Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений - Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И.

Автор: Вентцель А.Д. Фрейдлин М.И.
Теги: теория вероятностей и математическая статистика теория вероятностей математическая статистика
Год: 1979
Похожие
Курс теории случайных процессов
Теория случайных процессов и ее инженерные приложения
Теория случайных процессов
Введение в теорию случайных процессов
Текст
                    ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
А. Д. ВЕНТЦЕЛЬ, М. II. ФРЕЙДЛИН
ФЛУКТУАЦИИ
В ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ МАЛЫХ
СЛУЧАЙНЫХ
ВОЗМУЩЕНИЙ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 79

22. 171
В 29
УДК 519.21
Вентцель А. Д., Фрейдлин М. И.
Флуктуации в динамических системах под
действием малых случайных возмущений.— М.:
Наука. Главная редакция физико-математиче-
ской литературы, 1979, 424 стр.
Книга посвящена изучению случайных про-
цессов, определяемых дифференциальными урав-
нениями, правые части которых претерпевают
случайные возмущения. Подобные задачи часто
встречаются как в практических, так и в теоре-
тических исследованиях. При исследовании
таких процессов важную роль играют асимпто-
тические методы, которые применимы, если
возмущения в том или ином смысле малы. Имен-
но такие методы излагаются в книге.
Илл. 20. Библ. 119,
Александр Дмитриевич Вентцель, Марк Иосифович Фрейдлин
ФЛУКТУАЦИИ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ МАЛЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
(Серия: «Теория вероятностей и математическая статистика»)
М., 1979 г., 424 стр. с илл.
Редактор М. Б. Невелъсон
Техн. редактор Л. В. Лихачева. Корректор Я. Б. Румянцева
ИБ М 11457
Сдано в набор 11.09.78. Подписано к печати 22.03.79. Т-05384. Бумага
84 X 1087з2, тип. № 1. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Условн.
печ. л. 22,26. Уч.-изд. л. 22,36. Тираж 8000 экз. Заказ № 276.
Цена книги 1 р. 70 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука».
630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25.
Главная редакция
В 20203 — 060 п0 70 4 7попепг>лл (Т*\ Физико-математической
•п^о,по 7О— ОЛ-/У. 1/иДДIЛДЛ) \^) литературы
у издательства «Наука», 1979

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Введение .......... 9
Глава 1
Случайные возмущения
§ 1. Вероятности и случайные величины 27
§ 2. Случайные процессы. Общие свойства 30
§ 3. Винеровский процесс. Стохастический интеграл ... 39
§ 4. Марковские процессы и полугруппы 47
§ 5. Диффузионные процессы и дифференциальные урав-
нения .....,.,. . . . 52
Глава 2
Малые случайные возмущения
на конечном отрезке времени
§ 1. Нулевое приближение 66
§ 2. Разложение по степеням малого параметра 75
§ 3. Эллиптические и параболические дифференциальные
уравнения с малым параметром при старших
производных 8 86
Глава 3
Функционал действия
§ 1. Метод Лапласа в функциональном пространстве ... 99
§ 2. Экспоненциальные оценки 104
§ 3. Функционал действия. Общие свойства 111
§ 4. Функционал действия для гауссовских случайных про-
цессов и полей ..... .......** 127
Глава 4
Гауссовские возмущения динамических систем.
Окрестность положения равновесия
§ 1. Функционал действия 142
$ 2. Задача о выходе из области ............ 148
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Свойства квазппотенциала. Примеры 161
§ 4. Асимптотика среднего времени выхода и инвариантной
меры для окрестности положения равновесия .... 168
§ 5. Гауссовские возмущения общего вида 179
Глава 5
Возмущения, приводящие к марковским процессам
§ 1. Преобразование Лежандра 183
§ 2. Локально безгранично делимые процессы 192
§ 3, Частные случаи. Обобщения 206
§ 4. Следствия. Обобщение результатов главы ь 210
Глава
Марковские возмущения
на больших отрезках времени
§ 1. Вспомогательные результаты. Отношение эквивалент-
ности 216
§ 2. Цепи Маркова, связанные с процессом (X*, Р*) . . , 226
§ 3. Леммы о цепях Маркова 236
§ 4. Задача об инвариантной мере 247
§ 5. Задача о выходе из области 257
§ 6. Разбиение на циклы. Субпредельные распределения 264
§ 7. Задачи о собственных значениях 271
Глава 7
Принцип усреднения. Флуктуации
в динамических системах с усреднением
§ 1. Принцип усреднения в теории обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений 281
§ 2. Принцип усреднения, когда быстрое движение есть
случайный процесс 287
§ 3. Нормальные уклонения от усредненной системы ... 291
§ 4. Большие уклонения от усредненной системы .... 304
§ 5. Большие уклонения. Продолжение 315
§ 6. Поведение системы на больших интервалах времени 324
§ 7. Не очень большие уклонения 330
§ 8. Примеры 336
§ 9. Принцип усреднения для стохастических дифферен-
циальных уравнений 349

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава 8
Устончивость при случайных возмущениях
§ 1. Постановка задачи п . .363
§ 2. Задача оптимальной стабилизации 376
§ 3, Примеры ,,...;,,,,,,,,. 384
Глава 9
Уточнения и обобщения
§ 1. Локальные теоремы, точная асимптотика 389
§ 2. Большие уклонения для случайных мер 399
§ 3. Процессы с малой диффузией с отражением на границе 409
Литература . . 415
Указатель . , 423

ПРЕДИСЛОВИЕ
Асимптотические задачи всегда занимали важное мес-
то в вероятностных исследованиях. В классической тео-
рии вероятностей, имеющей дело в основном с последова-
тельностями независимых случайных величин, теоремы
типа законов больших чисел, типа центральной предель-
ной теоремы и теоремы о больших уклонениях составляют
бэлыпую часть всех исследований. В последние годы,
когда основные интересы переместились на изучение слу-
чайных процессов, асимптотические исследования продол-
жают играть ведущую роль. Можно сказать, что в теории
случайных процессов такие исследования играют еще боль-
шую роль, чем в классической теории вероятностей,
потому что получение простых точных формул в задачах,
связанных со сколько-нибудь широкими классами слу-
чайных процессов, по-видимому, невозможно.
Асимптотические исследования в теории случайных
процессов включают результаты и типа закона больших
чисел, и типа центральной предельной теоремы, и, нако-
нец, в последнее десятилетие — теоремы о больших ук-
лонениях. Конечно, все эти вопросы приобрели в теории
случайных процессов новые аспекты и новые интерпре-
тации.
Одна из важных схем, приводящих к изучению раз-
личных предельных теорем для случайных процессов,—
динамические системы, подвергающиеся воздействию слу-
чайных возмущений. К такой схеме приводит целый ряд
задач как теоретического, так и прикладного характера.
Часто бывает естественно предположение о малости в том
или ином смысле случайных возмущений по сравнению с
детерминированными составляющими движения. Задача
изучения малых случайных возмущений динамических
систем ставилась еще в статье Понтрягина^Анд-

ПРЕДИСЛОВИЕ 7
рояова и В и т т а [1 ]; результаты, полученные в
этой статье, относились к одномерным и частично двумер-
ным динамическим системам и таким возмущениям, кото-
рые приводят к диффузионным процессам. Можно рассмат-
ривать также другие виды случайных возмущений, в част-
ности, возникающие в связи с принципом усреднения.
Здесь малость воздействия возмущений обеспечивается
тем, что они быстро колеблются.
Различные асимптотические задачи, возникающие при
стремлении к нулю параметра, характеризующего ма-
лость случайных возмущений, и составляют содержание
книги. Конечно, авторы не могли рассмотреть все мысли-
мые схемы малых случайных возмущений динамических
систем. В частности, в книге совсем не рассматриваются
динамические системы, порожденные случайными вектор-
ными полями. Основное внимание уделяется исследова-
нию влияния возмущений на больших временных интер-
валах. На таких интервалах малые возмущения уже,
вообще говоря, оказывают существенное влияние на по-
ведение системы. Чтобы учитывать это влияние, необхо-
димо уметь оценивать вероятности маловероятных со-
бытий, т. е. необходимы теоремы об асимптотике вероят-
ностей больших уклонений для случайных процессов.
В книге изучается эта асимптотика и ее применение к за-
дачам о поведении случайного процесса на больших от-
резках времени, таким, как задача о предельном поведе-
нии инвариантной меры, о выходе случайного процесса из
области, об устойчивости при случайных возмущениях.
Некоторые из этих задач были поставлены уже давно,
другие — сравнительно новые.
Изучаемые нами задачи можно рассматривать как за-
дачи асимптотического исследования интегралов в функ-
циональном пространстве, а основной метод, которым мы
пользуемся,— как бесконечномерное обобщение извест-
ного метода Лапласа. Эти конструкции примыкают к сов-
ременным исследованиям по асимптотическим методам.
В тех случаях, когда в результате воздействия возмуще-
ний получаются диффузионные процессы, мы приходим
к задачам, тесно связанным с эллиптическими и парабо-
лическими дифференциальными уравненияхми с малым
параметром. Из наших рассмотрений вытекают некоторые
новые результаты о таких уравнениях. Мы с интересом

ПРЕДИСЛОВИЕ
относимся к этим связям и, как правило, приводим соот-
ветствующие формулировки в терминах дифференциаль-
ных уравнений.
Следует отметить, что эта книга пишется, когда тео-
рия больших уклонений для случайных процессов еще
только создается. Здесь уже имеется ряд достижений,
но многое еще впереди. Поэтому в книгу вошли некоторые
вещи, не принявшие еще своей окончательной формы
(причем часть материала дана обзорно), и в то же время
какие-то новые исследования совершенно не нашли отра-
жения в книге. Авторы старались минимизировать свя-
занные с этим недостатки.
Книга рассчитана на читателя-математика, но может
быть использована и специалистами смежных областей.
Дело в том, что, хотя для доказательств используются
довольно изощренные математические конструкции ре-
зультаты, как правило, допускают простую формулировку.

ВВЕДЕНИЕ
Пусть Ъ(х) — непрерывное векторное поле в Нг.
Сначала поговорим о неслучайных возмущениях динами-
ческой системы
х% = Ъ(хг). A)
Мы можем рассматривать возмущенную систему
X, = Ъ{Хи ^), B)
где Ь(х, у) — непрерывная по паре аргументов функция?
обращающаяся в Ь(х) при у = 0; будем говорить о малых
возмущениях, если функция г|э, задающая возмущающее
воздействие, в том или ином смысле мала.
Здесь может идти речь о задачах такого рода: о схо-
димости решения Хь возмущенной системы к решению хг
невозмущенной при неограниченном уменьшении возму-
щающего действия; о приближенных выражениях различ-
ной точности для отклонений Х1—х1ч обусловленных
возмущениями; о тех же вопросах для различных функ-
ционалов от решения, например для времени первого
выхода из определенной области 2), и т. п.
Для решения такого рода задач, относящихся к ко-
нечному отрезку времени, от функции Ъ(х, у) нужно тре-
бовать существенно меньше, чем для таких же задач,
связанных с бесконечным отрезком (или конечным, но
безгранично растущим с уменьшением возмущающего
воздействия). Простейший результат, относящийся к
конечному отрезку: если решение системы A) с началь-
ным условием х0 при I = 0 единственно, то решение Хг
системы B) с начальным условием Хо сходится к хг рав-
номерно по *<= [0, Г], когда Х0—>х0 и ЦгИог = вир | \[^ |-*
—>0. Если функция Ъ{хх у) дифференцируема по паре

16 ВВЕДЕНИЕ
аргументов, мы можем линеаризовать ее вблизи точки
х = хг, у = 0 и получить линейное приближение 8*
для Хг—хг как решение линейной системы
«
при достаточно широких условиях норма остаточного
члена йир \Хг — хь — 6г\ будет равна о(\Х0 — хо\ -\-
+ |К1|от)- Если функция Ъ(х, у) еще более гладкая2 можно
выписать разложение
х\-= *1 + 61 + Ц+ о{\Хо- хо\* +№§т), D)
в котором у1 будет зависеть от возмущений начальных ус-
ловий и правой части квадратически (функция у1 будет
определяться из системы линейных дифференциальных
уравнений с квадратической функцией от г|^, 6^ в правой
части), и т. д.
Мы можем рассмотреть схему, зависящую от малого
параметра е,
А? = Ь(#,ефД E)
где г|^— фиксированная функция. В этом случае для ре-
шения Х\ с начальным условием Х\ = х0 может быть
получено разложение по степеням е
хг + гУ\1)+г*Г?)+ ... + гпУ\п) F)
с остаточным членом, бесконечно малым по сравнению с
гп равномерно по любому конечному отрезку [0, Т\.
При больших ограничениях на функцию Ъ(х, у) та-
кого же рода результаты могут быть получены для воз-
мущений я|?, малых не в смысле нормы равномерной схо-
димости, а, например, в той или иной //-норме.
Что касается результатов, связанных с бесконечным
отрезком времени,— для них существенны свойства ус-
тойчивости невозмущенной системы A) при I -> оо.
Пусть х% — положение равновесия системы A), т. е.
Ъ(х%) = 0. Пусть это положение равновесия асимптоти-
чески устойчиво, т. е. для любой окрестности [/э^
существует меньшая окрестность V той же точких такая,

ВВЕДЕНИЕ! IX
что для любого х0 е V траектория хг? начинающаяся
в точке х0, при Ь^Оше выходит из Vи стремится к х% при
I -> оо. Обозначим через С* множество всех начальных
точек х0, из которых выходят решения, стремящиеся к
х* при г -> оо. Для любой окрестности II точки х^ и
любой точки #0 е С?* существуют б > 0 и Г > 0 такие,
что при |Х0 — #о1 < б* виР 1^*1 < 8 решение Х^ сис-
0
темы B) с начальным условием Хо при г ^ Т не выходит
из V'. Это выполняется равномерно по д:0 в пределах лю-
бого компактного подмножества области С* (т. е. б и Т
могут быть выбраны общими для всех точек х0 из этого
компакта). Отсюда вытекает и равномерная на бесконеч-
ном промежутке [0г оо) сходимость Хг к х% при Хо -> д:0,
|0
Если же положение равновесия х% не обладает ука-
занными свойствами устойчивости, то можно при помощи
сколь угодно малых возмущений «увести» при достаточно
больших г решение Хг возмущенной системы от а;*, даже
если начальная точка Хо = х*. В частности, могут быть
случаи, когда решение хь невозмущенной системы не мо-
жет при I ^ 0 покинуть какую-нибудь область 2), а ре-
шение Хг системы, получаемой из первоначальной сколь
угодно малым возмущением, покидает эту область за
конечное время.
Часть этих утверждений сохраняется и для траекто-
рий, притягивающихся не к одной точке х%, а к какому-
либо компактному множеству предельных точек, например
наматывающихся на предельный цикл.
Возможны ситуации, когда, кроме того, что возмуще-
ния малы, у нас имеются достаточно полные данные об
их статистическом характере. В этом случае уместно раз-
вивать различные математические модели малых случай-
ных возмущений.
Рассмотрение случайных возмущений расширяет по-
нятие возмущений, которые рассматриваются в класси-
ческих постановках, по крайней мере в двух направлениях.
Во-первых, менее ограничительным становится требова-
ние малости: вместо абсолютной малости при всех I (или
в интегральной норме) можно предполагать, что возмуще-
ния малы только в среднем по ансамблю всех возможных

12 ВВЕДЕНИЕ
возмущений. Малые случайные возмущения могут при-
нимать большие значения, но вероятность этих больших
значений мала. Во-вторых, рассмотрение в качестве воз-
мущений случайных процессов расширяет понятие ста-
ционарности возмущений. Вместо неизменности самих
возмущений во времени мы можем предполагать неизмен-
ность тех факторов, которые формируют статистическую
структуру возмущений, т. е. предполагать стационарность
возмущений как случайного процесса.
Такое расширение понятия возмущения приводит к
эффектам, не характерным для малых детерминированных
возмущений. Особенно существенные новые свойства
появляются при рассмотрении долговременного действия
малых случайных возмущений.
Посмотрим, какие могут быть модели малых случай-
ных возмущений, и какие задачи естественно для них
рассматривать. Начнем с возмущении вида
Хг,=Ь(х1гЬ\ G)
где $1 — некоторый фиксированный случайный процесс;
например, гауссовский стационарный процесс с извест-
ной корреляционной функцией. (Непараметрические за-
дачи, связанные с произвольными малыми в каком-то
смысле случайными процессами определенных классов,
намного сложнее.) Пусть для простоты начальная точка
Хо не зависит от е: XI = х0. Если решение системы
G) единственно, случайное возмущение \рA) приводит к
случайному процессу Х\.
Первый возникающий вопрос: будет лп X* сходиться
к решению хг невозмущенной системы при е -> 0? Речь
может идти о различных видах вероятностной сходимости:
сходимости с вероятностью 1, по вероятности, в среднем.
Если вир I г|)^ I < оо с вероятностью 1, то, не забо-
тясь о том, что реализация г|^ случайна, мы можем приме-
нить к возмущениям вида еф* результаты, изложенные
выше, и получить при тех или иных ограничениях на
Ь(х, у), что Х\-+хх с вероятностью 1 равномерно по
1^ [О, Я, что
=
(8)

ВВЕДЕНИЕ 13
ПЛИ
Х\ = хх + еГ\" +...+ гпУ\п) + о (еп) (9)
(о(е) и о(гп) понимаются как выполненные с вероятностью
1 при е -> 0 равномерно по I е [О, Т]).
Однако сходимость с вероятностью 1 — это не то, что
представляет основной интерес с точки зрения возможных
приложений. При рассмотрении каких-то конкретных
малых случайных возмущений мы, пожалуй, не будем
одновременно иметь дело с X] при различных е, а толь-
ко при каком-то одном малом 8. Нас могут интересовать
такие вопросы: можем ли мы гарантировать с практиче-
ской достоверностью, что при малом г значение Хе( будет
близко к хх\ каков будет порядок отклонения X] — хь\
что можно сказать о распределении значений случайного
процесса Хгг и функционалов от него и т. п. К счастью,
из сходимости с вероятностью 1 вытекает сходимость по
вероятности, так что X* при 8 -> 0 будет сходиться к
хх по вероятности равномерно по I е [О, Т]:
Р { 51яр | Хгь - хх | > б) -* 0 A0)
для любого б > 0.
Для сходимости в среднем на Ъ(х, у) и гр^ надо наложить
еще дальнейшие ограничения; мы не будем этого касаться.
Из более тонкого результата (8) вытекает, что случай-
ный процесс Угь = —Ц—- при 8 -> 0 будет сходиться
в смысле распределений к некоторому случайному про-
цессу У\{)" (связанному со случайным возмущающим воз-
действием \|^ линейными дифференциальными уравнения-
ми). В частности, отсюда вытекает, что если ^г — гаус-
совский процесс, то случайный процесс X] будет в пер-
вом приближении гауссовским со средним хг и корреля-
ционной функцией, пропорциональной е2. Отсюда полу-
чается такой результат: если / — гладкая числовая функ-
ция в Пг , &гас1 К*и) Ф 0г то
}() .A) A4

14 ВВЕДЕНИЕ
V
при 8 ->0, где Ф(у) = \ —=е~22/2с?2 — функция Лап-
Л у 2я
ласа, а а определяется по §гас! }(х1о) и значению корре-
ляционной функции процесса У* } в точке (^0, ^0). Из
(9) можно получить более точные результаты — разложе-
ние остаточного члена оA) по степеням е. Могут быть
также получены результаты, касающиеся асимптотиче-
ских распределений функционалов от У® 0 ^ I ^ Г„
и их уточнения, связанные с асимптотическими разло-
жениями.
Итак, для случайных возмущений вида G) можно
ставить и решать ряд задач, характерных для предельных
теорем теории вероятностей: результаты о сходимости по
вероятности случайного решения возмущенной системы
к неслучайной функции соответствуют законам больших
чисел для сумм независимых случайных величин; может
идти речь о предельном распределении при надлежащей
нормировке — это соответствует результатам типа цен-
тральной предельной теоремы; так же как в уточнениях
центральной предельной теоремы, мы можем получать
асимптотические разложения по степеням параметра.
В предельных теоремах для сумм независимых случай-
ных величин есть еще одно направление: изучение ве-
роятностей больших (после нормировки) уклонений сум-
мы от среднего; естественно, что все такие вероятности
стремятся к нулю, но можно изучать вопрос о подыска-
нии эквивалентных им достаточно простых выражений
или о более тонкой их асимптотике (или о более грубой).
Первые общие результаты о больших уклонениях для
сумм независимых случайных величин были получены
Г. Крамером [1]; эти результаты касались асимпто-
тики с точностью до эквивалентности вероятностей вида
при п —> оо, х -> со, а также (при больших ограниче-
ниях) асимптотических разложений для таких вероят-
ностей,
Аналогичные вопросы нас могут интересовать для
семейства случайных процессов Хц возникающих з

ВВЕДЕНИЕ 15
результате малых случайных возмущений динамической
системы. Например, если А — множество в пространстве
функций на отрезке [О, Г], не содержащее невозмущен-
ной траектории хх (и находящееся от нее на положитель-
ном расстоянии), то вероятность того, что возмущенная
траектория X8 попадет в это множество1
6=4}, A3)
естественно, стремится к 0 при е -> 0; но какова асимпто-
тика этой бесконечно малой вероятности?
Могло бы показаться, что такое копание в чрезвычайно
маловероятных событиях противоречит общему духу тео-
рии вероятностей, пренебрегающей маловероятными со-
бытиями. Однако именно установление того, какие почти
невероятные события, относящиеся к случайному процес-
су X,8 на конечном отрезке, «более невероятны», а какие
«менее невероятны», дает в некоторых случаях ключ к
вопросу о том, каково, с вероятностью, близкой к 1, будет
поведение процесса Х\ на бесконечном (или растущем с
уменьшением е) отрезке времени.
Действительно, рассмотрим для определенности част-
ный случай возмущений вида G):
±? = Ь(Х?) + еч>„ A4)
а \|^ пусть будет стационарный гауссовский процесс.
Пусть траектории невозмущенной системы A), начинаю-
щиеся в точках некоторой ограниченной области /), при
^ 0 не выходят из этой области и притягиваются при
I -> оо к устойчивому положению равновесия х*. Будут
ли с вероятностью, близкой к 1 при малых е, обладать
этим свойством и траектории возмущенной системы A4) ?
Приведенные выше результаты, касающиеся малых не-
случайных возмущений, не могут помочь нам в ответе на
этот вопрос, потому что верхняя грань |г|^| по I е [0, оо)
с вероятностью 1 бесконечна (если не учитывать случая
«очень вырожденных» процессов я|L). Нужно подходить к
этому вопросу по-другому. Разобьем ось времени [0, оо)
на счетное число отрезков длины Г. На каждом из них
наиболее вероятным при малых е будет такое поведение
процессах^ при котором верхняя трань | X® — хь \ по

15 ВВЕДЕНИЕ
отрезку мала. (Для отрезков с большими номерами Хь
с подавляющей вероятностью будет просто близко к х%.)
Все другие способы поведения, в частности такие, при ко-
торых Х\ выходит на данном отрезке времени за пределы
области Д, будут иметь малые при малых е вероятности.
Но положительные при любом 8 > 0. (Мы опять исклю-
чаем из рассмотрения неопределенный класс «очень вы-
рожденных» случайных процессов г)*,). При фиксирован-
ном е > 0 вероятность
Р [Х*ф В при каком-то I ее [кТ, {к + 1) Т]} A5)
будет почти одна и та же для всех отрезков с болыпимп
номерами. Если бы события, относящиеся к поведению
нашего случайного процесса на разных отрезках времени,
были независимы, мы получили бы отсюда, что с ве-
роятностью 1 процесс X* рано или поздно выходит из I),
причем момент т8 первого выхода имеет приближенно по-
казательное распределение с параметром Г • Р {Хгь выхо-
дит из О при I <= [кТ, (к + 1)Г]}. То же будет, если эти
события не в точности независимы, но зависимость между
ними определенным образом убывает для далеких друг от
друга отрезков. Это может быть обеспечено некоторыми
свойствами слабой зависимости возмущающего случайного
процесса \рг.
Итак, для задач, связанных с выходом X] при ма-
лых 8 из области, существенна асимптотика вероятно-
стей маловероятных событий («больших уклонений»),
связанных с поведением процесса Х\ на конечных от-
резках времени. В случае гауссовских малых возмуще-
ний, оказывается, вероятности такого рода имеют при
в -> 0 асимптотику вида ехр { — Сг~2} (грубую асимптоти-
ку, т. е. не с точностью до эквивалентности, а с точностью
до логарифмической эквивалентности). Оказывается, мож-
но ввести функционал 5(ср), определенный на гладких
функциях (более гладких, чем траектории процесса X*)
такой2 что для малых положительных б и е
Р{р(Х*> Ф) < 6} « ехр {-е-ЗД}, A6)
где р — расстояние в пространстве функций (скажем,-
в пространстве непрерывных функций на отрезке от Т1

ВВЕДЕНИЕ 17
до 7У, точный смысл формулы A6) см. в гл. 3). Значение
функционала на данной функции характеризует трудность
прохождения процесса Х\ вблизи нее. Вероятность мало-
вероятного события составляется из вкладов ехр {—е~2 X
X 5(ф)}, соответствующих окрестностям отдельных функ-
ций ер; при е -^ 0 существенным остается лишь слагаемое
с наименьшим 5(ф). Поэтому естественно, что задающая
асимптотику константа С определяется как нижняя
грань 5(ф) по соответствующему множеству функций ф;
так, для вероятности в формуле A5) нижняя грань долж-
на браться по гладким функциям уи выходящим из В
при 16 [кТ, (к + 1)Г]. (Точные формулировки и вид
функционала 5(ф) можно найти в § 5 гл. 4, там же об-
суждается его применение к нахождению асимптотики
момента выхода х8 при е->0).
Другая задача, связанная с поведением процесса Хгь
на бесконечном отрезке времени,— это задача о предель-
ном поведении при е —> 0 стационарного распределения
[х8 процесса Х1. Это предельное поведение связано с
предельными множествами динамической системы A).
Действительно, стационарное распределение показывает,
какую долю времени проводит процесс в том или ином мно-
жестве. Естественно ожидать, что при малых е процесс
Х\ большую часть времени будет проводить вблизи
предельных множеств динамической системы, причем
скорее всего вблизи устойчивых предельных множеств.
Если у системы A) только одно устойчивое предель-
ное множество К, то мера |18 при е ~> 0 будет слабо схо-
диться к мере, сосредоточенной на К (мы не формулируем
наши утверждения настолько точно, чтобы заботиться о
возможности существования разных пределов |д,Е* по
разным последовательностям гг ->0). Однако если устой-
чивых множеств несколько — пускай хотя бы только два,
Кх и К2,— положение становится неясным; и оно будет
зависеть от точного вида малых возмущений.
Задача установления того, что делается со стационар-
ным распределением случайного процесса, возникающего
при действии случайных возмущений на динамическую
систему, при безграничном уменьшении этих возмущений,;
ставилась в статье По нтрягин а, Андронова и
В и т т а Ц]. Подход2 примененный в этой статьеа отно-

18 Введение
сился не к возмущениям вида A4), а к возмущениям,;
под действием которых возникают диффузионные процес-
сы (задаваемым формулами A9), B0) ниже). Этот подход
основывался на решении дифференциального уравнения
Фоккера — Планка; в одномерном случае задача нахожде-
ния асимптотики стационарного распределения была пол-
ностью решена (см. также статью Берн штейна [1]
того же времени). Некоторые результаты относительно
стационарного распределения были получены также в
двумерном случае.
Подход, применяемый нами, основывается не на урав-
нениях для плотности стационарного распределения, а на
исследовании вероятностей маловероятных событий. На-
бросаем схему применения этого подхода к задаче об асим-
цтотике стационарного распределения.
Большую часть времени процесс Х^ проводит в ок-
рестностях устойчивых предельных множеств Кг и К2,
изредка он отходит на значительное расстояние от Кг
или К2 и опять возвращается к тому же множеству; и
очень редко переходит от Кх к Кг или наоборот. Если мы
установим, что вероятность перехода Хг от Кг к К2 в
течение какого-то большого (но не зависящего от е)
времени Т стремится к 0 при е -> 0 со скоростью
ехр {—^12е~2}, а вероятность перехода от К2 к К1 имеет по-
рядок ехр (—У21е~2}, причем У12<СУ21, то становится
правдоподобным, что при малых 8 большую часть времени
процесс проводит в окрестности К2: ведь одна успешная
«попытка» перехода от К1 к К2 будет приходиться на мень-
шзе число отрезков времени [кТ, (к + I)?7], проводимых
процессом вблизи Къ чем успешная попытка перехода от
К2 к Кх по отношению к числу отрезков времени длины Г,
проведенных вблизи К2. При этом [х8 будет стремиться к
мере, сосредоточенной на К2. Константы У12, У21 можно
найти как нижние грани функционала 5(ф) по гладким
функциям ф, переходящим на отрезке длины Т из мно-
жества Кх в К2 и наоборот (точнее, как пределы таких
нижних граней при Т -> оо).
Намеченная здесь программа исследования предель-
ного поведения осуществлена не для случайных возмуще-
ний вида A4), а для возмущений, приводящих к марков-
ским процессам; точные формулировки и результаты да-
ются в § 4 гл. 6.

ВВЕДЕНИИ |9
Случайные возмущения вида A4), как мы уже упоми-
нали,— не единственная схема случайных возмущений,
которую мы будем рассматривать (и не та, которой мы
будем уделять наибольшее внимание). Можно рассмотреть
ее непосредственное обобщение, в котором случайный
процесс \рг заменяется обобщенным случайным процес-
сом — «белым шумом», который можно определить как
производную (в смысле обобщенных функций) от винеров-
ского процесса шг:
Х? = Ь(Х?) + ^,. A7)
Уравнению A7) можно придать форму, не использующую
обобщенных функций, проинтегрировав его:
I
X? = Хо + \Ъ (Л1) й$ + е (т ь - ш0). A8)
о
Для возмущений такого вида мы можем решать большее
число интересных задач, чем для возмущений вида A4),
потому что они приводят к марковскому случайному
процессу X*.
Дальнейшее обобщение — возмущения^ зависящие от
точки пространства, вида
Х? = Ъ(Х*) + гв(Х°)щ, A9)
где о(х) — матричная функция. Точный смысл уравнения
A9) формулируется на языке стохастических интегралов:
X] = Хо + | Ъ {XI) A8 + в [ а (Х8е) йюа. B0)
о 6
Решение уравнения B0) — также марковский процесс
(диффузионный процесс с вектором переноса Ъ(х) и мат-
рицей диффузии г2в(х)о*(х)). Для возмущений типа бело-
го шума, задаваемых формулами A9), B0) также могут быть
получены результаты о сходимости при 8 -> 0 к траекто-
риям невозмущенной системы типа A0) и результаты о
разложениях по степеням 8 типа (9), из которых мож-
но получить результаты об асимптотической гауссовости
(например, типа A1)). Разумеется, раз белый шум —
обобщенный процесс2 реализации которого ци в каком

20 ВВЕДЕНИЕ
смысле не являются ограниченными функциями, эти ре-
зультаты нельзя получить из приведенных в начале вве-
дения результатов, касающихся неслучайных возмуще-
ний; их приходится получать независимым образом (см.
§ 2 гл. 2).
Для возмущений типа белого шума устанавливаются
результаты, касающиеся вероятностей больших уклоне-
ний траектории Х\ от траектории хг динамической сис-
темы (см. § 1 гл. 4 и § 3 гл. 5). При этом из-за марковского
характера процессов они становятся даже проще; в част-
ности, простой вид принимает функционал 5(ф), показы-
вающий трудность прохождения траектории вблизи функ-
ции ф:
5 (Ф) = \ 12 аи (Ф,)(ф{ - Ъ{ (Ф,))(ф 1 - Ь} Ы) Л,
где матрица (а^(х)) = (а(х)о*(х))-г.
Какие же еще схемы малых случайных возмущений
динамических систем нам рассматривать, какие семейства
случайных процессов при этом будут возникать? Обобще-
ния могут идти по множеству различных направлений,,
и не видно, какие из этих направлений следует предпо-
честь другим. Но можно поставить вопрос по-другому:
в каком случае данное семейство случайных процессов
считать результатом случайного возмущения динами-
ческой системы A)?
Прежде всего, так же, как мы можем рассмотреть
траекторию динамической системы, выходящую из лю-
бой точки, у нас должна быть возможность начать слу-
чайный процесс в любой момент времени ^0 из любой точ-
ки х пространства. Затем, рассматриваемый случайный
процесс должен зависеть от какого-то параметра к, ха-
рактеризующего малость возмущений. Будем для простоты
считать этот параметр положительным числовым, а устре-
млять его будем к нулю (в § 3 гл. 5 рассматриваются се-
мейства, зависящие от двумерного параметра). Итак,
предположим, что х\°'ХуН при любом действительном
Ц, х е Кг и Н> 0 — случайный процесс со значе-
ниями в Кг, такой, что Х1г°0'х'н = х. Мы будем говорить,
что х1°'х'н — результат малых случайных возмущений
системы A), если х\ОуХ'н при А | 0 сходится по вероятности

ВВЕДЕНИЕ 21
к решению х[9'* невозмущенной системы A) с начальным
условием х1°0'х = х.
Под эту схему подойдут многие семейства случайных
процессов, возникающие в различных задачах естест-
венно, но не обязательно в результате «искажения» ка-
кой-то исходной динамической системы.
Первый пример. Пусть {^п} — последовательность не-
зависимых одинаково распределенных г-мерных случай-
ных векторов; полагаем для г0 е Я1г хейг} к > О
B1)
Легко проверить, что Х1о'х'н при к | 0 сходится по
вероятности равномерно на каждом конечном отрезке
времени к хи%х — х + (Ь — 10) т (если только математи-
ческое ожидание т = М|& существует), т. е. к траектории
динамической системы A) с Ь{х) = т.
Второй пример. Устроим при каждом к > 0 марков-
ский процесс на прямой следующим образом. Пусть на
числовой прямой заданы две непрерывные неотрицатель-
ные функции 1{х) и г(х); и наш процесс, начинающийся
в точке х, за время &1 с вероятностью к~~Ч(х)д,1 совершает
скачок в точку х — /&, с вероятностью к~1г(х)A1 — в точку
х + /&, ас дополнительной до 1 вероятностью остается в
точке х. Приближенный подсчет математического ожида-
ния и дисперсии приращения процесса за малый проме-
жуток времени А^ показывает, что при к \ 0 этот случай-
ный процесс будет сходиться к детерминированному,
неслучайному процессу, описываемому уравнением A)
с Ъ{х) = г(х) — 1(х) (точные результаты см. § 2 гл. 5).
Еще один класс примеров: 1Ь — стационарный слу-
чайный процесс, Х}1 = Х1°'х'н — решение системы
Х1 = Ь(х1,Ьк-^ B2)
с начальным условием х в момент времени ^0. При доволь-
но широких условиях доказывается сходимость X1} при
к I 0 к решениям A) с Ъ(х) = МЬ(х, Е5) (это математиче-
ское ожидание не зависит от 5; точные результаты см. § 2
гл. 7).

22 ВВЕДЕНИИ
В первом из примеров сходимость по вероятности
Х|0>эс;Л> при к \ 0 — это закон больших чисел для последо-
вательности {|71}. Поэтому вообще о результатах, уста-
навливающих сходимость по вероятности случайных про-
цессов данного семейства к траекториям динамической
системы, мы будем говорить как о результатах типа за-
кона больших чисел. Соответственно результаты о сходи-
мости в смысле распределений семейства случайных про-
цессов х{0|ЭС§/1 — х\°'х после надлежащей нормировки
к гауссовскому процессу — результаты типа централь-
ной предельной теоремы. Результаты о больших уклоне-
ниях — это результаты, касающиеся асимптотики ве-
роятностей попадания реализации случайного процесса
в множества функций, не содержащие траектории #/°*Л
невозмущенной динамической системы. Скажем несколь-
ко слов о результатах последнего рода.
Для ступенчатой случайной функции B1), строящейся
по независимым случайным величинам |Л, результаты
типа больших уклонений, естественно, связаны с асимпто-
тикой при п -> оо вероятностей вида
Р{ **+•;•+*.. >,}. B3)
Результаты, касающиеся асимптотики вероятностей B3),,
разделяются на две группы: при быстро убывающих
«хвостах» распределения слагаемых ?•* эта вероятность
образуется в основной своей части за счет слагаемых рав-
номерно не слишком больших, и асимптотика имеет вид
ехр {—Сп) (с точностью до логарифмической эквива-
лентности); если же «хвосты» \г убывают медленно, ос-
новная часть вероятности B3) образуется за счет одного
слагаемого порядка пх или более, и эта вероятность имеет
тот же порядок, что пР{\(>пх). Первые общие результаты,,
касающиеся больших уклонений, были получены Г. Кра-
мером в предположении конечности экспоненциальных
моментов Ме г по крайней мере для всех достаточ-
но малых ъ\ они относятся к первой группе результатов.
Результаты о больших уклонениях для семейств случай-
ных процессов, рассматриваемые в этой книге, являются
обобщениями также результатов первой группы; пред-
положения2 при которых они получаются^ включают ана-

. ^ВЕДЕНИЕ 23
логи крамеровского условия Ме < сю. Более того,
примерно половина средств, используемых при получе-
нии этих результатов, — обобщение метода Крамера
(см. §§ 2 и 3 гл. 3, §§ 1 и 2 гл. 5).
Далее, в этой книге рассматриваются только грубые
результаты о больших уклонениях, действующие с точ-
ностью до логарифмической эквивалентности. В связи с
этим введем обозначение для грубой (логарифмической)
эквивалентности:
АН^ВН (к\ 0), B4)
если \\\АН~ 1п5д при к \ 0.
Результаты Г. Крамера и большое число более поздних
результатов — не грубые, а точные (с точностью до экви-
валентности и еще более точные); но нужно принять во
внимание, что случайные процессы — более сложные
объекты, чем суммы независимых случайных величин.
Можно стремиться к получению точных результатов об
асимптотике больших уклонений для семейств случай-
ных процессов, и некоторые результаты в этом направле-
нии получены. Однако здесь есть совершенно другое на-
правление исследования — получение из теорем о боль-
ших уклонениях различных других интересных резуль-
татов об асимптотическом поведении детерминированных в
пределе семейств случайных процессов (которые можно
рассматривать как результат воздействия малых случай-
ных возмущений на динамические системы). Мнение авто-
ров — что из грубых теорем о больших уклонениях можно
вывести больше интересных грубых следствий, чем точ-
ных следствий из точных теорем.
Итак, мы будем рассматривать результаты трех родов:
типа закона больших чисел, типа центральной предель-
ной теоремы и грубые результаты типа больших уклоне-
ний (а также, разумеется, всякого рода следствия из этих
результатов). Результаты первого типа — наиболее сла-
бые, они следуют из результатов второго и третьего типов;
но иногда о них будет идти речь в первую очередь, потому,
что их получить проще, и потому, что это своего рода
экзамен на право семейства случайных процессов вообще
выступать в качестве результата воздействия малых воз-
мущений на динамическую систему.

24 введение
Результаты второго и третьего типов независимы друг
от друга, и никакие из них не сильнее. Поэтому в некото-
рых случаях мы не рассматриваем результатов типа цен-
тральной предельной теоремы, а сразу занимаемся боль-
шими уклонениями (и при достижении результатов в этой
области результаты типа закона больших чисел получают-
ся автоматически).
Случайные возмущения мы будем называть однород-
ными по времени, если распределения значений возни-
кающего случайного процесса в любом числе моментов
времени не меняется при одновременном сдвиге по оси
времени этих моментов и начального момента ^0. В этом
случае все, что можно сказать о возмущениях, естествен-
но формулируется в терминах семейства Х*'к случайных
процессов, начинающихся в точке х в момент О, Х%' =
=х. Из рассмотренных нами схем случайных возмущений
только B1) не однородна по времени.
Коснемся кратко содержания книги. Прежде всего
отметим, что мы рассматриваем теоретико-вероятностные
задачи в тесной связи с задачами теории дифференциаль-
ных уравнений в частных производных. Случайным про-
цессам, возникающим в результате малых случайных воз-
мущений, отвечают задачи, связанные с уравнениями,
содержащими малый параметр. Мы исследуем случайные
возмущения прямыми вероятностными методами и затем
делаем выводы о соответствующих задачах для уравнений
в частных производных. Вопросы, касающиеся связей
между теорией марковских процессов и уравнениями в
частных производных, освещаются в главе 1. Здесь же
напоминаются необходимые сведения из теории случай-
ных процессов.
В главе 2 рассматриваются в основном схемы случай-
ных возмущений вида X* = Ъ {Хги е^) и X8 = Ь (Х\) +
-)- га (Х,е) ши где юь — процесс белого шума. В § 1 речь
идет о результатах типа закона больших чисел; в § 2 —
о более тонких результатах, связанных с асимптотиче-
скими разложениями; в § 3 — о применении этих резуль-
татов к уравнениям в частных производных.
В главе 3 в первый раз в этой книге рассматриваются
результаты,^ касающиеся больших уклонений для одного

ВВЕДЕНИЕ 25
очень простого семейства случайных процессов, а именно,
для винеровского процесса юи умноженного на малый па-
раметр е. Грубая асимптотика вероятностей больших
уклонений описывается при помощи функционала дейст-
вия. Функционал действия появляется далее во всех по-
следующих главах. Общие вопросы, относящиеся к описа-
нию больших уклонений с помощью таких функционалов,
составляют содержание § 3 этой главы. В § 4 вычисляет-
ся функционал действия для семейств гауссовских про-
цессов.
Глава 4 посвящена в основном изучению возмущений
динамических систем процессом белого шума. Здесь на-
ходится функционал действия для соответствующего се-
мейства случайных процессов; изучается вопрос о выходе
за счет случайных возмущений из окрестности устойчи-
вого положения равновесия динамической системы, на-
ходится асимптотика среднего времени выхода из окрест-
ности, положение в первый момент выхода. В этой же гла-
ве исследуется асимптотика инвариантной меры для ди-
намической системы с одним положением равновесия.
Рассматриваемые задачи тесно связаны с поведением при
8 -> 0 решения задач для эллиптических уравнений с ма-
лым параметром при старших производных. Предельное
поведение решения задачи Дирихле для эллиптического
уравнения второго порядка с малым параметром при стар-
ших производных в случае, когда характеристики соот-
ветствующего вырожденного уравнения выходят за грани-
цу, было изучено Н. Л е в и н с о н о м [1 ]. В главе 4
это предельное поведение изучается в случае, когда ха-
рактеристики притягиваются к устойчивому положению
равновесия внутри области. (Случай более сложного по-
ведения характеристик рассмотрен в главе 6.) В послед-
нем параграфе главы 4 рассматриваются гауссовские воз-
мущения общего вида.
В главе 5 результаты главы 4 обобщаются на довольно
широкий класс семейств марковских процессов (в то*м чис-
ле с разрывными траекториями). Здесь более ясной ста-
новится связь с теоремами о больших уклонениях для
сумм независимых случайных величин; в частности, появ-
ляется обычный для этой области аппарат преобразова-
ний Лежандра выпуклых функций (им посвящен отдель-
ный параграф).

26 ВВЕДЕНИЕ
Обобщение в главе 6 идет в другом направлении: от
задач для систем с одним положением равновесия
к системам с более сложной структурой положений рав-
новесия, предельных множеств и т. п. Существенными
здесь оказываются множества точек, эквивалентных друг
другу в смысле некоторого отношения эквивалентности,
связанного с системой и с видом возмущений. В случае
конечного числа особых множеств возмущенная система в
каком-то смысле аппроксимируется конечной цепью Мар-
кова с вероятностями перехода, зависящими от малого
параметра. Для описания предельного поведения таких
цепей развивается своеобразный аппарат дискретного
характера, связанный с графами. Большая часть резуль-
татов этой главы допускает формулировку на языке диф-
ференциальных уравнений.
В главе 7 рассматриваются задачи, связанные с прин-
ципом усреднения. В основном рассматриваются случай-
ные процессы, определяемые уравнениями вида X* =*
= Ъ (Хги 1це), где ^ — некоторый стационарный процесс
с достаточно хорошими свойствами перемешивания. Для
семейства случайных процессов Х^ устанавливаются
теоремы типа закона больших чисел, центральной пре-
дельной теоремы и, наконец, типа больших уклонений.
Последнему кругу вопросов уделяется основное внимание
В § 6 гл. 7 изучается поведение процессов Х° на больших
отрезках времени. Здесь также рассматриваются примеры
и соответствующие задачи теории уравнений в частных
производных. В главе 7 рассматриваются также системы
дифференциальных уравнений, в которых скорость быст-
рого движения зависит от «медленных» переменных.
В главе 8 содержатся применения полученных в пре-
дыдущих главах результатов к исследованию устойчиво-
сти относительно малых случайных возмущений. Мы
вводим некоторую числовую характеристику устойчи-
вости, которая связана с функционалом действия. Рас-
сматривается ряд задач оптимальной стабилизации.
Последняя, глава 9 носит обзорный характер. Здесь
обсуждаются уточнения теорем о больших уклонениях,
большие уклонения для случайных мер и результаты о
функционале действия для диффузионных процессов с
отражением на границе.

ГЛАВА 1
СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
§ 1. Вероятности и случайные величины
Мы будем предполагать известными основные факты из
теории меры и интеграла Лебега, а также из теории ве-
роятностей. Необходимые нам сведения по этим вопросам
содержатся, например, в соответствующих главах книги
Колмогорова иФомина [1]ив книге Г и х м а-.
на иСкорохода [1]. В этой главе мы введем обоз-
начения и заодно напомним в подходящем виде некоторые
сведения из теории случайных процессов. При этом дока-
зательства приводиться не будут, а будут даваться ссылки
на соответствующую литературу.
Согласно аксиоматике Колмогорова, в основе всех
теоретико-вероятностных рассмотрений лежит тройка объ-
ектов {й, 3^, Р}, называемая полем вероятностей или
вероятностным пространством. Здесь й — непустое мно-
жество, которое интерпретируется как пространство эле-
ментарных исходов. Второй объект &" — а-алгебра под-
множеств пространства ^. Наконец, Р — вероятностная
мера на а-алгебре^, т. е. счетно-аддитивная неотрицатель-
ная функция множества, нормированная условием Р(й) =
= 1. Элементы а-алгебры &~ называются событиями.
Важнейшим объектом теории вероятностей являются
случайные величины — функции |(со) на пространстве й
со значениями на числовой прямой Н1 такие, что
{со : ^(со) < х) е 5Г при любом х е К1. Вообще, случай-
ная величина |(со) со значениями в измеримом простран-
стве (X, $) — это измеримое отображение пространства
(а, &-) в (х,Я)*).
*) Измеримое пространство — это множество X вместе о
а-алгеброй 03 подмножеств множества X. Измеримость отобра-
жения означает, что прообраз каждого измеримого множества
И8мерим.

2Й СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ГГЛ. 1
Если в качестве (X, 93) берется г-мерное пространство Ят с
а-алгеброй^г борелевских множеств, то соответствующее
отображение ^(со) называется г-мерной случайной величи-
ной. Вероятностная мера на а-алгебре $, которая опреде-
ляется равенством \х(В) = Р{Е(со) ^ &},О ^ $> назы-
вается распределением случайной величины ^(со).
Для случайных величин ^(со) со значениями в Л1 оп-
ределяется математическое ожидание М?(со) = \ ^ (со)х
), если этот интеграл существует как интеграл Ле-
бега. В этой книге мы будем неоднократно использовать
неравенство Чебышева
для любой неотрицательной, монотонно возрастающей
функции /(•) на Л1, если только М/(|) < оо.
Для интегралов по части пространства п мы будем
иногда использовать такое обозначение:
А
Если в пространстве (X, $) задана некоторая тополо-
гия, такая, что открытые множества измеримы, то можно
говорить о сходимости случайных величин со значениями
в (X, $). Рассматриваются различные виды сходимости.
Последовательность г-мерных случайных величин ^п(со)
называется сходящейся по вероятности к г-мерной слу-
чайной величине |(со), если ПтР {|^п(со) —• ^(со)| >
> 6} = 0 при любом б > 0, где |^п(со) — %((о)\ — ев-
клидова длина вектора Еп(ю) — ^(@)- Если
ПтМ ||п(<ю) — |(со)|2 = 0, то говорят, что |п сходится
П-»оо
к § в среднем квадратичном. Наконец, последователь-
ность Нп сходится к | с вероятностью 1 или почти
наверное, если Р{Нт Нп(со) = Н(со)} = 1.
П-»оо
Если 1п -> | в среднем квадратичном, то, как это сле-
дует из неравенства Коши—Буняковского, МНП -> М?
при п -> оо. Если ^п -> 5 почти наверное или по вероят-
ности, то для сходимости М1п к М^нужно сделать некото-
рые дополнительные предположения. Достаточно, напри-

§ 11 ВЕРОЯТНОСТИ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 29
мер, предположить, что все величины Нп не превосходят
по модулю некоторой случайной величины т}(со), имеющей
конечное математическое ожидание (теорема Лебега).
Мы будем неоднократно пользоваться этой и другими тео-
ремами о предельном переходе под знаком математиче-
ского ожидания. Все необходимые нам сведения по
этому вопросу можно найти в книге Колмогорова
и Фомина Ц ].
Пусть 9 — некоторая а-подалгебра а-алгебры/?", пол-
ная относительно меры Р (это значит, что вместе с каждым
множеством А а-алгебра *& содержит все множества из
(Г, отличающиеся от А на множество вероятности 0).
Пусть г| — одномерная случайная величина, имеющая
конечное математическое ожидание. Условное математи-
ческое ожидание величины ц относительно а-алгебры
^, обозначаемое М(т]|,?), определяется как функция на
пространстве ^, измеримая относительно а-алгебры ^,
для которой при любом Ле? выполняется равенство
= |т](со)Р(Ло).
Существование случайной величины М(г||,?) вытекает из
теоремы Радона — Никодима. Из этой же теоремы выте-
кает, что любые две такие случайные величины совпадают
всюду, кроме, быть может, множества меры 0. Если слу-
чайная величина %а(ы) равна 1 на некотором множестве
4е^"й0 при со ф. А, то М(%а\&) называется условной
вероятностью события А относительно а-алгебры 9 и
обозначается Р(Л|!?). Перечислим основные свойства
условных математических ожиданий.
1. М(л|30>0, если ц > 0.
2. |Щ + у)\$) = ЩЦ$) + М(т]|30, если только каж-
дое слагаемое справа существует.
3. М^т}!^) = ?М(г1|#), если М^г| и Мт] определены и
| измерима относительно а-алгебры $.
4. Пусть имеется две а-алгебры &1 и &2 такие, что
91 е З?2 е 0". Тогда ЩШ1) = М(МA\9%)\91).
5. Пусть случайная величина 5 не зависит от а-алгеб-
ры 9\ т.е. Р({1<= О} П А) = Р{^е=#}.Р(Л) для лю-
бого борелевского множества Б и произвольного А е 9,

30 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 1
Тогда М(^|^) = М^, если только последнее математиче-
ское ожидание существует.
Отметим, что условное математическое ожидание опре-
деляется с точностью до значений на множестве вероят-
ности 0, и все равенства между условными математиче-
скими ожиданиями выполняются всюду, за исключением,,
быть может, подмножества пространства й, имеющего
вероятность 0. В тех случаях, которые не приводят к не-
доразумениям, мы не будем оговаривать этого особо.
Доказательства свойств 1—5 и другие свойства услов-
ных математических ожиданий и условных вероятностей
можно найти в книге ГихманаиСкорохода [1].
§ 2. Случайные процессы. Общие свойства
Пусть имеется поле вероятностей {й,^, Р}, измеримое
пространство (X, $) и множество Т на числовой прямой.
Семейство случайных величин ^(со), ^ е Г, со значениями
в (X, $) называется случайным процессом. Параметр I
принято называть временем, а пространство X — фазовым
пространством процесса ^(оз). Как правило, мы будем
рассматривать случайные процессы, у которых фазовым
пространством служит евклидово пространство Нг или
некоторое гладкое многообразие. При каждом фиксиро-
ванном шей получается функция 1-и ^е Г, со значе-
ниями в X, которая называется траекторией, реализацией
или выборочной функцией процесса Н4(со).
Совокупность распределений \х1и ...^г в (Хг, $?)
случайных величин (%и, |,2, ..., ^г) при всевозмож-
ных г = 1, 2, 3, ... и 1и . . ., 1Т <= Т называется
семейством конечномерных распределений процесса
Н*. Если Т — счетное множество, то конечномерные
распределения определяют случайный процесс с той сте-
пенью однозначности, которая принята в теории вероят-
ностей. В случае, когда Т — отрезок числовой прямой,,
как известно, имеется существенная неоднозначность:
например, из двух процессов с одинаковыми конечномер-
ными распределениями один может иметь непрерывные
при почти всех со траектории, а другой — разрывные
траектории. Чтобы избежать этой неоднозначности, в об-
щей теории вводится требование сепарабельности процес-

§ 2] СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 31
са. Для всех процессов, которые мы рассматриваем в этой
книге, существуют непрерывные, или во всяком случае
непрерывные справа с вероятностью 1 варианты. Такой
непрерывный справа процесс своими конечномерными
распределениями определяется уже, по существу, одно-
значно. Мы всегда будем рассматривать непрерывные или
непрерывные справа модификации, не оговаривая этого
особо.
С каждым случайным процессом Е;*» * ^ Т, можно
связать а-алгебры У<г = ^^=а{|5, $<*} ъ<Г>1=&'\1=*
= а {^8, 5 ^ 2}, являющиеся наименьшими а-алгебра-
ми, относительно которых измеримы случайные величины
%5(со) при 5 ^ I и 8^1 соответственно. Ясно, что при
*!<*2 имеется включение ЗГ^и^ЗГ%и. В дальней-
шем часто рассматриваются условные математические
ожидания М(т)|^"<«), которые мы будем иногда
обозначать М(г)|Е8, 5 <^ 2); через М(г]|^) обозначается
условное математическое ожидание относительно а-ал-
гебры, порожденной случайной величиной \г. Аналогич-
ные обозначения употребляются и для. условных вероят-
ностей.
Пусть имеется неубывающее семейство а-алгебр
./Г*: Л*и Як/Си ПРИ ° < ^ < к\ *и к е Г. Через N обоз-
начим наименьшую а-алгебру, содержащую все а-алгебры
щ/\°1 при I ^ 0. Случайная величина т(со), принимающая
неотрицательные значения и значение +00, называется
марковским моментом или случайной величиной, не за-
висящей от будущего относительно семейства сг-алгебр^ь
если {со : т(со) ^ I) 6,/Р^ при любом I е Г. Важным при-
мером марковского момента служит первый момент дости-
жения непрерывным с вероятностью 1 процессом \х в
Вг некоторого замкнутого множества. Роль а-алгебр №г
здесь играет неубывающее семейство а-алгебр ^<* =»
= а(|8, 5<0-
Обозначим №х совокупность множеств А С1./Г, для
которых А П {т ^ ^} ^ Л*г при всех ^е Т. Легко про-
верить, что Л\ — а-алгебра, и случайная величина т
"измерима относительно этой а-алгебры. Если процесс ^
непрерывен справа, то значение ^т этого процесса в мар-
ковский относительно а-алгебр №х = @~%г момент т тоже
измеримо относительно Л% = ^<х- Доказательства этих

32 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. I
утверждений и ряд других свойств марковских моментов
можно найти в книге Вентцел я [1].
Описание случайного процесса с помощью конечно-
мерных распределений весьма громоздко и используется
обычно только в вопросах, связанных с основаниями тео-
рии. Содержательные результаты получаются для отдель-
ных классов случайных процессов. Остановимся на основ-
ных классах процессов, которые встречаются в книге.
Гауссовские процессы. Напомним, что г-мерная случай-
ная величина Е = (I*1, . . ., \г) называется гауссовской,
если ее характеристическая функция /*(г) = М ехр {1B,,
Е)}, ъ е Ег, имеет вид {Цт) = ехр {/B, га) — (Еъ, г)/2}г
г .
где 2 = (гх, . . ., 2Г) (= Н\ (г, Б) = 2 гк1к9 т —
= (га1, . . ., тг) — вектор математических ожиданий:
тк = М^; Е = {Е11) — матрица ковариации: /?*'/ =
== М(^' — т1 )A! — га/). Случайный процесс 1Ь I е Т,
называется гауссовским, если все конечномерные распре-
деления этого процесса гауссовские. Так как гауссовское
распределение определяется своим математическим ожи-
данием и матрицей ковариации, то все конечномерные рас-
пределения гауссовского процесса Е* полностью опре-
деляются двумя функциями: тA) — М^ и корреляцион-
ной функцией Е(з, г) == М(|8 — гаE))(^ — т{1)). Обычно
мы будем рассматривать гауссовские процессы при
I е Т = [О, То] и будем предполагать непрерывность
функций га(г), ЛE, г) при «, ^е [О, То]. При этих предпо-
ложениях процесс \г непрерывен в среднем квадратичес-
То
ком и можно считать, что \ | %812 дз < оо при почти всех со.
о
Если вместе с непрерывностью га(^) предположить, что
функция Е(8, г) обладает некоторой гладкостью, например,
если Е(з1 г) имеет вторую смешанную производную при
в = г, то существует непрерывная модификация процес-
са ?*• Это значит, что на том же вероятностном прост-
ранстве, на котором определен процесс ^(со)г существует
случайный процесс Е* (со) такой, что Р {^ (со) =
= !*(<°)} = 1 при I е [О, Го], и при почти всех со е &
функции I* (со) непрерывны на отрезке [0А То] (см.
Г и х м а н2 С к о р о х о д [1 ]).

§ 2] СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 33
С процессом ]¦*, I е [О, Го] можно связать интеграль-
тв
ный оператор А :(Ац)I=^ Н(з, I) ср5 й$, который на-
о
зывают корреляционным оператором. Если функция
/?($, I) непрерывна, то А — симметричный вполне непре-
рывный оператор в гильбертовом пространстве Ь[о,т0)
функций на [О, Го] со значениями в Д1; норма в этом про-
странстве1 как и обычно, задается равенством II ср Ц ==»
' Т \ 1/2
)
Мы будем рассматривать также многомерные гауссов-
ские процессы 1г = (^,..., Ц)« ^ этом слУчае т(^) =
= М?^ — векторно-значная функция; 7?($, I) =(ВС1'(8, г))>
где Д</(*, *) - М (Ь* - /п1 (в))(Й - тЩ; I, ] = 1, 2,...
. . мг. Корреляционный оператор действует в пространстве
функций со значениями в Ег.
Марковские процессы — это, грубо говоря, такие слу-
чайные процессы, поведение которых после какого-то
фиксированного момента времени 2, при условии, что
задано поведение процесса до момента I (включитель-
но), такое же, как если бы процесс начинался в мо-
мент времени И в точке Хг. Эту фразу можно превратить
в точное определение, причем даже не одним способом;
это требует некоторой техники, что связано с тем, что при
этом нужно предусмотреть возможность «выпустить» про-
цесс из каждой точки пространства, в котором он проис-
ходит.
Пусть (Й, ЗТ) и (X, Щ — измеримые пространства;
пусть в й выделена неубывающая система сг-алгебр
№х сз#", I е Г, где Т — либо множество неотрицатель-
ных целых чисел {0, 1, 2, . . .}, либо правая полупрямая
[О, оо).
Будем называть марковским процессом (точнее, од-
нородным марковским процессом) относительно системы
а-алгебр №% совокупность следующих объектов:
А) случайный процесс -Х\(со), I е Т, о) е й} со значе-
ниями в Х\
Б) набор вероятностных мер РХ(А), определенных при
х е= X, А е=#\
2 д. д. Вентцель, М. И. Фрейдлиц

34 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 1
При этом требуется, чтобы выполнялись следующие
условия:
1) при каждом I е Т случайная величина X г( со) из-
мерима относительно сг-алгебры /Си
2) при любых I е 7\ Ге1 функция Рх{Хг е Г} =
= Р{Ь, х, Г) измерима по х относительно сг-алгебры ЗИ\
3) Р@, ж, Х\{*}) = 0;
4) если I, и ^ Т, ^ ^. и, х ^ X, Ге1, то почти на-
верное по мере Рх выполняется равенство
Рх{Хи<Е=Т\;Г(}=Р(и-1, Х„Г).
Функция Р(^, х, Г) называется переходной функцией
марковского процесса.
Если в пространстве X имеется топология и $ — боре-
левская а-алгебра в X, т. е. сг-алгебра, порожденная откры-
тыми множествами, то можно говорить о различных свой-
ствах непрерывности марковского процесса. Наиболее
слабое из этих свойств — стохастическая непрерывность.
Марковский процесс называется стохастически непре-
рывным, если его переходная функция обладает следую-
щим свойством: Пт Р B, х, X \ II) = 0 для каждого
цо
х е X и любой окрестности V точки х. Мы будем всегда
рассматривать только стохастически непрерывные мар-
ковские процессы.
Марковский процесс Хг рассматривается не на одном
вероятностном пространстве, а на целом семействе ве-
роятностных пространств ^, ^~, Рх}> Ту же идею процес-
са, который может быть выпущен из каждой точки х
пространства, можно выразить, сделав зависящими от
х траектории процесса, а вероятности — не зависящими
от х. Пусть {й, 3^", Р} — вероятностное пространство,
Л>1, I е Г, — неубывающая система сг-алгебр.
Марковским семейством (относительно данной системы
а-алгебр) называется совокупность случайных процессов
X* (со), г е Г, х е X, для которых выполняются усло-
вия:
1) при любых /бГиз;Е X случайная величина
Х^(со) измерима относительно /С{,
2) Р {X* е= Г} = Р (I, х, Г) — 33 -измеримая функ-
ция х\

§ 2] СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 35
3) Р@, *, Х\М) =0;
4) если *, и <= Г, I < и, х е= X и Г е 38, то почти
наверное по мере Р
Введенные понятия марковского процесса и марковско-
го семейства являются частными случаями соответствую-
щих понятий из книги Д ы н к и н а [2]. Каждому мар-
ковскому семейству X* (со) на вероятностном прост-
ранстве {Й, #~, Р} нетрудно сопоставить марковский про-
цесс. Для этого нужно положить
О! = Й X X, Хг (со') = Ххг (со) при со' = (со, х);
Можно доказать (см. Дынкин [2]), что случайный
процесс Х^ы') и набор вероятностных мер Рх1 х е X,
на й' образуют марковский процесс. Построенный таким
образом марковский процесс (Хи Рх) будем называть
марковским процессом, соответствующим семейству X*.
В дальнейшем мы будем использовать как марковские
семейства, так и процессы. Если индекс отстоит у траекто-
рии X*, то значит, рассматривается марковское семейст-
во, если индекс у вероятности Р^., то — соответствующий
процесс. Математическое ожидание по мере Рх обозна-
чается Мх.
В основном мы будем рассматривать случайные про-
цессы, определяемые дифференциальными уравнениями
типа Хг = Ъ{Хг, |*(со)), где ^(со) — некоторый случайный
процесс. Решения этого уравнения определены для все-
возможных начальных условий Хо = х е X. Пусть X* —
решение, исходящее из точки х : Х% = х. При определен-
ных условиях процессы Х*(со) образуют марковское
семейство относительно неубывающей системы а-алгебр
^"<г = <т{^5, 5 ^ г). Мы сохраним обозначения Рх
и ЬЛХ для вероятностей и математических ожиданий, свя-
занных с процессом X* и в случае немарковских процес-
сов. Индекс х будет указывать на начальное условие, при
котором решается дифференциальное уравнение.
2*

38 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ (ГЛ. 1
Из определения марковского процесса вытекает, что
при известном положении процесса в момент I события,
определяемые ходом процесса до момента I и после него,
независимы. Если зафиксировать положение процесса в
случайный момент времени т(со), даже если этот момент
является марковским, то, вообще говоря, события, опре-
деляемые поведением марковского процесса до и после
момента т(со), могут оказаться зависимыми. Те марковские
процессы, у которых такие события независимы для любо-
го марковского момента т(со), называются строго марков-
скими. Точное определение таково (см. Д ы н к и н [2 ]).
Марковский относительно неубывающей системы а-ал-
гебр №х процесс (Хь Рх) называется строго марковским,
если для любого марковского относительно сг-алгебр №х
момента т и любых 1^0, х ^ X, Ге1 для почти всех
по мере Рх точек множества Йт = {о)ЕЙ : т(со) <; оо}
выполняется соотношение
= Р{г, хх, Г).
Условия, обеспечивающие строгую марковость марков-
ского процесса, а также различные свойства строго мар-
ковских процессов подробно обсуждаются в книг.е Д ы н-
кина [2]. Отметим, что все марковские процессы, рас-
сматриваемые в этой книге, являются строго марковскими.
Простым и важным примером марковского процес-
са служит цепь Маркова с конечным числом состояний.
Это марковский процесс, у которого параметр I принимает
значения 0, 1, 2, . . ., а фазовое пространство X состоит из
конечного числа точек: X = {ег, . . ., еп). Однородная по
времени цепь Маркова, только с такими цепями мы будем
встречаться в этой книге, задается квадратной матрицей
Р = (ри)A, / = 1,.., п) вероятностей перехода за один
шаг: Ре{ {Хх = в}} = ри. Из определения марковского
процесса следует, что если вектор-строка #($) = ((^(з),
• • •» Яп(8)) задает распределение случайной величины X&(со)
(Т. в. РХ{Х, = *,} = дг(8)), ТО 4{г) = д(8)Р*— При
п
— — — —
% > 5. Вектор-строка д = (?1, , . ., ?п), ?* >0, 2?! = 1,
для которой #Р =» д, называется инвариантным распре-
делением марковской цепи. Инвариантное распределение
существует у каждой цепи с конечным числом состояний.

§ 2] СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 37
Если все элементы матрицы Р (или какой-либо ее степе-
ни) отличны от нуля, то инвариантное распределение д
единственно и ПтРл {Х^(со) = ег} = дг при любых
х, ег е X. Это утверждение, называемое эргодической
теоремой для цепей Маркова, переносится на марковские
процессы общего вида.
В последующих параграфах мы вернемся к марков-
ским процессам, а сейчас упомянем еще о некоторых клас-
сах процессов.
Говорят, что случайный процесс ^(со), I ^ 0, в фазо-
вом пространстве (Лл, $г) является процессом с незави-
симыми приращениями, если для любых гп > гп-.г >
> . . . > ^1^0 приращения \гп — ^п__г ^п_1 — ?*п_о,
• • •, &2 — %1Х представляют собой независимые в совокуп-
ности случайные величины.
Примером такого процесса служит процесс Пуассо-
на — случайный процесс \и I ^ 0, принимающий целые
неотрицательные значения, имеющий независимые при-
ращения и непрерывные справа с вероятностью единица
траектории, для которого
р Ь г _ 1Л _
г ^V^ — г8 — К)
<?; к = 0,1, ...,
где % — некоторый положительный параметр.
В следующем параграфе рассматривается еще один
процесс с независимыми приращениями, играющий весьма
важную роль в теории случайных процессов — винеров-
ский процесс.
С каждым процессом с независимыми приращениями
можно связать марковское семейство X* == х + %г — ^0
и соответствующий этому семейству марковский процесс.
С процессами с независимыми приращениями тесно свя-
зан еще один класс случайных процессов — мартингалы.
Случайный' процесс !•*> * е Г, называется мартинга-
лом относительно неубывающего семейства а-алгебр №и
если при любом I е Т случайная величина \% измерима
относительно а-алгебры /ри М1г <; оо и М(^|Л%) = ?3
при 5, г €= Г, 5 < г. Если Щ1г\/е8) < |„ то про-
цесс ^в называется супермартингалом.

38 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ (ГЛ. 1
Подробное изложение теории мартингалов имеется в
книге Дуба [1].
Случайный процесс ^(со), — сю <; I <; оо, называется
стационарным (в узком смысле), если при любом натураль-
ном г и любых 1Х, ^2, . . ., 1Т распределение случайной ве-
личины (Ьн-л* Ьа+л»'-ч Ьг+л) одно и то же при всех дей-
ствительных к. Ясно, что если для стационарного про-
цесса \х существует М|^|2, то М|* = ш = сопзЪ, а
корреляционная функция /?($, I) = М(?3 — т)(^ — т)
фактически зависит только от г — 5.
Наконец, напомним понятие слабой сходимости мер,
отвечающих семейству случайных процессов. Каждый
случайный процесс ХДсо) определяет некоторое отображе-
ние вероятностного пространства {О, #~, Р} в пространство
траекторий. Это отображение индуцирует в пространстве
траекторий некоторую вероятностную меру [х. Во многих
вероятностных задачах случайные процессы рассматривают-
ся с точностью до распределений в пространстве траекто-
рий, которые эти процессы индуцируют. В связи с этим
важную роль играют те виды сходимости случайных процес-
сов, которые означают сходимость в том или ином смысле
распределений в пространстве траекторий. Пусть для
определенности Хр г е [О, Г], 8 > 0,— семейство слу-
чайных процессов, траектории которых с вероятностью
1 суть непрерывные функции на [О, Т] со значениями в
Яг. Обозначим, как обычно, Сот (#г) пространство все-
возможных таких непрерывных функций с топологией
равномерной сходимости. Пусть \1г — семейство мер в
Сот (Яг)> соответствующих процессам Х\. Говорят, что
меры |л8 на СОт(#г) слабо сходятся при е-^Ок мере ц,
если для любого непрерывного ограниченного функцио-
нала 1(х) на Сот(Кт)
е-»0
В статье Прохорова [1] (см. также Г и х м а н п
Скороход [1]) изучены условия компактности се-
мейства мер, соответствующих случайным процессам,
в топологии слабой сходимости. Если семейство мер р*
слабо компактно и конечномерные распределения соот-

§ 3] СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 39
ветствующих случайных процессов Х\ сходятся к рас-
пределениям некоторого процесса Хг, то меры (л,8 слабо
сходятся к мере ц,, соответствующей процессу Хг.
§ 3. Винеровский процесс. Стохастический интеграл
Винеровским процессом называется гауссовский слу-
чайный процесс шь, I е [0, оо), со значениями в Е1%
обладающий следующими свойствами:
1) Мм;, = 0 при *> 0;
2) Мш8ю1 = Ш1П E, г);
3) при почти всех со траектории ^(ш) непрерывны по
*е= [0, оо).
Доказывается (см., например, Г и х м а н и С к о-
р о х о д [1 ]), что процесс с такими свойствами существу-
ет на подходящем вероятностном пространстве {Й,^", Р}.
Из гауссовости процесса и)ь следует, что для произвольных
моментов времени 1п > гп-1 > . . . > 11 ^ 0 случайные
величины ю1п — ш^п_V и^п^{ — ш1п-2'>' *' 'иI*~~ юи имеют
совместное гауссовское распределение, а из свойства
2) вытекает некоррелированность этих приращений:
М(м:м+1 —м;ч)(^ж-м;е.) = 0 для ?\ /= 1, 2, . . ., п;
I ф /. Отсюда заключаем, что приращения винеровского
процесса независимы. Отметим, что приращение процес-
са за время от 5 до ^, 5 <С г, имеет гауссовское распределе-
ние, Щю1 — ю8) = 0г М(м^ — и) 8У1 = 1—8. Вычисля-
ется, что М|^^ — ш8\ = У2л1— {{1 — 5).
Напомним некоторые свойства винеровского процесса.
Почти все траектории винеровского процесса имеют своим
верхним пределом +°° и нижним пределом —оо. Отсюда,
в частности, следует, что с вероятностью 1 винеровские
траектории бесконечно много раз проходят через нуль,
причем множество {I : ^(со) =0} при почти всех со не-
ограниченно. По определению реализации винеровского
процесса непрерывны, но они с вероятностью 1 нигде не
дифференцируемы и имеют бесконечную вариацию на
каждом интервале времени. Доказывается, что винеров-
ские траектории с вероятностью 1 удовлетворяют условию
Гельдера с любым показателем а < 1/2 и не удовлетворя-
ют — с показателем а ^ 1/2. Отметим еще следующее

40 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 1ГЛ. 1
полезное равенство:
Р{ 51Др IV 8> п} =2Р{ШТ> О).
На каждый случайный процесс ?*(со), ^еТ, со зна-
чениями в измеримом пространстве (X, ЯП) можно смотреть
как на отображение пространства (й, &г) в пространство
функций на множестве Т со значениями в X. В частности,
винеровский процесс м^(со), г <= [0, Т] определяет отобра-
жение ^ в пространство Сот {Я1) непрерывных функций
на [0, Т] с числовыми значениями, обращающихся в нуль
при г = 0. Это отображение задает в Сот (Я1) вероятност-
ную меру ^х^, которая называется винеровской. Носите-
лем винеровской меры является все пространство Сот (Я1).
Это значит, что как угодно малая (в равномерной норме)
окрестность каждой функции ф е Сот (Я1) имеет поло-
жительную винеровскую меру.
Совокупность г независимых винеровских процессов
ю\ (о), ^?((о),... , 1^ (со) называется г-мерным винеров-
ским процессом.
Важная роль винеровского процесса в теории случай-
ных процессов в значительной степени объясняется тем,
что многие классы случайных процессов с непрерывными
траекториями допускают удобное представление через
винеровский процесс. Это представление дается с помощью
стохастического интеграла. Напомним конструкцию и
свойства стохастического интеграла.
Пусть имеется вероятностное пространство {13, З2^, Р},
неубывающее семейство а-алгебр,/^, ^^0, ^^с^" и
винеровский процесс юх на этом пространстве. Предполо-
жим, что а-алгебры л>г таковыг что {Г^с: Л% при любом
^>0и при 0 < 5 < I:
Щ">г - и>8\Л*8) = 0; М(\шг - и;5|2|уГ5) = * ~ 5.
Так будет, во всяком случае, если Л% = ^"<*.
Говорят, что случайный процесс /(^, со), Ь ^ 0, измери-
мый по паре {г, со), не зависит от будущего (относительно
заданного семейства сг-алгебр №г), если при любом г> 0
случайная величина {{Ьх со) измерима относительно а-ал-

§ 31 СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИЙТЕГРАЛ 41
гебры^г. Обозначим #а,ь> 0 <1 а < Ь < оо, совокупность
не зависящих от будущего функций ]A, со), для которых
ь
1% со)|2Л<оо. Для таких функций определяется
ъ
стохастический интеграл Ито \ / E, со)Л#3- Заметим, что
а
так как траектории винеровского процесса имеют беско-
нечную вариацию на любом интервале, то этот интеграл
нельзя определить как интеграл Стилтьеса. Первоначаль-
но интеграл Ито определяется для ступенчатых функ-
ций из //«,&. Если 10 = а < 1Х < и <С . . . < 1п = Ьг
/E, со) = //(со) при 5 е [1^ ^+1I I = 0, 12 . , ^ п - 1 и
}(83 со) е Яа.ь,. то полагают
а 1=0 г г
Такил1 образом, ступенчатой функции /E, со) е НьаЪ ста-
ъ
вится в соответствие величина % (со) = ] / ($, со)йа?5. Ес-
а
лив множестве Н1гЬ ввести норму
Ь \ 1/2
11н» =
а в пространстве случайных величин — норму Цт^Ц =
= (Мт]/I/2а то, как легко проверить, отображение
/-*% сохраняет норму. Такое отображение, первона-
чально определенное только для ступенчатых функций,,
можно продолжить с сохранением нормы на замыкание.
Доказывается, что замыкание множества ступенчатых
функций в На,ъ совпадает с Н1Ь. Таким образом, каж-
дому элементу / е И\чЬ ставится в соответствие случай-
ная величина %, которая называется стохастическим
интегралом Ито от функции /($2 со) и обозначается
ь
\ 1(81 со)с?шв. Перечислим основные свойства стохастиче-

СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
(ГЛ. 1
ского интеграла (/E, со), #($,со)
ъ
1. ^ (а/ ($, со) + р# (^ (°)) ^и\ =
Ь Ь
= а | / (в2 со) йю, + р ( % («, ш) Ле,;
2. М /(«,со)йи>.
3. МК/^со)
= 0;
в частности,
ь
М|"
Отметим, что стохастический интеграл определен с точ-
ностью до множества со меры нуль, и все перечисленные
выше равенства выполняются почти наверное по мере
Р на О.
Рассмотрим теперь стохастический интеграл как функ-
цию верхнего предела. Обозначим %*($) функцию, равную
1 при 5 <1 I и равную нулю при 5 > I. Если /E, со) е #а,ь>
то Х*E) /E> со) еЯа,ь при любом I. Определим
\ / E1 со)йа?в для ^ е [а, Ь] с помощью равенства
< Ь
/ E, со) йюл == | х* 00 / Eд *)) Лг3.
а
Ь
Так как интеграл \ %1(вI(81 со)с?^3 при каждом I опре-

§ 3]
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ
43
делен с точностью до событий вероятности нуль, то в опре-
делении левой части имеется некоторый произвол. Дока-
зывается, что можно так определить при каждом Ь
правые части, что стохастический интеграл слева будет
при почти всех со непрерывной функцией верхнего преде-
ла. Всегда, когда в этой книге рассматриваются стохасти-
ческие интегралы с переменным верхним пределом, то
имеется в виду непрерывный с вероятностью 1 вариант.
Из перечисленных свойств стохастического пнтегра-
ла вытекает, что случайный процесс
\ / E,
вместе с неубывающим семейством сг-алгебр
образует мартингал. Этот мартингал имеет непрерывные
с вероятностью 1 траектории и
<ОО.
Для таких мартингалов справедливо обобщенное неравен-
ство Колмогорова
Р шах
/ («, со)
> с
Иногда приходится рассматривать стохастический ин-
теграл со случайным моментом времени в качестве верх-
него предела. Пусть т — марковский момент относительно
неубывающей системы а-алгебр /С^ 1^0; %х{з) равно 1
при 5^т, и %х(з) равно 0 при 5 > т. Тогда, если
Я5)ОО1 то
С оо
\1{8г ©)йм;в = ] %х(8)Ц8,(о)Aи>9 и
о о
М
В частности, %х (8I(8, со) е Яо.ве, если |/(я, со)|< с <оо
при всех 5 > 0 для почти всех ш и Мх <С оо.

44 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 1
Пусть теперь юг = {ш\) — г-мерный винеровский про-
цесс; N % — а-алгебрал порожденная случайными величи-
нами юа при 5 ^ и Стохастический интеграл
естественным образом определяется для матрично-
значных функций Ф($, со) с элементами, принадлежащими
#а,&. Именно, если процесс уо% понимать как г-мерный
вектор-столбец и матрица Ф($, со) = (Ф^($, о))) имеет г
ь
столбцов и I строк! то 1 ФE, (о)с1и?8 — это /-мерная слу-
а
чайная величинал 1-я компонента которой равна сумме
г Ь
1
Рассмотрим /-мерный случайный процесс
E1со)Й5, *е[а, 6].
Здесь первое слагаемое — только что описанный интеграл
по г-мерному винеровскому процессу, во втором слагаемом
^(я, со) = {г|э*($, со)} — /-мерный интегрируемый случай-
ный процесс. Соотношение1 определяющее процесс Хц
иногда записывают в виде
а выражение Ф(^, со)^^ + ^(^ (й)сИ называют стохасти-
ческим дифференциалом процесса Хг.
Пусть функция иA, х), I е [а, 6], х е Л^ имеет не-
прерывную первую производную по г и вторые непрерыв-
ные производные по пространственным неременным.
В теории стохастического интеграла важную роль играет
формула Ито2 дающая выражение для стохастического

§ 3] СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 45
дифференциала случайного процесса г|* = и{1х Хг):
г I
Ь=1 г=1
+ — 5 Уф№ (*, со) Ф,к (г% со) -^Х- (г, х,I л.
Подробное изложение конструкции и доказательства
всех перечисленных и ряда других свойств стохастическо-
го интеграла можно найти в книгах Гихмана и Ско-
рохода [1 ], М а к к и н а [1 ].
Как уже говорилось, с помощью стохастического ин-
теграла можно получить представление некоторых клас-
сов случайных процессов через винеровский процесс.
Остановимся подробнее на таком представлении для гаус-
совских процессов. Получим представление для гауссов-
ского процесса с нулевым средним и корреляционной
функцией Л($, г), которую мы считаем непрерывной при
5, ^е [О, Г]. Корреляционный оператор А такого про-
цесса, если его рассматривать в пространстве 1/о,тч вполне
непрерывен, неотрицательно определен, симметричен и
имеет конечный след. Пусть ех(г), . . ., епA), . . .— его
собственные функции; Хг, Л,2> • • •» ^п, . . . — соответству-
ющие собственные значения. Известно (Рисе и Надь
[1])? что ядро такого оператора можно представить в виде
*г ')= 2 V» (*)«*(')•
Положим
Из конечности следа оператора А вытекает, что этот ряд
сходится во всяком случае в смысле пространства
^[о,г]х[о,г] интегрируемых в квадрате функций на
[0х Т] х [0х Т]. Из определения С($, Л) немедленно

46 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 1
следует^ что
т
\
о
Рассмотрим случайный процесс
Этот стохастический интеграл по винеровскому процессу
ш8 существует, так как подинтегральная функция не за-
г
висит от случая и \ С2 {$, 1)й$ = КA, I) < оо. Из при-
о
веденных ранее свойств стохастического интеграла выте-
кает, что Хг — гауссовскый процесс и
От \
Таким образом, мы получили представление для гауссов-
ского процесса с нулевым средним и корреляционной
функцией Л($, I) в виде стохастического интеграла от не-
случайной функции С($, I).
Иногда рассматривают так называемый процесс белого
шума юг — производную винеровского процесса юг. Как
мы уже говорили, производной у винеровского процесса
в обычном смысле не существует, но стохастический интег-
рал дает возможность придать смысл некоторым выраже-
ниям, содержащим юх. Определив интеграл Ито для функ-
ций /($2 со) е Яо,т, мы можем положить
$, со)

§ 41 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ Й ПОЛУГРУППЫ 47
считая, что левая часть определяет правую. В частности^
формулу, определяющую процесс Хи можно записать
в виде
т
Хг = Г С ($, г) ш8Лз
и считать, что гауссовский процесс Хг есть результат при-
менения интегрального оператора с ядром <?($, I) (это ядро
иногда называют импульсной характеристикой оператора)
к процессу белого шума.
Представление в виде стохастического интеграла по
винеровскому процессу допускает широкий класс непре-
рывных по времени мартингалов. В § 5, отправляясь от
винеровского процесса, мы построим диффузионные про-
цессы.
§ 4. Марковские процессы и полугруппы
Пусть (Хи Рх) — марковский процесс на фазовом про-
странстве (X, Ш), Р(Ь,х, Г) — его переходная функция.
Обозначим В банахово пространство ограниченных $-
измеримых функций на X с нормой ||/|| = зир \1(х)\.
С марковским процессом (или с переходной функцией)
можно связать семейство операторов Тг, I ^ 02 действу-
ющих в пространстве В по формуле
(Тг1)(х)=МхПХг)= \НУ)Р&*хйу)-
х
Так как РA, х, Г) — вероятностная мера по Г, то опера-
торы Тх сохраняют неотрицательность и не увеличивают
норму: если /(*) > 0, то Тг}(х) > 0, || Т%1\\ < ||/||. Из мар-
ковского свойства вытекает, что Т1+81(х) = Мг/(Х<+8) =
= МХ(МХДХ8))= Тг(Т,1)(х), т. е. операторы Г, образу-
ют полугруппу: ТгТ8 = Г<+§- Таким образом, с каждым
марковским процессом (Х^, Рх) связывается полугруппа
сжимающих неотрицательных операторов Тг, действу-
ющая в пространстве В ограниченных измеримых функций
на фазовом пространстве.

48 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ (ГЛ 1
Полугруппа операторов связывается, разумеется, и
с марковским семейством X* (определенным на вероятно-
стном пространстве {п, !ГЛ Р}? не зависящем от х):
(Г,/) (х) - М/ (X?) -\ПУ)Р (*, *, ^)-
х
Если в качестве функции {(х) берется индикатор Хг(я)
множества ГсХ,т. е. функция, равная 1 на Г и 0 вне 1%
то Тг%т{х) — РA, х, Г), и полугрупповое свойство
Тг+8%г(х) = Г^^хг) можно записать в виде соотно-
шения
Р(г + з3 хх Т) = \Р (г, хх йу) Р (*, Ух Г),
X
которое называется уравнением Колмогорова— Чэпмена.
С переходной функцией РA, х, Г) можно связать еще
одну полугруппу операторов Vи I ^ 0, действующую
в банаховом пространстве V конечных счетно-аддитивных
функций множества на (X, $) с нормой |||я||*, определя-
емой как полная вариация функции множества |л:
Операторы Тх и V\, как легко проверить, сопряжены друг
другу в том смысле, что
Полугруппа VI описывает эволюцию одномерных рас-
пределений марковского процесса. А именно, если рас-
сматривать марковский процесс, начинающийся не в фик-
сированной точке х е X, а в случайной точке Хо с рас-
пределением \и Р{Х0 е Г} = ц(Г)г то распределение
через время г будет как раз 11г\х:
Г} = \ Р {Хо е их) Р AХ хх Г) = (С7^1) (Г),

$ 41 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ПОЛУГРУППЫ 49
Мера |л на (X, 9$) называется инвариантной мерой мар-
ковского процесса, если 11г\х = \х при всех * ^ 0. Ясно,
что совокупность инвариантных мер образует конус
в пространстве V. Если |я(Х) = 1, то инвариантную меру
|л называют также стационарным распределением вероят-
ностей.
Инфинитезимальный оператор А полугруппы Тг (он
же инфинитезимальный оператор марковского процесса
(Хг, Рх) или марковского семейства X* с данной переход-
ной функцией) определяется равенством
цо '
Сходимость здесь понимается как сходимость по норме,
т. е. это равенство означаем что Нт || 1~1(Тг{ — /) —
по
— Л/1| = 0. Оператор А определен, вообще говоря, не
на всех элементах пространства В. Область определения
этого оператора есть линейное многообразие, которое обо-
значается БА. Оно всюду плотно в пространстве Во =
«= {/ е В:1нп ||7\/ — /|| = 0}. На пространстве Во ин-
финитезимальный оператор определяет полугруппу Тг
однозначно. Если переходная функция стохастически
непрерывна, то полугруппа Тг, рассматриваемая только
на Во (а значит, и инфинитезимальный оператор А), одно-
значно определяет переходную функцию и все конечно-
мерные распределения марковского процесса (марков-
ского семейства).
В теории полугрупп доказывается, что для / е ВА
функция иг(х) = Тг1(х) является решением абстрактной
8адачи Коши
ди (х)
-±— « Аиг (х), Ит щ (х) = / {х).
01 но
Решение этой задачи единственно во всяком случае в клас-
се ограниченных функций.
Аналогично определяется инфинитезимальный опера-
тор Л* полугруппы 1/г. Функция К^Г) = С/^(Г), Ге^,
для [х, принадлежащего области определения оператора
«4*4 также является решением соответствующей задачи

50 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 1
Коши. В частности, легко проверяется, что каждая ин-
вариантная мера \1 принадлежит области определения опе-
ратора А*, и А*\1 = 0.
Подробное изложение полугрупповой теории марков-
ских процессов можно найти в книге Д ы н к и н а [2].
Рассмотрим некоторые примеры марковских процессов
и их инфинитезимальных операторов.
Первый пример. Пусть X — конечное множе-
ство, 3& — совокупность всех его подмножеств. Марков-
ский процесс с таким фазовым пространством называется
марковским процессом с конечным числом состояний.
С каждым таким процессом связывается набор функций
РцA) (*\ /бХ, * ^ 0), удовлетворяющий следующим
условиям:
1) РиУ) > 0 при 1\ / е= X, * > 0;
2) ЕРи@=1;
3) Ри@) = 0 при 4 ф и Рц @) - 1 для I е= X;
4) Ри{8 + 1)= 2 Рт
Переходная функция процесса выражается через функ-
ции р1(/@ таким образом:
Р(*,*,Г)= 2 Р*у(О; х^Х, Ге^,
Мы будем рассматривать только стохастически непре-
рывные процессы с конечным числом состоянии. Для та-
ких процессов функции /^ДО удовлетворяют дополни-
тельно условию
5) риУ) Ри{)
по
При выполнении условий 1)—5) доказывается, что су-
ществуют правые производные в нуле д^ == р'^-(О). Введем
в рассмотрение матрицу РЦ) = (ри{1)); обозначим (} ==
Вычислим инфинитезимальный оператор А нашего
марковского процесса, а также инфинитезимальный опе-
ратор Л* сопряженной полугруппы операторов Vг.

