/
Автор: Фетисов В.А.
Теги: методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе физика методика преподавания книга для учителя
ISBN: 5-09-003014-6
Год: 1991
Текст
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................................... 3
Глава 1. Простейшие методы учета погрешностей при измерении
§ 1. Физические величины и их измерение .............................. 4
§ 2. Классификация погрешностей измерения в зависимости от причин их
возникновения ......................................................... 5
§ 3. Приближенное значение и абсолютная погрешность измерения ... 9
§ 4. Относительная погрешность измерения............................. 14
§ 5. Правила действия над приближенными числами...................... 17
§ 6. Метод подсчета цифр............................................. 23
§ 7. Прямые и косвенные измерения. Правила определения абсолютных и от-
носительных погрешностей при измерении физических величин ... 24
§ 8. Метод границ..................................................... 28
§ 9. Метод оценки результатов измерений............................... 35
§ 10. Метод среднего арифметического значения........................ 42
Глава 2. Описание простейших мер, измерительных приборов и учета их по-
грешностей в лабораторных работах
§ 11. Методы учета инструментальных погрешностей.......................50
§ 12. Измерительные линейки .......................................... 53
§ 13. Штангенциркуль...................................................54
§ 14. Микрометр........................................................55
§15. Мензурки и измерительные цилиндры................................56
§ 16. Набор гирь.......................................................58
§ 17. Весы.............................................................60
§ 18. Динамометр учебный.............................................. 62
§ 19. Термометры.......................................................63
§ 20. Барометр-анероид.................................................64
§ 21. Электроизмерительные приборы.................................... 65
Глава 3. Статистический метод учета погрешностей. Основные понятия
§ 22. Случайные погрешности........................................... 71
§ 23. Систематические погрешности..................................... 72
§ 24. Вероятность..................................................... 73
§ 25. Законы нормального распределения случайных погрешностей .... 74
§ 26. Гистограмма..................................................... 76
§ 27. Дисперсия....................................................... 79
§ 28. Средняя абсолютная погрешность и средняя квадратическая погрешность
(методы оценки)........................................................ —
§ 29. Математическое выражение нормального закона распределения случай-
ных величин и погрешностей............................................ 81
§ 30. Доверительный интервал и доверительная вероятность.............. 82
§ 31. Погрешности среднего арифметического........................... 83
§ 32. Доверительный интервал и доверительная вероятность среднего значе-
ния .................................................................. 84
§ 33. Оценка результатов при малом числе измерений и неизвестной средней
квадратической погрешности о.......................................... 85
§ 34. Некоторые практические примеры................................... —
§ 35. Связь абсолютной погрешности со средней квадратической погрешностью
и принцип Крылова — Брадиса........................................... 87
§ 36. Среднее взвешенное значение измеряемой величины................. 90
§ 37. Промахи......................................................... 91
§ 38. Правила обработки результатов измерений......................... 92
§ 39. Косвенные измерения............................................. 93
§ 40. Опыт по рассеиванию попаданий снаряда при стрельбе из баллистическо-
го пистолета.......................................................... 94
Литература............................................................ 9®
ББК 74.265.1
Ф45
Рецензент: младший научный сотрудник лаборатории обучения физике НИИ
ОСОАПН СССР Г. Г. Никифоров
Фетисов В. А.
Ф45 Оценка точности измерений в курсе физики средней школы:
Кн. для учителя.— 2-е изд., перераб.— М.: Просвещение,
1991,— 96 ISBN 5-09-003014-6.
В книге рассматриваются простые методы оценки погрешностей физи-
ческих измерений, приводятся конкретные примеры из практики школьных лабо-
раторных работ.
4306010000—729
103(03)—91
123—91
ББК 74.265.1
Учебное издание '
Фетисов Василий Александрович
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
В КУРСЕ ФИЗИКИ СРЕДНЕЙ школы
-
Зав. редакцией В. А. Обменина. Спец, редактор Ю. Ф. Смирнов. Редактор О. В. Се-
рышева. Младший редактор Т. Н. Клюева. Художник В. А. Сайчук. Художественный
редактор В. М. Прокофьев. Технический редактор Н. А. Киселева. Корректор
И. В. Чернова.
ИБ № 12900
Сдано в набор 15.03.91 Подписано к печати 05.11.91. Формат 60х90'/1е. Бум офсетная Ws 2. Гарннт.
Литер. Печать офсетная. Усл. печ л. 6.0. Усл. кр.-отт. 6,375. Уч.-изд. л. 6,17. Тираж 60 000 экз.
Заказ № 22.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Министерства печати и массовой ипФ°Р
мацнн РСФСР. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
„ Пе«»тИ "
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Министерства
массовой информации РСФСР. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
в А - 1991
ISBN 5-09-003014-6 © Фетисов
ПРЕДИСЛОВИЕ
. Согласно программе одиннадцатилетней школы, физике отво-
дится важнейшая роль в обучении кадров для народного хозяйства
страны. Помимо изучения теоретического материала в препода-
вании физикилгущественную роль Играют лабораторные работы с при-
менением различных методов учета погрешностей. Задача учи-
теля состоит в том, чтобы дать возможность ученику изучать физи-
ку не только теоретически, но и практически, чтобы он имел более глу-
бокие представления о физических законах и явлениях, а самое
главное, мог самостоятельно анализировать и усваивать проходи-
мый им материал. В связи с этим полезно вспомнить высказывания
известных ученых о роли измерений. Например, Г. Галилей советовал
измерять все доступное измерению и делать доступным все недо-
ступное ему, Д. И. Менделеев: «Наука начинается с тех пор,
как начинают измерять, точная наука немыслима без меры»,
У. Кельвин: «Каждая вещь известна лишь в той степени, с какой
ее можно измерить».
Умение правильно измерять и обрабатывать полученные резуль-
таты необходимо человеку не только в науке. Оно необходимо
ему и в практической деятельности. Поэтому одной из важней-
ших задач обучения физике в школе является привитие учащим-
ся измерительных навыков.
Желательно показать ученику на опытах, какова чувствитель-
ность наших органов чувств, и привести примеры достигнутой тех-
никой точности мер и измерительных приборов, а также указать на
то, что все они не являются абсолютно точными; ими допускаются
погрешности при измерении физической величины.
Для формирования представлений о точности измерений необхо-
димо дать ученику понятие о причинах, искажающих результаты
измерений. У учителей найдется немало примеров из повседневной
жизни, производства и науки, чтобы в интересной форме препод-
нести этот материал ученику.
Вопросам измерений физических величин, описанию простейших
методов учета погрешностей этих измерений посвящается данное
пособие, основная цель которого — оказать помощь учителю физики
в обучении учащихся методам обработки результатов измерений.
Для более глубокого понимания используемых в школе методов
учета погрешностей, расширения знаний о вероятности их появле-
ния при измерении молодому учителю предлагается статисти-
ческий метод учета погрешностей.
Материал книги в основном дан так, что учитель может ис-
пользовать его непосредственно на уроках.
Материал III главы он может использовать на факультативных
занятиях.
Второе издание переработано в соответствии с требованиями
новой программы по физике к знаниям и умениям учащихся.
Автор искренне благодарен Ю. Ф. Смирнову, Л. Д. Мешалкину,
В. П. Демковичу, А. 3. Синякову, А. А. Горшкову, Г. Г. Никифорову,
Е. Л. Шлыкову за ряд ценных предложений по улучшению рукописи.
лава 1.
ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ УЧЕТА
ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ
§ 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ
Рассматривая и изучая окружающие нас тела и явления, мы
обнаруживаем такие их свойства, качества, признаки и характе-
ристики, которые могут проявляться в большей или меньшей сте-
пени и, следовательно, могут подвергаться количественной оценке.
Характеристика физических объектов или явлений материально-
го мира, общая в качественном отношении для множества объек-
тов или явлений, но индивидуальная для каждого из них в коли-
чественном отношении, называется физической величиной.
Физические величины можно разделить на две категории: вели-
чины, характеризующие свойства и состояние тел (масса, объем,
плотность, электрическое сопротивление, давление и др.), и величины,
характеризующие явления и процессы, протекающие во времени
(линейная скорость, сила тока, работа й т. д.). Чтобы иметь пред-
ставление о физической величине с количественной точки зрения,
необходимо выразить ее числом, т. е. измерить.
Измерить физическую величину — это значит найти опытным пу-
тем значение физической величины, используя специальные техни-
ческие средства.
Результаты измерений физических величин, получаемые в научно-
исследовательских лабораториях или в лабораторных работах школь-
никами, всегда являются не абсолютно точными, а приближен-
ными. Но степень точности при этом, конечно, различна. Точность
измерения зависит от точности прибора и его чувствительности, а
также от восприимчивости органов чувств экспериментатора. Точ-
ность прибора определяется наименьшим его показанием — ценой
деления. Например, наименьшее, показание ученической линейки —
1 мм, штангенциркуля — 0,1 мм, микрометра — 0,01 мм.
Чувствительностью измерительного прибора, или порогом
чувствительности, называют наименьшее значение изменения измеря-
емой величины, вызывающее заметное изменение показаний при-
бора. Так, чувствительность настольных (торговых) весов — 0,5 i.
ручных (аптечных)—0,01 г, аналитических — 0,0001 г.
Восприимчивость наших органов чувств высока. Напри мер-
при нормальном зрении глаз человека может видеть на РаСнИМИ
нии 25 см две точки раздельно, если промежуток ме^^ена в
0,05 мм; ухо воспринимает звуки, частота которых за*еК может
пределах 18—20 000 Гц; кончиками пальцев руки чеЛ
ощутить раздельное расположение острия двух иголок, расстояние
между которыми примерно 2 мм.
Точность приборов новейших конструкций также очень значи-
тельная, например, электронные устройства регистрируют промежут-
ки времени до 10“10 с, микровесы взвешивают вещества в ко-
личестве до 1б~6 мг.
Сочетая высокую восприимчивость наших органов чувств с
точными чувствительными приборами новейших конструкций и со
специальными способами измерений, можно значительно повысить
точность измерений физических величин.
Однако несмотря на высокую чувствительность органов восприя-
тия и совершенные методы измерений, результаты измерений хотя
и могут достигать значительной точности, но абсолютно точны-
ми, т. е. истинными, они быть не могут.
। Для того чтобы измерения имели наименьшие погрешности,
необходимо соблюдать следующие правила:
— Поверять средства измерений и правильно их применять.
— Снимать показания с помощью средств- измерений с необ-
ходимой точностью.
— Вычислять искомую величину по результатам измерений с со-
блюдением правил приближенных вычислений и с учетом погреш-
ностей.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ УЧЕНИКА
Для знакомства с восприимчивостью органов чувств и с точ-
ностью измерительных приборов желательно провести две экспери-
ментальные работы:
1. Начертите на бумаге столбиком несколько пар точек с раз-
личными промежутками между точками. Смотря на бумагу, находя-
щуюся на расстоянии 25 см от глаз, определите наименьший
различимый промежуток, измерив его ученической линейкой.
2. Измерьте длину какого-либо стержня штангенциркулем, имею-
щим цену деления 0,1 мм, и штангенциркулем, у которого цена деле-
ния равна 0,05 мм. Сравните результаты измерений.
§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ
В ЗАВИСИМОСТИ ОКПРИЧИН ИХ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
Вследствие различных причин возникает отклонение результата
измерения от истинного значения измеряемой величины, которое
является погрешностью измерения.
Погрешности измерения, зависящие от причин их возникнове-
ния, подразделяются: на погрешности метода измерения; инструмен-
тальные (или основные) погрешности; погрешности, возникающие
вследствие внешних влияний на средства и объекты измерения;
субъективные погрешности; погрешности отсчета. Обсудим каждый
из этих видов погрешностей отдельно.
Погрешности метода измерения. Погрешности, возникающие
вследствие несовершенства применяемого метода измерения или
5
ческих формулах, называются погрешностями метода измерения.
Так, при измерении диаметра шарика измерительной линейкой
допускается большая погрешность, чем при использовании штанген-
циркуля (даже без учета десятых долей миллиметра).
Однако если при помощи штангенциркуля измерять расстоя-
ние между двумя точками на бумаге, то на такое измерение уйдет
много времени, а точность его будет вряд ли больше, чем при
измерении линейкой, хотя сам по себе штангенциркуль способен
обеспечить большую точность.
При определении сопротивления с помощью амперметра и вольт-
метра (рис. 1, а, б) допускаются погрешности вследствие того,
что не учитывают сопротивления измерительных приборов. Но,
исследуя приведенные на рисунке схемы, можно прийти к выводу,
что для уменьшения получающихся погрешностей в случае малых
сопротивлений следует применять схему а, а в случаях больших —
схему б.
Инструментальные (основные) погрешности. Погрешности, появ-
ляющиеся при изготовлении меры или измерительного прибора,
называются инструментальными (основными) погрешностями.
Все меры и измерительные приборы делятся на образцовые
и рабочие. Образцовые меры и измерительные приборы служат для
воспроизведения и хранения единиц физических величин, а также для
проверки и градуировки других мер и измерительных приборов.
Они дают значения величин, принимаемые за действительные.
Рабочие меры и измерительные приборы используют для практи-
ческих измерений; их сравнивают с образцовыми мерами и изме-
рительными приборами. Они дают номинальные значения величин.
Погрешностью меры называют алгебраическую разность между но-
минальным и действительным ее значением. Погрешностью измери-
тельного прибора называют алгебраическую разность между показа-
нием прибора и действительным значением измеряемой величины
(определенным с помощью более совершенных методов и средств из-
мерений) .
Инструментальную погрешность, взятую с обратным знаком, на-
зывают поправкой. Поправки обычно указаны в техническом пас-
порте прибора. Если средства измерения дают заниженные показа-
ния, то поправка, указанная в паспорте, имеет знак «плюс», при
завышенных показаниях — «минус».
При обнаружении погрешности от неисправности измеритель-
ного прибора следует внести поправку к его показанию. Напри-
мер, если из-за погнутости стрелки магнитоэлектрического ампер-
метра при отсутствии тока она устанавливается не на нулевой от-
метке шкалы/а на отметке 0,1 А, т. е. показания завышены, то
необходимо все показания амперметра уменьшать на 0,1 А; если
термометр при измерении температуры тающего снега показывает
+1 °C, то для него необходимо брать поправку — 1 °C.
Погрешности, возникающие в результате неправильной уста-
новки прибора. Измерительные приборы требуют предварительной
проверки и определенной установки. Например, ненагруженные ве-
сы должны быть уравновешены, проверено качание чашек, а тех-
нические весы должны быть установлены по уровню или отвесу, ам-
перметры и вольтметры должны быть установлены в зависимости
от указания на приборе (вертикально или горизонтально).
Необходимо строгое соблюдение правил пользования измеритель-
ным прибором.
Погрешности, возникающие вследствие внешних влияний на сред-
ства измерения или объекты измерения. Сначала рассмотрим влия-
ние температуры.
Большинство измерительных приборов, применяемых в школе,
дает верные показания при температуре +20 °C. При отклонении от
этой температуры результаты измерений искажаются.
На температуру воздуха в помещении оказывают влияние по-
токи теплого или холодного воздуха, источниками которых явля-
ются печи, радиаторы центрального отопления, электрические плит-
ки, окна, нагревающиеся летом и замерзающие зимой. Для умень-
шения их влияния при калориметрических измерениях необходимо
экранировать пламя горелки или плитку, а опыты проводить дальше
от окон и радиаторов.
Влияние магнитного поля Земли и магнитных полей токов уст-
раняют экранированием. В измерительных приборах экранирование
предусмотрено их конструкцией, но оно не является полным.
Влияние вредных вибраций и сотрясений устраняют путем при-
менения различных пружин, резиновых прокладок.
Субъективные погрешности. К таким погрешностям относятся
погрешности, обусловленные индивидуальными свойствами наблюда-
теля. Например, запаздывание реакции человека на световой сигнал
колеблется от 0,15 до 0,225 с, на звуковой — 0,082—0,195 с. Субъек-
тивная погрешность может быть обнаружена при проведении оди-
наковых измерений несколькими экспериментаторами.
Погрешности отсчета. Погрешности, которые появляются вслед-
ствие округления показания измерительных приборов до заданной
степени точности, называются погрешностями отсчета.
В школьной практике для более рационального проведения
экспериментальной работы желательно до начала измерений пол-
ностью или частично исключить источники погрешностей, вызывае-
мых внешними влияниями на объекты и средства измерений, а
также неправильной установкой прибора.
При обработке результатов измерений целесообразно вносить
поправку на инструментальную погрешность прибора.
Основные поправки приводятся в паспорте прибора или могут
быть получены предварительным сравнением показаний средств из-
мерений с показаниями более точных мер и измерительных прибо-
ров. Например, электроизмерительные приборы можно проверить
приборами более высокого класса точности. Такое сравнение на-
зывается поверкой прибора. На мере или измерительном приборе
желательно наклеить бумажку с указанием поправки или графика по-
правок.
Если инструментальная погрешность пренебрежимо мала по
отношению к погрешности отсчета, то ее не учитывают (техни-
ческие весы, измерительные линейки и т. д.). (Конкретные значе-
ния основных {инструментальных) погрешностей для мер и измери-
тельных приборов, применяемых в школьном физическом практи-
куме, приведены в главе 2.)
Приведем пример устранения инструментальной погрешности.
В приборе «Набор грузов по механике» гиря в 100 г может
иметь допущенную заводом инструментальную погрешность до 2%.
Кроме тогб, многие учителя, проводя опыты, для упроще-
ния расчетов , считают ее вес равным 1Н, а не 0.98Н, вследствие
чего возникает новая погрешность в 2%.
Для устранения погрешностей целесообразно модернизиро-
вать прибор, приклеив к грузам шайбы из меди или латуни так,
чтобы общая масса их, определенная на весах, составляла 102 г
(1Н). В таком случае можно пренебречь погрешностями отсчета и
инструментальной.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ УЧЕНИКА
Фронтальные экспериментальные работы по изучению различ-
ных видов погрешностей измерения.
1. Погрешности метода измерения.
Измерьте диаметр шарика ученической линейкой и штангенцир-
кулем.
Как это сделать?
Сравните результаты измерений.
2. Погрешности вследствие внешних влияний.
Определите температуру воздуха у потолка и пола физического
кабинета, около радиаторов и в центре класса.
Где следует проводить опыт?
3. Субъективные погрешности.
Опыт. Ученик держит двумя пальцами за один конец бумаж-
ку, размером в один рубль, а другой приготовился ее поймать двумя
пальцами, когда она будет падать.
Проверьте, сумеет ли ученик поймать бумажку во время ее
падения. Как объяснить результат опыта?
§ 3. ПРИБЛИЖЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ И АБСОЛЮТНАЯ
ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ
При измерении физической величины всегда получают не истин-
ное ее значение, а приближенное с той или иной степенью точ-
ности, которое называется приближенным значением величины.
Абсолютной погрешностью измерения является погрешность, вы-
раженная в единицах измеряемой величины.
Погрешность измерения в основном состоит из инструменталь-
ной погрешности и погрешности отсчета Д = Д„-|-Д0. Инструменталь-
ные погрешности Ди в этой главе не учитываются, так как они явля-
ются незначительными по отношению к погрешности отсчета До.
Например, для стальной линейки Ди = 0,1 мм, а До=0,5 мм.
Абсолютная погрешность определяется разностью между ис-
тинным и приближенным значениями измеряемой величины.
Вследствие того что истинное значение измеряемой величины
неизвестно, на практике берется максимальная абсолютная погреш-
ность, которая может быть допущена при измерении.
Максимальная абсолютная погрешность является границей аб-
солютной погрешности приближенного значения измеряемой вели-
чины.
Границей абсолютной погрешности приближенного значения
измеряемой величины называют наименьшее положительное число,
содержащее одну или две значащие цифры, которое больше модуля
абсолютной погрешности или равно ему, т. е. |х—а|^Да, здесь
х — истинное значение величины, а — приближенное значение, Да —
граница абсолютной погрешности.
Например, при измерении массы тела получили ш — 8,35±0,15 г.
Граница абсолютной погрешности Да=0,15 г имеет две значащие
цифры, а при округлении абсолютной погрешности до одной зна-
чащей цифры получаем, что граница абсолютной погрешности
Да = 0,2 г.
Ради краткости границу абсолютной погрешности называют аб-
солютной погрешностью-, мы тоже будем придерживаться этой
терминологии в дальнейшем.
Приведем один из способов практического получения приближен-
ного значения величины и погрешности ее измерения.
При измерении любые измерительные приборы показывают не
истинное значение измеряемой величины, а только лишь промежу-
ток (диапазон) значений, в котором находится истинное значение
этой величины.
Пусть, например, при измерении длины доски сантиметровой
лентой, которая не имеет миллиметровых делений, край доски при-
ходится на деление между отметками 95 и 96. Тогда математичес-
ки можно записать, что искомая величина (х) больше 95, но меньше
96 см, т. е. 95 см<х<96 см.
Согласно этому неравенству длину доски можно принять рав-
ной 95 см (с недостатком) (рис. 2, а) или 96 см (с избытком)
(рис. 2, б). Независимо от того, к какой отметке ближе лежит край
v9
доски, погрешность измерения не превышает 1 см, что удовлетво-
ряет основному условию: погрешность не может быть больше цены
деления измерительного прибора, кроме некоторых случаев (баро-
метр-анероид) .
Если сантиметровое деление ленты на глаз разделить пополам
и предыдущее,*неравенство записать в виде:
95,5 см —0,5 см<х<95,5 см -|-0,5 см
х=95,5±0,5 см,
то длину доски можно определить точнее: 95,5 см с погрешностью
0,5 см, где 95,5 см — приближенное значение измеряемой величины;
0,5 см — максймальная погрешность, допускаемая при ее измерении
(рис. 3).
За приближенное значение измеряемой величины целесообраз-
но брать то, которое вычисляют как среднее арифметическое
двух значений, в промежутке между которыми находится истинное
значение. Следовательно, приближенное значение длины доски
равно:
95 см 4-96 см gr 5
см.
Число, которое прибавляют к приближенному значению или вы-
читают из него, указывает на максимальную погрешность, которую
можно допустить при измерении рассматриваемой величины данной
мерой (или прибором). Это число принимают за абсолютную по-
грешность измерения. Абсолютная погрешность равна полуразности
значений, между которыми находится истинное значение.
Для предыдущего примера абсолютная .погрешность измерения
составляет:
Эб^дба^од см
Таким образом, абсолютная погрешность равна половине цены
деления с шкалы данного прибора, если измерение производилось
однократно или если повторные измерения дали одинаковые ре-
зультаты: А = с/2. Например, если цена наименьшего деления линей-
ки — 1 мм, то абсолютная погрешность при измерении равна 0,5 мм;
так как цена наименьшего деления амперметра 0,01 А, то абсолют-
ная погрешность составляет 0,005 А.
Если при измерении длины доски конец ее пришелся точно на
95-ю отметку, то все же нельзя принять ее длину равной 95 см.
Необходимо учитывать, что сама отметка на измерительном прибо-
ре имеет толщину и вторгается на два смежных деления. И в
этом случае за абсолютную погрешность принято брать также по-
ловину цены деления шкалы прибора. Следовательно, в данном при-
мере длина до'ски х=95 см + 0,5 см.
При указании погрешности измерения недостающие разряды
в приближенном значении принято заменять нулями:
х=95,0 см + 0,5 см.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Необходимо обратить внимание учащихся на то, чтобы послед-
ний разряд приближенного числа совпадал с разрядом погреш-
ности.
Для упрощения арифметических расчетов целесообразно округ-
лять приближенное значение измеряемой величины с избытком
или недостатком (в зависимости от того, к какому показанию при-
бора ближе измеряемая величина), сохраняя в записи числа толь
ко целую часть. За абсолютную погрешность целесообразно прини-
мать цену деления меры или измерительного прибора. В рассмат-
риваемом случае /=96 см+1 см или /=95 см + 1 см.
