <прямую) EI, и
приложим к EJ равную <вместе взягьщ квадратам) на АС,
СВ <площадь> ЕЙ, дважды же <прямоугольнику) между
АС, СВ <равную площадь) 0К\ значит, весь ЕК будет
равным квадрату на АВ (предложение 4 книги II). Бот затем
приложим к EJ равную <вмесге взятым квадратам) на AD,
DB <площадь> EJL; значит, остающийся дважды
-(прямоугольник) между AD, DB будет равен остающейся
-(площади) МК. И поскольку составленное из <квадратов) на
АС, СВ предполагается медиальным, то значит, медиальным бу-
,дет и ЕЙ. И он прилагается -к рациональной EI; значит,
£ М В Л
Я
В
с
-в
.
I
Черт. 54.
//


КНИГА ДЕСЯТАЯ
157
GB будет рациональной и несоизмеримой с EJ линейно
(предложение 22). На основании того же вог и GN будет
рациональной и несоизмеримой с EJ линейно. И поскольку
составленное из <квадратов> на АС, СВ несоизмеримо
с дважды <прямоуголышком> между АС, СВ, то значит,
и ЕЙ будет несоизмерим с HN; так что и EG будет
несоизмерима с GN (предложение И; предложение 1 книги VI). И они
рациональны; значнт, EG, GN буду г рациональными,
соизмеримыми только в степени <прямыми>; значит, EN будет бино-
миалью, разделёииойв G (предложение 36). Подобным же вот
образом докажем, что она разделится и в М. И не будет EG
тождественной с AW; значит, биномиаль разделилась в одной
и другой точке; это же невозможно (предложение 42). Значит,
бимедиально квадрирутощая не разделяется в одной и другой
точке; значит, она разделяется в одной только [точке].
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВТОРЫЕ
1. Если предложена рациональная <прямая> и биномиаль
разделена иа две рационали, из которых большая рацио-
иаль будет в квадратах более меньшей на <квадрат> на
линейно с собой соизмеримой <прямой>, то, когда большая
рациональ соизмерима будет линейно с отложенной
рациональной, пусть [вся] <биномиаль> называется первой биномиалыо.
2. Когда же меньшая рациональ будет соизмерима
линейно с отложенной рациональной <прямой>, то пусть
называется второй биномиалыо.
3. Если же ни одна из рационалей не будет линейно
соизмерима с отложенной рациональной <прямой>, то пусть
называется третьей биномиалыо.
4. Затем, когда ббльшая рациональ будет в квадратах
больше [меньшей] на <квадрат> на несоизмеримой с собой
линейно <прямой>, то когда большая рациональ будет
соизмерима линейно с отложенной рациональной <прямой>,
пусть называется четвёртой биномиалыо.
5. Когда же меньшая <рациональ соизмерима), то —
пятой.
6. Когда же ии та, ни другая, то — шестой (38, 39, 40,
41, 42).


№
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 48
Найти первую биномааль (46) (черт. 55).
Отложим два числа АС, СВ так, чтобы составленное из
них АВ имело к ВС отношение, как квадратное число
к квадратному числу (лемма предложения 28), к СА же не
■ имело бы отношения, как квадратное число к квадратному
А С В
^ jj{ , Sl , , ' „
- , Черт. 55.
числу, н отложим какую-нибудь рациональную <пря-
мую> £>, и пусть EJ будет линейно соизмерима с D.
Значит, и EI будет рациональной (определение 3). И
сделаем, чтобы как число ВА к АС, так и <квадрат> на
EJ к <квадрату> на JH (предложение 6, следствие). Но АВ
имеет к АС отношение, как число к числу; значит, и <квад-
рат> на EJ имеет к <квадрату> на /Я отношение, как число
к числу; так что <квадрат> на EJ соизмерим будет с
<квадратом) на /Я(предложение 6). И EJ рациональна; значит,
рациональна и /И. И поскольку В А не имеет к АС отношения, как-
квадратное число к квадратному числу, то значит, и <квадрат>
на EI не имеет к <квадрату> на /Я отношения, как
квадратное число к квадратному числу; значит, EJ будет
линейно несоизмерима с /Я (предложение 9). Значит, £7, /Я
будут рациональными соизмеримыми только в степени
прямыми).; значит, ЕЙ будет биномиалью (предложение 36).
Я утверждаю, что и первой.
Действительно, поскольку будет, что как число ВА
к АС, так и <квадрат> на EI к <квадрату> на /Я, и ВА
больше АС, то значит, н <квадрат> на EI больше <квад-
рата> на /И (предложение 14 книги V). Пусть теперь
<квадрату> на EJ равны будут <вместе взятые квадраты>
на /Я, G. И поскольку будет, что как ВА к АС} так н
<квадрат> на EI к <квадрату> на /Я, то значит, «перево-


КНИГА ДЕСЯТАЯ
159
рачивая» (предложение 19 книги V), будет, что как АВ
к ВС, так и <квадрат> на Е/ к <квадрату> на G. Но АВ
имеет к ВС отношение, как квадратное число к
квадратному числу; значит, и <квадрат> на EI имеет к <квадрату>
на G отношение, как квадратное число к квадратному числу.
Значит, Е/ будет линейно соизмерима с G (предложение
9); значит, в квадратах Е/ больше /Яна <квадрат> с собой
соизмеримой <прямэй>. И El, Ш будут рациональны, и EI
соизмерима с D линейно.
Значит, ЕЙ будет первой биномиалью (определения
вторые, 1), что и требовалось доказать.
Предложение 49
Найти вторую биномиаль (черт. 56).
Отложим два числа АС, СВ так, чтобы составленное из
них АВ имело к ВС отношение, как квадратное число
к квадратному числу, к АС же не имело бы отношения,
как квадратное число к квадратному числу п
(лемма предложения 28), и отложим
рациональную <грямую> D, н пусть El будет с D
линейно соизмерима; значит, El будет рацио- х^
нальна. Сделаем тогда, чтобы как число СА
к АВ, так был бы и <квадрат> на El к
<квадрату> на IH (предложение 6, следствие);
значит <квадрат> на EI соизмерим будет
с <квадратом> на IH, Значит, рациональной
будет и/Я. И поскольку число СА не имеет ^
к АВ отношения, как квадратное число Черт. 56.
к квадратному числу, то и <квадрат> на EJ
не имеет к <квадрату> на IH отношения, как квадратное
число к квадратному числу. Значит, EI будет несоизмерима
с Ш лииейио (предложение 9); значит, £7, Ш будут
рациональными соизмеримыми только в степени <прямыми>;
значит, ЕЙ будет биномиалью (предложение 36).
Ьот следует доказать, что и второй.
Действительно, поскольку «обращая» (предложение 7
книги V), будет, что как число ВА к АС, так и
■(квадрат) на HI к <квадрату> на IE, но ВА больше АС, зиа-
1'
■/


160
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
чит, [и] <квадрат> на Я/ больше <квадрата> на IE
(предложение 14 книги V). Пусть <[<вадрату) иа Я/ равны
будут <вмесге взятые квадраты) на £/, G; значит,
«переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), будет,
что как ЛВ [С ВС, так и <квадрат> иа /Я к <квадрату>
на G. Но ЛВ имеет к ВС отношение, как квадратное число
к квадра гному числу, значит, и <квадрат> на /Я к
■(квадрату) на G имеет отношение, как квадратное число к
квадратному числу. Значит, /Я будет соизмерима с G линейно
(предложение 9), так что /Я в квадратах больше IE иа
<квадраг> на соизмеримой с собой <прямой). И /Я, /Е
будут рациональными, соизмеримыми только в степени, и
Е[ — меньшая рациоиаль — будет линейно соизмерима
с отложенной рациональной <прямой) Д
, Значит, ЕЙ будет второй биномиалью (определения
вторые, 2), что и требовалось доказать.
Предложение 50
Найти третью биномиаль (черт. 57).
Отложим два числа АС, СВ так, чтобы составленное
из них АВ имело к ВС отношение, как квадратное
число к квадратному числу, к АС же не имело бы
отношения, как квадратное число
>. С * к квадратному числу.
Отложим же и какое-нибудь дру-
^' ' *'' ' ^' ' гое, не квадратное число Д
I— п ь и пусть оно к каждому из
ВА, АС не имеет отношения,
как квадратное число к
квадратному числу; и отложим
какую-нибудь рациональную прямую Е, и сделаем, чтобы
как D к АВ, так был бы и <квадрат) иа Е к <квадрату>
на /Я (предложение 6, следствие); значит, <квадрат) на Е
соизмерим с ^квадратом) иа /Я (предложение 6). И Е
рациональна; значит, рациональной будет и /Я. И поскольку
D не имеет к АВ отношения, как квадратное число к
квадратному числу, то и <квадрат) иа Е ие имеет к <квадрату)
на /Я отношения, как квадратное число к квадратному
числу; значит, Е несоизмерима будет с [И линейно (пред-
Черт. 57,


.КНИГА ДЕСЯТАЯ
ложение 9). Вот сделаем затем, чтобы как число ВА к АС,
так был бы и <квадрат> на Hi к <квадрату> на HG
(предложение 6. следствие); значит, <квадрат> на /Я будет
соизмерим с <квадратом> на НО (предложение 6). Но /Я
рациональна; рациональна, значит, и HG. И поскольку ВА
не имеет к АС отношения, как квадратное число к
квадратному числу, то и <квадрат> иа /Я не имеет к <квад-
рату> на GH отношения, как квадратное число к
квадратному числу; значит, /Я несоизмерима будет с HG линейно
(предложение 9). Значит, /Я, HG будут рациональными,
соизмеримыми только в степени <прячыми>; значит, /G
будет биномиалыо (предложение 36).
Вот я утверждаю, что и третьей.
Действительно, поскольку будет, что как D к АВ. так
и <квадрат> на £ к <квадрату> на /Я, как же ВА к АС,
так и <квадрат> на /Я к <квадрату> на HG, значит, «по
равенству» (предложение 22 книги V) будет, что как D
к ЛС, так и <квадрат> на Е к <квадрату> на HG. Но D
не имеет к АС отношения, как квадратное число к
квадратному числу; значит, н <квадрат> на Е не имеет к <квад-
рату> на HG отношения, как квадратное число к квадрат-
лому числу; значит, Е будет несоизмерима с HG линейно
(предложение 9). И поскольку будет, чго как ВА к АС,
так и <квадрат> на /Я к <квадрату> на НО, то значит,
<квадрат> на /Н больше, чем <квадрат> на НО
(предложение 14 книги V). Пусть теперь <квадрату> на /Н будут
равны <вмссте взятые квадраты) на HG, К; значит,
«переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), [будет],
что как АВ к ВС, так и <квадрат> на IH к <квадрату>
на К. Но АВ имеет к ВС отношение, как квадратное
число к квадратному числу; и значит, <квадрат> на /Я к
<квадрату> на К имеет отношение, как квадратное число
к квадратному числу; значит JH [будет] соизмеримо с К
линейно. Значит, IH в квадратах больше HG на <квад-
рат> на с собой соизмеримой <прямой>. И IH, HG будут
рациональными, соизмеримыми только в степени <прямыми>,
и никакая из них не будет соизмерима с Е линейно.
Значит, Ю будет третьей бнномиалью (определения
вторые, 3), что и требовалось доказать.
11 Евклид


162 ЦАЧАЛАТЕВКЛИДА
Предложение 51
Найти четвёртую биномиаль (черт. 58).
Отложим два числа АС, СВ так, чтобы АВ не имело
ни к ВС, ни также к АС отношения, как квадратное число
к квадратному числу (предложение 28, лемма). И отложим
рациональную <лряиую> D, и пусть EI будет линейно
соизмерима с D\ значит, и EI будет рациональной. И сделаем,
чтобы как число ВА к АС, так был бы <квад-
рат> на El к <квадрату> на IH (предложение 6,
„ следствие); значит, <квадрат> на El будет
соизмерим с <квадратом> на IH (предложение 6)j
. р знлчит, рациональной будет и /Н. И поскольку
"' ВА не имеет к АС отношения, как квадратное
1 число к квадратному числу, то и <квадрат> на
!,' н El не имеет к <квадрату> на 1Н отношения,
как квадратное число к квадратному числу;зна-
Черт. 58 чит' Ei несоизмерима будет с 1Н линейно
{предложение 9), Значит, EI, IH будут
рациональными, соизмеримыми только в степени прямыми; значит, ЕН
будет биномиалыо (предложение 36).
Bit я утверждаю, что и четвёртой.
Действительно, поскольку будет, что как ВА к АС,
так и <квадрат> на El к <квадрату> на IH [ВА же больше
чем ACJ, то значит, <квадрат> на EI больше <квадрата>
на 1Н {предложение 14 книги V). Пусть теперь <квадрату>
на El равны будут <вместе взятые квадраты) на IH, G;
значит , «переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие),
как число АВ к ВС, так и <квадрат> иа El к <квадрату>
на G. Но АВ ие имеет к ВС отношения, как квадратное число
к квадратному числу; значит, и <квадрат> на El ие будет
иметь к <квадрату> на G отношения, как квадратное
число к квадратному числу. Значит, EI будет линейно
несоизмерима с G (предложение 9); значит, El в квадратах
будет больше HI на <квадрат> иа несоизмеримой с собой
<прямой>. И EI, IH будут рациональными, соизмеримыми
только в степени <прямьши>, и EI соизмерима линейно с D.
Значит, ЕН будет четвёртой биномиалью (определения
вторые, 4), что и требовалось доказать.


КНИГА ДЕСЯТАЯ
163
Предложение 52
Найти пятую биномиаль (черт. 59).
Отложим два числа АС, СВ так, чтобы АВ не имело
к каждому из них отношения, как квадратное число к
квадратному числу (предложение 28, лемма), и отложим
какую-нибудь рациональную прямую D, н пусть EI будет
соизмерима [линейно] с £>; значит, EI будет рациональной.
И сделаем, чтобы как СА к АВ, так был бы <квадрат>
на EI к <квадрату> на IH (предложение 6, следствие). Но
СА не имеет к АВ отношения, как квадрат-
ное число к квадратному числу; значит, и
<квадра1> иа EI не имеет <к квадрагу> на IH s
отношения, как квадратное число к
квадратному числу. Значит, EI, IH будут рациональ- . с 1
ными, соизмеримыми только в степени <пря-
мыми> (предложение 9); значит, ЕН будет
биномиалью (предложение 36).
Вот я утверждаю, что и пятой.
Действительно, поскольку будет, что как Черт. 59.
С А к АВ, так и <квадраг> на EI к <квадрату>
на IH, то, «обращая» (предложение 7 книги V, следствие),
как ЗА к АС, так и <квадраг> па IH к <квадрагу> на IE;
значит, <квадрат> на HI больше <квадрата> иа IE
(предложение 14 книги V). Пусть теперь <квадрату> иа HI будут
равны <вместе взятые квадраты> на EI, G; значит, еперево-
рачивая» (предложение 19 книги V, следствие), будет, что
как число АВ к ВС, так и <квадрат> иа HI к <квадрату>
на G. Но АВ не имеет к ВС отношения, как квадратное число
к квадратному числу; значит, и <квадрат> на IH не имеет
к <квадрату> на G отношения, как квадратное число к
квадратному числу. Значит, IH несоизмерима с G линейно
(предложение 9); так что IH в квадратах больше IE на
<квадрат> на несоизмеримой с собой <прямой>. И HI,
IE будут рациональными, соизмеримыми только в степени
<прлмьши>, и меньшая рациональ EI будет линейно
соизмерима с отложенной рациональной <прямой> D.
Значит, ЕН будет пятой бииомиалью (определения
вторые, 5),что и требовалось доказать.
11*


'64 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 53
Найти шестую биномиаль (черт. 60),
Огложим два числа АС, СВ так, чтобы АВ не имело
к каждому из них отношения, как квадратное число к
квадратному числу (предложение 28, лемма); пусть же будет
и другое число D, не являющееся квадратом и не имеющее
к каждому из АВ, ВС отношения, как квадратное число
к квадратному числу; и отложим некоторую ра-
'' Т Т циональпую прямую Е, и сделаем, чтобы как D
р £ к АВ, так и < квадрат > на Е к < квадрату > на
1 ///(предложение 6, следствие); значит,<; квадрат >
.£ I иа £ соизмерим с < квадратом > на IH
(предложение 6). И Е рациональна; рациональна, зна-
1чиг, и /И. И поскольку D не имеет к А В
отношения, как квадратное число к квадратному
числу, то значит, и < квадрат > на Е не имеет к
-S < квадрату > на /// отношения, как квадрашое
Черт 60 число к квадратному числу; значит, Е будет
линейно несоизмерима с /// (предложение 9). Вот
сделаем затем, чтобы как ВА к АС, так и <
квадрат > на [И к < квадрату > на HG (предложение 6, следствие).
Значит, <квадраг> на /// соизмерим с <квадратом> иа HG
(предложение 6). Значит, < квадрат > на GH рационален;
рациональна, значит, и GH. И поскольку ВА не имеет к АС
отношения, как квадратное число к квадратному числу, то
и <квадрат> иа /// пе имеет к <квадрагу> на HG
отношения, как квадратное число к квадрагному числу; значит, ///
будет линейно несоизмерима с HG (предложение 9). Значит,
///, HG будут рациональными, соизмеримыми только в степени
<прямыми>; значит, /G будет биномиалью.
Вот следует доказать, что и шестой.
Действительно, поскольку будет, что как D к АВ, так
и < квадрат> на Е к < квадрату > иа ///, будет также, что
и как ВА к АС, так и <квадрат> на /// к <квадра'[у> на
//G, то значит, «по равенству» (предложение 22 книги V)
будет, что как D к АС, так и < квадрат > па Е к <
квадрату > на HG. Но D не имеет к АС отношения, как
квадратное число к квадратному числу; также, значит, и <квад-


КНИГА ДЕСЯТАЯ
165
рат > на Е не имеет к < квадрату> иа НО отношения, как
квадратное число к квадратному числу; значит, Е будет
линейно несоизмерима с НО (предложение 9). Доказана же,
что она несоизмерима и с IH; значит каждая из Ш, НО
будет линейно несоизмерима с Я. И поскольку будет, что
как ВА к АС, так и < квадрат> ил Шк < квадрату > па HG,
то значит, < квадрат > на IH больше < квадрата > на HG
(предложение 14 книги V). Пусть теперь < квадрату > на /И
равны будут < вместе взятые квадраты> на НО, К; значит,
«переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), как
АВ к ВС, так и <квадрат> на IH к < квадрату > на К- Но
АВ не имеет к ВС отношения, как квадратное число к
квадратному числу; так что и < квадрат > на IH ие имеет
к < квадрату > на К" отношения, как квадратное число к
квадратному числу. Зиачиг, IH будет линейно несоизмерима
с К. (предложение 9); значит, IH в квадратах больше HG
на < квадрат > на несоизмеримой с собой < прямой >. И IH,
HG будуг рациональными, соизмеримыми только в степени
< прямыми >, и ни одиа из них ие будет линейно
соизмерима с отложенной рациональной < прямой > Е.
Значит, Ю будет шестой бицомиалью (определения
вторые, 6), что и требовалось доказать.
Лемма (47)
Пусть будут два квацрата АВ, ВС, и поместим их так,
чтобы DB была по прямой с BE; значит, и IB будет по
прямой с ВИ. И дополним параллелограмм
АС; я утверждаю, что АС будет квадра- tft—= 1 ,[,
том, и что DH будет средней
пропорциональной для АВ, ВС, и ещё что DC будет О — —Е
средней пропорциональной для АС, СВ
(черт. 61).
Действительно, поскольку DB равна .' I -, iff
BI, BE же <равна> ВИ, то значит, вся !
DE будет равча всей IH. Но DE равна Черт, 61.
каждой из АО, КС, a IH равна каждой
из АК, GC (предложение 34 книги 1); и значит, каждая
из AG, КС равна каждой из АК, ОС. Значит, парачлело-


166
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
грамм АС будет равносторонним; он же и прямоугольный;
значит, АС будет квадратом.
И поскольку будет, что как IB к ВН, так и DB к BE,
но как /В к ВН, так и АВ к DH, как же DB к BE, так
и DH к ВС (предложение 1 книги VI), и значит, как АВ
к £>//, так и DH к ВС Значит, для АВ, ВС средней
пропорциональной будет DH.
Вог я утверждаю, что и для АС, СВ средней
пропорциональной [будет] DC.
Действительно, поскольку будет, что как AD к DK,
так и КН к НС; ибо каждая равна [будет] каждой; и,
«присоединяя» (предложение 18 книги V), как АК к f(D,
так и КС к СН, но как АК к KD, так и АС к CD, как
же КС к СН, так и DC к СВ, и значит, как АС к ОС,
так и DC к ВС Значит, для АС, СВ средней
пропорциональной будет DC; это и предложено было доказать *).
Предложение 54
Если площадь заключается между рациональной
(прямой'} и первой биномиалыо, то квадрарующая эту
площадь будет иррациональной, так называемой биномиалью.
Пусть площадь АС заключается между рациональной
<прячой> АВ и первой биномиалыо AD; я утверждаю, что
квадрирующая площадь АС будет иррациональной, так
называемой биномиалью (черт. 62).
Действительно, поскольку AD есть первая бшгомиаль, то
разделим сё в £ на рационали, и пусть большая рациональ
будет АЕ. Ясно вот, что АЕ, ED будут рациональными,
соизмеримыми только в степени, и что АЕ в квадратах
будет больше ED на <квадрат> на соизмеримой с собой
<лрямой>, и АЕ линейно соизмерима с отложенной
рациональной <лрямой> АВ (определения вторые, 1). Разделим вот
ED пополам в точке /. И поскольку АЕ в квадратах
*) Необычная форма заключения (а jtfos*a-o Ssi^at вместо
fksp ihi Ssi'sii), a также тот факт, что первая часть этой леммы,
равносильная пропорции х2:ху = ху.у2, по существу уже была
доказана в предложении 11 книги VIII, заставляют сомневаться в
подлинности этой леммы (Heath).


КНИГЛ ДЕСЯТАЯ
/ D
G
L С
Р
больше ED на <квадрат> на соизмеримой с собой, то
значит, если к ббльшей АЕ приложить с недостатком в виде
квадрата <площадь>, равную четвёртой части <квадрата>
на меньшей, то-есть <квадрату> на El, то она разделит её
па соизмеримые <части>. Приложим теперь к АЕ равный
<;квадрату> на El <прямоугольник> между АН, НЕ;
значит, АН соизмерима будет с ЕН линейно, И проведём из
Н, Е, Т параллельно каждой из АВ, CD <прямые> HG,
EK, IL\ и построим равный <параллелограмму> AG квадрат
SN, <параллелограмму> же НК
равный <квадрат> NP (предложение 14
книги II), и расположим так, чтобы
MN была по прямой с NX;
значит, и RN будет по прямой с N0.
И дополним параллелограмм SP;
значит, SP будет квадратом (см. лемму),
И поскольку <лрямоугольник> между
АН, НЕ равен <квадрату> на EI, то
значит, будет, что как АН к El, так
и IE к ЕН (предложение 17 книги VI);
и значит, как AG к EL, <так и> EL
к Д77 (предложение 1 книги VI);
значит, EL будет средним
пропорциональным для AG, НК. Но AG равен будет SN, ШГже равен
NP; значит, EL будет средним пропорциональным для SN, NP.
Также и MR будет средним пропорциональным тех же
самых SN, NP (см, лемму); значит, EL равен будет MR;
так что он равен будет и ОХ (предложение 43 книги I).
Также и AG, НК <вместе> равны будут SN, NP; значит,
весь АС равен будет всему SP, то-есть <квадрату> на MX;
значит, <прямая> MX будет квадрировать АС.
Я утверждаю, что MX будет биномиалью.
Действительно, поскольку АН соизмерима с НЕ, то и
АЕ будет соизмеримой с каждой из АНу НЕ
(предложение 15). Предполагается же и АЕ соизмеримой с АВ;
значил, н АН, НЕ будут соизмеримы с АВ (предложение 12).
И АВ рациональна; рациональной, значит, будет и каждая
из АН, НЕ (предложение 14); рациональным, значит, будет
и каждый из AG, НК (предложение 19), и AG будет
V
.!
N
1
Черт. 62,


НАЧАЛА ЕВКЛИДА
соизмерим с ИК. Но AG равен SN, ИК же NP; и значит, SN,
NP, то-есть <квадраты> на МЫ, NX, будут рациональны
и соизмеримы. И поскольку АЕ несоизмерима с ED
линейно, но АЕ соизмерима с АН, DE же соизмерима с EI,
то значит, и АН несоизмерима с El (предложение 13); так
что и AG будет несоизмерима с EL (предложение \
книги VI; предложение 11 книги X). Но AG равен SN, EL
же MR; значит, и SN будет несоизмерим с MR. Но как
SN к MR, <так и прямая> ON к NR (предложение 1
книги VI); значит, ON будет несоизмерима с NR
(предложение 11). Но ON равна MN, NR же NX; значит, MN
несоизмерима будет с NX. И <квадрат> на МЫ соизмерим
с <квадратом> на NX, и каждый рационален; значит,
А1Ы, NX будут рациональными, соизмеримыми только в
степени.
Значит, MX будет биномиалыо (предложение 36) и
квадрирует АС, что и требовалось доказать.
Л
N Е ! D
Предложение 55
Если площадь заключается, между рациональной <Лря-
мойу и второй баномиалью, то квадрирующая эту
площадь будет иррациональной, так
называемой первой бимедиалью.
Пусть площадь ABCD
заключается между рациональной <прямой> АВ
и второй биномиалыо AD; я
утверждаю, что квадрирующая площадь АС
будет первой бимедиалью (черт. 63).
Действительно, поскольку AD
есть вторая биномиаль, то разделим
её в Е на рационали так, чтобы АЕ
была большей рациональю; значит,
АЕ, ED будут рациональными,
соизмеримыми только в степени, и АЕ в
квадратах более ED на <квадрат>
на соизмеримой с собой <прямой>, и меньшая рацио-
наль ED будет линейно соизмерима с АВ (определения
вторые, 2). Разделим ED пополам в / и к АЕ при-
it t
1
N
( ь
Р
X
S
Черт. 63.


КНИГА ДЕСЯТАЯ
169
ложим с недостатком в виде квадрата равный <квад-
рату> на EI <прямоугольник) АНЕ*)\ значит, АН будет
линейно соизмерима с НЕ (предложение 17). И через Н,
Е, I параллельно АВ, CD проведём HG, ЕК, И, и построим
равный параллелограмму AG квадрат SN,
Параллелограмму) же ИК равный квадрат NP, и расположим так, чтобы
MN была по прямой с НХ\ значит, и RN [будет] по
прямой с N0. И дополним квадрат SP; тогда ясно из
доказанного выше (предложение 53, лемма), чго MR будет
средним пропорциональным для SN, NP и равным EL и
что MX квадрирует площадь АС. Вот следует доказать,
чго MX будет первой бимедиалыо. Поскольку АЕ линейно
несоизмерима с ED, ED же соизмерима с АВ, то значит,
и АЕ несоизмерима с АВ (предложение 13). И поскольку
АН соизмерима с ЕН, то и АЕ б^дет соизмеримой с
каждой из АН, НЕ (предложение 15). Но АЕ линейно
несоизмерима с АВ; и значит, АН, НЕ будут несоизмеримы с АВ
(предложение 13). Значит, BAt АН, НЕ будут рациональными
соизмеримыми только в степени; так что каждая из <пло-
щадей) AG, HK будет медиальной (предложение 21). Так
что и каждый из SN, NP будет медиальным. И значит,
MN, NX будут медиаля\ш. И поскольку АН линейно
соизмерима с НЕ, то и <площадь> AG будет соизмерима с
НК, то-есть SN с NP, то-есть <квадрат) на М\г с <квад-
ратом) на NX (предложение 1 книги VI; предложение 11
книги X) [гак чго MN, NX будут соизмеримыми в степени].
И поскольку АЕ линейно несоизмерима с ED, ио АЕ
соизмерима с АН, ED же соизмерима с EI, то значит, АН
несоизмерима с Ef (предложение 13), так что и AG
несоизмерима будет с EL, то-есть SN с MR, то-есть <прямая>
ON с NR, то-есть MN будет линейно несоизмерима с NX
(предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X).
Доказано же, что MN, NX являются и медиалямн, и
соизмеримыми в степени; значит, MN, NX будут медналями,
соизмеримыми только в степени. Вот я утверждаю, что
они и заключают рациональную <ллощадь>. Действительно,
поскольку DE предполагается соизмеримой с каждой из
*) Т. е. произведение прямых АН-НЕ.


170
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
НЕ] V
АВ, EI, то значит, и EI соизмерима с ЕК. И каждая из
них рациональна; рациональна, значит, н <ллощадь> EL,
то-есть MR (предложение 19); MR же есть <прямоуголь-
ннк> между MN, NX. Если же составляются две
соизмеримые только в степени медиалн, заключающие
рациональную <площадъ>, то целая будет иррациональной, называется
же первой бимедиалью (предложение 37).
Значит, ЖА'будет первой бнмедиалью, что и требовалось
доказать.
Предложение 56
Если площадь заключается между рациональной
(прямой'} и третьей биномиалью, то /свадрирующая эту
площадь будет иррациональной, так называемой второй
бимедиалью.
Пусть площадь ABCD заключается между рациональной
<прямой> АВ и третьей биномиалью AD, разделённой в Е
рацчоналн, из которых большей
будет АЕ; я утверждаю, что квадри-
рующая площадь АС будет
иррациональной, так называемой второй
бимедиалью (черт. 64).
Действительно, произведём те же
самые построения, что и раньше.
И поскольку AD третья бнномиаль,
то значит, АЕ, ED будут
рациональными, соизмеримыми только в степе-
пи, и АЕ в квадратах более ED на
<квадрат> на соизмеримой с собой,
и никакая из АЕ, ED не [будет]
соизмеримой с АВ линейно
(определения вторые, 3). Тогда, подобно вышедоказанному, покажем,
что MX будет квадрирующей площчдь АС и чго MN,
NX будут медиалячи, соизмеримыми только в степени;
так что MX будет бимедиалью.
Следует вот доказать, чго и второй.
[И] поскольку DE несоизмерима линейно с АВ, то-есть
с ЕК, DE же соизмерима с El, то значит, EI несоизмерима
будет с ЕК линейнт (предложение 13). И они рациональны;
G К
S
N
О
Черт. 64.


КНИГА ДЕСЯТАЯ
171
значит, IE, EK будут рациональными, соизмеримыми только
в степени. Значит, <площадь> EL, то-есгь MR [будет]
медиальной (предложение 21); и она заключается между
MN, NX; значит, <прямоугольник> MNX*) будет
медиальным.
Значит, MX будет второй бимедиалью (предложение 38),
чго и требовалось доказать.
/ В
G К
Я
С
Предложение 57
Если площадь заключается между рациональной
(прямой} а четвёртой биномиалью, то /свадрирующая эту
площадь будет иррациональной, так называемой «большей-».
Пусть площадь АС заключается
между рациональной <прямой> АВ и
четвёртой биномиалью AD,
разделённой в £ на рационали, из которых
большей пусть будет АЕ; я
утверждаю , что квадрирующая площадь
АС будет иррациональной так нэзел-
ваемой «большей» (черт. 65).
Действительно, поскольку AD
четвёртая биномиаль, то значит, АЕ,
ED будут рациональными,
соизмеримыми только в степени, и АЕ в
квадратах более ED на <квадрат> на
несоизмеримой с собой, и АЕ [будет]
линейно соизмерима с АВ (определения вторые, 4). Разделим
DE пополам в / и приложим к АЕ равный <квадрату> на EI
параллелограмм, что между АН, НЕ; значит, АН будет
линейно несоизмерима с НЕ (предложение 18).
Параллельно АВ проведём HG, EK, U- и сделаем остальное то
же самое, чго пред этим; тогда ясно, что квадрирующей
площадь АС будет MX. Следует вот доказать, чго MX
будет иррациональной, так называемой «ббльшей». Поскольку
А, I несоизмерима с ЕЙ линейно, то и <площадь> AG будет
несоизмерима с Нк, то-есть SN с ЫР (предложение 1
N
S О
Черт. 65.
*) То-есть MN-NX.


172
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
книги VI; предложение 11 книги X); значит, МЫ, NX
будут несоизмеримы в степени. И поскольку АЕ
соизмерима с АВ линейно, то АК будет рациональной <пло-
щадыо> (предложение 19); и она равна <вместс взятым
квадратам) на ЛШ, NX; значит, рациональным буде г н
составленное из <квадратов) на MN, NX. И поскольку
DE [будет] несоизмеримой линейно с АВ, то-есть с ЕК
(предложение 13), но DE будет соизмерима с El, то
значит, EI будет несоизмерима с ЕК линейно (предложение 13).
Значит, ЕК. EI будут рациональными, соизмеримыми только
в степени; значит, <площадь) LE, то-есть MR, медиальнз
(предложение 21). И заключается она между МЫ, NX;
значит, (прямоугольник) между МЫ, NX будет
медиальным. И [составленное] из <квадратов> на МЫ, NX рацио-
нально, и MN, NX будут несоизмеримыми в степени.
Если же составляются две прямые, несоизмеримые в
степени, делающие составленное из квадратов на них
рациональным, -(прямоугольник) же между ними медиальным, то
целая (прямая) будет иррациональной, называется же
«большей» (предложение 39),
Значит, MX будет иррациональной, так называемой
«большей», и квадрирует площадь АС, что и требовалось
доказать.
Предложение 58
Если площадь заключается между рациональной (прч-
моиу и пятой биномиалыо, то ктдрирующая эту
площадь будет иррациональной, mate называемой рационально
и медиально квадрирующей.
Пусть площадь АС заключается между рациональной
<прямой> АВ н пятой биномиалыо АО, разделённой в Е на
рационалн так, чтобы большей была АЕ; я утверждаю
[тогда], что квадрнрующая площадь АС будет
иррациональной, так называемой рационально и медиально киадрирую-
щей (черт. 66).
Действительно, произведём те же самые (построения),
что и в доказанных выше; тогда ясно, что квадрирующей
площадь АС будет MX. Следует вот доказать, что MX
будет рационально и медиально квадрирующей. Действи-


книга 'десятая
173
й
н
в
м
f 1
i h L
R
//
Р
О
тельно, поскольку АН несоизмерима с НЕ (предложение 18),
то значит, и <площадь> AG будет несоизмерима с GE,
то-есть <квадрат> на MN с <квадратом> на NX
(предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X); значит, МЫ,
NX будут несоизмеримыми в степени. И поскольку AD
есть пятая бнномиаль, и меньшим её отрезком [б^дет] ED,
то значит, ED линейно соизмерима
с АВ (определения вторые, 5). Но —
АЕ несоизмерима с ED; и значит,
АВ будет линейно несоизмерима с АЕ
(предложение 13) [ВА, АЕ будут
рациональными, соизмеримыми только
в степени]; значит, <площадь> АК,
то-есть составленное из <квадратов>
на AIN, NX будет медиальным
(предложение 21). И поскольку DE
будет линейно соизмерима с АВ, то-
есть с Я/С, но DE соизмерима с El,
значит, и £7 будет соизмерима с ЕК
(предложение 12). И ЕК
рациональна; рациональна, значит, и <площадь> EL, то-есть MR, то-
ссть <прямоугольник) MNX*) (предложение 19); значит,
MN, NX будут несоизмеримыми в степени, образующими
составленное из квадратов на них медиальным,
(прямоугольник) же между ними рациональным.
Значит, MX будет рационально и медиально квадрил
рующей (предложение 50) и квадрирует площадь АС, что
и требовалось доказать.
0
Черт. 66.
Предложение 59
Если площадь заключается между рациональной (пря~
мойу и шестой биномиалью, то тадрарующая эту
площадь будет иррациональной, так называемой бимедиалъно
гсвадрирующей.
Пусть площадь ABCD заключается между
рациональной <прямой> АВ и шестой биномиалью AD, разделённой
в Е на рациоцали, так, чтобы большей рациональю была
*) Произведение MN-NX*


174
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
я
/
в
м
.г
i
F !
В К L
fi
N
Р
О
Черт. 67.
АЕ\ я утверждаю, что квадрнрующая АС будет бнмеди-
ально квадрнрующей (черт. 67).
[Действительно], произведём те же самые, что н в выше-
доказанных, ^построения). Тогда ясно, что квадрнрующей
<площадь> АС будет MX, н что MN будет несоизмерима
в степени с NX. И поскольку ЕА будет линейно
несоизмерима с АВ (определения вторые, 6), то значит, ЕА, АВ
будут рациональными соизмеримыми
только в степени; значит, <площадь>
АК, то-есть составленное из
■(квадратов) на MN, NX, будет
медиальным (предложение 21). Затем,
поскольку ED линейно несоизмерима
с АВ (определения вторые, 6), то
значит, и IE будет несоизмерима с ЕК
(предложение 13); значит, IE, EK
будут рациональными, соизмеримыми
только в степени; значит, <площадь>
EL, то-есть MR, то-есть
-(прямоугольник) MNX*), будет
медиальным (предложение 21). И поскольку
АЕ несоизмерима с EI, то и <шющадь> АК будет
несоизмерима с EL (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X).
Но АК будет составленным нз <квадратов> на MN, NX, a EL
будет <прямоугольннк> MNX; несоизмеримы, значит, будут
составленное нз <квадратов> па MN, NX н <ирямоуголь-
ннк> MNX. И каждое нз них будет медиальным, и MN,
NX будут несоизмеримыми в степени.
Значнг, MX будет бимедиально квадрнрующей
(предложение 51) и кнадрирует <площадь> АС, что и требовалось
доказав.
[Лемма (48)
Если прямая линия рассечена иа неравные, то квадраты
на неравных будут больше дважды прямоугольника,
заключающегося между неравными**).
*) То-есть MM- NX.
**) Гейберг считает эту лемму неподлинной, поскольку Евклнл
уже молчаливо использовал её при доказательстве
предложения 44. Она легко получается из предложения 7 книги П.


КНИГА ДЕСЯТАЯ 175
Пусть прямая будет АВ; рассечём <её> иа неравные
в С, и пусть большей будет АС; я утверждаю, что
-(квадраты) на АС, СВ будут больше дважды (прямоугольника)
между АС, СВ (черт. 68).
Действительно, рассечём АВ пополам в D.
Поскольку теперь прямая линия рассечена на
равные в D, иа неравные же в С, то значит,
(прямоугольник) между АС, СВ вместе с (квадратом)
на CD будет равен (квадрату) иа AD
(предложение 5 кичгн II); так что (прямоугольник)
между АС, СВ будет меньше (квадрата) на AD;
значит, дважды (прямоугольник) между АС, СВ Черт. 68.
будет меньше удвоенного (квадрата) на AD. Но
(вместе взятые квадраты) на АС, СВ вдвое больше [будут]
(квадратов) на AD, DC (предложение 9 кннгн II); [значит,
(квадраты) на АС, СВ будут больше дважды
(прямоугольника) между АС, СВ, что и требовалось доказать].
Предложение 60
-(Квадрату на биномиали, приложенный к
рациональной кпрямойу, образует шириной первую биномиаль.
Пусть будет биномиаль АВ, рассечённая в С на рацио-
налн так, чтобы большей ращюналью была АС; отложим
рациональную (прямую) DE, н прн-
,-• — - \ ft—у—¥ ложнм к DE равный (квадрату) на
АВ (параллелограмм) DEIH, обра-
I зующий ширину DH; я утверждаю,
£ £ I х ! что DH будет первой бнночналью
Я U В ^ерт. 69).
Действительно, приложим к DE
Черт. 69. равную (квадрату) иа АС (площадь)
DG, <квадрату) же на ВС равную
(площадь) KL; остающийся, значит (предложение 4
книги II), дважды (прямоугольник) между АС, СВ равен будет
<площади) ML Разделим МН пополам в /V и проведём
NX параллельно [каждой из ML, Hf\. Значит, каждый нз
МЛ, N1 будет равен один раз (взятому прямоугольнику)


176
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
ЛСВ*), И поскольку АВ—-биномиаль, рассечённая в С на
рационали, то значит, АС, СВ будут рациональными,
соизмеримыми только в степени (предложение 36); значит,
<квадраты> на АС, СВ будут рациональны и соизмеримы
между собой; так что и составленное из <квадратов> на
АС, СВ [соизмеримо будет с <квадратами> на АС, СВ
(предложение 15); значит, составленное из <квадратов> на
АС, СВ будет рациональным]. И равно оно DL; значит,
DL будет рациональным, И прилагается он к
рациональной DE; значит, DM будет рациональна н соизмерима
с DE линейно (предложение 20). Затем, поскольку АС,
СВ будут рациональными, соизмеримыми только в
степени, то значит, дважды <пряыоугольник> между АС, СВ,
то-есть Ml, будет медиальным (предложение 21), И
прилагается он к рациональной ML; значит, и ЛШ будет
рациональна и линейно несоизмерима с ML, то-есть с
DE (предложение 22). Также и MD рациональна и
линейно соизмерима с DE; значит, DM будет линейно
несоизмерима с МИ (предложение 13). И они рациональны;
значит, DM, МИ будут рациональными, соизмеримыми
только в степени; значит, DH будет биномиалью
(предложение 36).
Следует вот доказать, что и первой.
Поскольку для <квадратов> на АС, СВ средним
пропорциональным будет <1фямоугольник> АСВ*) (лемма
предложения 21), то значит, н для DG, KL средним
пропорциональным будет MX. Значит, будет, чю как DG к MX,
так и MX к KL, то-есть (предложение 1 книги VI) как
<прямые> DK к MN, <гак и> МЫ к МК, значит,
(прямоугольник) между DAT, KM будет равен <квадрату> на
МЫ (предложение 17 книги VI). И поскольку <квадрат>
на АС соизмерим с <квадратом> на СВ, то и <площадь>
DG соизмерима будет с KL; так что и <прямая> DK будет
соизмерима с КМ (предложение 1 книги VI;
предложение 11 книги X). И поскольку <вместе взягые квадраты>
на АС, СВ больше дважды <прямоугольннка> между АС,
СВ (см. лемму), то значит, и <площадь> DL больше Ml;
*) То-есть АС-СВ.


КНИГА ДЕСЯТАЯ
177
так что и <прямая> DM будет больше МИ
(предложение 1 книги VI; предложение 14 книги V). И
■(прямоугольник) между DK, КМ будет равен <квадрату> на МЫ,
то-есть четверти <квадрата> на МН, и DK соизмерима с
КМ, Если же будут две неравные прямые, к большей же
приложен с недостатком в виде квадрата <иараллелаграмм>,
равный четвёртой части <квадрата> на меньшей, и если он
разделяет её на соизмеримые <части>, то в квадратах
ббльшая будет больше меньшей на <квадрат> на
соизмеримой с собой <прямой> (предложение 17); значит, DM в
квадратах будет больше МН на <квадрат> на соизмеримой
с собой. И DM, МН суть рациональные <прнмые>, и DM,
будучи большей рациональю, соизмерима будет линейно с
отложенной рациональной <прямой> DE.
Значит, DH будет первой бинэчиалью (определения
вторые, 1), что и требовалось доказать.
Предложение 61
Квадрат на первой бимедиал'л, приложенный к
рациональной -(прямой}, образует шириной вторую биномаалъ.
Пусть будет первая бимедиаль АВ, разделённая в С
на медиали, из которых большая АС', огложнм
рациональную (прямую) DE и приложим к DE
равный <квадрату> на АВ паралле- В К №. N И
лограмм DI, образующий шири-
ну DH; я утверждаю, что DH будет
второй бинормалью (черт, 70), I LJ
Действительно, произведём те же и L X /
самые ^построения), что и выше. ^ С В ,
И поскольку АВ— первая бимедиаль, ц _п
рассечённая в С, то значит, АС, ер1' ' "
СВ будут соизмеримые только в
степени медиали, заключающие рациональную <площадь>
(предложение 37); так что и <квадраты> на АС, СВ буд^т
медиальными (предложение 21). Медиальной, значит, будет
и <площадь> DL, И прилагается она к рациональной <пря-
мой> DE; значит, MD будет рациональна и несоизмерима
с DE линейно (предложение 22). Затем, поскольку рацио-
' 2 Евклид


178 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
нален дважды <прямоугольннк> между АС, СВ, рациональна
будет и <площадь> Ml, И прилагается она к
рациональной ML; рациональной, значит, [будет] и МН, и линейно
соизмеримой с ML, то-есть с DE (предложение 22);
значит, DM несоизмерима будет линейно с МН
(предложение 13). И они рациональны; значит, DM, МН будут
рациональными, соизмеримыми только в степени; значит,
DH будет бнпомиалью (предложение 36).
Следует вот доказать, чго и второй.
Действительно, поскольку <вместс взятые квадрагы>
на АС, СВ больше дважлы прямоугольника> между АС,
СВ, то значит, н <площадь> DL больше AM
(предложение 9, лемма); так что и DM <больше> МН. И поскольку
<квадрат> на АС соизмерим с <квадратом> на СВ, то и
<площадь> DG соизмерима с KL; так что и <прямая) DK
будет соизмерима с КМ (предложение 1 книги VI;
предложение 11 книги X). И <црЯ11оугольник> DKM*) равен
<квадрату> на MN; значит, DM в квадратах больше МН
на <квадрат> на соизмеримой с собой (предложение 17).
И МН линейно соизмерима с DE.
Значит, DH будет второй биномиалыо (определения
вторые, 2).
Предложение 62
(Квадрату на второй бамедиали, приложенный к
рациональной (прямойу, образует шириной третью бино-
миаль.
Пусть будет вторая бимедиаль АВ, разделённая в С на
медиали так, чтобы большим отрезком был АС, пусть же
будет какая-нибудь рациональная DE, и приложим к DE
равный <квадрату> на АВ параллелограмм DI, образующий
ширину DH; я утверждаю, чю DH будет третьей
биномиалыо (черт. 71).
Действительно, произведём те же самые <построеиия>,
что и в вышедоказанных. И поскольку АВ — вторая
бимедиаль, разделённая в С, то значит, АС, СВ будут
соизмеримые только в степени медиали, заключающие медиальную
*) То-есть DK-KM.


КНИГА ДЕСЯТАЯ
179
<площадь> (предложение 38); так что и составленное из
<квадратов> на АС, СВ будет медиальным. И они равны DL;
медиальной, значит, будет и (площадь) DL, И
прилагается она к рациональной DE; значит, и <прямая> MD
будет рациональна и несоизмерима с DE линейно
(предложение 22). На том же вот основании и МИ будет
рациональной и линейно несоизмеримой с ML, то-есть с
DE; значит, каждая из DM, МИ
рациональна и линейно иесоизме- ^ к. ';' у Н
рима с DE. И поскольку АС линейно
несоизмерима с СВ, как же АС к СВ,
так и <квадрат> на АС к <прямоутоль- }. \—j j-—
нику> АСВ*) (предложение 21, лем- ° 'р
ма), то значит, и <квадрат> на АС < 1
несоизмерим с <прямоугольником)
АСВ*) (предложение 11). Так что Черт, 71.
н составленное из <квадратов> на АС,
СВ будет несоизмеримым с дважды <прямоугольником>
АСВ*), то-есть <площадь> DL с Ml; так что и <прямая> DM
будет несоизмерима с МИ (предложение 1 книги VI;
предложение 11 книги X). И они рациональны; значит, DH
будет бнномиалью (предложение 36).
Следует [вот] доказать, что н третьей.
Подобно вот предыдущему заключаем, что DM будет
больше МИя DKсоизмерима с КМ. И <прямоугольник) DKM **)
равен <квадрату> на МЫ; еначит, DM в квадратах более
МИ на <квадрат> на соизмеримой с собой (предложение 17).
И никакая из DM, МИ не будет линейно соизмеримой
с DE.
Значит, DH будет третьей бнномиалью (вторые
определения, 3), что н требовалось доказать.
Предложение 63
Квадрат на большей {иррациональной}, приложенный
}с рациональной {прямой'}, образует шириной четвёртую
биномиаль.
*) То-есть АС-СВ.
**) То-есть DK-KM.
12*


180
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть будет «большая» <иррациональпая> АВ,
разделённая в С так, чтобы АС была больше СВ, рациональная
же <прямая) DE, и приложим к DE равный <квадрату>
на АВ параллели рамм DI, образующий ширину DH; я
утверждаю, что DH будет четвертой биномиалью (черт. 72).
Произведём те же самые построения, что и в выше
доказанных. И поскольку АВ есть «большая» <иррациональная>,
разделённая в С, то АС, СВ будут не-
/г ,—Z 1 ' соизмеримыми в степени <прямыми>, об-
I j I разующими составленное из квадратов
на них рациональное, <прямоугольник)
/ I. , X [ же между ними медиальный (предложе-
д , н иие 39). Поскольку теперь составленное
i 1 из <квадратов> на АС, СВ рационально,
Черт. Т2 то значит, <площадь> DL будет
рациональной; рациональна, значит, и <прямая>
DM и линейно соизмерима с DE (предложение 20). Затем,
поскольку дважды <прямоугольник) между АС, СВ, то-есгь
М/} медиален и находится при рациональной ML, то
.значит, и МИ будет рациональной н линейно несоизмеримой
с DE (предложение 22); значит, и DM будет линейно
несоизмерима с МИ (предложение 13). Значит, DM,
МИ буду г рациональными, соизмеримыми только в сге-
цени <[[рямымц>; значит, DH будет бинзмиалыо
(предложение 36).
Следует [ног] доказать, что и четвёртой.
Подобно вот том\, как выше, докажем, чю DM будет
больше МИ и что <прямоугольнпк> DKM*) равен <квад-
рату> на A1N. Поскольку теперь <квадрат> на АС
несоизмерим с <квадратом> на СВ} то значит, и <площадь> DG
несоизмерима с KL; так что и <прямая> DK будет
несоизмерима с КМ. Если же будут две неравные прямые и к
большей приложен с недостатком в виде квадрача равный
четвёртой части <квадрата> на меньшей параллелограмм и
если он разделяет её на несоизмеримые <части>, то в
квадратах большая будет больше меньшей на <квадрат> на
линейно несоизмеримой с собой <прямой> (предложение 18);
*) То-есть DK-KM.


КНИГА ДЕСЯТАЯ 181
значит, DM в квадратах более МНт <кнадрат) на
несоизмеримой с собой <пря.мой>. И DM, MH будут
рациональными, соизмеримыми только в степени <прямыми), и DM
соизмерима с отложенной рациональной DE,
Значит, DH будет четвёртой биномиалью (определения
вторые, 4), чго и требовалось доказать.
Предложение 64
(Квадрат") на рационально и медиально кеадрирующей,
приложенный к рациональной (прямой"), образует
шириной пятую биномиаль.
Пусть будет рационально и медиально квадрнрующая
АВ, разделённая на прямые в С, чак, чтобы АС была
большей; отложим рациональную
.■(Прямую) DE и приложим к DE р к м N H
равный <квадрату> на АВ <параллело-
грамм) DI', образующий ширину DH;
я утверждаю, что DH будет пятой \ g—7 \—
биномиально (черт. 73). „ СИ
Произведём те же самые <по- i . !
строения), чго и выше. Поскольку Чсрт 73
теперь АВ есть рационально и.
медиально квздрирующая, разделённая' в С, то значит, АС, СВ
будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное
из квадратов на них медиальное, прямоугольник) же
между ними рациональный (предложение 40). Поскольку
теперь составленное из <квадратов) на АС, СВ медиально,
то значит, (площадь) DL будет медиальной; так что DM
будет рацнонатьной и линейно несоизмеримой с DE
(предложение 22). Затем, поскольку рационален дважды
<прямоугольник) АСВ *), то-есть Ml, то значит, <прямая) МИ
рациональна н соизмерили с DE (предложение 20). Значит.
DM несоизмерима с МИ (предложение 13); значит, DM,
МН будут рациональными, соизмеримыми только в степени;
значит, DH будет биномналью (предложение 36).
*) То-есть АС- СВ.


'82 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Вот я утверждаю, что и пятой.
Действительно, подобным же образом докажется, что
(прямоугольнику DKM *) будет равен <квадрату> иа MN
и DK несоизмерима с КМ линейно; значит, DM в
квадратах более МН на <квадрат> на несоизмеримой с собой
(предложение 18). И DM, МН [рациональные] соизмеримые
только в степени, и меньшая МН соизмерима с DB
линейно.
Значит, DH будет лятой биномиалью (определения
вторые, 5), что н требовалось доказать.
Предложение 65
(Квадрату на бимедиально квадрирующей,
приложенный к рациональной (прямойу, образует шириной шестую
биномиаль.
Пусть будет бимедиально квадрирующая Л#,
разделённая в С, рациональная же пусть будет DE, и к DE при-
ложнм равный <квадрату> на АВ <па-
' —,—[ 1—1 раллелограмм> £>/, образующий
ширину DH; я утверждаю, что DH будет
шестой биномиалью (черт. 74).
; pi х i Действительно, произведём те же
самые <пос[роения>, чго выше. И по-
i -г а скольку АВ будет бимедиально квадри-
рующей, разделённой в С, то значит.
Черт. 74. АС, СВ буду г несоизмеримыми в
степени, образующими составленное из
квадратов на них медиальное и <прямоугольник> между ними
медиальный, и ещё составленное из квадратов на них
несоизмеримым с <прямоугольником> между ними
(предложение 41); так что, согласно вышедоказанному, каждая из
<площадей> DL. АН будет медиальной. И они прилагаются
к рациональной DB; значит, каждая из <прямых> DM, МН
будет рациональной и линейно несоизмеримой с DE
(предложение 22). И поскольку составленное из <квадратов> на
*) То-есть D%-KM.


КНИГА ДЕСЯТАЯ '83
АС, СВ несоизмеримо с дважды <прямоугольником> между
АС, СВ, то значит, и <плошддь> DL несоизмерима с Ml.
Значит, и <прямая> DM несоизмерима с МИ
(предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X); значит, DM,
МИ будут рациональными, соизмеримыми только в степени;
значит, DH будет биномиалью (предложение 36).
Вот я утверждаю, что и шестой.
Опять во г подобном же образом докажем, что <прямо
угольник> DKM*) будет равен <квадрату> на MN и что
DK будет линейно несоизмерима с КМ; и вот па том же
основании DM в квадратах больше МИ на <квадрат> на
несоизмеримой с собой линейно (предложение 18). И
никакая из DM, МИ не будет линейно соизмерима с
отложенной рациональной DE.
Значит, DH будет шестой биномиалью (определения
вторые, 6), что и требовалось доказать.
Предложение 66
Линейно соизмеримая с биномиалью и сама будет
биномиалью, и той же самой по рангу (49).
Пусть будет биномиаль АВ и пусть CD будет линейно
соизмерима с АВ; я утверждаю, что CD будет биномиалью,
и той же самой по рангу, что АВ (черт. 75).
Действительна, поскольку АВ биномиаль, то разделим
её на рационалив Е, и пусть Добудет большей рациональю;
значит, АЕ, ЕВ будут рациональными,
соизмеримыми только в степени <цря- Я Е В
мыми> (предложение 36). Сделаем (пред- п 10
ложение 12 книги VI), чтобы как АВ V- —»—— '
к CD, так и АЕ к С1\ и значит, оста- це 75
ток £73 буде i к остатку ID, как АВ к CD
(книга V, предложения 16 и 19, следствие). Но АВ линейно
соизмерима с CD; значит, и Добудет соизмерима с С/, ЕВ
же — с ID (предложение 11). И АЕ, ЕВ рациональны; значит,
и С/, ID будут рациональны. И [поскольку] будет, что как
АЕ к С/, <так п> ЕВ к ID (предложение 11 книги V),
*) То-есть Df(-f(M.


/
184 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
то значит, «переставляя): (предложение 16 книги V),
будет, что как АЕ к ЕВ, <так и> CI к ID. Но АЕ, ЕВ
соизмеримы только в степени; значит, и С/, ID будут
соизмеримы только в степени (предложение 11). И они
рациональны; значит, CD будет биномиалью
(предложение 36).
Вот я у]верждаю, что по рангу она будет той же
самой, что АВ.
Действительно, АЕ в квадратах будет больше ЕВ или
на <квадрат> на соизмеримой с собой, или на <квадрат>
на несоизмеримой. Если теперь АЕ п квадратах больше ЕВ
на <квадра']> на соизмеримой с собой, то и С/ в
квадратах будет больше ID на <квадрат) на соизмеримой с
собой (предложение 14). И если АЕ соизмерима с
отложенной рациональной <прямой>, то и CI будет с ней соизмерима
(предложение 12), и вследствие этого каждая из АВ, CD
будет первой бпномиалью (определения вторые, 1), то-есть
той же самой ио рангу. Если же ЕВ соизмерима с
отложенной рациональной, то и ID будет с ней соизмерима
(предложение 12), и вследствие этого опять будет по рангу
той же, что АВ; ибо каждая из них будет второй
биномиалью (определения вторые, 2). Если же никакая из АЕ,
ЕВ не будет соизмерима с отложенной рациональной, то
никакая из С/, ID не будет с ней соизмеримой
(предложение 13), и каждая будет третьей (определения вторые, 3).
Если же АЕ в квадратах более ЕВ на <квадрат> на
несоизмеримой с собой, то н С! в квадра]ах больше ID на
(квадрат) на несоизмеримой с собой (ггредложеш/е 14).
И если АЕ соизмерима с отложенной рациональной, то и
CI будет с ней соизмерима (предложение 12), и каждая
будет четвёртой (определения вторые, 4). Если же ЕВ
<будет соизмерима), то и ID, и каждая будет пятой
(определения вторые,, 5). Если же никакая из АЕ, ЕВ
■(несоизмерима), то и никакая из CI, ID не будет
соизмерима с отложенной рациональной, и каждая будет шестой
(определения вторые, 6).
Таким образом, линейно соизмеримая с биномиалью
будет биномиалью, и той же самой по рангу, что и
требовалось доказать.


КИИГЛ ДЕСЯТАЯ
185
Предложение 67
Линейно соизмеримая с бимедиалью и сама будет
бимедаалыо, и той же самой по рангу.
Пусть будет бимедиаль АВ, и пусть CD будет линейно
соизмерима с АВ; я утверждаю, что CD будет бимедиалью,
и той же самой но рангу, что АВ (черт. 76).
Действительно, поскольку АВ бимедиаль, то разделим
её на медиали в Е; значит, АЕ, ЕВ будут медиалями,
соизмеримыми только в степени. И сделаем, чтобы как АВ
к CD, <так и> АЕ к CI (предложение 12
книги VI); и значит (книга V, предложения 'f f" f
16 и 19, следствие), остаток ЕВ к остатку
ID будет как АВ к CD. Но АВ линейно £ * ^
соизмерима с CD; значит, и каждая из АЕ,
ЕВ будет соизмерима с каждой из CI, ID . ЧеРт- 76-
(предложение 11). Но АЕ, ЕВ медиали;
медиали, значит, и CI, ID (предложение 23). И поскольку
будет, что как АЕ к ЕВ, <так и> CI к ID, и АЕ, ЕВ
соизмеримы только п степени, то [значит] и CI, ID
будут соизмеримы только в степени (предложение 11).
Доказано же, что они и медиали; значит, CD будет
бимедиалью.
Вот я утверждаю, что и по рангу она будет той же самой,
что АВ.
Действительно, поскольку будет, что как АЕ к ЕВ,
<так и> CI к ID, то значит (предложение 21, лемма), и
как <квадрат> на АЕ к <прямоуголышку> АЕВ*), так и
<квадрат> на CI к <прямоугольнику> CID'MX)',
«переставляя» (предложение 16 книги V), как <квадрат> на АЕ
к <квадрату> на Cl, так и <ирямоугольник> АЕВ*) к
<прямоугольиику> CID**). <Квадрат> же на АЕ соизмерим
с <квадратом> на CI; значит, и <нрямоутольннк> АЕВ*)
соизмерим с <прямоугольником> CID**) {предложение П).
Если теперь <прямоугольник> АЕВ*) рационален, то и
<прямоугольник> CID**) будет рационален [и вследствие
*\ То-есть АЕ'НВ.
**) То-есть С/-ID,


г
i
/
186 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
этого будет первая бимедяаль]. Если же медиален <пер-
вый>, то медиален <и вгорой> (предложение 23,
следствие) и каждая будет второй <бимедиалью>
(предложения 37,38).
W вследствие этого CD будет той же самой по рангу,
что и АВ, что и требовалось доказать.
Предложение 68
Соизмеримая с < большей» иррациональной и сама
будет «большей-».
Пусть будет «большая» <иррациональная> АВ, и пусть
CD будет соизмерима с АВ; я утверждаю, что CD будет
«большей» <иррациональной> (черт. 77).
Разделим АВ в Е; значит, АЕ, ЕВ будут
несоизмеримыми в степени, образующими составленное из квадратов
на них рациональное, произведение же из них
Т медиальное (предложение 39); и сделаем то же
самое, что и выше. И поскольку будет, что как
АВ к CD, так и АЕ к CI, и ЕВ к ID, и зна-
[■- чит, как АЕ к CI, так и ЕВ к ID (предложс-
# ние И книги V). Но АВ соизмерима с CD;
я* значит, и каждая из АЕ, ЕВ соизмерима с ка-
Черт. 77. ждой из CI, ID (предложение И). И поскольку
будет, что как АЕ к CI, так и ЕВ к ID, и «переста-
вляя» (предложение 16 книги V), как АЕ к ЕВ, так и CI к
ID, и значит, «присоединяя» (предложение 18 книги V),
будет, что как АВ к BE, так и CD к DI; и значит, как
<квадрат> иа АВ к <квадрату> на BE, так и <квадрат>
на CD к <квадрату> на Ы (предложение 20 книги VI).
Подобным вот образом докажем, что и как <квадрат> на АВ к
квадрату на АЕ, так и<квадрат> иаСОк <квадрату> на CI. И
значит, как <квадрат> на АВ к <вмесге взятым квадратам)
на АЕ, ЕВ, так и <квадрат> на CD к <квадратам> на С/,
ID; и «переставляя» (предложение 16 книги V), значит,
будет, что как <квадрат> иа АВ к < квадрату> иа CD, так
и <квадраты> на АЕ, ЕВ к <квадратам> на CI, ID. <Квадрат>же
на ЛИ соизмерим с <квадратом) на CD; значит, и <квадраты>на
АЕ, ЕВ соизмеримы с <квадратами> на С/, ID (предло-


КНИГА ДЕСЯТАЯ 187
жение 11). И <квадраты> на АЕ, ЕВ вместе будут
рациональны, <значит>, и <квадраты> на CI, ID вместе будут
рациональны. Подобным же образом и дважды
•(прямоугольник) между АЕ, ЕВ будет соизмерим с дважды
<прямоугольником> между CI, ID. И дважды
прямоугольник) между АЕ, ЕВ медиален; медиален, значит, и дважды
<прямоугольник> между CI, ID (предложение 23,
следствие). Значит, CI, ID будут несоизмеримыми в степени
(предложение 13), образующими составленное из
квадратов иа них вместе рациональное, дважды же <прямоуголь-
ник> между ними медиальный; значит, вся CD будет
иррациональной, так называемой «большей»
(предложение 39).
Итак, соизмеримая с «большей» будет «большей», что
и требовалось доказать.
Предложение 69
Соизмеримая с рационально и медиально квадрирующей
[и сама] будет рационально а медиально квадрирующей.
Пусть будет рационально и медиально квадрирующая
АВ, и пусть CD будет соизмерима с АВ; еле- ^ -
лует доказать, что и CD будет рационально и
медиально квадрирующей (черт. 78).
Разделим АВ на прямые в Е; значит, АЕ. [
ЕВ будут несоизмеримыми в степени, образую- Е
ш,им[1 составленное из квадратов на них меди-
альиое, <прямоугольник> же между ними рацио- ^
иальный (предложение 40); и устроим го же Черт. 78.
самое, что и раньше. Вот подобным же образом
докажем, что н С/, ID будут несоизмеримыми в степени,
и составленное из <квадратов> на АЕ, ЕВ соизмеримо с
составленным из <квадратов> на CI, ID, <прямоугольиик>
же между АЕ, ЕВ <соизмерим> с <прямоугольником>
между CI, ID; так что и составленное из квадратов на CI,
ID будет медиальным, <прямоугольннк> же между CI,
ID — рациональным.
Значит, CD будет рационально и медиально
квадрирующей, что и требовалось доказать.


loo НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 70
Соизмеримая с бимедиально квадрирующей будет би-
медиально квадрирующей.
Пусть будет бимедиально квадрирующая АВ, и CD
соизмерима с АВ; следует доказать, что и CD будет
бимедиально квадрирующей (черт. 79).
Действительно, поскольку АВ бимедиально
квадрирующая, то разделим её на прямые в Е; значит, АЕ, ЕВ
д ц будут несоизмеримыми в степени, образующими
составленное из [квадратов] на них медиальное,
и <прямоугольник> между ними медиальный, и
■ ■/ ещё составленное из квадратов на АЕ, ЕВ иесо-
Е" измеримое с .(прямоугольником) между АЕ, ЕВ
(предложение 41); и устроим тоже самое, что и
„ 7д раньше. Вот подобным же образом докажем,
что и CI, ID будут несоизмеримы в степени, и
составленное из <квадратов> на АЕ, ЕВ
соизмеримо с составленным из <квадратов> на С/, /D,
•(прямоугольник) же между АЕ, ЕВ .(соизмерим) с <прямоуголь-
ником> между CI, ID; так что и составленное из
квадратов на CI, ID будет медиально и <прямоугольник)
между С/, ID медиален, и ещё составленное из квадратов
на С/, ID несоизмеримо с .(прямоугольником) между
С/, ID.
Значит, CD будет бимедиально квадрирующей, что и
требовалось доказать.
Предложение 71
При соединении рационального и медиального возникают
четыре иррациональных — или биномналь, или первая би-
медиаль, или ъбдльшая» ■(иррациональная'}, или
рационально и медиально квадрирующая (50).
Пусть рациональное будет <плопгадь) АВ, медиальное
же CD; я утверждаю, что квадрирующая площадь., AD
будет или биномналью, или первой бнмедиалью, или «ббль-
шей» -(иррациональной), или рационально и медиально
квадрирующей (черт. 80).


КНИГА ДЕСЯТАЯ
189
Действительно, АВ будет или больше, или меньше CD.
Пусть она сначала будет больше; и отложим
рациональную El, и приложим к El равную АВ <площадь> ЕН,
образующую ширину EG; приложим к El и равную DC
■(площадь > GJ, образующую ширину GK. И поскольку <пло-
щадъ> АВ рациональна и равна ЕН, то рациональной будет
и ЕН. И она прилагается к [рациональной] El, образуя
ширину EG, значит, EG будет рациональна и соизмерима с El
линейно (предложение 20). Затем, поскольку CD медиальна и
равна GJ, то значит, медиальной будет н GJ. И она
прилагается к рациональной El, образуя
ширину GK; значит, GK будет | -■—■ . 1 '■
рациональна и несоизмерима с El
линейно (предложение 22). И
поскольку CD медиальна, АВ же
рациональна, то значит, АВ будет I \
несоизмерима с CD; так что п ЕН I ИЗ
будет несоизмерима с GJ. Как же g /j
<площадь> ЕН к GJ, так будет н ц 8Q
<прямая> EG к GK (предложение
1 кннгн VI); значит, и EG будет
несоизмерима с GK линейно (предложение 11). И обе
они рациональны; значит, EG, GK будут рациональными,
соизмеримыми только в степени <прямыми); значит, ЕК
будет бицомналыо, разделенной в G (предложение 36).
И поскольку <площадь> АВ больше CD и АВ равна
ЕН, CD же GJ, то значит, и ЕН больше GJ\ и 3nd-
чит, EG будет больше GK (предложение 14 книги V).
Теперь EG в квадратах больше GK или на <квадрат> на
соизмеримой с собой линейно, пли на <квадрат> на
несоизмеримой. Пусть сначала будет в квадратах больше на
<квадрат> на соизмеримой; н большая GE будет соизмерима
с отложенной рациональной El; значит, ЕК будет первой
бнномиалью (определения вторые, 1). Но El рациональна;
ес;[И же площадь заключается между рациональной и
первой биномиалью, то квадрнрующая эту площадь будет
бнномиалью (предложение 54). Значит, квадрирующая <пло-
щадь> EJ будет биномиалью; так что и квадрирующая
■(площадь > AD будет биномиалью. Но вот пусть EG будет


190
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
в квадратах больше GK на <квадрат> на
несоизмеримой с собой; и большая EG будет соизмерима линейно
с отложенной рациональной El; значит, ЕК будет
четвёртой биномиалыо (определения вторые, 4). Но EI
рациональна; если же площадь заключается между
рациональной н четвёртой биномиалыо, то квадрирующая эту
площадь будет иррациональная, так называемая «большая»
(предложение 57). Значит, квадрирующая площадь EJ
будет «большей», так что н квадрирующая AD будет
«большей:».
Но вот пусть АВ будет меньше CD; и значит, ЕН
будет меньше GJ (черт. 81); так что и <прямая> EG будет
меньше GK (предложение 1 книги VI;
■—г j предложение 14 книги V). В квадратах
же GK будет больше EG или на
■(квадрат) на соизмеримой с собой, или же
g л на <квадрат> на несоизмеримой. Пусть
сперва в квадратах она будет больше
Е\ 1/ иа <квадрат> на соизмеримой с собой
д = // линейно; и меньшая EG будет линейно
1/\ ь соизмерима с отложенной рациональной
El; значит, ЕК будет второй бино-
рт, * миалью (определения вторые, 2). Но
El рациональна; если же площадь
заключается между рациональной и второй биномиалыо, то
квадрирующая эту площадь будет первой бимедиалью
(предложение 55). Значит, квадрирующая площадь EJ будет
первой бимедиалью; так что и квадрирующая AD будет
цервой бимедиалью. Но вот пусть GK в квадратах будет больше
GEna <квадрат> иа несоизмеримой с собой. И меньшая EG
будет соизмерима с отложенной рациональной El; значит, ЕК
будет пятой биномиалыо (определения вторые, 5). Но El
рациональна; если же площадь заключается между
рациональной и пятой биномиалыо, то квадрирующая эгу площадь
будет рационально н медиально квадрирующей
(предложение 58). Значит, квадрирующая площадь EJ будет
рационально и медиально квадрирующей; так что и
квадрирующая площадь AD будет рационально и медиально
квадрирующей.


КНИГА ДЕСЯТАЯ 191
Итак, при соединении рационального и медиального
возникают четыре иррациональных — или биномиаль, или первая
бимедиаль, или «ббльшая? <иррациональная>, или
рационально и медиально квадрирующая, что и требовалось
доказать.
Предложение 72
При соединении двух несоизмеримых между собой
медиальных возникают остальные две иррациональные —
или вторая бимедиаль, ила бимедиалъно квадрирующая.
Соединим две медиальных несоизмеримых между собой
<илощади> АВ, CD; я утверждаю, что квадрирующая
площадь AD будет или второй бимеди-
алыо, или бимедиально квадрирующей 'С —i—1
(черт. 82).
Действительно, АВ будет или
больше или меньше CD. Пусть, если слу- g jj
чится, сначала АВ будет больше CD',
и отложим рациональуго £/, и приложим £i -i/
к El равную АВ <площадь> ЕН, обра- г _И
зующую ширину £"G, а также равную CD '^ fj
<площадь> GJ, образующую ширину
GK И поскольку каждая из АВ. CD ЧсРт- 8Z
будет медиальной, медиальна, значит, и
каждая из EH, GJ. И они прилагаются к рациональной IE,
образуя ширины EG, GK; значит, каждая из EG, GK будет
рациональной и несоизмеримой с El линейно (предложение 22).
И поскольку <площадь> АВ несоизмерима с CD, и будут АВ
равна ЕЙ, CD же GJ. то несоизмерима, значит, будет и
<площадь> ЕН с GJ. Как же ЕН к GJ, так будет и <ирячая>
EG к О/С (предложение 1 книги VI); значит, EG будет песо-
измерима с GK линейно (предложение 11). Значит, EG, GK
будут рациональными, соизмеримыми только в степени
прямыми; значит, ЕК будет биномиалью (предложение 36).
В квадратах же EG будет больше GK или на <квадрат>
на соизмеримой с собой, или на <квадрат> на
несоизмеримой. Пусть сначала в квадратах <она будет больше) на
<квадрат> на соизмеримой с собой линейно; и никакая из
EG, GK не будет линейно соизмерима с отложенной рацио-


НАЧАЛА ЕВКЛИДА
нальной EI; значит, ЕК будет третьей биномиалью (опреде-
ления вторые, 3). Но EI рациональна; если же площадь
заключается между рациональной и третьей биномиалью,
то квадрирующая эт) площадь будет второй бимедиалью
(предложение 56); значит, квадрирующая <площадь> EJ,
то-есть AD, будет второй бимедиалью, Но вот пусть EG
будет в квадратах больше GK на <квадраг> на
несоизмеримой с собой линейно; и каждая из EG, GK будет
несоизмерима с El линейно; значит, ЕК будет шестой
биномиалью (определения вторые, Q). Если же площадь заключается
между рациональной и шестой биномиалью, то
квадрирующая эту площадь будет бимедиально квадрирующей
(предложение 59), так что и квадрирующая площадь AD будет
бимедиально квадрирующей.
[Подобным же вог образом докажем, что и если АВ будет
меньше CD, то квадрирующая площадь AD будет или
вторая бимедиаль или бимедиально квадрирующая.]
Итак, при соединении двух несоизмеримых между собой
медиальных возникают остальные две иррациональные —
или вторая бимедиаль, или бимедиально квадрирующая.
Биномналь и <получающиеся> после неё иррациональные
не будут тождественными ни с медиалью, ни друг с другом.
Действительно, <квадрат> на меднали, приложенный к
рациональной, образует ширину рациональную и линейно
несоизмеримую с той, к которой прилагается (предложение 22).
<Квадрат> же на биномиали, приложенный к рациональной,
образует шириной первую биномиаль (предложение 60),
<Квадрат> же на первой бимедиали, приложенный к
рациональной, образует шириной вторую биномиаль
(предложение 61). <Кйадрат> же на второй бимедиали, приложенный
к рациональной, образует шириной третью биномиаль
(предложение 62). <Квадрат> же на «большей»
иррациональной), приложенный к рациональной, образует шириной
четвёртую бинохшаль (предложение 63), <Квадрат> же на
рационально н медпалыю квадрирующей, приложенный к
рациональной, образует шириной пятую биномиаль
(предложение 64). <Квадрат> же на бимедиально квадрирующей, цри-


КНИГА ДЕСЯТАЯ 193
ложсиный к рациональной, образует шириной шестую
бииомиаль (предложение 65). Вышеупомянутые же ширины
отличаются от первой и между собой, от первой —потому
что она рациональна, между собой же — потому что по
рангу они не будут теми же самыми; так что и сами эти
иррациональные различаются меж,ту собой (51, 52, 53,
54, 55).
Предложение 73
Если от рациональной отнимается рациональная,
только в степени соизмеримая с целой, то остающаяся
будет иррациональной; пусть называется она
вычетом*) (56).
Пусть 01 рациональной АВ отнимается рациональная ВС,
только в степени соизмеримая с целой; я утверждаю, что
остающаяся АС будет иррациональной —так называемым
вычетом (черт. 83).
fi с В
Черт. 83.
Действительно, поскольку АВ линейно несоизмерима
с ВС и как АВ к ВС, так и ^квадрат) па АВ к <прямо-
угольнику) между АВ. ВС (предложение 21, -лемма), ю
значит, <квадрат> на АВ будет несоизмерим с
•(прямоугольником) между АВ. ВС (предложение 11). Но с <квадратом>
на АВ соизмеримы <вмесге взятые квадрат],]> на АВ, ВС
(предложение 15), с .(прямоугольником) же между'ЛД ВС
соизмерим будет дважды <прямоугольник> между АВ. ВС
(предложение В). И поскольку <квадрат]>|> на АВ, ВС равны
дважды <прячоутолы1ику> межд\МД .ВС вместе с <квадратом>
на СА, то значит, <вместе взятые квадраты) на АВ, ВС
будут несоизмеримы и с остатком — <квадратом> на АС
(предложения 13, 16). <Квадраты> же на АВ, ВС
рациональны; значит, АС будет иррациональной; пусть называется
она вычетом; что и требовалось доказать.
*) Другое название: ацотома {«] я-ото^).
13 Евклид


194 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 74
Если от медиали отнимается медиаль, только в
степени соизмеримая с целой, вместе же с целой
заключающая рациональную (площадь}, то остающаяся будет
иррациональной; пусть называется она первым
медиальным вычетом.
Пусть от медиали АВ отнимается медиаль ВС, только
в степени соизмеримая с АВ, образующая же вместе с АВ
о рациональную <площадь — прямоугольник) между
АВ, ВС; я утверждаю, что остающаяся АС будет
иррациональной; пусть называется она первым
медиальным вычетом (черт. 84).
■С Действительно, поскольку АВ, ВС — медиали,
то и <кватраты> на АВ, ВС будут медиальными.
' ^ Дважды же <прямоугольиик> между АВ, ВС рацио-
Черт. 84, нален; значит, <вместе взятые квадраты) на АВ, ВС
несоизмеримы с дважды <прямоугольником> между
АВ, ВС; значит, дважды .(прямоугольник) между АВ,
ВС (предложение 7 книги II) будет несоизмерим и с
остающимся <квадрагом> па АС, поскольку если и целое
с одной из них несоизмеримо, то и первоначальные
величины будут несоизмеримыми (предложение 16). Дважды же
<прямоугольник> между АВ, ВС рационален; значит, <квад-
рат> иа АС иррационален; иррациональна, значит, и АС
(определение 4); пусть она называется первым медиальным
вычетом.
Предложение 75
Если от медиали отнимается медиаль, только в
степени соизмеримая с целой, вместе же с целой
заключающая медиальную (площадьу, то остающаяся будет
иррациональной; пусть она называется вторым медиальным
вычетом.
Пусть от медиали АВ отнимается медиаль СВ, только
в степени соизмеримая с целой АВ, вместе же с целой АВ
заключающая медиальную «(площадь — прямоугольник)
между АВ, ВС (предложение 28): я утверждаю, что оста ю-


КНИГА ДЕСЯТАЯ
195
шаяся АС будет иррациональной; пусть она называется
вторым медиальным вычетом (черт. 85).
Действительно, отложим рациональную <прямую> DI и
приложим к DI равную <вместе взятым квадратам) на АВ,
ВС <площадт>> DE, образующую ширину DH, к DI же
приложим равную дважды <пря,\шугольиику> между АВ, ВС
<площадь> DG, образующую ширину DZ; значит, остаток
<площадь> ZE равен будет <квадрату> на АС
(предложение 7 книги II). И поскольку <квадраты> на АВ, ВС
медиальны и соизмеримы, то Значит,
медиальна и <площадь> DE. И при- i % -_ 1
латается она к рациональной DI,
образуя ширину DH; значит, DH
будет рациональной и несоизмеримой
с DI линейно (предложение 22).
Затем, поскольку <прямоугольник>
между АВ, ВС медиален, то значит,
и дважды <прямоугольник) между АВ,
ВС будет медиальным
(предложение 23, следствие). И он равен DG; значит, и DG
будет медиальным. И ои приложен к рациональной DI,
образуя ширину DZ; значит DZ будет рациональной и
несоизмеримой с DI линейно (предложение 22). И
поскольку АВ, ВС соизмеримы только в степени, то значит, АВ
будет несоизмеримой линейно с ВС; значит, и квадрат на АВ
несоизмерим с <прямоуголышком> между АВ, ВС
(предложение 21, лемма; предложение 11). Но с <квадратом> на АВ
соизмеримы <вмес1е взятые квадраты) на АВ, ВС
(предложение 15), с <прямоугольником> же между АВ, ВС
соизмерим дважды «(прямоугольник) между АВ, ВС
(предложение 6); значит, дважды Прямоугольник) между АВ,
ВС будет несоизмерим с <вместе взятыми квадратами)
на АВ, ВС (предложение 13). <Квадратач> же на АВ, ВС
равна <площадь> DE, дважды же <прямоугольнику>
между АВ, ВС — <площадь> DG; значит, DE [будет]
несоизмерима с DO. Как же DE к DG, так и HD к DZ
(предложение 1 книги VI); значит, HD будет
несоизмерима с DZ (предложение 11). И обе они будут
рациональными; значит, HD, DZ будут рациональными, соизмери-
13*


196
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
мыми только в степени: значит, ZH будет вычетом
(предложение 73). <Прямая> же DI рациональна; <площадь>
же, заключающаяся между рациональной и иррациональной,
будет иррациональной (предложение 20), и квадрирующая
её будет иррациональна. И <площадь> ZE квадрируется
<прямой> АС; значит, АС будет иррациональна
(определение 4); пусть она называется вторым медиальным вычетом;
что и требовалось доказать.
Предложение 76
Если от прямой отнимается прямая, несоизмеримая
в степени с целой, образующая же с целой <_ква-
дратыу на них вместе (взятыеу рациональные,
(прямоугольнику же между ними медиальный, то остающаяся
будет иррациональной', пусть она называется «меньшей»
(иррациональной"}.
// Г в
Черт. 86.
Пусть от прямой АВ отнимается прямая ВС,
несоизмеримая в степени с целой и образующая
предложенное (предложение 33). Я утверждаю, что остающаяся
АС будет иррациональной гак называемой «меньшей»
(черт. 86).
Действительно, поскольку составленное из квадратов
на АВ, ВС будет рациональным, дважды же
•(прямоугольник) между АВ, ВС медиальным, то значит, <вместе
взятые квадраты> на АВ, ВС будут несоизмеримы с
дважды ^прямоугольником) между АВ, ВС; и,
«переворачивая», с остатком (предложение 7 книги II) —
■(квадратом) на АС—будут несоизмеримы <вместе взятые
квадраты) на АВ. ВС (предложение 16). <Квадраты) же на
АВ. ВС рациональны; значит, АС будет иррациональна;
пусть она называется «меньшей»', чю и требовалось
доказать.


КИНГА ДЕСЯТАЯ
197
Предложение 77
Если от прямой отнимается прямая, несоизмеримая
в степени с целой, вместе же с целой образующая со-
ставленное из квадратов на них медиальное, дважды же
(прямоугольнику между ними рациональный, то
остающаяся будет иррациональной; пусть она
называется образующей с рациональным целое ме- ]//
диальное.
Пусть от прямой АВ отнимается прямая ВС,
несоизмеримая в степени с АВ и образующая пред- с
ложеипое (предложение 34); я утверждаю, что
остающаяся АС будет вышеупомянутой иррацио- -Ц?
нальной (черт. 87). Черт. 87.
Действительно, поскольку составленное из
квадратов па АВ, ВС медиально, дважды же
«(прямоугольник) между АВ, ВС рациональный, то значит, <вместс
взятые квадраты) на АВ, ВС будут несоизмеримыми с
дважды «(прямоугольником) между АВ, ВС; значит, и
остающийся (предложение 7 книги II) <квадрат) на АС будет
несоизмерим с дважды (прямоугольником) между АВ, ВС
(предложение 16). И дважды (прямоугольник) между АВ,
ВС рационален; значит, <юзадраг> на АС иррационален;
иррациональна, значит, и АС; пусть она называется
образующей с рациональным- целое медиальное; что и
требовалось доказать.
Предложение 78
Если от прямой отнимается прямая, несоизмеримая
в степени с целой, вместе же с целой образующая
составленное из квадратов на них медиальное, дважды же
прямоугольник между ними медиальный и ещё квадраты
на них, несоизмеримые с дважды прямоугольником между
ними, то остающаяся будет иррациональной; пусть она
называется образующей с медиальным целое медиальное.
Пусть от прямой АВ отнимается прямая ВС,
несоизмеримая в степени с АВ и образующая предложенное; я
утверждаю, что остающаяся АС будет иррациональной, назы-
т раемой образующей с медиальным целое медиальное (черт. 88).