§ 4] МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ПОЛУГРУППЫ 51
Пространства В ограниченных измеримых функций на
X и V счетно-аддитивных функций множества на <% суть
конечномерные линейные пространства размерности, рав-
ной числу элементов в X. Отождествим элементы В с век-
торами-столбцами, элементы V — с векторами-строками.
Полугруппа Тг действует на векторы из В по формуле
Инфинитезимальный оператор А этой полугруппы опре-
делен на всем В и задается формулой
Сопряженная полугруппа 11г задается умножением на
матрицу Р(Ь) справа, и ее инфинитезимальный оператор
задается умножением справа на матрицу (). Легко дока-
зать, что эта матрица имеет по крайней мере один левый
собственный вектор т е V с собственным значением
0: тB = 0, с неотрицательными компонентами тг, да-
ющими в сумме единицу. Каждый такой вектор задает
стационарное распределение вероятностей для процесса
с конечным числом состояний. Если все элементы матри-
цы () отличны от нуля, стационарное распределение един-
ственно.
Второй пример. Пусть \г — пуассоновский
процесс, начинающийся в 0 (см. § 2). Совокупность про-
цессов V? = х + \и х е -й1, образует марковское семей-
ство относительно а-алгебр Л?г=У^1 (в качестве фазо-
вого пространства берется числовая прямая Л1). Соответ-
ствующая полугруппа I\ действует в пространстве огра-
ниченных измеримых функций на прямой по формуле
м = 2/(*+*)«"" тг
а ее инфитезимальный оператор А имеет вид
= Щ* +1)-/(*)].
Наглядно пуассоновский процесс можно описать сле-
дующим образом. Если в какой-то момент траектория

52 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ (ГЛ. 1
находится в точке #, то она еще проведет в х случайное
время т, затем сделает скачок на 1 вправо — в точку
х + 1> проведет в этом состоянии некоторое время, затем
перескочит в х + 2 и т. д. Случайная величина т имеет
показательное распределение: Р{т> 1} = ехр {—XI}.
У пуассоновского процесса величина X — одна и та же
для всех состояний, размер скачка — тоже фиксирован-
ный. Скачкообразный марковский процесс общего вида
мы получим, если позволим величине X, задающей распре-
деление времени до выхода из состояния х, зависеть от
этого состояния, и рассмотрим скачки, величина которых
случайна, с распределением, зависящим, вообще говоря,
от начального состояния. Такой скачкообразный процесс
(причем его можно рассматривать не только на прямой,
но и в г-мерном пространстве Нг) описывается инфините-
зпмальным оператором
А! (*) = %{х)\ [/ (х + и) - /{х)\ цх {Ли).
Здесь интегрирование распространяется на все простран-
ство, кроме точки 0; Х(х) характеризует распределение
времени до выхода из точки х, мера \1х(с1и) задает распре-
деление величины скачка.
Широкий класс марковских процессов (марковских
семейств) с непрерывными траекториями и соответству-
ющие инфинитезимальные операторы будут рассмотрены
в следующем параграфе.
§ 5. Диффузионные процессы
и дифференциальные уравнения
Пусть иI—/-мерный винеровский процесс, Л*х — сг-ал-
гебра, порожденная случайными величинами ю3 при
5 ^ г. Рассмотрим стохастическое дифференциальное урав-
нение в Дг
Х% = Ь(Хг) + о(Хг)ши Хо = х.
Здесь Ъ(х) = (Ъ1^), . . ., Ьг(х)) — векторное поле в /?%
а(х) = (о){х)) — матрица, имеющая / столбцов и г строк.
Под решением этого уравнения понимается случайный

§ 5] ПРОЦЕССЫ И УРАВНЕНИЯ 53
процесс Хг = Хг(оо), который при каждом 1^0 с вероят-
ностью 1 удовлетворяет соотношению
Обычно мы будем предполагать, что коэффициенты Ъ{{х)г
о}(х) удовлетворяют следующим условиям:
2\
и}
2)
где \х\ — евклидова длина вектора х е Вгг К — некото-
рая положительная постоянная.
При этих условиях доказывается, что стохастическое
дифференциальное уравнение имеет непрерывное с веро-
ятностью 1 решение Х*(со), 2^0, такое, что случайная
величина Х^(со) при каждом 1^0 измерима относительно
ь
а-алгебры №х и ]м|Х?|2 дХ < оо для произвольных
Ь > а ^ 0. Любые два решения стохастического диффе-
ренциального уравнения, обладающие этими свойствами,
совпадают при всех I ^ 0 для почти всех со ^ Й.
Если воспользоваться независимостью приращений
винеровского процесса и единственностью решения, то
можно доказать (Д ы н к и н [2]), что совокупность про-
цессов X* при всевозможных начальных точках х е Яг
образует марковское семейство относительно системы
а-алгебр Л**- Доказывается, что марковский процесс,
соответствующий этому семейству1 является строго мар-
ковским.
Таким образом, стохастическое дифференциальное
уравнение определяет некоторый строго марковский про-
цесс. Этот процесс называется диффузионным случайным
процессом.
Изучим инфинитезимальный оператор диффузионного
процесса. Пусть функция и(х)х х е В.г1 имеет непрерыв-

54 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 1ГЛ I
ные ограниченные производные до второго порядка вклю-
чительно. По формуле К. Ито получим
г г
и(Ххг) - и (х) =\(чи (Xх), о (Xх) йщ) + \ Ьи(Хх) й*.
о о
Здесь уи(х) — градиент функции и(х), под знаком первого
интеграла в правой части стоит евклидово скалярное про-
изведение векторов уц(Хз) и о(Хх3)с1ш8; дифференциаль-
ный оператор Ь имеет вид
г г
{Х) = " *±1 п13 {Х) Ш^ {Х) + ^ Ь {Х) 5? (Х)%
где а(х) = (а1'}(х)) = о(х)о*(х) — квадратная матрица по-
рядка г. Из приведенного выражения для и(Хх) — и(х)
вытекает, что и(х) е ОА и
1
НО * ЦО' ^
= Ьи (ж).
При этом мы воспользовались непрерывностью функции
Ьи(х) и тем, что математическое ожидание стохастического
интеграла равно нулю.
Итак, инфитезимальный оператор диффузионного
процесса на гладких функциях определен и совпадает с Ь.
Оператор Ь иногда называют производящим дифференци-
альным оператором диффузионного процесса; функции
а^(х) называют коэффициентами диффузии, Ь(х) — век-
тором переноса. Легко видеть, что матрица (а1Цх)) коэф-
фициентов диффузии неотрицательно определена, т. е.
К^ ^ 0 при любых вещественных К^ ...
г, ?=1
. . ., \.. Наоборот, если имеется неотрицательно опреде-
ленная матрица (а^(х)) и вектор Ь(х) с достаточно гладкими
элементами, то можно построить диффузионный процесс
с коэффициентами диффузии а^{х) и переносом Ь(х). Это
можно сделать2 например! с помощью стохастических диф-

8 51 ПРОЦЕССЫ И УРАВНЕНИЯ 55
ференциальных уравнений: если матрица о(х) такова,
что о(х)о*(х) = (а^(х))у то решения уравнения Хг =
= Ь(Хг) -(- о{Х^)иI образуют диффузионный процесс
с коэффициентами диффузии а^(х) и переносом Ъ(х). Для
существования и единственности решений стохастического
дифференциального уравнения нужно, чтобы коэффици-
енты о(х) и Ь(х) удовлетворяли некоторым требованиям
регулярности. Например, как уже указывалось, достаточ-
но, чтобы о(х) и Ь(х) удовлетворяли условию Липшица.
Представление матрицы (а^(х)) в виде (а^(х)) = о(х)о*(х)
с элементами- в}(х), удовлетворяющими условию Липши-
ца, возможно всегда, когда функции а^(х) дважды непре-
рывно дифференцируемы (Ф р е й д л и н [5]); если
Ае1(а{)(х)) Ф О, то для такого представления достаточно,
чтобы функции а^(х) удовлетворяли условию Липшица.
Таким образом, каждому оператору
с неотрицательно определенной матрицей (а*>(х)) и доста-
точно гладкими коэффициентами соответствует некоторый
диффузионный процесс. Этот диффузионный процесс сво-
им производящим дифференциальным оператором опреде-
ляется по существу однозначно: любые два процесса,
имеющие общий производящий дифференциальный опе-
ратор, индуцируют одинаковые распределения в простран-
стве траекторий. Во всяком случае это так, если коэффи-
циенты а^(х) и Ъг(х) удовлетворяют небольшим требовани-
ям регулярности, которые в наших рассмотрениях всегда
выполняются.
В большинстве теоретико-вероятностных задач инте-
рес представляют те свойства случайного процесса, кото-
рые определяются соответствующим распределением
в пространстве траекторий и не зависят от конкретного
задания процесса. В связи с этим мы будем нередко гово-
рить: «Рассмотрим диффузионный процесс, соответству-
ющий дифференциальному оператору I/», не уточняя более
подробно, как этот процесс задан.
Диффузионный процесс, соответствующий оператору
Ь1 можно построить и не обращаясь к стохастическим днф-

56 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЙ (ГЛ. 1
ференциальным уравнениям. Например, если матрица
диффузии не вырождается, соответствующий процесс
можно построить, отправляясь от теорем существования
решений для параболического уравнения ^- = Ьи{1, х).
На основе результатов из теории дифференциальных урав-
нений можно установить ряд важных свойств диффузион-
ных процессов, например указать условия, при которых
переходная функция имеет плотность. Во многих задачах,
тем или иным способом связанных с вырождениями, более
удобным представляется использование стохастических
дифференциальных уравнений.
Отметим некоторые частные случаи. Если а^(х) == О
при всех г, / = 1, 2, . . ., г, то оператор Ь превращается
в оператор первого порядка
Стохастические дифференциальные уравнения в этом слу-
чае переходят в систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
хх = Ъ[х^у х0 = х.
Таким образом, дифференциальному оператору первого
порядка соответствует марковский процесс, который пред-
ставляет собой детерминированное движение вдоль реше-
ний обыкновенного дифференциального уравнения. В тео-
рии дифференциальных уравнений это обыкновенное урав-
нение называется уравнением характеристик, а его реше-
ния — характеристиками оператора Ь.
Другой частный случай: все коэффициенты переноса
&(х) == 0, а коэффициенты диффузии образуют единичную
матрицу: а^(х) = б*Л В этом случае Ь = Д/2, А — опе-
ратор Лапласа. Здесь соответствующее марковское семей-
ство имеет вид
ю* = х + и>и:
т. е. оператору Д/2 соответствует семейство процессов^
которые получаются сдвигом винеровского процесса на

§5] ПРОЦЕССЫ И УРАВНЕНИЯ 57
вектор х е Яг. Марковский процесс (и>и Р^), связанный
с этим семейством, мы будем для краткости тоже называть
винеровским процессом. При этом индекс х у вероят-
ности или у математического ожидания будет указывать
на то, что рассматривается траектория ю* = х + и>1*
Так, например, Рх{и)г еГ}=Р{ж+^е Г},М)
М/( )
+
Легко видеть, что если все коэффициенты оператора Ь
постоянны, то соответствующее марковское семейство со-
стоит из гауссовских процессов вида X* = х + оюх +
-|- Ы. Диффузионный процесс будет гауссовским и тогда,
когда коэффициенты диффузии постоянны, а перенос ли-
нейно зависит от х.
Итак, пусть (Х^, Рх) — диффузионный процесс, А —
инфинитезимальный оператор процесса, I/— соответствую-
щий дифференциальный оператор.Рассмотрим задачу Коши
^ = ^(^1; и @, *)=/(*),
х е= Етх г > 0.
Обобщенным решением этой задачи назовем решение аб-
страктной задачи Коши
ди.
Оператор А является расширением оператора Ь, так что
это определение корректно. Как объяснялось в § 3, реше-
ние абстрактной задачи Коши существует, во всяком слу-
чае, если /бСА1 и записывается в виде иг(х) =
= Мх1(Хг) = Тг{(х). Если классическое решение иA, х)
задачи Коши существует, то, так как Аи = Ьи для глад-
ких и = и{1, х), функция и{1, х) является также решением
абстрактной задачи Коши, и в силу единственности реше-
ния абстрактной задачи и{1, х) == 7У(#). Такое представ-
ление можно распространить и на решения задачи Коши
с любой ограниченной непрерывной начальной функци-
ей, а не только с начальной функцией из ОА. Это следует
из принципа максимума для параболических уравнений.
Если матрица (а^(х)) не вырождается и коэффициенты
оператора Ь достаточно регулярны (например1 удовлет-

58 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 1
воряют условию Липшица), уравнение -^ = Ьи имеет
фундаментальное решение р{1, х, у), т. е. решение задачи
Коши с начальной функцией 8(х — у). Это фундаменталь-
ное решение, как легко видеть, является плотностью
переходной функции
Р{1,х, Г)- [р(г,х,у)йу.
г
Уравнение -г- =¦ Ьи называют обратным уравнением
Колмогорова для диффузионного процесса (Хь Рх).
Пусть с(х) — равномерно непрерывная ограниченная
функция в Лг. Рассмотрим семейство операторов
5\/ (*) = Мя/ (Хг) ехр М с (Х8) А * >0,
в пространстве ограниченных измеримых функций на /?\
Операторы Г* образуют полугруппу (см., напри-
мер, Дынкин [2]). Принимая во внимание, что
ехр \\ с (Х8) й5 = 1 + С с(Х$)с18 + о{1) при I \ 0, не-
1о ] о
трудно доказать, что если / е ОА и коэффициенты опера-
тора Ь равномерно в ГС ограничены, то / принадлежит
области определения инфинитезимального оператора А
полугруппы Ти и А/(х) = А/(х) + с(х)/(х), где Л — ин-
финитезимальный оператор полугруппы Ть1(х) =
= Мх!(Хг). Используя это замечание, можно доказать,
что решение задачи Коши
1] х) + с(х)и(^ х), хеаКгх I > О,
1\Ъу X) = /(X)
для непрерывных ограниченных }(х) представимо в виде
V (I, х) = Тг/ (х) = Мх/ (Хг) ехр I [ с (Х8) Ж .

§ 5] ПРОЦЕССЫ И УРАВНЕНИЯ 59
Представление в виде среднего значения некоторого
функционала от траекторий соответствующего процесса
можно дать и для решения неоднородного уравнения:
если
±г^Ьи; + с(х)и; + §(хI IV (О, х) = О,
то
и>(*,х) = Мх\К{Х9)ех1р\\с{Хи)йи\а8.
о 1о )
Вероятностное представление для решений уравнения
с коэффициентами, зависящими от I и от х, дается через
среднее значение функционалов от траекторий процесса,
определяемого неоднородным стохастическим дифферен-
циальным уравнением
Решения этого уравнения существуют при любых х е Вг,
10 ^ 0, если коэффициенты непрерывны по I и х и удовлет-
воряют условию Липшица по х с постоянной, не завися-
щей от I (Г и х м а н и Скороход [1 ]). Совокуп-
ность процессов Х[°*при всевозможных ^0>0иа:б ЙГ
образует неоднородное марковское семейство (см. Дын-
кин [1]).
Пусть в фазовом пространстве Нт диффузионного про-
цесса (Хг, Рх) задана ограниченная область В с гладкой
границей дГ). Обозначим т первый момент выхода про-
цесса из области П: т = т(со) = Ы {I: Х%ф. /)}. Во мно-
гих задачах интерес представляют средние значения
функционалов, зависящих от поведения процесса на
отрезке времени от 0 до т, например выражения вида
[
I \
16
[ \
) Й5, Мх ехр I \ /(Х8)й$> и им подобные. Эти
выражения как функции начальной точки х являются
решениями некоторых краевых задач для производяще-
го дифференциального оператора Ь процесса (Хи Рх).

60 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 1
Рассмотрим в области В задачу Дирихле
Ьи(х) + с(х)и(х) = /(*), х се О;
Предполагается, что с(х), }(х) при х е Яг и \|э(#) при
х е 52) — непрерывные ограниченные функции, с(#) ^ 0.
Относительно оператора Ь предположим, что он равномер-
но не вырождается в Б [} дВ, т. е. ^агз (х)'к{к)'^кУ^'к\,
к > 0, и все коэффициенты удовлетворяют условию Лип-
шица. При этих условиях функция
является единственным решенпем рассматриваемой зада-
чи Дирихле.
Чтобы доказать это, предположим сначала, что реше-
ние задачи Дирихле и(х) можно продолжить с сохранени-
ем гладкости на все пространство Нг. Обозначим У % =*
г
= \ с {Х8)с18 и применим формулу Ито к функции и(Хг) е I
I
и(Х1)е°
I
„О _
I I
1
), о (Х3) йтш) + | еу*/ (X.) из +
О
(
[Ьи (Х3) - / (Х8)] & + | и (Х8) еу'с
Это равенство выполняется при всех I ^ 0 с вероятностью 1.
Подставим теперь вместо г случайную величину т.
При 5 < т траектория Х9 не выходит из области О, по-

§ 5] ПРОЦЕССЫ И УРАВНЕНИЯ 61
этому Ьи(Х8) = 1(Х8) — с(Х8)и(Х3), и значит, при г = т
два последних члена в правой части равенства, получен-
ного с помощью формулы Ито, взаимно уничтожаются.
Случайная величина т является марковским моментом от-
носительно а-алгебр ^(. При сделанных предположениях
относительно области и процесса Мхт < К < оо. Отсюда
следует, что
Учитывая эти замечания, получаем, что
и (Хх) е° -и(х) = Мх)! (Х8) е° с1з.
6
Отсюда вытекает наше утверждение в случае, когда и(х)
можно гладким образом продолжить на все пространство
Нг. Чтобы получить доказательство в общем случае, сле-
дует аппроксимировать область О расширяющейся после-
довательностью областей Оп с: О с достаточно гладкими
границами дБп. В качестве граничных функций следует
выбирать значение функции и(х) — решения задачи Ди-
рихле в /), на дП п.
Отметим некоторые частные случаи. Если с{х) = О,
'ф(х) =0 и !(х) 53—1, то и(х) = Мхт. Функция и(х) есть
единственное решение задачи
1и(х) = — 1 при х е Д, ^Iао = 0.
Если с(о:) г 0, /(л:) = 0, то для и(х) = Мх^(Хг) получаем
задачу
Ьи(х) = 0, х <= Б; и(х)\дВ = Цх).
Если с(х) > 0, то, как известно, задача Дирихле может
«выйти на спектр»; решение уравнения Ьи + с(х)и = 0
с нулевыми граничными условиями может быть в этом
случае не единственным. Однако если с(х) ^.с0 < оо,
и МхеСоХ < оо при х е О, то можно доказать, что реше-

62 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 1
ние задачи Дирихле единственно и для него сохраняются
формулы, дающие представление в виде среднего значе-
ния функционала от соответствующего процесса (X а с ь-
м и н с к и й [2]). Доказывается, что вир {с: Мхесг <
< оо } = Хг — наименьшее собственное значение задачи:
—- Ьи = Хги, и\д1) = 0.
Представление в виде среднего значения функционала
от траекторий соответствующего процесса можно дать для
решения смешанной задачи для параболического уравне-
ния. Например, решение и>(г, х) задачи
IV @, х) = / (X), Х<==И; IV (*, X) \г>0,хедП = \|> (х)
при некоторых предположениях о регулярности коэффи-
циентов оператора, границы области В и функций /(х)
и я|)(;г) представимо в виде
ю(*. х)= их{х>1; /(Х()} + Мж{т<*; ЦХ%)}.
На приведенные в этом параграфе формулы, связыва-
ющие средние значения некоторых функционалов от диф-
фузионного процесса и решения соответствующих крае-
вых задач, можно, с одной стороны, смотреть как на способ
вычисления этих средних значений путем решения диф-
ференциальных уравнений. С другой стороны, с помощью
прямых вероятностных методов можно изучить свойства
функционалов и их математических ожиданий, чтобы затем
использовать эту информацию для исследования решений
краевых задач. В нашей книге будет преобладать вторая
точка зрения.
Представление в виде математического ожидания функ-
ционала от траекторий соответствующего процесса можно
дать и для решений ряда других краевых задач, например
для задачи Неймана, третьей краевой задачи (Фрейд-
л ин [3], И к е д а [1]).
Обратимся теперь к поведению диффузионного процес-
са при ^-^оо. Будем для простоты считать, что матрица
диффузии и вектор переноса состоят из ограниченных,
удовлетворяющих условию Липшица элементов и
г г
2 а*з(х)Хгк^к% А|, к > 0, при х е Яг и всевозмож-
^1 *1

5] ПРОЦЕССЫ И УРАВНЕНИЯ 63
ных вещественных Хх, . . ., ^г. Такой невырождающийся
диффузионный процесс может иметь траектории двух ви-
дов: или траектории ХДш), уходящие на бесконечность
при I -> оо с вероятностью ?х — 1 при любом х <= Ят\
или траектории, которые с вероятностью Рг = 1, х е Нг,
после произвольно большого I возвращаются в фиксиро-
ванную ограниченную окрестность, хотя РЛ.{Нт |Х^| =
= оо} = 1.
Диффузионные процессы, имеющие траектории второго
типа, называются возвратными. Процессы, у которых
Рх{Пт |Х*| = оо} = 1, называются невозвратными. Не-
1-юо
трудно доказать, что траектории возвратного процесса
с вероятностью ?х = 1 при любом хе Лг побывают в
в каждом открытом множестве фазового пространства.
Обозначим т = 1п! {/: |Х^| <;1} первый момент дости-
жения единичного шара с центром в начале координат;
для возвратного процесса Рх{х < оо } = 1. Если М^т < оо
при любом х е 7?г, то процесс (Х^, Рх) называется поло-
жительно возвратным; в противном случае — возвратным
нулевым. Примером возвратного нулевого процесса слу-
жит винеровский процесс в 7?1 или в Л2. Винеровский
процесс в Нг при г ^ 3 невозвратен. Если проекция пере-
носа Ъ(х) на радиус-вектор, соединяющий начало коорди-
иат с точкой х, отрицательна и ограничена снизу по абсо-
лютной величине равномерно для всех точек х е Яг,
лежащих вне некоторого шара, то процесс (Хи ?х) будет
положительно возвратен. Можно дать и более сильные
достаточные условия возвратности и положительной воз-
вратности в терминах так называемых барьеров — неотри-
цательных функций У(х), х е Вг, для которых ЬУ(х)
имеет определенный знак и которые специальным образом
ведут себя на бесконечности. Возвратность и невозврат-
ность диффузионного процесса тесно связана с постанов-
кой краевых задач для оператора Ь в неограниченных
областях. Так, например, внешняя задача Дирихле для
оператора Лапласа в /?2, где соответствующий процесс
возвратен, имеет единственное решение в классе ограни-
ченных функций, а чтобы выделить единственное решение
внешней задачи Дирихле для оператора А в Л3, необходи-
мо задавать предел решения при \х\ —> оо.

64 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ {
Доказывается, что если диффузионный процесс
(Хг, Рх) положительно возвратен, то он имеет единствен-
ное стационарное распределение вероятностей |я(Г),
Г <= ^г,т. е. вероятностную меру, для которой 1/г\1(Т) =*
8=3 1 \х,(йх)РA, х, Г) = ^(Г). Эта мера имеет плотность
т(хI которая есть единственное решение задачи
Ь*т (х) = 0 при хе Дг, т (х) > О, Г т (х) их = 1.
Я'
Здесь I/* — оператор, формально сопряженный с Ь:
г г
111^1дхдх>
т (¦г)) -
Для положительно возвратных диффузионных процессов
справедлив закон больших чисел в следующей форме:
Р
8)й8= Г /(*)/*(*)
при х ^ Яг для любой ограниченной измеримой функции
1{х) на Дг.
Процесс X*, I е [О, Г], определяемый стохастическим
дифференциальным уравнением
так же как и всякий случайный процесс, индуцирует не-
которое распределение вероятностей в пространстве тра-
екторий. Так как траектории процесса X* непрерывны
с вероятностью 1, то это распределение сосредоточено
в пространстве Сот непрерывных функций, обращающих-
ся в х при I = 0. Обозначим \1Х меру в пространстве
Со г, соответствующую процессу X*. Рассмотрим вместе
с процессом X0} процесс У?, удовлетворяющий стоха-
стическому дифференциальному уравнению

§ 5] ПРОЦЕССЫ И УРАВНЕНИЯ 65
Процессы У* и X* совпадают при ^ = 0; отличаются
они вектором переноса /(^ Уг). Пусть \1у—мера в Сог,
соответствующая процессу У*. Весьма важным для нас
будет вопрос о том, когда меры \хх и |яу абсолютно не-
прерывны друг относительно друга и каков вид плотности
одной меры по другой. Предположим, что существует
г-меряый вектор ф(^, х) с ограниченными по абсолютной
величине компонентами такой, что в{х)цA, х) = /(^, х).
Оказывается, что в этом случае меры \кх и Мт абсолютно
с1цу
непрерывны друг относительно друга и плотность ^—
а\хх
имеет вид
т т
Х*) = ехр {| (Ф («, XI), йщ) - 1 \ | Ф(*, ХГ)|2л)
1 \ )
0 )
(Гирсанов [1], Гихман и Скороход [1]).
В частности, если матрица коэффициентов диффузии
а(х) = о(х)о*(х) равномерно не вырождается при х е Я\
то меры \хх и |иу будут абсолютно непрерывны друг отно-
сительно друга при любом ограниченном измеримом
/(^, х). Если X* = х + \юг — винеровский процесс и
г
У? = х + щ + | /(«)&, то
о
г
Последнее равенство справедливо, если ] |/E)|2Й5< <х>.
г
1
О"
3 А. Д. Вснтцель, М. Ц. Фрейдлщ?

ГЛАВА 2
МАЛЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ
§ 1. Нулевое приближение
Рассмотрим в пространстве Кг систему обыкновенных
дифференциальных уравнений
Х? = Ь(#.«&). Хе0=*. A-1)
Здесь ё*(со), I ^ 0,— случайный процесс на вероятност-
ном пространстве {й, ЗГ, Р}, со значениями в Н1\ в — ма-
лый числовой параметр. Мы предполагаем, что траекто-
рии процесса Е4(со) непрерывны справа, ограничены и
имеют не более чем конечное число точек разрыва на
каждом отрезке 10, Т], Т < оо. В точках разрыва Еь
где уравнение A.1), как правило, не может быть выпол-
нено, мы налагаем требование непрерывности X*. Вектор-
ное поле Ъ(х, у) = {Ъ1(х, /у), . . ., Ъг(х, у)), х<=Вг, у^Я1,
предполагается непрерывным по совокупности перемен-
ных. При этих условиях решение задачи A.1) существует
при почти всех шей во всяком случае на достаточно
малом отрезке [0г Г], Т = Г(со).
Пусть Ъ(х, 0) = Ъ(х). Мы рассматриваем случайный
процесс Х\ как результат малых случайных возмущений
системы
*« = Ь(*,), х0 = х. A.2)
Теорема 1.1. Предположим, что векторное поле
Ъ(х, у), х е КТ, 1/бй1, непрерывно, и уравнение A.2)
имеет на отрезке \0х Т] единственное решение. Тогда при

§ 1] НУЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 67
достаточно малых е решение уравнения B.1) определено
при I е= [О, Т ] и
р(нттах | X] - х1 | = о} = 1.
Этот результат, собственно говоря, не носит вероят-
ностного характера и относится к теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. Мы не будем приводить
подробное доказательство, заметим только, что сущест-
вование решения X* на всем отрезке [О, Т\ следует из
анализа доказательства теоремы Пеано о существовании
решения обыкновенного дифференциального уравнения
(см., например, К о д д и и г т о н и Л е в и н с о н [1 ]),
а сходимость вытекает из теоремы Арцела о компактнос-
ти множеств в Сот, если учесть, что решение уравнения
A.2) единственно.
Рассмотрим теперь в пространстве Кт стохастическое
дифференциальное уравнение с малым параметром
Х^Ь{Хе1) + го{Х^)и,и Х0Ё = х. A.3)
Это уравнение можно было бы считать частным случаем
уравнения A.1) с Ь(х, у) = Ъ(х) + о(х)у, однако вместо у
здесь подставляется процесс белого шума, траектории
которого не только не непрерывны, но и вообще являются
обобщенными функциями. В связи с этим вопрос о схо-
димости решения уравнения A.3) к решению уравнения
A.2), которое получается при е = О, нужно рассматри-
вать отдельно.
Теорема 1.2. Предположим, что коэффициенты
уравнения A.3) удовлетворяют условию Липшица и растут
не быстрее чем линейно:
2 [Ь* (х) - Ъг (у)]2 + 2 [а] {х) - а) (у)]2 < Щ х - у \\
г
Тогда при любых I > 0, б > О
М | X] - х% |2 < е2а(*), Ит Р (тах | X] - х8 \ > б] - О,
3*

68 ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ (ГЛ. 2
где аA) — монотонно возрастающая функция, которая
выражается через \х\ и К.
Для доказательства нам понадобится следующая лем-
ма, которую мы неоднократно будем использовать и в
дальнейшем.
Лемма 1.1. Пусть тA), <е [О, Т],—• неотрица-
тельная фучкция1 которая удовлетворяет соотношению
{з)A8г I е= [О, Т]Х A.4)
о
где Сх а > 0. Тогда при (е [0, Т]
тA) < Се«*.
Доказательство. Из неравенства A.4) по-
лучаем
П ропнтегрировав обе части от 0 до I, придем к следующе-
му соотношению:
1п С + а \ т {$) из I — 1п
V
откуда следует2 что
г
С + а \
6
Из последнего неравенства и A.4) вытекает утверждение
леммы.
Переходим теперь к доказательству теоремы. Пока-
жем, что М|Х^|2 ограниченно равномерно по е е [0, 1].
Для этого применим формулу Ито (см. § 3 гл. I) к функ-
ции 1 + |Х^|2. Из этой формулы, учитывая обращение
в нуль математического ожидания стохастического ий-

НУЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИИ 69
теграла, получим
1 + М | Х]\* = 1 + \х|2 + 2 \ М [Хе$1 Ь(Х.е))&
6
Так как коэффициенты уравнения A.3) растут не быстрее
чем линейно, то из последнего соотношения вытекает
оценка
М | А',е|2)
Отсюда на основании леммы 1.1 заключаем, что
1 + М | X? |2 < A + | х |2) *<2К+е«к«>*. A.5)
Теперь применим формулу Ито к функции \Х* — хг\*
и возьмем от обеих частей равенства математическое
ожидание:
6
Из этого соотношения следует1 что
2к Г м | х? - х8 \2<18 + 82я2 Г A + м I х;|2) а$х
о 6

70 возмущения на конечном отрезке бременя [Гл. 2
и вследствие леммы 1.1
т
М I А/ — хх | ^. е • гсКи \ \\ -;- М | А8 | ^ а5.
о
Объединяя последнее неравенство пA.5), получаем пер-
вое утверждение теоремы:
М | X] — х% |2 < г2К2е2Кг A + | ^|2) | е^к+*кг)*<1$< е2а (г).
о
Докажем теперь второе утверждение теоремы 1.2.
Из определения А|[ и хл следуетх что
тах | Ал — ,
х
\\\Ь (Х4е) - Ъ {ха) | Й8 + г тах | а (X*) йи
0 0^5^/ 0
. A.6)
Из неравенства Чебышева и первого утверждения теоре-
мы вытекает оценка первого слагаемого правой части A.6):
г
^2 \
о
||ь(х;)-ь(*.
г
б^2 \ М | X] - х, \
г
а {з) Аз - е^2^ (*). A.7)
Оценка второго слагаемого в A.6) проводится с по-
мощью обобщенного неравенства Колмогорова для сто-

§ 1] НУЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
хастических интегралов:
2аа@. A.8)
Из оценок A.6)—A.8) вытекает последнее утверждение
теоремы.
В теореме 1.2 мы в некоторых отношениях делаем
более сильные предположения, чем в теореме 1.1,— счи-
таем, что коэффициенты удовлетворяют условию Лип-
шица, а не просто непрерывны. При этом мы получаем
и более сильный результат — не только доказываем схо-
димость Х^ к хг, но получаем и некоторые оценки скорости
этой сходимости. Если сделать еще более сильные пред-
положения относительно гладкости коэффициентов, то
м >жно более точно оценить разность Х^ — хь. Мы вер
немея к этому вопросу в следующем параграфе, а сейчас
приведем один результат о нулевом приближении для
дифференциального уравнения с правыми частями до-
вольно общего вида.
Рассмотрим в Ег дифференциальное уравнение
Х\ = Ь(е,/,*?,<•>), XI =х.
Здесь Ь(е, I, х, со) = (Ьг(г, I, х, со), . . ., Ьг(е, I, х, со)) —
г-мерный вектор, определенный при х е /?г, I ^ О,
в> 0, со е= п.
Предположим, что поле Ь(е, г, х, со) непрерывно по I
и х при почти всех со для любого 8 > О,
зир М | Ь (е, I, х% со) |2 < ооА
Г>0,ее@,1]
п при некотором К > 0 почти наверное
|Ь(е, «, х, со) — Ь(е, ^ у, со)| < К\х — у\
для любых х,- у е Д^ ^ ^ 01 е "> 0. Заметим2 что непре-

72
ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 2
рывность по е при фиксированных I, хг со не предпола-
гается.
Теорема 1.3. Предположим, что существует такая
непрерывная функция ЪA, х), I > О, х е Кг, что при лю-
бых б > О, Т > 01 х е Лг равномерно по 10 ^ О
НтР
С Ь (е, ^, ж, ш) ^ —
= 0. A.9)
уравнение
*«=Ь"(*Л), ^0 = ^ A-1°)
имеет единственное решение, и для всяких Т > 0} б > 0
Нт Р { тах | X] — хг \ > б} = 0.
е,0 10<*<Т ;
е-,0
Доказательство. Прежде всего заметим, что
функция ЪA, х) обязана удовлетворять условию Липшица
по а: с той же постоянной, что и функция Ь(г, I, х, со).
Действительно, так как функция ЬA, х) непрерывьа,
то по теореме о среднем
Отсюда, с учетом A.9), получаем
<+Д
н-д
Ь{8,Х)<18-
ИД н-д
] Ь (е,,5, о:, со) й$ — ^ Ь (е, 5, г/, оз) <
Л
где бе = бе(^, со) -> 0 по вероятности при е -» 0,

§ 1] ЙУЛЁВОЁ ПРИБЛИЖЕНИЕ ^3
Так как это неравенство справедливо при произволь-
но малых е и Д, то
\Ь(г% х) — ЪA> у)\ ^ К\х — у\. A.11)
Из A.11) вытекает1 что уравнение A.10) имеет единствен-
ное решение.
По определению X] о хх имеем
х
Х\-х(~\[Ъ(е, 5, ХЧ, со) - ЪE, *,)] & =
6
в ] \Р (е> 81 Х*1 ®) — Ъ (е, 5, х8, со)] с?5 +
о
X
-г )[Ь (е, 5, аг8, со) — Ь (с, х3)]A5.
о
Обозначим т@ = т*(г) = тах | XI — ^|. Из предыдущей
формулы вытекает неравенство
Я • I т E)
тах
о
[Ь(е, 5, х3,со) — 5(^а:й)]
Отсюда при помощи леммы 1.1 получаем
х
тах ) [Ь{г,8,х8,(о)—Ь[кз,х8Iа8 , A.12)
6
где Т — любое положительное число.
Покажем теперь, что максимум в правой части A.12)
стремится к нулю по вероятности при г -> 0. Пусть п —
большое натуральное число, которое мы выберем позже.
Используя условие Липшица при I е [02 Г]1 будем иметь
х
) \Ъ (е2 52 х3} со) — Б E,1с8)] дз ==
-1)//п
/1=0 к1/п

74 ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 2
= 21
0
1)//п _ / _ \1
1)//п , N
кип
, A.13)
где |рп,/| <СЛ1п, С — постоянная, зависящая от кон-
станты Липшица X и от Т.
При фиксированном я сумма в последней части форму-
лы стремится к нулю по вероятности в силу условия A.9).
Таким образом, из A.13) вытекаетх что при п^Ь
Нт Р { тах
кТ/п
A.14)
Далее заметим, что
Р тах I { [Ь (е, «2 хЛ1 со) - Ь (8> х,)] йв| > 6 <
кТ/п
тах I ] [ь(е, 5,^,со) — ЬE2 х3)] I
(А+1)Т/л
тах
/п
¦|1 A-15)
Последнее слагаемое оценим с помощью неравенства

где С1! — некоторая константа. При этом мы воспользова-
лись тем, что зир М |Ь(е, 5, 0, со)|2 < оо.
8>0. е^=@.1]
Из A.14)—A.16) вытекает, что правая часть в A.12)
стремится к нулю по вероятности при е -*¦ 0. Этим закаа-
чпвается доказательство теоремы 1.3.
На случайный процесс Х\, рассматриваемый в теоре-
ме 1.3, можно смотреть как на результат случайных воз-
мущений системы A.10). Мы вернемся к изучению подоб-
ных возмущений в гл. 7.
§ 2. Разложение по степеням малого параметра
Вернемся к рассмотрению уравнений A.1) и A.3).
В этом параграфе мы, предполагая функции Ъ(хц у) доста-
точно гладкими, получим разложение для Х\ по степеням
малого параметра е.
В соответствии с общей идеологией теории возмуще-
ний, чтобы найти разложение X] по степеням 8
X? = Х10) + гХ\{) + ...+ 6*Х(/° +..., B.1)
мы подставим это разложение с неизвестными пока коэф
фициентами Х(,0), . . ., Х\к\ ... в уравнение A.1) и раз-
ложим правые части по степеням е. Затем, приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа,
A.16)
» 2] РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА 75
Чебышёва!

76 ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 2
получим дифференциальные уравнения для последова-
тельного определения коэффициентов Х\°\ Х\{\ ...
в B.1).
Посмотрим, как будет разлагаться по степеням е пра-
вая часть A.1). Пусть Х(е) — произвольный стеиеннои ряд
с коэффициентами пз Кг:
Х(е) = с0 + с^ + . . . + скгк + . . •
Обозначим
Легко видеть, что Фк при к ^ 1 линейно зависит от ск;
по переменным у функция Фк является многочленом сте-
пени к. В частности,
Фх = Вг (с0, 0) сх + В2 (с0, 0) у%
(дЪ{(х,у)\
где ох(х, у) = —Т1— — квадратная матрица поряд-
V ах I
(дЪх (х, у)\
ка г, В2(х, у) = I—д к ) — матрица, имеющая г строк
и I столбцов. Вообще из определения Ф& ясно, что раз-
ность Фь — Вг{с0, 0)ск = Чк(с0% сг, . . #1 ск_1% у) не за-
висит от ск.
Действуя в соответствии с планом; изложенным выше,
разлагаем обе части A.1) по степеням е:
Х<0) +гХ\»+... + г"Х\к) + ... = Фо
)+... + г"Фк
Отсюда получаем дифференциальные уравнения
хГ = ф,(х(ДЫ
Х{» = Ф, (Х\°\ XI», Е.) = Б, (Х<Д 0)Х<0) + Б2 (ХД 0)

К этим дифференциальным уравнениям нужно приписать
начальные условия Х@0) = х, Х{0{) = 0, ..., Х{ок) = 0, . . .
Если функция Ь(х, у) достаточно гладкая, то уравнения
B.2) вместе с начальными условиями однозначно опреде-
ляют функции Х{0), Х*0), ..., Х(/°, ... Нулевое прибли-
жение определяется из первого уравнения системы B.2),
которое совпадает с A.2). Если Х*0) известно, второе
уравнение в B.2) превращается в линейное уравнение
относительно X/ , и вообще, если мы нашли функции
Х*0), ..., X**"*, то уравнение для Х[к) будет линей-
ным неоднородным уравнением с коэффициентами, зави-
сящими ог времени.
Теорема 2.1. Предположим, что траектории про-
цесса ^((°) с вероятностью 1 непрерывны, функция Ь(х, у),.
х е Яг, у е Н1Г имеет к + 1 ограниченных непрерывных
частных производных по переменным х и у. Тогда
Доказательство. Из определения X*, Х\{\
г = 0, 1, . . .,/с, вытекает, что функция В1±\ (I) = Х^ —
к
— 2 егХ^1) удовлетворяет соотношению
1=0
B.3)
§ 2] РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА 77
B.2)

78
ВОЗМУЩЕНИЯ НА'КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 2
Из ограниченности первых производных функции Ъ(х, у)
вытекает, что первое слагаемое в правой части B.3) оце-
нивается следующим образом:
где Кг — некоторая константа.
В разложении Тейлора для Ъ
к - \
B-4)
вбли-
зи точки (Х[ , 0) коэффициенты при е1 равны Ф^ вплоть
до I = к. Отсюда вытекает, что
2л
{=0
к
2л
г=0
^ B
. B-5)
Здесь К{и..^{1 — некоторые постоянные, зависящие от
максимума модуля (к + 1)-х производных функции
Ъ(х, у), от ъи . . ., г] и от размерности.
Оценку \Х\г)\ дает следующая лемма:
Лемма 2.1. Существуют константы Сг < оо та-
ки^ что | Х(/}|<С, • (^х^|^| V при всех г ^ у.
Доказательство проводится по индукции
(разумеется, на основании уравнений B.2)).
Если проинтегрировать B.3) от 0 до I и учесть, что
7^4-1 @) = 0, а также неравенства B.4)г B.5) и лемму
2.1, то получим
(о1<*,1|.
Ык+1)
где К2 — некоторая константа. При 6^B тах |
К 0<5<Г
сумма в правой части не превосходит 2еа+1 ! тах IЕ51 )к+К

§ 2] Разложение по степеням малого параметра 79
Пользуемся леммой 1.1; получаем
Это завершает доказательство теоремы.
Таким образом, если функция Ъ(х, у) достаточно глад-
кая, то можно вычислить X* с любой наперед заданной
точностью. Для этого нужно проинтегрировать уравнения
для Х/г). Все эти уравнения линейные и имеют приблизи-
тельно одинаковую структуру. Нулевое приближение
Х*0) — это неслучайная функция, все приближения, на-
чиная с первого,— случайные процессы. Отметим, что
функция Х(/} находится из уравнения
х\» = в,(х<0), о) хИ> + в2 (х\°\ о) б,; х'о1' = о.
Отсюда ясно, что Х[{) получается из ^ с помощью линей-
ного (неслучайного) преобразования. В частности, если
ьг — гауссовскии процесс^ то А} — тоже гауссовскии,
и, следовательно, Х(^0) -}- гХ\{) — приближение X] с
точностью до величин порядка е2 — гауссовскии процесс.
Остановимся подробнее на одномерном случае: Х\ —
процесс в В1, ^ — одномерный процесс. Тогда уравне-
ние для Х[{) может быть решено в квадратурах:
Х<<> = | Ь'2 (Х?\ 0) ^ ехр 11 Ъ\ (Х«\ 0) Йц1 Оз.
Выпишем уравнение для Х\2):
%*> = *', (Х\°\ 0) X? + | [Ь'и №°\ 0) (Х(,°J +
+ 2Ь]2(Х\°\ 0)Х\% + Ь22{Х\°\ 0) |?], Х^ - 0.
Здесь Ъ\, Ь-2, — производные по х и у соответственно от
функции Ь(х, у); Ь{) — вторые производные от той же
функции. Уравнение для Х(*2) можно тоже решить в
квадратурах; Х\2) — квадратичный функционал от про-

80 ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ (ГЛ. 2
цесса 1г. Аналогичный вид имеют уравнения для Х\г)
при I = 3, 4... Все они могут быть последовательно
проинтегрированы в квадратурах.
Эти уравнения становятся особенно простыми, если
Хг0 = х — положение равновесия невозмущенной сис-
темы. В этом случае функции Х\г) находятся как решения
линейных неоднородных уравнений с постоянными коэф-
фициентами.
Теорему 2.1 можно использовать для вычисления раз-
ложений по степеням малого параметра гладких функции
от X] и их математических ожиданий. Например, если
первые и вторые производные функции ]{х) ограничены, то
М/ (X?) = М [/ (Х((°>) + ( V/ (Х(@)), *П в + О (е«)] ==
е (V/ (Х\0)), МХ^) + О
где функция тA) = МХ[1) — решение дифференциаль-
ного уравнения
т (() = Б, {Х[°\ 0) т (/) + В, (Х\°\ 0) М|(.
Переходим теперь к уравнению A.3). Формальпо мож-
но считать, что уравнение A.3) есть частный случай A.1)
с Ъ(х, у) = Ь(х) + ®{х)у и, считая Ь(х) и о(х) достаточно
гладкими, записать для этого случая уравнения B.2):
В (Х10)) #» + а (ЛГГ) щ, Х'о" = 0,
B.С)
/ 5&* (яг) \
Здесь В(^) = I дхз \- Во все уравнения юх входит ли-
нейно. Совокупность первых к уравнений системы B.6)
можно рассматривать как стохастическое дифференциаль-
ное уравнение для процесса Х)^ ^ (Х\°\ Х\*\ ,..; Х\к)).

12] разложение по степеням малого параметра &1
Если функции Ь(х) и о(х) имеют ограниченные производ-
ные до порядка к + 1 включительно, то это стохастическое
дифференциальное уравнение имеет единственное решение
и определяет (к + 1)-мерный марковский процесс. Как и в
случае уравнения A.1), нулевое приближение — детерми-
нированное движение вдоль траекторий иевозмущенной
динамической системы A.2). Процесс Х\Х) определяется
из стохастического дифференциального уравнения, у ко-
торого вектор переноса линейно зависит от Х[х\ а коэф-
фициенты диффузии зависят только от I. Легко проверить
(это следует, например, из того, что решение стохасти-
ческого дифференциального уравнения можно построить
методом последовательных приближений), что Х[х) —
гауссовский процесс. Таким образом, решение уравнения
A.3) с точностью до величин порядка е2 есть гауссовский
марковский (неоднородный по времени) процесс Х[0) 4-
Д
Рассмотрим в качестве примера одномерное стохасти-
ческое дифференциальное уравнение
I — О \ Л.{ I —р- 61/^*, •** О == *^ф
Нулевое приближение Х(^0) есть решение уравнения
Х[0)=Ь(Х(г0)), Х(о} = х. Для Х{° получаем уравнение
Если считать Х[0) известной функцией, то решение этого
уравнения можно записать в виде
г
Таким образом,
X] = Х\о) + е | ехрП V (Х°и) аи\ йю& + о (г).
о и )
Сформулируем теорему относительно разложения по
степеням малого параметра 8 решения стохастического
дифференциального уравнения.

82 ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 2
Теорема 2.2. Предположим, что коэффициенты
Ьг(х) и о) (х) имеют ограниченные частные производные
до порядка к + 1 включительно.
Тогда для решения Х\ уравнения A.3) имеет место
разложение
X] = Х<0) + гХ\» +...+ гкХ\к) + Я2+1 (I), B.7)
где Х\°\ Х[{\..., Х[к) —определяются из уравне-
ний B.6). Случайный процесс Х?+1 = {Х\°\ ..., Х\к))
определяется первыми к + 1 уравнениями системы B.6).
С точностью до величии порядка е2 процесс X] прибли-
жается гауссовским процессом Х\) + еХ\ \ Остаточный
член в B.7) удовлетворяет неравенству
8ир (М|я2+1@|2I/г<С8к+1, С<ос.
Доказательство этой теоремы лишь некото-
рыми техническими моментами отличается от доказа-
тельства теоремы 2.1. Эти технические моменты, впрочем,
требуют довольно громоздких выкладок, связанных с
доказательством дифференцируемое™ решения стохасти-
ческого дифференциального уравнения по параметру.
Такие вопросы лежат в стороне от нашей основной темы,
поэтому мы не будем приводить здесь доказательства тео-
ремы 2.5. Это доказательство можно извлечь из ста-
тей Благовещенского и Фрейдлина Ц]1
Благовещенского [1 ].
Из разложения
XI = Х\0) + еХ<" + ... + гнХ\к) + о (г") B.8)
для реализаций X] легко получить разложение по степе-
ням е для гладких функционалов от реализаций. Пусть
функционал Р дифференцируем по Фреше в точке Х@>;
производная Р в этой точке — линейный функционал
'0^; к). В этом случае имеем
о(г) B.9)
при е -> 0х где о(г) понимается в том же смыслег что и в

§ 21 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА 83
B.8) (равномерно по г е Ю, Т] при почти всех со или в
смысле сходимости по вероятности равномерно по I).
Из разложения B.9) в случае, когда Х\{) — гауссов-
ский случайный процесс, получаем, что значение функцио-
нала Р(Хг) асимптотически нормально с дисперсией,
пропорциональной е2. Коэффициент пропорциональности
в этой асимптотической дисперсии выражается через про-
изводную Р'(Х^\ к) и корреляционную функцию слу-
чайного процесса Х\{) (асимптотическое среднее равно
*\Х<°>), если только МХ^ = 0).
Рассмотрим теперь случай, когда функционал Р диф-
ференцируем два раза, вторая производная — билиней-
ный функционал ^"(Х@); кг, к2). Получаем разложение
с точностью до о(е2) при 8 -*> 0:
+ 82 [!*"' (Х@); ХA), ХA)) + Г (Х@); ХB)I + о (е2); B.10)
и т. д.
Например, для функционала Р вида
г
^(Ф) = ЬЫЛ B.11)
6
формулы B.9), B.10) принимают вид (для простоты обо-
значений рассматриваем одномерный случай):
т т т
(^^ (е); B.12)
В задачах, связанных со случайными процессами, час-
то приходится рассматривать функционалы^ определяемые

84 ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ ТТЛ. 2
через первый момент выхода из области В. В случае об-
ласти с гладкой границей функционал т(ф) = гшп {I:
Фг ф. В) не будет дифференцируем по Фреше во всех
точках ф пространства непрерывных функций; он даже
не будет непрерывен. Однако он будет дифференцируем
в тех точках ф, для которых ф4 имеет производную при
I = х(ф), направление которой не касательно к границе.
Не будем доказывать этого на языке производных в функ-
циональном пространстве, а сформулируем результат сра-
зу на языке разложений по степеням е.
Теорема 2.3. Пусть имеет место разложение B.8)
с к = 1. Пусть 10 — первый момент выхода траектории
Х\о) из области Вг те — первый момент выхода из этой
области случайного процесса Х\. Пусть граница дВ об-
ласти один раз дифференцируема в точке Х\°о\ причем п —
вектор внешней нормали в этой точке. Пусть [Х\^ 1 п) > 0.
Тогда
B.14)
+ о(г) B.15)
при 8 -> 0 (где о(г) понимается в смысле сходимости с
вероятностью 1 или сходимости по вероятности в зависи-
мости от того, как понимается о(г) в разложении B.8)).
Доказательство. Пользуемся разложением
B.8) на отрезке [0, Г], где Т > 10. Прежде всего полу-
чаем, что тЕ -> г0 при е -> 0. Отсюда
= ХГ + (те - О Х\? + о(хе- д + гХ\1: + о (г). B.16)
Умножив B.16) скалярно на пх получим
;. - Х\:\ п) = (хе - О {Х\Ч\ п) + о (т8 - О +
+ г(Х\1\п) + о(г). B.17)

§ 2] РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА 85
С другой стороны, из-за гладкости дП в точке Х\°9\
скалярное произведение в левой части B.17) будет беско-
нечно малым по сравнению с Х*е — Х/о0). Отсюда и из
B.16) получаем
(Х*е - Х%\ п) = о (хв - О + о (в). B.18)
Из B.17), B.18) получаем разложение B.14) для тЛ Под-
ставляя его еще раз в B.16), получаем B.15).
Коэффициент при е в разложении B.15) получается
проектированием вектора Х\^ параллельно Х\% на ка-
сательную в точке Х[о0).
Если имеет место разложение B.8) с к = 2, причем
функция Х\ дифференцируема дважды, а случайная
функция Х\{) — один раз, мы можем получить разложе-
ние те и Х8^ с точностью до о(г2) (хотя соответствующий
функционал дважды дифференцируем только вдоль не-
которого подпространства). Если же случайная функция
Х\{) не дифференцируема (как это будет в случае диффу-
зионных процессов с малой диффузией, рассмотренном
в теореме 2.2), разложение для х8 с точностью до о(е2)
не получается. Поясним, с чем это связано.
Дело в том, что в доказательстве теоремы 2.3 мы ни-
как не использовали, что х8 — это именно первый момент
достижения границы, а только тог что это — какой-то
момент, когда X8 находится на границе, причем сходя-
щийся к г0. Если мы рассмотрим процесс X8 простейшего
вида: X8 = х0 + * + еы^, то его первый момент х8 дости-
жения точки х1 > х0 и последний момент а8 пребывания
в точке хг отличаются на величину порядка е2. Действи-
тельно, с помощью строго марковского свойства относи-
тельно марковского момента х8 получаем, что распределе-
ние а8 — х8 — такое же, как для случайной величины
С8 = тах {г : I + еш^ = 0}. Далее пользуемся тем, что
е-2(ге2 + гще*) =* I + е-Ч^8» =* I +Ъи где Ъг — снова
винеровский процесс, выходящий из нуля; и ^8 = е2С,
где X = тах {г: X + Ъг =» 0}.

83 ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ 1ГД. 2
§ 3. Эллиптические и параболические
дифференциальные уравнения
с малым параметром при старших производных
В теории дифференциальных уравнений эллиптического
и параболического типов большое внимание уделяется
исследованию поведения при е -> 0 решений краевых
задач для уравнений вида Ьеиг-\-с(х)иъ = /(х), -^г =
= ЬЕие + с(х)ив + #(,г), где Ьв — эллиптический диф-
ференциальный оператор с малым параметром при старших
производных:
Как было сказано в гл. 1, с каждым таким оператором
Ьг (коэффициенты которого мы предполагаем достаточно
регулярными) связывается диффузионный процесс Х\х\
его можно задать с помощью стохастического уравнения
А* =Ь{\г' ) +Ев{Хг )и>и Ао' =х, C.1)
где о(х)о*(х) = (аЩх)), Ъ(х) = (Ъ1(х), . . .,Ьг(х)). Для
этого процесса мы будем иногда пользоваться обозначе-
нием Х*'х, иногда Х\(х) (в рамках понятия марков-
ского семейства); а иногда — X], и тогда мы будем писать
индекс х у вероятности: марковский процесс (X*, Рх).
В двух предыдущих параграфах этой главы мы получили
ряд результатов относительно поведения при г -> 0 ре-
шений Х\уХ (со) уравнений C.1). Так как решения краевых
задач для оператора Ьг можно записать в виде средних
значений некоторых функционалов от траекторий семей-
ства {Х*'х, Р), то, зная поведение Х^'ж((о) при е -> 0, можно
сделать те или иные выводы относительно поведения при
е -* 0 решений краевых задач. Этим вопросам и посвящен
настоящий параграф.
Рассмотрим задачу Коши
„е @, *) = /(*) C.2)

§ 3] уравнения с малым параметром 87
при е>0 и вместе с ней задачу для оператора первого
порядка, который получается при е = 0:
(о. о)
У°@, *)=/(*)•
Мы считаем, что выполняются следующие условия:
1) функции с(х), §(х) равномерно непрерывны и огра-
ничены при х е Кт\
2) коэффициенты оператора Ь1 удовлетворяют условию
Липшица;
3) АГ2 2 *?< 2 а«(*)^<*22Ь? при любых ве-
1,3=1
щественных Я1? Х2, . . ., Кг и х е Кт, где к2 — положи-
тельная константа.
При этих условиях решения задач C.2) и C.3) сущест-
вуют и единственны.
Все результаты этого параграфа сохраняются и в слу-
чае, когда форма ^а^(х)К^ только неотрицательно опреде-
лена, но в случае вырождений нужно уточнить постановку
краевых задач и ввести понятие обобщенного решения.
Уточнения, необходимые при наличии вырождений, мы
сделаем после разбора невырожденного случая.
Теорема 3.1. Если условия 1)—3) выполнены, то при
любой ограниченной •непрерывной начальной функции }(х),
х е /?г, существует Нш иг(г, х) = и°A,х). Функция г°(г, х)
е->0
является решением задачи C.3).
Для доказательства заметим прежде всего,
что если выполнено условие 3), то существует матрица
о(х) с удовлетворяющими условию Липшица элементами,
для которой о(х)о*(х) = (а^(х)) (см. § 5 гл. 1)
Решение уравнения C.2) может быть представлено
следующим образом:
= м/ (хг.
8
(Х1х)е° " Л», C.4)

88 ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 2
где X*'30 — марковское семейство, построенное с помощью
уравнения C.1). Из теоремы 1.2 следует, что процессы
Х*уХ (со) сходятся по вероятности при е -> 0 равномерно
на отрезке [О, I] к Хз'х— решению уравнения A.2) с на-
чальным условием Хо'* = х. Учитывая, что под знаком
математического ожидания в C.4) стоит непрерывный огра-
ниченный функционал от X*'* (со),по теореме Лебега о пре-
дельном переходе заключаем, что
Легко проверить подстановкой, что функция, стоящая в
правой части последнего равенства есть решение задачи
C.3). Теорема 3.1 доказана.
Если предположить, что коэффициенты оператора Ьг
имеют ограниченные производные до порядка к-\-1 вклю-
чительно, то матрицу о(х) можно выбрать так, чтобы ее
элементы тоже имели /с+1 ограниченную производную.
В этом случае в силу теоремы 2.2 для Хг'х можно написать
разложение по степеням е до порядка к. Если функции
/(я), с(х), %(х) имеют /с+1 ограниченную производную,
то, как это следует из B.7), имеет место разложение
по степеням 8 до порядка к с остаточным членом поряд-
ка е*+Ч
Так, например, если %(х) я с(х) = 0 и г = 1, то реше-
ние задачи C.2) можно записать в виде
... + е*Х<*> + П1+> @) =
к
= 2 е^Сг + О(е^+1), C.5)
где Х^0), Х^A), .., Х[к) -— коэффициенты разложения X®
по степеням малого параметра, о которых шла речь

§ 3] УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ 89
в теореме 2.2;
Из формулы C.5) и уравнений, определяющих процессы
Х[г), можно вывести, что коэффициенты при нечетных сте-
пенях е обращаются в нуль. Коэффициенты при е2т яв-
ляются решениями некоторых уравнений в частных произ-
водных первого порядка; их можно, разумеется, найти
также, решая системы обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Продемонстрируем вероятностный метод получения
коэффициентов разложения иг{1, х) в простейшем случае—
для размерности 1 — и разложения до членов порядка е2.
Для коэффициентов разложения по степеям е решения
стохастического уравнения
X] = Ь (X?) + га (X?) щ, Хв0 = хл C.6)
выпишем первые три уравнения B.6):
Х[0)=Ь{Х\0)), Х@0) = *; C.7)
Х\1) = Ь'{хПх\1) + о(хП"г, Х^О, C.8)
Х\2) = V (Х(@)) Х|2) + 1Ь" (Х<0)) (Х(,пJ +
+ о'(х\0))Х\1)щ, Х@2) = 0. C.9)
Функция Х(*0) — неслучайная, другое обозначение для
нее — хг{х).
Если / — дважды непрерывно дифференцируемая функ-
ция, имеет место разложение
[/' (ХП X? + { Г (Х(^) (Х(/>J| + о (в«). C.10)

90 ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 2
Возьмем от обеих частей математическое ожидание
Vе (I, х) = Мх/ (х?) = / {х1 (х)) + е/' (л, (х)) МаХ'(° +
+ е* [/' (х, И) МД.А'(,2) + ± /" (х, (х)) Мх (Х<(' О2] + о {В%
C.11)
Процесс Х*1)— гауссовский с нулевым средним, так что
коэффициент при е обращается в нуль. Чтобы найти
МХ{Х\{)J, применяем формулу C.8) и формулу Ито
^-(Х|'>J = 26' (Х{0)) (Х\»У + 2о ( АГ) Ь' (Х((о))«''( +
+ о{Х\0>)\ C.12)
Беря математическое ожидание от обеих частей, получаем
линейное неоднородное дифференциальное уравнение для
с начальным условием Мх.(Х@1)J == 0.
Решив это уравнение, находим и решение уравнения
для Мх Х\2\ получаемое взятием математического ожида-
ния от C.9):
Итак, для нахождения коэффициентов в разложении
ь'е(г, х) по е до порядка 2 достаточно решить нелинейное
уравнение хг(х) = Ь{хь(х)), и два линейных — C.13) и
C.14).
Тот же результат проще получить стандартными ме-
тодами теории дифференциальных уравнений; однако ве-
роятностные методы могут быть применены также к менее
стандартным асимптотическим задачам. Пусть, например,
(ЗЛ4)

I 3| УРаёнёйпй с малым Параметром 91
функция / в точке у = хг(х) не гладкая, а имеет «уголок»
степенного порядка: ((г) = {{у) + С\г — у\а +¦ о(\г — у\а)
при г -+ у, 0<сх^1- Пользуемся разложением X* до
членов сев первой степени:
При 5 = I имеем
V* (*, яг) = МЛ./ (X,8) =/(») + евСМя | Х\{) |в + о (еа).
Математическое ожидание здесь находим, пользуясь гаус~
совостыо Х\{)\ оно равно
Если функция / обращается в нуль в окрестности точки
X4/1* — положения в момент I траектории невозмущенной
динамической системы A.2), то все члены разложения C.5)
обращаются в нуль. Оказывается, в этом случае ие(г, х)
логарифмически эквивалентно ехр {—Се"}, где С —
некоторая постоянная. Мы вернемся к этому случаю в
следующей главе.
Рассмотрим теперь в ограниченной области В с Вг
с границией дВ задачу Дирихле для эллиптического урав-
нения с малым параметром
C.15)

92 возмущения на конечном отрезке времени [Гл. 2
Мы предполагаем, что коэффициенты удовлетворяют
условиям 1)— 3), с(х) ^ 0, граница дВ области В для про-
стоты считается гладкой, функция ^р(х), х е дВ,— непре-
рывной. При этих условиях для любого е Ф О существует
единственное решение задачи C.15). Это решение (см. § 5
гл. 1) может быть записано в виде
№
C.16)
где (X*, Рх) —- марковский процесс, определяемый урав-
нением C.1), т8 = тт {I : X] ф В). В случае, когда мы
будем пользоваться обозначением Х*(х)г мы будем также
писать те(х).
Мы будем говорить, что траектория хг(х), жбВ,
системы A.2) выходит из области В правильным образом,
если Т(х) = гшп {I: хг{х) ф В) < оо п хТ(х)+ь(х) ф В[)
[} дВ при достаточно малых б ;> 0.
Теорема 3.2. Предположим, что выполнены усло-
вия 1)— 3), область В ограничена и имеет гладкую гра-
ницу. Тогда, если с(х) < 0 при всех х е В \] дВ и при
данном х траектория х%[г), г^0х не выходит из В> то
1\т ие(х) =г и°(х) существует, и
Лз.
Если с(х) < 0 при всех х е В \] дВ, и приданном х
траектория хг{х) выходит из В правильным образом, то
\[тие(х) = и°(х) =*
Т(х) в

§ 3] УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ 03
Доказательство. Пусть сначала Т(х) = + оо.
Тогда для любого Т <С оо расстояние от отрезка траекто-
рии х&{х), О <; 5 <^ 7\ до границы дВ области В положи-
тельно. Обозначим это расстояние бг. Для любого ее > О
при достаточно малом е0 > О
Р ( шах | X* (х) - х8 (х) | > 4?) < а C.17)
при 8 <е0. Это следует из второго утверждения теоремы 1.2.
Из определения бг и C.17) вытекает, что
Р[т8(*)<Г}<а. C.18)
Обозначим с0 = ппп \с(х)\, ^0 = тах Щх)\, ^0 =
«= тах |г(я)|.
На основе C.18) приходим к следующей оценке:
оо
ие(х)+\ё(ха(х))е°
а
1С|
-*(*.(*))е°
б
Так как а и е-с*т могут быть выбраны как угодно малыми
при достаточно малых е, а зир \Хг8(х) —х8 (х)\-*0 по
вероятности при е ->¦ 0, то из последнего неравенства
вытекает первое утверждение теоремы.
Пусть теперь хг{х) выходит из В правильным образом
(рис. 1). Тогда тг(х) —> Т(х) при е->-0 по вероятности»
Действительно, при достаточно малых б > О
*т(*>-б(*) е В, хт(х)+ь(х) фВ \] дВ.
Пусть бх — расстояние от отрезка траектории х^(х), § е

04
ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ [ГЛ.
е [0, Т(х) — б] до дВ, б2 — расстояние от Хт(х)+ь(х)
до дВ, б = гит (бь б2). По теореме 1.2
( эйр | Хе3 (х) - х8 (х) | > б) = 0.
^0<8<Т(х)-|-б )
Нт Р
е-»0
Отсюда следует, что тг(х) е [Т(х) — б, Т(х) + б] с веро-
ятностью, стремящейся к 1 при е -> 0. Это и означает,
что те(е) ->¦ Т(х) по вероят-
ности. Если воспользовать-
ся этим обстоятельством и
теоремой 1.2, то из C.16) вы-
текает последнее утвержде-
ние теоремы. Предельный пе-
реход под знаком математи-
ческого ожидания законен в
силу равномерной ограни-
ченности выражения, стояще-
го под знаком математиче-
ского ожидания.
Пусть теперь функция с(х)
любого знака: известно
только, что она непрерывна. В этом случае задача C.15)
может, вообще говоря, выйти на спектр: ее решение может
существовать не для любой правой части и не быть единст-
венным. Как говорилось в § 5 гл. 1, для того чтобы этого
не произошло, достаточно, чтобы с(х) ^ с0 при х е В
и МхеСоТ < оо.
Лемма 3.1. Предположим, что при любом х е О
траектория хг(х) выходит из В правильным образом и
Т(х) ^ То <С оо при з;ей. Пусть при некотором б>0
шах р (хг (х), О у дО) ^ с > 0 для всех хей. Тогда для
Т()Т()+б
рис
()<«()+
любого X найдутся А (X) и е(А,)>0 такие, что при
оо.
Доказательство. Как следует из анализа,
проведенного при доказательстве теоремы 3.2, если х^х)
выходит из В правильным образом, то тг(х) ->¦ Т(х)
по вероятности при е -> 0. Из условий Т(х) ^ То и
тах р (хг(хI В [} дВ)^>с выводится^ что для любого

§ 3] УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ 95
б > 0 найдется такое е0 > 0, что при г < е0
Р{|те(х) - Г0г)|>6}<8
сразу для всех жей. Отсюда следует, что
л{т8>2Г0) <б. C.19)
Далее, используя C.19) и марковское свойство процесса
(А7, РД будем иметь
осе Б
эсер ^ ' х(п— 1)-2Г0
Из этого неравенства следует, что при любом целом п
Так как величина б может быть выбрана произвольно
малой при достаточно малом 8, то из последнего неравенст-
ва получаем утверждение леммы:
М^хв < 2 ^2Т'(П+1)РЛ {те > 27>} <
<^2Г'.5(Л2Т°б)п = Л (Х)<оо.
Следствие. При любом к > 0 найдется постоян-
ная 5 = В(к) такая, что 1к ^ ВеК Отсюда в силу лем-
мы 3.1 вытекает, что
М, (т8)^ < В {к) Мхех* < В (к) А A) = А < оо.
Теорема 3.3. Пусть выполнены условия 1)— 3),
область Г> ограничена и имеет гладкую границу дВ, функ-
ция у(х) на дВ непрерывна. Предположим, что при всех

96 ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 2
х е В траектории хг(х) выходят из В правильным об-
разом, зирГ(х) < То < оо, и шах р (хг (х), О [ О
Б Т()<<Т(Lб
()<^<(L
Тогда для любой непрерывной функции с(х), жеО Ц дй,
задача C.15) однозначно разрешима при достаточно ма-
лых е, и
Ит и (х) = и0 (х) =
е-»о
ТГх) 6
§с(х8[х))<18 Т(х) §с(хь(х))(&
Доказательство. Как указывалось в § 1.5, для
однозначной разрешимости задачи C.15) и справедливос-
ти C.16) достаточно, чтобы Мх ехр/т8- шах с(х)\ ^
I эсеоиао /
^ А < оо, поэтому первое утверждение теоремы выте-
кает из леммы 3.1.
Второе утверждение вытекает из C.16), если учесть,
что при 8 -> 0 для любых I > 0 и х ^ Б
X8 (X) -+ Т (Х)% 811 р | X? (X) - Х8 (X) | ^ О
по вероятности, а математическое ожидание квадрата слу-
чайной величины, стоящей в C.16) под знаком математи-
ческого ожидания, ограничено равномерно по б< 8о,
если только 80 достаточно мало.
Замечание 1. Если Т(х) < оо, но траектория
хх(х) не выходит из О правильным образом, то, как сле-
дует из простых примеров, вдоль этой траектории предель-
ная функция может иметь разрыв.
Замечание 2. Легко проверить, что предельная
функция и°(х) в теореме 3.3 удовлетворяет уравнению
первого порядка, которое получается при е = 0:
Ь'и* (х) + с (х) цо {х) я ^ Ь{ (х) д-^{ + с (х) и° (*) = *(*).
Среди решений этого уравнения функция и°(х) выделяет-
ся тем, что она совпадает с $(х) в тех точках границы об-
ласти 0} через которые траектории х^(х) выходят из п.

§ 3] УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ 97
Замечание 3. Пусть теперь матрица (а^(х)) мо-
жет иметь вырождение. В этом случае задача C.15) тре-
бует уточнения. Во-первых, граничные условия нужно
задавать не во всех точках границы; в некоторых точках
границы, как легко понять на примере уравнений первого
порядка, граничные условия не будут приниматься.
Во-вторых, классическое решение может не существовать
даже в случае бесконечно дифференцируемых коэффициен-
тов, и необходимо ввести понятие обобщенного решения.
И, наконец, в-третьих, без дополнительных предположе-
ний обобщенное решение может не быть единственным.
Чтобы построить теорию таких уравнений с неотрицатель-
ной характеристической формой, можно воспользоваться
вероятностными методами. Именно так были получены
первые результаты в этой области (Ф р е й д л и н [1],
[4], [6]). Позже часть этих результатов была получена
традиционными методами теории дифференциальных урав-
нений. Если элементы матрицы (а^(а.)) имеют ограничен-
ные вторые производные, то существует факторизация
(а1}(х)) = о(х)о*(х), где элементы матрицы о(х) удовлет-
воряют условию Липшица. В этом случае с помощью
уравнений C.1) строится процесс (Xе,Рл), соответствующий
оператору Ьв. В работах Ф р е й д л и н а [1 ], [4] с по-
мощью этого процесса уточняется постановка краевых
задач для оператора 1Д вводится понятие обобщенного
решения, доказываются теоремы существования и единст-
венности, исследуется гладкость обобщенного решения.
В частности, если функции аХз'(х) имеют ограниченные
вторые производные и выполняются условия теоремы 3.2,
соответственно 3.3 (за исключением невырожденности), то
это обобщенное решение при достаточно малых е сущест-
вует, единственно и для него выполняется равенство C.16).
В этом случае справедливо и утверждение теоремы 3.2 (те-
оремы 3.3), если под иг(х) понимать обобщенное решение.
После аналогичных уточнений сохраняется и теоре-
ма 3.1.
Теоремы 3.2, 3.3 использовали результаты о предель-
ном поведении процесса X* типа закона больших чисел.
Также из более тонких результатов (разложений по степе-
ням е) можно получить более тонкие следствия,касающиеся
асимптотики решения задачи Дирихле. Что касается раз-
ложения решения по степеням малого параметра (в случав
4 А. Д. Вентцель, М. И. Фрейдлин

98 ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 2
гладких граничных условий), то лучшие результаты здесь
дают не прямые вероятностные, а чисто аналитические или
же комбинированные (см. Холланд [1 ]) методы. Рассмот-
рим пример задачи с негладкими граничными условиями.
Пусть характеристика х^х), 1^0, выходящая из
внутренней точки х области О с гладкой границей, выхо-
дит из области, пересекая ее границу при значении пара-
метра г0; в точке у = хи (х) вектор Ь(у) направлен строго
наружу области. Пусть иг — решение задачи Дирихле
Ьгиг = О, и8 —>- 1 при приближении к некоторой под-
области Гх границы, иг -> 0 при приближении к внутрен-
ним точкам дО \ Г* (и всюду иг ограничено). Предполо-
жим, что поверхностная мера границы Гх равна нулю
Тогда решение единственно, и ие(х) представляется в виде
Если у — внутренняя точка Гх или дВ \ Г\, решение
иг в точке х при е —>- 0 стремится к 1, соответственно к 0
(результаты, касающиеся порядка стремления, должны
опираться на результаты типа больших уклонений;
см. гл. 6, теоремы 2.1 и 2.2). Если же у принадлежит гра-
нице области Гь то разложение B.15) сводит вопрос об
асимптотике иг(х) к вопросу об асимптотике вероятности
попадания гауссовского случайного вектора
(Х\1\ п)
Х~. °0)—г в раздуваемую в е * раз проекцию Г1 на ка-
Ухи ' п)
сательную плоскость (в двумерном случае — прямую).
В частности, в двумерном случае, если Гх — отрезок дуги
с точкой у в качестве одного из концов, то Нт иЕ(х) = 1/2.
е-*0
То же будет и в случае большего числа измерений, если
граница области 1\ гладка в точке у. Если эта граница
в точке у имеет «уголок», задача сводится к задаче о веро-
ятности попадания нормального случайного вектора с ну-
левым средним в угол (телесный угол, конус) с верп иной
в нуле. После аффинного преобразования печь идет о на-
хождении величины угла (телесного утла).

Г Л А ВАЗ
ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ
§ 1. Метод Лапласа в функциональном пространстве
Рассмотрим случайный процесс X* = X] (х) в простран-
стве Дгу определяемый стохастическим дифференциальным
уравнением
Х? = Ь(-Х?) + е»„ XI = х. A.1)
Здесь, как обычно, шь — винеровский процесс в 7?г;
поле Ъ{х) предполагается достаточно гладким. Как пока-
зано в § 1 гл. 2, траектории процесса X* при 8-^0 рав-
номерно на каждом конечном отрезке времени сходятся
по вероятности к решению невозмущенного уравнения
хь = Ъ{хг), х0 = х, A.2)
В том частном случае, который мы сейчас рассматриваем,
нетрудно дать более точную, чем в гл. 2, оценку вероят-
ности Р{ 8ир | Х\(х)— хг(х)\> б}. В самом деле, из урав-
нений A.1) и A.2) вытекает, что
А1 (х) - х% (х) = | [Ь {X! (х)) - Ь (х3 (х))] из + ей;,. A.3)
о
Предполагая, что функция Ь(х) удовлетворяет условию
Липщица с постоянной К, из A.3) получим
5ир |х'~^е|<8екГ зир |^|. A.4)
4*

100 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3
Отсюда вытекает, что вероятность отклонения процесса
Х*(х) от траектории динамической системы убывает с умень-
шением е экспоненциально быстро:
где С —¦ положительная константа (зависящая от б, К
и Т).
Эта оценка означает, что если какое-нибудь подмно-
жество А пространства непрерывных функций на отрезке
от 0 до Г содержит функцию хг(х) вместе с ее б-окрест-
ностью в этом пространстве, то основной вклад в вероят-
ность ?{Хе(х) (= А} дает эта б-окрестность; вероятность
остальной части множества А экспоненциально мала.
Во многих задачах представляют интерес вероятности
?{Хе(х) е4) для множеств Л, не содержащих функции
хь(х) и ее окрестности. Такие задачи возникают, например,
в связи с исследованием устойчивости при случайных
возмущениях, когда основной интерес представляет ве-
роятность выхода из окрестности устойчивого положения
равновесия или предельного цикла за какое-то фиксиро-
ванное время, или вычисление среднего времени выхода
из такой окрестности. Подобные задачи возникают, как мы
увидим, при изучении предельного поведения инвариант-
ной меры диффузионного процесса X] при е ->- 0, в связи
с исследованием эллиптических дифференциальных урав-
нений с малым параметром при старших производных и
в других вопросах.
Если функция хг(х) вместе с некоторой своей окрест-
ностью не принадлежит множеству А, то ?{Хе(х) е А } -> О
при е ->¦ 0. Оказывается, что и в этом случае, при некото-
рых предположениях относительно множества Л, можно
указать такую функцию фб^, что основная часть вероят-
ностной меры множества А будет сосредоточена вблизи
функции ф; точнее, для любой окрестности {7(<р) этой

§ 1] МЕТОД ЛАПЛАСА В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ДО1
функции
Р{Х°(х) еЛ Г7(Ф)} = о(Р{Х*(х)
При 8 -> 0.
Весьма схожая ситуация возникает при применении
метода Лапласа для вычисления асимптотики интегралов
ь
вида \ е~~г ^х) %(х)йх при е-^0. Если х0 — единствен-
а
пая точка минимума непрерывной функции /(.г) на отрезке
\а, Ь], и функция %{х) непрерывна и положительна, то ос-
новной вклад в этот интеграл дает окрестность точки х0.
Действительно, пусть 17 г — произвольная окрестность
точки х0. Так как х0 — единственная точка минимума фун-
кции / на отрезке, то пнп/(#) > {(х0) +у, где у— неко-
торое положительное число. Используя эту оценку, полу-
чаем, что
[а.Ь]\17»
<(Ь-а) тах *(*) ехр (-в-1 (/(*0) + ?)}• A.5)
[6]
Для интеграла по окрестности точки х0 получаем оценку
снизу:
С 8 {х) е-г~Ч{х)пх > *) § (х) Г-в~1('(Хв)+*/2)& >
>2б тш гИехр(^е-1(/(я:0) + т/2)}1 A.6)
]
где б выбирается из условий: тах /(я) < /(д:0) + V¦/2»
|эс~асо[<б
{^•: |х — хо\ < 6} си С/*!. Из оценок A.5) и A.6) следует,
ь
что интеграл I ^(д:) ехр {—ъ~1)(х)}д,х при е -> 0 логариф-
Г
мически эквивалентен ехр {—е 1/(#о)}> т. е. Пт е1п ) ц(х)Х
е-*0 а
Хехр {—е 1/(д:)}^= —/(^о)« Используя тейлоровское раз-

102 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3
ложение функции 1(х) вблизи точки #0, можно получить
более точные асимптотические формулы для интеграла
ъ
а
При вычислении вероятностей различных событий, свя-
занных с процессом X®, положение аналогичное. Оказы-
вается, можно ввести такой фукционал 5(ф) от функций
на отрезке [0, Г], что при достаточно малых е и б
Р{||Хе - ф||< 6} « ехр {_е-2Я(ср)}.
(Точный смысл этой формулы раскрывается в следующих
параграфах.)
Если минимум функционала 5(ф) на множестве А
достигается на функции ф, то по аналогии с методом Лап-
ласа можно ожидать, что при малых 8 основной вклад в
вероятность Р{Хе е А} даст окрестность функции ф.
Чтобы доказать это, нужно получить оценку снизу для
Р{]|Хе — ф||<; 6} типа оценки A.6) и оценку сверху
типа оценки A.5) для вероятности остальной части мно-
жества А. Эту программу мы реализуем в настоящей
главе.
Идея применения подобных конструкций в асимптоти-
ческих задачах в функциональном пространстве восходит
к работам Р. Фейнмана по квантовой механике (см. Ф е й-
н м а н, X и б с [1]). Если имеется классическая меха-
ническая система, для которой действие вдоль траектории
Фг есть 5'(ф), то, как известно, движение этой системы будет
происходить вдоль экстремалей функционала 5'(ф). Этот
же функционал можно использовать для квантовомеха-
нического описания системы. В квантовом движении уже
возможны различные траектории, причем каждой траек-
тории ф* приписывается вес С ехр 1-^-5 (фI, называемый
амплитудой вероятности. (Придание этому точного смыс-
ла — сложная проблема.) Здесь к — постоянная Планка,
С — нормирующий множитель. Амплитуда вероятности
множества траекторий вычисляется суммированием (инте-
грированием) вкладов траекторий, входящих в это мно-
жество. Квадрат модуля амплитуды вероятности, соот-
ветствующий множеству траекторий, интерпретируется как

1] МЕТОД ЛАПЛАСА В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЮЗ
вероятность соответствующего квантовомеханического дви-
жения. Такой подход удобен, во всяком случае, в задачах,
связанных с квазиклассическим приближением в кванто-
вой механике, т. е. когда различные характеристики
движения приближенно заменяются своими главными чле-
нами при к —>• 0 и последующими поправками. Так, прин-
цип соответствия, состоящий в том, что при /&->¦ 0 квантово-
механическое движение должно перейти в классическое,
при фейнмановском описании квантовомеханической си-
стемы немедленно следует из того, что при суммировании
амплитуд вероятности основной при малых к вклад в сумму
дадут траектории ф, которые являются экстремалями функ-
ционала действия, т. е. классические траектории. Вклад
других траекторий будет существенно меньше из-за осцил-
ляции амплитуды вероятности. Это рассуждение — беско-
нечномерный аналог принципа стационарной фазы, соглас-
но которому основной вклад в интеграл
% (х) ег1г
дают стационарные точки функции 8(х).
Функционал 5(ф), который мы введем для изучения
поведения при 8 —>¦ 0 вероятностей событий, связанных с
процессом X?, играет роль, аналогичную роли функцио-
нала действия в фейнмановском описании квантовомеха-
нической системы; только наши рассуждения являются
бесконечномерным аналогом не метода стационарной фазы,
а метода Лапласа (а стало быть, проще).
По аналогии с квантовомеханическими задачами функ-
ционал е 25(ф) мы будем называть функционалом действия
для соответствующего семейства случайных процессов.
Это не означает, конечно, что мы придаем этому функцио-
налу какую-либо механическую интерпретацию; речь идет
только об аналогии с той ролью, которую играет действие
в фейнмановском подходе к квантовой механике.
В следующем параграфе мы введем функционал дейст-
вия и получим необходимые оценки для процесса Х^ =
= ец?г, т. е. для случая, когда векторное поле Ъ(х) тождест-
венно равно нулю. Вид функционала действия и соответ-
ствующие оценки для процесса X? при произвольном
поле Ъ(х), а также для некоторых других процессов уста-
навливаются в § 4 этой главы и в § 1 следующей.

104 функционал действия [гл. з
§ 2. Экспоненциальные оценки
Обозначим Стхт3= Ст1т2(^г) множество непрерыв-
ных функций на отрезке [7\, Г2] со значениями в Кг.
Будем рассматривать в этом пространстве метрику
Рг,т, (ф> Ф) — 8иР Iср^ — "Цр^|. На абсолютно непре-
рывных функциях фг определим функционал
т2
5 (ф) = Зт^г (ф) = "у
если функция феС^т, не абсолютно непрерывна на
[Т\, 7^2 ] или интеграл расходится, полагаем 5(ф) = +оо.
Пусть юI — винеровский процесс в /?г, шо = 0.
Функционалом действия для семейства случайных про-
цессов Х,=ешг назовем функционал /г1г2(ф) =8"~2*5'г1г, (ф);
^г,г2(ф) будем называть нормированным функционалом
действия для семейства процессов ешг.
Теорема 2.1. Для любых б, у, К найдется ео > 0
такое, что при г < ео
(^е» Ф)< 6} > ехр {-е-2[50Г(Ф) + у]},
где Т > 0 и ф е СоТ таковы, что фо = 0 и Г + ^огСф) ^
Эта теорема дает оценку снизу для вероятности «про-
хождения б-трубочки около функции ф». При вычислении
вероятности ?{Хг е4) для некоторого множества
А а С0Т эта теорема поможет нам оценить снизу вклад
окрестности экстремали ф е А. Чтобы можно было
реализовать метод Лапласа, мы должны еще оценить
сверху вероятность того, что траектория Хг пройдет
вдали от «наиболее вероятной» функции ф. Нужную оцен-
ку дает
Теорема 2.2. Пусть 8 — положительное число.
Обозначим Ф($) = {фЕ СоТ, фо = 0, #от(ф) ^ .9}. Для
любых б > 0, у >0, $о > 0 существует ео>>0 такое, что
при 0 < е ^ ео а 5 < 5о

§ 2] ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ {05
Доказательство теоремы 2.1. Если
*!? т(ф) ^ ^ < °°» то функция ф абсолютно непрерывна
п |ф3 \2с1$ < оо. Рассмотрим случайный процесс У/ =
о
= Х^ —ф^, получающийся из X] = гшг сдвигом на
функцию ф. Сдвиг на функцию, имеющую интегрируемую
в квадрате производную, индуцирует в пространстве Сот
абсолютно непрерывную замену меры. Если |ыеш — мера
в СоТ, соответствующая процессу Х\ — гюи а \1Уг — мера,
соответствующая У®, то плотность одной меры относитель-
но другой имеет вид
( Т Т )
тт^-(ем?) =ехр -е" (ф5, йюа) - ~ \ ф312 из .
й[1™ I { 2 Ь] )
Используя это выражение для плотности, получим
Р (Рог (Х\ Ф) < б) = Р (рот (Г, 0) < б) «
| ехр - в^1! (ф„йи?в) X
{рОг(е^,о)<б} 1 о ^
ХР(^со). B.1)
Легко видеть, что вероятность множества, по которому
производится интегрирование, при е -^ 0 равномерно по
Т <[ К стремится к 1. Это следует, например, из нера-
венства Колмогорова. В частности, можно выбрать поло-
жительное Ег так, что при е < 61 и Г < Я
Р{рог(«".О)<6>>3/4. B.2)
Далее, в силу неравенства Чебышёва

106
ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. 3
т. е.
>3/4. B.3)
Из оценок B.2) и B.3) выводим, что
т
(рот(еи;,О)<б]
и, следовательно,
Р [рот (Xе, Ф) < б] > -1- ехр {- г-280Т (ф) -
Отсюда вытекает утверждение теоремы 2.1.
Доказательство теоремы 2.2. Мы доля|
ны оценить вероятность того, что траектории нашего про-
цесса проходят вдали от множества малых значений фун^
ционала ^(ф). На самих траекториях Х\ = гшг функ-
ционал действия равен +оо, и мы приблизим функции М
более гладкими. Обозначим//,0^ ^^ Г, случайную лома-
ную с вершинами в точках @, 0), (А, Хд), BА, Х|д),..., (?»
Хх). Позже мы уточним, как выбирается Д, а сейчас
только скажем, что Т/А — целое число. Событие {роТ(^е'
Ф($)) ^ 6} может произойти двумя способами: либо пр*
этом роГ(Хе, 1г) < 6, либо роГ(Хе, /Е) ^ б. В первол! слУ

§ 2] ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Ю7
чае непременно будет Iе ф. Ф($), т. е. 8оТ(Г) > з. Отсюда
получаем
B.4)
Чтобы оценить первую вероятность, преобразуем
Вследствие автомодельности и независимости приращений
Т/А
винеровского процесса сумма 2 ^~1гг;АЛ— м>(ь-1)Д I2 Р^с-
гТ/А
пределена, как 2 ^?> гДе Ъ — независимые случайные
1 = 1
величины, имеющие нормальное распределение с пара-
метрами @, 1):
Оценим правую часть с помощью экспоненциального
неравенства Чебышева. Так как Мехр| ~~а щ = Са < оо
при любом ' а ;> 0, то
B.5)
Отсюда следует, что можно выбрать ео > О так, что при

108 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. Я
Оценим теперь второй член в неравенстве B.4):
т/л
Р (рог (Xе, Г)>6]<2Р{ шах |Х,е-*?|>б}=.
= XР { тах I X? - # I > б} <-?¦ р { тах I еш< | > 6/2}.
B.6)
Здесь мы воспользовались тем, что случайные величины
тах | X8 — ^| при различных к одинаково распре-
(Ь— 1)Д<*<ЬД
делены и
Р { тах I Xе — /'I > б} = Р ( тах ги>г — 8 4- шА > б] <
1о<«д 1о«<д А I ]
<Р тах 1
1о«^д
Продолжая оценку B.6) и принимая во внимание нера-
венство Р {и?д>2 } <1——=• е~~*г/2Аг справедливое для нор-
ъ ~у2к
мальной случайной величины ц->\ со средним 0 и дис-
персией А, будем иметь
Р1рог(Хе,Г)>б}<^-Р|тах|
/
е-^2< B.7)
Теперь достаточно взять А < 62/4г2$о, и правая часть в
B.7) при достаточно малых г и 5 ^ $о будет меньше
- ехр {—е-2 E — 7)}* Отсюда и из неравенств B.4),
B.5) вытекает утверждение теоремы.
Установим некоторые свойства функционала 50Г(ф).
Лемма 2.1. а) Функционал 8оТ(ц)) полунепрерывен
снизу в смысле равномерной сходимости; т. е. если последо-
вательность ф(п> сходится к ф в пространстве СоГ, то
50Г(Ф)< Шп5Ог(ф(п)).
П-+оо
б) Множество функций ц>и 0 ^ I ^ Г, таких, что фо
принадлежит некоторому компактному подмножеству
пространства Нг и *5"оГ(ф) ^ 5о <С ос, компактно.

§ 2] ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ЮЭ
Доказательство, а) Достаточно рассмотреть
случаи, когда существует конечный предел Ит 5ог(ф(п))-
П-»оо
Мы воспользуемся следующим фактом (см. Рисе и
Надь [Ц, стр. 86): функция фе абсолютно непрерывна
и ее производная интегрируема в квадрате тогда и только
тогда, когда конечен
5цр
причем в случае конечности эта верхняя грань равна
г
о
Выражение B.8) равно
вир
N | ф(п) __ (п) 12
<1пп • У1Ф 1
= 211т5(ф<п)) <оо.
Отсюда следует, что функция ф абсолютно непрерывна и
б) Из оценки ^ |ф3|2^5 == 25Ог(ф) ^ 2^о получаем, что
о
Г"-т
,&|<|Фо1 + 1/ т\\уа\ч$ <|фо| +
у 6
0. Таким образом, все функции нашего множества
равномерно ограничены. Из той же оценки следует равно-
степенная непрерывность функций ф:
1/
Г
Компактность вытекает из теоремы Арцела.

НО ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3
Следствие. На каждом непустом замкнутом мно-
жестве в пространстве Сог> Для которого начальные значе-
ния фо содержатся в некотором компакте, функционал
5ог(ф) достигает наименьшего значения, причем значения,
близкие к наименьшему, он принимает только вблизи
функций, на которых достигается минимум.
Теорема 2.3. Пусть функция <р е СоТ такова, что
фо = 0, 5оТ(ф) <оо. Тогда
б 1 0 е^О
«= Нт Ит е21п Р {р02 (X8, ф) < 6} = - 80Т (ф).
Для доказательства этой теоремы достаточно
установить, что для» всякого, у > 0 и достаточно малого
бо > 0 найдется ео > 0 такое, что при 0 < е ^ 8о
ехр{-е-*($Ог(ф) - V)} > Р{роТ(Хе,Ф) < б0} >
е-2E0Т(ф) + 7)}. B-9)
Правое неравенство составляет утверждение теоремы 2.1.
Убедимся в справедливости левого неравенства. Выберем
бо > 0 столь малым, чтобы
Это можно сделать на основании леммы 2.1. В силу след-
ствия из той же леммы
61 = рог({ф : Рог(ф, Ц?) < б0}, ФE0Г(Ф) ~ у 12)) > 0.
Применяем теорему 2.2:
Р{Рот(*в> Ф) < «о) < Р{Рог(А'е, ФEот(ф) -
- 7/2)) > и} < ехр{-е-2(^ог(ф) - у)},
если только г достаточно мало. Тем самым доказаны нера-
венства B.9)г а с ними и теорема 2.3.
Доказательства теорем 2.1 и 2.2 воспроизводят в
простейшем случае процесса Х^ = ъиI конструкцию,

§ 3] ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА {[{
использованную в статьях Вентцеля, Фрейдли-
я а [1], [4]. Для этого частного случая аналогичные ре-
зультаты были получены в статье Шильдера [1].
§ 3. Функционал действия. Общие свойства
Содержание § 2 делится на две части: то, что относится
именно к винеровскому процессу, и то, что касается вооб-
ще формы описания грубой (с точностью до логарифми-
ческой эквивалентности) асимптотики семейств мер в
метрических пространствах. Рассмотрим отдельно второй
круг вопросов.
Пусть X — метрическое пространство с метрикой р.
Пусть на а-алгебре его борэлевских подмножеств задано
семейство вероятностных мер ц/1, зависящее от параметра
к > 0. Мы будем интересоваться асимптотикой [1Н при
к | 0 (изменения, которые нужно будет внести при стрем-
лении к другому пределу, или к оо, или для параметра,"
принимающего значения не на числовой оси, а в более
общих множествах, очевидны).
Пусть %(к) — положительная числовая функция, стре-
мящаяся к +°° при к \ 0; 8(х) — функция на X, при-
нимающая значения из [0, оо]. Мы будем говорить, что
гк{к)8{х) — функция действия для цЛ при к | 0, если
выполнены следующие утверждения:
@) при любом 8^0 множество Ф($) = {х: 8(х) ^ $}
компактно;
A) для любого б > 0, любого 7 > 0, любого х е X
существует ко > 0 такое, что при всех к <1 ко
+ у]}; C.1)
(II) для любого б > 0, любого 7 > 0, любого $> 0
существует ко > 0 такое, что при к ^ ко
РН{У : Р(У> ф(^)) > б) < ехр{-МА)(* - V)}. C.2)
Если |л — семейство случайных элементов X, опре-
!
деленных на вероятностных пространствах {С2Л,#"Л, Р!},
функция действия для семейства распределений [ЛЛ,

112 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3
II*1 (А) = Рл{^л ^ А), называется функцией действия для
семейства Ъ/1. В этом случае формулы C.1), C.2) прини-
мают вид
Рл{рAл> *)<«}> ехр{~Щ)[5(х) + у}}, C.1')
Р»{р(!\ Ф(«)) > 6} < ехр{-Щ)(з - у)}. C.2')
Функции 8(х), Цк) в отдельности будем называт нор-
мированной функцией действия и нормирующим коэффи-
циентом. Ясно, что разбиение функции действия на два
множителя Цк) и 8(х) неоднозначно; кроме того, функ-
цию Цк) всегда можно заменить функцией >и(к) ~ Цк). Но
мы докажем ниже, что при фиксированном нормиру-
ющем коэффициенте нормированная функция действия
определяется одназначно.
П р и м е р 3.1. X = 7?1, |ыл при каждом к > 0 — рас-
пределение Пуассона с параметром к; и мы интересуемся
поведением [1Н при к \ 0. Здесь Цк) = — 1п к; 8(х) = х
при целых неотрицательных х, 8(х) = +°° при осталь-
ных х.
Когда X —- какое-то функциональное пространство,
будем пользоваться термином функционал действия. Так,
для семейства случайных процессов гши где юг — вине-
ровский процесс, ?е [0, Г], и?о =0, нормированный
т
1 Г '
функционал действия при е -> 0 есть ^ (ф) = — \ | ф^ | ^
о
для абсолютно непрерывных ф^, 0 ^ I ^ Т, фо = 0,
и 5(ф) = +сх> для прочих ф, а нормирующий коэффици-
ент равен е~2 (в качестве пространства X берется прост-
ранство непрерывных функций на отрезке [0, Г] с метри-
кой, соответствующей равномерной сходимости).
Заметим, что из условия @) вытекает, что функция
8(х) достигает своего минимума на любом непустом замк-
нутом множестве. Достаточно рассмотреть только случай
вамкнутого Ао:Х с 5А=1П1{5г(л:): х^А }<со. Берем после-
довательность точек хп е А с зп = 8(хп) { зА. Вложен-
ные друг в друга компакты Ф($п) Г) А непусты (так как
Ф(зп) (] А ^ хп), значит, их пересечение также непусто
и содержит точку хА, 3(хА) = 8А.

