Автор: Колмогоров В.Л. Джонсон У. Рид С.Р. Корбетт Г.Г.
Теги: прочность сопротивляемость механика деформируемых тел упругость деформация механическая энергия сохранение механической энергии физика механика физика твердого тела твердое тело
ISBN: 5—7691—1748—6
Год: 2006
Текст
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК • УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
В.Л. Колмогоров, У. Джонсон,
С.Р. Рид, Г.Г. Корбетт
УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ
И РАЗРУШЕНИЕ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
ОБЗОР И НОВАЯ ТЕОРИЯ
ЕКАТЕРИНБУРГ, 2006
УДК 539.42:539.375+531.66
Колмогоров В.Л., Джонсон У., Рид С Р.,
Корбетт Г.Г. Ударное нагружение и разрушение твер-
дых тел: обзор и новая теория: Пер. Е.Е. Верстаковой/
Под ред. В.Л. Колмогорова. Екатеринбург: УрО РАН,
2006. ISBN 5—7691—1748—6.
Дан обзор публикаций в англоязычной литературе за
последние 25 лет XX столетия по ударному нагружению
и разрушению твердых тел. Он охватывает как экспери-
ментальные, так и расчетне исследования, опубликован-
ные в 195 работах. Вторая часть книги дает новый под-
ход к расчету ударного нагружения и разрушения. Эта
часть снабжена достаточным количеством примеров, да-
ющих возможность читателям беспрепятственно осво-
ить новый подход для решения задач деформирования и
разрушения преград при ударном воздействии на них.
Издание осуществлено при частичной поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований по
проекту № 97-01-14018.
РфИ
ISBN 5—7691—1748—6
к ПРП-06—55(06)—226 ПВ-2006 © ИМаш УрО РАН,
8П6(03)1998 2006 г.
АВТОРЫ
Колмогоров Вадим Леонидович — научный руководитель направле-
ния механики и заместитель директора по научной работе с 1986 по 2003
гг. и один из создателей Института машиноведения Уральского отделе-
ния Российской академии наук, а теперь главный научный сотрудник это-
го института. С1970 по 1986 гг. руководил кафедрой обработки металлов
давлением в Уральском государственном техническом университете, с
1956 по 1970 гг. руководил исследовательскими лабораториями в промы-
шленности. Профессор, доктор наук В.Л. Колмогоров — автор многих
книг, статей и патентов на изобретения. Одна из его книг переведена в
Англии, две книги написаны в соавторстве с видными учеными мира (в
том числе с У. Джонсоном, Е. Унксовым, X. Кудо и др.), одна книга изда-
на в США. Его научные интересы связаны с методом решения краевых
задач механики деформируемого тела, с механикой разрушения, с трени-
ем (в том числе гидродинамическим) и износом. Последние годы изучает
процессы ударного деформирования и разрушения материалов.
В.Л. Колмогоров — член-корреспондент Российской академии на-
ук, почетный доктор Уральского государственного технического уни-
верситета, лауреат премии Совета Министров СССР, имеет ряд прави-
тельственных и неправительственных наград.
Джонсон Уильям — заслуженный отставной профессор механики
Кембриджского университета (1975—1982 гг.). В 1988—1989 гг. рабо-
тал в Университете Пердью (США) в качестве приглашенного профес-
сора прикладной механики, автор нескольких книг и множества статей
по пластичности металлов, обработке, динамической прочности и
ударной вязкости материалов, механике в спорте и истории механики.
Профессор У. Джонсон — соавтор двух книг на русском языке, редак-
тор трех переводов известных русских книг по проблемам прикладной
механики. Две его книги были переведены на русский язык. За свою
работу удостоен многих премий и наград.
Профессор У. Джонсон состоит членом Британского королевского
общества, членом Афинской академии (Греция) и иностранным чле-
ном Уральского отделения Российской академии наук. Он основатель
и многолетний редактор журналов International Journal of Mechanical
Sciences и International Journal of Impact Engineering.
3
Рид Стивен — профессор прикладной механики Института науки
и технологии при Манчестерском университете, в котором он начинал
работать в 1970 г. в качестве преподавателя прикладной механики.
С 1976 г. в течение четырех лет читал лекции в Кембриджском универ-
ситете. В 1980 г. стал профессором машиноведения в Абердинском
университете (Шотландия), где проработал до 1985 г., до того как за-
ступил на свою теперешнюю должность. Основная область научных
интересов — механика удара. Имеет более 150 печатных работ по раз-
личным проблемам: поглощение энергии удара, проникание и пробива-
ние труб и плит из композиционных материалов, биение трубопровода,
разрушение ячеистых материалов и др.
С. Рид является членом Британского общества прикладной механи-
ки и Американского общества прикладной механики, в 1993 г. избран в
Королевскую техническую академию. С 1987 г. — главный редактор
журнала International Journal of Mechanical Sciences. Помощник редакто-
ра журнала International Journal of Impact Engineering.
Корбетт Гари родился в 1962 г. в г. Челмсфорде (Англия). Полу-
чил образование в Виндзорской мужской школе и поступил в Манчес-
терский университет, где изучал прикладную механику. Окончил уни-
верситет в 1984 г. В 1986 г. поступил на работу в Институт науки и тех-
нологии при Манчестерском университете в качестве научного сотруд-
ника, где занимался исследованиями в области ударного нагружения
пластин и оболочек. По результатам работы в 1993 г. получил степень
доктора философии. С 1991 г. работал преподавателем в Абердинском
университете, где участвовал в создании отделения техники безопасно-
сти на инженерном факультете. Отделение занималось обучением сту-
дентов, исследовательской и консультационной работой в области тех-
ники безопасности и управления надежностью. В этот период Г. Кор-
бетт продолжал заниматься проблемами ударного нагружения конст-
рукций и был руководителем нескольких исследовательских проектов
в этой области. С 1995 г. работает по контракту в качестве инженера
по технике безопасности в нефтяной и газовой промышленности.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Ударное нагружение твердых тел и их разрушение — это
перманентно актуальная проблема научных исследований. Ей
посвящается довольно много публикаций. Примерно раз в 25—
30 лет в англоязычной литературе появляются обзоры печатных
работ по этой тематике. Последний был опубликован недавно:
G.G. Corbett, S.R. Reid, W. Johnson. Impact loading of plates and
shells by free-flying projectiles: a review // Intern. J. Impact
Engineering, 1996. Vol. 18, No.2. P. 141—230, и он воспроизводит-
ся в предлагаемой книге. Примерно также часто публиковались
обзоры работ по ударному нагружению на русском языке. Одна-
ко последние 15 лет в русской периодической литературе* их не
было.
Периодически публикуются монографии на эту тему, послед-
няя из них — Высокоскоростное взаимодействие тел / Фомин
В.М., Гулидов А.И., Сапожников Г.А. и др. Новосибирск: Изд-во
СО РАН, 1999. 600 с. В предлагаемой нами читателйэ книге ис-
пользуются иные методы. Последняя монография на англий-
ском языке (кстати, одного из соавторов настоящей книги) была
опубликована 30 лет назад: W. Johnson. Impact strength of materi-
als. Edward Arnold, 1972. Нам представляется, что наша книга яв-
ляется своевременной.
Создание книги было сложным. Ее написание осуществля-
лось по гранту Российского фонда фундаментальных исследо-
ваний (РФФИ). В 1997 году рукопись была передана издатель-
ству “Фазис” для печати. Экономический кризис в России
1998 года сорвал работу. Дальнейшую заботу об окончании
работы над монографией взяло на себя Уральское отделение
РАН.
Проектирование и математическое симулирование процес-
сов ударного нагружения должно опираться на некоторые мате-
матические модели; во-первых, на определенную теорию разру-
шения твердых тел и, во-вторых, на определенный метод реше-
ния динамических задач механики больших деформаций твер-
5
дых тел. Уровень развития этих математических моделей не мо-
жет быть признан в настоящее время исчерпывающим, поэтому
практика проектирования основывается зачастую на экспери-
ментальных данных. В связи с изложенным специалистам инте-
ресно было бы иметь по возможности полную информацию, на-
копленную к настоящему времени, об экспериментальных и рас-
четных работах по ударному нагружению и разрушению твер-
дых тел. В то же время исследователям и расчетчикам полезно
узнать о новых подходах и методах расчета ударного нагружения
и разрушения. Мы старались удовлетворить этот интерес.
Первая часть монографии, написанная английскими автора-
ми У. Джонсоном, С.Р. Ридом и Г.Г. Корбеттом (перевод
Е.Е. Верстаковой, под ред. B.JI. Колмогорова), представляет со-
бой обзор 195 работ, опубликованных на английском языке за
последние 25 лет. Вторая часть, написанная В.Л. Колмогоровым,
посвящена некоторой новой оригинальной математической мо-
дели деформирования, образования и развития дефектов сплош-
ности металлов вплоть до макроразрушения их в различных про-
цессах формоизменения, включая ударное деформирование.
В силу основной аксиоматики (постулат о сплошности де-
формируемой среды) механика сплошной среды пока недоста-
точно (несмотря на предпринимаемые усилия) приспособлена
для описания разрушения, т. е. нарушения сплошности деформи-
руемого тела. Развитие методов расчета напряженно-деформи-
рованного состояния и разрушения материалов в расширенных
рамках механики сплошных сред (за счет введения новых пере-
менных и соответствующих уравнений для описания нарушения
сплошности—разрушения) является актуальной фундаменталь-
ной научной проблемой.
Представляется, что предлагаемая книга своевременна и мо-
жет быть интересна широкому кругу читателей.
Автор второй части хотел бы с благодарностью подчерк-
нуть, что разработка проблемы, описанной в книге, и ее издание
были осуществлены благодаря финансовой поддержке Россий-
ского фонда фундаментальных исследований и помощи моих со-
трудников.
Авторы благодарят к.т.н. Н.А. Бабайлова за помощь в под-
готовке этой книги.
Часть первая
УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ
ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
СВОБОДНО ЛЕТЯЩИМИ
СНАРЯДАМИ
ОБЗОР
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ*
А, В — размеры пластины мишени
С — общий размер бетонной мишени
В12 — коэффициенты амортизации
D — диаметр трубы
Е — модуль Юнга
Ес — минимальная энергия, требуемая для пробивания
Ed — энергия, поглощаемая при выпучивании пластин
Ef — минимальная энергия, необходимая для начала разру-
шения
Ек — кинетическая энергия снаряда
Еср — энергия пробивания г
Ет — энергия, поглощаемая при “расплющивании” снаряда
Ер — энергия, поглощаемая при пластической деформации
мишени
Es — энергия, поглощаемая при сдвиге
Есг — энергия, поглощаемая при развитии трещины
F — сила
Fc — компонент силы сжатия
F, — компонент инерционной силы
F, — компонент силы сдвига
Н — длина участка усеченного конуса
1 — общий импульс
К — константа бетона
L — длина снаряда
М — момент на единицу длины
Мо — полный момент пластического течения на единицу длины
N — коэффициент формы носа
No — полная мембранная сила пластического течения на еди-
ницу длины
R — радиус пластины мишени
7?о — радиус области импульсного нагружения
S — константа почвы
*Если в тексте не указано иначе.
9
V — скорость снаряда
Vr — остаточная скорость снаряда
Vc — скорость пробивания
Vo — скорость удара
Vx — экспериментально полученный баллистический предел
W — вес снаряда
а, b — константы
dp — диаметр снаряда
е — ширина зоны сдвига
fc — предел прочности на сжатие бетона
h — толщина снаряда
ho — толщина плиты
к — параметр отношения масс
I — протяженность мишени
1СГ — длина трещины
тр — масса снаряда
тр/ — масса “пробки”
п — показатель деформационного упрочнения
р — глубина проникания, необходимая для пробивания бетона
г — радиус
5 — глубина проникания в бетон, необходимая для образо-
вания заднего откола
t — время
w — прогиб пластины
wc — центральный прогиб пластины
х — глубина проникания
а — коэффициент деформационного упрочнения
Р — полуугол конуса для конусообразных снарядов
у — вязкопластическая константа для материала мишени
е — нормальная деформация
6 — угол отклонения от прямого направления удара
к — кривизна
|1 — массовая плотность на единицу площади
V — коэффициент Пуассона
р — массовая плотность
а — нормальное напряжение
т — касательное напряжение
Ф,- — число поврежденности Джонсона
Фс — модифицированное число поврежденности для круглых
пластин
Фе — модифицированное число поврежденности для прямо-
угольных пластин
10
Индексы:
с — критическое значение
I — значение неустойчивости
п — “нос” снаряда
О — начальное значение
р — снаряд
г — радиальный
0 — окружной
у — текучесть
и — предельный
1. ВВЕДЕНИЕ
Механика удара как область науки охватывает чрезвычайно
обширный диапазон ситуаций и представляет интерес для инже-
неров целого ряда специальностей. Например, инженеров-тех-
нологов интересует этот предмет с точки зрения его применения
к процессам скоростной вырубки и отбортовки отверстий; воен-
ным ученым необходимо понять этот раздел в целях проектиро-
вания конструкций, которые бы более эффективно выдержива-
ли удары снарядов, или для конструирования усовершенствован-
ных баллистических ракет; геологи используют лучшее понима-
ние процессов проникания в земной коре для дистанционного
сейсмического слежения и исследования; производители транс-
портных средств используют свое понимание реагирования
структур на ударную нагрузку для улучшения характеристик и
надежности своей продукции. В самом деле, везде, где два тела
сталкиваются или рискуют столкнуться, встает вопрос о процес-
сах ударной динамики.
В общих чертах сущность этого предмета изучения означает,
что он включает в себя широкий пространственный, временной
и температурный диапазон, и широкий спектр материалов. Он
также охватывает большое разнообразие ситуаций нагружения,
таких как гиперскоростной удар, взрывное нагружение, реактив-
ный удар, проникание снарядов, нагружение падающего предме-
та, структурное разрушение и др.
Полезным безразмерным параметром, широко используе-
мым для классификации “жесткости” удара снаряда, является
число поврежденности У. Джонсона [1], определяемого по фор-
муле
2
Р^о
ф. =
7 <3d
(1)
где р — плотность материала мишени, v0 — скорость удара, а
Gd — динамической предел текучести материала мишени. Дан-
12
ный обзор охватывает область “умеренной” скорости удара сна-
ряда, т. е. ударное воздействие на мишени снарядами, движущи-
мися в субартиллерийском диапазоне (до ~500 м/с). В этом диа-
пазоне (который соответствует числу поврежденности Джонсо-
на до ~5) структурная реакция мишени часто важна и следует
учитывать как локальные, так и глобальные эффекты. Авторы
обзора концентрируют внимание в первую очередь на ударном
воздействии на металлические мишени конечной толщины с
точки зрения исследования происходящих при этом процессов
проникания и пробивания.
В 1978 г. М. Бэкман и У. Голдсмит [2] опубликовали всесто-
ронний обзор по механике проникания снарядов в мишени, охва-
тивший основные работы, опубликованные к тому времени. На-
стоящий обзор посвящен работам, опубликованным после выхо-
да его в свет, хотя он и не включает более ранние, казалось бы,
необходимые для полноты освещения. *
Были проведены значительные исследования по квазистати-
ческой прошивке листового металла, что улучшило наше пони-
мание механизмов проникания и разрушения, имеющих Место
при воздействии на тонкую металлическую пластину данного ти-
па нагружения. Несмотря на то что данный обзор в основном по-
священ динамическому нагружению пластин и оболочек, инфор-
мация, полученная в результате квазистатических исследований,
может быть использована для лучшего понимания процессов ре-
агирования структур на динамическое нагружение. Для получе-
ния информации о проведенных исследованиях по квазистатиче-
ской прошивке металлических пластин читатель может обра-
титься к работам У. Джонсона и др. [3, 4]. Кроме того, в [5] да-
ется краткий обзор исследований, проведенных по квазистатиче-
скому и динамическому прониканию в алюминиевые пластины.
Широко используемая мера способности мишени противо-
стоять удару снаряда — баллистический предел, и исследовате-
лями проделана большая работа в целях обеспечения возможно-
сти оценки этого параметра. В общем смысле баллистический
предел структуры — это наибольшая скорость снаряда, которую
способна выдержать структура без наступления перфорации
(пробивания). Точное определение для этого параметра варьиру-
ется в зависимости от интерпретации термина “перфорирова-
ние” (“пробивание”). Более детальное обсуждение этих терми-
нов можно найти в [2]. Существует несколько различных меха-
низмов, по которым мишень может разрушаться, и они могут
13
Рис. 1. Механизмы пробивания [2]:
а — разрушение вследствие начальной волны напряжений; б — радиальное разрушение позади на-
чальной волны; в — разрушение откалыванием; г — пробкообразование; д — лепесткование; е — ле-
песткование (в сторону тыла); ж — фрагментация; з — пластическое расширение отверстия
проявляться каждый в отдельности или в комбинациях. Напри-
мер, М. Бэкман и У. Голдсмит [2] идентифицируют восемь наи-
более часто встречающихся типов разрушения тонких или про-
межуточных пластин (рис. 1). Большое число механизмов прони-
кания и разрушения, сопряженных с добавлением усложнений
глобальной структурной реакции мишени, крайне затрудняет
прогнозирование событий, проистекающих из ударной нагрузки.
В прошлом инженеры были вынуждены полагаться исключи-
тельно на несколько эмпирических или полуэмпирических урав-
нений, чтобы получить данные о проникании. Первая из разра-
ботанных формул (см., например, М. Бэкман и У. Голдсмит [2]
или С. Юнг [6]) предсказала глубины проникания в полубеско-
нечные мишени (т. е. мишени, в которых тыльная поверхность
ввиду ее отсутствия не влияет на процесс проникания) при пер-
пендикулярном ударе по ним снарядом. Появление в XIX в. кора-
бельной брони привело к разработке уравнений, прогнозирую-
щих глубину проникания в броневую обшивку конечной толщи-
ны [7]. Даже до сегодняшнего дня эти и подобные им формулы
широко используются в инженерной практике.
За последние годы значительные успехи достигнуты в анали-
тическом подходе к проблеме проникания путем создания моде-
лей, постепенно усложняющихся и становящихся все более точ-
ными. Тем не менее эти модели также целиком полагались (и по-
лагаются) на экспериментальные данные, подтверждающие оп-
ределенные допущения и предоставляющие различные парамет-
ры для моделей. Сохраняющаяся важность экспериментальных
данных для лучшего понимания процессов проникания и проби-
вания отражена в настоящем обзоре, где этому отведен разд. 2.
В разд. 3 сделан обзор наиболее часто используемых эмпири-
ческих уравнений и последних работ по их совершенствованию и
приданию им более современного вида. Разд. 4 посвящен основ-
ным аналитическим достижениям в данной области, имеющим
особенно важное значение при идентификации и объяснении яв-
лений проникания и пробивания. Они продолжают составлять
основной массив исследований.
В области прогнозирования реакции мишеней на удар снаря-
дом относительным успехом пользуются численные методы.
Глубокий обзор этих методов проведен в целом ряде работ, и в
данной книге они не рассматриваются. Однако в разд. 5 дается
краткое обсуждение некоторых предпринятых в последнее вре-
мя попыток использовать такие методы для моделирования.ме-
ханики проникания и пробивания тонкостенных мишеней.
Основная часть данного обзора посвящена ударному воздей-
ствию на металлические мишени от тонких до промежуточной
толщины. Широко распространенным методом защиты от воз-
можной ударной поврежденности при отсутствии ограничений
по весу и пространству является использование массивного щита
для защиты чувствительных участков. Поэтому проникание в
толстые мишени представляет больший интерес для инженеров,
занимающихся ударными процессами, и в разд. 6 дается краткий
обзор последних работ по ударному нагружению бетонных и
сталебетонных конструкций типа “сэндвич”.
2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
2.1. ПЛОСКИЕ ПЛАСТИНЫ
Несмотря на то что военными собраны данные многочислен-
ных задокументированных экспериментов по ударному воздей-
ствию, число незасекреченных отчетов о них крайне ограничен-
но. Кроме того, эксперименты, проводимые в военных учрежде-
ниях, зачастую не имеют отношения к нуждам гражданских ин-
женеров, цель которых — выдвинуть на первый план относи-
тельную важность каждого параметра и идентифицировать тен-
денции в поведении мишени и снаряда. Большинство исследова-
ний, рассматриваемых в данной работе, было проведено с целью
либо подтвердить существующие теории, либо выдвинуть на
первый план их недостатки и указать пути дальнейшего усовер-
шенствования. Они также крайне полезны сами по себе как опи-
сания процесса проникания.
У. Голдсмит и С. Финнеган [8] сообщили о серии испытаний,
в которых пластины из алюминия и мягкой стали подвергались
прямым (перпендикулярным) ударам жесткими стальными сфе-
рами, двигавшимися со скоростью от 150 до 2700 м/с, т. е. в суб-
артиллерийском диапазоне (число поврежденности менее 5), ар-
тиллерийском (число поврежденности от 5 до 35) и ультраартил-
лерийском (число поврежденности от 35 до 150) диапазонах. Со-
бранные данные включали начальную и конечную скорости сна-
ряда, историю радиальной и поперечной деформации при раз-
личных положениях относительно точки удара и кратера, а так-
же размеры фрагментов. В некоторых опытах применялись ка-
меры Керра для скоростного фотографирования процесса удара
с заранее определенными интервалами кадрирования. Было от-
мечено, что падение скорости снаряда уменьшается от баллисти-
ческого предела до минимального значения, а затем возрастает
монотонно с начальной скоростью для всех систем “снаряд—ми-
шень” (рис. 2). Наблюдения также показали, что величина про-
гиба пластины максимальна при баллистическом пределе, а за-
16
V, м/с
Рис. 2. Изменение скорости снаряда V, проходящего сквозь мишень, как функ-
ция начальной скорости Vo [8]
Вариант Материал мишени Толщина мишени, мм Диаметр снаряда, мм
7 4130 броневая сталь 6,35 6,35
2 1020 сталь (крупнозернистая) 6,35 6,35
3 2024-Т4 алюминий 6,35 6,35
4 2024-ТЗ алюминий 3,13 6,35
5 1020 сталь (мелкозернистая) 1,57 6,35
6 1020 сталь (мелкозернистая) 1,57 9,53
7 2024-ТЗ алюминий 1,27 6,35
8 2024-0 алюминий 1,27 6,35
Рис, 3. Зависимость толщины центральной пробки hpl от скорости удара Vo [8]
Вариант Материал мишени Толщина мишени, мм Диаметр снаряда, мм
1 4130 броневая сталь 6,35 6,35
2 1020 сталь
(крупнозернистая) 6,35 6,35
3 1020 сталь
(мелкозернистая) 6,35 6,35
4 2024-Т4 алюминий 6,35 6,35
5 2024-Т4 алюминий 6,35 9,53
6 2024-ТЗ алюминий 3,13 6,35
7 1020 сталь
(мелкозернистая) 1,57 6,35
8 1020 сталь
(мелкозернистая) 1,57 9,53
9 2024-ТЗ алюминий 1,27 6,35
10 2024-0 алюминий 1,27 6,35
Рис. 4. Зависимость скорости
пробивания Vc (сплошные
кривые) и энергии Еср (штри-
ховые кривые) от массы сна-
ряда тр [9]:
1 — малоуглеродистая сталь 1—3 мм;
2 — алюминиевый сплав Бейнета [11];
3 — малоуглеродистая сталь Зейда [10]
тем уменьшается с рос-
том скорости удара. Фо-
тографии, полученные
методом камеры Керра,
обнаружили, что оконча-
тельные скорости проб-
ки и снаряда очень близ-
ки, и измерения после
пробивания указали на
обратную зависимость между окончательной толщиной пробки и
начальной скоростью снаряда (рис. 3).
Р. Корран и др. [9] провели обширные экспериментальные
исследования удара снарядов с субартиллерийской скоростью о
пластины из малоуглеродистой стали, нержавеющей стали и
алюминиевого сплава. Использовались снаряды в виде тупоко-
нечных цилиндров из “серебрянки” диаметром 12,5 мм и массой
от 15 до 100 г. В большинстве экспериментов пластины были за-
фиксированы на опоре поперечной силой в 40 т, действующей по
окружности с диаметром 250 мм. Толщина пластин варьирова-
лась от 1 до 10 мм. На рис. 4 показано изменение критической
энергии пробивания и скорости в зависимости от массы снаряда
и сравниваются результаты, полученные Р. Корраном и др. с ре-
зультатами двух предыдущих исследований [10,11].
Обширные исследования квазистатического нагружения
тонких металлических пластин показали, что прошивающая на-
грузка, энергия, поглощаемая во время пробивания, и преобла-
дающие механизмы разрушения в большой степени зависят от
формы “носа” индентора [3, 4, 12, 13].
Например, У. Джонсон и др. [13] сравнили реакцию пластин из
малоуглеродистой стали, латуни и меди на квазистатическую про-
шивку самыми разными штампами с конусообразными и стрело-
видными концами. Было показано, что тип разрушения меняется
от сдвигового пробкообразования до пластической
отбортовки отверстий по мере уменьшения угла штампов с кону-
сообразными концами. Показано также, что прошивающая на-
19
Рис. 5. Зависимость энергии проби-
вания Еср от радиуса носа снаряда R
для мишеней толщиной 1,3 мм [9]:
1 — зона разрушения сдвигом (пробкообразова-
нием); 2 — зона разрушения растяжением при
выпучивании мишени
грузка и энергия, требуемая
для пробивания, зависят от
формы “носа” штампов со
стреловидными концами, кото-
рые требуют значительно
больших количеств энергии
для пробивания пластин. Рабо-
та [13] также включает инте-
ресное описание распределения твердости вблизи места нагруже-
ния вследствие проникания штампов с плоскими, конусообразны-
ми и стреловидными концами. Оказалось, что единственное иссле-
дование перфорации стальных пластин штампами квадратного се-
чения (квазистатически или динамически) было предпринято У.
Джонсоном и А. Мамалисом [14]. В этой статье сравниваются ха-
рактеристики штампа, показывающие взаимосвязь между нагруз-
кой и перемещением, для штампов с пирамидальной головкой с по-
лууглами от 15° до 90°, проникающих в пластины из малоуглеро-
дистой стали, латуни, меди и алюминия. И в этом случае видно, что
механизм разрушения, пиковая нагрузка и энергия, требуемая для
пробивания, зависят от полуугла “носа”.
Р. Корран и др. [9] также показали, что энергия, требуемая
для пробивания стальных пластин в условиях ударного нагруже-
ния, зависит от формы “носа” индентора. Тупоконечные снаря-
ды с различным радиусом “носа” выстреливались в пластины и
отмечалась критическая энергия удара для каждого. Выясни-
лось, что она зависит от радиуса “носа” снаряда и максимальна
для радиуса, при котором происходит изменение механизма раз-
рушения от пробкообразования до растягивающего выпучива-
ния (рис. 5). Механизмы энергопоглощения, преобладающие в
ситуации, когда плоская пластина подвергается удару тупоко-
нечным снарядом, проанализированы в [9] путем разделения ее
на четыре составляющие.
1. Упругая энергия:
ЗлгсЧ(1~У2Н
£е= 8Е
(2)
20
2. Пластическая энергия:
Г'
Ер = j (Noer+Mokr + M0k6)2nr dr.
гр
3. Энергия пробкообразования:
Epi = 2nrpeh0xyyf.
4. Расплющивание снаряда:
Em =
(3)
(4)
(5)
2яауНа3( (ЬУ3
9(b-a) [ IJ
В этих уравнениях величину предела текучести оу следует при-
нять за динамический предел текучести материала при скорости
деформации ~50 с-1. Вывод уравнения (5) дан в работе [1], где
можно найти подробности об используемых символах. »
Уравнения (2)—(5) являются всего лишь приближенными (с
точностью до порядка), и их приходится рассматривать как тако-
вые, но они все-таки позволяют постичь изменяющуюся роль
каждой составляющей процесса энергопоглощения по мере уве-
личения толщины пластины (рис. 6):
а) доля пластической работы мембраны уменьшается с рос-
том толщины пластин;
б) доля работы по плас-
тическому изгибу возраста-
ет с толщиной пластин до
максимума, после чего она
резко падает;
в) доля работы по проб-
кообразованию с толщи-
ной пластин сначала возра-
стает медленно, а затем
быстро;
Рис. 6. Механизмы энергопоглоще-
ния при пробивании пластины [9]:
1 — накопленная ошибка; 2 — работа
пробкообразования; 3 — работа мембран-
ного пластического растяжения; 4 — плас-
тический изгиб; 5 — упругая деформация;
6 — сплющивание мягкого снаряда; 7 —
сплющивание твердого снаряда
21
Испытания, проведенные
Рис. 7. Зависимость скорости пробива-
ния пластины Ус (баллистический пре-
дел) от силы ее крепления к опоре Ft [9]
г) доля упругой энергии
уменьшается с толщиной плас-
тин до минимума, а затем воз-
растает;
д) доля работы, поглощае-
мой при деформации снаряда,
возрастает с толщиной пластин.
Корраном и др. [9], показыва-
ют, что сила крепления пластины может оказывать влияние на
баллистический предел (рис. 7). Это противоречит утвержде-
ниям предыдущих авторов, склонных игнорировать влияние
изменения условий крепления, если диаметр места крепления
заметно больше диаметра снаряда. Обычно принято считать,
что граничные условия имеют какое-либо значение только в
случае, когда радиус мишени меньше нескольких диаметров
снаряда. Например, С. Калдер и У. Голдсмит [15] провели се-
рию испытаний, в которых исследовалось влияние материала
пластины, граничных условий и размера ударяющей сферы на
остаточный прогиб пластины. Они обнаружили, что для алю-
миниевого сплава 2024-0 профиль, закрепленной по перифе-
рии круглой пластины диаметром 355 мм, идентичен профилю
свободно подвешенной квадратной пластины размером
1220 мм х 1220 мм при сходных условиях удара. Важность ус-
ловий крепления и обстоятельств, при которых их следует учи-
тывать, еще не до конца осознается.
С. Калдер и У. Голдсмит [15] показали также, что остаточ-
ный прогиб тонких пластин (dplh =10) возрастает с увеличением
скорости снаряда до баллистического предела, а затем уменьша-
ется по мере возрастания скорости (рис. 8).
Увеличение прогиба пластины с течением времени в процессе
удара было исследовано также путем измерения динамических де-
формаций и перемещений, а также движения пластического соеди-
нения вдали от точки удара (рис. 9). Деформация, зарегистриро-
ванная на расстоянии 38 и 76 мм от точки удара, свидетельствует о
типичной скорости радиальной пластической волны (220 м/с) для
алюминиевых мишеней при всех скоростях удара.
Н. Леви и У. Голдсмит [16] исследовали удар снарядов с полу-
сферическим концом о плоские алюминиевые пластины, изме-
22
Рис. 8. Остаточный прогиб пластин (плита из сплава 2024-0, диаметр 368 мм,
толщина 12,7 мм) после удара сферическим стальным снарядом диаметром
12,7 мм [15] *
Рис. 9. Профили пластины (плита из сплава 2024-0, диаметр 368 мм, толщи-
на 12,7 мм) в различные моменты времени после удара стальной сферой ди-
аметром 12,7 мм [15].
t, мс: 1 — 31,2 — 67, 3 — 97, 4 — 128,5 — 189, 6 — остаточный профиль, 7 — 372, 8 — 854 мс
после удара
Рис. 10. Проникание и пробивание
алюминиевых пластин толщиной
1,27 мм при ударе снарядом с полусфе-
рическим носом со скоростью 59 (а),
64 (б), 68 (в), 75 (г) и 127 м/с (д) [16]
ряя генерируемые усилия, перманентные прогибы и деформа-
ции, а также детали образующихся пробок. На рис. 10 показаны
эволюция деформации тонкой пластины, “лепесткование” и об-
разование пробки в результате удара снаряда диаметром 12,7 мм
с полусферическим концом об алюминиевую пластину толщи-
ной 1,27 мм (dp/h = 10). Фотографии расположены в порядке уве-
личения скорости удара от значений ниже баллистического пре-
дела до вдвое больших значений.
Контур пробки формируется при баллистическом пределе
периферической трещиной, предшествующей образованию ра-
диальных трещин. По мере дальнейшего нарастания скорости
24
удара эта пробка отделяется от остальной пластины за исключе-
нием одного “лепестка”, к которому она (пробка) остается при-
креплённой. Хорошее описание развития периферической тре-
щины (наряду с сохранением “лепестка”) в тонких металличес-
ких пластинах, следующего за ударом малой скорости снарядов
с плоским торцом, дается в [17]. Более высокие скорости удара
способствуют полному отделению (рис. 10, д) пробки от тела ми-
шени. Процесс проникания при ударах снарядами с полусфери-
ческим концом значительно отличается от утончения или сдви-
га, вызванных тупоконечным снарядом или снарядом с плоским
торцом (рис. 11), и от образования звездообразной трещины по-
сле удара цилиндроконическим снарядом (рис. 12). Силовремен-
ные предыстории, полученные для снарядов различных профи-
лей, свидетельствуют о том, что полусферические и плоские сна-
ряды имеют тенденцию создавать более короткое время дейст-
вия ударной силы, но более высокие пиковые нагрузки, чем ко-
нические снаряды (см., например, [16]).
С. Леппен и Р. Вудвард [18] изучили влияние толщины плас-
тины и геометрии снаряда на разрушение тонких мишеней йз ти-
танового сплава. Закрепленные по краям квадратные пластины
шириной 75 мм, толщиной 1,(2и 3 мм подвергались ударам сна-
рядами с плоским торцом и цилиндрических с коническим кон-
цом. Титановый сплав был выбран в качестве материала мише-
ни, так как известно, что он поддается разрушению пробкообра-
зованием. Снаряды, изготовленные из упрочненной стали, диа-
метром 4,76 мм, весом ~3 г имели углы “носа” от 45° до 180°
(плоский торец).
Плоские снаряды после удара вбрасывали пробки того же
диаметра, когда скорость удара превышала баллистический пре-
дел пластины или равнялась ему. При достаточной скорости сна-
ряды с коническим концом в большинстве случаев вбрасывали
пробку с диаметром меньшим, чем диаметр снаряда. В. Леппен и
Р. Вудвард [18] определили два значения критической энергии
для удара снарядами с коническим концом: энергия, необходи-
мая для вбрасывания пробки и более высокая, которая требует-
ся для прохождения снаряда через пластину.
Пример, иллюстрирующий первый случай, показан на
рис. 13, а, а второй — на рис. 13, б. Видно, что механизм, по ко-
торому пластина позволяет проходить снаряду, когда формиру-
ется начальная пробка, меняется с увеличением толщины плас-
тин и/или угла конуса “носа” от сферического коробления плас-
25
Рис. 11. Проникание и пробивание алюминиевой пластины, вы-
зываемое снарядом с плоским торцом, при ударе со скоростью
54 м/с [16]
Рис. 12. Картина результирующей звездообразной трещины,
вызываемой снарядом с коническим концом при ударе по алю-
миниевой пластине со скоростью 35 м/с [16]
Рис. 13. Разрушение мишеней снарядом с коническим концом [18]:
а — пробкообразование в мишени (диаметр пробки меньше диаметра снаряда);
б — прохождение снаряда сквозь мишень
тин и локальных изгибов (с присутствием радиального отрыва
или “лепесткования”) до увеличения отверстий путем формиро-
вания вторичной кольцевой пробки. Изменение механизма про-
бивания при изменении толщины пластин схематически проде-
монстрировано на рис. 14. Диаметр пробки также увеличивался
с толщиной мишени и для тонких мишеней составляет в первом
приближении величину порядка их толщины.
Механизмы разрушения, которым подвергаются тонкие
пластины, изготовленные из пластичного материала, при уда-
ре снарядами различных типов изучены У. Голдсмитом [19].
Были использованы три различных профиля снарядов, а имен-
но: плоский, полусферический и конический, рассмотрены ти-
пы разрушения, вызванного выстреливанием этих снарядов в
пластины из алюминиевого сплава и малоуглеродистой стали
со скоростью, соответственно равной или близкой к их балли-
стическим пределам. Оказалось, что плоские снаряды вызыва-
ют разрушение пробкообразованием; снаряды с полусфериче-
ским концом — утончением, сопровождающимся перифериче-
ским растрескиванием, которое ведет к образованию сфериче-
ской “шапочки” при дальнейшем растрескивании в радиаль-
ном направлении; снаряды с коническими концами — путем
сочетания радиального растрескивания и “лепесткования” ма-
териала мишени.
С. Паломби и У. Строндж [20] провели испытания, в которых
снаряды выстреливались в пластины из малоуглеродистой стали
толщиной 1,6 и 2,6 мм, причем пластины имели круглый зажим
диаметром 300 мм. Распределение перманентных деформаций
измерялось с помощью травленой решетки на пластинах. На-
блюдения показали, что по мере того как скорость удара при-
ближается к баллистическому пределу, имеет место резкое уве-
личение радиальной деформации в границах зоны удара при ма-
лом увеличении (вследствие трения) периферических деформа-
ций. В [20] проводится аналогия с диаграммой предела формоиз-
менения, используемой в процессах обработки металлов давле-
нием, в которой начало образования шейки зависит от соотно-
шения двух главных плоских деформаций.
Л. Сангой и др. [21] рассмотрели усовершенствования броне-
вых сталей, например пуленепробиваемых щитов, и полагают,
что броневые стали, старейшие из броневых материалов, все
еще являются наиболее удовлетворительными материалами для
создания баллистической защиты, благодаря непрерывным усо-
28
вершенствованиям их эксплуатационных свойств. Основное тре-
бование, предъявляемое к броневой стали, — высокая твер-
дость, но в [21] отмечается, что нет простого соотношения меж-
ду твердостью и стойкостью к пробиванию, как установлено с
помощью баллистического предела структуры (рис. 15). Было
определено три зоны в соотношениях твердости и баллистичес-
кого предела: 1) режим низкой твердости, когда стойкость к про-
биванию возрастает с твердостью; 2) режим средней твердости,
когда баллистический предел уменьшается из-за начала повреж-
денности адиабатического сдвига в броневой стали; 3) режим
высокой твердости, когда стойкость вновь возрастает вследст-
вие распада снаряда. В [21] также обсуждается использование
многослойной броневой стали и отмечается, что эффективное
сочетание — это твердый наружный слой (для распада снаряда)
и пластичный внутренний слой (для поглощения кинетической
энергии снаряда). ’
М. Лангсет и П. Ларсен [22] провели детальное изучение
пробкообразующей способности пластин из малоуглеродистой
стали при определенном их нагружении от роняемых объектов,
ударяющихся перпендикулярно со скоростью до 50 м/с. Исполь-
зовали теорию подобия (анализ размерностей) для построения
модели в масштабе 1:4 типичной панели корабельной палубы,
ударяемой падающим буровым фланцем. В испытаниях исполь-
зованы инденторы массой от 18 до 25 кг с плоскими торцами.
Было изучено влияние толщины мишени, массы снаряда и плос-
костной жесткости мишени на величину энергии, необходимой
для пробивания панелей. Установлено, что критическая энергия
“пробивания” возрастает с толщиной пластин, уменьшается с
ростом массы снаряда по всему испытываемому диапазону ско-
рости и массы и уменьшается с увеличением плоскостной жест-
кости панели. Исследовалось влияние стрингеров, прикреплен-
ных к свободному перекрытию, на величину критической энер-
гии “пробивания”, и обнаружено, что этим можно пренебречь.
Результат, касающийся влияния изменения массы снаряда (т. е.
тот факт, что критическая энергия пробкообразования умень-
шается с увеличением массы, по-видимому, асимптотически при-
ближаясь к квазистатическому значению), противоречит уста-
новленному в предшествующих исследованиях, и, кажется, под-
тверждает точку зрения Р. Коррана и др. [9] о том, что измене-
ние критической энергии пробивания с увеличением массы сна-
ряда еще как следует не понято. Эта более ранняя работа (см.
29
Рост толщины стенки ——-►
Рис. 14. Влияние толщины мишени на тип разрушения мишеней из ти-
тановых сплавов [18].
В каждом случае верхний и нижний рисунки можно рассматривать соответственно
либо как раннюю и позднюю стадии удара с высокой скоростью, либо как удар с низкой
скоростью, который не допускает пробивания, в сравнении с ударом с высокой скоростью,
который допускает пробивание. Механизмы течения: а — выпучивание; б — индентиро-
вание; в — радиальное течение; 1 — снаряд; 2 — мишень; 3 — пробка; 4 — кольцо
рис. 4) указывает, что с увеличением массы снаряда увеличива-
ется критическая энергия пробивания. Однако эти результаты
были получены в ходе экспериментов на более тонких пласти-
нах (1,3—2,5 мм), чем в работе [22] (4—10 мм), и используемые
снаряды были намного легче — до 165 г. Другие параметры, та-
кие как ширина свободного перекрытия, условия крепления,
форма панели, материал мишени, форма снаряда (хотя все были
классифицированы как тупоконечные), также отличались. По-
этому очевидно, что критическая энергия пробивания мишени
не является простой функцией массы снаряда и в настоящее вре-
мя не ясно, какие параметры влияют на это соотношение и ка-
ким образом.
Путем измерения деформаций снаряда и держателей-мишени
М. Лангсет и П. Ларсен [22] получили силовременные импульсы
в процессе пробивания. Они обнаружили, что следы, оставляе-
мые снарядом, содержат две стадии: переходную, йа которой
преобладают инерционные эффекты и которая имеет место до
того как держатели регистрируют какую-либо нагрузку, и гло-
бальную, на которой преобладает структурная реакция системы
и которая начинается после того как держатели реагируют на
нагрузку (рис. 16). Сравнение с данными по нагружению — про-
гибу, полученным в результате квазистатических испытаний, по-
казало, что граничные силы при пробивании приблизительно
равны для обоих типов нагружения, и что кривые “нагрузка—
перемещение” также сходны на глобальной стадии (рис. 17). На
рис. 17 штриховая линия показывает статический результат,
сдвинутый горизонтально к положению, когда перемещения при
пробкообразовании совпадают для динамического и статическо-
го случаев.
М. Лангсет и П. Ларсен [23] разработали методологию для
конструирования стальных пластин, устойчивых к разруше-
нию пробкообразовани- ? ™_____________________________
ем вследствие удара упав- ’к__________________________
шим предметом. Реакция
пластины была разделе- 200---------------7/^3»--------
на на три отдельные ста- _,------—-/4^—------------
дии: перехода от упруго- 100 11 । шЛ__________________
Рис. 17 Сравнение статической
(/) и динамической (2) кривых
зависимости перемещения w и
силы F [22]; 3 — начало реаги-
рования опоры на нагрузку
60 w, мм
31
пластической к полностью пластической; пластического рас-
тяжения мембраны; стадия разупрочнения пластины как ре-
зультат местного индентирования. Показано, что стадия
растяжения мембраны поглощает большую часть энергии уда-
ра, а энергопоглощающие характеристики пластин в значи-
тельной степени зависят от жесткости мембраны и нагрузки
пробкообразования в пластинах. В анализе пренебрегли дина-
мическими эффектами, а также влиянием местного инденти-
рования и использовали эмпирически полученные соотноше-
ния для расчета нагрузки пробкообразования. Кроме того,
данные экспериментов и метод конечных элементов использо-
вались для получения соотношений, прогнозирующих “смеще-
ние” кривой “нагрузка—прогиб” в результате упругопластиче-
ских эффектов. Анализ позволял прогнозировать энергопо-
глощающую способность стальных пластин с точностью до
11 %.
П. Чу и др. [24] провели детальное исследование формирова-
ния полос сдвига в стали при проникании снаряда с плоским кон-
цом (dp/h^ =1). Обеспечивалось проникание в пластины на изве-
стную глубину, как показано на рис. 18, и было усановлено вли-
яние глубины проникания на длину полосы сдвига для трех раз-
личных типов стали (рис. 19).
Оказалось, что в стали с наибольшим напряжением пласти-
ческого течения формировались полосы сдвига при наимень-
ших значениях глубины проникания и длина полосы возраста-
ла по экспоненте с увеличением глубины для всех типов испы-
туемой стали. В этих испытаниях пластины стояли на “поддер-
живающем кольце”, имеющем диаметр от равного диаметру
индентора до в 2 раза большего, т. е. от h0 до 2h0 (см. рис. 18).
На рис. 19 показано, что длина полосы сдвига в очень боль-
шой степени зависит от диаметра поддерживающего кольца,
причем меньшие диаметры давали большие полосы сдвига для
данной глубины проникания. Эта зависимость важна при про-
гнозировании начала сдвигового пробкообразования и указы-
вает на то, что дальнейшие испытания такого рода на пласти-
нах с большими отношениями диаметра к толщине были бы
полезны для улучшения нашего понимания процесса. Конеч-
но-элементное моделирование адиабатического сдвигового
пробкообразования также было выполнено в [24]. При этом
получено хорошее соответствие между смоделированной ре-
акцией и экспериментальными результатами (рис. 20).
32
a
Снаряд
Глубина проникания
6,35 мм
опоры
Опорное кольцо
25,4 мм
Рис. 18. Приспособление для контроля глубины проникания [24]:
а — до удара; б — после удара
Формирование конусов разрушения в алюминиевых сплавах
в результате интенсивной деформации пластического сдвига бы-
ло изучено В. Астаниным и др. [25]. Цилиндрические стальные
снаряды с плоским торцом диаметром 14,5 мм выстреливались в
квадратные (150 мм х 150 мм) алюминиевые пластины толщи-
ной 30 и 60 мм (dp/h0 = 0,24 и 0,48) под прямым углом. Пластины
обстреливались с различной скоростью, а затем исследовалась
глубина проникания и следы образования конусов. Показано,
что кривая зависимости глубины проникания от скорости удара
33
а Г р
4/ 7
L /2
2
О 0,4 0,8 1,2
6
4
2
в
3
4 г, Т
2
/./
/ 1
0,4
0,8
1,2
X, ммо
Рис. 19. Зависимость длины полосы сдвига /, от глу-
бины проникания х при четырех различных диамет-
рах отверстия опоры, скорость снаряда 50 м/с [24]:
а — для перлитной стали; б, в — для мартенситной стали, отпу-
щенной при 400 и 600 °C соответственно. Диаметры отверстия:
1 — 12,7; 2 — 9,5; 3 — 7,9; 4 — 6,4 мм
о
Рис. 20. Сравнение экспериментальных наблюдений (а) и конечно-элементно-
го моделирования (6) образования сдвиговой полосы [24]:
7 — снаряд; 2 — стопор; J— индентор; 4 — локализация деформации и образование полосы сдвига
билинейна и имеет увеличение наклона приблизительно при
230 м/с для 30-миллиметровых пластин и 450 м/с для 60-милли-
метровых. Градиент начальной части кривой довольно слабо за-
висит от толщины пластины. Он определяется инерционными и
упругопластическими свойствами материала мишени.
2.2. МНОГОСЛОЙНЫЕ МИШЕНИ
Возможность повышения устойчивости мишени к проника-
нию за счет создания слоев из материалов с различными свойст-
вами известна с конца XIX века, когда броня была впервые уси-
лена путем упрочнения ее поверхности. С тех пор использование
многослойной брони возросло, так как очевидно было преиму-
щество такого подхода. Доказано, что твердый слой поверхнос-
ти, противостоящий индентированию, поддерживаемый вязким,
пластичным внутренним слоем, поглощающим кинетическую
энергию снаряда, — эффективное сочетание для создания мате-
риала, устойчивого к удару снаряда [1,21].
Также была изучена возможность использования мишеней,
изготовленных из нескольких отдельных более тонких пластин.
И. Маром и С. Боднер [26] провели экспериментальное и анали-
35
тическое исследование реакции многослойных алюминиевых ба-
лок на удар снарядом и установили, что контактирующие много-
слойные балки демонстрируют большую стойкость к проника-
нию, чем монолитные балки того же веса, которые, в свою оче-
редь, более эффективны, чем отдельные плоские балки. Во всех
этих испытаниях балки подвергались удару снарядами диамет-
ром 5,6 мм (калибр 0,22 дюйма), движущимися со скоростью вы-
ше баллистического предела мишени, и измерялась устойчи-
вость с точки зрения падения скорости снаряда в процессе про-
никания. Р. Корран и др. [9] исследовали эксплуатационные
свойства многослойных пластин в условиях удара снарядом и ус-
тановили, что контактирующие слои превосходили монолитные
однослойные пластины, если применение множественных слоев
меняет реакцию пластин от преобладания изгиба и сдвига до
преобладания растяжения мембраны.
Удар сцепленных многослойных металлических мишеней ис-
следовался Р. Вудвардом и др. в [27]. Энергия, поглощаемая пла-
стинами при ударе со скоростью около баллистических преде-
лов, разделяется на три составляющие: расслоение, изгиб, растя-
жение. Авторы показали, что в зависимости от свойств матери-
ала пластин многослойные пластины имеют более высокие или
более низкие значения энергии пробивания, чем монолитные
пластины. Наибольшей эффективностью с точки зрения удар-
ной стойкости обладали те многослойные пластины, которые
ускоряли процесс поглощения высокой энергии растяжения в
слоях около неударной поверхности пластины мишени.
Ж. Радин и У. Голдсмит [28] сравнили ударную стойкость мо-
нолитных и многослойных алюминиевых мишеней, а также со-
четание алюминиевых и поликарбонатных слоев. В этих испы-
таниях использовались снаряды как с тупым концом, так и с ко-
ническим (60°). Для алюминиевых мишеней было установлено,
что баллистическая устойчивость смежных слоев равной толщи-
ны ниже, чем у эквивалентного одиночного слоя. Еще раз отме-
чалось, что слои, отстоящие друг от друга, менее эффективны с
точки зрения ударной стойкости, чем контактирующие.
Ж. Гетерингтон и Б. Раджагопалан [29] исследовали реакцию
слоистых пластин мишени, состоящих из керамического фрон-
тального слоя и тыльного слоя из пластика армированного
волокном. Оказалось, что это сочетание эффективно препятст-
вует прониканию снарядов с точки зрения энергии, поглощае-
мой на единицу площади. При этом твердая керамическая
36
поверхность служит для разрушения снаряда и распределения
нагрузки на пластическую тыльную поверхность из композита.
Анализ, проведенный А. Флоренсом [30], предложившим модель
проникания в двухслойную (твердая передняя поверхность и пла-
стичная тыльная) композиционную защитную пластину, был ис-
пользован для прогнозирования энергии, поглощенной пласти-
нами, с точностью до ±32 %. Сочетание керамической ударной
поверхности и композиционной тыльной было также изучено
С. Наварро и др. [31]; они показали, что такое сочетание особен-
но эффективно при противодействии ударам высокой скорости.
Ж. Радин и У. Голдсмит [28] указывают на то, что информация
об ударе при многослойных мишенях очень ограниченна и отры-
вочна, что делает невозможным прямое сопоставление экспери-
ментальных результатов. В настоящее время преимущества за-
мены монолитных мишеней многослойными не ясны, и необхо-
дима дальнейшая экспериментальная работа, чтобы получить
надежную и адекватную базу данных.
2.3. КОСОЙ УДАР ПЛАСТИН *
Большинство выполненных исследований посвящено прямо-
му удару в мишени жесткими снарядами. Ряд авторов адаптиро-
вали проведенные ими анализы процесса проникания для ударов
под косым углом (см., например [32, 33]), но готовых экспери-
ментальных данных по этому типу удара крайне мало. Ж. Авер-
бух и С. Боднер [34] исследовали падение скорости свинцовых
пуль 5,5-миллиметрового калибра при выстреливании в алюми-
ниевые пластины с увеличением угла скоса. Было обнаружено
лишь незначительное изменение в итоговом уменьшении скоро-
сти с увеличением этого угла примерно до 30°, после чего умень-
шение скорости растет со все возрастающей интенсивностью
(рис. 21). Сходные результаты получены Н. Гупта и В. Маду [35],
которые выпускали вращающиеся снаряды с твердой сердцеви-
ной со скоростью 820 м/с в пластины из малоуглеродистой стали
толщиной от 10 до 25 мм.
Влияние угла скоса на характер разрушения стальных и
алюминиевых пластин рассмотрен Р. Вудвардом и Н. Болдуи-
ном [36], а также У. Голдсмитом и С. Финнеганом [37]. В рабо-
те [36] показано, что твердость, при которой начинается адиа-
батический сдвиг, вызывающий снижение стойкости к прони-
канию металлических пластин мишени (см. разд. 4.2.1), выше
37
Рис. 21. Зависимость относи-
тельного падения скорости сна-
ряда ДУ/Ро от угла удара для
алюминиевых пластин разной
толщины h, ударяемых свинцо-
выми снарядами калибра
0,22 дюйма [34]. Сплошные ли-
нии — теория, точки — экспе-
римент
для косых ударов, чем
для прямых. У. Голдсмит
и С. Финнеган [37] про-
вели более 200 испыта-
ний по прямому и косому
удару, в которых опреде-
ляли падение скорости и
изменение угловой ориентации снарядов, ударяющихся о плас-
тины из мягкого алюминия, малоуглеродистой и среднеугле-
родистой сталей. Углы скоса варьировались от 0 до 50°, ско-
рость — от 20 до 1025 м/с, а мишени, скрепленные на диамет-
ре 115 мм, имели толщину в диапазоне 1,25—25,4 мм. Исполь-
зовались снаряды либо из упрочненной стали (т = 30 г), либо
из мягкого алюминия (т = 15 г), диаметром 12,7 мм с плоским
либо коническим концом. Зависимость падения скорости от
начального угла скоса сходна с той, которую определили
Дж. Авербух и С. Боднер [34] по всему диапазону испытуемо-
го скоса, хотя и в том и в другом случае результаты имеют
большой разброс. Тем не менее в результатах этих двух групп
исследователей существует одно значительное различие. У. Голд-
смит и С. Финнеган [37] отмечают минимальное падение ско-
рости при скосе примерно в 20—30° при ударах со скоростью
более 300 м/с, а испытания Дж. Авербуха и С. Боднера [34],
проводимые при 400 м/с, продемонстрировали постепенное на-
растание падения скорости при увеличении угла скоса без ло-
кального минимального значения. Основное различие между
этими двумя группами испытаний (а также различия в матери-
але мишени и ее геометрии) состояло в типе используемых
снарядов: У. Голдсмит и С. Боднер лишь сообщают о влиянии
угла скоса на падение скорости для снарядов из упрочненной
стали, которые, в отличие от свинцовых снарядов, используе-
мых Дж. Авербухом и С. Боднером, не деформируются суще-
ственно во время большинства испытаний.
38
Рис. 22. Конечный угол наклона
траектории снаряда как функ-
ция начального угла удара 0( для
мишеней из алюминия 2024-0
толщиной 3,175 (.светлые знач-
ки) и 6,35 мм (черные), ударяе-
мых твердыми стальными цилин-
дроконическими снарядами [37]
Пример влияния на-
чального скоса на конеч-
ный угол полета снаряда
после пробивания показан
на рис. 22, на котором от-
ражены результаты уда-
ров твердых стальных ци-
линдрических снарядов с коническими концами, двигавшихся с
пятью различными скоростями по пластинам из алюминия тол-
щиной 3,175 и 6,35 мм. Очевидно, что при более высокой скоро-
сти удара угол полета снаряда мало меняется в процессе црони-
кания, но при меньшей скорости конечный угол скоса всегда
меньше, чем начальный, хотя с увеличением последнего разница
между конечным и начальным углами уменьшается. Металло-
графическое исследование целых и перфорированных пластин
проведено в [37] и рассмотрено влияние направление прокатки
на начальный рисунок растрескивания.
С. Виростек и др. [38] изучили силовременные зависимости,
вызванные прониканием и пробиванием тонких алюминиевых и
стальных пластин снарядами с цилиндроконическими и полусфе-
рическими концами под разными углами скоса. Приведен крат-
кий обзор методов, используемых для определения силовремен-
ных импульсов, испытываемых снарядами, и описан новый ме-
тод, позволяющий проанализировать косые удары. Результаты
экспериментов отражены на рис. 23.
Очевидно, что различия в поведении незначительны в более
низком диапазоне скосов (угол удара < 15°), причем силовремен-
ные кривые аналогичны для этих углов. Для больших углов ско-
са результаты испытаний указывают на большее усилие, генери-
руемое после удара, за которым следует резкое снижение усилия
до нуля. Различие в поведении очевидно и в перфорированном
образце, при этом характер разрушения меняется от симметрич-
ного до асимметричного лепесткования. В [38] также показыва-
ется, что для цилиндрических снарядов с полусферическими кон-
39
Рис. 23. Изменение силы во
времени для цилиндроконичес-
кого снаряда, ударяющего по
пластинам из алюминия 2024-0
толщиной 4,76 мм под различ-
ными углами удара Д [38]
цами пиковые усилия
имеют тенденцию к
уменьшению с увеличе-
нием угла удара, в проти-
воположность ожидаемо-
му их росту благодаря
увеличению эффектив-
ной толщины мишени — свойству, очевидному для цилиндроко-
нических снарядов. Это уменьшение объясняется изменением
характера разрушения от пробивания или сферического короб-
ления из-за равномерного периферического растягивающего, на-
пряжения до лепесткования, вызванного радиальным растрески-
ванием. Кроме того, при больших углах скоса наличие “сколь-
жения” снаряда служит отсрочке наступления пикового усилия.
В целом, для данного угла скоса видно, что генерируемое пико-
вое усилие увеличивается с ударной скоростью до баллистичес-
кого предела, а после этого остается постоянным. Результаты,
представленные С. Виростеком и др. [38], дают возможность об-
наружить ряд интересных явлений, и ясно, что необходимы даль-
нейшие исследования, чтобы эффект привнесения скоса в про-
цесс проникания был понят до конца .
На рис. 24 показано изменение пикового усилия в зависимос-
ти от угла скоса для цилиндроконических снарядов, ударяющих-
ся об алюминиевые пластины. Результаты сравниваются с тео-
ретическим расчетом, принадлежащим С. Виростеку [39] и при-
веденным в [38]:
^трУх
р -________________________
4рр (2 + cos р)+/i0 /cos 0 ]
(6)
В то время как уравнение (6) дало разумное предсказание пика на-
грузки для алюминиевых пластин, оно преувеличило этот пара-
метр примерно на 30 % для стальных. Это связывают с допущени-
ем, которое делается в выводе уравнения (6), что в процессе удара
центр пластины испытывает общий прогиб, диаметр которого ра-
вен одному диаметру снаряда. Более детальный анализ глобальной
40
Рис. 24. Пиковое усилие как
функция от угла удара для ци-
линдроконического снаряда,
ударяющего по мишени из
алюминия 2024-0 толщиной
3,18 (7) и 4,76 мм (2) [38]: точ-
ки — эксперимент, кривые —
расчет по уравнению (6)
реакции пластины необ-
ходим для лучшей корре-
ляции между теорией и
экспериментом. Предло-
1 1
О/ °2
о □
□ Г
0 20 40 0,-, град
женная модель для снарядов с полусферическим концом переоце-
нивает полученное пиковое усилие, хотя форма силовременных
кривых свидетельствует о довольно хорошем соответствии.
Эффект наклонного направления снаряда рассматривается
Дж. Зукасом [40] в обзоре исследований проникания и пробива-
ния твердых тел. Приводятся результаты, полученные С. Грабе-
реком [41], указывающие на то, что малые углы скоса (меньше
5°) слабо влияют на баллистический предел мишени, но па мере
увеличения угла он увеличивается значительно. Углы скоса в 10 %
увеличивают баллистический предел металлической пластины
мишени на 12 %. При больших углах скоса четко выражена воз-
можность разрушения снаряда. С. Блесс и др. [42] использовали
метод обратного удара для исследования влияния угла скоса на
баллистический предел и геометрию кратера защитных пластин
при ударе с высокой скоростью. Пластины выпускались на непо-
движные стержни мишени со скоростью 2,15 км/с, установлен-
ные под различными углами к вектору скорости пластин. Уста-
новлено, что при этих высоких скоростях стержни при проника-
нии поворачивались незначительно. Показано, что существует
связь между критическим углом наклона, необходимым для про-
бивания пластины при данной скорости удара, и отношением
толщины пластины к диаметру снаряда.
И. Круш и др. [17] разработали простой метод расчета для
прогнозирования влияния скоса тупоконечных снарядов на ха-
рактеристики ударного энергопоглощения для металлических
пластин. Работа, выполняемая при пробивании пластины косо
летящим снарядом (при пренебрежении сферическим коробле-
нием пластины), описывается следующим уравнением:
Еу = оД [лЦД/4 + (Lsin ф + dp cos ф) (йо/л/З + dp£f)], (7)
41
где ф — угол скоса. Тем не менее в испытаниях по удару, прово-
димых на тонких пластинах из алюминиевого сплава, было про-
демонстрировано, что наличие скоса в движении тупоконечного
снаряда может изменить характер разрушения от “пробкового”
сдвига до разрыва пластины, особенно, когда соотношение hjdp
очень мало. Когда происходило это изменение характера разру-
шения, отмечались более высокие скорости на выходе после
пробивания, свидетельствующие об уменьшении баллистическо-
го предела мишени.
2.4. ДВИЖУЩИЕСЯ МИШЕНИ
Прямой удар тупоконечного снаряда по движущимся мише-
ням экспериментально и аналитически рассмотрен Е. By и
У. Голдсмитом [43, 44]. В этих испытаниях пластины подверга-
лись удару при их движении со скоростью 40 м/с в направлении,
перпендикулярном линии полета снаряда. Установлено, что дви-
жение мишени увеличивает баллистический предел на 24—29 %
по сравнению с баллистическим пределом соответствующей ста-
ционарной мишени. Это обяснили добавлением поперечной со-
ставляющей скорости мишени, увеличивающей длительность
контакта между снарядом и мишенью по сравнению с аналогич-
ными условиями для неподвижной мишени. Результаты испыта-
ний также указывают на то, что при ударе снаряда о движущую-
ся мишень имеет место значительное “размывание”, происходя-
щее в результате воздействия, распространяющегося на пло-
щадь большую, чем в случае неподвижной мишени. Это вызыва-
ет такие эффекты, как меньшая концентрация удара и вовлече-
ние большего количества материала мишени [45].
2.5. УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ ТРУБ БОЛЬШОГО
И МАЛОГО ДИАМЕТРА
За последние годы возрос интерес к реакции цилиндрических
оболочек на локальную ударную нагрузку. Начальные исследо-
вания были связаны с реакцией труб и трубчатых элементов на
квазистатическое нагружение, причем проводились самые раз-
ные испытания, в которых цилиндрические оболочки либо про-
шивались (например [46—48]), либо локально индентировались
штампами с различными формами головки (например [49—51]).
42
Использовался жесткопластический анализ для расчета измене-
ния величины прогиба трубчатых балок в зависимости от на-
грузки [52, 53]. При сравнении его результатов с эксперимен-
тальными данными было показано, что жесткопластический
анализ обеспечивает очень полезное первое приближение к
большой деформации трубчатых балок. С. Рид и К. Гуди [54]
расширили жесткопластический анализ и учитывали упругие
эффекты в полуэмпирической модели.
Остаточная прочность (сопротивление деформации) повреж-
денных цилиндрических оболочек — это предмет исследований,
представляющий большой интерес для морской нефте- и газодо-
бычи, где особой проблемой является поврежденность, наступа-
ющая в трубчатых элементах конструкций в результате кора-
бельных толчков (т. е. удара большой массой с низкой скоро-
стью), и то влияние, которое она оказывает на остаточную проч-
ность элементов [55—59]. •
Реакция цилиндрических оболочек на удар свободно летя-
щих снарядов изучена сравнительно малым числом исследовате-
лей. К. Паломби и У. Строндж [20] провели экспериментальные
исследования выстреливания тупоконечных ракет с различным
радиусом концов в пластины и трубы из малоуглеродистой ста-
ли. Исследовалось влияние радиуса “носа” на баллистический
предел труб с внешним диаметром 50,8 мм в состоянии после го-
рячей прокатки (твердость по Виккерсу равна 178) и после отжи-
га (твердость по Виккерсу 98). Результаты показаны на рис. 25
для двух различных толщин стенок. Четко проиллюстрировано
различие в реакции двух разных типов труб на изменение радиу-
са “носа”. Безразмерный энергетический параметр
7_ mPV0
(8)
использовался, чтобы в дальнейшем выдвинуть на первый план
эффект отжига и радиус “носа”. J ставится в зависимость от
р = hlr„ (гп — радиус “носа” снаряда) для обоих типов труб и со-
поставляется с данными по удару пластины, приведенными на
рис. 26. Для отожженных образцов безразмерная энергия пер-
форации J увеличивается с ростом р, пока не достигнет максиму-
ма, а затем снижается. Это аналогично поведению пластин из
малоуглеродистой стали, описанному Р. Корраном и др. [9] (см.
рис. 5).
43
Рис. 25. Результаты испытаний на удар по трубам из мягкой стали.
Трубы с толщиной стенки, мм: а — 1,2; б — 2,0. 09 — трубы горячекатаные (-); — трубы
отожженные (--) [20]
р„=0 р„=0,16 р„=0,31
Для труб после горячей прокатки (без отжига) J изменялась
в зависимости от р в гораздо меньшей степени, чем для ото-
жженных труб. Различие в реакции этих типов труб на измене-
ние радиуса “носа” относят за счет более высокой способности к
относительному удлинению отожженных образцов, что способ-
ствует рассеиванию большего количества энергии во время воз-
действия округлых снарядов, чем снарядов с плоским торцом.
Уменьшение радиуса “носа” снаряда приводило к уменьшению
воздействия, изменению характера разрушения от отрыва до
сдвигового пробкообразования и уменьшению критической
энергии перфорации. Неотож-
женные трубы, с их более низ-
ким значением деформации до
разрушения, разрушались по-
средством сдвига для всех ради-
усов “носа” снаряда и, следова-
тельно, были менее чувстви-
тельны к изменениям этого па-
раметра.
Рис. 26. Зависимость безразмерной
энергии удара J от безразмерной кри-
визны носа снаряда р„ при пробивании
труб из малоуглеродистой стали [20]:
1,2 — цилиндрические снаряды, трубы без отжи-
га и с отжигом соответственно; 3 — сферические
снаряды, трубы без отжига [86]; 4 — цилиндриче-
ские снаряды [9]
44
Металлографическое исследование участков отожженных
труб, деформированных при скоростях, близких к баллистичес-
кому пределу, четко иллюстрируют изменение характера разру-
шения. Деформация зерен с их поворотом на 45° (рис. 27, а) ука-
зывает на сдвиговый характер разрушения, связанный с ударом
снаряда с плоским торцом, в то время как образование шейки,
характерное для растяжения (рис. 27, б), свидетельствует о сфе-
рическом формоизменении, вызванном снарядами с круглым
“носом”. Сочетание этих двух типов разрушения, обнаруженных
при ударе трубы снарядом с радиусом “носа”, близким к крити-
ческому значению (р = 0,16), продемонстрировано на рис. 27, в.
С. Ма и У. Строндж [60] экспериментально исследовали ин-
дентирование, разрыв и пробивание тонкостенных холодноката-
ных труб из малоуглеродистой стали при ударе сферическими
ракетами, движущимися со скоростью, близкой к баллистичес-
кому пределу. Процесс проникания и разрушения, наблюдаемый
в типичном эксперименте, показан на рис. 28. Первое разруше-
ние происходит на внутренней поверхности трубы при скорости
снаряда 50—75 % баллистического предела и радиусе, меньшем
радиуса снаряда.
С. Ма и У. Строндж [60] также наблюдали различие в реак-
ции толстостенных и тонкостенных труб. Для тонкостенных
труб более высокие скорости приводят к увеличению сфери-
ческого коробления, что в свою очередь приводит к растягива-
ющему типу разрушения. Трубы с более толстыми стенками
реагировали на увеличение скорости удара прониканием, в
дальнейшем приводящим к образованию раковины (пустоты),
выталкиваемой на внутренней стороне и, в конце концов, к об-
разованию отделяемой пробки. Для стальных труб переход
между двумя типами разрушения происходит при djjh = 3. Ре-
акция труб на удар в [60] сопоставляется с реакцией пластин
сходной толщины, причем трубы оказываются жестче, чем со-
ответствующие пластины.
С. Ма и У. Строндж [60] исследовали также эффект присут-
ствия наполнителя в трубах (песок или вода). Происходило уве-
личение жесткости трубы и ее баллистического предела. Балли-
стический предел данной трубы возрастал в зависимости от тол-
щины стенки и плотности наполнителя, но уменьшался с увели-
чением диаметра ракеты. А. Нейлсон и др. [61] в серии экспери-
ментов сравнивают историю деформации трубопроводов пустых
и наполненных водой, находящейся под давлением. Пустые тру-
45
a
в
Рис. 27. Характер разрушения труб после удара снарядами с плоским (а) и круг-
лым (б, в) носом:
1 — поперечное сечение трубы при ударе со скоростью, близкой к баллистическому пределу; 2,3 —
увеличенный вид зоны удара, в которой произошло: а — разрушение сдвигом [20], б — локальное
утонение (образовалась шейка), в — разрушение растяжением на отдаленной стороне [27]
Рис. 28. Поперечное (а) и осевое (6) сечения тонкостенной стальной трубы (ди-
аметром 50 мм, с толщиной стенки 2,1 мм) при ударе сферой диаметром 12,7 мм,
движущейся со скоростью, близкой к баллистическому пределу труб [60].
