Текст
РОЕ
И НОВОЕ
О КРУГЕ
В. ЛИТЦМАН
СТАРОЕ И НОВОЕ
О КРУГЕ
Перевод с немецкого
В. С. БЕРМАНА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1960
MATHEMATISCH-PHYSIKAL1SCHE BIBLIOTHEK
R E I H E I
H e r au s g e g eb en von Prof. Dr. W.Lietemann
»7
ALTES UND NEUES
VOM KREIS
Von Prof. Dr.W. Lictzmann, Universh&tGGttingen
Zweite durchgesehene Auflage
Mit 57Figurcn и nd 4sAufgaben
г
В G. TEUBNER
VERLAGSGESELLSCHAFTLBIPZIG
1 9 J ’
ПРЕДИСЛОВИЕ
Еще одна книга о круге, притом об его элементар*
ных свойствах... Не слишком ли это смело и нужно ли
это вообще? Ведь начиная с евклидовых «Начал»
(300 лет до н. э.) изложение теории круга как по со-
держанию, так и по выбору способов доказательства
теорем в бесчисленных учебниках всех времен и наро-
дов было настолько исчерпывающим, что кажется ни
одного нового слова сюда добавить уже нельзя.
Было бы ошибкой считать, что с евклидовых времен
учение о круге остается неизменным и что изложение
его во всех учебниках одинаково. Напротив, разработка
этой теории продолжается и в наше время. При ©том
считается предпочтительным вести изложение «в одну
линию», подгоняя теорему к теореме, доказательство
к доказательству как звенья одной цепи и стараясь со-
здать у читателя впечатление, что иной порядок изло-
жения невозможен. Однако истинный дух геометрии
означает нечто большее: он требует подхода к изуче-
нию геометрических образов не с одной, а с разных то-
чек зрения, ибо только такой путь ведет к полному зна-
нию. Поскольку это касается элементарной теории
круга, которой мы ограничиваемся в этой книжке, от-
метим, что попытка дать подобное изложение как будто
предпринималась лишь в курсе элементарной геометрии
Фладта. Но цели, которые преследовал этот курс, весь-
ма отличны от тех, которые мы ставим себе здесь.
Геометрия Фладта была написана как пособие для
учителя, поэтому автор мог касаться многих вопросов
совсем бегло, ограничиваясь часто одними лишь наме-
ками. Мы же имеем в виду гораздо более широкий круг
друзей геометрии.
3
Что касается характера изложения, то он предпола-
гает активное сотрудничество читателя, выражаю-
щееся в решении многочисленных упражнений, и не
только в ©том. Мы надеемся, что и помимо упражнений
читатель найдет здесь достаточно стимулов для само-
стоятельной работы, ибо наша маленькая книжка не яв-
ляется, конечно, исчерпывающей — ведь цель и задача
каждой научно-популярной книжки в первую очередь
должна состоять в том, чтобы помочь читателю выйти
за ее пределы.
Гёттинген, лето 1951 г.
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Первое систематическое изложение учения о круге
мы находим в «Началах» Евклида. Но отнюдь не
все, что содержится в этой книге, на самом деле при-
надлежит Евклиду. Некоторые из изложенных в «Нача-
лах» теорем приписывают, быть может не совсем обо-
сновано, Фалесу Милетскому, который жил за
300 лет до Евклида; другие, как например теорему
о правильном вписанном звездчатом пятиугольнике —
Пентагоне, Пифагору Самосскому, жившему за
250 лет до Евклида; наконец, такими вопросами, как
квадратура круга, в доевклидово время усиленно зани-
мались многие и многие математики.
Названные греческие ученые в свою очередь тоже,
конечно, не были первыми среди тех, кто изучал круг
и его свойства. Нужно считать, что с кругом как гео-
метрическим образом человек столкнулся в самые от-
даленные времена. Хижинам и сосудам — мы назовем
лишь немногое из повседневного обихода человека —
уже в глубокой древности задолго до изобретения гон-
чарного круга старались придавать круговую форму.
Еше одним примером может служить колесо. Переход
от сплошного диска, изготовлявшегося из ствола де-
рева и лишь приближенно напоминавшего круг, к ко-
лесу со спицами совершился очень рано; современное
колесо было знакомо египтянам и вавилонянам, также
как и предшественникам европейских народов. Такие
колеса попадаются до сих пор при раскопках; еще
чаще мы встречаем их на рельефных изображениях по-
возок, например вавилонских, где явственно видны
колеса с шестью спицами, или на бесчисленных схема-
тических рисунках на урнах каменного и бронзо-
вого веков, где встречаются большей частью четыре или
б
восемь спиц, обозначенных хотя и условно, но совер-
шенно отчетливо.
Если обратиться теперь к вопросу о правильных
многоугольниках и о делении окружности на равные ча-
сти, то чаще всего мы встречаемся с этим на орнамен-
тах. Различают два типа правильных звездчатых орна-
ментов-розеток, смотря по тому, обладают ли фигуры,
из которых составлен рисунок, осевой симметрией или
нет. Среди розеток первого типа трехлепестковыс встре-
чаются редко, четырехлепестковые же очень часто; ро-
зетки с пятью, а тем более с семью или девятью лепест-
ками, естественно, также попадаются весьма редко, то-
гда как шести- и особенно восьмилепестковые розетки
можно встретить довольно часто. Розетки второго типа
не обладают осевой симметрией, они напоминают лопа-
сти турбины; их иногда называют спиральными розет-
ками. Помимо часто встречающихся трехлепестковых и
четырехлепестковых розеток этого типа, попадаются пя-
ти- и шестилепестковые, а также очень красивые семи-
лепестковые, составленные из спиралей, затем восьми-
лепестковые и т. д.
Заметим, что при создании этих предметов обихода
(сосуд, колесо и др.) или деталей украшений (орна-
менты), имеющих в своей основе окружность (с ними
можно познакомиться во многих музеях, например среди
коллекций, относящихся к различным эпохам истории
Египта), не использовалась никакая теория геометриче-
ских построений, хотя циркуль очень рано приобрел со-
временный вид.
В древние времена были, конечно, известны и другие
способы построения окружности без применения цир-
куля. Нередко такие задачи о построении окружности,
диктуемые чисто практическими потребностями или ху-
дожественными целями, приводили к открытиям, имев-
шим научное значение. Начиная от Геродота и до на-
ших дней, историки отмечали, что задачи измерения зе-
мельных участков и изготовления предметов обихода
явились одним из источников геометрии. То же обстоя-
тельство, что орнаментика, т. е. чисто художественная
деятельность, не вызывающаяся непосредственной прак-
тической потребностью, явилась важным началом гео-
метрии, было по-настоящему осознано только в наши дни.
Проиллюстрируем сказанное только двумя примерами-
6
В старейшем математическом труде древности, так
называемом папирусе Р и н д а, написанном египетским
писцом Ахмесом, приводится значение числа it, точ-
ность которого превосходит многие приближенные зна-
чения позднейших времен:
= 3,1604...
Следует полагать, что это значение не могло быть
получено теоретическим путем, а было найдено как-то
практически.
Второй пример относится ко времени, когда в орна-
ментике только начала появляться окружность: на зо-
лотых пластинках эпохи Микенской культуры (второе
тысячелетие до н. э.> мы встречаем изображение окруж-
ности, вокруг которой расположены еще шесть окруж-
ностей, равных ей и касающихся друг друга.
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРУГА И ОКРУЖНОСТИ
1. Обычное определение круга в том виде, в каком
его дал Евклид, гласит: круг есть плоская фигура,
ограниченная линией, обладающей тем свойством, что
все отрезки, соединяющие некоторую точку, располо-
женную внутри фигуры с точками этой линии, равны
друг другу. (Эту линию называют окружностью.) Таким
образом, в основу здесь положено равенство радиусов,
т. е. отрезков, соединяющих центр с точками окружно-
сти. Достоин удивления тот факт, что определенное на-
звание этим важным отрезкам было дано значительно
позже; ни Евклид, ни многие математики более позд-
него времени не употребляли для них никакого спе-
циального термина. Изучая круг, не следует смешивать
два понятия: собственно круг и окружность, которая яв-
ляется его границей. Так, можно говорить о площади
Круга или о пересечении прямой с окружностью 1).
!) В некоторых языках, например в немецком, во всех случаях,
где это не может привести к явному недоразумению, пользуются
одним словом (Kreis), объединяющим оба эти понятия, не указывая
точно, идет ли в тексте речь об окружности или о круге. Подобно
тому, как в русском языке под словом «многоугольник» понимают
одновременно и замкнутую ломаную, и ограниченную этом ломаной
часть пл ош а ди.
7
Дадим еще некоторые определения, которые понадо-
бятся нам в дальнейшем.
Что называют дугою окружности, понятно без вся-
кого объяснения. Хордой называют отрезок прямой, со-
единяющий две точки окружности; сегментом — часть
круга, отсекаемую от него хордой; сектором — часть
круга, ограниченную двумя радиусами и дугой окруж-
ности.
2. Способ построения окружности непосредственно
вытекает из ее определения: если вращать на плоскости
отрезок вокруг одного из его концов, то другой конец
Рис. 1.
опишет окружность. Практически это можно осущест-
вить при помощи туго натянутой бечевки (так посту-
пают, например, при разбивке клумб) или стержня
с соответствующими приспособлениями (рис. 1), или,
наконец, с помощью циркуля.
3. Окружность как замкнутая фигура. Первое свой-
ство окружности, которое мы собираемся выделить, хотя
оно и совершенно очевидно, — ото ее замкнутость.
Именно на этом ее свойстве основано определение кру-
га: окружность делит плоскость на две части, причем
внутренняя есть крут. Для того чтобы соединить линией
какую-нибудь внутреннюю точку крута с точкой вне
его, нужно по меньшей мере один раз пересечь окруж-
ность. Мы будем считать этот факт очевидным и при-
мем его без доказательства, хотя для математика это
утверждение отнюдь не является само собой разумею-
щимся. Мне приходит на память смешная шутка, в ко-
торой рассказывается об одном пьянице, обошедшем во-
8
круг полую колонну и с огорчением констатировавшем:
«замурован». Он определенно знал, что окружность —
это замкнутая кривая, однако отличить внутреннюю
часть от внешней уже не смог.
4. Окружность как выпуклая фигура. Для того чтобы
установить, является ли данная линия окружностью или
нет, конечно, недостаточно проверить, замкнута ли она.
Нужно еще потребовать, например, чтобы эта линия
была выпуклой. Так как в обиходе про дугу окружно-
сти говорят, что она выпукла, если смотреть на нее из-
вне, и эту же дугу называют вогнутой, если рассматри-
вать ее изнутри, то мы прежде всего установим, что сле-
дует здесь понимать под словом «выпуклая». Ранее мы
говорили о хорде окружности. Хордой произвольной
замкнутой линии мы будем называть отрезок прямой,
начальная и конечная точки которого лежат на этой
линии. Замкнутую линию мы будем называть выпуклой.
если все точки любой ее хорды являются либо внутрен-
ними, либо граничными точками ограниченной линией
фигуры, и ни одна точка не лежит вне линии. То что
окружность — выпуклая линия, мы опять-таки будем
считать очевидным, однако тут же заметим, что окруж-
ность отнюдь не единственная такая линия. Эллипс —
также выпуклая линия. Линия, описываемая Луной при
движении вокруг Солнца, — также выпуклая, хотя на
многих рисунках она неправилъ-
но изображается волнообразной.