193 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, отложим рациональную DJ и приложим
к D! разную <вместе взятым квадратам) на АВ, ВС
<площадь> DE, образующую ширину DH, отнимем же
<площадь> DG, равную дважды <прямоугольннку> между
АВ, ВС [образующую ширину DZ\. Значит, остающаяся
<площадь> ZE будет равна квадрату на АС
(предложение 7 книги П); так что АС квадрирует <площадь> ZE.
И поскольку составленное из квадратов иа АВ, ВС
медиально и равно <пло]цади> DE, то
значит, и DE [будет] медиальпа. И она
прилагается к рациональной D/, образуя
ширину DM; значит, DH будет
рациональной и несоизмеримой с D! линейно
(предложение 22). Затем, поскольку
дважды <прямоугольник> между АВ,
Черт. 88. ВС иедиален и равен <площади> DG,
то значит, DG будет медиальна. И
прилагается она iv рациональной D/, образуя ширину DZ; значит,
и DZ будет рациональной и несоизмеримой с Df линейно
(предтожение 22). И поскольку <вместе взятые квадраты) на
АВ, ВС несоизмеримы с дважды <;прямоугольником> между
АВ, ВС, то значит, и <площадь> DE несоизмерима с DG.
Как же DE к DG, так будет и <прямая> DH к DZ
(предложение 1 книги VI); значит, DH будет несоизмерима
с DZ (предложение 11). И обе они рациональны; значит,
HD, DZ будут рациональными, соизмеримыми только в
степени. Значит, ZH будет вычетом (предложение 73); ZG
же рациональна. [Прямоугольная] же <площадь>,
заключающаяся между рациональной и вычетом, будет
иррациональной (предложение 20), ц квадрнрующая её будет
иррациональной. И <площадь> ZE квадрируется <прямой> АС;
значит, АС будет иррациональна; пусть она называется
образующей с медиальным целое медиальное; что и
требовалось доказать. ■
Предложение 79
С вычетом сочетается*) одна [только] рациональная
прямая, только в степени соизме щмая с целой.
*) В подлиннике xpcazp^a— прилаживается. , ,
D Z Н
/ Q £


КНИГА ДЕСЯТАЯ 1У>'
Пусть вычет будет ЛВ, сочетающаяся же с ним
«(прямая) ВС; значит, АС, СВ будут рациональными,
соизмеримыми только в степени (предложение 73); я утверждаю,
что с АВ не сочетается другая рацполатьная <прямая),
только в степени соизмеримая с целой (черт, 89).
Действительно, пусть, если возможно, <с ней) будет
<так> сочетаться BD; и AD, DB, значит, будут
рациональными, соизмеримыми только в степени (предло- ц
жение 73). И поскольку, чем <вместе взятые
квадраты) на AD, DB превышают дважды <пря- _ д
моугольник) между AD, DB, тем и <вмесче
взятые квадраты) на АС, СВ превышают дважды
Прямоугольник) между АС, СВ, ибо оба они превы- г
шают одним и тем же <квадратом> на ЛВ
(предложение 7 книги II); значит, «перестановкой», чем &
<квадраты) на AD, DB превышают <квадраты) Черт.89.
на АС, СВ, тем [и] дважды <прнмоугольник) между
AD, DB превышает дважды <прямоугольник) между АС,
СВ. <Квадраты) же на AD, DB рацио,гальньш превышают
/квадраты) па АС, СВ, ибо оба рациональны. Значи[, и
дважды <прямоугольник) между AD, DB рациональным
превышает дважды <прямоугольник) между АС, СВ; это же
невозможно; ибо оба они медиальны.(предложение 21),
медиальное же медиальное не превышает рациональным
(предложение 26). Значит, с АВ не сочетается другая
рациональная прямая, только в степени соизмеримая с целой.
Итак, с вычетом сочетается только одна рациональная
<прямая>, только в степени соизмеримая с целой, что и
требовалось доказать.
Предложение 80
С первым медиальным вычетом сочетается только
одна медиальная прямая, только в степени соизмеримая
с целой, вместе же с целой заключающая рациональную
(площадьу.
Пусть первый медиальный вычет будет АВ и пусть
с АВ будет сочетаться ВС; значит, АС, СВ будут медиали,
соизмеримые только в степени, заключающие рациональный


^00 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
<прямоуголышк> между АС, СВ (предложение 74); я
утверждаю, что с АВ не сочетается другая медиальная <пря-
мая>, только в степени соизмеримая с целой, вместе же
с целой заключающая рациональную <площадь> (черт. 90).
Действительно, пусть, если возможно. <с ней> будет
<так> сочетаться и DB; значит, AD, DB будут медиали,
соизмеримые только в степени, заключающие рациональный
<прямоугольник> между AD, DB (предложение 74). И по-
/; скольку, чем <вмесге взятые квадраты> на AD,
DB превышают дважды <прямоугольник> между AD,
DB, тем и <вместс взятые квадраты) на АС. СВ
превышают дважды ^прямоугольник) между АС,
СВ, ибо [опять] они превосходят тем же самым
г_ <к'вадратом> на АВ (предложение 7 книги II);
значит, «перестановки», чем <квадраты) на AD,
*В DB превышают <квадраты)на АС, СВ, тем и дважды
Черт. 90. Прямоугольник) между AD, DB превышает
дважды Прямоугольник) между АС, СВ, Дважды же
Прямоугольник) между AD, DB рациональным превышает
дважды Прямоугольник) между АС, СВ, ибо оба
рациональны. Значит, и ^квадраты) на AD, DB рациональным
превышают [квадраты] на АС, СВ; это же невозможно, ибо
оба медиальны (предложение 24); медиальное же
медиальное не превышает рациональным (предложение 26).
И[ак, с первым медиальным вычетом сочетается только
одна медиальная прямая, только в степени соизмеримая
с целой, вместе же с пел )й заключающая рациональную
<площадь), что п требовалось доказать.
Предложение 81
Со вторым медиальным вычетом сочетается только
одна медиальная прямая, только в степени соизмеримая
с целой, вместе же с целой заключающая медиальную
(площадьу.
Пусть будуг второй медиальный вычет АВ и
сочетающаяся с АВ Прямая) ВС; значит, АС, СВ будут медиали,
соизмеримые только в степени, заключающие медиальный
^прямоугольник) между АС, СВ (предложение 75); я ут-


КНИГА ДЕСЯТАЯ
201
верждаю, что с АВ не сочетается другая медиальная прямая,
только в степени соизмеримая с целой, вместе же с целой
заключающая медиальную <площадь> (черт. 91).
Действительно, пусть, если возможно, <(с ней> будет
<так> сочетаться BD; и, значит. AD, DB будут
медиальными, соизмеримыми только в степени <прямыми>,
заключающими медиальный <прямоугольник> между AD, DB
(предложение То). И отложим рациональную EZ, и
приложим к EZ равную <вместе взятым квадратам> на АС, СВ
<илош,адь> ЕЙ, образующую
ширину ЕМ; отнимем же равную дважды * f f ;;
■(прямоугольнику) между АС, СВ
^лошадь) GH, образующую ширину GM\ м if
значит, остаток EL будет равен <квад- i д
рату> на АВ (предложение 7 книги 1!),
так что АВ квадрирует <площадь> EL,
Затем вот приложим к EZ равную
<квадратам> па AD, DB <площадь> EI,
образующую ширину EN; также и и м
< площадь) EL будет paBiia квадрату
на АВ; значит, остаток G1 будет равен ^ ,J
дважды <прямоуголЬнику> между AD, Черт. У1.
DB (предложение 7 книги 11 ). И
поскольку ^прямые) АС, С В медиальны, то значит,
медиальными будут и <квадраты) на АС, СВ, И равны они
<площади) ЕЙ; значит, медиальной будет и ЕЙ. И
прилагается она к рациональной EZ, образуя ширину ЕМ;
значит, ЕМ будет рациональной и несоизмеримой с EZ
линейно (предложение 22). Затем, поскольку медиален
<прямоугольник> между АС, СВ, то и дважды <прямоуголь-
]1ик> между АС, СВ б^дет медиальном (предложение 23,
следствие). И равен он <площади> GH; значит, и GH
будет медиальным. И прилагается он к рациональной EZ,
образуя ширину GM; значит, рациональной будет и GM
и несоизмеримой с EZ линейно (предложение 22). И
поскольку АС, СВ соизмеримы только в степени, то значит,
АС будет несоизмеримой с СВ линейно. Как же АС к СВ,
так будет и <квадрат> на АС к <прямоугольнику> между
АС, СВ (предложение 21, следствие); значит, <квадрат>


202
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
на АС несоизмерим будет с <прямоугольником> между
АС, С В (предложение 11). Но с <квадратом> на АС
соизмеримы <вмесге взятые квадра гы> на АС, СВ, с
-(прямоугольником) же между АС, СВ соизмерим дважды
■(прямоугольник) между АС, СВ; значит, и <квадраты> на АС,
С В будут несоизмеримы с дважды -(прямоугольником)
между АС, СВ (предложение 13). И <квадратам> на АС^
СВ равна <площадь> ЕЙ, дважды же -(прямоугольнику)
между АС, СВ равна <площ\здь> НО; значит, ЕЙ
несоизмерима с GH. Как же Ей к GH, так будет и <прямая>
ЕМ к ОМ (предложение 1 книги VI); значит, ЕМ .будет
несоизмерима с MG линейно (предложение 11). И обе они
рациональны; значит, ЕМ, MG будут рациональными
соизмеримыми только в степени -(прямыми); значит, EG будет
вычетом (предложение 73), ОМ же — сочетающейся с ним
■(прямой). Подобным же вот образом докажем, что с ним
сочетается и ОЫ\ значит, с вычетом сочетаются одна н
другая прямая, только в степени соизмеримые с целой; это
же невозможно (предложение 79).
Итак, со вторым медиальным вычетом сочетается только
одна медиальная прямая, только в степени соизмеримая
с целой, вместе же с целой заключающая медиальную
<площадь>, что и требовалось доказать.
Предложение 82
С «.меньшей» (иррациональной} сочетается только
одна прямая, несоизмеримая в степени с целой, вместе
же с целой образующая (составленное} из квадратов
на них рациональное, дважды же (прямоугольник} между
ними мед"альный.
Пусть будет «меньшая» -(иррациональная^ АВ и пусть
сочетающаяся с АВ будет ВС; значит, АС, СВ будут
несоизмеримыми в степени, образующими составленное из
квадратов на них рациональное, дважды же <прямоугольник>
между ними медиальный (предложение 76); я утверждаю,
что с АВ ие сочетается другая прямая, образующая то же
самое (черт, 92).


КНИГА ДЕСЯТАЯ
203
Действительна пусть, если возможно, <с ней> будет
<так> сочетаться BD\ и значит, AD, BD будут
несоизмеримые в степени -(прямые), образующие вышесказанное.
И поскольку, чем <вместе взятые квадраты) на AD, DB
превышают <вместе взятые квадраты) на АС, СВ, тем
и дважды <прямоуголышк> между AD, DB превышает
Я 8 С В
I _-J ___*—! —I
Черт. 92.
дважды <прямоугольник> между АС, СВ, квадраты же на
AD, DB рациональным превышают квадраты на АС, СВ,
ибо оба рациональны; значит, и дважды -(прямоугольник)
между AD, DB рациональным превышает дважды
-(прямоугольник) между АС, СВ; это же невозможно
(предложение 26}, ибо оба медиальньг.
Итак, с «меньшей» соче!ается только одна прямая,
несоизмеримая в степени с целой и образующая квадраты
на них вместе рациональными, дважды же -(прямоугольник)
между ними медиальный, что и 1ребовалось доказать.
Пргдложение 83
С (прямой^, образующей с рациональным целое
медиальное, сочетается только одна_ прямая, несоизмеримая
8 степени с целой, вместе же с целой образующая
составленное из квадратов на них медиальное, дважды
же (прямоугольнику между ними рациональный.
Л В С В
I —! 1
Черт. 93.
Пусть образующая с рациональным целое медиальное
будет АВ и пусть с АВ будет сочетаться ВС; значит, АС,
СВ будут несоизмеримые в степени <прямые>, образующие
предложенное (предложение 77); я утверждаю, что с АВ
не сочетается другая <прямая>, образующая то же самое
(черт. 93).


204 ■ НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, nycib, если возможно. <с ней> будет
<1'ак> сочетаться BD; и значит, AD, DB будут прямые,
несоизмеримые в степени, образующие предложенное (пред-
ложение 77). Поскольку теперь, чем <вместе взятые
квадраты) на AD, DB превышают <вместс взятые квадраш)
на АС, СВ, тем и дважды прямоугольник) между AD,
DB превышает дважды <прн\юугольник> между АС, С£,
в соответствии с тем, что выше; дважды же
■(прямоугольник) между AD} DB рациональным превьпиает дважды
■(прямоугольник) между АС, СВ, ибо оба они рациональны;
н значит, <квадраты) на AD, DB рациональным превышают
■(квадраты) на АС, СВ; это же невозможно, ибо оба они
медиальиы (предложение 26). Значит, с АВ не сочетается
другая прямая, несоизмеримая в степени с целой, вместе
же с целой образующая вышесказанное; значит, только
одна сочетаекя, что и требовалось доказать.
Предложение 84
С (.прямой1}, образующей с медиальным целое
медиальное, сочетается только одна прямая, несоизмеримая
в степени с целой, вместе же с целой образующая
„ о f ,, составленное из квадратов
i 1—i на них медиальное, дважды
же (прямоугольник"} между
I [ 1—. ними медиальный и еще
несоизмеримый с составленным из
(квадратов) на них.
Пусть образующая с меди-
■ ; j jj—, альным целое медиальное
будет АВ, сочетающаяся же с
ЧеРт' 94' ней ВС; значит, АС, СВ будут
несоизмеримыми в степени,
образующими вышесказанное (предложение 78). Я
утверждаю, что с АВ не сочетается другая прямая, образующая
вышесказанное (черт. 94}.
Действительно, пусть, если возможно, <с ней) будет
<так> сочетаться BD, так что AD. DB будут
несоизмеримыми в степени, образующими квадраты на AD, DB вместе.


КНИГА ДЕСЯТАЯ
205
медиальные и дважды <прямоугольник> между AD, DB
медиальный и ещё <вместс взятые квадраты) па AD, DB,
несоизмеримые с дважды Прямоугольником) между АО,
DB (предложение 78|; и отложим рациональную EZ и
приложим к EZ равную <вмесге взятым квадратам) на
АС, СВ <площадь) ЕЙ, образующую ширину ЕМ, к EZ
же приложим равную дважды Прямоугольнику) м_ежду АС,
С В Площадь) GH, образующую ширину GM; значит,
остаток — <чквадрат) на АВ (предложение 7 книги II) — будет
равен <п,-1сщади> EL\ значит, АВ квадрируст EL, Затем,
приложим к EZ равную <квадратам) на AD, DB
<площадь) £У, образующую ширину EN. Также и <квадрат>
на АВ равен ЕЦ значит, остаток (предложение 7 книги II) —
дважды Прямоугольник) между AD, DB-—равен [будет]
Площади) О/. И поскольку составленное из ^квадратов)
на АС, СВ медиально и равно <площади> ЕЙ, то
медиальной, зьачит, будет и ЕЙ. И прилагается она к
рациональной EZ, образуя ширину ЕМ\ значит, ЕМ будет
рациональна и несоизмерима с EZ линейно (предложение 22).
Затем, поскольку дважды Прямоугольник) межДУ АС, СВ
медиален н равен Площади) GH, то медиальца, значит,
и GH. И прилагается она к рациональной EZ, образуя
ширину GM; значит, GM будет рациональна и несоизмерима'
с EZ линейно (предложение 22). И поскольку <вместе
взятые квадраты) на АС, С В несоизмеримы с дважды
Прямоугольником) между АС, СВ, то и Площадь) ЕЙ
несоизмерима будет с GH; значит, и иРямая> ^^4 будет
линейно несоизмерима с MG (предложение 1 книги VI;
предложение 11 книги X). И обе они рациональны; значит,
ЕМ, MG будут рациональные, соизмеримые только в
степени Прямые); значит, EG будет вычетом (предложение 73),
GA1 же — сочетающейся с ним Прямой). Подобным же
rot образом докажем, чго EG опять будет вычегом, GN
же—с ним сочетающейся. Значит, с вычетом сочетаются
одна и другая рациональные прямые), только в степени
соизмеримые с целой; это же по доказанному невозможно
(предложение 79). Значит, с АВ не сочетается другая прямая.
Итак, с АВ сочетается только одна прямая,
несоизмеримая в степени с целой, вместе же с целой образующая


206 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
квадраты на них вместе медиальные и дважды <прямоуголь-
ник> между ними медиальный и ещё квадраты на иих,
несоизмеримые с дважды <прямоугольником> между ними,
что и требовалось доказать.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТРЕТЬИ
1. Если при отложении рациональной <прямой> и вычега
целая в квадратах будет больше сочетающейся на <квад-
рат> на соизмеримой с собой линейно и целая будет
линейно соизмерима с отложенной рациональной <прямой>, то
пусть <вычет> называется первым вычетом.
2. Если же сочетающаяся будет линейно соизмерима
с отложенной прямой и целая в квадратах будет больше
сочетающейся на <квадрат> на соизмеримой с собой, то
пусть <вычег> называется вторым вычетом.
3. Если же никакая не будет линейно соизмерима с
отложенной рациональной и целая в квадратах будет больше
сочетающейся на <квадрат> на соизмеримой с собой, то
пусть <вычет> называется третьим вычетом.
4. Опять, если целая в квадратах будет больше
сочетающейся на квадрат на несоизмеримой с собой [линейно],
то если целая будет линейно соизмерима с отложенной
рациональной, пусть <вычет> называется четвёртым
вычетом.
5. Если же (соизмерима будет) сочетающаяся, то —
пятым.
6. Если же никакая <не будет соизмерима), то — шестым
(57).
Предложение 85
Найти первый вычет (черг. 95).
Отложим рациональную <прям}Ю> А и пусть ВИ будет
соизмерима с А линейно; рациональной, значит, будет и ВИ.
И отложим два квадратных числа D.E, £7, разность ID
которых пусть не будет квадратом (предложение 28,,лемма);
значит, н ED не будет иметь к DI отношения, как
квадратное число к квадратному числу. И сделаем, чтобы как
ED к DI, так <был бы н> квадрат на ВИ к квадрату


КНИГА ДЕСЯТАЯ
207
на ИС (предложение 6, следствие); значит, квадрат иа ВИ
соизмерим будет с квадратом на ИС (предложение 6).
<Квадрат> же на ВИ рационален; рационален, значит, и
<квадрат> на ИС; рациональной, значит, будет и НС. И
поскольку ED не имеет к DI отношения, как квадратное
число к квадратному числу, то
значит, и <квадрат> на ВИ /?1 , f c Y
к <квадрату> на ИС не имеет
отношения, как квадратное ^' ' £ J "jj
число к квадратному числу;
значит, ВИ будет несоизме- Черт. 9о.
рима с НС линейно. И обе они
рациональны,- значит, ВИ, НС будут рациональными,
соизмеримыми только в степени; значит, ВС будет вычетом
(предложение 73).
Вот я утверждаю, что и первым.
Действительно, пусть то, чем <квадрат> на ВИ больше
<квадрата> па НС (предложение 13, лемма), будет квадрат
на G. И поскольку будет, что как ED к ID, так и <квад-
рат> на ВИ к <квадрату> иа НС, то значит,
«переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), будет, чго
как DE к £7, так и <квадрат> на ИВ к <квадрату> на G.
Но DE имеет к EI отношение, как квадратное число
к квадратному числу, ибо каждое из них квадрат; и
значит, <квадрат> на НВ к <квадрату> на G имеет
отношение, как квадратное число к квадратному числу; значит,
ВИ будет соизмерима с G линейно (предложение 9). И ВН
в квадратах больше НС на <квадрат> на G; значит, ВН
в квадратах больше НС на <квадрат> на соизмеримой
с собой линейно. И целая ВН будет линейно соизмерима
с отложе.шой рациональной А. Значит, ВС будет первым
вычетом (определения третьи, 1).
Итак, найден первый вычет ВС, что и требовалось найти.
Предложение 86
Найти второй вычет (черт. 96).
Отложим рациональную А и соизмеримую с А
линейно НС. Значит, НС будет рациональной. И отложим два


208
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
квадратных числа DE, El, разносib D! которых пусть
квадратом не будет (предложение 78, лемма 1). И сделаем,
чтобы как ID к DE, так <был бы и> квадрат на СИ
к квадрату на ИВ (предложение 6, следа вне). Значит,
квадрат на СИ будет соизмерим с квадратом на ИВ
(предложение 6). .(Квадрат) же на СИ ра-
i : 1 циоиален. Рациональным, значит, [буде|]
f С __// и <квадрат> иа ИВ; значит, ВИ буде!
д рациональна. И поскольку квадрат на
у ~} ■ „ ИС не имеет к <квадрату> на ИВ отно-
i 1 ■■-- шепия, как квадранюе число к квадрат -
Черт 96 ному числу, то СИ будет несоизмерима
" с ИВ линейно (предложение 9), И обе
они рациональны; значит, СИ, ИВ будут рациональными,
соизмеримыми только в степени; значит, ВС будет вычетом
(предложение 73).
Вот я утверждаю, что и вторым.
Действительно, пусть то, чем <квадраг> на ВИ больше
<квадрага> на НС, будет <квадрат> иа G (предложение 13,
лемма). Поскольку теперь будет, что как <квадраг> на ВИ
к <квадрату> на ИС, так и число ED к числу DI, то,
«переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), будет,
значит, что как <квадраг> на ВИ к <квадрату> на G, так
и DE к El. И каждое из DE, El квадрат; значит, <квад-
рат> на ВИ имеет к <квадрату> на G отношение, как
квадратное число к квадратному числу; значит, ВИ будет
линейно соизмерима с G (предложение 9). И в квадратах ВИ
более ИС на <квадрат> на G; значит, ВИ в квадратах
более ИС на <квадраг> на соизмеримой с собой линейно.
И сочетающаяся СИ будет соизмерима с отложенной
рациональной А Значит, ВС будет вторым вычетом
(определения третьи, 2).
Итак, найден второй нычет ВС, что и требовалось
доказать.
Предложение 87
Найти третий вычет (черг. 97),
Отложим рациональную Л и отложим три числа Я, ВС,
CD, не имеющие между собой отношения, как квадратное


КНИГА ДЕСЯТАЯ
209
число к квадратному числу; пусть же СВ будет иметь
к BD отношение, как квадратное число к квадратному числу,
и сделаем, чтобы как Е к ВС, так <был бы и> квадрач
на Л к квадрату на IH (предложение 28, лемма 1), как
же ВС к CD, так <был бы и> квадрат на Ш к квадрату
на HG. Поскольку теперь будет, что как Е к ВС, так и
квадрат на А к квадрату на /Я, то значит, соизмеримым
будет квадрат на А с квадратом на \И (предложение 6).
Квадраг же иа А рационален. Рациона- „
лен, значив, и <квадрат> на 1И\ значит, v т4
JH будет рациональна. И поскольку £ | _^— 1
не имеет к ВС отношении, как квадрат- „
ное число к квадратному числу, то
значит, и квадрат на А не имеет к [квад- J" ~~~^ „
рату] на IH отношения, как квадрат- 1— <
иое число к квадратному числу; значит, „ „_
А будет линейно несоизмерима с Ш
(предложение 9). Затем, поскольку будег,
что как ВС к CD, так и квадраг на IH к <квадрагу> иа HG,
то значит, < квадрат), на /Я будет соизмерим с <квадратом> на
НО (предложение 6). <Квадрат> же на IH рационален;
рационален, значит, и <квадрат), lfa HG\ рациональной, значит,
будет и HG. И [госкольку ВС не имеет к CD отношения,
как квадратное число к квадратному числу, то значит, и
<кеадрат). на 1Н не имеет к <квадрату> на HG отношения,
как квадратное число к квадратному числу; значит, Щ будег
линейно несоизмерима с HG (предложение 9). И обе они
рациональны; значит, Ш> HG будут рациональными,
соизмеримыми только в степени; значит, IG будет вычетом
(предложение 73).
Во г я утверждаю, что и третьим.
Действительно, поскольку будет, что как Е к ВС, так
и квадрат на Л к <квадрату> на /Я, как же ВС к СО,
так и <квадрат> иа IИ к <квадрату> на GH, то «по
равенству» (предложение 22 книги V), значит, будет, что как Е
к С-О, так и <квадрат> на Л к <квадрату> на GH. Но Е
не имеет к CD отношения, как квадратное число к
квадратному числу; значит, и <квадрат> на А ие имеет к <квад-
рату> на HG отношения, как квадратное число к квадрат-
14 Евклид


210
НАЧАЛА ЕВКЛИД\
|юму числу; значит, А несоизмерима будет с HG линейно
(предложение 9). Значит, никакая из /Я, НО не будет
линейно соизмерима с отложенной рациональной А. Пусть
теперь то, чем <квадрат> на /Я больше <квадрата> иа HG,
будет <квадрат> иа К (предложение I'd, лемма). Поскольку
теперь будет, что как ВС к CD. так и <квадраг> на /Я
к <квадрату> иа НО, то, «переворачивая» (предложение 19
книги V, следствие), значит, будет, что как ВС к BD, так
и квадрат на }Н к <квадрачу> на К. Но ВС имеет к BD
отношение, как квадратное число к квадратному числу;
значит, и <квадраг> на Ш к <квадрат>> на К имеет
отношение, как квадратное число к квадратному числу. Значит,
IH будет линейно соизмерима с .^(предложение 9), и в
квадратах /Я более HG на <квадрат> на соизмеримой с собой
<прямой). И никакая из /Я, HG не будет линейно
соизмерима с отложенной рациональной А; значит. IG будет третьим
вычетом (определения третьи, 3).
Итак, найден третий вычет Ю, что и требовалось
доказать.
Предложение 88
Найти четвёртый вычет (черт. 98).
Отложим рациональную А и соизмеримую с А
линейно ВН; рациональной, значит, будет н ВН. И отложим два
числа Dl, IE так, чтобы вся DE не имела к каждой
из DL El отношения, как квад-
Н Г Н
ду— | , ^ | ратное число к квадратному числу.
И сделаем, чтобы как DE к £7,
£, 1 и 4 ч так 0Ь[Л 5ы и> квадрат на ВН
к <квадрату> на НС (яредложе-
lepr, 98. ние ^ следствие); значит,
-(квадрат) на ВН будет соизмерим
с <квадратом> на НС (предложение 6). <Квадрат) же на ВН
рационален; рационален, значит, н <квадрат) на НС;
рациональна, значит, и НС. И поскольку DE не имеет к El
отношения, как квадратное число к квадратному числу, то
значит, и <квадрат> на ВН не имеет к <квадрагу> на НС
отношения, как квадратное число к квадратному числу;
значит, ВН б^дет линейно несоизмерима с НС (предложе-


КНИГА ДГХЯТЛЙ ^И
мне 9). И обе они рациональны; значит, ВИ, ИС будут
рациональными, соизмеримыми только в степени; значит,
ВС будет вычетом (предложение 73).
[Вог я утверждаю, что и четвёртым].
Пусть теперь то, чем <квадрат> на ВИ больше <квад-
рата> на ИС, будет <квлдрат> на G (предложение 13,
лемма). Поскольку теперь будет, что как DE к £7, так и
<квадрат> на ВИ к <квадрату> на ИС, то значит, и
«переворачивая» (предложение 19 книги V, следствие), будет,
что как ED к DI, так и <квадрат> па ИВ к <квадрату>
на G. Но ED не имеет к DI отношения, как квадратное
число к квадратному числу; значит, и <квадрат> на ИВ
не имеет к <квадрату> на G отношения, как квадратное
число к квадратному числу; значит, ВИ несоизмерима будет
с G линейно (предложение 9). И в квадратах ВИ более ИС
на <квадрат> на G; значит, ВИ в квадратах более ИС на
<квадрат> на несоизмеримой с собой. И вся ВИ соизмерима
линейно с отложенной рациональной А. Значит, ВС будет
четвёртым вычетом (определения третьи, 4).
Итак, иайден четвёртый вычет, что и требовалось
'доказать.
Предложение 89
Найти пятый вычет (черт. 99).
Отложим рациональную А, и пусть СИ будет линейно
соизмерима с А; значит, СИ [будет] рациональна. И
отложим два числа DI, IE так, чтобы DE опять
не имела к каждой из D/, IE
отношения, как квадратное число к квадратному
числу; и сделаем, чтобы как IE к ED, так
<был бы и квадрат) на СИ к <квадрату>
на ИВ. Рационален, значит, и <квадрат> на
ИВ (предложение 6); рациональна, значит,
будет и ВИ. И поскольку будет, что как DE
к Е/, так и <квадраг> на ВИ к < квадрату>
на ИС, DE же не имеет к El отношения, Черт. 99.
как квадратное число к квадратному числу,
то значит, и <квадрат> па ВИ не имеет к <квадрату>
на ИС отношении, как квадратное число к квадратному
i
14*


212
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
числу; значит, ВИ несоизмерима будет с НС линейно
(предложение 9). И обе они рациональны; значит, ВИ, ИС
будут рациональными, соизмеримыми только в степени;
значит, ВС будет вычетом (предложение 73).
Вот я утверждаю, что и пятым.
Пусть, действительно, то, чем <квадраг> на ВИ более
<квадрата> на /УС, будет <квадрат> на О (предложение 13,
лемма). Поскольку теперь будет, что как <квадрат> на ВИ
к <квадрату> на /УС, так и DE к Е/, то, «переворачивая»
(предложение 19 книги V, следствие), значит, будет, что
как ED к DI, так и <квадрат> на ВИ к <квадрату> на G.
Но ED не имеет к DI отношения, как квадратное число
к квадратному числу; значит, и <квадрат> на ВИ не имеет
к <квадрату> на G отношения, как квадратное число к
квадратному числу; значит, ВН несоизмерима будет с G линейло
(предложение 9). И в квадратах ВИ более НС на <квад-
рат> на G; значит, НВ в квадратах более ИС на <квадрат>
на несоизмеримой с собой линейно. И сочетающаяся СИ
будет линейно соизмеримой с отложенной рациональной А;
значит, ВС будет пятым вычетом (определения третьи, 5).
Итак, иайден пятый вычет ВС, что и требовалось
доказать.
Предложение 90
Найти шестой вычет (черт. 100),
Отложим рациональную А и три числа Е, ВС, CD, не
имеющие между собой отношения, как квадратное число
„, к квадратному числу; ещё же пусть и
СВ не будет иметь к BD отношения,
г у. ~м как квадратное число к квадратному
„! числу; и сделаем, чтобы как Е к ВС,
так <был бы и квадрат) на Л к <квад-
^' ' рату> на IH, как же ВС к CD, гак
i 1 1 <был бы и квадраг> на IH к <квадра-
5 в С ту> на HG.
Черт. 100. Поскольку теперь будет, что как Е
к ВС, так и <квадрат> на А к <квад-
рату> на IH, то значит, <квадрат> на А соизмерим
с <квадратом> на IH (предложение 6), <Квадрат> же


КНИГА ДЕСЯТАЯ
213
на А рационален; рационален, значит, и <квадрат> на 1И\
рациональной, значит, будет и Ш. И поскольку Е
не имеет к ВС отношения, как квадратное число к
квадратному числу, то значит, и <квадрат> на А не будет
иметь к <квЕ)драту> иа Ш отношения, как квадратное
число к кЕадратному числу; значит, А будет несоизмерима
с JH линейно (предложение 9). Затем, поскольку будет,
что как ВС к CD, так и <квадрат> на IH к <квадрату>
на HG, то значит, <квадрат> па IH соизмерим с <квадра-
том> на HG (предложение 6). <Квадра1> же на IH
рационален; радиола лек, значат, и <юзадрат> на HG;
рациональна, значит, и HG. И поскольку ВС не имеет к CD
отношения, как квадратное число к квадратному числу, то
значит, и <кпадрат> на IH не имеет к <квадрату> на HG
отношения, как квадратное число к квадратному числу;
значит, /И будет несоизмерима с HG линейно
(предложение 9). И обе они рациональны; значит, IH, HG будут
рациональными, соизмеримыми только в степени; значит,
IG будет вычетом (предложение 73).
Вот я утверждаю, что и шестым.
Действительно, поскольку будет, что как Е к ВС, так
и <квадрат> на А к <квадрату> на Ш, как же ВС к CD,
так и <квадрат> иа IH к <квадрату> на HG, то значит,
«■поравенству» (предложение 22 книги V) будет, что как
Е к CD, так и <квадрат> на А к <квадрату> на HG. Но Е
не имеет к CD отношения, как квадратное число к
квадратному числу; значит, и <квадрат> па А не будет иметь
к <квацрату> на HG отношения, как квадратное число
к квадратному числу; значит, А будет линейно несоизмерима
с HG (предложение 9); значит, никакая из IH, HG не будет
линейно соизмерима с рацио тльиой А. Пусть теперь то,
чем <квадрат> на IH больше <квадрата> иа HG, будет
<квадрат) на К (предложение 13, лемма). Поскольку теперь
будет, что как ВС к CD, так и <квадрат> на [И к <квад-
рату> на ИЗ, то, «переворачивая» (предложение 19 книги
V, следствие), значит, будет, что как СВ к BD, так и
<квадраг> на JH к <квадрагу> на К. Но С В пе имеет
к BD отношения, как квадратное число к квадратному числу;
значит, ц <квадрат> на Ш не имеет к <квадрату> на К


НАЧАЛА ЕВКЛИДА
отношения, как квадратное число к квадратному числу;
значит, IH будет несоизмерима с К линейно
(предложение 9). И в квадратах IH более HG на <квадрат> на К;
значит, IH в квадратах более HG на <квадрат> на
несоизмеримой с собой линейно. И никакая из IH, HG не будет
линейно соизмерима с отложенной рациональной А. Значит,
IG будет шестым вычетом (определения третьи, 6).
Итак, найден тестой вычет IG, что и требовалось
доказать (58).
Предложение 91
Если площадь заключается между рациональной и
первым вычетом, то квадрирующая эту площадь будет
вычетом.
Пустую площадь АВ заключается между рациональной АС
и первым вычетом AD; я утверждаю, что квадрирующая
площадь АВ будет вычетом (черт, 101).
Действительно, поскольку AD есть первый вычет, то
пусть сочетающаяся с ним будет DH; значит, АН, HD
„ Е 2' н ^УДУт рациональные, соизмеримые
только в степени <прямые>
(предложение 73)- И вся АН соизмерима
с отложенной рациональной АС, и в
квадратах АН более HD на <квад-
рат> на линейно соизмеримой с собой
(определения третьи, 1); значит, если
приложить к АН с недостатком в
виде квадрата <площадь>, равну ю
<квадрату> на DH, то она разделит
эту <прячую> на соизмеримые <ча-
сти> (предложение 17). Рассечём DH
пополам в Я и приложим к АН с
недостатком в виде квадрата <площадь>,
равную <квадрату> на ЕН, и пусть это будет <прямо-
угольник> между AZ, ZH; значит, AZ будет соизмерима
с ZH. И через точки Е, Z, Н параллельно АС проведём
EG, ZI, НК.
И поскольку AZ будет соизмерима с ZH линейно, то
значит, и АН будет линейно соизмерима с каждой из AZ,
G I
I 0
Y/
/и
'/
-/
Черт. 101.


\
\
\
I КНИГА ДЕСЯТАЯ 215
2\H (предложение 15). Но АН соизмерима с АС; значит, и
каждая из AZ. ZH будет линейно соизмерима с АС
(предложение 12). И АС рациональна; рациональна, значит, и
каждая из AZ, ZH; так что и каждая из <цдощадей) At,
ZK будет рациональной (предложение 1 книги VI;
предложение 11 книги X). И поскольку DE будет соизмерима
с 1ЕИ линейно, то значит, и DH будет линейно соизмерима
с (каждой из DE, ЕЙ (предложение 15). Но DM
рациональна и несоизмерима с АС линейно; значит, и каждая
vi3\DE, ЕЛ будет рациональна и несоизмерима с АС
линейно (предложение 13); значит, каждая из <площадей)
DQ, ЕК будет медиальной (предложение 20).
1 Тогда положим равный <цлощ1ди) AI квадрат LM,
равный же <площади> ZK квадрат NX, имеющий с ним общий
угол LOM, отнимем; значит, квадраты LM, NX, будут на
одном и том же диаметре (предложение 26 книги VI). Пусть
их1 диаметр б\<дст OR, а достроим <известный> чертёж
(см. предложения 4, 7, 8 книги И). Поскольку теперь
заключающийся между AZ, ZH прямоугольник равен
квадрату на ЕЙ, то значит (предложение 17 книги VI), будет,
что, как AZ к ЕМ, так н ЕЙ к ZH. Но как AZ к ЕЙ,
так и <площадь> AI к ЕК, как же ЕЙ к ZH, так будет
и ^площадь) ЕК к KZ (предложение 1 книги VI); значит,
для <площадей> AI, KZ средней пропорциональной
будет ЕК- Также и для <площадей> LM, 1\Х средней
пропорциональной будет MN, как это доказано в предыдущих
{предложение 53, лемма), и < площадь) AI равна
квадрату LM, <площадь> же KZ <равна> NX; значит; и <лло-
1цадь> MN равна будет ЕК. Но ЕК равна DG, MN
же —АЛ" (предложение 43 книги I); значит, DK равна
будет гномону YFU и ещё <квадрату) NX. Так же и
-(площадь) АК равна квадратам LM, NX; значит, остаток АВ
будет равен <площади> ST. Но ST будет квадратом на LN;
значит, квадрат на LN будет равен <плошдди> АВ;
значит, LN квадрирует <площадь> АВ.
Вот я утверждаю, что LN будет вычетом.
Действительно, поскольку каждая из <площадей> Af,
ZK рациональна и равна -(соответственно) LM, NX, го
значит, будет рациональна и каждая из <площадей) /,/И, NX,


ЛЬ НАЧАЛА ЕВКЛИДА J
то-есть <кзадратов> на каждой из LO, ON; значит, и
каждая из L О, ON б у дет рациона ль ной. Затем, посколь ку
<площадь> DG медиальна и равна LX, то медиальной,
значит, будет и LX. Поскольку теперь <площадь> LX
медиальна, NX же рациональна, то значит, LX будет
несоизмерима с NX', как же LX к NX, так будет и <прямая> Ц)
к ON (предложение 1 книги VI); значит, LO будет
линейно несоизмерима с ON (предложение 11). И обе аги
рациональны; значит, LO, ON будут рациональными,
соизмеримыми только в степени; значит, LN будет вычерм
(предложение 73). И он квадрнруег площадь АВ; зкачп,
квадрирующая площадь АВ будет вычетом. j
Итак, если площадь заключается между рациональной
и т. д. /
Предложение 92
Если площадь заключается между рациональной и
вторым вычетом, то квадрирующая эту площадь буЬет
первым медиальным вычетом.
Пусть площадь АВ заключается между рациональной АС
и вторым вычетом AD; я утверждаю, что квадрирующая
площадь АВ будет первым медиаль-
Я & ^ ir-M пым вычетом (черт. 102).
Действительно, пусть сочетаю-
__ щаяся с AD будет DH; значит, АН,
I К HD будут рациональными,
соизмеримыми только в степени
(предложение 73), и сочетающаяся DH будет
соизмеримой с отложенной рациопаль-
*П у а > г ной АС, целая же АН в квадратах
будет больше сочетающейся DH на
<квадрат> на соизмеримой с собой
линейно (определения третьи, 2).
Поскольку теперь АН в квадратах
больше HD на <квадрат> на
соизмеримой с собой, то значит, если приложить к АН <пло-
щадь>, равную четвёртой части <квадрата> на HD, с
недостатком в виде квадрата, то она разделит эту <пря-
мую> на соизмеримые части (предложение 17). Рассечём.
,''
Y/
/и
F/
Черт. 102.


КНИГА ДЕСЯТАЯ *>'
теперь DH пополам в Е; и приложим к АН равную <квад-
рату> на ЕЙ <площздь> с недостатком в виде квадрата, и
пусть это будет <прямоугольник> между AZ, ZH\ значит,
AZ будет соизмерима с ZH линейно. И, значит, АН будет
линейно соизмерима с каждой из AZ, ZH (предложение 15).
Но АН рациональна и несоизмерима с АС линейно; и
значит, каждая из AZ, ZH будет рациональной и
несоизмеримой с АС линейно (предложение 13); значит, каждая из
<площадсй> AI, ZK будет медиальной (предложение 20).
Затем, поскольку DE соизмерима с ЕЙ, то значит, и DH
будет соизмеримой с каждой из DE, ЕЙ (предложение 15).
Но DH соизмерима с АС линейно [значит, и каждая из
DE, ЕЙ будет рациональной и линейно соизмеримой с АС].
Значит, каждая из <площадей) DG, ЕК будет рациональной.
Построим теперь равный <площади> AI квадрат LM,
равный же <площади> ZK <квадрат> NX, <цаходнщнйся>
при том же самом, что и LA4, угле, <а именно), угле LOM,
отнимем; значит, квадраты LM, NX будут на одном и том
же диаметре (предложение 26 книги V). Пусть их диаметр
будет OR, и достроим <известный> чертёж. Поскольку
теперь <площади> AI, ZK медиальны и равны
.(соответственно квадратам) на LO, ON, то и <квадрать[> на LO, ON
будут [значит] медиальными; значит, и ■(прямые) LO, ON
будут медиальными, соизмеримыми только в степени. И
поскольку <прямоугольник> между AZ, ZH равен <квадрату>
на ЕЙ, то значит, будет (предложение 17 книги VI), что
как AZ к ЕН, так п ЕЙ к ZH, но как AZ к ЕЙ, так и
<площадь> А1 к ЕК (предложение 1 книги VU; как же ЕН
к ZH, так [будет] и <площадь> ЕК к ZK значит, для
<площадей> AI, ZK средней пропорциональной будет ЕК.
Также и для квадратов LM, NX средней
пропорциональной будет МЫ (предложение 53, лемма); и <площадь> AI
равна LM, ZK же <paB;ja> NX; значит, и <площадь> AiN
равна будет ЕК. Но <площади> ЕК равна [будет] DG,
<площади> же MN равна LX (предложение 43 книги I);
значит, вся <шющздь> DK равна будет гномону YFU и
<ещё квадрату) NX. Поскольку теперь вся <площадь> АК
равна <вместе взятым> LAi, NX, из которых DK равна
гномону YFU п <ещё квадрату) NX, то значит, остаток,


-'° НАЧАЛА ЕВКЛИДА
<площадь> АВ равна будет TS. Но TS будет <квадратом>
на LN; значит, <квадрат> на LN будет равен площади АВ;
значит, <прямая> LN квадрирует площадь АВ.
[Вот] я утверждаю, что LN будет первом медиальным
вычетом.
Действительно, поскольку <площадь> ЕК рациональна
и равна LX, то значит, рациональна будет и LX, то-есть
<прямоугольник> между LO, ON. Доказано же, чго NX
мсдиален; значит LX будет несоизмерим с NX; как же LX
к NX, так будет и .(прямая> LO к ON (предложение 1
книги VI); значит, LO, ON будут линейно несоизмеримыми
(предложение 11). Значит, LO, ON будут медиалями,
соизмеримыми только в степени, заключающими рациональную
<площадь>; значит, LN будет первым медиальным вычетом
(предложение 74); и она квадрируег площадь АВ.
Итак, квадрирующая площадь АВ будет первым
медиальным вычетом, что и требовалось доказать.
/ К
Предложение 93
Если площадь заключаемся между рациональной и
третьим вычетом, то квадрирующая эту площадь будет
„ с 7 н 8тоРим медиальным вычетом.
—[ г-—|—| Пусть площадь АВ заключается
между рациональной АС и третьим
I вычетом AD\ я утверждаю, что
квадрирующая площадь АВ будет вторым
медиальным вычетом (черт. 103).
Дсйствит ельно, пусть
сочетающаяся с CD будет DH; значит, АН,
HD будут рациональными,
соизмеримыми только в степени, и никакая
из АН, HD не будет линейно
соизмеримой с отложенной рациональной
ДС, целая же АН в квадратах будет
больше сочетающейся DH на <квад-
рат> на соизмеримой с собой (определения третьи, 3).
Поскольку теперь АН в квадратах больше HD на <квадрат> на
соизмеримой с собой, то значит, если приложить к АН равную
I
X
/'
/и
_F/
Черт. 103.


КИНГА ДЕСЯТАЯ ^У
четвёртой части <квадрата> на DH <площадь> с
недостатком в виде квадрата, то она разделяет эту <прямую> на
соизмеримые <часги> (предложение 17), Рассечём теперь Dh
пополам в Е и приложим к АН равную <квадрату> па ЕЙ
(площадь) с недостатком в виде квадрата, и пусть это
будет <т!рямо>гольник> между AZ, ZH. И проведём через
точки Е, Z, И параллельно АС (прямые) EG, ZI', НК,
значит, соизмеримыми буду1 <прямые> AZ, ZH
соизмерима, значит, и (площадь) А! с ZK (предложение 1 книги VI;
предложение 11 книги" X), И поскольку AZ, ZH линейно
соизмеримы, то значит, и АН будет линейно соизмеримой
с каждой из AZ, ZH (предложение 15). Но АН рациональна
и несоизмерима с АС линейно, так что и <прямыс> AZ, ZH
(будут несоизмеримы с АС линейно) (предложение 13).
Значит, каждая из (площадей) А!, ZK будет медиальной.
Затем, поскольку DE линейно соизмерима с ЕН, то значит,
и DH будет линейно соизмерима с каждой из DE, ЕЙ
(предложение 15). Но HD рациональна и линейно
несоизмерима с АС; значит, и каждая из DE. ЕМ
рациональна и линейно несоизмерима с АС (предложение 13);
значит, и каждая из (площадей) DG, ЕК будет медиальной
(предложение 20). И поскольку АН, HD соизмеримы
только в степени, то значит, АН будет линейно
несоизмерима с HD. Но АН будет линейно соизмеримой с AZ,
DH же с ЕН; значит, AZ будет линейно
несоизмерима с ЕН (предложение 13)- Как же AZ к ЕН, так
будет и (площадь) AJ к ЕК (предложение 1 книги VI);
значит, (площадь) А! будет несоизмеримой с ЕК
(предложение И).
Построим теперь равный <'площадп) А] квадрат LM,
равный же (площади) ZK (квадрат) NX, находящийся при
том же самом угле, что и LM, отнимем; значит (площади)
LM, NX будут на одном и том же диаметре
(предложение 26 книги VI). Пусть их диаметр будет OR, и достроим
(известный) чертёж. Поскольку теперь (прямоугольник)
между AZ, ZH равен (квадрату) па ЕН, то значит, будет,
что как AZ к ЕН, так и ЕН к ZH (предложение 17
книги VI). Но как AZ к ЕН, так будет и (площадь) AF к ЕК
(предложение 1 книги VI); как же ЕН к ZH} тдк будет


220
НАЧАЛА ЕВКЛНДА
и <площадь> ЕК к ZK: и значит, как <площадь> А! к ЕК,
так и ЕК к ZK\ значит, для AI, ZK средней
пропорциональной будет ЕК. Также и для квадратов LM, NX
средней пропорциональной будет <площадь> MN (предложение 53,
лемма); и (площадь) AI равна будет LM, ZK же NX; и
значит, ЕК равна будет M.N. Но MN равна LX
(предложение 43 книги I), ЕК же равна [будет] DG; значит, и вся
<площадь> DK равна будет гномону YFU и <ещё
квадрату) NX. Также и <площадь> АК равна <вместс взятым)
LM, NX; значит, остаток— (площадь) АВ — равен
будет ST, то-есть квадрату на LN; значит, LN квадрирует
площадь АВ.
Я утверждаю, что IN будет вторым медиальным
вычетом.
Действительно, поскольку доказано, что (площади) А[,
ZK медиальны, и они равны <соответственцо квадратам) на
LO, ON. то значит, и каждый из <квадратов) на LO, ON
медиален; медиальна, значит, каждая из (прямых) LO, ON.
И поскольку <площадь> AI соизмерима с ZK
(предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X), то значит, и
<квадрат> на LO соизмерим с <квадратом> на ON. Затем,
поскольку <площадь> AI оказалась несоизмеримой с ЕК>
то значит, и <площадь> LM несоизмерима будет с MN,
то-есть (квадрат) на LO с <прямоугольником> между LO,
N0; так что и (прямая) LO будет линейно несоизмерима
с ON (предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X);
значит, LO, ON будут медиалями, соизмеримыми только в
степени.
Вот я утверждаю, что они заключают медиальную (пло-
щадь).
Действительно, поскольку доказано, что <площадь> ЕК
медиальна и она равна (прямоугольнику) между LO, ON,
то медиальным, значит, будет и (прямоугольник) между
LO, ON; так что LO, ON будут медиалями, соизмеримыми
только в степени, заключающими медиальную (площадь).
Значит, LN будет вторым медиальным вычетом
(предложение 75): и она квадрирует площадь АВ.
Итак, квадрирующая площадь АВ будет вторым
медиальным вычетом, что и требовалось доказать.


КНИГА ДЕСЯТАЯ
Предложение 94
Если площадь заключается между рациональной и
четвёртым вылетом, то к&адрирующая эту площадь
будет «.меньшей» (иррациональной}.
Пусть площадь АВ заключается между рациональной
АС и четвёртым вычетом AD; я утверждаю, что квадри-
рующая площадь АВ будет «меньшей» <иррацнональной>
(черт. 104).
Действительно, пусть сочетающаяся с AD будет DH;
значит, АН, HD будут рациональными, соизмеримыми только
в степени, и АН будет линейно д ^ £ z н
соизмерима с отложенной рацио-
нальной АС, целая же АИ в
квадратах будет больше сочетающейся
DH на <квадрат> на
несоизмеримой с собой линейно
(определения третьи, 4). Поскольку теперь
АН в квадратах более HD на
<квадрат> на несоизмеримой с
собой линейно, то значит, если
приложить к АН равную четвёртой
части <квадрата> па DH <площадь>
с недостатком в виде квадрата, то
она разделяет эту <прямую> на
несоизмеримые <часги> (предложение 18). Рассечём теперь DH
пополам в Е, н приложим к АН равную <квадрагу> на ЕН
<площадь> с недостатком в виде квадрата, и пусть это
будет <нрямоугольник> между AZ, ZH; значит, AZ будет
несоизмеримой линейно с ZH. Проведем теперь через Е,
Z, Н параллельно AC, BD <прямые> EG, Zl, HK.
Поскольку теперь АН рациональна и линейно соизмерима с АС,
то значит, вся <площадь> АК будет рациональна. Затем,
поскольку DH линейно несоизмерима с АС и обе они
рациональны, то значит, <пло1цадь> DK будет медиальной
(предложение 21). Затем, поскольку AZ линейно
несоизмерима с ZH,to значит, и <шющадь> AI б_\дет несоязыери-
мой с ZK (предложение 1 книги VI; предложение И
книги X). Построим теперь равный <площади> А\ квадрат LM,
,''
У/
F /
.-''
Черт. 104.


Ш НАЧАЛА ЕВКЛИДА
равный же <площадн> ZK при том же самом угле LOM
<квадрат> NX отнимем. Значит, квадраты LAI, NX будут
на одном и том же диаметре (предложение 26 книги VI).
Пусть их диаметр будет OR, и достроим <известиый>
чертёж. Поскольку теперь <прямоуголышк> между AZ, ZZ/равен
<квадрату> на ЕЙ, то значит, будет пропорция — как AZ к
ЕЙ, так и ЕЙ к ZH (предложение 17 книги VI). Но как
AZ к ЕЙ, гак будет и <площадь> А! к ЕК, как же ЕЙ
к ZH, так будет и <площадь> ЕК к ZK (предложение 1
книги VI); значит, для A!, ZK средней
пропорциональной будет ЕК- Также и для квадратов LM, NX средней
пропорциональной будет <площадь> MN (предложение 53,
лемма), и <площадь> А1 равна будет LM, ZK же <равна>
NX; и, значит, ЕК равна будет MN. Но <площади> ЕК
равна DG, <площади> же MN равна LX (предложение 43
книги I); значит, вся DK равна будет гномону YFU и
<ещё> квадрату NX. Поскольку теперь вся АК равна <взя-
тым вместе) квадратам LM, NX, у которых DK равна
гномону YFU и квадрату NX, то значит, остаток, — <пло-
щадь> АВ-—равен б>дет ST, то-есть квадрату на LN;
значит, LN квадрирует площадь АВ.
Я утверждаю, что LN будет иррациональной, так
называемой «меньшей».
Действительно, поскольку <площадь> АК рациональна
и равна квадратам на LO, ON, го значит, составленное нз
<квадратов> на LO, ON будет рационально. Затем, поскольку
<площадь> DK медиальна, и DK будет равна дважды
<прямоугольнпку> между LO, ON, то значит, дважды <гфн-
моугольник> между Z,0; ON будет медиален. И
поскольку <плоп1ддь> AI оказалась несоизмеримой с ZK, то
значит, и квадрат на LO несоизмерим будет с квадратом
на ON, Значит, LO, ON будут несоизмеримыми в
степени, образующими составленное из квадратов на них
рациональное, дважды же <прямоугольиик> между ними
медиальный. Значит, LN будет иррациональной, так
называемой «меньшей» (предложение 76). И она кпадрирует
площадь АВ.
Итак, квадрирующая площадь АВ будет «меньшей»
иррациональной, что и требовалось доказать.


КНИГА ДЕСЯТАЯ
/ К
Предложение 95
Если площадь заключается между рациональной и
пятым вычетом, то квадрирующая эту площадь будет
«образующей с рациональным целое медиальное».
Пусть площадь АВ заключается между рациональной АС
и пятым вычетом AD; я утверждаю, что квадрирующая
площадь АВ будет «образующей с рациональным целое
медиальное» (черт. 105).
Действительно, пусть сочетающаяся с AD будет DM;
значит ЛИ, HD будут рациональными, соизмеримыми только
в степени, и сочетающаяся HD будет
линейно соизмерима с отложенной ^ ?—— £ "L
рациональной АС, целая же АН в
квадратах будет больше
сочетающейся DH на <квадрат> на несоизмери- С
мой с собой (определения третьи, 5).
Значит, если при ложи ib к Л//равную
четвёртой части <квадрата> на DH
<площадь> с недостатком в виде
квадрата, то она разделит эту <пря-
мую> на несоизмеримые <части>
(предложение 18). Рассечём теперь
DM пополам в точке Е и приложим
к АН равную <квадрату> на ЕЙ
<площадь> с недостатком в виде
квадрата, и п\сть это будет <прямэугольник> между AZ,
ZH; значит, AZ будет линейно несоизмерима с ZH. И
поскольку АИ линейно несоизмерима с СА и обе они
рациональны, го значит, <пло1дадь> АК будет медиальной
(предложение 21). Затем, поскольку DH рациональна и линейно
соизмерима с АС, то <площадь> DK рациональна
(предложение 19). Построим теперь равный <площади> А1
квадрат LMt равный же <площади> ZK квадрат NX при том же
yive LOM отнимем; значит, квадраты LMy NX будут на
одном и том же диаметре (предложение 26 книги VI).
Пусть их диаметр будет OR, и достроим <известный>
чертёж. Подобным же вот образом докажем, что LN квадрн-
рует площадь АВ.
,--
Y /
/и
F /
}
X
1.1
Черт. 105.


'224
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Я утверждаю, что LN будет «образующей с
рациональным целое медиальное».
Действительно, поскольку <площадь> ЛК оказалась
медиальной и она равна <квадратам> на LO, ON, то значит,
составленное из (квадратов,; на АО, ON медиально. Затем
поскольку <площадь> DK рациональна и равна дважды
<прямоутольник;у> между LO, ON, то и он будет рационален.
И поскольку <пло)цадь> AJ несоизмерима с ZK, то значит,
и <квадрат> на LO будет несоизмерим с <квадрагом> на ON;
значит, LO, ON будут несоизмеримыми в степени,
образующими составленное из квадратов на них медиальное, дважды
же <прямоуголышк> между ними рациональный. Значит,
остающаяся (прямая) LN б>дет иррациональной, так
называемой «образующей с рациональным целое медиальное»
(предложение 77); и она квадрирует <площадь> АВ.
Итак, квадрирующая площадь АВ будет «образующей
с рациональным целое медиальное», что и требовалось
доказать.
Предложение 96
Если площадь заключается между рациональной а
шестым вычетом, то квадрирующая эту площадь будет
образующей с медиальным целое ме-
^ диальиое.
Пусть площадь АВ заключается
между рациональной АС и шестым
вычетом AD; я угвеождаю, что
квадрирующая площадь АВ будет
образующей с медиальным целое
медиальное (черт. 106).
Действительно, пусть
сочетающаяся с AD будет ОН; значит, АН,
HD будут рациональными,
соизмеримыми только в степени, и никакая из
них не будет линейно соизмерима с
отложенной рациональной АС, целая
же АН в квадратах будет больше
сочетающейся DH на <квадрат> на линейно с собой
несоизмеримой (определения третьи, 6). Поскольку теперь
/'■
Y/
/и
s/
■''
Черт. 106.


КНИГА ДЕСЯТАЯ
225
АН в квадратах больше HD на <квадрат> на линейно
с собой несоизмеримой, то значит, если приложить
к АН равную четвертой части <квадрата> на DH <площадь>
с недостатком в виде квадрата, то она разделит эту <пря-
мую> на несоизмеримые <часга> (предложение 18).
Разделим теперь DH пополам в [точке] Е, и приложим к АН
равную <квадрату> на ЕН <площадь> с недостатком в виде
квадрата, и пусть это будет <прямоугольннк> между AZ,
ZH; значит, AZ будет несоизмеримой с ZH линейно. Как
же AZ к ZH, так будет и <прямоугольник> Al к ZK
(предложение 1 книги VI); значит, А! будет несоизмерим с
^/^(предложение 11). И поскольку АН, АС будут рациональными,
соизмеримыми только в степени, <площадь> АК будет
медиальной (предложение 21). Затем, поскольку AC, DН
рациональны и линейно несоизмеримы, то и <|[лощадь> DK
будет медиальной. Поскольку теперь АН, HD соизмеримы
только в степени, то значит, АН будет несоизмерима с hD
линейно. Как же АН к НО, так будет и <площадь> АК к
KD (предложение 1 книги VI); значит, АК будет
несоизмерима с КО (предложение П). Построим теперь равный
<площадн> А! квадрат LM, равный же <плош,ади> ZK при
том же самом угле <квадрат> NX отнимем; значит,
квадраты LM, NX будут на одном и том же диаметре
(предложение 26 книги VI). Пусть их диаметр будет О/?, и достроим
<известную> фигуру. Подобно вот тому, как выше, докажем,
что LN ксадрирует площадь АВ.
Я утверждаю, что LN будет образующей с медиальным
целое медиальное.
Действительно, поскольку <плогцадь> АК оказалась
медиальной, и она равна <квадратам> на LO, 0/V, то значит,
составленное из <квадратов> на 10, ОЛГ будет медиальным.
Затем, поскольку оказалась медиальной <площадь> DK, n
она равна дважды -(прямоугольнику) между Z.0, 0ЛГ, то и
дважды <прямоугольник> между LO, ON будет медиальным.
И поскольку АК оказалась несоизмеримой с DK, то [зна-
чи-] несоизмеримы будут и <вместе взятые) квадраты на
LO, ON с дважды <прямоугольником> между LO, ON.
И поскольку <нлощадь> А! будет несоизмерима с ZK, то
значит, и <квадраг> на L0 несоизмерим с <квадратом> на
' О Евклид


226 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
ON; значит, Z.0, ON будут несоизмеримыми в степени,
образующими составленное из квадратов на них медиальное
и дважды <прямоуголышк> на них медиальный, и еще
квадраты на них <вместе взятые), несоизмеримые с дважды
<прямоугольником) между ними. Значит, LN будет
иррациональной, так называемой образующей с медиальным целое
медиальное (предложение 78); и она квадрирует площадь АВ.
Итак, квадрирующая эту площадь будет образующей
с медиальным целое медиальное, что и требовалось доказать.
Предложение 97
(Квадрату на вычете, прчложенный к рациональной
образует шириной первый вычет (60).
Пусть будет вычет АВ, рациональная же CD, и приложим
к СО равную <квадрату> на АВ <цлощадь> СЕ,
образующую ширину С/; я утверждаю, что С/
У I j будет первым вычетом (черт. 107).
Действительно, пусть сочетающаяся
q j tj % м с АВ будет ВИ; значит, АИ, ИВ бу-
| Г~| I дут рациональными, соизмеримыми
только в степени (предложение 73). И при-
I 111 лэжим к СО равную <квадрату> на АН
Я £ х £ i <площадь> CG и равную <квадрату>
Черт 107 иа ВН <площадь> АХ. Значит, вся <пло-
щадь> CL равна будет <вместе взятым
квадратам) на АИ, ИВ; из них <площадь> СЕ равна
будет <квадрату> па АВ; значит, остаюк—<площадь>
IL — равен будет дважды <прямоуГольнику> между АИ, ИВ
(предложение 7 книги II), Разделим 1М пополам в точке N и
проведём через ..Упараллглыю СО <прямую>Л^; значит,
каждая из <плош,адей> IX, LN равна будет ^прямоугольнику)
между АИ, ИВ. И поскольку <квадраты> на АИ, ИВ <вме-
сте> рациональны, и <квадратам> на АН, ИВ равна <пло-
щадь> £Ш, то значит, рациональной будет и <плэщадь> ОМ.
И приложена она к рациональной CD, образуя ширину СМ;
значит, СМ будет рациональной и линейно соизмеримой
с CD (предложение 20). Затем, поскольку дважды
Прямоугольник) между АН, ИВ медиален, и дважды <прямо-


КНИГА ДЕСЯТАЯ 227
угольник) между АН, ИВ равен <плоЩади> IL, то значит,
медиальна и /X, И она прилагается к рациональной CD,
образуя ширину 1М; значит, /Ж будет рациональна и песо-
измерима с CD линейно (предложение 22). И поскольку
<квадраты> на АН, ИВ <вместе> рациональны, дважды же
<прямоугольник> между АН, ИВ медиален, то значит,
<квадраты) на АН, ИВ <вместе> будут несоизмеримы с
дважды -(прямоугольником) между АН, ИВ, И -(вместе
взятым квадратам) иа АН, ИВ равна <площадь> CL, дважды
же -(прямоугольнику) между АН, ИВ — -(площадь) IL;
значит, DM будет несоизмерима с IL, Как же -(площадь)
DM к IL, так будет и <прямая> СМ к IM (предложение
1 книги VI). Значит, СМ будет несоизмерима с IM
линейно (предложение 11). И обе они рациональны; значит,
CM, AM будут рациональными, соизмеримыми только в
степени; значит, С/ будет вычетом (предложение 73).
Вот я утверждаю, что и первым.
Действительно, поскольку для <квадратов> на АН, ИВ
средним пропорциональным будет -(прямоугольник) между
АН, ИВ (предложение 21, лемма), и <квадрату) на АН
равна <площадь) CG, -(квадрату) же на ВН равна
-(площадь) АХ, -(прямоугольнику) же между АИ, ИВ— <лло-
щадь) NL, то значит, для CG, K.L средней
пропорциональной будет -(площадь) NL; значит, будет, чго как CG к NL,
так и NL к KL. Но как .(площадь) CG к NL, так будет
и -(прямая) СК к NM (предложение 1 книги VI); как же
<площадь) ЛХ к АХ, так будет и -(прямая) NM к КМ;
значит, -(прямоугольник) между СК, КМ равен будет <ква-
драту) на ММ (предложение 17 книги VI), то-ссть
четвёртой части <квадрата) на Ш. И поскольку <квадрат> на АН
соизмерим с <квадратом) на ИВ, то соизмерима [будет] и
•(площадь) CG с АХ, Как же CG к KL, так и -(прямая)
СК к КМ (предложение 1 книги VI); значит, СК будет
соизмерима с КМ (предложение 11). Поскольку теперь
будут две неравные прямые CMt Ml, и к СМ приложена
равная четвёртой части -(квадрата) на 1М -(площадь) с
недостатком в виде квадрата, -(именно прямоугольник) между
СК, КМ, и СК соизмерима с КМ, то значит, СМ в
квадратах будет больше Ml на <квадрат) па соизмеримой
16*


228 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
с собой линейно (предложение 17). И СМ линейно
соизмерима с отложенной рациональной СО; значит, С! будет
первым вычетом.
Итак, <квадрат) па вычете, приложенный к
рациональной, образует шириной первый вычет, что и требовалось
доказать.
Предложение 98
(Квадрату на первом медиальном вычете,
приложенный к рациональной, образует шириной второй вычет.
Пусть будет первый медиальный вычет АВ,
рациональная же CD, и приложим к СО равную <квадрагу> на АВ
пН <плоидадь) СЕ, образующую шири-
i —н н iiy CI; я утверждаю, что С/ будет
вторым вычетом (черт. 108).
С / N /( м Действительно, пусть сочетаю-
I I 1 щаяся с АВ будет ВИ; значит, АН,
ИВ будут медиалями, соизмеримыми
; £ *—L—} только в степени, заключающими
рациональную <площадь> (предложе-
Черт. 108. пие 74). Й приложим к СО равную
<квадрату> на АИ <площадь> CG.
образующую ширину СК, и равную (квадрату) "а ИВ
<площадь> АХ, образующую ширилу КМ; значит, вся
<площадь> CL равна будет <вместе взишм квадратам)
на АИ, ИВ; значит, медиальной будет и CL. И
прилагается она ]с рациональной СО, образуя ширину СМ;
значит, СМ будет рациональной п несоизмеримой с CD
линейно (предложение 22). И поскольку <плошадь) CL равна
<квадратам) на АИ, ИВ, из которых (квадрат) на АВ равен
•(площади) СЕ, то значит, остаток—-дважды
Прямоугольник) между АИ, ИВ—равен будет <площдди) [L
(предложение 7 к.шги JJ). Дважды же <прямоугольник) между
АИ, ИВ [будет] раачочален; значит, (площадь) IL
рациональна. И прилагазтея о щ а рацио шьной IE, образуя
ширину 1М; рациональной, значит, будет и 1Л4 и соизмеримой
с CD линейю (предложение 20). Поскольку теперь <вместе
взятые квадраты) иа АИ, ИВ, то-есть <площ,адь) CL, меди-
альны( дважды же <прямоугольник) меж-ду АИ, ИВ, то-есгь


КНИГА ДЕСЯТАЯ
229
<площадь> 1L, рационален, то значит, CL несоизмерима
будет с 1L. Как же <площадь> CL к Я., так будет и
-(прямая) СМ к 1М (предложение 1 книги VI); значит, СМ
будет несоизмерима с 1М линейно (предлол<ение 11). И обе
они рациолатьны; значит, CM, Ml будут рациональными,
соизмеримыми только в степени; значит, С/ будет вычетом
(предложение 73).
Вот я утверждаю, что и вторым.
Действительно, разделим 1М пополам ъ N \\ проведём
'/ерез А/ параллельно CD <прячуго> NX; значит, каждая
из <площадей> IX, /VI равна будет <прямоугольнику> между
АН, НВ. И поскольку для квадратов на АН, ИВ сродним
пропорциональным будет -(прямоугольник) между АН, ИВ
{предложение 21, лемма), и <квадрат> на ЛЯ равен
^лошади) CG, -(прямоугольник) же между АН, НВ —
-(площади) NL, <квадрат> же наВН—<нлощади> KLt то значит,
для CG> KL средним пропорциональном будет <площадь>
NL; значит, будет, что как CG к NL, так и NL к K.L.
Нэ как < площадь) CG к 2VL, так будет и <прямая> СК
к NM, как же <площадь) NL к KL, так будет и -(прямая)
NM к МК (предложение 1 книги VI); значит, как СК к
NM, так- будет и NM к КМ; значит «(прямоугольник)
между СК, КМ равен будет -(квадрату) на AVW
(предложение 17 книги VI), то-ссть четвёртой части -(квадрата)
на М/ [и поскольку <квадрат> на АН соизмерим с
■(квадратом) на ВН, той <площадь> CG соизмерима будете^/.,
то-есть <прямая> СК с КЩ, Поскольку теперь будут две
неравные прямые CM, Ml, и к большей СМ приложена
равная четвертой части <квадрата> на Ml <площадь) с
недостатком в виде квадрата, -(именно прямоугольник) между
СК, КМ. и разделяет её на соизмеримые -(части), то
значит, CM в квадратах будет больше Ml на <квадраг> на
соизмеримой с собой линейно (предложение 17), И
сочетающаяся /М будет линей'Ю соизмеримой с отложенной
рациональной CD; значит, С/ будет втором вычетом
(определения третьи, 2).
Итак, <квадрат) на первом медиальном вычете,
приложенный к рациональной, образует шириной второй вычет,
что и требовалось доказать.


НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 99
с
и
4ej
h
1. 109
Ч
1 А
" 1
(Квадрату на втором медиальном вычете, приложен'
ный к рациональной, образует шириной третий вычет.
Пусть будет второй медиальный вычет АВ,
рациональная же CD, и приложим к CD равную <квадрату) на АВ
<плошадь> СЕ, образующую ширину С/; я утверждаю,
что С/ будет третьим вычетом (черт. 109).
Действительно, пусть сочетающаяся с АВ будет ВН\
значит, АН, НВ будут медиалями, соизмеримыми только
в степени, заключающими медиальную
<площадь> (предложение 75). И
приложим к CD равную <квадрагу> на АН
<площадь> CG, образующую ширину СК,
к KG же приложим равную <квадрату)
на ВН <площадь> KL, образующую
ширину КМ; значит, вся <площадь> CL
равна будет .(вместе взятым квадратам)
на АН, НВ [и <квадраты> иа АН, НВ
меднальны]; медиальна, значит, и CL.
И она приложена к рациональной CD, образуя ширину СМ;
рациональной, значит, будет и СМ и несоизмеримой с CD
линейно (предложение 22). И поскольку вся <площадь> CL
равна <вместе взятым квадратам) на АН, НВ, у которых
■(площадь) СЕ равна <квадрату> на АВ, то значит,
остаток— <площадь> LI— равен будет дважды
.(прямоугольнику) между АН, НВ (предложение 7 книги II). Разделим
теперь !М пополам в точке N и параллельно CD проведём
NX; значит, каждая из <площадей> IX, NL равга будет
-(прямоугольнику) между АН, НВ. <Пряиоугольник> же между
АН, НВ медиален; медиальной, значит, будет и <площадь)
IL. И прилагается она к рациональной Е!, образуя ширину
!М; рациональна, значит, и !М и несоизмерима с CD
линейно (предложение 22). И поскольку АН, НВ будут
соизмеримы только в степени, то значит, АН [будет]
линейно несоизмерима с НВ; значит, и <квадрат) на АН
будет несоизмерим с .(прямоугольником) между АН, НВ
(предложение 21, лемма; предложение 11). Но с <квадра-
том> на АН соизмеримы <квадраты) на АН, НВ, с <прямо-


КНИГА ДЕСЯТАЯ
угольником) же между АН, ИВ— дважды <прямоугольник>
между ЛИ, ИВ; значит, <вместе взятые квадраты) на АН,
ИВ будут несоизмеримы с дважды <прямоугольникоч> между
АН, ИВ (предложение 13). Но <вместе взятым квадратам)
на АН, НВ равна <площадь> CL, дважды же
Прямоугольнику) между АН, ИВ равна <площадь> IL; значит, <пло-
щадь) CL будет несоизмерима с /L. Как же CL к IL,
так будет и <прямая) СМ к 1М (предложение 1 книги VI);
з,1ачнг, СМ будет несоизмерима с /М линейно (предпоже-
ние 11). И обе они рациональны; значит, CM, Ml будут
рациональными, соизмеримыми только в степени; значит. С/
будет вычетом (предложение 73).
Вот я утверждал, что и третьим.
Действительно, поскольку <квадрат) на АН соизмерим
с <кваз.ратом> иа ИВ, то значит, и <площадь) CG
соизмерима с КЦ так что и <прямая> СК с КМ (предложение
1 книги VI; предложение 11 книги X). И поскольку для
<квацратов) иа АН, НВ средние пропорциональным будет
<прямоугодьиик> между АН, НВ (предложение 21. лемма),
и <квадрату) иа АН равна будет <площадь) CG, <ква-
драту) же на НВ рз.вна <площддь> KL, <ирячоугольнику)
же между АН. ИВ равна <площ/щь> NL, то значит, для
CG, KL средним пропорциональным будет NL; значит,
будет, что как CG к NL, так и NL к АХ. Но как <пло-
щадь) CG к NL, так будет и <црячая> СК к NM
(предложение 1 книги VI), как же <площадь) NL к KL, так
будет и <прямая) NM к КМ; зиаччт, как <прямая> СК
к MN, так будет и MN к КМ; значит, (предложение 17
киигн VI) <прячоугольняк> между СК, КМ равен будет
[<квадрату) на MN, то-есть] четвёртой части <квадрата>
на 1М. Поскольку теперь будут две неравные прямые СМ,
Ml, и к СМ приложена равная четвёртой части <квад-
рата) па 1М <площадь> с недостатком в виде
квадрата и разделяет её на соизмеримые <части), то
значит, СМ в квадратах будет бэлыие Ml на <квадрат>
Пл соизмеримой с собой <ирямой>. И никакая нз СМ,
Ml не будет линейно соизмерима с отложенной
рациональной CD; значит, С1 будет третьим вычетом
(определения третьи, 3).


232
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Итак, <квадрат> на втором медиальном вычете,
приложенный к рациональной, образует шириной третий вычет,
что и требовалось доказать.
Предложение 100
(Квадрату на «.меньшей?: (аррацип сальной),
приложенный к рациональной, образует шириной четвёртый
вычет.
Пусть будет «меньшая» <иррациональная> АВ,
рациональная же CD, n приложим к рациональной CD равную
<квадрату> на АВ <площадь> СЕ, образующую ширину CI;
я утверждаю, что С/ будет четвёртым
i 1 1 вычетом (черт. 110).
Действительно, пусть сочетающаяся
С J N К м с АВ будет ВН\ значит, АН, НВ будут
I ГТ I несоизмеримыми в степени,
образующими составленное из квадратов на АН,
1 1—i—1 НВ рациональное, дважды же <прямо-
^ X G L уГ0ЛЬНИК^ между АН, НВ медиальный
Черт. 1J0. (предложение 76). И приложим к CD
равную <квадрату> на ,4//<площадь> CG,
образующую ширину СК, и равную <квадрату> па£?//<пло-
щадь> ДХ, образующую ширину КМ; значит, вся <площадь>
CL равна будет <вместе взятым квадратам) на АН, НВ. И
составленное из <квадратов> на АН, НВ рационально;
рациональной, .значит, будет ег <площадь> CL. И она прилагается
к рациональной CD, образуя ширину СМ; рациональна,
значит, и СМ и соизмерима с CD линейно {предложение
20). И поскольку целая <площадь> CL равна <в\:есте
взятым квадратам) на АН, НВ, у которых <площадь> СЕ
равна <квадрату> на АВ, то значит, остаток —<площадь>
JL — равен будет дважды <прячоугольншсу> между АН,
НВ (предложение 7 книги II), Рассечём теперь IM
пополам в точке Л' и проведём через Л' параллельна каждой
из CD. ML <прямую> NX; значит, каждая из <площадей>
IX, NL равна будет <прямоугольнпку> между АН, НВ.
И поскольку дважды <прямоутольник> между АН, НВ ме-
диален и равен <площади> JL, то значит, и <площадь> IL.


КНИГА ДЕСЯТАЯ 233
будет медиальна. И прилагается она к рациональной IE,
образуя ширину IM; значит, IM будет рациональна н
линейно несоизмерима с CD (предложение 22). И поскольку
составленное из <квадратов> на АН, НВ рационально,
дважды же <прямоугольник> между АН, НВ медиален, то
[значит] несоизмеримы будут <выесте взятые квадраты> иа АН,
НВ с дважды <прямоугольником> между АН, НВ. <Площадь>
же CL [будет] равна <квадратам> на АН, НВ, дважды же
<прямоугольнику> между АН, НВ равна <плошадь> IL;
значит, CL [будет] несоизмеримой с IL. Как же <площадь>
CL к 1L, так будет и <ирямая> СМ к Ml (предтожешге 1
книги V]); значит, СМ будет несоизмерима с Ml линейно
{предложение 11). И обе они рациональны; значит, C/Vf,
AM будут рациональными, соизмеримыми только в степени;
значит, С/ будет вычетом {предложение 73).
[Вjг] я утверждаю, чго и четвёртым.
Действительно, поскольку АН, НВ несоизмеримы в
степени, то значит, и <квадрат> на АН несоизмерим с <кпад-
ратом> на НВ, и <квадрату> на АН равна будет <площадь>
CG, <квадрату> же на НВ равна <нлощадь> KL; значит,
CG будет несоизмеримой с KL. Как же CG к KL, так
будет <прЯмая> СК к КМ (предложение 1 книги VI);
значит, СК будет линейно несоизмерима с КМ
(предложение 11). И поскольку для <квадратов> на АН, НВ
средним пропорциональным будет <прямоугольник> между АН,
НВ (предложечне 21, лемма), и <кпадрат> на АН равен
будет <нлощади> CG, <квадрат> же на НВ — <площади>
KL, <прямоугольник> же между АН, НВ— <площади>
NL, то значит, для CG, KL средней пропорциональной
будет <площадь> NL: значит, будут, что как CG к NL,
так и NL к KL. Но как CG к NL, так будет и <пря-
мая> СК к NM, кап же NL к KL, так будет н <пря-
маи> NM к КМ (предложение 1 книги VI); значит, как
СК к МЫ. так будет и MN к КМ; значит,
Прямоугольник) между СК, КМ равен будет <квадрату> на
MN, то-есть четвёртой части <квадрата> на IM
{предложение 17 книги VI). Поскольку теперь будут две
неравные прямые CM, Ml, и к СМ приложена равная
четвёртой части <квадрата> на Ml <площадь> с недостатком


234
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
в виде квадрата —<именно прямоугольник) между СК, КМ,
и разделяет её иа несоизмеримые части, то значит, СМ
в квадратах будет больше Ail иа <квадрат> иа
несоизмеримой с собой (предложение 18). И целая СМ будет
линейно соизмеримой с отложенной рациональной CD; значит,
CI будет четвёртым вычетом {определения третьи, 4).
Итак, <квадрат> на меньшей <иррациональной> и т. д.
Предложение 101
(Квадрату на образующей с рациональным целое
медиальное, приложенный л* рациональной, образует
шириной пятый вычет.
Пусть образующая с рациональным целое медиальное
будет АВ, рациональная же CD, и приложим к CD равную
С I N К М <кваДратУ> иа АВ <площадь> СЕ,
[ 1—|—| образующую ширину CI; я
утверждаю, что С/ будет пятым вычетом
; \ LJJ (черт. 111).
u t tub Действительно, пусть сочетаю-
.. н щаяся с АВ будет ВН\ значит, АН,
НВ будут прямыми, несоизмеримыми
Черт. 111. в степени, образующими составленное
из квадратов на них медиальное,
дважды же <мрямоугольник> между ними рациональный
(предложение 77). И приложим к CD равную <квадрату>
на АН <площадь> CG, и равную <квадрату> на НВ
<площадь> KL; значит, вся <площадь> CL равна будет
<вместе взятым квадратам> на АН, НВ. Составленное же
из <квадратов> из АН, НВ имеете будет медиа 1Ьно;
медиальной, значит, будет <и площадь> CL, И прилагается она
к рациональной CD, образуя ширину СМ; значит, СМ будет
рациональна и несоизмерима с CD (предложение 22). И
поскольку вся <площидь> CL равна будет <вместе взятым
квадратам> иа АН, НВ, у которых <площадь> СЕ равна
<квадрату> иа АВ, то значит, остаток — <площадь> IL —
равен будет дважды <прямоугольнику> между АН, НВ
{предложение 7 книги II). Рассечём теперь IM пополам
в TV и проведём через N параллельную каждой из CD,


КНИГА ДЕСЯТАЯ
235
ML <прямую> NX; значит, каждая из <площадей> IX, NL
равна будет <прямоугольнику> между АН, НВ. И поскольку
дважды <прямоугольник> между АН, ИВ булег рационачеи
и [будет] равен <площади> IL, то значит, JL будет
рациональна. И прилагается она к рациональной Ef, образуя
ширину IM; значит, IM будет рациональна и сопзмерт!а
с CD линейно {предложение 20). И поскольку <площадь>
CL медиа.тьна, IL же рациональна, то значит CL будет
■несоизмерима с IL. Как же CL к IL, так и <прячая> СМ
к Ml (предложение 1 книги VI); значит, СМ будет
несоизмерима с MJ линейно {предложение 11). И обе они
рациональны; значит, CM, Ml будут рациональными,
соизмеримыми только в степени; значит, CI будет вычетом
(предложение 73),
Вот я утверждаю, что и пятым.
Действительно, подобным же образом докажем, что
Прямоугольник между СК, КМ будет равен <квадрату> на
MN, то-есть четвёртой части <квадрата> на IM. И
поскольку <квадрат> на АН несоизмерим с <квадратом>
на НВ, <квадрат> же на АН равен <илощади> CG, a
<квадрат> па НВ—<площади> АХ, то значит, CG
несоизмерима с АХ. Как же CG к KL, так и <прямая> СК
к КМ (предложение 1 книги VI); значит, СК линейно
несоизмерима с КМ {предложение 11). Поскольку теперь
будут две неравные прямые CM, Ml, и к СМ приложена
равная четвёртой части <квадрата> на IM <площадь> с
недостатком в виде квадрата и разделяет её ца
несоизмеримые <части>, то значит, СМ в квадратах будет больше Ml
на <квадРат> на несоизмеримой с собой (предложение 18).
И сочетающаяся IM соизмерима с отложенной
рациональной CD; значит, С/ будет пятым вычетом (определения
третьи, 5), что и требовалось доказать.
Предложение 102
-^Квадрату на образующей с медиальным целое
медиальное, приложенный к рациональной, даёт шириной
шестой вычет.


236 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть образующая с медиальным целое медиальное
будет АВ, рациональная же CD, и приложим к CD равную
<квадрату> на АВ <площадь> СЕ, образующую ширину С/;
я утверждаю, что С1 будет шестым вычетом (черт. 112),
Действительно, пусть сочетающаяся с АВ будет ВЙ;
значит, АН, ИВ будут несоизмеримыми в степени,
образующими составленное из квадратов на них медиальное и дважды
<прямоугольник> на АН, НВ медиальный, и ^вместе взятые
квадраты) на АН, ИВ несоизмеримые с дважды
Прямоугольником) между АН, НВ {предложение 78). Приложим
теперь к CD равную <квадрату) на
1 II—^—!/ АН <площадь> CG, образующую
ширину СК, и <квадрату) на ВН
Травную площадь) KL; значит, вся
В £ х 6 l <плогцадь> CL равна 63'лет <квадра-
, | , там) на АН, НВ; значит, и CL будет
Л В Н медиальной. И прилагается она к ра-
Черт 112 цюнальпой CD, образуя ширину СМ;
значит, СМ будет рациональной и
линейно несоизмеримой с CD {предложение 22). Поскольку
теперь Площадь) CL равна <вместе взятым квадратам) на
АН, Hh, / которых ^площадь) СЕ равна <квадрату> на АВ,
то значит, остаток — <площадь> /L-—-равен будет дважды
Прямоугольнику) между АН, НВ {предложение 7 книги II).
И дважды Прямоугольник) между АН, НВ медиален; значит,
и <ш]ощадь> 1L будет медиальна. И прилагается она к
рациональной 1Е% образуя ширину IM; значит, Ш будет
рациональна и несоизмерима с CD линейно (предложение 22). И
поскольку <вмссте взятые квадраты) на АН, НВ
несоизмеримы с дважды Прямоугольником) между АН, НВ, и <квад-
ратам) на АН, НВ равна будет <площадь) CL, дважды
же Прямоугольнику) между АН, НВ равна Площадь) IL,
то значит, CL несоизмерима [будет] с II, Как же CL к IL,
так будет и Прямая) СМ к Ml {предложение I книги VI);
значит СМ будет несоизмерима с Ml линейно
{предложение 11). И обе они рациональны. Значит, СМ, Щ будут
рациональными, соизмеримыми только в степени; значит,
С/ будет вычетом.
Бот я утверждаю, что и шестым.


КНИГА ДЕСЯТАЯ
237
Действительно, поскольку <площадь> /Z, равна дважды
<прямоугольнику> между АН, ИВ, рассечём пополам IM
в TV и прозедём через N параллельную CD <прямую> NX;
значит, каждая из <площ,адей> IX, NL равна будет <пря-
моугольнику> между АН, ИВ. И поскольку АН, ИВ
несоизмеримы в степени, то значит, <квадрат> на АН
несоизмерим Судет с <квадратом> на ИВ. Но <квадрату>
на АН равна будет <площадь> CG, <квадрагу> же
на ИВ равна будет <плогцэдь> КЦ значит, CG будет
несоизмерима с KL. Как же CG к f(L, так будет и
<прямая> СК к КМ (предложение 1 книги VI); значит,
САГ будет несоизмерима с КМ (предложение 11). И
поскольку для <квадратов> на АН, ИВ средним
пропорциональным будет <прямоугольник> между АН, ИВ
(предложение 21, лемма) и <квадрату) на АН равна будет
<плошддь> CG, <квадрату> же tia ИВ равна <ллощадь> KL,
<прямоугольнику> же между АН, ИВ равна <площадь> NL,
то значит, для CG, A7L средним пропорциональным будет NL;
значит, будет, что как CG к NL, так и NL к KL- И
вследствие того же <нрямая> С/И в квадратах будет больше Ml
иа <кпадрат> на несоизмеримой с собой (предложение 18).
И никакая из них не будет соизмерима с отложенной
рациональной CD; значит, С/ будет шестым вычетом
(определения третьи, 6), что и требовалось доказать.
Прэдложение 103
Линейно соизмеримая с вычетом будет вычетом и
тем же самым по рангу.
Пусть будет вычет АВ, и пусть СО будет линейно
соизмеримой с АВ; я утверждаю, что п
CD будет вычетом и тем же самым по ^ { f
рангу, что АВ (черт. 113).
Действительно, поскольку АВ вычет, ь .
то пусть сочетающаяся с ним будет BE;
значит, АЕ, ЕВ будут рациональными, Черт. 113.
соизмеримыми только в степени
(предложение 73). И сделаем, чтобы с отношением АВ к СО
было бы тождественно отношение BE к £)/ (предложение


238 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
12 книги VI); и, значит, как одни к одному, так и все
[будут] ко всем (предложение 12 книги V); будет,
значит, что как вся АЕ ко всей С/, так и АВ к CD,
Но АВ соизмерима с CD линейно; значит, и АЕ
соизмерима с CI, BE же с DI (предложение 11). И АЕ,
ЕВ рациональные, соизмеримые только в степени;
значит, и CI, ID будут рациональными, соизмеримыми
только в степени (предложение 13), [значит, CD будет
вычетом.
Вот я утверждаю, что и по рангу тем же самым, что АВ].
Поскольку теперь будет, что как АЕ к С/, так и BE
к DI, то значит, «перестановкой» (предложение 16 книги V)
будет, что как АЕ к ЕВ, так и С/ к ID. Тогда в
квадратах АЕ будет больше ЕВ или иа <квадрат> на
соизмеримой с собой, или же иа <квадрат> на несоизмеримой.
Если теперь АЕ в квадратах больше ЕВ на <квадрат> на
соизмеримой с собой, то и С/ в квадратах будет больше
ID иа <квадрат> на соизмеримой с собой (предложение 14).
И если АЕ будет линейно соизмерима с отложенной
рациональной, то и С/ (предложение 12), если же BE, то
н DI, если же никакая из АЕ, ЕВ, то и никакая из С/,
ID (предложение 13). Если же АЕ в квадратах
больше [ЕВ] иа <квадрат> на несоизмеримой с собой, то и
CI в квадратах будет больше ID иа <квадрат> иа
несоизмеримой с собой (предложение 14). И если АЕ
будет линейно соизмерима с отложенной рациональной, то
и С/, если же BE, то и DI (предложение 12), если же
никакая из АЕ, ЕВ, то и никакая из CI, ID
(предложение 13).
Значит, CD будет иычетом (предложение 73) и по рангу
тем же самым, что АВ (определения третьи, 1—6), что и
требовалось доказать.
Предложение 104
Соизмеримая с медиальным вычетом будет
медиальным вычетом а тем же самым по рангу.
Пусть будет медиальный вычет АВ, н пусть CD будет
линейно соизмерима с АВ; я утверждаю, что и CD будет


КНИГА ДЕСЯТАЯ
239
медиальным вычетом и тем же самым по рангу, что АВ
(черт. 114).
Действительно, поскольку АВ медиальный вычет, то
пусть сочетающаяся с ним будет ЕВ. Значит, АЕ, ЕВ
будут медиалями, соизмеримыми только в степени
{предложения 74—75). И сделаем, чтобы как АВ к CD, так и BE
к DI (предложение 12 книги VI); значит, и АЕ [будет]
соизмерима с CI, BE же с DI {предложение 12 книги
V; предложение 11 книги X). Но АЕ, ЕВ суть медиали,
соизмеримые только в степени; значит, и CI, JD
будут медиалями (предложение 23), соизмеримыми
только в степени (предложение 13); значит, /7т С
CD будет медиальным вычетом
(предложения 74—75).
Вот я утверждаю, что и по рангу она будет
тем же самым, что АВ. "
[Действительно], поскольку будет, что как
АЕ к ЕВ, так и С/к ID (предложения 12, 16
книги V) [но как АЕ к ЕВ, так и <квадрат> иа АЕ f
к <прямоугольнику), между АЕ, ЕВ, как же С/ . .
к ID, так и <квадрат> на CI к <прямоугольнику> р
между CI, ID], значит, будет (предложение 21,
лемма), что и как <квадрат> на АЕ к (прямоугольнику)
между АЕ, ЕВ, так и (квадрат) на С/ к <прямоугольнику>
между CI, ID [и перестановкой, как <квадрат> на АЕ к
<квадрату> на С/, так и <прямоугольннк> между АЕ, ЕВ
к <прямоугольнику> между CI, ID]. <Квадрат> же на АЕ
соизмерим с <квадратом> на С/; значит и (прямоугольник)
между АЕ, ЕВ будет соизмеримым с (прямоугольником)
между С/, ID (предложение 16 книги V; предложение 11
книги X). Теперь, если (прямоугольник) между АЕ, ЕВ
рационален, то рационален будет и (прямоугольник)-
между С/, ID {определение 4), если же медиален [будет]
(прямоугольник) между АЕ, ЕВ, то медиальным [будет] и
(прямоугольник) между CI, ID (предложение 23,
следствие).
Значит, CD будет медиальным вычетом и по рангу тем
же самым, что АВ (предложения 74—75), что и требова*
лось доказать.