Vo, м/с: 1 — 85; 2 — 116, первое периферическое разрушение; 3 — 195, баллистический предел; 4 — 259
бы внутренним диаметром 150 мм с толщиной стенки 7,6 мм под-
вергались удару снарядами диаметром 25 и 60 мм с плоским тор-
цом. В наполненных водой трубах создавали давление до значе-
ний, которые давали окружное предварительное напряжение в
стенке до 25 % предела текучести материала. Показано, что име-
ются заметные различия в деформациях, измеренных в трубах
этих двух типов, причем самое большое различие наблюдается в
окружном направлении. При ударах о пустые трубы все окруж-
ные деформации в поперечном сечении труб, проходящем через
точку удара, являются сжимающими, а для труб, наполненных
водой, регистрируются растягивающие окружные деформации.
Это явление объясняется в [61] тем, что вода имеет тенденцию
более равномерно распределять нагрузку снаряда по окружнос-
ти трубы. Несжимаемость воды приводит к сжимающему эф-
фекту внедрения снаряда, встречающего противодействие со
стороны окружных растягивающих сил, необходимых для сохра-
нения постоянного поперечного сечения потока. А. Нейлсон и
др. [61] отмечают, что энергия перфорации труб уменьшается
при наполнении их водой (в противоположность случаю с пусты-
48
ми трубами). Это наблюдение противоречит тому, что наблюда-
ли С. Ма и У. Строндж [60]. Основное отличие заключается в ти-
пе снарядов, использованных в этих двух исследованиях: С. Ма и
У. Строндж использовали легкие (<10 г) сферические ракеты, а
А. Нейлсон и др. [61] — тяжелые (4 кг) снаряды с плоским тор-
цом. Еще одно различие — толщина стенок труб. Несмотря на
то что отношения dp/hQ и dp/D аналогичны в обеих сериях испы-
таний, общий масштаб испытаний, проведенных А. Нейлсоном,
был в 3—4 раза больше, чем у С. Ма и У. Стронджа, следова-
тельно, толщина стенок была больше. А. Нейлсон и др. [61] (по-
добно С. Ма и У. Стронджу [60]) отмечали, что наличие воды
имело намного большее влияние на критическую энергию пер-
форации, чем то давление, которое при этом создавалось. Тем не
менее было установлено, что, меняя давление воды, можно из-
менить вид разрушения, создаваемого снарядом.
Необходима дальнейшая работа в этом направлении для луч-
шего понимания того влияния, которое оказывает наполняющая
среда на реакцию трубы. Присутствие несжимаемого наполне-
ния, как показано, в значительной степени влияет на кинетику
развития деформаций в стенке трубы, подвергаемой удару сна-
рядом, и эта история деформаций поможет определить характер
разрушений и энергопоглощающую способность труб. В настоя-
щее время еще не до конца решен вопрос, как развитие полей де-
формации зависит от плотности наполняющей среды, давления
и т. д., и как эти деформации определяют окончательный харак-
тер разрушения.
Г. Корбетт и др. [62] провели экспериментальное исследова-
ние удара стальных труб круглоносыми снарядами, концентри-
руя внимание на том, какое влияние оказывают на баллистичес-
кий предел труб масса снаряда, форма носа снаряда, тип крепле-
ния труб и свойства материала снаряда. В [62] показано, что зна-
чения критической энергии перфорации зависят от массы снаря-
да примерно так же, как наблюдалось в [9—11] на плоских пла-
стинах. Очевидно, что зависимость критической энергии перфо-
рации от свойств материала трубы и форма носа снаряда сходна
с тем, как это описывается С. Паломби и У. Стронджем [20], ког-
да имеется особый радиус носа, для которого критическая энергия
перфорации максимальна. В [62] также сравниваются реакции
стальных труб на динамическое и квазистатическое нагружение.
Показано, что динамическое нагружение приводит к большей
локализации зоны деформации, чем статическое; свойства мате-
49
риала меньше влияют на глобальную реакцию и энергопогло-
щающую способность труб в условиях динамического нагруже-
ния, чем в условиях статического; условия крепления меньше
влияют на реакцию на динамическое нагружение, чем на стати-
ческое. Реация труб на динамическое нагружение в меньшей сте-
пени зависит от условий крепления, чем реакция на статическое
нагружение.
2.6. СВОЙСТВА МАТЕРИАЛА ПРИ ВЫСОКИХ СКОРОСТЯХ
ДЕФОРМАЦИИ
Определяющие соотношения пластических напряжений и де-
формаций многих материалов чувствительны к скорости дефор-
мации, и эта зависимость должна приниматься во внимание в
случае, если необходимо точно смоделировать динамическое
структурное поведение. Например, показано, что нижний предел
текучести малоуглеродистой стали увеличивается на 170 %, а
предел прочности на растяжение возрастает на 40 % при увели-
чении скорости деформации от КУ6 до 103 с-1 [63]. Эмпирическим
путем обычно приходят к выводу, что для средних скоростей де-
формации, имеющих место при субартиллерийских ударах, уве-
личение на 40 % предела текучести является приемлемым [64].
За последние годы проведены обширные эксперименталь-
ные и аналитические исследования по определению динамичес-
кого пластического поведения материалов, и хотя рассмотрение
этих исследований не входит в задачу авторов данной работы,
отличные обзоры по этому вопросу можно найти в [65—67].
2.7. ЭФФЕКТЫ СТЕСНЕННОСТИ ДЕФОРМАЦИИ
Еще одно явление, затрудняющее точное описание прочнос-
ти материала, — боковая стесненность. Хорошо известно, что
металлические заготовки при их обработке тупоконечными
штампами, чтобы вызвать пластическую деформацию, требуют
давлений, намного превышающих предел текучести материала
при простом растяжении или сжатии [68]. Это очевидное увели-
чение прочности, часто называемое фактором (коэффициен-
том) стесненности К, происходит благодаря предотвращению
бокового течения недеформированным окружающим материа-
лом, способствующим возникновению составляющей гидроста-
50
тического напряжения. Р. Вудвард и М. Мортон [69] показали,
что для квазистатического воздействия на стальные пластины
цилиндрическими штампами с плоскими торцами коэффициент
стесненности варьирует от 2 при начале течения до более чем 3
при высоких деформациях. По мере воздействия степень стес-
нённости нарастает вследствие увеличения площади контакта
между штампом и пластиной, следовательно, нагружающее дав-
ление, необходимое для дальнейшего пластического течения,
также нарастает. Коэффициент стеснения для любой ситуации в
значительной степени зависит от нагружения и параметров ми-
шени, определяющих эту ситуацию.
Дж. Лисс и др. [70] исследовали влияние стеснённости мате-
риала на свойства алюминия 2024-0 в условиях динамического
нагружения, используя методику расколотой заготовки Гоцкин-
сона. Установлено, что средний коэффициент стеснённости 2
следует учитывать при оценке предела текучести стеснённого
алюминия (отношение толщины образца к диаметру заготовки
равно 0,5) в условиях статического нагружения, а коэффициент
стеснённости 1,75 — при динамическом нагружении.
$
2.8. ТРЕНИЕ
Дж. Крафт [71] исследовал роль поверхностного трения в
процессе проникания. Его эксперимент показывает, .что макси-
мальные потери на трение скольжения могут составлять до 3 %
суммарной ударной энергии снаряда. Тем не менее, если в про-
цессе удара происходит пробкообразование в пластине мишени,
то трение скольжения может сразу же стать важным фактором.
3. ЭМПИРИЧЕСКОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ПЕРФОРАЦИИ
3.1. ВВЕДЕНИЕ
Первые попытки изучить процесс проникания и пробивания
носили экспериментальный характер. Результаты испытаний ис-
пользовались вместе с теоретическими и размерными соображе-
ниями для определения соотношений между различными пара-
метрами. Например, Б. Робинс [72] экспериментально обнару-
жил, что “если пули одного диаметра и плотности ударяются об
одно и то же твердое вещество с различной скоростью, они про-
никают в это вещество на различную глубину, которая почти
пропорциональна второй степени этих скоростей, и устойчи-
вость твердых веществ к прониканию пуль равномерна”. Это от-
крытие способствовало появлению знаменитой формулы Робин-
са—Эйлера, позволяющей рассчитать приблизительную глуби-
ну проникания:
где а — мера устойчивости к прониканию, которая принимается
за постоянную и определяется экспериментально. Со времени
появления работы Б. Робинса был предложен ряд подобных эм-
пирических уравнений для расчета таких параметров, как глуби-
на проникания или энергия, необходимая для пробивания струк-
туры. Они хорошо известны в литературе (например, см. [1,2]) и
широко используются в настоящее время.
3.2. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И МАСШТАБИРОВАНИЯ
Теория подобия (или размерный анализ) является мощным
инструментом при анализе экспериментальных данных и часто
используется для вывода эмпирических формул. Одним из ран-
52
них примеров использования размерного анализа для моделиро-
вания эффектов взрывного нагружения структур был случай,
связанный с Гопкинсом (1915). Об этом сообщается в работе Д.
Кристоферсона [73]. В более позднее время пи-теорема Бекин-
гема была применена к прониканию снаряда в твердые тела для
идентификации 16 безразмерных групп, 14 из которых примени-
мы к субартиллерийскому удару [74]. Число этих групп меньше,
чем число переменных, и позволяет проследить, как соотносят-
ся определенные группы друг с другом. Использование теории
подобия для получения безразмерных групп позволяет также
выполнить пересчет (масштабирование). Пересчитанные моде-
ли можно испытать с гораздо меньшими издержками, чем их
прототипы, и путем удаления размеров из экспериментальных
групп законы пересчета можно использовать для применения к
прототипу результатов испытаний на моделях. Но чтобы законы
пересчета могли быть применены с уверенностью, необходймы
экспериментальные свидетельства их применимости и точности
в конкретной ситуации, а это не во всех обстоятельствах пред-
ставляется возможным. '
Применение законов пересчета к динамическому нагруже-
нию неупругих структур рассматривается Н. Джонсом [75], ко-
торый заключил, что законы геометрического пересчета не
могут с большой уверенностью быть применены к ударно на-
груженным мишеням из-за двух факторов: влияний скорости
деформации и наличия хрупкопластических переходов, кото-
рые могут происходить в испытаниях либо на моделях, либо на
прототипах. П. Даллард и Д. Майлз [76], Е. Бут и др. [77] так-
же исследовали применимость геометрического пересчета к
ситуации удара и пришли к аналогичному выводу. Последняя
работа включает интересное приложение, написанное С. Кал-
ладайном, который качественно и количественно рассмотрел
влияние скорости деформации на законы пересчета и показал,
что форма кривой зависимости изгиба от нагрузки важна при
определении подходящей системы пересчета. В [77] подход
С. Калладайна объясняет некоторые, но не все расхождения
между расчетным и действительным поведением масштабиро-
ванных моделей пластинчатых стальных структур, ударно на-
груженных роняемыми предметами. Ясно, что инерция также
играет важную роль в этих задачах, тормозя наступление ви-
дов деформации с преобладанием изгиба, что тоже нарушает
возможность пересчета.
53
Теория пересчета была применена Т. Даффи и др. [78] к
удару снаряда о пластины с низкой скоростью и дала для моде-
лей в натуральную величину и уменьшенных в 2 раза результа-
ты, совместимые с точностью до ±10 %. С. Андерсон и др. [79]
выполнили количественные расчеты влияния масштабирова-
ния на процесс проникания и пробивания при ударах с высокой
скоростью (Уо =1,5 км/с). Было установлено, что ударопроч-
ность мишеней мелкого масштаба слегка превышает устойчи-
вость моделей в натуральную величину вследствие влияния
скорости деформации, хотя различия крайне незначительны
(обычно 5 % для коэффициента масштабирования больше 10)
и трудно отличимы от экспериментального разброса. Необхо-
дима дальнейшая работа для количественного определения
влияния скорости деформации в субартиллерийском диапазо-
не удара на процесс пересчета, прежде чем он будет с уверен-
ностью применен к процессам динамического проникания и
пробивания. Более того, разрушение материала усложняет
процесс пересчета, так как проблема хрупкопластического пе-
рехода обостряется во время разрушения, и это явление долж-
но быть изучено в дальнейшем.
3.3. ЭМПИРИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ УДАРА
ДЛЯ СТАЛЬНЫХ ПЛАСТИН
Использование аналитических методов для расчета реакции
пластин на удар снаряда за последние годы значительно расши-
рилось, однако использование эмпирических формул для расче-
та энергии, необходимой для пробивания пластин, остается важ-
ным средством для инженера, занимающегося механикой удара.
Так как важность этой проблемы возросла, то продвинулся впе-
ред и процесс разработки эмпирических формул, охватывающих
самый широкий диапазон ситуаций удара. Некоторые из этих
формул были разработаны много лет назад (например уравне-
ние (9), 1742 г.), а другие являются продуктом недавних исследо-
ваний. Наиболее известные и широко используемые эмпиричес-
кие формулы для расчета минимальной энергии, необходимой
для пробивания пластины:
I) . Де Марре (1886):
Ес = а- (10)
54
(диапазон скоростей не указывается), здесь а — константа, нахо-
димая из экспериментальных данных.
П). Формула Стэнфордского исследовательского института
(SRI) (1963):
£.=^[42.7А»2+'М (ч)
(область определения: 0,1 < hjd. < 0,6; 0,002 < hjl < 0,05; 10 < Lid. <
< 50; 5 < l/dp < 8; l/hQ < 100; 21 < Vo < 122 м/с).
Ш). Формула BRL (Британской исследовательской лаборато-
рии, 1968):
Ее=1,44хтЦ)« (12)
(область определения не указывается).
Параметры в формулах (10)—(12) должны быть выражены в
единицах СИ. С. Оте и др. [80] провели серию экспериментов, в
которых цилиндрические снаряды с плоским, полусферическим
и коническим концами выстреливались в пластины из углероди-
стой стали толщиной 7—38 мм с целью проверить соответствие
расчетов по этим формулам натурным испытаниям. Снаряды
имели диаметр от 66 до 160 мм и массу от 3 до 50 кг. Результаты
испытаний для пластин толщиной 7 мм (рис. 29) показывают,
что в этих условиях для снарядов с плоским торцом и полусфе-
рическим концом энергия перфорации аналогична и достаточно
хорошо рассчитывается по этим формулам, причем наиболее
близкие результаты дает формула де Марре, но для снарядов с
коническим концом энергия, необходимая для пробивания, рез-
ко падает по мере уменьшения угла носа. Это снижение необхо-
димой критической энергии С. Оте и др. [80] отнесли за счет
уменьшения эффективной площади контакта для снарядов с ко-
ническим носом. Они исследовали изменение этой площади в за-
висимости от толщины мишени и угла “носа” и разработали усо-
вершенствованную оценку энергии перфорации:
Ес = 3,0 х Ю^’Ч1’5. (13)
где de — эффективный диаметр “носа”. de = /г0{ 1 + 2,9(tan0)2,1} для
снарядов с коническим носом при том, что de < dp. Если de по рас-
четам больше dp, то величина dp берется в качестве эффективно-
го диаметра снаряда. В этих формулах энергия перфорации дана
в джоулях, a h0 и de — в метрах. Эти отношения были получены
55
Рис. 29. Результаты испытаний на удар по стальной пластине-мишени толщи-
ной 7 мм [80]:
1 — непробивающий удар (только деформация); 2 — частичное пробивание (трещины или маленькое
отверстие); 3 — полное пробивание
из испытаний на пластинах из углеродистой стали SGV49 толщи-
ной 7—38 мм, w/йо > 39,25 < Vo < 180 м/с. Они позволяют доста-
точно хорошо рассчитать критическую энергию перфорации.
А. Нейлсон [81] также исследовал применимость формул
Стэнфордского исследовательского института (SRI) и Британ-
ской исследовательской лаборатории (BRL). Он использовал
размерный анализ для приведения результатов к более удобно-
му виду и к данным, соответствующим длинным снарядам:
(14)
где параметры определены в интервалах 0,14 < hjdp < 0,64,
4 < Udp < 22 и Lldp > 13. В уравнении (14) А — константа, равная
1,4 для расчета средней энергии перфорации и 1,0 для расчета
минимальной энергии перфорации. На рис. 30 показано сравне-
ние расчетов по уравнению (14) и результатов испытаний, полу-
ченных от удара цилиндрических снарядов диаметром от 32 до
85 мм с плоским торцом и массой от 1 до 20 кг в пластины тол-
щиной 1—25 мм.
Оказывается, энергия перфорации для длинных снарядов не
зависит от ширины панели для w/dp > 22. Нет стабильной зависи-
56
Рис. 30. Сравнение экспери-
ментальных данных (точ-
ки) с предложенной эмпи-
рической формулой
ЕДп43)==1Д(^)1Л/Ч)0’6
(сплошная прямая) для
средней энергии пробива-
ния (уравнение (14)) [82]:
1 — максимальная энергия, даю-
щая непробивание; 2 — мини-
мальная энергия, приводящая к
пробиванию; L/dp >13
мости для снарядов
коротких и промежуточных по длине. Объяснение этому можно
найти на рис. 4 [9]. Для пластин из малоуглеродистой стали энер-
гия перфорации возрастает с ростом массы снаряда (и, следова-
тельно, его длины) до плато. До этого горизонтального участка
энергия перфорации в большой степени зависит от соотношения
L!dp, но по достижении плато энергия остается примерно посто-
янной, независимо от отношения L!dp. В 1986 г. Дж. Джоветт [82]
собрал данные из различных источников и пришел к выводу би-
функциональной зависимости для энергии перфорации при бо-
лее коротких снарядах:
В,=1,32а.</;
£.=0,380.^
для 0,10 < Ao/rfp”<O,25,(15a)
для 0,25 < hQ[dp<0,64. (156)
Области применимости формул: 2 < Udp < 8,315 < <зи < 483 МПа,
40 < Vo < 200 м/с, Udp <12. Для отношений lldp >12 член l/dp в
уравнении (15) следует заменить на 1. В этих уравнениях также
используются единицы СИ. На рис. 31 показано сравнение этих
соотношений, называемых уравнениями коротких снарядов
АБА, с собранными экспериментальными данными (наряду с
уравнением (14)).
Важность применения только эмпирической формулы к си-
туациям удара в указанных для них диапазонах применимости
выдвигается на первый план в работе X. Вена и Н. Джонса [83].
Испытания ударов с низкой скоростью (<20 м/с) снарядами с ту-
пым и плоским концами проводились на круглых пластинах из
57
Рис. 31. Сравнение эксперимен-
тальных данных по коротким ра-
кетам с уравнениями (14) [81]
(штриховая линия) и (15а), (156)
(сплошная линия).
Данные работы: 1 — [86], 2 — [91], 3 —
[99], 4 —[81]
малоуглеродистой стали с
отношением D/h0 в интер-
вале 25—100. Показано,
что формулы А. Нейлсона
(14), SRI (11) и АЕА для
коротких снарядов (15) за-
вышали рассчитываемую
критическую энергию уда-
ра, необходимую для про-
бивания пластин. Также
отмечалось, что параметры испытаний лежат за пределами уста-
новленных интервалов применимости для всех этих уравнений.
Формула BRL (12) дала возможность наилучшим образом рас-
считать критическую энергию удара для этих экспериментов. В
работе [83] предложена новая эмпирическая формула, которая
получена путем разделения механизмов энергопоглощения пла-
стины на две составляющие: локальную, состоящую из внедре-
ния и сдвига; и глобальную - энергию растяжения мембраны.
Для вывода следующей формулы расчета минимальной энергии
перфорации использовался размерный анализ:
(16)
Выяснилось, что эта формула дает хорошую возможность рас-
считать критическую энергию перфорации для малоуглеродис-
тых стальных пластин при ударе инденторами с тупым и плос-
ким концами. Показано, что она действительна для испытаний
при большой массе и низкой скорости, когда глобальная реакция
мишени является основной и адиабатического сдвига не проис-
ходит, например при ударе пластины упавшим предметом.
Г. Корбетт и С. Рид [84] также отмечают важность локального
внедрения при реакции стальных пластин на проникание инденто-
ров с полусферическими и плоскими концами. Показано, что вне-
58
дрение (без разрыва) снарядов с полусферическими концами про-
должается в течение всего процесса проникания, в то время как
внедрение снарядов с плоскими торцами происходит лишь на на-
чальных стадиях нагружения. Критические значения энергии пер-
форации, полученные в испытаниях в рамках работы [84], сравни-
ваются с расчетами по эмпирическим уравнениям (11), (12), (14) и
(15). В этих экспериментах снаряды диаметром 12,7 мм с полусфе-
рическими концами и плоскими торцами выстреливались в сталь-
ные пластины толщиной 1—10 мм (1,27< Ц/йо <12,7), свободно ле-
жащие на диаметре 250 мм. Показано, что уравнения SRI (11) и
А. Нейлсона (14) позволяют достаточно хорошо рассчитать мини-
мальную энергию, необходимую для пробивания стальных плас-
тин снарядами с полусферическими концами, несмотря на то что
они выведены из результатов опытов при использовании снарядов
с плоским торцом и находятся вне установленных интервалов при-
менимости. Меняя константы в этих двух уравнениях, возможно
добиться достаточно точного совмещения кривых с эксперимен-
тальными результатами. В результате получаются уравнения
SRI (снаряды с полусферическими концами): ,
Se=^[42.Wo2 + №°]. (17а)
А. Нейлсона (снаряды с полусферическими концами):
4
Яс=0,9<Уи
(176)
Показано, что эти уравнения справедливы в интервалах
0,2 < ho/d , 31 < l/ho < 83,100 < Vo < 250 м/с.
В [84] показано, что наступление адиабатического сдвига яв-
ляется критическим фактором при определении ударопрочности
пластин и для его появления снарядам с полусферическими кон-
цами требуются более высокие скорости, чем снарядам с плос-
кими торцами.
3.4. ЭМПИРИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ КРИТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
УДАРА ДЛЯ СТАЛЬНЫХ ТРУБ
До настоящего времени предпринято очень мало попыток
вывести эмпирические уравнения для расчета критической энер-
59
гии перфорации труб различного диаметра. У. Строндж [85]
применил степенной закон к данным, полученным из ударных
испытаний на стальных трубах, и вывел следующие соотно-
шения:
Ef= 1,1 h^, (18а)
Ec=l,lh^63d^, (186)
Здесь Ef— энергия, необходимая для первого разрушения, Дж;
Ес — энергия, необходимая для пробивания стенки трубы, Дж;
Ло — начальная толщина стенки трубы, мм; dp — диаметр сна-
ряда, мм. Эти соотношения были получены из экспериментов
на холоднодеформированных трубах диаметром 51 мм из ма-
лоуглеродистой стали при ударе сферическими ракетами диа-
метром 6,35,9,53 и 12,7 мм (0,125 < d^D < 0,25), весом 1,04, 3,50
и 8,32 г соответственно. Толщина стенки трубы варьировалась
от 1,2 до 3,0 мм (17 < D/h0 < 50), а скорость удара — от 40 до
200 м/с. Можно заметить, что уравнение (186) имеет вид, ана-
логичный уравнениям де Марре (10) и BRL (12) для критичес-
кой энергии перфорации плоских стальных пластин, причем
толщина стенки труб (толщина пластин) и диаметр снаряда яв-
ляются ключевыми параметрами. Степени, в которые возво-
дятся эти параметры, аналогичны для пластин и труб. При
этом диаметр снаряда возводится в степень 1,5 для пластин и
1,48 для труб, а параметр толщины возводится в степень 1,4
либо 1,5 для пластин и 1,63 для труб. Следует также заметить,
что константы в формулах де Марре и Стронджа нельзя на-
звать независимыми от длины, поскольку сумма их степеней
не равна 3.
А. Нейлсон и др. [61] также вывели уравнение для расчета
энергии перфорации стальных труб. Они выполнили испытания,
в которых трубы длиной 1,8 м, внутренним диаметром 150 мм, с
толщиной стенки от 7,2 мм до 18,2 мм (9 < D/h0 < 22,5) подверга-
лись удару снарядами с плоскими торцами диаметром 25,4 и
60 мм (1,4 < dp/h0 < 8,3 и 0,18 < dJD < 0,38). Показано, что зависи-
мость критической энергии перфорации от толщины стенки тру-
бы и диаметра снаряда аналогична предположенной У. Стронд-
жем [85]. Выведено соотношение
Ec = Ch^d'\
(19)
60
где С — константа. Размерный анализ применен для вывода сле-
дующего уравнения для расчета критической энергии перфо-
рации:
/ , A1’7/ j \0,5
Ec=Aoud3p^- U- (20)
\ар) \и /
при 0,11 < hjdp < 0,42; 3 < Udp < 17; 0,15 < dJD <0,36; 80 < Vo < 170 м/с.
Предел прочности материала трубы в [61] не приводится, но ре-
комендуется значение Аои = 8x109. Это значение позволяет рас-
считать энергию перфорации, примерно на 30 % меньшую той,
что была установлена в результате испытаний. Можно отме-
тить, что это уравнение очень сходно с уравнением Нейлсона
для плоских пластин (14), только член (l/dp)w в последнем урав-
нении заменен на (dJD)0*.
4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
4.1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПО ЗАКОНУ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
И КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Первая попытка аналитического исследования механики про-
никания приписывается X. Бете, осуществившему статический
анализ процесса проникания (см., например, [86]). Этот анализ был
затем усовершенствован Г. Тейлором [87], осуществившим оценку
работы, требуемой для расширения отверстия в пластине мишени
до величины радиуса пули. X. Бете пытался использовать соотно-
шение между напряженным состоянием в пластине и деформиро-
ванным состоянием, а Тейлор осознал, что, благодаря изменению
в соотношениях главных напряжений в процессе проникания,
единственно правильным является соотношение между прираще-
ниями напряжения и деформации. Именно оно использовалось на-
ряду с критерием текучести Мизеса для установления распределе-
ния напряжения в пластине и работы, требуемой для пробивания:
Ec=l,33nr2ph0(jy. (21)
Это работа, которая необходима для создания симметричной
деформации (рис. 32). Она меньше, чем значение
Ес = 2яг2р^у, (22)
полученное X. Бете.
Соотношение Х/Ло, где X — высота кратера, образованного от
прохождения снаряда, является полезным параметром при опреде-
лении геометрии пластически деформированного участка пласти-
ны. Это соотношение известно под названием “коэффициент фор-
мы”. Анализ симметричной деформации пластин по Тейлору дал
коэффициент формы, равный 2,66, т. е. значительно превышаю-
щий результат, полученный X. Бете и равный 2. Формула для рас-
чета работы, необходимой для несимметричной деформации до
разрушения (т. е. “лепесткования”), приводится в [87]:
Ec = Q,5nr2h0cy. (23)
62
Рис. 32. Разрушение пластическим об-
разованием отверстия, связанное с про-
никанием в мягкую стальную пластину
цилиндроконического снаряда [91]
Этот тип деформации про-
исходит в тонких пластичных
пластинах (hjdp < 1) чаще, чем
симметричная деформация,
которая для более толстых
пластичных пластин ho/dp > 1
[3]. Анализ по Тейлору базиро-
вался на квазистатических со-
ображениях без учета инерци-
онных эффектов. Более позд-
ние авторы [88, 89] расширили
теорию Тейлора, включив в
рассмотрение эти эффекты.
У. Томпсон [90] пришел к та-
кому же выражению для энергии, необходимой для асимметрич-
ного пластического расширения отверстия, как и Тейлор, но дру-
гим, намного более простым путем.
Р. Вудвард [91] провел эксперименты, в которых цилиндри-
ческие снаряды с коническими концами пробивали стальные и
алюминиевые пластины, и результаты сравнивали с улучшенной
версией выражения Тейлора (21), полученной более точным
численным интегрированием [92], а именно:
£с=1,92яг2Л0оу (24)
для симметричного типа деформации. Коэффициент формы ра-
вен 3,835. Для работы, выполняемой при асимметричном проби-
вании, Р. Вудвард [91] улучшил уравнение (23) (которые он на-
звал моделью Томпсона) путем включения эффектов изгиба и
вклада от элемента пластического расширения отверстия симме-
тричной деформацией, которое происходит, когда толщина пла-
стины превышает радиус снаряда более чем в 1,8 раза:
( ho Y
Ес = ОЛягДсГу (гр + 0,5jrAo) + 1,42лаД I I • (25)
Р. Вудвард предложил использовать реалистичный предел
текучести для учета эффектов деформационного упрочнения.
63
Сопоставление экспериментальных и теоретических данных по баллистическим пределам для стальных и алюми-
ниевых мишеней
Диаметр снаряда*, мм Материал мишени** Отношение диаметра снаряда к толщине пластины Коэффи- циент формы (W Критичес- кая скорость, м/с Характер разрушения Критическая скорость по Тейлору и ур. (24), м/с Критичес- кая скорость по Томпсону, УР-(23), м/с Модифици- рованная критичес- кая скорость по Томпсону, ур. (25), м/с
Рассчитан- ная по значению Оу, м/с Рассчитанная из твердости пс Виккерсу, м/с
4,76 Сталь(1) 1,5 2,24 330 Образование отверстия 301 267 — —
4,76 Сталь(2) 1,0 1,96 375 312 210 — —-
4,76 А1(1) 0,75 1,68 225 <с 174 180 — —
4,76 А1(2) 0,375 1,46 454 372 324 — —
6,35 Сталь(2) 1,33 2,18 442 tt 432 292 — —
6,35 АЦ1) 1,0 1,83 293 tt 242 250 — —
6,35 Сталь(З) 1,0 1,84 603 tt 645 391 — —
6,35 А1(2) 0,5 1,57 536 tt 480 418 — —
4,76 Сталь(4) 3,0 — 202 Сферическое коробление 147 121 75 117
4,76 Сталь(5) 3,0 — 243 tt 218 193 112 172
4,76 Сталь(б) 3,0 — 240 Лепесткование 250 227 128 197
** Конусность конца снаряда 45°
Подробно о материалах мишени см. [91].
Оказалось, что величина предела текучести при натуральной
(логарифмической — примечание редактора перевода) дефор-
мации 1,0 дает хорошее соответствие экспериментальным ре-
зультатам. Сопоставление этих моделей с экспериментальными
результатами показано в таблице. Очевидно, что при соответст-
вующем модифицировании эти теории дают приемлемую, или
почти приемлемую оценку критической скорости снаряда. В [91]
предлагается относить расхождение между наблюдаемыми ко-
эффициентами формы (Х//г0)и постоянной расчетной величиной
3,835 за счет эффектов деформационного упрочнения.
Путем учета динамических эффектов У. Томпсон [90] также
проанализировал проникание и пробивание пластин снарядами
различной формы, давая оценку остаточной скорости снаряда
! рУр
2 3
(26а)
и оценку критической энергии
где константа А = 1 для снарядов с коническими концами и
А = 1,86 для снарядов со стреловидными головками. М. Сода и
В. Джейн [93] впоследствии скорректировали анализ для снаря-
дов со стреловидной головкой и дали новое значение: А = 0,62.
Р. Рехт и Т. Ипсон [32] учитывали количество движения на-
ряду с энергетическим балансом для анализа механики проника-
ния снарядов. Анализ дал следующее выражение для остаточной
скорости снаряда Vr, которая следует за прямым ударом со ско-
ростью Уо за баллистическим пределом Ух:
которое может быть преобразовано так:
Уг = (У02 - У?)0’5, если тр » тр1.
(28)
65
М. Зейд и Б. Пол [94] использовали баланс количества движе-
ния, дополняя метод, использованный У. Томпсоном [90], чтобы
определить остаточную скорость пробивающего снаряда, кото-
рая следует за ударом по тонкой пластине, и вывели соотноше-
ние
v=________.
г тр+ 2лрЛ()Гр sin Р
(29)
Б. Пол и М. Зейд [95] применяют этот метод к различным фор-
мам носа (усеченный конус, стрелка) и сравнивают результаты с
экспериментальными данными. В [33] анализ распространен и
на случай косого удара.
Во всех этих подходах к оценке энергии, необходимой
для пробивания, и остаточной скорости снаряда пренебрегают
изгибом, растяжением и динамическими эффектами за преде-
лами зоны удара. Это подразумевает, что для того чтобы ана-
лиз был правомочным, скорость удара должна быть заметно
больше баллистического предела. В различных исследованиях
(например [86,96]) подтверждено, что подходы с точки зрения
энергии и количества движения дают возможность хорошо
рассчитать остаточную скорость, когда скорость удара доста-
точно высока, но склонны переоценивать ее по мере прибли-
жения к баллистическому пределу. С. Калдер и У. Голдсмит
[15] построили график результатов своих экспериментов
в сравнении с различными аналитическими расчетами. В то
время как все три теории дают возможность хорошо рассчи-
тать падение скорости при высокой скорости удара, только
уравнение (27) с его экспериментально полученным значе-
нием Vx дает хорошее согласование при скоростях, близких к
О 60 120 180 240 V0,m/c
баллистическому пределу
(рис. 33).
Рис. 33. Экспериментальное па-
дение скорости и сравнение с те-
орией при пробивании плиты
из алюминия 2024-0 (диаметр
360 мм, толщина 1,27 мм) цилин-
дроконическим снарядом диаме-
тром 12,7 мм [15]:
1 — уравнение (27), Vx = 73 м/с; 2 — урав-
нение (26); 3 — уравнение (29). Точки —
экспериментальные результаты
66
4.2. АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ РАЗРУШЕНИЯ
4.2.1. Разрушение “пробкообразованием”
Методы расчета на основе количества движения, в общих
чертах описанные в предыдущем разделе, полезны при расчете
падения скорости снаряда при ударе о пластину мишени со ско-
ростью, заметно превышающей ее баллистический предел. Они
не подходят для случаев, когда реакция материала мишени в точ-
ке удара и вдали от нее значительно влияет на процесс проника-
ния, т. е. когда скорости удара близки к баллистическому преде-
лу. Они также не позволяют оценить детали многочисленных и
крайне сложных реальных процессов пробивания (см. рис. 1), про-
исходящих либо в чистом виде, либо в различных сочетаниях.
Пластическое расширение отверстий рассматривается в
разд. 4.1. Оно происходит, когда снаряды с коническими концами
пробивают пластические пластины всех толщин, хотя чаще всего
наблюдается в пластинах промежуточной и большой толщины
(рис. 34, а). Разрушение пробкообразованием происходит в том
случае, когда тупоконечные снаряды ударяются о мишени от про-
межуточной до большой толщины: формируется полоса высокой
сдвиговой деформации, если радиус близок к радиусу снаряда, и
это приводит к образованию “пробки”, сдвигаемой до отделения
(рис. 34, б). Катастрофический сдвиг происходит в результате вза-
имодействия между термическим разупрочнением и Деформаци-
онным упрочнением материала пластины внутри сдвиговых по-
ясов (см., например, Р. Рехт [97]). Когда локальное увеличение
температуры имеет отрицательное влияние на сопротивление ма-
Рис. 34. Деформации и разрушение внутри тела, образующиеся в результате
проникания в мишень остроконечного (а) и тупоконечного (б) снарядов [2]
67
териала, равное положительному влиянию деформационного уп-
рочнения или превышающее его, происходит разрушение катаст-
рофического сдвига. Температурное влияние на разрушение сдви-
гом явилась предметом изучения для целого ряда авторов, боль-
шинство из которых интересуются процессом с точки зрения об-
работки металлов давлением (дыропробивной и листовой штам-
повкой). Но в недавнее время осознана важность этого эффекта в
процессе удара снарядом. Т. Сток и К. Томпсон [98] показывают,
что для алюминиевых сплавов эти пояса интенсивного сдвига ге-
нерируют тепло, достаточное для подъема температуры материа-
ла внутри них до точки плавления, а в стали — до смены фазы.
Эти эффекты комментируются У. Джонсоном [1]. Д. Летаби и
И. Скидмор [99] показали, что пробкообразование — это медлен-
ный процесс в пороговых условиях и для тонких пластин большая
часть энергии тратится на глобальную деформацию пластины до
завершения процесса пробкообразования. Под этим подразумева-
ется, что любой анализ тонких пластин, допускающий разруше-
ние сдвигом, но не учитывающий глобальную деформацию мише-
ни, применим только для ударов с высокой скоростью. Было так-
же показано, что для того чтобы произошло пробкообразование,
требуются намного большие энергии при скоростях удара, близ-
ких к баллистическому пределу, чем при скоростях, заметно его
превышающих.
Р. Вудвард [100] использовал уравнение Тейлора для пласти-
ческого расширения отверстий (21), чтобы рассчитать измене-
ние характера разрушения от пластического расширения до ади-
абатического сдвига. Он показал, что характер разрушения из-
менится от пластического расширения отверстия до пробкооб-
разования, когда толщина пластины, подлежащей прониканию,
меньше л/3гр , и что суммарная работа, проделываемая при ади-
абатическом сдвиге,
Ес = 2яг>у(йо " + (30)
□ ld.ll р
При анализе допускалось, что, благодаря термическому разу-
прочнению, работой, необходимой для выталкивания сформиро-
ванной пробки, можно пренебречь. Уравнение (30) также вклю-
чает компонент для обозначенной работы, необходимой для вне-
дрения.
68
Для тонких мишеней (Йо < л/3гр) допускалось, что при радиаль-
ном расширении отверстия никакой работы не проделывается и
работа, совершаемая при коническом внедрении, задается как
Е = 2ттауй^
' 73tanP
(31)
Эти уравнения изображены графически в [100] для различной тол-
щины пластин и сопоставлены с экспериментальными значения-
ми, полученными из испытаний на трех различных типах пластин:
1) алюминий 5083 (ву = 452 МПа); 2) IMI титан 125 (ау = 1167 МПа);
3) IMI титан 318 (ау = 1685 МПа). Величина су получена путем со-
поставления кривой напряжения — деформации, полученной из
испытания на квазистатическое одноосное сжатие, с функцией ви-
да а = Oy£", где п — индекс деформационного упрочнения, а оу —
напряжение пластического течения при натуральной (логарифми-
ческой) деформации, равной 1,0. Не была предпринята попытка
включить влияние интенсивности деформации или температуры в
оценку динамического предела текучести, и, следовательно, вели-
чина Су, полученная по этому методу, несколько произвольна и бу-
дет действительна только для ударов с низкой скоростью.
В испытаниях Р. Вудварда квадратные панели толщиной 50 мм
подвергались удару цилиндроконическими снарядами с различ-
ными углами конуса диаметром 4,76 мм и массой ~3 г. Более де-
тальное экспериментальное исследование механизмов пробко-
образования в тонких пластинах из титанового сплава при ударе
снарядом этого типа [18] описывалось ранее (см. разд. 1.2). Бы-
ло показано, что пластины из алюминия и титана 125 разруша-
ются пластическим расширением отверстий при образовании
пробки, а из титана 318 — пробкообразованием.
Очевидно, что эти простые теории позволяют сделать при-
емлемую оценку работы, требуемой для разрушения. Но надо
подходить с особой тщательностью к выбору формулы (в зави-
симости от ожидаемого характера разрушения). Более того,
следует применять формулы только в тех ситуациях, когда ожи-
даемый характер разрушения является доминирующим. Присут-
ствие, например, глобального изгиба или мембранного растяже-
ния привнесет ошибки в расчеты. Для испытаний, о которых
сообщается в [100], когда квадратные пластины толщиной
50 мм подвергались удару цилиндроконическими снарядами
69
диаметром 4,76 мм, маловероятно, что какой-либо из этих фак-
торов присутствует в сколько-нибудь зримой степени. Испыта-
ния на алюминиевых пластинах показали более высокие значе-
ния энергии, чем те, которые были рассчитаны по этой теории,
и это, вероятно, можно отнести за счет относительно низкого
напряжения пластического течения алюминия, что является
причиной малой степени глобального прогиба в этих пластинах.
В [101] для прояснения представлений о двух типах разруше-
ния, описанных ранее, наряду с разрушением путем образования
диска Р. Вудвард использует механические модели, подобные
тем, что используются в [100], а также микромеханические сооб-
ражения. Разрушение путем образования диска происходит, ког-
да толщина пластины меньше диаметра снаряда.
И. Бэй и У. Джонсон [102] в общих чертах описали прогресс
в понимании процесса проникания и пробивания с точки зрения
как удара снарядом, так и скоростной штамповки. Используется
большая работа по скоростной штамповке, проделанная Т. Ча-
ном и Г. Свифтом [103], а также У. Джонсоном и Р. Слейтером
[104], для объяснения процессов холодной и горячей штамповки.
Для установления зависимости адиабатического сдвигового на-
пряжения от деформации для материалов с данным индексом де-
формационного упрочнения п и критической адиабатической де-
формации второго рода (сдвига) у использовалось определяющее
соотношение, связывающее температуру и деформацию с напря-
жением. Параметр у определяется как относительный сдвиг (де-
формация второго рода), при котором впервые возникает термо-
пластическая сдвиговая нестабильность. Это соотношение, задан-
ное уравнением
a Y
т = т — exp
IyJ
/.. Y+1
1-
_Y
LJ
(32)
л + 1
изображено на графике для различных значений у, и п (рис. 35).
Допуская распределение квазистатических напряжений в плас-
тине за пределами штампа, авторы выводят следующее распре-
деление деформации:
п+1 Z \л+1
70
Рис. 35. Диаграммы относительного
касательного напряжения — дефор-
мации сдвига для материалов с раз-
личными индексами деформацион-
ного упрочнения п и деформациями
неустойчивости у; [102]
где — относительный сдвиг
(деформация второго рода)
на краю штампа. Исчерпыва-
ющее обсуждение значения
и разветвления уравнения
(33) можно найти в [102], где
И. Бэй и У. Джонсон показывают, как оно описывает многие яв-
ления, связанные с пробкообразованием.
При допущении, что процесс проникания заканчивается при
достижении им глубины, равной толщине пластины, энергия,* по-
глощенная в процессе пробкообразования, представляется урав-
нение
Ло
Epl = \2itrph^p-dx,
о
(34)
где Тр — напряжение сдвига на краю штампа. Путем.подстанов-
ки подходящих аппроксимаций вместо относительного сдвига и
перемещения штампа х выводится выражение для расчета без-
размерной энергопоглощающей способности:
Ё=_g Jf—
2JtTp4i Jol п
х ехр«
X
Л к Y+1"
1-п д
< п rj
(35)
где li = ho/rp, а £ = х/гр. Из уравнения (35) ясно, что энергопогло-
щающая способное^» пластины — это функция от Ло/Гр, а также
у и п. Зависимость Е от толщины пластины для различных зна-
чений у и л (типичных для многих металлов) показана на рис. 36.
С увеличением л и у возрастает энергия, необходимая для проби-
вания, причем увеличение у имеет больший эффект.
71
Рис. 36. Безразмерное соотношение
энергопоглощения Е и толщины пла-
стины h' = ho/rp для различных индек-
сов п и критических деформаций
сдвига Y; [102]
Для небольших значений
критического относительного
сдвига увеличение толщины
пластины не увеличивает ее
безразмерную энергопогло-
щающую способность, так как
наступление нестабильности
происходит на ранней стадии
процесса проникания, после
которого пластина теряет большую часть своей ударопрочнос-
ти. Поскольку Е является функцией от величины, обратной тол-
щине пластины, то для материалов с небольшими значениями
критической деформации увеличение толщины пластины явля-
ется эффективным способом увеличения сопротивления прони-
канию.
В заключение можно сказать, что в целях предотвращения
пробивания снарядом путем пробкообразования следует вы-
брать материал с большим значением критической деформации
и высоким модулем деформационного упрочнения. Это проил-
люстрировано в [102] путем сравнения устойчивости к пробко-
образованию малоуглеродистой стали, алюминиевого сплава и
титана. Из этих трех материалов наиболее подвержен пробкооб-
разованию титан, несмотря на высокую прочность. Это происхо-
дит вследствие его низкой критической деформации.
4.2.2. Разрушение “лепесткованием”
Разрушение лепесткованием (см. рис. 1, ж) происходит при
ударе тонких пластин цилиндроконическими снарядами. Высо-
кие окружные деформации, вызываемые снарядом в материа-
ле мишени, приводят к радиальному растрескиванию, и после-
дующий поворот поврежденного материала пластины вызыва-
ют образование нескольких часто симметричных лепестков.
Б. Ландкоф и У. Голдсмит [105] провели теоретические и экс-
периментальные исследования процесса проникания такого
рода. Тонкие мягкие алюминиевые пластины подвергались
удару цилиндроконическими снарядами из твердой стали, вы-
72
зывающими разрушение “лепесткованием”. Анализ имел вид
энергетического баланса, в котором энергия, поглощаемая
пластиной, состоит из энергии от роста трещин, изгиба лепест-
ков и сферического коробления пластины. В соответствии с
постулатом Гриффитса, для того чтобы произошел радиаль-
ный рост трещин, количество энергии на единицу площади
трещины, необходимой для удлинения трещины G, должен
быть больше, чем удельная поверхностная энергия удлинен-
ной трещины Gc. Этот подход был использован для расчета
энергии, поглощаемой вследствие роста трещины:
[/„a/W]2, (36)
где F(ri) — функция от числа лепестков п; 1СГ — длина трещины.
Впоследствии было показано, что величина Есг мала по сравне-
нию с пластической работой, участвующей в образовании лепе-
стка и изгибе пластины.
Для анализа энергии, поглощаемой вследствие изгиба,
каждый лепесток рассматривается как треугольный крон-
штейн постоянной толщины, а процесс энергопоглощения
разбит на две стадии: 1) радиальный рост трещин, сопровожда-
ющийся соответствующим одновременным радиальным дви-
жением пластических шарниров; 2) поворот лепестков вокруг
их шарниров во время и после первой стадии. Для анализа пер-
вой стадии использовали решение Э. Паркса [106], адаптиро-
ванное для треугольных кронштейнов в [1], что позволило по-
лучить выражение для расчета скорости снаряда в конце пер-
вой стадии. Энергетический баланс, основанный на вращении
жесткого твердого тела на второй стадии, а также оценка
энергии, поглощенной вследствие сферического коробления
пластины, полученная С. Калдером и У. Голдсмитом [15], бы-
ли использованы для получения выражения конечной скоро-
сти снаряда:
2 +к 2 (^1~ ^2) +
2(1 +к)2 °_________тр
т, ^cApcos2 о2
(37а)
73
где энергия, поглощенная сферическим короблением пластины
Ed, задается выражением
В формулах (37) к—параметр отношения масс (относительного
массового расхода); 0Ь 02 — углы поворота лепестков в конце
первой и второй стадий (рис. 37); а — константа; п — параметр
деформационного упрочнения; wc — центральный прогиб плас-
тины. Величина баллистического предела получается путем
приравнивания правой стороны уравнения (37а) к нулю.
Этот анализ хорошо согласуется с экспериментальными ре-
зультатами, особенно при более высоких скоростях удара, хотя
его слабость состоит в том, что он опирается на некие парамет-
ры, которые могут быть получены только после эксперимен-
тальных измерений. То, как эти параметры изменяются в зави-
симости от угла носа снаряда, свойств материала снаряда, геоме-
трии мишени и т. д., в настоящее время неизвестны.
В [105] отмечается, что энергопоглощающая способность
пластин меняется, если имеются начальное отверстие в точке
удара и некий начальный раз-
мер его, который дает опти-
мальную энергопоглощающую
способность. Проведен анализ,
предполагавший наличие этого
начального отверстия, но он
затруднялся отсутствием дан-
ных о динамическом отно-
шении между rD (радиус отвер-
стия в момент начала образо-
вания трещины) и г0 (радиус
Рис. 37. Движение пластического шар-
нира у основания лепестка, формируе-
мого при ударе снаряда с коническим
носом по тонкой пластине [105]:
Z — основание; П — пластический шарнир
74
начального отверстия). В этом анализе предполагалось, что
радиус начального отверстия увеличивается до rD до начала
образования трещины. Необходимо также модифицировать
анализ сферического коробления пластины для этого типа за-
дач по удару пластины.
4.3. ГЛОБАЛЬНАЯ РЕАКЦИЯ НА УДАР СНАРЯДА
До сих пор все упомянутые построения касались реакции ми-
шени внутри зоны удара (за исключением анализа лепесткова-
ния, приведенного в [105], который включал компонент сфери-
ческого коробления пластины). Этот подход приемлем для мно-
гих ситуаций удара, например тех, в которых присутствуют вы-
сокие скорости, небольшие отношения диаметра пластины к ди-
аметру снаряда или большие отношения ее толщины к диаметру
снаряда. Когда какой-нибудь из этих критериев не соблюдается,
может произойти глобальная реакция пластины, которую следу-
ет включить в расчетную модель системы “снаряд—мишень”.
Несмотря на то что авторы данного обзора не намереваются
включать в него все множество работ по импульсному нагруже-
нию структур, некоторые из них, наиболее близкие к обсуждае-
мому предмету, все же рассматриваются в данном обзоре.
В ранних работах по расчету глобальной реакции пластины
(например в работе А. Флоренса [107]) рассматривались только
эффекты изгиба, но в них большей частью преувеличивался
центральный прогиб для данного уровня импульсной нагрузки, в
частности при более высоких ее уровнях. В более поздних иссле-
дованиях, таких как работы Н. Джонса [108], Д. Динса и Дж. Майл-
за [109], рассмотрены ---------------------------------
мембранные эффек-
Рис. 38. Максимальный
прогиб круглой пластины,
подвергаемой равномерно-
му импульсу 1, определен-
ный по мембранной теории
(сплошная прямая) и тео-
рии изгиба (штриховая ли-
ния) [109], а также экспе-
риментальные измерения
Флоренса [107] на круглых
алюминиевых (кружки) и
стальных (треугольники)
3 //Ло(Р<90-5
плитах
75
ты и показано, что они преобладают в реакции тонких пластин
на импульсное нагружение (рис. 38).
Обзор работ по деформации тонких пластин, подвергаемых
импульсному нагружению в воздухе, выполнили Г. Нурик и
Дж. Мартин [ПО, 111]. В первой из этих работ, охватывающей
теоретические исследования, детально сопоставлены результа-
ты ряда авторов и представлены таким образом, что можно про-
вести их прямое сравнение.
Во второй работе [111] сделан обзор экспериментальных ис-
следований. В ней сопоставляются полученные результаты путем
представления их через число поврежденности. Джонсоновское
безразмерное число поврежденности [1], задаваемое выражением
Ф-pVo2/^, (38)
(где — напряжение поврежденности материала пластины),
модифицировано Г. Нуриком и Дж. Мартином, с тем чтобы оно
включало размеры мишени и условия нагружения. Получилось
два новых числа поврежденности:
/(1 + In r./rA
Фс = -----7---Ж для круглых пластин; (39а)
Ф =-----------для прямоугольных пластин. (396)
2Ло2(АВроу)
В этих уравнениях напряжение поврежденности по сравнению с
уравнением (38) заменяется на статический предел текучести мате-
риала. Результаты 14 экспериментальных исследований сопостав-
лены в виде таблиц и графиков в [111] и сравниваются с теорети-
ческими расчетами, представленными во второй работе [110] из
этой пары. При построении графика в виде зависимости числа по-
врежденности от отношения прогиба к толщине видно, что боль-
шинство точек расположено близко к прямой линии внутри пояса
ошибок (рис. 39). Эти прямые линии заданы отношениями
= 0,425Фс+0,277
для круглых пластин;
(40а)
W I
—£-1 = о, 471Ф? + 0,001 для прямоугольных пластин. (406)
76
Рис. 39. Зависимости отношения прогиба к толщине от безразмерного импульса Ф для прямо-
угольных (а) и круглых (б) пластин [111]
Последние соотношения получены путем анализа данных мето-
дом наименьших квадратов (109 опорных точек для круглых
пластин и 156 для прямоугольных), хотя не предпринималось по-
пыток согласовать эти отношения, с условием нулевого прогиба
пластины при нулевом импульсе.
Т. Вирцбики и Дж. Келли [112] изучили реакцию вязкоплас-
тичных пластин при ударе снарядом. Они рассматривали снаряд
как жесткую массу с нулевыми размерами. Таким образом, игно-
рировались местные эффекты на границе контакта между сна-
рядом и мишенью и учитывалась только глобальная реакция
пластины. Предыдущая работа этих авторов, на которую они
ссылаются в [112], касалась аналогичной проблемы. В работе
показано, что конечный центральный прогиб пластины слабо
зависит от инерции самой пластины и равен в первом приближе-
нии прогибу безынерционной пластины. Этот результат был ис-
пользован для обоснования использования квазистатических со-
ображений при решении динамической задачи. Допуская, что
энергия не рассеивается на первой стадии движения, длитель-
ность которой принимается за очень малую, и вся кинетическая
энергия снаряда преобразуется в пластическую деформацию
пластины, авторы предлагают энергетический баланс. Энергия,
поглощаемая при пластическом деформировании пластины, рас-
считывается из квазистатического условия текучести Мизеса—
Губера и соответствующего профиля скорости. В [112] исполь-
зуется квазистатический анализ Оната и Хейторнтвейта для
больших прогибов пластин в целях расширения динамического
анализа Т. Вирцбики и Дж. Келли и включения реакции в виде
больших деформаций. Результаты анализа при их применении к
типичной стали показаны на рис. 40. Число вязкости постоянно.
На этом рисунке пунктиром показано решение для чистого изги-
ба, полученное из анализа малого прогиба, а сплошными линия-
ми изображены решения для больших прогибов, учитывающие
развитие мембранных напряже-
ний при них. Рис. 40 иллюстри-
рует влияние вязкопластичес-
кой константы у на реакцию
пластины; у = °° означает жест-
Рис. 40. Перманентный центральный
прогиб как функция скорости удара
снаряда по пластинам (R/h0 = 20) с раз-
личными значениями константы ско-
рости у [112]
78
ко-абсолютнопластичный материал, а у = 0 предполагает абсо-
лютно жесткую структуру. Малоуглеродистая сталь имеет вяз-
копластическую константу от 200 до 1000.
Тот факт, что мембранные силы преобладают в реакции тон-
ких пластин на импульсную нагрузку, используется П. Бейнетом
и Р. Планкетом [11], которые проанализировали реакцию тон-
ких алюминиевых пластин на удар снарядом при скоростях ниже
баллистического предела. Предполагается, что пластина дефор-
мируется при преобладании мембранного растяжения, изгиб и
упругие эффекты игнорируются. Одно из уравнений движения
тонкой пластины преобразуется к виду
32w 1 dw d2w
dr2 r dr di2
(41)
где г = r/rp и t = ct/rp; c — скорость упругой мембранной волны.
Уравнение (41) можно решить либо с использованием преобра-
зования Лапласа, либо конечно-разностным методом, когда ис-
пользуют подходящие граничные и начальные условия. Результа-
ты этого анализа сопоставляются с экспериментом в [11].‘Пули
выстреливались в 51-миллиметровые квадратные алюминиевые
пластины толщиной от 0,6 до 4,8 мм. Очевидно, что анализ дает хо-
рошее согласование со случаями более тонких пластин (ho <
< 2,5 мм), но завышают оценку прогиба для более толстых. Недо-
статочное соответствие для толстых пластин происходит вследст-
вие разнообразных допущений, сделанных при анализе, которые
становятся неправомочными по мере роста толщины пластин, на-
пример пренебрежение эффектами изгиба и сдвига.
С. Калдер и У. Голдсмит [15] используют более простой ме-
тод для нахождения перманентного центрального прогиба тон-
кой пластины при ударе снарядом. Этот метод, в отличие от ана-
лиза П. Бейнета и Р. Планкета, требует задания профиля скоро-
сти, следовательно, профиль продеформированной пластины
предполагается изначально, а не выводится в результате анали-
за. Данный метод расчета представляет собой улучшенную вер-
сию того, что было предложено Т. Даффи (ссылка в [15]), так
как он учитывает деформационное упрочнение материала плас-
тины.
Энергия пластической деформации, поглощаемая пластиной,
задается интегралом
Ер = Lxftc/fer + MEeMw/) (42)
79
и приравнивается к потере кинетической энергии снаряда. Дела-
ется допущение, что сдвиговыми деформациями по окружности
можно пренебречь, а радиальные деформации связывались с де-
формированным профилем через соотношение
1 ( dw\2
е «- —
r 2\dr
(43)
Впоследствии Н. Леви и У. Голдсмит [16] экспериментально по-
казали, что это соотношение справедливо. На рис. 41 приведено
распределение радиальной деформации, наблюдаемое в алюми-
ниевых пластинах толщиной 1,27 мм при ударе цилиндром со
сферическим концом с тремя различными (суббаллистический
предел) скоростями удара. На этом рисунке также показано рас-
пределение деформации по уравнению (43) для одного из опы-
тов. Можно видеть, что вдали от зоны соприкосновения между
пластиной и снарядом (радиус = 6,35 мм) уравнение хорошо со-
гласуется с экспериментальными результатами. Но по мере того
как близость зоны контакта становится наиболее важной с точ-
ки зрения расчета деформации пластины, результаты могут ис-
пользоваться ограниченно при расчете разрушающих деформа-
ций. Деформации на рис. 41 относятся к остаточным, измеряе-
мым методом сеток. Н. Леви и У. Голдсмит [16] отмечают, что
этот метод измерения деформаций не особенно точен, он влечет
за собой ошибки порядка 15 %.
В [15] для определения напряженно-деформированного со-
стояния при пластической деформации мишени используется
критерий текучести Мизеса, а для определения распределения
радиальной деформации используется предполагаемый про-
филь перемещений
w(r) = wce~r совмест-
но с уравнением (43).
При внесении этих
Рис. 41. Перманентная ра-
диальная деформация как
функция от расстояния до
центра пластины для трех
различных испытаний на
удар [16]. Штриховая ли-
ния — аппроксимация ра-
диальной деформации по
уравнению (43) для 18-й
серии испытаний
80
условий в подынтегральное выражение формулы (42) (второй
член принимается равным нулю вследствие пренебрежения
окружными деформациями) и приравнивании их к падению
кинетической энергии снаряда получается следующее уравне-
ние:
4 (16g А 2
wc + —- kc
I а )
anliQ
(44)
где а — параметр деформационного упрочнения в критерии
текучести Мизеса, a {^KE)proj — потеря кинетической энергии
снаряда. При введении подходящего поправочного коэффици-
ента для учета отклонения профиля пластины от w(r) = wce-r
вблизи области контакта очевидно, что это выражение позво-
ляет хорошо рассчитать перманентный центральный прогиб,
если его применить к условиям испытаний, описанным в [15].
Этот анализ правомерен только до пробивания. В испытани-
ях, о которых говорится в [15], наблюдалось стойкое увеличение
перманентного центрального прогиба с ростом скорости удара
снаряда (как предсказано уравнением (44)) до пробивания, после
чего дальнейшее увеличение скорости приводило к уменьшению
перманентного прогиба (см., например, рис. 8).
Решение задачи по расчету перманентного центрального
прогиба материала, чувствительного к скорости деформации,
при ударе снарядом было предпринято С. Калдером и др. [114],
представившими решение, базирующееся на методике Д. Келли
и Т. Уилшоу [115]. Они предложили определяющее соотноше-
ние между напряжением и скоростью пластической деформаци:
2у G — G
е-7з
2.
(45)
Здесь у — величина, обратная времени вязкопластической ре-
лаксации материала мишени. Определено, что она примерно
равна 400 с-1 для малоуглеродистой стали [115] (в [114] для алю-
миния принимается значение 1000 с-1, а для малоуглеродистой
стали от 400 до 50 с-1). Определяющее соотношение записыва-
лось через интенсивности кривизны и изгибающего момента и
решалось в пространстве преобразований Лапласа для малых
прогибов. Рассматривались только изгибающее действие, и сна-
81
ряд — как ударяющая масса, радиусом которой можно прене-
бречь. Для перемещения в центре пластины в любой момент
времени t вывели выражение
где Ро — статическая нагрузка пластического перехода в соот-
ветствии с критерием текучести Мизеса; b = 16|л/а2тр и а4 =
= Зл/З tp/4/IqA/0. Уравнение (46) имеет силу до тех пор, пока снаряд
не придет в состояние покоя, и перманентный центральный про-
гиб (при игнорировании упругого последействия) определили пу-
тем подстановки tj вместо t в уравнении (46), где tf — время, за-
трачиваемое на приведение снаряда в состояние покоя, получен-
ное путем решения уравнения
Р0
трЬ2
(47)
В этом анализе игнорируются мембранные эффекты, что, как
отмечалось ранее, ведет к суммарному преувеличению цен-
трального прогиба пластины при больших прогибах. Поэтому
неудивительно, что при сравнении с экспериментальными дан-
ными этот анализ дает возможность приемлемо рассчитать
перманентные центральные прогибы алюминиевых пластин с
точностью до 10 мм (что соответствует отношению централь-
ного прогиба к радиусу пластины, равному 0,06), после чего
начинается завышение ре-
зультатов (рис. 42). Этот ана-
лиз также пренебрегает эф-
фектами деформационного
упрочнения.
Рис. 42. Сравнение теоретического
поведения вязкопластичной беско-
нечной пластины (сплошная кривая)
с экспериментальными результата-
ми (точки) для удара снарядом диа-
метром 12,7 мм по пластине из алю-
миния 2024-0 (диаметр 368 мм, тол-
щина 1,27 мм) [112]
82
4.4. АНАЛИЗ РЕАКЦИИ ТРУБ НА ДИНАМИЧЕСКУЮ НАГРУЗКУ
Расчет реакции цилиндрических оболочек на асимметричное
локальное нагружение оказался чрезвычайно трудным. Для си-
туаций удара малой скорости при большой массе жесткопласти-
ческий анализ поведения труб в условиях квазистатического ло-
кального нагружения (например [52—55, 116—118]) можно ис-
пользовать для расчета характеристик нагружения и прогиба
трубчатых элементов в условиях локального ударного нагруже-
ния. В этих расчетах локальное индентирование стенки трубы и
ее глобальный изгиб рассматриваются раздельно: глобальный
изгиб можно смоделировать достаточно точно, используя тео-
рию жесткопластической балки, но локальную составляющую
индентирования — опираясь либо на полуэмпирические сообра-
жения в целях расчета глубины проникания [54,118], либо на ме-
тод минимизации в целях получения длины впадины [52,53,147].
В настоящее время реакцию трубы с небольшим значением от-
ношения D/t (<35) можно смоделировать достаточно точно, ис-
пользуя теорию жесткопластичной балки. Для труб с большими
отношениями D/t локальный изгиб приобретает большое значе-
ние, и возрастает необходимость учитывать уменьшенный плас-
тический момент в месте индентирования.
Аналитические решения динамического нагружения труб
большого и малого диаметров обычно основываются либо на
кинематическом приближении к полю деформации, либо на уп-
рощении поля напряжений путем пренебрежения менее важны-
ми его составляющими. Последний подход позволил использо-
вать аналогии между осесимметрично нагруженным цилиндром
и “балкой на основании” для упрощения задачи до уровня, легко
поддающегося решению. В случае локального индентирования
стенки трубы доминирующие силы оболочки — осевое растяже-
ние и изгиб в окружном направлении — аналогичны давлению
основания и изгибающему моменту балки соответственно в зада-
че о “балке на основании”. Эта аналогия с успехом используется
С. Калладайном [119] для расчета квазистатической упругой ре-
акции трубы и С. Ридом [120] для расчета квазистатической же-
сткопластической реакции. Т. Ю и У. Строндж [121], а также
У. Строндж [122] проанализировали большой прогиб жест-
копластической «балки на основании» как реакцию на ударное
нагружение, чтобы получить лучшее представление о реакции
тонких, пластичных трубчатых элементов на это воздействие.
83
Рис. 43. Изменение реакции
“балки на основании” после
удара [121]
В анализ был привнесен
«мембранный фактор»
для объяснения эффекта
осевых усилий, являю-
щихся результатом боль-
ших прогибов. Было по-
казано, что это значи-
тельно уменьшает прогиб
балки в том случае, когда
прогиб превышает ее толщину. Характер изменения реакции
«балки на основании» показан на рис. 43. На рис. 44 показан ко-
нечный профиль балки для трех различных отношений массы
снаряда к массе балки. Можно видеть, что при тех же значениях
других параметров более медленные и тяжелые снаряды вызы-
вают большие конечные прогибы и большие степени деформа-
ции, чем быстрые и легкие. Кроме того, можно видеть, что по-
следний тип снарядов дает большее искривление балки вблизи
точки удара, чем первый.
Т. Вирцбики и М. Ху Фэтт [123] проанализировали задачу «о
ветке трубопровода на основании» и обобщили анализ, проделан-
ный в [121] для объяснения умеренно больших прогибов в интер-
вале ho < 5 < 0,27?, где 5 — максимальный центральный прогиб, а
R — радиус аналогичной трубы. Т. Вирцбики и М. Ху Фэтт [124]
использовали этот подход для расчета повреждения цилиндра от
удара свободно летящим объектом. Точное решение задачи о
«ветке на основании» было получено с использованием метода ха-
рактеристик, а приближенное решение — с помощью усреднен-
ных параметров «эквивалентности». На рис. 45 показано решение
для прогиба безразмерной обо-
лочки на типичном примере
удара оболочки массой и про-
демонстрирована правомер-
ность использования прибли-
женного подхода.
Рис. 44. Конечный профиль балки
(включая эффект большой деформа-
ции) после удара тремя различными
массами, обладающими одинаковой
энергией [121]
84
Рис. 45. Сравнение точных
(сплошные кривые) и прибли-
женных (штриховые кривые)
решений роста во времени про-
гиба безразмерной оболочки в
точке удара для трех различ-
ных масс [124]
В [124] предлагается
упрощенный критерий
разрушения для опреде-
ления канала пробива-
ния. Сделано допущение,
что разрушение происходит, когда усилие контактного сдвига в
модели колонны равно сопротивлению сдвигу по всей толщине
стенки оболочки. В результате получены выражения для балли-
стического предела:
1) при разрушении сдвиговым пробкообразованием
,(48а)
2) при разрушении с образованием шейки в результате растя-
жения
' (48в)
Эти два критерия разрушения равны для критической дефор-
мации до разрыва ес = 0,16. Сравнение с ограниченным числом
испытаний, описанных в [123], указывает на то, что эти простые
критерии разрушения позволяют сделать разумные оценки бал-
листического предела, хотя следует отметить, что они не учиты-
вают температурные эффекты, эффекты скорости деформации
или деформационного упрочнения. Они также предполагают,
что баллистический предел не зависит от массы снаряда, а, как
известно, это неверно во многих обстоятельствах [9,22,62]. Кро-
ме того, не учитывается форма носа снаряда. Поэтому, вероят-
нее всего, эти критерии позволят правдоподобно рассчитать
баллистический предел только в ограниченном интервале усло-
вий удара.
Реакция цилиндрических оболочек на упавший предмет так-
же проанализирована в [124] путем аналогии с “колонной на ос-
85
новании”. Энергетический баланс, приравнивающий кинетичес-
кую энергию упавшего объекта к пластической работе, совер-
шаемой при деформации трубы, использовали для расчета глу-
бины проникания как функции высоты падения (рис. 46). В ре-
зультате получили соотношение
(49)
где wc — центральный прогиб стенки трубы; с — скорость попе-
речной волны.
X. Столарски [125] проанализировал прогиб, образующийся
в сферической оболочке при ударе жестким цилиндром. Исполь-
зовался метод верхней оценки, причем предложенный кинемати-
ческий механизм получен на основе экспериментальных данных.
Было использовано состояние текучести для осесимметричной
оболочки, изготовленной из материала Треска, и численно ре-
шено уравнение движения для этой оболочки. График, отобра-
жающий зависимость центрального прогиба от времени для оп-
ределенного набора условий, показан на рис. 47, а на рис. 48 вид-
но изменение максимального прогиба в зависимости от скорости
удара. Это соотношение, как и в случае удара снаряда о плоские
тонкие вязкопластичные пластины при малых прогибах, линей-
но и имеет вид
wmax — a^KEproj • (50)
Это можно сравнить с результатом, полученным Т. Вирцбики и
М. Ху Фэттом для прогиба цилиндрической оболочки в услови-
ях ударного нагружения от упавшего объекта, — уравнением
(49) в [124], которое заключает в себе соотношение вида
WmiK~(KEproj)M
Если радиус снаряда мал по сравнению с радиусом мишени, то
уравнение движения для сферической оболочки, полученное в
[125], может быть проинтегрировано и решено аналитически
для wmax. Например, сферический колпачок высотой X, закреп-
ленный на радиусе R, ударяемый снарядом, будет испытывать
максимальный прогиб, представленный уравнением
86
Рис. 46. Глубина впадины как функция от высоты падения для удара типичной
бурильной муфтой по трубчатому элементу опоры [124] *
Рис. 47 Центральный прогиб сферической оболочки как функция времени по-
Рис. 48. Максимальный центральный прогиб сферической оболочки как функ-
ция от скорости удара при тр равном 4403 (7), 3403 (2), 2403 (3) и 103 кг (4) [125]
Рис. 49. Прогнозирование изменения максимального центрального прогиба с
изменением энергии удара жесткой массой по сферической оболочке [125]:
1 — численное решение; 2 — аналитическая аппроксимация (52)
w
"max
16+
/ \1V2
8KEproJ f 2/? itifphy ]
Зло^/г^йо Хтр J
2Г27? л/?рУ
з Aq bnp >
(51)
которое для больших прогибов можно аппроксимировать выра-
жением
W
"max
[Ж7
у СуЛоЯ/?2 ’
(52)
Сопоставление между “точным” численным решением и анали-
тической аппроксимацией (уравнением (52)) для примера, приво-
димого в [125], представлено на рис. 49. Различием между ними
можно пренебречь.
