Классики естествознания. Математика, механика, физика, астрономия. Книги I-VI. Начала. - Мордухай-Болтов А.Д.

Автор: Мордухай-Болтов А.Д.

Теги: физика математика механика астрономия.

Год: 1948

Похожие

Классики естествознания. Математика, механика, физика, астрономия. Начала Евклида. Книги VII-X

Математика, механика, физика, астрономия

Начала Евклида. Книги I-VI

Начала Эвклида. Математика, физика, астрономия

Текст

‘ .--* r-4 TJ l»-* «Г-Г
КЛАССИ КИ
ЕСТЕСТВОЗ HАНИЯ

МАТЕМАТИКА
МЕХАНИКА
ФИЗИКА
АСТРОНОМ ИЯ

л Ж'
О Г И 3
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХ НИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
Л И Т Е РАТ У РЫ
москвл'лени и Г р А А • 19 < 8
I
1
I
I
I
1
1
I
I
I
I
I
I
I
I
1
I
1
I
I
1
i
I
I
I
I
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
КНИГИ i-vi
^Перевод с греческого
и комментарии
Д.Д.Мордух ай-Болтов ского
при редакционном
угасшим.
М. Я.В ы годского
14
И. Н. Весело вс ко го
С4®
I
I
I
I
I
I
I
I
I
1
I
I
I
I
1
1
I
1
I
1
L
п
I
1
1
1
1
I
1
1
N
о г и з
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИ KO-ТЕОРЕТИ Ч ЕСКОЙ
ЛИТЕ РАТ у РХ>1
МОСКВА’ЛЕНИЫ ГРДД.124g
1
1
I
1
I
I
1
I
I
11-5-4
' 4 4
4
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Значение «Начал» Евклида трудно переоценить. В те-
чение двух тысячелетий люди изучали геометрию по «На-
чалам» Евклида. Все систематические школьные курсы,
геометрии, непосредственно или через промежуточные звенья,
испытывают на себе влияние «Начал». Их перевод на
русский язык является поэтому не только данью класси-
ческому произведению древности, но и событием, весьма
важным для преподавания геометрии в школе.
Перевод «Начал» Евклида сделан мной с греческого
текста издания Гейберга. Я старался быть как можно ближе
к греческому тексту, порой даже в ущерб гладкости изло-
жения. Так же, как Петрушевский, Энриквес и Хизс, я даю
риторического Евклида, решительно отказываясь переклады-
вать что-либо из «Начал» на современную алгебраическую
символику, как это делают другие переводчики, в том
числе и Гейберг. Такая символика тесно связана с идеями,
совершенно чуждыми Евклиду.
Мой перевод предназначается не только для учителя,
который мог бы удовлетвориться вольным переводом вроде
перевода Ващенко-Захарченко, но и для лиц, ведущих ра-
боту по истории математики, заинтересованных в получении
неискажённого Евклида.
При переводе даны комментарии*); большая часть мате-
риала этих комментариев взята из моего архива, накоплсн-
*) В связи с изданием «Начал» Евклида на русском языке Из-
дательство одновременно публикует ряд статей (М. Я. Выгодского,
А. И. Маркушевича и др.), посвящённых «Началам». Эти статьи,
помещенные в первом, выпуске «Историко-математических иссле-
дований» (Гостехиздат,1948), помогут желающим более глубоко изу-
чить творение Евклида.
6
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
кого в моей многолетней историко-математической работе.
Многое является результатом собственных размышлений,
часть взята преимущественно из старинных комментариев,
о которых я буду упоминать в своих примечаниях.
В новейших больших изданиях «Начал», осуществлён-
ных Энриквесом и Хизсом, я нашёл мало материала, кото-
рый мог бы быть мной использован. Характер комментариев
Хизса совершенно другой: Хизс большой знаток истории
текста, но не глубокий знаток старинных комментариев
и учебников.
Между тем, главное содержание моих комментариев
состоит в описании различных евклидовых положений в эво-
люционирующем в продолжение 400 лет геометрическом
учебнике. Можно сказать, что я задаюсь целью дать «На-
чала» Евклида сначала такими, какими они были в прошлом,
т. е. в их первоначальной форме, а затем такими, какими
они становятся в процессе эволюции математической мысли,
превращаясь постепенно в школьный учебник геометрии.
Конечно, я рассчитываю дать не только 6 первых книг,
но все 15 книг, т. е. все «Начала» полностью, причём также
с комментариями, относя арифметические книги и книгу X
ко второму тому, а стереометрические книги к третьему.
На русском языке мы в прошедшем имели следующие
переводы:
1739. Сатаров. «Евклидовы элементы» (8 книг), сокра-
щённые проф. А. Фархварсоном, пер. с латинского.
Спб.
1769. Курганов. «Елементы геометрии» (8 книг), пер.
с французского. Спб.
1784. Пр. С у в о р о в и Вас. Н и к н т и н. «Евклидовых сти-
хий осмь книг», пер. с греческого. Спб. (2-ое изд.
1789).
1819. Петрушевский. Евклидовых Начал осемь книг,
пер. с греческого. Спб.
1835. Его же. Евклидовых Начал три книги: седьмая,
осьмая и девятая, содержащие общую теорию чисел
древних геометров, пер. с греческого.
1880. Ващенко-Захарченко. Начала Евклида с пояс-
нительным введением и толкованием. Киев.
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
7
Ващенко-Захарченко не указывает, сделан ли им пере-
вод с греческого или латинского языка. Перевод его очень
в)льный п местами неправильный. Есть основание предпо-
лагать, что он сделан с латинского издания Р. Симеона, до-
вольно свободно обращавшегося с текстом Евклида; отсюда
и взяты большей частью его комментарии, которые пополнены
замечаниями переводчика, в общем довольно поверхностными.
Нельзя, однако, отрицать, что издание это, несмотря на
свои недостатки, оказалось очень полезным.
Свой перевод я делал, не имея под рукой перевода
Петрушевского, написанного языком XVIII в. и, конечно,
в настоящее время совершенно неприемлемого. Но озна-
комление с ним уже по выполнении перевода убедило меня
в том, что этот перевод очень хороший; хотя местами по-
нимание Петрушевским текста не согласуется с моим, но
мне кажется, что ему нельзя отказать в хорошем понима-
нии Начал».
При чтении текста «Начал» нужно иметь в виду сле-
дующие обозначения.
Числа в круглых скобках ( ) указывают номер соответ-
ствующего комментария; кроме того, в круглых же скобках
даются ссылки на нужное предложение «Начал», на кото-
рое опирается доказательство в рассматриваемом месте
[напр.; «(предложение И книги I)» или просто «(предло-
жение И)», когда даётся ссылка на предложение той же
самой книги]; нужно иметь в виду, что соответствующие
ссылки сделаны Гейбергом и в самом тексте Евклида не
содержатся. В тексте Гейберга чертежи не нумерованы.
Нумерация их дана нами.
В квадратных скобках [ ] помещены слова, принадлеж-
ность которых Евклиду Гейберг считает сомнительной, но
не настолько, чтобы прямо исключить их из издаваемого
текста.
В угловатых скобках < > помещены добавления перевод-
чика,- необходимые для понимания иногда слишком сжатого
текста Евклида.
В кавычках « » помещены термины, представляющие
буквальный перевод специфической научной терминологии
Евклида во избежание недоразумений; например, прямая
8
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
«из центра», — это выражение стоит там, где мы просто
сказали бы «радиус»; поскольку Евклид последнего тер-
мина не употребляет, то приходится его термин ставить
в кавычки, чтобы читатель не подумал, что здесь идёт дело
вообще о какой-то проходящей через центр прямой.
Звёздочкой *) или цифрой, например *), 2) и т. д.,
обозначаются ссылки на подстрочные примечания.
Я надеюсь, что мои комментарии дадут толчок как
историко-математической, так и методической работе над
«Началами» Евклида; дальнейшие исследователи возможно
вскроют и мои ошибки, за указание которых я буду весьма
признателен.
Приношу свою благодарность проф. Марку Яковлевичу
Выгодскому за ряд ценных указаний и советов, использо-
ванных мною, и за любезную помощь в пользовании мало-
доступными источниками.
Приношу свою благодарность также проф. Ивану Ни-
колаевичу Веселовскому, затратившему совместно с проф-
М. Я. Выгодским большой труд на редактирование пере-
вода «Начал» Евклида и комментариев, в процессе которого
был исправлен ряд дефектов.
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
книги
б'4® I_VI

КНИГА ПЕРВАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ (1)
1. Точка (2) есть то, что не имеет частей*).
2. Линия (3) же — длина без ширины.
3. Концы же линии — точки.
4. Прямая (4) линия есть та, которая равно располо-
жена ио отношению к точкам на ней.
5. Поверхность (5) есть то, что имеет только длину
и ширину.
6. Концы же поверхности—линии.
7. Плоская поверхность (6) есть та, которая равно
расположена по отношению к прямым на ней.
8. Плоский же угол (7) есть наклонение друг к другу
двух линий **), в плоскости встречающихся ***) друг с дру-
гом, но не расположенных по <одной> прямой.
9. Когда же линии, содержащие угол, прямые, то угол
называется прямолинейным.
10. Когда же прямая, восстановленная на <другой>
прямой, образует рядом углы ****), равные между собой, то
,;) Точка у Евклида cr,p.sTov. Аристотель чаще пользуется ело*
г.ом чем or,|xslov, в противоположность Платону. Этим двум
греческим терминам соответствуют латинские signum и puncture,
причём второй термин более распространён.
Евклидово zliai; (склонение, наклон) Марцианом Капеллой
.4.в.’ IL 3'! пеРев°ДИтся словом inclinatio — наклонение.
У Евклида «касающихся» (а~~ор.г'ло>).
* Вместо евклидовых а! уатои Герои употребляет тер-
мин dvTtxsifxsyai — лежащие напротив друг друга. В русской ли-
1ературе установился термин «смежные углы».
12
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
каждый из равных углов есть прямой, а восставленная пря-
мая называется перпендикуляром *) к той, на которой она
восставлена (8).
11. Тупой угол — больший прямого (9).
12. Острый же — меньший прямого.
13. Граница**) есть то, что является оконечностью
чего-либо (10).
14. Фигура (11)***) есть то, что содержится внутри ка-
кой-нибудь или каких-нибудь границ.
- 15. Круг (12) есть плоская фигура, содержащаяся внутри
одной линии [которая называется окружностью ****)], на ко-
торую все из одной точки внутри фигуры падающие [на ок-
ружность круга] прямые равны между собой (13).
16. Центром же круга называется эта точка (14).
17. Диаметр же круга есть какая угодно прямая, про-
ведённая через центр и ограничиваемая с обеих сторон ок-
ружностью круга, она же и рассекает круг пополам.
18. Полукруг же есть фигура, содержащаяся между
диаметром и отсекаемой им <частыо> окружности. Центр
же полукруга — то же самое, что и у круга.
19. Прямолинейные (15) фигуры суть те, которые со-
держатся между прямыми, трёхсторонние *****) — между
тремя, четырёхсторонние же — четырьмя, многосторонние
же — которые содержатся между более чем четырьмя пря-
мыми.
*) У Евклида «отвесная» (х.яЭгго?— без члена). Латинский тер-
мин perpendicularis есть буквальный перевод этого слова; от него
произошёл н наш обычный термин — перпендикуляр.
** ) У Евклида говорится: «бро? lariv, б tivo? sc'i лгра?>. Слово
бро;— граница, пограничный камень, и гсёра?— край, оконечность,
не соответствуют математическому термину «предел».
Слово брс? употребляется и в смысле определения (definiiio;
в в смысле границы (terminus). Для греков определить какой-ни-
будь объект — значило отграничить его от других.
** *) Греческому слову cyrpia отвечают два латинских figura
и forma.
*♦**) Термин «окружность» (тркрёриа — буквально «обвод») Евклид
употребляет и в смысле дуги и в смысле целой окружности.
*****) У Евклида TfinZeupa. Переводить словом «треугольный»
нельзя; для этого имеется специальный термин tpiytovov, который
Евклид и употребляет ниже без особого определения.
КНИГА ПЕРВАЯ
13
20. Из трёхсторонних фигур равносторонний треуголь-
ник *) есть фигура, имеющая три равные стороны, равно-
бедренный же — имеющая только две равные стороны, раз-
носторонний**) же—имеющая три неравные стороны.
21. Кроме того, из трёхсторонних фигур прямоугольный
треугольник есть имеющий прямой угол, тупоугольный
же—-имеющий тупой угол, а остроугольный — имеющий
три острых угла.
22. Из четырёхсторонних фигур квадрат ***) есть та, ко-
торая и равносторонняя и прямоугольная, разносторонний ****)
же — прямоугольная, но не равносторонняя, ромб — равно-
сторонняя, но не прямоугольная, ромбоид (параллело-
грамм)— имеющая противоположные стороны и углы, равные
между собой, но не являющаяся ни равносторонней пи
прямоугольной.
*) У Евклида (абгЛгэроу Tpiycovov — буквально «равносторонняя
треугольная» (подразумевается «фигура»). Здесь и всюду мы бу-
дем переводить просто «треугольник».
** ) У Евклида tidbit, На русском языке нет подходящего
термина: косой или косоугольный обозначает нечто совсем другое.
Специальное название для разностороннего треугольника показы-
вает, что этот термин установился в конпе исторического разви-
тия понятия о треугольнике: первоначально рассматривались лишь
правильные треугольники, потом появились равнобедренные и,
наконец (возможно в эпоху Евклида), разносторонние, получив-
шие даже особое название. В современной школе при господстве
убеждения о необходимости перехода от общего к частному
в специатыюм термине для разностороннего треугольника нет
надобности.
** *) У Евклида -erpa-ftovov, т. е. просто «четыреугольник». Ясно,
что первым четыреугольником, с которым познакомилась геомет-
рия, был квадрат.
****)У Евклида — наш прямоугольник в общем смысле.
Этот термин встречается у Аристотеля. Интересно, что у Евклида
в «Началах» ни этого термина, ни других («ромб», «ромбоид»)
более уже не встречается. Свойства ромба вообще не изучаются;
вместо «ромбоида» же он пользуется термином «параллело-
грамм»— буквально «параллельнолинейная» (подразумевается фи-
гура). Прямоугольники рассматриваются во 2-й и следующих кни-
гах и называются «прямоугольными параллелограммами». У Ар-
химеда параллелограмм употребляется в смысле нашего прямо-
угольника.
14
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Остальные же четырёхсторонники будем называть тра-
пециями *) (16).
23. Параллельные **) суть прямые, которые, находясь
» одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны
неограниченно***), ни с той ни с другой «стороны» между
собой не встречаются****) (17).
ПОСТУЛАТЫ *****) (18)
Д зпустим:
1. Что от всякой точки до всякой точки <можно> про-
вести прямую линию.
2. И что ограниченную прямую <можно> непрерывно
продолжать по прямой******)(19).
3. И что из всякого центра и всяким раствором (20)
<может быть> описан круг (21).
4. (Акс. 10.) И что все прямые углы равны между
собой (22).
*) Трапеция (xpairetiov — буквально «столик») здесь понимается
в смысле четыреугольника общей формы. Герои различает -rpazsjia
(наши трапеции) и (трапецевидные) — трапеции в смы-
сле последнего определения Евклида. Интересно, что у Гиппо-
крата Хиосского употребляются трапеции и притом именно в на-
шем смысле слова. Возможно, что всё определение 22 в конеч-
ном счёте восходит к первому учебнику геометрии — гиппокра-
товым «Элементам», откуда они и были заимствованы Евкли-
дом непосредственно или через промежуточные обработки «Эле-
ментов».
** ) izapaUrP.ot = eu^tai лараЩХа? т. е. прямые, про-
ведённые друг подле друга.
***)Е'ц Snaipov — буквально «в неопределённость». Греки избе-
гали нашего понятия «бесконечность».
** **) aujMiwtsuoiv алХ-^Xaic; — совпадают, сталкиваются, встречают-
ся друг с другом, но ни в коем случае не пересекаются.
** ***) У Евклида аП^дта— требования; соответственно этому
Боэций говорит о «petitio» и «postulata».
******) У Евклида г-' ейЫа? — почти что в смысле наречия.
Петрушевский образно переводит это одним словом «впрямь»,
которое в современном языке, к сожалению, получило другой
смысл.
КНИГА ПЕРВАЯ
15
5. (Акс. 11.) И если прямая, падающая на две прямые,
образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух
прямых *), то продолженные эти две прямые неограниченно
встретятся с той стороны, где углы меньшие двух пря-
мых (23).
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ (24)
(Аксиомы)
1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые**)
будут равны.
3. И если ют равных отнимаются равные, то остатки
будут равны.
[4 . И если к неравным прибавляются равные, то целые
будут не равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой] (25).
7. И совмещающиеся друг с другом равны между со-
бой (26).
8. И целое больше части (27).
[9. И две прямые не содержат пространства (28).]
Предложение 1 (29, 30)
H.i данной ограниченной прямой построить равносто-
ронний треугольник.
Пусть данная ограниченная ***) прямая будет АВ
(черт. 1).
Требуется вот на прямой АВ построить равносторонний
треугольник.
*) Мы сказали бы «углы в сумме меньшие двух прямых».
Здесь и в дальнейшем мы сохраняем евклидов способ изложения.
** ) У Евклида та оХа, что вполне точно переводится «целые»,
а не «суммы»; Евклид не мыслит сложения величин и получае-
мых после сложения сумм.
** *) — лучше сказать «ограниченная», чем «конечная».
16
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Из центра А раствором АВ опишем круг BCD (постулат 3),
и далее из центра В раствором ВА опишем круг АСЕ
(постулат 3); и из точ-
ки С, в которой круги
пересекают друг дру-
га, проведём к точкам
А и В соединяющие
прямые СА, СВ (посту-
лат 1)*).
И поскольку точка
А есть центр круга
CDB, то АС равна АВ
(определение 15); далее,
поскольку точка В —
центр круга САЕ, то ВС равна ВА (определение 15). Но
уже было показано, что и СА равна АВ; значит, каждая из
СА, СВ равна АВ. Но равные одному и тому же равны и
между собой (аксиома 1); значит, и СА равна СВ.
Значит, три прямые СА, АВ, ВС равны между собой.
Значит, треугольник АВС равносторонний (определе-
ние 20) и построен на данной ограниченной прямой АВ
[значит, на данной ограниченной прямой построен равно-
сторонний треугольник], что и требовалось сделать (31,32).
Предложение 2
От данной точки отложить прямую, равную дан-
ной прямой.
Пусть данная точка будет А, заданная же прямая ВС;
требуется вот от точки А отложить прямую, равную дан-
ной прямой ВС (черт. 2).
*) У Евклида ало ~оо Г атдхгьои. . . tri та А, В aTj|isla iiteCeux&coaav
wlhiai ai ГА, ГВ — буквально «от точки С... к точкам А, В пусть
будут соединены (несуществующее на русском языке повелитель-
ное наклонение страдательного залога) прямые СА, СВъ. Этот
оборот нельзя сохранить в русском переводе, где «соединяются»
точки, а не прямые, но, с другой стороны, необходимо оттенить
различие между «проведём» прямую (г/'М и «соединим» (ёлз^ги^&о)).
В дальнейшем у Евклида большей частью употребляется сокра-
щённый оборот ai ГА, ГВ—-уже без упоминания
о прямых).
КНИГА ПЕРВАЯ
17
и DB продолжим пря-
D
а
L
Проведём от точки А к точке В соединяющую прямую
АВ и построим на ней равносторонний треугольник DAB
(предложение 1); по прямым DA
мые АЕ, BF, из центра В
раствором ВС ипишем круг
СОИ (постулат 3) и далее из
центра D раствором DH
^опишем круг HKL (посту-
р*лат 3).
'. Поскольку теперь точка
В — центр круга CHG, то ВС
Л^равна ВН (определение 15).
Далее, поскольку точка D —
_ центр круга HKL, то DL
равна DH (определение 15),
а у них DA равна DB. Значит,
остаток AL равен остатку ВН
(аксиома 3). Но уже доказано,
что и ВС равно ВН-, значит, каждая
равна ВН. Но равные одному и тому
С
£
Черт. 2.
AL
и ВС
и между
из прямых
же равны
собой (аксиома 1); зна-
чит, и AL равна ВС.
Значит, от данной
точки А отложена пря-
мая AL, равная задан-
ной ВС, что и требо-
валось сделать.
С, из них
Предложение 3
дут АВ и
буется от
С (черт. 3).
2 Евклид
Из двух заданных
неравных прямых от
большей отнять пря-
мую, равную меньшей.
Пусть данные две
неравные прямые бу-
большая пусть будет АВ\ вот тре-
болыпей АВ отнять прямую, равную меньшей
18
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
От точки А отложим АВ, равную прямой С (предло-
жение 2); и из центра А раствором АВ опишем круг ВЕР
(постулат 3).
И поскольку точка А—центр круга BEF, то АЕ равна
АВ; но и С равна АВ; значит, каждая из АЕ и С равна
АВ; так что АЕ равна С (аксиома 1).
Значит, из двух заданных неравных прямых АВ и С
от большей АВ отнята АЕ, равная меньшей С; это и тре- ._
бовалось сделать (33).
Предложение 4
Если два треугольника имеют по две стороны, рав-
ные каждая каждой, и по равному углу, содержащемуся
между равными прямыми, пю они будут иметь и осно-
вание, равное основанию, и один треугольник будет равен
другому, и остальные углы, стягиваемые равными сторо-
нами, будут равны, остальным углам каждый каждому.
Пусть ABC, DEF будут два треугольника, имеющих
две стороны АВ и АС равными двум сторонам BE и DF
каждая каждой, а именно, АВ равной BE, а АС равной
DF и угол ВАС равным EDF (черт. 4). Я утверждаю,
Черт. 4.
что и основание ВС будет равно основанию EF, и треуголь-
ник АВС будет равен треугольнику DEF, и остальные
углы, стягиваемые равными сторонами, будут равны осталь-
ным углам каждый каждому, а именно, угол АВС углу
DEF и угол АСВ углу BFE. Действительно, если треуголь-
ник АВС совмещается с треугольником DEF и кладутся
точка А на точку В, а прямая АВ на BE, то и точка В сов-
местится с Е вследствие того, что АВ равна BE; а так
как АВ совместилась с BE, то и прямая АС совместится
КНИГА ПЕРВАЯ
19
с DF вследствие того, что угол ВАС равен EDF-, так что
и точка С совместится с точкой F вследствие того, что АС
тоже равно DF.
Но В уже совместилась с Е; так что и основание ВС
совместится с основанием EF. Действительно, если при
совмещении точки В с Е, а С с F основание ВС нс сов-
местилось бы с EF, то две прямые будут содержать про-
странство (аксиома 9), что невозможно.
Значит, основание ВС совместится с EF и будет ему
равно; так что и весь треугольник АВС совместится со всем
треугольником DEF и будет ему равен, и остальные углы
совместятся с остальными и будут им равны, а именно,
угол АВС углу DEF и угол АСВ углу DFE.
Значит, если два треугольника имеют по две стороны
равными каждая каждой и по равному углу, содержаще-
муся между равными прямыми, то они будут иметь и ос-
нование, равное основанию, и один треугольник будет равен
другому, и остальные углы, стягиваемые равными сторонами,
будут равны остальным углам каждый каждому, что и тре-
бовалось доказать (34).
Предложение 5
У равнобедренных треугольников углы при основании
равны между собой, и по продолжении равных прямых
углы под основанием будут равны между собой *).
Пусть АВС будет равнобедренный треугольник, име-
ющий сторону АВ, равную стороне АС (черт. 5), и пусть
по прямым АВ, АС будут продолжены прямые BD, СЕ
(постулат 2).
Я утверждаю, что угол АВС равен углу АСВ, а угол
CBD углу ВСЕ.
Действительно, на BD возьмём произвольную точку
F, от большей АЕ отнимем АН, равную меньшей AF
(предложение 3), и соединим прямыми FC и НВ.
А Свойство равнобедренного треугольника, доказываемое
в прелэджении 5, по свидетельству Прокла, обнаружил ещё Фалес.
2*
20
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Поскольку тег.ерь AF равна АН, а АВ равна АС, то
вот две <прямые> FA, АС равны двум НА, АВ каждая
каждой; и они содержат общий угол FAH; значит, осно-
вание FC равно основанию НВ и треугольник AFC будет
равен треугольнику АНВ и остальные углы, стягиваемые
равными сторонами, будут равны
д остальным углам каждый каждо-
/\ му, а именно, угол ACF углу
/ \ АВН, а угол AFC углу АНВ
/ \ (предложение 4).
/ \ И поскольку вся AF равна
/ \ всей АН, и у них АВ равна АС,
5А—-------т0’ значит, и остаток BF равен ос-
/ \ татку СН (аксиома 3). Но доказа-
н0’ ЧТ0 и Равна вот две
прямые BF, FC равны двум пря-
jj/ мым СН и НВ каждая каждой; и
угол BFC равен углу СНВ, и
Черт. 5. основание у них общее ВС. Зна-
чит, и треугольник BFC равен
треугольнику СНВ, и остальные углы, стягиваемые равны-
ми сторонами, равны каждый каждому (предложение 4); зна-
чит, угол FBC равен углу НСВ, а угол BCF углу СВН.
Поскольку теперь доказано, что весь угол АВН равен
всему углу ACF, и у них СВН равен BCF, то следова-
тельно, и остаток АВС равен остатку АСВ (аксиома 3) и
они находятся при основании треугольника АВС. Доказа-
но же, что и угол FBC равен НСВ, и оба они под
основанием.
Значит, у равнобедренных треугольников углы при
основании равны между собой и по продолжении равных
прямых углы под основанием будут равны между собой.
Это и требовалось доказать (35, 36, 37).
Предложение 6
Если в треугольнике два угла равны между собой,
то будут равны между собой и стороны, стягивающие
равные углы.
КНИГА ПЕРВАЯ
21
Пусть АВС будет треугольник, имеющий угол АВС,
равный углу АСВ; я утверждаю, что и сторона АВ равна
стороне АС (черт. 6).
Действительно, если <сторона> АВ не равна АС, то одна
из них больше другой. Пусть будет больше АВ; от боль-
шей АВ отнимем DB, рав-
ную меньшей АС, и соеди-
ним ос.
Поскольку теперь DB
равна АС, а ВС общая, и
вот две <прямые> DB, ВС
равны двум АС, СВ каждая
каждой, и угол DBC равен
углу АСВ; значит, основание
DC равно основанию АВ, и
треугольник DBC будет ра-
вен треугольнику АСВ (пред-
ложение 4), меньший боль-
шему, что нелепо (аксиома 8).
Значит, АВ не будет не равной АС; значит, она ей равна.
Значит, если в треугольнике два угла равны между
собой, то будут равны между собой и стороны, стягиваю-
щие равные углы, что и требовалось доказать (38).
Предложение 7
На одной и той же прямой нельзя построить двух
прямых, равных каждая каждой двум другим прямым
и (уходящихсяу одни в одной точке, другие в дру-
гой, так, чтобы эти прямые находились бы по одну
сторону и имели бы одни и те же концы с первоначаль-
ными прямыми.
Действительно, если возможно, пусть на одной и той
же прямой АВ будут построены две прямые AD и DB,
равные каждая каждой двум другим прямым АС и СВ,
сходящиеся одни в одной точке С, другие в другой D,
находящиеся по одну сторону и имеющие одни и те же
концы, так что С А равнялось бы DA, имеющей с ней тот
же конец А, а СВ равнялось бы DB, имеющей с ней тот
же конец В; соединим CD. ...
22
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Поскольку теперь АС равна AD, и угол ACD равен
углу ADC (предложение 5), значат, угол ADC больше
угла DCB-, значит, и подавно угол CDB больше угла DCB.
Далее, поскольку СВ рав-
на DB, и угол CDB ра-
вен углу DCB. Но дока-
зано, что он и подавно
больше его; это же не-
возможно.
Значит, на одной и
той же прямой нельзя по-
В строить двух прямых, рав-
Черт. 7.
дящихся одни в одной точке
эти прямые находились
одни и те же концы с
требовалось доказать.
ных каждая каждой двум
другим прямым и схо-
другпе в другой, так, чтобы
бы по одну сторону и имели
бы
первоначальными прямыми, что и
Предложение 8
Если два треугольника имеют две стороны, равные
каждая каждой двум сторонам, имеют также и основа-
Д D
Черт. 8.
ние, равное основанию, то они будут иметь и угол
равный углу, заключённому между равными прямыми.
Пусть АВС и DEF будут два треугольника, имеющих
две стороны АВ, АС, равные каждая каждой двум сторо-
нам DE, DF, именно, АВ, равную DE, и АС, равную DF;
КНИГА ПЕРВАЯ
23
пусть они имеют также и основание ВС, равное основа-
нию EF; я утверждаю, что и угол ВАС будет равен углу
EDF.
Действительно, когда треугольник АВС налагается на
треугольник DEF и помещаются точка В на точку Е и
прямая ВС на прямую EF, то и точка С совместится с F
вследствие того, что ВС равна EF; когда же вот ВС
совместилась с EF, то совместятся if ВА и СА с ED
и DF.
Действительно, если основание ВС совместится с осно-
ванием EF, а стороны ВА и АС не совместятся с ЕЕ)
и DF, но уклонятся в сторону, как, например, £7/ и HF,
то на одной и той же прямой будут построены другие
две прямые, равные этим двум прямым каждая каждой,
< сходящиеся > одни в одной точке, другие в другой
точке, находящиеся по одну сторону и имеющие те же
концы.
Но'они не могут быть построены (предложение 7);
значит, при совмещении основания ВС с основанием EF
будут совмещаться и стороны ВА, АС со сторонами ED
и DF. Значит, они совмещаются; так что и угол ВАС совме-
стится с углом EDF и будет ему равен.
Значит, если два треугольника име-
ют две стороны, равные каждая каж-
дой двум сторонам, и основание, рав-
ное основанию, то они будут иметь и
угол, равный углу, заключённому меж-
ду равными прямыми, что и требова-
лось доказать (39).
Предложение 9
Данный, прямолинейный угол рас-
сечь пополам.
Пусть данный прямолинейный угол
будет ВАС; требуется рассечь его
пополам.
Возьмём на АВ произвольную точку D, от АС (черт. 9)
отнимем АЕ, равную AD, соединим DE, построим на DE
равносторонний треугольник DEF (предложение 1) и сое-
24
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
диним AF-, я утверждаю, что угол ВАС делится пополам
прямой AF.
Действительно, поскольку AD равно АЕ, AF же общая,
вот две < стороны > DA, AF равны двум ЕА, AF каждая
каждой. И основание DF равно основанию EF; значит,
угол DAF равен углу EAF (предложение 8).
Значит, данный прямолинейный угол ВАС рассечён
пополам прямой AF, что и требовалось сделать (40, 41).
Предложение 10
Данную ограниченную *) прямую рассечь пополам.
Пусть данная ограниченная прямая будет АВ\ тре-
буется ограниченную прямую АВ рассечь пополам (черт. 10).
С Построим на ней равносто-
Жронний треугольник АВС (пред-
ложение 1) и рассечём угол
АСВ пополам прямой СО (пред-
ложение 9); я утверждаю, что
прямая АВ рассекается попо-
лам в точке D.
Действительно, поскольку
д АС равно СВ, a CD общая,
вот две стороны АС и CD
Черт. 10. равны двум сторонам ВС и CD
каждая каждой; и угол ACD
равен углу BCD\ значит и основание AD равно основанию
BD (предложение 4).
Значит, данная ограниченная прямая АВ рассечена в
точке D пополам, что и требовалось сделать (42).
Предложение 11
К датой прямой из заданной на ней точки провести
прямую под прямыми углами **).
*) —лучше сказать «ограниченная», чем «конечная».
** ) Слова, отвечающего перпендикуляру, у Евклида нет.
В предложении 11 он говорит: ksoq бр&а? — под пря-
мыми углами, а в 12-м хаЭетоу suDslav — отвесную прямую.
Из последнего термина произошёл и наш «катет».
КНИГА ПЕРВАЯ
25
Пусть данная прямая будет АВ, а заданная на ней
точка С. Требуется вот из точки С к прямой АВ провести
прямую под прямыми углами (черт. И).
Возьмём на АС произвольную точку D, отложим СЕ,
равную CD (предложение 3), построим иа DE равносто-
ронний треугольник FDE
(предложение 1) и соединим £
FC. Я утверждаю, что к
данной прямой АВ из задан- / \
ной иа ней точки С под пря- / \
мыми углами проведена пря- / \
мая FC. / \
Действительно, посколь- / \
ку DC равна СЕ, a CF об- / \
щая, вот две <стороны> DC, -—±-----------------т—т
CF равны двум ЕС и CF,
каждая каждой; и основа- Черт. И.
ине DF равно основанию FE;
значит, угол DCF равен ECF (предложение 8) и они
смежны.
Если же прямая, восставленная на прямой, образует
смежные равные между собой углы, то каждый из равных
углов будет прямым (определение 10); значит, каждый из
углов DCF и FCE прямой.
Значит, к данной прямой АВ из заданной на ней точки
С под прямыми углами проведена прямая FC, что и тре-
бовалось сделать (43, 44, 45).
Предложение 12
К данной неограниченной прямой из заданной точки,
на ней не находящейся, провести перпендикулярную пря-
мую линию*}.
Пусть данная неограниченная прямая есть АВ, а дан-
ная не находящаяся иа ией точка С. Вот требуется к дан-
ной неограниченной прямой АВ из данной не находящейся
*) Данное в этом предложении решение задачи приписывается
Проклом Энопиду Хиосскому (геометр V века, до н. э.).
26
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
на ней точки С провести перпендикулярную прямую линию
(черт. 12).
Возьмём по другую сторону прямой АВ какую-нибудь
точку D, из центра С раствором CD опишем круг EFH
(постулат 3); прямую ЕН рассечём пополам в точке О
(предложение 10)и со-
единим СН, СО, СЕ
(постулат 1).
Я утверждаю, что
к данной неограничен-
ной прямой АВ из дан-
ной не находящейся на
ней точки С проведена
перпендикулярная пря-
мая СО.
Действительно, по-
скольку НО равно ОЕ,
а ОС — общая сторо-
HG, ОС равны двум EG и ОС каж-
основание СН равно основанию СЕ
вот две стороны
каждой; и
на,
да я
(определение 15); значит, и угол СОН будет равен углу
EGC (предложение 8), и они смежные.
Если же прямая, восставленная на прямой, образует
равные между собой смежные углы, то каждый из равных
углов прямой, и восставленная прямая называется пер-
пендикулярной к той, на которой она восставлена (опре-
деление 10).
Значит, к данной неограниченной прямой АВ из задан-
ной на ней не находящейся точки С проведена перпенди-
кулярная прямая СО; это и следовало сделать.
Предложение 13
Если прямая, восставленная на" прямой, образует
углы, то она будет образовывать или два прямых или
(вместе У равные двум прямым*).
*) У Евклида Sus'iv бсЭаГ? Ггз?. Было бы очень вольно пере-
вести <в сумме двум прямым». Мы переводим «вместе», чтобы
избежать возможного недоразумения, что каждый из углов прямой.
КНИГА ПЕРВАЯ
27
Пусть какая-нибудь прямая АВ, восставленная иа пря-
мой CD, образует углы СВА *) и ABD. Я утверждаю,
что углы СВА и ABD или прямые или < вместе > равны
двум прямым (черт. 13).
Теперь, если СВА равен ABD, то они суть два пря-
мых. Если же нет, то проведём
углами [к прямой] CD прямую
BE; значит, углы СВЕ, EBD —
два прямых; и поскольку СВЕ
равен двум СВА, АВЕ, то при-
бавим общий угол EBD; зна-
чит, углы СВЕ, EBD равны
трём углам СВА, ABE, EBD.
Д алее, поскольку DBA равен
двум DBE, ЕВА, то прибавим
общий АВС; значит, углы ОВД,
АВС равны трём DBE, ЕВА,
и углы СВЕ, EBD оказались
из точки В под прямыми
АВС (аксиома 2). Но
равными тем же самым
трём; равные же одному и тому же равны и между собой;
и значит, углы СВЕ, EBD равны DBA, АВС; но СВЕ, EBD
суть два прямых; и значит, DBA, АВС < вместе > равны
двум прямым.
Значит, если прямая, восставленная на прямой, обра-
зует углы, то она будет образовывать или два прямых
или < вместе > равные двум прямым, что и требовалось
доказать (46).
Предложение 14
Если с некоторой прямой в какой-нибудь её точке
две прямые, расположенные не по одну и ту же сторону,
образуют смежные углы, равные < вместе > двум пря-
мым, то эти прямые по отношению друг к другу 6ydvm
по одной прямой **).
Действительно, пусть с некоторой прямой АВ в какой-
нибудь её точке В две прямые ВС, BD, расположенные
*) У Евклида угол обозначается ие просто ГВА, но йпб
ГВА — под ГВА, т. е. угол, образованный прямыми ГВ и ВА.
** ) У .Евклида It:' eudelat tcov-rai аЩХац at su&slai — прямые
будут между собой «по прямой>.
28
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
не по одну и ту же сторону, образуют смежные углы
ABC, ABD, равные < вместе> двум прямым; я утвер-
ждаю, что BD будет по одной прямой с ВС.
Действительно, если BD не будет по одной прямой
с ВС, то пуср> по прямой с ВС будет BE.
Поскольку теперь прямая АВ восставлена на прямой
СВЕ, то, следовательно, углы АВС, АВЕ равны двум пря-
мым (предложение 13); но и углы
f ABC, ABD равны двум прямым;
\ / значит, углы СВА, АВЕ равны
\ / углам СВА, ABD. Отнимем общий
\ / угол СВА\ значит, оставшийся угол
\ / АВЕ равен оставшемуся ABD,
С--------ЦD меньший большему; это же невоз-
можно. Значит, BE не будет по
Черт. 14. прямой с ВС. Подобным вот об-
разом докажем, что < не будет>
и никакая другая, кроме BD; значит, СВ будет по пря-
мой с BD.
Значит, если с некоторой прямой в какой-нибудь её точке
две прямые, расположенные не по одну и ту же сторону,
образуют смежные углы, равные < вместе > двум прямым,
то эти прямые по отношению друг к другу будут по од-
ной прямой, что и требовалось доказать (47).
Предложение 15
Если две прямые пересекаются, то образуют углы
через вершину *), равные между собой.
Действительно, пусть две прямые АВ, CD пересекаются
в точке Е.
Я утверждаю, что угол АЕС равен углу DEB, угол
же СЕВ равен AED (черт. 15).
Действительно, поскольку прямая АЕ, восставленная
на прямой CD, образует углы СЕА и AED, то значит,
углы СЕА и AED вместе равны двум прямым (предложе-
*) У Евклида xata xop-jp-qv соответствует нашим «верти-
кальным» углам. Специального определения этого термина у Ев-
клида нет. Согласно Евдему, доказываемая теорема принадлежит
Фалесу.
КНИГА ПЕРВАЯ
29
ние 13). Далее, поскольку прямая DE, восставленная на пря-
мой АВ, образует углы AED и DEB, то, значит, углы AED
и DEB вместе равны двум прямым (предложение 13).
Но и углы СЕА и AED
оказались равными двум пря-
мым; значит, углы СЕАи AED
равны AED и DEB. Отнимем
общий угол AED; значит, ос-
таток СЕА равен остатку BED
(аксиома 3). Подобным вот об-
разом будет доказано, что и
углы СЕВ и DEA равны.
Значит, если две прямые пересекаются, то образуют
углы через вершину, равные между собой, что и требова-
лось доказать (48).
[Следствие.
Из этого ясно, что если две прямые пересекают друг
друга, то они при пересечении будут образовывать углы,
равные вместе четырём прямым *).]
Предложение 16
Во всяком треугольнике при продолжении одной из
сторон внешний угол больше каждого из внутрен-
них, <умуУ противоле-
жащих.
Пусть треугольник бу-
дет АВС и пусть одна
его сторона ВС будет
продолжена до D. Я ут-
верждаю, что внешний
угол ACD больше каждо-
го из внутренних проти-
волежащих углов СВА и
ВАС.
Рассечём АС пополам в Е и соединящую BE продол-
жим по прямой до F; отложим EF, равную BE (предло-
жение 3), соединим FC и проведём АС до Н (черт. 16).
*) Это следствие (ropers), имеющееся не во всех рукописях
Евклида, Гейберг считает позднейшей вставкой. -
30
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Поскольку теперь АЕ равна ЕС, а BE равна EF и
вот две <стороны> АЕ, ЕВ равны двум СЕ, EF каждая
каждой; и угол ЛЕВ равен углу FEC, ибо <он располо-
жен> через вершину (предложение 15). Значит, и основа-
ние АВ равно основанию FC, и треугольник АВЕ ра-
вен треугольнику FEC, и остальные углы равны каж-
дый каждому остальным углам, стягиваемым равными
сторонами (предложение 4); значит, угол ВАЕ равен
углу ECF.
Но угол ECD больше угла ECF (аксиома 8); зна-
чит, угол ACD больше ВАЕ. Таким же образом, <ес-
ли> разделить ВС пополам, будет доказано, что
и угол ВСН, т. е. ACD (предложение 15), боль-
ше АВС.
Значит, во всяком треугольнике при продолжении одной
из сторон внешний угол больше каждого из внутренних
противолежащих, что и требовалось доказать.
Предложение 17
Во всяком треугольнике два угла, взятые вместе при
всяком их выборе, меньше двух прямых.
Пусть треугольник будет АВС; я утверждаю, что в тре-
угольнике АВС два угла,
А взятые вместе при всяком
уч их выборе, меньше двух пря-
\ X. мых (черт. 17).
I X. Действительно, продол-
1 X. жим ВС до D (постулат 2).
\ X. И поскольку в треуголь-
\ X. нике АВС угол ACD внеш-
\ X. ний, то он больше внутрен-
g' X---------d него противолежащего АВС
(предложение 16). Приба-
ЧеРт- И. вим общий угол АСВ; зна-
чит, ACD и АСВ <вместе>
больше, чем АВС и ВСА (аксиома 4). Но ACD и АСВ
<вместе> равны двум прямым (предложение 13); значит,
АВС и ВСА меньше двух прямых. Таким же образом
КНИГА ПЕРВАЯ
31
докажем, что и углы ВАС, АСВ меньше двух прямых, и
также углы CAB, АВС.
Значит, во всяком треугольнике два угла, взятые при
всяком их выборе, меньше двух прямых, что и требова-
лось доказать.
имеющий сторону АС,
угол ADB равен углу
Но
Предложение 18
Во всяком треугольнике большая сторона стягивает
больший угол.
Пусть треугольник будет АВС,
ббльшую чем АВ. Я утверж-
даю, что и угол АВС больше
угла ВСА (черт. 18).
Действительно, посколь-
ку АС больше, чем АВ, от-
ложим AD, равную АВ, и
соединим BD.
И поскольку в треуголь-
нике BCD угол ADB внеш-
ний, то он больше внут-
реннего ему противолежа-
щего DCB (предложение 16).
ABD, поскольку и сторона АВ равна AD (предложение 5);
значит, и угол ABD больше АСВ; значит, и подавно угол
АВС больше АСВ (аксиома 8).
Значит, во всяком треугольнике большая сторона стя-
гивает больший угол, что и требовалось
доказать (49).
Предложение 19
Во всяком треугольнике больший
угол стягивается и большей стороной.
Пусть треугольник будет АВС, имею-
щий угол АВС, больший угла ВСА.
Я утверждаю, что и сторона АС больше
стороны АВ (черт. 19).
если это не так, то АС или равна АВ
Действительно,
или меньше. Но теперь АС не равна АВ, ибо тогда и

32
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
угол АВС был бы равен АСВ (предложение 5); но он не
<равен>. Значит, АС не равна АВ. Но также АС и
не меньше АВ, ибо тогда и угол АВС был бы меньше АСВ
(предложение 18). Но он не <меньше>; значит, АС не
меньше АВ.
Доказано же, что <ДС> и не равна <АВ~>; значит, АС
больше АВ.
Значит, во всяком треугольнике больший угол стя-
гивается и большей стороной, что и требовалось дока-
зать (50).
Предложение 20
Во всяком треугольнике две стороны, взятые вместе
при всяком их выборе, больше оставшейся.
Пусть треугольник будет АВС. Я утверждаю, что
в треугольнике АВС две стороны, взятые вместе при вся-
2? ком их выборе, больше третьей,
А а именно, ВА и АС больше ВС,
/1 АВ и ВС больше АС, ВС и СА
/ I больше АВ (черт. 20).
Л I Действительно, проведём ВА
/ \ / до точки D, отложим AD, равную
/ \ / СА (предложение 3), и соеди-
// \ / ним DC.
/___________У]? Поскольку теперь DA равна
АС, то и угол ADC равен углу
Черт. 20. ACD (предложение 5); значит,
угол BCD больше угла ADC
(аксиома 8); и поскольку треугольник DCB имеет
угол BCD больше угла BDC, а больший угол стяги-
вается и большей стороной, значит, DB больше ВС (пред-
ложение 19). Но DA равна АС; значит, ВА и АС <вме-
сте> больше ВС; подобным вот образом докажем, что
и АВ и ВС <вместе> больше СА, а ВС и СА <вместе>
больше АВ.
Значит, во всяком треугольнике две стороны, взятые
вместе при всяком их выборе, больше, чем третья; это и
требовалось доказать (51).
КНИГА ПЕРВАЯ
33
Предложение 21

Если в треугольнике на одной из сторон от концов
восставлены, будут внутрь две прямые, то восстав-
ленные прямые (вместе^ будут меньше двух остальных
сторон треугольника, но будут заключать больший угол.
Действительно, пусть в треугольнике АВС на одной
из сторон ВС будут от концов В, С восставлены внутрь
две прямые BD и DC; я утверждаю, что BD и DC <вме-
сте> меньше остальных двух
но заключают угол BDC,
Действительно, прове-
дём BD до Е. И пос-
кольку во всяком тре-
угольнике две стороны
<вместе> больше остав-
шейся (предложение 20),
то значит, в треугольни-
ке АВЕ две стороны АВ
и АЕ больше BE; приба-
вим общую прямую ЕС\
значит, ВА и АС <вместе>
Далее, поскольку в треугольнике CED две стороны СЕ
и ED <вместе> больше CD, то прибавим общую DB; зна-
чит, СЕ и ЕВ больше CD и DB.
Но ВА и АС по доказанному больше, чем BE и ЕС;
значит, и подавно ВА и АС больше BD и DC.
Далее, поскольку во всяком треугольнике внешний
угол больше внутреннего и противолежащего (предложе-
ние 16), то значит, в треугольнике CDE внешний
BDC больше CED. Вследствие того же тогда и в
угольнике АВЕ внешний угол СЕВ больше ВАС. Но
BDC по доказанному больше СЕВ; значит, и подавно
больше ВАС.
Значит, если в треугольнике на одной из сторон от
концов восставлены будут внутрь две прямые, то восставлен-
ные прямые <вместе> меньше двух остальных сторон тре-
угольника, но заключают больший угол, что и требовалось
Доказать.
3 Евклид
сторон треугольника ВА и АС,
больший, чем ВАС (черт. 21).
больше BE и ЕС (аксиома 4).
угол
тре-
угол
BDC

/
34
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 22
Из трёх прямых, которые равны трём данным [пря-
мым}, составить треугольник-, нужно, однако, чтобы две
(прямые, взятые, вмелпе';, при всяком их выборе были бы .
больше оставшейся [вследствие того, что вз всяком тре-
угольнике две стороны, (взятые вместе^ при всяком их ,
выборе, больше оставшейся}.
Пусть три данные прямые будут А, В, С, из них две
<взятые вместе> при всяком их выборе пусть будут больше
/? оставшейся, а имен- ...
g________, но, А и В больше
С---------- С; А и С больше В, '
~"^К и затем В иС боль- .....
/ ше тРебуется вот
/ / / I \ \ из прямых, равных
/ ! / \ \ \ А, В, С, составить
#[______I / 'I £ треугольник (черт.
Г ГА н / Г 22).
\ \ / / Проведём какую-
« \ X. / У нибудь прямую НЕ,
ограниченную в D
и не ограниченную в
Черт. 22. сторону Е, и отло-
жим DF, равную А,
затем FH, равную В, и НО, равную С (предложение 3);
и из центра F раствором FD опишем круг DKL (посту-
лат 3); затем из центра Н раствором НО опишем круг
KLG (постулат 3) и соединим KF и КН. Я утверждаю,
что из трёх прямых, равных А, В, С, составлен треуголь-
ник KFH.
Действительно, поскольку точка F — центр круга DKL,
то FD равна FK (определение 15); но FD равнаД. И, зна-
чит, KF равна А (аксиома 1).
Затем, поскольку точка Н—центр круга LKG, то НО
равна НК (определение 15); но НО равна С (аксиома 1);
значит, и КН равна С. Но и FH равна В; значит, три прямые
KF, FH и НК равны трём прямым А, В, С.
F' •« )
КНИГА ПЕРВАЯ
35
Значит, из трёх прямых KF, FH, НК, которые равны
трём заданным прямым А, В, С, составлен треугольник
KFH, что и требовалось сделать (52).
Предложение 23
На данной прямой при данной её точке постпоить
прямолинейный угол, равный данному прямолинейному
углу.
Пусть данная прямая будет АВ, точка же на ней А и за-
данный прямолинейный угол DCE-, требуется вот на дан-
ной прямой АВ, при точке её А, построить прямолинейный
угол, равный данному (черт.
23) прямолинейному углу
ОСЕ.
Возьмём на каждой из
прямых CD и СЕ какие-ни-
будь точки D и Е и соеди-
ним DE-, и из трёх прямых,
которые равны трём CD,
DE, СЕ, составим треуголь-
ник AFH (предложение 22),
так, чтобы CD была равна
AF, СЕ равна АН и затем
DE равна FH (предложе-
ние 22).
Поскольку теперь две
прямые DC, СЕ равны двум
прямым FA и АН каждая каж-
дой, и основание DE равно основанию FH, то, значит, угол
DCE будет равен углу FAH (предложение 8).
Значит, на данной прямой АВ при точке её А построен
прямолинейный угол ЕАН, равный данному прямолинейному
углу DCE, что и требовалось сделать (53).
Предложение 24
Если два треугольника имеют две стороны, равные
двум сторонам каждая каждой, но заключённый меж-
ду равными сторонами угол (в одному больше, (чем в
3*
36
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
другому, то и основание (в первому будет больше основа-
ния (во второму.
Пусть ABC, DEF будут два треугольника, имеющих
АВ, АС, равные двум сторонам DE, DF каждая каждой,
а именно, АВ, равную DE, АС, равную DF, угол же при
А пусть будет больше угла при D; я утверждаю, что и
основание ВС больше основания EF (черт. 24).
прямые ВА, АС равны
Действительно, по-
скольку угол ВАС больше
угла EDF, построим на
прямой DE при точке
её D угол EDH, равный
углу ВАС (предложе-
ние 23), отложим DH,
равную каждой из АС и
DF (предложение 3), и
соединим ЕН и FH. По-
скольку теперь АВ равна
DE, АС же DH, и вот две
двум ED, DH каждая каждой; и
угол ВАС равен углу EDH-, значит, и основание ВС равно
основанию ЕН (предложение 4). Далее, поскольку DF
равна DH, и угол DHF равен углу DFH (предложе-
ние 5); значит, угол DFH больше EHF-, значит, и подавно
угол EFH больше EHF. И поскольку EFH есть треуголь-
ник, имеющий угол EFH больший, чем EHF, больший же
угол стягивает большая сторона (предложение 19), значит,
и сторона ЕН больше EF. Но ЕН равна ВС-, значит, и
ВС больше EF.
Значит, если два треугольника имеют две стороны,
равные двум сторонам каждая каждой, заключённый же
между равными сторонами угол <в одном> больше, <чем
в другом>, то и основание <в первом> будет больше ос-
нования <во втором>, что и требовалось доказать (54).
Предложение 25
Если два треугольника имеют две стороны, равные двум
сторонам каждая каждой, основание же (в одному
больше, чем основание (в другому, то и угол, заклю-
КНИГА. ПЕРВАЯ
37
пенный между равными прямыми (в первому, больше
угла (во второму.
Пусть ABC, DEF будут два треугольника, имеющих
две стороны АВ, АС, равные двум сторонам DE, DF каж-
дая каждой, а именно, АВ, равную DE, и АС, равную DF\
основание же ВС пусть будет больше основания EF\ я ут-
верждаю, что и угол ВАС больше угла EDF (черт. 25).
Действительно, если
это не так, то он или ра-
вен ему или меньше; но
равным углу EDF угол
ВАС не будет; ибо <тог-
да> и основание ВС было
бы равно основанию EF
(предложение 4); но оно
не <равно>; значит, и
угол ВАС не равен углу
EDF. Но также угол
ВАС не будет и меньше
угла EDF-, ибо <тогда>
и основание ВС было бы
EF (предложе-
меньше основания
ние 24), но оно не <меньше>; значит, и угол ВАС не
меньше EDF. Но доказано, что он и не равен; значит,
угол ВАС больше угла EDF.
Значит, если два треугольника имеют две стороны,
равные двум сторонам каждая каждой, основание же
<в одном> больше, чем основание <в другом>, то и угол,
заключённый между равными прямыми <в первом>, больше
угла <во втором), что и требовалось доказать (55).
Предложение 26
Если два треугольника имеют два угла, равных двум
углам каждый каждому, и одну сторону, равную одной
стороне, либо заключающейся между равными углами,
либо стягивающей один из равных углов, то они будут
иметь и остальные стороны равными остальным сто-
ронам [каждая каждой] и оставшийся угол оставше-
муся углу.
38
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть будут два треугольника ABC, DEF, имеющих
два угла АВС, ВСА равные двум углам DEF, EFD каж-
дый каждому, а именно, угол АВС углу DEF и уГол ВСА
углу EFD; пусть также они имеют одну сторону, равную
одной стороне, сперва пусть заключающуюся между рав-
ными углами, а именно, <сторону> ВС, <р;вную> EF
(черт. 26). Я утверждаю, что они будут иметь и остальные
стороны равными остальным сторонам каждая каждой, а
именно, АВ <стороне> DE, АС <стороне> DF и оставшийся
угол оставшемуся углу, а именно, угол ВАС углу EDF.
Действительно, если АВ не равна DE, то одна из них
будет большей. Пусть большая сторона будет АВ', отло-
жим ВН, равную DE, и соединим НС.
Поскольку теперь ВН равна DE, а ВС равна EF, то вот
две стороны ВН, ВС равны двум DE, EF каждая каждой;
и угол НВС равен углу DEF; значит, основание НС равно
основанию DF, и треугольник НВС равен треугольнику
DEF, и остальные углы равны остальным углам, стягива-
емым равными сторонами (предложение 4); значит, угол
НСВ равен углу DFE. Но угол DFE предполагается рав-
ным углу ВСА; значит, и угол ВСН равен ВСА, т. е.
меньший большему, чего не может быть (аксиома 8). Зна-
чит, не может АВ быть не равной DE; значит, она равна.
Но и ВС равна EF; вот две стороны АВ, ВС равны двум
DE, EF каждая каждой; и угол АВС равен DEF; значит,
основание АС равно основанию DF и оставшийся угол ВАС
равен оставшемуся углу EDF (предложение 4).
КНИГА ПЕРВАЯ
39
Но вот пусть далее будут равны стороны, стягиваю-
щие равные углы, как АВ и DE; я утверждаю далее, что
и остальные стороны будут равны остальным сторонам,
а именно, АС равна DF, ВС же EF, и, кроме того, остав-
шийся угол ВАС <равен> оставшемуся углу EDF.
Действительно, если ВС не равна EF, то одна из них
будет большей. Если это возможно, пусть большей будет
ВС; отложим ВО равной EF и соединим АО.
И поскольку ВО равна EF, АВ же ОЕ, и вот две сто-
роны АВ, ВО равны двум DE, EF каждая каждой; и за-
ключают равные углы; значит, основание АО равно осно-
вию DF и треугольник АВО равен треугольнику DEF, и
остальные углы будут равны остальным углам, стягиваемым
равными сторонами (предложение 4). Значит, угол BGA
равен углу EFD.
Но угол EFD равен углу ВСА; вот в треугольнике
АОС внешний угол ВОА равен внутреннему и противоле-
жащему ВСА, чего быть не может (предложение 16). Зна-
чит, ВС не будет не равной EF; значит, она равна. Но и
АВ равна DE, вот две стороны АВ, ВС равны двум DE,
EF каждая каждой и заключают равные углы. Значит,
основание АС равно основанию DF, и треугольник АВС
равен треугольнику DEF, и оставшийся угол ВАС равен
оставшемуся углу EDF.
Значит, если два треугольника имеют два угла, равных
двум углам каждый каждому, и одну сторону, равную од-
ной стороне, либо заключающейся между равными углами,
либо стягивающей один из равных углов, то они будут
иметь и остальные стороны равными остальным сторонам
[каждая каждой], и оставшийся угол оставшемуся углу,
что и требовалось доказать (56, 57).
Предложение 27
Если прямая, падающая на *) две прямые, образует
накрестлежащие углы, равные между собой, то прямые
будут параллельны друг другу.
У Евклида — впадаю, падаю на, . . ..
40
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть прямая EF, падающая на две прямые АВ и СО,
образует накрестлежащие углы AEF и EFD, равные между
собой; я утверждаю, что АВ параллельна CD (черт. 27).
Действительно, если это не так, то АВ и CD продол-
женные сойдутся или со стороны В, D или со стороны
А, С. Продолжим их и пусть они сойдутся со стороны В, D
в точке Н. Вот в тре-
д________f,-/ в угольнике НЕЕ внеш-
“ у ний угол AEF равен
/ внутреннему ему про-
/ тиволежащему EFH\
/ это же невозможно
С F----------(предложение 16); зна-
/ D чит, АВ, CD продол-
' женные не сойдутся со
Черт. 27. стороны В, D. Таким
же вот образом дока-
зано, что не <сойдутся они> и со стороны А, С; прямые же,
которые ни с какой стороны не сходятся, параллельны
(определение 23); значит, АВ параллельна СО *).
Значит, если прямая, падающая на две прямые, обра-
зует накрестлежащие углы, равные между собой, то пря-
мые будут параллельны, что и требовалось доказать (58).
Предложение 28
Если прямая, падающая на две прямые, образует
внешний угол, равный внутреннему противолежащему
с той же стороны, или внутренние односторонние (углы
вместе^, равные двум прямым, то прямые будут парал-
лельны между собой.
Пусть прямая EF, падающая на две прямые АВ, CD,
образует внешний угол ЕНВ, равный внутреннему проти-
волежащему <с той жесторопырасположенному> углу HQD,
*) Кеплер первый мыслит параллельные прямые как пересе-
кающиеся в бесконечности. Введение понятия о бесконечно уда-
лённой точке приписывается Дезаргу, хотя его понимание и не
совпадает с современным.
КНИГА ПЕРВАЯ
41
или внутренние односторонние углы BHG, HQD, <вместе>
равные двум прямым; я утверждаю, что АВ параллельна
CD (черт. 28).
Действительно, поскольку угол ЕНВ равен углу HGD,
но угол ЕНВ равен АНО (предложение 15), то значит,
и АНО равен HOD (аксиома 1);
и они накрестлежащие; значит, АВ
параллель'на CD (предложение 27). 4 \ п
Далее, поскольку BHG и HGD Х7---------.........ff
<вместе> равны двум прямым, так- \
же и углы AHQ и BHQ равны - \
двум прямым (предложение 13), • \
то значит, AHQ и BHG <вместе> \
равны BHG и HGD (аксиома 1). _______\g
Отнимем общий угол ВНСг, зна- с \ &
чит, остаток AHQ равен остатку \/г
HQD (аксиома 3); и они накрест- q 28
лежащие; значит, АВ параллельна р
CD (предложение 27).
Значит, если прямая, падающая на две прямые, обра-
зует внешний угол, равный внутреннему противолежащему
с той же стороны, или внутренние односторонние <углы
вместе>, равные двум прямым, то прямые будут парал-
лельны между собой, что и требовалось доказать.
Предложение 29
Прямая, падающая на параллельные прямые, образует
накрестлежащие углы, равные между собой, и внешний
угол, равный внутреннему, противолежащему с той же
стороны, и внутренние односторонние углы, (вместе^
равные двум прямым.
Пусть на параллельные прямые АВ, CD падает прямая EF;
я утверждаю, что она образует накрестлежащие углы AHG,
HGD равные и внешний угол ЕНВ, равный внутреннему
противолежащему углу HGD, и внутренние односторонние
углы BHG, HGD, <вместе> равные двум прямым (черт. 29).
Действительно, если угол АНО не равен HQD, то один '
из них больший. Пусть будет больший AHG.
42
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Прибавим общий угол BUG', значит, AHQ и BHQ <вме-
сте> больше BHG и HGD.
Но AHG и BHG <вместе> равны двум прямым (пред-
ложение 13) [и], значит, BHG, HGD <вместе> меньше двух
прямых. Прямые же, про-
должаемые неограничен-
но, сходятся со стороны,
<где углы> меньше двух
прямых (постулат 5), зна-
чит, АВ, CD, продолжа-
емые неограниченно,сой-
дутся; но они не схо-
дятся вследствие того,
что предполагаются па-
раллельными; значит, не
может AHG быть не рав-
ным HGD1, значит, он равен. Но угол AHG равен углу ЕНВ
(предложение 15); и значит, ЕНВ равен HGD (аксиома 1).
Прибавим общий угол BHG-, значит, ЕНВ и BHG <вме-
сте> равны BHG и HGD. Но ЕНВ и BHG <вместе> равны
двум прямым (предложение 13); и значит, BHG и HGD
<вместе> равны двум прямым.
Значит, прямая, падающая на параллельные прямые,
образует накрестлежащие углы, равные между собой, и
внешний угол, равный внут-
реннему противолежащему,
и внутренние односторонние
углы, <вместе> равные двум
прямым, что и требовалось
доказать (59,60, 61, 62,63).
Предложение 30
(Прямые), параллель-
ные той же прямой, парал-
лельны и между собой.
Пусть каждая из АВ, CD параллельна EF-, я утвер-
ждаю, что АВ параллельна CD (черт. 30).
Действительно, пусть на них падает прямая НК.
КНИГА ПЕРВАЯ
43
И поскольку на параллельные прямые АВ, EF упала
прямая НК, то значит, угол АНК равен углу HGF (пред-
ложение 29). Далее, так как на параллельные прямые EF,
CD упала прямая НК, то угод HGF равен HKD (предло-
жение 2/\ Доказано же, что и угол АНК равен HGF,
и значит, угол АНК равен углу HKD-, и они накрестле-
жащие. Значит, АВ параллельна CD (предложение 27).
[Значит, параллельные той же прямой, параллельны
и между собой]; это и требовалось доказать (64).
Предложение 31
Провести через данную точку прямую линию, парал-
лельную данной прямой.
Пусть данная точка будет А, данная же прямая ВС
(черт. 31); требуется вот через точку А провести прямую
линию, параллельную пря- „
мой ВС. Е—- 7 чИг t
Возьмём на ВС какую- /
нибудь точку D и соеди- /
ним AD; и построим на /
прямой DA при её точке /
А угол DAE, равный yr- &____________/ ~S
лу ДОС (предложение 23); &
и продолжим по одной пря- Черт. 31.
мой с ЕА прямую AF.
И поскольку прямая AD, падающая на две прямые ВС,
EF, образовала накрестлежащие углы EAD, ADC, равные
между собой, то значит, EAF параллельна ВС (предло-
жение 27).
Значит, через данную точку А проведена прямая линия
EAF, параллельная данной прямой ВС, что и требовалось
сделать.
Предложение 32
Во всяком треугольнике по продолжении одной из
сторон внешний угол равен двум внутренним и проти-
волежащим, и внутренние три угла треугольника (вмес-
теу равны двум прямым.
44
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть треугольник будет АВС, продолжим одну его
сторону ВС до D; я утверждаю, что внешний угол ACD
равен двум внутренним и противолежащим CAB, АВС, и что
внутренние три угла треугольника АВС, ВСА, САВ
<вместе> равны двум прямым
А (черт. 32). Действительно,
/ проведём через точку С пря-
/ \ / мую СЕ, параллельную АВ.
/ \ / И поскольку АВ парал-
/ \ / дельна СЕ и на них пала
___________\/_________ <4С, то накрестлежащие углы
С____________________ВАС, АСЕ равны между со-
Черт. 32. бой (предложение 29). Да-
лее, поскольку АВ парал-
лельна СЕ и на них пала прямая BD, то внешний угол
ECD равен внутреннему и противолежащему АВС (пред-
ложение 29). Но АСЕ по доказанному равен ВАС-, зна-
чит, весь угол ACD равен двум внутренним и противоле-
жащим углам ВАС и АВС.
Прибавим общий угол АСВ-, значит, углы ACD и АСВ
(аксиома 2) равны трём углам АВС, ВСА, САВ.
Но ACD и АСВ равны двум прямым (предложение 13);
и значит, АСВ, СВА, САВ <вместе равны> двум прямым.
Значит, во всяком треугольни к по продолжении одной
из сторон внешний угол равен двум внутренним и проти-
волежащим <вместе>, и внутренние три угла треугольника
<вместе> равны двум прямым; что и требовалось доказать
(65, 66).
Предложение 33
Прямые, соединяющие с одной и той же стороны
равные и параллельные (прямыеу, и сами равны и
параллельны.
Пусть равные и параллельные <прямые> будут АВ, СО
и пусть их соединяют с одной и той же стороны прямые
AC, BD; я утверждаю, что и АС и BD равны и парал-
лельны (черт. 33).
Соединим ВС. И поскольку АВ параллельна CD и на
них упала ВС, то накрестлежащие углы ABC, BCD равны
КНИГА ПЕРВАЯ
45
между собой (предложение 29). И поскольку АВ равна
CD, а ВС общая, то вот две стороны АВ, ВС равны дв;> м
CD, ВС; и угол АВС равен углу BCD; значит, и основа-
ние АС равно основанию BD,
треугольнику BCD, и осталь-
ные углы равны остальным
углам каждый каждому (пред-
ложение 4), стягиваемым
равными сторонами; значит,
угол АСВ равен CBD.
И поскольку прямая ВС,
падающая на две прямые АС,
BD, образовала равные меж-
ду собой накрестлежащие уг-
лы, то значит, АС параллельна BD
она же по доказанному и равна ей.
Значит, прямые, соединяющие с
роны равные и параллельные <прямые>, и сами
параллельны, что и требовалось доказать.
треугольник АВС равен
(предложение
одной и той
27). Но
же сто-
равны и
и
Предложение 34
В (образованных^ параллельными линиями площадях *)
противоположные стороны и углы равны между собой
и диаметр**') разделяет их пополам.
Пусть <образованная> параллельными линиями площадь
будет ACDB, диаметр же её ВС; я утверждаю, что в
параллелограмме ACDB противоположные стороны и углы
*) У Евклида стоит '6 itapalXrJ.o-'pspiisv yapiov — буквально па-
раллельнолииейная (по образцу su9o-;pdp.nov— прямолинейная) пло-
щадь— часть плоскости, ограниченная двумя парами параллель-
ных прямых. В дальнейшем говорится просто «параллелограмм».
** ) У Евклида ij Sidne-poi — поперечник. Этот термин одина-
ково относится и к параллелограмму и к кругу; он показывает, что
первые геометры мыслили параллелограмм (точнее прямоугольник)
вписанным в круг. До Евклида термин «диаметр» употребляется
Гиппократом и Платоном (в «Меноне»), Наш термин «диагональ»
(8iay<o>io? — через углы, подразумевается, проходящий) встречается
у Евклида только один раз в нашем смысле этого слова. Тот же
смысл имеет это слово у Герона.
46
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
равны между собой и диаметр ВС делит его пополам
(черт. 34).
Действительно, поскольку АВ параллельна CD и на них
упала прямая ВС, то накрестлежащие углы ABC, BCD
равны между собой (предложение 29). Далее, поскольку
АС параллельна BD и на них упала ВС, то накрестлежа-
щие углы АСВ и CBD равны между собой (предложение
в 29). Вот ABC, BCD два
?-----------------------треугольника, имеющих
/ / два угла АВС, ВСА, рав-
/ / ных двум углам BCD,
/A CBD каждый каждому, н
Q—------------------q одну сторону, равную од-
ной стороне между рав-
Черт. 34. ными углами, а именно,
общую сторону ВС\ и зна-
чит, они будут иметь и остальные стороны, равные осталь-
ным каждая каждой, и оставшийся угол, равный оставше-
муся углу (предложение 26); значит, сторона АВ равна CD,
АС же BD и ещё угол ВАС равен углу CDB. И поскольку
угол АВС равен BCD, a CBD углу АСВ, значит, весь
угол ABD равен всему ACD (аксиома 2). Но угол ВАС,
как уже доказано, равен CDB.
Значит, в <образованных> параллельными линиями пло-
щадях противоположные стороны и углы равны между со-
бой. Вот я утверждаю, что и диаметр делит их пополам.
Действительно, поскольку АВ равна CD и ВС общая, то
вот две стороны АВ, ВС равны двум CD, ВС каждая
каждой; и угол АВС равен углу BCD (предложение 29),
и значит, основание АС равно DB (предложение 4), и [зна-
чит], треугольник АВС гавен треугольнику BCD.
Значит, диаметр ВС делит пополам параллелограмм
ABCD, что и требовалось доказать (67).
Предложение 35
Параллелограммы, находящиеся на том же основании
и между теми же параллельными, равны между собй.
Пусть ABCD, EBCF будут параллелограммы, находя-
щиеся на том же основании ВС и между теми же парал-
КНИГА ПЕРВАЯ
47
дельными АР и ВС; я утверждаю, что параллелограмм
ABCD равен *) параллелограмму EBCF (черт. 35).
Действительно, поскольку ABCD есть параллелограмм,
то прямая AD равна ВС (предложение 34). Вследствие
того же вот и EF рав-
на ВС (предложение /7_____________D_______ Е___________F
34); так что и AD рав- V \ / /
на ЕР (аксиома 1), и \ /
DE общая; значит, вся \ Хн /
АЕ равна всей DF (ак- \ \ S'
сиома 2). \/
Но и АВ равна DC &-------------------q
(предложение 34); вот
две стороны ЕА, АВ еРт‘ °"
равны двум FD, DC
каждая каждой; и угол PDC равен углу ЕАВ (предложе-
ние 29) внешний внутреннему; значит, основание ЕВ
равно основанию FC, и треугольник ЕАВ будет равен тре-
угольнику DFC (предложение 4). Отнимем общую часть
DHE; значит, остаток-трапеция ABHD равна остатку-тра-
пеции EHCF (аксиома 3); прибавим общий треугольник
НВС; значит, весь параллелограмм ABCD равен всему па-
раллелограмму EBCF (аксиома 2).
Значит, параллелограммы, находящиеся на том же осно-
вании и между теми же параллельными, равны между
собой, что и требовалось доказать (68).
Предложение 36
Параллелограммы, находящиеся на равных основа-
ниях и между теми же параллельными, равны между
собой.
Пусть ABCD, EFHG будут параллелограммы, находя-
щиеся на равных основаниях ВС и PH и между теми же
-) У Евклида его? — равный.
Поскольку у Евклида фигура рассматривается как часть
плоскости, то и равенство фигур понимается как равенство
заключённых в них частей плоскости — их площадей.
48
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
параллельными AG и ВН; я утверждаю, что параллелограмм
ABCD равен параллелограмму EFHG (черт. 36).
Действительно, соединим BE, СО. И поскольку ВС
равна FH, но FH равна EG (предложение 34), и значит,
ВС равна EG (аксиома 1). Они же и параллельны. И со-
единяют их ЕВ, ОС; прямые же, соединяющие с одной
Z7 D Е G
ВС F Н
Черт. 36.
стороны равные и параллельные, и сами равны и парал-
лельны (предложение 33) [и ЕВ, ОС, значит, равны и парал-
лельны]. Значит, EBCG параллелограмм. И он равен ABCD
(предложение 35); ибо он имеет с ним то же основание
ВС и находится между теми же параллельными ВС, АО
(предложение 35).
Вследствие того же самого вот и EFHG равен тому
же EBCG, так что и параллелограмм ABCD равен парал-
лелограмму EFHG (аксиома 1).
Значит, параллелограммы, находящиеся на равных осно-
ваниях и между теми же параллельными, равны между
собой, что и требовалось доказать.
Предложение 37
Треугольника, находящиеся на том же основании а
между теми же параллельными, равны между собой.
Пусть треугольники ABC, DBC находятся на том же
основании ВС и между теми же параллельными AD, ВС;
я утверждаю, что треугольник АВС равен треуголь-
нику DBC.
КНИГА ПЕРВАЯ
49
Продолжим AD в обе стороны (черт. 37) до Е и F и
через В проведём прямую BE, параллельную СА (предло-
жение 31), а через С проведём СЕ, параллельную BD
(предложение 31). Значит, каждая из <фнгур> ЕВСА и
DBCF—параллелограмм; и опн равны (предложение 35),
ибо находятся на том
же основании ВС и меж- ----U2---------у
ду теми же параллель- \ /\ / /
ними ВС и EF\ и поло- \ / \/ /
вина параллелограмма \ /
ЕВСА есть треугольник \ \ /
АВС, ибо диаметр АВ
делит его пополам #-------------------q
(предложение 34); по-
ловина же параллело- Черт. 37.
грамма DBCF — тре-
угольник DBC, ибо диаметр DC делит его пополам (пред-
ложение 34); [половины же равных равны между собой]
(аксиома 6). Значит, треугольник АВС равен треугольнику
DBC.
Значит, треугольники, находящиеся на том же основа-
нии и между теми же параллельными, равны между собой,
что и требовалось доказать.
Предложение 38
Треугольники, находящиеся на равных основаниях а
между теми же параллельными, равны между собой.
Пусть треугольники ABC, DEF находятся на равных
основаниях ВС, EF н между теми же параллельными BF
и AD-, я утверждаю, что треугольник АВС равен тре-
угольнику DEF (черт. 38).
Действительно, продолжим AD в обе стороны до Н
и О и через В проведём ВН, параллельную СА (предло-
жение 31), а через F проведём FG, параллельную DE (пред-
ложение 31). Значит, каждая из <фигур> НВСА, DEFQ —
параллелограмм; и НВСА равен DEFG (предложение 36),
ибо они находятся на равных основаниях ВС и EF и меж-
ду теми же параллельными BF и HG (предложение 36); и
4 Евклид
50
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
половина параллелограмма НВСА есть треугольник АВС
(предложение 34), ибо диаметр АВ рассекает его пополам;
половина же параллелограмма DEFG— треугольник FED
(предложение 34), ибо диаметр DF рассекает его пополам.
В С Е Е
Черт. 38.
[Половины же равных равны между собой] (аксиома 6);
значит, треугольник АВС равен треугольнику DEF.
Значит, треугольники, находящиеся на тех же основа-
ниях между теми же параллельными, равны между собой,
что н требовалось доказать. ;
Предложение 39
Равные треугольники, находящиеся на том же осно-
вании и с той же стороны, находятся и между теми
же параллельными.
Пусть ABC, DBC будут равные треугольники, находя-
равен треугольнику
щиеся на том же основании ВС и с
той же его стороны (черт. 39); я
утверждаю, что они находятся в тех
же параллельных. Действительно,
соединим AD', я утверждаю, что
AD параллельна ВС.
Действительно, если это не
так, то проведём через точку
А прямую АЕ, параллельную
ВС (предложение 31) и соединим
ЕС. Значит, треугольник АВС
ЕВС (предложение 37), ибо он
находится с ним на том же основании ВС и между теми
КНИГА ПЕРВАЯ
61
же параллельными (предложение 37). Но АВС равен DBC',
и значит, DBC равен ВВС (аксиома 1) — больший мень-
шему; это же невозможно (аксиома 8); значит, не будет
АЕ параллельна ВС.
Подобным же вот образом докажем, что и никакая
другая <прямая> кроме AD; значит, AD будет парал-
лельна ВС.
Значит, равные треугольники, находящиеся на том же
основании и с той же стороны, находятся между теми же
параллельными, что и требовалось доказать.
Предложение 40*)
Равные треугольника, находящиеся на равных основа-
ниях и с той же стороны, находятся и между теми.
же параллельными.
Пусть ABC, CDE будут равные треугольники на рав-
ных основаниях ВС, СЕ и с той же стороны (черт. 40);
я утверждаю, что они
находятся и между
теми же параллель-
ными.
Действительно, сое-
диним AD; я утвер-
ждаю, что AD парал-
лельна BE.
Действительно, если
это не так, проведём
через А прямую АЕ,
параллельную BE (предложение 31), и соединим ЕЕ.
Значит, треугольник АВС равен треугольнику ЕСЕ
(предложение 38), ибо они находятся на равных основа-
ниях ВС и СЕ и между теми же параллельными BE и АЕ
(предложение 38). Но треугольник АВС равен треуголь-
нику ВСЕ', и, значит, треугольник DCE равен треуголь-
*) Это предложение является
установил Гейберг на основании
папирусов уже после выхода его
4*
позднейшей добавкой, как это
найденных вновь египетских
издания Начал.
52
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
нику FCE (аксиома 1), больший меньшему, это же невоз-
можно (аксиома 8); значит, не будет AF параллельна
прямой BE. Подобным же вот образом докажем, что и ни-
какая другая <прямая>, кроме AD; значит, AD парал-
лельна BE.
Значит, равные треугольники, находящиеся на равных
основаниях и с той же стороны, находятся между теми же
параллельными, что и требовалось доказать.
Предложение 41
Если параллелограмм имеет с треугольником одно и
то же основание и находится между теми же парал-
лельными, то параллелограмм будет вдвое большим
треугольника.
Пусть параллелограмм ABCD с треугольником ЕВС
имеет одно и то же основание ВС, и пусть он находится
j) £ между теми же парал-
к----------------------лельными ВС, АЕ; я
х. s'/ утверждаю, что парал-
X, / лелограмм ABCD бу-
х^ м* / дет вдвое большим тре-
/ угольника ВЕС (черт.
41)-
«£—-----------ьИ Действительно, сое-
° 6 диним АС. Вот тре-
Черт. 41. угольник АВС равен
треугольнику ЕВС
(предложение 37), ибо он с ним на том же основании ВС
и между теми же параллельными ВС, АЕ (предложение
37). Но параллелограмм ABCD вдвое больше треугольника
АВС, ибо диаметр АС делит его пополам (предложение 34);
так что параллелограмм ABCD вдвое больше и треуголь-
ника ЕВС.
Значит, если параллелограмм имеет с треугольником
одно и то же основание и находится между теми же па-
раллельными, то параллелограмм будет вдвое больше тре-
угольника, что и требовалось доказать (69).
КНИГА ПЕРВАЯ
53
Предложение 42
Построить *) равный данному треугольнику парал-
лелограмм в данном прямолинейном угле.
Пусть данный треугольник будет АВС, данный же пря-
молинейный угол D-, требуется вот построить равный тре-
угольнику АВС параллелограмм в угле, равном прямоли-
нейному углу D (черт. 42).
Рассечём ВС пополам в Е (предложение 10), сое-
диним АЕ, построим на прямой ЕС при её точке Е угол
CEF, равный D (предложе- I
ние 23); и через А прове- / Е
дём АН, параллельную ЕС
(предложение 31); через С д р_______________________н
же проведём СН, параллель- ~1 1
ную ЕЕ (предложение 31); / \ \ / /
значит, FECH есть парал- / \ jk /
лелограмм. И поскольку BE / \ I
равна ЕС, то и треугольник / \/ \J
АВЕ равен треугольнику 'в в
АЕС (предложение 38), ибо Черт. 42.
они находятся на равных
основаниях BE, ЕС и между теми же параллельными ВС,
АН (предложение 38); значит, треугольник АВС вдвое
больше треугольника АЕС. Но и параллелограмм FECH
вдвое больше треугольника АЕС (предложение 41), ибо
имеет с иим то же основание и находится с ним между
теми же параллельными; значит, параллелограмм FECH
равен треугольнику АВС и имеет угол CEF, равный дан-
ному D.
Значит, построен равный данному треугольнику АВС
параллелограмм FECH в угле CEF, который равен углу D,
что и требовалось сделать.
*) У Евклида aoaTrpaaSai — составить; термин, применяющийся
к треугольнику и параллелограмму.
При построении квадрата (предложение 46) Евклид употреб-
ляет слово dva-fpi-jiai ir.6 — начертить на. Эту разницу подчерки-
вает Прокл.
54
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 43
Во всяком параллелограмме «.дополнения* *) рас-
положенных по диаметру параллелограммов равны меж-
ду собой.
Пусть будет параллелограмм ABCD, диаметр же его
АС, по АС же пусть будут параллелограммы EG, ЕН,
так называемые же «дополнения» — BK,KD,n утверждаю,
что дополнение ВК равно дополнению KD (черт. 43).
Черт. 43.
Действительно, поскольку ABCD -— параллелограмм,
диаметр же его АС, то треугольник АВС равен треуголь-
нику ACD (предложение 34). Далее, поскольку EG —
параллелограмм, диаметр же его АК, то треугольник АЕК
равен треугольнику AGK (предложение 34). Вследствие
того же вот и треугольник KFC равен треугольнику КНС
(предложение 34). Поскольку теперь треугольник АЕК
равен треугольнику AGK, а KFC равен КНС, то треуголь-
ник АЕК вместе с КНС равен треугольнику AGK вместе
с KFC (аксиома 2); и весь треугольник АВС равен всему
ADC', значит, остающееся «дополнение» ВК равно остаю-
щемуся «дополнению» KD (аксиома 3).
Значит, во всяком параллелограмме «дополнения» рас-
положенных по диаметру параллелограммов равны между
собой, что и требовалось доказать.
♦) У Евклида sapatcXi)pa>jiata. Термин объяснён в тексте пред-
ложения.
КНИГА ПЕРВАЯ
55
Предложение 44
К данной прямой «.приложить-» *) равный данному тре-
угольнику параллелограмм в данном прямолинейном угле.
Пусть данная прямая будет АВ (черт. 44), данный же
треугольник С, данный же прямолинейный угол D; тре-
буется вот к данной прямой АВ «приложить» параллело-
грамм, равный данному треугольнику С, в угле, равном D
(черт. 44).
Построим равный треугольнику С параллелограмм
BEFH в угле ЕВН, который равен D (предложение 42);
и поместим его так, чтобы BE была по одной прямой
с АВ, доведём FH до О, через А проведём AG, парал-
лельную как ВН, так EF (предложение 31), и соединим ОВ.
И поскольку на параллельные АО и EF упала прямая GF,
значит, углы AGF и QFE <вместе> равны двум прямым
(предложение 29); значит, ВОН и HFE <вместе> меньше
двух прямых; со стороны же углов, меньших чем два пря-
мых, продолженные неограниченно <прямые> сходятся;
значит, OB, FE при продолжении сойдутся. Продолжим
их и пусть они сойдутся в К; через точку Д' проведём KL,
параллельную как ЕА, так FG (предложение 31), и про-
должим О А, НВ до точек L, М.
*) У Евклида napagakei» — буквально
56
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Значит, GLKF будет параллелограмм, диаметр же его
ОК, по GK же два параллелограмма АН, ME, так назы-
ваемые же «дополнения» LB, BF; значит, LB равно ВЛ (пред-
ложение 43). Но BF равно треугольнику С; и значит,
LB равно С. И поскольку угол НВЕ равен АВМ, а НВЕ
равен D, то значит, и АВМ равен углу D.
Значит, к данной прямой АВ приложен равный тре-
угольнику С параллелограмм LB в угле АВМ, который
равен D, что и требовалось сделать.
Предложение 45
Построить равный данной прямолинейной фигуре
параллелограмм в данном прямолинейном угле.
Пусть данная прямолинейная фигура будет ABCD,
данный же прямолинейный угол Е; требуется вот построить
равный прямолинейной фигуре
ABCD параллелограмм в угле,
равном Е (черт. 45).
Соединим DB и построим
равный треугольнику ABD па-
раллелограмм FG в угле GKF,
который равен Е (предложение
42); и приложим к прямой HG
равный треугольнику DBC па-
раллелограмм НМ в угле HGM,
который равен Е (предложе-
ние 44).
И поскольку угол Е равен
каждому из GKF, HGM, то
значит, и GKF равен НОМ (ак-
сиома 1). Прибавим общий
угол KGH-, значит, F*KG, KGH <вместе> равны КОН,
HGM (аксиома 2). Но FKO, КОН равны двум прямым
(предложение 29); значит, и КОН, HGM равны двум пря-
мым (аксиома 1). Вот при некоторой прямой HG в точке
её О две прямые КО, ОМ, расположенные не по одну
и ту же сторону, образуют смежные углы, равные <вместе>
двум прямым; значит, KG будет по одной прямой с ОМ
(предложение 14).
КНИГА ПЕРВАЯ
57
И поскольку па параллельные КМ, FH упала прямая
GH, то накрестлежащие углы MGH, GHF равны между
собой (предложение 29). Прибавим общий угол GHL',
значит, углы MGH, GHL <вместе> равны GHF, GHL
(аксиома 2). Но MGH, GHL <вместе> равны двум прямым
(предложение 29); значит, и GHF и GHL равны двум
прямым (аксиома 1, предложение 29); значит, FH будет
по одной прямой с HL (предложение 14). И поскольку FK
равна и параллельна GH, но GH <равна и параллельна>
также и ML, то значит, и KF равна и параллельна ML
(аксиома 1, предложение 30); и соединяют их прямые КМ,
FL; и значит, КМ, FL равны и параллельны (предложение
33); значит, KFLM — параллелограмм. И поскольку треуголь-
ник ABD равен параллелограмму FG, a DBC параллело-
грамму НМ, то значит, вся прямолинейная <фигура> ABCD
равна всему параллелограмму KFLM (аксиома 2)с
Значит, построен равный данной прямолинейной фигуре
ABCD параллелограмм KFLM в угле FKM, который равен
данному Е, что и требовалось сделать (70).
Предложение 46
На данной прямой надстроить*) квадрат.
Пусть данная прямая будет АВ, требуется иа прямой
АВ надстроить квадрат (черт. 46).
Проведём к прямой АВ от её точки с
А под прямым углом <прямую> АС (пред-
ложение 11) и отложим AD, равную АВ
(предложение 3); и через точку D парал-
лельно АВ проведём DE (предложение 31),
через же точку В параллельно AD прове-
дём BE (предложение 31).
Значит, ADEB есть параллелограмм;
значит, АВ равна DE, a AD равна BE
(предложение 34). Но АВ равна AD', Черт. 46.
значит, четыре <прямые> ВА, AD, DE,
ЕВ равны между собой; значит, параллелограмм ADEB
равносторонний. Я утверждаю вот, что он и прямоугольный.
*) У Евклида avaypajiai — см. примечание к предложению 42,
53
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, поскольку на параллельные АВ, DE
упала прямая AD, значит, углы BAD и ADE <вместе>
равны двум прямым (предложение 29). Угол же BAD пря-
мой; значит, прямой и ADE. В <образованных> же парал-
лельными линиями площадях противоположные стороны
и углы равны между собой (предложение 34); значит,
и каждый из противоположных углов ABE, BED прямой;
значит, ADEB прямоуголен.
Доказано же, что он и равносторонен; значит, он квад-
рат (определение 22) и надстроен на АВ, что и требо-
валось сделать (71).
Предложение 47
Е
Черт. 47.
В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне,
стягивающей прямой угол *), равен (вместе взятым'/
квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.
Пусть АВС — пря-
моугольный треуголь-
ник, имеющий прямой
угол ВАС; я утверждаю,
что квадрат на ВС ра-
вен <вместе взятым>
квадратам на ВА и АС
(черт. 47).
Действительно, над-
строим на ВС квадрат
BDEC, а на ВА, АС
надстроим <квадраты>
НВ, GC (предложение
46); и через А прове-
дём AL, параллельную
как BD, так и СЕ (пред-
ложение 31); соединим
AD, ЕС. И поскольку
каждый из углов ВАС,
то вот на некоторой
ig jtksopa t-jv dpOijv fomav
Ю),
BAH прямой (определение
*) Точный перевод евклидова
oitoTsiyouaa — отсюда наш термин «гипотенуза».
КНИГА ПЕРВАЯ
59
прямой ВА при её точке А две прямые АС, АН, рас-
положенные не по одну сторону, образуют смежные уг-
лы, <вместе> равные двум прямым; значит, СА будет
по <одной> прямой с АН (предложение 14). Вследствие
того же вот и ВА будет по одной прямой с AG. И по-
скольку угол DBC равен углу РВА (аксиома 1), ибо
каждый из них прямой, то прибавим общий угол АВС;
значит, весь угол DBA равен всему FBC (аксиома 2).
И поскольку DB равна ВС, a FB равна ВА (определе-
ние 22), то вот две стороны DB, ВА равны двум сторо-
нам ВС, FB каждая каждой; и угол DBA равен углу FBC;
значит, и основание (предложение 4) AD равно основанию
FC, и треугольник ABD равен треугольнику FBC (пред-
ложение 4). И удвоенный треугольник ABD есть парал-
лелограмм BL (предложение 41), ибо они имеют то же
основание BD и расположены между теми же параллель-
ными BD, AL (предложение 41). Удвоенный же треуголь-
ник FBC (предложение 41) есть квадрат НВ; ибо они
имеют то же основание FB и расположены между теми
же параллельными FB и НС; [но удвоенные равных вели-
чин равны между собой (аксиома 5)]; значит, и паралле-
лограмм BL равен квадрату НВ. Подобным же вот обра-
зом, соединяя АЕ, ВК, будет доказано, что и параллело-
грамм CL равен квадрату GC; значит, весь квадрат BDEC
равен двум квадратам НВ и GC вместе взятым. И BDEC
есть квадрат, надстроенный на ВС, а НВ, GC—на ВА,
АС; значит, квадрат на стороне ВС равен <вместе взятым>
квадратам на сторонах ВА, АС.
Значит, в прямоугольных треугольниках квадрат на
стороне, стягивающей прямой угол, равен <вместе взя-
тым> квадратам на сторонах, заключающих прямой [угол];
что и требовалось доказать (72, 73).
Предложение 48
Если в треугольнике квадрат на одной стороне ра-
вен (вместе взятым) квадратам на остальных двух
сторонах, то заключённый между остальными двумя
сторонами треугольника угол есть прямой.
60
НАЧАЛА. ЕВКЛИДА
Пусть в треугольнике АВС квадрат на одной стороне
ВС равен <вместе взятым> квадратам на сторонах ВА и
АС; я утверждаю, что угол ВАС прямой (черт. 48).
Действительно, проведём от точки А под прямым уг-
лом к АС <прямую> АО (предложение 11), отложим АО,
равную ВА, и соединим ОС. Поскольку ОА равна АВ, то
и квадрат на ОА равен квадрату на
д АВ. Прибавим общий квадрат на АС;
значит, квадраты на О А, АС равны
/ \ квадратам на ВА, АС (аксиома 2).
/ \ Но квадратам на DA, АС равен
/ \ квадрат на DC (предложение 47),
/ \ ибо угол DAC прямой; квадратам же
/ \ на ВА, АС равен квадрат на ВС,
&-------ибо так предполагается; значит, квад-
рат на DC равен квадрату на ВС,
Черт. 48. так что и сторона DC равна ВС; и
поскольку DA равна АВ, АС же об-
щая, то вот две стороны DA, АС равны двум ВА, АС;
и основание ОС равно основанию ВС; значит (предложе-
ние 8), и угол DAC [будет] равен ВАС. Угол же DAC
прямой, значит, прямой и ВАС.
Значит, если в треугольнике квадрат на одной стороне
равен <вместе взятым> квадратам на остальных двух сто-
ронах, то заключённый между остальными двумя сторонами
треугольника угол — прямой, что и требовалось дока-
зать (74).
КНИГА ВТОРАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. О всяком прямоугольном параллелограмме говорят,
что он заключается между двумя прямыми, образующими
прямой угол.
2. Во всякой же <образованной> параллельными линия-
ми площади каждый из <расположенных> на её диаметре
параллелограммов вместе с двумя «дополнениями» будем
называть ^гномоном» (1).
Предложение 1
Если имеются две прямые и одна из них рассечена
на сколько угодно отрезков *), то прямоугольник, за-
ключающийся между**) этими двумя прямыми, равен
(вместе взятыму прямоугольникам, заключённым между
нерассечённой прямой и каждым из отрезков (2).
Пусть две прямые будут А, ВС и пусть ВС рассечена
как-либо в точках D, Е; я утверждаю, что прямоугольник,
заключающийся между А и ВС, равен вместе взятым прямо-
*) У Евклида — отрезки: подразумевается отрезан-
ная часть некоторой ограниченной («гяераа|ии)) прямой. Евклид
различает эти два понятия; для нас, подразумевающих под тер-
мином «прямая» всегда иеограиичеииую прямую, это различение
уже не имеет смысла.
** ) Евклидово — под, или предлог нашего творительного
падежа, нельзя переводить «на». Прямоугольник ABCD по
Евклиду не построен на АВ и ВС, но ^заключается между»
или даже «содержится между АВ и ВС».
62
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
угольнику, заключённому между А и BD, <затем> между А
и DE, и ещё между А и ЕС (черт. 1).
В самом деле, проведём BI от В под прямыми углами
к ВС (предложение И книги 1), отложим ВН, равную А,
д______________( и проведём через Н парал-
с лельную ВС прямую HG (пред-
--------------------ложение 31 книги I), через
же D, Е, С параллельные ВН
прямые DK, EL, CG.
Вот <прямоугольник> BG
равен ВК, DL, EG. И BG
Н_____________________есть прямоугольник между А
К L G н ВС, ибо он заключается
I между НВ и ВС, ВН же рав-
церт 1 на А; ВК же прямоугольник
’’ между А и BD, ибо он заклю-
чается между НВ и ВО, ВН же равна A. DL же пря-
моугольник между А и DE, ибо DK, то-есть ВН (по 34
предложению книги I), равна А. И ещё подобным же
образом EG прямоугольник между А и ЕС', значит, пря-
моугольник между А и ВС равен прямоугольникам между
А и BD, между А и DE, и ещё между А и ЕС.
Значит, если имеются две прямые и одна из них рас-
сечена на сколько угодно отрезков, прямоугольник, заклю-
чённый между этими двумя прямыми, равен <вместе взя-
тым> прямоугольникам, заключённым между не рассечённой
прямой и каждым из отрезков, что и требовалось доказать.
Предложение 2
Если прямая линия как-либо рассечена, то прямо-
угольники, заключённые между целой линией и каждым
из отрезков, равны, вместе квадрату на всей линии.
В самом деле, пусть АВ как-либо рассечена в точке С
(черт. 2). Я утверждаю, что прямоугольник, заключённый
между АВ и ВС, вместе с прямоугольником, заключённым
между ВА и АС, равен квадрату на ВС.
Действительно, надстроим на АВ квадрат ADEB (пред-
ложение 46 книги 1) и проведём через С параллельную
КНИГА ВТОРАЯ
63
каждой из AD, BE прямую CI (предложение 31 кни-
ги I).
Вот АЕ равна AI и СЕ. И АЕ квадрат на АВ, AI же
прямоугольник, заключённый между ВА и АС, ибо он
заключается между DA и AC; AD же
равна АВ (определение 22 книги I); а -------£----------
СЕ <прямоугольник> между АВ и ВС,
ибо BE равна АВ. Значит, прямоуголь-
ник между ВА и АС вместе с пря-
моугольником между АВ и ВС равен
квадрату на АВ.
Значит, если прямая линия как-_____________________
либо рассечена, то прямоугольники, D / £
заключённые между целой линией и Черт. 2.
каждым из отрезков, равны вместе
квадрату на всей линии, что и требовалось доказать (3).
Предложение 3
Если прямая линия как-либо рассечена, то прямо-
угольник, заключённый между всей прямой и одним из
отрезков, равен прямоугольнику,
заключённому между отрезками,
и квадрату на ранее упомяну-
том отрезке.
В самом деле, пусть прямая
АВ (черт. 3) как-либо рассечена
в точке С; я утверждаю, что
прямоугольник, заключённый ме-
жду АВ и ВС, равен прямоуголь-
нику, заключённому между АС и
СВ, вместе с квадратом иа ВС.
с в