§ 3) ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЦЗ
Было бы желательно получить сразу значительное
число примеров семейств случайных процессов, для кото-
рых мы могли бы указать функционал действия. Сделать
это нам поможет следующий результат (Ф р е й д л и н [71).
Теорема 3.1. Пусть Х(кM11(х) — функция действия
для семейства мер \1Н на пространстве X (с метрикой рх)
при к \ 0. Пусть ф — непрерывное отображение X в
пространство У с метрикой рг, и мера \н на этом прост-
ранстве задается формулой \п(А) = ^(ф-^Л)). Тогда
асимптотика семейства мер \н при к | 0 задается функ-
цией действия Цк)8х(у), где 8х(у) = тт {8*(х): х^ср~1(у)}
(минимум по пустому множеству полагаем равным-\-оо).
Доказательство. Введем обозначения:
Ф^E) = {х: 8»{х) < 5}, ф» = {у: У (у) < 5}. Легко
видеть, что ФУ($) = ф(Ф^1(б*)), откуда немедленно вытекает
выполнение для функции '5* условия @).
Докажем выполнение условия (I). Зафиксируем
произвольное у е У и какую-то окрестность этой точки.
Если 5л?([/) = оо, то доказывать нечего; если же ^(у) <оо,
существует х такое, что у(х) =.г/, 8*(у) = 8[Х(х). Берем
окрестность точки х, образ которой входит в выбранную
окрестность точки г/, и получаем нужное нам условие.
Перейдем теперь к условию (II). Прообраз множества
{у: ру(г/, Ф^$))^6} при отображении ф замкнут и не пересе-
кается с компактом Фц($); поэтому можно выбрать поло-
жительное б' такое, что 8'-окрестность Фц($) не пере-
секается с Ф^: ру(г/, Ф?(з))^ б}. Из неравенства C.2)
с рг, Фд и б' вместо б вытекает такое же неравенство для
мер V*, ру, Фг и б.
Пользуясь этой теоремой в частном случае, когда X и
У — одно и то же пространство, но с разными метриками,
получаем, что если ХAг)8(х) —.функция действия для
семейства мер \1н,к\ 0, в метрике р1, а метрика р2 такова,
что р2(х, у) -> 0 при рг(х, у) -*- 0, то Цк)8(х) — функция
действия и в метрике р-2. Конечно, это простое утвержде-
ние можно получить и независимым образом. Отсюда,
т
в частности, получаем, что &~250Т (ф) - А~ IФ*
= 2Р

Ц4
ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. 3
остается функционалом действия для семейства процессов
ги)и 0 <; ^ <; Т, при е \ 0, если рассматривать метрику
гильбертова пространства Ь\т.
Следующие примеры уже более содержательны.
Пример 3.2. Пусть 6(з, г) — к раз непрерывно
дифференцируемая функция на квадрате[0, Г]х[0, Г],
к ^ 1. Рассмотрим в пространстве СОг оператор С, опре-
деляемый формулой
Здесь интеграл понимается в смысле Стплтьеса, и в силу
предположенной гладкости фукции С допустимо интегри-
рирование по частям:
= с (Т, г) Фг - 6 @, г) Фо -
&
Это равенство показывает, что С осуществляет непрерыв-
ное отображение Сот в пространство Сот* функций,
имеющих к — 1 непрерывную производную, с метрикой
~* (Фг Ф) =
Г, V
.Вычислимфункционал
действия для семейства случайных процессов
т
X? =
е \ 6\
о
Сот
в пространстве Сот при е -> 0. В силу теоремы 3.1
нормирующий коэффициент остается прежним, а норми-
рованный функционал действия задается равенством
(Ф) = 5?г (Ф) = тт
= Ф]

ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Ц5_
если таких \|), для которых С\|) = ф, не существует, то
у) = +оо.
Введем вспомогательный оператор О в пространстве
задаваемый формулой
6/@=) О (.9, 0/E)-.
6
и выразим функционал 5от через оператор, обратный к С.
Это будет, вообще говоря, неоднозначный оператор, пото-
му что оператор О переводит в нуль некоторое пространст-
во ЬоЯкЬот, которое может быть нетривиальным. Мы
искусственно сделаем обратный оператор однозначным,
положив С-1ф = \|}, где г|э — единственная функция из
Ь1Т, ортогональная подпространству Ьо и такая, что
С\|) = ф. Оператор С" определен на области значений
оператора С.
Если 8х((р) < оо, то существует функция \|? е СоТ
такая, что С\|) = ф и 8™т (гр) < оо. При этом функция \р
абсолютно непрерывна, и С\р = Сур; поэтому
= тш
где ||/|| — норма элемента / в Ьот- Любой элемент /, для
которого С/ = ф, представляется в виде / = С"~1ф + /',
где /; е 1/о. Учитывая, что О~1ц> ортогонально 1/о, получа-
ем: ||/||а =|Сф|а + В/'Р^ЦС^фЦ2. Это значит, что
*$от(ф) =-о"|| Сг 4ф ||2 для ф из области значений опера-
ф
Со
т*
этот функционал
тора С; а для остальных
принимает значение +оо.
Пример 3.3. Рассмотрим случайный процесс Хег
на отрезке 10, Т\1 удовлетворяющий линейному диффе-

116 функционал действия [гл. з
ренциальному уравнению
р (АЛ Xе = ^ а х* = '
где Ю1 — одномерный процесс белого шума. Чтобы выде-
лить единственное решение, нужно еще задать п гранич-
ных условий; будем считать их для простоты однородными
линейными, причем неслучайными. Обозначим через
С($, I) функцию Грина граничной задачи, связанной с
оператором Р(-у-]и нашими граничными условиями
(см. Коддингтон и Л е в и н с о н [1 ]). Процесс Х\
т
можно представить в виде X? = е ] С (,9, I) йи?в1 т. е. Хе=
~ о
= С(ги/). Соответствующий оператор в этом случае имеет
однозначный обратный С~1=р1-гА с областью опреде-
ления, состоящей из функций, удовлетворяющих гранич-
ным условиям. Отсюда заключаем, что функционал дейст-
вия для семейства процессов Х^ при е -> 0 есть в~28от (ф),
где
причем, если функция ср не удовлетворяет граничным
—п
условиям или производная —п_1 • но абсолютно не-
прерывна, то 8от (ф) = +°°-
Аналогичный вид имеет функционал действия для
семейства многомерных случайных процессов, являющихся
решением системы линейных дифференциальных уравне-
нений, в правых частях которой стоит белый шум, умно-
женный на малый параметр.
В следующей главе (§1) с помощью того же приема,
основанного на теореме 3.1, мы установим, что функцио-
нал действия для семейства диффузионных процессов,

§ 31 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА Ц7
возникающих в результате возмущения динамической
системы х = Ъ(хг) добавлением в правую часть белого
1
шума, умноженного на малый параметр 8, равен гргХ
т
х
Рассмотрим условия @), (I), (II) подробнее.
Условие @) в случае полного пространства X можно
разбить на два: полунепрерывность 8(х) снизу на X (что
равносильно замкнутости множества Ф($) при любом 5)
и условную компактность множества Ф($); такоз разбие-
ние удобно для проверки этого условия (см. лемму 2.1).
Условие полунепрерывности 5 не очень обременительно:
легко доказать, что если для функций Цк), 8(х) выполне-
ны условия (I), (II), то они также выполняются для Цк)п
полунепрерывной снизу функции 8 (х) = 8 (х) Д Пт 8(у).
~~ У-+Х
(Прием доопределения нормированного функционала
действия по полунепрерывности используется в несколько
уточненном виде при доказательстве теоремы 2.1 гл. 5.)
Теорема 3.2. Условие (I) вместе с условной ком-
пактностью Ф($) равносильно условию
Aравн) для любых 6>0, у > 0 и $о > 0 существует
/го > 0 такое, что при всех к ^1ю и всех х е Ф($о) выпол-
няется неравенство C.1);
из условия (II) вытекает
(Правн) для любых 6>0, у > 0 и 8о> 0 существует
ко > 0 такое, что для всех к ^ /го, 5 ^ $о выполняется
неравенство C.2);
из @) и (II) вытекает
A1+) для любого 6>0 и $ !> 0 существуют 7>0
и /го > 0 такие, что при всех к ^ /го
^{у:р(у, Ф(*))>6}< ехр{-МЛ)(* + 7)}. C.3)
Докажем только последнее утверждение. Значения
функции 5 на замкнутом множестве А = {у: р(г/, Ф($)) ^
> 6} больше, чем 5; поэтому нижняя грань 8(у) по этому
множеству больше 5. Выберем положительное у так, что-
бы 1пГ {8(у): у е= А } > 5 + 2у, тогда А [\ Ф{$ + 2т) =
= 0. Выбираем положительное б', не превосходящее
р(Л, ФE + 2^)) (это расстояние положительно в силу

118 функционал действия [гл. з
компактности второго множества), и пользуемся нера-
венством C.2) для б' вместо б и 5 + 2у вместо 5.
Условия (I), (II) в качестве формы описания грубой
асимптотики вероятностей больших уклонений введены в
статьях В е и т ц е л я, Фрейдлина [1 ], [4 ]; есть
другие способы такого описания, но при выполнении
условия @) они равносильны принятому здесь.
В статье В а р а д а н а [1] вместо условий (I), (II)
фигурируют следующие условия:
(Г) для любого открытого ^с!
Ит I (/г)" 1п \1Н (А) > - т! {5 (х): х е= А}; C.4)
мо
(IV) для любого замкнутого /1сХ
Ит I (/г)'11п \1Н {А) < - Ы {5 (х): х е= А}. C.5)
МО
Теорема 3.3. Условия (I) и (V) равносильны, из (IV)
вытекает (II), а из @) и (II) вытекает (IV).
Таким образом, (I) <^=> (Г), (II) <^> (IV) при выполнении
условия @).
Доказательство. То, что (V) =? (I), (Г) ==» (I),
AГ)=»(П) доказывается очень просто; докажем, напри-
мер, последнее. Множество А = {у: р(г/, Ф(я)) ^6} зам-
кнуто, в нем 8(у) > 5, поэтому 1П1 {8(у): у ^ А}^ 8.
Из (IV) получаем: Нт ЦК)-1 1п |хл (Л)<—5, что озна-
ью
чает, что для любого у > 0 при достаточно малых Н имеем:
Чп \1Н(А) < — 5 + у, т. е. выполнено C.2).
Пусть теперь выполнены @) и (II); докажем AГ).
Выберем произвольное ^>0 и положим 5 = 1П1 {8(у) :
у^А}—-у. Замкнутое множество А не пересекается с ком-
пактом Ф($), поэтому б = р(Л, Ф($)) >> 0. Пользуемся
неравенством C.2); получаем, что при достаточно малых Н
< ехр{-МА)(* ~ Т)} = ехр{ ~Ц1г)(Ы{8(у): у е А) -
- 2?)}.
Логарифмируя, деля на нормирующий коэффициент

§ 3) функционал действия, общие свойства Ц9
и переходя к пределу, получаем Цт Л(/г)~х 1п ^(А) ^
^ — т! {8(у): у ЕИ А} + 2у, откуда, так как у > О
произвольно, вытекает C.5).
В статье Б о р о в к о в а [1] грубая асимптотика
вероятностей больших уклонений характеризуется одним
условием вместо двух ((I) и (II) или (Г) и (IV)).
Будем называть множество ^сХ регулярным (отно-
сительно функции 5), если нижняя грань 5 по замыка-
нию А совпадает с нижней гранью этой функции по мно-
жеству внутренних точек А:
1п! {8(х): хе= [А ]} = 1п{ {8(х): х е= (А)}.
Введем следующее условие:
(I 1/2) для любого регулярного борелевского 4сХ
Нш к (к) \п\1н (А) = - Ы{8(х): х<=А). C.6)
Теорема 3.4. Из условий @), (I), (II) вытекает
условие (I х/2). При этом, если А — регулярное множество,
а тт {8(х): х е [А ]} достигается в единственной точке
хо, то при любом б > 0
11т ^№|Р(^>)<81) =1. C.7)
Обратно, из условий @), (I х/2) вытекают (I) м (II).
Заметим, что в терминах случайных элементов прост-
ранства X C.7) переписывается в виде
Доказательство. Мы воспользуемся уже уста-
новленной эквивалентностью (при условии @)) A) фф (Г)»
(II) 44 AГ). То, что из (Г), AГ) вытекает (I х/2), очевидно;
более того, если А — не борелевское регулярное множест-
во, то C.6) выполняется, если заменить \.1Н(А) на соответ-
ствующие внутреннюю и внешнюю меру.
Чтобы получить соотношение C.7), заметим, что
тт {8(х): х е= [А ], р(х, хо) > 6} > ^(лго). Из C.5)

120 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3
получаем
Нт X (А)"1п цл {х е А: р (#0, #) ^ 6} ^
<[ Нт X (А)" 1п и/1 (я е [Л]: р (х01 х) ^ 6} < — 5 (аг0).
Это значит, что \хь{х е Л: р(#о, ж) > 6} стремится к нулю
быстрее, чем |хл (Л) >; ехр {—X (А) 5 (#0)}.
Покажем, что из (I х/2) вытекают (Г), AГ). Для поло-
жительного б и произвольного множества А а X обозна-
чим через Л+в его б-окрестность, через Л_5 множество
точек, находящихся на расстоянии, большем чем б, от до-
полнения А. Положим 5(±6) = т!{5(:г): х^ А±6}
(нижнюю грань по пустому множеству полагаем равной
+оо). Функция 5 определена при всех действительных
значениях аргумента, кроме 0; в нуле доопределим ее
значением 1п1{*5(д:): а: е А}. Легко видеть, что это—
невозрастающая функция, и она непрерывна во всех
точках, за исключением, может быть, счетного числа.
Если А — открытое множество, то функция 5 непре-
рывна слева в нуле; поэтому для сколь угодно малого у >
> 0 можно выбрать б > 0 такое, что $(—6) < 5@) + у,
причем функция 5 непрерывна в точке —б. Последнее
обеспечивает возможность применения соотношения C.6)
к множеству Л_6; получаем 1*т Х(к)~~Чп [1Н (А) ^
_ Л4 0
> Нт Х(к) Чп\1к(А-ь) > —5@) — у. Так как у произво-
льно, отсюда вытекает C.4).
В случае замкнутого множества А пользуемся услови-
ем @), чтобы установить непрерывность функции 5 справа
в нуле, а дальше повторяем то же рассуждение с заменой
Л_й на А.[6.
Пример 3.4. Пусть А — внешность шара в Ь$т :
А = {ф е Ь^т :||ф|)>с}. Это множество регулярно от-
носительно функционала 8*т, рассмотренного в примере
3.3. Чтобы проверить это, умножим все элементы А на
число д, меньшее единицы, но близкое к ней; открытое
множество д-А = д*(А) поглотит [А], а нижняя грань
функционала, как и все его значения, изменится лишь
незначительно (умножится на д2).

§ 3] ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 121
Раз множество А регулярно, то
НтеЧпР[|А'Е||>с) = Нт еМпРЩ Ае|>с] =
C.8)
где минимум берется по всем функциям ср, удовлетворяю-
щим граничным условиям и равным с по норме.
Рассмотрим частный случай, когда оператор Р(й1сН)
с данными граничными условиями самосопряжен в Ь1т*
Тогда у него есть полная ортонормированная система
собственных функций екA), к = 1, 2, ..., соответствующих
собственным значениям Хк1 к = 1, 2, ... (см., например,
К о д д и н г т о н, Л е в и н с о н [1 ]). Если функция ф
из Ь\т представлена в виде ряда 1>скек, то РF,1A1) ф =»
= 2 ск%кек и I] Р (й/Л) ф II2 =* 2 с\%\. Отсюда следует, что
минимум в C.8) равен с2, умноженному на Х\ — квадрат
наименьшего по модулю собственного значения. Следова-
тельно,
Нт е21п Р {|| Xе! > с] - - с2Х?/2. C.9)
е->0
Нижняя грань 5(ф) на сфере радиуса с в 1%т достигается
на умноженных на с собственных функциях, соответст-
вующих собственному значению Хг. Если это собственное
значение однократно (и — А.1 не является собственным
значением), то таких функций — только две: се\ и —се\.
Тогда при любом б > О
ЩХ8-^! <б или 1Хе + св11<бЦХе1>с1=1.
То же относится и к условной вероятности при условии
Р1 > с.
Конкретный пример: Р \-тА ф = -ттг \ граничные усло-
вия: фо = фг = 0; этот оператор самосопряжен. Уравне-
ние для собственных функций ф" = Я,ф, фо = фг = 0

122 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3
* 1 &2Л2 ,.ч Т/2 . кЩ
имеет решение: 1 = Хк = —; ек (г) = -у- зш —.
Собственные значения однократные. Имеем
||||) ^;
при любом б > 0 условная вероятность того, что X8 нахо-
дится в о-окрестности одной из функции ± с—- зт—,
при условии, что ||Хе|| больше (не меньше), чем с, стре-
мится к 1 при е -> 0.
Если дифференциальный оператор с данными гранич-
ными условиями не самосопряжен, то в C.9) вместо квад-
рата наименьшего собственного значения будет стоять
наименьшее собственное значение произведения оператора
(с граничными условиями) на его сопряженный.
П р и мер 3.5. Пусть Ь(х) — непрерывная функция
из Яг в Яг; рассмотрим функционал 5гоГ (<р) на простран-
стве Сот непрерывных функций на отрезке [0, Т\ со значе-
т
1 Г *
ниями в /Г, равный — \ | ф8 — Ъ (ср8) |2Й5, если функция
о
ф абсолютно непрерывна и фо — хо; на остальной части
пространства Сот полагаем 8от (ф) = +оо. Пусть откры-
тое множество О э х0, В ф Нг таково, что сколь угодно
близко от каждой точки его границы дВ можно найти
внутренние точки дополнения В (т. е. дВ = д[В\). Обо-
значим через Ав открытое множество непрерывных функ-
ций Ц)Ь 0 ^ I ^ Г, таких, что ф< е В
при всех I е [0, Г]. Докажем, что
Ап= СОТ\АВ — регулярное мно-
жество относительно функциона-
ла 5^.
Пусть минимум функционала 50Т
на замкнутом множестве Ав достига-
ется на функции Ф^О^^^Г, фО =
= хо (рис. 2) . Эта функция непре-
менно в какой-то точке и Ф 0 дости-
гает границы: ф/о е дВ. Минимум
функционала конечен, потому что
рис. 2. есть сколько угодно гладких функ-

§ 3] ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 123
ций, выходящих из точки хо и покидающих в течение проме-
жутка от 0 до Г множество В; отсюда вытекает, что функ-
ция ф{ абсолютно непрерывна. .Для любого б >> 0 в
б-окрестности точки ср/о найдется точка х6, внутренняя по
отношению к ДГ\О. Положим
эта функция принадлежит внутренности множества Ав.
Докажем, что 50Т(фб) -> 80Т{у) при б | 0; из этого сле-
дует регулярность Ав. Имеем:
По ф?—Ь(ф?)-Ф< + Ь(ф4) = ^ (*б-<Р,„)-
—Ь(Ф«) -*¦ 0 при б | 0 равномерно по ^е [0, Т]\ зна-
чит, и скалярное произведение этой функции па ф* —
— Ь(ф^), и ее скалярный квадрат в Ь1Т стремятся к нулю.
В гл. 4 мы докажем, что е26'0Т(ф) — функционал дейст-
вия для семейства диффузионных процессов Хги описы-
ваемых уравнением Х\ = Ъ (X?) + ем>*, ХЕ0 = х0 (при
выполнении условия Липшица для 6). Тогда при е -> 0
Р {X* выходит из О при каком-то значении *е[0, Г]}ж
жехр |— 8 гп2п^'от(фI; если этот минимум достигается
на единственной функции, то траектории процесса X?, вы-
ходящие из Б, при малых е с подавляющей вероятностью
лежат вблизи этой функции.

124 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ ГГЛ. Я
Заметим, что если открытое множество Б не удовлет-
воряет условию дВ = д[О], то соответствующее множество
Ав может быть нерегулярно.
При условии гладкости границы дП можно доказать
также регулярность относительно того же функционала
множества Ав.
Последнее замечание, касающееся понятия регуляр-
ности: если функция действия непрерывна (чего у нас ни
разу не было в примерах, касавшихся функциональных
пространств), то достаточным условием регулярности
множества А является совпадение д(А) с <9[Л].
Еще одна форма описания грубой асимптотики —
интегральная:
(III) если Р(х) — непрерывная ограниченная функция
на X, то
Пт X {к)1п Г ехр {X (к) Р {х)} ий (Аг) =
МО з»
-8(х)}. (ЗЛО)
Это условие (при выполнении условия @)) также равно-
сильею условиям (Г) и AГ) (или (I) и (II)). Вывод условия
(III) (и даже более сложных условий интегрального типа)
из (Г) и AГ) содержится в статье Варадана [1].
Приведем еще одно общее утверждение.
Теорема 3.5. Значение нормированной функции
действия на элементе х е X выражается любым из сле-
дующих двух пределов:
(х)= — Пт Йт К (Л)1п |/ {у: р (дг, у) < 6} =
6 ; 0 Л|0
- Пт Пт X {Н)~х \п \уп {у: р (х, у) < б}. C.11)
Доказательство. Из условия (I) выводится,
что Пт [и^ ^ — 8(х), из условий (II) и @) — что
6 + 0 П |0
Пт Пт ^ — 8(х). Докажем второе. Для произволь-
б 1 0 Л 4 0
ного у > 0 компакт Ф(8(х) — у) не содержит х; возьмем
положительное б, меньшее, чем половина расстояния

§ 3] ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 125
от х до этого компакта. Имеем
РН{У- Р(*> !/)<8}< РЬ{Г- Р(». ФE(^) ~ У)) > б},
а это в силу C.2) при достаточно малых к не превосходит
ехр {—к(к)(8(х) — 27)}. Это дает нам необходимое утверж-
дение.
Заметим, что условием выполнения соотношений C.11)
нельзя заменить условия A), (II) (считая условие @) вы-
полненным). Из C.11) не вытекает (II), как показывает
такой пример: X = 7?1, \хн — смесь с равными весами нор-
мального распределения со средним 0 и дисперсией к
и нормального распределения со средним 0 и дисперсией
ехр [еш'}; ЦН) = /Г1. Здесь ИтНт ЦП)*1 1п ^ {у:
р(#» у) < $} = —х212 для всех х\ функция х2/2 удовлетво-
ряет условию @), но условие (II) не выполнено.
Сформулируем на общем языке приемы, которые мы
применяли для проверки условий (I), (II) в § 2 (они будут
применены также в § 4 и в §§ 1 и 2 гл. 5). Для вывода (I)
мы подбираем функцию 8х(у) на X так, чтобы семейство
мер \ьн(<1у) = ехр {Цк)^х(у)}цн(с1у) сходилось к мере, сосре-
доточенной в данной точке х\ далее пользуемся тем, что
{у: Р(х,
На части области интегрирования с достаточно большой
(Г^-мерой оцениваем $х(у) сверху: ^(г/Х&с (х) + у (с по-
мощью неравенства Чебышёва); и значение §х (х) прини-
маем за 8(х). Этот прием использовался Г. К р а м е р о м
[1 ] в применении к распределениям сумм независимых слу-
чайных велргчин, причем для получения не грубых,
а точных результатов.
Условие (II) мы получали следующим образом: выби-
рали функцию х (х) такую, что ее значения принадлежат
{у: 8(у) < оо}, и множество А такое, что р(.г(.г), х) <С &
для д;е Л. Далее пользовались неравенством
у"{х: р(х, Ф(*)) ^ 6} ^

126 функционал действия [гл. з
Первое слагаемое мы оценивали с помощью экспоненциаль-
ного неравенства Колмогорова; второе — тоже при помо-
щи экспоненциального чебышевского неравенства
\1Н[хе=А: Ъ(х)фФ(8)} = \1Ь {х <= А: 5(х(х))> $}<
ехр {A - х) X (к) 8 {х (х))} рь (Ох) X
Хехр{— A — х) X (к) я}.
Конечно, вопрос о том, как оценить интеграл по Л, ре-
шается в каждом случае особо.
Наконец, скажем об особенностях, возникающих при
рассмотрении семейств мер, зависящих, кроме основного
параметра к, еще от параметра х, пробегающего значения
из пространства X (который будет иметь смысл точки,
из которой начинается траектория возмущенной динами-
ческой системы; мы ограничиваемся случаем возмущений,
однородных по времени). Прежде всего, мы будем рассмат-
ривать не одно пространство функций и одну метрику,
а при любом Т > О — пространство функций, определен-
ных на отрезке [О, Т], и метрику рог. Соответственно
нормированный функционал действия будет зависеть от
этого отрезка: $ = 80Т. (В случае возмущений, рас-
сматриваемых в гл. 4, 5, 7, этот функционал оказы-
т
вается имеющим вид 5ог (ф) = ] Ь(<Уи Ф*) ^» и пам УДоб-
о
но доопределять его аналогичным образом для всех отрез-
ков [Т\, Гг], —оо ^ 71! << Тч ^ -Ь°°» действитель-
ной оси.)
Далее, каждой точке х е X и каждому значению пара-
метра к будет отвечать своя мера в пространстве функций
на отрезке [О, Т]. Здесь можно пойти двумя путями:
либо рассмотреть целое семейство функционалов, завися-
щее от параметра х (причем функционал, соответствующий
точке х, полагается равным -)-оо для всех функций ф*,
для которых фо Ф х), либо ввести новое, относящееся к
этой ситуации определение функционала действия. Мы
пойдем последним путем.
Пусть (йл, #~л, Р^) —- семейство вероятностных прост-
ранств, зависящее от параметров к > 0 и 2*, пробегающего

§ 4] ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ПОЛЯ 107
значения из метрического пространства Х\Х\,1^ О,—
случайный процесс на этом пространстве со значениями в
X. Пусть рог — метрика в пространстве функций на отрез-
ке [О, Т] со значениями в Х\ 80Т (ф) — функционал в этом
пространстве. Мы говорим, что Цк) 80Т (ф) — функционал
действия для семейства случайных процессов (Х|\ Р^.)
равномерно по классу $4< подмножеств X, если:
(Ок) функционал 50Г полунепрерывен снизу; сумма
Фх(я) по х ей" компактна для любого компакта К^Х ', где
Фх(8) — множество функций на отрезке [О, Т] таких, что
Фо =- х, а $ог(<р) < 5;
AР) для любого б >0, любого у > 0, любого $о > О,
любого ^6^ существует Но > О такое, что при всех
к < /го, всех х е А и всех ф е Ф^^о)
Р^ (Рот (Х\ Ф) < б) > ехр {- К (к) [80Т (ф) + ?]}; C.11)
(Пр) для любого б > 0, у > 0, 5о > 0 и любого Л <= ^
существует ко > 0 такое, что при всех к ^ ко, з ^ $о
и х е А
РНХ [рог (Х\ Фх (з)) > б) < ехр {- К (к){з - у)}- (ЗЛ2)
т
1 Г .
Так, в гл. 4 мы докажем, что 2^ |ф8 — Ь(ф5)|2& —
о
функционал действия для семейства процессов, задавае-
мых стохастическим уравнением X] = Ъ (Х{) + ш^ при
г -> 0 равномерно по всему пространству.
§ 4. Функционал действия для гауссовских
случайных процессов и полей
Пусть Хг — гауссовский процесс, определенный при
0^ ^^ Т7, со значениями в Яг, имеющий нулевое сред-
нее и корреляционную матрицу а(з, {) = (а^(з, I)),
а^(з, г) = ЫХ\Х{ , Функции аг'3{з, г) мы будем считать
квадратично интегрируемыми на [0, Г]х[0, Т].
Обозначим А корреляционный оператор процесса Хг,
действующий в гильбертовом пространстве 1/2оГ функций

128 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3
на [0,
лярное
т
Т] со значениями в
произведение в
11(8)ёЧ8)^81 норма ||
Нг :
этом
/II =
г*
пространстве (/,
(/, Л1/2.
Ска-
Мы сохраним
обозначение (/,#) для интеграла I (/8, #5№ ив том ел уча е^
о
о
когда одна из функций не принадлежит ЬоТ , но интеграл
в каком-либо смысле определен. Например, если и;$ —
г
г мерный процесс белого шума, то (/,ш) = )К8)с1и>8.
о
Предположим, что корреляционный оператор А имеет
конечный след. Этого, как известно (Г и х м а н и Ско-
роход [2], гл. V, § 5), достаточно для того, чтобы траек-
тории процесса Хг принадлежали Ь\т- Обозначим Л1/2
симметричный неотрицательный квадратный корень из
оператора А, Оператор Л1/2, так же как и Л, является
интегральным оператором с интегрируемым в квадрате
ядром. Чтобы построить это ядро, рассмотрим собственные
функции е^г), . . ., еп @, . . . оператора А; Хг, . . .Д„ , . ..
— соответствующие собственные значения. Так как
а(з, I) — корреляционная функция, то оператор А неотри-
цательно определен, т. е. Кк ^ 0. Положим С E, ^) =
= 2^/2*ьE)ел@- Оператор А имеет конечный след: 2ЯА<
< оо, поэтому ряд ^Кн2ек(8)ек(г) сходится в Ь[о,т]х[о,т\-
Функция 0(8, I) как раз и есть ядро интегрального опера-
тора А • Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить,
что собственные фукнции оператора с ядром С($, г) совпа-
дают с собственными функциями оператора Л, а собствен-
ные значения являются квадратными корнями из соот-
ветствующих собственных значений оператора А.
Случайный процесс Хг допускает интегральное пред-
ставление через ядро оператора А1/2:

§ 41 ГАУССОВСКНЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ПОЛЯ *29
где ш8 — некоторый г-мерный винеровский процесс. Это
равенство мы будем записывать в виде Хг = Л1/2^. Что-
бы проверить его, достаточно заметить, что X = А1/2ш —
т
гауссовский процесс с МХг = 0 и АХ8 Хг = ] С($, и)Х
о
Х6A, и)ди = а(з, I).
Операторы Л и Л1/2 переводят в нуль некоторое под-
пространство Ьо^Ь'ог- Это подпространство, вообще
говоря, нетривиально, и поэтому для рассмотрения обрат-
ных операторов Л и Л~1 2 требуются дополнительные
пояснения. Определим эти операторы, положив Л-1ф =
= \|^, Л~1/2ф = \|J, если А\\I = ср, соответственно Л1/2\|J =
= Ф, и \(I, \|J ортогональны пространству Ьо. Таким обра-
зом, операторы Л и Л~1/2 определены однозначно на мно-
жествах значений операторов Л и Л1у2 соответственно.
Па пространстве />2г рассмотрим функционал б'(ф),
равный 1/2 || Л~1/2ф||2; еслиЛ"/2ф не определено, то счи-
таем 5(ф) = + оо. Для функций ф, на которых определен
оператор Л, функционал 5(ф)= 1/2 (Л ф, ф);т. е. функ-
ционал 5г(ф) есть некоторое расширение функционала
1/2(Л-1ф, Ф).
Теорема 4Л. Функционал б'(ф) является нормиро-
ванным функционалом действия для гауссовского процесса
X* = гХг в гильбертовом пространстве 1/2г пРи е —^ 0.
Нормирующая функция Це) — е~2.
Доказательство. Пусть С^ E, ^) — симмет-
ричное, положительно определенное, непрерывно диф-
ференцируемое на квадрате [0, Т]Х [0, Г]ядро2 такое, что
т г
о о
где СE, 0 — ядро оператора Л1/2. Оператор с ядром
Он E, г) обозначим Сн . Проверим сначала, что выполнено
неравенство
Р{||Хе - Ф|| < 6} > ехр {-е-2E((Р) + у)} D.1)
при любых б, 7 > 0 для достаточно малых положитель-
^ А. Д. Вентцель, М. И. Фрейдлин

Далее, используя неравенство Чебышёва, для произво-
льного а > 0 получаем
При достаточно больших ТУ математическое ожидание в
правой части конечно. Чтобы убедиться в этомА введем
D.4)
D.3)
при е, меньших некоторого ех. Здесь мы восиользовались
тем, что
D.2)
имеет место включение
130 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3
ных 8. Если |5(ф) = +оо, D.1) очевидно. Пусть 5(ф) < оо.
Тогда найдется \|з е Ьот > ортогональное Ьо и такое, что
= ср. Положим ф^ = Ок \|), Хн = См ш. Выберем
т т
N0 столь большим, чтобы ||ф^ — ф|| < Цфщ ] ] [С($, /)—
При таких N
Отсюда
Так как С^($, Ь) — непрерывно дифференцируемое ядро,
то для оценки первого слагаемого правой части можно ис-
пользовать результат примера 3.2:

§ 4] ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ПОЛЯ {31
собственные функции ср& и соответствующие собственные
значения |лл, к = 1, 2, . . ., симметричного квадратично
интегрируемого ядра Г^ E, I) = С($, I) — ОК($Х 1). Нетруд-
но проверить следующие равенства:
Случайные величины ?л= ] ФлE)^з имеют нормальное
о
распределение с нулевым средним и единичной дисперсией;
при различных к они независимы. Учитывая эти свойства^
получим
М ехр Щ К Г^ (з, I) скоА сн\ = М ехр {|1
- 11 М ехр {^ ,Ц = П A - ^ ^)'1/2> D-5)
Последнее равенство верно, если -^ \х\ < 1 при всех к.
т т
Так как 2 И* = I* Г г*(*, 02^ л ~^° ПРП N -*¦ оо, то D.5)
о о
выполняется при Лг, больших некоторого ^ =* N±(A, б).
Из сходимости ряда 2м* вытекает сходимость бесконечного
произведения в равенстве D.5). Таки^м образом, если N >
> Л^1, то математическое ожидание в правой части нера-
венства D.4) конечно! и при а =» 5(ф) -ф- У Для достаточно
малых е получаем
- гХК\\ > б/3}< сопз1-ехр {-е-2E(Ф)+7)}- D.6)
Собирая вместе оценки D.2J D.3) и D.6)л получим D.1).
5*

132 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3
Теперь докажем, что для любых $ > О, у > О, 6 >> О
найдется е0 такое, что при е ^ е0
Р{р(еХ, Ф(з)) > 6} < ехр {-е-2E-у)}, D.7)
где Ф($) = {ср е= Ь1Т: 5(ср) < 5}. __
Вместе с Ф(.9) — образом шара радиуса \^28 в 1а\т при
отображении А12 рассмотрим множество ФЛгE)— образ
того же шара при отображении С^-. Пусть Л^ > -4-. Тогдаг
учитывая определение Ск(з1 I), получим
D.8)
В силу D.4) первое слагаемое правой части может быть
сделано меньше ехр {—е~2($ —- у/2)} при достаточно боль-
шом N. Оценка второго слагаемого
Р{р(еХм, Фдг($)) ^ 6/3} ^ ехр {—е~~($ — у/2)}
вытекает из примера 3.2. На основании этих оценок из
D.8) выводим неравенство D.7). Теорема 4.1 доказана.
Замечание. Как было установлено в предыдущем
параграфе, оценки D.1), D.7) выполняются при достаточ-
но малых е равномерно по всем функциям ф с $(ф) ^
^ соп81, соответственно для всех 5 ^ $0 <С оо.
В приведенном доказательстве, взятом из статьи
Ф р е и д л и н а [7], основную роль играло представле-
ние гауссовского процесса Хх в виде Хг = А112и)ь. Это
Отсюда при Лг > 65/6 будем иметь

§ 41 ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ПОЛЯ 133
представление позволило свести вычисление функционала
действия для семейства процессов еХг в Ь\т к оценкам
соответствующих вероятностей для винеровского процес-
са, полученным в § 2 (для равномерной метрики). Сейчас
мы сформулируем и докажем теорему, очень близкую к
теореме 4.1; но мы не будем опираться на оценки для ви-
неровского процесса в равномерной метрике, а восп-
роизведем доказательства из § 3.2 в обстановке гильбер-
това пространства (см. Вентцель [4]). Это позволит
нам выписать выражение функционала действия для гаус-
совских случайных процессов и полей в различных гиль-
бертовых нормах. Конечно, гауссовское случайное поле
г
Х2 тоже можно представить в виде 0(з, г)йю3 и вос-
0
пользоваться рассуждениями, приведенными при дока-
зательстве теоремы 4.1, но это представление уже не так
естественно, как для случайного процесса.
Пусть Я — действительное гильбертово пространство;
мы сохраним обозначения (, ), || || для скалярного произве-
дения и нормы в //. Рассмотрим в Н гауссовский случай-
ный элемент X со средним 0 и корреляционным функциона-
лом 2?(/, #) = М(Х, /)(Х, §). Этот билинейный функционал
представляется в виде 5(/, $) = (Л/, #), где А — самосо-
пряженный линейный оператор, который автоматически
оказывается неотрицательно определенным, вполне не-
прерывным оператором, имеющим конечный след (Г и х-
м а н и Скороход [2], гл. V, § 5). Как и раньше,
обозначим 5г(ф)=1/2|И~1/2ф||2; если А~{/2 <р не определено, то
считаем 5(ф) = + оо. Чтобы сделать оператор А~х/2 од-
нозначным, мы опять выбираем в качестве ^~1/2ф тот
элемент \1;, который ортогонален нулевому подпростран-
ству оператора А и для которого Л1/21|: = ф.
Теорема 4.2. Пусть 5, б и у — произвольные по-
ложительные числа. Тогда
?{\\гХ - Ф|| < 6} > ехр {-е-2№) + т)} ('».!))
для достаточно малых е > 0. Неравенство D.9) выполняет-
ся равномерно для всех <р с 5((р) < $< оо. Если Ф($) =
= {ф €= Я: 5(ф) < 5}, то
Р{р(еХ2 Ф(«)) > 6} < ехр {-е~2(* - у)} D.10)

134 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3
для достаточно малых е > 0. Неравенство D.10) выполня-
ется равномерно для всех 8^. $0 <; оо.
Доказательство. Пусть е{, I = 1, 2, . . .,—
ортонормированные собственные функции оператора А\
\\ — соответствующие собственные значения. Обозначим
Хг, <р1 координаты X и ф в базисе е^ е.21 . . . Здесь Хг =
= (X, ег-), г = 1, 2, . .., — независимые гауссовские ве-
личины, имеющие нулевое среднее и дисперсию
== ЩХУ егJ = (Аеи еь) = Яг-. Функционал 5(ф) можно
о
переписать так: 5 (ф) = -^-||4~1/2ф|J = -о-^-^-- Предпо-
ложим, что 5(ф) < оо. Тогда совместное распределение
гауссовских случайных величин Х^ — еф1-, 1 = 1,2,...,
имеет плотность р относительно распределения величин
Хь 1 = 1,2,...!
Р (^ь • • •» *ш- • •) = П ехр[- ^Г'е^ФЛ ~ -у- е~2ф1|;
поэтому
- ф| < 6} =
= М {|Х|« < (б/еJ; ехр {- в Д \-\.Хг -
D.11)
Используя неравенство Чебышева, находим, что
{--=1
/ оо \—1/2
при е < 26 2 ^ и
р {12 ьт1ъхг| < к] > 1 - ^~2м ^5 л.Г'ф!^
=1~л:~2 2 ^Г!ф? = 1 - 2л:"^ (ф) > 3/4

в 4] ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ПОЛЯ 135
при К ^ 2|/2 У~8{у). Из этих неравенств следует, что
случайная величина под знаком математического ожида-
ния в D.11) с вероятностью, не меньшей 3/4, больше чем
ехр {—е~2*5(ф)—г~1К}. Отсюда вытекает неравенство D.9).
Докажем теперь второе утверждение теоремы. Обозна-
чим X случайный вектор с координатами (Хх, Х2, . . .
. .., Хго, 0, 0 . . .). Выбор номера г0 будет уточнен позже.
Легко проверить, что
Р{р(еХ, Ф(*))>6}<
D.12)
Первая вероятность равна
Р |5 (еХ) > 5) = Р {5 (X) > 8е~2} -
122} D.13)
Случайная величина 2 ^Г1^? есть сумма квадратов 10
1 = 1
независимых нормальных с параметрами @, 1) случай-
ных величин, и, стало быть, имеет ^-распределение с г0
степенями свободы. Используя выражение для плотности
^
^-распределения, получим
= Р
оо
= Г
Л о @/)
г° ехр {— 8~~2$} D.14)
Л о Г (@/2) 2г°/
288—2
для достаточно малых г > 0. Вторая вероятность в D.12)
оценивается с помощью экспоненциального неравенства
Чебышева
, X) > 6/е | < е~^6/В)'м ехр {-|- Р (^ XJ}. D.15)

136 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3
Математическое ожидание в правой части конечно при до-
статочно большом 10. Это проверяется так же, как конеч-
ность математического ожидания в формуле D.4); нужно
оо
принять во внимание сходимость ряда ^ Ун. Полагая в
1 = 1
D.15) с = 2$8~2, при достаточно большом 10 будем иметь
Р{р(Х, X) > б/е}< сопз1-ехр {-58 2}. D.10)
Сопоставляя формулы D.13), D.14) и D.1C), получим но
следнее утверждение теоремы.
Эта теорема позволяет вычислять функционал дейст-
вия для гауссовских случайных процессов и нолей в произ-
вольных гильбертовых нормах. Требуется только, чтобы
реализации процесса принадлежали соответствующему
гильбертову пространству. В ряде задач, например, в за-
дачах о пересечении уровня случайным процессом или
нолем, желательно иметь оценки в равномерной норме. Дли
получения таких оценок можно воспользоваться теорема-
ми вложения.
Пусть В — ограниченная область в К с гладкой гра-
ницей. Обозначим \\7\ пространство функций в В, полу-
чающееся из пространства бесконечно дифференцируемых
функций в В путем пополнения его по норме
где мультииндекс д = (дх, . . ., дг ), \д\ = 1д1 и
~~дхЧ1 Т^.. Пространство 1^2 с этои нормой явля-
ется сепарабельным гильбертовым пространством (С о-
болев [1]). Оно, грубо говоря, состоит из функций,
имеющих интегрируемые в квадрате производные поряд-
ка /. Чтобы реализации га уссовского случайного поля Хг,
г е В с: Лг7 с нулевым средним и корреляционной функ-
цией а{и, г) = МХиХ1) принадлежали \У12{В), достаточно
(см., например, Г и х м а н и Скороход [1 ]), чтобы
корреляционная функция имела непрерывные производ-
ные до порядка 21 включительно. Пусть т — мультиин-
декс (т^ . . ., т,г), тг ^ 0, причем |т| = т1 + Щ + • • •

§ 4] Гауссовские случайные процессы и поля 137
... + тпт ^ I — г/2; тогда для всех х е О имеет место
оцен ка
д^и(х)
|| I
Это неравенство составляет содержание одной из теорем
вложения (см. Соболев [1] или Ладыженская,
У р а л ь ц е в а [1 ], теорема 2.1). Отсюда немедленно
следует, что если корреляционная функция случайного
поля имеет непрерывные производные порядка 21 в Б у
у (Ю, то оценки D.9) и D.10) выполняются в метрике
пространства С™] при ш < / — г/2. При этом функционал
5(ф) определен равенством 5(ф) = 1/.2 ЦЛ-^фЦ2, где
А — корреляционный оператор; А , так же как и выше,
делается однозначным наложением требования ортого-
нальности А~ ф нулевому пространству оператора А;
если Л~1/2ф не определено, то 5(ф) = + оо. В частности,
при 21 > г оценки D.9), D.10) выполняются в норме Со .
Применяя для получения оценок в Сг> более точные
теоремы вложения, можно снизить требования на глад-
кость корреляционной функции.
Л е м м а 4.1. а) Множество Ф E) = {ф е Н: *5(ф) ^
^5}, 5< оо, компактно в //;
б) функционал 5(ф) полунепрерывен снизу, т. е. если
IIФи — Ф|| -* 0 при п -> оо, то 5(ф) ^ Нш5(фп).
П->оо
Доказательство. Докажем сначала б). Рас-
смотрим гильбзртово пространство Нг с: Н, получающее-
ся пополнениэм области определения В _1/2 по норме
1|/|1г = ||Л"" /||. Это выражение действительно определяет
норму, так как оператор А~~У2 линеен и не переводит в нуль
элементов, отличных от нуля. Достаточно доказать наше
утверждение для последовательности фп такой, что
Пт 5(фп) существует и конечен. Для такой иоследо-
П-*то
вателыюсти Цф^^ = [2д5(фп) I1/2 < сопзК оо при всех
п. Раз множество {фп} ограничено, оно слабо компактно;
т- е. найдется элемент ф е Нг такой, что некоторая под-
последовательность <р слабо сходится к ф в Нх : (
/)я = D-1/2ф А-*/*П^ 0рП(А-'ГЪ ^"/2Л ПРИ

138 функционал действия [гл. з
D.17)
D.18)
Доказательство. Первое утверждение дока-
зано в общей ситуации в § 3. Второе утверждение мы до-
кажем только для ф е ^А-1» (Относительно доказа-
тельства для ф е ^А-1/2 см- Сытая [1 ]; там же име-
ется уточнение первого утверждения теоремы.) Используя
обозначения теоремы 4.2, из равенства D.11) получим
D.19)
Отсюда заключаем2 что
Если
г ->- оо для любого /еЯг Отсюда следует, что фп слабо
сходится к ф и в Н. В самом деле, пусть # е //. Тогда
* -> оо. В силу единственности слабого предела в Н полу-
чаем, что ф = ф. Теперь утверждение б) леммы получаем
из полунепрерьтвности снизу нормы относительно слабол
сходимости.
Утверждение а) леммы следует из б) и из того, что
оператор А и, стало быть, А1/2 вполне непрерывен.
Замечание. Из доказательства следует, что функ-
ционал 5(ф) полунепрерывен снизу в топологии слабой
сходимости пространства //.
Укаже;.! еще некоторые свойства функционала 5г(ф),
поясняющие его вероятностный смысл.
Теорема 4.3. Пусть ср е Вд-1/2- Тогда

§ 4] ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ПОЛЯ 139
Из последнего равенства и D.19) вытекает второе утверж-
дение теоремы.
Замечание. Соотношение D.18) представляет ин-
терес и в задачах, не содержащих малого параметра; оно
может быть интерпретировано как утверждение о том, что
функционал ехр {—б^ф)} играет для гауссовского случай-
ного поля (процесса) X роль ненормированной плотности
распределения относительно «равномерного распределе-
ния в гильбертовом пространстве Я».
Пример 4.1. Пусть О — ограниченная область в
П* с гладкой границей дВ. Пусть Хг — гауссовское
случайное поле, определенное при ъ е О \] дО, имеющее
нулевое среднее и корреляционную функцию аBх, 22).
Предположим, что эта функция имеет непрерывные про-
изводные до порядка г -)- 2 включительно. Тогда реали-
зации случайного поля с вероятностью 1 имеют интегри-
руемые в квадрате по множеству В частные производные
до порядка [г/2] + 1- Иначе говоря, эти реализации при-
надлежат Т^г2^г/23+1A)) и, стало быть, в силу сформулиро-
ванной выше теоремы вложения, X е С^ая и ||Х||С ^
^ соп81- ||Х||рр [г/2]+1- Отсюда следует, что функционал
2
5(ф), определяемый как 1/2||Л-1/2ф||2, если А~~У2у опреде-
лено, и как +оо для остальных ф, будет нормированным
функционалом действия для случайного поля гХ2 при
е -> 0 не только в Ц^г/21+109), но и в
Положим^ О =* {ф е Св^д
еБидО
Изучим поведение Р{еХ е С} при е-+- 0. Любой элемент
границы замкнутого множества О может быть домноже-
нием на число, сколь угодно близкое к 1, переведен во
внутреннюю точку этого множества. Так как 8(ац>) = а?Х
Х5(ф), то отсюда вытекает регулярность множества О
относительно функционала 5(ф). Поэтому в силу тео-
ремы 3.4
Пт е21п Р{еХеС} = - т! 5 (ф).
ео еО
Вычислим эту нижнюю грань.
Обозначим екB,), Хк собственные функции и соответст-
вующие собственные значения симметричного ядра а(я1У
2*). Известно, что а (г1г 22) = 2 Кек {ч) ек СУ- Вычислим

140 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3
значение функционала 5 для функции Фгв(г)=а(з0, г) =
= 2ккек(го)ек(г). Имеем
Пусть функция а(г, ъ) достигает своего максимума на мно-
жестве О у дВ в точке 2. Положим
фB) = ф, г)-1 фГ(г).
В точке 2 функция ф принимает значение 1; 5(ф) =
—-у а B, 2)". Покажем, что *§'(ф) есть нижняя граи ь фун к-
ционала *5'(ф) на множестве С. Действительно, пусть
ф(з) == ТсъекB) — произвольная функция, достигающая
в какой-то точке г значение 1 или более. Тогда, используя
неравенство Коши—Буняковского, получим
Отсюда
D.20)
Итак, 1пГ5(ф) =4-йф, 2) {.
Фес ^ ^
Если предположить, что 2 — единственная точка аб-
солютного максимума функции аB, т) в /}у<9Д, то равен-
ство в D.20) может достигаться только при ск = Хкек{2,)х
Ха(г, г), к =¦ 1, 2, . . ., т. е. нижняя грань *§'(ф) достига-
ется только при ф(г) = ц)(%). Теорема 3.4 дает нам
Нт е21п Р ЫХ е С?} = - 1 я (?, 1)~Л =

§ 4] ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ПОЛЯ 141
Если а^^т) > а{2,1 т.) для всех остальных точек 2 из Б\^дВ,
то
1пп р(8нр | гХг - $ (г) | < 61 еХ е= б) = 1
е-*0 I г )
при любом б > 0.
В случае однородного случайного поля Хъ уже нельзя
указать функцию ср, вдоль которой с подавляющей вероят-
ностью при 8 ->- 0 достигают уровня 1 реализации гХг
при условии, что они его вообще достигают. Однако в этом
случае функции а(%0, 2) при разных 20 получаются друг из
друга сдвигом, и можно доказать, что
б I
где б > 0, а(г) = а{г0, г0 + г).

ГЛАВА 4
ГАУССОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
§ 1. Функционал действия
В этой главе мы будем рассматривать возмущения ди-
намической системы
*,= Ь(хг), х0 = х, Ь(х) = №), . . ., Ьг(х)) A.1)
процессом белого шума и вообще гауссовским процессом.
Функции Ъг, если не оговорено противного, будем считать
ограниченными и удовлетворяющими условию Липшица:
\Ь(х) — Ъ(у)\ < К\х — у\, \Ъ(х)\ < К < оо. Основное вни-
мание мы уделяем здесь случаю, когда возмущенный про-
цесс имеет вид
Х*=>Ъ{Х]) + гюи Х\=*х% A.2)
где юг —- г-мерный винеровский процесс. В гл. 2 мы гово-
рили о том, что при е -> 0 процессы X] сходятся по веро-
ятности равномерно на каждом конечном отрезке [О,Г]
к траекториям динамической системы A.1). На этот ре-
зультат можно смотреть как на вариант закона больших
чисел. В гл. 2 имеется также утверждение типа центральной
предельной теоремы для процессов X]: нормированная раз-
ность [X] — хг) сходится к гауссовскому процессу. Этот
результат характеризует отклонения порядка г от
предельной динамической системы. В этой главе мы изу-
чим асимптотику вероятностей больших (порядка 1) ук-
лонений для семейства процессов X] и рассмотрим ряд

§ {] Функционал действия 143
задач, касающихся поведения возмущенного процесса на
больших отрезках времени. В последнем параграфе мы
рассмотрим большие уклонения для процессов Хгг> кото-
рые определяются уравнениями
А?=Ь(Х?,еС,), XI =*, A.3)
где ^ — гауссовский процесс в Н]\ Ъ(х, г/), х е /?г, у е
е/!1, — непрерывная функция, для которой Ь(х, 0) =
= Ь(х).
Пусть г|^ — непрерывная функция на [0, Т] со зна-
чениями в Нг. Рассмотрим в пространстве СОТ(ЯГ) опера-
тор Бх: \|5 ->• у, где V = гг — решение уравнения
§Ъ(Vа)А* + у^, г€=[О,Т]. A.4)
о
Нетрудно доказать, что при сделанных предположе-
ниях относительно Ъ(х) решение уравнения A.4) существу-
ет и единственно для любой непрерывной функции ф и
любого х е Яг'. Оператор Вх имеет обратный
Лемма 1.1. Предположим, что функция Ь(х) удое*
летворяет условию Липшица
\Нх) - Ь(у)\ < К\х - у\.
Тогда оператор Вх в СОТ(ЯГ) удовлетворяет условию Лип-
шица:
Доказательство. По определению опера-
тора Вх для и — Вхц>, V — Вх"§ имеем
| И, - VI | =
)' | «*. - у. Н« +1 ф - ^11,

144 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4
Отсюда на основании леммы 1.1 гл, 2 вытекает утвержде-
ние леммы 1.1.
На пространстве СоТ (Вг) рассмотрим функционал
*?(ф) = 80Т (ф), который для абсолютно непрерывных
функций ф е Сот (Яг) определяется равенством
т
цля остальных ф е СоТ(/?г) считаем *5'ог(ф) = +оо.
Теорема 1.1. Функционал е~25(ф) является функ-
ционалом действия для семейства процессов Хг, опреде-
ляемых уравнением A.2), в пространстве СОТ(ВГ) щи
е —>- 0 равномерно относительно начальной точки х е Вг.
Доказательство. При каждом фиксирован-
ном х утверждение вытекает из теоремы 3.1 гл. 3 и леммы
1.1, если принять во внимание вид функционала действия
для семейства процессов ги^.
Действительно, так как оператор Вх непрерывен в
^ог (Кг) и имеет обратный, то функционал действия для
семейства процессов А'8 = Вх{гю) имеет вид е~2*$'(ф),
т т
о
если функция (Вх~1(рI = срь — х — | Ъ (<рв) из абсолютно не-
о
прерывна. Ясно, что эта функция абсолютно непрерывна
тогда и только тогда, когда абсолютно непрерывна функ-
ция ф*.
Теперь нам нужно проверить равномерность по х.
Выполнение формул C.11), C.12) гл. 3 при малых значе-
ниях параметра сразу для всех х е К вытекает из равно-
мерной по х непрерывности оператора Вх (условие Липши-
ца с константой, не зависящей от х). Остается проверить
требование @к) § 3 гл. 3: полунепрерывность снизу функ-
ционала 80Т и компактность (] Ф^з) для любого ком-
пакта К. Это выводится из того, что (х, г|)) -^Вх^> — го-
меоморфиЗхМ, если рассматривать только гр с а|> = 0.

§ 1] ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ ^5
Отсюда, в частности, вытекает, что нижняя грань
5оТ(ф) по любому ограниченному замкнутому подмноже-
ству Сот (Яг) достигается; причем значения, близкие к
наименьшему, функционал 80Т принимает только вблизи
функций, на которых достигается минимум.
Отметим, что если *5'оТ(ф) = 0, то функция ф на [О, Т\
является траекторией динамической системы A.1), так
как в этом случае ф абсолютно непрерывна и почти всюду
на [О, Т] удовлетворяет уравнению ц)ь = Ь(ф*).
Рассмотрим некоторые простейшие применения тео-
ремы 1.1. Пусть О — область в /?г, дО — ее граница,
с(х) — непрерывная ограниченная функция в Нг, $(х) —-
ограниченная непрерывная функция, заданная на ОБ.
Обозначим т8 = пип [I: Xе ф. В\ где Х\ — решение
уравнения A^6); НвA, х) = {ф е Сот (Пг): ф0 = х,
щ е ОидБ}, IIо% х) = {Ф е Сот G?г): Фо = хч Ф,^ И
при каком-то 5 е [О, I)}.
Теорема 1.2. Предположим, что граница области
И совпадает с границей ее замыкания. Тогда
21пР^{Х8е/)) =— гщп 5Ог(ф), A.5)
Нте21пРя(те<*} =— т'ш 5от(ф). (ЬС)
°
Если экстремаль ф8, доставляющая минимум функционалу
$ от (ф) на #г>(^ х)ч единственна и только при одном зна-
чении $ е [О, Л она принимает значение из дО, то
= 5 ((РГ) ехр | с (ф8) (Ь\• A.7)
Доказательство. Так как е г5оТ (ф) есть
Функционал действия для семейства процессов X*, то
соотношения A.5) и A.6) вытекают из теоремы 3.4 гл. 3.

ш
окрестность положения равновесия
(ГЛ. 4
При этом нужно еще воспользоваться регулярностью мно-
жеств Пп{1, х) и II!>{!;, х), которая доказана в примере
3.5 гл. 3.
Чтобы доказать A.7), рассмотрим события А{ —
4 = (те<«, РоЛ^ф)
: б}. На
множестве А{ выполняется неравенство
'.(Х\)йа\
A.8)
где %ь ->¦ 0 при б | 0. Эта оценка вытекает из того, что
время, проведенное кривой ф8 в б-окрестности точки
ФГ ^ ЭБ, стремится к нулю при б | 0, а после момента 5
экстремаль ф8на дВ не попадает. Из соотношений А{ [} Л2 =
= {те<! 1} и A.8) следует неравенство
где [|с|| = вир \с{х)\, \\$\\ = вир \§{х)\. Так как Гф —
единственная экстремаль функционала действия на мно-
жестве НВ(Ь, х), то значение функционала 8о1 на функ-
циях, достигающих дВ и находящихся на расстоянии не
менее б от ф, больше, чем 80г((р) + у, где у — какое-то
положительное число. Пользуясь теоремой 1.1 (верхней
оценкой с у 12 вместо у), получаем, что при достаточно ма-
лых е выполняется неравенство
РхD) < ехр {- г~2 (8о1 ($) + 7/2)}.

§ 1] ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ 147
Отсюда, принимая во внимание соотношение A.6),
заключаем, что
20. A.10)
Если теперь неравенство A.9) разделить на Рх{хг ^ г},
то, учитывая A.10) и то, что Нт Яб = 0, получим A.7).
Таким образом, вычисление главного члена логарифми-
ческой асимптотики вероятностей событий, связанных с
процессом X*, свелось к решению некоторых вариацион-
ных задач. Эти задачи носят стандартный характер. Для
экстремалей обычным образом пишется уравнение Эйлера,
а сам минимум удобно находить с помощью уравнения
Гамильтона — Якоби (см., например, Гельфанд,
Фомин [1 ]). Если обозначить
= т1п $01 (ф),
то тт 80г (<р) = тт V (г, х, у), тт 801 (ф) =
на) в^дъ ,х)
тт У E, х, у). Уравнение Гамильтона — Якоби для
1, х, у) имеет вид
4 11 ^ У) I2 + (Ь (У)г УуУ («, х> У)), A-11)
где уу — оператор взятия градиента по переменным у.
К уравнению A.11) нужно еще добавить условия7@, х, х) =
= о, У(г, х, у) > о.
В заключение этого параграфа заметим, что функции
*'(',*)= Р* (X! е Я}, ^Aхх)=Рх{х*^1)х ю* (^х) -
= МЛ те<>, ^ГхМехрЬ с(Хв)й.ч>1 представляют

так что на теорему 1.2 можно смотреть как на некоторые
утверждения, касающиеся поведения решении дифферен-
циальных уравнений с малым параметром при старших
производных при стремлении этого параметра к нулю.
§ 2. Задача о выходе из области
Пусть В — ограниченная область в Лг, дВ — ее гра-
ница, которую будем для простоты считать гладкой. Если
траектория хг{х) системы AЛ), начинающаяся в точке
х ^В, за конечное время выходит из В [) дВ, то траектории
процесса Хги исходящие из х, тоже с вероятностью, близ-
кой к единице при малых 8, покинут за это время область
В, причем первый выход из области с большой вероят-
ностью произойдет вблизи точки выхода из В траектории
хг(х) (см. гл. 2).
В этом параграфе мы будем считать, что (Ь(х), п(х))< О
при х е дВ, где п(х) — внешняя нормаль к границе об-
ласти В, так что кривые хг(х) при х е В не могут покинуть
область В. Траектории процесса X®, исходящие из точки
хей, ив этом случае тоже при каждом 8 Ф 0 с вероят-
ностью 1 выходят из В, однако точка выхода и время,
необходимое для достижения границы, уже не определя-
ются при малых е траекторией динамической системы
х^х), а зависят, вообще говоря, от вида поля Ь(х) во всей
148 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4
собой решения следующих задач:

§ 3] ЗАДАЧА О ВЫХОДЕ " ИЗ ОБЛАСТИ 149
области В. Здесь мы изучим задачу о выходе из области
при простейшем устройстве поля Ь(х) внутри В, совме-
стимом с условием (Ь(х), п(х)) < 0. Более общий случай
будет рассмотрен в гл. 6.
Пусть точка Ое/!г есть асимптотически устойчивое
положение равновесия системы A.1), т. е. для всякой ок-
рестности &1 точки О найдется меньшая окрестность $.г
такая, что траектории системы A.1), начинающиеся в
<^2, стремятся при I -> оо к пулю, не выходя из ^>1.
Мы говорим, что область В притягивается к 0, если
траектории Х({х), х е В при ^->оо стремятся к положе-
нию равновесия О, не покидая при этом В.
Квазипотенциалом динамической системы A.1) от-
носительно точки О назовем функцию У(О, х), определен-
ную равенством
V (О, х) - Ы{6'Г1т,(ф): Ф €= СТ1т9AГ), ф-л = О, Фг§ =«}.
Отметим, что концы отрезка 17\, Т2\ не фиксируются.
Смысл названия квазииотепциал будет выяснен в следую-
щем параграфе. Легко проверить, что У (О, #)^0, У(О, О) =
= 0 и функция У(ОУ х) непрерывна.
Теорема 2.1. Пусть О — устойчивое положение
равновесия системы A.1), область В притягивается к О,
и (Ь(х)> п{х)) < 0 при х е дВ. Предположим, что суще-
ствует единственная точка у0 ^дВ, для которой V (О, у0) =
V {О} у). Тогда для любого б > 0 и х е В
11т Ря(р (Ге, У0) < 6} = 1,
где х8= тГ{^: X) <= дВ]%
Доказательство этой теоремы проведем по
следующему плану. Сначала покажем (при помощи лем-
мы 2. 1), что, исходя из любой точки х е В, с вероятностью,
стремящейся к 1 при е ->> 0, марковские траектории Хг1%
прежде чем выйти на дВ, попадут в малую окрестность
положения равновесия (рис. 3). Так как процесс Хгг —
строго марковский, то отсюда следует, что достаточно изу-
чить, как выходят из области траектории, начинающиеся
¦в малой окрестности точки О,

150
ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. 4
Пусть Г и у—две маленькие сферы радиусов [г и |и/2 со-
ответственно с центром в положении равновесия О (рис. 4).
Введем возрастающую последовательность марковских
моментов т0, а0, ть ах, т2,. . . следующим образом: т0 = 0?
ап= Ы {*> тп:Х?е=Г}, хп - Ы {* > а^: X? е
еу^| дП) (если на каком-нибудь шагу процесс Х\
больше не достигает множества Г, полагаем соответствую-
Рис. 3.
Рис. 4,
щий марковский момент и все следующие равными4-°о1
заметим, впрочем, что рассмотрения бесконечных хп и
ап можно избежать, если изменить подходящим образом
поле Ъ{х) вне области П). Последовательность Хп = Х\п об-
разует цепь Маркова на множестве у[]дО (вообще говоря,
неконсервативную цепь: Хп не определено, если хп =оо;
но это может быть только после выхода на дВ). При малых
е эта марковская цепь за один шаг с подавляющей вероят-
ностью переходит из любой точки х еу^|сЮ в множество
у. Но оказывается, что если уж цепь совершит переход
иза;бу на дВ, то с вероятностью, стремящейся к 1 при
е -> 0, этот переход произойдет в точку, лежащую в окрест-

ЗАДАЧА О ВЫХОДЕ ИЗ ОБЛАСТИ 151
ности точки у0 минимума квазипотенциала: для любого
6>0
\ B.1)
равномерно по г е V- Из этого уже легко вывести утверж-
дение теоремы.
Доказательство B.1) будет, разумеется, использовать
функционал действия и его свойства.
Сформулируем и докажем вспомогательные утвержде-
ния, нужные для доказательства.
Лемма 2.1. Пусть Р — компакт в Нг, Т и б —
положительные числа. Тогда существую п такие положи-
тельные е0, р, что при любом х е Р и е <С е0
где х^х) — траектория динамической системы, выходя-
щая из точки х.
Доказательство. Положим
С{х) ={(()Е С0Т: ф0 = х, роГ(ф, х{х)) > б}.
В силу следствия из теоремы 1.1 нижняя грань д, функцио-
нала 80Т (ф) на замкнутом множестве [} О(х) достигается
на какой-то функции из этого множества. Функционал
80Т обращается в нуль только на траекториях динамиче-
ской системы, поэтому й > 0.
Для любого й' < (I множества У С(х) ж \] Фх
не пересекаются; обозначим расстояние между ними (по-
ложительное в силу замкнутости первого и компактности
второго) через б'. Воспользуемся теоремой 1.1: для про-
извольного у > 0 при достаточно малых г для всех х е Р
< Рх I Рог (XI, Фх К) > 6'} < ехр (- е~2 (<*' - у)) ¦
Итак, утверждение леммы выполнено для р = Л' — у
(в качестве |3 можно, таким образом, взять любое число,
меньшее й).

Ш ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4
В дальнейшем через <§Гб(#) будем обозначать б-окрест-
иость точки а е Яг.
Следующая лемма будет нужна нам также в § 4.
Лемма 2.2. Предположим, что точка О — устой-
чивое положение равновесия системы A.1), область В при-
тягивается к О и (Ь(х), п(х)) < 0 при х е дВ. Гогда для
любого а > 0:
а) существуют такие положительные константы а и
То, что для любой функции ф*, принимающей при 1^. [0, 71]
значения в множестве О\}дО\$а(О), имеет место нера-
венство'. 8{)Т((р) > а(Т — Т{));
б) существуют положительные константы с, То та-
кие, что при всех достаточно малых г > 0 для любого
х е О{^дО\&а@) справедливо неравенство
\)
Доказательство, а) Пусть &а'{0) — такая
окрестность точки О, что траектории хг(х) динамической
системы, начинающиеся в %>ъ\О), никогда не покидают
&а{0). Обозначим Т(а, х) время, которое затрачивает тра-
ектория хг(х) на достижение &а,>@). Так как область О
притягивается к О, то Т(а, х) <С сю при х е Б [} дВ. Функ-
ция Г(а, ж) полунепрерывна сверху по х (из-за непрерыв-
ной зависимости хг{х) от х). Значит, она достигает своего
наибольшего значения То = тах Г(а, х) < сю.
риал
и
Множество функций из Сот0» принимающих значения в
О[)дО\$?а (О), замкнуто в Сот0- Последствию из теоре-
мы 1.1 функционал 50То достигает на этом множестве
нижней грани. Эта нижняя грань отлична от нуля, так
как в противном случае в указанное множество входила
бы траектория динамической системы.
Итак, для всех таких функций *5от0(ф) ^ А ^> 0.
В силу аддитивности функционала *? для функций (р, про-
водящих вБ[)дО\&а@) время Г, большее Го, *5оТ(ф) ^
^ А; для функций, проводящих в Б[]дО\^а@) время
Т > 2Г0, ^0Г(Ф) > 2Л, и т. д. Вообще,
Яот(ф) > А [Т/То] > Л(Г/Г0 - 1) = а(Т - Го).
б) Из того, что область В притягивается к О и что
(Ь(х)у п(х)) < 0 на границе этой области, вытекает, что

§ 2] ЗАДАЧА О ВЫХОДЕ ИЗ ОБЛАСТИ 153
теми же свойствами будет обладать и 8-окрестность В при
достаточно малом б > 0. Будем считать б меньшим, чем
а/2. В силу утверждения а) можно выбрать такие постоян-
ные То и А у что8оТо((р) > А для функций, которые на от-
резке от 0 до То не выходят за пределы замкнутой б-окрест-
иости О и не заходят в &а/2(О). При х е О функции из мно-
жества ФХ(А) = {ф: ф0 = х, 5ОТо(ф) ^ А} за время от 0
до ^ достигают &а/2{0) или выходят за пределы б-окрест-
ности области Б; траектории процесса Х\, для которых
1а^> 77С, находятся на расстоянии не менее б от этого мно-
жества. Отсюда в силу теоремы 1.1 получаем, что при ма-
лых г для всех х е О
Р*Ка > П} < ехр {-8-2(Л -у)}.
Далее пользуемся марковским свойством:
Рха*> (« + 1) Го) = Мх и> пТ0; Ре {$*> Го}1<
Л "Тс I
яаа> То};
по индукции получаем
Итак, в качестве с можно взять (А — у)/Т0, где у — про-
извольно малое положительное число.
Еще одна очень простая лемма.
Л е м м а 2.3. Имеется положительная константа Ь
такая, что для любых х и у е ЯТ существует гладкая
функция ф;, ф0 = х, фг = у, Т = \х — у\, для которой
^от(ф) < Ь-\х — у\-
Действительно, можно положить ф( = х + . у ~"—г- г.
\у — х\
Переходим непосредственно к доказательству теоремы.
Пусть б > 0. Обозначим
у): у е дО, \у - уо\ > 6} - 7@, у0).

154 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4
Раз у0 — единственная точка минимума функции V, то
й >0.
Выберем положительное число а < сИЪЬ так, чтобы
сфера Г этого радиуса с центром в О лежала внутри О
(Ь — константа из леммы 2.3).
Лемма 2.4. При достаточно малых е
Рх{2г <=дО}^ ехр {-8-2(У(О, у0) + 0,45^)}
для всех х ^ у. (Напомним, что у — сфера радиуса (.1/2 с
центром О.)
Доказательство. Выберем точку Уг вне
О [] дВ на расстоянии не более и/2 от уку Существует Т > 0
такое, что для любой точки х е у найдется функция ф*,
о < г < г, Ф3 = х, ф^ = уи 80Т(ц)Х) < 7@, Уо) + ола.
Действительно, прежде всего выберем функцию <р\[\
0<*<Гь Ф(о° - О, фг? - У0 такую, что 5ОТ|(Ф<1> )<
^ Г(О ,1/0)+0,1й. «Отрежем» ее начало до точки хх = ф(^1)
последнего пересечения ц\{) с Г, т. е. введем новую функ-
цию ф(,2) = ф(,Я/, 0< *<71Я=Г1^1. Имеем ф^^ж^ф^ =у0,
•50га(фB)) = ^*1г1(фA)) < ^@, Уо) + °>1^ Далее, по лем-
ме 2.3 выбираем функции ф(,3\ 0^^^7г3 = ^, Фо3> = О,
Ф(г3; = «1, 5Ог, (Ф13))< 0,М; Ф|4), 0 < ^ < Г4, Ф(о4)=уо, ф'г4^
= 1/1» ^ог* (фD ) ^ 0» 1^« Наконец, по той же лемме для
любого # ^ 7 выбираем зависящую от х функцию ф/5\
О < I < Г, = ц/2, ф@5) = х, ф(^ = О, 5т (ФE)) < 0.1Й.
Функцию ф? составляем из кусков фE>, ф<3>, ф<2) и ф<4):
Ф? = Ф(,5) при 0 < * < Тъ; = ф<Д1г5 при 716<«<Г5 +Г3;
=Ф(Л.-т, при Г5+ Г3<^< Г5 + Т3+ 7'4;=ф(Дт.-т,-т,
при 216 + 2',+ 21,<*<Гв + Гэ + Г, + 7'4 (рис. 5).
Выберем положительное б' меньше, чем ц/4 и чем рас-
стояние от точки I/! до дБ, и воспользуемся теоремой 1.1.
Получим для е, меньших какого-то е0, и для всех 1ё|
РЛРог (X8, Фх) < б') > ехр {-4-^@, у0) + 0,4й +
+ 0.05Й)}.
Но если траектория Х4Е проходит на расстоянии менее б'

§2)
ЗАДАЧА О ВЫХОДЕ ИЗ ОБЛАСТИ
155
от кривой ф?, то она, не задавая у после достижения 1\
достигает б'-окрестности точки ух и по пути пересекает
границу дП. Значит, вероятность того, что 2Х принадле-
жит дЪ, не меньше чем ехр {—е~(У@, у0) + (^4
Лемма 2.5. При достаточно малых е
Уо) + 0,55^)}
для всех х е 7-
Доказательство. Вспомним, что 2Х = Х*и гда
т1=1п1 {^>а0: Х^е у [} дй]. Введем обозначение х(у [] дИ)~*
Гнс. 5.
= 1п! {г > 0: Х^ е у II 90}. Случайная величина Ъх — не
что иное, как величина Х^гиао), вычисленная для отрез-
ка траектории после момента а0, сдвинутого на сг0 по оси
времени. Воспользуемся строго марковским свойством
относительно марковского момента а0; получим
Так как Х^о е Г, то эта вероятность для всех х^у не пре-
восходит 8ирРя{Х*(?ив1))е9/)\гГб(у0)}; оценим послед-
нюю вероятность.

156 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛО/КЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4
В силу леммы 2.2 для любого с > 0 найдется такое 7\
что Рх{*(т11д#) > Т) ^ ехр {—г-2с) для всех ж е Г и
е, меньших некоторого е0. Возьмем в качестве с, скажем,
У(О, г/0) + й; чтобы получить нужную оценку, остается
оценить Рх{тG II д/))<7\ Хт*Уид[))<=дО\&6 (у0)}. Мы полу-
чим эту оценку с помощью теоремы 1.1.
Рассмотрим замыкание (д/2-окрестности множества
дО\$'& (у0); обозначим его К. Никакая функция фь
О < * < 2\ ф0 е= Г, такая, что 5()Т(ф) < У(О, у0) + 0,65</,
не задевает множества К. Действительно, предположим,
что ф^ е К при каком-то 1г ^ Г; тогда 5о«,(ф)= -5'0Т(ф) ^
^ У(О, у0) + 0,65й. Берем по лемме 2.3 функции ф*1^
О < Ь <7\, Ф(о1} = О, ф^ =Ф0, с 50Г|(ф<1>)<0,2й и ФB), 0 <
< г < Га> Ф@2) = ф/и Ф^ е сШ\<ГбЫ, с 5ог2 (фB))< 0,Ы
и составляем из кусков ср*1', <р, срB' новую функцию: ф(/) =
=(р((° при 0 <( < 1\; = ф,_Г1 при 1\ < I < Тг + 1Х;
= ср^Г1-(, при Тг+и < < < Тг + г, + Т2. При этом ф„=О,
$Т1+A+Т2еай\^6Ы, а 5Ог1+(,+тг(ф) < 0,2й + У(<9,
{/„) + 0,1й + 0,05B. Это меньше нижней грани У(О, у)
по г/ €= дО\3'ь(Уо), чеГ0 не может быть.
Это означает, что все функции из ^| Ф G@, г/0L-0,65^)
жег
проходят на расстоянии не менее ц/2 от дО\&6(у0). Поль-
зуемся теоремой 1.1; получаем для достаточно малых
е и всех х е Г:
Рх{т (у У дО) < Г, Х^иаг)) е дО\#6 (у0)}
< Рж (рот (*8, Фх (V (О, у0) + 0.65Й))
< ехр [- е~2 G (О, у0) + 0,65^ - 0,05^)),
+ Рх {т (VI) Щ < ГД^иав) е дй\&6 (.(/„)}<
< ехр |-е
+ ехр (- е~2 G (О, у0) + 0.6Й)} <
< ехр [- «Г2 (Т' (О,г/0) + 0,55 <?)).

§ 21
ЗАДАЧА О ВЫХОДЕ ИЗ ОБЛАСТИ
157
Из лемм 2.4 и 2.5 вытекает, что
Х ехр {-е-2-0,1й}
для достаточно малых 8 и всех х е у. Обозначим через V
наименьшее и, при котором 2Г1 <= <Э2). Пользуясь строго
марковским свойством, находим для х ^ у
б} = Р* {2V
{V = пх 2п
при 8 -> 0. Таким образом, теорема доказана для х е у.
Если о: — произвольная точка области Ох то
Первая вероятность стремится к нулю по лемме 2.1; вторую
преобразуем, пользуясь строго марковским свойством,
к виду
V!
б}),.
что стремится к нулю по уже доказанному.
На языке теории дифференциальных уравнений теоре-
му 2.1 можно сформулировать следующим эквивалентным
образом.

158 окрестность положения равновесия [гл. 4
Теорема 2.2. Пусть $(х) — непрерывная функция^
определенная на границе дВ области В. Рассмотрим в об-
ласти П задачу Дирихле
^ Аи8(*)+ 2 ^7^)= 0. ^В;
1 = 1 0Х
ие(х)=§(х), х<==дВ.
Тогда, если выполнены условия теоремы 2.1, то Пт и*(х)
Доказательство немедленно следует из фор-
мулы и?(х) = Мх§{Х*г) (см. § 5 гл. 1), если принять во
внимание непрерывность и ограниченность функции §(#).
Из теоремы 2.2 с помощью той же формулы, в свою очередь,;
можно получить теорему 2.1.
При некоторых дополнительных предположениях
можно получить более точную информацию о том, как
траектория X] при малых 8 выходит из области В,
Здесь нам будет удобнее пользоваться обозначениями
ХгA), <рA) вместо X*, ср4 и т. п.
Мы определили У(О, у) как нижнюю грань *5гоТ (ф)
по всем функциям ср(/), 0 ^ I ^ Г, ведущим из точки О
в у. Эта нижняя грань обычно не достигается (см. примеры
в следующем параграфе), но она достигается для функций,;
определенных на бесконечном влево полуинтервале: су-
ществует функция ф(/),— оо ^ 2^ Г, такая, чтоср(—оо)=*
= О, ср(Г) = у, 8^оо1Т (ф) = У(О, у). Не будем этого
доказывать, а введем в качестве условия в теорему, кото-
рую мы собираемся сформулировать. (Утверждение со-
держится в статье Вентцеля, Фрейдлииа [4], лемма
3.3, с намеченным доказательством). Экстремаль ср(/)не един-
ственна: вместе с ней экстремалью будет любой ее сдвиг
ф@ = ср(* + а),. —оо < г < Т — а.
Далее введем следующее определение. Пусть С —
окрестность точки О с гладкой границей дО. Кривая ф(^),
ведущая из точки О на границу дВ области В, непременно
где-то пересечет дО. Обозначим $до (ф) последний момент,
когда ф@ находится на дО: Эао(ф) = зир {г: ф^ е дС}.
Если при этом для некоторого а> 0 при 1 О()

§ 21
ЗАДАЧА О ВЫХОДЕ ИЗ ОБЛАСТИ
159
функция ф(г) принимает значения внутри С, бу-
дем говорить, что ф(^) выходит из О неособым образом.
Теорема 2.3. Пусть выполнены условия теоремы
2.1, и пусть существует единственная с точностью до
сдвига экстремаль <рA), — оо < I ^ Г, ведущая из О на
дО {а именно, в точку у0, рис. 6). Продолжим цA) произ-
вольным непрерывным образом на
значения I ^ Т.
Пусть О а Б — некоторая
окрестность положения равнове-
сия, с гладкой границей, причем эк-
стремаль ф(^) выходит из этой ок-
рестности неособым образом. Обо-
значим О^о последний момент пре-
бывания траектории Хе(г) на дО
до выхода на дО: Ооо = тах (I <
< те: X8 (г) е= дп)- Тогда для любо-
го 5>0иа;ЕЙ
ИтРЛ тах | ХеA) —ф {I —
<6 =1.
Рис. 6.
Иными словами, последний участок марковской тра-
ектории до выхода на дО, но после выхода из С с вероят-
ностью, стремящейся к 1 при г -> 0, расположен в малой
окрестности сдвинутой соответствующим образом экстре-
мали ф(г).
Доказательство этой теоремы проводится
по тому же плану, что и доказательство теоремы 2.1.
Устанавливаем, что для функций ф(^), 0 <! I ^ Г, веду-
щих из О на дВ и лежащих далее чем на расстоянии 6/2 от
всех сдвигов экстремали, 5()Т(ф) ^ 7@, у0) + й, где
й — положительная константа. Затем выбираем |л ^ Л/5Ь/\
Л6/2, сферы 7 и Г. Функции ф(^), 0<^ Г, начинающиеся
на сфере Г, лежащие далее чем на 6/2 от сдвигов экстремали
( и такие, чго 50Т(ф) ^ 7@, у0) +0,65 й, не достигают
-окрестности множества дГ>. ОтсюдаА так же как при

160 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4
доказательстве теоремы 2.1, выводим, что
Рх К (Т У Щ < Т, Xе (т (у у дВ)) 6= дИ,
тах |Хе@-ф('-°5с + вв
для всех х е Г,
е -дВ, тах | Xе @ —
6} < Рх {Хг (т
для хе^, откуда получаем утверждение теоремы для этих
х, а затем и для всех х ^ О.
Если динамическая система A.1) имеет в Б более одного
устойчивого положения равновесия, то прежде, чем выйти
из области, траектория X? может совершать переходы от
одного устойчивого положения равновесия к другим.
В этом случае точка выхода из области уже, вообще говоря,
зависит от начальной точки. Такое более сложное устрой-
ство динамической системы мы рассмотрим в гл. 6 . Здесь
мы остановимся еще на том случае, когда в области О си-
стема A.1) имеет единственный устойчивый предельный
цикл.
Итак, пусть для наглядности В — область на плоско-
сти, гомеоморфная кольцу; граница (Ш, как и раньше,
предполагается гладкой. Предположим, что система A.1)
имеет в О единственный устойчивый предельный цикл
11, и область Б притягивается к циклу П, т. е. траектория
хь(х) при жбйс ростом I стремится к П, не покидая при
этом области В. На границе дВ области/) предполагает-
ся выполненным прежнее условие (Ь(х), п(х)) < 0.
Квазипотенциалом системы A.1) относительно цикла
II назовем функцию
V (П, х) = 1пГ {8Т1Тг (Ф): Фг, е II, Фг2 - х).
Следующая теорема доказывается так же, как тео-
рема 2.1.

§ 3] СВОЙСТВА КВАЗИПОТЕНЦИАЛА. ПРИМЕРЫ. 161
Теорема 2.4. Предположим, что область Л при-
тягивается к устойчивому предельному циклу П, и (Ь(х)%
п{х))<. О при х е дИ. Предположим, что существует един-
ственная точка уЛ е дЕ), для которой
Тогда для любого 8>0 при х
Утверждение теоремы 2.4 остается верным и в том слу-
чае, когда не вся область О притягивается к циклу П,,
а только часть, внешняя по отношению к этому циклу,
при условии, что внутренняя часть не имеет выхода на
границу дИ. При этом цикл может быть устойчив только
снаружи.
Если экстремаль функционала 5(ср), ведущая с П на
сШ, единственна с точностью до сдвига, то можно доказать
аналог теоремы 2.3.
§ 3. Свойства квазипотенциала. Примеры
В предыдущем параграфе было показано, как, зная
функцию У(О, х) — квазипотенциал динамической си-
стемы, найти точку у0 на границе области, вблизи которой
при малых б марковские траектории X?, начинающиеся
внутри области, достигают ее границы. В следующем
параграфе мы покажем, что эта функция важна и в других
задачах. Так, через нее выражается главный член асимп-
тотики среднего времени М^т8, затрачиваемого траекто-
рией X8, чтобы достигнуть границы области. Поведение
при б -> 0 инвариантной меры процесса X8 также опи-
сывается функцией У@, х).
В этом параграфе мы изучим вопрос о вычислении ква-
зипотенциала У (О, #), установим некоторые свойства
экстремалей функционала 5(ф) и рассмотрим примеры.
Мы будем заниматься только квазипотенциалом динами-
ческой системы относительно устойчивого положения
равновесия; случай квазипотенциала относительно устой-
чивого предельного цикла рассматривается аналогично.
6 А. Д. Вентцель, М. И. Фрейдлин

162 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4
Теорема 3.1. Предположим, что векторное поле
Ъ(х) допускает разложение
Ь(х) = -УВД + 1{х), C.1)
где функция II(х) непрерывно дифференцируема в
ЩО) = О, II (х) > 0 и VI/{х) ф О при хфО, причем
A(х), УЩя)) = 0. Тогда квазипотенциал У(О, х) динамиче-
ской системы A.1) относительно точки О совпадает
с 211(х) во всех точках х ^И {]дИ, для которых II (х) ^
^ II0 = тт V(у). Если функция II(х) дважды непрерывно
дифференцируема, то единственная экстремаль функцио-
нала 5(ф) на множестве функций ф8, —оо ^ 5 ^ Т,
ведущих из О в х, задается уравнением
ее (-оо, Г), Фт=*. C.2)
Доказательство. Если функция ф8 при
5 е [I1!, Г2] не выходит тБ\]дО, то из соотношения
^ (фг8) — V (фтх) = ] ^С/(Ф8), Ф8)^5 следует неравенство
г.
+ 2 ) (ф8, VII (ф8)) й$ > 2 [II (фГг) — С/ (фт,)]. C.3)
Отсюда выводится, что 8тхтг{у) ^ 211 (х) для любой кри-
вой ф8, фГ1 = О, фг2=#, где х таково, что 11{х)^.11о. Действи-
тельно, если эта кривая за время от Т1 до Т2 не выходит
из Б[]дО, то утверждение сразу следует из C.3) (напом-
ним, что 11@) = 0). Если же ф8 выходит из 2)у<Ш, то эта
функция в какой-то момент Т ^ G\, Т2) проходит через
поверхность уровня 11(х) = 110. В силу неотрицательно-
сти и аддитивности функционала 5(ф) получим
^ГхГ, (ф) > 8тъ (ф) 2

§ 3] СВОЙСТВА КВАЗИПОТЕНЦИАЛА. ПРИМЕРЫ 163
С другой стороны, если ф8 — решение задачи C.2), то
Ф_оо = О. Это вытекает из того, что йС/(ф8)/й$ =
= |У^(ф8I2 > 0 при 1р8 ф О, и точка О — единственный
нуль функции 17(х). Отсюда получаем:
г
г
Таким образом, для любой кривой ф8, соединяющей точки
О и х, имеем: 5(ф) ^ 217(х) = *5(ф); следовательно,
, х) = ш! 5(ф) = 217 (х), и функция ф8 — экстремаль.
Если функция 17(х) дважды непрерывно дифференци-
руема, то решение уравнения C.2) единственно, а значит,
и экстремаль, ведущая из О в х, нормированная условием
Фт = х, только одна.
Из доказанной теоремы следует, что если поле Ъ(х) по-
тенциально, т. е. Ь(х) = —У17(х), то функция 7@, х)
лишь множителем отличается от потенциала 17(х). Поэтому
мы и называем функцию V квазипотенциалом.
Если векторное поле Ъ(х) допускает разложение C.1),
то из условия ортогональности Ч?7(х) и 1(х) = Ъ(х) +
+ У17(х) для квазипотенциала получаем уравнение
4" (УУ (О, х)х УУ (У,. *)) + Ф {х), УУ (У, х)) = 0,. C-4)
которое, по существу, есть уравнение Якоби для вариаци-
онной задачи, определяющей квазипотенциал. Теорема
3.1 говорит, что решение этого уравнения, удовлетворя-
ющее условиям У{0, О) = 0, 7@, ^)>0и у7@, х) ф О
при х =т^= 0, есть квазипотенциал. Можно доказать, что на-
оборот, если квазипотенциал 7@, х) непрерывно диффе-
ренцируем, то для него выполняется уравнение C.4),
т. е. имеет место разложение C.1). Однако легко привести
пример, показывающий, что функция 7@, х) может не
быть дифференцируемой.
Совсем плохой функция У@, х) все же не может быть:
она удовлетворяет условию Липшица; это легко выводит-
ся из леммы 2.3.
Теперь обратимся к исследованию экстремалей функ-
ционала |5(ф), ведущих из О в #. Для них обычным образом
6*

164 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4
выписываются уравнения Эйлера:
Если векторное поле Ъ(х) имеет разложение C.1),
то для экстремалей выписываются более простые урав-
нения C.2). Из них можно сделать ряд качественных
выводов о поведении экстремалей. В каждой точке области
скорость движения по экстремали в силу C.2) равна
У11(х) + 1(х), тогда как Ь(х) = —У11(х) + 1(х). Отсюда
заключаем, что скорость движения вдоль экстремали в точ-
ке равна по величине скорости движения траекторий сис-
темы: \уЩх) + 1(х)\ = |-У#(*) + 1(х)\ = \Ъ(х)\. Пос-
леднее утверждение остается справедливым, и если не
предполагать существования разложения поля Ъ(х). Это
вытекает из следующей леммы.
Лемма 3.1. Пусть 8(у) < оо. Обозначим ер функ-
цию, получающуюся из ср путем изменения параметриза-
•
ции таким образом, что |ф5| == |Ь(ф5)| при почти всех 8.
Тогда *5(ф) ^ <$(ф), причем равенство достигается только
тогда, когда |фа| = |Ь(фв)| при почти всех 8.
Доказательство. При замене $ = зA)у ф^ =
получим
ЦТ2)
—|-1
ЦТ,)
- ф«* (О12 ^ @ л = 4" ?(Iъ №) I2 *
ЦТШ)
I (К^фОл, C.5)

§ 3) СВОЙСТВА КВАЗИПОТЕНЦЙАЛА. ПРИМЕРЫ 165
где 1(з) — функция, обратная к $({). >В C.5) мы воспользо-
вались неравенством ах2 + а у2 ^ 2ху, справедливым
при любом положительном а. Определим функцию 8A;)
из равенства
8@
8та функция монотонно возрастает, а ср* — ф8(^ абсолют-
но непрерывна по I. Для этой функции |ф4| = |Ь(ф*)| при
почти всех I, и для нее неравенство C.5) обращается в ра-
венство
, ЦТ.)
Это доказывает лемму.
Рассмотрим теперь некоторые примеры.
Пример 3.1. Рассмотрим динамическую систему
хг = Ъ(хг) на прямой, Ъ@) = 0, Ъ(х) > 0 при х < 0 и
Ь(х) < 0 при х > 0; В — интервал (ах, а2) (Ц -й1, содер-
X
жащий точку 0. Если обозначить II (х) = — ^ Ъ (у) йу, то
о
Ъ(х)~—й1Лйх, так что в одномерном случае любое поле по-
тенциально. Из теорем 2.1 и 3.1 следует, что первый вы-
г
ход процесса X] = х + ] Ъ(Х*)с18 -\-гюг из интервала (а1? а2)
о
при малых е с вероятностью, близкой к единице, происхо-
дит через тот конец а*, в котором функция 11(х) принимает
меньшее значение. Пусть для определенности 11)
Уравнение для экстремали имеет вид ф5 =
^ —^(ф8)> следует брать то решение ф8, —оо < 5 ^ Г,
этого уравнения, которое при 5 ->¦ —оо стремится к нулю,
и Фг = а1в
в одномерном случае функцию 1'8(д:)=Рл {X** «= ах]
можно, решая соответствующую краевую задачу, вычис-

166 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4
лить явно:
,—1
Из этой формулы нетрудно, конечно, усмотреть, что
ПтРх{Х^е = а1) = 1, если Щах) < Ща2).
Интересно, используя явный вид функции иг (х), ис-
следовать, как выходит процесс X* из интервала (ах,
а2), если II (ах) = С/(а2). Теорема 2.1 в этом случае непри-
менима.
Используя метод Лапласа для асимптотического оце-
нивания интегралов (см., например, Евграфов [1]),
получим, что для х е (ах, а2) при е -> О
2 {^
X
Г ~2 е' ехр {28
1"—П
Отсюда находим, что если (/(а^ = С/(а2) и 11'(аг) Ф О,
I = 1, 2, то при е-> О
Таким образом, в этом случае траектории Х| в пределе
при е —>¦ 0 с положительной вероятностью выходят из
отрезка через оба конца, причем вероятность выхода че-
рез конец аг обратно пропорциональна \11'(аг)\ = |^(а^)|.
Пример 3.2. Рассмотрим линейную однородную
систему хг = Ахг с постоянными коэффициентами в Вг.
Предположим, что матрица А нормальна, т. е. А А* =
= А*А, и что симметричная матрица А + А* отрица-
тельно определена. В этом случае начало координат О
является асимптотически устойчивым положением равно-
весия. Действительно, решение нашей системы можно

СВОЙСТВА КВАЗИПОТЕНЦИАЛА. ПРИМЕРЫ 167
представить в виде хг = емх^ где х0 — начальное усло-
вие. Из нормальности матрицы А вытекает нормальность
матрицы ем. Используя это захмечание и соотношение
*1 (А+Л*)^ получим
12 -
\ -
Так как матрица А + Л* отрицательно определена, то
I ^(АЧ"А*)/д'о | —^ 0, и значит, |х^|2~>0 при любом началь-
ном условии х0.
Непосредственным дифференцированием легко прове-
рить, что векторное поле Ах допускает разложение
C.6)
При этом векторные поля V [ т-(А + А*) х, х\ = ^~Х
X {А+А*) х и-^- (Л—А*)х ортогональны: ( — (А+Л*) х,
^{А - А*) *) = - \ [(Ах, Ах)-(А*х, А*х)] = 1-х
X [(А*Ах, х) — (АА*х, х)] = 0.
Пусть правые части нашей системы возмущаются про-
цессом белого шума:
и мы интересуемся тем, как траектории процесса Х\
выходят из ограниченной области В, содержащей положе-
ние равновесия О. Из теоремы 3.1 и формулы C.6) заклю-
чаем, что квазипотенциал У(О, х) нашей динамической
системы относительно положения равновесия О равен
—Х/2((Л -\-А*)х, х). Чтобы указать на границе дВ об-
ласти В точку, вблизи которой с вероятностью, стремя-
щейся к 1 при б ->- 0, траектории Х\ впервые выходят
из В, нужно найти минимум У(О, х) на дВ. Уравнение для
экстремалей имеет вид
ф*= — 4- (л + л*) ф* + 4- и - ^*) ф# = — л*ф,.