4.5. РАСЧЕТ УДАРНЫХ НАГРУЗОК
Силы, генерируемые во время удара, представляют большой
интерес для инженеров, занимающихся структурами, но их труд-
но измерить и еще труднее рассчитать. С. Виростек и др. [38]
сделали обзор успешно примененных экспериментальных мето-
дов в целях получения силовременной зависимости процесса уда-
ра и описания новой методики измерения сил, генерируемых во
время косого удара. Расчет этих сил с давних пор интересует ин-
женеров. Б. Робинс в своей монографии “Новый принцип артил-
лерийского дела” [72], написанной в 1742 г., наиболее известной
своим описанием баллистического маятника, провел работу по
удару древесины и предположил, что сила сопротивления мише-
ни постоянна в течение всего процесса. Ж. Понсле [126] для
представления силы, требующейся на преодоление когезии ма-
териала мишени, предложил включить еще один член, пропор-
циональный квадрату скорости [86]. Впоследствии был включен
третий член, пропорциональный скорости снаряда, для пред-
ставления фрикционного сопротивления, что способствовало
появлению полуэмпирической формулы
F = al + a2V0 + a3V02. (53)
88
Экспериментально полученные силовременные зависимости
позволили привести эмпирические формулы в соответствие с
экспериментальными данными. Например, некоторые авторы
допускают треугольный импульс силы, а другие — затухающий
по экспоненте:
F(t) = а^ег^'.
(54)
С. Виростек и др. [38] предложили силовременную зависимость
для снаряда с полусферическим концом (при любом угле паде-
ния):
FW = A(<)k+Ac„pV’(()
(55)
где A(f) — проецируемая площадь на мишени в направлении дви-
жения в момент t; CD — коэффициент торможения. ‘
Н. Леви и У. Голдсмит [127] в первой из двух работ [127,16]
получили выражение для силовременной зависимости прямого
удара тонких пластин снарядами с полусферическими конца-
ми, которая абсолютно предсказуема ниже баллистического
предела, но требует результатов измерений выше баллистиче-
ского предела. Процесс удара рассматривается авторами с точ-
ки зрения сосредоточенных параметров, что намного упроща-
ет задачу, но не предоставляет никаких “внутренних” систем-
ных переменных, таких как деформации и напряжения в ми-
шени; но это все же позволяет получить простой и эффектив-
ный метод расчета сил, генерируемых во время удара и соот-
ветствующего перемещения мишени, а также для расчета за-
документированных явлений, таких как начальное падение пи-
кового усилия при пробивании и последующее одновременное
движение пробки и пластины мишени.
Процесс удара в случае непробивания представлен его ме-
ханическим аналогом с сосредоточенными параметрами, как
показано на рис. 50, а. Сила, приложенная к снаряду, прирав-
нивается к сумме сил, необходимых для ускорения материала
мишени и для преодоления фрикционного сопротивления. При
анализе учитывается только движение пластины в направле-
нии начального движения снаряда, а масса пластины, которая
ускоряется снарядом в любой момент, принималась за эквива-
лентную жесткую массу meq, которой придается прогиб wc.
Фрикционное сопротивление рассматривается как амортиза-
89
Рис. 50. Модель с сосредоточенными параметрами для непробивающего {а) и
пробивающего (б) прямого удара жестким снарядом по тонкой пластичной
пластине [127]
тор с коэффициентом затухания В. Результирующее уравне-
ние движения
d2wc d2w , ndw
~тр^ = т“>^+в^7 (56)
dt dt dt
решается для некоторого принятого профиля прогиба (анало-
гично тому, как предлагается в [15])
w(r) =
(57)
Выводится выражение для конечного центрального прогиба
wc(<») для v = 0,3:
(58)
2?/2
-V + V
-----—^—т = O,752Vo
и получается следующая силовременная зависимость:
F(/) = -wp
dt2
1,зз^/27^д
(™P+meq)2
(59)
90
где meq = nph(/2a2. Здесь a — константа из уравнения (57), которая
определяется экспериментально. Например, испытания, проведен-
ные авторами данной работы, свидетельствуют о том, что для сталь-
ной пластины толщиной 1 мм, диаметром 250 мм, ударяемой снаря-
дом с полусферическим концом диаметром 12,7 мм, а = 0,03 мм-1.
Пиковая сила выражается через начальное количество движения:
1,ЗЗт3>2^ .
Fmax = —----v 2 х projectile momentum.
(тР+теЧ)
(60)
Эта пиковая сила генерируется сразу же после удара. При выво-
де уравнения (59) авторы допускают, что потеря снарядом ско-
рости при передаче количества движения пластине мала по срав-
нению с начальной скоростью в центре пластины. Данный ана-
лиз не обеспечивает расчета разрушающей нагрузки, хотя ана-
логичный подход использовался для пробивающего удара. В
этом случае соответствующая система механических сосредото-
ченных параметров выглядит так, как показано на рис. 50, б.
Здесь mpi — масса пробки, meq — эквивалентная масса непроби-
той пластины минус масса пробки. Уравнения движения таковы:
F(r) = -mp
d2wPi
dt2
= mpi
d2wPi
dt2
,( dwnl
+ B2 —£
I dt
dwt
~dt
(61a)
и
*2
<dwPi dwA d2w, _ dw,
—--------- —г*-+В, —
I dt dt J eq dt2 1 dt
(616)
где w, и Wpi — перемещения мишени и пробки соответственно.
Эти уравнения решены в [127] для случая непробивания, хотя на-
чальные условия не столь однозначны. Они должны выбираться
из следующего:
1) одинаковые начальные скорости пробки и снаряда при на-
чале удара,
2) одинаковые начальные скорости пробки и пластины при
начале удара,
3) одинаковые начальные ускорения пробки и пластины при
начале удара.
Первое условие является очевидным кандидатом на включе-
ние, но не ясно, которое из двух других следует использовать наря-
91
ду с ним. В [127] были выбраны первые два условия и получено вы-
ражение для силовременной зависимости. В противоположность
выражению для случая непробивания, уравнение силовременной
реакции для случая пробивания содержит два параметра, которые
необходимо получить экспериментально либо принять из имею-
щегося опыта, а именно: высота выступа h* и масса пробки тр/. В
работе [16] Н. Леви и У. Голдсмита сообщается о более 200 испы-
таний на пластинах из малоуглеродистой стали и алюминия. Среди
прочего (см. разд. 2.1) они исследовали изменение h* и тр1 в зависи-
мости от начального количества движения снаряда для пластины
толщиной 1,27 мм из алюминия 2024-0, ударяемой снарядами двух
типов с круглым носом диаметром 12,7 мм. Результаты показали,
что нет простой зависимости, которой можно было бы описать эти
неизвестные через известные параметры, и нужна дальнейшая ра-
бота, чтобы количественно решить задачу.
Экспериментальные программы, описанные в [16] и [127],
указывают на то, что, несмотря на простоту анализа, он позво-
ляет очень точно рассчитать силовременную реакцию алюмини-
евых пластин в условиях непробивающего удара (рис. 51). То,
что в теоретической модели пиковая сила генерируется мгновен-
но, без какого-либо времени на увеличение, происходит благода-
1А |Ч 1 \ Vi )=28,0 м/ с
1 \ 1
S
А 4
|\ \ 1 \ 4 1 \ \ 1 \
1 \ 1 х \ \\ V \ \ X \ 0=45,5 му fC
*Х \
1 1
0 0,2 0,4 0,6 о 0,2 0,4 0,6 t, мс
Рис. 51. Экспериментальная (штриховые линии) и расчетная (сплошные линии)
силовременные зависимости для прямого удара по мишени из алюминия 2024-0
толщиной 1,27 мм [127]
92
Рис. 52. Сравнение расчетных силовре-
менных зависимостей при допущении об-
щей начальной скорости (7) и общего на-
чального ускорения пробки и эквива-
лентной массы мишени (2) во время про-
бивания пластины из алюминия 2024-0
толщиной 1,27 мм снарядом с полусфе-
рическим носом [127], 3 — эксперимен-
тальная кривая
ря задаваемым начальным усло-
виям. Корреляция между теорией
и экспериментом для случая не-
пробивающего удара пластин из
малоуглеродистой стали не очень
тесная: теоретический расчет по-
стоянно недооценивает величину
пиковой силы. Авторы относят
F, кН
14
12
10
8
6
4
2
0 20 40 60 80 Г, мкс
———
2 л
1 / \ Г
/7 1\, ч3
/1 \ \ \
II II
II // 1
1
1
это расхождение за счет эффектов скорости деформации и де-
формационного упрочнения, которые ощутимы для малоуглеро-
дистой стали, но не учитываются в анализе. t
Как упоминалось ранее, результаты анализа по пробивающе-
му удару зависят от выбранных начальных условий. На рис. 52
представлено сопоставление результатов анализа с использовани-
ем обеих возможных совокупностей начальных условий, а также
экспериментальная силовременная кривая для алюминцевой плас-
тины толщиной 1,27 мм. Реальный пик силы лежит приблизитель-
но посередине между двумя теоретически рассчитанными значени-
ями, а это означает, что реальные начальные условия также лежат
где-то между двумя выбранными совокупностями условий. Н. Ле-
ви и У. Голдсмит [127] подчеркивают, что, используя начальные
условия 1 и 2 для пробивающего удара, приходят к относительной
скорости Vr между пробкой и пластиной, которая линейно зависит
от времени, в то время как условия 1 и 3 приводят к относительной
скорости, квадратичной по времени. Таким образом, какие бы ус-
ловия ни были использованы, для малых промежутков времени
(обычно 10~3 с) относительная скорость Vr будет примерно посто-
янной. При внесении в уравнение движения это указывает на мак-
симальную силу, заданную уравнением
"max ~ / \2 / \2
\тр+теЧ) \тр+теЧ)
(62)
93
F, кН
Рис. 53. Пик силы как функция от начального количества движе-
ния 70 при прямом ударе пластины из алюминия 2024-0 толщиной
1,27 мм снарядами с полусферическим концом массой 38 г (3,4) и
тупоконечными массой 39,5 г (5, 6) [127]:
1 — теория; 2 — лучшая аппроксимация экспериментальных данных; 3,5 —
случаи пробивания; 4,6 — непробивание
Рис. 54. Перманентный центральный прогиб wc как функция от
квадратного корня энергии удара при прямом ударе и про-
бивании различными снарядами' с круглым носом пластин из
алюминия 2024-0 толщиной 1,27 мм [127]:
1 — теория; 2 — лучшая аппроксимация экспериментальных данных; 3—6 — снаряды
диаметром 12,7 мм; 7—9 — то же, диаметр 6,3 мм (3, 7 — полусферическая головка;
4,8 — то же с пробиванием; 5 — стальная сфера; 6, 9 — то же с пробиванием)
и отсюда соотношение пиков сил для случаев пробивания и не-
пробивания:
(Р'тах)^ _ 1 _ (^р+/Ир/)К
^nox^non-perf mpV0
Таким образом, этот относительно простой анализ позволяет
рассчитывать внезапное падение пика силы, которое происходит
после начала пробивания. Анализ также подчеркивает линей-
ную зависимость пика силы от начального количества движения
снаряда и линейную зависимость прогиба от квадратного корня
энергии снаряда (рис. 53 и 54).
4.6. МНОГОСТАДИЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОНИКАНИЯ
Предыдущие разделы касались различных механизмов раз-
рушения и реакций мишени в условиях удара снарядом. Онц рас-
сматривались отдельно, что позволяет лучше подчеркнуть важ-
ные особенности каждого процесса в отдельности и условия,
способствующие его протеканию. Однако очень часто система
“снаряд — мишень” не является системой с преобладанием како-
го-либо одного процесса, а характеризуется протеканием двух
или более процессов. Это, в частности, справедливо для мише-
ней средней и большой толщины, когда доминирующий процесс
пробивания может меняться по мере движения снаряда сквозь
толщу мишени [100, 101].
Дж. Авербух [128] разделил процесс проникания свинцовых
пуль диаметром 5,6 мм в плоские пластины-мишени на две стадии.
Предполагается, что на первой стадии действуют только инерцион-
ные и сжимающие силы и эффективная масса снаряда увеличива-
ется при ускорении материала мишени. Вторая стадия начинается
после того, как формируется пробка в материале мишени; инерци-
онные и сжимающие усилия исчезают и заменяются сдвигающим
усилием. Силовой баланс применяется к обеим стадиям и имеет вид
-(F, +F.+F,). (64)
Здесь те — эффективная масса снаряда; F„ Fc, Fs — инерцион-
ное, сжимающее и сдвиговое усилия соответственно. При под-
95
становке соответствующего выражения для усилий уравнение
(64) можно проинтегрировать и получить выражение для конеч-
ной скорости снаряда.
У. Голдсмит и С. Финнеган [8] усовершенствовали этот ана-
лиз путем замены постоянного сдвигового усилия для второй
стадии проникания, принятого в [128], усилием, уменьшающим-
ся по мере сокращения площади поверхности контакта между
пробкой и недеформированной пластиной.
Еще одно важное усовершенствование теоретической моде-
ли представлено в работе Дж. Авербуха и С. Боднера [129], в ко-
торой вводится некая третья стадия проникания и используется
улучшенная модель сдвига. Во время этой стадии, которая поме-
щается между первой и второй стадиями предыдущей модели,
предполагается, что все еще присутствуют инерционное усилие,
а также сжимающее усилие, которые уменьшаются по мере про-
никания по параболе. Присутствует также сдвиговое усилие,
действующее между ускоренной массой мишени и неподвижной
частью пластины. Уравнения движения в этой работе решены
для трех стадий проникания и получена силовременная зависи-
мость для снаряда. Типичный пример приведен на рис. 55, где
также показаны зависимости скорости и перемещения от време-
ни. Показательно, что в то время как предыдущий анализ [8]
позволял прогнозировать очень маленькую или несуществую-
Рис. 55. Прогнозирование изменения перемещения (х, мм), скорости (V, м/с) и
силы (F-103, кг) для трех стадий пробивания (снаряд: свинцовая пуля диаметром
5,6 мм; мишень: алюминиевый сплав толщиной 5,0 мм) [129]
96
щую силу в конце процесса проникания, данный анализ позволя-
ет рассчитать силу, которая лишь немного меньше пиковой. Эта
большая величина конечной силы, действующей на снаряд, со-
гласуется с наблюдаемым начальным уменьшением падения ско-
рости при увеличении скорости снаряда до значения, едва превы-
шающего баллистический предел (см. рис. 2).
В работе [130] Дж. Авербух и С. Боднер описывают серию
экспериментов, проведенных в целях подтверждения теории.
Очевидно, что целый ряд допущений, сделанных в теории, оп-
равдан, и установлено, что скорости после пробивания и продол-
жительность времени хорошо согласуются с расчетными значе-
ниями.
На основе своих экспериментальных работ [9], П. Шадболт и
др. [131] провели теоретическое исследование процесса прони-
кания. Они усовершенствовали анализ Дж. Авербуха и С. Бодне-
ра [129] путем включения члена уравнения для энергии, погло-
щаемой вследствие деформации пластины вне зоны удара —
члена, которым пренебрегали в предыдущем анализе. Эта рабо-
та пластической деформации совершается в виде мембранного
растяжения (как в модели П. Бейнета и Р. Планкетта [11]) для
пластин толщиной менее 3 мм и в виде пластического изгиба
(как в модели К. Кальдера и др. [114]) для пластин толщиной
свыше 3 мм. Этот подход доказал свою несостоятельность при
измененной скорости пробивания, меньшей, чем первоначальная
расчетная скорость. Следует отметить, что модифицированный
анализ в [131] включает модификации к “пробкообразованию”
по Дж. Авербуху и С. Боднеру, и, таким образом, результаты не
означают, что включение глобальных эффектов приводит к
уменьшению критической скорости перфорации (см. [132]). По-
этому оказывается, что хорошая корреляция, обнаруженная
между расчетной скоростью перфорации из модели Дж. Авербу-
ха и С. Боднера [129] и экспериментально полученной для тон-
ких пластин (й0 < 5 мм), случайна. Вероятно, недооценка резуль-
тата, вызванная пренебрежением глобальной реакцией пласти-
ны, маскируется ошибками, привносимыми в теоретический рас-
чет через допущения, которые, при всей справедливости для си-
туаций удара, с высокой скоростью, не годятся для скоростей
удара, близких к баллистическому пределу. Более полно это рас-
сматривается в [131].
Альтернативный подход предлагается П. Шадболтом и др.
[131], где решение, полученное благодаря Е. Рейсснеру [133],
97
уравнений равновесия для больших прогибов плоских пластин в
условиях импульсного нагружения адаптируется к анализу дан-
ной задачи. Те пять усилий и моментов, которые фигурируют в
уравнениях равновесия, приводят к критерию текучести, кото-
рый формирует поверхность в пятимерном гиперпространстве.
Но используя критерий текучести, основанный на материале
Треска, в котором нет взаимодействия между мембранными си-
лами и моментами, а сдвиг рассматривается только с моментами,
критерий текучести можно упростить до удобного вида. Этот
критерий используется наряду с определяющим соотношением,
которое позволяет включить эффекты деформационного уп-
рочнения и скорости деформации в решение задачи. Для расче-
та пробивания используется критерий разрушения, зависящий от
деформации. Уравнения равновесия решены путем включения
начальных граничных условий и использования конечно-разно-
стной аппроксимации, дающей нелинейные уравнения примерно
с 50 радиальными точками сетки и 75 шагами времени. Метод
решения позволяет по ходу времени определять положение шар-
ниров и прогиб снарядов на каждом временном шаге. На каждом
шаге изучается критерий сдвигового течения, и, если сдвиг при-
сутствует, находят степень сдвигового скольжения. Оказалось,
что решение позволяет сделать правильный расчет критической
скорости разрушения для пластин, исследованных в более ран-
ней работе [9], хотя, разумеется (из-за аппроксимаций, а также
используемых условий текучести и граничных условий), расчет-
ные профили пластин значительно расходятся с эксперимен-
тальными оценками. Расчет общего центрального прогиба полу-
чается удовлетворительный.
Этот анализ, как и более ранние [128,129], базируется на не-
ких эмпирических данных, в основном на ширине сдвиговой по-
лосы ниже поверхности взаимодействия между снарядом и ми-
шенью. Необходимы дальнейшие исследования поведения и ре-
акции этой полосы сдвига на изменения параметров снаряда и
мишени. Характеристики сдвиговой полосы, вероятно, зависят
от ряда параметров, таких как свойства материала, характерис-
тики деформационного упрочнения, скорость удара, температу-
ра и т.д. Но если найти подходящее характеристическое значе-
ние для данной ширины, то очевидно, что решение, содержаще-
еся в [131], позволяет точно рассчитать скорость пробивания
пластин из малоуглеродистой стали, нержавеющей стали и алю-
миниевого сплава различной толщины (рис. 56).
98
Рис. 56. Сравнение между теоре-
тическими расчетами скорости
пробивания (сплошные кривые)
и экспериментальными резуль-
татами (штриховые кривые)
для прямого удара пластин из
малоуглеродистой стали (а),
пластин из нержавеющей стали
(6) и алюминия (в) [131]
Р. Вудвард [134] адаптировал решение задачи деформации
пластического сдвига балок бесконечной длины в условиях удар-
ного нагружения по П. Саймондсу [135] к задаче для тонкой пла-
стины (рис. 57). В этом случае процесс проникания делится на
две стадии: I — пробковый сдвиг и II — мембранное растяжение.
Предполагается, что на стадии I пробка и снаряд принимают
мгновенную скорость после удара, при этом остальная часть
пластины поворачивается вокруг шарнира, положение которого
можно определить на каждом временном шаге. Приравнивание
импульса сдвиговой силы 2Qp к изменению углового момента с
любой стороны от поверхности раздела “пробка—пластина”
приводит к уравнению движения, решаемому на каждом времен-
99
Рис. 57. Удар снарядом по
тонкой пластине [134]:
а — взаимодействие с ударяемой
балкой; б — стадия I, на которой
происходит образование пробки;
в — стадия II, на которой происхо-
дит мембранное растяжение плас-
тины
ном шаге, которое да-
ет радиальное поло-
жение шарнира. Оп-
ределено, что началь-
ное положение шар-
нира наблюдается
при z = г/3 (где гр —
радиус снаряда), и
видно, что оно увели-
чивается со време-
нем. Стадия I закан-
чивается в тот мо-
мент, когда длина контакта между пластиной и пробкой стано-
вится равной нулю (т. е. происходит разрушение “пробкообразо-
ванием”) или когда возрастающая окружная скорость пластины
V, достигает значения скорости пробки Vp/, и скольжение прекра-
щается, свидетельствуя о начале второй стадии. На стадии П
пластина растягивается как мембрана и изгибается вокруг плас-
тического шарнира. Уравнения сохранения линейного и углово-
го количества движения решаются для каждого временного
шага.
Р. Вудвард [134] использовал критерий разрушения, основан-
ный на деформации до разрушения, для расчета скорости проби-
вания. Пластина рассматривалась как конусообразный растяги-
ваемый образец с площадью поперечного сечения 2nrIh0 на од-
ном конце и 2лгр/г — на другом. Здесь rt — радиус шарнира при
разрушении. Если пластину считать жесткой, линейное дефор-
мационное упрочнение с характеристикой напряженно-дефор-
мированного состояния
а = а + Ре,
то средняя деформация в образце будет
|~a(g+peo)1j<a + peo>| a
р280 I а Гр
(65)
(66)
100
где £q — деформация при внутреннем радиусе гр. Считается, что
пластина разрушается, как только средняя деформация достига-
ет значения деформации до разрушения ez.
Этот метод включает целый ряд упрощений: пренебрежение
влиянием скорости деформации и тангенциальной кривизной в
зоне сферического коробления; идеализация движущегося шар-
нира, вокруг которого происходит вращение жесткого тела; ис-
пользование упрощенного критерия текучести. Таким образом,
очевидно, что этот анализ не предназначен для детального рас-
чета явлений, а, скорее, является количественным и качествен-
ным критерием сопротивления тонких пластин. Сопоставление с
экспериментальными результатами, полученными Р. Корраном
и др. [9] и А. Нейлсоном [81], свидетельствует, что эта модель
позволяет хорошо рассчитать тенденции, хотя для испытаний на
удар стальных мишеней она имеет тенденцию недооценивать
скорость пробивания. Это происходит, вероятно, вследствие пре-
небрежения эффектами скорости деформации и деформацион-
ного упрочнения.
И. Крауч и др. [17] провели экспериментальное исследование
пробивания тонкой пластины с целью проверить правомерность
решения, описанного в [134]. Были проведены маломасштабные
испытания по удару пластин из алюминиевого сплава толщиной
1,6—6,5 мм при протяженности (расстоянии между опорами)
37,5 мм (6 < w/h0 < 23) недеформируемым цилиндрическим снаря-
дом с плоским торцом весом 25 г, диаметром 12,7 мм (2 < dp/h0 < 8).
Испытания показали, что модель Р. Вудварда [134] позволяет
рассчитать баллистический предел пластин достаточно хорошо
для всех случаев, кроме самой толстой пластины (й0 = 6,5 мм),
которая имеет баллистический предел ниже, чем рассчитанный
с помощью модели. Это снижение баллистического предела для
пластин с относительно большим ho/dp, объясняемое И. Краучем
и др. [17] эффектами сдвига, наблюдается целым рядом других
исследователей (см., например, [82 и 84]). Испытания по квази-
статическому индентированию были также проведены И. Крау-
чем и др. [17], при этом энергии пробивания сравнивались с теми
энергиями, которые измерялись в условиях ударного нагруже-
ния. Было доказано, что энергия, требуемая для пробивания
пластины в условиях квазистатического нагружения, в большой
степени зависит от протяженности мишени при использовании
модели Р. Вудварда [134], которая позволяет наилучшим
образом рассчитать энергию квазистатического пробивания для
101
пластин самой большой протяженности (186 мм). Это происхо-
дит вследствие того, что требуются большие протяженности
мишеней для поглощения такого же количества энергии посред-
ством сферического коробления пластины в условиях квазис-
татического нагружения, чем в условиях ударного нагружения
[17].
В [17] также описывается ряд крупномасштабных испытаний
на пробивающий удар, в которых трехкилограммовые снаряды
диаметром 62,5 мм выстреливались в 400-миллиметровые квад-
ратные панели, закрепленные на диаметре 312 мм. Использова-
лись те же толщины мишеней, что и в маломасштабных испыта-
ниях. Модель Р. Вудварда [134] не позволяет хорошо рассчитать
остаточную скорость снаряда или конечное центральное пере-
мещение, поскольку она переоценивает первую и недооценивает
последнее. Расхождение приписывается сносу снаряда, присутст-
вие которого отмечено во всех испытаниях, кроме одного. Вид-
но, что испытание, в котором не происходило сноса, показало
лучшую корреляцию между моделью и экспериментом. Эффек-
ты сноса снаряда рассмотрены в разд. 2.3.
Д. Кванлин [136] представляет теоретическое решение для
динамической реакции бесконечно большой пластины, изготов-
ленной из жесткого идеально пластичного материала в условиях
прямого удара жестким цилиндром с плоским торцом. Процесс
проникания разделяется на две стадии, подобно тому, как это
описывается у Р. Вудварда [134], но допускается, что кольцевой
шарнир, вокруг которого поворачивается пластина, остается не-
подвижным во время первой стадии. Анализ Д. Кванлина [136]
включает эффекты вращательной инерции мишени, но прене-
брегает мембранным действием. Результаты представлены в ви-
де графиков зависимости баллистического предела от сопротив-
ления “пробкообразованию”, баллистического предела от ради-
уса вращения пластины (вращательная инерция) и баллистичес-
кого предела от относительной толщины мишени. Выделены си-
туации, когда вращательной инерцией нельзя пренебречь, пока-
зано, что этот эффект уменьшает баллистический предед при-
мерно на 7 % для пластины с равномерным распределением мас-
сы. Этот анализ проведен для пластины бесконечной протяжен-
ности и справедлив лишь для малых прогибов. Он также исполь-
зует допущения, применимые только для тонких пластин, и пре-
небрегает мембранными эффектами. Эти факторы свидетельст-
вуют о том, что полученные результаты необходимо подверг-
102
vrv4<u
v3 = v4
Рис. 58. Геометрия системы “снаряд — мишень” при проникании [137]:
а — индентирование; б—образование пробки; в — отделение пробки; г — проскальзывание пробки;
/ — пластический ударный слой
путь экспериментальной проверке, прежде чем применить с уве-
ренностью к реальным ситуациям удара.
Д. Лисс и др. [137] разделили процесс проникания на пять раз-
личных стадий и применили теорию пластической волны к анали-
зу каждой стадии. Первые четыре стадии, показанные, на рис. 58,
объединяются с пятой стадией — постперфорационной дефор-
мации. На рис. 58 цифра 1 относится к снаряду; 2 — к деформи-
рованной пробке; 3 — к внешней зоне мишени; 4 — к недефор-
мированной пробке; U—скорость ударной волны относительно
недеформированного материала, а жирная линия обозначает
фронт пластической ударной волны. Снаряд считается жестким
цилиндром с плоским торцом, а мишень — изготовленной из же-
сткого деформационно упрочняемого материала, несжимаемого
в пластической области, что можно представить изотермичес-
ким определяющим соотношением, зависящим от скорости де-
формации. Учитывается эффект стеснения со стороны окружа-
ющего материала пластины [70]. В этом анализе уравнение дви-
жения записано для каждой стадии проникания. Оно дает для
каждой стадии выражение для силы, действующей на снаряд, и
замедления снаряда через х, и Ц. Реакция пластины за пределами
зоны удара моделируется путем рассмотрения действия движу-
щегося пластического шарнира при радиусе который фор-
103
Рис. 59. Механизмы проникания и гео-
метрия системы “снаряд—мишень”
[137].
Области: 1 — жесткий снаряд; 2 — деформиро-
ванная часть пробки; 3—внешняя зона мишени,
деформированная пластическим шарниром; 4 —
недеформированная часть пробки; 5 — неде-
формированная внешняя зона мишени; / — пла-
стический ударный слой в мишени; II—пласти-
ческий шарнир
мируется в результате дейст-
вия сдвига на периферии сна-
ряда. Все пять стадий процесса
представлены на рис. 59.
Уравнения движения для
пяти стадий решены численно в
[137] для алюминиевых пластин
толщиной от 3,2 до 17,75 мм
при отношениях начальной
скорости к баллистическому
пределу (Vq/Vx) от 0,8 до 10. На
рис. 60 показан набор типич-
ных изменений силы для удара алюминиевой пластины толщиной
6,4 мм при различных скоростях снаряда. Соответствующие изме-
нения скоростей показаны на рис. 61. Силовые истории аналогич-
ны по форме тем, что были зарегистрированы экспериментально
(см., например, [16]). При этом внезапное падение происходит по-
сле 7 мкс для всех скоростей удара. Это падение происходит вслед-
ствие остановки пластической ударной волны, и за ним начинает-
ся поведение, управляемое периферическим сдвигом. При сравне-
нии с экспериментальными результатами и ранее предложенными
теориями [32,138] видно, что эта модель дает отличные предсказа-
ния остаточных скоростей, в то время как максимальное улучше-
ние при всех остальных теориях наблюдается больше всего, когда
начальная скорость лишь немного выше баллистического предела
(рис. 62). Этот анализ не дает картины итоговой (общей) деформа-
ции мишени, так как он не включает эффекты изгиба пластины. В
совместной работе Д. Лисс и У. Голдсмит [139] провели серию ис-
пытаний в целях проверки справедливости предложенной модели.
Испытаниям подвергались жестко закрепленные алюминиевые
пластины толщиной в том же диапазоне, что и в аналитической
модели (3,2—12,75 мм), подвергавшиеся удару недеформируемы-
ми цилиндрами с плоскими торцами диаметром 12,7 мм и номи-
нальной массой 40 г, движущимися со скоростью от 60 до 600 м/с.
104
F, кН
Рис. 60. Рассчитанные силовременные зависимости при прямом
проникании жесткого снаряда в пластину из алюминия 2024-0 тол-
щиной 6,4 мм со скоростью, превышающей баллистический пре-
дел пластины в 1—10 раз [137] 1
0 5 10 15 20 25 Г, мкс
Рис. 61. Изменение во времени отношений VJV0, VJVQ при
проникании жесткого снаряда в пластину из алюминия 2024-0 тол-
щиной 6,4 мм.
Сплошные линии — результаты удара при Vo = 104 м/с (YJVX - 1); штриховые линии —
при VQ = 1040 м/с (VyV*. = 10), нижняя ось t. Величины V3 и V4 взяты из работы [137]
V, м/с
Рис. 62. Остаточная скорость как функция от начальной скорости, рассчитан-
ная по трем моделям пробивания для удара цилиндром из твердой стали массой
7,32 г, диаметром 7,82 мм по толстой алюминиевой пластине [137]:
7 — данные Р. Рехта и T; Ипсона [32], 2 — Д. Хейда и др. [138], 3 — Д. Лисса и У Голдсмита [137]
На рис. 63 показано сопоставление расчетного и эксперимен-
тального остаточного количества движения снаряда. Показан
также эффект включения сдвигового действия в модель. В об-
щем, включение сдвиговых эффектов имеет значение только
для тонких пластин, ударяемых со скоростями, близкими к их
баллистическому пределу.
Очевидно, что для более толстых и тонких пластин, ударяе-
мых со скоростями, значительно превышающими их баллисти-
ческий предел, анализ, проделанный в [137], позволяет точно
рассчитать их реакцию. Для тонких пластин, ударяемых со ско-
ростями, близкими к их баллистическому пределу, этот анализ,
даже при включении сдвиговых эффектов, имеет тенденцию пе-
реоценивать конечное количество движения снаряда, свидетель-
ствуя о том, что в этих условиях изгиб пластины является значи-
тельным фактором. Для пластин средней толщины включение
сдвиговых эффектов достаточно лишь для того, чтобы предста-
вить глобальную реакцию пластины.
Во время экспериментов, проведенных в [139], отмечалось,
что пробки, формирующиеся в ходе пробивания, имеют слегка
конусообразную форму с наибольшим диаметром, равным при-
близительно диаметру снаряда. Это подтверждает важное допу-
щение, сделанное в [137], о том, что непрерывное сдвиговое уси-
лие имеет место во время процесса проникания до тех пор, пока
фронт снаряда не достигнет тыльной поверхности мишени. В
106
Рис. 63. Расчет по модели конечного (после удара) количества движения снаря-
да как функции от количества движения до удара при включении реакции ми-
шени (1) и без включения таковой (2) в сравнении с экспериментальными ре-
зультатами (точки).
h0, мм: а — 3,2; б — 6,4; в — 9; г — 12,7 (139]
приложении к [139] Д. Лисс и У. Голдсмит расширили анализ
[137] и включили эффекты деформации снаряда, используя мо-
дель, изображенную на рис. 64.
Теория пластической волны также используется Юанем Вен-
ею и др. [140] для анализа удара пластины деформируемыми сна-
рядами. Снаряд, который считается изготовленным из жесткого
линейно деформационно-упрочняющегося материала, модели-
руется аналогично тому, как это сделано у Д. Лисса и У. Голд-
смита [139], показан на рис. 64. Однако анализ [140] пренебрега-
ет любым движением пластины за пределами зоны удара. По-
107
Рис. 64. Геометрическая модель про-
никания деформирующимся снарядом,
включающая реакцию мишени [139].
/ — пластический слой удара в снаряде; II —
пластический ударный слой в мишени; III —
пластический шарнир
этому он применим только
для толстых пластин, ударяе-
мых снарядами, движущимися
со скоростями, намного пре-
вышающими их баллистичес-
кий предел. Остаточная ско-
рость и размеры пробки рас-
считываются довольно хоро-
шо с помощью этого анализа,
если данные условия соблю-
дены.
С. Дженк и др. [141] разви-
ли анализ Д. Лисса и др. [137],
изменив глобальную реакцию
пластины со сдвига на изгиб.
Пять стадий проникания были
аналогичны описанным в [137], но здесь механизмом глобальной
деформации мишени был изгиб, причем мембранными эффектами
и эффектами поперечного сдвига пренебрегали. Глобальная реак-
ция проанализирована с использованием классической теории из-
гиба пластин в сопряжении с жестким идеально пластичным опре-
деляющим соотношением и условием текучести Треска.
Мишень разделялась на четыре области тремя концентриче-
скими окружностями с центрами в г = 0, внутренняя окружность —
с радиусом снаряда, а внешнее кольцо — с радиусом, при кото-
ром сдвиговое усилие нулевое, т. е. нулевая степень пластичес-
кого изгиба. (Упругие эффекты игнорируются.) Третье кольцо
лежит между внутренним и внешним кругами и обозначает ради-
ус, при котором материал пластины меняет грани на шести-
угольнике текучести Треска.
Уравнения динамического равновесия решены с помощью
зависимостей “искривление—перемещение”, закона течения, со-
ответствующих граничных условий и определяющих соотноше-
ний для каждой области. Результирующие уравнения обращены
в матричную форму и решены итеративно.
С. Дженк и др. [141] провели испытания в целях проверки
точности своего анализа. В них цилиндрические снаряды с плос-
108
20
Рис. 65. Расчетные конечные количества движения снаряда по моделям сдвига
(сплошные линии) и изгиба (штриховые линии) и экспериментальные резуль-
таты (точки) как функции от начального количества движения при тол!цине
мишени h0 = 3,2 мм (а) и 6,4 мм (б) [141]:
/ — в расчет включены механизмы пробкообразования; 2 — расчет без включения пробкообразова-
ния; 3 — идеальный случай бесконечно тонкой мишени.
1
ким торцом, изготовленные из закаленной стали, диаметром
12,7 мм, массой 35,5 г выстреливались в термически обработан-
ные пластины из алюминиевого сплава диаметром 140 мм, тол-
щиной 3,18, 4,76 и 6,35 мм. Показано, что для тонких пластин
(толщиной 3,18 мм) изгиб является преобладающим видом де-
формации, причем сдвиг важен только вблизи зоны удара (обыч-
но г < Згр). По мере увеличения толщины пластин эффекты сдви-
га становятся более значительными (рис. 65). На рис. 66 даны не-
которые сравнения расчетных и экспериментальных результа-
тов по конечной деформации изгиба мишени для пластин толщи-
ной 6,35 и 3,18 мм. Видно, что соответствие довольно близкое,
особенно для более тонких пластин. Расхождение, которое все
же существует, объясняется следующим: I) допущением о беско-
нечной пластине, которая применяется в анализе; П) принятием
динамического предела текучести для всей пластины; III) прене-
брежением изменениями свойств материала во время процесса
проникания. С. Дженк и др. [141] также сравнивают результаты
двух компьютерных программ — AUTODYN и DYNA2D — со
своими экспериментальными результатами и аналитической мо-
делью. Результаты рассматриваются ниже, в разд. 5.
М. Шукри и др. [142] разработали аналитическую модель, ос-
нованную на моделях Д. Лисса и др. [137] и С. Дженка и др. [141],
для расчета реакции круглых стальных пластин на удар неде-
109
-40 -20 0 20 40 г, мм
Рис. 66. Сопоставление аналитических (по модели изгиба Дженка и др.)
(штриховые линий) и экспериментальных результатов (сплошные линий)
для конечной деформации мишени при разных скоростях удара и толщи-
нах пластин [141].
Скорость удара, м/с: а — 104, б — 150, в — 77, г — 107, д — 150. Толщина пластины, мм:
а, б — 6,35; в—д — 3,18
формируемым снарядом. Модель проникания, разработанная
Д. Лиссом и др. [137], использовалась для описания поведения
мишени в зоне удара, а динамическая модель пластического из-
гиба (включая эффект поперечного сдвига) — для описания гло-
бальной реакции мишени. Принимался независимый от скорости
жесткий идеально пластичный материал мишени вкупе с крите-
рием текучести Треска, который включает поперечный сдвиг.
ш
Эта модель использовалась для расчета профиля деформирован-
ной мишени, скоростей снаряда и мишени во время процесса
проникания и остаточных скоростей снаряда после проникания.
Аналитические результаты сопоставлены с экспериментальны-
ми данными, полученными в испытаниях, и обнаружено доста-
точное соответствие. Анализ имеет тенденцию недооценивать
прогиб мишени, как и у С. Дженка и др. [141], что происходит
вследствие сходных допущений.
5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
В данном обзоре авторы не ставили себе главной целью рас-
смотрение применения численных методов прогнозирования ре-
акции ударно-нагруженных структур. Тем не менее для завер-
шенности картины наиболее важные работы и программы, по-
священные прониканию и пробиванию пластин конечной тол-
щины, требуют упоминания. Примеры использования числен-
ных методов решения этой общей задачи можно найти в работах
М. Бэкмана и У. Голдсмита [2], Г. Джонаса и Д. Зукаса [143],
М. Уилкинса [145, 146], А. Руврея и др. [147], Л. Шевера и др.
[149]. Эти работы также содержат обширные библиографии по
данному вопросу. С. Андерсон и С. Боднер [149] рассматривают
состояние дел в теоретическом и численном моделировании про-
цесса удара. Они отмечают, что большинство достижений в об-
ласти численных методов позволяют спрогнозировать реакцию
мишени исходя из первых принципов, без помощи эмпирики.
Тем не менее моделирование механизмов разрушения все еще
ограничивается одним характером разрушения. Основная при-
чина этого ограничения в том [147], что расчетное моделирова-
ние разрушения требует создания модели разрушения материа-
ла, а также метода представления разрушения и его развития в
расчетной сетке. Г. Джонас и Д. Зукас [143] заключают, что про-
граммы, имевшиеся на тот момент, подходили только для ударов
высокой скорости или для ударов, которые не влекут за собой
разрушение материала мишени. Основная проблема с ударами
относительно низкой скорости состоит в том, что программам
не хватает усложненных определяющих соотношений для харак-
теристики поведения материала (рассмотрение применения од-
но- и двухмерных определяющих моделей для характеристики
поведения в динамике пластичного материала можно найти в
[67]). Кроме того, динамические свойства материала снаряда
и(или) мишени зачастую неизвестны, а критерии разрушения
крайне трудно смоделировать точно. Даже при том, что издерж-
ки времени, затрачиваемого на расчет, значительно сократились
113
за последние годы, имеющиеся конечно-элементные программы
для расчета больших пластических деформаций и разрушения
материала в большинстве случаев все еще непомерно дороги.
А. Нейлсон [150] сопоставил экспериментальные результаты
испытаний на удар с низкой скоростью, проведенных на пластинах
из малоуглеродистой стали, с расчетами, сделанными с помощью
конечно-элементной компьютерной программы EURDYN-02. Он
показал, что линейную теорию упругости [151] можно приме-
нить для получения эквивалентных радиусов круглых пластин,
которые соответствуют квадратным панелям, что позволяет
преобразовать расчеты по удару из трехмерной геометрии в осе-
симметричную для центрально нагруженных квадратных пане-
лей. Видно, что данная компьютерная программа позволяет точ-
=но рассчитать максимальные текущие прогибы, но дает завыше-
ние конечного прогиба. При увеличении прочности используе-
мого материала на 50 % в целях компенсации динамических эф-
фектов пик прогиба занижался примерно на 15 %, но получался
более точный прогноз конечного прогиба (рис. 67). Не делалось
попыток рассчитать разрушение. Расчеты, полученные с помо-
щью компьютерной программы ASTARTE, также сопоставля-
лись с экспериментальными данными. В этом случае увеличение
предела текучести материала пластины вследствие эффектов
•Рис. 67. Сопоставление численных расчетов по программе EURODYN-02 (кривые)
и экспериментальных результатов (значки) для центрального прогиба стальной
пластины толщиной 3 мм, подвергаемой непробивающему удару [152].
Сплошные линии — в модели использованы статические данные о связи напряжении и деформаций;
штриховые линии — использованы данные Мэнджойна о связи напряжений и деформаций при ско-
рости деформации 4,4 с1; штрихпунктирная линия — использованы данные для тела с упруго-идеаль-
но пластическими свойствами с повышенным пределом текучести.
114
скорости было представлено несколько менее случайным обра-
зом, а именно, уравнением
^ = 1 + «
a, W
(67)
где ad—динамический предел текучести; о, — статический пре-
дел текучести; ё — скорость деформации; D яр — константы
(для малоуглеродистой стали D = 36,9 с-1 и р =3,26). Как и в слу-
чае EURDYN-02, по этой программе можно рассчитать остаточ-
ный центральный прогиб панелей с точностью до 10 %, но зани-
жается пик прогиба примерно на 20 %. А. Нейлсон [152] расши-
рил исследование, включив в рассмотрение более высокие ско-
рости удара — до 100 м/с. Разрушение носило ограниченный ха-
рактер, даже при наивысшей скорости, хотя остаточная энергия
пули была достаточно малой, чтобы свидетельствовать о 1ом,
что баллистический предел почти достигается при более высо-
ких скоростях. Показано, что программа EURDYN-02 дает хоро-
шее соответствие с экспериментальными результатами прй этих
скоростях.
Лагранжева конечно-элементная программа DYNA-2D при-
менена в [141] для моделирования ударного нагружения алюми-
ниевых пластин. Были проделаны две серии измерений: одна —
со статическими данными по напряженно — деформированному
состоянию в качестве меры сопротивления материала, другая —
с динамическими данными. Вновь обнаружено, что результаты
зависят от выбранных характеристик материала.
При использовании статических данных максимальный про-
гиб завышался примерно на 20 %, а при использовании динами-
ческих данных максимальный прогиб недооценивался на 10 %.
Лагранжева конечно-разностная программа AUTODIN также
сопоставлена с результатами экспериментальной работы, опи-
санной в [141]. Вновь, хотя соответствие неплохое, использова-
ние данных по напряженно-деформированному состоянию при-
водило к стойкому завышению пика прогиба. Видно, что расчет-
ные профили пластин хорошо согласуются с полученными экс-
периментально. Применение DYNA-2D и AUTODYN к задаче по
расчету реакции пластины на удар снарядом также рассматрива-
ется С. Дженком и У. Голдсмитом в [148, с. 223—233].
А. Нейлсон [152] применяет трехмерные программы EUR-
DYN-03 и DYNA-3D к ударному нагружению цилиндрических
115
Рис. 68. Сопоставление экс-
периментальных (точки)
временных зависимостей и
временных зависимостей,
полученных с помощью
программы DYNA-3D (кри-
вые), для перемещения сна-
ряда (7) и трубы под снаря-
дом (2), а также изменения
скорости снаряда (3) [152]
оболочек (труб). Про-
грамма EURDYN-03
позволила с достаточ-
ной точностью рас-
считать возрастание центрального прогиба с течением времени,
хотя в целом соответствие между расчетной и эксперименталь-
ной деформациями было не вполне хорошим. DYNA-3D позво-
ляет лучше спрогнозировать деформационно-временную зави-
симость, а также прогиб трубы (рис. 68 и 69). Программа DYNA-
3D также применялась, и очень успешно, для случая импульсно-
го точечного нагружения тонкостенных алюминиевых цилинд-
рических оболочек в работе Л. Швера и др. [153]. Помимо про-
гнозирования кинетики развития деформации использовался
критерий разрушения, основанный на предельной двухосной де-
формации, для расчета интенсивности импульса, необходимого
для разрушения.
Д. Бэмман и др. [154] рассматривают разработку определяю-
щих моделей, в которых используются переменные внутреннего
состояния для расчета разрушения в пластичных материалах.
Рис. 69. Деформированная материальная сетка, рассчитанная с помощью програм-
мы DYNA-3D для стальной трубы, выдерживающей непробивающий удар [152]
116
Рис. 70. Сопоставление экспери-
ментальных данных и данных рас-
чета по программе DYNA-2D удара
твердого стального прутка по алю-
миниевой пластине при скорости
чуть ниже баллистического преде-
ла [154]
Они указывают на то, что
пластическая деформация
является плохим выбором
для переменной состояния
при расчете как девиаторной
пластичности, так и дефор-
мации до разрушения. Разра-
ботана модель, которая опи-
сывает девиаторную плас-
тичность независимо от рос-
та пустот, а затем соединяет
эффект пустот на пластичес-
ком течении и упругие модули. Эта модель применена с исполь-
зованием конечно-разностной программы DYNA-2D для расчета
пробивания алюминиевых пластин в условиях ударного нагруже-
ния закаленными стальными прутками. Результаты сопоставле-
ны с экспериментальными, полученными в испытаниях на сво-
бодно опирающихся алюминиевых (6061-Т6) пластинах диамет-
ром 57,2 мм и толщиной 3,2 мм. Получено отличное соответст-
вие двух серий результатов с моделью, прогнозирующей ско-
рость удара от 84 до 89 м/с для первого разрушения, в противо-
положность экспериментально полученному значению в интер-
вале от 79 до 84 м/с (рис. 70).
6. ПРОЧНОСТЬ НА УДАР ПОЧВ, БЕТОННЫХ
И СТАЛЕБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
В предыдущих разделах рассматривалось пробивание металли-
ческих пластин проникающими телами, обладающими кинетичес-
кой энергией, и были идентифицированы доминирующие и наибо-
лее часто встречающиеся механизмы разрушения. При ударе ми-
шеней, изготовленных из какого-либо неметаллического материа-
ла, снарядами процессы проникания и происходящие при этом ме-
ханизмы разрушения зачастую бывают очень разными. Проника-
ние в различные виды почв и сред земной поверхности с давних
пор представляет большой интерес для инженеров, занимающихся
проблемами удара. С. Юнг приводит краткий обзор исторического
развития различных эмпирических уравнений, которые использу-
ются до настоящего времени для расчета глубины проникания Z,
достигаемой снарядом при ударе о полубесконечное тело:
Робинса—Эйлера (1742):
Z_WX.
2a0 ’
(68)
Понсле (1830):
?Пп
Z = —Чп 1 +
2д2
fl2^0 ,
ао J
(69)
Резеля (1895):
т„
Z = —Мп 1 +
а2 [
а2^0
«1
(70)
Петри (1910):
«2^
Z =—ATlog.n 1 +
л 610 215,000
Ap
(71)
W
118
В уравнениях (68)—(71) а0, ах и а2 — константы из эмпирическо-
го многочлена, связывающего силу удара со скоростью удара:
F = a0 + axV0 + a2V$ +...+ a„Vg. (72)
В уравнении (71) Z выражается в футах, Vo — в фут/с, W (вес
снаряда)—в фунтах, Ар (площадь поперечного сечения снаряда) —
в квадратных дюймах, а К — константа, зависящая от материала
мишени.
С. Юнг [6] провел ряд экспериментов с целью определить
влияние различных параметров, включая форму “носа” и массу
снаряда, площадь и скорость удара, на дистанции проникания.
Результаты использовалйсь для эмпирического прогноза этой
дистанции:
(W\12
Z = 0,53SM —
ln(l + 2V02 xlO’5)
для VQ < 200 фут/с; (73a)
(W\i/2
Z = 0,003 ISM —
(Vo -100) для VQ > 200 фут/с.
<736)
В этих уравнениях S — константа почвы (параметры которой да-
ны в [6]), aN—коэффициент характеристики “носа” (в интервале
от 0,56 для снарядов с плоским торцом до 1,32 — для тупого кону-
са). Все другие параметры определяются так же и в тех же едини-
цах, что и в уравнении Петри [уравнение (71)]. Интересно отме-
тить, что бифункциональное отношение было также предложено
Д. Джоуэттом [82] для удара стальных пластин конечной толщи-
ны. Это отношение [уравнение (15)] связывало энергию перфора-
ции и относительную толщину пластины, а используемая функция
зависела от относительной толщины испытываемой пластины.
Разрабатываются различные аналитические модели с целью
рассчитать глубину проникания и силы, воздействующие на сна-
ряд во время проникания в полубесконечные мишени (например,
[155—163]), и проведен ряд экспериментальных исследований в
целях изучения их аутентичности [164,165]. Применение числен-
ных методов к данной задаче рассматривается в [147, 160, 166,
167]. Кроме этого, М. Бэкман и У. Голдсмит [2] посвящают один
из разделов своей работы прониканию в полубесконечное тело.
Удары снарядом таких материалов, как древесина [168,169], ке-
рамика [170—173], а также GRP- и CFRP-композитов [174—180], то-
же послужили объектом внимания со стороны ряда исследователей.
119
Материал, который особенно интересует инженеров, занима-
ющихся проблемами удара, — это бетон. Там, где вес и простран-
ство не являются факторами, которые необходимо сократить до
минимума, часто используют бетон в виде стен или барьеров. Од-
ним из очень важных примеров отраслей, которые в большой сте-
пени опираются на ударопрочность бетона, является ядерная про-
мышленность, требующая стен с особыми структурами, способны-
ми противостоять удару случайно выпущенной ракеты [181]. Не-
смотря на то что предпринимаются попытки моделирования удара
полубесконечных бетонных структур снарядами (например [182,
183]), в данном разделе (а также в предыдущих разделах, посвя-
щенных удару металлических мишеней) рассматривается только
удар по бетонным мишеням конечной толщины. Вновь упор дела-
ется на процессы проникания и пробивания, происходящие при
ударе по мишени снарядом, движущимся со скоростью, близкой к
его баллистическому пределу.
Р. Кеннеди [184] сделал обзор достижений в объяснении меха-
ники удара снаряда о бетонные структуры. Процессы проникания и
пробивания бетона значительно отличаются от тех же процессов в
металле, что демонстрируется на рис. 71. Если начальная скорость
снаряда достаточно большая, чтобы повредить бетон, его куски от-
калываются от удара по поверхности мишени, образуя кратер, ко-
торый простирается на значительно большую площадь, чем пло-
щадь удара. По мере увеличения скорости удара снаряд проникает
на глубину, большую, чем глубина кратера скола, образуя в бетоне
отверстие диаметром, лишь немного превышающим диаметр сна-
ряда. Дальнейшее увеличение начальной скорости снаряда приво-
дит к растрескиванию, а затем к откалыванию (эжекции) бетона от
тыльной поверхности. Зона откалывания обычно более обширная,
Рис. 71. Проникание и пробивание бетонных плит недеформирующимися сна-
рядами [184]:
а — проникание снаряда и фронтальное откалывание; б — скалывание с тыльной стороны мишени;
в — пробивание; г — общая реакция мишени
120
но менее глубокая, чем зона переднего кратера скола. Так как эти
отторгаемые куски бетона (от задней поверхности) могут сами
представлять собой опасность, часто необходимо определить две
толщины при конструировании пуленепроницаемых щитов: мини-
мальную толщину р, позволяющую избежать пробивания, и мини-
мальную толщину s, позволяющую предотвратить тыльное отка-
лывание. Если началось откалывание, то глубина проникания уве-
личивается быстро с ростом скорости удара, что ведет в конечном
счете к пробиванию мишени по мере того, как отверстие от прони-
кания простирается до кратера тыльного откалывания. Как и в слу-
чае пробивания металлических пластин, для определенной геомет-
рии мишеней глобальная реакция будет играть важную роль в спо-
собности мишени противостоять удару [184].
Анализ бетона, армированного сталью, крайне затруднен, так
как преобладающие механизмы энергопоглощения и виды разру-
шений основных элементов различны и взаимодействуют друг с
другом. Следовательно, большинство исследований проникания и
пробивания бетонных мишеней носят эмпирический характер. В
большинстве случаев эмпирические прогнозы проникания в,полу-
бесконечные мишени адаптированы для расчета толщин, необхо-
димых для предотвращения пробивания снарядом с данной скоро-
стью мишеней конечной толщины. Изучение проникания снарядов
в бетонные структуры находится под большим влиянием интересов
военных организаций. Как указывает Р. Кеннеди [184], большинст-
во опубликованных работ посвящено выводу эмпирических фор-
мул для 1) прямого удара, 2) бетонных структур, 3) недеформируе-
мыми снарядами, и это считается наиболее разрушительным соче-
танием для данной массы снаряда и данной скорости. Эти эмпири-
ческие формулы были получены до 1946 г., причем большая часть
последующей работы была проделана военными и проклассифици-
рована. Ниже приведены наиболее часто применяемые формулы.
1. Модифицированная формула Петри [см. уравнение (71)].
p = 2x;s = 2,2х,
где
х = 12Кр~Г loSio
/1-
215,000 /
где р, s и х выражены в дюймах, а Уо — в фут/с. WIAp — вес ракеты
на единицу бомбардируемой площади в фунтах на квадратный дюйм.
Есть два вида модифицированной формулы Петри. В формуле I
121
сти бетона. В формуле П К„ —
рис. 72).
2. Формула Инженерных вс
Рис. 72. Зависимость коэффициента
проникания от прочности бетона
(в фунтах на квадратный дюйм) для
специально армированного бетона [184]
Кр = 0,00799 для массивного бето-
на, Кр = 0,00426 для нормаль-
ного армированного бетона и
Кр = 0,00284 для особо армирован-
ного бетона. Кр зависит от прочно-
функция от прочности бетона (см.
иск США (АСЕ).
где
-£- = 1,32 + 1,24
dp
— = 2,12 + 1,36
dp
для 3< —<18;
dP
С
дляЗ< — <18,
d
р
X = 282ш;-217 v0
dp f!12 11000) ’
(75а)
(756)
(75в)
Здесь D — “плотность” калибра снаряда, фунт/дюйм2, dp — диа-
метр снаряда, дюйм, fc — максимальная прочность бетона на
сжатие, фунт/дюйм2.
3. Модифицированная формула Комитета по исследова-
ниям в области национальной обороны (NDRC):
x/d находится по формулам
( V \148
KJVd°'20D —2~]
р р 11000?
G(x,dp) =
для x/dp <2,0,
х
dp) = — -1 для x/dp > 2,0.
\dp )
(76)
122
Здесь N — коэффициент формы носа ракеты: N = 0,72 для ракет с
плоским носом, 0,84 для ракет с тупым носом, 1,00 для сферичес-
ких ракет и 1,14 для ракет с острым носом. Прочность бетона за-
дается выражением Кр = 180/ ,p/d и s/d затем рассчитываются
по уравнениям (75).
4. Формула Аммана и Уитни (для Vo > 1000 фут!с):
х _ 282ND<fp ( v„
а, р2 vioooj 1 '
и уравнение (75) используются для оценки р и s.
5. Формула баллистической исследовательской лаборато-
рии (BRL):
р = 427Ш;>2 Г уо У-33
dp fl2 lioooj ’
(78а)
s = 2p.
Все эти формулы применимы к ситуациям, находящимся^ сле-
дующих интервалах (если не указано иначе): hjdp >3;d< 16 дюйм;
0,2 < D < 0,8 фунт/дюйм3; 500 < Vo < 3000 фут/с; 3 < p/dp < 18 и
3 < s/dp < 18. Как все эмпирические формулы, приведенные здесь
выражения правомерны, лишь когда удовлетворяются указанные
условия, а любое отклонение от них приводит к большой неточно-
сти воспроизведения формул. Два ограничения, которые нару-
шаются с наибольшей вероятностью при невоенных ситуациях
удара, — это отношение толщины мишени к диаметру снаряда
(hJdA и скорость снаряда (Уо). '
Единственная эмпирическая формула, которая имеет теорети-
ческую основу, — это формула NDRC, вероятно, потому, что это
единственная формула, которую можно успешно экстраполировать
за пределы тех условий, из которых она была первоначально выве-
дена. Приняв параболическую аппроксимацию в интервале xld. = 0
и x!dp = 3 для уравнения (76), получили следующие уравнения [184]:
для x/dp <1,35;
(79а)
для x/dp <0,65.
(796)
123
x/dp получают из уравнения (76). Для больших отношений xldp ис-
пользуют уравнения (75).
Формулу NDRC, благодаря ее теоретическому базису и воз-
можности экстраполирования на широкий диапазон перемен-
ных, рекомендует к использованию Р. Кеннеди [184]. По всему
диапазону указанных переменных (диаметр ракеты до 16 дюй-
мов, плотность калибра от 0,2 до 16 фунт/дюйм3, скорость раке-
ты 100—3000 футов/с) формула NDRC позволяет рассчитать
толщину пробивания и тылового отторжения с точностью до
±20 %. В этих испытаниях использовалась бетонная арматура с
коэффициентом EWEF (отношением стали к бетону) 0,4—0,6 %.
Отмечается, что все эмпирические уравнения предполагают от-
сутствие деформации снаряда или мишени за пределами зоны
удара.
Р. Кеннеди [184] описывает, как формула NDRC может быть
применена для описания силовременной зависимости процесса
удара, а также качественно рассматривает влияние деформации
ракеты, инерционного веса мишени и ее глобальной реакции на
процесс проникания.
Г. Слайтер [181] собрал данные испытаний на удар бетонных
мишеней из различных источников и использовал их для оценки
справедливости более старой эмпирической формулы. Подобно
Р. Кеннеди [184], Г. Слайтер пришел к выводу, что формула
NDRC наиболее подходящая для самого широкого диапазона па-
раметров удара. Два параметра, которые не включены в нее, —
это относительный агрегатный размер (dJC) и степень армиро-
вания. Г. Слайтер [181] исследовал влияние этих параметров на
процесс удара и нашел, что существует лишь слабая зависимость
глубины проникания от них в интервале 0,5—50 для первого и
0,3—1,5 % для второго (в процентах выражается площадь арми-
ровки в обоих направлениях). Отсутствуют данные испытаний
на сильно армированных мишенях, которые с наибольшей веро-
ятностью можно встретить в обычных железобетонных стенах
(1,5—3 % по всем направлениям).
Г. Слайтер [181] исследовал применимость формулы NDRC к
ударам с низкой скоростью (<300 м/с). Он обнаружил, что глубина
проникания рассчитывалась формулой NDRC с точностью
25 %, что она превышала 0,6^, что соответствует скорости удара
свыше 150 м/с для анализируемых условий испытаний. В случае,
когда глубина проникания, достигаемая снарядом, была меньше,
чем 0,6dp, формула NDRC имела тенденцию завышать глубину
124
проникания. Г. Слайтер [181] также сравнил экспериментальные
данные из различных источников с расчетами по уравнениям и об-
наружил, что соответствие между ними было плохим при больших
значениях dp/h0. Это он отнес за счет плоского удара сравнительно
большой площади (все испытания проводились на цилиндрических
снарядах с плоским торцом), вызывающего отторжение от тыль-
ной поверхности в результате растягивающей ударной волны, воз-
никающей из волны сжатия, отраженной от задней поверхности
(при слабом проникании). Делается вывод, что формулу NDRC
нельзя применять с уверенностью для расчета толщины отторже-
ния от задней стенки в ситуациях удара с низкими соотношениями
x/dp или большими значениями dp/h0. Для этих случаев предложены
две альтернативные эмпирические формулы, полученные из ис-
пытаний при интересующих отношениях толщины к диаметру.
Это формулы Бехтеля
15,5W°’4V00’5
5=
(80)
и Стоуна и Вебстера
(81)
где С — коэффициент, зависящий от отношения ho/dp. Интервалы
параметров испытаний, ,в которых можно применить эти уравне-
ния: 3000 фунт/дюйм2 <fc < 4500 фунт/дюйм2 и 1,5 < h^dp < 3. Вид-
но, что эти формулы находятся в приемлемом соответствии с экс-
периментальными данными.
Для расчета толщины пробивания Г. Слайтер [181] вывел
формулу CEA/ADF, дающую наилучшее согласование с имею-
щимися экспериментальными данными
р = 0,765/;3/8
d.
V0’4.
(82)
В уравнении (82) плотность бетона была принята 2500 кг/м3, а
степень армирования от 0,8 до 1,5 % по всем направлениям.
Г. Слайтер отмечает, что, вероятно, степень армирования ока-
зывает значительное влияние на толщину пробивания, и поэто-
125
му уравнение (82) не следует применять для бетонных структур
со степенью армирования за пределами указанного интервала.
С. Перри и др. [185] рассматривают факторы, влияющие на
реакцию бетонных плит, армированных волокном, на удар, и от-
мечают, что изменение степени армирования может привести к
изменению характера разрушения бетона. При этом неармиро-
ванный бетон имеет тенденцию к разрушению сдвиговой перфо-
рацией, а армированный стальным волокном — к разрушению
изгибом и дроблению. В [182] поврежденные образцы из этих
испытаний, а также поврежденные образцы бетонных сводов из
серии испытаний на удар, проведенных на сводах из армирован-
ного бетона [187], восстанавливались с использованием разнооб-
разных цементирующих и эпоксидных составов, после чего ис-
пытывали статическую прочность восстановленных структур и
оценивали эффективность восстановления. Показано, что при
выполнении определенных условий возможно добиться значи-
тельного приближения к первоначальной прочности структур,
используя оба вида восстанавливающего материала.
П. Барр и др. [188] сообщают о предварительных испытани-
ях на удар армированных бетонных структур. Они сделали обзор
уже имеющихся работ, сами провели серию испытаний и ввели
короткую конечно-разностную программу SARCASTIC в каче-
стве средства для оценки различных теоретических определяю-
щих моделей для бетона. Результаты сравнивали с модифициро-
ванной формулой NDRC (76), а скорости, необходимые для про-
бивания, сравнивали с формулой CEA/ADF.
Гм2}4/3
V^l.yf.pl3 — . (83)
т
\ р 7
где рс — плотность бетона, ah — толщина бетона. Пределы при-
менимости уравнения (83):' 20 < Vo < 200 м/с, 0,3 < h/d < 4,
30 < fc < 45 МПа. Следует отметить, что формула CEA/ADF не
содержит параметра, зависящего от степени армирования.
Сравнение с модифицированной формулой NDRC показало
совпадение в пределах 30 %, но сопоставление с формулами
CEA/ADF было невозможно, так как параметры испытаний на-
ходились за пределами интервала применимости. Результаты
компьютерных расчетов не были убедительными и указывали
на необходимость дальнейшей работы, прежде чем эта програм-
ма может быть использована в качестве инструмента.
126
Начальные испытания для выяснения возможности масшта-
бирования были многообещающими, и исследования на эту тему
были продолжены в последующей работе [189]. В ней описыва-
ются испытания на моделях в 1/2—1/16 обычного размера, и ус-
танавливается хорошее совпадение моделей и прототипа.
Общепринятый метод, применяемый для увеличения ударо-
прочности бетонных плит, — нанесение покрытия на переднюю
и(или) заднюю поверхность плиты, что служит либо для увели-
чения баллистического предела структуры, либо для уменьше-
ния толщины стенки в целях достижения особого баллистичес-
кого предела. Эффект армирования бетонной структуры таким
способом исследуется П. Барром и др. [190, 191], делающими
следующие выводы:
1. Энергия пробивания барьера, имеющего обшивку на
фронтальной поверхности, равна сумме энергий пробивания
каждого отдельно взятого компонента. ,
2. Тыльная поверхность с обшивкой ведет себя аналогично
дополнительной армировке тыльной поверхности. Обшивка и
внутренняя армировка эквивалентны, когда равны площади по-
перечных сечений армировки и пластины, а также упругоплас-
тические параметры сталей.
Для армированных (как внутренне, так и внешне) пластин
мишени предложен следующий вариант формулы CEA/ADF, в
котором содержится параметр армирования:
V>l,7/cpcV3 —
I'M
(г+ 0,3),
(84)
где г — степень армирования, % (по всем направлениям), нахо-
дится в интервале от 0 до 4 %.
3. Для бетонных барьеров со стальной обшивкой на поверх-
ности удара и на тыльной поверхности энергия пробивания тако-
го композита равна сумме энергий пробивания передней обшив-
ки и остального барьера. Испытания на барьерах с защитой по-
казали, что последние имеют энергию пробивания, составляю-
щую ~70 % от энергии пробивания монолитных барьеров.
С. Ханчак и др. [192] показали, что остаточная скорость снаря-
да со стреловидным носом, диаметром 25,4 мм, массой 0,5 кг, про-
бивающего плиты из армированного бетона толщиной 178 мм, на-
ходится под непропорциональным влиянием неограниченной
прочности на сжатие бетона. Трехкратное увеличение неограни-
127
ченной прочности на сжатие приводит к уменьшению остаточной
скорости менее чем на 20 %. Показано, что боковое ограничиваю-
щее давление на бетон, создаваемое окружающей массой, способ-
ствует снижению влияния неограниченной прочности на сжатие.
Также показано, что баллистический предел не зависит от того,
ударяет ли снаряд при пробивании в арматурный профиль или нет.
Реакцию многослойных конструкций типа “сэндвич” из стали и
цемента на удар снаряда исследовали Г. Корбетт и С. Рид [193].
Они показали, что многослойные пластины, изготовленные из
двух стальных слоев толщиной 1 мм, разделенных цементными на-
полнителями толщиной от 3 до 40 мм, не так эффективны с точки
зрения энергии, поглощаемой на поверхностную плотность при
ударе снарядом, как монолитные стальные пластины при тех усло-
виях удара, которые использовались в программе испытаний (ци-
линдрический снаряд с полусферическим концом, движущийся со
скоростью от 40 до 200 м/с). Показано, что в энергопоглощении
доминируют тыльная пластина и цементный наполнитель, причем
пластина, подвергающаяся непосредственно удару, поглощает от-
носительно малое количество энергии. На рис. 73, а, б, показаны
два примера “сэндвичей”, поврежденных ударом, — тонкий и тол-
стый. Плиты демонтированы, и показаны преобладающие меха-
низмы деформации и разрушения различных компонентов плиты.
Видно, что в обеих плитах непосредственно ударяемая стальная
пластина деформируется меньше, чем задняя, причем ударяемая
пластина толстой плиты демонстрирует признаки “обратного сфе-
рического коробления”, т. е. сферического коробления в направ-
лении, противоположном направлению удара. Это результат
фронтального откалывания цементного наполнителя. На рис. 73,
в, также показан типичный конус разрушения, образующийся при
проникании снаряда в бетон или цемент средней толщины.