Упражнение 1. Всегда ли сек- / \
тор является выпуклой фигурой (т. е. I 1
ограничен выпуклой линией)? \ /
5. Окружность как линия по-
стоянной ширины. Вырежем из рис Q
дерева круглую пластинку по-
стоянной толщины и поместим
ее меж двух планок, закрепленных параллельно друг
другу на расстоянии, равном удвоенному радиусу пла-
стинки, как это показано на рис. 2. Тогда, как бы мы
ни перемещали или поворачивали эту пластинку, она
все время будет касаться обеих планок: окружность,
как говорят, имеет постоянную ширину. Этот факт мо-
жно обнаружить (и найти численное выражение
9
«ширины») с помощью штангенциркуля, как это и де-
лается обычно на практике (рис. 3).
Поставим теперь вопрос: существуют ли, помимо
окружности, еще и другие линии постоянной ширины?.
Рис. 3.
Ясно, что подобные линии должны быть замкнутыми и
выпуклыми. Но поспешный ответ «нет» будет неверным.
На рис. 4 показан очень простой противоречащий при-
мер. В качестве исходной фигуры здесь взят равносто-
ронний треугольник, сторо-
ны которого потом заме-
няются дугами окружно-
стей, с центрами в вершинах
противолежащих углов. Легко проверить, что эта
фигура имеет постоянную ширину, на что впервые ука-
зал Р е л 6 в 1875 г.
Упражнение 2. Построение линии, изображенной на рис. 5,
ясно из чертежа, а) Докажите, что она имеет постоянную ширину.
Чему равна эта ширина? б) Как можно получить окружность, если
рассматривать ее как предельный случай этой линии? Возьмите в ка-
честве исход ион фигуры правильный пятиугольник (вместо равно-
стороннего треугольника) и образуйте линии постоянной ширины,
заменив его стороны дугами окружностей (какого радиуса?).
10
6. Окружность как центрально-симметричная линия.
Под центром симметрии линии понимают такую точку,
в которой любая проведенная через нее хорда делится
пополам. Такие хорды называют диаметрами, а ли-
нию — центрально-симметричной относительно этой
точки. Окружность, согласно определению, имеет центр.
Но не всякая замкнутая выпуклая линия, имеющая
центр, есть окружность. Укажем, например, эллипс:
в противоположность окружности, у него не все диа-
метры равны друг другу.
Упражнение 3. Исследуйте, имеется ли центр у фигуры
Релб (рис. 4 и 5).
Упражнение 4. а) Какие из известных Вам четырехуголь-
ников имеют центр и являются поэтому центрально-симметричными
фигурами? б) Ответьте на аналогичный вопрос для правильных
многоугольников.
§ 3. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ КРУГА
Пусть на чертеже изображена плоская фигура, кото-
рая после поворота вокруг некоторой прямой, — удоб-
нее всего это сделать, перегнув чертеж, — совмещается
сама с собой; такую фигуру называют симметрич-
ной относительно этой прямой, а прямую — осью симме-
трии. Так, например, окружность симметрична относи-
тельно любого своего диаметра, принимаемого за ось.
В таблице, приводимой ниже (стр. 12), мы даем при-
меры фигур, обладающих осевой симметрией; элемен-
тами их являются окружность и некоторые другие гео-
метрические образы. (Во втором столбце таблички
указывается положение оси симметрии.) При этом мы
будем пользоваться следующими определениями: пря-
мая, проходящая через какие-нибудь две точки окруж-
ности, называется секущей-, прямая, имеющая с окруж-
ностью только одну общую точку (т. е. касающаяся
окружности), называется касательной.
Факты, которые мы собираемся изложить в отдель-
ных пунктах этого параграфа, являются непосредствен-
ными следствиями осевой симметрии фигур. В справед-
ливости их можно убедиться либо просто наглядным пу-
тем, либо с помощью несложных умозаключений.
11
Фигура: Ось симметрии;
Окружность и ... Секущая, проходящая через центр и ...
1. точка 2. хорда 3. касательная 4. две касательные через точку перпендикулярная к хорде через точку касания через точку пересечения каса- тельных
5. еще одна окружность, не пере- секающаяся с первой 6. еще одна окружность, касаю- щаяся первой 7. еще одна окружность. Пересе- через центр второй окруж- ности
кающая первую
1. Пусть А и В — точки пересечения окружности и
секущей, проходящей через центр О и некоторую точку
Р (рис. 6); тогда точки А и В можно рассматривать как
самые отдаленные или самые
близкие по отношению к Р точки
окружности. Хотя этот факт до-
статочно очевиден, но мы все же
докажем его, опираясь на хоро-
шо известное предложение, кото-
рое можно найти в любом учеб-
нике геометрии. Пусть С — про-
извольная точка окружности. То-
гда (об этом упоминается ниже, в
п. 2 этого параграфа) ZOBC =
= Z.OCB и, следовательно,
АВСР < Z ОС В = Z О ВС. если
между О и В. Л поскольку во
только Р лежит
треугольнике (Д ВСР) против большего угла
большая сторона, то СР > РВ.
Упражнение 5. Докажите подобным же образом
часть утверждения.
всяком
лежит
вторую
2. Непосредственно из рис. 7 мы заключаем: ось сим-
метрии является перпендикуляром, восставленным к
хорде в ее середине; она делит пополам не только
хорду, но и обе стягиваемые ею дуги, а также централь-
12
ный угол, образованный двумя радиусами, проведен-
ными в концы хорды (заметим, что мы здесь получили
два центральных угла, один из которых будет больше
развернутого угла, поскольку хорда не проходит через
центр; в противном случае будут развернутыми оба
угла). Углы, образованные этими радиусами и хордой,
равны друг другу.
Проведем две параллельные хорды окружности,
тогда заключенные между ними дуги будут равны. Об-
ратно, если дуги, заключенные между двумя хордами,
равны, то хорды параллельны
(здесь, конечно, предполагает- у
диаметрами). \
Упражнение 6. Что произой- \ч \
дет, если одна из хорд станет в пре- Уу \ у \
деле касательной? у I \у \
Из того, что хорда симме- \
трична относительно перпен- /
дикуляра, восставленного из 'ч у'у
ее середины, следует, что зер-
кальное отражение любой точ-
ки окружности относительно
диаметра будет снова точкой Рис* 3 * * * 7-
окружности. А отсюда выте-
кает такое определение окружности: всякая окруж-
ность есть геометрическое место точек, симметричных
некоторой точке относительно всевозможных прямых
некоторого пучка.
Упражнение 7. Как найти центр и радиус окружности,
пользуясь этим определением? Преимущество такого определения
заключается в том, что оно охватывает и так называемый случай
вырождения, когда окружность переходит в прямую. Это сообра-
жение возникает, если предположить, что центр окружности неогра-
ниченно удаляется. В этом случае пучок прямых, сходящихся в од-
ной точке, заменяется пучком параллельных прямых.
3. Рисунок 7 показывает далее, что касательная
к окружности и радиус, проведенный в точку касания,
перпендикулярны друг к другу; следовательно, перпенди-
куляр к касательной, восставленный в точке касания,
проходит через центр.
13
4. Из симметрии рис. 8 заключаем: отрезки каса-
тельных между точкой их пересечения и точками каса-
ния равны друг другу. Ось симметрии делит пополам
хорду, соединяющую точки касания, а также угол ме-
жду касательными и центральный угол, образованный
радиусами, проведенными в
точки касания; кроме того,
©та ось перпендикулярна к
хорде, а углы, образованные
хордой и касательными, рав-
ны друг другу.
5. Осью симметрии двух не-
псресекаюгцихся окружностей
является секущая, проходящая через их центры
(рис. 9). Наименее и наиболее удаленные друг от друга
точки этих окружностей лежат на оси симметрии.
6. Осью симметрии двух окружностей, касающихся
друг друга извне или изнутри, снова будет общая секу-
щая, проходящая через их центры и, кроме того, через
точку касания (рис. 9).
7. Ось симметрии двух пересекающихся окружностей
делит пополам их общую хорду и перпендикулярна
к ней. Точки пересечения делят как одну, так и другую
окружности на две дуги. Каждая из дуг одной окруж-
ности образует с каждой из дуг другой двуугольник
(рис. 10).
Упражнение 8. Сколько двуугольников получается при
пересечении двух окружностей?
14
8. Частный случай. Если две пересекающиеся окруж-
ности имеют равные радиусы, то их общая хорда будет
второй осью симметрии (рис. 11). Двуугольник, который
при этом получается, называют равнодужным. С по-
мощью фигуры из двух пересекающихся окружностей
одинакового радиуса можно решить следующие четыре
основные задачи на построение:
1. Разделить отрезок пополам.
2. Разделить угол пополам.
3. Восставить перпендикуляр.
4. Опустить перпендикуляр.
Упражнение 9. Решите четыре основные задачи на по-
строение с помошью равнодужного двуугольника.
9. Построение касательных с помощью фигуры из
двух окружностей. Задача на построение касательной
к окружности из внешней точки решается обычно по-
средством так называемой окружности Фалеса *). Здесь
’) Теорема Фалеса о том, что вписанный угол, опирающийся
на диаметр, является прямым, есть частный случай более общего
предложения, которому мы целиком посвящаем § 5. Но эту теорему
весьма легко доказать и непосредственно, рассматривая рис. 12
и пользуясь некоторыми уже известными нам фактами. Соединим
произвольную точку С окружности с концами Л и В какого-нибудь
диаметра и проведем радиус ОС\ при этом углы, отмеченные оди-
наковыми значками, будут равны друг другу'. А отсюда ZACB =
«= ZG4B + ZCB4. И так как сумма внутренних углов треуголь-
ника составляет два прямых, угол АСВ будет прямым.
15
мы встречаемся со вторым частным случаем фигуры, со-
ставленной из двух окружностей, когда одна окруж-
ность проходит через центр другой (рис. 13). Пусть тре-
буется построить из внешней точки Р касательную
к окружности с центром в точке О. На отрезке ОР как
на диаметре построим вспомогательную окружность, ко-
торая пересекает данную
в точках С| и С2. Пря-
мые PCi и РС2 будут ис-
комыми касательными.
10. Концентрические
окружности. Окружности,
имеющие общий центр,
называются концентриче-
скими. Сейчас мы позна-
комимся еще с одним
способом построения ка-
сательной, известным
примерно на 2000 лет
раньше, чем рассмотрен-
ный в предыдущем пунк-
те. Им пользовался еще
Евклид, тогда как первый описанный нами способ
появился в Европе только в 19 веке. Проведем из
точки О (рис. 14) как из центра вспомогательную
окружность, концентрическую с данной, так чтобы
она прошла через точку Р. Точку пересечения прямой
ОР с данной окружностью обозначим через Q
16
(соответственно Qz). Проведем теперь через Q (соответ-
ственно Q') прямую, перпендикулярную к OPt и пусть
Bi и В? (соответственно В и В',) — точки пересечения
этой прямой с вспомогательной окружностью. Проведем,
наконец, через В{ и В2 диа-
метры вспомогательной ок-
ружности и обозначим точки
пересечения их с данной ок-
ружностью через С\ и С2.
Тогда прямые РС\ и РС2 бу-
дут искомыми касатель-
ными. При этом безразлич-
но, будем ли мы при по-
строении пользоваться теми
линиями, которые указыва-
лись в основном тексте, или
пунктирными линиями, кото-
рые упоминались в скобках.
Упражнение 10. Докажите это построение, рассматривая
AOPCi и AOBjQ (соответственно OB/Q') и пользуясь первым при-
знаком равенства треугольников.
Упражнение 11. В одном из решении задачи о проведении
касательной, найденном лишь в 19 в., применяется концентрическая
окружность, радиус которой вдвое больше радиуса данной; кроме
того, в этом решении довольно своеобразно используется симметрия
фигуры Способ построения указан на рис. 15; объясните его и про-
веди । е доказательство.