В зависимости от требуемой точности измерения следует до-
биваться снижения абсолютной погрешности до необходимой вели-
чины.
Можно двумя способами уменьшить промежуток (диапазон) зна
чений, между которыми находится истинная величина, и, следо
вательно, ближе подойти к определению ее точного значения.
Способ 1. Для уменьшения абсолютной погрешности берем
более точный прибор, имеющий меньшую цену деления. Например,
при измерении длины тела масштабной линейкой истинное значе-
ние этой длины (х) находится между 8 и 9 мм, тогда х=8,5 + 0,5 мм.
Промежуток (диапазон) значений, между которыми находится
истинная длина, равен 1 мм (рис 4).
Если измерение произведено штангенциркулем, то значение иско-
мой величины окажется между 8,7 и 8,8 мм; тогда х—8,75 + 0,05 мм.
<5 «5 - _ 1 9
0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 | 0,1 0, 1 1 1 1 1 1 2 0 0 1мг~! ,3 0,4 0,5
8,75
0,05
—
Рис. 4
Промежуток значений сузился, дойдя до 0,1 мм, и, следова-
тельно, крайние значения приблизились к истинному значению длины
тела (см. рис. 4).
Способ 2. Для уменьшения абсолютной погрешности (глав-
ным образом, погрешности отсчета) можно уменьшить цену деления
(при равномерной шкале), разделив на глаз расстояние между от-
метками на равные части.
Пусть, например, при измерении тока магнитоэлектрическим ам-
перметром стрелка-указатель установилась между 2,1 и 2,2 А;
тогда можно записать:
2,1 А</<2,2 А,
т. е.
2,15 А —0,05 А</<2,15 А + 0,05 А
или
7 = 2,15 А±0,05 А.
Промежуток значений, между которыми находится истинное
значение тока, равен 0,1 А.
Если же разделить на глаз расстояние между отметками по-
полам, то результат получится более точный. Например, пусть указа-
тель амперметра установился между 2,10 и 2,15 А; тогда:
2,10 А</<2,15 А,
т. е.
2,125 А—0,025 А</<2,125 А+0,025 А
или
/ = 2,125 А±0,025 А.
Промежуток значений уменьшился до 0,05 А.
В случае неравномерной шкалы цену деления также можно
уменьшить- делением расстояния между отметками на неравные
части, но отвечающие равным изменениям физической величины.
Так поступают, например, в случае конической мензурки, элект-
ромагнитного амперметра или вольтметра, где шкалы неравномер-
ные (рис. 5 и 6).
Указанное деление можно применить, например, при измерении
Рис. 5
Рис 6
длины тела измерительной или стальной линейкой, доводя цену
деления до 0,5 мм.
Отсчет десятых долей миллиметра нецелесообразен, так как
при этом необходимо учитывать инструментальную погрешность. Не-
которые шкбльные приборы (электроизмерительные) имеют суммар-
ную погрешность, инструментальную и погрешность отсчета, равную
цене деления. В этом случае метод деления на части интервала
между соседними отметками шкалы неприемлем.
Необходимо заметить, что повышение точности отсчета не всег-
да повышает точность измерения. Последняя ограничена точностью
прибора; поэтому как бы аккуратно ни производились наблюдения,
нельзя считать, что результаты измерения получены с необходи-
мой точностью, если был использован недостаточно точный прибор.
Поэтому химическим термометром следует производить отсчет
с точностью до 0,5 °C; школьным амперметром — до 0,05 А; школь-
ным вольтметром — до 0,1 В и т. д.
При измерениях различных физических величин исходят из
той точности измерения, которая практически нас удовлетворяет.
Согласно этому берут соответствующий измерительный прибор. На-
пример, длину комнаты измеряют в сантиметрах с помощью рулетки,
так как измерения в миллиметрах обычно не нужны; измерение
размеров брусочка производят в миллиметрах, для чего употребляют
более точный прибор — измерительную линейку.
Для измерения диаметра тонкой проволоки не годится даже штан-
генциркуль, позволяющий получать результаты с точностью до. де-
сятых долей миллиметра. В этом случае применяют микрометр, по-
вышающий точность измерения до сотых долей миллиметра, и т. д.
Следовательно, при измерениях получают всегда приближенные
значения измеряемых величин, которые тем ближе подходят к истин-
ным значениям, чем большей точностью обладают приборы и чем
более совершенен метод измерения.
Рассмотрим способы нахождения приближенного значения мас-
сы тела и абсолютной погрешности при взвешивании тела на
весах.
Если при взвешивании равновесие весов не достигнуто, то
за приближенное значение массы тела берут среднее значение мас-
сы гирь при перегрузке и недогрузке (вызываемых наименьшей ги-
рей набора). Например, при взвешивании бруска на настольных
(торговых) весах, имеющих набор гирь, наименьшая из которых
1 г, получены следующие результаты:
масса гирь при перегрузке 126 г;
масса гирь при недогрузке 125 г.
Приближенное значение массы тела:
г± 126 г = 125 5 г-
Абсолютная погрешность:
2
За абсолютную погрешность измерения можно принять половину
значения наименьшей гири набора, которая нарушает равновесие
весов при взвешивании.
Результат измерения: т = 125,5 г + 0,5 г.
Если при взвешивании тела равновесие весов достигнуто, то за
абсолютную погрешность также берут половину массы наименьшей
гири, вызывающей нарушение равновесия, и пишут т —125,0 г +
+ 0,5 г.
Дело в том, что из-за трения в шарнирах весов их практи-
ческое равновесие не означает точного равенства масс гирь и
взвешиваемого тела. Допускаемую при этом погрешность в измере-
нии массы нельзя оценить точнее, чем значением половины массы
наименьшей гири, нарушающей равновесие весов и определяющей их
чувствительность.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Для упрощения расчетов можно увеличивать диапазон границ,
погрешностей, округляя результат измерений с избытком или не-
достатком, сохраняя в записи числа его целую часть и беря за
абсолютную псЛ'решность значение массы наименьшей гири, приме-
няемой при взвешивании.
Вместо т= 125,5 г + 0,5 г можно записать zzz= 126 г+1 г, т. е.
125 г</тг<127 г, при этом значение массы взято с избытком.
Если взять его с недостатком, то можно записать: т = 125 г + 1 г, т. е.
124 r<m< 126 г.
Истинное значение массы тела находится внутри этих диапа-
зонов.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ УЧЕНИКА
1. Проверьте, на сколько частей ученик может разделить
интервал между двумя соседними штрихами линейки и целесообраз-
но ли это делать, если ширина штриха равна 0,08 мм — 0,15 мм.
2. Измерьте посредством измерительных цилиндров с различ-
ной ценой деления объем тела и запишите приближенные значения
объема тела с абсолютными погрешностями, равными половине цены
деления приборов.
Можно ли судить по абсолютной погрешности о качестве из-
мерений?
Измерьте посредством измерительного цилиндра объемы двух
тел цилиндрической формы (необходим набор тел одного веса),
имеющих одинаковый вес и сделанных один из алюминия, другой
из свинца. Запишите приближенные значения их объемов с абсо-
лютными погрешностями, равными половине цены деления цилиндра.
Как оценить качество измерений?
§ 4. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ
Для того чтобы судить о качестве измерения, знать величину
абсолютной погрешности недостаточно. А если взять абсолютные
погрешности разнородных величин, например т = 25 г±1 г и
1 = 30 см±1 см, то путем их сравнения оценить относительное
качество измерения этих величин вообще невозможно.
О качестве измерений можно судить только на основе относи-
тельных погрешностей.
Пример. Если при измерении длины стола рулеткой получают
результат 120,0 см±0,5 см, а измеряя длину стержня чертежной
линейкой, находят, что значение его длины равно 12,5 мм±0,5 мм,
то абсолютная погрешность 0,5 см, допущенная при измерении сто-
ла, значительно больше абсолютной погрешности при измерении
стержня — 0,5 мм. Однако абсолютная погрешность при измерении
длины стержня составляет 4% ( °^5- -100% =4% ) измеряемой ве-
личины, а при измерении длины стола лишь 0,4% (j2q0* 100% ~
«0,4%^. Эти отношения являются относительными погреш-
ностями.
Относительной погрешностью измерения называется отношение
абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряе-
мой величины. Практически в качестве относительной погрешности
берется граница относительной погрешности измерения.
Границей относительной погрешности измерения величины а на-
зывают отношение границы абсолютной погрешности Ла к модулю
приближенного значения величины а: Ла0Тн=-^--
Для упрощения терминологии границу относительной погреш-
ности измерения называют относительной погрешностью. Например,
температура воздуха равна: t = —40,0 °С±0,5 °C. Тогда граница от-
носительной погрешности измерения температуры равна:
Л/ _ 0,5 °C-100% ч0/
i-'loTH- 40 оС --- 1,0/0.
Если i=0°C±l °C, т. е. Т’=273°К±1 °К, то Л^ОТн = 0,4%.
Границу относительной погрешности измерения принято выра-
жать в процентах.
По обратной величине модуля относительной погрешности мож-
но судить о том, с какой точностью произведено измерение.
Такое определение точности измерения предложил немецкий
ученый К- Гаусс. Например, при относительной погрешности, равной
1; Ю3 = 0,001 =0,1 %, точность измерения была бы равна 103 = 1000.
Вычисление относительных погрешностей приобретает особое
значение тогда, когда в опыте производят несколько измерений.
Проверяя результаты опыта и зная относительные погрешности
отдельных измерений, мы можем указать те измерения, которые
дали наибольшую погрешность и которые нужно сделать более точ-
ными для того, чтобы все измерения, по возможности, были произ-
ведены с одинаковой относительной погрешностью.
Рассмотрим пример по определению объема проволоки. Пусть
длина проволоки, измеренная сантиметровой лентой, равна
252,0 см±0,5 см.
15
о-
Относительная погрешность измерения равна:
0,5 см-100%
252,0 см
Диаметр проволоки, измеренный штангенциркулем, равен:-
2,10 мм ±0,05 мм.
Относительная погрешность этого измерения равна:
100% «3%.
Z,1U ММ
Для повышения точности измерения диаметра воспользуемся
более точным прибором — микрометром. Измерение дает величину
2,120 мм±0,005 мм.
Относительная погрешность уменьшится до значения 9’005 то 100% ~
«0,3% и буде-£ близка к относительной погрешности, допущенной
при измерении длины.
Измерять длину проволоки до десятых долей сантиметра не-
целесообразно, так как относительная погрешность такого изме-
рения будет значительно меньше, чем относительная погрешность
измерения диаметра.
Следовательно, при измерении необходимо пользоваться тем
инструментом, который дает практически достаточную точность,
а не усложнять измерения работой с более точными приборами.
Сравнение относительных погрешностей измерения разнород-
ных величин необходимо для правильного подбора приборов.
3 а д*а ч а. Для нахождения сопротивления проводника измерили силу тока и
напряжение. Они равны: /=2,0 А ±0,1 A, t/=4,5 В ±0,2 В. Установите, пра-
вильно ли подобраны измерительные средства.
Решение. Вычисляем относительные погрешности измерений
амперметром и вольтметром: А/= д =0,05, At/=^|-|-=0,04.
Относительные погрешности — одного разряда, следовательно,
приборы подобраны правильно.
МЕТОДИЧЕСКАЯ РЕКОМЕНДАЦИЯ ДЛЯ УЧЕНИКА
Измерьте сантиметровой лентой размеры крышки стола (дли-
ну, ширину и толщину). Вычислив относительные погрешности, оп-
ределите качество измерений.
Очень часто при определении числового значения физической
величины приходится пользоваться формулами, в которые входят
различные величины, имеющие приближенные значения. Например,
при определении скорости по формуле v=-^~, где путь s=52,5 см±
±0,5 см и время f=3,00 с ±0,02 с, получают:
52,5 см ±0,5 см
V =—---------.
3,00 с ±0,02 с
Для решения подобных задач необходимо знать правила дей-
ствий с приближенными числами и уметь определять абсолютные
и относительные погрешности для значения новой физической вели-
чины (в данном примере — скорости).
§ 5. ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЯ НАД ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
Применение правил действий над приближенными числами
значительно сокращает время на арифметические вычисления.
Округление, согласно этим правилам, дает возможность полу-
чать окончательный результат измеряемой величины с погреш-
ностью, соответствующей погрешностям отдельных производимых
измерений.
Между тем неприменение этих правил, в результате дает зна-
чение измеряемой величины с огромным количеством лишних цифр,
что не дает возможности сразу правильно оценить точность ре-
зультата измерения рассматриваемой физической величины.
Большое значение эти правила приобретают в VII—VIII классах,
а также и в старших классах для округления восьмизначных
чисел, получаемых с помощью микрокалькулятора.
Учителю необходимо, начиная с VII класса, на лабораторных
работах и в эксперименте обучать учеников правилам работы с
приближенными числами.
Итак, числа разделяются на точные и приближенные. Так,
число, выражающее количество гцрь в коробке,— точное. Числа
же, полученные при измерении физических величин — длины, време-
ни, температуры, напряжения и т. д.,— всегда являются приближен-
ными с различной погрешностью измерения в зависимости от точ-
ности прибора и способа измерения.
Многозначные числа, точные или приближенные, для упроще-
ния расчетов можно округлять, если это не окажет вредного влия-
ния на практический результат. Нельзя, например, производить боль-
шого округления размеров отверстий для оси колеса, так как
это может привести к значительным осложнениям при сборке
изделия.
Округление чисел. При округлении многозначных чисел, точ-
ных или приближенных, необходимо руководствоваться определенны-
ми правилами. Рассмотрим их.
Правило округления с поправкой
— Если первая из отбрасываемых цифр более 5 или равна 5, то
последнюю из оставляемых цифр увеличивают на одну единицу, на-
пример: 25,48 см«25,5 см; 36,5 г«37 г. Знак ««» означает прибли-
женное равенство и читается «приближенно равно».
— Если первая из отбрасываемых цифр менее 5. то последнюю
из оставляемых цифр не изменяют, например: 25,42 см«25,4 см.
Правило округления с избытком
При округлении с избытком цифра последнего сохраняемого
разряда всегда увеличивается на единицу, например: 2,73«2,8.
Правило округления с недостатком
При округлении с недостатком цифра последнего сохраняемого
разряда всегда остается без изменения, например: 2,76«2,7.
9 Чякяч 22
17
Значащие цифры. Все цифры, числа, кроме нулей, стоящих ле-
вее первой, отличной от нуля цифры, и нулей, которые поставле-
ны вместо неизвестных или отброшенных цифр, называют значащими
цифрами.
Например, число 0,026 имеет две значащие цифры, так как
нули, стоящие левее первой отличной от нуля цифры, т. е. двух,
не считаются значащими, а в числе 1000 м=1 км нули указывают
строгое отсутствие цифр в разрядах сотен, десятков и единиц мет-
ров. Все они являются значащими, следовательно, число имеет четы-
ре значащие цифры.
Число 2365 «2400 имеет две значащие цифры, так как нули
в этом случае не считаются, потому что они получены от ок-
ругления.
Число 25-103 = 25 000 (с точностью до тысяч) имеет.две зна-
чащие цифры,»так как нули поставлены вместо неизвестных цифр.
Точные целые и дробные числа могут быть представлены в
виде бесконечной десятичной дроби с периодом, равным нулю.
Нули, приписываемые к ним справа, будут указывать на отсут-
ствие соответствующих долей у числа, и, следовательно, эти нули
будут являться значащими цифрами, например:
25 книг, 25 = 25,000... = 25,(0) нули означают отсутствие у числа
десятых, сотых и т. д. долей.
10:4 = 2,5 = 2,5000... = 2,5(0) нули означают отсутствие у чис-
ла сотых, тысячных и т. д. долей.
Запись приближенных чисел. Значащие цифры приближенного
числа делятся на верные и сомнительные.
Если абсолютная погрешность приближенного числа не превы-
шает половины единицы последнего разряда, то все значащие циф-
ры приближенного числа называют верными.
При округлении с поправкой все значащие цифры числа явля-
ются верными. Например, ускорение g=9,80629 м/с2«9,81 м/с2. Аб-
солютная погрешность округления 9,81—9,80629 = 0,00371 м/с2<
<0,005 м/с2, следовательно, все цифры — 9, 8, 1 — верные. Все
табличные данные даются с верными цифрами.
Если в приближенном числе все значащие цифры, кроме послед-
ней, являются верными, а абсолютная погрешность числа превы-
шает половину единицы последнего разряда, то цифру этого разряда
называют сомнительной.
Правило записи приближенных чисел с сохранением сомнитель-
ной цифры сформулировано в принципе ученого А. Н. Крылова:
«Результат всякого вычисления и измерения выражается числом.
Условимся писать эти числа так, чтобы по самому их начертанию
можно было судить о степени точности, для этого стоит только при-
нять за правило писать число так, чтобы в нем все значащие цифры,
кроме последней, были верные и лишь последняя цифра была сом-
нительной и при этом не более как на единицу». Например, при
округлении числа, с поправкой л = 3,1416« 3,14 все цифры являют-
ся верными; при округлении с избытком 3,1416« 3,15 последняя
цифра сомнительная, так как 3,15 —3,1416=0,0084>0,005. Следо-
вательно, при округлении числа с избытком или недостатком послед-
няя цифра может быть сомнительной.
Примечание. При округлении целых чисел вместо отбрасы-
ваемых цифргставят множитель 10й, где п означает число незнача-
щих цифр. Этого правила будем придерживаться и в данном посо-
бии. Например, число 23650 «24-103 округлено до тысяч. Нули,
стоящие в конце десятичной дроби, не отбрасывают, если они оз-
начают те разряды, с точностью до которых произведено измере-
ние. Так, плотность вещества 7,80 г/см3 — точность измерения до
сотых долей.
Предпочтительно изображать целые числа, в которые входят
незначащие нули, в стандартной форме, где запятая поставлена
сразу после первой значащей цифры, например, число 36520 =
= 3,7-104 округлено до тысяч.
Сложение и вычитание приближенных чисел. При сложении и
вычитании приближенных чисел в полученном результате следует от-
брасывать по правилам округления (или заменять их незнача-
щими нулями, входящими в множитель 10й в случае целого числа)
цифры тех разрядов справа, которых нет хотя бы в одном из данных
приближенных чисел.
Пример 1. Сложение целых приближенных чисел
.25000 точность до 1000
' 3245 точность до 1
250 точность до 10
28495=28-103.
По правилам округления в сумме отбрасываем цифры единиц,
десятков и сотен, так как они неизвестны у первого слагаемого,
и заменяем их незначащими нулями. Проведем те же вычисления в
стандартной форме: 2,5-104+3,245-103+2,5-102. Выносим множи-
тель 10 в наибольшей степени за скобки:
104 • (2,5+0,3245+0,025) = 104 • 2,8495.
Округляем дробь в скобках до десятых долей, откидываем все
остальные разряды справа, так как их нет в первом слагаемом.
Окончательно имеем:
104-2,8495=2,8- Ю4 = 28-103.
Пример 2. Вычитание целых приближенных чисел
_32000 округлено до тысяч
6720 округлено до десятков
25280 = 25-103.
Результат округлен до тысяч, так как в первом слагаемом
число отброшенных сотен неизвестно. Проведем те же вычисления
в стандартной форме: 3,2-104 — 6,72-103 = 104-(3,2 — 0,672)=104Х
X 2,528=2,5-104 = 25-103.
19
Пример 3. Сложение и вычитание приближенных десятичных
дробей
. 2,62 Округляем результат до двух десятичных знаков,
'13,536 так как наименьшее число десятичных знаков со-
7,6803 держится в числе 2,62 (два десятичных знака).
23,8363
23,84
18,326 Округляем результат до двух десятичных знаков,
6,27 так как в вычитаемом (6,27) число тысячных долей
12,056 неизвестно.
12,06
Умножение и деление приближенных чисел. При умножении и
делении часто стараются получить как можно больше цифр, рассчи-
тывая этим повысить точность результата. В действительности по-
грешность вычисления должна соответствовать погрешности измере-
ний, так как неточность измерений не может быть возмещена и
исправлена повышенной точностью вычислений.
При умножении и делении приближенных чисел в результате
следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в
числе с наименьшим количеством значащих цифр. (Обращаем вни-
мание на то, что при сложении и вычитании приближенных чисел
нужно сохранять в ответе минимальное число десятичных знаков,
а при умножении и делении — минимальное число значащих цифр.)
Пример 1. Умножение целых приближенных чисел
..385
Х 23
,1155
+ 770
8855 = 89-102.
Оставляем в произведении две значащие цифры, так как со-
множитель с наименьшим числом значащих цифр (23) имеет их две.
Отбрасываемые цифры целого числа заменяем незначащими ну-
лями. Проведем то же вычисление в стандартной форме: 3,85-102Х
Х2,3-10=8,855-103=8,9-103=89-102.
Пример 2. Умножение целого числа на дробь, когда оба чис-
ла являются приближенными
2-3,85 = 7,70 «8.
В сомножителе с наименьшим числом значащих цифр содер-
жится одна значащая цифра, из-за этого в произведении оставля-
ем одну значащую цифру.
Пример 3. Умножение двух дробных приближенных чисел
3,82 три значащие цифры
'Ч),04 одна значащая цифра
0 1528^0 2 одна значащая цифра
20
Пример 4. Умножение приближенного числа на точное целое
или дробное число
а) 35-3= 105= 10-10‘ (35 — приближенное число, 3 — точное
число);
б) 2-3,85^=7,70 (3,85 — приближенное число, 2 — точ-
ное число).
Сравните с примером 2, когда множимое (2) — приближенное
число;
5, 62-2,3= 12,926 л 12,9 (5,62 — приближенное число, 2,3 —
точное число).
Примечание. Произведение имеет столько значащих цифр,
сколько их содержится в приближенном числе.
Пр и м е р 5. Деление целых приближенных чисел
а) 256 000:25= 10 240 = 10-103;
256 000 — точность до 1000
25 — точность до 1.
В частном оставляем две значащие цифры, так как компонент
с наименьшим числом значащих цифр (делитель) имеет их две. От-
брасываемые цифры целого числа заменяем незначащими нулями.
Те же вычисления в стандартной форме дают: 2,56-105:2,5-10 =
=(2,56:2,5)-104= 1,024-104= 10-103
б) 1253-102:15-10=83,53-10=84-10.
Делимое имеет четыре значащие цифры, делитель — две. В
частном оставляем две значащие цифры. Проведем те же вычисле-
ния в стандартной форме: 1,253-105:1,5-102 = 0,8353-103 = 0,84 X
Х103=8,4-10^ = 84-10.
Пр и м е р 6. Деление дроби на целое число, когда оба они
являются приближенными
3,8:2 = 1,9л2.
Наименьшее число значащих цифр в компонентах (делимое, де-
литель) — один.
Пр и м е р 7. Деление дроби на дробь, когда обе они прибли-
женные
а) 23,6:0,02 = 1180= 1-Ю3
23,6 — имеет три значащие цифры,
0,02 — имеет одну значащую цифру.
В частном оставляем одну значащую цифру.
б) 0,82:3,25 л 0,252 «0,25.
Пример 8. Деление приближенного числа на точное и на-
оборот
В частном оставляем столько значащих цифр, сколько их име-
ется в приближенном числе.
а) 3,8:2= 1,9 (3,8 — приближенное число, 2 — точное число).
Сравните с примером 6, когда делитель (2) был приближенным
числом.
21
б) 6,29:0,4 = 15,725» 15,7, где 6,29 — приближенное число,
0,4 — точное число;
в) 4:2,4= 1,666» 1,7, где 4 — точное число, 2,4 — приближенное
число;
г) 3,5:2= 1,75»2, где 3,5 — точное число, 2 — приближенное
число.