В аналогичной серии испытаний Г. Корбетт и др. [194] исследо-
вали сопротивление сталебетонных многослойных труб проника-
нию инденторов из упрочненной стали. Бетонные трубы обшива-
лись с внешней и внутренней стороны стальным слоем толщиной
1 мм и подвергались локальному нагружению, квазистатическому
и динамическому. Все испытываемые трубы имели внутренний ди-
аметр 120 мм. Исследовались бетонные наполнители толщиной 10,
20 и 38 мм. Как и при испытании многослойных пластин, нагрузка
прилагалась индентором с полусферическим концом. Поведение
многослойных труб под нагрузкой такого типа сравнивалось с по-
ведением монолитных стальных труб, испытанных в работе [62],
128
Рис. 73. Разобранная многослойная пластина с толщиной наполнителя 5 (а) и 40 мм
(6) после ударного нагружения, а также конус разрушения из пластины с толщиной
наполнителя 20 мм, подвергнутой удару со скоростью ниже баллистического пре-
дела (в) [193]:
I — вид сбоку верхнего слоя; 2 — вид сбоку наполнителя и нижнего слоя; 3 — вид сверху цементного на-
полнителя
рассматриваемой в разд. 2.5. Обнаружено, что в диапазоне испы-
тываемых толщин многослойные конструкции такого типа требу-
ют толщины наполнителя, приблизительно в 5 раз превышающей
толщину монолитной стальной трубы, чтобы поглощать то же ко-
личество энергии удара в аналогичных условиях нагружения. В
[193] и [194] показано, что ударопрочность сталебетонных и стале-
цементных многослойных конструкций в меньшей степени зависит
от массы снаряда и формы носа снаряда, чем у монолитных сталь-
ных структур. Кроме того, очевидно, что сопротивление “сэндви-
чей” прониканию снаряда наиболее эффективно в случае, когда
тыльный слой не деформируется, обеспечивая, таким образом, ос-
новательную поддержку среде наполнителя. Поэтому предлагает-
ся, чтобы многослойная конструкция, эффективная при сопротив-
лении прониканию, была изготовлена из толстой стальной опор-
ной пластины (оболочки), которая бы поглощала большую часть
энергии и обеспечивала поддержку наполнителю, и массивного на-
полнителя, удерживаемого сравнительно тонким фронтальным
слоем. Последние компоненты “сэндвича” будут защищать энер-
гопоглощающий тыльный слой от “неблагоприятных” условий
удара (таких, как снаряды с острым концом, большая скорость сна-
ряда) путем распределения нагрузки и уменьшения скорости про-
никания.
А. Гандекер др. [195] провели испытания многослойных плас-
тин с пенным, смоляным и мягкодревесным наполнителями на
удар с низкой скоростью. Показано, что при сравнении с монолит-
ными стальными оболочками повышенной жесткости такие мно-
гослойные конструкции выигрывают в условиях удара, аналогич-
ных тем, которые чаще всего можно встретить на морских нефтя-
ных платформах, например в случае падающей буровой муфты.
Наиболее эффективным из этих наполнителей с точки зрения со-
противления прониканию оказалась мягкая древесина. Предлага-
ется простая процедура, позволяющая оценить энергопоглощаю-
щую способность изготавливаемых панелей. Проведены полно-
масштабные испытания, в которых кольцеобразный бур массой
3560 кг роняли на многослойную панель с мягкодревесным напол-
нителем с высоты 15 м (энергия удара = 532 кДж). Панель имела
стальные слои толщиной 12 мм, мягкодревесный наполнитель тол-
щиной 12 мм, мягкодревесный наполнитель толщиной 240 мм и
размер 900x900 мм. Она поглощала энергию удара, не допуская
пробивания, и конечный прогиб нижнего слоя был аналогичен вы-
численному теоретически (98 мм).
1. выводы
7.1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
В последние годы качество и количество эксперименталь-
ных исследований по удару снарядом структурных элементов не-
уклонно возрастает. Разработаны новые экспериментальные
методики, а лучшее оснащение приборами позволяет собрать
более детальную информацию. Но существует еще целый ряд
проблем, которым уделяется мало внимания, и ряд пробелов в
базе данных, собранных по затронутым проблемам.
Почти все экспериментальные исследования состоят из ма-
ломасштабных испытаний на удар, когда снарядами диаметром до
15 мм ударялись мишени толщиной до 10 мм и шириной до 500 мм.
Имеется очень мало невоенных исследований по ударным ситу-
ациям большого масштаба, подобным тем, которые имеют мес-
то при взрыве крупных единиц оборудования. Эксперименталь-
ные данные, которые опубликованы по проблеме удара снаря-
дом, носят случайный, отрывочный характер. Природа этой те-
мы такова, что задействуется большое число комбинаций типов
снарядов и мишеней, следовательно, редко можно напрямую
сравнить между собой любые два исследования. Надеемся, что
раздел об экспериментальных исследованиях достаточно дета-
лен, чтобы провести возможные сравнения и высветить разли-
чия между применявшимися методами.
Можно упомянуть некоторые наблюдения, общие для цело-
го ряда исследований. Например, видно, что металлические пла-
стины при ударе жестким снарядом испытывают максимальные
прогибы, увеличивающиеся с возрастанием скорости удара
до точки, при которой наступает пробивание, после чего даль-
нейшее возрастание скорости удара приводит к уменьшению
максимального прогиба пластины. Также видно, что падение
скорости, испытываемое снарядом, доходит до минимального
значения по мере увеличения скорости удара до величины,
чуть большей баллистического предела мишени, а затем растет
131
монотонно с ростом скорости удара. Имеется большой массив
документальных свидетельств о различных видах разрушений,
имеющих место при ударе снаряда о металлическую пластину.
Тип разрушения, который наблюдается в металлах, в первую
очередь зависит от формы носа снаряда, отношения толщины
мишени к диаметру снаряда и свойств материала мишени. В це-
лом, сравнительно тонкие пластичные мишени при ударе тупо-
конечными снарядами разрушаются вследствие “выпучивания” —
утончения материала пластины под зоной удара, ведущего к раз-
рыву при растяжении. Этот процесс обычно сопровождается
значительной степенью глобального (общего) сферического ко-
робления мишени. Толстые хрупкие мишени склонны к разру-
шению пробкообразованием (процесс с преобладанием сдвига, в
котором уплотнение материала, или так называемая пробка, от-
деляется от окружающего тела мишени). Остроконечные снаря-
ды вызывают разрушение лепесткованием в тонких, пластичных
мишенях и пробкообразованием в толстых хрупких мишенях. Во
всех случаях степень общей деформации, испытываемой мише-
нями, является наибольшей при баллистическом пределе и
уменьшается при возрастании скорости удара.
Имеется ряд факторов, влияющих на процессы проникания и
пробивания, которые в настоящее время еще не до конца объяс-
нены. Например, неясна роль условий крепления в определении
баллистического предела. Масса снаряда также влияет на реак-
цию мишени на удар, хотя не определено, каким образом. Не-
определенность в оценке влияния таких параметров является ос-
новной причиной того, почему редко можно провести прямое
сравнение различных исследований.
В последнее время в некоторых исследованиях появилась ин-
формация о деталях строения зоны разрушения. Например, там,
где происходит пробкообразование, проведены измерения раз-
меров пробки и ширины зоны сдвига. Эти результаты помогли
объяснить некоторые механизмы разрушения и проникания, они
также необходимы для проведения некоторых теоретических
расчетов. Тем не менее такая информация крайне отрывочна и
не свидетельствует о какой-либо четкой тенденции.
Большинство исследований имеет дело с прямым ударом
плоских пластин жесткими снарядами. Исследований по косому
удару, сносу снаряда или деформируемым снарядам намного
меньше. Показано, что наклон не оказывает значительного вли-
яния на баллистический предел металлической пластины при уг-
132
ле менее 30°. Большие углы увеличивают баллистический пре-
дел мишени, если наличие сноса снаряда не вызывает изменения
в характере разрушения мишени. В этом случае увеличение угла
наклона может снизить баллистический предел. Возникнове-
ние деформации снаряда увеличивает баллистический предел
мишени.
Также представляют интерес исследования ударов по много-
слойным пластинам и по трубам. Преимущества многослойных
пластин перед монолитными не выяснено, число исследований
на эту тему ограниченно, и они не приводят к каким-либо опре-
деленным выводам. Реакция стальных труб на удар снарядом
свидетельствует, что трубы испытывают те же виды разруше-
ний, что и плоские стальные пластины, причем вид разрушения
зависит от относительной толщины стенки и материала трубы, а
также формы носа снаряда. Показана аналогичная зависимость
баллистического предела от массы снаряда. Глобальная реакция
трубы, в отличие от реакции пластин, неосесимметричная, при-
чем стенка трубы ведет себя более жестко, чем стальная пласти-
на равной толщины. t
Все эксперименты включают почти исключительно мало-
масштабные испытания на удар, однако не хватает исследований
по применимости законов масштабирования, чтобы сделать ре-
зультаты этих экспериментов применимыми к ситуациям боль-
шего масштаба. Возможное присутствие таких факторов, как
скорость деформации и пластично-хрупких переходных зон,
предполагает, что масштабирование должно выполняться с осо-
бой осторожностью, и так будет до тех пор, пока не будут предо-
ставлены экспериментальные доказательства обратного.
7.2. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ПРЕДЕЛА
Способность предсказывать баллистический предел мишени
в определенном наборе условий удара является целью инжене-
ров, занимающихся ударным взаимодействием с тех пор, как
проблемы, возникающие при пробивании, были впервые иден-
тифицированы. Применение эмпирических уравнений было пер-
вым средством, которым располагал инженер, и оно до сих пор
остается очень важным. Различные исследования показали, что
в случае, когда условия удара находятся в интервале параметров,
установленных для применяемой формулы, эмпирическая фор-
мула является быстрым и эффективным средством прогнозиро-
133
вания баллистического предела мишени. Основной недостаток
состоит в том, что то небольшое число формул, которое предо-
ставлено невоенными источниками, охватывает ограниченный
диапазон условий удара.
В последние годы большое внимание было уделено разра-
ботке аналитических моделей. При ударе снарядом по мишени
со скоростью, значительно превышающей ее баллистический
предел, более ранние аналитические работы, например Р. Рехта
и Т. Ипсона [32], У. Томпсона [90], М. Зейда и Б. Пола [94], ко-
торые игнорируют глобальные эффекты и принимают скорость
снаряда постоянной в течение всего процесса проникания, до-
вольно точно позволяют рассчитать падение скорости, испыты-
ваемое снарядом. Если известен баллистический предел пласти-
ны мишени, то анализ Р. Рехта и Т. Ипсона [32] позволяет успеш-
но спрогнозировать падение скорости при всех скоростях удара.
Аналитические модели, позволяющие рассчитать баллисти-
ческий предел структуры, постоянно разрабатываются в целях
более точного представления явления, связанного с ударом сна-
ряда. Имеется ряд моделей простых в применении, но довольно
грубых в представлении процесса проникания. Например, моде-
ли У. Томпсона [90] или Р. Вудварда [91] можно использовать
для получения первого приближения энергии, необходимой для
пробивания тонкой пластины путем пластического увеличения
отверстий. Аналогично можно получить оценку энергии, необ-
ходимой для разрушения пробкообразованием, применяя анализ
Р. Вудварда [100]. Эти модели (для снарядов с конусообразными
концами) быстро и легко применимы, но довольно консерватив-
ны и склонны занижать баллистический предел из-за пренебре-
жения различными механизмами энергопоглощения (т. е. гло-
бальной реакцией мишени).
Применить многоступенчатые модели для анализа проника-
ния снаряда в мишень впервые попытался Дж. Авербух [128]. С
тех пор они были усовершенствованы лучшим представлением
различных локальных явлений, а также включением глобаль-
ных эффектов. Там, где глобальные эффекты преобладают,
анализы, проведенные П. Шадболтом и др. [131] или Р. Вудвар-
дом [134], которые моделируют глобальную реакцию пластины
вместе с довольно простым критерием разрушения в точке на-
гружения, можно использовать для оценки энергопоглощающих
свойств мишени. Эти модели более совершенны в своем пред-
ставлении процесса удара снарядом, нежели сравнительно про-
134
стые модели У. Томпсона [90] и Р. Вудварда [91, 100], но имеют
тот недостаток, что требуют компьютерной техники для их ре-
шения и в большинстве случаев некоторых экспериментально
полученных данных.
Недавно теория пластической волны была успешно примене-
на к проблеме проникания снаряда. Этот подход применим для
сравнительно толстых пластин (относительно диаметра снаря-
да), ударяемых снарядами с плоским торцом. При учете глобаль-
ной деформации пластины (прогиб или сдвиг) этот подход усо-
вершенствует более простые модели, прогнозирующие реакцию
пластины, особенно в том случае, когда скорость удара очень
близка к баллистическому пределу мишени. Теория пластичес-
кой волны — наиболее успешный аналитический метод расчета
профилей, принимаемых пластиной в процессе удара.
Чтобы какая-либо из указанных моделей была успешно при-
менена к конкретной ситуации, от пользователя требуется вынесе-
ние некоторого качественного суждения. Каждый анализ приме-
ним только к данному конкретному интервалу условий удара, и
большинство из них предполагает вид разрушения. Поэтому необ-
ходимо выбрать наиболее подходящий анализ в зависимости от за-
данного вида разрушения, типа вероятного снаряда (масса, диа-
метр, форма носа, деформируемость, угол полета и т. д.) и тип ве-
роятной реакции мишени (локализованная, глобальная или их со-
четание). Выбор неподходящей модели может привести к боль-
шим погрешностям при расчете баллистического предела мишени.
Еще одна проблема, с которой приходится сталкиваться при
применении различных подходов к решению данной задачи, —
это выбор свойств материала. Наличие таких факторов, как вли-
яние скорости деформации, деформационное упрочнение, тре-
ние и боковое ограничение (стеснение), свидетельствует о том,
что свойства материала мишени могут существенно меняться в
процессе проникания, и если не учитываются эти эффекты, то
могут возникнуть значительные погрешности. Кроме того, не-
обходимо учитывать любую анизотропию свойств материала.
7.3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕАКЦИИ МИШЕНИ И УДАРНЫХ
НАГРУЗОК
Описаны различные методы расчета профиля пластины и
максимального прогиба мишени при ударном взаимодействии с
непробивающим снарядом. Исследования импульсной нагрузки
135
показали, что реакция тонких пластин на этот тип нагружения
характеризуется преобладанием мембранных эффектов. Пока-
зано, что решения, основанные на разрушении с преобладанием
прогиба (например С. Кальдера и др. [114]), применимы только
при малых прогибах. П. Бейнет и Р. Планкетт [11] представляют
решение, основанное на модели с преобладанием деформации
мембранного типа, которое позволяет рассчитать реакцию тон-
ких пластин на удар снаряда. Более простым методом, который
возможно использовать для расчета прогиба пластин (для тон-
ких пластин), представлен С. Калдером и У. Голдсмитом [15]. В
этом методе делается допущение в отношении формы деформи-
рованного профиля пластины, но дается приемлемая оценка
максимальных прогибов.
Оценку сил, генерируемых в процессе удара, можно легко
получить посредством метода, описанного Н. Леви и У. Голдсми-
том [127]. Хотя их метод, сводящий систему “снаряд—мишень” к
ряду сосредоточенных параметров, основан на самом элементар-
ном одномерном анализе задействованных процессов проника-
ния и пробивания, видно, что он позволяет точно рассчитать из-
менение усилий и центрального прогиба пластин. Этот метод
имеет преимущество перед другими методами, так как он намно-
го проще в применении, чем другие, более детальные подходы, и
позволяет получать абсолютно точные прогнозы для ударов ни-
же баллистического предела. Ситуации пробивающего удара
требуют сведений об измерениях пробитого образца.
7.4. РАСЧЕТ РЕАКЦИИ ТРУБ НА УДАР
Попыток проанализировать реакцию труб на удар снарядом
ничтожно мало. У. Строндж [85], а также А. Нейлсон и др. [61]
предложили эмпирические соотношения, которые можно при-
менять для расчета минимальной энергии, требующейся для
пробивания стальных труб в том случае, когда условия удара на-
ходятся в установленных интервалах. Аналитические модели,
которые позволяют успешно спрогнозировать реакцию мишени,
еще не разработаны, хотя для расчета центральных прогибов
стенки трубы при ударе снарядом можно пользоваться аналоги-
ей с “колонной на основании” [121,124]. В качестве альтернати-
вы можно применять квазистатический анализ (например [53])
для расчета поведения при ударе с малой скоростью. Доказано,
что численные решения позволяют рассчитать реакцию мишени
136
с приемлемой точностью [152], хотя еще не достигнуто прогно-
зирование разрушения стенки трубы.
7.5. РЕАКЦИЯ БЕТОННЫХ И СТАЛЕБЕТОННЫХ КОМПОЗИТОВ
НА УДАР
Бетон — это материал, годный для применения в целях за-
щиты от удара в том случае, когда вес и пространство неогра-
ниченны. Баллистический предел и механизмы разрушения
бетонных конструкций зависят от степени и типа армирова-
ния. Бетон менее чувствителен к условиям удара (форма носа
и масса снаряда, скорость удара), чем монолитные стальные
конструкции, следовательно, его можно использовать с боль-
шей уверенностью в том случае, когда условия удара заранее
не известны. Показано, что бетон можно использовать для об-
шивки стальных конструкций в целях защиты стали от небла-
гоприятных условий удара (снарядов с острым концом, движу-
щихся с высокой скоростю).
Расчеты баллистического предела бетонных конструкций в
большинстве своем эмпирические, и наиболее приемлемой в ос-
новном считается формула NDRC [184].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Johnson W. Impact Strength of Materials. Edward Arnold, 1972.
2. Backman M.E , Goldsmith W. The mechanics of penetration of projec-
tiles into targets // Int. J. Engng. Sci. 1978,16, 1—99.
3. Johnson W., Chitkara N.R., Ibrahim A.H., Dasgupta A.K.
Hole flanging and punching of circular plates with conically headed cylindrical
punches I I Inst. Meeh. Engrs J. Strain Analysis 1973, 8, 223—241.
4. Johnson W , Ghosh S.K., Reid S. R. Piercing and hole-flanging of sheet
metals: a survey // Memoires Scientifiques Revue Metallurgic, April 1980, 585—
606.
5. Ghosh S K., Johnson W Quasi-static and dynamic perforation of thin alu-
minium plates I I Aluminium 1980, 56, 142—146.
6. Young C.W Depth prediction for earth penetrating projectiles I I Proc. ASCE
95 SM3, 1969, 803—817
7. Johnson W. Some conspicuous aspects of the century of rapid changes in bat-
tleship armours, ca 1845 — 1945 // Int. J. impact Engng. 1988, 7, 261—284.
8. Goldsmith W., Finnegan S.A. Penetration and perforation processes in
metal targets at and above ballistic limits // Int. J. Meeh. Sci. 1971,13, 843—866.
9. Corran R.S.J , Shadbolt P.J , Ruiz C. Impact loading of plates — an
experimental investigation // Int J. Impact Engng. 1983,1, 3—22.
10. Zaid A.I.O., Travis F W Conf, on the Mechanical Properties of Materials
at High Rates of’ Strain // Conference series 1974, 21, 417—428 (Edited by
J. Harding). Institute of Physics, London.
11. Beynet P , Plunkett R. Plate impact and plastic deformation by projectiles//
Exp. Meeh. 1971,11,64—70.
12. Chitkara N.R., Johnson W Hole flanging and piercing of circular plates//
Sheet Metal Ind. October 1974, 635—640.
13. Johnson W., Chitkara N.R., Bex P.A. Characteristic features in the
hole flanging and piercing of thin and thick circular plates using conical and ogival
punches. Paper 142 Proc. 15th Int. MTDR Conf. // Macmillan 1974, 695—701.
(Edited by S. A. Tobias and F. Koenigsberger).
14. Johnson W , Mamalis A.G The perforation of circular plates with four-
sided pyramidally-headed square-section punches I I Int. J. Meeh. Sci. 1978, 20,
849—866.
15. Calder C.A., Goldsmith W. Plastic deformation and perforation of thin
plates resulting from projectile impact // Int. J. Solids Struct. 1971, 7, 863—881.
16. Levy N , Goldsmith W. Normal impact and perforation of thin plates by
hemispherically tipped projectiles I I Int. J. Impuct Engng. 1984, 2, 299—324.
17. Crouch I.G , Baxter B.J , Woodward R.L. Empirical tests of a model
for thin plate perforation // Int. J. Impact Engng. 1990, 9, 19—33.
18. Leppin S , Woodward R.L. Perforation mechanisms in thin titanium alloy
targets // Int. J. Impact Enging 1986, 4,107—115.
138
19. Goldsmith W. In Metal Forming and Impact Mechanics. Pergamon Press
1985, 271—287 (Edited by S. R. Reid).
20. Palomby C., Stronge W.J. Blunt missile perforation of thin plates and
shells by discing // Int. J. Impact Engng. 1988, 7, 85—100.
21. Sangoy L , Meunier Y , Pont G Steels for ballistic protection//Israel
J. Technolvgy 1988, 24, 319—326.
22. Langseth M., Larsen P.K. Dropped objects plugging capacity of steel
plates: an experimental investigation I I Int. J. Impuct Engng. 1990, 9, 289—316.
23. Langseth M , Larsen P.K. The behaviour of square steel plates subjected
to a circular blunt ended load // Int. J. Impact Engng. 1992,12, 617—638.
24. Chou P C., Hashemi J., Chou A., Rogers H.C. Experimentation
and finite element simulation of adiabatic shear bands in controlled penetration
impact // Int. J. Impact Engng. 1991,11, 305—321.
25. Astanin V.V , Galiev Sh.U., Ivashchenko K.B. Cone formation in
targets beneath a penetrating projectile // Int. J. Impuct Engng. 1991,11,515—525.
26. Marom I., Bodner S.R. Projectile perforation of muli-layered beams. Int.
J. Meeh. Sci. 1979, 21, 489—504.
27 Woodward R.L , Tracey S.R., Crouch LG. The response of homoge-
neous and laminated metallic sheet material to ballistic impact // J. de Physique VI
Colloque C3 1, C3 277 —C3 282, 1991.
28. Radin J., Goldsmith W Normal projectile penetration and perforation of
layered targets // Int. J. Impact Engng. 1988, 7, 229—259.
29. Hetherington J G , Rajagopalan B.P An investigation into the energy
absorbed during ballistic perforation of composite armours I I Inr. J. ImpacVEngng.
1991,11, 33-^0.
30. Florence A.L Interaction of projectiles and composite armour, part П. August
1969. Stanford Research Institute, Menlo Park, AMMRC-CR-69-15.
31. Navarro C., Martinez M.A., Cortes R., Sanchez-Galvez V
Some observations on the normal impact on ceramic-faced armours backed by
composite plates // Int. J. Impact Engng. 1993,13,145—156.
32. Recht R.F., Ips on T W Ballistic perforation dynamics//J. Appl. Meeh.
1963, 30, 385—391.
33. Zaid M., Paul B. Oblique perforation of a thin plate by a truncated conical
projectile // J. Franklin Inst. 1959, 268, 24—45.
34. Awerbuch J., Bodner S.R. An investigation of oblique perforation of
metallic plates by projectiles //Exp. Meeh. 1977,17,147—153.
35. Gupta N.K., Madhu V Normal and oblique impact of a kinetic energy pro-
jectile on mild steel plates // Int. J. Impact Engng. 1992,12, 333—344.
36. Woodward R.L., Baldwin N.J Oblique perforation of targets by small
armour piercing projectiles // J. Meeh. Engng. Sci. 1979, 21, 85—91.
37 Goldsmith W , Finnegan S.A. Normal and oblique impact of cylindro-
conical and cylindrical projectiles on metallic plates I I Int. J. Impact Engng. 1986,
4, 83—105.
38. Virostek S.P , Dual J , Goldsmith W Direct force measurements in
normal and oblique impact of plates by projectiles // Int. J. Impact Engng. 1987, 6,
247—269.
39. Virostek S.P Ms Thesis, 1986, University of California, Berkeley.
40. Zukas J. A. In Impact Dynamics, 1982,155—214 (Edited by J. A. Zukas et al.)
John Wiley.
41. Grabarek C Joint Technical Coordinating Group for Munitions Effectiveness
(J. TCG/ME), 1973. Ballistic Research Laboratories, Aberdeen Proving Ground,
MD, U.S.A.
139
42. Bless S.J , Barber J.P , Bertke R.S , Swift F.W Penetration
mechanics in yawed rods // Int. J. Engng. Sci. 1978,16, 829—834.
43. Wu E., Goldsmith W. Normal impact of blunt projectiles on moving targets.
Experimental study // Int. J. Impact Engng. 1990, 9, 389—404.
44. Wu E., Goldsmith W. Normal impact of blunt projectiles on moving targets.
Analytical considerations // Int. J. Impact Engng. 1990, 9,405—432.
45. Al-Hassani S T.S , Salem S A.L., Johnson W The cratering of sta-
tionary and slowly moving targets by a high speed waterjet // J. Ballistics 1980, 4,
909—933.
46. Johnson W , Reid S.R., Ghosh S K. Piercing of cylindrical tubes//
Century 2 Pressure Vessel & Piping Conf., ASME., San Fransisco, CA, U.S.A.
August 12—15 (1980); also J. Press. Vess. Tech., ASME 1981,103, 255—260.
47 Johnson W , Ghosh S.K., Mamalis A.G , Reddy T Y , Reid
S. R. The quasi-static piercing of cylindrical tubes or shells // Int. J. Meeh. Sci.
1980,22, 9—20.
48. Ghosh S K., Johnson W , Reid S.R., Yu T.X. On thin rings and
short tubes subjected to centrally opposed concentrated loads // Int. J. Meeh. Sci.
1981,23,183—194.
49. Thomas S G , Reid S.R., Johnson W Large deformations of thin-walled
circular tubes under transverse loading. Part I // Int. J. Meeh. Sci. 1976,18,325—333.
50. Watson A.R., Reid S.R., Johnson W Large deformations of thin-
walled circular tubes under transverse loading. Part II // Int. J. Meeh. Sci. 1976,18,
387—397.
51. Watson A.R., Reid S.R., Johnson W , Thomas S G Largedefor-
mations of thin-walled circular tubes under transverse loading. Part Ш // Int.
J. Meeh. Sci. 1976,18, 501—509.
52. De Oliveira J , Wierzbicki T , Abramowicz W Plastic behaviour
of tubular members under lateral concentrated loading // Nor. Veritas Tech. Rep.
82 — 0708,1982.
53. Jones N., Shen W.Q A theoretical study of the lateral impact of fully
clamped pipelines // Proc. Inst. Meeh. Engrs 1992, 206 (E), 129—146.
54. Reid S.R., Goudie K. Denting and bending of tubular beams under local
loads I I Structural Failure, 1989, 331—364 (Edited by T. Wierzbicki, and
N. Jones). John Wiley.
55. Soares C.G., Qreide Т.Н. Plastic analysis of laterally loaded circular
tubes I I J. Structural Engng., ASCE 1983,109, 451—467
56. Ellinas C.P. Ultimate strength of damaged tubular bracing members I I
J. Structural Engng., ASCE 1983,110, 245—259.
57 Richards D M., Andricou A. Residual strength of dented tubulars: impact
energy correlation // J. Energy Resources Tech. 1985,107,485—492.
58. Taby J., Moan T Collapse and residual strength of damaged tubular mem-
bers Ц BOSS’85, 1985. Paper B8.
59. Durkin S. An analytical method for predicting the ultimate capacity of a dent-
ed tubular member // Int. J. Meeh. Sci. 1987, 29,449—467.
60. Xiaoqing M., Stronge W.J Spherical missile impact and perforation of
filled steel tubes Ц Int. J. Impact Engng. 1985,3, 1—16.
61. Neilson A.J., Howe W.D., Garton G.P. Impact resistance of mild steel
pipes: an experimental investigation // UKAEA Report AEEW-R 2125, 1987
62. Corbett G G , Reid S.R., Al-Hassani STS Static and dynamic
penetration of steel tubes by hemispherically nosed punches // Int. J. Impact Engng.
1990, 9, 165—190.
140
63. M a n j о i n e M. J Influence of rate of strain and temperature on yield stresses of
mild steel // J. Appl. Meeh. 1944, 66, A211 — A218.
64. Johnson W Private communication.
65. Nicholas T In Impact Dynamics, 1982,277—332 (Edited by J. A. Zukas et al.)
John Wiley.
66. Al-Hassani STS, Reid S.R. The effects of high strain rate on materi-
al properties. Joint Industry Project on Blast and Fire Engineering for Topside
Structures. Steel Construction Institute Report (Blast Response Series) BR4,
1992.
67 Nicholas T , Rajendran A.M. In High Velocity Impact Dynamics, 1990,
127—296 (Edited by J. A. Zukas). John Wiley.
68. Woodward R.L. Penetration of semi-infinite metal targets by deforming pro-
jectiles I I Int. J. Meeh. Sci. 1982, 24, 73—87
69. Woodward R.L., Morton M.E Penetration of targets by flat-ended pro-
jectiles Ц Int. J. Meeh. Sci. 1976,18, 119—127
70. Liss J , Goldsmith W , Hauser F.E Constraint to side flow in plates//
J. Appl. Meeh. 1983,50, 694—698.
71. Krafft J.M Surface friction in ballistic penetration // J. Appl. Phys. 1955,
26 (10), 1248—1253.
72. Robins В New Principles of Gunnery, London, 1742.
73. Christopherson D G Structural Defence, 1945. January 1946. Ministry of
Home Security, Research and Experiments Department, (R. C. 450).
74. Baker W E , Weshire P S , Dodge P T Similarity Methods in
Engineering Dynamics: Theory and Practice of Scale Modelling. 1973. Spartan
Books, Rocheele Park, NJ.
75. Jones N In Structural Impact and Crashworthiness, 1984, Vol. 1, 45—74
(Edited by G. A. O. Davies). Elsevier Applied Science.
76. Dal lard P.R.B , Miles J.C In Structural Impact and Crashworthiness,
1984, Vol. 2, 369—382. (Edited by J. Morton). Elsevier Applied Science.
77 Booth E , Collier D , Miles J C In Structural Crashworthiness, 1983,
136—174 (Edited by N. Jones and T Wierzbicki). Butterworth.
78. Duffey T.A., Cheresh M C , Sutherland S H Experimental verifi-
cation of scaling laws for punch-impact-loaded structures // Int. J. Impact Engng.
1984, 2, 103—117
79. Anderson C.E , Mullin S.A , Kuhlman C J Computer simulation of
strain rate effects in replica scale model penetration experiments // Int. J. Impact
Engng. 1993,13, 35—52.
80. Ohte S , Yoshizawa H , Chiba N , Shida S Impact strength of steel
plates struck by projectiles // Bull. JSME 25. 1982,206, 1226—1231.
81. Neilson A.J Empirical equations for the perforation of mild steel plates. Int//
J. Impact Engng 1985, 3, 137—142.
82. Jowett J The effects of missile impact on thin metal structures // UKAEA
Safety and Reliability Directorate Report No. S. R. D. R 378, 1986.
83. Wen H-М., Jones N Semi-empirical equations for the perforation of plates
struck by a mass // Structures Under Shock and Impact II, 1992, 369—380 (Edited
by P S. Bulson). Computational Mechanics Publications.
84. Corbett G G , Reid S.R. Quasi-static and dynamic local loading of
monolithic simply-supported steel plates I I Int. J. Impact Engng 1993,13,423—
441.
85. Stronge W.J In Metal Forming and Impact Mechanics, 1985, 389—402
(Edited by S. R. Reid). Pergamon Press.
141
86. Zaid A.I.О., El-Kalay A , Travis F W An examination of the perfo-
ration of a mild steel plate by a flat-ended cylindrical projectile // Int. J. Meeh. Sci.
1973,15, 129—143.
87. Taylor G I. The formation and enlargement of a circular hole in a thin plastic
sheet // Quart J. Meeh. Appl. Math. 1948,1,103—124.
88. Frieberger W A problem in dynamic plasticity: the enlargement of a circular
hole in a flat sheet // Prvc. Camb. Phil. Soc. 1952, 48, 135—148.
89. Kumari S. The finite expansion of a circular hole in an infinite plate: a dynam-
ic solution I I Int. J. Meeh. Sci. 1975,17, 23—29.
90. Thompson W.T An approximate theory of armour penetration I I J. Appl.
Phys. 1955, 26 (1), 80—82.
91. Woodward R.L. The penetration of metal targets by conical projectiles // Int.
J. Meeh. Sci. 1978, 20, 349—359.
92. Hill R. A theory of the plastic bulging of a metal diaphragm by lateral pressure//
Phil. Mag. 1949,40,971—983.
93. Sodha M.S , Jain V.K. On physics of armour penetration I I J. Appl. Phys.
1958, 29, 1769—1770.
94. Zaid M., Paul B. Mechanics of high speed projectile perforation // J. Franklin
Inst. 1957, 264, 117—126.
95. Paul B., Zaid M. Normal perforation of a thin plate by truncated conical pro-
jectiles I I J. Franklin Inst. 1958,265, 317—336.
96. Goldsmith W , Liu T.W , Chulay S Plate impact and perforation by
projectiles // Exp. Meeh. 1965, 5, 385—404.
97 Recht R.F Catastrophic thermoplastic shear//J. Appl. Meeh. 1964, 31, 189—
193.
98. Stock T.A.C., Thompson K.R.L. Penetration of aluminium alloys by
projectiles //Metallurgical Trans. 1970,1,219—224.
99. Lethaby J W , Skidmore I.C The deformation and plugging of thin plates
by projectile impact // Conf, on Meeh. Prop, of Materials at High Rates of Strain,
April 1974,429—441. Oxford.
lOO. Woodward R.L The penetration of metal targets which fail by adiabatic shear
plugging // Int. J. Meeh. Sci. 1978, 20, 599—607
101. Woodward R.L. The interrelation of failure modes observed in the penetration
of metallic targets // Int. J. Impact Engng. 1984,2,121—129.
102. Bai Y.L , Johnson W. Plugging: physical understanding and energy absorp-
tion I I Metals Tech. 1982, 9, 182—190.
103. Chang T.M., Swift H.W Shearing ofmetal bars//J. Inst. Metals 1950,78,
119—146.
104. Johnson W , Slater R. A. C. A survey of the slow and fast blanking of met-
als at ambient and high temperatures // In Proc. Int. Conf. Manufacturing Tech,
1967, 825—851, CIRP-ASTME.
105. Landkof B., Goldsmith W. Retailing of thin, metallic plates during pene-
tration by cylindro-conical projectiles // Int. J. Solids Struct. 1983, 21, 245—266.
106. Parkes E.W The permanent deflection of a cantilever struck transversely at its
tip // Proc. Roy. Soc. 1955, A228, 462-476.
107. Florence A.L. Circular plate under uniformly distributed impulse I I Int. J.
Solids Struck. 1966,2, 37-47.
108. Jones N Finite deflections of a rigid-viscoplastic strain hardening annular plate
loaded impulsively // J. Appl. Meeh. 1968, 35, 349—356.
109. Dienes J K., Miles J W. A membrane model for the response of thin plates
to ballistic impact // J. Meeh. Phys. Solids 1977, 25, 237—256.
142
llO. Nurick G.N , Martin J.В Deformation of thin plates subjected to impul-
sive loading — a review. Part I: theoretical considerations // Int. J. Impact Engng.
1989, 8, 159—170.
lll. Nurick G.N., Martin J.B. Deformation of thin plates subjected to impul-
sive loading — a review. Part П: experimental studies // hit. J. Impact Engng. 1989,
8, 171—186.
112. Wierzbicki T , Kelly J. M. Finite deflections of a circular viscoplastic plate
subject to projectile impact // Int. J. Solids Struct. 1968, 4,1081—1092.
113. Onat E.T., Hay thornth waite R.M. The load carrying capacity of circu-
lar plates at large deflections // J. Appl. Meeh. 1956, 23, 49—55.
114. Calder C.A., Kelly J.M., Goldsmith W Projectile impact on an infi-
nite viscoplastic plate // Int. J. Solids Struct. 1971, 7, 1143—1152.
115. Kelly J.M., Wilshaw T.R.A theoretical and experimental study of projec-
tile impact on clamped circular plates // Proc. Roy. Soc. 1968, A306, 435—447.
116. Ellinas C.P , Walker A.C. Damage on offshore tubular bracing members//
Proc. IABSE Colloquium on Ship Collision with Bridges and Offshore Structures,
1983,253—261. Copenhagen.
117. Wierzbicki T., Suh M.S Indentation of tubes under combined loading //
Int. J. Meeh. Sci. 1988, 30, 229—248.
118. Bai Y , Pederson P T Elastic plastic behaviour of onshore steel structures
under impact loads // Int. J. Impact Engng. 1993,13, 99—115.
119. Calladine C.R. Thin-walled elastic shells analysed by a Rayleigh method I I
Int. J. Solids Struct. 1977,13, 515—530.
120. Reid S.R. Influence of geometrical parameters on the mode of collapse of a
“pinched” rigid—plastic cylindrical shell // Int. J. Solids Struct. 1978,14,1027—1043.
121. Yu T X., Stronge W.J Large deflections of a rigid plastic beam-on-foun-
dation from impact // Int. J. Impact Engng. 1990, 9, 115—126.
122. Stronge W.J. Impact on metal tubes: indentation and perforation. In Structural
Crashworthiness and Failure, 1993, 165—188 (Edited by N. Jones and
T. Wierzbicki). Elsevier Applied Science.
123. Wierzbicki T , Hoo Fatt M.S. Impact response of a string-on-foundation//
Int. J. Impact Engng. 1992,12,21—36.
124. Wierzbicki T., Hoo Fatt M.S. Damage assessment of cylinders due to
impact and explosive loading // Int. J. Impact Engng. 1993,13, 215—242.
125. Stolarski H. Assessment of large displacements of a rigid — plastic shell with-
holding a localised impact I I Nuc. Engng. und Design 1977, 41, 327—334.
126. Poncelet J V. Rapport sur un memoire de MM. Piobert et Morin I I Mem. Acad.
Sci. 1835,15, 55—91.
127. Levy N , Goldsmith W Normal impact and perforation of thin plates by
hemispherically tipped projectiles // Int. J. Impact Engng. 1984, 2, 209—229.
128. AwerbuchJ A mechanics approach to projectile penetration // Israel J. Tech.
1970,8, 375—383.
129. Awerbuch J , Bodner S.R. Analysis of the mechanics of perforation of
projectiles in metallic plates I I Int. J. Solids Struct. 1974,10 (1), 671—684.
130. Awerbuch J., Bodner S. R. Experimental investigation of normal perforation
of projectiles into metallic plates // Int. J. Solids Struct. 1974,10 (1), 685—699.
131. Shadbolt P.J , Corran R.S.J , Ruiz C. A comparison of plate perfora-
tion models in the sub-ordnance range I I Int. J. Impact Engng. 1983, 1, 23—49.
132 .Corran R.S.J Comment. Int. J. ImpactEngng. 1984, 2, 283.
133 .Reissner E. On finite deflections of circular plates // Amer. Math. Soc., Proc.
Symp. Appl. Math. 1949,1, 213—219.
143
134 .Woodward R.L A structural model for thin plate perforation by normal
impact of blunt projectiles // Int. J. Impact Engng. 1987, 6, 129—140.
135 . Symonds P S. Engineering Plasticity, 1968,647—664 (Edited by Heyman and
Leckie). Cambridge University Press.
136 . Quan 1 in J. Dynamic response of an infinitely large rigid plastic plate impacted
by a rigid cylinder with transverse shear and rotatory inertia Ц Int. J. Impact Engng.
1988, 7, 391—400.
137 .Liss J , Goldsmith W , Kelly J.M. A phenomenological penetration
model of plates // Int. J. Impact Engng. 1983,1 (4), 321—341.
138 .Heyda J.F et al. A combined theoretical and experimental investigation of
armor penetration mechanics. AFATL-TR-70-78, 1970. Air force Armament Lab
Eglin Air Force Base, Florida.
139 .Liss J , Goldsmith W Plate perforation phenomena due to normal impact
of blunt cylinders // Int. J. Impact Engng. 1984, 2, 37—64.
14O .Wenxue Y , Lanting Z., Xiaoqing M., Stronge W.J Plate perfo-
ration by deformable projectiles — a plastic wave theory // Int. J. Impact Engng.
1983,1, 393—412.
141 .Jenq S T , Goldsmith W , Kelly J.M. Effect of target bending in nor-
mal impact of a flat-ended cylindrical projectile near the ballistic limit // Int. J.
Solids Struct. 1988, 24, 1243—1266.
142 .Shoukry M , Nair S , Kalpakjian S Effect of shear deformation on the
dynamic plastic bending of metallic plates during normal penetration // Int. J.
Engng. Sci. 1991, 29, 1035—1052.
143 .Jonas G.H., Zukas J.A. Mechanics of penetration: analysis and experiment //
Int. J. Engng. Sci. 1978,16, 879—904.
144 . W i 1 к i n s M. L Mechanics of penetration and perforation // Int. J. Engng. Sci.
1978,16, 793—807
145 .Zukas J.A. In Impact Dynamics, 1982,367—447 (Edited by J. A. Zukas et. al.).
John Wiley.
146 .Zukas J.A. In High Velocity Impact Dynamics, 1990, 593—714 (Edited by
J. A. Zukas). John Wiley.
147 De Rouvray A., Arnaudeau F., Dubois J , Chedmail J.F ,
Haug E. In Structural Impact and Crashworthiness, 1984, Vol. 1, 193—242
(Edited by G. A. O. Davies). Elsevier Applied Science.
148 .Schever L.E., Salamon N.J , Liu W K. Computational Techniques for
Contact, Impact, Penetration and Perforation of Solids. ASME, 1988.
149 . Anderson C.E., Bodner S.R. Ballistic impact: the status of analytical and
numerical modelling // Int. J. Impact Engng. 1988, 7, 9—36.
150 . Neilson A.J Missile impact on metal structures // Nuclear Energy 1980,19 (3),
191—198.
151 .Timoshenko S.P , Woinowsky-Krieger S Theory of Plates and
Shells. 1970. McGraw Hill.
152 .Neilson A. J Hard missile impact on plates and tubes. Seminar on The State-
of-the-Art in the Simulation of Impulsive and Impact Loadings, July 1983. St.
Peter’s College, Oxford.
153 .Schwer L.E , Holmes В S., Kirkpatrick S.W Response and failure
of metal tanks from impulsive spot loading: experiments and calculations // Int.
J. Solids Struct. 1988, 24 (8), 817—833.
154 .Bamman D.J , Chiesa M L , Horsemeyer M.F , Weingar-
ten L.I. Failure in ductile materials using finite element methods // Structural
144
Crashworthiness and Failure, 1993,1—54. (Edited by N. Jones and T. Wierzbicki).
Elsevier Applied Science.
155 .Forrestal M.J , Longcope D B., Norwood F.R. A model to estimate
forces on conical penetrators into dry, porous rock // J. Appl. Meeh. 1981,48,25—29.
156 .Longcope D.B , Forrestal M.J. Closed-form approximations for forces
on conical penetrators into dry, porous rock // J. AppL Meeh. 1981, 48, 971—972.
157 .Forrestal M.J , Norwood F.R., Longcope D В Penetration into tar-
gets described by locked hydrostats and shear strength // Int. J. Solids Stuct. 1981,
17, 915—924.
158 .Longcope D.B , Forrestal M.J Penetration of targets described by a
Mohr — Coulomb failure criterion with a tension cutoff // J. Appl. Meeh. 1983,50,
327—333.
159 .Forrestal M.J Penetration into dry porous rock // Int. J. Solids Struct. 1986,
22, 1485—1500.
160 . Anderson C.E., Walker J.D An examination of long-rod penetration //
Int. J. Impact Engng. 1991,11,481—501.
161 .Forrestal M.J , Luk V.K. Penetration into soil targets // Int. J. Impact
Engng. 1992,12, 427—^444.
162 .Cinnamon J.D , Jones S.E., House J W , Wilson L.L A one-
dimensional analysis of rod penetration // Int. J. Impact Engng. 1992,12,145—f66.
163 . HohlerV,StilpA.J In High Velocity Impact Dynamics, 1990, 321—404.
(Edited by J. A. Zukas). John Wiley.
164 .Forrestal M.J , Lee L.M., Jenette B.D , Setchell R.E. G^as-gun
experiments determine forces on penetrators into geological targets // J. Appl.
Meeh. 1984, 51, 602—607
165 .Forrestal M.J , Lee L.M., Jenrette B.D Laboratory scale experi-
ments into geological targets to impact velocities of 2.1 km/s I I J. Appl. Meeh.
1986, 53, 317—320.
166 .Thigpen L. Projectile penetration of elastic — plastic earth media // Proc.
ASCE 100, GT3, 1974, 279—294.
167 Sedgewick R.T , Hageman L.J , Herrman R.G , Waddel J.L.
Numerical investigations in penetration mechanics // Int. J. Engng. Sci. 1978,16,
859—869.
168 .Johnson W Historical and present-day references concerning impact on wood I I
Int. J. Impact Engng. 1986,4,161—184.
169 . Re id S.R., Peng C., Reddy T Y Dynamic uniaxial crushing and pene-
tration of wood // Mechanical Properties of Materials at High Rates of Strain, 1989,
535—542. Inst of Physics, Conference Series No. 102 (Edited by J. Harding).
Institute of Physics, Bristol.
170 .Rosenberg Z., Yeshutun Y The relation between ballistic efficiency and
compressive strength of ceramic tiles // Int. J. Impact Engng. 1988, 7, 357—362.
171 .Rosenberg Z., Tsalial T Applying Tate’s model for the interaction of long
rod projectiles with ceramic targets // Int. J. Impact Engng. 1990, 9, 247—251.
172 .Woodward R.L. A simple one-dimensional approach to modelling ceramic
composite armour defeat I I Int. J. Impact Engng. 1990, 9, 455—474.
173 .Anderson C.E., Morris В.L. The ballistic performance of confined A1O
ceramic tiles // Int. J. Impact Engng. 1992,12, 167—187
174 .Manders P.W., Bader M G., Hinton M.J., Flower D Q
Mechanisms of impact damage in filament-wound glass-fibre/epoxy resin tubes //
Proc. 3rd Int. Conf on Mechanical Behaviour of Materials (ICH3), 1979, 275—
284. Cambridge.
145
175 . Do re у G. In Structural Impact and Crashworthiness, 1984, Vol. 1, 155—192.
(Edited by G. A. 0 Davies). Elsevier Applied Science.
176 . Clarke G Modelling of impact damage in composite laminates I I Composites
1989, 20 (3), 209—214.
177 . Ainsworth K., Evans K.E. The measurement and modelling of filament
wound pipes undergoing transverse impact // Proc. Inst. Meeh. Engrs. Paper
C400/048, 1990, 143—148.
178 .Corbett G G., Reid S.R. Failure of composite pipes under local loading
with a hemispherically-tipped indenter // Int. J. Impact Engng. 1994,15,465—490.
179 .Robinson P., Davies G.A.O. Impactor mass and specimen geometry
effects in low velocity impact of laminated composites // Int. J. Impact Engng.
1992,12,189—207
180 . Goldsmith W , Sackman J. L. An experimental study of energy absorption
in impact on sandwich plates // Int. J. Impact Engng. 1992,12, 241—262.
181 .Sliter G.E. Assessment of empirical concrete impact formulas // Proc. ASCE
106 ST5,1980,1023—1045.
182 .Luk V.K., Forrestal M.J Penetration into semi-infinite reinforced-con-
crete targets with spherical and ogival nosed projectiles // Int. J. Impact Engng.
1987, 6, 291—301.
183 .Forrestal M.J , Luk V.K., Watts H.A. Penetration of reinforced-con-
crete with ogive-nosed penetrators Ц Int. J. Soilds Struct. 1988,24, 77—88.
184 . Kennedy R.P A review of the procedures for the analysis and design of concrete
structures to resist missile impact elects // Nuc. Engng. and Design 1976,37,183—203.
185 .Perry S H., Brown I C , Dinic G In Structural Impact and
Crashworthiness, 1984, Vol. 2, 617—627 (Edited by J. Morton). Elsevier Applied
Science.
186 . Perry S H., Holmyard J. M. Assessment of materials for repair of damaged
concrete underwater. Imperial College of Science, Technology & Medicine Report,
0TH 90 318. HMSO, 1990.
187 .Kufour K.G , Perry S.H. In Structural Impact and Crashworthiness, 1984,
Vol. 2, 675—686. (Edited by J. Morton). Elsevier Applied Science.
188 .Barr P , Carter P G., Howe W.D , Neilson A.J., Richards A.E.
Studies of missile impact with reinforced concrete structures // Nuclear Energy
1980,19, 179—189.
189 . В arr P Studies of the effects of missile impacts on structures // Atom 1983,318,
66—70.
19O .Barr P , Carter P G , Howe W.D , Neilson A.J , Richards
A.E. Experimental studies of the impact resistance of steel-faced concrete com-
posites // 7th S. M. I. R. T. Conf., 1983, Paper JS/4.
191 .Fullard K., Baum M.R., Barr P The assessment of impact on nuclear
power plant structures in the UK // Nuc. Ending and Design 1991,130,113—120.
192 .Hanchak S.J , Forrestal M.J., Young E R., Ehrgott J Q
Perforation of concrete slabs with 48 MPa (7 ksi) and 140 MPa (20 ksi) unconfmed
compressive strengths // Int. J. Impact Engng. 1992,12, 1—1.
193 .Corbett G G., Reid S.R. Local loading of simply-supported steel — grout
sandwich plates // Int. J. Impact Engng. 1993,13,443—461.
194 .Corbett G G , Reid S.R., Al-Hassani STS. Resistance of steel —
concrete sandwich tubes to penetration // Int. J. Impact Engng. 1990, 9,191—203.
195 .Gandekar A.D , Yettram A.L , Fletcher W.A. Sandwich panels as
an efficient form of protection against dropped objects // Struct. Engr. 1988, 67,
197—201.
Часть вторая
МЕТОД РАСЧЕТА
УДАРНОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ
И РАЗРУШЕНИЯ
Во второй части книги читателям для практического исполь-
зования будет предложен новый метод расчета напряженно-де-
формированного состояния и разрушения тел при их ударном и
вообще динамическом взаимодействии. Метод применим для
всех задач, которые решались экспериментально или теоретиче-
ски в работах, рассмотренным в первой части книги. Но его воз-
можности шире, в частности, он эффективно может быть приме-
нен при анализе технологических процессов, например обработ-
ки давлением и резанием. Метод назван мной “новым”, может
быть, слишком претенциозно. Однако только он позволил объ-
яснить и рассчитать явление сверхглубокого проникания, кото-
рое сравнительно недавно было обнаружено экспериментально.
С других позиций это явление не имело удовлетворительного
объяснения.
Перед изложением метода расчета ударного деформирова-
ния и разрушения пришлось написать введение. Было необходи-
мо напомнить искушенному читателю его основы и разъяснить
начинающим инженерам и студентам вводимые новые непро-
стые понятия. Следующий раздел посвящен рассмотрению но-
вой переменной, которая была введена дополнительно к класси-
ческим переменным (напряжения, деформации и т. п.), чтобы
описать разрушение, и далее изложен собственно метод. Послед-
няя глава отведена иллюстрациям — примерам применения ме-
тода. Они разобраны, как нам кажется, достаточно подробно,
чтобы желающий мог освоить метод.
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а =?» — вектор — векторы базиса — векторы взаимного базиса — постоянный во времени декартов базис сис- темы отсчета
а' — косоугольные проекции вектора <? на направ- ления векторов ё* или контрвариантные компоненты вектора а
Qi — косоугольные проекции вектора а на направ- ления векторов взаимного базиса или ко- вариантные компоненты вектора а
i,j, £,1=1, aJ> Р/ . gt, g‘J> gj 2,3 — свободные индексы — матрицы преобразования базисов — матрицы компонентов (ковариантных, контравариантных и смешанных, соответст-
Ту, T>, Tj венно) метрического тензора — матрицы соответствующих компонентов не-
TVii которого тензора второго ранга — симметричная и антисимметричная матрицы компонентов тензора
у У. Ц V,- — декартовы координаты — лагранжевы координаты — символы Кристоффеля — либо оператор ковариантной производной, либо оператор Лапласа (в контексте)
u' — компоненты вектора перемещения материаль- ной частицы относительно неподвижной де-
картовой системы координат — векторы скорости и ускорения материаль-
e,J, ey ной частицы соответственно — компоненты тензора скоростей деформации — компоненты девиатора скоростей дефор- мации
150
t,
M, Дт
V, AV
Р
S и Sv, Sf, S$
div(...)
detll...ll
gr£d(...)
Л.Л
Gy
s'J, Sy
G = -p
e
U,E,Q
u, q
X, c
V, g, и
r,
vs,i
V, у*, у**, Ду
n
E,H
Z,A
— скорость относительного изменения объема
— масса тела и его элемента (или частицы) со-
ответственно
— объем тела и его элемента соответственно
— массовая плотность
— поверхность тела и ее соответствующие части
— оператор дивергенции вектора, указанного в
круглых скобках
— определитель матрицы в скобках
— оператор градиента скалярного поля (ука-
занного в круглых скобках)
— векторы плотности массовых сил и поверх-
ностных напряжений соответственно
— нормальная и касательная составляющие по-
верхностного напряжения соответственно
— компоненты тензора напряжений *
— компоненты девиатора напряжений
— среднее нормальное напряжение или гидро-
статическое давление со знаком минус
— температура
— внутренняя, кинетическая и тепловая энер-
гии соответственно
— удельная внутренняя и тепловая энергии со-
ответственно
— коэффициенты теплопроводности и теплоем-
кости соответственно
— символы: для любого элемента, принадлеж-
ности элемента какому-то множеству и объ-
единения множеств соответственно
— время
— векторы скольжения и его единичный соот-
ветственно
— поврежденность деформируемого материала,
два ее критических значения и ее изменение
при термической обработке соответственно
— число участков монотонного деформирования
— интенсивности скоростей деформации и
скоростей деформации сдвига соответст-
венно
— степени деформации и сдвига, соответст-
венно
151
с, а кх = с/Т — определяющие функции теории разрушения — первый безразмерный показатель напря- женного состояния
Т ^2 = Цо — интенсивность касательных напряжений — второй безразмерный показатель напряжен- ного состояния, или показатель Лоде
— предел текучести или сопротивление дефор- мации при чистом сдвиге и одноосном растя- жении соответственно
ф, a, R, d — угловой и линейные размеры образцов в ис- пытании на пластичность
<?1Ь <^22’ °33 t„,a„ — главные нормальные напряжения — касательное и нормальное напряжения на площадке максимального касательного на-
J1, Л пряжения — функционалы принципа виртуальных скоро- стей и напряжений и принципа для темпера-
Е, G,v турной части задачи соответственно — модуль Юнга, модуль упругости на сдвиг и коэффициент Пуассона соответственно
1. ВВЕДЕНИЕ
Задачи, рассматриваемые в этой книге, связаны с большими
деформациями. Металлы, и твердые тела вообще характеризу-
ются очень сложными наборами физических и механических
свойств, изменяющихся в процессе деформации. Поэтому необ-
ходимо учесть в расчетах это обстоятельство, т. е. знать, что
происходит с каждой частицей тела в процессе деформации, что-
бы математическая модель была адекватна наблюдаемым на
опыте явлениям. Более того, механика сплошных сред сформу-
лировала свои законы для материальных частиц. Поэтому не
праздным является вопрос, какую следует избрать систему коор-
динат, в каких переменных описывать движение. *
Под частицей здесь и везде в книге подразумевается сколь
угодно малая часть сплошного тела, имеющая с ним лишь вооб-
ражаемую границу. Она может быть бесконечно малой, но ей
приписываются при этом механические свойства, определяемые
в лабораторных макроопытах.
Какие возможности в выборе системы координат? Есть
только два эквивалентных описания движения: по Эйлеру и по
Лагранжу. Это звучит для механика довольно банально, однако,
банально лишь в теории, на практике все обстоит не столь бла-
гополучно, что заставляет еще раз обратиться к этим категори-
ям. Исторически сложилось так, что в практических приложени-
ях, как правило, предпочтение отдается описанию движения по
Эйлеру. Это делается, пожалуй, не из-за его преимуществ, а за-
частую, по традиции, восходящей к зарождению механики
сплошных сред. Эта дисциплина складывалась в XVIII в. из по-
требностей гидравлики (на ее основе возникла современная гид-
родинамика) и строительной механики (прародительницы тео-
рии упругости, а затем теории пластичности). Жидкости, как
правило, не помнят историю своей деформации, поэтому умест-
но описание движения в точках пространства с неизменными их
координатами. В точку пространства в течение времени “прихо-
дят” различные материальные частицы, но их механические
153
свойства зависят лишь от состояния частицы в этой точке прост-
ранства. Здесь уместно описание движения по Эйлеру. Подобное
описание движения применяется в строительной механике, в те-
ории упругости и вообще в дисциплинах, рассматривающих ма-
лые перемещения и деформации. В этом случае напряженно-де-
формированное состояние относят к исходному положению те-
ла и всех его частиц, координаты которых опять же эйлеровы.
В задачах больших деформаций твердых тел, материал кото-
рых обладает памятью об истории своего деформирования, тра-
диционный, эйлеров подход не является подходящим. Мы счита-
ем, что такие задачи должны рассматриваться в лагранжевых
переменных или в сопутствующей системе координат. В этой си-
стеме каждая материальная частица в процессе деформации
имеет постоянные координаты (как бы поименована или прону-
мерована). Такая система может быть построена, например, так:
рассмотрим тело в начальный момент в декартовой координат-
ной системе и свяжем, мысленно “вморозим”, эту систему в де-
формируемое тело. Так поступают в экспериментах, когда при-
меняется координатная сетка, нарисованная на теле. В процессе
деформации такая сетка исказится и преобразуется в косоуголь-
ную криволинейную, так называемую сопутствующую систему
координат.
Очень редкий инженер, даже если он занимается исследова-
ниями, владеет техникой работы с лагранжевыми координатами.
Поэтому познакомим читателя с основными положениями тео-
рии сопутствующих координат, полагая, что он в общих чертах
знаком с механикой деформируемого тела, хотя бы в рамках
учебников [1, 2, 9].
1.1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНОЙ
КОСОУГОЛЬНОЙ СОПУТСТВУЮЩЕЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Вектор и его контравариантные и ковариантные компо-
ненты. Пусть в некоторой материальной частице А дефор-
мируемого тела (рис. 1, а) в некоторый момент t некоторое
свойство материала или его состояние (ускорение, скорость и
т. д.) представлено вектором а. Он существует объективно
физически и не зависит от выбора системы координат (она на
рис. 1, а даже не изображена). Любой вектор — это инвари-
ант, что является постулатом векторного (тензорного) ис-
числения.
154
Рис. 1. Вектор, базис, взаимный базис.
а — вектор как физический объект, инвариантен к выбору системы координат, б — вектор а и его
косоугольные проекции а' на направления базиса е„ в — взаимный базис
Вектор может быть представлен в координатной форме
(рис. 1, б) следующим образом:
а = а1?! + а2е2 + а3е3 = a'et, (1)
где 6j (i= 1, 2, 3) — векторы базиса; a' (z = 1, 2, 3) — косоуголь-
ные проекции вектора а на направления векторов базиса, ко-
торые называются контравариантными компонентами век-
тора а. В трехмерном пространстве любые три линейно незави-
симые вектора могут быть приняты за базис. Здесь и далее:
1) индекс i поочередно принимает три значения (1, 2, 3) в соот-
ветствии с числом векторов базиса и называется свободным ин-
дексом; 2) два индекса i (вверху и внизу в конце тождества (1)),
означают суммирование. Векторы базиса могут быть приняты
по направлениям касательных к координатным линиям, в част-
155
ности сопутствующей системы координат. Итак, любой вектор
а может быть представлен его косоугольными проекциями
(а') = (а'а2й3)'. (2а)
Здесь штрих означает транспонирование матрицы.
Для дальнейшего важно ввести так называемый взаимный
базис (к базису на рис. 1, б) по формуле
е'^хёЖ (3)
где i, j, к — свободные индексы, которые связаны циклической
перестановкой чисел 1,2, 3 (см. рис. 1, в); V = % х ёр — объем
параллелепипеда, построенного на векторах базиса et (обратить
внимание, что свободный индекс слева в формуле (3) верхний,
чтобы отличить взаимный базис). Тот же вектор а (рис. 1, а)
можно представить во взаимном базисе
а = ахе3 + а2е2 + а3ё*3 = ар',
(4)
где а,- — косоугольные проекции вектора на направления векто-
ров взаимного базиса, называемые ковариантными компонен-
тами вектора а. Заметьте, что здесь свободный индекс написан
внизу, чтобы не нарушить соглашение о суммировании по повто-
ряющимся — вверху и внизу — индексам (см. конец тождества
(4)). Итак, вектор а во взаимном базисе будет представлен мат-
рицей, отличной от матрицы (2 а):
(а,) = (а,^)'. (2в)
Вообще матрица компонентов одного и того же вектора
при изменении базиса изменяется, т. е. она неинвариантна.
В декартовой системе координат контравариантные и кова-
риантные компоненты вектора совпадают, поэтому индексы для
обозначения компонентов векторов, векторов базиса и т. п. при-
меняют одного типа — подстрочные.
Полезно разобрать одно свойство ковариантных компонен-
тов. Составим скалярное произведение вектора а, представлен-
ного формулой (4), поочередно со всеми векторами базиса е „ уч-
тя формулу (3)
ех а = ахех-+ а2ех е2 + а3ех е3 = ахех е2хё*3/У +
+ а2ех • е3 х ex/V + а3ех ехх e-JV = ах =
= ах 1 + а2 0 + а3 0;
156
Рис. 2. Ковариантные — ортогональ-
ные (а„ а2) и контравариантные —
косоугольные (а1, а2) проекции век-
тора а
аналогично ег а = а2\е3-а =
а3. Итак, ковариантные ком-
поненты суть ортогональ-
ные проекции вектора на на-
правления векторов базиса
(напомним, что контравари-
антные компоненты — это
косоугольные проекции век-
тора на направления векто-
ров базиса):
а, = а • Cj.
Для примера см. рис. 2.
Компоненты вектора при изменении базиса. Рассмотрим, как
преобразуются компоненты вектора при изменении базиса.
Пусть даны два некоторых базиса (исходный — старый и преоб-
разованный — новый) и е'- (i,j = 1,2, 3). Каждый из векторов
базиса e'j может быть представлен, подобно тому, как это было
сделано с вектором а, формулой (1):
е] = aiei, (6)
где aj — элементы матрицы, составленной из косоугольных про-
екции векторов е' (преобразованного базиса) на направления ис-
ходного базиса е,. Заметим, что если е,- и е' — декартовы базисы,
то значения а/ численно равны косинусам углов между соответст-
вующими векторами преобразованного и исходного базисов.
Аналогично можно представить векторы исходного базиса в
виде разложения по направлениям преобразованного:
= (7)
Между коэффициентами а/ и р/ существует связь. Если в
формулу (6) подставить выражение (7), то получим
но это выполняется только при условии
157
Подставив формулу (7) в (1), получим формулу преобразования
контравариантных компонентов вектора а при изменении бази-
са. Действительно,
а = п'Р'е/; а'Р/ё)' = a'1; a'J = 0/а'’. (9)
Подобным же образом можно получить формулу обратного
преобразования (из нового базиса е' в старый et) контравариант-
ных компонентов вектора а при изменении базиса:
а‘ = aja'1. (10)
Теперь обратимся к преобразованию ковариантных компо-
нентов вектора а в связи с изменением базиса. Для этого в урав-
нение (5) следует подставить (7):
aj-a -е^ 0'й • е{ = р/а/.
а, = Р/4 (И)
Аналогично можно получить формулу прямого преобразования
(из старого в новый базис)
а'} = а/а,. (12)
Акцентируем внимание на формулах (9)—(12). Они имеют
решающее значение в определении понятия “тензор”.
Скалярное умножение векторов. Как следуетД13 формул (1)
и (4), скалярное произведение двух векторов а и b можно пред-
ставить в следующих четырех вариантах:
а - = е^ер‘Ь> = е‘ • = е' -е= et • eJa'bj.
Обозначим набор скалярных коэффициентов
= g,y; е‘ • е> = g'>; ?, • е' = (13)
Из последней формулы с учетом выражения (3) следует
Г1,приг = у;
г>г,.(?.х?,)/у=|Опри1>. <14)
Набор коэффициентов (14) — это символ Кронекера. Итак, ска-
лярное произведение векторов а иЬ записывается так:
а • £ = gija'b' = giJaibj = а-Ь> = a'fy. (15)
158
Установим зависимость между контравариантными и кова-
риантными компонентами вектора. Очевидно, что
а,- = е,- • а = ?,• • eja> = gfl. (16)
Обратная зависимость контравариантных компонентов от кова-
риантных будет
o' = ej a = ej e'aj = £}а,. (17)
Рассмотрим равенства (16) как систему линейных алгебраичес-
ких уравнений относительно а!. Решая эту систему, получаем
a< = akGk/g, (18)
где g — определитель, составленный из коэффициентов систе-
мы (16); & — алгебраическое дополнение элемента gjk опреде-
лителя g. Сопоставляя (17) и (18), находим
gij = G4g. ,(19)
Эта формула позволяет определить компоненты giJ по компо-
нентам gy.
Тензор. Тензор—это физический или геометрический объ-
ект, определяемый набором чисел Т^ , которые при-мзменении
системы координат (базиса) преобразуются согласно формуле
= (20)
где X, Ц, v — немые индексы. Ранг тензора равен числу над- и
подстрочных индексов (сумме). Сопоставим формулу (20) с фор-
мулами (9)—(12). Оказывается, что вектор — это тоже тензор,
но первого ранга. Скаляр принято считать тензором нулевого
ранга.
Наборы чисел, определяющие тензоры, различают по
строению. Так, 7^ — контравариантные компоненты тензора
второго ранга; Ту — ковариантные компоненты тензора вто-
рого ранга; Tj и Т- — смешанные компоненты тензора второго
ранга. Точка помогает обозначить порядок следования индек-
сов: например, в случае TJ индекс j следует считать вторым
(номер столбца при записи компонентов этого тензора в виде
матрицы (3x3)).
159
Дадим второе определение тензора, которое удобно порой
для его распознавания. Пусть at, bi, ... являются компонентами
произвольных и независимых векторов, если при посредстве ве-
личин T‘f можно образовать скаляр
<p = T^aibi..., (21)
то эти величины будут компонентами тензора.
Тензоры — это инвариантные объекты. Компоненты же
тензора зависят от выбранной системы координат (базиса) и не
являются инвариантными величинами.
Метрический тензор. Возвратимся к величинам, опреде-
ленным формулами (13). С их помощью составляется скаляр-
ное произведение произвольных векторов (15). Как следует из
выражения (21), величины g являются компонентами тензора.
Величины gjj = et ej — ковариантные компоненты тензора,
который называется метрическим. По определению (см.
формулы (13)), он является симметричным тензором (g,y = gy().
Аналогично симметричными являются матрицы (g'y) и (g/).
Кстати, тензор называют антисимметричным, если для его
компонентов выполняется равенство Ту = -Т^.
Почему тензор называется метрическим? Рассмотрим доста-
точно малый вектор Дг, соединяющий две точки ДСу1, у2, у3) и
В(у’ + Ду1, у2 + Ду2, у3 + Ду3). Например, можно принять Дг = а,
как на рис. 1, в. Тогда
Дг = Ду'е»
где у', Ду' — косоугольные координаты точки А и приращения
этих координат соответственно. Модуль этого вектора равен
расстоянию между точками А и В
1Дг I2 = Дг Дг = Ay'ej • Ау'е; = gtj&y'&yi. (22)
Аналогично, представляя вектор Дг* по-другому, получаем
1Дг I2 = §'7Ду,Ду7 = Ду,Ду'. (23)
Набор коэффициентов g,y, g'7, g/ определяет метрику пространст-
ва, так как с его помощью, зная лагранжевы координаты двух
близких точек, можно найти расстояние между ними.
160
Алгебраические действия над тензорами. Перечислим алгеб-
раические операции над тензорами (ограничимся тензорами вто-
рого ранга).
Перестановка индексов. Меняя местами индексы у Vs, полу-
чаем новый тензор, обладающий матрицей компонентов Т>‘,
транспонированной по отношению к матрице Т}. Если тензор
симметричный, то перестановка индексов сводится к тождест-
венному преобразованию исходного тензора.
Сложение. Операция сложения осуществляется над тензора-
ми одинакового ранга и матрицами компонентов одинакового
наименования (ковариантными, контравариантными и смешан-
ными). Чтобы сложить несколько тензоров, достаточно сложить
их одноименные компоненты.
Симметрирование и альтернирование. Произвольный тен-
зор можно разложить на симметричную и антисимметричную
части, а с его матрицами поступить так:
Ttj = (Ту + Т0/2 + (Ту - Tfi)/2 = ТуЛ + Тил. (24)
Формирование симметричного тензора с матрицей T(iJ) называют
операцией симметрирования, а формирование антисимметрич-
ного тензора с матрицей Tlifl — операцией альтернирования.
Умножение. Умножение осуществляется с тензорами любого
ранга и строения. При умножении тензора на скаляр на него ум-
ножают каждый его компонент. Так, умножение на скаляр 1/2
использовано в формуле (24).
Свертывание. Свертывание осуществляется лишь над тензо-
рами, представленными смешанными компонентами. Чтобы
осуществить свертывание, достаточно приравнять один из кон-
травариантных индексов одному из ковариантных исходного на-
бора компонентов тензора, а затем осуществить суммирование
по одинаковому индексу. В результате свертывания ранг тензо-
ра уменьшается на две единицы.