/ D Черт. 3. Е
Действительно, надстроим на СВ квадрат CDEB (пред-
ложение 46 книги I), продолжим ED до / и через А парал-
лельно каждой из CD, BE проведём AI (предложение 31
книги I). Вот <площадь> АЕ равна ДО и СЕ; и АЕ —
прямоугольник, заключённый между АВ и ВС, ибо он
заключается между АВ, BE, BE же равна ВС; AD же—•
прямоугольник между АС и СВ, ибо DC равна СВ; DB
64
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
же квадрат на СВ; значит, прямоугольник, заключённый
между АВ и ВС, равен прямоугольнику, заключённому
между АС, СВ вместе с квадратом на ВС.
Значит, если прямая линия как-либо рассечена, то
прямоугольник, заключённый между всей прямой и одним
из отрезков, равен прямоугольнику, заключённому между
отрезками, и квадрату на ранее упомянутом отрезке, что
и требовалось доказать (4).
Предложение 4
Если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат
на всей (прямой) равен квадратам на отрезках вместе
рез С,
с дважды (взятым) прямо-
угольником, заключённым между
отрезками.
В самом деле, пусть прямая
линия АВ как-либо рассечена в
точке С. Я утверждаю, что квад-
рат на АВ равен квадратам на
АС, СВ вместе с дважды <взя-
тым> прямоугольником, заключён-
ным между АС, СВ*) (черт. 4).
Действительно, надстроим на
АВ квадрат ADEB (предложение
46 книги I), соединим ВО и че-
параллельную каждой из АО, ЕВ, проведём СН,
через же Н, параллельную каждой из АВ, DE, проведём GK
(предложения 30 и 31 книги I). И поскольку CI параллельна
AD и на них упала ВО, то внешний угол СНВ равен вну-
треннему и противолежащему ADB (предложение 29 кни-
ги I). Но угол ADB равен ABD, поскольку и сторона ВА
равна AD (предложение 5 книги I); и значит, угол СНВ
равен НВС, так что и сторона ВС равна стороне СН
(предложение 6 книги I); но СВ равна НК (предложение 34
книги I), СН же равна КВ; и значит, НК равна КВ; зна-
*) У Евклида. t<i> St; uito toiv АГ, ГВ -rt=pisx°!i^v0> op&Oftovito.
Точнее было бы сдважды между АС и СВ заключённым прямо-
угольником).
КНИГА ВТОРАЯ
65
чит, <площадь> СНКВ равносторонняя. Вот я утверждаю,
что она и прямоугольная. Действительно, поскольку СН
параллельна ВК [и на них упала прямая ВС], то значит,
углы КВС и НСВ <вместе> равны двум прямым (предло-
жение 29 книги I). Угол же КВС прямой; значит, прямой
и ВСН; так что и противоположные углы СНК, НКВ пря-
мые (предложение 34 книги I).
Значит, СНКВ — прямоугольна. Доказано же, что она
и равносторонняя; значит, она квадрат; и она на СВ.
Вследствие того же вот и GI *) квадрат; и он на GH,
т. е. на АС (предложение 34 книги I); значит, С/, КС
квадраты на АС, СВ. И поскольку АН равно НЕ (предло-
жение 43 книги I), и АН прямоугольник между АС и СВ,
ибо НС равна СВ; и значит, НЕ равен прямоугольнику
между АС и СВ; значит, АН и НЕ <вместе> равйы дважды
<взятому> прямоугольнику между АС, СВ. И GI, СК суть
квадраты на АС, СВ; значит, четыре площади GI, СК, АН,
НЕ равны квадратам на АС, СВ и дважды <взятому> пря-
моугольнику, заключённому между АС, СВ. Но GI, СК, АН,
НЕ в целом есть ADEB, который будет квадратом на АВ;
значит, квадрат на АВ равен квадратам на АС, СВ и дважды
взятому прямоугольнику, заключённому между АС, СВ.
Значит, если прямая линия как-либо рассечена, квад-
рат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе
с дважды <взятым> прямоугольником, заключённым между
отрезками, что и требовалось доказать (5, 6, 7, 8).
[Следствие
Вот из этого ясно, что в квадратных площадях парал-
лелограммы на диаметре суть квадраты].
Предложение 5
Если прямая линия рассечена на равные и неравные
Сотрезкиу, то прямоугольник, заключенный между не-
равными (отрезками^ всей прямой, вместе с квадратом
*) Отметим недостаток евклидовой символики: двумя буквами
он обозначает и отрезок, и прямоугольник (беря буквы двух
противоположных вершин). Там, где это может привести к не-
доразумению, мы будем прибавлять слово «прямоугольник»,
5 Евклид
66
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
на отрезке между сечениями равен квадрату на по-
ловине.
В самом деле, пусть какая-либо прямая АВ рассече-
на на равные части в С, на неравные же в D; я утверж-
даю, что прямоугольник, заключённый между AD и DB
вместе с квадратом на CD, равен квадрату на СВ
(черт. 5).
Действительно, надстроим на СВ квадрат CEIB, соеди-
ним BE и через D параллельную каждой из СЕ, BI про-
ведём DH, через же О— параллельную каждой из АВ, EI,
далее проведём КМ (предложения 30, 31 книги I) и далее
через А параллельную каждой из CL, ВМ проведём ЛК.
И поскольку «дополнение» СО равно «дополнению» GI
(предложение 43 книги I), прибавляем общую DM; значит,
вся СМ равна всей DI. Но СМ равна AL, поскольку и
АС равна СВ; и значит, AL равна DI. Прибавим общую СО;
значит, вся АО равна гномону MNX. Но АО прямоуголь-
ник между AD и DB, ибо DQ равна DB; и значит, гно-
мон MNX равен прямоугольнику между AD и DB. При-
бавим общий LH, который равен квадрату на CD; значит,
гномон MNX и LH <вместе> равны прямоугольнику, за-
ключённому между AD, DB и квадрату на CD. Но гномон
MNX и LH в целом квадрат CEIB, который на СВ; зна-
чит, прямоугольник, заключённый между AD, DB <вместе>
с квадратом на CD, равен квадрату на СВ.
КНИГА ВТОРАЯ
67
Значит, если прямая линия рассечена на равные и не-
равные <отрезки>, то прямоугольник, заключённый между
неравными <отрезками> вместе с квадратом на отрезке
между сечениями, равен квадрату на половине, что и тре-
бовалось доказать (9, 10).
Предложение 6
Если прямая линия рассечена пополам и к ней
«ио прямой-» приложена какая-либо другая прямая, то
прямоугольник, заключённый между всей прямой с прило-
женной и самой приложенной, вместе с квадратом на
половине равен квадрату на (прямой^, составленной из
половины и приложенной.
В самом деле, пусть какая-либо прямая АВ рассечена
пополам в точке С, к ней же «по прямой» приложена
какая-либо другая BD (черт. 6); я утверждаю, что прямо-
угольник, заключённый между AD, DB вместе с квадратом
на СВ, равен квадрату на CD.
Действительно, надстроим на CD квадрат CEID, со-
единим DE и через точку В, параллельную каждой из
ЕС, DI, проведём ВН, через же точку Q, параллельную
каждой из АВ, EI, проведём КМ, и ещё через А, парал-
лельную каждой из CZ. и DM, проведём АК.
Поскольку теперь АС равна СВ, то и AL равна CG.
Но CG равна GI (предложение 43 книги I); и значит, AL
5*
68
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
равна GI. Прибавим общую СМ; значит, вся площадь AM
равна гномону NXO. Но AM есть прямоугольник между AD
и DB, ибо DM равна DB; и значит, гномон NXO равен
прямоугольнику между AD и DB. Прибавим общую LH,
которая равна квадрату на ВС; значит, прямоугольник,
заключённый между AD и DB, вместе с квадратом на СВ,
равен гномону NXO и LH.
Но гномон NXO и LH в целом квадрат CEID, кото-
рый на CD; значит, прямоугольник, заключённый между
AD и DB вместе с квадратом на СВ, равен квадрату
на CD.
Значит, если прямая линия рассечена пополам и к ней
«по прямой» приложена другая какая-либо прямая, то пря-
моугольник, заключённый между всей прямой, с прило-
женной и самой приложенной вместе с квадратом на по-
ловине, равен квадрату на <прямой>, составленной из
половины и приложенной, что и требовалось доказать
(11, 12).
Предложение 7
Если прямая линия как-либо рассечена, то вместе
взятые квадрат на всей и квадрат на одном из отрез-
л кВ ков Равны дважды взятому пря-
моугольнику, заключённому между
всей прямой и упомянутым отрез-
ком, и квадрату на другом от-
резке.
В самом деле, пусть некоторая
прямая АВ рассечена как-либо в точ-
ке С; я утверждаю, что квадраты на
АВ и ВС <вместе> равны дважды
взятому прямоугольнику, заключён-
ному между АВ и ВС, и квадрату
на СА (черт. 7).
Действительно, надстроим на АВ квадрат ADEB и вы-
чертим ту же фигуру *).
*) В тексте тб сДрл, т. е. известную, определённую фигуру,
ту же самую, что в предыдущих предложениях: проведём диа-
КНИГА ВТОРАЯ
69
Поскольку теперь прямоугольник АН равен НЕ (пред-
ложение 43 книги I), то прибавим к обоим С/; значит,
весь прямоугольник AI равен всему прямоугольнику СЕ;
значит, AI и СЕ равны дважды взятому AI. Но AI, СЕ
составляют гномон KLM и квадрат CI; значит, гномон
KLM и CI равны дважды взятому Al. Но удвоенное AI
есть дважды взятый прямоугольник между АВ, ВС, ибо
BI равна ВС; значит, гномон KLM и квадрат CI равны
дважды взятому прямоугольнику между АВ, ВС. Прибавим
общий DH, который является квадратом на АС; значит,
гномон KLM и квадраты ВН, HD равны дважды взятому
прямоугольнику, заключённому между АВ и ВС, и квад-
рату на АС. Но гномон KLM и квадраты ВН, HD в це-
лом составляют ADEB и CI, которые являются квадратами
на АВ и ВС; значит, квадраты на АВ и ВС равны дважды
взятому прямоугольнику, заключённому между АВ и ВС
вместе с квадратом на АС.
Значит, если прямая линия как-либо рассечена, то
вместе взятые квадрат на всей и квадрат на одном из
отрезков равны дважды взятому прямоугольнику, заклю-
чённому между всей прямой и упомянутым отрезком, и
квадрату другого отрезка, что и требовалось доказать
(13, 14).
Предложение 8
Если прямая линия как-либо рассечена, то учетве-
рённый прямоугольник, заключённый между всей (пря-
мой';? и одним из отрезков, вместе с квадратом на
оставшемся отрезке равен квадрату, надстроенному на
всей прямой и упомянутом отрезке, как на одной
(прямой).
метр BHD, ведём прямые AD, BE, параллельные САГ, и пря-
мые АВ, DE, параллельные GI. Важно отметить, что соответ-
ствующую фигуру надо искать не в 6-м, а в 4-м предложении.
Вставка предложений 5 и 6 разорвала естественную связь
предложений 4, 7 и 8, образующих единое целое и, без
сомнения, бывших таковым у какого-то из предшественников
Евклида.
70
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
СО (поедложение 43
В самом деле, пусть некоторая прямая АВ как-либо
рассечена в точке С (черт. 8); я утверждаю, что учетве-
рённый прямоугольник, заключённый между АВ и ВС
вместе с квадратом на АС, равен квадрату, надстроенному
на АВ и ВС, как на одной прямой.
Действительно, продолжим ВО
по прямой [к прямой ДВ], отложим
ВО, равную СВ, надстроим на АО
квадрат AEID и вычертим дважды
ту же фигуру *).
Поскольку теперь СВ равна
BD, но СВ равна НК, BD же
равна KN, и значит, НК равна KN.
Вследствие того же вот и QP
равно РО. И поскольку ВС рав-
на BD, НК же равна КН, то зна-
чит, и <площадь> СК будет равна
KD, HP же равна PN. Но СК
«дополнения» в параллелограмме
ниги I); и значит, КО равна HP;
значит, четыре <площади> DK, СК, HP, PN равны
между собой. Значит, все четыре будут учетверён-
ное СК.
Далее, поскольку СВ равна BD, но ВО равна ВК,
то-есть СН, СВ же равна НК, то-есть HQ, значит, и СН
равна HQ. И поскольку СН равна HQ, QP же равна РО,
то и <площадь> АН равняется MQ (предложение 36 кни-
ги I), a QL <площ,ади> Pf.
Но MQ равна QL, ибо они «дополнения» в паралле-
лограмме ML; и значит, АН равно PI; значит, четыре
площади АН, MQ, QL, PI равны между собой; значит,
все четыре <вместе> — учетверённое АН. Доказано же,
что и четыре СК, KD, HP, PN <вместе> учетверённое СК;
значит, эти восемь <площадей>, которые заключают гно-
мон STY,—-учетверённое АК. И поскольку АК есть пря-
*) Т. е. построим не один гномон, как в предложении 7, а
два — при точке Q и при точке К, т. е. проведём диаметр DE и
прямые BL, CG, параллельные DI, АЕ, и MN, КО, параллельные
AD, EI.
КНИГА ВТОРАЯ
71
моугольник между АВ, BD, ибо ВК равна BD, значит,
четырежды <взятый> прямоугольник между АВ и BD ра-
вен учетверённому АК.
Доказано же, что учетверённое АК есть и гномон STY;
значит, учетверённый прямоугольник между АВ и BD ра-
вен гномону STY. Прибавим общий XG, который равен
квадрату иа АС; значит, учетверённый прямоугольник, за-
ключённый между АВ и BD вместе с квадратом на АС,
равен гномону STY и XG. Но гномон STY и XG в целом
составляют квадрат AEID, который будет на AD; значит,
четырежды <взятый> прямоугольник между АВ и BD вместе
с квадратом на АС равны квадрату на AD; BD же равна ВС.
Значит, четырежды <взятый> прямоугольник, заключённый
между АВ и ВС вместе с квадратом на АС, равны квадрату
на AD, т. е. квадрату, надстроенному на АВ и ВС как
на одной <прямой>.
Значит, если прямая линия как-либо рассечена, то
учетверённый прямоугольник, заключённый между всей
<прямой> и одним из отрезков, вместе с квадратом на
оставшемся отрезке равен квадрату, надстроенному на всей
прямой и упомянутом отрезке, как на одной <прямой>,
что и требовалось доказать.
Предложение 9
Если прямая линия рассечена на равные и на не-
равные (частиц, то квадраты на неравных отрезках
всей (прямой^ (вместе^ вдвое больше квадрата на по-
ловине вместе с квадратом на (прямой^ между сече-
ниями.
В самом деле, пусть какая-либо прямая АВ рассечена
на равные части в С, на неравные же в D; я утверждаю,
что квадраты иа AD и DB <вместе> вдвое больше квад-
ратов на АС и CD (черт. 9).
Действительно, из С под прямыми углами к АВ про-
ведём СЕ (предложение 11 книги I) и отложим её равной
каждой из АС и СВ, соединим ЕА и ЕВ и через D, па-
раллельную ЕС, проведём DI, а через I, параллельную АВ,
проведём IH и соединим AI. И поскольку АС равна СЕ,
72
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
то и угол ЕАС равен АЕС (предложение 5 книги I).
И поскольку угол при С прямой, то значит, остальные
углы ЕАС и АЕС <вместе> равны одному прямому (пред-
ложение 32 книги I); и они равны; значит, каждый из
углов СЕА и САЕ есть половина прямого.
Вследствие того же вот и каждый из углов СЕВ,
ЕВС—половина прямого; значит, весь угол АЕВ прямой.
И поскольку угол HEI половина прямого; угол же EHI
Е прямой; ибо он равен
Черт. 9.
внутреннему противоле-
жащему ЕСВ (по предло-
жению 29 книги I); значит,
остающийся угол EIH
есть половина прямого;
значит, угол HEI равен
EIH-, так что сторона ЕН
равна HI (предложение 6
книги I). Далее, посколька
угол при В — половину
прямого, угол же IDB прямой, ибо он опять равен внутренне-
му и противолежащему углу ЕСВ (по предложению 29 кни-
,ги I); значит, остающийся угол BID — половина прямого; зна-
чит, угол при В равен DIB', так что и сторона ID равна
стороне DB (предложение 6 книги I). И поскольку АС равна
СЕ, то и квадрат на АС равен квадрату на СЕ; значит, квад-
раты на АС и СЕ составляют удвоенный квадрат на АС.
Квадратам же на АС и СЕ равен квадрат на ЕА, ибо угол
АСЕ прямой; значит, квадратна ЕА вдвое больше квадрата
на АС. Далее, поскольку ЕН равна HI (предложение 34
книги I), то и квадрат на ЕН равен квадрату на HI; зна-
чит, квадраты на ЕН, HI вдвое больше квадрата на HI.
Квадратам же на ЕН, HI равен квадрат на EI; значит,
квадрат на EI вдвое больше квадрата на HI. Но HI
равна CD; значит, квадрат на EI есть удвоенный квадрат
на CD. Но и квадрат на ЕА есть удвоенный квадрат на АС;
значит, квадраты на АЕ и EI <вместе> в два раза больше
<вместе взятых> квадратов на АС и CD. Квадратам же на
АЕ и EI <вместе> равен квадрат на AI, ибо угол AEI
прямой (предложение 47 книги I); значит, квадрат на AI
КНИГА ВТОРАЯ
73
вдвое больше <вместе взятых> квадратов на АС и CD.
Квадрату же на А! равны квадраты на AD и DI, ибо
угол при D прямой; значит, квадраты на AD и DI вдвое
больше квадратов на АС и CD. Но DI равна DB;
значит, квадраты на AD и DB вдвое больше квадратов
на АС и CD.
Значит, если прямая рассечена на равные и на нерав-
ные <части>, то квадраты на неравных отрезках всей <пря-
мой> <вместе> вдвое больше квадрата на половине вместе
с квадратом на <прямой> между сечениями, что и требо-
валось доказать (15, 16, 17, 18).
Предложение 10
Если прямая линия рассечена пополам и к ней «по
прямой» приставлена какая-нибудь другая прямая, то
квадрат на всей прямой с приставленной и квадрат на
приставленной (вместе взя-
тыеу вдвое больше квадрата
на половине и квадрата,
надстроенного на половине и
приставленной как на одной
прямой.
В самом деле, пусть какая-
либо прямая АВ рассечена
£ /
пополам в С, к ней же «по Н_
прямой» приставлена какая- Черт. 10.
нибудь другая прямая BD
(черт. 10); я утверждаю, что квадраты на AD и DB
<вместе взятые> вдвое больше квадратов на АС и CD.
Действительно, из точки С под прямыми углами к АВ
проведём СЕ, отложим её равной каждой из АС, СВ и
соединим ЕА и ЕВ; и через Е, параллельную AD, про-
ведём EI, через же D, параллельную СЕ, проведём ID.
И поскольку на параллельные прямые ЕС и ID упала не-
которая прямая EI, то значит, углы CEI и EID <вместе>
равны двум прямым (предложение 29 книги I); значит,
углы IEB и EID вместе меньше двух прямых; прямые же,
продолженные в сторону углов, меньших двух прямых,
74
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
сходятся; значит, ЕВ, ID, продолженные в сторону В и D,
сойдутся. Продолжим их и пусть они сойдутся в Н; со-
единим АН. И поскольку АС равна СЕ, и угол ЕАС равен
АЕС (предложение 5 книги I); и угол при С прямой; зна-
чит, каждый из углов ЕАС, АЕС—половина прямого
(предложение 32 книги I). Вследствие того же вот и
каждый из углов СЕВ, ЕВС— половина прямого; значит,
угол АЕВ прямой. И поскольку угол ЕВС — половина
прямого, то значит, и угол DBH половина прямого (пред-
ложение 15 книги I). Но и угол BDH прямой, ибо он
равен углу DCE; они накрестлежащие (предложение 29
книги I); значит, остающийся угол DHB половина прямого;
значит, угол DHB равен DBH, так что и сторона BD
равна стороне HD (предложение 6 книги I). Далее, по-
скольку угол EHI— половина прямого, угол же при /
прямой, ибо он равен противоположному углу при С
(предложение 34 книги I); значит, остающийся угол IEH—
половина прямого (предложение 32 книги I); значит, угол
EHI равен IEH, так что и сторона HI равна стороне EI.
И поскольку [£С равна СА и] квадрат на ЕС равен квад-
рату на СА; значит, квадраты на ЕС и СА <вместе> вдвое
больше квадрата на СА. Квадратам же на ЕС и СА равен
квадрат на ЕА (предложение 47 книги I); значит, квадрат
на ЕА вдвое больше квадрата на АС. Далее, поскольку
IH равна EI, и квадрат на IH равен квадрату на IE, зна-
чит, квадраты на HI и на IE <вместе> вдвое больше квад-
рата на EI. Квадратам же на HI и IE <вместе> равен
квадрат на ЕН (предложение 47 книги I); значит, квадрат
на ЕН вдвое больше квадрата на EI. Но EI равна CD
(предложение 34 книги I), значит квадрат на ЕН вдвое
больше квадрата на CD. Доказано же, что и квадрат на
ЕА вдвое больше квадрата на АС, значит, квадраты на АЕ
и ЕН <вместе> вдвое больше <вместе взятых> квадратов
на АС и CD. Квадратам же на АЕ и ЕН равен квадрат
на АН (предложение 47 книги I); значит, квадрат на АН
вдвое больше квадратов на АС и CD. Квадрату же на АН
равны <вместе взятые> квадраты на AD и DH; значит,
квадраты на AD и на DH вдвое больше квадратов
на АС и CD. Но DH равна DB; значит, квадраты
КНИГА ВТОРАЯ
75
на AD и DB <вместе> вдвое больше квадратов на АС
и CD.
Значит, если прямая линия рассечена пополам и к ней
«по прямой» приставлена какая-нибудь прямая, то квадрат
на всей прямой с приставленной и квадрат на приставлен-
ной <вместе взятые> вдвое больше квадрата на половине
н квадрата, надстроенного на половине и приставленной
как на одной прямой, что и требовалось доказать (19).
Предложение 11
Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник,
заключённый между целой и одним из отрезков, был
равен квадрату на оставмемся от-
резке *).
Пусть данная прямая будет АВ
(черт. И); вот требуется АВ рассечь
так, чтобы прямоугольник, заключённый
между целой и одним из отрезков, был
равен квадрату на оставшемся отрезке.
Надстроим на АВ квадрат ABDC
(предложение 46 книги I), рассечём АС
пополам в точке Е, соединим BE, про-
должим СА до /, отложим Е/, равную
BE, надстроим на А/ квадрат 10 и
продолжим HG до К', я утверждаю,
что АВ рассечена в О так, что прямо-
угольник, заключённый между АВ, BG,
квадрату на АО.
она делает равным
Действительно, поскольку АС рассечена пополам в Е
и к ней прикладывается IA, то значит, прямоугольник,
заключённый между CI, IA, вместе с квадратом на АЕ,
равен квадрату на EI (предложение 6). EI же равна ЕВ;
значит, прямоугольник между CI, IA, вместе с квадратом
*) Это так называемое золотое сечение или деление в сред-
нем и крайнем отношении, когда линия делится так, что больший
отрезок является средней пропорциональной между всей линией
и меньшим отрезком. Современное решение читатель может найти
в любом учебнике геометрии.
76
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
на АЕ, равен квадрату на ЕВ. Но квадрату на ЕВ равны
квадраты на ВА и АЕ <вместе>; ибо угол при А прямой
(предложение 47 книги I); значит, прямоугольник между
CI, IA, вместе с квадратом на АЕ, равен <вместе взятым>
квадратам на ВА и на АЕ. Отнимем общий квадрат на АЕ',
значит, остающийся прямоугольник, заключённый между
С/, IA, равен квадрату на АВ. И прямоугольник между
CI, IA есть ГК, ибо AI равна IH; квадрат же на АВ есть AD;
значит, IK равно AD. Отнимем общий АК, значит, оста-
ток IG равен GD. И GD есть прямоугольник между АВ,
BG, ибо АВ равна BD', IG же есть квадрат на AG; зна-
чит, прямоугольник, заключённый между АВ и BG, равен
квадрату на GA.
Значит, данная прямая АВ рассечена в G так, что
прямоугольник, заключённый между АВ, BG, она делает
равным квадрату на ОА, что и требовалось сделать (20,21).
Предложение 12
В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне,
стягивающей тупой угол, больше (вместе взятыхУ квад-
ратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды
взятый прямоугольник, заключённый между одной из
сторон при тупом угле, на которую падает перпенди-
куляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи
отрезком при тупом угле.
Пусть тупоугольный треугольник будет АВС, имеющий
тупой угол ВАС, и пусть из точки В на продолженную СА
будет опущен перпендикуляр BD.
Я утверждаю, что квадрат на ВС больше квадратов
на ВА и АС <вместе> на дважды взятый прямоугольник,
заключённый между СА, AD (черт. 12).
Действительно, поскольку прямая CD рассечена как-
нибудь в точке А, то значит (по предложению 4), квадрат
на DC равен квадратам на СА и AD и дважды <взятому>
прямоугольнику между СА, AD. Прибавим общий квадрат
на DB; значит, квадраты на CD и DB <вместе> равны
квадратам на СА, на AD, на DB и дважды <взятому>
[прямоугольнику, заключённому] между СА, AD. Но квад-
КНИГА ВТОРАЯ
77
ратам на CD и DB равен квадрат на СВ, ибо угол при D
прямой (предложение 47 книги I); квадратам же на AD
и DB <вместе> равен квадрат на АВ', значит, квадрат на
СВ равен квадратам на СА и АВ и дважды <взятому>
прямоугольнику, заключённому
между СА, AD; так что квадрат к
на СВ больше квадратов на СА \
и АВ на дважды <взятый> пря- \
моугольник, заключённый между \
СА, AD. \ X.
Значит, в тупоугольных тре- \
угольниках квадрат на стороне, \
стягивающей тупой угол, больше -----А— -
<вместе взятых> квадратов на
сторонах, содержащих тупой угол, Черт. 12.
на дважды <взятый> прямоуголь-
ник, заключённый между одной из сторон при тупом угле,
на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим
перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле, что
и требовалось доказать.
Предложение 13
В остроугольных треугольниках квадрат на стороне,
стягивающей острый угол, меньше (вместе взятыху
квадратов на заключающих острый угол сторонах на
дважды взятый прямоугольник, заключённый между
одной из сторон при остром угле, на которую падает
перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром
внутрь отрезком при остром угле.
Пусть остроугольный треугольник будет АВС, имеющий
острый угол при В, и пусть из точки А на ВС будет про-
ведён перпендикуляр AD (черт. 13); я утверждаю, что
квадрат на АС меньше квадратов на СВ и ВА <вместе>
на дважды <взятый> прямоугольник, заключённый между
СВ, BD.
Действительно, поскольку прямая СВ рассечена как-
нибудь в точке D, то значит (по предложению 7), квад-
раты на СВ и BD равны удвоенному прямоугольнику,
78
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
заключённому между СВ, BD и квадрату на DC. Прибавим
общий квадрат на DA; значит, квадраты на СВ, на DB,
на DA <вместе> равны дважды <взятому> прямоугольнику,
заключённому между СВ, BD, и квадратам на AD и DC.
Но квадратам на BD и DA равен квадрат на АВ, ибо
д угол при D прямой (предложение
д 47 книги I); квадратам же на AD и
/ \ DC равен квадрат на АС; значит,
/ \ квадраты на СВ и АВ <вместе>
/ \ равны квадрату на АС и дважды
/ \ <взятому> прямоугольнику между СВ,
/ \ BD, так что один только квадрат на
/ \ АС меньше квадратов на СВ и ВА
/ \ на дважды <взятый> прямоугольник,
В---------В-----заключённый между СВ, BD.
Значит, в остроугольных тре-
Черт. 13. угольниках квадрат на стороне, стя-
гивающей острый угол, меньше
<вместе взятых> квадратов на заключающих острый угол
сторонах на дважды <взятый> прямоугольник, заключённый
между одной из сторон при остром угле, на которую па-
дает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром
внутрь отрезком при остром угле, что и требовалось дока-
зать (22, 23, 24, 25).
Предложение 14
Построить квадрат, равный данной прямолинейной
фигуре.
Пусть данная прямолинейная <фигура> будет А; вот
требуется построить квадрат, равный прямолинейной фи-
гуре А (черт. 14).
Построим равный прямолинейной фигуре А прямоуголь-
ный параллелограмм BD (предложение 45 книги I); если
теперь BE будет равно ED, то заданное было бы выпол-
нено. Действительно, построен равный данной прямолиней-
ной фигуре А квадрат BD; если же нет, то одна из BE,
ED будет большей. Пусть большей будет BE, продолжим
её до I и отложим EI, равную ED; рассечём В! пополам
в Н (предложение 10 книги I); из центра Н раствором
КНИГА ВТОРАЯ
79
на EG.
одним из ВН или HI опишем полукруг BGI, продолжим
DE до G и соединим HG.
Поскольку теперь прямая BI рассечена на равные <от-
резки> в Н, а на неравные в Е, то (предложение 5)
значит, прямоугольник, заключённый между BE, EI вместе
с квадратом на ЕН, равен
квадрату на HI.
HI же равна HG-, значит,
прямоугольник между BE,
EI вместе с квадратом на
ЕН равен квадрату на HG.
Квадрату же на HG равны
квадраты на GE и ЕН <вме-
сте> (предложение 47 кни-
ги I); значит, прямоугольник
между BE, EI вместе с
квадратом на НЕ равен квад-
ратам на GE и ЕН. Отни-
мем общий квадрат на НЕ',
тогда остающийся прямо-
угольник, заключённый ме-
жду BE, EI, равен квадрату
между BE, El есть BD, ибо EI равна
лелограмм BD равен квадрату на GE.
BD же равен прямолинейной фигуре А. И значит,
прямолинейная фигура А равна квадрату, который будет
надстраиваться на EG.
Значит, построен равный данной прямолинейной фигу-
ре А квадрат, <именно тот>, который будет надстраиваться
на EG, что и следовало сделать (26, 27).
Но прямоугольник
ED; значит, парал-
КНИГА ТРЕТЬЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Равные круги суть те, у которых диаметры равны
или <прямые> из центра *) равны (1).
2. Утверждают **), что прямая касается ***) круга,
если она встречает круг, но при продолжении не пере-
секает круга (2).
3. Утверждают, что круги касаются друг друга, если
они, встречаясь, не пересекают друг друга.
4. Утверждают, что в круге прямые равноотстоят
от центра, если прямые перпендикуляры, проведённые к
ним из центра, равны.
5. Утверждают, что отстоит больше та, на которую
падает больший перпендикуляр (3).
6. Сегмент круга ****) есть фигура, заключающаяся меж-
ду прямой и обводом *****) круга.
*) У Евклида нет термина «радиус»; вместо него он поль-
зуется выражением т) ix той хгхтрои (подразумевая —проведён-
ная).
** ) УЕвклида Хеуетаи Термин Ще>, повидимому, употребляется
в том же смысле, как при изложении хода доказательства, где
ks'Y<o значит «я утверждаю». Так как определение носит явно
аксиоматический оттенок, то не следует переводить «говорят»
(Гейбарг) или «называется» (Петрушевский).
*»*) у Евклида ffdnTopiai — дотрагиваюсь сверху, в противо-
положность более общему «пт<о — трогаю, которое в этом опре-
делении и в следующем переводится просто «встречает».
** **) — буквально «отрезок», латинское segmentum яв-
ляется буквальным переводом греческого термина.
** ***) Слово itepi^psia у Евклида употребляется как в смысле
полной окружности круга, так и её части — дуги. Ввиду того, что
КНИГА ТРЕТЬЯ
81
7. Угол же сегмента тот, который заключается между
прямой и обводом круга (4).
8. Угол же в сегменте будет угол, заключающий-
ся между соединяющими прямыми, если взять какую-
нибудь точку на обводе сегмента и соединить её пря-
мыми с концами той прямой, которая является основа-
нием сегмента.
9. Если же заключающие угол прямые отсекают какой-
нибудь обвод, то говорят, что угол на него опирается*).
10. Сектор же круга **) есть фигура, которая, если
построить при центре круга угол, заключается между пря-
мыми, заключающими этот угол, и отсекаемым ими об-
водом.
11. Подобные сегменты кругов суть вмещающие рав-
ные углы или в которых углы равны между собой (опре-
деление 8).
Предложение 1
Найти центр данного круга.
Пусть данный круг будет АВС; вот требуется найти
центр круга АВС.
Проведём как-нибудь в нём некоторую прямую АВ,
рассечём её пополам в точке D, из D под прямыми углами
к АВ проведём DC (предложение 11 книги I), продолжим
до Е и рассечём СЕ пополам в I (черт. 1). Я утверждаю,
что I есть центр [круга] АВС.
Действительно, пусть не так, но, если возможно, пусть
будет Н <центром>; соединим НА, HD, НВ. И поскольку
это обстоятельство очень характерно для изложения Евклида, мы
в дальнейшем будем пользоваться термином «обвод», предста-
вляющим буквальный перевод греческого KEptfjpcu (игре-)-
-)- cpepojiac — несусь кругом).
*) У Евклида pefTjXEvai — производная форма от faivco—
шагаю, ступаю. Форма обозначает, что я ступил и стою
неподвижно.
** ) У Евклида тоцео?, т. е. резец. Латинское sector представ-
ляет буквальный перевод этого слова.
6 Евклид
82
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
,с
£
Черт. 1.
AD равна DB, a DH общая, то вот две прямые AD, DH
равны двум HD, DB каждая каждой; н основание НА равно
основанию НВ (ибо <обе> «из
центра»*); значит (предложе-
ние 8 книги I), угол ADH равен
HDB. Если же прямая, восстав-
ленная на прямой, образует смеж-
ные углы, равные между собой,
то каждый из равных углов пря-
мой (определение 10 книги I);
значит, угол HDB прямой. Но
и IDB прямой; значит, IDB равен
HDB — больший меньшему, что
невозможно. Значит, Н не есть
центр круга АВС. Подобным обра-
зом докажем, что и никакая дру-
гая точка, кроме /.
есть центр [круга]
Следствие
Из этого вот ясно, что если в круге
мая рассекает другую прямую пополам и
лом, то на секущей прямой находится центр круга — это
и требовалось сделать **) (5).
Значит, точка
I
АВС.
какая-либо пря-
под прямым уг-
Предложение 2
Если на обводе круга взять какие-либо две точки, то
прямая, соединяющая эти точки, попадёт внутрь круга.
Пусть круг будет АВС и на обводе его взяты какие-либо
две точки А, В. Я утверждаю, что соединяющая А с В
прямая попадёт внутрь круга (черт. 2).
Действительно, пусть не так, но, если возможно, пусть
упадёт вне <круга>, как ЛЕВ; возьмём центр круга АВС
(предложение 1), н пусть он будет D; соединим DA, DB
и продолжим DIE.
*) Т. е. радиусы.
** ) oTtsp йе1 KGivjoat. Эти слова представляют заключение пред-
ложения 1 и должны предшествовать следствию.
КНИГА ТРЕТЬЯ
83
Черт. 2.
же DAE равен DBE-,
DEB больше DBE.
же угол стягивается
стороной (предложе-
Поскольку теперь DA равно DB, то, значит, и угол
DAE равен DBE (предложение 5 книги I); и поскольку в
треугольнике DBE продолжена одна сторона ЛЕВ, то, зна-
чит, угол DEB будет больше
DAE (предложение 16 книги I).
Угол
значит,
Больший
большей
ние 19 книги 1); значит, DB
больше DE. DB же равна DI.
Значит, DI больше DE, мень-
шая большей, что невозможно.
Значит, соединяющая А с В
прямая не попадёт вне кру-
га. Подобным вот образом
докажем, что и не на самый обвод;
Значит, если на обводе круга
точки, то прямая, их соединяющая,
что и требовалось доказать.
значит, внутрь.
взять две какие-либо
попадёт внутрь круга,
Предложение 3
Если в круге некоторая (проходящая) через центр
прямая другую, не (проходящую) через центр прямую
сечёт пополам, то сечёт её и под прямыми углами-, и
если сечёт её под прямыми углами, то сечёт её и пополам.
Пусть круг будет АВС и в нём некоторая (черт. 3)
<проходящая> через центр прямая CD другую, не <прохо-
дящую> через центр прямую АВ сечёт пополам в точке /;
я утверждаю, что она сечёт её и под прямыми углами.
Действительно, возьмём центр круга АВС (предложе-
ние 1), и пусть он будет Е, соединим ЕА, ЕВ.
И поскольку AI равна IB, IE же общая, то две <сто-
роны> равны двум; и основание ЕА равно основанию ЕВ-,
значит, угол AIE равен углу В1Е (предложение 8 книги 1).
Если же прямая, восставленная на прямой, образует смеж-
ные углы, равные между собой, то каждый нз равных уг-
лов прямой (определение 10 книги 1). Следовательно,
6*
84
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
проходящую через
Черт. 3.
каждый из углов AIE, BIE прямой. Значит, прямая CD,
проходящая через центр, секущая пополам прямую АВ, не
сечёт её и под прямыми углами.
Но вот пусть CD сечёт АВ
под прямыми углами; я утверждаю,
что она сечёт её н пополам, т. е.
что AI равна IB.
Действительно, если сделать
те же самые построения, то по-
скольку ЕА равна ЕВ и угол
EAI равен EBI (предложение 5
книги 1). Но и прямой угол AIE
равен прямому В1Е\ значит, су-
ществуют два треугольника EAI,
EIB, имеющих два угла равными
двум углам и одну сторону,
равную одной стороне, <именпо>,
общую их сторону EI, стягивающую один из равных углов;
значит, и остальные стороны они будут иметь равными
остальным сторонам (предложение 26 книги I); значит, AI
равна IB.
Значит, если в круге некоторая <проходящая> через
центр прямая другую, не <проходящую> через центр пря-
мую сечёт пополам, то сечёт её под прямыми углами, и
если сечёт её под прямыми углами, то сечёт её и пополам,
что и требовалось доказать.
Предложение 4
Если в круге секут друг друга две прямые, не про-
ходящие через центр, то они не секут друг друга по-
полам.
Пусть будет круг ABCD и в нём две прямые AC, BD,
не проходящие через центр, секут друг друга в Е; я ут-
верждаю, что они не секут друг друга пополам (черт. 4).
Действительно, если возможно, пусть они секут друг
Друга пополам, так что АЕ равна ЕС, а BE равна ED;
возьмём центр круга ABCD (предложение 1), пусть он
будет I, и соединим IE.
КНИГА ТРЕТЬЯ
85
через центр прямую
4
Черт. 4.
Поскольку теперь некоторая проходящая через центр
прямая IE другую, не проходящую
АС сечёт пополам, то опа сечёт
её и под прямыми углами; зна-
чит, угол IEA прямой; далее,
поскольку некоторая прямая IE
сечёт другую прямую BD по-
полам, то она сечёт её и под
прямыми углами; значит, угол
IEB прямой. Доказано же, что
и IEA прямой; значит, IEA
равен IEB, меньший большему,
что невозможно. Значит, АС
и BD не секут друг друга
пополам.
Значит, 'ёсли в круге секут
проходящие
пополам, что
через центр, то
и требовалось доказать.
друг друга две прямые, не
они не секут друг друга
Предложение 5
Если два круга секут друг друга, то у них не бу-
дет один и тот же центр.
Пусть два круга ABC, CDH секут друг друга в точках В,
С. Я утверждаю, что у них не
будет один и тот же центр
(черт. 5).
Действительно, если воз-
можно, пусть он будет в Е;
соединим ЕС и проведём как-
нибудь EIH. И поскольку
точка Е — центр круга АВС,
ЕС равна EI. Далее, посколь-
ку точка Е центр круга CDH,
ЕС равна ЕН; доказано же,
что ЕС равна и EI; значит,
и EI равно ЕН, меньшая
Значит, точка Е не будет
большей, что невозможно,
центром кругов ABC, CDH,
86
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Значит, если два круга секут друг друга, то у них
не будет один и тот же центр, что и требовалось до-
казать.
Предложение 6
Если два круга касаются друг друга, то у них не
будет один и тот же центр.
Пусть два круга АВС, СОЕ касаются друг друга в
точке С. Я утверждаю, что у
них не будет один и тот же
центр (черт. 6).
Действительно, если возмож-
но, пусть будет /; соединим IC и
проведём как-нибудь 1ЕВ.
Поскольку теперь точка 7 есть
центр круга АВС, то IC равна IB.
Далее, поскольку точка I есть
центр круга CDE, то IC равна IE.
Доказано же, что IC равна IB', и
значит, IE равна IB, меньшая
большей, что невозможно. Зпа-
центром кругов ABC, CDE.
чит, точка I не будет
Значит, если два круга касаются друг друга, то у них
не будет один и тот же центр, что и требовалось дока-
зать (6, 7, 8).
Предложение 7
Если в круге на диаметре взята некоторая точка, ко-
торая не будет центром круга, и из этой точки выходят *)
к кругу несколько прямых, то наибольшей будет та, на
которой центр, наименьшей же — её остаток. Из других
же более близкая к (проходящей) через центр всегда
больше более удалённой, и только (по) две равные пря-
мые выйдут из этой точки к кругу (по одной) с каж-
дой стороны от наименьшей.
*) просгНгилу — более точно было бы «устремляются» (даятм —
падаю).
КНИГА ТРЕТЬЯ
87
Пусть круг будет ABCD, диаметр же его AD и на AD
взята некоторая точка I, которая не будет центром круга
(черт. 7), центр же круга пусть будет Е, и из I пусть вы-
ходят к кругу ABCD несколько прямых IB, IC, 1Н\ я
утверждаю, что наибольшей будет IA, а наименьшей ID,
из других же IB больше IC, a IC больше IH.
Действительно, соединим BE, СЕ, НЕ. И поскольку
во всяком треугольнике две стороны <вместе> больше
оставшейся (предложение 20 книги I), то, значит, ЕВ
<вместе с> EI больше BI. АЕ „
же равна BE [значит, BE, EI ./"Vf
равны AI]’, значит, AI боль- \\
ше BI. Далее, поскольку BE / \ \ /z/\
равна СЕ, IE же общая, то вот / \
две BE, EI вместе равны двум ^[_________]п
СЕ, Е1. Но и угол BEI боль-
ше угла CEI’, значит, и осно-
вание В! больше основания CI
(предложение 24 книги 1).
Вследствие того же вот и CI
больше 1Н.
Далее, поскольку HI, IE
<вместе> больше ЕН, ЕН же
равна ED, то, значит, HI, IE больше ED. Отнимем общую
ЕЕ, значит, остаток HI больше остатка ID. Значит, наи-
большей будет прямая IA, наименьшей же — ID, при-
чём IB больше IC, а 1С больше IH.
Я утверждаю также, что из точки I выйдут к кругу
ABCD только <по> две равные прямые <по одной>
с каждой стороны от наименьшей ID. Действительно, по-
строим на прямой EI при её точке Е угол IEG, равный
IEH (предложение 23 книги 1), и соединим IG. Поскольку
теперь НЕ равна EG, EI же общая, то вот две <сто-
роны> НЕ, EI равны двум GE, EI; и угол HEI равен
углу GEI; значит, основание IH равно основанию IG. Вот
я утверждаю, что другой, равной IH, не выйдет к кругу
из точки I. Действительно, если возможно, пусть выйдет
к кругу такая НС И поскольку НС равна IH, но IG [рав-
на] IH, то, значит, НС равна IG, т. е. ближайшая к центру
Черт. 7.
88
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
равна более удалённой; это же невозможно*); значит, из
точки / не выйдет к кругу никакой другой равной Н1
прямой; значит, только одна.
Значит, если в круге на диаметре взята некоторая
точка, которая не будет центром круга, и из этой точки
выходят к кругу несколько прямых, то наибольшей будет
та, на которой центр, наименьшей же — её остаток, из
других же более близкая к <проходящей> через центр
всегда больше более удалённой и только <по> две
равные прямые выйдут из этой точки к кругу <по од-
ной > с каждой стороны от наименьшей; это и требова-
лось доказать (9).
Если взята вне круга некоторая точка и из этой
точки проводятся к кругу несколько прямых, из кото-
рых одна через центр, а другие как-нибудь, то из пря-
мых, направленных к вогнутому обводу, наибольшая та,
которая через центр, а из других более близкая к про-
ходящей через центр всегда больше более удалённой, из
прямых же, направленных к выпуклому обводу, наимень-
шая та, которая находится между данной точкой и
диаметром, а из других более близкая к наименьшей
всегда меньше более удалённой и только (поу две рав-
ные прямые выходят из этой точки к кругу (по одной/
с каждой стороны наименьшей.
Пусть круг будет АВС, и пусть вне круга АВС взята
некоторая точка D и из неё проводятся несколько прямых
DA, DE, DJ, DC, и пусть DA будет через центр. Я ут-
верждаю (черт. 8), что из прямых, направленных к во-
гнутому обводу AEIC, наибольшая та, которая через центр —
*) В этом_месте в некоторых рукописях стоит следующий
абзац, который Генберг не относит к первоначальному тексту
Евклида, помещая его в приложении:
«Или и таким образом. Соединим ЕК И поскольку НЕ
равна EK, EI же общая, и основание IH равно основанию IK,
то, значит, угол HEI равен углу КЕЕ Но угол HEI равен углу
ОЕГ, и, значит, он равен углу KEI — меньший большему; что
невозможно».
КНИГА ТРЕТЬЯ
89
Черт. 8.
KD\ и поскольку в
В
DA, DE же больше DI, DI же больше DC, из прямых
же, направленных к выпуклому обводу GLKH, наименьшая
DH, которая между точкой и диаметром АН, более же
близкая к наименьшей DH всегда меньше более удалён-
ной, <а именно>, DK меньше DL, DL же меньше DG.
Возьмём центр круга АВС, и пусть он будет 7И; со-
единим ME, MI, МС, МК, ML, MG.
И поскольку AM равна ЕМ, прибавим общую MD;
значит, AD равна ЕМ, MD. Но ЕМ, MD <вместе> больше
ED (предложение 20 книги 1); и
значит, AD больше ED. Далее,
поскольку ME равна MI, MD же
общая, то, значит, ЕМ, MD рав-
ны IM, MD', и угол EMD больше
угла IMD. Значит, основание ED
больше основания ID. Таким же
вот образом докажем, что и ID
больше CD‘, значит, наибольшая
DA, DE же больше DI (пред-
ложение 24 книги I), DI же
больше DC.
И поскольку МК и KD <вме-
сте> больше MD (предложение
20 книги 1), МН же равна МК,
то, значит, остаток KD больше
остатка HD\ так что HD меньг
треугольнике MLD на одной из сторон внутри восставле-
ны две прямые МК, KD, то значит, МК, KD <вместе>
меньше ML, LD (предложение 21 книги 1); МК же равна
MD, значит, остаток DK меньше остатка DL. Таким же
вот образом докажем, что и DL меньше DG; значит,
наименьшая DH, DK же меньше DL и DL меньше DG.
Я утверждаю, что только <по> две равные прямые на-
правляются из точки D к кругу <по одной> с каждой
стороны наименьшей DH.
Построим на прямой MD и при её точке М угол
DMB, равный углу KMD (предложение 23 книги 1), и
соединим DB. И поскольку МК равна MB, MD же общая,
то вот две <стороны> КМ, MD равны двум ВМ, MD
90
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
каждая каждой; и угол KMD равен углу BMD; значит,
основание DK равно основанию DB (предложение 4 кни-
ги 1). Я утверждаю, что никакая другая равная DK прямая
не выйдет к кругу из точки D. Действительно, если воз-
можно, пусть выйдет и будет DN. Поскольку теперь DK
равна DN, но DK равна DB, и значит, DB равна DN,
<т. е.> более близкая к наименьшей DH равна более
удалённой, что, как доказано, невозможно*).
Значит, не более двух равных прямых выходят к кру-
гу АВС из точки D по одной с каждой стороны наимень-
шей DH.
Значит, если взята вне круга некоторая точка и из
этой точки проводятся к кругу несколько прямых, из ко-
торых одна через центр, а другие — как-нибудь, то из
прямых, направленных к вогнутому обводу, наибольшая та,
которая через центр, а из других более близкая к прохо-
дящей через центр всегда больше более удалённой; из
прямых же, направленных к выпуклому обводу, наимень-
шая та, которая находится между данной точкой и диа-
метром, а из других более близкая к наименьшей всегда
меньше более удалённой, и только <по> две равные пря-
мые выходят из этой точки к кругу по одной с каждой
стороны наименьшей, что и требовалось доказать.
Предложение^
Если внутри круга взята некоторая точка и из этой
точки к кругу выходят более чем две равные прямые,
то взятая точка есть центр круга.
Пусть круг будет АВС, точка же внутри его D, и из
D к кругу АВС выходят более чем две равные прямые:
*) В этом месте в некоторых рукописях находятся следую-
щие слова, которые Гейберг удаляет из основного текста: «Или
и иначе. Соединим MN. Поскольку ДТП равна MN, M.D же об-
щая, и основание Г) Кравно основанию DN, то, значит, угол KMD
равен углу DMN. Но угол KMD равен углу BMD', и, значит,
угол BMD равен углу NMD — меньший большему; это же не-
возможно».
КНИГА ТРЕТЬЯ
91
DA, DB, DC', я утверждаю, что точка D есть центр круга
АВС (черт. 9).
Действительно, соединим АВ, ВС и рассечём их попо-
лам в точках Е и I, и соединяющие ED, ID продолжим
до точек Н, К, G, L.
Поскольку теперь АЕ равна ЕВ, ED же общая, то
вот две <стороны> АЕ, ED равны двум BE, ED и осно-
вание DA равно основанию DB',
значит, угол AED равен углу
BED (предложение 8 книги 1);
значит, каждый из углов AED,
BED прямой (определение 10
книги I); значит, НК сечёт АВ
пополам и под прямыми угла-
ми. И поскольку если в .круге
некоторая прямая сечёт неко-
торую прямую пополам и под
прямыми углами, то на секу-
щей находится центр круга,
значит, на НК находится центр
круга. Вследствие того же вот и на GL находится центр
круга АВС. И никакой другой общей <точки>, кроме D,
не имеют прямые НК, GL', значит, точка D есть центр
круга АВС.
Значит, если внутри круга взята некоторая точка и из
этой точки к кругу выходят более чем две равные прямые,
то взятая точка есть центр круга, что и требовалось дока-
зать (10, 11).
Предложение 10
Круг не сечёт круга более чем в двух точках.
Действительно, если возможно, пусть круг АВС сечёт
круг DEI больше, чем в двух точках В, Н, I, G; и со-
единяющие прямые BG и ВН пусть будут разделены попо-
лам в точках К и Ц и проведённые из К и L под пря-
мыми углами к BG, ВН прямые КС, LM пусть будут про-
должены до точек А, Е (черт. 10).
Поскольку теперь в круге АВС некоторая прямая АС
сечёт некоторую прямую BG пополам и под прямыми
92
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
углами, то, значит, на АС находится центр круга АВС
(следствие предложения 1). Далее, поскольку в том же
самом круге АВС некоторая прямая NX сечёт некоторую
прямую ВН пополам и под
прямыми углами, то, значит,
на NX находится центр кру-
га АВС.
Доказано же, что он и
на АС, и прямые АС и NX
нигде не встречаются, кроме
как в О; значит, точка О
есть центр круга АВС.
Таким же вот образом
докажем, что О есть также
центр и круга DEI-, значит,
у двух взаимно пересекающихся кругов ABC, DEI один
и тот же центр О; это же невозможно (предложение 5).
Значит, круг не сечёт круга более, чем в двух точках,
что и требовалось доказать (12).
Предложение 11
Если два круга касаются между собой изнутри и
взяты их центры, то соединяю-
щая их центры прямая при Д
продолжении упадёт в точку %. /У? X.
касания кругов *). /I \\ / \ \
Пусть два круга ABC, ADE /[ \'у I \
касаются друг друга изнутри в I \ \/^ I ]
точке А и взяты круга АВС— \ х. I У /
центр I, круга же ADE—-центр \ -----"с:
Н; я утверждаю, что прямая, \ /
соединяющая Н с I, при про-
должении упадёт в А (черт. 11). С
Черт. 11.
*) У Евклида «eaettai — строго говоря не в точку
касания, а в место или область касания (ouva®-q — просто «сопри-
косновение»).
КНИГА ТРЕТЬЯ
93
Действительно, пусть это не так, но, если возможно,
пусть она упадёт, как IHG', соединим Д/, АН.
Поскольку теперь АН, HI <вместе> больше IA, то-есть
IG, то отнимем общую IH; значит, остаток АН больше
остатка HG. АН же равна HD; и значит, HD больше
HG — меньшая большей, что невозможно; следовательно,
соединяющая I с Н прямая не упадёт во вне; значит, она
упадёт в точку А касания.
Значит, если два круга касаются между собой изну-
три и взяты их центры, то соединяющая их центры пря-
мая при продолжении упадёт в точку касания кругов,
что и требовалось доказать (13).
Предложение 12
Если два круга касаются друг друга извне, то прямая,
соединяющая их центры, пройдёт, через точку касания*).
Пусть два круга
ABC, ADE касаются
друг друга извне в
точке А и пусть взя-
ты круга АВС центр /,
круга же ADE центр Н;
я утверждаю, что пря-
мая, соединяющая I с
Н, пройдёт через точку
касания А (черт. 12).
Действительно, пусть
это не так, ио, ес-
Черт. 12.
ли возможно, пусть она пройдёт как ICDH', соединим
AI, АН.
Поскольку теперь точка 1 центр круга АВС, то IA
равна IC. Далее, поскольку точка Н центр круга ADE,
то АН равна HD. Доказано же, что и IA равна IC; зна-
чит, /Д, АН <вместе> равны IC, HD; так что вся IH
*) У Евклида ётсжр-q — внешнее касание в противоположность
a’mfvj предыдущего предложения, в котором говорилось о вну-
треннем касании.
94
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
больше М, АН-, но она и меньше (предложение 20
книги I), что невозможно. Значит, соединяющая I с Н
прямая не пройдёт вне точки касания А; значит, через
неё.
Значит, если два круга касаются друг друга извне, то
прямая, соединяющая их центры, пройдёт через точку ка-
сания, что и требовалось доказать.
Предложение 13
Круг не касается круга более чем в одной точке,
как изнутри, так и извне.
Действительно, если возможно, пусть круг ABCD ка-
Далее, поскольку точка
равна GD-, доказано же, 1
сается круга EBID сперва из-
нутри больше, чем в одной
точке, в D, В (черт. 13).
И возьмём круга ABCD
центр Н, EBID же центр G.
Значит, прямая, соединяющая
Н с G, упадёт в В и D
(предложение 11). Пусть она
упадёт как BHGD. И по-
скольку точка Н есть центр
круга ABCD, то ВН равна HD-,
значит, ВН больше GD-, зна-
чит, подавно BG больше GD.
G центр круга EBID, то BG
ю она и подавно больше, что
невозможно; значит, круг касается круга изнутри не более,
чем в одной точке.
Я утверждаю вот, что то же и извне.
Действительно, если возможно, пусть круг АСК касается
круга ABCD извне больше, чем в одной точке, в А, С; со-
единим АС.
Поскольку теперь у кругов ABCD, АСК взяты на об-
воде каждого две какие-нибудь точки А, С, то прямая,
соединяющая эти точки, упадёт внутри каждого (предло-
жение 2); но она упала внутри ABCD и вне АСК (пред-
ложение 3), что нелепо; значит, круг не касается круга
КНИГА ТРЕТЬЯ
95
извне более чем в одной точке. Доказано же, что так же
и изнутри.
Значит, круг не касается круга более чем в одной
точке, как изнутри, так и извне, что и требовалось до-
казать (14).
Предложение 14
В круге равные прямые равно отстоят от центра
и равноотстоящие от центра равны между собой.
Пусть будет круг ABCD и в нём равные прямые АВ, CD;
я утверждаю, что АВ, CD равно отстоят от центра (черт. 14).
Действительно, возьмём центр
круга ABCD и пусть он будет Е,
и из £ к АВ и CD проведём
перпендикуляры EI и ЕН и со-
единим АЕ, ЕС.
Поскольку теперь некоторая
проведённая через центр прямая
EI некоторую не проходящую
через центр прямую АВ сечёт под
прямыми углами, то она сечёт её
и пополам (предложение 3). Зиа-
чит, AI равна IB; значит, АВ уд-
военная АЕ Вследствие того же вот и CD удвоенная СН,
и АВ равна CD; значит, и AI равна СН. И поскольку АЕ
равна ЕС, то и квадрат на АЕ равен квадрату на ЕС.
Но квадрату на АЕ равны квадраты на AI, EI <вместе>,
ибо угол при I прямой (предложение 47 книги I); квад-
рату же на ЕС равны квадраты на ЕН, НС <вместе>,
ибо угол при Н прямой; значит, квадраты на AI и IE
<вместе> равны квадратам на СН, НЕ, из которых квад-
рат на AI равен квадрату на СН, ибо AI равна СН;
значит, остающийся квадрат па IE равен квадрату на
ЕН; значит, EI равна ЕН. В круге же равноотстоящими
от центра называются прямые, если проведённые из цен-
тра к ним перпендикуляры равны (определение 4); значит,
АВ, CD равно отстоят от центра.
Но вот пусть прямые АВ, CD равно отстоят от цен-
тра, т. е. EI равна ЕН. Я утверждаю, что и АВ равна CD.
96
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, сделав те же самые построения, подоб-
ным же образом докажем, что АВ вдвое больше AI, a CD
вдвое больше GH; и поскольку АЕ равна СЕ, то квад-
рат на АЕ равен квадрату на СЕ; но квадрату на АЕ
равны квадраты на EI, [А <вместе> (предложение 47
книги 1), квадрату же на СЕ равны квадраты на ЕН, НС
<вместе>. Значит, квадраты на EI, IA <вместе> равны
квадратам на ЕН, НС; из них квадрат на EI равен ква-
драту па ЕН, ибо EI равна ЕН; значит, остающийся ква-
драт на AI равен квадрату на СН; значит, AI равна СН;
и удвоенная AI будет АВ, удвоенная же СН будет CD;
значит, АВ равна CD.
Значит, в круге равные прямые равно отстоят от цен-
тра и равноотстоящие от центра равны между собой, что и
требовалось доказать (15).
Предложение 15
В круге наибольшая (прямая^— диаметр, аз других
же всегда более близкая к центру больше более удалённой.
ложим EL, равную EG,
Пусть круг будет ABCD,
диаметр же его AD, центр же
Е, и пусть более близкая к
диаметру AD прямая будет ВС,
а более удалённая IH; я ут-
верждаю, что наибольшей бу-
дет AD, ВС же больше IH
(черт. 15).
Действительно, проведём из
центра Е к ВС, IH перпен-
дикуляры EG, ЕК. И посколь-
ку ВС ближе к центру, IH
же дальше, то, значит, ЕК боль-
ше EG (определение 5). От-
и проведённую через L под
прямыми углами к ЕК прямую LM продолжим до N и
соединим ME, EN, IE, ЕН. И поскольку EG равна EL,
то и ВС равна MN (предложение 14). Далее, поскольку
ЛЕ равна ЕМ, ED же равна EN, то, значит, AD равна
КНИГА ТРЕТЬЯ
97
ME, EN <вместе взятым>. Но ME, EN <вместе> больше
MN (предложение 20 книги I) [и AD больше ЛДУ], MN
же равна ВС; значит, AD больше ВС. И поскольку две
стороны ME, EN равны двум IE, EN, и угол MEN больше
угла IEH, то значит, основание MN больше основания
IH (предложение 24 книги I). Но доказано, что MN равна
ВС [и ВС больше 1Н]. Значит, наибольшая <прямая> — диа-
метр AD, и ВС больше IH.
Значит, в круге наибольшая <прямая> — диаметр, из
других же всегда более близкая к центру больше более
удалённой, что и требовалось доказать.
Предложение 16
Прямая, проведённая под прямыми углами к диа-
метру круга в <его> концах*), упадёт вне круга, и в
пространстве между прямой и обводом не поместится **)
никакая другая прямая, и
угол полукруга больше вся-
кого прямолинейного ост-
рого угла, а остаток
меньше.
Пусть АВС круг около
центра D с диаметром АВ; я
утверждаю, что прямая,
проведённая из А под пря-
мыми углами к АВ в кон-
цах, упадёт вне круга
(черт. 16).
Действительно, пусть
это не так, но если воз-
можно, пусть она упадёт внутри, как АС; соединим DC.
Поскольку DA равна DC, то и угол DAC равен ACD
(предложение 5 книги I). Угол же DAC прямой; значит,
и угол ACD прямой. Вот в треугольнике ACD два угла
DAC, ACD <вместе> равны двум прямым, что невозможно
*) axpov — край, конец, вершина.
•* ) о! nape|Mte«ixai — не впадёт между.
Евклид
1
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
98
(предложение 17 книги I). Значит, прямая, проведённая из
точки А под прямыми углами к ВА, не упадёт внутри круга.
Подобным же вот образом докажем, что и не по об-
воду; значит, <она упадёт> вне.
Пусть она упадёт, как АЕ\ вот я утверждаю, что в
пространстве между прямой АЕ и обводом CGA не поме-
стится никакая другая прямая.
Действительно, если это возможно, то пусть поместится
как М; проведём из точки D к IA перпендикуляр DJJ. И
поскольку угол AHD прямой, угол же DAH меньше пря-
мого, то значит, AD больше DH (предложение 19 книги I).
ОД же равна DG; значит, DG больше DH, меньшая —
большей, что невозможно. Значит, в пространстве между
прямой и окружностью никакая другая прямая не поме-
стится.
Я утверждаю, что и угол полукруга, <то-есть> заклю-
чённый между прямой ВА и обводом CGA, больше всякого
прямолинейного острого угла, остаток же, заключённый
между обводом CGA и прямой АЕ, меньше всякого пря-
молинейного острого угла.
Действительно, если существует некоторый прямоли-
нейный угол, больший угла, заключённого между прямой
ВА и обводом CGA, или меньший угла, заключённого
между обводом CGA и прямой АЕ, то в пространстве
между обводом CGA и прямой АЕ поместится прямая, ко-
торая образует заключённый между прямыми угол, боль-
ший угла, заключённого между прямой АВ и обводом
CGA, или меньший угла, заключённого между обводом
CGA и прямой АЕ. Но <такая прямая> не помещается.
Значит, не будет острого заключённого между пря-
мыми угла, большего угла, заключённого между прямой
ВА и обводом CGA, или меньшего угла, заключённого
между обводом CGA и прямой АЕ (16, 17).
Следствие
Вот из этого ясно, что прямая, проведённая к диаметру
круга в концах под прямыми углами, касается*) круга
*) itfdTtTeTai — т. е. касается снаружи.
КНИГА ТРЕТЬЯ
99
[и что прямая касается круга только в одной точке, по-
скольку доказано, что прямая, соединяющая две его точки,
упадёт внутри его], что и требовалось сделать *).
Предложения'17 у
Из данной точки к данному кругу провести каса-
тельную прямую линию.
Пусть данная точка будет А, данный же круг BCD-,
вот требуется из точки А к кругу BCD провести каса-
тельную прямую линию (черт. 17).
Действительно, возьмём центр круга Е, соединим АЕ,
и из центра Е раствором ЕА опи- д
тем круг AIH, и из D под пря-
мыми углами к ЕА проведём DI / р
и соединим EI, АВ; я утверждаю, —X \
что из точки А к кругу BCD ! вг\ \ \
проведена касательная АВ. I I yJ j ]
Действительно, поскольку \ \ / I
Е — центр кругов BCD, AIH, то \ /
значит, ЕА равна EI, ED же \ С
равна ЕВ; вот две <стороны> \__________________
АЕ, ЕВ равны двум IE, ED; И
и они заключают общий угол Черт И.
при Е; значит, основание DI
равно основанию АВ, и треугольник DEI равен тре-
угольнику ЕВА, и остальные углы равны остальным (пред-
ложение 4 книги I); значит, угол EDI равен углу ЕВА.
Угол же EDI прямой; значит, и угол ЕВА прямой. И
BE есть <прямая> «из центра»; прямая же, проведённая
к диаметру круга под прямыми углами в концах, касает-
ся круга (предложение 16, следствие); значит, АВ касает-
ся круга BCD.
Значит, из данной точки А к данному кругу BCD
проведена касательная прямая линия АВ, что и требова-
лось сделать (17,18,19,20).
*) Свойство перпендикулярности касательной к радиусу
было известно уже другу Платона Архиту Тарентскому (1-я по-
ловина IV в. до н. э.).
7»
100
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 18
Если, некоторая прямая касается круга и центр
соединён прямой с касанием, то соединяющая прямая
будет перпендикулярной к касательной.
Пусть некоторая прямая DE касается круга АВС
(черт. 18) в точке С, возьмём центр / круга АВС и сое-
диним 7 с С прямой /С; я
в утверждаю, что /С перпенди-
кулярна к DE.
Действительно, если это
не так, то проведём из / к
DE перпендикуляр IH.
Поскольку теперь угол IHC
прямой, то значит, угол ICH
острый (предложение 17 кни-
ги I); больший же угол стяги-
вается и большей стороной
^еРт' (предложение 19 книги I); зна-
чит, /С больше /77; /С же
равна /В, значит, /В больше /77, меньшая большей, что
невозможно. Значит, 77/ не будет перпендикулярна к DE.
Подобным вот образом докажем, что и никакая дру-
гая прямая, кроме 1С; значит, /С перпендикулярна к
DE.
Значит, если некоторая прямая касается круга и центр
соединён прямой с касанием, то соединяющая прямая будет
перпендикулярна к касательной, что и требовалось до-
казать.
Предложение 19
Если некоторая прямая касается круга и из точки
касания под прямыми углами к касательной проведена
прямая линия, то центр круга будет на проведённой
прямой.
Пусть некоторая прямая DE касается круга АВС в
точке С, и пусть через С под прямыми углами к DE
проведена СА; я утверждаю, что центр круга находится
на АС (черт. 19).
КНИГА ТРЕТЬЯ
101
Действительно, пусть это не так, но, если возможно,
пусть он будет /; соединим CI.
Поскольку [теперь] некоторая прямая DE касается кру-
га АВС и центр соединён с точкой касания прямой /С, то
значит, 1С перпендикулярна к
DB (предложение 18); значит,
угол ICE прямой. Прямой же
и угол АСЕ; значит, угол 1СЕ
равен АСЕ, меньший больше-
му, что невозможно. Значит, /
ие есть центр круга АВС.
Подобным вот образом до-
кажем, что и никакая другая
<точка>, кроме как на АС.
Значит, если некоторая
прямая касается круга и из
точки касания под прямыми
углами к касательной проведена прямая линия, то центр кру-
га будет на проведённой прямой, что и требовалось доказать.
Предложение 20
В круге угол при иензпре вдвое больше угла при обводе.
если эти углы имеют основанием тот же самый обвод.
Пусть круг будет АВС и угол при центре его пусть
Черт. 20.
будет ВЕС, при окружности же
ВАС, пусть они имеют основа-
нием тот же самый обвод ВС; я
утверждаю, что ВЕС вдвое больше
ВАС (черт. 20).
Действительно, соединяющую
АЕ продолжим до 1.
Поскольку теперь ЕА равна
ЕВ, то и угол ЕАВ равен ЕВА
(предложение 5 книги 1); значит,
углы ЕАВ, ЕВА <вместе> вдвое
больше ЕАВ. Угол же BEI равен
<вместе взятым> углам ЕАВ, ЕВА (предложение 32 кни-
ги I); и значит, угол BEI вдвое больше ЕАВ. Вследствие
102
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
того же вот н IEC вдвое больше ЕАС\ значит, весь
угол ВЕС вдвое больше всего угла ВАС.
Вот проведём далее другую ломаную *) и пусть дру-
гой угол будет BDC', соединяющую DE продолжим до
Н. Подобным вот образом докажем, что угол НЕС вдвое
больше EDC-, у инх угол НЕВ вдвЬе больше HDB-, зна-
чит, остаток ВЕС вдвое больше BDC.
Значит, в круге угол при центре вдвое больше угла
при обводе, если эти углы имеют основанием тот же
самый обвод, что и требовалось доказать**).
Предложение 21
В круге углы в одном и том же сегменте равны
между собой.
Пусть круг будет ABCD и в одном и том же сегменте
BAED пусть будут углы BAD н
BED. Я утверждаю, что углы
BAD, BED равны между собой
(черт. 21).
Действительно, возьмём центр
круга ABCD и пусть он будет /,
и соединим BI и ID. И поскольку
угол BID находится при центре,
угол же BAD при обводе и <оба
они> имеют в основании тот же
обвод BCD, то значит (предло-
жение 20), угол BID вдвое боль-
ше BAD. Вследствие того же вот
угол BID вдвое больше и угла BED', значит, угол BAD
равен углу BED.
Значит, в круге углы в одном и том же сегменте
равны между собой, что и требовалось доказать (21).
*) У Евклида необычайно сжато: xt/AieD» 8$ ualiy — вот сло-
маем снова (подразумевается другую прямую). Этот техниче-
ский термин встречается у Аристотеля Analyt. posterlora 1, 10.
**) Предложениями 20 и 21 пользуется еще Гиппократ Хиос-
ский в теории квадратуры луночек.
КНИГА ТРЕТЬЯ
503
Предложение 22
У четырёхсторонников, (.вписанных) в кругах, про-
тивоположные углы (вместе) равны двум прямым.
Пусть круг будет ABCD и четырёхсторонник в нём
ABCD-, я утверждаю, что про-
тивоположные углы <вместе>
равны двум прямым (черт. 22).
Соединим AC, BD.
Поскольку теперь во вся-
ком треугольнике три угла
равны двум прямым (предложе-
ние 32 книги 1), то значит, в
треугольнике АВС три угла
CAB, АВС и ВСА равны двум
прямым. Но угол САВ равен
BDC, ибо они в одном и том
же сегменте BADC (предложе-
ние 21); угол же АСВ равен ADB, ибо они в одном и том
же сегменте ADCB. Значит, весь угол ADC равен ВАС,
АСВ <вместе взятым>. Прибавим общий угол АВС-, зна-
чит, АВС, ВАС, АСВ <вместе> равны ABC, ADC. Но
углы АВС, ВАС, АСВ равны двум прямым. И значит,
ABC, ADC вместе равны двум прямым. Подобным же
вот образом докажем, что и углы BAD, DCB <вместе>
равны двум прямым.
Значит, у четырёхсторонинков, <вписанных> в кругах,
противоположные углы <вместе> равны двум прямым, что
и требовалось доказать*) (22).
Предложение 23
На той же прямой с той же стороны нельзя по-
строить два подобных и неравных сегмента кругов.
*) Обратная теорема, состоящая в том, что указываемый
Евклидом признак является достаточным для возможности впи-
сания четырёхугольника в круг, принадлежит Птолемею. В эле-
«ептарцую геометрию эта теорема внесена Л. Бертраном (1778).
104
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, если возможно, то пусть на той же
прямой АВ с той же стороны будут построены два по-
добных и неравных сегмента кругов (черт. 23).
Продолжим ACD и соединим СВ и DB,
Поскольку теперь сегмент АСВ подобен сегменту ADB,
подобные же сегменты кругов суть вмещающие равные
Черт. 23.
углы (определение 11), то значит, угол АСВ равен углу
ADB, т. е. внешний внутреннему, что невозможно (пред-
ложение 16 книги I).
Значит, на той же прямой с той же стороны нельзя
построить два подобных и неравных сегмента кругов, что
и требовалось доказать (23).
Предложение 24
На равных прямых подобные сегменты кругов равны
между собой.
Пусть на равных
прямых АВ, CD будут подобные
сегменты кругов АЕВ, CID', я ут-
верждаю, что сегмент АЕВ равен
сегменту CID (черт. 24).
Действительно, если совмещать
сегмент АЕВ с С/£> и поместить
точку А в С, а прямую АВ на CD,
то и точка В совместится с D вслед-
ствие того, что АВ равна CD.
Но при совмещении же АВ с
CD и сегмент АЕВ совместится с
CID. Действительно, если прямая
АВ совместится с CD, сегмент же АЕВ не совместится с
CID., то он попадёт или внутрь его или наружу, или сместится
КНИГА ТРЕТЬЯ
105
вбок*), как CHD, и круг пересечёт круг более чем вдв^х
точках, что невозможно (предложение 10). Значит, при
совмещении прямой АВ с CD и сегмент ДЕВ не будет
не совмещаться с CID\ значит, он совместится и будет
ему равен (аксиома 7 книги 1).
Итак, на равных прямых подобные сегменты кругов
равны между собой, что и требовалось доказать.
Предложение 25
К данному сегменту круга пристроить круг, сегмен-
том которого он является.
Пусть данный сегмент круга будет АВС (черт. 25);
вот требуется к сегменту АВС пристроить круг, сегмен-
том которого он является.
Рассечём АС пополам в D, проведём из точки D под
прямыми углами к АС прямую DB и соединим АВ-, зна-
чит, угол ABD или больше угла BAD или равен, или
меньше.
Пусть он сперва будет больше; построим на прямой ВА
при её точке Д угол ВАЕ, равный ABD (предложение
23 книги I), продолжим DB до £ и соединим ЕС. По-
скольку теперь угол АВЕ равен ВАЕ, то значит, и пря-
мая ЕВ равна ЕА (предложение 6 книги I). И поскольку
AD равна DC и DE общая, то вот две <стороны> AD
*) У Евклида просто сместится, уклонится (от-
сюда астрономический термин «параллакс»).
106
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
я DE равны двум CD и DE каждая каждой; и угол ADE
равен CDE, ибо каждый из них прямой; значит, основа-
ние АЕ равно основанию СЕ (предложение 4 книги I).
Но АЕ, как доказано, равна ЕЕ', и значит, ЕЕ' равна СЕ;
значит, три прямые АЕ, ЕЕ и ЕС равны между собой;
значит, круг, описанный из центра Е раствором, равным
одной из прямых АЕ, ЕЕ, ЕС, пройдёт и через осталь-
ные точки и будет пристроенным (предложение 9). Зна-
чит, к данному сегменту круга пристроен круг. И ясно,
что сегмент АЕС меньше полукруга, так как центр Е ока-
зался вне его.
Подобным же образом, если угол AED равен EAD,
прямая AD сделается равной каждой из ED, DC, три
прямые DA, DE, DC будут равны между собой (пред-
ложение 6 книги I) и D будет центр пристроенного круга
а вот ясно, что АЕС будет полукругом (черт. 26).
Если же угол AED меньше EAD и на прямой ЕА
при её точке А построим угол, равный углу AED
(предложение 23 книги I) (черт. 27), то центр попадёт
внутрь сегмента АЕС на DE и вот ясно, что сегмент АЕС
будет больше полукруга.
Значит, к данному сегменту круга пристроен круг, что
н требовалось сделать.
Предложение 26
Е равных кругах равные углы опираются на рав-
ные обводы, стоят ли они при центре или же при об-
водах.
Пусть равные круги будут АЕС, DEI и пусть в них
ЕНС, EGI будут равные углы при центрах, а ЕАС, EDI
при обводах; я утверждаю, что обвод ЕКС равен обводу
EIJ (черт. 28).
Действительно, сосдшшм ЕС, ЕЕ
И поскольку круги АЕС, DEI равны, то равны <пря-
мые, исходящие> «из центров»; вот две <прямые> Eli.
НС равны двум EG, GI; и угол Н равен углу при G;
значит, основание ЕС равно основанию EI (предложение 4
книги I). И поскольку угол при А равен углу при D, та
К1ШГА ТРЕТЬЯ
107
значит, сегмент ВАС подобен сегменту EDI (определение 11);
и они на равных прямых ВС и EI-, на равных же прямых
подобные сегменты кругов равны между собой (предложе-
ние 24); значит, сегмент ВАС равен EDI. Но и весь
Черт. 28.
круг АВС равен всему кругу DEI, значит, остающийся
обвод ВКС равен обводу ELI.
Значит, в равных кругах равные углы опираются
на равные обводы, будут ли они находиться при центре
или же при обводах, что и требовалось доказать.
Предложение 27
В равных кругах углы, опирающиеся на равные об-
воды, равны между собой, стоят ли она при центрах
или же при обводах.
Пусть в равных кругах ABC, DEI будут опираться
на равные обводы ВС, EI при центрах Н, G углы
ВНС и EGI, при обводах же углы ВАС, EDI-, я утвер-
ждаю, что угол ВНС равен EGI, угол же ВАС равен EDI
(черт. 29).
Действительно, если угол ВНС не равен углу EGI, то
один из них больше. Пусть будет больше ВНС, и по-
строим на прямой ВН при её точке Н угол ВНК, равный
EQI (предложение 23 книги I). Равные же углы опираются
на равные обводы, если они будут при центрах (предло-
жение 26); значит, обвод ВК равен обводу EI. Но EI
равен ВС-, н значит, ВК равен ВС, т. е. меньший боль-
108
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
шему, что невозможно. Значит, не будет угол ВНС не
равен EG}; значит, равен. И угол при А будет по-
ловиной угла ВИС, угол же при D— половиной EGI
Черт. 29.
(предложение 20); значит, и угол при А равен углу
при D.
Значит, в равных кругах углы, опирающиеся на рав-
ные обводы, равны между собой, стоят ли они при цен-
трах или при обводах, что и требовалось доказать (24).
Предложение 28
В равных кругах равные прямые отделяют равные
обводы, больший равный большему, меньший же мень-
шему.
Пусть равные круги будут ABC, DEI и в этих кругах
пусть будут равные прямые АВ, DE, отделяющие обводы АСВ,
DIE большие, и АНВ, DGE меньшие; я утверждаю, что
больший обвод АСВ равен большему обводу DIE, мень-
ший же АНВ равен DGE (черт. 30).
Действительно, возьмём центры кругов К, L и соеди-
ним АК, КВ, DL, LE.
И поскольку круги равны, то равны и <прямые, про-
ведённые > из центров (определение 1); вот две <прямые>
АК, КВ равны двум DL, LE; и основание АВ равно осно-
ванию DE; значит, угол АКБ равен углу DLE (предло-
жение 8 книги I). Равные же углы опираются на равные
обводы, если они стоят при центрах (предложение 26);
КНИГА ТРЕТЬЯ
109
значит, обвод АНВ равен DQE. Но и целый круг АВС
равен целому кругу £)£7; значит, и остающийся обвод Л Св
равен остающемуся обводу DIE.
Значит, в равных кругах равные прямые отделяют рав-
ные обводы, больший равный большему, а меньший мень-
шему, что и требовалось доказать.
Предложение 29
в равных кругах равные обводы стягивают равные
прямые *).
Пусть равные круги будут ABC, DEI и в них выделены
равные обводы ВНС, EGI (черт. 31) н соединены ВС, Ер,
я утверждаю, что ВС равна EI.
*) В тексте та; tea; itsptcjpsia; '(sat eoSslac oitQTglyooatv. Тео-
рема обратная 28-й, но формулирована очень близко к 28-й; мы
употребили бы страдательный оборот «стягиваются».
110
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, возьмём центры кругов и пусть они
будут К, L; соединим ВК, КС, EL, LJ.
И поскольку обвод ВНС равен обводу EGI, то и угол
ВКС равен ££./(предложение 27). И поскольку круги АВС,
DEI равны, то будут равны и «прямые из центров» (опре-
деление 1); вот две <стороны> ВК, КС равны двум EL,
LI и заключают равные углы; значит, основание ВС равно
основанию EI (предложение 4 книги I).
Значит, в равных кругах равные обводы стягивают
равные прямые, что и требовалось доказать (25).
Предложение 30
Рассечь данный обвод пополам.
Пусть данный обвод будет ADB-, вот должно обвод
ADB рассечь пополам (черт. 32).
Соединим АВ и рассечём в С пополам (предложение
10 книги I); из точки С под прямыми углами к прямой АВ
проведём CD и соединим AD
и DB.
И поскольку АС равна СВ,
CD же общая, то вот две
<прямые> AC, CD равны двум
ВС, CD и угол ACD равен уг-
лу BCD, ибо оба прямые; зна-
основанию DB (предложение 4
книги 1).
Равные же прямые отделяют равные обводы, больший
равный большему и меньший меньшему (предложение 28);
и каждый из обводов AD, DB меньше полукруга; значит,
обвод AD равен обводу DB.
Значит, данный обвод рассечён пополам в точке D, что
и требовалось сделать.
U
Д С В
Черт. 32.
чит, основание AD равно
Предложение 31
В круге угол, (заключённый} & полукруге, — прямой,
в большем сегменте — меньше прямого, в меньшем же —
больше прямого; и кроме того, угол большего сегмента
больше прямого, меньшего же — меньше.
КНИГА ТРЕТЬЯ
Пусть круг будет ABCD, диаметр же его — ВС, а’центр
Е (черт. 33); соединим АВ, AC, AD, DC', я утверждаю,
что в полукруге ВАС угол ВАС прямой; в большем же
чем полукруг сегменте АВС угол АВС меньше прямого,
в меньшем же чем полукруг сегменте ADC угол ADC
больше прямого.
Соединим АЕ и продолжим ВА до /.
И поскольку BE равно ЕА, то и угол АВЕ равен ВАЕ
(предложение 5 книги 1). Далее, поскольку СЕ равна EAt
то и угол АСЕ равен САЕ',
значит, весь угол ВАС равен . ___
двум АВС, АСВ. Но и угол Ч /jу"/ \
IAC <как> внешний угол тре- \ И / \
угольника АВС равен двум \l/y^ / J
углам АВС и АСВ (предложе- х7К“"--------~7Е I
ние 32 книги I); значит, и \\ / /
угол ВАС равен 1АС\ значит, \\ / J
каждый <из ннх> прямой (опре- \\ / у
деление 10 книги I); значит, в _________
полукруге ВАС угол ВАС Черт. Зи.
прямой.
И поскольку в треугольнике АВС два угла АВС, ВАС
<вместе> меньше двух прямых (предложение 17 кни-
ги I), угол же ВАС прямой, то значит, угол АВС мень-
ше прямого; и он <заключён> в сегменте АВС, боль-
шем полукруга.
И поскольку ABCD есть четырёхсторонник в круге,
у четырёхсторонников же в кругах противоположные углы
<вместе> равны двум прямым [и значит, углы ABC, ADC
равны двум прямым (предложение 22)], и угол АВС меньше
прямого; значит, остающийся угол ADC больше прямого;
и он <заключён> в сегменте ADC, меньшем полукруга.
Я утверждаю, что и угол большего сегмента, заклю-
чённый между обводом АВС и прямой АС, больше пря-
мого, угол же меньшего сегмента, заключённый между об-
водом ЛО[С] и прямой АС, меньше прямого. И это само
собой очевидно. Действительно, поскольку угол между
прямыми ВА, АС прямой, то значит, угол, заключённый
между дугой АВС и прямой АС, больше прямого. Далее,
112
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
поскольку угол между прямыми AC, AI прямой, то значит,
угол, заключённый между прямой СА и обводом Л£>[С],
меньше прямого. Значит, в круге угол, <заключённый> в
полуокружности, прямой, в большем сегменте — меньше пря-
мого, в меньшем же [сегменте] — больше прямого н, кроме
того, угол большего сегмента больше прямого, угол же
меньшего сегмента меньше прямого, что и требовалось до-
казать (26).
[Следствие
Вот нз зтого ясно, что когда один угол треугольника
равен двум остальным, то он будет прямым вследствие того,
что и внешний для него угол будет равен тем же самым
двум углам; когда же смежные углы равны, то они прямые.]
Предложение 32
Если
касания
прямая,
некоторая прямая касается круга и от точки
внутрь круга проведена некоторая секущая круг
то углы, которые эта прямая образует с ка-
сательной, будут равны углам
в накрестлежащих сегментах
круга.
Пусть некоторая прямая EI
касается круга ABCD (черт. 34)
в точке В и пусть от точки В
внутрь круга ABCD проверена
некоторая секущая его прямая
BD. Я утверждаю, что углы,
которые BD образует с каса-
тельной Е1. будут равны углам
в накрестлежащих сегментах
круга, то-есть что угол JBD
равен углу в сегменте BAD,
углу в сегменте DCB.
проведём из В под прямыми углами
к EI прямую ВА, иа обводе BD возьмём какую-либо точку
С и соединим AD, DC, СВ. И поскольку некоторая прямая
£/ касается круга ABCD в В, и от точки касания под
угол же EBD равен
Действительно,
КНИГА ТРЕТЬЯ
113
прямыми углами к касательной проведена ВА, то значит,
центр круга ABCD будет находиться на ВА (предложение
19). Значит, ВА есть диаметр круга ABCD-, значит, угол
ADB, <как> находящийся в полукруге, будет прямым (пред-
ложение 31). Значит, остальные углы BAD, ABD вместе
равны одному прямому (предложение 32 книги I). Но и
угол АВ! прямой; значит, угол АВ! равен BAD, ABD
<вместе>. Отнимем общий угол ABD-, значит, остающийся
угол DBI равен <находящемуся> в накрестлежащем сег-
менте круга углу BAD. И поскольку ABCD четырёхсто-
ронник в круге, то противоположные его углы <вместе>
равны дзум прямым (предложение 22).
Но и углы DBI, DBE <вместе> равны двум прямым
(предложение 13 книги I); значит, DBI, DBEpaww BAD,
BCD, из которых BAD равен, как доказано, DB!\ значит,
остающийся угол DBE равен < находящемуся> в накрест-
лежащем сегменте DCB углу DCB.
Значит, если некоторая прямая касается круга и от
точки касания внутрь круга проведена какая-нибудь секу-
щая круг прямая, то углы, которые эта прямая образует
с касательной, будут равны углам в накрестлежащих сег-
ментах круга, что и требовалось доказать (27).
Предложение 33
На данной прямой описать сегмент круга, вмещаю-'
щий угол, равный данному прямолинейному углу.
Пусть данная прямая будет АВ, данный же прямоли-
нейный угол тот, который при С (черт. 35); требуется вот
на данной прямой АВ построить сегмент круга, заключаю-
щий угол, равный углу, который при С.
Вот [угол] прн С или острый, или прямой, или тупой;
пусть он сперва будет острый; и, как на первом чертеже *),
построим на прямой АВ н при точке А угол BAD, равный '
углу при С (предложение 23 книги 7); значит, и угол BAD ’’
будет острым. Проведём к DA под прямыми углами АЕ,
*) Т. е. на черт. 35.
8 Евклид
114
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
разделим АВ пополам в /, проведём из точки J к АВ под
прямыми углами IH и соединим НВ.
И поскольку А1 равна IB, IH же общая, то вот две
<прямые> AI, IH равны двум BI, IH и угол А1Н равен
[углу] BlH', значит, основание АН равно основанию ВН
(предложение 4 книги I). Значит, круг, описанный из центра
Н раствором НА, пройдёт и через В. Опишем его, и пусть
он будет АВЕ\ соединим ЕВ. Поскольку теперь в конце
Черт. 35.
диаметра АЕ прямая AD
будет под прямыми угла-
ми к АЕ, то значит, AD
касается круга АВЕ (пред-
ложение 16, следствие);
поскольку теперь круга
АВЕ касается некоторая
прямая AD и из точки
касания А во внутрь круга
АВЕ проведена некоторая
прямая АВ, то значит,
угол DAB равен <иахо-
дящемуся> в иакрестле-
жащем сегменте углуАЕЕ
(предложение 32). Но угол DAB равен углу при С; я
значит, угол при С равен углу ЛЕВ.
Значит, на данной прямой АВ описан сегмент круга
АЕВ, вмещающий угол АЕВ, равный данному углу при С.
Но вот пусть угол С будет прямым (черт. 36); и пусть
требуется снова на АВ описать сегмент круга, вмещающий
угол, равный прямому [углу] при С. [Снова] построим угол
BAD, равный прямому углу при С, как это имеется на
втором чертеже *), рассечём АВ в / пополам и из центра I
раствором каким-нибудь из /А, !В опишем круг АВЕ. Значит,
прямая AD касается круга АВЕ вследствие того, что угол
при А прямой (предложение 16, следствие). И угол BAD
равен углу в сегменте АЕВ, ибо и он прямой как находя-
щийся в полукруге (предложение 31). Но и угол BAD равен
углу при С. И значит, угол в АЕВ равен углу при С.
s) Т, е. иа черт. 36.
КИНГ* ТРГ.ТЬП
115'
Значит снова на АВ описан сегмент круча, вмещаю-
щий угол, равный тому, который при С.
Но вот пусть угол при С будет тупой (черт. 37); и
построим на прямой АВ при точке А равный ему угол BAD,
как имеется на третьем чертеже *), под прямыми углами
к AD проведём АЕ, снова рассечём АВ пополам в Z, под
прямыми углами к АВ проведём IH и соединим НВ.
Черт. 36. Черт. 37.
И поскольку снова А1 равна /В и !Н общая, ти вот
две <прямые> Al, IH равны двум В/, 1Н; и угол AIH ра-
вен углу BIH; значит, основание АН равно основанию ВН
(предложение 4 книги I); значит, круг, описанный нз центра
Н раствором НА, пройдёт также через В.
Пусть он пройдёт как АЕВ. И поскольку к диаметру
АЕ в конце прямая AD будет под прямыми углами, то зна-
чит, AD касается круга АЕВ (предложение 16, следствие).
И от точки касания в А проведена АВ; значит, угол BAD
равен углу, построенному в накрестлежащем сегменте
(предложение 32) круга АСВ. Но угол BAD равен углу
при С. И значит, ’угол в сегменте АСВ равен тому, кото-
рый при С.
8*
*) Т. е. на черт 37.
1
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Значит, на данной прямой АВ описан сегмент круга AQB,
вмещающий угол, равный тому, который при С, что н тре-
бовалось сделать,
Предложение 34
От данного круга отнять сегмент, вмещающий угол,
равный данному прямолинейному углу.
Пусть данный круг будет АВС., а данный прямолиней-
ный угол тот, который при D', требуется вот от круга АВС
отнять сегмент, вмещающий
угол, равный данному пря-
\ молннейному углу, который
\ при D (черт. 38).
\ Проведём к АВС каса-
I тельную Е! в точке В и по-
I строим на прямой /В при
/ сё точке В угол IBC, рав-
. / кый углу, который при D
-т? / (предложение 23 книги I).
_ — Поскольку теперь круга
АВС касается некоторая
Черт. 38. прямая Е! и от касания в В
проведена ВС, то значит,
угол IBC равен углу ВАС, построенному в накрестлежащем
сегменте (предложение 32). Но угол IBC равен тому, кото-
рый при £>; и значит, в сегменте ВАС угол равен тому
[углу], который при D.
Значит, от данного круга АВС отнят сегмент ВАС, вме-
щающий угол, равный данному прямолинейному углу, ко-
торый при D, что я требовалось сделать.
Предложение 35
Если в круге две прямые пересекают друг друга, то
прямоугольник, заключённый между отрезками одной,
равен прямоугольнику, заключённому между отрезками
другой.
Пусть в круге ABCD две прямые АС и BD пересекают
друг друга в точке Е\ я утверждаю, что прямоугольник,
КНИГА ТРЕТЬЯ
117
заключённый между АЕ, ЕС, равен прямоугольнику, заклю-
чённому между DE, ЕВ (черт. 39).
Если теперь AC, BD проходят через центр так, что Е
есть центр круга ABCD, то очевидно, что прн равенстве
АЕ, ЕС, DE, ЕВ н прямоугольник, заключённый между АЕ,
ЕС, равен прямоугольнику, заключённому между DE, ЕВ.
Так вот, пусть AC, DB не проходят через центр; возь-
мём центр круга ABCD н пусть он будет / н из / к пря-
мым AC, DB проведём перпендикуляры IH, IQ и соединим
/5, IC, IE (черт. 40).
Черт. 39. Черт. -10.
И поскольку некоторая прямая HI, <проходящая> через
центр, сечёт под прямыми углами некоторую прямую АС,
не проходящую через центр, то она сечёт её пополам (пред-
ложение 3); значит, АН равна НС. Поскольку теперь пря-
мая АС рассечена в Н на равные, а в Е на неравные части,
то значит, прямоугольник между АЕ, ЕС вместе с квадра-
том на НЕ равен квадрату на НС (предложение 5 книги II).
Прибавим [общий] квадрат на HI; значит, прямоуголь-
ник иа АЕ, ЕС вместе с квадратами на НЕ, HI равен
квадратам на СН, HI. Но вместе взятым квадратам на ЕН,
HI равен квадрат на IE, квадратам же на СН, HI равен
квадрат на IC (предложение 47 книги 1); значит, прямо-
угольник между АЕ и ЕС вместе с квадратом на IE равен
квадрату на IC. IC же равна /В; значит, прямоугольник ме-
аду АЕ, ЕС вместе с квадратом иа EI равен квадрату иа IB,
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
113
Вследствие того же вот и прямоугольник между DE,
ЕВ вместе с квадратом на IE равен квадрату на 1В. До-
казано же, что и прямоугольник между АЕ, ЕС вместе
с квадратом на IE равен квадрату на IB; значит, прямо-
угольник между АЕ, ЕС вместе с квадратом на !Е равен
прямоугольнику между DE, ЕВ вместе с квадратом на IE.
Отнимем общий квадрат на IE; значит, остающийся прямо-
угольник, заключённый между АЕ, ЕС, равен прямоуголь-
нику, заключённому между DE, ЕВ.
Значит, если в круге две прямые пересекают друг
друга, то прямоугольник, заключённый между отрезками
одной, равен прямоугольнику, заключённому между отрез-
ками другой, что и требовалось доказать (28).
Предложение 36
Если вне круга взята некоторая точка, и из неё на
круг падают две прямые, и одна из них пересекает круг,
другая же касается, то прямоугольник, (заключённый)
между всей секущей и внешним отрезком, содержащимся
между этой точкой и выпуклой частью обвода, будет
равен квадрату на касательной.
Пусть вне круга АВС взята некоторая точка D, пусть
от D на круг АВС падают две прямые DC [A], DB; и
пусть DCA пересекает круг ABC, DB же его касается; я
утверждаю, что прямоугольник, заключённый между AD
н DC, равен квадрату на DB.
Значит (черт. 41), прямая [£>] СА или проходит через
центр или нет. Пусть она сперва проходит, и пусть I
центр круга АВС; соединим IB; значит, угол IBD прямой
(предложение 18). И поскольку прямая АС рассечена попо-
лам в I и к ней прибавляется CD, то значит, прямоуголь-
ник между AD и DC вместе с квадратом на IC равен
квадрату на ID. IC же равен IB; значит, прямоугольник
между AD, DC вместе с квадратом на IB равен квадрату
на ID. Квадрату же на ID равны квадраш на IB и BD
<вместе> (предложение 47 книги I); значит, прямоугольник
между AD, DC вместе с квадратом на IB равен квадра-
там иа IB, BD. Отнимем общий квадрат на IB, значит.
КНИГА ТРЕТЬЯ
119
остающийся прямоугольник между AD и DC равен квад-
рату на касательной DB.
Но вот пусть DCA (черт. 42) не <проходит> через центр
круга АВС-, возьмём центр Е и из Е проведём на АС пер-
пендикуляр EI и соединим ЕВ, ЕС, ED; значит, угол EBD
прямой (предложение 18). И поскольку некоторая <прохо-
дящая> через центр прямая EI некоторую не <проходя-
щую> через центр прямую АС сечёт под прямыми углами,
то она сечёт её и пополам (предложение 3); значит, AI
равна IC. И поскольку прямая АС рассечена пополам в
точке Дик ней прибавляется CD, то значит, прямоуголь-
ник между AD, DC вместе с квадратом на [С равен квад-
рату на [О (предложение 6 книги II). Прибавим общий
квадрат на 1Е\ значит, прямоугольник между AD, DC
вместе с квадратами на СД IE равен квадратам на ID, IE.
Квадратам же на CI, IE равен квадрат на ЕС, ибо (пред-
лэ.кение 47 книги I) [угол] Е1С прямой; квадратам же на
DI, IE равен квадрат на ED', значит, прямоугольник между
AD и DC вместе с квадратом на ЕС равен квадрату на
ED. ЕС же равна ЕВ', значит, прямоугольник между AD,
DC вместе с квадратом на ЕВ равен квадрату на ED.
Квадрату же на ED равны <вместе взятые> квадраты на ЕВ,
BD (предложение 47 книги I), ибо угол EBD прямой; зна-:
чит, прямоугольник между AD, DC вместе с квадратом на-
ЕВ равен квадратам иа ЕВ, BD. Отнимем общий квадрат'
120
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
на ЕВ', значит, остающийся прямоугольник между AD, DC
равен квадрату на DB.
Значит, если вне круга взята некоторая точка и из неё
на круг падают две прямые, и одна из них пересекает круг,
другая же касается, то прямоугольник, <заключённый>
между всей секущей и внешним отрезком, содержащимся
между этой точкой н выпуклой частью обвода, будет равен
квадрату на касательной, что н требовалось доказать (29,
30, 31, 32).
Предложение 37
Если вне круга взята некоторая точка и из этой-
точки на круг падают две прямые, и одна из них пере-
секает круг, а другая лишь падает, прямоугольник
$ же между всей секущей
______________________________________ и внешним отрезком, со-
\\\_______________________держащимся между этой
/ / ^Х точкой и выпуклой ча-
\ \/\ / \ стью обвода, равен квад-
\ бК X. / \ рату на падающей, то
\ I \ XU 1 падающая касается кру-
V / га"
/ Пусть вне круга АВС
X. / взята некоторая точка D
\. У' и из D на круг АВС
---------падают две прямые DCA,
Черт. 43.-и DCA пусть пересе-
кает круг, DB же лишь
падает, и пусть прямоугольник между AD, DC равен ква-
драту на DB. Я утверждаю, что прямая DB касается круга
АВС (черт. 43).
Действительно, проведём DE, касающуюся круга АВС
(предложение 17), возьмём центр круга АВС, и пусть он
будет /; соединим IE, IB, ID. Значит, угол IED прямой
(предложение 18).
И поскольку DE касается круга ABC, DCA же пересе-
кает, то значит, прямоугольник между ДО, DC равен ква-
драту на DE (предложение 36). Но и прямоугольник между
AD, DC равен квадрату на DB; значит, квадрат на DE
КНИГА ТРЕТЬЯ 121
равен квадрату на DB\ значит, DE равна DB. Но н IE
равна IB; вот две <прямые> DE, В! равны двум DB, ВЦ
и основание у них общее ID; значит, угол DEI равен углу
DBI (предложение 8 книги I).
Угол же DEI прямой; значит, н угол DBI прямой.
И продолженная IB есть диаметр; прямая же, проведённая
к диаметру круга в его конце под прямыми углами, ка-
сается круга (предложение 16, следствие); значит, DB ка-
сается круга АВС. Подобным же вот образом докажется
и если центр оказался бы на АС.
Значит, если вне круга взята некоторая точка и из
этой точки на круг падают две прямые, и одна нз них
пересекает круг, а другая лишь падает, прямоугольник же
между всей секущей н внешним отрезком, содержащимся
между данной точкой и выпуклой частью обвода, равен
квадрату на падающей, то падающая касается круга, что
и требовалось доказать.
КН И ГА ЧЕТВЕ РТАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Говорят, что прямолинейная фигура вписывается
в прямолинейную фигуру, если каждый из углов вписы-
ваемой фигуры касается каждой стороны той, в которую
она вписывается.
2. Подобным же образом говорят, что фигура описы-
вается около фигуры, если каждая сторона описываемой
^касается каждого угла той, около которой она описывается.
3. Говорят, что прямолинейная фигура вписывается
в круг, если каждый угол вписываемой касается обвода
круга.
4. Говорят, что прямолинейная фигура описывается
около круга, если каждая сторона описываемой касается
обвода круга.
5. Подобным же образом говорят, что круг вписы-
вается в фигуру, если обвод круга касается каждой сто-
роны фигуры, в которую ои вписывается.
6. Говорят, что круг описывается около фигуры, если
обвод круга касается каждого угла фигуры, около которой
он описывается.
7. Говорят, что прямая вставляется *) в круг, если
концы её находятся на обводе круга.
Предложение 1
В данный круг вставить прямую, равную заданной,
не большей диаметра круга.
•) jvap|i6Cea&at — буквально «прилаживаться, приспособляться»
КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ
123
Пусть данный круг будет АВС, данная же прямая,
не большая диаметра круга, пусть будет/). Вот требуется
в круг АВС вставить прямую, равную прямой D (черт. 1).
Проведём в круге АВС
диаметр ВС. Если теперь ВС
равна D, то предложенное
уже выполнено; действитель-
но, в круг АВС вставлена
равная D прямая ВС. Если
же ВС больше D, то отло-
жим равную D прямую СЕ
и из центра С раствором СЕ
опишем круг EAI и соеди-
ним СА.
Поскольку теперь точка
С есть центр круга EAI, то
С.4 равна СЕ. Но СЕ равна D; и значит, СА равна D.
Значит, в данный круг АВС вставлена прямая СА, рав-
ная заданной прямой D, что н требовалось сделать (1).
Предложение 2
В данный круг вписать треугольник, равноугольный
данному треугольнику.
Пусть данный круг будет АВС, данный же треуголь-
ник DEI (черт. 2); вот требуется вписать в круг АВС
треугольник, равноугольный данному треугольнику DEI.
Проведём к кругу АВС касательную HG в точке А
(предложение 17 книги III) и построим на прямой AG
при точке её А угол GAC, равный углу DEI, на прямой
же АН при точке её А угол НАВ, равный [учлу] DIE
(предложение 23 книги I), и соединим ВС.
Поскольку теперь круга АВС касается некоторая пря-
мая ДС и от касания в точке А внутрь круга проведена
прямая АС, то значит, угол GAC равен углу АВС в на-
крсстлежащем сегменте круга (предложение 32 книги Ш).
Но угол GAC равен углу DEI\ и значит, угол АВС равен
DEI. Вследствие того же вот и угол АСВ равен углу DIE;
и значит, остающийся уголВДСравен остающемуся углу EDI
124
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
(предложение 32 книги 1) [значит, треугольник АВС рав-
ноуголен треугольнику DEI и вписывается в круг Д5С].
Значит, в данный круг вписывается треугольник, рав-
ноугольный данному треугольнику, что н требовалось сде-
лать (2).
Предложение 3
Около данного круга описать треугольник, равно-
угольный данному треугольнику.
Пусть данный круг будет АВС, данный же треугольник
DEI\ вот требуется около круга АВС описать треугольник,
равноугольный данному (черт. 3) треугольнику DEI.
Продолжим EI в обе стороны к точкам Н, G и возьмём
центр К круга АВС, проведём как-нибудь прямую КВ
н построим на прямой КВ при точке её К угол ВКА,
равный углу DEH (предложение 23 книги 1), и угол ВКС,
равный DIG, и через точки А, В, С проведём к кругу
АВС касательные LAM, МВК и NCL (следствие предло-
жения 16 книги Ш).
И поскольку LM, ALV и NL касаются круга АВС
в точках А, В, С, прямые же, соединяющие центр К
с точками А, В, С, суть КА, КВ, КС, то значит, углы
при точках Д, В, С прямые (предложение 18 книги Ш).
И поскольку в четырёхстороннике АЛ1ВК четыре угла
-равны <вместе> четырём прямым, поскольку ведь АМВК
КНИГА ЧЕТВЕРТАЯ
125
разделяется на два треугольника (предложение 32 книги 1)
и углы AS4/W и КВМ прямые, то значит, остальные углы
АКВ и АМВ равны <вместе> двум прямым. Но и DEH
и DEI равны двум прямым {предложение 13 книги 1);
значит, углы АКВ, АМВ равны DEH, DEI, из которых
АКВ равен DEH-, значит, остающийся угол АМВ равен
остающемуся DEI,
Подобным же вот образе?,! докажется, что и угол LNB
равен DIE-, значит, остающийся угол MLN равен [остаю-
щемуся] EDI. Значит, треугольник LMN равноуголен
треугольнику DEI', и описывается около круга АВС.
Значит, около данного круга описывается треугольник,
равноугольный данному треугольнику, что и требовалось
сделать (3).
Предложение 4
В данный треугольник вписать круг.
Пусть данный треугольник будет АВС', вот требуется
в треугольник АВС вписать круг (черт. 4).
Рассечём пополам углы АВС и АСВ прямыми BD и CD
(предложение 9 книги 1), и пусть они встретятся друг
с другом в точке D (постулат 5 книги I); из D проведём
к прямым АВ, ВС, СА перпендикуляры DE, DI, DH,
га
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
И поскольку угол ABD равен CBD, прямой же угол BED
равен прямому BID, то вот два треугольника EBD, IBD,
имеющих два угла, равные двум углам, и одну сторону,
равную одной стороне, стягивающую одни из равных уг-
лов, а именно, общую их <сторону> BD; значит, и осталь-
ные стороны они будут иметь равными остальным (предло-
д жение 26 книги I): зна-
чит, DE равна DI. Вслед-
/ \ ствие того же вот и DEI
Е-г" "•А равна DI. Значит, три
прямые DE, DI, DH рав-
/I ны междУ собой; значит,
./ /\ круг, описанный из центра
X у/ \ & раствором одним из
DE, DI, PH, пройдёт и
Z через остальные точки и
Черт. 4. коснётся прямых АВ, ВС,
СА вследствие того, что
углы при точках Е, 1, И прямые. Действительно, если
бы он их пересекал, то прямая, проведённая под прямыми
углами к диаметру круга в конце его, попадала бы внутрь
круга; что, как доказано, невозможно (предложение ^кни-
ги Ш); значит, круг, описанный из центра Р раствором од-
ним из РЕ, Pl, PH, не пересечёт прямых АВ, ВС, СА; зна-
чит, он коснётся их и будет кругом, вписанным в треуголь-
ник АВС; пусть он будет вписан <и пройдёт> как 1НЕ.
Значит, в данный треугольник АВС вписывается круг
Е1Н, что и требовалось сделать (4).
Предложение 5
Около данного треугольника описать круг.
Пусть данный треугольник будет АВС; требуется же '
около данного треугольника АВС описать круг.
Рассечём прямые АВ, АС пополам в точках Р, Е
(предложение 10 книги 1), и из точек Р, Е под прямыми
углами к АВ, АС проведём Р] и EI; вот они встретятся
нли внутри треугольника АВС или на прямой ВС или за
ВС (черт. 5, 6, 7).
КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ
127
5);
же
AI
Пусть сперва они встретятся внутри в / (черт,
соединим IB, IC, IA. И поскольку AD равна DB, DI
общая и под прямыми углами, то значит, основание
равно основанию IB (предложение 4 книги I). Подобным же
Черт. 5.
I раствором
центра
Черт. 7.
вот образом докажем, что и С! равна AI, так что и 1В
равна IC; значит, три прямые IA, IB, IC равны между
собой. Значит, круг, описанный из
одним из IA, IB, IC, пройдёт и
через остальные точки и будет
кругом, описанным около тре-
угольника АВС. Пусть он будет
описан <и пройдёт> как АВС.
Но вот пусть DI и £7 встре-
тятся иа прямой ВС в точке I, как
имеет <место> иа втором черте-
же; соединим AI. Подобным же
вот образом докажем, что точка /
есть центр круга, описанного
около треугольника АВС.
Но вот пусть DI и EI встре-
тятся вне треугольника АВС опять в I, как имеет <место>
на третьем чертеже; соединим AI, BI, CI. И поскольку
опять AD равна DB, DI же общая и под прямыми углами,
то значит (предложение 4 книги I), основание AI равно
основанию BI. Подобным же вот образом докажем, что
и-С/ равна AI; так что и BI равна IC; значит [опять],
128
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
круг, описанный из центра I раствором одним из М, IB,
IC, пройдёт и через остальные точки и будет описанным
около треугольника АВС.
Значит, около данного треугольника описывается круг,
что и требовалось сделать (5).
[Следствие]
И ясно, что когда центр круга попадает внутрь тре-
угольника, то угол ВАС, <как> оказавшийся в сегменте,
большем полукруга, будет меньше прямого; когда же
центр круга попадает на прямую ВС, то угол ВАС, <как>
оказавшийся в полукруге, будет прямым; когда же центр
круга попадает вне треугольника, то угол ВАС, <как>
оказавшийся в сегменте, меньшем полукруга, будет больше
прямого (предложение 31 книги III). [Так что и когда
данный угол окажется меньшим прямого, то DI, EI попа-
дут внутрь треугольника, когда же прямым, то на ВС,
когда же ббльшим прямого, то вне ВС, что и требовалось
сделать.)
Предложение 6
В данный круг вписать квадрат.
Пусть данный крут будет ABCD; вот требуется в
четырёхсторонник ABCD
круг ABCD вписать квадрат
(черт. 8).
Проведём в круге ABCD
два диаметра AC, BD под
прямыми углами друг к другу и
соединим АВ, ВС, CD, DA.
И поскольку BE рЗвна ED,
ибо Е центр, ЕА же общая
и под прямыми углами, то зна-
чит, основание ДВ равно осно-
ванию AD (предложение 4
книги 1). Вследствие того же
вот и каждая из ВС, CD рав-
на каждой изДВ, AD; значит,
равносторонний. Вот я утвер-
ждаю, что он и прямоугольный. Действительно, поскольку
КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ
129
прямая BD есть диаметр круга ABCD, то значит, BAD —
полукруг; значит, угол BAD — прямой (предложение 31
книги 111), Вследствие того же вот и каждый из углов
ABC, BCD, CDA будет прямым; значит, четырёхсторонник
ABCD — прямоугольный. Доказано же. что он и равио-
сгиронний; значит, он квадрат (определение 22 книги I);
и вписывается в круг ABCD.
Значит, в данный круг вписывается квадрат ABCD,
что и требовались сделать.
Предложение 7
Ол'оло данного к руга описать квадрат,
данный круг будет ABCD-, вот требуется около
круга ABCD описать кватрат (черт, 9).
Проведём в круге ABCD два диаметра АС и BD иод
прямыми у] ламп друi к другу
проведём к круге XBCD ка-
сательные IH, IKi. GK. К!
(следствие про сложения 16
книги III).
Поскольку теперь 1Н ка-
сается круга ABCD и из центра
Е к точке касания в ,4 прове-
дена соединяющая прямая ЕА,
io значит, углы при А ирямьп
(предложение 18 книги III).
Вследствие того же во г и утлы
при точках В, С, D прямые. И
поскольку угол ЛЕВ прямой,
прямой же и угол ЕВН, зна-
и через точки -1, В. С,. I)
пит, НС параллельна АС (предложение 29 книги I).
Вследствие того же вот и АС параллельна IK. Так что и НС
параллельна /К (предложение 30 книги I). Подобным же
вот образом докажем, что и каждая из HI, СК будет
параллельна BED. Значит,. <фигуры> НК, НС, АК, IB,
ВК суть параллелограммы; значит (предложение 34 книги I),
HI равна СК, НС же равна IK. И поскольку АС равна
BD, но и АС равна каждой из НС, /К, BD же равна
9 Вянтид
тзо
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
каждой из Hi и GK (предложение 34 книги I) [и значит,
каждая из HG, IK равна каждой из HI, ОК]; значит, че-
тырёхсторонник IHGK равносторонний. Вот я утверждаю,
что и прямоугольный.
Действительно, поскольку НВЕА параллелограмм и угол
АЕВ прямой, то значит, и АНВ прямой (предложение 34
книги I). Подобным же вот образом докажем, что и углы
при G, К, I прямые. Значит, IHGK прямоугольный. Дока-
зано же, что и равносторонний; значит, он квадрат (опре-
деление 22 книги I) и описывается около круга
ABCD.
Значит, около данного круга описывается квадрат, что
и требовалось сделать.
Предложение 8
В данный квадрат вписать круг.
Пусть данный квадрат будет ABCD; rot требуется в
квадрат ABCD вписать круг (черт. 10).
Рассечём каждую из AD и
АВ пополам в точках Е и /,
и через Е параллельно каждой
из АВ, CD проведём EG
(предложения 31, 30 книги ]),
через же I параллельно каж-
к дой из AD, ВС проведём IK,
значит, каждая из <фигур> АК,
КВ, AG, GD, АН, НС, ВН,
HD будет параллелограммом, и
противоположные их стороны,
очевидно, равны (предложение
34 книги I). И поскольку AD
равна АВ и половина AD есть
АЕ, половина же АВ есть AI, то значит, АЕ рав-
на AI, так что и противоположные <стороны> равны;
значит, и IH равна НЕ. Подобным же вот образом дока-
жем, что и каждая из HG, НК равна каждой из IH, НЕ;
значит, четыре <прямых> НЕ, Hl, HG, НК равны между
собой. Значит, круг, описанный из центра Н раствором
КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ
131
одним из Е, /, О, К*), пройдёт п через остальные точки
и коснётся прямых. АВ, ВС, CD, DA вследствие того, что
углы при Е, /, О, К прямые; действительно, если бы круг
пересекал АВ, ВС, CD, DA, то прямая, проведённая под
прямыми углами к диаметру круга в его конце, попадала
бы внутрь круга, что, как доказано, нелепо (предложение
16 книги III). Значит, круг с центром Н, описанный ра-
створом одним из Е, I, G, К, не пересекает прямых АВ, ВС,
CD, DA; значит, он их касается и будет вписанным в
квадрат ABCD.
Значит, в данный квадрат вписывается круг, что и тре-
бовалось сделать.
Предложение 9
Около данного квадрата описать круг.
Пусть данный квадрат будет ABCD; вот требуется
около квадрата ABCD описать круг (черт. 11).
Действительно, пусть соединяющие AC, BD пересекают
друг друга в Е.
И поскольку DA равна АВ, АС же общая, то вот две
<прямые> DA, АС равны двум
ZM, АС; и основание DC равно
основанию ВС; значит, и угол
DAC равен углу ВАС; значит,
угол DAB рассечён прямой АС
пополам. Подобным же вот
образом докажем, что и каж-
дый из углов ABC, BCD, CDA
рассечён прямыми AC, DB по-
полам. И поскольку угол DAB
равен АВС, и половина угла
DAB будет ЕАВ, половина же
АВС будет ЕВА, то значит,
ЕАВ равен ЕВА, так что и
сторона ЕА равна ЕВ (предложение 6 книги 1). Подобным
же вот образом докажем, что и каждая из [прямых] ЕА,
ЕВ равна каждой из ЕС, ED. Значит, четыре прямые ЕА,
*) Сокращённое обозначение вместо НЕ, HI, HG, НК-
О*
ЕВ, ЕС, ED равны между собой. Значит, круг, опи-
санный из центра Е раствором одним из ЕА, ЕВ, ЕС, ED.
пройдёт и через остальные точки и будет описан-
ным около квадрата ABCD. Пусть он описан <и прой-
аёт> как ABCD.
Значит, около данного квадрата описывается круг, что
и требовалось сделать.
Предложение 10
Построить равнобедренный треугольник, имеющий
каждый из углов при основании вдвое большим остаю-
щегося.
Отложим некоторую прямую АВ л рассечём её в точке С
так, чтобы прямоугольник, заключённый между АВ и ВС, был
__________,_____ равен квадрату на СА (прет-
-г"***^ ложение 11 книги II) (черт. 12);
У и из центра Д раствором АВ
I опишем круг BDE и вставим в
/ кРут прямую BD, равную
I Д&С.------Ц/7 прямой ДС, не большей диа-
I [ /| метра круга BDE (предложе-
\ \ // нне 1); 11 соединим AD, DC.
\ \. // и около треугольника ACD
х. опишем круг ACD (предложе-
------ нне о),
Черт. 12. И поскольку прямоугольник
между АВ, ВС равен квад-
рату на АС, АС же равна BD, то значит, прямоугольник
между АВ, ВС равен квадрату на BD. И поскольку вне
круга ACD взята некоторая точка В, и от этой точки В
уиали на круг ACD две прямые ВЛ, BD, и из них одна
пересекает, а другая только встречает <круг>, и прямо-
угольник между АВ, ВС равен квадрату на BD, то зна-
чит, <прямая> BD касается круга ACD (предложение 37
книги III). Поскольку теперь BD касается, из точки же
касания в D проведена DC, то значит, угол BDC равен
углу DAC в Пакрестлежащем сегменте круга (предложе-
ние 32 книги Ill). Поскольку теперь угол BDC равен DAC,
прибавим общий угол CDA-, значит, весь угол BDA равен
КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ
133
двум углам CDA, DAC. Но углам CDA, ОДС равен внеш-
ний BCD (предложение 32 книги 1); и значит, угол BDA
равен BCD.
Но угол BDA равен CBD, поскольку и сторона AD
равна АВ (предложение 5 книги I), так что и угол DBA
равен BCD. Значит, три угла BDA, DBA, BCD равны
между собой. И поскольку угол DBC равен BCD, и сто-
рона BD равна стороне DC (предложение 6 книги 1). Но
BD предполагается равной СА, и значит, СА равна CD;
так что и угол CDA равен углу DAC (предложение 5
книги 1); значит, CDA, DAC <вместе> в два раза больше
DAC. Угол же BCD равен CDA, DAC и значит, BCD
вдвое больше CAD. Угол же BCD равен каждому из В ЭД,
DBA; и значит, каждый из ВОД, DBA вдвое больше О 45.
Значит, построен равнобедренный тре /гольник ABD,
имеющий каждый из углов при основании вдвое большим
остаю цсгося. что и требовалось сделать.
Предложение 11
В da-iHhiii круг вписать равносторонний и равноуголь-
ный пятиугольник.
Пусть данный круг будет ABCDE; вот требуется впи-
сать в круг ABCDE равносторонний и равноугольный пя-
тиугольник (черт. 1.3).
Возьмём *) равнобедренный треугольник JHG, имеющий
каждый из углов при Н и G вдвое большим угла при /
(предложение 10), и впишем в круг ABCDE треугольник
ACD равноугольный с треугольником IHG так, чтобы углу
при / был равен CAD, а каждому из углов при Н и G
были бы равны каждый из ACD, CDA (предложение 2);
и значи-i, каждый из ACD, CDA будет вдвое больше CAD.
Вот рассечём кажтый из углов ACD н CDA пополам пря-
мыми СЕ и DB (предложение 9 книги I) и соединим АВ,
ВС, [СО], DE, ЕА.
Поскольку теперь каждый из углов ACD и CDA вдвое
больше CAD, и они рассечены пополам прямыми СЕ, DB,
9 У Евк шда — ьыюжим, выставим на вид.
134
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
то значит, пять углов DAC, АСЕ, ЕСЕ), CDB, BDA равны
между собой. Равные же углы опираются на равные обводы
(предложение 26 книги Ш); значит, пять обводов АВ, ВС,
CD, DE, ЕА равны между собой. Но равные обводы стя-
гиваются равными прямыми (предложение 29 книги И1); зна-
чит, пять прямых АВ, ВС, СЕ), DE, ЕА равны между со-
бой; значит, пятиугольник ABCDE равносторонний. Вог
я утверждаю, что и равноугольный. Действительно, по-
скольку обвод АВ равен обводу DE, то прибавим общий
BCD; значит, весь обвод ABCD равен всему обводу EDCB.
И на обвод ABCD опёрся угол AED, иа обвод же EDCB
угол ВАЕ; и значит, угол ВАЕ равен AED (предложе-
ние 27 книги 111). Вследствие того же вот и каждый из
углов ABC, BCD, CDE равен каждому из ВАЕ и AED;
значит, пятиугольник ABCDE равноугольный. Доказано же,
что ои и равносторонний.
Значит, в данный круг вписывается равносторонний и
равноугольный пятиугольник, что и требовалось сделать (6).
Предложение 12
Оком данного круга описать разносторонний и рав-
ноугольный пятиугольник.
Пусть данный круг будет ABCDE; требуется же около
круга ABCDE описать равносторонний и равноугольный
пятиугольник.
КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ
135
Вообразим *), что А, В, С, D, Е будут угловые точки
вписанного пятиугольника (черт. 14) (предложение 11), так
что обводы АВ, ВС, CD, DE, ЕА равны; и через А, В,
С, D, Е проведём касательные к кругу HG, GK, KL, LM,
(предложение 17 книги Ш), возьмём центр / круга
ABCDE (предложение 1 книги Ш) и соединим IB, IK, IC,
IL, ID.
И поскольку прямая KL касается круга ABCDE в С, из
центра же / к точке касания в С проведена соединяю
щая IC, то значит, IC пер-
пендикулярна к KL (пред-
ложение 18 книги III); зна-
чит, каждый из углов при
С — прямой. Вследствие того
же вот и углы при точках
В и D прямые. И поскольку
угол ICK прямой, то значит,
квадрат иа IK равен квад-
ратам на IC, СК <вместе>
(предложение 47 книги I).
Вследствие того же вот и
квадратам на IB, ВК будет
равен квадрат на IK, так что
квадраты на IC и СК равны квадратам на IB и ВК, из кото-
рых квадрат на IC равен квадрату на !В; значит, остающийся
квадрат на СК равен квадрату на ВК. Значит, ВК равна СК.
И поскольку IB равна IC и IK общая, то вот две <прямые>
BI, IK равны двум CI, IK; и основание ВК равно основа-
нию СК; значит, угол BIK равен [углу} KIC (предложе-
ние 8 книги I); угол же BKI равен IKC (предложение 32
книги I); значит, угол BIC вдвое больше угла KIC, ВКС
угла IKC. Вследствие того же вот и угол CID вдвое
больше CIL, DLC угла ILC. И поскольку обвод ВС
равен CD, то и угол В1С равен CID (предложение 27
книги П1). И угол BJC вдвое больше угла KIC, DIC
угла LIC; значит, н KIC равен !.1С, и угол /СК равен ICL.
*) У Евклида vtvsv&w—разумею, понимаю, представляю
1 уме.
136
НАЧАТА ЕВКЛИДА
Вот будут два треугольника IKC и ILC, имеющих два угла,
равных двум углам, и одну сторону, равную одной сто-
роне, именно, их общую IC; значит, они будут иметь и
остальные стороны равными остальным н остающийся угол,
равным остающемуся (предложение 26 книги I); значит,
прямая КС равна С/., угол же IKC равен ILC.
И поскольку КС равна CL, то значит, KL вдвое
больше КС. Таким же вот образом будет доказано, что
и GK вдвое больше ВК И ВК равна /<С; и значит, GK
равна KL. Подобным же вот образом будет доказано, что и
каждая из <нрямых> GH, НМ, ML равна каждой из GK,
KL; значит, пятиугольник HGKLM равносторонний. Вот
я утверждаю, что и равноугольный. Действительно, по-
скольку угол IKC равен ILC, и по доказанному угол GKL
вдвое больше утла IKC, KLM же вдвое больше угла ILC,
то значит, и угол GKL равен KLM. Подобным же воз
образом будет доказано, что и каждый из углов KGH,
GHM, HML равен каждому из GKL, KLM; значит, пять
углов HGK, GKL, KLM. LMH, MHG равны между собой.
Значит, пятиугольник HGKLM равноугольный. Доказан.।
же. что он и рзвыостор*।:|ний, п описывается около кртта
ABCDE.
(Значит, около данною кр\|а описывается равноуголь-
ный и равносторонний пятиугольник], что и требовалось
сделать.
Предложение 13
В данный пятиугольник, являющийся равносторонним
и равноугольным, вписать круг.
Пусть данный пятиуюльпик равносторонний и равно-
угольный будет ABCDE; вот требуется вписать в пяти-
угольник ABCDE крут (черт. 15).
Рассечём каждый из углов BCD, CDE пополам прямыми
Cl, DI; и из точки А в которой встречаются друг с дру-
гом прямые С! и DI, проведём соелнняющие прямые IB,
IA, IE. И поскольку ВС равна CD. С] же общая, то вот
две <нрямые> ВС. !С равны двум DC, CI; и угол ВС!
равен углу DC!; значит, основание В! равно основанию DI
(предложение 4 книги 1), п треиольнис ВС! равен грс-
КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ
vio.ibHHKy DC!, и остальные угля равны остальным, стяги-
ваемым равными ciopoJia.Mii; значит, угол СВ! равен CD!.
И поскольку угол CDE вдвое больше CD!, угол же CDE
равен ABC, CD! же равен СВ! и, значит, угол СВА вдвое
больше СВ1; значит, угол АВ! равен !ВС\ значит, угол
АВС делится прямой В! пополам. Подобным же вот обра-
зом будет доказано, что и каждый из углов ВАЕ, AED
делится пополам прямыми IA, !Е. Вот проведём из точки /
к прямым АВ, ВС, CD, DE, ЕА
ОС !L, !М. И поскольку угол
ОС/ равен К'С7, прямой же
угол ЮС равен [прямому]
!КС, то вот два треугольника
/ОС. 1К.С, iiMejoiUHX два угла,
равных двум углам, и одну
сторону, равную одной сторо-
не,— их общую (С,--стяги-
вающую одни из равных углов:
значит, они будут иметь и
остагшные стороны равными
ооальным; значит, перпенди-
куляр /О равен перпендикуля-
перпендикуляры !Н, Ю,
ру //С Подобным же вот образом
будет доказано, чю и
каждая из <прямых> IL. !М, !Н равна каждой из /О, !К\
значит, пять прямых !Н. Ю, !К, IL, !М равны между собой.
Значит, круг, описанный из центра / раствором одним из !Н,
!G, !К, IL, !Л1, пройдёт и через остальные точки н коснётся
прямых АВ, ВС, CD, DE, ЕА вследствие того, что углы
при точках Н, G, К, Д, М прямые. Действительно, если он не
коснётся их, но пересечёт их, то произойдёт, что прямая, про-
ведённая в конце диаметра под прямыми углами, упадёт
внутрь круга, чю ио доказанному нелепо (предложение 16
книги 111). Значит, круг, описанный из центра / раствором
одним из !Н, Ю, Jf(, IL, !М, не пересечёт прямых АВ,
ВС, CD, DE, ЕА; значит, он их коснётся. Пусть он опи-
сан <и будет> как HGKLM.
значит, в данный пятиугольник, являющийся равносто-
ронним и равноугольным, вписывается npvr, что и требо-
вались сделать.
1
138
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 14
Около данного пятиугольника, являющегося равно-
сторонним и равноугольным, описать круг.
Пусть данный пятиугольник, являющийся равносторон-
ним и равноугольным, будет ABCDE; вот требуется около
пятиугольника ABCDE описать круг (черт. 16).
Вот рассечём каждый из углов BCD и CDE ионолам
прямыми Cl, DI и от точки /, в которой встречаются пря-
мые, к точкам В, А, Е проведём соединяющие прямые IB,
/А, IE. Подобно вог предыдущему будет доказано, что и
каждый из углов СВА, ВАЕ, AED
делится пополам <соответственно>
прямыми IB, IA, IE. И поскольку
угол BCD равен CDE и полови-
на BCD есть ICD, половина же
CDE угол CDI, и значит, ICD
равен IDC; так что и сторона IC
равна стороне ID (предложение 6
книги I). Подобным же вот об-
разом будет доказано, что и каж-
дая из прямых IB, IA, IE равна
каждой из IC, ID; значит, пять
прямых IA, IB, IC, ID, IE равны
между собой. Значит, круг, описанный из центра / раство-
ром одним из IA, IB, IC, ID, IE, пройдёт п через
остальные точки и будет описанным. Пусть он описан и
будет ABCDE.
Значит, около данного пятиугольника, являющегося рав-
носторонним и равноугольным, описывается круг, что и
требовалось сделать.
Предложение 15
В данный круг вписать шестиугольник равносторон-
ний и равноугольный.
Пусть данный круг будет ABCDEI; вот требуется впи-
сать в круг ABCDE] шестиугольник равносторонний и
равноугольный (черт. 17).
КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ
139
ее, поскольку точка D
DH. Но, как доказано,
Черт, 17.
Проведём диаметр AD круга ABCDEI и возьмём центр
круга Н, из центра D раствором DH опишем круг EHCG,
соединяющие прямые ЕН и СН продолжим до В и I и
соединим АВ, ВС, CD, DE, EI, IA. Я утверждаю, что
ABCDEI шестиугольник равносторонний и равноугольный.
Действительно, поскольку точка Н есть центр круга
ABCDEI, то НЕ равна HD. Дал
центр круга EHCG, то DE равна
НЕ равна HD‘, и значит, НЕ рав-
на ED\ значит, треугольник EHD
равносторонний; и значит, трн его
угла EHD, HDE, DEH равны
между собой, поскольку ведь в
равнобедренных треугольниках
углы при основании равны между
собой (предложение 5 книги I), и
три угла треугольника <вместе>
равны двум прямым (предложение
32 книги I); значит, угол EHD —
треть двух прямых. Подобным же
нот образом будет доказано, что
и угол DHC третья часть двух
прямых. И поскольку прямая СН,
восставленная на ЕВ, образует
смежные углы, равные двум пря-
мым (предложение 13 книги 1),
ю значит, и оставшийся угол СНВ — треть двух пря-
мых; значит, углы EHD, DHC, СНВ равны между собой,
так что и их углы через вершину *) ВНА, AHI, IHE
(предложение 15 книги I) равны [углам EHD, DHC,
СНВ\. Значит, шесть углов EHD, DHC, СНВ, ВНА,
AHI, IHE равны между собой. Равные же углы опираются
иа равные обводы (предложение 26 книги III); значит,
шесть обводов АВ, ВС, CD, DE, EI, IA равны между
собой. Равные же обводы стягиваются равными пря-
мыми (предложение 29 книги III); значит, шесть этих пря-
мых равны между собой; значит, шестиугольник ABCDEI
*) Т. е. вертикальные.
по
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
равносюронний. Вот я утверждаю, чти и равноугольный.
Действительно, поскольку обвод IA равен отводу ED, при-
бавим общий обвод ABCD; значит, вся IABCD равна всей
EDCBA; и на обвод IABCD опёрся угол IED, на обвод
же EDCBA угол А/Е; значит, угол AIE равен DEI (пред-
ложение 27 книги Ill). Подобным же вот образом буде1
доказано, что и остальные углы шестиугольника ABCDEI
поодиночке равны каждому из углов AIE, IED; знача 1.
шестиугольник ABCDEI равноугольный. Доказано же, что
он и равносторонний и вписывается в круг ABCDEI.
Итак, в данный круг вписывается шестиугольник равно-
сторонний и равноугольный, что и требовалось сделать.
С л с д с 1 в и е
Из этого вот ясно, что сторона шестиугольника равна
прямой «из центра круга» *).
Подобным же образом, как для пятиугольника, если про-
вести через деления по кругу касательные к кругу, то около
круга опишется равносторонний и равноугольный шести-
угольник. следуя тому, что сказано о пятиугольнике (пред-
ложение 12). И ещё на основании <доказа[ельств>, подобных
изложенным для пятиугольника, в данный шестиугольник
(предложения 13, 14) впишем и <около него> опишем круг,
что и требовалось сделать.
Предложение 16
В данный круг вписать пятнадцатиугольник равно-
сторонний и равноугольный.
Пусть данный круг будет ABCD; вог требуется в круг
ABCD вписать пятнадцатиугольпик равносторонний и равно-
угольный (черт. 18).
Впишем в круг ABCD сторону АС равностороннего тре-