Возведение в степень приближенных чисел. При возведении
приближенного числа в квадрат или куб в результате следует со-
хранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в
степень число.
Пример. Требуется найти площадь квадрата, у которого
сторона равна 2,3 см. Получаем: 2,32 = 5,29 »5,3 см2.
Извлечение корня из приближенного числа. При извлечении
квадратного и кубического корней из приближенного числа в резуль-
тате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет
подкоренное (приближенное) число.
Пример. __
д/8,3 = 2,88» 2,9.
Вычисление.промежуточных результатов. При вычислении проме-
жуточных результатов следует брать одной цифрой больше. В
окончательном результате эта запасная цифра отбрасывается.
Пример.
2,3-3,82, 9
7,5 — ’
v3,82
х 2,3
,1146
+ 764
8,786» 8,79.
Берем две значащие цифры, так как компонент с наименьшим
числом значащих цифр (множитель) имеет их две (2, 3) и остав-
ляем одну запасную цифру 9, так как умножение — промежуточ-
ное действие, а затем полученное произведение делим на 7,5:
8,79:7,5 = 1,17» 1,2.
В частном 1,17 цифра 7 — запасная, потому что компонент с
наименьшим числом значащих цифр — делитель 7,5 — ^меет толь-
ко две значащие цифры.
Ввиду того что действие последнее, в полученном результате
откидываем запасную цифру, пользуясь правилами округления.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ УЧЕНИКА
Проведите экспериментальную проверку времени, затрачиваемо-
го на арифметические вычисления: а) в случае применения пра-
вил действий над приближенными числами; б) без округления чи-
сел; в) на микрокалькуляторе с учетом значащих цифр.
п л „ 2,82 + 3,8 — 0,062
Пример. з >52
Микрокалькулятор. В заключение необходимо сказать несколь-
ко слов о микрокалькуляторе.
Основным его назначением является быстрое и точное полу-
чение результатов арифметических вычислений. Поэтому отпадает
необходимость в применении предварительного округления чисел.
Учитывая, что в лабораторных работах редко встречаются
числа, имеющие больше четырех значащих цифр, точность до вось-
ми цифр, получаемая на микрокалькуляторе, является излишней и
маскирует существование инструментальной погрешности и погреш-
ности отсчета.
Для того чтобы избежать иллюзорного впечатления о высокой
точности результата, полученного с помощью микрокалькулятора,
нужно посредством правил подсчета значащих цифр округлить ре-
зультат математических вычислений так, чтобы точность их со-
ответствовала точности данных, полученных от измерения.
§ 6. МЕТОД ПОДСЧЕТА ЦИФР
Метод подсчета цифр необходимо применять при выполнении
первых лабораторных работ в VII классе, где основное внимание
должно быть обращено на изучение физических явлений и правиль-
ность измерений физических величин. Этот метод можно применять
и тогда, когда качество приборов или метод проведения лабора-
торной работы не дает возможности вполне достоверно оценить по-
грешности измерения.
Например, во фронтальной работе «Изучение движения тела
по окружности под действием сил упругости и тяжести» вследствие
того, что ученик приводит в движение математический маятник,
держа нить двумя пальцами у точки подвеса, шарик движется не по
окружности, а по замкнутой кривой, траекторию которой можно сфо-
тографировать. Или в работе практикума «Исследование зависимос-
ти мощности на валу электродвигателя от нагрузки» (двигатель с
ленточным тормозом) двигатель при вращении значительную часть
своей энергии затрачивает на счетчик.
Метод подсчета цифр применяют и тогда, когда время, пре-
доставленное на лабораторную работу, недостаточно для проведе-
ния строгого учета погрешностей, а также в тех случаях, когда по
смыслу работы строгого учета погрешностей не требуется. Так,
в работе «Измерение ускорения тела при равноускоренном движе-
нии» учет погрешностей не может быть выполнен из-за недос-
татка времени, а в работе «Изучение закона сохранения импульса
при соударении двух тел» учет погрешностей нецелесообразен из-за
сложности расчета.
Метод подсчета цифр состоит в следующем: результаты из-
мерений выражают так, чтобы в приближенном числе все цифры
были верными и только лишь последняя — сомнительной; все вычис-
ления выполняют по правилам приближенных вычислений; оконча-
23
тельную погрешность вычислений оценивают-двумя-тремя единица-
ми последнего разряда; снимаемые с мер и измерительных при-
боров результаты измерений должны иметь не менее двух цифр.
В школьной практике редко встречаются числа, имеющие более
четырех значащих цифр. Что же касается исследовательских ла-
бораторий, то при научных измерениях получают приближённые чис-
ла, имеющие до восьми значащих, цифр, а в исключительных случаях
и больше.
Пример 1. Лабораторная работа «Измерение объема тела»
(VII класс)
Требуется измерить объем бруска по его длине, ширине и вы-
соте. Пусть путем измерения штангенциркулем получены следующие
данные:
длина а=6,2 см
ширина Ь=4,4 см
высота с = 1,2 см.
Вычисляем площадь основания и объем тела, применяя прави-
ла действий над приближенными числами:
S=6,2 см X 4,4 см = 27,28 см2 = 27,3 см2,
17=27,3 см2Х1,2 см = 32,76 см3=33 см3.
П р и м е.р 2. Лабораторная работа «Измерение плотности
твердого тела» (VII класс)
Требуется определить плотность куска алюминия с помощью
весов и мензурки.
Получены следующие данные:
щ = 32 г -
У=12 см3.
Вычислим плотность образца:
P=V; Р = -|&=2>66 г/™3-2-7 г/см3-
V см
Табличные значения плотности р следующие:
алюминий — 2,70 г/см3; алюминий литой — 2,56 г/см3; алюминий
прокатный — 2,6 г/см3 — 2,7 г/см3. Абсолютная погрешность измере-
ния (2,66 — 2,56=0,10=0,1) не превышает 2—3 единицы последнего
разряда.
§ 7. ПРЯМЫЕ И КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ. ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ
АБСОЛЮТНЫХ И ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
При выполнении лабораторных работ значение физической ве-
личины определяют прямым или косвенным измерением.
Прямыми называют такие измерения, результат которых полу-
чают непосредственно с помощью меры или измерительного прибо-
ра; например, измерение длины тела производят измерительной ли-
нейкой; массы тела — на весах; объема твердого тела — мензур-
24
кой; скорости автомобиля — спидометром; ускорения движущегося
по наклонной плоскости шарика — акселерометром.
Косвенными называют такие измерения, которые дают резуль-
тат измеряемой величины с помощью вычислений по формулам, свя-
зывающим функциональной зависимостью искомую величину с вели-
чинами, полученными при прямых измерениях. Так, вычислить ско-
рость равномерно движущегося тела по пройденному пути, измерен-
ному линейкой, и времени его прохождения, измеренному с по-
мощью часов, можно по формуле:
S
~' t ’
плотность вещества тела вычисляют по массе тела, измеренной
на весах, и его объему, измеренному мензуркой, по формуле:
m
Р— у
Обрабатывая результаты измерений, бывает необходимо опре-
делять абсолютные и относительные погрешности. При этом руко-
водствуются следующими правилами:
Правило 1
При сложении приближенных величин абсолютные погрешности
складывают. Пусть, например,, при измерении двух стержней их
длины оказались соответственно равными:
/i =3,0 см±0,5 см;
/2 = 4,0 см ±0,5 см.
Произведем сложение длин стержней, приложив их друг к
другу поперечными сечениями (рис. 7).
Приближенная длина левого стержня заключена между 3,5 и
2,5 см, правого — между 4,5 и 3,5 см.
Истинная величина суммы заключена между 6 и 8 см.
25
Приближенное значение суммы равно:
/=6 см±8ем=7 см_
Абсолютная погрешность равна:
д/ = 8см-бсм=1 см
2
Общая длина стержней равна: 7 см + 1 см.
Проверим сложением:
.3,0 см+0,5 см
”’”4,0 см+0,5 см
7 см + 1 см
Относительная погрешность этой суммы равна отношению аб-
солютной погрешности к приближенному значению суммы:
д/оТн=4-^-100%~14%-
/ см
Правило 2
При вычитании приближенных величин абсолютные погреш-
ности складывают. Пусть, например, при измерении объема тела
мензуркой получены следующие данные:
начальный объем воды:
8,0 см3+0,5 см3;
конечный объем воды с телом:
13,0 см3+ 0,5 см3.
Найти объем тела (рис. 8).
Приближенные объемы заключены:
начальный — между 7,5 и 8,5 см3;
конечный — между 12,5 и 13,5 см3;
объем тела заключен между 4 и 6 см3.
Приближенное значение объема тела равно:
4 см3+6 см3смз
Абсолютная погрешность измерения объема тела равна:
6 см3—4 см3 t „з
---------=1 см .
2
Следовательно, объем тела равен 5 см3+1 см3.
Проверим это вычитанием:
_13,0 см3+ 0,5 см3
8,0 см3+ 0,5 см3
5,0 см3 + 1 см3 .
Относительная погрешность разности объемов равна отношению
абсолютной погрешности к приближенному значению этой раз-
ности:
1-^. 100% =20%.
Правило 3
При умножении приближенной величины на точное целое число
абсолютная погрешность увеличивается во столько же раз. Напри-
мер, при измерении длины стола масштабной линейкой линейка уло-
жилась по длине стола 5 раз, причем каждый раз мы отмечали от-
резок, равный 25,0 см±0,5 см.
Общая длина стола равна 5-(25,0 ,см±0,5 см)=125,0 см±
±2,5 см.
Абсолютная погрешность увеличилась в 5 раз, однако относи-
тельная погрешность не изменилась:
^•100% =2% и ^-100%=2%.
Разберем один пример из жизни (быль).
Врач, придя к больной, стал измерять пульс, взяв за промежуток
времени 5 с. Насчитав 5 биений, он заключил, что пульс нормаль-
ный, т. е. 60 биений за 1 мин. При этом врач допустил погреш-
ность + 1 биение. Следовательно, за 12 промежутков времени, т. е.
за 1 мин, он допустил погрешность +12 биений.
Это обнаружилось тогда, когда больная указала ему, что у
нее редкий пульс (брадикардия).
При вторичном измерении за промежуток в 1 мин он насчи-
тал 48 биении ^1 биение, в то Время как нормальный пульс —
1 мин 1 мин
(60—80) биений за 1 мин. Таким образом, знание погрешностей
необходимо и в медицине.
Правило 4
При делении приближенной величины на точное целое число
абсолютная погрешность уменьшается во столько же раз. Напри-
мер, для измерения массы одной капли воды было взвешено
100 капель, масса которых оказалась равной 8,35 г±0,02 г, откуда
масса одной капли равна:
8,35 г±о,О2_г=О О835 г ±0,0002 г.
100
Абсолютная погрешность уменьшается с увеличением числа
взвешенных капель, относительная >^е погрешность измерения оста-
ется прежней:
О.ССО2 .100%=02%.
0,0835 /0 /0
. В расчетные формулы часто входят некоторые постоянные ве-
личины, например число л, физические постоянные g=9,8 м/с ,
табличные данные рводы=0,99987 г/см3 при /=0°С и др.
27
Эти величины следует брать с такой погрешностью, чтобы
число значащих цифр в них было на единицу больше, чем число
значащих цифр в значениях измеренных величин. Таким образом
достигают того, что постоянные величины практически не вносят
погрешностей в результат измерений.
Табличные данные различных физических величин не всегда
даны с достаточным числом значащих цифр, соответствующих по-
грешности измерения. В этом случае за абсолютную погрешность
этих величин принимают пять единиц десятичного знака, идущего
за последней значащей цифрой. Например,- р = 7,8 г/см3,
Др=0,05 г/см3.
Правила нахождения погрешностей
для приближенных значений физических величин
— При сложении и вычитании их абсолютные погрешности скла-
дываются.
— При умножении и делении их относительные погрешности
складываются.
— При возведении их в степень и извлечении из них корня
относительные погрешности умножаются на показатель степени.
§ 8. МЕТОД ГРАНИЦ
Метод границ достаточно прост и обладает определенными
достоинствами.
Он основан на неравенствах, которые учащиеся проходят по
математике в младших классах, и подробно описан в этой книге.
Этот метод применяется тогда, когда невозможно получить
простую формулу для расчета относительной погрешности, определя-
ющей качество работы, например при изучении второго закона Нью-
тона на приборе по кинематике и динамике с движущейся
тележкой, где используются следующие формулы:
F=ma-, а=^-.
Во многих лабораторных работах, где доказывается равенство
некоторых величин, измеренных экспериментально, этот метод дает
возможность без нахождения погрешностей судить о качестве
работы по перекрытию, хотя бы частичному, диапазонов границ
значений измеряемой величины.
При сравнении результатов работы с табличными данными
вполне достаточно ограничиться диапазоном границ значений из-
меряемой величины, найденным этим методом, если внутри этого
диапазона находятся табличные данные. В этом случае также, мож-
но обойтись без нахождения погрешностей результатов измерений,
что упрощает математические расчеты.
При наличии микрокалькуляторов метод границ становится весь-
ма простым и нетрудоемким.
28
Согласно В. М. Брадису, метод границ является наилучшим по
строгости и доступности способом учета погрешностей. Основное
достоинство этого метода состоит в том, что он вполне доступен
учащимся по их математической подготовке, применим во всех без
исключения случаях вычислений с приближенными данными и дает
совершенно точные заключения о границах результатов измерений.
Метод границ — это один из основных методов приближенных
вычислений при косвенных измерениях.
При методе границ определяют два значения физической ве-
личины: одно заведомо меньше истинного, называемое нижней гра-
ницей величины (НГ), другое заведомо большее, называемое верх-
ней границей (ВГ). Между верхней и нижней границами находится
истинное значение искомой величины.
В этом случае за измеренное значение величины х принимают
среднее арифметическое значение ее верхней и нижней границы:
х=-А-(ВГ + НГ),
а за величину погрешности — полуразность этих границ
Дх=-1-(ВГ — НГ).
Результат измерений записывается в виде: х+Лх.
Нахождение границ при прямых измерениях. Рассмотрим два при-
мера.
Пример I. При взвешивании тела были получены следующие
результаты: при нагрузке чашки гирями общей массой 12 г пере-
вешивала чашка со взвешиваемым телом, а при нагрузке 13 г пере-
вешивала чашка с гирями. Следовательно,
12 г<х< 13 г.
Пример 2. При измерении длины бруска измерительной линей-
кой, когда один его конец совмещен с нулевой отметкой, а другой
находится между 25-й и 26-й отметками, нижней границей длины
бруска будет 25 мм, а верхней — 26 мм.
Рассмотрим правила нахождения границ при действиях над при-
ближенными числами.
Правила нахождения границ
Границы значений физической величины вычисляют как промежу-
точные результаты, т. е. с одной «запасной» цифрой. Пижнюю
границу округляют с недостатком, верхнюю — с избытком.
Правило нахождения границ суммы двух приближенных чисел
Даны два числа: 20,3 + 0,1 и 31,4+0,1. Для определения их сум-
мы находят НГ и ВГ.
Чтобы найти НГ суммы, надо найти сумму НГ слагаемых:
20,2+3.1,3 = 51,5.
29
Чтобы найти ВГ суммы, надо найти сумму ВГ слагаемых:
20,4 + 31,5 = 51,9.
Правило нахождения границ разности двух приближенных чисел
Даны два числа: 15,2+0,1 и 5,2+0,1. Для определения их раз-
ности находят НГ и ВГ.
Чтобы найти НГ разности двух чисел, надо взять НГ умень-
шаемого и вычесть ВГ вычитаемого:
15,1—5,3=9,8.
Чтобы получить ВГ разности, надо взять ВГ уменьшаемого и
вычесть НГ вычитаемого:
15,3—5,1 = 10,2.
. Правило нахождения границ произведения
Даны два числа: 2,3+0,1 и 3,4+0,1. Для определения их произ-
ведения находят НГ и ВГ.
Чтобы найти НГ произведения, надо найти произведение НГ
сомножителей:
, 2,2-3,3 = 7,26.
Чтобы найти ВГ произведения, надо найти произведение ВГ
сомножителей:
2,4-3,5=8,40.
Правило нахождения грсмиц частного
Даны два числа: 2,8+0,1 и 1,5+0,1. Для определения частного
от деления одного числа на другое надо найти НГ и ВГ частного.
Чтобы найти НГ частного двух чисел, надо взять НГ делимо-
го и разделить на ВГ делителя:
2,7:1,6= 1,687 «1,68.
Чтобы найти ВГ частного двух чисел, надо взять ВГ делимого
и разделить на НГ делителя:
2,9:1,4=2,071 «2,08.
Правило нахождения границ степени и квадратного корня
Например: (25,4+ 0,1)2 и у/21,2+0,1.
Чтобы получить НГ степени или корня с натуральным показа-
телем, надо возвести в эту степень НГ данного числа или из-
влечь корень этой степени из НГ данного числа:
25,32 = 640,09 « 640,0; ^/21?! « 4,5934 «4,593.
Чтобы получить ВГ степени или корня, надо возвести в эту
степень ВГ или извлечь корень этой степени из ВГ данного числа:
25,52=650,25 «650,3; ^h3« 4,6152 «4,616.
Ниже, в таблице, приведены формулы для определения нижней
формула НГ ВГ
а±Да (а± Да)± (Ь ± Д&) (а ± Да)—(fe ± Д&) (а±Да)-(£±Д£) а±Да &±Д6 (а±Да)'1 д/а± Да а —Да (а — Да)+(Ь — Д&) (а—Да)—(Ь + Д&) (а—Да) -(Ь — ЛЬ) а — Ла Ь + ЛЬ (а — Лау1 х/а — Ла а + Да (а+Да)+(Ь + ЛЬ) (а+Да)—(Ь — Л6) (а + Да) • (Ь-|-ДЬ) а-|-Да Ь — ЛЬ (а+Да)" у/а-|-Да
и верхней границ значений измеряемой величины, где а и Ь —'
приближенные числа, Ла и ЛЬ — соответствующие им погрешности.
Приведем примеры на нахождение границ при косвенных из-
мерениях.
Пример 1. Определение границ (НГ, ВГ) объема бруска, вы-
численного пр известным длинам его ребер
Пусть измерения штангенциркулем дали следующие результаты:
/1=20,30 мм±0,05 мм,
/2= 12,20 мм±0,05 мм,
/з=5,20 мм±0,05 мм. Л
Находим НГ и ВГ значений объема:
Гнг=20,25 ммХ 12,15 ммХ5,15 мм=1267 м3,
|/вг=20,35 мм X 12,25 мм X 5,25 мм = 1309 м3.
Пример 2. Определение плотности вещества посредством ве-
сов ручных (аптекарских) и измерительного цилиндра
Измерения дали следующие результаты:
масса тела т= 195,0 г±0,5 г,
объем тела Г=25,0 см3 ±0,5 см3.
Определяем НГ и ВГ плотности вещества:
pHr=^ Г3 = 7,627 -^=7,62 г/см3,
гнг 25,5 см3 см3
Рвг=‘9^ г3=7,980 ~=7,98 г/см3.
гвг 24,5 см3 см3
Истинное значение плотности находится между Рнг и Рвг:
7,62 г/см3<р<7,98 г/cm3, Ар=0,18 г/см3.
В итоге: р=7,8 г/см3+0,2 г/см3.
Примечание. Инструментальные погрешности весов и гирь
ввиду их незначительности по сравнению с погрешностью отсчета
не принимать во внимание. Инструментальную погрешность изме-
рительного цилиндра не учитываем, так как измеряется разность
объемов и при этом инструментальные погрешности компенсируются.
31
Правила вычисления погрешностей методом границ
Вычисляют верхнюю и нижнюю границы искомой величины как
промежуточные результаты, т. е. с одной запасной цифрой. Нижнюю
границу округляют с недостатком, верхнюю — с избытком.
— Приближенное значение искомой величины вычисляют как
полусумму значений, соответствующих верхней и нижней границам.
— Абсолютную погрешность вычисляют как полуразность зна-
чений, соответствующих верхней и нижней границам.
— Абсолютную погрешность округляют с избытком до одной зна-
чащей цифры, а приближенное значение измеряемой величины ок-
ругляют или уточняют так, чтобы сомнительная цифра его (послед-
няя) была в том же разряде, что и цифра погрешности.
— Если при округлении пришлось увеличить или уменьшить
приближенное значение, то на ту же величину следует увеличить
абсолютную погрешность. При этом границы интервала значений ис-
комой величины расширяются и она остается внутри этих границ.
— Относительную погрешность вычисляют как отношение полу-
разности к полусумме значений, соответствующих верхней и нижней
границам измеряемой величины, и выражают это отношение в про-
центах.
Рассмотрим'применение этого метода в лабораторной работе IX
класса «Измерение коэффициента трения скольжения», перед прове-
дением которой решается следующая задача:
Задача. Дубовый брусок тянули за прикрепленный к нему динамометр
равномерно по горизонтальной дубовой поверхности. Были получены следующие
данные: вес бруска с грузом, определенный с помощью динамометра, 1,5 Н + 0,1 Н,
сила тяги, показанная динамометром, 0,8 Н±0,1 Н.
Найдите коэффициент трения дерева по дереву и полученный результат срав-
ните с табличными данными (р. = 0,48).
. Коэффициент трения дерева зависит от его породы (например, трибометр сде-
лан из березы, ц = 0,25).
Решение. Находим коэффициент трения скольжения по гори-
зонтальной плоскости, учитывая равенство модулей веса тела и силы
реакции опоры:
. Н=^=0,53 (0,5(3)).
Вычисляем нижнюю и верхнюю границы приближенного значе-
ния коэффициента трения:.
Ннг=?ЯИ44 (0,4375);
- ^Br=~V- Нвг=туп«о,64 (0,64285714).
Примечание. В скобках указаны числа, полученные на
микрокалькуляторе.
Проверка: р.вг> рта6л> рнг=0,64 >0,48>0,44.
Находим приближенное значение коэффициента трения
32
НпРи«л=-|-(Р'вг+ Ннг)=0.54, а также абсолютную погрешность:
* Нвг—Инг * 0,64—0,44
Ар=---------, Ар=-^—«0,10.
f
Следовательно, коэффициент трения скольжения
И = Рприбл zt Ар
после округления принимает следующее значение:
р = 0,5+0,1,
а относительная погрешность измерения равна:
Ан — л.. —0,1-100 о/ _ол<у
СА|+отН- , Z-ipoTH - р £- /О -
Цприбл V,0
МЕТОДИЧЕСКАЯ РЕКОМЕНДАЦИЯ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Если в IX классе вводится учет погрешностей методом оцен-
ки результатов измерений (см. § 9), то задача решается следующим
образом.
Сначала определяют приближенное значение коэффициента тре-
ния скольжения:
_ _ 0,8__л со
Цприбл— » Нприбл — j g—v,0O.
Затем вычисляют относительную погрешность:
Аротн=^+^, ДИотн=^-+||=0,195-100%=20%.
Находят абсолютную погрешность
Ар — РприблАротн, Ар -— 0,53 • 0,195 «: 0,1.
Следовательно,
р = Рприбл + Ар, р = 0,5+ 0,1.
Определяют, находится ли табличное значение р в диапазоне
границ приближенного значения рприбл, полученного из опыта,
Рнг<Ртаб< рвг, 0,4 <0,48<0,6.
Отметим, что найденный здесь диапазон границ приближенного
значения (0,4<рприбл<0,6) совпадает с тем, который был получен
ранее методом границ, т. е. оба рассмотренных метода дают согласую-
щиеся друг с другом результаты.
Рассмотрим еще один пример.