Опускание и поднятие индексов. Операцию опускания или
поднятия индексов осуществляют умножением некоторого тен-
зора на метрический тензор и последующего свертывания по па-
ре индексов:
gfl* = T-k; gikgflTj =
Л^ = 7*/.^ = 7и (25)
161
Тензорный анализ. Механика сплошных сред имеет дело с
тензорными полями, т. е. в каждой точке физического простран-
ства как-то определен тензор, причем он может изменяться как
от точки к точке, так и во времени. Другими словами, каждая со-
ставляющая тензора является функцией пространственных ко-
ординат и времени. В каждой отдельной точке физического про-
странства в любой фиксированный момент для тензоров выпол-
няются указанные выше алгебраические операции.
Допустим, что положение материальной точки в пространст-
ве однозначно и непрерывно определено системой параметров у1'
(z = 1, 2, 3) произвольной природы. Эти параметры можно счи-
тать криволинейными, сопутствующими—лагранжевыми коор-
динатами. Геометрическое место точек, для которых одна из ко-
ординат изменяется, а две другие постоянны, называют коорди-
натной линией. Геометрическое место точек, для которых две
координаты переменны, а одна остается постоянной, называют
координатной поверхностью.
Радиус-вектор произвольной материальной точки есть функ-
ция указанных координат:
г = г (у).
(26)
Построим в каждой точке пространства базис. Для этого продиф-
ференцируем выражение (26) частным образом по у, в результате
получим векторы (три), направленные в точке у вдоль касатель-
ных к координатным линиям, которые примем за базис е(. Итак,
= Эг/Эу. (27)
Обратимся к формулам преобразования компонентов векто-
ров, выведем их из новых соображений. Пусть система координат
подвергается взаимно однозначному точечному преобразованию
от действующей (так называемой старой) у’ к новой у'> и наоборот:
У = У(у/у);/-'' = Уу(У)- (28)
Тогда, опираясь на (27), записываем
е ’ = dr/dy'i = дг/ду • Ъу/Ъу'1 = (Эу/Эу'^е,. (29)
Сравнив формулы (29) и (6), получим
ос) = Эу/Эу'Л (30)
162
Аналогично получим коэффициенты обратного преобразова-
ния
Р/ = ду,}1ду. (31)
Полезно заметить, что из формул (26) и (27) следует
dr = (Srldy)dy = dye,, (32)
dr • dr = gijdydy1. (33)
Вычислим абсолютный дифференциал векторного поля (по-
ля тензора первого ранга). Пусть вектор представлен как
а = а'е,.
Имея в виду, что векторы базиса е, в пространстве переменные
(в отличие от декартовых координат), получим «
da = <?,da‘ + a'de^
Умножим правую и левую части последнего равенства на Лекто-
ры взаимного базиса. На основании того, что
da е' = (da)1; et е‘ = g{; е> • dt-, = eJ (деfitydcbf =
= е’ (д2гldydyk)dyk = = Г////,
где Г1к — символы Кристоффеля второго рода, запишем контра-
вариантные компоненты абсолютного дифференциала поля
вектора а:
(day = da* + V^a'dy11. (34)
Аналогично вычислим ковариантные компоненты абсолют-
ного дифференциала поля вектора а:
(da )j = daj - Ца^у. (35)
Рассмотрим абсолютный дифференциал поля тензора более
высокого ранга Т}к, определяемый формулой
DTik = dljk + 7>у₽ -- Г$7>?у₽. (36)
Абсолютный дифференциал поля тензора содержит два сла-
гаемых. Первое (dd, daj, dTfc) — это изменение компонентов тен-
163
зора вследствие его внутренних свойств. Второе (все остальное) —
это изменение компонентов тензора вследствие изменения бази-
са от точки к точке пространства.
Символы Кристоффеля выражаются через компоненты мет-
рического тензора
Ч = g^Qgjty + dgjty - dg.jdy*)/!. (37)
Следует заметить, что символы Кристоффеля не являются компо-
нентами тензора. Это видно из того, что в одной и той же точке
пространства одного и того же поля они в декартовой системе ко-
ординат (базис постоянный) равны нулю, а в криволинейной—от-
личны от нуля.
Абсолютный дифференциал поля тензора второго ранга gik
имеет вид
Dgik = dgik-^jgaidyi-VakjgiOdyi. (38)
Абсолютный дифференциал поля метрического тензора равен
нулю (теорема Риччи)
Dgtk = (^У ~ 4jgai ~ 4jgia)dy = 0. (39)
В последнем легко убедиться, подставив значения Г? и из (37),
сделав соответствующую замену индексов, имея в виду симмет-
рию метрического тензора и учтя условие (14).
Компоненты тензора являются функциями координат точки
поля, поэтому в формулах абсолютного дифференциала полей век-
тора (34), (35) и тензора более высокого ранга (36) можно записать
da' = (dai/dyk)dyt', daj = (ЭдуЭу*)^; dTjk - (diydyfydyP.
В результате формулы примут вид
(da У = (Э^/Эу* + r^ydy*; (day = (Эа/Эу* - Ца,•)<//;
Ш}к = (ЭТ^/Э/ + dy\
Выражения в круглых скобках в правой части последних фор-
мул называют ковариантными производными соответствующих
компонентов вектора а и компонентов Т]к тензора соответствен-
но. Итак, ковариантной, производной контравариантных ком-
понентов поля вектора называют величину
= da/fity + Vika!, (40)
164
являющуюся набором смешанных составляющих тензора вто-
рого ранга, ковариантная производная ковариантных компо-
нентов — набор ковариантных компонентов тензора второго
ранга
(41)
ковариантная производная смешанных компонентов тензора,
например третьего ранга, есть набор компонентов тензора
четвертого ранга
VpTJ* = Э^Эу₽ + Гда - - ВД*. (42)
Ранг ковариантной производной тензора на единицу выше ранга
дифференцируемого тензора.
Полезно для дальнейшего рассмотрения некоторых свойств
ковариантных производных следующее. Производная от суМмы
тензоров равна сумме производных. Правило дифференцирова-
ния произведения, известное из математического анализа, оста-
ется справедливым и для ковариантного дифференцирования.
При повторном ковариантном дифференцировании результат
зависит от последовательности действий дифференцирования.
Рассмотрим некоторые дифференциальные операторы в со-
путствующей криволинейной и косоугольной системе коорди-
нат. Ковариантной производной тензора нулевого ранга (ска-
ляра )
V,(p = Эф/Эу'’ = (gradcp) (43)
называют вектор — градиент скалярного поля с его составля-
ющими. Ковариантная производная контравариантных компо-
нентов тензора первого ранга (вектора) дает смешанные компо-
ненты тензора второго ранга (40). Линейный инвариант, со-
ставленный из компонентов тензора второго ранга,
V,a' = Эа'/Эу' + = diva, (44)
называют дивергенцией векторного поля а. Ковариантная про-
изводная ковариантных компонентов тензора первого ранга вы-
ражается формулой (41). Альтернирование компонентов тен-
зора второго ранга дает выражение
a^Vpj-Vja^roti,
165
которое называют вихрем, или ротором, векторного поля а.
Обратимся к формуле Гаусса—Остроградского
j A ndS = j divAJV, (45)
s v
где S и V — поверхность и объем деформируемого тела; п —
вектор единичной внешней к S нормали; А — векторное поле
любой природы, но непрерывное и дифференцируемое. Заме-
тим, что формула (45) имеет инвариантное представление. В свя-
зи с этим в сопутствующих координатах она имеет вид
jA'-n,dS = (46)
s V
1.2. ЛАГРАНЖЕВО ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ.
КИНЕМАТИКА
Обратимся к категориям механики сплошных сред. Механи-
ческие переменные, входящие в законы механики сплошных
сред, это тензоры (инварианты). Сами законы, в силу их физиче-
ской природы, тоже инвариантны выбору системы координат.
Таким образом, лагранжево представление движения сплошной
среды будет состоять в написании лишь формул и уравнений,
связанных с применением сопутствующей системы координат.
Итак, напишем эти уравнения в лагранжевых координатах, по-
лагая, что читатель знаком с ними в декартовых координатах.
Закон движения. Здесь не следует путать кинематический за-
кон движения с дифференциальным уравнением движения, вы-
ражающим второй закон Ньютона. Движение определяется по
отношению к некоторой неподвижной системе координат — си-
стеме отсчета. Примем за систему отсчета неподвижную, напри-
мер декартову систему координат*, (/ = 1,2,3). Частица движет-
ся относительно системы отсчета, следовательно, ее координа-
ты меняются в зависимости от времени t согласно функциям
x‘ = x‘(t). (47)
Функции (47) выражают траекторию движения частицы, уравне-
ния которой представлены в параметрической форме.
Деформируемое тело состоит из совокупности материаль-
ных частиц. Важно индивидуализировать их, что достигается, на-
166
Рис. 3. Неподвижная система наблюдения, например декартова У (а), сопут-
ствующая — лагранжева система координат у (б)
пример, заданием их координат в системе отсчета в начальный
момент времени: при t = t0 У(10) = у (i = 1, 2, 3). Тогда формулы
(47) имеют вид ,
У = У(у, t)(i,j = 1,2,3). (48)
Траектории всех материальных частиц У=У(у, t) у & V,U3 ко-
торых состоит деформируемое тело V, называют законом дви-
жения. Переменные у (j = 1,2,3) и t называют переменными Лаг-
ранжа. Кривые, описываемые формулами (48) при у = const для
всех материальных частиц у e V, образуют материальную криво-
линейную сетку координат, которую называют сопутствующей си-
стемой координат, движущуюся и деформирующуюся вместе с
телом (рис. 3). Основная задача состоит в определении функций
(48) — механических переменных, описывающих формоизмене-
ние тела при его нагружении.
Представим формулы (48) несколько по-другому:
У = у + и‘(у, I) (i, j= 1,2, 3), (49)
где и‘ — перемещение частицы с начальными координатами
х-'(Го) = у’в системе наблюдения или неподвижной декартовой си-
стеме координат. Заметим, что u‘(t0) = 0. Из физических сообра-
жений ясно, что в фиксированный момент времени должно быть
взаимно однозначное соответствие между координатами У и у,
т. е. формулы (48) должны быть разрешимы относительно
у = У (У, t) (i, j= 1,2,3), (50)
167
а это значит, что якобиан (определитель)
бегПЭл'/Эуп * 0.
Таким образом, судя по содержимому скобки II...II в послед-
нем выражении, производные должны существовать. Итак,
предполагается, что функции (48) должны быть непрерывными
и дифференцируемы по всем аргументам.
Скорость, ускорение. Напомним теперь понятия скорости и
ускорения, связав их также с лагранжевым описанием движения.
Они вычисляются относительно системы отсчета при фиксиро-
ванных у7, т. е. для конкретных материальных частиц. По опре-
делению, вектор скорости
v = dr/dt = (ЭУ/ЭО^о = и(0?(0,
(51)
где г — радиус-вектор рассматриваемой частицы — вектор,
соединяющий начало системы отсчета (или системы коорди-
нат) с материальной частицей; ё*(0 — базис системы отсчета, он
остается постоянным во времени, т. е. неподвижным (если си-
стема отсчета — это декартова система координат, то базис
будет постоянным также в пространстве, так как сетка декар-
товых координат равномерная — однородная в пространстве);
и(/) — компоненты вектора скорости в базисе векторов е(/). Об-
ратим внимание, что при дифференцировании по времени в
выражении (51) базис выступает как величина независимая от
времени вследствие того, что скорость исчисляется относи-
тельно системы наблюдения.
Далее, также по определению, вектор ускорения материаль-
ной частицы может быть вычислен как
w = dvfdt.
(52)
Вычислим контравариантные проекции вектора ускорения
на векторы базиса сопутствующей системы координат (27).
Итак, v = v<et. В процессе движения частицы во времени меняют-
ся как V1, так и ё*. Если учесть, что ё* = дг/ду', то формулу (52)
представим так:
w -
W - Э2г ,
—е- н--------г и .
Э/ ' Э/Эу'
168
Поменяем порядок дифференцирования во втором слагае-
мом последнего выражения и воспользуемся определением век-
тора скорости v = dr/dt, тогда последняя формула примет вид
w =
(53)
Как известно (см. выражение (40)), ковариантная производ-
ная контравариантных компонент вектора скорости равна
Эг5
эу
Тогда выражение (53) примет такой вид:
—>
W =
dvJ ,Г dvj
dt (эу
Таким образом, контравариантные компоненты вектора ускоре-
ния (квадратная скобка последнего выражения) в лагранжевых
координатах будут
,-f du1 k j
a7+v ri
dt?
w>=—+v
dt
(54)
Скорость деформации. Рассмотрим в фиксированный и
произвольный моменты времени бесконечно малую частицу
сплошной среды (рис. 4). Бесконечно малой частицей называ-
ют совокупность точек сплошной среды с относительными
координатами (относительно центра М частицы) &у‘ < а,
где а — бесконечно малая величина. Поле скоростей предпо-
лагаем непрерывным и дифференцируемым. Пусть г? — ско-
рость перемещения мате-
риальной точки М. Рас-
смотрим распределение
скоростей в бесконечно
Рис. 4. Поле скоростей в окрест-
ности точки М — центра беско-
нечно малой частицы сплошной
среды (М' произвольная точка
окрестности)
169
малой частице. Если v'— скорость некоторой произвольной
материальной точки М' этой частицы, то, разлагая поля скоро-
стей в частице по формуле Тейлора около точки М и прене-
брегая бесконечно малыми высших порядков, записываем
v' = v + (dv/dy't&y, (55)
где у — сопутствующие координаты в рассматриваемой частице.
Перепишем формулу (55) в виде
#' = # + [Э(«юею)/Эу']Ду'’ = v + [9(vwe =
= v + (V(vw)4y'e ® = v + Ay'e>w(V,vw + V/u(0)/2 +
+ Ду'е w(V,vw - ^jV^/2,
(56)
где е(0 = е® — постоянный (декартов) базис системы отсчета. В
выражении (56) тензор дисторсии с составляющими V,u, пред-
ставлен суммой его симметричной и кососимметричной частей.
Можно показать, что кососимметричный тензор (V/ц,- - V/y,)/2
остается кососимметричным в любом базисе, а не только в орто-
гональном. Кососимметричный тензор характеризует жесткое
вращение частицы как целого. Тензор, компоненты которого
определены формулой
^ = (V,vy + V>,)/2, (57)
называют тензором скоростей деформации. Его компоненты
могут быть написаны в произвольной системе координат,
в том числе и в сопутствующей, с помощью формул преобра-
зования компонент в связи с изменением базиса. Существова-
ние направлений трех главных скоростей деформации, вдоль
которых материальная частица испытывает чистое растяже-
ние или сжатие, а также свойства тензора этих скоростей оче-
видны.
Закон сохранения массы. В рамках ньютоновской механики
масса любого материального объема т = const. Массовой плот-
ностью называют величину
Р =
Нт (Дт/ДУ\
ДУ->0 '
170
где ДУ — объем, занятый массой Дга. Закон сохранения массы
деформируемого тела объемом V выражается в виде
Учитывая, что пределы интегрирования в последнем выражении
представлены в лагранжевых координатах и во времени не меня-
ются, записываем результат:
J(dp/jr+pV,.t/)dV = O.
v
Поскольку последнее равенство справедливо для любого мате-
риального объема внутри тела, то для сплошной среды как след-
ствие закона сохранения массы выполняется дифференциаль-
ное уравнение неразрывности
dp/dt + pdivv = 0. (58)
1
Приведем уравнение неразрывности в другом виде, в пере-
менных Лагранжа. В начальный момент /0 в произвольной точке
М можно построить элементарный параллелепипед на малых
векторах базиса сопутствующей системы координат е? dyl, е% dy2,
е^у3, объем которого
ДУ0= х e°3)dyldy2dy3.
В произвольный момент t тот же материальный объем будет
ДV = е! (?2 х е3)dyxdy2dy3.
По закону сохранения массы РоДУо = следовательно
Р = Po^i(^2 х е$/е i(e2xe3). (59)
Радиус-вектор г в системе отсчета х* (z = 1, 2, 3) с векторами ба-
зиса е(0 представим в виде
Как уже известно, в точке М в момент t векторы базиса ё* опре-
деляются так:
е} = дг/ду = (dx‘/dyi)e(i),
171
а в момент t0 они были
ёу = дг°/ду> = (Эх'°/Эу)е(,-).
С учетом сказанного уравнение неразрывности (59) в лагранже-
вых координатах примет вид
р = podetliax-WH/detlia^/ayil, (60)
где л*’ и х? (i, к = 1, 2, 3) определены формулами (48).
1.3. ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Движение материальной частицы массой Azn, согласно вто-
рому закону Ньютона, подчиняется дифференциальному урав-
нению движения
kmdv/dt = F
или
d/dt(Amv') = F,
(61)
так как Azzi = const. Уравнение (61) можно просуммировать
для всех частиц, составляющих деформируемое тело объемом
V и массой М. Следует учесть, что силы контактного взаимо-
действия частиц по третьему закону Ньютона равны
по величине и обратны по направлению и при суммирова-
нии уничтожаются. Кроме того, из закона сохранения массы
следует
Тогда для тела в целом наряду с (61) запишем
yJpv</V=jpg</V + pJS,
dt V V s
(62)
где g, f — векторы плотности массовых сил и поверхностных
напряжений соответственно.
172
Рис. 5. Элементарный тетраэдр и связь
поверхностных напряжений на его гра-
нях условием (63)
Уравнение (62) можно при-
менить для элементарного бес-
конечно малого материального
тетраэдра, образованного в лаг-
ранжевой системе координат
координатными площадками
и наклонной площадкой с еди-
ничной внешней нормалью п
(рис. 5). Получим известную
формулу
7=7ч, (63)
*
где л, — косинусы угла наклона единичной нормдли п к направ-
лениям у или ее ковариантные составляющие; f — вектор на-
пряжения на наклонной площадке; f1 — вектор напряжения на
координатной площадке тетраэдра. Разложим векторы/' по на-
правлениям базиса е/ сопутствующей системы координат
7 = 0%. (64)
Если аналогично разложить вектор/, то тогда векторное урав-
нение (63) для напряжений на наклонной площадке примет вид
fek = <зле^,
или в составляющих
/ = (65)
Составляющие векторов напряжений, действующих по коор-
динатным площадкам, проходящим через некоторую точку
деформируемого тела, <з‘к называют ковариантными компо-
нентами тензора напряжений в этой точке.
Применим к последнему интегралу уравнения (62) формулу
Гаусса—Остроградского
J7ds=j74ds=jv,./'dv.
$ $ V
173
Тогда (62) примет вид
+ р (g - Эг5/Эг) ] dV = О,
V
а поскольку выражение справедливо для любой части деформи-
руемого тела, то из него следует
v/' + p(g-Шо = о. (66)
Уравнение (66) — это дифференциальное уравнение движения
в векторном виде. В каждой точке деформируемого тела его
можно представить, разложив входящие в него векторы по
векторам базиса криволинейной сопутствующей системы
координат
[V^ + p^-co^^O.
Так как ек (к = 1,2,3) — линейно независимые векторы, то полу-
чим дифференциальные уравнения движения (в проекциях) в со-
путствующей криволинейной системе координат:
V,<j'* + p(gi-©t) = O. (67)
- Рассмотрим уравнения движения материальной частицы (61).
Если умножить правую и левую его части на радиус-вектор F, то
получим уравнение моментов количества движения для матери-
альной частицы
(г х w)Am = ~r xF.
Просуммируем подобные уравнения для всех материальных час-
тиц, составляющих рассматриваемое тело. При отсутствии у
деформируемого тела (внутри и на его поверхности) распреде-
ленных моментов, тензор напряжений симметричен и его ком-
поненты связаны условием
в* = о*'.
Тензор напряжений путем преобразования координат может
быть представлен своими составляющими в декартовых коорди-
натах, а затем можно найти его главные нормальные напряже-
ния и их направления.
174
В задачу механики сплошных сред входит вывод уравнений,
описывающих движение, в частности металла при его пластиче-
ской обработке. Она сводит механические задачи к задачам ма-
тематическим в целях отыскания механических переменных,
входящих в эти уравнения.
1.4. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ
При решении задач механики деформируемого тела девять
механических переменных х* = х'Х/, t); = а'у(у*, t) мож-
но принять за искомые функции. Действительно, опреде-
лив закон движения, по формулам разд. 1.2 можно подсчи-
тать все кинематические поля скоростей, ускорений, скоро-
стей деформаций, плотностей и др. Найдя поля напряжений де-
формируемого тела как функции координат и времени, можно
определить по формулам разд. 1.3, например, поверхностные
напряжения в любой точке тела и в любой момент его дефор-
мации, а также другие характеристики напряженного состоя-
ния. ।
Для определения х* = х'Х/, 1); <J'y = f) мы располагаем
тремя уравнениями движения (67). Указанных уравнений недо-
статочно для их решения, так как система не замкнута. Необ-
ходимо иметь, по крайней мере, еще шесть уравнений. Замы-
кают систему дифференциальных уравнений-* механики
сплошных сред физические уравнения связи напряженного и
деформированного состояний (или определяющие соотноше-
ния), которые дают математическую модель деформируе-
мого материала. Построение физических уравнений связи
возможно путем экспериментального изучения механических
свойств деформируемых материалов. При этом следует ис-
пользовать общие принципы механики и физики. Построение
математической модели среды должно производиться также с
учетом возможности решения замкнутой системы.
Проблема формулирования физических уравнений или опре-
деляющих соотношений перманентная, так как процесс позна-
ния свойств деформируемых материалов бесконечен, пока суще-
ствует рассматриваемая наука о механике сплошной среды. В
нашей работе принят ряд следующих положений об определяю-
щих соотношениях.
Будем считать, что определяющие соотношения являются
функционалами, записанными, например, в виде дифференци-
175
альных уравнений, но в любой фиксированный момент могут
быть представлены тензорными функциями
$'> = ^'(еи, р, 9,...); (68)
<j = a(£, р, 9,...), (69)
в которых з” и еа — контравариантные и ковариантные компо-
ненты девиаторов напряжений и скоростей деформации соот-
ветственно; С и с — первые инварианты тензоров напряжений и
скоростей деформации; 9 — температура. Девиаторы имеют вид
s'' = & - <5gi (а = <j'yg,/3); (79)
(71)
В числе аргументов в функциях (68) и (69) могут быть любые ха-
рактеристики напряженного и деформированного состояний, на-
пример их производные по времени. В (68) и (69) указаны лишь ар-
гументы, необходимые для рассуждений. Шесть независимых со-
отношений (пять в системе (68) и шестое — (69)) замыкают систе-
му, описывающую движение сплошной среды. Известно, что мало
замкнуть систему. Она должна иметь решение и, как правило,
только одно, иначе практическое значение математической моде-
ли будет невелико. Поэтому в данной работе постулируется
(термодинамически оправданно), что
1) определяющие соотношения (функционалы) в любой фик-
сированный момент обращаются в тензорные функции
& = з*(еи, р, 9,...), а = а(£, р, 9,...);
2) эти функции разрешимы относительно еа и С, соответ-
ственно
е,7 = е,7(?')^ = ^(а); (72)
3) функции имеют ограниченные производные <№/deki: Эо/Э^;
4) выражают вязкие свойства материалов:
ds'j/dekl\i=k > 0, Эо/Э^ > 9; (73)
5) описывают необратимые пластические деформации. Ус-
ловия (73) подтверждаются на опыте.
Приведенные постулаты (наряду с другими условиями) обес-
печивают существование и единственность решения.
176
1.5. УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Как правило, определяющие соотношения зависят от темпе-
ратурных условий деформирования материалов. Температура
(точнее, температурное поле) 0 = 0(yz, t) — это еще одна пере-
менная, определяемая из закона сохранения тепловой энергии,
из которого вытекает известное дифференциальное уравнение
теплопроводности.
Закон сохранения справедлив как для тепловой, так и для ме-
ханической энергий. Закон сохранения механической энергии
имеет в данной работе основополагающее значение, на его осно-
ве был сформулирован некоторый вариационный принцип, иг-
рающий решающую роль в решении краевой задачи механики
деформируемого тела.
Теорема об изменении кинетической энергии. Динамические
уравнения движения сплошной среды имеют важное следствие,
которое называют теоремой об изменении кинетической энер-
гии.
Пусть dr = vdt — вектор бесконечно малого перемещения
материальной частицы деформируемого тела. Умножив скаляр-
но на эту величину дифференциальное уравнение движения (67)
и интегрируя результат по объему тела V, получим
| (Vf o'*) vkdtdV + J pgkvkdtdV - J pwkvkdtdV = 0. (74)
v v v
Используя формулу Гаусса—Остроградского и условие симме-
трии тензора напряжений, последнее уравнение представляем
так:
J fkvkdtdS + J pgkvkdtdV = j G^dtdV + dE, (75)
SV V
m. e. работа распределенных поверхностных и распределенных в
объеме внешних сил [левая часть последнего уравнения] расходу-
ется на работу деформации тела и приращение его кинетичес-
кой энергии dE. Это утверждение называют теоремой об изме-
нении кинетической энергии. Теорема является следствием урав-
нений движения и представляет собой уравнения баланса механи-
ческой энергии. Она не является законом сохранения энергии.
177
Теорему можно трактовать как закон сохранения энергии только
в том случае, когда другими видами энергии при деформации
сплошной среды можно пренебречь. Закон сохранения в общем
случае распадается на два: закон сохранения механической энер-
гии (75) и закон сохранения немеханической энергии.
Закон сохранения энергии. В общем случае деформации
сплошной среды наряду с механической энергией следует учиты-
вать другие ее виды. Первое начало термодинамики, или закон со-
хранения энергии, утверждает: работа поверхностных и распреде-
ленных в объеме внешних сил и приток извне других видов энер-
гии через поверхность или массу тела затрачиваются на прираще-
ние кинетической, а также внутренней энергии тела. Первое нача-
ло термодинамики — это постулат, который находит подтвержде-
ние на опыте и приобрел значение физического закона.
Итак, согласно с приведенным утверждением, запишем
J fkvkdtdS + J pgkvkdtdV + dQ = dE + dU, (76)
s v
где dQ — приток к телу других (немеханических) видов энергии;
dU — приращение внутренней энергии тела. Если вычесть из
уравнения (76) уравнение (75), получим закон сохранения неме-
ханических видов энергии
dQ= dU-^<3%kdtdV. (77)
V
Приращение (изменение) внутренней энергии представляют
интегралом
dU = р (du/dt) dtdV. (78)
v
Приток к телу других видов энергии (в данной работе — тепло-
вой энергии) через поверхность имеет вид
dQ = _J? ‘ ndtdS = -J q'rijdtdS.
s s
В формулах и — удельная (на единицу массы) внутренняя энер-
гия; d/dt — субстациальная (материальная) производная; q —
вектор плотности (на единицу поверхности) энергетического
(теплового) потока; п — вектор единичной внешней нормали.
178
Если в последнем выражении использовать формулу Гаусса—
Остроградского, то оно примет вид
dQ=-jv.qldtdV. (79)
V
Подставив выражения (78) и (79) в уравнение (77), получим
J - pdu/dt+dtdV - 0.
v
Последнее справедливо для любой части объема деформируемо-
го тела, следовательно, из него получается дифференциальное
уравнение
pdu/dt = -V/y' + (80)
которое называют дифференциальным уравнением энергии.
Учтем наряду с механической только тепловую энергию. За-
коны, определяющие вектор плотности теплового потока, могут
быть различными. Известен закон Фурье 1
q = -A.grad0,
где 0 = 0(у, Г) — температурное поле в деформируемом теле;
Л. — коэффициент теплопроводности. Если иметь в виду, что
V#' = divi?, то
V/7'=-div(XgradQ). (81)
Если допустить, что внутренняя энергия — только накопленная
тепловая, то
е
и= |с</0,
о
где с — массовая теплоемкость, т. е. количество тепла, которое
надо подвести к единице массы, чтобы повысить ее температуру
на один градус. Из этого следует
е
du/dt= -^ jcdd dtydt.
(82)
о
179
При развитом пластическом течении можно пренебречь уп-
ругими (обратимыми) деформациями, тогда можно считать, что
характеризуют диссипацию (рассеяние) механической энер-
гии в тепловую. Итак, в частном случае уравнение энергии (80)
превращается в известное дифференциальное уравнение тепло-
проводности
cpdtydt = div(gradO) + (83)
Добавление уравнения теплопроводности (83) к полной системе
дифференциальных уравнений сплошных сред вновь делает ее
замкнутой (введение искомой переменной — температуры 0 —
сопровождается добавлением уравнения (83)).
1.6. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
Краевая задача механики твердого деформируемого тела
состоит из соответствующих дифференциальных уравнений
относительно механических переменных — нестационарных
полей, описывающих кинематику течения, напряженное состоя-
ние, температуру и процесс разрушения, а также краевых
(граничных и начальных) условий. Конечно, краевая задача
формулируется для того, чтобы ее решить. Метод решения кра-
евой задачи — интегрирование в пространстве и во времени —
будет приведен позже.
Изложенный материал в основном дает возможность сфор-
мулировать краевую задачу механики деформируемого твердого
тела, в частности механики ударного нагружения в процессах
пробивания, механики обработки металлов давлением, резанием
и других технологических процессах. Формулировка краевой за-
дачи в данном пункте, а еще ранее в разд. 1.4, несколько отлича-
ется от классической, установившейся и общепринятой форму-
лировки. Вслед за этой несколько модернизированной формули-
ровкой в последующих главах будет дан новый метод расчета на-
пряженно-деформированного состояния и разрушения материа-
ла, который послужил основанием для включения в название
монографии словосочетания новая теория.
Дифференциальные уравнения краевой задачи. Итак, задача
состоит в интегрировании дифференциальных уравнений движе-
ния деформируемого тела (67), механические свойства которого
выражаются тензорными функциями (68) и (69) соответствую-
180
щего типа [см. постулаты (72)—(73)]. Преобразуя уравнения (67)
с помощью формул (68) и (69), получаем
V,-№w) + a©#'7] = p(mV - gf). (84)
Как нетрудно убедиться, при заданных массовых силах g1 три
уравнения (84) связывают три неизвестные функции (48) (через
закон движения с помощью (51), (54), (57) и (71) выражаются еы,
w'). В общем случае система (84) не может быть проинтегри-
рована (решена однозначно) в целях определения закона движе-
ния (48), так как, к примеру, часть граничных условий может
быть дана в напряжениях. Следовательно, задача определения
кинематики течения связана с задачей определения напряженно-
го состояния. Поэтому система (84) должна быть дополнена
уравнениями
+ £(а)&/3 = (V,vy + ^/2, ‘(85)
которые получаются из формул (57) после подстановки в них
выражений (71) и (72). Шесть уравнений (85) связывают шесть
составляющих тензора напряжений.
Процессы деформирования твердых тел (будь-то ударным
образом в задачах пробивания или в технологических задачах
термомеханической обработки материалов) сопровождаются их
разрушением. В настоящей книге использована некоторая мате-
матическая модель (теория) разрушения, которой позже будет
посвящена специальная глава. Здесь же кратко скажем, что про-
цесс разрушения, как это часто делают в подобных теориях, на-
пример в теории усталости, модельно представлен некоторой
скалярной величиной у, как-то характеризующей степень по-
врежденности деформируемого материала субмикро- и микро-
нарушениями сплошности. Предполагается, что эта величина
подчиняется аксиоматике сплошной среды, т. е. достаточно
гладко распределяется по объему деформируемого тела. Она
нормирована так, что для неповрежденного материала у = 0, а к
моменту образования макродефекта у = 1. Эволюция у во вре-
мени дается определенным кинетическим соотношением, кото-
рое будет включено в систему дифференциальных уравнений
рассматриваемой краевой задачи.
Таким образом, дифференциальные уравнения (84), (85),
уравнение теплопроводности (83) и кинетическое соотношение
для определения поврежденности у < 1 дают замкнутую систему
181
дифференциальных уравнений механики твердого деформируе-
мого тела.
Граничные условия. Итак, пусть деформируемое тело имеет
объем V и этот объем ограничен поверхностью S. Например, та-
ким деформируемым телом в задачах пробивания может быть
избрана мишень (или мишень и снаряд), воздействие на которую
внешних обстоятельств будет определенным образом задано на
ее поверхности S. Заметим, что задание граничных условий —
внешних обстоятельств—во всех задачах должно быть сдела-
но в каждой точке S, ограничивающей объем V. Приведенная
постановка может считаться удовлетворительной, если снаряд
пластически не деформируется при ударе, а исследователь знает,
как описать воздействие снаряда на изучаемую мишень. Если же
снаряд также деформируется, как и мишень, и его деформации,
напряжения и разрушение столь же интересны исследователю,
то объем “деформируемого тела” V должен включать как объ-
ем мишени, так и объем снаряда. В то же время исследователь
обязан задать в каждой точке контакта снаряда с мишенью оп-
ределенные условия их взаимодействия. Конечно, как и прежде,
должны быть заданы условия на поверхности S, замыкающей
объединенный объем мишени и снаряда.
В достаточно общем виде граничные условия на поверхности
S (в каждой ее точке и в каждый момент на временном отрезке
деформирования [?0, rj) могут быть заданы так:
6 S, Vt е [?0, tflf =fi(Vj, t,...) или и, = t,...);
0 = Q*(M, t) или = <p* (Af, г), (86)
ап
где fl, v*, ф*, 0* — известные функции (здесь и везде в этой части
книги известные функции отмечаются звездочкой). Следует от-
метить, что эти функции, вообще говоря, устанавливаются экс-
периментально, но должны быть сформулированы математиче-
ски и, причем, корректно. Они играют такую же роль, какую и
определяющие соотношения для континуума — деформируемой
среды (см. разд. 1.4). Заметим, что в числе аргументов у функций
fl, v* могут быть любые другие механические переменные, сим-
волизируемые многоточием в выражениях (86), указаны же
‘Символическая запись VM е S означает: в каждой точке М, принадлежа-
щей поверхности 5.
182
лишь те, которые нужны для некоторых утверждений, в том чис-
ле следующих. Корректность формулировки граничных усло-
вий (для обеспечения существования и единственности реше-
ния) должна выражаться в том, что функциям fi, v* в (86), как-
то аппроксимирующим экспериментальные данные, следует
иметь обратные функции по первым аргументам или эти
функции не должны быть убывающими в следующем смысле:
Часто в литературе встречается так называемая классичес-
кая постановка граничных условий: на части поверхности тела
Sr даны поверхностные напряжения, а на оставшейся ее части
Sv (Sf и SV = S) даны скорости. Математически это выражается
так:
Vr е [г0, Г;]: VM е Sf f =fi(t); VM e Sv vt = v*(t). (86a)
Нетрудно убедиться, что условия (86а) являются частным случа-
ем условий (86). »
В механике обработки металлов давлением и резанием прак-
тикуется характерная формулировка граничных условий, предо-
пределенная ролью трения между инструментом и деформируе-
мым изделием. Согласно этой постановке, деформируемое тело
ограничено внешней поверхностью S, состоящей из частей Sv, Sf
и Ss. Граничные условия на них представлены так:
VAf е Sv Vj = v*; VAf e Sf ft = <&П; = fi;
УМ e Ss vv = v*, A =A(A>, «X (866)
Здесь vs — вектор скорости скольжения инструмента по дефор-
мируемому телу; i = vfvs; v' nfv — нормальные к поверхности
S составляющие соответствующих векторов; /т = fi(fv, vs) —
известный закон трения. Закон трения может быть функциона-
лом пути движения частицы по поверхности Ss, но в фиксирован-
ный момент t он должен быть представлен известной функцией,
причем разрешимой относительно vs [vs = vs(fv, Д)], и удовле-
творять следующему условию: dffi)vs > 0. Можно убедиться,
что граничные условия (866) являются частным случаем условий
(86).
Зачем нужна более общая постановка граничных условий,
чем та, что задана формулами (86а) или (866)? Нам представля-
183
ется, что в задачах пробивания существенную роль могут играть
аэро- и гидродинамические эффекты (сопротивления) при со-
ударении деформирующихся тел. Это может быть учтено усло-
виями (86).
Начальные условия. Краевые условия для решения конкрет-
ных задач механики деформируемого твердого тела, наряду с
упомянутыми граничными условиями, должны содержать еще
начальные — распределение искомых механических перемен-
ных в объеме V в момент t = t0 начала нагружения деформируе-
мого тела на временном отрезке [/0, Краевая задача, которая
будет поставлена здесь, может решаться до момента t = ^до тех
пор, пока не наступит разрушение деформируемого тела с обра-
зованием макродефекта. После возникновения новой поверхно-
сти —границы макродефекта—следует ставить новую краевую
задачу, для чего необходимо задать дополнительные граничные
условия для деформируемого тела на “берегах” макродефекта.
Обо всем этом подробнее будет сказано далее.
Итак, для каждой материальной частицы М, принадлежащей
объему V, эйлеровы координаты которой известны, должны
быть даны начальные условия (при t = t0) — значения термоме-
ханических переменных в начале рассматриваемого периода
времени [г0, ^]. Термомеханические переменные — это поля тем-
ператур, напряжений, кинематические переменные и у, описы-
вающие поврежденность деформируемого материала:
VM е V Vi = t>°; a‘J - р = р0, 9=9; V=Vo- (87)
Здесь отмеченные нулем — известные функции координат.
Для завершения формулировки краевой задачи мы должны
обратиться к математическому описанию процесса разрушения с
помощью упомянутой переменной у, чему посвятим следующую
главу.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ
(НАРУШЕНИЯ СПЛОШНОСТИ) МЕТАЛЛОВ
Как уже отмечалось, многие процессы деформирования
твердых тел, в том числе деформирования ударом, сопровожда-
ются их разрушением. Едва ли не важнейшей проблемой в на-
стоящее время является хорошее описание процесса разруше-
ния. Действительно, если процесс деформирования имеет хоро-
шее механико-математическое обоснование классической меха-
никой сплошных сред, то процесс разрушения описан пока не-
сравненно хуже. В данной главе представлена некоторая модель
разрушения в терминах механики сплошных сред, как-то реша-
ющая указанную проблему. Она разработана под руководством
и при участии автора раздела.
Модель, излагаемая в главе, феноменологическая, она обоб-
щает экспериментальный материал по макроразрушению ме-
таллов при развитых упругопластических деформациях. В главе
кратко приведены основные положения этой теории, более по-
дробно с ней можно познакомиться по монографиям [3—10] на
русском языке и по статьям [11—14] — на английском.
Модель разрушения, как говорилось выше, базируется на
концепции постепенного накопления микроповреждений в ме-
талле по мере развития деформации. Условно микроповрежден-
ность представлена функцией у (в дальнейшем эту величину бу-
дем называть просто поврежденность). Предполагается, что она
подчиняется аксиоматике механики сплошной среды, т. е. доста-
точно гладко распределяется по объему деформируемого тела и
плавно изменяется во времени в процессе деформирования. Она
нормирована так, что для неповрежденного материала у = 0, а к
моменту образования макродефекта (условимся считать дефект
макроскопическим, если он виден невооруженным глазом) у= 1.
Эволюцию у во времени удалось описать некоторыми кинетиче-
скими соотношениями, которые включаются в систему диффе-
ренциальных уравнений краевой задачи, рассмотренной в
разд. 1.6. Если в некоторой точке деформируемого тела функ-
185
ция у достигает единицы, значит, в этот момент в данном месте
нарушилась сплошность тела (произошло макроразрушение) и
следует переформулировать краевую задачу в связи с возникно-
вением новой поверхности со своими граничными условиями.
Теория разрушения содержит условия, определяющие ориента-
цию и протяженность поверхности разрушения и величину им-
пульса ее разгрузки. Теория в определенной степени учитывает
все известные феномены, сопровождающие разрушение твер-
дых тел: влияние на процесс напряженного состояния, немоно-
тонного характера деформирования, обратимость в определен-
ной степени накопления повреждений, т. е. залечивание микро-
повреждений, акустическую эмиссию и т. п.
2.1. МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ МЕТАЛЛА ПРИ РАЗВИТОМ
ПЛАСТИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ
Как уже отмечалось, в металлофизике общепризнанно (см.,
например, [15]), что пластическая деформация металлов с на-
чальных моментов сопровождается накоплением числа микро-
скопических нарушений сплошности (повреждений) и ростом их
протяженности. В механике разрушения (см., например, [16—
18]) на основании этого предложено простейшее описание по-
врежденности материальной частицы скалярной величиной (ко-
торую мы примем здесь и обозначим у(?), как функцию времени,
но, конечно, для каждой частицы будет своя функция у(0), на-
званной поврежденностью. Эту величину нормируют: в момент
наступления макроразрушения y(iy) = 1, в начальный момент,
когда разрушения нет, у(0) = 0. Промежуточные значения у ука-
зывают на некоторый уровень поврежденности сплошности ми-
кронарушениями. В задачу создания модели разрушения, кото-
рой посвящена глава, входила формулировка на основе макроэк-
спериментов кинетического дифференциального уравнения
/(*.') №
at
описывающего эволюцию микроповреждений до макроразру-
шения, видимого, например, невооруженным взглядом. Для ре-
шения вопроса, наступит или нет макроразрушение материаль-
ной частицы, или каков будет уровень микроразрушения, урав-
нение (88) должно быть проинтегрировано для определения у.
186
Интегрирование должно осуществляться для конкретной мате-
риальной частицы.
Разработка феноменологической модели разрушения типа
(88) осуществляется по схеме: выдвижение варианта модели,
экспериментальная проверка ее, корректировка или новая фор-
мулировка модели, новая проверка и т. д. Покажем модель в
простейшей модификации, одной из последних на сегодня (из
многих предыдущих итераций).
Предполагается в дальнейшем, что для конкретного изучае-
мого процесса пластического деформирования металла решена
его краевая задача. Это значит, что в каждый момент в объеме
деформируемого тела определены не только траектории движе-
ния материальных частиц, поврежденность которых интересует
исследователя, но и тензорные поля, описывающие напряженно-
деформированное состояние, и другие параметры, о которых бу-
дет идти речь ниже. *
Расчетная траектория движения частицы должна быть разде-
лена на участки монотонной деформации. Деформация на уча-
стке будет монотонной, если все компоненты тензора Скоро-
сти деформации в сопутствующей (лагранжевой) системе ко-
ординат на протяжении этого участка не будут менять свое-
го знака. Границей соседних участков монотонной деформации
будет момент (или точка на траектории движения матери-
альной частицы), в который хотя бы один компонент тензо-
ра скорости деформации, меняя знак, обратится в нуль.
Разделение траектории движения материальной частицы,
подвергающейся при своем движении пластической деформа-
ции, на участки монотонной деформации обусловлено физичес-
кими причинами. Дело в том, что имеется отличие в механизме
накопления повреждений при монотонной деформации и немо-
нотонной (содержащей, по крайней мере, два участка монотон-
ной деформации и отличающейся сменой направления прираще-
ния деформации на границах этих участков). Есть такое объяс-
нение этого феномена. На участке монотонной деформации,
развивающейся в одном направлении, в металле возникают дис-
локации одного определенного знака. По мере развития дефор-
мации растет их число, возникают скопления дислокаций, приво-
дящие к образованию пор и трещин микроскопического разме-
ра. Смена направления деформации, которая происходит на гра-
нице участков монотонного деформирования, приводит в начале
следующего участка к возникновению дислокаций другого зна-
187
ка. Они взаимодействуют с дислокациями, возникшими на пре-
дыдущем участке монотонного деформирования. В результате
происходит частичная их аннигиляция (взаимное уничтожение) и
тормозится процесс разрушения.
Для отдельного участка монотонной деформации уравнение
(88) в работе [3] было предложено в таком виде:
dy/dt = Яф/ЛД^), Ш Н(Г)], < t < th (89)
где H = +2 J j — интенсивность скоростей деформации
сдвига; 72(D?) — второй инвариант девиатора скорости дефор-
мации; кх и к2 — независимые базовые безразмерные инвари-
анты тензора напряжений. Все это — результат решения кра-
евой задачи, записанный для конкретной материальной части-
цы в момент t на траектории ее движения. — пластичность
металла как функция характеристик напряженного состояния.
Эта функция устанавливается экспериментально и является
определяющим соотношением рассматриваемой теории разру-
шения. Пластичностью металла Ар = ЛД^, к2, Н) называют
его способность деформироваться без разрушения (макро-
скопического нарушения сплошности) в условиях монотон-
ного деформирования при постоянных кх, к2 и Н. Не следует
здесь смешивать пластичность со способностью материала
воспринимать остаточные деформации. Мерой пластичнос-
ти является степень деформации сдвига, которая подсчи-
тывается по формуле (интеграл берется для конкретной
материальной частицы)
Л=|яЛ. (90)
о
Итак, Лр = Л в момент макроразрушения при t = t*
Вообще говоря, в числе аргументов функции Лр = Ap(kx, к2, И),
как известно, может быть также температура. Однако для про-
цессов так называемого холодного деформирования указанного
набора аргументов, характеризующих только напряженное со-
стояние, вполне достаточно. Напряженное состояние должно
быть представлено тремя базовыми (независимыми) инвариан-
тами тензора напряжений, которые всегда сводятся к двум неза-
висимым безразмерным инвариантам. Из всех возможных ком-
188
бинаций ki и к2 целесообразно избрать те, которые наиболее су-
щественны в рассматриваемой функции А_, традиционные. В ра-
ботах Т. Кармана и П. Бриджмена [21, 22], выполненных в пер-
вой половине прошлого века, было показано существенное вли-
яние на пластичность гидростатического давления р или средне-
го нормального напряжения (первого инварианта тензора напря-
жений) о = -р. В теории пластичности часто применяются
инварианты: Т = |/2 (£>а) | — интенсивность касательных на-
пряжений, /2(£>ст) — второй инвариант девиатора напряжений и
показатель (кстати безразмерный) формы девиатора напряже-
ний (показатель Лоде) цст. Если учесть сказанное, то можно при-
нять
к, = а/Т; (91)
*2 = Ш = 2(о22 - а33)/(ап - а33) - 1, (92)
где, как известно, а = (ан + а22 + а33)/3; ан, а22, а33 — главные
нормальные напряжения.
Если материальная частица при пластической обработке все
время деформируется только монотонно, то поврежденность на
любой стадии формоизменения (в момент f) подсчитывается по
уравнению (89)
V(0 = J {Я (т)/ Лр (т), к2, Н (т) ]} di. (93)
о
Если же материальная частица при пластической обработке де-
формируется немонотонно (это должно показать решение крае-
вой задачи), то поврежденность к моменту времени t должна
быть подсчитана по-другому:
п
<94)
где п — число участков монотонного деформирования, которые
преодолела частица к моменту времени t; у, — величина, подсчи-
танная для г-го участка монотонного деформирования (/ = 1,...,
п) по соотношению (93); а, — некоторый показатель степени
(как оказалось, а, > 1, что формально отражает эффект тормо-
189
жения развития поврежденности при смене направления де-
формирования), который берется средним для условий, соот-
ветствующий z-му участку монотонного деформирования. Как
оказалось, а = а(кх, к2). Эта величина является вторым (после
Лр) определяющим соотношением в представленной теории
разрушения.
2.2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ МОДЕЛИ РАЗРУШЕНИЯ
И ЕЕ АДЕКВАТНОСТЬ
Рассмотрим эксперименты для определения зависимостей
Кр и а от показателей напряженного состояния кх и к2. Методи-
ка таких экспериментов не простая. Сложно подобрать такие
виды испытаний (одним видом испытания ограничиться, как
правило, невозможно), чтобы в месте макроразрушения мож-
но было определить предшествовавшую ему степень деформа-
ции Л = Лр, показатели кх и к2, чтобы испытание протекало при
постоянных показателях напряженного состояния и было мо-
нотонным. Непросто предугадать место на образце, где преж-
де всего можно ждать разрушения и своевременно его зафик-
сировать. Все эти трудности удалось в определенной мере пре-
одолеть, основываясь на технике испытаний материалов в
жидкости, находящейся под высоким давлением. Автор может
порекомендовать опыт своих коллег по Институту физики ме-
таллов УрО Российской академии наук и Уральскому государ-
ственному техническому университету (Екатеринбург) [7, 9,
19, 20], а также опыт группы британских исследователей, ру-
ководимой Х.Л. Пью [23].
Схематично опишем испытание на кручение в одну сторону
цилиндрических образцов в жидкости, находящейся под давлени-
ем р (рис. 6, а). На поверхности образца перед испытанием вдоль
образующей типографским способом наносится риска. Дефор-
мация в этом испытании протекает монотонно. Известно, что
при кручении реализуется чистый сдвиг. На поверхности образ-
ца под углом я/4 к его образующей направлены главные нор-
мальные напряжения ап = -р и о33 = -т, - р, где Ts — предел те-
кучести или сопротивление деформации при чистом сдвиге. (Эта
величина определяется по известным методикам при атмосфер-
ном давлении. Еще Бриджмен показал, что она не зависит от
давления р.) По нормали к поверхности образца действуют на-
пряжения <522 = ~Р- Этого достаточно, чтобы подсчитать показа-
190
Рис. 6. Схемы испытания на пластичность в жидкости, находящейся под высо-
ким давлением:
а — кручение, б — растяжение
тели напряженного состояния на поверхности образца, которые
имеют место при этом испытании (напомним, что Т = т5).
кх = -Р/Ч к2 = 0. (95)
По мере развития деформации при закручивании образца
материал будет несколько изменять свое сопротивление т, (в
связи с упрочнением или разупрочнением для нестабильных
материалов). Чтобы обеспечить кх = const, испытательное уст-
ройство может быть оснащено системой программного управ-
ления (ручного или автоматического), регулирующее нужным
образом р.
Макроразрушение начинается на поверхности образца (визу-
ально его наблюдать практически невозможно из-за того, что
образец находится внутри стального толстостенного контейне-
ра). Момент начала макроразрушения может быть зафиксиро-
ван по достижении скручивающим моментом М максимума либо
проще в результате осмотра и замеров образца после его извле-
чения из контейнера.
После испытания на поверхности образца будут видны тре-
щины или образец разделится на части. На границе с трещиной
либо на кромке излома образца измеряется угол <р (см. рис. 6, а)
наклона риски, напечатанной перед испытанием, к образующей
цилиндра. Можно показать, что
Лр = tgtp. (96)
Описанным способом можно получить при некотором значе-
нии кх (к2 = 0) значение Лр для отдельного испытываемого образ-
ца. Проводя серию испытаний для различных кх (для каждого от-
191
дельного образца свое значение kJ и аппроксимируя результаты
опытов, получаем зависимость
wM,.,' (97)
график которой называется диаграммой пластичности (см.
рис. 7, а—в, позиция 1).
С использованием той же аппаратуры можно исследовать
зависимость а = a(kj при к2 = 0. Для этого в жидкости высоко-
го постоянного или несколько регулируемого (для поддержа-
Рис. 7. Диаграммы Л,, = Лр(^|) сплавов (08Х18Н10Т (а), 12Х1МФ (б) и алюмини-
евого сплава АД-1 (в), полученные при кручении (кривые Л £2 = 0) и при растя-
жении (кривые 2, к^ = -1), а также диаграмма а = a(kj для некоторых сталей (г),
полученная при кручении (£2 = 0):
1 — сталь марки О8Х18Н1ОТ, 2 — Ст45,3 — 111x15 (здесь и везде во второй части книги обозначение
сплавов 08Х18Н10Т, 12X1 МФ и других дано в соответствии с российскими стандартами)
192
ния в испытуемом образце в течение опыта кх = const) давления
р осуществляют испытание на знакопеременное кручение до
разрушения. В таких испытаниях длина образца L (см. рис. 6, а)
должна быть достаточно малой, чтобы не было особой лока-
лизации деформации на этой длине. В рамках испытания от-
дельного образца величина закручивания в одну сторону (уча-
сток монотонного деформирования) должна поддерживаться
постоянной. При разрушении образца (М = 0) фиксируется ко-
личество участков монотонного деформирования п, накоплен-
ных металлом до разрушения. При одном и том же постоянном
кх проводят испытания серии образцов, меняя от образца к об-
разцу величину закручивания в одну сторону (“размах” закру-
чивания в одну сторону, или приращение степени деформации
на поверхности образца обозначим ДА). В результате испыта-
ния серии образцов при некотором кх (напомним, что при кру-
чении всегда к2 = 0) может быть получена эмпирическая зави-
симость ДА от п.
Аппроксимация этой эмпирической зависимости оказалась
очень удачной в рамках рассмотренной в разд. 2.1 модели разру-
шения металла. Если справедлива модель (93) и (94) и наступило
макроразрушение при испытании образцов на знакопеременное
кручение по описанной только что методике (при некотором кх),
запишем
£<=1, п\|Г'=1, (98)
1
где п — число участков монотонного деформирования в опы-
те знакопеременного закручивания образца до его разруше-
ния; а — не известный пока показатель степени; у = ДЛ/Л;)(^1),
так как в пределах опыта (даже серии при кх = const) интеграл
вычисляется элементарно; здесь Ap(£t) — уже известная диа-
грамма пластичности. В результате соотношение (98) приоб-
ретает вид
ДЛп1/2 = Лр^). (99)
В малоцикловой усталости известна эмпирическая зависи-
мость, связывающая “размах” деформации с количеством цик-
лов до разрушения ЬКп1 = с, которая с точностью до обозначе-
ний совпадает с соотношением (99). Это говорит в пользу адек-
193
ватности модели разрушения (93) и (94), к чему вернемся еще
раз позже. В соотношении (98) имеется одна неизвестная вели-
чина а. Ее определяют по результатам серии испытаний при
кх = const, подбирая значение по методу минимальной квадра-
тичной ошибки. Организуя “серию серий” путем варьирования
от серии к серии кх, можно получить искомое второе и послед-
нее для модели разрушения (93) и (94) определяющее соотно-
шение а = а(кх). На рис. 7, г, приведены некоторые экспери-
ментальные данные для ряда сталей. К сожалению, пока нет
данных о влиянии на а второго показателя — к2. Однако, как
покажем далее, модель работает с достаточной инженерной
точностью.
Перейдем к другому испытанию на пластичность (при дру-
гом Л2) — растяжению цилиндрических образцов в жидкости
под высоким давлением (рис. 6, б). Испытанию на растяжение
присуще явление, существенно осложняющее обработку экспе-
риментальных данных, — потеря устойчивости однородного
течения образца при достижении некоторой деформации. Де-
формация локализуется, образуется шейка (местное сужение),
в которой развивается дальнейшее пластическое течение, на-
пряженное состояние становится неоднородным и существенно
зависящим от параметров шейки а и R (см. рис. 6, б). Макрораз-
рушение начинается в центре шейки, там наименее благопри-
ятное напряженное состояние. Возникшая в центре шейки по-
лость быстро распространяется к периферии и образец разде-
ляется. Процесс распространения настолько быстрый, что диа-
метр образца по шейке не успевает существенно измениться.
Установлено, что деформации по всему сечению шейки одно-
родны.
Кинетику образования шейки изучали П. Бриджмен [22]
и X. Пью [23]. Из их исследований следуют два вывода:
1) У различных материалов при растяжении шейка образуется
и развивается по-разному, и не существует универсальной за-
висимости a/R от Л (даже для стали разных марок). Так, образ-
цы из разных сталей и сплавов имеют разное относительное
удлинение до начала локализации деформации — образования
шейки, по-разному меняется с развитием деформации пара-
метр a/R, характеризующий ее форму. 2) Зависимость a/R от Л
для одного и того же материала будет одинаковой при растя-
жении как при атмосферном давлении, так и в сжатой жидко-
сти.
194
Пластичность и показатели напряженного состояния при ис-
пытании на разрыв цилиндрических образцов в жидкости под
высоким давлением могут быть вычислены по формулам
Лр = 2^3 In(а0/О1); = -р/х- к2 = о, (ЮО)
Id = -р/тг + (1 + За/2Я)/Т1; Л2 = -1. (101)
Здесь подстрочными индексами 0 и 1 обозначены размеры до
разрыва образца и после него соответственно; показатель к{ под-
считан с использованием данных Н.Н. Давиденкова и Н.И. Спи-
ридоновой [24].
Испытание на пластичность Л? = Ap(^) при растяжении
(^ = -1) производят следующим образом. Несколько образцов
(настроечных) из подготовленных для испытания разрыв’ают
при атмосферном давлении в целях изучения кинетики измене-
ния параметра a/R образцов в зависимости от Л и получения кри-
вой упрочнения т, = т5(Л). Затем осуществляют испытанйе ос-
тальных образцов сериями, каждая из которых испытывается
при своем к}. Разрыв каждого образца следует производить, ре-
гулируя давление р (вручную или автоматически) так, чтобы
поддерживать заданное значение кх. На рис. 7, а—в кривыми 2
показаны результаты определения диаграмм пластичности при
к2 = -1 (для растяжения) некоторых сплавов.
Для получения данных о Лр при kt > 0,58 (жестче, чем при
строго одноосном растяжении) и = -1 применяют испытание
на растяжение цилиндрических образцов с выточками, имеющи-
ми различные значения a/R и играющими роль концентраторов
напряжений, или испытание на изгиб призматических образцов с
острым надрезом. Рассмотрим подробнее последний вид испыта-
ний на пластичность. Если изгибу подвергается широкий приз-
матический образец с острым надрезом (рис. 8), то для определе-
ния Ар = Ар(к/) при к2 = 0 можно воспользоваться решением Мак-
Клинтока о напряженно-деформированном состоянии в районе
острого надреза, полученным методом линий скольжения [25].
Это сделано в работе [26]. Оказалось, что при условиях испыта-
ния, когда 3,2° < ф < 57,3° и 1,299 < ajan < 1,423, в вершине над-
реза в/Т = п - ф, а Л = Дф (здесь изменение при деформации Дф
исчисляется в радианах). Диаграмма пластичности, полученная
экспериментально с использованием этих теоретических резуль-
татов приведена на рис. 9.
195
Рис. 8. Сетка линии скольжения в районе надреза у широкого призматического
образца при изгибе
Сведения о Лр = при к2 = 1 можно получить в испытани-
ях на выдавливание мембран в жидкости, находящейся под высо-
ким давлением. Такие испытания можно осуществить по-разно-
му, например, деформировать до разрушения мембрану из испы-
туемого материала, разделяющую две полости с жидкостью под
разным давлением.
В настоящее время в литературе накоплены довольно об-
ширные данные о диаграммах пластичности (но нет, к сожале-
нию, банка данных). Сформулируем по данным рис. 7 общие вы-
воды о диаграммах пластичности. 1. Если мысленно наложить
диаграммы пластичности друг на друга, то они будут пересекать-
ся. Нельзя говорить вообще об относительной пластичности тех
или иных металлов (в сопоставлении). Сравнение можно делать
лишь при ki = const и &2 = const. 2. Зависимость Лр от kt при
к2 = const всегда убывающая, хорошо аппроксимируется, напри-
мер, экспонентой или гиперболой, что может существенно со-
кратить на практике число опытов при определении диаграмм
пластичности. 3. В интервале изменения к2 от -1 до + 1 при
ki = const изменение пластичности неоднозначно (может расти,
но может и уменьшаться).
Обратимся к вопросу об адек-
ватности рассматриваемой в этом
пункте модели. Прежде прове-
рим, действительно ли расчетная
величина у характеризует неко-
торый уровень микроповрежде-
ний. На рис. 10 представлена мик-
Рис. 9. Диаграмма пластичности закаленной
и отпущенной рельсовой стали при к2 = 0
196
Рис. 10. Микроструктура образцов стали марки СтЗсп с различным уровнем
расчетного \|/ (фотографии получены с помощью сканирующего электрон-
ного микроскопа JSM-V3 с увеличением х15 ООО):
а — Y = 0,00; б — у = 0,45; в — у = 0,75; г — у = 1,00
роструктура образцов из стали марки СтЗсп с различным уров-
нем расчетного у (от 0 до 1). На исходный образец и образцы по-
сле пластической деформации были нанесены острые концент-
раторы напряжений, образцы были охлаждены до 77 К — ниже
предела хладноломкости стали и подвергнуты излому. На фото-
графии микроструктуры образца у = 0 хорошо видны большие
плоские фасетки скола (фс) с характерным ручьистым узором
веерообразной формы. Вся поверхность микроструктуры де-
формированных образцов представляет собой ямки (я) различ-
ных размеров, окруженные гребнями (г) пластически деформи-
рованного металла. Очевидно, что процесс разрушения начина-
ется с появления микроскопических трещин или пор, которые по
мере развития деформации сливаются в более крупные дефекты
и воспринимаются на фотографии как ямки, которые разделены
гребнями металла, разрушенного в последний момент при подго-
товке образцов.
Возникновение и развитие микроповреждений при пластиче-
ской деформации, как оказалось, проявляется в изменении плот-
ности материала. На рис. 11 точками показаны значения плотно-
сти стали марки СтЗсп в зависимости от расчетного Vi, получен-
ные в результате измерений. Примечательно, что изменение р
от у происходит линейно (сплошная линия).
Адекватность рассматриваемой здесь модели находится, по
крайней мере как указывалось выше, на уровне адекватности
модели разрушения при малоцикловой усталости Мэнсона—
Коффина. Какова точность модели при сугубо малом числе
этапов монотонной деформации (часто число таких этапов со-
ставляет 0—3)? На рис. 12 точками показаны результаты опы-
тов по двухэтапному деформированию до разрушения. Образ-
цы подвергались растяжению до некоторой величины повреж-
денности у1( а затем скручивались на величину Д° разруше-
ния. Расчет у, и у2 производился по формуле (93). Сплошная
линия — результат применения модели (93) и (94). Модель до-
статочно точна.
Несомненно, точность модели может быть повышена. Не
претендуя на полноту, отметим некоторые пути ее совершенст-
вования. И.А. Кийко, следуя идеям А.А. Ильюшина, предлагает
поврежденность описывать не скалярной величиной, а тензором
более высокого ранга [27]. А. А. Богатов предлагает представить
подынтегральное выражение в соотношении (93) нелинейноза-
висимым от скорости накопления пластической деформации [7].
198
Рис. 11. Зависимость плотности стали марки СтЗсп от ее поврежденности в ре-
зультате пластической деформации
Рис. 12. Результаты экспериментов (точки) и расчетная кривая поврежденности
при двухэтапном деформировании (растяжение и скручивание) до разрушения
Б.А. Мигачев и автор выдвинули более общее кинетическое
уравнение (89) [28]. В.А. Огородников считает, что подынтег-
ральное выражение в формуле (93) должно содержать не только
значения инвариантов кх и к2, но и их производные по времени
[Ю].
Как видно из материала рассматриваемого раздела, в настоя-
щее время развита методика экспериментального нахождения
определяющих функций теории разрушения
Л^^л.я.е),
а = а(кх, к2, Н, 6) (102)
только лишь от показателей напряженного состояния. Давно из-
вестно, что при ударном или высокоскоростном нагружении мо-
жет играть существенную роль скорость деформирования Н, a
также температура 0 [29]. Автору не известны систематичес-
кие исследования совместного влияния на пластические свой-
ства (Кр, а) всех отмеченных аргументов, он считает актуаль-
ным проведение таких очень не простых работ.
Автору представляется, что начало таких исследований по-
ложено работой [30]. Было изучено изменение пластичности
поликристаллического молибдена и технически чистого тита-
на при комнатной температуре и под давлением от атмосфер-
199
Рис. 13. Зависимость пластичности от логарифма скорости деформации для
молибдена (а) и титана (б) при давлениях жидкости р = 0,1 (7), 200 (2), 500 (3) и
800 МПа (4)
ного до 1000 МПа в зависимости от скорости деформации в ин-
тервале ее изменения в четыре порядка. Испытания проводи-
лись на растяжение цилиндрических образцов до разрыва в
жидкости высокого давления. Измерения размеров образцов
до испытания и после него осуществлялись на инструменталь-
ном микроскопе. В качестве характеристики пластичности ис-
пользовали Лр) скорость деформации определялась как сред-
няя за период испытания интенсивности скорости деформации
сдвига Н в месте разрыва.
На рис. 13 показаны результаты опытов в полулогарифмиче-
ских координатах. Видно, что зависимость Лр от \пН для всех дав-
лений описывается прямой линией, причем с ростом давления
(естественно, с уменьшением = а/Т) наклон прямых становит-
ся больше. Хотя интервал изменения скорости деформации был
большим, но он не покрывал скорости деформации, характер-
ные для ударного нагружения. Однако в первом приближении
для ударных процессов вид функциональной зависимости Лр от
1пЯ можно принять таким же.
Выскажем некоторые рекомендации для разработки методики
нахождения определяющих соотношений (102). Осуществить экс-
перименты по нахождению указанных функций в широком диапа-
зоне изменения всех указанных аргументов для различных матери-
алов чрезвычайно сложно хотя бы из-за их многочисленности.
Действительно, при классическом подходе необходимо каж-
дый эксперимент, по возможности, провести при фиксирован-
200
ных значениях аргументов и определить в момент разрушения
накопленную к этому моменту степень деформации сдвига Лр. А
это вряд ли возможно при динамическом нагружении. Действи-
тельно, даже в простейшем случае одноосного деформирования
напряженное состояние во времени при деформировании не бу-
дет постоянным из-за волновых процессов, происходящих в об-
разце. Скоростные процессы деформирования, которые имеют
место при ударном нагружении, близки к адиабатическим, а это
связывает между собой Я и 0. Очень трудно зафиксировать Лр в
месте разрушения из-за возможной локализации деформации,
измерение макроскопических размеров образцов может не обес-
печить необходимую точность определения Лр. Нет альтернати-
вы упрощениям, например указанным ниже.
Вид определяющих функций Лр = \(ky к2), а = а(ки к2~) при
статических испытаниях в настоящее время в основном извес-
тен: от к{ зависимость может быть принята экспоненциальной
или гиперболической, а от &2 — линейной. Можно сделать для
начала предположение, что качественно эти зависимости оста-
нутся такими же и при высоких скоростях деформирования. Ес-
ли исследователь выбрал конкретный вид определяющих функ-
ций, в том числе и от аргументов Н и 9, то количество экспери-
ментов существенно уменьшится и будет зависеть от числа неиз-
вестных коэффициентов в этих функциях.
Динамические испытания для определения (Лр, а>в достаточ-
но широком диапазоне изменения аргументов для этих функций
должны иметь простую форму (например одноосное растяже-
ние, сжатие, изгиб и др.), чтобы без основания не усложнять ре-
шения краевых задач по определению напряженно-деформиро-
ванного состояния испытуемого материала в этих опытах. Опре-
деление искомых коэффициентов следует производить с исполь-
зованием идей идентификации динамических объектов (см., на-
пример, [31—34]).
23. МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА МИКРОНАРУШЕНИЯ
СПЛОШНОСТИ
Многие технологические процессы деформирования сопро-
вождаются термическим воздействием. Так, холодную деформа-
цию листа, труб, проволоки часто осуществляют в несколько
циклов, каждый из которых сопровождается промежуточными и
окончательным отжигами. При термической обработке отжи-
201
гом идут процессы разупрочнения металла и восстановления его
пластических свойств. Следует отметить, что природа процессов
разупрочнения и восстановления пластичности различная. В ос-
нове восстановления пластичности лежат диффузионные про-
цессы переноса вещества в поры и микротрещины, а этих не-
сплошностей — к поверхности тела. Помимо диффузии идет
процесс рекристаллизации. Для расчета технологии изготовле-
ния холоднодеформированных изделий с отжигами необходимо
в рамках представленной выше модели разрушения дать матема-
тическое описание того, как происходит восстановление запаса
пластичности (или уменьшение микроповрежденности) при от-
жиге.
Может быть для понимания процессов ударного деформиро-
вания материал этого раздела не имеет столь большого значе-
ния, как для прокатки, волочения, резания и других технологиче-
ских процессов, но он важен, как нам представляется, для смеж-
ных процессов. Действительно, удар с последующей пластичес-
кой деформацией может сопровождаться значительным тепло-
вым эффектом. Что происходит с поврежденностью после тако-
го удара, как поведет себя материал (разрушится или нет) при
последующих воздействиях? Далее, ударное нагружение зачас-
тую связано с проблемами внутренней баллистики. Метатель-
ные орудия также могут разрушаться, во всяком случае, в них
накапливаются при работе микроповреждения, они разогрева-
ются и под воздействием тепла в них происходят некоторые про-
цессы с изменением этих микроповреждений.
Для решения этой задачи была разработана следующая мето-
дика экспериментов. Опыты осуществляют с металлом, пластич-
ность которого Ар = Ap(ki, уже известна. Образцы опытной пар-
тии подвергают пластической деформации, каждый образец до
своей поврежденности у, (например растяжением, но не до разры-
ва), на разную степень деформации сдвига Ар = In (</о/с0, где
do и dt—диаметры образцов до растяжения и после него. Для каж-
дого из образцов с помощью диаграммы пластичности определяют
Vi = Aj/Ap, имея в виду, что процесс растяжения монотонный. За-
тем все образцы подвергают отжигу по избранному режиму (тем-
пературе 0 и времени выдержки f). При отжиге произойдет восста-
новление пластичности или уменьшение поврежденности образ-
цов на величину Ду. Все образцы после отжига вновь подвергают
пластической деформации в том же направлении, но уже до разру-
202
шения. При этом определяют Л2 и вычисляют у2 = KJKp. Вторая
пластическая деформация играет вспомогательную роль для опре-
деления Ду. По-видимому, поскольку образцы вторым деформи-
рованием доведены до разрушения, для них итоговое значение
у = - Ду + у2 = 1,
а это позволяет определить искомое уменьшение поврежденно-
сти в результате отжига по избранному режиму
Ду = у, + у2- 1.