угольника, в него вписанного (предложение 2), и сторону
АВ равностороннего пятиугольника: значит, каких равных
Т. е. радиусу, для обозначения которого треки не имели
специального термина; слово tradius — луч» введено позднее.
КНИГА ЧГТНКРЗАЯ
141
шлей*) будет в круге ABCD ияшадцать **), таких в об-
воде АВС, являющемся третью круга, будет пять, в обводе
же АВ, являющемся пятой частью круга, будет три; зна-
чит, в остающемся обводе ВС равных <долей> будет две.
Рассечём ВС пополам в Е (предложение 30 книги III);
значит, каждый из обводов BE
и ЕС будет пятнадцатой частью
круга ABCD.
Зпачтп, если, соединив BE
и ЕС, бчдем вставлять в круг
ABCD одну .за другой равные
нм прямые (предложение 1), io
получим вписанный в круг пят-
надцатиугольник равносторон-
ний п равноугольный, что и
требовалось сделать.
Подобным же образом, как
для пятиугольника, если при-
вести через деления по кругу
касательные к кругу, то опишется около круга пятнадцати-
угольник равносторонний и равноугольный (предложение 12).
Ещё же на основании доказательств, подобных тем, что
для пятиугольника, мы впишем в данный пятнадцатиуголь-
ник и опишем <около вего> круг (предложения 13 п 14),
что и требовалось сделать (7, 8, 9, 10).
*) У Евклида Г|1^1дте>7, т. е. «отрезков».
**) ера)» sc-iv 6 АВГ& хйх)о? iffwv tfrfyawv сг'хапптг—до-
словно «значит, каких равных долей был бы круг ABCD <в>
пятнадцать». Мы сказали бы: «если весь круг ABCD равняется
пятнадцати долям, то обвей АВС будет равняться пяти таким
долям и т. д.».
КНИГА ПЯТАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Часть есть величина <от> величины, меньшая <от>
большей, если опа измеряет большую.
2. Кратное же — большая <от> меньшей, если она
измеряется меньшей.
3. Отношение есть некоторая зависимость *) двух одно-
родных величин по количеству (1,2, 3, 4).
4. Говорят, что величины имеют отношение между
собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг
друга (5, 6, 7, 8).
5. Говорят, что величины находятся в том же отно-
шении4. первая ко второй н третья к четвёртой, если рав-
нократные первой и третьей одновременно больше, или
одновременно равны, или одновременно меньше равнократ-
ных второй н четвёртой каждая каждой при какой бы то
ни было кратности, если взять их в соответственном по-
рядке (9, 10, 11, 12).
6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть на-
зываются пропорциональными **).
*) У Евклида ffy/'ci? —собственно говоря, состояние (habitnsj
от to/sev — удерживать (усиленное eysiv— иметь).
**) dvdkoyo;— соразмеримый, согласный, сходный. У Евклида
просто avdkoyov, что по форме ire является прилагательным, хот-з
употребляется и в значении чего-то похожего на прилагатель*
ное. Хизс (Heath) толкует dvakoyev как avd koyov— в отношении
или, ещё лучше, в пропорции, Нашему слову «пропорция» у
Евклида соответствует dvakoyta, употребляющееся у Аристотеля
и в более широком смысле (например, Никомахова этика V, 6;
Физика IV, 3).
КНИГА ПЯТАЯ
143
7. Если же из равнократных кратное первой превышает
кратное второй, а кратное третьей не превышает кратного
четвёртой, то говорят, что первая ко второй имеет большее
отношение, чем третья к четвёртой.
8. Пропорция же состоит по меныпей мере из трёх
членов (13).
9. Когда же три величины пропорциональны, то гово-
рят, что первая к третьей имеет двойное отношение пер-
вой ко второй *).
10. Когда же четыре величины пропорциональны, то
говорят, что первая к четвёртой имеет тройное отношение
первой ко второй и так далее, всегда, пока существует
пропорция **).
11. Соответственными величинами называются преды-
дущие <по отношению к> предыдущим, последующие же
<к> последующим.
12. Переставленное отношение есть взятие (отнопщ-
ния> предыдущего к предыдущему и последующего к по-
следующему ***).
13. Перевёрнутое отношение есть взятие <отнО[иепия>
последующего как предыдущего к предыдущему как к по-
следующему ****).
*) В данном случае речь идёт о непрерывной пропорции
а; b — ь: с.
Евклид хочет сказать, что
а { а \2
Г ’
его термин «двойное (ос-азсису) отношение» следует понимать как
отношение, повторённое два раза множителем.
**) У Евклида <£><; dv dvazoyla wrapx7!* Гейберг переводит
qualiscunqiie data est proportio — какой бы ни была про-
порция.
***) У Евклида Ьа).ла$ — отношение накрест (латинский
термин permutata ratio или permutando); если a-.b = c‘.d, то
а-,с~Ь',а.
****) У Евклида avsKtZAiv /.670?— отношение наоборот (inversa
ratio или invertendo); если a-.b=c:d, то b\a = d\c.
144
НАЧАЛУ ГВКЛИДЛ
14. Присоединение отношения есть взятие <отноше-
ния> предыдущего с последующим как одного <члена''
к этому самому последующему *).
15. Выделение отношения есть взятие <отношемия>
избытка предыдущего над последующим к этому самому
последующему **)•
16. Переворачивание отношения есть взятие < отпиши-
ния> предыдущего к избытку предыдущего над последую-
щим ***),
17. По равенству отношение бывает при задании не-
скольких величин и ранного им количества других, нахо-
дящихся, взятые попарно, в том же самом отношении,
когда как первая к последней в <ряду> первых величин.
1 ак будет и первая к последней н <ряду> вторых величин;
пли иначе: взятие <отношепия> крайних с пропуском
средних ***:::).
18. Перемешанная же пропорция бывает, шила при
задании трёх величин и других равных им по количеству
получается, что как в <ряду> первых величин предыдущая
к последующей, так и в <ряду> вторых величин преды-
дущая к последующей, как же в <ряду> первых величин
последующая к какой-то <третьей>, так в ряду вторых
какая-то <третья> к предыдущей *«***).
fc) У Евкина Zoyo-j—composite ratluni*:, или со-
кращённо гу/ОгЛ'. — compotiendo; если a:b~-c:d, го (ay-b)'.b —-
= (с 4- d):d.
*•*) У Евклида Sicufi-'i; /б-'iu — subtracts rationis, или со-
кращённо StsMvti — dirimendo, separando или divisim; если a:b~
:-=c:d, то (я — bp.b — (с — dp.d.
***) У Евклида avasTpocTj kerp-j — conversio rationis, сокра-
щённо avacrpiiavTi — convcrt'endo; если a:b~ c:d, то a‘.(a—b) —
—.e-.(c-d).
****) у Евклида « wyo; — ex aequo или ex aeqnali. если
то atc — A'.C.
«****) у Евклида -rjTapayinvTi avaloyia — pcrlurbata proportio.
если даны три величины а, b, с н три других А,В,С таких,что
a:b -R-.C Ь-.с — А-.В,
то
а1, с — А: С.
КНИГА ПЯТАЯ
145
Предложение 1
Если будет несколько ветчин, равнократных каждая
каждой каким-нибудь (другим, взятыму в равном коли-
честве величинам, то ско 7ъко раз одна из (первыху ве-
личин будет кратна одной (из вторыху, столько оке
раз будут и все (первые величины вместеу кратны всем
(вторы-му.
Пусть будет несколько величин АВ, CD, равнократных
каждая каждой каким-нибудь <другим, взятым> в равном
количестве величинам Е, /; я утверждаю, что сколько раз
АВ кратна Е, столько же раз и АВ, CD <вместе> будут
кратны Е, I (черт. 1).
-Черт, 1.
Действительно, поскольку равнократны АВ для Е и СО
для /, то значит, сколько в АВ будет величин, р вных Е,
столько и в CD равных /. Разделим АВ на равные Е ве-
личины АН, НВ, a CD на равные I величины CG, GD;
вот кольни ci во величин АН, НВ будет равно количеству
величин CG, GD. И поско: ьку АН равно Е, CG же /,
то значит, АН равно Е, и АН, CQ равны Е, !. Вот
вследствие того же НВ равно Е, и НВ, GD равны
Е, /; значит, сколько в АВ равных Е, столько и в
АВ, CD равных Е, /; значит, сколько раз АВ крат-
на Е. столько же раз и АВ, CD <вместе> будут крат-
ны Е, I.
Значит, если будет несколько величин, равнократных
каждая каждой каким-нибудь ^другим, взятым> в равном
количестве величинам, то сколько р.;з одна из <первых>
величин будет кратна одной <из вторых>, столько же раз
и все <иервые вместе> будут кратны всем <_втирым>, что
и требовалось доказать (14),
Ю Евклид
146
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 2
Если первая (величина"} столько же раз кратна вто-
рой, сколько и третья четвёртой, и пятая столько же
раз кратна второй, сколько и шестая четвёртой, то
составленная первая и пятая будут столько же раз
кратны второй, сколько третья и шестая (кратны}
четвёртой.
Пусть первая <велнчина> АВ столько же раз кратна
второй С, сколько третья DE четвёртой /, пусть же и
в
О
J-----------
Черт. 2.
пятая ВН столько же раз кратна второй С, сколько и
шестая EG четвёртой /; я утверждаю, что и составлен-
ные первая и пятая АН будут столько же раз кратны вто-
рой С, сколько третья и шестая ЕЮ <кратны> четвёртой /
(черт. 2).
Действительно, поскольку одинаково кратны АВ от С
и DE от /, то значит, сколько’ в АВ <величин>, равных С,
столько же и в DE, равных I. Вот вследствие того.же и
сколько в ВН будет равных С, столько же и в EG рав-
ных /; значит, сколько во всём АН равных С, столько и
во всём ЕЮ равных I. Значит, сколько раз АН кратна С,
столько раз и DG кратна /. Значит, и составленные первая
и пятая АН столько же раз будут кратны второй С,
сколько раз и третья и шестая DG кратны четвёртой I.
Значит, если первая столько же раз кратна второй,
сколько и третья четвёртой, и пятая столько же раз кратна
КНИГА ПЯТАЯ
147
второй, сколько и шестая четвёртой, то составленные пер-
вая и пятая будут столько же раз кратны второй, сколько
третья и шестая кратны четвёртой, что и требовалось до-
казать.
Предложение 3
Если первая <.величичау столько же раз кратна
второй, сколько и третья четвёртой, и взяты- равно-
кратные первой и третьей, то «но равенству* из взятых
каждая будет одинаково кратна каждой', одна — второй,
другая же четвёртой.
Д —----------------и.
В--------
--
Zb—
Н------------£----------Q
Черт. 3.
Пусть первая <величина> А будет столько же раз
кратна второй В, сколько и третья С четвёртой D, и пусть
взяты Е1 и НО равнократные А а С (черт. 3); я утверждаю,
что Е! будет столько же раз кратна В, сколько и НО
кратна D.
Действительно, поскольку одинаково кратны EI от А
и НО от С, то значит, сколько в Ef равных А, столько
и* в НО равных С. Разделим Ef на равные А величины ЕК,
К/, з НО на равные С величины HL, LO; вот коли-
чество ЕК, KI будет равно количеству HL, LG.W поскольку
одинаково кратны А для В и С для D, ЕК же равно А,
a HL разно С, то значит, одинаково кратны будут ЕК
для В и HL для D. Вот вследствие того же одинаково
кратны будут А7 для В и LO для D. Поскольку теперь
первая ЕК столько же раз кратна второй В, сколько и
третья HL кратна четвёртой D, и пятая KJ столько же раз
Ifi*
118
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
кратна второй В, сколько и шестая LG кратна четвёртой D,
то значит, и сложенные первая и пятая EI будут столько
же раз кратны второй В, сколько и третья и шестая HG
кратны четвёртой D (предложение 2).
Значит, если первая столько же раз кратна второй,
сколько и третья четвёртой, и взяты равнократные первой
и третьей, то «по равенству» из взятых каждая будет
одинаково кратна каждой: одна — второй, а другая — чет-
вёртой, что и требовалось доказать.
Предложение 4
Если первая ко второй имеет то же самое отноше-
ние, что и третья к четвёртой, то и равнократные
первой и третьей к равнократным второй и четвёртой,
при любой кратности будут иметь то же самое отно-
шение, взятые в соответственном порядке.
Пусть первая А ко второй В будет иметь то же самое
отношение, что и третья С к четвёртой D, и пусть взяты
Е, / равнократные от А, С, от В, D же другие какие-
нибудь равнократиые //, G; я утверждаю, что будет как
Е к Л/, так и / к G.
Действительно, возьмём от Е, I равнократные A', L,
а от Н, G другие, какие угодно, равнократные 7И и N
(черт. 4).
И поскольку одинаково кратны Е от А, I же от С, н
от Е, / взяты равнократные К, L, то значит, одинаково
кратны К от А и L от С (предложение 3). Вот вследствие
того же одинаково кратны /И от 5 и /V от D. И поскольку
будет, что как А к В, так и С к D, и взяты от А, С рав-
нократные К, Д, от В, D же другие какие угодно равн<Т-
кратные М, N, то значит, если К превышает А4, то и L
превышает N, и если равны <первые>, то равны <и вто-
рые), и если меньше <первыз>, то меньше <и вторые)
(определение 5). И К, L суть равнократные от Е, /, а М,
N другие какие угодно равнофатные от Н, G; значит,
будет, что как Е к Н, так и / к G (определение 5).
Значит, если первая ко второй имеет то же самое
отношение, что и третья к четвёртой, то и равнократные
КИША ПЯТАЯ
149
первой и третьей к равнократным второй и четвёртой при
любой кратности будут иметь то же самое отношение,
Д---_-----
В —
f —-----------
/7 —------
/Г ------------------
и.—_—.—-— ------------------*
D —
I ,-----------
’—
I----------------.
Л'---------------------------
Черт. 4,
взятые в соответственном порядке, что и требовалось до-
казать.
Предложение 5
Если, величина столько же раз кратна (другой"» ее-
личине, скогъко отминаемое *) кратно отнимаемому,
то и остаток будет столько же раз кратен остатку,
сколько раз и целое кратно целому.
♦) Употребленный в тексте термин apaip-IW* обозначает так-
же и «вычитаемое», однако я намеренно избегаю этого термина,
поскольку Евклиду чужда всякая арифметизация геометрии.
150
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Пусть величина АВ будет столхко же раз кратна ве-
личине CD, сколько отнимаемое АЕ <кратно> отнимае-
мому СГ, я утверждаю, что и остаток ЕВ будет столько
же раз кратен остатку ID, сколько раз целое АВ кратно
целому CD (черт. 5).
Действительно, каким кратным будет АЕ от CI, таким
же кратным сделаем и ЕВ от СН.
И поскольку одинаково кратны АЕ от CI и ЕВ от НС,
то значит, одинаково кратными будут АЕ от CI и АВ от
Д---------------.--------------------д
Черт. 5.
HI (предложение 1). Полагаются же одинаково кратными
АЕ от Ci и АВ от CD. Значит, АВ одинаково кратно каж-
дой из HI, CD; значит, HI равно CD. Отнимем общую CI;
значит, остаток НС равен остатку ID. И поскольку оди-
наково кратны АЕ от С/ и ЕВ от НС, НС же равна DI,
то значит, одинаково кратны АЕ от CI и ЕВ от ID. Пред-
полагается же, что одинаково кратны АЕ от CI и АВ от CD;
значит, одинаково кратны будут ЕВ от ID, и АВ от
CD. Значит, и остаток ЕВ будет столько же раз кратен
остатку lDy сколько раз целое АВ кратно целому CD.
Значит, если величина столько же раз кратна величине,
сколько отнимаемое кратно отнимаемому, то и остаток
будет столько же раз кратен остатку, сколько раз и целое
кратно целому, что и требовалось доказать.
Предложение 6
Если две величины равнократны двум (другим") вели-
чинам и какие-нибудь отнимаемые равнократны тем же
самым, то и остатки будут или равны им или одина-
ково им кратны.
Пусть две величины АВ, CD будут равнократиы двум
величинам Е, I и отнимаемые АН, CG пусть будут равно-
КНИГА ПЯТАЯ
151
кратными тем же самым /; я утверждаю, что и остатки
НВ, 0D или будут равны Е, I, или одинаково им кра/ны
(черт. 6).
Действительно, пусть сперва НВ будет равна Е;
я утверждаю, что и GD будет равна I.
Действительно, положим *) СК, равную I. Поскольку
одинаково кратны АН от Е и СО от /, НВ же равна Е,
КС же /, то значит,
одинаково кратны АВ д—-------------—--------С-- - -*8
от Е и КО от I. Пред-
полагается же, что £~---------«
одинаково кратны АВ
от Е и CD от /; зна- _________£ - ? j
чит, одинаково кратны
КО от / и CD от I. >
Нискольку теперь каж-
дая из KG, CD Одина- Черт. 6.
ково кратна I, то зна-
чит, КО равно CD. Отнимем общую CG; значит, остаток
КС будет равен остатку OD. Но / равно КС; значит, и
GD равно I. Так что, если НВ равна Е, то и GD будет
равна /.
ПодоГным же вот образом докажем, что если НВ
было бы <каким-нибудь> кратным Е, то GD будет таким
же кратным I.
Значит, если две величины равнократны двум величинам
и какие-нибудь отнимаемые равнократны тем же самым,
то и остатки будут или равны им или одинаково им
кратны, что и требовалось доказать.
Предложение 7
Равные к тому же имеют то же отношение и это
то же (имеет то же отношение^ к равным.
Пусть равные величины будут А и В, а какая угодно
другая величина С; я утверждаю, что каждая из Л, В
*) Евклидово xsioBw нельзя переводить «отложим», ни о ка-
ком переносе отрезка раствором циркуля Евклид здесь и не
думает.
152
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
имеет к С одно и то же отношение, <также> и С к каж-
дому из Д, В (черт. 7).
Действительно, возьмём от А, В равнократные D, Е,
а от С другое к,.кое угодно кратное /,
Поскольку теперь одинаково кратны D от А и Е от В,
А же равна В, то значит, л D равна Е. Но / какая угодно
другая геличина. Значит, если D превышает /, то и Е
превышает /, и если равна, то равна, и если меньше, то
меньше. И D, Е равнократны А, В, / же какое угодно
Z7,------- 27'--------г—----—--------—--------
В'--------- Е -----------------------------—
С^—------- 1 .--------——™
Черс. 7.
другое кратное С; значит, будет, что как А к С, так и
В к С (определение 5),
[Вот] я утверждаю, что и С имеет одно и то же отно-
шение к каждому из А, В.
Действительно, при тех же построениях подобным же
образом докажем, что D равна Е; 1 же какая-то дру-
гая величина; значи”, если / больше D, то она больше
и Е, если равна, то равна, и если меньше, то меньше.
И I есть кратное С, a D, Е какие-то другие равно-
кратные А, В; значит, б\дст, что как С к А, так и
С к В.
Значит, равные к точу же имеют то же отношение, и
это то же <имсет то же итношение> к равным, что и тре-
бовалось доказать (15).
Следствие
Вот из этого ясно, что е^ли какие-нибудь величины
пропорционалхны, то они будут пропорциональны и «об-
ращая» что и требовалось доказать.
*) См. определение 13. Евклид хочет оказать, что если
= то и b:a~d:c.
КНИГА ПЯТАЯ
153
Предложение 8
Из неравных величин большая имеет к тому же
большее отношение, чем меньшая, и это то же к мень-
шей имеет большее от юшеяие, чем к большей.
Пусть неравные величины будут АВ и С и пусть
большая будет АВ, D же другая <какая угоню величина);
я утверждаю, что АВ имеет к D большее отношение, чем
С к I), и ч о D к С
имеет большее отно- /7—— 1 ----В
шеиие, чем к АВ
(черт. 8).
Действительно, по-
скольку АВ больше С,
то положим BE рав-
ной С; вот меныпая
из АЕ, ЕВ, повторяе-
мая кратной, когда-ни-
будь будет больше D
(определение 4). Пусть
сперва АЕ будет мень-
ше, чем ЁВ-, будем
повторять кратной
АЕ *), и пусть её
кратное IH будет боль-
Черт. 8.
ше D, и сколько раз IH будет кратным АЕ, столько же
раз сделаем и HG кратным ЕВ, К же кратным С\ и возь-
мём L удвоенное D, М же утроенное, и так далее уве-
личивая на единицу, пока получаемая кратная D не сде-
лается первой превосходящей К. Возьмём <её> и пусть
будет учетверённым D и первым превосходящим К.
Поскольку теперь К меньше N первого <её превосхо-
дяиего>, то, значит, Л” не меньше М. И поскольку оди-
наково кратны IH от АЕ и HG от ЕВ, то значит, оди-
наково кратны IH от АЕ и }G or АВ. Одинаково же кратны
*) В тексте icnco'Xanlaaiblta ~,Ъ Др, что значит также «умно-
жается». Однако в данном случае переводить так нельзя, ибо
появляется чуждый Евклиду арифметический термин. Я перевожу
сбудем повторять кратной» с ударением иа первом слове.
154
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
IH от АЕ и К от С; значит, одинаково кратны IG от АВ
и К от С. Значит, /G, К одинаково кратны АВ, С. Далее,
поскольку одинаково кратны HG от ЕВ и К от С, ЕВ же
равна С, то значит, и HG равна К. Но К не меньше М;
значит, и HQ не меньше М. Но IH больше D; значит,
все /G больше вместе взятых D и М Но вместе взятые
£), М равны Л/, поскольку М утроенное D, вместе же взя-
тые М, D в четыре раза больше D и N тоже в четыре
С-------
л--------------
J-------
Z ---------—
м-..... - -----
Л/ >.-....
Черт. 9.
раза больше D\ значит, вместе взятые М, D равны N.
Но /G больше М, D\ значит, /G превышает N; К же не
превышает N. И /G, К одинаково кратны от АВ, С; N
какое угодно другое кратное D\ значит, АВ имеет к D
большее отношение, чем С к D (определение 7).
Вот я утверждаю, что и D имеет к С большее отно-
шение, чем D к АВ (черт. 9).
Действительно, при тех же самых построениях подоб-
ным же образом докажем, что N превосходит К’, но N
не превосходит /G. И N есть кратное D, a /G, К другие
какие угодно равнократные АВ, С; значит, D имеет к С
большее отношение, чем D к АВ (определение 7).
Но вот пусть АЕ будет больше ЕВ. Вот меньшее ЕВ
при повторении кратным будет когда-нибудь больше D.
КНИГА ПЯТАЯ
155
Будем его повторять кратным, и пусть HG будет кратное
ЕВ и большее D\ и каким кратным HG будет от ЕВ, та-
ким же кратным сделаем и IH ог АЕ, а А? от С. Подоб-
ным вот образом докажем, что IG, К одинаково кратны
от АВ, С; и возьмём подобным же образом N кратное D,
и первое превосходящее IH; так что IH снова не будет
меньше М. Но HG больше D; значит, всё IG превышает
D, М то-есть N, Но К не превышает N, поскольку и IH,
будучи больше HG, то-есть К, не превышает N. И точно
так ж?, следуя вышеизложенному, мы завершаем доказа-
тельство.
Значит, из неравных величин большая имеет к тому же
большее отношение, чем меньшая; и это то же к меньшей
имеет большее отношение, чем к большей, что и требо-
валось доказать.
Предложение 9
^Величины}, имеющие к одному и тому же то же
самое отношение, равны между собой; и те, к которым
одно и то же имеет то же самое отношение, равны.
Пусть каждая из
,4, В имеет к С тоже 4............* “*
самое отношение: я
утверждаю, что А рав-
на В (черт. 10), С--------- г' 1
Действительно,если ' Черт. 10.
не так, то каждая из
Z, В не имела бы к С того же самого отношения; они же
имеют; значит; А равна В (предложение 8).
Пусть вот далее С имеет к каждой из А, В то же
самое отношение; я утверждаю, что А равна В.
Действительно, если не так, то С ие имела бы к ка-
ждой из Z, В того же самого отношения (предложение 8);
она же имеет; значит, А равна В.
Значит, имеющие к одному и тому же то же самое
отношение равны между собой; и те, к которым одно и
ю же имеет то же самое отношение, равны, что и требо-
валось доказать.
156
НАЧАЛА ЯЬКЛИДА
Предложение 10
Из {ветчину, имеющих отношение к одному и тому
же, будет больше та, которая имеет большее отноше-
ние-, та же, к которой одно и то оке имеет большее
отношение, будет меньше.
Пусть А имеет к С большее отношение, чем В к С;
я утверждаю, что А больше В (черт. 11).
Действительно, если не так, то А или равна В или
меньше. Но равной В теперь А не будет; ибо <тогда>
каждая из Л, В имела бы к С то же самое отношение
(предложение 7). Они же не имеют; значит, А не равна В.
Но также А не будет и меньше В; ибо тогда А имела бы
Черт. 11.
к С меньшее о сношение, чем В к С (предложение 8). Она
же не имеет; значит, А не меньше В. Доказано же, что она
и не равна; значит, А буд^т больше В.
Пусть вот далее С имеет к В большее отношение, чем
С к Д; я утверждаю, что В будет меньше А.
Действительно, если не так, то она или равна, или
больше. Но равной А теперь В не будет; ибо <тогда> С
имела бы к каждой из А, В то же самое отношение. Она
же не имеет; значит, А не будет равна В. Но также В
не будет и больше Д, ибо тогда С имела бы к В меньшее
отношение, чем к А. Она же не имеет; значит, В не
больше А. Доказано же, что она и не равна; значит, В бу-
дет меньше А.
Значит, из имеющих отношение к одному и тому же
будет больше та, которая имеет большее отношение; и та,
к которой одно и то же имеет большее отношение, будет
меньше, что и требовалось доказать.
КНИГА ПЯ1АЯ
157
Предложение 11
(Отношения^, тождественные *) одному и тому же
отношению, тождественны и друг другу.
Пусть будет, что как А к В, так и С к D, и как С
к D, так и Е к Г, я утверждаю, что как Д к В, так и Е
к / (черт. 12).
Действительно, возьмём от А, С, Е равпократные
Я, G, К, а от В, D, I какие угодно другие равнократные
М /V.
И поскольку будет, что как А к В. так и С к D, и
от А, С взяты равнократные Н. G, or В, D же какие
й------- г-----• /------
#----------------- G----------------, А--------------
L _------------------ _________——. д <-----------------
Черт. 12.
угодно другие равнократные L, /И, то значит, если Н пре-
вышает L, то и G превышает Л/, и если равна, то равна,
и если недостаёт, то недостаёт (определение 5).
Далее, поскольку будет, что как С к D, так и Е к /,
н от С, Е взяты равнократные G, К, от D, I же какие
угодно другие равнократные /И и W, то значит, если G
превышает М, то и Д' превышает N, и если равна, то
равна, и если меньше, то меньше (определение 5). Но
если О превышала М, то и Н превышала L, и если равна,
то равна, и если меньше, то меньше; так что, если//пре-
вышает L, то и К превышает N, и если рав ia, то равна,
и если меньше, то меньше (определенье 5). И Н, К рав-
нократные от А, Е, a L, N какие-нибудь другие равнократ-
ные от В, /; значит, будет, что как А к В, так и Е к /.
Значит, тождественные одному и тому же отношению
тождественны и друг другу, что и требовалось доказать (16).
*) У Евклида буквально «ге же самые».
1
158
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 12
Если несколько величин пропорциональны, то будет,
что как одна из предыдущих к одной аз последую-
щих, так и все предыдущие ^вместе) ко всем после-
дующим.
Пусть несколько величин А, В, С, D, Е, I пропорцио-
нальны: как А к В, так иСкОи/ГкДя утверж-
даю, что будет как А к В, так и А, С, Е к В, Е), I |
(черт. 13). I
я----.-- е-------- i----- |
— — - I
//------------ 4 ---------.----
Q---------------- И---—---------
Д----~’ д/—.——.
Черт. 1&. |
Действительно, возьмём от А, С, Е равнократные И, G,
от В, D, I же какие угодно другие равнократные
£, М, N.
И поскольку будет, что как А к В, так и С к D и
f к /, и взяты от А, С, Е равнократные Н, G, К, от
В, D, 1 же какие-нибудь другие равнократпые £, Л/, N,
то значит, если Н превышает £, то и G превышает ЛГ,
и К превышает N, и если равна, то равны, и если меньше,
то меньше. Так что и если Н превышает L, то и Н, G, К,
npei ышают L, М, N, и если равна, то равны, и если меньше,
то меньше. И Н, а также Н, G, К будут равнокрагные
от А и А, С, Е, поскольку если будет несколько величин,
равнократных каждая каждой каким-нибудь <другим, взя-
тым> в равном количестве величинам, то сколько раз одна
из <первых> величин будет кратна одной <из вторых>,
столько же раз будут и все кратны всем (предложение 1).
Вот вследствие того же и L и L, /И, N будут равнокра-
КНИГА ПЯТАЯ
159
тны В и В, D, /; значит, будет, что как А к В, так и
Л, С, Е к В, D, /.
Итак, если несколько величин пропорциональны, то
будет, что как одна из предыдущих к одной из последую-
щих, так и все предыдущие ко всем последующим, что и
требовалось доказать.
Предложение 13
Если первая, ко второй имеет такое же отношение,
как третья к четвёртой, а третья к четвёртой имеет
отношение большее, чем пятая к шестой, то первая ко
второй будет иметь большее отношение, чем пятая
к шестой.
Пусть первая А ко второй В имеет такое же отноше-
ние, как третья С к четвёртой D, а третья С к четвёртой
Д-------- с---:------ £---,-—.
8 п------- /---------—-
М д.—_--------------~
G--------------
>V- . rf —. ...---------
I -------,
Черт. 14.
Е) пусть имеет большее отношение, чем пятая Е к шестой/
(черт. 14). Я утверждаю, что и первая А ко второй В
будет иметь большее отношение, чем пятая Е к шестой I.
Действительно, поскольку существуют некоторые рав-
нократные от С, Е, а от Z), / какие угодно другие рав-
нократные, и кратное от С превышает кратное от D, крат-
ное же от Е не превышает кратного от /, то возь ём их,
и пусть от С,-Е равнократные будут Н, Q, от Е), / же
какие угодно другие равнократные <пусть будут> К и L,
так что Н превышает /<, Q нее не превышает L\ и сколько
160
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
раз Н кратно С, столько жи раз пусть будет и М больше /4,
а сколько раз К кратно D, столько раз пусть будет к N
кратно В.
И поскольку будет, что как А к В, так и С к D, и,
взяты от Д, С равпократные /И, Н, от В, D же какие
угодно другие равнократные N, К, то значит, если М пре-
вышает N, то и Н превышает К, и если равна, то равна,
и если меньше, то меньше (определение 5). Н же превы-
шает К’, значит, и М превышает N. G же не превышает L;
и М, G суть равнжратные от А, Е, a N, L какие угодно
другие равнократные от В, /; значит, А к В имеет большее
отношение, чем Е к /.
Значит, если первая ко второй имеет такое же отноше-
ние, как третья к четвертой, а третья к четвёртой имеет
отношение большее, чем пятая к шестой, то первая ко
второй будет иметь большее отношение, чем пятая к ше-
стой, что и требовалось доказать.
Предложение 14
Если первая ко второй имеет такое же отчошечие,
как третья к четвёртой, и первая больше третьей, то
и вторая буйет. больше четвертой, если же равна, то
равна, если же меньше. то меньше.
В-------------- ,----------------------'4,
Черт. 15.
Пусть первая А ко второй В имеет такое же отноше-
ние, как третья С к четвёртой D, и пусть А будет больше
С; я утверждаю, что и В больше D (черт. 15).
Действительно, посюльку' А больше С и В <есть>
какая-нибудь другая [величина], то значит, А имеет к В
отношение большее, чем С к В (предложение 8). Как же
А к В, так и С к D; и значит, С имеет к D отношение
большее, чем С к В. Та же, к которой одно и то же
КНИГА ПЯТАЯ
161
имеет большее отношение, будет .меньше (предложение 10);
значит, D меньше В, так что В больше Е).
Подобно же вот докажем, что если Д равно С, то и
В будет равно D, и если Д меньше С, то и В будет
меньше D.
Значит, если первая ко второй имеет такое же отно-
шение, как третья к четвёртой, и первая больше третьей,
то и вторая будет больше четвёртой, если же равна, то
равна, если же меньше, то меньше, что и требовалось
доказать.
Предложение 15
Части к своим одинаковым кратным имеют то же
самое отношение, если взнть их соответственно dpvz
другу*).
Пусть будут равнократиы АВ от С и DE от /; я ут-
верждаю, что будет как С к /, так и АВ к DE (черт. 16).
Действительно, по- Л И q
скольку равнократны АВ '
от С и DE о г /, то зна-
чит, сколько будет в АВ
величин равных С, столь- ..........—£ /—*
ко же и в DE равных /, Черт. 16.
Разделим АВ на равные С
<части> АН, HG, GB, a DE на равные / <части> DK, KL,
I.E', вот количество АН, HG, GB будет равно количеству
DK, KL, LE. И поскольку АН, HG, ОВ равны между со-
бой, также и DK, KL, LE равны между собой, то значит,
будет, что как АН к D/x, так и HG к KL, и GB к LE
(предложение 7), Значит, и будет, что как одни из пре-
дыдущих к одному из последующих, так все предыду-
щие ко всем последующим (предложение 12); значит, бу-
дет, что как АН к DK. так и АВ к DE. Но АН равна С,
a DK равна /; значит, будет, что как С к /, так и АВ
к DE.
*> В подлиннике ха:Штрд. Гейберг переводит
suo ordtne sumptae— взятые в своём порядке (г. е. в соответ-
ственном).
11 Евкляд
162
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Значит, части к своим одинаковым кратным имеют то
же самое отношение, если взять их соответственно друг
другу, что и требовалось доказать.
Предложение 16
Если четыре величины пропорциональны, то они бу-
дут пропорциональны и «.переставляя».
Пусть четыре величины А, В, С, D пропорциональны,
как А к By так и С к D\ я утверждаю, что они будут
пропорциональны н «переставляя», как А к С, так и В
к D (черт. 17).
. Д-----с , ,
Я------ /? —
/
5f-............... .... Ц •
Черт. 17.
Действительно, возьмём от А, В равнократные Е, 7, от
С, D же какие-нибудь другие равнократные Н, G.
И поскольку Е от А и 7 от В равнократны, части же
к своим одинаковым кратным имеют то же самое отноше-
ние (предложение 15), то значит, будет, что как А к В,
так и Е к 7. Как же Л к В, так и С к D; и значит,
как С к D, так и Е к 7 (предложение И). Далее, по-
скольку Ну G равнократны от С и £), то значит, будет,
что как С к £>, так и Н к G (предложение 15). Как же
С к D, так и Е к 7, и значит, как Е к 7, так и Н к G.
Если же четыре величины пропорциональны и первая больше
третьей, то н вторая будет больше четвёртой, и если равна,
то равна, и если меньше, то меньше (предложение 14).
Значит, если Е превышает 77, то и 7 превышает G, и ес-
ли равна, то равна, и если меньше, то меньше. И f, 7
равнократные от А, В; Н, G же какие-нибудь другие
КНИГА ПЯТАЯ
!63
равнократные от С, D; значит, будет, что как А к С, так
н В к D.
Значит, если четыре величины пропорциональны, то
они будут пропорциональны и «переставляя», чю и тре-
бовалось доказать (17).
Предложение 17
Если «.состав чяемые* величины пропорциональны, то
они будут пропорциональны и «.вы^еленчлеъ.
Пусть «составляемые» величины АВ, BE, CD, DI про-
порциональны— как АВ к BE, так и CD к D/; я утвер-
ждаю, что они будут
пропорциональны и &. £ В
«выделенные» — как
АЕ к ЕВ, так и CI с id
к DI. '—1 "*
Действительно,
возьмём от АЕ, ЕВ, 1 .... —т——£—%
CI, 1D равнократные
HG, GK, LM, МН} от 4 /У К Р
ЕВ, ID же другие ка-
кие-нибудь равнократ- Черт. 18.
ныеХЛ, HP (черт. 18).
И поскольку равнэкратны НС от АЕ и GK от ЕВ, то
значит, равнократны НО от АЕ и НК от АВ (предложе-
ние 1). Равнократны же НС от АЕ и LM от CI; значит,
равнократны НК от АВ и LM от С/. Далее, поскольку
равнократны LM от С! и МН от ID, то значит, равно-
кратны ЛЛ1 от CI и LH от CD (предложение 1). Но рав-
нократными были LM от С! и НК от АВ\ значит, равно-
кратны НК от АВ и LH от CD. Значит, НК, LH будут
равнократными от АВ, CD. Далее, поскольку равнократны
СК от ЕВ и МН от ID и КХ такая же кратная от ЕВ,
как HP от ID, то и в «составлении» GX будет столько
же раз кратна от ЕВ, сколько и МР от ID (предло-
жение 2). И поскольку будет, что как АВ к BE, так и
CD к DI, и взягы от АВ, CD равнократные НК, LH, от
ЕВ, ID же равиократиые GX, МР, то значит, если НК
11*
164
fi.VlXTA ЕВКЛИДА
превышает ОХ, то и LN превышает Л1Р, и если равна, ю
равна, и если меньше, то меньше (определение 5). Bof
пусть НК превышает GX, и после отнятия общего ОК. зна-
чит, и НО будет превышать КХ. Но если НК превышало
ОХ, то и LN превышало МР; значит, и LN превышает МР,
и после отнятия общего /ИЛ’ и ДЛ1 превышает NP; так
что если НО превышает КХ, то и LM превышает NP.
Подобным же вот образом докажем, что и если НО равна
КХ, то п LM будет равна NP, и если меньше, i о меньше.
И НО, LM равнократные от АЕ, CI, а КХ, NP какие-ни-
будь другие равпократные от ЕВ, ID\ значит, будет, что
как АЕ к ЕВ, так и С/ к ID.
Значит, если величины пропорциональны «составляемые»,
то они будут пропорциональны и «выделенные», что и
требовалось доказать.
Предложение 18
Если величины пропорциональны «выделяемые >, то они
будут пропорциональны и «составленные».
Пусть величины АЕ, ЕВ, CI, ID пропорциональны
«выделяемые» — как АЕ к ЕВ, так и CI к ID', я утвер-
f ждаю, что они будут
Д-------------------„3 пропорциональны п
«составленные» — как
/ н АВ к BE, так и CD к
С--------------------—------‘О ID (черт. 19).
Черт. 19. Действительно, если
не будет как АВ к BE.
1ак и CD к DI, то будет, что как АВ к BE, так и CD
к чему-нибудь или меньшему DI или же к большему.
Пусть будет сперва к меньшему DH. И поскольку бу-
дет как АВ к BE, так и CD к DH, ю «составляемые»
величины пропорциональны; так что они будут пропорци-
ональны п «выделенные» (предложение 17). Значит, будет
как АЕ к ЕВ, так и СН к HD. Предполагается же,
что н как АЕ к ЕВ, так и С! к ID (предложение 11).
И значит, как СН к HD, так н CI к ID. Первая же СН
больше третьей CI; значит, и вторая HD больше четвёр-
КНИГА ПЯТАЯ
165
той ID. Но она и меньше, чю невозможно; значит, не
будет, что как АВ к BE, так и CD к меньшей чем ID,
Подобным же вот образом докажем, что и не к большей;
значит, к той же самой.
Значит, если величины пропорциональны «выделяемые»,
hi они будут пропорциональны и «составленные», что и
требовалось доказать (18).
Предложение 19
Если как целая к целой, так и отнятая к отнятой,
то и остаток к остатку будет как целая к целой.
Пусть будет как целая АВ к целой CD, так и отня-
тая АЕ к отнятой СЕ, я утверждаю, что и остаток ЕВ
к остатку ID будет как целая АВ к целой CD (черт. 20),
Д----------------В
С-----------Z-----------------------2?
Черт. 23.
Действоle.'ibHO, поскольку будет, что как АВ к CD,
так и АЕ к CI, то и «переставляя» как ВА к АЕ, так и
DC к CI (предложение 16). И поскольку «составляемые»
величины пропорциональны (предложение 17), то они будут
пропорциональны и «выделенные» — как BE к ЕА, так н
DI к CI (предложение 18); и «переставляя» как BE к DI,
так и ЕА к /С. Как же АЕ к CI, так предполагается п
целая АВ к полой CD. И значит, остаток ЕВ к остатку
1D будет как целая АВ к целой CD.
Значит, если как целая к целой, так и отнятая к от-
нятой, то и остаток к остатку будет как целая к целой,
[что и требовалось доказать].
[И поскольку доказано, что как АВ к CD, так и ЕВ
к ID, и «переставляя» как АВ к BE, так и CD к ID, зна-
чит, «составляемые» величины пропорциональны; доказано
же, что как ВА к АЕ, так и DC к СЕ, и это будет «пс-
реворачнвая».]
166
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Следст вие
Вот из этого очевидно, что если «составляемые» ве-
личины пропорциональны, то они будут пропорциональны
н «переворачивая», что и требовалось домазать (19).
Предложение 20
В.... Г-----
С--------.--- Г----------------
Черт. 2J.
Если будут три величины и другие в равном с ними
ко шчестве, (находящиеся^ взятые попарно в одном и
том же отношении, и чпо равенству» первая больше
третьей. то tt четвептая будет больше шестой, если
же равна, то равна,
и если меньше, то
меньше.
Пусть будут три
величины Л, В, С и
другие в равном с ни-
ми количестве D, Е, /,
<находящиеся> взятые
попарно в одном н том же отношении, <именно) как Л
к В, так и D к Е, как же В к С, так и Е к /, и пусть
«по равенству» А будет больше С; я утверждаю, что и D
будет больше /, если же равна, то равна, и если мень-
ше, то меньше (черт. 21).
Действительно, поскольку А больше С и В какая-то
другая <велнчнна>, большая же имеет к тому же большее
отношение, чем меньшая (предложение 8), то значит, А
имеет к В отношение большее, чем С к В. Но как А к
В, [так] н D к Е, как же С к В, так «обращая»
(прел ожение 7, следствие) и / к Е, и значит, D имеет
к Е отношение большее, чем / к Е. Из имеющих же от-
ношение к одному и тому же будет больше та, которая
имеет большее отношение (предложение 10). Значит, D
больше I. Подобным же вот образом докажем, что и если
А равна С, то будет в D равна /, и если меньше, то
меньше.
Значит, если будут три величины и другие в равном
с ними количестве, <находящиеся> взятые попарно в од-
КНИГА ПЯТАЯ
167
ном и том же отношении, н «по равенству» первая больше
третьей, то н четвёртая будет бо ьше шестой, если же
равна, то равна, и если меньше, то меньше, чю и тре-
бовалось доказать (20).
Предложение 21
Если будут три величины и другие в равном с ними
количестве, ^находящиеся^ взятые попарно 8 одном и том
же отношении, и для них имеет место перемешанная
пропорция, «по равенству» же первая больие третьей,
то и четвертая будет больше шестой, и если равна,
то равна, и если
меньше, то меньше. '
Пусть будут три & е_________
величины А, В, С н
другие в равном с
ними количестве D, Е,
{, <находящиеся> взя- ЧеРг* 221
тые попарно в одном
и том же отношении, и пусть для них имеет место
перемешанная пропорция, <именно> как А к В, так и Е
к /, как же В к С, так и D к Е, «пэ равенству» же
пусть А больше С; я утверждаю, что н D будет боль-
ше /, и если равна, то равна, и если меньше, то мень-
ше (черт. 22).
Действительно, поскольку А больше С и В какая-то
другая величина, то значит, А имеет к В отношение боль-
шее, чем С к В. Но как А к В, так и Е к /, как же С
к В, так «обращая» и D к Е. И значит, Е имеет к /
отношение большее, чем Е к D. Та же, к которой одно
и то же имеет большее отношение, будет меньше; значит,
/ меньше D\ значит, D больше /. Подобным же вот обра-
зом докажем, что если А равна С, то будет и D равна /,
и если меньше, то меньше.
Значит, если будут три величины и другие в равном
с ними количестве, <находящиёся> взятые попарно в од-
ном и том же отношении, и для иих имеет место пере-
мешанная пропорция, «по равенству» же первая больше
168
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
третьей, то и четвёртая буде1 больше шестой, и если рав-
на, то равна, и если меньше, то меньше, что и требовалось
доказать.
Предложение 22
Если будут несколько величин и другие в равном
с ними количестве, (находящиеся^ взятые попарно в од-
ном и том же отношении, то и «по равенству» они
будут в одном и том же отношении.
Яг
th
&------- < №---------------'-------------------------------
Eh----------г --
4
1
N*— ,-------
Черт. 23.
Пусть будут несколько величин Л, В, С и дрччис в
равном с ними количестве D, Е, {, <находящиеся> взятые
попарно в одном и том же отношении —как А к В, так и О
к Е, как же В к С. так и Е к /; я утверждаю, что и <-по ра-
венству» они будут в одном и том же отношении (черт. 23).
Действительно, возьмём от A, D равнократные Н, G,
от В, Е же какие-нибудь другие равнократные К, L и
затем от С, / какие-то другие равпократные /И, 7V.
И поскольку будет, что как А к В, так и D к Е, и
взяты от A, D равнократные Н. G, от В, Е же какие-ни-
КНИГА ПЯТАЯ
169
будь другие равноправные К, L, то значит, будет, что как
Н к К, так и О к L (предложение 4). Вследствие того же
вот и как К к М, так и L к N. Поскольку теперь будут
три величины Н, К, /И и другие в равном с ними коли-
честве О, L, М, <находящиеся> взятые попарно в одном и
том же отношении, то значит, гпо равенству», если //пре-
вышает М, то и G превышает N, н если равна, то равна,
и если меньше, то меньше (предложение 20). И Н, G суть
равнократные от A, D, Л/, N же какие-нибудь другие рав-
нократные от С, /; значит, будет, что как А к С, так и
D к / (определение 5).
Значит, если будут несколько величин и другие в рав-
ном с ними количестве, <находящисся> взятые попарно
в одном и том же отношении, то и ело равенству» они
б\дут в одном и том же отношении, что н требовалось
доказать.
Предложение 23
Если будут три величины и другие в равном с ними
количестве, «(находящиеся) взятые попарно в одном и
том же отношении, и для них имеет место перемешан-
ная пропорция, то и «по равенству» они будут в одном
и том же отношении.
Пусть будут три величины Д, В, С и другие в равном
с ними количестве D, В, I, <находящиеся> взятые попарно
в одном и том же отношении, и пусть для них будет
иметь место перемешанная пропорция — как А к В, так
и Е к 1, как же 5 к С, так и D к Е. Я утверждаю, что
будет как А к С. так и D к / (черт. 24).
Возьмём от А, В, D равнократные Н, G, К, а от С,
Е, I какие-нибудь другие равнократные L, М, /V.
И поскольку Н, G суть равнократные от А, В, ча-
сти же к своим одинаковым кратным имеют то же самое
отношение, то значит, будет, что как А к В, так и
Н к G (предложение 15). Вследствие того же вот и
как В к /, так и М к ЛГ; и будет, что как А к В, так и
Е к /; и значит, как Н к G, так н М к N (предложе-
ние 11). И поскольку будет, что как В к С, так н D к Е,
и «переставляя), как В к D, так С к Е (предложение 16).
170
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
И поскольку G, К суть равнократные от В, D, части же
к своим равнократным имеют то же самое отношение, то зна-
чит, будет, что как В к D, так и G к К (предложение 15).
Но как В к D, так и С к Е; и значит, как G к К, так
и С к Е (предложение И). Далее, поскольку £, М суть
равнократные от С, Е, то значит, будет, что как С к Е,
так н L к М (предложение 15). Но как С к Е, так и G
к К', и значит, как G к К. так и L к М (предложение И),
4---- в-------------- ----
D---- Е— /---
Н -------------- Q Z--------
л— —- д?—_-----— /V—.
Черт. 24.
и «переставляя» как G к i, так и К к М. Доказано же,
что и как Н к G, так и М к АЛ Поскольку теперь будут
три величины Н, G, L и другие в равном с ними коли-
честве /б, М, N, <находящ1еся> взятые попарно в одном
и том же отношении, и для них имеет место перемешан-
ная пропорция (определение 18), то значит, «по равенству»,
если Н превышает L, то и К превышает N, н если равна,
то равна, и если меньше, то меньше (предложение 21).
И Й, К суть равнократные от А, В, a L, N от С, /.
Значит, будет, что как А к С, так и D к / (опр. 5).
Значит, если будут три величины и другие в равном
с ними количестве, <находящаеся> взятые попарно в од-
ном н том же отношении, и для них имеет место пере-
мешанная пропорция, то и «по равенству» они бунут в од-
ном и том же отношении, что и требовалось доказать.
Предложение 24
Если первая имеет ко второй такое же отношение, как
и третья к четвёртой, и пятая ко второй имеет та-
кое же отношение, как и шестая к четвёртой, то со-
ставленнле первая и пятая ко второй будут иметь
КНИГА ПЯТАЯ
171
такое же отношение, что и третья и шестая к чет-
вертой.
Пусть первая АВ имеет ко второй С такое же отно-
шение, как и третья DE к четвёртой /, пусть также и
пятая ВН ко второй С имеет такое же отношение, как и
шестая EG к четвёртой /; я утверждаю, что и составлен-
ные первая и пятая АН ко второй С будут иметь такое
же отношение, что и третья и g
шестая DG к четвёртой I (черт. 25). д №
Действительно, поскольку бу-
дет, что как ВН к С, так и EG Z?—-...........
к /, то значит, «обращая»
(предложение 7, следствие), как д.___ { - —g
С к ВН, так и / к EG. Посколь-
ку теперь будет, что как АВ к С, ~
так и DE к /, как же С к ВН, I
так и / к EG, то значит, «по Черт. 25.
равенству» будет, что как АВ к
ВН, так и DE к EG (предложение 22). И поскольку
«выделяемые» величины пропорциональны, то они будут
пропорциональны и «составленные» (предложение 18); зна-
чит, будет,' что как АН к НВ, так и DG к GE. И будет
также, что как ВН к С, так и EG к /; значит, «по равен-
ству» будет, что как АН к С, так и DG к I (предло-
жение 22).
Значит, если первая имеет ко второй такое же отно-
шение, как и третья к четвёртой, и пятая ко второй имеет
такое же отношение, как и шестая к четвёртой, то со-
ставленные первая и пятая ко второй будут иметь такое
же отношение, что и третья и шестая к четвёртой, что н
требовалось доказать (211.
Предложение 25
Если четыре величины пропорциональны, то наи-
большая [аз них] и наименьшая больше двух остаю-
щихся.
Пусть будут четыре величины АВ, CD, Е, I пропор-
циональные— как АВ к CD. так и Е к /, и пусть иаи-
172
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
большая из них будет .-W, а наименьшая 7; я утверждаю,
что АВ, 7 <вместе> больше CD, Е (черт. 26).
Действительно, отложим АН, равную Е и СО, рав-
ную /.
Поскольку {теперь] будет, что как АВ к CD, таки Е
к 7. п Е равна АН, 7 же CG, то значит, будет, что как
___________/у_________ АВ к CD, так и АН к СО.
а И поскольку будет, что как
целая АВ к целой CD, так и
£ , , отнятая АН к отнятой СО, то
q значит, п остаток НВ к остат-
С------------------0 ку QD будет как целая АВ к
целой CD (предложение 19).
/-------. /\s же больше CD; значит, и
ЧерС. 26. 77S больше GD. И поскольку
АН равна Е, a CG <равна> 7,
то значит, АН, I <вместе> равны CG, Е. И [поскольку]
если [к неравным прибавляются равные, то целые будут
неравными, значит, если] при наличии неравных НВ, GD
и НВ большем, к НВ прибавляются АН, 7, к GD же при-
бавляются СО, Е, то выходит, что АВ. ! <вместей больше
CD, Е.
Значит, если четыре величины пропорциональны, то
наибольшая нз них и наименьшая больше двух остающихся,
что и требовалось доказать (22).
КНИГА ШЕСТАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Подобные прямолинейные фигуры суть те. которые
имеют углы равные по порядку*) и стороны при равных
углах пропорциональные.
2. {Обратно-сопряжённые фигуры суть те, в каждой
из которых имеются предыдущие и последующие отноше-
ния. ] **).
3. Говорится, wo прямая делится в крайнем и среднем
отношении, если_ как целая к большему отрезку, так
и больший отрезок к меньшему.
4. Высота всякой фигуры есть перпендикуляр, прове-
дённый от вершины к основанию (I).
,>) У Евклида z.aii ц'ау — буквально «но одному».
**) Второе определение Гейберг заключает в квадратные
скобки как неподлттное; действительно, это определение, во-пер-
вых, страдает неясностью, во-вторых, нигде у Евклида не упо-
требляется. ’Av:-*:i:oz&ota т/у^ата — буквально «обратпопропорцно-
пальные» фигуры. Может быть, под ними следует подразумевать
равновеликие параллелограммы н треугольники, в которых вы-
соты обратно пропорциональны основаниям; однако в предло-
жениях 14 и 13, где речь идёт о равновеликих параллелограммах,
Евклид рассматриваемым определением не пользуется. Мысль
здесь та, что если линиям а и b в одной фигуре’ А отвечают
а' и Ь', в другой А', то а:Ь ~ Ь' ;а', т. е. на месте предыдущее
а в А будет в А' стоять последующее Ь‘, на месте же после-
дующего — предыдущее. Следует Иуо? (предыдущее отно-
шение) мыслить Мук tei ^’тси|х.'>оэ —- отношение предыдущего
(подразумевается к последующему), а iniapsvs; ).буо? (последующее
отношение) понимать как /oys; toy ir.cmvo»—• отношение последу-
ющего (к предыдущему).
174
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
5. [Говорится, что отношение составляется из отноше-
ний, когда количества этих отношений, перемноженные
между соиой *), образуют нечто] (2, 3, 4).
Предложение 1
Треугольники и параллелограммы, находящиеся под од-
ной и той же высотой, < относятся > друг к другу как
основания.
Пусть треугольники будут ABC, ACD, параллелограммы
же ЕС, С1 под одной и той же высотой АС-, я утв.рждаю,
что будет: как основание
ВС к основанию CD, так
и треугольник АВС к тре-
угольнику ACD и парал-
лелограмм ЕС к парал-
лелограмму CI (черт. 1).
Действительно, про-
должим BD в обе сторо-
ны до точек G, L, отло-
жим [сколько угодно]
< прямых > ВН, HG,
равных основанию ВС, и
сколько угодно < пря-
мых > DK, KL, равных
AG, АК, AL.
основанию CD, и соединим АН,
И поскольку СВ, ВН, НО равны между собой, будут
равны между собой и треугольники AGH, АНВ, АВС (пред-
ложение 38 книги I). Значит, каким кратным основание
GC будет от основания ВС, таким же кратным и треуголь-
ник AGC будет от треугольника АВС. Вследствие того же
*) У Евклида i?' iaoTote язИаяХаз’.азОкзац что совершенно точно
передаётся словами «помноженные друг на другу». То обсто-
ятельство, что Евклид никогда не рассматривает отношение
как число, конечно, является одним из серьёзнейших возражений
против принадлежности Евклиду этого определения, подлинность
которого оспаривается Гейбергом, Хизсом и др. исследователями
и которое не содержится в тексте лучших манускриптов Евклида.
КНИГА ШЕСТАЯ
175
вот, каким кратным основание LC будет от основания CD,
таким же кратным будет и треугольник ALC от треуголь-
ника ACD; и если основание GC равно основанию CL, то
равен и треугольник AGC треугольнику ACL (предложе-
ние 38 книги I), и если основание GC превосходит осно-
вание CL, то и треугольник AGC превосходит треуголь-
ник ACL, и если меньше, то меньше. Вот для четырёх
имеющихся величии: двух оснований ВС, CD и двух тре-
угольников ABC, ACD, взяты от основания ВС и треуголь-
ника АВС одинаковые кратные — основание GC и треуголь-
ник AGC, а от основания CD и треугольника ADC какие
угодно другие одинаковые кратные — основание LC и тре-
угольник ALC; и доказано, что если основание GC превос-
ходит основание CL, то и треугольник AGC превосходит
треугольник ALC, а если равно, то равен, если же меньше,
то меньше; значит, будет, что как основание ВС к ос-
нованию CD, так и треугольник АВС к треугольнику ACD
(определение 5 книги V).
И поскольку удвоенный треугольник АВС есть парал-
лелограмм ЕС, а удвоенный треугольник ACD есть парал-
лелограмм /С (предложение 34 книги I), части же их и оди-
наковые кратные имеют то же отношение (предложение
15 книги V), то значит, будет, что как треугольник АВС
к треугольнику ACD, так и параллелограмм ЕС к парал-
лелограмму CI. Теперь, поскольку доказано, что как ос-
нование ВС к CD, так и треугольник АВС к треуголь-
нику ACD, как же треугольник АВС к треугольнику ACD,
так и параллелограмм ЕСк параллелограмму CL значит, как
основание ВС к основанию CD, так и параллелограмм ЕС
к параллелограмму CI (предложение 11 кннгн V).
Значит, треугольники и параллелограммы, находящиеся
под одной и той же высотой, < относятся > друг к другу
как основания, что и требовалось доказать (5).
Предложение 2
Е^ла в треугольнике параллельно одной из сторон
проведена некоторая прямая, то она пропорциональ-
но рассекает стороны треугольника; и если стороны
176
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
треугольника рассечены пропорционально, то прямая, со-
единяющая сечения, будет параллельна остающейся сто-
роне треугольника.
Пусть в треугольнике АВС параллельно одной из сто-
рон ВС проведена Z?ZT; я утверждаю, что будет как BD
к DA, так и СЕ к ЕА (черт. 2).
Действительно, соединим BE и CD.
Значит, треугольник
ибо они на одном и том
BDE равен греугольнику CDE,
же основании DE н между одними
и теми же параллельными DE
и ВС (предложение 38 книги I);
что-то другое же треугольник
ADE. Равные же к одному и
тому же имеют то же отношение
(предложение 7 книги V); значит,
будет, что как треугольник BDE
к [треугольнику] ADE, так и тре-
угольник CDE к треугольнику
ADE. Но как треугольник BDE
к ADE, так и BD к DA, ибо
они, находящиеся иод одной и той
же высотой, той, которая проведе-
на из Е перпендикулярно к АВ, < относятся > между
собой как осиования-(предложение 1). Вследствие того же
вот как треугольник CDE к ADE, так и СЕ к ЕА-, и
значит, как BD к DA, так н СЕ к ЕА (предложение 11
книги V).
Но вот пусть в треугольнике АВС стороны АВ, АС
рассекаются пропорционально как BD к DA, так и СЕ
к ЕА\ соединим DE\ я утверждаю, что DE параллель-
на ВС.
Действительно, после выполнения тех же самых по-
строений, поскольку’будет, что как BD к DA, так н СЕ
к ЕА, по как BD к DA, так и треугольник BDE к тре-
угольнику ADE, как же СЕ к ЕА, так и треугольник CDE
к треугольнику ADE (предложение I), и значит, как тре-
угольник BDE к треугольнику ADE, так и треугольник CDE
к треугольнику ADE (предложение 11 книги V). Значит,
каждый из треугольников BDE, CDE имеет к ADE то
КНИГА ШЕСТАЯ
177
же отношение. Значит, треугольник BDE равен треуголь-
нику CDE (предложение 9 книги V); и они на том же ос-
новании DE. Равные же треугольники, находящиеся на
одном и том же основании, находятся и между одними
и теми же параллельными (предложение 39 книги I). Зна-
чит, DE параллельна ВС.
Значит, если в треугольнике параллельно одной из
сторон проведена некоторая прямая, то она пропорцио-
нально рассекает стороны треугольника, и если стороны
треугольника рассечены пропорционально, то прямая, со-
единяющая сечения, будет параллельна остающейся стороне
треугольника, что и требовалось доказать (6, 7, 8).
Предложение 3
Если угол треугольника рассечён пополам и секущая
угол прямая рассекает и основание, то отрезки основа-
ния будут иметь то оке отношение, что остальные сто-
роны треугольника’, и если отрезки
основания имеют то же отношение,
что остальные стороны треугольни-
ка, то прямая соединяющая, < прове-
дённая > от вершины к точке сече-
ния, рассекает пополам угол треуголь-
ника.
Пусть треугольник будет АВС и
пусть угол ВАС рассечён пополам пря-
мой AD (черт, 3); я утверждаю, что
будет как BD к CD, так и ВА к АС.
Действительно, через С параллель-
но DA проведём СЕ и пусть продол-
женная ВА встречает её в Е.
И поскольку на параллельные AD и
ЕС упала прямая АС, то значит, угол
АСЕ равен CAD (предложение 29 книги
предполагается равным BAD', значит,
АСЕ.
Далее, поскольку на параллельные AD, ЕС упала пря-
мая ВАЕ, то внешний угол BAD равен внутреннему АЕС.
12 Еиклид
Е
в Л С.
Черт. 3.
I). Но угол CAD
и угол BAD равен
178
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Доказано же, что и угол АСЕ равен BAD-н значит, угол АСЕ
равен АЕС; так что и сторона АЕ равна стороне АС (пред-
ложение 6 книги I). И поскольку в треугольнике ВСЕ
наралллельно одной из сторон ЕС проведена AD, то зна-
чит, будет пропорция — как BD к DC, так и ВА к АЕ
(предложение 2). Но АЕ равна АС-, значит, как BD к DC,
так и ВА к АС.
Но вот пусть будет, что как BD к DC, так и ВА
к АС; соединим AD; я утверждаю, что угол ВАС делится
пополам прямой AD.
Действительно, при тех же построениях, поскольку бу-
дет, что как BD к DC, так и ВА к АС, но как BD
к DC, так будет и ВА к АЕ, ибо в треугольнике
ВСЕ параллельно одной < стороне > ЕС проведена
AD; и значит (предложение 2), как ВА к АС, так и
ВА к АЕ (предложение 11 книги V). Значит, АС рав-
на ЛЕ (предложение 9 книги V); так что и угол АЕС
равен АСЕ (предложение о книги I). Но угол ЛЕС ра-
вен внешнему BAD (предложение 29 книги I), угол
же АСЕ накрестлежащему CAD; и значит, угол BAD
равен CAD. Значит, угол ВАС рассечётся прямой AD
пополам.
Значит, если угол треугольника рассечён пополам и се-
кущая угол прямая также рассекает и основание, то от-
резки основания будут иметь то же отношение, что ос-
тальное стороны треугольника; и если отрезки основания
имеют то же отношение, что остальные стороны треуюль-
ника, то соединительная прямая, <проведённая > от вер-
шины к точке сечения, рассекает пополам угол треугольника,
что и требовалось доказать (9, 10).
Предложение 4
В равноугольных треугольниках стороны при равных
углах пропорциональны и соответственными*) убудут У
стягивающие равные углы.
*) У Евклида 6’10X075-.—одинаковые по отношению, с тем же
самым отношением.
КНИГА ШЕСТАЯ
179
Пусть равноугольные треугольники будут ABC, DCE,
имеющие равными угол АВС углу ОСЕ, угол же ВАС
углу СОЕ и затем угол АСВ углу CED (черт. 4); я
утверждаю, что в треугольниках АВС, ОСЕ стороны при
равных углах пропорциональны и соответственными < будут >
стягивающие равные углы.
Действительно, поместим ВС па одной прямой с СЕ.
И поскольку углы АВС и АСВ < вместе > меньше двух
прямых (предложение 17 книги I),
угол же АСВ равен ОЕС, то значит, д
АВС и DEC < вместе > меньше двух /1
прямых; значит, ВА и ЕО при д/ \
продолжении сойдутся (постулат /I I
5 книги I). Продолжим их и пусть / I i
они сойдутся в I. / I I
И поскольку угол DCE равен / I I
АВС, прямая BI параллельна CD / | 1
(предложение 28 книги 1). Далее, / 1 \
поскольку угол АСВ равен DEC, / I Л
прямая т4С параллельна IE. Значит, / 1/1
IACD параллелограмм; значит, [A q-----------------—£
равна DC, АС же равна ID (пред- „ 4
ложсние 34 книги I). И поскольку р
в треугольнике IBE параллельно
одной < из сторон > IE проведена АС, будет, значит, что как
ВА к AI, так и ВС к СЕ. Но AI равна CD; значит, как ВА
к CD, так и ВСк СЕ, и «переставляя» (предложение ^кни-
ги V), как АВ к ВС, так и DC к СЕ. Далее, по-
скольку CD параллельна BI, будет, что как ВС к СЕ,
так н ID к DE (предложение 2). Но ID равна АС; зна-
чит, как ВС к СЕ, так и АС к DE, и «переставляя»
(предложение 16 книги V), как ВС к СА, так н СЕ к ED.
Поскольку теперь доказано, что как ВА к ВС, так и DC
к СЕ, как же ВС к СА, так и СЕ к ED; значит, «по ра-
венству» как ВА к АС, так н CD к DE (предложение
22 книги V).
Значит, в равноугольных треугольниках стороны при рав-
ных углах пропорциональны и соответственны <стороны>,
стягивающие равные углы, что и требовалось доказать (Н).
12*
180
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Предложение 5
Если два треугольника имеют стороны пропорционалъ’
ные, то треугольники будут равноугольные и будут
иметь равными углы, которые стягиваются соответствен’
ними сторонами.
Пусть будут два треугольника ABC, DEI, имеющие
стороны пропорциональные, так что как АВ к ВС, так
и DE к EI, как же ВС к СА, так и EI к ID, и ещё как ВА
к СА, чак и ED к DI. Я утверждаю, что треугольник АВС
равноуголен треугольнику DEI и что онн будут иметь
равными углы, которые стягиваются соответственными сто-
ронами, т. е, угол АВС углу DEI, угол ВСА углу EID
и ещё угол ВАС углу EDI (черт. 5).
Действительно, на прямой EI при её точках Е, I по-
строим угол IEH, равный АВС, и угол EIH, равный АСВ
(предложение 23 книги I); значит, остающийся угол при А
равен остающемуся углу при Н (предложение 32 книги I).
Значит, треугольник АВС равноуголен [треугольнику]
EHI. Значит, в треугольниках АВС, ЁН1 стороны при рав-
ных углах пропорциональны и соответственны стягивающие
равные углы (предложение 4); значит, будет, что как АВ
к ВС, [так] и НЕ к EI. Но как АВ к ВС, так по пред-
положению и DE к EI; значит, как DE к EI, так и НЕ
КНИГА ШЕСТАЯ
181
к EI (предложение И книги V). Значит, каждая из DE,
НЕ имеет к EI то же отношение; значит, DE равна НЕ
(предложение 9 книги V). Вследствие того же вот и DI
равна HI. Поскольку теперь DE равна EH, EI же общая,
то вот две <прямые> DE, EI равны двум НЕ, ЕЕ, и основа-
ние DI равно основанию 1Н\ значит, угол DEI равен углу
HEI (предложение 8 книги I), и треугольник DEI равен
треугольнику НЕ], и остальные углы равны остальным,
стягиваемые равными сторонами (предложение 4 книги I).
Значит, угол DIE равен углу HIE, угол же EDI углу
EHI. И поскольку угол IED равен углу НЕ!, а угол
НЕ! углу ЛВС, то значит, угол ЛВС равен DEI, Вслед-
ствие того же вот и угол АСВ равен углу DIE и затем
угол при Л равен углу при D; значит, треугольник АВС
равноуголен треугольнику DEI.
Значит, если два треугольника имеют стороны про-
порциональные, то треугольники будут равноугольны и бу-
дут иметь равными углы, которые стягиваются соответ-
ственными сторонами, что и требовалось доказать,
Предложение 6
Если два треугольника имеют один угол, равный одно-
му углу, и стороны при равных углах пропорциональные,
то треугольники будут равноугольны и будут иметь
равными углы, стягиваемые соответственными сторонами.
Пусть будут два треугольника ABC, DEI, имеющие
один угол ВАС, равный одному углу EDI, стороны же
при равных углах пропорциональные: как ВА к АС, так
и ED к Di; я утверждаю, что треугольник АВС равно-
уголен треугольнику DEI и будет иметь угол АВС рав-
ным углу DEI, угол же АСВ равным DIE (черт. 6).
Действительно, на прямой D! и при её точках D, I
построим угол IDH, равный каждому из углов ВАС, EDI,
и уюл DIH, равный АСВ (предложение 23 книги I);
значит, остающийся угол при В равен остающемуся при Н
(предложение 32 книги I).
Значит, треугольник АВС равноуголен треугольнику
DHJ. Значит, будет пропорция — как ВА к АС, так и HD
182
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
к DI (предложение 4). Предполагается же, что и как ВА
к АС, так и ED к DI; и значит, как ED к DI, так и HD
к DI (предложение 11 книги V). Значит, ED равна DH;
и Dj (предложение 9 книги V)
С
Черт. 6.
углу DIE. Предполагается же,
общая; вот две <прямые>
ED, DI равны двум HD,
DI; и угол EDI равен
углу HDI; значит, осно-
вание EI равно основа-
нию HI и треугольник
EDI равен треугольнику
HDI и остальные утлы
равны остальным, стяги-
ваемым равными сторона-
ми (предложение 4 кни-
ги 1). Значит, угол DIH
равен углу DIE, угол же
DHI углу DE1. Но угол
DIH равен углу АСВ, и
значит, угол АСВ равен
'о и угол ВАС равен углу
EDI; и значит, остающийся угол при В равен остающе-
муся при Е (предложение 32 книги I); значит, треуголь-
ник АВС равноуголен треугольнику DEI.
Значит, если два тр.еугольника имеют один угол, рав-
ный одному углу, и стороны при равных углах пропор-
циональные, то треугольники будут равноугольны и будут
иметь равными углы, стягиваемые соответственными сто-
ронами, что н требовалось доказать.
Предложение 7
Если два треугольника имеют один угол, равный
одному углу, при других же углах стороны пропорцио-
нальные, причём из остальных углов каждый, одновремен-
но или меньше или не меньше прямого, то треугольники
будут равноугольны а будут иметь равными те углы,
при которых стороны пропорциональны.
Пусть будут два треугольника ABC, DEI, имеющие
один угол, равный одному углу, <а именно> угол ВАС
КНИГА ШЕСТАЯ
183
углу EDI (черт. 7), при других же углах стороны про-
порциональные, как АВ к ВС, так и DE к Е1, причём
из остальных углов при С и I каждый одновременно сперва
пусть будет меньше прямою; я утверждаю, что треуголь-
ник АВС равноуголен треугольнику DEI, и угол АВС
будет равен DEI, и оста- •
ющийся угол при С равен л V
остающемуся углу при I. /\ /\
Действительно, если угол / \ / \
АВС не равен DEI, то один из / \ / \
них больше. Пусть будет боль- / \ / \
ше угол АВС. Построим на / \ £1,
прямой АВ при её точке В / \ /
угол АВН, равный DEI (пред- / \
ложение 23 книги 1). \
И поскольку угол А ра-
вен D, угол же АВН углу С
DEI, то значит, остающийся Черт. 7.
угол АНВ равен остающемуся
DIE. Значит, треугольник АВН равноуголен треугольнику
DEI. Значит, будет, что как АВ к ВН, так и DE к EI
(предложение 4). Как же DE к EI, [так] по предположению
АВ к ВС; значит, АВ к каждой из ВС, ВН имеет то же
отношение (предложение 11 книги V); значит, ВС равна
ВН (предложение 9 книги V). Так что и угол при С ра-
вен углу ВНС (предложение 5 книги I). Угол же при С
по предположению меньше прямого; значит, и угол ВНС
меньше прямого; так что смежный ему угол АНВ больше
прямого (предложение 13 книги 1). И доказано, что он
равен углу при I; и значит, угол при 1 больше прямого.
По предположению же он меньше прямого, что нелепо. Зна-
чит, угол АВС нс будет не равным углу DEI; значит, он
равен. И угол при А равен углу при D; и значит, остаю-
щийся угол при С равен остающемуся углу при I (пред-
ложение 32 книги I). Значит, треугольник АВС равно-
уголен треугольнику DEI.
Но вот предположим далее, что каждый из углов при
С, I не меньше прямого; я снова утверждаю, что и так
треугольник АВС равноуголен треугольнику DEI.
184
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Действительно, после тех же построений подобным же
образом докажем, что ВС равна ВН (черт. 8); так что
и угол при С равен углу ВИС (предложение 5 книги I).
Угол же при С не меньше прямого; значит, и угол ВНС
не меньше прямого. Вот, в треугольнике ВНС два угла
не меньше двух прямых, что невозможно (предложение 17
книги I). Значит, опять угол АВС не будет неравен углу
DEJ-, значит, он равен. Но и
/ угол при А равен углу при
/ D D\ значит, и остающийся угол
/ / при С равен остающемуся углу
/ / при / (предложение 32 кни-
/ / ги I). Значит, треугольник АВС
/ у" / равноуголен треугольнику DEI.
/ Е^^ Значит, если два треуголь-
/пика имеют один угол, равный
Ъг одному углу, при других же
В углах стороны пропорциопаль-
qepTr 8. ные, причём из остальных углов
каждый одновременно или мень-
ше или нс меньше прямого, то треугольники будут равно-
угольны и будут иметь равными те углы, при которых
стороны пропорциональны, что и требовалось доказать
(12, 13, 14, 15, 16, 17).
Предложение 8
Если в прямоугольном треугольнике про&едён из пря-
мого угла к основанию перпендикуляр, то треуголь-
ники при перпендикуляре подобны и целому и между
собой.
Пусть будет прямоугольный треугольник АВС, имею-
щий прямой угол ВАС (черт. 9), и пусть проведён из А
к ВС перпендикуляр AD-, я утверждаю, что каждый из
треугольников ABD и ADC подобен целому АВС и также
между собой.
Действительно, поскольку угол ВАС равеи углу ADB,
ибо оба они прям[>{е, и у двух треугольников ABC, ABD
рбщий угол при В, то .значит, остающийся угол АСВ ра-
КНИГА ШЕСТАЯ
185
а
В D С
Черт. 9.
[треугольников] ABD и ADC
вея остающемуся BAD (предложение 32 книги I); значит,
треугольник АВС равноуголен треугольнику ABD, Значит,
будет, что как ВС, стягивающая прямой угол в треуголь-
нике АВС, к ВА, стягивающей прямой угол в треуголь-
нике ABD} так и эта же АВ, стягивающая угол при С
в треугольнике АВС, к BD, стягивающей равный угол
BAD в треугольнике ABD, и ещё как ЛС к AD (пред-
ложение 4), стягивающей угол при В общий двум тре-
угольникам. Значит, треугольник АВС равноуголен тре-
угольнику ABD и имеет
<с ним> пропорциональ-
ными стороны при равных
углах. Значит, треуголь-
ник АВС подобен тре-
угольнику ABD (опреде-
ление 1). Подобным же
вот образом докажем,
что и треугольник АВС
подобен треугольнику
ADC\ значит, каждый из
подобен целому АВС.
Вот я утверждаю, что и между собой треугольники
ABD и ADC подобны.
Действительно, поскольку прямой угол BDA равен
прямому углу ADC, но, как доказано, угол BAD равен
углу при С, то значит, и остающийся угол при В равен
остающемуся углу DAC (предложение 32 книги I), зна-
чит, треугольник ABD равноуголен треугольнику ADC.
Значит, будет, что как BD, стягивающая угол BAD тре-
угольника ABD, к DA треугольника ADC, стягивающей
угол при С, равный углу BAD, так эта же AD треуголь-
ника ABD, стягивающая угол при В, к DC, стягивающей
угол DAC треугольника ADC, равный углу при В, и ещё
как ВЛ к АС, стягивающие прямые углы; значит, тре-
угольник ABD подобен треугольнику ADC (определение 1).
Значит, если в прямоугольном треугольнике проведён
из пртчого угла к основанию перпендикуляр, то треуголь-
ники нщ перпендикуляре подобны и целому и между
$обой (что и требовалось доказать].
186
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Следствие
Вог из этого ясно, что если провести в прямоугольном
треугольнике из прямого угла перпендикуляр к основанию,
то проведённая есть средняя пропорциональная между
отрезками основания, что и требовалось доказать. [И ещё
для основания и одного какого-нибудь из отрезков <ле-
жащая> при этом отрезке сторона будет средней пропор-
циональной.]
Предложение 9
От данной прямой отнять предложенную часть.
Пусть будет данная прямая АВ', вот требуется отнять
от АВ предложенную часть (черт. 10).
Пусть вот предложена третья часть. Проведём из А
какую-нибудь прямую АС, образующую с АВ любой угол;
и возьмём на АС любую
£ точку D и отложим DE и ЕС,
/ \ равные АО, соединим ВС и
€< \ через О параллельно ей
\ проведём DI.
\ Теперь поскольку в
/\ \ треугольнике АВС парад-
ах \ \ дельно одной из сторон ВС
Д I В проведена ID, то, следова-
„ 1ft тельно, будет пропорция —
еРт' °' как CD к DA, так и В!
к IA.
Но CD вдвое больше DA, следовательно, и В! вдвое
больше 1А; следовательно, ВА втрое больше А!.
Итак, от данной прямой АВ отнята предложенная
третья часть А!, что и требовалось сделать (18).
Предложение 10
Данную нерассечённую прямую рассечь подобно дан-
ной рассечённой.
Пусть данная нерассечёниая прямая будет АВ (черт. 11).
АС же прямая, рассеченная в точках Ь, Е; поместим их
КНИГА ШЕСТАЯ
1Я7
Черт. 11.
С
так, чтобы они заключали произвольный угол, и соединим
СВ, через D, Е параллельно ВС проведём DI, ЕН, через
же D параллельно АВ проведём DGK (предложение 31
книги I).
Значит, каждая из <фигур> IG. GB— параллелограмм;
значит, DG равна IH, GK же равна НВ (предложение 34
книги I). И поскольку в тре-
угольнике DKC параллельно
одной из сторон КС прове-
дена прямая GE, то значит,
будет пропорция — как СЕ к
ED, так и KG к GD (предло-
жение 2). KG же равна ВН,
a GD равна HI. Значит, бу-
дет— как СЕ к ED, так и ВН
к HI. Далее, поскольку в тре-
угольнике АНЕ параллельно
одной из сторон НЕ прове-
дена DI, то значит, будет
пропорция — как ED к DA, так и HI к IA (предложение 2).
Доказано же, что и как СЕ к ED, так ВН к HI;
значит, будет, что как СЕ к ED, так ВН к HI, как же
ED к DA, так HI к IA.
Значит, данная нерассечённая прямая рассечена подобно
данной рассечённой, что и требовалось сделать (19, 20, 21).
Предложение 11
Для данных двух прямых найти третью пропор-
циональную.
Пусть данные [две прямые] будут ВА, АС; поместии
их так, чтобы они заключали произвольный угол. Тре-
буется вот для ВА и АС найти третью пропорциональную
(черт. 12).
Продолжим их до точек Dt Е, отложим BD, равную
АС соединим ВС и через D параллельно ей проведём DE
(предложение 31 книги I).
Поскольку чеперь в треугольнике АНЕ параллельно
одной из сторон DE приведена ВС, то будет пропорция—>
188
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
как АВ к BD, так и АС к СЕ (предложение 2). ВО же
равна АС, значит, будет, что как АВ к АС, так и АС к СЕ.
Значит, для данных двух прямых
АВ, АС найдена третья их пропор-
циональная СЕ, что и требовалось
сделать.
D
Е
Черт. 12.
Предложение 12
Для трёх данных прямых найти
четвёртую пропорциональную.
Пусть данные три прямые будут
А, В, С; вот требуется для А, В, С
найти четвёртую пропорциональную
(черт. 13).
Отложим две прямые DE и D1 так,
заключали [произвольный]
А, и НЕ, равную В, и
чтобы они
EDI; отложим DH, равную
угол
ещё DG, равную С; и соединив-
ши HG параллельно ей (предло-
жение 31 книги I) через Е, про-
ведём Е/.
Поскольку теперь в треуголь-
нике DE1 параллельно одной из
сторон EI проведена HG, то зна-
чит, будет, что как DH к НЕ,
так DG к GI. DH же равна Л,
НЕ же равна В, DG же равна С;
А к В, так и С к GI.
Значит, для трёх данных прямых А, В, С
четвёртая пропорциональная G/, что и требовалось
Черт. 13.
значит, будет,
найдена
сделать.
Предложение 13
Для двух данных прямых найти среднюю пропор-
циональную.
Пусть две данные прямые будут АВ, ВС, вот тре-
буется для АВ и ВС найти среднюю пропорциональную
(черт, 14).
КНИГА ШЕСТАЯ
189
Расположим их по прямой, на АС опишем полукруг
ADC, из точки В под прямыми углами к прямой АС про-
ведём BD и соединим AD и DC. Поскольку ADC есть
угол в полукруге, то он прямой
(предложение 31 книги Ш). И
поскольку в прямоугольном тре-
угольнике ADC от прямого угла / / \ \
к основанию проведён перпенди- // \\
куляр DB, то значит, DB есть -------Ч
средняя пропорциональная для
отрезков АВ и ВС (предложение Черт. 14.
8, следствие).
Значит, для двух данных прямых АВ и ВС найдена
средняя пропорциональная DB, что и требовалось сде-
лать (22).
Предложение 14
В равных и равноугольных параллелограммах сто-
роны при равных углах обратно пропорциональны; и из
равноугольных паралле-
---------------—ё-------------------—£ лограммов равны, те, у
II-------------------------/ которых стороны при
/ / / равных углах обратно
//-----. -----------/ пропорциональны.
/ / и Пусть будут равные и
/ / равноугольные параллело-
/ / граммы АВ и ВСУ имею-
/ / щис равными углы при
/ / В; поместим DB, BE ио
Z_____/ прямой (черт. 15); зна-
а & чнт, по прямой будут и
Черт. 15. 1В, ВН. Я утверждаю,
что у АВ и ВС стороны
при равных углах обратно пропорциональны, т. е. что
будет как DB к BE, так и НВ к BI.
Действительно, дополним параллелограмм IE. Поскольку
теперь параллелограмм АВ равен параллелограмму ВС,
a IE нечто другое, то значит, будет, что как АВ к IE,
так и ВС к IE (предложение 7 книги V). Но как АВ
190
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
к IE, так и DB к BE (предложение 1), как же ВС к IE,
так и НВ к BI; и значит, как DB к BE, так и НВ к BI.
Значит, в параллелограммах АВ и ВС стороны при равных
углах обратно пропорциональны.
Но вот пусть будет, что как DB к BE, так и НВ
к BI; я утверждаю, что параллелограмм АВ равен парал-
лелограмму ВС.
Действительно, поскольку будет, что как DB к BE,
так и НВ к BI, но как DB к BE, так и параллелограмм
АВ к параллелограмму IE, как же НВ к BI, так и парал-
лелограмм ВС к параллелограмму IE, и значит (предложе-
ние 1), как АВ к IE, так и ВС к IE (предложение 11
книги V); значит, параллелограмм АВ равен параллело-
грамму ВС (предложение 9 книги V),
Значит, в равных и равноугольных параллелограммах
стороны при равных углах обратно пропорциональны и из
равноугольных параллелограммов равны те, у которых
стороны при равных углах обратно пропорциональны, что
и требовалось доказать (23, 24).
Предложение 15
В равных треугольниках, имеющих по одному рав-
ному углу, стороны при равных углах обратно пропор-
циональны-, и из треугольников, имеющих по одному
равному углу, равны те, у которых стороны при равных
углах обратно пропорциональны.
Пусть будут равные треугольники ABC, ADE, имею-
щие по одному равному углу — угол ВАС, равный DAE;
я утверждаю, что в треугольниках АВС и ADE стороны
при равных углах обратно пропорциональны, <то-есть> как
СА к AD, так и ЕА к АВ (черт. 16)*).
Действительно, поместим их так, чтобы СА была по
прямой с AD-, значит, ЕА будет по прямой с АВ. И со-
единим BD.
Поскольку теперь треугольник АВС равен треуголь-
нику ADE, a BAD нечто другое, то значит, будет, что
*) Черт. 16 воспроизводит помещённый в издании Гейберга.
КНИГА ШЕСТАЯ
191
как треугольник САВ к треугольнику BAD, так и тре-
угольник EAD к треугольнику BAD (предложение 7 кни-
ги V). Но как САВ к BAD, так и СА к AD (предложе-
ние 1), как же EAD к BAD, так и ЕА к АВ. И значит,
как СА к AD, так и ЕА к АВ. Значит, у треугольников
ЛВС, ADE обратно пропорциональны стороны при равных
углах.
Но вот пусть стороны треугольников АВС и ADE
обратно пропорциональны и пусть будет, что как СА
к AD, так и ЕА к АВ; я q,
утверждаю, что треугольник В ——-—
АВС равен треугольнику ADE. /
Действительно, снова после / \ /
проведения соединяющей BD, / \ S
поскольку будет, что как СА /
к AD, так и ЕА к АВ, по как / Ул
СА к AD, так н треугольник / / \
АВС к треугольнику BAD, / у* \
как же ЕА к АВ, так и тре- // \
угольник EAD к треугольнику к |
BAD (предложение 1), значит,
как треугольник АВС к тре- Черт. 16.
угольнику BAD, так и треугольник EAD к треуголь-
нику BAD.
Значит, каждый из треугольников ABC, EAD имеет
к BAD то же самое отношение. Значит, [треугольник]
АВС равен треугольнику EAD (предложение 9 книги I),
Значит, в равных треугольниках, имеющих по одному-
равному углу, стороны при равных углах обратно пропор-
циональны; и из треугольников, имеющих по одному рав-
ному углу, равны те, у которых стороны при равных
углах обратно пропорциональны, что и требовалось доказать.
Предложение 16
Если четыре прямые пропорциональны, то прямо-
угольник, заключённый между крайними, равен прямо-
угольнику, заключённому между средними; и если прямо-
угольник, заключённый между крайними, равен прямо-
192
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
угольнику, заключенному между средними, то эти
четыре прямые будут пропорциональны.
Пусть будут четыре пропорциональные прямые АВ,
CD, Е, I — как АВ к CD, так и Е к I (черт. 17); я
утверждаю, что прямоугольник, заключённый между АВ, I,
равен прямоугольнику, заключённому между CD, Е.
[Действительно], проведём из точек А, С прямые АН,
CG под прямыми углами к АВ, CD и отложим АН, рав-
Черт.
ную I, a CG, равную Е. И дополним параллелограммы
ВН, DG.
И поскольку будет, что как АВ к CD, так и Е к /,
Е же равна CG, а / равна АН, то значит, будет, что как
АВ к CD, так и CG к АН. Значит, у параллелограммов
ВН и DG стороны при равных углах обратно пропорцио-
нальны. Из равноугольных же параллелограммов равны те,
у которых стороны при равных углах обратно пропор-
циональны (предложение 14); значит, параллелограмм ВН
равен параллелограмму DG. И ВН есть прямоугольник,
заключённый между АВ, /, ибо АН равна /; a DG <прямо-
угольник> между CD, Е, ибо Е равна CG; значит, прямо-
угольник, заключённый между АВ, I, равен прямоуголь-
нику, заключённому между CD, Е.
Но вот пусть прямоугольник, заключённый между АВ,
/, равен прямоугольнику, заключённому между CD, Е; я
утверждаю, что эти четыре прямые пропорциональны как
АВ к CD, так и Е к /.
Действительно, после тех же построений, поскольку
<ирямоугольник> между АВ, / равен <прямоугольнику>
КНИГА ШЕСТАЯ
193
между CD, Е, и <прямоугольннк между> АВ, I есть ВН,
ибо АН равна /, <прямоугольник> же между CD и Е
есть DG, ибо CG равно Е, то значит, ВН равен DG.
И они равноугольны. В равных же н равноугольных
параллелограммах стороны прн равных углах обратно
пропорциональны (предложение 14). Значит, будет,
что как АВ к CD, так н CG к АН. CG же равна Е,
а АН равна I; значит, будет, что как АВ к CD, так и
Е к /.
Значит, если четыре прямые пропорциональны, то
прямоугольник, заключённый* между крайними, равен пря-
моугольнику, заключённому между средним!/, и если прямо-
угольник, заключённый между крайними, равен прямо-
угольнику, заключённому между средними, то эти четыре пря-
мые будут пропорциональны, что и требовалось до-
казать (25).
Предложение 17
Если три прямые пропорциональны, то прямоуголь-
ник, заключённый между крайними, равен квадрату на
средней; и если прямоугольник, заключённый между
крайними, равен квад-
рату на средней, то
три прямые будут
пропорциональны. в'- • " Д1”’ —— । »ч
Пусть три прямые
А, В, С пропорцио- .<
нальны: как А к В, Черт. 18.
так и В к С (черт. 18);
я утверждаю, что прямоугольник, заключённый между А
н С, равен квадрату на В.
Отложим D, равную В.
И поскольку будет, что как А к В, так и В к С,
а В равна D, то значит, будет, что как А к В, так и D
к С. Если же четыре прямые пропорциональны, то прямо-
угольник, заключённый между крайними, равен прямо-
угольнику, заключённому между средними (предложение 16).
Значит, прямоугольник между А, С равен прямоугольнику
между В, D. Но прямоугольник между В, D есть квадрат
13 Евклид
194
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
на В', нбо В равна D\ значит, прямоугольник, заключён*
ный между А, С, равен квадрату иа В.
Но вот пусть прямоугольник между А, С будет равен
квадрату на В; я утверждаю, что как А к В, так и В к С.
Действительно, после тех же построений, поскольку
<прямоугольник> между А, С равен квадрату на В, но
квадрат на В есть <прямоугольиик> между В, О (ибо В
равна D), то значит, прямоугольник между А и С равен
прямоугольнику между В и О. Если же прямоугольник
между крайними равеи прямоугольнику между средними,
то эти четыре прямые пропорциональны (предложение 16).
Значит, будет, что как А к В, так и D к С. В же равна D\
значит, как А к В, так и В к С.
Значит, если три прямые пропорциональны, то прямо-
угольник, заключённый между крайними, равен квадрату
на средней; если прямоугольник, заключённый между край-
ними, равен квадрату иа средней, то три прямые будут
пропорциональны, что и требовалось доказать.
Предложение 18
На
фигуру, подобную
данной прямой построить *) прямолинейную
данной прямолинейной фигуре и
подобно расположен-
ную.
Пустьданная прямая
будет АВ, данная же
прямолинейная фи1 у-
ра — СЕ (черт. 19);
вот требуется на пря-
мой АВ построить
прямолинейную фигу-
ру, подобную прямоли-
нейной фигуре СЕ и по-
добно расположенную,
прямой АВ в её точках
С, и угол АВН, рав-
Соединим DI и построим
А, В угол НАВ, равный углу
на
при
•) У Евклида avaypd^ai — буквально «начертить».
КНИГА ШЕСТАЯ
195
ный CDI. Значит, остающийся угол CID равен углу АНВ;
значит, треугольник [СО равноуголен с треугольником НАВ.
Значит, будет пропорция: как 1D к НВ, так и /С к НА и
СО к АВ (предложение 4). Далее, построим иа прямой
ВН при её точках В, Н угол BHG, равный углу DIE,
и угол HBG, равный углу IDE (предложение 23 книги I).
Значит, остающийся угол при Е равен остающемуся при О
(предложение 32 книги I); значит, треугольник IDE равно-
уголен треугольнику НОВ; значит будет пропорция: как
ID к НВ, так и IE к НО и ED к GB (предложение 4).
Доказано же, что и как 1D к НВ, так и IC к НА и CD
к АВ; и значит, как IC к АН, так и CD к АВ и IE
к НО и ещё ED к GB. И поскольку угол СЮ равен
АНВ, DIE же равен BHG, то значит, весь угол CIE
равен всему углу AHG. Вследствие того же вот и угол
CDE равен ABG. Будет же, что и угол при С равен углу
при А, угол же при Е равен углу при G. Значит, <фи-
гура> AG равноугольна <фигуре> СЕ; и они имеют при
равных углах пропорциональные стороны; значит, прямо-
линейная <фигура> AG подобна прямолинейной <фи-
гуре> СЕ.
Значит, иа данной прямой построена прямолинейная
фигура AG, подобная данной прямолинейной фигуре СЕ
и подобно расположенная, что и требовалось сделать.
Предложение 19
Подобные треугольники находятся друг к другу
в двойном отношении *) соответственных сторон.
Пусть подобные треугольники будут АВС и DEI
(черт. 20), имеющие угол при В, равный углу при Е, и
как АВ к ВС, так и DE к EI, так что несоответственна
с EI; я утверждаю, что треугольник АВС к треугольнику
DEI имеет двойное отношение ВС к EI.
Действительно, для ВС и EI возьмём третью пропор-
циональную ВН (предложение 11), так что будет, что как
ВС к EI, так и EI к ВН; и соединим АН.
*) Мы сказали бы теперь — <в отношеняи квадратов*,
13*
196
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Поскольку теперь будет, что как АВ к ВС, так и DE
к EI, то значит, «переставляя» будет, что как АВ к DE,
так и ВС к EI (предложение 16 книги V). Но как ВС
к EI, так будет и EI к ВН. И значит, как АВ к DE,
так и EI к ВН, значит, в треугольниках АВН и DEI
стороны при равных углах обратно пропорциональны. Из
треугольников же, имеющих по одному равному углу,
равны те, у которых стороны при равных углах обратно
пропорциональны (предложение 15). Значит, треугольник
АВН равен треугольнику DEI. И поскольку будет, чю
Черт. 20.
как ВС к EI, так и EI к ВН, если же три прямые про-
порциональны, то первая имеет к третьей двойное отноше-
ние первой ко второй (определение 9 книги V), значит,
ВС имеет к ВН двойное отношение ВС к EI. Как же
СВ к ВН, так и треугольник АВС к треугольнику АВН
(предложение 1); и значит, треугольник АВС имеет к АВН
двойное отношение ВС к EI. Треугольник же АВН равен
треугольнику DEI', и значит, треугольник АВС имеет
к треугольнику DEI двойное отношение ВС к EI.
Значит, подобные треугольники находятся друг к другу
в двойном отношении соответственных сторон [что и требо-
валось доказать].
Следствие
Вот из этого ясно, что если три прямые пропорцио-
нальны, то будет, что как первая к третьей» так и фи-
гура*), построенная на первой к подобной ей и подобно
*) У Евклида то sE8c<j — «идея», «форма». Если понимать под
словом «фигура» любую прямолинейную фигуру, то «следствие»
КНИГА ШЕСТАЯ
197
построенной фигуре на второй [поскольку доказано, что
как СВ к ВН, так и треугольник АВС к треугольнику
ЛВН, то-есть DEI], что и требовалось доказать.
Предложение 20
Подобные многоугольники разделяются на подобные
треугольники в равном количестве *} и в том оке отноше-
нии**}, что и целые (многоугольники), и многоугольник
к многоугольнику имеет двойное отношение соответ-
ственных сторон.
Д
CD G /Г
Черт. 21.
Пусть подобные многоуюльяики будут ABCDE и
IHGKL (черт. 21) и АВ соответствует IH; я утверждаю,
что многоугольники ABCDE и IHGKL разделяются на
подобные треугольники в равном количестве и в том же
отношении, что и целые <многоугольники>, и многоугольник
ABCDE имеет к многоугольнику IHGKL двойное отноше-
ние АВ к IH.
нужно признать несколько преждевременным. Но наличие опре-
делённого члена to позволяет думать, что в данном случае под
термином «фигура» попимазась та фигура, которая рассматрива-
лась в данном предложении, т. е. именно треугольник. В некото-
рых списках «Начал» вместо слова «фигура» действительно
стоит «треугольник»; Гейберг считает, что это позднейшее изме-
нение.
*) sc; tea то яЦйс; — буквально «на равные по количеству».
**) ицбкор точ; бз.о-.; — буквально «одинаковые но отношению
с целыми».
198
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Соединим 5Е, ЕС, HL, LG.
И поскольку многоугольник ABCDE подобен много-
угольнику IHGKL, угол ВАЕ равен углу HIL (определе-
ние 1). И будет, что как ВА к АЕ, так и HI к IL (там
же). Поскольку теперь будут два треугольника ABE, IHL,
имеющих один угол, равный одному углу, стороны же
при равных углах пропорциональные, то значит, треуголь-
ник АВЕ равноуголен треугольнику IHL (предложение 6);
так что и подобен; значит, угол АВЕ равен IHL. Но и
весь угол АВС равен всему углу IHG вследствие подобия
многоугольников; значит, остающийся угол ЕВС равен LHQ.
И поскольку вследствие подобия треугольников АВЕ и
!HL будет, что как ЕВ к ВА, так и LH к HI, но вслед-
ствие подобия многоугольников будет, что как АВ к ВС,
так и !Н к НО, то значит, «по равенству» будет, что
как ЕВ к ВС, так и LH к НО (предложение 22 книги V),
и при равных углах ЕВС. LHG стороны пропорциональ-
ны; значит, треугольник ЕВС равноуголен треугольнику
LHG (предложение 6): так что треугольник ЕВС и по-
добен треугольнику LHG (предложение 4, определение 1).
Вследствие того же вот и треугольник ECD подобен
треугольнику LGK- Значит, многоугольники ABCDE,
IHGKL разделены на треугольники подобные и в равном
количестве.
Я утверждаю, что они и в том же отношении, что и
целые, то-есть что треугольники пропорциональны, и пре-
дыдущие будут АВЕ, ЕВС, ECD, последующие же им
IHL, LHG, LGK, и что многоугольник ABCDE име-
ет к многоугольнику 1HGKL двойное отношение соответст-
венной стороны к соответственной стороне, то-есть АВ
к 1Н.
Действительно, соединим АС и IG. И поскольку вслед-
ствие подобия многоугольников угол АВС равен углу JHG
и будет, что как АВ к ВС, так и !Н к HG, то треуголь-
ник АВС равноуголен треугольнику IHG (предложение 6);
знацит, угол ВАС равен HIG, угол же ВСА равен HGI.
И п скольку угол ВАМ равен HIN и также угол АВМ
равен IHN, то значит, и остальной угол АМВ равен
остальному углу [,\'Н (предложение 32 книги 1); значит,
КНИГА ШЕСТАЯ
199
треугольник АВМ равноуголен треугольнику IHN. Подобным
•же вот образом докажем, что и треугольник ВМС равно-
уголен треугольнику HNG. Значит, будет пропорция: как
AM к МВ, так и IN к NH, как же ВМ к МС, так и
HN к NG (предложение 4); так что и «по равенству» как
AM к МС, так и IN к М? (предложение 22 книги V).
Но как AM к Л1С, так и [треугольник] АВМ к МВС н
АМЕ к ЕМС (предложение 1), ибо они <относятся> друг
к другу как основания. И значит, как одна из предыду-
щих к одной из последующих, так и все предыдущие ко
всем последующим (предложение 12 книги V); значит,
как треугольник АМВ к ВМС, так и АВЕ к СВЕ. Но
как АМВ к ВМС, так и AM к МС; и значит, как AM
к Л/С, так и треугольник АВЕ к треугольнику ЕВС.
Вследствие того же вот и как IN к WG, так и треуголь-
ник IHL к треугольнику HLG. И будет, что как AM
к МС, так и IN к NG; и значит, как треугольник АВЕ
к треугольнику ВЕС, так и треугольник IHL к треуголь-
нику HLG, и «переставляя», как треугольник АВЕ к тре-
угольнику IHL, так и треугольник ВЕС к треугольнику
HLG (предложение 16 книги V). Подобным же вот обра-
зом, соединив BD и НК, докажем, что и как треугольник
ВЕС к треугольнику LHQ, так и треугольник ECD к тре-
угольнику LGK. И поскольку будет, что как треугольник
АВЕ к треугольнику IHL, так и ЕВС к LHG, и затем
ECD к LGK, и значит, как одна из предыдущих к одной
из последующих, так к все предыдущие ко всем после-
дующим (предложение 12 книги V), значит, будет, что
как треугольник АВЕ к треугольнику IHL, так и много-
угольник ABCDE к многоугольнику IHGKL. Но треуголь-
ник АВЕ к треугольнику IHL имеет двойное отношение
соответственной стороны АВ к соответственной стороне
IH, ибо подобные треугольники находятся в двойном от-
ношении соответственных сторон. И значит, многоугольник
ABCDE к многоугольнику IHGKL имеет двойное отноше-
ние соответственной стороны АВ к соответственной сто-
роне IH.
Значит, подобные многоугольники разделяются на по-
добные треугольники, в равном количестве и в том же
200
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
отношении, что и целые, и многоугольник к многоугольнику
имеет двойное отношение соответственных сторон [что и
требовалось доказать].
Следстви е
Таким же образом и для [подобных] четырёхугольников
будет доказано, что они в двойном отношении соответ-
ственных сторон. Доказано же и для треугольников; так
что и вообще подобные прямолинейные фигуры будут
друг к другу в двойном отношении соответственных сто-
рон, что и требовалось доказать.
[Следствие2
И если мы для АВ, IH возьмём третью пропорцнональ-'
ную Q, то ВА имеет к Q двойное отношение АВ к IH.
Но и многоугольник к многоугольнику или четырёхсторон-
ник к четырёхстороннику имеет двойное отношение со-
ответственной стороны к соответственной стороне, т. е. АВ
к IH-, доказано же это было относительно треугольников;
так что и вообще очевидно, что если три прямые про-
порциональны, то будет, что как первая к третьей, так и
<построеиная> на первой фигуре к фигуре подобной и
подобно построенной на второй.] (26)
Предложение 21
(Фигуры», подобные одной и той же прямолинейной
фигуре, подобны и между собой.
Действительно, пусть каждая нз прямолинейных фигур
Д и В подобна С; я утверждаю, что и А подобна В
(черт. 22).
Действительно, поскольку А подобна С, опа равно-
угольна с ней и имеет при равных углах пропорциональ-
ные стороны (определение 1). Далее, поскольку В по-
добна С, она равноугольна с ней и имеет при равных
углах пропорциональные стороны (определение 1). Значит,
каждая из А и В равноугольна С и имеет при равных
КНИГА ШЕСТАЯ
201
углах пропорциональные стороны [так что и А равно-
угольна В и имеет при равных углах пропорциональные
стороны]. Значит, А подобна
В (определение 1), что и тре-
бовалось доказать.
Предложение 22
Если четыре прямые про-
порциональны, то и подобные
и подобно построенные*) на
них прямолинейные фигуры
будут пропорциональны-, и
если подобные и подобно по-
строенные на них прямоли-
нейные фигуры пропорциональ-
ны, то и сами эти прямые
будут пропорциональны.
~ ie прямые будут АВ,
СО, так и ~Е1 к //G;
построим на АВ и CD
подобные и подобно
расположенные прямо-
линейные фигуры КАВ,
LCD, а на EI и HG
подобные и подобно
расположенные прямо-
линейные фигуры MI и
NG (черт. 23); я ут-
верждаю, что как КАВ
к LCD, так и Ml к t\’G.
Действительно возь-
мём для АВ, CD тре-
тью пропорциональную
X, а для £7, HQ тре-
тью пропорциональную О (предложение И). И посколь-
ку будет, что как АВ к CD, так и EI к HG как
Черт. 22.
усть четыре
<так
CD. EI. HG,
К
что> как АВ
Черт. 23.
:) В подлиннике — начерченные.
202
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
же CD к X, так и HG к О *) (черт. 24), то значит,
«по равенству» будет, что как АВ к X, так и £7 . к
О (предложение 22 книги V). Но как АВ к X, так и
КАВ к LCD (предложение 19, следствие), как же Е1 к О,
так и MI к NG (там же); и значит, как КАВ к LCD, так
и AU к XG.
Но вот пусть будет, что как КАВ к LCD, так и Ml
к KG; я утверждаю, что будет н как АВ к CD, так EI
к HG. Действительно, если не будет, что как АВ к CD,
так и EJ к HG, то пусть будет, что как АВ к CD, так
j и Е1 к QP (предложение 12)
~ 7 н на QP построим прямолиней-
/ / ную фигуру SP, подобную и
/ / подобно расположенную каждой
___ L______из фигур Ml и NG (предло-
0 р жение 18 и предложение 21).
Черт. 24. Поскольку теперь будет,
что как АВ к CD, так и
Е1 к QP, и на АВ, CD построены подобные н подобно
расположенные фигуры КАВ и LCD, на El, QP же подоб-
ные и подобно расположенные <ф-.1гуры> Ml и SP, то
значит, будет, что как КАВ к LCD, так и Ml к SP. Пред-
полагается же, что и как КАВ к LCD, так и Ml к NG, и зна-
чит, как ЛИ к SP, так н ЛИ к NG, Значит, Ml имеет то же
самое отношение к каждой из NG, SP; значит, NG равна
SP (предложение 9 книги V), Она же ей подобна и подобно
расположена; значит, HG равна QP**}. И поскольку будет,
«по как АВ к CD, так и EI к QP, QP же равна HG,
то значит, будет, что как АВ к CD, так и EI к HG.
Значит, если четыре прямые пропорциональны, то и по-
добные и подобно построенные на них прямолинейные фи-
гуры будут пропорциональны: и если подобные и подобно
построенные на них прямолинейные фигуры пропорцио-
нальны, то и сами эти прямые будут пропорциональны,
что и требовалось доказать.
*) Ибо по предположению; AB:CD — CD:XnF.J:HG=HG'.G
и АВ-.CD^EI-.HG (Гейберг).
*♦) Ибо, если NG:SP — HG2:QP2 (предложение20) и NG — SP,
то будет QP2 = ЦО2, т. е, QP=HQ (Гейберг)»
КНИГА ШЕСТАЯ
203
[Л е м м а]
[А что если прямолинейные фигуры равны и подобны,
то будут равны между собой и их соответственные сто-
роны, мы докажем так.
Пусть равные и подобные прямолинейные фигуры будут
Д’С, 5/? и пусть будет, что как GH к НН, так и RP
к AS; я утверждаю, что RP равно GH.
Действительно, если они не равны, го одна из них бу-
дет больше. Пусть RP будет больше GH. И поскольку бу-
дет, что как RP к PS, так и GH к HN, и, «перестав-
ляя», как RP к GH, так и PS к HN, RP же больше G/7,
то значит, и PS больше HN\ так что и AS больше GN.
Но она и равна, что невозможно. Значит, не будет RP
неравной HG\ значит, опа равна, что и требовалось доказать.]
Предложение 23
Равноугольные параллелограммы имеют друг н другу
составное отношение их сторон.
Пусть будут равноугольные параллелограммы АС, С[,
имеющие угол BCD, равный ЕСН (черн 25); я утверждаю,
что параллелограмм
АС имеет к паралле-
лограмму С1 отноше-
ние, составленное из
уотношеиий сторону.
Действительно, по-
местим их так, чтобы
ВС была по прямой <
СН\ значит, и DC
будет по прямой с СЕ.
И дополним паралле-
лограмм DH, отложим
некоторую прямую К и сделаем, чтобы как ВС к СН,
так и К к L, как же DC к СЕ, так и L к М.
Значит, отношения [( к L н L к At такие же, что и
отношения сторон, <нменно> ВС к СН и DC к СЕ. Но
отношение К к /И составляется из отношений К к L и
204
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
L к М; так что и К имеет к М отношение, составлен-
ное из <отиошений> сторон. И поскольку будет, что как
ВС к СИ, так и параллелограмм АС к CG (предложение 1),
ио как ВС к СН, так и К к L, то значит, как К к В
так и АС к CG. Далее, поскольку будет, что как DC
к СЕ, так и параллелограмм CG к Cf (предложение 1),
но как DC к СЕ, так и L к Ж. и значит, как L к Л1,
так и параллелограмм CG к параллелограмму CI. По-
скольку теперь доказано, чю как К к L, так п парал-
лелограмм АС к параллелограмму CG, как же L к Л1,
так и параллелограмм CG к параллелограмму CI, то зна-
чит, «-по равенству» (предложение 22 книги V), будет,
что как К к М, так и АС к параллелограмму С/. К же
имеет к отношение, составленное из <отиошепий>
сторон; и значит, АС к CI имеет отношение, составленное
из <от ношений> сторон.
Значит, равноугольные параллелограммы имеют друг
к друг}' составное отношение их сторон, что и требова-
лось доказать.
Предложение 24
Во всяком параллелограмме параллелограммы на диа-
метре подобны и целому и между собой.
pF в Пусть будет параллелограмм
КД V \ ABCD, диаметр же его АС, парал-
\_Д/_____________\„ лелограммы же на АС пусть бу-
ДХ. у Дут DH и GK (черт. 26); я ут-
\ \ х. \ верждаю, что каждый из парал-
\ \ х. \ лелограммов ЕН, GK подобен
\ \ х. \ целому ABCD и друг другу.
\ \_________Х\ Действительно, поскольку в
-° к с треугольнике АВС параллельно
Черт. 26. одной из сторон ВС проведена Е1,
то будет пропорция — как BE
к ЕА, так и CI к IA (предложение 2). Далее, поскольку
в треугольнике ACD параллельно одной из сторон CD
проведена IH, будет пропорция — как CI к 1А, так
и DH к НА (там же). Но как CJ к IA, так по дока-
занному и BE к ЕЛ; и значит, как BE к ЕА, так и
КНИГА ШЕСТАЯ
205
DH к НА, и значит, «соединяя» (предложение 18
книги V) как ВА к АЕ, так и DA к АН, и «переставляя» —
как ВА к AD, так и ЕА к АН (предложение 16 книги V).
Значит, в параллелограммах ABCD, ЕН стороны при об-
щем угле BAD пропорциональны. И поскольку HJ парал-
лельна DC. то угол AIH будет равен DCA (предложение 29
книги I); и DAC есть общий угол двух треугольников
ADC, АН]-, значит, треугольник ADC равноуголен тре-
угольнику АН! (предложение 32 книги I). Вот вследствие
того же и треугольник АСВ равноуголен треугольнику A IE,
и весь параллелограмм ABCD равноуголен параллело-
грамму ЕН. Значит, будет пропорция: как AD к DC,
так и АН к HI, как же DC к СА, так н HI к ]А, как
же АС к СВ, так и AI к IE, и ещё, как СВ к ВА, так
и IE к ЕА (предложение 4). И поскольку доказано, что
как DC к СА, так и HI к IA, как же АС к СВ, так и
AI к IE, то значит, «по равенству» (предложение 22
книги V) будет, что как DC к СВ, так и HI к IE. Зна-
чит, в параллелограммах ABCD, ЕН стороны при равных
углах пропорциональны*); значит, параллелограмм ABCD
подобен параллелограмму ЕН. Вследствие того же вот и
параллелограмм ABCD подобен параллелограмму KG;
значит, каждый из параллелограммов ЕН, GK подобен [парал-
лелограмму] ABCD. <Фигуры> же, подобные одной и той
же прямолинейной фигуре, подобны и между собой (пред-
ложение 21); и значит, параллелограмм ЕН подобен па-
раллелограмму GK.
Значит, во всяком параллелограмме параллелограммы
на диаметре подобны и целому и между собой, что и
требовалось доказать.
Предложение 25
Построить подобную данной прямолинейной фигуре
и равную другой данной ту же (фигуру"}.
Пусть АВС будет та данная прямолинейная фигура,
которой должна быть подобна строящаяся, D же та, ко*
*) Ибо доказано, что BA:AD = ЕА\АН, AD.DC = АН:Н1,
НГ.1Е = DC'.CB, lE'.EA — СВ:ВА (Гейберг).
20$
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
торой должна быть равна (черт. 27); вот требуется по-
строить подобную ЛВС и равную D ту же <фигуру>.
'(Приложим-» к ВС параллелограмм BE, равный тре-
угольнику АВС (черт. 27) (предложение 44 книги I),
к СЕ же параллелограмм СМ, равный D, в угле ICE, ко-
торый равен CBL (предложение 45 книги I). Значит, ВС
будет по -прямой с CI, а BE с ЕМ. И возьмем для ВС
и CI среднюю пропорциональную HG (предложение 13)
и построим на HG <треугольник> KHG, подобный и подобно
расположенный с АВС (предложение
И поскольку будет, что как ВС к HG, так и HG к CI,
если же три прямые пропорциональны, то будет, что как
первая к третьей, так и фигура, <построенная> на первой
к подобной и подобно построенной на второй (предложе-
ние 19, следствие), значит, будет, что как ВС к CI, так
и треугольник АВС к треугольнику KHG. Но и как ВС
к 07, так и параллелограмм BE к параллелограмму Е[
(предложение 1). И значит, как треугольник АВС к тре-
угольнику K.HG. так и параллелограмм BE к параллело-
грамму EI; значит «переставляя», как треугольник АВС
к параллелограмму BE, так и треугольник KHG к парал-
лелограмму EI (предложение 16 книги V). Треугольник
же АВС равен параллелограмму ЕВ; значит, и треуголь-
ник KHG равен параллелограмму Е[. Но параллелограмм
£/ равен D; и значит, KHG равен D. И также KHG по-
добен АВС,
Книга шестхй
207
Значит, построена подобная данной прямолинейной фи-
гуре АВС и равная друюй данной D та же <фигура> KHG,
что и требовалось сделать.
Предложение 26
Если от параллелограмма отнимается параллело-
грамм, подобный и подобно расположенный целому, имею-
щий с ним общий угол, то он будет на том же диа-
метре, что и целый.
Пусть от параллелограмма ABCD отнимается парал-
лелограмм А! (черт. 28), подобный и подобно расположен-
ный с ABCD, имеющий с ним общий угол DAB; я утвер-
ждаю, что ABCD будет на том же диаметре, что н АЕ
Действительно, пусть не так, но если возможно, пусть
[у них] будет диаметр AGC; продолженную Н[ доведём
до О к через G параллельно каждой нз AD, ВС проведём
GK (предложение 31 и 30 книги I).
Поскольку теперь ABCD будет на том же диаметре,
что КН, будет значит, что как DA к АВ, так и НА к ЛК.
Вследствие же подобия ABCD, ЕН будет, что и как DA
к АВ, так и НА к АЕ (определение 1); и значит, как НА
к АК, так и НА к АЕ. Значит, НА к каждой из АК, АЕ
имеет то же отношение. Значит, АЕ равна АК (предло-
жение 9 книги V), меньшая большей, что невозможно.
Значит, не будет ABCD не па том же диаметре, что и AI;
208
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
значит, параллелограмм ABCD будет на том же диаметре,
что и параллелограмм AI.
Значит, если от параллелограмма отнимается паралле-
лограмм, подобный и подобно расположенный целому,
имеющий с ним общий угол, то он будет на том же диа-
метре, что и целый, что и требовалось доказать.
Предложение 27
Из всех параллелограммов, приложенных к той же
прямой и имеющих недостатки в виде параллелограм-
мов*), подобных и подобно расположенных (параллело-
грамму), построенно-
му на половине, наи-
большим будет [па-
раллелограмм}, при-
ложенный к половине
и подобный своему не-
достатку.
Пусть прямая будет
АВ, пусть она рассечена
пополам в Си пусть
к прямой АВ приложен
параллелограмм AD
виде параллелограмма
т. е. СВ-, я утверждаю,
(черт. 29), имеющий недостаток в
DB, построенного иа половине АВ,
что из всех параллелограммов, приложенных к АВ, имею-
щих недостатки в виде [параллелограммов], подобных и
подобно расположенных с DB, наибольший будет AD.
Приложим к прямой АВ параллелограмм AI, имеющий
недостаток в виде параллелограмма IB, подобного и по-
*) Несколько вольный перевод евклидова iAASutovwv sTJssi
недостающих параллельно-линейными фигурами.
Кроме того, следует сказать, что здесь, как и в других слу-
чаях, термин tkUlr.ov остаётся не вполне выясненным. Недостаток
параллелограмма ACD, построенного на прямой АВ (при
ДС<ДВ)--это прилежащий к нему справа параллелограмм
CBBD, который вместе с ACD даёт весь построенный на АВ
параллелограмм.
КНИГА ШКС1АЯ
209
добно расположенного с DB, я утверждаю, что AD
больше AI.
Действительно, поскольку параллелограмм DB подобен
параллелограмму 1В, то они будут на одном и том же
диаметре (предложение 26). Проведём их диаметр DB
и достроим чертёж*).
Поскольку теперь CI равна IE (предложение 43 книги I),
IB же общая, то значит, вся CG равна всей КЕ. Но CG
равна СН, поскольку и АС <равна> СВ (предложение 1).
И значит, НС равна ЕК. Прибавим общую С1\ значит,
весь А! равен гномону LMN\ так что параллелограмм DB,
т, е. AD, больше параллелограмма А/.
Значит, из всех параллелограммов, приложенных к той
же прямой и имеющих недостатки в виде параллелограм-
мов, подобных и подобно расположенных <параллелограмму>,
построенному на половине, наибольшим будет приложенный
к половине, что и требовалось доказать (27, 28).
Предложение 28
К длиной прямой при южитъ равный данной прямоли-
нейной фигуре параллелограмм, имеющий недостаток
в виде параллелограмма, подобного данному, необходимо
же, чтобы данная прямолинейная фигура {равную ко-
торой надо приложить], была не больше (фигуры), по-
строенной на половине, подобной недостатку [от (фи-
гуры) на половине и подобную которой надо взять в не-
достатке].
Пусть данная прямая будет АВ, данная же прямо-
линейная фигура, равную которой следует приложить к АВ
(черт. 30), пусть будет С, не большая построенной на по-
ловине АВ и подобной недостатку, та же. которой должен
быть подобен недостаток, пусть будет О', вот требуется
к данной прямой приложить параллелограмм, равный дан-
ной прямолинейной фигуре С с недостатком в виде парал-
лелограмма, подобного О,
*) :6 а-^иа •—то же самое выражение, что и в
аредложениях 7 и 8 книги 1|.
14 Евклид
210
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Рассечём АВ пополам в точке Е и на ЕВ построим
EBIH, подобный и подобно расположенный с D (предло-
жение 18), и дополним параллелограмм АН.
Если теперь АН равен С, то заданное уже было бы
сделано, нбо к данной прямой АВ приложен равный дан-
ной прямолинейной фшуре С параллелограмм АН, у ко-
торого недостаток в виде параллелограмма НВ. подобного D.
Если же пег, то пусть GE будет больше С. Но GE равно
НВ; значит, НВ больше С. Вот построим равную тому
избытку, на сколько НВ больше С, а также подобную
и подобно D расположенную ту же <фигуру> KLMN
(предложение 25), Но D подобна НВ; н значит, КМ по-
добна НВ (предложение 21). Пусть теперь KL будет со-
ответственной НЕ, 1-М же <соответствшшой> HI, И по-
скольку НВ равна С. КМ <вместе>, то значит, НВ больше
КМ; значит, и НЕ больше KZ, a HI больше LM^\ От-
ложим НХ, равную KL, НО же, равную LM, и дополним
параллелограмм XHOQ; значит, [HQ] равен н подобен*) **)
КМ [но КМ подобен НВ]. И значит, HQ подобен НВ
(предложение 21); значит, HQ будет на одном н том же
*) Ибо по предложению 20 будет: НВ:КМ~-HE--.KL- —
HP'.LM-. Уже если НВ > КМ, то будет НЕ2 > К^2, НН > LM\
т. е. НЕ > KL, HI > LM (Гейберг).
Так как НВ подобен КМ, то £0НХ — £ КЕМ, Значит,
HQ и КМ равноугольны, а поэтому и подобны (определение 1)
и равны (предложение 14) (Гейберг).
КНИГА ШРСТАЯ
211
диаметре с НВ (предложение 26), Пусть их диаметр бу-
дет HQB, и достроим чертёж*).
Теперь, поскольку ВН равна С, КМ <вместе>, из ко-
торых КМ равна HQ, то значит, остаток-гномон YxF ра-
вен остатку С. И поскольку ОР равен А'.*? (предложе-
ние 43 книги 1), прибавим общую QB-, значиц вся ОВ
равна всей ХВ.
Но ХВ равен ТЕ, поскольку и сторона АЕ равна сто-
роне ЕВ (предложение I); и значит, ТЕ равен ОВ. Прибавим
общую XS; значит, вся TS равна всему гномону FxY.
Но доказано, что гномон Гх¥ равен С; и значит, TS ра-
нен С.
Значит, к данной прямой АВ приложен равный данной
прямолинейной фигуре С параллелограмм ST, имеющий
недостаток в виде параллелограмма, подобного D [посколь-
ку QB подобна HQ] **), что и требовалось сделать (29).
• Предложение 29
Л’ данной прямой приложить равный данной прямо-
линейной. фигуре параллелограмм с избытком***) в виде
параллелограмма, подобного данному.
Пусть данная прямая будет АВ, данная же прямоли-
нейная фигура, равную которой следует приложить к АВ,
пусть будет С, а та, которой должен быть подобен из-
быток, пусть будет D (черт. 31); вот требуется к прямой
АВ приложить равный прямолинейной фигуре С паралле-
лограмм с избытком в виде параллелограмма, подобного D.
Рассечём АВ пополам в Е и на ЕВ построим подоб-
ный и подобно расположенный D параллелограмм В! и по-
*) з/т^а--см. предложение 27.
**) Ибо QB подобна HQ (по предложению 24| и подобна В.
Поставленные в скобках слова подложим, ибо без причины лета-
ется упоминание о HQ (Гейберг).
***) Термин и-грЗбПо^ страдает тем же недостатком, что
и Если взять прямые ЕО н ЕВ. то при ЕО > ЕВ избьп •
кот надо считать параллелограмм BOLM, который следует отнять
от всего параллелограмма EOMI, чтобы получить параллело-
грамм EBL1, построенный только на стороне ЁВ.
14’
НАЧАЛА
строим равный вместе взятым В/, С, подобный и по-
добно расположенный D (предложение 25) <параллело-
грамм> HG.
Пусть KG будет соответственной И., а КН соот-
ветственной IE. И поскольку HG больше IB, то значит,
и KG больше 1L, а КН больше 1Е. Продолжим IL, !Е и
пусть ILM будет равна KG, a 1ЕН равна КН, и допол-
ним МН; значит, МН равен и подобен HG. Но HG
подобен ЕЕ; значит, и MN подобен ЕЕ (предложение
21); значит, ЕЕ будет на одном диаметре с МН (пред-
ложение 25). Проведём диаметр их IX и достроим чер-
тёж.
Поскольку HG равен EL, С <вместе>, но HG равен Л1;\\
то значит, и МН равен EL, С <вместе>. Отнимем общую ЕЕ;
значит, остаток гномон RXF равен С. И поскольку АЕ
равна ЕВ, то и АН равен НВ, то-есть LO (предложе-
ние 43 книги I). Прибавим общую ЕХ; значит, весь АХ
равен гномону RXF. Но гномон RXF равен С; и значит,
АХ равен С.
Значит, к данной прямой АВ приложен равный прямо-
линейной фигуре С параллелограмм АХ с избытком в виде
параллелограмма QO, подобного D, поскольку н OQ по-
добен ЕЕ (предложение 24), что и требовалось сделать (30)
КНИГА ШЕСТАЯ
213
Предложение 30
Данную ограниченную прямую рассечь в крайнем
и среднем отношении.
Пусть данная ограниченная прямая будет АВ; во г
требуется рассечь прямую АВ в край- с га
нем и среднем отношении (черт. 32). ""
Построим на АВ квадрат ВС и
приложим к АС равный ВС паралле-
лограмм CD с избытком — фигурой AD,
подобной ВС (предложение 29).
ВС же есть квадрат; значит, и AD
квадрат. И поскольку ВС равен CD, ^7————
то отнимем общее СЕ; значит, остаток
BI равен остатку AD. Он же и рав-
ноуголен ему*); значит, в В! и AD
стороны при равных углах обратно .. „„ 1д»’
пропорциональны (предложение 14); зна-
чит, будет, что как IE к ED, так и Черт. 32.
АЕ к ЕВ. Но IE равна ЛВ**), ED же
равна АЕ. Значит, будет, что как ВА к АЕ, так и АЕ
к ЕВ. Но АВ больше АЕ; значит, и АЕ больше ЕВ
(предложение 14 книги V).
Значит, прямая АВ рассечена н Е в крайнем и среднем
отношении (определение 3) и больший её отрезок АЕ, чю
и требовалось сделать (31, 32).
Предложение 31
В прямоугольных треугольниках фигура на стороне,
стягивающей прямой угол, равна (вместе взятым} фи-
гурам на сторонах, заключающих прямой угол, подоб-
ным ей и подобно построенным.
Пусть будет прямоугольный треугольник АВС, имею-
щий прямой угол ВАС; я утверждаю, что фигура на ВС равна
*) Ибо оба прямоугольники (ГейберП.
**) Ибо /в —АС (предложение 34 книгж 1) и АС~АВ
(Гейберг).
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
фигурам на ВА и АС, подобным и подобно построенным
(черт. 33).
Проведём перпендикуляр AD. Поскольку теперь в прямо-
угольном трсуголышке АВС из прямого угла при -4 про-
ведён к основанию ВС перпендикуляр AD, треугольники
ABD н ADC при перпендикуляре подобны и целому АВС
п между собой (предложение 8). И поскольку АВС по-
добен АВГ), до (по определению 1) значит, будет, что как
СВ к ВА, так и .Ш к BD. И поскольку три прямые
Так что н как ВС к BD, DC <вместе>, так и фигура
на ВС к <ф!цурам> иа ВА, АС, подобным и подобно по-
строенным*^'). ВС же равна BD. DC <вместе>; значит,
и фигура на ВС равна <вместе взятым> фигурам на ВА,
АС, подобным и подобно расположенным ***).
Ибо АВС подобна ADC. Знаки г, ВС'.С А г-.- CA’.CD (Г ейбер!).
Пусть построенные на ВС, АС н АВ фнг\ры будут а,
1>, е. Мы доказали, что BC-.BD - а:с, BC'CD —~a:b. Зиачш,
ВС'.а ~=.CD‘.b — BD'.c,
CD'.BD- by,
(CD \- BDy.BD~(b \-cy.c,
(CD 4- BDy.(b 4- с} - BD:c -т BC:a,
BC',(CD 4-BD] — a:(b -(-с) (Гейберг).
Ибо BC'.a = (CD 4- BD):(b 4- о--BC:(bл-г). Поэтому.
a-by-c (предложение 9 книги V) (I’enocpij.
КИНГА ШЕСТАЯ
215
• Значит, в прямоугольных трсу 1 одышках фигура на сти-
роне, стягивающей прямой угол, равна <вместе взятыч>
фигурам на сторонах, заключающих прямой угол, подобным
ей и подобно построенным, чю и требовалось дока-
зан, (33, 34).
Предложение 32
Если два треугольника, имеющих две стороны про-
порциональные двум сторонам, приставляются одним
углом, так, чтобы соответственные стороны были
и параллельны, то остальные стороны треугольников
будут но (одной) прямой.
Пусть будут два треугольника ABC, DCE. имеющих
две стороны ВЛ, АС пропорциональные «двум сторонам DC,
DE. как АВ к АС так и DC к DE, и АВ параллельна DC,
Л(? же DE; я утверждаю, 'по ВС будет по <одной> пря-
мой с СЕ (черт. 34).
Действительна, иоскитьку ДВ параллельна Л)С'п на них
упала прямая АС, то иакрсстлехгащие углы ВАС, ACD
равны между собой (предложение 29 книги I).
Вот вследствие тою же и уюл CDE равен углу ACD.
Так что и угол ВАС равен углу CDE. И поскольку есть
два треугольника ABC, DCE, имеющих один угол при Л,
равный одному углу при D, стороны же при равных
216
H.V-ЕКЛХ ЕВКЛИДА.
углах пропорциональные: как ВА к АС, так и СО к DE,
то значит, треугольник АВС равноуголен треугольнику DCE
(предложение 6); значит, угол АВС равен углу DCE. До-
казано же, чю и угол ACD равен ВАС; значит, весь угол
АСЕ равен двум углам АВС, ВАС. Прибавим общий угол
АСВ; значит, углы АСЕ, АСВ равны ВАС, АСВ н СВА.
Но углы ВАС, АВС, АСВ равны двум прямым; и значит, уг-
лы АСЕ, АСВ равны двум прямым. Вот на некоторой пря-
мой АС при её точке С две прямые ВС, СЕ, располо-
женные не с одной стороны, образуют смежные углы АСЕ,
АСВ, <вместе> равные двум прямым; значит, ВС будет
по <одной> прямой с СЕ (предложение 14 книги I).
Значит, если два треугольника, имеющих две стороны,
пропорциональные двум сторонам, приставляются одним
углом так, чтобы соответственные стороны были и парал-
лельны, то остальные стороны будут находиться на одной
прямой, чю и требовалось доказать (35).
Предложение 33
В равных кругах- углы имеют то .we отношение, что
обводы, на которых они стоят, будут ли они находиться
при центре или при обводах.
Пусть будут равные круги ABC. DEI, и пусть при
их центрах Н, О будут углы ВНС, EG1, на ибводах же
углы ВАС, EDI; я утверждаю, что будет как обвод ВС
к обводу EI, так и угол ВНС к углу ЕG! и как угол ВАС
к углу EDI (черт. 35).
Отложим подряд сколько yi одно равных обводу ВС
смежных <дуг> СК, KL и столько же равных обводу
EI <дуг> IM, МН и соединим НК, HL, GM, GH.
Теперь, поскольку равны между собой обводы ВС. СК,
KL, будут равны между собой и углы ВНС, CHK. KHL
(предложение 27 книги III); значит, сколько раз обвод BL
кратен обводу ВС, столько же раз угол BHL кратен
углу ВНС. Вот вследствие того же и сколько раз обвод
ЕН кратен обводу Е1, столько же раз и угол HGE кра-
тен EGI. Значит, если обвод BL равен обводу ЕН, то
и угол BHL равен углу EGH, и если обвод BL больше
КНИГА ШЕСТАЯ
217
обвода ЕН, то и угол ВНЕ больше EG.V, и если меньше,
то меньше. Вот для четырёх величин — двух обводов ВС,
Е! и двух углов ВНС, EG! взяты обвода ВС п угла ВНС
равиокрагные — обвод BL и угол ВНЕ, дуги же Е!
и угла EG! равнократные — обвод ЕН и угол EGH. И до-
казано, что если обвод BE превышает обвод ЕН, то
Черт. Зо.
и угол ВНЕ превышает \юл EGH, и если равен, то ра-
вен, и если меньше, то меньше. Значит, будет, что как
(определение 5 книги V) обвод ВС к Е!, так и угол ВНС
к EG! (предложение 15 книги V). Но как угол ВНС
к EGI, так и ВАС к EDI (предложение 15 книги V), ибо
каждый вдвое больше другого (предложение 20 книги Ш).
И значит, как обвод ВС к обводу EI. так и угол ВНС
к EG1 и угол ВАС к EDI.
Значит, в равных кругах углы имеют то же отношение,
что обводы, на которых они стоят, будут ли они находиться
при центре или при обводах, что и требовалось дока-
зать (36, 37). t