§ 4. ОПИСАННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
1. Описанный треугольник. Проведем к окружности
три касательные так, чтобы они образовали треуголь-
ник; назовем его ЛА ВС. Точки касания обозначим О,
£, F. Продолжим стороны АВ и АС и построим вневпи-
санную окружность, точки касания которой с продолже-
ниями этих сторон обозначим через F\ и а с третьей
стороной ВС—через Dx (рис. 16). (Линию В'С\ изо-
браженную на этом рисунке пунктиром, пока принимать
во внимание не будем.) Покажем теперь на нескольких
примерах, как можно выразить любой из интересующих
нас отрезков касательных через стороны с, Ь, с
2 Зак 1745. В. Лмтцман 17
треугольника АВС. Для сокращения обозначим, как
обычно, полупериметр через р;
Мы ограничимся следующими примерами:
a) AFX — АЕХ == р.
Действительно:
AFX = АЕХ = (АВ + BFX + АС + СЕХ) =
«= Ь (AB-\-BDx + АС+ CDX) = | (АВ 4- АС +ВС)=р.
б) AF = АЕ — р — а.
Действительно, из AF, = АЕ\ и AF = АЕ следует FF, =
- ЕЕ,. Но FFi + ЕЕ, = BF + BF, + СЕ + СЕ, = BD +;
+ BD, + CD 4- CD, = 2б£. По-
добно этому, например, BF =
= BD = р — Ь\ СЕ = CD =
= Р — с.
в) BDi = BF, = р — с,
так как BF, = AF,—АВ =
^р—с.
Упражнение 12. Постройте
две другие вневписанные окружности
и выразите получающиеся при этом
отрезки касательных через стороны
треугольника.
2. Общие касательные двух
окружностей. Рисунок, на кото-
ром изображена вневписанная
окружность, вообще представ-
ляется несимметричным. Он
сразу же приобретает симме-
трию, как только мы проведем
прямую В'С', симметричную
прямой ВС, относительно секущей, проходящей через
центры обеих окружностей. Эта секущая становится осью
симметрии фигуры (рис. 16). На этом рисунке обе пары
общих касательных внешних и внутренних предстают
как единое целое.
18
Упражнение 13 Докажите, что BFi *= C'Ei = СЕ — В'Н
Упражнение 14. Докажите, что центры окружностей и
точки В', В, С', С лежат на одной окружности
3. Построение общих касательных двух окружно-
стей. Пусть из центров О| и О2 проведены две окружно-
сти, которые мы будем называть теми же буквами (по-
скольку это не может вызвать недоразумения). Обозна-
чим точки касания внешних общих касательных к этим
окружностям через А{ и Д2, и В2. Через О{ — центр
меньшей окружности (рис. 17)—проведем две прямые,
параллельные внешним каса-
тельным. Обозначим точки ка-
сания Лэтих прямых с окруж-
ностью О', которая концентрич-
на с О2, через А' и В'. Точки
О2, А', Д2, так же как и точки
О2, В', В2, расположатся на од-
ной прямой. Этот рисунок ука-
зывает путь решения задачи
о построении общих внешних касательных к двум окруж-
ностям. Действительно, проводя касательные к О' из
внешней точки О|, мы получим точки А' и В', а тогда
легко находятся и точки Д] и А2, В{ н В2.
Аналогично решается задача о построении внутрен-
них общих касательных. В этом случае радиус вспомо-
гательной окружности берется равным сумме радиусов
окружностей Oi и а не их разности. Дальнейшее по-
нятно из рис. 18.
2* 19
Упражнение 15. а) Рассмотрите случаи построения внешних
общих касательных к двум окружностям неравных радиусов, кото-
рые касаются друг друга или пересекаются, б) Как видоизменится
построение, если радиусы окружностей станут одинаковыми?
Рис. 19.
4. Описанный и вписанный треугольники. Вначале
этого параграфа мы нашли выражения для отрезков ка-
сательных, образующих описанный треугольник. Обра-
тимся теперь к соотношению
между углами. С этой целью
Е соединим точки касания хор-
дами и рассмотрим получаю-
Щияся вписанный треугольник,
DEF (рис. 19). Согласно п. 4
§ 3 углы, обозначенные одними
и теми же буквами, будут
равны. Следовательно.
2а' -|— 2р' —|— 2yz о-|-е -|- £ = 6d,
и в силу того, что сумма вну-
тренних углов треугольника
равна 8 + е + £ = 2d, получаем
a'+₽'-H' = 2d.
А отсюда, принимая во внимание, что 0' + 8 + / = 2d,
получаем, что
а' — В,
и аналогично р' = е и / = С.
Упражнение 16. Докажите с помощью рис. 19 следующую
теорему: Выпуклая линия, образующая в точках пересечения с лю-
бой своей хордой равные углы, есть окружность.
Упражнение 17. Выразите все углы через углы а, ₽, 7 опи-
санного треугольника АВС.
5. Описанный четырехугольник. Рассмотрим рис. 20.
На основании результатов п. 4 § 3 мы сразу можем на-
писать следующие равенства:
АН = АЕ, BF = bEt CF—CCj, DH=DG\
складывая отдельно их левые и правые части, получаем
AD-\-BC=AB-\-DC.
Последнее равенство выражает известную теорему о том,
что суммы противоположных сторон описанного четы-
рехугольника равны. В дальнейшем мы будем обозна-
20
чать стороны четырехугольника, как обычно, одной бук-
вой: АВ == а, ВС = b, CD = с, DA = d.
Упражнение 18. Справедлива ли теорема об описанном
четырехугольнике для криволинейного четырехугольника.
6. Обратная теорема об описанном четырехугольнике.
Если в четырехугольнике ABCD суммы противополож-
ных сторон равны, то в него можно вписать окруж-
ность. Пусть а + с = b + d. Будем считать, что b > а
(если а и Ь не равны между собой), что не нарушит общ-
ности доказательства:
ложим сторону, равную а\ при этом получится точка В'
(рис. 21); на стороне С от точки D отложим
сторону, равную d — получится точка С'. В силу
сделанного предположения (6 > я, с > d) В' лежит ме-
жду В и С, а С' между С и D. Далее треугольники
ABB', ADC' и СВ'С' — равнобедренные; последний
в силу равенства Ь — а = с — d. Оси симметрии равно-
бедренных треугольников будут одновременно перпен-
дикулярами, восставленными из середин сторон тре-
угольника АВ'С'. Таким образом, они проходят через
одну и ту же точку, равноудаленную от всех четырех
сторон четырехугольника. А это и означает, что в наш
четырехугольник можно вписать окружность.
Упражнение 19. Как быть в случае, когда а = Ь?
21
Обратим внимание читателя еще на некоторые до-
статочно очевидные обстоятельства, из которых следует,
что условие а + с — Ь + d является необходимым и до-
статочным
санным,
(рис. 22).
для того, чтобы четырехугольник был опи-
Рассмотрим произвольный четырехугольник
Всегда можно провести две окружности так,
чтобы они касались сторон а,
Ь, с и a, d, с\ общая секущая,
проходящая через центры этих
окружностей, должна пройти
также через точку пересечения
сторон а и с, которые являются
общими внешними касатель-
ными обеих окружностей. Обо-
значим четыре точки касания
на АВ и CD через Т2,
Т4, как это показано на рис. 22.
Тогда Т\Т2 = Т3Т4 = t и
а + с — 2t = b + d.
Но равенство а + с = b +
+ d может быть справедливым
тогда и только тогда, когда t = 0. А это означает, что
в действительности имеется лишь одна окружность,
а не две.
Мы не станем приводить здесь косвенные доказа-
тельства обратной теоремы об описанном четырехуголь-
нике, обычно встречающиеся в учебниках.
§ 5. ТЕОРЕМЫ О ВПИСАННОМ УГЛЕ
И ВПИСАННОМ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКЕ
1. Вырежьте в куске бумаги прямолинейную про-
резь и проткните сквозь нее исподнизу угол так, чтобы
высовывалась его вершина и части боковых сторон
(рис. 23). Если теперь двигать угол так, чтобы стороны
угла не отходили от концов прорези, то можно заме-
тить, что вершина угла перемещается по дуге некото-
рой окружности, причем прорезь стягивает эту дугу как
хорда. Угол, вершина которого лежит на окружности,
называют вписанным углом, если обе стороны его яв-
ляются секущими. Если же только одна из сторон бу-
дет секущей, а вторая касательной (точнее, полукаса-
22
тельной), тогда говорят об угле, образованном каса-
тельной и хордой. Наш опыт с прорезью иллюстрирует
следующую теорему. В окружности все вписанные углы,
опирающиеся на одну и ту
бой. Доказательство сразу
В самом деле, начертим
окружность, проведем
хорду АВ и касательные
же дугу, равны между со-
же вытекает из п. 4 § 4«
в ее концах (рис. 24). Тогда, независимо от положения
точки С на окружности, вписанный угол, опирающийся
на дугу АВ, будет равен углу между хордой п касатель-
ной, заключающему эту дугу.
2. Обычное доказательство s'
теоремы о вписанном угле опира- /
ется на предложение о том, что / \е
внешний угол при вершине равно- /
бедренного треугольника вдвое [ I
больше угла при основании. До- I I
казательство теоремы проводится \ у /
раздельно для трех случаев. --------------•------ “уо
1) Пусть одна из сторон вписан- /
ного угла а = Z АСВ совпадает ______s
с диаметром (рис. 25); тогда
вследствие указанного вспомога- Рис. 25.
тельного предложения а =
где <р обозначает центральный угол АОВ. 2) Пусть центр
окружности лежит внутри угла А СВ. Сначала проведем
вспомогательный диаметр CD (рис. 26); при этом
угол а разделится на углы оц и аг, а угол ф — на углы
тт 1 1
ф1 И ф2. Но ПОСКОЛЬКУ «1— 2‘?1» а2=2‘<?2» то и
23
в этом случае имеем
। 1.1 1
a=ai+«2 = у Ti+ 2-?2 =
При доказательстве этого случая можно обойтись
без вычислений. Проведем два радиуса: ОА'ИСА и
ОВ'ЦСВ. Тогда ZAOA' = оц как внутренний накрестле-
жащий с углом CAO; Z.A'OD = аь как соответственный
углу АСО. Аналогичное соотношение справедливо для
угла <Х2. Отсюда вытекает, что центральный угол равен
удвоенному вписанному. 3) На-
конец, пусть центр О лежит вне
вписанного угла АСВ, тогда
опять-таки с помощью вспомога-
тельного диаметра CD можно
свести этот случай к рассмотрен-
ным ранее; при этом нужно
только вместо суммы углов рас-
сматривать пх разность ai — аг.
Упражнение 20. .Как в случае 3)
можно избавиться от вычислений?
Упражнение 21. До сих пор мы
молчаливо предполагали, что вершина
вписанного угла лежит на большей из
двух дуг, стягиваемых хордой АВ. Как будет обстоять дело, если
вершина находится на меньшей дуге?
Во всех трех случаях мы доказали, что вписанный
угол равен половине соответствующего центрального
угла. Но так как у всех вписанных углов центральный
угол один и тот же, то отсюда сразу следует, что все
вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу,
равны между собой.
3. Обратная теорема о вписанном угле. Рассмотрим
вопрос о геометрическом месте вершин равных углов,
стороны которых проходят через концы постоянного от-
резка АВ, Построим на этом отрезке сегмент, вмещаю-
щий угол а (это легко сделать с помощью угла между
хордой и касательной или центрального угла 2а). Все
ли точки, обладающие интересующим нас свойством,
т. е. являющиеся вершинами вписанных углов, равных
углу а, содержатся в дуге этого сегмента? Прежде чем
дать ответ на этот вопрос, заметим, что чертеж наш не
закончен. Дополним его до двуугольника, присоединив
24
дугу, являющуюся зеркальным отражением уже рас-
смотренной дуги относительно АВ (рис. 27). Покажем,
что этот двуугольник является искомым геометрическим
местом, чем и решается поставленная задача. В самом
деле, пусть, например, точка Р лежит внутри двууголь-
ника. Продолжим отрезок АР до
пересечения с окружностью в
точке С. Так как угол АСВ впи-
санный, а по отношению к Д РВС
угол АРВ является внешним, то
этот угол больше угла АСВ.