240
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 105
Соизмеримая с «меньшей» (иррациональной), будет
^меньшей.ъ
Пусть будет «меньшая» <иррациональная> АВ и с АВ
соизмерима CD; я утверждаю, что н CD будет
«меньшей» (черт. 115).
Действительно, сделаем то же самое (как выше); и
поскольку АЕ, ЕВ несоизмеримы в степени (предложение 76),
то значит, и CI, ID будут несоизмеримы в степени
(предложение 13). Поскольку теперь будет, что как АЕ к ЕВ,
гак и CI к ID (предложения 12 и 16 книги V), то
будет, значит, что и как (квадрат) на АЕ к
(квадрату) на ЕВ, так и <квадрат> на CI к (квадрату)
п п па ID {предложение 20 книги VI, следствие).
«Присоединяя» (предложение 18 книги V),
значит, будет, что как (вместе взятые квадраты)
В ■ на АЕ, ЕВ к <квадрагу) на ЕВ, так и (вме-
■Ц сте взятые квадраты) на CI, ID к <квадрату) на
£*■ ID [и перестановкой]; <квадрат) же иа BE
соизмерим с (квадратом) на DI; значит, и
/ составленное из квадратов иа ЛЕ, ЕВ соизме-
Черт 115 Римо с составленным из квадратов на С/, ID
(предложение 16 книги V; предложение 11
книги X). Составленное же из квадратов на Л£, ЕВ
рационально (предложение 76); значит, рациональным будет
и составленное из квадратов иа CI, ID (определение 4).
Затем поскольку будет, что как <квадрат> на АЕ к (прямо-
угольннку) между АЕ, ЕВ, так и <квадрат> на CI к
(прямоугольнику) между CI, ID (предложение 21, лемма),
квадрат же па АЕ соизмерим с квадратом иа С/, значит,
и (прямоугольник) между АЕ, ЕВ будет соизмерим с
(прямоугольником) между CI, ID. (Прямоугольник) же
между АЕ, ЕВ медиален (предложение 76); медиалеи,
значит, и (прямоугольник) между CI, ID (предложение 23,
следствие); значит, CI, ID будут несоизмеримыми в
степени, образующими составленное из квадратов на них р.-
циональиое, (прямоугольник) же между ними медиальный.
Значит, CD будет «меньшей» (иррациональной)
(предложение 76), что и требовалось доказать.


■ КЦИГЛ ДГ.СЯТЛЛ ^41
Предложение 106
Соизмеримая с «образующей с рациональным целое
медиальное?' будет «образующей с рациональным целое
медиальное» ■
Пусть будет «образующая с рациональным целое
медиальное» АВ и с АВ соизмерима CD; я утверждаю, что
и CD будет «образующей с рациональным целое
медиальное» {черт. 116). Д-t r£
Действительно, пусть сочетающаяся с АВ
будет BE; значит, АЕ, ЕВ будут нееопзмерп-
мымл в степени, образующими составленное из
квадратов на АЕ, ЕВ медиальное, <прямоугодь- Л
ник> же между ними рациональный
{предложение 77). И устроим то же самое <как выше).
Подобным же вот образом, как и раньше,
докажем, что С/, ID будут в том же самом отиоше- Черт, 116.
ннн с АЕ, ЕВ, и составленное из квадраюв па
АЕ, ЕВ будет соизмеримо с составленным из кватратов
на С/, ID, <прячоуголышк> же между АЕ, ЕВ с <нрячо-
угольником) между С/, ID, так что и С/, ID будут
несоизмеримыми в степени, образующими составленное из
квадратов на С/, ID медиальное, <пря\юутольпнк> же между
ними рациональный.
Значит, CD будет «образующей с рациональным целое
медиальное» (предложение 77), чго и требоиалось доказать.
Предложение 107
Соизмеримая с «.образующей с медиальным целое
медиальное^ и сама будет «образующей с медиальным
целое медиальное».
Пусть будет «образующая с медиальный целое
медиальное» АВ и пусть с АВ будет соизмерима CD; я
утверждаю, что и CD будет «образующей с медиальным целое
медиальное» {черт. 117).
Действительно, пусть сочетающаяся с АВ будет BE,
и устроим те же самое <как выще>; значил", АЕ, ЕВ
будут несоизмеримыми в степени, образующими составленное
16 Евклид


242 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
В
В
из квадратов на них медиальное и <прямоугольник> между
ними медиальный, и ещё составленное из квадратов иа них
несоизмеримое с <пря\юугольником> между
ними (предложение 78). И будут, как доказано,
АЕ, ЕВ соизмеримы с CI, ID и составленное
из квадратов на АЕ, ЕВ с составленным из
<квадратов> на CI, ID, <прямоугольник> же
между АЕ, ЕВ с <прямоугольником> между С/,
ID; и значит, CI, ID будут несоизмеримыми в
степени, образующими составленное из
квадратов на иих медиальное и <прямоугольник> между
1 ними медиальный, и ещё составленное из
квадратов на них несоизмеримое с
прямоугольником) между ними.
Значит, CD будет «.образующей с медиальным целое
медиальное* (предложение 78), что и требовалось доказать.
h
Черт. 117.
Предложение 108
При отнятии медиальной площади от рациональной
квадрирующан остающуюся площадь бывает одной [из
двух иррациональных—или вы*
четом, или «меньшей». /? L ?
Пусть отнимается
медиальная <площадь> BD от
рациональной ВС', я утверждаю,
что квадрирующа'я остающуюся
<площадь> ЕС бывает одной
из двух иррациональных — или
вычетом или «меньшей»
(черт. 118).
Действительно, отложим
рациональную/// н приложим ° и на
к 1И равный <площади> ВС ЧеРт" Ш'
прямоугольный параллелограмм
HG, и отнимем ИК равный <площади> DB; значит,
остаток ЕС будет равен LG. Поскольку теперь <площадь> ВС
рациональна, BD же медиальиа, и ВС равна HG, BD
<же равна) ИК, то значит, HG будет рациональна, НКжъ
L_ Н


КНИГА ДЕСЯТАЯ
243
медиальна. И прилагаются они к рациональной 1Н\ значит,
<прямая> Ю рациональна и соизмерима с 1И линейно
(предложение 20), IK же рациональна и несоизмерима с IH
линейно (предложение 22); значит, IG будет несоизмеримой
с IK линейно (предложение 13). Значит, Ю, IK будут
рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, КО
будет вычетом (предложение 73), KI же — с ней
сочетающейся. Тогда Ю в квадратах будет больше IK или на
<квадрат> на соизмеримой, или же нет.
Пусть сперва в квадратах она будет больше на <квад-
рат> иа соизмеримой. И вся GI будет соизмерима линейно
с отложенной рациональной IH; значит, KG будет первым
вычетом (определения третьи, 1). Квадрирующая же
заключённую между рациональной и первым вычетом <пло-
щадь> будег вычетом (предложение 91). Значит,
квадрирующая <площадь> LG, то-есть ЕС, будет вычетом.
Если же GI в квадратах будет больше IK на <квадрат>
на несоизмеримой с собои\, и вся IG будет линейно
соизмерима с отложенной ращюналыюй !Н, то KG будет
четвёртым вычетом. Квадрирующая же заключённую между
рациональной и четвёртым иычею.ч <площадь> будет
«меньшей» <прршцюнальной> (предложение 94), чго и
требовалось доказать.
Предложение 109
При отнятии рациональной (площадиу от
медиальной возникают другие две иррациональные —или первый
медиальный вычет, или образующая с рациональным
целое медиальное.
Пусть от медиальной <площади> ВС отнимается
рациональная BD. Я утверждаю, что квадрирующая остаток
ЕС бывает одной из двух иррациональных — или первым
медиальным вычетом, или образующей с рациональным
целое медиальное (черт. 119).
Действительно, отложим рациональную IH и подобным
же образом <как выше> приложим площади. Тогда
соответственно будут— /О рациональной и несоизмеримой с IH
линейно, К1 же рациональной и линейно соизмеримой с IH;
значит, /О, IK будут рациональными, соизмеримыми только
16*


244
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
в степени (предложение 13); значит, КО будет вычетом, /А
же — сочетающейся с ней (предложение 73). Тогда G/в
квадратах будет больше IK или па <квадрат) па соизмеримой
с собой, или на <квадрат> на
несоизмеримой.
Если теперь QIв квадратах
будет больше IK на <квадрат>
на соизмеримой с собой, и
сочетающаяся /А* будет
линейно соизмеримой с отложенной
рациональной IH, то KG будет
вторым вычетом (определения
третьи, 2). Но Ш
рациональна; так что квадрирующая
<илощадь> LG, то-есть ЕС,
будет первым медиальным вычетом (предложение 92).
Если же О/ в квадратах будет больше IK на <квадраг>
на несоизмеримой, и сочетающаяся /К будеч линейно
соизмеримой с отложенной рациональной IH, то KG будет
пятым вычетом (определения Третьи, 5); так что
квадрирующая <площадь> ЕС будет образующей с рациональным
целое медиальное (предложение 95), что и требовалось
в
в 1
е
L
i
к
Черт. 119.
Предложение ПО
При отнятии от медиальной (площадиу медиальной,
несоизмеримой с целой, возникают остальные две
иррациональные— или второй медиальный вычет, или
образующая с медиальным целое медиальное.
Отнимем, как на ранее предложенных чертежах, от
медиальной <площади> ВС медиальную BD несоизмеримую
с целой; я утверждаю, что квадрирующая ЕС будет одной
из двух иррациональных—или вторым медиальным
вычетом, или «образующей с медиальным целое медиальное»
(черт. 120).
Действительно, поскольку каждая из <площадей> ВС,
BD медиальиа, и ВС несоизмерима с BD, то
соответственно будет каждая: из /О, /К рациональной и
несоизмеримой с IH линейно (предложение 22). И поскольку <пло-


КНИГА ДЕСЯТАЯ
245
щадь> ВС несоизмерима с BD, то-есть HG с ИК, то и
<прямая> QI несоизмерима с IK (предложение 1 книги VI;
предложение 11 книги X); значит./О, /Кбунут
рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, КО будет
вычетом (предложение 73), [IK же сочетающейся. Тогда
IQ в квадратах будет больше IK или иа <квадрат> на
соизмеримой, или на <квадрат> иа несоизмеримой с собой].
Вот если 10 в квадратах будет больше /А'на <квад-
рат> на соизмеримой с собой, и никакая из /О, IK не
будет линейно соизмерима с отло- . ,, „
жепной рациональной IH, го KG i г—
будет третьим вычетом (определе- g £
низ третьи, 3)г Но АХ рацнопаль- I "' '" I I
на, прямоугольник же,
заключающийся между рациональной и
третьим вычетом, будет
иррациональным, и квадрирующая его | I I I 1
будет иррациональной, называется Л S S Н I л
же вторым медиальным вычетом Черт. 120.
(предложение 93); так что
квадрирующая <площадь> LQ, то-есть ЕС, будет вторым
медиальным вычетом.
Если же 10 в квадратах будет больше /К на <квадра"1 >
на несоизмеримой с собой [линейно], и никакая из QI, JK
не будет линейно соизмерима с IH, то KG будет шестым
вычетом (определения третьи, 6). Квадрирующая же <пря-
моугодьннк> между рациональной и шестым вычетом будет
«образующей с медиальным целое медиальное»
(предложение 96). Значит, квадрирующая <пЛощадь> LG, то-есть ЕС,
будет «образующей с медиальным целое медиальное», что
и требовалось доказать.
Предложение 111
Вычет не будет тождественным с биномиалью.
Пусть будет вычет АВ\ я утверждаю, что вычет не
будет тождественным с биномиалью (черт. 121).
Действительно, пусть, если возможно, будет; -и отложим
рациональную DC и приложим к CD равный <квадрату>


ЖЬ НАЧАЛА КВКЛИДЛ
на АВ прямоугольник СЕ, образующий ширину DE.
Поскольку теперь АВ вычет, DE будет первым вычетом
(предложение 97). Пусть сочетающаяся с ним будет EI;
значит, DI, IE будут рациональными, соизмеримыми только
в степени, и DI в квадратах будет больше IE на <квадрат>
па соизмеримой с собой, и DI будет линейно соизмерима
с отложенной рациональной DC (определении третьи, 1).
i Затем, поскольку АВ биномиаль, то
1 ""* 'в значит, DE будет первой биномиалью
(предложение 60). Разделим её на ра-
ционали в Н, и пусть большая рацио-
наль будет DH, значит, DH, НЕ,
будут рациональными, соизмеримыми
только в степени, и DH в квадратах будет
больше НЕ на <квадрат> на
соизмеримой с собой, н большая <рациональ>
DH будет линейно соизмерима с
отложенной рациональной DC (определения
вторые, 1). Значиг, и DI будет линейно
соизмерима с DH (предложение 12);
Черт. 121. значит, и остаток HI будет линейно
соизмерим с DI (предложение 15).
[Поскольку теперь DI соизмерима с HI, DI же рациональна,
то рациональной, значит, будет и/У/. Поскольку теперь DI
линейно соизмерима с Hi], DI же несоизмерима линейно
с EI (предложение 13), то значит, и IH будет линейно
несоизмерима с El (предложение 13). Значит, HI, IE
[будут] рациональными, соизмеримыми только в степени;
значит, ЕН будет вычетом (предложение 73). Но вместе
с тем и рациональной; это же невозможно.
Итак, вычет не будет тождественным с биномиалью,
что и требовалось доказать.
[С л е д с т в и е]
Вычет и (идущие} после него иррациональные не
будут тождественными ни с медиалью, ни друг с другом.
Действительно, квадрат на медиали, приложенный к
рациональной, образует шириной рациональную и линейно
несоизмеримую с той, к которой он прилагается (предло-


КНИГА ДЕСЯТАЯ 247
жеиие 22), <квадрат> же на вычете, приложенный к
рациональной, образует шириной первый вычет (предложение 97),
<квадрат> же на первом медиальиэм вычете, приложенный
к рациональной, образует шириной второй вычет
(предложение 98), <квадрат> же на нтором медиальном вычете,
приложенный к рациональной, образует шириной третий
вычет (предложение 99), <квадрат> же на «меньшей»,
приложенный к рациональной, образует шириной четвёртый
вычет (предложение 100), <квадрат> же на «образующей
с рациональным целое медиальное», приложенный к
рациональной, образует шириной пятый вычет (предложение 101),
<квадрат> же на «образующей с медиальным целое
медиальное», приложенный к рациональной, образует шириной
шестой вычет (предложение 102). Поскольку теперь
упомянутые ширины отличаются как от первой, так и друг
от друга,—-от первой поточу, что она рациональна, между
Собой же потому, что они ие одни и те же по рангу, — то
ясно, что и сами эти иррациональные отличаются друг от
друга. И поскольку доказано, что вычет не является
тождественным с биномиалью, <следующие> же за вычетом
иррациональные, приложенные к рациональной, образуют
ширинами вычеты, каждая соответственного ранга,
Следующие) же за биномиалью <образуют> биномиали и тоже
соответственного ранга, то значит, различными будут и
<следующие> за вычетом, и <следугощие> за биномиалью,
так что по рангу будет всех иррациональных 13;
медиаль,
бниомиаль,
первая бнмедиаль,
вторая бнмедиаль,
ббльшая <иррациоиальная>,
рационально и медиально квадрирующая,
бнмедиально квадрирующая, ■ ,
вычет, ' . - -
'„ - \
первый медиальный вычет,
второй медиальный вычет, <- . ■ '
меньшая <иррациоиальная>,
образующая с рациональным целое медиальное,
( образующая с медиальным целое, медиальное (61), :•


24S НАЧАЛА ЕВКЛИДА
[Предложение 112
(Квадрату на рациональной, приложенный к биноми-
али, образует шириной вычет, рационали которого
соизмеримы с рационалями биномиали и в том же самом
отношении и ещё возникающий вычет будет иметь тот
же самый ранг, что биномчаль (62).
Пусть рациональная будет А, биномиаль же ВС,
большая рациональ которой пусть будет DC, и <квадрату> на А
пусть будет равен <прямоугольник> между ВС, BI; я
■ ^ и
:. в\ 1 \с н\— ■ ■ u.vi -
* - --,-_ . Черт, 122.
утверждаю, что El будет вычетом, рацисшали которого
будут соизмеримы с CD, DB и в том же самом
отношении, и ещё, что EI будет иметь тот же самый ранг, что
ВС (черт. 122).
Действительно, пусть опять <квадрату> па А будет равен
<прямоуголышк> между BD, И. Поскольку теперь <прямо-
угольник> между ВС, El равен <прямтугольнику> между
BD, И, то значит, будет, что как СВ к BD, так и И к El
(предложение 16 книги VI). Но СВ больше BD; значит, и
И будет больше El (предложения "14, 16 книги V). Пусть
EG будет равна И; знлчиг, будет, что как СВ к BD, так
и GE к EI; значит, «выделяя» (предложение 17 книги V),
будет, чго как CD к BD, так и О/ к IE. Сделаем, чтобы
как QI к IE, так <было бы> и 1К к КЕ; и, значит, вся GK
ко всей KI будет, как 1К к КЕ; иб>, как один из
предыдущих к одному из последующих, так и все предыдущие
ко всем последующим (предложение 12 книги V). Как же
IK к КЕ, так будет и CD к DB; и, значит, как GK к KI,
так и CD к DB. <Квадрат> же на CD соизмерим с <квад-
ратом> на -DB (предложение 36); значит и <квадрат> на GK
будет соизмерим с <квадратом> на Щ (предложение 20,


КНИГА ДЕСЯТАЯ
249
книги VI, следствие; предложение 11 книги X). И будет, что
как <квадрат> на GK к <квадрату> на К/, так и GK к КЕ,
поскольку три <прямые> GK, KI, КЕбуцуг пропорциональны
(определение 9 книги V). Значит, GK линейно соизмерима
с КЕ (предложение 11); так чю и GE будет линейно
соизмерима с ЕК (предложение 15). И поскольку <квадрат>
на А равен прямоугольнику) между EG, BD, <квадрат> же
на А рационален, то значит, рационален будет и
прямоугольник) между EG, BD, И прилагается он к
рациональной BD; значит, и EG будет рациональной и линейно
соизмеримой с BD (предложение 20); так что и
соизмеримая с ней ЕК будет рациональной (определение 3) и
линейно соизмеримой с BD (предложение 12). Поскольку
теперь будет, что как CD к DB, так и IK к КЕ, a CD,
DB соизмеримы только в степени, то и IK, KE будут
соизмеримы только в степени (предложение 11), Но КЕ рациональна;
рациональной, значит, будет и IK. Значит, IK, КЕ будут
рациональными, соизмеримыми только в степени; значит, EI
будет вычетом (предложение 73).
В квадратах же CD будет больше DB или на <квадрат>
на соизмеримой с собой, или же на <квадрат> па
несоизмеримой.
Если теперь CD в квадратах будет больше DB на <к'вад-
рат> на соизмеримой [с собой], то и IK в квадратах будет
бол ыне КЕ на ^квадрат) на соизмеримой с собой (предло^
жение 14). И если CD будет линейно соизмерима с
отложенной рациональной, то и //('(предложения 11, 12); если
же BD, то и КЕ (предложение 12); если же никакая из CD,
DB, то и иикакая из IK, КЕ.
Если же CD в квадратах больше DB на <квадрат> па
несоизмеримой с собой, то и IK в квадратах будет больше
КЕ па <квадрат> на несоизмеримой с собой (предложение 14).
И если CD соизмерима будет линейно с отложенной
рациональной, то и JK, если же BD, то и КЕ; если же никакая
из CD, DB, то и иикакая из IK, КЕ; так что IE будет
вычетом, рационали IK, КЕ которого соизмеримы с рацио-
иалями CD, DB биномиали, и в том же отношении, и </£>
имеет тот же самый ранг что и ВС (определения вторые
и третьи); что и требовалось доказать.


$50
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 113
В
{Квадрату на рацисналъной, приложенный к вычету,
образует шириной биномиалъ, рационали которой
соизмеримы с рациона.ш.ии вычета и в том же самом
отношении, ещё же возникающая биномиалъ имеет тот же
самый ранг, что и вычет.
Пусть рациональная будет А, вычет же BD, и <квадрату>
па А пусть будет равен <ггрямоугольник> между BD, KG,
так что <квадрат> на рациональной А, прилагаемый к вычету
BD, образует ширину KG; я утверждаю,
-\С \Н г что KG будет биномналью, рационали kq-
торой соизмеримы с рационалями BD, и в
том же самом отношении, и ещб, что KG
имеет тот же самый ранг, что и BD
(черт. 123).
Действительно, пусть сочетающаяся с BD
будет DC; значит, ВС, CD будут
рациональными, соизмеримыми только в степени (пред-
- ложеиие 73).И пусть <квадрату> на А будет
Черт 123 равен и <пряыоугольник> между ВС, И.
<Квадрат> же на А рационален; рационален,
значит, и <прямоугольник> между ВС, И.
И приложен он к рациональной ВС; значит, и И будет
рациональной и линейно соизмеримой с ВС (предложение 20).
Шскольку теперь <прямоугольник> между ВС, И равен
<прямоуга:1Ы[ику> между BD, KG, то значит, будет
(предложение 16 книги VI) пропорция — как СВ к BD, так и KG
к И. Но ВС больше ВО; значит, и KG больше И
(предложения 14, 16 книги VI), Отложим КЕ равною И; значит,
КЕ будет линейно соизмерима с ВС. И поскольку будет,
ч1'о как СВ к BD, так и GK к КЕ, то, «переворачивая1*
(предложение 19 книги V, следствие), значит, будет, что как
ВС к CD, так и KG к QE. Сделаем, чтобы как KG к GE, так
<было б[.[> и GI к IE; значит, и остаток KI будет к /О, как
KG к GE, то-есть [как] ВС к CD (предложение 19 книги V).
Но ВС, CD соизмеримы только в степени; значит, и К1',
/G будут соизмеримыми только в степени (предложение 11).
И поскольку будет, что как KQ к QE, <та# и> К1 N. /О»


КНИГА ДЕСЯТЛЯ 251
но как КО к 0Е, <так и> GI к IE, и, значит, как Д7 к IG,
<так и> GI к /£; так что и как первое к третьему, <так
и квадрат> па первом к <квадрату> на втором
(определение 9 книги V); и значит, как Ю к IE, так и <квадрат>
на KI к <квадрату> на 10. <Квадрат> же на Ю соизмерим
с <квадратом> на 10; ибо Ю, Ю соизмеримы в степени;
значит, и А7 будет линейно соизмерима с IE (предложение 11);
так что KI [будет] линейно соизмерима и с КЕ
(предложение 15). Но КЕ рациональна и линейно соизмерима
с ВС; значит, и KI рациональна и линейно соизмерима с
ВС (предложение 12). И поскольку будет, что как ВС
к CD, так и KI к IG, то «перестановкой» (предложение
16 книги V), как ВС к KI, так и DC к 10. Но ВС
соизмерима с KI; значит, и 10 линейно соизмерима с CD
(предложение 11). Но ВС, CD рациональные, соизмеримые
только в степени; значит, и KI, 10 будут
рациональными (определение 3), соизмеримыми только в степени
(предложение 13); значит, КО будет бнномиалью
(предложение 36).
Если теперь ВС в квадратах больше CD на <квадрат>
на соизмеримой с собой, то и KI в квадратах будет больше 10
на <квадрат> на соизмеримой с собой (предложение 14). И
если ВС будет соизмерима линейно с отложенной
рациональной, то и KI (предложение 12), если же CD соизмерима
будет линейно с отложенной рациональной, то и 10, если
же никакая из ВС, CD, то и никакая из К/, 10
(предложение 13).
Если же ВС в квадратах больше CD ira <квадрат> на
несоизмеримой с собой, то и KI будет в квадратах
больше 10 на <квадрат> иа несоизмеримой с собой
(предложение 14). И если ВС соизмерима будет линейно с
отложенной рациональной, то и KI, если же CD, то и 10
(предложение 12), если же никакая из ВС, CD, то никакая
из KI, Ю.
Значит, КО будет бииомиалыо, рациоиали KI, IG
которой соизмеримы с рациоиалями ВС, CD вычета и в том же
самом отношении, н ещё КО будет иметь тот же самый
ранг, что и ВС (определения вторые и третьи); что и
требовалось доказать (63), .


252 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 114
Если площадь заключается между вычетом и бино-
миалъю, рационала которой соизмеримы с рационаляма
вычета и в том же салюм отношении, то кеадрирующая
эту площадь будет рациональна.
Пусть площадь между АВ, CD заключается между
вычетом АВ и биномналью CD, ббльшая рациона ль которой
пусть будет СЕ, и пусть рационали СЕ, ED бнномиа.чи
будут соизмеримы с рационалями AI, IB вычета и в том же
самом отношении, и пусть квадрирую-
h £ { щая <прямоугольник> между AB, CD,
С ЕВ будет И; я утверждаю, что И будет
1 ' 1 рациональной (черт. 124).
//I—____н Действительна, отложим раднональ-
pi l ную G и приложим к CD равную
„ , м <1свадрату> на G <площадь>, образую-
■ i ■ i 1 щую ширину KL; значит, АХ будет
Черт 124 вычетом, рационами которого пусть
будут ЮИ, ML, соизмеримые с
рационалями СЕ, ED биномиали п в том же самом отношении
(предложение 92). Но и СЕ, ED соизмеримы с Л/, IB и в том же
самом отношении; значит, будет, что как AI к IB, так и КМ
к ML. «Перестановкой» (предложение 16 книги V), значит,
будет, что как AI к КМ, так и BI к LM, значит, и
остаток АВ будет к остатку АХ, как AI к КМ
(предложение 19 книги V), Но Л/ соизмерима с КМ
(предложенье 12); значит, и АВ будет соизмерима с KL
(предложение 11), И как АВ к АХ, так и <прямоутольник> между
CD, АВ к <[[ря\1оугольнику> между CD, KL (предложение 1
книги VI); значит, и <пря\юугольиик> между CD, AB будет
соизмерим с <прямоугольником> между CD, KL
(предложение 9). <Прямоугольник> же между CD, KL равен <квад-
рату> на G; значит, <прямоугольник> между CD, AB будет
соизмерим с <квадраточ> на G. <Прямоугольннку> же между
CD, AB равен <квадрат> на И; значит, <ь'вадрат> иа И
соизмерим с <квадратом> на G. <Квадрат> же на G
рационален; рационален, значит, будет и <квадрат> на Н;


КНИГА ДЕСЯТАЯ ^^3
значит, рациональна будет и И. И она квадрируст <прямо-
угольннк> между CD, АВ.
Итак, если площадь заключается между вычетом и бин>
миалью, рационали которой соизмеримы с рационалями
вычета и в том же самом отношении, то квадрирующая эту
площадь будет рациональна.
Следствие
И сделалось нам вследствие этого ясно, что
рациональная площадь может заключаться между иррациональными
прямыми. Что и требовалось доказать.
Предложение 115
Из медаала возникают в бесконечном множестве
иррациональные, и никакая никакой из предыдущих не
тождественна.
Пусть будет медиаль А\ я утверждаю, что из А
возникают в бесконечном множестве иррациональные, и никакая
никакой из предыдущих не тождественна (черт. 125).
Вх ч
С\ • 1
д* И
Черт, 125.
Отложим рациональную В, и пусть <лрямоугольнику>
между В, А равен будет <квадрат> на С; значит, С будет
иррациональной (определение 4); ибо <прячоугольннк>
между иррациональной и рациональной будет
иррациональным (предложение 20). И она никакой из предыдущих не
тождественна; ибо <квадрат, построенный) на любой из
предыдущих, будучи приложен к рациональной, не образует
шириной медиаль. Затем, вот пусть <прямоугодьннку> между
В, С будет равен <квадрат> на D; значит, <квадрат> на О


254 НАЧАЛА ЕВКЛИДА
будет иррациональным (предложение 20). Значит, D будет
'. иррациональна (определение 4); и никакой нз предыдущих
! не тождественна; ибо <квадрат, нос*1роенный> на любой из
I предыдущих, будучи приложен к рациональной, не образует
I * шириной С. Подобным же вот образом, при продвижении
i такого же строя до бесконечности, очевидно, нз мсдналн
,[ возникают в бесконечном множестве иррациоиальчые, и
никакая никакой из предыдущих не тождественна; что и
требовалось доказать] (64, 65).
!


КОММЕНТАРИИ
JXD.Mojidyxau-!%)OJi*noeckoio
е^э


я
КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ VII.
1. Единица. Для Евклида единица ещё не число, она
занимает особое положение в Арифметике, и поэтому то, что доказано
для числа вообще, для единицы приходится доказывать особо. Так
и поступает Евклид, доказывая сперва, что если a;b = c:d, то
a;c=-b;d, а затеи снова, что если l:a = c:d, то \;c = a;d.
На вопрос, что такое единица, Евклид даёт неясное
определение. Число — множество, составленное из единиц. Единица же — это
что-то, вследствие чего существующее является единым. (Моуэт;
Iotw, улЪ' Чр гч'аат&у -iov oviiuv it ).г(гс:<1.) Это определение, конечно,
столь же логически мёртвое, как евклидово определение точки;
оно тоже по существу является отрицательным.
Чисто метафизические определения пифагорейцев, наоборот,
положительны1). Согласно пифагорейдам3), единица — «граница
между числом и частями*, т. е. между целыми числами и дробями,
причём прибавляется, что она «семя и вечный корень», <то, с обеих
сторон чего отношения возрастают?, т.е. единица является общей
границей рядов 1, 2, 3, 4, ... и 1 — — -
' 2 3 4
Другие определяют единицу как границу малости. Это что-то
вроде нашей низшей грани, не принадлежащей уже множеству но
определяющей то, ниже чего не могут опуститься его элементы
Тсон Смирнскцй3) выдвигает единицу как определяющую
границу некоторой операции, именно вычитания: из едниипы уже
нельзя вычесть никакого целого числа.
Ч Н е a t h T. L., The thirteen Books of Euclid's Elements
Cambridge, 1926, vol. II, Book VII, стр. 279.
2) GantorM, Vorles. uber Gesch. der Math., Bd L
Leipzig, 1907. y
*) T h e о n I s Smyrnaei philosoplii platonici expositio re-
rum mathematicarum ad legendum Platonem utilium, ed Hiller
Leipzig, 1878.
17 Евклид


258 комментарии
Аристотель 4) подчёркивает неделимость единицы: «Единица —
эго неделимое в категории количества^. Он указывает на отличне
арифметической единицы от точки, которая, являясь аналогичным
элементом, имеет положение. Единица им называется точкой без
положения.
Ямблнх5) определяет единицу как «форму форм*,вследствие
того, что единица потенциально содержит все формы числа:
плоскостные, телесные и т. д. Это определение сближается с
современным и логистическим (Рссселя) <>) определением числа как
класса эквивалентных классов.
Античные авторы очень резко подчёркивают, что единица во
всяком случае не число. Мы находим зто утверждение не только
у Аристотеля, но и значительно позже у Теона, у Марциана
Капеллы"), у Боэция.
На той же точке зрения стоят и арабские математики. Для
Бен-Музы единица — общий корець чисел, но не число. То же
говорит [ 1селл 8j. Даже Беха-Эддии э) — составитель арабского
учебника XVI века — юворнт то же.
Можно сказать, что только средние века дали единице право
гражданства. Орозм 10) определённо говорит, что единица — истин-
ног число. Утверждение, что единица — число, защищается Раму-
сом1!), а за ним Стевиноу'3).
Аргументы Стевина следующие:
1) Части — той же природы, что целое; поэтому, если целое —
число, то единицы — числа. Единица — часть совокупности
единиц или множества, а потому той же природы, что и это
множество.
2) Если изданного числа вычитается то, что не является
числом, т. е. никакое число, то число остаётся тем же. Но если из
числа вычесть единицу, то остаётся другое число.
■*) Aristoteles, Metapliysica (русск. пер. А. В. Кубицкого,
М.-Л., 1934).
•^ lamb И thus, IntrodiicUo in Nicomachi arithmeticam, ed.
Tennuliois, Arnhei.i], 1668.
Ё) Russel (and W h i t e h e a d), principia Mathematica,
Cambridge 1910—1913.
ij Mardanus С a p e 11 a, De nuptiis Philologiae et Mcrcurii et
de septcm anions iiberalibus, cd. Kopp, 1836, Fraukf. a. M.
"*) P-scllns, Compendium Maihematicam Bataviae, 1647.
y) В с chu - E ddi n, Essenz der Rechenkunst (Nesselman),
Berlin, 1843,
l(lj Oresmus в «Bibliotneca Mathematica) 143 (1914 г.),
стр. 234.
n) Ramus P., Scholarum niathematicarum libriunus et triginta,
Base), I5t>9.
ia) Stevin S., Les Oeuvres Mathematiques ... par A. Girard,
Leyde, 1634.


К КНИГЕ уП
2о9
Интересны возражения, например, Лауренберга против этой
аргументации13). Он отвечает, что основное положение об
однородности части с целым не всегда правильно, потому что
существуют дна рода вещей: similares (подобно сос^вленныс) и dissimi-
]ares (неподобно составленные). К первым он относит воду, золото
и т. п., так как части воды или золота будут также водой или
золотом. Но часть головы вовсе не голова, часть дерева не дерево,
часть человека не человек. Таково и число три. Оно по природе
отличается от единицы. Если из целого отнять единицу, то,
действительно, не останется того, что было. Но если отнять из
неподобно составленного часть, то та^же не останется того, что
было. Таким же образом, единица не число, но отнятие её от числа
уменьшает его.
2. Единица и точка. Следует отметить, что монада (Mova?) не
вполне точно переводится как ъединица*, — В античной мысли под
это понятие подводилась как арифметическая единица (числовая
единица), так и точка. «Точка есть единица, имеющая положение,
единица есть точка без положения» (Аристотель).
Различие природы единицы и точки является предметом
схоластических рассуждений. Оно заключается в том, что:
1) единица есть часть, образующая число, а точка не
образует никакой величины; из точек, как учил Брадвардин14}, не
составляется линия;
2) всякая единица делится на дробные части, а точка неделима;
3) единица начинает и кончает всякое число, а точка не
начинает, а только ограничивает линию.
3. Нуль. За единицей отвоевывает себе право гражданства
нуль. Но он ещё дольше, чем рациональная дрооь, остаётся в
положении неполноправного. С иим обращаются, как с числом, но
его ие признают числом. При решении уравнений Диофант15) не
знает корней, равных нулю. То же следует сказать и об арабских
математиках, например, Аль-Кархи IG). До Жирарла17) и Декарта i8)
13) Laurenbergerus, Institutions aritlimeticae(Totius Ma-
ttiematicae corpus, I), Гамбург, lt>24.
I-*} Bradwardinus Th„ Geometria speculative, Lutetiae, 1496
15) Th. L. Heath, DiophanUia of Alexandria, Cambridge, 1910.
Diophantus Alexandrinus, Aritometicorum iiori VI cum
comment Bachet et ooservationes P.de Fermat, Tolosiae, 1670.
_ie) AJKa r h l, Extrait du FaKtm, ed. Woepke, Paris, 1853
Aikafi fi'i hisa'b, ed. Hochheim, Magdeburg, 1873—!880.
1;J Girard A., Invention nouveUe en I'Algebre, Amsterdam
1629.
la) Rene Descartes, La Geometrie (приложение K«Discours
de la methode...», Leyde, 1637). Есть русский перевод с примеч.
А. П. Юшкевича (М.-Л., 193tf), сделанный с франц. издания собр.
соч. Декарта, выпущенного Ш. Адамом и П. Таннери (Paris,
1897—1910).
17*


260 КОММЕНТАРИИ
и европейские математики, например, Шюкз, тоже не признают
таких корней.
Но это не мешает математикам оперировать с нулём, как
с числом, так же, как неполноправность единицы не мешает
Евклиду вводить ее в пропорции и оперировать с ней, как с числом.
Никомах19) ставит правило: «нуль, сложенный с нулём, даёт
нуль».
Знак нуля, как известно, впервые введён индусами, н с ним
производятся формальные операции так же, как и с другими
числовыми знаками*).
Даже во второй половине XVII века Валлис20) вооружается
против числовых прав нуля. Ведь пуль не отвечает на вопрос:
сколько? Он только выражает отрицание, снимает некоторый
субъект, а вовсе не указывает, сколько единиц. Можно спросить:
сколько кристаллических сфер? и дать ответ: нуль. Но этот ответ
не будет прямым ответом на вопрос, а только отрицанием
возможности ответа.
Но, превращаясь в число, нуль оказывается всё-таки каким-то
исключительным числом, которое можно складывать, вычитать,
на которое можно умножать. Возможность введения нуля в
операцию аелеция или отрицалась, или принималась с ограничением
в каком-то новом понимании,
В таком же положении оказались отношение и дробь, в
которые входил нуль: 0;й оказывалось равным нулю, ао:0 и
-^-равными со, причём даже у индусских математиков (у Кришны,
комментатора Бхаскары^1). Но если отношение а.:Ь оказывалось
равным бесконечности, то вовсе не выводилось отсюда, что Ъ есть
нуль, а только то, что оно не принадлежит к тому же роду
величин.
Кардан22) выставляет следующую аксиому: То, к чему
величина имеет бесконечное отношение, не заключается в её'роде,
Я отсылаю читателя к моему комментарию об угле касания
{комментарий 17 к кн. Ш). Из него можно видеть, "откуда у Кардана
явилась такая аксиома. Отношение прямолинейного утла к углу
касания представляется Кардану на основании [федложения 16
ly)Nicomachi Geraseni, lntroductionis Arithmeticae
libri II, ed. Hoctie, Lipsiae, L»66' (только греч. текст).
*) Нуль впервые введен вавилонскими математиками
приблизительно после 000 г. до н. з. {Прим. ред.)
д>) J. Wall is, Mathesis Universalis sive aritlimetica (Opera
math., 1, L69o).
21) Bnas kar a, Vijaganita, ch. I (в книге: Н. Th. Coleb-
r о о ke, Algeora with Arumeiics and Mensuraiion from the Sanscrit
of Bratiiiiagupta and Bhaskara, London, 1817).
23) С a r d a n u s, De sublilitate, L550— 54—60. De scienriis Jibri 16.


К КНИГЕ VII 261
книги III бесконечным, но он не мыслит, как Пелетарий 2S), угол
касания нулём.
Отношение а:й=:0:0при понимании а и Ъ не как актуально
бесконечно малых или как исчезающих и возникающих, чисел
в смысле Ньютона3*), а как частых нулей, выступает только
в XVIИ веке в исчислении нулей, которое Эйлер 3&) н другие
математики стараются поставить на место теории пределов. Они
считают возможным существование равенства величин без
равенства отношений;
когда 2х=0, то 3х=0 и 2х= Зле, но 2*:3* = 0:0 — 2:3.
4. Определение числа. Евклид определяет только целое число,
так как дробь для него ещё не число.
Число —■ это множество, составленное из единиц. Конечно,
множество здесь понимается не в нашем смысле; во всяком
случае, оно не может быть бесконечным. Я думаю, оно понималось
только в смысле собрание, конечной совокупности.
, Аристотель определяет число как «множество единиц»),
«множество неделимых», «несколько единиц». По структуре число —
это «ограниченное множество», «множество, измеряемое единицей»
(дробь единицей не измеряется, а потому уже и не представляет
числа), затем — «множество мер», т. е. единиц; как характерный
признак элемента выступает не его неделимость, но способность
служить мерой для числа.
У других авторов вплетается в чисто кардинальное (т. е.
кочичественное) определение целого числа Аристотеля и Евклида
мотив ординального (т. е. порядкового) числа.
По Никомаху26), число ■— это «собрание единиц, поток
количества, составленный из единиц».
Стобей2^) сообщает, что по определению пифагорейца Моде-
рата число есть «собрание единиц или прогрессия величин,
начинающаяся с единицы н кончающаяся единицей».
5. Кардинальные и ординальные числа. Различают
количественное и порядковое числа;первое отвечает на вопрос: сколько?,
второе же — на вопрос: который?
Пять, шесть, десять означают количественные числа; пятый,
шестой, десятый — порядковые. Первые называют кардинальными,
вторые — ординальными числами.
Различные математики отлают приоритет то кардиналbiiOMv,
то ординальному числу, ис.хочя из методической, исторической
Щ Peletarius, Elementa Euclidis, 1557(111 15—16, стр. 297).
**) Newton, Arithmetica universalis, 1707. И. Ньютон,
Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и ана-
лнзе,_1гер. и прим. А. П. Юшкевича, АН СССР, 1948.
ай) Euler L., Institntiones Calculi Different! a lis, 1755 (издано
Петербургской Академией Наук). См. русск. пер.М. Я-Выгодского.
3|>) См. примеч. 19.
27) Stobaeus, Eclog. Phys. I, 1, 8.


262 комментарии
или логической точек зрения. Рассуждают о том, как следует
приступать к ознакомлению ребёнка с числами: через числовые
фигуры, научая его непосредственно воспринимать небольшие
множества единиц и их структуру, и пи же начинать со счёта.
Такой же вопрос можно ставить н о прошлом человечества,
о происхождении числа, на основании устной нумерации
некультурных пародов.
Затем можно спорить о том, следует ли, стараясь логически
обосновать арифметику, итти по пути ординального числа, выводя
число из счёта (как Гельмгольц28) и Грассман2у), или же по пути
кардинального (как логисты) Щ.
Конечно, в своём определении Евклид стоит на точке зрения
кардинального числа: число есть собрание единиц. В это
определение порядок не входит. Но он, как мы выше видели, в
некоторой мере входит в другие ангичцые определения числа.
Бесспорно, тонкий анализ понятий средневековых
схоластиков привёл к различению этих понятий.
Мавролик31), стоящий на границе, отделяющей средневековую
мысль от рационалистической, сближает эти понятия, выявляя
уже вполне определённо две точки зрения на число:
кардинальную и ординальную.
Он устанавливает наряду с числом ещё понятие о корне (radix).
Корни получаются из единицы прибавлением единиц. Этим
Мавролик хочет сказать только то, что они получаются счётом, т.е.
он мыслит эти корпи как порядковые (ординальные) числа. При
этом он мыслит квадрат как произзгЗенае двух ординальных
чисел, т. е. как единицы, расположенные в определённом порядке:
на первом месте 1, 2, 3, 4, на втором 5, 6, 7, 8, на третьем 9,
Ш, 11, [2, на четвёртом 13, 14, 15, 16.
Мавролик при этом высказывает следующее положение: По
тому, сколько имеет какое-либо чи*ло единиц, оно занимает
определённое место в порядке кэрней. И'о, разъясняет
Мавролик, корень, начинаясь с единицы, принимает переход от одного
числа к другому по единице, вследствие чего число тысяча (mil-
lenarius), состоя из тысячи единиц, является тысячным (miHesimus),
и, обратно, число тысячное (mitlesi mis) в порядке корней,
содержит тысячу единиц, т. е. представляет тысячу (miUenarins).
Евклид мыслит п2 только как плоское число; с л3 у него тесно
связан образ квадрата, построенного на отрезке, выражаемом
целым числом, и поэтому он не рассматривает чисел, выражаемых
г8) Helmholtz, ZShlen und Messen, 1887. Гельмгольц,
Счёт и измерение, Казань, 1893.
2Э) Grass man H., Lehrouch der Aruhmetik, Berlin, 1861.
Щ Co lit ura t L., Les principes des inathematiques, Paris,
1905. Л. Кутюра, Философские принципы математики, СПБ, 1913.
31) F га н с is с [[ s М а нг о] у си е, Aritimeticae Hori duo
(Opuscula Mathematiea, Venetiis, 1575).


К КНИГЕ VII 263
формулой п2-\-п. Чтобы мыслить п2-+-п, следует мыслить и п и
п3 как числа абстрактные. Мавролик их так и мыслят. Он даёт
риторическую формулу, символически выражаемую равенством
n2-f-n= п (п-\-1), говоря, что квадрат вместе с корнем равен
произведению числа на следующее за ним.
6. Виды количества. Следует евклидово опредечение чиста
продумать в связи с тем, что да5т Аристотель, бесспорно
имевший влияние на '^Начала».
Аристотель 32) отличает ветчины, составленные из частей,
имеющих взаимное расположение, от величин, состоящих нз
частей без взаимного расположения. К первым он относит линии,
поверхности, тела, а ко вторым — число и время. Такое деление
совпадает с делением на пространственные ицепространственпые.Но
эта ктассифнкапия вовсе не совпадает с другой, в которой
количества делятся на непрерывные и дискретные (continua, dissecia).
причём к первому классу относятся линии, поверхности, тела, ко
второму — число. Третье аристотелевское печение —па
остающиеся (pcrmanens) и послетовательные (successive). Первые — те,
которых части существуют в одно н то же время, как, например,
прямая линия; вторые — те, части которых находятся в
постоянном течении, как время.
В первой классификации Аристотель может отнести ко
второму роду только цчл^-r число, но в будущем этот род попот-
ияется дробными рациональными и, наконец, иррациональными. Во
второй классификации непрерывная геометрическая величина
противополагается прерывному целому числу. В далёком будущем
арифметизация математики разрушит эту перегородку,
устанавливая непрерывность числа. Наконец, третья классификация даёт
источник идеи, противопотагаюшей постоянное переменному.
Время в раннем периоде развития математического анализа
является первым независимым переменным (например, у Ньютона).
7. Деление и измерение. Евклид определяет часть
непрерывной величины (определение 1 книги V) и дискретной
(определение 3 книги VII) совершенно в тех же словах.
Я считаю, что Петрушевский33) искажает смысл, переводя
так: меньшее число называется частным большего, когда оно
содержится в большем. Можно ешё допустить слово частное, если
понимать его так, как этот термин понимался в 1835, а не
в 1949 году, но отождествлять содержание с тмеречиъм,
понимая содержание как в старом смысле (г. е. отношения), так н
в современном, я считаю недопустимым. Можно сказать, что
2 содержится в 5; ведь между ними существует ^определённое
sa) Arts to tele s, Categoriae, cap. 6 (есть русск. пер.
А. В. Кубицкого, М., 1939).
33) П е т р у щ е в с к и й Ф-, Евклидовых начал три книги:
седьмая, осьмая и девятая .... пер. с греч., СПБ, 183а.


264 КОММЕНТАРИИ
отношение, которое во времена Петр у ше веко го называлось
содержанием.
Но Евклид мыслит, не отрешаясь от геометрических образов:
отрезок, равный 2, не укладывается целое число раз в 5, по
укладывается в 6, — значит, 2 измеряет 6, но не измеряет 5.
Несколько ближе к евклидовскому смыслу было бы сказать:
делит. Действительно, мы иногда употребляем выражение:
«отрезок делится на отрезок», но это оттого, что мы, обратно тому,
что делает Евклид, мыслим отрезок числом и, производя
операцию деления, в результате получаем целое число. Евклид этой
операции не производит: формуле а = Ъс у него отвечает
следующее: отрезки, отвечающие трём целым числам а, Ь, с, таковы,
что р укладывается в а столько раз, сколько единиц (длины)
содержится в с или, как говорит Евклид, «измеряет а по
единицам с» (лучше было бы сказать — по числу единиц с).
Только после этого пояснении нам станет понятным, почему
Евклид не доказывает во II или V книгах коммутативный закон
умножения, а доказывает его в VIII книге. Когда строится
прямоугольник на И с, то, конечно, безразлично, что принять за
его высоту, чтб за основание; что заключено между Ь и с, будет
также и между сир. Но когда р измеряет а числом единиц
в с, то совершенно неочевидно, что с измеряет а числом единиц
в р, так как роли рис уже совершенно различны.
8. Аликвотиые н аликваитиые части. Термин «деление»
понимают двояким образом: или в смысле разложения числа
на равные части (что отвечает евклидову «измерению»), нли
в смысле дробления на части не обязательно равные. То, что
соединение их даёт данное число, выражается аксиомой: «целое
равно всем своим часгям вместе взятым», которой
комментаторы обычно пополняют систему аксном I книги «Начал»,
относя эту аксиому как к непрерывным, так и к дискретным
величинам.
Если В получается из А повторением целое число раз, так
что В разбивается на целое число частей А, то А будет то, что
Евклид называет частью и что другие называют частью алик-
вотной. Если же взять просто такие числа А\, А2, .... что
А -Ь А + - ■ ■ -г An — В>то будем иметь «части» В: Аъ А2,,... , Ап\
в отличие от аликвотных, А\, А2,... , Аа суть части али-
квантные.
Ещё Лейбниц поставил задачу ' об аликвантных частях (в
письме к Ивану Бернулли в 1669 г.), спрашивая, сколькими
способами данное "число можно разложить на две, три или более али-
квантных частей. Эйлера нанимаясь этим вопросом, даёт приёмы
для определения этого числа.
Ri) Е и 1 е г, Introductlo in Analysin infinitorum, I, Лозанна!
1748. Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечно малых, I, пер.
под ред. С. Я. Лурье, Москва, 1936.


К КНИГЕ VII 265
9. Дроби. У Евклида нет дробей. Дроби у греков, говорит
Тропфкеаб), понимаются не как абстрактные дробные числа, но
скорее как конкретные единицы низшего порядка, а имен.ю,
части мер веса, не теряя характера целых чисел. Абстрактная же
дробь заменяется отношгнигм целых чисел, применение которого
основывается на высоко развитой теории пропорций. Только
у Диофанта выступают в Арифметике, наряду с целыми, и
дробные числа.
Но было бы неправильно отсюда выводить, что в эпоху
Евклида и до Евклида не было дробей; следует только сказать,
что дроби не входили в Арифметику как учение о числах;
ими занималась Логистика, т. е. искусство вычисления, При
Евклиде она не складывалась в строго логические формы.
Архимед 3'j), задавшийся целью логического обоснования не
только геометрических положений, но и некоторых, имевших
практическое значение расчётов, пользуется дробями по правилам
Логистики.
Применение дробей к вычислениям находим ещё в древнем
папирусе Ахмеса37) (за 2000—1700 л. до п. э.). Там мы находим
особенные, чуждые нам операции над дробями. Папирус
оперирует долями, т. е. дробями с числителями, равными 1, и все
действия над дробями производятся предварительным сведением
их к долямss). Этого рода исчисление перешло от египтян
игрекам, а затем к арабам. Так как в доле числитель всегда равен 1,
то египтяне могли изображать дробь, ставя просто точку над
знаменателем. Греки заменяли точку коммой зэ).
Дробь долго остаётся в положении какого-то
неполноправного чиста. С одной стороны, с ней обращаются, как с числом;
у Клавия и других комментаторов Евклида она становится
предметом Арифметики. Но, с другой стороны, всегда
подчёркивается, что дробь (при тех же законах формальных операций,
что и с целыми числами) не является в собственном смысле
числом.
По мнению Валлнса *0), она отвечает не на вопрос: «сколько»
(quot), а на вопрос: «сколь велико» (quantum); дроби относятся
к величинам не дискретным, а непрерывным.
зъ) Tropfke, Gesch, der Elementar-Matb., Bd. I.
3G) Archiinedis opera omnia cum comment, Eutocii, ed. Hei-
berg, I, 1910.
8T) Eisenlohr A., Eiu mathematisch.es Handbuch der alten
Aegypter, Leipzig, 1877.
ss) Tannery P,, Memoires sclentiflques; Scinces exactes dans
Tantiquite, t. II.
зэ) К э д ж о р и Ф. (Cajori FI,), История элементарной
математики, Одесса, 1917.
40) Wall is, Mathesis universalis sive Arittimettcum opus
integrum (Opera, Oxford, 1657),


266 комментарии
10. Отношение и дробь. В современных методических
руководствах, начиная с Лакруа41), замечается тенденция к
отождествлению отн^шония с результатом дел"ная. Серре42) в курсе
Арифметики говорит, что отношением одного числа к другому
называется частное от деления первого на второе. При этом
частное мыслится не только как целое, но и как дробное, и даже
как иррациональное число.
Здесь, правда, нет еще потного отождествления отношения
и дроби. Дробь мыслится как форма числа, в которой
указывается действие, но не выполняется; в отношении же ©но уже
является выполненным] так, 8'2 — дробь (указывается что 8 следует
разделить на 2), отношением же является результат деления,
т. е. 4. Действительно, Серре говорит.- отношением одной
величины к другой, с ней однородной, называется число,
выражающее меру первой величины, когда второе принято за единицу
(т. е. измерение предполагается уже совершённым). Такое же
определение и у Бореля43).
Существуют и в настоящее время такие учебники
арифметики, которые не решаются сделать не только последний, цо и
предпоследний шаг, какой дела'от Серре и Борель на пути
к отождествлению отношения и дроби.
Некоторые за отношение большего к меньшему считают
число, показывающее, во сколько раз первое больше второго;
при этом «во сколько раз» понимается шире, чем обычно, —как
число, которое является результатом деления. Но это
выставляется уже не как определение, а как положение, которое следует
доказать ити разъя;нить.
У Ньютона4*) число мыслится как отношение, но то, что
всякое отношение является числом, или даже то, что оно
характеризуется числом,-—это у пего определенно не выражено.
Во «Всеобщей арифметике.)«) он пишет следующее: «Под
числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько
отвлечённое отношение какой-нибудь величины '■ другой величине
того же рода, принятой нами за елиницу. Число бывает трёх
видов: целое, дробное н гл\гхое (=urdus) •*). Целое число есть то,
•что измеряется единицей; дробное — кратной долей единицы;
глухоэ число несоизмеримо с единицей"*.
«Умножение в собственном счыслэ слова есть действие,
производимое над целыми числами, с помощью которого находят
новую величину, во сточьто раз большую множимого, во сколько
множитель больше единицы. Но за отсутствием более подходящего
41) Л акруа (Lacroix), Основания арифметики, СПБ, 1826.
42) Серре (Serret), Курс арифметики, Москва, 1881.
iS) Борель (BoreI), Арифметика, Москва, 1924.
4i) См. примеч. 24.
*) Под этим Ньютон понимает иррациональное число. {Прим.
ред.)


К КНИГЕ VII 267
слова умножением называют также действие над дробными или
иррациональными числами, с помощью которого ищут новую
величину, находящуюся со множимым в том же отношении (каково
бы оно пн было), какое множитель имеет к единице».
В том же смысле высказывается Ньютон, говоря и о делении^).
11. Чётно-чётные н чётио-нечётные числа. Числа
принадлежат к классу чётных или к классу нечетных; один класс
исключает другой.
Чётные же. в свою очереть, принадлежат к классам чётно-
чётных (А') и чётно-нечётных (А"), причём А' и А" уже не
исключают друг друга, т. е. существуют числа А', принадлежащие Л",
и обратно.
Число 12— чётно-чётное, так как 12 по разделении на 2
(чётное число) даёт 6 (тоже чётиое), но оно вместе с тем и
чётно-нечётное, так как по разделения на чётное число 4 даёт
нечетное 3.
Таким образом, чётные числа можно разделить на три класса
А, В. С, уже друг друга исключающие:
1) только четно-чётные,
2) только чётно-нечётпые,
3) чётио-чётные и вместе с тем чётно-нечётные.
Некоторые комментаторы приходили к заключению, что в
определениях 9 и 10 произошел пропуск слова «только». Но
предложения 32, 33, 34 книги IX ясно показывают, что эти классы чисел
понимаются Евклидом именно в разъясненном смысле.
Между нечётными числами нахотятся числа простые,
делящиеся только на себя и на единицу, и числа составные, которые
согласно предложениям 23, 29 книги IX, делятся на нечётное и
в частном тают тоже нечРтноз и таким образом, согласно
определению Евкчиза, являются всегда нечетно-нечётными.
Отсюда витно, что определение нечётно-нечётного является
преждевременным-. Оно должно явиться лишь тогда, когда будет
оправдано с помощью 28-го и 29-го предложений IX книги, что
произведение чётного на нечётное лаёт чётное число, а
произведение нечётного иа нечетное даёт цечётное.
Пейрар *е), основываясь на одном из манускриптов, вводит
еще" числа нечётно-чётные, которые не встречаются v старых
комментаторов и которые сводятся к чётно-нечётнмч.
12. Определение умножения. Евклид сводит понятие
умножения к сложению (опять мысля отрезки, отвечающие целым
числам).
Умножить N на 5, значит образовать число, полученное
прибавлением к ,V четыре раза по .V. При таком определении
множитель и множимое имеют различные значения.
45) Там же (см. примеч. 24).
,4б) Peyrard, Les elensnts de Geometrie d'Euclide traduits
Htteralement avec des notes. Paris, 1804.


268 комментарии
При слиянии VuVII книг это определение должно было
эволюционировать в другое. Умножение стало определяться не
сложением, а пропорцией:
а; 1 =х:Ь,
т. е. произведение стало определяться как то, что содержит b
столько раз, сколько в а единиц. Под такое определение
одинаково подходило и умножение в смысле образования
прямоугольника между а и b (ему отвечал термин ducere XVII века) н
умножение в смысле VII книги (термин multipHcare).
После определения Евклида Клавий^т) приводит и
определение с помощью пропорции. Вместе с тем он даёт и
определение деления. Деление—это нахождение числа, которое к единице
имеет то же отношение, что делимое it делителю. Соответственно
этому он изменяет определение квадрата и куба.
То, что Евклид доказывает, у Борелли48) является уже
определением. Квадратное число — это число, между которым и
единицей существует одно среднее пропорциональное, т. е. которое
определяется пропорцией:
х:а = а:1.
Куб определяется пропорцией:
x:a = as:l.
Другие определяют куб пропорцией:
х:а2 — а2:а =а: 1,
предполагающей две средних пропорциональных между й3 и
единицей.
13. Плоскостные н телесные величины. Евклид мыслит числа
всегда в связи с геометрическими образами. С множителем и
множимым у него связан образ отрезка, с произведением а-Ь — образ
отрезка, который получается откладыванием а столько раз,
сколько единиц в Ь. Все доказательства Евклид ведёт не для абстракт-
пых чисел, как позже Никомах, а для отрезков.
■ Термины «плоскостное» и «телесное» число являются,
вероятно, пережитком более раннего периода математической мысли,
когда число и геометрический образ были ещё теснее связаны,
когда произведение числа а предметов на абстрактное число Ь
мыслилось как расположение этих предметов в b рядах по а
предметов в каждом, с запопнением щощади прямоугольника.
То же следует сказать и о произведении трёх чисел, являющемся,
согласно евклидовской терминологии, телесным числом.
Ai) С 1 a v ! u s, Opera math., Moguntiae, 1612. Euclidis Elementa,
стр. 306.
iS) В ore Hi, Euclides restitutus, Pisa, 1658.


К КНИГЕ VII 269
Когда Евклид оперирует произведением в смысле II книги,
т. е. прямоугольником а-Ь между а и Ь, то а и аЬ оказываются
величинами различных родов: а—длина отрезка, а аЬ — площадь.
Кроме этих двух родов существует ещё третий: abc — объем.
При этом три рода величин — линейные, плоскостные и
телесные— нельзя было пополнить новыми, так как произведения abed
и abede не имели бы никакого геометрического смысла. Поэтому
Евклид, понимая квадрат и куб в смысле II книги, не мог
оперировав в V книге непрерывными пропорциями вида \\а = а;а2=
= a2:as = a3;a% так как й4 геометрического смысла не имело.
Евклидовские плоскостные и телесные числа возрождаются
в буквенной алгебре Виэты49).
Чтобы понять роль плоскостных и телесных чисел в
буквенной алгебре, разберем, что означают буквы а, Ь, с, х в уравнении
ах2-{-Ьх = с.
Для нас а, Ь — известные числа, а х — число неизвестное.
Но если мы возвратимся к XVII и даже к XVIII веку, то
попадём в другое положение.
Алгебраическая величина была только родом, обнимающим
два вида непрерывных величин, каковыми являются
геометрические величины (длины, поверхности и объёмы), и дискретные,
т. е. числа, причём понятие числа не шло дальше рациональной
области. Произведение ab понималось иди как результат
умножения чисел й па Ь, или как результат умножения отрезков
й на Ь; в последнем случае это—площадь прямоугольника,
построенного на а и b (по Евклиду-—«между а и &»). Над этими
понятиями стоит объемлющее их понятие умножения, понимаемое
как получение величины, которая к умножаемой имеет то же ojho-
шенис, какое множитель к единице.
Виэта рассматривает величины различных порядков; линейные,
плоские — planum, телесные— solidum.
Эти виды величин пополняются новыми высших порядков;
planum-planmn и soridum-planuin.
Поскольку дело идет о геометрических величинах, этого рода
величины являются чем-то вр_оде мнимых, над которыми
производят операции, как над У — 1, пока алгебра не приходит к де-
картовегши интерпретации характеристик отрезками eoj- B0 всяком
случае, это разнородные величины, которые нельзя ни
складывать, ни вычьтать. Но возможно определить для них умножение
и деление, а также расиристранщь понятие равенства
отношений или пропорций не только на однородные, но и на
неоднородные величины.
«) V i e t a, Opera math. ed. Sehooten (Lugdunl Batavorum, 1646).
50) Д. м о р д у x а й - b о л т о в с к о й, Первые шаги
буквенной алгебры. Известия СКГУ, 1928, т. 1]1.


270 КОММЕНТАРИИ
Можно писать пропорцию:
,х plan : A plan = Bso1:l solid,
дающую определение умножения:
л:— A plan X В solid.
Умножение алгебраическое ни в коем случае HJB сводит^ к
сложению. Эта мысль выявляется и в принятой ВнэтоД символик*:
18Q— это 18 раз взятый квадрат * ' ".
Произведение же А на В пишется так: г ,
Л in В.
14. Виды плоскостных чисел. Никомах61) различает виды
плоскостных тел: iup^af. — неравноегоронний —п (л-|-1),
rtpofj,v)w,5 — продолговатый — п {п-\-т).
Он говорит, что разность между неравносторонним числом
и ближайшим квадратом равна производящему этот квадрат
числу:
и(ге+1) — п3 = н, (ге+1)3 —п(п_|_1) = Д4-1.
Он устанавливает предложения:
(ге_1-])а —л3 = 2л + 1,
(п +1) {п + 2) — п (п + 1) — 2л -f- 2t
т. е. разность между двумя последовательными квадратами —
нечётное число, а между двумя последовательными
неравносторонними числами —чётное и т. л. Такое же исследование он
ведёт и для различных видов телесных чисел.
15. Степень. Евклид не даёт определения 4-й, 5-й, 6-й степени,
хотя, развивая теорию геометрической прогрессии как
непрерывной пропорции, он пользуется и более высокими степенями,
чем определяемые им квадрат и куб.
Греческое слово Suv^n,- (латинское potentia) встречается у
Гиппократа Хиосского (2 пол. V в. до н. э.) для обозначения
второй степени.
Диофант пользуется 4-й, 5-й, 6-й степенями. Он называет
5-ю степень Suva [«кб рос— «квадрат оку б». Такие комбинированные
термины употребляются в ранней европейской символической
алгебре.
16. Таблицы квадратов н кубов52). Таблицы квадратов и
кубов можно найти в современных математических справочниках.
Региомоктан (14зб—I47b) даёт таблицы квадратов от I2 до
E1) Nlcomachus Geras., Introduction's Arithmeticae Iibri
И, ed. Hoche, Leipzig, 186b.
*») Tropfke, Geseh. der Elementar-Math., I, G, III (3. Aufl.,
1930).


К КНИГЕ VII 1П
П30а= 1 276 900. В этих границах остаётся и Клавий. Польден
уже имеет таблицы для чисел от 1 до 10 000, а Бюхнер — как
для квадратов, так и для кубов —до 12 000, Лудольф — до 100 000.
Таблицу квадратов можно употреблять как таблицы
умножения, если применять, как эго делает Блятер в 1887 году, формулу
4 4
Блятер даёт таблицу четвертей квадратов от 1 до 200 000.
17. Обозначение пропорции. Укажем различные обозначения
пропорции.
Мы пишем: 7:12 = 84:144.
Региомонтан Б3) употребляет особое обозначение для
непрерывной пропорции
a:b — b\c.
Он пишет а;Ь:с.
Очень стойко держится обозначение Оутреда54) (1574 — 1660)
a-b'.'.c-d.
Для непрерывной пропорции принимается обозначение
й, Ь, с~,
которое сохраняется и нами для геометрической прогрессии.
Декарг принимает обозначение а\Ь \\c\d.
Джемс и Давид Грегори65) пользуются обозначением
a:b'.'.c:d.
Это обозначение доходит даже до Лакруа.
Наконец, употребляется в XVII веке и обозначение
a:b\c:d.
18. Поправка Клавня к 21-му определению. Клавий58)
прибавляет к евклидовскому определению пропорциональности: «или
ещё, когда в первом sthipoe, а в третьем четвёртое
содержится равное число раз с прибавлением одной и той же
части или жг частей», так как, по определению Евклида,
пропорция:
a:b=c\d
устанавливается только для а < b и с < d, а он желает обпягь
определением и случай, когда а > b и с > d.
53) Regiomontanus, Der Briefwechsel, ed. Al. Curtze, Abh.
z. Gescb. d. mail]. Wis*., Bd. 12, Leipz., 1902.
**) W. Ought red, Glavis matbematicae, cap. VI, London, 1631.
») T гор Ske, Gesch. d. Elementar-Math., Bd. Ill, A, 2 (3.
Autl., 1937).
M) Clavius, стр. 310, см. примеч. 47.


272 КОММЕНТАРИИ
Для того чтобы обобщить определение 21-е, не пополняя его,
Коммандин Б1) придаёт определению 4 более общий смысл, именно
он мыслит «части» с большим числом единиц, чем в целом, т. е.
мыслит 7 «частями» 5.
19. Подобные числа. Следует правильно понимать подобие
плоскостных чисел. Два числа М и N будут подобными
плоскостными числами, если существует хотя бы одно разложение
вида
M=a-b> JV—C'd,
при котором выполняется пропорция
a;b=c:d',
тогда, на основании доказываемого в VII книге, будет и
a:c = b:d.
То же самое следует сказать и о подобных телесных числах.
Бесспорно, происхождение этою термина чисто
геометрическое. С подобными плоскостными числами связываются два
прямоугольника: один прямоугольник со сторонами а и b {Евклид
а и b называет не сомножителями, а сторонами) и другой, ему
подобный, со сторонами с и dt что предполагает пропорцию
a\c~b:d.
В случае телесных чисел мыслятся два подобных
прямоугольных параллелепипеда со сторонами (а, Ь, с), (d, е, /), для
которых
a\d= b:e = c:f.
20. Аксиоматика книги VII, Старейший европейский
комментатор Евклида Камланус^) старается «выловить» те аксиомы,
которыми неявно пользуется Евклид в своих арифметических
книгах. Он усматривает 6 таких аксиом:
1) Часть меньше целого. Это 8-я аксиома I книги, но
отнесённая к числам.
2) Одинаковые кратные равных чисел равны, и обратно.
Если а = Ь, то та= тЬ\ если та = mb,то а=-Ь.
3) Единица — часть числа, которая берёт себе имя от
количества единиц, из которых образуется число, т. е, I —
это третья часть трёх, пятая часть пяти и т. д.
4} Часть тем меньше, чем больше число, от которого она
получает название.
••1) Cotntnandinus, Euclidis Elementomm libri XV. Pesaro,
1572.
58) Cacnpanus (Zambertus), Euclidis Megar. Elera. Geocn.
Parisils, 1516.


К КНИГЕ VII 273
Если понимать евклидову часть как дроЗь, то символически
эта аксиома выражается так:
1 М
если т > п, то —■ < —.
т п
5) Если одно число делит другое, то оно делит и всякое
его кратное.
Если a=^kb, то pa=.qb.
6) Если одно число делит два других, то оно делит и их
произведение и ах разность.
Если о= тс и Ь=-пс, то ab=-pc и а — b—qc(a>b).
Эти аксиомы пополняются ещё постулатами, из которых
первые три сводятся к утверждению безграничности ряда
натуральных чисел, а четвёртый гласит, что число нельзя уменьшать
безгранично, что в каждой совокушюсти чисел существует
наименьшее. Последний принцип используется при доказательстве
2-го предложения VII книги. Сам Кампанус пользуется им,
устанавливая несоизмеримость отрезков в золотом сечении
(примечание Кампануса к предложению 16 книги IX).
Эта система в значительной мере пополняется Клавием59).
Первая аксиома Кампануса относится к 1 книге и расчленяется
на две; 1-ю и 2-ю. Третья и четвёртая аксиомы—новые; они
подчёркивают однозначность определённой евклидовой части или
частей и символически (хотя и неточно) выражаются так:
3. Если а=Ь, то — а = — Ь; если -й = -&, той = 6.
п п п п
л с L т т , тт.
4. Если а = Ь, то — а-^=- — Ь\ если — а, — ■— Ь, то а — Ь.
п п п п
3-я аксиома Кампануса выражается несколько иначе:
5. Единица измеряет веяное число числом единиц,
которые в нём заключаются, т. е. измеряет число им самим.
Символически это правильней выразить так;
а = 1 -о.
6. Всякое число измеряет себя единицей, т. е.
символически,
а = а-\.
7. Если число, умножая число, производит что-нибудь,
то множитель измеряет произведение множимым, а
множимое — множителем.
Это можно выразить, хотя и не вполне точно, так:
ab\a =:b, ab\b — a.
Ю) См. примеч. 47.
18 Евклид


274 i КОММЕНТАРИИ
8. Если число измеряет другое число, то тб, по которому
от измеряет {результат измерения), будет измерять это
другое тем же числом единиц, которое будет в измеряющем
(первом числе), т. е. самим измеряющим числом.
Если а:с = Ь, то а:Ь = с.
9. Если на измеряющее число умножить то, по которому
оно пъиеряет {результат измерения), то получится то,
которое измеряется,
[а:Ь)ХЬ = а.
10. Число, измеряющее два числа, измеряет и их произ-
epicmie.
Если b~ma, с = па, то bc=pa.
14. Число, измеряющее какое-либо число, измеряет и
всякое другое, которое это число измеряет.
Если а — bk. то ар = bq.
15. Члсло, измеряющее уменьшаемое и вычитаемое,
измеряет и остаток.
Если а = ст, Ь=сп, то а — Ь = с{т — л).
К этим аксиомам Клавий прибавляет ещё постулаты.
Требуется, чтобы: 1) от всякого числа можно" было нзять
кратное; 2) для каждого числа можно было найти большее;
'&) всякое число можно было разделить на части.
Аксиоматическая система Кардана fi0) очень сильно
отклоняется от этой системы.
Вне сомнения, что и понимание постулатов у Кардана совсем
не свклидовское: это —истины, которые следует принять, ио
которые менее очевидны и более сложны, чем аксиомы.
21. Алгорифм Евклида61). В настоящее время алгорифм
Евклида, служащий для нахождения общего наибольшего дели-
селя чисел а и Ь, мы представляем системой равенств:
''«-5 = ''я-а7п-8 + ''и-1- ]
деля а на b с остатком rlt деля b на остаток гг с остатком г2,
деля первый остаток Гц на второй г2 с остатком г3 и т. д.
Первое предложение Евклида утверждает, что если гп=1.
то а и b суть числа взаимно простые.
й0) Card anus, Opera, IV, 1667. Opus novum de proportio-
nibiis, стр. 453.
ei) Heath, стр. 297 {см. примеч. 1).


к книп: vii -/•>
В этом убеждаемся от противного, предполагая, что а и b
делятся на d>l. Тогда, идя последовательно сверху вниз от
одного равенства к другому, доказываем, чго d делит (Ь, rL),
затем {гъ гг), (г2, /*§), ... и, наконец, (/"„—i, гл), чего быть не может,
так как гп=\ не делится на й.
Второе предложение утверждает, что при гп — 0 гп^
оказывается общим наибольшим делителем {а, Ь) : D{a, b) = rn^.
Идя ввгрх в системе равенств (1), доказываем, что /*я—^ —
общий делитель а и Ь. Что гл_х — наибольший общий делитель,
следует из того, что, идя ви«з, обнаруживаем, что в противном
случае tf — D(a, b) > г„_1 делит гя_1р
Следует сделать одну поправку: Евклид не делит а на Ь, но
вычитает & последовательно несколько раз из а, пока не
получает остаток г1 < &, таким же образом из Ь вычитает несколько
раз гь пока не получает гг<Сгь и т. д. Это вызывается тем, чго
как число, гак и всякая операция над числом у него мыслится
в геометрических образах.
Бертран63) в своей '^Теоретической арифметике» решает
вопрос о высшей границе для числа операций в алгорифме Евклида.
Он доказывает, что
1. Каждый из остатков, получаемых при нахождении
общего наибольшего делителя, меньше половины предшествующего,
2, Предел числа деления, который нужно выполнить для
нахождения общего наибольшего делителя двух данных чисел,
А а В, равгн удвоенному числу, выражающему место первого
из членов ряда
'К 4, 8, 16, ... ,
образованного степенями 2, превышающими меньшее из
данных чисел.
22. Непрерывная дробь ^). Система равенств (1) может бы гь
переписана в виде:
G2) Бертран (Bertram!} Курс теоретической арифметики
СПБ, 1885.
Щ Farber С, Arithmetik Leipz., 1911 (есть русск. пер.),
гл. V.
18*


276 КОММЕНТАРИИ
что даёт:
гп—\
В том сл)чае, если гп = §, получаем конечную непрерывную
дробь. Таким образом, алгорифм Евклида даёт разложение
рациональной дроои -г- в конечную, иначе говоря, обрывающуюся
непрерывную дробь. Но непрерывная дробь нами употребляется
больше для иррациональных чисел, а именно, для получения
различной степени приближённых значений, которые определяются
подходящими дробями уже бесконечной непрерывной дроби
1
«^,-L 1
">i +
д1 + 1 ^'/+»№+1 " ftft + 1
В атом смысле непрерывная дробь впервые применяется Бом-
беллии).Он представляет 1^13 в форме непрерывной дроби.
Дальнейшее развитие непрерывных дроЗей находим у Катальди6^),
Следует ещё упомянуть о Данииле Швентере с его
Практической Геометрией, в которой подходящая дробь является, как
приближённое значение рациональной дроби с очень большим
числителем и знаменателем, а также Брункере и Гюйгенсе.
Полную теорию непрерывных дробей впервые находим
во «Введении в анализ» Эйлера 66).
Свойство, побудившее Швентера и Гюйгенса оперировать
непрерывными дробями, состоит в том, что если данную
рациональную дробь с большими числителем н знаменателем разложить
в непрерывную дробь, то каждая подходящая дробь наилучшим
образом приближает эту дробь в том смысле, что не существует
«*) Bom belli R., L'Algebra, Bologna, 1572.
65) С a t a 1 d i, Trattato del moda brevisstmo di trovar i radici
quadrati dei Humeri, 1613.
&) См. примеч. 34.


К КНИГЕ VH lil
другой дроби, которая подходила бы ближе к дайной, и члены
которой были бы меньше.
Укажем, как Гюйгенс был приведён к использованию этого
свойства. Он хотел построить планетарий, приводимый в
движение при помощи зубчатых колёс. Число зубцов различных колёс
должно было отвечать временам обращения планет, а отношения
этих времён выражались большими числами. Изготовление колёс
с миллионами равных зубцов оказывалось практически
неосуществимым, поэтому Гюйгенс был вынужден искать приближённое
значение отношений в виде отношений с меньшими членами.
23. Пифагорейская теория пропорций. Понятие о части или
«частях» представляет зародыш, нз которого в дальнейшем
разовьётся характерная для греческой математики теория отношений
и пропорций. Всякое меньшее число по отношению к большему
является или частью или «частями1», причём в высшей степени
вероятно, что под «частями» подразумевались не только равные,
но и неравные части, как у египтян, где части соответствует
аликвотная дробь. Таким образом, вполне возможно, что
первоначально употреблялись выражения типа «5 есть ir-w от 6» в
смысле «5 есть -^- от 6ч. Следы подобной записи дробей
встречаются и на греческой почве; во всяком случае, наше понятие
числителя дроби выработалось уже в греческой математике, во
основой для него послужили египетские аликвотные дроби с
числителем, равным единице. Следы этого сохранились и в
терминологии Евклида, где в определении 3 часть понимается как
аликвотная дробь, ив том обстоятельстве,что теоремы 5—10распадаются
на два параллельных отдела: одно и то же положение
доказывается сначала для «части.;, а потом для «частей». Вот наличие этой
связи с египетской математикой делает очень вероятным
предположение, что первичный материал V, Vll, V11I и IX книг был заложен
ещё в пифагорейской школе, но, конечно, приводимые Евклидом
доказательства представляют уже позднейшую форму изложения.
Так, нетрудно видеть, что, хотя евклидово доказательство
опирается на понятие первых чисе;| и алгорифм отыскания
наибольшее общей меры двух чисел, оба эта понятия легко могут быть
исключены и) общего хода рассуждений; действительно, уже
употребляющегося в первой части доказательства разложения
меньшего числа ВС на единицы вполне достаточно для
доказательства того, что ВС является «частями» большего числа А.
Представляющие вполне законченное целое теоремы 5—10
интересны в том отношении, что они позволяют составить
представление о первоначальном методе доказательства этих теорем.
Если выразить нх в современной форме, то шесть евклидовских
предложений будут равносильны трём следующим:
I. «Если a=.kb и с — М, то a-\-c = k{b-\-d)» (предложе
ння 5 и 6).


КОММЕНТАРИИ
II. «Если а = Йи с = Ы, то a — c — k{b—dp
(предложения 7 и 8).
III, ';Если-г- = -Г) то —■=--"■> (предложения 9 и 10).
Ь а с d '
Что может объединить два первых предложения с третьим,
как будто совершенно от них отличным? Можно показать, что все
эти три предложения могут быть доказаны на одтм и том
же чертеже (черт. I).
Действительно, из рассмотрения этого чертежа мы можем
н,шиеать ряд очевидных соотношений:
АС _ Л + С
л+в "с+£> -л + с+в + я'
чго донизывает положение I;
А _ А-\-С ___ С
А + В ~А+С-\-В + 0~С-{-0'
чк) до~л =5ычрсi изложение 11; и, наконец,
А __ А4-С
A+B~A^C+B+D'
А _ А+В
Л + С~~Л + В + С+£>'
что доказывает последнее положение 111.
Весьма вероятно, что именно так и
доказывались первоначально эти теоре-
Черт, 1. мы. Евклидовское доказательство этих
теорем, если выразить его в современ-
в
в
с
ной форме, сводится а таким рассуждениям:
Предложение 5. Дано
А=-1~ -ВС, D = \-
■ El.
Доказать, что
Имеем:
{RC + E1).
k раз
ВС=АЛ = Л+Л + ■
EI = kD=D + D+_^
BC+E/=(A+D) + (A + D)+ ... -
■:tt
-~{A + D) = k{A + D)
к раз
A + D=±(BC + E1).


к книге vir 279
Предложение 6. Дано: АВ—— • С, DE—~- • I.
г п п
Доказать, что
AB + DE^. ~{С + 1).
Обозначим п-ю часть С через и и л-га часть / через v; тогда
С=;и-|--цН~ ■ - - +"(« Раз). /= v-\~v-\~ ... + и{п раз),
^Вг=«-|_ЦН~ • ■ ■ -\-и(траэ), ££=£' +у "г- - ■■ + У {/я раз)'
и по предложению 5:
*<" + *)=-<С+'Ь
лв+яя=£(с+и.
Предложение 7. Дано:
Доказать, что
АВ= \ • CD, АЕ= — > С\.
AB — AE=~{CD — CI).
Положим
СИ— k (АВ - АЕ) = k-EB;
тогда
F-B=l-CH,
и, значит (предложение 5):
АЕ-^ЕВ=~-{С/-^~СН),
АВ—- -И/.
k
Но АВ——CD, значит, CD = И/.
k


КОММЕНТАРИИ
Далее, CD — Cl=HI —CI, т.е. ИС— ID. Но
Л£= 4 • CI и ЕВ = 4 • СИ =~ • ID,
к к к
EB^AB^AE=~-ID=j {CD - CI).
Предложение8. Дано: АВ — —-CD, АЕ = — • CI; доказать, что
п п
АВ-АЕ—-^* (CD-CI).
Положим HG = AB; тогда Ш= — CD. Если — CD = a = HK
п п
и — • CI=v — AL, то
л
HG—u~u~ ... -\-и (т раз) ( = 2ИК),
AE—v-\-v-\- ... 4-f {/л раз) ( = 2Л£)-
Так как CD > С7, то и > и. На отрезке //G полагаем HM=v.
Из равенств
получаем (предложение 7);
//ЛГ— ИМ=~. {CD — С/),
Пусть v =
KG = HG-
EL=AE-
Положим
AL. Имеем
п
п
ми—
л
(у Евклида т =
■со А
■ а-1.
п
KN=EL=^=-
По предложению 7,
•• CD =
a=Z
'•« =
2):
m —
a
i — l _
= (m-
Lcd=
Cl=(m-
-1)я.
*
(m-
-1).
■1)b;
f.
«?-W=.VO = (m-l)(^-^)=(m-l).(^.


к книге vii 281
Но MfC— — ; значит,
w+MJ=f+(«-i).^=a./a
Теперь
МК= НК — НМ = и — v,
NO = KO—KN=:(m—l){u — и),
/AK-\-NQ=m(u — v) = ma — mv=HQ—AE = AB—AE=EB,
значит,
АВ - АЕ = 11D = — (CD -CI),
п п
Предложение 9. Дано: А = ~ъ-ВС, D — -z-£r, доказать, что,
если Л = ?£>, ю и BC = q-E/.
Имеем:
ВС — А + А + ...^-А (А раз);
E[=D+D^-... + D (А раз).
Если положим
ВН=А, HC = [k—l)A,
EO=D, 01=(k—l)D.
(v Евклида 4 = 2), то
BH=q-EO, HC = q{k—\)D = q-Ql.
Но, по предложениям 5 и 6,
BH+HC = q(EO + 0/).
и, значит,
BC — q-EI.
Предложение 10. Дано АВ=—-С, DE =—-h доказать,
п п
что если AB=q-DE, то и С = ?-/.
АВ = и-\-и + ... + и (т раз)( = 2ЛЯ),
£>£=« + « + ... + « (т Раз)( = 2ДО).
Если положим:
АН=и = — , DO = v = — ,
п п
НВ = (т— 1)и=(я1 — 1)- ^-,
С£ = (т—1)о = (т—1)—,


282 КОММЕНТАРИИ
то и "перестановкой;, на основании предложения 9, получаем:
AH = g-DG, C = g-I.
Далее, поскольку
НВ — {т — \)-АН, GE = (m—\)-DG,
то
HB=(m — \)q.DG=g-Gk'.
Таким образом:
HB=q-GE. C — q-L
Складывая выражения для АН и ИВ, получим'
AH-\-HB = q(DG-\-GE)
или
AB = q-DE.
что вместе с равенством C — q-I и доказывает искомое.
Интересно отметить, что при доказательстве предложений
5—8, а также 1—3 и в дальнейшем 28 и 35 Евклид пользуется
в невысказанной форме постулатом, что число, измеряющее сумму
и одно слагаемое, будет измерять и другое.
Следующие четыре предложения (11—14) касаются тоже
свойств пропорций, ею межд\' ними и толыш что разобранными
шестью (5—10) лежит целая пропасть; если ло сих пор Евклид
пользоватся только определениями 3 и 4, и термина -^пропорция»
не употреблял, то теперь определение 21, выражающее
пропорциональность, получает уже полные права гражданства: мы имеем
дело с более поздней фазой развитии теории пропорций.
Теорема И в известной степени повторяет предложения 7 и 8:
«Если как целое к целому, так и отнятое к отнятому, то и
остаток к остатку будет как пелое к целому».
Да но:
d£ — 61
CD~cr
Требуется доказать, что
ЕВ АВ — АЕ_АВ
ID ~~СО — СГ~СО'
Поскольку, согласно определению 21, равенство отношений
приводится к тождественности части или чласти» предыдущего
к последующему, теорема доказывается применением
предложений 7 и 8.
Теорема 12, выражающаяся формулой;
„ А С А А-\-С
«Если _^~, то ~=-р_>,


К КНИГЕ VII
точно так же, путём применения определения 21, сводится к
предложениям 5 и 6.
Аналогично, теорема /3, выражающаяся формулой:
А С А В
.Если ^ = -, то -с = д-->,
с применением определения 21 выводится из предложения 10.
Новый материал представляет лишь предложение 14,
соответствующее преобразованию -лю равенству» {ex aequo):
„ A D В Е A D
*Если ~в=Т и ■с=У T0W "с =7^
Теорема легко доказывается при помощи предложения 13.
„ A D А В BE ВС
Если в-=£' ™ 5"=7Г' если 'с=Т т0 Т=Т'
Но тогда ---= — , откуда -_-=-т- (//,5.)*).
24, Смешение пятой книги с седьмой. С развитием
понятия числа происходит смешение пятой книги с седьмой,
Теоремы VII книги начинают считаться лишними, так как го, что
доказано для величины, относится и к числу,
Первая идея о смешении V и VII книг является только
в XVI веке, Но она идёт скорее от VII книги к V, чем от V к
VII, Уже Мавролик, — говорит Борелли (,:) в XVII веке, —
отмечает, что те операции, которые производится над числами,
прилагаются и ко всем величинам одного рода, безразлично
соизмеримым или несоизмеримым. Такое утверждение было бы вполне
обоснованным, если бы каждая величина определялась числом, но
этого, конечно, пет не юлько у Мавролика, но даже и у Борелли.
Мавролику №) можно приписать только то, что он заметил
истинность теорем VII книги не только для отрезков, которыми
Евклид представляет целые числа, ко и для других
геометрических интерпретаций целых чисел (например, площадей, которые
выдвигает в своих чертежах к арифметическим книгам Борелли).
Вместе с тем им было отмечено, что, подводя евклидовы отрезки,
как выражаемые, так и не выражаемые целыми числами, под
общее понятие величины, можно провести доказательство и в
общем случае.
Мав ролик высказывает такое положение: -:то, что доказывается
об отношениях, пропорции, симметрии и подобии чисел, линий,
тел,—все это можно заключить и о каких угодно величинах*'.
*) Комментарии, подписанные инициалами И. В,, принадлежат
И. Н. Веселовскому. (Прим. ред.)
6") См, примечание 48.
es) См. примечание 31.