КОММЕНТАРИИ
ф.Ъ. МорЪу хай-Жолтовского
<3\э

КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ I
I. Евклидовы определения. Большую ошибку делают те
коммента горы, которые видят в евклидовых определениях но-
минальные (чисто словесные) определения. Начало этой ошибки
относится к XVII в., когда признавали только два рода опре-
делений: реальные и номинальные !), причем первые мыслились
согласно общему мировоззрению того времени иначе, чем мыс-
лились определения в античное время.
Такой взгляд проводится в XVIII в. Ламбертом* 2). «То, что
Евклид предпосылает в определениях, — i оворит он, — это только
номенклатура', он делает не что иное, как то, что делает
часовщик или какой-либо другой ремесленник, который, начиная
обучать ученика, знакомит его прежде всего с названием свои.\
инструментов».
Номинальный характер в евклидовых определениях видел
и Кестнер3) на том основании, что Евклид не старался оправ-
дать своих определений.
Следует обратить внимание, чго в определениях 10, II, 13,
14, 17, 18 и др. книги 1 стоит «есть», а «называется» только в 9,
10, 16. Уже это одно говорит в пользу того, что мы здесь
имеем не номинальные определения, а определения-описания,
которые представляют собой типичные античные определения,
правда, смешанные с гекетаческими определениями более ран-
него типа.
Я предлагаю читателю внимательно прочесть евклидовы
определения.
Определение 1: «точка есть то, что не имеет частей». Затем
идёт определение линии: «длина без ширины». Всё это. конечно.
1) (Arnau Id et Nicole), L’art de penser (порт-роялев-
ская логика), 1662.
2) Lambert, Organon, т. 1, стр. 32. Dentscher Oelehrter
Brufwechsel, т. IV, Brief an Holland, 1764, стр. 23.
8) Kastner, Phfosophlsch-Mathematische Abhandlungen, »,
Wass heisst in Euclid's Geometrle m6glfch? § 13, стр 17.
комм; и । арии
логически не действующие определения, описания, не имеющие
отношения к выводам, относящимся к точке и личин.
Но затем следует определение 3: «Концы же линии точки*.
Здесь не дается названия и вовсе нс исследуется сущность
концов; это, конечно, не второе определение точки, которая уже
определена', это просто констатирование геометрического факта:
в концах линии точки.
Четвёртое определение, тоже логически не действующее,
имеет явно выраженный характер описания: «Прямая линии
есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на
ней» (см. комментарий 4).
Определение 10 прямого угла не следует толковать в том
смысле, что название «прямой угол» даётся тому углу, который
равен своему смежному, а в том, что угол, который в таком
случае получается, есть как раз тот, который называется
прямым.
То же относится и к определению прямой, перпендикуляр-
ной к плоскости (предложение 3 книги XI).
Неужели определение 13, говорящее, что Гранина есть то,
что является наиболее внешним в веши (оконечность её), будет
определением в нашем смысле? Это опять только выявление
характерного свойства того, что известно и что уже имеет
определённое название.
Только там, где указываемыми в определении признаками
вещь вполне определяется, и где термин такой, что можно гео-
метру приписать его введение, можно ещё видеть номинальное
определение, а именно, в определениях 19, 20, 21, 22, 23 книги I
Начал.
Выявляя характерные признаки геометрических объектов,
некоторые евклидовы определения носят характер аксиом и могут
быть сформулированы как аксиомы, но при этом можно при-
бавить: в высшей степени очевидные. Так, в определении 1
книги III (Тачал устанавливается равенство кругов по равенству
диаметров, что в некоторых учебниках XVII в. выставляется
как аксиома.
К числу такого рода определений я отношу н определе-
ние 11 книги 111; «Подобные сегменты те, которые заключают
равные углы или в которых углы друг другу равны».
То же следует думать и об определении подобия прямо-
линейных фигур (определение I книги VI).
В книге V имеется определение 3 отношения: отноше-
ние— это зависимость двух однородных величин по коли-
честву 9.
Это. конечно, логически не действующее п очень общее
определение. Но за ним следует определение 4; говорят, чип
4) Д. М о р д у х а й-В о л т о в с к о й, К истории пятой книги
Начал Евклида, Математическое Образование, 1916,
К КНИГЕ I
223
величины имеют отношение друг к другу, если они, взятые
кратно, могут превзойти друг друга.
Это определение тоже обнаруживает аксиоматический ха-
рактер; оцо указывает, когда такая зависимость, о которой
говорит определение 3, имеет место.
Описательные определения мы находим и до Евклида,
например, у Платона5), который в диалоге «Парменид» говорит,
что прямая"—это линия, середина которой покрывает оба конца;
это сводится к зрительному эксперименту над прямой, пр t
котором прямая представляется точкой.
Определения Геронап) представляют развитие евклидовых
оппсатеиных определений, а именно, в направлении более
подробного и более лёгкого описания. Герои рассказывает, что
линия не имеет ни ширины, ни глубины, что она возникает,
если точка движется сверху вниз без перерыва, что ома
составляется из точек и ограничена точками и что опа npei-
ставляет границы поверхности. К тому, что Евклид говорит
о прямой. Герои прибавляет то, что она (как это до него от-
мечает ещё Архимед) кратчайшая из линий, имеющих те же
концы. К евклидову определению плоскости он прибавляет, что
прямая с двумя точками на плоскости целиком оказывается ни
пей.
К генетическим определениям (т, с. определениям, дающи-л
способ образования веши) можно отнести только содержащиеся
в книге Х1 определения шара (14), конуса (18) и цилиндра (21).
Но почему Евклид не даёт и окружности, а через неё и
кругу, тоже генетическое определение?
Не проще было бы получить круг вращением прямой около
неподвижной точки, чем определять окружность равенством
расстояний от центра?
Я думаю, что раньше так и было. Окружное|Ь являлась
кривой, проводимой циркулем; только потом произошло расслое-
ние на определение 15 и постулат 3, утверждающий возмож-
ность получить циркулем кривую линию со свойствами опреде-
ления 15.
Что же касается шара, то здесь дето обстоит как раз на-
оборот: для него первоначально не могло существовать генети-
ческого определения, а могло быть только описание', оно,
вероятно, н существовало в форме, аналогичной определению
плоскости, н при этом не для шара непосредственно, а для ею
поверхности. Вероятно, опа определялась равенством расстояний
от центра: генетическое же определение было вызвано предло-
жением 18 книги ХП, дающим отношение объёмов двух шаров.
“) Платон, Творения, диалог «Парменид». Пер. Карпова
или Соловьева, Спб. 18ьЗ—1879 и 1899 — 1903,
h) И е г о п 1 s Alexandrini, Opera, bearbellet von Schmidt,
Schoeue, Heiberg, Leipzig, 1899—1912,
224
КОММЕНТАРИИ
Аристотель". 8) говорит обычно юлько о реальных опреде-
лениях, хотя от него идёт различение номинальных и реальных
определений.
По Вейдлеру * 9) номинальные определения дают только при-
знаки различаемых вещей, реальные же говорят о происхождении.
При таком понимании мегенетические евклидовы определения
оказываются номинальными.
В заключение заметим, что Лейбниц10) номинальные опре-
деления понимает шире, чем просто словесные; они указывают
признаки, по которым можно отличить одну вещь от другой.
Реальными же будут такие, которые выявляют возможность
существования вещей; иначе говоря, реальными будут только
оправданные определения.
Казалось бы, что с этой точки зрения следует все опреде-
ления Евклида принять за номинальные. Но с точки зрения
Евклида вводимые определения, невидимому, оправдывались ин-
туицией; поэтому и с этой точки зрения его описательные опре-
деления пе являются номинальными.
2. Точка. Существует несколько определений точки1!).
Прежде всего отрицательные, против которых решительно вы-
ступают многие методисты. Таково евклидово определение; в
нём отмечается неделимость точки, так что совершенно одинако-
во определяется и точка и актуально-бесконечно малое недели-
мое в смысле Кеплера и Кавалъери; оба понятия сливаются.
Конечно, евклидово определение точки менее всего подходи-
ло к идеям того времени, когда практиковался метод неделимых.
Гораздо лучше с этими идеями ладило определение Герона12 *)
— точка то, что не имеет величины (по нашему протяжения).
Но героновское определение, как и другие отрицательные
определения, грешит тем, что под него подходит и много других
вещей, ничего общего не имеющих с точкой.
В средние века подчёркивалось, что точка есть место без
протяжения 10).
*) Aristotelis, Opera, ed. Didut. Analytica Posteriora. кп. 2.
стр. 3, 7. Topica, кн. 7, стр. 3.
8) Job. Broscius, Aristotelis et Euclidis defensio contra
Petrum Ramum, Amstelodami, 1640,— Meynard, Abrege et defi-
nitions des sciences principales et des pliisienrs de leurs termes,
Paris, 1694,
9) Weidlerus, Institutiones Mathetnallcae. Vltenbergae, 1751,'
Prologlum.
10) Leibniz, Opera, ed. Gerhardt, т. IV, стр. 452, Leitre 4
Tschlrnhausen.
]I) См. прим, 8.
12) См. прим. 6.
38j Mich. Psellus, Compendimn Mathemattcmn Leyden,
1647.—S a vllius, Lectiones mathe.naticae et opticae Ш, — fre-
К КНИ1Е 1
225
За положительное определение точки выставляется обычно
то, которым пользуется современный учебник, заставляющий
мыслить точку, согласно определению 3 Евклида (являющемуся
для Евклида по существу аксиомой), как границу линии. С мето-
дической точки зрения оно является лучшим.
Определение точки и линии как границы находим у Баль-
цера, Каталана, Рушэ-Комберусса, Бланшэ. Рейхенбенгер соби-
рает различные определения точки: 1) точка не имеет измерений,
2) не имеет ни длины, ни ширины, ни глубины, 3) единое и не-
делимое, наименьшее различимое.
В чисто схоластическом направлении идёт Патриций14 15),
пытающийся построить основы геометрии: точка для него не
только то, что не имеет частей, но ещё и то, что неделимо (ибо
части могут получаться и не процессом деления, который отно-
сится к континууму). Затем точка—пе количество, точка не
может быть больше и не может быть меньше (возрастающее им
мыслится независимо от делимости). Точка не сравнима. Она не
измерима. Она не занимает никакого пространства. К этим
свойствам он присоединяет ещё ряд других, причём всегда
отрицательных.
3. Линия. Евклидово второе определение в несколько не-
уклюжей форме выражает, чго линия есть протяжение одного
измерения. Интересно отмстить, что некоторые выставляют
характерным свойством линии пе её одномерность, а её дву-
сторонность в том смысле, что от всякой точки она протяги-
вается только в две стороны, а не в бесконечное множество
сторон, как поверхность.
Такое определение, конечно, относится только к бесконечно
продолженным линиям, а не к отрезкам, так как в случае огра-
ниченности на одном конце линия протягивается только в одну
сторону (полупрямая) или совсем не протягивается.
Обычно школьное определение линии как границы поверх-
ности иногда заменяется форономическим (в основе которого
лежит движение); линия есть то, что описывается движу-
щейся точкой.
4. Прямая. Выше было отмечено, что евклиювы определе-
нияli5/ носят описательный характер. Евклидов тип определений
сохраняется в учебниках в большей или меньшей мере во все
эпохи, и эти определения с методической точки зрения неиз-
бежны.
Всякое не только форономическое, но даже генетическое
определение использует то представление о геометрическом
объекте, которое ученик имеет, хотя и в смурой форме, до
senlus, Der mathem. Puukt. Zettschrlft der mathem. Uaterricht,
т. IV, стр. 350—354.
i4) Patricias, Scientla nova, XVI в.
1S) H. Mailer, Lehrbuch der Geometric, Leipzig, 1874.
15 Ееклий
226
КОММГНТАРИИ
начала изучения геометрии. И к этому представлению геометри-
ческий учебник должен приспособляться.
Нельзя отрицать, что некоторые форономическне приёмы
с методической точки зрения очень ценны, но форономическое
определение прямой как линии, не меняющей положения при
вращательном движении, с закреплёнными двумя концами совер-
шенно не годится. Это определение приписывается Платону;
оно приводится Проклом, затем Лейбницем. Определение пря-
мой единственностью направления лучше, ио для учебника наи-
более удобно то свойство, которое намечается самим Евкли-
дом lfi).
Следует уяснить себе, что Евклид (в определении 4) имеет
в вицу изпгнн^сть прямей, т. е. сохранение всех её свойств
в различных точках. Они здесь таковы же, как там. Совершенно
неправильно выставляют окружность как опроверигение евкли-
дова определения: Евклид имеет в виду все свойства прямой,
включая сюда и направление.
Но Ле1бшщ1Т) (видимо, неправильно толкуя определение
Евклида) имеет в виду гочоге.нность, т. е. то, что прямая
в целом имеет те же свойства, чго всякая её часть. В малом
опа то же, что в большом.
В середине XIX в. иногда приводилось определение Л. Берт-
рана 16 * 18 * 20), который тоже подчёркивает изогенность прямой; пря-
мая характеризуется тем, что разделяет плоскость на две части,
обладающие совершенно одинаковым свойством по отношению
к этой прямой. Следует отметить, что это свойство, хотя и
в несколько иной форме, выдвигалось Лейбницем.
Можно сомневаться в отнесении к описательным определе-
ниям лежандрова ЧМО) определения прямой как кратчайшего
16) К г a f t, Jnstltuflones Geometricae, Tubingen, 1788.—
Krause, Elemente der Geometric, Berlin, 1875.
Leibniz, Mathem. Scliriften, her. Gerhardt, Abt, 2, t. III.
Characterisiica Geometrica, стр. [31; In Enclidis крона, стр. 183.—
Z a c h a r i a s, Die Definition der geraden Linie nach Cornelius and
Mohrman. — С о г n e 1 i u s, Psychologie des Erfahrungs-Wisseii-
schaft. Leipzig, 1892 (определение Лейбница).
18) L. Bertrand, Developpement nouveau de la partie ele-
menlaire de Geomeirie, Geneve, 1778, Его же, Geometrie, [812.—
Delboeuf, Prolegointnes philos. de la Geometric i860. Revue
phllosopliiQiie, t. 36—39. — Laplace, Exposition du systeme du
monde, Paris, [824 (есть русский перевод).
1Э) Н. Cragsman, Ausdehnungslehre. Einleitung, 1844, Werke,
т. I, стр. 28.— Dixon, The foundations of Geometry, Cambridge,
1891. — Bettini, Sulla definizione della retta linea. Periodico di
Mathemalica, VlH, [893, стр. 49.
20) Legendre, Elements de G£om£trie. 1794, Есть русский
перевод 1837.
К КНИГЕ I
227
расстояния между двумя го ikjmh (оно выставлялось скорее как
аксиома Архимедом)2!),
Такое определение является чем-то вроде постулата, выдви-
гающего некоторые свойства, которые хотя, может быть, и оче-
видны, по в значительно меньшей степени, чем очевидны аксиомы.
Действительно, при лежаидровоч определении мы постулируем,
по в процессе сравнения длил бесконечного множества различ-
ных линий мы в конце концов приходим к некоторой линии,
длина которой окатывается наименьшей.
Следует отметить, что неясное определение Евклида ис-
толковывается различными лицами различно.
Я считаю близким к истине толкование Симона21 * 23 24 25), который
понимает mrai как страдательную форму от т'.&тди (кладу) и
разъясняет так, что прямая есть линия, равномерно данная своими
гичками, т. е. линия, на которой ни одна точка ие отличается
от другой (свойство изогенпости прямой).
Другие связывают то'; ст,р.и*л; (точками) с zzC-zai и переводят
так: прямая есть линия, равномерно расположенная относительно
своих точек. При этом «равномерность» одними истолковывается
в смысле определяемоегц прямой при помощи двух точек (что,
по моему мнению, неправильно, ибо тогда наряду с постулатом 1
оказалась бы совершенно лишняя аксиоматизированная его
форма, данная в виде определения).
Третьи понимают равномерность в том смысле, что па всем
протяжении прямой найдутся отрезки, равные данному33/. Эю
тоже я считаю маловероятным, потому что Евклид должен
же был заметить, что аналогичное свойство прнемше и окруж-
ности.
Эпрпквес21) защищает ту точку зрения, на которой стоит
Прокл35) в своём толковании. Он считает тс*; аг,|л-'С.<? определе-
нием к г; зсоо и переводит так: прямая есть линия, которая
одинаково расположена относительно своих точек. Это вполне
соответствует разъяснению Прокза, что прямая есть такая
линия, отрезок которой между .двумя ез точками совпадает
с расстоянием между ними.
21) А г hi hi ed е «. Werke Ubers. Nizze-Strasburg. 1824, стр, 43.
2-) Si in о ii, Euclidis sechs-planiinctrische Biicher, Leipzig, 1901.
23( Cm. Cornelius, прим. 17.
24) Энриквес, Вопросы элементарной геометрии, 1913.
Статья Амальди, О понятии прямой и плоскости.
25) Р г о с 11, Diadochi in pritnum Euclidis eleitieniontni librum
CommentariHm, bearb; Fricdlejn, Leipzig, 1873, Старое издание
Barocius'a, Padova, 1560. — О Прокле см, Cantor, Vorlesungen
iibc- Geschichte der Mathematik, т. I, стр. 463. — H a r t m a n n,
Des Proclus Diadochiis Philos. Anfangsgrilnde der Mathematik.
Philos. Abhandlungen, herausg. Rohn mid Natorp, 1 тетр. Giessen,
19o9.
15’
228
КОММЕНТАРИИ
Аналогично этому можно было бы сказать, что прямая есть
единственная линия, направление которой совпадает с направле-
нием относительного расположения двух её точек. Эта точка
зрения, при которой приоритет предоставляется направлению,
и прямая определяется как линия, во всех точках которой на-
правление одно п то же, приводится во многих учебниках, на-
чиная с Грассмана.
Оба эти толкования moivt быть приняты только в одной из
приведённых частных форм, так что термин «относительно»
остаётся совершенно неопределённым. Нужно сказать, что нигде
у Евклида не видно, чтобы понятия расстояния или направления
он считал бы первичными, предваряющими понятие прямой.
Очень часто понятие прямой вводится неявно при помощи по-
стулата (Каталан, Бальцер, Рушэ, Дюгамель, Безу, Боссю), и
тогда свойство, что она является кратчайшим расстоянием, уже
доказывается.
Во всех таких толкованиях чисто описательное евклидово
определение хотят сделать так или иначе логически действую-
щим, возвести его в ранг рабочей аксиомы.
Заканчивая разбор евклидовского определения прямой,
вполне уместно будет сопоставить и то, как вообще определя-
лось понятие линии.
По Гсроиу, линия есть то, что имеет измерение в одном
лишь направлении (определение 8), поверхность—в двух (опре-
деление 10), тело же есть то, что имеет три измерения (опреде-
ление 13).
Кривая Евклида и Лежандра—эсо линия-6), не являющаяся
ни прямой и ни ломаной. По Боссю и Безу, это траектория
движущейся точки, меняющей направление своего движения.
У Ламарля2*) кривая есть траектория, описываемая точкой,
скользящей по прямой, которая вращается вокруг своего конца)
это определение по существу равносильно выражению уравнения
кривой не в декартовых, но в полярных координатах.
Евклид определяет линию (мы теперь сказали бы—кривую)
как длину без ширины. В настоящее время мы выразили бы
это так: кривая представляет плоское множество без внутрен-
них точек. Другое свойство линии — это её связность, т. е.
возможность проведения через точки множества такой ломаной
линии, что все стороны последней меньше любого наперёд за-
данного отрезка. Г. Кантор считает все свойства кривой исчер-
панными в следующем определении25): * 27 28
ае) См. прим, 20, также I. М и 11 е г, Lehrbuch der Mathema-
tik, Halle, 1844.
27) Lamarle, Expose G6oin6irique du calc,id dtff. el int£yr.
Paris, 1861. b
28) Mangoldt, Die Begrlffe der Llnle mid FtSche. Encvclo-
pfidle der Maihemalisclien Wlssenschaften, t. III, стр. 130.
К КНИГЕ J
229
Кривая есть совершенное и связное множество без внут-
ренних точек.
В поисках обобщения иногда отходят от более естественного
геометрического определения кривой и определяют её аналити-
чески, Таково жордановекое определение кривой при помощи
параметрических уравнений
где f и А представляют непрерывные функции параметра t. Это
определение вполне отвечает форономическому определению
линии как траектории движущейся точки; параметр t в послед-
нем случае является временем.
Для жордановского29) определения существенно то, что
если рассматриваемая кривая замкнута и не 'имеет кратных точек,
то она делит плоскость на две части — внешнюю и внутрен-
нюю 30).
5. Поверхность. О поверхности приходится повторить всё
то, что сказано выше о липни. Хорошо всем известно школьное
определение поверхности как границы тела. Часто око заме-
няется форопомическим: поверхность есть то, что описывается
движущейся линией. При этом, однако, не замечают того, что
линия может описывать тоже линию, а не поверхность — это
в том случае, если она может двигаться по самой себе. Такова
прямая, двигающаяся по своему направлению, ити окружность,
вращающаяся около своего центра.
6. Плоскость. Евклидово описательное определение плос-
кости, основанное па цзогенности, не пользуется распростране-
нием. Также не пользуется распространением лейбницевское
определение плоскости, основанное на гомогенности и аналогич-
ное его определению прямой. Оно в значительной мере ослож-
няется вветенисм корректива: следует требовать подобия части
и всей плоскости, предполагая, что и часть и целое обнимаются
подобными линиями.
Л. Бертран* 3!) определяет плоскость K3i< поверхность, деля-
щую пространство на части, находящиеся к ней в одинаковом
отношении.
Обычное паше определение плоскости как такой поверхности,
с которой совмещается всякая прямая, имеющая с ней две об-
щие точки, должно быть отнесено к форономическим; оно
совершенно не евклидовского характера и более подходит
к определениям геометров до Евклида,
29) Jordan, Cours d‘Analyse, 2 £.d., т. I, Parfs, 1893. стр. 91.
31) H, Лузин, Теория функций вещественного перемен-
ного, Москва, 1940. — Osgood, Lehr'ouch der Functioncntheorte,
Leipzig. 1906, стр. 120—121.
3 j См. прим. 18.
23П
КОММЕНТАРИИ
Следует отметить генетическое определение плоскости как
поверхности, образуемой движением прямой, проходящей через
точку н пересекающей прямую.
Данное выше генетическое определение, выдвинутое Крел-
ле82), было вызвано замечанием Гаусса 33 * 35 * * * * * *) об обычном определе-
нии плоскости, которое Крелле приписывает Р. Симеону84), хотя
оно имеется уже у Герона#), Гаусс замечает, что это определе-
ние содержит в себе постулат (или теорему), что плоскость
получается проектированием прямой из какой-либо точки, ей нс
принадлежащей.
Крелле пытался, но не вполне удачно, доказать, что вид
получаемой поверхности не зависит от выбора точки и прямой
и что прямая, имеющая две точки на этой поверхности, цетиком
лежит на лей.
Форономнческое определение плоскости даётся Бальцером и
Уэлем. Дюгамель определяет плоскость как поверхность, описы-
ваемую прямой, вращающейся вокруг другой прямой (оси враще-
ния) и ей перпендикулярной. Отметим в заключение ещё доволь-
но искусственное определение, приводимое тоже Лейбницем и
используемое Лобачевским и Больяй: прямая есть геометри-
ческое место точек, равноотстоящих от двух заданных точек.
1. Угол. Герои8J) определяет угол несколько иначе, чем
Евклид: угол — это сжимание поверхности в точке, производи-
мое ломаной линией (определение 11). Плоский \ч ол — это сжа-
тие в точке (определение 12).
Евклидово определение угла3') как наклонения было наибо-
лее распространено в школе XIX в. Интересно, что параллельно
ему даётся w другое определение, которое, как чисто номи-
нальное, выдвигается уже и современной формально гипотети-
ческой геометрией, например у Гильберта33). Уюл здесь сво-
дится просто к паре прямых. Это определение даётся и другими
авторами только с целью «.выдержать снсгем\>, а именно, до
изучения фигуры, образованной т^емя прямыми, рассмотреть
фигуры, образованные сперва одной, затем двумя прямыми.
3-) С г е 1 1 е, Zur Theone der Ebene, Crelic’« Journal fiir Mathe-
matik, t. 45, 1845. — С г e 11 e, Lehrbuch der Element^ der Geo-
metrie, Berlin, 1847.
Si) Письмо к Бесселю от 27,VII 1827.
R. Sim son, Eudidis elenientonnn libri priores sex item
undechna et duodecima, Glasguae, 1755.
35) См. прим. 6.
86) Tannery, Quelques fragments d'Apollonius de Perge
(определение Герона). Bulletin des sciences mathem., 2 serie, 5, [881.
st) См. также Wernicke, Geometrie des Maasses, Braun-
schweig, 1874.
33) D. Hilbert, Grundlageu der Geometrie, Leipzig, 1899—
1930. Есть psccuaM nep. под ред, П. К. [Лшгсвского, 194&
К КНИГЕ 1
231
Там, где прямая определяется как линия одного направле-
ния, и угол определяется как различие направлений39). Это
определение впервые встречается у Арнета40) и Винтера «) и
усваивается многими учебниками.
У форономистов угол перестаёт быть евклидовым наклоне-
нием: он даже не мера вращения4-) (так как мера вращения —
число, а форономисты предпочитают оперировать образами) —
это просто отклонение направления при вращении.
Угол и угловое пространство. Бертран определяет
угол как неопределённую часть плоскости, ограниченную двумя
прямыми, пересекающимися в
одной точке. £ Е
Некоторые учебники рас- \ /
сматривают оба понятия — угол \А
в евклидовском смысле (Win- /\
kel) и угол в бертрановском / \
смысле" (Winkelraum — угловое / \
пространство) 43). / \
Бертран сравнивает углы и / \
угловые пространства: они мо- / \
гут быть больше и меньше. Бо- / \
лее того, он сравнивает их С'~.......... ~ — g------------D
с параллельными полосами.
Часть плоскости между парад- 1еРт' 1-
дельными потому меньше уг-
ла, что плоскость заполняется конечным числом углов, но бес-
конечным числом полос.
То, что внешний угол больше внутреннею, с ним не
смежного, т. е. что / ABD > / ЕСВ (черт. L), следует * 49
Зя) Величины отклонения: Wagner (1874), Fabiani
(1871).—Изменение направления.- S с h 1 б m 11 с h, Qeomeirie des
Maasses, 1874. M a r t ц s (1890), Milinowski (1881).
49) Arneth, System der Qeometrle, Stuttgart, 1840.
4!) Winter, Die Elements der ebenen Geometric, Leip-
zig, 1840. Также August (1852,Kunze (1857), Salomon
(1857). Fischer (1873), Fresenius (1853), Baltzer, Beck
и др.
4e) L. Bertrand (1812\ C r e 11 e (1826), Fraticoeur (1841),
S c h 1 e g e 1 (1872), S p i e c k e r, Focus Geometric, Baltzer Die
Elemente der Mathematik 1874. Polster (1877), Korner (1879),
Heger (1882), К о m me re 11 - F 1 n c k (1882), N о a c k (1890).—
Simon, Die Elemente der Qeometrle, Strassburg, £890, шо.хор-
Троцкий (1891).
,a) Евклидово определение у Sch weins (1808), Forstner
(1826), van Swlnden (1834) Becker (1859), Snell (1857),
Brockman (1871). К a m b 1 v (1884), Fischer (1877), Mart-
in a пи, И eJ я? e s (18^4/
232
КОММЕНТАРИИ
Черт. 2.
из того, что первый составлен из части EABD и угла ЕАР,
а второй из той же части EABD и конечного треугольни-
ка АСВ“).
Рёссель подчёркивает, что угол следует мыслить не как
часть плоскости, но как часть пучка. Угол в пучке лучей
аналогичен отрезку на прямой линии. Но Энриквес разли-
чает область угла как часть плоскости и угол как часть
пучка * *5).
8. Перпендикуляр. Евклид не имеет термина «смежный
угол:. Мы начинаем с определения смежного угла и определяем
прямой усол как равный своему смеж-
ному. Рамус415), стараясь всегда
раньше определить род, а затем пе-
рейти к виду (например, от общего
понятия перпендикулярности и парал-
лельности перейти к этим понятиям в
отношении к прямой), даёт такое оп
релеление перпендикулярности: «пря-
мые или вообще линии взаимно пер-
пендикулярны, если одна, падая на
другую, равномерно лежит между от-
резками другой».
Рамус не может определить пер-
пендикулярность с помощью смежных
углов, ибо согласно его плану общие
свойства линии следует излагать
раньше, чем свойства углов.
Как следует понимать слово: равномерно (aequaliter)? Ко-
нечно, не в смысле равенства смежных углов. Оно означает: по
одну сторону падающей кривой или прямой то же, что по дру-
гую (см. бертрановское определение прямой). Это безусловно
верно для каждой из двух пересекающихся перпендикулярных
прямых.
Но радиус круга и окружность удовлетворяют этому тре-
бованию лишь наполовину; пространства в смежных углах 1 и 3,
образованных окружностью с прямой, отличаются между собой,
но пространства / и 2, образованные прямой с окружностью,
одинаковы (черт. 2).
По Рамусу, радиус перпендикулярен к окружности, но не
обратно.
9. Развёрнутый угол. Многие учебники вводят понятие
развёрнутого угла, отвечающего сличаю, когда одна сторона
См. прим. 18.
4') Подробности см. Sc ho о ten. Die Planlmetrische Unter»
richt Leipzig, 1890.
*6) Petri Rami, Georaetriae librl 27. Baslleae, 1567. Scho
larmn matheiiidUcarum Hbri unus et triginta, Baslleae, 1569.
К КНИГУ. I
233