Задача. При электролизе медного купороса были получены следующие ре-
зультаты:
масса катода до опыта mi =30 230 мг±5 мг;
масса катода после опыта тг = 30 430 мг±5 мг;
время измерения <=600 с±1 с;
среднее значение тока 1= 1,0 А ±0,1 А.
3 Заказ 22
33
Необходимо определить электрохимический эквивалент меди, его приближенное
значение, абсолютную и относительную погрешности отсчета.
Р е.ш е н и е. По первому закону Фарадея:
m — klt, откуда k
т mi—-ту
И
Подставляем числовые данные:
(30 435 — 30 225) г-10—3 210-10~3г
Ь = 2____________<-------—------------ = I
вг 599 с-0,99 А 593 Кл
= 0,355-ИГ3 г/Кл
(округляем результат с избытком и одной запасной цифрой);
(30 425 —30 235) г-10-3 190г-103
нг"~ 601 с-1,1 А 661 Кл —
=0,2874-10“3 г/Кл = 0,287-И) 3 г/Кл
0,3541-10“3 г/Кл =
(округляем результат с недостатком и одной запасной цифрой);
, feBr+feHr .__ (0,355 + 0,287)-10~3 г/Кл_
Кпрнбл— 2 — 2 —
=0,321 -10~3 г/Кл = 0,32-10"3 г/Кл
(отбрасываем запасную цифру, так как она не является знача-
щей) ;
ду, Д'0,355—0,287)-10~3 г/Кл.0,068• 10~3 г/Кл 034- 10“3 г/Кл
(при вычитании произошла «потеря точности»: уменьшаемое и вы-
читаемое имели по две значащие цифры и по одной запасной, а
разность имеет только две значащие цифры).
Окончательно получаем:
£=(0,321+0,034)-10"3 г/Кл=(0.32+ 0,035)-10 “3 г/Кл =
=(0,32+0,04)-10-3 г/Кл.
В этой работе над приближенными числами выполняются дей-
ствия 1 и 2 ступеней, вследствие этого нахождение погрешности
методом оценки результата является затруднительным для учащихся.
Ценность метода границ состоит также в том, что он дает
возможность проверки графическим способом равенства двух зна-
чений физической величины, полученных экспериментально.
Например, возьмем лабораторную работу «Изучение равнове-
сия тел под действием нескольких сил», для чего воспользуемся
следующими приборами: набор грузов по механике и рычаг.
Погрешность веса грузов примем равной 0,1 Н, так как, кро-
ме инструментальной погрешности,будем использовать округленные
значения их веса в ньютонах.
Пусть длины плеч рычага 1\ и /г измерены с погреш-
ностью до 0,5 см и получены следующие данные:
57 43
Масштаб
™ 2 нм f ус/i ед
Рис. 9
Г
для правой части рычага Ft=2 Н±0,1 Н, /1 = 20 см±0,5 см;
для левой части рычага Гг = 4 Н + 0,1 Н, /2=10 см + 0,5 см.
Вычислим НГ и ВГ для моментов сил, действующих на рычаг,
Fih = 1,9-19,5 = 37,05 =37 усл. ед. (НГ),
F-l\ =2.1 -20,5=43,05=43 усл. ед. (ВГ),
F2/2--3,9-9,0=35,1 =35 усл. ед. (НГ),
Г2/2=4,1 • 10,0 = 41,0 = 41 усл. ед. (ВГ).
Проверим графическим способом. Отложим на числовой оси
в масштабе: 2 мм=1 усл. ед. отрезки, соответствующие моментам
сил (НГ, ВГ), действующим на правую и левую части рычага.
Если их диапазоны (ВГ—НГ) перекрываются хотя бы частично, как
на рисунке 9, то работа выполнена правильно.
Этот метод проверки качества выполненной работы может
быть применен и в работе «Изучение закона сохранения механи-
ческой энергии» и др.
§ 9. МЕТОД ОЦЕНКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Метод оценки результатов измерений дает возможность быстро
определять границы абсолютных и относительных погрешностей, по-
лученных при измерении физических величин. Он основан на приме-
нении формул приближенных вычислений.
Ученикам IX класса выводы формул могут быть даны на эле-
ментарном уровне, а после прохождения элементов математи-
ческого анализа этот метод может быть обоснован с помощью
дифференциального исчисления.
В некоторых сложных случаях, когда необходимо применить
общий принцип нахождения абсолютной погрешности — вычисление
полного дифференциала функции нескольких независимых перемен-
ных—целесообразно использовать более простой метод границ.
Метод оценки результатов не только дает возможность оценить
качество работы, но и указывает точность прибора, необходи-
мую для измерения, а также определяет наилучший метод про-
ведения работы.
Зная границы абсолютной или относительной погрешности при-
ближенного значения физической величины, можно определить
верхнюю и нижнюю границы диапазона значений, между которы-
ми находится истинное значение искомой величины или табличные
данные.
Формулы для определения границ абсолютных и относительных
погрешностей приведены в таблице, где а, b — приближенные числа,
Да, АЬ — соответствующие им границы абсолютных погрешностей,
с — const.
35
№' п/п Алгебраическое выражение для приближенного значения величины х Абсолютная погрешность Ал Относительная погрешность А*отн
1 2 3 4 5 6 7 8 а-{-Ь а — b са а с ab а т ап у/а Да-|- Д6 Да-|-Д6 с Да Да с хДхотн » » Ах X » Аа АЬ а Ь Аа АЬ а Ъ Аа — п а Аа —t п а
1 Для первых четырех выражений удобнее рассчитывать абсолютную по- грешность, а затем с ее помощью — относительную; для последующих ' (5—8) проще сначала «определить относительную погрешность, а затем абсолютную.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Для того чтобы формулы, приводимые в таблице, воспринима-
лись учащимися правильно, следует дать выводы абсолютных и
относительных погрешностей функций.
Вывод формул для определения абсолютных и относительных
погрешностей при косвенных измерениях:
1. Пусть некоторая измеряемая величина является суммой двух
других приближенных величин а-\-Ь\
Тогда можно записать
А + А А = а + А а+b + А b.
Вычитая из Этого равенства предыдущее, получим
АЛ = Aa-f-Aft.
Разделив это равенство на первоначальное, будем иметь
дд — Аа+А&
ДЛГТОТН- , .
а + Ь
2. Пусть А = а—Ь. В связи с тем что а и b при измерении могут
иметь погрешности обоих знаков, абсолютная погрешность разности
также равна сумме абсолютных погрешностей измеряемых величин
АЛ — Aa+Aft,
дд — Ад+А&
а — b
36
3. Если A = ab, то аналогично предыдущему имеем:
А + АД = (аД-Ла) (ft Д- Aft);
АД-АЛ = ab Д- ft Ла Д- аЛЬ Д- ЛаЛЬ;
АД = ft Ла Д- аЛЬ Д- ЛаЛЬ.
Г
Разделив это равенство на начальное, получим
А л Да । Дй । ДаДб
отн — 7 Г <
a b ab
Последнее слагаемое является величиной второго порядка ма-
лости, поэтому им можно пренебречь.
Окончательно имеем:
4. Если
от" а 1 b
Д=—, то ДД-АД=^±^-.
Ь ’ 1 &4-Д6
Тогда АД fl + Afl а feAa — aAfe &Aa — aAfe
&+Д& b b(b + &b) b~-\-bt±b
Ввиду того что ft2 значительно превосходит ftAft, последним пре-
небрегаем и получаем следующий результат:
л •__ЬАа— аАЬ
~ Ь2
откуда находим
дд —Аа А&
а Ъ
Так как при измерении а и ft могут иметь место относительные
погрешности обоих знаков, то их не вычитают,- а складывают,
в итоге:
АДОТН=^+^.
а b
5. Если Д=ак, где п является целым или дробным числом,
то имеем Д Д- АД = (а Д- Aa)n=ar‘ Д- nar‘ ~1 Аа Д- п " 1 * ак ~ 2Аа2 Д-... .
Вычитая из последнего равенства первоначальное, получим:
АД = пак~|АаД-п^~1^ an~2-Aa2-|-... .
Учитывая, что каждый последующий член значительно меньше
первого члена, следует пренебречь этими последующими членами:
АД = паг‘~1 Ла, АДОТИ=п —.
а
В частности, если Д = а2, то АДОТН=2 —; если А = а3, то АДитн =
а
= 3 —; если А=л[а, то АДОТН=— —.
.а 2 а
I
37
Знакомство учеников с выводами формул производится в зави-
симости от их математической подготовки в IX—X классах.
Правила применения метода оценки результатов измерений
— При сложении или вычитании измеряемых физических величин
по формулам находят абсолютные погрешности измерения; при ум-
ножении, делении, возвышении в степень и извлечении корня —
относительные погрешности.
— Для каждой физической величины, измеренной косвенным ме-
тодом, находят обе погрешности (абсолютную и относительную).
. — Определяют диапазон границ приближенного значения изме-
ряемой величины (НГ, ВГ) и проверяют, находятся ли табличные
данные этой физической величины в диапазоне границ.
Последний пункт выполняется, если имеются табличные данные.
Продемонстрируем применение метода оценки результатов
измерений на примере лабораторной работы в IX классе «Измерение
ускорения свободного падения тела» (практикум), которой предпос-
лана следующая задача.
Задача. При проведении опыта по определению ускорения свободного паде-
ния с помощью линейки-маятника были получены следующие данные: расстояние
между двумя засечками на линейке s=75,0 см+ 0,5 см; число ее колебаний п
из одного крайнего положения в другое равно 39; время, затраченное на эти коле-
бания, <=30 с±1 с. Найдите ускорение свободного падения и проведите проверку
результата.
Решение. Находим приближенное значение g:
_ 2s
& прибл / / \ 2 ’
^=(ЙЖ?-1°-14 м/е’ОО. 14).
Определяем относительную погрешность:
AgoTH==(l_l+^).ioo%~8% (7,(3)).
Находим абсолютную погрешность:
Ag = gnpn&iAgoTH, Ag= 10,14-0,08-^-=0,81 -g- (0,8112).
Далее проверяем, находится ли табличное значение £табл для данной
местности в диапазоне границ приближенного значения, найденного
из опыта:
gnрибл Ag < gтабл < gпрнбл Ag,
9,33 -^<9,815-^- (для Москвы) <10,95-jy.
Таким образом, совпадение результатов измерения с табличным
значением ускорения g имеется, но точность данного эксперимента
невысокая.
38
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Если в IX классе применяется метод границ, то решение пре-
дыдущей задачи проводится следующим образом.
Сначала находим по формуле приближенное значение ускоре-
ния g:
_____ 2s _ 2 • 0,75 м 10 1/1 /2
£прИбл—£прибл— (30 с/78)2 — 16,14 м/с .
Определяем нижнюю границу приближенного значения ускоре-
ния g:
__ 2 (0,75 -0,005) м
&нг (30 с-ы су
9,43 4.
с
Определяем верхнюю границу приближенного значения ускоре-
ния g:
„ — 2 (0.75 + 0,005) м — 1 л <49 м/с2
30 с—1 с
78
Следовательно, имеем:
9,43 м/с2 <9,81 м/с2 <10,92 м/с2.
Далее находим абсолютную погрешность измерения:
Ag__gBr~gHr , Ag— 10,92 м/с2~9-'43 м/с-—0,75 м/с2
2 2
Вычисляем относительную погрешность:
д£°™=8%.
Таким образом, мы еще раз убеждаемся в том, что результаты
обоих методов согласуются друг с другом.
Применение метода оценки результатов измерений для предва-
рительного анализа точности измерений. Рассмотрим пример.
Определяя удельное сопротивление р проводника и имея для
этого реохорд, амперметр, вольтметр, рулетку, микрометр и аккуму-
ляторы, мы получили следующие результаты:
£/=3,0 В + 0,1 В, /=0,50 А + 0,05 А,
/ = 100,0 см+0,5 см, £)=0,30 мм+0,01 мм.
Какая точность измерения удельного сопротивления р при этом
нами достигнута?
Для вычисления р и Аротн сначала находим приближенное зна-
чение удельного сопротивления проводника:
-£L d—SL
S’” I
и
лР2
4
39
откуда <•
t/nD2
Р— 4// ’
а затем границу относительной погрешности по формуле:
АС/ . А/ 2AD . А/
и “Г / D “Г I ’
Здесь:
АС/_0,1__о о/ .
А/ 0,05 1 ло/.
А/ 0,5 нго/.
~Г~ юо-Щ)/с”
" 2AD _ 2-0,01 _7О/
D 0,30 /о ’
Анализируя полученные отдельные относительные погрешности,
определяем, что с наибольшей тщательностью должны быть изме-
рены сила тока и диаметр проволоки. Если измерение длины прово-
локи производить с погрешностью отсчета в 1 см, то упростятся
математические вычисления, а точность результата измерения не
уменьшится, так как
Погрешности косвенных измерений зависят от вида функции,
определяющей искомую величину, и от погрешностей прямых изме-
рений тех величин, которые входят в эту функцию.
Согласно теории погрешностей, вклад каждой погрешности в
общую погрешность результата измерения очень быстро падает с
уменьшением величины отдельной погрешности.
Следовательно, если нужно повысить точность измерения конеч-
ного результата, то необходимо уменьшить ту погрешность измере-
ния, которая является наибольшей.
Для этого необходимо применить при измерении физической
величины, дающей наибольшую погрешность, меру или измеритель-
ный прибор большей точности или использовать более совершенный
метод измерения.
Рассмотрим еще один пример.
При определении количества теплоты, полученной при нагрева-
нии воды, были получены следующие результаты:
т = 200 г+1 г; / = 50°С+1 °C.
Взвешивание произведено настольными весами. Температура из-
мерена ртутным лабораторным термометром.
Вычисляем количество теплоты по формуле: Q==mct, а относи-
тельную погрешность измерения по формуле:
AQoth=A!L+^Lj
т I
AQOTH=^+^=0,5% +2,0% «2%.
40
Для упрощения расчетов наименьшую относительную погреш-
ность можно не принимать во внимание в том случае, если ее ве-
личина не превышает 1/3 наибольшей относительной погрешности,
так как она на результат измерения не повлияет.
При значительном числе слагаемых пренебрегать малымй от-
носительными погрешностями не рекомендуется.
Для уменьшения наибольшей погрешности применяют более
точный прибор.
Если, например, измерять .температуру термометром ценой
деления 0,2 °C, то получится следующий результат:
/=50,2 °С+0,2 °C, AQoth=A_+^=0,5% +0,4% =0,9%.
. Следовательно, уменьшится относительная погрешность.
Для косвенных измерений целесообразно проводить работу так,
чтобы относительные погрешности прямых измерений, входящих в
формулу для общей относительной погрешности косвенного измере-
ния, по возможности мало отличались друг от друга.
В этой связи полезна таблица для определения числа зна-
чащих цифр приближенного числа в зависимости от границы отно-
сительной погрешности.
Первая значащая цифра числа Число значащих цифр в приближенном числе при относительной погрешности
10 1 0.1 0,01
1—3 2 3 4 5.
4—9 1 2 3 4
Число с одной значащей цифрой брать не рекомендуется, так
как будет велика относительная погрешность, что неблагоприят-
но скажется на результате косвенного измерения.
Вполне достаточно использовать две или три значащие цифры
для числовых значений прямых измерений, так как они дают воз-
можность применять логарифмическую линейку и удовлетворяют
практическим требованиям.
Рассмотрим пример.
При определении плотности вещества деревянного бруска его
линейные размеры определили измерительной линейкой, а массу —
на технических весах и получили следующие результаты:
о = 52 мм+1 мм, Atz0TH = 2%; b = 35 мм+1 мм, Д£>отн = 3%;
с== 15 мм + 1 мм, Дсотн==7%; ш = 20 г+1 г, Дтот„ = 5%.
Значительный разброс относительных погрешностей вызван тем,
что для всех измерений было взято .одно и то же число значащих
цифр.
41
§ 10. МЕТОД СРЕДНЕГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ
Повторяя несколько раз измерения одной и той же неизменной
физической величины в одинаковых условиях с одинаковой тщатель-
ностью, мы получаем несколько числовых значений измеряемой
величины, которые большей частью отличаются друг от друга.
Стремясь приблизиться к истинному значению измеряемой ве-
личины, вычисляем ее среднее арифметическое значение. Чем боль-
ше сделано измерений физической величины, тем меньше погреш-
ность измерения (подробнее об этом см. в гл. 3).
Метод среднего арифметического значения применяется при
прямых измерениях, когда собственная погрешность прибора меньше
погрешности отсчета.
В косвенных измерениях также применяется этот метод для
компонентов прямых измерений.
Рассмотрим применение метода среднего арифметического значе-
ния при прямых измерениях.
Прямые измерения. На точность результатов измерения могут
оказать влияние не только свойства средств измерения (инстру-
ментальная погрешность и т. д.), но и особенности измеряемого
физического тела. Например, толщина проволоки может быть раз-
личной на протяжении ее длины, вследствие чего необходимо не
ограничиваться одним измерением, а проделать несколько измерений
в различных местах проволоки.
Если вариации результатов измерений превышают погрешности,
которые можно ожидать при применении данных средств и методов
измерений, то результат измерения и величину допущенной погреш-
ности определяют методом среднего арифметического значения.
Пусть при многократных измерениях толщины проволоки мик-
рометром были получены следующие результаты:
2,35, 2,29, 2,30, 2,37 и 2,39 мм.
(Основная погрешность микрометра равна 0,005 мм.)
Находим среднее арифметическое значение результатов всех из-
мерений (среднее значение величины):
2,35 мм + 2,29 мм-|-2,30 мм+2,37 мм-р2,39 мм 2 34 ММ
5
Находим отклонения результатов отдельных измерений от сред-
него арифметического значения (см. таблицу).
Среднее значение диаметра проволоки, мм Значения диаметра проволоки, полученные при отдельных измерениях, мм Отклонение результатов измерения от среднего значения, мм
2,35 — 0,01
2,29 0,05
2,34 2,30 0,04
2,37 —0,03
2,39 —0,05
42
Вычисляем среднюю абсолютную погрешность из отклонений
отдельных измерений, взятых по абсолютной величине:
0,01 + 0.05 + 0,04 + 0.03 + 0,05 _ Q 036^0 04
( 5 ’ ’
Следовательно, диаметр Z) = 2,34 мм ±0,04 мм. Средняя отно-
сительная погрешность результата определяется отношением сред-
ней абсолютной погрешности к среднему значению величины:
-|g-«0,02, или 2%.
С увеличением числа измерений погрешность среднего арифмети-
ческого значения уменьшается, а поэтому измерения можно проде-
лывать до тех пор, пока погрешность среднего арифметического
значения не станет равной погрешности прибора.
Если в процессе многократных измерений измерительный прибор
дает одни и те же показания, то многократность измерений теряет
смысл; достаточно провести измерение один раз. Это происходит в
том случае, если инструментальная погрешность прибора будет боль-
ше погрешностей отдельных измерений. За максимальную абсолют-
ную погрешность измерения в этом случае принимают инструмен-
тальную (допускаемую) погрешность измерительного прибора или
цену деления шкалы. Например, при измерении диаметра шара штан-
генциркулем в различных местах было получено единое номиналь-
ное значение DHom = 12,5 мм. Инструментальная (допускаемая) по-
грешность штангенциркуля Дн = 0,1 мм. Результат измерения записы-
вают так: D= 12,5 мм ±0,1 мм.
Правила вычисления погрешностей методом
среднего арифметического значения
— Измерения одной и той же неизменной величины производят
многократно при одних и тех же условиях.
— Все измерения производят с одной и той же погрешностью
отсчета.
— Находят среднее арифметическое значение результатов всех
измерений (среднее значение величины).
— .Вычисляют среднее арифметическое значение модулей от-
клонений результатов отдельных измерений от среднего значения
величины, т. е. среднюю абсолютную погрешность.
— Определяют относительную погрешность.
— Этот метод применяют тогда, когда расхождение резуль-
татов отдельных измерений превышает погрешность отсчета каждого
из измерений и допускаемую инструментальную погрешность.
— Точность приближенного значения искомой величины может
быть значительной, в зависимости от числа повторных измерений,
но практически вполне достаточно провести столько повторений
измерений, чтобы погрешность среднего арифметического значения
приблизилась к инструментальной допускаемой погрешности или бы-
ла доведена до погрешности отсчета отдельного измерения.
43
— Если при повторных измерениях получается один и тот же
результат, то за погрешность измерения принимают инструмен-
тальную допускаемую погрешность меры или измерительного при-
бора.
Рассмотрим применение этого метода в лабораторной работе
IX класса (практикум) «Изучение движения тела под действием
силы тяжести», т. е. изучим движение тела, брошенного горизон-
тально, вертикально и под углом к горизонту (а=30°, 45°, 60°, 90°).
Сначала решим следующую задачу.
Задача. Перемещение (дальность полета) снаряда для трех выстрелов при
вылете из пружинного пистолета под углом 45° составляет 105 см, 108 см, 102 см.
Все измерения являются равноценными, так как объект измерения и условия опыта
не менялись. Определите приближенное значение дальности полета снаряда и
абсолютную погрешность, методом среднего арифметического значения; начальную
скорость и высоту наибольшего подъема снаряда. По дальности полета Z45< и ее
погрешности выведите формулы для дальности Z30o, Z60» и AZ30-, AZ^o, а также высоту
подъема Zt90° и ее погрешность Aftg0<.
Решение. Находим среднее арифметическое значение резуль-
татов трех измерений:
„ $ 1 + Sg + S3Sc
• ^ср-- ,
п
„ 105 см-1-108 см+102 см 1Пг-
Scp =------—-----!-----=105 СМ.
Вычисляем отклонения значений отдельных измерений перемеще-
ния от его среднего значения:
Sep — S1 = 0 см,
Sep — S2 = 4-3 CM,
Sep ' S3 — 3 CM.
Определяем среднюю абсолютную погрешность отдельных измере-
ний, т. е. среднее арифметическое значение отклонений, взятых
по абсолютной величине:
д<. _Asi Asg-p Ass-p... -|- Asn
с₽ п '
\ _0-1-3 смЧ-3 см о
Ascp=—L----—J----— 2 см.
о
Тогда истинное значение перемещения находится в границах:
s = scp + Ascp, s=105 см + 2 см. (1)
Относительная погрешность равна:
Д5отн=-^в-, Д5ота=-^-100% = 1,9%«2%.
scp I Оо см
При определении начальной скорости снаряда и наибольшей высо-
ты его подъема исходим из следующих основных формул:
sx=VQt cos а,
(2)
44
Sy= Vot sin a—, (3)
Vy = v0 sin a — gt. (4)
Из этих формул получаем следующие результаты:
время подъема снаряда /— DoS^n (из условия: t>j,=O), (5)
наибольшая дальность полета (время движения равно 2t)
у'о • 2 sin a cos a
наибольшая высота подъема /г — Vo $|П а . /71
Для угла, равного 45°, дальность полета /45о и ее погрешность
Д/45о были определены выше методом среднего арифметического
значения из опыта.
Начальную скорость снаряда находим по формуле (6):
g. (8)
Наибольшую высоту полета вычисляем по формуле (7):
Ее погрешность задается формулой Д/г45»=-^^. Используя ре-
зультаты измерения (1), находим /i45«=26 см; Д/г45о=0,5 см.
Аналогично при вылете снаряда под углом, равным 90°, вы-
числяем высоту подъема и ее погрешность по формулам:
h д/г
“90°— 2 ’ £S'l90*’— 2
В результате получаем:
/г9(Г=52 см, Д/г90»=1 см.
Для углов, равных 30° и 60°, дальность полета и ее погрешность
вычисляются по таким формулам:
/ _ УЗ-/45° д/ —2^ Л/
130°. 60° 2 ’ 60°— 2 £Л145°-
Находим: /30о>60о=89 см, Д/30о 60„= 1,7 см.