КОММЕНТАРИИ
В том случае, когда величины выражаются числами, действия над
этими величинами можно привести к действиям над означающими
их числами.
Большую роль в истории арифметизации геометрии сыграл
Арно. У него V книга сливается совершенно с VII. Всё
переводится им на числа, хотя, как мы уже говорили в комментариях,
к V книге, его числа ещё не являются в явной фо^ме: можно
сказать, что он опеоирует ещё не с числами, а. с отношениями,
как с числами, причём все опеоании с отношениями соизмеримых
величин пеиеносятся на несоизмеримые.
Но счетд'ет отметить, что вначапе математическая мысль
прихопит к apart иетташш геометрии, только сойдя с пути
строгого логического обоснования своих положений. Она приносит
в жертву новым плодотворным идеям античную красоту строго-
логических евклидовых выводов.
Интересно отметить определение отношения у Арно. Это —
«манепа» (manlere), no которой одна величина заключается в
другой. Пои этом сггезует разчичать случай соизмеримости, когда
существует величина, целое число раз заключающаяся в каждой
из рассматриваемых величин, и несоизмеримости, когда такой
величины нет. Но в рассуждениях Арно фигурирует не
отсутствие такой величины, но сотержание актчально-бескпнечкое
число раз. Только распространяя вывод на случай бесконечного
числа частей, можно перенести на несоизмеримые величины
рассуждения Арно, которые все ведутся для конечного числа, т. е.
для случая соизмеримости.
Аксиоматическая система Арно стягивается до аксиом,
выражаемых символическу* так:
1) та: a = mb;b, 4) та : mb = na;rib,
2) ma:mb = a:b, 5) mb-*-nb = (т-\-п) Ь.
3) та\ na^mb-.nh,
Мы видим здесь обычный приём упрощения обращением
теории в аксиомы.
Сдедует отметить, что Клавий в примечаниях к большинству
предложений VII книги прибавляет, что предложение верно и для
дробны*, чисел. Таким образом, v него в отношениях V книги
(непрерывных величин) и VII книги {ц°лы,х чисел) еще'
подразумеваются отношения рациональных чисел.
Он мыслит дробями, мимо которых проходит Евклид. Его
дробь ~ выражается целым числом, если единицу уменьшить
3 2
в семь раз. Две дроби — и -=- представляются соизмеримыми
7 о
„ 1
отрезками, причём отрезок, равный =■=, принимается за единицу,
и в одном из первых'двух заключается 15, в другом 14 раз.


к книге vir
285
?Ь
Конечно, Клавию нет необходимости ещё раз пересказывать
доказательство предложения для дробных, чисел.
25. Теорема о произведении средних и крайних.
Предложения ! 15—19 образуют замкнутую группу, в основе которой
лежит определение умножения
(определение 16).
«Число умножает число
говорится, когда сколько в нём единиц,
столько раз составляется умножаемое
и что-то возникает». Уже самая форма
определения говорит, что
произведение одного числа па другое
мыслилось в виде прямоугольной таблицы
(черт. 2); интересно, что определение
не подразумевает, что в результате
умножения получится число: оно просто говорит flv^aE ~lz —
«что-то возникает», хотя трудно думать, чтобы у Евклида или
его предшественников было в этом какое-нибудь сомнение.
На основании определения произведения, при помощи таблицы
легко доказывается предложение 15, которое мы записали
/
Шноэюающее число (а)
Черт. 2.
бы в форме пропорции:
1 Ь
1 а
то -г-— —г-»
аЬ о ао
г>г. '&.
Геометрическое доказательство легко
получается из рассмотрения черт. 3, если
написать пропорцию:
А А^гС
А-\-В~ A-\-B-\-C + D'
Хотя это предложение может быть легко получено из
предложения 13 {«перестановка средних»), Евклид так его не
получает—доказательство, что предложение 15 является более
древним, чем предложение 13. Евклидово доказательство сводится к
следующему:
—ж
Чсг.
Дано
Имеем
ВС
А
EI
~ Г)
ВС =
Е1 =
где А —
D _
А ~
= А+А +
= D + D +
А А
D D
здиница
El
ВС'
.. + А
...+D
доказать,
А
D
(а раз),
(а раз),


286 комментарии
По предложению 12:
А _аА_ВС
~D~~aD~~Ef'
Перевернув пропорцию, получаем искомое:
А ВС
Предложение 16, выражающее коммутативный закон
умножения, в геометрической форме представления является очевидным.
Доказательство Евклида сводится к следующему:
Дано АВ^С, B-A — D\ доказать, что C = D. Имеем:
C—A-B = B^-B-\-...JrB
Л=1+1 + ...+ 1
На основании предложения 15
В С
1 — А '
Точно так же:
D = B-A = A-\-A+...-\-A
£=1 + 1+... + 1
На основании определения 16
D В
~А~\'
(Л раз),
(А раз).
(В раз),
(В раз).
Сравнивая обе пропорции, получаем:
CD ,
-J — X' 0ТКУДЭ
Предложение 17 выражается так:
Дано A-B = D, A-C—E; доказать
Мы имеем:
Л=14-1т...+ 1
D~A.B — B±B + .., + B
Из двух последних равенств получаем;
— =— и, перестановкой,
ть, что
(А раз
(А раз
(Л раз)
В
с —
В
с '
1
' А
1
А
D
Е ■
D
Е ■
11
0| to
__ С
~ Е


к книге vii ^87
Предложение 18 выражается следующим образом:
A D
Дано А-С =D, В-С=Е\ доказать, что -R- = -р-. Его легко
доказать, применяя коммутативный закон (предложение 16) и
затем предложение 17.
Оба последних предложения служат подготовкой к
предложению 19, которое состоит в следующей:
А С
«Если — =—- то A-D = B-C и, обратно, если A-D =
= *.<:,» 4 = §.-
Прямое предложение доказывается так: имеем A-D = E
В-С=Г, полагаем; А-С=И, A-D = E тогда %г~^
D с
— -- -р- . Затем А-С= И, ВС = /; значит, -- = —-. Таким
образом: -р~ = - и Я=1, т. е. A-D = B-C.
Оэратная теорема доказывается так:
Из равенства A-D = В-С или £*=/ следует:
И И А-С А-С С А
£ = Г' г'е- аГЪ^в^с мк ^=в'
Интересно, что Евклид при доказательстве этого предложения
пользуется, без специального упоминания, двумя предложениями
V книги, а именно:
Предложение 7. Равные к тому же имеют то же отношение
и это то же <имеет то же отношение^ к равным.
Предложение 9. <Величины>, имеющие к одному и тому же
то же самое отношение, равны между собой; н те, к которым
одно и то же имеет то же самое отношение, равны.
В стадии развития математики, соответствующей
арифметическим книгам Евклида, эти положения ещё не считались
нуждающимися в доказательстве {И. В.).
26. Коммутативное свойство умножения. Символически
предложение выражается так:
аЪ = Ьа,
т. е. в произведении можно переставить множитель и множимое.
Такое свойство операции над двумя объектами или
взаимоотношения двух объектов называется коммутативностью.
Коммутативно не только умножение, но и сложение:
a -f- Ь = b 4- а.
Коммутативно равенство: если a=i>, то Ь — а. Коммутативна
параллельность: если а ,\ Ь, то Ь\\а.


■«» КОММЕНТАРИИ
Но не коммутативно отношение, выражаемое словами «больше»
и «меньше»: из а < 6 не следует 6 < а. Коммутативность
умножения Евклид доказывает совершенно иначе, чем мы. Согласно
определению 21
\:a = b:ab,
■откуда
1:6 = a:ab,
но, вместе с тем, 1:6 = «:6й,
откуда a;ab = a:ba,
и, наконец, аЬ — Ъа.
Так же доказывается этот закон в начале XVIII века
X. Вольфом.
В случае умножения, как построения прямоугольника между
а и 6, коммутативность умножения не доказывается, она
представляется просто очевидной: безразлично, что принимать за
высоту, что за основание, а или Ь.
Следует думать, что доказательство коммутативности чисел
раньше Евклида приводилось к этой очевидной коммутативности
представлением чисел точками в прямоугольнике с 6 строчками
по а точек в каждой и заменой строк столбцами.
Это, носящее, конечно, интуитивный характер доказательство
и приводится в современных учебниках теоретической арифметики.
Вместо точек обычно пишут единицы (см. табл.), показывая, что
результат подсчёта единиц не зависит от того, подсчитывается
ли сначала число единиц в каждой строке, а затем — число строк,
или же сначала число единиц в каждом столбце, а затем — число
столбцов.
11 11
11 1
у 6 единиц
■' : ■ ■ ■ I
11 1 }
а единиц
Фербер еэ) не пользуется этой таблицей, а предпочитает схемн:
6 частных сумм
а слагаемых а слагаемых а слагаемых
= (1 + 1+... + 1) (1+1+... + 1) (1+1+... + 1)
а частных сумм
6 слагаемых 6 слагаемых b слагаемых
_=(И-1+... + 1 (1 + 1+... + 1) (1 + 1+... + ])
ffl) Far be r, Arithmetik, Leipzig, 1911 (есть русск. пер.).


К КНИГЕ VII ^89
причём замечает, дав первую схему, что так как значение суммы
не зависит от порядка единиц, то можно образовывать суммы ещё
таким обра юм: взять по единице из каждой частной суммы и
сосчитать их, затем взять по второй единице из каждой частной суммы
и эти единицы сложить и продолжать таким образом до тех пор,
пока не будут пересчитаны все единицы. Таким образом получаем
вторую схему. В этой форме доказательство сближается с тем,
которое даёт Камианус.
Дирихле'»11) в своих ^Лекциях по теории чисел» доказывает
табличкой, что
(с a) b — {cb)a,
и, полагая с = 1, получает коммутативный закон как частный
случай ассоциашвкого:
ab = ba.
Пойсчи чисто логического доказательства с полным изъятием
интуитивного элемента повели к л о г и з а ц и и понятия умножения.
Произведение определяется как класс вещей, образованный
из классов А и В, отвечающих а и b попарным их соединением,
причём подчёркивается симметричность этого определения
относительно Л и В (>i пошму а и Ь). Тогда при доказательстве
коммутативности, которое сводится просто к непосредственному
выводу из опредетния, мы оказываемся в совершенно сом же
положении, что Евклид в отношении произведения ab,
понимаемого в смысле И книги «Начал».
В настоящее время этот вывод нам не представляется уже
сокращением аксиоматической системы арифметики, так как
предполагает другую аксиому: принцип инвариантности
Шредера, состоящий "в том, что кардинальное число не зависит от
распределения объектов класса, который оно определяет.
27. Ассоциативный закон умножения. У Евклида нет ассо-
щшивного закона умножения, выражаемого формулой
(ab) с =а (be).
Ассоциативность — э го тоже характерное свойство некоторых
классов операций и взаимоотношений. Ассоциативно также сложение:
(fl + &|-Lc = rt+(H c)-
Для интуитивного его доказательства, вполне аналогичного
доказательству коммутативного свойства, пришлось бы
пользоваться стереометрическим образом, распределяя то ikh ипи единицы
1°) P. G. L e j e u ne-l) i r ic 1) I e t, Vorles. fiber Zafilenlheo-
rie, 1894. П. Г. Лежен-Дирих.че, Лекции по теории чисел,
М. — Л., 1936.
19 Евклид


290
КОММЕНТАРИЙ
строками, строки в слои и заполняя слоями параллелепипед,
Различного рода подсчеты давали бьг (ab) c = {bc) а, н переход к
ассоциативному закону достигался бы ещё применением доказанного
раньще коммутативного закона.
28. Дистрибутивный закон. В то время, как Евклид выводит
дистрибутивный *акон в книге II (предложение 2), в пни се VII
для целых чисел он его не выводит, хотя в тех еллчаях, когда им
пользуется, мыслит ту >це самую операцию, которой этот закон
нами доказуется.
Но, если ею часть и (-.частив мыслить как дроби, то можно
считать, что он в предложениях о и 6 книги VII даёт
дистрибутивный закон в случае дробного множителя или множимого:
(a-\-b) c — ac-\-bc. (1)
Интуитивное доказательство того же типа, что доказательства
законов коммутативного и ассоциативною, можно извлечь из
вывода предложения 2 книги II, заполняя прямоугольники точками
или единицами.
Б настоящее время различают прямой (1) и обратный
дистрибутивный закон; последний выражается формулой
с (a -f- b) = ca -f- cb, (2)
Конечно, (2) выводится из (1) с помощью коммутативного
закона71).
В современных логически обоснованных построениях
арифметики логический приоритет признаётся не за коммутативным, а за
дистрибутивным законом, из которого и выводится первый, Так
поступает Шредер. Гаков путь и в ч<Арифметике> Грассмана,
который, пользуясь принципом полной математическое интукции,
ведёт от частного случая дистрибутивного закона
к общему, к закону ассоциативному н, наконец, к коммутативному.
29. Йеравеиство отношений. Клавий пополняет предложение
19 следующим, 19а: «Если отношение первого ко второму больше,
чем третьего к четвёртому, то произведете из первого
и четвёртого больше произведения из второго и третьего.
И если произведение из первого и четвёртого больше, him
произведение из второго и третьего, то отношение первого ко
второму больше отношения третьего к четвёртому,
7i) Hilbert D., Grundlagen der Geoinetrie, 7. ЛпП., Berl.,
1930. Д, Гильберт, Основания геометрии, пер, И. С, Град-
штейнаподред. П, К, Рашевского.М, — Л., 1948,


К КНИГЬ Vli
■291
Пусть отношение первого, Л, ко второму, В, больше, чзл
третьего, С, к четвёртому, D. Я утверждаю, что число, прошво-
димое из А па D, больше производимого из В на С.
Полагаем, что как Е к В, так и С к D (£' — число целое или
дробное или целое с дробью, которое найдётся на основании
предложения 19 книги IX, если произведение из 5нСразделить
на D). Поэтому отношение А к В больше отношения Е к В, а
отсюда и А больше Е. Поэтому произведение из А на D больше,
чем из Е на D, А так как произведение из £ на D равно
произведению из В ]ia С, то произведение из А на D больше, чем на
Й на С, что и требовалось доказать.
Пусть затем произведение из Л на D больше, чем из В на 6\
Я утверждаю, что отношение первого, Л, ко второму, В,
больше, чем третьего, С, к четвертому, D. В самом деле, найдём,
число Е, которое умножая D даёт то же, что произведение из
В на С (£"—или целое, или дробное число, или целое с дробью).
Тогда произведение из А на D будет также больше, чем из Е
на D, а 01сюда А больше Е, вследствие чего отношение А к В
больше отношения Е к В. Но ЕкВ так же, как С к D. Поэтому
отношение А к В больше отношения С к D, что и требовалось
доказать».
Такое же положение будет, очевидно, и в том случае, если
вместо «больше* возьмем ^меньше;,.
30. Среднее геометрическое. В приложениях у Гейберга
помещена следующая формулировка предложения 20, против
которой возражал уже первый переводчик Евклида Камцанус и
которое отличается, между прочим, и терминологией (бт-.б wv
azp(ov,a^d ~.o'o \>.s<iou).
«Если три числа пропорциональны, то -(произведение)
крайних равно <квадрату> па среднем. И если -(произведение)
крайних равно квадрату на среднем, то три числа пропорциональны.
Пусть будут три числа Л, В, С пропорциональны: как АкВ
так и В к С. Я утверждаю, что Произведение) из А, С равно
<квадрату> на В {черт. А).
Действительно, положим D ,.„cl_. В
равным В. Значит, Судет, что „ „
как А к В, так и D к С. Зна- _ | | " l
чит, Произведение) из А, С
равно Произведению) из В, D. Черт. 4.
«(Произведение) же из В, D
равно <квадрату> на В; ибо В равно D. Значит, ^произведение) hi
A, С равно <квадрату> на В.
Но вот пусть произведение) из Л, С равно <квадрату> на
B. Я утверждаю, чю как АкВ, так и В к С.
Действительно, поскольку -(произведение) из А, С равно
<квадрату> па В, О'вадрат) же на В равен <проиэведению) В,
D, то значит, будет, что как Л к В, так н D к С. В же равно
D. Значит, будет, что как Л к В, так н В к С, что и требовалось
доказать^.
19*


29^
КОММЕНТАРИИ
Это предложение, представляющее непосредственное
следствие предложения 19, применялось, если верить Теону, уже Зе-
нодором (вероятно, около начала 2-го века до н. э.).
31. Евклидова теория простых чисел. В одиннадцати
предложениях (с 20-го по 30-е) излагается теории простых, или, как
Евклид называет их, первых чисел. Формулировка первого
предложения этой группы (предложения 20) — «Числа, наименьшие из
имеющих то же самое отношение с ними, равное <число раз)
измеряют имеющие то же самоеогношепие<числа>, причём большее
«(измеряет) большее и меньшее — меньшее;) — позволяет сделать
очень вероятное предположение о причине возникновения теории
простых чисел: старались найти наименьшие числа, при помощи
которых можно было бы представить данное отношение. Одно
2
и то же отношение, например, -^-, може[ быть представлено в виде
такого ряда:
1 ± ! 8
3 ' 6 ' У ' 12 "* ■
Первые члены этого отношения будут взаимно простыми или
сиервыми'. между собой, [сак говорит предложение 21.
Если рассматривать отдельно ряды чисел, изображающих
предыдущие в последующие члены последовательных отношений —
в нашем случае
2, 4. б, 8,...
и
3, 6, 9. 12,...
— ю взаимно простые числа все[да будут занимать первое
место во всех эщх рядах чиоел, откуда вероятно и произошло
имеющееся у Евклида название простых чисел первыми. Для нас
же, привыкших употреблять простые числа главным образом
в разложении составных чисел па множители, гораздо более
естественным является название простого числа, как элемента, из
которого могут быть построены все составные числа.
Современная формулировка евклидоваенх доказательств этих
одиннадцати предложений была бы такова:
А CD
Предложение 20. Если „ = —и CD, EI являются наимеиь-
А В
шими из всяких А, В, то CD — — ,Е7—- где т—целое число.
т т'
Доказательство идёт от противного: если CD, 1:1 не являются
частью А, В, то они будут «частями». Пусть
п раз
т ' т ' ' т ~


К КНИГЕ VH ^а
п раз
... ' т ' ~т
где С//, £G суть первые из отрезков, на которые разделяются
СА £/. равные соответственно— и — .
' ' t mm
По предложению 12,-^:=™ , причём СИ <(?/), ЕО<Е1,
а это противоречит положению, что СА, £7 являются
наименьшими числами, могущими изобразить заданное отношение.
Предложение 21. Числа, первые между собой, являются
наименьшими из имеющих то же отношение.
Доказательство идёт от противного: пусть Л и В будут
первыми между собой; если они не наименьшие, то будут два числа
А С
С <А, D<B такие, ч го ^ = ^ . •
Согласно предложению 20, С и D должны соответственно
измерять А и В:
Az=C +C + --- + C ^п Р;'Ч
В —D-f D-K..+0 [n раз).
Пу\-ть £=] +1 +•■•+! (^ раз).
Л Л' В __Е
Тогда ^^т, s--r
А — С-Е, B = D-E,
и оба числа А и fi имеют общую меру £, что противоречит
предположению.
Предложение 22 (обратное). Наименьшие из имеющих то же
отношение чисел будут первыми между собой.
Доказательство идёт от противного. Пусть А, В —
наименьшие из чисел, имеющих то же отношение." Если они не первые
между собой, то имеют общую меру С:
A-=D-C, B--E-C.
Но, по предложению 17.
^■ = §, где D<A, E<B,
а это противоречит предположению, что А я-В наименьшие.
Легко доказывается от противного и предложение 23: число,
измеряющее одно из взаимно первых чисел, будет первым с
другим.


294 КОММЕНТАРИИ
Предложение 24. Число, первое с двумя числами, будет
первым и с их произведением.
Доказательство идёт от противного. Пусть А а В будут два
числа, первых с С; доказать, что С будет первым с
произведением D---A-B.
Действительно, если они не первые, то имеют общую меру Е:
С — Е-^ D--E-I.
Но D—A-B; значит, А-В-—Е-1, и но предложению 19,
Е _В_
А~ I '
Так как Е измеряет С, первое с А. то, по предложению 23, Е
будет первым с А. Тогда, по предложениям 21 и 20, числа £ и Л
должны делить В я I:
В=.т-Е, I— т-А.
Но С=-К-^\ значит, Я и С имеют общую меру Е, что
противоречит предположению.
Предложение 25— число, первое с каким-нибудь числом, б\.
дет первым и с его кпадратом — является непосредственным
следствием 24-го.
В этом предложении представляет интерес только
формулировка: квадрат называется 6 бу.то3...^е*^«{;= возникающий из...
(числа), в смысле ^произведение числа на самого себя-». Это
представляет более раннюю форму выражения, чем обычное у
Евклида «квадрат на„> ^6 i~b тс о... Tgrsa^cflvov.
Предложение 26: если два числа являются первыми с
каждым из двух других, то и произведения обеих пар этих чисел
будут первыми между собой.
Пусть А, В первые с каждым из С, D. По предложению 24
и произведение АВ будет первым с каждым из С, D, а значит,
и с их произведением CD,
При помощи предложений 25 и 26 легко доказывается н
предложение 27: если два числа являются первыми между собой,
то будут первыми между собой и любые степени этих чисел.
'Предложение 28 касается свойств суммы взаимно простых
чисел:* сумма двух взаимно простых чисел будет простой и по
отношению к каждому из них; обратно, если сумма будет взаимно
простой с каждым из слагаемых, то и оба эти слагаемые будут
взаимно простыми.
Доказательство идёт от противного. Пусть АВ, ВС— два
взаимно проаых числа и АС— их сумма. Пусть АС не будет
простым но крайней мере с одним из них, например, с АВ; тогда
будет существовать такое число D, что
AC—k-D, AB^m-D,


к книге vn 295
Но общая мера суммы и одного слагаемого будет ,измерять
и другое слагаемое (невысказанный Евклидом в явной форме
постулат); значит, и
BC—nD.
Но тогда АВ и ВС будут иметь общую меру D, что
противоречит предположению.
Пусть теперь сумма АС и одно из слагаемых, например АВ,
будут взаимно простыми; требуется доказать, что АВ будет
простым и с другим слагаемым ВС. Если АВ не будет простым
с ВС, то будет некоторая их общая мера D:
AB^mD, BC = nD.
Но тогда D будет общей мерой и АВ с суммой АС (опять
невысказанный постулат), что противоречит предположению.
Клавий прибавляет следствие, что если число, составленное
из двух чисел, —первое с одним из зшх чисел, то оно —первое
и с другим. Ибо, замечает Ктавий, еспи АС — первое с АВ, то
АВ и ВС ~ - взаимно первые по второй части предложения 28.
Поэтому АС будет первое с ВС, что и требозалось доказать.
Предложение 29— :<вся:;ое первое число будет первым со
всяким числом, це являющимся его кратным», — легко
доказывается от противного.
Предложение 30 является в настоящее время основным в
теории простых чисел. Оно читается так: если первое число делит
произведение двух чисел, то оно обязательно разделит хоть одно
из этих чисел.
Пусть произведение А-В-=С делится на простое число D,
причем А не делится на D; требуется доказать, что в таком
случае В должно делиться иа D.
Действительно, если С делится на D, то
C—E-D;
с другой стороны,
С--^А-В.
Из равенства
А-В-^Е-О,
по предложению 19 следует, что
Р —Ё.
~А'~ Е'
Но D и А взаимно простые; значит (по предложению ^0), D должно
делить В, а А — делить Е. Так как D делит В, то теорема
доказана. (И. В.)
32. Другая форма предложения 22. В приложениях к тек-
сту Гейберга дана другая формулировка предложения 22.


^-'0 КОММЕНТАРИИ
чтЕсли будут три числа й в равном с ними количестве другие,
взятые попарно и в том же самом отношении, причем пропорция
их будет «перемешанной», го они будут в том же самом
отношении и «по равенству».
Пусть будут три числа Л, В, С и в равном с ними количестве
другие D, Е, I. взятые попарно в том Же самом отношении,
и пусть пропорция их будет «перемешанной»; как А ц В- так и
Е к /, как же В к С, так и D к Е. Я утверждаю, что и «по
равенству;) будет —как А к С, так и D к / (черт. 5).
Действительно, поскольку как А к В, так и Е к {, то шачит,
■(произведение) из Л, I равно ^произведению)» из в, Е (пред-
г ложение 19). Опять, поскольку как В к С,
так иДк I:, то значит, «(произведение) из
В i D, С равно ((произведению) из В, Е.
Доказано же, что и <произведепие> из Л, /
^ ' равно <произведению) из В, Е. И, значит,
,, , -(произведение) из А. I равно ((нроизведе-
пию) из D, С. Значит, будет, что как А
£ь- »i к С, Tail и D к /, что и требовалось
доказать".
■^' ' Э'['о предложение, по выражению и по
ije к методу доказательства (ссылка па предло-
у ' ' жение 39), представляв! большое сходство
с выше помещённым предложением 20 bis.
33. Лестница неопределённости. При доказательстве того,
что всякое сложное число А измеряется простым числом, прием
Евклида состоит в следующем: из предположения, что некоторое
свойство Q присуще числу А, он выводит существование числа
В < А, обладающею этим свойством, затем числа С<_В<^А,
обладающего тем же свойством Q, и т. д., а затем устанавливается
Конечность такого ряда, как ряда целых чисел. Ферма г*)
выставляет этот приём как им впервые вводимый в теорию чисел. Он
говорит, что в тех случаях, когда не помогаю i обычные приёмы
доказательств, он находит совершенно особенные, которые
называет: «la descente infinie ou indefinie».
Этот приём употребляется: им, например, в '-.Observations sur
Diophante--,. Он же употребляется и Лежандром в его «Теории
чисел».
34. Другие доказательства предложения 31. В
приложениях Гейберг поместил и другое доказательство предложения 31.
;<Иначе,
Пусть будет составное число А; я утверждаю, ino оно
измеряется каким-то первым числом (черт. 6).
Действительно, поскольку Л составное, оно будет измеряться
некоторым числом, и пусть наименьшее из его измеряющих
будет В. Я утверждаю, что В будет первым. Действительно, если
нет, то оно составное. Значит, оно будет измеряться каким-то
72) Fermat, Oeuvres, Paris, 1896, т. Ш, стр. 271,


К КНИГЕ VII ^у/
числом. Пусть оно измеряется с. Зиачш-, С буде[ меньше Я.
И поскольку С измеряет В. но В измеряет А, то значит, и С
измеряет Л, будучи меньше чем В\ это же нелепо. Значит, В не
будет составным. Значит, <опо> простое,
что и требовалось докачать». д}1 . ч
Другая форма доказательства, по изд.
Энриквеса ~3)'. 8\
•хЕсли а составное, то имеет делите- ,
лей. Пусть Ь наименьший делитель; я
говорю, что Ь простое. Черт. 6.
Действилельно, если Ь составное,
то существует какой-то делителе с < Ь, который делиг а, что
противно предположению (Ь — наименьший делитель); поэтому b
простое».
Из этого положения вытекает единственность разложения на
простые множители.
Дирихле рассуждает так.
т~~рт\ где р простое,
т'=р'т'\ где // простое,
значит, т—рр'т" и т. л.
Если предположить, чю существуют с'ва разложения на
простые множители:
т = рр'р" ... и m-—qq'q"
то произведение рр'р'1... должно делиться на qq'q''..,, что
предполагает р — дг затем р' —§' и т.д.
35. Евклидова теория наименьшего кратного. Последние
семь предложений (33—39) книги VIE посвящены теории
нахождения общего наименьшего кратного, которая даётся в двух
вариантах, в зависимости от целей, которые ставили сепе авторы
этой теории. Эти сечи предложений распадаются на две группы:
предложения 33—36 и 37—39.
В предложениях первой, группы теория, наименьшего кратного
рассматривается при решении следующей задачи. Даны
отношения, связывающие попарно значения нескольких величин, положим
для определённости четырёх;
а\Ь, с id, e:f.
Требуется подобрать такие числа А, В, С, D, чтобы все эти
значения были связаны одной единственной пропорцией:
A:B:C:D,
Щ Enrique s, QH Elementi d'Euclide e la critica antica e
nioderna, Bologna, 1925—1932,


298 комментарии
в (шторой число А должно замени1ь а, число В —оба числа & и с,
число Л — числа d и е, и, наконец, последнее число D должно
Заменить значение четвертой величины /.
В последних трех предложениях задача нахождения
наименьшего кратного возникает в связи со следующей задачей — найти
такое число, заданные аликвотные части которого выражались бы
целыми числами.
Пои решении этих задач Евклид использует первые три
предложения книги VII — метод нахождения наибольшего
делителя. Интересно отметить, что во всех промежуточных
предложениях— от 4-го до 32-го — алгорифм наибольшего делителя
совершенно не применяется, если исключить предложение 4, где
>потребление его не вызывается необходимостью, и только в
последних предложениях алгорифм Евклида играет очень
существенную роль. И по стилю начато и конец книги довольно близки
друг к другу; и там, и tvt ставятся определённые задачи, для
решения которых даются нужные методы. В промежуточной части
книги никаких «задач» не решается.
Посмотрим теперь, как будут выглядеть в современной
форме рассматриваемые семь предложений.
В предложении 33 ставится следующая задача; для заданных
в любом кулачестве чисел найти наименьшие из имеющих
с ними то же самое отн9шеяи?.
Задача решается в предположении трёх чисел Л, В, С, не
первых меж ну собой. Находим D — общую наибольшую меру для
А, В, С —и определяем числа £", [, Н ло раьенствам
A — E-D, В —I'D, C = H-D;
эти числа и будут наименьшими искомыми числами. Действительно,
если бы существовали меньшие их числа G, К, L, измеряющие
А, В, С, то имели бы место равенства
А .= G-M В = К-М, C=--l -M.
Сравнивая оба выражения для А, будем иметь:
E-D — G-M,
откуда, но предложению 19,
Е_ М
G^D'
Так как Е>(7. то и М > D, что невозможно, ибо D есть
наибольшая общая мера для А, В, С.
В предложении 34 ставится задача нахождения общего
наименьшего кратного двух чисел А, В,
Если А и й —первые меяду собой, то их произведение
А-В — С будет искомым наименьшим кратным. В самом деле,


к книге vii 299
если было бы огшее кратное D, меньшее С, то мы могли бы
записать:
D-=A.E, D-^B-L
откуда (по предложению 19):
В~~ Е '
Но так как А, В—-первые между собой, то (по предложениям
20 и 21) они будут соответственно меньше /, Е и будут делить их;
таким образом,
Я <£.
Теперь из двух равенств
АВ = С, АЕ ^- D
мы получаем (предложение 17)
В_ _£.
Е "" ГУ
поскольку же й<£", то и С < D. что противоречит сделанному
предположению.
Если Л, Я не будут первыми между собой, то они заменяются
наименьшими числами /, Е, имеющими" то же отношение
(предложение 33):
A=J_
В . Е-
По предложению 19,
A-E--B-I- С.
Число С янлнс1ся оЗщнм кр.иныч; для доказательства, что
оно наименьшее, предположим, что существует общее кратное
О *С С\ в таком случае можно dnniicai [>;
A-H—B-G-^D.
Из обоих этих равенств следует:
А~ L "L — Я.
В ~~ В ' 'В // '
Так как /, Е являются наименьшими, то / < G, £<//, Теперь из
равенств
А-Е--С- А-Н^О '
заключаем
~н~ о '


300 КОММЕНТАРИИ
Но если Е-СИ, ю и С < D, чго противоречит сделанному
предположению.
Предложение 35 гласит, что общее наименьшее кратное
двух чисел измеряет всякое их общее [{ратное.
Пусть Л, В — лва числа, Е — их наименьшее кратное, a CD —
вообще некоторое кратное. Если CD не измеряется Е, то мы
можем написать:
CD — k-E-^CI,
t'lc CI—меньший чем Е остаток. Есчи теперь А, В измеряют
CD и Е, то они должны измерять и С/, что невозможно, ибо Е,
согласно предположению, является оЗщим наименьшим кратным.
В предложении 36 ставится задача о нахождении
наименьшего кратного трёх чисел А, В, С. Для этой цели отыскивается
наименьшее кратное D двух чисел А, В; если оно измеряется С,
то и будет искомым общим наименьшим кратным чисел А1 В. С.
Если же оно не измеряется С, то ошскивается Е—общее
наименьшее кратное С и D, Для доказательства, что Е является
искомым общим-наименьшим кратным, делается противное
предположение, что таким общим наименьшим кратным будет
некоторое число /< Е. Так как / будет общим кратным Л, В, С, а
значит, и Л, В, то оно будет измеряться числом D — общим
наименьшим кратным А п В', если же J есть общее кратное D и С, то
оно будет измеряться и их наименьшим кратным Е, что
невозможно, ибо по предположению / < Е.
Последняя группа теорем оекрывастся '[вумя предложениями:
Предложение 37. Если число А нчмеряется каким-то числом В,
то существует и выражающаяся целым числом часть Л,
соимённая с В.
Предложение 38. Если число Л имеет какую-нибудь,
выражающуюся целым числом, В-ю часть, то оно будет измеряться
числом В,
В самом деле,
А=В-С,
где С—некоторое целое число — , составляющее В-ю часть
В
от Л.
В последнем, 39-м предложении ставится задача; найти
наименьшее число, имеющее заданные части.
111
Если эти части суть —, -j- , — , то искомое число
представится общим наименьшим кратным Л, В, С, В самом деле, оно
будет делиться на А, В, С нацело и будет наименьшим числом,
обладающим этим свойством. (//. В).
36. Последнее предложение кннгн VII. В «Приложении'
ко второму тому издания Гейберга помещена следующая схолия
к 39-му предложению:


к книге vli
зо i
«К. ЗУ-иу. При наличии большого количества чисел, имеющих
1-е же самые части, как если, например, будут даны Va, Va> г1ь ^
найти наименьшее число из всех имеющих" с ними же те самые
части. Найш число, которое, будучи наименьшим, имеет данные
части v,2, ]/з> ''4- 1'si Vsi Vt- Vs» ^'ib ] 10. '''п. 1/ia и до бесконечности,
Должно теперь взять соимённые им чи:ла, г. е. для половины 1,
для трети 3, для четверти 4, и 5, и 6, и 7, 8, 9, 10, 11, 12 и
помножить 1 на 3, получается 3; 3 на 4, получается 12; 12 на 5,
получается 60; 60 на 6, получается 360; 360 на 7, получается 2520;
оно имеет 10 частей; ^'э, ''з> 1А- г/&т '/g, Vt и остальные. Затем
умножить его на 11; получается 27 720; это число имеет данные
части *j2,1<ъ lU, Vb. Ve- V7. Vs. Vsi г'Гю. Vn. V12. Для всех заданных
•(часгей> должно таким оЗразом перемножать и искать
наименьшее число, имеющее такие части-:.
Эта схолия к 39-му предложению, помещённая Гейбергом
в Лриюжениях» к тексту Евклида, достаточно ясно
характеризует не очень высокий уровень вычислительной математики автора.
Она, конечно, име^т значительно более позднее происхождение.
В 39-м предложении сам Евклид не мыслит дробями. Иначе
поставленная задача совпадала бы с задачей предложения 34.
Ведь в той и другий предлагается найти наименьшее кратное
двух чисел а и b: M{a, Ь).
Если мы под тд боЙ£'*тя nfjST) будем разуметь числа, которые
должны быть частями искомого числа М, то обе проблемы вполне
совпадают, так как измерять и быть частями, на основании
предложения 3 книги VII, одно и то же.
Но Евклид здесь разумеет то, чго искомое число должно быть
таким, что для него долж'на существовать греть, четверть, пятая
часть или (гак как, повторяю, Евклид не пользуется дробями),
вернее сказать, таким числом, которое измерялось бы
единицами трёх, четырёх, пяти.
Для 34-го предложение
М = am =r &л = ср)
а, Ь, с даны, ищутся ш, ч,ри М такие, чтобы М было
наименьше?.
Для 39-го предложения
М = та =яЬ~рс;
т, л, р Даны, ищутся а, &, с и М Так, чтобы М было
наименьшее.
37, Обозначения дробей. Согласно сказанному нами выше
можно с уверенностью сказать, что это прибавление не
принадлежит Евклиду, что вполне признает и Гейберг, помеЕцая это
добавление в Appendix, Я обозначаю дробь ло-совремеишму.


КОММЕНТАРИИ
Греки употребляют следующие обозначеЕ1ия целых чисел.
Они обозначают их буквами по следующей таблице:
1
10
?
20
3
30
4
1»
40
е
5
50
Ь
60
7
70
8
it
80
!)
9
90
100 200 300 400 500 600 700 S00 900
Примеры употребления: т/л —334, u;rj —56S, t8 = I9.
. I
п
но только с коммой наверху:
1 1„ , _1-=3' J- —--
Для обозначения дроби с числителем, отличным or единицы,
Архимед и Эвтокий?4) пишут знаменатель вправо от числителя, но
не отделяя их чертой; ык,
Приведём обозначение Диофанта''-''):
Числитель следует читать так:
-*. = 30000, т. е. 3 мириады "(точка отмечает увеличение в 10000
раз против у);
:j = 6000 (чёрточка означает увеличение в 1000 раз против £)
ул = Ш\, так что числитель = 36 621*
Знаменатель: \> =2000, 43 =704,7'^~ =2704.
36621
Всй дрооь=_..
Цамберти в своём переводе Енклнда и комментариях к
предложению 14 книги VIII пользуется вместо греческих латинскими
буквами.
38. Седьмая книга Начал» в алгебраической символике.
Бесспорно, что перекладывание Евклида на алгебраический язык
искажает его в большей или меньшей мере.
В особенности это искажение имеет место, когда часть
истолковывается как доля— , а части~чж дробь — .Именно при
'4) Archimedis opera omnia cum co-ntnentariis Eutocii ed. Hei-
berg, 1910.
'i5) См. примеч. 15.


К КНИГЕ VII 303
таком истолковании и делается перевод Евклида на
алгебраический язык Эвриквссом и Хизсом в то время, как старые авторы,
не проектирующие настоящее в прошлое, воздерживаются от
такого перевода.
Например, 4-е предложение переводится так:
, , а
Даны два числа а и о: всегда можно патгисать о = — или
т
п .. I п
Ь = а —, причем под —а и а-— разумеются целые числа.
т т т * J
Выводится это из того, что если g— общий наибольший делитель
а и Ь, то а = gm и b—gri, откуда и следуют на_пи равенства.
Коне-шо, при таком переводе предполагается, что Евклид
мыслит дробями. Но если мыслить дробями так, как мы мыслим,
то является совершенно непужным то, что говорит Евклид. Если
дробь -г есть результат деления а на Ь, то ясно, что а = b- ~ ,
b v
или &~я> — . Если же установить сперва понятие о доле и
рассматривать дробь как целое число долей, то из b следует
1 а ' ..
взять I как долю - -; -, - получится, если взять а таких долей.
Цейтен, видя в мыслях Евклида тоже дробь, даёт этому,
с нашей точки зрения представляющемуся пустым, рассуждению
а , т
содержание,утверждая, что вместо— здесь разумеется дрооь -- i
обязательно приведённая, т. е. уже не сократимая.
Но едва ли это правильно, так как понятие об отношении
с наименьшими членами Евклидом даётся позже и вовсе не
включается в определение частей,
Равенством а = gin переводится евклидово «я измеряется
числом g>, равенством b~gn~ «b измеряется тем же числом £>,
и если а не измеряет Ь, то два таких равенства говорят, что а не
измеряется Ь, Bog, измеряя а, измеряет*. Всё это не выражается
вполне нашей символикой и точно может быть выражено только
риторически.
Перевод и других Предложений VII книги на
алгебраический язык не следует считать вполне точным. Но для понимания
Нв;слида этот перевод является очень полезным. Он номогае!
разобраться в многоречивых выводах Евклида, так как каждому
суждению отвечав!' формула, хотя и не вполне выражающая его
смысл но Евклиду.


КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ VIII
1. Непрерывная пропорция. Первые десять предложений
восьмой книги посвящены общей теории непрерывной
пропорции. Под этим именем подразумевается ряд чисел й, Ь, с, d...,
стоящих между собой в очном и том же отношении:
a:b = b:c =^c:d и т. д.
Мы назвали бы эту последовательность геометрической
прогрессией, но не нужно забывать, что между нашей геометрической
прогрессией и евклидовой непрерывной пропорцией имеется
очень существенная разница. Наша геометрическая прогрессия
представляет ряд определённым образом между собой связанных
членов] зги члены имеют вполне самостоятельное существование,
так что мы можем говорить об их сумме; связывающие их
отношения представляют лишь закон получения этих членов — закон,
который мы, если угодно, могли бы и изменить. В евклидовской
непрерывной пропорции, наоборот, первенствующее значение
имеет именно этот закон: составляющие непрерывную пропорцию
числа служат только для его выражения и вполне могут быть без
малейшего ущерба замечены другими, лишь бы отношение
соседних членов оставалось неизменным; говори!Ь о суммировании
таких членов просто не имеет смысла. С такого рода
непрерывными пропорциями грекам приходилось сталкиваться при
выработке математической теории музыки; ряд тонов одного названия,
принадлежащих последовательным октавам, представляет пример
непрерывной пропорции с отношением 1:2. Установление
простейших форм числового выражения таких соотношений нсоиав-
ляег основную задачу первых предложений рассматриваемой
книги.
цВ первом и третьем предложениях устанавливаются основные
свойства таких соотношений: для того чтобы они выражались
наименьшими числами, необходимо, чтобы крайние их члены были
первыми между собой.
Первое предложение доказывает прямую теорему; если
крайние члены будут взаимно простыми (первыми), то выражающие
эти отношения числа будут наименьшими.


к книге vm 305
Доказательство основывается па предложениях 20 и 21
книги VII.
Пусть А, В, С, D составляют непрерывную пропорцию
A:B = B;C = C:D,
причём А и D являются первыми межну собой. Пусть существуют
меньшие их числа Е, /, И, G, удовлетворяющие соотношениям:
A:B;C:D — E:I:H:G.
Тогда «по равенству» (предложение 14 книги VII):
A:D = E:Q.
Если А и О —первые между собой, то, па основании
предложения 21 книги VII, они будут и наименьшими; если же они
наименьшие, то, ца основании предложения 20 книги VII, должны
делить, соответственно, Еи О, что невозможно. Теорема доказана.
Второе предложена0 даёт способ получения этих
наименьших чисел, выражающих заданные отношения.
Пусть заданное отношение в наименьших числах будет А;В,
и требуется составить непрерывную пропорцию из четырёх
членов. Евклид строит ряд чисел
С = Д3, D = A-Bt Z=zB3;
1=^А*, И=А2-В, Q = A-B2, K=B\
й на основании предложений 17 и 18 книги VII легко доказывает,
что они будут находиться между собоДв заданном отношении А:В.
Для того чтобы доказать, что найденные числа /, И, О, К
будут наименьшими, Евклид замечает на основании предложения
22 книги VII, чю А и. В должна быть первыми между собой. Но
тогда на основании предложении 27 книги VII будут первыми
между собой 7=ДЗ И д-—й^ если же они первые между
собой, то вследствие предложении 1 рассматриваемой книги они
будут И наименьшими.
Третье предложение, являющееся обратным по отношению
к первому, обобщает предложение 22 книги VII, доказанное
только для двух чисел.
Пусть заданная, выраженная в наименьших числах,
непрерывная пропорция будет
A:B:C:D.
Требуется доказать, что А и D будут первыми между собой.
Находим наименьшие числа Е, I, выражающие данное
отношение (предложение 33 книги VII); они будут первыми между
собой (согласно предложению 22 книги VIl>- После этого по 2-му
предложению строим системы чисел:
L = E3, M=E2-It М=Е-Р, Х=Я
20 Евклид


■543 - КОММЕНТАРИИ
Так как L, X будут первыми между собой, то они, согласно
предложению 1, явятся и наименьшими. Но тогда системы чисел
Л, В, С, D и L, М, М, X совпадут между собой, и мы будем
иметь:
A = L = B\ В = Л* = £-• /, С — ЛГ= Я-Я, D — Х= Р.
Так как Es и /з будут первыми между собой, то такими же
окажутся и А с D. Теорема доказана.
В четвёртом предложении термин «в непрерывной
пропорции» (наше «непрерывно пропорциональные?') понимается уже
несколько в ином смысле.
АСЕ
Дано несколько отношений —, -j- , -у-; требуется построить
такке четыре наименьших числа М, X, М, О, чтобы имели место
пропорции:
л__л/; с__х £_Л1
В ~~X ' D~M ' I "О •
Искомые числа строятся таким образом. Так как В —
последующее в первом отношении— должно соответствовать С —
предыдущему во втором отношении — , то возьмём И—
наименьшее кратное В и С (предложение 34 книги VII); это наименьшее
кратное будет соответствовать второму из определяемых нами
чисел. Первое G и третье Д" определятся из пропорций;
Л О „ АН . И
w = w, откуда 0=-з=>*-д,
-£ — —, откуда K=D--.
Три найденных числа О, И, Д" удовлетворяют двум первым
пропорциям. Чтобы удовлетворялась и последняя пропорция, надо
найти такое L, чтобы было
I ~ L '
откуда
'='■£■
Если -=г есть целое число, то задача уже решена; остаётся
лишь доказать, что найденные числа О, И, /(, L являются
наименьшими. Доказательство ведётся от противного. Пусть
наименьшие числа^ удовлетворяющие нашим отношениям, будут М, Х,М,
0\ тогда
А = М_ С__Х_
В X ' D М '


К КНИГЕ VIII -5U/
Так как А, В и С, D суть наименьшие числа, выражающие от-
А С
ношения -я- и -^- , то они должны делить соответственно .V, X
D U
и X, М. Значит, X должно делиться, с одной стороны, на Bt
с другой —на С. По предложению 35 книги VII оно должно
тогда делиться на наименьшее кратное И для £», С, что
невозможно, ибо мы предположили Х<СИ. Таким образом G, //) A"i
L будут искомые наименьшие числа.
Предположим теперь, что К не делится па Е. Тогда возьмём
М— наименьшее кратное Е, Д" и образуем ряд чисел:
м=аЛ, х=нЛ, ц 0=1-4-
К К Е
Числа О, Н, Д" заменятся теперь М, X, М\ вместо последнего же
L мы берём новое О. Нетрудно видеть, что четыре числа ,Y, X,
М, О будут искомыми; действительно:
ы а а
X Н В '
хне
М~ К О '
М Е
Ь ~ Г
Остаётся доказать, что они будут и наименьшими.
Доказательство опять ведётся от противного. Предположим, что
существует система меньших чисел Р, R, S, Т, удовлетворяющие
поставленным отношениям, и рассмотрим таблицу чисел:
A BtC D,E I
О ti К L
N X М О
Р R S Т
Так как А, В суть наименьшие числа, выражающие отношение
А:В, а С, D — наименьшие чиста отношения C:D, то на
основании предложения 20 книги VII, число R должно будет делиться
на В и С, а значит, и iia их наименьшее кратное И
(предложение 35 книги VII). Отношение — мы можем найти из таких со-
ображений. Мы имеем
к о s '
значит,
R S ■
S Е
Таким образом, S должно делиться на Д". А так как ~= —
и Е, I суть наименьшие числа, выражающиэ эт) отношение, то S
должно делиться и на Е, иными словами — на наименьшее
кратное К и Е, т. е. М, что противоречит предположению M>S.
20*


308 КОММЕНТАРИИ
Таким образом, р, R, S, Т не будут меньше М,Х, М, О; значит,
определённые нами числа АД X, М, О и будут искомыми
наименьшими числами, выражающими заданные отношения. (И. В.)
2. Сложное отношение. В подробных учебниках арифметики
упоминается о так называемых сложных отношениях, под
которыми подразумевается произведение двух и более отношений.
„ а с
Сложным отношением, составленным из двух отношении-г-И — ,
ас „
называется отношение -г--,, предыдущий член которого равняется
произведению предыдущих членов «складываемых» отношений,
а последующий — произведению их последующих. В настоящее
время, когда отношение в известной степени сопоставляется
с дробью, ''.сложение» отношений сводится к простому
перемножению выражающих их дробей, так что сложные отношения
теряют своё право на самостоятельное существование. В греческой
математике дело обстояло иначе. Сложное отношение, буквально
«сложенное» (suv-xstjisvcv) из двух отношений, имело большое
значение в теории. Если оба «складываемые» отношения были
одинаковы, то в результате получалось двойное отношение (Si.w.oaiov),
под которым, однако, надо подразумевать не удвоенное, но
возведённое в квадрат первоначальное отношение. Точно так же,
тройным (тр'.тЛалсу) отношением называлось не утроенное пер-
ноначальное отношение, но возведенное в третью степень.
Разгадка этой математической несуразности заключается в том, что
практическое приложение теории отношений имело место в
построении теории музыки. Действительно, мы говорим, что
музыкальный интервал в октаву (2:1) равняется сумме кварты (4:3) и
квинты (3:2); однако для того, чтобы получить октаву, надо не
сложить дроби, выражающие кварту и квинту, по их перемножить:
_! — i. JL
1 ~ 3 ' У"
Пятое предложение даёт в общем виде положение, частным
случаем которого является предложение И.
Пусть даны два числа A = C-D ни = £"■/; -требуетсядоказать,
что
А — £_ Я
В " В ' I '
Согласно предложению 4, находим такие три числа Н, G, Af, **
чтобы имели место соотношения
с_—И Р- — 9_
Е — О " I ^ К'


К КНИГЕ VIII йиУ
Если мы образуем число L — o-E, то но предложению
17 книги VEI можем написать:
D-E=L 1 с
> , откуда _ —
D-C = Ai " Е
Аналогично, из равенств
D-E=L,
1-Е=В
следует:
D I Q
I В ~ К'
Но если
АН I.
то «по равенству* (предложение 14 кии
А Н
В^ К'
Но
// // а с
K~~~Q ' К ~ F.
А Н
l~ a
и
'к'
■и VII)
Л
7 '
чго и доказывает георему. (И, В.)
3, Шестое предложение и схолии Клавия. Пусть дано, что
A:B = B:C = C:D = D\E,
причем В не представляет кратного А\ требуется доказать, что
ни в какой паре взятых чисел последующее не будет кратным
предыдущего.
Это положение является очевидным для каждой пары чисел,
входящих в очно и то же отношение; докажем, чго оно будет
иметь место и для каждой пары чисел, входящих в разные о'тно-
шсни>1, например, для чисел Л и С.
Если С является кратным А, то для трёх чисел А. £, С,
составляющих непрерывную пропорцию, можно подобрать меньшие
числа, находящиеся в "rex же отношениях. Пусть наименьшие
такие числа (предложение 33 книги V[I) оЧдут /. Н, Q:
Если /, И, О являются наименьшими, то, по предложению 3,
крайние /, Q должны быть первыми между собой, причём / не может
быть единицей, тяк как отношение N:'/=B:A не является целым
числом. Применяя предложение 14 книги VII, мы заключаем, что
A:C=I:G,


310 КОММЕНТАРИИ
т. е. С и Л имеют между собой отношение 0:1, не выражающееся
целым числом, что противоречит предположению. (И. В.)
Клавий1) даёт следующие схолии к 6-му предложению Евклида,
которые лучше назвать короллариями:
(1) Если в непрерывной пропорции
a:b = b:c — c;d = d:e
первый член а не будет кратным второго Ь, то и второй Ь не
будет кратным третьего г, а третий с не будет кратным
четвёртого d.
(2) Если второй член & будет кратным первого а, то и третий
член с будет кратным второго &, а четвёртый d кратным
третьего с.
(3) Если в непрерывной пропорции
a:b = b:c=^c:d = d;e
члены с, d, г не будут кратными а, то и второй член Ь не будет
кратным а.
Следуя Клавню, мы докажем только, что если первое
измеряет втор.зе, то а каждое из следующих будет измеряться
первым.
То, что я, Ь, с, d последовательно измеряют друг друга —
очевидно. Действительно, если а измеряет &, а Ь измеряет с, то
и а бучет измерять с. По той же причине и Ь должно измерять d.
Но если а измеряет Ь, то значит, оно будет измерять и d.
Значит, а ншеряет каждое нз &, с, d.
4. Предложения 8—10 и схолни Клавия. Предложения 8—10
образуют замкнутую группу, выделяющуюся из среды остальных
своей терминологией; в то время как в остальных предложениях
для непрерывной пропорции употребляется термин гЩч dvabfcv
(== последовательно пропорциональные), в рассматриваемых,
предложениях числа в этой пропорции называются -хата ib covins;
tbdkyov { — связно или непрерывно пропорциональны)*).
Предложение 8, являющееся внодным к двум следующим,
говорит, что если между двумя числами А и В можно вставить
в непрерывной пропорции несколько чисел (лодра }умевается
обязательно целых), то ровно столько же чисел можно вставить
в непрерывной пропорции н между двумя числами Е, /,
находящимися между собой в том же отношении, что и первоначальные
числа А н В.
Идея доказательства заключается в том, что мы сначала
заменяем заданные, находящиеся в непрерывной пропорции числа
A:C:D:3 наименьшими числами, находящимися в том же отно-
!) Clavius, Opera Mathematica, Mogutitiae, 1612.
*) Употребление того же термина в предложении 25
объясняется тем, что в нем просто цитируется формулировка
предложения 8,


К КНИГЕ V1I1 311
тении H:G:K'.L (предложение 33 книги VII). На основании
предложения 3 мы можем утверждать, что крайние числа Н и L
будут первыми между со5ой. Но если так, ю мы можем
утверждать, что в пропорции
H:L=A:B = E:I
наименьшие числа И, L на основании предложений 20 и 21
книги VII будут делить соответственно Е н /.
Пусть
Е=кН, I = fcL,
где k — некоторое целое число.
Если теперь мы увеличим в k раз числа И, G, A", L, то
получим непрерывную пропорцию
kH:kQ:kK:kl,
крайними членами которой будут как раз паши числа Е~ kti
и l=kL\ между этими числами оказались вставленными в
непрерывной пропорции два числа M=kG я Л'=АД', что к
требовалось доказать.
Предложение 9 утверждает, что если между двумя первыми
между соЗой числами А и В удалось встпвидь в непрерывной
пропорции несколько чисел—допустим два числа С и D—, то
ровно столько же чи:ел можно вставить в непрерывной
пропорции между каждым из этих чисел и единицей.
Идея зюго предложения тесно связана с предложениями
П и 12, которые являются частыми случаями рассматриваемых
предложений 9 н ]0. Два числа, являющиеся первыми между
собой, будут Л3 и В%, между которыми можно вставить два средних
пропорциональных А2В и'АВ2:
А?-:А2В;АВ!\ВК
В таком случае между каждым из чисел А8, В8 и единицей
можно вставить тоже но два средних пропорциональных:
\:А:А^.А\
\:В:Вг:В*.
Доказательство развивается так:
Имеем непрерывную пропорцию
A:C:D:B,
Ищем наименьшие числа, выражающие те же отношения
(предложение 2); пусть это будут / и И.
I:H = A:C=C:D=D:B.


312 КОММЕНТАРИИ
Коли два наименьших, числа в чада ином отношении будут /ни,
то три числа буду?
а четыре числа
Так как крайние из наименьших чисел, выражающих данные
отношения,- будут первыми между собой, *го системы А, С, D, В
и М, N, X, О должны быть тождественными между собой.
Если Е единица, то мы имеем:
/./—О, fl=I-G = M — A,
B-I—I] E./=f.
Из этих равенств вытекает:
I ~ G ' / ~М'
т, е. что имеет место непрерывная пропорция
E:I:G:M (M = A).
значит, между Е н А можно вставить два средних
пропорциональных / и G.
Аналогично из равенств:
Е-Н=Н, Е-Н=Н
получим
Е__ И_ /i_Jr
ТТ~ L * И ~ 0~'
т. е. имеет место и такая непрерывная пропорция:
E:H;L:0 (0 = B).
Десятое предложение является обратным предыдущему:
Если между единицей и числами А, В можно вставить
несколько (например, два) средних пропорциональных, то столько
же средних пропорциональных можно вставить и между самими
А и В.
Если С—1 и между С и А вставлены средние
пропорциональные D, Е, а между С и В вставлены /, Н, то мы имеем
Так как
C:D:E:A: C:l:H\B.


313
то мы имеем:
Е=Г>\ А-.№.
Аналогично,
так что две указанные пропорции будут иметь вид:
C:D:D2(=E):D3( = A),
С:1:Р{---Ну.Р ( = В).
Образуем ряд чисел:
D-/=0, D-0=(D4) — K, fG = (DP) = l.
После этого будем иметь:
D-D = E \ _D _E_
D-I^-G / / " О '
D-I = G \ П_ О E__j£.
i-i=h I / ~ н ' а" н '
D-E=A I
D-0 = K j
D-Q—-K 1
i-g=l |
i-a — L \
г-н=в j
E A
' о - к'
1 п к
i-^т-
H" В '
F. D
a~ i •
D A
I " K'
a d
н i •
D A .
1 '" K'
A A .
~K~" L •
D L
I ~ B'
К
I
L
В
Мы получили непрерывную пропорцию
Таким образом, между А и В вставлено два средних
пропорциональных Д" и L, что и требовалось доказать. (И. В.)
Упомянем без доказательства схолии Клавия (которые можно
назвать короллариями) к предложениям 8—10.
1. Если имеются две непрерывные пропорции, начинающиеся
с единицы, то третьи члены их^ находятся в двойном отношения
вторых, четвёртые члены в тройном отношении и т. д.:
\:а:а2:аЗ;...
\:Ъ:Ь*:ЬЪ\.,.
2. Если между двумя числами н некоторым третьим
находятся числа в непрерывной пропорции, то сколько попадает их
между каждым из них и третьим, столько же попадёт их в
непрерывной пропорции и между двумя первоначально взятыми
числами.


КОММЕНТАРИИ
Это последнее предложение представляет естественное
обобщение десятого предложения восьмой книги Евклида.
5. Среднее пропорциональное. Предложения II н 12
занимают центральное место во всей VIII книге, представляя её
наиболее древнюю часть. В этих предложениях впервые в истории
математики устанавливается понятие о среднем геометрическом.
В то время как среднее арифметическое было хорошо известно
древним вавилонянам, представляя одно из наиболее общих
понятий их математической теории, нужно было ждать греческой
эпохи, чтобы среднее геометрическое заняло подобающее место
в науке. Происхождение этого понятия можно объяснить так.
Мы видели, что целочисленные пропорции играли большую
роль в греческой музыкальной теории, где музыкальные
интервалы выражались отношениями и сложение интервалов
оказывалось равносильным умножению выражающих их отношений; таким
образом, в греческую математическую терминологию вошлн
понятия о двойном и тройном отношении — двукратном и
троекратном повторении взятого интервала. Если теперь мы поставили бы
задачу о делении интервала на две или на три части, то мы
совершенно естественно пришли бы к понятию об одном и двух
средних пропорциональных. Действительно, разделить пополам
интервал -т-, значило бы найти такой интервал -г- , чтобы
(т)'=т.
откуда x = Va. Точно так же, деление интервала па три
равные части равноеи1Ьно было определению х из уравнения
\\) - i ■
Греческие математики установили, что эти уравнения имеют
выражающиеся в целых числах решения, если первоначальный
интервал выражался отношением двух квадратов (при делении на
два) или двух кубов (при делении на три). Соответствующие
решения имели такой вид:
В2~ ЛВ Х В2 '
да" ;Д2ВАЛйа X Вз •
Можно установить приблизительно время, когда были найдены
этн соотношения. Так как Гиппократ Хиосский, живший не
позднее последней четверти V века до н. э., уже знал последнее
соотношение, сведя задачу об удвоении куба к нахождению двух,
средних пропорциональных, то интересующие нас отношения


к книги viu 315
были установлены самое позднее в середине V века, причём
вряд ли могут быть какие-нибудь сомнения относительно среды,
в которой сложились эти представления: это могли быть только
пифагорейские круги западной Греции, в которых была
выработана математическая теория музыки, основой которой служат
VII—IX книги Евклида.
В пргдложеши 11 говорится, что между двумя квадратными
числами можно вставить одно среднее пропорциональное.
Пусть имеются два числа А=Сг, B=D2. Построим число
E = C~-D. Тогда из соотношений
.С-С=А,
получаем:
D~ E '
аналогично, из соотношений
C-D=E,
D.D^B
найдём:
£— -£
D~ В '
Сравнивая эти пропорции, получим:
А__Е_
Е — В '
Таким образом, Е будет средним пропорциональным для
А и В.
Затем нужно доказать, что отношение двух квадратных чисел
равно двойному отношению сторон этих чисел. Собственно говоря,
это следует из более общей теоремы, установленной в
предложении 5; то обстоятельство, что в предложениях II н 12 эти
положения специально доказываются, служит характерным
признаком более позднего происхождения предложения 5. Упомянутое
положение, выражающееся равенством
d? — fdV
является для нас очевидным; для греческих же математиков, не
дававших вполне отчётливой формулировки правилу умножения
дробей, это положение приходилось специально доказывать. Идея
этого доказательства заключается в применении средних
пропорциональных. Мы имеем:
В3^ Е ХДЭ — е Х Е~\Е } '


316 КОММЕНТАРИИ
поскольку же
ТО
В предложении 12 устанавливается аналогичное положение
для кубических чисел, между которыми вставляются два средних
пропорциональных.
Пусть заданные кубические числа будут Л = Са и B=D3.
Строим последовательно числа:
С-С—Е, CD=I, D-D = H,
C-I=C*-D=G, D-I—C-Di=K.
Последовательно получаем:
С'С = Е\
C-D = r I
C-D — I \
С-Е = А \
ci=a)
c-i = a\
D-I-K)
П-!=К\
D-H—Bj
С
и
С
Ъ
Е
Г
с
D
I
Н
Из этих равенств вытекает:
A_G_K
G~~ K~~ В
т. е. между ЛнВ вставлены два средних пропорциональных G и Д".
Что кубические числа находятся в тройном отношении
сторон, доказывается аналогично предложению П-му;
а_а а к_ глу
в~~а^к в \а) '
Но A:0=C:D; значит,
d=fcv
В \D) ■
То обстоятельство, что [реческля теоретическая арифметика
не знала нашего правила умножения дробей, было причиной
того, что пришлось довольно" громоздко доказывать для нас почти
очевидное положение, выражаемое предложением J3,
d!— _dl -d
Е — А-в'~ В'
di-dvd-fdV
_Е,
~ I •
I .
Й'
__А £ = л.
~~ Q' D О'
_0.
-!£■ £-^к
"~ В ' /J "'Я '


К КНИГЕ Vlfl
317
Если А, В, С составляют непрерывную пропорцию, то будут
составлять непрерывную пропорцию и Л3, #3, С3, а также As, В$, С3-
Доказательство заключается в том, что мы последовательно
образуем системы средних пропорциональных.
Пусть А2 = Д В2 = Е, С = /.
Строим чясла
A-B = L, В-С = Х.
Тогда последовательно будем име^ь:
D:L:E = A2:AB;B2,
Е:Х:1=Вг:ВС:СК
Так как оЗщеа отношение в цервой пропорции равно А:В, а
во второй В\С, причём А, В, С составляет непрэрывную
пропорцию
А;В = В:С,
го мы получим .'По равенству);:
D:E=A2:B2, E:f—B2:C\
т. е. что D = A2, E = B2, 1=С2 составляют непрерывную
Пропорцию.
Аналогично доказывается теорема и для к)бов;
лз=д bz—g, о=к.
Образуем систему чисел
A-L— A2-B — M, B-L=A-B* = Nt
В'Х = В2-С — 0, СХ = В-С3~Р.
В таком случае:
M:M:IV:0—AS:A2B:AB2:Bs,
G:0:P:K~BS:B3C;BO:C2.
Отсюда
г. е. Я—A3, G = B3, Д"—С3 образуют непрерывную проиор
иию. {И. В.) i
6. Иррациональность квадратного и кубичного корнай.
Можно сказать, что предложения 14, 15, 16, 17 содержа, в
зародыше то, из чего впоследствии развилась теория
иррациональных корней,
В предложении 14 утверждается, что если киатхп.ие число
делится на квадратное число, то и отношение ко;ше;1 будет то'ко
целым чистом, и обратно.
Пусть А = С2, B = D2 и -г есть целоз чн.'.ло; требуеюя до-
казать, что н -=* будет целым числом.


Ol» КОММЕНТАРИИ
Образуем среднее пропорциональное £=С-Д в таком
случае будем иметь непрерывную пропорцию
А:Е=Е:В,
На основании предложения 7, если А делит В, то оно должно
разделить и Е; значит, -р будет целое число. Но А:Е=С2:СХ.
Q
X,D = C:D', значит, н j= будет целым чистом.
Доказательство обратного предложения не представляет
затруднений.
В предложении 15 утверждается то же самое для случая
кубов.
Пусть А=0, В=йЪ я -7 = целое; доказать, что и -^
будет целым числом.
Строим систему чисел;
С2 = £, C-D = I, D2 = H,
C-I=C2-D^G, D-I=C-D* = K.
В таком случае
E:I=I-M=C:D;
A;G—G:K= K:B = C;D.
Если А делит нацело В, то, по предложению 7, оно разделит и G;
G D ,
значит, -£==.-= будет целым числом, что и требовалось доказать.
Предложения 16 и 17 легко доказываются от противного.
Из них мы легко выведем, что если ,V не есть точный
квадрат (или, соответственно, куб), то квадратный (или кубичный)
корень не может выражаться целым числом,
Действительно, если /У не есть такой квадрат, но является
целым числом, то квадратный корень из него, очевидно, не
может быть целым числом. Пусть он выражается рациональной
дробью — . Мы можем рассматривать а и Ъ как стороны двух
т- о- й3 _.
квадратов. Если -г не есть целое число, то и — не может быть
л, °а
целым числом, что (фотивио предположению, что N^-r^ есть
целое число.
Аналогично доказывается соответствующее предложение и
для случая кубичных корней.
Нужно, однако, заметить, что доказательность этого
рассуждения основывается на том, что предполагается известным пра-


К КНИГЕ VIII
вило умножения дробей -г- Х-т- —ттг; предполагать же это для
греческой теоретической арифметики мы не имеем права. {И. В)
7. Подобные числа. Предложения IS и 19 представляют
естественные обобщения предложений Пи 12,
В приложении 18 утверждается, что между двумя
подобными плоскостными числами можно вставить одно среднее
пропорциональное,
Пусть будут два плоскостных числа A — C-D и В — Е-1.
Поскольку эти числа иотобны, мы будем иметь:
С Е
D~~ I
Составляем число H=D-E.
Имеем:
D-E=HA
DC = AJ
ED = H,\
E-I =£, f
С D
ИЛИ ^ = у- .
с J
Из этнх равенств вытекает
А
Н
С A D
Е~Н' 7 '
D Н
I ~~ В'
Я.
~ В'
А ,
Н
таким образом, между числами А и В вставлено среднее
пропорциональное Н= D-E.
Отношение подобных плоскостных чисел будет:
А__А ^,Н (6.У — (СУ
т. е. оно равно двойному отношению соответственных стЪрон.
В предложении 19 мы имеем дело с подобными телесными
числами, между которьши можно вставить два средних
пропорциональных числа.
Пусть A = C'D'E, B = I>H.G — два подобных телесных
числа; значит, между их сторонами имеют место соотношения
или «перестановкой»,
C_D_E
Выделяем из А, В числа
C-D=K, I-H=L.


320 комментарии
Вышестоящие равенства показывают, что Л" и £ суть подобные
плоскостные числа, между которыми, согласно предыдущему
предложению, существует среднее пропорциональное число
Поскольку М есть среднее пропорциональное между К и L,
;имеем:
М L '
'С другой стороны, из равенств
D-C—K,
D-/=.M
;вытекает
С = К_
1 М'
Таким образом,
М L ~ 1 ' 'tf-'G'
Докажем, что два средних пропорциональных 4nria между А и В
будут:
ЛГ=£.Л1=£.0-/,
X=G-M=a-D-I.
Действительно, мы будем иметь последовательно;
Е-К=АЛ
e-m=nJ
E-M=N, \
а-м=х,)
а-м=хл
g-l=bj
Используя вышенаписанньте пропорции, будем иметь:
A __N X
N~X~" В'
Таким образом, N и X будут действительно два средних
пропорциональных числа между А и В.
Отношение А:В будет:
Л_(Ау_/Е\г_ ?£\2__(0\*
b-{n) -[a] -[/) ~[н) ■
m~n " г~а
Е N_,
а"": х ■
L "Б~/ " ' '


К КНИГЕ V111 321
Предложение 20 является обратным но отношению ;с 18-му:
между двумя числами Л и В существует среднее
пропорциональное число С\
А:С = С\В\
требуется доказать, что А к В будут два подобных плоскостных
числа.
Для отношений А.С и С:В найдём два наименьших числа
D, Г: (предложение 33 книги VII) так, чтобы было:
С~~В~'Ё '
Если D и Е —наименьшие числа, то, согласно предложению 20
книги VII, они должны делить нацело соответствующие члены
каждого из отношений.
Пусть
D ~ £ — 7' D~ Ё~Н •
В таком случае
A = D-F, B — E-H,
т. е, А и В суть два плоскостных числа.
Докажем теперь, что они подобны.
Мы будем иметь последовательно:
/■ D—A, \ D_A
J. E = C, J E~C '
Е- !=С, \ 1__С
Е-И=В, ) Н'~ В '
Поскольку А:С=С'.В, то, значит,
D I D Е
Ё~Н илй /=//'
а это значит, что числа А а В являются подобными.
В предложении 21 доказывается аналогичная теорема для
случая двух средних пропорциональных.
Пусть для чисел А я В существуют два средних
пропорциональных С и D:
A_C_D
C~~~D~~B'
требуется доказать, что А и В являются подобными телесными
числами.
Найдём три наименьших числа Е:1:И, находящихся в тех
же отношениях А:С:D и C;D\B (предложение 2); согласно
предложению 3 числа £ и Я будут первыми между собой.
21 Евклид


Щ КОММЕНТАРИИ
Поскольку между Е и И существует среднее пропорциональное
число /, то, согласно только что доказанному предложению, Е
н Н будут два подобных плоскостных числа. Положим |
Е—а-к, h=l-m, j
L М-
Если / есть среднее пропорциональное между Е и И, то
существуют равенства
I H~L~M-
Так как наименьшие числа в данных отношениях делят
соответственные члены остальных соотношений, то мы будем
иметь: Ш
A:D = E:H, С:В = Е:Н, I
Е Н~"' Е~Н~Л' )
где N, К—два целых числа. ,
В таком случае ' ' t
A = N-E=NO-K, • 1
B = X-H=XL-M. i
•1
Таким образом, Л и В— два телесных числа.
Докажем, что они будут подобными. Мы имеем:
N-E = A, \ N_A
Х-Е=С, ) Х~С ■ .
Но I
^ —Е ■ 1
С'1 \
i
(так как Е, I, И — наименьшие числа, представляющие отношения !
A:C:D).
Так как
Е
7~
N
Х~
О
а
к
м
К
м
таким образом, A — N-G-K^ B = X-L*M являются двумя
подобными телесными числами. (И. В.)


К КНИГЕ Vlll 323
8. Квадраты и кубы. Последние шесть предложений VHI книги
посвящены разбору частных случаев плоскостных чисел, а именно
квадратов и кубов; доказательства их настолько несложны, что
не требуют никаких особенных пояснений.
Клавий2) пополняет Евклида следующими предложениями:
1°. Два числа, имеющих отношение квадрата к квадрату,
являются подобными плоскостными.
2°. Два числа, имеющих отношение куба к кубу, являются
подобными телесными.
Мы, следуя за К.чавием, докажем только первое,
Пусть дна числа А и В относятся друг к другу как квадрат
С к квадрату D.
Вместо евклидоаского чертежа Клавий пользуется табличкой
А-8 Д.18
С-16 D-36
Докажем, что А и В будут подобными плоскостными числами.
Между квадратными числами С и D можно вставить одно
среднее пропорциональное (предложение 11); значит, и между
А и В попадёт одно среднее пропорциональное (предложение 8);
следовательно, А я В будут плоскостными подобными числами
(предложение 20).
'■) Clavius, Opera Mathematics, Mogimtiae, 1612.
I
21»


КОММЕНТАРИЙ К КНИГЕ [X
1. Свойства квадратных и кубических чисел. В
предложении 1 доказывается, что произведение двух подобных
плоскостных чисел будет квадратом, т. е. есди А=-а-Ъ, B^={ka)-(kb), то
G = АВ = №а?ЬК
Так как Евклид не пользуется разложением па множители, то
его доказательство имеет несколько более сложный вид.
Из пропорции
A:B = A2:AB ( = D:C)
и предложения 18 книги VIII, что между двумя подобными
числами всегда существует одно среднее пропорциональное, он
выводит, что между А2 и Ав ecib одно среднее
пропорциональное (предложение 8 книги VIII), а так как А2 есть квадрат, то
на основании предложения 22 книги VIII и АВ должно быть
квадратом.
В предложении 2 доказывается обратная теорема. Так как
А:В = А*:АВ { = D:C)
и АВ есть квадрат, то между А2 н АВ (предложение 18 книги
VIII), а значит, и между А я В (предложение 8 книги VIII),
существует одно среднее пропорциональное, но тогда па
основании предложения 20 книги VIII А и в будут подобными
плоскостными числами.
Следующие четыре предложения относятся к кубам.
Предложение 3. Квадрат куба есть куб.
Если Л— я3, то н А2 = о6 — (а2)3 будет кубом.
Евклид доказывает теорему методом средних
пропорциональных. Составив пропорцию
1:л = д:ва = л*:лЗ (3 :С = С:0~0:А),
он видит, что между I и д3=Л будут два средних
пропорциональных. По предложению 8 книги VIII столько же их будет
и между А и Л3;
аЗ-.д* = д4;я5 —а5:ае.


к книге ix 325
Если же между д3 и а* будет два средних пропорциональных
и а3 = Л есть куб, то должно быть кубом и Аг=В.
Предложение 4. Произведение двух кубов есть куб: если
A — as, B — b\
то
C=AB = (ab)Z.
Мы имеем, что
D — А2 = а%аь — (я2)3 (предложение 3)
и
D:C= Ai:AB=[as)S:aW= А:В.
Так кап между двумя кубами Ли В можно вставить два средних
пропорциональных числа, то на основании предложения 8 книги
VIII между Л- и АВ тоже попадут два средних
пропорциональных; а так как А1 есть куб, то" па основании предложения 23
книги VIII будет кубом и АВ.
Предложение 5 выражает теорему, обратную предыдущей:
если А~аЗ и ЛВ—С—кубы, то и В будет кубом.
Мы имеем:
D:C=A2:AB = A:B.
Поскольку А2 и Ли —кубы, между ними можно вставить два
средних пропорциональных; значит, между Лий тоже будут
два средних пропорциональных, а так как Л — куб, то и В должно
быть кубом.
Предложение 6 представляет теорему, обратную
предложению 3: если квадрат числа есть куб, то и само число будет
кубом: если Л2=й=я'![ то и само Л есть куб.
Мы имеем:
А^~В: АВ = С = А*\
затем,
\:А = А:А\
1:А = А2:А*,
т. е.
1:Л=Л:Л3 = Л3:ЛЗ,
Так как' А2~В и А^=С суть кубы, то между ними будут
два средних пропорциональных; на основании предложения 8
книги VIII будут два средних пропорциональных и между Л
и В= Аг\ поскольку же В есть куб, то и Л должно быть
кубом.
Последнее можно доказать, или обобщая предложение 23
книги VIII, или при помощи предложения 21 книги VIII.
Действительно, поскольку между Л ий = Л2 можно вставить
два средних пропорциональных числа, то они на основании
предложения 21 книги VIII будут подобными телесными числами;
а так как В есть куб, то должно быть кубом и Л. {И. В.)


326 комментарии
2. Схолии Клавия. У Евклида почему-то нет теорем о
квадратах, отвечающих предложениям 3, 4, выражаемым
символически так:
a$-№ = {ab)i.
Клавий1) делает в своих схолиях дополнения, которые
восстанавливают нарушенную этими дефектами гармонию системы
«Начал'''''.
К предложению 3:
I. Если два квадратных числа перемножаются, то
произведение — квадрат.
И. Если два числа, перемножаясъ, производят не квадрат
и odni из них квадрат, то другое не квадрат.
III. Квадрат и не квадрат, перемножаясь, дают не квад'
рат.
Приводим доказательство только последней схолий.
«Число А квадрат, В не квадрат, произведение их С.
Я утверждаю, что С не квадрат,
В самом делэ, пусть С квадрат. Перемножаются А и В, и А
квадрат, тогда В квадрат. А это против предположения^.
К предложению 4:
I. Куб, умножая не куб, производит не куб.
II. Если куб, умножая, некоторое число, производит
некоторое число, то число это не куб.
3. Геометрическая прогрессия последовательных степеней.
Шесть предложений 8—13 образуют единое целое и разбирают
свойства непрерывной пропорции, как говорили греки (или
геометрической прогрессии, как сказали бы мы), первый член
которой равняется единице.
Пр дложение 8 устанавливает структуру рассматриваемого
ряда: мы бы сказали, что он представляет ряд последовательных
степеней знаменатели прогрессии, равного второму её члену;1
греки же, для которых конкретно представимыми были лишь
квадраты и кубы, выражают то же саяое, но только через
термины квадратов и кубов. Если избавиться от этой терминологии,
то идея доказательства Евклида выступит очень выпукло: в ряду
1, a, ast a\ ail а5, а6, ...
будут квадратами а2, й4, а» и все остальные через одно; кубами
же дЗ, дб н все остальные через два; кубами же и квадратами
вместе будут а6, а13 и все остальные через пять.
В предложении 9 доказывается, что если следующее за
единицей1 число будет квадратом или кубом, то и все остальные будут
соответственно квадратами или кубами. Доказательство
основывается на свойствах непрерывной пропорции.
!) С la vl us, Opera math., Moguntiae, 1612.


К КНИГЕ IX
Действительно, если в ряду
1, д, а\ аз, о* . -.
число а будет квадратом, а а3] а4,... будут квадратами,
согласно доказанному в предложении 8, то в непрерывной
пропорции а\а2 = а2:с& первыми второй члены — квадраты, а значит
(предложение 22 книги VIII), и последний член as тоже будет
квадратом. Из пропорции а?:а4 = а*:аъ докажем то же для я5
и т. д.
Если теперь а будет кубом, то а2 есть куб, как квадрат
куба (предложение 3), а а3— по только что доказанной теореме
(предложение 8). Тогда в непрерывной пропорции
а:а2=:а2:а$~ а3 = а3:д4,
где а есть куб, и последний член а4 тоже будет кубом, согласно
предложению 23 книги VIII. Затем из непрерывной пропорции
а3:д3:д4:д5
докажем, что и а° будет кубом и точно так же все остальные.
Конечно, при пашем способе обозначения степеней оба эти
результата являются очевидными.
Предложение 10 является противоположным предыдущему:
если а не будет квадратом или кубом, то и никакое другое
в ряду
1, a, a3, as, а4, а"\ л6,
кроме, конечно, а3, а4, ... или, соответственно, а\ aG, ...
Доказательство идёт от противного.
Если а3 будет квадратом, то из пропорции
а;д2 = а3:а3
получается, что а и а3 относятся, как два квадратных числа а-
и дЗ; поскольку же а- есть квадрат, то должно быть квадратом
и д, что противно предположению.
Точно так же, если а* есть куб, то из пропорции
а2:а3 = аЗ:д4
получается, что а2 должно быть кубом. На основании же
предложения 6 тогда и а должно быть кубом, что противно
предположению.
Последние три предложения (11—13) этой группы касаются
делимости членов степенного ряда.
Предложение 11 выражает, что каждый больший член
степенного ряда делится на меньший, причём частное будет1 тоже
заключаться в ряду.


Э*» КОММЕНТАРИИ
Это положение —для нас очевидное —Евклид доказывает
сначала для четырёх чисел Л(=1), В, С, D, Е. По свойствам
непрерывной пропорции
А:В = П\Е,
откуда перестановкой
A:D = B;E,
а так как А=1, то
Нетрудно обобщить теорему и на большее количество чисел,
что Евклид делает без доказательства в следствии. Это положе-
ние будет очевидным, если цапислть непрерывную пропорцию
в виде
A:X:X-B:X:C:X:X:D,
где крестиками обозначены ненужные нам члены ряда. По
свойству непрерывной пропорции получаем
A:B-C:D,
после чего неё доказательство развёртывается совершенно так
же, как и выше.
Это предложение играет роль вводного для двух следующих,
интересных тем, что в тексте их доказательств, впервые в
арифметических книгах, появляются чисто геометрические термины
'.> Сгл в, Н*) = <произведет1е, образуемое^ fct, Н
(предложение 13), 6 airo tg-j A Tirpaycovcv^r квадрат на А (предложение 12)
пли просто и это -сои А.
Предложение 12 виражает, что всякое первое число Е,
измеряющее последнее число ряда, обязательно будет измерять
и то число, которое в ряду непосредственно следует за
единицей.
Идея евклидовского доказательства, выраженного несколько
многословно, заключается в следующем.
Пусть дан ряд
К А, А\ А\ А*
и пусть Е — некоторое первое число, измеряющее D = A4,
Требуется доказать, что оно будет измерять н А.
Предположим, что это не так; тогда Е будет первым с А
числом. Если теперь Е измеряет А1, то мы имеем:
0~А} = Е.Г,
*) Правильнее было бы о йхо -Uv в, Н.


к книге ix 329
с другой стороны, согласно предложению II,
Лв.Л = £./.
Равенство этих произведений равносильно пропорции
А " / ■
Поскольку же £ и Л суть первые между собой, то они, согласно
предложениям 20 н 21 книги VII, должны делить числа,
находящиеся в одном с рим отношении; значпт, Е должно разделить
С — А\
Повторяя с Л3 аналогичные рассуждения, докажем
последовательно, что Е должно разделить и А2, а затем и Л, что
противоречит сделанному предположению, что Л п Е суть первые
между собой числа. Если же А и Е не будут первыми между
собой", то Е, «онкольicy оно первое число, обязательно должно
разделить Л, и теорема доказана.
Такое же постепенное понижение степени употребляется
и в сходном доказательстве предложения 13, гласящего, чго
если в степенном ряду следующее за единицей число является
первым, то последнее число может делиться только на числа
рассматриваемого степенного ряда.
Доказатетьство опять идёт or противного. Предположим, чго
в ряду
1, Л, Л-', АК Л *
последнее число Л4 делится на какое-то число Б, не явчяющее^я
степенью первого числа Л. Тогда число Е не может быть
простым (ибо по предложению 12 оно должно тогда разделить Л)
и не может иметь никаких первых делителей, отличных от Л,
ибо тогда э-[И первые делители должны были бы разделить Л;
значит, Е представляет некоторую степень Л. Для нас теорема
по существу уже доказана; чля греков же, не знавших других
степеней, кроме квадрата и куба, oh<i ещё не является в полной
мере доказанной.
Если Е содержит множитель, отличный от Л, то частное
-^-=/ не может быть1 ]ih одним из членов ряда Л, А1, А%, ибо
с
тогда по предложению 11 и Е должно было быть его членом.
Из равенств
Е-1 = №, А.А* = А*
заключаем, что
d. — L
Е A3"


330 КОММЕНТЛГНИ
Мы видим, что частное l = -w должно делить предпоследний член
ряда ДЗ. Таким образом, от последнего члена Ai мы перешли
к предпоследнему А%\ теперь мы должны исследовать его
делимость на множитель /, не принадлежащий к числу членов ряда.
Л3
Обозначив частное ~ = Н, мы аналогично докажем, что Н
не входит в число членов ряда и. кроме того, должно делить Аг.
А2
Точно так же и частное jt—G не должно входить в ряд
и одновременно должно делить А, что невозможно. Значит, G
будет входить в наш ряд; поскольку оно делит простое число А,
то оно должно быть равно или А, или единице (последнюю
возможность Евклид, естественно не рассматривает). Но если G = A,
то и Н—А, затем i—A2 и Е=А\ Если же G=l, то Н=А2,
[=А и Е=АК Таким образом, Е во вс.ех случаях должно
входить в наш ряд. {И. В.)
4. Принцип полной математической индукции3). Некоторые
математики М), например Вакка5), видят в евклидовом
доказательстве предложения У книги IX гораздо больше, чем в нём
заключается, а именно в словах «подобным же образом докажем,
что и все остальные будут квадратами*.
Я не вижу здесь чего-либо более простого заключения по
аналогии.
Сам же принцип полной математической индукции является
совершенно чуждым духу античной мысли.
Здесь можно только сказать, что во всей общности теорема
Евклида может быть доказана строго только с применением
принципа полной математической индукции: если положение
верно для л—1 «, будучи верно для п, верно и для я-[-1р то
оно верно для всех значений я—1,2,3,...
То же самое следует сказать и о многих других
предложениях арифметических книг.
Можно ещё согласиться, что таким принципом (без
определённого его выявления как общего принципа) пользуется Мавро-
лик. Так, равенство
1+3-^5-г-...-{-(2а+1) = (я + 1)э (1)
2) Enrique s, GH Elementi d'Enclide e la critica antica e
raoderna, Bologna, 1925—1932.
3j Francisco Mamolico, Arithmeticae libri duo, 1557.
*) Jacob Bernoulli, Ars Conjectandi, 1713 (Opera 1, стр.
252—283).
5) Vacca, Sur le principe d'lnduction mathematiqiie (Reme
de Metaphysiq'ue, 1911, стр. 30); его же, Mauroiycus the first
discoverer of the principle of the mathematical induction (Bull, of the
Americ. Math. Soc., XVI, стр. 70—73).