168
ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. 4
Если у0 ^ дВ — единственная точка, где 7@, х) достига-
ет своего наименьшего значения на дВ, то последний уча-
сток перед выходом из области марковские траектории
проходят вблизи экстремали, входящей в эту точку.
Уравнение этой экстремали можно с точностью до сдвига
по времени записать в виде ц)ь = е~~А*1у0.
Пусть, например, на плоскос-
ти Н2 задана динамическая си-
стема
X? = х\ — Хг.
Матрица этой системы нормаль-
на, и начало координат асимпто-
тически устойчиво. Траектории
системы представляют собой лога-
рифмические спирали, наворачи-
вающиеся на начало координат но
часовой стрелке (рис. 7). Квази-
потенциал равен [(я1J + (л?2J],
так что выход процесса Х\ из
области В происходит с подавляю-
щей при малых е вероятностью
вблизи точки уо^дВ, ближайшей
к началу координат. Легко проверить, что экстремали то-
же представляют собой логарифмические спирали, но сво-
рачивающиеся с точки О по часовой стрелке.
§ 4. Асимптотика среднего времени выхода
и инвариантной меры для окрестности
положения равновесия
Пусть, как и в § 2, В — ограниченная область в Лг»
В ^ О — устойчивое положение равновесия системы A.1),
т8 — первый момент выхода процесса Хь из обла-
сти П. В этом параграфе, в предположении, что область
С притягивается к О, вычисляется главный член 1п Мхъг
при 8 -> 0, а также главный член 1п тг ф), где тг (•) —
инвариантная мера процесса X*8, В = /Г\/). Так как
существование инвариантной меры и ее свойства зависят
Рис. 7.

§ 41 Время выхода и инвариантная мера 1б§
не только от поведения векторного поля Ъ(х) при д:еО,
то при изучении те ф) нам придется сделать некоторые
предположения относительно поля во всем простран-
стве п. .
Теорема 4.1. Пусть О — асимптотически устой-
чивое положение равновесия системы A.1), и область
Т> С2 Кг притягивается к О. Предположим, что граница
дВ области В есть гладкое многообразие, и пусть при
х е= дВ скалярное произведение(Ъ(х), п(х)) < 0, где п(х) —
внешняя нормаль к границе области Б. Тогда при хеВ
8 = Го = тт V {О, у). D.1)
е-»о еал
Здесь функция 7@, у) — квазипотенциал динамиче-
ской системы A.1) относительно точки О.
Доказательство этой теоремы использует рас-
суждения, конструкции и обозначения, которые приме-
нялись при доказательстве теоремы 2.1.
Чтобы доказать D.1), достаточно убедиться в том, что
для любого Л > О найдется е0 такое, что при е <; е0 вы-
полняются неравенства:
а) е21п Мхтг < Уо + й, б) е21п Мхт8 > Уо — й.
Докажем сначала неравенство а). Выберем положи-
тельные числа р,, к, 7\, Т2 так, чтобы выполнялись сле-
дующие условия: во-первых, все траектории невозмущен-
ной системы, начинающиеся в точках х е Б \}дБ, до мо-
мента Тг попадают в ц,/2-окрестность положения рав-
новесия, и никогда после момента 7\ этой окрестности не
покидают; во-вторых, для каждой точки х, лежащей
в шаре О = {х е Яг: \х —- О\ ^ \\) существует функция
Ф? такая, что фо = х, ф^ достигает внешности й-окрест-
ности области Б в момент Т(х) ^ Г2; при этом С0} не по-
падает в (л/2-окрестность О после выхода из С и
Первое из этих условий может быть удовлетворено,
так как О — асимптотически устойчивое положение рав-
новесия, область И притягивается к О, а для х ^ дВ вы-
полняется неравенство (Ь(х), п(х)) < 0.
Функции ф^ входящие во второе условие, были
построены в § 2.

170 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4
Для |/бб из определения функционала действия
получаем
Ру( вир |Х8-Ф?|</Л>
если только 8 достаточно мало.
Так как точка фт(у) не принадлежит А-окрестности
области В, то из последнего неравенства заключаем, что
при достаточно малых еи1/еС
Ру (т8 < Г2} > Ру 1те < Т (у)} > ехр I- 8~2 (Уо + й)}. D.2)
Обозначим а момент первого достижения шара С:
а0 = гп1п [г : X8 е С). Используя свойство строгой мар-
ковости процесса X/8, для любой точки хей при доста-
точно малых е будем иметь
Рх{те < 7\ + Т2}>Мх{с < ТУ, Р^ (т^ < 7\2}} >
> Ря{а < Г^.ехр {- 8~2 (Уо + <*)} >
41-в~2G0Н^)]. D.3)
Здесь мы воспользовались неравенством D.2) для оценки
Р е {т8 < ^2} и тем» что ПРИ е -> 0 траектории X/ равно-
мерно на отрезке [0, 7\] сходятся по вероятности к хг.
Далее, используя марковское свойство процесса X*,
из D.3) получаем
М^.е< 2 (и + 1)G\ + Тй) Рх {п (Т, + Т2) <
+ Тг) 2 Р* (*е > п G*1 +
п=0
х + 21,) 2 [ 1 - т!п Рг {хе
п=0 Ь

] ВРЕМЯ ВЫХОДА И ИНВАРИАНТНАЯ МЕРА 171
(Т, + Г,)(тт Рг {г*< Тх + Г,}) <
если только г достаточно мало. Отсюда вытекает утверж-
дение а).
Докажем теперь утверждение б). Введем в рассмотре-
ние марковские моменты т&, он и марковскую цепь Ъп,
определенные при доказательстве теоремы 2.1. Фазовым
пространством цепи Ъп служит множество у [] дИ, где
у = {х е Нг: \х — О\ =|л/2}. Для вероятностей перехода
этой цени за один шаг имеется оценка
Р (х, дй) < шах Ру К = т8} = тах [Ру {х8 = хх < Т) +
+ Ру{те = т1>Г}]. D.4)
Как следует из леммы 2,2, Г можно выбрать столь
большим, что вторая вероятность допускает оценку
Ру {х8 = т, > Г} < -1- ехР I - е~~2 (^о - Л)}- D.5)
Чтобы оценить первую вероятность, заметим, что траекто-
рии Xе, 0 ^ I <! Г, для которых те = тх < Г, при лю-
бом к > 0 находятся на положительном расстоянии от
множества функций {ф е СоГ(Лг): Фо = У, 50Т(ф) < Уо—
— й/2}, если только [х достаточно мало. Отсюда на основа-
нии свойства функционала действия получаем, что
Р„{т* = тх < Т) < ехр {-е-2(У0 - к)}
при !/еГ и достаточно малых е, (Л > 0.
Из последнего неравенства, оценок D.4) и D.5) сле-
дует:
Р(х, ЭО) < ехр {-е-2(У0 - Л)}, D.6)
если е, |1 достаточно малы.
Обозначим, как и в теореме 2.1, V наименьшее га, при
котором 2п = Х*п<=дО. Из D.6) следует, что
> п} > Ц - ехр {-а-2(У0 -
п-1

172 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4
при жду. Очевидно, т8 = (х1 — т0) + (т2 —- тх) +. . .
с»
. . .+(ту—т^х), поэтому Мхт8 = 2 Мх (у> л; тп — тп_!}.
п=1
Пользуясь строго марковским свойством процесса X®
относительно момента (Тп-х, получим, что
Мх {V > п\ тп — Тп.^ > Мл {V > л; тл — ап_!} >
Последняя нижняя грань больше некоторой положитель-
ной постоянной #х, не зависящей от е; это следует из того,
что траектории динамической системы затрачивают на
прохождение участка от Г до у некоторое положительное
время.
Собирая все полученные оценки вместе, при достаточно
малых е и [х для х ^ у получим
- ехр (- 6-2G0 -й)])"-1 = *1вхр {е-2G0 - к)} .
Отсюда вытекает утверждение б) при жеу. Для лю-
бого жеВ, учитывая, что Рл{т8 > тх} -> 1 при е -> О,
будем иметь
Мхте - М* (т8 < тх; т8} + Мх {т8 > тх; т8} >
> Мх (т8 > ту, М8х1т8} > ^ ехр {G0 - /г) е~2} х
X РЛ^>^}>-у-ехр{8-2(Г0-А)}.
Тем самым доказано утверждение б) для любых х е И.
Замечание. Проанализировав доказательство
этой теоремы, можно заметить, что предположения о глад-
кости многообразия Ж и о том, что (&(.г), гс(.г)) < 0 при
х е ОБ можно ослабить. Вместо них достаточно пред-
положить, что границы В и замыкания В совпадают и что
при любом х е дО траектория динамической системы
хг(х) для всех I >0 расположена в Б.
Приведем еще один результат, касающийся распреде-
ления случайной величины т8 — момента первого выхода
из О.

§ 4] ВРЕМЯ ВЫХОДА И ИНВАРИАНТНАЯ МЕРА 173
Теорема 4.2. Предположим, что выполнены усло-
вия теоремы 4.1. Тогда для всякого а ]> 0 при х е О
е-»0
Доказательство. Если ИтР,Дт8>ее~~2(у°+а)}>
> 0 для какого-то а > 0, то Пт е21п МЛте ^ Уо + а,
е»0
е-»0
е-»0
что противоречит теоремз 4.1. Поэтому при любом
а > 0 и х е Б
ИтРя {т^ < ехр {е~2 G0 + а)]} = 1. D.7)
Далее, используя обозначения, введенные при доказатель-
стве теоремы 2.1, можно написать
п=1
т* < ехр (б (Уо - а))}} + Рх{*г = т^Ь D.8)
Последняя вероятность в правой части D.8) стремится
к нулю. Оценим остальные слагаемые. Пусть те =
= [С ехр {е-2G0 — а)}]; постоянную С мы выберем поз-
же. Тогда при х & у
Д Рх (V = п, тЕ < ехр (е-2 (Уо - а)] <
оо
< Рх{V < тг) + Рх {хтг < ехр (8-2 G0 - а)}/. D.9)
Используя неравенство РЛ^ = 1} <; ехр {—е-2(У0 —А)},
которое выполняется при жеу, А > 0 и достаточно ма-
лых е, получим
- A _ ехр {- е~2(У0 - к)})тг->0 D.10)

174 окрестность положения равновесия 1гл. 4
вместе с е при любых С, а > 0, если только к достаточно
мало.
Оценим второе слагаемое в правой части D.9). Можно
выбрать такое 0 > 0, что Рл{тг > 8} > 1/2 при всех
х е= у, е > 0. Для числа успехов 8т в т испытаниях Бер-
нулли с вероятностью успеха 1/2 выполняется неравен-
ство
Р{8т>т/3} >1 -6
при т > т0. Тогда, так как хт = (тх — т0) + (т2 —
— тх) +• • •+ (тт — Тт-^, используя свойство строгой
марковости процесса, получим
если -^- > -рг и те достаточно велико.
О С/
Собирая вместе оценки D.8) — D.11), приходим к со-
отношению
= 0, хбй, D.12)
Из D.7) и D.12) вытекает утверждение теоремы.
Перейдем теперь к изучению поведения при г -*- 0
инвариантной меры процесса Х\, определяемого уравнением
A.2). Для существования конечной инвариантной меры
процесса Х\ необходимо сделать некоторые предположения
о поведении поля Ь(х) в окрестности бесконечности. Если
никаких предположений не делать, то траектории X®
могут, например, с вероятностью 1 уходить на бесконеч-
ность, в этом случае конечной инвариантной меры не су-
ществует. Мы будем предполагать, что вне достаточно
большого шара с центром в начале координат проекция
поля Ь(х) на радиус-вектор г(#), ведущий в точку #, отри-
цательна и отделена от нуля, т. е. существует столь боль-
шое число Л^т что {Ъ(х), г(х)) < — 1/7У при \х\ > N.
Это условие, которое в дальнейшем называется услови-
ем А, обеспечивает достаточно быстрое возвращение про-
цесса X* в окрестность начала координат и существова-
ние инвариантной меры. Доказательство можко найти

§ 4) ВРЕМЯ ВЫХОДА И ИНВАРИАНТНАЯ МЕРА 175
у Хась минского [1 ]; там же содержатся и более
общие условия, обеспечивающие существование конечной
инвариантной меры.
Если инвариантная мера \1г (•) процесса X] суще-
ствует, то она абсолютно непрерывна по лебеговой мере,
и плотность те (х) = -~~ удовлетворяет стационарному
прямому уравнению Колмогорова. В нашем случае это
уравнение имеет вид
4 Ате (х) - 2А (Ь' Ф т* <*>) = °- <4ЛЗ)
* -*¦¦ дх1
Вместе с дополнительными условиями \ тг(х) их — 1,,
пг
гпв (#)>0, это уравнение единственным образом определяет
функцию тг (х).
Рассмотрим сначала случай потенциального поля Ь(х):
Ъ(х) = — У11(х). Условия существования конечной ин-
вариантной меры в этом случае означают, что потенциал
11(х) достаточно быстро растет вместе с \х\, например,
быстрее некоторой линейной функции а\х\ + C. Оказы-
вается, что если поле Ъ(х) потенциально, то плотность ин-
вариантной меры может быть найдена в явном виде. Не-
посредственной подстановкой в уравнение D.13) проверя-
ется, что
тв (д.) = Сг еХр {-2е-2 Щх)}, D.14)
где сг — нормирующий множитель, определяемый из
условия нормировки се— ( 3 ехр{— 2е 211 (х)} = д.х\~1.
Сходимость интеграла, входящего в определение се,
является необходимым и достаточным условием суще-
ствования конечной инвариантной меры в потенциальном
случае.
Пусть И — некоторая область в Нг. Тогда |х8 (Б) =*
^св) ^хр {—2г-211(х)}с1х. Используя это представле-
ние, можно изучить предельное поведение \лг при е ->¦ 0.
пусть Ц(х) ^ 07 ив некоторой точке О потенциал обра-

176
ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
(ГЛ. 4
е21п \лг (О) = е21п сг + е21п [ ехр I - 2е~2г7 (х)} их
Ъ
щается в нуль: 11@) = 0. Тогда нетрудно проверить, что
D.15)
при 8 -^ 0. С помощью метода Лапласа можно найти и бо-
лее точную асимптотику \1г (•) при 8 -> 0 (см. Берн-
штейн [1 ], Н е в е л ь-
с о н [1 ]). Если поле
Ь(х) не потенциально, то,
вообще говоря, нельзя вы-
писать явное выражение
для плотности инвариант-
ной меры. Тем не менее
оказывается, что соотно-
шение D.15) сохраняется,
если под 2 11(х) понимать
квазипотенциал поля Ъ(х).
Теорема 4.3. Пусть
точка О — единственное
устойчивое положение рав-
новесия системы A.1), и
все пространство Яг при-
тягивается к точке О.
Предположим, что выпол-
нено условие А. Тогда процесс X] при каждом 8 > 0 име-
ет единственную инвариантную меру |л8, и для любой
области В СИ Нг с компактной границей дБ, общей для
В и замыкания В,
ИтгЧпусЦВ) = - т! V (О, х), D.16)
е->0 х<вБ
где У(О, х) — квазипотенциал поля Ъ(х) относительно
точки О: У(О, х) = т{ E0Т(ф): ср е СОТ(НГ), ф0 = О,
Фг =**, Т >0} (рис. 8).
Наметим доказательство этой теоремы. Как уже отме-
чалось, из условия А следует существование и единствен-
ности конечной инвариантной меры. Чтобы доказать
D.16), достаточно проверить, что для любого Н > 0
найдется е0 = го(к) такое, что при е < е0 выполняются
Рис. 8.

| 4] ВРЁМЙ ЙЫХОДА Й ИНЁАРИАНТНАЙ МЕРА
неравенства:
а) ц'@) > ехр{-б-2(У0 + А)},
б)
где Уо = 1пГ У(О, х).
Если Уо = 0, то неравенства а) и б) очевидны. Мы оста-
новимся на случае Уо > 0. Ясно, что Уо > 0, только если
р@, И) — р0 > 0. Для доказательства неравенств а) и
б) воспользуемся следующим представлением инвариант-
ной меры. Пусть у и Г, как и раньше,— сферы радиуса
\х!2 и \х соответственно с центром в положении равновесия
О; \1 < Ро- Как и при доказательстве теоремы 2.1, рассмот-
рим возрастающую последовательность марковских мо-
ментов т0, сг0, тх, ах, т2, . . . Из условия А вытекает, что все
эти моменты конечны с вероятностью 1.
Последовательность Х®и Х\%, ..., Х\п, ... образует
марковскую цепь с компактным фазовым простран-
ством у* Вероятности перехода этой цепи имеют положи-
тельную плотность относительно меры Лебега на у. От-
сюда следует, что цепь имеет единственную инвариантную
нормированную меру 1В (их). Как вытекает, например,
из работы Хась минского [11, нормированная
инвариантная мера \1г (•) процесса Х& следующим обра-
зом выражается через инвариантную меру цепи 1^тп1
на у:
с. | М, [ IV ТО ^ ге (йх)х D.17)
6
V
где Хв(^) — индикатор множества О, а множитель с8
определяется из условия нормировки ц8 (Нг) = 1. Поло-
жим Тд = Ш1п {V. Хг е Я Ы б/)}. Из D.17) имеем
се тах Рл {тх) < хх}- тах МуТ!. D.18)

178 окрестность положения Равновесия [гл. 4
Из условия А и компактности дВ следует, что равномерно
по е < 80 < I
тах МуТх < аг < оо. D.19)
Далее, из анализа доказательства теоремы 2.1 вытекает,
что при достаточно малых \х и 8 и х е у
РЛЬ < *1> < ехр {-8-2G0 - к/2)}. D.20)
Принимая во внимание соотношение
V
нетрудно проверить, что при достаточно малых [д, и е
О<1псе<^. D.21)
Из оценок D.18)—D.21) заключаем, что при достаточно
малых 8 выполняется соотношение
Чтобы доказать б), введем в рассмотрение множество
>_р = {х <= Б: р(#, сШ) > Р}. При достаточно малых
это множество не пусто и т! У(О, х) < У0-{-к/А. Если
е7И8» |^>0 достаточно малы, то
Рх (шш [Ь: Х\ е Д_р} < тх) > ехр {- г~2 (V,
{ хо (Хве) йв > а2 > 0.
Собирая эти оценки вместе, из D.17) при достаточно малых
8 получим
1(? < х^ X
X

§ 5] ГАУССОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОЁЩЁГО ВИДА 179
Отсюда, если учесть D.21)г вытекает утвержде-
ние б).
Отметим, что если поле Ъ(х) имеет устойчивые положе-
ния равновесия, отличные от нуля, то утверждение теоре-
мы 4.3, вообще говоря, неверно. Поведение инвариантной
меры в случае поля Ь(х) более общего вида рассматривает-
ся в гл. 6.
§ 5. Гауссовские возмущения общего вида
Пусть функция Ъ{х, у), х е Лг, у е В1, со значения-
ми в Кг такова, что \Ъ(хх, у^— Ъ{х2, у2)\ < К-(\хх — х2\ +
+ \Уг — У2|)-
Рассмотрим случайный процесс X] = X](х), 2^0,
который удовлетворяет дифференциальному уравнению
Х5=Ь{Х*, гЬ), XI = х, E.1)
где ^ — гауссовский случайный процесс в П1.
Будем считать, что процесс ^ имеет нулевое среднее
и непрерывные с вероятностью 1 траектории. Для непре-
рывности, как известно, достаточно, чтобы матрица кор-
реляций а($, г) = (а^'($, *)), а^'($, I) = М&&!» имела дваж-
ды дифференцируемые элементы. Обозначим Ъ(х) = Ъ{х%
0). Процесс Х^ можно рассматривать как результат ма-
лых случайных возмущений динамической системы хх =»
= хг{х):
хх = Ъ{хг), х0 = х.
В гл. 2 было показано,-что при е -* 0 равномерно на
каждом конечном отрезке времени Х\ -> х^ Там же было
изучено разложение Х\ по степени малого параметра е.
В этом параграфе мы займемся большими уклонениями Х\
от траекторий динамической системы хг.
Для непрерывных функций ср5, $ ^> 0, со значениями
в Д{ определим оператор В^ф) = и по формуле
I
и = щ = \ъ {и8, фв) й$ + х.
о

180 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4
Иными словами, щ = Вх(ц>) — это решение уравнения
E.1), где вместо е^ подставлено ф* и берется начальное
условие и0 = х. Через оператор Вх можно записать:
Хгг = Вх{г$.
Будем обозначать || \\с и || ||ь« нормы в СОг(/Г) и
A) соответственно.
Л е м м а 5.1. Предположим, что функции Ъ{х, у)
удовлетворяют условию Липшица с константой К\ и =
= ЯЯ(Ф), V = Вх®)' где Фг * е СоАЮ. Тогда
\\и-V\\с^К УГеКТ ||ф-г|>|к*.
Доказательство. По определению операто-
ра Вх имеем
— ь\\ =
о
Отсюда с помощью леммы 1.1 гл. 2 заключаем, что
т
о
Обозначим А корреляционный оператор процесса
Он действует в пространстве Ь1т(Н1у по формуле
о
Как доказано в предыдущей главе, функционал дейст-
вия для семейства процессов е^ в пространстве %
при е -* 0 имеет вид
Если Л~~1/2 ф не определено, то считается, что 5'ог(ф) = + °°-

§ 5] ГАУССОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА 181
Положим
Теорема 5.1. Пусть Х\ —- случайный процесс^
определяемый уравнением E.1). Функционал 5ог(ф) являет-
ся функционалом действия для семейства процессов X8
в пространстве Сот(#г); нормирующий коэффициент
/(е) = е-2.
Доказательство. Так как оператор Вх непре-
рывно действует из Ь1т(Н1) в СотСЮ» а функционал
действия семейства е^ в Ь1Т(Н1) имеет вид E.2), то в силу
теоремы 3.1 гл. 3 функционал действия семейства процес-
сов Xе = Вх(е1>) при е -> 0 в пространстве Сот(#г) за-
дается формулой 1$ог(ф)= ш* |1/2|]2
Ч В(|)
Ч Л|ф
Пример 5.1. Пусть г = I = 1 и система E.1)
имеет вид X® = — агс1^ (X® — е^)г Х^ = д?. Оператор
5Л в этом случае имеет обратный: Вх (ф) =1§ Ф +Ф*
Функционал действия для семейства процессов Х^ за-
пишется так:
где Л — корреляционный оператор процесса ^.
Например, если ^ — винеровский процессх то
т .
(Ф) - { 11 ^ A8 ф8 + ф8)
1
о
соз^ ф3
Зная функционал действия, можно находить скорость
стремления к нулю вероятностей различных собы-
тий, связанных с возмущенной системой на конечном
отрезке времени, получая результаты, аналогичные
теореме 1.2 (см.Нгуен Вьет Фу [1], [2]). Ес-
ли возмущения носят стационарный характер,; можно
надеяться также получить результаты о наиболее вероят-
ном при малых е поведении траектории Х](х) возмущен-

182 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ 4
ной системы на растущих с уменьшением е или бесконеч-
ных отрезках времени, аналогичные результатам §§ 2, 4.
Например, пусть О — асимптотически устойчивое по-
ложение равновесия системы хг = Ь(#е), к которому при-
тягивается область I), на границе которой поле Ь(х)
направлено строго внутрь области. Рассмотрим момент
тр(#) = тт {I ^ 0 : А,8 (х) ф Ц) первого выхода из Б.
Мы можем попытаться доказать аналог теоремы 4.1:
Ит е21п Мте (х) = Уо = ш! {80Т (ф): ф0 = О%
е->0
уте=дП) Т> 0}. E.3)
Однако сразу становится ясно, что это не так-то просто.
Прежде всего, анализ предполагаемого плана доказа-
тельства показывает, что на роль предела е2 1п Мтр(#)
с тем же основанием может претендовать и
VI = Ы {$_оо.т(ф): ф, =0, - оо < г < 0, Фг е дВ\ Т > 0}.
В случае марковских возмущений Уо и V* очевидным об-
разом совпадают, но в немарковском случае это может
быть не так. Далее, при доказательстве теорем 2.1, 4.1,
4.2 использовалась конструкция с циклами, разбивающая
траекторию марковского процесса Хг на участки, зависи-
мость между которыми легко учитывалась и оказывалась
достаточно мала. Для произвольного стационарного воз-
мущения г^г ничего подобного, разумеется, не будет;
необходимо наложить на стационарный процесс ^ те или
иные условия ослабления зависимости с течением вре-
мени. Так как речь идет о вероятностях, стремящихся к
нулю (вероятностях больших уклонений^ условие силь-
ного перемешивания
вир||Р(Л П В) - Р (А) Р (В) |: 4
оказывается недостаточным; нужны более тонкие усло-
вия. Эти вопросы рассматриваются в работах Г р и н я
[1], [2]; в частности, для определенного класса процес-
сов Х\ нижние грани Уо и Уо совпадаю^ и выполнено E.3).

ГЛАВА 5
ВОЗМУЩЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕ
К МАРКОВСКИМ ПРОЦЕССАМ
§ 1. Преобразование Лежандра
В этой главе мы будбм рассматривать теоремы об
асимптотике вероятностей больших уклонений для мар-
ковских случайных процессов. На такие процессы можно
смотреть как на обобщение схемы суммирования незави-
симых случайных величин; конструкции, которые исполь-
зуются при исследовании больших уклонений для марков-
ских процессов, обобщают конструкции, встречающиеся
при изучении сумм независимых слагаемых.
Первые общие предельные теоремы для вероятностей
больших уклонений сумм независимых случайных вели-
чин содержатся в статье Крамера Ц]. Основное пред-
положение в этой работе — предположение о конечности
экспоненциальных моментов, а результаты можно сфор-
мулировать в терминах преобразований Лежандра некото-
рых выпуклых функций, связанных с экспоненциальными
моментами случайных величин.
Семейства случайных процессов, которые рассматри-
ваем мы, являются аналогами схем сумм случайных вели-
чин с конечными экспоненциальными моментами, так что
преобразование Лежандра оказывается существенным и
для нашего случая. Рассмотрим сначала это преобразова-
ние и его применение к семействам мер в конечномерных
пространствах.
Пусть #(а) — выпуклая вниз полунепрерывная снизу
функция от г-мерного векторного аргумента, принимаю-
щая значения из (— оо, +°°] и не равная тождествен-
но + оо. (Заметим, что условие полунепрерывности —
и даже непрерывности — автоматически выполняется при

184 Марковские возмущения (гл. 5
всех а, за исключением границы множества {а: #(а) <
< °о}.) Преобразование Лежандра ставит этой функции
в соответствие функцию, определяемую формулой
а,Р)-#(а)], A.1)
где (а, Р) = 2 а$ — скалярное произведение.
Легко доказать, что Ь — опять функция того же клас-
са, что Я, т. е. выпуклая вниз, полунепрерывная снизу,
принимающая значения из (—оо, оо] и не равная тождест-
венно +оо. Следующие свойства преобразования Лежанд-
ра можно найти в книге Рокафеллара 11]. Преоб-
разование Лежандра обратно само себе:
#(а)=8ир[(а,Р)-МР)] A.2)
(Рокафеллар [1 ], теорема 12.2); функции I/, //,
связанные соотношениями A.1)—A.2), называются сопря-
женными, что мы будем обозначать так: Н{а) •++• Ьф).
В точках а0, внутренних для множества {ос: Н(а) < оо}
относительно его аффинной оболочки, функция Н суб-
дифференцируема, т. е. имеет (вообще говоря, не единст-
венный) субградиент — вектор |30 такой, что при всех а
#(а)>#(а0) + (а-а0, р0) A.3)
(Рокафеллар [1], теорема 23.4; говоря геометри-
чески, субградиент — это угловой коэффициент неверти-
кальной опорной плоскости к множеству точек над гра-
фиком функции). Неоднозначное отображение, ставящее
в соответствие точке множество субградиентов функции
Н в этой точке, обратно такому же отображению для
функции Ь; т. е. выполнение A.3) для всех а равносильно
выполнению для всех р неравенства
Щ) > Ь(%) + (о,, р - р0) A.4)
(Рокафеллар [1], теорема 23.5, следствие 23.5.1).
Функция 1/(р) -> оо при |р | —> оо тогда и только тогда^
когда Н(а) < оо в некоторой окрестности точки а = 0.

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА 185
Для гладких внутри своей области конечности функ-
ций //, Ь нахождение сопряженной функции сводится
к классическому преобразованию Лежандра: находится
решение а = а(р) уравнения У#(а) = |3, и Ь($) находит-
ся по формуле
Щ) = (а(Р), р) - Я(а(Р)); A.5)
при этом а(Р) = ^(|3). Если одна из сопряженных друг
Другу функций непрерывно дифференцируема п ^ 2 раз,;
и матрица вторых производных положительно определе-
на, то столь же гладка и другая, и матрицы вторых про-
изводных в соответственных точках обратны друг другу:
Пример 1.1. Пусть Н(а) - г(е« — 1) + 1{е-<* — 1),
а е Л1; г, 1> 0. Решаем уравнение Н'(а) = геа +
^_ ^-а -- р? находим
Оказывается, грубая асимптотика семейств вероятност-
ных мер в Нг может быть связана с преобразованием Ле-
жандра логарифма экспоненциальных моментов. Следую-
щие две теоремы заимствованы с некоторыми изменения-
ми у Г е р т н е р а [2], 13].
Пусть \хн — семейство вероятностных мер в Вг; по-
ложим
Функция Нн выпукла вниз: в силу неравенства Гёльдера
при 0 < с < 1
н
Нн {сах + A — с) а2) =
= 1п | ехр {с (аи х)} ехр {A — с) (агх х)} цл (Ах)

186 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 5
<1пГ ( | ехр {(а,, х)) ц»(с1т)У • ( (ехр {(а2, х)} ^(?)Х' '
она полунепрерывна снизу (легко доказывается с по-
мощью леммы Фату), принимает значения из (—оо, +ос]
и не равна тождественно + оо, так как Н @) = 0.
Пусть Цк) — числовая функция, стремящаяся к +э°
при к \ 0. Предположим, что при всех а существует
предел
Н (а) = 11т К {к)~{НК (к (к) а). A.6)
И о
Эта функция также выпукла вниз, и //@) = 0; потре-
буем, чтобы она была полунепрерывна снизу, нигде не
обращалась в —оо и была конечна в некоторой окрест-
ности точки а — 0. Пусть Ь (р)-^Я(а).
Теорема 1.1. Для семейства мер \хн и функций X
и Ь выполняется условие (II) § 3 гл. 3, т. е. для любых
6>0, 7>0> 5>0 существует /г0 > 0 такое г что при
всех к <; к0
рЦу: р(у, Ф(в)) > 6} < ехр {-ЦЩз - ?)}, A.7)
где Ф(«) = {рф}
Доказательство. Множество Ф(«) представ-
ляется в виде несчетного пересечения полупространств
Ф(в) = П {р: («, Р) - Я(а) < в}.
а
Это множество компактно, потому что функция Ь полу-
непрерывна снизу и стремится к + со на бесконечности.
Рассмотрим границу б-окрестности Ф($)
дФ+6($) = {у: р(», Ф(в)) = б}.
Для каждой точки у этого компактного множества сущест-
вует а такое, что (ос, у) — Н(у) > 5. Итак, открытые
полупространства {у: (а, у) — Н{а) > з) покрывают
компакт дФ+б («). Выбираем из этих а конечное число
^и • • -1 ап1 получаем, что выпуклый многогранник
Д {у:{*1ху)-Н(а1)^з}

§ 1) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА 187
содержит Ф($) и не пересекается с дФ+6($). Отсюда выте-
кает, что этот многогранник целиком лежит в 6-окрест-
ности множества Ф($).
Пользуясь экспоненциальным неравенством Чебышёва1
получим оценку
2 ] ехр {К (А) [(а„ у)-Н (а,) - «]} ц" (йу)
= 2 ехр {% {к) [% {ПУ1НН (X (й) а,) -
Отсюда, принимая во внимание A.6), получаем A.7).
Будем называть выпуклую вниз функцию Ь строго
выпуклой в точке р0, если существует а0 такоеа что
Щ)>Щ») + (а0, р-Ро) A.8)
для всех р Ф р0. Для того, чтобы функция Ь была строго
выпукла во всех точках, внутренних для множества
{р: ДР) *< оо} по отношению к его аффинной оболочке
(в обозначениях книги Р о к а ф е л л а р а [1 ], §§4, 6,
в точках из множества п (йот Ь)), достаточно, чтобы
функция Я, сопряженная к I/, была существенно гладка,
т. е. чтобы множество {а: Я (а) < оо} имело внутренние
точки, функция Я была дифференцируема в них, и чтобы,
если последовательность точек аг сходится к точке гра-
ницы множества {а: Я(а) < оо}, то было бы |УЯ(а^)| ->
-> оо (см. Рокафеллар [1], теорема 26.3).
Теорема 1.2. Пусть выполнены предположения%
наложенные ранее на \1Н, Нн и Я. Пусть, кроме того,
Функция Ь строго выпукла в точках, образующих в
(Р*. Цр) < оо} всюду плотное множество.

188 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 5
Тогда для семейства мер \хн и функций X и Ь выпол-
няется условие (I) § 3 гл. 3, т. е. для любых 6 > О, у > О
и х е КТ существует к0 > О такое, что при Н < Но
усн{у: р(у, х) < 6} ^ ехр {—Х(к)[Ь(х) + 7]}. A.9)
Доказательство Достаточно проверить ут-
верждение теоремы для точек х, в которых функция Ь
строго выпукла. Действительно, выполнение утвержде-
ния теоремы для таких х равносильно его выполнению
для всех #, той же функции X и функции Ъ(х), определяе-
мой как Ь(х), если функция Ь строго выпукла в точке ху
и как +оо в противном случае. В тех точках, где Ь(х) <
<С-Ь(х)% нужно воспользоваться тем, что Ь (х) =\\тЬ (у)м
и замечанием, сделанным в § 3 гл. 3.
Пусть в точке х функция Ь строго выпукла. Выбираем
а0 так, чтобы Щ) > Ь(х) + (а0, E — х) при р ф х.
При этом
Я (а0) = вир [(а0, Р) - Ь (р)] = (а0, х) - Ь (х). A.10)
Р
Раз Я(а0) конечно, то и Нн(Х(к)а0) конечно при достаточ-
но малых к. Рассмотрим для таких к вероятностную меру
[лЛ>а°, определяемую соотношением
|лЛ.«. (Г) = \ ехр {X (к) (а0, у) - Нн (X (к) а0)} |гЛ (йу).
г
Пользуемся взаимной абсолютной непрерывностью мер
цЛ и иЛ-а°:
ехр {- X (к) (а0, у) + Нн (X (к) а0)}
A.11)
Положим 8' = б Д *у/3|схо| и оценим интеграл A.11) сни-
зу произведением цл>а»-меры б'-окрестности точки х

§ 1) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА 189
на нижнюю грань функции под знаком интеграла:
^л {У- Р (У, *)<Ь}> Цл'а° {У- Р 0/, х) < 6'} х
X ехр |- %(Н)[(а0, х)-Х(к) ~'Н (к(к) а0)]} X
Хехр{-Х(/г)!}.
Второй множитель здесь в силу A.6), A.10) при достаточ-
но малых к не меньше, чем ехр {—Х(к)[Ь(х) + у/3]. Если
мы проверим, что \1н>а°{у: р(у, х) < б'} -> 1 при к | 0,
то все будет доказано.
Для этого мы воспользуемся теоремой 1.1 в примене-
нии к семейству мер (д/1*01». Вычисляем характеристики
этого семейства:
Нн'а> (а) = 1п | ехр {(а, у)}
кг
На° (а) = Иш X (к)-{Нн'а° (к (к) а) = Н (а0 + а) - Я (а0);
к[0
Функция Ьа°($) обращается в нуль в точке р = х и всю-
ду неотрицательная (так как #а°@) = 0). Эта функция
вслед за Ьф) строго выпукла в точке х\ отсюда вытекает,
что Ьа°ф) строго положительно при всех р Ф х, и
у0 = тт {Ьа° (Р): р (Р, х) > Ь'&) > 0.
Пользуемся оценкой A.7) с 672 вместо 8, положительным
У < 7о и 5 ^ (V» То)-' ПРИ Достаточно малых к
^•а° {г/:р (*/,*)> 6'
*1то стремится к нулю при /г | 0.
Таким образом, если выполнены условия теорем 1.1 —
1-2, то к(к)Ь(х) — функция действия для семейства мер
№ при к \ 0.

100 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 5
Следующий пример показывает, что требование стро-
гой выпуклости функции Ь на множестве, всюду плотном
в {C: Ь($) < оо}, нельзя отбросить.
Пример 1.2. Для семейства распределений Пуас-
сона
ли мы будем интересоваться значениями к, стремящи-
мися к нулю, и положим к(к) = —1п кх то получим
Н (а) = Нт (- 1п к)'11п Нн (- а 1п К) =
/14 0
Л-<н-1_л г 0, а<1,
/но — шл Ы-оо, а> 1;
рр Д рр у
Цл (Г) = 2*-~иГ~ имеем: Нп(а) = к-(е* — 1). Ес-
ьег /
б
Однако нормированная функция действия, найденная на-
ми в § 3 гл. 3, отлична от +°° только для целых неотри-
цательных значений аргумента.
Другой пример: возьмем не выпуклую вниз непрерыв-
ную конечную функцию 8(х) такую, что 8(х)/\х\->оо
при \х\ -> оо, пип 8(х) = 0, и возьмем в качестве \1Н
вероятностную меру с плотностью С(к) ехр {—Х(к)8(х)}1
где Х(к) ~> оо при к | 0. Здесь нормированной функцией
действия будет 8(х)\ но преобразование Лежандра функ-
ции
Я (а) = Нт X (к)1п Г ехр {X (к) (а, х)} [1Н {их)
будет равно не 8(х), а нижней выпуклой оболочке Ь(х)
этой функции. В тех областях, где функция 5 не выпукла
вниз, функция Ь будет линейна и, значит, не строго вы-
пукла.
Следующие примеры показывают •применение доказан-
ных теорем к получению грубых предельных теорем о
больших уклонениях для сумм независимых случайных
величин. Разумеется, их можно (по крайней мере в одно-
мерном случае) вывести из точных результатов Кра-
мера [1 ].

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА 191
Пример 1.3. Пусть 1и 12, . . ., ^п? • • • — последо-
вательность независимых одинаково распределенных слу-
чайных векторов; пусть
конечно при достаточно малых |а|. Будем интересоваться
грубой асимптотикой при п -> ею распределений средних
арифметических —.
Имеем
Нп (а) = 1п М ехр {(а, ^1
= пН* (д~
*
Полагаем Цгс) = п; тогда \(п)-1Нп(к{п)а) не только стре-
мится к #0(а), но и совпадает с этой функцией.
Функция Яо бесконечно дифференцируема во внутрен-
них точках множества {а: Я0(а) < оо}; если еще она
удовлетворяет условию: |УЯ0(а1)| -> оо, когда точки а^
стремятся к точке границы этого множества, то ее пре-
образование Лежандра Ьо строго выпукло, и асимпто-
тика распределений средних арифметических задается
функцией действия п-Ь0{х).
Пример 1.4. В условиях предыдущего примера бу-
дем рассматривать распределения случайных векторов
—, где Вп — последовательность^
стремящаяся к оо быстрее4 чем }/~п, но медленнее,
чем п. Имеем
Я (а) .-= 1п М ехр а, -^
Если в качестве нормирующего коэффициента Цгс) выбрать

192 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 5
В
—, то получим
Н (а) = Ит X (п)~1Нп (К (п) а) = |
Если матрица этой квадратичной формы, т. е. матрица
ковариаций случайного вектора Ей, не вырождена2 то пре-
образование Лежандра функции Н имеет вид
где матрица \ац) — \да.да * '} ' Функция действия для
семейства рассматриваемых случайных векторов есть
В\
— Ь(х). В частности, это означает, что
Ит Пт —г-1пР
— X
§ 2. Локально безгранично делимые процессы
Разрывные марковские процессы, которые можно рас-
сматривать как результат случайных возмущений динами-
ческих систем, возникают в различных задачах. Рас-
смотрим пример.
Пусть на числовой прямой заданы две неотрицательные
функции 1(х) и г(х). Рассмотрим при любом к ;> 0 такой
марковский процесс Хх на точках прямой, кратных к:
если процесс начинается в точке х, то в течение времени
й1 он делает скачок на расстояние к вправо с вероятностью
к^г^сИ (с точностью до бесконечно малых высшего по-
рядка при й1 -> 0), влево с вероятностью ЪгЧ(х)д,1 (а бо-
лее одного скачка он делает с вероятностью о(д,1)). При ма-
лых к процесс в первом приближении описывается диф-
ференциальным уравнением хг == г(хг) — 1(хг) (точный
смысл этого: при определенных условиях регулярности

§ 2] ЛОКАЛЬНО БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ ПРОЦЕССЫ 193
на функции г и I можно доказать, что X? сходится по ве-
роятности при к | 0 к решению дифференциального урав-
нения с тем же начальным условием).
Более конкретный вариант этого примера: в некотором
объеме V питательной среды заключены бактерии, причем
скорости с+, с_ их деления и гибели зависят от концентра-
ции бактерий в данном объеме. Подходящей математи-
ческой моделью процесса изменения концентрации бак-
терий с течением времени служит марковский процесс
X? описанного вида с к = V-1, г(х) = х-с+(х)г 1(х) =
= х-с-(х).
Процесс X1} естественно рассматривать как результат
случайного возмущения дифференциального уравнения
хх = г(хг) — 1(хг) (при малых к — результат малого слу-
чайного возмущения). Нас могут, так же как и в случае
возмущений типа белого шума, интересовать вероятности
событий вида {рог(^\ ф) < $} и т- п- (вероятности
«больших уклонений»).
Как мы уже говорили, первым приближением к про-
цессу X1} при малых к является решение дифференциаль-
ного уравнения; вторым приближением к нему будет диф-
фузионный процесс со сносом г(х) — 1(х) и малой локаль-
ной дисперсией к(г(х) + 1(х)). Однако это приближение
не действует в области больших уклонений; как мы уви-
дим, их вероятности для семейства процессов X1} описы-
ваются при помощи функционала действия, не совпадаю-
щего с функционалом действия для диффузионных про-
цессов.
Опишем общую схему, в которую входит приведенный
пример.
Пусть в г-мерном пространстве Вг заданы: векторная
функция Ь(х) = (б1^1)» . . ., Ъг(х)); матричная функция
(а^(х)) (порядка г, симметричная, неотрицательно опреде-
ленная); \1Х при каждом х е Яг— мера на Нг \{0} та-
каяг что
Нг\{0>
Пусть (Х^ р*) при каждом к > 0 — марковский процесс
¦ А. Д. Вентцель, М. И. Фрейдлия

194 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 5
в Яг с непрерывными справа траекториями, инфинитези-
мальный оператор Ан которого задается на финитных
дважды непрерывно дифференцируемых функциях фор-
мулой
Кг\{0}
Если а^(х) = 0, а мера \хх конечна при всех #, прот
цесс X? происходит следующим образом: он совершае-
конечное число скачков за конечное время, причем плот-
ность скачков в точке х равна /г[гл:(/?г\{О})(т.е.,находясь
вблизи точки х, процесс совершает скачок в течение вре-
мени АХ с вероятностью й-1^л;(/?г\ {0})бЙ с точностью до
бесконечно малых высшего порядка при ей -> 0); распре-
деление величины скачка задается мерой ^л.(/?г\{0})-1х
X ^(/г-Чр) (опять-таки при ей -> 0); а между скач-
ками процесс движется в соответствии с динамической
системой хг = Ъ(хг), где
Кг\{0>
Если же |хх(/гг\{0}) = оо, то процесс совершает за ко-
нечное время бесконечное число скачков.
Рассмотренный пример подходит под нашу схему с
г == 1, мерой !д,х, сосредоточенной в точках ±1, ^{1} =
= г(*), ^{-1} = К*)* и Нх) = г(х) - 1(х).
Если мера \хх при каждом х сосредоточена в 0, то ин-
тегральный член в формуле B.1) пропадает и оператор Ан
превращается в дифференциальный оператор второго по-
рядка. В этом случае (Х^, Рх) — семейство диффузион-
ных процессов с малым коэффициентом диффузии; соот-
ветствующие траектории непрерывны с вероятностью еди-
ница. В общем случае процесс (X?, Рх) сочетает непрерыв-
ное диффузионное движение и скачки.
Введенная нами схема является обобщением схемы
процессов с независимыми приращениями — непрерывно-

^ 2] ЛОКАЛЬНО БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ ПРОЦЕССЫ 195
го варианта схемы сумм независимых случайных величин.
Известно, что при рассмотрении больших уклонений для
сумм независимых случайных величин большую роль
играет условие конечности экспоненциальных моментов
(см., например, Крамер [1 ]). Введем его и для нашей
схемы: будем предполагать, что для всех а = (ах, . . .х ат)
конечно выражение
Я (*, а) =
Функция Я выпукла вниз и аналитична по второму аргу-
менту; при а = 0 она обращается в нуль.
Связь функции Я с марковским процессом (X?, Р*)
можно описать следующим образом: если применить
оператор Анг задаваемый формулой B.1), к функции
ехр/^а^Н, то получится к~1Н(х, На) ехр Bа^1}*
Обозначим через Ь(х, р) преобразование Лежандра от
функции Н(х, а) по второму аргументу. Из того, что
Н(х, 0) = 0, вытекает, что функция Ь неотрицательна;
она обращается в нуль в точке E = Ь(х). Функция Ь мо-
жет принимать значение +оо; но внутри области, где она
конечна, эта функция гладка.
Для рассмотренного выше примера имеем: Н(х, а) =
= г(х)(еа — 1) + 1{х)(е~сх' — 1), и функция Ь имеет вид,
указанный в предыдущем параграфе, с заменой г и! на
Ф), 1(х).
Зададим для функции сри 7\ ^ I ^ Г2, со значениями
в Лг функционал формулой
5 (Ф) = 5Г1г,(Ф) = [ Ь (Ф«, Ъ) М* B.3)
если функция ф абсолютно непрерывна и интеграл схо-
Дится; в противном случае положим 8ТгТ^) =-}-оо.
?т Функционал и будет нормированным функционалом
Действия (а нормирующим коэффициентом будет А).
7*

196 марковские возмущения [гл. 5
В частности, если мера \х сосредоточена в 0, а
единичная матрица, то, как вытекает из результатов
гл. 4, функционал действия для такого семейства имеет
вид B.3), где Дф, ф) =1/21 ф— Ь(ф)|2. В работе Вент-
ц е л я, Фрейдлина [4] вычисляется функционал
действия для семейства диффузионных процессов с про-
извольной матрицей (а^) (см. следующий параграф).
Семейства безгранично делимых процессов, вкладываю-
щиеся в нашу схему, рассмотрены в работе Б о р о в к о-
в а [1 ]. Мы вернемся к этим классам случайных процес-
сов в следующем параграфе. А сейчас сформулируем
результат, который обобщает как результаты Вентцеля^
Фрейдлина [4], так и Боровкова [1].
Чтобы функционал /г~15оТ(ф) был функционалом дейст-
вия для семейства процессов (X?, Рх), нужно, конечно»
наложить на это семейство процессов какие-то ограниче-
ния. Мы сформулируем их в терминах функций Н и Ь.
I. Существует всюду конечная неотрицательная вы-
пуклая вниз функция #(а) такая, что 11@) = О, Н(х, а) ^
^7/(а) при всех х, а.
II. Функция Ь(х, |3) конечна при всех значениях аргу-
ментов; для любого Н > О существуют положительные
константы М и т такие, что Цх, (}) ^ М1 | Ур^ (я, Р) | ^
|2 " '
|да при всех х
и всех р', |р|< П.
Следующее требование — промежуточное между прос-
то непрерывностью функций Н и Ь по первому аргументу,
которая недостаточна для наших целей, и равномерной
непрерывностью, которая не выполнена даже в случав
диффузионных процессов, т. е. квадратических по второ-
му аргументу функций Н и Ь.
III. ДМ8')= 8ир аир 1 (у'^ ~Ь ^ Р) ->0 при
Для функции Я из III тоже вытекает некоторое усло-
вие непрерывности
Ж2/, A + ДЦ6'))-га) - Н(у', а) <
')С1 + Д1С6'))-1 B.4)

21 ЛОКАЛЬНО БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ ПРОЦЕССЫ 197
при всех аи \у — у'\< &'* где ДЦ6') -> 0 при
Теорема 2.1. Пусть для функций #, Ь выполнены
условия I—III, функционал 5(ф) задается формулой B.3).
Тогда Л-^ср) является функционалом действия для се-
мейства процессов (X1}, Рж) при ЦО б смысле метрики
Рот (Ф» НО ^ 8иР IФ* "" ^11* равномерно относительно
начальной точки.
Доказательство (при несколько более широ-
ких условиях) содержится в статьях Вентцеля [7].
Наметим его основные пункты.
Прежде всего нужно доказать, что функционал 80Т
полунепрерывен снизу и что функции из множества
{ф '• ^ог(ф) ^ 5} равностепенно непрерывны. Не будем
приводить здесь этой чисто аналитической части доказа-
тельства; укажем, что близкие результаты содержатся в
книге И о ф ф е и Т и х о м и р о в а [1 ], гл. 9, § 1.
Приведем, также без доказательства, одну лемму, свя-
занную со свойствами функционала 5оГ (доказательство
см. Вентцель [7]).
Лемма 2.1. Пусть выполняется условие III. Тогда
для любого 50 > 0 существует Д^ > 0 такое, что для
любого разбиения отрезка от О до Т точками О = *0 <
Т ( ) < А
<!< „1 п ч (, + х ,) < ,
и для любой функции ф*, 0 ^ I ^ Г, для которой 5оТ(ф) ^
< 50, имеем 80ТA) ^ 50Т(ф) + -у* г^е I ~ ломаная с
вершинами в точках (^, Ф-*).
Далее нужно доказать, что для любых б > 0, у > О
и 80>0 существует положительное Но такоех что при
всех Н < Но
Р"о (Рот (*\ ф)< 61 > ехр I- Ъ,-' [80Т (Ф) + VI), B.5)
где ф — произвольная функция такая, что 50Т (ф) ^ 80г
Фо = х\
Р« 1Рог (Х\Ф, (в)) > 6} < ехр 1-й-1 E - у)}, B.6)
где ФхE) ={ф : Фо = Х1 *5от(ф) ^ 5Ь х — любая точка из
Для упрощения обозначений проведем доказательст-
во в одномерном случае. Сначала приведем некоторые

108 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 5
факты, которые используются в обеих частях доказа-
тельства.
Процесс X* с точностью до слагаемого }
о
ограниченной вариации является интегрируемым в квад-
рате мартингалом; поэтому можно определить стохасти-
ческий интеграл относительно Хкг. Пусть /B, со), 0 ^ I ^
^ Г,— случайная функция, ограниченная по модулю
какой-то константой С и прогрессивно измеримая относи-
тельно семейства а-алгебр ^"^ = а [Х*1, я<1 г] (т. е. при
любом г функция /E, со) при 5 ^ I измерима по паре ($, со)
относительно произведения а-алгебры борелевских под-
множеств отрезка [О, I] и а-алгебры#~<*). Тогда можно
определить стохастический интеграл
т
[/(*-0,о))ЙХ? B.7)
о
(см. К у н и т а, В а т а н а б е [1 ]). Нам понадобится
интегрировать только кусочно-непрерывные в среднем
квадратическом случайные функции; для них интеграл
B.7) можно определить как предел в смысле сходимости
по вероятности интегральных сумм
5/(М D+1-4)
при неограниченном измельчении разбиения 0 = /0 <.
<*!<••. <Ип = Т. Если реализации X? имеют огра-
ниченную вариацию, а реализации /(*, со) имеют в каждой
точке пределы слева и справа, то интеграл B.7) можно
понимать как обычный интеграл Лебега — Стилтьеса от
левого предела /(* — 0, со) функции /(*, со).
Нам понадобится следующий факт:
{т т ч
|/(^01со)^-Л-и
B.8)
(это выводится из формулы Ито для стохастических ин-

§ 2] ЛОКАЛЬНО БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ ПРОЦЕССЫ 199
тегралов относительно мартингалов, см. К у н п т а,
В а т а н а б е [1]).
Доказательство B.5) проводится сначала для кусочно-
гладких функций ср. При этом, как и в диффузионном слу-
чае, используется абсолютно непрерывная замена меры
(идея использования такого преобразования восходит
к Г. Крамеру Ц1).
Положим аA, х) = -щ(х, Ф*); в силу условия II и
кусочной гладкости ф функция а ограничена по модулю.
Положим далее
для любого события А *
Согласно B.8), Р* — вероятностная мера. Относитель-
но этой меры процесс Х^ оказывается снова марковским
процессом (см. Г и х м а н и С к о р о х о д [2], гл. VII,
§ 6), но уже неоднородным по времени. Его инфинитези-
мальный оператор будет задаваться формулой (см. Г р и-
г е л и о н и с [1 ])
АI (х) - Ъ (г, х) Г (х) + | а (х) Г (х) +
Нг\{0}
где ка(х) — прежний коэффициент диффузии, а перенос
Ъ и мера т выражаются через прежние по формулам
= ехР
В силу пашего выбора а(^ а;) = -^ (хх ф^) коэффициент

200 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 5
Ъ не зависит от х и равен ср^. Это означаетг в частности,
что относительно меры Р* процесс Хг — ср^ будет мартин-
галом (с нулевым средним1 раз ф0 = я), а его дисперсия
задается формулой
Ж (X? - Ф(J = кЩ д^§ (Х"$1 а (*, X*)) Ъ. B.9)
Так как плотность —-^ положительна1 то меру Р
можно выразить интегрированием по Р^:
^ (А) = ЩЛ; ехр Ьг1 - ] а (* - 0, Х?_
. B.10)
Мы будем использовать это для события А^ — { зир I х1}
— Ф* I < в}.
Положим
р
(в силу условия II эти выражения ограничены равномер-
но по всем функциям ф*, для которых ограничена какой-
то константой производная ф*); введем случайные собы-
тия
4=

§ 2) ЛОКАЛЬНО БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ ПРОЦЕССЫ 201
Здесь в обоих случаях в левой части неравенства стоит
мартингал (относительно Р*) с нулевым средним, а в пра-
вой — константа, оценивающая сверху его удвоенное
среднее квадратическое уклонение; в силу неравенств
Колмогорова и Чебышёва имеем
При к ^ DО1)~1б2 из А\ вытекает Лб, поэтому Р* (А6)
оценивается снизу Р^-вероятностью события А\ [\ А\
(которая не меньпе 1/2), умноженной на нижнюю грань
экспоненты в B.10) по этому пересечению. Сумма интегра-
лов под знаком экспоненты приводится к виду
-[[а^Х^- Н{Х)ха{11Хь1))\й1.
т
о
Первый интеграл здесь при со е А} р| Л2 по модулю не
т
превосходит 2А1/2/?2/2; второй равен — ] Ь (Хни ф,) Л.
о
В силу требования III этот интеграл (без знака -—) не пре-
восходит
) ь (Фп Ф() йг A + м (аИ'Ъ!'2)) + дь (гл1^2). г.
О
Окончательно при к <; D/?1)~1б2 получаем оценку
Р^ {рог [Хн1 ф) < 6} >~ ехр {— А'^от (Ф) —
г) т—1/2 7~ч 1/2 г, — 1 д г | г) г 1/2 /~^1/2\ г т • от / чл
Множитель 1/2 и все члены, кроме — А-150Т(ф), погло-
щаются при достаточно малом к членом к~1у1 и получаем
неравенство B.5).

202 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 5
Чтобы установить, что оно выполнено равномерно не
только по функциям ср* с |ср{| ^ сопз1, но и по всем функ-
циям с 50Т(ф) <! $о» пользуемся равностепенной непрерыв-
ностью таких функций и леммой 2.1. Выбираем Дг > 0
так, чтобы колебание каждой из таких функций ф на от-
резке длины, не превосходящей Д2, было меньше 6/2;
уменьшаем, если нужно, это Д^ настолько, чтобы для ло-
маной I с вершинами (/;, ф*Л при тах (^+1 — 1}) ^ Д*
было 80Т{1) < 50Т(ф) + ?/2. Зафиксируем какое-то раз-
биение отрезка от 0 до Г на равные отрезки длины, не пре-
восходящей Дг. Тогда для всех ломаных I, определенных
по функциям ф с 5оТ(ф) ^ 50, модуль производной
\и\ ^ 6/2Д^. При к, меньших некоторого к0, для этих ло-
маных справедливо неравенство B.5) с .6/2 вместо 6 и у/2
вместо у. Пользуясь тем, что роТ(ф, I) < 6/2г получаем
Р« (Рот (Х\ Ф) < 6} > Р* 1рот (Хл, 0 < 6/2] >
Теперь займемся получением оценки B.0). Зададимся
каким-то малым положительным числом х; по этому чис-
лу найдем положительное 6' < 6/2 такое, что выражение
ДЦ6'), введенное в условии III, не превосходит х.
Рассмотрим случайную ломаную Щ, 0 ^ I ^ Г, с верши-
нами в точках @, Х5), (Д^ Х^); {2Ы, Хнш\ ..., (Г, Х§),
где выбор Дг = ТЫ (п — целое) будет уточнен позже.
Введем события
Аь
(*) = ( вир |Х?-Х?Д(|<6'),:
1 = 0, 1, . . ., п —- 1. Если осуществились все Ан((),
то роТ(Хл, Vх) < 6; при этом из роГ(Х\ Фл($)) > 6 выте-
кает 1Н ф ФлE). Поэтому
V Щ)\ + Р* Гд А" (О П \1ЪФ Фх (*)\\ B.11)

§ 2] ЛОКАЛЬНО БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ ПРОЦЕССЫ 203
Первая вероятность не превосходит
п.вирРМ зир \х1-у\>6'}.
у \о<*<д* ]
В силу известной оценки (см. Д ы н к и н [1], лемма б.З)
верхняя грань такой вероятности не превосходит
Эту вероятность мы оценим с помощью экспоненциального
чебышевского неравенства: для произвольного С > 0
Ру II А'? - у\ > б'/2) <[М* е.хр [к~1С •(Х?-у)} +
+ Мну ехр |- к~1С ¦ (X? - у)}] е-ь-1"'*. B.12)
Из B.8) вытекает, что математические ожидания здесь
не превосходят ехр {1ь-ЧН(±С)} < ехр {1г-1МН(±С)}.
Теперь выбираем С = 4$0/6'; а Д^ выбираем так, чтобы
Д^Я(±С) ^ 50. При этом правая часть B.12) не превосхо-
дит 2 ехр {—к-\}, и соответствующими слагаемыми в
B.11) можно пренебречь по сравнению с ехр {— к-г(8 —у)}.
Второе слагаемое в B.11) оценим с помощью экспонен-
циального чебышевского неравенства:
п
гп-1 __ _ -|
^ ЬЛХ\ П ^4 (/); ехр [к A + х)~ 50Г (/ )} X
X ехр {- к~{ A + х)-2*}. B.13)
п—1
Пользуясь выбором 8' получаем для ое [1 4 (г):
1=0
(<+<)^~

204 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 5
Д
I • A + х) + х —
А*
1=0
С учетом этого из B.13) получаем
1=0
I
ехр.
I I
B.14)
Пользуясь марковским свойством относительно мо-
ментов Д$, 2Д^, . . ., (п — 1)Д^, получаем, что математи-
ческое ожидание в этой формуле не превосходит
Ан@); ехр (/г A + х)"^ (у,:
B.15)
Здесь второй аргумент функции Ь не превосходит 67Д^.
При фиксированном у приблизим выпуклую вниз функ-
цию Ь(у, Р) на отрезке |C| << 67Д^ при помощи описанной
снизу ломаной Ь'(у, C) с точностью до х. Это можно сде-
лать с помощью ломаной с числом звеньев N, не завися-
щим от ух например таким образом: обозначаем через
Р_г, C+2 (г = 0, 1, 2, . . .) точки, в которых Ь(у, C) = Ы
(таких точек при I Ф 0 две); и берем ломаную, составлен-
ную из касательных к графику Ь(у, C) в этих точках, т. е.
полагаем
1/0/,Р)= шах и(»,Р,) + ^(»,Р«)(Р-Р«I. B.16)
Здесь число N точек равно 210 + 12 где /0 — целая часть

§ 2] ЛОКАЛЬНО БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ ПРОЦЕССЫ 205
^ вир Ь(у, Р). Легко видеть, что Ь{у, Р) —
6/
у |р|</Д*
- Ь'(У, РХ * при |р| < 67 Д* (рис. 9).
Выражение B.16), пользуясь определением функции Ь,
можно переписать в виде
//(*/, Р)= шах [а;Р-#0/,а;)]г B.17)
—го<г<го
Где а1 = дЬ(у, р^/Зр зависят от у. С учетом этого мы мо-
жем утверждать, что математическое ожидание в формуле
B.15) не превосходит
шах
- Д«7/ (;/, а,)] + А A + х)~1кМ\] <
2 ЬЛНУ[АН(О);
го
2
(/Г1 [A + хГ'а, (Хнм -у)-М A + кГ'Н {у, а,)}}].
B.18)
В силу B.8), имеем
М^ехр
р /Г A + хГ'аДХ^ - у)-

206 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 5
чтобы использовать это, вычтем и добавим под знаком экс-
д*
поненты в правой части B.18) /Г \ Н{Хки A+х)~"Ц) йг-
о
Пользуясь выбором 6' и неравенством B.4), получаем,
что 1-е математическое ожидание в правой части формулы
B.18) не превосходит ехр {/ь-^Дг-х^ 4-х)}.
Собираем полученные оценки вместе:
+ B10 + 1)п ехр {Л [- A + *)~~2* + * A + *Г2Г +
+ 2хA +к)~{Т]}. B.19)
Так как х > 0 можно выбрать сколь угодно малым, то при
/г, меньших какого-то Но или равных ему, получаем оценку
B.6) для всех 5 ^ 50.
§ 3. Частные случаи. Обобщения
В этом параграфе мы приведем теоремы о больших
уклонениях для некоторых семейств марковских процес-
сов, вытекающие из теоремы 2.1 или только близкие к ней.
Прежде всего, условия теоремы 2.1 выполнены для
семейств диффузионных процессов в Ег, задаваемых сто-
хастическими уравнениями
+ еа(Х?)ш<( C.1)
при стремлении параметра е к нулю, если только коэффи-
т
циенты переноса Ъ1(х) и диффузии а{> (х) = 2 <4 (х)о{(х),
г, ] = 1, . . ., г, ограничены и равномерно непрерывны
по х, а матрица диффузии равномерно невырождена:
2 а>х* (#) с$) ^ |12 СЬ I1 > 0- Вычисляем характеристики
а \
семейства процессов (Х^, Р^): инфинитезимальный опера-
тор для функций / е С^ имеет вид
^ 0.2)

§ з1 Частные случай, обобщения 207
В качестве параметра к предыдущего параграфа выступа-
ет е2; нормирующий коэффициент будет равен е~2. Далее,
имеем
Н (х, а) = ^Ь1 (*) «* + 4" 2 аЪ' (*) «»«/. C-3)
преобразование Лежандра этой функции есть
_ -У И), C.4)
где {аи(х)) = (а^(х))~1; нормированный функционал дей-
ствия имеет вид (для абсолютно непрерывных ц>и Т\ ^
^, С ^, /2)
1 Г V / Ч г \ ( ' 7 ; \
^ 1 ш
X, ^
C.5)
Проверяем выполнение условий I — III теоремы 2.1.
В качестве функции // можно взять
где В и А — константы, мажорирующие |Ь(#)| и наиболь-
шее собственное значение матрицы (а{*(х)). В качестве
константы М = М(Н) условия II можно взять \х~1( Н +
+ В 4~ 1J7 в качестве т — константу Л. Выполняется
и условие*III: функция АЬ(&') выражается через модули
непрерывности функций Ы(х), а1з'(х) и константы (.ц Л, Б.
Следующая теорема имеет дело с небольшим обобще-
нием этой схемы, и доказательство теоремы 2.1 в этом
случае нуждается лишь в небольших изменениях.
Теорема 3.1. Пусть функции Ъ1(х), а^(х) в Яг
ограничены и равномерно непрерывны; матрица (а^(х))
Щи любом х симметрична, и 2 а1) (х) сьС) ^ ^ 2 сц
где (а — положительная константа. Пусть Ь1г(х), . . .,
Ьге (х) при е ~> 0 равномерно сходятся соответственно к
Ъ1(х) . . ., ЪТ (х)\ пусть {Хгх Р,) — диффузионный процесс

208 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 5
в Нг с переносом Ъг (х) = (Ь1* (х), . . ., Ъге (х)) и матрицей
диффузии &2(а^(х)); пусть функционал 8 задается форму-
лой C.5). Тогда г 80Т (ф) является функционалом действия
для семейства процессов {Хег, Рх) при е->Об смысле мет-
рики рот (ф, г|0 = зир |ф* — \Ы равномерно относитель-
но начальной точки.
Далее, этот результат можно перенести на диффузион-
ные процессы на дифференцируемом многообразии.
Теорема 3.2. Пусть М — г-мерное многообразие
класса СC) с метрикой р; пусть существует положитель-
ная константа X такая, что в ^-окрестности каждой точ-
ки хо е М можно ввести единую систему координат КХо,
причем расстояние р отличается от соответствующего
евклидова расстояния лишь в число раз, ограниченное рав-
номерно по всем КХо. Пусть (Х|, Р^) при каждом е > 0 —
диффузионный процесс на многообразии М (см. М а к к и н
Ц]) причем его инфинитезимальный оператор в системе
координат КХо записывается в виде
(Коэффициенты а^(х) при переходе к другой системе коор-
динат преобразуются как тензор, а в коэффициенты Ь1р(х)
при этом добавляется еще слагаемое порядка е2, включаю-
щее производные от а^{х).) Пусть Ь1г(х) -> Ъг(х) при
г ->¦ 0 равномерно по всем х таким, что р(^о, х) < X, и по
всем выбранным системам координат КХо; пусть функции
Ъ{(х), а^(х) ограничены и непрерывны равномерно по всемх,
р(хо, х)<Х, и всем КХо; пусть ^а^(х) сгс^\л^с\
%з г
при всех с\, . . ., сТ, где 4и = сопз! >> 0. Пусть функционал
8 задается формулой C.5).
Тогда г 8оТ (ф) является функционалом действия для
семейства процессов (X*, Р^) при е -> 0 относительно мет-
рики р0Т (ф, \})) = 8ир р (ф^, \|L), равномерно относи-
0<Т
тельно начальной точки.
Доказательство теоремы 3.2 (а с ней и 3.1) содержится
в § 1 статьи Вентцеля, Фрейдлина [4].

§ 3] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ. ОБОБЩЕНИЯ 209
Рассмотрим еще некоторые семейства марковских про-
цессов, для которых функционал действия легко выпи-
сать, пользуясь формулами предыдущего параграфа, но
то, что это действительно функционал действия, не выте-
кает из теоремы 2.1.
Пусть п\к , ..., пГ1К — независимые друг от друга
пуассоновские процессы с параметрами соответственно
А-1^1, . . .,/г^ (X1, . . .Дг — положительные константы).
Рассмотрим процесс # = Ш\ • • ¦, &*), где Й^Ая^.
Инфинитезимальный оператор этого марковского процес-
са есть
1 [/ (я1 + /г, ж«, ..., *') - / (г1, ж», .... а*)] + ... +
-*Л.Г [/ (г1, ...,,* + /г) - / (х\ ..., хТ~\ хг)\, C.7)
(хх а)^Н (а) = _2 ^ (еа{ - 1), C.8)
если хотя бы одно из рг < 0;
C.9)
функционал 5(ф) определяется как
Мф{)« (ЗЛО)
для абсолютно непрерывных ф^ = (ф1, ..., фО и как +оо
для всех остальных ф (интеграл равен +оо для всех ф^,
у которых хотя бы одна координата не является неубываю-
щей функцией).
Условия теоремы 2.1 неприменимы, потому что функция
Ь обращается в +оо вне множества {[51 > 0, . . ., (Зг ^ 0}.
Однако верно следующее.
Теорема 3.3. Функционал, задаваемый формулами
C.10), C.9), является нормированным функционалом дей-

210 марковские возмущения (гл. 5
ствия для семейства процессов ^ при к \ О равномерно от-
носительно начальной точки (в качестве нормирующего
коэффициента берется, естественно, к-1).
Это — частный случай результатов Боровкова
[1] (правда, формально эти результаты относятся лишь к
одномерному случаю; для г >> 1 можно сослаться на
более поздние работы: М о г у л ь с к и й [1 ], Вен-
т ц е л ь [7]).
Предыдущие результаты относились к случаю, когда
скачки марковского процесса становятся при увеличении
параметра во столько же раз чаще, во сколько меньше.
Сформулируем один результат, относящийся к случаю,
когда это не так.
Пусть л,1а, ..., я^\ как и выше,— независимые пуас-
соновские процессы с параметрами аХ1, . . ., аХг; для
а > 0, к > 0 положим Ъ\аН = к(л\а — аХЧ)х г = 1, .. #1 г.
Теорема 3.4. Положим
^ C.11)
для абсолютно непрерывных ф*, Т\ ^ I ^ Тг, для осталь-
ных ф* положим 8т1т2 (ф) = + сю. Тогда (к2а)-г80Т (ф) яв-
ляется функционалом действия для семейства процессов
ГЛ = (?Г\ • • •, %а% 0 <^ < Г, при ка -> оо, к** -+ О,
равномерно относительно начальной точки.
Это — частный случай одной из теорем той же статьи
Боровкова [1] (многомерный случай — М о г у л ь-
с к и й [1]).
§ 4. Следствия. Обобщение результатов главы 4
Посмотрим, можно ли перенести результаты, получен-
ные нами в §§ 2, 3 и 4 гл. 4 для малых возмущений динами-
ческой системы типа «белого шума», на малые скачкооб-
разные возмущения (и на возмущения диффузионного ти-
па, но с переменной диффузией).
Пусть хг = Ъ(х1) — динамическая система с одним
устойчивым положением равновесия О; (X?, Р^) — се-
мейство марковских процессов вида, описанного в § 2.

§ 4] СЛЕДСТВИЯ. ОБОБЩЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ГЛАВЫ 4 211
Для него имеет смысл ставить задачи о предельном пове-
дении при к \ О инвариантной меры цЛ, распределения точ-
ки Х\ выхода из области, среднего времени выхода из
области МхТл; и мы можем догадаться, что ответы будут
связаны с функцией V (О, х) = т1 (б^гДф) • фгх = О,
фГв = х). А именно, инвариантная мера |1/1 должпа опи-
сываться функцией действия к~1У(О, х); распределение
X ь должно при к \ О сосредоточиваться вблизи точек
границы, на которых достигается тт V (О, у)г а М$х/г долж-
но быть логарифмически эквивалентно
ехр /Л Ш1П У(О,у)\;
I у^до I
выход из области должен при малых к с подавляющей
вероятностью осуществляться вдоль экстремали функцио-
нала 5(ср), ведущей из О на границу; и т. п.
В доказательства §§ 2, 4 гл. 4 нужно ввести следующие
изменения. Вместо малых сфер у и Г, окружающих поло-
жение равновесия, нам придется взять маленький гаарик
•у, содержащий это положение равновесия, и внешность Г
сферы несколько большего радиуса (сферу скачкообразный
процесс может просто перескочить). Вместо цепи Ъп на
множестве у[^дБ рассматриваем цепь на сумме у и допол-
нения Б. Траектория процесса X*, начинающаяся в точке
множества у» в момент первого достижения множества
Г не обязательно находится на сфере малого радиуса
(границе Г); но вероятность того, что процесс в этот мо-
мент будет находиться на расстоянии, большем какого-то
б > 0, от этой сферы, стремится к нулю при к \ 0 быстрее
любой экспоненты ехр {—Кк-1}. Теоремы 2.1, 2.3, 2.4,
4.1, 4.2 гл. 4 остаются верны и для семейств (Х^, Р^),
удовлетворяющих условиям теоремы 2.1.
Разумеется, эти теоремы будут верны и для семейств
диффузионных процессов, удовлетворяющих условиям
теорем 3.1, 3.2. Приведем соответствующую формулировку
на языке дифференциальных уравнений — обобщение тео-
ремы 2.2 гл. 4.
Теорема 4.1. Пусть О — устойчивое положение
равновесия динамической системы хг = Ъ(хг) на многооб-

212 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 5
разии М; В — область на М с компактным замыканием
и гладкой границей дВ. Пусть траектории динамической
системы, начинающиеся из всех точек В [] дВ, при I -> оо
притягиваются к О, и пусть вектор Ъ(х) в каждой точке
границы направлен строго внутрь области. Пусть (Х*г
Рх) — семейство диффузионных процессов на М со сносом
(в локальных координатах) Ьг(х), стремящимся к Ъ(х) при
е -> 0, и матрицей диффузии г2(а^(х)); пусть выполняют-
ся условия теоремы 3.2. Пусть и?{х) при каокдом е > 0 —
решение задачи Дирихле
дх'дх' ** К ) дх1
с непрерывной граничной функцией §. Тогда Итиг(х)\—
е->0
= ^(г/о), где уо — точка на границе, в которой достигает-
ся ты У(О, у) (предполагается, что такая точка толь-
ко одна).
Доказательство следующей теоремы совер-
шенно аналогично доказательству теоремы 4.3 гл. 4.
Теорема 4.2. Пусть у динамической системы
хг = Ъ(хг) в Яг имеется единственное, причем устойчивое
положение равновесия О, к которому притягиваются тра-
ектории, начинающиеся из всех точек Нг; пусть для до-
статочно больших \х\ выполняется неравенство (х, Ь(х)) ^
^ — с\х\, где с — положительная константа. Пусть
семейство диффузионных процессов (X*, Р^) с переносом
Ьг(х) -> Ь(х) и матрицей диффузии &2(а^(х)) удовлетворяет
условиям теоремы 3 1. Тогда нормированная инвариант-
ная мера [Iе процесса (X*, Р^) при е -> 0 описывается
функцией действия е~~2У(О, х).
Формулировку и доказательство соответствующей тео-
ремы для диффузионных процессов на многообразии мы
отложим до § 4 гл. 6. Дело в том, что достаточно простой
эта теорема будет для компактных многообразий; а все
траектории динамической системы на таком многообразии
не могут притягиваться к одному устойчивому положению
равновесия. Для семейств скачкообразных процессов со-

§ 4] СЛЕДСТВИЯ. ОБОБЩЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ГЛАВЫ 4 213
ответствующая теорема также будет сложнее теорем 4.3
гл. 4 и 4.2 этой главы.
Укажем, чем заменяется теорема 3.1 гл. 4, позволяю-
щая находить квазипотенциал.
Пусть А — подмножество области В с границей дВ.
Назовем задачей НА для дифференциального уравнения
первого порядка в этой области задачу нахождения
функции С/, непрерывной в В и дВ, обращающейся в
нуль на А и положительной вне А, непрерывно диффе-
ренцируемой и удовлетворяющей данному уравнению в
(О {} дВ)\А, причем чЩх) ф 0 при х ее (В у дП)\А.
Теорема 4.3. Пусть Н(х, а) -<->. Ь(х, C) — строго
выпуклые и гладкие по второму аргументу функции, сея-
занные преобразованием Лежандра; Зт^* (ф)= 1 ^ (ф*, ф*) <М
(для абсолютно непрерывных функций ср; для прочих
+оо). Пусть А —компактное подмножество области В.
Положим
У(А, х) =1
-сх)<Г1<Г2<оо}. D.1)
Пусть II — решение задачи НА для уравнения
Щх, чЩх)) -0 D.2)
в В у дВ. Тогда 17(х) = У(А, х) для всех х, для которых
V(х) ^ тт {П(у) : у е дВ}. Нижняя грань D.1) дости-
гается на решении уравнения
Ф* = УаЯ(Ф„ уЩФ,)) D.3)
с «конечным» условием фГг = х при произвольном Тъ < оо
(дри это.** автоматически функция ф дг/?и каком-то Т\у
—оо ^ Гг < Гг, принадлежит множеству А).
Теорема 3.1 гл. 4 — частный случай этой с Н(х, а) =
Доказательство. Пусть ф^, Г1 ^ I ^ Гг,—
какая-то кривая, соединяющая Л с х и лежащая целиком
в пределах В [] дВ. Воспользуемся вытекающим из оп-
ределения A.1) неравенством Ь (х, р) ^ 2 «*Р* — ^ (^ сх),

214 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 5
подставив вместо х, C и а соответственно ф^, ф^ и V
получим
^г, (ф) =»
т2 Та т*
1 1I
= 1 Ь
Второй интеграл равен нулю в силу D.2); первый есть
#(фг.) - С/(фГ1) = Щх). Итак, 5Г1Т> (Ф) > Щх). Ес-
ли [/(я) <! ппп {О(у) : у е дП], то рассмотрение кривых,
выходящих за границу, прежде чем попасть в х, никакого
выигрыша не дает, и У(А, х) ^ 1/(х).
Теперь покажем, что значение II(х) может быть достиг-
нуто, для этого построим экстремаль. Будем решать урав-
нение D.3) при I <; Тч с условием фг, = х\ решение су-
ществует, пока (рг не выйдет за пределы (О ^ дО)\А,
потому что правая часть непрерывна (но может быть
не единственно). Имеем: — I] (ф^) = ^—- (ф<LФ? =
«=Ь(ф^, ф$) + Я(ф;, УС/(фе)). Второе слагаемое равно
нулю; первое строго положительно, так как Ь(х, Р) ^ О
и обращается в нуль только при р = Ъ{х) = VаН(х, 0),
что не равно УаН(х, V 1/(х)) при х ф. А (ведь \7С/(#) -ф 0).
Итак, при убывании г и С/(ф*) убывает; значит, фе не вы-
ходит из В \] дО. Докажем, что при каком-то Т\ < Тг
(может быть, при Т\ = — оо) кривая ф$ входит в А. Если
это не так, то решение ф^ определено при всех I < 7*2,
и существует Нт II (ф4) > 0. Но это значит, что ф^ не
входит в некоторую окрестность компакта А, Вне этой
окрестности -т- V (ф() = Ь (фг, ф^) ^ соп§1 > 0, что про-
тиворечит существованию конечного предела 17(ц>г) при
I —>- —оо.
Теперь для найденной функции находим значение
функционала 5:
г, т,
| Г
(Ф) =
Тг

§ 4] следствия, обобщение результатов главы 4 215
Теорема доказана.
Условия этой теоремы могут быть выполнены только
в случае, когда все траектории динамической системы
хх = Ъ(хг), начинающиеся в точках Б у дВ, при I ->- оо
притягиваются к А (или входят в это множество). Это
относится и к теореме 3.1 гл. 4.
Рассмотрим в качестве примера семейство одномерных
скачкообразных процессов, введенное в начале § 2. Если
1(х) > г(х) при х > хо, 1(х) < г(х) при х < хо, точка #о —
устойчивое положение равновесия для уравнения хх =
= ф;*) — /(^<). Решим задачу НХо для уравнения Н(х,
Ц'(х)) = 0, где Щх, а) = г (*)(** - 1) + /(*)(*-« - 1).
Функция Н(х, а) при фиксированнОхМ х обращается в нуль
/Л 1 I (Х\ Т-Т
при а = 0 и при а = ш При х =^= хо нужно взять это
второе значение, потому что требуется, чтобы 17'(х) =^ О
X
при х Ф хо. Находим: V (х) = \ 1п-р- с1у (эта функ-
ция положительна и при х > ао, и при д; < ^о). Это и
будет квазипотенциал. Экстремаль нормированного функ-
ционала действия — решение дифференциального урав-
нения ф* = -35Г (Фи с/' (Ф<)) = 1 (Ф*)"" г (Ф<)-
Теперь мы сразу получаем решения ряда задач, свя-
занных с семейством процессов {Хни Р*): вероятность то-
го, что процесс выйдет из интервала \х\, хг) э хо через
левый конец, стремится к 1 при к \ 0, если 1/(х\) <
<С и(х2), и к 0, если выполнено противоположное неравен-
ство (при 11(х\) = {/(аъ) вопрос остается открытым); ма-
тематическое .ожидание времени выхода логарифмически
эквивалентно ехр {к-1 т\п [С/(#1), 1/(х-2)]} (этотрезультат
другим методом получен В. Л а б к о в с к и м [1]) и
т. п. Асимптотика инвариантной меры процесса (Х^, Р^)
при к \ 0 задается функцией действия к-111(х) (это не вы-
текает из сформулированных нами результатов, но инва-
риантная мера в этом случае, как и в потенциальном слу-
чае, рассмотренном в § 4 гл. 4, легко выписывается явно).

ГЛАВА б
МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ
§ 1. Вспомогательные результаты.
Отношение эквивалентности
В этой главе мы будем рассматривать семейства диф-
фузионных процессов (Х^, Р*) на связном многообразии
М, удовлетворяющие условиям теоремы 3.2 гл. 5, для
которых поведение вероятностей больших уклонений от
«наиболее вероятной» траектории — траектории динами-
ческой системы х% = Ь(х1) — описывается при е -> О функ-
ционалом действия е-25(ф) = е^Я^гДф), ГДО
(ф) = т | 2 аи Ы ( ф! - ъ{ (ф,)) ( ф; - ъ1 (Ф<))
Здесь излагаются результаты работ Вент цел я,
Фрейдлина [4], [5] и некоторые их обобщения.
В задачах, связанных с поведением процесса X] в об-
ласти ]5сМна больших отрезках времени-(задачи о вы-
ходе из области, для О — М задача об инвариантной мере,
частные случаи см. в §§ 2, 4 гл. 4, § 4 гл. 5), существен-
ную роль играет функция
Уя{х, у) = 1"п! {80Т (ф) : ф0 = х, фг = г/,
ф/ е В у дВ при 1е=± [О, Г]},
где нижняя грань берется по отрезкам [О, Т] всевозможной
длины. При Ъ = М мы будем пользоваться обозначением
Ун(х, У) = У(х, у).