Контрольное задание
Зная высоту h расположения пистолета над столом и даль-
ность полета /45. снаряда, получите формулу l0=-^2hl45<, для горизон-
тальной стрельбы. i ,
Проверьте на опыте справедливость соотношений: /i4S-=—,
kh45°~~~^~ • Для этого установите на штативе в вертикальном поло-
45
жении кольцо так, чтобы центр его был на высоте, равной наи-
большей высоте подъема снаряда. Затем поместите стержень шта-
тива на середине расстояния, которое пролетел снаряд при стрельбе
под- углом 45°, и произведите выстрел в кольцо под этим углом.
Если снаряд пролетел через кольцо, то работа сделана пра-
вильно.
Проверьте на опыте правильность расчета величин:
h — 45 - А А —_ .
мУ0° — 2 ’ — 2
На расчетной высоте укрепите, в штативе горизонтальное кольцо
и расположите его над пистолетом. На кольцо положите лист бумаги.
Передвигая кольцо вверх и вниз, добейтесь того, чтобы снаряд
при выстреле коснулся бумаги. Измерьте действительную высоту
подъема снаряда и сравните ее с расчетной /i9(r.
Проверьте на опыте правильность расчета величин:
/ _у/3/ а/ ________~уЗд ।
*30°, GO' 2 45°’ “'30°. 60°— 2 '45°‘
Установите на соответствующую дальность полета препятствие
(например, брусок) и понаблюдайте за попаданием.в него снаряда.
Произведите по три выстрела для каждого угла стрельбы.
По диапазону погрешностей можно рассчитать вероятность по-
паданий снаряда методом статистического учета погрешностей.
Косвенные измерения. При косвенных измерениях необходимо
знать: многократные измерения физической величины производятся
при изменяющихся условиях или при постоянных.
Рассмотрим косвенные измерения, проводимые при постоянных
условиях опыта. При таких измерениях необходимо соблюдать сле-
дующие рекомендации:
1. Для компонент, получаемых из прямых измерений и входящих
в формулу какой-либо величины, измеряемой косвенным образом,
вычисление среднего арифметического производится в обязатель-
ном порядке, если данные многократных измерений значительно от-
личаются друг от друга.
2. Общая погрешность результатов измерения находится по
формулам метода оценки результатов измерений.
Задача. Для бруска, ребра которого измерены штангенциркулем, а масса —
на учебных весах, кажДое измерение повторено три раза.
Получены следующие данные:
№ Длина, мм Ширина, мм Высота, мм Масса, г
1 85,1 35,4 48,7 395,6
2 85,3 35,6 48,5 395,8
3 85,2 35,2 48,6 395,4
жср 85,2 35,4 48,6 395,6
46
Определите плотность бруска.
Решение. Определяем средние абсолютные погрешности для
ребер бруска и массы:
Г № Да |а — а\ до |К-Ы Дс -ci . Лт |m —т|
1 0,1 0,0 0,1 0,0
2 0,1 0,2 0,1 0,2
3 0,0 0,2 0,0 0,2
0,066 0,13 0,066 0,13
Определяем средние относительные погрешности для ребер и массы:
Да а Д6 ь Дс с Дт т
0,00077 0,00367 0,00267 0,00033
Примечание. Для вычисления относительной погрешности
применяется следующая формула:
д _____ Аа । А£> . Ас . Ат
Оротн — ”1 7 -
а Ь с т
Таким образом, общая относительная погрешность измерения
равна: 0,00077 + 0,00367 ± 0,00267 ± 0,00033 = 0,00747 « 0,75% « 1 %.
Вычисляем среднее значение объема бруска:
V—abc, V= 146,6 см3.
Находим приближенное значение плотности вещества бруска
~ т 395,6 г л /?<-> / з
О — , Р=Т7Т±--<5=2,69 Г/СМ .
1 V 146,6 см3
Определяем абсолютную погрешность измерения:
Др = 2,69 0,0075 = 0,02 г/см3.
‘ см3 '
Следовательно, имеем:
р =(2,69±0,02)
Теперь рассмотрим косвенные измерения, проводимые при
изменяющихся условиях опыта.
При проверке закона Ома, закона Гука или при определении
коэффициента трения, где функциональная зависимость выражается
прямой пропорциональностью, пользоваться средним арифметичес-
47
ким значением для нахождения измеряемой физической величины
не рекомендуется, если условия опыта меняются и измерения имеют
различные погрешности, т. е. надежность их не одинакова.
Пусть, например, при определении коэффициента трения сколь-
жения дерева по дереву получены следующие данные:
№ опыта Р. н г,Р. н м
1 5 2,5 0,5
2 2 1 0,5
3 1 0,5 0.5
Для всех косвенных измерений получен одинаковый резуль-
тат — 0,5, однако предельная относительная погрешность каждого
числа 0,5 различна. Следовательно, различна ценность каждого из-
мерения.
Подсчитаем относительные погрешности для каждого случая по
формуле:
Пусть &P=&F=0,1 Н. Тогда
Дцютн = ^-+0,02+0,04 = 0,06,
Дрготн=-у-+ Y= °’05 + °’1 = °-15-
Дцзо™=-2р-+^=0,1 +0,2 = 0,3.
I 0,0
Следовательно:
pi =0,5 + 0,03,
Ц2=0,5+0,075,
рз = 0,5 + 0,15.
Итак, эти три числа 0,5 (результаты косвенных измерений) не
заслуживают одинакового доверия. Точность последнего измерения
наихудшая.
В таких случаях целесообразно применять графические мето-
ды: метод наименьших квадратов, опирающийся на дифференциаль-
ное исчисление; метод интерполирующих прямых. Первый метод яв-
ляется сложным для учащихся средней школы, и поэтому мы оста-
новимся на втором.
Метод интерполирующих прямых. Графический метод дает воз-
можность наглядно представить функциональную зависимость фи-
зических величин и, кроме того, отражает погрешности данных,
полученных при измерении.
Функция y=f (х) может изображаться прямой или кривой лини-
ей, поэтому п()и построении графика необходимо уяснить вид этой
функции и характер ее графика.
.48
В физике наиболее распространена линейная зависимость,
которая графически изображается прямой линией.
Для построения графика измеряем на опыте несколько зна-
чений величин х и у. Строим соответствующие им точки с ука-
занием их погрешностей, а затем «на глаз» проводим интерполи-
рующую прямую так, чтобы она проходила как можно ближе к
точкам (рис. 10). После этого можно определить ее наклон.
Графический метод не вызывает затруднений у учащихся, так
как они уже знакомы с графиками изменения температуры при
нагревании жидкости в младших классах.
Аналогичное построение можно использовать в лабораторной
работе «Измерение жесткости пружины». Здесь отношение соответ-
ствующих координат х и у наиболее удаленной точки прямой (что-
бы уменьшить погрешность) определяет наклон прямой, т. е.
жесткость пружины.
Существенную роль играет этот метод в лабораторных работах.
Так, в лабораторной работе практикума за IX класс «Исследование
зависимости мощности на валу электродвигателя от нагрузки» уча-
щийся находит оптимальную нагрузку электродвигателя исключи-
тельно по графику. Полученные знания он может применить на
производстве. В лабораторной работе «Изучение одного из изопро-
цессов» при изучении закона Бойля — Мариотта вычисление погреш-
ностей нецелесообразно. Однако график в прямоугольной-системе ко-
ординат даст ученику наглядное представление о характере этого
изопроцесса.
Рис. ю
Глава 2.
ОПИСАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ МЕР,
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ
И УЧЕТА ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
В ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТАХ
§ 11. МЕТОДЫ УЧЕТА
ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Средствами измерения служат меры и измерительные приборы.
Мерой называют тело или устройство, служащее для измерений и
воспроизводящее одно или несколько значений данной физической
величины. Камерам относятся линейка с делениями, рулетка, мен-
зурка, гири, катушка электрического сопротивления и т. д.
Совокупность мер с целесообразным выбором ряда значений
может быть объединена в виде набора мер, например набор гирь,
набор измерительных конденсаторов, или в виде магазина мер, на-
пример магазин сопротивлений, магазин индуктивности.
Измерительные приборы — это устройства, состоящие из узлов
и деталей, воспринимающие измеряемую величину и преобразую-
щие ее в показания. Примерами измерительных приборов являются
штангенциркуль, микрометр, весы, термометр, амперметр.
В процессе измерений возникают так называемые инструмен-
тальные погрешности, которые обусловлены неточностью изготовле-
ния мер и измерительных приборов.
Погрешности мер и приборов, свойственные им при нормаль-
ных условиях (температура окружающей среды 20 °C, атмосфер-
ное давление 1,013-105 Па (760 мм рт. ст.), влажность до 80%),
называют основными.
Наибольшая погрешность мер и измерительных приборов при нор-
мальных условиях, которую разрешается допускать при их изго-
товлении, называется допускаемой основной погрешностью или
просто допускаемой погрешностью.
В зависимости от допускаемой погрешности рабочие меры
(измерительные приборы) делятся на классы точности. Единого прин-
ципа деления на классы точности не существует. Школьные при-
боры класса точности не имеют.
Допускаемые погрешности нормируются государственными стан-
дартами. Они, как правило, имеют двойной знак (±).
Фактическая же погрешность, получаемая сравнением данной
рабочей меры (измерительного прибора) с соответствующей образ-
цовой мерой (измерительным прибором) при нормальных условиях,
может быть как положительной, так и отрицательной, а в редких
случаях даже равной нулю.
В школьных условиях образцовых средств измерения не приме-
няют и поэтому руководствуются допускаемой погрешностью, указы-
50
ваемой в аттестате или описании прибора, в каталоге или государ-
ственном стандарте.
Если допускаемая погрешность Д„ близка или больше погреш-
ности отсчета До данной меры (измерительного прибора), то ее
следует прибавлять к погрешности отсчета Д=ДО + ДИ-
Инструментальную погрешность мер (измерительных приборов)
для сравнительно небольших диапазонов измерений можно считать
постоянной. Поэтому при определении разности двух значений физи-
ческой величины (разности температур, объемов и т. д.) она не
учитывается.
Примечание. На заводах, производящих меры и измеритель-
ные приборы, фактическая погрешность мер и измерительных прибо-
ров носит случайный характер и подчиняется законам случайно-
го, согласно которым вероятность появления больших погрешностей
значительно меньше, чем малых.
Допускаемая инструментальная погрешность является макси-
мальной, и вероятность возникновения ее. очень незначительна.
Поэтому погрешность инструментальная реально может быть мень-
ше допускаемой инструментальной погрешности. Например, ампер-
метр «Школьный» с ценой деления 0,1 А может быть приравнен
к 4-му классу. Он имеет допускаемую погрешность 0,08 А. За
инструментальную погрешность вполне можно взять половину цены
деления, т. е. 0,05 А. х
Для большинства школьных измерительных приборов за по-
грешность инструментальную можно принимать половину цены де-
ления, в некоторых случаях (секундомер, барометр-анероид) целую
цену деления.
Например, при измерении силы тока школьным амперметром
получено 7=1,2 А; так как Д/о=О,О5 А, Д/и=0,05 А, то результат
измерения силы тока нужно записать так: 7=1,2 А±0,1 А.
Некоторые измерительные меры (измерительные приборы) имеют
очень незначительную допускаемую погрешность. Если она гораздо
меньше погрешности отсчета, ею можно пренебречь (см. таблицу
и § 17—27).
Таблица
Измерительный прибор
Допускаемая погрешность
Стальная линейка (рулетка).
Сантиметровая лента
Метроном
Весы ученические
Набор гирь к ним
zbO,l мм
Ч~~3 мм
±1,5%
4-й класс точности*
4-й класс точности
* Для каждого вида мер или измерительных приборов устанавливается ряд
классов точности и им присваиваются те или иные обозначения: номера, числа,
буквы и т. д. Способы выражения допускаемых погрешностей (интервалы точ-
ности) и способы обозначения классов точности весьма разнообразны.
ы„гтпументальные погрешности зависят от устройства, принципа
"ИЯ и других свойств применяемых средств измерения.
деИр™ссмотрим некоторые примеры погрешностей, присущих от-
дельным приборам. Равноплечие весов не может быть идеальным,
и устранить неравенство плеч весов полностью невозможно. Гири
обладают тем или иным объемом в зависимости от материала, из
которого они изготовлены. Сила, с которой гиря давит на чашку
весов, меньше ее истинного веса н& вес вытесненного воздуха
(закон Архимеда).
Одним из характерных источников погрешностей, присущих всем
приборам, которые имеют подвижные части, является свобода сме-
щения этих частей. Это обусловлено необходимостью уменьшения
трения между отдельными частями механизма прибора.
В зависимости от характера такой свободы смещения, а также
от традицийв той или иной отрасли приборостроения ее называют
«люфтом», «зазором», «мертвым, свободным или холостым ходом»
и т. д.
Уменьшение свободы смещения влечет за собой увеличение
трения, которое может оказаться источником значительных погреш-
ностей. Например, уменьшение зазора между осями подвижной части
измерительного прибора и опорами приводит к увеличению трения
между ними.
Инструментальные погрешности могут возникать вследствие не-
совершенства или неправильной технологии изготовления приборов.
Например, все измерительные приборы и многозначные меры имеют
шкалу, и им в большей или меньшей степени присуща погреш-
ность, возникающая в результате неточности нанесения отметок шка-
лы, или погрешность градуировки. Также эти погрешности мо-
гут возникать из-за износа или старения. Типичным примером яв-
ляются гири.
Их износ всегда идет в одном направлении — постепенно
уменьшается их масса. Характер износа гирь заставляет изго-
товлять их с положительным запасом массы. Масса новой гири
больше номинальной в пределах, допускаемых для данного класса
гирь.
Можно привести пример на старение манганина, который
обладает большим удельным электрическим сопротивлением и не-
значительным температурным коэффициентом сопротивления, но с
течением времени его сопротивление, хотя и медленно, но изме-
няется.
Существенной характеристикой измерительных приборов являет-
ся их чувствительность. Чувствительностью измерительного прибора
считается его способность реагировать на изменения измеряемой ве-
личины.
Качественно чувствительность оценивается отношением измене-
ния положения указателя относительно шкалы (выраженной в ли-
нейных или угловых единицах) к вызвавшему его изменению изме-
ряемой величины.
52
§ 12. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ЛИНЕЙКИ
Линейка ученическая. Линейка с миллиметровыми делениями
длиной 35—50 см (деревянная или пластмассовая), имеющая допу-
скаемое отклонение ±0,1 мм на 100 мм накатанной части, назы-
вается ученической. Ширина штриха 0,08—0,15 мм. Допускаемая
погрешность ± 1 мм.
Для проверки правильности интервалов линейки берут лист
бумаги и хорошо заточенным твердым карандашом четко и тонко
отмечают две точки на расстоянии 15—20 тем друг от друга. Рас-
стояния между этими точками измеряют несколько раз возможно
более точно линейкой, при этом левый конец отрезка каждый раз
помещают против различных отметок линейки. Если результаты
измерений совпадут, то интервалы между делениями на линейке оди-
наковы.
Линейка чертежная. Деревянная линейка с треугольной или тра-
пециевидной формой поперечного сечения называется чертежной.
Линейки имеют длину 200, 250 и 300 мм. Деления нанесены
через 1 мм на наклонных краях линейки, вследствие чего погреш-
ность на параллакс незначительна, и тем самым достигается большая
точность измерений. Инструментальная погрешность линейки дости-
гает 0,1—0,2 мм.
Ученические и чертежные линейки государственными стандарта-
ми не нормируются.
Линейка стальная (производственная). На такой линейке де-
ления нанесены через 1 мм. Допускаемая погрешность нормируется
стандартом:
до 300 мм составляет ±0,1 мм,
до 500 мм » ±0,15 мм,
до 1000 мм » ±0,2 мм.
При измерении измерительной (масштабной) линейкой и сталь-
ной линейкой с точностью до 1 мм инструментальной погреш-
ностью можно пренебречь. При оценке десятых долей деления на
глаз инструментальную погрешность линеек необходимо учитывать.
Правила пользования линейкой
— Линейку прикладывают к измеряемому предмету так, чтобы
ее нуль совпадал с началом измеряемой длины. Если концы линейки
испорчены, то начало предмета прикладывают к любой отметке
шкалы, затем от нее ведут отсчет.
— Линейку надо прикладывать ровно, а не наискось, во избе-
жание неправильного измерения (рис. 11, а).
— При наблюдении глаз должен быть расположен против наблю-
даемой отметки (для устранения параллакса).
Для уменьшения влияния параллакса измеряемый предмет или
стрелку необходимо приближать к шкале, а также использовать
зеркало, расположенное рядом со шкалой (рис. 11, б). Совмещая
предмет с его отражением в зеркале, мы обеспечиваем прямой угол
между линией зрения и шкалой.
Рис. 11
Рис. 12
§ 13. ШТАНГЕНЦИРКУЛЬ
Рис. 13
Штангенциркуль состоит из линейки со шкалой /, имеющей
миллиметровые деления, и нониуса 4 — дополнительной линейки,
которая может перемещаться вдоль шкалы (рис. 12).
Нониус имеет 10 делений, которые равны 9 делениям шкалы,
поэтому каждое деление нониуса короче деления шкалы на 0,1 и
равно 0,9 мм (рис. 13).
При сдвинутых щеках штангенциркуля нулевая отметка нониуса
совпадает с нулевой отметкой линейки, а десятая отметка — с де-
вятой отметкой линейки. При этом первое деление нониуса не
доходит до первого деления линейки на 0,1 мм.
Второе деление нониуса соответственно не доходит до вто-
рого деления линейки уже на 0,2 мм и т. д. .
Следовательно, если раздвинуть щеки штангенциркулем так,
чтобы первая отметка нониуса совпала с первой отметкой линейки,
то между щеками образуется просвет 0,1 мм.
Если совпадет с отметкой линейки вторая отметка нониуса,
просвет между щеками будет уже 0,2 мм и т. д. Следователь-
но, отметка нониуса, совпадающая с отметкой линейки, указывает
расстояние между щеками в десятых долях миллиметра.
54
Правила пользования штангенциркулем
— При измерении длины тела его зажимают между щеками штан-
генциркуля. Отсчет целых делений (мм) производят по шкале линей-
ки до нуля нониуса, затем отсчитывают по нониусу десятые доли
миллиметра, 'число которых равно номеру штриха на нониусе, сов-
павшему со штрихом основной шкалы.
— Штангенциркулем можно измерять внутренний диаметр отвер-
стий и глубину отверстий (см. рис. 12).
— Проверяют штангенциркуль при сдвинутых щеках по совпаде-
нию нулевой отметки нониуса с нулевой отметкой шкалы линейки.
Наряду с описанным выше штангенциркулем используют штан-
генциркули, у которых 10 делений нониуса равны 19 мм, а цена
деления равна 0,05 мм. Правила пользования такими штанген-
циркулями аналогичные.
Пример показания штенгенциркуля — 31,4 мм — дан на рисун-
ке 13.
Примечание. При лабораторных работах в школьных усло-
виях инструментальную погрешность можно брать ±0,05 мм.
ГОСТом 166—51 нормирована следующая допускаемая погреш-
ность для штангенциркулей.
Предел измерения Допускаемая погрешность
200 мм +0,05 мм
300 мм ±0,1 мм
§ 14. МИКРОМЕТР
Основные части микрометра (рис. 14) — стальная скоба 8 и втул-
ка 3, имеющая с внутренней стороны микрометрическую резьбу,
а на поверхности — шкалу с делениями в 0,5 мм и продольную черту.
Во втулку ввертывается микрометрический винт 2. На правый
конец винта насажена гильза 5, имеющая 50 делений. Гильза
скреплена с микрометрическим винтом непосредственно или гайкой,
навинчиваемой на ее правый конец. При вращении винта она
вращается вместе с ним. С правой стороны микрометрического
Рис. 14 Рис. 15
55
винта ввертывается трещотка 6, с помощью которой производится
передвижение винта во втулке.
Трещотка регулирует нажим на измеряемое тело и позволяет
получать более точные результаты измерений микрометром.
На левом конце скобы находится упорная щека — наковален-
ка /. Для закрепления винта в определенном положении при-
меняется фиксатор в виде рычажка или кольца 7.
Шаг винта микрометра равен 0,5 мм, поэтому микрометр имеет
на втулке шкалу с делениями через 0,5 мм.
Число делений на гильзе равно 50, и, следовательно, от по-
ворота гильзы на одно деление винт отходит от щеки на 0,01 мм;
при двух оборотах гильзы последняя проходит 100 делений, и винт
отодвигается от щеки на 1 мм.
•ГОСТом 6507 для микрометра МК с пределом измерения 25 мм
и ценой деления 0,01 мм допускаемая погрешность нормирована
±4 мкм. »
При использовании микрометра с ценой деления 0,01 мм в школь-
ных условиях допускаемая погрешность может быть взята
±0,005 мм.
Пример показания микрометра — 8,21 мм — дан на рисунке 15.
. Правила пользования микрометром
— Перед началом работы необходимо тщательно протереть изме-
рительные плоскости микрометра, проверить плавность хода микро-
винта и установку на нуль; если установка сбита, исправить мик-
рометр может только специалист.
— Точная, окончательная установка винта при измерении про-
изводится трещоткой, иначе можно испортить нарезку микровинта.
— Не следует пользоваться микрометром с застопоренным фик-
сатором.
— После окончания работы микрометр следует протереть и ак-
куратно уложить в предназначенный для него футляр.
Примечание. На заводах применяется рычажный микро-
метр с ценой деления 2-10-6 м.
§ 15. МЕНЗУРКИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ЦИЛИНДРЫ
Мензурки конические имеют неравномерные деления шкалы. Из-
мерительные цилиндры с равномерными делениями шкалы обладают
большей точностью отсчета, чем конические мензурки, у которых
точность тем меньше, чем больше налито в нее жидкости.
Ниже даны таблицы, указывающие допускаемые погрешности
измерения мензурками и цилиндрами, нормированные ГОСТом
[770—64.
Правила пользования мензурками и измерительными цилиндрами
— Определяют цену деления мензурки (цилиндра). Для этого
берут разность между двумя значениями шкалы и делят ее на чис-
ло делений, содержащихся между этими значениями.
56
Мензурки
Номинальная вместимость, мл Цена деления С, мл- Допускаемая погрешность, МЛ Допускаемая погрешность, в С
50 5 + 2,5 +0,5
100 10 + 5,0 ±0,5
250 25 ±5,0 +0,2
500 25 + 12,5 ±0,5
1000 50 ±25,0 ±0,5
Цилиндры
Номинальная вместимость, мл Цена деления С, мл Допускаемая погрешность, мл Допускаемая погрешность, в С
5 о,1 ±0,20 ±2
10 0,2 +0,20 ±1
25 0,5 +0,50 ±1
50 1 ±0,50- ±0,5
100 1 + 1,0 ±1
250 5 ±2,5 ±0,5
500 5 ±5,0 ±1
— Ввиду того что жидкости, смачивающие стекло, у краев
всегда немного приподняты (рис. 16, а), а несмачивающие опущены
(рис. 16,6), необходимо для устранения ошибок на параллакс
глаз помещать по линии АВ, проходящей через середину поверхнос-
ти жидкости, и отсчет производить не по краю жидкости, а по ее
середине.
— При отсчете делений мензурку' (цилиндр) надо поставить на
стол, а не держать в руке, чтобы не вызывать колебаний жид-
кости.
Примечание. При измерении объема жидкости мензурками
или измерительными цилиндрами допускаемая погрешность значи-
тельна и ее необходимо учитывать, прибавляя к погрешности от-
счета: Д = До + Дн.