Упражнение 22. Пусть точкаР
лежит вне двуугольника. Докажите, что в
этом случае угол АРВ меньше вписан-
ных углов, вмещаемых двуугольником.
4. Теорема о вписанном четы-
рехугольнике. Соединим вершины
вписанного четырехугольника
ABCD с центром О описанной
вокруг него окружности; тогда
при его вершинах образуется
восемь попарно равных углов,
которые на рис. 28 отмечены
одинаковыми значками. Какие бы два противоположных
угла мы ни взяли, в их сумму войдет как раз по одному
углу из каждой пары отмеченных одинаковыми значками
углов. Следовательно, у вписанного четырехугольника
суммы противолежащих углов равны между собой;
а так как каждая из этих сумм равна двум прямым,
то сумма внутренних углов четырехугольника равна
четырем прямым.
5. Связь между теоремой о вписанном угле и теоре-
мой о вписанном четырехугольнике. Если считать тео-
рему о вписанном угле доказанной, то из нее сразу же
вытекает предложение о вписанном четырехугольнике.
Действительно, проведем (рис. 28) радиусы ОВ и OD,
где В и D противолежащие вершины; тогда
Z BAD= J L BOD и Z BCD = | Z BOD,
причем во втором случае под углом Z.BOD следует пони-
мать угол, больший тупого. Но так какова центральных
25
угла при точке О составляют четыре прямых, то сумма
противоположных углов вписанного четырехуголь-
ника равна половине этой величины, т. е. двум прямым,
Евклид доказывал эту теорему, также опираясь
на теорему о вписанном угле, но делал это не так, как
принято в современных учебниках. И это понятно, так
как современные доказательства используют понятие
угла, превышающего тупой, Евклид же никогда его не
употребляет. Таким образом, случай, затронутый в
упражнении 21, он оставлял в стороне (впрочем, в боль-
шинстве современных учебников этот случай тоже не
рассматривается), хотя обойти его в этом доказатель-
стве невозможно.
Доказательство Евклида, родственное доказатель-»
ству, данному в п. 4 § 5, имеет следующий вид: во впи-
санном четырехугольнике проводят обе диагонали и
таким образом получают восемь вписанных углов,
которые на основании теоремы о вписанных углах
попарно равны друг другу (на рис. 29 равные углы поме-
чены одинаковыми значками). А отсюда, подобно тому
как это было сделано в п. 4 § 5, выводят теорему о впи-
санном четырехугольнике. При доказательстве можно
обойтись и одной диагональю, но в этом случае помимо
теоремы о вписанном угле нужно еще пользоваться пред-
ложением об угле, образованном хордой и касательной.
Если в точке А провести касательную LN, то Z.DAL =
= Z.DCA и Z.NAB = ZBCA. А отсюда уже вытекает
все остальное,
26
Если, наоборот, считать известной теорему о вписан-
ном четырехугольнике, то предложение о вписанном
угле будет ее непременным следствием. Действительно,
пусть АВС вписанный угол, опирающийся на дугу АС;
возьмем на этой дуге точку D и обозначим угол 2.ADC
через 8. Тогда по теореме о вписанном четырехугольнике
Z.ABC = 2d— 8, причем совершенно независимо от того,
в каком месте дуги находится вершина В вписанного
угла, опирающегося на дугу АС; таким образом все
вписанные углы, опирающиеся на дугу АС, равны ме-
жду собой.
Мы резюмируем: теорема о вписанном угле может
быть получена либо независимо от предложения о впи-
санном четырехугольнике, либо как его следствие, равно
как предложение о вписанном четырехугольнике можно
вывести независимо от теоремы о вписанном угле, либо
получить как ее следствие.
Упражнение 23. Исследуйте соотношение между углами
вписанного четырехугольника, если две из составляющих его хорд
пересекаются.
6. Еще одно доказательство теоремы о вписанном
угле. Предположим, что центр окружности О распола-
гается внутри вписанного угла
АВС (рис. 30). Опустим пер-
пендпкуляры OD' и ОЕ' на
стороны угла и обозначим через / \ £
D и Е точки пересечения этих / ^\\
перпендикуляров с окруж- [ / \ ।
ностью. Тогда AD — CD и \у °
s х 'х Д V------------------70
СЕ = BE и, следовательно, ду- \ /
га DE составляет половину ду- /
ги АВ, причем это обстоятель- ______
ство не зависит от местополо-
жения точки С на окружности. Рис. 30.
Таким образом, центральный
угол DOE, опирающийся на дугу DE, оказывается
постоянным. В четырехугольнике OD'CE' два противопо-
ложных угла D' и Е' прямые, поэтому сумма двух дру-
гих углов равна 2d; но угол DOE — постоянный, следо-
вательно, вписанный угол АСВ также будет постоянным.
Упражнение 24. Как видоизменяется доказательство в слу-
чае, когда центр О лежит вне вписанного угла?
27
7. Метод вращения. Мы до сих пор не пользовались
одним из самых естественных методов доказательства,
если иметь в виду изучение свойств круга, а именно,
методом вращения. Пусть АСВ вписанный угол (рис. 31)-
Рассмотрим угол ABD, образованный хордой и ка-
сательной, и будем вращать его
вокруг центра окружности до тех
/ х\\ пор, пока его вершина В не по-
/ / \\ падет в точку В', являющуюся
I / серединой дуги ВС. Назовем
I / Д ©тот угол в его новом положении
Ул / \]\ углом A'B'D'. В силу равенства
\ АА' = ВВ' = СВ' и на основании
\ теоремы из п. 2 § 3 сторона АВ,
А / дг занявшая положение А'В', ста-
/ нет параллельной стороне АС.
Далее, поскольку В'В = В'С, ка-
Рис-31. сательная BD в новом положении
B'D' будет параллельна стороне
СВ. Таким образом, углы АСВ и Л'В'О', как имеющие
параллельные и одинаково направленные стороны, равны
между собой. Из равенств ZACB = 2.A'B'D’ и
Z.A'B'D' = Z.ABD вытекает, что ЛАСВ = zLABD, а это
означает, что величина вписанного угла не зависит от
положения точки С на рассматриваемой дуге.
8. Метод параллельного переноса. В качестве еще
одного метола доказательства теоремы о вписанном угле
воспользуемся параллельным переносом.
Здесь также придется различать несколько случаев.
Предположим сначала, что сторона вписанного угла,
например АС, проходит через центр О окружности
(рис. 32).
Проведем через О прямую, параллельную ВС\ тогда
на основании теорем о соответственных и накрестлежа-
щих углах получаем, что центральный угол вдвое
больше вписанного.
Если теперь предположить, что центр О находится
внутри вписанного угла АСВ (рис. 33), то этот угол при
помощи параллельного сдвига можно привести в поло-
жение А'С'В', при котором сторона В'С' проходит через
центр. Тогда р' =§-?'» и поскольку СС' = ВВ' = АА' и,
28
следовательно, дуги АВ' + В'В и АВ' + А'А равны друг
другу, то опирающиеся на них центральные углы также
равны: ф = ф'.
Упражнение 25. Как проводится доказательство в случае,
когда О лежит вне вписанного угла?
Упражнение 26. Как выглядит доказательство, когда впи-
санный угол тупой?
9. Обратная теорема о
Сравнивая формулировку
санном четырехугольни-
ках, а также различные
доказательства их, мож-
но заметить, что между
ними существует некото-
рая двойственность. Ра-
венству углов в одних те-
оремах соответствует ра-
венство отрезков в дру-
гих, и наоборот. Посмот-
рим, не может ли это
соображение оказаться
плодотворным для дока-
зательства обратной тео-
ремы о вписанном четы-
рехугольнике. В качестве
вписанном четырехугольнике.
теоремы о вписанном и опи-
Рис. 34.
примера применения идеи
двойственности, которым можно будет руководство-
ваться и в дальнейшем, рассмотрим первое доказатель-
ство обратной теоремы об описанном четырехугольнике.
29
При этом мы будем стараться употреблять те же сло-
весные обороты, что и в п. 4 § 6 (рис. 34).
Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD суммы
противоположных углов равны а + 7 = 0 + б. Если аир
отличны друг от друга, то без нарушения общности
можно предполагать, что р > а и тем самым 7 > б. От-
ложим угол а от прямой АВ (В примем за вершину),
язляющейся одной из сторон угла р, и обозначим точку
пересечения другой стороны отложенного угла с AD че-
рез В'. Таким же способом отложим б от стороны DC
угла 7 и обозначим точку пересечения другой стороны
отложенного угла AD через С'. Наконец, пусть точкой
пересечения СС' и ВВ' будет А'. Полученные при этом
треугольники ABB', DCC' и СА'В будут равнобедрен-
ными; последний в виду равенства р — а = 7 — б. Оси
симметрии этих равнобедренных треугольников будут
одновременно биссектрисами углов АА'В'С' и поэтому
пересекаются в одной точке, отстоящей на одном и том
же расстоянии от всех четырех вершин четырехуголь-
ника. По это означает, что четырехугольник ABCD —
вписанный.
Достигнутый успех позволяет нам подобным же об-
разом использовать доказательство второй обратной тео-
ремы об описанном четырехугольнике. Возьмем произ-
вольный выпуклый четырехугольник ABCD (рис. 35).
Около треугольников АВС и ADC всегда можно опи-
сать окружности. Отрезок АС будет их общей хордой,
а точки В и D определяют некоторый двуугольник. Из
центров О\ и О2 обеих окружностей проведем радиусы
в вершины соответствующих треугольников. Будем счи-
30
тать, что центры О\ и О2 лежат внутри исходного четы-
рехугольника. В этом случае четырехугольник OtAO2C
называют дельтоидом; в нем Z OtAO2 s= Z О[СО2 == t.
Таким образом, используя равенство углов, отмеченных
одинаковыми значками, мы получим а + j — 2т = В 4- 3.
Но равенство а 4- 7 = ₽ 4- 8 возможно тогда и только
тогда, когда т = 0. А это означает, что вместо фигуры,
составленной из двух окружностей, налицо одна окруж-
ность и, таким образом, ABCD — вписанный четырех-
угольник.
Здесь, как и в случае с описанным четырехугольни-
ком, мы одновременно доказали как прямую, так и
обратную теоремы.
Упражнение 27. Исследуйте, возможен ли такой путь дока-
зательства, когда либо Oi, либо О2, либо оба эти центра одновре-
менно лежат вне четырехугольника ABCD.
Упражнение 28. Как упрощается последнее доказательство,
если воспользоваться соотношением между вписанным и централь-
ным углом?
10. Практическое использование теоремы о вписан-
ном угле. Обратную теорему о вписанном угле можно
сформулировать еще так: геометрическим местом точек,
из которых отрезок виден под данным углом, является
двуугольник, построенный на этом отрезке как на хорде,
на которую опирается данный угол, если рассматривать
его как вписанный. Это обстоятельство используется для
нанесения на карту местных предметов в так называе-
мом методе обратных засечек. Допустим, что мы нахо-
димся на местности (рис. 36) в точке Р, которую хотим
нанести на карту. Измерим угол АРВ, под которым ви-
ден из нашей точки некоторый отрезок АВ местно-
сти, легко находимый на карте. Пользуясь описанным
выше методом, мы отмечаем на карте геометрическое
место возможных положений точки Р в виде двууголь-
ника. Выполним еще одно такое построение для
угла ВРС. На пересечении обоих двуугольников мы по-
лучим интересующую нас точку Р. (Как будет обстоять
дело с однозначностью ответа?)