§ 1] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 217
Функция Ув (ху у) характеризует трудность перехода
процесса Х^ при малом 8 из точки х в малую окрестность
у, не выходя за пределы В (или В [] дВ), за «обозримое»
время. При В = М этому придается такой, например,
точный смысл: можно доказать, что
У {х,у)
где т$ —момент первого достижения процессом X] б ок-
рестности точки у.
Легко понять, что функция Уп всюду конечна. Изу-
чим ее более сложные свойства.
Лемма 1.1. Существует константа Ь > 0 такая,
что для любых х и у е М, р(х, у) < X, существует функ-
ция фг, фо = х, фг = у, Т = р(х, у), для которой
50г (ф)<^'р(*1 У)-
Это — приспособленная к многообразиям лемма 2.3
гл. 4. Здесь X > О — радиус окрестностей, в которых дей-
ствуют системы координат КХо (см. § 3, гл. 5).
Из этой леммы вытекает, что функция Уп (х, у) непре-
рывна по I, |/ е В, а в случае гладкой границы — и по
*, у €= в у дВ.
Лемма 1.2. Для любого у > 0 и любого компакта
ХСЙ (в случае гладкой границы — К €Г В [} дВ) су-
ществует То такое, что для любых х, у е К найдется
функция фе, 0 ^ I ^ Т, фо = х, фг = у, Т ^ То, такая,
что 8оТ (ф) < УП {х, у) + у.
Для доказательства выбираем в К конечную
достаточно мелкую б-сеть точек {хг}; берем соединяющие
их кривые, подходящие к нижней грани функционала
ближе чем на у/2,и дополняем их началами и концами,поль-
зуясь леммой 1.1: от точки х к близкой к ней точке хг, за-
тем от хг к близкой к у точке х$, а от нее — к у.
Пусть ф^ 0 ^ % ^ 71,— непрерывная кривая в М;
О = г0 < ^1 < . . . < гп = Т — какое-то разбиение отрез-
ка от 0 до Т, такое, что все значения ф^ для I е [^, ^+1]
лежат в пределах действия одной локальной системы ко-
ординат КХ{- Тогда можно определить вписанную в ф
«ломаную» I, определив 1г при I е [^, ^+1! ПРИ помощи
координат в К : Ц « Ф/ <<+1~) + Ф? /~\--

218 возмущения на больших отрезках времени [гл. в
Лемма 1.3. Для любого К> О и любого у >> 0 су-
ществует положительное Н такое, что для любой функции
Фь 0 ^ I <! Г, Т + 5От (ф) ^ К, и для любого разбиения
отрезка от 0 до Т с шах (г^\ — ^) ^ Н
8ОТ (I) < 5ОГ (ср) + у.
Первая ступень доказательства — использование рав-
ностепенной непрерывности всех таких ф для того, чтобы
установить, что при достаточно малом к значения <ри 1г ^
^^^^+1, лежат в пределах одной локальной системы
координат Кх1, причем число различных систем координат
среди Кх. можно ограничить сверху числом, зависящим
только от К. Далее это уже утверждение леммы 2.1 гл. 5,
по поводу которой мы отослали читателя к статье Вент-
ц е л я 17 ] (впрочем, для квадратичной по C функции
Ь(х, р) доказательство можно провести легче).
Мы уже видели при доказательстве теоремы 2.1 гл. 4,
что при наших рассуждениях нам постоянно приходится
выходить на небольшое расстояние за границу В или, на-
оборот, ограничиваться рассмотрением точек, лежащих
внутри В на каком-то положительном расстоянии до гра-
ницы. Пусть расстояние р(х, у) — риманово расстояние,
соответствующее гладкому тензору 8ц{х) : (йрJ =
=2 Ей (х) йхй^• Обозначим через Р+6 б-окрестность об-
ласти В, а через В-ь—множество точек В на расстоянии,
большем чем б, от границы. В случае компактной дважды
непрерывно дифференцируемой границы дВ при доста-
точно малых б границы дВ+ь и дВ-& также дважды непре-
рывно дифференцируемы. Для точек х, лежащих между
дВ-ъ и дВ+ь или на этих поверхностях, определяются
однозначно: (х)о — ближайшая к х точка на дВ; (х)~6 —
ближайшая к х точка на дВ-6 и (^)+б -" такая же точка
на дВ+ь. Отображения х-+(х)о, х->(х)-6, х-> (х)+ь
дважды непрерывно дифференцируемы.
Л е м м а 1.4. Пусть граница дВ компактна и дважды
непрерывно дифференцируема. Для любого К > 0 и любого
У > 0 существует бо > 0 такое, что для любого положи-
тельного б ^ бо и любой функции ф*, 0 ^ I ^ Т, Т +
+ ^ог (ф) ^ К) принимающей значения из В [] дВ1 су-

| I) ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 219
ществует функция фь 0 ^ I ^ Г, обладающая следующи-
ми свойствами. Значение фо совпадает с фо, если фо е
е й-ь и д/)_$, и равно (фи)-б в противном случае; то же
выполняется для фг , Фт; и значение функционала 5ог(ф) ^
<(ф) Т
То же справедливо с заменой О на /)+$, а 2)_й на И.
Доказательство. Прежде всего локально
«распрямим» границу, уменьшив, быть может, константу
X и выбрав в окрестностях, задевающих границу, новые
локальные координаты х1, х2, . . ., хТ , в которых дВ ста-
нет гиперплоскостью {х1 = 0}, для точек х в малой ок-
рестности границы снаружи области координата х1 будет
равна р(ж, сШ), а для близких к дВ точек внутри области
хх = — р(#, дЬ). Коэффициенты а^(х), аи(х) в этих систе-
мах координат будут иные, чем в первоначальных стан-
дартных системах КХо, но будут ограничены и непрерыв-
ны равномерно по всем таким системам (с константами и
модулями непрерывности, зависящими от кривизны дБ).
То, что функционал 5(ф) квадратический, для нас сей-
час несущественно; мы будем пользоваться только тем,
что он представляется в виде
5от (Ф) =
где выпуклая вниз функция Ь(х, |3) в каждой локальной
системе координат удовлетворяет условиям II и III тео-
ремы 2.1 гл. 5.
Выберем положительное Я/, не превосходящее Х/2 и
(Ь — константа из леммы 1.1). Пользуясь равносте-
пенной непрерывностью всех рассматриваемых функций
Ф, выберем ко > 0 так, чтобы значения любой из них на
любом отрезке длины не более ко лежали в пределах
А'-окрестности его левого конца. Уменьшим ко так, чтобы
для «ломаной» /, вписанной в ф, с шагом по времени, не
превосходящим До, было 5оТ (/) <^ 5оТ (ф) + у/3 (см. лем-
му 1.3). Положим п = [К/ко] + 1.
Для любой функции ф{, определенной на отрезке дли-
ны Т > ко, возьмем разбиение отрезка от 0 до Т на п
равных частей и рассмотрим соответствующую ломаную

220 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
/*, 0 ^ * ^ 71. В каждой из выбранных локальных систем
координат модуль производной 1% в каждой точке не будет
превосходить Н = пК'/ко. Выберем положительное 6о ^ %/
так, чтобы АЬ(8о) ^ у/(ЗК + 7) (см- условие III теоре-
я т
мы 2.1 гл. 5) и чтобы бо-гс вир тдГ (*» Р) ^Т/3 (см. ус-
ловие II).
Определим для б ^ бо для каждой из рассматриваемых
функций ср^ функцию фй 0 <[ I ^ 71 = Т:
~ \1и если /^ЕЙ-бУ^-в,
~~ 1('<)—б в противном случае.
Эта функция удовлетворяет условиям насчет начальной
и конечной точки; оценим 8оТ (ф). Имеем
С [ (Ф„ Ф<) (Ф„ ,)
6
A.1)
(Выражение 1/(фь 1%) имеет смысл, так как в силу выбора
бо ^ X' <! Х/2 точки ф<? 1г на целом отрезке от 1Т/п до
(/ + 1)Г//2 находятся в окрестности, где действует одна из
выбранных локальных систем координат.)
Значение ф* отличается от 1Х только тогда, когда 1Х на-
ходится в б-полоске вдоль границы, т. е. не более чем на
п отрезочках [1Ь ^+1!^ ЦТ/п, (I + 1)Т/п], причем от-
личны у них только первые координаты. В первом интег-
рале в A.1) участвуют ф^ и 1г; первая из этих производных,
как и вторая, по модулю не превосходит Н (потому что она
или совпадает с 1Х, или отличается от 1Х обращением в нуль
первой координаты). Имеем
(НЦГ/п
7
1Т/
/п
4+1
1

§ 1] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 221
Здесь Р(^) — точка на отрезке, соединяющем ф* и 1Х (при
каждом г, вообще говоря, своя); ф^1 — 1\ не зависит от I и
равно (ц>1,. — //.,. — ф*. + /1.)/(^+1 — М. Вынесем эту
постоянную 8а знак интеграла. Воспользуемся тем,
что -гпг ^ у/3п8о и что 0^ 1\ — ф/ ^ б при всех 1\
получим, что интеграл A.2) не превосходит у/Здг, а первый
интеграл в A.1) не больше чем у/3.
Второй интеграл в A.1) не превосходит
М (б)¦ | A + Ь AиЛ))
О
окончательно:
^ог (Ф) < ^ог (I)
Если же Т <! йо, то р(фо, фг ) ^ V; расстояния от фо
и фт до назначенных точек фо, ф? не превосходит б ^
^ бо ^ V, так что р(фо, фт)^ЗХ/^7/1/. Пользуясь
леммой 1.1, получаем, что эти точки соединяет кривая
Фь 0 < I < Т = р(фо, фт), 507 (ф) < у < 50Г (ф) + у;
эта кривая не выходит за пределы Д_б [] Ю-^.
Это же доказательство сохраняется для кривых ф^ в
у +6 ^у
Из леммы 1.4 вытекает, что Ув (х, у) мало меняется
при замене О на Б+ь с малым б, равномерно по х и г/, ме-
няющимся в пределах какого-либо компакта в В [] дБ\
и также мало меняется при замене В на Д_б, причем если-
точки х или у лежат вне 1)_б у д2)_б, то они заменяются
на (#)_а, соответственно на A/)_в.
С функцией Ув (х, у) связывается отношение эквива-
лентности ту между точками П [] ОБ : х"р у, если К^ (#,
у) = Ув (у, х) =» 0. Это отношение зависит только от ди-
намической системы и не меняется, если заменить матрицу
(а^(х)) на другую, для которой максимальное и минималь-
ное собственное значение изменяются в ограниченное чис-
ло раз. Для В = М вместо х "м у будем писать просто
# ~ у. Ясно, что из х "о у вытекает х ~ у.

222 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМ КПП [ГЛ. 6
Из леммы 1.1 вытекает, что в случае гладкой границы
дВ точки, эквивалентные друг другу, образуют замкнутое
множество.
Лемма 1.5. Пусть х 7Г У, у Ф х. Тогда траек-
тория хг(х) динамической системы хг = Ь(хг), начина-
ющаяся в точке х, лежит в пределах множества точек
ъ ъ* х.
Доказательство. Существует последователь-
ность функций ср(,п), 0 < I < Тп, ф()П) = х, ф(/^ = у, ле-
жащих целиком в В у дВ и таких, что 5огп(ф(п))->-О.
Значения Тп ограничены снизу положительной констан-
той; обозначим ее Т. Для функций ф \п) на отрезке от 0 до
Т значения функционала 8оТ стремятся к 0; поэтому не-
которая подпоследовательность этих функций сходится
равномерно на [0, Г] к функции ф* с 8оТ (<р) = 0, т. е. к
траектории хг(х) динамической системы. Точки хг(х)^
0 ^ I ^ Г, эквивалентны х и у; это вытекает из того, что
Ув (я, фГО и V» (ф(/1K у) не превосходят 5Огп(ф(п))-^ 0 при
п-+- оо.
Далее начинаем с хт (х). Выбираем ту из точек х, г/,
которая дальше от хт (х). Скажем, это будет х; имеем:
р(хт (х), х)^-^ р(х, у). Таким же образом, как и ранее,
и
получаем, что хг(х) идет по множеству точек, эквивалент-
ных х, еще в течение некоторого отрезка времени. Эти
отрезки ограничены снизу какой-то положительной кон-
стантой, и мы последовательно получаем наше утвержде-
ние для всех I > 0. Легко видеть, что оно также верно и
для I < 0.
Любое со-предельное множество, т. е. множество частич-
ных пределов траектории динамической системы при I ->
-^оо, состоит из эквивалентных друг другу точек; это вы-
текает из леммы 1.1. Максимальное множество эквива-
лентных друг другу точек, содержащее какое-то со-предель-
ное множество, может состоять из одного этого множества
или представлять собой сумму конечного или бесконечно-
го числа таких множеств, или содержать еще точки, не
входящие ни в одно со-предельное множество. При этом
вместе с каждой точкой в это множество входит целая
траектория динамической системы.

§ 1] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 223
Приведем примеры. Пусть траектории системы пред-
ставляют собой концентрические окружности (рис. 10).
В этом случае для любых двух точек х, у каких-либо зам-
кнутых траекторий х ~ у. Однако хф у при х Ф у,
в
если область В имеет вид, указанный на чертеже.
На рис. И, если ненарисованные траектории прибли-
жаются к ненарисованным, имеется шесть различных со-
Рис. 10, Рис. И.
предельных множеств: точка 7, точка 2, наружная кривая
(включая точку 1), объединение наружной кривой и сред-
ней, объединение средней и внутренней, внутренняя кри-
вая; их объединение образует максимальное множество
эквивалентных друг другу точек. В случае, когда ненари-
сованные траектории удаляются от нарисованных, мно-
жество эквивалентных друг другу точек остается тем
же, а со-предельных множеств остается всего два —точ-
ки 1 и 2.
Л е м м а 1.6. Пусть все точки компакта К с: Б у дО
эквивалентны друг другу, но не эквивалентны никакой дру-
гой точке из Б [] дВ. Тогда для любых у > 0, б> 0, х,
у е К существуют функция ф^, О^^^Г, фо = х,
Фг — У-» Целиком проходящая в пределах пересечения
Ь [_] дБ с Ь-окрестностью К и такая, что 8оТ (ф) < у.
Доказательство. Соединяем точки х, у крп-
выми ф{*>€=Я1|ЗЯ, 0<^<Гд, 7>^огп (Ф(")) -> 0.
Если бы все кривые ф(^п) выходили за пределы б-окрестно-
сти К, у них существовала бы предельная точка вне этой
б-окрестности, эквивалентная точкам х, у.

224 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
Лемма 1.7. Пусть все точки компакта К эквива-
лентны друг другу и К Ф М. Обозначим через х0 момент
первого выхода процесса Хгь из Ь-окрестности С компакта
К. Утверждается, что для любого у> 0 существует
6> О такое, что при всех достаточно малых е, х е О
М*хт0<еУ*-2. A.3)
Доказательство. Выберем точку 2 вне К
такую, что р B, К) <тг7" /\ ^> гДе ^ и ^ — константы из
леммы 1.1. Положим б = рB, К) 12 и рассмотрим б-окрест-
ность О Ц) К. Обозначим через х' точку К, ближайшую к
точке х (или любую из ближайших точек, если таких точек
много), через у — ближайшую к 2. Согласно лемме 1.2 для
каждой пары точек х', г/е К существует функция ци
О ^ ^ < Т, фо = х', фГ = у, такая, что 50Т(ф) < у/3,
причем Т ограничено какой-то константой, не зависящей
от начальной и конечной точки. Дополняем кривую фг
с начала и с конца отрезочками, ведущими из х в х' и из
у в 2, со значениями функционала 5, не превосходящими
соответственно у/6 и у/3. При этом длина временного ин-
тервала, на котором определена каждая из построенных
функций фй будет ограничена равномерно по х е О не-
которой константой Го, а значение функционала 5 для
каждой из них не будет превосходить 5у/б. Каждую из
этих функций доопределим до конца отрезка [0, Го] как
решение хг = Ъ(хг): при этом значение функционала 5
не возрастет.
Теперь воспользуемся теоремой 3.2 гл. 5: для хеС
Р* [то < То] > Р^ {рог. {Х\ ф) < б] > е-о.эге-з.
Пользуясь марковским свойством, получавхМ, что
Отсюда
со
""^ п=0 ° *

§ 1] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 225
п, жертвуя 0/17 Для того, чтобы избавиться от Го, по-
лучаем требуемую оценку.
Л е м м а 1.8. Пусть К — произвольный компакт,
С — его окрестность. Тогда для любого у > 0 существует
б > 0 такое, что для всех достаточно малых г и х из зам-
кнутой Ь-окрестности § [] д§ компакта К
Хг(Х?)Л>е-^-2. A.4)
Доказательство. Соединяем точку х []
с ближайшей точкой х компакта К кривой <р$ со значени-
ем функционала 5 не более у/3 (это можно сделать при
достаточно малом 6). Продолжаем эту кривую решением
хь = Ъ(хг) до выхода из § у д§, но так, чтобы отрезок ее
определения имел длину не более некоторого Т < оо , не
зависящего от х. Траектория Хгь проходит на расстоянии
не более 6/2 от <рг с вероятностью не менее е~~2уе~2/3
(при малых е); при этом она проводит в ^ до выхода из О
время, ограниченное снизу какой-то константой &>, и ма-
тематическое ожидание A.4) больше чем 10е~2тв~/зф
Докажем теперь лемму, являющуюся обобщением лем-
мы 2.2 гл. 4.
Л е м м а 1.9. Пусть К — компактное подмножество
Л/, не содержащее целиком ни одного ^-предельного мно-
жества. Тогда существуют полоэюительные константы с
и То такие, что при всех достаточно малых г для любого
Т>Т0 и х е= К
Р1{гк> Т}^е-*-2-*(Т-т0I: A.5)
где тк — момент первого выхода X] из К.
Доказательство. Пользуясь непрерывной за-
висимостью решения от начальных условий, легко прове-
рить, что при достаточно малом б замкнутая б-окребтность
#+6 компакта К также не содержит целиком ни одного
^-предельного множества. Для х е К+& обозначаем т(х)
момент первого выхода решения хг(х) из К+ь; т(х) < оо
Для всехх^.К+6. Функция т(х) полунепрерывна сверху,зна-
чит, у нее есть наибольшее значение тах т (х) = Тх < оо.
о
р А.д. Вентцель, М И. Фрейдлин

226 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
Положим Го = Т\ + 1 и рассмотрим все функции срй
определенные при О <С I ^ 7'о и принимающие значения
только в К±.б. Множество таких функций замкнуто в смыс-
ле равномерной сходимости, значит, функционал 80То
достигает на этом множестве минимума /1, который поло-
жителен, так как среди рассматриваемых функций нет тра-
екторий динамической системы.
Далее, пользуясь теоремой 3.2 гл. 5, так же как гри
доказательстве леммы 2.2 гл. 4, получаем: Р*{тк> ^0}^
Г I V
<!ехр (— г (А — у)], Р* [ък>Т] <ехр _ 8—2 1_1_ — 1)х
X (А-у)).
Следствие. Из леммы 1.9 вытекает, что при е,
меньшем некоторого ео, для всех х е К
§ 2. Цепи Маркова, связанные с процессом (X*, Р*х)
В этом параграфе мы будем предполагать, что Б —
область га многообразии М с гладкой границей и с ком-
пактным замыканием. На структуру динамической сис-
темы в В \\ дВ мы наложим следующее ограничение:
А) в области В существует конечное число компактов
Кц К2, • . ., Кг таких, что:
1) для любых двух точек х, у одного компакта выпол-
няется соотношение х 7Г \}\
2) если хеХь ау^ Ки то х Ф У\
в
3) каждое со-предельное множество динамической сис-
темы хг = Ъ(хг), лежащее целиком в В у дВ, входит в
одно из Кг.
Мы видели (§§ 2, 4 гл. 4, § 4 гл. 5), что в случае динами-
ческой системы с одним положением равновесия О (устой-
чивым) для изучения поведения процесса Х\ на больших
отрезках времени при малом е существенна цепь Марко-
ва Ъп на множестве у \] дВ, где 7 — граница малой ок-
рестности О. Мы видели также, что асимптотика переход-
ных вероятностей этой цепи почти не зависит от началь-
ной точки х ^ у, так что цепь Ъп при малых е ведет себя,

ЦЕПИ МАРКОВА, СВЯЗАННЫЕ С ПРОЦЕССОМ 227
как весьма простая марковская цепь с конечным числом
состояний. Асимптотика вероятностей перехода цепи оп-
ределялась величинами Уо = тт {У(О, у) :у е дБ),
тт {У(О, у) : у €Е дБ\ §б{Уъ)У, например, переходная ве-
роятность Р{х, дБ) для х е у лежала при малых е между
ехр {—е-2(Т0 ± 7)}? гДе 7 > 0 мало. Аналогичную кон-
струкцию мы используем и в случае систем, удовлетво-
ряющих условию А.
Введем следующие обозначения:
т(у): Фо е Кь Фге^,
<р, се (Б [} дБ)\ {] К8 при О < г < Т}
(если таких функций ф^нет, полагаем Ув(Кг,К]) = +оо).
Для х, I/ е Ь у 30 полагаем:
У^, ^;) = 1пГ{5с>т (ф) : ф0 = х, фг е ЛГ/,
<р, е (О У 32?) \ У К8 при 0 < * < Г};
ь У) = 1пГ{5оТ(ф) : ф0 е= ЛГ,, фг = г/,
Ц>г€=(Б[) 0Б)\ [} К8 при 0 < I < Г};
(ф) : ф0 = х, фг - у,
уг<={Б\) дБ)\\]к8 при о <г <т).
Наконец,
Эти величины и будут определять асимптотику вероят-
ностей перехода для цепи Маркова, связанной с процес-
сом X?.
Рассмотрим пример. Пусть М = Н2 и траектории
Динамической системы имеют следующий вид (рис. 12).
«Здесь имеется четыре компакта эквивалентных друг другу
точек, содержащих со-предельиые множества,
Ь*

228
ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
Легко видеть, что Ув{Кх, у) = О для всех г/, лежащих
внутри цикла К2 и на нем, в частности, Ув(Кг, К9) = 0;
^х>(#и у) = оо для всех у вне цикла К2, откуда УП(К1У
Кз) = ^1>(#1» #4) = Ув{Кг, дБ) = оо. Совершенно так
же У^ЛГз, ЛГХ) = ^(/^47 ^1) = оо. Далее, значения
1/^(^2, у) конечны и положительны, если только у ф. К2)
Рис. 12.
и т. д. Со структурой траекторий динамической системы,
изображенной на рис. 12, совместима такая матрица
Ь К,):
'0 0 оо оо\
10 9 9]
со 6 0 6 I
\оо О О О/
B.1)
(То, что V» (Кг, КА) равно Ус (ДГ„ А'3), а 7В (ЛГ4, Я2) -
= ^1)(^4._^з). легко доказать.)
Зная V'в (А'г, 7«Г/) для всех *, /, легко найти V0 (Ки
К3) = Ув (х^у) \*=щлек}. А именно, у0 (Кь К,) = Ус {Кг,
К,) А тш [Ус {Кь Ка) +УС (ЛГ„ Я;)] Л^т [Vв (Ки К$1) +
+ Уо (Кн, К$1)+ ?о (Кв„ КД] Л • • • Л '"тт [Ув {Кь
31.32 5/_2
анаяогично выражаются

§ 2] ЦЕПИ МАРКОВА, СВЯЗАННЫЕ С ПРОЦЕССОМ 229
УП{КЬ у)у Ув (х, К}), Ув (х, у). Доказывается это с по-
мощью леммы 1.6. В рассмотренном нами примере Уп (Кг,
А';) образуют следующую матрицу:
B.2)
Пусть р0 — положительное число, меньшее, чем поло-
вина минимального расстояния между компактами К{, К)
и между К\ и дВ; рх — положительное число, меньшее,
чем р0. Обозначим через С множество В [] дВ, из которо-
го выброшены р0-окрестности компактов АГ*, I = 1, . . .,
/; через Г* — границы р0-окрестностей К и через $г —
р^окрестности К\) § = [} 8^ Ввведем случайные моменты
г
времени то=О, ап = 1п! {^тп: Х/еС1,тп =1п1|*^ап—I2
Х*^дц[}дО] и будем рассматривать цепь Маркова 2п =
= Х\п. Начиная с п = 1, 2п принадлежит множеству д$у
и дВ, Что касается моментов оп, то Хг0о может быть лю-
бой точкой из С; все следующие ХгОп до момента выхода
процесса Хгг на дВ принадлежат одной из поверхностей
Г/, а после выхода на границу тп = ап=тп+1 = ап+1 = . . ., и
цепь 2п останавливается.
Оценки для переходных вероятностей цепи 2п дают
следующие две леммы.
Лемма 2.1. Для любого у > 0 можно указать р0 >
1> 0 (которое можно выбрать сколь угодно малым) такое,
что для любого р2, 0 < р2 < р0, найдется, р1? 0 < рг < р2,
такое, что для любого б0, меньшего, чем р0, при доста-
точно малых е для всех х из р2-окрестности Сг компакта Кг
B = 1,..., /) переходные вероятности цепи 2п за один
шаг удовлетворяют неравенствам
К,) + у)} < Р(х,
8-2(^ (Кг, ЛГУ) - у)}; B.3)
у)} <Р(^, дБ) <
-8-2(^(^, дВ) - у)}; B.4)

230
ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
для всех у е дВ
ехр [- е~2 (Ус {Кь у) + у)} < Р (х, дО П <Гво (у)) <
<ехр(-е-2(У1)(^, у)-у)}. B.5)
В частности, если область й совпадает со всем мно-
гообразием М (и оно компактно), то дО = 0, цепь 2п
Рис. 13.
имеет в качестве своего пространства состояний д%, и
из B.3) следует, что Р(х, д§^ при х е д§( находится меж-
ду ехр {-г~\У(Кь Ъ)±у)}.
Сделаем чертеж к этой лемме и к следующей (рис. 13).
Доказательство. Прежде всего, V в (Кг, К]) =
= +оо (соответственно V 1)(КЬ дБ) =-\- оо, Ув (К(, у)~
= +оо) означает, что нет гладкой кривой, соединяющей
А'* с К; в пределах О у дО и не задевающей других ком-
пактов (соответственно, соединяющей К( с дВ или с
данной точкой у на границе). Из этого легко вывести, что
их нельзя соединить и непрерывной кривой, не задеваю-
щей указанных компактов. Из этого вытекает, что при
Ув (Кг, К]) = оо (соответственно Уо (Кг, дБ) = оо,
Ув (К(, у) = оо) переходные вероятности в формуле B.3)
(соответственно B.4), B.5)) равны нулю. Что касается
конечных значений Ув (К-г, К]), Ув(Кг, у), то они огра-
ничены каким-то Уо < оо.
Заметим, что достаточно доказать оценки B.3), B.5); из
B.5) будет вытекать и B.4), так как дВ можно покрыть
конечным числом б0-окрестностей.

^ 2] ЦЕПИ МАРКОВА, СВЯЗАННЫЕ С ПРОЦЕССОМ 231
Выберем положительное р0, мэныиее, чем у/10//,
%/2(Ь и К — константы из леммы 1.1) и треть минимально-
го расстояния между компактами К^ К) и дИ. Пусть
выбрано р.2, 0 < р2 < р0. В силу леммы 1.4 существует
положительное б ^ ро/2 такое, что для всех г, у = 1,. . .
. . ., I и у е дВ
А'„ К,) > Ую (Кь К,) - 0,17,
V» (Кь К,) + 0,17г
Уо-Ь {Кь (У)_6) < Уо (Кг, у) + ОДу.
Выберем для каждой пары компактов К^ К], для кото-
рых Ув (Кг, К]) < оо, функцию ф^ *' *, 0 < г < Т =
= ЦКЬ К;), такую, что щг'К} е Кь ц>т1'К)€вК}, <??г'К}
не задевает [} К3 и не выходит за пределы О_б у
{] дЭ_ь при 0 < I < Т, причем 50т (фК*>к0 < У^ (/\ 4,
А;у) + 0,27-
Далее выберем на границе дВ р2-сеть ух, . . ., ум.
Для каждой пары Аь ук, для которой 7Л (Аь у*) <; оо,
выберем функцию фГ*'У\ 0 < ^ < Т = Т(КЬ У и),
Фо иУк е ЛГ{, Фг1'У/1 = (#&) -б, причем ф^ г'Ул не задевает
II К8, не выходит за пределы Б_6 у дБ_б и
Ог(ф)<1)(^) Ы+,у
Назначим положительное ри меньшее, чем рг, ро/2,
у,),

232 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
Пусть выбрано произвольное положительное б0 ^ р0.
Выведем оценки B.3), B.5).
Выберем положительное б', не превосходящее б, рх,
Ро — р2 и такое, что б'-окрестность отрезочка нормали,
проходящего через любую точку у е дВ, пересекает гра-
ницу в пределах &ьо{у)- Выведем сначала нижние
оценки.
Пусть Уп(К1, К]) < оо. Для произвольного х е Сь
берем, в соответствии с леммой 1.1, кривую, соединяющую
эту точку с точкой х' е Кг, для которой значение функ-
ционала 5 не превосходит 0,1 у; эта кривая не подходит
ближе, чем на расстояние б', к множеству С. Далее,
согласно лемме 1.0, соединяем точку х' кривой, невыхо-
дпщей за пределы Сг, с точкой ф01' '3^К^ со зна-
чением функционала 5 также не более 0,1 у. Составля-
ем эти кривые вместе, дополняем их кривой ф, •%
получаем функцию фе, 0 <1 I ^ Т (ф* и Т зависят от
хеС; и от /), ф0 = х, фг е К], со значением функцио-
нала 5оТ (ф) < Кл A<1, К]) + 0,4у. При / = г опреде-
лим функцию Ц)Ь так, чтобы она соединяла точку х (= Сг
с какой-нибудь точкой х" на расстоянии р0 + б' от ко]м-
пакта К{, а затем с ближайшей точкой К с, при этом
^ог(ф) ^ 0»б7 = Ув {Ки Кг) + 0,67. Длины Т отрезков
определения функций ф^, построенных для всевозможных
компактов Кг, К) и точек х е Сь могут быть ограничены
сверху константой То < оо (леммы 1.1, 1.2). Доопределим
все функции фг на отрезках от Т до То решением хг — Ь(х1)
так, чтобы 5ог0(ф) = $От(ф).
Если траектория Хгг пройдет на расстоянии менее б'
от фг при 0 ^ I ^ То, то она пересечет поверхность Г^ и
достигнет б'-окрестности компакта /^7-, не приблизившись
перед этим ни к одному из других компактов ближе чем на
расстояние р2 + б'; при этомХ^ед^.- Пользуясь тео-
ремой 3.2 гл. 5, получаем при 8, не превосходящих
некоторого е0, зависящего только от у, Уо, То и б':
Х6, Ф) < б'| >
> ехр {- б E0То (ф) + 0,1т) 1 >

§ 2) ЦЕПИ МАРКОВА, СВЯЗАННЫЕ С ПРОЦЕССОМ 233
Нижняя оценка в B.3) получена; перейдем к оценке
B,5). Пусть жеС/, у е д!>, Уп (К^ у) < оо. Выбираем
точку ук лз нашей ро-сети, р(уА, у) < р0; при этом р((уй)-в.
0/)-й) < 2р0. Соединяем точку ю/е 7^ кривой со зна-
чением функционала 5 не более 0,1у; точку х' — с точ-
кой фог' Н е Кг с «затратой» функционала 5 не более
0,1у. Дополняем полученную кривую кривой ф, г'Ук,
при этом мы доходим до точки (г/&)_б, а суммарное
значение функционала *? достигает не более чем Ув (К(,
у) + 0,5у. Затем соединяем точку (г/^)_б с (г/)+б через
0/)-б » увеличив значение функционала 5 не более чем на
0,Зу; наконец, доопределяем все построенные функции до
одного и того же отрезка [О,То] решением хг = Ъ(хг),
так что 50То Ы<Ув(Кьу)+0Яу.
Снова пользуясь теоремой 3.2 гл. 5, получаем ниж-
нюю оценку в B.5).
Теперь получим верхние оценки.
Достаточно получить оценки B.3), B.5) для х е Тг
(это вытекает из строго марковского свойства). В силу
выбора р0 и б' для любой кривой фь 0 <! I <] Г, начинаю-
щейся на 1\, задевающей б'-окрестность д%$ (соответствен-
но (б0 + 6') - окрестность точки у е дИ), не задевающей
компактов К8, в ф I, /, и не выходящей за пределы Д+б у
[] дБ+6, имеем: 5оТ(ф) ^ УВ(К%^ К]) — 0,Зу (соответствен-
но 5оТ (ф) ^ Ув {Ки У) — 0,4у). Пользуясь леммой 1.9,
выбираем такое Тх, чтобы при всех достаточно малых
е > 0 для х е (О ^1 дО)\§ выполнялось Р^ {тх > Тх) ^
Любая траектория X*, начинающаяся в точке ь
и попадающая в момент т2 в множество д%) (соответственно
в дОО^ГбоО/))» либо проводит время Тх, не заде-
вая множества ^ [| Ж, либо в течение времени Тх до-
стигает Ъ%] (соответственно дО (]&бо(у))х и в этом слу-
чае р0Тг (Xе, Фх(Ур (Кь К3) — О,3у)) > б'. (соответствен-
но Рот, {Х\ ФХ(УВ (Ки у) - О74Т)) > б'). Поэтому
Для любого а;еГ|
(Рот, (Xе, Фх {V» (Кп К,) - О.Зу)) > б'}; B.6)

234 возмущения на больших отрезках времени [гл. й
Р* [Хги <=дВЦ #6. (у)} < Р^{Т! > 7\} +
+ Р* [рот, (Xе, Фх (Уо (Кг, у) - 0,4у)) > б'1. B.7)
При малых е первая вероятность в правой части B.6),
B.7) не превосходит ехр {—&~2У0}, вторая, в силу теоре-
мы 3.2 гл. 5, меньше, чем ехр {—г-2(Ув (Агь К]) —
— 0,57)} (соответственно ехр{-—е-^Т^ (К[, у) — 0,5у)}),
независимо от х е IV Отсюда получаем верхние оценки в
B.3), B.5).
Л е м м а 2.2. Для любого у > 0 существует р0 > 0
(которое можно выбрать сколь угодно малым) такое, что
для любого р2,0 < р2 < р0, можно указать такое рх, 0 <С
< р1 < р2> что для любого б0, 0 < б0 <! р0, при достаточно
малых е для всех х вне ^^-окрестностей компактов К\ и
границы дБ переходные вероятности цепи 2п за один шаг
удовлетворяют неравенствам
ехр{-е-2(^ (х, К,) + у)} < Р(х, дё]) <
<ехр{-е-«(^(^^)-Т)}; B.8)
ехр{-е-2(Т^ (х, дИ) + у)} < Р(х, дО) <
< ехр{-е-2(К1) (х, вй) - у)}; B.9)
ехр {- е~2 (?в (х, у) + у)} < Р (х, дО П ^Гб0 (у)) <
< ехр {- г'2 (?в (х, у) - у)}. B.10)
Доказательство. Выберем р0, как при дока-
зательстве предыдущей леммы. Пусть назначено р2,
0 < р2 < р0. Обозначим через Ср2 компакт, состоящий
из точек Ъ {} дИ за вычетом р2-окрестностей компактов
К\ и дВ. Выбираем б, 0 < б ^ ро/2, такое, чтобы для
всех х е СРя, / = 1, . . ., / и у <= дВ

§ 2] ЦЕПИ МАРКОВА, СВЯЗАННЫЕ С ПРОЦЕССОМ 235
Выберем р2-сети хи . . ., хм в Ср, и ух, . . ., у„ на
51). Для каждой пары х^ К], для которой Уп (хг. К;) <
< оо, выберем функцию ф/1' \ 0 ^ I ^ Т = Г(яг, А'у),
ф01 ' = х., фг е Л^-, причем ф, не задевает у #5,
не выходит за пределы О_б \} дВ_ь, и б'огСф"'1' 0<
<Т/1) (^ь ^;) + °'2Т; выберем для каждой пары хи ук,
Ув {хь ук)<оо, функцию ф?|>У\ 0</ < Т =
*= Т (хг ук)ч Фо1>УА = хь Ц)Х/Ук = (уА)-в, не задевающую
у #5, не выходящую из #_б и ^Д_б и такую, что
0I)
Далее назначаем положительное рх, меньшее, чем
р2, ро/2 и половина минимального расстояния построен-
ных кривых от тех компактов, к которым они не должны
подходить; б', удовлетворяющее тем же условиям, что в
доказательстве леммы 2.1, и вдобавок не превосходящее
Рг -~ Р1» и доказательство проводится аналогично.
Лемма 2.2 допускает очень простой частный случаи,
когда компактов Кг совсем нет, т. е. в В \\ дВ нет со-
предельных множеств динамической системы. В этом слу-
чае мы можем сразу получить следующую теорему.
Теорема 2.1. Пусть семейство диффузионных про-
цессов (X*, Р1) удовлетворяет условиям теоремы 3.2
гл. 5; снос Ь(х) удовлетворяет условию Липшица. Пусть
В — область с компактным замыканием и гладкой гра-
ницей; пусть в В у дВ не лежит целиком ни одно из
^-предельных множеств системы хь = Ъ(хг). Тогда асимп-
тотика при г —>- 0 распределения в момент выхода на гра-
ницу для процесса, начинающегося в точке х, описывается
Функцией действия г-2Уп {х, у), у е дВу равномерно по
начальной точке строго внутри В, т. е. равномерно по х
в пределах любого компактного подмножества В и по
У *=дВ
Нт Пт е21пР^ [X* е &ь. 0/I = - Vв (х, у),
в,-»0 8-.0
где хе = 1пГ [(: X]

236 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
В частности, с вероятностью, стремящейся к 1 при
е -> О, выход на границу происходит в малой окрестности
множества точек, в которых траектория хг{х), I ^ О,
задевает границу до выхода из В [] дВ. (Конечно, этот
простой результат можно получить легче.)
Формулировка теоремы 2.1 на языке дифференциаль-
ных уравнений:
Теорема 2.2. Пусть и?(х)—решение задачи Ди-
рихле Ьги*(х) =0 б С, иг(х) = ехр {г-2Р(х)} на дВ,
где в локальных координатах Ьг == \ Ьгг (х) —г + Л- X
|" дхг *
г, Ь™(х)-*Ь1(х) при е-И) равномерно похи
4 ' дхгдх1
локальным системам координат КХо, а Р—непрерывная фун-
кция. Тогда, если в В ^ дВ не лежит целиком ни одно из со-
предельных множгств системы хг = Ъ(хг), то иЕ(х)Ж
X ехр [г~2 тах (Р (у) — Vв (х, у))} при е -> 0, равномерно
по х в пределах любого компактного подмножества В, где
V ту {Х1 У) определяется по коэффициентам Ъ1(х), а^(х)
так, как указано в § 1.
В случае, когда в В у дВ (а именно, в .0) есть со-
предельные множества и выполняется условие А, для
изучения задач, связанных с поведением процесса (Х^, Р^),
нужно сначала изучить предельное поведение цепей
Маркова с экспоненциальной асимптотикой переходных
вероятностей.
§ 3. Леммы о цепях Маркова
Для конечных цепей Маркова инвариантная мера,
распределение в момент первого выхода из множества,
среднее время выхода и т. п. выражаются явно в виде част-
ного некоторых определителей, т. е. сумм произведений,
составленных из переходных вероятностей (так как зна-
чения инвариантной меры и другие интересующие нас
величины положительны, то в эти суммы входят только
слагаемые со знаком плюс). То, какие именно произведе-
ния входят в те или иные суммы, удобно описывать при
помощи графов на множестве состояний цепи.

§ 3] ЛЕММЫ О ЦЕПЯХ МАРКОВА 237
Для цепей на бесконечном фазовом пространстве,
разбитом на конечное число частей, для которых имеют
место верхние и нижние оценки переходных вероятностей
(типа полученных в предыдущем параграфе), мы в этом
параграфе получим оценки значений инвариантной меры,
вероятностей выхода на одно множество раньше, чем на
другое (другие) и т. п. При применении этих результатов
к цепи Ъп с оценками переходных вероятностей, получен-
ными в предыдущем параграфе, в каждой сумме выделит-
ся одно или несколько слагаемых, убывающих медленнее
остальных. При этом константа, задающая скорость убы-
вания суммы произведений, естественно, определится как
минимум сумм констант, задающих скорость убывания
каждой из переходных вероятностей (см. §§ 4, 5).
Пусть Ь — конечное множество, элементы которого
мы будем обозначать буквами г, /, /с, иг, пи т. д.; пусть в
нем выделено подмножество И7. Мы будем называть IV-
графом граф, состоящий из стрелок т-+п (т^Ь\\У1
п ^ Ь, п Ф т), если он удовлетворяет следующим ус-
ловиям:
1) из каждой точки т ^ Ь\№ выходит ровно одна
стрелка;
2) в графе нет замкнутых циклов.
Заметим, что условие 2) можно заменить на условие
2') для любой точки т ^ Ь\\У существует последова-
тельность стрелок, ведущая из нее в какую-то точку
и «= \У.
Множество всех Т^-графов обозначим О(]У)\ для обоз-
начения графов будем употреблять букву #. Если р^
A1 ] еЬ, / Ф г) — какие-то числа, ТТ ртп будем обоз-
начать через я(#).
Л е м м а 3.1. Пусть имеется цепь Маркова с множест-
вом состояний Ь, с вероятностями перехода рц, причем
из любого состояния можно попасть в любое другое за
какое-то конечное число шагов. Тогда стационарное
распределение этой цепи есть Я 2 Х
где
= 2 я(*). C.1)

238 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
Доказательство. Величины (?г положитель-
йы; достаточно доказать, что они удовлетворяют системе
уравнений
так как известно, что стационарное распределение —
единственное с точностью до множителя решение этой
системы. Перенесем в 1-м уравнении 1-е слагаемое в пра-
вой части влево; тогда получим, что требуется проверить
выполнение равенства
11л C.2)
Легко проверить, что при подстановке чисел, опреде-
ляемых формулами C.1), в C.2) в обеих частях будет стоять
сумма я(§) по всем графам #, удовлетворяющим следую-
щим условиям:
1) из каждой точки т е Ь выходит ровно одна стрел-
ка т -> п (п Ф т, п е Ь)\
2) в графе имеется ровно один замкнутый цикл, при-
чем содержащий точку г.
Лемма 3.2. Пусть имеется цепь Маркова на фазо-
вом пространстве X, которое разбито на непересекающиеся
множества Х(, где I пробегает конечное множество Ь.
Пусть имеются неотрицательные числа рц (у=^=г, ^
7 е Ь) и число а > 1 такие, что для вероятностей перехо-
да нашей цепи выполнены неравенства
а-1ри < Р{х, X,) < ари (х е*Хи1ф /).
Пусть из любого состояния х можно рано или поздно по-
пасть в любое из множеств X) (для этого необходимо и
достаточно, чтобы для любого / существовал {/}-граф #
такой, что я(#) > 0). Тогда для любой нормированной
инвариантной меры V этой цепи
а2'21
где I —- число элементов в Ь, а (?г определяются формулой
C.1).

§ 31 ЛЕММЫ О ЦЕПЯХ МАРКОВА 239
Доказательство. Для любой пары ъ, / суще-
ствует число шагов 5 такое, что вероятности перехода за
5 шагов Р(8)(х, Х7) при х е Хь оцениваются снизу поло-
жительной константой. Отсюда вытекает, что все V(X^•) >
> 0. Рассмотрим конечную цепь Маркова с вероятностя-
ми перехода ри = ¦ \ V {их) Р (х, Х7-). Стационарным
Л. ;
распределением этой цепи является {\{Хг), I е Ь}, и оно
оценивается при помощи выражения, которое дается для
него леммой 3.1.
Теперь сформулируем утверждение, которое мы будем
использовать при изучении выхода на границу.
Для г е //ХИ7, / е И7 через ОиAУ) будем обозначать
множество всех И^графов, в которых последовательность
стрелок, ведущая из I в И7 (см. условие 2')), кончается в
точке /.
Л е м м а 3.3. Пусть имеется цепь Маркова на фазовом
пространстве X = у Хь Хг (] Xу = 0'(}Ф /), причем пе-
реходные вероятности этой цепи удовлетворяют нера-
венствам
а-*Ри < />(*, Х7.) < ари (х *=Хи1Ф 0, C.3)
где а — какое-то число, большее единицы. Для х е X,
Бс у Хк обозначим через д^(#» В) вероятность то-
кЕ\У
го, что в первый момент достижения множества [} Хк
частица, совершающая случайное блуждание в соответст-
вии с нашей цепью, попадет в множество В, если она выхо-
дит из точки х.
Утверждается, что если число точек в Ь\\У равно г,
то
V
C.4)
если только знаменатель положителен.

240 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ в
Доказательство будем вести индукцией по г.
При г = 1 множество IV = Ь\{г}. Пользуясь марковским
свойством, получаем для х е Хг
хг
Обозначим через А^ нижнюю грань по х е Хг вероят-
ности Р(х,Х;); "Вг= Ы Р{х, Хг); через Аи, Вг
обозначим соответствующие верхние грани. По предполо-
жению 2 Ль ^ ^» эт0 значпт» чт0 ^ь ^г < !• Имеем
, X,)
т. е.
Но, по предположению, а-гр^ ^ Л ^ ^ ^4^-^ арц%, 1 ~5^ ^
^= зир Р (лг, У Хк) ^ а 2 Р|й,. аналогично 1 — В| ^
1^ Р^« Отсюда получаем, что C.4) выполнено даже
кфг
с а2 вместо а4.
Пусть теперь C.4) верно для всех \У таких, что
\ТУ содержит г элементов, всех I е Ь\\У и всех ] е= И7.
Докажем неравенства C.4) для множества IV такого, что
в Ь\\У имеется г + 1 точка. Пусть I е Ь\\У, / е \У;
положим Р = \] Хк. Мы можем сразу после выхода из
\
кфг
множества Хг попасть в X/, можем сначала попасть в
множество Р, а потом уже в Х;\ можем сначала попасть в
Р, потом вернуться в Хг, а затем, не заходя в Р, попасть в
множество X] и т. д. В соответствии с этим, пользуясь

Леммы о цёпйх Мар&оёа 241
строго марковским свойством, получаем
дуу (х, Х;) = дЬ\Ш (хх Х3) + ) дь\{|} {хх <1 у) д^
р
) 9^иш (I/, Лх^ дЬ\{г} {хъ
Р Х^
Г Г Г
Р Хг Р
Г Г
V г х{
Г Г
Введем обозначения:
а через С^, !),•;, .Ё1^ обозначим соответствующие верхние
грани (так же, как и Вь, Е1 < 1). Пользуясь этими обозна-
чениями, мы можем написать
ОиЕ. + С_аЕ] + ОиЕ{ + ... <
< Як (*, Х3) <
< Си + Ъц + Си'Ёг + ^г Д + С^Щ + ^ Д? +
т. е.
Дальше, чтобы сделать формулы вдвое менее громозд-
кими, мы будем рассматривать только верхнюю оценку.

242 возмущения на больших отрезках времени [гл. 6
Так как C.4) доказано при г = 1, то Са < а4 ^ и
предположению индукции,
«<*>
2
кфг
Здесь Н^ — это сумма произведений я(§) по графам из
6н(№), в которых стрелка, выходящая из г, не ведет сра-
зу в /, а Кг — сумма таких же произведений по всем
(ТУ у {г})-графам. Отсюда
где в числителе стоит сумма я(#) уже по всем графам из
6и(Ш).
Теперь оценим знаменатель 1 — Еь. Из условия необ-
ращения в нуль знаменателя в C.4) вытекает, что, исходя
из любой точки, цепь с вероятностью 1 рано или поздно
достигнет множества у Хк, тем более 0 Хк. Поэтому
л\7
- Ег - ш1 A - [ 9г.ч^} (аг, йу) х
2
Первое слагаемое не меньше чем а 4 ^р ; второе —

ЛЕММЫ О ЦЕПЯХ МАРКОВА 243
чем
= а-4-4Г.
Здесь Ь| — это сумма произведений я(#) по всем графам
из С(И0, в которых стрелка, выходящая из введет в точ-
ку из Ь \№'. Приводя оценки для первого и для второ-
го слагаемых к общему знаменателю, получаем, что
- Ег
В числителе здесь стоит сумма я(#) по всем графам §
е 6(№). Окончательно получаем, что
с а +3' < а8+2'4Г р1)К1 + ни < а4>-+1 Рцкг + ни
1Е ^ 2^ + ^^
2
что дает верхнюю оценку в C.4). Проводя аналогичные
Г1 -Л- Г)
выкладки для ~г/ д1*, мы получаем, что C.4) дока-
зано для случая, когда число элементов в множестве
^\ТУ равно г + 1.
Лемма доказана.
Лемма 3.4. Пусть имеется цепь Маркова на фазо-
вом пространстве X = [} Хи Хг [) X) = 0 (I ф ])
с оценками C.3) для вероятностей перехода. Обозначим
через туу(х) математическое ожидание числа шагов до
первого достижения множества [} Хк1 вычисленное
в предположении, что начальное состояние есть х. Если
число точек в Ь\\У равно г, то для х е Хи I е ^\И^,

244 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
имеем
аГ"г
2 п(е)+ 2 2 я(е)
т *ь\3ф1оф
" ( ]
При ^\Т-Г, состоящем из одной точки г, в сумме в чис-
лителе участвует ровно один граф — пустой; произведе-
ние я(#), естественно, полагается равным 1. При 1/\ТУ,
состоящем более чем из одной точки, графы, по которым
берется сумма в числителе, можно описать так: это гра-
фы без циклов из (г — 1) стрелок т-> п, ^е ^ХИ7,
п е Ь, т ф п, не содержащие цепочки стрелок, ведущей
из I в множество IV. Будем обозначать множество таких
графов СA ¦/> Щ.
Доказательство снова будем вести по ин-
дукции. Пусть сначала г = 1, т. е. речь идет о первом вы-
ходе из множества Хг. Наименьшее число шагов до выхо-
да равно 1; к нему добавляется еще 1, если на первом ша-
гу мы опять попали в Хг; еще единица, если то же случи-
лось и на втором шагу, и т. д. Пользуясь марковским
свойством, получаем
(х) = тЬ\{{}(х) = 1 + Р(х, Хь)+ (* Р(х, йхх)Р(хи Хй) +
+ [ Р (х, их,) \ Р (хь с1х2) Р (х2, Хг) + ..,
1 1
Это выражение лежит между \ — в~ и __ъ * гДе ВЬ1
Вь введены при доказательстве леммы 3.3. Из оценок для
1 — ВЬ1 1 — Вг получаем C.5) для г = 1.
Пусть теперь C.5) верно для всех г-элементных мно-
жеств ЦИ7 и всех г е Ь\№; докажем эти неравенства для
Ь\\У из г + 1 точки. Положим, как при доказательстве

§ 31 ЛЕММЫ О ЦЕПЯХ МАРКОВА 245
леммы 3.3, Р = {] Хк. Момент первого достижения
множества {] Хк равен, самое меньшее, первому
к<=\У
моменту выхода из Хг; если в этот момент мы попадаем в
множество Р, то сюда прибавляется еще время, проведен-
ное в Р; если после выхода из Р мы попадаем опять в Х(,
добавляется еще время, проведенное в Х| на этот раз,
и т. д. Пользуясь строго марковским свойством, мы можем
записать это через функции т^^ц (х), иг^и<г} {%) и меры
( ) ( )
{} (х) + ] дьчш (ху йу) т^Ш) (у) +
р
(я, йу) \ джин) {У, йхг) тЬ\{{} (хг) +
хг
4- (^\{г}(^, &У\) \ дичлоО/ъ йхг) )^^\{^)(x1, Ду2) х
х р
X т\Уи{1}(у2) + |дь\{г}(^ Луг) \ Ч\у\Лг){Уъ йхх) X
X | ?ь\{|} (^1, йУг) ) Знало (Уг, йх2) тЬ\{{} {х2) + ...
р х{
Введем обозначения:
Мг =
дте = 1п1 Г дЬЧ{г} (хх йу) т^иш (у),
Мь, N1 — соответствующие супремумы. Пользуясь эти-
ми обозначениями и уже введенными Е(, Ег, получаем,
что при х е Хг
Знаменатели в этой формуле мы уже оценили при дока-
зательстве предыдущей леммы; и мы уже доказали, что

246 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ б
Мь, Мь находятся между а Чтобы оценить Ыь
— Ъфх
Л^, пользуемся оценками для дь\ц\(х, Хк) и справедли-
выми, по предположению индукции, оценками игиал^О/)
для у е Xк. Получаем, что Мг1 N^ заключены между
где К.1 имеет тот же смысл, что при доказательстве преды-
дущей леммы, (^м — это сумма произведений п(§) по гра-
фам из б^И7 у {1} [] {к}), а Я1к — сумма таких же про-
изведений по всем графам без циклов из (г — 1) стрелок
т->п, те Ь\\У,тф1, п^ Ь,пфт, в которых цепочка
стрелок, начинающаяся в точке к, не ведет в IV, Приводя
дроби к одному знаменателю и делая нужные сокращения,
получаем, что т^у(х) при х ^ Хь находится между
**+ 2 **<?»*
к<ЕЬ\\У
+1йМ кфг (д
Ь
(обозначение Ьг введено при доказательстве леммы 3.3).
Здесь в числителе стоит сумма произведений я(§), которая
и должна стоять в числителе формулы C.5): а именно,
К( — сумма я(§) по (IV у {г'})-графам, второе слагае-
мое — по графам без циклов из (г — 1) стрелки т —>¦ п,
т е Ь\УУ', п е И7, п Ф т, в которых из Ь ведет стрелка
г —> /с, к ф И7, а из к уже не ведет никакая стрелка;
а третье слагаемое — сумма л($) по таким же графам,
в которых из г начинается цепочка более чем из одной
стрелки, кончающаяся не элементом множества IV. Это,
вместе с уже вычисленным знаменателем, дает нам утверж-
дение леммы.
Чтобы не запутаться с пустым графом, нам нужно от-
дельно рассмотреть переход от г, равного 1, к 2. В этом
случае множество//\ И7 состоит из двух элементов I и к;

§ 4] ЗАДАЧА ОБ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЕ 247
Кг = Ръ1 + 2 РкЬ (?/* "Ь "*л =1- В числителе C.6) стоит
Рм« + 2 Рк] + Ргк> так чт0 утверждение леммы остает-
ся верным и в этом случае.
§ 4. Задача об инвариантной мере
Здесь при помощи результатов двух предыдущих па-
раграфов мы решим задачу о грубой асимптотике инвари-
антной меры диффузионного процесса с малой диффузией
на компактном многообразии. При этом мы будем поль-
зоваться следующей формулой, выражающей с точностью
до множителя инвариантную меру |Л8 диффузионного
процесса (X®, Р*) через инвариантную меру V2 цепи 2п
на д§ (напоминаем, что В = Л/, дО = 0):
Vе (В) = \\*(<1у)М1\хв{Х1)сН D,1)
Ь§ о
(см. X а с ь м и н с к и й [1 ]). Ясно, что для нахождения
асимптотики сумм произведений я(#), составленных из
чисел ехр{—г~2У(Кь К})}, существенны величины
2 У(Кгп,Кп) D.2)
)
(здесь У(Кт, Кп) = Ум(Кт, Кп) — нижняя грань зна-
чений нормированного функционала действия на кривых,
соединяющих т-й компакт с 71-и и не задевающих прочих
компактов).
Лемма 4.1. Минимум D.2) можно записать также
в виде
IV (К ,)= тпи! 2 У(Кт,Кп). D.3)
Доказательство. Ясно, что минимум в D.3)
не больше, чем в D.2) (потому что неравенство выполня-
ется для соответствующих друг другу сумм); остается до-
казать противоположное неравенство. Пусть минимум
в D.3) достигается на графе §.

248 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. д
Если т -> п — стрелка из графа #, и У(Кт1 Кп) =
= У(Кт, Кп), оставим стрелку т-* п как она есть; если
же ЩКт, Кп) = У(Кт, Ки) +. ..+ ?(*,„ Кп) (см. § 2),
заменим ее стрелками т-> 11У . . ., 18 ->¦ я. При этом сум-
ма не изменится, но {г}-граф перестанет быть {2}-графом.
Прежде всего, может оказаться, что I совпадает с одной из
промежуточных точек I], )' = 1, . . ., 5, и в новом графе
есть стрелка г -> г]-+1 или I -> п\ в этом случае выбросим ее.
Далее, в графе может оказаться цикл, содержащий точку
п: п -*- I] -> 1у+1 ->. . .->18 -> п. В графе § этого цикла не
было, значит, из одной из точек ^^1 1у+1,- . . ., 18 исходила
стрелка, ведущая в какую-то другую точку; в этом случае
разомкнем цикл, выбросив новую стрелку (}] -> 1з+11
или 1з+1-+г]\2, . . ., или 28 -> п). Наконец, могут еще быть
точки 17-, из которых все еще исходит по две стрелки. Вы-
бросим в этом случае старые стрелки; при этом сумма не
увеличится, а построенный граф будет {^-графом. Пере-
бирая таким образом все стрелки, приходим к графу %%
для которого
2 У(кт,кп).
Теорема 4.1. Пусть для системы хх = Ь{хг) на
компактном многообразии М выполняется условие А
(см. § 2). Пусть [л8 — нормированная инвариантная мера
диффузионного процесса (X8, Р^), причем для семейства
этих процессов выполнены условия теоремы 3.2 гл. 5. Тогда
для любого у> 0 существует рх > 0 (которое можно вы-
брать сколь угодно малым) такое, что мера \1г от рх-
окрестности §г компакта Кг при достаточно малых
е заключена в пределах ехр{—г-2(\У(Кг) — тт \У(Кг) ±
± 7)}» г®е ^(Кь) ~" константы, определяемые формулами
D.2) или D.3).
Доказательство. Выберем в соответствии
с леммами 2.1, 1.7, 1.8 малые положительные рх < р2 < р0
такие, чтобы оценки B.3), A.3), A.4) выполнялись при
малых е с заменой у на у/41. В силу леммы 3.2 значения
нормированной инвариантной меры V8 цепи 2п лежат
в пределах
± Ц^ V)}-

§ 4] ЗАДАЧА ОБ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЕ 2й9
Для оценки |ле (#г) воспользуемся формулой D.1):
= I Vе
При малых 8 это не превосходит ехр(— 8( IV (Кг) —
2/ 1 М ( (
— т'т\У (К{) -ц—V и не менее,чем ехр — в—21
— шшИ7 (Кь) + " "Г у) . Сумма этих значений не меньше
г ^ I)
чем ехр! — 8~~2"~ у 1, отсюда (.Iе (Л/)^ехр I — 8~2 ~
Чтобы оценить \хв (М) сверху, воспользуемся опять фор-
мулой D.1):
|ге (Л/) = Г Vе(Йу)М^т1 =
= Г Vе (Йу) ГМЯ + МгуМ" тЛ < зир М>0 + зир М^.
^ [ хо0 \ у^д§ хес
Первое среднее не превосходит ехр |е~~2 ~-1 в силу A.3),
второе не больше какой-то константы в силу следствия из
леммы 1.9.
Подвергая меру |яе нормировке делением на ц,8 (Л/),
получаем утверждение теоремы.
Если поле Ь(х) потенциально, т. е. пред ставимо в виде
Ъ(х) = —у [^(х), где у — оператор взятия градиента
в метрике из2 = Иа^{х)йх{йх\ то можно выписать явную
формулу для плотности инвариантной меры: тг (х) =
= Сг ехр {— 2&1/(х)}, где Се — нормирующий множи-
тель. Это проверяется подстановкой в прямое уравнение
Колмогорова; в случае единичной матрицы (аи) см. фор-
мулу D.14) гл. 4. Это представление инвариантной меры
сводит изучение предельного поведения инвариантной
меры к асимптотическому исследованию интеграла лап-
ласовского типа (см. Колмогоров [1 ]). Теорема
4.1 дает возможность изучить предельное доведение цн-

250 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. б
вариантной меры в непотенциальном случае, когда нельзя
использовать явный вид решения уравнения Колмогоро-
ва; но результаты этой теоремы, конечно, имеют меньшую'
точность.
Из теоремы 4.1 вытекает, в частности, что мера \хг при
е -> 0 сосредоточивается в малой окрестности объединения
компактов Кь для которых достигается пин IV (К(). Этот
г
результат был получен в статьях В е н т ц е л и, Ф р е й д-
лина [2], [4]. В некоторых случаях удается указать
характер предельного поведения меры ц,8 более точно.
Теорема 4.2. Пусть выполнены условия предыду-
щей теоремы; пусть гшп И^(А^) достигается на единствен-
ном К\й, и существует только одна нормированная ин-
вариантная мера (х0 динамической системы хь = Ъ(хг),
сосредоточенная па К{й. Тогда мера |х8 слабо сходится
к [10 при е -* 0.
Доказательство стандартное; из фактов, свя-
занных снашим конкретным семейством процессов(Х^, Р*.),
используется то, что М^/(Х^) ->/ (хь (х)) равномерно но х
при е -> 0 для любой непрерывной функции / (следствие
теоремы 1.2 гл. 2).
Результаты о предельном поведении меры |а8 в случае,
когда на компакте К{0 сосредоточена не одна инвариант-
ная мера невозмущенной динамической системы, получе-
ны в двух различных ситуациях. Пусть К{й — гладкое
подмногообразие М.
В статье Ю. И. Кифера [2] рассмотрен случай,
когда динамическая система на К1о является транзитивной
У-системой. (Класс У-систем характеризуется тем, что
касательное расслоение представляется в виде суммы трех
инвариантных расслоений, причем в первом из них каса-
тельные векторы при переносе вдоль траекторий системы
подвергаются экспоненциальному растяжению, во вто-
ром — экспоненциальному сжатию, а третье расслоение —
одномерное, порожденное в каждой точке вектором из но-
ля Ь(х). Эти системы образуют достаточно обширное мно-
жество в пространстве всех динамических систем.) Этот
случай близок к случаю единственной инвариантной меры.
Дело в том, что для У-систем среди бесконечного множест-
ва нормированных инвариантных мер выделяется одна*

§ 4] ЗАДАЧА ОБ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЕ 251
ц^, определенным образом связанная со структурой глад-
кости на рассматриваемом многообразии; она обладает
тем свойством, что относительно нее для гладких функций
выполняется условие экспоненциально быстрого переме-
шивания:
~ | Ф1 И И* №) | Ф-2
гДе II II1"" норма в пространстве СA) один раз непрерыв-
но дифференцируемых функций. Мера щ появляется
в различных предельных задачах для динамической си-
стемы, связанных с гладкостью; она оказывается и пре-
дельной для инвариантных мер [Xе возмущенной системы,
независимо от конкретных характеристик возмущений.
Второй класс рассмотренных примеров относится к слу-
чаю, когда многообразие Кг0 расслаивается на инвари-
антные многообразия, на каждом из которых инвариант-
ная мера невозмущенной системы единственна. Здесь
предельное поведение меры [л,3 зависит от устройства поля
Ь(х) вне Кг0 и конкретного вида возмущений; оно может
быть найдено, если выделить в процессе Хгг «быстрое*
и «медленное» движение и воспользоваться техникой,
связанной с принципом усреднения (см. § 9 гл. 7). В работе
Р. 3. X а с ь м и н с к о г о [3 ] предел меры |л8 найден
для одного частного случая: Ки совпадает со всем много-
образием Л/, и это — двумерный тор; система имеет в ес-
тественных координатах вид х1=Ь1(хI х\ = уЬ1 (х),
Ьг(х) > 0. В случае иррационального у инвариантная ме-
ра динамической системы единственна: она задается плот-
ностью С-Ь1(х)-1. В случае рационального 7 Т0Р рассла-
ивается на инвариантные окружности со своей инвариант-
ной мерой на каждой. Плотность предельной меры выписы-
вается; и она, вообще говоря, не совпадает с С*Ь1(х)-1.
Введем одно определение, помогающее понять харак-
тер распределения меры |лБ между окрестностями компак-
тов К(. Множество N СИ М будем называть устойчивым^
если для любых х г Ых у ф. N выполняется У(хх у) > 0,

252 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
Свойство устойчивости, как и эквивалентности точек,
зависит только от структуры системы хх = Ь(хг). Пример,
изображенный на рис. И, показывает, что может суще-
ствовать устойчивое компактное множество, не содержащее
ни одного устойчивого со-предельного множества
(т. е. такого, что любая траектория динамической системы,
начинающаяся вблизи от этого множества, не выходит за
пределы его малой окрестности). В примере рис. 12 ус-
тойчивыми являются компакты К2 и КА; а Кг, К3 неустой-
чивы.
Лемма 4.2. Если компакт Кг неустойчив, то суще-
ствует устойчивый компакт К$ такой, что У{Кг, К]) =
= 0.
Доказательство. Существует х ф Кг,
У(Кг, х) = 0. Выпускаем из точки х траекторию хг(х),
г^О. Она приводит к своему со-предельному множеству,
содержащемуся в одном из компактов К]\ при этом У(Кг,
К]) = У(х, К]) = 0. Компакт К] не совпадает с Кг,
иначе х нужно было бы включить в Кх\ если он не-
устойчив, переходим таким же образом от него к следу-
ющему компакту, и т. д. В конце концов мы приходим
к устойчивому компакту.
Лемма 4.3. а) Среди {1у графов, на которых дости-
гается минимум D.3), есть такой, в котором из каждого
номера т неустойчивого компакта, тф X, исходит стрел-
ка т-+ ) с У{Кт, К]) = 0, и компакт К^ устойчив.
б) Для устойчивого компакта Кг значение^'{Кд можно
вычислять по формуле D.3), рассматривая графы на мно-
жестве номеров только устойчивых компактов.
в) Если К) — неустойчивый компакт, то
ЩКз) = тт[ЩКг) + У{КЬ К^]х D.4)
где минимум берется по всем устойчивым компактам Кг.
Доказательство, а) Для {I}— графа, на кото-
ром достигается минимум D.3), рассмотрим все т, для
которых утверждение а) не выполнено. Среди них есть
такие, в которые не входит ни одна стрелка из номера
неустойчивого компакта.
Если вшне ведет никакая стрелка, заменяем стрелку
т-+п стрелкой т -> / с У(Кт, К}) = 0. При этом {(}-

§ 4] ЗАДАЧА ОБ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЙ 253
граф остается {2}-графом, а сумма значений Ух соответ-
ствующих стрелочкам, уменьшается.
Если в т ведут стрелки $х ->• т, . . .-, $* -> т, причем
компакты К$1,..., Кц устойчивы, также заменяем стрел-
ку т -*¦ п стрелкой т -> /, У(Кт, К^ = 0. Если при этом
не образовался цикл, то получаем {2}-граф с меньшим
значением суммы. Однако может образоваться цикл
т ->• ] ->. . .->¦ $А ->- т. Тогда заменяем стрелку 8к-*- т
стрелкой 5А -> /г; при этом V (Кт, К}) + V (АГ8А? Кп) =
= У{КШкчКъ)<>У(К.кЧКм)+У(Ктч Кп\ так что сум-
ма значений V по стрелкам не увеличивается.
Повторяя эту операцию, избавляемся от всех «плохих»
стрелок.
б) То, что минимум по {/}-графам на множестве номе-
ров устойчивых компактов не больше прежнего миниму-
ма, вытекает из пункта а); противоположное неравен-
ство — из того, что любой {^}-граф на множестве номеров
устойчивых компактов дополняется стрелками с нулевым
значением V, исходящими из номеров неустойчивых ком-
пактов, до {г}-графа на всем множестве {1, ...,/}.
в) Для любого г ф / имеем: ^{К}) < ЩКг) +
+ У{Ки К^). Действительно, в правой части стоит минимум
2 У {Кгт %п) по графам, в которых из каждой точки
(гп->п)&8
исходит ровно одна стрелка, и имеется ровно один цикл
г -> / -^. . .-> I. Удаляя из такого графа стрелку, исходя-
щую из ;, мы, не увеличивая суммы, получаем {/}-граф.
Если К] — неустойчивый компакт, выбираем устой-
чивый компакт К8 такой, что У{К^ К8) = 0, и граф #,
на котором достигается тт 2 У(Кт, Кп) и в котором
из номеров неустойчивых компактов исходят только стрел-
ки с У(Кт, Кп) = 0. Добавляем в этот граф стрелку
7 -^ 5; образуется цикл / -> 5 ->-. . .-> /. Выбираем
в этом цикле последний перед / номер г устойчивого
компакта; исходящей из него стрелке I -> к (к может быть
равно /) соответствует У(КЬ Кк) = У{Кг, К]). Выбрасы-
ваем эту стрелку и получаем {г}-граф %', для которого
2 V {Кт, Кп) = \У (КА - V (Ки К]). Отсюда вытекает
ЩК}) > тт [ЩКг) + У(Кг, К))\ по всем устойчивым
компактам Кг.

254 возмущений на больших отрезках времени [гл. б
Из D.4) вытекает, между прочим, то, что минимум
\У(К{) может достигаться только на устойчивых ком-
пактах.
Рассмотрим пример — динамическую систему на сфе-
ре, траектории которой, изображенные на плоскости,
имеют вид, представленный на рис. 12. Разумеется, у си-
стемы должна быть еще одна особая точка, не входящая
в изображение, причем неустойчивая; и нужно ввести ком-
пакт Кь, состоящий из этой точки. Если значения
Т [Кг, К]), 1 <; I, / <! 4, задаются матрицей B.1), то зна-
чения \У(КЬ) для устойчивых компактов суть IV (К 2) =
= 6, Щ^3) = 9. Получаем, что при е ->- О инвариантная
мера \1г сосредоточивается в малой окрестности предель-
ного цикла К2 и слабо сходится к единственной инвари-
антной мере системы хг = Ъ(хг), сосредоточенной на нем
(она задается плотностью относительно длины дуги, об-
ратно пропорциональной длине вектора Ь(х)).
Теорема 4.3. Положим для х е М
Щх) = тт[ЩК() + У(Кг, х)]г D.5)
где минимум можно брать либо по всем компактам, либо
только по устойчивым. Пусть у — произвольное положи-
тельное число. Тогда для любой достаточно малой окрест-
ности <^р (х) точки х существует е0 > 0 такое, что при
е ^ е0 имеем ехр [~~ 8~2/И7 (х) — ипп \У (Кг) +
IV (х) - тт\У (К г) - у\).
Доказательство. Для точки х, не принадле-
жащей ни одному из компактов Кг, пользуемся следую-
щим приемом: присоединяем к компактам К±, . . ., К1 еще
один компакт {х}. Полученная система непересекающихся
компактов продолжает удовлетворять условию А § 2,
и мы можем воспользоваться теоремой 4.1. Компакт {х}
неустойчив, поэтому минимум значений \У достигается
не на нем, и значение ^({х}) можно найти по форму-
ле D.5).
Для точки х, принадлежащей какому-то из Кг, \У(х) =*
= \У(К(). Значение \хг (^Гр (х)) оценивается сверху |ле (^^J
а оценка снизу получается при помощи леммы 1.8.

§ 4]
ЗАДАЧА ОБ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЕ
255
Теорема 4.3 означает, что асимптотика инвариант-
ной меры [г8 при е -> О задается функцией действия
Т1 ^ " г '
Рассмотрим одномерный пример, в котором можно
все сосчитать до конца. Пусть многообразие М — отре-
зок от 0 до 6, замкнутый в окружность. Пусть на нем рас-
сматривается семейство диффузионных процессов с инфи-
нитезимальными операторами Ъ(х) —^ \- -|г-^, где Ъ(х)=
= — 11'{х), а график функции V\х) изображен на рис. 14.
Эта функция имеет локальные экстремумы в точ-
ках 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и ее значения в них равны соответ-
ственно 7, 1, 5, 0, 10, 2, 11. (Это — не случай потенциаль-
ного поля Ъ(х), рассмотренный в § 3 гл. 4, так как функция
II не непрерывна на окружности М.) Здесь имеется шесть
компактов, содержащих со-предельные множества х1 =
= Ь(хг) — это точки 0 (она же 6), 1, 2, 3, 4 и 5; точки 1,
3, 5 устойчивы.
Значения 7A, х) при 0 ^ х ^ 2 находим, решая зада-
чу Нг для уравнения Ь(х)У'х A, х) + Ч2{У'Х{\, х)J = 0;
получаем 7A, х) = 2[Щх) — 11AI Аналогично 7C, х) =
= 2Ш(х) - ИC)] при 2<х<4, 7E, х) = 2[Щх) -
•— ЩЪ) ] при 4 ^ х ^ 6 (во всех трех случаях отдельно
троверяется, что для кривых, ведущих в точку х путем,
опличным от кратчайшего, значение функционала больше).
Далее находим 7A, 3) = 7A, 2) = 8, 7A2 5) = 7A, 0) =

256
ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
= 12, 7C, 1) = 7C, 2) = 10, 7C, 5) = 7C, 4) = 20,
7E, 1) = 7E, 0) = 7E, 6) = 18, 7E, 3) = 7E, 4) = 16.
На множестве {1, 3, 5} рассматриваем {*}-графы,
выбираем из них те, что минимизируют суммы D.3). Для
I = 1 это оказывается граф 5 -> 3, 3 —>¦ 1, значит, IV[\) =
= 26; для I = 3 минимизирует сумму граф 1 -> 3, 5 -> 3^
24 + 2С/(о:) при
B4 + 21] (х)) Д 38 при 3 < х < 4,
18 + 2G {х) при 4 < х <5,
Л 38 при
и 17C) = 24; значение 17E) = 22 достигается на графе
3 -> 1, 1 ->- 5. Функция \У{х) выражается следующим
образом:
IV (х) =
Вычитая из этой функции ее минимум Т7E) = 22, получа-
ем нормированную функцию действия для инвариантной
меры [Iе при е -> 0; ее график представлен на рис. 15
(напомним, что нормирующий коэффициент здесь есть
е-2).
У читателя может возникнуть гипотеза, что при г -> 0
инвариантная мера одномерного диффузионного процесса
с малой диффузией сосредоточивается на дне потенциаль-
ной ямы с наиболее высокими стенками; эта гипотеза
неверна.

§ 5] ЗАДАЧА О ВЫХОДЕ ИЗ ОБЛАСТИ 257
§ 5. Задача о выходе из области
В этом параграфе мы уже не будем предполагать мно-
гообразие М компактным; мы будем предполагать, что на
нем задана область О с гладкой границей и компактным
замыканием, и выполняется условие А § 2.
Рассмотрим графы на множестве символов {Ки . . .
. . ., Кь, х, у, дЕ>}. Положим для х е О, у е дВ
V ?л(а,Р). E.1)
(Напоминаем, что ОхУ{у, дБ) — множество всех графов,
состоящих из (/ -)- 1) стрелок, выходящих из точек К1, . . .
. . ., Кп х, таких, что для каждой из этих точек существует
цепочка стрелок, ведущая из нее в у или в дБ, причем для
начальной точки х эта цепочка стрелок ведет в у.)
Л е м м а 5.1. Минимум E.1) можно записать также
в виде
\Уо(х,у)=тт 2 V» (а, Р). E.2)
Минимальное значение \Ув(х, у) по всем у е дО не
зависит от х и равно
\Уй - гшп 2 V» (а, Р), E.3)
где либо рассматриваются {дИ }-графы на множестве
{К^ . . ., Кп дО}, либо из этого множества выбрасыва-
ются символы Кь обозначающие неустойчивые компакты.
Минимумы E.1), E.2) можно переписать также в виде
о (*, У) - [Уи (х, у) 4- IVо] А тш [Vо (х, К,) +
+ Ко (Кх, у)\ = [Уо (х, у) + \УО] Л т!п [Vв (х, Кх) +
г
+ Мо {К1 у)], E.4)
где \Ув(К-г, у) определяется как один из следующих мини-
мумовд в которых участвуют графы на множестве {К1х . . .
** А. Д. Вентц^ль. М И. Фрейдлин

258 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
...» Ки у,дБ}:
МсР) =
и (а, р). E.5)
В формуле E.3) Ур(а, р) можно также заменить на
У(а, E) (здесь а = #1? . . ., Кь, а р — один из этих симво-
лов или дВ).
Дока зательство аналогично доказательству
лемм 4.1, 4.3. Лемма 4.2 заменяется доказываемой так же
следующей леммой:
Лемма 5.2. Если а есть неустойчивый компакт Кь
или точка х е /)\ II К^ то или существует устойчивый
г
компакт К; такой, что Ув (ос, К;) = О, или Ув(а, дО)=0.
Теорема 5.1. Пусть т8 — первый момент выхода
процесса Х\ из области В. Для любого компактного под-
множества Р области И, любого у > 0 и любого б > О
существуют такие б0, 0 < б0^ б, и е0 > 0, что при всех
е< е0, же Р иу ^ дБ
ехр I- е~2 (^ (ж, у) - И^ + у)) < Р^ {х'е е ^6О (»)}<
<ехр {- г~\\Ув (х, у) - IVп - у)Ь E-0)
г^е ТУр определяется формулой E.3), а ТУГ((д:, I/) — форму-
лами E.1), E.2) или E.4), E.5).
Иначе говоря, асимптотика при г -> 0 распределения
в момент выхода на границу для процесса, начинающегося
в точке х, задается функцией действия е-2 (\Уп(х, у) —
— \УВ), равномерно по начальной точке строго внутри В.
Доказательство. Полагаем у' = у-4"-1"; вы-
бираем соответствующее р0 по леммам 2.1, 2.2. Выбираем
положительное р2, меньшее, чем р0 и расстояние от мно-
жества Р до дВ; выбираем но тем же леммам положитель-
ное Рх < р2; и пользуемся описанной в § 2 конструкцией
с цепью 2п.
Для х <= у Сг пользуемся леммой 3.3 с Ь = {К^ . . .
• • -1 К^ У г дВ}, \У = {у, дВ) и такими множествами

§ 5] ЗАДАЧА О ВЫХОДЕ ИЗ ОБЛАСТИ 259
Ха, ае Ь: Сх, . . ., Сп дО{]^6о(у)/дО\ё>6о(у) (начиная с
с п = 1, из 2П е (?* вытекает 2П е д§{). Оценки для
вероятностей Р(х,- Хр) при х ^ Сг даются фор-
мулами B.3) — B.5), при этом ра$ = ехр {—е~271)(а, р)},
а а = ехр {е-2^'}. Сумма 2 п(8) эквива-
0{дО
лентна положительной константе ТУ, умноженной на
ехр{—г-ЧУп(Ки у)}.(# равно числу графов ^е Ок.у{уу
на которых достигается минимум 2 ^г» (ос, Р); а
«р)е
«р)*
знаменатель в формуле C.3)— положительной константе,
умноженной на ехр {—е-2\Ув}. Отсюда, учитывая, что
^^(я, у) при х е Сг отличается от РГГ)(АГ^ у) не более чем
на у\ получаем утверждение теоремы для #е [} С(.
Если х е /^\ II С^, пользуемся строго марковским свой-
ством относительно марковского момента тх:
'е е ^б„ (I/)} = Рх и?, е |Гб0 (у)} +
(у)}}. E.7)
Первая вероятность, согласно B.10), заключена в преде-
лах ехр{—г~2{Уп (х,у) ± у')}» вероятность под знаком
математического ожидания, по уже доказанному — в пре-
делах ехр{-е-2(^1)(^ь у) - №в ± D1 + 1)у')}. Поль-
зуясь оценкой B.8), получаем, что 2-е математическое
ожидание в E.7) заключено в пределах ехр{—г~2{Ув(х,
Кг) + 1УВ(КЬ у) - IV» ± D1 + 1O')}, а вся сумма
E.7)—-в пределах ехр{—е-2(№п(х, ^—^±D' +
+ 2O')}> где №в(х, у) задается первой из формул E.4).
Это доказывает теорему.
Теорема 5.1 позволяет установить, в частности, наи-
более вероятное при малых е место выхода процесса X]
на границу.
Теорема 5.2. (Вентцель, Фрейдлин
13], [4]). Пусть У; при каждом / = 1, . . ., / — множе-
ство точек у ^ дПу на котором достигается минимум
Уъ{Ки у). Пусть точка х такова, что выпущенная из нее
траектория динамической системы хг(х)х I ^ 01 не выхо-
9*

260
ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
дит из В и притягивается к компакту Кг. Выделим из
{дВ}-графов на множестве {Кх, . . ., Кг, дВ} те, на кото-
рых достигается минимум E.3). В каждом из них рас-
смотрим цепочку стрелок, ведущую из К{ в дВ\ пусть пос-
ледняя стрелка в цепочке будет К$ ->¦ дВ. Множество
Рис. 16.
всех таких ] во всех выделенных графах обозначим через
АЩ.
Тогда с вероятностью, стремящейся к 1 при е ->- 0,
первый выход траектории X*, начинающийся в точке х,
на границу произойдет в малой окрестности множества
\} У,.
еМ(г)
Утверждение сохраняется и если все значения Уо,
в том числе и в формуле E.3), заменить на Уо.
Возвратимся к примеру, изображенному на рис. 12.
Воспроизведем этот рисунок заново здесь (рис. 16). Пусть,
кроме У1)(К1, К]), заданы еще ~УВ(К2, дВ) = 8, ^(А'з'
дО) = 2, УВ{КА, дБ) = 1; Ув (Кх, дБ) непременно равно
+ оо. Выделяем на дВ множества У2> ^"з» ^4- Здесь будет
два {дО}-графа, минимизирующих 2 Vъ (а> Р): пеР"
($8
вый — из стрелок Кх-+- К2, К2-+ дВ, К3-+- дВ и ЛГ4 -*¦ Кг,
и второй, в котором вместо последней стрелки берется
К±-+К3. Значит, МA) - М{2) = {2}, МC) = {3},
Л/D) = {22 3}.

§ 5] ЗАДАЧА О ВЫХОДЕ ИЗ ОБЛАСТИ 261
Траектории динамической системы, выходящие из то-
чек х из левой части области В (левее сепаратрис, входя-
щих в точку #4), за исключением неустойчивого положе-
ния равновесия Кх, притягиваются к циклу К2; точки пра-
вой части притягиваются к К3, а точки на линии разде-
ла—к К±. Значит, из точек левой половины В при малых
б процесс Х\ будет выходить на дИ в малой окрестности
У2, из точек правой половины — вблизи У3, а из точек
разделительной линии — вблизи У2 или У3.
Если мы увеличим Ув {Кь дО) так, чтобы УВ(К2, <ЭО)—
= 16, Рп(К3, ОБ) = 10, Ув (Я4, дБ) = 9, то
графов, минимизирующих сумму E.3), тоже два: К1 $
К2-+ К3, К$-+ дО, К4-+ К2 или К±-*К3; для всех Ь имеем
М(г) = {3}. Значит, из всех точек области при малых е
выход на границу будет осуществляться вблизи У3.
Обратимся к вопросу о времени, проводимом процес-
сом X] в О до выхода на границу.
Рассмотрим графы на множестве Ь = {К^ . . ., Кь,
х, ОБ). Положим
Мв (х) =- Ш1П 2 Ув (а, Р). E.8)
Обозначение С(а -/> И7") введено в §3 после формулировки
леммы 3.4.
Л е м м а 5.3. Минимум E.8) можно записать также
следующим образом:
Мв(х)= тт 2 Ув(а, Р); E.9)
Мв (Х) = \ув д т1п [Ув (х, Кг) + ЛЬ (Кг)Ъ E.10)
где МВ{КЬ) определяется как минимум
Мв (Кг) = тт 2 У в (^ Р), EЛ1)
О(КМдО) р)
б котором участвуют графы на множестве {К1Г . . .
• • ., Кг, дБ} (а \УВ определяется формулой E.3)).
При нахождении минимумов E.9) или E.11), E.10)
можно выбросить из рассмотрения все неустойчивые ком-
пакты Кг.

262 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. б
Доказательство опять аналогично доказатель-
ству лемм 4.1, 4.3.
Теорема 5.3. Равномерно по х в пределах каждого
компактного подмножества Р области В
1ип е21п Мят8 == \УВ - Мв (х). E.12)
е->0
Доказательство. Выбираем у\ р0, рг, р2,
как при доказательстве предыдущей теоремы, но еще
с условием, чтобы среднее время выхода из р0-окрестно-
стей компактов Кг не превосходило ехр {е~2у'} (см. лем-
му 1.7); рассматриваем марковские моменты то(=О),
Тр т2, . . ., и цепь Хп = Х\п. Обозначим через V номер
шага, на котором эта цепь впервые выходит на дП1 т. е.
первое я, для которого те = тп. Пользуясь строго мар-
ковским свойством, мы можем написать:
м|„тЛ.
*
Леммы 1.7, 1.8, 1.9 дают нам, что М!^ в этой сумме
не превосходит (при малых г) 2 ехр {е~2»у'}, но больше
ехр {—е~2-у'}- Итак, с точностью до множителя, заклю-
ченного в пределах [2 ехр {е-2у'}]^\ М^ те совпадает
оо
с 2 Рх {2П ^ дО} = Мх V. Но это математическое ожида-
ние оценивается с помощью леммы 3.4.
Сначала для х^\] Оь получаем2 пользуясь оценками
г
B.3) — B.5), при малых е:
ехр (е-2(И'с - Мл (К,) - (А1 + 1) у')) <
< Мхтх< 2 ехр \г-2{Шо - Мо {К,) + DГ + 1) у')). E.13)
Затем для начальной точки х
11

§ 5] ЗАДАЧА О ВЫХОДЕ ИЗ ОБЛАСТИ 263
Учитывая то, что М^т^ 2ехр [&~2у'}, оценки B.8), B.10)
и E.13), получаем, что М*т8 заключено в пределах
ехр {е-2{}Ув—М1)(х) =р у) }• Это справедливо и для х е II Сг.
г
Так как у>0 произвольно мало, получаем утвержде-
ние теоремы.
Вернемся к рассмотренному примеру (с Ув{Ки К.]),
заданными матрицей B.1), и УО(К21 дБ) = 8, Ув (К31
дО) = 2, УО(К^ дБ) — 1). Вычислим асимптотику мате-
матического ожидания времени тЕ выхода на границу для
траекторий, начинающихся в положении устойчивого рав-
новесия К3. Находим: IV в = 10 (минимум E.3) достига-
ется на двух графах Кх ->- К2, К2 -> дО, К3-+- дО, Кх ->
-> К2 или К^-*- К3); М^Къ) = 6 (минимум E.11) дости-
гается на графах Кх-*- К», К^-*- /14, К^- К2; К1->- К2,
К3-+К2, К^К2; кг+к2, К3-+К2, К,-+К3). Итак,
математическое ожидание времени выхода логарифмиче-
ски эквивалентно ехр {г-2{\Уо — МВ(К3))} = ехр{4е~2}.
Рассматривая цепь %п, мы можем понять, за счет чего
получается такое среднее время выхода. Начинаясь в К2,
эта цепь при малых е с вероятностью, близкой к 1, прове-
дет на д#3 число шагов порядка ехр {&~2УП (К3, дБ)} —
= ехр {2е~2}, затратив время того же порядка; после
этого она с вероятностью, близкой к 1, выйдет на дВ,
а с вероятностью порядка ехр{—ъ-2(Уь{К3, К2) —
— УП(К^ дО))} — ехр{—4е~2} перейдет к устойчивому
циклу К2 (может быть, задержавшись на относительно
небольшое число шагов вблизи неустойчивого положения
равновесия К^). Если это произошло, то 2п с большой ве-
роятностью в течение времени порядка ехр {е-2- УВ{К2,
дИ)} = ехр {8е-2} будет совершать переходы в пре-
делах д$2 и (примерно в ехр {е-2 -УВ(К2, Кх)} =
= ехр {е~2} раз реже) д#х, а после этого выйдет на грани-
цу. Итак, математическое ожидание порядка ехр{4е~2}
образуется за счет маловероятных — с вероятностью по-
рядка ехр {—4е-2} — значений порядка ехр {8е~2}.
Вспомним, что в случае области, притягивающейся
к одному устойчивому положению равновесия, среднее
время выхода М^т8 имеет тот же порядок, что границы
Диапазона наиболее вероятных значений те (теорема 4.2
гл. 4); в частности любая квантиль распределения т

264 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
логарифмически эквивалентна среднему. Приведенный
пример показывает, что это, вообще говоря, не так в слу-
чае, когда в области В есть несколько компактов Кг,
содержащих со-предельные множества; математическое
ожидание может стремиться к бесконечности существенно
быстрее медианы и всех квантилей.
Это сильно снижает ценность доказанной теоремы как
результата, характеризующего предельное поведение рас-
пределения те.
Приведем соответствующий результат, сформулиро-
ванный на языке дифференциальных уравнений.
Теорема 5.4. Пусть $(х) — положительная не-
прерывная функция в И у дП; Уг{х) — решение уравнения
Ььь>е (х) = —$(х) в Б с нулевыми граничными условиями
на сШ. Тогда равномерно по х в пределах любого компакт-
ного подмножества при г ->¦ О
Vе(х)- ехр (е~2 (\УП - Мв (*))}.
§ 6. Разбиение на циклы.
Субпредельные распределения
В задачах, которым посвящена эта глава, имеется два
больших параметра: е~2 и I — время, в течение которого
рассматривается возмущенная динамическая система.
Естественно исследовать, что будет, если стремление этих
параметров к бесконечности согласовано тем или иным
образом. Будем интересоваться предельным поведением
мер Рх{Х^еГ}; ограничимся случаем компактного
многообразия (как в § 4).
Наиболее простой случай — когда сначала устремляет-
ся к бесконечности е~2, а затем I. Здесь все определяется
поведением невозмущенной динамической системы. Ясно,
что Шп Нт Р| {-Х^е Г} = 1, если открытое множество
Г целиком содержит со-пределыюе множество траектории
хг(х), начинающейся в точке хо(х) — х, и этот предел ра-
вен нулю, если Г находится на положительном расстоянии
от этого множества.
В § 4 рассмотрен случай, когда сначала к бесконечно-
сти устремляется I, а затем е~2. Теорема 4.1 дает воз-

§ 6] ЦИКЛЫ. СУБПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 265
можность установить, что Нт Пт Р^ {X8 е Г) =1 для
открытых множеств Г, содержащих все компакты Ки
на которых достигается минимум \У(Кг). В случае общего
положения этот минимум достигается на одном компак-
те; если к тому же на этом компакте сосредоточена единст-
венная нормированная инвариантная мера \\0 динами-
ческой системы, то Пт Нт Р^ {X® е Г) = |д0 (Г) для всех
Г с нулевой |10-мерой границы.
Займемся исследованием поведения процесса X] на
отрезках времени длины ^(е~2), где ^(е~2) — функция,
монотонно возрастающая при возрастании е~2. Ясно,
что если 1(г~2) растет достаточно медленно, то за это вре-
мя траектория процесса Х\ не успеет отойти далеко от
устойчивого компакта, в области притяжения которого
находится начальная точка. За большие отрезки времени
осуществится переход из окрестности этого компакта в
окрестности других, сначала к «ближайшему» (в смысле
функционала действия) компакту, затем — к все более
и более «далеким». Установим прежде всего, в каком по-
рядке процесс Хе( будет достигать окрестностей различ-
ных компактов Кг.
Теорема 6.1. Пусть Ь = {1, 2, . . ., /}; О — ка-
кое-то подмножество Ь. Рассмотрим момент т<$ первого
достижения процессом Х\ границ д$) ^-окрестностей
8] компактов К$ с номерами из Ь \ 0. Пусть процесс
начинается в ^0$^, I е @. Тогда при достаточно малых
р с вероятностью, стремящейся к 1 при 8-^0, X? бу-
дет принадлежать одному из множеств д$}- таких, что в
одном из (Ь \ О)-графов #, на которых достигается
А{(?)= тшп 2 У(Кт,Кп), F.1)
С1\Р) ()
цепочка стрелок ведет из I в ] е Ь \ <?.
Доказательство легко проводится при помо-
щи лемм 2.1 и 3.3.
В формулировке теоремы можно также У(Кт, Кп)
заменить на У(Кт, Кп), и в этом случае мы можем также
выбросить все неустойчивые компакты и рассматривать

266 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
только переходы от одного устойчивого компакта к дру-
гому.
Рассмотрим пример. Пусть Кг, г = 1, 2, 3, 4, 5,—
устойчивые компакты, содержащие со-предельные мно-
жества; значения У(КЬ, К]) задаются матрицей
'0 4 9 13
7 0 5 10 11
6 8 0 17 15
3 6 8 0 2
Ч5 7 10 3 0 ,
Пусть процесс начинается вблизи К1. Находим {2, 3,
4, 5}-граф, минимизирующий сумму значений V. Этот
граф состоит из одной стрелки 1 -> 2; значит, первым из
других компактов, к которому подойдет процесс, бу-
дет К2.
Посмотрим далее, куда мы пойдем из окрестности К2.
Полагаем () = {2}. Находя минимизирующий сумму F.1)
{1, 3, 4, 5}-граф 2 -> 3, получаем, что следующим компак-
том, к которому приблизится процесс, будет с подавляю-
щей вероятностью К3. Далее граф 3 -> 1 показывает, что
процесс вернется к компакту Кг. Переходы от Кг к А\2,
от К2 к К3 и от #3 обратно к К1 будут происходить много
раз, но в конце концов процесс подойдет к одному из ком-
пактов К4, Къ. Чтобы понять, к какому именно, пользуем-
ся теоремой 6.1 для () = {1, 2, 3}. Находим {4, 5}-граф,
на котором достигается минимум F.1); это граф 3-^1,
1 -> 2, 2 -> 4. Итак, с вероятностью, близкой при малых
е к 1, процесс, начинающийся вблизи Кг, К2 или К3,
достигнет окрестности К^ раньше, чем окрестности А'5.
(Мы не утверждаем, что до этого процесс будет совершать
переходы между компактами Кг, К2, К3 только в наиболее
вероятном порядке К± -> К2 -> К3 ->• ^Г, более того,
в данном случае можно доказать, что до достижения
окрестности КА будут с вероятностью, близкой к 1, про-
исходить и переходы в противоположном направлении.)
Далее процесс будет ходить от К4[ к Къ и обратно (это
показывают графы 4 -> 5 и 5 -> 4); затем он вернется в
окрестности компактов Ки К2, К3, причем вероятнее все-
го сперва к компакту Кг (как показывает граф 5 —>- 4,
4 -> 1). На больших отрезках времени будут происходить

§ 6] ЦИКЛЫ. СУБПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 267
переходы между «циклами» Кг -*¦ К2 ->¦ К3 -+ Кг п К^-*-
->- Кь ->¦ /С4> причем чаще всего они будут происходить
так, как описано выше. Таким образом, получается «цикл
из циклов»— цикл второго ранга.
Переходы между окрестностями компактов К-г и в об-
щем случае описываются с помощью иерархии циклов
(Ф р е й д л и н [9], [10]). Пусть К и • • •» К1о— устой-
чивые компакты; (? — какое-то подмножество множества
/у = {1, 2, . . ., /0}. Предположим, что существует единст-
венный A/\(?)-граф #*, на котором достигается минимум
F.1). Определим /?#@> * ^ (?> к*ш тот элемент из 2^\(?,
в котором заканчивается цепочка стрелок в графе #*,
ведущая из I в множество Л\@.
Опишем теперь разбиение множества Ь на иерархию
циклов. Начнем с циклов первого ранга. Для каждого
гое Ь рассмотрим последовательность г0, г±, г2> ...
. . ., *„, . . ., в которой гп= Л||п_1|(/П_1). Пусть п —
наименьший номер, при котором начнутся повторения:
*п — Ътч 0 ^ т < /г, причем для /с, меньших, чем /г,
все 1к различны. Тогда циклами первого ранга, порожден-
ными элвхментом г0 е Ь, мы будем называть группы
{г'о}» {^1}» • • •» {^т-1}» {^т "*" ^т+1 —>-...—>• гл-1->
~> гт}; причем последняя группа рассматривается вместе
с указанным циклическим порядком. Циклы, порожден-
ные различными начальными точками г0 е Ь, либо не
пересекаются, либо совпадают, и в этом случае цикли-
ческий порядок на них — один и тот же. Итак, циклы
первого ранга выделены (некоторые из них — только из
одной точки).
Будем далее строить определение рекуррентно. Пусть
циклы (к — 1)-го ранга (короче — (к — 1)-циклы)
Г11~\ п\~Х, • • •, пп^{ уже определены; это — множест-
ва, состоящие из (к — 2)-циклов, причем снабжен-
ные определенным циклическим порядком. В конечном
счете каждый цикл состоит из отдельных точек — элемен-
тов Ь\ будем обозначать множество точек, из которых
составляется цикл, так же, как и сам цикл. Будем гово-
рить, что цикл д^ следует за л^~\ и писать я*" ->
"~^я^~\ если Н иУел; при ^ея*". Проверя-
ется, что функция В А_1(//г) принимает одно и то же

268 ВОЗМУЩЕНИЯ НЛ БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ |ГЛ б
значение при всех т е п'1~11 так что приведенное опре-
деление корректно.
Рассмотрим теперь какой-то цикл я^ и начинаю-
щуюся из него последовательность циклов я*—>
-> я? -> я* ->...-> п\^ ->¦ .... В этой последователь-
ности с некоторого номера начнутся повторения;
пусть п — наименьший такой номер: п\~ = я?~\
О ^ т < п. Тогда будем говорить, что цикл л? по-
рождает циклы к-то ранга {я^}, {"^Г}, • • •, {я?"^] (пь
циклов к-то ранга , состоящих каждый из одного цикла
предыдущего ранга) и {я?-^ я?",1,-^ ... -^п?".-^^"]
I *^ Г1«' ^^ лг /у. 1ТХ1 7I-4-1 П 1 771 ) •
Беря всевозможные начальные (к — 1)-цикльт я^"™1, раз-
биваем на /с-циклы все циклы (к — 1)-го ранга.
Циклами нулевого ранга назовем отдельные точки
множества Ь; при некотором к все (к — 1)-циклы войдут
в один /с-цикл, который охватит все Ь.
Разбиение на циклы полностью определяет наиболее
вероятный при малых 8 порядок обхода траекторией Х\
окрестностей устойчивых компактов (все это, разумеется,
относится к случаю «общего положения», когда каждый
минимум F.1) достигается только на одном графе). Теперь
обратим внимание на время, которое процесс будет про-
водить в пределах того или иного цикла.
Теорема 6.2. Пусть я — какой-то цикл. Положим
С(л)=А(л)-тт тш_ 2 У(Кт,Кп), F.2)
где А(л) определяется формулой F.1), а Ся{г} — совокуп-
ность всех {(}-графов над множеством я. Тогда при доста-
точно малых р > О
я-С(я) F.3)
равномерно по х из ^-окрестности [} Кь; для любого у > О
1Ш1 Р^ {^-2(С(я)-7) < Тл < 6е (С(я)+7)} = 1 F.4)
равномерно по всем указанным х.