Рис. 16
измеренки объема твердого тела мензуркой или измери-
нилиндром инструментальную погрешность можно не уни-
так как значение объема тела получают в виде разности
отсчетов по шкале мензурки или цилиндра — до опускания
и она компенсируется.
При измерении
тельным
тывать,
двух с. -
тела в жидкость и после опускания,
§ 16. НАБОР ГИРЬ
Набор гирь — совокупность мер с целесообразно выбранным
рядом значений 1, 2, 2, 5 в каждом десятичном числовом разряде.
Этот ряд дает возможность получить все значения от 1 до 10, а
отношение масс соседних гирь, равное 2 или 2,5, позволяет легко
отличать гири друг от друга по их размерам.
Допускаемая погрешность гирь при выпуске с завода имеет
один знак +.
Для гирь* бывших в употреблении, устанавливают допускаемые
погрешности, имеющие двойной знак +-
В лабораториях, на предприятиях, в торговле не разрешает-
ся пользоваться гирями, износ которых превышает допускаемую
погрешность. Гири периодически проверяют органы государственно-
го контроля.
По допускаемой погрешности гири делятся на пять классов
точности.
Набор школьных гирь относится к 4-му классу, предназначены
они для весов 2-го класса.
В таблице даны допускаемые ГОСТом 7328—65 отклонения для
гирь общего назначения.
Таблица
Номинальное значение, г 100 50 20 10 5 2 1
Допускаемое отклонение, мг +40 + 30 +20 + 12 + 8 + 6 + 4
Номинальное значение, мг 500 200 100 50 20 10 5
Допускаемое отклонение, мг ±3 ±2 ±1 ±1 ±1 ±1 ±1
Набор гирь для настольных (торговых) весов относится к 5-му
классу точности. Рекомендуется комплект гирь 1 кг, 500, 200, 200,
100, 50, 20, 20 и 10 г. Допускаемые ГОСТом 7328—65 отклонения
указаны в таблице.
Таблица
Номинальное зна чение, г 1000 500 200 100 50 20 10 5
Допускаемое от- клонение, мг +600 +400 + 300 + 200 + 150 + 100 +60 + 40
58
Правила пользования набором гирь
— Гири необходимо беречь от пыли, смачивания водой или дру-
гими жидкостями, от возможности намагничивания.
— Гири должны находиться в соответствующих гнездах ящика
или на чашке весов.
— Гири до 100 г берут пинцетом, крупные гири — чистыми ру-
ками.
Способы взвешивания. В жизни, как правило, мы имеем дело
с двумя способами взвешивания.
Способ сравнения с мерами. Значение измеряемой массы при
этом способе определяется суммой номинальных значений гирь,
уравновешивающих измеряемую массу.
Способ замещения. Уравновешивают на весах тело дробью (или
сухим песком). Снимают тело и вместо него кладут гири до полу-
чения равновесия.
Масса положенных гирь равна массе тела. Этим способом мож-
но взвешивать на неравноплечих весах.
Правила взвешивания
— Проверяют уравновешенность чашек весов и, если ее нет,
уравновешивают весы сухим речным песком, мелкой дробью или бу-
магой.
— Тело помещают на одну чашку весов, а гири на другую; не-
допустимо помещать гири на чашку, где лежит взвешиваемое тело.
— Гири из набора берут, в определенном порядке — последова-
тельно.
— Взвешивание производят до тех пор, пока не будет достиг-
нуто равновесие или не будут перебраны все гири из набора.
— Нельзя значительно превышать максимальную нагрузку, ко-
торая указана на весах, так как при чрезмерной нагрузке весы могут
сломаться.
— Мокрые или сырые тела взвешивать не рекомендуется, в край-
нем случае под них следует подкладывать лист бумаги, вес кото-
рого необходимо учесть.
— При изменении местоположения весов их необходимо пере-
ставлять, а не передвигать.
— По окончании работы чашки весов тщательно протирают;
— За погрешность отсчета берется половина числового значе-
ния веса гири, соответствующей порогу чувствительности весов
при данной нагрузке, т. е. наименьшей гири, вызывающей замет-
ное нарушение равновесия весов, или, если набор гирь не соответ-
ствует чувствительности весов, то половина значения наименьшей ги-
ри набора.
Примечание. Груз кладется на левую чашку, а гири на пра-
вую исключительно для удобства. (Левше, например, удобнее класть
наоборот.)
59
Рис. 17
§ 17. ВЕСЫ
Весы настольные ВНЗ-2 (ГОСТ 13882—68). Такие весы приме-
няются для грубых взвешиваний — от 20 г до 2 кг (рис. 17). На-
бор гирь для них от 1 до 500 г.
Допускаемая погрешность: при нагрузке от 20 до 500 г сос-
тавляет ±0,5 г, от 500 до 2000 г — ±1,0 г.
Чувствительность весов, т. е. перегрузка, вызывающая откло-
нение подвижного указателя равновесия от положения равнове-
сия на 2 мм, для нагрузки от 20 до 500 г равна +0,5 г, для нагрузки
свыше 500 г «составляет +1,0 г.
Установка настольных весов. Проверяют качание площадок и,
если весы не работают, исправляют положение сережек, которые
находятся под площадками.
При значительном нарушении равновесия весов снимают соот-
ветствующие площадки и крестовины с тарированной камеры и рав-
новесие регулируют добавлением или убавлением грузиков.
Весы учебные ВУч. Допускаемая нагрузка 200 г (рис. 18). Набор
гирь для этих весов 100—0,01 г. Класс точности — «школьные».
Чувствительность весов при различной нагрузке представлена в
нижеследующей таблице.
Нагрузка, г Порог чувствительности, мг Абсолютная погрешность отсчета, мг
200 200 100
100 100 50
20 10 5
Примечание. В лабораторных работах инструментальную
погрешность можно не принимать во внимание.
Установка учебных весов. Посредством подъемной муфты под-
нимают чашки весов на соответствующую высоту, чтобы угол от-
клонения коромысла от положения равновесия был достаточен для
проведения взвешивания. После взвешивания опускают чашки весов
подъемной муфтой, чтобы они находились на подставке.
Весы ручные (аптечные) ВР2—100. Допустимая нагрузка
(рис. 19): наибольшая 100 г, наименьшая — 5,00 г. Допускаемая
60
погрешность: при наибольшей допустимой нагрузке ±50 мг, при 1/10
наибольшей допустимой нагрузки ±10 мг. Соответствующий набор
гирь 50—0,01 г.
Установка ручных весов. Весы подвешивают на стержне кольца,
укрепленногог в муфте штатива на небольшой высоте, чтобы чашки
удобно было поддерживать рукой при их нагрузке.
Весы технические (Т—200). Предельная нагрузка 200—10 г.
Допустимая погрешность: при наибольшей нагрузке — 50 мг, при
1/10 части наибольшей нагрузки — 25 мг, чувствительность ненагру-
женных весов — 10 мг. Класс точности — 2 В.
Соответствующий набор гирь 100—0,01 г.
Основные части: платформа с двумя установочными винтами
Bi и Bs и одной ножкой (рис. 20).
В колонке К находится стойка, которую можно поднимать и опу-
скать поворачиванием головки арретира А.
Коромысло Кр имеет три призмы Пр-. одну в середине и две по
бокам. Укрепляется коромысло в гнезде Г стойки.
На боковые призмы коромысла надеваются серьги Ср, на кото-
рых подвешиваются крестовины Д с чашками Ч.
61
Сережки, крестовины, чашки отмечены значками, указывающими,
на какой стороне весов они должны находиться.
На верхней грани коромысла установлен поворотный грузик П,
при помощи которого можно изменить положение центра тяжести
коромысла. Для горизонтальной установки весов имеется отвес О.
Правила пользования весами
— При помощи установочных винтов выравнивают положение
подставки весов, контролируя его по отвесу.
Острие отвеса должно находиться против указателя.
— Поднимают стойку с чашками и приводят весы в колебание.
Если стрелка весов отклоняется во время колебаний на раз-
личные углы от среднего деления шкалы, весы следует подрегули-
ровать посредством поворотного грузика 77.
Но если их невозможно отрегулировать, то замечают деление,
против которого останавливается стрелка коромысла при ненагру-
женных весах, и принимают это деление за исходное положение
равновесия.
— Нагрузку весов и снятие тел и гирь производят при опущен-
ной стойке (арретированных весах).
— По окончании работы стойка должна быть опущена, чтобы
коромысло лежало на штифтах Ш для сохранности призм.
Примечание. Для всех весов существует верхняя и нижняя
границы взвешивания, в диапазоне которых обеспечивается опре-
деленная стандартом точность, взвешивания. В школьных условиях
с достаточной степенью точности можно пользоваться весами и вне
этих границ.
В научно-исследовательских институтах, в химической промыш-
ленности применяют очень точные аналитические весы, измеряю-
щие массы вещества до 1 мг.
При пользовании ими тело уравновешивают гирями из набора
до 10 мг. Более точное взвешивание производится рейтером,
сидящим на коромысле весов.
Необходим учет погрешности гирь и чувствительности весов.
Пример. Тело, взвешенное на весах настольных ВНЗ-2, име-
ет массу 425 г. Допускаемая заводами погрешность гирь следую-
щая:
200 г — 300 мг
20 г — 100 мг
5 г — 40 мг
Общая погрешность: 425 г----1-740 мг.
Чувствительность весов при нагрузке от 20—500 г равна ±0,5 г.
§ 18. ДИНАМОМЕТР УЧЕБНЫЙ
Динамометр пружинный допускает максимальную нагрузку 4 Н
(рис. 21). Допускаемая погрешность для нагрузки в 4 Н равна
±0,1 Н, т. е. 2,5%. Цена деления — 0,1 Н.
62
Класс точности — школьный.
Шкала динамометра имеет градуировку в ньютонах.
Школьный динамометр имеет допускаемую погрешность 2,5%,
которую необходимо учитывать (или вносить поправку в показание
прибора) Для определения поправки нагружаем динамометр, напри-
мер, гирями массой 306 г, вес которых 3 Н, и снимаем показания,
затем определяем поправочный множитель, который записываем на
динамометре (см. таблицу).
Вес гири Показание динамометра Поправочный миожитель
3 н 3,05 Н 0,93
3 н 2,95 Н 1,02
Для нахождения результата значение, полученное с помощью
динамометра, надо умножить на поправочный множитель.
Правила пользования динамометром
— Определяют цену деления динамометра.
— Для проверки жесткости пружины динамометра его нагру-
жают гирями и сравнивают показания с весом гирь. Определяют
поправку, выразив ее в процентах, или вводят поправочный коэф-
фициент. Погрешность градуировки шкалы незначительна.
— Стержень и пружина при измерении силы, растягивающей
пружину, не должны касаться основания.
— Желательно, чтобы конец указателя касался шкалы (для
устранения колебаний указателя).
— При снятии показаний глаз должен находиться против ука-
зателя (если последний не соприкасается со шкалой), чтобы луч
зрения был перпендикулярен к шкале (для устранения параллакса).
— Динамометр нельзя нагружать грузом, большим допустимого.
§ 19. ТЕРМОМЕТРЫ
Термометры ртутные лабораторные со шкальной пластинкой и
палочные имеют шкалу от — 10 до -ф 100 °C. Цена деления 1 °C. До
пускаемые погрешности (ГОСТ 215—57) ±1 °C.
Для более точного измерения температур предназначен ртут-
ный термометр со шкалой от 0 до 50 °C. Цена деления 0,1 °C.
Правила пользования термометром
— При измерении температуры газообразного тела, например
воздуха, термометр не держать за резервуар, не дышать на него,
иначе теплота человеческого тела может оказать влияние на показа-
ния термометра.
Плохая теплопроводность газа и конвекционные токи в нем
могут исказить результат наблюдения. Например, в зимнее время
температура у окон ниже, чем у противоположной им стены, или
воздух в верхних слоях комнаты более нагрет, чем в нижних. По-
этому при определении температуры газа необходимо принять со-
ответствующие меры для устранения погрешностей, возникающих
вследствие внешних причин.
— При измерениях температуры жидкости последнюю необходи-
мо предварительно перемешать, чтобы температура во всех ее сло-
ях была одинакова.
Резервуар термометра целиком погружают' в жидкость.
При отсчете показаний термометр не вынимают из жидкости.
— При измерении температуры сыпучих тел в них зарывают ре-
зервуар термометра.
— Для твердых тел, не имеющих температуры окружающей сре-
ды (воздуха, жидкости), измерение температуры производится по-
гружением резервуара термометра в отверстие, сделанное в теле.
Внимание! Лабораторный термометр не встряхивают; снятие
показания термометра производят после прекращения движения
столбика ртути; при отсчете по шкале термометра его держат в таком
положении, чтобы луч зрения был перпендикулярен шкале термо-
метра и глаз был расположен против наблюдаемого деления.
Кроме ртутных термометров, измеряющих температуру
(—39 °C Ь 386 °C), имеются термометры спиртовые (—114 °C —
+ 78 °C), толуоловые (— 80 °C----1-111 °C), эфирные (—190 °C —
+ 30 °C), допускаемая погрешность которых зависит от температур-
ного интервала; для школьных измерений погрешность равна ± 1 °C.
Преимущество жидкостных (не ртутных) термометров состоит
в том, что они имеют высокий температурный коэффициент расшире-
ния жидкости: в 6 раз больше, чем у ртути.
Для измерения максимальной температуры человеческого тела
употребляется медицинский термометр, который фиксирует макси-
мальную температуру, поскольку сужение в нижней части капилля-
ра препятствует возвращению ртути в резервуар.
Для измерения минимальной температуры в метеорологии при-
меняется минимальный спиртовой термометр, располагаемый гори-
зонтально. В нем спирт при сжатии перемещает стеклянный стер-
женек вследствие поверхностного натяжения; при расширении спир-
та стерженек остается внутри его. Метка приводится в перво-
начальное положение встряхиванием.
Термометр ртутный 'высокоградусный (0—500 °C) с ценой деле-
ния 0,2 °C служит для измерения температуры расплавленных ме-
таллов.
§ 20. БАРОМЕТР-АНЕРОИД
Барометр-анероид БР—52 имеет две шкалы: в мм рт. ст. и мил-
либарах. Допускаемая погрешность на участке 730—770 мм рт. ст.
составляет ±3 мм рт. ст., на остальных участках ±5 мм рт. ст. От
времени пружина анероида теряет свою упругость и показания при-
бора становятся неточными. Анероид сверяют с хорошим ртутным
64
барометром и посредством винта-корректора, находящегося в верх-
ней части корпуса, исправляют его показания.
-Класс точности прибора «школьный».
Правила пользования барометром-анероидом БР—52
— Перед снятием показаний необходимо слегка постучать паль-
цем по стеклу прибора для устранения трения в рычажной
передаче.
— При отсчете показаний прибора луч зрения наблюдателя
должен быть перпендикулярен участку шкалы, на котором отсчит
ваются показания.
§ 21. ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ
Электроизмерительные приборы по степени точности иывают
следующих классов: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.
Класс прибора равен отношению (в процентах) предельной до-
пускаемой основной погрешности к номинальному (наибольшему)
значению шкалы (приведенная погрешность). Например, допускае-
мая погрешность прибора ±0,2 А, номинальное (наибольшее) зна-
чение шкалы 5 А; тогда имеем: 0’2"10% =4%, т, е. прибор 4-го
класса. ,0
Зная класс прибора и номинальное (конечное) значение шка-
лы, можно определить предельную абсолютную погрешность (Аи) для
^любого показания прибора. Например, школьный лабораторный
амперметр с пределами измерений 0—2 А может быть приравнен к
4-му классу. Предельная абсолютная погрешность для любого пока-
зания этого прибора равна:
Аннет = 4 ± 0,08 А.
1 UV
Градуировку прибора производят таким образом, чтобы цена
деления была больше, чем наибольшая его погрешность, вычисляе-
мая по классу точности. Следовательно, за абсолютную погреш-
ность отсчета можно принимать половину цены деления или цену де-
ления прибора в зависимости от класса точности.
Уменьшать цену деления, производя деление расстояния между
черточками шкалы на глаз, разрешается до тех пор, пока наиболь-
шая погрешность, определяемая классом точности прибора,
не будет больше его цены деления.
Вольтметры, амперметры. Амперметры и вольтметры бывают
электромагнитной и магнитоэлектрической систем. Прибор электро-
магнитной системы имеет измерительный механизм, который состоит
. из неподвижной катушки и легкого ферромагнитного сердечника.
Сердечник перемещается относительно катушки при ее включении
в цепь постоянного или переменного тока.
При включении прибора в цепь ток в катушке возбуждает маг-
нитное поле, которое намагничивает сердечник. Намагничиваясь,
сердечник втягивается в щель катушки.
65
Шкала прибора — неравномерная: деления сильно сжаты в на-
чале шкалы и растянуты в конце. Такая шкала неудобна при изме-
рениях.
Прибор магнитоэлектрической системы имеет механизм, который
состоит из неподвижного постоянного магнита и подвижной ка-
тушки. Катушка может поворачиваться при включении прибора в
цепь постоянного тока. Принцип действия основан на явлении взаи-
модействия проводника с током и поля постоянного магнита. Посто-
янный магнит создает в зазоре, где находится рамка, равномер-
ное и радиально направленное магнитное поле.
При включении прибора в цепь в катушке устанавливается по-
стоянный ток и электромагнитная сила поворачивает рамку со
стрелкой на некоторый угол. Угол поворота подвижной части магни-
тоэлектрического механизма прямо пропорционален силе тока, и по-
этому шкал^ является равномерной.
Подобные конструкции имеют магнитоэлектрические милли-
амперметры и милливольтметры, а также микроамперметры и мик-
ровольтметры.
Основным различием между ними является подбор шунтов, до-
бавочных сопротивлений и рамок (катушек).
Все эти рриборы в различном техническом оформлении нашли
свое применение не только в производстве, но и в научно-иссле-
довательских институтах и в радиотехнике.
Абсолютная погрешность измерения электроизмерительными при-
борами состоит из погрешности отсчета До и инструментальной
погрешности (основной) Аи, определяемой классом точности, т. е.
Д = ДО + ДН. Например, амперметр АЛ-2,5 имеет пределы шкалы
О—2 А, цену деления 0,1 А (шкала равномерная), класс точности
прибора 2,5: Следовательно, Ди=0,025-2 А=0,05 А, До=0,05 А,
Д = Ди + До=0,1 А, т. е. равна цене деления прибора.
Вольтметр ВЛ-2,5 имеет шкалу в пределах 0—6 В с ценой де-
ления 0,2 В (шкала равномерная), класс точности прибора 2,5.
Для него Д„=0,025-6 В = 0,15 В, До=0,1 В, Д = 0,25 В ж 0,2 В.
Округление до 0,2 дает возможность упростить вычисления,
так как при изготовлении прибора наибольшая погрешность мало-
вероятна (закон распределения случайных погрешностей — кривая
Гаусса).
Проверка прибора. Невключенные приборы должны показывать
нуль, в противном случае производят их регулировку с помощью
специального корректора. Класс точности прибора обозначается
на его шкале только в том случае, когда учитывается не только
основная, но и дополнительные погрешности.
Правила пользования вольтметром и амперметром
— По условным обозначениям на шкале определяют систему при-
бора (рис. 22, а).
— Обращают внимание на то, чтобы измеряемая физическая
величина (ток, напряжение, мощность) не превышала предельного
значения шкалы.
66
— Вычисляют цену деления прибора
— Определяют класс точности прибора и вычисляют наибольшую
погрешность, допускаемую прибором.
— Устанавливают прибор в соответствии с указаниями на его
шкале (рис. 22, б).
— Включают прибор в цепь.
— При наличии перегрузки прибора, когда стрелка прижимается
к ограничителю, ток следует выключить.
— При снятии показаний глаз должен находиться против на-
блюдаемой отметки шкалы (для устранения параллакса).
Амперметр и вольтметр лабораторные магнитоэлектрической
системы (школьные). Амперметр имеет шкалу в пределах 0—2 А с це-
ной деления 0,1 А; шкала равномерная (рис. 23).
67
Шунт
Добавочное сопротивление
* Рис. 23
Рис. 24
Класс прибора, — «школьный». Он может быть приравнен к 4-му
классу.
Предельную абсолютную погрешность прибора для любого пока-
зания можно считать ±0,08 А.
Прибор имеет шунт, включенный параллельно обмотке рамки
(см. рис. 23).
Вольтметр имеет шкалу в пределах 0—6 В с ценой деления
0,2 В (рис. 24). Шкала прибора равномерная.
Класс прибора — «школьный». Он может быть приравнен к 4-му
классу.
Предельную абсолютную погрешность прибора для любого пока-
зания можно считать ±0,24 Вж±0,2 В, т. е. равной цене деле-
ния шкалы.
Вольтметр имеет добавочное сопротивление (/? = 510 Ом), вклю-
ченное последовательно с обмоткой рамки.
Однофазный электрический счетчик СО. Такой счетчик (рис. 25)
состоит из катушки с небольшим числом витков (включаемой в цепь
последовательно с потребителем тока); катушек (рис. 26) с большим
числом витков (включаемых в цепь параллельно с потребителем то-
ка) ; алюминиевого диска; тормозного магнита; оси с червяком;
шестерни счетного механизма; счетного механизма.
Емкость счетчика СО составляет 10 000 кВт-ч.
Счетчики бывают 1,0, 2,0, 2,5 классов точности, выражающих
относительную погрешность измерения затраченной энергии.
Энергия отсчитывается счетчиком в киловатт-часах.
Проверка счетчика' Счетчик СО-5; класс точности — 2,5; переда-
точное число: 1 кВт-ч соответствует 1250 оборотам диска.
Сравнивают показание счетчика с числом оборотов его диска
или с показанием исправного счетчика.
Принцип действия счетчика состоит в том, что два магнитных
потока катушек, сдвинутых по фазе друг относительно друга, ин-
дуцируют в алюминиевом диске вихревые токи, которые в резуль-
68
тате взаимодействия с магнитными полями создают вращающий
момент, под его влиянием диск приходит в движение.
Ампервольтомметр АВО-63. При измерении постоянного напря-
жения и силы постоянного тока погрешность прибора не пре-
вышает ±3% от .максимального значения шкалы. При измерении
переменного напряжения и силы переменного тока погрешность при-
бора не превышает ±4% от максимального значения шкалы.
Указанная величина погрешности по отношению к переменному
току и переменному напряжению относится только к рабочей части
шкалы. Нерабочей частью шкалы является начальная часть: 15% от
всей длины. Эта часть не гостирована. При измерении сопротивле-
ния погрешность составляет ±10% от измеренной (отсчитанной по
шкале) величины.
Рассмотрим пример применения метода оценки результатов с
учетом инструментальных погрешностей в задаче,- решение которой
полезно провести перед лабораторной работой «Измерение ЭДС и
внутреннего сопротивления источника тока» (X класс).
Задача. Электрическая цепь составлена из гальванической батареи, рео-
стата и ключа. Амперметром АЛ-2,5 и вольтметром ВЛ-2,5 измерьте внутреннее
сопротивление источника тока. Значения, полученные при измерении, могут быть
следующие: ЭДС ^=4,0 В, напряжение 1/=2,4 В, сила тока 7=1,0 А.
Решение. Вычисляем приближенное значение внутреннего со-
противления батареи:
У' — U ____4,0 В — 2,4 В I с
Гс— 7 ’ с — 1,0 А — ’
Затем определяем -абсолютные погрешности амперметра и вольт-
метра:
A = A„ + Ao = 0,l А;
вольтметр — Ли — В=0,15 В, До—0,1 В,
Д = Ди + До=0,25 В»0,2 В.
Находим относительную и абсолютную погрешности внутреннего
сопротивления источника:
VOTH = A!+y+4-, Дготн = 2^^+^=0,35 = 35%;
& — U / 1 1 ,v
Дг = г6Дготн, Дг= 1,6-0,35 Ом = 0,6 Ом.