К КНИГЕ IX 331
при всяком значении целого числа а им доказывается, исходя из
1+34- 5+■■■ + (2я — 1) = аэ (2)
прибавлением к обеим частям 1а +1; поскольку
й3 4(2д+1)^(а + 1)э,
то получается тождество (1).
Но манера выражаться отличается от евклидовской тем, что
в конце выступает бесконечность-.
-..Так как, по предложению 3, единица со следующим
нечётным даёт квадрат, т. е. 4.
А второй квадрат с третьим нечётным, 5, даёт третий
квадрат, т. е. 9.
А третий квадрат, 9, с четвёртым нечётным, 7, даёт
четвёртый квадрат, т. е. 16. И так постоянно до бесконечности,
доказывается, повторяя предложение 13».
Как общий метод полная математическая индукция выступает
только у Паскаля6) и Бернулли.
Следует отметить, что приравнивание принципа полной
математической индукиин определению целых чисел совершенно
затушёвывает его истинное значение как логического постулата.
Это вовсе не свойство конечных целых чисел, а постулат,
которым мы должны восполнить систему логических постулатов,
чтобы быть в состоянии относительно чисел доказывать то, чего
мы не можем доказать аристотелевской логикой. Обоснованность
такого рода выводов, сводимая к заключению из бесконечного
ряда силлогизмов, могла быть признана только тогда, когда
математическая мысль вполне свыклась с бесконечными
операциями \\ когда были установлены постулаты, определяющие
получение с помощью этих операций требуемых результатов.
Это, конечно, не математическая аксиома, относящаяся
к свойствам чисел или пространства; даже если рассматривать сё
как логическую аксиому, она коренным образом отличается от
так называемых логических законов: тождества, противоречия
и исключённого третьего.
Это положение того же рода, что аксиома силлогизмов,
утверждающая истинность заключения при истинности посылок.
Если верны посылки и и у, то будет верным и выводящееся из
них заключение w; таким образом, w обладает такой же степенью
достоверности, как и и у.
Отсюда вытекает положение более общего характера,
которое тоже признаётся за очевидное. Если из ии иъ ..., ип
конечным числом силлогизмов выводится w, то при истинности
«1, «3,..., пп истинно также и w.
6) В. Pascal, Oeuvres, t. Ill, Paris, 1908.


332 КОММЕНТАРИИ
Эта аксиома не включается в систему основных постулатов,
а стоит совершенно особняком, санкционируя правила
формальной логики, на основании которых совершаются выводы.
Античными мыслителями признавались только тс выводы,
которые в действительности произведены, в которых
прослеживаются все посылки и заключения.
В полной математической индукции узаконяются выводы
через бесконечный ряд силлогизмов.
Входящие в этот процесс силлогизмы не осуществляются
в действительности, ибо нельзя произвести бесконечное число
силлогизмов, но утверждается, что если и и w можно связать
бесконечным рядом силлогизмов щ, «_>,..., ип, .,., закон
образования которых можно ясно уразуметь, то при истинности и
следует признать и истинность да.
При этом в положении: «если и истинно и существуют
силлогизмы щ, и2, ..., ип, связующие и с w, то да истинное, само
понятие «существовать^ подвергается эволюции.
В глазах античного математика существование не присуще
актуальной бесконечности, противоречивость которой доказывает
её небытие.
Поэтому такая аксиома при бесконечном п не только не
была бы признана очевидной, но, более того, — была бы признана
совсем не имеющей смысла, ибо относилась бы к тому, что
невозможно.
Аристотель вполне определённо говорит, что в
положительных доказательствах не может быть бесконечного ряда ни при
восхождении к высшему, ни при нисхождении к низшему
понятию; предполагая; бесконечность пути доказательств, мы
отвергаем самую возможность этого доказательства.
5. Псаммит Архимеда") и классификация больших чисел.
Геометрическая прогрессия, исследуемая Евклидом, лежит
в основе сочинения Архимеда «Псаммит» (т. е, счёт песчинок),
в котором устанавливается классификация возрастающего ряда
натуральных чисел.
Эта классификация оказывается нужной Архимеду rip и
исчислении песчинок, заключающихся в сфере неподвижных звёзд.
Для нас имеет значение не этот результат, а доказательство
возможности математического ответа на' поставленную
Архимедом задачу о счёте песчинок.
До Архимеда имелись словесные выражения для чисел
первого десятка, для десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, при
помощи которых греческие математики доходили до десятков
миллионов.
">) Архимед, Псаммит, пер. Ф. Петрушевского (1824) или
Г. Н. Попова (М.—Л., 1932). —Montucla, Histoire des mathe-
matiques. — A. G. К a s t n e r, Geschichte der Mathematik, GSttin-
gen, I, 1796 (II, 1797; HI, 1799; IV, 1800).


К КНИГЕ IX 666
Эги числа Архимедом называются так:
jievdSs: — единицы,
Sixa jiovaSs: (Ssydesc)—десятки,
газтоу (xovctSiC (exsTovrdSs-;) — сотни,
ylhon |j.0vd8E" (jfiAiaSs;)—тысячи,
jiupiaoE": — десятки тысяч или мириады,
Шл jiopidSsc ■—десятки мириад,
hazov y.o!iw$sr. — сотни мириад (у нас—миллионы),
^ikaL |iupLci£s5 — тысячи мириад (=10').
Но Архимед поднимается выше, образуя геометрическую
прогрессию (по Евклиду— непрерывную пропорцию)
1, 101, 102j 108i jo*, Ю5, К)», ют, \т, ...
Числа 1,..., Ю7 образуют первую октаду и называются
первыми.
Чиста 10s Ю15 образуют вторую октаду; это—вторые
числа.
10s-3, ..., 1023 — третья октада, третьи числа; Ю8'3, ..., 10зг —
четвёртая октада, четвёртые числа.
Такие октады Архимед продолжает до 10S™, где « —
последнее число, равное мириаде мириад, т. е. 10й. Все числа от 1 до
108.Ю8 оц относит к первому периоду и строит члены второго
периода, пользуясь опять геометрической прогрессией:
108-ш8, юв.'юМ, . ,., 108-ю8+7 — 1-я октада или первые числа
2-го периода,
10^'юв+8, ... , юз.1[)8+1й_-2-я октада или вторые числа 2-го
периода.
Начальные числа этих прогрессий он называет единицами
соответствующего периода.
Единица 3-го периода: io^-s-hj8;
единица 4-го периода: Ю'1'8'108;
единица 5-го периода: Ю4*8*108 и т. д.
Вообще единица (л-f-l)-1"0 периода: J0"'S-I|)S.
Границей для п является опять 10 и последней единицей
у Архимеда является единица (ю3-(-1)-го периода
10ios-s-io8.
Здесь Архимед останавливается.
Конечный результат Архимеда состоит в той, что число
песчинок, заключённых в сфере неподвижных звёзд, меньше
тысячи мириад восьмых чисел, т. е. в современном
обозначении 10»
6. Современная классификация больших чисел. В
настоящее время при классификации чисел мы пользуемся прогрессией
со знаменателем 10. Первой гексадой (а не октадой) являются
числа 1 — 10е от единицы до миллиона, второй —числа 106—101а
от миллиона до биллиона, третьей— числа 101Э —Ю18 от биллиона
до триллиона н т. д.


334 КОММЕНТАРИИ
Таким образом, получаются числа;
103-е ~ триллион,
10i,e ^квадрильон,
103*6 := квинтильон (пентальон),
Ю6-(! = секстильон (гексальон)
]qt-(J — септильон (гептальон),
108'G = октальон,
1Q9-6 — НОЦИЛЬОН,
10Ю. е — децнльоп (декальон).
Следует заметить, чго раньше классификация была только
с помощью прогрессии со знаменателем 103, причём словесное
выражение составлялось только из единиц, десятков, сотен и
тысяч.
Число 86789325178, которое писалось в форме
86 789 325 178,
Адам Ризэ 8) читает так:
Восемьдесят" шесть тысяч тысяч раз тысяча, семьсот
восемьдесят девять тысяч раз тысяча, триста двадцать пять тысяч, сто
семьдесят восемь,
Аналогичным образом читает и Штиффель 9).
Слово миллипн изобретено итальянцами "№) в XIY в, для обол-
начеция «большой тысячи-;, т. е. 10002, и встречается впервые
у Шюкэ для словесного обозначения 10!3, 101S и т. д. В печати
слово миллион появляется впервые у Делароша (1520)п) во
Франции, в Германии же—только в конце XVII в.
В XVII в. во Франции деление производится по три цифры
в каждом периоде, так что 10" (а не 1013) оказывается биллионом,
Шг триллионом, 1015 квадрильоном, и этот принцип
классификации остаётся в силе но настоящее время не только во Франции,
но и в Соединённых Штатах, в то время как старый принцип
употребляется в Германии. Англии и России.
7, Арифметическая н гармоническая пропорции. Никомах
пополняет евклидову непрерывную пропорцию арифметической:
а — Ьт^Ъ — с— с — d= . . .
8) A. Rie^e, Reclinung auf der litiien mid federn, Erfurt,
1522,
9) M. Stiff el, Arithmetica integra, Нюрнберг, 1544.
10) L. Pacioli, Smnma de Arithmetica Geometria Pr.oporti-
oni et Proportionality, Venitiis, 1494.
") De la Roche, LarismeHque, Lyon, 1520, 1538.


к книге ix 335,
н также гармонической;
a:b — (a~b):{b~c).
В пифагорейском мировоззрении, видевшем сущность вещей
в числах, последней пропорции придавалось особенно много
значения. Её" находили в музыке: а. Ь, с являлись длинами струн,
отвечающих тонам do, mi, sol, образующим гармонический
аккорд (откуда происходит и само название).
Ее' старались уловить при изучении правильных (Платоновых)
тел, а именно отметили, что в кубе числа 12 ре'бер, 8 вершин и
6 граней образуют как раз гармоническую пропорцию. Согласно
Никомаху^2) Филолай вследствие этого свойства называл куб
геометрической гарлсонизй.
Никомах отмечает интересную теорему, связующую между
собой эти три пропорции. Если взять четыре числа так, что
первые два образуют с третьим арифметическую пропорцию, а
с четвёртым гармоническую, т. е. образуют ряд
. а-уь 2аЬ
то все четыре числа образуют геометрическую пропорцию, так
как нетрудно убедиться, что
. aA-b lab
В дальнейшем тот же Никомах пополняет три основные
пропорции ещё" другими, так что всего их оказывается десять:
4) я:с= {Ь — с):{а -
5) b:e={b— су.{а-
6) а:Ь — (Ь~с):(а-
7) а:с—{а — с)-.(Ь-
8) a:cz=[a — с):(а-
9) Ь:с = (а~ <:):(»-
10) Ь:с — {а — с):(а-
-»)
-Ь)
-Ь)
-<■)
-*)
-п
-6)
(6, 5, 3)
(5, 4. 2)
(6, 4, 1)
(9, 8, 6)
Р, 7, 6)
(7, 6, 4)
(8, 5, S)
Несколько слов о терминологии. Греческое слово avabyfa
(пропорция) употребляется, как правило, для обычной
геометрической пропорции, а jucoftf: (что следовало бы перевести;
посредственность)—для непрерывной (в том числе и обобщённой)
пропорции.
1г) N i с о m а с h [I s Gerasenus, Introdnctionis Aritlpnetlcae
libri II, ed, Hoc he, Llpsiae, 1866 (]реч. текст). Англ. перевод: N1-
comachus of Gerasa, Introduction to Arithmetic transl by
M. L. tfOoge, New-York, 1926,


336
КОММЕНТАРИИ
Ямблих1^) определённо говорит, что древние называли
пропорцией (avri.cfw) только геометрическую, позднейшие же и все
остальные.
8. Обобщенке прогрессии. У Евклида имеются следующие
ряды чисел, возрастающих по определённым законам: целых чисел
1, 2, 3, 4, 5, . . .,
квадратов
I3, 22, З2, 42, 52, ...,
кубов
I3, 23, 33, 43, 53, ...
Затем идёт непрерывная пропорция
1 \а = a:b = b:c= ...,
дающая геометрическую прогрессию
1, а, а2, а3, ,,.
В античное время к этим рядам прибавлял» ещё
арифметическую прогрессию
a, a-\-d, a-\-2d, a + 3rf, ...
Дальнейшим обобщением являются ряды, указываемые
Карданом 14).
К рятам рав/ю-возрастающим, каковыми являлись
арифметическая и геометрическая прогрессии, он прибавляет ещё
конформно-возрастающие (conforme augens), т. е. такие, у которых
для арифметической прогрессии разность, для геометрической
знаменатель имеют два чередующихся значения.
Таков ряд: 1, 2, 6, 12, 36, 72 в случае геометрической нро-
рессии, его общая форма будет:
а, ад, aqr, aq2r, aq2r2, ...
В случае же арифметической прогрессии имеем:
a, я-М. a + d + e, u-f 2(/+г, a-\-2d-\-2e, а-\-Ъй-^2е, ...
Затем идут равномерно-возрастающая прогрессия (aequali-
ter augens) такая, в которой разности или знаменатели
возрастают, как арифметическая прогрессия.
Для геометрической имеем форму
a, aq, aq(q+l), aq [q-]- 1) [q + 2). ...;
13) I а ш Ы i с li i inNicomachi Geraseui arithmetical!] introduc-
tionem liber, ed. Pistelli, Leipzig, 1894. — В о е t h iu s, De insti-
tutione arittnnetica libri II, ed. Friedlein, Leipzig, 1867.
H) Card anus, De numerorum proprietatibus, гл. 26.


К КНИГЕ IX 337
для арифметической форму
Д[ a-\-d, a + rf-f-2d, a-±-d-\-2d±Mt ...
9. Теория простых чисел. Семь предложений 14 — 20
относится к теории простых чисел.
Первое из них равносильно фундаментальной теореме этой
теории о единственности разложения составного числа iu простые
множители; интересно, что Евклид доказывает его лишь для
случая, когда эти простые множители входят лишь в первых
степенях— настолько далека от греческого ума была идея о
разложении числа на простые множители. Проще всего, пожалуй, это
можно объяснить тем, что в евклидовской классификации
составных чисел на плоскостные и телесные не было места для чисел
состоящих более чем из трёх множителей; недаром при
доказательстве предложения 14 Евклид берёт число А, равное
произведению лишь трёх сомножителей В, С, D.
Предложение 15 говорит, что из трёх наименьших чисел,
составляющих непрерывную пропорцию, сумма двух любых
будет первой с третьим.
Если эти три числа будут наименьшими, то, согласно
следствию предложения 2 книги VI11, их можно представить в виде
а3, «Р, р,
где а и р суть первые между собой числа (у Евклида DE и El).
Теорема распадается на две: нужно доказать, что а2-[-ар будет
первым ери затем, что *г-\-}2 будет первым с я-}.
Первая часть доказывается так: если я есть первое с }, то
н а-|-р будет первым с } (предложение 28 книги VII), и a(a-j-ji)
будет первым с Is (предложение 24 книги VII), а значит, и с Р
(предложение 25 книги VII). Но i (z-\-$) = а*-\-<t$
(предложение 3 книги Ц), и теорема доказана.
Вторая часть доказывается так: если «-{-? будет первым с a
и [1, то и (a-f-p)2 будет первым с а). Но (a-j-p)3 —а2 + Р + 2,:?
(предложение 4 книги 11); дважды отнимая от этого равенства
по «3, получим, что н остаток аа_|_р будет первым с сф.
Б доказательстве этой теоремы важно отметить два пункта:
1°. Ссылка на предложения 3, 4 второй книги.
2°. Употребление для вычитания термина 3u)/iv:t, который
в V книге обозначает вторую производную пропорцию. Так как
в дальнейшем SieAcvri употребляется только для обозначения
производной пропорции, то предложение 15, а также н
предложение 4 второй книги принадлежат к числу сравнительно ранних;
весьма вероятно, что они сложились ещё' до Евдокса, материал
которого Евклид использовал в своей V книге.
Предложения 16 и 17 являются леммами к двум задачам,
решающимся в предложениях 18 и 19.
22 Ежклид


338 комментарии
Первое из них читается так: если А и В — два взаимно
простых числа, то не существует такого числа С, чтобы имела место
пропорция
Л:В = В:С.
Второе гласит: если А и D — взаимно простые члены
непрерывной пропорции A:B:C:D, то не существует числа Е,
удовлетворяющего пропорции
A:B — D:E.
Метод доказательства обоих предложений совершенно
одинаковый; ограничимся доказательством второго предложения.
Из пропорции А: В = D:E следует:
А _В
D~~ Е-
Но Л и О суть первые между собой; тогда, по предложениям
20, 21 кннги VII, А должно делить В, a D делить Е. Но если
А делит В, то, по свойству непрерывной пропорции, оно разделит
и D (отметим, между прочим, что Евклид в предложении 12
доказывает лишь положение, обратное требуемому, считая,
вероятно, прямое положение очевидным), что невозможно.
Интересно, что Евклид формулирует конец доказательства
несколько иначе, чем сделали бы мы; он говорит, что «А
измеряет Л, О, являющиеся первыми м:ежду собой; это же
невозможно». Очевидно, что понятие чисел «первых между собой»
было более ранним, чем понятие «первых вообще» чисел.
В предложении 18 решается задача о нахождении третьей
пропорциональной С к двум А и В, удовлетворяющей пропорции
А:В^В:С.
Задача оказывается возможной, если : -..:>.. <_
Н* ■ ■ , г -
~Х — целому. ■ i ,- : < ; , :
Это целое и будет искомой третьей пропорционалыюЙ, как легко
видеть из ряда
ъ (ьу
а \а)
Не следует смешивать третью пропорциональную со средней
пропорционалыюЙ, удовлетворяющей пропорции
А:С=С:В,
откуда . .
"' ' c—Va-b. ■■ ■ \ - и


К КНИГЕ IS
339
Предложение 19 представляет интерес в том отношении,
что, повицимому, в его доказательстве Евкллд долустил ошибку.
В этом предложении ставится задача об исследовании
возможности нахождения для А, В, С четвёртого пропорционального. Так
как эта пропорциональная должна удовлетворять уравнению
А:Н~С:х,
ю, с нашей точки зрения, решение получается очень просто.
Так как
то искомое пропорциональное существует, когда В-С делится
па А, и не существует, когМ оно не делится. К этому выводу
приходит и сам Евклид в последней части теоремы.
Возможно, однако, что перед умственным взором греческого
математика одновременно рисовалась и другая задача: найти
четвёртое пропорциональное не в простой, а в непрерывной
пропорции:
А:В=В:С = С;х.
Тогда можно объяснить те четыре случая, которые он различает,
1) Если А, В, С составляют непрерывную пропорцию и
А первое с С; тогда, по предложению 17, задача невозможна.
2) Если А, В, С не составляют непрерывной пропорции и
А, С взаимно простые.
3) Еслн А, В, С составляют непрерывную пропорцию и
А, С не взаимно простые.
4) Если А, В, С не составляют непрерывной пропорции и
А, С не взаимно простые.
Второй случай даёт невозможное решение с точки зрения
непрерывной пропорции, причём безразлично, будут ли А, С
взаимно простыми или нет. Посмотрим, как идёт доказательство
Евклида.
Рассуждая от противного, он допускает существование
четвёртого пропорционального D по уравнению
A:B — C:D
и, кроме юго, определяет некоторрс целое число К по пропорции
В:С— D:fi.
Тогда лпо равенству» из этих пропорций получается
Л__£
С —£ ■
Поскольку А, С первые между собой, то они, по предложениям
20, 21 книги VII, должны делить соответственно С и Е, что
"невозможно, ибо А и С первые между собой,
22*


340
КОММЕНТАРИИ
Ошибка Евклида заключается в том, что он допускает
существование целого числа £", удовлетворяющего пропорции
В:С=0:Е,
тогда как можно показать, что такого числа не существует,
Действительно, Е должно удовлетворять уравнению
А:С^С:Е,
при Л, С же взаимно простых не может существовать такого числа
Е, как это видно из предложения 16.
Гейберг относит это неправильное доказательство на счёт
самого Евклида. Клавий1й) и Бореллк16) исправляют ошибку
Евклида; Коммандино17) и Кампанус 18)*ЧЛтавляют текст Евклида без
изменения.
В третьем случае, с точки зрения непрерывной пропорции,
решение получается, когда
ВС С2
—д^В-'-^ Целому.
ВС
Так как при —р, равном целому, существует четвертое
пропорциональное и в обычной пропорции, то возможно, что это
обстоятельство и было причиной недоразумения самого Евклида или
какого-нибудь из его переписчиков.
Во всяком случае были переписчики, от которых ошибка
Евклида не ускользнула. В ватиканском манускрипте Евклида
(Р у Гейберга) в первой части доказательства есть вставка (после
слов: «Тогда пусть не будут Л, В, С последовательно
пропорциональными при крайних, опять являющихся первыми между
собой»): «Я утверждаю, что и так возможно; действительно, если Л
измеряет <пронзведение> В, С, то доказательство пойдёт подобно
следующему далее. Если же Л не измеряет <пронзведення> В,
С, то невозможно подыскать четвёртое пропорциональное.
Например, пусть Л будет три какие-нибудь <единицы>, В же шесть,
С же семь. И ясно, что возможно. Если же Л было бы пять, то
никак невозможно. И просто, когда В есть кратное Л, возможно
найти четвёртое пропорциональное; если же нет, невозможно);.
(И. В.)
10. Решето Эратосфена (-/dcxtvcv, cribrutn Eratosthenis).
Существенным дополнением к евклидовской теории простых чисел
является так называемое эратосфеново решето, представляющее
1Б) Clavius, см. примеч. 1.
и) Borelll, Euclides restitutes, Pisa, 1658.
Щ Gommandino, Euclidis Elementorum libri XV Pesaro,
1572.
Щ Campaniis-Zambertus, Euclidis Megarensis Elera,
Geom., Parisiis, 1516.


К КНИГЕ IX 341
собой очень простой способ выделения всех простых чисел, не
превосходящих какого-нибудь наперёд заданного целого числа jV.
По этому способу выписывают сначала последовательность
всех натуральных чисел от 1 до JV включительно:
2, 3, 4, б, ..., N. (1)
Заметив, чго 2 есть первое простое число =^iV, вычёркивают из
этой последовательности каждое второе число, начиная с 22:=-4.
Заметив, что первое, сохранившееся после 2, число 3 есть
простое, вычёркивают из той же последовательности (1) каждое
третье число, начиная с 32_=9. Заметив, что после 3
нетронутым остаётся простое число 5, вычёркивают в
последовательности (1) каждое пятое число, начиная с 52_=25, и т. д., пока
квадраты простых чисел не превосходят N. В результате такого
«просеивания* выделяется последовательность всех простых
чисел, не превосходящих N.
2, 3, 5, ..., p^N.
11. Простые числа линейной формы19). Приводим
некоторые значения формы Zp-\-\, где Zp— произведение всех
простых чисел до р включительно, которой пользуется Евклид:
1+2- 3 ^
1+2-3= 7
1 j 745 :=_ Ч1 I
1 4-"^"-3-5-7=г 211 f пР0Стые числа
1-f 2-3~5-7-11_= 2311
14-2-3-5.7-11-13 = 30031 J
14-2.3.5-7-11-13-17 ]
14-2-3-5-7-1ЫЗ-17-19 > составные числа
l_j_2-3-5-7-ll-13.17.19.23 J
Следовательно, при одних значениях р возникают простые числа
при других —составные. Задача о том, в каких случаях эти числа
будут простыми, представляется очень трудной и до сих пор не
разрешена.
Следует отметить, что та же форма Zp-\-\ приводит к
заключению о существовании бесконечного множества простых
чисел некоторых определённых форм, например
2л 4-1, 6л4-1, Юл 4-1, 15л4-1 и т. д.
Нетрудно убедиться, что число формы 4л—1 или простое,
или же делится на простое число той же формы.
В самом деле,
(4ft-|-l)(4e4-1) = 4n+l.
1Э) Е. Lncas, Theorie des nombres, Paris, 1891.


342 комментарии
так что произведение множителей формы \m-\-\ будет всегда
давать числа той же формы, а не формы 4я — 1,
Взяв вместо Z}!-\-\ выражение Up—\, где
^ = 22.3.5.7-11... [р—\).р,
мы, воспроизведя евклидовское рассуждение, убеждаемся в
существовании бесконечного множества простых чисел формы
4л — 1.
Это положение представляет лишь частный случай
замечательной теоремы, высказанной Лежапдром в 178S г., по
доказанной только в 1837 г. Леженом-Дирихле: «Всякая бесконечная
арифметическая прогрессия kx-\-m, первый член т и разность k
которой являются взаимно простыми числами, содержит
бесконечное множество положительных простых чисел #»20).
Вместо Zp -\- 1 можно пзять в доказательстве Евклида
1К» + 1 = 1.2.3... /7+1,
где 1-2-Я... р есть произведение всех целых чисел до /;
включительно, т. е. р\
Если// — простое число, то оно будет делителем числа
1.2-3. ..(/>-]) +l = 0-l)!-fl.
Например, 13 будет делителем числа 479001 601:= 12! 4-1.
В этом состоит известная теорема Вильсона, с помощью
которой можно установить, представляет лир простое или составное
число (ибо, если р со стан но е, то (р—l)!-f-l иа р не делится).
12. Формы простых чисел. Предложение 20 книги IX о
существовании бесконечного множества простых чисел можно
представить в форме проблемы о разыскании простых чисел р>х,
где х дано.
Операции, решающие задачу, сводятся к операциям
разложения Zx-\~\ на множители.
Математики старались найти формулу, разрешающую этот
вопрос, т. е, выразить р через х:
p—-f (х),
где ср строится с помощью элементарных алгебраических операций
и тех трансцендентных, которыми пользуется Анализ бесконечно
малых. По отношению к последовательности всех простых
чисел рь р2, р%, ... следует различать задачи:
1) О разыскании простого числа рт, большего чем данное
простое число рп, т. е.
Рт^Ч^Рп)' где туп.
2Л) P. G. L е J e u n e-D irichfet, Vorlesungen tiber Zahfen-
theorfe, Braunschweig, 1S94. — П. Г. Л е ж ен-Ди ри х л е, Лекции
по теории чисел, пер. под ред. Б. И. Сегал, М. — Л., 1936.


К КНИГЕ IX 343
2} О разыскании простого числа рп+г, непосредственно
следующего за данным простым числом ря:
Рп+1=?(Рп)-
* 3) О разыскании простых чисел данного порядка:
Pn = <tln)-
К этим проблемам следует ещё прибавить следующие:
4) О разыскании у(х) такой, что при всяком целом х<р(х)
представляла бы простое число.
5} О разыскании такой гр {х), что у(х) даёт бесконечное
множество простых чисел.
6} О разыскании у{х), дающей точное число простых чисел,
меньших х.
Последняя из этих проблем эволюционирует в другую, хотя
и тоже трудыую, но для которой большие усилия математиков
дали решение: о разыскании асимптотического выражения со (х)
для ср (х), т. е. такого, что
Задачи 4, 5, вероятно, являются неразрешимыми. Первая
потому, что такой функции не существует, вторая потому, что
хотя, как следует думать, все алгебраически неразрешимые формы
и содержат бесконечное множество простых чисел, но для
доказательства этого (в смысле убеждения в его справедливости}
у нас недостаточно основных очевидных положений.
Эйлер31) приводит полиномы с целыми коэффициентами
х*-\-х-{-\1, 2x2-f29, xs — x-Mi,
дающие простые числа при следующих друг за другом
значениях х. Но это является случайностью. Нетрудно "видеть, что
полиномы с целыми коэффициентами не могут давать только
простые числа.
Так, если f[xu) = p, то
/ <*о+РУ) ~ / (-«о) + РУГ И + • • •
должно уже делиться иа р.
Ферма думал, что все числа формы
23" _f 1
простые. Это верно для я = 0, 1, 2, 3, 4, но уже оказывается
неверным для л=5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 18, 23, 36, 38, 73.
2i) Euler, Nouv. Mem. Ac. Berlin, 1772.


344 комментарии
Естественно думать, чго то же следует сказать и о тех
формах, под которые различными математиками подводились простые
числа.
Линейная форма ах-\~Ь при а и Ъ взаимно простых содержит
бесконечное множество простых чисел. Это доказал Лежен-
Дирихле (см. комментарий И). Но других таких доказательств
мы не имеем.
Эйзенштейн полагал, что то же следует сказать и о форме
2*п-{- 1, Люка думает, что Эйзенштейн имел доказательство этого
положения. Но сомнительно, чтобы такое доказательство
возможно было ыайти для л« + 1.
13. Число простых чисел, не превосходящих данного
числа х. Обозначим через т. (х) число простых чисел, не
превосходящих какого-нибудь положительного числа х.
Уже Эйлеру (1707—1783) было известно, что —=—^->0 при
л -> сю. Это соотношение свидетельствовало о том, что количество
простых чисел бесконечно мало по сравнению со множеством
всех натуральных чисел, но не давало возможности хотя бы
приближенно выразить арифметическую функцию я (л) в
зависимости от п.
Первую асимптотическую формулу для определения г.{х)
при больших х дал Лежандр в 1808 г. во втором томе своей
«Теории чисел» 23):
х
П {Х) ^ In х- 1,08366 '
Эту формулу ои проверил на таблице простых чисел от 10 000
до 1 000 000.
Гаусс (1777—1855) в письме к Энке от 1849 г.
(опубликованном в 1863 г.) указал 2$) асимптотическую формулу
г» du , ;
г. (х) = Li (.v), где U (х) = j j—.
Сопоставляя значения i: (х) и Li (x) до х —3 000 000, Гаусс и
Гольдшмидт установили, что, уже начиная с первой сотни тысяч,
эго число остаётся меньше Li (x), причём разность, много раз
колеблясь, постепенно растёт вместе с х (см. Б. Римаи,
Сочинения, М, —Л., 1943, стр. 224).
Стедует заметить, что хотя ни Гаусс, пи Лежандр не
формулировали вполне строго требований к точности своих эмпири-
22) А. М. Legendre, Essai sur la theorle des nombres, II,
P.ris, 1808.
33) Gauss, Werke, Bd. If (HShere Arithmetik),jG6ttlngen, {863.


К КНИГЕ IX 040
ческих формул за пределами таблицы, они, видимо, стремились
«достичь „асимптотической эквивалентности" it {х) и
аппроксимирующей функции / (х), т. е. чтобы при безграничном увеличении х
отношение yj~ стремилось к единице» (А. Е. И н г а м,
Распределение простых чисел, пер. с англ. Д. А. Райкова, М.—Л., 1936,
стр. 9).
В решении вопроса о распределении простых чисел огромное
значение имели работы24) П. Л. Чебышева (1821—1894). По
мнению Э. Ландау — одного из крупнейших современных
специалистов по теории чисел, — Чебышев первый после Евклида
существенно продвинул вперёд решение этой проблемы.
В своей первой работе, посвященной этому вопросу, «Об
определении числа простых чисел, не превосходящих данной
величины», опубликованной в 1848 г., Чебышев установил связь между
СО
значениями функции %(х) н поведением функции Пг)= V
И —1
вблизи особой точки х= 1 при действительных значениях г. «Эта
связь,—указывает А. О. Гельфонд в комментариях к
рассматриваемой работе, —позволила ему открыть фундаментальный для
распределения простых чисел факт колебания it (х) около Li (x) ~
X
Г dx
= », хотя этот факт «не мог быть дан Чебышевым в его
I In л:
2
современной точной формулировке, именно, что разность ^(х) —
~Li(x) бесчисленное число раз меняет знак (Литтльвуд, 1914)
и что
■z{x) — Ll(x) = xe-i(x)ininvi t{x)—„ю
(Адамар, Валле-Пуссен)».
В другой своей работе — «О простых числах», опубликованной
в 1850 г., Чебышев впервые нашёл границы колебания я (х) около
а и Ъ, удовлетворяющие условию
и) П. Л. Чебышев, Sur la fonction qui determine la
totality des nombres premiers inferieurs a une lirnite donnee (Metnoi-
res des savants etrangers de I'Acad. Imp. Sci. de St.-Pctersbourg,
VI [1848], стр. 1—19); Memoire sur nombres premiers (там же,
VII [1850]. стр. 17-^33)Л См. Поли. собр. соч. П. Л. Чебышева,
г, I, изд. АН СССР, 1944, стр, 173 и 191,


346 комментарии
что, в свою очередь, позволило ему доказать так называемый
постулат Бертрана: между хи 2х находится по крайней мере
одно простое число.
Чебышев доказал предыдущее неравенство для о — 0,92129...
и й— —д = 1,105... Уточняя результаты Чебышева, Сильвестр
установил, что при достаточно больших х выполняется
неравенство
и что если х больше известного предела, то между х и 1,092 х
имеется простое число.
П. Л. Чебышев доказал (1850), что если существует предел
отношения
z(x);-?- или я{х):\ ^L
к ' 1п х { ' J in и
2
при х—v оо, то он может быть равен только 1. Опираясь на
новые идеи Римана, высказанные им в 1859 г. в мемуаре «О числе
простых чисел, не превышающих данной величины»35), Адамаргб)
и Валле-Пусссн 2") одновременно и независимо друг от друга
установили в 1896 г. существование и равенство единице
вышеупомянутого предела, в результате чего был окончательно утверждён
так называемый асимптотический закон простых чисел:
V 2 }
Дальнейшие исследования были посвящены, главным образом,
наиболее точной оценке разности ъ(х)~~Ы(х) и развивались в
й) В. Riemann, Uebcrdie Anzahl derPrimzahlen unter einer
gegeben Grosse (Monatsberichte der Berliner Akademie, 1859),
См. русский пер. в "книге: Б. Р и м а н, Сочинения, Гостехиздат.
1948, стр. 216—224 Г
2%) J. На da ma rd, EUde sur Ies proprietes des fonctions
entieres et en particiilier d'une fonction considered par Riemann
(Journal de math., t. 9, ser. 4, 1893, 171—215); Sur la distribution
des zeros de la fonction t (s) et ses consequences arithmetiques
(Bull, de la Soc. math, de France, 24, 1896, 199—220).
2") С J. d e la V a 11 ё е-Р о u s s i n, Recherches analytiques sur
la theorie des noiiibrcs; Premiere partie: La fonction C(s) de Riemann
ei les nombres premiers en general (Ann. de la Soc. scientif. de
Bruxelles, 20a, 13%, 183—256).


к книге тх 347
плане идей Римана, связанных со свойствами дзета-функции ((г)
комплексного переменного z. Однако, по мнению А, О, Гельфонда,
«в настоящее время есть уже достаточные основания вернуться
к идеям Чебьпнева и с этой стороны попытаться подойти к
закону распределения простых чисел; другими словами, хотя бы
найти удовлетворительную опенку для разности тс (х) — Li (x)f> *).
14. Доказательство"Эйлера и Гакса для теоремы 20 книги IX.
Совершенно на других принципах основано доказательство
Эйлера^) существования бесконечного множества простых чисел,
При р > 1 мы имеем разложение
V р) ^р^>^ . .
где полагаем р равным простым числам: 2. 3, 5, 7, -..
Перемножая такие разложения, мы получаем справа сумму
различных членов вида ^г.,— с положительными или равными
пулю показателями а, р, •(, ,.., так что
1 ._! 1 . _1_ _i . 1+1,1,
■ Г \_ \ I \_ '+2 + 3 + 4+'" ;
1 2 3 5 1_~7
Сумма гармонического ряда в правой части бесконечна. Но
левая часть может обладать бесконечным значением только в том
случае, если чи<:ло множителей, а значит, и простых
чисел—бесконечное множество.
Существует ещё другое доказательство.
Гаке 2Я) берёт неприводимую дробь — = —-_j_-s--{- ...-| ,
где 2, 3, ...,/> — простые числа, и указывает, что, с одной
стороны числитель, очевидно, не делится ни на одно из простых
чисел 2, 3, ..., р и поэтому он или простое число, или делится на
простое число большее р.
Бесконечность множества простых чисел выводится также из
формулы Эйлера 30)
*) Комментарий 13 принадлежит В. А. Солодкову. (Прим. ред.)
28) l. Е tiler, IntroductLo in Analysin infiniioriim, 1, Лозанна,
1748 (русский пер. под ред. С. Я- Лурье, М., 1936), гл. XI.
2"J J. Hacks, Act. math. 14, 1890— 1891, стр, 329—336.
30) L. E « I е г, Introductio, I, гл. XV (см. примеч. 28).


348
КОММЕНТАРИИ
где произведение в левой части распространяется на все простые
числа, а сумма в правой — на все натуральные числа. Но правая
я3
часть сводится к -^ , и ■& оказывается рациональным числом в
том случае, если множество простых чисел ограничено.
15. Теория чётных и нечётных чисел. Последние 16
предложений IX книги представляют законченное целое, мало
связанное с предшествующим материалом. Эти предложения, если
исключить два последних (35 и 36), поражают своей
элементарностью и, с пашей точки зрения, вряд ли заслуживают
специального выделения в самый конец арифметических книг Евклида,
которые они как будто венчают.
Немецкий исследователь Беккер в статье «Lehre vom Gera-
den und Ungeraden im IX Buche der Enklidischen Elemente» в
3-м томе «Quellen und Studien zur Geschichte derMathematikund
Physik» (abt. B, Studien III, стр. 536—599) показал, что эта часть
IX книги может быть рассматриваема как остаток очень древней
греческой математической науки.
Эти предложения опираются кл определение чётных и
нечётных чисел в начале VII книги (определения 6—10), к которым
нужно присоединить последнее определение 2.3 совершенных
чисел; теория совершенных чисел является истинный завершением
всех этих предложений конца IX книги.
Аргументация Беккера основывается на следующем.
Во-первых, различение чётпых и нечётных чисел, а также
разных: подразделений чётных очень характерно для пифагорейских
учений, в которых противоположность между единицей и двойкой,
чётом и нечетом принадлежала к числу основных.
Во-вторых, доказательство в этой части ведётся на точках
(«счётных камешках»), представляющих различные числа *); число
есть совокупность монад-точек; такое представление числа тоже
восходит к пифагорейцам.
Два последних предложения (35 и 36) относятся к учению о
совершенных числих, причём предложение 35 представляет лемму,
необходимую для доказательства последнего предложения 36.
В доказательствах этих теорем, равно как и в доказательстве
предложения 32, используется материал, содержащийся в более
ранних арифметических книгах, но Бекь'ер показал, что эти
доказательства могут быть заменены более простыми, опирающимися
только на предложения 21—34.
*) В гейберговском «здании этот момент не отражён; числа
в этом разделе, равно как и во всех чертежах предшествующих
предложений, изображаются линиями, что по существу характерно
лишь для нослеэвдоксовского периода развития греческой
математики, когда число из собрания дискретных единиц превратилось
в меру непрерывных величин, простенщеЙ из которых является
цлина прямой линии.


К КНИГЕ IX
349
Начнём с предложения 32: <<Из чисел, получаемых удвоением
от двойки, каждое будет только чётно-чётным».
При доказательстве этой теоремы у Евклида применяется
предложение 13 книги IX, формулирующееся так: «Если будет от
единицы: сколько угодно последовательно пропорциональных
чисел то же число, что за единицей, будет первое, то наибольшее
число не будет измеряться никаким другим, кроме находящихся
среди пропорциональных чисел--).
Можно оэойтись без привлечения этой теоремы, используя,
например, предыдущее предложение 31: «Если нечётное число
по отношению к некоторому числу будет первым, то оно будет
первым и по отношению к его удвоенному». Действительно,
любое нечётное число будет первым с двойкой, значит, будет
первым и с удвоенной двойкой, и с учетверённой и т. д., что и
доказывает нашу теорему; при этом не нужно выходить из того
круга предложений, который начинается с предложения 21 книги IX.
Так как предложение 35 является леммой для доказательства
36, то мы можем его опустить и прямо перейдём к беккеровской
реконструкции первоначального доказательства предложения 36.
Образован ряд чисел 1, 2, 4,..., 2ni обладающих тем
свойством, что сумма
1+2 + 4+.. .+2"=р,
где р есть некоторое первое число; доказать, что число 2*-р
является совершенным, т. е. равным сумме всех своих делителей.
Делителями числа 2п-р будут, очевидно, следующие:
1, 2, 22 г"-1, 2",
р, 2р, 2% ..., 2л~г.р.
Докажем, что другие делители у числа 2п.р невозможны.
Действительно, всякий делитель будет или чётным, или
нечётным числом. Но всякое нечётное число, отличное от р, не
делит простого числа р, а согласно предложению 31 не будет де^
лить и 2р, Ар,... и, наконец, 2я-р.
Далее, если в качестве делителя мы возьмём чётно-нечётное
число вида 2(2A-f-l)i то, согласно замечанию, сделанному при
доказательстве предложения 33, его половина разделит половину
делимого, т. е. число 2k~\-i будет делителем 2п~1р, что, по
предыдущему, невозможно.
Если в качестве делителя мы возьмём число, могущее быть
представленным и как чётно-чётное, и как чётно-нечётиое, т. е.
число вида 2т(2#+1), где т меньше л, то, разделяв делимое
и делитель т раз на 2, придём к выводу, что 2п~т-р должно
делиться па 2к-\~\л что невозможно.
Наконец, если делителем было бы какое-нибудь число,
могущее быть представленным только как чётно-чётиое, т. е. число
вида 2т, то легко докажем, что т не может быть больше п, ибо


350
КОММЕНТАРИИ
в противном случае оказалось бы, что нечётное число р должно
било бы делиться на чётное число 2т~п.
Теперь остаётся лишь доказать, что
Но сумма 1 + 2 + 4 + ... + 2" уЖе равнЯется р. Сокращая о^е
части на р, приходим к необходимости доказательства равенства
14-(14-2 4-4+ ^2"~i) = 2".
Это доказательство «па камешках» легко производится так (черт. 1).
14-1=2
14-14-2 — 4
14-14-24-4=8
14-14-2 + 44-8 = 16
и т. д.
Черт. 1. .-,.',.■;
Доказательство, очевидно, опирается на ю, что
2 + 2 = 2-2,
и, следовательно,
2"-i+2n~1 = 2n1
и, таким образом, не требует предварительного знания формулы
суммы геометрической прогрессии.
Наличие последовательных удвоений Беккер сопоставляет со
специально египетским способом умножения при помощи
удвоения и видит в этом признак египетского происхождения учения
о совершенных числах.


К КНИГЕ IX 351
Можно дать и более существенные доказательства в пользу
египетского происхождения этой теории.
Прежде всего, неоспорим тог факт, что египтяне употребляли
два совершенных числа 6 и 28. Если употребление числа 6, как
кратного 2 и 3, может быть объяснено и другими причинами, то
факт разделения египетского локтя на 28 пальцев вряд ли можно
объяснить чем-либо друпш, как не тем, что египтяне, создавая
масштабную линейку, хотели, чтоЗы длина основной единицы
равнялась сумме всех кратных её подразделений,
Наконец, немецкий учёный Гульч указал ещё следующие
доводы в пользу египетского происхождения понятия о
совершенном числе*).
Основным является евклидовское определение совершенного
числа как «равного сумме всех своих частей». Эта формулировка,
кажущаяся нам немного тривиальной, сейчас же уяснится, если
мы прочтём у Евклида определение части (определение 3 книги VII):
часть есть число, укладывающееся целое число раз н большем;
таким образом, евклидовская «часть» есть дробь — . Это, конечно,
сразу же заставляет вспомнить о египетском понятии дроби:
только при таком ограниченном понимании дроби-части
уничтожается тривиальность евклидовского определения совершенного
числа.
Понятие о совершенном числе возникло в связи с попытками
представить единицу в виде суммы дробей с числителями,
равными единице-
'i ' "s ' «з
что было необходимо египтянам для производства вычитания.
Выполняя действие над дроЗями, егицгяце заменяли их
пропорциональными целыми числами (исчисление «секем»), что в
некоторой степени соответствует нашему приведению к общему
знаменателю. Пусть этот знаменатель будет /V; умножив на него
обе части нашего равенства и положив
N г N , N
— Я, — ■= пп, ——Я.,,...,
Щ п-. * п3 "'
мы приходим к равенству
М = п[ + 4 — «з+... ,
*) Работа Гулъча мне известна лишь по краткому
упоминанию у Таннери в «Memoires scientifiques^, т. X, стр. 33—35;
однако ход мыслей Гулъча может быть вполне восстановлен.


352 КОММЕНТАРИИ
т. е. число N должно быть равно сумме своих делителей. Если
мы теперь потребуем, чтобы оно равнялось сумме всех своих
делителей, то и придём к понятию совершенного числа.
Мы разобрали историю совершенных чисел до Евклида;
теперь нам остаётся посмотреть, что сделал с ними сам Евклид.
Ему принадлежат два последних предложения: 35 и 36. Первое
из "них, служащее у Евклида леммой для доказательства
предложения 36, "имеет громадное значение и само по себе: оно
впервые в истории математической науки даёт формулу для
определения суммы геометрической прогрессии.
Идея евклидовского доказательства предложения 35
заключается в следующем.
Возьмём ряд чисел А, ВС, D, El, составляющих
геометрическую прогрессию
a, aq, aq2, aq9.
и вычтем по А — а из второго и последнего чисел; получится
НС — aq — a, EG = aq% — a.
Задача сводится к тому, чтобы доказать равенство
aq — а _ аф — а
а а -у- aq -f- aq*'
При нашем спосоЗе обозначения доказательство этого равенства
сводится к простому выполнению алгебраического деления
1 _ ф—1
Евклид же должен был прибегнуть к составлению производной
пропорции с вычитанием:
а ~~aq ~~aq* \IG~IK~~IL)'
ад^а_аф — ад _ад^ — аф (KG__Lf(__EL\
а ~ aq aq* \IG ~ IK " IL ) '
Если теперь мы напишем, что сумма предыдущих' относится к
сумме последующих, как один из предыдущих относится к одному
из последующих, то и получим нужную нам теорему
KG_ EG
Ю -~'lK-\-IL-\-lG '
aq — a aq% — a .
a a -\- aq -[- aq2


К КНИГЕ IX 353
Из неё легко получается формула суммы геометрической
прогрессий:
, , ., йй3 — а
a + aq-raqi-.^ ^ ■
После этого доказательство предложения 36 приобретает
такой вид.
Пусть 1 -\-2-\-2*-\- ... -J-2*~i=p, где р — первое число;
требуется доказать, что p-2n~l ecrt> совершенное число.
Составляем два ряда:
2, 22, 28 2"~1;
р, 2р, 22р, ... , 2"-2р.
«'По равенству;) (предложение 14 книги VII) будем иметь:
2:2"-1 = р:2п-*р,
что па основании предложения 19 книги VII даёг:
р-2п-1=2-2'г'2р.
Для нас это равенство является очевидным; для Ееклида же,
при его способе обозначения, оно подлежало доказательству.
Теперь Евклид переходит к суммированию ряда
р + 2р + 4р+...+2"-'р.
Приписав к нему ещё один член 2"~Jp, он па основании
предложения 35 получает:
2р—р 2>г~1р—р
р -> + 2/>+---+2п-2/,-
откуда, поскольку отношение в левой части равняется единице,
вытекает:
Р+2р-\-----\-2п-*р = 2H~ip — р
и, значит,
2"^р = р + р + 2р+...+2"--р
или, поскольку /? = I — 2-J-4-J- ... -\~2"~ь.
Таким образом, число 2п~1р делится на все числа, стоящие в
правой части, и равно сумме всех этих делителей.
Для доказательства, что 2п~1р есть совершенное число, нам
остаётся только доказать, что оно не может иметь
никаких'других делителей. Это доказательство Евклид ведет от противного.
23 Евклид


354
КОММЕНТАРИИ
Пусть 2п~~^р делится на некоторое число х, отличное от
чисел, стоящих в правой части нашего равенства. Тогда мы
должны будем иметь;
2tt-ip = x-m,
откуда
Р = х ..
т 2я-1 "
Но х не может измерять 2п~], значит, и р не будет измерять т<
значит, оно будет с ним первым. Отсюда следует, что 2п~1
должно измеряться т, т. е. т должно представлять некоторую
степень двух. Пусть т = 2г, в таком случае
2r._ P
2n-l 2l!-r-ip'
откуда
2г.2п~г- ip = 2n-1.p = X'm.
Если т = 2г, то х —2и_'--1р, чго противоречит нашему
предположению. Таким образом, всякий делитель 2"-1/? должен
заключаться в ряду чисел, стоящих в правой части равенства:
2я-1/»=1+2+.-.+2п-1+^ + 2/»-| -\-2п~2р,
т. е. 2п~1р есть совершенное число. {И. В.)
16. Иное доказательство предложения 22. В приложении
к гейберговскому изданию Евклида помещено второе
доказательство предложения 22 (черт. 2);
«Иначе.
Или и так; поскольку теперь АВ нечётное, то отнимем от
него единицу IB; значит, остаток А! будет чётным.
й I В С В Ь
Черт. 2.
Опять, поскольку ВС нечётно и IB является единицей, то значит,
1С чётное. Также и AI чётное. Значит, к всё АС будет чётным
(предложение 21 книги IX). Вот на том же основании н СЕ будет
чётным. Так что и всё АЕ будет чётным (предложение 2J
книги IX)».
17. Совершенные числа31). Евклид для совершенного числа,
т. е. числа, равного сумме всех своих делителей (отличных от
него самого), даёт в предложении 36 книги IX формулу
81) См. примеч. 19. — Tropf ke, Gescli. der Elemeniar-Maih.,
Bd. I, 3. Aufl., Berl. und Leipz., 1930, стр. 138—139 (С, II).


К КНИГЕ IX
355
где Ъ представляет сумму 1 4-2 -\-'12-\- ... -\-2p~i, которая
выражается через 2Р — 1, так что jV (совершенное число) = 2Р~1 X
У((2Р—1); при этом предполагается, что не только р, но it
2Р — 1 простое число.
Но из его рассуждения вовсе не следует, что всякое
совершенное число будет такой формы. В настоящее время доказано,
что всякое чётное совершенное число должну быть евклидов-
ской формы, но до сих нор не найдено ни одного нечётного
совершенного числа.
Древние знали только следующие совершенные числа:
1) 2 (23—1) = 6,
2) 23(23— 1)= 28,
3) 2* (2* — 1) = 496,
4) 2*5(2?— 1)=8128,
о которых упоминают Никомах и Боэций. Пятое совершенное
число
5) 212(213—1) = 33 550 336
указывается Репюмонтаном (1436 —1476). Штиффель его не
знает, но выставляет
28 (29 — 1) = 256-511 = 130 816
как совершенное число, упуская из виду, что 511 не простое.
В «Началах Евклида» Шейбеля (I. Scheybl) 1555 г. находим
шестое и седьмое совершенные числа:
6) 216 (2" — 1) = 8 589 869 056,
7) 218(2i9~ I) = 137 438 691 328.
Восьмое
8) 230 (2В[ — 1) — 2 305 843 008 139 952 128
принадлежит Мерсепну (1644).
Только в цоцце XIX в. было найдено Зеельгофом (Seelhoff)
(1885) девятое совершенное число
9) 2«(2в1—I)
с 37 цифрами.
В 1912 г. американец Powers наше'л десятое совершенное
число
10) 283(239—1).
В 1914 г. Powers и Fauquembergue нашли одиннадцатое число
И) 2iM(2WT_i).
Fauquembergue доказал также, что будет совершенным число
12) 2126(2127— 1);
последнее с 77 цифрами.
23*


356 КОММЕНТАРИИ
18. Исследование простых чисел вида 2Р — 18Э). Когда
форма 2Р— 1, входящая в евклидову форму, даёт простое число,
то 2р—Ц'2р — 1) является совершенным.
Для того чтобы 2Р—1 было простым, конечно, необходимо,
чтобы р было простым.
В самом деле, в противном случае, если /) —ар, то 2Р—1 —
= 2e,i — 1 будет делиться на 2*—I и 2^—1.
Но условие это вовсе не достаточно. Мы имеем, например,
2И — 1=23.89.
Мы приводил! таблицу, содержащую составные числа формы
2р—\ до/) = 251, которым поэтому уже не будут отвечать
совершенные числа.
р
11
23
29
37
41
43
47
53
d
23
47
233
223
13 367
431
2 351
6 361
Р
59
73
79
83
97
113
131
151
d
17 995
439
2 687
167
11447
3 391
263
18 121
'
179
191
211
223
233
239
251
d
' 359
383
15 193
18 28/
1399
479
503
Для чисел 11, 23, 29, 37 это было обнаружено Ферма, для
41 — Плана, для 43, 47, 43, 59 —Ляндри, для остальных —Деляс-
с а ром.
19. Дружественные числа33). Проблемой, аналогично
разрешаемой, является проблема о дружественных числах, т. е. таких,
для которых сумма делителей одного равна другому, и обратно:
<s{p) = q, e(q)=p,
Ямблих приписывает открытие дружественных чисел
Пифагору.
3-) Lucas (см. примеч. 19). — П, Л. Ч е б ы ш е в, Теория
сравнений, СПБ, 1849.
a3)Tropfke, I, стр. 139 (см. примеч. 31).


к книге ix 357
Ему были известны дружественные числа:
220= 1 + 2 +4 -[-71 + 142,
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + W + И -j- 20 + 22 + 44 -f- 55 + IЮ.
Арабский математик Табит Ибн-Корра34) (836—901) даёт форму
для дружественных чисел, аналогичную той, какую даёт Евклид
для совершенных, а именно:
A~2np-q, B — 2nr,
г не
/j = 3.2» — I, ^ = 3-2rI--i— 1, г = 9-22"-г— 1.
Ферма в письме к Мерсенн\г указывает дружественные числа
17296 и 18416, Декарт —9 363"584 и 9437 05(5.
Щ Woepke, Notice siir «не theorio ajoutee par Thabit ben
Korrah a rarithmeiique speculative des Grecs, Journ. As. 20^
Paris, 1852, стр. 423.


КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ X
1. Постулаты Клавия. Клавий1) отмечает, что Евклид неявно
пользуется некоторыми очевидными положениями, которые
Клавий выдвигает как постулаты и аксиомы. Их можно найти
и в других комментариях, например Родия '*).
К постулатам он относит только архимедову аксиому в
следующей форме:
Требуется, чтобы возможно было умножением какой-либо
величины сделать, чтобы она превзошла любую величину
того же рода.
Аксиомами же выставляются следующие предложения:
1. Величина, измеряющая несколько величин, измеряет также
их сумму.
II. Величина, измеряющая какую-либо величину, измеряет
также и ту, которую последняя измеряет.
III. Величина, измеряющая целую величину и отнимаемую,
измеряет также и остаток.
Эти аксиомы не следует отождествлять с теми, которые
выставляются в начале арифметических книг, так как не только
для Евклида, но и для Клавия не всякая геометрическая величина
выражается числом.
2. К истории терминологии 3). Термины pr,:ct, Щрг-.oi —
дословно «выразимые и не выразимые-) идут ещё от пифагорейцев;
supiieipci и o'J oujijietpoi или зс6|ш = трsi вводятся Феодором Киреиским,
учителем Платона. Теэтет, вводя наряду с, простыми
одночленными ещё двучленные, различает уже р,-.о\ щап. и рт;ю1 Ыш^и,
т. е. рациональные в длине и в степени, а также термин ВлЫ —
иррациональные.
1) Clavius, Opera mathematics, Mogimtiae, 1612. Comment,
in Euclidis Elementa Geom. lib. X.
2) Rodius, Euclidis Elementomm Iibri. XIII, Vittenbergiae,
1634.
3)TropIke, Gesch. der Elementar-Mathematik, Bd. II, 3.
Aufl., Berl. und Leipz., 1933, стр. 94—9o (C, 5).


к книге х 359
Марциан Капелла (470 г. н. э.) переводит «WfK латинским словом
irrationalis, а Кассиодор eunjis-po': и asuajiEtpc" через rationalis и
irrationaHs. Термин commensurabilis, вполне отвечающий нашему
термину «соизмеримый;), вводится Боэцием (4S0—524).
Герхард Кремоиский (1114—1187), вместо irrationalis чаще
употребляет термин, заимствованный у арабов: surdus (глухой
или немой).
Леонардо Пиранский пользуется терминами rationalis,
irrationalis и surdus.
Брадвардип (около 1290—1349) берёт asimmetrus вместо incom-
mensiitabilis.
Термины surdus, irrationalis встречаются и у позднейших
авторов' у Рудольфа и Штиффеля.
3. Определение соизмеримости и рациональности. Следует
хорошо вдуматься в определения Евклида. Прежде всего, следует
обратить внимание на то, что они относятся к геометрическим
величинам вообще, а не к числам.
В отношении площадей первое определение че требует
комментария. Площади, например прямоугольников, соизмеримы,
если v них существует общая мера, и несоизмеримы, если этой
общей меры нет.
Но относительно прямой первое определение в евклидовской
формулировке может быть неправильно понято. В евклидовском
понимании прямые могут быть соизмеримыми н тогда, когда
у них общей меры нет. Если прямую, как площадь, подвести
"под общее понятие величины, то под определение 1 подойдёт
только один вид соизмеримости, т. е. линейная соизмеримость
или соизмеримость по длине. Но Евклид ещё устанавливает
понятие соизмеримости в степени, т. е. прямые а н Ь он называет
соизмеримыми в степени тогда, когда соизмеримыми являются
связанные с ними площади квадратов, или — как выражается
Евклид — квадраты на а и Ь.
Определение рациональности прямых может тоже породить
недоразумение.
Прежде всего, это понятие не абсолютное, как наше понятие
рациональных чисел, а только относительное. Третье
определение следовало бы формулировать так: приняв за основную
прямую а, мы будем называть и самоё а и все прямые Ь, с, dt с ней
соизмеримые, рациональными, а несоизмеримые —
иррациональными.
Если признать, как это делает Лежандр,*) а за ним н мы,
взаимно однозначное соответствие между геометрическими
величинами и числами и принять за единицу какую-либо
определённую прямую, то мы, при нашем понимании рациональности,
должны принять за рациональные величины те, которые, будучи
измерены этой единицей, выражаются рациональными числами.
*)Legeiidre, Elements de geometrie, Paris, 1794; 12 fed.
1S23; русский пер. — «Начальные основания геометрии», 1819.


1,Ь{> КОММЕНТАРИИ
Но, но Евклиду, рациональными оказались бы и все прямые,
которые выражаются числами вида Ум, где N—рациональное
число, так как Евклид для рациональности предполагает
соизмеримость в более общем смысле, — как линейно, так и в степени.
Дело значительно осложняется тем. что из площадей
рациональными, согласно определению 4, будут только те, которые
выражаются рациональными числами, так как для площадей не
существует соизмеримых в степени, так как квадрат площади
уже никакого геометрического смысла не имеет.
4. Начало истории иррациональных величии.
Пифагорейцам следует приписать открытие не иррациональных чисел,
а иррациональных или — лучше скачать — несоизмеримых
величин, т. е. величин, не имеющих общей меры нли таких,
отношение которых не выражается отношением целых чисел.
Чтобы уяснить себе значение этого открытия, следует встать
на ранпепнфагорейскую точку зрения, которая сохранилась у
индусских математиков V — VI вв. и. з.
На этой ст\гпени математического развития считалось, что
все геометрические величины могут быть выражены
рациональными числами, причём приближённые значения чисто
механически принимались за точные").
Пифагорейцы старались найти отношение диагонали квадрата
к его стороне в числах, но им удавалось найти только
приближённые значения "lni, и то, что это были не точные, а только
приближённые значения, ими тоже сначала не осознавалось.
Так получались дроби:
Л 1 11 4А
■г ' 5 ' 12 ' 29 ' " '
Процесс нахождения приближений, развёртывающийся без
конца, должен был навесь на мысль (выражая результат в
арифметической форме), что не существует рациональной дроби,
равной V'l.
Нельзя точно определяй), когда было открыто доказательство
несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной; по всей
вероятности, это имело место в первой половине V в. до н. э.
Известно только, что учитель Платона Феодор Киренский уже
имел доказательешо иррациональности У'д. УЪ и т. д. до у П.
Аристотель упоминает о доказательстве несоизмеримости
диагонали квадрата с его стороной, которое аналогично
приводимому в дополнениях к X книге (сч. комментарий 67) и
основано на том, чю в случае обратного предположения одно и
то же число оказывается и чётным и нечётным. •
5)Tropfke, Gcsch. der Elemenlar-Math., Bd. H, 3.. Aufl.,
с [p. 82 (C, 5).


К КНИГЕ X 361
Теэтету Афинскому приписывается первая теория
иррациональных чисел.
Теория пропорций, вначале относившаяся только к
соизмеримым величинам и представлявшая теорию числовых пропорций,
образцом которой являются арифметические книги «Начал»,
обращается трудами Евдоксд в V книгу евклидовых «Начал»,
в которой вся теория проводится без обращения к числам.
Следующей ступенью развития является теория иррациональных
чисел, начало которой кладёт Теэтет, по главная заслуга
обработки которой бесспорно принадлежит самому Евклиду.'
Освобождена? же теории иррациональных чисел от
геометрической формы идёт от арабов. Именно арабские комментаторы,
в частности Лн-Найризи (Аниариций), постепенно обращают
иррациональные величины, е иррациональные числа, называемые
у Леонардо Пкзаиского глухими.
5. Процесс Евклида. Первое предложение X ктй-и имеет
особенно большое значение в «Началах» Евклида.
На н?м основывается так называемый метод исчерпывания1,
на месте которого сгоит сейчас современная теория пределов
и который совершенно неправнльн s понимали математики второй
половины XVIII в,, отождествляя его с теорией пределов.
В первом предложении X книги Евклид доказывает, что если
от длиной величины а отнять величину &1>тр, от остатка
г. — а г - С\
с1т=а — oi=£^-7>- отнять величину о2 > ~-, от остатка с2 = С\ —
, а с-у
'—"2^~г отнять fig > —^ н т, д., то после конечного числа п
шагов м.даио получить остаток сп^кц, меньший любой наперёд
заданной величины Ь.
Конечно, Евклид не мыслит переменным'! величинами;
всякая величина л.'[Я него не текучая, а как бы
кристаллизованная, что, «прочем, характерно н для других понятий в
античной науке. Круг идей, в котором вращается длламбе-
рова теория пределов G), совершенно нн т. чем тот, в котором
живёт Евклид.
Но мы должны здесь ввести некоторый корректив.
Величины, получаемые прщгесом Евклида, с точки зрения
классической математики обращаются в значения переменной,
стремящейся к нулю, т, е. бесконечно малой (не актуально, а
потенциально, т. е. в возможности).
Дальнейшая эволюция математической мысли, которая в
поисках строгою обоснования Анализу бесконечно малых вынуждена
G) M. D'A ] е ш b e r t, Encyclopedic des sciences, des arts et
des metiers, слово Limite.


362 , КОММЕНТАРИИ
была обратиться к актуальной бесконечности, т. е, к теории
множеств, повернула обратно к Евклиду. Она стала
характеризовать величину или множество не тем, что в них есть, по тем,
что мы с ними можем сделать.
Бесконечные множества стали определяться как равные или
эквивалентные, если возможно установить между ними: взаимно
однозначное соответствие, так что каждому элементу первого
множества отвечает один и только один элемент второго, и
обратно.
Можно сказать, что то понятие бесконечно малого, которым
жил классический Анализ, начало постепенно исчезать.
Бесконечно малое переставало быть тем, что изменялось,
имея своим пределом нуль, или что опускалось ниже всякой
поставленной границы; оно становилось тем, чю можно сделать
по абсолютной величине меньше всякого данного
положительного чис%а.
Если обозначить последовательность чисел, получаемых в
процессе Евклида, через пъ «2, сг3, .,. , <хп, то, говоря современным
языком и избегая термина «бесконечно малое», мы можем, как
это принято в современном Анализе, написать ял <" в (= > 0) при
п > •/, т. е. можно взять v настолько бочыним, что для значений п,
больших v} величина ап будет меньше наперёд заданного
положительного числа г. Конечно, при этом мы сближаемся с
Евклидом, удаляясь от Д'Аламбера.,
Такая последовательность операций, когда от данной
величины отнимают не менее ее' половины, от остатка тоже отнимают
не менее его половины и т. д., называется иногда алгорифмом
Евклида. Во избгжание возможных недоразумений (смешение
с известным алгорифмом, изложенным в предложениях 1—
3 |шиги VIE) мы будем говорить в этом случае о процессе
Евклида.
Этот процесс, как известно, является основной
операцией при доказательстве различных положений в теории
множеств.
Мы например, его употребляем, когда доказываем, что
бесконечное, но ограниченное множество имеет обязательно
точку сгущения (причём берем случай деления не па неравные
части, а пополам).
Пусть дано множество точек бесконечное, но ограниченное,
т. е. помещающееся на отрезке АВ. Разделив этот отрезок
пополам точкой С, мы должны утверждать, что данное множество
бесконечно по крайней мере в одной из половин АС или С# (ибо
в противном случае оно было бы конечным). Так же мы поступаем
с той половиной, например АС, где оказывается бесконечное
множество точек, и т. д. В результате, употребляя процесс Евклида
и используя его теорему, мы должны будеч уместить
бесконечное множество точек на сколь угодно малом отрезке. В это
доказательство вводится поправка, благодаря которой
интуитивный материал исключается.


К КНИГЕ X 363
Обозначая координаты концов стягивающихся отрезков (т, е.
расстояния их от начала отрезка) через
«1 < а2 < я3 < ... < ат
h>h>b3>...> Ън,
мы будем иметь две монотонные последовательности с разностью
Ьп—~ап, которая может быть сделана как угодно малой,
Последнее устанавливает существование предела для
начальной и конечной точки стягивающихся интервалов, т. е.
существование на только сгущения, но а точка, в окрестности
которой происходит это сгущение.
6. Второе доказательство предложения 1. В приложениях
к 3-м.у том}' ч<Евклидовых Начал/ в издании Tcinepra помещено
и другое доказательство предложения 1:
■(Первая теорама иначе,
Положим две нер.-ишме величины ЛЯ, С; н поскольку С
меньшая, то она, взятая кратной достаточЕюе число раз, когда-нибудь
станет больше величины АВ. Пусть это случится <сеё кратным>
?М\ раздежш его па равные С'^часпу, к пусть они будут МО,
GH, НЕ и от АВ отнимем большую чем половина <часть> BE,
и or £,4 —бблыпую чем половина <часть> ED, и будем это
делать постоянно, пока <количсство> делений в IM не сделается
равным -(количеству), делений в АВ. Пусть это случится с BE,
EDt DA, и пусть DA будет равна каждой из КЕ, LN, NX, и
будем это делать, пока <количество>
делений КХ не сделается равным ДВЕ 8 С
<количеству делений> IM (черт. 1). —' ' '
И поскольку BE больше половины t .
ВА, то БЕ будет больше ЕА; значит, м q у /
тем более, она будет больше DA.
Но DA равна XN', значит, БЕ будет у 1 1—-
больше NX. Опять, поскольку " ED KIN*
больше половины ЕА, она будет' боль-
ше DA. Но Г)А равна NL, значит, Черт, 1,
ED будет больше NL, Значит, вся
DB будет больше XL, Но Л Л pamia LK. Значит, вся'ВЛ^будет
больше ХК- Но Ml больше чем В А; значит, тем более, Ml будет
больше ХК. И поскольку XN, NL, LK равны между собой, также
и МО, GH, HI равны между собой, и количество <делсннй> в
Ml равно количеству в ХК то значит, будет, что как КЕ к ///,
так и КХ к JM (предложение 15 книги V). Но IM больше КХ;
значит, и HI больше LK (предложение 14 книги V), и [Н равна
С, KL же <равна> AD; значит, С будет больше AD; что и
требовалось доказась»,
7. Аксиома Архимеда. Не следует считать предложение
1 книги X за эквивалеЕгт архимедовой аксиомы, по которой для
любых а а Ь всегда можно найти такое целое число п, что будет
ла > Ь.


364
КОММЕНТАРИИ
Мы уже видели, что в планиметрических книгах Евклид
нигде не" выставляет это положение как аксиому, но вносит
свойство, выражаемое аксиомой Архимеда, s определение
величин, между которыми может существовать отношение
(определение 4 книги V).
Архимед же вполне определенно выставляет следующее
положение в форме аксиомы;
Если даны две неравные величины а и Ь («>&), то кратное
их разности (а — Ь) может превюйти всякую данную величину.
Есть основания приписывать первое выявление этой аксиомы
Эвдоксу7). За это, между прочим, говорят слова и самого
Архимеда, который замечает, что этой леммой пользовались другие
геометры, например, пря доказательстве предложений о том, что
площади кругов относятся между собой как квадраты радиусов
или объёмы сфер —как кубы радиусов, а также при ОЕфеделенин
объёмов пирамид и параллелепипедов.
Все эти открытия приписывают Эвдоксу,
Мы проанализируем, пользуясь современным обозначением
зависимости как первого, так и второго (в дополнениях)
доказательств от архимедовой аксиомы.
В первом доказательстве своим процессом Евклид из
«получает отрезки
а а а
cl<i' е*<4 r»s=27''
Он задает произнольно Ъ и строит отрезок
d^-nb,
где п означает порядок сп.
Но можно всегда, нл основании аксиомы Архимеда, п
выбрать так, чтобы выполнялось неравенство
пЪ > а,
я > ^1 4-<** 4- ■•■+ '*.
nby ci-\-c24-... + сп.
с„ < <:„_, < .. . < cj (*)
а так как
то, следовательно,
Но
и потомv
П'Сп < Cj-f-C., 4~- • • + сп<
значат, псп < пЪ а сп < Ь,
7) Eutocius, Comment, в «Archimedis Opera omnia* ed.
fioiberg, III, Leipzig, 1880—1881.


К КНИГЕ X 365
Втарое доказательство тоже включает утверждение о
возможности подбора такого п, чтобы выполнялось неравенство
u-~nbl> а.
Здесь ароитси ещё отрсюк псп~=1, который в силу
соотношения {*) будет меньше а, и, следовательно, меньше й. Затеи
используется" пропорция
cn:b — t:d.
и из того, чю / < (/, заключается, чю также
ся < Ь.
8. Парадокс Зенона8). То. чго Евклид в своём процессе {см.
комментарий 5) не мыслит ни актуально ни потенциально беско-
печЕю малого, мы вполне выявим анализом того настроения умов,
в атмосфере которого он жил. Здесь следует вспомнить
парадоксы Зенона (около 490—430 до н. э.), философа элейской
школы, в которых н настоящее время часто видя! гораздо больше
того, что в них заключается.
Если попытаться выразить языком евклидовых «Начал»
сущность возражений Зенона против движения, ю можно, пожалуй,
сказать, что она сводится к следующем}.
Движения не существует. Почему? Потому, что движущееся
тело должно было бы завершить не завершающийся евклидов
процесс.
Быстроногий Ахилл, говорит Зенон, не может догнать
черепахи, так как, когда Ахилл передвигается на по.човину рассгояния
от черепахи, последняя передвигается на небольшое расстояние,
которое она прошла в то же время. Когда Ахилл передвигается
опять на половину остающегося расстояния, черепаха тоже
переменяет своё месго, продвигаясь вперёд, и т. д.
ЭШг процесс деления пополам расстояния между черепахой
н Ахиллом никогда не может быть закончен. Отсюда делается
заключение, что Ахилл никогда не догонит черепахи.
На первый взгляд кажется, что простейшим объяснением
парадокса является следующее. Зенон из того, что ему
потребуется бесконечное время для завершения процесса Евклида,
неправильно заключает, что результат этой операции не
существует.
Но действительная причина здесь лежит несколько глубже:
невозможность выводится из того, что завершение эюй операции
предполагает актуальную бесконечность, т. е. завершённою
бесконечность, с которой мы вполне примирились, — более тою:
положили в основу логического обоснования Анализа,—но
которая в глазах древних всегда являлась понятием неприемлемым.
8) А. М а к ове л ь с кнй, Досократики, ч. 2, Казань, 1915.—
С. А. Богомолов, Актуальная бесконечность, Л. — M.f 1934.


366 КОММЕНТАРИИ
Аристотелевская критика зеноновоких парадоксов
основывалась на установдеЕШИ различия между актуальной и
потенциальной бесконечностью и признанини потенциально-бесконечной
делимости характеристическим свойством непрерывного.
«... Ошибочно рассуждение Зенона;, —указывал
Аристотель9),—«что невозможно пройти бесконечное, т, е. коснуться
бесконечного множества отдельных частей в ограниченное время.
Ведь длина и время, как и вообще всё непрерывное, называются
бесконечными в двояком смысле: или в отношении деления или
в отношении границ. И вот, бесконечного в количественном
отношении нельзя коснуться в ограниченное время, бесконечного
согласно делению — возможно, так как само времнвэточ смысле
бесконечно >.
Хотя некоторые авторы и стараются в <Зфодике» Архимеда,
в псевдоаристотелевском сочинении «Q неделимых линиях» видеть
что-то вроде актуально бесконечно малого в актуально
бесконечном числе10), т. е. неделимые Кеплера Ч) и Кавальериi2),
по, вникнув глубже в античную мысль, мы не найдём ничего
такого, что бы вполне определённо и ясно говорило за эту точку
зрения, а изучение хода средневековой мысли уже вполне
выявляет ту эволюцию мысли, которая от отрицания бесконечности
привела к её признанию сперва в теологической, затем
космологической и, наконец,, математической области,
То же следует сказать о потенциальной бесконечности,
заключающейся в понятии предела. Я не буду разбирать довольно
тонкий вопрос о различии аристотелевского понятия потенции
и просто логической возможности, которая входит в даламбе-
ровское и современное понятия математической потенциальной
бесконечности. Отмечу лишь, qfo в аристотелевском понятии
потенциальной бесконечности предполагается только переход
через все ставящиеся границы, но понятие это не заключало
и следа приближения к определённой цели. в
Как Евклид смотрел на свой процесс?
Я думаю, что того противоречия, которое видел Зенон,
Евклид не видел. Он не видел в нём актуальной бесконечности.
Вернее всего, он стоял на точке зрения Аристотеля. Влияние
э) Аристотель, Физика, кн. VI; пер. В. П. Карпова, 1937.
10) Ф. П е т р у ш е в с к и й, Архимеда две книги «О шаре и
цилиндре*, «Измерение крута:-, и «Леммы-:, СПБ, [823. — Аг с h i-
inedis opera omnia, ed. Heiberg, Leipzig, 1880 — 1881, vol. II,
^Квадратура параболы».
ai) Kepler, Nova stereometria dolionim viiiariormn {Linz,
1615). Русск. перевод: .<Новая стереометрия вннкых бочек>>,—
М. — Л., 1935.
12) Cavalieri, Geometria indivisibilium conUnuorum nova
quadam ratione promota, 1635. Бонавентура Кавальери,
Геометрия неделимых, пер. С, Я. Лурье, 1939.


К КНИГЕ X 367
логики Аристотеля13) Eia Евклида стоит вне сомнения. Я думаю
что аристотелевское решение элейских парадоксов б.)1ло в то
время принято большинством, в том числе и Евклидом.
9. Необходимое и достаточное условие несоизмеримости.
Евклид доказывает, что невозможность ограничиться конечным
числом шагов в применении его алгорифма является достаточным
признаком иррациональности. В сущности для доказательства
иррациональности это только и нужно,
Но, как указывает Клаиий1*), имеет место и обратная теорема:
Если из двух данных несоизмеримых величин всегда
вычитается меньшая из большей попеременным вычитанием, то
никогда последующая не будет измерять предыдущую.
Пусть, говорит Кллвцй, из двух величин АВ и CD
вычитается меньшая АВ из большей CD и остаётся остаток ED. Также
пусть из АВ вычитается ED, остаётся FB и т. д. Я утверждаю,
что при таком попеременном вычитании [[икогда последняя не
будет измерять предыдущую.
Ибо, если это будет, то FB измерит предыдущую ED. Но
вследствие того, что ЕВ измеряет ED, a ED измеряет AF, то
РВ измеряет также и AF. Но она измеряет себя. Поэтому FB
измеряет и целую АВ, Но АВ измеряет CFt так что ЕВ
измеряет и СЕ. Если теперь принять, что FB измеряет ED, то FB
измеряет и целую CD. Hj доказано, Ч10 FB измеряет АВ и
потому FB измеряет обе АВ и CD, что противоречит
предположению о несоизмеримости АВ и CD.
Геометрический алгорифм Евклида вполне отвечает
арифметическому; доказательству теоремы 2 и решению задач 3, 4
вполне отпечают предложения 1—3 книги VII. Следует только
вместо чи»ла поставить величину и вместо измерения" в
арифметическом смысле (по-нашему— деления) поставить геометрическое
измерение.
10. Соотношения между величинами и числами.
Предложения 5—8 образуют замкнутое целоз и разбирают вопрос: когда
отношение межлу двумя величинами можег быть выр<шеяо в
числах? Ответ на поставленный вопрос заключается в том, что это
имеет место только для соизмеримых величин.
В рассуждениях Евклида имеется один существенный пробел.
Определение пропорциональности между числами установлено
Евклидом в определении 21 кнш и VII;
Числа являются пропорциональными, если первое от второго
и третье от четвёртого будут равнократиыми, или той же самой
частью, пли теми же «частями».
Определение пропорциональности величин дано в
определении 5 книги V.
13) Aris to teles, Analytica priora, Opera omnia ed. Didot,
1848-18d9.
14) Clavins, Opera math., 1612; Elem. End. lib. X, prop. 2,
crp. 399.


368
КОММЕНТАРИИ
«Говорят, что величины находятся в том лее отношении,
первая ко второй и третья к четвёрюй, если рацнократные первой
и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или
одновременно меньше равнократных второй и четвёртой каждая
каждой при какой бы то пи было кратности, если взять их в
соответственном порядке».
Ниоткуда не следует, что иервое определение является
частным случаем второго. Соответствующее доказательство было
включено Симеоном в его издание Евклида (см. Heath, The
thirterm Books of Euclid's Elements, vol. II, 12b, 2-е изд.,
Cambridge, 1926).
Нужную нам часть доказательства можно изложить так.
Если числа а, Ь, с, й составляют пропорцию
то, согласЕю определению ^1 книги VII,
a = mb, c = mdy
где щ — некоторое рациональное число.
Возьмём два любых числа р и q\ тогда, если
mp~q,
то и
pa^qb, pc^fjd,
а это и означает, что наши числа будут пропорциональными
в смысле определения 5 книги V,
Если теперь будем большими буквами изображать величины,
а малыми числа, то для двух соизмеримых величин Л и Ас
общей мерой С будут иметь место равенства
А = dC, В — еС,
где й и г будут некоторые вполне определённые целые числа.
Так как
А я в
c = d> с=е'
то
A__d_ _B__J>_ _С ___[
С ^ 1 ' С — 1 ' В ^ е '
откуда, «по равенству»,
В ~ е '


d '•
A d
"C "~T'
A
I —
eC—-l.
С 1
1 ' ' e
d
e
к книги x 36У
Таким образом, А по отношению к В н й по отношению к е
будут равнократными, т. е. пропорциональными в смысле 21, VH;
поскольку же доказлю, что 2], VH будет частным случаем 5, V,
то величины А я В будут пропорциональными числам due
и в смысле определения 5 книги V,
В предложении 6 доказывается обратная теорема: если "
Ad , л
— = — , то существует общая мера для А и В.
Имеем:
«По равенству» ,
Из равенства отношений — заключаем, что
А —А-
в — 1 '
по предложению 9 книги V это равносильно равенству Й~/.
Поскольку же С есть оЗщ-щ мера А к /, то, значат, она будег
общей мерол и для А и B — I.
Доказательства предложений 7 и 8 из требуют пояснений,
[И. В.)
11. Другое доказательство предложения 6. В приложении
к изданию сЕнклитоиых Начал) Гейберга приводится также и
следующее доказательство этой теоремы.
<\6-е предложение иначе. /<_ .,- ,
Пусть две величины А, В имеют
между" собой отношение, как число h——■ ■■ ■ /■
С к числу 0\ я утверждаю, что эти п
величины будутсоизмеримыми(черт.2). ? " '
Действительно, сколько будет в Чепт 2
С единиц, на столько равных <частей> ^ ' '
пусть бутет разделена А, и пусть Е
будет равна одной из них; значит, будет, что как единица к числу С,
так и Е к А (предложение 15 Кешги V). Будет лее, что и ка.< С к D,
<так и> А к В; «но равенству» (предложение 22 книги V), значит,
будет, что как единица к D, <так н> Е к В. И единица измеряет D;
значит, и Е измеряет В. Также и Е измеряет А, поскольку и
еднинца <измеряет> С; значит, Е измеряет каждое и.! А\ В;
24 Евклид


370
КОММЕНТАРИЯ
значит, А, В будут соизмеримы, и общей их мерой будет Е,
что и требовалось" доказать4).
12. Теорема Теэте:а. Предложение 9 книги X равносильно
утверждению, что корень из неточного кватрата не может
выражаться соишеримым числом.
В формулировке теоремы («соизмеримы в степоки») интересно
отметить одно обстоятельство, указывающее, до какой степени
прочно и уме греческого математика укоренилась идея о
целочисленной пропорциональности.
Первоначальное определение отношения (определения 3, 5
книги V) предполагало целое число, указывающее, во сколько
одно чиою или одна величина больше другой: так появилось
представление о с-ластн (\>.1р~.)л и «крагшм' (ir>UuitHaLc;)», т. е.
в нашем смысле об п и —, где п— целое число. Дальше
произошло расширение понятия отношения па дробные числа (в нашем
смысле), возникло определение 4 книги VII, понятие 'частей
(|iFpr,)'\ т. е. — . Нужно, однако, отметить, что евклидова «дробь>>
в действительности представляла пару целыч чисел тип, при
помощи которых выражалось данное отношение. После открытия
иррациональности Jr2 пришлось отказаться от возможности
выражения в целых числах всех отношений величин; однако наряду
с несоизмеримыми линейно (]*iy-a) возникли соизмеримые в
степени (8и''<1}ш), отношение квадратов которых выражалось при
помощи целых чисел.
Несоизмеримость У2 была установлена пифагорейцами, по
всей вероятности, не позже середины V в,; несоизмеримость
1' 3, У~Ъ. ... , У~П знал уже Феодор Кирепский, учитель
Платона, во второй половине V в.; наконец, несоизмеримость ,
квадратного корня из неточного квадрата была установлена Тезтетом
(первая половина IV в,), как о том свидетельствует схолия к
рассматриваемому предложению (предложение 62 книги X, Eiiclides
(Heioerg), V, стр. 45J):
«Теорема эта является теэтетовым изобретением и о ней
упоминает Платон в «Теэтете'1, по там она находится в более
частном виде, здесь же в более общем; действительно, там он
говорит о том, что квадраты, измеряемые квадратными числами,
имеют ii стороны соизмеримые. Но это более частное
предложение, ибо оно не охватывает все соизмеримые площади, у которых
и стороны являются соизмеримыми».
Предложение 9 с пашей точки зрения сводится к равенствам
А:В — с\а,
где А, В —длины, а с, d—измеряющие их отношение целые
числа.