служит продолжением другой47). Прямой угол тогда опреде-
ляется как половина развёрнутого yi ла. Равенство прямых углов
есть тогда прямое следствие‘б-й аксиомы Евклида. Вывод пред-
ложения 13 о сумме смежных углов упрощается. Но развёрну-
тый угол может появиться только в том случае, если угол
мыслится как поворот', для Евклида же, у которого угол есть
наклонение, развёрнутый угол пе имеет смысла.
10. Тринадцатое определение. Является ли это определение
чисто номинальным? Сводится ли око к тому, что одно слово
«оконечность» заменяется другим «граница»? Я думаю, что это
не так: оно, как и определение 3 Евклида, утверждает, что то,
что ограничивает что-либо, вполне его определяя, является в нём
самым крайним.
Оконечность является родом, граница —видо.и. Лейбниц
определяет границу как обгний член, присущий двум, не имею-
щим общих частей объектам.
11. Фигура. Следует обратить внимание на то, чти Евклид
мыслит фигуру не как совокупность точек и прямых, как, на-
пример, понимаются в проективной геометрии треугольники.
Для Евклида треугольник вовсе не является совокупностью
трех прямых, пе пересекающихся в одной точке, а ограниченной
этими прямыми частью плоскости. Проективный треугольник
остаётся треугольником, если изъять внутри него всю или часть
плоскости; евклидов же треугольник перестаёт в этом случае
быть треугольником.
Очень далеко от Евклида логистическое определение фигуры
v итальянского геометра второй половины XIX в. Пиери. Для
него фигура есть класс точек. Две фигуры тождественны или
совпадают, если они построены из одних и тех же точек.
12. Круг и окружность. Круг для античной мысли имел
важное философское значение. По Аристотелю *3), лёгкие тела
прямолинейно двигаются вверх, тяжёлые вниз, к центру земли
(тяжёлыми элементами являются земля н вода, лёгкими — воздух
и огонь). Небесная же материя, из которой состоят планеты'и
звёзды, как совершенная должна двигаться по совершенной ли-
нии — окружности, Платон много говорит о круге и определяет
его так же, как Евклид (диалог Парменид, «Круглое есть то,
оконечности которого везде одинаково отстоят от середины»).
То, что Евклид очень много говорит о круге, объясняется
не только тем, что круг проще других кривых и легче под-
даётся исследованию, по и тем, что он более интересен.
Античная проблема о квадратуре круга «), т. е. о разыска-
нии квадрата, равновеликого кругу, совершенно обходится Евк-
4Т) См., иапр., Долгушин, Систематический курс геомет-
рии, СПБ, 1912.
*3) Ari st о teles, Opera, ed. Dldot (De Coelo).
4?) Рудио, О квадратуре круга, M. — Л„ 1934.
^34 кпммт-ятагни
лидом не только как еще не разрешённая, но н как не имеющая
отношения к основной цели, которую он себе ставит.
Комментатор Прокл50), который жил в эпоху упадка античной
математики, больше всего распространяется о круге; метафизи-
ческие понятия в его время приобретают уже магическое значе-
ние. Он много говорит о простоте прямой и круга и старается
опровергнуть мнение о большей сложности окружности в сравне-
нии с прямой. Даже его толкование евклидовского определения
прямой (прямая линия есть та, которая равна расстоянию между
её концами), выражающее совсем не то, что хотел сказать сам
Евклил, приводится, чтобы потучнть основу по существу для
магических выводов.
Комментаторы, начиная с Прокла, долго останавливаются на
круге. В то время как из земных тел тяжёлые падают к центру
земли, лёгкие же подымаются вверх, небесные тела уже по своей
природе двигаются по совершенным линиям — окружностям. Эта
мысль очень крепко засела в головах учёных и направила астроно-
мию по неверному пути. Вместо эллиптических орбит старались
заставить планеты двигаться по кругам (эпициклам), центры ко-
торых в свою очередь двигались по другим кругам (деферентам;;
так продолжалось вплоть до Кеплера, показавшего, что планеты
движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце.
13. Слова «которая называется окружностью» и «на окруж-
ность круга» Гейберг считает позднейшей вставкой, почему они
и поставлены в квадратные скобки. Правда, оци имеются в боль-
шинстве дошедших до нас рукописей, по их нет у античных
комментаторов, а также и в папирусе, найденном при раскопках
Геркуланума и содержащем отрывок из евклидовых «Начал».
По сути дела они излишни, так как греческий термин TUfifipsix
(наше «периферия»), означающий у Евклида как всю окружность,
так и её часть — лугу, в обиходном языке значит просто «об-
вод». Необходимость дать перевод, который читался бы как
с этими словами, так и после их вскиочения, объясняет не-
сколько тяжёлую конструкцию фразы.
14. Центр. Слово то хг/дроу обозначает копощес орудие,
которым в древности подгоняли животных в упряжке (старое
русское слово «рожон»), В нашем случае речь идёт об острие
ножки циркуля, закреплявшейся при вычерчивании крхга. Этим
термином пользовался ещё автор первых «Элементов» Гиппо-
Й>аг. Латинский термин centrum возникает не сразу. У Марцнана
анеллы (5 в. н. э.) ещё говорится «piinctum circuit» (точка Круга)
и «media nota circuit» (средняя метка круга).
15. Класс линий. Деление линий на s-Stkicu (прямые), кершрг'?
(круговые) и (смешанные), по Проклу, следует относить
к Платону и Аристотелю. Кривые линии греки делили ещё на
«)ixssL&iii; (винтовые, или спиральные — вообще кривые, полу-
i,J) См. прим. 25. • • . .
К КНИГЕ I
235
паемые движением точки) и -/а|1т:б).а’ (изогнутые — кривые, полу-
чаемые в результате сечения кривой поверхности — например,
конические сечения). *
16. Род н вид фигур. Для пас параллелограмм — это род,
прямоугольник — вид, другой вид — ромб. Прямоугольник — это
параллелограмм с прямыми углами, квадрат — это прямоуголь-
ный ромб. По Евклиду, ромбоид (параллелограмм) считается
таковым только при условии, что он не равносторонний и не
прямоугольный, т. е. не ромб и не прямоугольник. Впрочем,
подведение прямоугольника под параллелограмм, а в особенности
квадрата под ромб, вовсе не является совершенно бесспорным
с методической точки зрения приёмом, и школьная практика
совершенно определённо указывает па большие затруднения нрц
проведении другою деления, чем у Евклида.
Следует отметить, что под трапецией Евклид разумеет не
то, что мы, а чегыреугольник, не подходящий ни под одно из
четырёх вышеприведенных определений.
Но как это пи странно, Евклид в стереометрических книгах
в противоречие со своими определениями говорит о прямо-
угольнике как о прямоугольном параллелограмме и о ромбе как
о равностороннем параллелограмме.
Рамус, исправляя Евклида, заменяет евклидову схему ’ip
Род: Четы реугольпая фигура
i---------------------1----------------------------1
Виды: Квадрат, пр'ямоуюльпик, ромб, параллелограмм, трапеция
другой, в которой выдержано дихотомическое деление:
Четыреуголышк
Параллелограмм Трапеция
Косоугольный Прямоугольный
ромб Ромбоид Квадрат Oblongus
У него ромбоид нечто отличное от параллелограмма и
прямоугольника; но, как у нас, прямоугольник не противопола-
। дегся параллелограмму, а мыслится как вид параллелограмма.
Он создаёт особый термин oblongus (продолговатый) для прямо-
угольника— не квадрата, евклидовского F-г=рор.гхс<;. ,
fil) Ramus, Geometrid. Baqkae, Ь>ь9.- Ch. Wolff, Ele-
ments Mathcscos, 1/32, i. i, $ 76.
236
КОММЕНТАРИЯ
17. Параллельные прямые. Недостаток евклидова опреде-
ления параллельных состоит в том, что такое определение не
может быть Проверено', оно заключает некоторый признак,
в отсутствии которого мы можем убедиться только без конца
продолжаемым процессом. Это определение совершенно не со-
ответствует настроению античного ума, отвергавшего бесконеч-
ное, Представляется вероятным, что искать доказательство 5-го
постулата древних заставляла вовсе не недостаточная очевид-
ность этой аксиомы, а только её неприемлемая в то время форма.
Определению параллельных вполне соответствует и евклидов
постулат параллетыюсти. И в этом случае возможно, что прямые
встретятся на таком большом от пас расстоянии, что мы не будем
в состоянии это установить.
Все эти дефекты отпали бы, если бы мы определили парал-
лельные как две равноотстоящие друг от друга прямые и, кроме
того, добавили бы положение, что при этом получаемые в пере-
сечении с третьей прямой соответственные углы равны. Такое
определение параллельных предлагалось в древности Посидонием,
затем горячо защищалось Рамусом и Схоутеном и в послед-
ствии проводилось в некоторых учебниках.
Введение такого определения, конечно, должно быть оправ-
дано, иными словами, должно быть доказано, что геометрическое
место точек, расстояния которых до данной прямой равны, тоже
будет представлять некоторую прямую. В неевклидовой геомет-
рии такое положение, как известно, уже не будет справедливым.
Определение параллельных прямых как равноотстоящих
затемняет аксиоматическую конструкцию геометрии, ибо требует
введения в качестве аксиомы положения, которое не только не
очевидно, но в неевклидовых геометриях и неверно. Поэтому, в то
время как в других местах выявляются аксиомы более высокой
степени очевидности, эту «аксиому» приходится затушёвывать
и обходить молчанием. Затем, если бы мы всё-таки попытались
явно формулировать эту аксиому, то при дальнейшей разработке
встретились бы с ряаом серьёзных затруднений. Вводя понятие
о расстоянии между параллельными, мы должны были бы пред-
положить аксиому, что прямая, перпендикулярная к одной из
параллельных, будет перпендикулярна и к друюй, или какую-
нибудь другую, ей эквивалентную.
Таким образом, до теоремы'о параллельных можно говорить
лишь о расстоянии точек прямой Г до прямой I, опуская из них
перпендикуляры иа I.
Но тогда параллельность будет односторонняя: если I’ Ц I, то
остаётся открытым, будет ли Л /?
Несмотря на свои недостатки, евклидово определение парал-
лельных остаётся всё-таки лучшим. Если определять параллель-
ные как прямые, образующие равные углы с определённой транс-
См. также Lambert, Brimwechsel, т. }, dp. 24.
К КНИГЕ г
237
версалью, то приходится доказывать, что то же свойство имеет
место и для других трансверсалей.
До доказательства этого положения определение заключает
элемент произвола; остаётся невыясненным, как следует выбирать
эту одну определённую трансверсаль. Правда, можно в качестве
этой трансверсали брать перпендикуляр и определить параллель-
ные как перпендикулярные к одной прямой; но в этой форме
признак, выдвигаемый в определении, является наименее харак-
терным. На неевклидовой плоскости такие прямые являются
сверхпараллельны.ии', они расходятся в обе стороны от общего
перпендикуляра.
В некоторых учебниках параллельные определяются как пря-
мые одного направления™). Конечно, существует доматемати-
ческое понятие о направлении, но оно не может быть математи-
зировано и вложено в аппарат логической геометрии.
Такая перетасовка, т. е. возведение направления в первично--
понятие, а параллелизма в производное, выходит совершенно
из рамок интуитивно-логической геометрии Евклида.
18. Постулаты. Евклид не задавался целью вывести все своп
поюжепня сь.ллогистически из немногих высказанных им опре-
делений, постулатов и аксиом. Его целью было лишь убедить
читателя в определённых истинах, и он вовсе не считал един-
ственным способом убеждения формально логический вывод поло-
жений из признанных читателем в начале изложения истин, но
считал, что убедить можно специальной операцией, вызывая в
уме образ с непосредственно очевидным свойством.
Очевидность только рационалистами XVH в. вполне опреде-
лённо признана за критерий истинности положений, в аристо-
телевской же логике она не играет этой роли.
За правильность предпосылок, с которых начинается цеш,
доказательств, говорит только их общепризнанность, вследствие
чего аксиомы и называются xciva! vw.a.-. (общие понятия).
Доказательства Евклида вполне отвечают схеме, выработан-
ной софистикой Ц. Вначале софист приводит противника к
признанию некоторых положений, отнюдь не апеллируя к очевид-
ности, ибо противник мог бы поднять вопрос об относитель-
ности понятия очевидности и пршнать для себя не очевидным
* о, что для противника вполне очевидно.
Более сильным фактором яваяегся общепризнанность пони-
жений, приводящая к тому, что oiрицающий их противник рис-
кует попасть в смешное нотожепие.
и) Kosack (1857), Gernerh (1353), Polster (1878) —
прямые равного направления. —S с 111 е g е I, Systematische Rami.-
lebre, Leipzig, 1872 — прямые равного положения.
О софистах см. диалог «Протагор» Платона Гиляров,
Греческие софисты, Москва, 1870.—Яг од и нс кий, Протагор,
Казань, а также любой курс истории 1реческой философии.
238
КОММГНТЛРИИ
Этим и объясняется ю, иго аксиомы стягивались к самому
началу сочинения, а не вводились по мере надобности при
дальнейшем развитии излагаемых теорий.
Но что такое постулаты, выставченные Евклидом рядом с
аксиомами?
Неправильно было бы относить к аксиомам только очевиi-
ные положения общего характера (например, касающиеся общих
свойств величин, как аксиомы 1, 2 и др.), а постулаты отожде-
ствить только со специально геометрическими положениями.
Действительно, хотя аксиома о параллельных фигурирует у
Гейберга как постулат 5, но аксиома 7, говорящая о равенст-
ве налагающихся фигур, носит определённо i еометрический ха-
рактер.
Далее, геиоерговская классификация аксиом и постулатов не
может всё-таки быть общепризнанной. Ведь установил же Пей-
рард другую классификацию, пользуясь, невидимому, в основном
темя же источниками, которые были известны и Гейбергу. По
крайней мере по моему глубочайшему убеждению, аксиома о
параллельных определённо была ранее аксиомой, а не постулатом,
как опа фигурирует в издании Гейберга.
Только отказавшись от проектирования в прошлое современ-
ных формально логических понятий, мы будем в состоянии
понять, что представляли для самого Евклида постулаты.
Евклид вовсе не приписывал идеального существования
геометрическим объектам, как это делал Платон. При дока-
зательстве какой-нибудь теоремы производилось построение нуж-
ной геометрической фигуры, которая, таким образом, и вызыва-
лась к существованию. Возможность существования прямой, круга
и т. д.' обусловливалась признанием возможности производя-
щего их акта, мы сказали бы — построения.
Более того, признание возможности этою акта вынуждало
к признанию некоторых истин; так, признавая согласно посту-
лату 3 возможность описывания кругов, мы тем самым приходили
к признанию необходимости пересечения кругов, проходящих
через центры друг друга.
Гемин даёт объяснение, вполне согласное с предлагаемым:
«постулат, — говорит он, — представляет требование найти и сде-
лать то, что достигается просто и непосредственно, в чём ум не
затрудняется ни в понимании, ни в построении?.
Прокл, говоря о различии теорем и проблем и отмечая, что
целью первых является познать, а целью вторых — сделать,
приводит в соответствие с первыми аксиомы, а со вторыми — по-
стулаты, определяя последние близко к Гемину.
Гоббс55) вполне ясно выражает ту же мысль. По его мнению,
то, что называется постулатом, — это основа не доказательств,
а построений, не знания, а возможности существования.
C5j Hobbes, Opera, London, 1339, De corpora. VI, $ 13, стр.22.
К КНИГЕ I
239
Правда, в XVII в. постулаты эволюционировали в аксиомы:
они сделались просто менее очевидными аксиомами, причём
и в настоящее время многие держатся этой точки зрения, совер-
шенно неправильно толкуя Аристотеля. В учебниках XVII в.
можно также встретить определение постулатов как не вполне
очевидных, но не нуждающихся в подтверждении истин, осно-
ванных на соглашении.
У Арнопостулаты совершенно определённо становятся
аксиомами. Изложив ряд аксиом о вслич.шах вообще, он пере-
ходит к видам величин; после аксиомы о том, что прямая —
кратчайшее расстояние между двумя точками, он приводит уже
как аксиомы три евклидовых постулата; после них идут аксиомы
о том, что прямые, имеющие общий отрезок, совпадают, что две
прямые могут пересекаться лишь в одной точке, что две сбли-
жающиеся прямые, продолженные в одну сторону, пересекаются.
В учебниках XV1II в. большей частью аксиомы, следуя
Евклиду, отделяются от постулатов. Аксиомы — эго те предло-
жения, истинность которых настолько очевидна, что они всякому
мыслящему уму тотчас выявляются, вследствие чего никем пе
могут отрицаться и поэтому не нуждаются в доказательстве.
В этом определении непосредственность выявления выставляется
как признак аксиомы, по при развитии геометрии аксиомы
высокой степени очевидности выплывают только постепенно;
можно даже сказать, чго чем более очевидной являлась аксиома,
тем позднее она включалась в систему геометрии. Кроме того,
характерным свойством аксиомы считалась её недоказуемость.
Что же касается постулатов, то они содержат то, что должно
быть сделано ипи принято для того, чтобы какая-нибудь теорема
могла быть выведена. Таким образом, в разряд постулатов попа-
дают и не вполне очевидные положения, истинность которых
только принимается,
В школьном Евклиде Тодгентер57) даёт такое определение
евклидовых постулатов:
«Постулаты устанавливают, что принимаемая нами операция
даёт результат, например, что мы можем провести прямую между
двумя точками, продолжить ее, описать круг данным радиусом*.
В евклидовой системе недостаёт положения взаимного пер-
вому: две прямые пересекаются только в одной точке, В геомет-
рии Гильберта это положение доказывается, а у Евклида даже
не выставляется как аксиома, а просто остаётся скрытым под
порогом сознания положением, которым Евклид, сам того не
замечая, пользуется.
Указанный выше сдвиг в понимании постулатов резко выяв-
ляется в «Характеристике* Лейбница. Его комментарии и
Ч Агп a Hid, Nouveaax elements de Geometrie, Paris, 16S7.
°') Todhunter, Euclid for the use of schoolls and col-
leges, 1869.
240
КОММЕНТАРИИ
дополнения к системе постулатов Евклида ясно обнаруживают
сдвиг последних в сторону аксиом.
Первый постулат о возможности проведения прямой между
двумя точками уже не является требованием возможности по-
строения’, он просто утверждает, что построенная таким образом
прямая является единственным геометрическим местом уже
существовавших точек, обладающих определённым свойством,
X. Вольф уже совершенно открыто обращает первый посту-
лат в аксиому: между двумя точками проходит только одна
прямая.
То же следует сказать п о втором евклидовом постулате, утвер-
ждающем возможность продолжения прямой. По Вольфу, этот
постулат тотчас же вытекает из определения прямой как линии,
часть которой подобна целому, ибо если часть продолженная
образует целое, то и целое продолжением может дать большее
(т. е. новый отрезок).
Особое место среди постулатов занимают 4 и 5. Мне пред-
став тяются неубедительными объяснения Ней гена правильности
отнесения их к постулатам, а не к аксиомам. Ему приходится
отказаться от определения постулатов как требований возмож-
ности построений, из которых, ио Евклиду, вытекает существо-
вание фигур, получившихся в результате этих построений. Вместо
этого он определяет постулаты как утверждения существования
того, что желательно допустить без всякого доказательства и
проверки. Таким образом, забыв то, что он сам раньше говорил,
и не обращая внимания на форму первых трёх единственно
совершенно бесспорных постулатов, Цейтен уклоняется в сторону
нсевдоаристотелсва понимания постулатов' как истиц меньшей
степени очевидности. Цейтен подчеркивает экзистенциальный
характер постулатов, которые, таким образом, утверждают не
наличие некоторых свойств у объектов, а существование самих
этих объектов, причём существование эго понимается уже не
в евклидовом смысле5S,5П).
В постулате 4 Цейтен видит утверждение существования
и, кроме того, единственности существующего объекта, в го
время как сама форма выражения ясно говорит об общем свой-
стве всех прямых углов — их равенстве. В постулате 5 он усма-
тривает утверждение о существовании пересекающихся прямых.
То обстоятельство, что' в постулатах 1 н 2 нет указания на
единственность возможного построения, он считает их определен-
ным дефектом. Однако дефект этот полностью пропадает, если
понимать постулаты исключительно лишь в смысле утверждения
возможности описываемого построения. Не говорят ли эти тщет-
58) Z е u t li е я, Ош Konstruktton? Existensbevis in den Grfle-
ske Mathematik, Nyt Tidskrtft for Matheinatik. — Цейтен.
История математики в древности и в средние века, М. —Л., 1932,
69) Hint о п, Euclide et constructions, ScienLia 30, 1926.
К КНИГЕ J
241
иые попытки оправдания подобного разделения постулатов н
аксиом за то, что такое разделение является позднейшим оши-
бочным исправлением того, что находилось в тексте самого
Евклида или в более ранних его копиях.
В заключение должно отметить, что постулаты ограничива-
ются употреблением линейки и циркуля. Линейка предполагается
не градуированной, исключающей возможность числового изме-
рения расстояний. G циркулем невозможны другие операции,
кроме описания окружности из данной точки радиусом, равным
данному раствору, который во время операции предполагается
пензмеипым. При таком понимании геометрия перестаёт быть
чисто логической дисциплиной: линейка и циркуль с дозволен-
ными операциями служат для убеждения так же, как и силлогизм.
19. Предки аксиом сочетания. Лежандр доказывает, что две
прямые, имеющие две общие точки, совпадают па всем своём
протяжении. По Мацсноцу, его доказательство представляет лож-
ный круг, так как без этого положения нельзя установить поня-
тия смежного п прямого угла. Каталан. Руше и др. выбрасывают
эту теорему из «элементов» Лежандрасс').
Из евклидовых постулатов развились позднее аксиомы соче-
тания Гильберта 6>).
Плоскостными аксиомами сочетания являются следующие:
Ц. Две различные точки А и В всегда определяют прямую а.
12. Любые две различные точки прямой определяют эту
прямую.
П. На прямой всегда существуют по меньшей мере две точки.
Аксиомы, отвечающие 1 и 2 евклидовым постулатам, получают-
ся. разбивая Ц на две части: «точки А и В определяют отрезок АВ»
и «А, В определяют продолжение отрезка».
По Гильберту, существует бесконечная прямая, к ней и отно-
сится аксиома Г1( по Евклиду, её нет. Всякая прямая является
конечной, по она может быть продолжена.
Постулат 1 говорит об операции, дающей объект целиком.
Постулат 2 говорит о процессе, дающем потенциальную беско-
нечность.
20. В тексте Евклида стоит (от корней $’a-urtr,ui
рас-ставляю). Этот термин вполне возможно было бы перевести
словом «расстояние», если бы последнее не включало в себя
определённый метрический оттенок. Евклидово Siae-crр.а есть отре-
зок, начинающийся в данном центре, но никоим образом не чис-
ловая мера этого отрезка, прочно связанная с нашим термином
«расстояние».
Точно так же было бы ошибочным переводить его словом
«радиус», поскольку, как видно пз дальнейшего (предложение 2),
в пего вкладывается более узкий смысл.
GOj См. прим. 20.
61) См. прим. 38.
16 Евклид
242
КОММЕНТАРИИ
21. Постулат 3. Этот постулат для своего правильного пони-
мания требует нескольких разъяснений, Дозволенные у Евклида
операции с циркулем несколько отличаются от современных.
Постулат 3 разрешает описывать окружность из точки А радиу-
сом, равным заданному отрезку АВ, начинающемуся в точке А.
Это объясняется тем, что циркуль замшил собой верёвку, с
помощью которой описывается окружность радиусом, равным
всей верёвке или только её частя.
Перенос отрезков циркулем является операцией недозволен-
ной, как это видно из анализа первых трёх предложений книги 1
«Начал».
22. Равенство прямых углов. Это положение в настоящее
время во всех учебниках доказывается.
Кажется. Вольф62 63) первый начал доказывать это положение.
Следует отметить, что доказательство Лежандра зависит от аксиом
непрерывности, так как он мыслит, что углы образуют систему
непрерывных величин, между тем Гильберт даёт доказательство,
не зависящее от аксиом непрерывности.
23. Эквиваленты аксиомы о параллельных; Ещё в антич-
ное время делались попытки доказать эту аксиому, пользуясь
(большей частью скрытыми) более очевидными положениями - -
аксиомами.
Можно привести ряд положений, использованных при этих
доказательствах: обычно они являются эквивалентными аксиоме
Евклида, т. е, вводимое положение может быть выведено при
помощи других аксиом из евклидовой, и обратно, евклидова
аксиома может быть выведена при помощи других аксиом из
вводимого положения.
Эти аксиомы весьма различны.
На пгрэом месте следует поставить аксиомы, выража-
емые вполне точными математическими понятиями и обладаю-
щие степенью очевидности более высокой, чем евклидова ак-
сиома.
Такова аксиома Лоренца сз).
1) Всякая прямая, проходящая через точку внутри угла,
пересекает по крайней мере одну его сторону.
Лежандр берёт частный случай аксиомы Евклида:
2) Наклонная и перпендикуляр при своём продолжении пере-
секаются.
Обычно берётся аксиома, эквивалентность которой евклидо-
вой была отмечена ещё Проклом:
3) Через данную точку можно провести только одну прямую,
параллельную данной.
62) Ch. Wollin s, Compendium elementaris Matheseos, Vene-
tiis, 1713,
63) Lorenz, Grundriss der reinen und angewandten Mathe-
matik. Helmstadt, 1791—1792, стр. 102.
ВТ КНИГЕ 1
243
Она является единственной в гильбертовой группе аксиом
параллелизма.Следует отметить, что положение о возможности про-
ведения через взятую точку прямой, параллельной данной, может
быть выведено из других евклидовых аксиом, если только не при-
бавлять слова «одну». Больше того, можно постулировать, что из
какой-нибудь точки /Ио, параллельно какой-либо прямой P^Qq,
можно провести только одну прямую, параллельную данной, и пос-
ле этого можно доказать, что положение это будет верно для
всякой точки М н всякой прямой PQ.
4) В качестве эквивалента евклидовой аксиомы можно взять,
следуя Остроградскомуе4), свойство транзитивности паралле-
лизма: если I параллельна /' и Г параллельна р, то и I парал-
лельна I".
Сюда же, пожалуй (поскольку она обладает меньшей сте-
пенью очевидности, чем вышеупомянутые), можно отнести аксио-
му Вольфганга Больяй* 65 * *):
5) Через всякие три точки, ие лежащие на одной прямой,
можно провести окружность.
Бесспорно, высокой степенью очевидности обладает аксио-
ма Плейфэра 6G), которой пользуется Лежандр: две пересекаю-
щиеся прямые АР и AQ не могут быть отделены прямой
MN, т. е. не существует прямой MN, ие пересекающей ни АР,
ни AQ.
1 1а втором месте будут стоять положения, которые кажутся
убедительными, если пе стараться раскрывать точного смысла
содержащихся в них выражений; если же истолковывать последние
математически, то высказанные положения изменяют свой смысл,
вследствие чего очевидность их понижается.
Такова аксиома:
6) Параллельные прямые равно отстоят друг от дру! ав7).
Расстояние между прямыми не есть вполне ясное понятие.
Если мы хотим подойти математически точно к его определению,
то должны доказать, что понятие расстояния между прямыми
есть понятие взаимное, т. е. что расстояние первой прямой от вто-
рой будет то же самое, что и расстояние второй прямой от пер-
вой. Для определения расстояний точек первой прямой от вто-
рой мы опускаем из этих точек перпендикуляры на вторую
прямую. Нам следует доказать, что результаты будут одинаковы,
будем ли мы опускать перпендикуляры из точек первой прямой
на вторую или, наоборот, из точек второй прямой иа первую.
В результате математической формулировки этого понятия мы
должны притти к наличию общего перпендикуляра для обеих
°) О с т р о г р а д с к и й, Руководство к геометрии для воеи-
ны учебных заведений, СПБ, 1855.
•"') См. Б оно л а, Неэвклидова геометрия, СПБ, 1910.
6S) Playfair, Elements of Geometry, стр 364.
IJ) C h. С1 a v i i, Euclfdis elementorum librl XV, Roma, 1574.
L£*
244
КОММЕНТАРИИ
прямых, что возможно только при справедливости евклидовой
или какой-нибудь нз эквивалентных ей аксиом о параллельности.
Такова же аксиома, которой скрытно пользуется Прокл:
7) Расстояние между параллельными не может быть меньше
некоторого предела.
И в этом случае к понятию расстояния между параллель-
ными можно подойти только через понятие о расстоянии их то-
чек, которое отсчитывается по перпендикуляру к одной из пря-
мых (чего, между прочим, у Прокла пет — понятие о расстоянии
так и остается невыясненным до конца).
Такова же аксиома и Томаса Симпсона68):
8) Если две точки какой-либо прямой не одинаково отстоят
от другой прямой, лежащей в одной с ней плоскости, то эти
две прямые при бесконечном продолжении пересекаются в той
стороне, где расстояние меньше.
И, наконец, аксиома Роберта Симеона69 * 71 72), сводящаяся к опи-
санию поведения одной прямой относительно другой:
9) Невозможно, чтобы какая-либо прямая сперва приближа-
лась бы к другой, а затем удалялась, чтобы затем снова
ближе подойти. Прямая всегда должна сохранять своё напра-
вление.
На третьем месте следует поставить аксиомы, в которых
пользуются понятиями, по поддающимися полной математизации
и содержащими в большей или меньшей степени интуитивные
элементы. Сюда, например, относятся все аксиомы, говорящие
о направлении <s).
10) Аксиома Валлиса Ч) постулирует возможность построе-
ния на данной прямой треугольника, подобного данному.
Это положение получает убедительность, если только при-
знать гомогенность пространства, иными словами, ввести общую
аксиому, не поддающуюся математизированию: пространство в
малом является тем же, чем и в большом.
11) Совершенно такого же рода и аксиома Ламберта о невоз-
можности абсолютной меры длины.
24. Генезис евклидовых аксиом. Чрезвычайно интересным
является вопрос о происхождении аксиом евклидовых Начал.
Высказываются три различных мнения:
1) Одни приписывают Евклиду’ все постулаты и аксиомы,
кроме тех, которые Гейберг?2) исключил в своём издании, при-
знав их включёнными позднейшими авторами.
2) Другие оставляют за Евклидом все признаваемые Гейбер-
гом постулаты, по исключают аксиомы. При этом они включают
Gq) Thomas Siuip so и, Elements of Geotncbv, т. I, стр. 14,
fi!>) См. прим. 34.
J°) T h t b a u t, Grundriss der rejnen Mathematik, Gottingen, 1827.
71) Wallisif, Opera, t. II, Oxoniae. De postulate qulnto.
72) Heiberg, Litteratnrgeschichtliche Stiidien uber Euklid.
К КНИГЕ I
245
в число постулатов четвёртый и пятый, исключая их из числа
аксиом.
3) Третьи отрицают принадлежность Евклиду ди\х послед-
них постулатов и всех аксиом, т. е. оставляют только посту-
латы 1, 2 и 3.
Такнери"3) защищает последнее мление, приводя в пользу
его ряд аргументов, причём его рассуждение наводит на ряд
очень интересных мыслей, относящихся к геометрии доевклндова
периода.
Он обращается к Аристотелю к не находит у пего, как
и у других философов, термина zciyai iwo-.ai (notiones communes).
Аристотелем употребляется термин «аксиома>, ио только не
в современном смысле. Следует отметить, что к основным недо-
казуемым положениям Аристотель предъявляет требование нс
столько очевидности, сколько общепризнанности. При этом за
положениями, называемыми аксиомами, невидимому, ещё нс при-
знаётся основным признаком их недоказуемость, которая выстав-
ляется Паскалем и др. в качестве характерного свойства аксиом
наряду с их очевидностью. Очевидность как признак истинности
аксиомы вполне определённо выставляется Декартом, а за ним
другими рационалистами. У Аристотеля же d;iw|ia —положение,
не нуждающееся в доказательстве и лежащее в основе локаза-
1ельства. Об очевидности он не говорит (см. Метафизика, кн. 4,
гл, 13; Физика, кп. 8, гл. 3).
По моему мнению, не так далеко отстоят от Аристотеля и
стоики, допускающие в качестве аксиом как верные, так и не-
верные положения, но с признаками общности и фундаменталь-
ности, из которых выводятся следствия, быть может даже унич-
тожающие эти положения.
Совершенно прав Таниери, утверждая, что до Евклида не
было жёсткого разграничения определений от аксиом. Так как
вся наука в аристотелевском смысле сводилась к разысканию
определений, то общие основные положения, т. е, аксиомы, должны
были сперва явиться тоже как определения. Само слово —
понятие, слово, появляющееся лишь ко времени Аристотеля, ука-
зывает на то, что смешение аксиом и определений продолжается
и после Евклида. Даже у Архимеда в книге <0 сфере и цилиндре^
аксиомы по существу — определения, а леммы являются постула-
тами.
Особенно убедительное место Таниери приводит из сочине-
ния Автолика <0 движущейся сфере*. Последний в качестве пер-
вого определения даёт то самое определение равномерности дви-
Tannery, Sur i’autiietiticie des axiomes d'Euclidc, Bulletin
des sc. math, de Darboux, 1838, t. 8, стр, 152.
u) Взгляды Аристотеля иа математику Gotland Arlstote-
les und Mathematik, Marburg, 1899,—Michaud, Arlstotcles et les
inathematiques, Archiv der Philosophic, t, 16, 1913.
246
КОММЕНТАРИИ
жения, которым мы пользуемся и в настоящее время. Но в качестве
второго он даёт такое положение, которое в настоящее время
уже никто не назовёт определением:
«Если точка, двигающаяся по прямой, пробегает равномерно
две линии, то отношение между временами, в которые она их
пробегает, таково же, как и отношение между этими двумя ли-
ниями?.
Аристотель различает в юометрии следующие элементы:
1) То, что полагается как определённым образом существую-
щее,— в геометрии, — это точки и линии.
Под этим разумеются определения, говорящие о том, как
существуют определяемые вещи. Они по существу сливаются
с аксиомами, никоим образом не являясь номинальными опреде-
лениями.
2) Общепризнанные истины, с которых начинается доказа-
тельство.
3) Свойства гаЦ) — элементы, поясняемые на первом месте,
смысл которых поясняется определениями. Конечно, приведённые
слова Аристотеля не могут считаться вполне ясными; повиди-
мому, он подразумевает здесь доказуемые положения.
Интересно, что в этой связи Аристотель говорит, что неко-
торые науки обходят молчанием некоторые из этих элементов
вследствие их очевидности; так, в число «общепризнанных поло-
жений» пе включают тою, что «вычитая из равных равные, по-
лучаем равные же», поскольку это познаётся непосредственно.
Я не решаюсь делать отсюда, как Таннери, вывод, что древ-
ние не имели обыкновения ставить аксиомы в начале изложения;
я только заключаю отсюда, что они позволяли себе выставлять
не все употреблявшиеся ими положения, но только те, про кото-
рые можно было сказать, что они должны быть признаваемыми,
но могли и не признаваться при софистическом настроении того
времени.
Что ряд аксиом был введён позднейшими авторами, в этом
ire может быть сомнения. Среди этих аксиом можно различать
две категории. Одни дают более полное воспроизведение евкли-
дова положения; в этом случае исправляющий, или. лучше ска-
зать, пополняющий Евклида, мало думал о сущности вводимой
нм аксиомы. Ко второй категории относятся аксиомы, над кото-
рыми думали, по думали плохо. В качестве примера таких Тан-
пери приводит аксиому 8 — «целое больше части», — которая,
как он думает, не принадлежит Евклиду. Действительно, послед-
ний употребляет вовсе не эту аксиому, а другую, когда говорит
(в предложении 6 книги I и др.): «меньшее равно большему,
что нелепо». Этой аксиомы не знает Герои, во она находится
у Прокла 75). ч
ч3) Mansion, Sur les postulats et axioines d’Euclide, Aunales
de J a Soc. de Bntxeltes, 14, 1889.
h КНИГЕ 1
247
25. Арифметические аксиомы. Первые шесть аксиом —
родоначальницы системы арифметических аксиом.
В течение времени эта группа подвергалась наибольшим из-
менениям; она то сокращалась, когда замечали логическую зави-
симость одних от других, то, наоборот, пополнялась.
Систему, которая извлекается непосредственно из первых
шести евклидовых аксиом и выражается формулами
1) если то а — Ь,
2) | если а~Ъ т а±с^Ь±Л:
к с — а.
5) если а = Ь, то 2й ‘21’,
интересно сравнить с гильбертовой *4-
Аксиомы сочетания постулируются существованием опреде-
лённого
1) с, такого, что а-{-Ь---с или с--а \-Ь,
2) решения а 4- х _ - b н у -\-a~b,
3) нуля, такого, что n-j-0=zar. 0 4-й—а,
4) с, такого, что ab-—c и c--ab,
о) решения ax-zb it ya = b,
б) единицы, такой, что а-1 — а к |-/г = н.
Правила счета:
7) а 4- (& 4~ с)Iя 4- т"с’
8) а-\-Ь — Ь 4* <?,
9) а(Ьс} — (аЬ)с,
10) а (Ь 4- с) ab 4- ас,
11) (а 4- с = ас f- be,
12) ab — ba.
Предложения порядка:
13) если a,b различны, то или а > b и.ш а < Ь,
14) если а > b и b > с, то а > с,
15) если а > Ь, то а 4- с > Ъ -р с,
16) если а > Ь, с > 0, то ас > Ьс.
т*5) См. прям, 38 (г.|. 1П).
24S
КОММЕНТАРИИ
П ре д ложсние Архимед а:
Если а > О, Ь > О, то существует целое число п, такое,
что па _> Ь.
В системе Гильберта первая евклидова аксиома исчезла как
арифметическая, но остаётся как геометрическая аксиома группы
конгруэнтности; если
АВ^А’В’,
АВ s А"В",
то
А'В’s А"В".
Равенство чисел есть тождество чисел, и поэтому аксиома
1 в числах ничего не выражает.
То же следует сказать и о 2-й евклидовой аксиоме: она не
выражает больше, чем аксиома 1 сочетания.
5-я отпала как следствие 2-й, а 6-я заменилась более общей,
которая в системе Гильберта сводится к 5-й.
Таким образом, только 4-я осталась в современной системе.
Законов счёта Евклид не рассматривал.
В середине XV1J1 в. *‘) существовала довольно стройная си-
стема основ арифметики или, лучше сказать, алгебры, так как
она относилась не к числам (иррациональных чисел тогда ещё
не было), а к величинам вообще, над которыми оперирует Ал-
1 ебра.
Законы арифметики тогда представ мялись очевидными поло-
жениями (и в этом смысле аксиомами), но тем не менее доказуе-
мыми, причём среди них были далеко не все, которые в настоя-
щее время являются таковыми. Эти доказательства все основы-
вались на лейбницианском определении равенства.
Тождество не определялось, а равенство определялось с по-
мощью тождества.
Два количества а и b признавались Лейбницем и др. равными,
если всякое выражение Ф (а) оставалось таким же и по под-
становке Ь вместо а.
Сложение мыслилось как одновременная, совершенно одина-
ковая в отношении обоих членов операция над этими членами;
поэтому закон коммутативный являлся лишним. Очевидно,
то же следует сказать и о законе ассоциативном.
Но закон транзитивный-.
если а = с, Ъ=-с, то а — Ь, выражаемый первой евклидовой
аксиомой, доказывался и Лейбницем и Вольфом.
Вследствие равенства Ь и с по самому определению везде
величиной b можно заменить величину с, в частности и в равен-
стве а = с, вследствие чего а-^=Ь.
П) См, прим. 62, а также Karsten, Mathesis tlieoretica,
Rostock, 1761, стр. 701.
К КНИГЕ t
249
Таким же образом доказывалась и втирая евклидова аксиома.
В истории этой группы евклидовых аксиом интересно срав-
нить два момента, отделённых между собой столетием — аксиома-
тику в Cursus Mathematicus Херигона ”s) и такую же аксиома-
тику в учебнике Хр. Вольфа.
У первого мы имеем чрезмерное раздутие всей аксиомати-
ческой системы, Это какое-то коллекционирование очевидных
истин без всякого анализа их взаимной логической зависимости.
У второго, как мы только что отметили, имеем явное наме-
рение строить геометрию без аксиом в том смысле, что всё вы-
водится из определений и логической аксиомы противоречия.
Если Вольф их перечисляет, то не потому, что они очевидны,
и не потому, что они недоказуемы, по потому, что это основ-
ные простейшие положения, на которые чаще всего приходится
ссылаться.
Херигон за цервой евклидовой аксиомой ставит другую, ей
аналогичную, и из неё выводит (знак обозначает: «следует, по-
лучается»)
\a-b c = d а = с b~d-+a — bt
которую он пишет в своём идеографическом обозначении:
hyp. с 21 2
hyp, а2\ 2 с,
hyp. b 2 12 d,
\а-Ъ а 2 2 &
обозначая через 2)2 равенство, через hyp. — гипотезу: «если»,
1а-Ь— нумерация аксиом у Херигона.
(Следует обратить внимание, что эта аксиома выводит 1-ю
евклидову с присоединением к ней рефлективного свойства ра-
венства а = Ъ Ь — а.)
Другие херигоновы аксиомы;
\a-d a = b, аУ-с-^Ьус,
1а-е Ь>с, а>Ь->-а>с,
Ы-f а-+~Ь = с-[-б, b — d -* а-У d = c -\-Ь,
2а«1 a~b, c = d->a-\-c = b-\-d,
За-1 а=Ь, c~d-+a—Ь—с—d,
За-Ь с>1о^а-с<1а, с<~а-^а-с > 1 Л,
4г-1 а > Ь, с = d а 4-е > Ь 4- d,
4а-Ъ a — b, c>d^a-j.c>b^d,
Herigon и s, Cinsiis mathematicus, Parishs, 1632.
250
Комментарии
4а с а > Ь, с d —> а —J-- с b d,
5а -1 а>Ь, с = d а — с b — d,
5а -Ь а = Ь, с > d -* а — с <ib - • d,
5а-с а >Ь, с~7> d а — d > b — с,
6а-1 а == 2с, b — 2с -г а — Ь,
а 7>Ь 2а > 2Ь,
5а -с а = 2Ь, b —с -* а = 2с,
5а-d а = Ь. а-2с->Ь — 2с,
7а ] 1 д =— с •, b = с -> а — Ь,
7а-Ъ 2^2 - b -> а > &,
7а-с & — с, -г (I
7 а -d а = Ь, Ь = У с Ь -= i с.
Чтобы понять наличие такого большого числа аксиом у Хе-
ригона, следует обратить внимание на то, что все эти аксиомы
понимались не в числовом смысле. Удвоение и деление пони-
мали так же, как у Евклида понималось в геометрическом смысле
умножение или разделение пополам площади и отрезка, произ-
водимое рядом операций.
Следует отметить, что умножение отрезков здесь уже не
понимается в чисто геометрическом евклидовом смысле построе-
ния а, b прямоугольника.
Вольфианские аксиомы следующие:
1) а = а, 2) а = с,Ь = с -+ а = Ь,'3,4) а = Ь, с --= d а±.с = b jc d,
5) а— Ь, c = d-*ac~bd, 6) a=:b, с~ d -* — — -у, 7) Ь,
a с -* b > с.
26. Аксиомы конгруэнтности Я). Первые семь евклидовых ак-
сиом являются также родоначальницами группы аксиом конгру-
энтности.
Прежде всего следует отметить правильное понимание ак-
сиомы 7. Равенство Евклид всегда понимает в смысле равнове-
ликости. Ныне же мы обычно понимаем равенство в том смысле,
как это понимали в XVII в., в смысле одинаковости формы и
размеров, т. е. равные фигуры отличаются только положением.
При такой точке зрения смысл аксиомы 7 тот, что если фигуры
при наложении совпадают, то они отличаются только положе-
нием.
>9) См. прим. 38 (in. 1, § 5).
К КНИГЕ !
Евклид дител сказать совершении друюе: то, что площади
двух совпадающих при наложении фигур равны.
Некоторые математики вводили предложение, обратное ев-
клидову, хотя в его постановке оно, вообще говоря, необратимо:
равновеликие фигуры могут и не совпадать друт с другом при
наложении. Однако Евклид в своих доказательствах пользуется
частными видами такой обращённой аксиомы 7, т. е. признаёт
наложимость равных отрезков и углов.
Это было отмечено всеми комментаторами Евклида, которые
пополнили его систему аксиом группой аксиом конгруэнтности.
Некоторые авторы обращали аксиому в определение, опре-
деляя равенство наложимостью.
В формально логической системе Гильберта нет определения
равенства. Конгруэнтность берётся как символ s и устанавли-
вается группа знаков операций с этими символами так, чтобы
по замене этих форм конкретным содержанием получились кон-
кретные теоремы геометрии.
Аксиомы Ш2, Ш3 Гильберта тогда превращаются в аксиомы
1 н 2 Евклида.
Основная часть аксиомы Шг превращается в постулат 1 о
переносе отрезка. (Другие её элементы АВ = АВ, АВ es В А те-
ряют смысл с евклидовой точки зрения.)
В системе Веронезе выдвигаются другие аксиомы:
1) АВ = АВ, 2) АВ = А'В' А’В’ = АВ,
3) АВ = А"В", А'В' ~ А"В" -+АВ-= А'В', 5) АВ = В А.
К этому прибавляется частная форма евклидовой аксиомы 8,
что 4) отрезок не конгруэнтен нн с одной из своих частей, и
6) устанавливается возможность откладывания от А равных от-
резков в различные стороны, возможность переноса отрезка на лю-
бую прямую в любую точку.
Понятие конгруэнтности, в которое обращается неопреде-
ляемое Евклидом равенство, понимаемое самим Евклидом как рав-
новеликость, а иногда как тождество формы и размеров при
различии положения, Гильбертом берётся как форма, заполняе-
мая содержанием только после развёртывания всей формально-
гипотетической геометрии как системы связей между этими
формами.
У Веронезе s°) понятие о конгруэнтности отрезков — простое
понятие, которое если не вполне логизировано, то больше всего
может на это рассчитывать. Что касается конгруэнтности
фигур, то это сложное понятие сводится к простому, а именно,
к конгруэнтности отрезков, причём это сведение производится
логи тически, выражая связь в чисто логических понятиях. <Двс
фигуры называются конгруэнтными, если каждой точке одной
s’) Veronese, Eleiirenli (ц Qeoinetnj, Padova, 1904.
252
КОММЕНТАРИИ
фигуры соответствует одна и только одна точка второй фигуры,
так что отрезки, соединяющие пары соответственных точек в
обеих фигурах, конгруэнтны».
Конечно, равенство (конгруэнтность) треугольников понимается
совершенно различно Евклидом, Лейбницем, форономическим
учебником Веронезе, резко подчёркивающим наложимость как
определение равенства (в его логическом определении), и Гиль-
бертом, который, исключая внутреннее содержание, остаётся
только при одном символе
Понятие о равенстве в нашем смысле этого слова создаётся
только в XVI и XVII вв., для пего Лейбниц употребляет термин
«конгруэнция». Лейбниц говорит, что две величины конгруэнтны,
если они различаются только положением, т. е. в чисто внешнем
отношении. Он прибавляет, что при наложении они должны сов-
пасть, так что аксиома 7 Евклида выставляется Лейбницем как
непосредственное следствие его определения конгруэнтности. Далее
Лейбниц подчёркивает, что конгруэнтность есть подобие плюс
равенство в евклидовом смысле слова. Таким образом, подобие
является более широким понятием, чем конгруэнтность, и неко-
торые методисты (например, Днстервег) раньше выставляют по-
доб ie фигур, а затем путём огра шчения приходят к равенству
в пашем смысле этого слова.
27. Целое и части. Аксиома 8 бесспорно имеет позднейшее
происхождение.
Интересно отметить, что современные математики, одернрт я
с актуальнуй бесконечностью, ставят характерным свойством
для б сконечного множества именно равенство целого части,
что для конечного не имеет места.
Собственно говоря, около этой евклидовой аксиомы и со-
средоточивались споры нифинитисгов с финитистами.
Достаточно вспомнить парадокс Галилея 81): число членов
с одной стороны, не равно числу членов ряда 12,22, З2,4-», 5?,... ,
так как целое не может равняться своей части, с другой
стороны, равно, так как между членами этих рядов существует
взаимно однозначное соответствие: каждому члену первого ряда
отвечает только один член второго и обратно.
К аксиоме 8 комментаторы прибавляют другую «целое рав-
но всем своим частям вместе взятым».
Обе указанные аксиомы объеилются следующей:
Из неполной совокупности частей нельзя составить целого.
В современной теории эта аксиома, понимаемая соответству-
&1) Галилео Галилей, Беседы п математические дока-
зательства, Москва, 1937. День первый, стр. 95. См. также Cou-
tu г at, L'fnilni Mathematique, Paris, 1905.
К КНИГЕ I
253
ющим образом, играет важную роль. Это известная аксиома
Цольта 82), которую он формулирует так:
Если разложить многоугольник прямыми линиями на не-
сколько частей и устранить одну часть, то с помощью остаю-.
щихся, как бы мы их ни располагали, нельзя покрыть много-
угольник.
У Паолисастоит аксиома в формулировке, совершенно
аналогичной формулировке Евклида: часть многоугольника не
может равняться целому, а Ризенбергер, наоборот, даёт в форме,
ещё более отклоняющейся от евклидовой, чем формулировка
Цольта:
Если доказана с помощью какого-либо разложения равно-
великость двух фигур, то нельзя произвести другого разложе-
ния их так. чтобы одна фигура содержала все части данной
и ещё другие части.
К цольтовой аксиоме относится ряд работ Штольца я4), Шура,
Киллинга S3), доказывающих, что аксиома Цольта является след-
с гвием архимедовой (Евдокса).
28. Девятая аксиома. Эту аксиому, которую Гейберг не
считает принадлежащей Евклиду, Прокл пытается доказать в своих
комментариях к книге I «Начал?.
Если предположить, что две пря-
мые АВС и ADC (черт. 3) заключают
пространство, сходясь в точке С, то,
описывая окружность из С радиусом
СА, получим две точки Е ц Е пере-
сечения наших прямых АВСЕ и
ADCP с этой окружностью. Дуги АЕ _
и АЕ, как отсечённые диаметрами
АСЕ и АСЕ, будут полуокружностя-
ми и как таковые должны быть
равны в сумме всей окружности, в
го время как они составляют лишь
её часть ЕАЕ.
Клавин 8G) правильно замечает,
чго возможен ещё случай, когда пря-
мые сходятся второй" раз на окруж-
ности, и пополняет доказательство Прокла, описывая из точки А
радиусом КА, меньшим чем АС, окружность ALM, пересекающую * 83
Черт.
92) A. d е Z о 11, PrJncipii della equalita del poHgoni, Milano 1883.
88) R. de Pa oiis, Elementi di Geometria, Torino, [883.
O. Stolz, Vorlesnngen Ober allgemeine Arithmetic^ Leip-
zig, I88o, стр. 7o.—Monatshefte der Mathem. und Physik, t, 5 (1894),
83) Killing, Elnfuhrung in die Grnndlagen der Geometric, Pa-
derborn, [89§, стр. 23.
se) См. прим, 67,
254
КОММЕНТАРИИ
прямые АВС и ADC уже в двух не совпадающих точках
N, Q, и повторяя те же рассуждения для окружности ALM
{черт. 4).
Здесь аксиома, на которой основывается доказатетьство, за-
рыта довольно глубоко. Мы имеем пересечение с окружностью
в двух точках пряаой, проходящей через центр, и утверждение
необходимости существования не совпадающих точек пересечения
N и Q на двух одинаковых рас-
@ стояниях.
Отметим, что в XVII в. эта
аксиома пополняется другими. По
Схоутену, мало сказать, что две
прямые не заключают простран-
(г ства, необходимо ещё указать, что
они не имеют общего отрезка; в
самом деле, линии, заключающие
и не заключающие пространства,
можно мыслить и с общим отрез-
ком и без него, Далее, вместо
общего отрезка можно взять и
,, , общую точку. Поскольку из акси-
1еРт' 4’ омы 9 ещё не следует, заключают
ли эти прямые пространство, или
нет, то Схоутен выдвщает ещё одну аксиому: две прямые, сходя-
щиеся в одной точке, необходимо должны в этой точке пересе-
каться,
29. Первое предложение Евклида. Против первого предло-
жения «Начал» высказывались очень многие, Возражали против
самой конструкции доказательства, относя его к типу «это так»,
т. е. признавая его не объясняющим, каким образом доказы-
ваемое свойство вытекает из существенных свойств объекта, к
которому оно относится и с которым имеет дело определение.
Конечно, разделение доказательств на два типа: ото так» (on)
и «потому что» (Sioti) является чисто схоластическим 8‘). Эта
классификация идёт от арабского схоластика Аль-Фараби, В чисто
схоластических рассуждениях находим образцы доказательств
to SidTi. Такого рода критика доказательств ведётся и в XVII в.,
в’) Исходный пункт у Аристотеля, Arlstoteles, Analytfr.a
Posteriora, кн. 1, стр, 9, кн. 2, стр. 12, 13, О доказательстве
on — Ston.—Ziehen, Logik, ч. IV, §36, стр. 805,1920.—А 1 f а г a b i,
De divislone phllosophiae в Beitrage zur Geschlchte der Philosophic
des Mlttelalters, t. 4, тетр, 2—3. Mhnster, 1901. — Dietrich,
Alfarabis philosophia, Lugduni, 1892, против on.— Avicenna,
Die Metaphysik.,. von Horth, Leipzig, 1909, — Denssen, Geschi-
chte der Philosophic, t, 2, стр. 407. — Prantl, Geschichte der
Logik |a AbendlSnde, т. II, стр. 366, 1863—1870.
К КНИГЕ J
255
причём Sio't тогда обращается в естественное доказательство,
а gtt — в неестественное. В XVIII в. это требование обращается
в требование, чтобы доказательство развёртывалось по тому пути,
но которому шло открытие доказываемой истины.
30, Пересекаемость окружностей. Некоторые обоснованно
замечали, что у Евклида остаётся недоказанной пересекаемость
двух окружностей. Комментаторы находили выход во введении
дополнительной аксиомы о том, что если окружность С имеет
точку внутри окружности С', то она должна пересекаться с этой
последней, Неполнота доказательства первого предложения у
Евклида вполне сознавалась X. Вольфом, по вряд ли можно со-
гласиться с убедительной силой делаемых им добавлений, не го-
воря уже о том, что аксиоматическая конструкция остаётся у
него совершенно невыясненной.
При доказательстве рассматриваемого предложения Евклид
просто обращается к интуиции, что он, между прочим, делает и
в других местах, например, в предложении 12, где ему прихо-
дится описывать из точки окружность радиусом, большим рас-
стояния до некоторой прямой, и утверждать, что эта прямая
пересечётся в двух точках с проведённой окружностью. При
строгом доказательстве предложений подобного рода мы должны
были бы в той или другой форме использовать аксиомы непре-
рывности.
Наиболее простым является вывод, приводимый Эприквесом
и основанный на аксиоме Дедекинда:
Если все точки отрезка АВ делятся на два класса X и У,
причём все точки класса X, к которому принадлежит и А, пред-
шествуют всем точкам класса У, к которому принадлежит В, то
существует некоторая точка С, производящая сечение отрезка,
определяемое обоими классами X п У, причём все точки класса
X по крайней мере не следуют за точкой С, а все точки класса
У по крайней мере не предшествуют ей.
31. Составные части античного доказательства. Полуип-
туитивный характер античных геометрических доказательств'вы-
является в античном разделении доказательства: в этом расчле-
нении только один член относится к логической операции, все
другие относятся к словесной форме, или к чертежу.
1) Прб-aci;, Propositio— предложение.
Это в задаче данное и искомое, в теореме — данное иди
предположенное и то, что следует доказать. На современном
языке мы выразимся так: это формулировка задачи или теоремы.
2) ’'Ex&eok;. Expositio — изложение —то, о чем говорится в
общем виде, прилагается к фактически выполненному чертежу.
Мы скажем теперь: это введение в ход доказательств чертежа,
для формулировки данных,
3) Determinatio — определение; в нем ставится перед
глазами искомое; мы имеем формулировку по чертежу иска-
256
КОММЕНТАРИЯ
4) хатаахеа-rj, Constructlo — построение; указание, что следует
делать.
Здесь разумеется введение в чертёж вспомогательных линий.
5} Demonsttatio— доказательство в собственном
смысле.
6) Su'it«pac|ia, Conclusio — заключение, состоящее в объявле-
нии о том, что доказано, и что задача разрешена.
Мы приводим, по Камереру, расчленение доказательств пер-
вого предложения «Начал» Евклида, представляющего задачу о
построении на данном отрезке АВ равностороннего треуголь-
ника АВС.
Propositio. На данной прямой построить равносторонний
треугольник.
Expositio. Пусть дана ограниченная прямая АВ.
Determinatio. Требуется на АВ построить равносторонний
треугольник.
Constnictio. Пз центра А раствором АВ опишем круг BCD
(постулат 3), затем пз центра В раствором ВА описываем круг
АСЕ (постулат 3) и от точки С, в которой эти круги пересе-
каются, проведём прямые СА, СВ-
Demonstratio. Так как точка А есть центр BCD, то АС рав-
но АВ; далее, так как точка В — центр круга АСЕ, то ВС
равна ВА.
Но было доказано, что и СА равна АВ; значит, каждая из
прямых СА, СВ равна АВ; но равные одному н тому же равны
и между собой, значит, и СА равна СВ; значит, три прямые СА,
АВ, ВС равны между собой. Следовательно, треугольник АВС
равносторонний и построен он на ограниченной прямой.
Conclusio. Значит, на данной ограниченной прямой АВ по-
строен равносторонний треугольник АВС, что п требовалось
сделать.
В дальнейшем схема эта значительно упрощается.
Хернгон различает в теореме только:
1) Изложение условий и объяснение искомого.
2) Приготовление к доказательству, которое не всегда, но
большей частью необходимо.
3) Доказательство того, что то свойство, которое требуется,
присуще тому, что предлагается.
32. Теорема и проблема. У Евклида нет термина теорема;
под названием ^предложение-» стоят как теоремы, так и то, что
мы сейчас назвали бы задачами на построение. Но для Евклида
это больше чем задачи на построение; это доказательство суще-
ствования. Оно играет такую же роль, как у нас, например,
доказательство существования интеграла от непрерывной функ-
ции, и поэтому входит в цепь следующих друг за другом пред-
ложений.
Интересно, что в XVII в. Хернгон определяет проблему так,
как её Евклид не определил бы:
К КНИГЕ I
257
(Проблема, если что-либо предлагается сделать (т. е.
построить) ила узнать*.
Проблемы второго рода таковы: найти площадь треугольника,
найти длину окружности, найти объём пирамиды, объём или
поверхность шара. У Евклида таких проблем нет. Но они
существуют у Архимеда, хотя и не стоят под таким на-
званием.
Между Евклидом и Архимедом существует глубокое разли-
чие. Евклид принадлежит больше старому; он сообщает старое,
ею отделывает и продолжает итти в старом направлении. Архимед
открывает новые пути в совершенно новом направлении.
Интересно отметить положение Херигона: проблема нуж-
дается в теореме для доказательства (т. е. своего обоснова-
ния) и теорема нуждается в проблеме для приготовления
(т. е. для вспомогательного построения).
В это время уже сознаётся необходимость оправдания ев-
клидовых определений.
Термины «королларий» (следствие), «лемма», «схолия» больше
употребляются комментаторами Евклида, чем самим Евклидом.
В первых пяти книгах лемм нет, цо они появляются в шестой;
особенно их много в книге X. Наше «следствие» появляется у
Евклида под термином «поризм» (буквально «то, что добыто»;;
таково, например, заключение к предложению I книги III. быв-
шее, повидимому, до Евклида самостоятельным приложением,
поскольку ссылки на это предложение как раз имеют в виду
этот «поризм».
Королларий — это непосредственно вытекающее из теоремы
следствие. Лемма — положение с кратким доказательством, иг-
рающее только служебную роль при доказательстве теоремы —
по Аристотелю предпосылка силлогизма.
Схолия —- это разъяснение к теореме, имеющее целью устра-
нить недоразумение, могущее возникнуть при неправильном по-
нимании её формулировки или каких-либо пунктов в доказа-
тельстве.
Если применить эту терминологию к книге I «Начал», то к
проблемам следует отнести предложения I, 2 3, 9, 10, Н, 12,
22, 23, 31, 42, 44; 45, 46.
К теоремам: 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 25,
26, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 47, 48.
К леммам: 7, 21, 43.
Того же, что следует называть схолиями, в книге I у Ев-
клида совершенно нет.
33. Второе и третье предложении. Эти два предложения для
тех, кто не понял смысл постулата 3, представляют большую за-
гадку. Мы просто предлагаем отрезок ВС переносить на прямую
соответствующим раскрытием циркуля.
Но Евклид этой операции не признаёт; для него дозволенной
операцией является только та, которая устанавливается правильно
понимаемым третьим постулатом ^см. комментарий 20). Он его и
47 Евклид
258
КОММЕНТАРИИ
употребляет в предложении 3: описывает окружность из конца
прямой радиусом, равным этой прямой.
Конечно, принимая за дозволенные операции только те, ко-
торые признавал сам Евклид, следует согласиться с Проклом, ко-
торому наш способ представляется недозволенным.
Описание из А круга радиусом ВС предполагает предложе-
ние 2, т. е. перенос этого отрезка на некоторую прямую, про-
ходящую через А,
34. Четвёртое предложение. Это первый случай равенства
треугольников.
Доказательство Евклида отличается от современного только
тем, что он, утверждая совпадение ВС с при наложении,
основывается на аксиоме 9, т. е. на том, что две прямые не со-
держат пространства, а мы основываемся на том, что через две
точки можно провести только одну прямую, т. е. на аксиома-
тизированном в слитом с аксиомой 9 постулате I.
35. Метод наложения 89), Если согласиться с тем, что Евклид
мыслил геометрические фигуры существующими лишь с момента,
как они оказывались построенными, то является вопрос, пра-
вильно ли понимают его метод наложения. Мыслился ли при
операции наложения идеальный треугольник, переносимый с од-
ного места иа другое для совмещения со вторым? Не мыслился
ли Евклидом этот перенос в смысле построения в другом месте
треугольника, одинакового с данным?
На это как будто указывает то, что книга I начинается с
изложения способа переноса отрезка. Что касается переноса
угла, то, вероятно, операция описания из вершины А' угла В'А'С
окружности радиусом А'В', перенос А’В' в АВ и засекание дуги
ВС ’окружности радиусом ВС = В’С представляется очевидным
решением задачи. То, что строгое обоснование этой операции
основывается на 3-м случае равенства треугольников, раньше ие
замечалось, и предложение 23 должно быть отнесено к поздней-
шему времени.
Во всяком случае зсе комментаторы понимали наложение в
нашем смысле и обнаруживали тенденцию пользоваться им ши-
ре, чем делал это Евклид.
Прокл даёт следующее доказательство предложения 5 книги i.
Если в треугольнике АВС стороны АВ и СВ равны, то бе-
рём треугольники АВС и СВА-. в них равны основания АС и
С А И боковые стороны АВ—СВ и ВС — ВА', следовательно, по
третьему случаю равенства треугольников будут равны н углы
при основании, т. е. £А~/_С, а /_С=£А.
Рационалисты XVII в. настроены несочувственно и методу
наложения, Этот метод, по их мнению, убеждает с помощью об-
ращения к чувствам, а не к чистому разуму, который только
88) Д. Мордухай-Болтовской, Метод наложения, Ма-
тематическое образование.
К КНИГЕ I
259
один является судьёй. Первый случай равенства треугольников
доставляет им много хлопот. Мы видим ряд попыток замены
обычного доказательства наложением другим’без этой «механи-
ческой операции», столь противной духу рационалистической
мысли.
Томас Симпсон 89) относит первый случай равенства к акси-
омам совершенно так, как в настоящее время Гильберт.
36, Евклид и Лежандр. Форономическая геометрия. Какой ме-
таморфозе подверглись взгляды на математическое доказатель-
ство от Евклида до настоящего времени, можно видеть, анализи-
руя Евклида, Лежандра н паши современные учебники, которые
восходят к этим авторам.
То, что Лежандр считает доказательством, не могло быть
признано за доказательство Евклидом; с другой стороны, Ле-
жандр не мог начать свои элементы с построения равносторон-
него треугольника, как это делает Евклид.
Не следует думать, что Лежандр в своих ^.упрощённых*
доказательствах додумывается до более простых доказательств,
которые ускользнули от Евклида. Евклид, может быть, и знал
эти доказательства, но отвергал их как негодные, как находя-
щиеся в решительном противоречии с его взглядами иа доказа-
тельство. Почему бы ему не поступать так, как поступает Лежандр
при доказательстве основного свойства равнобедренного тре-
угольника, состоящего в том, что углы, противолежащие равным
сторонам, равны? Ведь, кажется, нет ничего проще, Как соединить
середину D стороны ВС с вершиной А и доказать на основа-
нии третьего случая конгруэнтности равенство треугольников
ABD и ADC. ’
Между тедг, Евклид даёт другое, более сложное доказатель-
ство 1.5 (так называемое elefuga).
Это потому, что Евклид признавал существование только
тех объектов, которые могут быть построены. Он потребовал
бы от Лежандра указания способа построения точки D середины
ВС. Но построение это (предложение 10 книги I) основывается
па предложении 9 о делении угла на две равные части, послед-
нее же на третьем случае конгруэнтности треугольников (пред-
ложение 8), а третий случай конгруэнтности доказывается oi
противного па основании предложения 7, утверждающего, что
если мы соединим концы основания АВ (черт. 5) с двумя точ-
ками С и D, лежащими по одну сторону прямой АВ, то рассто-
япия СА н СВ точки С от концов основания АВ не могут быть
равны соответственно расстояниям DA и DB от тех же концов.
Употребление движения носит у Евклида случайный харак-
тер: его геометрия по своему типу является скорее конструк-
тивной. Правда, он не определяет вместе с Манзиопом понятия
«равных» фигур как ^одинаково построенных*, но первые три
его постулата и нх применение для переноса отрезка несколько
8Ч) См, прим. 68,
17*
260
КОММЕНТАРИИ
сближают геометрию Евклида с штейиеровскими noci роениями
при помощи линейки л неподвижного круга с отмеченным цен-
тром, когда равенство отрезков устанавливается не путём пере-
носа их с помощью циркуля (операция, являющаяся у Евклида
недозволенной), а при помощи целого ряда операций.
В основанной иа идее движения форономической геометрии мы
постулируем возможность любого переноса в пространстве фи-
I ур без изменения их элементов — взаимных расстояний различ-
ных их точек и углов, образуемых их прямыми. В отличие or
практической (физической) геометрии, где идея переноса отрезка
является основным принципом всякого измерения, в идеальной
геометрии перенос фигуры А на
С фигуру В совершается лишь для
того, чтобы помочь уму увидеть,
/ чго части А тождественны частям
/ \ В. Если фигура А является чисто
/ \ 2^7-^ идеальной, то таковым же будет
/ \ / и самый перенос. Если идеальная
/ / фигура А изменяется при идеаль-
/ \ / ном переносе, то она уже не А. а
/ \ / какое-то третье С, которым уже
/\ I не следует заниматься.
---------------X? Такого же взгляда па геомет-
г. ------------рию Евклида как па геометрию
,еРг' °' конструктивного типа придержи-
вается и Цейтеп, считающий,
что евклидову конструктивизму предшествовал идеализм Платона.
Платоники утверждали, говорит Цейтен, что треугольник суще-
ствует до построения, его. Мсиехм же, очевидно, должен был
доказывать, что в реальном существовании этого треугольника
мы убеждаемся, лишь построив его и доказав при этом, что
это "построение действительно приводит к поставленной нами
цели. Именно так и поступает Евклид: ие довольствуясь опреде-
лением равностороннего треугольника, он, прежде чем начать им
пользоваться, убеждается в его реальном существовании, построив
такой треугольник в предложении I своей I книги п доказав
правильность произведённого построения.
В случае отказа от метода наложения приходится вводить
в систему аксиом такое неочевидное положение, как, например
тильбертова аксиома (Щ, представляющая по существу второй
случай равенства треугольников.
Другой путь развития геометрии, при котором сохраняется
та же убедительность изложения, что и у Евклида, ио, кроме того,
выявляются аксиоматическая структура и система, есть путь фо-
рономический. При следовании по этому пути основой является
понятие о движении, причём выставляется система аксиом, опре-
деляющих движенце согласно данным интуиции.
В таком случае конгруэнция, или равенство (в современном
смысле этого слова), определяется как совпадение при наложении
к КИНГЕ I
261
сравниваемых фигур, которые предполагаются определённым об-
разом передвигающимися. Хотя Евклид и пользуется движением
при доказательстве первого случая равенства треугольников, но
в дальнейшем он определённо его избегает, предпочитая другие
случаи равенства треугольников доказывать иными путями. Я
думаю, что его доказательство предложения 4 следует рассма-
тривать как наследство какого-нибудь из его предшественников,
от которого он по может освободиться. Мы уже имели случай
отметить, что генетические определения форономического харак-
тера являются более древними, чем определения, производимые
по аристотелевскому рецепту per genus et differentiarn specificam
(через род и видообразующее отличие).
Среди сторонников форопомической трактовки геометрии
следует назвать Гельмгольцаs0), для которого подход к основам
геометрии имел не методическое, а скорее философское значение,
Софуса Ли, рассматривавшего движение как группу преобразо-
ваний, при которых сохраняются инвариантными некоторые вы-
ражения, зависящие от координат двух точек (расстояния). В
числе учебников геометрии, построенных по фороиомическому
принципу, надо упомянуть Мерея, Борсля и Бурле 91); оба пос»
ледпих проводят в жизнь требования известной Моравской про-
граммы,
37. Двумерный Евклид. Евклид, доказывая первый случай
равенства треугольников (предложение 4), должен выводить тре-
угольник в трёхмерное пространство в том случае, когда
имеются симметричные треугольники.
Действительно, если даны треугольники АВС и Л'В'С’ (черт. 6),
то, двпгая по плоскости треугольник АВС, можно ею привести
только в положение А'В"С*, совмещение же получается лишь в
результате вращения около А'С, причём треугольник выводится
из плоскости.
Можно ли так переработать <Начала> Евклида, чтобы этой
операции не было? Бонензеи9-) показывает, что такая переработка
возможна.
Для этого нужно только итти в следующем порядке:
1) доказать равенство треугольников с одинаково располо-
женными элементами, * 92
^Helmholtz, Ueber die Tatsacliedie der Geometric zu Griinde
liegen. Getting. Naclir., 1868, стр. 193.—В. Каган, Основания
геометрии, Одесса, 1905, т. 2.
91) Moray, No’jveaux elements de Geometric, 1874,3 6d., 1906.—
Borel, Geometric, Paris, 1905. На русском языке: Борель-
Штеккель, Элементарная математика, Геометрия (там же о
Меранской программе), Москва, 1923. — В о u г 1 е t, Cours abrege
de Geometrie, 2 ed., Paris, [907.
92) Bonensen, Nyt Tidskrift for Matheniatik.— Barbarin,
Sur la geombtrie des etres planes. ProcMes-vcrbaiix de seances de
la Soc. d, sc. phil. ct nat., Bordeaux, 1901.
262
КОММЕНТАРИИ
2) доказать лемму Лакруа об отрезках, отсекаемых на двух
прямых параллельными,
3) доказать пропорциональность сторон в треугольниках с
равными углами и не одинаково расположенными элементами,
4) изложить теорию измерения прямоугольников и треуголь-
ников,
5) доказать теорему Пифагора по методу Евклида,
6) иа основании теоремы Пифагора доказать, что в равно-
бедренном треугольнике высота, опущенная па основание, будет
вместе с тем и медианой, так что основание разделится пополам,
7) доказать, что в равнобедренном треугольнике утлы при
основании равны,
8) свести доказательство равенства ДЛВС и £\А'В'С к
равенству прямочтольных треугольников £\BDC и fyB'D'C
(где / В = ^В', ЙС ;= В'С и Д’ЛВВ = Д A'D'B', при DB =- D'B’
и AD = A’D' (черт. 6) на том основании, что B'D'C можем за-
менить ему симметричным CD'В’, в котором В’С =В”С' и
£В—£В'’ и уже в силу 1) равным BCD.
Точно таким же образом A'B'D’ можем заменить его сим-
метричным B"D'A', тоже равным ему, так как равенство гипоте-
нуз сейчас же выводится иа основании теоремы Пифагора.
Что касается пункта 7 (т. е. предложения 5 Евклида), то
доказательство его ведётся только с помощью теоремы Ппфаюра,
38. Происхождение апагогического доказательства. Евклид
широко пользуется так называемым приведением к абсурду,
иначе говоря, апагогическим доказательством, состоящим в том,
что положение А доказывается опровержением противного (не Л)
с помощью вывода из последнего невозможного следствия.
Начало апагогического доказательства, вероятно, относится
к элейской философской школе; оно приобретает особое значе-
ние у софистов.
Античная математика ие столько заботится о системе гео-
метрии-изложении каких-либо причин или общих свойств про-
странства, из которых вытекают свойства геометрических
К КНИГЕ I
263
фигур, — сколько старается убедить читателя в истинности подме-
чаемых свойств. Математик эпохи Платона — Евклида террори-
зирован софистами: он каждую минуту боится попасть в
расставленные последними силки и строит укрепления против напа-
дений по всем правилам ими же самими выработанного искусства.
Вот для доказательства первого предложения геометр начал
вычерчивать круги и проводить прямые. Софист возражает, что
это не всегда можно сделать, что циркуль или линейка могут не
оказаться в руках, а тогда теорему уже нельзя будет доказать.
В самом ходе доказательства он будет придираться к салим,
казалось бы, бесспорным и простым истинам, будет утверждать
субъективность понятия очевидного (что очевидно для одного,
может не быть очевидным для другого) и т. л. Поэтому геометр
должен прежде всего заставить согласиться со своими аксиомами
н постулатами, причём для этого, конечно, желательно, ио воз-
можности, сократить их число; необходимость же этого сокра-
щения, ведущая к ограничению свободы выбора логических пу-
тей для доказательства теорем, заставляет наряду с прямыми
применять и косвенные апагогические доказательства.
Прямое доказательство всегда считалось лучше косвенного.
Аристотель93) —- только довольно робко — выдвигает пре-
имущества прямого доказательства перед апагогическим.
По его мнению, более согласны с природой выводы, в кото-
рых мы от включения или выключения из класса В переходим
к включению или выключению из класса С, объемлющего В.
«Положение «пи одно А не есть первое, чем «ин одно А пе
есть —-мы в нём ближе подымаемся к принципам?.
В апагогическом доказательстве порядок обратный:
Следует доказать, что А не есть В.
Предполагаем, что некоторые А суть В. Все В суть С. За-
ключаем: некоторые А суть С, что неверно, и поэтому ни одно
А не есть В.
Но по Аристотелю всё-таки и в этом случае тем или иным
путём достигается цель науки, а именно, построение связи
между вещами и общими положениями, выставляемыми в начале
науки.
Заметим, что его аргументы, уже совершенно не гармони-
рующие с настроением умов XVI и ХУЦ вв„ в эту эпоху ие
повторяются.
Крайняя неприязнь рационалистов XVII в. к апагогическим
доказательствам вытекает из их общего мировоззрения, стараю-
щегося всё многообразие вселенной вывести из одного мирового
принципа с помощью постепенного ряда ограничений, сози-
дающих мир как логическое следствие из простых и легко фор-
мулируемых, как теоремы геометрии, положений. В глазах рацио-
налиста вся вселенная представляется как ряд взаимоотноше-
93) Aristotcles, Analytica Posteriora, кн, 1, гл. 26.
264
КОММЕНТАРИИ
ний, вытекающих из небольшого числа аксиом, относящихся к
простейшим отношениям.
Комментатор «Начал? Евклида этой эпохи занят выпрямле-
нием евклидовых апагогических доказательств, что достигается вве-
дением явно или неявно новых аксиом.
В выпрямленные Озаиамом91) доказательства книги II] «Начал?
входит в скрытом виде теория пределов. Вообще исчисление
бесконечно малых в совокупности аксиом, на которых оно
основывается, является системой выпрямленных доказа-
тельств, заменяющих более сложный апагогический метод ис-
черпывания.
В XVI в. нападки на апагогическое доказательство ведут-
ся, но с ним легче мирятся. В XVI в. Савиль 95) возражает Ио-
сифу Ска нигеру на его нападки против anaroiического доказа-
тельства, объявляя, что оно равно прямому в отношении истин-
ности и необходимости, по ниже в отношении происхожде-
ния SR).
39. Седьмое» восьмое предложения. Седьмое предложение
у Евклида носит характер леммы, необходимой только для до-
казательства положения 8.
Но из него сейчас же выводится, что две окружности не
могут пересекаться более чем в двух точках.
"X. Вольф не пользуется евклидовской леммой, а в своих эле-
ментах геометрии выводит третий случай равенства треугольни-
ков из этого последнего положения.
Вывод третьего случая равенства треу! ольпцков из единст-
венности построения треугольника но трём сторонам находится
и в некоторых современных немецких учебниках.
Лежандр, как и Евклид, доказывает это положение апагоги-
чески, но доказательство у Лежандра другое.
Лежандр начинает с положения: «Если две стороны одного
треугольника равны соответственно двум сторонам другого и
если в то же время угол между первыми более угла, заключен-
ного между вторыми, то третья сторона первого будет больше
третьей стороны второго?.
Это 24 теорема I книги «Начал? Евклида, т. е. весьма отда-
лённая от начала теорема, которая доказывается на основании
третьего случая конгруэнтности треугольников.
Для доказательства того, что при
AC — FG, AB — GH и /_ВАС> /.FGH,
имеем: ВС > FH(черт. 7), Лежандр откладывает /~ CAD = FGH, * 96
34) Ozanam, Cours des MathSmatiqucs, Paris, 1720.
Savi iius, Praelectiones, kii. 10, стр. 170, 196.
96) Hauber, Chrestomatia Geometrica, Tubingen, 1822.
®T) Ch. Wolfins, Anfangsgrhnde aller mathematischer Wis-
eenschaften, 1750.
К КНИГЕ 1
265
затем иа нём прямую AD = HG и строит Д CAD, равный f\FGH
(на основании первого случая равенства).
Он проводит биссектрису АЕ угла BAD, соединяет Е с D
и доказывает равенство f\BAE и f\EAD, так как: CD <_BDA-
4-£С, то затем CD<BC и, наконец, FH < ВС.
Эта теорема сейчас
же даёт возможность вы-
вести апагогически тре-
тий случай конгруэнт-
ности.
Такое доказатель-
ство, конечно, не может
быть принято Евклидом,
ибо построение биссек-
трисы не является из-
вестным.
Совершенно в антич-
ном духе доказательство
приложением (припасы- Черт. 7.
ваемое Филону) и вошед-
шее во многие учебники.
Оно сосюит в том, что треугольник DEF (перевёрнутый)
прилагается так к АВС (черт. 8), что сторона EF оказывается
па стороне ВС и треугольник EDF в положении BCG. Точка А
соединяется прямой с G и па основании предложения 5 доказы-
вается, что в Л ABG п Л AGC углы при А и G соответственно
равны, откуда заключается, что
£ ВАС= £ BGC = / EDF,
и третий случай кош руэнтпостя треугольников сводится к пер-
вому случаю,
265
КОММЕНТАРИИ
Арнольдианский порядок, о котором мы ниже будем гово-
рить, приводит к доказательству третьего случая равенства тре-
угольников на основании свойств хорд окружности.
Если внутри окружности (с центром в С) взять точку А
(черт. 9), то кратчайшей линией, проходящей через А и соеди-
няющей её с окружностью, будет та, продолжение которой при
Черт. 10.
ходит через центр С; наибольшей же будет та АН, на которой
лежит центр С, и линия АЕ тем больше, чем она меньше накло-
нена к АН.
Для доказательства наложимости abc на АВС в случае
АС —ас, AB = ab, ВС = Ьс поступаем так: са накладываем на
СА и доказываем, что ab пойдёт по АВ. В самом деле, опа не
могла бы пойти ни по АД,ни по AD, так как в первом случае ab была
бы меньше, а во втором боль-
ше чем АВ.
40. Деление угла попо-
лам. Почему Евклид пе упо-
требляет пат способ, состоя-
щий в том, что из А (по по-
стулату 3) описывается окруж-
ность DE, затем из точек Ь и
Е описываются окружности
равных радиусов, пересекаю-
щиеся в F, а полученная точ-
(черт. 10).
па тот же третий случай конгру-
энтности треугольников.
Я напомню, что постулат 3 понимается в смысле возмож-
ности описания круга из данной точки D радиусом, равным от-
резку DE, проходящему через эту точку.
Если бы Евклид описывал, как мы, из D круг какого угодно
радиуса, то ему необходим был бы перенос его в Е— операция,
ка F соединяется прямой с А
Это построение опирается
к КНИГЕ I
267
достижимая с помощью предложения 2, но значительно ослож-
няющая построение.
Следует отметить, что евклидово построение допускает два
решения: треугольник может быть построен по различные сто-
роны DE.
41. Трисекция угла93). Тремя знаменитыми классическими
проблемами являются следующие:
1) Построение стороны квадрата, равновеликого данному
ьругу (квадратура круга).
2) Построение куба, равновеликого удвоенному данному кубу
[Делийская проблема).
3) Деление угла на три равные части,
Все эти задачи, как было доказано лишь в XIX в., нераз-
решимы с помощью циркуля и линейки.
Вслед за предложением 9 естественно ожидать другое, если
ко о делении угла па п равных частей, то о делении на 3, 4, 5,
7 частей. Правда, такое предложение являлось бы неиспользован-
ным для основной пели «Начал?, — для построения Платоновых тел;
Евклида эта проблема, возможно, и не особенно интересовала.
Но п дальнейшем, с приобретением юометрней большею прак-
тического значения, задача эта могла явиться не только предме-
том пустого математического спорта.
Практические методы трисекции, основанные па введении ие-
тозволенных у Евклида операций с линейкой или на свойствах
шарнирных механизмов, изобретаются главным образом в сравни-
тельно недавнее время, примерно в XV1J столетии.
Наиболее простой приём состоит в употреблении линейки
с масштабом MNP (черт. 11), па которой откладывается отрезок
PN равный радиусу г = ON— окружности, описанной из вер-
шины О того угла МОД, который мы желаем разделить на три
части. Будем двигать линейку MNP так, чтобы точка Р сколь-
93) См. прим. 58 и 49.
268
КОММЕНТАРИИ
зила по продолжению стороны О А, а сама линейка всё время
проходила бы через точку М. Точка N в некоторый момент ока-
жется на окружности AM.V; тогда угол NPO, как нетрудно ви-
деть, и будет искомый, равный одной трети угла М.ОА. Дейст-
вительно, по свойству равнобедренного треугольника угол NOP
будет равен углу А'РО = а; далее, угол MNO, как внешний по
отношению к треугольнику NPO, будет равен сумме углов Р и О,
т. е. 2а; затем в треугольнике OMN угол /V—2а будет равен
углу М и, наконец, угол AQM, внешний по отношению к тре-
угольнику ОМР, будет равен сумме углов ОМР и МРО. т, е.
2а а — За.
42. Деление отрезка пополам. Относительно этого нос।ро-
ения надо сделать то же замечание, что и относительно преды-
дущего предложения. Тот факт, что Евклид строит на АН рав-
носторонний треугольник, находит себе объяснение в правиль-
ном понимании постулата 3.
Почему Евклид ставит это построение в зависимость ог де-
ления угла пополам?
Ou мог бы построить с другой стороны равносторонний тре-
угольник АВЕ и, соединив вершины С Е прямой, получить
£) в точке пересечения этой прямой с АН.
Но по существу построение АНЕ и соединение Ес С при-
мой и сводится к делению угла АСВ пополам па основании
предложения 9; если бы о« не ссылался на это построение, то
ему пришлось бы доказывать равенство треугольников АСЕ и
АНЕ, как оно уже доказано в предложении 9.
43. Восстановление перпендикуляра. Ссылка Гейберга па
предложение 3 (в начале доказательства) является излишней:
операция отложения отрезков СЕ —CD с помощью описания
окружности из С, как из центра, входит как составная часть
в доказательство предложения 2. Построение равностороннего
треугольника объясняется опять истинным смыслом постулата 3.
'Из описанного предложения вытекает (интересно, что сам
Евклид этого не подчёркивает) единственность перпендикуляра,
который можно восставить к прямой из заданной её точки.
Некоторые коммептатЪры старались извлечь из этого предло-
жения доказательство того, что две прямые не могут иметь об-
щего отрезка, и отсюда доказать, чю две точки определяют
одну н только одну прямую.
Они рассуждали так: если бы одна прямая шла по ВС, дру-
гая по HD, то”, проведя перпендикуляр BE к АВ, по определению
прямого угла, мы получили бы, что / EBD ~ £ ЕВС, т. е. часть
равна целому (черт. 12).
На это возражали, что из предложения И следует, что су-
ществует один перпендикуляр не к отрезку АВ, а ко всей пря-
мой АВС и что можно ожидать для АВС и DBA различных
перпендикуляров.
Конечно, из того, что все прямые углы равны (постулат 4i,
следует, что существует только один перпендикуляр, и обратно —
К КНИГЕ Т
269
из того, что всего существует только один перпендикуляр, сле-
дует, что все прямые углы равны. Но Евклиду нужна постро-
яемость, являющаяся для него критерием существования, и он
доказывает здесь существование перпендикуляра в своём смысле.
Построение Евклида даёт только один перпендикуляр. Весьма
вероятно, что этот результат формулировался так, что сущест-
вует только один перпен-
дикуляр и что не мысли-
лась возможность других
построений, дающих пер- -
иепднкуляр, Постулат 4
о равенстве прямых углов
должен был явиться поз-
же, когда возникла эта
мысль. Но эта мысль
должна была повести от А
евклидовой точки зрения
к лежандровой ;9) — к
Черт. 12.
возможности существо-
вания какого-нибудь построения и, наконец, к существованию не-
зависимо от построения, потому что единственность решения
выводится из единственности существования.
44. Перпендикуляр в середине отрезка. В современной
геометрии большую роль играет понятие геометрического места;
у Евклида этого понятия нет.
Перпендикуляр в середине С отрезка DE он не рассматри-
вает как геометрическое место точек, равноотстоящих от D и Е\
это свойство равноудалённости точек перпендикуляра от D, Е
ему нс приходят в голову, так как он употребляет не наше об-
щее построение, а свое частное.
В истории геометрического учебника это свойство перпенди-
куляра в середине отрезка сыграло кардинальную роль.
ьорьба с методом наложения и выработка нового неевкли-
довского порядка теорем привела к употреблению особой акси-
омы, выдвинутой впервые Арно.
Если две точки прямой СЕ равноудалены от D и Е. то
то же относится п к другим точкам на CF^).
45. Арнольдианский порядок геометрии191}, В истории
геометрического учебника очень большую роль сыграла киш а
знаменитого главы янсенистов и одного из авторов Порт-Роялев-
ской логики—Арно (Arnauld). Его книга никогда не служила учебни- * 101
"} См. прим. 20.
10С) См. прим. 56,
101) Арнольдианский порядок в учебниках: L a m у, Elements de
Geometrle, Paris, 1735. — S a u v e nr, Geometric th€oretique,et prati-
que, Paris, 1753. — Rivard, Elements des Mathematiqiies, Paris,
1758.
270
КОММЕНТАРИИ
ком, ею влияние её сказывается па всех долежандровских геометри-
ческих учебниках, и более того, на известном «Руководстве»
Острогр'адского102), находившегося больше под влиянием ста-
рых французских учебников, чем Лежандра,
В арнольдианском порядке изложения равенство треугольни-
ков как фигур, более сложных, чем углы и параллельные, ото-
двигается возможно дальше. Следует отметить, что и в некото-
рых современных учебниках лежандрова типа теория параллельных
предшествует равенству треугольников. Порядок этот под-
держивается несколько искусственно с помощью изменения фор-
мулировки, Остроградский формулирует положение Арно так:
«Когда Вы встретите на боках двух равных углов ВАС п DEC
части АВ и ED, АС и EF Соответственно равные, то необходимо
допустить равенство линий, соединяющих в каждом угле концы
этих частей». Это (правда, не полное) положение о равенстве
треугольников (но без употребления термина треугольник).
Для проведения всего плана
Арно и приходится принимать
свою аксиому, которая затем име-
ет очень интересную историю.
46. Королларий Симеона. Из
предложения 13 Симеон103) вы-
водит, что прямые не могут иметь
общего отрезка. Если бы одна
прямая шла по BD, а дручая по
BE, го так как сумма АВС и
CBD, а также АВС и СВЕ равня-
ются каждая двум прямым, т<>
2. АВЕ оказался бы равным £АВЕ),
т. е. часть равной целому (акси-
ома 8) (черт. 13).
47. Знак угла. Предложение
14 интересно в том отношении,
что здесь впервые приходится
различать углы с различных
сторон.
Угол здесь является не прост
наклонением.по наклонением в ту
или другую сторону, такие углы
могут быть равны, но не являются оба одним и тем же углом.
При введении в геометрию положительных и отрицательных
величин эти углы приобретают различные знаки и перестают
быть равными’ Порфирий, по свидетельству Прокла, подчёркивая
ограничение, что углы берутся с противоположных сторон, ука-
зывал, что теорема нс верна, если снять это ограничение.
1С2)*См, прим, 64.
J03) См. прим. 34.
К КНИГЕ I
2'1
Я ограничиваюсь чертежом, из которого читатель сам легко
усмотрит построение Порфирия (черт. 14).
Здесь ACF-}~ Z ACE=-1d, но оба угла лежат по одну
сторону прямой АСВ, и ЕС не составляет продолжения CF,
48. Обратные теоремы. Обратной теоремой в отношении
данной называется такая, для которой условие данной служит
заключением, а заключение является условием.
Для положения: если есть Д, то будет В, обратным будет:
если есть В, то будет и Л.
Но при задании нескольких условий возможно несколько
обратных положений. Для положения: если есть А и В, то будет
и С, обратными являются: если есть Л и С, то будет и В, и если
есть В и С, го будет и А.
Так это и имеет место для предложения 15 о вертикальных
углах: Прокл101) доказывает следующее обратное ему предло-
жение.
Если две прямые, сходящиеся к той же точке на третьей
прямой, образуют с третьей равные углы, взятые с противо-
положных сторон, то они имеют то же направление, т. е.
если /.АЕС — /.BED, то DE и ЕС образуют одну прямую.
Пелетье же даёт другое обращение106).
Если четыре прямые, исходящие из одной точки, обра-
зуют равные противоположные углы, то противоположные
прямые имеют тоже направление, т. е. если / АЕС— /BED
и /_ DEA = / ВЕС, то DE и ЕС, BE и ЕА образуют одну
прямую.
49. Теорема Гаубера. Основные логические аксиомы,--
тождества, противоречия и исключённого третьего, — на которых
зиждятся силлогизмы, входят наряду с математическими акси-
омами в логическое построение математики. В ряде умозаклю-
чений вводятся также и часто логические теоремы.
Примером можно выставить доказательство некоторых обрат-
ных теорем геометрии с помощью теоремы Гаубера106).
Эта теорема состоят в следующем: если установлено не-
сколько теорем, условия которых
/г, п', п", ...
обнимают все возможные случаи, а заключения которых с, с', с’,...
несовместны, то все обратные теоремы верны: из с вытекает п,
из с'-* п’, из с'’ п7 и т. д.
Доказательство. Предположим, что при с не может иметь
место п: тогда должны иметь место п',п\ ... ибо это по усло- * 10
1С4) См. прим. 25.
я'5) р е 1 с t в rl a s, In Euclidis geometries dcmonstratiomim
llbri sex, Lugdtini, 1557.
10°) P f I el d e r e r, Scholien zu Euclidis Elementen; тетр. 1,
Stuttgart, 1827, стр, 63.
272
КОММЕНТАРИИ
вию нашему единственно возможные гипотезы. Но; если выпол-
нено л', то из этого предположения следует с', так что рядом
с с имеет место и с' ; это жевсилу несовместности с и с' быть
ле может.
Эта логическая теорема применима к доказательству гео-
метрических теорем и упрощает их.
Примером могут служить как раз предложения 18 и 19
книги 1 «Начал».
Условиями являются соотношения сторон:
АО АВ, АС<АВ, АС —АВ]
вак.тючепия:
£в> £С, LB<tc, О О с.
Условия, конечно, единственно возможные.
Заключения, конечно, несовместны. Поэтому на основании
теоремы Гаубера сейчас же выводим, что при
4В’ } (предложение 19 книги I)
/ В — / С -+ АС— АВ. (предложение 6 книги Jj
50. Выпрямление доказательства. Предложение 19 очень
просто доказывается апагогически. Комментаторы задавались
целью дать прямое доказательство.
Оно оказалось довольно сложным. Мы приведём его глав-
ным образом потому, что в основе его лежит интересная лемма,
которая используется и в других случаях.
Если угол ВАС треугольника АВС делится пополам прямой
AD, которая рассекает противоположную сторону ВС на отрезки
BD и DC, то к меньшему отрезку BD прилегает меньшая сто-
рона АВ, а к большему DC большая АС (черт, 15).
К КНИГЕ I
Доказывается лемма так: продолжается прямая AD иа отре-
зок DE—AD и откладывается DF—-BD.
Соединяем Е с Г прямой EG.
Нетрудно доказать равенство
и равенство углов BAD и DEE',
трнса, докажем, что Л AEG равноб
Но AC>AG, AG — GE^>
> АВ и потому АС > АВ.
Чтобы доказать с помощью
этой леммы, что при / АВС >
> / АСВ и АС > АВ (черт. 16),
доказывается сначала, что тре-
vroibiiilKii BDE и ADC (если
BD = DC н AD=DE} будут n(
равны, затем, что биссектриса
BF угла АВЕ пойдёт внутри
ABD, так как £ЕВЬ =
= /_ АСВ < / АВС, и потому
отрезок FE АГ. Отсюда же
па основании отмеченной выше
леммы получееч, что
BE —АС> АВ.
треугольников ABD к DEF
вспомнив, что AD биссек-
?дреняый и AG — GE.
Нетрудно апагогически обратить вышеупомянуп’ю лемму,
т. е. доказать, что если AD биссектриса угла ВАС, то при
АВ<АС и BD<DC, т. е, к меньшей стороне прилегает мень-
ший отрезок, к большей стороне — больший.
51. Прямая как кратчайшая линия между точками. Эту же
теорему по свидетельству Прокла Герои н Порфирий доказы-
вают иначе (черт. 17).
Угол ВАС в треугольнике АВС делится пополам прямой AD.
Внешний \тол ADB треугольника DAC больше, чем
угол DAC. Но при построении
2 DAC= Z BAD, поэтому в
треугольнике BAD /_ADB^>
> / BAD. Но против большего
угла лежит большая сторона,
поэтому ВА > BD. Так же до-
казывается, что АС > DC, по-
этому окончательно ВА 4- АС>
> вп-\-ос=вс.
Архимед, а за ним Ле-
жандр обращают это положе-
ние в определение прямой,
которая оказывается кратчай-
шей линией между двумя точками.
Многим положение это представлялось совершенно очевид-
ной истиной. Прокл говорит, что эпикурейские математики счн-
18 Евклид
274
КОММЕНТАРИИ
тали сметным доказывать такое положение, так как ею пре-
красно знает осёл, идущий по прямой линии к сену.
52. Построение треугольника но трём сторонам. Постро-
ение отличается от современного тем, что совершается операция
предложения 2 — перенос заданных отрезков на прямую. Кроме
того, не исследуется условие возможности пересечения проводи-
мых кругов, которое сводится к тому, что сумма двух заданных
сторон больше третьей, а разность меньше, хотя в формули-
ровке предложения об этом упоминается.
53. Перенос угла. На основании сказанного выше наш
приём переноса угла для Евклида является неприемлемым.
Мы описываем окруж-
D F ность каким-либо радиусом
.ХХ из точки С и тем же радну-
\ s' \ сом из точки А Затем засе-
s' \ s \ каем на окружности дугу
I s___________J FG, описанную из точки С
£____________________________Е A G радиусом ЁЬ, и соединяем
ч .а .4 прямой с F (черт. 18).
' °’ Евклид не считает себя
в праве делать такой пере-
нос отрезков. Он должен задать на СЕ и CD какие угодно от-
резки, так как его построение не упрощается от того, что бе-
рутся равные отрезки СЕ и CD, но наоборот, осложняется, так
как требует переноса СЕ на АС и ED на ЕС.
Это построение приписывается Энопиду Хиосскому.
54. Корректив Симеона к двадцать четвёртому предложе-
нию. Прокл, Кампанус, Командинус 1,yi), а также Р, Симеон от-
мечают неполноту евклидова доказательства: Евклид рассматри-
вает только тот случай, когда ВС оказывается внутри угла DEF.
Но может случиться, что ВС упадёт вне DEE’, тогда чертёж бу-
дет другой (ч’ерт. 19),
Углы при основании в Л DFG равны; следовательно. / KFG ~
— Z !GF (по предложению 5). Но / EFG > / KFG и потому
/ EFG > / IGF и тем более / EFG >FajF, откуда ЕС ~
~ВС~у>ЕЕ (предложение 19).
55. Прямое доказательство предложения 25. И здесь, как
в случае предложения 19, можно дать прямое доказательство,
что по свидетельству Прокла делает Менелай Александрийский 108).
Пусть в треугольниках АВС и DEF стороны AB — DE и АС~
— DF, но ВС > ЕЕ.
10*) О Кэмпа нусе см. Cantor, Vorles., т. П.—
Lambert!, Contenta Euclidis Megareusis geometricoru-n elemeii-
torum Itbrl XV.Campanl Galli Iran alpini in eo^deni co'nmen'adorurn
librl XV, Parlsit, 1516. О Командинусе см. Cantor, т. Il, стр. 553.
Cornmandint, Euclidts elenentonim libri XV, Parisii, 1576.
О Прокле и P. Симеоне см. прим. 25 и 34.
Ю8) о Менелае см. С а и t о г, Tories., т. 1, стр, 385.
К КНИГЕ 1
275
На основании /\АВС откладывается BG — EP. затем стро-
ится /.GBH— £DEF и BH—ED (черт. 20).
Затем проводится АН и HG до пересечения в / со сторо-
ной АС.
Тогда &DEF и ДВОЯ равны; отсюда
HG—DF=AC,
Z GHB Z EDP.
Ho HI у HG = AC и AO AI и поэтому НО AI, вслед-
ствие чего Z
Черт. 20.
Прибавляя к обеим частям неравенства /ВАН— /%НА,
получаем Z ВАС > Z BHG=. £EDF.
Прокл дает ещэ другое доказательство этой теоремы.
18*
1
276
КОММЕНТАРИИ
Предполагая, что DE—AB, DF=AC, ок описывает иа то-
чек D, £ окружности радиусов DK=AC \vEK~CB (черт. 21).
Тогда £\DKE будет на-
-— и шим треугольником /\АВС.
X в » AGZ)£
/ f / \ 2S.5 Z GDE> £ 1-DE. но с дру-
/ / / «'ой стороны. Z KDEr-
/ / /\ х" Z влс > У Ql)E-
\ I / | 1 56. Второй случай кон-
't г £ । груэнтности треугольни-
\ \ I 1 ков. Знание равенства тре-
\ \ II угольников пря равенстве
X. \, / У одной стороны и дву X
\. прилежащих углов Прокл
22^ со слов Эвдема приписывает
Фалесу Милетскому. С по-
Черг. 21. мощью этого свойства Фа-
лес определял расстояние
корабля от берега.
Евклид при доказательстве второго случая конгруэнтности
треугольников не пользуется, как мы, методом наложения, ио
прибегает к апагогическому доказательству. Между тем наш
прием совершенно в духе Евклида и вполне соответствует
доказательств^’ предложения 4.
Евклид выбрал свой путь потому, что он взял общее поло-
жение, соединил две теоремы о равенстве треугольников при
равенстве их оснований и углов при основании, и о равенстве
треугольников при равенства оснований, одной пары углов при
основании и углов, противоположных основаниям.
Какую роль играла эта вторая часть?
Она могла заменять теорему о равенстве двух прямоуголь-
ных треугольников АВС и DEF при равенстве гипотенуз СВ
и FE и пары острых углов.
У Евклида еа пет. Мы еб доказываем с помощью теоремы,
ЧТО ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ На Прямую МОЖНО ОПуСЫПЬ lO.TbliO один
перпендикуляр (такой теоремы у Евклида тоже нет).
57. Четвёртый случай конгруэнтности треугольников. Чет-
вертым случаем мы считаем не тот, который выдвигается Евкли-
дом во второй части предложения 26, а другой, неизвестный
Евклиду 109).
ш) Объяснение тому странному явлению, что у Евклида нет
четвёртого случая равенства треугольников, а есть ему отве-
чающий случаи подобия (предложение 7 книги VI), Тропфке на-
ходит в том, что в книге ] Евклид использовал работы Пифа-
гора, которому этот четвертый случай не был известен, а в VI —
работы Евдокса, жившего гораздо позже (408—355 до и. э.),
которому он был уже известен.
К КНИГЕ I
277
Если два треугольника АВС и DEF имеют по две стороны,
равные каждая каждой АВ = DE,BC—EF, и угол АСВ, противо-
положный большей из равных сторон (,4В > ВС), равен углу DFE,
противоположному тоже большей стороне [DEyEF), то тре-
угольники будут равны.
Доказательство ведётся апагогически (черт. 22).
В предположении, что ЛС> DF, откладывается на С А от-
резок CG — DF и доказывается, что треугольники EDF и В(зС
равны. Далее, па основании предложения 16 доказывается, что
fBGZ>4/BCG и потому д ВАС, равный £BGA, больше
ВСА, и на основании предложения 19, что АВ < ВС, что
противоречит предположению. Так же рассматривается случай,
когда АС < DF.
Р. Симеон формулирует иначе этот случай равенства тре-
угольников. Если два треугольника АВС и DEF имеют по две
стороны, равные каждая каждой AB — DE, ВС ~EF,m. угол АСВ,
в(Е!
Черт. 23.
противолежащий стороне АВ, равен углу DFE, противолежа-
щему стороне DE, то треугольники будут равны, если углы
ВАС и EDF, противолежащие равным сторонам ВС и EF,
будут или оба острые, или прямые, или тупые.
Следует отметить, что треугольники, имеющие по две сто-
роны равные и по равному углу, противолежащему одной
из равных сторон, могут быть неравными, если не соблюдено
условие, что равные углы противолежат большей из равных
278
КОММЕНТЛРИН
сторон или что другие углы, противолежащие равным сторонам,
оба острые, или прямые, или тупые.
С данными сторонами CB — EF, ED —АВ и углом £АСВ~
~ Z.DFE существует не один, а два треугольника ДС7>В и ДЛСВ
(черт. 23).
58. Приём Ома110). Ом употребляет оригинальный приём до-
казательства этой теоремы. Он накладывает на BEFD часть AEFC,
, перевернув так, что FE накла-
г - ^7 - j дывается иа EF, FC идёт по
/ ЕВ, а АЕ по FD (черт. 24).
/ Тогда при предположении
/ пересекаемости ЕВ и FD в G
/ прямые ЕА и FC должны тоже
/ пересечься в другом папра-
/ влепив в Н, к мы получим
/7———L • - • В две прямые, пересекающиеся
в двух точках G и Н, что
противно аксиоме 9 Евклида
1ерт. 21. 0 ДВуХ прямых, заключающих
прос гранство.
В доказательстве Ома имеется фузионистическая идея ис-
пользования трёхмерного п остраиства, тогда как Евклид пред-
почитает не пользоваться ею.
59. Абсолютные теоремы. В истории геометрии постулат 5
Евклида сыграл особенно важную роль. Тщетность попыток его
доказательства стимулировала создание неевклидовой геометрии,
сперва геометрии Лобачевского ч1), в которой из данной точки
можно провести не одну прямую, не пересекающую данную,
а пучок, заключающийся между двумя прямыми, называемыми
параллельными, а затем геометрии Римапа 42), в которой изъят
не только постулат 5, но и 9-я евклидова аксиома.
Предложения и построения, имеющие место в геометриях
Евклида и Лобачевского, называются абсолютными.
До теоремы 29 идут положения, не зависящие от аксиомы
о параллельных. Их можно также признать абсолютными, если
ввести в некоторые из них известные ограничения. Можно было
бы перенести их на сферу, на которой большие круги обладают
теми же свойствами, что и римановы прямые, но при этом пос-
тавить условие, что вся фигура заключается в одной полусфере.
Теоремы о равенстве треугольников в этом смысле являются
абсолютными теоремами; абсолютной же является теорема о том,
i1Q)Ohm, Ebene Raumwlssenschaft, 2 Aufl., Berlin, 1835,
§ 26. стр. 111.
ш) H. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений, т, 1,
Сочинения по геометрии, М. — Л., 1946.
из) б. Риман, Сочинения, М. —Л., 1948. — Сборник <06
основаниях геометрии», Казань, 1895. — Богомолов С., Введе-
ние в неевклидову геометрию, М.--Л., 1934,
К КНИГЕ I
279
что внешний угол больше внутреннего с ним не смежного,
и вытекающее отсюда положение о параллельности в случае
равенства накрестлежаших углов.
Абсолютными являются построения, относящиеся к прове-
дению перпендикуляров и к делению угла и отрезка пополам.
60. Аксиома о параллельных в античное время. В настоя-
щее время вполне строго доказано, что постулат 5 не выводится
из других аксиом.
Из различных попыток доказательства постулата 5, базиру-
ющихся на ему эквивалентных утверждениях, для нас наиболее
интересными являются те, которые содержат в себе некоторые
идеи, получившие развитие в геометрии, и те, которые имеют мето-
дическое значение, т. е. могут быть положены в основу разли-
чных школьных методических приёмов изучения параллельных.
Недостаточно ясные доказательства Прокла и Птолемея, без-
условно соответств}'тощие упадк}' античной геометрии, для нас
мало интересны. О параллельных вовсе не так много в антич-
ное время размышляли, как это нам теперь кажется. Следует
обратить внимание на то, что ни Аполлоний НЗ), ни Архимед
ничего не оставили, из чего мы могли бы вывести заключение
об их интересе к этому вопросу,
Видимо, вопросом этим начали интересоваться только в I в.
кашей эры.
Я думаю, что и Гемина и Птолемея* 114) он интересовал не
в той степени, как это нам теперь кажется.
К Посидонию и Гемину относят только новое определение
параллельных. Из того, что они описывали параллельные как
прямые равноотстоящие (иначе чем Евклид), ешё вовсе не вы-
текает, что они давапи вместо евклидового другое доказа-
тельство предложения 29.
До Прокла остаётся только один Птолемей, давший совершенно
неудовлетворительное доказательство аксиомы о параллельных.
Верно только одно, что аксиома о параллельных выступила
на видное место много позже Евклида, и проблема эта была по-
ставлена математиками не эпохи расцвета, а эпохи упадка,
скорее комментаторами, чем оригинальными мыслителями.
Стремился ли античный комментатор к более строгому обос-
нованию евклидовых «Начал*, я сильно сомневаюсь.
61. Потенциальная бескснечностьи параллельные. Следует
сказать несколько слов об интересном доказательстве Валлиса.
Валлис постулирует возможность существования треуголь-
ника, подобного данному, что равносильно, правда в специальной
форме, постулированию гомогенности пространства.
пз) Об Аполлонии см, Cantor, Vorles., т. I, стр. 318. —
Kegeiscnnltte, пер. Balsam, Berlin, 1851, Conica, ed. Heiberg.
Leipzig, 1891—1893. — Z e u t h e n, Die Lehre von den Kegelschnitte
Irn Alterthum, Kopenhagen, 1885.
114) О Птолемее см. Cantor, Vorles., т. 1, стр. 387.
.2S((
KOMMElll А?||Н
Рассуждение Валлиса11') заключается в следующем; пусть
/1С и Ви—две прямые, обладающие тем свойством, что углы
САВ и DBA, образуемые ими с какой-нибудь секущей ЛВ, дают
.в сумме величину, меньшую 2d; предположим для определён-
ности, что угол САВ прямой, a DBA острый (черт. 25). Требуется
доказать, что прямая BD обязательно должна пересечь АС.
Передвинем прямую BD параллельно самой себе так, чтобы
она заняла положение AL. Поскольку угол LAx равен острому
.углу DBX, то полупрямая AL будет вся целиком заключаться
внутри иримою угла С Ах а вес точки AL будут находиться
слева от АС. Передвинем теперь AL чуть-чуть вправо так,
чтобы точка А перешла бы в положение b и, таким образом,
оказалась справа от А. Невозможно предполагать, чтобы при
достаточно малом АЬ передвинутая полупрямая AL не имела
бы ни одной точки слева от АС. Но если так, то она, передвину-
тая в положение Ьс, обязательно дочжиа пересечь АС в некото-
рой точке с. Доказавши, таким образом, существование тре-
угольника Abe, Валлнс строит при точке В угол СВА, равный
у1Лу сЬА, и затем на прямой АВ получает треугольник АВС,
подобный построенному Abe; сторона ВС этого треугольника
пересечёт АС в некоторой точке С. Но поскольку через В про-
ходят две прямые ED и ВС, образующие с АВ один и тот же
угол DBA = LAx и CBA = ebA, то'эти две прямые должны обя-
зательно совпасть; следовательно, прямая BD будет пересекать
АС в той же точке С.
Только ли гомогенность пространства постулируется здесь
Валлисом?
Нет, в данном рассуждении постулируется, кроме того, нечто
в высшей степени важное, а именно, общий принцип теории
”’) Wai Its, Opera Owiiae, 1659— 16Q9, т. 11, стр. 665.
К КНИГЕ t
281
пределовПб), правда без определённой формулировки, который
впервые дан Лейбницем в метафизической форме н Ньютоном —
в математической.
Отрезок АЬ, при котором Ьс пересекает АС, должен суще-
ствовать, ибо если бы он не существовал, то он не будет суще-
ствовать и тогда, когда АЬ обращается в нуль (по-нашему —
в пределе); но в таком случае при совпадении Ъ с А не будет
общей точки у Ьс и АС, что, конечно, нелепо.
Валлис мыслит, как Попселе М) при установлении своего
принципа непрерывности: «Если некоторое положение имеет
место, когда некоторые величины ие обращаются ни в нуль, ни
в бесконечность и не принимают мнимых значений, то положе-
ние остаётся верным и в том случае, когда эти -ограничения
сняты*.
Теперь этот принцип, развенчанный из ранга аксиом, служит
уже не для доказательства, а лишь как эвристический метод
отыскания новых геометрических истин. Вапису при его смут-
ном понимании предела представлялось совершенно очевидным
то, что теперь таковым не является вовсе.
62. Актуальная бесконечность и параллельные. Приведём
доказательство постулата 5, данное Бертраном, который опе-
рирует с актуальной бесконечностью. Подобного рода операции
были в большой моде среди математиков XVIII в., которые,
оперируя с бесконечными величинами, как с конечными, жестоко
запутывались в противоречиях (особенно грешен в этом отно-
шении был Фонтенель), что вызвало изгнание актуальной бес-
конечности к замену сё потенциальной — понятием о пределе
в смысле Д’Аламбера и в нашем.
Теперь мы ясно сознаём, что бесконечность может получить
права гражданства лишь при условии отказа от целого ряда
свойств, присущих конечным величинам. Поскольку опа может
стать ^равной» своей части, то нельзя определять «меньше»
как существование в какой-либо части большего: одну и ту же
гиперболу можно расположить и так, что сё ветвь будет заклю-
чаться в угле, образованном её асимптотами, и так, что она сама
будет заключать эти асимптоты.
Вполне попятно, почему Л. Бертран подошел к доказательству
аксиомы о параллельных с помощью актуальной бесконечности;
действительно, именно он определил прямую изогепностью час-
тей, на которые она делит плоскость, именноопределил угол
пв) D'Alembert, Encyclopedic des arts et des metiers etc.
(Diderot), Limite. — Д. M о p д у x а й-Б олтовской, Исследования
о происхождении некоторых основных идей современной мате-
матики, V, Генезис и история теории пределов, Известия С.К.Г.У.,
1928, т. Ill (XV), стр. 103.
21") Poncelet, Applications d’Analvse a la Geometrie.. t.1L
1864. стр. 173.
282
КОММЕНТАРИИ
как неопределённую (бесконечную) часть плоскости, ограничен-
ную двумя пересекающимися прямыми.
Прежде всего утверждается, что всякий угол больше полосы
между двумя параллельными, так как плоскость можно покрыть
конечным числом выходящих из одной точки углов, равных
данному, тогда как та же самая плоскость покрывается лишь
бесконечно большим числом параллельных полос.
Затем, если мы построим два равных угла DCB н АВР
(черт. 26), то по предложению 27 будем иметь две параллельные
прямые АВ и CD. Возьмём прямую СЕ так, чтобы угол ECD
был меньше угла АВР =
— DCB так, что СЕ попадает
в полосу ABCD. Тогда, если
пересечения СЕ и АВ не
существует совершенно и
прямая СЕ находится цели-
ком в полосе ABCD, то
угол DCE должен быть
меньше этой полосы (ибо
он целиком в ней заклю-
чается), что противоречит
основной предпосылке.
В отношении идейного
содержания большее значе-
ние имеют исследования
Ламберта 1'*) и первое доказательство Лежандра 11э).
Они выявляют гомогенность евклидовского пространства
в форме отсутствия в нём абсолютной меры. Лежандр обнару-
живает, что предположение, что сумма углов в треугольнике
меньше двух прямых (предварительно доказав, что она не может
быть больше), приводит к выражению стороны в виде функции
от углов, которая, конечно, должна содержать линейный параметр.
63. Роберт Симеон. Укажем схематически ход до <азатель-
с гва Р. Симеона.
Оно представляет синтез идей Прокла, Нассир-Эддина12Э,
и Клавия* * * 120 121), из него путём упрощений вырабатывались школь-
ные доказательства.
Первое положение Р. Симеона ia7). Если две равные
прямые АС и BD стоят к прямой АВ под прямым углом
н из точки F прямой CD опущен на АВ перпендикуляр ЕЕ,
то EF, AC, BD 6jfcyT равны (черт. 27).
П8) S t а с k е 1 und Engel, Die Theorie der Paraliellinien ... ,
Leipzig, Teubner, 1895.
и?) См. прим. 20.
120) Euclidis elenentorun ilbri ХШ; studio Nasseredinl. Roma,
1657, 1801. См. также Wallis II, Opera, t. 11, стр. 669.
121) См. прим. 67.
I32) См. прим. 34,
К КНИГЕ 1
283
Если бы, говорит Р. Симеон, это было бы не так, то CD
сперва подходила бы, а затем отходила бы, чего быть не может.
Это положение входит в теорему Клавня-
Второе положение. Если к прямой с одной еЕ сто-
роны под прямыми углами проводятся две равные прямые
н соединяются их концы, то соединяющая прямая образует тоже
прямые углы с прямыми, вершины
которых они соединяют. _ , Г ' t ~*
Это лемма Насснр-Э.тднпа,
положение Клавин н установка
гипотезы прямого угла Саккери.
Отсюда выводится, что в па-
раллелограмме, в котором три
угла прямые, и четвёртый угол
должен быть прямым.
Третье положение. Ес- II —
ли две прямые образуют острый д £ В
угол, то на каждой можно найти
такую точку, что перпендикуляр, Черт. 27.
опущенный на другую, будетболь-
ше всякой данной величины. Этим положением, как аксиомой,
пользует Прокл.
Четвёртое положение. Если две прямые пересекаются
третьей под равными углами — одним внутренним, другим внеш-
ним, то существует прямая, пересекающая обе под прямым
углом.
Пятое положение представляет постулата Евклида.
64, Транзитивность параллельности. Отношение параллель-
ности обладает свойствами, аналогичными тем, которыми обла-
дает равенство
а = &—-> Ъ — а,
а Ь. Ь--с —>.а = с,
т. е. свойствами коммутативности а транзитивности.
Исключая постулат 5 и определяя параллельные прямые,
как предельные прямые, между которыми заключаются прямые
не пересекающиеся (сверхпараллельные), мы вынуждены эти по-
ложения доказывать.
Предложение 30 является эквивалентным постулату 5. Остро-
градский принимает его за основную аксиому теории парал-
лельных.
65. Сумма углов в треугольнике. Прокл, а за ним Клавий
приводят несколько иное доказательство, которое вводят сейчас
в некоторые учебники I23j (черт. 28).
Вспомогательная прямая DF проводится через вершину
параллельно основанию ВС. При А оказываются сосредоточены
12,J Enriques, G1 i Clementi, стр. 108.
284
К0ЧМЕП1Л HIU
все yi лы треугольника, так как АВС = A* DAB и £ АСВ—
= / FAC как пары накрестлежащих углов.
Вот два интересных исторических вопроса, которые занимали
Ганкеля.
Каким образом заключили, что сумма углов треугольника
равна двум прямым, и какой формы было первое логическое
доказательство этой теоремы?
Первые сведения по геометрии устанавливались с помощью
дробления площади вспомогательными прямыми па треугольники.
Вначале имелось в виду лини, определение площадей плоских
фигур, но при дальнейшей эво-
люции геометрии средство это
было применено для изучения
форм.
Вот простейшие геометриче-
ские факты этого рода, отмечае-
мые Платоном в его диалоге
«Тимей»: дробление треугольни-
ка ла два, образование квадрата
из двух или четырёх rpeyt ельни-
ков к т. д.
Одним из фактов, предста-
влявшихся важным в глазах пи-
фагорейцев, было то, что плоскость возможно заполнить только
тремя родами правильных многоугольников: треугольниками,
четырсугольниками и шестиугольниками.
По мнению Ганкеля, первое доказательство теоремы осумме
углов Tpeyi олышка относилось только к равностороннему тре-
угольнику и вытекало именно отсюда.
Сумма шести углов равносторонних треугольников, как
сходящихся в одной точке, равна 4rf, каждый угол одна шестая
4d, а сумма углов 2d.
Фалесу приписывается положение о том, что угол, опираю-
щийся па диаметр, прямой. Гацкель думает, что положение это
принималось Фалесом без доказательств, как непосредственно
очевидная истина, но что уже из неё ои выводил то, что сумма
углов в прямоугольном треугольнике равна двум прямым. Пе-
реход же к общему случаю не представляет затруднения,
Аристотель в «Метафизике» упоминает об этой теореме
как ему известной.
По Проклу, доказательство предложения 32, получающее-
ся после проведения через вершину треугольника прямой па-
раллельно основанию, принадлежит Пифагору (вернее пифаго-
рейцам).
В учебниках иногда употребляется форономическое доказа-
тельство предложения 32 с помощью прямой, которая, вращаясь
около вершин А, В, С от стороны Ъ до с, от с до а, от а до&,
совершает потный оборот в 4d, так что сумма внешних углов
равна 4d, а па долю внутренних остаётся 2d.
К КНИГЕ I
235
льнике:
только символической,
Конечно, иечьзясказать,
Черт. ?9.
jaem, что сумма углов в
прямым,
ёт первую часть предло-
66. Сумма углов многоугольника. В наших учебниках
за теоремой о сумме углов в треугольнике следует’ формула
для суммы углов в выпуклом миогоуго
—2) 2Л
У Евклида совсем нет формул не
по и риторической (словесной) алгебры,
чтобы содержание этой формулы
не могло быть выражено на евкли-
довом языке, но выражение должно
быть очень сложно и будет вообще
не соответствовать общему харак-
теру «Начал', которые занимаются
свойствами геометрических объек-
тов, их сравнением, но совершенно д-
не занимаются измерением; число для
них только предмет изучения, но не
средство измерения.
О сумме углов в многоугольнике
впервые говорит Прокл. Формулу
дает Региомонтан (1436—1476).
Интересно отметить, что и мно-
гие старые комментаторы идут но
пути Евклида,
Кампано занимается не суммой
углов «-угольника вообще, но дока.чьи
звёздчатом пятиугольнике равна двум
В основу своего вывода он клад
желия 32.
Он замечает, рассматривая ДД/Сг (черт. 29), что внешний
угол QAF равен сумме I-\-Q. Таким же образом, рассматри-
вая КВН, он получал, что KBF = К+И.
Но цз £\ABF получаем, что сумма углов: £F ^QAFA~
-\- £KBF — 2d, так что действительно
Z^+ZO + Z^+Z/'+Z'f^.
67. Свойства параллелограммов. В настоящее время, изу-
чая параллелограммы, мы не ограничиваемся только равенством
противоположных сторон и углов.
У Евклида даже нет упоминания о взаимоперсссчспин диа-
гоналей пополам. Нет изучения прямоугольника н ромба.
Комментаторы, начиная с Клавия, особенное внимание обра-
щали на теоремы, получаемые обращением евклидовых теорем.
Если через А обозначить свойство иметь равные противо-
положные углы; В— иметь равные противоположные стороны;
С — иметь пересекающиеся пополам диагонали; D — быть парал-
лелограммами, то положение 34 сформулируется так для четыре-
угольпика: если I), то А и В. Клавий ’доказывает, что если А,
то /), если В, то D, если С, то D.
286
КОММЕНТАРИИ
К предложению Евклида, выявляющему диагонали как осп
симметрии ромба, прибавляется положение Клавия, по которому
прямая, проходящая через пересечение диагоналей, разделяется
в этой точке пополам. Отсюда, конечно, родится понятие о центре
симметрии.
В современных учебниках разбираются ещё специальные
свойства ромбов и прямоугольников (перпендикулярность диаго-
налей в ромбе и равенство и.\ в прямоугольнике).
В Меранской программе изучение параллелограммов связы-
вается с общей теорией симметрии', параллелограмм оказывается
фигурой, имеющей центр симметрии (в точке пересечения диаго-
налей), ромб— иентр и две оси симметрии (диагонали), прямо-
угольник— центр и две осп симметрии (прямые, соединяющие
середины противолежащих сторон), квадрат объединяет свойства
прямоугольника и ромба (центр и четыре оси симметрии).
Следует обратить внимание па аксиоматическую конструк-
цию доказательств теории о свойствах параллелограмма, ромба
и прямоугольника. Если пе пользоваться евклидовой аксиомой
о параллельных, то о фигуре ABCD, в которой углы А и В при
нижнем основании равны каждый прямому углу, а боковые стороны
АС и BD имеют равные длины, можно сказать только, что она
прямоугольная трапеция, и доказать, что углы С и D при верхнем
основании тоже равны. Относительно их можно сделать три гипо-
тезы: они могут быть острыми (тогда мы будем иметь геометрию Ло-
бачевского), тупыми (геометрию Римана, если еще соответственным
образом изменить аксиомы сочетания и порядка) или прямыми
(геометрия Евклида). Во всех трёх геометриях будут иметь место
следующие теоремы: диагонали AD и ВС равны (но пе обя-
зательно пересекаются поиолалт), прямая, соединяющая середины
верхнего и нижнего оснований, является осью симметрии и по-
этому перпендикулярна как к верхнему, так и к нижнему осно-
ваниям.
68. Равносоставленные и эквивалентные фигуры. В гнль-
бертовской теории площадей121) различаются фигуры равпосо
ставленные и фигуры эквивалентные или равновеликие.
В первом случае фигуры разлагаются на равные (конгруэнт-
ные) многоугольники.
Во втором случае это разложение имеет место после при-
соединения к каждой равпосоставленных частей.
Равносоставленные фигуры являются и равновеликими, но
пе наоборот.
Конечно, это понимание равновеликости построено для
того, чтобы развить теорию площадей, не используя аксиомы
непрерывности, иное, чем у Евклида,
Для последнего равновелики те фигуры, которые имеют
ту же площадь, а площадь—это величина, сущность которой 124
124) См. прим. 38 (гл. IV).
К КНИГЕ I
287
числе и взаимно однозначном со-
как первичного понятия им не определяется. Следует отметить,
что он не даёт измерения площади числом. Вообще же площадь
можно охарактеризовать числом только после установления по-
нятия об иррациональном -------- ---------- ----------*'
ответствии между геоме-
трическими величинами и
числами.
В предложении 35
рассматривается только
наиболее сложный слу-
чай, когда Е выходит за
Л£) (черт. 30) и когда
приходится устанавли-
вать равносоставленность
присоединением части
DCF.
В том случае, когда
F понадает между 4 и
Г), оба параллелограмма
имеют общую часть — трапецию BEDC и, кроме того, по рав-
ному треугольнику АЕВ и CDF.
'Ест доказать, что фигуры, равнососгавленные с третьей,
равносоставлеиы между собой (как это делает Гильберт),
то в несколько приёмов, переходя от ABCD к BEFC, потом
к BE’F’C и т. д., можно доказать равносоставленность парал-
лелограммов при условии предложения 35.
Но это можно сделать непосредственно, как показывает
следующий чертёж (черт. 31).
Через точку К пересечения сторон BD и АЕ параллело-
граммов проводим QH]\ АВ.
Затем, взяв и НН-^ВН, проводим Фа/ДНЛТ?
И т. д.
288
КОММЕНТАРИИ
Тогда два параллелограмма, как нетрудно видеть, разобьются
на соответственно равные части (1, Г'), (2, 2'), (3, 3'), (4, 4'),
(5, 5'), (6, 6').
69. Деление площадей. К предложениям 38, 39, 40, 41 при-
мыкают сильно интересовавшие математиков эпохи Возрождения
проблемы о делении площадей 125).
Простейшей задачей является задача о делении площа-
ди треугольника пополам прямой, проходящей через вер-
шину.
Если провести медиану ЛЕ (т. е. соединить А с серединой/?
стороны ВС), то получаем решение задачи. Треугольники АВЕ
и АЕС будут равновелики
б
Черт. 32.
(черт. 32).
Пелетье делиг тре-
угольник пополам прямой,
проходящей через данную
точку F на стороне АС.
Он из F проводит пря-
мую FE к Е— середине
ВС и из А проводит AD FE;
тогда FE) даёт решение sa-
il самом деле, треугольники ADF и АЕ)Е, имеющие одно
и то же основание АО и вершины F и Е на FE [| АЕ), равнове-
.таки, поэтому DFC = DEF^EFC = AEF 4- EFC = АЕС=^ АВС.
70. Преобразование площадей. Другая задача, также очень
интересовавшая математиков эпохи Возрождения, это задача
о преобразовании площадей™) (задача о построении фигуры
определённого типа, равновеликой заданной).
Евклидом ставится проблема о построении квадрата, равно-
великого данной прямолинейной фигуре. Евклид не имел алгебры,
по он получал геометрическим путём го, что мы получаем с по-
мощью алгебры; кроме того, он оперировал самими площадями,
а не числами, которые измеряют эти площади.
Роль извлечения квадратного корня из числа у него играло
построение стороны квадрата, равновеликого данной прямоли-
нейной фигуре.
12'j Wil Ike, Nene erlelchtende Methode den Inhalt gerade
1‘lgtiren zii findeii, Halle, 1757. — E. Mayer, Prakt. Geometrie,
Halle, 1758. — G e r v i e n, Crell’s Journal, 1833.—Halt, Geometri-
cal dissections and transpositions. Messenger of Mathematics, 1877.—
Re thy, Rausenberger, Dobrlrier, Mathematische Anna-
len 38/42, 43, 45.—Вебер и Вел ь штейн, Энциклопедия эле-
ментарной математики, т. II, кн. 1, Одесса, 1913. — Фуррэ,
Геометрические головоломки. — К 1 ii g е 1, Mathem. Worterbuch,
т. 2, сгр. 211.
См. прим. 125.
К КНИГЕ t
2S9
В
Д
G
D
£
Предложения 42, 43, 44, 45 следует рассматривать как ряд
предложений, направленных к предложению 14 книги 1[, дающему
окончательное решение поставленной проблемы: построить
квадрат равновеликий (Евклид говорит— «равный >) данной
прямолинейной фигуре.
71. Квадрат и его сторона. Евклид указывает, как по сто-
роне построить квадрат. Его комментаторы ставят задачу, как
по площади квадрат а (они корот-
ко говорят но квадрату) найти
ею сторону.
Выражая всё через числа, мы
знаем, что уравнение х-~а
имеет только одно положительное
решение.
Комментаторы доказывали
геометрически, что проблема до-
пускает одно решение, что рав-
ные (в евклидовом смысле) квад-
раты имеют равные стороны.
Конечно, проще всего было
бы доказывать это апагогически.
Если предположить, что AEFG и
ADCB равны, ио AE<Z_AD, мы
можем, согласно Евклиду, пост-
роить квадрат AEFG, который
весь окажется внутри ABCD', в противном случае мы получили
бы. например, пересечение сторон GF и ВС в точке Е\, а из этой
точки имели бы два перпендикуляра F^B и Ffi на ZM(черт. 33).
Прокл вместо этого простого апагогического доказательства
даёт очень сложное прямое. Я в кратких чертах ею намечу.
Оба квадрата переносятся в положение A'B'C'D', F.'F’G'H’
так, чтобы точка А' совпала с G', a G’F’ служили продолжением
В'А' (черт. 34).
Затем, имея в виду, что диагональю квадрат рассекается по-
полам (предложение 34) и что квадраты по условию равны,
мы получим, что (в силу аксиомы 2) F'B'D' = B'H'D', а так как
эти треуго'|Ы|Ики имеют одно и го же основание, го (по пред-
ложению 39) F'D' ’] Н'В'.
Отсюда доказывается равенство £\Н'В’А’ и DJj’F’D' и ра-
венство E^H’F'B' и fcJi'F'D' и. параллельность В'I)' и H'F'.
В результате оказывается, что B'D'-~H'F' и от равенства
диагоналей нетрудно перейти и к равенству сторон.
Следует отметить, что теорема 39 доказывается Евклидом
анагогнчески; поэтому, если иметь в виду весь iivib от аксиом,
то теорема эта всё-таки доказывается апагогичсски.
Правда, при обосновании первого доказательства исполь-
зуется теорема о том, что цз данной точки можно опустить
только один перпендикуляр на данную прямую, которой у Ев-
клида нет. Но предложение это, как отмечает большинство ком-
19 Евклид
290
КОММЕНТАРИИ
ментаторов, сейчас всё же выводится как непосредственное
следствие из евклидовского предложения 16.
72. Доказательства теоремы Пифагора12^. Многочислен-
ные доказательства теоремы Пифагора делятся на следующие
виды:
I) Доказательство, которое даётся в «Началах» и, по свидетель-
ству Прокла, принадлежит самому Евклиду.
Оно основывается па равновеликости треугольников с рав-
ными высотами и равными основаниями и выводится из равнове-
ликости параллелограммов с равными основаниями и высотами
как фигур эквивалентных в смысле Гильберта на основании
аксиомы 6 книги I «Начал»: половины равных величин равны
между собой.
Доказательство это не может быть непосредственно пред-
ставлено на модели.
2) Доказательство равносоставленности. Особенного внимания
заслуживает доказательство Anaritius (900 г. нашей эры).
12?) История теоремы: Cantor, Vorles., т. 1, стр. 142, у индусов
стр. 613, у китайцев стр. 637, о Пифагоре стр. 137. — Allman,
Greek Geometry from Thales to Euclid, Dublin, 1889. — Enriques,
Gli elementl, стр. 135.—Цейтен, История математики в древно-
сти и в средние века, М,—Л., 1932 О теореме Пифагора говорят Плу-
тарх, Витрувий, Диоген Лаэртский: Piutarchus, Opera, Ed.
Didot, т. 4, стр. 272, 1332. — Vitruvius, De architectura, кн. 9,
стр. 2.— Diogenes Laertius, De vita phllosopliorum, кн. 8,
стр. 207.
к книге 1
291
Мы прилагаем чертёж, по которому может быть построена
модель (черт. Зоь
Черт. 35.
Черт. 36.
На чертеже LE Ц АВ, Л/?_[_
нис BE, КРХОВ и /,V_LPA*.
BQ— LM. Мы не будем излагать
доказательство. Отметим, что
очень ходкое в настоящее время
доказательство, изображённое
на черт. 36, представляет по су-
ществу доказательство Апари-
ния, но только при другом рас-
положении квадратов, постро-
енных на гипотенузе и катетах.
Такого же типа доказатель-
ство представлено па черт. 37.
3) Доказательство, основан-
ное на равносоставленности фи-
I ур, полученных из данных
прибавлением (черт. 38).
Доказывается, что два рав-
ных шестиугольника AEODEB
и CAILKB состоят — первый
из квадратов, построенных па
катетах, и двух треугольников
ABC — ODC, второй— из кват-
р .та, построенного на гипотенузе,
угольников АВС = ILK-
4) Доказательства, построенные ]
тождествах, которые можно здмени
АВ и LM^AB, ВО продолже-
Черт. 37.
и из двух таких же тре-
ia некоторых алгебраических
гь соответствующими гсоре-
19*
292
КОММЕНТАРИИ
мами книги И «Начал»; о них будем говорить в комментариях к
книге II.
5) Доказательства, основанные на теории подобия; о них
будем говорить в комментариях к книге VI.
Интересно отмстить упрощение, предлагаемое Лицманом к до-
казательству Евклида и состоящее в том, что квадрат, построен-
ный па одном из катетов, направляется внутрь (черт. 39).
' 73. Теорема Паппа12>), Обобщением теоремы Пифагора яв-
лястся теорема Паппа Александрийского (111 в. пашей эры).
Во всяком треугольнике АВС(черт. 40) параллелограмм АВА’В',
1 который построен иа одной стороне треугольника внутрь послед-
,| него п имеет две вершины А’ и В' вне треугольника, равновелик
л сумме двух параллелограммов ACED и BCGF, построенных иа
( двух других сторонах треугольника так, что стороны их, нарал-
'I дельные сторонам треугольника, проходят через вершины первого
| параллелограмма 12Э).
, 12S) Р а р р i А 1 е х а и d т i n i, Collecllones, ed. Hultscli, Bero-
i( Uni, 1876 — 1878.—Ozanam, Recrealions Math., Paris, 1778.
i; ыя) Нетрудно видеаь, что намеченные в условии свойства
;! присущи такому доказательству теоремы Пифагора по Евклиду,
'• в котором квадрат на i ппотепузе строится внутрь, а квадраты
। на катетах — наружу.
К КНИГЕ I
293
Доказываем, что Л А'В'С — Л АВС.
Параллелограммы АА’С'С и ВВ’С’С равновелики данным
параллелограммам ADBC и BF(jC вследствие равенств высот
и оснований.
Если от фигуры АА’СВ'В отнять Л А'С’В', то остаётся
параллелограмм АА'В'В.
Если же отнять треугольник АВС—А'В'С, то остаётся
сумма параллелограммов АА’С'С ВВ’С’С или равная ей сумма
пара (.лелограммов ADF.C BFGC.
74. Теорема, обратная теореме Пифагора. Эта теоре-
ма в настоящее время доказывается (это летали и некоторые
комментаторы) на основании предложений 12 и 13 книги 11, даю-
щих так называемую обобщенную теорему Пифагора, которая
выражается в современной символике формулами;
СВ2 — СА2 -f- АВ3 -f- 2.4C-AD (для тупого угла)
СВ2 = СА2 Н- АВ2 — 2AC-AD (для острого угла).
Следовательно, для тупоугольного треугольника
СВ- > СА2 f- АВ2,
для остроугольного
СВ- < С А2 4- АВ->
для прямоугольного
СВ2 ~CA2±AB2.
Мы имеем три случая, удовлетворяющих условиям теоремы
Гаубера539), « получаем три обратные теоремы, среди которых
есть и обратная пифагоровской.
13°) См. комментарий 49,
294 комментарии
Эта трихотомия может служить иллюстрацией другой тео-
ремы, с которой связано не всегда уясняемое учеником понятие
о противоположных и обратных теоремах.
Из четырёх предложений:
1) А есть В', 2) В есть Л; 3) «не Л» не есть В; 4) «не В» не есть А,
тле 1) есть прямое предложение, 2) — ему обратное, 3) — ему
противоположное и 4) — обратное противоположному; каждые
два влекут за собой остальные два.
Например, из I) и 3) необходигяо вытекает 2); действительно,
если бы В оказалось «не <4», то мы имели бы одновременно:
некоторое «не А> есть В и всякое «не А> не есть В — согласно
предложению 3), что привело бы к противоречию.
Ученик часто неясно представляет сущность обратной тео-
ремы и не ъсегда понимает различие между необходимыми и
достаточными условиями. В сущности оя повторяет те же ошибки,
через которые проходило и всё человечество. Интересно отме-
тить, что Гиппократ Хиосский при своих квадратурах луночек
пользуется всеми тремя теоремами, обратными Пифагоровой п
её обобщениям для косоугольных треугольников, тогда каь
«Начала» Евклида (и, по всей вероятности, также и «Начала»
Гиппократа) не содержат теорем, обратных обобщениям теоремы
Пифагора.
Мы имеем четвёрку теорем:
I) Если угол А треугольника прямой, то ВС2 = АВ2 }-АС2.
2) Если ВС2 = АВ2-}- АС2, то угол Я прямой.
3) Если угол А не прямой, то'SC* не равно АВ2-}-АС2.
4) Если ВС2 не равно АВ3-}-АС2, то угол А не прямой.
Не всегда обращают должное внимание на предложение 2),
между тем как именно оно, а не сама теорема Пифагора, имело
важное значение при построении прямого угла при помощи
«египетского» треугольника со сторонами 3, 4,-5 и ему анало-
I ичных.
КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ II
1. Гномон. Гномон в переводе распознаватель.
Сперва это распознаватель времени, примитивные солнечные
часы, состоящие из двух перпендикулярных шестов или досок,
из которых одна АВ расположена вертикально, другая АС гори-
зонтально по направлению тени в полдень (черт. 1).
Черт. 1.
Затеи гномон является плотничьим инструментом для про-
верки перпендикулярности; вместе с тем гномоном начинает
называться фигура, образованная двумя прямоугольниками ЕВ/Н,
GF/FC и двумя дополняющими друг друга до прямоугольника,
треугольниками Fill) и HDF, получаемая опусканием из точки Н
диагонали AD перпендикуляров на стороны прямоугольника 1)
(ч<_рт. 2).
Ь Cantor, Vorlesungen liber Gesch’chte der Mathematlk, т. I»
гл. 6, crp. 151. — Allmann, Greek Geometry from Thales to
Euclid, Dub in, 1889. — Aristoteles, Opera, ed. Dldot, Categoriae,
296
КОММЕНТАРИИ
Евклид обобщает понятие гномона: вместо прямоугольника
он берёт вообще параллелограмм (черт. 3).
Наконец, Героиом Александрийским2) гномон определяется
в ещё более общем смысле? «всё, что прибавленное к числу или
к фигуре делает целое подобным тому, к чему прибавляется,
называется гномоном».
С его точки зрения для пятиугольника abede гномоном
будет aBCDE (черт. 4).
Под это общее понятие подходит число-гномон. Таковым
является всякое нечётное число 2п 4-1, так как, присоединяя его
к квадрат}' п-, подучаем тоже квадрат
п -|- 2п ф- 1 ~~ (п -|- I)2.
Получение квадрата я- суммированием последовательных
нечётных чисел 1 . . -j-2п—I ещё Пифагорей-
о b •’..............................”• 8
Черт. 1.
нами мыслилось, как получение полного квадрата последовз-
тельным присоединением к единичному квадрату гномонов, отве-
чающих нечётным числам 3, 5, 7,..., 2н — 1 (черт. 5).
2) Heron, Opera, ed. Huitscli, Def. 59, стр- 21.
К КНИГЕ 11
297
2. Произведение отрезков. Одним из основных понятий
«Начал? является прямоугольник, заключенный между прямы-
ми АВ н АС.
Прямоугольник, построенный на АВ и АС, уже нечто иное;
&ю прямоугольник, построенный на двух пересекающихся пря-
мых АВ и АС без их переноса, аналогично тому, как в третьем
постучате Евклида окружность строится из точки А раствором
АВ, т. е. определённым ’исходящим из А отрезком.
Если перевести, как это делает Гейберг, формулировку Ев-
клида иа современную символику, то в евклидовых формулах
мы будем всегда иметь АВ X АС, АВ X ВС, но никогда не АВ X CD.
т. е. перемножаемые прямые должны исходить из одной точки.
Евклидово АВУ^АС ни в коем случае не произведение АВ
иа АС а), но во всяком случае то, из чего это произведение
рождается. Прямоуюльннк ла АВ и CD обращается в произве-
дение, но не в том смысле, как его понимают в арифметике —
произведение чисел, а как результат некоторого действия над
отрезками, который даёт нам уже не отрезок, но площадь.
При этом юворилн не multiplleare АВ in CD, a ducere АВ
in CD.
Только арифметизация геометрии, завершившаяся уста-
новлением лежаплрова взаимно однозначно] о соответствия
между числом и геометрической величиной, обратила ducere
в muhiplicare и превратила АВ X CD в произведение чисел, из-
меряющих отрезки АВ и CD. Интересно отметить н промежуточ-
ную степень. Это точка зрения Декарта* 4), при которой АВ X CD
сводится тоже к отрезку, определяемому пропорцией
х _CD
АВ'~ 1
и подучаемому простым построением, требующим проведения
параллельных.
3. Закон дистрибутивный. Предложение 2 можно рассматри-
вать как геометрическую интерпретацию прямого дистрибутив-
но] о закона
(а — Ь) с — ас be.
Обратный
с (а -(- Ь') — са ch
получается перевёртыванием фигуры, беря за основание высоту.
Общее правило умножения
{a-\-b)(c^d)---ac ad -\_bc -\-bd
8) Д. М о р д у х а й-Б о л т о в с к о й, Первые шаги буквен-
ной алгебры, Известия С. К, ]’. У., 1928.
4) Декарт, Геометри,); .4, —Л., 1939.
1
298 КОММЕНТАРИИ
или вообще
2 — 'b'2jajb,l
получается проведением сетки прямых параллельных и перпен-
дикулярных к основанию, что и делается многими комментато-
рами
4. Связь между предложениями 2 и 8 книги II. Если, как
это делает Гейберг, выразить алгебраически все три первых
предложения книги II, то мы получим следующие равенства:
а (Ь -f- с -j- d)~ ab -J- ас -J- ad. I
Если
a — b-\-c, to a2=ab-\-ac, 11
(a -J- b) a — ab ~|- а3. Ш
При взгляде на эти формулировки сразу появляется ряд не-
доуменных вопросов.
Почему Евклиду наряду с общей формулой I понадобилось
давать отдельно ещё доказательство двух частных её случаев
II и Ill? Какой смысл выделения этих частных случаев в особые
теоремы?
Если первое предложение выражает общий дистрибутивный
закон при умножении, то совершенно ясно, что ели Евклид, клн
его непосредственный источник, не рассматривали II и 111 пред-
ложения как выражающие частные случаи этой дистрибутивности.
Действительно, 11 предложение является первым этаном на
пути установления формулы квадрата суммы.
Если а = Ь -\-с,
то
а- = (b -j- с)- = ab -J- ас — (b -J- с) b -j- (b ~|- с) с. IV
Третье предложение представляет дальнейший этап расшифровки
этой формулы:
(b -J- с) b = be -J- V
Следующий этап был бы таков:
(b -j- с) с — be -j- с3, VI
что, конечно, вполне равносильно третьему предложению и не
требует специальной формулировки.
Commandinus, Euclidis elementorum libri XV una cum
scholiis antiquis, Pisaurl, 1572, cfp. 29.— Clavius, Euclidis Elem.,
libri XV, т. I, Francofurti, 1607, стр. 168.— Henrion, Les quinze
livres des Elements d'Euclide, Paris, 1615, стр. 58. — G u a r i n u s.
Euclides adauctus et metiiodicus. Aug. Taurini, 1671, стр. 54.—
Barman, Elem. Euclidis, libri XV, Lipsiae, 1743, стр. 42. — P f 1 ei-
der e r, Academische Schriften, Stuttgart, 1826, тетр. 1, Scholien zuni
6uqh II, стр. 6.
К КНИГЕ И
299
После этого мы ожидали бы заключительного этапа. Под-
ставляя V и VI в IV, мы получили бы формулу квадрата суммы:
(Ъ 4- с)2 = &2 сз чье.
Действительно, IV предложение как раз и говорит о квад-
рате с'ммы, и трудно отделаться от мысли, что 11 и Ш предло-
жения представляют лить начальные этапы пути доказательства
этой формулы, которое сам Евклид, или один из его предше-
ственников, выбросили, заменив новым — тем самым, которое мы
читаем в существующем IV предложении.
Другое объяснение выделения в особое предложение част-
ного случая:
(а Ь) с — ас -|-te при с—Ь
заключается в том, что у Евклида существование геометрического
объекта устанавливается только построением.
Если для нас право на существование получается отсут-
ствием противоречии в признаках, определяющих математи-
ческий объект, то у Евклида это право давалось только построе-
нием.
По Евклиду доказательство, основанное на существовании
прямых, делящих угол на три равные части, было бы несостоя-
тельным. С точки зрения формы, квадрат только частный слу-
чай прямоугольника, иное дело с точки зрения построения.
Квадрат на АВ получается геометрическими операциями над
одним объектом АВ, а вовсе не над двумя равными (предло-
жение 42 книги 1). Прямоугольник получается операцией над
двумя различными объектами.
Это отчетливо видно из терминологии: квадрат на АВ обо-
значается <т6 око АВ>, а прямоугольник между АВ, АС <*6 бяб
tffiv АВ, АС>.
Положение ab = a2 при Ь — а не так очевидно, как то, что
ab = ac при Ъ = с,
и не выводится как простое следствие из первого.- равенство
а2 = Ь2 не должно рассматриваться как следствие из ac = bd
при с = a, d = Ъ.
5. Другое доказательство предложения 4. Гейберг в при-
ложении даёт второй способ доказательства предложения 4 иным
способом,
утверждаю, что квадрат на АВ равен квадратам на АС
и СВ вместе с удвоенным: прямоугольником, заключённым между
АС и СВ. J
Действительно, иа том же самом чертеже, поскольку ВА
равна AD, то и угол ABD равен углу ADB', и поскольку во
всяком треугольнике три угла вместе равны двум прямым, то,
следовательно, в треугольнике ADB три утла ADB, BAD, DBA
вместе равны двум прямым, Но угол BAD прямой; следова-
300
КОММГ.НТЛГНИ
тельно, остальные углы ABD, ADB вместе равны одному
прямому, ио они равны; следовательно, каждый пз углов
ABD, ADB есть половина прямого. И угол ВС11 прямой,
ибо он равен противолежащему углу, а именно, при А; сле-
довательно, остающийся угол СНВ есть половина прямого;
следовательно, угол СВН равен СНВ, так что и сторона ВС
равна СН. Но СВ равна НК, а СН равна ВК, следовательно,
площадь СК равноугольна. Далее, она имеет прямой угол, а
именно, СВК, следовательно, СК— квадрат и <построен> на СВ.
На том же самом основании и IG -есть квадрат к равен <по-
строенному> иа АС; следовательно, СК, IG суть квадраты и
равны построенным па АС, СВ. А поскольку площадь АН рав-
на НЕ и АН есть прямоугольник между АС, СВ, ибо СН рав-
на СВ, то, следовательно, ЕН равна прямоугольнику между АС
п СВ. Следовательно, АН, НЕ вместе равны удвоенному пря-
моугольнику между АС н СВ. Но СК и IG равны квадратам на
АС п СВ. Следовательно, СК, IG, АН, НЕ равны квадратам на
АС и СВ и удвоенному прямоугольнику между АС и СВ. Но СК,
IG вместе с АН и НЕ суть вся площадь АК, которая есть ква-
драт па АВ; следовательно, квадрат на АВ равен квадратам на
АС, СВ и удвоенному прямоугольнику между АС, СВ; это и
требовалось доказать".
6. Квадрат суммы. Это предложение записывается гак:
АВА =_- ЛС2 -}- СВ2 4- 2АС X СВ,
АВ’ —АС- 4- СВ2 -f-2Rct АС и СВ,
ОАВ =ЗАС + ЗСВ {-2 прям. АС-СВ,
и отвечает тождеству
ia 4- £j2 — а2 2ab г К.
Так как предложения 1 it 3 дают правила умножения, то,
как указывают комментаторы, предложение 4 выводится и? них
путём формальных операций.
Ещё Шейбель и) считал, что предложение 4 представляет дву-
кратное применение первого:
прим. СА-АВ = прям. СВ- АВ X X АВ,
прям. СА • СВ— - □ СВ 4- прям. СВ-АВ;
складывая, имеем:
□ С4 = ПЛЯ + 2 прям. СВ-АВ -^r\GB.
В современной алгебраической символике имеем
(а 4- Ь} а — а2 4“ а&,
(а b)b — ab 4~ Ь\_____
(a -f- b) (а 4~ Ъ) — (« 4~ Ь)2 — а2 4- 2аЬ 4~ Н.
в) Scheubelius, Euclidis sex liori prioris, Basileae, 1550,
стр. 142.
К КНИГЕ Ц
301
Нужно отметить, что предложения, отвечающею формуле
(а — Ъ)г — а'-' — 2аЬ + Ъ2,
нет даже уКлавия") и в учебниках XVII в. Впервые оно по-
является у Мархетиса а затем только у Лежандра (1752—1833)
в его «Элементах» (1794).
7. Предложение 4 в символике Херигоиа. Мы везде в
своем переводе с греческою языка даем риторическую форму
изложения самого Евклида, Обычно Евклида переводят, переклады-
вая слова в символы, причём точный смысл текста искажается.
Евклида, изложенного идеографически, старался дать в пер-
вой половине XVII в. Хернгон* 9), Он им излагался так, что, но
мнению .Херигоиа, оказывался доступным всем липам, не знаю-
щим другого языка, кроме родного. Что^'ы расшифровать хери-
гоновского Евклида, следует иметь перед глазами словарик сим-
волов;
+ да 2|2 равно
— без 312 больше
£ е между собой 2]3 меньше
£ п в a,b l\ а, b прямоугольник, построенный ца а и b
II иа — — часть круга
. есть точка
/ угол
_| прямой угол
О круг
: сегмент круга
Л треугольник
[j квадрат
□ прямоугольник
□ aeb прямоугольник, построенный
на ае и eb.
; множ, число
т) не
U и ц или
— параллельны
I перпендикулярны
Словарь сокращений
hypoth —гипотеза... предположим, что
тец —требуется
demonstr. — доказать
concl. — отсюда следует
цифра за чертой — ссылка на раньше доказанные теоремы
15. d. 1 — определение 15 «Начал»
3. а. 1 —третья аксиома книги 1
с. 17. 1 — королларий 17 книги 1
•) См. Clavius, стр. 173 (прим. 5).
s) Angelas de Marchet is, Euclldes reformatus, 11,
1709.
9) Herigoijus, Cursus mathematicus, т. 1, cum Euclidis
Elements, 1. XV, Parisils, 1644.
302
КОММЕНТАРИИ
с. 26.3 — королларий 26 книги III
l.p. I. —первый постулат книги I
3.1— третья теорема книги I «Начал»
ргаер. — приготовление, т. е. вспомогательное построение
par. — части
Тогда доказательство предложения 4 книги 11 напишется
так;
hyp ab est —
ас cb snt par ab
Req к demonstr.
□ ab 2[2 Q ас -f- □ eb -f- 2 □ acb
Praep.
Demonstr.
46.1
1-Л 1
31. 1
ad est □ ab
eb est —
cf = ae и bd
hgl = ab u ed
22. d. 1
2. c. 29
22. d. 1
2. c. 32. 1
/ a, £aed, d, £abd snt J
Z Z rfi, £kgf snt _| »
ae 2|2 ab,
/ aeb est 1/2_J
2. c. 32.1
a. 32. 1
a. 32. 1
Z deb est — _|
Z Л ge est ~ _J
Z fge est _J
6. 1 | he 2|2 hg
6. I ef 2|2 fg
34. 1 ef 2J2 hg
22. d. I hf est П hg и ae
a. 7. cgib est П cb
3. f. 1. d. 2 □ ab 2] 2 О acb
43.1 □a5’2|2o^/
I. a. 1 □ gd 2|2 rjacb
19. a. 1 F|arf 2|2 Q hf -]- □ ci
Concl.
I. a. 9 □ ab 2|2 Q ac □ cb -}- 2 ZU acb.
8. Книга II и обоснование теории отрицательных чисел. Вал-
лис и другие математики конца XVII н начала XV1I1 в. обосно-
вывали правила действий над отрицательными числами на основе
К КНИГЕ И
303
дистрибутивного закона, относя его и к отрицательным числам
{а — Ь) с = ас — Ьс
или более общего закона
(а — c)(b — d) = ab — ad — be cd,
полагая последовательно
а — 0, d =• 0;
г = 0, &=:0;
а — 0, b — 0.
Что же касается самого закона, то он сначала просто по-
стулировался, но затем его стали доказывать геометрически.
По образцу второй книги «Начал» положим (черт. 6)
AC —a, CD = b, АЕ = с, GD = d\
тогда
СЕ—а — с, CG — b— d I
ACDB — ab, AEIH = bc — dc ECGI = (a — c}[b — d),
HGDB — ad I
так что
(a — c) (b — d) = ab — ad — be 4- cd.
Конечно, таким образом, тождество доказывается только для
i7>fHj>rfHBO всяком случае при а, Ь, отличных от нуля.
Для того чтобы перейти к общему случаю, необходимо
сделать скачок, сделать заключение по
ющееся тогда убедительным.
Но такое доказательство должно
было наталкивать на отрицательные
геометрические величины; при введении
последних полученное тождество уста-
навливается и в общем случае.
9. Максима и Минима. Положение
5 или, что то же, тождество
аналогии, представля-
ab
Черт. 6.
сыграло большую роль в истории максимума и минимума. У Евклила
есть три предложения, относящихся к наибольшим и наименьшим ве-
личинам. Приёмы его решения этого рода задач носят случайный
характер. Он не замечает даже, что вторая книга даёт основа-
ние для методов, носящих менее случайный характер. Только
301
КОММЕНТАРИИ
математики эпохи Возрождения заметили10 *), что предложение 5
книги 11 «Начал» Евклида дает решение задачи, являющейся ос-
новной в элементарной теории наибольших и наименьших вели-
чин: разделить отрезок АВ на две части АС и СВ так, чтобы
прямоугольник, построенный па АС к СВ, был наибольшим, или
найти х такое, при котором функция х(а— х) принимает наи-
большее значение.
Ответ х— т. е. отрезок следует разделить пополам. В
этом состоит 13 лемма Паппа И) к «сечениям отношения и про-
странств» Аполлония 12).
Результат этот может быть сформулирован в геометрической
форме так: из всех прямоугольников с данным периметром
наибольшую площадь имеет квадрат.
Отсюда нетрудно вывести (имея в виду, что при одинако-
вом периметре косой параллелограмм имеет меньшую высоту,
чем прямоугольный), что между параллелограммами одного
и того же периметра квадрат имеет наибольшую площадь.
10. Геометрические тождества. Вторая книга «Начал» Евкли-
да — это алгебра древних, В дальнейших стадиях эволюции мате-
матической мысли оца превращается в современную буквенную
алгебру. Теоремы книги 11 «Начал» становятся просто алгебраи-
ческими тождествами в эпоху арифметизации и алюбранзацпп
геоме грин.
Ио по мере эмансипации синтетической геометрии, тео-
ремы книги 11 и аналогичные им более сложные теоремы снова
становятся чисто геометрическими теоремами, хотя и в ариф-
метизированной форме. Они устанавливают некоторые соотно-
шения между отрезками, но при этом умножение отрезков по-
нимается в арифметическом смысле — уже не как получение
прямоугольника, а как получение отрезка, измеряемого произве-
дением чисел, измеряющих сомножители. Такие геометрические
гождества получают зЛчспне по введении в Геометрию отчо-
сительных величин (отрезков АВ со знаком -|~ и — ).
10) Vincenzo Vi via nt, De maximis et minimis Geomet-
tiae, divinatio in quintum Gonicornm Apollonii Florentiae, 165!),
кн. I, стр. 163. — Thomas Simpson, Essai snr les maxima et
minima, теор. I, Les elements de Geometrie, Paris, 1755, стр. 173.—
Gilbert, Die Geometrie uach Legendre-Simpson-vau Swinden,
I Theil, Halle, 1798, стр. 281. — Pfleiderer, тетр. 1 (см- прим. 5),
стр. 15. —• Н u i 1 lie г, De relatione jinitua capacitatis et terminonmi
figuration, Varsaviae, 1782, стр. 23.—V. Viviani, De locis soltdis,
Florentfae, 1701, кн. IV, стр. 57.
n) Pa ppi Alexaudrini, Collectioiies, ed. Hultscli, Bcro-
liui, 1876—1878.
12) Apollonii Pergaei, De sectione rattonis, libri duo,
Opera, ed. Halley, Oxoniae, 1706, стр. 49, лемма 13.
К КНИГЕ It
305
Основными являются тождество Шаля13 14 5)
АВ + ВС — АС
и шждество Эйлера
АВ CD 4- АС DB 4- а75 • вс - - 0,
которое нетрудно установил-, проверив алгебраическое тожде-
ство
(ft — a) id — с) 4- (с — a) (b — d) (d — а) (с — Ь) Hi.
Таким же образом проверяем тождество:
(г — а) (Ь — с) -4 (d — с) lb — d)~(d — b) (a — d)- 4 {а — с)'(с — d)
и получаем 4-членкое тождество
АС СВ-\~^СЬ DB BD DA 4- СА • ЯС.
Если снять чёрточки и облечь в евклидову форму, т. е.
произведения рассматривать как площади прямоугольников, го
получим теорему Григория Сан-Виииенто
прям. АС-СВ-\- прям. CD-DB -- прям. BD-DA -|- прям. DC-CA
для четырёх точек на прямой ABCD, причем С, D взяты ме-
жду А и В.
" Для вывода своей формулы Саи-Вмиценго,3/ прежде всего
евклидовыми приёмами убеждает в том, что
кв. ЛЯ —кв. ЛС4-КВ. CD -J-кв. DB-[-2 прям. АС-СВ-[-
4-2 прям. CD-DB,
что эквивалентно алгебраическому тождеству
(л 4. b 4- с? — a2 -f- &2 4- с2 4- 2а (Ь 4’ О + -^>с'
Точно таким же образом имеем:
кв. АВ — кв. BD 4- кв. [УС 4- кв. СА 4~
4-2 прям. BD-DA -‘-2 прям. DC-CA.
Вычитая общие квадраты и деля пополам, получаем теорему
Сан-Вицпеито.
Если С —середина АВ, то АС=СВ,
прям. АС-СВ" кв. СВ.
Но (по Зп) прям. РС-С4 = прям. DC-DB 4-кв. CD.
13) Шаль, Высшая геометрия, пер. Безрукова. — Pape-
Her, Exercices de Geometric tuoaerue, t. 1, Parts, 1912.
14) Eulerus, Varia deinonstr. geometricae.
I5) Gregorius de S.incto Vinceiito.
20 Евклид
306
КОММЕНТАРИИ
А на основании теоремы Сан-Вилцепто
кв. СВ-f-прям. CD-DB —
= пря.м. BD-DA -f-ирям. CD DB -f- кв. CD,
откуда
кв. СВ~-прям. AD-DB --J- кв. CD.
11. Тождество и евклидово существование. Положение 6
следует переводить алгебраическим тождеством:
(« + »)»+ (|У= (у+'')’ 1
а не тождеством
(2а «2 — (я-рА Ч
как это делает Гейберг.
Правда, в выводе остаётся логически не действующим то,
что АС получается делением пополам АВ', получилось бы тоже,
если было бы дано не АВ, а АС, и АС затем удваивалось бы.
В формулировку теоремы достаточно ввести лишь условие, чго
АВ вдвое больше АС.
Но сам Евклид в этом направлении не мог мыслить; сле-
дует всегда помнить, что для него всё определялось построением.
Для него отрезок не существует независимо от построения; для
него мало сказать, что два отрезка существуют и один вдвое
больше другого. Для него вполне определённо АВ было данным,
а АС производным, уже получаемым из АВ определённой гео-
метрической операцией. Переводя иа алгебраический язык, мы
должны АВ принимать за a (a ire АС). а АС только за ~.
Но в эпоху Возрождения мысль легко уже превращает тож-
дество 1 в тождество II, так как она уже сошла с точки зрения
Евклида и не понимала его так, как должно понимать. Превра-
щая 1 во 11, она уже легко улавливает, что предложение 6 полу-
чается из 4-го простой дистрибутивной операцией.
Ацгелюс Мархетис16) выводит предложение 6 из 4-го сле-
дующим образом (см. черт, к предложению 6):
кв. CD = kb. СДД-2 прям. CB-BD -\-¥М. BD =
= кв. СВ 4-прям. [CD Д- CB]-BD.
Но
CD-\~CB = CD AC = AD,
и потому
кв, CD = kr. CS-f-прям. AD-DB.
По существу все сводится к соединению двух членов на
основании дистрибутивного закона в один.
16) См. прим. 8.
к книге п 307
Выводы Бресция и Т<гж cbcmbiCb к замене в тождестве пред-
ложения 5
величины а на <?]-&:
(« i-jjh-у=(4+»У-
К AB i'jepi. 5 текста) прикладывается с другой стороны от-
резок SA — BI) и к SD примем гегся предложение 5.
12. Предложения 5 и 6 и квадратные уравнения. Оба
рассматриваемых предложения интересны в том отношении, что
из них можно получить решения квадратного уравнения по край-
ней мере с одним положительным корнем. Некоторые исследо-
ватели (в числе их следует назвать Нейгебауэра) даже видят
в этих предложениях геомстризоваицый вывод формулы корней
соответствующих квадратных уравнении в том визе, как это
делали вавилоняне.
Основная задача, из которой в вавилонской математике воз-
никла теория квадратных уравнений, заключалась в следующем:
Известны сумма или. разность двух сторон прямоуголь-
ника и его площадь. Требуется найти эти стороны.
Обозначая искомые стороны через х к у, мы получаем урав-
нения
х с*с у ~а, ху ~Ь.
Вавилонский метод решения системы уравнений:
х-\-у — а, xy~b I
, .. а
оыл таков: возьмем для х и у среднее значение -у и посмотрим,
какую величину г надо придать чтобы произведение полученных щади &. Мы имеем (лЧ С о тку (<Т „ Л к одному и вычесть из другого, величин равнялось данной пло- <z А - —zj ~ ^-l> II у=л~
20'
308
КОММЕНТАРИИ
Так как Ь — ху, а-=^х-\~у, а г = х- — -г , то равенство И пе-
реходит в формулу, выражающую 5 предложение Евклида
"-’+W-('W
Точно так же система уравнений
л — у —a, xy--=-b 111
приводит к 6 предложению Евклида.
Обозначим через г средние значения для х и у', тогда
, а а .
Это неизвестное z мы найдём из уравнения
1 , г. , а , / , а
v= )/j + »+2-. .v=“ У 4- + »- V•
Равенство IV аналогично предыдущему мы можем представить
в виде
Если мы положим х~= х1 -\-у, то легко придём к тождеству
(«' +>)>-?- (t+J')'.
которое, как мы видели выше [формула 1 комментария II], вы-
ражает 6 предложение Евклида.
Интересно отметить, что 6 предложение обратимо.
Если для четырёх точек ACDB имеет ?место соотношение
прям. AD-DB кв. СВ=кв, CD,
то С А —СВ, иными словами, АВ делится в точке С пополам.
Это положение доказывается Паппом.
13. Модели к книге 11 «Начал? Евклида 17). Рядом с пробле-
мой о наиболее обоснованном логически доказательстве мето-
2 Э Д, М о р д у х а й-Б олтовской, Модели ко второй книге
«Начал» Евклида. Вестник опытной физики и элементарной мате-
матики, №№ 655 — 656,
К КНИГЕ н
309
дикой выдвигается проблема и о наиболее убедительном для
учащегося доказательстве.
При решении этой проблемы следует рассматривать всякое
школьное доказательство как наложение двух доказательств (с
несовершенством каждого из которых приходится порой ми-
риться)— интуитивного и логического, взаимно усиливающих
убедительность друг друга.
Первое, состоящее из операций резания, наложения л т. д.,
осуществляется подвижной моделью ц ей соответствующим про-
цессом воображения, второе развёртывает силлогизмы, приво-
дящие к обоснованию этих операций.
То доказательство лучше, где ясно выявляются оба эти два
слоя—интуитивный и логический.
Если спять последний, то остаётся ещё многое; можно уви-
деть организм интуитивной геометрии, которая развёртывается
наряду с формально логическим.
Втирая книга даёт в этом отношении богатый материал. Сни-
мая логический слой, мы получаем лпдель (при этом лучше
всего подвижную), в которой прямоугольники, которыми покры-
вается одна фигура, переносятся на другую.
Моделируем 4 предложение Евкшда, перешедшее к Ле-
жандру, которому отвечает тождество
Ставим на чертеже 7, а вместо
ABC fJG
12 3 а Ъ с
Л И I)
1 2 3
и читаем обозначение прямоугольников cniuv и слева (черт. 7 Ь).
Тогда
(1313)... (а + | (12ай/ |
(а&12),. а- I (Ьс23) (... ab.
(23&с).. |
310
КОММЕНТАРИИ
Модель состоит из:
I) квадрата (1313) синего цвета,
2) квадратов (23 Ьс) и (ab 12} синего UBCia, _
3} двух равных прямоугольников (12 at») и (&е23)
цвета.
красного
Операции.
Наложить сперва (аМ2) ца (EffiJ) так, чтобы углы все сов-
в свободные части (12аЬ) и (&с23).
Следует отметить, что модель
остаётся в силе и в том случае,
если мы разрежем переносимые
прямоугольники на куски. Тогда
придётся переносить ие прямо-
угольники, а цх куски.
По тому же образцу строится
и модель предложения 7, отвечао-
щего алгебраическому тожлес сву
(черт. 8)
(а -|- Ь)2 Ь3 = а- — 2 (a -a- b. 11
Подвижная часть:
Два квадрата
синий (1313),.. (а 4- Ь)2,
красный (uv 23)... Ь2 на картоне.
Подвижной квадрат (12а&)... а3 красный.
Прямоугольники:
ППи,й(^13) J
зеленый (uvbc) f ' 1 '
Подвижные части модели к предложению 4 можно получить
следующим образом: вырезать одновременно из синей бумаги
и бристоля два квадрата, употребив первый как неподвижную
часть модели. Красный же квадрат для получения подвижных
частей должно разрезать ог ОДНО1О края до другого перпенди-
кулярно к сторонам.
Но элементы указанной выше модели к предложению 7 та-
ким образом не получаются.
Операции эти (т. е. разрезание картона от одного борт
к другому, — в настоящем случае квадрата (1313) по 2Ь2 и
аЬс) “лают не целые (ас 13) и (uvbc), а их куски. Но, как бы-
ло выше отмечено, этим не расстраивается наша модель, и с
этими кусками можем провесы! всё цате интуитивное доказа-
тельство.
К КНИГЕ I!
311
При этом мы получаем следующие преимущества: с этими
кусками (отбрасывая один) мы можем провести и доказательство
предложения 4.
Затем вместо цветной бумаги трёх сортов мы можем огра-
ничиться двумя сортами бумаги, оклеивая прямоугольные куски
(яМЗ), iuvbc} синей, а квадратные красной бумагой.
14. Квадрат разности и разность квадратов. Предложение 7,
переведённое иа язык алгебры, даёт тождество
(а - [- Ь)2 -J-- Ь2 ~ а2 4- 2 (а 4- b) b. 1
От этого тождества мы можем перейти к следующему:
(а 4- by + b2 i {а 4- Ь) — b р + 2 {а 4- b] b
или, если заменим а 4- b через а:
а2 4-ft2 -- {а — ьу-г2аЬ И
— равенство, которое заменяет у Евклида нашу теорему о квад-
рате разности.
Таким образом, модель к предложению 7 даст также и на-
глядное доказательство тождества И. j $
У Евклида нет в ясно выражен--------------------------
ной форме тождества
(о ——2я6. Ill а---------------------------------т---с
Может быть потому, что Евклид не
допускал операции переноса членов
с обратным знаком из одной части
равенства в другую.
Доказательство тождества II мо-
жет быть проведено иа следующей
модели (черт. 9).
На неподвижный синий квадрат /1—
(1313), соответствующий о'-', вместе I
с красным (ип23), представляющим b'\ I___
накладываются перевёрнутые вверх ц V
неоклеенной стороной прямоугольни- Чей г 9
ки (лс13) и (bcuv), изображающие каж- н • ••
дый ab; тогда оставшаяся незакрытой часть квадрата будет
представлять (л — Ь)-.
Таким же образом мы можем изобразить на модели и тиж-
дес|во
(а 4- b) (а - Ь) --- «2 - b2. IV
Берём синий неподвижный квадрат (1313), дающий а2, и кроме
того, подвижные: цветной квадрат (&с23), соответствующий Ь2,
1
312
КОММЕНТАРИИ
и красный прямиу! о п.ник (14tfdj, представляющим (а 4- Ь} (а — Ь)
и состоящий из .-них отдельных кусков (13яс) и (34cd) (черт. 10).
Перенеся часть (34cd) в поло-
жение (д£]2)и добавив переверну-
тый вверх белой стороной квадрат
(&с23) (чтобы показать вычитание),
мы наглядно обнаружим, чти
а2—Ь2 (г. с. (1313) без (&c23j) да-
ют (и -j-Ь) |а— т. е. (14rzrf).
15. Диагональные числа.
Интересно отметить, что предло-
жение 9, которое выражается то-
ждеством
, М — b\2_a2 + b2
+v~2~J '
Евклид доказывает совершенно иначе, чем предыдущие предло-
жения (4—8); действительно, в э
он пользуется теоремой
Пифагора, которая, ме-
жду прочим, совершенно
не является для этого
необходимой.
Наиболее простое
обьясненис этою факта
таково: составляющие од-
но целое предложения
4, 7, 8 являются вспомо-
гательными для вывода th
предложений 12 и 13,
которые были известны
ещё Гиппократу Хиосско-
му и, таким образом,
принадлежат к древней-
шим частям «Начал»,
Что же касается
предложений 9 и 10, то,
как это было выяснено
н следующем предложениях
Черт. 11.
сравнительно недавно,
они принадлежат самому Евклиду и чаны им в качестве необхо-
димых лемм для построения теории гак называемых диагональ-
ных чисел.
Диагональными называются числа, получающиеся по следую-
щему закону. Отложим на сторонах прямого угла по отрезку а
(черт. И) и соединим его концы диагональю Ь. Возьмём для этих
чисел приближенно
а п0 - -1,
Ь-Ь^—1.
313
Если мы повернем наш треугольник так, чтобы гипотенуза
ею легла соответственно и на горизонтальную и на вертикальную
стороны прямого угла, и соединим концы полученных отрезков
то найдём новую пару диагональных чисел
ai — аи ~~ 2? bj “ ^ai) 4 " &
Продолжая поступай, таким образом дальше, найдём третью пару
а2 = at 4~ Ьг - 5, b2 — 2а} -i-bL = 7,
затем четвёртую пару
а3 -- а2 4~ Ь2— 12,
и г. л.
<ти — Яд—1 ^п—1
Ь-л—-2а,^ Ъг— 17
Числа ап суть так называемые боковые, Ъп — диат опальные числа,
Чиста ап и Ьп связаны соотношением
Действительно,
= (За,,-, 4- '4-1? ~ 2 - Ь„^}> -- Зо;_, - - *»-, =
- (»L, - a«L,)=(-') <SL, -
Продолжая, найдём анало! ично:
=-(-b”(»o-2»'ol.
Поскольку же
2«~- 1 —2---1,
наша теорема доказана.
Если Ьл и ап достаточно велики, то можно лотожнть
»»~2Л,
откуда получаются приближённые значения для У' 2
«а
В своём «Die l.ehre vor den Kegelsclmftten ini Alterinm» (1886)
Цейтен высказал предположение (стр. 27, 28), что 9 и 10 предло-
жения Евклида имеют связь с теорией диагональных чисел.
Если в выражающей предложение 9 формуле
А& 4 DB? = 2АС2 4- 2да
314
КОММЕНТАРИИ
ПОЛОЖИТЬ
CD х, DB — у, ТО AC- 'CD-\-DB — х-\-у.
Переписав пату формулу в виде
АГ,- — 24С2- (DB? — 2CD-},
ПОЛУЧИМ
(2,г — 2 (*+№=--Су2-2*-).
Если х и у — числа, удовтетворяющие условию
2у3 — у-’ = ±1,
которому подчиняются определённые нами диагональные числа,
то ‘2.x у-у и х-|~_у будут как раз следующие за х и у числа в об-
щем ряду диагональных и боковых чисел. Таким образом,
9 предложение Евклида есть не что иное, как геометрическое до-
казательство основного свойства диагональных чисел.
Догадка Цейтепа блистательно оправдалась после опублико-
вания комментария Прокла па «Государство» Платона (Р г о с i I,
Diadochi in Platonis Rempublicara coinmentarii, Teubner, 1901, vol, 11).
В этом комментарии Прокл говорит (ст. 27), что «свойства боко-
вых и диагональных чисел доказаны геометрически (-fcaaai/.w;—
иа линиях) во 2-й книге Элементов им (iz‘ez.avo!; ~ очевидно
jrt'Eb/ArloG-j)-', после чего приводится текст 10 предложения Ев-
клида. Таким образом, принадлежность Евклиду доказательств
предложений 9 и 10 можно считать вполне установленной.
Это обстоятельство вполне обьясняег отличный от предыду-
щих метод доказательства предложений 9 и 10. Если бы мы по-
желали моделировать евклидово доказательство предложения 9,
то вместо подвижных элементов прячо'тольпика нам пришлось
бы взять элементы треугольника, причём модель получилась бы
довольно сложной. Если формулу
/д — (А 2 a--\~bz
ЧтН =“2-
представить в виде:
то можно и для этого тождества построить модель рассмотрен-
hoi о выше типа.
16. Доказательства предложения 9. Эта теорема ие только
доказывается теми приёмами, которыми доказаны предложения
1—8, ко можно даже собрать целую коллекцию этих доказа-
тельств.
Мы приведём прежде всего доказательство Клавия IS), вполне
геометрическое и вполне отвечающее предложению 8. Для пего
и чертёж берётся тог же, чго и для предложения 8.
Is) См. Clavins, стр, 187 (прим, 5).
К КНИГЕ И.
315
Для краткости квадраты к прямоугольники обозначаем ци-
фрами и детали доказательства оставляем читателю (черт. 12).
(1245) _ (1) т(5) + (4) + (2) - = = (1) + 2(5) + (6) 4-(2), 3 6 У
(4) -= (5) 4 (б). Далее, (Г245(4-(9г^ „,!) + 2/5)^[(В)-р(9Я-р(2)^ = (1) 4“ 2 (5) 4“ (3> -J- (2) = - 2 (1) 4~ 2 (5) = 2 [(1) (5)], что и доказывает предложение 9. CymeCTBver ещё много докл- 2 / 8
Ц 7
ыгельств предложения 9, но онп в геометрической форме только развертывают формальные опера- Чер г. 12.
ниц, приводящие раньше доказанные |ождества к тождеству, вы-
ражаемому предложением 9.
Мы даём только алгебраические эквиваленты, предлагая
читателю облечь их в геометрическую форму.
4-е показа |ел1>ство Клавия1!|); положим (черт. 9 к предло-
жению 9)
d ADz=a + b, АС = b, CD = a, DB = е, AD = d, СВ~ с =Ь
d2 = fa -ф- b)2 = а2 -\-b2 2аЬ = а2 4- Ь- -ф- 2са,
d- е-=: а2 Ь2 ~2са е-.
Ио по предложению 7 книги И
2ас е2 — с2 -J- а2 = Ъ1 -]- а2
d- 4- е’:-= 2 {а- Ь').
Доказательство Жпльберта:
+ е2 + 2 >d = (d + е)2 ~ 4Ь-,
2b2 — Zed 2(Р (предложение 5 книги 11).
Отсюда
d2 4- (>- + 2b- + 2ed - - 4b'- Zed 4- 2a2,
в. наконец,
d2 4- e2 ~ 2b2 ~ la2 — 2 {a- b2),
13) Там же.
316
КОММЕНТАРИИ
Сложность этил выводов объясняется тем. что они не поль-
зуйся тождеством
(Я — ьу-~а- — 2ab-^b-\ I
которого нет у Евклида ио причинам, нами указанным в.(14).
Его у Евклида заменяет предложение 7, которому отвечает
тождество
(а 4~ Ь)2 4~ а2 — 2 {a -J- Ь) а 4~ Ь2,
которое приводится к виду
a2 -J- b- — 2аЬ 4“ {а — Ь)2.
Отсюда до 1 один шаг — операция переноса 2аЬ с изменён-
ным знаком в другую часть. Но шаг этэт и не делается.
Если же шаг этот сделать, то дело окажется очень просто:
сГ- = (а + Ь)2 — а- 4- b2 4- 2аЪ,
е2 = (с — Ь)’ — [а — Ь)" = а2-^Ь2 — 2аЬ,
откуда
d~ 4- е2 = а2 4- Ь2 4- а2 4- Ь2 = 2 (а2 4- Ь2).
Командинус, а за ним Клавий этого не делают, а поступают
так;
Ь2 а2—2аЬ-\-е2,
так как
е - - с — b = а — Ь.
Далее,
2 (Ь2 4“ я2) — а2 4- Ь'2 4~ ‘2аЬ 4 е> — (а 4 Ь}2 4" г? d2 “4 б2.
17. Принцип непрерывности и тождества. Эта же теорема
в настоящее время может стежт-иь иллюстрацией принципа не-
прерывности Понселе-®), гласящего, что если некоторое поло-
жение имеет место, когда некоторые величины а, р, у... не обра-
щаются ни в нуль, ци в бесконечность, то положение остаётся
в силе и когда эти ограничения сняты.
По существу в первой части этот принцип устанавливает
возможность перехода к пределу с сохранением всех тех свойств,
которые остаются при изменении.
С помощью теоремы Пифагора доказывается известная фор-
мула:
А1Г- 4- BD- — 2 (DC2 -4 АС2),
где DC — медиана Л ABD, соединяющая вершину D с середи-
ной С стороны АВ; затем деформируем треугольник так, чтобы
2°) Poncelet, Applications d’Arialyse et de ОёощёШе, Paris,
1864.
К КНИГЕ и
317
точка D оказалась на прямой АВ. Тощи мы получим евклидово
9 предложение.
Такой прием возможен при выводе более сложных геоме-
грических тождеств, например, тождества Стеварта 21)
PAi BC + PB'i 'CA ^-TC^-'AB-Y'BC-CA- АВ~Ъ1ч^х. 13);
в нём можно убедиться, выверяя алгебраическое тождество;
(£г —/?)2 (с — Ь) Ц- (Ъ — рр (а — С) 4- (с — р)- —
J- (с — Ь) [а — с) (Ь — а) — 0.
Но к нему можно прийти, доказывая с помощью теоремы
Пифагора теорему, выражаемую тем же равенством тля треуголь-
ника АВР и прямой PC, проведён-
ной к основанию, и используя Ирин- £
пил непрерывности. /7\
18. Теорема Пифагора и тож- / / \ 1
дества. Постулируя взаимно одно- / / \
значное соответствие между гсоме- / / \
греческими величинами и числами, / / \
мы можем видеть в предложениях / / \
11 книги доказательства алгебраиче- /-------/ - \
еких тождеств, имеющих значение fi С &
для всякого рода геометрических Черт. 13.
величин (а тте только для отрезков).
Эти тождества вовсе не предполагают аксиому параллель-
ности, а только аксиомы непрерывности.
Но Евклид оперирует с прямоугольниками, которые строятся
только на евклидовой плоскости и, таким образом, положения,
не зависящие от аксиомы о параллельных, доказываются с по-
мощью последней.
В 9 же предложении мы имеем вывод алгебраического тож-
дества с помощью теоремы Пифагора, и не абсолютный харак-
тер доказательств здесь выступает ещё резче.
Здесь интересен обратный путь, по которому пошли некою-
рые математики.
Конечно, теорему Пифагора нельзя вывести ш тождеств,
так как она зависит от аксиомы о параллельных. Но тождества,
эквивалентные теоремам И книги, упрощают доказательство тео-
ремы Пифагора. Такое упрощение доказательств теоремы Пифа-
гора получим, если пожелаем логически обосновать интуитивное
доказательство индусского математика Бхаскары (1114 г. н. э.).
21) О Стеварте см. Marie, Histoire des sciences mathematj-
qnes, t. VIII, стр. 240. Теорема, видимо, принадлежит P. Симеону.
Jnterm6dialre des math., 1908, стр. 160, — См. также Papelier
(прим, 13).
318
КОММЕНТАРИИ
В квадрате, построенном на гипотенузе с прямоугольного
треугольника22), внутри оказывается квадрат, построенный
на разности катеюв а — Ь (черт. 14).
Мы имеем:
„ 4 аЬ
и достаточно использовать
тождество
(a — b)2=-a2 — 2аЬ~ Ь2,
чтобы получить
19. Коллекция доказа-
тельств предложения 10. Об
этом предложении следует ска-
зать то же, что о девятом.
Прежде всего оно доказывается
общим приёмом и нет необхо-
димости прибегать к теореме Пифагора, как это делает Евклид.
Мы приводим доказательство Пелетария, причём опять, как
в предыдущем комментарии, пользуемся теми же обозначениями
и детали оставляем читателю.
(1 2 3 4 5 6 7 8 9) = (7) + (2356) + (14) + (89).
Но (14) — (25) (5) 4- (2) = (7) + (2) (черт. 15). 89) -- (об), поэтому
(12345678 9) —2 (7) + (2356) 4- (2) + (56) = 2(7) + (2536) 4- (25 61.
(12345678 9)+(3)—2(7)+2 (2536) ” 2 ((7) + (2356)],
а это и выражает предложение 10.
Существует ещё другое аналогичное доказательство евкли-
дова типа (5-е доказательство Клавия).
На чертеже квадрат, в котором равные квадраты (3) и (6),
(8) и (11) (черт. 16). Мы имеем;
кв. /D + kb.£D—(4 5689 И 12 13) + (3)
и
кн, АС + кв. CD — (11) + (5689);
кдк в предыдущем доказательстве,
(45689 11 12 В) = 2 (И)+ (5689)+ (589).
22) См. прим. 17,
«)Литцман, Теорема Пифагора, Одесса, 1912, второе
изд., 1935.
К КНИГЕ П