Следовательно, г =1,6 Ом ±0,6 Ом, 1 Ом<г <2 Ом.
Значительная погрешность (35%) вызвана недостаточной точ-
ностью измерительных приборов. Определение ЭДС посредством под-
ключения вольтметра к зажимам батареи при разомкнутой цепи в
данном примере возможно, так как добавочное сопротивление вольт-
метра (680 Ом) значительно превышает внутреннее сопротивление
батареи. Относительная погрешность ЭДС составляет:
Д^отн=-^-. Д^отн=||.100%=5%.
В школьной практике применяются два способа определения
ЭДС и сопротивления источника тока. Сравнение относительных по-
грешностей этих методов указывает, какой из них более целесооб-
разен.
Способ 1. Определение ЭДС посредством подключения вольт-
метра к клеммам источника тока при разомкнутой цепи и вычисление
внутреннего сопротивления по формуле: г=—-—, где U — напря-
жение на клеммах источника тока при замкнутой цепи.
Способ 2. Определение ЭДС и внутреннего сопротивления
при различных сопротивлениях внешней цепи по формулам:
__ Uf С2_ _ U\Iz—Uzl\
h-Ix ’ ~ /2-Д
где U\ и t/s — напряжения на клеммах источника тока; Л и /г —
соответствующие им силы токов при различных сопротивлениях
внешней цепи. Вычислим Дг0™ для обоих методов:
2Д/
Ar - 2А^ I А/ Дг 2А6/ _____
Л °тн + ’ отн |£/,-£/2| 1 |/2 —/,|
Погрешность в первом случае меньше, чем во втором, так как
— U>U\ — U2, Д/<2Л/. Сравнивая относительные погрешности
измерения ЭДС, получаем:
д^ —Л?! д^н^+^1М+ 2Д/.
°™ «г ’ °™ Wdz-Uzld 1/2—Zd ’
т. е. и в данном случае Д^Отн1 <С Д^о™2-
Из сравнения этих результатов приходим к заключению, что
первый метод дает значительно меньшую относительную погреш-
ность Дготн и Д^оти, чем второй, и поэтому первый метод более .
целесообразен в школьной практике.
Глава 3.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД
УЧЕТА ПОГРЕШНОСТЕЙ.
ОСНОВНЫЕ понятия
При измерении физических величин получаемые значения не
соответствуют истинному значению искомых величин.
Алгебраическую разность между полученным при измерении
значением величины (х) и ее истинным значением (X) называют истин-
ной абсолютной погрешностью измерения (б):.
б=х — X.
Истинное значение величины неизвестно, следовательно, не мо-
жет быть определена и истинная абсолютная погрешность. Но су-
ществует метод статистического учета, который дает возможность
определить, насколько полученный результат измерения близок к
истинному значению измеряемой величины, т. е. какова точность
измерения, а также вероятность того, что истинное значение на-
ходится в указанных пределах.
На результаты измерений оказывают влияние погрешности, ко-
торые по характеру изменений значений измеряемой величины раз-
деляются на систематические и случайные.
(Таблицы со статистическими данными, метрологические опреде-
ления, обозначения, графики, формулы и ряд задач, данные в
этой главе, взяты из книг, указанных в списке литературы в кон-
це книги.)
§ 22. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ
В теории вероятностей случайным называют такое событие,
которое при осуществлении определенного комплекса условий может
произойти или не произойти.
При измерении физических величин на результаты измерений мо-
гут оказать влияние причины не постоянные, а меняющиеся про-
извольно, которые учесть невозможно. Так, например, случайное
сотрясение фундамента здания, мгновенная струйка холодного или
теплого воздуха, пылинка, попавшая в трущиеся части прибора,
могут изменить показания прибора.
Влияние каждой из причин оказывается незначительным, но их
суммарное действие может дать погрешность, превышающую ту, ко-
торая допустима-средствами измерения или применяемым методом.
Случайные погрешности не могут быть исключены, но при по-
71
оторого числа измерений с помощью теории вероят-
вторениИ|^нек^атическод статистики эти погрешности могут быть уч-
тены. «
Погрешности отсчета при снятии показании мер или измери-
тельных приборов на глаз являются случайными и также могут быть
обработаны статистическим методом.
§ 23. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ
Систематическими погрешностями называют такие погрешности,
величина которых при повторных измерениях остается постоянной
или изменяется по определенному закону.
К постоянным систематическим погрешностям относятся погреш-
ности гирь, концевых мер длины, катушек сопротивления, градуи-
ровки шкал измерительных приборов, неравноплечести весов и т. д.
Переменные (изменяющиеся по определенному закону) система-
тические погрешности делятся на прогрессивные, периодические и
изменяющиеся по сложному закону (условно).
Прогрессивными погрешностями называют такие, которые в про-
цессе измерений постепенно возрастают или убывают.
Они могут возникать, например, из-зр падения напряжения источ-
ника тока в измерительной цепи, изменения действия заведенной
пружины на скорость движения стрелки часового механизма и др.
Периодические погрешности — это погрешности, которые пе-
риодически меняют свои значения и знак. ..Они могут возникать,
например, в приборах с круговой шкалой, у которых не совпадает
ось стрелки с центром шкалы (секундомеры, индикаторы часового
типа и т. д., рис. 27).
Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, выражаются
формулой или кривой функциональной зависимости погрешности от
значения измеряемой величины. Примером может служить график из-
менения погрешности электрического счетчика в зависимости от на-
грузки (рис. 28).
Имеются погрешности, которые по характеру появления отно-
сятся к систематическим, а по изменениям значений, получаемых
от измерений, являются случайными. Их причисляют к погреш-
ностям, носящим суммарный характер, т. е. состоящим из системати-
72
Рис. 29
U стинное
значение
Для
точных
по ходу
часоь
Для
отстающих
по ходу
часоб
ческих и случайных погрешностей. Причины большинства системати-
ческих погрешностей известны, и поэтому по возможности их исклю-
чают.
Невыявленные систематические погрешности служат причиной
ошибочных выводов, установления ложных законов, неправильных
конструкций приборов и брака продукции. Случайные погрешности
можно обнаружить путем повторных измерений, что невозможно по
отношению к систематическим погрешностям.
Они вызывают разброс получаемых значений измеряемой величи-
ны при повторных измерениях, границы которого зависят в основ-
ном от метода измерения и точности средств измерения. Например,
при отсчете времени по точным часам получаются отклонения (раз-
брос) показаний от истинного (астрономического) времени. Но если,
например, часы отстают, то этот разброс будет сдвинут относи-
тельно истинного времени на величину систематической погрешности
часов (рис. 29).
§ 24. ВЕРОЯТНОСТЬ
Результаты, полученные при измерении той или иной величины,
нельзя принять из-за ряда случайностей за достоверные (дейст-
вительные значения измеряемых величин). Тогда приходится гово-
рить о вероятности того или иного значения этих величин и опреде-
лять их.
Вероятность события — это количественная оценка объективной
возможности появления данного события.
Вероятность достоверных событий равна 1. Например, после
ночи наступает утро. Вероятность невозможных событий равна 0.
Например, при. бросании игральной кости, имеющей на своих
гранях число очков 1, 2, 3, 4, 5,. 6, появление 7 очков невозможно.
Случайные события имеют вероятность (р) больше 0, но меньше
1, т. е. 0<р< 1.
Например, появление определенной грани идеальной игральной
кости с числом очков 1, 2, ..., 6 имеет вероятность
Если число всех равновероятных событий п и появление жела-
73
тельного результата возможно т раз, то р=—. Например.,
четного числа очков в вышеуказанном случае (2, 4, 6) име-
ет вероятность 0,5, так как п = 6 и щ=3.
Для определения вероятности случайных погрешностей измерения
применяют статистическое определение вероятности.
При неограниченном увеличении числа однородных независимых
опытов с практической достоверностью можно утверждать, как пока-
зал Я- Бернулли, что частота появления события будет сколь угод-
но мало отличаться от вероятности. Это утверждение можно про-
иллюстрировать опытом с многократным бросанием монеты. В табли-
це приведены результаты нескольких таких экспериментов.
Опыт на бросание монеты
Экспериментатор^ Число бросаний Число выпадения герба Частота выпадения герба
Бюффон К. Пирсон 4040 12 000 24 000 2048 6019 12012 0,5080 0,5016 0,5005
Поскольку теоретическая вероятность равняется 0,5, то видно,
что частота выпадения герба близка к теоретической вероятности
этого события и тем меньше отличается от нее, чем больше число
бросаний.
Из теории Бернулли следует, что если при измерениях физи-
ческой величины было произведено п измерений и получено т оди-
° ГП
наковых случайных погрешностей, то частота их появления — при-
ближенно равна вероятности данного результата.
§ 25. ЗАКОНЫ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Английский математик Скарборо предложил модель «случайнос-
тей» для экспериментального получения распределения случайных
погрешностей.
Нужно взять лист бумаги, разграфить его на ряд полос ши-
риной 1 см. Через середину средней полосы красным карандашом
провести линию, которая будет служить прицельной линией. Затем
взять карандаш (или шариковую ручку) за неоточенный конец двумя
пальцами и, прицеливаясь в среднюю линию, отпустить карандаш
с высоты одного метра. Карандаш, ударяясь о бумагу, оставит
след — точку (рис. 30).
Бросая карандаш 50—100 раз, получим совокупность точек,
расположенных на различных полосках листа.
Построим график распределения разброса точек от централь-
ной линии листа. Для этого на вертикальной оси отложим число
точек, приходящихся на каждую полоску, а по горизонтальной оси
74
в обе стороны — номера полосок в том порядке, как они располо-
жены на листе.
Получим кривую распределения отклонений (погрешностей) от
центральной линии.
Если число бросаний будет значительно, то кривая в идеаль-
ном случае будет иметь вид кривой 2 на рисунке 31. На нем
представлено несколько функций нормального распределения случай-
ных погрешностей б — кривых Гаусса.
Если в указанном опыте карандаш бросать с большей высоты
(например, с двух метров), то надежность (вероятность) попада-
ний уменьшится и разброс погрешностей увеличится. Кривая будет
более пологой (см. рис. 31,3).
При бросании карандаша с высоты 50 см надежность (вероят-
ность) попаданий увеличится, разброс погрешностей уменьшится,
кривая стянется к середине, вершина ее поднимется и станет острее
(см. рис. 31, /).
Примечание. Распределение точек на листе бумаги зависит
также от приема бросания и от психологических свойств личности..
Основные свойства кривой Гаусса. Отметим характерные черты
кривой Гаусса.
— Кривая нормального распределения имеет колоколообразную
форму. На некотором расстоянии от середины симметрично по обе
стороны ее находятся точки перегиба.
Характеристиками кривой служат высота кривой и расстояния
от оси ординат до точек перегиба.
— Вершина кривой соответствует наибольшему числу повторе-
ний, т. е. наибольшей вероятности, соответствующей погрешности
6=0.
— При увеличении абсолютной погрешности вероятность ее по-
явления уменьшается.
Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс; следова-
тельно, появление больших погрешностей маловероятно.
— Кривая нормального распределения погрешностей симметрич-
на относительно вертикальной оси, проходящей через максимум
75
е одинаковые погрешности, но с разными знаками име-
ют11одинаковую вероятность.
П и м е р. В § Ю были приведены данные по определению коэф-
фициента трения:
Р-1 —0,5 ±0,03,
р2=0,5 ±0,075,
рз=0,5 ±0,15.
Если предположить, что этот материал был получен в трех
сериях измерений, и результаты каждой серии отобразить по-
средством кривой Гаусса (рис. 32), то вершины кривых во всех
трех случаях будут находиться на одной вертикали, так как при-
ближенные значения р во всех случаях одинаковы и равны 0,5.
Расстояния от максимума до точек перегиба, которые являются
средними квадратическими (о), находятся в том же отношении, что
и абсолютные погрешности: 0,03:0,075:0,15 = 2:5:10 = от :ог:оз
(§ 35). Высоты в точке х=0,5 находятся в обратном отношении:
2-1:5~‘: 10-1 = 5:2:1.
Отсюда имеем, что чем больше средняя квадратическая (6), тем
более пологой является кривая Гаусса и тем больше дисперсия
(рассеяние) соответствующей физической величины (см. рис. 32,
кривые 1, 2, 3).
§ 26. ГИСТОГРАММА
Чтобы выявить распределение вероятностей получаемых значе-
ний измеряемой величины, построим ступенчатую диаграмму, кото-
рая носит название «гистограмма».
Воспользуемся для этого данными, полученными при измере-
нии ЭДС нормального элемента (см. ниже таблицу).
76
эдс. в Число повторений эдс, в Число повторений эдс. в Число повторений
1,018100 1 1,018226 1 1,018298 1
113 . 1 229 1 299 -1
122 1 231 1 н———
123 1 236 1 301 1
129 1 247 1 309 1
142 1 250 1 318 2
319 1
152 1 252 1 332 1
153 1 254 1 336 1
163 1 258 1 339 1
171 1 267 1 .— —.——
191 2 280 2 364 1
199 1 281 1 366 1
. 283 2 393 1
203 1 288 1 и-
214 1 289 1 427 1
219 1 295 1 435 1
Затем разобьем эти данные на семь групп, имеющих равные
интервалы в 0,000050 В, и определим для каждого интервала от-
ношение числа результатов к числу всех измерений, что показано
1 ниже в таблице, заимствованной из книги С. Ф. Маликова, Н. И. Тю-
f рина «Введение в метрологию» (М.: Изд-во стандартов, 1966.—
С. 114, 115).
Номер интервала Число результатов Частота
6
1 6 49 1 7
2 7
7 49 9
3 9 49 2 14
4 14- Т—49 8
5 8 49 3
6 3 49
7 2 2 49
Отрезок прямой, расположенный между крайними значениями
ЭДС, разобьем на ряд равных интервалов и над каждым из них по-
строим прямоугольник с высотой, равной числу попадающих в этот
интервал результатов. Частота появления результатов, соответ-
ствующих этому интервалу, будет пропорциональна площади пря-
моугольника (рис. 33).
При большем числе измерений и увеличенном в 2 раза числе
77
Рис. 34
Рис. 33
интервалов между крайними значениями ЭДС получится более сгла-
женная гистограмма (рис. 34).
Если количество измерений увеличивать, а величину интерва-
ла уменьшать, то гистограмма будет приближаться к плавной кри-
вой, имеющей форму кривой Гаусса.
Интервалы не могут равняться нулю, но могут быть бесконеч-
но малыми (dx) и приняты за точку.
Среднее арифметическое возможных значений измеряемой вели-
чины при п -* сю приближается к ее истинному значению (рис. 35).
Перемещая ось у так, чтобы она проходила через вершину
кривой, получаем кривую нормального распределения случайных по-
грешностей (так как х—Х = &, рис. 36).
Эту кривую и следует рассматривать как предел, в который
превращается гистограмма, когда интервал dx становится бесконеч-
но малым и стягивается в точку.
Вероятность появления тех или иных значений случайной ве-
личины (или ее погрешности) определяется элементарной площад-
кой ydx, называемой элементом вероятности.
Совокупность всех этих площадок, расположенных под кривой
Гаусса, является вероятностью того, что случайная величина (или
ее погрешность) принимает любые значения от — сю до -ф сю, т. е.
Ч-оо
это вероятность достоверного события, равная 1: \ ydx=l.
(Следует обратить внимание на бесконечные пределы этого
интеграла.)
78
При увеличении диапазона Лх новая площадь под кривой
Гаусса, составленная из элементарных площадок, дает большую
вероятность, так как соответствует большей части возможных зна-
чений случайной величины или ее погрешности от всех возможных
значений. <
Если взять участок значений б, в границах бт и б„, то вероят-
ность появления погрешностей при измерении, находящихся в этом
интервале, определяется площадью, ограниченной двумя ординатами
границ интервала, осью абсцисс и кривой. Она составляет опре-
деленную часть общей площади, находящейся под кривой Гаусса и
равной 1 (рис. 37).
§ 27. ДИСПЕРСИЯ
Площади, расположенные под кривыми нормального распределе-
ния погрешностей, равны единице, так как они охватывают все
результаты измерений и сумма вероятностей появления любого из
них равна 1 (см. рис. 32). Отличаются кривые друг от друга рассеян-
ностью (разбросанностью) результатов относительно средней орди-
наты.
Мерой рассеяния значений случайной величины служит диспер-
сия D (х), которая характеризует быстроту уменьшения вероятнос-
ти появления 6 с ростом величины этой погрешности:
D (х) = о2.
Для характеристики рассеивания пользуются средней квадра-
тической погрешностью о, равной корню квадратному из диспер-
сии D (х).
§ 28. СРЕДНЯЯ АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И СРЕДНЯЯ
КВАДРАТИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ (МЕТОДЫ ОЦЕНКИ)
Истинная абсолютная погрешность одиночного измерения фи-
зической величины равна:
б,=х— X.
При многократных измерениях среднее значение суммарной ис-
тинной погрешности равно
1 = п
-- 2 б;«0.
п 1=1
Чем больше число произведенных измерений п, тем справед-
ливее приблизительное равенство. Так как истинное значение ве-
личины неизвестно, то вместо него берется среднее арифметическое
значение (х) многократных измерений:
у Xi +Xz + —+*л
п
79
Примечание. При конечном числе п величина х называ-
ется выборочным средним или средним выборки, в отличие от ге-
нерального среднего, получающегося при п=оо.
Выборка означает, что из бесконечного множества (генераль-
ной совокупности) возможных значений х, берется наугад п зна-
чений. Очевидно, что суммарное отклонение от среднего ариф
метического значения измеряемой величины равно:
1= п
V 2 (%г —х) = 0,
где Xi—х — отклонение одиночного значения измерения от среднего
значения многократных измерений величины. Вследствие этого в
качестве характеристики погрешности рассматривают среднюю аб-
я _ 2 |х,—х|
солютную погрешность Ах = -----#0, которая широко при-
меняется в математической статистике и в школьной практике. При
этом число п не обязательно должно быть большим, в обычных
экспериментах оно равно 5—10.
Можно пользоваться также средней квадратической (стандарт-
ной) погрешностью, которая служит мерой ширины кривой распре-
деления, т. е. степени разброса результатов измерений.
Средняя квадратическая (стандартная) погрешность а определя-
ется формулой:
_____ / 2 (х,—х)2
о= \/ -------.
V п
Так как истинное значение х неизвестно, то используется
выборочная (или эмпирическая) средняя квадратическая погреш-
ность, которая вычисляется с помощью опытных данных по формуле:
у и — 1
Примечание. Если пользоваться формулой
_ ~\ / ^ х)2
о = \/ |=‘- ----- при обработке опытных данных, то она дает
несколько заниженное значение дисперсии, так как сумма квадра-
тов разностей 2 (xt —X)2 несколько больше, чем 2 (х£— х)2. Деление
на п— 1 вместо п приближает вычисляемое значение о к значению о
для теоретического распределения. Чем больше п, тем ближе око;
о —о.
п —* оо •
80
Для нормального закона отношение предельных значений
(п —>-ао) средней абсолютной погрешности к выборочной средней
квадратической погрешности равно:
, —=лД- = 0,79,
о V л
обратное отношение составляет:
о/Лх=д/^= 1,253.
На основании сказанного имеем: о=1,253Дх, т. е. при нормальном
распределении погрешностей абсолютная погрешность и средняя
квадратическая совершенно равноправны и любую из них можно ис-
пользовать для характеристики погрешностей измерения.
При ограниченном числе измерений п выборочная дисперсия
~2 -и и 2
о является лишь оценкой истинной дисперсии о и не равна послед-
ней. При измерениях мы можем определить величину о2, а не о2.
Пример. Используем данные, полученные ранее при измерении
толщины проволоки микрометром, приведенные в § 10, и найдем
среднюю квадратическую погрешность по формуле:
О /(- 1)2-+52 + 42 + (-3)Ч(-5)2.1 л - 4 =
V 5—1
1+_2.И->.6+9+2510-4==пу19. jq-4^4 4.10-2;
о = 4,4-10”2 мм.
§ 29. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ПОГРЕШНОСТЕЙ
Существует несколько видов статистических распределений слу-
чайных величин. Назовем основные из них.
Нормальное распределение, когда переменная величина изменяет-
ся непрерывно.
Биномиальное распределение, когда переменная величина мо-
жет принимать только дискретные значения, при этом некоторое
событие может только быть или не быть.
Распределение Пуассона, когда рассматриваются очень редкие,
маловероятные события.
Равномерное распределение, когда вероятно появление погреш-
ности любой величины внутри некоторого интервала, а за его преде-
лами вероятность появления погрешности равна нулю.
Немецкий математик К. Ф. Гаусс в 1821 г. дал формулу нор-
мального распределения случайных величин:
81
* .
о д'2л
Учитывая, что Ь — х— X, нормальный закон принимает вид рас-
пределения погрешностей:
у (6,)=^—а2"2,
а д/2л
где у (х,) и у (6) — ординаты кривой нормального распределения
случайных величин, или случайных погрешностей;
Xi и 6, — значение случайной величины и ее погрешности, X —-
истинное значение величины, о — средняя квадратическая погреш-
ность, е — основание натуральных логарифмов (e = 2,7i83).
Для большого числа встречающихся на практике случайных ве-
личин можнол ожидать распределение по закону Гаусса.
§ 30. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ И ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ
ВЕРОЯТНОСТЬ
На кривой нормального распределения случайной погрешности
имеются две характерные точки, где выпуклость кривой переходит
в ее вогнутость (точки перегиба А, А).
Абсциссы этих точек равны +о, т. е. средней квадратической
погрешности (рис. 38).
Вероятность появления погрешностей (6), не выходящих за преде-
лы + о, равна 0,6827^2/3, т. е. заштрихованная площадь равна
2/3 всей площади, находящейся под кривой Гаусса.
В этом случае -фо и —о рассматривают как границы интер-
вала, за пределы которых с вероятностью 0,6827 не выйдут значе-
ния случайных погрешностей.
Границы интервала называют доверительными границами, сам
интервал — доверительным интервалом, а характеризующую его ве-
роятность — доверительной вероятностью.
Задавать можно любые границы доверительного интервала (±е),
при этом решают задачу по определению доверительной вероят-
ности или обратную задачу: по данной вероятности определяют до-
верительный интервал.
-О О а +5
Рис. 38
82
В технике доверительную вероятность выражают в процентах
и называют надежностью.
Доверительные интервалы и доверительные вероятности опреде-
ляют с помощью таблицы, так как вычисления очень сложны.
Интервал Вероятность % брака
е= ±о 0,6827 32%
е= ±2о 0,9545 5%
е = -4- За 0,9973 0,3%
е= ±4а 0,999936 0,007%
Доверительный интервал определяют в зависимости от требо-
ваний точности изготовления деталей. Чем точнее и ответственнее
деталь, тем меньше берут доверительный интервал (допуск) при
обработке деталей и тем значительней брак.
Часто При изготовлении деталей допускают, отклонение от но-
минального ее размера е=±3о. Если это позволяют запросы прак-
тики, то в результате получают большой экономический эффект,
так как процент брака уменьшается.
§ 31. ПОГРЕШНОСТИ СРЕДНЕГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО
Отклонение среднего значения измеряемой величины от ее истин-
ного значения \—х — X носит случайный характер, так как средняя
величина составлена из результатов отдельных измерений, имею-
щих случайный характер. К является истинной абсолютной погреш-
ностью результата (серин повторных измерений), т. е. среднего
арифметического, в отличие от б — истинной абсолютной погреш-
ности измерения (одиночного).
При незначительном числе измерений п величина отдельного
измерения х,- оказывает значительное влияние па х (рис. 39). При
большом числе измерений п влияние отдельного измерения х,- ста-
новится незначительным.