§ 6) ЦИКЛЫ. СУБПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 269
Доказательство. Соотношение F 3) выводит-
ся из теоремы 5.3; напомним, что для произвольного мно-
жества (? СИ Ь (не цикла) Пт е21п М^Тд зависит, вооб-
ще говоря, от выбора точки х е \] 8Ь (см. § 5). Доказа-
ть
тельство утверждения F.4), аналогичного утверждению
теоремы 4.2 гл. 4, опускаем.
Разбиение на циклы и теорема 6.2 позволяют ответить
на вопрос о поведении процесса X/ на отрезках времени
длины ^(б), где ^(е"~2) имеет показательную асимптотику
при е~2 -> оо: I (б~2) жеСг . Пусть я, я', . . ., я<8> —
циклы предпоследнего ранга, объединяющиеся непо-
средственно в последний цикл, охватывающий все точки
из Ь. Если константа С больше, чем С(я), С(я'), . . .
. . ., С(яE)), то за время порядка ехр {Сг~2} процесс успеет
уже много раз пройти все эти циклы (а внутри них — все
циклы меньшего ранга), и для него уже успеет установить-
ся предельное распределение, найденное нами в § 4. В тер-
минах иерархии циклов это предельное распределение
будет сосредоточено на том из циклов я, я', . . ., я(8),
для которого соответствующая константа С(я), С(я'), . . .,
или С(яE)) — наибольшая; в пределах этого цикла —
на том из его подциклов, для которого соответствующая
константа, определяемая по формуле F.2), больше всего,
и т. д. вплоть до отдельных точек г и соответствующих им
устойчивых компактов Кь. То же будет, если не ^(е~2) ж
Ж ехр {Сб~2}, а только Пт е2 1п г (е~2) > тах{С (я),
С (я'), ...,С(я(*>)}.
За времена 1{г 2), имеющие меньший порядок, процесс
не успеет пройти всех циклов, и общее для всех началь>
ных точек х предельное распределение еще не успеет уста-
новиться; при этом на циклах не максимального ранга,
которые процесс уже успеет пройти, будут устанавливать-
ся некоторые субпредельные распределения, зависящие от
начальной точки.
Вернемся к примеру, рассмотренному после теоремы
6.1. Изобразим иерархию циклов на чертеже (рис. 17):
цчклы нулевого ранга (отдельные точки) объединяются
в циклы первого ранга {1 -> 2 -+ 3 -> 1} и {4-+ 5-+ 4},
а они — в единственный цикл второго ранга. На стрел-

270 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. б
ках, выходящих из каждого цикла я, указаны значения
констант С(п). Если Нт е21п I (е~~2) между 0 и 2, за вре-
мя 2(е~2) процесс еще не успеет отойти от того компакта
Кь, вблизи которого он начинался, и субпредельное
распределение, соответствующее начальной точке х, бу-
дет сосредоточено на том Кь
к области притяжения кото-
рого принадлежит х. За
время ^(е~2), для которого
Пт е21п I (е~2) между 2 и 3,
е-, 0
произойдет схождение с
0-цикла {4}; т. е. единствен-
ное, что произойдет,— это,
если процесс был вблизи
компакта К, то он перейдет к
компакту Къ. При этом суб-
предел ыюе распределение
будет сосредоточено на Къ и для начальных точек в об-
ласти притяжения К^ и в области притяжения Кь.
Если Пт е21п I (г~2) между 3 и 4, за время г(г~2) уста-
новится предельное распределение на цикле {4-* 5 ->¦ 4),
но не произойдет ничего больше; так как это распределе-
ние сосредоточено на точке 5, соответствующей компакту
#5, результат будет тот же, что и для Пт е21п I (е~2)
е->0
между 2 и 3.
При Пт в21п I (в~~2) между 4 и 5 произойдет схож-
его
дение с цикла {4 ->¦ 5 -*¦ 4), процесс попадет в окрест-
ность компакта К1 и перейдет оттуда к компакту Кг,
но не дальше; субпредельное распределение будет сосре-
доточено на К2 Для начальных точек, притягивающихся
к любому компакту, кроме К3 (а для точек, притягиваю-
щихся к К3,— на ^з)- Наконец, при Пт е21п I (е~2) > 5
устанавливается уже предельное распределение (хотя
схождение с цикла {7 -> 2 -> 3 ->• 1} и даже с цикла {<?},
может быть, еще не произошло).
Теперь мы можем указать субпредельные распределе-
ния для начальных точек из областей притяжения всех
устойчивых компактов К^ Например, для х, притягиваю-

§ 7) ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 271
щпхся к К^ НтРх{А'^/ 2)^ Г) = 1 для открытых
Ггэ К„ если 0<Птб21п^(б-2)<Пте21п^(е-2)<2;
Нт Р*{Х)/е—2)^Г} = 1 для открытых Г гэ Къ при
2 < Нш е21п I (е~2) ^ Нт е21п I (е~2) < 4; если эти нижний
и верхний пределы больше 4 и меньше 5, то Пш Р* [Хг, 2\^
еГ} = 1 для открытых лшоя^еств, содержащих К2. На-
конец, если Пт е21п ^ (е~) > 5, то распределение Х^ 2)
будет притягиваться к .ЙГ3 независимо от начальной точ-
ки х.
Общую формулировку результата и схему доказа-
тельства можно найти в статье Ф р е й д л и я а [10].
Субпредельные распределения за экспоненциальное вре-
мя устанавливаются и в случае процесса X? в области,
останавливающегося по достижении границы (ситуа-
ция § 5).
Заметим, что вопрос о предельном распределении
Агде_2) тесно связан с задачей о стабилизации решений
параболических дифференциальных уравнений с малым
парахметром (см. ту же статью).
§ 7. Задачи о собственных значениях
Пусть Ь — эллиптический дифференциальный опера-
тор в ограниченной области Б с гладкой границей дО.
Наименьшее по модулю собственное значение Кг операто-
"ра — I с нулевыми граничными условиями, как извест-
но,— действительное, положительное и однократное.
Оно допускает следующую вероятностную характериза-
цию. Пусть (Хи Рх) — диффузионный процесс с произво-
дящим оператором Ь, т — момент первого выхода Хг
из области О. Тогда значение Кг — пограничное между
теми Я, для которых М^1 < оо, и теми, для которых
МЛ^Х = оо (см. Хась минский [2]).
Результаты, касающиеся функционала действия для
семейства процессов (Х^х Р^), соответствующих опера-

272 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. б
торам
**'= Ч2«> (*);&+2* (х)> G-1)
л ^" дх^дх1 ** дх1
могут быть применены к нахождению асимптотики собст-
венных значений — Ье при е —>¦ 0. Здесь возникают два
качественно различных случая в зависимости от того, вы-
ходят все траектории динамической системы хг — Ъ(хг)
из /)у<Ш, или же в В имеются устойчивые со-предельные
множества этой системы.
Первый, более простой случай рассмотрен в статье
Вентцеля [6]. Здесь, как было установлено в § 1
(лемма 1.9), вероятность того, что траектория Х\ проведет
в В больше времени Г, оценивается сверху выражением
ехр {—г~2-с(Т— То)}, с > 0. Отсюда вытекает, что
М1е*лг < оо при Я<е~2-с и, таким образом, ^\^г~2с*
Более точно скорость стремления Х\ к бесконечности ука-
зывает
Теорема 7.1. При г -»¦ 0 имеем: \\ = (сг + о A)) х
X б~2, где
5ог(ф):ф<е/) I) дИ, 0<^<Г}, G.2)
8оТ — нормированный функционал действия для семейст-
ва диффузионных процессов (Х?,Р^).
Доказательство. Прежде всего установим
существование предела G.2). Обозначим минимум, участ-
вующий в G.2), через а(Т). Прежде всего, ясно, что
а{Т1п) ^ а(Т)/п при любом натуральном п (потому что
значение функционала 5(ф) хотя бы на одном из отрезоч-
ков [кТ/п, (к + 1)Т/п] меньше или равно 5оТ(ф)//г).
Отсюда для любых Г, Т >> 0
а(Г)> [Т1Т\-а{Т). G.3)
Чтобы получить оценку противоположного знака, вос-
пользуемся тем, что существуют положительные То и А
такие, что любые две точки х и у изО[]дО можно соеди-
нить кривой ф*(:г, у), 0 <; г <! Т(х, у) ^ 7^0, со значением

§ 7] задачи о собственных значениях 273
функционала 80т(х,у) (ф^» #))^^- Пусть при каком-
то большом Т минимум а(Т) достигается на функции ф.
Полагаем х = фг, У = Фо и составляем функцию ф4 из
кусков: ф* = ф4 при 0 ^ г ^ Г; ф* = ф(_т (#, г/) при
Т ^ ^ ^ Т + Г(:г, г/); а далее продолжаем ф периоди-
чески с гериодом Т + Т(х, у). Получаем для произволь-
ного положительного Т
80Т (Ф) < ([Т/(Т + Т (х,у))] +1) EоУ (ф) +
+ 501х«,м(ф(г,у))), G.4)
а(Т)^([т/т]+1)(а(т)+А). G.5)
Деля G.3), G.5) на Т и переходя к пределу при Т -*- оо,
получаем
Т~1 а (Т) < Нш Г-'а (Г) < ПпТ Г а (Т) < ^(аС^+Л).
G.6)
Переходя затем к пределу при Т -> оо, получаем сущест-
вование предела (притом конечного).
Пусть теперь т8 — первый момент выхода процесса
X] из О. Докажем, что М^ ехр {е~2Ьт8} = оо при доста-
точно малых е, если Ъ > сх. Легко видеть, что
Нш Г" вир тт {8оТ (ф): Фо = х, фг == у1 ф^ е О [} дй%
также равен ^х. Выбираем положительное х, меньшее
F — Сх)/3, и такое Г, что
Т~1 зир Ш1П {50Т (ф): ф0 = х, фт = у, ф4 е О у <Ш,
эсуб!)
0<^< ГХ^ + х. G.7)
Теперь выберем такое б > 0, чтобы
50Т (Ф): Фо = Хх фт = у9 ф4 е О_6 у ^_ б, 0< ^<
< Г} < Т (с, + 2к) G.8)

274 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
при всех х, у е ^—ь^ где В—ь — множество точек в В па
расстоянии, большем чем б, от границы. Это можно сде-
лать в силу леммы A.4) (Т = Т, потому что функции ср*
определены на одном и том же отрезке [О, Т]\ см. доказа-
тельство этой леммы). Для произвольных х е В_6,
у е -О—2б выбираем соединяющую их кривую ср*, 0 ^
^ г ^ Г, целиком проходящую в В—&\}дВ-ь, для кото-
рой 5оГ(ф) ^ Т(сх + 2х). По теореме 3.2 гл. 5 получаем
при достаточно малых е для всех х е О—е-
Р* [те > Т, Х*т е О_в] > Р^ {рот (Xе, Ф) < 6} >
> ехр {- е-2 [50Т (Ф) + кТ\} > ехр {- е-271 К+Зк)}.
G.9)
Последовательное (^г — 1)-кратное применение мар-
ковского свойства дает
Р^ {те > пТ) > ехр {— ме~2Г (сх + Зх)}.
Отсюда при малых е для всех п
М* ехр {8-2Ьте} > ехр {г~2Ь?гТ} ?1 {те > тгГ} >
> ехр {пг-2Т (Ь — ^ — Зх)},
что стремится к бесконечности при п—>-оо. Поэтому
2Ьт8}= оо.
Теперь докажем, что если Ъ < бгь то Мх ехр {е~2ЬтЕ} <
< оо при малых е. Опять берем 0 < х < (^ — Ь)/3; бе-
рем такие Т и б > 0, что
ппп E0Т (ф): ф, е 0+6 У Эаьв, 0 < ^ <Г} > Т (с, - 2х)
(/.Ю-)
(еще раз применяем лемму 1.4). Расстояние между мно-
жеством функций г|I, целиком лежащих в В при 0 ^ г ^
^ Г, и любым из множеств Фх(Т(с1 — 2х)) = {ф-'фо ^
= х, 5оТ(ф) <! Т(сг — 2х)} не меньше б; поэтому в силу
верхней оценки теоремы 3.2 гл. 5 при достаточно малых
е для любого х е В
Р* {те > Т} < Р^ {Рот (Xе, Фх (Т (с, - 2х))) > 6} <
G.11)

§ 7] ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 275
Марковское свойство дает нам Рл{т8>/гГ)^ехр{— пг~2Х
(- Зх)}, II
2 ехр{е-26(/г + 1)Г}Р
п=0
оо
< 2 ехр{е-2Ь (тг + 1) Т} 91 {те > /гГ}<
0
п=0
Теорехма доказана.
Получить широкий класс примеров, в которых предел
G.2) вычисляется, помогает
Теорема 7.2. Пусть поле Ь(х) потенциально отно-
сительно римановой метрики, связанной с матрицей диф-
фузии, т. е. существует гладкая в О^дО функция 11(х)
такая, что
ь{ (*) = - 2аЪ ^ ^~г- GЛ2>
.7
Тогда сх равно
1пЛ21«иИ^И^И}г GЛЗ)
где матрица (аи(х)) — (а^(х)).
Доказательство. Обозначим минимум G.13)
через с*. Пусть минимум а(Т) достигается на функции ср:
т
• - - - и G<14)
0
Преобразуем
т
] 2 ^
этот
интеграл:
<Ф,)Ф«'Л +
Т
0
и
' (Ф() П.

276 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
Первый интеграл здесь неотрицателен, второй в силу
G.12) равен С/(ф0) — С/(фг)> а третий не меньше чем с*,
умноженное на Г. Отсюда вытекает, что Т~~{а(Т)^
^ с\ — Т~{СЧ где С — максимум 11{х) — 11(у) по всем
х, у е О^дИ. Переходя к пределу при Г ->• оо, получаем
с1^с*. Неравенство ^^с* вытекает из того, что для
функции ер* == х0, где х0 — точка, в которой достигается
минимум G.13), Т~~180Т (ф) = с*.
Теперь рассмотрим противоположный случай — ког.
•
да в В есть со-предельыые множества системы х% = Ь(х^).
Предположим, что выполнено требование А § 2 (существо-
вание конечного числа компактов Кх, . . ., Кь состоящих
из эквивалентных друг другу точек, содержащих все
со-предельные множества). В этом случае, как мы уже гово-
рили, наш процесс с малой диффузией хорошо прибли-
жается цепью Маркова с (/ + 1) состояниями, отвечаю-
щими компактам Кь и границе области дИ, с вероятностя-
ми перехода порядка
о(^, ,)},
ехр {-г->Уп(К1,дО)}
(вероятности перехода из дО в Кг полагаются равными О,
диагональные элементы матрицы вероятностей перехода
такие, что суммы по строкам равны 1).
Представляется правдоподобным, что условие конеч-
ности Мх^х близко к требованию конечности математи-
ческого ожидания е^у6, где Vе — число шагов в цепи с
указанными переходными вероятностями до первого
достижения состояния дВ. Пограничным между теми Я,
для которых это математическое ожидание конечно и бес-
конечно, оказывается взятый с обратным знаком логарифм
наибольшего после единицы собственного значения мат-
рицы вероятностей перехода.
Асимптотика собственных значений матрицы с эле-
ментами порядка G.15) находится в заметке Вентцеля
[3]; обоснование перехода от цепи к диффузионному про-
цессу Х?-уВентцеля 12 ].
Теорема 7.3. Пусть \ги к1, ... ДГ — занумеро-
ванные в порядке убывания модуля собственные значения

§ 7] ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 277
(исключая собственное значение 1) стохастической матри-
цы с элементами, логарифмически эквивалентными вы-
ражениям G.15) при е -> 0. Определим константы У&\
1с = 1, ...,/, I + 1, формулой
= пип 2 Ма,Р), G.16)
где С(к) — множество всех ]У-графов над множеством
Ь — {Ки . . ., Кь дИ} таких, что в множестве IV содер-
жится к элементов. (Заметим, что при к — I + 1 мно-
жество IV = Ь\ при этом имеется ровно один ТУ-граф,
а именно пустой, и сумма в G.16) равна пулю как и У*<1+1К)
Тогда при г -> 0
(ы+)-2}. G.17)
Доказательство аналогично доказательствам
леммы 3.1 и других лемм § 3: коэффициенты характеристи-
ческого многочлена матрицы вероятностей перехода,
из которой вычтена единичная матрица, выражаются в ви-
де сумм произведений я(#) по И^графам, откуда находит-
ся асимптотика этих коэффициентов; из нее выводится
асимптотика корней.
Заметим, что из утверждения теоремы вытекает, что
У<А1) ) 1) 2
чае «общего положения», когда эти неравенства стро-
гие, собственное значение Х\ при малых г оказывается
вещественным и однократным (старшее собственное зна-
чение Х\ всегда вещественно и однократно).
Что касается обоснования перехода от асимптотической
задачи для цепи Маркова к задаче для диффузионного про-
цесса, оно разбивается на две части: конструкцию, связы-
вающую диффузионные процессы с определенными диск-
ретными цепями, не зависящую от наличия малого пара-
метра е; и оценки, связанные с цепями Маркова 2п, вве-
денными в § 2.
Для первого оказывается существенной следующая
лемма.
Пусть (Хг, Рх) — диффузионный процесс с производя-
щим оператором Ь в ограниченной области В с гладкой

278 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ 1ГЛ. в
границей; д$—какая-то поверхность внутри В, Г—повер-
хность какой-то окрестности д%, отделяющая поверхность
д$ от сШ. Введем случайные моменты времени
ао= тт {I: Хг е Г}, тх = тт {I ^ а0: Хг е д$[]дО}.
Определим для а > 0 операторы да, действующие на огра-
ниченные функции на д§:
Ча1 (*) = Мж {Хт, е ^'; еах4 (ХХ1)}{ х е ^. G.18)
Лемма 7.1. Наименьшее собственное значение Х*
оператора — Ь с нулевыми граничными условиями на
дО — пограничное между теми а, при которых наиболь-
шее собственное значение оператора да меньше 1, и теми,
при которых оно больше 1.
Доказательство этого утверждения и его
обобщение на другие собственные значения можно найти
в статье Вент целя [5].
Чтобы применить это к диффузионным процессам с ма-
лой диффузией, мы выбираем д$ = 1]д^ьп Г = у1\ так,
г г
как в § 2, и доказываем для соответствующих операторов
^га следующие оценки.
Лемма 7.2. Для любого у > 0 можно выбрать ра-
диусы окрестностей компактов Кь настолько малыми,
что при всех а ^ е~уг~2 и достаточно малых г
ат' < 1 + асуг'\ х^д?; G.19)
ехр I- (Уд (Кь К А + у) е~2} < Ч11дё} (х) -
= М^ IX?, е ды еп^} < ехр {- {V» {Кь К,) - у) г~2},
х<=д81; G.20)
ехр (- (Ус {К» дБ) + у) 8~2} <1^ {X?, е дй; еа^\ <
< ехр I- GВ {Кь дй) - у) е~2К х е ^. G.21)
Доказательство аналогично доказательству
лемм 2.1 и 1.7; верхние оценки получаются с несколько
большим -трудом.

§ 7] Задачи о собственных значениях 279
Окончательно получается такой результат:
Теорема 7.4. Наименьшее собственное значение Х\
оператора —Ьг при е ->- 0 логарифмически эквивалентно
ехр {-е"я(^A) - ^B))}, G.22)
где 17A), ^B) определяются формулой G.16).
Б частности, если в области /) имеется единственное
асимптотически устойчивое положение равновесия О,
%\ Ж ехр {- е тш У (О, у)}, G.23)
где V — квазипотенциал.
Теоремы 7.1, 7.4 не дают ничего содержательного в
случае, когда внутри/) есть только неустойчивые предель-
ные множества или когда устойчивое предельное множест-
во находится на границе области. Некоторые результаты,
относящиеся к этим случаям, содержатся в статье Д е-
в и н а ц а, Э л л и с а, Ф р и д м а н а [1 ].
Результаты, содержащиеся в теоремах 7.3, 7.4, родст-
венны результатам § 6. В частности, константы, при пере-
ходе через которые предела Игл. е2 \п 1(&~2) происходит
смена одного субпределытого распределения другим,—
не что иное, как У^ — Т^Н).
Поясним механизм этой связи. Пусть (X*, Р^) — диф-
фузионный процесс с малой диффузией на компактном
многообразии М или процесс в замкнутой области О1]дВ,
останавливающийся по достижении границы; /(х) — не-
прерывная функция, обращающаяся в нуль на дЭ. Допус-
тим, что функция ие (I, х) = М1/ (А7,6) — решение соот-
ветствующей задачи для уравнения с-^~ = Ьеие — раз-
лагается в ряд по собственным функциям е\(х) опера-
тора — />:
и*(*,х)=Ъс\е-*ге\(х) G.24)
г
с коэффициентами с\, получаемыми интегрированием /,
Умноженного на соответствующие собственные функции
е\ сопряженного оператора. (Так как оператор Ьг не

280 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6
самосопряжен, предположение о возможности такого
разложения не выполняется автоматически.) Допустим,
что первые /0 собственных значений вещественны, неотри-
цательны и экспоненциально быстро убывают:
Пусть функция г(е~2) такова, что С;+1 <Пт е21п I (е""~2)<^
< Пт е21п I (е~2) < С7-; тогда \\т е~^1[г 2) = 1 при
1^г^/, и этот предел равен нулю при г >> /. Если
бесконечный хвост суммы G.24) не помешает этому, то
получим
Гнп и" {г (е~2), х)= 2 ^ | / (у) ^ (I/) йу Ит е\ (х). G.25)
Иначе говоря, характер предельного поведения
цр(^(е~2), х) меняется при переходе Пт е21п I (е"~2) через С/.
е-0
Этим намечается путь, следуя которому, можно из ре-
зультатов, касающихся экспоненциально малых собст-
венных значений и собственных функций, делать выводы
о поведении процесса на экспоненциально растущих про-
межутках времени и, что труднее, обратно.

ГЛАВА 7
ПРИНЦИП УСРЕДНЕНИЯ.
ФЛУКТУАЦИИ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
С УСРЕДНЕНИЕМ
§ 1. Принцип усреднения в теории обыкновенных
дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных
уравнений в Нг
гг1=гЬ{2ЦХ Х1=х% A.1)
где \ь I ^ 0,— функция, принимающая значения в Н1,
е — малый числовой параметр, Ъ(х, у) — (Ь1^, у), . . .,
Ьг(х, у)). Если функции Ъ1(х, у) растут не слишком быстро,
то на каждом конечном отрезке времени [О, Т] решение
уравнения A.1) равномерно сходится при 6->0к2? = 1,
Однако обычно интерес представляет поведение Ъ\ на от-
резках времени порядка е и больших, так как только
па временах порядка е в системе A.1) происходят зна-
чимые изменения, такие, например, как выход в окрест-
ность положения равновесия или периодической траекто-
рии. Для исследования системы на интервалах вида
[О, Те'1] удобно перейти к новым переменным так, чтобы
временной интервал не зависел от е. Положим Х\ = 2гцг.
Тогда уравнение для X* примет вид
Х1=Ь(ХЦ11г), XI =х. A.2)
Изучение этой системы на конечном отрезке времени рав-
носильно изучению системы A.1) на отрезках времени
порядка е.

282 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
Пусть функция Ъ(х, у) непрерывна по х и у, ограничена
и удовлетворяет условию Липшица по х с константой,
не зависящей от у:
\Ь{хп у) — Ъ{х2, у)|< К\хг — х2\.
Предположим, что при хейг
г
ь(х,Ьв)& = Ъ{х). A.3)
Если этот предел существует, то функция /?(.г), очевидно,
ограничена и удовлетворяет условию Липшица с той же
константой К. Условие A.3) выполняется, например,
если функция ^ периодическая или представляется в ви-
де суммы периодических.
Перемещение траектории Х\ за малое время А можно
записать в виде
6
л
5 ь (х, ы й$ + \ [ь {XI Ь/е) - Их, 18/г)} аз -
о
Множитель при А в первом слагаемом правой части пос-
леднего равенства при е/Д ->• 0 в силу A.3) стремится к
Ъ(х). Второе слагаемое удовлетворяет неравенству
|ре(А)| < ^А2. Таким образом, перемещение траектории
X* за малое время А лишь величиной, бесконечно малой
по сравнению с А при А -> 0, е/Д -*¦ 0, отличается от пере-
мещения за то же время траектории хх дифференциального
уравнения
!сх = Ъ(хг), ~х0 = х. A.4)
Отсюда, если предположить, что предел в A.3) сущест-

§ 1] УСРЕДНЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 283
вует равномерно по х, можно получить доказательство
того факта, что при е —>- 0 равномерно на каждом конеч-
ном отрезке времени траектории X* сходятся к решению
уравнения A.4).
Утверждение о близости траекторий X] и хх называет-
ся принципом усреднения.
Аналогичный принцип можно сформулировать и в
более общей ситуации. Рассмотрим, например, систему
1Г = е-Ч№,Ш, 11= у,
где х е Яг, !• е Я1, Ьг и Ь2 — ограниченные, непрерывно
дифференцируемые функции на Яг X Я1 со значениями
в Яг и Я1 соответственно. Скорость движения по пере-
менным ^ имеет порядок е" при е —>- О, поэтому эти пере-
мзнные называют быстрыми, а пространство Я1 — прост-
ранством быстрых движений; х — медленные переменные.
Рассмотрим быстрое движение ^г(х) при фиксирован-
ных медленных переменных х е Яг:
Ш = Ьг(х, Ых)), Ых) = у,
и предположим, что существует предел
т
Т-оо' 0
A.6)
Пусть для простоты этот предел не зависит от начальной
точки у траектории %8(х). Принцип усреднения для систе-
мы A.5) состоит в том, что при некоторых предположениях
перемещение в пространстве медленных движений на каж-
дом конечном отрезке времени аппроксимируется траек-
торией усредненной системы
хх = Ъг(хг), х0 = х.
Для уравнения A.2) роль быстрого движения играет
¦& = Ь/е. В этом случае скорость быстрого движения
не зависит от медленных переменных.

284 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
Хотя принцип усреднения уже давно применяется в
задачах небесной механики, теории колебаний, радиофизи-
ки, долгое время не существовало математически коррект-
ного обоснования этого принципа. Первый общий резуль-
тат в этой области был получен Н. II. Боголюбовым (см.
Боголюбов, Митропольский [1]). Им было
показано, что если предел A.3) существует равномерно
по х, то решение X/ уравнения A.2) равномерно на каж-
дом отрезке сходится к решению усредненной системы
A.4). При некоторых предположениях была также оцене-
на скорость сходимости и построено асимптотическое раз-
ложение по степеням малого параметра. В работе Бого-
любова, Зубарева [1] (см. также Боголю-
бов, Митропольский [1 ]) эти результаты
распространяются на некоторые случаи системы A.5),
а именно: на системы, в которых быстрое движение одно-
мерно, и уравнение для | имеет вид $ = е~1Ь2 (X*)
и несколько более общий. В. М. Волосов получил ряд ре-
зультатов относительно общего случая системы A.5)
(см. Волосов [1]). Однако в случае многомерных быст-
рых движений требование равномерности стремления к
пределу в A.6), которое обычно накладывается, исключает
из рассмотрения ряд интересных задач, например задачи,
возникающие при возмущениях гамильтоновых систем.
В довольно общей ситуации удается доказать, что лебего-
ва мера множества Рр начальных условий в задаче A.5),
при которых зир I Х\ — хг | > р, для любых Т > О и
р >> О стремится к нулю вместе с е. Этот результат,
полученный в работе Аносова [1], в дальнейшем уточ-
нялся для систем специального вида (см. Нейштадт
[1]).
Таким образом, если система дифференциальных урав-
нений приведена к виду A.2) или A.5), то ясно, как,:
по крайней мере, формально, написать уравнение нуле-
вого приближения. В ряде случаев можно указать и про-
цедуру для нахождения высших приближений. При иссле-
довании конкретных задач прежде всего необходимо выб-
рать переменные так2 чтобы быстрое и медленное движе-
ния разделились.

§ 1] УСРЕДНЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 285
Рассмотрим в качестве примера уравнение
хь + оЛс = е/(х, х, 0» х е= Я1. A.7)
Если /(.г, х, 0 = A — х2)х, то это уравнение переходит в
так называемое уравнение Ван дер Поля, описывающее
самовозбуждение колебании в ламповом генераторе.
При 8 = 0 мы получим уравнение гармонического осцил-
лятора. На фазовой плоскости (ху х) решения этого урав-
нения изображаются в виде семейства эллипсов х =
= г соз (со* + Э), х — —го зт (со* + 0), вдоль которых
фазовая точка вращается с постоянной угловой скоростью
со. При отсутствии возмущений (г = 0) амплитуда г опре-
деляется начальными условиями и не меняется со време-
нем, а фаза ф* = со* + О- Если теперь е отлично от нуля,
по мало, то амплитуда г и разность ф* — со*, вообще гово-
ря, уже не будут постоянны, но можно надеяться, что ско-
рость изменения этих величин мала вместе с е. Действи-
тельно, переходя от переменных (х, х) к переменным
Ван дер Поля (г, 6), получим
^ = еМ<о* + е", ге, 0, е8о=оц,
где функции Рх(8, г, I), /^2E, г, I) задаются равенствами
Рх E, Г, I) = — ~ / (Г СОЗ 5, — Г 31П 5, I) 81П Я,-
Р2 ($, Г, I) = / (Г СОЗ ,9, — Г 31П 5, () СОЗ 5.
Таким образом, в переменных Ван дер Поля (г, 8) урав-
нение записывается в виде A.1). Если /(.г, х, г) от г явно
не зависит, то Р^ыЬ + 0, г), Р2{ы1 +0, г) — периоди-
ческие по I функции, и условие A.3) выполняется. Следо-
вательно, к системе A.8) применим принцип усреднения.
В случае, когда /(х, х, I) периодически зависит от послед-
него аргумента, условие A.3) тоже выполняется. Если час-

286 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
тота со и частота V функции / но г не соизмеримы, то ус-
редненные правые части системы A.8) имеют вид (см.,
например1 Боголюбов, Митропольский [1])
2л 2л
1 (г С03 *. ~{ 'I ^ ^
4л2со
О
A.9)
— Г81П\|), V*
При соизмеримых со и V тоже нетрудно вычислить усред-
ненные правые части системы A.8). На основе принципа
усреднения можно сделать вывод, что при е -> 0 траек-
тория (г?, 8^) равномерно на отрезке [0, Ге-1] сближается
с траекториями (г^, Щ) усредненной системы
1-г = г1х (п)г ог = 7\ (гг)% ?о = г0, е0 = е0.
Используя такую аппроксимацию, можно сделать целый
ряд интересных выводов о поведении решений уравнения
A.7). Пусть, например, Р}(г0) = 0, и функция Рг(г) поло-
жительна слева от г0 и отрицательна справа, т. е. г0 есть
амплитуда асимптотически устойчивого периодического
решения усредненной системы. Тогда с помощью принципа
усреднения можно показать, что в системе, описываемой
уравнением A.7), при произвольных начальных условиях
установятся колебания с амплитудой, близкой к г0, и час-
тотой, близкой к со, если только 8 достаточно мало. В слу-
чае, когда функция Рх(г) имеет несколько нулей, в которых
она меняет знак с плюса на минус, амплитуда колебанийг
которые установятся через большое время, будет уже за-
висеть от начального состояния. Мы еще вернемся к урав-
нению Ван дер Поля в § 8.
Уравнение A.7) описывает систему, которая полу-
чается в результате малых возмущений уравнения осцил-
лятора. Можно рассмотреть возмущения механической
системы общего вида. Пусть система консервативна^
Н(р1 д) ее функция Гамильтона2 и уравнения возмущен-

§2] БЫСТРОЕ ДВИЖЕНИЕ— СЛУЧАЙНЫЙ. ПРОЦЕСС 287.
ной системы можно записать в виде:
^--^(р'.Л + еЛОЛ?"). *=1,2,...,1».
Если п = 1, р =: х, д = х и Я(/7, дг) = ?2 + ш2р2, /^ = О,
у* = /(р, д), то эта система равносильна уравнению A.7).
В случае одной степени свободы (п = 1), если множества
уровня Н(р, д) = С = сопя! являются гладкими кривы-
ми, гомеоморфиыми окружности, тоже можно ввести
новые переменные так, чтобы быстрое и медленное движе-
ния разделились. В качестве таких переменных можно
взять значение функции Гамильтона Я(р, д) = Н и угло-
вую координату ф на множестве уровня. Тогда, так как
для невозмущенного движения Н(рг1 дь) = 0, то Н(р*,д*)
будет медленно меняться.
Ясно, что если выбрать в качестве переменных (Я', ф),
где Я' — какая-то гладкая функция от Я, то Н' тоже бу-
дет медленно меняться. Так, в переменных Ван дер Поля
медленная переменная г ~ ]/Я. Чтобы система сохрани-
ла гамильтонову форму, часто берут вместо переменных
(Я, ф) так называемые переменные действие — угол (/, ф)
(см., например, Арнольд [1]), / = Я/со. В многомер-
ном случае медленно меняющимися переменными будут
первые интегралы невозмущенной системы. В некоторых
случаях (см. Арнольд [1], гл. 10) в гамильтоновых
системах с п степенями свободы можно также ввести пере-
менные действия — угол (/, ф); в этих переменных быстрое
и медленное движение разделяются, а система уравнений
сохраняет гамильтоиову форму.
§ 2. Принцип усреднения, когда быстрое движение
есть случайный процесс
Условие A.3), которое влечет за собой принцип усред-
нения, как уже говорилось, выполняется, если функция
\г периодическая. С другой стороны, на это условие мож-
но смотреть как на некоторый закон больших чисел; тог-
да A.3) выполняется, если значения, принимаемые функ-

288 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ 1ГЛ 7
цией Ъ.1 в далеко отстоящие моменты времени «почти
независимы».
В дальнейшем мы будем считать, что роль быстрых
переменных играет случайный процесс. Сначала остано-
вимся на более простом случае A.2), когда быстрое дви-
жение не зависит от медленных переменных. Итак, пусть
5* — некоторый случайный процесс со значениями в И1.
Будем предполагать, что функция Ъ(х, у) удовлетворяет
условию Липшица: \Ь(хг, ух) — Ъ(х2, у2)\ ^ К{\хг — #2|+-
+ \У\ ~ У А)- Относительно процесса \г предположим,
что его траектории непрерывны с вероятностью единица
или имеют на каждом конечном отрезке времени конеч-
ное число точек разрыва первого рода, разрывы второго
рода отсутствуют. При этих предположениях решение
уравнения A.2) существует с вероятностью 1 для любых
х е Лг, определено при всех I ^ О и единственно.
Если условие A.3) выполняется с вероятностью 1
равномерно по х е /?г, то из обычного принципа усредне-
ния следует, что траектории процесса Х( с вероятностью 1
равномерно на каждом конечном отрезке сходятся к ре-
шению уравнения A.4) (при этом Ь(х) и хх могут, вообщэ
говоря, зависеть от со).
Можно сделать менее ограничительные предположения
относительно типа сходимости в A.3); при этом, вообще
говоря, получается более слабое утверждение.
Предположим, что существует векторное поле Ь(х) в
Пг такое, что для произвольных б > 0 и х е Яг равно-
мерно по I > О
Нт Р
М-г
>б =0. B.1)
Из B.1) следует, что функция Ь(х) удовлет-
воряет условию Липшица (с той же константой, что и
функция Ъ(х, у)), поэтому существует единственное реше-
ние задачи
7% = ад, 70 = х. B.2)
Случайный процесс Х\ можно рассматривать как
результат малых в среднем случайных возмущений дина-

§о] БЫСТРОЕ ДВИЖЕНИЕ — СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС 289
мической системы B.2). Соотношение B.1) представляет
собой предположение о малости в среднем по времени
случайных возмущений.
Теорема 2.1. Предположим, что выполнено условие
B.1), и пусть аир М \Ь (я, У |2 < оо. Тогда для любых
Т>0 и б>0.
НтР
Утверждение этой теоремы немедленно вытекает из
теоремы 1.3 гл. 2. Для этого нужно положить 6(е, 6%
х, со) = Ъ(х, Н5/е (со)) и заметить, что условие B.1) можно
записать в виде: для любых Г, б > 0 и х <= Яг равномер-
но по I
1 + Т
НшР
е-*0
Ь (е, 5, х, со) из — ТЬ (х)
>б
= 0.
Это и есть условие теоремы 1.3 гл. 2.
Заметим, что наши рассуждения, по существу, пов-
торяют доказательство принципа усреднения в детерми-
нированном случае, которое содержится в работах Г и х-
м а н а [1 ] и Красносельского и К р е й н а
[1 ]. Близкий результат содержится в статье X ась-
минского [4].
Условие B.1), которое требуется в теореме 2.1, выпол-
няется при весьма слабых предположениях относительно
процесса Ц* = Ь(х,Ъ8) (х е Нг — параметр). Например,
если процесс ^ стационарный в широком смысле, то
достаточно, чтобы диагональные элементы его корреля-
ционной матрицы (Н1*(т)) стремились к нулю при т -> оо;
в этом случае Ъ(х) = МЬ(х, Н5). В нестационарном случае
достаточно, чтобы существовала функция г(х,т), \\т г(х1т) =
= 0 такая, что
\М(Ь(х, У - Ь(х)М*Л8+,) -Цх))\<г(х,т).
Мы отложим рассмотрение примеров до § 8, а сейчас
изучим подробнее разность X* — хь. В детерминирован-
ном случае, когда, например, ^ — периодическая функ-
*® А. Д. Веытцель, М. И. Фрейдлии

290 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
ция, эта разность имеет порядок 8, и можно написать сле-
дующие члены асимптотического разложения по целым
степеням г. При изучении вероятностных задач следует,
по-видимому, считать типичной ситуацию, когда случай-
ный процесс ^ удовлетворяет некоторому условию слабой
зависимости, т. е. когда зависимость между величинами |е
и 1*+т с ростом т в определенном смысле ослабевает.
Оказывается, в этом случае отклонение X8 от хг имеет
другой характер. Разность X8 — хг имеет порядок |/*е,
однако никакого следующего члена асимптотического
разложения написать нельзя: при е -^ 0 выражение
-7= (X8 — х^) не стремится, вообще говоря, ни к какому
Уе
пределу, а только имеет предельное распределение.
Иными словами, если сам принцип усреднения — утвер-
ждение теоремы 2.1 — можно рассматривать как резуль-
тат типа закона больших чисел, то поведение нормирован-
ной разности -р: (X8 — хг) описывается утверждением ти-
Уе
па центральной предельной теоремы. Чтобы пояс-
нить это, рассмотрим простейшую систему Х8=Ь(^/е),
в которой правые части не зависят от х. Если процесс \г
удовлетворяет условию сильного перемешивания (см. ни-
же), то распределение нормированной разности ^8 = -т^Х
Уе
X (X8 — Хг) при небольших дополнительных ограниче-
ниях сходится при 8 -»- 0 к нормальному (см., например,
И б р а г и м о в, Л и н н и к [1 ]). В следующем парагра-
фе мы покажем, что при некоторых дополнительных ус-
ловиях распределения нормированных разностей сходят-
ся к гауссовским и для систем общего вида. Более того,
следуя работе X а с ь м и н с к о г о [4], мы покажем, что
не только распределения величин ^8 при каждом фикси-
рованном I сходятся к гауссовским, но и что процессы
^8 сходятся при е-^0 в смысле слабой сходимости к
некоторому марковскому гауссовскому процессу и найдем
характеристики этого предельного процесса. В дальней-
ших параграфах мы изучим также большие, поряд-
ка 1, уклонения X8 от х^ и большие уклонения порядка
е*, где к е @, 1/2).

§ 3] НОРМАЛЬНЫЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 291
§ 3. Нормальные уклонения от усредненной системы
Итак, мы переходим к изучению разности между реше-
нием Х\ системы A.2) и решением хх усредненной сис-
темы. В предыдущем параграфе показано, что с вероят-
ностью, близкой к 1 при малых г, траектории X] нахо-
дятся при I е [О, Т]1 Т < оо, в малой окрестности функ-
ции Х\. Поэтому, если принять во внимание гладкость
поля Ъ(х, у), можно надеяться, что ^разность X? — хг
хорошо приближается уклонением от хх решения систе-
мы, которая получается из A.2) при линеаризации в
окрестности траектории усредненной системы. Таким об-
разом, изучение нормированной разности ^ = е~~1/2(Х^ —
— хг) можно проводить по следующему плану: во-пер-
вых, изучить нормированные уклонения в случае линеари-
зованной системы; во-вторых, проверить, что траектории
первоначальной системы и линеаризованной отличаются
на величину бесконечно малую при е | 0 по сравнению с
Уг. Для реализации первого пункта нашего плана нам
придется ввести понятия и провести рассуждения, вполне
аналогичные тем, которые обычно используются при до-
казательстве центральной предельной теоремы для слу-
чайных процессов. Кроме того, так как мы хотим доказать
слабую сходимость процессов, а не только сходимость
конечномерных распределений, нам придется еще прове-
рить слабую компактность семейства процессов ^.
Заметим, что исследование больших, порядка ех,
где х е @, 1/2), уклонений тоже можно свести к изуче-
нию таких уклонений для линеаризованной системы.
Вероятности уклонений X* от х{ порядка 1 для систе-
мы A.2) и линеаризованной системы уже имеют суще-
ственно различную асимптотику.
Переходим к реализации намеченной программы изу-
чения уклонений порядка ]/е. Для этого прежде всего
напомним понятие сильного перемешивания и некоторые
свойства случайных процессов, удовлетворяющих усло-
вию сильного перемешивания.
Пусть в вероятностном пространстве {О, Р, Р} за-
Дано расширяющееся семейство сг-алгебр ЗГ\ : У\\ с Т\\
пРи 0 ^ ц ^ §} ^ 1г ^ 1^ ^ оо% Говорят, что это семейст-
10*

292 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
во удовлетворяет условию сильного перемешивания с
коэффициентом а(т), если
еир зир | М&п - М%Щ I = а (т) | 0 C.1)
* Б.'П
при т -> оо, где верхняя грань берется по всем З^-из-
меримым 5» 151^1» п ^н-х -измеримым величинам
Л, |тI<1-
Можно доказать (см. Розанов [1 ]), что если
5 — #"о -измеримая, а г|— З^Т+т -измеримая случайные
величины и М|%|2+6 < оо, М|г)|2+6 < оо, то
1 1 б
|МЕл - М5Мц К (М |5 |2+б) 2+б (М | Т1 |2+б) 2+б • 7 [а (т)] 4+б .
C.2)
Если 0 ^ 5Х ^ и ^ 52 ^ 12 ^ . . . ^ 5т ^ 1т — любые
числа, Д = Ш1П (.9^— 1ь—\) и случайные величины г)х,. . .
.., т)т таковы, что %— ^^л-измерима, \г\к\ <^ 1, то
*(го-1)а(Д)л C.3)
гдеа(Д) — коэффициент перемешивания для ст-алгебр &~\.
О случайном процессе \г, I ^ 0, говорят, что он удов-
летворяет условию сильного перемешивания с коэффи-
циентом перемешивания а(т), если а-алгебры $Гг8, по-
рожденные значениями процесса %и при и е [5, г], удов-
летворяют условию сильного перемешивания C.1).
Пусть Г[1 = (т]1@, .# . ., 1\2кA)) — случайный процесс,
удовлетворяющий условию сильного перемешивания с
коэффициентом а(т). Предположим, что для некоторого
т>2 при г = 1,2, . . ., 2к
тп-2
1 А л =
и+т
и

§ 3] НОРМАЛЬНЫЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 293
где С, В, Аи . . ., Ак — некоторые положительные кон-
станты. Тогда найдется такая постоянная СBЛ>, которая
определяется только по константам С, В, Ах, . . ., Ак,
что
М Г - • • Г Па (О !12 (*2) * • • •* ТJ* E2^) Л81 •.. ^;
C.4)
где /Jь = {($ь . ¦ ., 82к): §1 ^ [^о» ^о ~Ь Т\ при г = 1, . . .,
2к}. Если I) — прямое произведение двумерных выпук-
лых областей Д*1) ,. . ., /)(^ таких, что каждая из них
может быть заключена в квадрат со стороной Т, и к тому
же при всех $е [*0, г0-\- Т] выполняется неравенство
<С, то
М Г . . . Г Т]1 (С±) Г\2 ($2)' . . . •1]2А ($2а) Й5А . . . С?52;
C.5)
Доказательство оценок типа C.4) берет свое начало от
первых работ по предельным теоремам для слабозависи-
мых случайных величин (см. В е р н ш т е й н [2]). В при-
веденном здесь виде оценки C.4), C.5) доказаны в работе
X а с ь м и н с к о г о [4].
Теперь сформулируем основной результат этого пара-
графа.
Теорема 3.1. Пусть функции Ь1(х, у), х е= Яг,
У^Н1, г =1,. . ., г, имеют непрерывные ограниченные во всем
пространстве первые и вторые частные производные.
Предположим, что случайный процесс ^ со значениями в
Л1 имеет кусочно-непрерывные с вероятностью 1 траекто-
рии, удовлетворяет условию сильного перемешивания с
коэффициентом а(т) таким, что ] т[а(т)]1/5 йт < оо и
р М | Ь (х, 1г) |3 < N < оо. Пусть, кроме того, выполня-
ются условия:

294 Динамические системы с усреднением [Гл. 7
1. Равномерно по х ^ Нг> 10 > О существуют пределы
Ига 1- Г ( ЛМ1
го ^9
где
= М [Ь* (х, у - МЬ* (х, У] [Ь1 (*, ?,) - Мб1 (х, у].
2. Для всех т е [О, То] при некотором С <; оо
т
лтах
14т (*« &/<*) ~ тт (*•
Се,
<Се.
Гог5а процесс
э(-у_^А( х{)
8-^0 слабо сходится на интервале [0, То] к гауссов-
скому марковскому процессу ^, удовлетворяющему систе-
ме линейных дифференциальных уравнений
%>г =и*г+ В (хг) ^, ^о = 0, C.6)
где и$ — гауссовский процесс с независимыми прираще-
пиями, нулевым математическим ожиданием и ковариа-
I
ционной матрицей (НИA))> Ккг (г)=Ми^ки^'1^=\ Акг (х8) йз\
О
В (х) = (Вг(х))= (^~-

§ 3] НОРМАЛЬНЫЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 295
Доказательство. Введем обозначения: В {х, у) =*
I
= В)(ХХ у)) = ^(х, */)), Я? =^= |[Ь&, Ь/е >>
Ф E, 6, СО) = В (Х8, 58/е) — ^ (яв),- 4я E, 6, СО) =
= -1= [ь(х8 + УгЦ Ь/в) - & (*., Ы - В С*8,
У 8
Из определения Х^8 и хь вытекает следующее соотноше-
ние для нормированной разности ^8:
I
(х8) &8 + [ Ф (*, г, со) Й* + | Т (^ е, со) й*. C.7)
0 0
Легко проверить (это следует из существования огра-
ниченных производных второго порядка от функций
Щх* У))> что ^E> е» (°) имеет порядок У~г(&J. В ли-
неаризованное уравнение, вообще говоря, должен вхо-
дить член, соответствующий третьему слагаемому в пра-
вой части равенства C.7), однако, как будет следовать из
дальнейшего, этот член оказывает исчезающее малое при
е ->• 0 влияние, поэтому мы его сразу не включим в ли-
неаризованное уравнение.
Итак, рассмотрим упрощенное линеаризованное урав-
нение
я(гв)#&. C.8)
о
В соответствии с нашим планом мы сначала должны дока-
зать, что Ъ\ при б -> 0 слабо сходится к процессу ^?,
Удовлетворяющему уравнению C.6). Для этого нам по-
надобится следующая лемма.
Лемма 3.1. Процесс Я8 при г -> 0 слабо сходится
к процессу ю\, определенному в формулировке теоремы 3.1.
Доказательство леммы разобьем на несколь-
Ко пунктов.

296 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
1. Прежде всего убедимся в том, что семейство процес-
сов А,8 слабо компактно в пространстве 6тог0- Для этого
достаточно проверить (см. Прохоров [1 ]), что для
любых 5, 5 + ^е [О, Го] выполняется неравенство
м|^-^|4<а\ C.9)
где С — постоянная, не зависящая от е. Очевидно, дос-
таточно установить аналогичную оценку для каждой ком-
поненты процесса А,8 = (А,8'1 (*), ..., А,8'г (я)). Из предпо-
ложения о коэффициенте перемешивания процесса ^ и
условия 2 следует, что к процессу Хе>к(8) применима оцен-
ка C.4):
(8+/1)/8 (8-НО/8 4
«/8
11и < 2С
Отсюда вытекает C.9) и слабая компактность.
2. Из условий теоремы 3.1 вытекают соотношения
I
Нт М^8 =? 0; Нт МЯЕ'/{ (I) Iе'1 (I) = С Ам (ж,) из. • C.10)
е-,0 е-*0 О
е-,0
Первое из этих равенств вытекает из условия 2 теоремы
3.1. Из этого же условия получаем, что
11118к1(и181г)<18с1и + огA), C.11)
о о
где обозначено §м(и, 5, е) = М[^ (хи, 1и/е) —МЬк(лшш
Ъи/гI X [ЬЧха, 18/г) - МЬ'й. Е./еI. Чт°бы вывести
отсюда второе из равенств C.10), положим// = {E, и) :
0<$<*, 0<1г<^}, А = ^//г, Л, = {E, м): гД <
<5<A-г-1)Д, 1Д<и<(г+ 1)Д}, д—целое; А = "{) А1х
0

, 3] НОРМАЛЬНЫЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 297
? = #\Л. Из C.2) с б = 1 следует оценка
< — я\11/5
п_1 *А/8 (*+ПД/е
Отсюда имеем
Г ы о "—1 С С
\2 (ич 5, г)йи й±^ 26\>е2 У, \ Aи \ й$[а
В г=0 О 2Д/8
[а{и)]иъйи. C.12)
Принимая во внимание ограниченность производных
функций Ък(х, I) и условие 1 теоремы 3.1, получим
Г /; (и1 зх г) йий$ =
А
гг ! A+ПД/8 A+ПА/е
2 Ак1(х^)^ + оеA)\ + О(Цп2). C.13)
г-0 \
Это равенство справедливо при гп —> 0, гг —>¦ оо. Из огра-
ниченности производных поля 6(;г, г/), условия 1 теоремы
3.1 и условия сильного перемешивания вытекает, что
функции Аы(х) непрерывны. Учитывая эту непрерыв-
ность и соотношения C.11) — C.13), получим
гдо Те.п -* 0» если гп -> 0, гп2 -> оо.
3. Покажем, наконец, что %* слабо сходится к про-
цессу ц?^ определенному в формулировке теоремы 3.1.
Из слабой компактности семейства мер в пространстве
^от0, соответствующих процессам ?ч, следует, что из
любой последовательности таких процессов можно выб-
Рать подпоследовательность, сходящуюся к некоторому

298 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
процессу Хг. Если мы покажем, что распределение пре-
дельного процесса Я* не зависит от выбора подпоследова-
тельности, то отсюда будет следовать слабая сходимость.
Из пункта 2 вытекает, что МХг = 0, а элементы мат-
рицы дисперсий процесса Хг = (Х1^, . . ., Хг (г)) имеют
г
вид: МХк (г) X1 (Ь) = Аы (х8) Й5. Кроме того, Хг — процесс
о
с независимыми приращениями. В самом деле, пусть
51 ^ ^1 ^ 82 ^ и ^ • • • ^ §т ^ 1т — любые неотрицатель-
ные числа; обозначим А = гшп (зк — ^—0- Применим нера-
2<&
венство C.3) к величинам г\1 = ехр к (%х Х*г —
М ехр {* ^ 2 (Ч- ^|))} - ПМ ехр {« (г, Х\ -
Отсюда, учитывая, что Нт а (т) = 0, заключаем, что
Т-»эо
для предельного процесса Хг многомерная характерис-
тическая функция вектора (Х^ — Х31,- \г — Хз , . . .,
Х1т— Х8т\ равна произведению характеристических функ-
ций отдельных приращений. Следовательно, предельный
процесс X* имеет независимые приращения.
Таким образом, предельный процесс Хг имеет непрерыв-
ные траектории, независимые приращения, нулевое сред-
нее и заданную матрицу ковариаций (МХк(г)Х1(г)). Как
известно, этими свойствами процесс Хг определяется од-
нозначно, такой процесс обязательно гауссовский (см.
Скороход [1 ]), и Хг совпадает (в смысле распределе-
ний) с процессом и>1. Из слабой компактности семейст-
ва мер, соответствующих процессам X* и из того, что
это семейство имеет единственную предельную точку,
вытекает слабая сходимость процессов X* к ю°г. Лем-
ма 3.1 доказана.
Теперь совсем просто доказать слабую сходимость
мер, соответствующих процессам Ъ\1 к мере, соответст-

§ 3] НОРМАЛЬНЫЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 299
вующей процессу $. Действительно, уравнение C.8)
определяет непрерывное отображение С: Xе -> 2е про-
странства Сог0 в себя. Ясно, что если меры, соответствую-
щие А,8, слабо сходятся к мере, соответствующей процессу
ы°, то меры, соответствующие Ъг = С(Хе), слабо сходятся
к мере, соответствующей С(ш°) = ^°.
Итак, мы осуществили первый пункт нашего плана.
Теперь оценим разность ^ — 2*= \]\, Из C.7) и C.8) для
\]\ получаем соотношение
х
-= | Ф (в, 8, со) г\й* + [ У (*, 8, со) аз. C.14)
о о
Так как элементы матрицы В(х, у) ограничены, то из пос-
леднего равенства на основании леммы 1.1 гл. 2 заклю-
чаем, что
г
8, 8, СО) -
(в, в, со) йа
, C-15)
где с — некоторая константа. Если мы покажем, что се-
мейство мер, индуцированных процессами ^ в Сог0,
слабо компактно и правая часть последнего неравенства
стремится к нулю по вероятности, то этим доказательство
теоремы завершится.
Убедимся сначала, что правая часть в C.15) стремится
к нулю по вероятности при е -> 0. Из ограниченности
частных производных функций Ъ1(х, у) вытекает, что при
некотором Сх
Учитывая ограниченность М | к* |2, из
вывести, что М | ^ |2 < С2 < оо при
Отсюда и из C.16) вытекает оценка
М\\Ч{81г1 со)
C.10)
C.7) легко
8Е= 10, То].
C.17)

300
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ 7
Оценим теперь первое слагаемое в правой части C.15).
Мы воспользуемся представлением решения задачи C.8)
через функцию Грина К (I, з) = {К) (г, $)):
C.18)
Как известно, функция Грина К{1, $) непрерывно диффе-
ренцируема в треугольнике {(I, $) : 0 ^ 5 ^ I ^ 770};
для нормы матрицы КA, $) имеется оценка
\\Щ,
1№.)||ехр {\\В&)\\\1 -з\}<С\.
Используя представление C.18), будем идшть
1 (*, 8, СО) Ъ\й$
й$ [В (х8, 16/г) — В (х8)] ) К E, и) \?ас
о 6
C.19)
Обозначим /! л /2 первое и второе слагаемое в правой час-
ти C.19) соответственно. Положим
(8/е, е, со) =
-Ъ"
ф; ($/е, 8, СО) = —г- (Х5, ^/е) — —-г- ,
ах' ох'
Учитывая определение процесса %] и применяя оценку
C.5), получим
/!<С(г)тахМ
л,>
е3С (г) тах
Г 8
~7= Й5 Ф? E/8» е, со) 1 Ф? (и/е, 8, со)
1/8 !/ о1
//8
о о
81 8,
52 ] ймх ]
* E1? е1 со) X

§ 3] НОРМАЛЬНЫЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 301
X Ф* («2» е> ш) Ф? К> е, со) ф7 (м2, е, со)] <
< С (г) С5е3 (*/еJ = С6е*2. C.20)
Здесь С (г) — постоянная, зависящая от размерности про-
странства.
Чтобы оценить /2, заметим, что из дпфференцируемостп
элементов К) B, 5) матричной функции Грина и из усло-
вия 2 теоремы вытекает оценка
II*
\ Мф] E, 8, @) К{ (85, п) A8 < С7 < ОО
и/г
при 0 <! и ^ г ^ То. Используя эту оценку и
неравенство C.5), получим
[г з и -|2
—=. \ ф^ E/е, е, со) 6,8 \ Къ E, и) йи \ ф (у/е,8,со) Ли ^
к о о о ^
< < //8 //е и,/8 и2/е
< е3 ] Aи11 йа2 М ] A8Х ] Й5а | йуа | йу2ф(е, 5Х, мх, со) X
О 0 их/8 иг/е О О
X ф (8, 52, и2, СО) ф^ (Ух, 8, СО) ЦН (У2, 8, СО) <1 С88^4,
где ф (е, 5, и, со) = ф) E, 8, со) к{ (85, и). Из этих неравенств
вытекает оценка /2 ^ С98. Отсюда, если учесть C.19) и
C.20), приходим к неравенству
М
Ф E, 8, (О) ^
C.21)
которое справедливо при г <= [0, То]. Из C.15), C.17) и
C.21) следует, что М|*7*|->0 при е-*0.
Чтобы проверить слабую компактность семейства
мер, соответствующих процессам ^ $
заметим, что
связаны соотношением
- ь

802 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
Отсюда, учитывая оценку C.9) и ограниченность
производных функции Ъ(х, у), нетрудно получить оцен-
ку, аналогичную C.9I для $:
Эта оценка обеспечивает слабую компактность процес-
сов $г % е [0, Го]. Из слабой компактности и из схо-
димости конечномерных распределений вытекает слабая
сходимость процессов $ к {$.
Этим заканчивается доказательство теоремы 3.1. В § 8
мы рассмотрим некоторые примеры использования этой
теоремы, а сейчас сделаем только одно замечание. Соглас-
но теореме 3.1
0), C-22)
если функционал Р(<р) ограничен и непрерывен на Сог0«
Для разрывных функционалов такой предельный переход,
вообще говоря, невозможен. Если, однако, множество то-
чек разрыва функционала Р имеет для предельного про-
цесса $ вероятность нуль, то, как легко доказать, соот-
ношение C.22) сохраняется. Пусть, например, имеется
область В СИ Кг с гладкой границей дВ, и Р(<р) = 1, ес-
ли т(ф) = ш! {и ц>г е дВ) < Ту и ^(ф) ¦= 0 для осталь-
ных функций из СоТ(Нг). Этот функционал имеет разрывы
на тех ф, которые до момента Т достигают дО, но не выхо-
дят из В и^Р* и на тех Ф» Для которых т(ф) = Т. Если
матрица А^(х8) не вырождается, то множество траекто-
рий, достигающих дО до момента Г, но не выходящих из
Б, имеет для предельного процесса $ вероятность
нуль. Это следует из строго марковского свойства процес-
са и из того, что невырожденный диффузионный процесс,
начинающийся в точке х е дВ, с вероятностью 1 до лю-
бого момента I > 0 побывает по обе стороны гладкой по-
верхности дВ. Обращение в нуль вероятности Р{х(^°) =»
*= Т} следует из существования переходной плотности
у процесса ^?. Таким образом, Р{т(^е) < Т) стремится
при 8-^-0к Р{т(^°) < Т). В частности, выбирая в качест-

| 3] НОРМАЛЬНЫЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 303
ве В шар радиуса б с центром в точке 0, получим
Нт Р { вир | X* -х% | > б/е] - Р {т (С0) > Т).
Последнюю вероятность можно вычислить, решая соот-
ветствующее уравнение Колмогорова.
Упомянем еще об одной ситуации, в которой возникает
диффузионное приближение для отклонений от траекто-
рий усредненной системы. Если вернуться к «медленному»
времени, в котором записано уравнение A.1), то принцип
усреднения, содержащийся в теореме 2.1, можно сформу-
лировать следующим образом; если выполнено условие
B.1), то для любого б > О
НтРГ вир
0 [0Г
где 2% — решение уравнения A.1), а хг — решение
усредненной системы A.4). В случае Ь(х) ^ О из этой
теоремы следует, что за время [0, Т/в] процесс Ъ\ не
отойдет на заметное расстояние от начального положения.
Оказывается, что в этом случае перемещения порядка 1
происходят за временные интервалы порядка е"~2. По-
видимому, впервые на этот факт было обращено внимание
в работе Стратоновича [1]. Там же на физическом
уровне строгости установлено, что семейство процессов
2у&ш сходится при некоторых условиях к диффузион-
ному процессу и вычислены характеристики предельного
процесса. Математически корректное доказательство это-
го утверждения было дано X а с ь м и н с к и м [5];
При существенно менее ограничительных предполо-
жениях доказательство проведено в работе (Боро-
дин [1]).
Не формулируя точно условий, которые, кроме ра-
венства Ь(х) = 0, содержат некоторые предположения
относительно ограниченности производных функций Ъ(х,у)у
а также относительно достаточно хорошего перемешива-
ния у процесса 5* и существования моментов, приведем
результат.

304 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 1
Введем обозначения:
*:'(*,*, 9=2 мв](х,ь,)ъ5(хЛ1).
Предположим, что равномерно по ^0 > 0 и х е Нг су-
ществуют пределы
а н (х) = Ьтп -трг \ \ а (х, 8, 9  "^#
^М = Нт1 Г ( Кг(х,8^)с18сИ.
Т-+оо •*¦ О и
и ^о
Тогда на отрезке [О, Т] процессы х\* = ^/е« слабо
сходятся при е -> 0 к диффузионному процессу с произ-
водящим оператором
{=1 ^
Точную формулировку и доказательство можно найти в
работах (X а с ь м и н с к и и [5]) и в (Б о р о д и н [1 ]).
§ 4. Большие уклонения от усредненной системы
Итак, мы установили, что процесс X? при малых е
в течение времени [0, Т] с подавляющей вероятностью
находится вблизи траектории усредненной системы хи
а нормированные отклонения --= (Х\ — хг) представ-
V е
ляют собой случайный процесс, который при г -> 0 слабо
сходится к некоторому марковскому гауссовскому процес-
су. Если усредненная динамическая система имеет асимп-
тотически устойчивое положение равновесия или предель-
ный цикл, и начальная точка Х\ = х находится в области
притяжения этого положения равновесия или цикла, то

§ 41 ЁОЛЬШИЁ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 305
из приведенных результатов вытекает, что с вероятностью,
близкой к 1 при малых 8, траектории X] попадут в ок-
рестность предельного цикла или положения равновесия
и проведут в этой окрестности как угодно большое время
Т, если только 8 достаточно мало. С помощью теоремы 3.1
можно оценить вероятность того, что в течение фиксиро-
ванного времени [О, Т] траектория Хгь не покинет окрест-
ности Пг положения равновесия, если эта окрестность
имеет линейные размеры порядка ]/е. Однако приведен-
ные результаты не позволяют сколько-нибудь точно оце-
нить вероятность того, что Хгь покинет за время [0, Т]
заданную, не зависящую от е окрестность положения рав-
новесия; можно лишь сказать, что эта вероятность стре-
мится к нулю. Теоремы 2.1 и 3.1 не дают возможности
изучить события, определяемые поведенивхМ процесса Х\
на интервалах времени, растущих вместе с е. Так, с по-
мощью этих теорем нельзя оценить время, которое про-
цесс X* проведет в окрестности Б асимптотически ус-
тойчивого положения равновесия до первого выхода из /).
За достаточно большие промежутки времени процесс А7,
вообще говоря, будет переходить из окрестности одного
положения равновесия усредненной системы в другие.
Эти переходы происходят «вопреки» усредненному дви-
жению, за счет продолжительных отклонений процесса
Н* от своего «типичного» поведения. Одним словом, поло-
жение здесь вполне аналогично тому, с которым мы стал-
кивались в гл. 4—6: чтобы изучить все эти вопросы, необхо-
димы теоремы о больших уклонениях для семейства процес-
сов Хи Сейчас мы введем для этого семейства функционал
действия и с его помощью изучим вероятности маловероят-
ных при е <^ 1 событий, а также поведение процесса на
временных интервалах, растущих с убыванием е. Эти
результаты получены в работах Ф р е й д л и н а [9],
[И].
В дальнейшем мы будем считать для простоты, что
ограничены не только частные производные функций
&Ч#» У), х е Яг, у е Я1, но и сами функции Ь1(х, у):
(\Ъ*(*,У)\+

806 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 1
Предположение об ограниченности \Ъ(х, у)\ можно было
бы заменить предположением о конечности некоторых
экспоненциальных моментов величины \Ь(х, ^)|, но это
несколько удлинило бы доказательства.
Будем говорить, что выполнено условие Р, если най-
дется такая числовая функция Н(х, а), х е Лг, а е Лг,
что для произвольных ступенчатых функций ф3, а8 на
отрезке [0, Т] со значениями в Яг выполняется соотно-
шение
(г ч г
7* (а*> ъ (фв. Ь/е)) & = Я (ф5, ав) из. D.1)
о ) о
Если в качестве ф3 и а3 выбрать постоянные ф, а е
е Лг, то из D.1) получим
Пт -- 1пМехр (а, Ь (ф, У) & = Я(ф,а). D.2)
Лемма 4.1. Функция Н(х, а) непрерывна по сово-
купности переменных и выпукла вниз по второму аргу-
менту.
Действительно, из D.2) следует, что
\Н(х + Д, а + б) - Щх, а)\ < ЛГ|8| + ВД|Д|
п, стало быть, непрерывность доказана. Выпуклость по а
тоже вытекает из D.2), если принять во внимание выпук-
лость вниз экспоненты, монотонность и выпуклость
вверх логарифма.
Определим функцию Ь(х, Р) как преобразование Ле-
жандра функции Н(х, а) по переменным а:
Функция Ь(х, Р) выпукла вниз по р и полунепрерывна
снизу по совокупности переменных; она принимает неотри-
цательные значения, включая + оо. Из ограниченности
поля Ь(х, у) следует, что Ь(ху Р) = +оо вне некоторого
ограниченного множества в пространстве переменных Р

§ 4] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 307
Функция Ь(х, Р) полунепрерывна снизу по совокуп-
ности переменных. В самом деле, из определения Ь(х, р)
вытекает, что при любых х, Р е Яг и любом п > 0 можно
найти ап '= ап(#, Р) такое, что
Цх, Р) < (аП1 Р) - Н(х, ссп) + 1/тг.
Отсюда, учитывая непрерывность функции Н(х, а), по-
лучаем, что при некотором 8п = 6п(х, р, ап) и \х — х'\ <
<6П, 1Р-Р'|<6П
(«тг» Р)— Я(#, ап)<
Таким образом, Ь(х, Р) < /у(^', Р')+2/дг, если \х — х'\ <8п
и |р— Р'|<бп, т. е. функция Ь{х, р) полунепрерывна
снизу по совокупности переменных.
Замечание 1. Условие Р равносильно предполо-
жению о существовании предела D.1) для любых непре-
рывных ф3, а8.
Замечание 2. Переменные (х, а) и (х, Р) изме-
няются, вообще говоря, в разных пространствах. Если
уравнение A.2) рассматривается на многообразии С,
го х — точка многообразия, а — элемент кокасательного
пространства в точке х\ (х, а) — точка кокасательного
пучка; (х, Р) — точка касательного пучка.
Введем в рассмотрение функционал 8оТ (ф) на про-
странстве СоТ(Яг):
т
Зот (ф) = ] ^ (Ф«1 Фз) йв*
о
если ф8 абсолютно непрерывна; на остальных функциях
из СоТ(Дг) считаем 8оТ (ф) = +оо.
Л е м м а 4.2. Для любого компакта Ро СГ Яг и любого
5< оо множество Ф^о($) = {фЕ СоТ (Яг): ф0 е ^0,
^от (ф) ^ 5} компактно в Сот (Яг). Функционал *§'ог(ф)
полунепрерывен снизу в Сот (Яг).
Доказательство. Так как функция Ь{х,$) вне
ограниченного множества в пространстве переменных Р
обращается в +оо, то множеству Ф^о E) могут при-
надлежать только функции, у которых производные рав-
номерно ограничены. Отсюда с учетом компактности мно-

308 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
жества Ро, следует, что все функции из Ф/го($) равно-
мерно ограничены и равностепенно непрерывны. Таким
образом, для доказательства компактности Ф^о (<?)
нужно только показать, что множество Ф^о (б*) замк-
нуто. Замкнутость, очевидно, следует из полунепрерыв-
ности функционала 8оТ (ф) снизу. По поводу полунепре-
рывности сошлемся, как и в § 2 гл. 5, на книгу Иоффе
и Тихомирова [1].
Т е о р е м а 4.1 (Фре й д л ин [9], [11]). Пусть ус-
ловие К выполнено, и Н(х, а) дифференцируемо по а.
Тогда функционал 8оТ (ф) будет функционалом действия в
пространстве СоТ(Яг) для семейства процессов X8 при
е -^ 0, нормирующий коэффициент /(е) = е~\ т. е. мно-
жество Фх E)={фЕ С0Т (Яг): ф0 = х, 80Т (ф)=О} компакт-
но в СоГ (Яг), и для любых $, б, у > 0 и произвольного
Ф ^СОТ(ЯГ), ф0 = х, найдется такое е0 > 0, что при е<; е0
Р (Рог (*8, ф) < 6} > ехр {- е-1 (80Т (<р) + у)}х D.3)
Р (Рог (^ФхМ) > 6} <ехр {- в'1 E - V)), D.4)
где X8 —решение уравнения A.2) с начальным условием
уб _
Мы отложим доказательство этой теоремы до следую-
щего параграфа, а сейчас займемся некоторыми следст-
виями из нее и проверкой условий теоремы для некоторых
классов процессов. Прежде всего заметим, что для любого
множества А с: Сог(^г) = {ф ^ Сот(Яг): ф0 = х}
— 1п1 Я(ф)<Ит е 1пР {X8 ее Л} <
е-0 Фе[А]
где [А] — замыкание, а (А) — совокупность внутренних
точек множества А в пространстве Сот (Яг). Оценки
D.5) следуют из общих свойств функционала действия
(см. гл. 3). Если нижние грани в D.5) по [А ] и по (А) сов-
падают, то из D.5) вытекает соотношение
ПтеЬР (Х8еЕЕ А] = — Ы 8оТ (ер). D.6)

§ 4] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 309
Следует отметить, что из-за ограниченности \Ъ(х, |<<5)|
п возможной вырожденности случайных величин &(.г,|5)
условие совпадения нижних граней функционала 8оТ (ф)
по множествам [А] и (А) является более жестким, чем,
скажем, в случае функционала, соответствующего адди-
тивным возмущениям типа белого шума (см. гл. 4).
Из компактности множества Фя($) вытекает, что можно
выбрать е0 > 0 так, что оценка D.3) будет справедлива
при е < е0 для любой функции ф е Фя($). Так как вектор-
ное поле Ь(х, у) удовлетворяет условию Липшица, то для
любых ф* е= Схот (Пг)% Фу е= Суот (Дг) и б >0
(со: рог (Xе, ф«) < 6} с {со: Рог (У8, Ф") < (ект + 2) б},.
если роТ (ф*, ц>у) < б, где X8 = X/, У8 = У* — решения
уравнения A.2) с начальными условиями х, у
соответственно, К — постоянная Липшица. Отсюда на
основании оценок D.3) и D.5) вытекает, что если
Р(ФХ, Ф") < б, то
Ы 50Г(Ф)<50Г(ф^
где б' = (екг+2)б. С учетом последнего неравенства
легко проверить, что при \х — у\ ^ б
{р(Х«, Фя(в)) < 6} с {р(Г«| фу{$)) < б'}.
Принимая во внимание эти оценки и включения, из
теоремы 4.1 легко вывести следующий «равномерный»
вариант теоремы 4.1.
Т е о р е м а 4.1'. Предположим, что условие Р выпол-
нено, и функция Н(х, а) дифференцируема по переменным а.
Тогда функционал г~18^Т (ф) — функционал действия для
семейства процессов X8 при г -> 0 равномерно относи-
тельно начальной точки х из любого компакта (? (Ц Яг.
Это значит, что справедливы утверждения теоремы
4.1, причем для любых 8, б, у > 0 и любого компакта
(? СИ 1{г можно выбрать е0 > 0 так, что неравенства
D.3) и D.4) выполняются для любой начальной точки
х ^ (^ и любого ф е Фя($).

310 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
Для широкого класса интересных событий нижняя
грань в D.6) выражается через функцию ихA, г) =
= т! {^(ф): Ф° = х-> Ф* ^ 2Ь Начальная точка фо = х,
как правило, считается фиксированной, и потому индекс х
у их{1, г) мы будем опускать. Функция иA, я), как извест-
но, удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби. Так
как преобразование Лежандра инволютивно, то уравне-
ние Гамильтона — Якоби для функции и(г, т) имеет вид
(см., например, Гельфанд и Фомин [1])
да,. ч Тт[ да да \ ., _
{^IЦг ^ D.7)
На траекториях усредненной системы функционал
6гоТ(ф) обращается в нуль. В самом деле, из выпуклости
вверх функции 1п х следует, что
Я (х, а) = Нт ^ 1п Ме
=(«, &(*))<
и значит, I, (фг ф) = 8ир [(ф, а) — Н (ф, а)] == 0 при ф=
а
Из дифференцируемое™ Н(х, а) по а вытекает, что функ-
ционал действия обращается в нуль только на траектори-
ях усредненной системы. Возьмем в качестве А множество
(ф е Сог (#г) : вир | ф^ — хх \ > б\. Тогда из D.5) заклю-
чаем, что для любого 6> 0
Р(зир [Х?-
при достаточно малых е, где с — любое число, меньшее
т! 5(ф). Эта нижняя грань строго положительна, так
еи]

4 4] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЁДЙЕЙЙОЙ СИСТЕМЫ 311
как 6г(ф)>0 при фЕ^и функционал б^ф) полунепреры-
вен снизу. Таким образом, если выполняются условия
теоремы 4.1, то вероятность отклонения порядка 1 от
траектории усредненной системы экспоненциально мала.
В § 8 мы рассмотрим некоторые примеры использования
теоремы 4.1, а сейчас займемся вопросом о выполнении
условий этой теоремы в случае, когда ^ — марковский
процесс.
Лемма 4.3. Предположим, что ^ -— однородный
марковский процесс со значениями в О С1 Дг, и пусть
при любых х, а е Лг равномерно по у е В
т
Нт ^ 1пМ„ ехр [(а, Ь(*, У) йЛ =Н(х1а). D.8)
Тогда условие Р выполнено.
Доказательство. Пусть а3 и 23 — ступенча-
тые функции, СЦ, гк — соответственно их значения на
[*А_1, 1к)\ 0 < ^о < Ь < ^2 < . . . < 1п = Г. Используя
марковское свойство, можно написать
т
Нт е 1п Муе
1 ^
= Пт е 1п Муе • Щ /ге X
е-»-0
Из D.8) следует, что
D.9)
где 6& ~> 0 при е -»• 0 равномерно по у^П. Повторяя
на каждом полуинтервале [^-х, 1к) эту оценку, из D.9)

312 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 1
получим
е 1п М ехр I— I (а8, Ь (г8, &/е)) *? ~~
I ^ V
V О
Из этого соотношения вытекает условие Р.
Для марковских процессов можно сформулировать
общие условия типа феллеровости и положительности
переходных вероятностей, которые обеспечивают выпол-
нение условия Р и дифференцируемость Н(х, а) по а.
Мы не будем касаться общего случая и остановимся подроб-
нее на случае, когда |* — марковский процесс с конечным
числом состояний. В § 9 мы рассмотрим случай диффузион-
ного процесса ^.
Итак, пусть 1г, I !> 0,— однородный, стохастически
непрерывный марковский процесс с N состояниями
{1, 2, . . ., Л^}; РиA) — вероятность перехода из г в /
через время I, РA) = (Ри@)« Обозначим (} = (д^-) матри-
цу, состоящую из производных РИ при I = 0; эти
б//
производные, как известно, существуют.
Теорема 4.2. Предположим, что все элементы мат-
рицы () отличны от нуля. Обозначим (?а'*=(<7?/х) матрицу,
элементы которой задаются равенствами: д?-х ~ д^ +
+ б/;- • (а, Ь (х, г)), г<9<? 8/;- = 1 гс/ж г = / и й/;- = 0 дг/?ц г ф /.
Гог^а матрица ()а>х имеет однократное вещественное
собственное значение X — \(х, а), которое превосходит ве-
щественные части всех остальных собственных значений.
Это собственное значение дифференцируемо по а. Условие Р
в этом случае выполняется, и Н{х, а) = Цх, а).
Доказательство. Если 1г — марковский про-
цесс, то семейство операторов Тх, 1*^0, действующих
на множестве ограниченных измеримых функций на фа-
зовом пространстве процесса ^ по формуле
(/ (г) = М2/ (?,) ехр

§ 4] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 313
образует положительную полугруппу. В нашем случае
фазовое пространство состоит из конечного числа точек,
и эта полугруппа представляет собой полугруппу матриц,
действующих в УУ-мерном пространстве векторов / =
= (/A), . . ., /(АО)- Легко вычислить инфинитезимальный
оператор А этой полугруппы:
А = Нт Т-И-± = {Яи + 8и • (ос, Ь (х, I))) = <?«¦*.
С его помощью полугруппа Тх представляется в виде:
Тг — ехр {/(?а«*}. Так как, по предположению, д^фО,
то элементы матрицы Тг при *> 0 строго положительны.
Но теореме Фробениуса (Гантмахер [1 ]) наибольшее
но модулю собственное значение такой матрицы |и =
= ц(*, х, а) вещественно, положительно и однократно.
Ему соответствует собственный вектор е (^, х, а) = {еь ...,
N
^дг), 2 е& = 1,. все компоненты которого положительны.
Из полугруппового свойства операторов I\ нетрудно
вывести, что вектор е {I, х, а) на самом деле от I не зависит и
является собственным вектором матрицы (>Х'(Х: (>х«а е(х, а) =
= Цх, а)е(х, а). Соответствующее собственное значение
Х(х, а) вещественно, однократно, превосходит веществен-
ные части всех остальных собственных значений матрицы
()х>а, и A^, х, а) = ехр {1-Х(х, а)}. Дифференцируемость
Цх, а) по а вытекает из дифференцируемости по а элемен-
тов матрицы (^х>а и однократности собственного значения
Цх, а) (см. К а т о [1]).
Чтобы закончить доказательство теоремы, в силу лем-
мы 4.3 достаточно показать, что
Нт ^ 1п М; ехр (а, Ъ (х, %8)) из) = К (х, а)
при 1 = 1, 2, . . ., N. Это равенство можно, очевидно,
переписать следующим эквивалентным образом:
Нт11п(Г,!) (О = *(*,<*), D-Ю)
где 1 — вектор с единичными координатами.

314 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
Чтобы доказать D.10), воспользуемся тем, что все ком-
поненты собственного вектора е — е(х, а) = (ег, . . ., ек),
2 ^ь = 1, положительны: 0 < с < пип ^^ тах ^^ 1.
Отсюда, учитывая положительность полугруппы Ти
можно заключить, что
с (Г,1) @ < (Тге) @ = вМ-.«)'в, < (Г41) @
при 2 = 1, 2, . . ., -/V. Прологарифмируем это соотношение
и разделим на ^:
±1пс+ 1111(^1) @<|1п(Г4е) @-
Устремляя в этой цепочке неравенств ^->оо, получаем
D.9). Теорема 4.2 доказана.
Заметим, что в случае, который рассматривается в
теореме 4.2, можно написать уравнение для введенной
выше функции иA, г), не отыскивая наибольшее по вещест-
венной части собственное значение Цх, а) матрицы (?*«а.
Действительно, Цх, а) = К — корень характеристического
уравнения
йен (ди + 6„[(«, Цх, г)) - Ц) = 0. D.11)
Так как в силу D.7) и теоремы 4.2 функция иA, т) удовлет-
воряет уравнению Гамильтона—Якоби -^ (г, т) = % (г, уги),
то иA, г) должна также удовлетворять и следующему
уравнению:
йе1 [пи - Ьи [(у»«* (*, г), Ь (г, 0) - Щ) = О,
причем следует выбирать то решение этого уравнения,
для которого -^ — корень уравнения D.11) при а =
= Уги(*> 2)> имеющий максимальную вещественную часть.

БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ. ПРОДОЛЖЕНИЙ 315
§ 5. Большие уклонения. Продолжение
В этом параграфе мы докажем теорему 4.1.
Выберем маленькое число А> 0 так, чтобы 77 А = п
было целым. Пусть \|)* : [О, Т\ -> Кг — кусочно-постоян-
ная, непрерывная справа функция, имеющая скачки толь-
ко в точках вида А;Д, к = 1, 2, . . ., п -— 1. Рассмотрим
семейство случайных процессов
т
и обозначим 50Т (ф)= 5ог (ф) — ] Ь (^$, ф$) ^ если ф$ абсо-
о
лютно непрерывна, 5оТ(ф) = +°° Для остальных фе
е СОТ{КГ). Функционал 5оТ(ф)' полунепрерывен снизу;
множество Фх($) = {фЕ Сот(Яг) : 5от(ф) ^ 5» фо = %}
компактно в Сот(Вг). Это доказывается в точности так же,
как лемма 4.2.
Кроме того, заметим, что функционал ^(ф) при каж-
дом ф полунепрерывен снизу по \|) в топологии равномер-
ной сходимости. Это немедленно следует из леммы Фату
и полунепрерывности снизу по совокупности переменных
функции Ь(х, Р): если \15П~>\|), то
т
(Ф) = Ит | Ь
/ П->ОО О
^ =§?г (ф).
О П-*-оо О
Лемма 5.1. Пусть выполнено условие Г, и функция
Н(х, а) дифференцируема по переменным а.
Тогда функционал 5(ф) будет нормированным функ-
ционалом действия в пространстве СоТ(Кг) для семейства
процессов Х^ при в->Ос нормирующим коэффициентом
/() 1

316 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
Доказательство. Пусть а\, аг, . . ., ап е Вг*
Обозначим а(з) кусочно-постоянную функцию на [0, Т],
п
которая при 5е((/ — 1)А, *Д] принимает значение 2 а?п
2 = 1, 2, . . ., п. Функцию к% (аь а2, ..., ап), где х — на-
чальное условие: Хо = х, определим равенством
т
Легко видеть, что функция кх(а\, . . ., ап) выпукла по
переменным он, . . ., ап; из дифферепцируемости функции
Н(х, а) по второму аргументу вытекает диффереицируе-
мость кх(<Х1, . . .,ап).
Обозначим /х(рь , . ., Рп), ^ е /?г, преобразование
Лежандра функции кх (ои, . . ., ап). Функция 1хфг, . . ., рп)
следующим образом выражается через Ь(х) Р) — преобра-
зование Лежандра от Н(х, а):
т
Iх Фи ...,Р„) = ![М1>.,Р (*))&, E.1)
где Р(^) — кусочно-линейная функция на [0, 7*1, имеющая
изломы в точках, кратных Д, и принимающая в точке к А
значение рЛ, Ро = х. Действительно, если х = 0, то по
Отсюда и из условия Р вытекает существование предела
Ь*(сси .. м ап) = Пт/?е(аь ..., ап) и равенство
Учитывая определение X* 2 можно записать
е,<ф

§ 5] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ. ПРОДОЛЖЕНИЕ 317
определению преобразования Лежандра
Выделяя в последнем слагаемом верхнюю грань по аг,
как это ранее сделано для а\, затем выделяя верхнюю грань
по аз и так далее, придем к соотношению
которое эквивалентно E.1) при х = 0. Отсюда, если за-
метить, что Iх фг, . . ., рп) = 1° (р1 — ж, . . ., |5П — х),
получаем E.1) для произвольного начального условия
х е= Кг.
Положим г\г= (Х8Л ХЕ2'Д*, ... ДЕ'Д Если Ц* -
процесс в г-мерном пространстве, то ч\Е — случайная ве-
личина со значениями в (Нг)п — произведении п экземп-
ляров пространства Нг. Из определения Нх (ах, . . ., ап)
следует, что Н* (а12 . . .2 ап) = Нт е 1п Мехр (е {а1 т?)I

318 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
где а = (оы, с*2, . . ., ап). Обозначим ФА($) =|еЕ (йг)п;
Г(ег, ...,еп)<*1 при5<оо; р(е,^) = тах|^-^|?
где в = (*!,.. ., еп), ё = (?ь • • м 2п) — Т0ЧКИ пространства
G?г)п. Из теоремы 1.2 гл. 5 следует, что для любых 5, б,
у > 0 и любого е е (Дг)п при достаточно малых е выпол-
няются неравенства
Р 1р(лв, в) < б) >ехр [- е (/х 0и ,.. .хеп) + у)},
E.2)
Р ГрЫ\ ФЛ(^)) > б] <ехр {- е E-7I.
Пусть ф е= СОТ(НГ), ф0 = х, 80Т (ф) < схэ, б > 0.
Обозначим фЛ = (фД, ф2Д, . . ., фпд) е (Яг)п. При доста-
точно малых б' = б'(б) и Д = А(б)
(Х^, ф)< 6} > Р{р(Че, фД) < 6'}.
Это неравенство вытекает из того, что траектории X*
и функция ф, для которой §'Ф(ф)<оо, удовлетворяют
условию Липшица. Оценивая правую часть последнего
неравенства с помощью первого из неравенств E.2),
для каждого у> 0 при достаточно малых 8 будем иметь
ехр
- е^1 И Ь (^8, ф3) из + у) , E.3)
где ф3 — кусочно-линейная функция, имеющая изломы
в точках, кратных А, и совпадающая в этих точках с функ-
цией ф8.
Далее, принимая во внимание абсолютную непрерыв-
ность функции ф8 и выпуклость вниз Ь(х, Р) по р, пол> <шм
= 2 Ь
(Л—1
Г
< 2 | I (Ф(А-1)Д1 Фа) ^ - I ^ (*« Ф.) ^ = ^УТ (Ф).
Л=1 (А-1)Д 0
E.4)

§ 5) БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ. ПРОДОЛЖЕНИЕ 319
Из E.3) и E.4) вытекает первое из двух неравенств,
входящее в определение функционала действия:
Р {Рог (Xе'* ф) < б) > схр [- б (§*г (Ф) + у)]. E.5)
Чтобы доказать второе неравенство, заметим, что при
достаточно малых ДF), 6'F) справедливо включение
{(оей:роТ(М Ф*00)> 6} С
с {со <= О: р(че, фА(«)) > б'},
где Фх (я) = [ср е Сот (Нг): ф0 = х, $УГ (ф) <! 5}. Из этого
включения и второй из оценок E.2) вытекает нужное
нам неравенство
Р{РоГ(Хе.*, Фя(в))> 6} < ехр {-е-1E - у)}. E.6)
Как уже говорилось, компактность множества Ф^з) до-
казывается так же, как лемма4.2.
Лемма 5.1 доказана.
Из этой леммы и полунепрерывиости снизу функцио-
нала 5ог(ф), как обычно, вытекает, что для любого
А а С°от (Кг) выполняются неравенства
E.7)
Здесь (^4) — совокупность точек множества Л, внутрен-
них относительно пространства Сот (^г)#
Лемма 5.2. Предположим, что функция Н(х, а)
дифференцируема по переменным а. Пусть \|^п) : [0,Г]->
~> Лг — последовательность ступенчатых функций, рав-
номерно сходящаяся при п -*• оо к некоторой функции
Ф е С0Т (Яг). Тогда существует последовательность^^^.
е СоГ (Лг)» равномерно сходящаяся к ф, такая, что
т
ТТпТ и(г1)(,пIФCп))^<50Г(Ф).