(ЮЗ)
На рис. 14 для примера приведены результаты определения
уменьшения поврежденности Ду при отжиге некоторых сталей и
титанового сплава. Режимы отжига были: для сталей —
0 = 550...750 °C и t = 5—300 мин, а для титанового сплава
0 = 680 °C и t = 60 мин. Представленная здесь зависимость оказа-
лась достаточно распространенной для разных металлов и спла-
вов, чтобы сделать общие выводы.
Восстановление пластических свойств (или уменьшение по-
врежденности) Ду при рекристаллизационном отжиге в сильной
степени зависит от уР Можно указать три диапазона уь в рамках
которых будет разная степень восстановления, разделенная двумя
критическими значениями поврежденности у. и у,*. Если в резуль-
тате деформации поврежденность была в . диапазоне
0 < у, < у„ то при отжиге произойдет полное ее исчезновение. Ес-
ли же у, < У1 < у„„ то обычным рекристаллизационным отжигом
деформационную поврежденность устранить полностью не удаст-
ся, однако с ростом у еще про-
должает увеличиваться Ду. При
у, < у„ Ду начинает падать и об-
ращается в нуль при у = 1. Следу-
ет отметить интересный факт, ус-
тановленный экспериментально:
если термическую обработку осу-
ществлять при одновременном
Рис. 14. Уменьшение поврежденности
металла (стали марок 12Х18Н10Т, СтЗсп
и титанового сплава ВТ1-0), полученной
при пластической деформации, в резуль-
тате рекристаллизационного отжига.
Линия 1 штриховая — при наложении в процессе тер-
мообработки гидростатического давления
203
Рис. 15. Кинетика изменения повреж-
денности, полученной в результате
пластической деформации Ст20 при
термической обработке при темпера-
туре 600 °C:
V1:1 _ 0; 2 — 0,2; 3 — 0,6; 4 — 0,7
воздействии давления (на уровне
напряжения ползучести), то кри-
тическая величина у* сдвигается
к единице, т. е. под воздействием
гидростатического давления су-
щественно интенсифицируются
процессы переноса вещества в
нарушения сплошности (линия 1 на рис. 14).
Наряду с выбором по достижении которого следует прово-
дить термическую обработку, необходимо решить другую задачу
при создании технологии холодной деформации с отжигами: вы-
брать режим термической обработки (температура и продолжи-
тельность выдержки), обеспечивающий полное восстановление
пластичности или залечивание микроповреждений. Для этого необ-
ходимо рассмотреть изменение у во времени при некоторой темпе-
ратуре термообработки, если при t = 0 у = Изложенная выше
методика позволяет решить эту задачу. Для примера на рис. 15 по-
казана временная зависимость для стали марки 20 и температуры
отжига 600 °C. Нижняя кривая (для = 0) означает, что отжиг за-
готовки перед деформацией, например, горячекатаного металла
может привести к повышению его пластичности за счет залечива-
ния микроповрежденности, возникшей на стадии горячей прокат-
ки. Кривые имеют три характерных участка: АВ—экспоненциаль-
ного быстрого уменьшения поврежденности; ВС — значительного
замедления процесса восстановления пластичности металла и даже
его остановки; CD — дальнейшего ускорения восстановления.
Если сделать предположение, что поврежденность металла
Vi, полученная им в результате пластической деформации, при
отжиге изменяется по экспоненте (в приведенном на рис. 15 при-
мере в пределах 0,5 ч)
у(0 = у,ехр(-рг)> (104)
то здесь Р > 0 — показатель “крутизны” экспоненты, вообще гово-
ря, является функцией условий термообработки (в частности, как
уже отмечалось, гидростатического давления) и третьим опреде-
ляющим соотношением рассматриваемой теории разрушения.
204
2.4. ФРАГМЕНТАЦИЯ ТЕЛ ПРИ РАЗРУШЕНИИ
Выше в постановке краевой задачи в разд. 1.6 предполага-
лось (как обычно), что материальный объем V в процессе де-
формирования остается сплошным, он не разделяется на части,
в нем не образуются макроскопические полости или макротре-
щины, т. е. не происходит макроскопическая фрагментация де-
формируемого тела. Однако происходит процесс накопления
(или, во всяком случае, изменения) микроповрежденности как-
то представляемый величиной у. Рассуждения и решение крае-
вой задачи были справедливы (насколько справедлива механика
сплошных сред) до момента потери сплошности tf— начала ма-
кроскопической фрагментации. Этот момент в то же время мож-
но считать моментом начала следующего этапа — нового реше-
ния новой краевой задачи, потому что на возникших поверхнос-
тях начинают действовать дополнительные граничные условия,
которые требуют постановки очередной краевой задачи. Этот
этап будет продолжаться вплоть до образования следующих но-
вых поверхностей и т. д.
Определить момент начала фрагментации tf, а также момен-
ты последующих макроразрывов можно с помощью теории раз-
рушения, описанной в разд. 2.1—2,3. Напомним, что по этой те-
ории в каждой материальной частице деформируемого тела про-
исходит накопление микроповреждений \|Д К моменту t у(Г) под-
считывается с помощью некоторых кинетических соотношений.
Для этого, во-первых, решается соответствующая краевая зада-
ча. Во-вторых, назначаются или определяются в специальных
экспериментах пластические характеристики деформируемого
тела. Поврежденность \|/ подсчитывается для каждой материаль-
ной частицы. Для этого на траектории ее движения выделяются
участки монотонного деформирования. На таком участке ком-
поненты тензора скорости деформации движущейся частицы не
меняют знак. Обозначим tlt t2,.... tn_i — моменты времени смены
знака компонентов тензора скорости деформации (перехода че-
рез нуль хотя бы одного). На первом участке
(Го < t < Г]) поврежденность определится
W) = Vi('),
H(t) z ч л
205
на втором участке tt < t < t2
= [Vi(?i)]ai + [V2(0]“2,
dy2 H(t) , ч л
л лДадад]’
на n-м участке tn^<t< tx
vW=Lv,“'>
dyn '=1 H(t) , , n W
dt
К моменту разрушения (t = tj)
V(O = W = 1. (Ю6)
материал из-за насыщения микроповрежденностями охрупчива-
ется и готов образовать макротрещину (начало фрагментации
тела). Условие (106) — это условие окончания решения краевой
задачи в принятой до этого постановке и начало нового этапа —
нового решения. Как найти tf, место макроразрыва и сформули-
ровать на новых поверхностях краевые условия?
Расчет поврежденности по представленному алгоритму осу-
ществляется вслед за интегрированием во времени дифференци-
альных уравнений, позволяющим получить, как описано ниже,
приближенное решение краевой задачи. В каждый момент t ре-
шается задача поиска координат х точки в объеме тела V, в ко-
торой максимальна поврежденность
maxly (t) 1. (107)
xeV L J
Момент t = tf определится, когда максимальное значение у, со-
гласно условию (106), достигнет единицы:
Одновременно будет найдена точка (или точки), в которой воз-
никнет макротрещина.
206
Как будет ориентирована поверхность макротрещины? Мож-
но предположить, что, если разрушению предшествовала пласти-
ческая деформация, то трещина будет ориентирована в момент
t = tf по площадкам максимальных касательных напряжений и бу-
дет иметь конечные размеры в связи с непрерывным изменением
у в объеме V. Размеры могут быть вычислены в результате реше-
ния новой краевой задачи и расчета напряженно-деформированно-
го состояния в окрестности трещины.
На площадках максимальных касательных напряжений каса-
тельные и нормальные напряжения соответственно будут
тя = (ап - а33)/2; = (ап + а33)/2. (109)
Если при t = tfB точке с Y=Vmax=l <7п-0, то образуется трещина со
свободными от поверхностных напряжений “берегами” т„ = =
0. На берегах образовавшейся трещины произойдет ударныц об-
разом разгрузка на величину
Дт„ = t„; Ло„ = о„. (110)
Если же при t = в точке с у = ymax = 1 ая < 0, то образуется тре-
щина скола с не свободными от поверхностных напряжений бе-
регами. На них ударным образом произойдет разгрузка на вели-
чину
Дтя = 1тя1 - ц1ая1, ‘ (111)
если предположить, что трение между берегами трещины скола
будет происходить по закону Кулона (ц — коэффициент тре-
ния). В дальнейшем решении берега трещины скола следует рас-
сматривать как поверхности с трением скольжения. Ударная
разгрузка на берегах трещин проявляется, как нам представля-
ется, в реальном физическом процессе пиками ультразвуковой
эмиссии.
2.5. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ И ОПЫТ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛИ
РАЗРУШЕНИЯ
Изложенная в разд. 2.1—2.4 теория разрушения при разви-
том пластическом деформировании была разработана для про-
цессов обработки металлов давлением. Она нашла довольно об-
ширное применение на практике, о чем будет кратко сказано в
207
этом разделе. Следует отметить, что применение теории для
практических нужд осуществлялось параллельно с ее развитием
и уточнением. Поэтому, как нам представляется, это дополни-
тельно подтверждает ее приемлемость для инженерной практики.
Нельзя ли расширить применение этой теории на другие об-
ласти человеческой деятельности, смежные с обработкой метал-
лов давлением? Такой, может быть самой близкой областью,
нам кажется, являются процессы ударного нагружения, проника-
ния и пробивания металлических тел, которым свойственны
большие пластические деформации и макроразрушение (фраг-
ментация) как тел-мишеней, так и тел-снарядов. В этих процес-
сах почти все обстоит так же, как при обработке металлов дав-
лением. Есть только одно принципиальное отличие — это ско-
рость деформирования — она существенно выше. Это отличие,
как нам представляется и о чем мы уже писали в разд. 2.2, не от-
вергает представленной в этой главе теории разрушения, а тре-
бует развития методов нахождения определяющих соотноше-
ний, а именно функций (102) для области больших скоростей де-
формирования.
Кратко укажем на работы, в которых нашла применение и
развитие описываемая здесь теория разрушения. В монографии
[7], а также в работах [35—39] А.А. Богатов с сотрудниками,
развивая ее в несколько ином варианте, приводят довольно мно-
го примеров ее применения для усовершенствования технологии
производства холоднодеформированных труб, проволоки и дру-
гих металлоизделий.
Эффективным оказалось применение теории разрушения для
выбора режимов термической обработки металла перед холодным
деформированием, обеспечивающих лучшие пластические свойст-
ва металла [35, 36]. Правильный выбор не всегда можно сделать
обычным образом, опираясь на результаты стандартных испыта-
ний на пластичность, полученные, например, при растяжении. На-
помним, что диаграммы пластичности (см. рис. 7) зачастую пересе-
каются. Это значит, что диаграммы пластичности (кстати, одного и
того же металла), до термообработки и после нее также могут пе-
ресекаться. Поэтому относительная пластичность, определенная
при стандартных испытаниях, может оказаться обратной при на-
пряженном состоянии, свойственном технологическому процессу.
Использование теории разрушения позволило осуществить мо-
делирование гипотетического технологического процесса на ста-
дии разработки нового металлообрабатывающего оборудования и
208
повлиять на выработку проектных решений. Так было, например,
при проектировании поточной линии с трехкратным (без проме-
жуточных отжигов) волочением труб. Надо было спроектировать
линию, на которой получались бы трубы без трещин и с хороши-
ми эксплуатационными свойствами. Моделирование развития по-
врежденности при волочении и других технологических операциях
позволило найти самые благоприятные конструктивные и техно-
логические параметры нового процесса. В дальнейшем практика
показала правильность выбранных решений [37].
В работах [38, 39] продемонстрирована эффективность ис-
пользования теории разрушения для выбора альтернативных
технологий и их параметров. Удалось значительно снизить брак
по причине разрушения при изготовлении прутков из сплава
W—Ni—Fe и вольфрамовой проволоки.
Б.А. Мигачев с сотрудниками исследовал проблемы разру-
шения металлов при их горячем деформировании, что нашло от-
ражение, в частности, в монографии [40] и статьях [41—45].
Изучая способность малопластичных инструментальных ста-
лей деформироваться без разрушения, авторы обнаружили эф-
фект повышения пластичности таких сталей перед горячей ков-
кой за счет высокотемпературного термоциклирования слитков
на последних стадиях нагрева [40]. Следствием подобного нагре-
ва таких структурно неоднородных сплавов является существен-
ное пластифицирование металла приповерхностных Ъюев слит-
ков. В работе [41] решалась проблема повышения способности
крупных слитков массой до 100 т деформироваться без разруше-
ния. Оказалось, что формирование в слитке при нагреве неодно-
родного поля температур может создать за счет температурных
напряжений более благоприятную схему напряженного состоя-
ния в опасных (с точки зрения разрушения) местах слитка.
Разрушение металлов при горячей деформации более слож-
ное явление, чем описано выше. В этом случае параллельно с
процессом накопления повреждений от деформации и их залечи-
ванием за счет диффузии может идти процесс структурных изме-
нений в металле (меняются размер и форма зерен, соотношение
и взаимное расположение фаз и др.). В работах [42,43] приведен
интересный экспериментальный материал.
Оценка момента макроразрушения в представленной теории
довольно субъективна. Напомним, что макроразрушение считает-
ся наступившим, если появилась макротрещина, видимая невоору-
женным глазом. Очень важно оценку степени поврежденности де-
209
формационными дефектами осуществлять физическими метода-
ми. Интересные результаты применения физических методов в до-
полнение к теории разрушения приведены в работах [44,45].
Завершая изложение теории разрушения металлов при их
пластическом деформировании, следует отметить одну немало-
важную деталь. Многие тела, участвующие в процессах ударно-
го взаимодействия (мишени, пробойники, снаряды и т. п.), изго-
товлены обработкой металлов давлением. Они могут иметь ос-
таточную поврежденность из-за недостатков технологии, кото-
рая не может не отразиться на процессе разрушения при удар-
ном нагружении. Специалисту, занимающемуся проблемами
ударного нагружения и разрушения, следует иметь в виду это об-
стоятельство. Разрушающиеся мишени и снаряды, возможно,
имеют потенциальную способность лучше сопротивляться удар-
ным воздействиям; он должен уметь найти такие резервы в тех-
нологии изготовления мишеней и снарядов.
2.6. ОБОБЩЕНИЕ МОДЕЛИ НА ДРУГИЕ СЛУЧАИ РАЗРУШЕНИЯ
(УСТАЛОСТЬ МЕТАЛЛОВ ПРИ МЕХАНИЧЕСКОМ
И ТЕРМОЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ)
Формулировка теорий разрушения, в том числе и рассматривае-
мой здесь, происходит по классической схеме. Процесс этот в неко-
тором роде перманентный. Выдвигается математическая модель;
предпринимается ее проверка по экспериментальным данным, изве-
стным из литературы и из собственных опытов; через некоторое
время выдвигается новая, уточняющая предыдущую, формулиров-
ка и опять предпринимается проверка ее на опыте и т. д. Участие в
этом процессе (особенно изучение экспериментальных данных по
усталости металлов—см., например, [46—50]) подтолкнуло нас вы-
двинуть модель разрушения более общую, чем изложенная выше в
этой главе, которую мы и представим как некую первую итерацию,
нуждающуюся в экспериментальной проверке и уточнении.
Механика сплошных сред имеет дело с линейными, поверхност-
ными и объемными элементами сплошной среды, включающими,
по крайней мере, несколько зерен-кристаллитов. Назовем эти эле-
менты макроскопическими, а зерна — микроскопическими объек-
тами (рис. 16). В настоящее время она вынуждена не рассматривать
более мелкое строение вещества. Правда, по мере развития вычис-
лительных возможностей этой дисциплины будут включаться в
рассмотрение все более мелкие элементы структуры.
210
Рис. 16. Схема макроскопического
элементарного объема деформируе-
мого тела.
Микроскопические объекты — зерна или кри-
сталлиты металла; субмикроскопические объ-
екты — повреждения сплошности (штрихи) на
зернах
Рассмотрим достаточно ма-
лые деформации макроскопиче-
ских элементарных объемов ре-
альных металлов в процессах
упругого деформирования за
счет механических или тепло-
вых нагрузок. Хотя их принято считать упругими или обратимыми,
на самом деле, строго говоря, они такими не являются. Вследствие
неоднородности строения упругие деформации макроскопических
частиц (объемов) реальных металлов сопровождаются локальными
субмикроскопическими и микроскопическими пластическими (не-
обратимыми) деформациями и возникновением субмикроскопичес-
ких нарушении сплошности. Действительно, известно, что уцругая
деформация макроскопических образцов обязательно проявляет
так называемое внутреннее трение с диссипацией механической
энергии, т. е. превращением ее в тепло за счет пластических дефор-
маций и разрушения структуры в микрообъемах. Есть и другие экс-
периментальные подтверждения приведенного здесь довольно ста-
рого тезиса (см., например, [51]), который когда-то в середине про-
шлого века высказывал Н.Н. Давиденков.
Также известно, что пластическая деформация металлов (пусть
даже в микрообъемах) всегда сопровождается образованием и раз-
витием субмикроскопических нарушений сплошности по мере рос-
та деформации. Как и прежде, назовем это поврежденностью у и
вложим в эту переменную тот же смысл, что и раньше, т. е. что
до деформации f = 0, а в момент образования макротрещины
\|/ = 1 и что \|/ достаточно гладкая функция координат и времени.
Будем считать (а это, вероятно, справедливо в первом приближе-
нии для монотонного развития деформации макрообъема), что
скорость приращения у пропорциональна скорости приращения
макродеформации (макроскопического объема на рис. 16). В каче-
стве скорости приращения деформации следует принять величину
интенсивности скоростей деформации, составленную из второго
инварианта тензора скорости деформации так: Е =
+2^|z2(t5)|.
211
Кстати говоря, если принять в частном случае, что материал не-
сжимаемый, то = D^, а Е = Н. Заметим, что величина
t
jEdT = X (112)
о
может быть названа степенью деформации. Формула (112) учиты-
вает всю деформацию, претерпеваемую материальной частицей, а
формула (90) не учитывает шаровую часть тензора скорости де-
формации.
Таким образом, для отдельного участка монотонного дефор-
мирования можно записать такое кинетическое уравнение для
поврежденности:
dijf/dt = Cfk^t), k^t), E(t)]E(f). (113)
Здесь С = С(к1г к2,Е) — функция, определяемая из эксперимен-
тов, она характеризует интенсивность нарастания поврежденно-
сти и является первым определяющим соотношением излагае-
мой здесь теории разрушения. Для оценочных расчетов она, ве-
роятно, может быть принята такой: С ~ \1Кр. Функции к{ = k{(t),
к2 = £2(0 и Е = E(t) находятся из решения краевой задачи конкрет-
ного процесса. Общая поврежденность материальной частицы
деформируемого тела, претерпевшей п этапов монотонного де-
формирования к моменту t, вычисляется так:
п
У® (114)
1
где a = a(kx, к2, Е) — вторая определяющая функция теории.
Математическая модель (113) и (114) совпадает во многих
конкретных и частных случаях с известными эмпирическими за-
висимостями, установленными к настоящему времени для уста-
лости металлов от механических и тепловых нагрузок.
Завершая главу, скажем, что сформулирована краевая задача
механики твердого деформируемого тела. Мы привели в ней недо-
стающие соотношения для краевой задачи разд. 1.6. Настала пора
ее решения. В настоящее время автору не известны иные продук-
тивные методы решения представленной сложнейшей математи-
ческой задачи, кроме того, который будет представлен в следую-
щей главе.
3. ВАРИАЦИОННЫЕ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ РАЗВИТОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ
В разд. 1.6 сформулирована краевая задача механики разви-
того деформирования. Она поставлена в достаточно общем ви-
де, чтобы удовлетворить потребности механики ударного взаи-
модействия, обработки металлов давлением, резанием и других
подобных прикладных дисциплин. В принципе, решение этой
краевой задачи может быть достигнуто различными методами.
Известно, что в настоящее время нет метода точного ее реше-
ния. Очень мал выбор и в методах приближенного решения.
Автор предлагает в этой главе свой приближенный метод, а
всякое приближение вынуждает чем-то жертвовать. Разберемся,
чем мы жертвуем в нашем методе? Все уравнения механики
сплошных сред можно разделить на три группы: кинематика, ди-
намика и определяющие соотношения. Если первые две группы
можно считать точными (во всяком случае, точнымй'настолько,
насколько точна ньютоновская механика), то определяющие со-
отношения формулируются на основании экспериментов и, ко-
нечно, всегда будут приближенными, как-то отражающими в ма-
тематической форме сложнейшие взаимосвязи между напряжен-
ным и деформированным состояниями различных материалов.
Особенностью предлагаемого метода является то, что прибли-
женное решение, полученное по этому методу, точно удовлетво-
ряет всем соотношениям кинематики и динамики, а определяю-
щие соотношения удовлетворяются приближенно. Метод позво-
ляет конструировать решение, все более точно удовлетворяю-
щее определяющим соотношениям. Но есть ли смысл удовле-
творять определяющие соотношения с большей точностью, чем
точность экспериментов, которые были поставлены для форму-
лировки определяющих соотношений? Ответ очевиден — такой
нужды нет.
Хотя выбор в приближенном методе решения рассматривае-
мой краевой задачи небольшой, но он есть. Нужен ли новый ме-
213
тод, когда известны методы верхней и нижней оценок, метод ко-
нечных элементов, когда довольно много коммерческих про-
грамм расчетов по этим методам? Разберем обобщенно публика-
ции последних лет по этому предмету в прикладных журналах
(автор не исключает того, что он мог что-то пропустить в своем
анализе и приносит извинения).
Суть методов расчета кратко и схематично состоит в следу-
ющем. В статьях, обзорах и книгах, а также в пакетах программ
применяются экстремальные или вариационные теоремы тео-
рии пластичности (принципы Лагранжа, Журдена или функцио-
нал Маркова). Так, к примеру, согласно принципу Лагранжа,
рассматриваются (конструируются) кинематически возможные
поля малых перемещений, которые удовлетворяют всем кине-
матическим ограничениям: линейным соотношениям связи ком-
понентов тензора деформации и компонентов перемещений, ки-
нематическим граничным условиям, а также условию несжимае-
мости, если материал обладает таким свойством. Решение зада-
чи или, другими словами, действительное поле перемещений оп-
ределяется из множества этих кинематически возможных состо-
яний путем минимизации соответствующего функционала по пе-
ремещениям (напомним, что в принципе Лагранжа ни скорости,
ни ускорения не варьируют, варьируют только малые переме-
щения). То поле перемещений, которому соответствует мини-
мум функционала, является решением задачи и его называют
действительным полем. Дифференцируя по координатам най-
денное действительное поле перемещений, получают поле тен-
зора деформации. Используя определяющие соотношения, по
полю деформаций можно вычислить поле напряжений. Заме-
тим, что найденное таким путем поле напряжений не удовлетво-
ряет уравнениям ньютоновской динамики (ни дифференциаль-
ным уравнениям равновесия для медленных течений, ни диффе-
ренциальным уравнениям движения, когда существенную роль
играют распределенные инерционные нагрузки, ни граничным
условиям в напряжениях, ни другим соответствующим соотно-
шениям). Почему это происходит? Потому что на практике ре-
шение получается приближенным, несмотря на то что в точнос-
ти удовлетворяются все кинематические соотношения, а при вы-
числении полей напряжений по полям перемещений использу-
ются (а значит, точно выполняются) определяющие соотноше-
ния. Приближенное решение жертвует точным удовлетворени-
ем ньютоновской динамике.
214
Кинематически возможные (виртуальные) поля перемещений
в решениях принимаются приближенными. Так, по методу конеч-
ных элементов виртуальные перемещения задаются в узлах сетки,
разбивающей деформируемое тело на конечные элементы. В пре-
делах каждого конечного элемента принимается некоторая изве-
стная (чаще линейная) аппроксимация перемещений, однозначно
определенная по значениям виртуальных перемещений в узлах.
Таким образом, задача минимизации функционала сводится к зада-
че поиска минимума функции, зависящей от значений перемеще-
ний в узлах сетки. В пределе, если размеры конечных элементов
устремить к нулю (или их число устремить к бесконечности), поля
напряжений будут стремиться ко все лучшему удовлетворению
уравнений ньютоновской динамики в среднем по объему. Однако,
в численных расчетах указанные пределы (нуль и бесконечность)
недостижимы, и поля напряжений всегда будут “неньютоновски-
ми”. Далее, поскольку невязка в приближенном удовлетворении
ньютоновской динамике стремится к нулю в среднем по объему
тела, то в некоторых малых областях она может оказаться боль-
шой, что вряд ли допустимо для прогноза разрушения матерйала в
этих областях. Решив задачу с использованием принципа Лагранжа
(напомним, для малых перемещений), авторы многих работ осуще-
ствляют ту или иную шаговую процедуру, чтобы описать значи-
тельное формоизменение.
Заметим, что часть авторов поступают более корректно, от-
давая предпочтение для описания больших деформаций принци-
пу Журдена и теории течения, а не принципу Лагранжа и дефор-
мационной теории. Когда применяется принцип Журдена, варьи-
руют только поля скоростей (ни перемещения, ни ускорения не
варьируют). Используются те же идеи дискретизации деформи-
руемого тела, как и в случае применения принципа Лагранжа.
По полю скоростей перемещений определяют поля скоростей
деформаций, затем с использованием определяющих соотноше-
ний иногда вычисляют поля напряжений. Поля напряжений й в
этом случае получаются плохими (“неньютоновскими”).
Применение функционала Маркова мало отличается от упо-
мянутых принципов. Отличие состоит только в том, что он при-
меняется для несжимаемых материалов, варьируются поля скоро-
стей течения и среднее нормальное напряжение (кстати, оно иг-
рает как бы роль множителя Лагранжа при условии несжимае-
мости в принципе Журдена). Результат определения поля напря-
жений столь же плохой, как и в упомянутых выше двух случаях.
215
Как определить поле напряжений, чтобы оно было коррект-
ным — ньютоновским, и не пострадала при этом удовлетвори-
тельно определенная кинематика течения? Казалось бы, для
этого (для тех же задач) можно применить принцип Кастильяно.
Согласно ему, среди виртуальных полей напряжений (удовлетво-
ряющих всем уравнениям ньютоновской механики и граничным
условиям в напряжениях) действительное поле выбирается из ус-
ловия минимума функционала этого принципа. К сожалению,
принцип Кастильяно очень редко используется.
Следует еще заметить, что в прикладной литературе приво-
дятся, как правило, только такие задачи, которые могли быть
решены с помощью принципов виртуального деформированно-
го состояния. Их функционалы выражались только через кине-
матические переменные. Кстати, если бы авторы применили для
своих задач принцип Кастильяно, то они могли убедиться в том,
что его функционал выразился бы только через напряжения (в
ньютоновском смысле). Однако существуют более общие зада-
чи механики деформируемого тела, в которых указанные функ-
ционалы не выражаются для принципа Кастильяно — только в
напряжениях, а для принципов Лагранжа, Журдена и Маркова —
только в кинематических переменных. Для решения таких задач
можно применить смешанные принципы, в частности предло-
женные (независимо) автором [52] и А. Байтовым [53]. Их функ-
ционалы выражаются через виртуальные скорости и виртуаль-
ные напряжения.
И еще одно замечание к большинству работ. Все они, как
правило, применяют шаговую процедуру для описания больших
деформаций. Применяется эйлерово-лагранжев подход. В неко-
торый момент решается задача в эйлеровых переменных, затем
по найденному полю скоростей (умножая его на малый отрезок
времени) находят малые перемещения частиц и их новые коор-
динаты. Для новой конфигурации тела вновь находится поле
скоростей в эйлеровом смысле и т. д. Вообще говоря, движение
может быть описано эквивалентным образом, как в переменных
Эйлера, так и в переменных Лагранжа. Но явное предпочтение
только эйлеровым переменным, которое демонстрируют подав-
ляющее большинство авторов реферируемых работ, нам пред-
ставляется ущербным. Следует обратить внимание на некото-
рые американские работы, упомянутые в первой части книги, в
которых применяется лагранжево описание движения. Автор
считает, что лагранжево описание движения в задачах большого
216
пластического деформирования должно встречаться, по крайней
мере, не реже, чем эйлерово.
Итак, известные упомянутые выше методы в полной мере
нас не удовлетворяют, по ним нельзя решить общую краевую за-
дачу, сформулированную в разд. 1.6. В работах [3,8—10,52,54—
59], развивающих идеи принципа из работы [52], опубликован
новый метод решения достаточно общих краевых задач, кото-
рый снимает указанные выше проблемы и который описан ниже
и применен в этой книге. Доказательства приведенных ниже те-
орем читатель может найти в указанных первоисточниках.
3.1. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ И НАПРЯЖЕНИЙ,
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА УДАРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
И РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Краевую задачу механики интенсивного (быстрого и разви-
того) нестационарного деформирования твердого тела, изло-
женную в разд. 1.6, решим приближенно. Решение осуществим в
два этапа: сначала проинтегрируем уравнения в пространстве
(при фиксированном, но произвольном моменте времени) и за-
тем полученный результат проинтегрируем по времени. Интег-
рирование в пространстве рассмотрено в разд. 3.1—3.4 а интег-
рирование во времени — в разд. 3.5.
Введем определения. Назовем действительным напряжен-
но-деформированным состоянием такое, которое является
решением краевой задачи механики деформируемого тела. Дру-
гими словами, решение удовлетворяет всем основным уравнени-
ям, входящим в механику сплошных сред: кинематическим соот-
ношениям, уравнениям ньютоновской динамики и третьей груп-
пе уравнений — определяющим соотношениям.
Итак, рассмотрим произвольный, но фиксированный момент
t. Введем понятие виртуального состояния. Виртуальным со-
стоянием называется такое, которое в фиксированный мо-
мент времени описывается, виртуальными полями скорости
перемещения материальных частиц удовлетворяющими
всем соотношениям кинематики сплошной среды, и виртуаль-
ными полями напряжений удовлетворяющими всем соотно-
шениям ньютоновской динамики. Виртуальные поля скорости
перемещения еще называют кинематически возможными,
а виртуальные поля напряжений — статически возможными
(в смысле Даламбера). Виртуальное состояние — это математи-
217
ческая абстракция. Таких состояний бесчисленное множество,
поскольку количество неизвестных функций больше, чем коли-
чество связывающих их уравнений. Действительно, виртуальное
состояние не обязано удовлетворять определяющие соотноше-
ния. Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее.
Виртуальные поля скорости перемещения должны быть не-
прерывными в V и на S и удовлетворять всем кинематическим
ограничениям, а именно, граничным условиям для скорости пе-
ремещения. В случае, если деформируемый материал несжимае-
мый, то виртуальные скорости должны удовлетворять условию
несжимаемости. Должно выполняться условие совместности
компонентов тензора скорости деформации, т. е. его компонен-
ты (виртуальные) связаны с компонентами вектора скорости ус-
ловиями
^ = (Vz<+Vy^/2. (115)
Виртуальные поля напряжений должны удовлетворять гра-
ничным условиям в напряжениях и уравнениям движения
УЛ/ е V: V/GiJ' + p(gi - (o') = 0, а'7' =
= o'"; УЛ/ е Sf tf'nj =fi. (116)
Здесь СУ — ускорение материальных частиц. Заметим, что, со-
гласно принципу, ускорение и перемещение материальных час-
тиц не варьируют. Виртуальные поля напряжений должны быть
такими, чтобы они обеспечили непрерывность поверхностных
напряжений/' = &'п] в V и на 5.
Отметим, что виртуальные о'7' и v- удовлетворяют всем урав-
нениям механики сплошных сред (которые, кстати, в этом слу-
чае линейны, что упрощает использование принципа виртуаль-
ных скоростей и напряжений на практике), кроме определяю-
щих соотношений. Заметим, что температура, входящая неявно
в функционал, является действительной, удовлетворяющей диф-
ференциальному уравнению теплопроводности, и, естественно,
здесь, согласно принципу, ее не варьирует.
Интегрирование дифференциальных уравнений краевой за-
дачи, рассмотренной в разд. 1.6, может быть заменено эквива-
лентным решением следующего вариационного уравнения на
виртуальных состояниях:
3{/1+/2 + /3 + /4}=0, (117)
218
где
ev sIJ' V о'
| s'-' (e)de + J ey (s) ds+J ct(£) dt, + J £(0)4/0+p(
0000
w' -&)ч'
(118)
Вариационная задача (117)—(118) выражает принцип виртуаль-
ных скоростей и напряжений. Варьирование осуществляется
изохронно и только по виртуальным величинам (o'7', vf и др.), от-
меченным в формуле (118) штрихом. Суммирование осуществ-
ляется по индексам i и j, стоящим в верхних пределах интегралов
и в подынтегральных выражениях. Уравнение (117)-после варь-
ирования имеет вид
+ e,7(st')3s':/ + о(£)3£ + £(о)3о +
+ р(м/ - gl^dV - W,)3v, + v*(f >)5/']4/5 = 0. (119)
S
Докажем утверждение об эквивалентности решения краевой
задачи, представленной в разд. 1.6 дифференциальными уравне-
ниями и соответствующими граничными условиями, и решения
вариационного уравнения (117)—(118) принципа виртуальных
скоростей и напряжений. Еще раз отметим, что речь пока идет о
решении краевой задачи в пространстве, при фиксированном
времени. Доказательство утверждения начнем с прямой, теоре-
мы: из дифференциальных уравнений краевой задачи вытекает
вариационный принцип.
В систему уравнений краевой задачи входят дифференциаль-
ные уравнения движения (116). Они справедливы, кстати говоря,
не только для действительного течения (результата решения
219
краевой задачи), но и для виртуального состояния. Поскольку
эти уравнения выполняются для каждой материальной частицы,
из которых состоит тело объемом V, то будет справедливым ин-
тегрирование
J[V,<r>/ + p(g/-w')]v/^ = 0. (120)
V
Заметим, что здесь v- — виртуальное поле скоростей, оно, как и
действительное поле , удовлетворяет всем кинематическим со-
отношениям.
Выполним преобразования последнего уравнения, имея в ви-
ду, что
= (Vi&yvj + oz7'(V^/) = (y^v' +
= (sij' + &giJ)(e'j + £%/3) = s% + g'£'.
Здесь использованы симметрия тензора напряжений (как дейст-
вительного, так и виртуального), кинематические соотношения
(115) и понятие девиаторов. После преобразований уравнение
(120) примет вид
J[?jfe'y + g'£' + р(и^' - gtyvftdV - JV i(eij'v')dV = 0.
v v
Теперь преобразуем в этом уравнении второй интеграл по объе-
му V с помощью формулы Гаусса — Остроградского, и получим
(УЧТЯ, ЧТО =/'7)
+ g'£' + р(^ - gl)v.QdV - jf'v'dS = 0. (121)
V s
Еще раз обратим внимание на то, что уравнение (121) является
следствием: 1) дифференциальных уравнений движения, условия
симметрии тензора напряжений (116) и соотношения, связываю-
щего компоненты тензора напряжений Gz с компонентами поверх-
ностных напряжений/'7, что составляет ньютоновскую динамику;
2) соотношений, описывающих кинематику течения сплошной
среды (см. формулы (115) и др.). Или, другими словами, из части
уравнений краевой задачи (из всех уравнений, кроме определяю-
щих соотношений) вытекает соотношение (121). Оно справедливо
в любой фиксированный момент, для любого виртуального состо-
яния и для любой сплошной среды. Уравнение (121), или, точнее,
тождество, аналитически выражает принцип виртуальных скоро-
стей и напряжений: для виртуальных состояний мощность всех
220
внешних и внутренних сил, включая массовые и инерционные си-
лы (см. поверхностный интеграл и третье слагаемое в объемном
интеграле выражения (121)), равна мощности напряжений на со-
ответствующих им скоростях деформации.
Закончим составление вариационного принципа виртуаль-
ных скоростей и напряжений. Продолжим рассмотрение уравне-
ния (121), наложив на виртуальное состояние ряд важных допол-
нительных ограничений. Предположим, что в объеме деформи-
руемого тела и на его поверхности S виртуальные о'^'и о'>’беско-
нечно мало отличаются от действительных о^’и v'
o'/ = qv + 5оу; j'/ = sij + Ssij; o' = о + So;/'' = oiJ'nj =f' + 5/',
vt' = Vt+ 8v-, Ц = (V,- v/+ V,. vf)/2 = + 5^; e'^ =
= e,y + 3e,y;^' = ^ + 3^, (122)
где За0, 8v„ 3^,y, 5/' — бесконечно малые вариации искомых ме-
ханических переменных. Они изохронные, т. е. в один и тот же
фиксированный и произвольный момент для одной и той же ма-
териальной частицы предполагаются различные напряжения о'7'
и скорости течения vf Заметим, что при таком варьировании
операцию дифференцирования полей о(/ и vf по координатам и
операцию варьирования можно менять местами.
Далее будем считать, что виртуальные поля vf могут быть
кусочно-непрерывными функциями координат, т. е. на некото-
рых поверхностях в объеме тела V и на некоторых линиях на по-
верхности тела 5 их производные по координатам могут терпеть
разрыв (меняться скачком), но сами функции vf остаются непре-
рывными. Виртуальные поля напряжений могут иметь раз-
рывы До1/ на некоторых поверхностях и линиях в V и на S соот-
ветственно. Однако разрывы должны быть такими, чтобы по-
верхностные напряжения оставались непрерывными везде в V и
на S, т. е. &<3ij'nj = 0.
Наложив на виртуальные поля и vf указанные ограниче-
ния, подставив (122) в (121), пренебрегая бесконечно малыми бо-
лее высоких порядков и имея в виду, что (121) справедливо так-
же для действительного состояния, получим:
+ ец№ + о8% + £8о + р(и^ - gl)8vj]dV -
-j(fi8vi + vi8fi)dS = Q. (123)
s
221
Уравнение (123), также как и уравнение (121), выражает прин-
цип виртуальных скоростей и напряжений. Отличие между ними
состоит лишь в том, что вариации (отклонения) от действитель-
ных полей в уравнении (121) произвольны, а в уравнении (123)
бесконечно малы.
При выводе (123) были использованы почти все уравнения
теории пластического течения, кроме физических уравнений
связи полей напряжений и скоростей течения и граничных усло-
вий. Таким образом, виртуальные поля напряжений и скоро-
стей перемещения частиц vf удовлетворяют всем уравнениям ки-
нематики и всем уравнениям динамики сплошной среды, но не
согласованы между собой определяющими соотношениями и
смешанными граничными условиями.
Совершим последний шаг в доказательстве прямой теоремы.
Для этого, во-первых, учтем определяющие соотношения. На-
помним (см. разд. 1.4), что определяющие соотношения в нашем
представлении являются функционалами, но в фиксированный
момент они могут быть записаны некоторыми тензорными
функциями (вместе с обратными)
=У>(еи,...); еу = е^з",...); а = о(£, ...)Д = £(а,...). (124)
Во-вторых, учтем граничные условия для/' и и,на поверхности
S (86), которые в достаточно общем виде могут быть приняты
при t = const в виде некоторых конечных соотношений
/'=Av?...),4 = v,V-,...). (125)
Итак, уравнение (123) с учетом (124) и (125) примет вид
/[^(^Зву + + с(£)8£ + £(<т)3а + р(и^ - g08v,] х
х dV - J (/2(^)8^- + = 0.
s
Оно совпадает с уравнением (119), что доказывает прямую тео-
рему.
Теперь обратимся к обратной теореме, из условия стацио-
нарности J] функционала [см. (117)], который задан выражени-
ем (118), вытекают (как уравнения Эйлера) дифференциальные
уравнения краевой задачи механики деформируемого тела
(84)—(86). Как известно, справедливость прямой и обратной те-
орем доказывает эквивалентность решения краевой задачи,
222
сформулированной в виде дифференциальных уравнений (84) и
(85) с краевыми условиями (86), и решения вариационного урав-
нения (117), (118) вариационного принципа виртуальных скоро-
стей и напряжений. Доказательство обратной теоремы сделаем
стандартными методами вариационного исчисления, т. е. выве-
дем соответствующие уравнения Эйлера. Заметим, что вариаци-
онная задача (117), (118) является задачей на условный экстре-
мум, так как варьируемые (они же искомые) функции о'7' и vj
должны быть виртуальными: удовлетворять соотношениям
(115) и (116).
Стандартный прием вывода уравнений Эйлера сводит
задачу, в частности (117), (118), к основной лемме вариацион-
ного исчисления. Для этого необходимо вариации искомых
функций в вариационном уравнении (117), (118) сделать
независимыми, учтя тем или иным образом связи варьируе-
мых функций. Осуществим варьирование функционала (Д18)
в уравнении (117) на классе виртуальных состояний. Сог-
ласно первой группе соотношений (116), вариации напряже-
ний связаны условием = 0. Включив это услцвие в
вариационное уравнение с множителями Лагранжа X,-, полу-
чим
/[s,:z(ew)8e(7 + + о(£)5£ + ^(и)8а + р(и^ - gi)6vj+
+ Х/V,- ба'О]dV - J + v*(fi)8fl]dS = 0. (126)
s
Выполним некоторые вспомогательные преобразования
для того, чтобы учесть остальные ограничения на варьируе-
мые функции и свести задачу к задаче о безусловном экстре-
муме
Леи)5е,7 = V,[s''(ew)5uy] - 8vyV,[s''(ew)];
<*(£)§£ = V,[c(£)g'>5vy] - 5vyV,.[o(^')-]; £(<j)8<j = ^)g^/3;
X.V,.(5o->) = - (V,Xy + fy.)8< (127)
Здесь мы не будем подробно пояснять ход преобразований.
Отметим главное: правые части приведенных выше выраже-
ний содержат теперь независимые вариации искомых перемен-
ных 8vj, выделенные в процессе преобразований и учета
ограничений, накладываемых на виртуальные состояния.
223
Подставим выражения (127) в (126) и сделаем группировку,
тогда получим следующее:
/{WW + + \&ty}dV- + vtf^fldS +
V s
+ J{-5vXV,[^(ew) + a©#''] - р(и^ - gl)) +
V
+ + fa)gij/3 - y(V,Xy + V/,)W = 0.
£
Теперь применим к первому объемному интегралу формулу Га-
усса — Остроградского, а в поверхностных интегралах после
этого сделаем группировку. Последнее уравнение примет окон-
чательный вид
J{<№/) + ^g^+ [\. - v*(fj)]bf‘}dS +
s
+1{- (V,[5'>'(ew) + a(^)g«] - p(uV - gi)) +
V
+ + ^(c)g(/3 -|(V,.\. + V/,)W = 0.
В этом уравнении все вариации произвольны (в поверхностном
интеграле — 3v„ 5/', а в объемном — 3vy, В силу основ-
ной леммы вариационного исчисления сомножители при про-
извольных вариациях равны нулю. Из этого следуют на по-
верхности естественные граничные условия, а в объеме V
уравнения Эйлера:
VM е S: [sij'(ekl) + af&g^nj
VM e V: V,Ww) + a(M = p(w> - g'); (128)
+ £(a)g,/3 = (V,\ + V,X,)/2.
Сравним полученный результат с выражениями (84)—(86).
Если иметь в виду, что X, = и,- (для простоты доказательство это-
го здесь опустим), то сравнение показывает полную идентич-
ность.
Обратимся к некоторым частностям использования вариаци-
онного принципа виртуальных скоростей и напряжений.
Здесь вариационное уравнение принципа виртуальных ско-
ростей перемещений и напряжений записано для довольно об-
щих определяющих соотношений — для анизотропного матери-
ала. Покажем, какой оно приобретет вид, если будет применять-
224
ся широко используемая в настоящее время гипотеза об изотро-
пии материала, ее сохранении при большом формоизменении и
гипотеза о подобии девиаторов. Для такого материала
*Ъ)Ч = е'Ч = ПЯ)5Я;
п
= = Н(Т")8Т
£л>
Тогда объемный интеграл в (118) будет
~н' т’ V
J Г(д)<й] + j Н(т)</т + j +
vLo о о
(130)
В задачах механики обработки металлов давлением гранич-
ные условия имеют специфический вид (86 б). Для таких задач
поверхностный интеграл по S в (118) записывается как
jfiv;ds+jfv*ds+J
v« f,-
- jf‘(y)dv-jvsi(f)dt dS. (131)
о 0
В классическом случае деформации изотропного материала,
для которого девиатор напряжений и девиатор ско
роста деформации подобны, при граничных условиях (86а)
вариационное уравнение (117) приобретает вид
225
3.2. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ПРИНЦИПА ВИРТУАЛЬНЫХ
СКОРОСТЕЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
Теперь коснемся некоторых положений, которые, вообще-
то говоря, нетривиальны, являются теоремами, имеют доказа-
тельства и необходимы для эффективного применения принци-
па. Желающие познакомиться с этими теоремами подробнее,
могут найти их в литературе, упомянутой в предисловии к главе.
При доказательстве теорем автором были использованы неко-
торые идеи из книги Р. Хилла [60].
1. Функционал принципа виртуальных скоростей перемеще-
ний и напряжений Jx (118), вычисленный в “точке” экстремума,
обладает относительным минимумом, т. е. его вторая вариа-
ция > 0. Конечно это положение справедливо, только если
функционал принципа дифференцируемый. Для решения вариа-
ционного уравнения 8J, = 0 применим аппарат вариационного ис-
числения и его прямые методы.
Вычислим вторую вариацию функционала (118). Обратим
внимание на входящие в него величины, по которым должно
осуществляться варьирование. Они отмечены штрихом. Первая
вариация уже была вычислена и представлена левой частью вы-
ражения (119). Аналогичным образом вычисление второй вари-
ации даст в результате
82J\
= / dsij/dekl\i=k (5е,7)2+ de./ds^ (8?)2
+(Эо/Э^)(6о)2 +(^/Эс)(5а)2
+(эч/эг|(_.)(5/)!]<к.
Нетрудно убедиться в том, что SVj > 0. Действительно, выра-
жения в круглых скобках в объемном интеграле, в силу постулатов
(72), (73), положительны (тем более квадраты вариаций), круглые
скобки в поверхностном интеграле, наоборот, не положительны.
Читатель легко может убедиться в справедливости рассматривае-
226
мой теоремы для краевых задач ударного взаимодействия, обра-
ботки металлов давлением и для классической краевой задачи те-
ории пластичности, которые являются частными случаями общей,
рассматриваемой здесь, краевой задачи.
2. Функционал принципа виртуальных скоростей перемеще-
ний и напряжений, вычисленный в “точке" экстремума, равен
нулю, J{ = 0.
Рассмотрим функционал вычисленный при некотором на-
пряженно-деформированном состоянии (118), даже сильно отли-
чающемся от действительного состояния. Согласно принципу
виртуальных скоростей и напряжений (невариационному), для
этого же виртуального состояния справедливо равенство (121).
Вычтем из (118) выражение (121), тождественно равное нулю.
Естественно, что результат не изменится:
V а'
j о (£) </£-сД£+j £ (a) da-tfiG-ДаД£
Л °
\dV-
|/;(ц)^ц-/'‘Д«^г>*(/)(7/-«,.Д(,' -Д/’'Дч- (133)
5 /'
Заметим, что суммирование осуществляется по индексу, при-
сутствующему один раз в пределах интегрирования и второй раз —
в подынтегральном выражении. Знак Д подчеркивает, что здесь
вариации принимаются не бесконечно малыми.
Из формулы (133) получаем доказательство рассматривае-
мой теоремы. Действительно, если виртуальное состояние (в
верхних пределах интегрирования виртуальные величины отме-
чены штрихом) совпадает с действительным состоянием или,
другими словами, с решением задачи (величины в нижних преде-
лах интегрирования без штрихов), то интегралы в (133) превра-
щаются в нуль. В нуль обращаются также все остальные величи-
ны в правой части (133).
227
Таким образом, по существу функционал принципа вирту-
альных скоростей перемещений и напряжений является некото-
рой невязкой в приближенном удовлетворении определяющих
соотношений. Чем меньше значение функционала, вычисленное
при каком-то виртуальном состоянии, тем оно ближе (в смысле
этой невязки) к точному решению задачи, а если функционал об-
ратился в нуль, то следовательно, соответствующее ему напря-
женно-деформированное состояние является точным решением
задачи.
3. Функционал принципа виртуальных скоростей переме-
щений и напряжений, вычисленный при любом виртуальном
напряженно-деформированном состоянии, даже сильно отли-
чающемся от действительного состояния, всегда больше ну-
ля, Ji> 0, т . е. функционал принципа, подсчитанный на дей-
ствительном состоянии, абсолютно минимален. Это поло-
жение позволяет найти решение задачи даже тогда, когда
функционал принципа является недифференцируемым. Для
решения задачи в этом случае следует применить аппарат ма-
тематического программирования, а не вариационного исчис-
ления.
Продолжим рассмотрение выражения (133). Установим знак
его правой части. Знак предопределяется видом подынтеграль-
ных функций ву(з), а(%), o(£),/'(v), v'(/). Выше постулирова-
лось, что первые четыре подынтегральные функции возрастаю-
щие, а последние две — невозрастающие.
Для выяснения знака величины (133) обратимся к построени-
ям на рис. 17. Точки 1 соответствуют действительному напря-
женно-деформированному состоянию; точки 2 — состоянию,
вызванному варьированием поля скоростей; точки 3 — состоя-
нию, вызванному независимым варьированием поля напряже-
ний.
Выражение (133) содержит три квадратные скобки одина-
ковой структуры. Значения этих скобок геометрически интер-
претированы на рис. 17. Обратимся, например, к первой скоб-
ке; пусть bsij > 0 и Де,-,- > 0, тогда, как следует из рис. 17, а,
‘IJ
J siJ (е) de- s'1 be у + J ey (s) ds- eybs'1 > bs'1beу,
еч i'7
228
sij'
J (5) ds - e^As” > 0
a sti ** 6 о
S'
р(£)^-<тД^>0
К
Рис. 17 Построение к доказатель-
ству некоторых основных теорем
т. е. скобка положительна. Если перебрать все комбинации зна-
ков величин As'7 и Де,-,- (As*7 > 0, Де,-,- < 0; 21s'7 < 0, Де,-,- < 0 и т. п.), то
неизменно первая квадратная скобка будет оставаться положи-
тельной. На рис. 17, б, для примера показан случай, когда Да < О,
Де,7 < 0; а Д£ > 0. Так как Да < 0 и o' > а, то
j£(a)da-£Aa>0;
О
очевидно, что
Jo(£)cflj-oA£>0 и-АаД^>0,
следовательно, вторая квадратная скобка положительна.
229
Рассмотрим знак третьей квадратной скобки в выражении (133).
Как следует из построений на рис. 17, в, аналитические выражения,
соответствующие площадям заштрихованных фигур, отрицатель-
ны. А так как Д^Ди,- > 0, то в целом третья квадратная скобка в (133)
отрицательна. Итак, в итоге, учитывая знак перед поверхностным
интегралом в (133), можем убедиться в справедливости рассматрива-
емой теоремы о том, что > 0 на любом виртуальном состоянии.
4. Решение краевой задачи, сформулированной выше в
разд. 1.6, в частности, полученное с помощью принципа вир-
туальных скоростей перемещений и напряжений, существует
(это здесь не рассматривается) и оно единственно.
Доказательство проведем от противного. Предположим, что
существует два решения краевой задачи. Это предположение,
как увидим ниже, приводит к противоречию, что свидетельству-
ет о невозможности существования двух и более решений одной
и той же задачи механики деформируемого тела, т. е. решение
единственно. Итак, пусть в объеме деформируемого тела V в
произвольный, но фиксированный момент, имеется два реше-
ния. Вычтем из одного решения (например первого) второе ре-
шение. Обозначим разности так: AsiJ, Де,у, Да, Дд, 6f‘, &vt. Очевид-
но, будет справедливо неравенство
J (1№&еу + ДаД^) dV-j AfAv/lS > 0. (134)
v s
Действительно, в объемном интеграле сомножители имеют
попарно одинаковые знаки (согласно постулатам (73), большей
скорости деформации отвечает большее сопротивление дефор-
мации). В поверхностном же интеграле разности решений име-
ют противоположные знаки, однако знак минус перед поверхно-
стным интегралом делает результат положительным.
Несложно доказать, что
j (д?Де/у + ДоД^) dV = j Да''7,(Дг>у) dV.
v v
Тогда неравенство (134) можно переписать следующим образом:
j Да"?^) dV - J^‘^dS > 0.
V s
(135)
230
Применим к первому интегралу формулу Гаусса—Остроград-
ского, но перед этим учтем, что
Дс'^/Др,) = У/ДаЧДи,) - Др,У,(До,:/).
Тогда вместо уравнения (135) имеем
j До'7п,Диу-JS - j Диу V,- (д<?') dV - j Af^dS > 0. (136)
SV s
Оба решения были получены вариационным методом с использо-
ванием принципа виртуальных скоростей и напряжений. Оба реше-
ния обязательно удовлетворяют дифференциальным-уравнениям
движения, причем с одинаковыми р, w', g£ (в нашем вариационном
принципе варьируют только скорости и напряжения). Следователь-
но, в неравенстве (136) У/До1') = 0. Учитывая последнее, а также то,
что До^л, = Д С-', получаем из (136) противоречивый результат. Про-
тиворечие свидетельствует, что исходное предположение о сущест-
вовании двух решений рассматриваемой краевой задачи в фиксиро-
ванный момент неверно. Поля о#, определяются с помощью
принципа виртуальных скоростей перемещений и напряжений
единственным образом. Наконец, единственность поля обеспечи-
вает определение единственным образом поля и,-, так как на части
поверхности тела имеются граничные условия v,- = v*.
Конечно, математические проблемы, рассмотренные здесь,
должны быть изложены более современно, с позицйй функцио-
нального анализа. Такие попытки были предприняты (см., напри-
мер, работы В.П. Федотова [61] и Е.Г. Полищука [62]). Однако ав-
тор не счел возможным еще больше усложнять содержание этой
книги. Еще раз напомним, что здесь пока идет речь о решении кра-
евой задачи, т. е. интегрировании дифференциальных уравнений,
только в пространстве (при фиксированном времени).
33. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
ДЛЯ НЕВЯЗКИХ СРЕД И СУХОГО ТРЕНИЯ. РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
Предыдущие два раздела были посвящены вариационному
пути решения краевой задачи, сформулированной в разд. 1.6.
Там рассматривали механику деформируемых твердых тел, об-
ладающих определенной “вязкостью”. Действительно, все мате-
риалы в той или иной степени проявляют эту вязкость в том
смысле, что большей скорости деформации при прочих равных
231
условиях отвечает большее напряжение течения. Но эта вяз-
кость может проявляться в разной степени, например, с умень-
шением температуры деформируемого металла она проявляется
все меньше и меньше. Во многих случаях, в частности в случае
холодного развитого деформирования, в расчетах ею пренебре-
гают. В настоящем разделе будет дано строгое обоснование при-
менению принципа виртуальных скоростей и напряжений для та-
ких невязких сред и сухого (тоже невязкого) трения.
Будем считать, что для деформируемого материала справед-
лива гипотеза о подобии девиаторов напряжений и скоростей де-
формаций, т. е. определяющие соотношения (68) имеют такой,
более конкретный, чем (68), вид:
s'7 = {2xJH)e\
(137)
где Н = +J 2е^ — интенсивность скорости деформации сдвига;
Т = Sys” /2 = — интенсивность касательных напряжений.
Величина не зависит от скорости деформации в момент t, но
она предопределена предшествующей накопленной деформа-
цией.
Будем считать, что отсутствует объемная вязкость материа-
ла, т. е. функциональная связь о и £ [см. (69)]. Больше того, при-
мем материал несжимаемым £ = 0. Читателю рекомендуется са-
мостоятельно провести рассуждения, подобные описанным ни-
же, но для сжимаемого материала.
В рассматриваемом случае дифференциальные уравнения
(84) и (85) краевой задачи запишутся так:
V + сЗ'7] = р(у^ - g7);
H5,/2Tf = (V^ + V>4)/2.
(138)
Для большей определенности и ближе к практическому исполь-
зованию граничные условия примем следующими (характерны-
ми для задач пробивания и обработки металлов давлением):
на Sf
на
на55
Ч- = vj;
Vyj "" Ti "" MvU ’
(139)
232
где справа отмечены звездочками заданные функции координат;
V, т индексами обозначены направления по нормали и по каса-
тельной к поверхности S; fx(fv) — модуль закона трения (напри-
мер, для закона трения Кулона fx(fv) = p/v, |i — коэффициент тре-
ния), обязательно;^ < 0; i = vjvs — единичный вектор скольже-
ния инструмента по металлу (для задач обработки металлов дав-
лением) или снаряда по мишени. Поверхность SvoSs является по-
верхностью контакта инструмента и обрабатываемой детали в
задачах обработки давлением или снаряда и мишени в задачах
пробивания. Она не варьирует и принимается такой, какой сло-
жилась к моменту t.
Так же, как это было сделано в разд. 3.1, выведем вариацион-
ное уравнение для краевой задачи (138) и (139). Начало вывода
дословно повторяет рассуждения, приведшие к уравнению (123).
Отличие в выводе начинается после этого уравнения на “послед-
нем шаге”. .
Учтем в (123) определяющие соотношения и граничные ус-
ловия рассматриваемой здесь краевой задачи. Итак, материал
изотропен, в фиксированный момент t он как бы идеально
пластичный (не обладает скоростным упрочнением, но может
упрочняться от накопленной деформации, Т = 5Т = 0) и спра-
ведливо (137). Тогда, если учесть выкладки (129), получим
+ e^s)^ = В силу несжимаемости материала
(£ = &; = 0), в (123) будет а(£)8£ + £(о)5а = 0. Поверхность S со-
стоит из частей Sf, Sv, Ss. Из граничных условий (139) следует: по-
скольку на Sy заданы поверхностные напряжения, то 5/' = 0, по-
добным же образом на 5„ 5v, = 0, а на Ss задана нормальная со-
ставляющая скорости и, следовательно, 3vV(- = 0. И, наконец, за-
кон трения в (139) не зависит от скольжения vs, т. е. не имеет для
него обратной функции; вариации 3/т и §fv связаны между собой
законом трения. Итак, с учетом всего этого, уравнение (123)
примет окончательный вид
5^
]’[тЛ' + р(и/
V
- gi) v;] dv - J fiv'^s - J fv.ds -
Sf Sv
(140)
233
Уравнение (140) является вариационным уравнением прин-
ципа виртуальных скоростей и напряжений для невязких сред и
сухого трения. Можно доказать эквивалентность результата его
решения и решения дифференциальных уравнений (138) с крае-
выми условиями (139). Справедливы в рассматриваемом случае
общие теоремы разд. 3.2, кроме теоремы о единственности ре-
шения. Доказательства этих положений можно найти в книге [9].
В данной работе нас интересует больше практическая сторона:
как найти решение конкретных краевых задач.
Следует еще раз отметить, что вариационная задача (140) —
это задача на условный экстремум. Виртуальные напряжения
должны удовлетворять (дополнительно к тому, как они были оп-
ределены выше) условию текучести Т = в объеме V и закону
трения fz =fz(f4) на поверхности 55, виртуальные скорости, также
дополнительно к приведенному выше определению, — условию
несжимаемости £' = 0 в объеме V.
Решения могут быть, вообще-то говоря, разрывными. Вирту-
альные состояния также могут иметь разрывы. Разрывные ре-
шения удобны при конструировании приближенных вычисле-
ний. Разберем этот вопрос.
Изложение принципа виртуальных скоростей и виртуальных
напряжений было сделано выше, в предположении существования
решения на классе функций со слабыми разрывами. Принцип вир-
туальных скоростей и напряжений допускает построение реше-
ний со слабыми разрывами. На поверхностях слабого разрыва
скорости перемещения и поверхностные напряжения должны
быть непрерывными. Возможность слабого разрыва для напря-
жений накладывает такое ограничение на “скачки” компонен-
тов тензора напряжений (см. формулу (65)). Ь&п{ = = 0, где —
разности (“скачки”) компонентов тензора напряжений при пере-
ходе поверхности слабого разрыва. Вариационные уравнения,
приведенные выше, для решений со слабыми разрывами не меня-
ют своей формы. Сильные разрывы искомых полей скоростей
(скачком меняется вектор скорости) в общем случае применения
принципа виртуальных скоростей и виртуальных напряжений (см.
разд. 3.1), недопустимы, кроме одного частного случая.
Сильные разрывы поля скоростей перемещений возможны в
частном случае — для материала изотропного, для которого де-
виаторы напряжений и скорости деформации подобны, Т не зави-
сит от Н и нет обратной функции Н=Н(Т), а а не зависит от^и
нет обратной функции % = £(а) (см. начало раздела, а также (129),
234
(130)). В рассматриваемый момент Т и а предопределены истори-
ей деформирования на предыдущих стадиях (деформационное уп-
рочнение или разупрочнение материала). Подобные свойства ме-
таллы показывают при низких температурах деформирования,
когда их вязкость проявляется весьма слабо. В этом случае (для
такого материала) вариационное уравнение принципа виртуальных
скоростей и виртуальных напряжений меняется.
Действительно, объемный интеграл (130) вариационного
уравнения (118) в этом частном случае имеет вид:
J[Ttf' + t^' + p(w'-g')v;]dV. (141)
v
Здесь Т и а не варьируют. Если предположить разрывное решение
для поля скоростей, то выражение (141) преобразуется следующим
образом. Пусть на поверхности Sz в объеме V имеет место сильный
разрыв поля скоростей. Для сжимаемого материала разрыв допус-
тим как в касательном к S„ так и в нормальном направлениях. Вы-
делим в окрестности 5Z слой, толщина которого Ди —> 0. Пусть ско-
рости теперь непрерывны, но по толщине Ап меняются резко и ли-
нейно. Из объемного интеграла (141) выделим его часть, относя-
щуюся к слою, и вычислим его предел при Дп —> 0:
lim J ^ТН' + + р (w' - gQ v'i j AndS. (142)
Вычислим подынтегральное выражение, используя ортогональ-
ную систему координат Imn, где п направлено по нормали к Sz, а I—
вдоль разрыва скоростей. Поскольку в формуле Н = 2е^ву
(ву — компоненты девиатора скорости деформации) все компонен-
ты тензора дисторсии ограниченны, кроме dvjdn и Эи/Эп, то
lim TH'txn = ТJ 4Ди/2/3 +Д^'2, (143)
где Ди/, Ди/ — разрывы, или “скачки”, скоростей при переходе
взгляда наблюдателя через S,. Аналогично получаем, что
lim с^'Дп = сгДг/;
Дл->0
Hm р (w, - g*) v'An = р [ (Дг>,г>п) v/ + (Двд) v/], (144)
235
где v't, v'n — средние скорости материала с одной и с другой сто-
роны поверхности разрыва в некоторой ее точке. В круглых
скобках последнего соотношения в (144) — компоненты ускоре-
ния, которые, согласно принципу, не варьируют.
Итак, выражение (141) приобретает вид
|[ТЯ'+с^' + р (w1' - g') v;] dV + 4Дг>'2/3 +Дг>;'2 +
V s.
+ сД< + р [ (Av,v„)+ (Av„v„) <] dS.
(ДЖ) j
В случае применения разрывных решений объемный интег-
рал вариационного уравнения принципа виртуальных скоро-
стей и напряжений должен быть записан как (145).
Некоторые изменения произойдут с дифференциальными
уравнениями движения — “равновесия”, которым должны удов-
летворять виртуальные напряжения на поверхности разрыва Sz.
Действительно, эти уравнения (в ортогональных координатах)
= P(wt ~ g*i) действуют в тонком слое с толщиной Дл —> 0 и на-
кладывают ограничения на виртуальные напряжения о'. Не-
трудно убедиться, совершив предельный переход Дл -» О, что
уравнения движения — “равновесия” превратятся в следующие
условия:
Д<й = pVrAvi, Д<„ = pvnAvn, (146)
где До'„ До'„ — скачки компонентов тензора виртуальных на-
пряжений на поверхности S, (при переходе взгляда наблюдателя
через эту поверхность). Следует заметить, что для несжимаемо-
го материала Av„ = 0 и будет действовать лишь одно из равенств
(146).
Полезны для практических приложений еще некоторые ут-
верждения. Если материал несжимаем (£ = £' = 0), то разрывы
нормальной к S, составляющей скорости перемещения недопус-
тимы Дг?„ = Ду' = 0. Пересечение несжимаемой материальной ча-
стицей поверхности разрыва 5, приводит к приращению степени
деформации сдвига для нее на конечную величину
(147)
236
Пересечение сжимаемой материальной частицей поверхности
разрыва 5/ приводит к приращению объемного расширения на
конечную величину
Де = lira (£ Дп/|«„|) = Ди„/Ы- <148)
Дл—>0
Покажем, что изложенный выше (разд. 3.1—3.3) принцип
виртуальных скоростей перемещений и виртуальных напряже-
ний является обобщением известных принципов.
3.4. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ И ПРИНЦИП
ВИРТУАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ, МЕТОДЫ ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ
ОЦЕНКИ КАК ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОБЩЕГО ПОДХОДА
В классической теории пластичности, как уже отмечалось,
рассматривают краевую задачу, в которой на известной повёрх-
ности тела S - Sv и Sf, ограничивающей объем тела, заданы на
Sv скорости, на Sf — поверхностные напряжения. Кроме того, в
этой задаче считается, что течение происходит без массовых сил
(pw* = pg' = 0), а деформируемый материал несжимаемый. Эта
краевая задача уже той, которая рассматривается в этой книге,
но она не потеряла своего значения. Для ее решения предложе-
ны были два принципа: виртуальных скоростей перемещений и
виртуальных напряжений.
Принцип виртуальных скоростей перемещений рассматрива-
ет кинематически возможные поля скорости течения (их опреде-
ление дано выше). Поиск среди этих полей экстремального поля
из условия
(149)
дает действительное поле скоростей. Функционал этого принци-
па (величина в фигурных скобках) выражается только через де-
формированное состояние, если соответствующим образом
сформулированы определяющие соотношения. Функционал об-
ладает минимальными свойствами (как относительными, так и
абсолютными).
Решение классической краевой задачи в напряжениях может
быть сделано с помощью второго принципа. Принцип виртуаль-
237
ных напряжений предполагает варьирование лишь напряженно-
го состояния на статически возможных полях (определение ста-
тически возможных напряжений дано выше). Действительное
поле напряжений выбирается из всех статически возможных по-
лей с помощью необходимого условия относительного миниму-
ма (кстати, минимум функционала абсолютный)
(150)
Функционал принципа виртуальных напряжений для рассматри-
ваемой классической краевой задачи (фигурная скобка послед-
него уравнения) выражается только через напряжения.
Если сопоставить (132) с уравнениями (149) и (150), то можно
заметить, что из вариационного уравнения принципа виртуальных
скоростей перемещений и напряжений (123) вытекают как част-
ные случаи два рассматриваемых здесь классических вариацион-
ных принципа с их вариационными уравнениями (149) и (150).
В классической теории пластичности рассматривают еще бо-
лее узкую задачу, предполагая (дополнительно к условиям, от-
меченным в начале раздела), что деформируемый материал об-
ладает свойством идеальной пластичности Т(Н) = = const. Та-
кая функция не имеет обратной. В этом случае вариационные
уравнения (149) и (150) примут вид
(151)
Однако второе уравнение в (151) должно решаться на экстремум
среди статически возможных напряжений, которые должны еще
дополнительно к указанным в их определении условиям удовле-
творять условию идеальной пластичности Т = Т = TS. Введение
условия идеальной пластичности осложняет конструирование
виртуальных полей напряжений из-за необходимости удовлетво-
рять нелинейному условию идеальной пластичности. Конструи-
рование же кинематически возможных полей скоростей упро-
щается, так как они для идеально пластичного материала допус-
кают разрывы в касательном направлении к любой поверхности
в объеме деформируемого тела.
238
Для классической краевой задачи деформирования идеально
пластичного материала сформулированы методы нижней и
верхней оценки. Функционал в фигурной скобке второго уравне-
ния в (151) обладает на действительном состоянии абсолютно
минимальным значением (действительное напряженное состоя-
ние, в том числе f, не отмечено штрихом). Тогда можно записать
или
jf'v*dS> jf‘v*dS. (152)
S„ Sv
Интегралы в неравенстве (152) для задач деформирования мате-
риала означают мощность, подводимую к материалу через ро-
верхность Sv. Слева — действительная мощность. Справа —
мощность, подсчитанная на статически возможном напряжен-
ном состоянии. Правый интеграл дает нижнюю оценку действи-
тельной мощности деформирования (неизвестной). Если
v* = const в пределах S„, то из (152) вытекает метод нижней оцен-
ки: сила деформирования, подсчитанная с использованием ста-
тически возможного поля напряжений, дает нижнюю оценку
действительной силы деформирования.