Наш способ имеет одно уязвимое место. Если четыре
точки Р, А, В, С случайно окажутся расположенными
на одной окружности, то получатся не два двууголь-
ника, а только один, и нанесение точки Р на карту
оказывается невозможным. Практически этот способ
31
становится уже неприменимым, когда четыре точки рас-
положены приблизительно по окружности.
Оставляя в стороне этот неблагоприятный случай
(на практике его можно сразу обнаружить), способ об-
ратной засечки нужно считать весьма полезным. Он на-
ходит себе применение не только на местности, но и при
Рис. 36.
каботажном плавании (в этом случае A, В, С — какие-
нибудь морские знаки).
11. Теорема о вписанном угле и вписанном четырех-
угольнике и разоблачение одного софизма. В одном из
часто преподносившихся в недавнем прошлом софизмов
доказывалось, что всякий треугольник является равно-
бедренным. Рассмотрим произвольный треугольник
АВС (рис. 37), в котором через О обозначим точку пе-
ресечения биссектрисы угла А с перпендикуляром, вос-
ставленным из середины стороны ВС; опустим на сто-
рону АВ перпендикуляр OF, а на сторону АС перпенди-
32
куляр ОЕ. Равенство треугольников AOF и АОЕ, ODB
и ODC и, отсюда, треугольников OFB и ОЕС доказы-
вается безупречно. 11з AF = АЕ (следствие равенства
первой пары треугольников) и BF =СЕ (следствие ра-
венства третьей пары) вы-
текает, что АВ = АС. Чем,
очевидно, и доказывается
предложение: все треуголь-
ники равнобедренные.
Понятно, что это дока-
зательство ложное. Ошибка
его в том, что точка О на-
несена на чертеже неверно.
Теорема о вписанном угле,
причем в очень поучитель-
А
Рис. 37.
ном варианте, указывает,
где в самом деле должна находиться точка О. Действи-
тельно, описав вокруг АВС окружность (рис. 38) и
обозначив через О середину дуги, расположенной под
хордой, мы, естественно, дол-
жны изображать перпендику-
ляр, восставленный из сере-
дины хорды ВС так, чтобы он
проходил через О. Но АО яв-
ляется биссектрисой угла ВАС
в силу равенства вписанных
углов, опирающихся на равные
дуги ВО и СО. Если рассма-
тривать теперь четырехуголь-
ник АВОС как вписанный, то
ZABO + гАСО = 2d. Если
один из этих углов острый, то
второй должен быть тупым и,
О
Рис. 38.
следовательно, если основа-
ние F перпендикуляра, опущенного из О, например
на АВ, упадет между Л и В, то основание Е пер-
пендикуляра, опушенного из О на сторону АС, будет
лежать на ее продолжении. Таким образом, из ра-
венств AF = АЕ и BF = СЕ никоим образом не следует
равенство АВ — АС.
Упражнение 29. Обсудите случай, когда ЛАВО =
= ЛАСО = d.
3 Зак. 1745. В. Литцман
33
§ 6. ТЕОРЕМЫ О ХОРДАХ И СЕКУЩИХ
1. Теорема об отрезках пересекающихся хорд. Пред-
положим, что хорды А1Д2 и В\В2 пересекаются в точке
Р, лежащей внутри круга. Тогда имеет место равенство
РА\• РА% = РВ\ 'PBz. Будем рассматривать рис. 39 как
поверхность полусферы, изображенную в плане; тогда
точка Р будет проекцией точки Pk на сфере; поверием
теперь полуокружность Л1РЛЛ2 так, чтобы она совпала
Рис. 39.
с плоскостью чертежа, и пусть при этом точка Рк упа-
дет в (РЛ). Из прямоугольного треугольника Ai(Pk) А2
по теореме о квадрате высоты получаем:
Р(Р,)2 = РД.РЛ2.
Подобно этому из прямоугольного треугольника
имеем:
Рр^РВ^РВ,,
что и доказывает теорему о хордах, пересекающихся
внутри круга J).
Упражнение 30. Докажите эту теорему, основываясь на
подобии треугольников AiB2P и В1Л2Л которое вытекает из тео-
ремы о вписанном угле (рис. 40).
2. Инварианты. В теореме о вписанном угле утвер-
ждается, что величина вписанного угла не зависит от
положения его вершины на окружности. Этим и выра-
жается некоторое инвариантное свойство. То, что сумма
углов треугольника равна двум прямым или что сумма
противоположных углов вписанного четырехугольника
J) Идея этого доказательства принадлежит Е. Салковскому,
34
равна двум прямым, также являются инвариантными
свойствами. В теореме о хордах мы также имеем дело
с инвариантом, а именно, с произведением длин отрез-
ков хорд или, на языке геометрии, с площадью прямо-
угольника, построенного на отрезках любой из этих
хорд. Такой прямоугольник можно построить, приняв
за его стороны отрезки любой из хорд, проходящих че-
рез фиксированную точку Р. Однако эту хорду можно
выбрать и специальным образом. Здесь возможны два
пути. Во-первых, можно рассматривать диаметр, прохо-
дящий через выбранную точку Р, во-вторых, перпенди-
кулярную к нему хорду, также проходящую через эту
точку. Заметим, что отрезки такой хорды будут равны,
и прямоугольник в этом случае превратится в квадрат.
Рассматривая такие две специальные хорды, а имен-
но, диаметр, распадающийся на отрезки РА{ и РА2. и
перпендикулярную к нему хорду, распадающуюся на
две равные полухорды, можно получить предложение
о квадрате высоты РВ2 = как частный случай
теоремы о пересекающих-
ся хордах. Хотя при вы-
воде этой теоремы пред- /7
положение о высоте уже / /7 \
было нами использовано, / // \
но по существу теорема
от него не зависит. тх / I
3. Теорема о секущих. /
В предыдущем пункте /у
мы предполагали, что
точка пересечения Р ле- т
жит внутри круга; как Рис. 41.
будет обстоять дело, ког-
да она окажется извне? В этом случае хорды АА2 и
В\В2 превращаются в секущие, проходящие через
указанную точку (рис.^ 41). Доказательства, которые
мы приведем ниже, опираются на теорию подобия
(см. упражнение 30). Треугольники РДВг и по-
добны, в силу чего
РАХ.РВ2 = РВХ.РА2
или
РАХ РА2 = РВ1-РВ2.
3*
85
последнее равенство записывается точно так же, как и
равенство, выведенное в п. 1. Запомним, что отрезки,
встречающиеся в этом равенстве, отсчитываются от
точки Р. Итак, соотношение между отрезками, выведен-
ное нами в п. 1, справедливо, независимо от того, яв-
ляется ли точка Р внутренней или внешней; оно имеет
силу как для двух, так и для любого числа прямых, про-
ходящих через точку Р, иначе говоря для целого пучка.
Поэтому мы можем выразить наши результаты следую-
щим образом.
Если прямые некоторого пучка пересекают окруж-
ность, то произведение отрезков каждой из этих пря-
мых, отсчитываемых от точки пересечения, инвариантно.
Этот инвариант называют степенью точки Р относи-
тельно окружности. Если приписывать отрезкам соот-
ветствующие знаки, то в случае, когда точка лежит вну-
три окружности, эти знаки будут различными, так как
отрезки имеют противоположное направление, а в слу-
чае, когда точка лежит
внутри — одинаковы-
ми, так как отрезки
будут одинаково на-
правленными. Таким
образом, степень внут-
ренней точки круга —
отрицательна, а внеш-
ней — положительна.
4. Теорема о секу-
щей и касательной.
Рассматривая каса-
тельную как предель-
ное положение секу-
щей, когда точки ее пересечения с окружностью Ах и Л2
(рис. 42) сливаются в одну точку Л, мы чисто формаль-
ным путем приходим к равенству
РА2 = РВХРВ2.
Переписав этот результат в виде пропорции
РВХ.РА=^РА,РВ2,
выразим его следующим образом. Если из какой-нибудь
точки вне окружности к ней проведена касательная, то
36
отрезок этой касательной есть средняя пропорциональ-
ная между отрезками любой секущей, проходящей через
эту точку.
5. Золотое сечение. Пусть задан некоторый отрезок
ВС. Восставим в одном из его концов С перпендику-
ляр АС = ^ ВС и из точки А как из центра опишем ок-
ружность радиусом АС; эта окружность будет касаться
отрезка ВС в точке С. Обозначим точки пересечения
секущей АВ с окружностью через D и Е; тогда DE «
= ВС (рис. 43). Применив к полученной фигуре теорему
Следовательно, отрезок BE разделился на такие две
части, что большая из них есть средняя пропорциональ-
ная между меньшей и всем отрезком.
Отрезок BE, обладающий таким свойством, мы полу-
чили в результате некоторого построения. Как же раз-
делить указанным выше способом отрезок, заданный
наперед? Обозначим его снова через ВС. Очевидно, же-
лаемая цель сразу будет достигнута, если мы перенесем
на отрезок ВС найденное отношение BD: DE, пользуясь,
например, теоремой о сторонах угла, пересеченного па-
раллельными прямыми. Для этого соединим С с Е, про-
ведем из D прямую, параллельную СЕ, которая и разде-
лит ВС в требуемом отношении.
Однако обычно поступают иначе: на отрезке В от
точки В откладывают отрезок, равный BD, полученная
точка F будет искомой. Чтобы доказать это, восполь-
зуемся одним предложением из теории пропорций: если
справедлива пропорция
BD'.DE = DE*BE.
37
то будет справедлива и пропорция
DE : (BE — DE) = BD : (DE — BD).
В этом проще всего убедиться, проверив, что произ-
ведения крайних членов и средних членов новой пропор-
ции равны между собой вследствие исходной пропор-
ции; действительно,
DEP — DE • BD = BE BD — DE- BD.
Но эту новую пропорцию можно переписать в виде
BC.BF = BF.FC.
Таким образом, точка F делит отрезок ВС желаемым
образом. Такое деление отрезка называют непрерывным
или гармоническим, или делением в среднем и крайнем
отношении, или золотым сечением.
Это деление было известно еще Пифагору; оно свя-
зано с построением правильного пятиугольника. Термин
«золотое сечение» появился только в 19 веке.
§ 7. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА
1. Результаты опыта. Длину окружности можно
найти, например, раскатывая ее как обруч вдоль неко-
торой прямой линии на один оборот, а еще лучше на не-
сколько оборотов, а затем деля длину найденного от-
резка на число оборотов. Проделав такой опыт, скажем,
с большой монетой, имеющей гладкие края, или с коле-
сом велосипеда, можно убедиться, что отношение длины
окружности к диаметру несколько превышает 3. Число,
выражающее это отношение, обозначают, как известно,
через тг.
Чтобы определить площадь круга, его покрывают
сеткой квадратов, стороны которых равны единице
длины. Обозначая через а число квадратов, лежащих
внутри круга целиком, а через b — число квадратов, ко-
торые окружностью пересекаются, можно считать при-
ближенной мерой площади круга число при этом
мы допускаем, что половина из рассеченных квадратов
лежит вне круга и половина внутри. Для проведения
этого опыта удобно воспользоваться миллиметровой бу-
38
магом, начертив на ней круг радиусом в 10 см, причем
достаточно рассмотреть только одну четвертую его часть,
или, может быть, даже одну восьмую. Результат такого
опыта показывает, что множитель, на который нужно
умножить квадрат радиуса, чтобы получить площадь
круга, есть число, близкое к тому числу тг, с которым
мы встретились при нахождении длины окружности.