К КНШЕ X 371
У Евклида доказательство идёт сложнее. При доказательстве
Прямой теоремы он от равенства
A\B^c:d
восходит к равенству A3:B2 = c2:d2 при помощи ссылок: 1) на
предложение 20 книги VI — отношение площадей подобных
фигур равно двойному отношению сходственных сторон, 2) па
предложение 11 книги VIII — отношение квадратных чисел равно
двойному отношению их сторон —■ и 3) на положение, что равенство
двух отношений влечёт за собой и равенство соответствующих
двойных отношений, которое у Евклида нигде специально не
выражено, но может быть получено в результате некоторого
видоизменения предложения 22 книги VI.
Доказательство обратной Теоремы опирается на обратное
положение, что равенство двойных отношений влечёт за собой
и равенство простых отношений (И. В.).
13. Другое доказательство предложения 9. В приложении
к 3-му тому гейберговского издания Евклида приведено ещё
следующее доказательство;
«9-е предложение иначе (черт. 3).
Действительно, поскольку А соизмеримо с В, то оно имеет
отношение, как число к числу (предложение 6). Пусть оно будет
иметь <отношение>, как С к D, и пусть С, умножая само себя,
произведёт £, С же, умножая D,
произведёт /, D же, умножая само себя, произае- Л >— 1
дёт И. Поско |ьку теперь С, умножая само
себя, произвело Ё, умножая же D, произ- " ' '
вело /, то. значит, будет, что как С к D, g — .
т. е. как Л к В, [так и] Е' к /(предложение
17 книги VII), Но как А а В, так и <квад- В '
рат> на А к <прямоугольнику> между А, В\ г , __<
значит, будет, что кап квадрат на Л к <пря-
моугольнику> между А, В, так и Е к I. •/ > >
Опять, поскольку D, умножая само себя, р
произвело //, С же, умножая D, произвело/, h '
то значит, будет, что как С к D. т. е. как Черт А.
А к В, так \i 1 к Н (предложение 17 книги
VII). Но как А к В, так и <прямоуголь-
иик> между А, В и <квадрату> на В; значит, будет, что как
<прямо\тольнйк> между А, В к <квадрату> па В, так и / к //,
Но как <квадрат> на А к ^прямоугольнику) между А, В, так
было и£"к /; «по равенству» {предложение 22 книги V), значит,—
как <квадрат> на А к <квадрату> на В, так а Е к N. Каждое же
нэ Е, //—квадрат; и5о Е есть <квадрат> на С, И же <квад-
рат> на D; значит, <квадрат> па А к <квадрату> на В имеет
отношение, как квадратное число к квадратному числу. Это и
требовалось доказать.
24*


■*72 КОММЕНТАРИИ
Но вот пусть ■(квадрат) на Л к ■(квадрату) на В будет иметь
отношение, как квадратное число Е к квадратному числу Н;
я утверждаю, что Л будет соизмеримым с В,
Действительно, пусть у Е сторона будет С, у Н же — Д и
пусть С, умножая Д произвздёт /; значит, Е, I, H будут
последовательно пропорциональны в отношении С к D (предложение 11
книги Vlll). И поскольку для <квадратов> на А, В средняя
пропорциональная будет ■(прямоугольник) между Л, В, для Е, Н же
<среднсй пропорциональной будет) /, то значит, будет, что как
<квадрат> на Л к -(прямоугольнику) между Л, В, так и Е к /.
Как же -(прямоугольник) между А, В к <квадрату> на В, так и
1 к И, но как <квадрат> на Л к' <прямоугольнику> между Л, В,
так и Л к В. Значит, Л, В будут соизмеримыми; ибо олн имеют
отношение, как число Е к числу / (предложение 6), т. е. как С
к D; ибо, как С к Д .(так и) £к/; ибо С, умножая само себя,
произвело Е, умножая же D, прои-знэло / (предложение 17
книги VII); значит, будет, что кап С л А так и Е к /».
14. Доказательство существования несоизмеримых чисел.
Основная цель предложения 10 и предшествующей ему ^еммы
заключается в том, чтобы показать факт существования
величин, которые не будут соизмеримы ни линейно, ни даже в
степени.
Это доказательство основано на арифметической теореме
(предложение 26 книги VIII), что подоэные плоскостные числа
имеют отношение, как квадратные числа, и обратно, что
неподобные плоскостные числа не могут относиться, как квадратные
числа.
Чтобы найти прямую, только линейно несоизмеримую с
заданной прямой Л, берём два числа В и С, не выражающие
отношения точных квадратов, и строим прямую D по уравнению
A2:D2—B:C.
Такую прямую D можно построить согласно предложению 6: она
будет соизмерима с Л в степени, но несоизмерима линейно.
Но если отношение A:D не выражается соизмеримым
числом, то отношение А:Е, где Е—средняя пропорциональная между
Л и D, удовлетворяющая пропорции Л :£=£:£), не будет
соизмеримым даже в степени, так как
(AY—A £_±-
\Е ) ~~ Е ' D~~ D '
это же последнее отношение несоизмеримо.
В обозначениях Евклида дело обстоит несколько сложнее:
ему приходится доказывать, что если
Л*_Л
Е*~ D


К КНИГЕ X ' 373
и Л, D несоизмеримы линейно, то будут несоизмеримы и А2, Е*.
Доказательство же это даётся лишь в следующем предложении
(И), которое в ватиканском манускрипте «Начал» нумеруется
J0-м. На этом основании, а также и по некоторым другим
соображениям Гейберг считает принадлежность этого предложения
Евклиду весьма сомнительной. •
В «Приложении» Гейберг даёт следующее окончание текста
предложения 10.
«Значит, к предложенной прямой, рациональной, от которой,
как мы сказали, берёгся мера, например Л, приисканы
соизмеримая в степени, т. е, рациональная только в степени, ^прямая). D,
иррациональная же Е. Действительно, иррациональными вообще
он называет <прямые>, которые ни линейно, ни в степени не
соизмеримы с рациональной.) (И. В.).
15. Свойства несоизмеримых величин. Легко доказываются
следующие теоремы для величин Л, В, С, D.
(11) Если A:B~C;D и А соизмерима с В, то и С
соизмерима с D.
(12) Если А соизмерима сСиЙ соизмерима с С, то А
соизмерима с В (транзитивность соизмеримости).
(13) Если А соизмерима с В и несоизмерима
с С, то а В будет несоизмерима с С.
В х приложении» Гейберг даё'т ещё одну теорему,
аналогичную предложению 12.
«К предложению 13 лемма па основании
приведения к абсурду.
Если будут две величины и одна будет
соизмерима, другая же несоизмерима с одной и той же,
то неличины будут несоизмеримыми (черт. А).
В самом деле, пусть будут две величины Л, В и иная С, и
пусть Л будет соизмерима с С, Вжь с С несоизмерима. Я
утверждаю, что и Л будет несоизмерима с В.
Действительно, если Л соизмэрима с £, также и С С Л, то
значит, и С будет соизмерима с В (предложение 12); это же не
предполагается-* (И. В.).
16. Теорема Пифагора и иррациональности. В истории
возникновения теории иррациональных чисел теорема Пифагора
сыграла очень большую и влжную роль. Исследования последних
лет позволяют Пролить некоторый свет иа историю её
возникновения и условия, определившие развитие процесса постепенного
установления эгой теоремы.
Первичной формой её выражения был знаменитый египетский
треугольник со сторонами 3, 4, 5, существование которого
засвидетельствовано для эпохи постройки второй большой пирамиды,
принадлежащей фараону Хефрену (около 2800 до ч. э.).
Возникший первоначально в связи с необходимостью построения
прямого угла, треугольник этот в дальнейшем положил начало удобной
мере площади; следы этой меры сохранились в старой русской
десятине, равнявшейся 2400 кв. сажен и представлявшей площадь


374 КОММВНТАРИИ
прямоугольника
ЗОХ80 = ЗОХ(40 + 40)
или
ф 40 X 60 = 40 X (30+ 30)
кваэратныл сажен. В дальнейшем развитии теорема Пифагора
оказалась связанной с вопросами архитектурной планировки и
членения зданий. В первом тысячелетий до н. э. в вавилонской
и индусской математике появляются и другие, отличные от 3, 4,
5, тины целочисленных прямоугольных треугольников.
В относящейся ко II в. до п. э. индусской <хутре шнура»
Апастамбы приведён ряд операций с площадями, требовавших
применения теоремы Пифагора, которая была известна индусам
во всей общности, правда, не для прямоугольного треугольника,
по для прямоугольника, в котором квадрат диагонали равнялся
сумме квадратов сторон. При помощи теоремы Пифагора
производились удвоения, утроения и т. д. площадей; диагональ
квадрата называлась dvikarani (делающая вдвое) его стороны; диагональ
прямоугольника, построенного на стороне квадрата и его
диагонали, называлась trikarani (делающая втрое); треть её составляла
так называемую trtiyakarani (делающая в треть). На практике
индусам приходилось доходить даже до saptamakarani
(усемеряющая). Эта индусская терминология находиг свой отзвук в
греческих cinUcioi;, тр^Хйзю" 3-jvaij.Et (двойной, тройной в квадрате),
употреблявшихся для обозначения квадрата с площадью вдвое,
втрое больше первоначального. Среди искусствоведов существует
теория (Хэмбидж), что пропорции греческих -здании, а также
и художественных произведений были основаны на целочисленной
пропорциональности не линий, по именно площадей; с этим
вполне согласуется то обстоятельство, что наши иррациональные
числа У~2, К^З и т. д. у греков считались только особым видом
рациональности; они назывались «рациональными в степени»
(еВКЛИДОВО pT|TOl S-JVCtjlEt).
При помощи теоремы Пифагора индусы складывали н
вычитали площади квадратов, причём построения их лишь в деилях
отличались от тех построений у йа + &2 н У а2—&-', которые
изложены в лемме к предложению 14 книги X Евклида.
Предложение 14 устанавливает, что для четырёх
пропорциональных величин
разности а2 — № и с2 — d2 будут одновременно представлять
квадраты величин или соизмеримых линейно с первым вдевдц
отношения (а и с) или же несоизмеримых,


К КНИГЕ X
375
Доказательство развивается так: положим а2 — Ь* = е2 и
с2 — d2~t2; тогда из равенства
аг __с2
"Р ~" 7Г3
получаем
№ — ds
или
Сравнивая (мы сказали бы «перемножая») пропорции
а с Ь __ d
b ~ d ' е ~ i '
получаем
откуда следует, чю оба эти отношения будут одновременно
выражаться или рациональными, или же иррациональными числами.
{И. В.)
17. Квадратные уравнения и теория иррациоиальвостей.
Предложения 15 и 16 представляю: вводные теоремы к весьма
важным предложениям 17 и 18.
Общая формулировка этих предложений может быть дана
в таком виде.
Если имеются прямые а, Ь, с, удовлетворяющие условию
а-\-Ь = с,
причём ал Ь будут соизмеримы (или несоизмеримы) друг с
другом, то и с будет- соизмерима (или несоизмерима) с каждой из
них.; обратно: если с соизмерима (или несоизмерима) с одной
из я, ft, то и а, Ь будут между собой соизмеримы (или
несоизмеримы).
Доказательство предложения 15 не треоуег пояснений;
доказательство 16 ведётся or противного. Если а и Ъ несоизмеримы,
то и с будет несоизмерима с каждой из них. Действительно, если
бы она была соизмерима, например, с а, то была Сы соизмерима
и с остатком Ь\ шачит, а и Ь были бы соизмеримы, что противно
предположению.


376
КОММЕНТАРИИ
Точно так же, если с несоизмерима с а, то и & будет
несоизмерима с а; в противоположном случае а было бы соизмеримо
с с, что противно предположению.
Аналогично можно объединить и формулировки парных 'между
собой предложений 17 н 18.
г\ели а и & суть две прямые '(а >£) ид разделена на две
части х я у, удовлетворяю-
f ff.~ щие уравнениям
i &3
хЛ^у—а, ху^^,
то разность аг~Ьг будет
представлять квадрат
прямой, которая будет
соизмерима или несоизмерима
линейно с й, в зависимости от
того, будут ли соизмеримы
или несоизмеримы между
собой хну.
Ш представляет квадрат соиз-
Черт. 5.
Обратно, если разность
меримой или несоизмеримой с а прямой, (о соответственно будут
соизмеримы или несоизмеримы и её части х и у.
Доказательство прямой теоремы обоих предложений 17 и 18
сводится к следующему.
На линии ВС = а (черт. 5) строим прямоугольник с
основанием BD = x так, чтобы было
BD-DC = x{a~ *) —^-,
и делим ВС в точке Е пополам.
По предложению 5 книги И
BD-DC^rED'i=EC2,
что в наших обозначениях равносильно равенству
, {а \ з а3
которое после умножения на 4 даёт:
Ах (а—х)-\-(а~ 2х)2 — да
ил и
&а_[_ fa^2xf = а2.
Отекла мы видим, что
-ft2 — (a — 2xf,
Если теперь х и а— х соизмеримы, то, согласно
предложению 1о, а будет соизмеримо с х, а затем и с 2х-~а, что ц ВЛ-
азывает первую часть предложеЕшя 17.


к книге х 377
Если же л: и а—х не будут соизмеримы, то, согласно
предложению 16, а не будет соизмеримо с х, а следовательно, и
я — 2х.
Обратно, если а — 2х будет соизмеримо (или несоизмеримо)
с а, то легко докажем, что и а~х будет соизмеримо (или
соответственно несоизмеримо) с х.
Доказательство Евклида проводится так:
1) Дано: а—-х соизмеримо с х.
Тогда:
а соизмеримо с х (15, X),
х соизмеримо с 2х (6, X),
а соизмеримо с 2х (12, X),
а соизмеримо с а — 2х (15, X).
2) Дано: а. соизмеримо со — 2х.
Тогда:
а соизмеримо с 2х (15, X),
2х соизмеримо с х (6, X),
а соизмеримо с х (12, X),
а — х соизмеримо с х (15, X).
Аналогично проводится доказательство и предложения 18, только
вместо «соизмеримое ставится <несоизмеримо» (кроме положения
«.г соизмеримо с 2.v,;) и в ссылках предложения 12, 13 X
заменяются предложениями 13, 16 X.
18. Условия рациональности корней квадратного
уравнения. Это 17-ое предложение является основным и широко
используется Евклидом, в его
доказательствах.
Если даны две прямые
а и Ь {а > Ь) и к а
прилагается прямоугольник ABCD
так, что по отнятии от него
квадрата EFCD остаётся пря-
моутльник ABFE, равный
четверти [Шадрага, построенного на
Ь, причём разность между
квадратами, построенными на а и
на Ь, соизмерима с а в смыс- Черг. 6.
ле Евклида (т. е. не только
а2 #1 с й3, а и У'а2 — V1 с а), то основание оставшегося
прямоугольника {а — х) = АЕ и основание квадрата x = ED
соизмеримы линейно.
Евклид строит прямоугольник ABFE t,ik, что до
прямоугольника ABCD, который может быть построен на данном отрезке AD,
недостаёт квадрата EFCD (черт. 6).
Это построение представляет частный случай построения,
рассматриваемого в предложении 28 книги VI: к данной прямой
приложить параллелограмм (здесь —прямоугольник), равный данной
прямолинейной фшуре(*десь —квадрату) и имеющий недостаток.


37S комментарии
подобный данному параллелограмму (здесь— квадрату). При этом
Евклид прибавляет: необходимо, чтобы фигура, построенная ил
половине отрезка и подобная недостатку, была не больше данной
фигуры (равную которой надо приложить).
Мы в комментариях указывали, каким образом именно в этой
частной формэ предложение 28 использовалось для решении
числового квадратного уравнения
х(а— *) = Ь2, (1)
геометрически имеющего следующий смысл: площадь ABFE,
выражаемая через АВ'^АЕ, т. е. (а—-х)х, равна данному
квадрату К
Для корней уравнения
х2 — ах -f- Ь2 = 0 \'2)
имеем формулу
" 2 — У 4
■ Ь\ №
В предложении 17 берётся четверть квадрата или квадрат,
построенный на половине, вследствие чего уравнение (1)
заменяется на
х(а~х) = Ь~, (4)
а (3) принимает вид
V& — Ъ-
Доиолнение к формулировке 28, VI представляет условие
вещественности корней: а^Ь (случаи a=zb Евклид не
рассматривает).
Теорема 17 даёт необходимое и достаточное условие
рациональности корней рассматриваемого уравнения.
— должно быть рациональной
дробью.
19. Системы уравнений 2-й степени. В своих рассуждения*
Евклид заменяет исследование рациональности корней
квадратного уравнения исследованием рациональности решений системы
уравнении
х+^к )
которая приводится к квадратному уравнению
с корнями г = х, у.


к книге х 379
Можно сказать, что Евклид неявно пользуется теми
свойствами корней квадратного уравнения, которые в чисто
алгебраической форме для буквенного уравнения были выявлены Визтой15).
Обычно уравнения (1) берутся в виде
xy = b, I1'
В евклидовом понимании х и у нечиста, а прямые такие,
что их сумма определяется, как рациональная прямая а, а
прямоугольник между х и у есть Ь, т. е. какая-то площадь.
Хотя эта система сводится к квадратному уравнению, но
можно сказать, что Евклид имеет в мысли всегда скорее систему
уравнений первой и второй степени, чем единичное квадратное
уравнение.
X книга приводит н к системам
■* + у —Д, А"3 — У2 — Ь2, (2)
ху^а, x*-y*=№. (3)
Эти системы выражают характерные свойства иррациональ-
ностей X книги.
К ним еще следует прибавшь уравнения
ху = а, х:у^— т\п, (4)
дающие прямоугольник между х, у и отношение х к у; затем
систему
хг — д>2= Ь", х:у — т:п.
Вместо минуса можно брать плюс. Конечна, и в этом случае
системе уравнений будут отвечать некоторые свойства, которыми
оперируют «Начала». Соотношение х--\-уг=^№ выражает, что
х и у гаковы, что сумма квадратов, построенных на х и у как
катетах, равна квадрату, построенному па Ь как гипотенузе.
Следует отметить, 'чго система (4)'даётся ещё в
древнеегипетском папирусе Kaxyiia в числовой форме:
ху — \% х:у=---1:-£,
Более того, там имеется система х%-\~у2 — ЮО, x:j/=l: —
Интересно то, что уравнение это не приводится к квадратному,
а решается «фальшивым правилом?- (Regnla falsi). Полагая х==]
3 25
н у—-j, получаем •**-[-,У3 = 7^> так что вместо 100 имеем
1Б) F. Viet a, De aequationum recognitione et einendationc
tractatus duo, 1591.


380
КОММЕНТАРИИ
,A25 5
1/ Tfi—т"' это УказЬ1вае1\ чт0 ■* нужно изменить в отношении
5
10 ;Т™8' т' е' liJ9Tb x~s-
Особенное развитие системы квадратных уравнений получили
в «Арифметике1) Диофанта.
Там мы находим системы, рассматриваемые уже определённо
в числах. Ищутся чиста, удовлетворяющие таким системам, ио
при этом решения ищутся только в положительных
рациональных числах, так как для Диофанта не существовали ни
отрицательные, ни иррациональные числа. При этом для иего не имела
значения определённость или неопределённость уравнений в
нашем смысле. Наряду с системами Двух уравнений с 2
неизвестными он дает системы двух уравнений с 3, вообще п уравнений
с т > п неизвестными.
Привожу некоторые системы, рассматриваемые Диофантом:
300 х~\~у~а, 310 х-\-у~а, 32ц) х-{-у~а,
xy = f>; х2-\-у2 = Ь; x2 — jP~b\
33]) х — у = а,
ху = Ъ.
Коллекция таких систем обогащается средневековым
математиком Савасордок, затем в особенности Неморарием, о которых
буду ниже говорить, и Леонардо Пизанским, у которого особенно
интересной является система
х + у—\0,
у х
которая уже не «столковывается на евклидовском
геометрическом языке, но приводится к квадратным уравнениям заменой
— iid z, а — на У о — г,
х У
Затем упомянем о системе у-\-У~х2-\-уг= 1Ь1х~у--=2,
которая, наоборот, очень просто выражается в евклидовых
терминах.
То же следует сказать и о системе х-{-у-{-z ~ 10, xz = y2,
z2-{- v3 = х2, которую Леонардо решает с помощью Reguja falsi.
Я сказал, что Евклид мыслит больше системой, чем
единичным уравнением. Но то же можно сказать и о средневековом
математике Иордане Неморарии1б). В некоторых его задачах
основой является система ^rt.v = a, xy = f>.
чб) Ne га о г а г in s, De mimeris datis, ed. P. Treutleiii, Abh,
Gesch. Math., 2, 1879, стр. 127—166.


К КНИГЕ X
Дальнейшая история идёт через Пачиоли1'), Кардана Щ,
Рудольфа19) Штиффеля20).
20. De numeris datis. От Евклида и тут три направления,
ведущие к числовому решению уравнений:
"Одно —от И книги к VI (предложения 28, 29), приводящее
к графическому решению квадратного уравнения, а затем к тому
геометрическому обоснованию числовых и буквенных формул,
разрешающих из тотько квадратное уравнение, но и кубическое,
которое мы находим в старых Алгебрах вплоть до Виэты.
Другое — от «Данных^ Евклида 21) и, наконец, третье — отХ книги
«Начал».
В знаменитом средневековом сочинении Иордана Неморария ss)
мы, конечно, больше всего видим продолжение второго
направления. Сама формулировка предложений аналогична формулировке
предложений в ((Данных», хотя Неморарий уже мыслит числами, а
не геометрическими величинами.
Мы приладим решение квадратного уравнения трёх типов,
Причём отметим интересное явление: для каждого из них
Неморарий прилагал различный приём.
Уравнение
л*+ &*■=!* (1)
он сводит к системе уравнений первой и второй степени:
у — х = b, (2)
ху = d, (3)
Эту систему (предложение 5) Неморарий решает так:
(у — xf =b* = h,
(*+y)2 = fc + 4rf^:/, x+y=~- YT (4)
и из (2) и (4) определяются х и у.
Но с уравнением х2—-рх~ q (предложение 8) он поступает
подобно тому, как поступаем мы.
Неморарий пользуется буквенным обозначением.
Щ L. Ра с io И, Sjmma de Arithmetics Gcometrla Proportion!
et Proportionajita, Venet, 1494.
18) Car dan us, Artis magnae slve de regulis algebraids lner
unas, Norimbergae, 1545.
*9) Chris top h Rudolf f, Beiiend und Hudsch Recbmmg
durcii die kunstreichen regeln Algebve so geineincklicti die Goss
genennt werden, Argentoratl (Страссбург), 1525.
*) M. Stiffei, Aritbmetica Integra, Нюрнберг, 1544.
21) Euclldes, Data Opera o,nnla ed. Heibetv, Leipz., 1883—
1896.
аг) См. примеч. 16.


3^2 КОММЕНТАРИИ
Это буквенное обозначение, являясь прототипом буквенной
Алгебры Виэты, сильно отличается от последней; так, аЪ
означает не произведений а на Ь, а сумму а-\-Ь.
Неморарий также рассматривает системы уравнений, но
методы его ближе к современным, чем к диофантовым.
Мы укажем только те, которые сближаются с X книгой
«Начал».
Таковы в IV книге системы
х ~-f- у = т х -\-у =-- т
x2Jry2==s , x'i__y'i--s
В I книге o:i рассматривает системы
x-{-y=^s I х-\~У =s
(x+y)(x — y)—y*-=d I х*+у* + {х + у){х—у) = а
X-\-yrrzs\ X-\-y = S I X~y~--S
x2-\-y2-\-(x~y)2^d\jc*-\-y*-\-x — y = d \^—y^ = dt
которые легко упрощаются на основании простых алгебраических
тождеств, отвечающих предтожениям II книги '(Начал».
21. Числовое квадратное уравнение. Евклид не даёт
решения числового квадратного уравнения. Но бесспорно, что
уже античные математики обладали приёмами решения таких
уравнений.
Но с какого времени? Некоторые настаивали на том, что этими
методами обладал Евклид и 41 о без них будто бы и не могла
создаться X книга %).
* Исследования последних лет (Нейгебауэр и др.) с полной
достоверностью позволяют утверждать, что числовое решение
квадратных уравнений было известно математикам древнего
Вавилона приблизительно за 2000 лет до н. э., причём возможно
даже с очень большой степенью вероятности восстановить тот
процесс, при помощи которого они нашли формулы, дающие
решения квадратных уравнений. Исходной точкой их рассуждений
была задача: зная площадь и периметр прямоугольника,
определить его стороны. Эта задача приводится к системе уравнений
х-\-у = а, xy-—bt
которую вавилоняне решали следующим образом.
2з) Д. М о р д v х а й - Б о л т о в с к о й, Первые шаги буквенной
алгебры, Известия СКГУ, 1928.
ху = т
x2~\-y'2 = s
х* + у*_
хЛ-у"


к книге х 383
В качестве первого приближения они брали
а
и затем подыскивали, какое число z нужно соответственно
прибавить к длине и отнять от ширины, чтобы получить заданную
площадь:
Владея аппаратом элементарных алгебраических
преобразований, вавилоняне без труда получали
откуда■
После этого длина и ширина получались по формулам
а . я | , /"й?~ ~,
а а /а2
>=т-*=т-Кт-»-
Аналогично решалась и система
В качестве вспомогательного неизвестного теперь
принималось среднее значение длины и ширины z, к которому
соответственно прибавлялась и вычиталась половина разности:
что приводило к уравнению
откуда
/а? а , /~а2 , , а
Что эти формулы были получены алгебраическим, а не
геометрическим методом, можно видеть из следующих соображений;


384 комментарии
1) Все корни во встречающихся задачах (а их свыше тысячи)
являются рациональными; около 90*/0 всех задач имеют корнями
х — 30, у = 20.
2) Среди более чем тысячи чадач, относящихся к
классической эпохе развития вавилонской математики {первая половина
второго тысячелетия до н. э.), нет ни одной, где для
составления уравнения или его решения приходилось бы
пользоваться теоремой Пифагора (единственный текст, где она
употребляется при составлении уравнений, относится к селевкидскои
эпохе).
3) При составлении уравнений вавилоняне частенько
складывают длины и площади и т. п., что с точки зрения
геометрического решения является абсурдом.
Наконец, решающим обстоятельством являэтся то, что выше-
праведённая реконструкция вавилонского метода решения
квадратного уравнения действительно имеется в подлинной записи
вавилонского математика (Neugebauer, Mathematische Keil-
schrii'ttexte, т. 3).
To обстоятельство, что в предложении 17 рассматриваются
условия рациональности корней квадратного уравнения, тоже
является аргументом в пользу того, что в эпоху Евклида (а
может быть, и ранее — в эпоху Теэтета) греческие математики
уже были знакомы с числовым решением квадратных
уравнений*.*).
Арабские математики утверждают, что Гиппарх {II в. до п. э.)
рещал числовые квадратные уравнэкия, что вполне соответствует
тому обстоятельству, что Гиппарх во многом шёл по стопам
вавилонских астрономов. Герон 24) также решал числовые квадратные
уравнения. У него встречается задача об определении диаметра
круга, если' дана сумма площади, окружности и диаметра. Эту
задачу приводят в доказательство того, что Герон мыслил не
как Евклид — геометрическими величинами, а абстрактными
числами-
В дошедших до нас книгах .-Арифметики» Диофанта нет
изложения общей методы решения квадратного уравнения, но
есть одна фраза, в которой обещается такое решение,
вследствие чего представляется вероятным, что книга, в которой
находилось это решение, утеряна.
Формула (конечно, риторическая), решающая квадратное
уравнение, даётся Ариабхатой25) (476) и Брахмагуптой311) {598).
*) Часть текста, ограниченная звёздочками, принадлежит
И. Н. Веселовскому. (Прим. ре^.)
&) Heron is, Opera IV, ed. Heiberg, Leipz,. 1912.
*5) Tropfke, Gesdi. der Elementar-Math., Bd. Ill, 3. Aufl.,
1937 (B, 4). —L. Rode t, Legons de calcul d'Aryabhata, Journal
Asiatique, serie 7, t. XIII, Paris, 1879.
m) Colebrooke, Algebfa iro:u the Sanscrit of Brahma^upta
and Bhaskara, London, 1817.


К КНИГЕ X 385
22. Евклид и решение уравнений. Древние строго отличали
Логистику, т. е. искусство вычислять, от Арифметики — науки
о числах. Логистика считалась наукой низшего рода и, в
противоположность индусам, греками очень слабо развивалась.
В VI книге Евклид дает постр >ение, разрешающее те задачи,
которые приводят к квадратному уравнению.
Построение весьма общего характера должно было сузиться
в своей постановке, т. е, параллелограмм должен был заменяться
квадратом. В комментарии 29 к VI книге я показал, как из
этой специальной формы арабы развили графическое решение
квадратного уравнения.
Клавий 2т) нз довольствуется при изложении предложения 17, X
одной ссылкой на предложение 28, VI; он развивает полностью
построение для этого частного случая, когда требуется, задав
две неравные прямые а и Ь, приложить к большей а
прямоугольник, равный четверти квадрата на меньшей Ь с
недостающим квадратом.
Арабские математики находились в той же зависимости от
греческой, как и индусской, в которой вне сомнения решение
числовых уравнений имело место. Если искать здесь влияния со
стороны греческой математики, то его скорее можно найти в
Tptx приемах преобразэваний, коюрые основываются на II
книге, а также в содержании «Данных» Евклида.
Но .Данные тоже не занимаются решением числовых
квадратных ;р, вне inй; они только доказывают, что то, чтб
определяется тема условиями, кшорые пртоЗят к квадратному
уравнению, длно, т. е. существует в евклидовом смысле, иначе
говоря, может быть построено, хотя точно не указывается, как
оно строится.
Наконец, в X книге мы встречаем цели, очень удалённые
от числового решения уравнения — исследование рациональности
и иррациональности геометрических величин (лучше сказать —
соизмеримости и несоизмеримое)!! с данной), определение
которых приводит к квадратному или биквадратному уравнению.
23. Рациональные площади. С предложения "19 античные
комментаторы начиначи второй огдел X книги, как можно
видеть из схотий к предложению 19 (Heiberg, т. V, ЛГ« 132,
стр. 4Щ: «До сих пор нам рассказывалось о соизмеримых и
несоизмеримых, отсюда же об рациональных и медиальных) (Н ei-
berg, JNfa 133), «Вторая глава, в которой он учит о
рациональных и медиальных, соизмеримых в степени и линейно, и о
площадях, которые они заключают, и он сообщил о родстве
медиальной с рациональной, о различии, о способах нахождения и
тому hoioohom :.
"Формулировку начальной леммы Хизс (Т. L.Heath) считает
слишком растянутой, не дающей ничего нового и поэтому
27) Clavius, Opera math., 1612, Elera. Eucl. lib. X, prop. 17.
25 Евклид


386
Комментарии
недостойной Евклида, однако на неё есть (правда, не всегда очень
удачные) ссылки в последующих предложениях (19, 20); во
всяком случае, Гейберг не поместил эту лемму в чсПркложешш»,
как сомнительную.
Предложение 19 и обратное ему 20 с нашзй точки зрения
равносильны теоремам:
1) Произведение двух рациональных величин будет тоже
величиной рациональной.
2) Частное от деления рациональной величины на
рациональную будет тоже величиной рациональной.
Доказательство этих предложений настолько просто, что не
требует комментариев.
В л Приложению) Гейберг поместил следующую лемму к
предложению 20;
«Л ем м а.
Квадрирующая иррациональную площадь будет
иррациональной (черт, 1).
в\
Черт, 7,
В самом дече, пусть А квадрирует иррациональную площадь,
т, е. пусть квацрат на А будет равен иррациональной площади,
я утверждаю, что А будет иррациональной.
Действительно, если А будет рациональной, то и квадрат на
ней будет рациональным; ибо так [стоит] в определениях
(определение 4), Он же не будет; значит, А будет иррациональной;
что и требовалось доказать). (И. В.)
24. Медиаль. В предложении 21 вводится новое понятие
о так называемой медиалн (fiicfj — буквально средня я); так
называется прямая, квадрирующая прямоугольник между двумя
сторонами, выражаемыми квадратными корнями из рациональных
чисел, или, выражаясь языком Евклида,—между двумя
рациональными, соизмеримыми только в степени прямыми; ес.чя
последние обозначать через У а , у $ , то медиаль будет равна
Предложение 21 Евклида говорит, что произведение двух
чисел, соизмеримых только в степени, будет иррациональным,
равно как и квадратный корень из этого произведения.
Доказательство Евклида сводится к следующему:
Если выберем в качестве основной одну прямую, паприйер
Г»=р,


К КНИГЕ X 387
то другая, соизмеримая с ней только в степени, будет
Мы имеем (предложение 1 книги VI):
p:pVA=p2:pa-j/A".
Это равенство показывает, что з2 я р'г )■ k несоизмеримы
(предложение II книги X), г. е. что при рациональном р3
величина рЦ' к будет иррациональна (определение 4), равно как
и её квадрирующая v\/k , которая и называется медиалью.
Предложение 22 является обратным предыдущему: квадрат
медиали, разделённый на рациональную, лает рациональную,
соизмеримую только в степени длину.
В нашем обозначении это свойство является очевидным;
? ~ f ~ У f!'
где под знаком корня стоит рациональное число.
Евклиду приходится итти более длинным путём. Полагаем:
А-=- р/я?, СВ=р (рациональная),
Л2=="|/ар==площ. Я£>.
Требуется доказать, что
плоти. BD „^
—CiT-=CD = x'
где CD несоизмерима линейно с С8—,о.
Если положим HI= CB-CD = р-лг, то из равенства
ллосц. Л7=площ. BD или >ла '|,г; — р-jc следует
(предложение 14 книги VI):
J>-_->X (B£-EL\
yj~ х \Eff -CD}'
и затем (предложение 20 книги VI):
Поскольку же р2, a, p рациональны, то оудет рационально i
а следовательно, н х (определение 4).
Затеи,
Е1:ЕН—.ЕП:Е1~ЕН (>*Т:уТ =о ; Ytf).
Так как £73 = « и С02~х'* соизмеримы и
EJ.EH^BC-CD (l'T-1'J^p..r),
26*


■>УЗ КОММЕНТАРИИ
то, заменив ЕР- = •>. на k-CD2 = kx2, где к — рациональное число,
мы будем иметь:
ЕР.ЕН' — k-CD2:CD-CB=- k-СГхСВ.
Поскольку же Е[='] и и EH~V\ линейно несоизмеримы,
то будут линейно несоизмеримы и k-CD с СВ, или, так как к и
С-й— р рациональны, С Л — х будет линейно несоизмерима с
С8 —р, т. е. с той прямой, к которой прикладывается квадрат
медиали.
Наконец, предложение 23 утверждает, что всякая прямая,
соизмеримая с медиалью, есть тоже медиаль. С нашей точки
зрения это равносильно утверждению, что при рациональном к
будет:
Рассуждения Евклида сводятся к следующему:
Пусть
УЦ = А, а В=-.кА=к\Л§.
Берём рациональную прямую CD=o и строим прямые:
Л2 пдощ. ЕС
— = -тт^г— — ED,
р CD
№ __ площ. С/ .
7" CD ""
Прямая ED~-—-будет линейно несоизмерима с р=-_СО, но
обе прямые ED и DI будут рациональны. Из пропорции
Лэ:£э^площ. ЕС: площ. CI—ED\DI
заключаем, чю DI, соизмеримая линейно с ED, будет линейно
несоизмерима с CD = p (предложение 11), так как ED м CD
линейно несоизмеримы; поскольку же DI и CD рациональны,
10 это значит, что CD и DI соизмеримы только в степени.
В таком случае B=--Y£D-D1—-среднеегеометрическое двух
прямых, соизмеримых только в степени, — будет, согласно
сделанному определению, медиалью.
В следстйии к. эюмт предложению вводится понятие о
медиальной площади, под которой нужно подразумевать площадь
квадрата, построенного на медиали.
В «Приложении^ к гейЗерговскому изданию Евклида
помещено следующее дополнение к следствию из предложения 23.
«Существуют же затем и иные прямые, К0[0рые линейно
будут несоизмеримы с медиалью, соизмеримы же только в
степени, и они тоже называются медмалямм вследствие того, что


К КНИГЕ X 389
являются в степени соизмеримыми медиали и соизмеримыми между
собой, поскольку мещаля, но между собой они соизмеримы или
линейно и, конечно, и в степени, или только в степени. И если —
линейно, то и самые медиали называются соизмеримыми линейно,
<причем> следует, что <[ояи соизмеримы^ и и степени; если же
они соизмеримы только в степени, то они и в та-сом случае
называются медиалями, соизмеримыми только в степени.
А что медиали соизмеримы, доказать должно так. Поскольку
медиали будут соизмеримы с некоторой мздиалью, соизмеримые
же с одним и тем же, будут соизмеримы и между собой
(предложение 12), то, значит, медиали будут соизмеримы». [И. В.)
25. Мгдиальные площади. Следующая группа предложений
(24—26) открывается -хлзммои» того же рота, что и помещённая
перед предложением 19, т. е. представляющей своего рода
повторение пройденного, Хизс считает эту лемму не принадлежащей
к подлинному тексту Евклида и, соответсгвеино, исключает слова
«в каком-нибудь из указанных выше смыслоз,> из формулировки
предложения 24.
Рассматриваемые три предложения касаются свойств
прямоугольников, построенных па медиалях. Если определять
медиальную [Глощадь, как площадь построенного на медиали квадрата
(это не формулированное ясно определение лежит в основе
следствия к предложению 23), то первое из этих предложений (24)
говорит, '[ТО прямоугольник, построенный на медналях, тоже
будет представлять некоторую медиальную площадь, если эти
медиали будут линейно между собой соизмеримы-
С нашей точки зрения'доказательство шло бы так:
Пусть птощ. ,4С— АВ-ВС> где АВ и ВС — две линейно
соизмеримые медиали:
АВ = Yab, BC = k Yah ~ Yk^ab.
Произведение их
АВ-ВС=УаЬ- y&ab^V~k?ab=.VTa.Vkb
представляет треугольник, построенный на двух соизмеримых
только в степени прямых У ка и У kbs т, е. медиальную площадь
V кЛ ab-kVab.
Евклидово доказательство сводится к следующему:
Если АВ= у аЬ — медиаль, то площ.AD = АВ2 — тоже ме-
диаль. Так как АВ и ВС соизмеримы, то
АВ'.ВС = АВ*:АВ-ВС;
значит, АВ-ВС соизмеримо с медиальной площадью АВ2 и, таким
образом (предложение 23 книги X, следствие), представляет
медиаль.


ЭДО КОММЕНТАРИИ
Предложение 25 касается прямоугольника, построенного на
двух соизмеримых только в степени медналях. _ _^
Если АВ~ yah — медиаль и ВС^=У k- у ah— другая
медиаль, соизмеримая с ЛВ только в степени (.ВС3 = £ ■ AS2," где
к — некоторое рациональное число), то
АВ-ВС~\/аЬ-\ k- \/ab — \ kab-
Если стоящее под корнем число представляет полный
квадрат, то АВ.ВС есть рациональный прямоугольник. Если же это
не имеет места, то
АВ.ВС^У Vkab- Vkab
ость медиальная площадь.
У Евклида доказательство развивается так,
Пусть АВ н ВС — меднали; их квадраты
площ. AD ~ ABS и площ. BE— ВС3
будут медиальными прямоугольниками.
Берем рациональную длину
и «прикладываем» к ней площади AD, BE и АС=^АВ-ВС\
получаем длины
1П площ. AD АВ2 _„ площ. АС АВ-ВС
Ю ~ -—_- —. , GK~~- —-п .-. ■ - = - —— ,
Ш р GM р
п _ площ. BE __ ВС2
В таком случае на прямой tG-\-GK-\-KL расположатся площади
GH^AD, KM ~AC, NL — BE,
из которых первая GH и последняя NL, как квадраты медиалей,
будут медиальными.
Затем, так как медиальная площадь соответствует
иррациональности 2-го порядка, то отношения
Ю _ А£Р KL _ ВО_
1Н~~ f ' %N~~ f '
где р2 — рациональная прямая, а АВ2, ВС2 — меднали, будут
выражаться иррационалънолямн 2-го порядка, а значит, Ю и f(L
будуг соизмеримы с Ш только в степени (предложение 22
книги X). Но (предложение 1 книги VI)
, „, площ.//О: площ. NL — /G:f(L
или
площ.//О: площ. #£=ллощ. AD: площ. BE —АВ2: ВС2,


К КНИГЕ X. 391
последние же соизмеримы между собой, поскольку стороны АВ
и ВС этих квадратов соизмеримы в степени; знаедд IQ и KL
соизмеримы между собой линейно.
Далее, из пропорций
DB-.BC^AB-.BX,
DB:BC=: площ. AD: площ. AC,
AB:BX— площ. ЛСгплощ. СХ
получается
площ. ЛО.'Площ. -4С = площ. АС:плош. СХ
или
площ, //О: площ. Л4Д" = площ. ЛГд-.площ. ML,
откуда, разделяя на с = /Я (предложение 1 книги VI), получаем:
Но /G ч ATL суть рациональные длины, соизмеримые только в
степепи с р^^Ш; значит, GK2 будет рациональным, соизмеримым
линейно с f.
Если теперь GK соизмеримо с p~IH=GM линейно, то
прямоугольник ОЛг=площ. АС — АВ-ВС будет рациональным;
если же GK соизмеримо с р только в степени, то прямоугольник
GjV, как произведение двух квадратных иррациопалышетей, будет
медиатьным.
Наконец, предложение 26 утверждает, что разность двух
медиальных площадей не может быть рациональной; в современной
алгебре зто\1у отвечает положение, что разность двух
иррациональных величин У а — У Ь не может выражаться рациональным
числом.
Идея доказательства Евклида по существу совпадает с той,
которая лежит в основе современного доказательства. Он ведёт
доказательство от противного.
Пусть АВ и АС — две медиальные площади (значит, квадраты
их будут рациональны), DB— нх разность, которую мы
предполагаем рациональной.
Берём рациональную длину El и прикладываем к ней
площади iG — AB и /М = АС; их разность KG—-BD будет, согласно
предположению, рациональной.
В таком случае длины
~„ площ. АВ -„ площ. АС
ЕО =_1Е— , ЕН= ]Е ,
как частные от деления медиальной площади иа рациональную
длину, будут выражаться иррациональностями 2-й степени, т. е.


ау-* КОММЕНТАРИИ
они будут соизмеримы с El только в степей \, тогда как HG =
площ. KG
— р/ , как частное от деления рациональной площади
на рациональную длину, будет линейно соизмерима с EI.
Отсюда следует, что EG, EH, несоизмеримые с EI, будут
также несоизмеримы линейно и с HG (предложение 13).
Но
EH:HG = EEP:EH.HG;
значит, квадрат на ЕН не будет линейно соизмеримым с
прямоугольником EH-HG.
Далее, поскольку EG = EH-\~HGi будем иметь:
EG2 = £//-' 4- HG2 4- 2Е Н- HG.
Так как ЕН2 и НО2 рациональны, EH-HG же не будет
соизмерима с ЕН2, то EG2 будет иррациональна; значит, EG даже
в степени не будет соизмерима с ЕН. С друюй стороны,
гг,_(площ. ЛВ)2 _(площ. АС)2
{IE)2 ' ьм~— (/Е).г
оба выражаются рациональными числами; значит, EG2 и ЕН2
линейно соизмгримы, и El i[0 крайней мере в степени соизмерима
с ЕН. {И. В.)
26. Нахождение медналей, заключающих заданную
площадь. С предложения 27 античные комментаторы начинали
третий отдел X книги, содержащий своего рода зачаш па
построение. В схолиях к этому предложению (Heioerg, г. V,
№ 189, стр. 501) читаем:
«Третья глава, в которой подготовляется нахождение
иррациональных, <получающихся> сложением».
Первые два предложения {27 и 2$) образуют пару: требуется
найти две соизмеримые только в степени мелиали, [^отор >'е
заключали бы данную площадь, предполагаемую в предложении 27
рациональной, в 28 же — медиальной. Поставленная задача,
очевидно, является неопределенной, тем более, что и величина
площади, заключающейся между медиалями, тоже не задаётся
численно.
Первая задача решается так. Для двух произвольных,
соизмеримых только в степени прямых А и В определяется средняя
пропорциональная С и, наконец, чгтв^ртая прямая D,
удовлетворяющая пропорции
A:B—C:D.
Эти дзе прямые и будут искомыми.
*


К КНИГЕ К 393
Действительно, из равенства
А:С = С:В
следует, что
С2 = А-В.
Так как, по предложению 21, произведение двух соизмеримых
только в степени прямых есть медиальная площадь, то С3 будет
медиальной плошадьго (типа \ аЬ) и С (равное уаЬ) будет ме-
диалью. Из пропорции же
A:B = C:D
заключаем, что и D будет медиалью. Дейсгнигельно, так как А
и В соизмеримы толь-со в степени, то А2:В2 будет рационально;
значит, будет рационально и о сношение С2 :£>3." Отсюда
где k — некоторое рациональное число, и значит,
D = У&а Ь = У(Щ (Щ.
Остаётся доказать, что произцедение C-D рационально. Это
следует из пропорций
Л:£ = С:£> (условие, определяющее D),
A:C-=B:D (16, VJ,
А:С = С:В (условие, определяющее С),
откуда
C:B = B:D
и, значит,
C-D—BK
Но Вг как квадрат рациональной, соизмеримой только в степени
прямой, представляет рациональную площадь: значит,
произведение C-D будет рациональным.
В «Приложении» к гейберговскому изданию Евклида
приведена следующая лемма к предложению 27;
«Л е м м~а.
Для двух заданных находящихся в каком-то отношении
чисел и какого-нибудь иного <числа> требуется сделать, чтобы как
<первое> число ко <второму> числу, так и это <третье> к какому-
нибудь иному (черт. 8).


394 КОММЕНТАРИИ
Пусть данные два числа будут АВ, CD, имеющие между
собой какое-то отношение, нноё же какое-нибудь <число> СЕ.
Требуется сделать предложенное.
Построим па DC, СЕ прямоугольный параллелограмм DE,
и к АВ приложим равный DE параллелограмм BI, производящий
, ширину AI. Поскольку теперь
параллелограмм DE равен параллглограмму BI,
\д он же будет с ним и равноугольным,
" У равных же н равноугольных паралле-
„ лограммов стороны при равных углах
£. и обратно пропорциональны, то значит,
будет пропорция —как АВ к CD, так
£-1 I и СЕ к А1\ что н требовалось дока-
зать».
ЧеРт' °- Доказательство предложения 28 идёт
у Евклида так.
Берутся три соизмеримые только в степени прямые А, В,
С и строятся две прямые D и Е, удовлетворяющие пропорциям
A:D^D:B,
B:C^D:E.
Из этих равенств заключаем, как и для предложения 27, что
D=yAB есть медиаль, и Е, как соизмеримая с £> только в
степени, будет тоже недиалью.
После этого остаётся доказать, что произведение D-E
представляет медиальную площадь,
Мы имеем:
B:C = D:F,
B:D=C:E (16, Vj,
B:D=D:A (условие, определяющее £>),
D:A=C:E
и, значит,
A-C = D-E.
Но А-С, как прямоугольник между двумя соизмеримыми только
в степени прямыми, будет медиальным; значит, и Ь-Ь медиально.
(Я. В.)
27. Целочисленные пифагорейские треугольники. С
предложения 2;' начинается поцготовка к построению новых типов
иррациональных линий. Соответственно этому античная схолия
к эюму предложению говорит (Н е i о е г g, т. V, № 204, стр. 507):
«Отсюда начинается отыскание и остальных иррациональных
и сначала тех, которые получаются сложением;).
Весь отдел начинается двумя леммами, которые и сами по
себе представляют значительный интерес,


К КНИГЕ X 395
Первая из них состоит в указании способа нахождения двух
чисел таких, чтобы сумма их квадратов была тоже квадратом.
Берём два числа A3, ВС одновременно или оба чётных,
или оба нечётных (для того чтобы их разность можно было
разделить пополам); пусть эги числа будут подобными
плоскостными числами
АВ =. тпр2, ВС = тпф.
Если разность АВ — ВС, т. е. АС, будет разделена пополам
в точке D, то у нас получится прямая АС, которая будет
разделена в точке D на равные части, а в точке В—■ внешним образом
на неравные.
Согласно предложению 6 книги II можем написать:
AB-BC-~CD2 = BD2,
или, в наших обозначениях,
. { тар2 — mnqz\2 (mnpi~\-mnq2\i
тпр-тп*}* +у 2~ J -Д~ ^ ) •
Поскольку же произведение двух подобных плоскостных чисел
тпрг-тпд2 есть квадрат, то задача выполнена: мы нашли два
числа
тпр2 — mnq2
mnpq и g—~— >
tnnp2 -\~ тпф
сумма квадратов которых даёт точный квадрат ———г> .
В лемме 2 требуется найти два таких квадратных числа,
чтобы сумма их не была точным квадратом. Для решения этой
неопределённой, вообще говоря, задачи Евклид предлагает
следующий приём. Исходя из в ышен апис энного равенства
AB-BC + CD2 = BD2,
он отнимает от CD единицу DE и соответственно уменьшает на
единицу же BD, т. е. получает некоторую прямую BE. Теперь
он хочет доказать, что
АВ-ВС + СЕ2
или. в нашем обозначении,
/tnnp2 — тщг Л з
тпр2*тп]2-\-1 2 ~~ 1 J
не может быть квадратным числом. Доказывает он это от
противного, утверждая, что вышеиаписанное число не может быть


396 КОММЕНТАРИИ
квадратным числом, ббльшям, равным или меньшим квадратного
числа BE2, равного б нашем обозначении
f тпр2-4-тпд2 \2
V 2 ~~ J '
Первая гипотеза легко устраняется. Если
, , (mnpi — mnj* \
тпр- ■ тщ- 4- 1 ~ ~о ■ — 1 J
есть
/ тпр2 Л~ тпд2 \
квадратное число, большее В£3~ I к — 1
то оно должно равняться непосредственно следующему квадрату
/тпр2-\-~тпд \г
■з-л BE2, т. е. [— ■ -~2 — ) = BD2, что невозможно, нбо после
вычитания етиницы наше число сделалось меньше BD'J\
между же (BD2—l)s и BD2 не может лзжать никакого
квадратного числа «для того (замечает Евклид), чтобы единица не
делилась».
Вторая гипотеза опровергается так.
Предположим, что
пли
, (тпр2 — тпд2 V (mnp2-X-mnq2 V
тлр2./яЛ?2 4- ( —£-"2 {- — 1 J = (—^2 ~ ' ) ■
Сделаем, чтобы точка Е была серединой некоторого отрезка;
если D была серединой отрезка АС~тпр* —тпд2, то если
мы хотим сохранить конец С неизменным, а середину
передвигаем из D в Е вправо на одну единицу, то мы и левый конец
А должны передвинуть вправо на отрезок AG ~2 единицам;
в таком случае, применяя предложение 6, II к отрезку GC,
разделённому пополам в точке Е, будем иметь:
GB-BC+CE2=BE2
или
(тпр2 — тпд2 \2 (тпр*-{-тщг \г
{mnf — '£)-mnq2^-y ^ — lj = { 2 J '
Оба вышепаписанных равенства могут одновременно
существовать лишь ири условии
АВ = GB или тпр2 = тпр2 — 2,
что невозможно.


К книге х 397
Аналогично опровергается и третья гипотеза.
Если сумма
должна равняться меньшему чем BE2 квадратному числу BF2,
то и.з условия BE2 > BF2 следует BE > BF\ иными словами, мы
должны точку F ещё более приблизить к точке С, сдвигая
середину D вправо уже не на отрезок D£ — 1, но па отрезок DF=r,
где"г>1. Если мы попрежизму хотим, чтобы точка F быта
серединой некоторого отрезка, кончающегося в С, то
начальную точку А мы должны уже сдвинуть вправо на отрезок
АИ^2г.
Применяя 6, II к отрезку НС, будем иметь;
HB-BC + CF2 = BF2
или
„ , [тпр2—тпа2 \2 /тпр*4-тпд* V
(тлрЗ_2г)-»ш?*-4-( ~ 2 —г) ~ I 2 ~г) ;
с другой стороны, согласно предположению,
АВ-ВС-\-СЕ* = ВГ2,
или
fmnps—mnq* у (mttpp + mruj* \?
mnp2-mttq2+[-—£—^ — 1) =■ 1—^-^ '—г! .
Поскольку НВ < АВ и CF2<CE2, то одновременное
существование этих равенств невозможно.
Поскольку теперь выражение
ЛВ.ВС + СЕ> = т«р'.т*ч>+ {^=^_ ^
не может равняться квадратному числу, которое было бы больше,
мень[не или равно BE2, то оно вообще не может быть
квадратным числом. Таким образом, числа
f тпр3 — тпдг \2
mnpz.tnnq2 и \ 2 '"~~~ * )
представляют два квадратных числа, сумма которых не равняется
квадратному числу.
Интересно отметить, что применённый Евклидом способ
построения пифагорейских чисел был уже известен
древневавилонским математикам.


КОММЕНТАРИИ
Положим для сокращения:
Тогда
б) дут:
или, в
тпр2
inn
~2
*w.
три числа, удовлетворяющие условию
тпр2
наших
(тпр2-
• тпф + \ •
тпр1—
mnpq, „
обозначениях.
2p'q', р'2
-тщ
;
mmf
— q'3
-У
.
{тпр- -\-mnq1'
V 2
тпр- -\- mnq1
2
р'-Л-ч".
Совершенно по эгому типу построены числа, выражающие
длину, ширину и диагональ прямоугольника в древневавилонской
табличке Plimpton 322. опубликованной в «Mathematical Cuneiform
Texts» Нейгебауэра (New Haven, 194o), как показывает следующая
таблица:
2pV
2,0
57,36
1 20,0
3,45,0
1,12
6,0
45,0
16,0
10,0
1,48,0
1,"
40,0
4,0
45,0
1,30
р'2 — ч"-
1,59
56.7
1,16,41
3,31,49
1,5
5 19
38', II
13,19
8,1
1,22,41
45
27,59
2,41
29,31
56
р'г + ч'-
2,49
1,20,25
1,50,49
5,9,1
1,37
8.1
59,1
20,49
12,19
2,16,1
1,15
48,49
4,49
53,49
1,46
Р'
12
1,4
1,15
2,5
9
20
54
32
25
1,21
2
48
1,5
50
9
Ч'
5
27
32
54
4
9
25
15
12
40
1
25
8
27
5
Здесь, как обычно делается при транскрипции вавилонских
текстов, надо читать: 1,59 = 1 -60 -{- 59; 1,20,25 = 1 -60^+20 -60— 25
и т. д. {И. В.)
28. Предложения 29 и 30. В «Приложении^ Гейберг
предпосылает предложению 29 следующую лемму:


к книге х 399
'(Л е м м а к 29-му.
Для заданных двух чисел и прямой должно сделать, чтобы
как число к числу, так и квадрат на <заданной> прямой к
.(квадрату) на иной какой-нибудь (черт. 9).
Пусть данные два числа будут А, В, прямая же С, и должно
б\"шт выполнить предложенное. Сделаем,
чтобы какЛк.6, <так и) прямая С к какой-нибудь ,
иной £>, н возьмём для С, £> среднюю
пропорциональную Е (предложение 13 кни- д\ \
гн VI). Поскольку теперь будет, что как А
к В, <так и> прямая С к £>, но как С к D, С- '
так и <квадрат> на С к <квадрату> на Е, П) (
значит, как А к В, <так н квадрат) на С к
квадрату на Е>. £, 1
Идея доказательства состоит в том, что
Черт. 9.
A:B = C;D— C*:C-D= С2:(Т^СЬ)3-
Составляющие одно целое предложения 29 и 30 заключаются
в том, что для заданной прямой j а требуется найти другую
У Ь, соизмеримую с ней только в степени так, чтобы разность
квадратов этих прямых (а — Ь) равнялась квадрату на прямой,
линейно соизмеримой (предложение 29) или несоизмеримой
(предложение 30) с заданной прямой У а .
Условие предложения 29 требует, чтобы для прямой Vа была
найдена другая прямая У Ъ так, чтобы имело место равенство
д — b = к2а.
Наше решение будет:
или
Решение Евклида заключается в том, что он для заданной
прямой AB—V а берёт два квадратных числа CD = m? и DE= я2
таких, чтобы их разность СЕ=гп2 — п* не была точным квадратом.
Сначала определяем AI из условия
ЛВ2М/3=т3:(т2 —л2),
что легко выполняется па основании только что указанной леммы.
В нашем обозначении
т


КОММЕНТАРИИ
Поскольку утг~п2 иррационален, то AI будет соизмерима
с АВ только в степени.
Теперь из пропорций
АВ2 т-
АР
АВ*
откуда
Таким образом,
АВ2 — АР ' т2 — {т2 — л3)'
АВ^—АР^ВР = АВ2-^~ ,
BI^AB-—,
AB~Y~a и Al = Va2-^ — =•= У а \\ —& ,
т
если — = k,
т
будут две искомые, соизмеримые только в степени прямые, раз-
( ~ п V
ность квадратов которых равна I АВ — 1 , т. е. квадрату па
прямой, линейно соизмеримой с АВ,
Предложение 30 ставит задачу нахождения прямых АВ и AI
так, чтобы разность и\ квадратов равнялась [..вадрату на прямой,
несоизмеримой с АВ линейно.
Берём АВ = Уап два числа СЕ—т* и ED = n2, таких,
чтобы их сумма CD = m2~[-n2 не была точным квадратом.
Затем строим А! из условия
АВ2:Ар — (т2-\-п2);т2,
откуда
] тг-\~п2
Далее, из пропорции
CD: СЕ = {т2 + ла) w2 = А& ■ ЛР
находим при помощи производной пропорции:
т2 + п2 _ АВ2
(та_|_л2)„та АВ2 — АР '


К КНИГЕ X
откуда определяв гея 'В! = уАВ2 — АР:
Rf=AR. , П - = ~^~, где£=™.
Эти две прямые Лб и BI античный схолиаст считает
«матерями» биномиальной иррациональности, о которой пойдёт речь
в предложении 36 (схолия № 211 к предложению 30 в гейбергов-
ском издании Евклида, т. V, стр. 510). (И. В.)
29. Предложение 31. Предложение 31, играющее такую же
роль по отношению ко второй иррациональности (предложение 37),
как 30 к первой, открывается следующей леммой, помещённой
у Гейберга в «Приложении».
«Лемма к предложению 31.
Если будут две прямые в каком-нибудь отношении, то будет,
что как прямая к прямой, так и «(прямоугольник) между обеими
к квадрату на наименьшей (черт. 10).
Пусть вот будут две прямые АВ, ВС в каком-нибудь
отношении; я утверждаю, что будет как АВ к ВС, так и
«(прямоугольник) между АВ, ВС к <квадрату) на
ВС. Действительно, начертим на ВС квадрат fl В С
BDEC и дополним параллелограмм AD, Ясно,
что будет как АВ к ВС, так и
параллелограмм AD к параллелограмму BE, И AD будет ' j. :
«(прямоугольник) между АВ, ВС (ибо ВС равно '
В1)),ВЕже—-(квадрат) на ВС; значит, как АВ Черт. 10.
к ВС, так и «(прямоугольник) между АВ, ВС
к -(квадрату) на НС\ что и требовалось доказать».
В предложении 31 требуется найти две соизмеримые только
в степени медиали, заключающие рациональный прямоугольник
так, чтобы разность квадратов иа большей и меньшей равнялась
квадрату на прямой, соизмеримой или несоизмеримой линейно
с большей.
Евклид рассматривает лишь случай соизмеримости.
Берём две прямые линии А и В, удовлетворяющие условиям
предложения 29:
А = уТ, В = У{\ — k2) a.
Их произведение
AB — aVl—k*
будет представлять медиальный прямоугольник. Если АВ=С2'
то С —У а у\ — № будет медиалью.
Теперь определяем' D из условия
C-D^B2 или D-V a Y\—k* —а—А8).я,
i 26 Евклид


402 комментарии
откуда
•d=Va у \—№ \/\—к? =■- в ут^а?
будет тоже медиалыо. Для час последнее обстоятельство является
очевидным, Нвклиду же приходится доказывать еги несколько
сложным способом. Он последовательно образует пропорции
A:B = C2:CD = C:D,
Отсюда видно, что С с D, так же как и ,4 с Я, соизмеримы лишь
в степени; затем, поскольку С— меди ал ь, то D будет гоже
медиалыо.
Эти две медналн С и D бу д\т искомыми. Действительно,
С*^а YT^№, D2 =: а (1 - к?) /l—Ая;
их разность
представляет квадрат на прямой к\ ау\—к2 = АС, линейно
соишеримой с С.
Второй случай —когда разность квадратов даёт квадрат на
прямой, линейно несоизмеримой с большей—оставлен у Евклида
без детального разбора. Мы получим все нужные формулы, если
возьмём в качестве А и В прямые, удовлетворяющие условиям
предложения 30:
A = V«, B = JS=,
V1+*2
с =-юв =•-£=,
■ ■ п--В'~- У" в
С V 1 + № ■ У\ + № f/l+f
Медиалн С u D и будут искомыми. Действительно,
a ak2
С!—/J2=-
V l+k* (1 +к-)У I-]-*» (I+*2)V l + *!
= *
где под знаком квадрата мы получаем прямую, линейно
несоизмеримую сЛ — Ya-


К КНИГЕ X 4Ud
Схолиаст (Heiberg, т. V, Л° 212, стр. 510) считает эти ме~
диали «матерями) второй иррациональности — первой бимедиали,
о которой будет речь в предложении 37. Щ. В.)
30. Предложение 32. Предложение 32 открывается леммой,
помещённой у Гейберга в \<Приложенш>:.
сЛемма к предложению 32.
Если будут три прямые в каком-нибудь отношении, то будет,
что как первая к третьей, так и •(прямоугольник между первой
и средней к прямоугольнику между
средней и наименьшей (черт. И). Л в о 3
Пусть будут три прямые в каком-
нибудь отношений АВ, ВС, CD; я
утверждаю, что будет как АВ к CD, так и £ j д у
<прямоуголышк> между АВ, ВС к
•(прямоугольнику) между ВС, CD, Черт. 11.
Действительно, проведём АЕ из
точки А под прямым углом к АВ и
отложим АЕ, равную ВС, и через точку Е параллельно
прямой AD проведём ЕР(, через точки же В, С. D параллельно
АЕ проведём IB, CQ, DK- И поскольку будет, что как АВ к ВС,
так и параллелограмм AI к параллелограмму ВО, как же'бСк CD,
так и ВО к СК, то значит, по -^равенству:-; (предложение 22
книги V), кап АВ к CD, так и параллелограмм А/ к
параллелограмму СК- И будет А! <прямоугольником> между АВ, ВС (ибо
АЕ равно ВС), С А'же — <прямоуголышком> между ВС, CD (ибо
ВС равно CG).
Итак, если будут три прямые в каком-нибудь отношении, то
будет, что как первая к третьей, так и <прямоугольцик> между
первой и средней к ^прямоугольнику^ между средней и третьей;
что и требовалось доказать».
Цель предложения 32 заключается в том, чтобы найти две
медиальные, соишеримые только в квадратах линии, дающие
медиальное произведение и обладающие тем свойством,чгоразность
их квадратов представляет квадрат линии, соизмеримой или
несоизмеримой с большей. По мнецию схолиаста (Heiberg, т. V,
№ 218, стр. 512), обе эти медиа.чи являются «матерями"' второй
бимедиали.
Берём три соизмеримые только в квадратах линии
А — У% В-=УТ, С — У~с,
причём А2 — С2 = а — с должно быть соизмеримым с А2=^{У а)2.
Если положим
Л2 _ С2 7= (kA)3,
то отсюда следует, что
или 1— ~=Аа. Значит, YF~Va{\ — k*) (29, X).
26*


404 КОММЕНТАРИИ
Образуем теперь линию D согласно условию
D2 — АВ = Vab\
тогда D=\f~ab будет меди ал ью; это наша первая из искомых.
Вторую медиаль Е мы найдём из условия
D-E — B-C,
откуда
f-M-J^L-iAFl/T
D -ум ~У V а'
V
что тоже будет некоторой медиалью. Евклид доказывает это
обстоятельство несколько иначе: он пишет ряд пропорций
ЛВ:В-С = А;С,
D3:D>E = A:C,
D:E =A:C.
Из последнего равенства получается, что D с Е (как и Л с С)
соизмеримы только в квадратах; поскольку же D — медиаль, то
и Е должно быть медиалыо (предложение 23 книги X, следствие).
Затем D2~Yab> Ег-=сЛ' —; значит.
Га
У а V a J
= (ft */fl"b)S=(AD)2.
Евклид доказывает эго, исходя из пропорции
A;C = D:E.
Поскольку же Л2 —С2=АМЙ, той D2 — E2 = k*D* (I4.X).
Остаётся лишь покачать, что произведение D-E есть медиаль.
Это видно из равенства
D-E = B-C = Vbc'.
Случай, когда D2 — Е2 представляет квадрат длины,
несоизмеримой с D линейно, Евклид детально не рассматривает. Мы
можем это сделать, если вместо формулы для С
ём с(
1 i+*!
получающейся из 29, X, возьмём соответствующую формулу
из 39, X:


к книге х 405
Интересующие нас медиали будут
D= у at.
Действительно,
Стоящее в скобках выражение —-==. будет соизмеримо
о D только в степени. {И, В.)
31. Предложение 33. Предложение 33 начинается с леммы,
представляющей хорошо известную теорему о том, что
перпендикуляр, опущенный из вершины прямого
угла на гипотенузу, является средней
пропорциональной между отрезками
гипотенузы, а катет —средней пропорциональной
между гипотенузой и прилежащим
отрезком. Доказательство почти в точности
представляет употребляющееся и в
современных учебниках и возбуждает
только единственный вопрос, почему столь
важная теорема фигурирует в качестве
простой леммы. Черт. 12.
В «Приложению, у Гейберга
приводится и другое доказательство этой леммы:
«Или и так, если построим прямоугольный параллелограмм ЕС
и дополним AF, то ЕС будет равен ~AF\ ибо каждый нз них будет
вдвое больше треугольника ABC. И будет ЕС <прямоугольником>
между ВС, AD, a AF — <[[ряиоугольником> между ВА, АС.
Значит, <прямоугольник> между ВС, AD будет равен
прямоугольнику) между ВА, АСл (черт. \2).
После этого в том же «Приложении» идёт текст второй
леммы.
«Лемма к предложению 32.
Если прямая линия рассекается на неравные <части>, то
будет, что как прямая к прямой, так и <прямоугольник> между
целой и большей к <прямоугольнику> между целой и меньшей
(черт. 13).
4Ы


406 КОММЕНТАРИИ
В самом деле, пусть некоторая прямая АВ будет рассечена
на неравные <части) в£;я утверждаю, что как АЕ к ЕВ, так и
■(прямоугольник) между В А, АЕ к <прям о угольнику)
между АВ, BE.
Действительно, начертим на АВ квадрат ACDB и через
точку Е параллельно каждой из AC, BD проведём EI. Теперь
ясно] что как АЕ к ЕВ, так и параллелограмм А/ к
параллелограмму /В. И будет AI <прямоугольником)
4 £ В между ВА, АЕ (иЬо АС равна АВ), 1В же —
■(прямоугольником) между АВ, BE (ибо ВО равно
АВ). Значит, как АЕ к ЕВ, таи и
^прямоугольник) между ВА, АЕ к -(прямоугольнику) между
АВ, BE; что и требовалось доказать».
Задача предложения 33 заключается в подго-
L—I товке построения четвёртой иррациональности —
С 1 Я так называемой большей, разбираемой в
предложена.,.,. . ■> нии 39, в формулировке которого действительно
Р упоминаются требования, поставленные в
разбираемом предложении. Они заключают в том,
чтобы найти две несоизмеримые даже в квадратах прямые,
обладающие тем свойством, что сумма квадратов их рациональна,
но произведение представляет медиальный прямоугольник.
Доказательство этого предложения не принадлежит к числу
лёгких и поэтому заслуживает более подробного разбора,
Евклкд начинает с того, что берёт две соизмеримые только
в степени прямые АВ, ВС такие, что АВ2 — ВС2 представляет
квадрат некоторой несоизмеримой с АВ прямой; иными словами,
взятые прямые удовлетворяют требованиям предложения 30.
Поэтому мы берём их в той форме, в какой они там получались:
AB — VTi, вс^ yJL_.
Затем он «прикладывает» к АВ с недостатком в виде квадрата
прямоугольник, площадь которого равнялась бы квадрату на
половине ВС. Это значит, что высота х этого прямоугольника
должна удовлетворять равенству
Получающееся квадратное уравнение равносильно требованию
разделить АВ на такие две части АЕ~х и f-B=y, чтобы
имели место уравнения
хЛ-у^АВ, -
(ВС у


К КНИГЕ X 4Ui
Это значит, что .г и у представляют корни квадратного уравне
ни я
У а / а а _ Vа (, & ^
У ~~ 9 Г -1 "l /1 I h'A\ ~~ ч I '
Опираясь па предложение 18, Евклид утверждает, что х и у
будут несоизмеримы между собой (если "бы они были соизмеримы
между собой, то были бы соизмеримы н со своей суммой = Уа,
но сама форма выражений дяя х к у показывает, что ни х, пи у
не могуг быть соизмеримыми с У а).
После этого, строя па АВ прямоугольный треугольник,
вершина / прямою угла которого лежит на перпендикуляре,
восставленном и* точки Я, Евклид получает нужные ему прямые,
как катеты AI и IB этого треугольника.
Действительно, эти прямые '<удут нзеоизмеримы даже в
квадратах (вследствие несоизмеримости х и у):
АР — АВ.АЕ = хУа, А1 = }"х- \/а\
ВП-_-.АВ-ЕВ,--.у['~а, В1 = }~у- \/а.
Затем, сумма их квадратов будет рациональна:
х~\га ~^у У а - ■■ у"а (х-\-у) =-| а- }га —-я;
произведение же будет медиальным:
А/-В1 = ^-}гх- */а • Уу. */^~Уа -Уху -.-. АВ -~ ;
подставляя значения АВ и ВС, будем имен.:
У а __ а 1
A/-BI = y a
2V1+A2
г. е. иррациональной величине. (И. В.)
32. Биквадратные уравнения и regula infusa. Евклид в
предложении 33 ищет две несоизмеримые а степени прямые
такие, что сумма квадратов их рациональна, а произведение
представляет медиальную площадь. На алгебраическом языке эта
#


408
КОММЕНТАРИИ
задача сводится к решению системы уравнений
х2-Ь-у2 = т,
ху = У~п или х2у2 = л,
которая приводится к биквадратному уравнению
z* — мг2-}-л = 0,
имеющему корни
V\
2 ' } 4 "! ~а—j/ 2 ^ 4
Чтобы ближе подойти к обозначениям Евклида, положим:
Ут-А
П:
_аЧ3
По-1] у чающееся биквадратное уравнение
г< —aJfc2+-
при помощи подстановки
легко приводится к квадратному уравнению
которое Евклид затем и решает.
На чан корни хх и х2 этого уравнения, он для определения ^
и г2 пользуется графическим приёмом
(черт. 14):
На прямой CD = а = xt _|_ х2 он
строит полукруг в точке Е, разделяющей
CD на отрезки С*£"—*i и ED — x^,
он восставляет перпендикуляр до пе-
■j—^ ресечепия с кругом в точке М, отрезки
' СМ = гъ MD — z2 и будут искомыми.
Черт. 14. В этом приведении биквадратного
уравнения к квадратному мы видим
идею так называемой regula infusa as)
или метода подстановки, который применяет Абрахам Бен Эзра.
Уравнение
U_i*-4)-i-(*-4*-4)-20
2S) См. примеч, 23.


К КНИГЕ X Wy
Эзра разрешает (если ввести современный символический язык
алгебры), полагая
х — у х— А=у,
что приводит исходное уравнение к более простому
которое уже нетрудно разрешить.
Этот приём имеет большое методическое значение в
арифметике.
В то время как «фальшивое правилом (regula falsi) сыграло
большую роль в истории необоснованного часто
автоматического решения, regula infusa нмело значение в построении
обоснованных решений.
Идея состоит в том, что задачи решаются в два или более
приёма. Вместо того, чтобы непосредственно определять х} мы
определяем у, хорошо сознавая, что, имея у, найдём и х.
Шюкэ 2Э) таким приёмом решает не только биквадратное
уравнение
6x4 + 24 = 2*2,
12 + 6^8 =144*4,
243 + 2x10 = 487*5,
]728*3 = 512 + 64x6,
приводя их к квадратному.
Впрочем, ещё задолго до Шюкэ уравнения
йх^ + йх" — с,
axsn = bx"-\-c ' ■
рассматривались арабским математиком Длькархи.
Подстановкой пользуется и Региомонтан30), который уравнение
но и уравнения
10 — х
+1Ь^ = 25
сводит к квадратному, полагая ——"=.У, что Даёт У2~\~
+1 = 25у.
29) С h uquet, Le Triparty en la science des nombres {1484),
Rulletino Boncompagni, т. XIII, Roma, 1880-
30) Regioraontauiis, Der Briefwechsel, ed, M, Curtzc,
Abh. z, Gesch, d. math. Wiss., Bd. 12, Leipzig, 1902.


41U КОММЕНТАРИИ
Более сложная подстановка, понижающая степень возвратного
уравнения, а именно у=х-\- — 5 была применена впервые Му-
ааром м).
33. Предложение 34. Предложение 34 является
подготовительным к введению пятой иррациональности в предложении 40. Оно
вводится следующей леммой, помещённой у Гейберга в
«Приложении).
«Л е м м а.
Если будут две неравные прямые, и меньшая из них
рассечена па равные <части>, то прямоугольник между двумя прямыми
будет вдвое больше <прямоугольника> на
а п г большей и половине меньшей.
i 1 1—л Пусть будут две неравные прямые
АВ и ВС, из которых большей пусть
будет АВ, и пусть ВС будет рассечена
пополам в D; я утверждаю, что
«(прямоугольник) между АВ, ВС вдвое больше
:—*—j <прямоуголышка> между АВ, BD (черт, 15).
Действительно, проведём из точки В под
Черт. 15. прямыми углами к ВС <прямую> BE и
отложим BE, равную ВА, и достроим
чертёж. Поскольку теперь будет, что как DB
к DC, так к В/ к DK, то значит, «присоединяя^ (предложение
IS книги V) —как ВС к DC, так и Bf( к DK\ ВС же вдвое
больше DC, значит, и ВК. будет вдвое больше DK- И будет ВК
«(прямоугольником^ между АВ, ВС (ибо АВ равно BE). DK
же — «(прямоугольником) между АВ, BD (ибо DC равно BD,
DI же <равно> АВ); что и требовалось доказать».
В предложении 34 решается задача — отыскать такие две
несоизмеримые в квадратах прямые, которые дают сумму
квадратов в виде медиальной площади, но произведение
рациональное,
Евклид берёт две соизмеримые только в степени медиали
АВ, ВС, произведение которых рационально, ио разность
квадратов АВ" — ВС2 равна квадрату прямой линии, несоизмеримой
с АВ. Так как этим условиям удовлетворяет вторая половина
предложения 31, то искомые прямые можно взять в том виде,
как они там даны, а именно;
лд = ^=, вс-= V\/=-
si) Moivre, Miscellanea analytica, London, 1730. —La gr a n-
%c Reflexions stir la resolution algebriqnc des equations (Oeu.
vre's Paris, 1869, T. Ill, стр. 205).


К КНИГЕ X 411
Затем к АВ «прикладывается» с недостатком в виде квадрата
прямоугольник, площадь которого равна квадрату половины ВС.
Обозначив через х высоту этого прямоугольника, б^дем иметь:
АВ-х = ^ + х*.
Полученное квадратное уравнение равносильно делению АВ
на такие части Л/— хп IB — J', чтобы удовлетворялись уравнения
х + у=--АВ-- Т "
ху-
ВС- а 1
4 - 4(1+**) Vl + ft»'
Решая эти уравнения, находим:
АВ . Г АН'' ВО 1
■/
" "' 2 "TJ/ 4 4 2*/Г+#\' ; J'1+A2/
J 2«/Г+р1 Vi+*
Диалогично предыдущему предложению доказываем, что х и _у
являются несоизмеримыми.
После этого при помощи того же построения, чго и в
предложении 33, определяем искомые прямые:
ad -= Vab-ai, bd=Yab-bi,
которые, вследствие несоизмеримости х —Л/ и у = 1В, будут
несоизмеримы даже в квадратах. Таким образом, первое требование
выполнено.
Второе требование заключается в том, что сумма квадратов
искомых прямых должна быть медиальной; оно выполняется:
Наконец, последнее требование состоит в том, чтобы
произведение их было рациональным; оно тоже выполняется:
ао^в = ав.-^аТв1=ав,в£=т^-щ.
(И. в:)
34. Предложение 35. Предложение 35 является
подготовительным к последней —6-й иррациональности, рассматриваемой
и предложении 41. Это предложение, опирающееся на
предложение 32 книги X, состоит в следующем;


412 КОММЕНТАРИИ
",Найти два несоизмеримых в квадрат отрезка, сумма квад-
paioB которых и произведение были бы медиальными и между
собой несоизмеримыми».
В предложении 32 были найдены две медиали АВ н ВС,
удовлетворяющие условиям, чго их произведение медиально, а
рашость квадратов представляет квадрат на прямой,
несоизмеримой с большей медиалью АВ. Интересующие нас медиали будут
иметь такое выражение;
AB = D~ yTb,
\/~аЬ
лг— п—_ у
Kl+A*'
где а, Ъ — два целых числа, произведение которых не
представляет квадрата.
Теперь к АВ «прикладывается» с недостатком в виде
квадрата прямоугольник с площадью, равной квадрату половины ВС,
что равносильно решению системы уравнений
Получающиеся прямые х=А1 и у=-1В будут несоизмеримыми
(18, X).
Восставив в точке деления / перпендикуляр до пересечения
с описанной на АВ полуокружностью в точке D, Евклид
определяет нужные ему величины как катеты полученного
треугольника AD и DB:
AD=y AB-Af= i/ab ■ --—' —J ,
-_ужт=¥-ь№±+*-
£/4(I+#)
Вследствие несоизмеримости Al = x н 1В = у эти отрезкд будут
несоизмеримы даже в квадратах (первоз требование).


к книге х 413
Поскольку AD2-{-DB2 = АВ2 = УаЬ. т. е. медиальной
площади, то будет выполнено и второе требование.
Третье требование состоит в том, что произведение AD-DB
должно быть медиальным. Действительно, оно будет равно:
2> 1 + 4"
Евклид доказывает это так. Имеем:
Al-!B = xy = irj!,
ВС __
ху = —-ВР,
откуда
ВС =2- ID,
АВ-ВС = 2-AB-ID,
Поскольку ме АВ-ВС есть медиальная площадь, то значит, и
AB-ID будет медиальной. Но
АВ ID = АВ YaTJb = У~а1Га1 • У'АВТВ = АО• DB;
значит, и AD-DB будет медиальной площадью, т. е. третье
требование выполнено.
Остаётся удовлетворить четвёртому требованию: чтобы сумма
квадратов AD2 -\- DB% = Y~ah и произведение AD-DB — ---— —
/1 + *3
были несоизмеримы. В нашем обозначении это является очевидным;
Евклиду же приходится доказывать так:
Вследствие линейной несоизмеримости АВ с ВС квадрат па
АВ, равный сумме AD2-\-DB2, будет линейно несоизмерим с
прямоугольником АВ—~или AB-ID, который, как доказано выше,
равен прямоугольнику AD-DB.
Античные схолиасты считают, что предложения 29 и 30
являются подготовительными к 36, а следующие -за ними 31—35 —
подготовительными к 37—41. Это безусловно верно для 33—Зо
и 39—41, возможно для 31, 32 и 37, 3S и несколько сомнительно
дла 29, 30 и 36. Если рассматривать структуру доказагелиств, то
более вероятным будет предположение, что 29, 30, а затем 31 и
32 являются подготовительными для 33, затем 34 и 35, а зги
последние, в свою очередь, подготавливают предложения 39, 40 и 41.
{И. В.).
35. Первая гексада иррацнональностеи. После
ознакомления с прямыми, рациональными, соизмеримыми только в степени
(т. е., с нашей точки зрения, иррациональными вида у а), и
медиальными, получающимися от взятия среднего геометрического


414 комментарии
от двух соизмеримых только в степени, по формуле У у а~У~Ъ-
=-.yab-= ]/А, Евклид вводит ещё шесть и
ностей, разбираемых в предложениях 36—.1].
В предложении 36 вводится иррациопачьность вида
так называемая бтшомиаль. Иррациональность соответствующей
прямой Евклид доказывает так:
Мы имеем прямые
АВ=\га, ВС — УЬ и АС—Уа-^Уь,
из которых яве первые соизмеримы только в квадратах. Так как
АВ _АВ-ВС У а _ УТЬ
ЪС~ ВО ИЛИ уь '""ft-'
то АВ-ВС=У<гЬ не-будет соизмеримым с ВС2=Ь, а равно и
с АВ2-\-ВС* — а-\-Ь. Отсюда следует, что
АО =(ffl-f У'ь )2 — a-\-b-A-2 yob
будет несоизмеримо с а-\-Ъ и, ?пачит, АС = Уа -J->T не
будет рациональной величиной, соизмеримой с У а н Уь хотя
бы в квадратах.
В «Приложении;;- Гейберг приводит ещё такое окончание
этого предложения, которое он считает не принадлежащим
Евклиду:
«Назвал же он её «из двух имён» (exSjo ovojiaTtov) вследствие
того, что она складывается из двух рациональных (рт)тшу=
«называемых» или '<.именуемых:)}, разумно называя рациональную
«именем», поскольку она «именуема» (улЬ'о '^т-.Щг.
Эго окончание показывает, что укоренившееся название чби-
помиаль», т. е. двучленная иррациональность, не совсем
соответствует греческому термину; правильнее было бы считать, чю
(биномиаль» —двусменная иррациональность.
В предложениях 37 и 3S вводятся
бимедиали—иррациональности, получаемые ог сложения двух медиляей. Из них
рассматриваемая в предложении 37 первая бамедиалъ получается в
результате сложения двух медиалей, произведение которых
рационально. Согласно предложению 31 полученные меднали будут
иметь вид
АВ ~ У а ■ У к, ВС — У а. */Ш,
Их сумма


К КНИГЕ X 415
не будет соизмеримой хотя бы в квадрате с АВ или ВС.
Действительно,
АС* = а(у^-\-*/~&-\-2у~&)--а {2A + 0-MJ \/~&)
не будет соизмерима ни с ЛВ=] a i/k, ни с ВС^}^ 1/№
хотя бы и в квадратах.
Доказательство Евклида развивается аналогично предыдущему
предложению.
В «Приложении;) у Гейоерга дано следующее окончание
этого предложения:
«Назвал же он её «из двух средних первой.-; < = цервой
бимедиалыо> вследствие того, чю «(составные ее' части>
заключают рациональную <илощадь>, рациональная же является
первичной^.
В предложении 3S вводится вторая бимеЗааль,
получающаяся из суммы двух медиалей, произведение которые
нерационально, но медиально, т. е. имеет вид ~\rab.
Удовлетворяющие этому условию меднали имеют вил
АВ = у а, ВС == у а .} Т.
Требуется доказать, что сумма их
будет иррациональной.
При нашем способе обозначения это доказательство полу-
чаесся сразу:
АС*= }'га (1 -f b^-2 УЪ)
даже в квадратах не будет соизмеримо нц с AB=f/a, ни
с ВС= уЪ.уь.
Доказательство Евклида развивается так:
К рациональной прямой DE=p он прикладывает площадь,
равную квадрату АС; поручающаяся ((ширина»
DE р
разбивается на две прямые
DG=-—■—у а и = GM,
? ?
каждая из которых будет рациональной и соизмеримой с1)£"=р
только в квадрате (предложение 22 книги X); между собой они
соизмеримы только в квадратах; значит, согласно предложению
36, их сумма DM будет первой иррациональностью или
биномиальна.


416
КОММЕНТАРИИ
Умножив DHuaDE^p, мы получим иррациональную площадь
(1 + Ь) У а + 2 УТЬ = ЛС\
квадратный корень hj которой и даст нам третью
иррациональность, так называемую вторую бимедиаль
При & = а рассматриваемая иррациональность обращается в пер-
I вую бимедиаль,
В «Приложении» у Гейберга приведено следующее
окончание этого предложения:
'^Назвал же он её «из двух средних второй» вследствие гого,
что <прямоугольник> между ними заключает медиальную и
нерациональную <площадь>, медиаль же будет вторичной после
рациональной. А что заключённое между рациональной и
иррациональным будет иррациональным, ясно. Действительно, если
бы оно было рациональным и было бы приложено к
рациональной, то и другая его сторона была бы рациональной, Но она
и иррациональна; чго нелепо. Значит, ^заключённое^ между
рациональной и иррациональным будет иррациональными.
Начиная с предложения 39, мы встречаемся с новым типом
иррациональных прямых, поручающихся сложением. До сих пор
складывались прямые, соизмеримые между собой в квадратах,
что дало нам следующие иррациональности:
биномиаль Ya -\-Vb,
первая бимедиаль i/a -\-kV a \/a>
вторая бимедиаль \/а-\-к\Ь ъ/а ■
Теперь мы будем рассматривать иррациональности,
понукающиеся от сложения прямых, несотимерпмых даже в квадрате.
В предложении 39 рассматривается иррациональность,
полученная в результате сложения двух несоизмеримых в квадрате
прямых, сумма квадратов которых рациональна, а произведение
медиально. Соответствующие прямые, согласно предложению 33,
будут иметь вид
J/a-j/л, У'а-У'У,
] де х и у будут корнями квадратною уравнения -
т. е.
2 {i+yr+Je)' y a { ут+W


к кншх х 417
Интересующие пас прямые будут иметь вид
Квадрат суммы этих прямых будет:
2 \ V v vi+vl v fi+*vr
V 11 + *-'/
Удвоенное произведение АВ-ВС, равное —^.' — , будет ме-
У 1-1-А*
днальпым и несоизмеримым с суммой ABS -j- ВС3 — й; значит,
ЛСа будет иррациональным; значит, и подавно ,4С будет
иррациональным
В ((Приложении» у Гейберга предложение 39 заканчивается
так:
«Назвал же он её «большей*, вследствие того, что
рациональные <квадраты> па АВ, ВС <вмесле> будут болыне
медиального дважды ^прямоугольника^ между АВ, ВС, и название
должно <быть> установлено в зависимости от свойства
рациональных. А что <квадрать[> па АВ, ВС, <вместе взятые>, больше
удвоенного <прямоугольника;> между АВ, ВС, должно доказать
так (черт. 16).
Я (1 В С
Черт. 16.
Очевидно тенерь, что АВ, ВС будут неравными.
Действительно, если бы они были равными, то и <квадраты> на АВ, ВС
были бы равны дважды «(прямоугольнику) между АВ, ВС, и
был бы рациональным н <пршоу! ольник> между АВ, ВС, этого же
не предполагается; значит, АВ, ВС будут неравными. Претполо-
жим, что АВ больше, и отложим BD равным ВС; значит,
-(квадраты) па АВ, BD равны дважды «(прямоугольнику) между АВ,
BD и <квадрату> на DA (предложение 7 книги 11), DB равно ВС;
27 Евклид


418 комментарии
значит, <квадраты> на АВ, ВС равны дважды ^прямоугольнику)
между АВ, ВС и <квадрату) на AD; так что < квадраты) на АВ, ВС
будут больше дважды <пряыоугольнцка) между АВ, ВС на <ве-
личпну, равную квадрату) на ADr., Используемое равенство
АВ'- + ВГР = 2АВ -BD + Aiy
легко доказывается разложением АВ3 = (AD — DB)':
АВ'- + BD°- — Л/^ + 2^D ■ BD 4- ВО2 — ВО3 =
— ЛО3 4- 2 (AD ■ BD + ВО3) ~
— АГР- + 2BD (Л!) -f- ВО) —
= ЛОа4-2ЛВ.ВД.
В предложении 40 рассматривается сложение несоизмеримых
в квадрате прямых, у ко орых, наоборот, произведение будет
рациональным, а сумма квадратов медиальной.
Удовлетворяющие этому условию прямые получены в
предложении 34; это будут прямые вида
ав=л[Лл—.у- вс =л/Лл=- -YJ
V {/!-*» [ • V у\+* 'J'
где х и у будут корнями уравнения
1' а а
Окончательно:
~ V2" • l/T-fk2У \ 'Г+а* '
вс^- т-й-
>'2 J/l+^:
Квадрат суммы этих прямых будет:
il/'-FTT^
/с>=-^== 1 + V 1 + -7== i -
_ a /t l \
~j т+^i ^v'tr-v
Сумма квадратов АВ2-±-ВС2~ г — метиальна, а удвоенное
произведение 2ЛВ-ВС;=-г-;—„ рационально; значит, их сумма
1 -\-kl
АС2 будет иррациональна, так же как и её квадратный
корень АС.