Обратимся к методу верхней оценки, который формулирует-
ся так: сила деформирования, подсчитанная с использованием
кинематически возможного поля скоростей, дает верхнюю
оценку действительной силы деформирования. Покажем это,
для чего заметим, что для любого кинематически возможного
деформированного состояния, в том числе и для действительно-
го, справедливо тождество
jт,HdV - j fInidS - J f N*dS = 0.
V sf sy
Функционал в первом уравнении (151) обладает свойством абсолют-
ной минимальности, и используя последнее тождество, получаем
j f‘v*dS < j H'dV - J ftydS. (153)
Sv V Sf
Итак, правая часть последнего неравенства дает верхнюю оцен-
ку мощности деформирования.
239
3.5. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЧАСТИ
ЗАДАЧИ1
Рассмотрим теперь вопрос определения температурных по-
лей в деформируемом теле на отрезке времени деформирования
[г0, ^]. Задача состоит в интегрировании дифференциального
уравнения теплопроводности
cpffi/dt = ХД0 + (154)
при граничных (86) и начальных (87) условиях. Здесь с — удель-
ная теплоемкость; X — коэффициент теплопроводности; Д —
оператор Лапласа; компоненты тензоров напряжений и скоро-
стей деформации соответствуют действительному напряженно-
деформированному состоянию.
Вариационная постановка задачи теплопроводности осуще-
ствляется ослаблением уравнения (154), где в качестве весовой
функции берется вариация температуры
j J [ср0 (- ХД0 - ] SWVdt = 0.
Из последнего уравнения можно получить различные вариаци-
онные формулировки температурной задачи: методы Ритца,
Канторовича, Треффца, Био [63], Айнолы [64]. Первые три, как
правило, применяются для решения стационарных задач, прин-
ципы Био и Айнолы — для нестационарных.
Вариационный принцип Айнолы сводит краевую задачу теп-
лопроводности с граничными условиями
УМ е Sj: 0 = 9‘(М, 0; УМ е S2: -Х9_, = <р*(АГ, Г); S, и S2 = S
и начальными условиями
УМ е V: 9 = 0О(М, 0)
к эквивалентной задаче минимизации функционала
J = - j {хе,,. * е,. + срё * е+ср [е (м, о) - 2е0 ] е} dv -
2 V
Раздел написан совместно с В.П. Федотовым и Л.Ф. Спеваком.
240
- Je* * QdS - Jx (e- <p*) *0 ftds. (155)
S] s2
Здесь
A*B = jA(M,i)B(M,t-T)dT.
о
В настоящей работе предлагается подход, вытекающий из
принципа Айнолы, но, на наш взгляд, существенно упрощающий
численное решение.
Аналогично разд. 3.1 решение нестационарной задачи осуще-
ствимо приближенно, в два этапа: интегрирование в пространст-
ве в фиксированный момент и затем, интегрирование во време-
ни.
В произвольный фиксированный момент t определим поня-
тие виртуального поля температуры. Виртуальным полем тем-
пературы 0 называется поле температуры непрерывное в объ-
еме V и на поверхности S деформируемого тела, а также удов-
летворяющее граничным условия (86). Действительным полем
температуры назовем поле температуры, являющееся решени-
ем задачи (154), (86).
Интегрирование указанной краевой задачи может быть за-
менено решением следующей эквивалентной вариационной за-
дачи на виртуальных состояниях:
&Z2 = 0, (156)
где
Х0'0' - <J%0' + ср0,0' + ср [0' - 20о ] 0' dV -
(157)
Варьирование осуществляется изохронно и только по 0', по ме-
ханическим же переменным, а также по производной температу-
ры по времени 0, варьирование не производится. Интегрирова-
ние по пространственным переменным с помощью вариационно-
го принципа (156)—(157) позволяет свести параболическое урав-
нение теплопроводности к системе обыкновенных дифференци-
241
альных уравнений первого порядка. Подробно метод решения
описан в следующем разделе.
Примеры применения вариационных методов решения теп-
ловых задач в обработке металлов давлением рассмотрены в ра-
боте [65].
3.6. МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
УДАРНОГО РАЗВИТОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Опишем теперь более подробно предлагаемый метод реше-
ния краевой задачи, поставленной в разд. 1.6. Как уже говори-
лось, краевая задача решается в два этапа. На первом этапе осу-
ществляется интегрирование по пространственным переменным
в произвольный момент. Это делается на основе вариационных
принципов, дающих эквивалентную постановку задачи. Вирту-
альные состояния выбираются таким образом, чтобы после ва-
рьирования общая задача сводилась к интегрированию обыкно-
венных дифференциальных уравнений по временной перемен-
ной, что и является вторым этапом решения.
Выберем виртуальное напряженно-деформированное состо-
яние и виртуальную температуру для принципов (117)—(118),
(156)—(157) в виде
п т I
v- = =%№ е' =ХсД(у)- (158)
t=i *=i *=1
Здесь у — лагранжевы координаты; %, М и ск — варьируемые
коэффициенты при фиксированном t (а вообще говоря, функции
времени); vu(y), aj’(y) и 0t(y) — известные подходящие функции ко-
ординат (в правой части по повторяющимся индексам i,j суммиро-
вание не производится). Подходящие функции избраны так, что v'it
и 0' являются виртуальными. Вариационные уравнения (117),
(118) и (156), (157) для выбранных виртуальных полей примут вид
-jf!vkidS = O, к = 1, (159)
S
242
VL
- J v*aiJknjdS = 0, к = 1, ..m\
s
i
(160)
f xvo^^vo.-g'^A+W* ^+
vL
P=1
Здесь все варьируемые параметры (отмеченные штрихом) выра-
жаются через коэффициенты аи, b'j иски функции ий(у), о'у(у) и
0л(у). Напомним, что ускорение и>/ в принципе виртуальных ско-
ростей и напряжений, а также величины о'-', и 0_, в температур-
ной задаче не варьируются и соответствуют действительному со-
стоянию. Подставляя в уравнения (159)—-(161)
*=1 ш
т 1 V/ \
jt=1
(162)
(163)
(164)
где коэффициенты аи, Ь” и ск соответствуют действительному
состоянию, получаем уравнения для нахождения этих действи-
тельных коэффициентов, которые условно можно записать в
следующем виде:
ск = 0; F2(aw, Щ ск) = 0;
V at )
( de А
?з М,ск,^- 1 = 0.
\ at J
(165)
243
Решив эту систему уравнений при начальных условиях, соответ-
ствующих (87), найдем неизвестные коэффициенты как функ-
ции времени и тем самым определим действительные поля ско-
ростей, напряжений и температуры.
Решение краевой задачи предложенным методом является
приближенным. Поскольку точность решения получаемых
обыкновенных дифференциальных уравнений достаточно высо-
ка, точность решения нестационарной задачи соответствует точ-
ности решения вариационных задач, которая предопределяется
выбором виртуальных состояний. Корректность предложенного
метода решения строго не доказана, поскольку не решена про-
блема существования и единственности решения нестационар-
ных задач, описанных в разд. 1.6. Мы руководствовались сущест-
вованием и единственностью решения стационарной задачи ме-
ханики (разд. 3.2), а также существованием и единственностью
получаемых обыкновенных дифференциальных уравнений.
Кроме того, правомерность применения метода проверялась на
тестовых задачах, решение которых дало хорошие результаты.
Приведем эти тестовые задачи в следующей главе.
4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ УДАРНОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Метод расчета напряженно-деформированного состояния и
разрушения, предложенный в предыдущей главе, иллюстрирует-
ся здесь на простейших задачах удара, деформирования и разру-
шения.
В разд. 4.1 приведено решение задачи удара тонкого упру-
гого стержня о жесткую преграду. Осуществлено математиче-
ское моделирование напряженного и деформированного ♦со-
стояний стержня, а также процесса накопления микроповреж-
денности и фрагментации стержня в результате его удара. За-
тем в разд. 4.2 рассмотрена подобная же задача, но уже для
удара пластического стержня. Для этих задач известны точ-
ные решения о напряженно-деформированном состоянии
стержней. Сравнение приближенных решений с точными по-
казало приемлемость приближенного метода. Математичес-
кое моделирование удара стержня о преграду (в пределах уп-
ругих деформаций) обнаружило периодичность функции на-
копленной поврежденности по его длине. Это явление можно
назвать интерференцией микроповрежденности. В разд. 4.3
рассмотрена классическая задача обработки металлов давле-
нием — ковка параллелепипеда на молоте. Эту задачу можно
еще рассматривать как модель работы некоторого устройства
для демпфирования удара. Разд. 4.4—4.6 посвящены соответ-
ственно обнаруженному в опытах феномену сверхглубокого
проникания и математической модели этого явления. Соответ-
ствие эксперименту результатов математического моделиро-
вания сверхглубокого проникания свидетельствует о приемле-
мом качестве новой теории, изложенной во второй части дан-
ной книги, и возможности ее практического использования.
Изложение решений сделано достаточно подробно, чтобы
помочь читателю освоить метод, научиться самостоятельно ре-
шать подобные задачи и понимать процедуры, выполняемые
программами, с которыми, возможно, читатель повстречается.
245
4.1. УДАР УПРУГОГО СТЕРЖНЯ О ЖЕСТКУЮ ПРЕГРАДУ
И ЕГО РАЗРУШЕНИЕ1
Постановка задачи. Пусть тонкий стержень длиной L дви-
жется со скоростью v* и в момент t = t0 = 0 начинает взаимодей-
ствовать с жесткой преградой (рис. 18). Требуется определить
напряженное и деформированное состояния стержня, его по-
врежденность для любого момента t > tf и описать фрагмента-
цию. Пусть выполняются все предположения, при которых про-
дольные колебания стержня описываются одномерным волно-
вым уравнением, а именно, перемещение материальных точек
стержня происходит только вдоль его оси, деформации считают-
ся малыми. Будем считать также, что массовые силы, кроме
инерционных, равны нулю. Вариационное уравнение для нашей
задачи в произвольный фиксированный момент (до момента на-
чала фрагментации имеет вид
(166)
Здесь J — функционал принципа; а,-,, — компоненты тензо-
ра напряжений и тензора скоростей деформации; v', — ком-
поненты вектора скорости и вектора ускорения, по повторяю-
щимся индексам производится суммирование, штрихом отме-
чены варьируемые величины; р — массовая плотность. Пусть
определяющие соотношения представлены законом Гука, ко-
торый для случая одноосной деформации сводится к одному
уравнению:
®хх ~ Е&хх, (167)
где е,7 — компоненты тензора деформаций, Е — модуль Юнга.
Решение с использованием вариационно-разностного метода.
Решим вариационную задачу (166) разностным методом. Выберем
одномерные виртуальные поля скоростей в следующем виде:
v' = V‘~Л'~')+’ х>~'-X-Xi’1 = •••’”• (168)
Задачи разд. 4.1 и 4.2 решены Л.Ф. Спеваком при участии В.Л. Колмого-
рова.
246
Рис. 18. Удар стержня о жесткую пре- И|
граду ВВ
ВВ v*
Остальные компоненты век- ----
тора скорости по условию Щ
задачи равны нулю. Здесь |Н______________________ х
%о = 0, Xj, ...,x„ = L — коорди- Н „ ---------►
наты точек равномерного Нии L
разбиения отрезка [О, L];
h = L/n; v' = v,(t) — искомые |M
значения скорости в узлах Н|
разбиения. В каждый момент Е|
на промежутке деформирова-
ния стержня [?0, tf] величины v- представляют собой варьируе-
мые параметры в вариационной задаче.
Учитывая, что
♦
^=^L±>Xi_1<x<xi, (169)
h
функционал в (166) примет вид функции v-, i = 0,..., п: »
п xi ( / /
1=1 х(-A п
Х (V' h‘~X " Х‘~1 + V|'-1} } (11®)
Подставим в соответствии с методом в необходимые условия
экстремума функционала
«О (171)
следующие соотношения (после дифференцирования):
dUj
dt ’
I d2u, d2ut .
I dt2 dt2
d2Uj-\
dt2
хм^х<х,-, (172)
h
а также значение
= E^U‘~Ui~l\ xM <XXi, (173)
h
247
соответствующее определяющим соотношениям (167). В резуль-
тате получим системы дифференциальных уравнений для на-
t
хождения значений w,(f) = J v, (t) dx — перемещений узлов отно-
о
сительно начальных положений:
Achi/dt2 = Ви,
(174)
где и = (и0, щ, ...» и„)г— вектор-функция времени; А, В — посто-
янные матрицы.
Система (174) для примера была решена численно (методом
Рунге—Кутта третьего порядка) с начальными условиями
w,(f0) = 0, i = 1.п, vfa) = —=v„, i = 1, .... п, при следую-
dt
щих значениях параметров: р = 7800 кг/м3, Е = 200 000 МПа, п = 10,
L = 0,1 м, г>* = -250 м/с.
Были найдены значения перемещений в узлах как функции
времени, а также момент отскока стержня от преграды
t» = 0,00004 с (из условия с0(/.) = 0), необходимый для постановки
новой краевой задачи — движения стержня после отскока, если до
этого не произойдет разрушение. Задача о движении после отско-
ка была решена аналогичным образом. Здесь необходимо отме-
тить, что при решении учитываются граничные условия: на этапе
взаимодействия стержня с преградой и0 = v0 = = 0, а после отско-
ка о0 = ол = 0. В качестве начальных условий для второго этапа ве-
дений и скоростей узлов, сло-
жившиеся к моменту отско-
ка от преграды. Результат
решения задачи для обоих
этапов показан на рис. 19.
Перемещения и скорости для
п = 10 хорошо согласуются с
точными решениями волно-
вого уравнения, описываю-
щего продольные колебания
упругого стержня.
5
4
2
1
Рис. 19. Вариационно-разностное
решение. Перемещение узлов
248
Решение с использованием рядов Фурье. Решим теперь ту же
вариационную задачу (166), используя другую интерполяцию ис-
комых величин, а именно, будем искать скорости перемещения
vx(t, х) в виде отрезков тригонометрических рядов Фурье с изве-
стными координатными функциями, удовлетворяющими гра-
ничным условиям, и неизвестными коэффициентами а,- (t). Для
этапа взаимодействия виртуальные поля имеют вид
vx(t, х) = а,- (?) sin (со,х), (175)
1=1
где со, = n(i - 0,5)/L.
Используя предложненный метод решения аналогично пре-
дыдущему случаю, для определения неизвестных коэффициен-
тов получаем однородную систему линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка
»(176)
(177)
решение которой дает следующий результат:
ux(t, х) = ^Ак sin (a(tikt) sin (акх),
t=i
где а = -7 Е/р, а коэффициенты Ак определяются из начальных
условий
их(0, х) = 0; vx(0, х) =Дх), 0 < х < L (178)
следующим образом:
2 l
Ак =----I f (х) sin (<otx) dx. (179)
В качестве функции fix) можно выбрать непрерывную функцию,
как-то приближающую разрывные начальные условия задачи
удара:
vx(0,0) = 0; t\(0, х) = v», 0 < х < L. (180)
249
Решение (177) совпадает с суммой п первых членов ряда, выра-
жающего точное решение волнового уравнения, тестирование
дало положительный результат.
Аналогично решена задача для движения стержня после отско-
ка от преграды. Виртуальные поля были приняты следующими:
v'(t, х) = Oj (i) cos (С5,х), (181)
<=i
где 65, = ni/L. В качестве начальных условий для решения после от-
скока берутся значения перемещения и скорости, сложившиеся к
моменту отскока от преграды. На рис. 20 показаны значения напря-
жений в узлах, подсчитанные с помощью рядов для V» = -250 м/с,
л = 20.
Решение в виде отрезков рядов дает более точный результат,
чем вариационно-разностное, однако в общем случае подобрать
координатные функции удается не всегда. Приведенные выше в
этом пункте решения задач были нужны для тестирования мето-
да и осуществлялись в предположении, что стержень не разру-
шается (нет макрофрагментации). Обратимся теперь к расчету
микроповрежденности и макрофрагментации.
С1О~9, Па
х = 0, м
1
х = 0,06, 7 л
Г V
1 J
Рис. 20. Решение с помощью рядов Фурье. Напряжения
250
Расчет поврежденности стержня. Используя полученные ре-
шения задачи об ударе стержня о жесткую преграду, сделаем
расчет микроповрежденности стержня вследствие его удара и
последующего колебательного процесса. Определим момент и
координату х первого макроразрыва. Внутренним трением пре-
небрегли.
Поврежденность \|/ для материальной частицы подсчитывалась
в соответствии с разд. 2.6 следующим образом: для каждой части-
цы стержня по мере ее движения выделялись временные участки
монотонного деформирования. На таком участке скорость дефор-
мации частицы не меняет знак. Обозначим t2,..., —момен-
ты времени смены знака этой компоненты скорости деформации
(перехода через нуль). Тогда на n-м участке < t < tn —
п
v(0=£v,“,)
/5=1
= С (г), k2(t\Е(0 ]Е(0, Ш = 0- , (182)
Здесь, напомним, Е — интенсивность скорости деформации;
кх = а/Т; к2 = 2(g22 - стзз)/(°п - °зз) - 1; о — среднее нормальное
напряжение; Т — интенсивность касательных напряжений,
<5и > а22 > с33 — главные нормальные напряжения. Для оценоч-
ных расчетов здесь принято С « 1/Лр. а, = аДь к^ — значения
функции a = a(Xb к^ на i-м участке монотонного деформирова-
ния. К моменту разрушения (t = tf) y(z) = y(t) = 1.
Функции Лр и a были взяты из работы [/]:
Ар = %exp(Xa/T), a = ссоехр(1 + 0,238о/Г) (183)
при следующих константах материала:
% = 0,2, X = -2, «о = 1,2.
В рассматриваемых моделях значение поврежденности до-
стигает единицы одновременно в нескольких точках, а точнее —
на некоторых отрезках, где и произойдет макроразрушение. На
рис. 21 показано распределение поврежденности в стержне в мо-
мент возникновения первого макроразрыва tf = 0,000043 с при
скорости удара 250 м/с. Следует отметить, что во всех модель-
ных экспериментах наблюдалось распределение V по длине
251
Рис. 21. Поврежденность по длине уп-
ругого стержня
Рис. 22. Момент первого разрушения в зависимости от скорости стержня
Рис. 23. Координаты точки первого разрушения в зависимости от скорости
стержня
Рис. 24. Перемещение точки разрушения
стержня в виде осциллирующей функции. Это явление назвали
интерференцией поврежденности. На рис. 22,23 отражены зави-
симости момента разрушения и координаты точки разрыва от
скорости удара V». Эксперименты показывают, что порой разру-
шение снаряда происходит после его отскока от мишени. В тече-
ние периода взаимодействия снаряда с мишенью и после его от-
скока из-за возникших в нем колебаний в снаряде идут процессы
накопления поврежденности. Рис. 22 показывает момент такого
разрыва (отсчет времени производится от момента соприкосно-
вения снаряда с мишенью), а его место (отсчет производится от
переднего конца снаряда) показано на рис. 23. Обе величины
(^ и х) находятся в зависимости от скорости удара снаряда и».
Аналогично можно осуществить расчет последующих моментов
и точек разрывов. На рис. 24 показано движение осколков
стержня после первого разрыва. Поскольку разрыв произошел
при растягивающих напряжениях в месте его локализации, то
осколки далее движутся с различными скоростями.
Деление твердого тела на фрагменты после удара вследствие
усталости материала при колебаниях известно из опыта.) Нам
представляется, например, что такой механизм ответствен за
разрушение “слез Руперта”, описанных в работе [66].
Автор сознает, что в этом разделе рассмотрен очень простой
пример, он должен быть дополнен описанием механизма дисси-
пации механической энергии в тепловую, описанием^ затухания
колебаний от “внутреннего трения” и внешних сопротивлений.
4.2. УДАР ПЛАСТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ О ЖЕСТКУЮ ПРЕГРАДУ
Предположим теперь, что материал стержня несжимаем и
обладает жесткопластическими свойствами, и определяющие
уравнения выглядят следующим образом:
2Г
su=^ev’ Г = +
(184)
Краевая задача теории пластичности, описывающая постав-
ленную задачу, будет эквивалентна вариационному уравнению
= 5 W = о
(185)
253
для выбранного виртуального поля скоростей v', удовлетворяю-
щего граничным условиям задачи. Значение Т здесь не варьи-
рует и соответствует действительному состоянию.
Выберем виртуальное поле в разностном виде (168). Несмо-
тря на то что лишь компонент тензора скоростей деформа-
ции отличен в этом случае от нуля, будем считать изменение
объема пренебрежимо малым. Учитывая, что v/ - г>-_! < О, Н' =
4 ч2 =2(^-у;)
3 J3h ’
Xj < х < Xj, функционал примет вид
функции
/=XJ Т2(V^3hV‘) *(х~х-1)+ ^-1) (186)
Подставив в необходимые условия экстремума (171) соотно-
шения (172), а также
(187)
получим для нахождения функций ^ систему уравнений
Ци)ЭШ2 = К(и), (188)
где К(и), Ци) — нелинейные вектор-функции векторного аргу-
мента.
Векторное уравнение (188) было решено при следующих зна-
чениях параметров: п = 10, V» = -300 м/с, = 200 МПа, |1 = 800 МПа,
q = 0,5. Остальные параметры были взяты такими же, как в пре-
дыдущей задаче. Был также произведен расчет поврежденности
и определен момент разрушения, tf = 1,99 10-5 с, которое про-
изойдет в отрезке, прилегающем к преграде. На рис. 25 показа-
но распределение поврежденности вдоль стержня в момент раз-
рушения.
254
Рис. 25. Распределение по-
врежденности в жесткопласти-
ческом стержне к моменту раз-
рушения tf= 1,99 10~5 с
Рассмотренные в
разд. 4.1 и 4.2 тестовые
примеры дали хорошие
результаты применения
изложенного в главе 3
приближенного метода решения краевых задач механики де-
формированного тела по расчету напряженно-деформирован-
ного состояния упругих и пластических тонких стержней. Рас-
чет микроразрушения, фрагментации тела при его макрораз-
рушении показал некоторые явления (интерференция повреж-
денности, разлет фрагментов), часть из которых наблюдается
на опыте. Метод может быть рекомендован для применения на
практике.
4.3. КОВКА ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА1
Рассмотрим классическую задачу обработки металлов давле-
нием — ковку параллелепипеда плоскими штампами, которая
рассматривалась неоднократно в аналогичной постановке [67—
69]. Решение сделаем иллюстративное с использованием рассмо-
тренного выше метода в невысоком приближении по кинемати-
ке и напряженному состоянию. Схема процесса показана на
рис. 26 и 27.
Пусть нижний штамп неподвижен, а верхний перемещается
поступательно вниз со скоростью vu = которая пока не-
известна и будет определена позже путем интегрирования
уравнения движения падающего штампа (верхнего бойка). Па-
раллелепипед в примере примем низким, поэтому на контакте
с инструментом превалирует зона скольжения Ss. Зона прили-
пания Sv, где отсутствует проскальзывание между инструмен-
том и деформируемым металлом, примыкающая к центру
нижнего и верхнего оснований, практически отсутствует
(S„ = 0). Предположим, что материал параллелепипеда обла-
дает известными реономными свойствами, на контактной по-
‘Задача решена А.В. Горшковым и В.П. Федотовым при участии В.Л. Кол-
могорова.
255
Рис. 26. Схема ковки на молоте:
1 — верхний боек, 2 — поковка, 3 — нижний боек с
шаботом
верхности со штампами действу-
ет некоторый известный закон
трения. Боковая поверхность па-
раллелепипеда — это црверх-
ность типа Sf, на которой f * = 0.
Примем виртуальные пере-
мещения частиц в неподвижной
декартовой системе координат,
которые они могут получить в
процессе осадки параллелепипе-
да к моменту t, в следующем про-
стейшем виде:
= ау1; и(2) = Zjj2;
,3 fyH(T)jT = _Cy3
I Ло
м<3> = -у
О
где у1, у2, у3 — начальные координаты частиц в декартовой сис-
теме координат, которые примем в качестве лагранжевых коор-
динат; аъ Ьх — искомые неизвестные “коэффициенты”, завися-
щие от времени t и обращающиеся в нуль при t = 0; h0 — началь-
ная высота параллелепипеда. Легко убедиться, что выражения
(189) удовлетворяют в любой момент граничным условиям: при
у3 = 0 и(3) = iZ3) = 0; при у3 = Ло
iZ3) = -vu(f). Читатель может
самостоятельно выбрать
поле перемещений в более
сложном и лучшем виде,
чем это дано формулами
(189), например в виде от-
резков степенных рядов. В
этом случае решение будет
более точным, но за это
придется “заплатить” более
громоздкими вычисления-
(189)
vu
Р
л,.
ДЛ | j
т Ло
/)//////////)/ *Л)
10 >1
Рис. 27. Схема к расчету напря-
женно-деформированного состоя-
ния при ковке параллелепипеда
К
256
ми, что вряд ли целесообразно в иллюстративном примере. Тог-
да декартовы координаты материальных частиц, получивших
перемещения (и(1), и(2), и(3)) в неподвижной системе отсчета, в мо-
мент t будут
х01 = у1 + аУ; х® = у2 + bxy2', хР} = у3 - су3. (190)
Таким образом, положение материальной частицы в момент t
определяется вектор-функцией
г = ^«(у1, у2, у3, /)еда,
где определены формулами (190), а сда — векторы базиса непо-
движной декартовой системы координат, которые постоянны в
физическом пространстве и во времени. Заметим, что компоненты
векторов в декартовой неподвижной системе наблюдения, а также
векторы ее базиса отмечены индексами в круглых скобках.
Для описания деформирования в лагранжевых перемейных
введем сопутствующие и взаимные базисы. Базисные векторы
сопутствующей системы координат определяются формулами
_»_ дг _ дх^ _
е‘~ W~~^~e{kY
Векторы взаимного базиса определяются с помощью базисных
векторов сопутствующей системы координат по формулам
^1 _ g2 . £2 — £з2££к • g 3 = gl *g2
V ’ V ’ V
Здесь
V = el-(e2x е3) = е2 • (е3 х е J = е3 • (е j х е2)
объем параллелепипеда, построенного на векторах базиса. Век-
торы базиса сопутствующей системы, взаимного базиса и ком-
поненты любых векторов в этих базисах здесь имеют индексы
(верхние либо нижние) без скобок.
С учетом сказанного и закона движения (190) вычислим ком-
поненты метрического тензора gik= et • gik = е' • ек. Итак,
£п = • е j = (1 + a^2-, g2l = е2 • с, = 0; g31 = е3 • е, = 0;
£12 = efe2 = 0; g22 = е2 • е2 = (1 + b^2\ g32 = е3 • е2 = 0;
£1з = е j • е3 = 0; g23 = е2 • е3 = 0; g33 = е3 • е3 = (1 - с)2
257
и (кстати, можно воспользоваться тем, что матрица (grt) = (gIJt)-1)
g11 = 1/(1 + a,)2; g21 = 0;g31 = 0;
g2‘ = 0; g22 = 1/(1 + 61)2. g23 = Q.
g31 = 0; g32 = 0; g33 = 1/(1 - с)2.
Вычислим скорости движения материальных частиц. Их бу-
дем считать виртуальными, так как они удовлетворяют гранич-
ным условиям (условие несжимаемости удовлетворим позже), и
они будут использованы в принципе виртуальных скоростей и
напряжений
_> Эг Эх^ _
= v(1)=d1y1; = г/2) =£у2; = г>(3) =-сху3. (191)
at dt at
Выражения (191) являются проекциями вектора скорости на
направления векторов базиса неподвижной декартовой системы
координат. Нам необходимы компоненты скорости в сопутству-
ющей системе координат. Для их определения достаточно вы-
полнить операции преобразования компонентов вектора в связи
с изменением базиса У = Р'г/0, 0/ = ду/дхР. Вычислим компонен-
ты матрицы В = (Рр перехода от неподвижной декартовой систе-
мы координат (старой) к сопутствующей лагранжевой системе
координат (новой). Как следует из выражений (190), если их раз-
решить относительно у',
р} = ду'/дУ" = 1/(1 + ах); pi = Эу7Эх<2> = 0; 0i = Эу7Эх*3> = 0;
Pi = Эу2^1) = 0; pi = ду2/дУ2) = 1/(1 + Ьх); $ = Эу2/Эх<3> = 0;(192)
р3 = dyW" = 0; Pl = Эу3/Эх<2) = 0; pl = Эу3/Эх<3> = 1/(1 - с).
Кстати, определитель матрицы перехода (192) будет
detB = р}р2р1 = 1/(1 + fll)(l + &,)(! - с).
Тогда получим v' = P'uw или
г?1 = d,y7(l + ар; г>2 = &1У2/(1 + bt); v3 = -су3/(1 - с). (193 а)
258
Ковариантные компоненты вектора скорости могут быть получены
с помощью операции vt = g^—“жонглирования” индексами. Итак,
Vj = at(l + а^у'; v2 = 4(1 + bi)y2‘, v3 = -c(l - c)y3. (193 6)
Соотношения (193 а, б) позволяют вычислить компоненты
тензора скорости деформации = (Ущ + V,v,)/2 в лагранжевой
системе координат. Напомним, что ковариантной производной
ковариантных компонентов поля вектора а называют величи-
ну = Эа/Эу* - Г^а„ где символы Кристоффеля второго рода
определяются формулой = g^g^/dy* + dgjty - 3gafoya')l2.
Легко убедиться, что в рассматриваемом случае символы Крис-
тоффеля равны нулю. Таким образом, имеем
= VA = Эг^/Эу1 = d,(l + «[); £22 = V2v2 = dvjdy1 = 4(1 + Ь^,
£зз = V3v3 = Эг?з/Эу3 = —с(1 - с); £12 = (V]V2 + V2Vi)/2 = 0; (194)
^23 = (V2v3 + V3v2)/2= 0; £3l = (V3V! + 4^)12 = 0.
Теперь есть возможность удовлетворить условие несжимае-
мости и определить один из неизвестных варьируемых парамет-
ров, например 4, выразив его через остальные (варьируемый па-
раметр ах). Итак, условие несжимаемости в сопутствующей сис-
теме координат щ+^+§=0с учетом (194) и того, что
%! = запишется для нашей задачи так:
5,iS"+^22 + ^s” = 0.
Следовательно, получим
»,= (1+6,) °' , •
' 1(1-0 (l+a,)J
Итак, виртуальные поля скоростей перемещения частиц и
скоростей деформаций выражены с помощью одного варьируе-
мого параметра
Далее найдем еще ряд кинематических переменных, которые
будут необходимы для дальнейшего. Интенсивность скорости
деформации сдвига для несжимаемого материала
(195>
259
Модуль вектора скольжения инструмента по металлу на кон-
такте с верхним и нижним бойками
V/ / 11 / / 22
v^g +v2v2g
V/V
Уз=°
Уз=Ао
Уз=°
Уз=Ао
(196)
Контравариантные составляющие ускорения в сопутствующей
системе координат вычисляются по формулам
w* = dvk/bt + v'(dvkl()y + г>Т$),
которые с учетом (193 а) дают:
w1 = 0^(1 + Л1)-1; w2 = 6^(1 + 6J-1; w3 = -су3(1 - с)-1. (197)
Чтобы получить ковариантные компоненты ускорения, необхо-
димо у выражений (197) выполнить операцию опускания индек-
са Wj = gjjwi. Следовательно,
wi = «1У!(1 + fli); w2 = &iy2(l + Z>t); w3 = -cy3(l - c). (198)
Теперь обратимся к конструированию простейшего виртуально-
го поля напряжений, т. е. удовлетворяющего граничным условиям в
напряжениях и дифференциальным уравнениям движения. Удобен
такой алгоритм конструирования: из шести компонентов тензора
напряжений три компонента выбираются произвольно, правда, с
учетом граничных условий, остальные определяются интегрирова-
нием уравнений движения, при этом произвольные функции интег-
рирования назначаются с учетом граничных условий. Итак, примем
о23 = а3
<у12 = 0; о13 =
1-
bn J
(199)
2 / 3 \
-|2Г-1|-
fy) k fy) )
260
Легко убедиться, что эти выражения удовлетворяют усло-
вию равенства нулю поверхностных напряжений на боковых по-
верхностях параллелепипеда. (Читателю можно порекомендо-
вать самостоятельно выбрать более полное и, следовательно,
лучшее представление виртуальных напряжений. Например,
вместо выражений (199) взять более длинные отрезки степен-
ных рядов.) Подставим последние выражения в дифференциаль-
ные уравнения движения
+ p(g/ - w>) = О
и учтем, что в рассматриваемой задаче гравитационными на-
грузками gj можно пренебречь. Интегрируя результат с учетом
граничных условий на боковых поверхностях (нулевые поверх-
ностные напряжения), получим следующие выражения для нор-
мальных напряжений:
РД1(?)2 ^(у1)2 ! (у1)2
2 (1 + О|) /Jq/q 2/0
(200)
Здесь а2, а3, а4 — варьируемые параметры (заметим, что, это, во-
обще говоря, произвольная функция координат у1, у2, которая
может быть найдена из применяемого здесь вариационного
принципа, но для простоты она принята константой). Среднее
нормальное напряжение определяется по формуле
о = (<УП§11 + G22g22 + О33^зз)/3 = (с} + нН С1)/3.
261
Контравариантные компоненты девиатора напряжений и ин-
тенсивность касательных напряжений вычисляются так:
s‘j = О'' - Og'', Т = SilSk,gi]gkl/'l.
Для того чтобы записать функционал в (117)—(118), необхо-
димо назначить определяющие уравнения (68), (69) и условие
трения (866) на контактной поверхности. Предположим, что ма-
териал параллелепипеда изотропный, несжимаемый (это было
уже использовано при построении виртуального состояния) и
для него выполняются гипотезы о коаксиальности и подобии де-
виаторов напряжений и скоростей деформации. Тогда уравнения
(68) имеют вид
= 27ХВД7Я; = Н(Т)^12Т. (201)
Примем, что материал жестко-вязкопластичный, тогда
Т(Я) = т5 + ЦЯ; Н(Т) = (Т- ^)/ц. (202)
Уравнения (69) в силу несжимаемости вырождаются. Закон тре-
ния примем по Зибелю:
А = (203)
Очевидно, что закон трения (203) не зависит от скорости сколь-
жения и не имеет обратной функции. В выражениях (202) и (203)
т5, ц, к — известные величины: предел текучести при чистом
сдвиге, коэффициенты “вязкости” и трения соответственно.
Функционал вариационного принципа виртуальных скоро-
стей и напряжений (118) для рассматриваемого случая с учетом
(201) имеет вид
или, если учесть (202) и (203),
•Л= |[тЛ' + ц(Н')2/2+ (Г)72и-т,Г/ц+рЛ;]^-
V
- f (/X - ) dS- <204)
S,
262
Все величины, кроме одной, vu, входящие в формулу (204), опре-
делены выше. Напомним, что штрихом отмечены варьируемые
величины. Для определения vu рассмотрим дополнительную за-
дачу о движении бойка ковочного молота по инерции после ка-
сания его с параллелепипедом. Пусть М — масса бойка, тогда
уравнение его движения имеет вид
Mvu= jfvdS.
s,
Подставив в последнее выражение fv = -а33 , и проинтег-
=Л0
рировав его, получим
с =
Уа4(1-с)
(205)
т
2(1-с)
Ло2 М +
где V — объем параллелепипеда, ат — его масса.
После подстановки виртуального состояния в (204) и дифферен-
цирования этого выражения по варьируемым величинам получим
систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Ее числен-
ное решение совместно с уравнением (205) было сделано по методу
Рунге—Кутта четвертого порядка. Расчеты проводились для следу-
ющих условий: длина параллелепипеда /0 = 0,3 м, ширина Ьо = 0,3 м,
Рис. 28. Распределение среднего нормального напряжения а (Па) в сечении у3 =
= 0,05 в начале (а) и в конце (б) осадки
263
Рис. 29. Изменение с (Па) в центре
параллелепипеда во времени при от-
ношении массы бойка к массе па-
раллелепипеда:
1 —712251; 2 — 178063; 3 — 17806
высота /г0 = 0,1 м, плотность ма-
териала р = 7800 кг/м3, предел
текучести при чистом сдвиге т,
= 2 108 Па, коэффициент тре-
ния по поверхности бойка
к = 0,3, скорость бойка в мо-
мент касания с параллелепипе-
дом v0 = -10 м/с, р = 0,05.
Покажем некоторые результаты численного моделирования.
Процесс разрушения металлов существенно зависит от уровня сред-
них нормальных напряжений, которые имели место при деформи-
ровании. На рис. 28 показано распределение о в серединном сечении
параллелепипеда (у3 = 0,05 м) в начале (а) и в конце (б) удара. Вид-
но, что высокие инерционные нагрузки в начале удара создают бо-
лее благоприятные напряжения для деформации без разрушения,
чем в конце удара (напряжения меняются почти на два порядка).
Эпюра напряжений имеет характерный куполообразный вид. На
рис. 29 показано изменение о в центре параллелепипеда в течение
удара при различных отношениях массы бойка к массе параллеле-
пипеда. Видно, что инерционные нагрузки, имеющие место при уда-
ре с большей кинетической энергией, создают большие значения
гидростатического сжатия в центре параллелепипеда.
Разобранный в данном разделе пример имел целью больше по-
казать технику решения задач, чем математическое моделирова-
ние процесса ковки параллелепипеда. Читатель, опираясь на при-
веденное здесь, в состоянии осуществить более обширное симули-
рование процесса ковки. Другим читателям, которые готовы к
развитию приведенного здесь решения, можно порекомендовать
создать более полную модель процесса. Например, можно было
бы учесть более “мягкое” (упругое, упруговязкое и др.) закрепле-
ние шабота в грунте, показанном штриховкой на рис. 26.
4.4. ЯВЛЕНИЕ СВЕРХГЛУБОКОГО ПРОНИКАНИЯ ЧАСТИЦ
В МЕТАЛЛИЧЕСКУЮ МИШЕНЬ
До недавнего времени было известно, что частицы, летящие
с очень высокой скоростью, проникают в массивные покоящие-
264
ся твердые тела на глубину, составляющую всего лишь несколь-
ко диаметров частицы. В 1980-х гг. в литературе появились сен-
сационные сообщения об интересном явлении, обнаруженном в
экспериментах и получившем наименование сверхглубокое про-
никание [70—86]. В чем была суть этих опытов, и что при этом
наблюдалось?
Так, в работе [70] исследовался материал мишеней из Ст45 и
меди М2, которые подвергались обработке высокоскоростной
струей рабочего вещества. Удалось зафиксировать кратеры,
имеющие форму, аналогичную форме кратеров, образовавших-
ся при соударении ударников из железа и натриево-известкового
стекла [71]. Глубина полученных кратеров в десятки раз превы-
шала диаметр ударника.
В работе [74] приведены результаты исследований мишеней
из армко-железа и стали 40X13, обработанных высокоскорост-
ным потоком микрочастиц титана, хрома и кремния. Микро-
рентгеноспектральный анализ мишеней из армко-железа пока-
зал, что потеря массы частицы при ее движении в мишени про-
исходит не монотонно, а периодически. <
Авторы работы [75] отмечают, что ко времени постановки
их исследования накоплено значительное количество данных о
существовании сверхглубокого проникания. Они отмечают, что
процесс проникания сопровождается импульсным электромаг-
нитным излучением.
Исследование динамического микролегирования показало
[76], что размер каналов в поперечном сечении на порядок мень-
ше размеров порошковых частиц, вводимых в материал в про-
цессе динамической обработки. В процессе движения частицы
материал мишени, обтекая частицу, закрывает канал позади нее.
Протяженность зоны “возмущения”, формируемой частицей в
материале мишени, равна нескольким диаметрам этой частицы.
В работе [77] авторы отмечают, что обработка металлов вы-
сокоскоростным потоком порошковых материалов сопровожда-
ется ударно-волновым процессом. В этих условиях происходит
проникание частицы в мишень. Методом послойного химическо-
го анализа обнаружено изменение состава материала мишени на
глубину до 40 мм.
В статье [78] обсуждают механизм взаимодействия потока
микрочастиц с преградой. Отмечается, что имеется довольно
много сведений о фактах сверхглубокого проникания частиц в
глубь материала, что развитие представлений об этом механиз-
265
ме пока идет эмпирическим путем и что имеются весьма боль-
шие расхождения во взглядах по этому вопросу.
В Белорусском научно-производственном объединении по-
рошковой металлургии и Институте механики Московского го-
сударственного университета изучался процесс сверхглубокого
введения частиц порошка размерами в десятки микрометров на
глубину, измеряемую миллиметрами [79]. В качестве мишени ис-
пользовалась Ст45, а микроснарядами были вольфрам, медь,
свинец и титан. Структуру шлифов мишени исследовали с помо-
щью сканирующего микроскопа MSM-2 и рентгеновского мик-
роанализатора MS-46. Проникание оценивали отношением глу-
бины проникания к поперечному размеру частицы. Отношение
оказалось следующим: для вольфрама 1,55-103; меди 6,68-102;
свинца 1,95-Ю2; титана 1,58-102. В работе выполнялись исследо-
вания с использованием двойных смесей порошков. Удалось изу-
чить траектории движения микроснарядов в мишени.
Авторы работы [80] отмечают, что глубина проникания бы-
стро движущегося ударника в массивные металлические тела не
превышает 10—40 размеров поперечного размера ударника.
Глубину проникания выше отмеченной принято называть ано-
мальной, ей авторы посвящают свое экспериментальное иссле-
дование. Разгон частиц порошка выполнялся на взрывном уско-
рителе (рис. 30), использовался порошок оксида алюминия, ма-
териал мишени — Ст45. Микрозондовый анализ шлифов мише-
ни показал, что во всех экспериментах отношение глубины про-
никания к размеру частиц порошка превышало 40, кратер или
след движения частицы в мишени во всех случаях оказался за-
крытым затекшим в него материалом мишени. Сверхглубокое
проникание всегда сопровождалось же-
стким излучением.
Работа [81] посвящена модели
сверхглубокого проникания. В начале
статьи авторы, обобщая накопленный
опыт, отмечают следующее. Метание
потока частиц (с плотностью потока
р„» 1,5403 кг/м) со скоростью v ~ 1,5—
2,5 км/с на металлическую преграду
(мишень) сопровождается парадок-
сальным эффектом сверхглубокого
Рис. 30. Схема взрывного ускорителя:
/ — детонатор, 2 — заряд ВВ, 5 — металлическая облицовка,
4 — порошок А12О3
266
проникания множества частиц на глубины в сотни и тысячи “ка-
либров”. Этот эффект характеризуется рядом особенностей.
1. Сверхглубокое проникание наблюдается при диаметре частиц
d < 1(Н м, кристаллическая плотность частиц «(2—6)-103 кг/м3.
2. Сверхглубокое проникание сопровождается волновыми про-
цессами в мишени с амплитудой давления в несколько гигапаска-
лей. Дополнительное повышение давления в бомбардируемых
мишенях при синхронном импульсном нагружении их боковых
поверхностей значительно увеличивает на всех глубинах число
проникающих частиц, составляющее в стандартных условиях
метания «102—103 шт/мм2. 3. Каналы, образуемые движущимися
микрочастицами, схлопываются, и вблизи них образуются обла-
сти интенсивного пластического течения с высокодефектной,
частично аморфизованной структурой.
Математическая модель, составленная авторами работы [81],
описывает движение частицы в ньютоновской жидкости. Она
представляется весьма схематичной.
Работы [82] и [83] являются как бы обобщающими исследо-
вания С.К. Андилевко и его сотрудников, многие из которых на-
ми уже цитировались. Поэтому приведем здесь только информа-
цию, не упоминавшуюся выше. Авторы отмечают, что сверхглу-
бокое проникание наблюдается лишь в условиях нагружения ме-
таллической мишени плотным потоком микрочастиц. Для оди-
ночных частиц этот эффект не зафиксирован. Особое внимание
авторы отводят волновому процессу в мишени, возникающему в
результате воздействия на нее плотного импульсного потока ми-
крочастиц длительностью (2—7)-10~5 с. В работах приводятся
конкретные данные о волновом процессе. Математическая мо-
дель представляет собой задачу движения твердой частицы
сквозь вязкую среду. Обтекание частицы жидкостью — разогре-
тым до температуры плавления металлом мишени — якобы,
формирует позади частицы кумулятивную струю, толкающую
частицу в направлении ее движения. Модель представляется
слишком упрощенной и противоречивой. Например, она не по-
казывает роль волнового процесса в мишени.
Следует заметить, что известно очень мало попыток созда-
ния достаточно полной механико-математической и термодина-
мической модели феномена сверхглубокого проникания [84, 85].
Одна из таких моделей принадлежит С.С. Григоряну. Он счита-
ет, что сверхглубокое проникание частицы вместе с почти пол-
ным смыканием канала, образуемого ею в мишени, означает,
267
Рис. 31. Схема к модели сверхглубокого проникания по С. С. Григоряну:
а — сечение вдоль траектории движения частицы; б — поперечное сечение
что в рассматриваемом явлении не возникает существенных пла-
стических деформаций в материале мишени или его дробления в
окрестности проникающего тела и сама частица почти на всем
пути следования не испытывает заметной пластической дефор-
мации, а также разрушения. Мишень как бы раскрывается перед
движущейся в ней частицей вследствие возникновения и распро-
странения в материале мишени одной или нескольких трещин
отрыва, за счет чего образуется канал-трещина, по которому ча-
стица движется, и его сечение после прохождения частицы смы-
кается. При этом частица взаимодействует со стенками канала-
трещины по небольшой площади контакта Д (рис. 31), на кото-
рой развиваются нормальные и касательные напряжения. Поли-
гональная форма поперечного сечения канала, регистрируемая в
опытах, подтверждает факт возникновения такого рода асимме-
тричных звездообразных каналов-трещин. Далее автор оценива-
ет величину напряжений на площади контакта Д и вычисляет
глубину проникания, порядок которой соответствует опытным
данным.
В модели С.С. Григоряна остается один вопрос, почему плас-
тичные металлы, из которых сделаны были мишени, показыва-
ют такую низкую способность к пластической деформации? По
мнению автора этой модели, причина в высокой скорости де-
формации. Можно согласиться с неприятием этой концепции,
содержащимся в работе С.К. Андилевко [83]. На наш взгляд, ре-
шающим фактором, снижающим пластичность материала ми-
шени, является не скорость деформации. Действительно, ско-
рость деформации имеет высокое значение во всех случаях про-
никания, однако не во всех случаях проявляется сверхглубокое
проникание. Недостает некоторого звена в модели С.С. Григоря-
на, которое мы приведем ниже в наших рассуждениях в последу-
ющих разделах.
Практически одновременно с предыдущей моделью Г. Г. Чер-
ным была выдвинута другая модель сверхглубокого проникания
268
[85]. Согласно ей, аномально низкое сопротивление движению
внедрившейся в материал частицы при сверхглубоком проника-
нии объясняется тем, что в случае малых частиц (с размерами
порядка 10-2—10~3 см) и больших скоростей движения (порядка
1—2 км/с) из-за высоких скоростей деформации не успевает про-
явиться свойство пластичности материала мишени, и он ведет се-
бя как упругий и хрупкий. Перед движущейся частицей возника-
ют трещины нормального отрыва, раздвигая которые частица
контактирует с материалом мишени. Трение на площадках кон-
такта ограничено прочностью материала частицы и мишени на
срез и может быть существенно меньшим при плавлении мате-
риала у поверхности контакта.
Вопреки пессимизму, промелькнувшему в работе [86], нам
представляется возможным создание достаточно полной модели
сверхглубокого проникания, основанной на классических поня-
тиях механики и материалах данной книги. Представим такую
модель в следующих разделах.
4.5. КАЧЕСТВЕННАЯ МОДЕЛЬ СВЕРХГЛУБОКОГО ПРОНИКАНИЯ
ЧАСТИЦ В МЕТАЛЛИЧЕСКУЮ МИШЕНЬ
По-видимому, математические модели сверхглубокого
проникания, предложенные С. С. Григоряном [84] и Г.Г. Чер-
ным [85] и кратко рассмотренные в предыдущем разделе, на
период времени их создания были наиболее близкими к объяс-
нению этого явления. Однако они не давали ответа на ряд во-
просов и не объясняли некоторые особенности протекания
процесса. Так, согласно этим моделям, сверхглубокое прони-
кание происходит потому, что материал мишени переходит в
хрупкое или малопластичное состояние. Авторы упомянутых
моделей считают, что причиной охрупчивания материала ми-
шени является высокая скорость деформирования мишени
ударяющей ее частицей. Действительно, известно, что увели-
чение скорости деформирования снижает пластичность метал-
лов. Однако это не объясняет явление сверхглубокого прони-
кания частиц, так как высокая скорость деформирования име-
ет место во всех случаях интенсивного удара и проникания,
будь-то при сверхглубоком проникании или проникании на
обычную глубину в несколько поперечных размеров частицы.
Так почему же наступает охрупчивание материала мишени?
Разберем этот вопрос.
269
Обратим еще раз внимание на то, что явление сверхглубокого
проникания частиц в массивное тело наблюдается только тогда,
когда в теле развивается волновой процесс. Как отмечалось, амп-
литуда гидростатического давления р=-о в этом волновом процес-
се может составлять несколько гигапаскалей (см., например, [81]).
Ему свойственно то, что за волной сжатия следует столь же интен-
сивная волна растяжения (с положительным средним нормальным
напряжением с). В опытах, которые показали эффект сверхглубо-
кого проникания, сопротивление металла мишени деформации
сдвига (Г = г,) исчисляется мегапаскалями. Следовательно, диапа-
зон изменений показателя напряженного состояния о/Т, вызывае-
мых волновым процессом в мишени, может составить, примерно,
порядок. Вот это и является причиной того “охрупчивания” матери-
ала мишени, которое имели в виду авторы работ [84,85].
Действительно, обратимся к некоторым диаграммам пластич-
ности, приведенным выше (см. рис. 7,9). Изменению кх = а/Т в пре-
делах порядка будет отвечать многократное изменение пластично-
сти Лр (может быть даже на порядок). Заметим, что Ар, по опреде-
лению, всегда положительная величина. Читатель легко может
экстраполировать диаграммы пластичности в область с кх » 0.
(Наши опыты неизменно показывали, что диаграммы пластичнос-
ти обращены выпуклостью вниз и монотонны.) При этом он убе-
дится, что пластичность металла в волне растяжения (кх > 0) очень
сильно упадет по сравнению с пластичностью в волне сжатия, где
кх < 0. Теперь можно предложить две качественные модели про-
цесса проникания частицы в металлическую мишень — обычного
и сверхглубокого. Начнем с обычного проникания.
Летящая с высокой скоростью частица ударяется в массив-
ную покоящуюся металлическую мишень. Сила торможения
частицы при ее движении в теле мишени предопределена сопро-
тивлением мишени прониканию частицы. Напряженное состоя-
ние металла мишени в окрестности частицы характеризуется пре-
обладанием сжимающих напряжений, что создает хорошие усло-
вия для деформирования без разрушения для большинства плас-
тичных металлов. Кинетическая энергия частицы превратится
в работу пластической деформации металла мишени в окрестнос-
ти траектории движения частицы (покрыта штриховкой в правой
части рис. 32, а). Работа пластической деформации будет про-
Ло
порциональна величине ~<Р10 ]* Г(Х)<А, где Т = Т(Л) — кривая
о
270
Рис. 32. Схемы к определению глубины проникания частицы в мишень:
а — обыкновенный случай; б—случай сверхглубокого проникания при создании благоприятных ус-
ловий для разрушения, например за счет волнового процесса в мишени; 1 — мишень; 2 — частица
деформационного упрочнения (зависимость сопротивления де-
формации от накопленной степени деформации), а ее интеграл —
плотность работы пластической деформации численно равная
площади под кривой упрочнения (см. левую часть рис. 32, а).
Теперь рассмотрим процесс не обычного проникания, а слу-
чай, когда в мишени созданы благоприятные условия для разру-
шения материала мишени, из которого она сделана, например за
счет волнового процесса (рис. 32, б). Пусть теперь напряженное
состояние в окрестности частицы такое, что там преобладают
растягивающие напряжения. Частица как бы “оседлала” волну
растяжения, движущуюся в направлении полета частицы, и дли-
тельное время находится в пределах этой волны. Материал ми-
шени не может выдержать ту же степень деформации Ло, кото-
рая имела место в случае обыкновенного проникания. Он разру-
шится раньше, а разрушившись на фрагменты, не будет сопро-
тивляться формоизменению, так как Т = 0 при Л > Лр и о > О (см.
рис. 32, 6).
Теперь сопоставим глубины /0 и ls проникания частицы по
двум качественным моделям. При прочих равных условиях (оди-
271
наковая кинетическая энергия летящей частицы, одинаковые
мишени и т. п.) отношение /5 к /0 будет равно отношению друг к
другу заштрихованных площадей под кривыми упрочнения,
Ао Ар
к (см
. рис. 32), или, еще проще, отношению
о о
ЛоКЛр.
Ответив на вопрос, почему происходит “охрупчивание” мате-
риала мишени и проявляется эффект сверхглубокого проника-
ния, обратимся к другим экспериментально установленным фак-
там, которые сопровождают это явление. Так, сверхглубокое
проникание наблюдалось при одновременном ударе мишени
большим числом частиц, приведенных в движение, например
взрывным ускорителем (см. рис. 30). Даже было высказано ради-
кальное предположение, что одиночные частицы (не в массе с
другими) не могут проникнуть на очень большую глубину в мас-
сивную мишень.
Заметим, что, во-первых, частицы ускоряются за счет обте-
кания их продуктами взрыва. Импульс силы, ускоряющий части-
цы, пропорционален квадрату ее поперечного размера. Части-
цы, конечно, имеют неодинаковые размеры, следовательно, ско-
рость частиц при встрече с мишенью будет разной, и для каждой
частицы момент встречи будет свой. Во-вторых, взрывной уско-
ритель решает еще одну задачу: он порождает в мишени волно-
вой процесс. Так, сначала возникает волна сжатия поверхност-
ного слоя мишени, которая сменяется волной растяжения и т. д.
Волны с определенной скоростью устремляются внутрь мишени.
Можно предположить следующий механизм сверхглубокого
проникания частиц. К моменту образования в приповерхностном
слое мишени волны растяжения поверхности мишени достигнет
некоторое число частиц, скорость которых близка к скорости
движения волны. Частицы, внедряясь в мишень, не встречают
большого сопротивления, присущего обычному процессу прони-
кания, так как пластичность металла мишени (способность де-
формироваться без разрушения) существенно уменьшилась в
волне растяжения. На некоторое время эти частицы как бы
“оседлали” волну растяжения, продвигаются в теле мишени бы-
стрее, чем обычно, и проникают, естественно, глубже.
Описанный только что механизм сверхглубокого проника-
ния объясняет, почему это явление наблюдается только в случае
272
с прониканием мелких частиц. Действительно, размер частиц
должен быть меньше длины волны растяжения в мишени. Чем
меньше размер частицы, тем дольше она будет находиться в бла-
гоприятных условиях и глубже проникнет в мишень. Если раз-
мер частицы будет равен сумме длин волн растяжения и сжатия,
то частица проникнет лишь на глубину, примерно в 2 раза боль-
шую, чем в обычных условиях.
Невозможно, чтобы частицы, попав в волну растяжения, все
время пребывали там. Пластичность металла в волне растяжения
существенно ниже, чем в обычных условиях или в волне сжатия, но
она конечна, и это создает некоторое сопротивление движению ча-
стиц. Они отстают в своем движении от волны растяжения и попа-
дают в волну сжатия. В волне сжатия пластичность может оказать-
ся такой высокой, что материал мишени не будет разрушаться, и ча-
стица будет испытывать сопротивление своему движению такое же,
как в обычных условиях проникания. Но за волной сжатия частицу
опять настигнет волна растяжения, частица будет тормозиться
меньше и т. д. В конце концов, частица остановится, а ее след в ми-
шени будет содержать микрочастицы интенсивного истирания по-
верхности частицы в те моменты, когда ее настигала волна сжатия.
Это подтверждается экспериментами — потеря массы частицы при
ее движении в мишени происходит не монотонно, а периодически.
Пожалуй, можно сказать, что все явления, сопровождающие
сверхглубокое проникание, которые наблюдались в эксперимен-
тах, имеют объяснения в рамках рассмотренной качественной
модели сверхглубокого проникания. Перейдем к математичес-
кой модели этого феномена.
4.6. ПРОНИКАНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОКОЯЩЕЕСЯ
ПЛАСТИЧЕСКОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО В УСЛОВИЯХ
ПЛОСКОГО ДЕФОРМИРОВАННОГО состояния1
Пусть жесткая частица с известной массой в момент встречи
с полупространством t0 имеет скорость v0, направленную пер-
пендикулярно к границе полупространства. Механические свой-
ства материала полупространства считаются известными. Полу-
пространство перед встречей с частицей может быть, вообще го-
воря, как недеформированным, так и имеющим определенные
возмущения, которые могут вызвать изменение пластичности
1 Решение выполнено совместно с Л.Ф. Спеваком.
273
Рис. 33. Проникание частицы
в пластическое полупрост-
ранство:
1 — частица; 2 — мишень; 3 — граница
мишени
материала на пути дви-
жения частицы. Требу-
ется определить глуби-
ну проникания частицы
в полупространство в
результате ее удара с
учетом возможного разрушения материала мишени.
Решим поставленную задачу с помощью предложенного в
разд. 3.6 метода для случая внедрения частицы в полупростран-
ство в условиях плоского деформированного состояния. Будем
считать, что частица имеет прямоугольное сечение с высотой г и
шириной а. Частица ударяется о полупространство торцом, под
прямым углом. Примем, что течение материала мишени при
проникании плоское. Мишень выполнена из идеально пластич-
ного материала.
Пусть в произвольный момент t частица (ее передняя грани-
ца) проникла на некоторую глубину х и имеет при этом скорость
v (рис. 33). В начале проникания, при t = 0, х = 0. Частица, по ус-
ловию задачи, не деформируется, ее движение в целом подчиня-
ется второму закону Ньютона. Деформируемым телом, напря-
женно-деформированное состояние и разрушение которого нам
нужно описать, является полуплоскость х > 0, за исключением
прямоугольника ABCD, занимаемого частицей (рис. 34). На сто-
ронах прямоугольника
и на границе х = 0, в
сумме составляющих
поверхность, ограни-
чивающую объем де-
формируемой области
тела, сформулируем
граничные условия.
Предположим, что сто-
рона АВ свободна от
Рис. 34. Схема течения для
модели проникания частицы
в пластическое полупрост-
ранство
274
внешних нагрузок на мишень, являясь поверхностью типа Sf. На
сторонах AD и ВС пусть имеет место проскальзывание частицы
и материала мишени. На этих поверхностях типа имеет место
трение. Для простоты примем закон трения Прандтля—Зибеля.
Границу CD будем считать поверхностью типа Sv. На ней металл
мишени прилип к поверхности частицы. Поверхность CD вос-
принимает нагрузку Р. На рис. 34 показана сила Р, действующая
со стороны частицы на мишень. На поверхности S приняты сле-
дующие обозначения: v — направление нормали, внешней к ми-
шени; т — направление по касательной; v и т образуют правую
локальную систему координат.
Аналитически граничные условия имеют вид
VAfeSz(^B)^=/v.=A. = 0;
VM е Ss(AD, ВС) vyt = 0,/т =
VM е Sv (CD) vv» = -vx, = -v,vxt = -vyt = 0. (206)
Возьмем в качестве вариационной основы метода решейия ме-
тод верхней оценки [8, 25, 26]. В рассматриваемом случае с уче-
том граничных условий (206) вариационное уравнение принципа
виртуальных скоростей и напряжений приобретет вид [25]:
J (tsH' + pw'vfyiV-P'v+ J
V s,
(207)
Заметим, что функционал в фигурных скобках последнего урав-
нения выражен через неизвестное поле скоростей перемещения ма-
териальных частиц деформируемой мишени v- и неизвестную силу
Р*. Если ограничиться варьированием только поля скоростей, как
это принято в методе верхней оценки, то вариационное уравнение
(207), при условии что 8Р/ = 3v = 8(P'v) = 0, будет иметь вид
(208)
Уравнение (208) выражает вариационный принцип виртуальных
скоростей. Этого уравнения достаточно, чтобы найти в фиксиро-
ванный момент поле скоростей и в целом деформированное состо-
275
яние полупространства при внедрении частицы. Функционал прин-
ципа виртуальных скоростей и напряжений (фигурная скобка в
уравнении (207)) абсолютно минимален и на решении задачи обра-
щается в нуль. Это дает следующее неравенство:
v
/ s.
kxsv'sdS
(209)
Значение выражения в фигурной скобке, подсчитанное на вир-
туальном кинематически возможном поле скоростей, дает верх-
нюю оценку силы, с которой действует частица на мишень при
проникании. Основываясь на методе верхней оценки (208), (209),
решаем задачу о проникании частицы в покоящееся идеально
пластичное полупространство.
Учитывая граничные условия, выбираем виртуальное поле
скоростей течения материала мишени. Поскольку материал яв-
ляется идеально пластичным, при конструировании виртуально-
го поля скоростей допускается использование разрывных функ-
ций [1, 9, 24—26]. Пусть на некоторых поверхностях допускают-
ся разрывы касательной составляющей скорости, нормальные
же составляющие скорости непрерывны на любой поверхности
в объеме V, в силу несжимаемости материала мишени.
Схема построения виртуального поля скоростей материальных
частиц мишени в некоторый момент t показана на рис. 34. Течени-
ем охвачена симметричная область A'B'C'D', окружающая частицу
ABCD и разбитая симметрично на зоны 1, 2, 3,4 и 5. Остальную
часть полупространства, где деформации не происходит, обозна-
чим как зону 0. Область течения принята симметричной относи-
тельно оси х. Размер прямоугольника A'B'CD' зависит от величи-
ны угла а', которую выберем в качестве единственного варьируе-
мого параметра. Линией со стрелочками показана одна из линий
тока. Примем, что в каждой зоне поле скоростей однородно, мате-
риал внутри зон не деформируется. Вся деформация сосредоточе-
на на границах зон, где имеет место разрыв касательной составля-
ющей скорости. Нормальная к границе составляющая скорости
непрерывна. Ввиду симметрии далее будем рассматривать только
зоны 2,3,4, лежащие в области у > 0, а в качестве зон 1,5 будем
брать их половины, лежащие в этой же области.
Для примера рассмотрим зоны 7 и 2 и границу между ними
7+2 (рис. 35). Удовлетворяя граничное условие на CD (см.
рис. 34), примем в зоне 7 v' = v, v' = 0. Нормальная к границе 7 +2
276
Рис. 35. Схема для определения
компонентов вектора скорости на
________границе ) +2_____
составляющая скорости бу-
дет иметь значение vn' = v sin
а'. Обратимся к зоне 2. Со-
гласно принятому полю ско-
ростей, здесь v' = 0. Тогда из
условия непрерывности нор-
мальной составляющей на
границе 1+2 v' cos а' = v sin
а', или v' = v tg а'. Если про-
вести подобные рассуждения
для всех пяти зон и границ
между ними, то будет сконструировано виртуальное поле скоро-
стей, удовлетворяющее всем граничным условиям в скоростях и
условию несжимаемости. Результаты построения такого поля
скоростей приведены в табл. 4.1.
Для формулирования вариационного уравнения для раз-
рывных виртуальных полей необходимо определить нормаль-
ные составляющие скорости и скачки касательных составляю-
щих скоростей на границах зон. Опять для примера рассмот-
рим границу 1+2 (см. рис. 35). На этой границе нормальная и
касательная составляющие вектора скорости частиц, относя-
щихся к зоне 1, будут иметь следующие значения: v™ = v sin а',
v,(1) = v cos а'. Составляющие вектора скорости частиц, отно-
сящихся к зоне 2, на границе 1+2 будут такими: v„(2) = v sin а',
ц(2) = -v tg a'sin а'. Таким образом, на границе 1+2:
v' = v sin a',
vcos2a'
2 cos a' ’
Av, =
-v
cos a'
(210)
Здесь vt' — среднее значение на линии разрыва скоростей,
v,' = (v^+vj2))/2. Отметим, что значения составляющих векто-
ра скорости относятся к материальным частицам материала
мишени и записываются в неподвижной системе координат
277
Таблица 4 1
Виртуальное поле скоростей в различных зонах течения
Зона
1 2 3 4 5
Р О II И v' = 0» v' = v tg а' v' = -v tg a', v' = 0 V' = 0, v' = —v tg a' p ° и и
Таблица 4.2
Значения составляющих вектора скорости на границах зон течения
Граница Ди/
1+2 v„' = v sin a' z vcos2az v, = - 2 cos a A V
iaVi — — cos a
2+3 v„=—^ga v{ = 0 Av, = -л/2 vtga'
2+0 u„' = 0 v/ = yvtgaz Av/ = vtga'
3+4 vn = -—vtga v! = o Av,' = -л/2vtga'
3+0 < = 0 Av/ = vtga'
4+5 u„' = -u sin a' , vcos2az A V
v» — 2 cos a COS Ct
4+0 i>;=o v(' = -|irtga' Av/ = vtga'
хОу. Проведя подобные рассуждения для остальных границ
зон, получим для них значения составляющих вектора, приве-
денные в табл. 4.2. Здесь 2+0, 3+0,4+0 — границы зон 2, 3, 4 и
недеформирующейся области мишени. Нормаль к границе вы-
бирается направленной в сторону течения материала.
Для описанного вида разрывных полей скоростей вариацион-
ное уравнение принципа виртуальных скоростей (208) будет такое:
Э
Эа'
7
X] (^дфрд^йф
/=1 h
+
278
J pw^dS + kts г>(1 + tga')a •
/=1 ij
= 0.
(211)
Здесь линии разрыва скоростей, границы между зонами 0, 1,
5; Sj—площади зон; штрихами отмечены величины, по которым
осуществляется варьирование. Значения Ди, и v„ в (211) не варь-
ируют в произведении, выражающем ускорение, которое, со-
гласно принципу, не является варьируемой величиной.
Определенные интегралы, входящие в (211), имеют следую-
щие значения:
г - f_VL PP3tgacos2az\
1+2 Icosa' 2cosa' J1’
(212)
где/]- . , —длина границы 1+2; £ Sill LX
/2+о = -y^vtga'ID'C'l = ± vmga'(l + ctga'); /2+з = V2T^/2tga', \213) (214)
где l2 = rctga'/ V2 — длина границы 2+3;
/3+4 = 72TJuZ2tga/; (215)
/з+о = T^LB'C'Itga' = •CjVtga'fa + rctga'); _ ( t.v pv3tgacos2a'\ (216)
Л+5= ,+ ~ , Hl’ ^cosa 2cosa ) (217)
Im = y^vtga'IA'B'l = у vrtga'(l + ctga'); (218)
It = puSiWb (219)
I2 = pwS2w2tga'; (220)
I3 = -pvS3w3tga'; (221)
/4 = -pvS4w4tga'; (222)
/5 = pvS5w5. (223)
279
Площади зон имеют следующие значения:
Si = 55 = Hctga';
$2 = S4 = -3- Pctga'C 1 + ctga');
О
S3 = ^-rctga'(2a + rctga'). (224)
С учетом соотношений (212)—(224), вариационное уравне-
ние (211) приобретает следующий вид:
pw2(wj + w5 + w2 - 2w3 - и>4
8 sin2 a'
+
(r + a(l + k) 4rcos2aA _
+ ---. = 0.
V cos a sin 2a J
(225)
Подставляя в последнее выражение следующие значения уско-
рений зон:
VOC • /опгч
w2 = ~w3 = -w4 = ftga+—5—-, w,=w5=v, (226)
cos a
получаем дифференциальное уравнение для определения пара-
метра а:
cos2 а(2т, (, ,, > \\ 2 rcos2aA .fl Yl
a =----- —f- (r + a(l + £))tg a-=— - v —+tga . (227)
v \pr v cosay k2 y,
Здесь точкой обозначена полная производная по времени.
Выведем теперь уравнение движения частицы в мишени. От-
метим все силы, действующие на частицу. По условиям задачи,
на стороне CD действует сила Р. Из граничных условий следует,
что на поверхность АВ никакие силы не действуют, а на поверх-
ностях AD и ВС действуют силы трения. Таким образом, уравне-
ние движения частицы имеет вид
тг> --Р -
(228)
280
Сила Р (ее верхняя оценка) имеет следующее значение:
Р = (IpCSjWj + S5w5 + tga(S2w2 - S3w3 - S4W4)) +
+2т/ f-— ------+tga + +4 j+2Ат,а(1 + tga) la. (229)
1 Vsinacosa r ) )
Таким образом, получена система трех уравнений (227)—
(229) для определения функций a = a(Z), Р = P(t), v = v(f).