Подсчет числа квадратов, о которых мы только что
говорили, можно заменить подсчетом числа узловых то-
чек квадратной сетки, попадающих внутрь круга. Такие
вычисления были предприняты Гауссом. Если через
f(r) обозначить число узловых точек квадратной сетки,
оказывающихся внутри круга радиуса г, то для числа
/(г)
~ ~ уа- получаются следующие значения:
г = 5 10 20 30 100 200 ЗОЭ
/(л) = 81 317 1257 2831 31417 125629 282697
=3,24 3,17 3,1425 3,134 3,1417 3,140725 3,14107
Г2
Изучая эту последовательность чисел, мы замечаем,
что она стремится к истинному значению к =3,1415926...
совсем неравномерно. При г = 20 второй знак после
запятой оказывается уже верным, но следующее значе-
ние становится менее точным.
Вместо длительного подсчета квадратов или узловых
точек можно, конечно, произвести более решительный
опыт: из однородной плотной бумаги постоянной тол-
щины вырезать круг радиуса 10 см и взвесить его воз-
можно точнее на весах, а затем сравнить найденный вес
с весом квадрата со стороной в 10 см, вырезанного из
такой же бумаги.
2. Соотношение между длиной окружности и пло-
щадью круга. Разделим круг на двенадцать одинаковых
секторов, как это часто делают хозяйки, разрезая торт.
Составим теперь кусочки торта так, как это показано
на рис. ’44. Таким образом, мы получим фигуру, напо-
минающую параллелограмм, в которой одна пара па-
раллельных сторон составлена из дуг. Какой вид примет
фигура, если вместо двенадцати одинаковых секторов
взять 24? Прежде всего, стороны, составленные из дуг,
приблизятся к отрезкам AD и ВС* Затем угол АВСХ
39
который был до этого равен 90° + 15° = 105°, теперь ста-
нет равным 90° + 1{!ъ = ЭТ’/г0. Ну, а дальше? Что про-
изойдет, если число секторов будет и далее увеличи-
ваться? При достаточно большом их числе составленные
из маленьких дужек стороны AD и ВС практически не
будут отличаться от прямых AD и ВС» а угол АВС на-
столько приблизится к прямому, что станет от него не-
отличим. Увеличивая число секторов, мы неограниченно
приближаемся к прямоугольнику, в котором длина боль-
шей стороны равна длине полуокружности, а длина
меньшей — радиусу. Но площадь каждой получавшейся
Рис. 44.
у нас фигуры в точности равнялась площади круга. Та-
ким образом, мы нашли зависимость между длиной
окружности С, площадью круга S и ’радиусом круга г:
S-ЦгС.
Упражнение 31. Какой вид примет фигура и соответствую-
щее рассуждение, если число секторов взять нечетным?
Упражнение 32. Отделите от фигуры половину крайнего
сектора и приставьте его с другой стороны. Как упростится при
этом рассуждение?
Это соотношение весьма существенно облегчает вы-
числение длины окружности и площади круга. Доста-
точно найти одну из этих величин, тогда по формуле
сразу можно получить вторую. При этом подтвер-
ждается наше предположение из п. 1: там мы нашли,
что С = tcD, где D — диаметр, т. е. D = 2г, и допустили,
что множитель k в формуле С = kr2 равен тс. Так оно и
есть в действительности:
^г-~-2г = ~г2.
Отметим еще одно упрощение. Оно состоит в том,
что нет необходимости вычислять длину каждой окруж-
40
ности или площадь каждого круга в отдельности.
В конце концов дело сводится к тому, чтобы найти мно-
житель к, входящий в формулы С = 2ъг и S = ттг2. Та-
ким образом, проведя вычисление, например, для ок-
ружности радиуса в 1 см или в 10 см, мы тем самым
исчерпали проблему вообще.
К вычислению длины окружности и площади круга
сводится также вычисление длины дуги и площади сек-
тора. Если Ь — дуга окружности, а ф— соответствую-
щий ей центральный угол, измеренный в градусах, то из
пропорции
2гг : b = 360 : ф
получим для длины дуги формулу
Ь = -ГГ^-
и 360 •
Площадь сектора с с центральным углом ф, измерен-
ным в градусах, выразится формулой
° ““Збб" ’
которая сразу получается из пропорции
тгг2: а — 360 : <?.
Если в выражении для площади сектора заменить
длину дуги через Ь. то получается другое выражение
для площади в виде
3. Вычисление площади круга
методом трапеций. Площадь кру-
га, или, для упрощения задачи, пло-
щадь одной четверти круга, можно
найти еще так называемым методом
трапеций. Следуя этому методу,
часто встречающемуся в практи-
ке вычисления площадей, мы раз-
биваем круг на полосы одинаковой
принимаются за трапеции (рис. 45).
ширины, которые
Затем вычисляем
их площади и полученные результаты складываем.
Можно сразу же заметить, что для длинных полос та-
кая замена влечет за собой сравнительно небольшую
41
раллельную
площадь
всех
ошибку; серьезнее обстоит дело с короткими полосами,
особенно с последней, вырождающейся в треугольник.
Поэтому мы постараемся несколько улучшить этот ме-
тод (рис. 46). Проведем из середины С одного гранич-
ного радиуса ОВ нашей четверти круга прямую CD, па-
другому граничному радиусу ОА. Тогда
ADOC = 60°, ZODC = 30°- Со-
гласно только что описанному ме-
тоду трапеций, найдем площадь
фигуры AOCD, отнимем от нее тре-
угольник ODC, равный половине
равностороннего треугольника ODB,
и получим площадь сектора OAD\
отсюда уже сразу можно найти
полную площадь круга. Практиче-
ски работу можно выполнить так:
аккуратно начертить окружность и
полосы, возможно точнее измерить
длины отрезков, а затем вычислить
трапеций. Можно, однако, найти длины
полос и вычислительным путем, пользуясь для этого
теоремой Пифагора, которая гласит: квадрат ги-
потенузы прямоугольного треугольника равен сумме
квадратов катетов. Примем радиус окружности равным
10 см и разделим его на пять частей. Тогда ширина (вы-
сота) каждой трапеции будет 1 см. Вычислим длины па-
раллельных отрезков (оснований). Прежде всего О А =
= 10 см. Далее, из прямоугольного треугольника OCHt
находим CjAt = /102—I2 = /99. Таким же путем
для остальных отрезков получаем:
С2А2 = /ТО2 - 22 = /96, С3Д — /91,
С4Л4=/84, CD = /75.
Корни можно вычислить либо непосредственно, либо
найти по таблицам. Площадь трапеции с основаниями а
и b и высотой ht как известно, равна —Л. Так как
h = 1, то площадь фигуры ADCO выразится суммой
О, = 5+ /99 + /96 + /91 4- /84 + /75.
42
Площадь треугольника OCD равна 2,5- V75. Те-
перь можно вычислить площадь всего круга; она оказы-
вается равной 313,6; таким образом, к = 3,136. В самом
деле, значение тс с пятью верными цифрами равно
3,1416. При помощи этого метода можно добиться сколь
угодно большой точности, нужно лишь число полос
взять достаточно большим.
4. Вычисление с помощью правильных многоуголь-
ников. Для вычисления тс было предпринято бесчислен-
ное множество попыток. К этой задаче пробовали по-
дойти геометрически, пытаясь с помощью циркуля и ли-
нейки построить такой квадрат, площадь которого была
бы равна площади круга или периметр которого рав-
нялся бы длине окружности. Это не удалось сделать, и
лишь примерно через 2000 лет после первых попыток не-
мецкий математик Линдеман доказал, что этого во-
обще нельзя было достигнуть. Затем начались поиски
наилучших приближенных методов для таких построе-
ний. Было найдено множество методов. С другой сто-
роны, задачу пытались поставить как чисто вычисли-
тельную. При этом сначала тоже нужно было преодо-
леть одно затруднение: если допускалось извлечение
корней произвольной степени или решение уравнений
н-й степени, то численное значение тс все равно получа-
лось неточным. Современные методы позволяют вычис-
лить число тс с любой наперед заданной точностью; на-
пример, его можно представить в виде бесконечного
ряда. Этим вопросом мы здесь заниматься не будем,
а ограничимся лишь указанием некоторых совсем эле-
ментарных способов вычисления тс (с любой точностью!).
Вопрос о приближенном вычислении длины окруж-
ности и площади круга тесно связан с построением
правильных многоугольников.
С помощью правильных вписанных и описанных мно-
гоугольников можно простым способом получать верх-
ние л нижние границы как для длины окружности, так
и для площади круга. Так, например, периметр правиль-
ного вписанного шестиугольника = 6г является ниж-
ней границей длины окружности, а периметр соответ-
ствующего описанного шестиугольника Рб^4У З’Г —
верхней границей. Подобно этому, например, площадь
вписанного квадрата = 2г2 — нижняя, а площадь
43
описанного квадрата S4 = 4r2— верхняя граница пло-
шали круга. Эти границы, конечно, весьма широкие.
Вследствие замечания из п. 2 достаточно провести
вычисление либо только для длины окружности, либо
только для площади круга. Таким образом, нам открыты
два пути, и вопрос лишь в том, как в каждом отдельном
случае можно достаточно сузить границы. Для этого
нам нужно найти какой-нибудь закон, позволяющий
непрерывно увеличивать число сторон многоугольника.
Оказывается удобным, например, делать это при по-
мощи удвоения, переходя от n-угольника к 2и-уголь-
нику. Здесь опять есть два пути: либо закрепить длину
окружности (или площадь круга) и менять периметр и,
соответственно, площадь многоугольника, либо, наобо-
рот, закрепить периметр или площадь многоугольника
и менять радиус вписанного и, соответственно,
описанного круга. Таким
образом, мы располагаем
всего четырьмя возможно-
стями.
5. Вычисление длины
окружности при постоянном
радиусе. В наших рассуж-
дениях мы будем пользо-
fl' ваться: 1) соотношением
между сторонами правиль-
ного вписанного и описан-
ного n-угольников и 2) соот-
ношением между сторонами вписанного л-угольника и
сторонами вписанного 2л-угольника. Для вывода этих
соотношений мы воспользуемся теоремой Пифагора и
признаком подобия треугольников, имеющих по два рав-
ных угла.
Пусть АВ = оп — сторона n-угольника (рис. 47),
АС' = а 2п—сторона 2/г-угольника, вписанных в окруж-
ность радиуса 1. Пусть С—точка пересечения АВ
с ОС'. Тогда
= 1—1 а2
у 4 п ’
а1п 7 ап >
и, следовательно,
44
Возводя в квадрат, получаем
“i. - 4 а; = 1 - 2 / +1 - т
откуда ____________
—/4 —Л2.
Таким образом, зная ап, всегда можно найти а2л.
Так, например, если а6 = 1, то
Легко заметить, что при переходе от заданного зна-
чения ап к а2> мы всегда сталкиваемся с вычислением
квадратного корня.
Сторону Ап описанного n-угольника мы получаем
с помощью пропорции1)^
Дп:ал = ОС':ОС;
отсюда, в силу того, что ОС' = 1, и
ос=1/4=4,
получаем:
То обстоятельство, что при неограниченном возраста-
нии п периметры вписанных и описанных многоугольни-
ков стремятся к одному и тому же пределу, а именно
’) Эта пропорция является следствием второго признака подо-
бия. Но воспользовавшись теоремой о том, что площади двух тре-
угольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения
сторон, заключающих равный угол, эту пропорцию можно доказать
и без ссылки на подобие фигур. Для этого мы дважды запишем
отношение площадей треугольников О А'С' и О АС и приравняем эти
отношения друг к другу:
О А'. А'С' :ОА- АС — О А' • ОС': О А • ОС.
Отсюда следует
А'С': АС = ОС': ОС
и поэтому также
А'В': АВ —ОС': ОС.
45
к длине окружности, вытекает из того, что при неогра-
ниченном возрастании п отношение периметров
рп-рп=1
стремится к единице.
Упражнение 33. Вычислите сторону правильного шести-
угольника, описанного около окружности радиуса 1.