Но (3) — (6), вследствие чего
кв. AD 4- кв. ВГ) = 2 (11) 4 2 (5689) = 2 [кв. АС 4 кв. С£>].
Большинство многочисленных доказательств сводится опять,
как для предложения 9, к алгебраическим формальным операциям,
облечённым в геометрическую форму.
8 9
Ч X S
7 2
1 2 з'
ч 5 .6'' 7
3 ' 9 Ю
/ 11' 13 >3
Мер). 15. ' Черт. 16.
Точный перевод предложения 10 на алгебраический язык:
(«+»>+»-’ г-.- 2 [(4У+(у • 1
Перевод ГеЙбсрса:
(2а 4 Ь}! 4- 2 («з 4 1. Ц
Математики эпохи Возрождения 1 приводят к 11 (4-е доказа-
тельство Клавия). Положим (черт. 16)
а~АС^ВС.
b — BD — DB,
c--a-]-b—CD,
d—a-^c^ AD.
Тогда
= (a c)2 c2 4 a2 4- 2ac,
rf2 4- b- — a2 4 c2 4- 2a c 4 b2.
По 7 предложению книги II, помня, что с — а-^Ъ,
2ca^-b2~cs 4л\
и окончательно
4/-' 4 ь2 ~ 2 (с- 4 а2).
320
КОММЕНТАРИИ
Аналогичны этому и доказательства Барроу, Коммандино и вто-
рое доказательство Клавия,
20. Книга II Евклида н Гетальдн 21). Геометрическая алгебра
евклидового типа была в употреблении даже при наличии число-
вой алгебры, Формулы последней выводились геометрически при
помощи построений, аналогичных теоремам книги 11 Евклида,
и потом облекались в форму буквенной алгебры. В таком виде
мы находим их в начале XVI] в. у итальянского математика
Гетальди.
Он пополняет книгу II Евклида выводом предложения о квад-
{>ате, построенном на разности. Он пишет результат в символике
$иеты
А — В in se AQ ф- BQ — В in А - 2 I
Г.4С? эго А2, В in А это A-В, A —Blnse это (А— В)2, коэффици-
ент пишется на последнем месте, знака равенства ещё нет), под
I он подписывает
А-f-й in se AQA-BQ -\-В in А-2 11
и заключает, что по вычитании остаётся
£in А. 4.
.Мы всё -ito выражаем так:
(а 4-- Ь\2 — a2 f- 2«& 4~
(а — 1>}2 — а2 — 2аЬ 4- Ь~,
(а 4- Ь)2 — [а — Ь}- —
Зигом он выводит тождество
(а 4- Ь)2 4- (а — by- = 2«2 4- ‘2Ъ2.
Получаемые им тождества позволяют ему решать задачи,
подобные заключающимся в предложении 11 книги II.
Так он решает задачу: разделить данный отрезок так, чтобы
прямоугольник, построенный на частях, равнялся квадрату, по-
кроенному на разности частей. Задача эта приводится к уравнению
(а — х) х = (л — 2х)2.
21. Общая формула для решения квадратного уравнения.
Задача на проведение золотого сечения приводит алгебраически
к квадратному уравнению.
В начале существования буквенной алгебры общая формула
квадратного уравнения х2-\-рх~ q, > О выводилась геометри-
чески. Таким доказательством пользуются Виета и Рспальдпнп.
' G h е t a I d 5, De resointione et coinpositioiie tnatiiemaiica
libri quinque, Romae, 1640. Gerlich, Eine Stiidie Uber die Entwi-
ckelung der Analyt. Geometrie mit Hercc^sichtigung elnes Werkes
des Mariniis Ghetaldi. P a p p i, Collectiones, леммы 22 — 26.
К КНИГЕ И
321
Пусть имеем (черс. 17) какие-либо отрезки АВ и AG=p‘,
на перпендикуляре GE откладываем GE = АВ, проводим EL || GB
и АК || GE; получаем квад-
рат В/Г, равный х2 и прямо-
угольник ЕА, равный рх,
образующие вместе прямо-
угольник BE. Разделим AG
пополам в точке D и про-
ведём DH [| GE, В пере-
сечении DH и диагонали
ВК получаем точку Н.
Достраиваем квадрат ВН.
Прямоугольник BE, рав-
ный Л'- -\~рх, равен гномо-
ну FDBMIK, по условию
,v- рх = так что гномон
равен q. Но квадрат КН
построен на FK-- DA -;> Черт. 17.
н равен . Гномон же вместе с квадратом КН даёт квад-
рат ВН, построенный на BD - х -|-~ . Таким образом.
или
При построении такого доказательства образцом взята книга II
«Начал».
22, Остроугольные треугольники. Евклид определяет остро-
угольный треугольник как такой, у которого все углы острые,
между тем как это предложение предполагает только то, что
первая сторона должна быть против острого угла.
Многие комментаторы подчеркивают, что здесь термин остро-
угольный следует или понимать в новом смысле или же его со-
вершенно выбросить.
Следует отметить, что эта теорема, так же как предыдущая,
но только в другой форме, приводится в «Данных Евклида».
Утверждается, что если в треугольнике дан острый угол,
то также дано и отношение к квадрату стягивающей этот острый
уттл прямой АС, того, на что квадраты на АВ н ВС больше удво-
енного прямоугольника на СВ и BD.
23. Чисто геометрическое доказательство обобщённой те-
оремы Пифагора. По существу, евклидово доказательство пред-
ставляет формальные операции над алгебраическими тождества-
21 Евклид
322
КОММЕНТАРИИ
ми, представленными в геометрической форме; оно легко алгебра-
изируется и тогда превращается в обычный вывод обобщённой
теоремы Пифагора с помощью алгебраических преобразований.
Григорий Сан-Винценто даёт довольно сложное, но уже чисто
геометрическое доказательство.
Я приведу его только для случая острого угла В треуголь-
ника АВС. По тому же образцу можно построить доказательство
и для тупого угла.
' ’ На сторонах АС, ЕС, АВ, как и в евклидовом доказательстве
теоремы Пифагора, строятся квадраты ACEG, ВСН1, АВК1.
(черт. 18).
Опускаются из вершин А, В, С перпендикуляры на стороны
и продолжаются до пересечения с противоположными сторонами
квадратов в N, М, Q.
Проводятся прямые ЕЕ, FG, АН, CL. Тогда совершенно так же
как при евклидовом доказательстве теоремы Пифагора, выводим
прям. ЛС/Л1Ог=2ДДО/? = 2Д/1£С‘ = прям. ALQE',
Прям. СЕМО = 2АСЕВ~2АСНА== прям. CHND.
Тогда квадрат ACFG^= прям, ALQE4"прям. <7/М> = квадр.
Л5£К-(-квадр. — прям. ЕВОК—прям. BDNf.
Но прямоугольники Е»(*К и BDNf равны друг другу. Дей-
ствительно, проведя прямые СК и AI (они не показаны на чертеже),
мы •получим два-треугольника СКВ и А1В, которые равны друг
К КНИГЕ II
323
apyiy, эги докажем так же, как в евклидовом доказательстве те-
оремы Пифагора. Прямоугольники же EBL.Kи BDNI вдвое больше
треугольников СКВ и AlB соответственно. Итак,
квадр. ЛОХ/= квадр. ABLKA- квадр. BCHI — 2 прям. АВВЕ,
АСА ~ АВ-Аг ЕСА — 2 АВ BE
А&^АЕС- 4-ВС*— 2CC-BD.
24. Псевдогеометризованное доказательство. Геометризапия
евклидовых доказательств предложений 12, 13 производится ком-
ментаторами так, что в чертёж вво-
тятся вес квадраты и прямоугольни-
ки, с которыми производятся фор-
мальные операции в таких конфигура-
циях, что из них видны все форму-
лы, через которые идут эти опера-
ции. По существу, эти конфигурации
ничего не прибавляют к евклидову до-
казательству, и если евклидово дока-
зательство не считать чисто геометри-
ческим, то эти доказательства следует
признать псгвдогеомгтрическими..
Я привожу такое доказательство
только для острого угла (черт. 19).
В Л АВС опускаем иа основа-
ние ВС перпендикуляр AD и строим
на высоте квадрат ADHI, а на осно-
вании квадрат ВСЕЕ\ н последний раз-
Черт. 19.
деляем так, как это делает Евклид при доказательстве предло-
жения 4. На BD строится квадрат BDLM, а па CD квадрат
MNGE.
t~\AB~DI -[-LD по теореме Пифагора,
□ ВС=ЛГО + СД4-ДО.
Поэтому
□ АВ Н- □ BC—NG + D! + CI. + LG+LD = KG ±DI+ 2CL,
гак как LG ~ СМ (по предложению 43 книги 1) и /_£)-(- CM — CL.
Но □ AC—KG А-DI по теореме Пифагора, так как
.VG = CC£>.
В pc3vabiaTe
D АВ 4- □ ВС^ □ АС^ 2CL ~ Q АС-f- 2 прям. BC-BD,
та- как BL^BD.
25. Сумма квадратов диагоналей. Из обобщённой теоремы
Пифагора выводится очень просто, что сумма квадратов диаго-
налей параллелограмма равняется сумме квадратов его сторон.
Эта теорема была следующим образом обобщена Эйлером,
21*
324
КОММЕНТАРИИ
Для всякою четырехугольника ABCD имеем:
АВ* 4- ВС* 4- CD* + DA* = АС* 4- BD- 4- 4Е/*,
где Е — середина АС и F —середина DB (черт. 20).
Теорема Эйлера проще всего выводится из теоремы, принад-
лежащей Аполлонию. В треугольнике АВС проведём медиану
AQ к середине G стороны ВС\ тогда:
АС* + АВ2 — 2(AG2-\-BG2) (черт. 21).
В настоящее время эта формула служит для определения
медианы, треугольника по сторонам', она выводится, пополняя
треугольник ВАС до параллелограмма ВАСЕ.
Если ADJlBC, то имеем:
AW-AD^CD2,
ЛВ2 = AD* 4- BD*,
и поэтому
АС* 4- АВ2 = 2AD* 4- CD2 4- BD3.
По предложениям 9, 10 книги II CD2 A-BD* — 2QU14^ 2GB3,
и поэтому
АС* 4- АВ* = 2 ALA 4 2GD2 2GB2 = 2AG3 4- 2GB3.
Теорема Эйлера выводится следующим образом:
По доказанной только что теореме
АВ* 4. ВС2 — 2АЕ* 4- 2ВЕ3,
CD* 4- DA*= 2АЕ* 4.2DE3,
АВ* 4- ВС3 -j-CLA-r DA* = 4Л£2 4. 2 {BE3 4. DE3).
К КНИГЕ 11
325
Далее, из треугольника DEB, где. ЕР—медиана,
BE 3 DE* = 2DP3 4 2£№
и окончательно
АВ2 4- ВС3 4- С£>2 4 DA3 = ±АЕ* 4 4/ДЛ 4 —
~АС3 4 ВО«44£№.
26. Сводка алгебраических формул, выражающих теоремы
КНИГИ ]].
I. а {Ь 4 с 4 Ф = *т ас 4- «<*,
п. ь 4с ~ а —* 4 = д2«
III. {а 4 ЭДа — 4- °2>
IV. (а 4 5)а == а2 4 5г 4 2аЬ,
V. af,+ (^±A_(,)!=(e+ty,
VI. (2а45)5 + й“ = ^4^2.
VII. (а4й)24а-’—2(a45)a^£2
VIII. 4(й46)а4^ = 1(й4^)441
iw^2[(4444M!].
х. {2а 4 5)2 4 &2 = 2 [а« 4 {а 4 5)2].
27. Стереометрические аналогии книги Л «Начал». Стерео-
метоическ «е аналогии теорем книги 11 пытается дать Каваль-
ериаз1. В «Геометрии неделимых» он дает геометрические
теоремы, выражаемые равенствами;
(а — 5) а? — а (а— 5) а, (!)
(а 4 5) я2 = а25 4 а3 (2)
(л 4 5р = а (л 4 5)2 4 5 (а 4 5)2 (3)
[а 4.5)3 = (а 4 5) а3 4 (а 4 ЭД 52 4 (а 4 Ф <2-аЬ> (4)
(а 4 5)3 = аз 53 3^25 3^2,
ab {1а — Ь} 4 а (а ~ ^г= flS> (6)
(а 4 Ь) (2а 4 5) 5 4 (а 4 5) а2 = (а 4 5)3. (7)
В «Опытах» он даёт ещё более сложное тождество
ч . m оМ45\3 . £а Л~Ъ (а~ 5\2
<-3 + «« = Ц-^-) (8)
Но только Простейшие (1), (2), (3), (4), (5) моделизуются. Вывод
же других сводится к алгебраическому выводу, но только в за-
маскированной геометрический форме.
2“) К а в а л ь е р и, Геометрия неделимых, пер. м коммент.
Лурье, М.—Л., 1939.
КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ III
1. Радиусы равных кругов. Первое определение книги П1
на первый взгляд представляет нечто несущественное. А между
тем около этого определения сосредоточиваются многочисленные
комментарии. Некоторые
комментаторы, как, напри-
мер, Таргалья1) и БорелпиЧ
относят это определение к
аксиомам.
Дру(ие же видят в нём
теорему, требующую дока-
зательства R). При этом до-
Черг. I. казатепьство ведут методом
наложения (черт. I).
Налагается один круг на другой, так что центр С попадает
в центр I и диаметр АВ идет по диаметру НЕ.
Тогда, взяв НС и [G под равными углами к диаметрам АВ
и DE, получим при наложении совпадение СН с I(J, а затем
(вследствие равенства радиуса) и точки Н с G.
Этот вывод, правда, ведётся с помощью евклидова метода
наложения, но совершенно не в духе самого Евклида. У Евклида
при наложении треугольника на треугольник устанавливается
совпадаемость конечного числа элементов, а именно, троек вер-
шин и троек сторон, которые совпадают вовсе не по точкам.
а целиком, в силу аксиомы 9, по которой две прямые не заклю-
чают пространства.
х) Tartaglia, Euclide tradotto, стр. 37. О нём Cantor.
Vorles., т. 2, стр. 484.
2) Bore litis, Euclides res itutus, стр. 63, 1679.
8)Angelus de Marchetls, Euclide* re ormatus, 1709.—
К 6 nig, Ele nen^a Euclidis, стр. 91. — Playfair, Clemens of
Geometry, стр. 374.— Billingsley, The Elemen,s of Euclid,
стр. 10.
К КН И ГТ Ш
А здесь мы устанавливаем совпадение бесконечного множе-
ства точек, т. е. вводим никогда не завершающийся процесс.
Нужно отметить, что в своём определении Евклид мыслит
не только то, что если радиусы равны, то равны и круги, но
и. обратно — если круги,равны, то равны и радиусы. Некоторые
комментаторы (Клавпй, Ороне Финей, Борелли, Битонто 4), сан-
дал ла ^добавляют в связи с этим, что круг больше, если радиус
больше, и меньше, если радиус меньше.
Таким образом, рассматриваемое определение Евклида имеет
и -явный аксиоматический оттенок.
2. Касательная. Мы определяем
касательную как предел секущей,
проходящей через две точки М и
Л13 при сближении Mi с М -
До установления понятия преде-
ла в: д’аламберовском смысле каса-.
тельная определялась как прямая.
Черт. 2.
проходящая через две бесконечно близкие точки М, Alj, причём
расстояние MMi мыслилось Как актуально-бесконечно малое.
В учебнике элементарной геометрии эти определения не мо-
гут быть проведены, так как о касательных приходится говорить
много раньше введения в геометрию понятия предела, трудно
усваиваемого па этой ступени обучения.
Леямнлр6) даёт определение не касгтелъчой вообще, а ка-
сательной круга: прямая, имеющая только одну общую точку
с окружностью.
Такое определение, конечно, не согласуется с тем понятием
касательной, которым пользуются в анализе. Касательная как
предел секущей может касаться и вместе с тем и пересекать
кривчю (черт. 2).
Здесь следует отметить, что евклидово определение касатель-
ной отнюдь не совпадает с современным, В конце острия М,
по Евклиду, всякая прямая будет касательной к кривой, между
тем как, по-нашему, только одна прямая МТ (черт. 3). В четвёр-
той книге Евклид определяет впгеанный в круг многоугольник
как такой, -углы ‘которого касаются окружности (вместе с тем
♦) Giordano di Biionto, Euclide restEuto; 1670, стр.-10].
f)Canda)la, Euclid!? EJementa, loll.
6) Лежандр. Элементы геометрии, 1887,
328
КОММЕНТАРИИ
они касаются и касательных к кругу, причём остаются касатель-
ными при различном наклонении к этой касательной).
Взяв вместо круга дугу кривой, которую прямая пересекает
только в одной точке, мы должны были бы, по Лежандру, назвать
её касательной, причём таких касательных было бы бесконечное'
множество.
По Евклиду же, это не были бы касательные, так как они
пересекала бы дугу.
То же следует "сказать и об определении касающихся круюв.
3. Расстояние точки от прямой. С современной точки зре--
ния Евклиду следовало бы определить расстояние точки от
прямой как длину перпендикуляра, опущенного из этой точки
на прямую.
Евклид не даёт не только определения расстояния точки
от прямой, но даже расстояния центра круга от прямой; он оп-
ределяет только прямые равноотстоящие н нгравнозтстоящие
от центра.
Евклидово определение имеет описа1ельиыЙ и вместе с тем
и аксиоматический характер. В данном случае «ближе» и «дальше»
мыслятся как понятия простые, сами по себе, ясные, принимаемые
без определения. Затем не вообще, а только для круга ищется
признак, по которому можно судить о равной или неравной
удалённости хорд. Это дался сравнением перпендикуляров, опу-
щенных из центра на хорды.
4. Угол сегмента. Это определение при историческом ана-
лизе имеет очень важное значение.
Здесь совершенно определённо выставляется, как предмет
геометрического исследования, смешанный угол, образуемый пря-
мой и кривой. Сегмент имеет две стороны: одну прямую, дру-
гую кр гвую, и два угла.
Бесспорно, что до Евклида эти смешанные углы играли зна-
чительно большую роль, чем у Евклида, и постепенно выходили
из употребления. У Аристотеля есть доказательство предложения 5
книги I «Начал», в котором он оперирует смешанными углами,
Подобными сегментами у Евклида называются те, в которых
заключаются равные углы (по-нашему, в которые вписываются
равные углы). Это второе определение должно быть оправдано'.
следует доказать, что все вписанные углы равны (что, между
прочим, не имеет места в плоскости Лобачевского); это Евклид
даёт только в предложении 21.
5, Аксиоматическая проблема апагогического доказа-
тельства. То, что центр круга лежит на перпендикуляре, вос-
ставленном нз середины хорды, Евклид доказывает anazozu-
чески.
Роберт Симеон 7) старается убедить в том, что это положе-
ние н не может быть доказано прямым путём, а только апаго-
гически.
’) R. Sim so о, EucHdis- etem. Ifbri, sex. ».
К КНИГЕ ПТ
329
Таким образом, он наталкивает на аксиоматическую проблему,
которую мы ещё не умеем решать. <Даны аксиомы А, В, С, Ъ
и дано вытекающее из этих аксиом положение Р; можно ли Р
вывести из А, В, С, D прямым доказательством^ Иначе говоря,
необходимо ли использовать вместе с Л, В, С, D ещё логическую
аксиому «исключённого третьего» 8).
Р.‘Симеон говорят, что кроме определения круга, мы не
имеем никаких других признаков, из которых могли бы извлечь
доказательство; исходя же из определения круга, мы не можем
рассуждать иначе, как приведением к абсурду.
Другие комментаторы не убеждаются доводами Симеона.
Однако Компано, Кетий, Бер’ман, а, за ним Камерер 8 9) исходят
из предложения 26 книги I АС—СВ и углы при С
Черт. 4.
прямые) и доказывают (черт. 4), что все точки на перпендику-
ляре СО равноотстоят от А и В\ из этого, однако, не следует,
что все равноотстоящие точки, и в числе их центр О, находятся
на этом перпендикуляре.
Чтобы доказать, что СО — геометрическое место всех таких
точек, необходимо рассмотреть точку вне СО и доказать приве-
дением к абсурду, что ей это свойство не присуще.
Томас Снмлсон10) доказывает эту теорему прямым путём,
соединяя О с серединой АВ и прибегая к третьему случаю
равенства треугольников.
О действительно оказывается на перпендикуляре СО к АВ,
но использование закона исключённого третьего здесь отодвинуто
к началу, гак как то, что в С можно восстановить только один
перпендикуляр, доказывается апагогически.
Так же дело обстоит и с предложением 2.
8) Д. Мордухай-Болтовской, Ненатуральное доказа-.
тельство^в прошлом и будущем, Математическое Образова-
9) С a merer, Euclidis elem, libri priores. 1756.
10) T- 6 i m p s о n, Elem. of Geometry.
я
ззо
КОММЕНТАРИИ
То, что отрезок АВ прямой, пересекающей круг, оказывается
внутри этого круга, доказывается тем, что DE будет меньше DB,
так как £ DEA> £ DBA—£ DAB на основании предложения
16 книги 1 (доказываемого прямым путём) и затем DE<AD (на
основании предложения 19, доказываемою аиагогически) (черт. 5).
6. Теоремы о пересечении и касании. Комментаторы, напри-
мер, Камерерп), предлагают слить предложения 5 и 6 в одно:
«Если два круга описаны из одного центра, то они или
не имеют общей точки, или, если имеют, то имеют все точки
общими». . .
Доказательство дается того же типа (не в евклидовом духе),
как то, о котором мы говорили в связи с первым определением.
Если точ-ш М на некотором расстоянии от О, то на том же
расстоянии будут и ЛЕ и Лг', и М" и .V", и т. д., так что все
точки кругов совпадают (черт. 6).
Черт. 6.
7. Пересечение прямой с окружностью. Лежандр выводит
новозм эжность пересечения окружности прямой в трех точках
из невоз [ожпости проведения из данной точки трех равных
наклонных,
Лежандр доказывает, что перпендикуляр к радиусу представ-
ляет касательную (черт. 7). Так как вся ая наклонная ОЕ длин-
нее перпендикуляра ОА, то точка Е находится вне окружности
и линия BD имеет с пей только одну общую точку, а потому
BD карательна к окружности.
8. Условия Пересе 1ения кругов. Весьма существенным
дополнен им к Евклиду являются предложения 13,14 «Элементов»
Лзжаира1’), устанавливающие условие пересечения и касания
кругов. В современных учебниках (например, Киселёв) на этом
долго останавливаются.
И) С a merer, см. прим. 9.
J2) Лежандр, см. прим. £•
К КНИГЕ lil
331
Результаты исследования укладываются в табличку:
Если d расстояние между центрами, /? и г радиусы кру-
гов, то
при d>A’4-r круги вне друг друга,
d~R-\~r извне касаются,
пересекаются,
—г касаются изнутри,
d < R — r один внутри другого.
9. Замечание к доказательству предложения 7. Когда
Евклид говорит, что В! больше CI, то он подразумевает, что угол
BID больше угла CID, а в доказательстве исходит из того, что
угол BEI больше угла СЕК Здесь бесспорно некоторый логический
провал. Для полноты доказательства необходимо из неравенства
Z BID > Z CID
выьест, что £ВЕ1 > /_СЕ1, что легко сделать с помощью
предложения 2о книги I.
10. Пересечение прямых в одной точке. Доказательство
предложения 9 возбуждает у некоторых комментаторов сомнения.
Считают, что утверждение того, что
центр Сложит на пересечении перпен-
дикуляров в середине хорд АВ и CD,
можно признать, линь доказав, что эти
перпендикуляры пер°секаются.
Указывается, что у Евклида нет
такой аксиомы, что две прямые всегда
цересскаются в одной точ :е (так как
они могут быть параллельны и не пере-
секаться).
Но то, что центр существует, сле-
дует уже нз 'определения круга (опре-
деление 15 книги I). Евклид же доказы-
вает, что если он существует, то дол-
жен быть и на КО и на 10. Если бы КО и Ю не пересекались,
то центр н° существовал бы (черт. 8).
Аустин 13) предпочитает выводи гь это положение из 7-го, минея
это построение центра.
Существование трех равных прямых, выходящих из точки,
не совпадающей с центром, противоречит утверждению, что
существуют то 1ЬК-> две равные прямые одна по одну, а другая
по другую сторону наиме шшей.
Об этой теореме говорят Кампано, Ороне Финей, Тако,
Р. С гмеон, Плайфар.
В настоящее время Киселёв доказывает ее, замечая, что пер-
пендикуляры к двум пересекающимся прямым пересекаются.
is, А ис 11 п и з, An examination of the first Books of EncHdls
Element. Oxford. 1781.
Черт. 8.
332
КОММЕНТАРИИ
В самом деле, если АВ было бы параллельно CD, то и
ЕС было бы параллельно ED и две эти прямые не были бы
пересекающимися (черт. 9).
Теорема о пересечении прямых,
восставленных из середины хорд, аб-
солютная, в настоящем же доказа-
тельстве используется аксиома о па-
раллельных.
Если взять две хорды АВ и CD.
образующие малый угол между собой,
то в геометрии Лобачевского пер-
пендикуляры к ним (не обязательно
. в середине) EF, GH могут оказать-
ся и параллельными и сверхпарал-
лельными.
11. Другое доказательство пред-
рукописях помещается ещё другие до-
ложения 9. В некоторых rj—. - ___ — -rj_________
казательство предложения 9, которое Гейберг удачил из основ-
«Иначе. Внутри К]
торую точку D, и пуст
н
Черт. 10.
DC же будет больше
норе текста.
руга АВС (черт. 10) возьмём неко-
гь из D к кругу АВС выходят более
чем две равные прямые DA, DB-.
DC; я утверждаю, что взятая точ-
ка D будет центром круга АВС.
Действительно, пусть это не
так, но, если возможно, пусть
< центр > будет Е, и соединяющая
DE пусть будет доведена до то-
чек I, Н. Значит, IH диаметр
круга АВС. Поскольку теперь в
круге АВС на диаметре III
взяга некоторая точка, которая нс
является центром круга, <а имен-
но > D, то наибольшей будет DH,
DB, a DB
< больше > DA. Но они и равны;
: это же невозможно; значит, Е не
будет центром круга АВС. Вот
подобным же образом докажем,
' что и никакая другая, кроме D;
значит, точка D есть центр круга
АВС, что и требовалось доказать».
12. Другое доказательство пред-
ложения 10, помещённое у Гейберга
в приложении.
«Иначе (черт. 11). Действи-
тельно, пусть снова круг АВС сечёт
в двух точках В, Н, I, G> возьмём j
соединим КВ, КН К/.
Черт. 11.
круг DEI более чем
ентр К крута АВС и
К КНИГЕ HI
334
Поскольку теперь в круге АВС взята некоторая точка
/С внутри, и из точки Д’ к кругу DEI вышли более чем две
равные прямые КВ, KI, Кп, то значит, точка /(есть центр
круга DEI. Но К будет центром и круга АВС\ значит,
у двух секущих друг друга кругов будет один и тот же
центр К\ это же невозможно. Следовательно, круг не
сечёт круга более чем в двух точках, что и требовалось
доказать».
13. Доказательство другого случая предложения И, поме-
щённое у Гейберга в приложении.
<Но вот пусть она упадёт, как HIC', продолжим CIH
по прямой до точки G и соединим АН, AI (черт. 12).
Поскольку теперь АН, HI боль- „
ше АД но IA равна IC, т. е. IG, от-
нимем общую 1Н\ значит, остаток X \ \Х
АН больше остатка Hd, т. eL HD GHn \ \ \
больше HG— меньшая большей, что \ ) \
невозможно. Подобным образом до- \ л'-'А/ / I
кажем нелепость и если центр боль- \ \" /
шого круга оказался бы вне малого». \
14. Теоремы о касании. Евклидовы \ 7С
доказательства предложений 11 и 12 имеют ______
определённые дефекты, отмеченные рядом в
комментаторов. и 12
Для того чтобы предложение 11 о вну- н *
треннем касании было абсолютно доказа-
тельным, нужно показать, что один круг (меньший) должен весь
заключаться внутри другого. В этом легко убедиться, если при-
нять во внимание, что при внутреннем касании один круг, ле-
жащий внутри другого в окрестности точки касания, не может
иметь ни одной части вне первого круга; в противном слу-
чае оба круга имели бы минимум три общие точки (одну ка-
сания и две пересечения), что противоречит предложению 10
книги III.
Но если оба круга не могут пересекаться, то один из них
должен лежать целиком внутри другого, иными словами, внутрен-
ний круг должен быть меньше внешне[0 и иметь меньший ра-
диус. Пусть I — центр большего круга (см. черт. 12), ъН — мень-
шего. Если мы продолжаем линию центров IH, то точка касания
А может лежать на продолжении этой линии или же вне её.
Если точка касания лежит вне продолженной IH, то последняя
может пересечь обе окружности или в одной общей точке (кото-
рая может быть только второй точкой касания) или в двух
точках D и G, но тогда точка D её пересечения с мень-
шим кругом должна во всяком случае лежать ближе к цен-
тру Н последнего, и тогда доказательство Евклида вступает
в силу.
Невозможность нахождения точки касания иа линии НГ за
центром / большего круга следует из того, что в данном случае
334
KOMMtHl АРИИ
радиус меньшего круга оказался бы больше радиуса большего
круга.
Таким образом, остаётся последняя возможность, что два
круга имеют две точки внутреннего касания, т. е. точки D и G
сливаются в одну, так что AH = HD и А! — ID. Эта возмож-
ность тоже ликвидируется при помощи небольшого видоизмене-
ния того же самого доказательства Евклида. Действительно, мы
имеем
AI < АН Ь IH — DH\- IH— DI.
Но DI — AI, поскольку точка D лежит на окружности не только
меньшего, но и большего круга, представляя вторую их общую
точку касания. Таким образом, из предложения II вытекает
не отмеченная Евклидом
s's'" единственность точки ка-
У X. У X. сания двух кругов при
/ . \/ \ их внутреннем соирикос-
I уд \ новении.
1 I Что касается предло-
\ г Д л / жеиия 12 то, повидимо-
\ У \п ~~ л J му, оно является позд-
X. У X. У нейшим добавлением.
Х‘х-----'S Герои в своём коммента-
q рии к предложению 11
’ 1 ’ говорит, что «Евклид В
предложении Ц считал
оба круга касающимися изнутри... Но я покажу, как нужно дока-
зать его,если соприкосновение является внешним». Так как после
этого следует чертеж предложения 12 и текст доказательства, по
существу мало отличающегося от евклидова, то, невидимому,
существующий текст предложения 12 представляет доказательство
Герона, внесённое позднейшими редакторами текста Евклида,
может быть Теоном.
Относительно самого доказательства предложения 12 можно
сделать те же замечания, что и относительно II. Приведённое
в тексте Гейберга доказательство имеет сил/лишь в том случае,
когда оба центра F, G и точки пересечения С, D расположены
в порядке FCDG (черт. 13), а не в порядке FDCG (черт. 14).
т. е. точка С левого круга не лежит внутри правого и обратно.
Если бы это имело место, то, поскольку А есть точка внешнего
касания, оба круга должны были бы пересекаться между А и С,
т. е. иметь, кроме А, ещё вторую общую точку. Далее, на осно-
вании III 8 мы доказали бы, что оба круга должны иметь ещё
общую точку А'—симметричную относительно лицин центров,
что будет противоречить III 10.
Далее рассматриваемое доказательство предполагает, что
точки F, A, G образуют треугольник [Хию (Heath), II, стр. 29];
если бы эти три точки лежали на одной прямой (черт. 15), то
К КНИГЕ 111
335
для внешнего круга радиус FC оказался бы равным FA, что
невозможно.
Предложения II, 12 могут быть формулированы так: если
два круга не пересекаются, а касаются, то прямая, соединяющая
нх центры, проходит через общую точку. Обратная этонтеореме
будет: если прямая, соединяющая центры кругов, проходит через
общую их точку, то они не пересекаются, а касаются в этой
точке.
Противоположная теорема: если два круга не касаются,
а пересекаются, то прямая, соединяющая их центры, не проходит
через общую точку.
Черт. 14.
Обратная противоположной: если прямая, соединяющая
центры, не проходит через общую точку, то круги не касаются,
а пересекаются. Последняя теорема легко доказывается на основа-
нии предложения 20 книги I.
Подробный разбор предложений II и 12 делает излишними
комментарии к предложению 13, которое по существу уже пред-
полагается при доказательстве предложения II.
15. Равенство прямоугольных треугольников. Интересно
отметить, что Евклид обходится без теоремы о равенстве прямо-
угольных треугольников при равенстве их гипотенуз и одной
пары катетов. Теор;ма эта непосредственно не вытекает ни из 4,
пи из 8, ни из 24 предложения книги I.
Мы доказываем эту теорему на том основании, что наклон-
ные, дальше отстоящие от перпендикуляра, больше ближе отсто-
ящей (т. е. что та больше, у которой больше проекция), причём
основываясь на предложении 16 книги I.
Почему это положение ускользнуло от Евклида, почему он
предложение 14 доказывает не так, как мы его доказываем на
основании равенства прямоугольных треугольников, а призывает
на [омощь теорему Пифагора?
Следует обратить внимание на то, что абсолютная теорема
верная, как показал Феодосий, на сфере, здесь доказывается
с помощью теоремы Пифагора, то-ссть с помощью аксиомы
о параллельных.
Эйб
КОММЕНТАРИИ
У математиков
наследие средних
16. Спор Клавия £ Пелетарием. Полемика между Клавием и)
и Пелетарием15) (Пелетье) об угле касания, т. е. об угле, обра-
зуемом касательной с окружностью в точке касания, даёт богатый
материал для характеристики мышления математиков XVI в.
Собирание упущенных Евклидом очевидных истин без всякой
попытки исследования их зависимости или независимости между
собой — это дело рационалистов XVII в., которые относились
несравненно более критически к Евклиду, чем математики XVI в.,
и у которых на месте Euclides Commentatus (Евклид коммен.
тированный) выступает Euclides restitutes (Евклид восстанов-
ленный),
XVI в. вера в авторитет сохраняется как
веков. Система евклидовых аксиом у них
остаётся неизменной или же подвергается
только небольшим дополнениям. Эта черта
в соединении с тенденцией чисто схоласти-
ческой порождает неправильные толкова-
ния положений Евклида в более широком
2? и более желательном для схоластического
настроения спорщика смысле.
Так, Пелетарий в доказательстве того,
что в кругах углы, образованные диаметра-
ми к окружностями, равны, раньше чем
привести своё доказательство, о котором
мы будем говорить ниже, просто ссылается
на постулат Евклида «Все прямые углы
равны», отнесённый им к обобщённому пониманию прямого уела,
а также на (тоже неправильно понимаемое) положение о равен-
стве углов в подобных многоугольниках, возведённое нм из
определения в аксиому и распространённое на окружности (оче-
видно, всегда подобные).
В этом отношении особенно характерно доказательство
Пелетария той же проблемы с помощью параллельных пересечён-
ных прямой.
«Прямая, — говорит Пелетарий, — пересекающая две парал-
лельные, делает с ними равные соответственные углы.
И в настоящем случае (когда имеем две окружности с общим
центром АС к BD) ОВ пересекает параллельные (но уже не
прямые, а окружности) (черт. 16). Так что соответствующие углы
САО и DBU равны».
Ошибку Нелетария отмечает КлавИй, но и сам делает анало-
гичную ошибку, приписывая Евклиду обращение аксиомы 8
книги I (часть меньше целого).
Черт. 16.
I*) Cl a vias, Eiementa Euctidis, Rotnae, 1574,
1г) Pele t a ri us, Elementa Eucltdis, 1557. См. o hSm Center,
t, 2, стр. 533 и Montucla, т. 1, стр. 504.
R КНИГЕ Hl
Мы уже отметили, что скрытым образом это обращение
имеет место и у Евклида, но только для прямолинейных углов
и отрезков.
клавий это положение распространяет и на смешанные
углы, образованные окружностью и прямой, и старается с по-
мощью аргументов, основанных на этом положении, разбить
противника.
Пелетарий доказывает, что в кругах углы, образованные
диаметром с окружностью, равны. Угол касания, по Пелетарию,
не представляет величины.
Над ним невозможны те операции, которые предполагают
понятие величины.
Он видимо соглашается с тем, что все углы суть величины,
но настаивает на том, что угол касания не угол. Всякий угол,
говорит он, получается в сечении
линий, а не в касании. Заставляя пря- * /5
мую АС вращаться около точки х/хЧ /У/Р
кривой А, он старается убедить в ^xxs^
том, что в момент совпадения этой д
прямой с касательной в точке А мы Чеог 17
должны говорить об исчезновении р '
угла между прямой и окружностью.
Иначе думает Клавий, для которого угол состоит из одной
точки и наклоненных линий (безразлично прямых или кривых),
которые не имеют одного направления, как это ясно из евкли-
дова определения угла. Но Клавию приходится обобщать понятие .
величины, может быть и незаметно для себя, принимая за вели-
чины и те, которые нс удовлетворяют постулату Архимеда.
Пелетарий выдвигает доказательство, основанное на следу-
ющем свойстве величин вообще: две величины А и В меньше
X, причём X может быть как угодно мало, mi А и В равные.
Он доказывает равенство двух углов, образованных окруж-.
костями [(A/7;, AF2)(AF2, AF)], т. е. равенство части целому и
поэтому утверждает, что такой смешанный угол не имеет частей,
а потому ие представляет величины; то же, конечно, относится
к углу касания (черт. 17).
Для противников Пелетария это рассуждение представлялось
неубедительным; им представлялось вполне возможным, чтобы
род величин Й разделялся на два вида: и Si2 таких, чтобы
между величинами вида были отношения: меньше, равно,
больше, и чтобы все величины были меньше сколь угодно
малой величины вида Д2 и примером приводили именно род
угла, делящегося на виды: утлы касания, прямолинейные и сме-
шанные утлы.
Последняя точка зрения вполне отвечает канторовской точке
зрения на актуально-бесконечное число, по которой первое
трансфинитное число больше чем всякое конечное число и
при этом между трансфинитными числами имеют место огни- ,
шения: меньше, равно, больше. 22
22 Евклид
836
КОММЕНТАРИИ
Характерно ещё доказательство Пелетария равенства углов
в полуокружности, влекущее за собой равенство углов касания
и исключение их вследствие этого из класса величия.
Взяв два концентричных круга ЛВС и DIG, он замечает,
что угол, образованный окружностью АВС и её диаметром, не
может быть больше угла, образованного окружностью DIG с тем
же диаметром, а только ему равен
или меньше. В этом Пелетарий убе-
ждает, подвигая DIG так, чтобы он
коснулся АВС (черт. 18).
Если теперь DIG больше АВС,
то то же имеет место для любого
большего концентричного с первыми
двумя круга MPN.
В результате для некоторого
круга достаточно большого радиуса
мы, по мнению Пелетария, получили
бы противно Евклиду угол b полу-
окружности больше прямого.
Здесь упущена возможность ас-
симптотического возрастания до определенного значения, не
превосходящего прямой угол. Но в то время исследование из-
менения одной величины в зависимости от другой было совер-
шенно непривычным делом.
17. Неделимое и угол касания 16). Чем же являются углы
касания у Клавия? Это величины, которые можно складывать и
вычитать. Удвоение угла касания даёт больший угол, удвоение
которого даёт ещё больший и т. д. Если же мы возьмём угол
касания а и острый прямолинейный угол 0, то прибавляя к а
ещё а и т. д., мы никогда не получим величины большей
1е) Card anus, De subtilitate, 1550, 1554, 1560, кн. 16.
стр. 980 в его Opera. О нём Cantor, т. 11, стр. 484, Montucla,
т. I,стр. 511. — Vietae, Opera,стр. 386, гл. 13,14, 16,18. — С a mi 11 i
G1 о г i о s 1, Exercitationum matnematicorum, Neap., 1639. P а г e г e
di Galileo Galilei intomo all angolo del contacto scritte a Gio
Camillo Glorioso Math., Neapoli, 1635. Opere di Galileo Galilei,
Milano, 1811, t. 10, стр 281. — Taquet, Elementa Geometriae
planae ac solidae, Antverp., 1654. Amst 1683. Schol. Ill, i6. стр.
84—93 (против Клавия). — Fra n с X a ver I Aynscom, Exposi-
tio ac deductio Geometricae quadraturarum coram R. Gregorii
S. Vincentio... Antverp., 1656 (против Клавия). — W a i 1 i si u s,
De angulo contactus, 2, Operum mathem. Oxoniae, 1691, стр. 631—
664. — Defensio tractatus de angulo contactus et semicirculo, 1685.
О нём Cantor, т. Ill (I), стр. 26.—L e о t a г d i, Cyclometria... in
qua anguli contlgentiae natura explicatur, Lugdunl, 1633 (за Клавия
против Валлиса). — Leibnitius, Meditationes de natura anguli
contactus et osculi. Werke Vli, стр. 326—329. De Geometria recon-
dlta et anaiysi indlvisibiiiura at infinitorum, Werke V, стр. 226—283.
К КНИГЕ ш
339
Таким образом, эти величины не подчиняются постулату
Архимеда, по которому для всяких двух величин а и b можно
найти такое п, что па > Ь.
Определение 4 книги V <Начал»: «величины называются
имеющими отношение одна к другой, если, будучи взяты крат-
но, могут быть больше одна другой» — Клавшем разъясняется
в следующем смысле.
Отношения могут иметь только такие величины, которые
удовлетворяют постулату Архимеда. Поэтому отношение может
быть между двумя прямолинейными углами, но не может быть
между прямолинейным углом и углом касания.
Угол касания — это отец неделимого XVII в. и дед потен-
циально-бесконечно малого XIX в.
Ему присущи свойства неделимого:
I) С помощью конечного числа сложений из него нельзя
получить конечного угла (смешанного угла, не отвечающего
случаю касанш).
2) Он является низшей границей для частей деления непре-
рывной величины.
Но у Кардана и Клавия эти величины делимы и вполне
подчиняются аксиомам 1 и 2 книги I «Начал» Евклида.
Если w угол касания, то
а -|- w > а, а -|- 2и> > а, ...
Но если b какой-нибудь другой конечный угол, то
а -|- w < b, a -J- 2<о < Ь, ...
Признать ы за величину с отнесением к классу величин
вместе с а и & Клавий смог, только обобщив понятие величины,
приняв может быть и незаметно для себя за величины и вели-
чины неудовлетворяющие постулату Архимеда.
Но то же мог бы сделать н Лелетарий.
Он мог бы тоже при своей точке зрения назвать угол каса-
ния величиной, и оперировать над классом величин, объемлющим
и угол касания. Но при этом он должен был бы признать:
1) неделимость углов касания и
2) невозможность заключения из равенства а-\-ю = а, что
«=0, вместе с необходимостью вывода из а-\-ш=:Ь, что
Действительно, по Пелетарию угол касания неделим, далее,
углы, образуемые диаметром с окружностью, равны, хотя и от-
личаются между собой.
Дтя позднейших математиков исчезновение бесконечно ма-
лого перед конечным это тот принцип И), который являлся
И) Keplerus, Nova stereometria doliorum, 1615, Opera om-
nia, T._1V, стр. 537. Есть русский nep. Cantor, Vorles., т. II,
c^pi 750 — Cavalieri, Geometria indivlsioillum promota 1635
(1653). Есть русский пер. Лурье, 1939. Exercitationes Geometricae,
1647. W a Hi si us. Arithmeiica infinitorum, Opera Math. Oxoniae,
t. i, стр. 1647.— Klii gel, Mathem. WOrterijvch; Cavalleri Methode.
22*
340
КОММЕНТАРИИ
главным рычагом математической техники исчисления бесконечно
малых величин до Ньютона 18).
Корни свои эта идея опускает в метафизику. Уже в нача-
ле XV1I1 в. X. Вольф151) так формулирует этот принцип: вели-
чина бесконечно малая в отношении конечной принимается за
ничто. Две величины с бесконечно малой разностью принимаются
за равные.
18. Проведение касательных к кругу. В современных
> учебниках касательная к кругу строится иначе. Из А описы-
вается круг радиуса АО, из О он засекается в точке В ради-
усом, равным диаметру данного круга. Полученная точка В
соединяется с О прямой ВО, пересечение которой с данной ок-
ружностью даёт точку касания С, так что АС будет искомой
касательной (черт. 19).
В учебниках лежапдрова типа употреблялось такое по-
строение.
На АО как на диаметре описывается круг, тогда АС как
перпендикулярная к ОС будет касательной 'черт. 20).
Эго решение (неправильно приписываемое Финку (1583))
находится у Клавия №).
Проективная геометрия даёт возможность решать эту
задачу с пэ.инцью одной, линейки.
Проведя через А две прямые, пересекающие круг в точках
В, С и D, Е, соединяем точки пересечения Р, Q прямых (ЕВ,
DC) и (DB, ЕСу, прямая PQ будет полярой точки А; её пере-
сечения с окружностью М и /V дадут точки касания; AM и А\’
будут искомыми касательными (черт. 21).
38) Н ьютон, Математические работы, пер. и коммент.
Д. М о р д у х а н-Б олтовского, 1937.
1Э) Ch. Wolf/ us, Elementa Matheseos Unlversae, 1730,
го) Clavlus, см. прим. 14.
К КНИГЕ IT}
341
Эго построение было указано ещё Григорием Сан-Винцен-
то21) в 1647 г. и де-ля Хиром 2-) в 1679 г. Проведение касатель-
ных, параллельных данной прямой, впервые встречается у Пеле-
19. Проведение касательных к двум кругам. Проведение
касательной к двуи кругам мы сводим к построению касательной
из центра С' меньшего круга к кругу концентричному большему
с радиусом CD, равным разности СМ —-С’М’ радиусов данных
кругов (черт, 22).
Существует другое построение, которое восходит к Папп?
(черт, 23).
Приводя из центров кругов параллельные радиусы ОМ || (УМ’<
определяем центр подобия Р в пересечении ММ* * с 00’ и из р
проводим касательную рТ к одному из кругов.
21) Gregorio a. S. Vincent io, Opus Geometricuin de
quadratlira efreuli, Antverp., 1647.
*2) De la Hire, Nouveaux 61£mentsdes sections couiqucs et
des lleux gSonietriques, Parts, 1679.
342
КОММЕНТАРИИ
Интересно отметить, что первый из математиков эпохи Воз-
рождения Кардан2S), решающий эту задачу, поступает иначе. Он
восставляет OQ перпендикуляр к 00' и откладывает угоi
Z QOT^= 2. P\G'O— £, Р'Р\О', под которым виден радиус ма-
лого круга из центра большего (черт. 23).
Учение о центрах подобия развивается Чевой, а затем Рлк-
кати, Эйлером* 2 * 23 24).
20. Тангенциальные проблемы. Проблемы более сложные
о проведении кругов, касательных к прямым и кругам, были
разрешены ещё Аполлонием2?) в его не дошедшей до нас рабо-
те, с которой знакомит пас Папп. Работа эта восстановлена бы-
ла Виетой.
Решение задач Аполлония можно найти в руководствах по
геометрическим построениям, например, у Адлера.
Перечислим задачи, разрешаемые Аполлонием.
1) Найти круг, проходящий через две данные точки, касаю-
щийся данного круга.
2) Найти круг данного радиуса, проходящий через данную
точку и касающийся данной прямой.
3) Найти круг данного радиуса, проходящий через данную
точку, касающийся данного круга.
4) Найти круг, проходящий через две данные точки, касаю-
щийся данного круга.
5) Найти круг, касающийся трёх данных прямых.
6) Найти круг, проходящий через данную точку, касающийся
двух данных прямых.
7) Найти круг, касающийся двух данных прямых и данного
круга. •
8) Найти круг, касающийся двух данных кругов и дайной
прямой.
9) Найти круг, проходящий через данную точку, касающийся
двух данных кругов.
’10) Найти круг, касающийся трёх данных кругов.
Решения Виеты сильно отличаются от современных. В основе
их лежит теорема: если из общей двум окружностям точки .4
проводятся прямые АЕВ, AFD, пересекающие их в (Е, F) и
(В, О) и при этом EF\\BD, то в точке А окружности касаются
друг друга (черт. 24).
История последней аполлоииевой проблемы о построении
круга, касательного к трём заданным кругам, очень ннтересна.
Адриан Романус (1551—1615) решает задачу с помощью
пересечения двух гипербол, от которых освобождается в своём
2Э) Cardanus, Opera, 1667.
2i) Eulerus, De centre similltudlnis, Nova Acta Petropoli-
tana, 9, 1791, стр. 154.
23) Ар о 11 о n i u s, De tac iioni'ous, Pappus, Collectiones. kh. Vll,
стр. 82. Реконструкция Виеты (Vieta, Apollonius Gallus) и у Cam-
merer’a (Apoilonii de tactionibus quae supersunt Gotbae, 1795).
К КНИГЕ Ш
343
решении Ньютон. Кроме Вчеты и Романуса, задачей занимаются
Декарт26 * 28), Эйлерн Понслэ28).
Решения Жергонна и Бобилье можно найти в известном
учебнике Рушэ и Комберусс29). ___—
С геометрической точки зрения луч-
шим оказывается решение Манхейма. д \ \
Понслэ в своих Applications d’Ana- /( \ \
lyse et de Geometrie дает несколько ре- / V \ //
шений задач Аполлония. I /I
21. Выгнутые углы. По поводу \ £\ /!
предложений 20, 21 о вписанных углах \ \ / J
можно сделать ряд замечаний. X. у/У
Равенство углов в сегменте Евклид
устанавливает только для сегмента, огра- **
ничейного дугой больше полуокружно- Черт. 24.
сти. Комментаторы рассматривают слу-
чай, когда дуга меньше полуокружности. Дело в значительной
мере упрощается, если ввести понятие о выгнутом угле АОБ
наряду с обыкновенным БОА (что и делает Аустин).
Но понятие о таком выгнутом угле, измеряемом дугой
больше 180°, совершенно не вяжется с евклидовым определе-
нием угла (определение 8 книги 1) как на-
„ р клонения. Такое понятие может возникнуть
только при бертраловском (или арноль-
\ дианском) понимании угла как неопреде-
у ' у ленной части плоскости, ограниченной дву-
I у \ мя пересекающимися прямыми, или угла
J V I как меры поворота. Ко времени Симеона
\ \ / обе эти точки зрения уже проводились.
\ у / Симеон прямой А/, проведённой через
X. \ / центр, разделяет вписанный угол (безраз-
лично больший или меньший прямого)
,, .t- на две части, из которых каждая опи-
1ер . рается на дугу, всегда меньшую полуок-
ружности (черт. 25).
Следует ещё отметить, что в настоящее время глава о впи-
танных углах помещается позже измерений, связанных с поня-
тием отношения.
Предложение 20 формулируется как теорема об измеряв-
мости вписанного угла половиной дуги, на которую он опирается,
в то время как центральный угол измеряется всей дугой.
26) Descartes, Geometrie, 1637. Русский пер. А. П. Юшке-
ВИ’Ч, 1939.
г') Eulerus, см. прим. 24.
28) Poncelet, Trait© des proprietes projectives, Paris, 1822.
")Rouch6 et Comberousse, Tralte de geometrie elg-
raentaire, Paris, 1866.
344
КОММЕНТАРИИ
22. Вписанный и описанный четырёхугольники. Теорема
Евклида о вписанном в круг четырёхугольнике легко обращается
в обратную теорему о том, что всякий четырёхугольник, у кото-
рого сумма противоположных углов равна 2d, может быть впи-
сан в круг; доказательство можно найти в современных эле-
ментарных геометрических учебниках.
Черт. 26.
Черт. 27.
Теорема о вписанном в круг четырёхугольнике доказы-
вается Евклидом с помощью аксиомы о параллельных. Не
используя её, мы можем лишь доказать то, что сумма одной
пары противоположных углов равна сумме другой пары, что
легко видеть из прилагаемого чер-
тежа, в котором все треуголь-
ники ОАВ, OAC, OCD, ОВД рав-
нобедренные (черт. 26).
/S4.ZC-(l+2) + (4-h3),
ZMZfl=(H4) + (3 + 3).
Эта теорема абсолютная и
переносится па сферу.
Теорема Евклида о вписан-
ном четырёхугольнике воспол-
няется теоремой, отмеченной впер-
вые Пито (1695—-1777) об описан-
ном четырёхугольнике.
В каждом описанном че-
тырёхугольнике сумма одной
пары противоположных сторон равна сумме другой пары
(черт. 27).
Вписанный и описанный четырёхугольники сыграли в исто-
рии геометр'ии важную роль.
Из метрических теорем следует отметить теорему Пто-
лемея о том, что произведение диагоналей вписанного четы-
рёхугольника равно сумме произведений противоположных
сторон.
К КНИГЕ 11!
345
Из зрительных следует отметить теорему Ньютона (являю-
щуюся случаем вырождения теоремы Бриаишона об описанном
четырёхугольнике) (черт. 28); она читается так:
Диагонали описанного четырёхугольника и прямые, со-
единяющие точки касания, проходят через одну точку.
Клавий, Такэ и другие выводят из предложения 20 Евклида
невозможность вписанйя в окружность параллелограмма (понимая
последний в евклидовом смысле, т. е. не прямоугольник).
23. История смешанных углов W). В книге III «Начал» Евклида
имеются две интересные загадки: определения 7 и 8.
Согласно определению 7 угол сегмента есть угол, кото-
рый заключается м^жду прямой а обводом круга.
Этот смешапЕ1ый угол не следует смешивать с углом в сег-
менте, о котором говорится в определении 8.
Согласно последнему угол в сегменте есть угол, который
образован двумя прямыми, проведёнными от точки на обводе
сегмента к концам прямой, служащей основанием сегмента.
Согласно определению 11 ^.подобные сегменты суть
сегменты, вмещающие равные углы, или сегменты, в которых
углы равны друг другу*.
По ни в одном из своих доказательств Евклид не поль-
зуется смешанным углом.
Теорему 24 — подобные сегменты равны на равных пря-
мых— Евклид доказывает на основании теоремы 23 (на той же
прямой и по ту же сторону не могут быть построены два сег-
мента подобные и неравные).
Весьма вероятна следующая гипотеза.
Сперва определением подобия сегментов было следующее:
«которые имеют равные углы-», соответственно определению
подобия в книге VI «Начал» Евклида.
Теорема 24 о равенстве подобных сегментов па равных
прямых доказывалась наложением (вроде предложения 4 книги I),
причём как в предлох<ении 4 для прямолинейных углов, так
и здесь для смешанных применялась аксиома 7 книги I: «сов-
мещающиеся равны между собой», т. е. при равенстве углов
постулировалась возможность их совмещения.
Возражения против очевидности такого совмещения и выну-
дили произвести изменение, поставив на место определения (см.
вторую часть определения II) то, что раньше являлось теоре-
мой, непосредственно вытекающей из упомянутого положения.
Одним словом, по моему МЕ1ению, определение 7 это руди-
мент, свидетельствующий о проштой истории книги III «Начал»
Евклида. Взгляд Внванти, что евклидово определение угла отно-
сится только к прямолинейному, и намёк Eta смешанЕ1ые углы
есть позднейшее прибавление, следует признать неверным.
8°) Ви&аити, Понятие о бесконечно малом и его приложе-
ния» Математическое Образование,
346
КОММЕНТАРИИ
Черт. 29.
Первая часть определения 11 тоже рудимент, но подверг-
шийся некоторому перерождению, затушевавшему его прежнюю
историю.
До Евклида смешанный угол пользовался всеми правами,
но евклидова строгость в доказательствах, вызванная софисти-
ческой логикой, изгнала его из геомет-
рии. Схоластическая мысль вернула его
на сцену, чтобы через сто лет он снова
сошёл со сцены и на этот раз видимо
уже на очень долгое время.
Смешанный угол последний раз вы-
плывает в борьба математиков рациона-
листов против доказательств наложе-
нием.
Арзе31), стараясь избегнуть метода
наложения, развивает доказательство
теоремы 5 книги 1, даваемое Аристоте-
лем (Analyt. prior. 1, 23, 416, 13—22).
Доказательство, приводимое Аристотелем, основано на двух-
аксиомах (черт. 29).
1) О равенстве двух углов сегмента ABD
Z DAC — Z DBC,
2) о равенстве углов полуокружности
/DAO—/.DBO.
Помещая равнобедренный треугольник в круг радиуса ОЛ =
а=д ОВ, мы сейчас же получаем
z ОАС = z DAO - z DAC\
/ ОВС — / DBO — / DBC
и по аксиоме 3 Евклида:
/ОАС^/ОВС.
24. Типы апагогических доказательств32). Положением 27
заканчиваются апагогические доказательства книги III. Но в дру-
гих книгах Евклид продолжает широко ими пользоваться.
Anai огическое доказательство 33) отличается от прямого тем,
что оно, наряду с математическими, пользуется и логической
аксиомой, которой не пользуется прямое,
si) Arzet, Clavls Mathematfca, 1634; Arlstoteles, Opera,
ed. Didot Analytics Priora, кн. I.
8-') Lambert, Neue Organon, т. I, 1764.
33) Об апагогических доказательствах см. также Ch. Wolff,
Logica, § 356.— Д. Mo p ду x а й-Б олтовской, О ненатураль-
ных и апагогических доказательствах, Математическое Образова-
ние, 1929,
К КНИГЕ HI
347
Всякое апагогическое доказательство предполагает приложе-
ние закона исключённого третьего (tertium non datur): имеет
место только <Л> или «не Я».
Следует доказать <Л>. Предполагается, что имеет место
«не А» /отсюда выводится абсурд — отрицание верного положе-
ния «С»— «не С». Таким образом, уже в начале доказательства
утверждается альтернатива: «Л» или «не Аз и ничего третьего.
Обратно, если в начале или в самом ходе доказательства
применяется закон исключённого третьего, то или доказательство
ведётся от противного, или такое доказательство содержится
в доказательстве как составная часть.
В самом деле приложение его предполагает в начале или в
ходе доказательства альтернативу: «В» или «не В*, и снятие од-
ного члена альтернативы путём доказательств его невозможности.
Если снимается «не В» тем, что «не В> приводит к «не С»,
к отрицанию заведомо верного положения, то можем сказать,
что положение доказывается апагогически. Если снимается В, то
имеем апагогическое доказательство в замаскированной форме.
Заменой В через (не В) мы получаем его в чистой форме; «не В>
доказывается приведением «не (пе В)> к «не — О (абсурду).
Получаемый в конце апагогического доказательства абсурд
может быть трёх родов:
1) Противоречие с уже признанной аксиомой (Quod est absur-
dum) или с уже доказанным положением или определением.
2) Противоречие с условием теоремы. Quod, contra proposf-
tionem est demonstratum.
3) Противоречие co сделанным предположением. Quod fieri
nequit.
Чтобы яснее к глубже внякнугь в конструкцию каждого из
этих типов доказательств, мы ограничимся рассмотрением только
просгпых апагогических доказательств с единичным приложе-
нием закона исключённого третьего в самом начале:
Доказать Я: предположим «не Л»—* абсурд. Первый тип
является типом разомкнутого доказательства.
Если принять обозначение
«Если В, то А» через «В, А»,
то можно для первого типа наметить схему
В, А; «не Я»;—>не С.
В «Началах» Евклида пример такого простого разомкнутого
доказательства даёт приложение 27 книги I: о параллельности
при равенстве накрестлежащих углов. Отрицание приводит
к противоречию с теоремой о внешнем угле треугольника
(10! , г. е. предложение 16 книги 1).
К этому же типу принадлежит предложение 10 книги Ш
о пересекаемости кругов не более, чем в двух точках. Отрица-
ние приводит к противоречию с предложением 5 книги 1П о не
существовании у пересекающихся кругов общего центра.
348
КОММЕНТАРИИ
Доказательство предложения 12 приводит к противоречию
с 20£, первая половина 16 с 17j , 23 с 16£ , 24 с 10Ц1.
Примеров простых разомкнутых доказательств, приводящих
к отрицанию аксиом, очень много.
У Евклида обычно такой аксиомой является 8 книги I: «це-
лое больше части» (или вернее «меньшее не больше большего»),
причём доказательство носит полуинтуитивный характер.
Таковы доказательства предложения 2П1 о том, что прямая,
соединяющая две точки окружности, лежит внутри круга, пред-
ложения 5 о том, что два пересекающихся круга не имеют об-
щего центра, предложения 6 (тоже для касающихся кругов),
11 о прохождении линии центров через точку касания кругов
и, наконец, 18 и 19.
Следует отметить здесь предложение 36 книги VII о том,
что наименьшее числи, содержащее простые числа А, В, есть
произведение А X В — отрицание приводит к тому, что меньшее
число содержит большее; к тому же приводит и отрицание
предложения 1 книги VIII.
У Евклида часто противоречие оказывается с определением.
По существу это доказательство мало отличается от тоги,
в котором противоречие упирается в аксиому, ибо, как мы ви-
дели, определения Евклида, логически действующие, представ-
ляют только более очевидные аксиомы.
Противоречие с определением прямого угла имеем в 16И1
с определением круга в 181п.
Второй тип апагогического доказательства — замкнутый на
условии В, А; В, «не Л»—>«не В>.
Если В, то А. Полагаем, что при В «не Л», и выводим, что
тогда обязательно имеет место не В, что противно условию.
Пример (предложение 25 книги VII). Если два числа взаимно
просты, то число, содержащееся в одном из них, будет взаимно
простым с другим.
Отрицание приводит к призванию данных чисел не
взаимно простыми.
Такова часть доказательства 13ш предложения — в первой
части имеем противоречие с определением, во второй противоре-
чие с условием.
Третий очень редкий тип — замкнутый на заключении', здесь
могут быть два вида;
’Первый вид:
В,А~~+В, «не Л>—-*-Д
Этот тип встречается у Евклида только один раз, а именно,
в доказательстве предложения 12 книги IX «Начал».
«Дано несколько непрерывно пропорциональных чисел,
Л, В, С, D\ я утверждаю, что всякие простые числа, делящие D,
будут делить и Л». .
К КНИГЕ HI
349
Говоря современным языком — даны члены геометрической
прогрессии
\-.А —А\В — B\C=C'.D.
Следует доказать, что Е простой делитель D, делит так-
же и А.
Евклид предполагает противное, что Е не делит А и опро-
вергает это предположе[ще выводом из него, что Е делит А.
Этот редкий приём употребляется и Саккери в его «Euclidcs
ab omni naevo restltutns» при его попытке доказать постулат .5.
Саккери принимает 26 первых предложений «Начал», до-
пускает предположительно ложность 5 постулата и старается
вывести для этого положения верность этого постулата.
Второй вид: замкнутый не в начале.
Из не А извлекаются двумя путями два противоположных
заключения1. Е и «не Е».
Схема его:
В —* не А— + Е,
Б —v не А —> сне Е>.
Пример: предложение 7 книги 1. Если концы прямой АВ
соединить с точками С и D по одну её сторону, то расстоя-
ния СА и СВ точки С от Л и В не могут быть равны каж-
дое каждому расстояниям DA и DB точки D от А и В (черт. 30)-
AD — AC, £ACD~ /ADC, /BCD< / BDC\
/BDC> / BCD.
BD=DC, /BDC — /BCD.
что противоречит предыдущему.
25. Дуги между параллельными секущими. Теорема о том,
что дуги между параллельными секущими равны, принадлежит
Паппу
Клавий даёт это положение в виде короллария и, кроме
того, отмечает следующее положение из сочинения Кардана
<De subtilitate», которое нетрудно будет доказать (черт. 31).
350
КОММЕНТАРИИ
Если разделить окружность на равное чисто частей
,44l = АхА2~ A2As — ...
ссх—схс2=С2С2~...
и провести прямые АХС, А2СХ, A%C2i то эти прямые вырежут на
диаметре отрезки, равные этим хордам.
26. Теорема Фалеса. Положение о том, что угол, опираю-
щийся на диаметр, прямой приписывается Фалесу.
Оллмэн старается убедить
в том, что Фалесу было известно,
что сумма углов в треугольнике
равна двум прямым. Ёсли это
так, то весьма вероятно, что
вывод теоремы об угле, опираю-
щемся на окружность, был таков.
и 5 как это указывает Оллмэн
Че„т 32 (черт. 32)'
ivp». Обозначив углы при диаметре
через 1, 2, а части угла АСВ, на
которые он рассекается радиусом ОС, через 3, 4, получаем, с
одной стороны (по предложению 5 книги 1),
/1 = /3, /2-/4;
с другой стороны,
Zl+Z2+Z3 + Z* = 2d,
ИЛИ
2 (/3 4-/4)^- 2d
и, наконец,
/34-/4 —d,
ГанкелюS1) представляется более вероятным обратный путь
от положения о равенстве угла, опирающегося на диаметр,
прямому, к положению о равенстве двум прямым углов в прямо-
угольном треугольнике, а отсюда к предложению 32 книги I
«Начал». Тогда положение об угле, опирающемся на диаметр,
должно было быть принято как нечто непосредственно оче-
видное.
Следует думать, что и другие положения Фалесом не дока-
зывались, а Просто показывались на чертеже.
st) Н a n k е I, Zur Geschichte der Malhematik in Alterthum und
Mittelalter, Leipzig, 1874.
К КНИГЕ 111
леи
27. Случаи вырождения. Евклид выводит, что Z^=Z^
на той основании, что согласно предложению 31 = и по-
тому (по предложению 32 книги 1)
/ 1 4- Z 2 = rf,
но также и
Z34-Z2^rf.
В настоящее время мы замечаем, что
/ АВ!—£ 2 -Z 3 —rf — 1 2d, Z2 = 1.4OC,
Z 3 = ~ (2d - Z АОС) = | Z COB,
т. e. угол, образованный касательной и хордой, равен половине
соответствующего центрального угла, а потому равен вписан-
ному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Это положение с точки зрения актуально-бесконечно ма-
лого могло рассматриваться как частный случай предложе-
ния 20. В самом деле, с этой точки зрения касательная мысли-
лась как секущая, проходящая через две точки с актуально-
бесконечно малым расстоянием.
С точки зрения потенциально-бесконечно малого, т. е. пре-
дела, это положение мыслилось как предельный случай 20-го
или как его вырождение.
В основу вывода должен был встать основной принцип тео-
рии пределов: то, что остаётся неизменным при всём измене-
нии пгрем'нных х, у, z,... остаётся и в пределе.
По существу к нему сводится и знаменитый принцип непре-
рывности Понслэ в первой своей части: если некоторое положе-
ние имеет место, когда некоторые величины а, р, у,... не
равны нулю, бесконечности (или не становятся мнимымщ,
то положение это верно и в том случае, если эти ограниче-
ния сняты.
Именно с помощью этого принципа мы переходим от пред-
ложения 20 к 32.
У Евклида нет теоремы, входящей во все наши учебники
о том, что угол, образованный двумя прямыми, пересекающимися
внутри круга, равен полусумме центральных углов, опирающихся
на те же дуги, и такой же теоремы для случая точки пересече-
ния вне окружности, в которой сумму следует заменить раз-
ностью.
Теоремы об углах с одной или двумя касающимися окруж-
ности сторонами представляют тоже случаи вырождения и уста-
наыиваются на основании того же принципа непрерывности.
28. Предложение 35. Доказательство этого предложения
в издании Гейберга дается для двух случаев:
1) Когда хорды пересекаются в центре и
352
КОММЕНТАРИИ
2) когда нс пересекаются в центре.
В других изданиях Евклида проводится деление на четыре
I) Обе хорды совпадают с диаметром.
2) Одна хорда представляет диаметр, другая ей перпенди-
кулярна.
3) Одна — диаметр, другая ей не перпендикулярна.
4) Оащий случай.
29. Степень точки. Степенью точки Л (внутренней или внеш-
ней) называется произведение отрезков АВ-АС секущей, прове-
дённой из А к окружности.
Предложения 35, 36 выражают независимость степени точки
А от направления секущей. _____________
В том случае, если точка внешняя, то АВ • ЛС’== АТ2, где АТ—
касательная, проведённая
точки А к окружности (черт. 33).
С помощью этой теоремы
производится построение средней
пропорциональной, так как
АВ_АГ
'АГ'~'АС‘
На прямой, проведённой че-
рез А, откладываются АВ = а
и АС = Ь, проводится через В и
С какой-нибудь круг, и к нему
касательная АТ
АТ — x — Vab.
30. Предложение 36 и начало буквенной алгебры. Теорема
36 даёт возможность геометрического вывода формулы для ре-
шения квадратного уравнения.
Такой вывод делался арабаки, а затем европейскими математи-
ками эпохи Возрождения с помощью предложений 28, 29 книги VI.
Но Гетальди35) использует для этой цели предложение 36
книги III.
Ознакомимся кстати с символикой буквенной алгебры в её
ранней стадии развития.
Как Виета, Гетальди пишет квадратное уравнением-с
в форме
AQ В in A aeq, ZQ,
т. е. А в квадрате (вместо х берётся гласная буква) плюс В, умно-
женное ца А, равны Z в квадрате (г берётся в квалр .те для од-
нородности членов, что предполагается геометрическим смыслом
уравнения).
35) Marinas G beta Idas. De resolutione et composition©
mathematica, Romae, 1640.
к книге ш
353
На прямой СА откладываем СВ, равное коэффициенту В
(черт. 34); СВ делится в D пополам. Описывается из С окруж-
ность радиусом CD и проводится DE I С А, причём отклады-
вается DE~Z.
Соединяем Е с С и про-
должаем ЕС до пересечения с
окружностью в G, так что
СО=СТ/=у .
С одной стороны, на осно-
вании предложения 36
ЕН (ЕНHG) = ЕЕР
пли в обозначении Гегальди
Sin A aeq. ZQ,
с другой стороны, длина СЕ как гипотенуза равна
]/(В£?т + ZQ) •
или в нашем обозначении
к НЕ aeq уЛ(sQ-1- ZQ^ - В- , или в нашем обозначении