Для ее решения применяется следующая процедура. На
первом шаге, от t0 до = t0 + Az, для начальных значений
v(0), v(0), а(0) решается дифференциальное уравнение (227)
и находится значение угла а при tt, a(1). Из верхней оценки
силы Р (229), с учетом полученного значения а(1) находит-
ся значение Р(1). Далее, из уравнения движения частицы (228)
определяется значение v(1). Наконец, находится значение
скорости в конце первого шага, г>(1) = v(0) + t)(1)Az. Аналогич-
но, на произвольном i-м шаге по значениям v(/-1), a('-1)
определяются значения v(i), v(!), a(i). Таким образом, по
шагам осуществляется решение до момента остановки час-
тицы.
Обратимся теперь к назначению начальных условий
v(0), v(0>, a(0). Рассмотрим задачу деформирования мишени
в момент ее соприкосновения с частицей 10 (рис. 36). Так
же, как и в задаче о движении частицы внутри мишени,
предположим, что деформацией охвачен небольшой слой,
прилегающий к торцу частицы. Он состоит из нескольких
зон, причем вся деформация сосредоточена на границах
этих зон, где имеет место разрыв
касательной составляющей вектора
скорости. Ввиду симметрии зада-
чи вновь будем рассматривать
только зоны 2,3 и половину зоны 1,
лежащие в области у > 0. Поле ско-
ростей в этих зонах представимо
соотношениями, приведенными в
табл. 3.1 и 3.2.
Используя полученные выше со-
отношения, можно записать необ-
Рис. 36. Схема течения в момент соприкосно-
вения частицы с мишенью
281
ходимое условие экстремума функционала принципа вирту-
альных скоростей, аналогичное (225), для момента /0:
2тД38ш2 а-1) py2tga рг(и,1 + w2 -w3)
sin2 2а sin2 2а 8 sin2 а
где Wj, w2, w3 — ускорения соответствующих зон в момент време-
ни t0.
Используя верхнюю оценку силы воздействия частицы на
мишень в момент t0,
Р = 2p(Sj Wj + tga(S2w2 - S3w3)) +
n ( 1 1 -A pu2rcos2a
+ 2т.г ----+—tga + 2 I-----=---
\sin2a 2 J 2cos2a
a,
(231)
можно записать уравнение движения частицы в этот момент.
Здесь S3 = г2 ctg2a'/8, а величины Si,S2 определены соотношения-
ми (224). Полагая, что значением a в момент t0 можно прене-
бречь, и подставляя в уравнения (230), (231) значения и,] = v,
w2 = -w3 = v tga, получим систему двух уравнений для определе-
ния неизвестных а и v, относящихся к моменту t0. Поскольку на-
чальная скорость движения частицы задана, мы получим началь-
ные условия и(0), v(0), a(0), необходимые для решения задачи о вне-
дрении частицы в мишень.
Начиная с момента t0 (рис. 36) до полного внедрения в ми-
шень (рис. 34), частица пройдет несколько промежуточных эта-
пов, схематично представленных на рис. 37.
Развитие течения, начиная с момента t0, идет в соответствии
с ранее принятой кинематически возможной схемой течения
(рис. 37, а). Для этой схемы
S3 = r2ctg2a' + у L/ctga', (232)
t
где = J v(l+tga) di — длина границы зоны 3, прилегающей к
10
границе ВС, неварьируемая величина. На рис. 36 —L{ = 0 , на
рис. 37, а — L{<a.
282
В произвольный момент вариационное уравнение (211) при-
мет следующий вид:
(3 sin2 а -1) т, (L, + kL) pv2tga Pr(^i + w2 ~ w3
2sin2asin2a rcos2a sin2 2a 8 sin2 a
- = 0,(233)
где
Д при L, > a
а при £ a
(234)
Подставляя в (232) значения wt, w2, w3 (226), получим диффе-
ренциальное уравнение, аналогичное (227):
. _ 2т, Г2(L, +A£)sin2 a
pro
+ 3sin2a-l +
r )
. О
+ «ga_vcos a(1 +
r 2v
f(235)
Из этого уравнения, уравнения движения частицы и верхней
оценки силы,
P = |2p(51^+tga(S2w2-53w3))+2vf-^+^+2+^V
1 \ S1H jL V J
pu2rcos2a Л
- ---«---+2£т,Ц1 + tga) la, (236)
2cos2a 4 ')
по начальным условиям v(0), тУ0), а(0) можно определить величины
v, V, а на следующих шагах решения.
В некоторый момент t = tk возникнет альтернатива течению
по схеме, изображенной на рис. 37, а. В равной степени будут
возможны течения по схеме (а) и по схеме (б). При этом будут
одинаковыми силы Pr(tk) и P2(tk), соответствующие этим схемам.
Это соответствует положению о том, что решение задачи тече-
ния идеально пластического материала может быть не единст-
венно. При численной реализации момент tk, соответствующий
смене схемы течения, можно определить из условия:
Pi(tk - At) < P2(tk - At), Pv(tk + At) > P2(tk + At). Начиная с момента
283
t-tfo течение пойдет по схеме, соответствующей рис. 37, в. В этом
случае, S1( S15 S3 определяются формулами (224), а площадь зоны
4 — следующим уравнением:
S4 = -у r2ctg2a' + L2rctga', (237)
о 2
t
где Аг = J v(T)tga(T)dx — длина границы зоны 4, прилегающей к
границе АВ, неварьируемая величина. На рис. 37, б, Ь2 = 0. В
произвольный момент t > tk вариационное уравнение (211) име-
ет вид
T,(3sin2a-1) тД^ + д^-Ц)) * pv2tga _
2 sin2 a cos2 а г cos2 a sin2 2а
284
(238)
pr(wl + w2-2w3-w4)
8 sin2 a
Подставляя в (238) значения ускорений (226), получаем диф-
ференциальное уравнение
т f2sin2a(£2 +о(£+1)) . 2 /
—-----------------—+3sm а-1 +
5ГЧ г )
.Mg» _^cos a (2И)
1 2r 4v v 7
Верхняя оценка силы Р будет
Р = 2p(Sj Wj + tga(S2w2 - S3w3 - S4w4)) + 2v| т^г-
l ЫП
, d , tga , (bz + a)tga
2 г
2 л \
р г cos 2a а ч
^-—2— + 2kxs a(l + tga) а. (240)
£ иОЬ (JC
В некоторый момент tm произойдет закрытие полости, об-
разовавшейся за частицей. Этот момент определяется из усло-
вия
г
2
(241)
С момента tm начинается последняя стадия проникания, соответ-
ствующая схеме течения рис. 34, уравнения для которой уже по-
лучены. Движение по этой схеме будет продолжаться вплоть до
остановки частицы.
По приведенному алгоритму был проведен расчет для следу-
ющих значений параметров: г = 10-4 м, р = 7800 кг/м3, т, = 200 МПа,
к = 0,1, для двух значений размера а: 5-Ю"4 и 10-3 м. Начальная
скорость полета частицы принималась в интервале 2000—3000 м/с.
Результаты расчетов приведены на рис. 38, где отражена за-
висимость относительной глубины проникания частицы, I = На, от
начальной скорости ее движения. Здесь I—расстояние от грани-
цы мишени до передней грани частицы в момент ее остановки.
285
Анализ результатов расчетов показал, что относительная глуби-
на проникания частицы зависит не от конкретных ее размеров, а
от отношения h = —. Такой вывод соответствует физическому
г
смыслу и постановке задачи. Таким образом, отраженные на
рис. 38 результаты верны и для частиц с другими размерами, у
которых Л=5,10. Полученное решение не предполагало воз-
можности разрушения материала мишени. Учтем теперь та-
кую возможность следующим образом. Будем считать, что ес-
ли на каком-то временном шаге при пересечении границы 2+0
материал накопит степень деформации, большую, чем задан-
ное для него значение пластичности Лр, то зона 2 при этом раз-
рушается, и частица смещается на расстояние 0,5 rctga, до пе-
редней границы этой зоны. Приращение степени деформации
будем вычислять следующим образом:
я-Д» . ,
ДЛ = [ Hdt = (242)
где v4 — скорость пересечения материальными частицами ми-
шени границы разрыва.
Устремив ДА к нулю, получим
= (243)
4A"4°l V4 J V4 V4
Скорость пересечения границы 2+0 имеет значение
Для принятых выше параметров задачи при значении плас-
тичности Лр > 0,2 разрушения материала мишени при внедрении
частицы не происходит.
Предположим теперь, в соответствии с качественной моде-
лью проникания, предложенной в разд. 4.4, что на пути следова-
ния частица попала в волну растяжения. Пусть при этом плас-
тичность значительно уменьшилась. В этом случае материал на
пути внедрения частицы разрушается, и глубина проникания
286
Рис. 38. Относительная глубина проникания частицы в зависимости от началь-
ной скорости движения, v0:
7 —а = 51(Г4;2 —а=10-3м
Рис. 39. Относительная глубина проникания частицы при условии разрушения:
значительно превосходит глубину проникания без разрушения.
Зависимость относительной глубины проникания от начальной
скорости движения частицы при Лр = 0,05 показана на рис. 39.
Расчеты показали, что при скоростях, близких к 2000 м/с,* суще-
ственного увеличения глубины проникания вследствие разруше-
ния материала мишени не происходит, а с увеличением скорости
увеличение глубины проникания возрастает. Таким образом,
уменьшение значения пластичности материала мишени на пути
движения частицы приводит к заметному увеличению глубины
проникания.
4.7. ПРОНИКАНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ
В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКУЮ СРЕДУ1
Рассмотрим еще один пример моделирования процесса про-
никания частицы в пластическую среду. Математическая модель
процесса проникания твердой частицы строилась с помощью по-
следовательного решения двух краевых задач. Первую решали
для невозмущенной мишени с использованием вариационного
принципа виртуальных скоростей и напряжений. При этом рас-
сматривался процесс проникания твердой частицы в идеально
пластическую среду. Здесь применена описанная во второй гла-
ве феноменологическая теория разрушения, в результате чего в
1 Решение выполнено А.Г Залазинским и Е.А. Залазинской при участии
В.Л. Колмогорова.
287
Рис. 40. Движение твердой частицы в
идеально пластической среде
решение краевой задачи для иде-
ально пластической среды внесе-
ны поправки, связанные с изме-
нением механических свойств ма-
териала мишени в области интен-
сивного пластического течения и
в зоне разрушения. В ходе реше-
ния второй краевой задачи ис-
пользованы уже полученные ре-
зультаты, после чего учли влия-
ние на закон движения твердой
частицы упругих волн, возника-
ющих в мишени в результате ударного воздействия. При этом
полагали, что мишень наряду с пластическими свойствами (при
сдвиговых деформациях) проявляет и свойства упругой сжимае-
мости. Тензор напряжений определен суммированием девиатора
напряжений из решения краевой задачи идеальной пластичности
и шарового тензора, определяемого в результате решения вто-
рой краевой задачи. Это позволило получить математическую
модель явления сверхглубокого проникания твердой частицы в
возмущенную упругопластическую среду.
Пусть в мишень высотой Н, изготовленную из пластичного
материала и скрепленную с жестким основанием (рис. 40), в ре-
зультате удара проникает твердая сферическая частица малого
диаметра 2R (R « Н), для которой в некоторой точке z = hx изве-
стны масса и скорость. За счет сил инерции сферическая части-
ца совершает в мишени замедляющееся движение вдоль оси z.
Требуется определить закон движения и глубину проникания ча-
стицы в мишень. Полагаем, что мишень выполнена из идеально
пластического материала. В некоторый момент t сферическая
частица (ее центр масс) проникает в нее на некоторую глубину z
= h(h >R) и имеет при этом скорость v. Частица не деформиру-
ется, ее движение в целом подчиняется второму закону Ньюто-
на. Вокруг частицы возникает область пластического течения,
локализованая вблизи нее. По мере внедрения частицы в пласти-
ческую среду эта область принимает сферическую форму (рис.
41). Размер области пластического течения (радиус Ro) варьиру-
ют и определяют в результате решения соответствующей вари-
ационной задачи.
288
Рис. 41. Область пластического течения,
возникающая вокруг движущейся час-
тицы.
/?0 — радиус области пластического течения
В зависимости от исходного
значения кинетической энергии
движущейся твердой частицы в
пластической среде необходимо
определить закон движения час-
2 я.
тицы.
Введем физические уравнения идеально пластической среды
и базовый функционал.
В пластической области напряжения удовлетворяют усло-
вию пластичности
Г — л] SijSijl^ >
согласно которому интенсивность касательных напряжений Т
равна пределу текучести т5 среды при сдвиге. Скорости пласти-
ческих деформаций связаны с компонентами девиатора напря-
жений 5,у следующим образом:
^ = (Я/2т>,?
Введенные соотношения определяют связь между напряжен-
ным и деформированным состояниями в пластической теле в об-
ластях, где напряжения и скорости перемещений непрерывны.
На границе движущейся вместе с частицей пластической облас-
ти эти параметры претерпевают резкие изменения; здесь при-
влекаются соотношения для волн сильного разрыва.
Для расчета напряженно-деформированного состояния в об-
щей краевой задаче развитого течения применим метод, описан-
ный в разд. 3.6.
Рассмотрим деформированное состояние пластической сре-
ды в области пластического течения, которая локализована
вблизи движущейся частицы, и определим границы рассматрива-
емой области. При этом в первом приближении предполагаем,
что внешняя по отношению к области интенсивного течения
среда неподвижна. Основные допущения относительно схемы
движения частицы и среды следующие. Предполагается, что,
движущаяся со скоростью v(f), твердая частица и локализован-
ная вокруг нее область пластического течения, связаны с по-
движной сферической системой координат г, О, <р. Движение ча-
289
стицы рассматривается одновременно в системе отсчета (х, у, z)
и в системе координат г, О, ф. Кинематически допустимая схема
обтекания твердой сферической частицы пластически деформи-
руемой средой даны на рис. 41.
Особенностью кинематики движения деформируемой систе-
мы “частица — область интенсивного пластического течения”
является то, что подвижная (в системе отсчета) граница So обла-
сти пластического течения есть поверхность разрыва касатель-
ной составляющей вектора скорости, т. е. поверхность сильного
разрыва. При этом нормальная составляющая вектора скорости
частиц пластически деформируемой среды при переходе через
границу So непрерывна.
В области пластического течения среда со всех сторон обте-
кает сферическую частицу. На передней поверхности частицы:
г = R (-п/2 < < п/2), касательные напряжения равны пределу
текучести среды при сдвиге, т. е. = т5. На обратной поверхно-
сти: г = R (п/2 < О < Зл/2), возможно отслоение среды. В этом
случае касательные напряжения отсутствуют.
Для кинематически допустимого поля скоростей принимаем
следующие допущения:
vv = 0, vr * v/ф), щ * щ(г, ф).
Кинематическим граничным условиям
= °> Ч-U = UC0S^ иг1о=±я/2 = 0, = О-
Для области пластического течения соответствуют следующие
подходящие функции:
1 ( r2 1
V = V-J— а2 — -1 cos-O; v = v—— sintf; щ = 0,(245)
r a -IV r ) a -1
где a = RJR — варьируемый параметр, связанный с положением
границы пластической зоны.
Отметим, что все последующие вычисления выполнены в
среде компьютерной математики MATLAB и дальнейшие ссыл-
ки на применение MATLAB по возможности не приводятся.
Поле скоростей твердой частицы в сферической системе ко-
ординат имеет вид
vr = «соей; vd = -vsinO; vv = 0. (246)
290
Тогда для расчета ускорений имеем следующие соотношения
wr =
dv. dv. ш dv. v\
dt dr r db r
w9 = 0.
dvb ( [ vrvb'
dt r d"& r
(247)
Формулы для определения компонентов тензора скоростей
деформаций в сферической системе координат с учетом допуще-
ний принятых выше для подходящих функций поля скоростей
принимают вид
Эуг
dr’^>~
2 1г ЭО г J
В результате вычислений имеем
= -2vf(r, a)cosO, = ^ = vfir, a)cosi3, = О,
= —\vf (r’a)sinгДе Лг> а) =7^77 А-- (248)
2 ОС 1 А*
Интенсивность скорости деформаций сдвига рассчитывается
следующим образом:
Н= -^)2 + (U Чфф)2 + Ч.)2]2/з + 4+£].
Для выбранного поля скоростей
= ^фф = ”^гг/2, = ^йф = О-
Тогда
Н = 2^ 3^ = vf (г, a)^/ 12cos2O + sin2O =
» 2^[3vf (г, a) |cosi3|.
Для того чтобы выявить особенности зависимости величины
Н от координат деформируемых частиц в области пластическо-
го течения, визуализировали Н. Результаты визуализации зави-
291
симости И - Н(г, О) в системе отсчета показали, что максималь-
ную величину Н имеют частицы с координатами г = R при 0 = 0
иО = тс.
Степень деформации сдвига для частиц деформируемой сре-
ды в области интенсивного пластического течения рассчитали
следующим образом:
Траектории частиц в области интенсивного пластического тече-
ния определили в виде
г(Мр) = | 1 sin2 О0 Л 1 \
Ro ya2 sin2O \ a2/
(O0 < 0 < (тс - 2O0); -(л - 2O0) < 0 < -O0).
После интегрирования имеем следующий результат:
еслиО<±—;
2
а2-Яр2/г2
~2 ,
(249)
тс й Зтс
если — < О < —.
2 2
К величине Лг необходимо добавить деформацию сдвига, ко-
торую получают материальные частицы среды при прохожде-
нии поверхности разрыва скоростей So:
v cos Op
r=R0
С учетом рассмотренных выше особенностей кинематически
допустимого поля скоростей, пренебрегая распределенными
292
массовыми силами, кроме инерционных, для решения вариаци-
онной задачи имеем следующий функционал принципа вирту-
альных скоростей и напряжений:
j = J H'dtl + J pow'v,'dQ + J P|Vv'u'c?Q +
Qq По Qj
+ + J dR = ^1’ (250)
So Sj <=1
где
2?2 1
Hueli n = v(t)~5-5-sin0 = v(?)^j—sinO;
I eMo y'R>-R2 v'a2-l
Ы|Г=Л = V (0 -j—-2-sinO = v (0 -2—-sinO;
1 Kq — A Ct — 1
Ave — скачок касательной составляющей вектора скорости на
поверхностях 50 и S, ограничивающих область пластического те-
чения и твердую сферическую частицу; й0 и Qj — объемы обла-
сти пластического течения и твердой сферической частицы.
Напомним, компоненты ускорения в (250) не варьируются.
Чтобы исключить неопределенность при вычислении интеграла
12, согласуясь с принятым кинематически допустимым полем
скоростей, компоненты ускорения представили в виде следую-
щих функций:
и^= //a,,— ^cosO—; we= /^(oujsin'd—; w<₽ = 0.
\ г ) dt dt
Здесь a. = RJR, в отличие от a = RJR, не является варьируемым
параметром. Предполагается, что а, характеризует положение
действительной границы области пластического течения.
После вычисления интегралов
2ялЯ0 2ИЯ-°
/ = [И Т'Яг^гвтОсШф; Z2 = Ро J J J w\r
ооr 00R
293
2ял &о
J3 = Pi j j j w'v^dr sin iJkftkfcp;
00 я
2лл
Ц = J J\ [t>e ]|p.Ro sin0</0<ty;
0 0 °
2 л я
h = J J L Ы|ржй R2 sin 0аШф,
о 0
входящих в (250), функционал J представили как безразмерную
функцию варьируемого параметра а:
а2
а2-1
л, 2
•{41па+-7=л-
Л
а2
х
’(251)
где
<7о =
4 Ро
зЛ т,
^0;,,=
dt
* М>а
3-7 з dt
Если плотность деформируемой среды р0 и частицы р0 одинако-
вы, то <?! = ft = <?•-
Функционал J при варьировании должен принимать мини-
мальное значение. В этом случае выполняется условие
Э//Эа = 0.
(252)
Из теорем, приведенных в третьей главе, следует, что при состо-
янии, близком к действительному,
J[ou]= inf J(a)«0. (253)
q(dv/dt)Z0
Известно также, что в действительном состоянии
а = а*.
294
Таким образом, имеем три уравнения для определения трех не-
известных величин, входящих в соотношение (251).
Полученная система уравнений решается методом последо-
вательных приближений с использованием итерационной проце-
дуры.
После определения а* = R,/R и q» = применили уравне-
ние
Q* —
4 Р1Д^
3^/~3 dt ’
из которого следует соотношение для расчета ускорения твер-
дой частицы:
d2z 3J3 т
И/) = ~Т2
dt 4 pj/c
(254)
Решив уравнение (254) с начальными условиями zl^ =? vx,
zl/=o = z0, вычислили перемещение частицы до ее полной остановки:
1 v2 3J3 т
U! = zm-z0=-^r, (255)
2 У 4 Pj/f
В качестве тестовой задачи определили путь, пройденный
твердой частицей R = 1 10~3 м, имеющей начальную скорость
и, = 2000 м/с, в среде с пределом текучести на сдвиг т, = 300 МПа
при условии Pi = ро = 7800 кг/м3. После вычислений оказалось
и2 = 7,49 • 10-3 м. Таким образом, рассматриваемая частица до
полной остановки проходит расстояние равное примерно 7,49
своего радиуса.
Пластическая деформация обычно сопровождается накопле-
нием поврежденности деформируемой среды. Это может суще-
ственно ослабить сопротивление среды движению частицы и
увеличить ее путь. Поэтому в соответствии с феноменологичес-
кой теорией разрушения имеет смысл определить накопление
поврежденности материала в области пластического течения,
связанное с движением частицы. Чтобы иметь возможность при-
менить эту теорию, введем статически возможное поле напря-
жений.
295
Изменения объема среды в пластической зоне при движении
твердой частицы не происходит (£ = 0). Следовательно, компо-
ненты девиатора напряжений можно представить так:
siy = oiy-o = 2T^/H.
Тогда для тензора напряжений
а/у = о + 2тАуН. (256)
Соотношения (256) приобретают простой вид и ясный физичес-
кий смысл после замены интенсивности скорости деформаций
сдвига близким приближением:
Н = 2/3v(r)/(r,a)| cosi)|.
Тогда для тензора напряжений имеем
2. 1
<5ГГ = sgn (cost!}); = °<рч> = + sgn(cosd);
Огв <4 ОфГ
(257)
Согласуясь с характером внешних нагрузок (рис. 42), дейст-
вующих на сферическую частицу, среднее нормальное напряже-
ние а, связанное с пластическим течением среды, представили
следующим образом:
= ol^cosO.
(258)
Поле напряжений является
статически возможным. Оно
удовлетворяет уравнениям
движения и условию пластич-
ности Т = Неопределенный
пока параметр ole=0 позволяет
в интегральной форме удовле-
творить граничные условия.
Для определения параметра
о1,Ъ0 спроецировали напряже-
ния, действующие на поверх-
Рис. 42. Схема действия на частицу
внешних сил
296
Таблица 4 3
Значения показателя напряженного состояния dts области пластического
течения, вычисленные при различных значениях угловой координаты 0
fl 0 ±я/4 ±л/2 ±Зя/4 Я
-6,3 -4,4 0 +4,4 +6,3
ность г = R сферической частицы, на ось z. После интегрирова-
ния по поверхности частицы
°1е=о
<3,3
-—Л-1 о» .
4 4Ч
(259)
Таким образом, напряженно-деформированное состояние
области пластического течения определено. В табл. 4.3 в качест-
ве примера приведены значения показателя напряженного со-
стояния k = c/Tj в различных зонах области пластического тече-
ния для тестовой задачи, решенной выше.
В области пластического течения R<r<R0 (см. рис. 41) ин-
тенсивность деформаций велика. Здесь возможно наиболее ин-
тенсивное накопление поврежденности деформируемой среды
у. При решении краевой задачи механики используем условие:
если в какой-либо области деформируемой среды средние нор-
мальные напряжения о принимают положительные значения
(напряжения растягивающие) и здесь же величина у -достигает
единицы, то в этой области предел текучести деформируемой
среды при сдвиге принимает значение равное нулю, т. е. выпол-
няются условия
г = т,
I/*, где {/»=
1,
О,
если 0<\|/<1, о<0;
если у = 1, 0<о.
(260)
После введения, согласно (260), единичной индикаторной функции
I/. величина ts, входящая в (260) заменяется величиной т*.
Степень деформации, накопляемую материальными части-
цами среды при движении в пластической зоне, определили в со-
ответствии с соотношениями (249).
Математическая модель дополняется диаграммой пластично-
сти материала мишени Лр = Лр(0, ки к^.
Анализ уравнения (249) показал, что при r—>R А—следова-
тельно, вокруг движущейся частицы неизбежно образуется зона,
насыщенная дефектами сплошности материала мишени. Границы
297
Область интенсивной
пластической
деформации
Область разрушения
Рис. 43. Схема образования j, области разрушения
зоны определяются из условия Л(г, ф, тЗ) = Лр(к\(г, ф, тЗ), к^г, ф, тЗ)).
Общий вид границы зоны разрушения изображен на рис. 43.
Рассмотрим теперь напряженно-деформированное состояние
упругой среды, окружающей область пластического течения
(здесь принимаем допущение о том, что область пластического
течения мала и не оказывает существенного влияния на резуль-
таты решения упругой задачи). При этом предполагаем, что воз-
мущение упругопластической среды, предшествующее проника-
нию в нее твердой частицы, связано с распространением в ней
плоских упругих волн. Параметры мишени подобраны так, что в
режиме свободных колебаний в ней образуется стоячая волна,
фаза которой остается неизменной, а амплитуда меняется с тече-
нием времени.
В системе отсчета х, у, z для плоской стоячей волны перемеще-
ния материальных частиц можно определить следующим образом:
их = иу = 0, и2 = w(z, О,
оо
U(z, t) = ^°s
n=l
2n+l
----7CZ
2/Iq
cos2Tvy„t
Они удовлетворяют волновому уравнению
c^w_ 2Э2Ц. = | д(1-у) ~
Эг2 С дх2’С (l+v)(l-2v)p0 ’
298
и краевым условиям
। ni V1 Г 2и + 1 z । ди ~
= 0, «и = -^ап cos —— п— ,47 = °’
Zf I 2 М d/'=o
где с — скорость распространения плоской упругой волны; Е —
модуль упругости; v — коэффициент Пуассона; у„ — собствен-
ные частоты колебаний пластины.
Компоненты тензора деформации имеют вид
„. ди
гг — ~ ^УУ’ ~ £yz ~ ~ О'
Компоненты тензора упругих напряжений определены следую-
щим образом:
аи = (X + 2ц)%, = вуу = fa*, (261)
На основании (261) среднее нормальное напряжение, связан-
ное с упругими колебаниями среды, определили так: t
м (\ 2 А ди
&е) = Х + -ц —•
I 3*J dt
(262)
В области пластического течения в качестве расчетного зна-
чения среднего нормального напряжения берется суъйиа напря-
жений, подсчитанных по формулам (259) и (262). В итоге для
расчета средних нормальных напряжений в пластической облас-
ти имеем соотношение
о = (263)
Используя полученные выше результаты, разработали алго-
ритм решения задачи, определения закона движения твердой ча-
стицы после проникновения ее в мишень, в которой предвари-
тельно возбуждается упругая волна. Согласно предложенному
алгоритму, с использованием соотношений (251), (253) в резуль-
тате решения вариационной задачи определяется размер зоны
области пластического течения (параметр Rq/R). Затем опреде-
ляется положение границы зоны разрушения, лежащей в облас-
ти интенсивного пластического течения деформируемого мате-
риала мишени. С использованием (260) повторно решается вари-
ационная задача, после чего параметр Ro = принимается в ка-
299
честве действительной границы г = Ro области пластического те-
чения. С использованием (252), (253) определяется параметр q»,
входящий в дифференциальное уравнение (254). Повторное при-
менение уравнений (255)—(257), а также (259)—(263) позволяет
полностью определить напряжения, действующие на границах
г = R и г = Ro, проинтегрировать их по указанным поверхностям
и спроецировать внешние силы, действующие на рассматривае-
мую сферическую частицу, на ось z системы отсчета.
После определения всех сил, действующих на движущуюся
твердую сферическую частицу, в уравнение (255) вносится по-
правка, после чего оно принимает вид
(264)
где /е)(0 — функция, учитывающая влияние ударной волны на
закон движения частицы.
Заключительным шагом математического моделирования
процесса проникания твердой частицы в упругопластическую
среду является интегрирование дифференциального уравнения
(264).
Для компьютерного моделирования процесса сверхглубоко-
го проникания твердой частицы в упругопластическую мишень в
соответствии с описанным алгоритмом сконструировали доста-
точно простую для численной реализации имитационную мо-
дель. При этом использовали метод объектно-ориентированно-
го визуального программирования. Программирование осущест-
вили в среде Visual Studio с использованием системы компьютер-
ной математики MATLAB + Simulink.
4.8. ПРОБИВАНИЕ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ ЛЕТЯЩИМ ШАРИКОМ1
Рассмотрим еще одну простейшую задачу ударного деформи-
рования и разрушения: пробивание тонкой круговой пластины
жестким шариком.
Пусть жесткий шарик массой т и радиусом Rs, летящий со
скоростью vM, ударяется в центр тонкой круговой пластины,
имеющей толщину h и радиус R (рис. 44, а). По периметру плас-
’Задачи в разд. 4.8,4.9 решены В.П. Федотовым и Л.Ф. Спеваком при уча-
стии B.JI. Колмогорова.
300
Рис. 44. Схема к задаче деформирования и разрушения тонкой пластины шари-
ком, летящим со скоростью и0
тина закреплена. Справа от пластины находится некоторая сре-
да, оказывающая определенное сопротивление движению плас-
тины. Требуется рассчитать напряженно-деформированное со-
стояние пластины, ее поврежденность, предсказать момент и ме-
сто разрушения, а также другие параметры, сопутствующие про-
цессу удара.
Постановку и приближенное решение задачи осуществим в
сопутствующей лагранжевой системе координат. В качестве эй-
леровой системы координат выбрана декартова система х, у, z.
Лагранжева система в начальный момент совпадает с цилиндри-
ческой системой координат г, ф, z с началом в центре пластины.
Для простоты решения сделаем следующие предположения:
толщина пластины существенно меньше ее радиуса, она не меня-
ется в процессе деформации и все параметры напряженно-де-
формированного состояния постоянны по толщине пластины. В
таком случае при больших скоростях движения шарика дефор-
мацией пластины в радиальном и осевом направлениях можно
пренебречь. Метрический тензор для лагранжевой системы ко-
ординат можно считать приближенно равным метрическому
тензору цилиндрической системы координат.
Сформулируем граничные условия. По периметру пластина
закреплена:
= 0, i = г, ф, z. (265)
301
Справа от пластины находится некоторая среда, которая оказы-
вает сопротивление движению правой поверхности пластины.
Допустим, взаимодействие пластины с этой средой можно выра-
зить в виде зависимости поверхностного напряжения от скоро-
сти движения точек границы:
fi = //(«;)» i, J = г, <р, z. (266)
Примем, что эта зависимость имеет следующий вид:
Z = b,., (267)
где к — известный коэффициент.
Левая поверхность деформирующейся пластины, за исклю-
чением области контакта с шариком, свободна от поверхност-
ных напряжений. В центре пластины действует сосредоточенная
сила воздействия ударяющего шарика.
Будем считать, что материал пластины изотропный, девиато-
ры напряжений и скоростей деформации подобны. Предполо-
жим также, что этот материал несжимаемый, жесткопластичес-
кий, и испытывает развитые пластические деформации, так что
упругими деформациями можно пренебречь. Этим предположе-
ниям соответствуют следующие определяющие соотношения
для девиаторной части:
2Т
Хц=~^,Т = ъ + ]1Н, (268)
п
где Ц — вязкость, известная константа материала.
Для упрощения задачи воспользуемся предположением, что
пластина, пробиваемая жестким шариком, очень тонкая. В связи
с этим нагрузка на правой поверхности пластины, предопреде-
ленная сопротивлением среды, может быть отнесена к катего-
рии массовых сил:
№ =f = Ьг, gr = = 0, (269)
что позволяет сделать задачу одномерной.
Сделаем еще некоторые предположения, упрощающие ре-
шение задачи. Будем считать, что с момента t0 (см. рис. 44), явля-
ющегося моментом начала процесса, имеет место прилипание
некоторой части поверхности шарика к поверхности пластины.
Прилипшую часть будем считать недеформируемой.
302
Решим поставленную в предыдущем разделе задачу методом,
представленным в разд. 3.6. Функционал принципа виртуальных
скоростей и напряжений для рассматриваемой задачи имеет вид
rf и77/2
2 л/г I +
+------—
2Ц Ц
+ (pw,. - Щ) v'j rdr - Fv'lr=0, (270)
где Rr—радиус недеформируемой зоны прилипания; F=-mw^—
сила воздействия шарика на пластину.
В произвольный момент будем искать экстремум на следую-
щем классе виртуальных состояний. Виртуальное поле скоро-
стей выберем таким:
v' = 0, и' = 0, v' = иехрС-аг2), , (271)
где v,a—в каждый момент варьируемые параметры, а вообще го-
воря, искомые функции времени. Принимая такой вид виртуально-
го поля скоростей, мы удовлетворяем условие закрепления пласти-
ны по периметру приближенно, однако, как будет показано ниже,
погрешность этого приближения можно сделать сколь угодно ма-
лой за счет выбора начальных условий. Предварительный анализ
показал, что при параметрах расчета, принятых в данном разделе,
для виртуального поля (271) можно принять в качестве радиуса зо-
ны прилипания радиус шарика Rr = Rs.
Единственной ненулевой составляющей тензора скоростей
деформации будет
4 = -avrexpt-ar2). (272)
Тогда интенсивность скоростей деформации сдвига примет зна-
чение
Н' = 2avrexp(-ar2). (273)
Обратимся к виртуальному полю напряжений. Поскольку де-
формации в радиальном и осевом направлении считаются прене-
брежимо малыми, примем, что единственной ненулевой состав-
303
ляющей тензора напряжений будет <5rz. Тогда виртуальное значе-
ние должно удовлетворять уравнению движения:
^k+£k=pw jfcy (274)
ar г
где wz, vz — действительные значения ускорения и скорости. Ин-
тегрируя уравнение движения (274), получаем
(J (pwz - kvz) dr + с j, (275)
где с — еще одна варьируемая величина, функция времени. Ин-
тенсивность касательных напряжений в принятых предположе-
ниях принимает значение
Т=<. (276)
Таким образом, в произвольный момент имеем три варьиру-
емые параметра, v, а, с, определяющие виртуальное состояние.
Как и в предыдущем разделе, экстремум функционала в фикси-
рованный момент отыскивается методом Ритца. Подставляя в
необходимые условия экстремума функционала (270)
^=о, ".-о, "=0.
Эи да де
(277)
после дифференцирования по параметрам v, а, с, значение уско-
рения
(dv 2 da\ / 2\ /АЧА-,
wz = I------vr — exp (-ar I, (278)
\dt dt J ' '
получим следующую систему уравнении:
, R R
—-vp J r3 exp (-2ar2) dr + v2 J (4nar3 (1 - ar2) - kr3 j x
dt R. Rs
x exp (~2ar2) dr - v2p jf5 exP (~2ar2) dr +
R
+ 2ат5 J r2 (1 - ar2) exp (-ar2) vdr = 0,
R,
(279)
304
R
2ith jr exp (~2ar2) dr + v j(4ла2г3 -
Rs
R
kr) exp (-2ar2) dr -
R,
Я
r2 exp (-ar2) dr +
>
R R
——up Jr3 exp (-2ar2) dr+2ats J
dt R. R,
dv
+—m = Q,
dt
(280)
1 г 1 ( rf (dv 2 da} , )
c = t.----—------—г - p-----------vr— -to x
s ln(7?)-ln /?, JrlA*Adt dt) )
x exp(-ar2)rdr dr.
(281)
Уравнения (279), (280) представляют собой систему двух обык-
новенных дифференциальных уравнений первого порядка отно-
сительно функций v = v(t)иа = a(f). Решение этой системы опре-
деляет деформированное состояние пластины на промежутке
времени от t = t0 до момента разрушения. Уравнение (281) явля-
ется алгебраическим. Из него по известным v = v(t) и a = a(f)
можно найти в каждый момент t значение с = c(t), а с учетом
(275) — напряженное состояние за весь период деформирования
до разрыва пластины.
Обратимся теперь к назначению начальных условий v0 = v(t0)
и a0 = a(t0), необходимых для решения дифференциальных урав-
нений. В качестве начального момента примем момент, когда
шарик полностью пересечет плоскость z = 0 (см. рис. 44, б). Бу-
дем считать, что к этому моменту, t0, весь импульс силы шарика
mvM передается системе “шарик—пластина”, после чего шарик
движется вместе с пластиной до момента ее разрушения. Из ус-
ловия сохранения импульса следует
R
mv^ = mv0 + 2lthRs ри0 + 2лЛри0 j exp (-aor2) г dr. (282)
Rs
Для определения двух величин, v0 и a0, необходимо еще одно
уравнение. Таким уравнением может быть принято условие ма-
305
лого, но известного перемещения границы пластины к моменту
t0. Иными словами, мы предполагаем выполнение условия за-
крепления пластины приближенным с заданной погрешностью.
По предположению, к моменту t0 центр пластины переместится
от исходного состояния на величину 2RS (рис. 45, б). В этом слу-
чае точки пластины с координатой r = R переместятся в направ-
лении оси z на величину 27?5ехр(-я0/?2). Предположим, что это от-
клонение не должно превышать величину 0,01 Л. Такое условие
позволит выполнить с погрешностью, не превышающей толщи-
ну пластины Л, условие закрепления пластины в процессе дефор-
мирования. Из сделанного предположения искомый параметр
определится следующим образом:
По найденному значению а0 из уравнения (282) определится
значение v0.
Таким образом, мы имеем систему уравнений и начальные
условия, позволяющие рассчитать напряженно-деформирован-
ное состояние.
Параллельно с решением системы уравнений (279)—(281)
можно подсчитать поврежденность материала пластины в каж-
дой ее точке. Для выбранного напряженного состояния его пока-
затели, введенные в разд. 1.1, в каждой точке пластины в любой
момент ее деформации постоянны и имеют значения = а/Г = 0,
£2 = На = 1- Поскольку деформация каждой частицы протекает
монотонно, то поврежденность определится из решения диффе-
ренциального уравнения
(284)
dt Лр
С учетом, того, что \|Л70) = 0, значение поврежденности будет
следующим:
Ш = (285)
ЛР
Решение системы (279)—(281) и расчет поврежденности осу-
ществляются до момента разрушения пластины.
306
Рис. 45. Зависимость момента разрыва пластины tf от начальной скорости дви-
жения шарика *
Рис. 46. Скорость движения шарика в момент разрушения гув зависимости от на-
чальной СКОРОСТИ VfQ
t
Рис. 47 Накопление поврежденности материала у в месте будущего разрыва
Рис. 48. Погрешность выполнения условия закрепления пластины Д к моменту
разрыва
Был проведен расчет для следующих параметров процесса
удара стального шарика по стальной пластине: = 200 МПа,
R = 0,1 м, Rs = 0,005 м, /г = 5 • КУ4 м, р = 7800 кг/м3, ц = 0,2 Па с,
Лр = 0,2, к = -104 кг/(м2-с), va = 700—1500 м/с.
Для принятых параметров при начальной скорости шарика
Vtf меньше 700 м/с он не пробивает пластину. Результаты расче-
тов отражены на рис. 45—48. Во всех просчитанных вариантах
разрушение происходит по окружности г = Rs. На рис. 45 показа-
на зависимость значения момента разрушения от скорости поле-
та шарика. Время до разрушения с увеличением скорости удара
уменьшается. Рис. 46 отражает скорость движения шарика в мо-
мент разрушения t = tf в зависимости от начальной скорости его
движения. Нарастание поврежденности металла в месте будуще-
го разрыва для начальной скорости шарика 1000 м/с показано на
рис. 47. На рис. 48 приведены расчетные значения отклонения
границы пластины от начального состояния к моменту разруше-
ния. Иными словами, показана погрешность выполнения усло-
вия закрепления границы. Из рисунка видно, что погрешность на
два порядка меньше толщины пластины.
4.9. ДВУМЕРНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПРОБИВАНИИ ПЛАСТИНЫ
В предыдущем разделе, при решении задачи о пробивании
шариком пластины, граничные условия (266), (267) интерпрети-
ровались как уравнение для массовых сил. В данном разделе
принцип виртуальных скоростей и напряжений формулируется с
учетом этих граничных условий, что позволяет решить ту же за-
дачу в двумерной постановке.
Рассмотрим следующую краевую задачу теории пластичес-
кого течения. Требуется определить значения компонентов век-
тора скорости и тензора напряжений в некоторый момент в каж-
дой точке деформируемого тела V, удовлетворяющие уравнени-
ям движения (116), кинематическим соотношениям (115), опре-
деляющим уравнениям (124) и граничным условиям. Пусть име-
ют место граничные условия (86а), а на некоторой части поверх-
ности заданы следующие условия:
VM е =/'(и;). (286)
Как и ранее, функции (124), (286) полагаются в общем случае
разрешимыми относительно еф £ и соответственно, а также
308
удовлетворяющими необходимым условиям существования ре-
шения задачи. В частности,
Эо
Э?
ds*
Ъ£а t=k
j=k
В этом случае краевая задача
уравнению
Sf‘
dVj
эквивалентна вариационному
О
о
У\ О
е
О
О
о
.(287)
которое выражает принцип виртуальных скоростей и напряже-
ний для случая, когда имеются граничные условия вида (286).
Все основные теоремы принципа будут выполняться Частным
случаем граничных условий (286) можно считать закон трения
(86 б). При этом вариационный принцип (287) примет известный
вид (117), (118), (131).
Рассмотрим теперь решение задачи, описанной в разд. 4.7, с по-
мощью вариационного принципа (287). Таким образом, мы учтем
граничные условия (266), (267) явно, решая двумерную задачу. Бу-
дем считать, что параметры напряженно-деформированного со-
стояния зависят от координаты z. Все остальные предположения,
оставим в силе. Функционал (287) примет для этой задачи вид
J =
т'2 т Т'
+ ------*— + pw2 v'rdrdz -
2Ц Ц
-J
'ко?
I 2
rdr
/
-Fv'z=o
z r=0
7
(288)
309
где F — сосредоточенная сила воздействия шарика на пластину.
Зададим виртуальное поле скоростей в виде
v' = 0, «ф = 0, v' = (v + bz)exp(-ar2), (289)
где v, а, b — в каждый момент варьируемые параметры, а вооб-
ще говоря, искомые функции времени. Два компонента тензора
скоростей деформации будут отличны от нуля:
= hexp(-ar2), = -ar(v + bz)exp(-ar2). (290)
Условие несжимаемости в этом случае выполняться не будет.
Считаем, однако, что объемная деформация незначительна, и в
уравнении (288) ее не учитываем.
Интенсивность скоростей деформации сдвига примет значение
"'=^4^+^. (291)
Примем, что виртуальное поле будет также определяться
двумя ненулевыми компонентами тензора напряжений — и
<j'z. Пусть <т'г имеет вид
= Cjzexp^r2). (292)
Это позволит выполнить граничное условие на свободной от на-
грузок поверхности z = 0.
Уравнения движения в принятых предположениях имеют вид
^к = 0,
dz
до' до' до'
-^ + —^2- +----S. = pWz,
dz dr г
(293)
где wz — действительное значение ускорения. Интегрируя вто-
рое уравнение движения (293) относительно получаем
<£=(294)
где С — произвольная функция, не зависящая от г. Определим ее
из первого уравнения (293):
С =
pz [ db da
2а I dt dt
+ c2.
(295)
310
В уравнениях (292), (295) q и с2 — варьируемые величины,
функции времени. Интенсивность касательных напряжений вы-
ражается формулой
Г = (296)
Таким образом, в произвольный момент времени имеем пять
варьируемых параметров — v, а, Ь, си с2, определяющих вирту-
альное напряженно-деформированное состояние пластины. Как
и в предыдущих пунктах, экстремум функционала в фиксирован-
ный момент определяется методом Ритца. Подставляя в необхо-
димые условия экстремума функционала (288)
^ = 0, ^- = 0, £=0, = 0, ^- = 0, (297)
dv да do dq дс2
после дифференцирования по указанным в (297) параметрам и
подстановки значения ускорения
i
z - (у+bz) г2 exp (-ar2) (298)
V dt dt dt J ' '
и сосредоточенной силы
F = -mwJr-o,
z z=0
получим систему из двух групп уравнений:
, dv da db\ п
FJ v, a,b,—,—,— 1 = 0,
V dt dt dt)
(299)
F2(v, a, b, cb c2) = 0. (300)
Первая группа является системой трех линейных обыкновен-
ных дифференциальных уравнений относительно функций v(f),
a{t), b(f). В качестве начальных условий, необходимых для реше-
ния системы, возьмем значения v0 = v(t0) и а0 = a(t0), определяе-
мые уравнениями (282), (283), а также значение b0 = b(t0) = 0, ко-
торое вытекает из предположения, что деформирование пласти-
ны начинается в момент t = t0.
Вторая группа — это два алгебраических уравнения, опреде-
ляющих в произвольный момент t значения параметров ct и с2 по
311
Рис. 49. Двумерное решение. Зависимость момента разрыва пластины tf от на-
чальной скорости движения шарика
Рис. 50. Двумерное решение. Скорость движения шарика в момент разруше-
ния гув зависимости от начальной скорости
Рис. 51. Двумерное решение. Погрешность выполнения условия закрепления
пластины Л к моменту разрыва
Рис. 52. Двумерное решение. Движение центра пластины до момента разрыва:
1 — одномерное решение; к, кг/(м2-с): 7-103-105,2 - 103,3 - 104,4 - 105
найденным значениям v, а, b. Таким образом, полученная систе-
ма уравнений позволяет определить изменение напряженно-де-
формированного состояния пластины до момента разрушения.
Параллельно с определением напряженно-деформированно-
го состояния можно подсчитать поврежденность материала пла-
стины в каждой ее точке. Значение поврежденности, как и в
разд. 3.1, определяется формулой (285), а в качестве Лр возьмем
использовавшуюся в разд. 4.1 функцию (183) при следующих
значениях параметров: % = 0,2, X = -2.
Напряженно-деформированное состояние и поврежденность
материала были подсчитаны при тех же параметрах процесса,
что и в разд. 4.7. Результаты расчетов приведены на рис. 49—52.
На рис. 49 показана зависимость значения момента разрушения
от скорости полета шарика. Рис. 50 отображает скорость движе-
ния шарика в момент разрушения t = tf в зависимости от началь-
ной скорости его движения. Сопоставление этих зависимостей с
рис. 45, 46 показывает, что предельное значение повреждейнос-
ти при двумерном расчете достигается быстрее. Сопоставление
погрешности выполнения условия закрепления пластины, изоб-
раженной на рис. 51, с рис. 49 показывает, что в двумерйом ре-
шении эта погрешность меньше.
Исследование результатов расчетов показало, что одномер-
ное решение не дает возможности качественно оценить влияние
свойств прилегающей к пластине среды на процесс деформации
и разрушение. Двумерное решение позволяет сделать такой ана-
лиз. На рис. 52 показано перемещение центра пластины во вре-
мени до момента разрушения при начальной скорости полета
шарика 1000 м/с для разных значений коэффициента в уравне-
нии (267). Анализ результатов показал, что с увеличением абсо-
лютного значения коэффициента увеличивается время дефор-
мирования до разрушения, уменьшаются прогиб пластины и ско-
рость движения шарика к моменту разрыва пластины.
Полученные расчеты дают основания полагать, что вариаци-
онный принцип виртуальных скоростей и напряжений (287) поз-
воляет решать задачи с граничными условиями типа (286). Пост-
роенное с его помощью решение представляется более адекват-
ным по сравнению с одномерным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970. Т. 1. 492 с.;
Т. 2. 568 с.
2. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978.286 с.
3. Колмогоров В.Л. Напряжения, деформации, разрушение. М.: Метал-
лургия, 1970. 230 с.
4. Колмогоров В.Л., Богатов А.А., Мигачев Б.А. и др. Плас-
тичность и разрушение. М.: Металлургия, 1977. 365 с.
5. Паршин В.А., Зудов Е.Г., Колмогоров В.Л. Деформируе-
мость и качество. М.: Металлургия, 1979. 192 с.
6. Мигачев Б.А., Потапов А.И. Пластичность инструментальных
сталей и сплавов. Справочник. М.: Металлургия, 1980. 89 с.
7. Богатов А.А., Мижирицкий О.И., Смирнов С.В Ресурспла-
стичности металлов при обработке давлением. М.: Металлургия, 1984.
150 с.
8. Унксов Е.П., Джонсон У., Колмогоров В.Л. и др. Теория
пластических деформаций металлов / Под ред. Е.П. Унксова, А.Г. Овчин-
никова. М.: Машиностроение, 1983. 598 с.
9. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. М.: Ме-
таллургия, 1986. 688 с.
10. Унксов Е.П., Джонсон У., Колмогоров В.Л. и др Теория
ковки и штамповки / Под ред. Е.П. Унксова, А.Г Овчинникова. Изд.
2-е, перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1992. 720 с.
И. Kolmogorov V.L. Model of metal fracture in cold deformation and ductility
restoration by annealing // Materials Processing Defects / Eds. S.K. Ghosh and
M. Predeleanu. Elsevier Science B.V., 1995. P. 219.
12. Burdukovsky V G., Kolmogorov V.L , Migachev В A.
Prediction of resources of materials of machine and construction elements in the
process of manufacture and exploitation // Journal of Materials Processing
Technology, 1995. V. 55. P. 292—295.
13. Kolmogorov V.L. Friction and wear model for a heavily loaded sliding pair.
Part I. Metal damage and fracture model // Wear, 1996.V 194. P. 71—79.
14. Kolmogorov V.L , Smirnov S V. Healing of metal microdefects after
cold deformation // Advanced Methods in Materials Processing Defects / Eds.
M.Predeleanu and P.Gilormini. Elsevier, 1997. P. 61.
15. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов. М.: Ме-
таллургия, 1984. 280 с.
16. Качанов Л .М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 311 с.
17 Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука,
1979. 744 с.
18. Болотин В В Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.:
Машиностроение, 1984. 312 с.
314
19. Богатов А.А., Смирнов С.В., Быков В.Н. и др Авт. свид.
SU N1422090 А1 // Бюл. изобретений и открытий, № 33 (1988).
20. Богатов А.А., Смирнов С.В , Быков В.Н. и др. Обработка
металлов давлением: Межвузовский сборник. Свердловск, 1991. С. 45.
21. Karman Т Festigkeitsversuche unter allseitigen Druck // Mitteilung
Forschungsarbeit Vereinigte Deutsche Ingenier, 118. Berlin, 1913.
22. Bridgman P.W. Studies in large plastic flow and fracture. N.Y.: McGraw-Hill,
1952. 444 p.
23. Mechanical behaviour of materials under pressure I Ed. by H.L1.D. Pugh. Elsevier
Publishing Company, 1970. 292 p.
24. Давиденков H.H., Спиридонова Н.И. Анализ напряженного со-
стояния в шейке растянутого образца // Завод, лабор., 1945. Т. XI, № 6.
С. 583—593.
25. Разрушение. Т 3 / Под ред. Г. Либовица. М.: Машиностроение, 1977
796 с.
26. Смирнов С.В , Шохин В.А., Колмогоров С.В Оценкадефор-
мируемости при правке рельсов на роликоправильных машинах // Обра-
ботка металлов давлением: Межвузов, сб. науч. тр. Свердловск, 1987
С. 64—74.
27. К и й к о И. А. // Обработка металлов давлением. Межвузовский сборник.
Вып. 9. Свердловск, 1982. С. 27—40.
28. Колмогоров В.Л., Мигачев Б.А Прогнозирование разрушения
металлов в процессе горячей пластической деформациию // Изв. АН
СССР. Металлы, 1991. № 3. 124 с.
29. Губкин С И. Пластическая деформация металлов. Т.П. Физико-хими-
ческая теория пластичности. М.: Металлургиздат, 1960. 416 с.
30. Чурбаев Р.В , Добромыслов А.В , Колмогоров В.Л. и др.
Влияние скорости деформации на пластичность металлов под давлением //
Физика металлов и металловедение, 1990. № 6. С. 178—183.
31. Speedy N.B , Brown R.F , Goodwin G C. Control theory: identifica-
tion and optimal control. Edinburgh: Oliver and Bound, 1970.
32. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Кра-
совского. М.: Наука, 1987 711 с.
33. Коновалов А.В Построение динамических моделей сопротивления
металлов пластической деформации методами теории идентификации //
Изв. АН СССР Металлы, 1984. № 6. С. 178—180.
34. Коновалов А.В , Селиванов Г.С., Антошечкин Б.М. О ди-
намической модели сопротивления металла пластической деформации //
Изв. АН СССР. Металлы, 1987 № 4. С. 122—127
35. Богатов А.А., Смирнов С.В , Зеленский В Н. и др. Исполь-
зование диаграмм пластичности для выбора термической обработки перед
деформацией // Сталь, 1984. № 2. С. 69—71.
36. Белов В.А., Богатов А.А., Головин В.А. и др Исследование
изменения поврежденности стали 40Х при холодной пластической дефор-
мации и термической обработке // Физика металлов и металловедение,
1985, Т. 54, V. 4. С. 787—792.
37 Богатов А.А., Тропотов А.В., Власов В.М. и др. Электро-
сварные холоднодеформированные трубы. М.: Металлургия, 1991. 207 с.
38. Богатов А.А , Смирнов С.В , Михайлов В.Г и др Техноло-
гические свойства сплавов системы W—Ni—Fe при обработке давлением //
Кузнечно-штамповочное производство, 1991. № 6. С. 8—10.
315
39. Смирнов С.В , Швейкин В.П., Михайлов В.Г и др Сравни-
тельное исследование пластичности прутков из вольфрамового сплава В А
после ротационной ковки и прокатки // Кузнечно-штамповочное произ-
водство, 1994. № 8. С. 2—4.
40. Мигачев Б.А., Потапов А.И. Пластичность инструментальных
сталей и сплавов. М.: Металлургия, 1980. 89 с.
41. Потапов А.И., Мигачев Б. А. Совершенствование режимов нагре-
ва кузнечных слитков с целью улучшения их деформируемости // Кузнеч-
но-штамповочное производство, 1983. № 6. С. 34—37
42. Мигачев Б.А., Тунева Л.Д. Влияние условий деформирования на
качество поковок быстрорежущей стали // Кузнечно-штамповочное про-
изводство, 1987. № 3. С. 14—15.
43. Мигачев Б.А., Волков В.П. Влияние циклической ковки на меха-
нические свойства поковок конструкционной углеродистой и легирован-
ной стали Ц Кузнечно-штамповочное производство, 1995. № 10. С. 15—17
44. Мигачев Б.А., Теляшов Н.В. Возможности дефектоскопии при
контроле качества горячекатаных трубных заготовок // Дефектоскопия,
1994. № 9. С. 46—49.
45. Мигачев Б.А., Добыт Н.М. Квалиметрия проката быстрорежу-
щей стали в условиях заготовительного производства с кузнечным переде-
лом Ц Дефектоскопия, 1995. № 6. С. 80—83.
46. Manson S.S Thermal stress and low-cycle fatique. N. Y.: McGraw — Hill
Book Comp., 1966. M e н с о н С. Температурные напряжения и малоцикло-
вая усталость / Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1974.
47. Серенсен С.В , Шнейдерович Р.М., Гусенков А.П. др
Прочность при малоцикловом нагружении. Основы метода расчета и ис-
пытаний. М.: Наука, 1975. 285 с.
48. Иванова В С., Терентьев В Ф Природа усталости металлов. М.:
Металлургия, 1975.456 с.
49. Collins J.A. Failure of materials in mechanical design. A. Wiley —
Interscience Publication John Wiley & Sons. New York, Chichester, Brisbane,
Toronto, Singapore. 1981. P. 188—193.
Коллинз Дж. Повреждения материалов в конструкциях / Пер. с англ.
М.: Мир, 1984. 624 с.
50. Ищенко И И., Погребняк А.Д Прочность, долговечность и раз-
рушение конструкционных материалов при многоцикловом нагружении
(Обзор) Ц Прикладная механика, 1997 Т. 33, № 4. С. 3—27.
51. Головин С.А., Пушкар А. Микропластичность и усталость метал-
лов / Под ред. С.А. Головина. М.: Металлургия, 1980. 239 с.
52. Колмогоров В.Л Принцип возможных изменений напряженного и
деформированного состояний // Механика твердого тела, 1967. Т. 2.
С. 143—150.
53. В а 11 о v А. Variational theorems in the dynamic theory of viscoplasticity // Bull,
de Г Acad. Pol. Sci. ser. Sci. Techn., 1969. V 17, N 5. P 297—304.
54. Колмогоров В.Л. Метод расчета напряженно-деформированного со-
стояния в общей краевой задаче развитого течения // Вестник ПГТУ Ме-
ханика, № 2. Пермь, 1995. С. 87—97
55. Колмогоров В.Л., Спевак Л.Ф , Трухин В.Б. Метод расчета
напряженно-деформированного состояния в общей краевой задаче об-
работки металлов давлением // Технология легких сплавов, 1995. № 4.
С. 39-49.
316
56. Гасилов В.Л , Колмогоров В.Л., Спевак Л Ф Модель разру-
шения в процессах развитого деформирования металлов: Тр. 9-й конф, по
прочности и пластичности. Москва, 22—26 января 1996 г. Прочность и пла-
стичность. М., 1996. Т. 2. С. 58—63.
57 Колмогоров В.Л. Некоторые теоретические проблемы ОМД и воз-
можные пути их решения // Пластическая деформация сталей и сплавов:
Сб. науч. тр. М., 1996. С. 140—151.
58. Kolmogorov V.L., Lapovok R.E. The calculation of stress-deformed
state under non-isothermicplastic flow — the example of psrallelepiped setting //
Computers and Structures, 1992. V. 44, N 1—2. P 419—424.
59. Kolmogorov V.L., Fedotov V.P , Spevak L. F. A mathematical model
for the formation and development of defects in metals I I Advanced Methods in Materials
Processing Defects I Eds. M. Predeleanu and P Gilormini. Elsevier, 1997. P 51.
60. Хилл P Математическая теория пластичности / Пер. с англ. М.: Гостех-
издат, 1956.407 с.
61. Федотов В.П. Вариационные решения упругопластических задач: Ма-
тер. конф. “Актуальные проблемы пластической обработки металлов”
Варна, Болгария, 1990. С. 223—227
62. Полищук Е.Г Метод граничных элементов для расчета жестко-вяз-
копластических течений // Прикладная математика и механика, 1992.Т. 56,
№ 5. С. 691—695.
63. Biot М. Variational Principles in Heat Transfer. Oxford University Press, 1970.
Био M. Вариационные принципы в теории теплообмена. М.: Энергия,
1975. 206 с. 1
64. Айнола Л.Я Вариационные принципы для нестационарных задач теп-
лопроводности Ц Инженерно-физический журнал, 1967 Т. XII, № 4.
С. 465—468.
65. Готлиб Б М., Добычин И. А., Баранчиков В.М Основы ста-
тистической теории обработки металлов давлением. М.: Металлургия,
1980. 168 с.
66. Johnson W , Chandrasekar S Rupert’s glass drops: Residual-stress
measurements and calculations and hypotheses for explaining disintegrating frac-
ture I I Journal of Materials Processing Technology, 1992. V 31. P 413—440.
67 Колмогоров В.Л. О применениии энергетических принципов теории
пластичности к решению задач обработки металлов давлением //
Тр. УПИ. Свердловск, 1958. № 64.
68. Gerhardt J Numerische Simulation dreidimensionaler Umformvorgnge mit
Einbezug des Temperaturverhaltens. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1989.
69. Kolmogorov V.L., Lapovok R.E. The calculation of stress-deformed
state under non-isothermic plastic flow — the example of parallelepiped setting //
Computers and structures, 1992. 44, N 1/2.
70. Горобцов В.Г., Ушеренко С.М., Фурс В.Я. О некоторых эф-
фектах обработки высокоскоростной струей рабочего вещества // Порош-
ковая металлургия. Вып. 3. Минск: Высш, шк., 1979. С. 8—12.
71. Веддер Дж.Ф , Майдевиль Ж.К. Механика образования воронок
при ударе и взрыве Вып. 12 / Под ред. А.Ю. Ишлинского и Г.Г Черного.
М., 1977 С. 7—32.
72. Козорезов К.И , Максименко В.Н , Ушеренко С.М. Иссле-
дование эффектов взаимодействия дискретных микрочастиц с твердым те-
лом И Избранные вопросы современной механики. М.: Изд. МГУ, 1981.
С. 114—119.
317
73. Андилевко С.К., Роман О.В , Романов Г С. и др Сверхглу-
бокое проникание частиц порошка в преграду // Порошковая металлургия.
Вып. 9. Минск: Высш, шк., 1985. С. 3—13.
74. Роман О.В , Горобцов В.Г., Дубровская Г Н. и др. Исследо-
вание материалов на основе железа после ударного взаимодействия с пото-
ком порошковых частиц. АН СССР и ЭССР //Тез. докл. Третьего всесоюз.
совещ. по детонации, 11—14 ноября, Таллин. Черноголовка, 1985.
С. 96.
75. Андилевко С.К., Сай Е.Н., Романов Г.С. и др Перемещение
ударника в металле, подвергнутом предварительно ударноволновому на-
гружению. Там же. С. 97.
76. Ворошнин Л.Г., Горобцов В.Г , Шилкин В.А. Упрочнение
быстрорежущей стали Р6М5 при динамическом микролегировании и тер-
мической обработке // Доклады АН БССР, 1985, XXI (1). С. 57—58.
77. Горобцов В.Г., Дубровская Г.Н., Ушеренко С.М. и др. Фи-
зико-химические исследования некоторых вопросов взаимодействия высо-
коскоростных порошковых частиц с металлической мишенью // Действие
высоких давлений на материалы. Киев, 1986. С. 101—102.
78. Киселев Ю Н., Миронов Э.А., Попов В.А. и др О механиз-
ме взаимодействия потока микрочастиц с преградой. Детонация и ударные
волны // Матер. УШ Всесоюз. симп. по горению и взрыву. Ташкент, 13—
17 октября 1986.
79. Шилкин В.А., Ушеренко С.М., Андилевко С.К. Введение в
сталь металлических порошков // Обработка материалов при высоких дав-
лениях. Киев, 1987 С. 99—102.
80. Андилевко С.К., Сай Е.Н., Романов Г С. и др Перемещение
ударника в металле // Физика горения и взрыва, 1988. № 5. С. 110—113.
81. Альтшулер Л.В , Андилевко С.К., Романов Г С. и др
О модели сверхглубокого проникания // Письма в ЖТФ, 1989. Т. 15, № 5.
С. 55—57.
82. Андилевко С.К., Романов Г.С., Ушеренко С.М. и др
Сверхглубокое проникание дискретных микрочастиц // Всес. совещ. по де-
тонации. Сб. докл. Т. 1. Красноярск, 5—12 августа 1991. С. 38—42.
83. Андилевко С.К. Сверхглубокий массоперенос дискретных микрочас-
тиц в металлических преградах в условиях нагружения последних потоком
порошка. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Минск, 1991.106 с.
84. Григорян С. С. О природе “сверхглубокого” проникания твердых мик-
рочастиц в твердые материалы // Докл. АН СССР, 1987. Т. 292, № 6.
С. 1319—1323.
85. Черный Г.Г Механизм аномально низкого сопротивления при движе-
нии тел в твердых средах // Докл. АН СССР, 1987. Т. 292, № 6. С. 1324—
1328.
86. Naimark О.В Nonlinear aspects of damage kinetics and some anomalies of
deformation and failure under intense loading. Euromech 362, UMIST 21st-23rd
April, 1997
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ....................................... ... 5
Часть первая
Ударное нагружение пластин и оболочек свободно
летящими снарядами: обзор
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ .... .. 9
1. ВВЕДЕНИЕ . ... ................... 12
2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ. . .16
2.1. Плоские пластины......... . . . . 16
2.2. Многослойные мишени ...................... . . .* 35
2.3. Косой удар пластин . . ... 37
2.4. Движущиеся мишени . .... 42
2.5. Ударное нагружение труб большого и малого диаметра. 42
2.6. Свойства материала при высоких скоростях деформации. . 50
2.7 Эффекты стесненности деформации . 50
2.8. Трение . . , 51
3. ЭМПИРИЧЕСКОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МИНИМАЛЬНОЙ
ЭНЕРГИИ ПЕРФОРАЦИИ . 52
3.1. Введение . . . 52
3.2. Теория подобия и масштабирований ... . .52
3.3. Эмпирический расчет критической энергии удара для стальных
пластин . . . 54
3.4. Эмпирические расчеты критической энергии удара для стальных
труб . . . .. ... 59
4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ................................ 62
4.1. Методы расчета по закону сохранения энергии и количества дви-
жения. .. ............. . . . 62
4.2. Анализ механизмов разрушения. ... . 67
4.2.1. Разрушение “пробкообразованием”.............. 67
4.2.2. Разрушение “лепесткованием”.......... . 72
4.3. Глобальная реакция на удар снаряда... .. 75
4.4. Анализ реакции труб на динамическую нагрузку. ... 83
4.5. Расчет ударных нагрузок. ... . .88
4.6. Многостадийные модели проникания ... .... 95
319
5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ..................................
6. ПРОЧНОСТЬ НА УДАР ПОЧВ, БЕТОННЫХ И СТАЛЕБЕТОН-
НЫХ КОНСТРУКЦИЙ.. ..
7. ВЫВОДЫ.............................
7.1. Экспериментальные исследования < . ...
7.2. Прогнозирование баллистического предела . .
7.3. Прогнозирование реакции мишени и ударных нагрузок .
7.4. Расчет реакции труб на удар... .........
7.5. Реакция бетонных и сталебетонных композитов на удар
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ..............................
Часть вторая
Метод расчета ударного деформирования
и разрушения
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ . .
1. ВВЕДЕНИЕ . ..................
1.1. Элементы тензорного исчисления в криволинейной косоугольной
сопутствующей системе координат
1.2. Лагранжево описание движения сплошной среды. Кинематика.
1.3. Динамика движения сплошной среды . .
1.4. Определяющие уравнения.
1.5. Уравнения сохранения энергии.
1.6. Краевая задача .
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ (НАРУШЕНИЯ
СПЛОШНОСТИ) МЕТАЛЛОВ
2.1. Модель разрушения металла при развитом пластическом дефор-
мировании. . . .. ........
2.2. Определяющие соотношения модели разрушения и ее адекватность
2.3. Модель теплового воздействия на микронарушения сплошности
2.4. Фрагментация тел при разрушении . .
2.5. Некоторые примеры и опыт применения модели разрушения .
2.6. Обобщение модели на другие случаи разрушения (усталость ме-
таллов при механическом и термоциклическом нагружении).
3. ВАРИАЦИОННЫЕ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ РАЗВИТОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ...
3.1. Принцип виртуальных скоростей и напряжений, краевая задача
ударного взаимодействия и разрушения твердых тел
3.2. Некоторые общие теоремы принципа виртуальных скоростей и
напряжений. ... . .
3.3. Принцип виртуальных скоростей и напряжений для невязких
сред и сухого трения. Разрывные решения
320
3.4. Принцип виртуальных скоростей и принцип виртуальных напря-
жений, методы верхней и нижней оценки как частные случаи об-
щего подхода . .... ..... . . 237
3.5. Вариационный принцип для температурной части задачи. . 240
3.6. Метод приближенного решения краевых задач ударного развитого
деформирования и разрушения твердых тел.................... 242
4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ УДАРНОГО ВЗАИМО-
ДЕЙСТВИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ........................... 245
4.1. Удар упругого стержня о жесткую преграду и его разрушение . 246
4.2. Удар пластического стержня о жесткую преграду......... 253
4.3. Ковка параллелепипеда........................... .... 255
4.4. Явление сверхглубокого проникания частиц в металлическую
мишень.................... ............ ... ... 264
4.5. Качественная модель сверхглубокого проникания частиц в метал-
лическую мишень... . . . .. ...... 269
4.6. Проникание частицы в покоящееся пластическое полупространство
в условиях плоского деформированного состояния............. 273
4.7 Проникание сферической частицы в упругопластическую среду 287
4.8. Пробивание тонкой пластины летящим шариком . .. 300
4.9. Двумерное решение задачи о пробивании пластины .... 308
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ........................................ * 314
Научное издание
В.Л. Колмогоров, У. Джонсон
С.Р. Рид, Г.Г. Корбетт
УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ:
ОБЗОР И НОВАЯ ТЕОРИЯ
Рекомендовано к изданию
Ученым советом
Института машиноведения и НИСО УрО РАН
Редактор Ю.Б. Корнилов
Технический редактор Е.М. Бородулина
Корректор Н.В. Каткова
Компьютерная верстка Ю.А. Травниковой
ЛР № 020764 от 24.04.98 г.
НИСО УрО РАН № 55(06)—226. Сдано в набор 17.08.06. Подписано в
печать 26.10.06. Формат 60x84 1/16. Бумага типографская. Печать
офсетная. Усл. печ. л. 20,25. Уч.-изд. л. 25. Тираж 216. Заказ 213.
Типография “Уральский центр академического обслуживания”
620219, г. Екатеринбург, ул. Первомайская, 91.