Вычисление сторон и периметров последовательных
вписанных и описанных правильных многоугольников
по этой формуле оказывается весьма затруднительным,
так как из выражений, содержащих квадратные корни,
снова приходится извлекать квадратные корни. В учеб-
никах обыкновенно даются таблицы, пользуясь кото-
рыми можно, начиная, например, с шестиугольника,
шаг за шагом продвинуться до 96-угольника.
Упражнение 34. Выразить Л2л через ап\
Упражнение 35. Выведите следующие две формулы для
периметров:
2 (т7+лг): = УРп-Р^-
Соотношения, приведенные в этих упражнениях, уп-
рощают вычисления. Исходя из периметра вписанного и
описанного n-угольника, можно вычислить сначала пери-
метр описанного 2л-угольника, а затем периметр вписан-
ного 2/г-угольника, не заботясь при этом об а2/1 и А2п-
Упражнение 36. Перейдите от 6-угольника к 12-угольнику,
а от него к 24-угольнику. Какие границы получаются при этом
для Я?
6. Вычисление площади круга при постоянном ра-
диусе. Площадь fn треугольника ЛОВ (рис. 47), являю-
щегося частью правильного вписанного /г-угольника,
равна
_ апОС _ ап V 4 — aj,
Jn— 2 ~ 4
Площадь f2n треугольника АОС\ являющегося ча-
стью соответствующего правильного вписанного 2и-
угольника, равна
f _ ОС' -АС _ ап
J2n— 2 4 ’
46
Площади Fn и Г2я мы снова можем найти, восполь-
вовавшись подобием треугольников АОС и А'ОС':
Следовательно,
Fn:/„=1:OC<
р _ ап .
п~ V^n ’
аналогично получаем
р —__________________________ап
2п 2+У4^„‘
Площади и-угольников будут равны sn — n-/n»s2n =
= 2п-/2л; Sn 52я = 2п-/-2л. Пользуясь найден-
ными выражениями, легко полу-
чить рекуррентные формулы
S2”=т + $;) ♦
Таким образом, зная s„ и со-
ответственно Sn можно сначала
найти s2n, а затем S2n и продол-
жать этим путем вычисления как
угодно далеко.
Упражнение 37. Начав с ква-
драта, перейдите к 8-угольнику, а затем
к 16-угольнику.
Какие границы получаются при
этом для те?
7. Вычисления при постоянном периметре и перемен-
ном радиусе. Пусть а„ — сторона правильного л-уголь-
ника и пусть Rn соответствующий радиус описанной,
а гп — вписанной окружности.
Так, например, для л = 4 и ал= 1 мы имеем:
Rn=±V'2, гп=У.
Обозначим на рис. 48 хорду АВ через ап, а точки
пересечения окружности, описанной около правильного
л-угольника с перпендикуляром OD, восставленным из
середины хорды, через С и О'\ причем пусть С лежит
вне отрезка OD этого перпендикуляра за точкой D,
а О' — за О. Через середину D' отрезка DO' проведем
прямую, параллельную АВ, пересекающуюся с АО' в А',
47
а с ВО’ — в В'. Тогда А'В' = у ап = а^п' и вся задача
сводится к тому, чтобы по найденной стороне а2л вы‘
числить соответствующие значения радиусов /?2л —
= О'А' и г in = O'D'. Мы имеем
O’D’ = ~ (0'0 4- OD),
ИЛИ
^2п 2 “Н U’
В прямоугольном треугольнике О'АС по теореме
Евклида О'А2 = О'С • O'D. Это дает нам
(2/?2л)2 = 2/?л • 2г2л.
Откуда следует /?2л = V Rn • г2п.
Таким образом, исходя из Rn и гл,совершенно также
как в п. 5 и 6 можно вывести рекуррентные формулы
сначала для г2л, а затем для /?2л и продолжать этим
же путем вычисление как угодно далеко.
Упражнение 38. Начав с правильного шестиугольника с пе-
риметром 6, перейдите затем к 12-угсч»,нику и 24-угольннку. Какие
границы получаются при этом для i ?
8. Вычисления при постоянной площади и перемен-
ном радиусе. Вместо того, чтобы в правильном много-
угольнике оставлять неизменным
периметр, можно считать по-
стоянной его площадь и, удваи-
вая число сторон, все более и
более сближать между собой
описанные и вписанные окруж-
ности. Пусть площадь треуголь-
ника О АВ (рис. 49), являюще-
гося частью правильного «-уголь-
ника равна / ; нам нужно
превратить его в два треуголь-
ника OCD и OED, являющихся
частями правильного 2л-угольника и имеющих такую же
общую площадь, как и АЛОВ. Мы не будем здесь за-
ниматься подробным вычислением, а дадим лишь конеч-
ный результат. Между радиусами вписанной окружности
48
гп и r2n и радиусами описанной окружности 7?„ и Т?2я
имеют место соотношения
= О)
Г2Л=у(/?2,.4-^). (2)
Читатель может вывести их самостоятельно, поль-
зуясь следующими указаниями: формула (1) получается
сразу же из условия равенства площадей треугольников
AOF и COD (т. е. половины площади треугольника, из
которых составляется л-угольник и площади треуголь-
ника, из которых составлен 2л-угольник) и из теоремы
о том, что площади треугольников, имеющих по рав-
ному углу, относятся как произведения сторон, заклю-
чающих эти углы. При выводе второй формулы можно
снова исходить из равенства: /\ОАВ = 2A0D£, откуда
по
гп • ап == 2г2л • а2п. Затем, например, у ап и -^а2п можно
выразить через rn. R2n* гчп с помощью теоремы Пи-
фагора. В этих преобразованиях целесообразно пользо-
ваться формулой (1).
9. Пифагоровы тройки чисел и окружность. Во всех
четырех случаях вычисления числа тг, рассмотренных
в предыдущих пунктах, мы сталкиваемся с одними и
теми же трудностями: каждая рекуррентная формула
содержит квадратные корни, которые постоянно наслаи-
ваются друг на друга, и при численных вычислениях по-
рождают неточности. Возникает вопрос, нельзя ли вме-
сто иррациональных приближений для и, которые да-
вали нам все до сих пор рассмотренные методы, найти
рациональные приближения с помощью обыкновенных
дробей? Здесь приходят на помощь пифагоровы тройки
чисел. Известно, что существуют целые числа, которые
удовлетворяют уравнению
а^Ъ2 = с\
выражающему теорему Пифагора; более того, известно,
что таких чисел бесконечное множество.
Запишем это уравнение в виде
(4)’+(4)=>-
4 Зак. 1745. В. Литцман
49
вать рациональной точкой
приводящих к ответу на
На рис. 50 изображена четверть круга радиуса 1; отло-
жим от центра вдоль горизонтального радиуса отрезок
я
длиною х — — , а затем из полученной точки восставим
b
перпендикуляр длиною у — тогда мы попадем
в точку, лежащую на нашей окружности. Для краткости
точку с рациональными координатами мы будем назы-
окружности. Один из путей,
поставленный выше вопрос,
будет такой: нанесем на
окружность достаточное ко-
личество близко располо-
женных рациональных то-
чек, как это сделано на
рис. 50, построим трапеции,
определяемые каждой па-
рой соседних точек, по-
добно тому как это дела-
лось в п. 3 (которые теперь,
конечно, не будут равной
ширины), и вычислим их
площадь. Этот путь изба-
вляет нас от вычислений
с радикалами, хотя еще не
совсем ясно, действитель-
но ли будет вычисление с дробями проще, чем вычисле-
ние с квадратными радикалами, для которого всегда
можно воспользоваться таблицами.
Чтобы дать читателю возможность провести подоб-
ное вычисление, укажем, как можно построить доста-
точно плотное множество рациональных точек. Положим:
_ 2k 1—Л2 .
Х~ 1+Л2 ’ 1+*2 ’
если k принимает, например, числовые значения 0; 0,1;
0,2; ... 0,9; 1, то х и у будут рациональными. С другой
стороны, мы имеем:
л ' у ~ (1+*2)2
1;
таким образом, мы действительно получили рациональ-
ные точки окружности. Для упрощения вычислений
можно вместо полной четверти круга взять часть ее,
50
рассматривая вспомогательный равносторонний тре-
угольник подобно тому, как мы это делали в п. 3.
Правда, при этом приходится все же иметь дело с од-
ним иррациональным значением, а именно, с /3.
10. Треугольники вместо трапеций. Вместо того,
чтобы делить круг на трапеции, можно разбить его на
треугольники; для ©того нужно каждые две соседние
рациональные точки окружности соединить с центром,
а в качестве третьей стороны взять соединяющую их
хорду. Пусть, например, хц у\ и Хг, У2 две такие точки
на окружности; тогда, как это следует прямо из чертежа,
площадь треугольника выразится формулой
Л. 2 = 4 +(*2 — Xj)(У,-ьу2) — Хгу21 = 4
Конечно, если хотят получить не только нижнюю гра-
ницу, но и верхнюю, то помимо вписанной ломаной, со-
ставленной из хорд, нужно еще рассмотреть соответст-
вующую описанную ломаную, составленную из отрезков
касательных. При этом можно убедиться, что. пользуясь
даже такими неправильными вписанными и описанными
многоугольниками, мы получаем как общий предел ок-
ружность, если только число рациональных точек не-
ограниченно увеличи-
вается. Соответствующие
вычисления, как для впи-
санных, так и для описан-
ных ломаных, не встре-
чают принципиальных
затруднений.
11. Еще один метод.
Использование рацио-
нальных точек окружно-
сти открывает. самые
разнообразные возможно-
сти для вычисления к помимо способа, основанного
на вписывании ломаных. В заключение мы позна-
комимся еще с одним способом, в котором на первом
плане стоят описанные ломаные. Разделим радиус ОВ
(рис. 51) на п равных частей. Пусть Вк и Вклх две со-
седние точки. Таким образом, если круг — единичный,
то —Пусть, далее, прямая АВк пересекает
4*
51
окружность в точке Рк, a ABk+1 —в Рл+1. Точку пере-
сечения касательных, проведенных к окружности в точ-
ках Рк и РЛ+1, обозначим через Т k. Вычислим теперь
площадь Fk четырехугольника OPkTkPk^x. Так как
= РЛ| то этот четырехугольник составлен из
двух равных и кроме того прямоугольных треугольни-
ков OPkTk и OPk^Tk. Положив PkTk = Рыл?* = х»
мы получим для плошади Fk четырехугольника то же
самое значение х.
По теореме о вписанном угле Z.PkOTk= ^Р^АРь+л-
Рассмотрим теперь еще треугольник АВкВклХ, один из
углов которого равен углу PkOTk. Вследствие предло-
жения о том, что площади треугольников, имеющих по
равному углу, относятся как произведения сторон, за-
ключающих этот угол, мы с одной стороны имеем;
ДОР^л
ОТ*'
АВк-АВк+\ ’
а с другой
Здесь
&ABkBk+x “JL
п
OTk = Vl+x^
Подставляя эти значения в первое выражение, по-
лучим:
/\ ОРк Тк 2 -и /~ 1 + х2
&ABkBk+i ~П V (л’4-Л2Ил’ + (* + 1)2] ’
Приравняем теперь оба выражения и, чтобы изба-
виться от радикалов, возведем обе части равенства
в квадрат. Тогда получим:
.2.2 - Я,(»+-*г)
П (Л» + ^)|п2 + (* + О2] ’
или, после упрощений,
х2|«2Ч-Л(ЛН-1)12 = л2.
52
Извлекая корень, получим:
л
Л—«» + *(* +1) *
Таким образом, для площади F^ рассматриваемого
четырехугольника мы получили рациональное значение
р —_______п_____
1 * n^ + k(k + l) •
Если по этой формуле вычислить площадь описан-
ного многоугольника, полагая п = 10, k = 0; 1;...; 9, то
получим значение и ~ 3,149.