К КИНГЕ X 419
В ' Приложении»; у Гейберга эта теорема заканчивается так:
• Рационально и медиально квадрирующей называется она
вследствие того, что квадрирует дне площади — одну
рациональную, лру! ую же медиальную, и вследствие превосходства
рационального он назвал его первым,.
Наконец, в предложении 41 Евклид разобрал случай, когда
и сумма квадратов и произведение являются одновременно
медиальными.
Обладающие этим свойством прямые определены в
предложении 35; они имеют вид
ВС-
Квадрат их суммы будет:
}"1+*г
Доказательство иррациональности этою выражения Евклид
проводит так;
Возьмём рациональную прямую DE~p и построим
выражение
АС3 _ Yob . Yob
DE р ?У\+№
Так как площадь Di = ЛВ2 -\~ £СН — I ab медиальна, то
будет несоизмерима с DE линейно.
Точно так же докажем, что и
нк=- л^-
будет несоизмерима с DE линейно. _
У ab
Теперь, вследствие несоизмеримости у ab и '.' г,2 > бУДут
несоизмеримы DM и ИК\ так как они соизмеримы только
27*


42U КОММЕНТАРИИ
в степени, то (36, X) их сумма DK. будет иррациональной,
а именно биномиалыо:
значит, будет иррациональным и произведение DK'DE — Vab -j-
, Vab
ЛТ+к'
и тем более квадратный корень из этого выражения
/ ;
УаЬУ
i +
п+*
который и даёт нам шестую "иррациональность — бимедиадыю-
квадрирующую.
В «Приложении» у Гейберга эта теорема закапчивается так:
«Называет же он её «бимедиалыю-квадрируюшей-)
вследствие того, что она квадрирует две медиальные площади, а именно
составленное из -(квадратов> па АВ, ВС и дважды <прямоуголь-
ннк> между АВ, ВС».
Случай, когда и сумма квадратов АВ и ВС и их
произведение АВ • ВС будут одновременно рациональными, не
представляет интереса, так как приводит или к рациональной,
соизмеримой линейно или в степени, или, в крайнем случае, к
биномиальной прямой.
Лежащая в основе евклидовской классификации идея
совершенно ясна: иррациональности классифицируются в
зависимости от того, какую форму получает квадрат суммы.
Если заданная, получающаяся в результате сложения
иррациональность будет Л + £, её квадрат
{А + В)*- = А2 + £2 -f 2AB.
Сначала Евклид рассматривает случай, когда А а В
соизмеримы в степени; тогда А и В могут быть или обе рационалями
(в смысле Евклида), плн обе медиалями. В первом случае мы
получаем бивомиаль, во втором —две бимедиалн в зависимости от
того, будет ли произведение А'В рациональным или медиальным
(сумма квадратов А2~\-Ь2 при соизмеримых в степени Л, В будет
всегда рациональной в смысле Евцлида).
Затем Евклид переходит к рассмотрение несоизмеримых
А н В, различая опять три случая:
1} А2-\-В2 рационально, АВ медиально: «большая»
иррациональность;
2} А2 -+- Вг медиально, АВ рационально: рационально- и ме-
днально-квадрирующая;
3} А2-{-В2 медиально, АВ медиально: бимеднально-квадрн-
рующая. (И. В.)


к: книге х 421
36. Относительный минимум. В лемме за предложением 41
Евклид доказывает, что если
х-~у = u-\-v = a,
где х>у, и Sit', то 1]РИ -*>" имеем: х2-\-у2~> иг -\-v2.
Отсюда вытекает, чго наименьшее значение суммы
х2+у2
будет при
а
Эту задачу об относительном минимуме обычно сводят,
как и другие, аналогичные, к хорошо известной задаче о
максимуме "ху при х -~- у^г_а или, что то же, о максимуме
функции х(а—х), который будет при х=у — — .
Для этого следует только заметить, что в силу равенства
х2 -\-у2 = а3 — 2ху
минимуму х--{-у1 будет отвечать максимум 2ху и,
следовательно, ху.
Отчасти но этому пути идёт и Евклид, который доказывает,
что, при поставленных условиях,
xy<uv, (1)
откуда и заключает, что
х2-\-у2 — {-х-\-у)г —2ху =д2 — Чху > (u — v)2 — 2uv=z a3 — 2uu.
Что же касается неравенства (1), то оно у Евклида
доказывается довольно сложно.
В основу кладётся предложение 5, II, дающее в
алгебраической символике:
, [ а \г а2
откуда
Чтобы отсюда получить (1), следует убедиться, что
а . а


КОММЕНТАРИИ
Чисто алгебраическое изложение вывода неравенства сильно
искажает мысль Евклида.
Рассматривая х, у, и, -о как отрезки, на которые делится АВ
Евклид исследует х —
Черг, 17.
что DEKEC, он выводит из соотношений АЕ -ЕВ н АС> DB
т. е, С и D оказываются на неранпых расстояниях от середины Е;
но если AD > CB, DE < ЕС.
Неравенство xy^>uv при х-^-у
—:u~\-v— 'а можно было бы вывести,
как уже было замечено в комментарии
к планиметрическим книгам, из того,
что перпендикуляр к диаметру до
пересечения с окружностью тем больше,
Ч& чем ближе его основание к пентру *),
Лемма же Евклида вытекает из
построения, для которого я даю только
чертёж (черт, 18), предлагая в нём
разобраться читателю. Всё сбочится к тому,
что наклонная BK>BL, как имеющая
основание, более удалённое от основания
перпендикуляра /.
37. Неравенство КоШИ S2J. Евклид,
доклэывзя при условии
Черт. 18.
х > и, х -\- у = и -\- v — а
х' _j_y'i у ц2 _|_ 1^}
использует предложение 5 книги 11, приводящееся к тождеству
( х — у ^
ху +
(х+Уу
Ч 2 ,
*) См. комментарий 28 к VI книге,
§2) С а и с h у, Analyse algebrigue, Paris 1821, —Map а к у е в,
Элементарная алгебра," М,, 1903, т. I, гл. 10.


К КНИГЕ X
Из этого тождества он получает:
,xy<2(i±>:\. (I)
Затем, обращаясь к предложению 9 той же книги, он
получает
1+А\
J^JLY
и тогда из (1) заключает, что
х2 + у2>2ху. (2)
Сравним этот сложный путь с тем простым, по которому
пошли бы мы: „ р и "
{х - У}2 > 0;
х2 -\-у2 — 2ху > i
следовательно,
^ + -С!>2У'.
1
р
Черт. 19.
Но это вместе с тем toi путь,
по которому Евклид не мог пойти,
Неравенство А > 0 моию иметь
смысл лишь в том слу sac, если бы R
наряду с ним имели место
соотношения А = 0 н А < 0, но это
предполагает существование величины нуль
и отрицательных величин, чего у
Евклида не было.
Но он мог бы непосредственно, не используя
предложений II киши, вывести свое неравенство (2) из конфигураций,
аналогичных сем, которыми пользуется II книга.
Для этого он должен был бы взясь квадрат ABCD,
построенный па х, и в нём квадрат CKLM, построенный на у
(черт. 19).
Тогда
ANCM=xy=-CKDP.
И о
х3 ^ ABCD = ANCM + LMDP + LNBP*
Прибавляя y2~C/(ML, получаем
х^у°- = 2ху + L NBP,
откуда и вытекает неравенство (2) Евклида.


4!4 КОММЕНТАРИИ
Такое доказательство, конечно, соиершенно в духе Евклида.
Прикладывая к обеим частям неравенства Евклида сумму
х2-\-у2, можно привести его к виду
а отсюда, использ\я принцип полной индукции, можно получить
неравенство
•^>(^)". (4,
Конечно, с точки зрения Евклида, такое неравенство может
иметь смысл только для л = 3. Путь к нему сам Евклид мог
бы найти только через стереометрические апалогоны II книги,
которых нет не только у него, но и у последующих античных
математиков.
Еслн_площади квадратов обозначить через а и Ъ и стороны
через У а и yrbt то будем иметь;
**» a-^>Vab, (5,
т. е. так называемое среднеарифметическое aceida больше
среднегеометрического.
Неравенстио (4) обобщается Коши:
\ Р J " ~Т~~
№)
Неравенство (5) ■—тоже частный сл> чай общей теоремы Коши:
среднеарифметическое положительных чи~ел дь а2, ... , ар,
которые не все рав/Ш между собой, больше их ерзднегеометри*
чгского:
р > Va&i.., ар. ('>
Из У ^1й3<^-^—--, замечая, что
у д1да(78й4 = |' Уаха2Уа<Ааь
ВЫВОДИМ, ЧТО
г а-\Л~аг_t_ я9-4~д4
V7 а1й2о3й4 < — Т) — < ^
_ a-i ~{~ a% -I- а% ■
Таким образом двигаемся дальше.


К КНИГЕ X 425
Для строгого обоснования необходимо применить принцип
полной математической индукции: если положение доказано для
л-2и, будучи верным для п, остаётся верным н для п-\-\, то
оно верно для всех значений, начиная с п — 2.
38. Единственность разложения н вторая гексада нррацио-
иальностей. 1. Шесть предложений 42— 47 имеют своей целью
доказать, что введённые в предложения 36—41
иррациональности могут быть разложены на составные части лишь
единственным образом.
Предложения 42, 43, 45, 46, в которых сумма квадратов
составных частей и удвоенное их произведение принадлежат
к разным типам (если одна рациональна, то другое медиально,
и наоборот), доказываются по одному методу.
Пусть
х-\-у — ц_|_у.
Тогда
х2-{~у2 -{-'Ixy = (i2 -f- о2 _{_ 2u-w,
fjfi _jly!) -_ (Иа ^_ 02) = 2uv — 2ху.
Если в одной части стоят рациональные площади, то их разность
будет тоже рациональна и, следовательно, не может быть (по
26, X) разностью стоящих в другой части медиальных пвдщадей.
что и доказывает предложение.
При доказательстве предложений 44 и 47, где и сумма
квадратов и удвоенное произведение будут одного тина, а именно
оба медиальны, доказательство несколько усложняется. Евклид
прикладывает все площадя к рациональной прямой £/ = rf; в
таком случае, согласно предложению 22, другие стороны
получающихся прямоугольников будут рациональными, соизмеримыми
только в степени прямыми
Выражения, стоящие спраг-a и слева, представляют две равные
бпномиали; биномиали же, согласно предложению 42, делятся
только в одной точке, откуда вытекает
j^+y» —ца + иа,
2ху — 2ш/,
а следовательно, н
х = и, .y=v,
что и доказывает предложенное. При этом доказанная перед
предложением 41 лемма позволяет утверждать, что разложения
х-\~у и u~v нс представляют одного и того же разложения
с переставленными членами. (И. В.)
2, Ко второму ряду определений древний схолиаст делает
примечание (Heiberg, т. V, № 290, стр. 534),


426 комментарии
«Пятая глава, в которой он обнаружил шестикратное
разнообразие биномиали, которая является цервой иррациональностью,
полученной) при помощи сложениям (четвёртой главой, повили-
иому.былане отмеченная специально серия предложений 36 — 47).
В «Приложении» Гсйберг приводит следующее окончание
текста ^вторых определений,?.
■■„'Теперь и.) существующих шести рассматриваемых таким
образом прямых он помещает первыми в ряду три, для которых
большая <рацибпаль> в квадратах будет больше меньшей на
<квадра1> на соизмеримой с собой, вторыми же — остальные три,
для которых — на .(квадрат) на несоизмеримой, вследствие того,
что соизмеримость первенствует над несоизмеримостью; и далее
первую, для которой большая рациональ будет соизмерима
с отлаженной рациональной <прямои>, вторую же, — для которой
меньшая, опять вследствие того, что большее первенствует над
меньшим тем, что оно <(его> содержит в себе. трегоЮ же, —
для которой пи одна из рационален не будет соизмерима с
отложенной рациональной прямой. И относительно следующих трёх
подобным же образом — первую упомянутого второго ряда
называя четвёртой, вторую —пятой и третью — шестой;). {И. В.)
39. Алгебраическая форма евклидовых иррационалъностей.
НессельманЗ3), а за ним Ващенко-ЗахарченкоЗ1) выражают алг'-
браак'скима формулами евклидовы иррациональности. При этом
n'jd буквами разумеются рациональны' числа п формулами
определяются не иррациональные величины, а определяющие их
иррац'лональныг на ла} которых у Евклида нет. Но, конечно,
евклидовы геометрические доказательства при арифмгтизацаи
геиметрии дают свойства иррациональных чисел, выражаемых
квадратными радикалами.
Для медиалн Нессельмац даёг две формулы
yr~a~fbM УаЪ.
Если а и b—прямые, то, конечно, ни первая, ни вторая
формы не имеют смысла.
Вторая форма имеет ещС тот недостаток, что при замене
J^cf-j/^ через } аЬи дальше у ~\ а^через у ab она даёг не
ту форму, которая непосредственно отвечает иррациональности
Евклида, а ту, которая получается только посте ряда
алгебраических преобразований.
Стружек) идёт ещё дальше. У пего средняя берётся в форме
VI
зг) Nesselman, Die Algebra der Griechen, Berlin, 1842,
3*) M. E. Ващенко-Захарченко, Начала Евклида,
Киев, 1880.
s:) Е и г I q u e s, Gli Element! d'Euclide e la criUca antic,i e
mode ma. Bologna, 1925 —1932 (X книга Евклида).


К КНИГЕ X
427
В других случаях Струик отличает числа, означаемые
латинскими буквами, от ггометричзсках величин, означаемых
греческими.
Но что такое а? Это какая-то уже четырехмерная величина.
Хизсзи) строго различает прямые, означая их малыми
латинскими буквами, от площадей, означаемых большими.
лГ—7- -и/ By В
Медиали у него у а}- В, у ——— ■
Эти формы Приемлемы,
У
/в У в,
У А
Но хгже формы У АВ, "I/ ~"-*=^ ; о них след\-ет повто-
- У л- а
рить то, что я сказал выше о формах Нессельчана.
Я нахожу единственной правильной алгебраической формой
медиальной прямой форму
Гут VJ,
о для площади — форму У а-У}. Здесь греческие буквы i и }
означают всегда площади, например квадраты, построен -ше на
прямых У'з. и У } --сторонах этих квадратов. (/ уа .ур — это
сторона квадрата, равнжеликого (по Евклиду, равного)
прямоугольнику между У 1 и yj.
-Можно писать У УЦ, но это уже не бьпо бы
непосредственное выражение сущности евклидовой иррациональности, а вы-
поз. из свойства }' х.ур —У у), самим Евклняо« используемый
в X книге.
40, Определения нррацнональностей. Евклид оперирует над
13 иррационалышетями, которым мы даём следующие
обозначения:
1) Средняя (или медиаль),
2) Биномиаль.
3) Первая бимедналь.
4) Вторая бимедиаль,
5) Большая (иррациональная).
6) Рационально- и медиально-квадрирующая.
7) Бимедиально-квадрируювдя.
8) Вычет (или апотома).
9) Первый медиальный вычет,
10) Второй медиальный вычет,
И) Меньшая (иррациональная),
эв) т L Heath, The thirteen Books of Euclid's Elements,
voi. HI, Cambridge, 1926.


42S
КОММЕНТАРИИ
12) Образующая с рациональным целое медиальное.
13) Образующая с медиальным целое медиальное.
При этом ещё различают 6 биномиален и 6 вычетов.
Для определения иррациональности Евклид доказывает, что
определяемая величина в действительности иррациональна. Затем
он даёт построение иррациональности, т. е. доказывает их
существование в гом смысле, как это бы.ло указано в комментарии
к I книге «Начал».
Что такое средняя прямая (или медиа ль)?
На языке Евклида, это — прямая, квадрат на которой равен
прямоугольнику межлу двумя рациональными (в смысле Евклида),
соизмеримыми только в степени (Евклид доказывает, что ]акой
прямоугольник иррационален).
Баномиаль состоит из двух рациональных (в смысле Евклида),
но линейно несоизмеримых". Если вводятся в алгебраические
формы, какуХизса, символы рациональных чисел, то (\-\-к)У*
уже не баномиаль, а рациональная.
Вычет отличается от биномиали только тем, что берётся
разность вместо суммы.
Тогда (I — к)У~~я не вычет, а рациональная.
В бимедиали и в медиальном вычете мы складываем и
вычитаем средние (или медиали), но опять несоизмеримые
линейно, причём Евклид отличает два рода: один — когда
прямоугольник Meawv членами рациональный, второй — когда он
медиальный.
Следует иметь в виду, что Евоид говорит не только о
медиальных прямых, но и о медиальных площадях. Это
площади, которые квадрирует медиальная прямая, т. е. равные
квадрату на медиальной прямой, т. е. прямоугольнику между двумя
рациональными (в евклидовом смысле) прямыми.
Составными иррациональными являются также:
I. Большая и меньшая.
II. Рационально- и медиально-квадрирующая и образующая
с рациональным целое медиальное.
III. Бимедиалопо-квадрирующая и образующая с медиальным
целое медиальное.
Все они состоят из суммы и разности двух несоизмеримых
в степени, причём:
для Г сумма квадратов рациональная, а прямоугольник между
членами медиальный;
для II, наоборот, сумма квадратов медиальная, а
прямоугольник рациональный;
для III н сумма квадратов и прямоугольник апдялльиые и
оба несоизмеримы между соЗой.
Что касается до родов биномиален и вычетов, то они
различаются между собой в зависимости от того,
I) больший или меньших член соизмерим с данной
принимаемой за рациональную прямой, или же никацэи;


К книге х 429
2) та прямая, на квадрат которой больший член в квадратах
больше меньшего, соизмерима или несоизмерима с большим
членом.
Мы получаем 6 родов соответственно шести возможностям
(см. комментарий 38).
41. Классификация иррациональных построений3^. При
создании буквенной Алгебры сейчас же была усмотрена аналогия
между числовыми иррацианальностями и соответственными им
иррациональными и буквенными выражениями, которые лучше
всего называть иррациональными буквенными построениями.
Таким образом, V ~\ra • у~Ь~ представляет буквенное
построение, отвечающее медиали Евклида; построение 1/ ayb-\-
, , /r~ba~
4-1/ -т= отвечает первой оимедиали.
' у а
Предложения Евклида, относящиеся к иррациональным и
выражаемые формулами
конечно, верны для всяких a, b, d.
Современная классификация иррациональных построений в
равной мере относится и к числовым и к буквенным построениям.
Сперва имеем рациональные построчная, получаемые
арифметическими операциями сложения, вычитания, умножения,
деления и возведения в степень, в первом случае — над целыми
числами, во втором случае — над буквами.
Таково построение
За3-—2ЬсН-2и
(a —by— ас '
Основным иррациональным построением в делении по
классам является ^/А, где А — рациональное построение,
например, числовое |/з нли буквенное
V
{а-\-с)г — ас
Щ Petersen, Theone des equations algebrlques.


4.iU КОММЕНТАРИИ
Вообще построение первого класса — то, которое получается
рациональными операциями;
а) над целыми числами и числовыми построениями с
однократными иррлшонаяыюстями,
б) над буквами и буквенными построениями с однократными
иррациональностями.
1ацово числовое построение —-—г~—— и буквенное
Уа + Ъ-- сУа~Ъ
Заз+Н'я3—*в
Какие и.1 иррациональных построений, отвечающих евкдидо-
вым иррациональным, следует отнести к первому классу.'1 —
Конечно, биномиали и вычеты; \гъ zt У}.
Дальше следует основное построение второго класса. Это
V А^; где А^ —построение первого класса.
Таково
у' a*-\-b-\-y а — Ь-^с.
Рациональные операции, во-первых, над целыми числами и
числовыми построениями с однократными и двукратными ирра-
циональностями и, во-вторых, над буквами и буквенными
построениями такого же типа дают построения второго класса,
например:
>'2+/з+5"1/з — yj
yz+iyz-V 2+уГ'
Большинство иррациональных Евклида—вт ор ого класса.
Таковы бимедиаль и медиальный вычет
V у а
меньшая иррлциош
а также большая и меньшая иррациональности-
Таким же образом от построений второго класса переходим
к построениям третьего класса.
Таково, например, построение
у V У'№Ъ ~Ж+Ш + 2 У& — fts 4У у дз_j_2№~^a.
I


К КИНГЕ X 431
Евклид не рассматривает иррациональных высших классов,
но понимает ifx существование.
Формулы, отвечающиз различным предложениям X книги
«Начал,) Евклида, с этой точки зрения лают приведение
иррациональных построений к простейшему виду, обнаруживая класс
числа или буквенного выражгчия.
Такона, например, формула, которая даётся исследованием
большей и меньшей иррациональных Евклида:
у o±V а2 — Ъ* = 1/ —&- ± 1 / —7г- -
Левли часть построения—второго класса, правая —
первого.
42. Иррациональности, зависящие о.т "корня квадратного.
Евклид мог бы продолжить свои исследования иеиррационалыгым
построением высших классов; yrab— среднепропорЦихтальная
между а и b площад|>—-имеет вполне определённое
геометрическое значение; равным образом a-\-yrab, У а-\~УаЬ, а также
' г а' У a-Lyrab, как прямая, среднепропорциопальнаямежду
стороной квадрата а и стороной квадрата, равновеликого aAr\r ob,
Все эти величины, выражаемые с помощью квадратных
радикалов, должны быть признаны существующими в евк.шд)вом
смысле, так как могут быть построены с помощью евклидова
комплекса: циркуля и линейки.
Но можно утверждать н обратно, что с помощью евклидова
комплекса могут быть построены только те величины, которые
выражаются посредством квадратных радикалов. В этом нетрудно
убедиться, переводя всё на язык аналитической геометрии и
обнаруживая, что пересечение прямых определяется с помощью
уравнений первой степени, а прямой и круга или двух кругов —
с помощью уравнения второй степени.
Только в XIX в. as) была доказана невозможность трисекции
угла с помощью циркуля и линенкц, причём вместе с тем и
вскрыта общая метода для решения задач па построение в
критической nocianoBKc: требуося определить, возможно ли данную
задачу решить с помощью циркуля и линейки, и если это
возможно, то дать решение,
В теории критического решения задач на построение
особенно большое значение имеет исследование Гаусса^), обнару-
3S) F. Klein, Vortrage iiber ausgewahltc Fragen dcr Elemeu-
tar-Geometrie, Leipz., Ш5. — Ф. Клейн, Лекции по избранным
вопросам элементарной геометрии, Казань, i898.
т) А. Адлер, Теория геометрических построений, пер. с
нем.., под ред. и с примеч С. О. Шатуновского, Matiiesis.
Одесса, 1924.


432
КОММЕНТАРИИ
живающее возможность построения с помощью евклидова
комплекса сторон правильного многоугольника с простым числом
сторон только в том стучае, если это есть простое число формы
22"+1* и вместе с тем. дающее метод для решения задачи в том
случае, когда это условие выполнено, Решение задачи для сем-
надцатиуголышка сводится к построению
__ ~1+У17-;-)Лз4+т7 -гУ 68+12У 17-16^4+2V17-2 (1+V 17)1^34-21/17 >
~ 8
т. е. к построению стороны квадрата, выражаемого числом 17,
и к построению второй биномиали V 34 + 2 У17 и второго
медиального вычета н затем более сложной иррациональности.
Производимой от этих яррациональностей, но не рассматриваемой
Евклидом.
43. Доказательство существования иррациональных.
Образцом евклидова доказательства иррациональности может
служить доказательство иррациональности биномиали у а-\-У f>
при У а и У), несоизмеримых линейно, что будем писать
так; У я ' У) г р, ко з:р~ р (обозначая через р
рациональную дробь).
Иррациональность доказывается, конечно, в смысле Евклида,
т. е. в том смысле, что (1 o.-\~y$f несоизмеримо с а, В ариф-
метизир о ванной форме это сводится к доказательству
рациональности в нашем смысле (Уа -\-У (S)2 при рациональных а,}.
Мы это положение будем доказывать так: взяв тождество
{У а -\-У$)2 = я-\- % + 2У aji, сведём доказательство к
доказательству иррациональности У а ■ у§, что будет проводиться апа-
гогичгска.
1:сли положить У^—Х, где ), рационально, то Уа-$—АУ},
откуда отношение У% : У$ = ~, т. е. рационально, что
противно условию.
Евклид, используя предложение 4, II, идёт по тому же пути.
Различие только в том, что он оперирует не с рациональными
дробями, а с отношениями.
Это использование 4, II имеет место и в других случаях,
например, при доказательстве иррациональности бнм >ди4лей,
когда при возведении в квадрат выражения V У"я ■ У$-\-
~г" * У"\ ' У 3 оказывается, что сумма квадратов несоизмерима
с удвоенным произведением;


к книге х 433
Так как yV- VY к У-f- Yo можно счшать рациональными
(как. соизмеримые), то предыдущее соотношение сводится к
(а + ЬуЛУаЬ Ф ?,
Казалось бы, что при доказательстве иррациональности
второй бимедиали можно итти следующим путём: из
несоизмеримости
VT~v Yj'YV^-уТфо
получить несоизмеримость
Y7- у г-. УуТ^ТТ- УуТ^уТф р,
а затем на основании соизмеримости
У a ■ УТ: {У a ■ YT-i- /f • У Г) - ?
получить условие несоизмеримости
(Уa ■ yj + УТ ■ УЦ : Ч У} a ■ yf ■ У У ^ ■ УТ ф р.
Но У~ъ • У\ н 2 У У* ■ yf ■ У Уч • У о здесь не прямые,
а площади.
Евклиду необходимо свести это к условию, относящемуся к
прямым, Он делает это приведение, почагая
уа. у J-у у^. ут= У Г. у,
2У'У*. У'уУ V f • У 3"= \^г,
т. е. приложением к рациональной прямой V £ прямоугольников,
равных площадям У з . У$ ~УУ'( ■ УЬ н 2V У а ■ У^Х
У\У У'{ • У&1 н доказывая затем, что у, z — рациональные
несоизмеримые с Y& в первой степени.
Из того, что квадрат на бимедиали равен (у-У г) У У,
а у-У-z—биномиаль и потому иррациональна, ивыводнтся
иррациональность бимедиали,
Следует отметить, что доказательство для взаимных
иррациональных (т. е. получаемых заменой птюса на минус) ведётся
совершенно так же, но только Евклиду приходится пользоваться
не формулой
(а — by = a2~~2(ib~y b2,
которой у него нет (но" которая находится в «Элементах» Ле-
жандра), а формулой
(я — £)2a-2a& = а3~уьг.
28 Евклид


4^4 КОММЕНТАРИИ
При доказательстве иррациональности прямых, выражаемых
построениями второго класса, Евклид поступает аналогичным
образо.1, причём доказательство оказывается проще.
Гак, для случая большей иррациональности £/-|~ V, для
которой L!2'.V2^p, U2-\-V*=R, UV = M, где R рациональна, а М
медиальна, ичеем:
(и* + V*):UV* р,
а по 16, X
(£/2+1/24-2£/У):(£/24-К2) ^ ?.
Опять, используя 4, II, получим
н заключаем об иррациональности (U-\- V)2.
44. Единственность биномиального разложения.
Доказательство единственности разложения на два члена двучленных
иррац.юнальностей тоже устанавливается с помощью 4,"II,
Образцом может служить такое доказательство, относящееся
к бино .шали.
В алгебраической символике всё сводится к возведению
в квадрат равенства
TTsTT=vTiy^ (1)
что даёт
<* + [!)-(с 4-1) = ±(21 ^-21ГЦ), (2)
откуда извлекается невозможности (2), а поэтому и (1), так как (2)
означает, что рациональная равна иррациональности.
В этом доказательстве, как и в других аналогичных, рабочей
леммой является положение 26, X; медиальная площадь не
превосходит медиальной площади на рациональную величину.
Это положение не следует смешивать с предложением 73,
в котором доказывается иррациональность (в евклидовом смысле)
вычета Т^а — У$, который, таким образом, не может выражаться
ни чэрсч а, ни через у а, где а принимается за рациональную.
В предложении 26 доказывается аналогичная теорема, но
только не для разности двух прямых, а для разности двух
площадгй.
Эти два предложения сводятся к одному только при ариф-
метизации, т. е. при выражении абстрактными числами как
прямых, так и площадей.
Но доказательство может вестись вполне аналогично тому,
которое даёт иррациональность вычета.
Евклиду необходимо только ввести корректив, аналогичный
тому, что мы выше отметили, т. е. перевести площади на прямые,
или к некоторой прямой, принимаемой за рациональную,
приложить прямоугольник, равновеликий квадратам на медиальных
членах:


К КНИГЕ X 435
Дальше приходится применять 4, II совершенно так же, как
в других доказательствах.
Мы, конечно, для доказательства иррациональности YА — УВ
пойдём через равенства
Ya~Yb = r,
Y'a=r-\-Y~b,
a = r2-j-2rVb-1-3,
откуда У В оказывается рациональным числом, что противно
предположению.
В случае первой бичедиали Евклид ведёт доказательство
аплгогически и приходит к равенству, в одной части которого
2 У у а. yj- У уТ тТ-2 V'yTT? • У ут. yj
рациональное, а в другой части
{YYT^-y'yT^)-(V77j^-VWYf)
иррациональное.
В случае «большей* иррациональности предположение
X-j-y—CT-j-V
влечёт
(X* 4-^) — {U2jr У2) = 2UV — 2ХУ,
причем получается то же противоречие.
Но дело обстоит значительно сложней в случае второй ба-
медиали.
Зц.$сь Евг-гллд } потребляет остроумный приём. Он приводит
предположение двойного разложения второй бимедиали к
предположению двойного разложения биномиали (невозможность чего
им уже раньше доказала), представляя z под двумя формами:
« + (*-«) (3)
v + {z-t>), (4)
где г, й, v определяются уравнениями
-= (Кугу?+Угсу^Т,
«У7= Y^-YT+VvVb
v Yi= Y$ ■ У"Н- У(- УЯ
28*


436
КОММЕНТАРИИ
и выводя отсюда равенства
(г - u)V4= 2УУ.~У> V~YvV°,
дающие возможность заключить, что а и г рациональны и
несоизмеримы с Y't в первой степени.
Соизмеримость уу a-J/ }-\ Y'{'Y& даёт возможность
вывести несоизмеримость
yZYf-YvYi* iVYWf-VYvVK
затем несоизмеримость и и (z — и), а также, если вместо (';, JJ),
(7. S) взять (£,Т|), (С, ш), — несоизмеримость и и 2 —и.
Обе величины (3), (4) оказываются блномиалями.
Евклид прибавляет ещё доказательство того, что они не
представляют биномиален, отличающихся только порядком членов.
45. Построение иррациональных. Совершенно так же, как
и в планиметрических книгах, Евклиду приходится доказывать
существование в его смысле определяемых объектов, указывая
их построение. Для оправдания определения бимедиали ему
приходится доказывать, что можно найти медиали, соизмеримые
только в степени, образующие прямоугольники: 1) рациональный
и 2) медиальный (предложения 2/, 28).
Построение первой сводится к построению х, среднепропор-
ционального между двумя рациональными к я, YP, соизмеримыми
только в степени, н к построению .у —четвёртой
пропорциональной— из пропорции |Аа;У р = дг;_у.
Для построения второй бимедиали приходится пользоваться
пропорциями __
Y^x^x'-Y),
Yo.:Y'i=x:y,
где у а, | }, ] ? —три рациональные, соизмеримые только в
степени,
Оправдание определений различных биномиален и
иррациональных второго класса ведётся таким образом, что
используются как геометрические, так п арифметические постулаты.
На основании их доказывается, что некоторые члены могут быть
найдены, некоторые прямые построены.
При этом арифметические предпосылки доказываются путём
применения к числам по существу геометрических теорем II
книги.
А именно, прежде всего доказывается па основании б, II,
что всегда могут быть найдены такие числа, сумма квадратов
которых равна квадрату, и такие, сумма квадратов которых не
равна квадрату (лемма к предложению 28).


К КНИГЕ X
437
Образцом применения арифметических предпосылок может
служить предложение 29, в котором даётся построение
рациональных, соизмеримых только в степени и таких, что большая
в квадратах больше меньшей на квадрат прямой, с ней
соизмеримой.
Предлагается иайти два целых числа а, Ь таких, что а2 — Ь2
не представляет квадрата, и определить х и у из пропорции
х*:у2 = а*\(а*—&г1
которая даёт; хг:(х'2—у2) = а2;Ь2,
Та-к же Евклид поступает при установке определения
биномиален,
При построении двух мед нале й, соизмеримых только в
степени, образующих ме'диальный прямоугольник, и таких, что
большая в квадратах, бзлыне меньшей па квадрат, с ней
соизмеримой, Евклиду уже нет нужды обращаться к числам; он может
оперировать ^на основании _2&, I прямыми а, (S, f так; положив
а--= У а. у (J и xy—Y\'-Y'i' определить х, у из пропорции
x:y = Y«:Vl Фр.
Тогда У х2 —~y*:x = p.
Задача о разыскании хну сводится к построению корней
квадратных уравнений или, точнее, системы
х-{-у = А, ху = В.
Следует отметить, что, начиная с предложения 32, Евклиду
иет нужды обращаться к числам. На основании предложения 30
он может строить прямые, соизмеримые в степени, такие, что
\ а2 — Ь2:а -ф. з.
Ь2
Тогда х, у определяются уравнениями х-\-у~а, ху—~
нлп построением прямоугольника на прямой а, равного квадрату
на — с недостающим квадратом.
Таким же образом Евклид поступает н при установке
существования других иррациональных второго класса (34, 35),
причём все эти рассуждения, за малыми изменениями, дают
возможность установить существование и взаимных иррациональных.
46, Доказательства существований шести видов бииомналей.
В предложениях 48 — 53 даются доказательства существования
шести биномиален А-\-В, где А > В.
Пусть г будет некоторая рациональная прямая. Для первой
бииошгали больший член соизмерим линейно с этой прямой, т.е.
имеет форму тг, второй же обладает тем свойством, что era


438 КОММЕНТАРИИ
квадрат меньше квадрата первого члена на квадрат прямой,
соизмеримой линейно с первым членом, т. е.
Таким образом, первую биномиаль можно изобразить в виде
Для второй биномиали мы имэем, что второй член имеет вид
тг, а первый определится из условия
откуда вторая биномиаль будет иметь вид
-г~\-тг.
VT-
Для третьей биномиали, где ни один из членов несоизмерим
линейно с рациональной прямой г, мы можем взять форму у~а-\-
-\-У~Ь. Условие, что квадрат первого члена равняется квадрату
второго члена плюс квадрат на прямой, соизмеримой линейно с
первым членом, даёт:
и окончательно:
В3= y~a-\-yrl —n*Va.
Для четвёртой биномиали мы имеем, что квадрат первого
члена равэн квадрату второго плюс квадрат иа прямой,
несоизмеримой с первым членом.
Если взять биномиаль в виде
Ya + Vb,
то мы будем иметь а — Ь = с, где Ь неточный квадрат. Возьмём
а =щг,
В± = mr--{-Y т2г2 — с.
Для пятой биномиали, где соизмерим с рациональной второй
член, будем иметь; ___^
Въ = УтЬ- -j- с 4- тг.
Наконец, для шестой, где ни один член не будет соизмерим
с рациональной, мы будем иметь:
Ва=Уа^-Уь,
причём Ь^=а — с не должно составлять точного квадрата.
Построение первой биномиали, согласно предложению 48,
сводится к следующему:


К КНИГЕ X 439
Берём АС = а, СВ~Ь так, чтобы имело место отношение
ВС~ Ь ~Ф '
но чтобы отношение
d^ — ^-bi
АС~ а
не равняюсь отношению квадратных чисел.
Откладываем рацюначьпую прямую D = r и берём £Y = Ar.
Затем составляем пропорцию
ЛВ ЕР а + Ь №г*
Отсюда определяем /Я=а" оно будет:
т. е. будет рациональным в смысле Евклида; так как подкоренное
выражечнз не представляет точного квэлрата, то EI — kryiIH=x
т б\'Д\'т линейно соизмеримы. Эго покашвает, что их сумма
будет биномпалью
EH^kr + kr j/-i-&.
Для доказательства, что она будет первой биномиалью,
неходим из равенства
ВА_ЕР_
АС~W
которое [(оказывает нам, что ffl=kr будет бэлыне /// =
г а-\-Ъ
Полагаем ЕР = 1№ + (Р.
Нам нужно доказать, что G будет линейно соизмеримо с
El=kr. В нашем обозначении мы просто напишем:
О2 = ЕР — /№ = №& — AV3 ( -4-Л =
Чпв/щ
a-\-b fi


44U КОММЕНТАРИИ
что и доказывает предложение. Евклидv приходится иттк несколько
более сложным путём. Он пишет:
В А ЕР аЛ-Ь /И2 -4- G3
_ = _ , или -J£-.= ___,
откуда, «переворачивая;, он получает:
b — G*
или
т2 HP n
-г = 7гг , т. е. О =£/—.
Если выразим -
д -}- ft ___ ш2 а /я2 п2
b п2 ' 7? л2 '
й _____ т- — п1
и выражение для первой биномналк принимает вид
о , ■ . ('"яг2—л3
В, -.=: kr -г- £т — — •
т
В предложении 49 даётся способ построения второй бнаомиал[1-
Берём числа ДС:=й, Си = &, обладающие тем свойством, что
а-\-Ь т- а -— ft
-—■'-— -=-„ ——= не квадрат.
* "J ' ft
Откладываем раци,иилыг,ю D-=rruEI = kr. З^тем составляем
пропорцию
СЛ_ЕР а ___ k^r2
AB^lH2 H"'iI й+6— х2 '
откуда
Так как подкоренное выражение не б\'дет точным квадратом,
то сумма Е}-\-!Н будет биномиалыо, где £/ = &г будет теперь
уже меньшим членом
EH.^kr у 1+1-\-кг.
Для доказательства, что это будет вторая биномиаль, полагаем."'
!H*=EP4-Gi и™ k2r2-^l — f-r^-\-G\


или
G =
чер
т2
а
т
ез
~ь _
EP+G2
" ЕЯ
г д-(-6
/л
л '
а
то будем
т2 — л2
откуда __ _ _^__ _____
G = kr У -----кг 1/ —1-7 ■ =А/' - — 1/ ^ ,
т. с. величина, соизмеримая с большим членом /Н — kr у —^—.
У Евклида то под}чается так:
ВА_!Н^
АС ~ЁР
Ъ "~ О-1 '
а -+-&
Если выразить — —
а
а + Ъ_
6 ""«2 • 6 — „я '
a-j-fr _ лг2
а ;лэ — л2 '
и выражение для второй биномиали принимает вил
г, и т I и
B, = kr-Т . -|-kr.
У та — л3
В предложении 50 строится третья бипомиаль, для которой
попревшему разность квадратов большего и меньшего члена
равна квадрату прямой, соизмеримой с ббль;ним членом, но зато
оба члена не выражаются через рациональную прямую г.
Берём АС- а, СВ~-Ъ. удовлетворяющие условиям —Ф— —
та а-Л-Ъ о
----- , -—!—= не квадрат. Возьмем некоторе неквадратное число
£> = _", обладающее те?л свойством, чк> отношения ~~— , -_- не
а а
выражаются квадратными числами. Затем берём рациональную
прямую Е — г и определяем 1Н-~=х из иропорцаа
D Е2 „, Л/Г1Г^~Ь
Полученное число [Н—х будет рациональным в смысле Евклида
и линейно несоизмеримым с Е; о:ю даёт нам первый член
искомой биномиали.
Для получения второго члена исходим из равенства


442 КОММЕНТАРИИ
откуда
GH-^y^x Л/ -%-г\
/ \ а-\-Ь
это будет рациональная в смысле Евклида, линейно
несоизмеримая с х длина; сумма эгих длин
Х+-У--Х + * У Т+ъ
представляет искомую бцномиаль.
Для того чтобьг убедиться, что она будет третьей, мы
должны доказать равенство
х2 = у2 -г (&03
и, кроме того, показать, что GH, так же как и Ш, не
выражаются рационально в нашем счысле черев Я —г. Для IH это уже
доказано;
V41-
Для GH это получится из равенства
У а+Ь
1Н = г
линейно несоизмерима с £ —г.
Так как IH > ОН, то пишем:
Мы имели:
АС ~ ~Н(Р
Отсюда, «переворачивая», получаем:
и Ь ~ №
У а-\-Ь т
Таким образом, разность квадратов первого и второго членов
соизмерима линейно с первым членом.


Если выразить ■
a-r-b _ms a m2 — n2
~~b~~n*' ~b ~~ ~"nz '
а __т2 — п*
Q-\-b~" т2
Выражение для третьей бииомиали принимает вид
В^х + 1 ]/j»»-»> =х + х У 1 - [Ш] ■
Если положить 1/ —-J— = Yk, — = 1, то
У d т.
В3 = rVk 4- r\f * • У Г—)А
Для трёх остальных биномиалей разность квадратов обоих
членов не будет равняться квадрату прямой, соизмеримой с
большим членом.
В предложении 51 даётся построение четвёртой биномиали.
a-+-b a-\-b
Берём АС=а, СВ = Ь такие, что отношения , —г—
1 а о
не выражаются квадратными числами. Откладываем рациональную
прямую £>=/■ и строим £/=£/■. Затем составляем пропорцию
АВ El2 a + £> (kr)2
АС [И2 а х2
[H—x~kr
/тЬ:
Л \ ■
:л
мы получим величину, рациональную в смысле Евклида, ио
линейно несоизмеримую* с Е[~кг. Сумма отрезков
EH=E[+lH = kr-^-kr V—^r-L
1 ' У а-\-Ь
будет, таким образом, биномиалью.
Первый член сё Е[=кг линейно соизмерим с рациональной
прямой 0 —г, второй же — нет; следовательно, для того чтобы
доказать, что рассч трцваемая биномиаль будет четвёртой,
остаётся убедиться, что разность квадратов обоих членов ЕР — IH2
не будет выражаться квадратом на прямой, соизмеримой с первым
дленом.
Имеем
El2^[H2~{-GK


444
Из пропорции
«переворачивая*
откуда
КОММЕНТАРИИ
а-\-Ь ЕР
а ~ 1И2'
получаем:
й + & ЕР
Ь ~ G2'
°-E'/^h
что действительно представляет линейно несоизмеримую с EI
прямую.
Выражение искомой биномиали будет:
В. =--_кг + kr г—— = ftr ^ 1 -I i—^ .
Vi + L V П+,1
В предложении 52 находится выражение для пятой биномиали.
При тех же значениях а, Ь, г и El=kr, что и выше,
составляем порпорциЕО
АС _ЕР t fl __ (kr)3
АВ~1Н2 И;'И я + 6^ x2 '
откуда
Так как IH рациональна в смысле Евклида и линейно
несоизмерима с EI—kr, то сумма Е1-\-1Н будет представлять биномиаль,
в которой JH будет большим членом:
ЕЙ-кг у ^i^+йг.
Для тою чтобы доказать, что она будет пятой, нужно
убедиться, что разность кватратов IH2 — ЕР не будет соизмерима
с IH. Мы имеем:
А£__ЕР_ а _ ЕЯ
АВ~1Н* ИЛИ а + й~/№'
Полагаем:
R таком случае, <переворачивая> пропорцию -


к книге х 445
получим:
a -f Ъ _ IH*
b ~ G3 '
-т. у -
Так как выражение под корнем не представляет точного квадрата,
то G не будет линейно соизмерима с /tf — большим членом
рассматриваемой биномиали.
Если положить — — а, то выражение для пятой биномиали
примет вид
В предложении 53 даётся способ получения шестой биномиали.
Взявши попрежнему ЛС = а и СВ — b, удовлетворяющие тем
же условиям, что и выше, откладываем ещё D — d, не являюще-
„ а-\-Ь
еся квадратом и не делающее квадратами отношении —~— и
ЛВ~
й-j-U
т=х=г у -^
Мы получили рациональную в смысле Евклида и линейно
несоизмеримую с Е прямую; ока будет первым членом нашей
биномиали.
Для получения второго члена будем исходить из пропорции
откуда
ЛВ /№ а~±-Ъ л
НО~у — хл/~-~ .
Длина у, согласно сделанным предложениям, будет
соизмерима с х только в степени; сумма
будет биномиалью.


446 КОММЕНТАРИИ
Если мы хотим доказать, что эта бяномналь будет шестой,
нам нужно убедиться, что ни х, ни у не будут линейно
соизмеримы с рациональной прямей г. Для х^=1Нъ\о непосредственно
следует из равенства
л Га+Ъ
x=rV —•
Для у мы доказали бы это, подставив в формулу для у его
выражение через х;
-v=x У ^гь=г У ^~ ■ У ^=г У 7 ■
Евклиду приход'ится нтти более сложным нугём. Из равенств
D _ _Ё1 d — г*~
АВ~1№ "Ш а +4 "х-"
В А 1Нг а+Ь х'
он находит «по равенству», что
откуда
\/ -
У d ■
Теперь остаётся только показать, что иг2—уг не будет
выражаться квадратом на отрезке, соизмеримом с х = Щ.
Полагаем
лг!=У4-*2, т. е. /Нг = Н024-*2.
и из пропорции
В А __ IW
АС НО1 '
^переворачивая», получаем:
ВА_[Н* а+Ь_х'-
ВС~ № "'™ Ь — «а '
откуда
Ь~
i+b'
т. е. k будет линейно несоизмерима с х.
Выражение для шестой бнномиали может быть записано в виде
V 7Г-
6=r]/-_4r/f,


к книге х 447
что, очевидно, можно представить и в виде
(И. В.)
47. Связь между первой гексадой иррациональных и
различными видами биномиалей. Следующие двенадцать
предложений (54—65) имеют целью выяснить смьесл введения шести
биномиален. Античный схолиаст о5ьедннял их вместе под
заглавием (Не ib erg, т. V, № 309, стр. 538):
'^Шестая глава, показывающая, что шесть полученных
сложением иррациональных образуют площади, заключенные между
рациональной ^прямой)- и какой-нибудь одной из шести
биномиалей:*.
Если принять эту рациональную за единицу, то высказанное
положение равносильно будет с нашей точки зрения следующему
утверждению:
«Квадрат каждой из шести иррациональных цервой гексады
даёт соэтветст)-енно одну из шести биномиален»,
Доказательство этих теорем начинается с леммы, которая
в современных обозначениях выразилась бы так:
АС — а2 + Ь2 + 2а b ~ {а + Ь)2,
ОИ=аЬ = Уа*-Ь3,
или
a2:ab~ab:bs
DC = {a-\-b)b= У{а-\-Ь}2-Ь2,
или
(а -[- bf: (о + Ь) Ь = (а + Ь) Ь: Ь2.
Предложение 54 гласит, что произведение первой биномиалн
на рациональную прямую можно представить в виде квадрата на
биномиали.
Если выражение для первой биномиали написать в виде
Bl=kr^.kry'\^lt,
где ). = — в наших прежних обозначениях, а обозначение для
бшюмвали взять в виде
В = Ух^гУу,
то Hatua теорема будет эквивалентна равенству
V \&{\ Л-УТ=Щ) =(У~х4УУ)а,


44У
КОММЕНТАРИИ
что равносильно следующим уравнениям*
2 Y~xy = kkxr* "Т'Т^А
где х и v определяются как корни квадратного уравнения
-_ 2 -К
(<Ц,Я^ («])»<
(1--.)=*^?(1±1).
Таким образом, для х и у получаются рациональные выражения
что и доказывает пашу теорему.
Евклидово доказательство заключается г
АВ = г будет рациональная прямая, a kAD-
биномиаль, в которой
AE = kr, ED--кгУ \ —
Г.ЕП кг п -
следующем. Пусть
: Л£ ~- ED — первая
БереЧг
Так как AE2 = ED2 + ().-ЛЯ)2, то мы можем воспользоваться
теоремой о приложении с недостатком в виде
_f квадрата в комбинации с предложением 17
X книги, которое говорит (вторая
половина):
«Если в квадратах большая будет
больше мельшгй ла ^квадрат) на соизмеримой
Черт 20. с со^ой [линейно] <прямой>, к большей же
приложен с недостатком в виде квадрата
«(параллелограмм), равный четверти
-(квадрата) --а меньшей, то он разделяет ее' на соизмеримые линейно
•(отрезки)».
Это значит, что если мы приложим к АЕ площадь, равную
ЕР так, чтобы она да вага недостающ в виде квадрата на НЕ, то
отрезки ЛЯ и НЕ будут между собой линейно соизмеримы (черт. 20).
На следующем этане Евкл [д ищет квадрируюгдую
прямоугольника ADX.AB, который можно представить в виде "суммы чегыре'х
прямоугольников
AG = AH-AB, HK—HE-AB, EL-IC — EI-AB,


К КНИГЕ X W
Построим квадраты
u2^S.\'2—AH-AB,
V2 = ,VP? = HE-AB.
Так как, по условию,
АН-ИЕ^ЕГ,
то
A G ■ ИК=АН-НЕ- АВ2 = ЕР-АВ* = ELK
Та*<иы образом, EL есть средняя пропорциональная между AG
и НК, т- е- между а2 и у2. Но средняя пропорциональная между
иэ и v'% согласно "только чт) до,;аза,пюй лемче, буд^т ни; значит,
EL = ul>. Теперь илощгдь
AB-AD = AH-AB+Hfi'AB j-2I;/-AB =
— i£ A- v"- -f 2d j = (и A- V? = {VATFTfB+VtlE-AB)*.
Таким образом, найдена квадрирующая для прямоугольника АВ- AD:
она равна иуде г
Нам нужно поцазать. что эта квадрирующая будет бшюмн-
Г1.ЧЫО. Д-ТЯ ЭТОГО нуЖПО ТОЛЬКО убеДИТЬСЯ. ЧТО U U V ГА'ДуГ рЩИО-
нальиычн в смысле Ев<лидл, но соизмеримым;! между собой
.только в квадратах.
Согласно определению первой биномизли первый её член
АЕ соизмерим с р.ишональной Д# —г. 3aieM, поскольку
отрезки AN и НЕ будут соизмеримы между собой лине"шо,
то они будут соизмеримы и со своей суммой АЕ, а
следовательно, и с АВ. Таким оГ.разом, АН-АВ~=и2 и HE-AB = v2
будут рациональные площади, т. е. и и v соизмеримы между
собой в квадрата.
Остаётся доказать, что они будут линейно между собой
несоизмеримы. Поскольку AD есть разделённая в Е первая бино-
миаль, то АЕ несоизмерима с DE лннзйко; а так как АН соиз-
DE
мерима с АЕ, а £У=~- с DE, то АН не будет соизмерима с
El. Но
АИ-АВ — a3, Ef-AB — uu;
следователю, а2 и иу, а значит, « и v будут линейно
несоизмеримы мзжду собой.
В предложении 55 доказывается, что квадрат бимедиали
равняется произведению второй биномиали на рациональную прямую.
Выражение для второй бинодшали мы можем взять в виде
29 Езклид


450 КОММЕНТАРИИ
Наша задача сводится к тому, чтобы найти Квадратный корень
из выражения
Возьмём корень из этого выражения в виде
Мы получим равенство
эквивалентное уравнениям
х-\-у
где х а у определятся как корни квадратного уравнения
h-2 #г* __
У"1 — ^ 4
откуда
Это даёт нам:
2/1 ->/ 2 ' 1-1.
После этого искомый квадратный корень представится в внде
Мы имеем сумму двух медиалей. Так как
х \4-\
— = -——== рац. числу,
У 1—1
то обе медиали будут соизмеримы между собой в. квадратах.
Далее, поскольку
*У^-Г,


К КНИГЕ X 4о1
то произведение этих медиалей будет выражаться рациональным
числом
, кг*
Оба доказанных свойства обнаруживают, что мы имеем дело
с первой бимедиалью.
Конечно, Евклиду пришлось цойти более сложным путе'м.
Он бере'т рациональную прямую АВ~г и вторую биномиаль
AD — AE'4-ED~-— У кг, второй член которой будет ли-
>• 1-V
иейно соизмерим с АВ^г
Так как
*'% - ?,-, | 'LESl
■ю как и в предыдущем предложении, можем воспользоваться
теоремой 17, X. Если к АЕ приложим с недостатком в виде
квадрата площадь, равную (j)', то точка деления Я разобьёт
AF. на два отрезка АН и АЕ, 'которые будут '™не»»° ™"3™"
римы между собой. Аналогично предыдущему предложению
доказываем, что квадрир\дощая площадь АВ • AD оудет.
где и* —АН- АВ, \fi--HE-AB. , „ ,
Остаётся показать, что эта квадрирующая оудет первой ив-
Так пак AD представляет вторую биномиаль, то первый ее
член АЕ несоизмерич со вторым ED; так как последний,
имеющий вид кг, соизмерим с АВ--=г, то значит, Л£, а следовательно,
и её соизмеримые между собой части АН и НЕ че будут соиз^
меримыми с АВ', таким образом, площади v?~AH- АВ и
■=НЕ ■ АВ будут медиальными, а сами «и- мелиалями.
Далее вследствие линейной соизмеричости отрезков "П
НЕ будуг соизмеримы между собой площади и- и i;J; таким оора
зоч, медиали а и о будут соизмеримы между собой в квадрада. -
Из несоизмеримости же" АН и El совершенно так же, как в щ с
дыдущем предложении, заключаем о несоизмеримости и и v-
После этою остается лишь убедиться, что произведение
медиалей uv будет рашюиалмшм. Эго легко получается, если
-./"Т^ T7f АВ-=Е1 • АВ\ по-
принять во внимание, что uu=-> лп ■ нг. пи '
скольку же /-.,, как половина ED^kr, будет соизмерима сАВ-Г.
ю и рассматриваемый прямоугольник uv = -ут • г будет рацио-


4'1" КОММЕНТАРИИ
В предложении 53 доказывается, что произведениз рационаля
и третьей бяномиаля равно квадрату втирой биномиали.
Если мы возьмём третью бшюмиаль и виде
m нам предстоит определить х и у из уравнения
г ■ ry"ft"(l r"f Ь^^-О'^+УТ)-',
чю равносильно системе уравнений
, г— kri
х+у = г*} ft, ху=^~{\—)?).
Искомые величины будут корнями квадратного уравнения
г— АН
откуда
^^Ь*(1-г». 3-^(1-*
Таким образом, кватрирующая иррациональная будет иметь вид
Поскольку в выражение её входят корпн 4-й степени, мы имеем
дзло с би.иедналью.
Так как
х \-Л
— =:——- =рац. числу,
у 1—1. *
то квадраты обоих её членов будут линейно соизмеримы между
собой. Далее,
У"х ■ Y~y — -- Y~k YT^?t
т. е. произведение обеих иррлиионалышстеЙ представляет
медиальную площадь. Наконец, сумма х -)->'=■ rS Y & будет
рациональной в смысле Евклича. Все эти обстоятельства
показывают, что мы имеем дело со второй бимедиалью.
Доказательство этого Еьклид проводит аналогично
вышеприведённым. Он рассматривает произведение рациональной прямой
АВ — г на третью биномиаль AD~Ab.-\-JSO, где
AE — rY~^, ED = rY~bYl—lz>


К КНИГЕ X 40о
Так как разность квадратов этих прямых
то мь[ виним, что она представляет квадрат ил прямой \ ■ АЕ,
соизмеримой первому члену. Это обстоятельство позволяет нам
утверждать, что если мы прможим к первому члену АЕ с
недостатком в виде квадрата площадь, равную четвэртя квадрата
цторого члена ED, то АЕ распадется на два линейно
соизмеримых между собой отрезка АН и НЕ, которые, однако, с
рациональной АВ~г будут соизмеримы только в квадратах. Прямая,
квадрирующая площадь АВ ■ АО, будет
MN \~NX-~-u-\-v,
где
а2 — АН ■ АВ, и2 — Я£ • АВ.
Это показывает, что и и г» б)<дут медиалями, соизмеримыми
между собой в квадратах (нужно иочцить, что АН и НЕ, равно
как и АЕ, не будут линейно соизмеримы с рационапьной АВ~г).
Линейная несоизмеримость отрезков и и v попрежнему будет
ED
вытекать из линейной несоизмеримости АН и £■/=-—.
Для доказательства, что мы имеем дело со второй б|-ще-
д нал его, остаётся убедиться, что прлпиедсние tiv будет
медиальным. Так как
uv — AB -УЛН^НЕ^АВ -~,
то это следует из факта' линейной несоизмеримости ED с
рациональной нрлмой АВ.
В предложснн|1 57 Евклид обнаруживает, что произведение
рациональной прямой дв~г на четвёртую бином паль, АЕЛГ
кг
A-ED — кг -—- — даёт квадрат на так называемой «большей»
иррациональной, характеризуемой тем свойством, что оба ее
члена будут несоизмеримы в квадратах, но сумма их квадратов
будет рациональна, в то время как произведение медиально.
С пашей точ|Си .зрения, доказательство этого предложения
равносильно решению уравнения
Искомые значения х и у будут корнями квадратного уравнения


454 КОММЕНТАРИИ
Решая это уравнение, получаем:
Рассмотрение этих выражений показывает нам, что ух и у у
будут медиалями,несоизмеримыми между собой даже в степени,
имеющими сумму квадратов рпци шальную:
произведение же медиалыие:
-%г—■ кг2
У1-г>-
Все эти признаки характеризуют так называемую «большую»
иррациональную.
Доказательство этого у Евклида развивается так. Он берёт
кг
произведение АВ = г па бинамиаль АЕ -4- ED =- кг -J- ———— . Из
'У1+Л
свойств четвёртой бином нал и вытекает, что АЕ- ED будут
рациональными в смысле Евклида, соизмеримыми только в степени,
причем
AP-ED' = (^-f^l=(^r |/пгг)2.
г. с. квадрат первого члена будет больше квадрата второго на
ыаадрат прямой, линейно несоизмеримой с первых членом AE = kr,
который сам будет линейно соизмерим с АВ = г.
Если мы повторим приложение к АЕ с недостатком в виде
квадрата п. ощади, равной четверти квадрата на ED, то
вследствие линейной несоизмеримости АЕ и ED, согласно
предложению 18, получим отрезки AM и НЕ, которые будут линейно
несоизмеримы.
Построением, аналогичным предыдл щим теоремам, Евклид
определяет квадрируюшую MX площади AB-AD в виде прямой
MN-\-NX—a-\-v,
где а и v определяются из уравнений
и? —АН- АВ, v*.--- НЕ ■ АВ.
Остается доказать, что эта прямая будет «большей»
иррациональностью.
1) Из линейной несоизмеримости АН и НЕ следует, что
U и v будут несоизмеримы даже в квадратах.


2) Так как Л£ —Аг соизмерима с АВ~г, то
Ц2 _|_ V2 _ (j4// _j_ //£) . Д£ _ fc*
будет рациональной площадью.
3) Так как АН-НЕ=(^Х\ то УШ^Ш^Щ- будет
линейно несоизмерима с ЛВ, а значит, площадь
<п £^
будет медиальной. Эти свойства являются определяющими
«большую) иррациональность.
В предложении 58 Евклид доказывает, что произведение
рациональной прямой па пятую биномиаль даст квадрат
рационально- и медиадьно-квадрирующей, которая определяется тем,
что сумма квадратов обоих её несоизмеримых между собой
линейно членов будет медиальной, произведение же их
рациональным.
Мы нмеем равенство
г [иг Vl+1+кП = (х~У)2-
Так как сумма х2-\-у2 должна быть медиальной, го МЫ инеем;
рациональность же произведения ху даёт нам:
кг'
Для определения х2 и у- мы имеем квадратное уравнение
откуда
г . ь3г4
:==^(7/T+4-VD, у=%(УГ+1-УП
Квадрнрующая иррациональность приобретает вид
x+y=r |/| (YvfTi+Vl+VrT+S.^Vf)-
Это будет сумма двух несоизмеримых даже в степени медиалей,
сумма квадратов которых


450 КОММЕНТАРИИ
медиальна, а произведение
кг2
х* = -2
рационально, .Мы полу шли рационально- и медиально-квадри-
рующую.
У Евклида доказательство развивается так: берйм
произведение ради шальной АВ — r на пятую бипомиаль АО =- АЕ-\-ЕГ) - -
= кгУ 1-{~\^кг, второй член которой ED линейно соизмерим
с АВ=г.
При помощи цолросний| описанных выше, т. е. путСм
приложения с недостатком в виде киадра1а к АР тошади, равной
четверти квадрата на ED, прямая АН. разделяется на два
отрезка АН [1 НЕ, которые вследствие линейной несоизмеримости
АЕ и НО будут между со5ой по предложение 18
несоизмеримыми. Эти отрезки АН и НЕ служат для определения членов и
и и квадрирующея прямой согласно уравнениям
и2 = АН- АВ, & — НЕ-АВ.
Нам предстоит доказать, что квадрируюгцаа прямая
MN-{-NX=n±v
является рационально- и медналыю-квалрируюгцей.
1) Из нзеоизч'римости АН и НЕ выводим, что отрезки а и и
будут несоизмеримыми даже в квадратах.
2) Вследствие несоизмеримости AE — k'^Yl -\-l с АВ~~г
сумма квадратов и2-^ v2 = AF, • АЯ — kr-у" 1 -[-)• будет
выражаться медиальной площадью.
3) Так как АН- НЕ-= —- и меньший член НО'—кг соизме-
4
рим с АВ=.г, то произведение ио~-угЛН-НЕ-АН^=-^- ра-
циоиальн').
Наконец, в предложении 59 Евклид доказывает, что
произведение рациональной прямой на meciyto бипомиаль будет равно
квадрату бимедиа^ыюй квадрнрующей. Это' произведение
выразится в виде
г (г Ym -\~г Уп).
где мы предполагаем т > я, и распадается на две
иррациональности
12У т н г'1} п .
Мы хотим представить сумму этих нррациональпосд-ей н виде
квадрата суммы [х-\-у)* двух'дру!их нррационалыюстей; для
возможности решения мы должны иметь, что квадрат эгой суммы


{х-\-у) сводится ii двум иррациональностям х2-\-у* и 1ху. Так
как x2-\-y2~>'Zxy, то получаем уравнения
и яело сводится к решению квадратного уравнения
г*ч
-г^.г+^о,
Аъ которого определяются х- я у-.
, г*Ут . г'\г
х2 — —-t ]- —- у in — и,
„ г*Ут /2,/—
У2 = ~ —у т~п.
Искомая иррациональность принимает вид
х .{.у ~ -^ {У Усп 4-Ут — n^yV Ут — Ут ~ п ).
Мы получаем сумму двух несоизмеримых лаже в степени медиа-
,., г- гз Уп
леи, сумка квадратов которых г2 у т и произведение -■■■„■
являются метальными, что и доказывает иысказанцое утверждение.
У Евклида доказательство разбивается тай. Он берёт произ-
ведение рациональной прямой АВ~г и шестой биномиалн
AD=AE.-\-ED =гУт-\~гУп, оба члена которой будут линейно
несоизмеримыми и межту собой и с рациональной прямой Аб = г.
Приложив if ЛЕ с недостатком в виде квадрата площадь,
равную четверти квадрата на ED, он разбивает АО па два участка
АН и НЕ, которые, согласно 18, •■> будут несоизмеримы между
собой. После этого искомая квадрируюшая MX = MN-[-NX ~
^u-\-v определится при помощи уравнений
ц* — АН-АВ, v*-=HE-AB.
'Члены её и н v будут несоизмеримы между собой даже в степени.
1) Так как АЕ—гУт только в степени сочзмернмас АВ = г,
то сумма квадратов u2 -^v2 = AE-AB-= г3 у m будет медиальной.


*и КОММЕНТАРИИ
2) Поскольку АН- НЕ = -^- и ED~rY~n будет только в
степени соизмерима с АВ = г, то произведение
и • v ~ YTJhHE. А В = Г^~ ■ г
будет тоже медиальным.
3) Наконец, из условия несоизмеримости АН и ED следует,
что u2-\-v*~АЕ-АВ и цу= -—-гт-— будут тоже
несоизмеримыми между собой.
Все доказанные свойства являются характерными для биме-
диально-квадрируюшей иррациональной.
Если принять АВ = г—\, то все ш^сть высказанных
предложений будут равноси (ьны утверждению, что все шесть нрра-
циональностей первой гексады могут быть получены извлечением
квадратного корня из шести биномиален. [И, 6.)
43. Биномиали как результат возведения в квадрат нрра-
циовальностей первой гексады. Предложения 60—65 являются
обратными по отношению к предложениям 54—59. Они
открываются леммой, которая в нашем обозначении равносильна
неравенству
Подлинность этой леммы несколько сомнительна потому, что Евклид
уже пользовался ею при доказательстве предложения 44 книги X;
как мы видели выше, она же молчаливо подразумевалась и при
доказательстве предложения 59.
Доказательство этой леммы основывается на применении
теоремы 5 книги II относительно дельная на рав гые и неравные.
Если АВ~хЛ-у н х>у, то теорэма 5, II запишется так:
откуда следует:
Но, согласно 9, II,
откуда н следует рассматриваемое неравенство.


К КНИГЕ X
45!)
В предложении 60 высказывается утверждение, что квадрат
на биномиали, разделённый на рациональную прямую, даёт в
частном первую биночиаль.
В алгебраическом обозначении доказательство этой теоремы
имело бы следующий вид.
Пусть Уд"-4-Т/7» — бнломиаль. г — некоторая рациональная
прямая, которую для простоты можно было бы принять за
единицу. Тогда
Так как, по только что доказанной лемме, а-\-Ъ > 2 ~\ГаЬ, то
а-\-Ь , г „ ,
—— будет больший член биномиали, получившийся в результате.
Далее, так как а и Ь суть рациональные числа, то больший член
будет соизмерим линейно с рациональной прямой. Наконец, квад-
' , {аМЬУ
рат большего члена %— ]1ревышает квадрат меньшего члена
4а b
~^г на
г2
ta4-b}* — Ш __ ({a —b)\* _ i (а — Ъ\ [±±±\\2
* ~\ г ) -\\а + Ь)' { г }]'
т. е. на величину, которая представляет квадрат прямой,
соизмеримой с большим членом.
Доказательство Евклида развивается так. Он берётбиномиаль
АС-\-СВ-=--'У~а -\~Yb н рациональную прямуюDE = r. К этой
последней прямой он «приклалывазтк. площадь, равную квадрату
на АВ, иными словами, находит сторону Dtl прямоугольника,
площадь которого равна АВ-, а другая сюрона DB -- г. Эту
прямую он разбивает на части
Г Г Г
Последняя прямая делится им на две части AlV=.-V//= .
Далее, прямая £Ш = б\дет рациональной, линейно
соизмеримой с г, а прямая MN, равная частному от деления
медиальной площади на рациональную прямую, тоже будет
рациональной в смысле Евклида, но уже не будет линейно соизмеримой с г.
Таким образом, доказано, что DM-^-MH будет биномиалью.
Остаётся доказать, что она будет первой биномиалью. Эго
доказательство разбивается на следующие этапы.


460 КОММЕНТАРИИ
Сначала Евклид показывает, что DK-KM^MN2 или
г* " 4 V г ) '
Затем, опираясь на вы (недоказанную лемму, Евклид
показывает, что первый член
DM-S-±±
Г
,'с ЧУаЪ
будет больше второго Л//= .
После этого используется первая половина предложения 17
книги X. Если к большей прямой DM криклачывается с недостатком
в виде квалрата прямоугольник DK-KM, равный четверти
квадрата меньшей примой МИ, причёи отрезки DK и КМ будут
соизмеримы, то это значит, что большая сторона в квадрате, а
именно DM2, будет больше меньшей МН2 на квадрат отрезка,
соизмеримого с первой.
Когда же это доказано, то остаётся лишь показать, что
больший из двух рациональных, соизмеримых тольчо в степени
отрезков, а именно DM, 6vier линейно соизмерим с рациональной
прямой DE=r, меньший we Mti не будет с ней линейно
соизмеримым; это непосредственно вытекает из доказанных в самом
начале свойств отрезков ОД", KM и МИ.
В предложении 61 доказывается, что квадрат первой биме-
диали даст вторую биномиэль, у которой квадрат большего члена
будет больше квадрата меньшего па квадрат прямой, линейно
соизмеримой с первым членом, причем меньший член будет
соизмерю* линейно с рациональной прямой.
Если мы возьмём выражение первой бимедиали в виде
то квадрат этого выражения будет--
^{(l+AJ^-f 2A).
Так как (1-f-А) У^Г> 2k, то больший член не будет линейно
соизмерим с единицей (наша рациональная прямая DE), а меньший
член 2k будет. Разность квадратов большего и меньшего членов
может быть представлена в виде
A(l + A)!_4tf = A(l_A)3=^^|y{|^(1+A)j».
Таким образом, обнаружены все свойства второй биномнхти.
Доказательаво Евклида идёт аналогично доказательству
предыдущей теоремы.


К КНИГЕ Х 461
К рациональной прямой DE «прикладывается» площадь DI,
равная квадрату на АВ, в результате пего получается сторона £)//,
которая разбивается на части
K~~DE~' DE ' luv DE~~ DE '
2ЛС-СВ
МИ-
ED
Гак как квадраты АС2 и ВС2 будут медиальными, то и площадь DL
.будет тоже .медиальной, п частое от деления её на DE будет
рациональной в смысле Евклида прямой, лингйко несоизмеримой
с О :'. Далее, прямоугольник Ш, равный 2АС-СВ, будет по
свойству первой бимедиали рациональным,' значит, прямая
_2АС-СВ
МН=-
Dti
будет рациональной линейно соизмеримой с рациональной
прямой ОЕ. Таким образом, DM-\-MH будет бицомиалью, оба члена
которой соизмеримы только в степени, н больший не будет
линейно соизмеримым с рациональной прямой DE,
Для доказательства, что это будет вторая биномиаль, остаётся
лишь обнаружить, что разность квадратов на DM и МН будет
равна квадрату на прямой, линейно соизмеримой с DM.
Показавши на основании леммы, что DM'>Mli, Евклид из
соизмеримости медиальных площадей DU и ДХ заключает о соизмеримости
отрезков DK и КМ1 а отсюда на основании первой половины 17,
X заключает о том, что DM2 — МП2— ().-£Ш)2, где), — некоторое
рациональное число.
Остаётся лишь осветить один пункт, оставленный у Евклида
в тени: почему отрезки ОД" и Д"Л1 будут между собой
соизмеримыми. Мы имеем:
■ "*=7§. *«=%
Но по свойству первой бимедиали квадраты ее' членов АС2лСВ2
будут соизмеримы между собой; отсюда следует соизмеримость
DK н f(M.
В предложении 62 Евклид доказывает, что квадрат второй
бимедиали (квадраты членов которой соизмеримы, а произведение
медиально) даё'т третью биномиаль.
Возьмём выражение для второй бимедиали в форме
Квадрат этого выражения будет:
У a + Ь У a -f 2 УоЬ — (1 -f Ь) } ra + 2}'" of.


462
КОММЕНТАРИИ
Мы имеем два выражения, соизмеримых только в квадратах,
каждое из которых нз б\дет линейно соизмеримым с рациональное
прямой, принятой за единицу. Чтобы убедиться в том, чю мы
имеем тело с третьей бнпомиалью, остается лишь показать, что
разность квадратов
{(1+&) VaY--{a2 1Tb)*
Прецставляет квадрат на прямой, соизмеримой с (1 -j- b)Y а.
Действительно, эту разность мы можем переписать в виде
что и доказывает нашу теорему.
Доказательство Евклида состоит в следующем. Он берёт
вторую бимедиаль АС — СВ и прикладывает к рациональной прямой
DE площадь £)/=ЛВа, которая в результате деления на Отдаёт
ширину DM. Эта ширина DM разбивается мг. отрезки
DK=DE< *M = De< МИ—Ь1Г-
По свойству бимеднали (соизмеримость АС2 и СВ2) эти отрезки
будут линечно соизмеримыми между собой, но вследствие
медиальное ги площадей АС2 и СВ2 ни са'ми они, ни их сумма DM не
будут линейно соизмеримыми с рациональной прямой DE. Далее
вследствие медиальности произведения АС-СВ прямая ММ —
2АС-СВ „ .. „
""Tip- будет рациональной, линейно несоизмеримой с DL.
Затем вследствие несоизмеримости АС и Сйбулуг несоизмеримы
и АС2 с АС-СВ и СВ3 с АС-СВ, а следовательно, и прямые
„,, .4C3 + Cfi2 2 АС-СВ
и ММ-
DE DL
Таким образом, две рациональные линейно несоизмеримые
прямые DM и MM составляют биномиачь.
Для доказательства, что мь] имеем дело с третьей биномиалыо.
члены которой несоизмеримы с рациональной прямой, а разность
квадратов обоих членов представляет квадрат на прямой,
соизмеримой с большим членом, нам остаётся лишь доказать это
последнее её свойство. Это можно сделать на основании первой
части предложения 17; так как большая прямая DM распадается
на два соизмеримых отрезка DK, КМ, произведение которых
равно четверти квадрата на меньшей прямой ММ, то разность
квадратов на DM н ММ прелставпяет квадрат на отрезке,
соизмеримом линейно с большим членом DM.


К КНИГЕ X 463
В предложении 63 Евклид доказывает, что квадрат «большей»
иррациональной (члгны которой несоизмеримы в степени, причем
сумма ич квадратов рациональна, а произведение медиально)
даёт четвёртую би.чомиаль (больший член которой соизмерим
с рациональной прямой, а разность квадратов членов
представляет квадрат на отрезке, несоизмеримом с большим членом).
Возьмем формулу большей иррациональной
Квадрат её будет:
-II 2 + 2
V ' У 1-т-*2У \ ' yl+ft*;*
Мы получили биномиаль с рациональным большим членом.
Разность квадратов обоих членов будет:
Выражение, стоящее под знаком квадрата, действительно
представляет прямую, несоишеримую с большим членом а.
Доказательство Евклида развивается так. Берётся ;<большая>;
иррациональность AC-j-CB и рациональная прямая DE, к
которой «прикладывается» площадь АВ2. Рассмотрим получающуюся
АВ2
прямую ■——■ — DH. Мы можем разбить эту прямую на отрезки
rw, АСг „*, С№ А.„ _„- АС-СВ
°к^ъе ' км=т> т=ш== ~ог- ■
Так как по свойству большей иррациональной сумма АС2-\-СВ2
будет рациональна, то и сумма Df(-\-f(Ai будет рациональной,
линейно соизмеримой с DEt в то время как МЫ вследствие меди-
альнос1И произведения АС-СВ будет рациональной в смысле
Евклида, но линейно несоизмеримой с рациональной прямой DE.
Таким образом, DM~\-MH будет биномиаль.
Чтобы убедиться в том, что DH есть четвёртая биномиаль,
остаётся только доказать, что разность DM2 — МИ2 не будет
равняться квадрату отрезка, линейно соизмеримого с DM. Это
производится на основании предложения 18 книги X. Так как но
свойству большей иррациональной АС2яСВ- будут несоизмеримы,
то значит, и отрезки Df(, f(M большего члена не будет линейно
между собой соизмеримыми; если же мы прикладываем к DM
с недостатком в виде квадрата площадь D/(-I(M~{—^-\ и
отрезки DI(, Д"М не будут линейно соизмеримы, то разность квад-


464 комментарии
ратов D/И3— МН2 не будет представлять квадрата на прямой,
соизмеримой с DM.
В предложении 64 доказывается, что квадрат рационально- н
медиально-квадр фующей (сумма киадратов обоих член >в ме-
диальна, я произведение рационально, и оба члена несоизмеримы
между собой даже в квадратах) даёт пятую биномиаль (у которой
линейно соизмеримыд с рациональной прямой будет меньший
член).
Выражение для рационально- и медиально-кнадрирутощей мы
имели в виде
Квадрат этой величины будет:
Мы пол\чилй биномиаль с рациональным меньшим членом. Для
доказательства, что мы имеем дело с пятой биномиаль-", нам
остаётся лишь убедиться, что разность квадратов обоих членов
представляет квадрат на прямой, линейно несоизмеримой с боль-
а
шеи прямой -~_. —г^ . Действительно,
У1+*2
C,Z fl2 й2А2 __ / a k \2
Доказательство Евклида протекает совершенно аналогично
доказательству предыдущей теоремы; вся разница будет
заключаться лишь в том, что тепзрь сумма квадратов АСг^\-СВ2 будет
мздиальна, а произведение АС-СВ рационально.
Наконец, в предложении 65 докашвается, что квадрат биме-
диально-квадрирующей (у которой медиальпы и сумма квадратов,
и произведение обоих членов) даст шестую < ипомиаль (у которой
оба члена не будут линейно соизмеримы с рациональной (фямо-f).
ВоаьмЕм выражение для бичедиально-квадрирующей,
которое мы представили в виде:
квадрат этого выражении будет;


К КНИГЕ X
465
Мы имеем биномиаль, оба члена которой несоизмеримы линейно
ни между собой, ни с рациональной прямой, равной единице. Для
доказательства, что мы имеем депо с шестой бииомиалыо,
остаётся лишь показать, что разность квадратов обоих членов
будет представлять квадрат на прямой, линейно несоизмеримой
с большим членом Y~ab. Действительно, эта разность квадратов
будет:
аЪ ab-k2 { ,— k
ab — ■ — — yab ' г
\-\-k2 i_|_# у* У\-\-&
Евклидово доказательство развивается совершенно аналогично
доказательствам пяти предшествующих теорем. Разница
заключается лишь в том, что теперь ему приходится подчеркнуть, что
по свойству бимедиально-квадрирующей сумма квадратов АСг-\-
-\-СВ2 не будет линейно соизмерима с 2АС-ВС; это
обстоятельство и позволяет ему утверждать, что линия
™ г дш АС- + СВ2 . 2АС>СВ . . -
DM+MH = gL_- + ~^
состоит из двух рациональных в смысле Евклида линейно
несоизмеримых членов, т. е. представляет биномиаль. То, что эта
биномиаль будет шестой, вытекает из предложения 18, X и того
обстоятельства, что АС2 и СВ3, а следовательно, и отрезки
АС2 СВ3
DI(~j-j7- и Д7И = у-т?- не будут между собой линейно
соизмеримы, (И. В.)
49. Соизмеримость иррациональиостей одного класса.
Предложения 66—70 имеют целью показать, что прямые, линейно
соизмеримые иррациональности какого-нибудь класса, будут и
сами представлять иррациональности того же класса.
В античных схолиях эти предложения вводятся следующим
замечанием (Heiberg, т. V, № 340, стр. 547—548):
«Седьмая глава, в которой рассуждаете^ о соизмеримости
шести иррациональных, полученных путём сложения,
показывающая, что каждая соизмеримая будет одинакового с ней вида».
Изложенные у Евклида доказательства не требуют особых
комментариев. С нашей точки зрения доказательство будет
заключаться в том, что, умножая оба члена иррациональности на
рациональное число )., мы не меняем отношений их ни друг
к друч у, ни к рациональной прямой. {И, В.)
50. Иррациональности, получаемые в результате сложения
площадей различных типов. Предложения 71 и 72 вводятся у
схолиастов следующим замечанием (Heiberg, т. V, №353,
стр. 5о1):
«Восьмая глава, ясно обнаруживающая из сложения
рациональной и медиальной или двух медиальных площадей ту разницу,
30 Евклид


466 комментарии
которую имеют между собой <получаюшиеся> в результате
сложения иррациональности, а также выводящая их различие из
тех площадей, которые ими квадрируются».
В предложении 71 рассматриваются иррациональности,
возникающие при сложении рациональных и медиальных площадей.
Если складываются такие две площади, то квадрирующая
площади, полученной в результате их сложения, будет или биномн-
алью, или первой бимедйалью, или «большей» рациональной, или,
наконец, рационально- и медиально-квадрирующей.
Если через г обозначить рациональную длину, то
рациональная площадь AB = kr2, медиальная же С£) = У~/-г2, где k и \
суть рациональные числа. Требуется определить, какую
иррациональность представляет квадрирующая
Пусть сначала £>У~).. К рациональной прямой £7 = r
«прикладываем» площадь АВ = кг2; получится ширина
EG = kr\
прикладывая к той же прямой площадь GI, равную площади CD,
получаем ширину
Из этих ширин EG будет соизмерима с г линейно, GK же — лишь
в степени; поскольку обе они рациональны в смысле Евклида, то
полученная прямая
£G + GAT=ftr-f-yir
будет биномиалью с большим членом EG = kr.
Если к2—\ — (\i.k)2, где ц— рациональное число, то получен^
ная прямая Е/( будет первой биномиалью; по предложению же
54 прямая, квадрирующая площадь г (Jfer-j-fA/-}, будет
биномиалью.
Если же k2—л не будет равняться квадрату соизмеримого
с к числа, то полученная прямая будет четвёртой биномиалью,
а квадрирующая соответствующей площади по предложению 57
будет большей иррациональной.
Аналогичные рассуждения покажут, что если k < у~>., то в
полученной биномиали ЕЙ будет соизмерим с рациональной
прямой меньший член, что при различных предположениях
относительно \—к2 может привести или ко второй, или к пятой бино-
иналям, которые после приложения к £7= г дадут начало


К КНИГЕ X
467
Площадям, квадрируемым или первой бимедиалью, или же
рационально- и мздиально-квадрирующей.
В предложении 72 рассматриваются квадрирующие для суммы
медиальных площадей вида --
Аналогично предыдущей теореме строим прямые
EG = УГ-г,
GK=VJ*r.
Вследствие несоизмеримости составляемых площадей У).*г2 и
У^-г2 и EG с GK будут несоизмеримы как между собой, так и
с рациональной Е1=г. Сумма отрезков £G+ @К будет бино-
миалью; в зависимости от того, будет ли I—ц равняться илинет
квадрату на прямой, соизмеримой с I, мы получи*! третью или
шестую биномиаль. Тогда квадрирующая. площади £У, £Д" будет
в первом случае второй бимедиалью, во втором же бнмедиально-
квадрирующей.
После предложения 72 идёт заканчивающее вторую часть
книги X (предложения 36—72) заключение, имеющее своей целью
показать, что все шесть типов бипомиали будут различными между
собой, все шесть иррашюнальностей первой гексады будут
принадлежать к различным типам, не выражающимся через рацио-
нали и медиали. (И. В.)
51. Основные свойства евклидовых иррациональных.
Группа теорем X книги алг?браически истолковывается как
совокупность правил действий над иррациональными числами.
Конечно, верно, что, арифметизируя геометрию, можно
вывести из евклидовых теорем правила действия над
иррациональными.
Но следует хорошо помнить, что Евклид мыслил не
иррациональными числами, а иррациональными прямыми и площадями,
и при этом понимал рациональность в более широком смысле,
чем мы, такчтоУ~~а"у него являлся рациональным; затем Евклид
менее всего был заинтересован приёмами вычисления, а только
построением и изучением свойств иррациональных.
Переводя теорему 54 Евклида на алгебраический язык
(конечно, с некоторым её искажением), можно сказать, что она
обнаруживает, что У А —УВ, где А и В — рациональные числа,
в предположении, что В2—А квадрат, приводится к сумме
двух квадратных корней из рациональных чисел С и D.
Как определяются С и />? Это Евклида интересовало лишь
постольку, поскольку это н}ЖНо для доказательства этого
свойства иррациональных, но верно то, что его вывод раскрывает
путь в вычислительную математику, от которой Евклид уклоняется.
30*


468
КОММЕНТАРИИ
Наиболее важные результаты я выражу
табличке.
:перв.
сдодосной
Извлечение корня из
первой биномиали
второй биномиали
третьей биномиали
четвёртой биномиали
пятой биномиали
шестой биномиали
Возведение в квадрат
биномиали
первой бнмеднали
второй бимедиали
большей
рационально-и медиально-кваД-
рирующей пятую биномиаль
бимедиально-квадрирующей шестую биномиаль
Взаимная таблица
даёт:
биномиаль
первую бимедналь
вторую бимедиаль
большую
рационально- и медиалыт
квадрирующую
бимедиально-квадрирующую
даёт:
первую биномиаль
вторую биномиаль
третью биномиаль
четвёртую биномиаль
Извлечение корня из
первого вычета
второго вычета
третьего вычета
четвёртого вычета
пятого вычета
шестого вычета
Возведение в квадрат
вычета
первого медиального вычета
второго медиального вычета
меньшей
образующей с рациональным
медиальное
образующей с медиальным
медиальное
оаёт:
вычет
первый медиальный вычет
второй медиальный вычет
меньшую
образующую с рациональным
медиальное
образующую с медиальным
медиальное
даёт:
первый вычет
второй вычет ■;
третий вычет
четвёртый вычет
пятый вычет
шестой вычет
52. Геометрические примеры иррациональных. Я уже
указал, что в «Началах).' Евклида выявляется определенное
целеустремление.
Всё направляется к основной теме; к изучению правильных
тел. Исследуя X книгу, следует иметь в виду всегда
приложение её результатов в Х1Ц книге «Начал».
При изучении правильного пятиугольника как грани
додекаэдра Евклид применяет предложения 6, 9, 74 книги X. Он
доказывает (предложение 11), что сторона АВ правильного пяти-


К КНИГЕ X 469
угольника ABCDE, вписанного в круг, есть меньшая рациональная.
В холе вывода он указывает, что отрезок ВМ перпендикуляра
из В, опущенного на сторону ED, отсекаемый диагональю АС,
представляет четвёртый вычгт (черт. 21).
В предложении 16 Евклид доказывает, что сторона вписанного
в шар икосаэдра—тоже меньшая иррациональная.
В предложении 17 он доказывает, что сторона додекаэдра
представляет вычет.
Но вообще следует отметить, что книга X использована не
в той мере, в какой она могла бы быть
использована в этом направлении.
То, что являлось до Евклида только
средством, уже во времена Евклида
обратилось в цель; иррациональные
величины стали исследоваться независимо
от приложения их к теории
многогранников.
Папп40)даёт другие примеры
меньшей иррациональной н образующей
с рациональной медиальное.
53. Мавролик41} и первый шаг
к арифметизации X книги «Начал».
Уже в комментариях к арифметическим
книгам мы упоминали о том значении,
которое имел Мавролик в истории арифметизации, шедшей
череч несколько веков.
Упомянем прежде всего его первое положение: то, что
имеет м"сто для отношений, пропорций, соизмеримости и
подобия чисел, линий, площадей а тел, имеет место и для
величин всякого рода.
Второе его положение говорит, что всякое сложение,
вычитание, умножение, деление а извлечение корней можно
производить с помощью означающих величины чисел42).
Здесь, конечно, ещё не устанавливается взаимно однозначное
соответствие между геометрическими величинами и числами, по
вне сомнения уже мыслятся «ыухиел числа. Иррациональные
величины Евклида превращаются в иррациональные ччела.
Мавролик даёт другую, уже несколько ароматизированную
формулировку предложений "X книги, хотя целиком ещё не
отказывается от евклидовой терминологии.
Он складывает, вычитает, умножает и делит иррациональные.
Он говорит (предложение 65): всякая иррациональная
величина (которую, впрочем, он ещё не называет числом), делясь на
рациональную, дает в частном одноимённую и с ней
соизмеримую величину.
«) Pappus, Collediones, ed. Fr. Hultscli, Berlin* 1876—1878
Ji) M. Cantor, Vorles., Bd. II, гл. 69.
«) В ore 111, Euclides restitutus, Pisa, 1658.