320 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
Доказательство. Для произвольного разби-
ения 0 = *0 < *! < *2 < ... < *п-1 <1п= Т имеем
Положим
E.8)
Из условий леммы вытекает, что функция уь(а) выпукла
вниз и дифференцируема. Функция 1кф) выпукла вниз,
неотрицательна и полунепрерывна снизу. Соотношение
E.8) можно переписать в виде
Известно (см. Р о к а ф е л л а р [11), что если /Й(Р) —
полунепрерывная снизу выпуклая функция, и C* е
е {[5: /Лф)<оо}= Ак1 то 1к (р*) = Шп 1к (C), где точки р
принадлежат Ак — внутренности множества Ак относи-
тельно его аффинной оболочки *). Поэтому для всякого
*) Аффинная оболочка а!! А множества А с: IV определяется
равенством

E.9)
кой функции
Для та-
такую,что
§ 5] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ. ПРОДОЛЖЕНИЕ 321
значения б> 0 можно указать функцию ср, : [О, Т] -+• Яг
E.10)
Здесь мы воспользовались тем, что из сходимости при
т ->- оо выпуклых функций
к дифференцируемой функции Уп(а) следует сходимость
уу™ (а) -> ууь (а) (Р о к а ф е л л а р [11).
И А. Д. Вентцель, М. И. Фрейдлин
Для точек р <= Ак верхняя грань, входящая в определение
1к($), достигается (см. V о к а ф е л л а р [1 ]). В силу
этого можно указать такие ак е /?г, что 1к (ф^-~ ф/^_1)===
Пусть г|)(т> — произвольная последовательность сту-
пенчатых функций, равномерно сходящаяся при т—>- оо
к ср. Определим последовательность ср(т) из условий:
при этом ак удовлетворяют
соотношению
^ ф(^-о- Тогда функции ср(т> сходятся при т ->- оо к
функции ср5 в точках 0, и, и, . . ., гп = Т. В самом деле,

322 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЙ. Т
Выбирая достаточно малыми б и интервалы между точ-
ками 1к, можно сделать ф|т) и ф^ как угодно близкими.
Отсюда и из E.12) вытекает утверждение леммы 5.2.
Теперь переходим непосредственно к доказательству
теоремы 4.1. Пусть фЕ Сот (ПГ),8ОТ (ф)<оо.Выберем сту-
пенчатую функцию х^А и функцию Ц)к так,чтобы рот(ф\ф) <Я,
E.12)
E.11)
Так как
), ее,) при
то
Из E.10) и E.11) вытекает, что при т --> оо
Это можно сделать в силу леммы 5.2. Из ограниченности
функций Ък(х, у) и их первых производных нетрудно вы-
вести, что для любого б5> 0 имеется включение
если только К = Х(б) и б' = б'(б) достаточно малы.

§ 5) БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ. ПРОДОЛЖЕНИЕ 323
Из этого включения и оценки E.5) вытекает неравен-
ство
Р (Рог (Xя, Ф) < б) > Р 1Рог (*8'*\ ф") < &') >
> ехр (- е (§¦* (Фх) + у)} > ехр (- е EоТ (Ф) + 2у)}
E.13)
при достаточно малых е.
Докажем теперь второе неравенство, входящее в опре-
деление функционала действия. Прежде всего заметим,
что так как функция \Ъ(х, у)\ ограничена, то траектории
X), так же как Х^, исходящие из точки х е Нг, при
I е Ю, ТI принадлежат некоторому компакту Р С2СоТ(Нг).
Из полунепрерывности функционала §от(ф) по \|? выте-
кает, что для любого 7> 0 можно выбрать б = 67(ф) так,
что 5^(ф)> з — у/2, если роТ(<р, ф) < б и 5оГ(ф)> 5-
На основании полунепрерывности §'от(ф) п0 Ф заключа-
ем, что б7(ф) — полунепрерывный снизу функционал от
фбСоГ(йг). Следовательно, на каждом компакте функ-
ционал б7(ф) достигает своей нижней грани.
Пусть Р\ — компакт, который получается, если из Р
выбросить точки б/2-окрестности множества Фх(з) = |фб
е Сот {Яг): ф0 = х, 8оТ (ф) ^ 6'); обозначим б7 = 1п1 бт (ф),
Ф
бг = 6У/DКТ + 2), где К — константа Липшица функции
Ъ(х, у).
Выберем в компакте Р конечную бг-сеть, и пусть
ФA), . . ., ф<^ — элементы этой сети, не принадлежащие
множеству Ф^з). Очевидно, что
Р {Рот {Xе, Фх (з)) > б) < 2 Р (Рог {Xе, Фс1)) < б'], E.14)
1 = 1
если б' < б. Из непрерывности Ъ(х, у) по Липшицу при
Рот(ф» ^) < б получаем включение
{со: РоТ(Хе, ф) < б'} с {о: роТ(Х^, Ф) <
<BКТ + 1N'}. E.15)
11*

324 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
Выберем ступенчатые функции г^1), \|;B>, . . ., \|,№ так,
чтобы роГ(ф<*\ Ф<*}) < 672 при ь = 1, 2, . . ., N. Из E.14)
и E.15) вытекает оценка
р (Рот (х8, ф, (*)) > 61 < 2 р (Рот (ХввЛ фш) <
<BКТ + 1N'}. E.16)
Каждое слагаемое правой части последнего неравенства
может быть оценено с помощью следствия E.7) из лемм 5.1.
Для каждого г = 1, . . ., Ат при достаточно малых е
справедлива сцзнка
Из определения б7 вытекает, что нижняя грань, входящая
в правую часть последнего неравенства, не меньше чем
5 — у/2, и, следовательно,
E.17)
Из E.16) и E.17) при достаточно малых е получаем нуж-
ную оценку
Теорема 4.1 полностью доказана.
§ 6. Поведение системы на больших интервалах
времени
Как мы видели в гл. 4 и 6, поведение на больших ин-
тервалах времени случайного процесса, получающегося
в результате малых возмущений динамической системы,
в значительной степени определяется характером больших
уклонений. В этом параграфе мы приведем ряд результа-
тов относительно поведения процесса Х\— решения
системы A.2). Эти результаты вполне рлте логичны тем,
которые излагаются в гл. 4 и 6, в связи с этим мы только

§ С] ПОВЕДЕНИЕ НА БОЛЬШИХ ИНТЕРВАЛАХ ВРЕМЕНИ 325
коротко наметим доказательства, сосредоточив основное
внимание на имеющихся здесь различиях. Мы будвхМ рас-
сматривать случай, когда быстрое движение, т. е. Е$,
есть марковский процесс с конечным числом состояний.
Пусть О <= Яг — асимптотически устойчивое положе-
нно равновесия усредненной системы B.2), В — ограни-
ченная область, содержащая точку О, граница дВ которой
имеет непрерывно вращающуюся нормаль. Предположим,
что траектории хь исходящие из точек х0 — х е В\] дВ,
при I ->¦ оо стремятся к 0, не покидая области В. Положим
%г = 1п1 [и X* ф. В]. В отличие от случая, рассмот-
ренного в гл. 4, т8 может, вообще говоря, с положитель-
ной вероятностью обращаться в бесконечность.
Введем в рассмотрение функцию
где НхУ — совокупность функций ф со значениями в /?г,
определенных на всевозможных отрезках [О, Т], Т^> О,
для которых фо = х, фг = у. Функция У(х, у) может
быть выражена через функцию их{1, у), о которой шла речь
в § 4: V (х, у) = 1п{ их (г, у). Из полунепрерывное™ снизу
функционала 5(ф) следует, что функция У(х, у) полу-
непрерывна снизу; она может обращаться в +°°' Обо-
значим У (х, дВ) = 1п( V (х, у).
Т е о р е м а 6.1 (фрейдлин [И]). Пусть выполнены
условия теоремы 4.2. Предположим, что для каждого
у е дВ при некотором I = г(у)
Ш 0, п(у))> 0, F.1)
где п(у) — вектор внешней нормали к дВ в точке у.
Тогда, если У{0, дВ) < оо, то при любом х е В
Нт е 1п Мле = Г @, Щ-
ею
Если У(О, дВ) = +оо, то при любом е > О
Ро{т8 = оо} = 1. F.2)

326 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
Для доказательства этой теоремы нам понадобится
следующая лемма.
Лемма 6.1. Предположим, что выполнены условия
теоремы 6.1. Тогда, если У(хо, дБ) <. оо для некоторого
10еВ, то функция У(х, дИ) непрерывна в точке хо.
Если V (О, дО) <оо, то У {х, дП) < У (О, дО) <оо при
всех х <^. В, и функция У(х, дй) непрерывна.
Доказательство. Пусть Х\ и 7% — решения
уравнения A.2), исходящие в момент нуль из точек хо
и г соответственно. Тогда для разности Х\ — Х\ выпол-
няется неравенство
I
\хе$- гЦлз + \х0- *и <>о.
Отсюда с помощью леммы 1.1 гл. 2 получаем
\Х'{-2Ч\<еКТ\х0-г\.] F.3)
Если У(хо, д/))<оо, то с учетом условия F.1) для
любого у > 0 и достаточно малых б ;> 0 можно построить
функцию ер*, I е [0, 77], фо — хо, р(фт» О) > б, для кото-
рой 5оТ(ф) < У{х0, дБ) + у/4. Отсюда на основании тео-
ремы 4.1 заключаем, что при достаточно малых е > О
Р{^/2< Т) > ехр {-е-^^хо, дБ) + т/2)}, F.4)
где Тб/2 = Ы (*: р (X?, О) > 6/2}. Пусть |* -- яо|<
< ^-ктб/4; А — событие, состоящее в том, что траекто-
рия Ъ\ до момента Т выходит из О. Из F.3) и F.4) выте-
кает оценка
Р(А) > ехр {-е-Н^о, дО) + т/2)}.
С другой стороны, Р(А) можно оценить сверху по теоре-
ме 4.1: при достаточно малых е >> О
Р (А) < ехр (- 8-1 ( Ш1 80Т (Ф) - т/4)),
где 3 — множество функций из СоТ(Пг) таких, что фо =¦

{ б] ПОВЕДЕНИЕ НА БОЛЬШИХ ИНТЕРВАЛАХ ВРЕМЕНИ 327
=з г, п ф{ выходит из Б до момента Т. Из последних двух
оценок получаем, что при \хо — г\ < е~кгб/4
V (гг ОБ) < 1п1 Яог (Ф) < V (хох ОБ) + у.
С другой стороны, из полунепрерывности У(х, дВ) следует
неравенство
У(*> ОБ) > Г(*о, дВ) - у,
если 6 достаточно мало. Таким образом, |У(г, дВ) —
— У(хо, дБ)\ < у при достаточно малых б. Непрерывность
в хо доказана.
Если У(О, ОБ) <С оо, то функция У(х, дИ) непрерывна
в точке О. Пусть б1 таково, что \У(г, дЬ) — У(О, дБ)\<С у
при \г — О\ < б1. Так как траектория усредненной си-
стемы, исходящая из любой точки х е /), обязательно
входит в б1-окрестность точки О, а на траекториях усред-
ненной системы функционал действия обращается в нуль,
то У(х, ОБ) < У (О, 3/)) + у- Отсюда, в силу произволь-
ности у, вытекает, что У (я, 5/)) < оо7 и, значит, функция
У(х, ОБ) непрерывна всюду в Б. Лемма 6.1 доказана.
Наметим теперь доказательство теоремы 6.1. С учетом
непрерывности У (я, дБ), доказательство первого утверж-
дения теоремы вполне аналогично доказательству теоре-
мы 2.1 гл. 4. Следует только иметь в виду, что процесс Хеи
который мы здесь рассматриваем, не является, вообще
говоря, марковским, поэтому нужно рассматривать пару
(X®, ^/е). Эта пара уже образует марковский процесс.
Докажем последнее утверждение теоремы. Предполо-
жим противное. Не ограничивая общности, можно счи-
тать, что F.2) не выполняется при е = 1: траектории Х|,
исходящие из точки Х^ = О, с положительной вероят-
ностью выходят из Б. Тогда в силу условия F.1) траекто-
рии X; с положительной вероятностью выходят из неко-
торой б-окрестности В+ь области Б, д> 0: при некотором Т
Р0Ы<Т}>а>01 F.5)
где 4 =Ы(^; Х\

328 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
Пусть 0 < Ь < . . . < *п_1 < Г, б > О, го, II, . . .,
гп_1 — последовательность целых чисел. Рассмотрим
множество ступенчатых функций на отрезке 10, Т\:
Из F.5) вытекает, что найдутся целое п > 0, моменты
времени Н, . . ., ^п-1> целые числа го, к, . . ., 1п-х иб'>0
такие, что решение уравнения
выходит до момента Т из #+6/2 ПРИ любой функции
\|)б4!' \п~~1(Ь'). Из марковского свойства процесса Ь.г
легко вывести, что при некотором с < оо
F.С)
F.7)
Учитывая эту оценку, приходим к заключению:
при любом е > 0.
С другой стороны, в силу теоремы 4.1
где #т = {ф ^ Сот {Кг): Фо = О, ф5 е с?Д при некотором
8 е 10, Г]}. Так как У (О, 3/)) < ш! 5оГ (фJ то из F.0)
и F.7) имеем
что противоречит условию У(О, дО) = -Ь оо. Полученное

§ б] ПОВЕДЕНИЕ НА БОЛЬШИХ ИНТЕРВАЛАХ ВРЕМЕНИ 329
противоречие доказывает последнее утверждение теоре-
мы 6.1.
Заметим, что для конечности У(О, дП) достаточно,
например, чтобы при каком-нибудь 1 = 1, 2, . . ., N
решение уравнения
Ъ = Ъ(хи I), хо = О,
выходило из области В.
Аналогично тому, как это делалось в § 6 гл. 6, может
быть решен вопрос о выходе при малых е процесса Хг из
области, содержащей несколько положений равновесия
или предельных множеств более общего вида. Следует
только иметь в виду, что в ситуации, рассматриваемой в
этом параграфе, функция У(х, у) может обращаться в +оо,
и соответствующие переходы могут быть вообще невоз-
можны. В частности, как мы видели в теореме 6.1, могут
существовать поглощающие предельные множества, т. е. та-
кие предельные множества, что траектория, попавшая в
область притяжения этого множества, никогда ее не по-
кидает. Аналогично могут существовать поглощающие
циклы, если, как это делалось в гл. 6, рассматривать
разбиение всех предельных множеств на иерархию циклов.
Если выполнено условие связности: для любых но-
меров г, / предельных множеств К\, . . ., Кг системы B.2)
У{КЬ К]) = У (х, у) |х€ЕХм,ех;-< °°, то результаты
§ 6 гл. 6 о расслоении на циклы сохраняются полностью.
И, наконец, несколько слов относительно инвариант-
ных мер процесса X] и их поведения при е \ 0. Если
проекция усредненного векторного поля Ь(х) на радиус-
вектор, соединяющий начало координат с точкой х, вне
некоторого компакта Р (Ц Яг отрицательна и отделена
от нуля равномерно по х ф. Р, то можно доказать, что про-
цессы Х\ имеют инвариантную меру по крайней мере
при достаточно малых е. Эта инвариантная мера, вообще
говоря, не единственна. Если не сделать никаких допол-
нительных предположений, то семейство \1г инвариантных
мер процесса Хгг при е | 0 будет, вообще говоря, иметь
много предельных точек (в топологии слабой сходимости
мер). Если предположить, что выполняется условие связ-

330 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
ности, то предельная мера в случае общего положения уже
единственна. Она может быть описана с помощью конст-
рукции {г}-графов, рассмотренной в предыдущей главе
(см. Фрейдлин [11]).
§ 7. Не очень большие уклонения
Мы уже рассмотрели уклонения X* от хх порядка е1/2
и порядка 1. Здесь мы коротко остановимся на уклоне-
ниях порядка ех, где % е @, 1/2) (см. Байер, Фрейд-
лин [1]). Такие уклонения имеют общие черты и с укло-
изниями порядка 1 (их вероятности стремятся к нулю),
и с уклонениями порядка е1/2 (они определяются поведе-
нием функций Ъ(х, у) вблизи усредненной траектории).
В связи с этим уклонения порядка гн, к е @, 1/2), управ-
ляются, как и в случае нормального приближения, систе-
мой, которая получается из A.2) путем линеаризации
вблизи функции хг.
В этом параграфе мы для краткости ограничимся рас-
смотрением отклонений от положения равновесия усред-
ненной системы, т. е. будем считать, что начальное усло-
вие в уравнении A.2) является положением равновесия
усредненной системы, и оно совпадает с началом коорди-
нат: Хо = 0, Ъ@) = 0. Это положение равновесия мы пред-
полагаем асимптотически устойчивым по первому прибли-
жению.
Введем обозначения
Ь @, у) = / (у), ^ @, у) = В) (у), В (у) = {В\ (у)\
Предполагается, что эти пределы существуют по вероят-
ности, и В) = Дг@).
Будем говорить, что выполняется условие Рх, если
для любой ступенчатой функции а8 : 10, Т]-+ Лг выпол-

0 7] НЕ ОЧЕНЬ БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ 331
ыяется соотношение
Нтп в*-** 1п М ехр \г*-* Г (сс5
•АО I 0 1
г
{[а8,а5)сг*, G.1)
с5,
0 "
где С — некоторая симметричная постоянная матрица
порядка г. Легко видеть, что из G.1) при а$ == а вытекает
равенство
Ит 2Ч |
Г"х|(а,/(У)Й6- = \{Са, а). G.2)
При определенных предположениях, которые мы
уточнять не будем, матрица С является матрицей вторых
производных по переменным а от функции Н(х, а), введен-
ной в § 4, при х = 0, а = 0.
В дальнейшем мы будем предполагать для простоты,
что йе1 С Ф 0. Если матрица С вырождается, но какое-то
собственное значение отлично от нуля, то по существу
все результаты сохранятся, только их формулировки ста-
нут более громоздкими.
На функциях из С^Т(К) определим функционал
(ф) - 50Г (ф) = 4"
если ф8 абсолютно непрерывна; на остальных ф е СоТ(Яг)
полагаем 5(ф) = +оо. С таким функционалом мы уже
встречались в гл. 4; 5(ф) — нормированный функционал
действия для семейства гауссовских процессов ^ опреде-
ляемых дифференциальным уравнением
1\=В# + \Сщ% G.3)
где юг — процесс белого шума. Ниже мы поясним, какое
отношение к нашей задаче имеет уравнение G.3).

G.5)
Далее, используя G.4), доказывается, что оценки для 2/,
которые входят в определение функционала действия,
выполняются, если они справедливы для процесса
2^ = г~кХ^ где X] -— решение уравнения
Тогда е2к~15г()Т(ф) будет функционалом действия при
е|0 в пространстве Сог(^) для семейства процессов
Ъ\ = е~~кХ*, х е @, 1/2), где X] — решение уравнения
A.2) с начальным условием Х\ = 0 (напоминаем, что
6@) = 0).
Доказательство этой теоремы представляет
собой комбинацию некоторых рассуждений, примененных
при доказательстве теорем 3.1 и 4.1, поэтому мы его толь-
ко наметим. Во-первых, доказывается, что е2х~15(ф)
будет функционалом действия для семейства процессов
Ъ\, если е2*-1 5(ср) — функционал действия для про-
цессов ~Ъ\ = е~~*А7, где X] — решение линеаризованной
системы
и пусть, кроме того, существуют 1{) е @, Т] и функ-
ция О(^), 0 (I) > 0, Нт 6 (г) — 0, такие, что
G.4)
332 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
Теорема 7.1. Предположим, что выполнено уело-
вие Рх, и с1е! С Ф 0. Пусть для какого-то у > 1 — 2х
при любом б > 0

§ 1\ НЕ ОЧЕНЬ БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ 333
Чтобы получить оценки для X*, сначала вычисляется
функционал действия для семейства процессов у\* =
= е~~к \ / (^/е) &$- Отсюда с помощью теоремы 3.1 гл. 3
о
находится функционал действия для процесса Х^. Нако-
нец, вычисление функционала действия для процессов
г)^ проводится так же, как это делалось в лемме 4.3 (см.
также (Г е р т н е р 11])). При этом используется послед-
нее условие теоремы.
Таким образом, функционал 5(ср) и нормирующий
коэффициент /(г) = е2* характеризуют отклонения
порядка ех, х е @, 1/2). Процесс е"~1/2Х? в соответствии
с теоремой 3.1 при г ->- 0 сходится к гауссовскому процес-
су ^. В нашем случае этот гауссокский процесс ^, как
легко проверить, удовлетворяет уравнению G.3) при
X = 1. Отношение Х*/ек можно записать в виде
е1/2—х#е—1/2^8 и интерпретировать результат теоре-
мы 3.1 следующим образом: вероятности уклонений по-
рядка 8х, х е @, 1/2), имеют ту же асимптотику, что и
уклонения порядка 1 под действием гауссовского шума
у, X = г1/2-*. Этот факт, конечно, находится в пол-
ном соответствии с тем, что большие, по не очень большие,
уклонения для сумм независимых слагаемых имеют ту же
асимптотику (в главных членах), что и соответствующие
уклонения нормального приближения (см. Лин и и к,
Ибрагимов [1 ]).
Рассмотрим теперь некоторые случайные процессы,
для которых можно проверить условия теоремы 7.1 и
вычислить матрицу С.
Теорема 7.2. Пусть ^ — стохастически непрерыв-
ный марковский процесс с конечным числом состояний;
Ри(^) — его переходные вероятности; д^ =—~—
Предположим, что все д^ =^= 0. Обозначим Х(а) собствен-
ное значение матрицы ()а = (й), ЗЧ? = <7*./+61-./(а, Ь@, г))9]
имеющее наибольшую вещественную часть. Тогда условия
теоремы 7.1 при х е @, 1/2) выполнены, и С =
еде Сг> = ¦

334 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 1
Доказательство этой теоремы использует
конструкцию, примененную при доказательстве тео-
ремы 4.2. Прежде всего, так же, как это сделано в лемме
4.3, доказывается, что условие Рх в случае процесса ^ выте-
кает из соотношения G.2). Чтобы проверить G.2), заме-
тим, что
М, ехр
\ (а, / (|.)) Л = G-ГХв1) @, G-6)
где Г? — полугруппа операторов, действующая в прост-
ранстве функций §A) на фазовом пространстве процесса
^ по формуле
г
1
Используя обозначзния, введенные при доказательстве
теоремы 4.2, получим
*2*-11П с + г2*'1 1п (ГГ*"!) (О <
< Р-11п (Т1Г*ае)A) = 12пХ («-"а) + г2*1п «?»<
Заметим, что 1 — наибольшее по модулю собственное
значение оператора Т? при а = 0, поэтому к@) = 0.
Принимая во внимание, что Ь@) = 0, нетрудно проверить,
что все первые производные функции К(а) при а = 0
обращаются в нуль, поэтому X (а) = -^ ^ да да @) сс^+
+ о(|а|2) при |а|~>0. С учетом последнего равенства
Д13 G.7) вытекает, что
(->оо

§ 7) НЕ ОЧЕНЬ БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЙ 335
Отсюда и из G.6) следует G.2), а стало быть, и условие
Г*. Проверку остальных условий теоремы 7.1 мы предо-
ставляем читателю.
Аналогичный результат верен, конечно, и для некото-
рых других марковских процессов, например, если ^ —
невырожденный диффузионный процесс на компакте.
Близкие по существу рассуждения позволяют проверить
условия Р и Р* и для некоторых немарковских процессов
с хорошими свойствами перемешивания (ср. Синай [1 ]).
Выпишем уравнение Гамильтона — Якоби для функ-
ции и(г, х) = т! {«?о<(ф): Фо = О, Ц>1 = х}; как неодно-
кратно говорилось, через эту функцию выражаются глав-
ные члены асимптотики многих интересных величин.
Вычисляя преобразование Лежандра от функции
Ь (#, Р) = — (С (р — Вх), р — Вх), придем к следую-
щему уравнению для иA, х):
Можно выписать и уравнения Эйлера для экстремалей;
в рассматриваемом случае эти уравнения линейны.
Из теоремы 7.7, в частности, следует, что при к е @, 1/2)
= - Ш1п {и {г, х):\х\ = а1 1^ [О, Т]}.
Уклонения порядка 8х определяют среднее время, ко-
торое понадобится траектории процесса Х\ XI = О,,
для того, чтобы впервые выйти из области 1)е, содержа-
щей точку 0, если 2)8 получается сжатием в ех раз из не-
которой фиксированной области Б\ Бъ = 8х -Д. Пусть
Теорема 7.3. Пусть выполнены условия теоремы
7.2, матрица С не вырождается, причем Бе = ех-1>,
х е @, 1/2), где В — ограниченная область с гладкой

336 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. ?
границей. Положим Уо = т'тУ (х). Тогда
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в том,
что если матрица С~1В симметрична, то У(х) =
= -(С-ЧЗх, х).
В заключение этого параграфа заметим, что аналогич-
ные оценки можно получить не только для отклонений
порядка ех, х е @, 1/2), от положения равновесия, но и
для отклонений порядка ек от любой усредненной траек-
тории.
§ 8. Примеры
1. Рассмотрим сначала случай, когда правые части
уравнения A.2) не зависят от х и процесс \х стационарный.
Тогда Х\ можно представить в виде
Обозначим т = МЬ(Ъ8), -ВЩи) = ЩЫA3+Х) - т*)(ЫA8) -
г
— тз) и предположим, что У]Вн(т)-+0 при т->оо.
г=1
Отсюда с помощью неравенства Чебышёва при любом
при любом у > 0.
Доказательство этой теоремы аналогично
доказательству соответствующих результатов из гл. 4,
п мы его опустим.
Скажем несколько слов относительно вычисления
функции У(х). Аналогично тому, как это делалось в § 3
гл. 4, можно доказать, что функция У(х) есть решение
задачи Но для уравнения

§ 8] ПРИМЕРЫ 337
6 > О получаем
— т
>б
1+Т г+Т г
^Т7^ I 1 ^ М \Ъг (^3) — ш){Ьг (си) — ш) йз Ли
=5^ ] I
г=1
с ростом Г равномерно по г ^ 0. Таким образом, в этом
случае выполняются условия теоремы 2.1, и вир 1 Х^ —
о<«г
— # — шЬ\ -> 0 при е -> 0 по вероятности. Если процесс
1г обладает достаточно быстро убывающим коэффициен-
том перемешивания <х(т), и функции Ь(у) растут не слиш-
ком быстро, например, если они ограничены, то примени-
ма теорема 3*1. В рассматриваемом случае эта теорема
сводится к утверждению, что семейство процессов
Vе о
слабо сходится при 8 -> 0 к гауссовскому процессу Сь
имеющему нулевое среднее и матрицу ковариаций
О = С Л в)-* = (' Л
— оо
Очевидно, что процесс ^ имеет независимые
приращения. Утверждение о сходимости распределения
С? (при фиксированном I) к гауссовскому составляет
содержание центральной предельной теоремы для слу-
чайных процессов (см., например, Розанов [1],
Ибрагимов и Л инник [1]).
Если для процесса Х^ выполняется условие Р из § 4,
то применима теорема 4.1, которая дает возможность оце-
нить большие (порядка 1) уклонения X] от линейной
функции т1 + х, Ь е [0, Т]. Так как правая часть урав-
нения A.2) но зависит от х, то функция Н(х7 а), опреде-
12А А. Д, Вентцель, м, И, Фрейдлин

338 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ОСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 1
ляемля условием Р, тоже пе зависит от х, и нормирован-
ный функционал действия *?оТ(ср) имеет вид: 5Ог(ср) =
7'
= \ Ь (ср8) й$, где Ц$) — преобразование Лежандра функ-
ции Н(а). Как объяснялось ранее, для вычисления асимп-
тотики вероятностей многих интересных событий важно
уметь находить функцию
м(*, х) = Ы^Дф): ф0 = х01 ф< = ж}.
В случае, рассматриваемом здесь, эта нижняя грань и
экстремаль, на которой она достигается, просто вычис-
ляются. Действительно, будем считать, что функция Ь($)
строго выпукла. Тогда уравнения Эйлера для функцио-
нала 5(ф)
4
показывают, что экстремалями являются только прямые
Ф = с, се Нг. С учетом условий на концах отрезка
[О, г] получаем, что нижняя грань достигается на функции
Ф, = *о + ^ *, и и Ц, х) = И ^=р).
Допустим, мы хотим найти асимптотику при е | 0 для
I
1пР {Х^ее Б), где X? = ] ЬA,/е) Aз, В — некоторое огра-
о
ничейное множество в йгс границей ОБ. Из теоремы
4.1 следует, что
Нт е 1п Р № е= Б) = - и Ы Ь (-^-\
1 I
если только эта нижняя грань совпадает с нижней гранью,
взятой по совокупности внутренних точек множества Б.
Если, кроме того, нижняя грань достигается только в
одной точке х е В[]дБ, то нетрудно доказать, что для
любого б > О
1|х,е- *\ <Ь\Х^Б[} дВ) =1.

§ 8] ПРИМЕРЫ 333
Пусть, например, процесс 1Ь определяется равенством
1Ь = г|; при I <= [г, I + 1), ь ~ целое, (8.1)
где г|0, тI, . . ., Л^ ... — последовательность независи-
мых величин с общей функцией распределения Р{х).
Тогда условие Р выполняется и
Я6(а)=1х
если только интеграл, стоящий под логарифмом, сходит-
ся. В этом случае теорема 4.1 близка к теоремам о боль-
ших уклонениях для сумм независимых слагаемых.
Только теорема 4.1 касается грубой, логарифмической
асимптотики вероятностей больших уклонений, тогда как
теоремы о больших уклонениях для сумм содержат обыч-
но точную асимптотику. Зато теорему 4.1 можно приме-
нить для оценки вероятностей событий, определяемых
но течению процесса X] на целом отрезке I е [О, Г],
а не только для событий, относящихся к одному фикси-
рованному моменту времени.
2. Пусть теперь уравнение A.2) имеет вид
где Ъ(х) = (Ъ1(х), . . ., Ъ'{х)), о(х) = (о) (*)), Н, -
г-мерный случайный процесс, М5* = 0. Функции Ы(х),
о) (х) предполагаются ограниченными и достаточно глад-
кими- Если диагональные элементы корреляционной мат-
рицы 5E, I) процесса ^ стремятся к нулю при |* — $| ->
-> оо, то на основании теоремы 2.1 можно заключить, что
процесс X] при 8 | 0 сходится по вероятности равномерно
на отрезке 0 ^ I ^ Т к решению дифференциального
уравнения
х0 = х. (8.3)
Если процесс 1г обладает хорошими свойствами перемеши-
вания, то с помощью теоремы 3.1 можно оценить нормаль-
ные отклонения от хг: вычислить характеристики гаус-
совского процесса ^?2 предельного для процессов ^ = е ~1/2х
(
12*

340 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
Предположим теперь, что для процесса \г выполняется
условие Р: существует функция Н^(а): Нг -> Я1 такая,
что для любой ступенчатой функции а8 : [0, Т]-*КГ
т \ т
т \ т
6 ] о
и пусть функция #^(а) дифференцируема по а. Тогда,
как легко проверить, условие Г выполняется для уравне-
ния (8.2), и
Н(х, а) = (Ь(х\ а) + Я6(а*(д;)а). (8.4)
Преобразование Лежандра Цх, р) функции Н(х, а) прос-
то выражается через Ь^) — преобразование Лежандра
для Нфх):
Цх, E) - Ьъ(о-*(х)ф - Ъ(х))),
если только матрица а(х) не вырождается.
Пусть, например, ^ — марковский процесс, припимаю-
щий два значения е±, е2 е Яг; (рм{1)) — матрица вероят-
ностей перехода, #^ = ** @). Как доказано в § 4,
для процесса \г условие Р выполняется, и функция Н%(а)
равна наибольшему собственному значению матрицы
/011 + (<*' е\) Я\2 \
Рассмотрим случай, когда дп = д22 == — д, ех = — е2 =
= е е Вг. Решая характеристическое уравнение, нахо-
дим, что
и с помощью соотношения (8.4) получаем функцию Н(х, а)
для семейства процессов Х\.
Предположим, что 0 — асимптотически устойчивое по-
ложение равновесия для системы (8.3). Для нахождения
асимптотики среднего времени выхода из области, содер-
жащей точку 0, точки, через которую этот выход происхо-
дит, асимптотики инвариантной меры процесса X* и дру-

ПРИМЕРЫ 341
гпх интересных характеристик нужпо, как это следует
т
из § 6, вычислить функцию V (х) = Ы {]!/ (ср8, ф5) A$: фо=ч
о
в= 0 , фг = ж, Г > 0}. Эту функцию можно найти как ре-
шение задачи По (см. § 4 гл. 5) для уравнения
Ф (*), ?7 (х)) - з + УУ+ (**(*) ^(я), *)а = 0.
Если система (8.3) имеет асимптотически устойчивый пре-
дельный цикл Г, то отклонения от этого цикла описывают-
ся квазипотенциалом Ут(х), который можно найти как
решение задачи Дг (см. § 4 гл. 5) для того же уравнения.
Рассмотрим в этом примере отклонения порядка ех,
х е @, 1/2), от положения равновесия 0. Если для про-
цесса 5* выполнено условие Рх, т. е. если существует
предел
/ Т ч Г
Пш е 4"х 1п М ехр е*- \ (а„ Ь/е) Ц = 4" 1 (С1а^ аз) ^
е^О I X " ) 0 '
где С^ — некоторая симметричная матрица, а8 — произ-
вольная ступенчатая функция на [0, Г], то, как легко
проверить, условие Рх выполняется также и для процес-
са X*, определяемого уравнением (8.2), и матрица С =*
= а@)С^а*@). Пусть ^ — марковский процесс с двумя
состояниями, о котором шла речь выше. Тогда, как сле-
дует из теоремы 7.2, условие Рх выполняется, и Са =*
02#Л) \
/
вектора е. Таким образом, для семейства про-
цессов X] в этом случае получаем С = — а @) (е V) а* @).
Легко проверить, что условия Г и Рх для уравнения
(8.2) выполняются и в случае процессов ^, заданных ра-
венством (8.1).
3. Рассмотрим уравнение Ван дер Поля со случайными
возмущениями:
х + оЛс = е[/(я, х, V*) + ср(я, ж)^]. (8.5)
№ А. Д. Вентцель. М. И, Фрейдлин

342 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ.
Здесь /(я, х, VI) — достаточно гладкая периодическая по
г с частотой V функция, \х — стационарный процесс в
В1 с нулевым математическим ожиданием и корреляцион-
ной функцией К(т), ф(#, х) — гладкая ограниченная
функция.
Вводя, как и в детерминированном случае, переменные
Ван дер Поля (г, 6), которые определяются из соотно-
шений
х = г соз (со/ + 9), х = —го) 81П (со* + 0),
и «медленное» время 5 — ег, уравнение (8.5) можно пере-
писать в виде системы двух уравнений
—- - Р1 (ш/г + О8, ™/е, г8, 1/в)х
(8.6)
где
, V*, Г, 5) = — ~- [/ (Г СОЗ Т, — ГСО 51П Т, \4
+ ф(ГСОЗТ, — ГСО 51П Т) ^] 51П Т2
^2 (Т, \^2 ГД) = — -_[/ (Г СОЗ Т, — Г© 31П Т, VI) +
+ ф (Г СОЗ Т, — ГСО 81П Т) ^] СО5 Т.
Если корреляционная функция К(т) убывает с ростом т,
то правые части уравнений (8.6) удовлетворяют условиям
теоремы 7.1. При этом, как легко проверить,
т
Пт — \ ф(гсоз Гш+0),
Т-*~ Т {
— ГС0 51П (С
Г
= Нт — ф (г соз (соз + 0),
— ГСО 51П (С05 + 0)) |в СОЗ (С05 + 0) Aз = 0,

§ 8) ПРИЗЁРЫ 343
так что слагаемые, содержащие множители ^3 в выраже-
ниях для функций Р1у Ръ после усреднения исчезнут,
п усредненные уравнения будут иметь такой же вид,
как при отсутствии стохастических членов. Если отноше-
ние соЛ? иррационально (этот случай называется нерезо-
нансным), то усредненная система имеет вид
•57 е МО. -агвР»^
где функции Рх(г), Р2{г) задаются формулами A.9).
Предположим теперь дополнительно, что процесс ^
имеет конечные моменты до седьмого порядка включи-
тельно и удовлетворяет условию сильного перемешива-
ния с достаточно быстро убывающим коэффициентом
сс(т). Тогда в силу теоремы 3.1 семейство случайных про-
цессов е~1/2 (г* — ги 6* — в,), I е= [О, Г], слабо сходит-
ся к марковскому гауссовскому процессу (р*, г|)*), который
соответствует дифференциальному оператору
« -1 (
и (р,« -1 (а» й ^ +
где функции Аг} (г) определяются равенствами
12*
(V) V (г с°з ** -
О — ос ^ '
X ф (Г СОЗ 5, — ГО) 51П 5) 51П 5 • 81П ^
2л оо
О —оо ^ '
X ф (Г СОЗ 54 — ГСО 31П 5) СОЗ I СОЗ 5,
2л с»
в -щ^ \й1) й&к (Чг) «р (г С03'» - ш з1п 4) х
X ф (Г СОЗ 52 — ГСО 31П б) СОЗ I 31П 5.

344 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ ГГЛ. 7
Как указывалось в § 1, если г0 — единственный корень
уравнения Р^г) =0 и функция Рг(г) при переходе через
г0 меняет знак с плюса на минус, то, каковы бы ни были
начальные условия, при достаточно малых 8 в системе,
описываемой уравнением (8.5) без случайных возмущений
(ф == 0), установятся периодические колебания с амплиту-
дой, близкой к г0, и частотой, близкой к со. Если случай-
ные возмущения присутствуют, то, как вытекает из теоре-
мы 7.1, с вероятностью, стремящейся к 1 при е -> 0, фа-
зовые траектории (Х^, X*) за время порядка е-1 прибли-
зятся к предельному цттклу вида ГГо = {{х, х): х =
= г0соз (со^ + 6), х = — госо зт(о)/ + 9)}, и будут совер-
шать движение, близкое к колебаниям невозмущенной
системы вдоль цикла ГГо, отклоняясь время от времени
от этих колебаний и снова к ним возвращаясь. Предполо-
жим, что в начальный момент система уже находилась на
цикле ГГо. Тогда на отрезках времени порядка е-1 откло-
нения от периодических колебаний с большой вероят-
ностью будут в силу теоремы 3.1 иметь порядок ]/г^.
С помощью этой теоремы можно вычислить различные
вероятностные характеристики таких отклонений. Напри-
мер, чтобы найти вероятность того, ччо за время [0, 7Уе|
амплитуда г] хотя бы раз отклонится от г0 больше чем на
Нугг1 нужно решить краевую задачу
ди . ч \. алл I \ д2и . с?^1 / \ ди , 7
— E; г) = Т4"(го)_- + -з-Чго)г __, _ к < г < к]
и @, г)=01 и (в, —к)=и (з, к) = 1.
Тогда искомая вероятность будет про е <с 1 близка к
и(Т, 0).
Отклонения на расстояние порядка 1 происходят за
времена, большие по порядку чем е-1. Чтобы изучить эти
отклонения, нужно воспользоваться результатами § 4.
Пусть, например, ^ = г\к при I е [а — пк/со, а + л/с/со),
где т]0, т|1э . . ., т)А, . . .— одинаково распределенные не-
зависимые случайные величины; а — случайная величина,
не зависящая от {г^} и распределенная равномерно на

§ 8] ПРИМЕРЫ 345
[О, 2л/со). Тогда легко проверить, что условие Г для
системы (8.6) выполнено, и
#(г, 9, аи <х2) = #(г, ах, а2) =
где
2я
Ф1 (г) = 2тш I ^ (г С08 5» ~~ га 5*
2л
ф2 (г) ^ — '2лг(й" 1 ^ (Г С°3 5) "~" Г(° 8*П ^ С°3 5 ^5'
Функции /^(г) и ^2(г) определяются равенствами A.9).
С помощью функции //(г, о&!, а2) можно, как показано в
§§ 4 и 6, вычислить асимптотику различных вероятностных
характеристик больших уклонений от невозмущенного
движения. Пусть (а, Ь) э г0 и т8 = т1п {2: г*8 ^ (а, Ь)}.
Вычислим Пте1пМг,е^8 ПРИ г ^ (а> Ь). Из результа-
тов § 6 вытекает, что этот предел равен тт (и(а), и(Ь)),
где функция и(г) на полупрямой г ^ 0 есть квазипотен-
циал случайных возмущений. Ее можно найти как реше-
ние задачи НГо для уравнения
н ('. -аг! °) = ?х (г) $
Решение этой задачи сводится, очевидно, к отысканию
ненулевого корня уравнения Р^г + ЯТ1(ф1(гJ) =«« 0 и
последующему интегрированию. Пусть, например, ве-
личины г\к имеют гауссово распределение, Мщ = О,
Бг)^ =г а2. Результаты § 4 в этом случае применимы (см.
Г р инь [3]). Тогда Яч(т)=^
г __

346 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. I
Предположим теперь, что уравнение Р^г) = 0 имеет
несколько корней г0 < гх < . . . < г2п, причем в корнях
с четными индексами функция Рг(г) меняет знак с плюса
на минус, в точках г2к + 1 — с минуса на плюс. Тогда,
если го е (г2к-\, г2а-н), т0 при малых е в системе без
случайных возмущений установятся колебания с амплиту-
дой, близкой к г2к. Случайные возмущения приведут,
вообще говоря, к переходам между устойчивыми предель-
ными циклами. Пусть и2к(г) — решение задачи ПГ2к
для уравнения (8.7) на отрезке [г2к _ г, г2й+1],
и2к(г) < оо и щк(г2к + х) < и2к(г2к„г). Тогда с вероятностью,
близкой к 1 при малых е, с цикла ТГ2к = {(г, 0): г== г2к}
произойдет переход на цикл ГГ2(А+1), причем среднее
время, необходимое для этого перехода, логарифмически
эквивалентно ехр {е-1м2ь(г2ь4.1)}.
Определим функцию У(г) на @, оо) равенствами
V (г) = иГо (г) при г е @, гх]; V (г) = V (ггк^) + иГ2к (г) -
к^) при ге [г2к„1у гаА+1].
Функция У(г) имеет локальные минимумы в точках
г0, г2, . . ., г2п. Предположим, что абсолютного минимума
функции У(г) достигает в единственной точке г2к*% Тогда,
как вытекает из результатов гл. 6, предельный цикл
ГГ2к* является «самым устойчивым»: подавляющее при
малых е время траектории (ту, 6^) будут проводить в
окрестности цикла ГГ2^,
4» Рассмотрим линейную систему
Х\ = А (Ь/е) X] + Ъ (Ь/е), Хое - х. (8.8)
Элементы матрицы Л (у) = (Л] ([/)) и координаты вектора
&($/) = (Ъ1(у)> • • •> Ьг(^)) предполагаются ограниченными.
Относительно процесса 2* предположим, ¦ что он имеет
достаточно быстро убывающий коэффициент перемешива-
ния; М4 (^) = Л = (Л)), Мб(^) = 6. На основании тео-
ремы 2.1 заключаем, что Х^ сходится по вероятности при
е 10 равномерно на интервале 0 ^ г ^ Т к решению

§ 8] ПРИМЕРЫ 347
дифференциального уравнения
1сг = ~Ахг + 6, г0 = х,
которое можно записать в виде
^ = [ ехр [А {г - .?)}"б й$+ еЪх.
о
Чтобы оценить нормальные отклонения Х\ от хи нужно
воспользоваться теоремой 3.1. Предположим для просто-
ты, что процесс 1г — стационарный и Ь(у) == 0. Обозна-
чим К)т (т) взаимную корреляционную функцию процес-
сов Л)&) и А1(Ъ)У
Тогда по теореме 3.1 нормированная разность $ =
*=е~~1/2 (X* — хг) слабо сходится при 8->0к гауссовско-
му процессу С* = I ^(<"~8)А^г1з» гДе Лз ~~ гауссовский про-
0
цесс с независимыми приращениями и нулевым сред-
X
ним, для которого Мт]*1!* === ) &т (хз) 3$ (см. Хась-
о
минский [4]).
Нетрудно привести примеры, показывающие, что сис-
тема, получающаяся из (8.8) после усреднения, может
иметь асимптотически устойчивые точки покоя там, где
векторные поля А(у)х + Ь(у) ни при каких значениях
параметра у не имеют положений равновесия или имеют
неустойчивые положения равновесия. В окрестности та-
ких точек процесс Х\ при 8 <^ 1 проводит большое время
или даже с большой вероятностью притягивается к ним.
Пусть для определенности, \% — марковский процесс с
конечным числом состояний, рассматриваемый в теоре-
ме 4.2; Ь = 0, и все собственные значения матрицы А
имеют отрицательные вещественные частд. Тогда начало

84В ДИНАМИЧЕСКИЙ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
координат 0 — асимптотически устойчивое положение
равновесия усредненной системы. Пусть Б — ограничен-
ная область с границей сШ, содержащая начало коорди-
нат, и У(х, дГ>) — функция, введенная в § 6. Если
1^@, дБ) < со, то в соответствии с теоремой 6.1 траекто-
рии X®, Хо = х е Д выходят из В за время т8, стре-
мящееся по вероятности к бесконечности при е -> 0;
1пМжтв~ е-17@, дВ). Случай 7@, дО) = +оо рас-
смотрим на примере. Пусть ^ — процесс с двумя состоя-
ниями, и, матрица А (у) в этих состояниях обращается соот-
ветственно в
-! о
0 а
Рассмотрим систему ль = А (&/е) X*. Если бы процесс
^ не переходил из одного состояния в другое, то при
любом начальном состоянии ^0 начало координат было бы
неустойчивой точкой покоя — седлом. Пусть матрица О
для процесса ^ имеет вид
Стационарное распределение такого процесса — равно-
мерное — A/2, 1/2). Усредненная система
? «= у (а ~ а) ^ ж5 = 1 (а - а)Э
при а > а имеет в точке 0 асимптотически устойчивое
положение равновесия. Нетрудно доказать, что в этом
случае траектории процесса Х\ при любом 8 >0с вероят-
ностью 1 при I —>- со стремятся к 0, т. е. за счет случайных
переходов процесса \% система приобретает устойчивость.
С помощью результатов настоящей главы можно вычис-
лить логарифмическую асимптотику Рх{ъе < со} при
е-^0, где т8 = тт{2: Х]фБ)^ (О— некоторая ок-
рестность положения равновесия), а также асимптоти-
ку этой вероятности при х -> 0, е

УСРЕДНЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ 849
§ 9. Принцип усреднения для стохастических
дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
У* = г-*В (Xе, УЕ) + в~1/2С (X8, Ке) шх Г\ = Уг
где х^Вт, у*=В1, Ъ{х, у) « (Ъ1(х, у), ..., Ъг(х, у)),
В{х, у) = (В1(х1 у), ..., В1(х, у)), юг — дг-мерный винеров-
ский процесс; о (х, у) == (а] (ж, г/)), С (х, у) = (с] (ж, у)) —
матрицы, переводящие /?п в Яг и Л? соответственно. Функ-
ции Ъ{(х,у),Щх, у), о)(х, у), С)(х, у) предполагаются огра-
ниченными и удовлетворяющими условию Липшица. На
этом примере мы рассмотрим уравнения типа A.5), когда
скорость быстрого движения зависит от медленных пере-
менных. Заметим также, что, в отличие от предыдущих
параграфов, медленные переменные в (9.1) даже при фик-
сированном У]% ^6 [0г ^]^ образуют случайный
процесс.
Введем в рассмотрение случайный процесс У?у,
х е Нг, |/е Л1, который определяется стохастическим
дифференциальным уравнением
У*« = В(х,У?) + с(х,Г?)шь У%> = у. (9.2)
Решения этого уравнения образуют марковский процесс в
Д1, зависящий от х е Лг, как от параметра.
Сначала мы сформулируем и докажем принцип усред-
нения в случае, когда элементы матрицы о(х, у) не зависят
от г/, а затем укажем на те изменения, которые необходи-
мо сделать, чтобы рассмотреть общий случай.
Предположим, что существует функция Ъ(х) = (Ь1{х),
7Г2(;г), ..., Тг{х)), х е Лг, такаяг что при любых г^*0,
г е= В\ 1/е Я1
М
(9.3)
где к(Л ->¦ 0 при Г -^ со.

350 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
Теорема 9.1. Пусть элементы матрицы а{х, у) =*
= о(х) не зависят от у и выполнено условие (9.3). Обозна-
чим Хг случайный процесс в Ягг определяемый дифферен-
циальным уравнением *)
+ 0(^I0^ Хо = ,г.
Тогда для произвольных Г > 0, 8 > 0, а: е Лг, у е Я1
( вир |Х?-
Доказательство. Рассмотрим разбиение отрез-
ка [0, Т] на одинаковые интервалы длины Д. Построим
вспомогательные процессы У\ и Л^ с помощью следую-
щих соотношений:
= Пд + ~I в (А1д, У1) йв + ^^с (хи, 91)
АЛ
1
¦х + )Ъ{Х!ть,У1)<1з+)о\
о
Покажем, что интервалы Д = Д(е) можно выбрать так,
что е-^е) -> оо2 Д(е) «> 0 при е -^ 0 и
М| К?-У? Г-н. 0 (9.4)
равномерно по а: е Дг, у <= В1, *е [0, Г]. Из определе-
ния процессов У\ и У^ следует, что при I, принадлежа-
•) В этом уравнении и>г — тот же самый винеровский про-
цесс, что и в (9.1). Так как функция Ь(ху у) удовлетворяет условию
Липшица, то Ь(х) тоже удовлетворяет условию Липшица, так что
решение уравнения существует и единственно.

$ 9] УСРЕДНЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ 351
щем отрезку [АД, (А + 1) Д]
Здесь и в дальнейшем мы обозначаем через С-г постоянные,
зависящие только от константы Липшица коэффициентов
Ъ{(х, у), В'(х, у), а) (х, у), С) (х, у), максимума модулей этих
коэффициентов и от размерности пространства.
Из ограниченности коэффициентов стохастического
уравнения для Хг8 вытекает при Д <С 1 оценка
для ее \к&,
г е [А:Д, (к
Из этого неравенства и (9.5) при
получаем

352 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
откуда приходим к соотношению
Отсюда заключаем, что (9.4) выполняется, если положить
Покажем теперь, что для любого б > О
Р ( вир | Х\ — Х^ 1 > б\ -^ 0 (9.7)
при 8-^0иД = Д(б) = 8К 1П8 равномерно по х е Нг>
у е В1. Действительнох из определения процессов X]
и X? следует, что
8ир \Х% — X/1> б <
«<г )
< р A1 | ь (х?, У1) - ь (х^/дзд, П) \ лв > б|.
Оценивая вероятность, стоящую в правой части,с помощью
неравенства Чебышёва и принимая во внимание (9.4)
и (9.6), получаем (9.7). Из оценок (9.4) и (9.6) легко полу-
чить также, что
8ир М|Х?-^е|2 + 0 (9.8)
при е -*• 0.
Теперь убедимся в том, что вир | Х\ — Х81 стремится
0<5<Г
к нулю по вероятности вместе с 8. Отсюда и из (9.7) будет
следовать, очевидно, утверждение теоремы.
Прежде всего заметим, что из определения процесса
У\ вытекает, что процесс 2>8 = У\ь+% при ее [0, Л]
хг у8
совпадает по распределению о процессом У^/е АЛ>
определяемым уравнением (9.2). Следует только в (9.2)
выбрать винеровский процесс ц^ не зависящим от Х^Дг У^д.

§ 91 УСРЕДНЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ 353
Отсюда, учитывая2 что е~1Д(е) -> оо2 на основании
(9.3) получаем
Используя эту оценку, приходим к соотношению
(9.9)
при е->0, так как А(е) -> 0, х(Д(е)/е)->0 при е -> 0.
Оценим тг (I) = М | X? — Х^ |2. Из определения про-
цессов Хг и Х\ вытекает
После возведения обеих частей равенства в квадрат, исполь-
зования элементарных неравенств и условия Лищщща

354
ДИЙАМЙЧЁСКИЁ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ
. г
придем к соотношению
т @ < СУ С гп {$) из + С9 { тп (в) й*
о о
о о
Из этого соотношения при 1^ [О, Т] получаем
Отсюда в силу (9.9) вытекает, что ш?{1) -> 0 при е -* О
равномерно на отрезке [О, Г].
Далеех для любого б > 0 справедливо неравенство
<Р вир
$
о
>б/б
+ Р вир
> 6/6 +
Р 8ир
> 6/6
Первое слагаемое в правой части этого неравенства стре-
мится к нулю в силу (9.9). Чтобы показать стремление к
нулю второго и третьего слагаемых, нужно воспользовать-
ся неравенством Чебышёва, соотношением (9.8) и тем, что
тпе(г) ~> 0 при е | 0. Четвертое и пятое слагаемые оцени-
ваются с помощью неравенства Колмогорова и тоже

$ 9] УСРЕДНЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ЗЙ
стремятся к нулю. Таким образом, мы получаем, что
вир [X* — Х^-^0 при е|0 по вероятности. Отсюда и
из (9.7) вытекает утверждение теоремы 9.1.
Скажем теперь несколько слов относительно случая,
когда элементы матрицы а зависят от д; и от у. Предполо-
жим, что выполнено условие (9.3) и, кроме того, существу-
ет матрица а(х) = {а^(х)) такаяг что при любых I ^ 0г
х €= Н% у& Я1
шахМ 11 Г 2 о[(хх ГТ^оЦх, Г*у)аз-~а{\х)\ <х(ГI
(9.10)
где х(Т) ->• 0 при Т -+ оо, У*у — решение уравнения
(9.2). Пусть Хг — решение стохастического дифферен-
циального уравнения
где о(х) = (а(#)I/2, ш^ — г-мерньш винеровский процесс.
Оказывается, что и в этом случае будет сходимость Хг{ к Хг.
Однако эту сходимость нужно понимать в несколько
более слабом смысле, а именно, меры в пространстве
траекторий, соответствующие процессам Хги будут при
е | 0 слабо сходиться к мере, соответствующей процессу
Хг. Мы не будем здесь приводить доказательство этого
утверждения, отсылая читателя к работе (X а с ь м и н-
ский [6]), где оно содержится. Отметим, что в этой
работе принцип усреднения доказан в предположениях,
допускающих некоторый рост коэффициентов. Условия
(9.3) и (9.10) также заменены менее жесткими.
Рассмотрим пример. Пусть (г8, сре) — двумерный мар-
ковский процесс, управляемый дифференциальным опера-
тором
16-\ & + ъ
|+1 [в(г1ф)-^ +1 о(г1Ф)Щ.

356
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ
}ГЛ. 7
Этот процесс можно описать также с помощью стохасти-
ческих уравнений
фе)
Предположим, что функции Ь(г, ф), Л(г, ф), С(г, ф) перио-
дические по ф с периодом 2л; С(г, ф) ^ с0 > 0. В этом
случае процесс ($°\ который получается из процесса
(г01
с
путем отождествления значений, отличающихся на целое
кратное 2л, будет невырожденным марковским процессом
на окружности. Такой процесс имеет на окружности
единственную инвариантную меру с плотностью т(г0, ф),
причем существуют такие С, X > 0, что для любой огра-
ниченной измеримой функции на окружности /(ф)
2л
вир
(см., например, Фрейдлин [3 ]). Отсюда вытекает соот-
2
ношение (9.3). Действительно^ положив 6 (г) = ^ Ь(г1у)Х
О
X т(г} ф)йф, получим
ма
Т Т
±т [ | МФо F (г, ф'Г) - & (г)) F (г, фГ) - Ь (г))
О О

¦ 9] УСРЕДНЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ 357
1 1
- Ь(г)) (И < шах | Ъ (г, ф) | -^ Г й$ Г
О
при Т ->¦ оо.
Таким образом, в силу теоремы 9.1, г^ равномерно на
отрезке 0 ^ I ^ Т сходится по вероятности при 8 { О
к диффузионному процессу ги который удовлетворяет
дифференциальному уравнению
"* = Ь (^) + ^/2 "^о = го = г.
Если имеется некоторый непрерывный в пространстве
С0Т{Вг) функционал Р[г^, 0^^^ Т] от процесса гги
то из сказанного следует, что Р \гги 0^ ^^ Т] -^^[гь
0^ ^^ Т] по вероятности при е | 0. Эта сходимость
сохранится, если функционал Р имеет разрывы, но мно-
жество функций, на которых Р разрывен, имеет меру нуль
относительно меры в пространстве функций индуциро-
ванной предельным процессом гг.
Результаты, приведенные в этом параграфе, можно
применить для исследования поведения при е | 0 реше-
ний некоторых эллиптических и параболических уравне-
ний с малым параметром.
Рассмотрим, например, задачу Дирихле
Ь'и^г, ф) = 04 ге= (гх, г2);
иг(гп ф) = С1!, 1ге(г2, ф) = С2
в области В = {(г, ф): 0 < гх < г < г2}. Если (г, ф)
интерпретировать как полярные координаты на плоскости,
то эта область представляет собой кольцо, ограниченное
двумя концентрическими окружностями радиусов гх и г2
соответственно с центром в начале координат. Как извест-
но2 решение этой задачи можно записать в виде
иг (г2 ф) == СгРгл {г*е г гх) + СаРГ|Ф (г'е ~ г2}}

358 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
где х8 = ш! \Ь: г] ф (гь г2)}. Обозначим т = тГ [I >> 0:
ггф(г1, г2)}. Легко проверить, что шах Рг{т>Г}~>0
при Г-> оо и что граничные точки отрезка [г1? г2]
регулярны для процесса гг в [гх, г2], т. е. что
Рг.{т = 0} = 1,1 = 1, 2 (см. Вент цель [1 ]). Отсюда
и из равномерной сходимости по вероятности г* к ~гг
на любом конечном отрезке [0, Т] вытекает, что
Ит ^(г, ф) = м(г) -^РДг, - г^-ЬСоР.К^^}. Функ-
ция и(г) может быть пайдена как решение задачи
Решая эту задачуг окончательно получаем
Некоторые примеры более общего характера можно найтд
в работе Хась минского [6 ].
Рассмотрим теперь большие уклонения в системах типа
(9.1). Мы ограничимся случаем, когда в медленном движе-
нии диффузия отсутствует, а быстрое движение происходит
па компактном многообразии и коэффициенты диффузии
по быстрым переменным не зависят от медленных пере-
менных.
Итак, пусть Л/, Е — два римаыовых многообразия
класса С°°, многообразие Е компактно, (Нт М = г,
(Ит Е = I. Обозначим ТМх и ТЕУ касательные простран-
ства к этим многообразиям в точках х е Л/, у е Е соот-
ветственно. Рассмотрим семейство векторных полей Ь(х, у)
на Л/, зависящих от у е Е как от параметра, и семейство
В(х, у) полей па Е, зависящих от хе Л/. Кроме того,
на многообразии Е рассмотрим эллиптический дифферен-
циальный оператор Ь второго порядка2 переводящий

$ о] Усреднение в стохастических уравнениях з5Й
константы в нуль. Функции Ъ(х, у), В(х, у), так же как
коэффициенты оператора Ь, предполагаются бесконечно
дифференцируемыми по совокупности переменных.
На прямом произведении М X Е рассмотрим семейство
марковских процессов Ъ\ = (Х^ У^)х управляемых опе-
раторами
&Ч(х, у) = (Ъ(х, I/), У,/(х, у)) +
+ е-Чадг, у) + (В(х, у), Чу1(х, у))\,
где Ух, V у — операторы градиента на М и Е соответст-
венно. В координатах траектории процесса Ъ\ = (Х^ У^)
можно задать системой стохастических уравнений
?, У?),-
= е [в (XI у?) + г E1I + е-1/2с (у?)
где еЫ ==(?1(У)» •••» ?'(г/)) — коэффициенты при первых
производных в операторе Ь, матрица С (у) связана с коэф-
фициентами а1'(у) при старших производных в операторе Ь
соотношением С(у)С*(у) = (а*>(у)); шь — /-мерный вине-
ровский процесс.
Если многообразие М не компактно, то нужно еще
сделать предположение о том, что поле Ъ(х, у) не слишком
быстро растет: для любого Г>0ихеМ можно указать
компакт Рс:М, х^Р, такой, что РхУ\Хег^Р при
I е= [О, Т\\ = 1 для любых у е= Е, е > 0.
Пусть а — элемент пространства Т*МХ, сопряженного
к ТМХ. Введем в рассмотрение дифференциальный опера-
тор Я = В(х, 22 а), действующий на функции /(у), у ^ Е%
по формуле
Н{хх 22
- Щу)
ж, 2 е М, а е РЛЯ — параметры. При произвольных
значениях параметров В(х, ъ, а) — эллиптический диф-
ференциальный оператор в пространстве функций, опре-
деленных на компакте Е. Этот оператор является с ужен и-

360 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
ем на гладкие функции производящего оператора некото-
рой положительной полугруппы. Аналогично тому, как
это делалось в § 4, отсюда можно вывести, что опера-
тор К(х, 2, а) имеет однократное собственное значение
\х(х, 2, а) с наибольшей вещественной частью. Это собст-
венное значение вещественно и в силу однократности диф-
ференцируемо по параметрам х, 2, а.
Введем в рассмотрение диффузионный процесс Уги
ъ е Мх на многообразии Ех управляемый оператором
Лемма 9.1. Пусть а е Г*Мх, и Р — некоторый
компакт в М. Равномерно пох,ъ ^Р, у е Е существует
предел
[Т. \
Нт -т=г 1пМу ехр { (а, Ъ (хх У*)) сЫ = (I (х ъ а).
Т-оо 1 ^ }
Функция \х(х, ъ, а) выпукла вниз по переменным а.
Доказательство. Обозначим У(х, у, а) =
и (а, Ъ(х, у)). Тогда семейство операторов Туг действую-
щих по формуле
ТЬ (У) = Щ1 (ГО ехр К У (*, У:, а) А
в пространстве ограниченных измеримых функций на Е,
образует положительную полугруппу. Отсюда выводится
утверждение леммы 9.1 аналогично тому2 как это дела-
лось при доказательстве теоремы 4.2.
Обозначим Ь(х, ъ, C) (х, 2 е М, Р е ТМх) преобразо-
вание Лежандра функции \1(х1 т,1 а) по последнему аргу-
менту:
Ь (х1 ъх р) = зир [(а, Р) — р, (х1 2, а)].
а
Мы будем иногда рассматривать функцию Ь(х, 2, Р) при
совпадающих первых двух аргументах. Будем обозначать
Ь(х, х, Р) = Ь(х, Р); эта функция, очевидно, является
преобразованием Лежандра от \х(х, х, а). Заметим^ что
функция Ь(хх 21 Р) полунепрерывна снизу.

§ 91 УСРЕДНЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ 361
Теорема 9.2 (ф рей длин [11]). Пусть X8 —
\
первая компонента марковского процесса Ъ\ на
управляемого оператором 9?г. Положим
т
8от (ф) = ] Ь (ф8, ф8) сЬ
о
для абсолютно непрерывных функций ф ^ Сот(М)\ для
остальных ф е СотЩ) считаем 8{)Т(ц>) = -|-оо.
Функционал е 5От(ф) является функционалом действия
для семейства процессов X8, I е [О, Т\х в пространстве
Сцт{М) при 6 | 0.
Доказательство. Вместе с процессом 2] =
= (Х^ У®) рассмотрим процесс 2^ = {Х*}, У^) :
У? = е-^ (У?) + е
Обозначим е(д:, у) = С~1(у) В(х, у). Процесс Ъ\ отличается
от процесса Ъ\ изменением вектора переноса по перемен-
ным, по которым имеется невырожденная диффузия, так
что меры, соответствующие этим процессам в пространстве
траекторий, абсолютно непрерывны друг относительно
друга. Учитывая это обстоятельство, для любой функции
Ф : [0, Т ] -> М и б > 0 получим
Р*.у 1Рот (*8, ф) < б) - Мх,у (Рот (X8, Ф) < б,
ехр {в~1/2 ) (е (XI ГЦ О*.) - BеГ< ]\е (X8, Уе) \*Л8).
о о
(9.13)
Пусть \|5<п>: [0, Т ] ->- М — ступенчатая функция такая,
что роТ(ф, ^п)) < I/п. Для любых у, С > 0 при достаточ-
но малых б и 1//г выполняется неравенство
„ — 1/2
г г
[ (е (XI, У*), <1ш$) - [ (е (ц><п)'
^3 А. Д. Вентцель, М. И. Фрейдлин

Введем в рассмотрение еще процесс Ъ\ — (Х^, У]\
который в координатной форме определяется стохасти-
ческими уравнениями
Пусть 1Х < 12 < ...^„г-! — точки, в которых функ-
ция \|)(,п) имеет скачки, Ьо = О, 1т = Г; \^п) = \|)(/с) при
2 е [^, ^н)» ^ = 0,1,..., т — 1. На каждом полуинтер-
вале ик1 1к+1) процесс Х{ удовлетворяет условиям теоре-
мы 4.1. Роль процесса ^/е играет процесс У®, который
можно представить в виде У] = У\/г, У] =^(у]) +
+В(Ц(к)хУ\)-{-С(У})шг. Выполнение условия Р выте-
Эта оценка проверяется с помощью экспоненциального
неравенства Чебышёва. Отсюда и из (9.13) получаем, что
для любой функции (реСогС&О и любого 7 > 0 при доста-
точно малых б и 1/п
362 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
Из неравенства (9.14) с учетом абсолютной непрерыв-
ности мер, соответствующих процессам Ъ\ и Ъ\, вытекает,
что при достаточно малых б и 1/п
(9.15)
(9.14)

§ 9] УСРЕДНЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ 363
кает из лемм 4.2 и 9.1. При этом соответствующий функ-
ционал действия на абсолютно непрерывных функциях
вытекает, что при любом у > 0 для достаточно малых б
и \1п найдется такое е0 > 0, что при 8<е0 справедливы
оценки
И
I И$(к), Ф5» Ф8)^5- Отсюда и из (9.15)
-^и (9.16)
Заключительная часть доказательства этой теоремы про-
водится так же, как окончание доказательства теоремы
4.1, и мы его предоставим читателю.
Замечание 1. Утверждение теоремы 9.2 остается
в силе, если многообразие Е заменить компактным мно-
гообразием с краем й, а в качестве процесса28 = (Х8, У8)
выбрать процесс в М X Е, который во внутренних
точках управляется оператором З78, а при у, принадле-
жащих дЕ — краю многообразия Е — удовлетворяет не-
которым граничным условиям, например условию отра-
жения вдоль поля п(у), где п(у) — векторное поле на дЕ,
касательное к 2, но не касательное к дЕ. Изучение такого
процесса можно свести к рассмотрению процесса па мно-
гообразии М X Е\ где Е' — многообразие без края,
которое получается путем склейки двух экземпляров Е
вдоль края дЁ (см. Ф р е й д л и н [3]).
Замечание 2. Нетрудно выписать функционал
действия, характеризующий уклонения порядка ех, х е
е @, 1/2), процесса X8, определенного уравнениями
(9.12), от усредненной системы. Пусть, например, начало
координат 0 — положение равновесия усредненной систе-
мы. Тогда функционал действия для процесса 28 =»

364 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7
= г~*Х* имеет такой же вид, как и в теореме 7.1; в ка-
(д2[Ц0, 0, а) \
честве матрицы С нужно взять матрицу —да да—
при а = 0.
Как и большинство результатов, касающихся диффу-
зионных процессов, приведенная здесь теорема о больших
уклонениях тесно связана с некоторыми задачами для
дифференциальных уравнений второго порядка с неотри-
цательной характеристической формой. Рассмотрим при-
мер. Пусть У? = ?//е, где |* — виперовский процесс па
отрезке [—1,1] с отражением на концах. Процесс Хг
в Яг определим дифференциальным уравнением: X] =
—¦ Ъ(Хгь Уг(). Чтобы выписать функционал действия для
семейства процессов ХеA в соответствии с теоремой 9.2 и за-
мечанием 1 (или согласно теореме 4.1; здесь быстрое и
медленное движение разделяются), нужно рассмотреть
задачу на собственные значения
Ни (у) = -у ^ + (а, Ь (х, у)) и = Ум (у),
Пусть X = Х(х, а) — собственное значение оператора N
с максимальной вещественной частью и Ь(х, Р) — преобра-
зование Лежандра функции Х(х, а) по второму аргументу.
Тогда нормированный функционал действия для процес-
сов X] при е ф 0 на абсолютно непрерывных функциях
т
имеет вид5ог(ф) == ) ^ (фз> Фз) ^8- Чтобы найти асимптоти-
о
ку Рх,у [Х^ е /)}, О(Ц Кг, при е | 0 и асимптотику
вероятностей целого ряда других событий, связанных с
процессом X], нужно, как объяснялось ранее, вычислить
их(*> 2) = ^пЧ^о«(ф): Ф е Нг(х, г)}, где Нг(х, т) — мно-
жество функций ф таких, что ср0 = х, Ц)г = ъ. Начальная
точка х считается фиксированной, и мы ее будем иногда в
обозначениях опускать. Как следует из теоремы 4.1,
функционал действия обращается в нуль на траекториях
усредненной системы и только на них. Можно доказать^

§ 9] УСРЕДНЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ 363
что в нашем случае усредненная система имеет вид
1
7, =Ь(л:,Х Ъ(х)=~ \ Ъ(х,у)йу, (9.17)
— 1
так что, если точка г лежит па траектории хг системы
(9.17), для которой х0 = х и хи =ъ, то и(г0, г) = 0. Для
нахождения функции и{1, г) можно воспользоваться урав-
нением Гамильтона — Ячоби. В рассматриваемом случае
оно имеет вид
^ = ЬB, ъги). (9.18)
Так как N — самосопряженный полуограниченный
оператор, то для его наибольшего собственного значения
Х(х, а) справедливо представление
N г г I
% {х, а) = Ш1п -у [/'B/I2^— («, Ь (ж, у)) р (у) йу ,
где 2 = / : \ |/ (г/) |2 йу= 1, /' A) = /' (- 1) = 0 . Отсюда
вытекает, что решения уравнения (9.18) удовлетворяют
следующему нелинейному дифференциальному уравнению
1
^2)=тт|4- ]' [/' (у)]2 йу -
]
- {(уА6B, У))/2(у)с1у\.
Таким образом, уравнени для и(Ь, г) можно написать,
не находя первого собственного значения оператора N.
Допустим, нам нужно найти асимптотику при 8 1 0
функции иг{1, х, у) - Мх.у/С*?), где № : ^ ~* К -
неотрицательная гладкая функция, отличная от нуля на
множестве О СИ йг. Легко видеть, что игA, х, у) !(())

366
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ
[ГЛ. 7
где хг(х) — решение усредненной системы (9.17) с началь-
ным условием хо{х) = х. В частности, если хг(х) ф С,
то ге(^, х, у) -> 0 при е | 0. Скорость сходимости Vг(^, х, у)
к нулю можно оценить с помощью теоремы о больших
уклонениях для семейства процессов X* :
(9.19)
Как известно, функция у?(^, х, у) есть решение следук-
щёй задачи:
Функция г{1, х)= {{х^х)), очевидно, удовлетворяет урав-
нению
(9.21)
1
где Ьг (х) = -у \ Ъг (х, у) йу. Поэтому из сходимости X]
к траекториям системы (9.17) вытекает сходимость при
е | 0 решения задачи (9.20) к решению задачи (9.21).
Соотношение (9.18) позволяет оценить скорость этой схо-
димости.
Как мы видели в гл. 4 и 6, в стационарных задачах с
малым параметром большие уклонения могут определять
главный член асимптотики, а не только члены, стремя-
щиеся к нулю вместе с е. Рассмотрим стационарную зада-
чуг соответствующую уравнению (9.20). Для краткости

§ 9] УСРЕДНЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ 367
будем считать г = 1:
где Г+ - {у е= [-1, 1 ]: 6A, у) > 0}, Г- = {у <= [-1,
1]: Ь(—1, г/)<0}, г|)A, г/) и ф(— 1, у) — непрерывные
функции, определенные при у е [—1, 1 ]. 'Решение зада-
чи (9.22), по крайней мере обобщенное, всегда существует,
но без дополнительных предположений оно не единственно
(см. Фрейд лин [1 ], [3]). Потребуем, чтобы для каж-
дого #ое[—1, 1] нашлось у0 — уо(хо) такое, что либо
Ъ{х, у о) > 0 при х ^ с0, либо 6(х, г/о) < 0 при х ^ х0, Это
условие обеспечивает единственность решения задачи
(9.22). Если Ъ\ = (X?, У?) — процесс в полосе \у \ < 1
с отражением по нормали к границе, управляемый при
\у\ <С 1,х е (— оо, оо) оператором 1/р, т8 = тт {^:
1X^1 = 1}, то единственное решение задачи (9.22) можно
записать в виде ю?(х, у) = Мх,у\р (Хте, Уте).
Рассмотрим теперь усредненную динамическую систе-
му (9.17) на прямой. Предположим, что траектории усред-
ненного уравнения, исходя из любой точки х е [—1, 1 ],
выходят из этого отрезка. Тогда, очевидно, функция Ь(х)
не меняет знака. Пусть для определенности Ь(х) > 0 при
же[-1, 1]. Если дополнительно предположить, что
6A, у)^0 при у е [ — 1, 1], то нетрудно доказать, что
Если не предполагать, что в A.9) ЬA, у) ^ О при у е
е [—1, 1], то положение существенно усложняется. См.
по этому поводу С а р а ф я н, С а ф а р я н, Ф р е й-
д л и н [1 ]. В этой же работе рассмотрен случай, когда
траектории усредненного движения» не выходят из ин-
тервала (—1, 1).
(9.22)

ГЛАВА 8
УСТОЙЧИВОСТЬ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
§ 1. Постановка задачи
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений
много внимания уделяется исследованию устойчивости
решений относительно малых возмущений начальных ус-
ловий или правых частей. В этой главе мы рассмотрим не-
которые задачи, касающиеся устойчивости при случайных
возмущениях. Напомним сначала основные понятия клас-
сической теории устойчивости. Пусть динамическая систе-
ма
хх = Ь{хх) A.1)
в Пг имеет в точке О положение равновесия: Ъ(О) = 0.
Положение равновесия О называется устойчивым
(устойчивым по Ляпунову), если для всякой окрестности
Пх э О найдется окрестность СУ2 такая, что решения урав-
нения A.1) с начальными условиями х0 = х е СУ2 ни-
когда не покидают множество П1 при положительных I.
Если, кроме того, Пт хх = О для траекторий, исходя-
<->оо
щих из точек х0 = х, достаточно близких к О, то положе-
ние равновесия О называется асимптотически устойчивым.
С устойчивостью относительно возмущения начальных
условий тесно связана задача об устойчивости при постоян-
но действующих возмущениях. Чтобы пояснить, в чем
состоит эта задача, рассмотрим наряду с уравнением
A.1) уравнение
«« = К*г) + Ъи A-2)

§ 1] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 369
где 1>1 — некоторая ограниченная непрерывная функция
на полупрямой [0, оо) со значениями в Кг. Задача об
устойчивости при постоянно действующих возмущениях
может быть сформулирована так: при каких условиях на
поле Ъ(х) решение задачи A.2) с начальным условием
х0 = х будет при \х — О\ -\- вир |^| ->¦ 0 сходиться рав-
о<г<оо
номерно на полупрямой [0, оо) к постоянному ре-
шению хх = О? Можно доказать, что если положение рав-
новесия устойчиво в достаточно сильном смысле относи-
тельно малых возмущений начальных условий, то оно
устойчиво и при постоянно действующих возмущениях.
Например, если положение равновесия равномерно асимп-
тотически устойчиво, т. е. Ига. хг = О равномерно по
х0 = х из некоторой окрестности точки О, то это положе-
ние равновесия устойчиво и относительно малых постоян-
но действующих возмущений (см. М а л к и и [1 ]).
Положение существенно меняется, если отказаться от
ограниченности функции ^ на полупрямой [0, оо). В этом
случае решения уравнения A.2) могут, вообще говоря,
выходить из любой окрестности положения равновесия,
даже если это положение равновесия устойчиво относи-
тельно возмущений начальных условий в самом сильном
смысле. Да и само понятие малости постоянно действую-
щих возмущений в этом случае требует уточнения.
Пусть теперь ^ в A.2) — случайный процесс: ^ =
= ^(со). Если возмущения ^(со) равномерно малы по ве-
роятности, т. е. зир | ^(оо) | -> 0 по вероятности, то поло-
жение не отличается от детерминированного случая:
если точка О устойчива для системы A.1) в достаточно
сильном смысле, то при стремлении по вероятнос-
ти зир |^(со)| к нулю, а начального условия х0 = х
0<*<оо
к положению равновесия О имеем: Р {вир \хг — О\ ^?
0<*<оо
^6}->0для любого б > 0. Однако в большинстве
задач предположение о том, что ^ стремится к нулю
равномерно на всей полупрямой [0, оо), слишком огра-
ничительно. Более естественно предположение о стрем-
лении к нулю зир М |С*|2 или каких-либо других харак-
I
теристик процесса ^, делгюцее маловероятным большое

370 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЛ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ [ГЛ 8
значение |^| в каждый фиксированный момент I, но
позволяющее функции |^(со)| принимать большие зна-
чения в какие-то моменты времени, зависящие от со.
При предположениях такого рода траектории процесса
х±, вообще говоря, могут выходить рано или поздно из
любой окрестности положения равновесия. Так, например,
если 1,1 — стационарный гауссовский процесс, то, как бы
ни было мало М|С*|2= а ф 0, траектории хг свероятно-
стыо 1 как угодно далеко отклоняются от положения рав-
новесия.
Чтобы пояснить характер тех задач, касающихся устой-
чивости при случайных возмущениях, о которых будет
идти речь в этой главе, рассмотрим некоторый объект,
состояние которого описывается точкой х е Яг. Предпо-
ложим, что эволюция во времени этого объекта описыва-
ется в отсутствие случайных возмущений уравнением
A.1), а случайные возмущения С*((*>) приводят к тому, что
изменение состояния описывается уравнением
Х( = Ь(Хи I,). A.3)
Мы допускаем в качестве 1I и некоторые обобщенные слу-
чайные процессы, лишь бы уравнение A.3) имело смысл,
и для любой начальной точки х0 = х е Кг существовало
единственное решение уравнения A.3). Так, мы будем
рассматривать случай, когда Ъ(х, у) = Ь(х) -\-о(х)у, а 1I —
процесс белого шума или производная от пуассоновского
процесса.
Предположим, что можно указать некоторую область
Б СИ Яг такую, что пока фазовая точка, характеризую-
щая состояние нашего объекта, принадлежит /), объект
не претерпевает существенных изменений, а когда фазо-
вая точка покидает!), объект разрушается. Такую область
В мы будем называть критической областью.
Пусть X* — решение уравнения A.3) с начальным ус-
ловием Хо = х. Введем случайную величину хх = тт{2:
X* ф. О} — время до разрушения объекта. В качестве
меры устойчивости системы относительно случайных воз-
мущений 1,1 при критической области Б естественно выби-
рать различные вероятностные характеристики случайной

§ 1] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 371
величины т**). Так, если мы интересуемся нашим объек-
том только в течение отрезка времени [О, Г], то в качестве
меры неустойчивости системы можно взять Р{тх^ Г}.
Если интервал времени заранее не фиксирован, то устой-
чивость можно характеризовать величиной Мтх. В тех
случаях, когда пребывание фазовой точки вне В не приво-
дит к разрушению объекта, а только нежелательно, в ка-
честве меры устойчивости можно выбрать значение инва-
риантной меры процесса на дополнении множества В
(если инвариантная мера существует). Эта мэра будет ха-
рактеризовать долю # времени, проводимую траекторией
X* вне области В.
Однако точное вычисление этих вероятностных харак-
теристик возможно только в редких случаях, главным об-
разом когда X? оказывается марковским процессом или
компонентой марковского процесса в пространстве больше-
го числа измерений. В марковском случае рассматривае-
мые вероятности и средние значения являются, как из-
вестно, решениями некоторых краевых задач для соответ-
ствующих уравнений. Но даже в тех случаях, когда можно
написать какие-то уравнения и краевые условия, извлечь
из этих уравнений полезную информацию не так-то про-
сто. В связи с этим представляет интерес нахождение раз-
ного рода асимптотик указанных вероятностных характе-
ристик при стремлении к нулю тех или иных параметров,
вводящих в уравнение.
В целом ряде задач можно считать, что интенсивность
шума в некотором смысле мала по сравнению с детермини-
рованными факторами, определяющими эволюцию системы.
Таким образом, в задаче появляется малый параметр. Ес-
ли точка О — асимптотически устойчивое положение рав-
новесия невозмущенной системы, то выход из области В
происходит за счет малых случайных возмущений, вопре-
ки детерминированным составляющим. В таких ситуаци-
*) Заметим, что величина %х может оказаться с положительной
вероятностью равной оо. Если случайные возмущения в самом
положении равновесия О исчезают, то Р (т* < оо} может стре-
миться к 0 при х —> О. Для дифференциальных уравнений с воз-
мущениями, исчезающими при приближении к положению равно-
весия, можно создать теорию устойчивости, близкую к классиче-
ской теории (см. X а с ь м и и с к и й [1 ]).