31. Доказательство Клавия предложения Зб?5). Клавий сво-
дит предложение 36 к 35 и еще к лемме (которой нет у Евклида, но
которая приводится многими комментаторами), что отрезки секу-
щей между двумя концентричными кругами равны
AM ~ МВ
и что отрезки касательной между ними равны и делятся точкой
касания пополам (черт. 35).
Для приведения предложения Зб к 35, сперва через точки А
и центр Ё круга проводится прямая Л// и проводится в D
w) С 1 a v i ц «, см. прим. 14.
23 Евклид
854
КОММЕНТАРИИ
касательная, пересекающая в точках Л", L круг, описанный из F
радиусом FA (черт. 36).
Тогда, замечая, что AD = EH, на основании предложения 35
Черт. 35. Черт. 36.
имеем AD DH= KD DL = АВ-В1= АВ2 и затем AD-AE— АВ2.
Дальше, проводя секущую ACN, получаем:
AC-AN = ОС-СМ = KD • KL = АЙ2.
32. Теория траиверсалей зт).
Предложения 35 и 36, можно сказать, являются первой тео-
ремой теории траиверсалей, которая получает развитие у Карно 88)
в Понслэ.
Ближайшим обобщением этой теоремы является теорема Апол-
лония о хордах конического сечения, по которой (черт. 37)
МА-МВ__ М'А'-М'В'
MC-MD~ М'С'-М'й'
епт. 37.
при условии, что МА |] М'А' и МС Ц М’С’, которая имеет
очень важное значение в его «Конических
сечениях». Эта теорема, в настоящее время
отодвинутая на второй план, играет сущест-
венную роль в развитии аналитической гео-
метрии конических сечений у Эйлера. Даль-
нейшим обобщением является теорема Нью-
тона (для алгебраических кривых вообще), по
которой, если кривая пересекается в точках
А,, Аа,..., Ал, Йь й9,..., Йл парой прямых, сохраняющих своё
МА,-МА2-...-МАп
направление, то , ‘ - -----тттг — const, нне зависит от поло-
F MBvMB2-...-MBn
жения точки М.
SI) Papelier, Les exerclces de g£ora£trie moderne. Transver-
sales, Paris, 1912. — C e v a, De linels rectis se invicem secantibue sta-
tica constractio.
88) Carnot, La geometrie de position, Paris, 1803,
К КНИГЕ Ш
355
Следующим шагом является теорема Карно.
Пересекая треугольник АВС алгебраической кривой в точках
<jb а* аъ... > ^1- ьз> сг> ^з. • • • 1 ми имеем
АЬГ~АЬ2-. . .-АЬп СауСа^-. ..-Са^ ВсуВс2-.. ,-Всп__f___ \*
С&1С&2-...-Ол Ва1Ва2‘...'Вап Ас^-Асу..Асп \
(черт. 38, 39).
Частный случай, относящийся к кругу, выводится очень просто
на основании положений Евклида. Для этого достаточно пере-
множить почленно равенства
Л&ГЛ&2 = Ас1 Дс*.
СауСаг—
BcvBc2 = Ba1-Bai.
Следует отметить, что теория транверсалей развивалась сперва
в направлении теории транверсалей треугольника.
Черт. 38. Черт. 39.
В основе её лежат теорема Менелая (около 80 г. до и. э.)
и теорема Чевы. Первая даёт при пересечении сторон треуголь-
ника АВС прямой в точках а, у
di . ™ . ^L= — 1 (черт. 40).
(черт. 41).
Вторая при пересечении сто-
рон прямыми, соединяющими точ-
ку О с вершинами в а, у:
Ay Вз Ci
уВ аС <iA
Обе эти теоремы обращаются
и дают условия, необходимые н
достаточные, чтобы три точки а, лежали на одной прямой
или три прямые Аз, Вр, Су пересекались в одной точке.
Обе теоремы выводятся элементарным путём.
23*
356
КОММЕНТАРИИ
Нетрудно видеть, что теорема Менелая представляет част*
ный случай теоремы Карно (когда алгебраическая кривая первого
порядка).
32. Сферическая геометрия. Некоторые теоремы, а именно,
те, которые не зависят от аксиомы параллельных 1 и Ш книг,
имеют место и на сфере, если вместо прямых брать большие
круги.
Эти теоремы доказывает Феодосий39) в своих Элементах
сферики.
Едва ли Феодосий сознаёт, почему ему удаётся найти соответ-
ствующие аналогии на сфере, а также и то, что среди предложений
книги III остаётся ещё много абсолютных, которые могут быть
перенесены на сферу. К их числу принадлежат предложения
книги III: 1-19, 25, 28-30.
При этом 11—12 сливаются в одно, а 15, 26, 27 переносятся
на сферу с ограничением, чтобы линии не превосходили у боль-
шого круга. Но 20, 21, 22, 31—36, как зависящие от аксиомы
о параллельных, на сферу уже не переносятся.
39) Theodosli, Sphaerlcorum librl III a Clavio lllustrati
(в <Ореге>). Есть немец, перев. Nizze,
КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ IV
1. Проблемы о хордах. Очень простая задача, разрешаемая
Евклидом в предложении i, является первой в ряде постепенно
усложняющихся проблем.
Задача построить в круге хорду данной длины является за-
дачей неопределённой. Чтобы это сделать вполне определённо,
достаточно зафиксировать один её конец иа окружности. Вполне
естественен переход к случаю, когда го (ка, через которую про-
ходит секущая, берётся вне круга. Такая задача решается Паппом !).
Основываясь на том, что хорды данной длины CD касаются
круга, концентричного данному, который нетрудно построить, он
проводит к этому последнему касательную АВ из данной точки
М (черт. 1).
Тот же Папп1) решает и другую проблему о проведении
хорды данной длины параллельно данной прямой.
1) Рарр 1 Alexandrinl, Collections?, ed. Hultsch, Вего-
[ini, 1877—1878. Enriques, Oil Element!, т. IV, стр. 269 (12).—
Anarltii, Co'nmentarii, ed. Cnrtze, Up^iae, 1899, стр. 139,
358
КОММЕНТАРИИ
Нетрудно видеть, что хорда, равная ЕЕ, получается, если, раз-
делив ЕЕ пополам, в обе стороны от центра О по диаметру от-
ложить 0С-=1Е и OD — IF и восставить к диаметру KL перпен-
дикуляры АС и BD до пересечения с окружностью в точках Л, В.
(черт. 2).
Эти построения имеются и у Коммандипа и у Клавия.
2. О вписанном треугольнике. Задача, разрешаемая в этом
предложении, находит себе применение дальше только в отноше-
нии равностороннего треугольника (предложение 16 книги IV).
При неопределённости одной вершины задача неопределённая.
Эта задача, так же как и предложение 1, открывает путь
тоже к ряду постепенно осложняющихся проблем.
Папп разрешает задачу о вписанном в круг треугольнике,
стороны которого проходят через три точки А, В, С, лежащие
на одной прямой.
Её естественным обобщением является задача, предложен-
ная Крамером2) и разрешённая Кастильоном3) (1708—1791) в 1776 г.
Даны три точки А, В, С и круг, вписать в него треуголь-
ник DEE такой, что каждая сторона проходит через данную
точку (черт. 3).
а) Предположим, что проблема разрешена и DEE искомый
треугольник.
Проводим GE\\BC, соединяем QE и продолжаем до Н.
Тогда £)= 2. G и потому £ ЕНВ~ £ О, и £уВНЕ подо-
бен &.BDC, так как у них общий угол В и £Н= £D.
„ ВН BE BDBE
Поэтому — = откуда 8»=-^-,
2) Задачу С г а ш е г ’ а см. F. G. М., Exerclces de Geometrie,
Paris, 1912, стр. 21.
3) C a still ion, Sur un prob’feme de g6om£trie plane, Now.
Мё'П de 1’Acad. de sc., 1776, Berlin, 1779, стр. 265—283,
К КНИГЕ IV
359
- Далее, если проведём к кругу касательную-ВЛ
BEBD = BT*
Это выражение позволяет нам построить точку Н.
б) Задача теперь сводится к следующей: провести из данных
точек Н и А прямые к некоторой точке Е окружности так, чтобы
GF il ВС.
Проведём FL || АН и соединим GL.
Пусть М—точка пересечения HAzGL. Мы определим поло-
жение этой точки.
Замечаем, что £±MGHслДЕАН (ибо //—общий угол и
угол М равен углу Е, так как оба угла дополняют угол L до 2d).
Поэтому
HM__HG
НЕ ~ НА ’
откуда
.... HEHG Нт
т=-ЛН~=АН’
где HU— проведенная из Н касательная к окружности.
Таким образом, положение М известно, с другой стороны
£LFG=£AHC дан. '
в) Нам остаётся решить задачу о проведении через точку М
zv&yv№fo-MQL такой, что угол GFL равен углу, образованному
данными- прямыми АН и ёс.
360
КОММЕНТАРИИ
Эту последнюю задачу рассмотрим на отдельном чертеже-
Для того чтобы провести через М хорду, на которую опи-
рается угол, равный данному, следует построить где-нибудь та-
кую хорду ED и затем провести к кругу, концентричному данному
и касательному к ED, из М касательную MGL (черт. 4).
Черт. 4.
3. Описанный треугольник, Пелетарнй и Борелли сперва
вписывают треугольник PQR (черт. 5), а затем проводят каса-
тельные, параллельные его сторонам
LM || PQ, £Л' || PR, MN || QR.
Так как параллельно данной прямой можно провести две
касательные, то будем иметь всего 8 решений, среди которых
Черт. 5.
вместе с описанным в узком смысле, т. е. заключающей в, себе:
круг (два треугольника), будут ещё вне описанные треугольники,
К КНИГЕ IV
361
т. е. одной лишь стороной касающиеся круга (шесть треуголь-
ников),
4. Вписанный круг. Задачу эту Евклид решает обычным
в настоящее время путём, проводя "биссектрисы углов. Из са-
мого посгроения следует, что биссектрисы пересекаются в одной
точке,
Это положение является условно абсолютным на не евкли-
довой плоскости и его следует формулировать так; если биссек-
трисы пересекаются, то пересекаются в одной точке,
Р. Симеон замечает необходимость доказательства их пере-
сечения и выводит это из того, что сумма углов АВС и
АСВ, а тем более DBC и DCB меньше 2d (черт. 4 к предло-
жению 4).
Если вместо внутренних биссектрис будем проводить внеш-
ние (т, е. биссектрисы внешних углов треугольника), то получим
ещё три решения (вне вписанные круги, извне касающиеся дан-
ного треугольника) и вместе с тем убедимся, что две внешние и
оша внутренняя биссектрисы пересекаются в одной точке.
Отсюда непосредственно следует, что удвоенная площадь
треугольника АВС равна периметру 2р. умноженному на радиус
вписанного круга.
В самом деле, АВС разлагается на три треугольника ABD,
ADC, BDC с пющадями, равными —- ABDE, AC-DU,
-P.C-D1.
5. Особенные точки в треугольнике. Евклид ничего не гово-
рит об особенных точках в треугольнике. Из предложения 3 он
не делает вывода, что три биссектрисы пересекаются в одной
точке, из 4-го, что перпендикуляры к серединам сторон пересе-
каются в одной точке, Понятия об ортоцентре как точке пере-
сечения высот треугольника у Евклида нет.
Четвёртой особенной точкой является центр тяжести тре-
угольника—точка пересечения медиан. Интересно отметить, что
эта теорема является абсолютной, хотя её элементарное доказа-
тельство основывается на теореме подобия и потому на аксиоме
о параллельных.
Геометрия треугольника исследует свойства этих особенных
точек <).
К упомянутым выше следует присоединить еще точку Ле-
муана как пересечение симмедиан, т, е. прямых, симметричных
медианам относительно биссектрис.
1) Archimedes, Opera omnia, ed. Heiberg, 1910—1913. Lib-
ri assumptorum, Lemma V,—Pa ppi, Collectiones, кн. VII, стр. 62,
ed, Hultsch, crp. 761 (1).—Gauss, Werke IV, Gbttlngen, 1873,
crp. 396.— Tropfke, Geschichte der Elementarmathematlk,
г. IV, Berlin, 1923, стр. 165 (21).
862
КОММЕНТАРИИ
Шестой точкой является точка Жергонна s) как пересечение
трёх прямых, соединяющих вершины с точками касания вписан-
ного круга на противоположных сторонах.
Теорема о пересечении таких прямых в одной точке выво-
дится как частный случай теоремы Брианшона. СУ, возможны и
элементарные доказательства.
Особенной прямой в треугольнике является прямая Эйлера,
соединяющая ортоцентр с центром описанного круга,
Эйлер доказывает, что на одной окружности лежит 9 точек:
середины сторон, основания высот и середины прямых, соединя-
ющих вершины с ортоцентром. Центр этого круга лежит на пря-
мой Эйлера посредине между ортоцентром и центром описанного
круга.
6. Построение правильного пятиугольника. Птолемей,
а затем Дюрер 7) дают иные, чем у Евклида, построения сторон
правильных пятиугольников и десятиугольников.
Птолемей радиус ОА делит в С пополам и радиусо.ч CD
описывает окружность до пересечения с диаметром Ао в точке
/ (черт. 6).
Тогда 01 есть сторона правильного десятиугольника, a/Z) —
правильного пятиугольника.
Дюрер даёт приближённое построение пятиугольника с по-
мощью циркуля постоянного раскрытия, которое он заимствует
l)Gergonne, Annates Math., ар. 1, Nismes, 1810—1811,
стр. 17.
е) Brianchon, Journal de i’Ecole Polyt., гл. ХШ, 1810.
*) Durer, IJnderweijeung der Messung mit den Zirkel, Ntirn-
berg, 1527. —Cantor, Voriesung Uber Gesch, d. Math-., t. Il,
стр. 225, 462.
К КНИГЕ IV.
363
иэ Geornetria Deutsch3). Берётся отрезок ab, радиусом ab из его
концов описываются окружности, пересекающиеся в с и d (черт. 7.)
Из d описывается окружность, проходящая через точки а,Ъ
и пересекающая две первые окружности в точках / в g. Соеди-
няя / к g с серединой I прямой ab и проводя fl и gl, получас\г
на этих окружностях точки Л, k. Принимаем ha, ab, bk за сто-
роны пятиугольника; описывая же из h и k окружности радиуса
ab, получаем и две последние стороны пятиугольника hi, hi,
7. Правильный пятнадцатиугольник. Источник интереса
древних греков к правильным многоугольникам и многогранни-
кам метафизический.
Корни его следует искать у пифагорейцев, по взглядам ко-
торых все мировые явления представляют обнаружения различ-
ных числовых законов и связанных с ними геометрических форм.
Возможность деления плоскости на правильные треугольники,
четырёхугольники и шестиугольники имела важное метафизичес-
кое значение в их мировоззрении.
Правильные многогранники имели ещё большее значение:
атомам четырёх основных стихий: земли, воды, воздуха и огня
приписывали формы правильных многогранников; тетраэдра, куба,
октаэдра и икосаэдра, которые потом пополняются позже откры-
тым додекаэдром, форму которого приписали пятой стихии —
эфиру.
В стереометрических книгах «Начал» мы увидим, какое значе-
ние для Евклида имели правильные многогра’нннки.
Гранями правильных многогранников являются; треугольник,
квадрат и пятиугольник.
В планиметрической части «Начал» об этих многоугольниках
даются сведения, которые затем используются при построении
правильных многогранников.
Но почему внимание математиков остановилось ещё на пра-
вильном пятнадцатиугольнике? Они заметили, что дуга угла на-
клонения эклиптики к экватору представляет пятнадцатую часть
окружности, т. е. дугу, стягивающую сторону правильного пят-
надцатиугольника.
Построение пятнадцатиугольника, т. е. деление окружности
на 15 равных частей, сводится к делению окружности на 3 и на
5 равных частей* * 9).
8. Семиугольник10). Уравнение третьей степени (не приво-
димое и поэтому указывающее на неразрешимость с помощью
8) Geornetria Deutsch. Lineal oder Richtscheid. 1485.
°) Cardanus, Opera IV, 1667. Opus novum de proporiioni-
bus, стр. 492. — Cantor, Vorles., т. П, гл. 65.
10) Fed er i go Enriques, Gli element! d’Eucllde e ia crltica
antica e moderns, Roma, 1925. Libro quarto per cura di Amedeo
Agostini. Woepke, I’Aigeore d’Omar Alkhayami, стр. 125—
127.—Ващенко-Захарченко. История математики, Киев,
184 стр
364
КОММЕНТАРИИ
циркуля и линейки), даюшее сторону правильного семиугольника,
выводится Феррари на основании теоремы Птолемея (черт. 8).
Взяв семиугольник ABCDEFG и полагая ЛВ= 1, а ВС~х, из
четырёхугольника ABCD получаем
BCF = BDCA-\-AB DC
или
= 1 4- DC.
Из четырёхугольника же
BCDE имеем
DC^BCDE-^-BDCE
или
(х=— i)2r=x DE + 1,
откуда
DE—x^lx.
Но DE —DC (так как это
хорды, стягивающие равные дуги),
поэтому;
хЭ — х" —2v + 1 =0.
Зная АВ и ВС, построим треугольник- ВАС с данным осно-
ванием ВС и вместе с тем угол в семиугольнике, с помощью
которого нетрудно построить и сам семи-
угольник. f
9. Девятиугольник п). Сторона правили- Д
кого девятиугольника не может быть построе- /1
на с помощью циркуля и линейки. Задача эта I \
сводится алгебраически к неприводимому ура- Л'И
внепию третьей степени ' / 1
ХЭ 4-1 = 3-г. /Д
корни которого ие могут быть построены при / / \
помощи циркуля и линейки. Приведение задачи 1 / !
к кубическому уравнению было сделано впер- // 1
вне” арабским математиком Абул-Джуда. £/ \
В современном обозначении решение Абул- / \ i
Джуда получается при помощи следующих / )
рассуждений, / \
Пусть АВ (черт. 9) будет сторона правиль- /
кого девятиугольника, вписанного в круг. /
Примем ее за основание равнобедренного L
треугольника, вершина С которого будет на-
ходиться на окружности. Нетрудно видеть, Черт. 9.
что угол при С будет равняться 20°, углы же
А и. В при основании будут по 80°, Опустим из А перпенди--’’ *
П) См, Enriques, стр. 316 (прим, i0),
К КНИГЕ IV
365
куляр АО на ВС и построим AD = AB, тогда ABD будет
треугольником, подобным АВС, и угол CAD будет равняться 60°.
Если мы построим ED = AD, то треугольник ADE будет равно-
сторонним, а угол CDE, ка< нетрудно видеть, будет равняться 40°.
Если мы еш> раз построим EF-=ED, то в равнобедренном тре-
угольнике EDF углы при основании будут по 40°. а угол при
вершине Е будет равняться J 00°. Отсюда следует, что угол CEF
равняется 20° и треугольник CEF будет равнобедренным и
EF — CP. Опустим перпендикуляр FK', тогда треугольники CFK
и АОС будут подобными.
Положим АВ=х и АС=ВС’=Л. Из подобия треугольни-
ков CKF и АОС имеем
CF__CA х____________1_
СК~ СО или СК~ СО'
Но ЕС^ЧСК, а ; значит
х _ 1
F.C ~ 1 4- Ci) ‘
Составляя производную пропорцию и помня, что х -|- ЕС == АЕ -|-
-4-ЕС =1, получим
T=2TCD X(2+CD> = 1-
Из подобия треугольников АВС и ABD имеем
Значит, С£) = ДВ —££)= 1 —х3 и для определения х мы при-
водим к уравнению;
л-(3—-х3) —I,
или
х3 -|— 1 = Зх.
Герои12} даёт приближённое выражение стороны девяти-
угольника, а именно, две трети радиуса, откуда выводится при-
ближённое построение с помощью пиркуля и линейки правиль-
ного девятиугольника.
Взяв круг АВС и описывая окружности bad, dac, cab из то-
чек А, В. С, делящих окружность на три равные части, получаем
то, что Дюрер называет рыбьим пузырём.
12) Н е г о n i s, Geom. et Stereom., ed. Hultech. Beroltal, 1884,
стр. 134, 206, 218, 219.
866
КОММЕНТАРИИ
Приближённое построение стороны правильного девятиуголь-
ника, предлагаемое Дюрером, состоит в следующем: радиус ab
делится на три равные части а2, 21, (черт. 10). Описывается
радиусом а2 круг; прямая, соединяющая точки е и / пересе-
чения его с дугами aeb и afb, представляет сторону правиль-
ного девятиугольника, вписанного в малый круг.
10. Теорема о вписываемом и описываемом правильном
многоугольнике. У Лежандра, а затем и во всех наших учеб-
никах, доказывается возможность вписания правильного много-
угольника с любым числом сторон в круг. С евклидовой точки
арения Лежандр доказывает только то, что если правильный мно-
гоугольник существует, то существует окружность, проходящая
через все его вершины.
Но в евклидовом смысле Лежандр не доказывает существо-
вания правильного многоугольника; это достигается только по-
строением в данном круге с помощью циркуля и линейки пра-
вильного многоугольника. Это делает Евклид для трех-, четырёх-
пяти- и шестиугольников.
В настоящее же время доказано, что это возможно для сем-
надцатиугольника !8).
Вообще, если число сторон п. простое, то это возможно лишь
при п— 2"»-f-1, причём т—2Р, *
18) Gauss, Disquisitiones arlthmeticae, GOttingen, 1796, Werke,
т. Il, стр. 120.— Klein, Lemons sur certaines questions de geome-
trie £l£mentalre tr. par Gries, Paris, 1895.— V a h 1 e n, KonstniKtl-
onen und Approximationen, Leipzig. — Trbpfke, Geschlchte der
Elemeatarmathematik, t. 1V. Berlin, 1923, стр. 193.
К КНИГЕ IV
367
Упомянем практический приём деления окружности на п ча-
стей (к чему сводится построение правильного л-угольника).
Приём Бионап) состоит в том, что на диаметре круга стро-
ится равносторонний треугольник АВС', диаметр делится на л
равных частей (черт. 11).
Соединяя вторую точку деления с вершиной С, мы, продол-
жая (72 до пересечения с окружностью в D, получаем AD как
л-ю часть окружности (на чертеже дано построение стороны А[)
девятиугольника).
Теория многоугольников развивается Мейстером (1724—1788;
и Мёбиусом (1796—1868). Наиболее подробные сведения имеются
у Брюкнера (Bitlckner)14 ls).
14) N. Bion, Тгайё de construction et des principaux usages
des instruments de math£matiques.— Cantor, Vorles., т. Il,
стр. 672. — Press land, On the history of certains geoin. appro-
ximations. Proceedings of the Edinburgh'Mat. Society, т. X.
15) Briickner, Vielecke und Vielfkkhe. Theorie und Geschi-
chte, Leipzig, 1864.
КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ V
1. Отношение н схоластика. Евклидово определение отно-
шения, так же логически не действующее, как его определение
точки, линии, поверхности а прямой.
Математическое отношение (количественное) в этом опреде-
лении подводится, как вид, под род — общее понятие, которое
на русском языке мы называем тоже отношением (в общем смы-
сле) а на латинском relatto.
Аристотель1) говорит: ^Отношение является то отношением
двойного к половинному, тройного к третьей части и вообще крат-
ного к кратной части, превосходящего к превосходимому, то от-
ношением нагревающего к нагреваемому, режущего к разрезы-
ваемому и вообще действующего к страдающему; далее, отношение
измеряющего к мере, познающего к познанию и чувствующего
к чувственному восприятию».
Эта аристотелевская категория имеет богатую схоластическую
литературу2).
В каждом отношении Аристотель различает субъект, конеч-
ный член, основание (subjectum, terminus, fundamentuin). В мате-
матическом отношении А: В субъект — А, конечный член—В,
основание — количество.
Уже начиная с Альберта Великого* * * * 8), схоластик бьётся над
вопросом; если члены отношения А и В существуют, то суще-
ствует ли само отношение?
Эта онтологическая схоластическая проблема в математи-
ческой области превращалась в проблему: следует ли отношения
чисел или вообще величин относить к той плоскости существо-
вания, в которой находятся числа или величины, следует ли счи-
тать отношение числом.
*) Arts to tele s, Opera, ed. Didot, Categoriae, гл. V.
2) Biese, Philosophie des Aristoteles, 1871. — Cantor, Vor-
les, t. I, стр. 238.—Д. M о p д у x а й-Б о л т о в с к о й, Генезис
современного числа, Известия С. К. Г. У 1928, стр. 61.
8) Albertus Magnus, Opera, ed. Jammy, Lyon, 1653, t. Ill,
стр. 207,
К КНИГЕ V
369
Фома Аквинский4) развивает учение Аристотеля о катего-
рическом и условном отношении.
Категорическое отношение не относится только к числам",
оно может быть между всякими вещами, не предполагая особен-
ных условий, при которых оно то 1ько и имеет место. Примерами
могут служить отношения тождества и различия (основанием яв-
ляется категория субстанции), равенства и неравенства (количе-
ства), подобия и неподобия (качества), причины и действия.
Все эти отношения ни от чего третьего не зависят, они всегда
при всяком условии имеют место.
Примеры условных отношений: отношение науки к познавае-
мому, движущего к движению.
Необходимые условия реальности отношения: субъект дол-
жен существовать, конечный член должен реально от него отли-
чаться, основание дотжно быть поюжительным и реальным в раз-
личных членах. Чтобы получить достаточное условие, следует
прибавить еш5 требование реального сущ’стзовагия обоих чле-
нов, что и имеет место в категорическом отношении.
Математическое отношение следовало бы отнести к катего-
рическим. В (А:В| оба члена А п В постулируются существую-
щими, отношение А:О не имеет смысла, так же как О:В.
Но математическое отношение схоластики менее всего жа-
луют. Указывают, что вещь имеет бесконечное число отношений
к своей половине, к трети, к четверти и, таким образом,является
носителем акту ьгьной беек онесн >сти, которую Аристотель не
признаёт и которую схоластики уже с некоторым колебанием
стараются изгнать, оставаясь верными Аристотелю.
Анализируя схоластические споры об отношении, мы вскры-
ваем в них эмбрионы математических идей, касающихся чис-
ловых отношений.
В тесной связи с проблемой реальности отношения стоит
проблема: при одинаковом отношении Л к В, к С и к D следует
ли считать в А одно отношение или несколько (АВ), (AC), (AD), ...
иными словами, если А отец, В, С, ... сыновья, то сколько в А
отчеств.
Две постоянно враждующие между собой школы томистов
и скотистов отвечают на это различно. Первые говорят одно,
вторые много.
Переводя этот спор на плоскость математических понятий,
можно спросить: следует ли одинаковость отношений a-.b, c‘.d
рассматривать как их тождество, как равенство чисел}
В такой постановке вовсе не спрашивается: представляет лн
отношение собой число, но только—можно ли смотреть на оди-
наковость отношений как на нечто вполне аналогичное равенству
чисел.
*) Thomas Aquinatus, Opera О nnia, Rornae, 1884, Opu-
scula 48. Querinols, Clypeus Thonisiicae philosopiiiae. Avi-
cenna, Metaphysik. iioers. Hort, Leipzig, 1909.
24 Евклид
370
K< 'MMtHl А!‘Ш1
2. Отношение с методической точки зрения. Каким обра-
зом определять отношение в школе? На этот важный вопрос от-
ветить совсем не та: легко. Конечно, сейчас никому не придёт
в голову вводить в школьную практику евклидово определение
отношения, но вместе с тем можно поставить вопрос, следует ли,
как это многие делают в настоящее время, отождествлять отно-
шение с дробью. Я не берусь дать окончательный ответ на этот
вопрос, ио всё же отмечу, что такое стремление встать иа на-
учно-формальную точку зрения производит определённое насилие
над теми не вполне ясными представлениями об отношении, ко-
торые существуют в сознании учащихся, тем более, что к понятию
об отношении мы приходим не в результате арифметической
операции деления, а в результате сравнения двух объектов.
Правда, это сравнение осуществляется при помощи создания не-
которого числа (индекса отношения, как говорили раньше), кото-
рое получается прн помощи деления. Можно доказывать свой-
ства пропорций, сводя отношения к дробям, но отождествлять
отношение с дробью равносильно отождествлению длины окруж-
ности с пределом периметра, вписанного в последнюю много-
угольника.
Если мы обратимся к истории методики изложения теории
пропорций, то придётся сказать, что в старых учебниках геомет-
рни долежандровского типа понятия отношения и числа резко
отделяются одно от другого, хотя, начиная с Ньютона и Лейб-
ница, математики уже рассматривают иногда число как некоторого
рода отношение, В это время, например, говорят: «содержание
(так раньше называли отношение) есть сравнение двух однород-
ных величин. Пропорция есть сравнение двух равных содержа-
ний». Конечно, такое определение не хорошо хотя бы потому,
что «сравнение» в первом и во втором предложениях берутся
в различных смыслах.
В учебниках XIX в. наблюдаются несколько ступеней в фор-
мализации понятия об отношении, причём на крайность, т. е. на
полное отождествление отношения и числа, решаются очень не-
многие, Даже в настоящее время в XX веке есть стремление
определять отношение с уклоном в сторону сравнения. У Бореля
и Серре отношением двух однородных величин называется «число,
выражающее меру одной из величин, когда другая принимается
за единицу», иными словами, если отношение в выражается чис-
лом, то принципиально оно является не числом, а мерой. У Ла-
круа «отношение есть число целое или дробное, показывающее
сколько раз одна величина содержится в другой» или «отноше-
ние или содержание двух чисел есть частное от деления одного
на другое»&).
*) Р о б у ш, Теоретическая арифметика, Харьков. — Ушаков,
Новая арифметика, СПБ, 1915. — Лакруа, Основания арифме-
тики, СПБ, 1826.— Серре, Курс арифметики, Москва, 1881.—
371
3. Отношение в логистике. В логистике, старающейся све-
сти математические понятия к чисто логическим, математическое
отношение тоже рассматривается как частный случай общего по-
нятия отношения. Однако исследования логистов в области ло-
гики отношений резко отличаются от схоластических. Для них не
имеют значения вопросы реальности существования отношений.
Весь их интерес лежит только в тех законах формальных опе-
раций, которым подчиняется это понятие. Под такое определение
отношения, обозначаемое a R Ь, подходит, конечно, н наше а:Ь.
Математическое отношение а;Ь не принадлежит к категории
коммутативных:
aRb неравно bRa,
но оно будет транзитивным:
a R b X Ь R с ~ a R с
как отношения равенства, параллелизма и вывода.
4. Евклидово отношение и число6). История книги V Ев-
клида, содержащей античную теорию пропорций, это — история
арифметизации геометрии, история эволюции числа.
Для Евклида число — это собрание единиц (определение 2
книги VII), так что дробь для него ещё не является числом.
Между геометрическими величинами н числами ещё нет взаимно
однозначного соответствия', отношение двух отрезков, площа-
дей или объёмов ещё ие сводится к отношению двух чисел. Ев-
клиду приходится строить две теории пропорций: величин в книге V
и чисел в VII. С нашей точки зрения он повторяется"*).
Но это только с нашей точки зрения, а не с точки зрения
самого Евклида. У Евклида не только пет взаимнооднозначного
соответствия между геометрическими величинами и характери-
зующими их числами, но у пего даже нет идеи рода, объемлю-
щей видовые понятия геометрической величины и числа; эта идея
является результатом дальнейшей эволюции математической
мысли.
Б о р е л ь, Арифметика, Москва, 1923. — Н и к у л ы ч е в, Ариф-
метика, Москва, 1904. — Попов, Арифметика, Москва, 1937.
Ь) Эвклидовых Начал восемь книг, пер. Ф. Петрушев-
ского, СПБ, 1819.— Cantor, Vorles., т. I, стр. 222, 250.—
Н е 1 b ег g, Studien, стр. 83.—На ncke 1, Qeschichte der Ma-
them., стр. 389—398. — Vogt, Die Entdeckungs-Qeschichie der Ir-
rationalen nach Platon und auderen Quellen aus IV. Jahrhundert
Bibliotheca Mathematica (3)10, стр. 592—655. — В e 11 i n i, La de-
finizione di proporzione ed. 11 V lib. di Euclido, Perlodico Math.
Vil, 1892. — Vincenzo Vivi а и i, Quinto libro degll Element!
di Euclfde, 1924. — Hill, On the fifth book of Euclid. Cambr.
Royal Soc. Trans. 22 (1921).
*) Д Mop д у x а й-Б о л т о в с к о й, Из прошлого пятой
книги Начал Евклида, Математическое Образование, 1916, X» 7—8.
24*
372
КОММЕНТАРИИ
Чисто формальная точка зрения совершенно чужда Евклиду,
определение класса совокупностью формальных законов ему чуждо.
Число и прямолинейный отрезок (в его терминологии «пря-
мую») он не решается отнести к одному классу только потому,
что будут тождественными те законы, которым подчиняются со-
ответствующие формальные операции над ними.
Величины в книге I (аксиома 7) взаимно налагаются.
Аксиомы 1, 2, 3, ... («Равные одной и той же равны между
собой»; «Если к равным придадим равные, то получим равные»;
«Если от равных отнимем равные, то получим равные» и т. д.)
все относятся не к числам, а к геометрическим величинам, г. е.
к классу, в который отнюдь не входят числа.
Но в высокой степени интересным является то, что эти и
другие аксиомы лежат в основе Арифметики Евклида', все ариф-
метические действия над числами Евклид сводит к действиям над
особым классом отрезков, составленных из одного определён-
ного, отвечающего единице.
Между отрезками этого класса и целыми числами существует
взаимно однозначное соответствие, которое позволяет Евклиду,
идя в обратном современному направлении, свести не геомет-
рию к арифметике, а арифметику к геометрии.
Как только дробь становится числом, результаты книги VII
начинают толковаться в обобщённом виде. В пропорции a'.b = c:d
члены a, b, с, d оказываются не только целыми числами, но н
дробями. Характерно определение Беха-эд-дина деления как
отыскания числа, которое с единицей находится в том же отно-
шении, что делимое с делителем.
Понятием об отношении чисел Евклид в книге V не поль-
зуется, но у него есть понятие об отношении величин. Оно даётся
определением 3 книги V.
«Отношение есть некоторая зависимость двух однородных
величин по количеству».
Но понятие пропорциональности имеется как для величин,
так и для чисел.
Для величин определение б книги V.
«Пропорциональными называются величины, имеющие то же
отношение».
Для чисел определение 20 книги VII.
«Числа пропорциональны, если первое от второго и третье
от четвёртого составляют то же кратное или ту же долю
или ту же дробь / — )>.
Книга VII проводится независимо от V; не будучи в силах
охватить эти два понятия пропорциональности чисел и пропор-
циональности величин в одном общем их объемлющем понятии
пропорциональности вообще (конечно, в смутной форме у него
имевшемся), Евклид даёт определения этих понятий раздельно,
так что общим у них остаётся только название.
К КНИГЕ V
373
Определение отношения величин у Евклида остаётся мёрт-
вым, логически не действующим; рабочим определением является
5— равенства отношений.
На алгебраическом языке оно выражается так:
a;b = c:d,
если при всяких целых числах, т, п таких, что
та > nb также тс > nd,
та < nb также mc<nd, (I)
ma — nb также тс —nd.
Что такое отношение? Евклид пытается определить. Но тогда
следовало бы определить и то, что представляет тождественность
или одинаковость отношений.
Здесь положение то же, что и с понятиями прямого угла,
площади н т. д., равенство которых Евклид не определяет, но для
которого даёт аксиомой 7 книги I признак, Определение 5,
дающее такой признак, скорее является аксиомой, чем опреде-
лением.
То же самое относится и к определению большего и мень-
шего отношений (определение 7), выражаемого в алгебраической
символике так:
a-,b > c-.d,
если для некоторых целых чисел т, п
5. Архимедова аксиома8). В евклидовой системе аксиом нет
архимедовой аксиомы: «какую-нибудь величину можно взять
столько раз, что она превзойдёт всякую данную величину». Но
Евклид неявно пользуется этой аксиомой.
Чтобы понять четвёртое евклидово определение книги V,
следует вспомнить то, что мы сказали об евклидовом определе-
нии вообще.
Это определение носит явно аксиоматический характер и
утверждает, что две величины могут находиться в математиче-
ском отношении, только если для них имеет место аксиома Архи-
меда, если кратное одной может быть больше другой.
Что такое отношение? Эго разъясняется определением 3, кото-
рое подчеркивает однородность величин, находящихся в отно-
шении. За этим определением ставится вопрос: все ли однород-
ные величины имеют отношение^
8) Ф. Петрушевский, Архимеда две кни1 и о шаре и ци-
линдре, измерение круга и леммы, СПБ, 1823,
374 КОММЕНТАРИИ
Клавий9) в четвёртом евклидовом определении видит отри-
цательный ответ.
Он разбивает род (величина) на два вида: 1) находящихся
и 2) не находящихся между собой в отношении.
Первые это те, которые обладают свойством, определяемым
аксиомой Архимеда, а именно, отрезки, прямые, площади, объёмы,
прямолинейные углы.
Вторые, которым присуще чудесное свойство, состоящее
в том, что прибавление к а... а, а, а... не даёт возможности
превзойти Ь. Такой величиной, по мнению Клавия, является угол
касания. Сколько раз мы его ни брали бы, мы получаем вели-
чину меньшую, чем любой прямолинейный угол.
'6 . Несоизмеримые величины. Иногда приходится читать,
что Пифагор открыл иррациональные числа. Конечно, это не
верно. Пифагор открыл не существование иррациональных чисел,
а существование отношений, не выражаемых числами.
’Следует думать, что прежде мыслили все величины соизме-
римыми, всякое отношение геометрических величин, в частности
прямолинейных отрезков, считалось равным рациональному числу.
Во времена же Евклида вполне ясно сознавалось, что существуют
отношения и не выражаемые отношением двух целых чисел, т. е.
рациональной дробью.
Чисто геометрическое доказательство существования несо-
измеримых величии, например, несоизмеримости диагонали квад-
рата с его стороной, ведётся при помощи операции над величи-
нами, которую ныненазывают алгорифмом Евклида—нахождением
общей меры. Формально он вполне соответствует алгорифму
нахождения общего наибольшего делителя, развиваемому Ев-
клидом в книге VII «Начал» (см. предложения 1,2): следует только
заменить деление числа А на число В последовательным откла-
дыванием отрезка В па Л, пока не получится в остатке отре-
зок меньший В.
Алгорифм Евклида определяется системой формул;
A = Bq-'rr1,
В^г1Ч1 + гг,
i'l~ ГгЯг+г,,
гя-1— гп1п + ''п-1-
Если 0, то гп оказывается общей мерой А в В,
Если этот процесс никогда не прекращается, то обшей
меры для Л и В не существует, иначе говоря, Л и В несоизме-
римы.
7. Актуальная бесконечность в истории иррациональных
чисел. Открытие несоизмеримых величин положило конец наив-
в) С 1 а v 1 и s, Euclidis I'icinenta, 1574.
К КНИГЕ V
375
ному представлению о существовании взаимно однозначного со-
ответствия между величинами и рациональными числами (или
вернее отношений целых чисел).
Бруншвиг10 * *), видимо, правильно предполагает, что был про-
изведён целый ряд попыток численного выражения диагонали
квадрата со стороной, равной единице, раньше, чем была уста-
новлена неразрешимость этой задачи.
Само пифагорейское мировоззрение должно было распола-
гать к вере в разрешимость этой проблемы, и открытие её не-
разрешимости нанесло ему неисцеляемую рану.
Интересно отметить, что установке логически необоснован-
ного, но психологически объясняемого взаимно однозначного
соответствия между геометрическими величинами и числами, пу-
тём расширения идеи числа, предшествовал краткий период
особенного понимания произведений
ab, abc, abed, ... ,
когда постулировалось взаимно однозначное соответствие между
геометрическими величинами и числами, но при этом числами
не только рациональными, как до Пифагора, ио н целыми.
Разница была только в том, что брались актуально-беско-
нечные числа, которых нс знала античная мысль.
«Линия,говорит Ривард), в своих «Элементах матема-
тики»,— умножается на другую линию, если первая берётся
столько рач, сколько точек во второй-, например, чтобы умно-
жить АС на CD, следует линию АС взять столько раз, сколько
точек в линии СР»; это значит, что для получения произведе-
ния АС на CD следует представить, что проведены линии, равные
и параллельные АС', они заполняют пространство ACDB, и по-
этому произведение одной линии па другую даёт прямоугольник.
Но эти целые числа — уже актуально-бесконечные числа,
которыми определяется сколько раз неделимое (актуально-беско-
нечно малое XVII и начала XVIII в.) содержится в конечной ве-
личине.
Но этот подход к иррациональным числам от актуально-
бесконечно малого не получает дальнейшего развития, так как
предреволюционная мысль'энциклопедистов производит револю-
цию в области математики, уничтожает актуальную бесконечность
п выдвигает на её место потенциальную бесконечность — д’алам-
бсровскую идею предела’2). И именно в этом направлении через
10) В г u п s с h V i с g, Les etapes de la philosophic mathetna-
tique, Paris, 1912, стр. 17.
u) Rivard, Elements de Mathematiques, Paris, 1788.
u) d’Alembert, Encyclopedic под словом Limite; также:
Melanges de literature, d’histoire e.t de la philosophic, Nouv. ed.
t. V, Amst., 1767.
876
КОММЕНТАРИИ
Ньютона и Л. Бертрана13)— идёт зарождение понятия ирраци-
онального числа, ведущее к уничтожению книги V «Начал» Ев-
клида. Иррациональное число выступает здесь не как бесконечное
число актуально-бесконечно малого, а как предел сходящего-
ся ряда, и только много позже возвращаются к помощи акту-
альной бесконечности, так как без неё, т. е. без теории мно-
жеств, потенциальная бесконечность обнаруживает свою сла-
бость при строго логическом обосновании теории иррациональ-
ных чисел.
8. Глухие числа. Уже в шестидесятых годах XVII в.
т Арно14) дробь наччпазт рассматриваться как отношение.
У Ньютона15 16 *) различие между 2;3 и 2:3 исчезает. Для него
вполне определённо всякое чи-ло является отношением. Видимо
эта точка зрения принадлежит и другим математикам его эпохи.
Так, Лейбниц говорит, что отношение А к В это не что иное,
как число, выражающее А, когда В принято за единицу.
Отсюда следует, чтп величина (magnitude) отл'чается от
отношения (ratio), как конкретное число от абстрактного.
Но всякое ли отношение является числом? И во времена
Ньютона обычно па это отвечали отрицательно. Можно сказать,
что не только до Ньютона, но и во время Ньютона не суще-
ствовало иррациональных чисел, не только в нашем смысле, но
и в смысле Лежандра, как чисел, определяемых взаимно однознач-
ным соответствием точек прямой и чисел.
Но было бы совершенно неправильно думать, что признава-
лись тотько чи'ла рациональные. Нет, наряду с ними сущест-
вовали иррациональные числа в смысле чисел «глухих» или «не-
мых» (surdus). Анализируя отношение к ним математиков XVI и
XVII вв., мы должны прийти к заключению, что название
«числа» не вполне отвечает содержанию, которое в них вклады-
валось.
С одной стороны, «глухие» или «немые» числа — это числа,
но ие «выражаемые в словах». Математика в них не могла ничего
уловить, кроме пустого символа, если не вкладывать в них
чисто геометрического содержания, например, если не считать У~2
стороной квадрата с площадью, равной I.
«Глухими» числами, — говорит Кардан 1В),— называются такие,
которые не могут отчётливо (distincte) быть мыслимы и назы-
ваются они так потому, что не могут быть расслышаны (quia
13) L. В ertra n d, D6veloppement sur la partie 61ementaire
de Gfcomfrir.e, Paris, 1767.
14) (A r n a 1 d u s), Nouveaux &£ments de geometrie, Paris.
1667, 1683.
1!) Ne w to л, Arithmetica universalis (есть франц, nep.. Paris,
1802).
16) Cardanus, Practica Arithmeticae, 1539, гл. 1. De subtedis
arithmeticis (в «Opera»).
К КНИГЕ V
377
audlri non possunt) и не могут быть воспроизведены (quia fieri
non possunt).
Эти глухие числа меняют своё название, становятся ирра-
циональными и их право на отнесение к числам время от вре-
мени оспаривается. <С одной стороны, — замечает Штифель,—
мы видим, что операциями над иррациональными числами, анало-
тчными операциям над рациональными, доказывается то, что
нельзя доказать без них, и чувствуем их реальность', с другой
стороны, иррациональное число мы никак не можем выразить
отношением рациональных чисел и не можем признать их истин-
ными числами, как не можем признать таковыми бесконечные
числа».
Штифель1?), полемизируя с одним неудачным изобретателем
квадратуры круга Долз^), старается доказать, правда, рядом
очень туманных рассуждений, что отношение окружности к диа-
метру не представляется ни выражаемым (dicible),’HH невыражае-
мым числом (indicible).
9. Определение равенства отношений. Определение 5 сле-
дует хорошо продумать. Оно постулирует, что неравенство
mA sS пВ (I)
влечёт за собой всегда
тС ^nD,
а неравенство
тАс^пВ (II)
втечёт
mC^nD,
причём второе неравенство должно иметь место при всех це-
лых числах (т, л), при которых имеет место первое неравен-
ство.
Этого не понимает Рамус, который указывает, нападая па
определение 5, что числа 4, 3, 5, 4 не пропорциональны, хотя
при 6-4<9-3 также 6-5<9-4.
Но при 6-4—3*8 имеем 6-5 < 4-8 и т. д.
Следует также отмстить, что одно условие I является недо-
статочным.
Необходимо ещё выполнение II, которое приходится ставить
только при условии, что для всякого п существует такое т, что
mA превосходит пВ, т. е. постулировать аксиому Архимеда19):
для всякого п существует такое т, что, с одной стороны,
mA nBf
с другой,
(т 4- I) А > пВ. * 1
И) Stiffelfus, Arithmetica Integra, 1544. Appendix.
1S) Siшоn du Ghesme de Dole, Quadrature du cercle,
1584.
1Э) См. прим. 8.
378
КОММЕНТАРИИ
Условия I и 11 сменяются такими: при значениях т, п таких,
что
mA пВ < (тЦ- 1) А,
имеем также
mC^nD < (т -f- \)С.
При этом значения n, меньшие m и большие tn -р 1, можно
не рассматривать.
В самом деле,
< mA, и потому < пВ,
’1С < тС, и потому < nD,
чА > (т 4- 1) А, и потому > пВ,
(т -J- 1) С, и потому > nD.
В своей деарифметизациа геометрии (т. е. в освобождении
ее от алгебры) итальянские учебники уже нашего времени
(например, Саньо и д’Овидьо89)) заменяют евклидовы условия
следующими:
па = mb 4-а'.
nc-=pdXc', (о’
где
п’ •< Ь,
с' < rf,
и
т—р.
Эти условия являются эквивалентными евклидовым. А именно,
мы получаем:
"э первых mb < па < tm !(4, (4)1
из вторых
pd < пс < (р 1) < (4)2
а так как т—р, го
md < пс < (т -}~ 1) d. (5)
Обратно от евклидовых нетрудно перейти к услошям Саньо
и д’Овидьо.
Этого рода точка зрения проводилась ещё в XVII п. Такэззу
ниже мы приводим критику Такэ евклидовой теории пропор-
ций, приведшую его к повой теории пропорций.
10. Экспонент. Если А и В соизмеримы, то
А — пгС, В — пС,
где т и п — целые числа. Мы тогда можем написать
А:В — т:п. 20 2
20) Sanni о е d’Ovid io. Element! di Geomctria, NapoH,
1869, 1906, 1910.
2i) Taquet, Elemcnta Geoinctriac, 1654.
К КНИГЕ
379
Отношение т\п в настоящее время отождествляется с числом.
, tn
И число и отношение ооозначастся через —гак что пишут:
А___т
Но прежде (даже в XVIII и в начало XIX в.) строго разли-
чи „ . т
чали т'.п от —. Рациональная дробь — являлась только
нентом (показателем, denominator) отношения величины .4 (числа)
к величине В (числу).
Кестнер22) определяет так экспонент: «Экспонент отношения
есть число, которое означает, сколько предыдущий член содер-
жится в последующем». Это понятие идёт, кажется, от Клавия.
Несоизмеримые величины сперва не имели экспонента, но
затем экспонентом стало иррациональное число.
ъ Ньютона — обращается в tn'.n. — число становится отно-
шением. У Лежандра всякое отношение является числом рацио-
нальным или иррациональным.
11. Бертран и Лежандр. Арно, Луи Бертран и Лежандр —
вот три ступени постепенной арифметизации геометрии.
То, что у Бертрана высказывается в робкой форме, то
Лежандр высказывает вполне категорически.
Лежандр и все авторы учебников лсжацдрэвского типа
всякое действие над отрезками заменяют соответствующими
действиями над числами, им соответствующими; произведение
ab понимается только как число, квадрат суммы двух отрез-
ков АВ н ВС выражается формулой
(AS -Н ВС]2 = АВ3 4- 2АВ • ВС 4- ВС2,
потому что квадрат суммы чисел а и Ь, определяющих величины
этих отрезков, будет
(а 4- &)2 — а2 4- 2аЪ 4- Ь2.
Вполне понятно, что Лежандр, лучшие труды которого отно-
сятся к теории чисел, должен был дойти до крайнего предела
арифметизации геометрии. Для него из равенства
а: b — с: d
следует
ad-^bc,
«Эта истина, — говорит Лежандр, — в числах верна значит,
она верна и при всяких других величинах, лишь бы они изобра-
жались через числа, что всегда можно положить.
и) Kastner, Anfangsgrundczi det Matliematik, 1758.
380
КОММЕНТАРИИ
Например, если А, В, С, D — четыре линии, то можно во-
образить, что одна из них D служит мерой; тогда, будут ли А,
В, С соизмеримы или несоизмеримы, во всех случаях они выра-
жаются числами, в первом случае соизмеримыми (рациональ-
ными), во втором несоизмеримыми (иррациональными)».
То, что до чисто арифметического обоснования теории
иррациональных чисел математики и после Лежандра чувство-
вали себя несколько неловко в критических местах элементарного
курса геометрии, м ,жно видеть в примечаниях учебника Лакруа,
в которых он как бы старается оправдаться перед читателем
в своих арифметизирующих тенденциях.
«Испытывается,— говорит Лакруа -s),— некоторое затрудне-
ние в перенесении на части пространства понятия отношения
в таком виде, как оно понимается для чисел, в особенности,
когда дело идёт о несоизмеримых между собой линиях, но
туман рассеется, если обратить внимание на то, что сравнивать
две линии возможно, только относя их к общей мере, но тогда
их отношение есть действительно число или дробь, члены кото-
рой, выражаемые числами, представляют то, сколько раз мера
заключается в каждой линии.
Хотя эту дробь невозможно показать в том случае, когда
отношение несоизмеримо, но она тем не менее существует».
12. Исправленный Евклид. Комментаторы XVI в. Евклида
не критикуют, а только разъясняют; высказываемое ими мне-
ние выдаётся или за мнение самого Евклида, или за мнение,
согласное с его взглядами.
В XVI! в. выступает «Euclldes restltulus», т. е. исправлен-
ный Евклид24).
Евклида не только комментируют, его же к исправляют.
Пополняют систему аксиом, исправляют определения, меняют
части всей логической постройки и делают попытки полной её
перестройки.
Арзе, Озапам, Такэ, Борелли, Саккери, Арно — вот ряд
ступеней всё более и более существенных перестроек «Начал».
Особенное внимание на книгу V обращает Борелли, чьё имя
связано также с историей развития теории параллельных и кото-
рый оказал очевидное влияние на Саккери. Однако сам он здесь
ещё в большей зависимости от Клавия, вероятно, и от других
своих современников. В его «Euclldes restitutus» интересна и ори-
гинальна книга V «Начал».
Он резко критикует определение 5 книги V. * 2
23) Lacroix, Elements de Geometrie de I’Ecole Centrale des
Quatres Nations, Paris, 1814.
24)Borelius, Euclldes restitutus, Romae, 1670. — Sacche-
rius, Euclldes ab omni naevo vindlcatus, Medio lani, 1733. Cm.
также Engei-StSckel, Die Tlieorie der Parallellinleo, Leip-
zig. 1895.
К КНИГЕ V
381
Всякое научное определение должно ясно изложить природу
определяемой вещи через свойство возможное, истинное, первое
и известнейшее, которым определяется вещь и отличается от
какого-либо другого объекта.
Свойство же, излагаемое в евклидовом определении, таково,
что нельзя узнать, дается ли оно в действительности, так как
мы не можем определить, даётся ли это бесконечное число
равнократных, единовременно больших н единовременно мень-
ших, так что не знаем верно ли оно...
В определении отношения и пропорции он видит неопреде-
лённость и неясность, он подчёркивает неопределённость в опре-
делении отношения, указывая на возможность не одной, а многих
взаимных зависимостей, и на то, что здесь, а также в определе-
нии пропорциональности, дело идёт о специальном типе зави-
симости.
Интересна критика Борелли, относящаяся к так сказать
преждевременной арифметизации теории пропорций, сводящей
определение пропорциональности к равенству экспонентов отно-
шения, получаемых делением (а и Ь} (с и rf).
Говоря в своей критике о числах, Борелли разумеет под
иррациональными числами только корни из рациональных чисел.
Невозможность представления всякого показателя отноше-
ния таким числом приводит его к заключению о неверности
утверждения, что всякое иррациональное отношение можно
считать числовым.
Пропорция чисел и геометрических величин у него вклю-
чаются в пропорцию величин вообще, к которым и относятся
исправления книги V <Начал>.
Соизмеримая пропорциональность, т. е. пропорциональность
двух пар соизмеримых величин (a, b), (с, rf), им определяется
так, как Евклид определяет в книге VII пропорциональность
чисел, а именно, по определению 20 книги VII числа называются
пропорциональными, когда первое второго, а третье четвёртого
равнократные, или равно частные или равно многочастные.
Соединительным звеном между соизмеримой и несоизмери-
мой пропорциональностью является определение неравенств
отношений
a:b^c:d,
где а и b несоизмеримы, а с и d соизмеримы.
В алгебраической символике это определение выражается так:
если c:d = m:n, где т и п — целые числа.
В словесном выражении: отношение а к b больше (меньше)
с к d, если а больше (меньше) той же части Ь, какую соста-
вляет с от d.
382
КОММЕНТАРИИ
Дальше идёт определение a-.b^c-.d в случае несоизмери-
мости а и Ь, с и d с помощью вспомогательного соизмеримого
отношения e-f:
a:b>c:d,
если при а:Ъ ^е:/ имеем также c.d<_e:f.
Наконец, пропорциональность определяется таким образом:
а-.Ъ не > c-.d и не < c:d
согласно указанным выше определениям.
Критику Борелли интересно сравнить с критикой Такэ, ко-
торый становится на совершенно другую точку зрения.
Борелли выступал против определения, основанного на
употреблении бесконечного класса; собственно говоря, oti ста-
рается исправить Евклида в духе самого Евклида, признающего
только то, что может быть в действительности получено постро-
ением. Такэ же старается исправить Евклида так, чтобы он согла-
совался с логическими идеями того времени, так ярко очерчен-
ными в знаменитой порт-роялевской логике (Арно и Николь).
По мнению Такэ25), хченне Евклида встречает следующие
затруднения:
1) Определение 5 равенств отношений, а отсюда и пропорции,
даёт не сущность пропорции, а только один из её признаков.
2) То, что доказывает дальше Евклид относительно пропор-
ций, опираясь на своё определение, не может быть доказатель-
ством того, что указанное им свойство действительно присуще
равенству отношений, распространённому на абсолютное равен-
ство отношений, г. е. на то истинное равенство отношений,
идея которого предваряет всякое математическое исследование.
По мнению Такэ, «одно дело сказать, что отношение пло-
щадей треугольников с равными высотами АВС и DEE равно
отношению их оснований АС н DE, и другое — сказать, что для
всяких целых чисел т, п, для которых т АВС^п DCE также
n mAC'^nDE, и незаконно утверждать, что если второе дока-
зано, то доказано и первое без особого оправдания евклидова
определения пропорций».
Но определение самого Такэ равенства отношений оказы-
вае1ся столь же мёртвым, как л определение отношения Евклида,
«Два отношения {а к Ь и с к d) подобны или равны, когда
предыдущее а равно (aeque) иди так же (т. е. не больше и не
меньше) содержит своё последующее Ь как предыдущее с со-
держит последующее d, или короче, сколько Ь содержится в а,
столько d в с.
Входящее сюда понятие «содержания» Такэ разъясняет для
случая рациональных отношений, а для иррациональных он не
даёт разъяснения, считая это само собой попятным: «Если про-
25) См. прим. 21.
К КНИГЕ V
38с
порция иррациональная, то эта вещь не может я пе должна
разъясняться*.
Так как из своего мёртвого определения Такэ ничего не
может извлечь, то ему приходится к нему приклеить аксиому,
которую потом Деталь25 26) возводит в определение, заменяющее
евклидово.
«Отношения (а к &) и (с к rf) равны, если последующие
(т. е. b к d) и их подобные части, каковы бы они пи были, равное
число раз содержатся в предыдущих (т. е, а к с)>,
В алгебраической символике это истолковывается таким
образом: четыре величины a, b, с, d пропорциональны
a:b — c:d,
если, обозначая через (b»d$t (bjdтакие величины, что
b — mjbj, d— nijdj,
где tnj—целые числа, а через ap — остатки, определяемые
равенствами:
а = nfij + a t, с= Pjtlj + Ср
где а c.-^d,. а П; и р,— целые числа, то одновременно
будет
Что касается системы положений теории пропорций, то
средством её упрощения у Такэ является обычный в XVII в.
способ обращения доказывавшихся раньше положений в оче-
видные истины.
В этом отношении усматривается большое сходство между
рационалистами XVI! в. и современными логистами', разница
лишь в том, что ту роль, которую раньше играли аксиомы,
играют теперь определения, к которым не предьявляется иных
требований, чем те, чтобы из них могли быть извлечены напе-
рёд намеченные теоремы.
К определению 4 Евклида Такэ присоединяет опять в каче-
стве аксиомы положение о равенстве величин, имеющих к одной
и той же величине (или к равным) одно и то же отношение,
обратное ему, затем аналогичное, относящееся к неравенству
н, наконец, положение: отношения, равные одному и тому же
отношению, равны между собой.
Не вполне ясны взгляды Такэ па предложения 12 и 15. Он
не называет их аксиомами, ио поступает с ними так, как если бы
это были теоремы, доказательства которых так просты, что их
и не стоит приводить.
О предложении 15: «Две величины имеют между собой такое
же отношение, какое имеют их равиократные», он говорит: это
25) D е s ch а 1 е s, Elementa Enclidfs lib. octo, 1675. Франц,
изд. 1672, 1675 и других годов.
384
КОММЕНТАРИИ
положение можно было бы принять и за аксиому, если только
Правильно понимать, что такое подобные части.
Вне сомнения такое обращение целого ряда раньте доказы-
вавшихся положений в очевидные истины обусловливается не
одним методическим стремлением к сокращённой теории пропор-
ций для более лёгкого усвоения ее начинающими изучать
Евклида; следует при объяснении этого явпения учесть и то, что
эти положения с постепенной арифметизацией уже стали приобре-
тать, хотя и не в сильной степени, ту очевидность, которая
раньше им не была присуща.
Область понятия числа далеко расширяется за пределы
евклидовых, т. е. целых чисел.
Общность формальных законов, присущая отношениям
и числам, прекрасно сознавалась математиками этой эпохи; она,
можно сказать, каждую минуту вставала перед их глазами, так
что они против воли приучались смотреть на отношение как на
число; вследствие создавшегося через это настроения ума и воз-
никали эти иллюзии очевидности.
13. Подобие отношений. В некоторых рукописях определе-
ние 8 даётся словами: «пропорциональность есть подобие отно-
шений» 'Ava).c-f[a Si Zstiv -g -ш> ko-jcav Это определение
Представляет интерес. В некоторых списках стоит вместо —
-cauroTTjc, т. е. тождество отношений.
Следует думать, что подобие представлялось слишком общим,
неопределенным понятием, под которое подводилось и подобие
отношения сторон и отношения площадей подобных треуголь-
ников.
Но затем тождество показалось слишком узким понятием;
отношение 12:10 не решались считать совершенно тождествен-
ным отношению 6:5. Отношение AB-.CD казалось тождествен-
ным если АВ=А^Вг, CD = C]Dlt но не тождествен-
ным 2AB-.2CD, а только равным. Барроу настаивает на замене
ojxoi&TT(i; и ta-jTo-zr^ словом
14. Первые шесть предложений книги V «Начал». Книга V
Евклида не принадлежит к числу пользующихся особой популяр-
ностью; о первых шести предложениях было, например, сказано,
что они представляют простые предложения конкретной арифме-
тики, изложенные языком, который делает их неудобопоцимае-
мыми для современного интеллекта. Многие находили, что эта
книга представляет определённый параллелизм с арифметиче-
скими книгами V11—IX, где ряд предложений книги V доказы-
вается наново специально для чисел. Только в XIX в. книга V
Евклида получила признание; знаменитый математик Феликс
Клейн признал её одним из перлов античной математической
мысли.
Для того чтобы разобраться в этом, нужно хорошо понять
принципиальное отличие позиций греков и современных матема-
тиков в рассматриваемом вопросе. Книга V посвящена общей
теории отношений. Для современного математика всякое отыоше-
к книге V
385
ние двух величин может быть представлено числом рациональным
или иррациональным; поскольку законы математических опера-
ций, установленные для целых чисел, распространены и на дру-
гие' классы чисел, вплоть до иррациональных и комплексных,
нет надобности в создании специальной теории операций с отно-
шениями.
Совершенно иное положение было для греческого матема-
тика. Для него число — — это прежде всего целое число,
собрание нескольких единиц, к тому же часто определённым
образом расположенных (фигурные числа). Пока отношения
выражаются целыми числами, всё обстоит благополучно. Но
как быть, когда отношения перестанут выражаться целыми
числами?
Бее данные говорят за то, что идея целочисленных отноше-
ний зародилась в древнем Египте; мы встречаем целочисленные
отношения в архитектурных деталях гробницы Мейеса (1-я дина-
стия) и пирамид. В дальнейшем целочисленные отношения сдела-
лись основой модулярной теории, которая почти одновременно
появляется как в греческой, так и персидской архитектуре. В Пер-
сии она появилась после завоевания Египта Камбизом вместе
с пленными египетскими архитекторами, введшими целый ряд
египетских мотивов в архитектуру дворцов и царских могил
Ахеменидов. В Греции поборником идеи числа, как выражающего
истинную сущность вещи, является Пифагор, родина которого
Самос была при Поликрате в теснейших отношениях с Египтом.
Но уже очень Скоро греки поняли, что далеко не все эле-
менты правильных геометрических фигур могут быть выражены
не только целыми числами, но даже и отношениями целых чисел,
нашими дробями. Как тогда надо было ставить определение
отношения двух величин?
Пока отношения выражались целыми числами, для опреде-
ления отношения двух длин нужно было меньшую повторять
кратным столько раз, сколько нужно для того, чтобы она срав-
нялась с большей. Если это число равно т, то меньшая длина,
взятая т раз, будет равна большей, взятая т—1 раз меньше
её, взятая т-|-1 раз больше.
Нетрудно видеть, как нужно изменить определение отноше-
ния в случае дробного числа. Если отношение двух длин а и b
т
выражается дроопым числом—, то если мы возьмем а крат-
ным п раз, а b кратным т раз, то полученные длины па и mb
будут равны друг другу; вместе с тем. мы возьмём Ь кратным
т—1 или /«4-1 раз, то получим длину, соответственно мень-
шую или большую длины па. Таким образом, для определения
дробных отношений мы пользуемся равенствами
(/я — 1) Ь < па,
mb —па,
(т 4-1) Ь > па.
25 Евклид
комментарии
ЗЯб
В гои случае, когда длины а и b несоизмеримы, среднее равен-
ство mb-=na невозможно, но оба крайних продолжают оста-
ваться справедливыми. Их то и принял Евдокс, которому при-
писывается авторство основной части предложений книги V,
в качестве определения отношения двух величин в самом общем
случае.
Вся сущность книги V содержится в следующих определе-
ниях;
<(4). Говорят, что величины имеют отношение между
собой, если они взятые кратно могут превзойти друг друга,
(5). Говорят, что величины находятся в том же отноше-
нии: первая kq второй и третья к четвёртой, если равнократ-
ные первой и третьей одновременно больше или одновременно
меньше «равкократиых второй и четвёртой каждая каждой при
какой бы то ни было кратности, если взять их в соответствую-
щем порядке.
(7). Если же из равнократных кратное первой превосходит
кратное второй, а кратное третьей не превосходит кратного
четвёртой, то говорят, что первая ко второй имеет большее,
отношение, чем третья к четвертой».
Значение определения 4, равносильного так называемой
аксиоМе Архимеда, было понято только в XIX в.; 5 же и 7 опре-
деления по существу разнозначны определениям равенства и не-
равенства иррациональных чисел при помощи метода сечений
Дедекинда.
В первых шести предложениях книги V рассматриваются
элементарные свойства отношений.
Первые два в современной форме можно выразить так:
4-Если та, mb, тс... суть любые равнократные а, Ъ, с, ..., то
та -\- mb -\-тс . --=т{а -\-Ь -}-с
«Если та, па суть некоторые кратные от a, a mb, nb суть
такие же кратные от Ъ, то та -|- па — (т 4- л) а и mb -J- nb
— (я>г-|-гг)& будут одинаковыми кратными соотвегствепио
от я и &>. Можно сказать, что оба эти предложения выражают
распределительные законы умножения в том случае, когда сомно-
жителями являются числа т, п и геометрические величины а, Ь,
с,.,.; при этом предложение 1 выражает распределительный
закон слева, а предложение 2 распределительный закон справа.
Для отрезков распределительный закон был установлен в
предложении I книги II, для чисел же в предложениях 5 и б
книги VII.
В другой форме эти пред южепия могут быть выражены
формулами:
г, аг а а 4- с
Предложение 1. Если-г^--, то -- = —.
r b d b b -f-d
гт' и в а ? с / а -V- е с -\-f
Предложение 2. Если — = и — ~ , то — ~
К КНИГЕ
387
Предложения 3 и 4 касаюгся умножения равных отношений
на целые и дробные числа.
Предложение 3 в современной форме выразится так:
«Если та и mb суть равнократные а и Ь, то п {та) и п {mb)
будут равнократными а и &>.
11ЛИ!
„ а с та тс
«Если -г =-г , то -т-= —>.
b d b d
Последняя форма приближает к выражению предложения 4'.
а с та тс
«Если v-=:-- то —д>.
b d nb nd
Первые три предложения доказываются очень просто при
помощи разложения предыдущих членов па величины, равные
последующим, при доказательстве же предложения 4 применяется
определение 5.
Сущность доказательства заключается в следующем:
Если ~ , то при любых р и q будет (определение 5)
если рта > qnb, то и рте > qnd,
если ptna~qnh, то и рте = qnd,
если рта < qnb, то и рте < qnd.
Поскольку же р и q суть какие угодно числа, то из этих нера-
венств по тому же определению 5 следует
та___те
nb nd'
Предложение 5, которое в современной формулировке можно
выразить так:
а с а а — с
«Если - = ~,то ——дъ
b d ’ b b — d
или же в виде равенства:
та — mb = т(а — Ь),
представляет распространение предложения 1 па случай вычита-
ния (или отнятия) отрезка.
При доказательстве Евклид употребляет следующий прием.
л АВ АЕ BE АВ
Дано: . Нужао доказать: 777 = ™.
'~'1J L.I lu LU
Построим С//, удовлетворяющее пропорции
АЕ__ ЕВ
С1~СН’
383
КОММЕНТАРИИ
т. е. возьмём четвёртую пропорциональную для АЕ, CI и ЕВ —
построение, которое даже для прямых линий разбирается только
в предложении 9 книги VI; выполнимость этого построения
для величин Евклидом не доказана. Построивши эту величину СН,
Евклид доказывает, что она равна остатку ID после вычита-
ния CI из CD.
Так как употребление построений, возможность которых ещё
не доказана, совершенно не в духе Евклида, то Симеон даёт
другое доказательство, заимствованное им из перевода Евклида
с арабского, сделанного Кампаиом. Доказательство это таково
[Хизс (Heath), т. II, ст^. 146].
<Возьм2м АО таким же кратным ED, каким АЕ будет
от СЕ (черт. 1); тогда АЕ будет таким же кратным от СЕ,
как EG от CD (V, 1), Но АЕ, согласно предположению,
такое же кратное от СЕ, как АВ от CD', значит, EG равно АВ.
С Д£8
С F D
Черт. 1,
Отнимем общую величину АЕ, остаток АО будет равен
остатку Ей. Значит, поскольку АЕ такое же кратное от СЕ,
как АО от ED и поскольку АО равно ЕВ, то АЕ есть та-
кое же красное от СЕ, как ЕВ от ED.
Но АЕ есть такое же кратное от СЕ, как АВ от CD',
значит, ЕВ есть такое же кратное от ED, как АВ от CD',
что и требовалось доказать».
Шестое предложение так же относится ко второму, как пятое
к первому. В современной формулировке его можно дать так:
«Если даны та, mb и па, nb, то
та — па.-={т—п) а и mb — nb = (m— п)Ь>.
В доказательстве Евклид различает случаи, когда т—п равно
или не равно единице. При этом он употребляет тот же приём,
что и при доказательстве предложения 5: он сначала берёт от-
резок, удовлетворяющий доказываемому равенству (в пашем слу-
чае прикладывает к CD слева СК, равную/), и затем доказывает,
что эта СК будет равна получаемому остатку GD от вычитания
СО из CD.
15. Связи между членами равных и неравных отноше-
ний. Четыре предложения с 7 по 10 образуют единую группу
и по особенностям формулировки (в каждом предложении дока-
зываются и прямая и обратная теоремы), и по методу доказа-
тельства, основанному на непосредственном или посредственном
применении определений 5 и 7.
К КНИГЕ V
389
В предложении 7 доказывается, что равные величины имеют
одинаковые отношения к одной и той же величине и наоборот.
Идея доказательства состоит в том, чго поскольку одинаковые
кратные равных величин тоже равны между собой, то они одно-
временно будут больше, равны или меньше какой-нибудь кратной
третьей величины, т. е. согласно определению 5 будут стоять
к этой величине в одинаковых отношениях.
В издании Гейберга после этой теоремы идйт следствие,
которое в некоторых манускриптах помещается после 4-го пред-
ложения. По существу, это следствие, пытающееся оправдать
операцию «обращая» (5cydita7.iv — определение 13), неуместно пи
после 4 пи после 7 предложений. Действительно, предложе-
ние 7 касается трёх величин:
, о А В С С
есЛ1 Л = В, то и -? = ->
тогда как операция «обращая» требует четырёх величии, сос-
тавляющих пропорцию:
если a.b=-C’.d, то b-.a — d'.c.
Предложение 8 касается неравных величин; в современной
форме оно может быть выражено так:
. . а . b с с
если а > &, то — > — и
с с о а
Пользуясь определением 7, мы должны доказать, что суще-
ствуют такие равнократные а и Ь, что первая превосходит,
а вторая не превосходит какой-то кратной с, т. е.
та > пс^ mb.
Евклид различает два случая. Поскольку а > Ь, то остаток
а—Ъ может быть больше или меньше Ъ.
Рассматриваем первый случай, когда а — b — d<b.
Повторяем d столько раз кратным, чтобы превзойти с,
пусть
md > с.
Затем образуем такие же кратные
mb и т (Ь 4- d) = та.
Теперь находим такое кратное с, чтобы было
{п — 1) с < mb < пс.
Полученное кратное пс будет превышать некоторое кратное mb
390
КОММЕНТАРИИ
второй величины Ъ, но оно не превзойдёт такого же кратного та
от а. Действительно,
та ~ mb -|- tnd 'у (п — 1) с + с — пс,
а . b
а это показывает, что — > — .
с с
Аналогично рассматривается и второй случай, когда а — Ь-~
^=d^>b; в этом случае повторяется кратным Ь, и мы имеем
mb > ct m(b~\- d)~ma,
{п—\) с <mb < пс,
та ~ mb 4- tad > (п -ljc-r-e- пс,
так как d > b, a mb > с.
Предложение 9, представляющее обратное по отношению
к предложению 7, легко доказывается от противного при помощи
предложения 8.
При доказательстве же предложения 10, являющегося об-
ратным по отношению к предложению 8, и которое Евклид до-
казывает от противного, им была допущена ошибка, раскрытая
Симеоном.
Действительно, у Евклида ход рассуждений таков: дано, что
А В_.
'С У С ’
требуется доказать, что А > В.
Доказательство от противного распадается па два этапа:
сначала Евклид доказывает, что А не может быть равным В,
а затем, что А не может быть меньше В: «ибо тогда А имела
бы к С меньшее отношение, чем В к С (предложение 8). Она
же не имеет. Значит, А будет больше В>.
Вог здесь-то и появляется затруднение, Если мы говорим,
что А имеет к С меньшее отношение, чем В к С, то это значит,
что существуют такие равнократные А п В и такое кратное С,
что 1) взятое кратное В больше кратного С и 2) что такое же
кратное от А не больше кратного С. Для того чтобы исключить
эту возможность, нужно доказать, что если какое-нибудь кратное
В будет больше данного кратного С, то такое же кратное А
будет всегда больше данного кратного С.
Если прибегнуть к методу сечений Дедекинда, то это рас-
суждение будет равносильно следующему:
«Пусть будут два числа А и В, производящих сечения
... а ... < А < ... а'...
... Ь...<В<... Ь'...
Если А > В, ю все а' будут больше всех Ь, но некоторые
из Ь’ могут быть и больше а’.
Симеон заменяет евклидовское доказательство следующим
[см, Хизс, стр. 15”].
к книге v
391
«Пусть А имеет к С отношение большее, чем В к С,
А больше В.
Действительно, поскольку А имеет к С отношение
большее, чем В к С, то-есть некоторые равнократные А,
В и некоторое кратное С такие, что кратное А больше
кратного С, но кратное В не больше его (определение 7).
Возьмем их, и пусть D, Е будут равнократные от А,
В, и Г кратное С, такие, что D больше, чем F, но Е не
больше, чем F.
Значит, D больше, чем Е.
И поскольку D, £ суть равнократные А, В и D больше,
чем Е, то А больше, чем В-
Далее, пусть С имеет к В отношение большее, чем к А;
В меньше А.
Действительно, тогда есть некоторое кратное В от С
и некоторые равиократные Е и D от В и А, такие, что F
больше, чем Е, но не больше, чем D (определение 7).
Значит, Е меньше D\ и поскольку с и D равнократ-
чые от В и Л, значит, В меньше А».
Доказательство Симеона основывается на аксиоме, что если
из двух равнократных величин одно будет больше другого, то
такое же отношение будет и между теми величинами, равнократ-
нымк которых они являются.
16. Дальнейшие свойства отношений. Поскольку ритори-
ческая форма изложения Евклида представляет определённые
трудности для понимания, то в дальнейшем мы будем давать
доказательства их в современной математической форме.
п но А С С Е
Предложение И. Если отношения ~g—~£ и р = у ’
Берём
Н~тА, Q — mC, К~тЕ,
L~nB. M — nD, N=-nI.
Так как
A:B — C:D,
то, согласно определению 5, мы должны иметь одновременно
mA > пВ, mC>nD,
тА~пВ, mC~nDt
mA < пВ, тС < nD,
Далее, из равенства отношений
C:D--E:l
392
КОММЕНТАРИИ
следует, что одновременно
тС > nD,
тС = nD,
тС < nD,
значит, одновременно
mA > пВ,
mA = пВ,
mA < пВ,
тЕ > пГ,
тЕ—п!,
тЕ < nlt
тЕ > л/,
mE=nJ,
тЕ < пЕ
Согласно же определению 5 это обозначает, что
А\В = Е:Е
Предложение 12. Если дано, что
Л=С__Е
В ~D~~ I ’
то
Л_ x+c + ff
В B + D-i-/’
Берём
Н—тА, Gz=mC, К=тЕ,
L = nB, M—nD, N~nl.
Равенства
A\B=C:D — E-.I
равносильны одновременному существованию трёх групп соот-
ношений:
mA > пВ, тС > nD, тЕ > пЕ,
mA-пВ, тС-nD, тЕ—пЕ,
тА<пВ, mC<nD, тЕ<пГ
или
mA > пВ, mA-\-mC-{-mF.'>nB-irnD-\-nI,
тА = пВ, тА-{-тС-\-тЕ=пВ-\-nD~\-nl,
’ т.А<пВ, тА-\-тС-\-тЕ<^пВ-\-nD-\-пЕ
Согласно предложению 1 эти соотношения могут быть перепи-
саны в виде:
тА>пВ, т.{А-\-СЕ)~> п{В-\-D-}-1),
mA-пВ, т(А + С±Е) = п(В±ВЩ,
mA <_пВ, т (Л -{- С -J- £) < п (В + D Д
К КНИГЕ V
393
Эти же соотношения, согласно определению 5, равносильны про-
порции
А_А 4-С+Е
В В -ь ‘
Эта теорема употреблялась Аристотелем («Этика Никома-
хова», V, 7, 1131 b 14) в форме; «как один к одному, так и
все ко всем».
А С С Е А Е
Предложение 13. Если = — и —~> ~, то -g > у.
Поскольку C:D~>E\I, то, согласно определению 7, должны
быть такие равнократные от С и Е
Н—тС, Q = mE
и другие равпократные от D и /
К— nD, Д — пГ,
что одновременно должны существовать равенства
mC~>nD и mE^nl.
„ А С
Из равенства же отношений и — следует, что одновремен-
но должно быть
Л-f = mA = пВ = N и тС > nD.
Это значит, что при
mA > пВ
«удет
тЕ е; пГ,
т. е., согласно определению 7,
А Е
В> Г
А С
Предложение 14. Если и А > С, то и В > D.
Действительно, из неравенства А > С по предложению 8 сле-
дует, что
Л £
В > В
или
С £
D> В'
Согласно же предложению 10 это значит, что
В> D.
394
КОММЕНТАРИИ
Аналогично доказываются в случал:
если А ~ С, то B--D,
если А < С, то В < D.
Предложение 15, соответствующее формуле
а______________________та
b mb ’
доказывается, как предложения 1 — 3, путём разложения на части
и подсчёта количества найденных частей (с применением предло-
жений 7 и 12).
17. Производные пропорции. При переводе книги V Евклида
известные трудности представило то обстоятельство, что на рус-
ском языке нет установившихся терминов для перевода грече-
/7£ В С Z У?
Черт. 2.
ских ScskovTc. и т. д. В настоящем переводе взята терми-
нология, которой пользовался С. Я. Лурье при переводе «Гео-
метрии неделимых* Кавальери, ио во избежание недоразумений
соответствующие термины поставлены в кавычки.
Предложение 16. Если A'.B~C:D, то и А:С — B:D
(операция «перестановки»).
Берём
Е = тА, 1--тВ, Н — пС, G = nD.
По предложению 15
А:В~тА:тВ= Е:1,
C’.D==nC:nD=- H'.G.
По предложению 11
E-.I—H\G,
тА:тВ— nC:nD.
По предложению 14 мы можем заключить, что
если/нА>лС. той mB>nD,
если тА--пС, то и mB~nD,
если mA < пС, то и тВ < nD.
К КНИГЕ V
395
Согласно же определению 5 это означает
А __ В
С ~~ D'
„ „ АЕА-ЕВ СГ-[ ID
Предложение 1/. Если——= , то и
АЕ _ С7
ЕВ ~1Ь'
Помещаем чертёж к этому предложению, отсутствующий
в гекстс Гейберга (черт. 2).
Берём
HG-~mAE, GK—tnEB, ХХ—пЕВ,
LM — mCI, M.V—mlD, Х'Р — nID,
Согласно предложению 1 и 2,
естп HG-=mAE и GK~~mEB, то НК~^АВ,
если LM~mCI и Л-f.V— mID, то LM-=-tnCD,
если GK—.mEB н КХ пЕВ, то GX=?-{m -j- ni ЕВ,
ecwMX'—mJD и -VP -nID, то MP — (т -j- п) ID,
Теперь из пропорции
АВ:ВЕ ^CD:DI
вытекает, согласно определению а,
если тАВ = п] ЕВ, то т CD = (tn -{- л) ID,
что равносильно пропорции
HK:GX^LX:MP.
Предположим, что имеет место первый случай
тАВ =- EIK > (т + ЕЕ = GX,
HG+GK>GK+ КХ,
HG > КХ.
Точно так же, если
LM + MV > MP = MV+ MP,
LM^ MP.
Таким образом, мы видим, что
если MG MX, то и LM > МР,
396
КОММЕНТАРИИ
и аналогично докажем, что
если HG=K.X, то и LM = XP,
если HG< XX, то и LM<ZNP.
Поскольку же
HG—mAE, LM — mCI,
ХХ=пЕВ, NP — nID,
то вышеприведённые равенства по определению 5 выражают,
что имеет место пропорция
AE‘.EB — CI:ID.
Доказательство предложения 18, являющегося обратной тео-
ремой по отношению к предложению 17, ведётся методом дока-
зательства от противного, что требует опять предварительного
построения четвёртой пропорциональной для величин АВ, BE
и CD, о чём см. ниже.
Предложение 19. Если AB:CD = АЕ:С1, то
(Л5 — АЕ): [CD — С!) — АВ: CD.
Из пропорции
АВ__АЕ_
CD~CI
заключаем на основании предложения 16
Л5_ CD
аё а ’
затем на основании предложения 17
АВ — АЕ __ CD — CI
АЕ CI '
а отсюда на основании предложений 16 и 1!
АВ— АЕ —АЕ — АВ
CD — CI ~~ CI~ CD'
Предложение 19 заканчивается фразой, поставленной у Гей-
берга в скобки и предваряющей «следствие*.
Из соотношения
CD~ ID
перестановкой получается пропорция
ВЕ^ЪГ (И
К КНИГЕ V
397
которая в дальнейшем сравнивается с ранее установленной про-
порцией
АВ_ CD
АЕ~~ CI ’
или, что то же,
АВ _ CD р
АВ — ВЕ~ CD — DI' *'
получаемой из (1) при помощи <переворачива[щя> (определение 16).
Это рассуждение имеет определённый дефект: доказано лишь,
что пропорции (I) и (2) вытекают из
AB-.CD — AE-. CI,
но не то, что пропорция (2) вытекает из (1), как утверждается
в следствии. Гейберг считает, что следствие принадлежит Евклиду,
а поставленная в скобки вводящая фраза является позднейшей
интерполяцией. Однако вполне возможно, как думает Хиэс, что
и это следствие наряду со следствием после предложения 6 есть
поздиейшая вставка, сделанная с целью оправдать существование
операций avixaliv и ayaarpii'iy'i, для которых пет специальных
предложений, а имеются только голые определения 13 и 16 в на-
чале книги V.
18. Аксиома Клавия. Евклид при доказательстве предложе-
ния 18 пользуется одной аксиомой так же неявно, как он поль-
зуется аксиомой Архимеда. Аксиому эту вскрывает Клавий 2^).
Постулируется существование четвёртой пропорциональ-
ной, т. е. существование такого х, что при данных а, Ь, с\
х\а = Ь\с.
Доказательство того, что из
a\b = c\d следует {а -{-&):& = (с
ведется от противного с помощью предыдущей обратной теоремы,
что из
(а 4- byb — (г dyd следует a-.b = c-.d.
Предполагается, что {a-^-b):b равно не (^4~^):^i
а какому-то (с4-^):е, где е больше или меньше d.
В первом случае па основании предложения 17
а:Ь — (с 4~ d — eye,
откуда можно получить
(с 4~ dy d ~ (с 4- d — е): е,
а гак как с dC> с -}-d — е, то должны иметь и d > е, что про-
тивно условию.
Я) Euch’dis Elem. h’bri XV auctore Ch г. Cl a vi о, 1574 и 1654.
398
КОММЕНТАРИИ
Таким же образом устраняется и второй случай.
Подлинность этого доказательства оспаривается Робертом
Симеоном.
Вайлати23) доказывает это утверждение ссылкой на то. что
в латинском издании «Начал» Кампануса, составленном по араб-
скому переводу, содержится другое доказательство, не зависящее
от аксиомы Клавия.
В истории эволюции идеи числа эго доказательство не игра то
роли.
Между тем, метод доказательства предложения 18 книги V
составляет именно тот метол, который принимался Лежандром
для доказательства пропорциональности углов it дуг в случае
несоизмеримости и других аналоишпых положений.
Аксиома Клавия должна была оказать большой толчок в на-
правлении арифметизации геометрии.
Как мы выше заметили, едва ли сам Евклид включал числа
и геометрические величины в один класс. Но такое включение
совершенно определённо совершилась при создании буквенного
счисления.
Для Евклида пропорция (равенство отношений) a-.b — c'.d
имеет место или для геометрических величии (книга V) или для
чисел (книга VII). Для позднейших математиков (а, b) (с, d) суть
величины вообще (magnifudlnes in genere); может быть, что {а, Ь) —
геометрические величины, а (с, d) — числа, ио при этом, если
(а, Ь} одного рода, то и (с, d) одного рода.
Аксиома Клавия тогда постулирует возможность для гео-
метрических величин (&, г) и для числа а найти такое число, что
х:а Ь:с.
Возьмём л=1 и мы будем приведены к необходимости при-
знать всякое отношение даже несоизмеримых величин как отно-
шение числа к единице.
Если за с принять единицу меры, то результат измерения
b: 1 представляется отношением числа к 1. Остаётся только отожде-
ствить отношение с числом,чтобы получить взаимно однозначное
соответствие между геометрическими величинами и характеризу-
ющими их числами.
19. Окончание предложения 19. В некоторых рукописях
после окончания следствия идёт следующее место, исключённое
Гейбергом из текста Евклида и отнесённое в приложение.
«Эти же отношения имеют место и для равнократных
величин и для пропорций, поскольку если первая второй
будет такой же равнократиой, как третья четвёртой, то
получится, что как первая ко второй, так и третья к чет-
.вёртой. Однако обращать этого нельзя; если было бы, что
как первая ко второй, так и третья к четвёртой, то не
23) Э н р и к в е с, Элементарная математика, СПБ., 1913, статья
Вайлати.
К КНИГЕ V
399
всегда получится, чти первая второй и третья четвёртой
будут равнократны, как, например, бывает в случае полу-
торного отношения, или равного единице с четвертью
н других подобных, что и требовалось доказать*.
20. Сложные отношения. Следующие четыре предложения
книги V «Начал», а именно, 20—23, посвящены обоснованию тео-
рии сложных пропорций (определения 17 и 18).
Предложение 20. Если
A\B---D‘.Et
го
если А ). С. io и D > 7,
если А^С, то и D-—I,
если А < С, то и D < I.
Если А > С, то по предложению <3
А £
В > В ’
A D
или, поскольку :
о с
D.C_
Е > В '
Но на основании следствия из предложения 7
£ _ £
В ~ Е
it, значит,
£ £
Е > ~Е ’
По предложению 10 это требует, чтобы
О>/.
Диалогично доказываются и оба остальных неравенства.
Предложение 21. Если
А:В---Е:7,
то
если Д > С, то и D > I,
если А = С, то н D — 7,
если А < С, то и D < /.
I
400 КОММЕНТАРИИ
Из неравенства ,4> С иа основании предложения 8 получаем,
Л _£
В > В ‘
A F
Но — = -г, значит,
В I
/ > в •
.. В D СЕ
Из равенства = — следует , значит,
£ Е
f > D*
откуда по предложению 10
О> А
Предложения 20 и 2! являются леммами, служащими для до-
казательства соответственно предложений 22 и 23.
Предложение 22. Если
Д—2. Д_ Е.
В ~ Е ' С" I *
то
Д— Д
С ~ I ‘
Берём
Н=^тА, Х=пВ, М = рС,
G=mD, L — nE, N=pl.
Из пропорций
Д_ D
В ~~ Е ’ С ~~ I
следует (предложение 4)
mA mD пВ пЕ
пВ пЕ ' рс~ рГ
или
По предложению 20 мы имеем:
если Н > М, то и G > N,
если Н—М, то и G — N,
если Н < М, то и G < N,
К КНИГЕ V
401
или ' - ' •
mA = рС, mD pl,
а это, согласно определению 5, эквивалентно пропорции: --г
С'~ I ‘
„ OQ _ А Е В D
Предложение 23. Если — = — и ~qz=~£> ' ~
Берём
Н~тА, G = mB, Е = тГ),
L — nC, М~пЕ, N—nL
По предложению 15 имеем
А_тА__Н
В тВ (J' I nl N
или вследствие пропорции А-.В — Е:!
Н__М_
G~ N' -
Далее из пропорции B-.C^D-.E получаем «переставляя»
С
D~ Е'
Но
В__ тВ_ G_ C_nC_L.
D mD К1 'E ~nE~~M*
откуда
2.— L
к~ М'
или «переставляя»
L~ М-
Сопоставляя равенства
li__ М G—K
а~ N 11 L~ М'
мы, согласно предложению 21, имеем,
если H>L, той
если H=L, то и
если Н < L, то и
26 Евклид
402
КОММЕНТАРИИ
Эти равенства выражаю], что
если тЛ = пС, то тй^пЦ
а это по определению 5 означает, что существует пропорция
Л__О
С~~ I '
21. Два последних предложения книги V. Предложение 24
касается общих свойств отношений, представляя по существу
иную форму выражения предложения 2, но помещается здесь,
поскольку для своего доказательства требует наличности пред-
ложения 22.
„ п, с АВ DE ВН EG _
Предложение 24. Если и ~с~=: ~Г ’ то
AB±BH__DE-\-EG
С I
„ ВН EG
Из пропорции — получаем <обращая>;
С __ I
ВН~~ EG'
Теперь, сравнивая пропорции
АВ_ DE
С ~ I " ВН~ЕЦ‘
мы по предложению 22 будем иметь
ВН~~ Еи’
а это после применения предложения 18 даст
AB-\-BH_DE-\-EG
ВН ~~ EG '
Сопоставляя же это равенство с пропорцией
С I
а применяя опять предложение 22, будем иметь
АВ + ВН GE^-EG
С ~ I ' '
К HilHlВ V
403
Различие между предложениями 2 и 24 заключается в том, чго
в формулировке предложения 2 первый член АВ представляет
некоторое кратное второго С, тогда как в формулировке пред*
ложения 24 это ограничение снимается: отношение АВ-.С может
выражаться любым числом, а из только целым,
до F
Предложение 25. Если ~j и ЛВ > CD, АВ > Е,
та
CD4-E.
Берем
АН — Е, CG—I
и переписываем основную пропорцию в виде
CD~~ CG"
По предложению 19
АВ АВ— АН __ НВ
CD~~ CD~CG~(JD'
Поскольку же АВ> CDt то и
НВ > GD. .
Теперь из равенств
АН-Е и CG — 1
следует
АН\-1~— E-\-CG,
или
АН-}-14* НВ > Е-|- CG 4* GD,
т. е.
лн+нв ±i>cg+gd^e
АВ-±1> CD-j-E.
22. Неравенство отношений. В определении 7 Евклид даёт
формулировку неравенства отношений;
а: с .
b > d
если можно найти такие два целых числа л к л, что одновре-
менно будет ~
та> пе
и
mb < nd.
26*
404
КОММЕНТАРИИ
В предложениях 13, 14, 20, 21 и 25 он доказывает ряд свойств,
касающихся неравенства отношений:
с. а с се а е ,
1) Если -ss-j и у>у, то у > у (предложение 13).
2) Если у > то ПРИ а > с d,
а = с b = d (предложение 14).
а < с b < d
3) Если у =— , —=-у и а >₽, то rf >/(предложение 20).
4) Если у — у , у = — и а > с, то d > / (предложение 21).
5) Если -у = -у, и Toa-}-rf>i4’<;(предложение25).
Наше изложение арифметической теории пропорции в из-
вестном смысле противоположно евклидову.
Мы начинаем с предложений 22 и 23.
_ a d b е ad.
Если — —— и — = — то — (предложение 22).
о е с j с j
~ а е b d ad,
Если — — -т и —= — . то — = — (предложение 23),
b j е е с f г '
сводя доказательство к простому перемножению дробей:
выводим, что
Из равенства
л <
если — >1, то
с
(предложение 14).
Предложения 22 н 23 доказываются не на основании 20 и 21,
а с помощью предложения 14.
Для доказательства мы составляем пропорции:
ma:mb = nd:ne, mb:mc =ne:nft
откуда при
и mb=ne, tnb^ne и =
т. е. при
та = nd и тс nf,
К КНИГЕ V
405
иными словами, если
a’,d-=c'.f,
то и
a'.c^s-d'.f.
Что касается предложения 25, то для его доказательства мы
пишем пропорцию
а ___а — с .
Ь ~~b^d'
из того, что а > Ь, мы заключаем, что
а — е> b — d
и, наконец, что
а d > b 4- с.
В книге VI! «Собрания» Папп 2Э) в значительной мере по-
полняет Евклида.
Все неравенства Паппа относятся не к геометрическим вели-
чинам вообще, но к прямолинейным отрезкам. Только для от-
резков имеет место положение: произведение крайних равно
произведению средних, т. е,
ac = bd
(см, предложение 16 книги VI), так как только для этого случая
имеет смысл произведение ас, представляя «прямоугольник, по-
строенный между а и с». В исследованиях Паппа это положение
является основным.
Приводим табличку результатов Паппа,
Предложения 3, 4, Если a'.b > c-.d, то (л 4- b):b (с 4- d);d.
5, Если a'.b>c:d, то
6. Если a;b > c-.d, то
7, Если а\Ь > c-.d, то
8, Если a-.b > c-.d, то
9. Если a-.b > c-.d, то
11. Если п> с, b< d, то
12. Если т < а, то
16. Если a-.b>c:d, то
29) р з р р i, Collectlones,
т. 2, стр. 687 и сл.
а:с > b:d.
а\(а -}- £) <_с:{с 4- d}.
b;a <_d:c.
a;b >(a 4~ c):(bd>,
a:b>(a — c);(b — d). -
a: c > b-.d.
m:(a-j~b — #i)<,a:b. \ ;
ad ">bc. - . .
изд. Hultsch, t. 1—3, 1875—1876;
КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ VI
1. Высота. Высота понимается Евклидом и античными мате-
матиками шире, чем мы понимаем. Высота фигуры — это перпен-
дикуляр, опущенный из вершины на основание; конечно, при
этом высота "зависит от того, что мы принимаем за основание.
Вершиной же является высшая точ-
ка, т. е. наиболее отдалённая от
основания.
Согласно Евклиду можно гово-
рить о высоте любого многоуголь-
С
л D в
Черт. 2.
ника. Так, для многоугольника ABCDE высотой является пер-
пендикуляр DI, опущенный из точки D на основание АВ
(черт. Г).
Архимед !) говорит также и о высоте кривой; за основание
он принимает хорду, за вершину—наиболее удалённую точку
(черт. 2).
В тупоугольном треугольнике АВС (черт. 3) высотой прихо-
дится считать перпендикуляр не на основание, а на продолжение
основания. Поэтому при чисто евклидовом определении высоты
нам приходится потом вносить корректив.
Если наряду с выпуклыми ломаными я кривыми брать в
вогнутые, то высота будет уже не совсем определённой, так как
I) Ar с li i гп е d е s, Opera, ed. Heiberg, Quadrature parabolae,
theon 18.
К КНИГЕ VI
407
может оказаться не одна, а несколько высот {DC и ЕЕ на
черт. 4).
Евклид в предложении 1 книги VI пользуется понятием о
высоте треугольника. В первой книге он не говорит о высоте
параллелограмма, рассматривая «парал-
лелограммы, лежащие между двумя па-
раллельными»,
Но в предложении I книги VI наря-
ду с высотой треугольника выступает и
высота параллелограмма.
Черт. 3.
Черт, 4.
Стереометрических аналогий: высоту призмы, пирамиды
цилиндра, Евклид не определяет, хотя пользуется этими поня-
тиями.
2. Составные отношения. Большую роль в арифметизации
теории пропорций сыграло определение 5 книги VI.
Определение это даётся в неясной форме. Поэтому пере-
водчики стараются выяснить его содержание вольным пере-
водом з).
Лоренц2 3) даёт следующий свободный перевод: «Из трёх или
многих величин a, b, с, d, из которых каждая предыдущая на-
ходится в отношении с последующей