При увеличении числа измерений п —► оо истинная абсолют-
ная погрешность результата измерений стремится к нулю: К —>• 0.
Если случайные погрешности отдельных измерений 6, подчиня-
ются нормальному закону распределения, то и погрешности сред-
них значений X, их повторных серий подчиняются этому же закону,
но с другим рассеиванием (дисперсией).
Примечание. Погрешности средних значений подчиняются
нормальному распределению и в том случае, когда распределение
случайных погрешностей отдельных измерений отличается от нор-
мального. Этот вывод следует из центральной предельной теоремы
Ляпунова: «Если мы имеем достаточно большое число п незави-
симых случайных величин, то сумма их подчиняется закону нор-
мального распределения даже тогда, когда случайные величины не
подчиняются нормальному распределению. При этом предполагается,
что ни одна из этих слагаемых случайных величин не доминирует
над остальными, т. е. не играет преобладающей роли в образо-
вании суммарной случайной величины».
Абсолютная погрешность и является такой случайной величиной,
которая состоит из множества других случайных величин (флукту-
аций), обусловленных различными причинами, а ее приближенное
значение вычисляется по формуле:
—* / (х, —х)2
V п(п-1)
(знак над буквой (~) относится к опытным данным).
Рассеяние средних значений меньше, чем рассеяние отдель-
ных измерений.
Согласно теории, средняя квадратическая погрешность среднего
значения равна:
§ 32. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ И ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ
ВЕРОЯТНОСТЬ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ
Случайные погрешности среднего значения х также распреде-
ляются по нормальному закону, и для них можно ввести понятие
доверительного интервала Е, соответствующего доверительной веро-
ятности РЕ.
Границы доверительного интервала можно задать следующей
формулой:
E = ts=—,
где t — любое число.
Рассмотрим рисунок 40. Точки перегиба кривой Гаусса имеют
абсциссы (средняя квадратическая среднего значения).
Если на горизонтальной оси отложить отрезки /=±1, ±2, ±3,
то доверительными интервалами для заштрихованных Площадей
будут E = ts, т. е. E=+s, ±2s, +3s.
Площади, ограниченные границами доверительного интервала
и соответствующим участком кривой Гаусса, задают для каждого
доверительного интервала доверительную вероятность (или надеж-
ность) Pt. В частности, Pi =0,68, Р2 = 0,95, Рз=0,997 (см. рис. 40).
84
§ 33. ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРИ МАЛОМ ЧИСЛЕ ИЗМЕРЕНИЙ
И НЕИЗВЕСТНОЙ СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ О
Использование формул нормального распределения случайных
погрешностей'для определения доверительного интервала при за-
данной доверительной вероятности или, наоборот, определение на-
дежности для данного доверительного интервала не представляется
возможным, если о неизвестна и число измерений незначительно.
Вычисляемая практически по отклонениям от_среднего арифме-
тического средняя квадратическая погрешность о является некото-
рым приближением к действительному значению средней квадра-
тической погрешности о.
Распределение случайных погрешностей тем более отличается
от кривой Гаусса, чем меньше сделано измерений.
Английский химик и математик В. С. Госсет, публиковавший
свои работы под псевдонимом Стьюдент, указал на возможность
при малом числе измерений определить доверительную вероятность
или доверительный интервал в тех случаях, когда неизвестна о.
Он вывел распределение погрешностей средних значений, получае-
мых при малом числе измерений. Кривые распределения Стьюдента
для различного числа измерений п = 2, 5, 10 изображены на
рисунке 41. По формулам Стьюдента составлены две таблицы рас-
пределения Стьюдента, которые показаны ниже.
По формуле E = tss определяется доверительный интервал сред-
него значения £=х— X, где ts является коэффициентом Стьюдента
и находится по таблицам.
§ 34. НЕКОТОРЫЕ.ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ
Пример 1. Шестикратное взвешивание изделия из ценного ма-
: териала дало следующие результаты: 72,361; 72,357; 72,352; 72,346;
72,344; 72,340. Определите массу этого изделия.
85
Значения для различных значений доверительной вероятности Р,
и числа измерений п (распределение Стьюдента)
Л X. 0.5 0.6 0J 0.8 0.9 0.95 0.98 0.99 0.999
2 1,000 1,376 1.963 3,08 6,31 12,71 31,8 63,7 636,6
3 0,816 1,061 1,336 1,886 2,92 4,30 6,96 9,92 31,6
4 0,765 0,978 1,250 1,638 2,35 3,18 4,54 5,84 12,94
5 0,741 0,941 1,190 1,533 2,13 2,77 3,75 4,60 8,61
6 0,727 0,920 1,156 1,476 2,02 2,57 3,36 4,03 6,86
7 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,45 3,14 4,71 5,96
8 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,36 3,00 3,50 5,40
9 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,31 2,90 3,36 5,04
10 0,703 0,883 1,110 1,383 1,833 2,26 2,82 3,25 4,78
11 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,23 2,76 3,17 4,59
12 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,20 2,72 3,11 4,49
13 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,18 2,68 3,06 4,32
14 0,694 , 0,870 1,079 1,350 1,771 2,16 2,65 3,01 4,22
15 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,14 2,62 2,98 4,14
16 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,13 2,60 2,95 4,07
17 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,12 2,58 2,92 4,02
18 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,11 2,57 2,90 3,96
19 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,10 2,55 2.88 3,92
20 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,09 2,54 2,86 3,88
оо 0,674 0,842 • 1,036 1,282 1,645 1,960 2,33 2,58 3,29
Значение доверительной вероятности Ps для различных значений ts
и числа измерений п (распределение Стьюдента)
п 2 2.5 3 3,5
2 0,705 0,758 0,795 0,823
3 0,816 0,870 0,905 0,928
4 0,861 0,912 0,942 0,961
5 0,884 0,933 0,960 0,975
6 0,898 0,946 0,970 0,983
7 0,908 0,953 0,976 0,987
8 0,914 0,959 0,980 0,990
9 0,919 0,963 0,983 0,992
10 0,923 0,966 0,985 0,993
11 0,927 0,969 0,987 0,994
12 0,929 0,970 0,988 0,995
13 0,931 0,972 0,989 0,996
14 0,933 0,974 0,990 0,996
15 0,935 0,974 0,990 0,996
16 0,936 0,975 0,991 0,997
17 0,937 0,976 0,992 0,997
18 0,938 0,977 0,992 0,997
19 0,939 0,978 0,992 0,997
20 0,940 0,978 0,993 0,997
ОО 0,955 0,988 0,997 0,9995
Найдем доверительный интервал погрешности среднего при дове-
рительной вероятности 0,99. Среднее значение массы равно:
72,350 г.
ратов:
Определяем отклонения от среднего (в мг) и сумму их квад-
Xi — X {xi—xf
+11 121
+ 7 49
+2 4
— 4 16
-6 36
-10 100
Вычисляем:
, о = 8,06 мг,
1,29 мг.
По первой таблице находим для п=6 и Ps—0,99
^=4,03,
откуда границы доверительного интервала погрешности средне-
го ±(3,29-4,03)» 13 мг. Следовательно, масса изделия равна
72,350±0,013 г (степень достоверности — 99%).
Пример 2. При 10 измерениях длины металлического стержня
получены следующие результаты: 358,51; 358,49; 358,48; 358,46;
358,45; 358,42; 358,59; 358,55; 358,53; 358,52 мм.
Следует определить вероятность того, что погрешность среднего
значения не выйдет за границы ±0,05 мм.
Находим х = 358,50 мм, тогда 2 (х — xf — 0,023;
s д/Ео23 0 0 j б
v п(п — 1) v 10-9
откуда
, 0,05 q
По второй таблице находим для п=10, С=3, Ps=0,985.
§ 35. СВЯЗЬ АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ СО СРЕДНЕЙ
КВАДРАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТЬЮ
И ПРИНЦИП КРЫЛОВА — БРАДИСА
Установим соотношение между абсолютной погрешностью Да и
средней квадратической погрешностью о на примере равномерного
распределения погрешностей.
Пусть в результате измерения или вычисления получено при-
ближенное число а±Да, причем известно, что любые значения аб-
солютной погрешности между —Да и Да одинаково вероятны. Так
как все значения погрешности перечислить невозможно, выберем
87
произвольное натуральное число п и рассмотрим следующие зна-
чения абсолютной погрешности:
О Ч--^- ±— .... ±(п~|)--, ±Да.
’ п ' п ’ п
Для характеристики точности приближенного числа а рассмотрим
среднее арифметическое квадратов чисел этого ряда.
Этим самым мы придаем больший «вес» большим погрешностям.
Так как в ряду имеется 2п-|-1 чисел, то среднее арифметическое
квадратов равно:
(Д/т\ 2
—J + —+ 2(Аа)2__ 2(Дд)2(12 + 22 + ...+п2)
2п4-1 п2(2п+1)
Чтобы получить ту же размерность, какую имеет, величина а,
извлекаем положительный квадратный корень:
Адд/2 / 12+22+„.п2
п V 2п +1
Однако абсолютная погрешность числа а может принимать лю-
бые значения между —Ла и Да. В качестве характеристики точ-
ности измерения величины а принимаем предел полученного выра-
жения:
Полученное число о называют средней квадратической погреш-
ностью величины а.
Для вычисления о применим формулу суммы квадратов после-
довательных чисел натурального ряда:
[2 22 4-... 4- п2=д(п+1)(2п+|)
Тогда
Итак,-о=—— (В. П. Демкович, Н. Я. Прайсман. «Приближен-
на
ные вычисления в школьном курсе физики»).
Этот результат не противоречит вычислениям, проведенным в § 28.
Действительно, подсчитаем среднюю абсолютную погрешность ве-
личины а, т. е. среднее значение абсолютных величин указанных
выше погрешностей:
Да=—М о + ^+— + - +^~'^А-а-+2Да ) =
2n+1 \ п п п /
__ Ад (п + 1)
— 2п+1
88
Тем самым получаем:
Да = Пт Аа(л+1) = Ьа
п оо 2ft -|- 1 2
г
В результате находим, что
Да=^о = 0,866о,
или
о =-^- Да= 1,155Да.
л/3
Эти соотношения близки к тем, которые были получены в § 28.
Небольшое различие в численных значениях коэффициентов связано
с тем, что в этих двух расчетах были использованы разные распре-
деления погрешностей Да (нормальное и равномерное распределения
из § 29).
При прямых измерениях в большинстве случаев соблюдается
принцип Крылова. При вычислениях с приближенными числами в не-
которых случаях невозможно руководствоваться принципом Кры-
лова.
Например,.общая масса трех тел: mi =20 г, та = 35 г и т3 = 12 г,
взвешенных на настольных (торговых) весах с абсолютной погреш-
ностью отсчета ±0,5 г, имеет общую абсолютную погрешность
±1,5 г, и, следовательно, запись результата т = 67 г не соответ-
ствует принципу Крылова.
Установленная выше связь между абсол/отной погрешностью Да
и средней квадратической погрешностью о позволяет внести некото-
рые уточнения в принцип А. Н. Крылова, что было сделано В. М. Бра-
дисом.
Согласно принципу Крылова — Брадиса, всякое приближенное
число, полученное в результате счета, измерения или вычисления,
нужно писать так, чтобы все его значащие цифры были верные и
лишь последняя цифра могла быть сомнительной не больше чем на
единицу средней квадратической погрешности о этого разряда; при
этом малые значения погрешностей более вероятны, чем большие.
В приведенном выше примере Да=1,5 г, средняя квадрати-
ческая погрешность о=-^-=0,87<С 1, поэтому в числе 67 г по-
л/З
следняя цифра является значащей.
Для упрощения расчетов можно брать границу абсолютной по-
грешности значительно большей Зо, если это практически допус-
тимо, учитывая то, что вероятность таких отклонений не больше,
чем 0,3%.
Например, произведено измерение веса тела учебным динамо-
метром с ценой деления 0,1 Ни получен следующий результат:
7>=1,35±0,05 Н. В этом случае, хотя абсолютная погрешность
Измерения превышает единицу последнего разряда в 5 раз, послед-
нюю цифру считаем сомнительной и не отбрасываем.
В связи с тем что на практике в большинстве случаев абсо-
лютная погрешность измерения не превышает одной-двух единиц
последнего разряда, что вполне согласуется с принципом Крылова —
Брадиса, учащийся может без проверки записывать полученные ре-
зультаты и согласно этому принципу определять верные и сомнитель-
ные цифры.
§ 36. СРЕДНЕЕ ВЗВЕШЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ
ИЗМЕРЯЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Рассмотрим задачу.
Задача. Определите среднюю скорость поезда, двигавшегося в течение 3 ч со
скоростью 60 км/ч, а остальные 5 ч со скоростью 80 км/ч.
Вычислить среднюю скорость как среднее арифметическое по
формуле: и=& fi+p2 нельзя, поэтому необходимо воспользовать-
ся формулой:
~ О|б ~Ь Р2^2
<1 + ^2
Величины.t\ и /2 в формуле носят названия весовых множите-
лей, а величина v — среднего взвешенного.
В предыдущих обсуждениях всюду предполагалось, что при из-
мерении величин все случайные возможные значения заслуживают
одинакового доверия.
На практике не всегда соблюдают одинаковые условия при
повторных измерениях, и поэтому степень доверия к ним раз-
лична. Вес отражает степень доверия, и чем больше доверие к ре-
зультату измерения, тем больше вес.
Значение измеряемой величины в таких случаях определяют по
формуле:
_ XiPi+X2P2 + -+xnpn
Р1+Р2 + ... + Рп
где х0 — среднее взвешенное,
Xi, Х2, ..., х„ — средние значения для отдельных серий измере-
ний,
Р1, р2, ..., рп — вес.
Веса соответствующих групп измерений считают обратно про-
порциональными квадратам о, т. е. дисперсиям:
О1 as Оз о„
Другим критерием для определения весов результатов прини-
мают число измерений п в каждой группе при о=const pi:p2:p3:...
...:pn = ti] :п2:п3:...:пп.
Пример 1. Для определения длины звуковой волны способом
резонанса с помощью прибора (трубки с поршнем) и камертона из-
90
i _
меряем длину воздушного столба при первом резонансе Zi——,
затем длину воздушного столба при втором резонансе /2=— ^2-
Значение длины волны
значений Xi и Л.2, а по
лучше вычислять не как среднее из двух
формуле Л.о =-2—, где 1 и 3 являются
1 ф 3
весовыми множителями.
Пример 2. Можно определить среднее взвешенное для абсо-
лютной погрешности измерения коэффициента трения по данным из
§ 10, где весовыми множителями возьмем числа 1, 2, 5:
§ 37. ПРОМАХИ
Промахами называют грубые погрешности, существенно превы-
шающие систематические и случайные погрешности. Они возни-
кают вследствие не особенно тщательных наблюдений и ошибок при
отсчетах. Промахи, незначительно отличающиеся от случайных по-
грешностей, необходимо проверить.
Одним из простейших способов проверки является сравнение
результата измерения со средним арифметическим всех результатов
измерений. Если для какого-то измерения погрешность превышает
Зо, то рассматриваемое значение измерения принимают за промах
и отбрасывают.
Дело заключается в следующем. Отклонение отдельного измере-
ния от среднего арифметического выражается в долях средней квад-
ратической погрешности по формуле:
I I
а '
За о можно принимать среднюю квадратическую погрешность
б„, когда число измерений больше 25.
Если отклонение от среднего арифметического превышает Зо,
то такие одиночные значения измерений могут быть отброшены,
так как вероятность их появления очень незначительна (меньше
0,003).
В среднее арифметическое хп и среднюю квадратическую по-
грешность On включается подозреваемое х/( которое, на наш взгляд,
недопустимо велико или мало. При небольшом числе измерений
среднюю квадратическую погрешность измерения о можно вычислить
по формуле:
~__ 5 S |х,—х|
где п — число измерений.
91
§ 38. ПРАВИЛА ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Указанные правила можно применять при нормальном распре-
делении результатов измерений или мало отличающемся от него.
— Определяют среднее арифметическое значение измеряемой
величины:
S Xj
п
— Находят абсолютные погрешности отдельных измерений:
Ах, = х — Xi.
— Вычисляют среднюю абсолютную погрешность отдельных из-
мерений:
= S |Дхй
п
— Вычисляют среднюю квадратическую погрешность отдельных
измерений:
о= 1,253Ах,
или
* ' б=л/^-
V п— 1
— Отбрасывают промахи, если Дх/>3о.
— Определяют среднюю квадратическую погрешность среднего
значения:
1,253 S |Дх,-| = 1,253Дх
п \1п ~^п
или
S= 5 =~л1 2(Дх)2
V п(п — 1)
— По числу наблюдений п и выбранной вероятности Р по таб-
лицам Стьюдента определяют коэффициент Стьюдента ts.
— Записывают величину доверительного интервала для среднего
значения измеряемой величины:
E = tss.
— Записывают результат измерений:
Х=х±Е.
— Определяют относительную погрешность:
F
-—100%.
X
Пример. Определите доверительный интервал с соответствую-
щей доверительной вероятностью для дальности полета снаряда
из баллистического пистолета под углом стрельбы в 45° по сле-
92
дующим результатам опыта: 101,5; 105,0; 95,0; 98,5; 100,0 см.
Проводя вычисления по приведенным выше правилам, получаем:
- S Г. -
1. х=~—— , х= 100,0 см.
п
2.
Дх,- = х —х Дх*’
-1,5 2,25
-5,0 25,00
+ 5,0 25,00
+ 1,5 2,25
0,0 0,0
S | Дх,-1 = 13, S (Дх,)2 = 54,5.
3. Лх= =-£=2,6.
п 5
4. о= 1,253Дх=3,3, о=Л/ 2 , о = 3,7.
5. s=~=-^=l,5, s=~7r, s=I,7.
yfn д;5 \n
6. Берем С = 3,75 при Ps = 98% и n = 5.
7. E=sts = 1,5-3,75 = 5,6^6, E = sts = 1,7-3,75«6,
X= 100,0 cm±6 cm, X= 100,0 cm ±6 cm.
Следовательно, на 98% можно ручаться, что рассеивание сна-
рядов будет не больше ±6 см от дальности полета в 100,0 см.
(В пп. 4—7 первое число получено из нормального закона распре-
деления, а второе — из распределения Стьюдента, которое перехо-
дит в закон Гаусса при п-> сю.)
§ 39. КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Если измеряемая величина является функцией нескольких пе-
ременных, погрешности которых сравнительно малы, то погрешность
косвенного измерения может быть определена на основании формул
таблицы.
(Систематические погрешности измерений величин Л и У исклю-
чены.)
Из приведенных в ней формул видно, что вследствие возве-
дения в квадрат одни погрешности могут оказаться пренебрежимо
малыми по сравнению с другими.
Например:
z=x-\-y, ах=2, o^—l,
Л/б1=Л/25+12 = 2,24.
Несмотря на то что погрешность 5У всего лишь в 2 раза
меньше 5Х, ею можно пренебречь, поскольку если мы не примем во
внимание меньшую погрешность, то получим погрешность косвенного
измерения 5г = 2, что лишь на 12% отличается от полной погреш-
ности.
Вследствие этого при сложении и вычитании измеряемых вели-
чин (см. формулу 1 в табл.) можно отбрасывать средние квадра-
тические погрешности, не превышающие 1/3 от максимальной.
При умножении и делении Измеряемых величин (см. формулу 2
в табл.) складываются квадраты не абсолютных, а относительных
погрешностей, а поэтому в подобных случаях можно пренебречь
всеми относительными средними квадратическими погрешностями, не
превышающими 1/3 от максимальной.
Примечание. Аналогично тому, как делалось в § 35 при
выводе формулы можно и в общем случае применить гео-
т/з
метрическое сложение абсолютных и относительных погрешностей
(рис. 42):
Az2 = Ах2 + Ду2 и
При этом несколько уменьшается диапазон границ значений погреш-
ностей.
§ 40. ОПЫТ ПО РАССЕИВАНИЮ ПОПАДАНИЙ СНАРЯДА
ПРИ СТРЕЛЬБЕ ИЗ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ПИСТОЛЕТА
Для экспериментального изучения
распределения случайных величин про-
ведем следующий опыт.
На конце стола устанавливают пи-
столет под углом стрельбы в 45°. На
стол кладут лист писчей бумаги на
расстоянии, соответствующем попада-
нию снаряда в середину листа. (Дела-
ют предварительную пристрелку.) На
лист кладут копировальную бумагу.
Производят 25, 50 или 100 выстрелов,
затем снимают копировальную бума-
гу и через наибольшее скопление сле-
94
дов попаданий снаряда для упрощения проводят центральную попе-
речную линию, а через 1 см в обе стороны, от этой линии проводят
ряд параллельных ей линий. Таким образом поле стрельбы раз-
бивают на ряд параллельных полосок. Пронумеровывают полоски.
Измеряют расстояние от средней линии до снаряда, находя-
щегося в пистолете, с точностью до 1 см (в опыте — 95 см).
Считают число попаданий внутри каждой полоски и результаты
записывают в таблицу.
№ полоски Число попаданий в полоску Отклонение от средней линии до середины полоски Сумма отклонений
1 2 3 4 5 6 1 о 9 7 4 1 2,5 1,5 0,5 0,5 1,5 2,5 2,5 4,5 4,5 3,5 6 2,5
25 23,5
Строят гистограмму (рис. 43). Вычисляют: - 5 L \х— х\ 4 1 ’ П 2 о=4- -2ъ!4--»1.2 см- 4 24,5 Г „ < 1 На интервал с границами е=— ±о приходится 17 попаданий; вероятность попаданий в него рав- £ на: ^68%. ' Если доверительный интервал увеличить до е = -!- Зо, то вероят- ность попаданий приблизительно равна 100% (рис. 44). 2- 9 7 4 /
1 Номера g м 1 полосок У 3 яя Рис 23 § ’С о с: js 4 5 6 пиния. 43
е ЧЭ
’ 0 е 1Г) ST
-В в в « • •чГ Средняя_
f в • • • * • „ _ ю О'. Г /1ияия £ Оч
• с; ГО
"Т" а
Рис. 44
Примечание. Рассеивание в боковые стороны вызывается
колебанием пистолета в горизонтальной плоскости. Полезно сравнить
полученную гистограмму с нормальным законом распределения.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
б — истинная абсолютная погрешность измерения (одиноч-
ного) ;
х и Xi — значения величины, полученные при одиночных измере-
ниях;
X — истинное значение величины;
х — среднее арифметическое одиночных значений;
Ах и Ах,— абсолютная погрешность измерения;
D (х) = о2— дисперсия;
о — средняя квадратическая погрешность;
— знак, стоящий сверху буквы, означает, что соответству-
ющий результат получен в результате опыта, а не из
теории;
Л. — истинная абсолютная погрешность среднего значения ре-
зультата измерений;
s — средняя квадратическая погрешность среднего значения;
е — доверительный интервал;
Р — доверительная вероятность;
Е—доверительный интервал среднего значения;
Ps — доверительная вероятность среднего значения;
ts — коэффициент Стьюдента;
р — вероятность или «вес».
ЛИТЕРАТУРА
Демкович В. П. Измерения в курсе физики средней шко-
лы.— М.: Просвещение, 1970.
Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях.— М.:
Гостехиздат, 1950.
Кассандрова О. Н., Лебедев В. В. Обработка ре-
зультатов наблюдений.— М.: Наука, 1970.
Сквайре Дж. Практическая физика.— М.: Мир, 1971.
Практикум по физике в средней школе / Под ред. А. А. Покров-
ского.— М.: Просвещение, 1982.
Айвазян С. А., Е н у к о в И. С., М е ш а л к и н Л. Д.
Прикладная статистика.— М.: Финансы и статистика, 1983.