372 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ [ГЛ. 8
ях, как мы знаем, оценки Р{тх ^ Т) и Мтх даются с по-
мощью функционала действия. Хотя таким образом уда-
ется вычислить только грубую, логарифмическую асимпто-
тику, этого бывает достаточно во многих задачах. Так,
логарифмическая асимптотика позволит нам сравнивать
различные критические области, различные векторные
поля Ъ(х, у), а также позволит решить некоторые задачи
оптимальной стабилизации.
Такой подход развит в статье Веитцеля, Фрей-
длина [5].
Введем несколько различных 'постановок задач об
устойчивости и наметим способы их решения.
Пусть X?, ^^0,— семейство случайных процессов
в Нг, возникающее в результате малых случайных воз-
мущений системы A.1); вероятности и математические
ожидания, соответствующие данному значению параметра
и данной начальной точке, будем обозначать соответствен-
но Рх, Мх- Пусть Х(кMот (ф) — функционал действия для
семейства процессов X? относительно метрики роТ (ф, \|з) =
= вир |фг — \рг\ при к | 0; ясно, что функционал
5оТ обращается в нуль на траекториях системы A.1) и
только на них.
Пусть О — устойчивое положение равновесия системы
A.1); В — область, содержащая его; хо = т! {Ь : Хк{ ф
^=2)} — первый момент выхода процесса из Б. Пусть нас
интересует устойчивость системы на конечном отрезке
времени[0, Т]. Будем характеризовать эту устойчивость
асимптотикой вероятности Р* {тв <! Т) при к | 0.
Здесь уместно ввести следующую меру устойчивости
нашей системы относительно данного вида случайных воз-
мущений и области О:
^ НхУ }
где множество НхУ (I) состоит из всех функций ф8, опреде-
ленных при 5 е [0, Г], таких, что ф0 = х, а ф4 = у.
Смысл этой меры устойчивости — следующий: если
нижние грани функционала 8()Т по замыканшо
II II Нху @ и п0 внутренности этого множества

§ 1] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 373
совпадают, то вероятность Рх{тх><; Т} логарифмически
эквивалентна ехр {—Цк) У^х]. Заметим, что для совпа-
дения нижних граней по замыканию и по внутренности
достаточно (в случае функционала 8оТ вида, рассмотрен-
ного в гл. 4, 5), чтобы область О совпадала с внутрен-
ностью своего замыкания.
Меру устойчивости У^х можно вычислить как
Г и (*, х, у), где иA, х, у) = 1п! {8 т (ц>) :
ф Нх%уA)} может быть найдена из уравнения Якоб и.
Другой мерой устойчивости будет характеризоваться
задача, в которой не фиксирован никакой отрезок [О, Т]
времени наблюдения. Определим |хс как нижнюю грань
значений функционала 5цГ от функций <р^, определенных
на отрезках [О, Т\ всевозможной длины и таких, что
ф0 = О, фг ф. И. Вычислить \1В можно как нижнюю
грань по у ф. Б от квазипотенциала
7@, у) - Ш1 {5иТ (Ф) : ф0 = О, Фг - у; 0 < Т < оо},
который (теорема 4.3 гл. 5) находится как решение соот-
ветствующей задачи для уравнения в частных производ-
ных первого порядка. Согласно результатам гл. 4—7
при соответствующих предположениях относительно про-
цессов Хк( и области В среднее время выхода из области
М^то ^логарифмически эквивалентно ехр {ЦА)^} для
всех точек х из О, для которых начинающаяся из них
траектория системы A.1), не выходя из области Б, стре-
мится к положению равновесия О (теоремы 4.1 гл. 4, 5.3
гл. 6, 6.1 гл. 7). В этом случае математическое ожидание
представляет собой типичное с точностью до логарифми-
ческой эквивалентности значение времени выхода; а имен-
но, для любого у > О
Нт
я любого у > О
{ехр {X (к) 1110 - у]} < х0 < ехр {К (кIу.о + у]}} = 1
(теорема 4.2 гл. 4). Кроме того, значение нормированной
инвариантной для X, меры на множестве Яг \В лога-
рифмически эквивалентно ехр {—к(к)\хп} (теоремы 4.3
гл. 4, 4.2 гл. 5). Таким образом, если отрезок времени за-

374 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ [ГЛ. 8
ранее не фиксирован, константа \хг> является в некотором
смысле универсальной мерой устойчивости для заданного
вида возмущений и критической области. Если критиче-
ская область не задана, то такой универсальной харак-
теристикой устойчивости положения равновесия будет
функция У(О, у)— квазипотеициал случайных возмущений.
Через функцию У(О, у) выражается и «самая опасная
точка» на границе критической области: при некоторых
предположениях «разрушение» объекта происходит с по-
давляющей при малых к вероятностью вблизи точек
1/б№, где У(О, у) достигает своей нижней грани по мно-
жеству дП.
Теперь рассмотрим задачу выбора оптимальной крити-
ческой области. Предположим, что для областей /), содер-
жащих положение равновесия О невозмущенной системы,
определен монотонный функционал Н(В); для определен-
ности будем считать, что этот функционал имеет вид
) к(х)^х, где к(х) — положительная функция. Мы стре-
в
мимся к тому, чтобы среди областей Б с заданным значе-
нием функционала Нф) = Но выбрать такую, чтобы ве-
роятность выйти из этой области за фиксированное время
Т была наименьшей или математическое ожидание време-
ни выхода — наибольшим. Оптимальная критическая^об-
ласть зависит, вообще говоря, от к. Мы будем искать
асимптотическое решение этой задачи, т. е. будем стремить-
ся построить область, которая лучше любой другой (не за-
висящей от к) области при достаточно малых к.
Ясно, что эта задача сводится к максимизации соот-
ветствующей меры устойчивости — У^'х или \1В. Легко
видеть, что она должна решаться следующим образом:
берутся области Бс вида {у : Ы иA, х, у) < с} (со-
ответственно {у : У(О, у) <С с}); и из этого расширяюще-
гося семейства областей выбирается та, для которой
= Но. Если функция 1п{ иA, х, у) (или У(О, у))
гладка по I/, это обеспечивает хорошие свойства об-
ласти 2)с. Любую область, граница которой не является
поверхностью уровня функции т! и{1, хг у) (соответ-
0<Г
0<*<
ственно У(О, у)), можно уменьшить, сохранив то же

§ 1] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 375
значение Ы Ы и{1, х, у) (или Ы У(О, у)), а затеАм
заменить большей областью Ос с прежним значением Я.
Так, для системы х%— Ахг с нормальной матрицей А
и возмущений типа «белого шума» (т. е. X* = АХ] +
Л-аЮх) оптимальная критическая область для задачи без
фиксированного отрезка времени имеет вид эллипсоида
(см. пример 3.2 гл. 4).
Перейдем к задачам оптимальной стабилизации.
Предположим, что в возмущенном уравнении A.3)
содержится параметр, которым можно управлять (или
несколько параметров). Выбор способа управления про-
цессом состоит в выборе вида зависимости управляющего
параметра от значений управляемого случайного прэцес-
сл. Введем следующее ограничение на характер этой за-
висимости. Пусть каждому рассматриваемому виду а за-
висимости управляющего параметра от значений процесса
отвечает семейство случайных процессов X"' . Предпола-
гается, что для них всех существует функционал действия
ЦН)8а (ф), в котором нормирующий коэффициент Х(Н) не
зависит от выбора управления.
Решение определенных задач оптимального управле-
ния процессом при малых /г будет связано с функциона-
лом 8а (ф) = 8от (ф) и квазипотенциалом Vй (х, у) =
= 1п1 {81т (ф): Фо = я> Фт = У5 О <Г < оо}. В част-
ности, правдоподобно,что задача выбора управления, мак-
симизирующего (асимптотически при /г | 0) среднее
время выхода из какой-либо области Ох будет связана
с функцией
7(х, у) = зир Г (х, у), A.4)
где верхняя грань берется по всем допустимым способам
управления.
Мы ограничимся рассмотрением однородных по време-
ни управляемых марковских процессов. В качестве клас-
са допустимых управлений будем рассматривать такие,
в которых значение управляющего параметра в дапный
момент I является определенной функцией а(Хг) от значе-
ния процесса в тот же самый момент времени. Такие управ-
ления приводят к однородным по времени марковским

376 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ [ГЛ. 8
процессам Х?'н (см. Крылов [2]); их локальные ха-
рактеристики в каждой точке х зависят от х и от значения
управляющего параметра а(х) в этой точке.
Итак, пусть класс допустимых управлений состоит из
функций а(х), значения которых в каждой точке принад-
лежат множеству допустимых в данной точке управле-
ний Щх) (и которые подчинены еще некоторым требова-
ниям регулярности). Каждой допустимой функции отве-
чает марковский процесс (Х?'1,Р^' ) (соответствующие
математическое ожидание, нормированный функционал
действия, квазипотенциал обозначаем Мх>/1, 5ог (ф),
Vй (Х1 У))- Будем рассматривать следующую задачу:
выбрать функцию а так, чтобы максимизировать
Нт ЦН)'г\п М^агв.
Решение этой задачи, как мы уже говорили, скорее
всего связано с функцией У(х, у), определяемой формулой
A.4). Здесь возникает ряд вопросов: как можно найти мак-
симальный квазипотенциал У(х, у)? и как с его помощью
решать задачу об оптимальном управлении? В следующих
параграфах мы рассмотрим эти вопросы (для определен-
ного класса управляемых марковских процессов), а также
примеры.
§ 2. Задача оптимальной стабилизации
Класс семейств случайных процессов, для которого мы
будем рассматривать эту задачу,— это семейства локаль-
но безгранично делимых процессов, рассмотренные в
гл. 5. Предположим, что при каждом х е К задано мно-
жество Щх) с: В1 . Пусть каждой паре х е Нг , а е Щх)
поставлены в соответствие: вектор Ь(х, а) = (Ьг(х, а), ...
. . ., Ьг (х, а)); симметричная неотрицательно определенная
матрица (а^(х, а)) порядка г; мера \х(х, а, •) на Кг \{0}
такая, что ] |C|2|л(;г, а, сф) < оо.
Процесс (Х^'а, Р^'а), отвечающий значению парамет-
ра Н (из @, оо)) и выбору управляющей функции а(х) (при-
надлежащей при каждом значении аргумента множеству
Щх)), мы определим как марковский процесс с инфините-
зимальным оператором, определенным на финитных дваж-

§ 21 ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ 377
ды непрерывно дифференцируемых функциях формулой
B.1)
Разумеется, может оказаться, что дайной функции
а(х) при каком-то к > О ие отвечает никакой марковский
процесс; в этом случае будем считать управляющую функ-
цию недопустимой. Обозначим класс допустимых управ-
лений Я.
Вопросу о том, при каких условиях данному набору
локальных характеристик отвечает локально безгранично
делимый процесс, посвящено большое число работ; особен-
но широко исследован вопрос в случае диффузионных про-
цессов, т. е. A = 0. Достаточно, например, равномерной
невырожденности и непрерывности матрицы диффузии,
ограниченности и измеримости вектора сноса (см. К р ы-
л о в [1 ], С т р у к и В а р а д а н [1 ]). Случай |л, от-
личного от нуля, рассматривался в статьях К о м а ц у
11 ], С т р у к а [1 ], Л е п е л ь т ь е и М а р ш а л я
[1 ] и др.
Вероятности маловероятных событий для процессов
(Х*'а, Р^1>а) при различном выборе функции а(х) будут
связаны с функцией от трех аргументов:
B.2)
которую мы будем предполагать конечной и непрерывной
по всем аргументам вместе с ее производными по а,-. При
выполнении условий теоремы 2.1 гл. 5 функционал действия
для семейства процессов {Х^а} Р*'0) при к \ 0 будет

378 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ [ГЛ. 8
задаваться формулой
т
Л-^т (Ф) = Л1 Ь (Ф«1 а (Ф<)> Ф«) л> B.3)
о
где 1/(ж, а, E) — преобразование Лежандра от функции
Н(х, а, а) по третьему аргументу.
В гл. 5 мы требовали от функций Н(х, а), Ь(х, E) непре-
рывности по х; поэтому хорошо было бы рассматривать
только непрерывные управляющие функции а(х). Однако
известно, что в задачах оптимального управления редко
удается обойтись только непрерывными управлениями.
Оказывается, необходимые нам результаты переносятся
на случай, когда функции Н(х, а), Ь(х, Р) терпят разрыв
в одной точке (или в конечном числе точек), но не сохра-
няются, вообще говоря, если разрыв имеет место вдоль
какой-нибудь линии (или тем более поверхности). Поэтому
мы вводим следующий класс функций. Пусть а(х) —
определенная на Яг функция со значениями в Я . Будем
писать а е П, если эта функция непрерывна при всех
х е Яг , кроме, может быть, одной точки, и при каждом х
значение этой функции принадлежит множеству разрешен-
ных в точке х управлений Щх).
Теоремы 2.1—2.3 для диффузионных процессов со-
держатся в статье В е н т ц е л я, Фрейдлина [5].
Теорема 2.1. Пусть то — момент выхода процес-
са Х1 'а из ограниченной области -О, граница которой
совпадает с границей ее замыкания. Для любой управляю-
щей функции а 6 П [] Я равномерно по х е В
тт *ир Vй(х0, у). B.4)
Е9О бП
Заметим, что Vй — в свою очередь нижняя грань зна-
чений функционала 5° (ф) по функциям, ведущим из х0
в г/, так что в правой части B.4) фигурирует весьма слож-
ная комбинация максимумов и минимумов: шах тт вир
т!.
Доказательство теоремы проводится следую-
щим образом: для произвольного у > 0 выбираем Т > О
так, чтобы для любой управляющей функции а е П и
любого 10еО существовала функция ф*, 0 ^ X ^ Тх та-

§ 2] ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ 379
кая, что ф0 = #0, срг выходит из О при каком-то I е [О, Г],
и 5ог (ф) ^ Уо + У- Далее доказывается
Лемма 2.1. Для любого а е П Р| Я при достаточно
малых к и всех же!)
Р*'>с< Т + 1}>ехр I- и (Уо + 2Т)}. B.5)
Доказательство проводится так же, как для
п. а) теоремы 4.1 гл. 4: функция ф* продолжается за преде-
лы области Б\ используется нижняя оценка вероятности
прохождения трубочки, даваемая теоремой 2.1 гл. 5.
Единственное отличие — это то, что условия теоремы 2.1
гл. 5 не выполнены в окрестности точки л^, где функция
а(х) терпит разрыв. Однако соответствующий отрезок
функции ф* заменяется отрезком прямой, и нужную
оценку дает
Л е м м а 2.2. Пусть (Х^'а, Р*'а) — семейство ло-
кально безгранично делимых процессов с инфинитезималь-
ным оператором вида B.1); пусть соответствующая функ-
ция Н(х, а(х), а) ограничена с первыми и вторыми произ-
водными по а в любой конечной области изменения а (но мо-
жет быть сколь угодно разрывна как функция х). Тогда
для любого у > 0 и любого б >> 0 существует р0 >> 0 такое,
что при достаточно малых к > 0 для любых точек х, у
с \У — *К р0
Р"'а 1ро/о (Xм, ф) < 6} > ехр {- у1Г\ B.6)
где ф4 = х + I ^~^ ° < * < *о = \У — *|.
Доказательство копирует соответствующую
часть доказательства теоремы 2.1 гл. 5, но без использова-
ния непрерывности функций Н или Ь.
Когда B.5) доказано, доказательство теоремы 2.1 за-
вершается применением марковского свойства:
Р^'а{г» >п(Т + 1)}< [1 - ехр {- /Г1 G0 + 2у) }]п;
Мк'Ч < (Г + 1) 2 Р*а (Ъ > п (Т + 1)} <
0

380 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ (ГЛ. 8
Положим теперь
Теорема 2.2. Пусть У{х) — решение задачи ПХо
для уравнения
Щх,уУ(х)) -0 B.7)
в области В. Тогда для любой функции а, принадлежащей
классу П (т. е. а непрерывна всюду, кроме одной точки,
и а(х) е П(.г) при любом х), квазипотенциал
V- (х0, х) < 7(х)
при всех х из множества
В = {х е Д I) дВ : Т^Х 1пГ ? (?/)}.
Пусть, кроме того, существует непрерывная на мно-
жестве {(х, а) : х Ф х0, а Ф 0, Н(х, а) == 0} функция
а(х, а) такая, что а(х, а) ^ П(^), и //(д:, а(х, а), а) —
= Щх, а) - 0. Тогда
всех х ^. В, и верхняя грань достигается на функции
а(х) = а(х, у Щх))-
Доказательство. Допустим, что при каком-то
а е П, каком-то х е В и каком-то е > 0
У« (х0, х) > в + A + е)%).
Можно считать, что 6=^6^= —^—Ц —, где х% —
точка, где функция а(х) терпит разрыв.
Рассмотрим множество Л = В [) {х : Vй (х0, х) > 8 +
+ A + ъ)У(х)}'1 это множество — открытое в В. Положим
Уо = т! [У(х) : х ^ А}. Нижняя грань Уо не достига-
ется; иусть Хоо—предельная точка множества А на поверх-

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
381
ности уровня {х : У(х) = Уо}. Пусть хх, . . ., хп, . . . —
последовательность точек из Л, сходящаяся к х^ (рис. 18).
Ясно, что точки поверхности {х : У(х) = Уо} не принад-
лежат А, и У(хп) >У0. Заметим, что в силу выбора е Ф е^
точка ^оо не совпадает с точкой х^ разрыва функции а.
Рис. 18.
Рассмотрим векторы V У(Хоо) и Роо = Уа ^"(^оо» #(#оо),
V ^(^оо)). В силу свойств преобразования Лежандра
B.8)
Функция 1/(.Гоо, а(х*>), Р) всюду неотрицательна, а обра-
щается в нуль только при C — УаН(Хоо, д(^оо)? 0); но
V ^(^оо) ф 0 (потому что 7 — решение задачи Л^),
поэтому первое слагаемое в B.8) положительно. Второе
слагаемое здесь не меньше чем //(.Гоо, УУ\Хоо)) = 0.
Поэтому скалярное произведение (V У(хос), Роо) > 0,
т. е. вектор роо направлен наружу поверхности {х : У(х) =
= Уо} в точке ^оо. В силу непрерывности УУ(х), то же
будет и в точках, близких к х^.
Определим для каждой точки хп функцию
При хп, достаточно близких к х^ (т. е. при достаточно
больших /г), прямая ф^п) пересечет поверхность {х : У{х) =
= Уо} при малом отрицательном значении Ьп, причем

382 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ [ГЛ. В
при п -> оо
Знаменатель здесь не меньше чем Ь (х^, а(хооI р^),
так что
при п-+оо. В силу определения квазипотенциала Vй
имеем
Первое слагаемое здесь не превосходит е + A + 8) X
X V (ф(^) =8 4- A + 8)^о5 второе оценивается формулой
B.9). Значит, при достаточно больших п будет выполнять-
ся неравенство
Vй (*0, *„)< е + A + в) Уо + A + е) (У (хп) - Уо) -
Но это противоречит тому, что ^я е 4, т. е. Уа(х0, хп) >
> е + A + 8O(.ги). Остается принять, что множество А
пусто. Первая часть теоремы доказана.
Для доказательства второй части достаточно восполь-
зоваться теоремой 4.3 гл. 5 в применении к непрерывным
при хфх0 функциям Н(ху а(х), а) <-> Ь(х, а(х), Р), где
а(х) = а(х, V 7(х)).
Предположим теперь, что существует функция а(х, а),
упоминаемая в условии теоремы 2.22 что для каждого
при и-> оо.
Оценим значение функционала 5а от функции у\п) при
B.9)

§ 21 ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ 383
х0^ О существует функция У(х) = УХо (х), удовлетво-
ряющая условиям этой теоремы, и что при любом х0 функ-
ция аХо (х) = а(х, VхУХо(х)) принадлежит классу Я до-
пустимых управлений. Из этих условий вытекает, в част-
ности, что для любых двух достаточно близких точек х0,
х1 е О существует управляющая функция а(х) такая,
что из х1 ведет в х0 «наиболее вероятная» траектория —
решение уравнения хг — Ь(хи а(хь)). Введем дополнитель-
ное требование, состоящее в том, чтобы 0 был при каждом
х изолированной точкой множества {а : Н(х, а) =0}.
Тогда достижение точки х0 из х1 происходит за ко-
нечное время; и легко доказать, что этот факт остается
верен для произвольных х0, хх <= О, а не только для
близких.
Теорема 2.3. Пусть выполнены сформулированные
только что условия. Выберем точку х0, в которой
пнп УХо (у) достигает максимума (равного Уо). Выбе-
рем управляющую функцию а(х) следующим образом: в пре-
делах множества ВХо = (х: УХо (х) ^ га1п УХо (у)\ положим
а(х) = а(х, VхУХо (я))', а для* остальных х произ-
вольным образом, лишь бы а(х) было непрерывно, и из любой
точки области О решение системы хь — Ь(хг, а(хь)) при
положительных I, оставаясь в пределах О, достигало мно-
жества ВХо. Тогда при любом х е Т>
Нт й1пМ^%-70. B.10)
П I 0
Вместе с теоремой 2.1 это означает, что функция а дает
решение нашей задачи оптимальной стабилизации.
Доказательство проводится так: для точек
ВХо функция УХо (х) является функцией Ляпунова для
системы х^ = Ъ(хи а(х%))\ это, вместе с устройством функ-
ции а(х) для остальных»х, показывает, что точка х0 —
единственное положение устойчивого равновесия, к кото-
рому притягиваются траектории, выпущенные из всех
точек области. Теперь B.10) вытекает из теоремы 4.1 гл. 44
обобщенной так2 как это указывается в § 4 гл. 5.

384 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ 1ГЛ. 8
§ 3. Примеры
В конце главы 5 мы рассмотрели пример вычисления
квазипотенциала и асимптотик среднего времени выхода
из окрестности устойчивого положения равновесия и ин-
вариантной меры для семейства одномерных процессов,
делающих скачки вправо и влево на к с вероятностями
к~хг(х)с11, к~ 1(х)сИ за время йЬ. Тем самым мы нашли харак-
теристики устойчивости положения равновесия. Этот
пример допускает много различных интерпретаций; в
частности — процесс деления и гибели большого числа
клеток (см. § 2 гл. 5). Вопрос устойчивости положения
равновесия такой системы, т. е. вопрос о времени, в тече-
ние которого численность клеток остается в данных пре-
делах, может представлять большой интерес, особенно
если речь идет не о численности колонии бактерий, а, на-
пример, о численности клеток определенного рода в кро-
ветворной системе организма.
Другая конкретная интерпретация той же схемы —
система, состоящая из большого числа элементов ТУ, ко-
торые выходят из строя независимо друг от друга после
показательного срока работы. Эти элементы начинают ре-
монтироваться; время ремонта показательное, с показа-
телем \х, зависящим от доли вышедших из строя элементов.
Изменение этой доли х с течением времени — процесс
указанного вида с к = УУ~1, г(х) = A — х)-к (X — показа-
тель распределения срока работы), 1{х) = Х'\\(х).
Не показательный срок ремонта или не показательное
время между последовательными делениями клетки при-
водят к другим схемам; см. Ф р е и д л и н [8], Л е в и-
н а, Л е о и т о в и ч, Пятецк и й-Шапиро [1 ].
Рассмотрим примеры оптимальной стабилизации.
Пример 3.1. Пусть рассматриваемое семейство
управляемых процессов устроено во всех точках одинако-
во; иными словами, функция Я и множество допустимых
управлений в данной точке не зависят от х:
П{х, а, а) == Ща, се); Щх) = П.
В этом случае не зависит от х и функция Я:
// (хх а)=Н (а) = 1п1 Я (а, а);

§ 31 ПРИМЕРЫ 385
и уравнение B.7) превращается в
ЩЧ7{х)) = 0. C.1)
Функция //(а) обращается в нуль только на одном век-
торе каждого направления (кроме а — 0). Геометрическое
место концов этих векторов обозначим А. Уравнение C.1)
можно переписать в виде УУ(х) е А.
Уравнение C,1) имеет бесконечное множество реше-
ний — г-мерных плоскостей вида УХо(Хо (х) = (а0, х — х0),
а0 е А; но ни одно из них не является решением задачи
ПХо для этого уравнения. Чтобы найти это решение, за-
метим, что решения-плоскости зависят от (г — 1)-мерпого
параметра а0 е А и независимого от него одномерного
параметра — скалярного произведения (а0, х0); это се-
мейство — полный интеграл уравнения C.1). Как извест-
но (см. Курант [1], стр. 111), огибающая произволь-
ного (г — 1)-параметрического семейства таких решений
также есть решение. Если у семейства плоскостей Р\о(Х() (х)
при фиксированном х0 есть гладкая огибающая, то это и
есть искомое решение УХо(х) задачи НХо.
Во всяком случае, это решение задается конической
поверхностью (т. е. КЖо (ж) -—положительно однородная
функция степени единица от х — х0); ее удобно задавать
единичной (г — 1)-мериой поверхностью уровня V\ =
= {х — х0 : УХо (х) = 1) (она не зависит от х{)). Поверх-
ность 1]х имеет по одной точке р0 на каждом луче, выходя-
щем из начала координат; посмотрим^ как найти эту
точку.
Пусть образующая конуса УХо (х), соответствующая
точке ро, является линией касания его с плоскостью
УХьа0 (х) (а0 определяется единственным образом, потому
что направление этого вектора задано: это — направле-
ние внешней нормали к II1 в точке ро). Тогда в сечении го-
ризонтальной плоскостью на высоте 1 получим (г — 1)-
мерную плоскость {C: (а0, Р) = 1}, касающуюся поверх-
ности Цг в точке ро (рис. 19). Ближайшая к началу коор-
динат точка этой плоскости находится от него в том же
направлении, что точка а0, на расстоянии ^о!, т. е.

386 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ [ГЛ. 8
это — точка /(а0), получаемая из а0 инверсией относи-
тельно единичной сферы с центром в 0.
Итак, чтобы найти поверхность уровня 1/Х1 нужно под-
вергнуть поверхность А инверсии; через каждую точку
полученной поверхности 1{А) проводим плоскость, орто-
гональную соответствующему радиусу, и берем огибаю-
щую этих плоскостей. Это
геометрическое преобразова-
ние не всегда приводит к
гладкой выпуклой поверх-
ности: могут появиться «угол-
ки» или ребра возврата. Мож-
но дать критерий гладкости
11Х в терминах центров кри-
визиы исходной поверхнос-
ти А,
Если полученная поверхность 11г оказывается гладкой
(один раз непрерывно дифференцируемой), решение зада-
чи оптимального управления получается следующим об-
разом. В область И вписывается наибольшая фигура, го-
мотетичная 111 с положительным коэффициентом подобия
с, то есть фигура вида х0 + с111, где х0 — какая-то точка
из В (определяющаяся, вообще говоря, не единственным
образом). Внутри этой фигуры оптимальное управляющее
поле а(х) определяется так: берется точка C0 е IIъ нахо-
дящаяся на луче с тем же направлением, что х — х0; на-
ходится соответствующая точка а0 поверхности А; и
в качестве а (х) берется то значение а0 управляющего пара-
метра из П, при котором достигается т\п II (а, а0)
. оеп
\=И(а0) = 0; предполагается, что этот минимум дости-
гается и что а0 непрерывным образом зависит от а0, про-
бегающего А).
Таким образом, на каждом радиусе, выходящем
из х0, значение управляющего параметра а(х) бу-
дет постоянно. В точках х, лежащих снаружи от поверх-
ности х0 + с1/1, поле а(х) определяется почти произволь-
но, лишь бы оно «загоняло» все точки внутрь указанной
поверхности.
Среднее время выхода будет при к \ 0 логарифмиче-
ски эквивалентно ехр {ск~1}.

§ 3] ПРИМЕРЫ 387
В статье В е н т ц е л я, Фрейдлина [5] рас-
сматривался частный случай этого примера, где речь шла
об управлении диффузионным процессом с малой диф-
фузией при помощи выбора сноса.
Пример 3.2. Имеется динамическая система, воз-
мущаемая малым белым шумом; мы можем подвергать ее
управляющим воздействиям, величина которых в нашей
власти, но которые сами по себе содержат шум. Матема-
тическая модель этой ситуации:
где IVи \юх — независимые винеровские процессы, а а(х) —
управляющая функция, которая выбирается в пределах
множества П(х).
Рассмотрим простейший случай — одномерный, а, Ъ
и а — положительные константы, Ь(х) — непрерывная
функция; область В — интервал (хх, х2); управляющий
параметр а(х) в каждой точке меняется в пределах
± [2Ь~1 тах | Ь (х) | + о~1о] (или в пределах любого боль-
шего отрезка Щх)).
Имеем
Н {х% а, а) = (Ь (х) '+ аЬ) а + -|- (а2 + а2о2) а2;
/(жа а)Ъ(х) +
+\- о2а2
2а ^
Ъ~~*]
при |а|^ \2о2Ъ 2 ?^ахх | Ь (х) | + оо Ь ч ,причем этот ми-
нимум достигается при а= — Ъо-2а~х. Функция Н(х, а) обра-
/ Ч Ъ(Х) -. ГЪ{Х)Ъ , ^
щается в нуль при а = аА (д:) = ^ \/ —/- Н г- <
<0 „ при а = а2(,) = -^
а также при а = 0, что, впрочем, для нахождения опти-
мального квазипотенциала несущественно (легко прове-
ряется1 что |ах(^)| и |а2(#)| превосходят указанную гра-

388 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ [ГЛ. 8
нтщу для |а|). Задача йХо для уравнения II (#, УХо (х)) = О
сводится к уравнению
\ах (.г) при хг < х < хОг
х° V ; [а2 (х) при х0 < х
с дополнительным условием Итп 7Хо (х) — 0. Легко
видеть, что гп1п (УХо (хх), УХо(х<>)) достигает наибольшего
значения при таком х0, для которого УХо (хх) и УХо (х2)
равны мея^ду собой. Это приводит к уравнению для х0
ОС 2
которое имеет единственное решение. После того как
оптимальное положение равновесия х0 найдено, оптималь-
ное управление находится по формуле:
_ {-— Ьо~2а1(х)~~{ левее точки х0,.
а(х) —\ ~~_? ,
[— Ьо а.) (х) правее точки х0.

ГЛАВА 9
УТОЧНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ
§ 1. Локальные теоремы, точная асимптотика
В главах 3, 4, 5, 7 были установлены предельные тео-
ремы о больших уклонениях, касающиеся грубой асимпто-
тики вероятностей типа Р{ХН е4}. Возникает вопрос:
нельзя ли получить для семейств случайных процессов
более тонкие результаты (которые получены для сумм
независимых случайных величин) — локальные предель-
ные теоремы о больших уклонениях и теоремы о точной
асимптотике? Кое-что в этом направлении сделано;
в этом параграфе мы дадим обзор этих результатов.
Если Хк( — семейство случайных процессов, локаль-
ная теорема о больших уклонениях может касаться асимп-
тотики при к \ 0 плотности распределения рн (у)
значения рассматриваемого процесса в момент ^, где точ-
ка у отлична от «наиболее вероятного» при малых к зна-
чения хA) (причем, учитывая, что плотность определяет-
ся, вообще говоря, неоднозначно, мы должны указать,
что речь идет, скажем, о непрерывном варианте плотно-
сти). Могут быть локальные теоремы, касающиеся сов-
местной плотности рнх, . . . , 1п(уъ . . ., уп) случайных
величин Х^,..., Хнп. Речь может идти также об асимпто-
тике плотности распределения какого-либо функционала
Р(Хк) в точках, отличных от «наиболее вероятного» зна-
чения Р(х(-)).
Однако получение такого рода результатов, касающих-
ся сколько-нибудь широкого класса функционалов Р
и семейств случайных процессов Хк, пока нереально, хо-
тя бы потому, что предварительно должны быть получены
результаты о существовании непрерывной плотности рас-

390 УТОЧНЕНИЯ II ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. 9
пределения у случайной величины Р(Х*). По той же при-
чине исследования в области локальных теорем о больших
уклонениях, касающихся плотностей значений процесса
в отдельные моменты времени, пока ограничиваются слу-
чаем семейств диффузионных процессов, для которых
вопрос существования плотности хорошо исследован и ре-
шается при минимальных ограничениях, в случае невырож-
денной матрицы диффузии, положительно. Плотность веро-
ятностей перехода рн(^ х, у) для значения диффузионного
процесса Х;/в предположении, чтоХо=.г, имеет смысл фун-
даментального решения соответствующего параболического
дифференциального уравнения (или в случае диффузион-
ного процесса в области с достижимой границей функции
Грина для соответствующей задачи). Это дает и дополни-
тельный способ исследования плотности рн, и область
возможных применений.
Начнем с работы Ф р и д м а и а [1 ] — потому, что
ее результаты более непосредственно примыкают к тому,
о чем шла речь до сих пор (хотя она и вышла чуть позже
работы К и ф е р а [1 ], содержащей более сильные резуль-
таты). Пусть /?л(^, х, у) — фундаментальное решение урав-
ди тН
нения — = Ь и в г-мерном пространстве, где
+ 2И^; A.1)
иначе говоря, рКA, х, у) — негр рывный вариант плот-
ности вероятностей перехода соответствующего диффу-
зионного процесса (Х^, Р^)- (Здесь нам удобнее обоз-
начать малый параметр при матрице диффузии /г, а не е2,
как мы это делали, начиная с гл. 4.) Полагаем
У{1, х, у) = пип {8о1 (ф) : ф0 =я, ф, = у}, A.2)
где к~г80г — функционал действия для семейства про-
цессов (X7}, Рх) функционал 5^ задается, как мы зна-
ем, формулой
I
за1 (ф)=412а» (^« -ь< ^х^ -ь' (ф.)) ***
о
A.3)

§1] ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ, ТОЧНАЯ АСИМПТОТИКА 391
где (Ягу(#)) = (а{1(х))~1. Устанавливается, что
\\тк1прЦ1, х, у) = -V Aгх, у). A.4)
Ь | О
Эта грубая локальная теорема о больших уклонениях по-
лучается применением грубых теорем из работы Вент-
целя, Фрейдлина [4] (интегральных) и оценок из
работы А р о н с о н а [1 ]:
если все экстремали, на которых достигается мини-
мум A.2), выходят из В [] дВ. Доказывается также
противоположный результат: если все экстремали прохо-
для достаточно малых I, где Аь С{ и а — положительные
константы, а хA, х) — решение системы х = Ъ(х) с началь-
ным условием х@у х) = х.
Далее, если (Х'г, Р*)— диффузионный процесс,
соответствующий оператору Vх в области В с глад-
кой границей дВ, исчезающий по достижении этой гра-
ницы, то его плотность вероятностей перехода дк(^ х,
у) — функция Грина для уравнения -г- = Ьни с гра-
ничным условием и = 0 на дВ. Доказывается, что
A.5)
где Ув (г, х, у) определяется как нижняя грань значений
функционала 801 (ф) на кривых ср, соединяющих точки х
и у за время I, не выходя из области В. Отсюда, в частности,
вытекает, что
A.6)

392 УТОЧНЕНИЯ II ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. 9
дят внутри О, то
р 1. A.7)
ПО Р (^ я, У)
(По выражению М. Каца, процесс X1} при малых к
«не ощущает» границы.)
В рассматриваемую схему естественным образом (и
почти в точности) включаются также вопросы, касающие-
ся асимптотики переходной плотности диффузионного
процесса (фундаментального решения параболического
уравнения), не зависящего от параметра, при малых зна-
чениях времени. Действительно, пусть рA, х, у) — плот-
ность вероятностей перехода диффузионного процесса
(Хг, Рх), соответствующего эллиптическому оператору
Ьи Уа(х)^+У.Ъ(х).
* ** дх'дх' ^ дх1
Рассмотрим семейство диффузионных процессов Хь, =
= Хк1, /г>0. Переходная плотность р(к, х, у) процесса
Хг за время к равна переходной плотности /?лA, х, у)
процесса X) за время 1. Процесс (X?, Р^) управляется диф-
ференциальным операторОхМ
^ ~* дх^дх1 мт дх1
Коэффициенты переноса к-Ъ{(х) стремятся к нулю при
к \ 0, так что семейство операторов A.8) — это почти то
же, что семейство A.1) с заменой Ьг(х) на нуль. Во всяком
случае, функционал действия выписывается без труда:
он имеет еид к-гЗо1 (ф),
8о1 (Ф) = "| 2 пч (<Р«) Ф-Ф^- С1-9)
о
Задача о нахождении минимума такого функциона-
ла решается в терминах римановой метрики р(х, у), свя-
занной с матрицей (ац) :
р(х,у)=

§ 1] ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ, ТОЧНАЯ АСИМПТОТИКА 393
Легко проверить, что минимум функционала A.9) по всем
параметризациям фв, 0 ^ 5 <1 ^ данной кривой равен
квадрату римановой длины кривой, умноженному на
B^)~~*; а значит, минимум A.2) равен {2Ь)—г р(х, уJ.
Применение формулы A.4) дает
1\тк1пр(к, х, у) = - -^р{х1 уJ. A.10)
Соответственно для переходной плотности диффузионного
процесса с исчезновением на границе области О полу-
чается
\пд(к,х,у)=-±ро(х,у)\ A.11)
где ро (х, у) — нижняя грань римановых длин кривых,
соединяющих точки х и у, не выходя из В. Получаются
также результаты, касающиеся отношения плотностей ^
и р при малых значениях временного аргумента, соот-
ветствующие A.6), A.7); в частности, «принцип неощути-
тельности границы» принимает такой вид:
Цт ?(;.». У) д1 A.12)
если все кратчайшие геодезические, соединяющие точки х
и у, лежат целиком в Д.
Результаты A.10) — A.12) были получены в статьях
В а р а д а н а [2], [3] (A.12) для частного случая вине-
ровского процесса — уЦиесельского [1]).
В статьях К и ф е р а [1 ], [3], Молчанова [1 ]
были получены точные варианты этих результатов. При
их получении существенную роль играют соответствую-
щие грубые результаты,—несущественно, в локальной или
интегральной: форме: они дают возможность исключить из
рассмотрения всё, за исключением окрестности экстремали
(экстремалей) функционала действия; после этого задача
становится локальной.
Точная асимптотика плотности вероятностей перехода
из точки х в точку у оказывается различной в зависимости
от того, являются точки х и у сопряженными вдоль какой-
либо из связывающих их экстремалей или нет (см. Г е л ь-
фанд и Фомин [1]). В случае, когда точки х и у не
14 А. Д. Вентцель, М. И. Фрейдлин

894 УТОЧНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ 1ГЛ. 9
оказываются сопряженными, а коэффициенты оператора
гладки, получается не только асимптотика для плотно-
стей с точностью до эквивалентности, но и асимптоти-
ческие разложения по степеням малого параметра: для
семейства процессов, соответствующих операторам A.1),
'э х, у) = BяЫ)~г/2 ехр {-к-Щг, х, у))[К0(*, х, у) +
+ НК1(г1 х,у) + ... +ктКт(*1 х, у)+о(кт)] A.13)
при к \ О (К и ф е р [3]); для процесса с производящим
оператором A.8)
рA, х, у) = BШ)-г/* ехр {-р(я, уТ12Ь) [К0(х, у) +
х, у) + . . . + 1тКт{х, у) + о(^)] A.14)
при г | 0 (Молчанов [1]). Вероятностные методы
в этих работах комбинируются с аналитическими. Наме-
тим доказательство разложения A.13) в самом простом
случае, притом для т = 0; т. е. речь идет о доказательст-
ве существования конечного предела
Нт BяЫ)г/V (*, х, у) ехр \ЪГ*У (*, хх у)}. A.15)
/1|0
Пусть оператор Ьн имеет вид
Ь^= * Ди + Уь'ф*!. A.16)
^ ^т дх%
Процесс, соответствующий этому оператору, можно за-
дать при помощи стохастического уравнения
Х?=Ь(Х?) + А1/2шв, ХНО = Х; A.17)
где ьй8 — г-мерный винеровский процесс. Рассмотрим на-
ряду с Х« неоднородный по времени диффузионный про-
цесс У?, задаваемый стохастическим уравнением
У* = к + кт*п Уо = *х A-18)
где ф5, 0 ^ $ <!*,— экстремаль функционала действия,
ведущая из точки х в у за время I (предполагаем, что она

§ И
ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ, ТОЧНАЯ АСИМПТОТИКА.
395
единственна). Плотность распределения У1] легко вы-
писывается: это — плотность нормального распределения
со средним ер* и матрицей ковариаций ЫЕ; в точке у она
равна {2лЫ)-г'2.
Отношение плотностей вероятностей Х\ и У? равно
пределу отношения
Ук1^у + О] A.19)
при стремлении к нулю диаметра окрестности П начала
координат. Воспользуемся тем, что меры в пространстве
Сог(Яг), соответствующие случайным процессам Х«, У§г
абсолютно непрерывны друг- относительно друга; плот-
ность имеет вид
:(УЛ) = ехР
A.20)
Абсолютная непрерывность позволяет выразить вероят-
ность любого события, связанного с процессом Хл, в виде
интеграла от функционала от Ун\ в частности,
Выражение A.19) принимает вид
уЫу
М ехр \ЪГ'П | (Ъ
14»

396 УТОЧНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. 9
(пользуемся тем, что и>0 = 0, и У* = срв + кг/2и>3 при
О < 5 < г).
При стягивании окрестности В (а вместе с ней к~1/2П)
к 0 получаем условное математическое ожидание при ус-
ловии, что и)I = 0. Итак,
^§ = М {ехр {*"*'» \ (Ь (Ф. + Л"Ч) - Ф., *>) -
\
- B/г) ]' | Ь (Ф, + кши>.) - ф. |Ц
7, = 0 . A.21)
(Формула A.21) выписывалась фактически еще в работе
X а н т а [1 ].)
Чтобы установить существование предела A.15) при
к | 0, прежде всего урезаем математическое ожидание
A.21) умножением экспоненты на индикатор события
{тах |^1/2и>8| < б}; то, что отброшенной частью можно
0<
0<<
пренебречь при к \ 0, устанавливается с помощью гру-
бых оценок, связанных с функционалом действия. Затем
преобразуем выражение под знаком экспоненты с учетом
гладкости функции Ъ. В первом интеграле берем разложе-
ние Ь(ф8 + к1/2^^ по степеням к}/2ю8 до членов первого
порядка, а во втором — до членов второго порядка. Глав-
ный член, возникающий из второго интеграла, равен
и при подстановке в формулу A.15) он сокращается с
Л^, ж, у). Если мы проверим, что сокращаются друг с
другом также члены порядка А-1/2, то чтобы завершить
доказательство, останется только установить, что сходи-
мости не помешают члены порядка 1 и бесконечно малые
при к | 0 (это удается установить в случае, когда точки
х и у не сопряжены).
Займемся членами порядка к-1/2, возникающими из
первого интеграла в A.21); произведем интегрирование по

§ 1] ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ, ТОЧНАЯ АСИМПТОТИКА 397
частям:
I
Виеинтегральный член исчезает в силу условия ш* = 0;
а выражение -т- (&(ф8) — Ф8) преобразуется с учетом
уравнения Эйлера для экстремали, и, как легко проверить,
интеграл сокращается с членами порядка к-1/2, возникаю-
щими из второго интеграла в A.21).
Из намечзнного доказательства видно, что коэффициент
Ко(*1 хч У) в разложении A.13) имеет смысл условного ма-
тематического ожидания экспоненты от квадратичного
функционала от винеровского процесса при условии
щ = 0.
Положение не сложнее и в случае, когда точки х и у
соединены конечным числом экстремалей, причем они не
сопряжены вдоль никакой из них. В случае сопряженных
точек можно выразить переходную плотность за время Ь
при помощи уравнения Чэпмена — Колмогорова через
переходную плотность за меньшее время; в полученном
интеграле основную роль будут играть плотности в не-
сопряженных точках, и асимптотика получается приме-
нением метода Лапласа (конечномерного). Для плотности
РA, х-> У) ПРИ * \ 0 это проведено в работе Молчано-
ва [1 ]; в частности, при разной структуре множества ми-
нимальных геодезических, соединяющих х и у, возни-
кают асимптотические выражения вида р{1, х, у) ~
~ С1-ае~~9{х'у)г1<11 с различными а.
Что касается точной асимптотики в задачах о больших
уклонениях, не сводящихся к одномерным или конечно-
мерным распределениям, то здесь пока сделано мало.
Полученные результаты относятся не к вероятностям
ръ{Хн е 4} и не к плотностям, а к математическим ожи-
даниям вида
М*ехр {к^Р(Х*)}, A.22)

398 Уточнения и обобщения [гл. 9
где Р — гладкий функционал (нормирующий коэффици-
ент предполагается равным к—1). Рассмотрение задач та-
кого рода в качестве первого шага естественно, потому что
даже в случае больших уклонений для сумм независимых
двумерных случайных векторов точная асимптотика ин-
тегралов, аналогичных A.22), находится существенно
легче, чем точная асимптотика вероятности попадания в
область.
Выражение A.22) логарифмически эквивалентно
р^^тах [Т*7 — 5]}, где 5 — нормированный функ-
ционал действия. Если экстремаль ф, доставляющая этот
максимум, единственна, математическое ожидание A.22)
отличается от
; ехр {Л-^(ХЛ)}} A.23)
на величину, экспоненциально малую по сравнению с
A.22) или A.23). Это позволяет локализовать задачу.
План дальнейшего исследования в большой степени
аналогичен тому, что делалось в статье Крамера [1 ]:
производится обобщенное преобразование Крамера, за-
меняющее меру РЛ на новую вероятностную меру РЛ
такую, что при малых к «наиболее вероятной» относитель-
но РЛ траекторией процесса X1] оказывается экстремаль
Ф^. Случайный процесс к-1/2 [Х^1 — ф*] относительно
новой вероятностной меры оказывается асимптотически
гауссовским с характеристиками, которые легко найти.
Е:ли функционалы Р и 5 дважды дифференцируемы в
точке ф (требование гладкости 5 сводится к требованиям
гладкости локальных характеристик семейства процессов
X1}) и квадратичный функционал, соответствующий вто-
рой производной (Р" — 5")(ф), строго отрицательно
определен, для средних A.23), A.22) получаем точную
асимптотику: при к \ О
A.24)
Константа Ко выражается в виде математического ожида-
ния определенного функционала от гауссовского случай-
ного процесса.

6 2] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ МЕР 399
Если Р и 5 дифференцируемы V + 2 раза, для A.22),
A.23) получается асимптотическое разложение вида
ехр {Л-ЧВД - 5(ф)]} (Ко + Кгк + ...
+ о(^/2)). A.25)
Аналогичные результаты получаются для математи-
ческих ожиданий функционалов вида С(Хл)ехр {/^Х
Р(ХЬ)}
()}
Эта программа реализована в работе Шильдера
[1 ] для семейства случайных процессов X1} = Ьг11ги)и
где юг — винеровский процесс, и в работах Дубров-
ского [1], [2], [3] для семейств локально безгранично
делимых марковских процессов, рассмотренных нами в
гл. 5. Заметим, что в случае, рассмотренном у Шиль-
дера [1 ], из намеченной нами схемы выпадает (ввиду ее
тривиальности) часть, касающаяся асимптотической гаус-
совости /г/2 [X? — фг! относительно Рн. Точно так же
в этой простой ситуации нет надобности в осознании свя-
зи применяемого метода с методом Г. Крамера.
§ 2. Большие уклонения для случайных мер
Рассмотрим винеровский процесс ^ на отрезке [О, 1 ]
с отражением в концах отрезка. Для каждого борелевско-
го множества Гс [О, 1 ] можно рассмотреть случайную
величину яг(Г) — долю времени, проведенную процессом
1г в множестве Г при Ь е [О, Т]\
Хг(Уй5. B.1)
О
Случайная функция лт(Г) = ят(Г, со) является вероят-
ностной мерой по Г. Пусть в пространстве мер на отрезке
[О, 1 ] задана некоторая метрика р; например, определен-
ная равенством
Р (I*. V) = вир Ы0**]-*[01*П- B.2)
0<<1
Известно, что для любой начальной точки ^0 = х е
^[0,1] меры пт при Т-+оо с вероятностью 1 сходятся

400 УТОЧНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ 1ГЛ. 9
к лебеговой мере I на [0, 1 ]. Если А — множество в
пространстве мер, находящееся на положительном рас-
стоянии от лебеговой меры /, то Рх{пт е^1}->0 при
Т ->¦ оо; т. е. событие {со : ят е4} относится к области
больших уклонений.
Формула B.1), конечно, определяет случайную меру
лг (Г) для любого измеримого случайного процесса ^(со),
г ^ 0. Если этот процесс, например, стационарный и эр-
годический, то по теореме Биркгофа пт (Г) стремится
при Г-> оо к некоторой неслучайной мере т(Т) (к одно-
мерному распределению процесса), и не стремящиеся к
нулю отклонения меры пт от ш относятся к области боль-
ших уклонений.
Семейства случайных мер, сходящиеся по вероятности
к неслучайной мере, возникают и в других ситуациях,
в частности, в задачах о пересечении уровня. Пусть,
например, ^ ~ стационарный процесс с достаточно ре-
гулярными траекториями, г\Т = ^т.^ (Г > 0). С про-
цессом %1 можно связать семейство случайных мер ят на
отрезке [0, 1 ], где лт(Г) — нормированное делением на Т
число пересечений процессом г|, некоторого заданного
уровня, происшедших при ^ е Г с [0, 1]. При некото-
рых требованиях регулярности на процесс \ь меры пт
будут сходиться при Т -> оо к мере Лебега, умноженной
на среднее число пересечений на единицу времени.
Для случайных мер можно рассматривать предельные
теоремы различного рода. Здесь мы приведем некоторые
результаты относительно поведения вероятностей боль-
ших уклонений. Грубая асимптотика вероятностей боль-
ших уклонений для мер B.1), связанных с марковскими
процессами, изучалась в серии работ Донскера и
В а р а д а н а [1], [2]. Независимо от этих авторов
общие результаты были получены Герти ером [2],
[3]; Гертиер также применил эти результаты к марков-
ским и к диффузионным процессам и рассмотрел ряд при-
меров. Наше изложение близко к работам Гертнера.
Пусть (Е, &) — измеримое пространство; обозначим В
пространство ограниченных измеримых функций на Е\
V — пространство всех конечных счетно-аддитивных функ-
ций множества (зарядов) на а-алгебре $. Введем обозна-
чение < \к, /> = Г 1(х)\ь(йх).

§2) БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ МЕ1> 401
В пространстве V можно рассматривать В*-слабую
топологию (см. Данфорд, Шварц [1 ]), задаваемую
окрестностями вида {\х : |< |х—|а0, /* > | < б, г = 1,. . .,
п), и е В. Наряду с этим мы будем рассматривать в V
некоторую метрику р и топологию, соответствующую ей.
Мы будем рассматривать только метрики, задаваемые
следующим образом. Фиксируется некоторая система 9Л
функций /еВ, ограниченных по модулю единицей;
и полагаем
^/>-<^/>|; ц,уеК. B.3)
Конечно, чтобы равенство B.3) определяло метрику,
нужно взять достаточно богатое семейство функций /:
каждый заряд [1еУ должен однозначно определяться
интегралами < [л, / > при / е 2Л.
Пусть зафиксирована некоторая конечная мера т на
(Е, $). Будем говорить, что метрика р в V, определяемая
равенством B.3), удовлетворяет условию A), если для
всякого б > 0 можно указать конечные системы % =
== $6* 5В = 23д измеримых функций на Е, ограниченных
по модулю единицей, таких, что <тп, ю > ^ б при
IV е 93, и для каждого /еЖ можно указать уе$( и
м? е 93, для которых | / — у| ^ш.
Условие A) позволит нам в дальнейшем свести изуче-
ние больших уклонений для мер к изучению больших
уклонений для случайных векторов в конечномерном
пространстве и воспользоваться результатами § 1 гл. 5.
Метрика B.2) на V = У( [0, 1 ]) — частный случай
метрики B.3) с системой 2Й, состоящей из индикаторов
всех отрезков [0, я]; она удовлетворяет условию A), если в
качестве т выбрана мера Лебега. В качестве системы §(о
берутся индикаторы отрезков вида [0, А*6], в качестве
§*6 — индикаторы отрезков [&б, (к + 1N]. Другой при-
мер метрики, удовлетворяющей условию A): Е — ком-
пакт, 31 — о-алгебра его борелевских подмножеств;
р — метрика, соответствующая семейству ЗЭТ функций,
ограниченных по модулю единицей и удовлетворяющих
условию Липщица с константой 1 (эта метрика соответст-
вует обычной в теории вероятностей С*-слабой сходи-
мости в пространстве V)* Если т — произвольная

402 Уточнений й Обобщения (гл. §
мера ст(Е) = 1, в качестве $1б берется конечная б-сеть в
ЗЭТ, а §Эб берется состоящим из единственной функции —
константы б.
Зафиксируем некоторое полное вероятностное прост-
ранство {&, ^", Р}. Отображение п : п х$-+Н1 назо-
вем случайной мерой, если я(-, А) при каждом А е «$—
случайная величина, а я(со,.) при почти всех со — мера.
В дальнейшем мы будем часто рассматривать множест-
ва вида {со : р(я(со, •), (х) < б}. Чтобы такие множества
были измеримы при любых (х е V и б > 0, достаточно
предположить, что в Ш существует счетное подмножество
Мо такое, что для каждой функции /ейи меры \х най-
дется ограниченная последовательность /п элементов ЭМ01
сходящаяся к / почти всюду относительно меры (х. Мы
всегда будем считать, что это условие выполнено.
Пусть теперь имеется семейство случайных мер яЛ,
зависящее от параметра к. Будем для простоты считать, что
к — положительный числовой параметр.
Основное наше предположение состоит в следующем.
Найдется функция Ц/г), стремящаяся к +оо при к | О,
такая, что для произвольного /еВ существует конеч-
ный предел
Я (/) = Нт X (Л)1п М ехр {X (к) <я\ />}. B.4)
МО
Так же, как в § 1 гл. 5, доказывается, что Я(/) — выпук-
лый вниз функционал. Мы сделаем следующие предполо-
жения относительно этого функционала:
А.1. Функционал Я(/) дифференцируем по Гато, т. е.
для любых /, # е В функция к(у) = Я(/ + у#), уа Л1,
дифференцируема.
А.2. Если ограниченная последовательность {/п} из-
меримых функций на Е сходится к / е В по мере относи-
тельно меры т (т — это выделенная конечная мера на
(Е, Я)), то Я(/п) -> Нф.
Обозначим 5((х) преобразование Лежандра функциона-
ла Нф:
5(ц) = вир[<ц,/>-&(/)], цеГ. B.5)
/ев
Легко видеть, что 5(|д.) — выпуклый функционал на V,

§ 2] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ МЕР 403
принимающий неотрицательные значения, включая, мо-
жет быть, +оо.
Перечислим основные свойства функционала 5([х).
Попутно мы введем некоторые обозначения, которые будут
употребляться в дальнейшем.
8.1. Для того чтобы #A1) < оо, необходимо, чтобы
эаряд |д, являлся мерой. Если пн(Е) = 1 с вероятностью!,
то /5((х) < оо только для мер (х с \х(Е) = 1. Функционал Я
полунепрерывен снизу относительно В*-слабой сходи-
мости.
8.2. При любом 5 > 0 меры \х такие, что 5(^) ^ 5,
равномерно ограничены и равномерно абсолютно непре-
рывны относительно меры т.
8.3. Если выполнено условие A) (см. стр. 401), то
функционал 5 полунепрерывен снизу в топологии, инду-
цированной метрикой р, и множество Ф($) = {(х е V:
8(\1)^.з}, 8 < оо, компактно в этой топологии.
В. 4. Пусть §1 — некоторая конечная система функций
из В. Обозначим
^ V) = еир | <[гх V) - (V, и) |4 8^ (ц) -
8ир К1Х,/)-Я (/)],.
где 2"C1) — линейная оболочка функций из $(; ^ ()
«= {\1 е V : ^((л-^ $}> 5 е Ю, оо). (Заметим, что из
Р31 (М^ V) = 0 не обязательно следует [л = V.) Для любых
6 > 0 и 5^0 имеет место неравенство
1п! {5(у) : Ря (V, \1) < 6} < 8Ж (^ B.6)
и включение
Фа («) е {Ф («)>3 - {|г е V; р„ (^ Ф (в)) < б}. B.7)
Наметим доказательства этих свойств (полные доказа-
тельства можно найти в работе Гертнера [3]).
В.1 доказывается очень просто, при этом даже не ис-
пользуются предположения А.1, А.2. Например: если

404 УТОЧНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. 9
\1(А) < 0 для некоторого А <= <8, имеем
5 (|1) > зир [<|х, ухА) - Н (ух )] > вир ур (А) = оо.
Здесь мы использовали, что Я(/) ^ 0 при
В.2. Если 5(^)^5, пользуемся тем, что верхняя грань
B.5) не меньше, чем значение выражения в квадратных
скобках при / = 7/А, 7 > 0- Получаем
Ограниченность следует отсюда сразу. Чтобы убедиться в
равномерной абсолютной непрерывности, достаточно дока-
зать, что для любого е > 0 существует б > 0 такое, что
из т(А) < б вытекает \1(А) < е для всех мер \х ^ Ф($).
Выбираем 7 так, чтобы 5/7 было меньше, чем е/2; из уело-
виях А.2 вытекает, что существует б > 0 такое, что
Н(ухА) < 7е/2 ПРИ т(А) < б.
8.3. Из В.1 и В.2 следует компактность Ф($) в В*-
слабой топологии. Остается только показать, что из |1П,
|л е Ф(^), \1п-+ \х в В*-слабой топологии следует, что
р(Нтм (л) —>- 0. Это выводится из A) с использованием рав-
номерной абсолютной непрерывности \хП1 \х.
8.4. Согласно А.1 существует производная Н'{1){к) =
= Пш 7~1(#(/ + 7^) — <&([)) — линейный функционал от
70
к е В. Равенство р*(А) = Я'(/)(хА) задает на (Е, $)
конечную положительную счетно-аддитивную (в силу ус-
ловия А. 2) меру. Из свойств выпуклых функций (см. Ро-
к а ф е л л а р [1 ]; мы уже использовали эти свойства при
доказательстве леммы 5.2 гл.7) вытекает, что неравенство
B.6) достаточно проверить для мер \х, для которых верх-
няя грань в определении ^((я) достигается на некоторой
функции /0 е ^(а). При этом для всех Ле 3?{%) име-
ем: < \х, к > = Н'A0)(к) = < ^о, к > . Из определения
[1*° нетрудно вывести, что выпуклый вверх функционал
я(/) ¦=¦ < М'/% / > — Ж/)» / е В, достигает своего мак-
симума при / = /0. Отсюда 5 (|л ><>) « <^/°? /0> _ Я(/р) в
«(^^ /0> — я(/о) = «5ГЯ(М')» причем р^ (р*; р) = 0 (ря — по-
луметрика!). Это доказывает справедливость неравенства
B.6), а с ним — и включения B.7).

§ 2] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ МЕР 405
Сформулируем теперь основной результат этого па-
раграфа.
Теорема 2.1. Пусть метрика р удовлетворяет
условию A), предел B.4) существует, и функционал Я(/)
удовлетворяет условиям А.1, А.2. Тогда Х(Н)8{\л) —
функционал действия для семейства случайных мер пп
при Н | 0 в метрическом пространстве (V, р); т.е. для
любых у, 6, 8>0и\х^У при достаточно малых Н вы-
полняются неравенства
Р {р (л\ 10 < 6} > ехр {- А, (А) [8 (у) + у]}, B.8)
--Л(й)[*--7]Ъ B.9)
где ФE) = {[I е= V [ }
Доказательство. Получим сначала оценку
B.8). Если 5г(|ы) = +оо, доказывать нечего; предположим
д!?(ц) < оо. Воспользуемся условием A) для некоторого
б2 > 0; получим оценку
, |л) + тах <л\ ^> + тах <[г, ю>. B.10)
Так как в силу В.2 мера ^ абсолютно непрерывна отно-
сительно т, то при достаточно малом ба последнее слагае-
мое в правой части B.10) будет меньше 6/4, так что
Р{р(л\10<б}>
> Р К (л\ |а) < 6/2} - Р {тах « и;> > 6/4}. B.11)
Применяя теорему 1.2 гл. 5 к семейству конечномерных
случайных векторов т)л = (л^Жезг, А | 0, и учиты-
вая, что в конечномерном пространстве все нормы эквива-
лентны, получаем оценку
B.12)

406 УТОЧНЕНИЯ II ОБОБЩЕНИЯ 1ГЛ. 9
Оценим теперь вычитаемое в формуле B.11). Экспо-
ненциальное чебышёвское неравенство дает нам при лю-
бом х > 0
< ехр {— кХ (к) 1} М ехр {хХ (к) <я\ и;}} =
«= ехр {- X (к) Гх -| - К (к)~{ 1п М ехр {X (к) « хи>>}11.
Выражение в квадратных скобках сходится при к \ 0 к
*-г — Н (хи>). Если мы выберем х достаточно боль-
шим, а затем уменьшим выбранное бх так, чтобы Н(хш)
было достаточно малым для всех ю е 33 (это можно еде-
лать в силу условия А.2), то получим х -г — Я(хш) >
> 8{]х) + 7 для всех ш е ^. Отсюда вытекает, что при
достаточно малых к > 0
Р{< л\и; > > 6/4} < ехр{ - Цк)[8(\л) + у]}. B.13)
Из B.11) — B.13) вытекает оценка B.8).
Выведем теперь B.9). Опять пользуемся условием A).
В силу В.2 при достаточно малых положительных
бх для всех \х е Ф($) выполняется неравенство
шах < \х, и; > < 6/4. Отсюда и из B.10) заключаем, что
Р{р(я»,Ф(*))>6}<
< Р (р. (л\ Ф E)) > 6/2} + Р (шах <ял, и;} > 6/4}. B.14)
4 ^е$Э
Пусть функции ^1, . . ., уп е Я образуют базис линейно-
го пространства «^(Я). Чтобы оценить первое слагаемое
в правой части B.14), воспользуемся включением Ф^ ($) С1
Д/4см. формулу B.7)) и применим к семейству
конечномерных векторов г\н = (лп, (их), ,,,]л'1 (оп)) теоре-
му 1.1 гл. 5:
ехр {-Я (А) (в-у/2)}.

§ 2] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ МЕР 407
Второе слагаемое в B.14) оценивается при помощи фор-
мулы B.13), и при малых к получаем оценку B.9).
Рассмотрим пример. Пусть (%и Рх) — диффузионный
процесс на компактном многообразии Е класса С(°°\
управляемый эллиптическим дифференциальным операто-
ром Ь с бесконечно дифференцируемыми коэффициента-
ми; рассмотрим семейство случайных мер дг, задаваемых
формулой B.1). Проверим, что для этого семейства выпол-
няется условие существования предела B.4), в котором
вместо к \ 0, параметр Т стремится к оо, а в качестве
функции X берется Т: для любой функции / е В сущест-
вует конечный предел
т
Я(/)= НтГ-Чп М^° . B.15)
Т-+ОО
Для этого, как при доказательстве теоремы 4.2 гл. 7,
заметим, что семейство операторов
образует полугруппу, действующую в пространстве В.
Если $(х) — неотрицательная функция из В, принимаю-
щая положительные значения на каком-либо открытом
множестве, то функция Т{§(х) строго положительна
при любом I > 0. Отсюда, так же как при дока-
зательстве теоремы 4.2 гл. 7, можно вывести, что предел
B.15) существует и равен А,(/) — логарифму спектрально-
го радиуса оператора Т{ (см., например, Като [1]).
Справедливость условий А.1 и А.2 вытекает из результатов
теории возмущений. Далее нетрудно доказать, что верх-
нюю грань в определении функционала 5(;л) достаточно
брать не по всем функциям из В, а только по непрерыв-
ным:
рО,МЛ B.16)
/ее
Для непрерывных функций / логарифм спектрального
радиуса оператора Т{ совпадаэт с собственным значе-

408 УТОЧНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. 9
нием инфинитезимального оператора А* полугруппы Г',
имеющим максимальную вещественную часть; это собст-
венное значение вещественно и однократно. На гладких
функциях инфинитезимальный оператор А* совпадает с
эллиптическим дифференциальным оператором Ь + /; от-
сюда вытекает, что под А,(/) в формуле B.16) можно пони-
мать максимальное собственное значение оператора Ь -+- /.
При каждом Т > 0 случайная мера я г —
вероятностная. Согласно В.1 функционал #(@,) конечен
только для вероятностных мер |а. Так как для любой кон-
станты с справедливо равенство к(/ + с)= А,(/) + с, то
верхнюю грань в B.16) можно брать только по тем /еС,
для которых А,(/) = 0. Но функции /, для которых Щ) =
= 0, — это те и только те, которые представимы в виде
—Ьи1и, и > 0. Таким образом, определение функционала
для вероятностных мер |я можно переписать в виде
и>0
Для мер |^, обладающих положительной гладкой плот-
ностью относительно риманова объема т, индуцирован-
ного римановой метрикой, связанной со старшими чле-
нами оператора Ь, можно выписать уравнение Эйлера для
экстремали задачи B.17) и получить выражение для
*5'([х), не содержащее нижней грани. В частности, если опе-
ратор Ь самосопряжен относительно т, уравнение для
экстремали решается явно. Нижняя грань B.17) дости-
гается для и = у *^г~ и функционал *5((л) может быть
записан в виде
• с1т.
Аналогично вычисляется функционал 5(\1) для меряг
в случае, когда (^, Р^) — процесс в ограниченной облас-
ти с отражением на границе (Г е р т н е р [2 ]).

процессы с отражением на границе
409
§ 3. Процессы с малой диффузией
с отражением на границе
В главах 2—6 мы рассматривали применение вероят-
ностных методов к первой краевой задаче для дифферен-
циальных уравнений с малым параметром при старших
производных. Естественно
возникает вопрос о том, что
можно сделать для второй
краевой задачи или для сме-
шанной, когда на части гра-
ницы задаются условия Ди-
рихле, а на другой — ус-
ловия Неймана.
Пусть гладкая граница
ограниченной области В сос-
тоит из двух компонент дхВ
и д2В. .Будем рассматривать
краевую задачу Рис. 20.
'/(*)<
дие (х)
= 0,. иг{х)
C.1)
где д/д1 — производная по какому-то некасательному
направлению; коэффициенты уравнения, направление /
и функция / предполагаются достаточно гладко зависящи-
ми от х. Такая задача имеет единственное решение, кото-
рое можно записать в виде иг {х) = М1{ (ХгЛ, где (х^
Рх) — диффузионный процесс в В \} дгВ, управляе-
мый оператором Ьг в В и претерпевающий отражение
по направлению I на части границы д]В;хе= пнп{г:Х? е
е^О} (рис. 20). Асимптотика решения и8 может быть
выведена из результатов, касающихся предельного пове-
дения Х\ при малых е. Начнем с результатов типа
закона больших чисел.
Рассмотрим наряду с процессом X? динамическую
систему XI = Ъ(хъ) в В, получающуюся из него при е =» 0.
Из результатов гл. 2 следует, что траектория диффузион-

410 УТОЧНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. 9
ного процесса X], начинающаяся в точке жеВ, будет
с вероятностью, близкой к единице при малых е, близка к
траектории хг(х) динамической системы вплоть до момента
выхода хг(х) на границу (если этот момент конечен). Отсю-
да получаем: если хх(х) выходит на дгВ раньше, чем на
дф, и в точке выхода у(х) поле Ъ направлено строго нару-
жу области, то значение иг(х) решения задачи C.1) в
данной точке х е В сходится при е -> 0 к }{у{х)).
Если процесс X] начинается в точке х е дгБ (или
достигает, двигаясь вблизи траектории динамической сис-
темы, части границы д^) раньше, чем д2О), то его наибо-
лее вероятное поведение зависит от того, направлено по-
ле Ь(х) в этой точке строго внутрь области или наружу.
В первом случае Хгь будет близко к траектории той же
•
самой динамической системы хх = Ъ(хг), выходящей из
точки х е дхР. Отсюда получаем следующий результат.
Теорема 3.1. Пусть поле Ъ на д\Р направлено
строго внутрь области, а на д^Р — строго наружу;
пусть все траектории динамической системы хг = Ь(хг),
начинающиеся в точках х ^ Б [^ д^, выходят из области
(естественно, через часть границы д2В). Тогда решение
иг(х) задачи C.1) при г -> 0 равномерно по х е /? [] дО
сходится к решению и°(х) вырожденной задачи
дх C.2)
и°(*) ко =/(*)•
Если поле Ъ на дгР направлено строго наружу области,
траектория динамической системы выходит из В у дхВ
через часть границы дхТ), и процесс X* лишен возможно-
сти следовать за ней. Оказывается, в этом случав Х\ на-
чинает двигаться вдоль траектории системы хх = Ъ{хг) на
дхИ, где поле Ъ получается проектированием Ъ на каса-
тельное направление параллельно направлению отраже-
ния /. Этот результат тоже допускает формулировку на
языке уравнений в частных производных, но не в рассмот-
ренной нами ситуации границы из двух компонент, а в
другой (см. Ф р е й д л и н [2 ]).

$ 3] ПРОЦЕССЫ С ОТРАЖЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ 411
В случае, когда траектории динамической системы не
выходят из В через дгВ, а наоборот, входят через эту часть
границы, результатов типа закона больших чисел недо-
статочно для нахождения Нт иг(х). Изучение больших
уклонений для диффузионных процессов с отражением и
асимптотики решений соответствующих краевых задач
проводилось в работах Живоглядовой, Фрейд-
л и н а [1 ], Андерсона, Ори [1 ]. Изложим кратко
результаты этих работ.
Приведем использованную у Андерсона и Ори
[1 ] конструкцию, позволяющую построить диффузион-
ный процесс с отражением при помощи стохастических
уравнений, исходя из винеровского процесса. Ограничим-
ся случаем процесса в полуплоскости К+= {(#\ #2) :
х1 ^ 0} с отражением по нормали к границе, т. е. по
направлению х1. Введем отображение Г пространства
Сот (Я2) в Сот (В+) : для ^ е Сот (К2) значение цг =
= Г^) функции г) = Г(^) определим равенствами
Ч* = (Т1?1 Я?)* Т1? = й«
а/ = Й - тт (о, тш &). C.3)
Ясно, что Г(^) е Сот (Л+), отображение Г непрерыв-
но и \цг — г}8\ < |С* — У.
Мы хотим построить диффузионный процесс с отраже-
нием на границе В.%, с матрицей диффузии (а^(х)) и пере-
носом Ь(х) = (Ь1^), Ъ2(х)). Представим матрицу диффузии
в виде (а^(х)) = о(х)о*(х), где о(х) — ограниченная мат-
ричная функция с элементами, удовлетворяющими усло-
вию Липшица (такая матрица существует, если функции
а^(х) ограничены и непрерывны вместе с производными
до первого порядка). Определим функционалы а^) и
ЪгA) на Сог(Л2), положив
Рассмотрим стохастическое уравнение
I I

412 УТОЧНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. 9
Теорема существования и единственности для таких урав-
нений доказывается так же, как для стандартных стоха-
стических дифференциальных уравнений. Оказывается,
что случайный процесс Хг = Гг(Х) как раз и будет диф-
фузионным процессом в Я\ с отражением, который имеет
заданные коэффициенты диффузии и переноса.
Пусть теперь в уравнении имеется малый параметр.
Ограничимся для простоты случаем, когда а — единичная
матрица, умноженная на е:
X] = х + ею, + | Ь8 (Xе) Л; C.4)
соответствующий процесс с отражением мы тоже будем
снабжать индексом е : X] = Г*(Х8). Доказывается, что
решение уравнения C.4) можно получить, применяя не-
которое непрерывное отображение Вх к функции ем; е
е Сот (^г) (доказательство такое же, как у леммы 1.1
гл. 4). Итак, процесс с отражением Xе получается из
ей? с помощью суперпозиции двух непрерывных отображе-
ний: Xе = Т(Вх(еи;)). Используя общие свойства функцио-
нала действия (§ 3 гл. 3), получаем, что функционал дей-
ствия для семейства процессов X] в пространстве Сот
при е -> 0 имеет вид е5'ог(ф),
л т
5^г(Ф)= ппп 1[|5с.|8Л. C.5)
Но отображение Вх обратимо:
г
1
о
о учетом этого выражение C.5) можно переписать в виде
т
8 C.6)
(пользуемся тем, что 6в(гр) = Ь(Г#(г|))) = Ь(ф,)).

3] ПРОЦЕССЫ- С ОТРАЖЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ 413
Легко убедиться, что минимум C.6) равен
т
фа-Ь(ф8)|2^, C.7)
где Ъ{х) — поле, совпадающее с Ь(х) всюду, кроме точек
границы $1.0, в которых Ъ(х) направлено наружу области;
в этих точках Ь(х) определяется как проекция Ь(х) на
направление границы. Этот минимум достигается на функ-
ции г|), определяемой равенствами
= ф| + | Х<о> (ф]) тш @, Ьг (О, Фз2)) &. C.8)
Формула, аналогичная C.7), справедлива и в случае
переменной матрицы (ач(х)), а также для процессов в
произвольной области В с отражением вдоль любого
гладкого поля /, не касательного к границе.
Из результатов, касающихся функционала действия,
в частности, вытекает, что траектории X] сходятся
по вероятности при 8 -> 0 к функции, на которой
функционал 5+ обращается в нуль, т. е. к решению сис-
темы хг = Ь(хг).
Изложим теперь вытекающие отсюда результаты, ка-
сающиеся асимптотики решений задачи C.1) (см. Ж и в о-
г л я д о в а, Ф р е й д л и н [1 ]). Пусть Б — кольцо на
плоскости, имеющее в полярных координатах (г, 0) вид
{(г, 0) : 1 < г < 2}; рассматривается задача
¦=0, ней, C.9)
= 0, иеB,е)
Будем говорить, что выполнено условие 1, если траек-
тории динамической системы хх = Ъ{хх), начинающиеся в

414 уточнения и обобщения [гл. 9
I), выходят на д^ = {г — 1} раньше, чем на д2Б =
*= {г =с 2}, и ЬгA, 9)< 0 при всех 6.
Предположим, что функция ЬеA» 8) на отрезке [О,
2я] имеет конечное число нулей. Пусть К и К2, . • ., Кх—
те из них, в которых Ье A, 9) при возрастании 9 меняет
знак с плюса на минус.
Рассмотрим
У(К1,у) = Ш{5&(<()--%=Ки Фг = у; Г>0};
предположим, что при любом I минимум У(К^ у) по у е
е д2О достигается в единственной точке у1 = B, 9^;
положим У(КЬ дгО) = У(КЬ, уг).
Теорема 3.2. Пусть выполнены перечисленные вы-
ше условия. Пусть #* — единственный {д2О}-граф над
множеством символов {К^ . . ., К^ 52О}, на котором до-
стигается минимум 2^ Т(а, Р) по всем {д2О\-
графам д. Пусть траектория системы хх =Ъ(хг),
начинающаяся в точке х е Д, выходит на окру ж-
ность дхГ) в точке A, 9^); для х е д^О возьмем в качестве
бд. угловую координату точки х. Пусть Кг — точка,
к которой притягивается при I -> оо решение уравне-
ния #1 = Ье A» б*) с начальным условием 9^.. Тогда
Пт иг(х) = /(9&), где Кк -> д2В — последняя стрелка в
пути, ведущем из точки Кг в д2В в графе #*.
Доказательство этой теоремы проводится так
же, как доказательство теоремы 5.2 гл. 6.

ЛИТЕРАТУРА
Андерсон, Ори (К. Г. Апйегзоп, 8. Огеу)
1. 8та11 гапДот рег1игЬаИопз о! Aупат1са1 зуз1етз\уИЬ геПесИпд
Ъошк1агу.— Ш^оуа Ма1Ь. .Г., 1976, 60, р. 189—216.
А н о с о в Д. В.
1. Осреднение в системах обыкновенных дифференциальных урав-
нений с быстро колеблющимися решениями. — Изв.
АН СССР. Сер. «Математика», 1960, 24, № 5, с. 721—742.
Арнольд В. И.
1. Математические методы классической механики.— М,: Наука,
1975.
А р о н с о н (Б. О. Агопзоп)
1. ТЬе !ипс1атеп1а1 зокИлоп о! а Нпеаг рагаЬоНс едиаНоп сопЫ-
тп§ а зтаП рагате1ег.— 111. I. Ма1п., 1959, 3, р. 580—619.
Б а й е р Д., Ф р е й д л и н М. И.
1. Теоремы о больших уклонениях и устойчивость при случай-
ных возмущениях.— ДАН СССР, 1977, 235, № 2, с. 253—256.
БернштейнС. Н. (8. Вегпз1ет)
1. 8иг ГёдиаНоп с1Шёгеп11е1 с1е Роккег — Р1апск.— С. К. Асай.
8с1. (Рапз), 1933, 196, р. 1062—1064.
2. 8иг Гех1епзшп йи 1Ьёогёте НтИе Aи са1си1 йез ргоЬаЬШ1ёз
аих зоттез Де диапШёз ЙёрепAап1е8.— Ма1Ь. Апп., 1926,
97, р. 1-59.
Благовещенский Ю. Н.
1. Диффузионные процессы, зависящие от малого параметра.—
Теория вероятностей и ее применения, 1962, 7, № 2,
с. 135—152.
Благовещенский Ю. Н., Фрейдлин М. И.
1. Некоторые свойства диффузионных процессов, зависящих от
параметра.— ДАН СССР, 1961, 138, № 3, с. 508—511.
Боголюбов Н. Н., Зубарев Д. Н.
1. Метод асимптотического приближения для систем с вращаю-
щейся фазой и его применение к движению заряженных час-
тиц в магнитном поле.— Укр. мат. журнал, 1955, 7, № 7.
Боголюбов Н. Н., МитропольскийЮ. А.
1. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.—
М.: Физматгиз, 1963,
Боровков А. А.
1. Граничные задачи для случайных блужданий и большие укло-
нения в функциональных пространствах.— Теория вероятнос-
тей и ее применения, 1967, 12, № 4, с, 635—654,

416 ЛИТЕРАТУРА
Бородин А. Н.
1. Предельная теорема для решений дифференциальных уравне--
ний со случайной правой частью.— Теория вероятностей и ее
применения, 1977, 22, № 3, с. 498—512.
В а р а д а н (8. К. 8. УагасШап)
1. Азутр1оИс ргоЪаЪПШез апс! AШегепМа1 едиаМопа.— Сотт.
Риге Арр1. МаШ., 1966, 19, № 3, р. 261-286.
2. Оп ХЪе ЬеЬауюг оГ 1пе Гипс1атеп1а1 зо1иМоп оГ 1Ье Ьеа1 едиаНоп
\укЬ уапаЫе соеШшеШз.— Сотт. Риге Арр1. Ма1п., 1967,
20, № 2, р. 431—455.
3. БШизюп ргосеззез т а зта11 Ите т1егУа1.—Сотт. Риге
Арр1. Ма1Ь., 1967, 20, № 4, р. 659-685.
Вентцель А. Д.
1. Курс теории случайных процессов.— М.: Наука, 1975.
2. Об асимптотике наибольшего собственного значения эллипти-
ческого дифференциального оператора с малым параметром
при старших производных.— ДАН СССР, 1972, 202, № 1,
с. 19-21.
3. Об асимптотике собственных значений матриц с элементами
порядка ехр { —р /2е2}.— ДАН СССР, 1972, 202, № 2,
с. 263—266. 3
4. Теоремы, касающиеся функционала действия для гауссовских
случайных функций.— Теория вероятностей и ее применения,
1972, 17, № 3, с. 541-544.
5. Формулы для собственных функций и мер, связанных с мар-
ковским процессом.— Теория вероятностей и ее применения,
1973, 18, № 1, с. 3—29.
6. Об асимптотике первого собственного значения дифференциаль-
ного оператора второго порядка с малым параметром при
старших производных.— Теория вероятностей и ее примене-
ния, 1975, 20, № 3, с. 610—613.
7. Грубые предельные теоремы о больших уклонениях для мар-
ковских случайных процессов: I,— Теория вероятностей и ее
применения, 1976, 21, № 2, с. 231 —251; II, 1976, № 3,
с. 512—526.
Вентцель А. Д., Фрейдлнн М. И.
1. Малые случайные возмущения динамической системы с устой-
чивым положением равновесия.— ДАН СССР, 1969, 187,
№ 3, с. 506—509.
2. О предельном поведении инвариантной меры при малых слу-
чайных возмущениях динамических систем.— ДАН СССР,
1969, 188, № 1, с. 13—16.
3. О движении диффундирующей частицы против течения.—
УМН, 1969, 24, № 5, с. 229-230.
4. О малых случайных возмущениях динамических систем.—
УМН, 1970, 25, № 1, 3—55.
5. Некоторые задачи, касающиеся устойчивости при малых
случайных возмущениях.— Теория вероятностей и ее примене-
ния, 1972, 17, № 2, с. 281—295,
В о л о с о в В. М.
1. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных урав-
нений.- УМН, 1962, 17, № 6, с. 3-126,

ЛИТЕРАТУРА 417
Г а н т м а х е р Ф. Р.
1. Теория матриц.— М.: Наука, 1967.
Г е л ь ф а н д И. М., Ф о м и н С. В.
1. Вариационное исчисление.— М.: Флзматгиз, 1961.
Г е р т н е р Ю.
1. Теоремы о больших уклонениях для некоторого класса слу-
чайных процессов.— Теория вероятностей и ее применения,
1976, 21, № 1, с. 95-106.
2. О логарифмической асимптотике вероятностей больших укло-
нений. — Кандидатская диссертация.—М., 1976.
3. О больших уклонениях от инвариантной меры.— Теория ве-
роятностей и ее применения, 1977, 22, № 1, с. 27—42.
Гирсанов И. В.
1. О преобразовании одного класса случайных процессов с по-
мощью абсолютно непрерывной замены меры.— Теория ве-
роятностей и ее применения, 1960, 5, № 3, с. 314—330.
Г и х м а н И. И.
1. По поводу одной теоремы Н. Н. Боголюбова.— Укр. мат.
журнал, 1952, 4, № 2, с. 215—218.
Г и х м а н И. И., С к о р о х о д А. В.
1. Введение в теорию случайных процессов.— М.: Наука, 1965.
2. Случайные процессы: т. I.— М.: Наука, 1971.
Г р и г е л и о н и с Б.
1. О структуре плотностей мер, соответствующих случайным
процессам.— Литовский математический сборник, 1973, 13,
№ 1, с. 71-78.
Г р и н ь Л. Г.
1. О возмущениях динамических систем регулярными гауссов-
скими процессами.— Теория вероятностей и ее применения,
1975, 20, № 2, с. 456-457.
2. Некоторые задачи, касающиеся устойчивости при малых слу-
чайных возмущениях.— Кандидатская диссертация, М., 1976.
3. О малых случайных импульсных возмущениях динамических
систем.— Теория вероятностей и ее применения, 1975, 20,
№ 1, с. 150-158.
ДанфордН., Шварц Дж.
1. Линейные операторы.— М.: ИЛ, 1962.
Д е в и н а ц, Э л л и с, Фридман (А. БеутаЪг, К. ЕШг,
А. Гпейтап)
1. ТЬе азутрЬоНс ЬеЬаУЮг оГ 1Ье ПгзЬ геа1 е1^епуа1ие оГ 1пе зе-
сопс! огс!ег еШрИс орега1ог \уНЬ а 8та11 рагатеЬег т 1пе Ъщ-
Ьег йепуаЦуез. II—1псНапа 11шу. Ма1Ъ. .Г., 1973/74, р. 991 —
1011.
Донскер, Варадан (М. Б. Бопзкег, 8. К. 8. Уагас1пап)
1. АзутрЪоМс еуа1иаИоп оГ сег1ат Магкоу ргосезз ехресШшпз
!ог1аг&е Ите: I— Сотт.РигеАрр1.МаШ., 1975, 28, № 1, р. 1 —
47; II, в том же журнале, 1975, 28, № 2, р. 279—301; III, в том
же журнале, 1976, 29, № 4, р. 389—461.
2. АзутрЪоИсз 1*ог 1пе \У1епег заизаге, Сотт. Риге Арр1. Ма1Ь.,
1975, 28, № 4, с. 525-565.
Д у б Дж. Л.
1. Вероятностные процессы.— М.: ИЛ, 1956,

418 ЛИТЕРАТУРА
Дубровский В. Н.
1. Асимптотическая формула лапласовского типа для разрыв-
ных марковских процессов.— Теория вероятностей и ее при-
менения, 1976, 21, № 1, с. 219—222.
2. Точные асимптотические формулы лапласовского типа для
марковских процессов.— ДАН СССР, 1976, 226, № 5, с. 1001
1004.
3. Точные асимптотические формулы лапласовского типа для
марковских процессов.— Кандидатская диссертация.— М
1976.
Д ы н к и н Е. Б.
1. Основания теории марковских процессов.— М.: Физматгиз
1959.
2. Марковские процессы.— М.: Физматгиз, 1963.
Евграфов М. А.
1. Асимптотические оценки и целые функции.— М.: Гостехиздат
1957.
Ж и в о г л я д о в а Л. В., Ф р е й д л и н М. И.
1. Краевые задачи с малым параметром для диффузионного
процесса с отражением.— УМН, 1976, 31, № 5, с. 241—242.
И к э д а A4. 1ке<1а)
1. Оп 1пе сопз1гис1шп оГ 1луо-сНтеп5юпа1 сНГгизшп ргосеззез за-
1181ут2 \Уеп1ге1Гз Ъоипдагу соп^Шопз апс! Из аррНсаМоп 1о
Ьоип^агу уа1ие ргоЫетз.— Мет. Со11. 8сь Куо1о. 8ег. А
1961, 33, № 3, р. 367—427.
Ибрагимов И. А., Л и н н и к 10. В.
1. Независимые и стационарно связанные величины.— М.:
Наука, 1965.
И о ф ф е А. Д., Тихомиров В. М.
1. Теория экстремальных задач.— М.: Наука, 1974.
К а т о Т.
1. Теория возмущений линейных операторов.— М.: Мпр, 1972
К и ф е р Ю. И.
1. Некоторые результаты, касающиеся малых случайных возму-
щений динамических систем.— Теория вероятностей и ее при-
менения, 1974, 19, № 2, с. 514—532.
2. О малых случайных возмущениях некоторых гладких динами-
ческих систем.— Изв. АН СССР. Серия «Математика», 1974,
38, № 5, с. 1091—1115.
3. Об асимптотике переходных плотностей процессов с малой
диффузией.— Теория вероятностей и ее применения, 1976,
21, № 3, с. 527-536.
Коддингтон 3. А., Левинсон Н.
1. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.:
ИЛ, 1958.
К о л м о г о р о в А. Н. (А. N. Ко1то§огоГГ).
1. 2иг 1]ткепгЪагкеН <1ег зиизИзсЬеп КаШг&езеЪге.— Ма1Ь.
Апп. 1937, 113, 5. 766—772.
Колмогоров А. Н., Ф о м и н С. В.
1. Элементы теории функций и функционального анализа.— М,:
Наука, 1968,

ЛИТЕРАТУРА 419
К о м а д у (Т. Кота1зи)
1. Магкоу ргосеззез аззоаа^ес! \уНЪ сегЫп 1п1е^го-(ИГГегеп11а1
едиаНопз. — Озака I. МаЬп., 1973, 10, р. 271—303.
Крамер (Н. Сгатёг)
1. 8иг ип поиуеаи 1пёогёте НттЧе с1е 1а Игёопе с!ез ргоЬаЫШёз.—
Ас1. 8с1. е1 1пAм 1938, 736. [Русский перевод: Об одной новой
предельной теореме теории вероятностей.— УМН, 1944
10, с. 166—178.]
Красносельский М. А., К р е й н С. Г.
1. О принципе усреднения в нелинейной механике.— УМН
1955, 10, № 3, с. 147-152.
Крылов Н. В.
1. О квазидиффузионных процессах.— Теория вероятностей и ее
применения, 1966, 11, Яг 3, с. 424—443.
2. Управляемые диффузионные процессы.— М.: Наука, 1977.
Кунита, Ватаиабе (Н. КипНа, 8. УУаЬапаЪе)
1. Оп зяиаге шЬе^гаЫе тагИп^акз. — Ка^оуа МаЙь I. —1967, 30,
р. 209—245. [Русский перевод: О мартингалах, интегрируе-
мых с квадратом.— Сб. перев. «Математика», 1971, 15, № 1
с. 66-102.] " '
Курант Р.
1. Уравнения с частными производными.— М.: Мир, 1964.
Л а б к о в с к и й В. А.
1. Новые предельные теоремы о времени первого достижения
границы цепью Маркова.— Сообщ. АН Груз. ССР, 1972, 67
№ 1, с. 41—44.
Ладыженская О. А., Уральцева Н.Н.
1. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.—
М.: Наука, 1964.
Левина Л. В., Леонтович А. М., Пятецкий-Ша-
п и р о И. И.
1. Об одном регулируемом ветвящемся процессе.— Проблемы
передачи информации, 1968, 4, № 2, с. 72—83.
Левинсон (]М. Ьеутзоп)
1. ТЬе Пгз! Ьошк1агу уа1ие ргоЫет Гог едиаМоп е Аи + Аих +
+ Ви + Си = й !ог 8та11 е. — Аппа1з о! Ма1п., 1950, 51,
№ 2, р. 428-445.
Лепельтье, Маршаль (]. Р. ЬереШег, В. МагсЬа1)
1. РгоЫёте аез тагИп^акз е1 ёдиаиопз (ШГёгепМеИез з^о
диез аззос1ёез а ип орёга1еиг 1п1ёдго-(И!1ёгеп11е1.— Апп.
Н. Ротсагё, 1976, В 12, № 1, р. 43-103.
М а к к и н Дж. П.
1. Стохастические интегралы.— М.: Мир, 1972.
М а л к и н И. Г.
1. Теория устойчивости движения.— М.: Наука, 1966.
М о г у л ь с к и й А. А.
1. Большие уклонения для траекторий многомерных случайных
блужданий.— Теория вероятностей и ее применения, 1976,
21, № 2, с. 309-323.
Молчанове. А.
1. Диффузионные процессы и риманова геометрия,— УМН, 1975,
30, Л1 1, с, 3-59,

420 ЛИТЕРАТУРА
Нгуен Вьет Фу.
1. К одной задаче об устойчивости прп малых случайных возму-
щениях. — Вестник МГУ, серия математ. механ., 1974, №5,
с. 8 — 13.
2. Малые гауссовские возмущения и уравнения Эйлера. — Вест-
ник МГУ, серия математ. механ., 1974, №6, с. 12 —18.
Н е в е л ь с о н М. Б.
1. О поведении инвариантной меры диффузионного процесса с
малой диффузией на окружности.— Теория вероятностей и
ее применения, 1964, 9, № 1, с. 139—146.
НейштадтА. И.
1. Об осреднении в многочастотных системах: I — ДАН СССР,
1975, 223, № 2, с. 314—317; II — в том же журнале, 1976,
226, № 6, с. 1296-1298.
П е т р о в В. В.
1. Суммы независимых случайных величин.— М.: Наука, 1972.
Понтрягин Л. С, Андронов А. А., Витт А. А.
1. О статистическом пассмотрении динамических систем. —
ЖЭТФ, 1933, 3, №3, с. 165—180.
Прохоров 10. Б.
1. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы тео-
рии вероятностей.— Теория вероятностей и ее применения,
1956, 1, № 2, с. 177-238.
Рисе Ф., Секефальви-Надь Б.
1. Лекции по функциональному анализу.— М.: ИЛ, 1954.
Розанов Ю. А.
1. Стационарные случайные процессы.— М.: Физматгпз, 1963.
Рокафеллар Р.
1. Выпуклый анализ.— М.: Мир, 1973.
С а р а ф я н В. В., С а ф а р я н Р. Г., Фрейдлин М. И.
1. Вырожденные диффузионные процессы и дифференциальные
уравнения с малым параметрОхМ.— УМН, 1978, 33, № 6,
с. 233—234.
Синай Я. Г.
1. Гиббсовские меры в эргодической теории.— УМН, 1972, 27,
№ 4, с. 21-64.
Скороход А. В.
1. Случайные процессы с независимыми приращениями.— М.:
Наука, 1964.
Соболев С. Л.
1. Некоторые применения функционального анализа в мате-
матической физике,— Л.: Изд-во Лен. гос. университета,
1950.
Стратонович Р. Л.
1. Условные марковские процессы и их применение к теории
оптимального управления.— М.: Изд-во МГУ, 1966.
От р у к (р. \У. 81гооск)
1. ЭШизюп ргосеззез \укп Ьё>у &епега1огз.— 2. \УаЪгзспет-
ПсЬкеИзШеопе ипс1 уепу. СеЫе1е, 1975, 32, 8. 209—244.
С т р у к, В а р а д а н (Б. \У. 81гооск, 8. К. 8. УагасШап)
{. БШизшп ргосеззез \укп сопИпиоиз соеШс1еп1з: I.— Со тт.
Риге Арр1. МаШ., 1969, 22, № 3, р. 345—400; II — в том же

ЛИТЕРАТУРА 421
журнале, 1909, 22, № 4, р. 479—530. [Русский перевод: Диф-
фузионные процессы с непрерывными коэффициентами.—
Сб. перев. «Математика», 1971, 15, № 6, с. 66—113; 1972, 16,
№ 1, с. 100—142.]
С ы т а я Г. Н.
1. О некоторых локальных представлениях для гауссовой меры-
в гильбертовом пространстве.— Тезисы докладов Междуна-
родной конференции по теории вероятностей и математической
статистике, Вильнюс, 1973, т. II, с. 267—268.
Фейнман Р., Хибс А.
I. Квантовая механика и интегралы по траекториям,— М.: Мир,
1968.
Ф р е й д л и н М. И.
1. О стохастических уравнениях Ито и вырождающихся эллипти-
ческих уравнениях.— Изв. АН СССР, Серия «Математика»,
1962, 26, № 5, с. 653-676.
2. Смешанная краевая задача для эллиптических уравнений вто-
рого порядка с малым параметром.— ДАН СССР, 1962, 143,
№ 6, с. 1300-1303.
3. Диффузионные процессы с отражением и задача с косой про-
изводной на многообразии с краем.— Теория вероятностей
и ее применения, 1963, 8, № 1, с. 80—88.
4. Об априорных оценках решений вырождающихся эллипти-
ческих уравнений.— ДАН СССР, 1964, 158, № 2, с. 281 —
283.
5. О факторизации неотрицательно определенных матриц.—
Теория вероятностей и ее применения, 1968, 13, № 2, с. 375 —
378.
6. О гладкости решений вырождающихся эллиптических урав-
нений.— Изв. АН СССР. Серия «Математика», 1968, 32, № 6,
с. 1391-1413.
7. Функционал действия для одного класса* случайных процес-
сов.— Теория вероятностей и ее применения, 1972, 17,
№ 3, с. 536-541.
8. О стабильности высоконадежных систем.— Теория вероятнос-
тей и ее применения, 1975, 20, № 3, с. 584—595.
9. Флуктуации в динамических системах с усреднением.—
ДАН СССР, 1976, 226, № 2, с. 273-276.
10. Субпредельные распределения и стабилизация решений па-
раболических уравнений с малым параметром.— ДАН СССР,
1977, 235, № 5, с. 1042-1045.
II. Принцип усреднения и теоремы о больших уклонениях.—
УМН, 1978, 33, № 5, с. 107-160.
Фридман (А. Рпес1тап)
1. 8та11 гапйот рег1игЬаИопз о! Aупат1са1 зуз1етз апс1 аррПса-
Мопз 1о рагаЪоНс едиаИопз.— 1псИапа 11гпу. Ма1Ь. I., 1974,
24, № 6, р. 533—553; и Егга1ит к этой статье в номере 1975,
24, № 9 того же журнала.
X а н т (О. А. Нип1)
1. 8оте 1Ьеогетз сопсегшпд Вго\ушап тоМоп.— ТАМ8, 1956,
81, р. 294—319,

422 ЛИТЕРАТУРА
ХасьминскийР. 3.
1. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при слу-
чайных возмущениях их параметров.— М.: Наука, 1969.
2. О положительных решениях уравнения &м+у.м=0.—
Теория вероятностей и ее применения, 1959, 4, № 3, с. 332—
341.
3. О принципе усреднения для параболических и эллиптических
дифференциальных уравнений и марковских процессов с ма-
лой диффузией.— Теория вероятностей и ее применения
1963, 8, № 1, с. 3—25.
4. О случайных процессах, определяемых дифференциальными
уравнениями с малым параметром.— Теория вероятностей и
ее применения, 1966, И, № 2, с. 240—259.
5. Предельная теорема для решений дифференциальных уравне-
ний со случайной правой частью.— Теория вероятностей и ее
применения, 1966, И, № 3, с. 444—462.
6. О принципе усреднения для стохастических дифференциаль-
ных уравнений Ито.— КуЬегпеМка, 1968, 4, № 3, р. 260—279.
Холланд (С. ,Г. Но11ап<1)
1. 8т&и1аг регШгЬаМопз т еШрМс ЬоипЛагу уа1ие ргоЫетз.—
,Г. БШегепиа1 ЕяиаМопз, 1976, 20, № 1, р. 248—265.
Циесельский B. С1е81е1з1и)
1. Неа1 сопйисИоп ап<11пе ргтс1р1е оГ по1 Гее1т§ 1Ье ЪоипДагу.—
Ви11. Асай. Ро1оп. 8с1. 8ег. Ма1Ь., 1966, 14, № 8, р. 435—440.
Шильдер (М. ЗсЫЫег)
1. 8оте азутр1оИс Гогти1аз Гог \У1епег 1п1егга1з — ТАМ8 1966
125, № 1, р. 63-85,

УКАЗАТЕЛЬ
Возмущения динамических сис-
тем белым шумом 19, 67
— — — неслучайные 9
случайные И
Задача выбора оптимальной
критической области 374
— о выходе из области 148, 212,
215, 235, 257
— о собственных значениях 271
— об асимптотике времени вы-
хода 169, 173, 182, 215, 325
— об инвариантной мере 174,
212, 215, 247
— оптимальной стабилизации
375-376
Иерархия циклов 264
Квазипотенциал 149, 161, 213
Мера устойчивости 372, 374
Метод Лапласа 99, 166, 397
Множества, устойчивые относи-
тельно функционала дейст-
вия 251
Нормальные отклонения — см.
Результаты типа централь-
ной предельной теоремы
Нормирующий коэффициент 112
Отношение эквивалентности,
связанное с функционалом
действия 221
Поведение предельное решения
задачи Дирихле 92, 95, 98,
158, 212, 236, 264, 357-358,
367
параболических урав-
нений 87, 145-148, 366
— — — смешанной задачи 409,
414
Преобразование Крамера 125,
199, 398
— Лежандра выпуклых функ-
ций 183
Принцип неощутительности
границы 392
— усреднения 281, 287, 349
Разложение асимптотическое
для момента и точки перво-
го выхода из области 84
— — для решения возмущен-
ной системы 10, 77
, стохастического
уравнения с малым парамет-
ром 82
Распределение предельное — см.
Задача об инвариантной ме-
ре
Распределения субпредельные
263
Регулярность множества отно-
сительно функции (функци-
онала) 119
Результаты о больших уклоне-
ниях 15, 394 — см. также
Функционал действия
— типа закона больших чисел
14
«— — — для возмущений
типа белого шума 67

424
УКАЗАТЕЛЬ
Результаты типа закона боль-
ших чисел для систем с ус-
реднением 287
для стохастиче-
ских уравнений с усреднени-
ем 349
центральной предельной
теоремы 14
для возмущений
типа белого шума 82
для систем с ус-
реднением 291
Уравнение Ван дер Поля 285,
341
Функционал действия 103, 112
для винеровского процес-
са с малым параметром 104
— — для гауссовских случай-
ных процессов и полей 127
для динамической систе-
мы с гауссовскими возмуще-
ниями 181
• для диффузионных про-
цессов с малой диффузией
144, 207, 208
Функционал действия для диф-
фузионных процессов с ма-
лой диффузией и отраже-
нием 409
для семейств локально
безгранично делимых процес-
сов 197
случайных мер 399
для систем с усреднением
304, 330
— — для стохастических урав-
нений с усреднением 358—
361
нормированный 104
, связь с феинмановскпм
подходом к квантовой меха-
нике 103
Функция действия 101
— — для инвариантной меры
254-255
для семейств распределе-
ний в конечномерном прост-
ранстве 186—187
нормированная 112
Эквивалентность логарифмиче-
ская 23
№-графы 236