Не составляет большого труда вычислить площадь
соответствующего вписанного четырехугольника. Затем
можно оценить разность между площадями описанного
и вписанного многоугольников и показать, что при уве-
личении числа сторон обе площади неограниченно стре-
мятся к общему пределу.
12. В этом параграфе, как, впрочем, повсюду в этой
маленькой книжке, мы ограничивались элементарными
методами геометрии и арифметики, причем для доказа-
тельств привлекались весьма немногие теоремы из тео-
рии площадей, теории подобия или теории уравнений.
Но и здесь обнаруживается, насколько тесной оказы-
вается связь между элементарными методами и теми
методами, которые применяются в самых сложных раз-
делах математики. Тот, кто задумывался над однотип-
ностью построения рекуррентных формул в наших пер-
вых четырех методах вычисления z, возможно пытался
отыскать объединяющую их идею. И действительно, она
обнаруживается сразу, как только в рассуждениях по-
является тригонометрия.
Далее может возникнуть вопрос, можно ли, начав
с конечного числа многоугольников, впоследствии строго
обосновать предельный переход? Развивая эту мысль,
мы столкнулись бы с так называемыми бесконечными
произведениями или бесконечными рядами, т. е. с выра-
жениями, содержащими неограниченно возрастающее
число сомножителей или слагаемых. Именно здесь про-
ходил путь, который привел к полному решению задачи
и которым следовали (сначала более интуитивно) такие
математики как, например, Виета, а затем и другие,
53
выдвигая все более строгие требования к формулиров-
кам определений и к проведению доказательств.
Однако несмотря на то, что появились более сильные
методы, совсем не утратили своей привлекательности
элементарные методы, как, например, те, которые опи-
саны в этой книжке; напротив, можно констатировать,
что в работах по теории круга, появившихся в послед-
ние годы, даже в этой области простейших основных по-
нятий раскрылись новые стороны вопроса. И уже ни-
коим образом не следует, что усиленные занятия этой
древней проблемой должны были бы к нынешнему вре-
мени полностью ее исчерпать.
§ 8. МНОГОУГОЛЬНИКИ, СОСТАВЛЕННЫЕ
ИЗ ДУГ, И ЛУНОЧКИ
1. То обстоятельство, что площадь круга поддается
вычислению, существенным образом расширяет возмож-
ности нахождения площадей некоторых других замкну-
тых фигур. Напомним в связи с этим, что, овладев ка-
кой-нибудь одной формулой, выражающей площадь
треугольника (например, S = aha. где а — сторона
треугольника, a ha—соответствующая ей высота), мы,
в принципе, можем найти площадь любого многоуголь-
ника; для этого его только нужно разбить на треуголь-
ники. Такой подход к использованию площади круга
возможен только при вычислении площадей замкнутых
фигур, ограниченных либо исключительно дугами ок-
ружностей, либо дугами и отрезками. В самом деле, на-
хождение площади любого сектора не вызывает затруд-
нений, поэтому можно найти площадь любого сегмента,
рассматривая его как разность (или сумму) сектора и
треугольника. Еще греческие математики пользовались
некоторыми замечательными по своим свойствам много-
угольниками, составленными из дуг. Укажем в каче-
стве примера две фигуры Архимеда, величайшего
древнегреческого математика: арбелон (фигура, имею-
щая форму искривленного сапожного ножа) и салинон
(можно перевести как бочонок для соли). Арбелон есть
дуговой треугольник, образованный полуокружностями,
построенными на некотором отрезке и на двух его со-
54
ставных частях. Салинон — это дуговой четырехуголь-
ник, составленный из четырех полуокружностей и обла-
дающий осевой симметрией.
Упражнение 39. На рис. 52, 53 названные выше дуговые
многоугольники вычерчены жирными линиями; помимо них на
каждом из этих рисунков име-
ется еще круг. Мы утверж-
даем, что площадь каждого
круга равна площади соответ-
ствующего многоугольника. До-
кажите это.
2. Луночки Гиппократа. На рис. 54 изображен пря-
моугольный треугольник, на гипотенузе и катетах кото-
рого как на диаметрах построены полуокружности, об-
ращенные в одну сторону. При этом образуются два дву-
угольника, составленные из дуг окружностей, называе-
мые луночками (на рис. 54 они за-
штрихованы). Эту фигуру часто
приписывают Гиппократу, гре-
ческому математику, жившему около
440 г. до н. э. (т. е. вадолго до Е в-
клида), много занимавшемуся за-
дачей о квадратуре круга. Но по
современным данным предложение
о луночках впервые встречается
около 1000 г. н. э. у одного арабского писателя, и на За-
паде оно стало известным лишь в 17 веке. Если основы-
ваться на греческих источниках, в которых упоминается
эта работа, то Гиппократу можно приписать лишь тот
частный случай, когда прямоугольный треугольник
является равнобедренным; другими словами, он нашел
площадь двуугольника, образованного полуокруж-
ностью и дугою в четверть окружности. Рисунок 55
представляет не что иное, как четыре настоящие луночки
Гиппократа, расположенные специальным образом.
Рис. 54.
55
Упражнение 40. Докажите, что сумма площадей заштрихо-
ванных луночек (рис. 54) равна площади прямоугольного тре-
угольника.
Упражнение 41. Как связаны между собою площадь квад-
рата на рис. 55 и площади прилежащих к нему луночек?
3. Рассмотренный выше пример представляет собой
замечательный случай квадратуры. Известно, что с по-
мощью линейки и циркуля нельзя построить такой
квадрат, площадь которого равнялась бы площади дан-
ного круга. В случае
же двуугольника, со-
ставленного из дуг ок-
ружностей, это оказы-
вается возможным:
сначала можно по-
строить равновеликий
ему треугольник, а за-
Рис. 55.
Рис. 56.
тем, если требуется, квадрат. Нетрудно указать и другие
дуговые многоугольники, которые также допускают
квадратуру. На рис. 56 изображен дуговой треугольник,
построение которого понятно без объяснения. Он допу-
скает квадратуру.
Упражнение 42. Какая фигура, ограниченная прямолиней-
ными отрезками, равновелика дуговому треугольнику, изображен-
ному на рис. 56?
Займемся теперь вопросом, какие двуугольники, или,
как мы их назвали, луночки допускают квадратуру. Эту
задачу можно высказать иначе так: как найти те лу-
ночки, для которых при помощи циркуля и линейки
можно построить равновеликие им треугольники или че-
тырехугольники?
56
4. Построение вспомогательного треугольника. Преж-
де чем перейти к интересующему нас вопросу, пост-
роим вспомогательный треугольник АВС со сторонами
ВС = а, АС = 0^3, АВ = aV 1 + 3, где а — произ-
вольный отрезок. Это нетрудно сделать, так как по за-
данному а две другие стороны треугольника можно
найти с помощью циркуля и линейки (сторону АВ как
среднюю пропорциональную между ВС и АС + ВС).
Рис. 57.
Проведем в этом треугольнике (рис. 57) биссектрису
CD угла 7. Тогда /\CBDoo Z\ABC. Чтобы это дока-
зать, вспомним свойство биссектрисы внутреннего угла
треугольника, согласно которому
AD : DB = АС : ВС = /3 : 1
и, так как
то
DB = aKi +/3-------— = г—-^. .
1+/3 /1+/3
Треугольники CBD и АВС имеют общий угол р и
стороны их, прилежащие к этому углу, пропорцио-
нальны.
Действительно,
СВ: DB — a : = V1 +/3
57
и ______
АВ : СВ = a+ /3 : а = У 1 + /'3.
Таким образом, по первому признаку подобия они
подобны. Отсюда 7 = 2а и по теореме о внешнем угле
треугольника имеем:
Р' = 3а.
5. Построение луночки, допускающей квадратуру.
После такой несколько затянувшейся подготовки мы
вернемся к нашей задаче. Построим зеркальное отраже-
ние нашего вспомогательного треугольника АВС отно-
сительно стороны АВ и получим точку С', соответствую-
щую точке С. Из точки А как из центра радиусом АС
опишем дугу; то же сделаем из точки В радиусом ВС.
Мы утверждаем, что наша специальная луночка равно-
велика дельтоиду АСВС\ т. е. допускает квадратуру.,
Пусть S — площадь луночки, Sa — площадь сектора
круга с центром в A, Sb — площадь сектора с центром
в В и, наконец, Sd—площадь дельтоида АСВС'; тогда
S = Sb -f- Sd Sa.
Но
— it (а V З)2и Sb = ™?^,
т. е.
Sa--=Sb
и, следовательно,
s=sd.
6. После построения такой специальной луночки пе-
рейдем к вопросу о существовании других луночек, до-
пускающих квадратуру. Удачным будет такой подбор
величин (если воспользоваться обозначениями рис. 57),
чтобы удовлетворялись соотношения а : — р : q и од-
новременно АС : ВС = Vq : V Р- В случае, рассмотрен-
ном в п. 4 и 5, было р = 1 и q = 3. Теперь осталось
только выяснить, можно ли с помощью циркуля и ли-
нейки построить соответствующий треугольник АВС.
Известно, что это можно сделать только в следующих
случаях (помимо указанного):
1) р — 2, <7^3, 2) р— 1; <7 = 5. 3) р = 3; <7 = 5.
Само построение из-за недостатка места мы здесь опус-.
58
тим. Если читатель пожелает его выполнить, то ему
можно порекомендовать начинать построение с первого
случая, который родствен рассмотренному в п. 4.
Мы указали здесь всего пять луночек, допускающих
квадратуру. Они являются единственными до сих пор
известными; но все еще не доказано, действительно ли
они являются единственными из существующих или
имеются еще и другие луночки, допускающие квадра-
туру. На этом остающемся без ответа вопросе, который
снова показывает, что и в математике есть проблемы,
кажущиеся совсем простыми только благодаря доступ-
ности их формулировки, но которые все еще ждут своего
решения, мы и закончим наш рассказ про старое и но-
вое о круге.
ЛИТЕРАТУРА
Евклид, «Начала», перев. с греч., т. I—3, М.—Л., 1948—1950.
О квадратуре круга. (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр.)
С приложением истории вопроса, перев. с нем., 3-е изд., М.—Л.,
1936.
Адам ар Ж., Элементарная геометрия, ч. 1, перев. с франц.,
М., 1948.
Перепелкин Д. И., Курс элементарной геометрии, ч. 1, М.—Л.,
1948.
Радемахер Г., Теплиц О., Числа и фигуры, перев. с нем.,
2-е изд., М—Л., 1938.
Я г л о м И. М., Болтянский В. Г., Выпуклые фигуры, ЛА.—Л.,
1951.
Л и т ц м а н В., Теорема Пифагора, перев. с нем., At, 1960.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ........................................... 3
§ 1. Введение ... 5
§ 2. Определение круга и окружности.................... 7
§ 3. Осевая симметрия круга............................ И
§ 4. Описанные треугольники и четырехугольники........ 17
§ 5. Теоремы о вписанном угле и вписанном четырехугольнике 22
§ 6. Теоремы о хордах и секущих....................... 34
§ 7. Длина окружности и площадь круга ................ 38
§ 8. Многоугольники, составленные из дуг, и луночки .... 54
Литература............................................ 59
Вальтер Литцман
Старое и новое о круге
Редактор А, П. Баева
Техн, редактор 3. М. Петручук Корректор И. С. Цветкова
Сдано в набор 22/VHI 1960 г. Подписано к печати 22/XI 1960 г. Бумага 84xlO8/Si.
Фнз. печ. л. 1,875. Условн. печ. л. 3,08. Уч.-изд. л. 2,80.
Тираж 25 000 экз. Т-09000. Цена книги 85 к. С 1/1 1961 г. цена 9 к. Заказ № 1745.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Типография К» 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовиархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.