отношение первой к последней называется составленным из
всех этих отношений».
Перевод Ващенко-Захарченко: «Отношение называется соста-
вленным из отношений, когда эти отношения, будучи перемно-
жены, дают это отношение». При этом рассматриваемое определе-
ние поясняется, рядом равенств в современной алгебраической
2) Euclidis Elementa. Libri XV a Barth. Lamberto latinitati do-
naiae, Basileae, 1558, стр, 157.
3) Euclidis Eiementa fiinlzehn Biicher, Ubers, v. I. Lorenz,
Haile, 1840, — В а щ e н к o-3 a x a p ч e н к о, Начала Евклида,
Киев, i880,
408
КОММЕНТАРИИ
символик®) > которых отношение мыслится определённо как
дробь:
а_____________________k b_________т с_______s
b е ’ с п ’ d г '
. 1 а____ а Ъ с________ k т s
d b с ~d е п. г '
Видимо, около этого же понимания вращалась мысль мате-
матиков второй половины XVI в,, уже отчасти арифметизиро-
ванная 4).
Тарталья дает такой перевод: «Отношение, составленное из
отношений, если количества отношений между собой умноженные
дают количество».
Евклид нигде не оперирует отношениями как с числами.
С его точки зрения не может быть умножения отношений.
Поэтому, если в тексте Евклида употреблен термин
xoWa<accaef)alcai — умноженные, то, как справедливо замечает
Вайлати, определение это не может быть признано подлинным.
Подробно анализируя доказательство предложения23 книги VI,
мы видим, что приведенная выше формулировка Лоренца не
охватывает содержания этого определения.
Отношение a:d мыслится составленным не только из {а\Ь],
(b:c), (c:d), но и из (а: Ь\ (Ь : с), (с: d} при условии, что
a:b = a:b, b:c~b:c, c;d = c: d.
Вообще евклидово понятие отношения было ближе к обще-
му логическому понятию отношения, лежащему в основе совре-
менной математической логики, чем к математическому отноше-
нию чисел: вероятно, и у самого Евклида небыло вполне ясного
понимания.
Р. Симеон5 6) дает пояснения, которые совершенно исключают
мысль об умножении. Мы приводим их полностью.
I. Пусть даны несколько величин одного и того же рола.
Говорят, что первая имеет к последней отношение, состав-
ленное из отношения, которое имеет первая ко второй, из отно-
шения второй к третьей и из того, которое имеет третье к
четвёртой, и так далее до последней. Например, пусть даны А,
В, С, D: говорят, «первая А имеет к последней Ь отношение,
составленное из отношения А к В, В к С, С к D> или «отноше-
ние А к D составлено из отношений А к В, В к С, С к £>».
2. Если отношение А к В то же, что Ё к В, а отношение
В к С, то же, что G к Н, а С к D то же, что АГ к £, то гово-
4) Clavlus, Euclidis Elementa, Francf. 1607, т. I, стр. 542,
стр. 180.
6) R. Sim son, Euclidis elern. libri priores, Glasguae,
'стр. 177, 370.
К КНИГЕ VI
409
ряг, что А к D имеет отношение, составленное из отношений,
которые те же, что Е к F, G к И и К к L,
И это разумеют, когда ради краткости говорится, что А к D
имеет отношение состоящее из отношения EkF, GkHuKkL.
Зпесь нельзя согласиться с тем, что такая форма выражения
у Евклида является только условной.
Р. Симеон является бдлъшим формалистом, чем Евклид.
Он мыслит отношение как какую-то операцию (которая затем
обращается в операцию деления) и составное отношение не как
отношение настолько же простое, как каждое из составляющих.
Так мыслится и отношение и нематематического характера;
В отец А, С брат В, D внук С, D родственник А.
3. Точно таким же образом, продолжает Р. Симеон, если
отношение М к N то же, что А к D, то ради краткости гово-
рится, что отношение Л1 к Л' тоже составлено из Е к F, F к Н
и К к L (или из А к В, В к С, С к D).
?. Неудобные обозначения. Барроу6) противится грядущей
арифметизации. Он очень резко подчёркивает, что математиче-
ское отношение (ratio) есть простая зависимость, взаимоотноше-
ние (relatio), а вовсе не величина, и отношение можно назвать
величиной только иносказательно.
Но затем он говорит о том, что всё-таки вошло в употреб-
ление сравнивать отношения как абсолютные величины и гово-
рить о равных, больших и меньших отношениях.
, Комментируя предложение 20 книги V, он пишет:
А_ А I В г С,
D~B'~rС + П ’
здесь под знаком сложения подразумевается знак умножения,
так как «сложное» отношение, составленное из нескольких, полу-
чается в результате их перемножения.
1 Говоря об определении 5 книги VI, он говорит: А к С со-
I ставлено из отношения А к В и В к С, ибо по предложению 20
1 Л , ±
! В ' С С '
i с АВ
а по определению 5 оно равно
Это режущее глаз обозначение, открывающее пропасть между
? отношением и числом, находится и значительно позже у Гаузе-
" ра 7), который пишет:
А:Н = ~АлВ 4- В?С4-~CiD + ТГЁ 4-ЁГЁ 4- F-G4- OiH.
е) Barrow, Lecttones habltae anno 1684, кн. V, стр. 25.
C 7) H a u s e ri Elementa Matheseos, стр. 56. Pfleiderer’s
Scholien zum VI Buch, стр. 158.
410
КОММЕНТАРИИ
4. Относительные величины Арно. Интересно проследить
колебания в арифметизации отношения. Арно8) в своих «Новых
элементах Геометрии» идет значительно дальше своих совре-
менников.
Я приведу 10 положений, представляющихся Арно очевидными.
1. (a + b+c):d = (a:d) + (b:cl) + (c:(t).
2. a;d — (a’-b):d-[-b:d.
3. a:(b:m) > a:b, где m— целое число.
4. (a:c):(b:c) = a:b.
5. =
9. a:b = c:d, 1
e:f = g:h /
7. a:b = c:b—>a==c.
8. Два из следующих влекут за собой третье:
а—с, a:b = c:d, b = d.
(a:by.(e :f} = (c:d):(g:h).
10. a;b = c:d—>c:d = a:b.
Но, правда, некоторые из этих положений Арно вследствие
недостаточно сильной очевидности, вернее, только разъясняет.
Достаточно бросить взгляд на эту табличку, чтобы усмот-
реть, что для Арно отношения уже величины, которые, как
числа, отрезки площади, объёмы и т. д„ могут между собой
складываться и вычитаться. Но только это величины, относи-
тельные, в то время как последние величины абсолютные.
Для каждого рода величин можно отметить оба эти вида.
Числами абсолютными у Арно называются только целые числа,
относительными являются дроби. Таким образом, дробь начинает
рассматриваться как отношение.
«Так как отношение величина, хотя бы и относительная,—
говорит Арно, — то всё, что относится к величине, вообще
относится и к отношению*.
Две величины (а:&) и (c:d), замечает Арно, хотя и относи-
тельные, мы можем подвергнуть, как а и Ь, сравнению, дающему
или равенство или неравенство.
В случае равенства имеем пропорцию a:b~c:d. Случай не-
равенства даёт то, что мы могли бы-назвать вообще относитель-
ной величиной уже второго порядка:
н сравнение таких новых величин даёт опять пропорцию:
[a'.by.(c'.d}=s{e:f):(g\h)
8) (Am а 1 d u s — Ar n a u d), Nouveaux Slements de g^omtt-
rle, 1667, 1683. •
К КНИГЕ VI
411
иля то, что мы могли бы считать равенством относительных ве-
личин уже второго порядка.
5. Треугольники с равными основаниями. Конечно, дока-
зательство Евклида не зависит от того, имеют ли треугольники
общую сторону АС.
Мертёж можно брать иной (черт. 5) и рассматривать тре-
угольник МСгА и С2ЛД при Л1С1 = С2^.
Доказательство Евклида
можно представить в более
развитой форме.
Определение 5 книги V
утверждает равенство отноше-
ний
А.В к C'.D,
если для всяких целых чисел
т, п, для которых при
тВ < nA < (т 4-1) В
также
mD^nC В £>.
М 8 С, Сг £ L
Черт. 5.
Здесь Л я В это основания ВС\ и С2Ц а их же кратные nA
и тВ, МС\ nC2L.CuP— площади треугольников АВС\ и С2АР.
В настоящее время мы поступаем иначе. Мы сперва уста-
навливаем, что площади прямоугольников с общим основанием
относятся как высоты н на основании предложения 36 книги I
распространяем это на параллелограммы сперва с общим, а за-
тем с равными основаниями.
Ход рассуждений иной, чем у Евклида. Можно сказать, что
то, что входило в евклидово определение отношения, теперь
доказывается.
Случай, когда высоты соизмеримы, ие представляет никаких
затруднений.
Мы откладываем на высоте АВ общую меру и проводим
через точки деления параллельные основанию, разделяя как
ABFD, так АСЕР (черт. 6,о) на равные прямоугольники, первый
в числе т, второй — я; тогда будем иметь
АС___п прям. АСЕР______п
АВ~~т ' иум.АВЕР’~"т
откуда и делаем заключение:
ACED'.ABFD-ss АС'. АВ.
Но, как известно, случай несоизмеримости представляет
больше методические трудности (черт, 6,&).
412
КОММЕНТАРИИ
Мы в этом случае начинаем с деления АВ на т частей,
равных А1, а затем откладываем А1 на АВ, так что пАК.АС,
а (п 4-1) AI> С А (пА1 не равно С А, так как АС и АВ предпо-
ложены несоизмеримыми).
Черт, 6.
Тогда устанавливается одновременное существование нера-
венств:
пАВ < тАС < (п -J- 1) АВ, I
и
nABFD < mACED < (п I) ABFD. II
По Евклиду этого уже достаточно, чтобы утверждать, что
ACED'.ABFD= АС: АВ. III
Для нас же это недостаточно.
Обычный призм, которым мы в настоящее время в этом
убеждаемся, состоит в неявном применении понятия предела,
который выявляется вполне только гораздо позже в главе «из-
мерение круга».
По существу же рассуждение сводится к тому, что от-
ношение 'АВ:АС, не выражаясь рациональным числом, выра-
жается иррациональным, которое мыслится как предел рацио-
/п .
нального, т. е. как предел отношения — при бесконечном возрас-
тании числа делений п, ........
Неравенства I и II дают
45:ЛС=Пт— и ABFD'.ACED — lira —. • . IV
П R-+X п
К КНИГЕ VI
413
Цель методической обработки — проведение доказательства
без точного выявления понятия предела. Наиболее убедительным
н простым приемом является использование актуальной беско-
нечности в том виде, как это делается и в других случаях, на-
пример, если вывести из неравенств I и II, что отношения
АВ’.А.С и ABFD'.ACED (которые должно мыслить как числа,
выражаемые десятичными дробями с бесконечным числом знаков
после запятой) имеют те же цифры на первом месте после за-
пятой, затем те же на втором, на третьем и т. д. до бесконеч-
ности.
У Лежандра и во всех учебниках лежандрова типа до нача-
ла XX в. пользуются методом исчерпывания (о котором будем
подробно говорить в комментариях к книге XII), но только в
арифметизированной форме.
Ведётся рассуждение от противного (черт. 6,Ь).
Предполагается, что отношение ABFD’.ACED не равно
АВ: АС. Например, что
ABFD'.ACED < АВ:АС.
Тогда можно написать, что
ABFD'.ACED = АВ-.АК, V
где
АК> АС.
Но разделяя АВ на части, меньшие СК, мы можем получить
точку деления Р между СЕ и KL и будем иметь
ABFD: APQD = АВ: АР,
ABFD’.ACED—АВ:АК.
Но этого быть не может, ибо
APQD> ACED
и поэтому
ABFD’.ACED > ABFD'.APQD,
т. е.
АВ АВ,
АК> АР'
но, с другой стороны,
АВ:АК< АВ:АР,
так как
АК>АР. , -
Следует отметить, что во всех этих рассуждениях ми делим
АВ на равное число частей, т. е. делаем то, что, согласно Евкли-
ду, можем делать лишь после предложения 9 книги VI.
414
КОММЕНТАРИИ
6. Приём Евклида и приём Лакруа. В отличие от «Начал»,
в современных учебниках геометрии теория подобия излагается
далеко от исходного пункта. Как совершенно основательно замечает
Таннери, понятие о подобии и пользование некоторыми предло-
жениями, к нему относящимися, следует отнести к зарождению
геометрии; это и обусловило положение теории подобия в «На-
чалах». Отделение теории подобия от исходного пункта геомет-
рии было вызвано осознанием того, что её строгое обоснование
зависит от строгого обоснования других геометрических теорий,
которые поэтому должны быть изложены раньше.
-£
-В
Лежандр поступает совершенно так же, как Евклид. В на-
стоящее время пользуются другим приёмом, идущим мимо антич-
ной теории площадей.
В основу кладётся свойство отрезков двух прямых между
параллельными.
В школьную геометрию призм этот видимо впервые внесён
Лакруа9), которому мы обязаны методической обработкой эле-
ментов геометрии Лежандра; однако прием этот имеется уже
в комментариях Р. Симеона.
Если из точек Л, В, С, D, равноотстоящих друг от друга
(черт. 7), проведены параллельные прямые, то отрезки EF, FG,
GH, отсекаемые на другой прямой, будут равны. Напомним, что
доказательство сводится к установлению равенств треугольников
H%G, LGF, FME, в которых МГЦ АВ, LG\\BC, КН\\ CD.
Отсюда выводится (черт. 8), что, пересекая две прямые АР
и DQ параллельными прямыми AD, BE, CF, имеем
ABtBC—DE'.FE.
Евклидово предложение является частным случаем этого
положения, когда С и F сливаются.
9) Lacroix, Elements de geometrie, Paris, 1814. Есть рус-
ский пер.
и КНИГЕ Vi
415
В случае соизмеримости следует, отложив общую меру по
АВ и ВС, провести прямые параллельные и использовать пред-
ложение о равенстве отрезков двух прямых между параллель-
ными.
В случае же несоизмеримости приходится пользоваться
приемом, аналогичным указанному выше. Следует отмзтить, что
при этом приходится использовать аксиому Архимеда, которая
непосредственно не используется Евклидом.
7. Относительные величины в теории подобия. Евклид
рассматривает только случай, когда прямая DE пересекает обе
стороны АВ и АС (черт. 9,я).
Черт. 9.
Р. Симсои отмечает, что евклидово предложение имеет место
и тогда, когда DE пересекает продолжения сторон.
Тогда мы имеем то, что изображено на черт. 9,Ь и с.
Нетрудно видеть, что рассуждение Евклида ле зависит от
расположения секущей DE.
Во всех трёх случаях приходится повторять одно и то же,
оперируя треугольниками BDE, ADE и CDE, ADE,
В настоящее время эти три случая являются хорошей иллю-
страцией относительных величин в геометрии.
Различаются прямолинейный отрезок АВ и алгебраический
отрезок АВ, так что АВ — + АВ, смотря по тому, направлен
ли отрезок в положительную сторону или в отрицательную по
прямой. В первом и во втором случаях все отрезки положитель-
ные и можно написать:
АР _АЕ
АВ ~~~АС
Нов третьем AD пАЕ, как направленные противоположно
АВ и АС, будут уже отрицательны, но пропорция остаётся
всё-таки в силе’").
ю) PapeHer, Exerclces de giom6trt« moderue, Paris, 1912,
416
КОММЕНТАРИИ
8. Sectio rationis. В самой тесной связи со вторым предло-
жением книги VI находится Sectio rationis — «деление в от-
ношении» Аполлония И). Простейшей задачей «деления в от-
ношении» является следующая: прямой, проходящей черезданную
точку Н, требуется отсечь на двух пересекающихся прямых
OP, CQ два отрезка, находящихся в данном отношении.
Решение состоит в том, что на этих прямых откладываются
ОМ и C-.V с данным отношением OM'.ON =.ktl, через Н прово-
дится прямая PQ, параллельная ,ИЛ' (черт. 10).
Черт. 10.
Так как откладывание по каждой из прямых возможное две
различные стороны (ОМ и ОМ', ON и ОМ), то получим второе
решение, проведя через Н прямую НК, параллельную NM'—
другой стороне параллелограмма.
9. Гармонические точки. В предложении 3 Евклид рассмат-
ривает лишь биссектрису внутреннего угла. Это предложение
можно пополнить аналогичным, относящимся к биссектрисе
внешнего угла. Это предложение используется Паппом в пред-
ложении 39 книги VII «Собраний» без доказательства, как обще-
известное.
Оно утверждает существование пропорции
ВН:СН=ВА‘.АС,
где Н— точка пересечения биссектрисы АН внешнего угла со
стороной ВС (черт. И).
Для вывода проводим CF\\AH и доказываем, что в силу
равенства углов при основании сторона FA—CA. В результате
Н) Apollonii Pergaei, De Sectione rationis libri duo ex
arabico studio, Edm. Halley, Oxonlae, 1706.
К КНИГЕ VI
417
приходим к пропорции
ВС'.ВН—ВЕ'.ВА,
откуда
СН _ АС
ВН — ВА'
Четыре точки В (вершина), D (точка пересечения ВС внутренней
биссектрисой), С (вершина) и Н (точка пересечения ВС внешней-
биссектрисой) представляют так называемые гармонические
точки, ’определяемые пропорцией
BD.CD=BH.CH.
Если брать алгебраические отрезки, то эту пропорцию
можно написать так:
ВО ' ВН__
CD ‘ СН
Ih этой пропорции получаем
2^ _ J_ _ _1_
И?) НВ 1 нс/
10. Корректив к евклидову доказательству третьего пред-
ложения книги VI «Начал». Согласно замечанию Камерера следу-
ет в евклидово доказательство предложения 3 книги VI вставитыдл-
казателъспгво пересечения СЕ и BE (черт. 3 к предложению 3).
Проще всего, конечно, воспользоваться предложением Прок-
ла, являющимся эквивалентом постулата 5 Евклида.
Если СЕ ие пересекает ВА, то ВА [! СЕ, а так как ВА пе мо-
жет совпасть с DA, то из точки А проходят две параллельные СЕ.
Можно, согласно Пфлейдереру12), несколько изменить до-
казательство. Вместо того чтобы проводить CE\\AD, можно
откладывать АЕ—АС. Тогда не приходится доказывать пересе-
чение прямых, а только то, что £_АСЕ— £ DAC и заключать
отсюда о параллельности AD и СЕ.
]2) Pfleidcrer, Scholien, стр. 34.
27 Евклид
418
КОММЕНТАРИИ
Из предложения 5 книги I следует, чго Z АЕС = АСЕ
и оба угла являются половиной дополнения угла САЕ до 2d.
Но в силу теоремы о смежных углах (предложение 13 книги I)
тем же является 2. Е)АС.
11. Случаи подобия треугольников. Евклид устанавливает
четыре случая подобия треугольников.
Предложение 4.
Z^^Z^ Z^—Z^> Z^=Z^
при этом одно из условий является избыточным.
Предложение о.
AB:BC — DF\FF,
BC:CA = EF:FD,
' BA:AC = ED;DF.
Предложение 6.
ZA.-Z^-
АВ: AC ED-.DF.
Предложение 7.
Z А— / D,
АВ:ВС~~ I'F.-.EF,
£ АСВ < d и Z EFD < d,
нли
£ACB^d и £EFD^.d.
Интересно отметить, что Евклид не даёт четвёртого случая
равенства треугольников, отвечающего четвертому случаю по-
добия, который можно Формулировать в аналогичной форме.
Треугольника равны, если они имеют по одному равному
углу и стороны, заключающие другой угол одного треуголь-
ника, равны соответственно сторонам, заключающим другой
угол второго треугольника, причём угол первого треугольника
и угол второго оба меньше или не меньше прямого.
Доказав эго предложение в книге 1, Евклид смог бы дока-
зать предложение 7 книги VI тем же приёмом, что 5 и б.
К КНИГЕ VJ
419
12. Коэффициенты подобия. Современные методисты вводят
в теорию подобия треугольников в неявной форме первый кон-
центр тригонометрии.
Отмечают, что в прямоугольных треугольниках АВС, АХВ^С\
А^В^С*... с общим углом А отношение одного катета ВС к (ру-
сому АС всегда одно и то ✓
же и зависит только от 8/
угла А (черт. 13). & /
Это коэффициент подо- !л
бия первого рода или тан- R /
гене угла1S), Зная один
катет и тангенс угла, мож- Xх
но определить и другой ка- X
тет. С другой стороны, мож- /
но по двум катетам опреде- Xх
лить угол. Xх
По отношению стержня /
к его тени можно опреде- /
лить высоту солнца или угол, £ - — ---—---------
образуемый прямой, нанра- г
влеццой к нему от глаза, с Черт. 13.
горизонтом.
Если вершина какого-либо предмета, например, башни В,
видка по тому же направлению, что вершина шеста В\, или если
конец тени от башни совпадает с конном тени от шеста, то, зная
длину его и расстояние глаза от основания шеста или длину
его тени, можно определить коэффициент подобия, а зная его по
расстоянию от башни или её тени, определить её высоту.
Сущность тригонометрической формулы
a = b tg А
и её значение в практической геометрии были давно известны.
Этот эмбрион практической геометрии и вместе с тем (ригоно-
мегрии находим в Оптике Евклида (предложения 18, 19).
С точки зрения применения в практической геометрии гдн-
(енс имеет приоритет перед синусом.
Но математическая мысль пошла по пути, который привёл
к таблицам не тангенсов, а синусов (и косинусов), г. е. коэффи-
циентов подобия 2-го п 3-го рода (оыюшепия катета ВС или АС
к гипотенузе Л2?).
Эго объясняется тем, что решение треугольников сначала
сводилось к определению хорд (и затем полухорд), и основные
формулы тригонометрии заменяла теорема Птолемея: прямоуголь-
ник, построенный на диагоналях, равен сумме прямоугольников,
построенных иа противоположных сторонах.
Можно сказать, что теоремы об условиях подобия треуголь-
ников открывали новый этап в истории решения треугольников.
13) Б о рель, Элементарная математика, Магезис, Одесса,
27*
420
КОММЕНТАРИИ
Фалес определял расстояние корабля,от берега, пользуясь
предложением 4 книги I «Начал», измеряя базис на берегу и два
угла при базисе, под которыми виден был корабль, затем ои
строил на земле такой же (т. е, равный ему) треугольник и из-
мерял стороны последнего. Теория подобия открывала возмож-
ность заменить этот треугольник другим, начерченным на не-
большой доске,
13. «Данные» и тригонометрия. Отметим, какую роль играли
в этом отношении «Данные» Евклида и). Можно сказать, что они
давали евклидову тригонометрию и нетрудно усмотреть эту ев-
клидову тригонометрию даже в аналитических геометриях Ло-
питаля-15) и Крамера^), в которых ещё пет формул преобразо-
вания координат, впоследствии введенных Эйлером,
Мы приводим их к современной символике с соответствую-
щими теоремами, из которых в настоящее время можно их
вывести.
Пусть S — площадь треугольника, а, Ь, с — стороны, А, В, С —
противоположные углы, ha — высота, опущенная на сторону а,
64, 65, 67. Если дан угол А (тупой или острый), то отно-
шение
—---------— дано (а2 — b2 -f- с2 — 2bc cos Я),
о .
„, .. . be f.. in? sin Л)
63. Если А лай, то у дано [ 6= -—-----у ,
71. Если в двух треугольниках С, Cf даны, то у
( S ab sin С А
дано f тп = -7Т, .
\S’ a'b sin С 2
76. Если А, В, С, а = -~, — даны, то ~ дано
а а а
be
80. Если А и w — ~ даны, то а, В даны
а~ ’ ‘
а3 у р — 2а? cos А ~ 1 \ ^).
ар — со )
14. Теория подобия Хр. Вольфа '8). Что такое подобие? Ев-
клид, а за ним и Лежандр, на этот общий вопрос не отвечают.
14) Euclidis, Opera, ed. Heiberg, Data,
К) L’Hop/tal, Traite des sections coniqiies, 1707.
n.) Cramer, Introduction 4 I’Analyse des lignes conrbes alg6-
briques, 1750.
И) См. прим. 14.
iS) D, M о p д у x а й-Б о л товс к о й, Теория подобия
Хр. Вольфа и постулат Левека, Вестник опытной физики и элемен-
тарной математики, 1915.
К КНИГЕ VI
421
Они дают определения только подобая треугольников и подобия
многоугольников.
Но математическая мысль XVII и XVIII вв. старается охва-
тить своими определениями самые общие понятия.
Хр. Вольф, следуя идеям Лейбница, даёт следующее общее
определение подобия.
«Подобие—тождество тех признаков, которыми вещи друг
от друга отличаются». Это определение близко к аристотелеву
определению подобия как одинаковости формы; оно выставлялось
и педагогом Дистервегом.
Лейбниц говорит, что дос вещи подобны, если они раздельно
не различимы; они конгруэнтны, если tie различимы и с присо-
единением, т. е. различаются только положением.
Современный «интуитивный» учебник занимается воспита-
нием идеи подобия, которую он отказывается определить в со-
вершенно определённых терминах.
Иногда даётся определение подобия, состоящее в том, чго
подобными фигурами объявляются те, которые при одинаковой
форме отличаются только размерами.
Конечно, такое определение остаётся логически не дейст-
вующим, ио с методической точки зрения путь, идущий через
это определение к обычному, возводимому в аксиому, является
наиболее рациональным. Определение Вольфа скорее можно на-
звать метафизическим, чем методическим. Он хочет в нём дать
больше, чем то, что относится к собственно математическому по-
нятию подобия.
Интересна схолия X. Вольфа:
«Возьми,—говорит X. Вольф,—две вещи Л и В. Направь
своё внимание на признаки, которые могут наблюдаться в Л, и
наблюдения свои заппинг на бумаге. С равным вниманием отметь
и признаки В, которые сможешь в нём распознать. Если теперь
окажется, что все признаки, отмеченные в Л и В, одинаковые, то
вещи Ап В подобны».
В число признаков, конечно, не включаются размеры (коли-
чество) А и В.
В действительности такая проверка подобия не может быть
осуществлена до конца, так как в каждом предмете существует
бесконечное множество признаков я, например, за признаки
двух треугольников можно принять и углы между сторонами, и
угол между медианой и стороной, и отношение медианы к бис-
сектрисе н т. д.
Конечно, это определение, как и приведённое выше, остаётся
логически не действующим.
Вольфианская теория подобия основана на его аксиоме'. «Ес-
ли две фигуры или линии могут одинаковым путём производить-
ся или описываться и при этом те элементы, с помощью которых
они производятся, подобны, то подобны также фигуры или линии».
Необходимо здесь принять, что для обеим фигур берётся по
одному элементу, который подвергается одинаковым операциям
422
КОММЕНТАРИИ
для первой и для второй. При этом два прямолинейных отрезка
должны всегда считаться подобными.
Углы Вольф не признаёт за элементы. Построение угла не
вводит нового элемента, а представляет операцию над заданным
отрезком.
В таком случае, так как радиусы двух кругов Сг и С2 всегда
подобны и так как при получении кругов производится одна и
та же операция, то круги С3 и Сч должны быть признаны подоб-
ными.
в’
Черт, 14.
Треугольники Дг и Д2 с парами соответственно равных
углов / Xj — /. А, / Должны быть признаны тоже по-
добными, ибо получаются с помощью одинаковых операций над
их подобными основаниями.
Если пересечь две прямые параллельными, то пары отрезков
(н, н’) и (b, Ь'), отсекаемые на прямых, согласно вольфианскому
определению, подобны, и поэтому и все признаки у них одина-
ковы, а потому и всякая их взаимная зависимость. В частном
случае та, которая получается через количественное сравнение
ata’ =rb:b'.
Отсюда выводится пропорциональность соответственных сто-
рон в подобных треугольниках.
Этот манёвр даёт возможность Хр. Вольфу обойти неприят-
ный случай несоизмеримых величин.
Впишем (черт. 14) в два подобных треугольника АВС и
А’В'С два круга и соединим точки касания прямыми. Полу-
чаемые таким образом треугольники EED и E'E'D' подобны.
К КНИГЕ VI
423
В самом деле, мы здесь над каждым подобным треугольником
производим совершенно одинаковые операции:
)) делим углы пополам,
2) опускаем перпендикуляр из точки пересечения биссектрис
па стороны,
3) соединяем основания этих перпендикуляров прямыми.
Можно сказать, что а подобных треугольниках все пря-
молинейные отрезки, одинаковым образом построенные, и от-
носятся между собой, как соо пветгтвенные стороны', таковы
медианы, биссектрисы, высоты и т. д.
15. Коллинеация и подобие. Характерная черта современ-
ной математической мысли—эго подведение различных свойств
i еометрических фигур под общие идеи, которые были чужды не
только античной мысли, но и XVI! и XV!!! вв.
Чтобы подняться до понятия преобразования плоскости и
пространства,математическоймысли необходимо былоподойти к по-
нятию пространства в целом. У Аристотеля существует только ка-
тегория где, существует место, ио пространства в ньютоиианском
смысле у него нет. Первый этап — это установление понятия про-
странства в целом — в космологии как вместилища тел, в гео-
метрии как вместилища точек. Второй этап относится к поздней-
шему времени. Это внедрение в геометрию понятия преобразо-
вания, причём не фигуры, а всей плоскости или всего простран-
ства в целом, введение понятия группы преобразований, т. е. та-
кой их совокупности, что результат двух последовательных
преобразований тот же, что одного, и, наконец, установление
понятия инварианта, т. е. неизменного при преобразовании.
На этой высшей точке развития геометрия становится уче-
нием о преобразовании пространства (Эрлацгецская программа
Ф. Клейна). Движение, лежащее в основе форопомической гео-
метрии, начинает при этом рассматриваться как преобразо-
вание, инвариантом которого является расстояние между двумя
1 очками.
На этой стадии развития подобные фигуры определяются
как получающиеся в результате подобного преобразования пло-
скости. Подобное же преобразование определяется, во-первьн, как
проективное, т. е. то, которое осуществляется проектированием,
иначе говоря, отбрасыванием тени, во-вторых, как конформное,
т. е. такое, при котором сохраняются углы. Можно доказать, что
такое преобразование является аффинным, г. е. таким, при кото-
ром инвариантом является отношение отрезков одной и той же
прямой.
Более абстрактной точкой зрения является установление по-
нятия о соответствии, при котором уже не мыслится непрерыв-
ный переход от одной фигуры к другой, но устанавливается
лишь соответствие между их точками; одна фигура мыслится
как отображение другой. Рассматриваемое с этой точки зрения
подобие представляет частный случай так называемой коллине-
ации (так называется соответствие, в котором каждая прямая
421
КОММЕНТАРИИ
июиражащся всегда 1иже прямой, и точкам первой прямой отве-
чают точки второй), если добавить к ней идею конформности,
т. е. сохранения угла между соответственными элементами ото-
бражаемой фигуры и её изображением.
16. Пучок, пересечённый параллельными прямыми, и
теорема Кеплера19). Входящее в каждый учебник предложение
о пропорциональности отрезков на двух параллельных, отсекае-
мых лучами пучка, т. е. о пропорциях (черт. 15)
EL -.CH=LК'.HG = KF.GF=- !D'.FB — AD:AB,
мы находим в комментариях Клавия.
Это свойство отрезков кладётся в основу так называемою
масштаба.
На современном языке мы можем выразиться так: при про-
ектировании с одной прямой на другую, ей параллельную, со-
А храняется простое отношение
ИК FB'.GF =-ID\I\I.
/ \\\ Конечно, при этом придётся
/ \ \\ мыслить то, что было чуждо не
\ \ \ только Евклиду, но и вообще аи-
/ \ \ \ тнчной мысли — операцию проек-
L— -----X—шарования пункгуала, т. е. беско-
А z<\ \ печного множества точек, лежащих
/ \ \ \ на прямой.
/ \ \ \ Следует иметь в виду, что по-
q Н G Г в •’'оженне это обращается. Про-
порция KF.ID~-GF.FB влечёт за
Черт. 15. собой прохождение трех прямых
BD, F/, GfC через одну точку.
Здесь не безынтересно упомянуть о теореме Кеплера, ирн-
надлежащей к немногочисленному классу предложений старых
математиков, относящихся к зрительным свойствам, т. е. тео-
ремам о принадлежности трёх точек одной прямой, о прохож-
дении трёх прямых через одну точку и г. д.
Если взять три параллельные прямые QC, РЕ, ОК и пере-
сечь их пучком прямых АВ, 40, AF, пересекающих первую пря-
мую в В, G, F, а через точки I), /, И пересечения со второй
прямой провести прямые, параллельные одному лучу АК, до
пересечения с третьей прямой в точках L, М, N, то все пря-
мые LB, MU, NF и АК сойдутся в одной точке (черт. 16).
Доказывается теорема Кеплера так: есчл КС и NF пересе-
каются в точке /?, то
CF:KN=CR:PK
Но, беря прямые ABD, AG/, AFH, АСЕ, имеем
СВ:ED =. CG:E1=CF\ЕН. 18
18) к е р 1 е г Paralipomena ad Vitellionem.
К КНИГЕ VI
425
Вследствие тиго, что
DL ]l IM |[ НК,
имеем
ED--=KL, EI=KM. ЕН —КН,
И ПОТОМУ
СВ: дг — CG: КМ = СЕ: КК = RC:RK,
п поэтому точки
(А, В и /?), (Л1, G и R)
лежат иа прямых
RBL и MGR,
ВЫХОДЯЩИХ из одной точки.
Теорема Кеплера обращайся в более общую, причём уже
чисто зрительную теорему, если всю конфигурацию спроектиро-
вать иа плоскость, наклонную к плоскости чертежа, так что DL,
/Л1, НК, АК оказались бы уже
нс параллельными, ио сошлись бы
в одной точке.
Два пучка перспективны, если
их лучи сходятся па прямой РЕ.
Если'нх пересечь двумя прямыми,
проходящими через точку пере-
сечения РЕ с прямой, соединяю-
щей вершины, то прямые, сое-
диняющие точки пересечения со-
ответственных лучей, пройдут че-
рез одну точку.
Эта теорема может быть пред-
ложена как задача проективной
геометрии.
17. Гомотетия. Различают
подобие в широком смысле, о
котором говорит Евклид, и подо-
бие в узком смысл", когда подобие соединяется с подобным рас-
положением, т. е. гомотетией.
Два гомотетичных треугольника (или вообще фигуры) такие,
у которых соответственные вершины лежат на прямых ОАА',
ОВВ’, ОСС', сходящихся в одной точке О, причём отношения
расстояний
ОА'-.ОА, ОВ':ОВ, ОС’-.ОС
равны. На основании предложения 2 Евклида равны также и от-
ношения А'С'.АС, В'С’.ВС, А'В’:АВ, поэтому треугольники АВС
к А'В'С' подобны. Вместе с тем и соответственные их стороны
АС и А’С', АВ и А’В', ВС и В'С параллельны.
Нетрудно видеть, что всякий треугольник А’В'С', подобный
АВС, можно привести в гомологическое расположение с данным.
426
КОММЕНТАРИИ
Для этого следует только взять такие А', В', С, чтобы
О А’: О А - OB': ОВ - ОС.' -,ОС=К,
где А*—коэффициент подобия, так что
А'С: АС-В'С'-. ВС= А'В'-. АВ = %.
То, что мы выставляем как вывод из определения гомотетии
и теоремы о подобии, некоторыми французскими авторами пер-
вой половицы XIX в. выставлялось как определение подобия.
Черт. 17.
Подобными треугольниками являлась те, которые могли
быть приведены в гомотетично'' положение, так же как рав-
ными являлись те, которые могли быть наложены друг на друга.
18. Исчисление отрезков. Предложения 9,10, 11,'12 книги V!
т
дают возможность строить выражения х=—а, где т, п — це-
ab &2 V-г
лые числа, х~= — , х — ~, х—у ab.
Все эти элементарные построения лежат в основе графиче-
ского исчисления.
Комбинируя эти евклидовы построения, мы можем строить
и более сложные выражения, определяемые рациональными опе-
рациями к операцией извлечения квадратного корня над отрез-
ками и целыми числами.
В истории алгебраической геометрии это исчисление отрез-
ков имело большое значение. Без сомнения смысл характери-
стик, т. е. букв, употребляемых в буквенной алгебре, менялся.
До Декарта это — величины в общем смысле, причём вовсе це
всегда выражаемые числами, Выражение ab понималось це
как число, получаемое умножением числа а на число b (в этом
К КНИГЕ VI
427
Черт. 18.
случае употреблялось слово multiplicare), а как прямоугольник,
построенный на а и b (что выражалось термином ducere).
В аналитической геометрии Декарта20 21) х, а, Ь... это
не числа, а прямолинейные отрезки (по Евклиду — прямые).
Они играют у него роль чисел. Между ними
и всякого рода геометрическими величинами
устанавливается взаимнооднозначное соответ-
ствие, и все операции над геометрическими вс-
личиламч сводятся к
операциям .над отрезка-
ми. Не соответствовав-
шие никакому геометри-
ческому образу выраже-
ния abed,... дЧ,
теперь понимаются как
величины одного рода,
как отрезки', таким обра-
зом, символы, которые
раньше представлялись
столь же переносными,
клк V— 1, теперь полу-
чают реальный смысл/
Для этого оказывает-
Q
О
ся достаточным истолко-
вать ab не как площадь, а как отрезок, получаемый следующим
построением.
На ОР откладывается ОВ — Ь, иа OQ — отрезки ОА — а, ОС~-\
(черт. I8-: затем точка С соединяется с В и через А проводится
ОбоИ|ачая ОХ=х,
имеем
х: а — b: 1,
откуда
х -—ab.
19. Деление отрезка
по Стевину2'). Стевии упо-
требляет другой способ де-
ления отрезка па равные
части.
На прямой MN '| АВ он
/Д п f 7Г ’ й л/ откладывает равные отрезки
Л JAD — DF =
Черт. 19, А'Л' (черт. 19).
20) Descartes, Geometrie, 1637. Русский пео. с коммент.
А. П. Юшкевича, 1939.
21) Stevin, Praxis geoyn. De sectione proport. Clavius,
стр. 555, Taquet, crp. 107.
428
КОММЕНТАРИИ
Соединив Л1 с началом прямой АВ, a N с ее концом, он из
точки S пересечения МА и NB к точкам D, Г. И, К проводит
прямые SD, SB, SH, SK и в пересечении с АВ получает точки
Л, (j, I, L деления равных отрезков.
20, Деление площадей. Из предложений I н 10 книги VI
высекает решение задачи о разделении треугольника АВС на
равные части прямыми, проведёнными через вершину А (черт. 20).
Для этого следует основание разделить на равные части ВВХ —
В]В2~В2Вз = ... = Вп_-\С и соединить точки деления с А.
Это, конечно, очень простая проблема. Но за ней последо-
вали другие, среди которых были очень сложные.
Чтобы ознакомить с этого рода исследованиями, непосред-
ственно Примыкающими к «Началам» Евклида, я укажу решение
Д
Черт. 20. Черт. 21,
проблемы о делении треугольника на три части, в данных от-
ношениях прямыми, проведёнными из точки D на его стороне',
при этом дам не исторически первое Магомета Бохадина22),
а более позднее решение, принадлежащее Тарталье23) (черт, 21).
Для разделения Л АВС на части, пропорциональные т:п:р,
делим основание ВС на части
BK'.KI-.IC — m'.n-.p-,
через [ и К проводим IF и КН, параллельные прямой AD. Тогда
DB и DH дают требуемое деление.
“2) S a v i I j ц s, Praelectlones tredeciin in prhicipia Eleinent-
Euclidis Oxoniae liabitae, 1670. Oxoniae, 1671, стр. 17, Moham-
in e d i s В о h a d i л i, De snperficienun divisionioiis a Er. Com-
niandino latine versae, ed. 1570, Cm. Euclidis quae supersunt ex
recensione Dav. Gregory, Oxoniae, 1703.
23) Tart a glia, La quinta parte del general trattatto de nu-
tneri e misiire... in Venezia, 1500, t. 25,--Clavius Opera,
стр. 262.
К КНИГЕ VI
429
Для того чтобы обосновать это построение, замечаем, что па
основании (предложение 37 книги I) £JFD — £x.!FA, £\ADF —
= £\ADF, £\,ADH—£\,ADK &KHD= &KHA, и поэтому по
аксиоме 2 книги I Д/)£/’= Д АС/, □ DFAH = &AIK Д DHB=
= £\АКВ и
DCF: DFAH-DHB — АС!: AIK: АКВ = CI-.IK-.КВ г-.р-.п:т.
Эта задача обобщается па случаи. когда D берётся где-либо
внутри треугольника.
21. Построение Штейнера24). Следующая теорема Штей-
нера имеет очень большое значение в теории геометрических по-
строений.
Если две параллельные СВ
и ED пересечь прямыми АЕС,
ADB, проходящими через точ-
ку А вне их и пересекающи-
ми СВ и ED в (Е, D) и {С, В),
и соединить точку G пересече-
ния ЕВ и СО с А, то прямая
AG рассечёт СВ и ED пополам
(черт. 22).
Обратно: если А соединить
с F серединой СВ, соединить/)’
с В и точку G пересечения ЕВ
и AF соединить с С, то прямая
ED, соединяющая Е с D— точ-
кой пересечения CG и АВ —
будет параллельна СВ.
Для доказательства отмена!
подобие следующих пар тре-
угольников;
которые дают
АНР\ (АЕН\
AFB J ’ \ACf)
'GHD\ [GHFA
^gcf)’ \gfb)
FB-.HD~CF-.EH,
FB'.EH—CF-.HD,
откуда HD^ — EH^ или HD —EH.
Обратная теорема доказывается от противного.
Если ED не параллельно ВС, то можно провести ED'{\AB.
Соединяя D’ С С, мы должны иметь пересечение D'C и FB
в G'', ио в случае ED'\\CB па основании прямой теоремы G'
24) Штейнер, Геометрические построения, выполняемые
с помощью прямой линии и неподвижного круга, Учпедгиз,
1939. — Адлер, Геометрические построения, Одесса.
430
КОММЕНТАРИИ
должно попасть в точку пересечения AF с ЕВ, что не имеет
места.
Штейнеровская конфигурация входит как составная часть в
конфигурацию Аполлония в его решении второй задачи «Sectio
rationis».
Даны две параллельные прямые DE и АВ, пересечённые
третьей FC, и точка Н (черт. 23). Провести через эту точку
прямую, отсекающую на DE и АВ отрезки в данном отношении.
Мы проводим решение без доказательств.
Откладываются от F и С в обе стороны отрезки FN—Fn
и СМ = Ст, находящиеся в данном отношении. Проводятся пря-
мые Мп и Nm, пт и MN; точки пересечения g или G, которые,
согласно построению Штейнера, находятся на FC, соединяются
с Н. Прямая Hg или Н(2 отсекает искомые отрезки FJ и СК
и1и FL и CQ.
22. Удвоение куба 25). За задачей об определении одной
средней пропорциональной естественно должна была последовать
задача о построении двух среднепропорциональных; в алгебра-
ической символике задача об определении х, у из непрерывкой
пропорции
а-.х = х:у—у.Ъ.
К этой задаче сводилась знаменитая классическая проблема
об удвоенна куба (Делийская проблема), состоящая в постро-
ении с помощью циркуля и лицеики стороны куба с удвоенным
обьемом данного куба.
25) Teixeira, Traite des courbes, speciales planes et gau-
dies.—G i n o-L о r i a, Spezlelle algebraische und transcendence
Knrven, Leipzig, 1902.—Reimer, Historia problematis dedupi-
catione cubi e‘c„ Gbttingae, 1798. — Hofmann, Das Delische
Problem, Mat. Phys. Bibliothek, t. 68, Leipzig, 1920.
К КНИГЕ VI
431
Наиболее ценным открытием в глазах античных математи-
ков являлось сведение Гиппократом Хиосским проблемы удвое-
ния куба к построению двух средних пропорциональных.
В действительности Гиппократ ни на шаг не продвинулся
вперёд, так как проблема эта так же неразрешима с помощью
циркуля и линейки, как и задача об удвоении куба.
Что касается предполагаемого решения Птатояа, /о можно
сказать, что он решил не поставленную проблему, а другую;
он нашёл две среднепроиорционатьные с помощью особого при-
бора, а вовсе не с помощью только кирку ля и линейки.
Тщетным попыткам решения задачи об удвоении куба мы
обязаны получением алгебраических кривых высших порядков,
часть которых была известной и древним.
Сведение задачи об удвоении куба к задаче о проведении
через данную точку прямой, на которой данным углом отсе-
кается отрезок данной длины, должно _
было тоже казаться шаюм вперёд в
большей мере, чем открытия Платона
и Гиппократа, ибо задача эта на первый _/ \
взгляд представляется менее сложной, t \
чем удвоение, и при этом невольно рас- !/
полагает к вере в её разрешимость, так
как диалогичная задача в случае парал- 6
лельных прямых легко разрешается. Черт. 24.
Задача эта приводит к конхоиде Нико-
меда как к геометрическому месту концов отрезков данной
длины, откладываемых на лучах пучка от точек пересечения с
данной примой.
Другой путь вел к циссоиде Ди пелеса. Проведем из центра
С полуокружности ABD радиуса CD=b перпендикуляр СВ к
диаметру АГ), отложим С1. = а (черт. 24) и соединим Г с А
прямой АЕ. Если провести LH так, что её отрезок (JO от
точки G пересечения с АЕ до точки О пересечения с ВС ока-
жется равным ОГГ’ог О до точки // пересечения с окружностью,
то СО будет одной из среднепропорццональпых. Точка О стро-
ится с помощью кривой, называемой циссоидой Диоадеса.
23. Параллелограммы с общим углом. Если обозначить
стороны одного из равноугольных параллелограммов через (а, а),
а другого через (b, Р)
а:)=Ь:а, 1
то можно также написать
аа — Ь},
’]
что в евклидовской терминологии следует выразить так: прямо-
угольник, построенный между а и а, равен прямоугольнику, по-
строенному между b п р.
В настоящее время равенство 1 или 11 можно рассматривать
как непосредственное следствие тригонометрической формулы
для площадей параллелограммов
432
КОММЕНТАРИИ
первого:
Sa — a a. sin О,
второго:
Sb- - b$ sin
причем ? = ft.
Мы приведём др) гое более изящное доказательство из
Пфлейдерера (черт. 25).
Пусть треуюльшгки ABC, АВЕ разновелики, ко тогда по
аксиоме 3 книги i равновелики также СЕВ и СЕВ п поэтому
о (по предложению 39 книги I)
/к BD и ЕС парадтельны и
/\ CA:AD=EA:AB.
/ \ х. е Обратно, если CA\AD=
/ \ — ЕА-.АВ, то В В и ЕС
/ параллельны и поэтому
/ / ^*4 (предложение 37 книги 1)
/ \ / X. А СЕВ = А СЕВ (по акси-
_____________\/ \ оме 2 книги I), £±АВС =
& с '_= А а BE.
це т 25 241 Инверсия. Опреде-
‘ ‘ леигсе обратно пропорцио-
нальных величин исполь-
зуется только в этом предложении.
Величины flj, аг являются (прямо) пропорциональными bL, b3,
если
ах:а2 = Ь^,
п обратно пропорциональными, если
av:a2 = Ь,:ЬЬ
чю даёт
Можно сказать, что обратно пропорциональны те величины,
произведения которых равны.
Пример обратной пропорциональности даёт предложение 35
книги III. Можно формулировать, как это делает Клавий, это
предложение так: отрезки хорд обратно пропорциональны.
Если пропорциональность связана с параллельными прямыми,
то обратная пропорциональность связана с антипараллельными
прямыми. Для параллельных прямых АС и BD (черт. 26)
£ ОАС— £ ОВВ и ОА:ОС = 0В:0В.
Для антапараллельных (черт. 27) £ОАС= £0ВВ и из
подобия А О АС и A 0BD имеем:
OA:OC=OD:OB,
ОА-ОВ — ОС-ОВ.
К КНИГЕ VI
433
Мы говорим, что в первом случае треугольник DBO полу-
чается из АСО подобным. преобразованием, во втором же слу-
чае инверсией.
Черт. 26.
25. Величины линейные, плоские и телесные. Теорема,
что произведение крайних равно произведению средних, вхо-
дящая в современную арифметическую или алгебраическую тео-
рию пропорций, у Евклида оказывается в книге VI и причём
очень далеко от начала (предложение 16) и в VII (предложе-
ние 19).
Доказывается опа только для отрезков и целых чисел, при-
чём для случая отрезков формулируется таким образом.
«Если четыре прямые линии пропорциональны, то прямо-
угольник, построенный на крайних прямых, равен прямоуголь-
нику, построенному на средних, и обратно...» Буквенная алгебра
даёт возможность выразить символически эту теорему:
Если a-.b?=c-.d, то ad — bc. I
Под буквой, вне сомнения, разумелось раньте (даже в XVIII в.)
пе то, что'мы теп'рь разумеем, не числа, а величины (magnitu-
de in genere) объемлющие, как непрерывные, так и дискретные.
Что это так, это можно усмотреть уже из самих определе-
ний алгебры, например:
Рейхер (1703). «Чистая математика делится на общую (uni-
versalis), называемую алгеброй, исследующую абстрактное коли-
чество (quantitas abstracta), и частную — геометрию, исследую-
щую непрерывную величину, и арифметику, исследующую
множество или число».
28 Евклид
434
КОММЕНТАРИИ
Через 60 лет Лакайль (1762j2S) пишет:
«Алгебра это, так сказать, общая арифметика пли паука
вообще о величинах, как арифметика наука о числах».
При этом Лакайль отмечает, что quantitas vel magnitude мо-
жет быть дискретна (е partibus separates) и такие величины ис-
следует арифметика».
Йз <ars inveniendi» (искусства открытия), находящего своё
обоснование только в геометрии, алгебра совсем не скоро об-
ратилась в систему общего учения о величинах.
Она содержит правила формальных операций и вытекаю-
щие из этих правил следствия, но смысл их совершенно раз-
лично истолковывается для геометрических величин, и для
чисел.
Для геометрических величин в равенстве I и ad и Ьс истол-
ковывались как площади прямоугольников, построенных на
{a, d) и (&, с).
Если а, Ъ, с, d — прямолинейные отрезки или, как выража-
лись, линейные величины, то ab, cd плоские, abc телесные.
Но что касается abed, то это величина воображаемая,
мнимая, то же по существу, что и/ —1. Таким образом, одна
и та же формальная алгебраическая операция могла привести и
к реальному, п к мнимому результату, смотря по тому, произ-
водилась ли она над числами или геометрическими величинами,
например, отрезками.
Если а = 2, 3, у ... , то а3 а3, а4, а5...
имеют конкретный смысл. Но если а — отрезок, то а- — площадь
квадрата, а3 — объём куба, а а4 — так же нереальна, как У”'— 1.
Это — коссическая величина. «Существует, —говорит Хернгон2?),
— только три рода величин вещественных (reelles): линия, поверх-
ность, тело; мнимых (imaginaires) — бесконечное множество: квад-
ратоквадрат, кубокуб и т. д.>.
26. После этого в некоторых манускриптах идёт следующий
текст, вынесенный Гейбергом в приложение:
«Иначе. Вот покажем и по другому проще соответствие
треугольников (черт. 28).
Действительно, положим снова многоугольники ABCDE,
IHGKL и соединим BE, ЕС, HL, LG. Я утверждаю, что
как треугольник АВЕ к IHL, так и ЕВС к LHG и CDE
vlG/(L. Действительно, поскольку подобен треугольник
АВЕ треугольнику IHL, то, значит, треугольник АВЕ имеет
к HLG двойное отношение BE к HL. Вследствие того 26
26) D е ia С a i 11 е, Lectiones elementaris mathem., Pafisiis,
1762.
эт) Herigonus, Cursus mathematicus, Parisils, 1634.
К КНИГЕ V!
435
же вот и треугольник ВЕС имеет к треугольнику HLG
двойное отношение BE к HL. Значит, будет, что как тре-
угольник АВЕ к треугольнику IHL, так и ВЕС к HLG.
Далее, поскольку подобен треугольник ЕВС треугольнику
LHG, то, значит, ЕВС имеет к LHG двойное отношение
прямой СЕ к GL. Вот вследствие того же и треугольник
ECD имеет к треугольнику LQK двойное отношение СЕ
к GL. Значит, будет, что как треугольник ВЕС к LHG-
так и CED к LGK. Доказано же, что и как ЕВС к LHG.
' так и АВЕ к IHL. И, значит, как АВЕ к IHL, так и ВЕС
к HLG н ECD к LGK, что и требовалось доказать».
27. В некоторых списках «Начал» после этого идёт следую-
щий текст, который Гейбергом помещён в приложении как
веподлинный.
«Иначе. Действительно, пусть АВ снова будет рассе-
чённая пополам в С <прямая> и AL—приложенная <фи-
гура>, имеющая недостатком фигуру LB\ приложим снова
к АВ параллелограмм АЕ, имеющий недостатком ЕВ, по-
добную и подобно расположенную с ^построенной на по-
28*
-436
КОММЕНТАРИИ
ловкие <фигурой> LB. я утверждаю, что приложенная к
половине <фигура> AL больше АЕ (черт. 29/.
Действительно, поскольку ЕВ подобна LB, они будут
па том же диаметре. Пусть их диаметр будет ЕВ. Пост-
роим чертёж. И поскольку LI равна ZG, поскольку и //7
равна a(j, то, значит, LI больше КЕ. Значит, и DL боль-
ше Е%. [Прибавим] общую f(D. Значит, и вся AL больше
всей АЕ, что и требовалось доказать*.
28. Максимум и минимум. Разобранное предложение можно
формулировать так: из всех параллелограммов, которые можно
вписать в данный треугольник, наибольший, тот, основание
которого равно половине основания треугольника.
Результат предложения 27 можно вывести из предложения
5 книги II, выраженного тождеством
. , fa — &V fa-1-by
; = Hd-
Выразим задачу Евклида в
современных алгебраических и
тригонометрических символах.
Означая через а, Ь, с сто-
роны СВ, СА и АВ, через
х — основание вписанного па-
раллелограмма, через k — дру-
гую его сторону, а через h—
его высоту, ' будем иметь
(черт. 30/
k\b — (a ~xj:a,A=-^ (а— х),
h — k sin С,
h — — х) sin С,
Черт. 30.
S (площадь параллелограмма) = hx— -$№С’Х(а — х).
Задача Евклида сводится к определению максимума функ-
ции
х(а — х).
т. е. той функции, к которой впервые Фермат2^) применил ме-
тод неделимых. Максимум им характеризуется условием равец-
8S) Fermat, Oeuvres, ed. Tannery, De maximis et minimis.
К КНИГЕ VI
437
ства отвечающего ему значения функции смежному-значению,
так
(х 4- h) (а — х — h} = х (а — х),
или
h (а — х) — hx 4- h- = О,
откуда, сокращая на h,
а — 2х 4- h = 0.
Но так как бесконечно малое h исчезает перед конечным,
то а — 2х = 0 и
а
•'=7'
Современные элементарные методы разыскания наибольших
и наименьших величин сводят эти задачи к простейшей — к разы-
сканию такого деления а на части -
х и (а — х), чтобы произведение
этих частей было наибольшее. / / \\ X,
То, что этому требованию // \ X. \
удовлетворяет деление пополам, / / \ X. \
д / / \ X. \
т. е. х = —, усматривается из М_____________ \________
следующего весьма простого гео- & D О
метрического соображения. Черт. 31.
Если из какой-либо точки А
окружности опустим перпендикуляр AD на диаметр ВС, то AD,
как полухорда, будет меньше полудиаметра ОА (черт. 31).
Но AD2 представляет произведение x — BD и у— DC, при-
чём хЛ-у-а (диаметру ВС}.
Таким образом, х = Ов =—дает действительно то значе-
ние, при котором при условии х-\-у — а произведение ху имеет
наибольшее значение.
Папп другим путём приходит к тому же результату.
Теоремы о наибольших и наименьших величинах находим в
«Конических сечениях» Аполлония. В книге V он доказывает,
что наименьшее расстояние точки от конического сечения опре-
деляется по нормали.
Папп же обращает особое внимание иа этого рода проблемы.
В особенности выдвигаются им изопериметрические проблемы:
из изопериметрических многоугольников с данным числом сто-
рон наибольший правильный из правильных тот, который имеет
наибольшее число сторон. Зенодор, согласно упоминанию у Паппа,
знал, что при данном периметре наибольшую площадь имеет
многоугольник с наибольшим числом сторон. Папп ещё указы-
вает! что при равных дугах из сегментов наибольшую площадь
438
КОММЕНТАРИИ
б;, дет иметь сегмент окружности. Точно так же из всех тел,
имеющих одинаковый объём, наибольшая поверхность будет у
шара 29 * * * * *).
29. Из истории квадратного уравнения. Евклид нигде не
пользуется общей формулой решения квадратного уравнения
лаже в геометрической форме, когда приходится* решать задачи,
которые сводятся к квадратным уравнениям специальных типов.
Но в Началах имеется предложение 28, из которого может
быть выведена основная формула для квадратного уравнения п
которая в истории этого последнего сыграла важную роль, та;
как по образцу решения этого предложения-задачи строился и
геометрический вывод общей формулы решения квадратного урав-
нения даже во время Виеты.
Задача: данную прямую линию разделить на такие две
части, чтобы из двух параллелограммов одинаковой высоты,
построенных на них, один был равен данному многоугольнику,
а его недостаток подобен данному параллелограмму, сводится
Евклидом к построению параллелограмма, имеющего данную
площадь и подобного своему недостатку; эта задача разреши-
ма с помощью циркуля и линейки; частным случаем её являет-
ся построение квадрата, равновеликого данному прямоуголь-
нику.
Последняя задача и является той геометрической задачей,
которая при алгебраизации проблемы обращается в извлечение
квадратного корня. У персидского математика Омара Хайяма35)
евклидова проблема берёгся в простейшей форме: построить на
прямой два прямоугольника, из которых один BSMI— квад-
рат, а другой APMS равновелик данному квадрату Ъ-.
Решение состоит, в следующем (черт. 32):
1) данная прямая АВ делится пополам на части ЕА, ЕВ,
2) па ЕА и ЕВ строятся квадраты AF.HG ц EG КВ,
3) на HG, как па диаметре, строится окружность,
4) из И радиусом, равным Ь, засекается F,
5) из G, как из центра, проводится окружность радиуса FG
до пересечения с Gf( в jv,
6) Из проводится перпендикуляр к АВ', пусть его осно-
вание будет 5,
7) G соединяется прямой с В', пусть М точка пересечения
её с NS,
8) из М проводится ЛТ/ЦЯО.
29)PappiAlexandrini, Coilectiones, ed. Hultsch, т. 1,
crp. 304.
so) Д. Мордухай-Болтовской, Первые шаги буквен-
ной алгебры, Известия С. К. Г. У., 1928. — S е d i 11 о t, Maferiaux
pour servir a 1'hhtoire des sciences mathSmatiqiies chez les
grecs et les orientaux, т. I, 1847, стр. 367.—Wo ep ke, L’Algebre
d’Omar Alkhayami, Journal fur Matheuiatik (Crelle), 1851.
К КНИГЕ VI
439
Если положить SB~x, то для х получается уравнение
х(а—х) = &2и, таким образом, получается построение корня
квадратного уравнения
х2 — ах 4-&2 = 0.
Из совершенно элементарных соображений легко убеждаемся,
что построение Омара даёт:
1 Г2
AS = х^ = — ау \"2 а) —
для одной стороны прямоугольника, и
BS = z2 = lfl-
ДЛЯ другой.
В таком выводе корни уравнения строятся и построением
доказывается правильность общей формулы.
У Евклида построение играет второстепенную роль: ям
только доказывается существование. На первом ' месте у него
всегда стоит убеждение в определённых истинах.
То, что с арабской и с нашей точки зрения является опре-
делением корня уравнения, с евклидовой—скорее установкой
равенств. Преобразование частных типов квадратных уравне-
ний пм доводится только до формы:

с помощью тождеств книги I! Начал.
440
КОММЕНТАРИИ
Совершенно не соприкасаясь с упомянутым выше предло-
жением 28 книги VI Начал, идут решения арабских математиков.
Упомянем вывод Аль Хварнзми 31), который строит квадрат
внутри квадрата (с общим центром и параллельными сторонами)
(черт. 33), где
АЕ--ЕВ=^р, AP=CR = ~p и KL.-x, /(LMN=x-.
Затем, полагая площадь фигуры FRPRMGHNSQZE равной q и
30. Эллипс, гипербола
ратного уравнения
ах + x--=b2, I
замечая, что
(KL W) 4- (Л -Ь 14- k 4- g} = q,
он выводит
Приводимые нами выводы вы-
являют в качестве основной опе-
рации определение стороны квад-
рата, равновеликого прямоуголь-
нику; соответственно этому основ-
ной арифметической операцией
становится извлечение квадрат-
ного корня.
н парабола. Если вместо паралле-
лограмма взять прямоугольник, а вместо многоугольника квад-
рат, то предложения 28, 29 дадут графическое решение квад-
так как ах выражает пло-
щадь прямоугольника ACDE
(черт. 34), а х2 квадрата
CBEF, а Ь2 площадь задан-
ного квадрата. Мы можем
написать уравнение I в виде:
ах 4- сх2 = Ъ2, Ц
Черт. 34,-
включая ещё случай с = 0, который отвечает построению пря-
моу| ельника на данном основании, равного данному квадрату.
В случае с = 0 мы получаем приравнивание прямоугольника
данному квадрату (кара’оЦ), в случае <? > 0 недостаток пло-
щади квадрата до площади прямоугольника (fUet-i;), в случае
с < 0, наоборот, избыток (блЕр^ол^).
м) См. прим. 30.
К КНИГЕ VI
441
Чтобы объяснить происхождение слов параболы, эллипса
в гиперболы, заменяем в уравнения II Ъ на у.
Мы получаем
ах-]-сх2=у2,
представляющее уравнение конического сечения, и случаи =
с > 0, с < 0 будут отвечать уравнению параболы, эллипса и ги-
перболы.
Конечно, древние не имели наших понятий о координатах
и функции, но можиа сказать, что в основных геометрических
свойствах, с помощью которых определялись эти типы кониче-
ских сечении, скрытым образом заключались их уравнения.
«34-. Другое доказательство предложения 30. В приложении
у Гейберга помещено ещё следующее доказательство предложе-
ния 30, считаемое им неподлинным.
«Иначе. Пусть данная прямая будет АВ. Вот требуется
рассечь АВ в крайнем и среднем отношении (черт. 35).
Черт. 35.
Рассечём АВ в С так, чтобы <прямоугольник> между
АВ, ВС был равен квадрату на СА. Поскольку теперь
<прямоугольник> между АВ, ВС равен <квадрату> на СА,
то, значит, будет, что как ВА к АС, так и АС к СВ.
Значит, АВ рассечена в крайнем переднем отношении в С,
что и требовалось сделать?.
32. Уравнения 2-й степени в античной математике. Пред-
ложение 30 книги VI решает по существу ту же задачу, что
предложение II книги II, в котором требуется разделить а на
такие части х и (а — х), что
а (а — х) = №.
Предложение 30 берёт пропорцию
а:х = х :(а — х).
Предложение 17 книги VI даёт все средства доказать экви-
валентность этих двух проблем.
Античная математика не даёт общей теории решения квад-
ратных уравнений. Даже у Диофантазг) мы имеем исследование
только частных типов, хотя некоторые думают, что книга, со-
державшая такую теорию, утрачена. Но античная мысль идёт
очень далеко в направлении тех геометрических проблем, которые
приводятся к уравнениям 2-й степени.
82)Dlophantl Alexa п drin I, Libri sex auctore Gaspare
Bacheto Mezeriac, Lutetiae, 162|. Di о p h a n t i A1 e x., Arithmetl-
sene Aufgaben von Otto Schulz, Berlin, 1822.
442
КОММЕНТАРИИ
Я отмечу знаменитые проблемы Аполлония.
Даны две пересекающиеся между собой прямые ОХ и ОУ,
и через некоторую точку А предлагается провести прямую так,
1) (проблема сечения в «отношении»), чтобы отсекаемые ею
на 9гих прямых отрезки были в данном отношении,
2) (проблема сечения в площади),
чтобы прямоугольник, построенный
на отсечённых отрезках, был равен
данному квадрату.
Если обозначим координаты за-
данной точки А через OD = b и
OF=c, аотрезки MD^x и NF—y,
причем OD-OF = a\ то первая за-
дача приведётся к системе уравнений:
Ъ ____т
с±у~Ц
ху = л2;
последнее уравнение легко получается из подобия треугольников
DAM и NFA.
Вторая задача приводится к системе:
ху — а2 (& -р х) (с +у) = k\
Обе эти системы сводятся к квадратным уравнениям.
Третья задача Аполлония есть так называемая «проблема
определённого сечения» (sectio determinata).
Даны четыре точки А, В, С, D па прямой; требуется опреде-
лить пятую X так, чтобы отношение площади прямоугольника,
построенного на ХА и ХВ, к площади прямоугольника на ХС
и XD равнялось бы ~ .
Задача сводится к определению х из пропорции
(л- — д) (х— Ь) _т_
(х— с)(х— d) п
или к решению квадратного уравнения
п (х — д) (х — Ь) — т (х — с){х — d).
33. Другое доказательство предложения 31. У Гейберга
помещено в приложении и другое доказательство предложения
31, считаемое им неподлннпым (чертёж тот же, что и для предло-
жения 31).
К КНИГЕ VT
443
«Иначе. Поскольку подобные фигуры находятся в двой-
ном отношении соответственных сторон, то, значит, фигура
на ВС к фигуре на ВА имеет двойное отношение СВ к ВА.
Также и квадрат иа ВС имеет к квадрату на ВА двойное
отношение СВ к ВА. И, значит, как фигура на СВ к фи-
гуре на ВА, так и квадрат на СВ к квадрату на АВ. Вот
вследствие того же и как фигура па ВС к фигуре на СА,
так и квадрат на ВС к квадрату иа СА. Так что и как фи-
гура па ВС к фигурам на ВА, АС, так и квадрат на ВС
к квадратам на ВА, АС. Квадрат же на ВС равен квадра-
там па ВА, АС. Значит, и фигура на ВС равна фигурам
на ВА, АС подобным и подобно построенным [что и требо-
валось доказать].
34. Обобщённая теорема Пифагора. Предложение 47 книги 1
говорит о том, что квадрат, построенный на гипотенузе, равен
сумме квадратов, построенных иа катетах. Предложение 31 книги
VI утверждает то же о любых подобных фигурах, построенных
на I ипотенузе с и катетах а и Ь.
Мы в настоящее время эту теорему доказываем, используя
теорему Пифагора. Если Sa, S6, Sc— площади подобных фигур,
построенных на катетах а, Ь и гипотенузе с, то
Sa-.Sb=a*-.lA, Se:Sb"C2'b2,
[Sa±Sb)-.Sl,,= (a’--rW.I>\
откуда
ft, + S4): St = (a? + »!) = e-: c\
так как по теореме Пифагора
az-\-b!~c-,
к, значит,
sb — sc.
Евклид сам не даёт такого доказательства; соответствующий
текст Гейберг считает неподлинным.
В модернизированной форме доказательство Евклида ведётся
так: если d и е — отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой, то
с: а — а: d -+a2 — cd.
Если С « А подобные фигуры па с и а, то
С:А = с2-.а!,
Но поскольку
a2 —cd,
C:A = c~:cd~c:d.
Таким же образом
С:В = с:е,
откуда
C,.(A^rB)~c:(e-[-d) = c’.c
и
С — АА-В.
444
КОММЕНТАРИИ
Интересно то, что при доказательстве этом не используется
теорема Пифагора.
Клавий в комментарии к предложению 25 книги VI ставит
задачу.
Дана прямолинейная фигура С\ построить две подобные с сум-
мой, равной С, н имеющие между собой данное отношение —.
Решение на основании предложения 3 книги V сводится к по-
строению прямоугольного треугольника с данным отношением
катетов.
Распространение этой теоремы на полуокружности ведёт к так
называемым луночкам Гиппократа, игравшим большую роль
в попытках построения квадратуры круга. Если в полуокружность
впишем равнобедренный прямоугольный треугольник ина его кате-
тах построим две полуокружности, то, применяя обобщённую
теорему Пифагора, нетрудно доказать, что сумма площадей лу-
ночек, заключённых между дугами полуокружностей, построен-
ных иа катетах, и полуокружностью, построенной на гипотену-
зе — диаметре, равна площади построенного прямоугольного тре-
угольника.
Нетрудно видеть, что та же самая теорема будет справедлива
и для любого прямоугольного треугольника, вписанного в полу-
окружность.
35. Два рода равенств н подобия. Формулировка предло-
жения 32 не может быть названа вполне точной. На черт. 37 мы
_ имеем треугольники АВС и
д £ FDC с соответственно па-
/\ \ раллельными сторонами АВ,
/ \ \ АС и CD, DF и с общей
/ \ \ вершиной С, но стороны FC
/ \ и ВС уже не образуют од-
/ \ /\ ной прямой.
/ \ / \ Очевидно, здесь иеобхо-
/ \ / \ димо ещё одно условие.
/ . у_______________\ Можно сказать, что
В СЕ основания должны быть в
Черт. 37 ту же сторону от парал-
лельных сторон.
Но это добавочное условие можно выразить в лучшей форме,
которая выявляет идеи, не выясненные самим Евклидом.
Обращаясь к предложению 4 книги I Начал, мы должны от-
метить два случая равенства треугольников:
1) когда треугольники АВС и налагаются один на
другой передвижением по плоскости',
2) когда передвижение по плоскости приводит А’В'С только
в положение X'S'C' н необходим ещё поворот вне плоскости
около А’С, чтобы совместить треугольники (черт. 38).
Можно назвать первый случай собственной конгруэнцией, а
второй симметричной конгруэнцией.
К КНИГЕ VI
445
Конечно, то же относится к подобию.
Мы указали, что подобные фигуры сводятся к гомотетичным.
Но гомотетия может быть прямая к обратная (черт. 17). Соот-
ветственно этому и подобие может быть двух родов: собствен-
ное подобие а симметричное подобие. В предложении 32 книги
VI Начал постулируется собственное подобие.
36. Другое доказательство предложения 33. В приложении
к изданию Гейберга дано окончание доказательства предложения
33, принадлежащее Теону.
«Я утверждаю, что и как обвод ВС к обводу FI, так и сек-
тор НВС к сектору GEI.
Действительно, соединим ВС, СК. И взявши на обводах ВС,
СК точки X, О, соединим также ВХ, ХС, СО, ОК.
И поскольку две ВН, НС равны двум СН, НК и содержат
равные углы, и основание ВС равно СК, то, значит, и треуголь-
ник НВС [будет] ранен треугольнику ИСК- И поскольку обвод
ВС равен обводу СК, то и остающийся до целого круга обвод
будет равен остающемуся до целого круга обводу, так что и угол
ВХС равен ССК', зп.чит, сегмент ВХС будет подобен сегменту
ССК И они на равных прямых ВС, СК. Находящиеся же на
равных прямых подобные сегменты кругов равны друг другу;
значит, сегмент ВХС равен сегменту СОК Также и треугольник
НВС равен треугольнику НСК^, значит, весь сектор ВВС равен
всему сектору НС К. Вот вследствие того же и сектор HKL ра-
вен каждому из НВС, НС К Значит, три сектора ВВС, НС К
HKL равны друг другу. Вот вследствие того же и секторы GEI,
GIM, GMN равны друг Другу. Значит, сколько раз обвод LB
кратен обводу ВС, столько же раз и сектор BBL кратен сектору
НВС. Вот вследствие того же и сколько раз обвод NE кратен
обводу EI, столько же раз и сектор GEN кратен сектору GEI.
Значит, если обвод BL ранен обводу EN, то п сектор BHL равен
сектору EGN, и если обвод BL больше обвода EN, то и сектор
446
КОММЕНТАРИИ
BHL больше сектора GEH, и если меньше, то меньше. Вот для
четырёх имеющихся величин — двух обводов ВС, EI и двух сек-
торов НВС, EGI—взяты равнократные обвода ВС и сектора
НВС, именно, обвод BL и сектор HBL, обвода же EI и сектора
GEI равнократцые обвод ЕН и сектор GEH, и показано, что если
обвод BL больше обвода ЕН, то и сектор BHL больше сектора
EGH, и если равны, то равны, и если меньше, то меньше. Значит,
будет, что как обвод ВС к EI, так и сектор НВС к сектору GEL
Следствие
И ясно, что и как сектор к сектору, так и угол к углу».
37. Пропорциональность дуг и центральных углов. Об
этом предложении следует сказать совершенно го же, что о пред-
ложении 1 книги VI: во-первых, его следует представить в бо-
лее развёрнутом ваде. Оно основывается на определении 5
книги V пропорции или равенства отношений
AtB = C'.D,
в котором утверждается, что для всяких целых чисел т, п, для
которых
тВ nA < (т -}- 1) В,
также
mD^nC < (/га-}- 1) D.
Здесь А и В это дуги ВС и ЕН, а С и D углы BHL и EGH,
тВ и nA дуги BL и ЕН, т& и пС углы BHL и EGH.
При этом, конечно, все рассуждения основываются на неяв-
ном применении архимедовой аксиомы. Отказываясь от евкли-
дова определения равенств отношений, приходится пользоваться
или арифметизированным методом исчерпывания (как это де-
лается в учебниках Лежандрова типа) или же пользоваться неявно
понятием предела, как это делается в современных учебниках.
Вторая половина предложения относится к секторам. Для
доказательства равновеликости (по Евклиду равенства) элемен-
тарных секторов, играющих роль С и D в приведённой выше
общей схеме, Теону приходится доказывать равенство сперва
треугольников, затем сегментов, из которых состоят секторы.
Мы в настоящее время доказываем это наложением, как пред-
ложение 4 книги 1.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика.......................... 3
Книга первая..................................... 11
Книга вторая....................................... 61
Книга третья.........................................89
Книга четвёртая ................................... 122
Книга пятая..............................................
Книга шестая...................................... 173
Комментарии к I книге.............................221
Комментарии ко П книге .............................295
Комментарии к Ш книге.............................326
Комментарии к IV книге............................357
Комментарии к V книге ........... • • ...........368
Комментарии к VI книге..............................405