*'U КОММЕНТАРИИ
Предложение 101 его книги может быть выражено формулой
Бесспорно, что этот сдвиг в понимании самой сущности нр-
рациоцаль!иго увлекает Мавролика значительно дальше Евклида.
Ведь Евклид может расогатрнвать только (У~4--\-У%)2, так
как (Уа -\-У (Г)4 уже теряет гещетричэский смысл. Мавролик
же даёг теорему (предложение 94): всякая иррациональная
величина как из бимеднальных, так и из резидуалышх (т. е. средних
вычетов), иррациональна не только по свози величине, но к в_сге-
пени, т. е. иррациональна не только (£/а± т/Т), 1Ю я(г/а ±
ztf/*?)3, причём то же относится и ко второму квадрату
{У*± {/$)*> и к третьему(J/7± */J)3, и т. д.
Такая же теорэма устанавливается для бнномиали и вычета
(предложение 45).
Мавролик исследует не только произведение
степенно-рациональных на бнномиали и вычзты, но и медиали (среднзй) на
бимедиаль а частное от деления степенно-рациональяого на бнно-
миаль и нычет и т. д.
Он докачываэт, что при деленчи в крайнем и среднем
отношении озе части являются бивомиалями, причём ббльшая —
пятой, меньшая — первой. В этом нетрудно убедиться, замечая, что
пропорция
fl:jc = jc:(a — х)
даёт уравнение
х2 ~\- ах — а2 =г. О,
которое имеет корни
[a-x)=^-(3-Vb).
Нетрудно видеть, что меньшая часть является пятой бино-
м налью.
Он дальше производит такое же деление над частями н
получает для большей части первой -г(3 — У5)2 тоже пятую бино-
миаль, а для меньшей второй — (У"5 — I)2 тоже первую бино-
миаль,
Мавролик безусловно опережает своё время. Последователя
гебе он находит только в XVII в. в лкце Борелли.


К КНИГЕ X 471
54. Кардан и иррациональные Евклида. Интересно
отметить, что при довольно высокой развитии числовой алгебры и
даже при букетной алгебре остаётся евклидова классификация
иррациоиальностей.
Мы находим её и у Кардана (который уже определённо
мыслит иррациональные как глухие числа). Мы находим её и
у Стевина^), который выставляет все 6 биномиалей и 6 вычетов
Евклида, разъясняя их алгебраически:
b — a-\-yb, где У а2 — Ь рац.,
2 г_
Ь — У а -\- Ь, где '\аг—Ь рац.,
Ь^Уа-^гУ'ь, где У аг~Ъ ран.,
4 г_ г
Ь-~ а ~\-У Ь, гче У а1 — ь иррац,,
b ^yra-\-b, где Уа^'—Ъ иррац.,
& = )• а-\-у^Ь, где Vй2 — Ь иррац.
Но вместе с биномиалями у него фигурируют и мультиномы.
Во всяком случае у Кардана иррациональные Евклида —
уже числа. Теорию иррациональных радикальных числовых
выражений он развивает арифметически. Он не отклоняется от X
книги «Начал», но проводит сравнение иррациональных, которое
развивает алгебра иррациональных Евклида.
Кардан останавливается на ошибке Луки Пачиоли44),
предполагавшего, что все иррациональные сводятся к средним.
Для него ясна неприводимость многих иррациональных, с
которыми оперирует А :гебра, к иррациональным Евклида.
55. Внесение is алгебру иррациональных, зависящих ог
радикалов высших степеней. Как бы далеко ни шли за «Начала»
Евклида античные исследования Аполлония*»), а может быть, н
других, они не оказывают большого влияния на развитие теории
иррациональных.
На заре европейской алгебры Лука Пачиоли не выходит за
преде;1Ь1 — правда уже арифметизцрованных—проблем X книги
«Начала,
Значительно дальше идёт в конце XV в, Шюкэ. Впрочем,
операции над к\бичэскими корнями мы находим ещё у арабов.
Алькархи даёт пример ^/54— */2 ~ £/"1б, а Леонардо Пизан-
43) Stevin, Les oeuvres mathematiques par A. Girard, Leyde,
1634.
u) См. примеч. 17.
«J Woepke, Acad. Sc. Mem. present., XIV, 1856, стр. 658.


472 КОММЕНТАРИИ
ский4е), вд? оавути арабской алгебры, даёт примеры
^/16+^/54=^/230'.
ум- ук= '/г,
yi+y32 = Z3/4.
Последняя формула нами совершенно просто выводится таю
■/32= 3/8Г4- yr.3/\-=-iy-\,
ут+уг2=зу1
Но Леонардо даже при выводе этой формулы видят большие
затруднения вследствие незнания такой простой операции, как
шнесгниг множителя за знак корня.
Им выводится формула
Уа± Y~b= V а + Ь ± 2 УИВ.
Рудольф идёт дальше и выводит, что
У«+ УЬ = ^ra + b + i Cyaf уь+Ъ УаС/Ъ)К
56. Третья гексада иррациональностей. Предложения 73—
85 представ 1яют аналогию с предложениями 36—47,
трактующими об иррациональностях, получаемых путём сложения; только
теперь сложзние заменяется вычитанием. Античные схолиасты
вводят предложение 73 следующим замечанием (Heiberg,
■1. V, N» 359, стр. 553):
«Девятая глава, излагающая шесть иррациональностей,
получаемых вычитанием, подобно G иррациона.']ьцосгям, почучаемыи
сложением; например, бицомиали <соэтветствует> вычет;
действительно, из каких <величии> составилась та, из таких же
появилась и эта путём вычитания меньшей из большей; первой би-
медиали ^соответствуете первый медиальный вычет, точно так же
и для остальных; для них же он доказывает, что каждой
соответствует только одна сопрягающаяся».
Получающиеся шесть иррациональностей будут иметь вид;
вычет: Уа-Уь (а > »);
первый медиальный вычет;
f/а—AjAz у/а или к У а 1/а— \/а\
46) См. примеч. 3.


к книге х 473
ьторой медиальный вычет:
Y'd-kYb у а или k Y'b \f а- {/а;
меньшая иррациональная:
образующая с рациональным целое медиальное:
k
образующая с медиальным целое медиальное:
1 + А*
:уЬ^\К l+VT+& V
Предложение 73 Евклид доказывает аналогично 36.
Из линейной несоизмеримости A3 = Уй н ВС — yrb следует
несоизмеримость {\ra f и Yabt a вследствие соизмеримости а
и Ь оказывается, что а-\-Ь будет несоизмеримо с 1~\'йЬ.
Поскольку же
а + Ь — 2УяУ+ (Уя — УТ)2,
то и (Уя — Yb)2 = AC2 будет несоизмерима с AB2-^B& —
— a-{-b. Так как я-]~* рационально, то АС3, а значит, н АС
будут иррациональны.
"Предложение 74 доказывается аналогично 37.
Пусть из медики АВ отнимается медиаль ВС, соизмеримая
с АВ в степени и дающая рациональное произведение АВ.АС;
требуется доказать, что разность АС = AS— ВС будет
иррациональна.
Так как А В2 и ВС2 представляют Медиальные площади, то
А& + ВС2 несоизмеримо с 2А8-ЗС, а значит, и (АВ — ВС)3будет
несоизмерима с рациональной площадью 2АВ-ВС; таким
образом, прямая A3 — ВС = АС будет иррациональна.
В предложении 75, так же как и в аналогичном ему 38,
произведение АВ-ВС будет медиальным, Для доказательства, что
АС2, а счедоватсльно, и АС будут иррациональными, нужно
построить рациональную величину и показать несоизмеримость её
с АС2 илн АС [в предыдущих предложениях такой величиной
были или сумма квадратов АВ2-\-ВС2 (предложение 73), или
удвоенное произведение 2АВ-ВС (предложение 74)]. Берём


КОММЕНТАРИИ
рациональную прямую D! и находим частные
Нетрудно видеть, что
Л#Ч-аС2 2АВВС
DH- ж-, DZ^—j^-.
Далее, вследствие медиальности площадей (АВг~\-ВС2) Я2АВ-ВС
прямые DH и DZ будут рациональными в смысле Евклида и
линейно несоизмеримыми с DI, Затем, вследствие того, что АВ и
ВС соизмеримы только в степени, будут несоизмеримыми
площади АВ2 и АВВС, а значит, и (Л82_(_-ВСЗ) с 2АВ-ВС; отсюда
следует, что DH и DI будут линейно несоизмеримыми прямыми,
рациональными в смысле Евклида; значит, их разность по
предложению 73 будет представлять вычет, т, е иррациональную
величину. Отсюда же получается, что иррациональной будет и АС2,
а значит, и АС.
В предложении 76, аналогичном 39, доказывается
иррациональность «меньшей» иррациональности АС = АВ — ВС, где АВ
и ВС суть несоизмеримые даже в степени меднали, обладающие
гем свойством, что АВ2-\-ВСг рационально, а 2АВ-ВС медиально.
Из несоизмеримости
АВ*-\-ВС*
2АВ-ВС
вытекает при помощи производной пропорции несоизмеримость
АВ* + ВС2 — 2АВ ■ ВС АС*
АВг + ВС* АВ2 + ВС2'
а значит, и иррациональность АС2 и АС.
В предложении 77 аналогично трактуется случай, когда
АВ-ВС рационально, а АВ2^\-ВС2 медиально; теперь из
несоизмеримости
А№-±-ВС*
2АВ-ВС
следует несоизмеримость
А& + ВС2 — 2АВ-ВС __ А&
2АВ.ВС ~~2АВ.ВС
В предложении 78, где АВг-\-ВСг и АВ-ВС обе медиальиы
и несои шеримы, приходится опять, как и в предложении 41,
прибегать к приложению площадей.
Строим прямые
ПН-АЁ1+-Ё& пг_ЪАВ.ВС


к книге х 475
Обе эти прямые будут рациональными н между собой линейно
несоизмеримыми. Это значит, что их разность
7„_мв —вер
будет вычетом. Так как на основании предложения 20
произведение ZH-DI— иррациональной: прямой на рациональную —
будет само иррационально, то значит, иррациональной будет и АС2,
а следовательно, и АС.
Следует отметить, что в формулировках предложений 77 и
78 слова «образующая с рациональным (медиальным) целое
медиальное^) нужно понимать как прямую, квадрат на которэй
будет равен разности рациональной и медиальной, или,
соответственно, Двух медиальных площадей,
Предложения 79—84 представляют аналогию с предложениями
42—47 и доказываются они аналогичным образом. Идея
доказательства предложений 79, 80, 82, 83 состоит в том, что если с
данной прямой Ав сочетаются две прямые ВС и BD, то мы
имеем:
АВ — AC— CB—AD — DB.
Возведя в квадрат эти равенства, получим:
АО-\-СВ? — 2ЛС-СВ~АГР-\-ПВ* — 2AD-DB,
откуда
ЛСг + СВ* — (ALP 4- &Щ — 2AC-CB — 2AD-DB.
Поскольку же в одной части этого равенства стоит разность
рациональных" величин, а в другой — разность медиальных, то
этн равенства возможны лишь при AC=AD и ВС = ВД
Для истории терминологии интересно отметить употребление
svaUa- = perrautatido = перестановкой. Обычно этим термином
обозначается операция получения из
a:b= c:d
пропорции
я:с — b:d.
В предложениях 79 и 80 этим же термином обозначается
переход от равенства
а — b = c — d
к равенству
а — c = b — d.
В предложениях 81 и 84, где и сумма квадратов обеих
прямых и прои ведение их являются одновременно медиальными,
пришлось прибегнуть к операции приложения обеих площадей
к раци шальной прямой, после чего доказательство сводится к
Применению предложения 79.
В деталях ход доказательства предложений 81 и 84 имеет
следующий вид.


476
КОММЕНТАРИИ
Пусть АВ-—исследуемая иррациональность (второй
медиальный вычет ичи образующая с медиальным целое медиальное), ВС —
сочетающаяся с ней прямая; обе прямые АС, СВ или совсем
несоизмеримы (предложение 84), ичи соизмеримы только в
степени.
Берём рациональную прямую EZ и строим выражения
ЕМ-А(? + С& QNL=2AC'CB
EZ ' EZ •
Так как и сумма квадратов и удвоенное произведение будут по
условию медиальными площадями, то ЕМ. и GM будут
рациональными несоизмеримыми с EZ линейно прямыми.
Далее, разность площадей ЕН и GH есть EL:
АС2~[~СВ2 — 2АС-СВ = АВ2, т. е, Я£ = ЛЙа.
Предположим теперь, что с АВ сочетается другая прямая
BD, причём прямые AD, DB обладают теми же свойствами, что
АС и СВ, Строим выражение
FV_AD34-BDS_,площ. EI
EZ EZ
Имеем:
A&-\-BEfi— AB* = '2AD-DB, т. е, плищ,£/— нлощ.££ =
=-плО[ц. GI; это значит, что
площ. GI __ 2AD-DB _
EZ ~~ EZ —ил-
Рассматриваем два выражения
EG — EM — GM к EG=EX- GX.
Так как АС н ВС личейно несоизмеримы друг с другом, то
ACS-\~BC2 и 2АС-СВ тоже будут несоизмеримы друг с другом;
это значит, что ЕМ и GM представляют две рациональные
несоизмеримые между соб^й линейно прямые, а следовательно, их
разность EG = EM~GM будет вычетом, равно как и разность
EN—GN, Как мы видим теперь, с вычетом EG сочетаются две
прямые GM н GN, что невозможно согласно предложению 79.
{И. В.)
57. Четвёртая гексада иррациональностей. Предложения
85—90, устанавливающие различные виды вычетов, аналогичны
предложениям 48—53, дающим различные виды биномиален;
единственная разница заключаэтся лишь в том, что вместо плюса для
биномиален будет для вычетов стоять минус.
Формулы шести видов вычетов будут следующие.
Первый вычет; kr — kry\—Х-.
Второй вычет: кг - ^г


К КНИГЕ X 47?
Третий вычет:
Четвёртый вычет
Пятый вычет:
Шестой вычет:
Обозначения остаются теми же, что и в комментарии 47: г обо-
значает рациональную прямую, т, п и ).= — суть рациональные
числа, так же как и k.
Поскольку входящие в состав вычетов члены тождественны
с разбиравшимися нами в комментарии 47, мы можем опустить
современный способ доказательства рассматриваемых шести теорем
{он будет тождествен доказательству аналогичных шести теорем
в предложениях 48—53) и ограничиться лишь изложением
доказательства у Евклида,
Предложение 85 даёт способ построения, первого вычета,
у которого уменьшаемое соизмеримо линейно с рациональной
прямой и разность квадратов уменьшаемого и вычитаемого равна
квадрату на прямой, линейно соизмеримой с уменьшаемым.
Берём рациональную прямую А~г и линейно с ней
соизмеримую прямую ВН— kr. Затем берём два квадратных числа
DE = m? и £/=п2, разность которых DI=-m2 — л3 не
представляет точного квадрата.
Первый член вычета BH=-kr уже определён; для
построения второго НС составляем пропорцию
ED:DI — BtP:HC^y
г. е.
ю*: (т2 — л2) = (krf: НС3.
Поскольку тип суть рациональные числа, то kr — BHu
НС будут тоже рациональными числами, соизмеримыми только
в степени; это показывает, что
ВС = ВН — НС -~ kr — kr УРЛз
будет вычетом.
Для доказательства, что он будет первым, составляем
разность квадратов
В№ — НС^~Ф
или
/я3: (т* — л2) = ВН2-.НС2.
Так как В№ = ЯС2-гG2 и т2~ (т2 — я-)4-л2, то из пропорции
{т2 — дэ) + я2 _ЯС3 + 02
т«—л8 "" НС2
Vk-r — Vk-rVl-
kr~kr-
•;з.
ftrVT+T — kr.
r\'rm — rVn (туп).


478 комментарии
путём «переворачивания» (19, V, следствие) находим;
(m3 — я') + яа. HC2~\-G*
или
ВН*:(Р=т*:п*.
Отсюда видно, что
(П \2
будет равняться I —ВН \ , т. е. будет представлять квадрат на
прямой —ВН — 1ВН, что и характеризует первый вычет.
В предложении 86 даётся способ построения второго вычета,
для которого соизмеримым с рациональной прямой будет
вычитаемое.
Берём рациональную прямую А —г и линейно с ней
соизмеримую HC = kr\ затем берём два квадратных числа DE~m2
и El=nz, разность которых DI=m2—ли не представляет
точного квадрата. Первый член ВН вычета определится из
пропорции
т2 ^~ ВН2'
Мы видим, что ВН и СН представляют два рациональных в смысле
Евклида числа, соизмеримых только в степени; их разность
ВС=-, т =kr — kr= , k .r~kr ■■
представляет вычет.
Для доказательства, что он будет вторым, составляем
разность квадратов ВН и СН
G3—5/Л —С/Л.
Из пропорции
ВН*:С№=ЕВ:В1=т*\{т*—г*)
путём «переворачивания» получаем:
В№:02^п$;п*,
т. е.
- 0'=(|-в//)2=(х-вл)г.
Так как вычитаемое CH=kr будет линейно соизмеримый с
рациональной прямой г, то отсюда следует, что ВС^ВН—СИ
представляет второй вычет.


К КНИГЕ X 4?9
В предложении 87 отыскивается третий вычет, в котором ни
уменьшаемое, ни вычитаемое не будут линейно соизмеримыми
с рациональной прямой Л=г. Берём три числа £ = а, SC = 6,
CD~c, не стоящие между собой в отношении квадратных чисел,
но для которых отношение b:{b—с) равняется квадратному числу.
Построим две прямые Щ и HG, пользуясь пропорциями
Е\ВС=-А2\1Н*% BC:CD — IfP:H(P,
откуда __
Мы видим, что Ш будет рациональным в смысле Евклида
отрезком, линейно несоизмеримым с рациональной прямой г. Точно
так же и НО будет рациональным отрезком, несоизмеримым ли-
нзйно ии с Ш, ни с Л —г, Значит, разность IH—HG = IG будет
вычетом.
Остаётся доказать, что мы имеем дело с третьим вычетом,
для которого разность квадратов уменьшаемого и вычитаемого
будет представлять попрежиему квадрат на прямой, линейно
соизмеримой с уменьшаемым, и оба члена — уменьшаемое и
вычитаемое— будут линейно несоизмеримы с г. Из пропорций
Е:ВС=А2:1№ или а:Ь^г*:ГН*%
BC-.CD — Itf-.HG* или Ъ:с — 1Н*:Н(? \\
легко устанавливаем при помощи преобразования «по равенству»,
что HG не будет линейно соизмерима с г.
Составляем теперь квадрат разности квадратов Ш и HG
Kt^lH2 — HG3.
Поскольку
IH*:HG* = BC:CD=zb:e,
то путём «переворачивания» находим: ;
/№:!(» = ЪцЪ — е).
Ъ
Так как по условию отношение j— - выражается квадратным
числом, то К будет линейно соизмеримым с /Н и, значит, будет
выполнено второе условие существования третьего вычета.
Для трёх остальных вычетов разноаь квадратов
уменьшаемого и вычитаемого не будет представлять квадрата на прямой,
соизмеримой линейно с уменьшаемым.


480 КОММЕНТАРИИ
В предложении 88 даётся способ построения четвёртого
вычета, для которою уменьшаемое будет линейно соизмеримо
с рациональной прямой А = г, пусть оно выражается отрезком
BH=kr> Берём два числа DI=a и 1Е — Ь, удовлетворяющие
требованию, чтобы отношения
D/+IE _а + & DI + IE _ а + Ъ
DI ~ а ' IE ~~ Ъ
не выражались отношениями квадратных чисел. Вычитаемое НС
определится из пропорции
DE:EI-=BH*:HC\
откуда
Мы виянм, что НС представляет рациональную в смысле Евклида
прямую, только в степени соизмеримую с рациональной прямой
BH=kr,a значит, и с г. Таким образом, ранюсть ВС~ВН—НС
будет представлять вычет, у которого уменьшаемое ВН будет
линейно соизмеримо с рациональной прямой А = г.
Для доказательства, что мы имеем дело с четвёртым вычетом,
нам остаётся лишь показать, что разность квадратов ВН2 — НС2
не будет представлять квадрата на прямой, линейно
соизмеримой с ВН.
Пусть
BtP ~ НС2 ~ GK
Из пропорции
DE_BfP д-f-fr __ ВН2
Е/~НС Ш1И Ь ' B№-—G*
путём «переворачивания--; получаем:
а-^гЪ _BtP
а ~ G* *
п а-\-Ь
Поскольку же отношение —!— не представляется квадратным
числом, то и G—В#1/ —, не будет выражаться прямой,
линейно соизмеримой с ВН.
В предложения 59 даётся способ построения пятого вытета,
в котором вычитаемое CH~kr будет линейно соизмеримым
с рациональной прямой А=г, Попрежнему берём два числа
г, г »r-t d а-\-Ь а-Л-Ъ
Dl=^a. /£=& таких, чтобы отношении , —i— не были
а ' Ь


К КНИГЕ X 4S1
точными квадратамн."Уменынаемое ВН определятся из пропорции
IE _ Ь _ СН'
ED~a + b~BH*'
откуда
Так как CH=^kr рациональна, то мы видим, что ВН будет
рациональной в смысле Евклида прям эй, соизмеримой с НС только
в квадрате; таким образом, разность ВС = ВН—СН будет
представлять вычет.
Так как вычитаемое СН представляет прямую, линейно
соизмеримую с рациональной прямой А = г, то для доказательства,
что мы имеем дело с пятым вычетом, нам остаётся лишь
убедиться, что разность квадратов ВН и СН не будет представлять
квадрата на прямой, линзйно соизмеримой с уменьшаемым ВН.
Составляем выражение
BH2—HCZ = GK
Из пропорции
В№ РЕ _а~\-Ъ
НС*~~ Е1~ Ь
путём «переворачивания» получаем:
д/л _ д 4- ъ
О3 ~ а '
откуда
Но ~—г~7 не выражается отношением квадратных чисел, что
н доказывает нужное нам положение.
Наконец, предложение 90 дает способ построения шестого
вычета, в котором ни уменьшаемое, ли вычитаемое не будут
линейно соизмеримыми с рациональной прямой А-=~~г.
Берём три числа Е~а, BC^b, CD = c, не имеющих между
собой отношения квадратных чисел; пусть, кроме того, отношение
св_^_ь__
BD Ъ — с
31 Веклнд


КОММЕНТАРИИ
тоже не будет выражаться квадратным числом. Оба члена вычета,
Щ и HG, определяются из пропорций
Ь 1№
с НО*
откуда
Так как — не представляет отношения квадратных чисел, то
IH будет представлять рациональную в смысле Евклида прямую,
лишь в степени соизмеримую с рациональной прямой г.
Аналогично убедимся, что и НО будет рациональной прямой, лишь
в степени соизмеримой с Ш. Таким образом, Ю ~- Ш — HG
будет представлять вычет.
Для доказательства, что мы имеем дело с шестым вычетом,
нам нужно убедиться, что и вычитаемое НО не будет линейно
соизмеримо с рациональной прямой А=г (в этом мы легко
убедимся, применив преобразование «по равенству), как в
предложении 87) и разность квадратов JH2—НО2—К2 не будет
представлять квадрата на прямой, линейно соизмеримой с
уменьшаемым IH. Из пропорции
IEL
но*
путём
откуда
■
ВС
CD
ь
пи —-
с
переворачивайся.; шходим:
ь
/1-С
К-=1Н
IW
' К~~ '
ХГЕ=.
У Ь
с
Ь — с
не оудет, согласно сделанному ошоапелыю —-.—
предположению, представлять прямой, линейно соизмеримой с
уменьшаемый т. {и. в.)
58. Другой вывод предложений 85—90. В «Приложении^
к гейберговскому изданию Евклида пометено следующее
добавление к предложению 90, фигурирующее в некоторых
манускриптах в качестве 91:
«Можно и короче показать похождение упомянутых шести
вычетов. И вот пусть будет <задано> найти первый. Отложим


К КНИГЕ X 483
первую биномиаль АС, большая рациоиаль которой АВ, и
отложим BD равной ВС (черт. 22). Значит, АВ, ВС, т. е. АВ, BD,
будут рациональные соизмеримые только в степени
(предложение 36), и в квадратах АВ будет больше ВС, т. е. BD, на <квадрат>
на соизмеримой с собой, и АВ будет соизмерима линейно с от-
л Ь в С
Чсрг. 22.
ложенноЙ рациональной (определения вторые, 1); значит, AD
будет первым вычетом. Подобным же вот образом найдём
и остальные вычеты, полагая равночисленные биполшалн; что
и требовалось доказать».
59. Связь между иррациональными 3-й н 4-й гексад.
Предложения 91—96 составляют параллель к предложениям 54—59
касательно биномиалей. Поскольку современная формулировка
доказательства этих предложений уже была разобрана нами выше
(см. комментарий 47), то теперь мы вполне можем ограничиться
разбором только евклидовых доказательств.
В предложении 91 доказывается, что квадратный корень из
первого вычета даёт вычет, или, по терминологии Евклида,
произведение рациональной прямой па первый вычет да£т квадрат,
построенный на вычете.
Возьмём рациональную прямую ЛС=г и первый вычет
AD=AH— HD, где HD есть так называемая «сочетающаяся.»
с вычетом; это будет прямая, только в степени соизмеримая с АН
и обладающая тем свойством, что AH2—-HD2^=().-AHf, причем
АН по определению будет линейно соизмерима с АС = г. Строем
ш АН Прямоугольник" АК с недостатком в виче квадрата, равный
квадрату на ЕН = — HD:
где х представляет отрезок ZH. Согласно предложению 17
отрезки AZ, ZH будут соизмеримы как между собой, так и со
всей АН; поскольку же АН будет линейно соизмерима с АС—г,
то и AZ, ZH будут тоже линейно соизмеримы с АС и,
следовательно, рациональны. Затем, поскольку HD соизмерима с AG
только в квадрате, a DE—EH будет половиной HD, то DE, EH
будут хотя и рациональными в смысле Евклида, но
несоизмеримыми линейно с АН н АС = г', значит, каждая из площадей DO,
ЕК будет медиальной.
Строим теперь квадраты
AC-AZ^Ol? = квадр. LM,
АС ■ ZH^ ON2=квадр. Ш. -
31*


КОММЕНТАРИИ
Расположим эти квадраты на одной диагонали OR и произведём
построение, служащее для доказательства формулы квадрата
суммы (так называемый квадрат с гномоном), обычно
употреблявшееся для доказательства предложений П книги. Так как
ЛZ= АН— ZH= AH--X,
то
AZ-ZH = {AH — х) х = ЕН*.
Отсюда
AZ:EH=EH:ZH\
площ. AI: площ. ЕК~ площ. ЕК- площ. KZ.
Но
плош.. AI = AC-AZ= ОL\ площ. KZ= AC-ZH^ ON2.
Отсюда видно, что прямоугольник MN, как средняя
пропорциональная между площадями квадратов 0Z.J= квадр. LM и 0/V2 —
~ квадр. NX, будет равен площади ЕК. В таком случае
прямоугольник DK, равный удвоенному ЕК-, будет представлять
удвоенный прямоугольник MN, иными словами, будет равен гномону
YFU с добавкой квадрата NX, Но
пл ощ. АК = АС ■ AZ-\- АС ■ ZH — 0L* -f 0;V2,
площ. DAT= гномон m/-hCW2;
отсюда
площ. Л£ = квадр. ST— L№= {01 — ON)3.
Таким образом, доказано, что IN— Oi — ON будет квадрирую-
щей для площади АВ, равной произведению рациональной АС
и первого вычета AD.
Остается доказать, что I_N=^Ol— О/V будет вычетом. Для
этого нужно показать, что OL и ON будут рациональными
в смысле Евклида и соизмеримыми между собой только в степени.
Действительно, линии Ol и ON будут сторонами квадратов
LM, NX, которые, как мы видели, раины рациональным площадям
AI=AZ-AC и Zf(=ZH-AQ значит, 01 и ON, как квадратные
корни из рациональных площадей, будут тоже рациональными.
Далее, прямые 10 и ON будут относиться, как площади прямо-,
угольника LX и квадрата N-X', из которых LX, как равная £)(/ —
— DE-AC, будет медиальна, a NX рациональна; таким образом,
L0 будет линейно несоизмерима с ON, что и доказывает пашу
теорему.
В предложении 92, аналогичном 55, доказывается, что первый
медиальный вычет является квадратным корнем из второго вычета.
Опять берём плошадь АВ, равную произведению
рациональной АС~г и второго вычета AD, который мы представляем в
виде разности АН и HD; так как AD — второй вычет, то имеют
место равенства
AW — HD2 = {l-AH)2, HD = k-AC


к книге х 485
Если приложить к АН с недостатком в виде квадрата площадь,
равную четверти квадрата на HD, то точка деления Z разделит
по предложению 17 прямую АН на соизмеримые отрезки AZ
и ZH. Упомянутая четверть квадрата получается делением DH
пополам н тачке Е. Так как АН несоизмерима с HD, а
следовательно, и с АС, тоиотре!ки AZ, Z/У будут тож^ несоизмеримыми
с АС это значит, что каждая изшюшаде'й AI= AZ-AC и ZK.=
— ZH-AC'буде-i медиальной. Далее, поскольку HD, а значит, и её
половины DE и ЕН будут соизмеримы с АС, то каждая из
площадей DQ~ DE-AC и EhC=^EH-AC будет рациональной.
Теперь строим два квадрата:
квадр. LM=OL2 — AZ- AC = площ. AI,
квадр. NX=ON2 = ZH-AC—плош,. ZK.
Так как площади AI и ZK являются медиальными, то отсюда
следует, что и OL, ON будут мздиалями, соизмеримыми в
степени (это следует из того^ что квадраты их OL2 и U.V2 относятся,
как соизмеримые линии AZ и ZH), То обстоятельство, что они
будут соизмеримы только в степени, Езклидом доказывается
в самом копне предложения; из факта мэдиальности обеих
площадей А! и Zf<c можно заключить только о медпальности квад-
рирующих их линий, но не о линейной их несоизмеримости, на
что справедливо указызают комментаторы.
Дальнейшее рассуждение следует тому же пути, что и в
предложении 91.
Из равенства
AZ.ZH—EH*
заключаем, что ЕН будет средней пропорциональной между AZ
и ZH; значит, н площ. EF(=: EH-AC будет средней
пропорциональной- между площ. AI= AZ-AC=^OL2 и плош. ZF{= ZHX.
y^AC^ON2. Отсюда зачлкнаем, что площ. Ef{ будет равна
прямоугольнику MN—OL-ON, а площ. 0/^=2 плош. Ек, будет
равна гномону YFU вместе с добавкой квадрата NX и, наконец,
остаток — плош.. АВ~ AC-AD оудэт равна квадрату 57", т. е.
(OL — ON)2.
Остаётся доказать, что LN~OL—O.V будет пзрвым
медиальным вычетом, части которого OL, ON дают в произведении
рациональную площадь. Действительно, OL-ON дают в
произведении прямоугольник MN или LX, разный рациональной площади
Ек=-ЕН-АС. Затем мы уже в |Дэли, что квадраты OL2, ON2 у-
дут соизмеримы; отсюда следует, что OL и ON будут соизмеримы
в степени; таким образом, остается лишь доказать, что они
будут соизмеримы только в степели. Действительно,
OL;QN**=iuKW. IXiплощ. NX.


486
КОММЕНТАРИИ
Но площадь LX—OL-ON рациональна, площадь же NX=
r=AC-ZH будет медиальпа, откуда и следует линейная
несоизмеримость мёд налей OL и ON,
Предложение 93, аналогичное 56, доказывает, что третий
вычет будет квадратом второго медиального вычета, произведение
составных частей которого будет медиальным, причём оба
множителя будут соизмеримыми в степени.
Опять, подобно предыдущему, рассматриваем площ. АВ,
равную произведению рациональной АС па третий вычет AD —
— ЛН — HD, причём
АН*-~ HD'^—^.-AHf,
но только теперь пи АН, ни HD уже не будут соизмеримыми
с рационатьной АС.
Прикладывая к АН с недостатком в виде квадрата площадь,
равную четверти квадрата на DH или квадрату па DE или ЕН,
мы поручаем, согласно предложению 17; на АН два линейно
соизмеримых между собой отрезка AZ, ZH, произведение которых
равно будет ЕН2. Так как Л//не будет линейно соизмерима с АС,
10 площади AF(= АН-AC, AI — AZ-ACt ZK—ZH-ACбудут
медиальными, ибо соизмеримые между собой и с АН отрезки AZ и
ZH не будут линейно соизмеримы с АС Точно так же
убеждаемся в том, что и площади DG= DE-AC, Е/{~ЕН-АС будут
медиальными, ибо и DH, и ее' половины DE и ЕН будут только
в степени соизмеримы с рациональной АС, Наконец, из того
обстоятельства, что АН и HD будут соизмеримы только в степени,
мы можем заключить, что отрезки ЛЯ, AZ, ZH, с одной стороны,
HD, DE, EH, с другой, будут линейно несоизмеримыми между
собой, откуда вытекает и несоизмеримость соответственных
площадей, в частности Al=AZ-AC и Ef(=EH-AC.
Попрежнему строим па одной диагонали два квадрата; один
I.M, равный площади AI, т. е, произведению AZ-AC, и другой
NX, равный площади ZfC, т. е. ZH-AC. Из равенства AZ-ZH— ЕН2
опять убеждаемся, что прямоугольник MN-=OL-ON, как средняя
пропорциональная между С7£э —квадр. LM и (AV2—квадр. NX,
будет равняться площ, Е1(~ЕН-АС— средней
пропорциональной между Af=AZ-AC н Zf{—ZH-AC, Затем аналогично
предыдущему убеждаемся, что площ. AB — AC-AD равна будет
квадрату ST nmLN2 = (OL— ON)2; таким образом, найдена квад-
рнрующая LN—OL—ON для заданного произведения AC-AD.
Остаётся доказать, что эта квадрирующая будет вторым
медиальным вычетом, представляющим разкосгь двух соизмеримых
только в степени медиалей, произведение которых будет
медиальным.
Действительно, мы имели:
0L2—площ. AI--AZ-AC,
С№ = площ. ZK—ZH-AC.
Из соизмеримости AZ н ZH вытекает соизмеримость в каадра-


К КНИГЕ X
487
тах линий OL и ON. Из несоизмеримости AZ и ZH с
рациональной АС вытекает медиальность площадей Af—AZ-AC и Zfc=
--ZH-AC, а значит, и медиальность сторон соответствующих
квадратов OL2 и ОЛЧ Таким образом, остаётся лишь показать,
что произведение Ol-ОЛ1 будет представлять медиальную
площадь. Действительно, мы имели 01-0./V—площ. AW—площ.
ЕК=ЕН-АС\ из того обстоятельства, что ЕЙ есть рациональная в
смысле Евклида прямая, только в степени соизмеримая с АС,
следует медиальность площ. Efc, а значит, и произведения OL-ON.
Предложение 94 показывает, чго четвёртый вычет можно
рассматривать как квадрат так называемой меньшей
иррациональной, состоящей из двух несоизмеримых даже в "степени ме-
дналей, сумма кзадратов которых рациональна, произведение же
медиально.
Берём четвертый вычет AD и представляем его как разность
двух прямых АН и HD, кл которых большая АН булет линейно
соизмерима с рациональной прямой АС, а разность квадратов
АН2 — HD2 не будет представлять квадрата на прямой, линейно
соизмеримой с АН. Последнее обстоятельство в связи с
предложением 18 позволяет утверждать, что если мы приложим к АН
с недостатком в виде квадрата площадь, равную четверти
квадрата на DH или киадрату на её половине ЕЙ, то АН рассечётся
на две части AZt ZH. которые не будут линейно соизмеримы ни
между собой, ни со всей прямой АН. Теперь площади, на
которые рассечётся прямоугольник Ак=АН-АС, будут следующие;
илощ. А?(—АН-АС рациональна, площ.ОД'— DH.AC медиальпа
(так как DH только в квадратах будет соизмерима с
рациональной прямой АН, а следовательно, и с АС).
Площади Af—AZ-AC \i Zf{~ZH-AC будут несоизмеримы
между собой вследствие несоизмеримости отрезков AZ и ZH.
Строим на одном диаметре OR попрежиему два квадрата:
LM=OLa~ AI — AZ-AC и NX~ONz = ZK~ZH.AC,
Средней пропорциональной для этих квадратов будет по прежнему
площадь Efc=EH-AC вследствие равенства
AZ-ZH — EH2;
эта площадь ЕК или DG будет равна прямоугольнику MN~
= OL-ON. Попрежиему заключаем, что вся площадь DFC—HD-AC
равна будет гномону YFU с добавкой квадрата на NX, а значит,
и пющадь ЛВ = AD-АС представится, как квадрат ST — LN2 —
~-^[OL — ON)2. Таким образом, определена прямая LN=^OL —ON,
квалрирующая заданную нам площадь АВ = AD-AC.
Остаётся показать, что эта квадрирующая будет меньшей
иррациональной.
Так как площадь АК—АН-АС будет рациональна, то сумма
квадратов
OL2 ^~0№ —-.AZ-AC-\- ZH-AC = АН-AC
будет рациональна.


488 КОММЕНТАРИИ
Далее, произведение
будет медиачьно.
Наколец, вследствие несоизмеримости 01гиО№ получается,
что OL и ON будут нзсоишеримы даже в степени,
Эги три призлача и позволяют установить, что квадрирующая
LN~OL—ON и будет «меньшей» иррациональной.
Совершенно так же до-сазывается и предложение 95;
единственная разница будет заключаться лишь в том, что теперь
произведение ЛИ-АС будет медиальным, a DH-AC— рациональным
вследствие того, что DH для пятого вычета будет линейно
соизмерима с рациональной АС. Вследствие этого окажется, что
для квадрирующзй 01 — ON сумма квадратов обеих составных
частей будет медиальна, а произведение рационально, квадраты
же 01г и ON2 попрежнему несоизмеримы межцу собой. Это
позволяет нам утверждать, что кватрирующая OL — ON будет так
называемой «оЗразующей с рациональным цмое медиальное».
Наконец, посл^днэе предложение 95 доказывает, что
квадратным корнем из шзстого вычета будет «образующая с
медиальным целое медиальное».
Согласно определению шестой вычет может быть представлен
в виде разности двух прямых АН и HD, каждая из которых не
будет линейно соизмерима с рациональной АС, причём разность
квадратов АН2 — HD2 не будет выражаться квадратом на прямой,
лннайнэ соизмеримой с А Ч. Согласно предложению 18, если мы
приложим к АН с недостатком в виде квадрата площадь, равную
четверти квадрата на DH нли квадрату на EH=-—HD, то
полуденная точка деления Z рассечёт АН на линейно несоизмеримые
между союй отрезки AZ и ZH. Построив на прямой АН и её
частях ряд прямоугольников: АК=АН-АС, А/= AZ-AC, Zf(=:
= ZH-AC, DK — DH-AC, EK—BH-AC, мы можем сказать,что
вследствие несоизмеримости АН и HD с рациональной прямой
АС площади Af( и DK. будут медиальными и несоизмеримыми
между собой (так как АН н HD но условию соизмеримы только
в квадратах), площади же А/ и ZK несоизмеримы между собой.
Рассуждая, :сак раньше, получим, что квадрирующая площадь
АВ =■ AD-АС, где AD — заданный шестой вычег, будет прямая
OL—ON, причём
OI2= AIz=AZ.AC,
0№ = ZK—ZH-AC,
OL-ON=£K — AC-£H,
OL? + 0№=zAK—AH-AC. -


к книге х 489
Мы видим, что 0L и ON будут несоизмеримы даже в квадратах,
поскольку AZ линейно несоизмерима с ZH, произведение
DK
OL-ON=Ef( =-п~ будет медиальным н сумма квадратов OL2J\-
-\~ ON2 —- АК будет тоже медиальна; все эти признаки характерны
для «образующей с медиальным целое медиальное» (И. В.).
60. Вычеты как результат возведения в нвадрат иррацио-
нальностей третьей гексады. В предложениях 97—102
рассматриваются шесть теорем, которые явля'отся обратными
предложениям 91—93. В предложении 97 утверждается, что частное от
делания квадрата вычета АВ1 на рациональную прямую CD будет
представлять первый вычет:
^г_АВ2_плоух.СЕ
CI~CD " CD ■
Поскольку АВ есть вычет, то мы можем представить его в виде
разности двух рациональных прямых АН—ИВ, соизмеримых
только в степени. Мы имеем:
АВ* = (АИ — HBf — АН* + Н& — ЧАН- НВ,
площ. СЕ= площ. Со? + площ. K;L — площ. IL.
Последнюю площадь мы можем разбить на две равные площади
IX н NL, равные каждая произведению АН-ИВ.
Мы видим, что вследствие рациональности АН и НВ будет
рациональна и площадь DM= АНгЛ-НВ2> а следовательно, и
„„ АН*Л-НВ* ,. ,.
прямая СМ= ргтг ; далее, вследствие линейной
несоизмеримости АИ и НВ площадь IL=2AH-HB будет медиальной,
1АН-НВ ... л
а частное —-^-г—=Ш будет хотя и рациональной в смысле
Евклида прямой, но несоизмеримой линейно с CD, а значит, и с
СМ. Таким образом, мы видим, что
А В2
значит, прямая CI, представляющая разность двух рациональных,
соизмеримых только в степени прямых, будет вычетом.
Для доказательства, что мы имзем дело с первым вычетом,
нам нужно показать,- 1) что СМ лингйно соизмерима с
рациональной прямой CD, a IM нет и 2) что СМ'- — /ЛР= л-СЛР, Первый
пункт легко выясняется из способа построения СМ и IM как
частных от деления рациональной и медиальной площадей DMulL.
Правильность второго пункта Евклид доказывает так: нэ
пропорции
АН*:АН-НВ = АН-НВ:ВН*,
площ. С</:площ. ^/.««площ. Л/£:шющ. KU


4Уи - КОММЕНТАРИИ
он выводит пропорциональность прямых, получающихся от
деления этих площадей на рациональную прямую CD, а именно;
Отсюда получается:
I.W
Далее, из соизмеримоелг АН2 и ВН2 следует соизмеримость
пропорциональных им отрезков Ск н КМ. Теперь мы имеем две
неравные прямые СМ и Mf, н к СМ с недостатком в виде квад-
Ш2
рата приложена площадь СК-КМ = -^- , причём точка деления
К делит прямую СМ на соизмеримые отрезки О^и j^M; это
значит (предложение 17), что СМ в квадратах будет больше Ml па
квадрат, построенный на прямой, линейно соизмеримой с СМ;
это обстоятельство и доказывает, что CI будет первым вычетом.
В предложении 98 доказывается, что квадрат на первом
медиальном вычете даёт второй вычет.
Первый медиальный вычет АВ мы можем, согласно опреде-
лепило, представить в виде разности двух соизмеримых только
в степени медидлей АН н ВН, произведение которых АНВН
будет представлять рациональную площадь.
Возьмем рациональную прямую Со и приложим к ней
площадь АВ3~СЕ, требуется доказать, что сторона С! будет
вторым вычетом. Возводим АН — ВН ъ квадрат н строим
последовательно па CD площади
CQ — CD.CK—AH\
Kl — CD-KM = HB\
Поскольку АН я ВН будут соизмеримые в квадрате медиали, то
вся площадь С'L ~ АН2 -f- HВ2 будет медиальной; разделив CL на
рациональную прямую CD, мы получим прямую СМ, которая будет
рациональной в смысле Евклида, но несоизмеримой с CD линейно.
Затем, какав предыдущей теореме, убеждаемся, что площадь IL
будет равняться 2АН-НВ, т.е. по определению первого
медиального вь[чета представляет рациональную площадь; разделив её на
рациональную CD, получаем рациональную же, линейно
соизмеримую с CD прямую СМ. Затем, вследствие несоизмеримости
медиальной площади CL и рациональной IL рациональные прямые
СМ и IM будут линейно несоизмеримы, т. е, их разность С/ =
~С№ — Ml представляет вычет.
Для доказательства, что мы имеем дело со вторым вычетом,
нам остаётся показать, что СМ будет линейно несоизмерима с CD
(это следует из медиальпости площади CL),IM же будет линейно
соизмеримой с CD (так как площадь IL рациональна") и, наконец,
что СМ2—IM' представляет квадрат па прямой, линейно соизме-
римойс СМ; это последнее доказывается совершенно так же, как


к книге х 491
и в предложении 97. Таким образом, CI действительно будет
представлять второй вычет.
В предложении 99 разбирается способ получения третьего
вычета из квадрата на втором медиальном вычете,
представляющем разность двух соизмеримые только в степени медналей АН,
ВН, произведение которых АН-ВН будет медиальным.
К рациональной прямой CD прикладываем площадь СЕ^=АВ2;
требуется доказать, что CI будет третьим вычетом. Аналогично
предыдущему предложению строим площади
CO----CD-CK — Л//2,
KL=CD-fcM~H&.
Сумма АН--\-ИВ1 ~CL=--CD-CM будет медиальной, а
сторона СМ рациональной, линейно несоизмеримой с CD.
Затем вследствие медиалыюсти произведения АН-НВ
площадь IL —2AH-BH будет тоже медиальной; по разделении её
па рациональную CD мы получаем рациональную в смысле
Евклида прямую Ш, несоизмеримую с CD линейно.
Теперь остаётся показать, что рщионачьные прямые СМ и
IM будут несоизмеримы линейно. Так как прямые АН и ВН
будут соизмеримы только в степени, то значит, площади АН1 и
АН^-ВИ будут несоизмеримыми; отскиа получаем, что
несоизмеримыми будут н площади А/Р-^ВН2 н 2АН-ВН, а значит, и
получающиеся делением их на рациональную CD прямые СМ
и ГЛ1
Убедившись, что С[ = СМ— IM будет вычетом, мы должны
показать, что он будет треть цм вычетом, обе части которого
будут линейно несоизмеримы с рациональной CD (это следует
из медиалыюсти площадей CL и IL), и что СМ2 — Ш2 будет
представлять квадрат на прямой, линейно соизмеримой с СМ.
Это получается совершенно так же, как и в предложении 97, на
основании предложения 17 и вследствие того, что отрезки
АН2 „ ВН*
будут линейно соизмеримыми.
В предложениях 100—102 вместо теоремы 17 фигурирует 18,
утверждающая, что если в результате приложения к прямой СМ
с недостатком в виде квадрата площади СК-КМ, равной квадрату
на половине, *,Ееньшей прямой /М, получаются несоизмеримые
отрезки СД", A'Af, то это значит, что CM2—JM2 будет
представлять квадрат на несоизмеримой с СМ прямой — признак, который
является общим для трёх последних вычетов: 4-го, .5-го и 6-го.
Эта несоизмеримость отрезков


4У^ КОММЕНТАРИИ
где CD — рациональная прямая, вытекает из того, что для трёх
последних иррациопачьностей—-«меньшей», «образующей с
рациональный целое ждиальног» и ''(Образующей с метальным целое
медиальное» — квадраты их составных частей АН и ВН будут
несоизмеримыми.
В предложении 100 строится квадрат на «меньшей»
иррациональной ЛВ — АН — ВН, для которой сумма квадратов АН2-\-
-X-ВН2 будет рациональна, произведение жеАН-ВН медиально;
это значит, что прямая
АН* + В№
С'П~ CD
будет линейно соизмерима с CD, а прямая
2АН-ВН
Ш = ~
CD
будет хотя и рациональной в смысче Евклида, но линейно
несоизмеримой с CD. Так как рациональные СМ и Ш будут
соизмеримы только в квадрате, то получающаяся прямая CI—CM —
— IM будет четвёртым вычетом.
В предложении 101 мы имеем дело с «образующей с
рациональным целое медиальное» АВ = АН—ВН, для которой сумма
АН2-\-ВН2 будет медиальна, произведение же* АН-ВН
рационально, В результате СМ будет линейно несоизмеримым с CD,
a IM будет линейно соизмеримым, что характерно для пятого
вычета.
Наконец, в предложении 102 мы имзем дело с «образующей
с медиальным целое медиальное», для которой обе площади
АН2-\-ВНг и АН-ВН будут медиальными и притом незоизмери-
мыми. Отсюда следует, что обе прямые
СМ =
CD ' CD
будут, во-первых, линейно несоизмеримыми с рациональной CD
и, во-вторых, линейно несоизмеримыми м^жду соЗой; таким
образом, Cf=CM—!М будет представлять шхтой вычет.
Отметим, чтошзсть предложений 97—102 представляют
параллель аналогичным предложениям 60—65 для биномиалей. {И. В.)
61. Окончание X книги. Следствием из предложения 111
заканчивается несомненно подлинная часть X книги; остальныз
четыре предложения Гейберг помещает, как сомнительные, в
квадратных скобках, хотя и сохраняет их в самом тексте Евклида, не
относя в «Приложение».
Предложения 103—107 аналогичны предложениям 66—70,
установленным для биномиалей; они доказывают, что прямая,
соизмеримая данной иррациональности, будет иррациональностью
того же самого вида; доказательства их настолько просты, что
не требуют никаких пояснений.


U книге x
493
Три предложения 108—110 рассматривают иррациональные,
получаемые, как мы сказали бы, извлечением квадратного корня
из разности двух площадей—рациональной и медиальной, или
двух несоизмеримых медиальных. Их доказательства тоже не
требуют никаких пояснений; результат сводится к тому, что
получаются все шесть различных иррациоиальностей третьей гек-
сады.
Большой интерес представляет предложение 111,
доказывающее, что биномиаль и вычет принадлежат к совершенно отличным
друг от друга классам иррациоиальностей.
С пашей точки зрения, дело сводится к доказательству
невозможности равенства
уТ+]/V = У~ ~ Yd.
Возведя обе части равенства в квадрат и сгруппировав
рациональные и иррациональные члены, мы получим:
2у"аЬ + 2]/cd = (с + О) — (a -f 6),
т. е. сумма двух иррациональных должна будет равняться
рациональному числу, что невозможно.
Евклид доказывает эту теорему так.
Он берёт вычет АВ и квадрат на нём прикладывает к
рациональной прямой CD; шириной полученного' прямоугольника СЕ
будет, как известно, первый вычет DE.
Пусть EI будет сочетающаяся с ним;
DE=Df—EI.
Обе прямые Df и EI будут рациональными в смысле Евклида,
соизмеримыми только в степени, причём DP— ЕР будет
представлять квадрат на прямой, соизмеримой с Df, причём сама Df
будет, согласно определению первого вычета, линейно
соизмеримой с рациональной прямой CD,
Если теперь АВ будет одновременно и биномиалью, то,
приложив ее" квадрат к рациональной прямой, мы должны получить
в качестве стороны первую биномиаль. Значит, DE будет также
первой биномиалью, которая единственным образом разделяется
И на рационали.
Пусть DH будет большая рациональ; тогда DH, НЕ будут
две соизмеримые лишь в квадрате прямые, причём DH2 — НЕг
представляет квадрат на прямой, соизмеримой с DH, которая
в свою очередь будет соизмерима с рациональной CD.
Но если DI и DH соизмеримы линейно с рациональной CD,
то и их разность Ш будет линейно соизмерима с CD, а
следовательно, н с Df.
С другой стороны, Ef будет линейно несоизмерима с Df, a
Ш линейно несоизмерима с El {ибо IH соизмерима C.D/); значит,
HE = Hf~ Ef будет вычетом. Вместе с тем ЕЙ, как часть бино-


494 КОММЕНТАРИИ
миали DE, будет и рациональной (в смысле Евклида), что
невозможно.
Если бы мы хотели сделать доказательство Квклица более
соответствующим нашему, то нужно было бы рассматривать
прямую IH сначала как разность двух прямых DH и DI, линейно
соизмеримых с рациональной CD, а затем как сумму HE-\-ffl
двух npHvwx, линейно несоизмеримых с DH и Df, а следовательно,
и с CD, по тогда нам пришлось бы доказывать линейную
несоизмеримость НЕ и EI. (И. В.)
62. Разность квадратов и близкие ей формулы. Три
предложения 112—114 составляют обособленную группу ив
алгебраическом обозначении эквивалентны равенствам
k (a —Ь) , /-.,— л т\ i л ^.^^
- ' ——™—fc( Lu-И (предложение 112;
—= — = k(V а -\-\ Ь ) (предложение 113);
X а—Уъ К J
£П/йГ-г]/"ь) (У a"— y'~F) = k{a~ Ь) (предложение 114).
Гейберг не считает их принадлежащими Евклиду, потому что, по его
мнению, заключение теоремы 111 подвело итог всему содержанию
X книги. Важным аргументом, подтверждающим мнение Гейберга,
может служить наб-тодаейая в этих предложениях терминология:
составные части бнномнали и вычета, \ а и \ Ь, называются в этих
предложениях одинаковым термином о-^я-я — рационалн; в
основном же тексте X книги этот термин применяется лишь к членам
бнномиали; для членов же вычета употребляются выражения:
У а —о/.т, — целая, \ & = ^р5озр11бСс-ля = сочетающаяся. Во
всяком случае эти предложения представляют большой интерес и по
важности получающихся формул и по виртуозности доказательств.
В доказательстве предложении 112 ход рассуждений автора
/Гейберг считает воздюжньш отнести эти теоремы к Аполлонию)
имеет следующий вид.
Берём рациональную прямую Л = г н биномиаль
С В = CD -f DB — |ra-\- У J.
Требуется определить прямую £/= и, удовлетворяют.} го равенству
ВС-Е1= А2 или и (]/ д" -f Уь)~ г\
и показать, что эта прямая может быть представлена в виде
вычета
Е[= (и -}-ш) — к>,
в котором оба члена u-\-w иданаходятсяв отношении ]/о:]/ Ь.


U книге х 495
Автор определяет сначала прямую ti=EG из равенства
DB-H=A2 или Н-УГ—г2.
Вследствие равенства
Н-Уъ-и(уа+\Ь)
эта прямая будет удовлетиорять пропорции
ВС Н \'aA-V~b EG
BD^Wl ™ уТ~=ЕТ-
Мы видим, что EG ~> El. Применяя операцию «выделения», мы
приходим к равенству
У~а _ EG—_EI __ GJ_
y~f~~ El """и "
Обозначим Ю через v и будем отыскивать W—EK из
пропорции
G£__IK_ у ^иЛ-w_\га
FJ~~~K.fi " ~i^~~ w У~Ь~'
Из этого равенства легко получаем;
ОГ-гГК
Е/+КЕ
К! ГО
~ ЕК" IE
Мы видим, что прямые GK,—
измеримы в степени.
Теперь из пропорции
легко получаем:
ок
IK -
my=
\IK J
или
- u-\~
Kl
~EK
GK
IK '
\J-\-W
IK
EK '
и IK=
a
b '
u-\-w
будут
CO
Таким образом, GK—u-\- v-^-w будет линейно соизмерима с
EK=w, а значит, и nG = GK — ЕК= it-\~v тоже линейно
соизмерима с w.
Из равенства
EG-BD—A- или (u-\-v)-}"6~ = t*
мы видим, что EG = u-j-v будет рациональна и линейно соизмерима
с BD — Vb] а значит, и линейно соизмеримая с. EG прямая
E/C=zw тоже будет рациональна и линейно соизмерима с BD~=
= Y~b~. Таким образом,


496 КОММЕНТАРИИ
Теперь из отношения
IK =СР _У~~а
КЕ BD~y~b
мы вичим, что /K=u-f-w соизмерима с КЕ только в степени,
но рациональна в смысле Евклида; она будет равна
/ЛГ=^к KE — kYT.
уь
Таким образом,
E1—IK— ЕК={и-\- да) — w — кУТ — кУТ
будет вычетом, оба члена которого пропорциональны
соответствующим членам биномиалн и который, очевидно, будет того же
самого ранга, что н первоначальная бнномналь.
В предложении 113 доказывается аналогичная теорема для
вычета.
Берём рациона ль 7гую А = г н вычет
BD=zBC — CD=ya —УТ.
Требуется показать, что прямая KG, определяемая нз условия
A2^BD-KG,
будет иметь вид КО = &Уа -f- k~\/~b — (и — w)-\--w.
Определяем прямую Н из условия
А^—ВС-Н нлн гЪ^У'а'-Н.
Нетрудно видеть, что// будет рациональной прямой, линейно
соизмеримой с ВС = Уа. С определяемой упрямой KG она
связана равенством
A* = BD-KG=BC-H,
откуда
где Н^=ЕК. Мы видим, что КО будет больше М=ЕК. При
помощи операции «переворачивания» мы из предыдущей
пропорции получаем:
У^__ KG _KG__a
УТ~К0~ЕК~~ EG" v'
где v = EG = KG — EK=u~{u~v).
Строим теперь прямые Ю и IE, удовлетворяющие условию
KG [G a w
■—z — —- или — = .
EG IE v v~ w


К КНИГЕ X
т
Мы будем иметь:
KG~IG_KG
EG—Ei~~EG '
К I KG a — w Y~a
T~=-^ ИЛИ — -=: .
I(j t(j w уъ
Мы видим, что прямые f(f=u—v и /G — w соизмеримы только
й степени.
Теперь из пропорции
KG_hJ _IG __ уV
EG —16~ ~ т ~ уу
оледует:
КР_К[ [£^К[
IG*~ IG' EI~ W
Значит, f(I:El — A72;/G2 — a :b\ таким образом, прячая А7=«— »"
будет линейно соизмерима с EI~v — «f, Точно так же
разность /С/—ЕГ=Ь'К линейно соизмерима с £/, а значит, н
Ю будет линейно соизмерима с FK~ ■H-=kVa~, так как И
будет линейно соизмеримой с ВС = V~a .
Теперь мы можем написать:
fG'-y-f
Мы видим, что А7, /G соизмеримы только в степени, причём если
Kf=u~w — kYa .
fG — w^kYf.
Их сучча
^G = (и — да) + w — kVT + ^У"^
будет бякомиалью и притом того же самого ранга, что и взятый
вычет ВО~уго~—УТ\
Наконец, предложение 114 даст известную формулу
разложения разности квадратов. Нужно, однако, отметить, что она
даётся не в привычном для нас. виде
аъ~ Ъ3~-{а + Ъ) (а — Ь).
но в виде
ylyV— VT)-k{V~a + VT) = УЩ£=Щ,
так как в формулировке предложения речь идёт о квадрирующей
заданную площадь,
32 Евклид


4Уа комментарии
Берём:
АВ = А! — IB = )'V — VT,
CD-=CE±-ED — k VV + &VX
Требуется доказать, что AB-CD — H2, где /-/[будет некоторая
рациональная (в смысле Евклида) прямая.
Возьмем рациональную прямую G — r ч определим KL т
уравнения
По только что доказанной теореме KL должна быть вычетом и
иметь вид
KL = КМ — ML ~k'VT — к'У'Т.
Таким образом,
г? = (кУ я" 4- *> М (*' W — й"1 й).
Мы имеем"
AIUBt KM:ML.
Из этой пропорции легко получаем-.
AI IB AB
' 1
Теперь будем иметь:
АВ_
KL
Но
откуда видно, что квадрируюшая
<м''
AI
~ кл
АВ
KL
ML
~ КМ-
- ML '
1
= гг~ Ра". числу
АВ
KL
CD
CD
№
гъ '
'='/*
будет рациональной в смысле Евклида прямой. [И. В)
63. Освобождение знаменателя от иррациональности *7)-
Из предложений 113, 114 можно получи]ь правило освобождения
знаменателя от иррациональности.
Интересно ошетить, что формула
«) Tropfke, Gesctu der Elementar-Math., Bd. II, 3. Aufl.
1933, стр. 200—204 (D, 3, c).


К КНИГЕ X
499
выражающая правило освобождения знамена юля от
иррациональности, выводящаяся из предложений ИЗ, 114 (если мы заменим
отрезки выражающими их корнями квадратными из чисел), у
индусов выступает в чисто арифметическои форме: следует
числитель и знаменатель умножить на выражение, аналогичное
знаменателю и числителю, но только с другим знаком при одной из
иррациональных, и эта операция должна производиться до тех
пор, пока не будет возможно произвести в действительности
требуемое деление.
По существу это правило есть шше правило, предлагающее
помножить числитель или знаменатель на сопряжённое выражение,
У Луки Пачио.чи мы находим примеры освобождения от трёх
нррациональностей в знаменателе. Он идёт таким образом:
УГб __УШУЪ±У7—У~В) =
У & -f У1 + У^ " (У ё f У~1? - s
— 1 То [У б 4- У 7 - У 8) _ УЖУ б+у" 7 — ущут-5) _
ут^-ъ ~~ 143
У Кардана мы уже находим освобождение от кубических
радикалов но формуле, являющейся следствием известной
формулы Без у
(a-P)(a*-h*P-Ha)=aS-^
Затем Сципион Ферро освобождается от трёх кубичеа'пч
корней в знаменателе, обнаруживая, что
(J/"4" "г У* + У^)(УТь + j/'v+y^- У й-
— 2 — У~Ь)-(81 -'- ^/419 934+ J/472 392) = 81.
Тарталья же вполне владеет аппаратом освобождения от
биномиальных иррациональных какого угодно порядка.
64. Другое доказательство предложения 115. В
«Приложении^ к гейберговскому изданию
Евклида помещено ещё другое доказате^ь- ^ £ 3 !
ство этого предложения'. |
<-,Иначе.
Пусть будес мечиаль АС; я
утверждаю, что из АС возникают в бсекокеч- g £
ном множестве иррациональные и
никакая никакой из предыдущих не тожде- Черь иЗ,
ственна (черт. 23).
Проведём АВ под прямым углом к fAC, и пусть АВ будет
рациональной, и дополним «(прямоугольник) ВС, значит, ВС
будет иррациональным (предложение'20) и квадрнрующая его будет
иррациональной. Пусть квадрируе; его «(прямая) CD; значит, CD
Э2*


500 КОММЕНТАРИИ
будет иррациональной. И она никакой т предыдущих не
тождественна; ибо ^квадрат, построенный^ на любой из предыдущих,
будучи приложен к рациональной, не образует шириной медиаль.
Опять дополним <прямоугодьник> ED; иррациональным, значит,
будет и ED, и квадрирующая его будет иррлцноначьной
(предложение 20). Пусть квадрарует его' £>/; значит, DI будет
иррациональной. И она никакой из предыдущих не тождественна;
ибо ^квадрат, построенный/ на лю'юй из предыдущих, будучи
приложен к рациональной, не образует шириной CD.
Итак, iu мед ими возникаю?' и бесконечном множестве
иррациональные, и никакая никакой из предыдущих не
тождественна; что и требовалось доказать);.
65. Античное расширение обласгн иррациональных. X
книга «Начал» даёт полную классификацию иррационадьностей,
соответствующих извлечению квадратного корпя,
производившемуся один ал л два ра*а. Дальнейшее расширение этой области
должно было итти по двум путям.
Во-первых, можно было использовать иррациональности,
отвечающие трёх-, четырёх- и т. д. кратному извлечению корня.
Возможность такого пути намечает и сам Евклид: от
рациональной, соизмеримой голыш в степени ~\га, он переходит к
медетали у У 3-у {1= у А. В предложении 115 намечаются ирра-
диональности типа
/г'{Ал-, у a, Y7V^= VA~'" т- д"
где г является рациональной прямой.
Ви-втирых, можно было бы от биномиали перейти к мультн-
иомиали, т. е. к иррациональностям типа
h + h + h + .-. + ln,
где Д, .,., In суть простые одночленные евклидовы
рациональности. Опираясь на показания арабских комментаторов, Вепке *5)
видит такие иррациональности в недошедшем до нас сочинении
Аполлония.
1) Тринэмааль. «Предположим три рациональные прямые,
соизмеримые тольчо в степени. Линнл, составленная из двух
таких линлй, т. е.биномиаль, будет иррациональной, и следовательно,
площадь, заключающаяся между этой линией и оставшейся,
будет иррациона ьной, и точна так же будет иррациональной
удвоенная площадь, заключаюшляся между этими двумя липиямч.
Таким образо-i, квадрат на net он линии, составленной из зтих
*') См. прим*Ч. 45.


К ИНИГЕ X 501
ipex линий, будет иррациональным, а следовательно, и сама
линия будет иррациональной и называется триномиалью>.
Можно думать вместе с Вепке, что Аполлоний, кроме
триномиален и квадрипомиалей вероятно, рассматривал и мультино-
миали вообще.
2) Первая трим&диаль. Под этим именем можно мыслить
сумму тр^.х медиалей, соизмеримы:! другсдругом только в
квадратах и обладающих тем свойством, что попарные
произведения одной из этих медиалей на две остальных будут давать
рациональные прямоуготьн^ки (произведение остальных, двух
медиалей мол-:ет быть медиальньы).
3) Вторая тримедшль — обладающая тем свойством, что
сумма квадратов всех трёх медиатеЯ будет медиальной, равно
как и попарные произведения этих медиалей.
4) Большая иррациональная. Под этим именем арабский
комментатор подразумевал «линию, составленную из трёх
несоизмеримых в степени прямых таких, что одна из них даёт с
каждой и* двух остальных сумму квадратов рациональную,вто время
как прямоугольник, заключённый между двумя другими
линиями, будет медиальным». Однако толкование этого текста
встречаем некоторые затруднения.
Аналогичным образом можно было бы определить и
остальные две иррациональности первой гексады, но детализация этих
определении встречает при ближайшем подходе некоторые
затруднения.
Что касается иррациональных, соответствующих нашей
третьей гексаде, го Аполлоний, вероятно, рассматривал выражения
вида
{У а - У~Ь) -1 "'с, [(У а - У~Ь) - У~с\ -У~й
и т. д.
Дальнейшее расширение области иррациональные должно*
было итти и направлении радикалов высших степеней. Для
античной мысли был только один подход к таким
иррациональным — через многократные ергднепржорциональчые.
В самом делз, пусть 1Ъ /2, ... , 1п определяются
непрерывной пропорцией
тс/да
Если k и k'—две раци_)нальныз, соизмеримые только в
степени, to получаем иррациональную типа
2(*н 1)
1/ m+I—пъп


p02
КОММЕНТАРИИ
Но ^f R такова, gi'o античные математики не могли cipourb
её с помощью циркуля и линейки, хотя, может быть, и верили
в возможность такого построения.
Можно сказать, что такая иррациональность находилась на
границах Геометрии. Венке совершенно справедливо выражает
сомнение в том, чтобы иррациональности
у~к±ут>+...
были исследованы древними по образцу X киш-п.
Следует заметить, что у Евклида только в арифметических
книгах кубический корень играет ту же роль, что и квадратный.
Хотя i/A и имеет геометрическое значение, как сторона
куба, равного А, но в геометрия не шходит места, так клкр^А
нельзя построить с помощью циркуля и линейки.
Но к этому следует ещё прибавить, что и куб не играет
той же роли, чго квадрат, так как построения, к нему
относящиеся, производятся на на плоскости, а в пространстве.
А у Евклида нет стереометрической книга, отвгчающейИ
книге «Начал», нет того предложения, которое отвечает
тождеству
(a -f &)3 — я3 -|- Зд2& + ЪаЬг + *3.
и является аналогом тождества 4, II
играющего важную рочь в теории его иррациональных.
Если бы Евклид вышел из плоскости в пространство, то он
смог бы создать ташй аналогон II книги, например, заменив
операции с циркулем и линейкой некоторыми операциями в
пространстве, как он это и делает в XI, XII и XIII книгах, но всё-
таки теорию кубических иррациональностей он не смог бы
создать, поскольку кубическое уравнение не решается при иомощн
циркуля и линейки.
66. Другие доказательства предложений 105 и 106. В
«Приложению) к своему изданию Евклида Гейберг поместил два
следующих доказательства предложений 105 и 106.
с<<П ред ложен не 105>
Соизмеримая с меньшей (иррациональной) будет меньшей.
Пусть будет меньшая <нррациональнпя> А и пусть В будет
соизмерима с Л; я утверждаю, что В будет меньшей (черт. 24).
Отложим рациональную CD и приложим к CD равную <квад-
рату> на А <пдощадь> СЕ, образующую ширину £7; значиг, С1
будет четвёртым вычетом (нредлэжеиие 100). К 18 же приложим
равную <квадрату> на В <площадь> ///.образующую ширину Ю.
Поскольку теперь А соизмерима с В, то значит, и <квадрат> на


1 к книге х 503
А будет соизмерим с <квадратом> на В. Но <квадрату> на А
равна <площадь> СЕ, <квадрату> же на В равна <пл:лцадь> Ш\
значит, СЕ будет соизмерима с Ш. Как
же СЕ к Ш, так будет и <прямая> CI
к Ю; значит, С! будет линейно
соизмерима с IG {предложение И). Но CI
есть четвёртый вычет; значит, четвёртым
вычетом будет и Ю {предложение 103);
значит, <(площадь> Ш заключается
между рациональной <прямой> IE и чет- у
вёртым вычетом Ю. Если же площадь
заключается между рациональной и чет- Черт. Л.
вёртым вычетом, то квадрирующая эту
площадь будет меньшей <иррациоиальнэй> {предложение 94).
<Площадь> же Ш квадрирует <прямая> В\ значит, В будет
меньшей «(иррациональной^. Что и требовалось доказать.
(Предложение 10э>
Соизмеримая с образующей с рациональным целое
медиальное будет образующей с рациональным целое медиальное.
Пусть образующая с рациональным целое медиальное будет А,
соизмеримая же с ней В; я утвержд.то, что В будет образующей
с рациональным целое медиальное {черт. 24).
Отложим рациональную CD и приложим к CD равную <квал-
рату> на А <площадь> СЕ, образующую ширину С Г, значит, CI
будет пятым вычетом (предложение 101). К W же приложим
равную <квадрату> на В <площадь> Ш, образующую ширину /G.
Поскольку теперь А соизмерима с В, то значит, и <квадрат> на
А будет соизмерим с <квадратом> на В. Но <квалрату> на А равна
(площадь)- СЕ, <квадрату> же на В равна Ш\ значит, СЕ будет
соизмерима с 1Н; значит, и <прямая> С/будет линейно соизмерима
с Ю {предложение 1 книги VI; предложение 11 книги X). Но 67
есть пятый вычет; значит, пятым вычетом будет и Ю
{предложение 103). Но IE рациональна; если же площадь заключается между
рациональной и пятым вычетом, то квадрирующая эту площадь
будет образующей с рациональным целое медиальное
(предложение 95). <Площадь> же Ш квадрирует <прямая> В\ значит,
В будет образующей с рациональным целое медиальное; что и
требовалось доказать».
67. Иррациональность квадратного корня из двух. В
самом конце X книги в некоторых списках помещается
доказательство несоизмеримости диагонали квадрата со стороной. В
логической структуре X книги доказательство это является совершенно
излишним, потому что в предложении 9 {теорема Тсэтега) эта
истина доказана в самом общем виде для квадратного корня из
всякого неточного квадрата; однако это доказательство интересно
в том отношении, что его идея близка к тому доказательству,
прн помощи которого пифагорейские математики впервые
обнаружили иррациональность У"2.


0Ui КОММЕНТАРИИ
«.Пусть нам будет предложено доказать, нт-j для
квадратных фигур диаметр будет линейно несоизмерим со
стороной.
Пусть квадрат будет ABCD, диаметр же его АС; я
утверждаю, что СА будет линейно несоизмерима с АВ (черт. 25).
Действительно, если воздюшю, пусть будет соизмерима; я
утверждаю, что окажется, что одно и то же число будет чётным
и нечётным. Очевидно теперь, что
EG] <квадрат> на АС вдвое больше
i 1 ) <и.вадрата> на AB (предложение
47 книги I). И поскольку СА
I | соизмерима с АВ, то значит, СА
имеет к АВ отношение, как число
— п к числу (предложение 6). Пусть
D £ оно будут иметь то, которое Ef
ij 25 <имеет> к Я, и пусть Ef, Я будут
v ' ' наименьшие и» имеющих с ничи
одно и то те отношение (ср.
предложение 33 книги VII); значит, F.I не будет единицей.
Действительно, если El будет единицей, имеет же к Я отношение, какое АС
имеет к АВ, и АС больше АВ, то значит, и Ef <единица>
больше Я—числа (предложение 14 пнищ V); это же нелепо. Значит,
Ef единицей не будет; значит, будет числом. И поскольку
будет, чго как <прямая> СА к АВ, так и <число> Ef к Я,
то значит, и как <квадрат> на СА к <квадрату> на АВ, так и
/хвадрат> на Ef к <квлдрату> иа И {предложение 20 книги VI,
следствие; предложение 11 "книги VIII). <Квадрат> же иа СА
вдвое больше <квачрата> на АВ; значит, и <квадрат)> иа Ef
вдеюз больше <квадрата> на И; значит, <квадрат> на Ef
будет чётным; так что и само Ef будет чётный. Действительно,
если бы оно было нечётным, то й квадрат на нём был бы
нечётным, поскольку ведь, если складываются сколько угодно нечётных
чисел и количество же их нечётно, то и целое будет нечётным
(предложение 23 книги IX); значит, Ef будет чётным. Разделим
<его> пополам в G. И поскольку Ef, Я суть наименьшие из
имеющих [с ними] то же отношение, то оии б^дут первыми между
собой (предложение 21 книги VII). И Ef чётное; значит, Н будет
нечётным. Действительно, если бы оно было чётным, то <числа>Л7,
Я измеряла бы двойка; ибо всякое чётное число имеет
половинную часть {определение б книги VII); между тем очи являются
первыми между собой; это же невозможно. Чётным, значит, не
будет Я; значит —нечётным. И поскольку Ef вдвое больше EG,
го значит, <квадрат> на Ef в четыре раза больше <квадрата>
на EG {предложение 11 книги VIH). <Квадрат> же на Ef вдвое
больше <квадрата> на Я; значит, и <квадрат> на Я вдвое больше
<квадрата> на EG; значит, чётным будет <квадраг)> на Я. Четным,
значит, вследствие вышесказанного, <будет> и Я; но <оио же>
и нечётное; это же невозможно. Значит, СА не будет линейна
соизмеримым с АВ\ что и требовавдсь доказать.


\
, к книге х 505
Иначе.
[Можно и по-другому доказать, что диаметр квадрата будет
несоизмеримым со стороной.1
Пусть вместо *) диаметра будет А, вместо же стороны Вт
я утверждаю, что А будет линейно несоизмерима с В {черт. 26),
Действительно, если возможно, пусть будет
[соизмерима; и сделаем] опять, чтобы как А к В, так Л В t H
и число EI к Н {ср. предложение (3), и пусть иаи- т т т Т
меньшие из имеющих то же самое отношение
с ними будут Е[, Н {ср, предложение 33 книги I
VII); значит, £7, Н будут первыми между собой
{предложение 21 книги VII). Во-первых, я
утверждаю, что Н не будет единицей. Действительно,
если возможно, то пусть будет единицей. И
поскольку будет, что как А к В, так н /У к Н, то Черт 26.
значит, и как <квадрат> иа Л к <квадрлту> на
В, так и <квадрат> па EF к <квадрату> на Н
{предложение 20 книги \'Г, следствие; предложение И книги VIH).
<Квадрат> же на А вдвое больше <квадрата> на В {предложение,-
47 книги I); значит, и <квадрат> на EI вдвое больше <квадрата>
на Я. И Я есть единица; значит, <квадрат> на EI—двойка; это
же невозможно. Значит, Н не будет единицей; значит, <будет>
чи.-лом. И поскольку будет, что как <квадраг> на А к <квадрату>
на В, так и <квадрат> на EI к <квадрату> на И, и обратно
{предложение 7 книги V, следствие), как <квадрат> на В к <квадрат\>
на А, так и <квадрат> на Я к ^квадрату^ па fzj\ <квадрат> же
на В измэряет <квадрат> па А, значит, н квадрат на // измеряет
<квадрат> иа £7; так чго и сама сторона # измеряет El Измеряет
также Н и самого себя; значит, И измеряет El, H, являющихся
первыми между собой; это же невозможно. Не будет, значит,
А линейно соизмеримой с В; значит, будет несоизмеримой; это
и требовалось доказать*.
6S. Стевин *&) об иррациональных числах. Если история
пятой книги «Начал» есть история общего понятия
иррационального числа, то история X книги представляет историю того
специального вида иррациональных чисел, которыми занимается
алгебра; это будут радикалы, которые математики XVI и XVII вв.
называли «глухими». Одна из наиболее интересных страниц этой
истории относится к Стевину.
Его мысль определённо и резко переводит X книгу из
Геометрии в Арифметику или, лучше сказать, в числовую Алгебру.
На место несоизмеримых и иррациональных прямолинейных
отрезков у него становятся несоизмеримые и иррациональные числа.
Весьма интересны его аргументы за существование и полную
равноправность с рациональными иррациональных чисел,-причем
*) mi = вместо — любопытная форма выражения,
встречающаяся в «Началах» только в этом месте.
**) См, примеч. 43,


-Э06 КОММЕНТАРИИ
иод последними он рлзумеет не иррациональные числа в широком
смысле, по числа, выражаемые корнями квадратными, частными
видами которых являются те, которые отвечают иррациональным
Евклида, а затем н числа, выражаемые радикалами высших степеней.
Стевин считает неправильным заключение от
несоизмеримости к абсурдности. Из того, что Ун несоизмеримо с 2, т. е. из
отсутствия общей меры, числа, целое число раз
заключающегося^ к в первом, так и во втором, нельзя делать заключения,
что У 8 абсурдно.
При этой Стевину кажутся неподходящими и другие эпитеты;
иррациональное, неправильное, глухое и т. д. числа, которые
подчёркивают, если не абсурдность, т. е. несуществование этих чисел,
то во всяком случае их неравноправность.
Он указывает, что из того, что диагональ квадрата
несоизмерима с его стороной, никто не делает заключения, что
диагонали нет, что она абсурдна. Точно таким же образом из того,
что У 8 и 2 несоизмеримы, нельзя ещё" заключить, чго у"Н
абсурдно.
Он подчёркивает относительность понятая
иррационального: диагональ тогда лишь иррациональна, когда сторона
принимается за рациональную. Но если диагональ считать
рациональной, то иррациональной окажется сторона.
'-Меня спросят,— говорит Стевин —чтобы я объяснил, что
Мне скажут,
6 ,_ /"16
■г:, а я скажу, что У 8 то же, что 1/ -у,
Если мне скажут, что — это 3 числа, которые получаются
делением единиц, я скажу, что Ун это то, что получается
извлечением корня из 8 и т. д.)..
Убедительна ли аргументация Стевина?
Она сводится к tomv, что тс ци^ла, которые мы можем оп-
ре делить, над которыми мы можем производить действия, это
действительно числа.
Но, конечно, остаётся недоказанным, что можно производить
лад [шми те же действия, что можно подвести их под одно и то
же определение.
Как это обычно имеет место & науке, в иррациональные числа
сперва начинают верить, а обоснование им находится только, когда
они уже обладают полным правом гражданства в математике.
69. К доказательству несоизмеримости диагонали квадрата
со стороной. Кампанус^ выводить несоизмеримость диаюнали
квлтрата со стороной из предложения 9, X.
50) С a m p a n u s, Перевот Евклида, Париж, 1516. — М.
Cantor. Voiles., Bd. П., гл. 45.


к книге х 507
Это доказательство воспроизводится и комментатором Клавием.
Квадрат на диагонали —удвоенный квадрат на стороне, как
у го следует из 47, I.
Но двойное отношение (dupJum, т. е. 2:1) не может быть тем
же, что квадратное число к квадратному, так как для чисел с
двойным отношением не существует среднзпропорционал^ного,
как это выводит Кампанус в схолии к 8, VII. Поэтому квадрат на
диаметре к квадрату на стороне не может иметь отношения, как
квадратное число к квадратному.
Отсюда па основании 9, X следует, что и диагональ
несоизмерима со стороной в длине.
70. О доказательствах иррациональности. Можно сказать,
что евклидов признак иррациональности состоит в разложимости
числа в бесконечную непрерывную дробь
]
-га+...
Лежандр-'1') даёт достаточный признак иррациональности при
разложении числа в обобщённую непрерывную дробь
«и—v
аг
Пользуясь этим признаком, Лсжандр доказывает
иррациональность как л, так и т.2.
Но существуют и другие пути к обоснованию
иррациональности "2).
Число а иррационально, если для всякого s существуют такие
целые числа х, у, что
0<|мг —jM<s.
Монши требовать только существования бесконечного числа
систем (at^Vj), {лоУз},... кжих, что
71. Последние четыре иррациональности Езклида и
биквадратное уравнение. Некоторые исгорики-^видяг в
предложениях X книги числовое решение не только квадратного, но и
биквадратного уравнение
________ z*~az2-{-c = Q (1)
51) Legendre, Elements de gco'iicfcrle, Note IV.
^2) К о s in a, Diopliamische Approxiinationen, Berlin, 19=36.
^3) Christiansen, Uber die Glcichnng vierles Grades des
iehnten Biiche dsr Elem. Eu-1. {Zeitschnft der Maihematik nnd
Puvsik, XXX.IV (13S9J, стр. 201-207).


568 комментарии
и стараются установить тесную связь последнего с теорией
иррациональных Евклида.
Венке представляются основными иррациональности х±у,
получаемые из корня биквадратного уравнения (1):
-]/Ч-1/
4
Евклида интересуют сумма и разность
х+у=YA~±~B
ври различных условия.?, налагаемых на А н В.
Существует четыре возможности:
1. А рлц., В рац.
2. А рац,, В мед.
3. А мед,, В рац.
4. А мед., В мед.
Первый случай отбрасывается, так как он даёт для х + у
рацтнальяые {в евклидовом смысле) значения.
При иных обозначениях рациональны.* и медиальных случая*
2) x2-j~y^a, xy=V~b,
3) x3-\-y3-~Ya, xy=.b,
4) x2-{-y* = Y~a~, xy=VT
4удут отвечать иррациональные
/a-i-Ya^—АЬ , fa—Ya*
2 ^y ~—^r
/У ~B -{- YlY^W- fY~a -
2 ±y
Ya~4b'
/ V « + V'a - 4& / У a — Y' a — 4ft
Другие иррациопатны; получаются из этих при условии,
что хну соизмеримы в степени, x2:y2~m;nt где т, п — целые
числа *).
*) См, работы А. Е. Р з и к и А. И. М а р к у m е в и ч а в 1-м
выпуске трудов семинара МГУ по истории математики («Исторнчо-
математические исследования», I, Л!.—Л„ 1948).


к ь'ниге х 509
72. Схолия, ^Приложение» к X книге в гейберговскои
издании Евклида заканчивается следующей схолией:
«Вот после того, как найдены линейно несоизмеримые
прямые А, В, отыскиваются и другие ещё в большем количестве
величины из двух измерении, я сказа! бы
«плоскостные», несоизмеримые между собой. Действительно,
ести для прямых А, В возьмём среднее пропэр-
цчональное С, то будет, что ка< А к В, так и
площадь на А к подобной и подобно построенной
на С (предложение 19, гашги VI, следствие), будут
ли построенные фигуры квадратами, или другими
подобными прямолинейными фигурами, или кругами
на дидметрах Л, С, поскольку и круги будут
друг к другу, как квадраты на диаметрах {2, XII). Черт. 27.
Итак, найдены и плоскостные величины,
несоизмеримые между собой; чго и требовалось доказать {черт. 27).
Вот после того, как указаны и различные несоизмеримые
величины из двух измерений, покажем из теории телесных <ве-
лнчин>, что существуют и телесные <всличины>, соизмеримые
и нзеоизмеримые между соЗой. Действительно, если мы на
квадратах на А, В или им "равных прямолинейных фигурах
воздвигнем равновысокие тела — параллелепипеды, или пирамчды, или
призмы, то воздвигнутые будут друг к другу, как основания
(32, XI; 5,6', XII). И если соизмеримы основана, то соизмеримыми
будут и тела, если же <основаиня> несоизмеримы, то <я тела
буд>"1> несоизмеримыми. Что и требовалось доказать.
Но такнее и при наличии двух кругов А, В, если мы построим
на них равновысокие конусы или цилиндры, то они будут друг
к другу, как основания, т. е. как круги А, В, (11, XII). И если
соизмеримы круги, то соизмеримы-ш будут и конусы между собол,
и цилиндры, если же несоизмеримы круги, то несоизмеримыми
будут и конусы а цилиндры {предложение И). И стало нам ясно,
что не только для линий и поверхностей существует
соизмеримость и несоизмеримость, но и для телесных фигура.
73. Невыразимость корня кубического уравнения в
иррациональных Евклида э^). Одним из замечательных открытий но
истории математики является нахождение Бальтазаром Бонком-
пани трактата Леонардо Пизап^кого Ю числах квадратных»
и двух Других, из которых один (Flos) содержит доказательство
того, что предложенное Иваном Лалэрмским кубическое уравнение
jt3_f-2x2+ 10x^20 {1)
не разрешается в нррациопальностях X книги чНачал><.
54) Woepke, Sur пп essai de determiner la nature de la ra-
cine d'une cq_iat_on du troisieme degre conterme dans un oavrage
de Leonardo de Pise (Jonrn. de Liouville, т, XIX {1854), стр.
401-456).


510 комментарии
Во-первых, Леонардо не берёт все построения с помощью
квадратного корня, во-вторых, идеи, положенные в. основу его
доказательства, относящегося к определимому числовому
уравнению, но могущего быть распространённым и на содержащие
буквенные параметры, например уравнения, решающие проблему
о трисекции угла, — все эги идеи гораздо проще, чем те,
которыми мы пользуемся в таких доказательствах, всегда используя
свойства неприводимых уравнений.
Вспке (Woepke) облекает доказательства Леонардо, данные
в евклидовой геометрической форме, в форму алгебраическую.
В этой последней форме, от которой можно перейти к
геометрической, все иррациональности Евклида приводятся к одной из-
форм
Y п, у т>, m -\-У п, Ym-f~}r п, Ут-~\гп
УУт^УК.
Леонардо сперва даёт доказательство, что уравнение (1)
неудовлетворяется целым, затем вообще рациональным числом,
причём, конечно, берёт только положительные числа, так как
отрицательные корни тогда не признавались. Эту часть читатель легко
может восстановить. В алгебраической форме всё сводится к пот-
становке вместо х упомянутых выше иррациональных выражений,
что х не равно \/ я, выводится из того, что из равенств?!
. & 2*2
. r_ ynyir
следовало бы, что t/ п-\-±—j-—— {первая бимедиаль) рав-
2|я т. ■. / —
няется вычету 2 — ~тк~ - "то ■* 11е равно т-\-\ я, выводится
из того, что в этом случае биномиаль
(m« + 2/n*+ 3/nn+ l0m "i"2п) + (Зот2 + Am-f- л + 10} V~n
была бы рациональной.
Таким же образом предположение x=zV m-\-Y n приводит
к 2т -\- 2У~п-\- У г -\- sV~n = 20, невозможность чего
доказывается тоже свклйдовскими приёмами, у т. д.


ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства •'-''
Книга седьмая 9
Книга восьмая . . . 42
Книга дсйят&я , . 70
Книга десятая 101
Комментарии к книге VII 257
Комментарии к книге VIII ,...-.,.. 304
Комментарии к книге IX, 324
Комментарии к книге X 35&
V